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<!DOCTYPE html> <html lang="en"> <head> <meta content="text/html; charset=utf-8" http-equiv="content-type"/> <title>Matrix structure of classical ℤ₂×ℤ₂ graded Lie algebras</title>  <meta content="width=device-width, initial-scale=1, shrink-to-fit=no" name="viewport"/> <link href="https://cdn.jsdelivr.net/npm/bootstrap@5.3.0/dist/css/bootstrap.min.css" rel="stylesheet" type="text/css"/> <link href="/static/browse/0.3.4/css/ar5iv.0.7.9.min.css" rel="stylesheet" type="text/css"/> <link href="/static/browse/0.3.4/css/ar5iv-fonts.0.7.9.min.css" rel="stylesheet" type="text/css"/> <link href="/static/browse/0.3.4/css/latexml_styles.css" rel="stylesheet" type="text/css"/> <script src="https://cdn.jsdelivr.net/npm/bootstrap@5.3.0/dist/js/bootstrap.bundle.min.js"></script> <script src="https://cdnjs.cloudflare.com/ajax/libs/html2canvas/1.3.3/html2canvas.min.js"></script> <script src="/static/browse/0.3.4/js/addons_new.js"></script> <script src="/static/browse/0.3.4/js/feedbackOverlay.js"></script> <base href="/html/2408.09274v1/"/></head> <body> <nav class="ltx_page_navbar"> <nav class="ltx_TOC"> <ol class="ltx_toclist"> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_section"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2408.09274v1#Ch0.S1" title="In Matrix structure of classical ℤ₂×ℤ₂ graded Lie algebras"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">1 </span>Introduction</span></a></li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_section"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2408.09274v1#Ch0.S2" title="In Matrix structure of classical ℤ₂×ℤ₂ graded Lie algebras"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">2 </span><math alttext="{\mathbb{Z}}_{2}\times{\mathbb{Z}}_{2}" class="ltx_Math" display="inline"><semantics><mrow><msub><mi>ℤ</mi><mn>2</mn></msub><mo lspace="0.222em" rspace="0.222em">×</mo><msub><mi>ℤ</mi><mn>2</mn></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content"><apply><times></times><apply><csymbol cd="ambiguous">subscript</csymbol><ci>ℤ</ci><cn type="integer">2</cn></apply><apply><csymbol cd="ambiguous">subscript</csymbol><ci>ℤ</ci><cn type="integer">2</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex">{\mathbb{Z}}_{2}\times{\mathbb{Z}}_{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun">blackboard_Z start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT × blackboard_Z start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>-graded Lie algebras</span></a></li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_section"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2408.09274v1#Ch0.S3" title="In Matrix structure of classical ℤ₂×ℤ₂ graded Lie algebras"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">3 </span><math alttext="{\mathbb{Z}}_{2}^{2}" class="ltx_Math" display="inline"><semantics><msubsup><mi>ℤ</mi><mn>2</mn><mn>2</mn></msubsup><annotation-xml encoding="MathML-Content"><apply><csymbol cd="ambiguous">superscript</csymbol><apply><csymbol cd="ambiguous">subscript</csymbol><ci>ℤ</ci><cn type="integer">2</cn></apply><cn type="integer">2</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex">{\mathbb{Z}}_{2}^{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun">blackboard_Z start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>-GLA’s as subalgebras of <math alttext="\mathfrak{sl}_{p,q,r,s}(n)" class="ltx_Math" display="inline"><semantics><mrow><mi>𝔰</mi><mo>⁢</mo><msub><mi>𝔩</mi><mrow><mi>p</mi><mo>,</mo><mi>q</mi><mo>,</mo><mi>r</mi><mo>,</mo><mi>s</mi></mrow></msub><mo>⁢</mo><mrow><mo stretchy="false">(</mo><mi>n</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content"><apply><times></times><ci>𝔰</ci><apply><csymbol cd="ambiguous">subscript</csymbol><ci>𝔩</ci><list><ci>𝑝</ci><ci>𝑞</ci><ci>𝑟</ci><ci>𝑠</ci></list></apply><ci>𝑛</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex">\mathfrak{sl}_{p,q,r,s}(n)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun">fraktur_s fraktur_l start_POSTSUBSCRIPT italic_p , italic_q , italic_r , italic_s end_POSTSUBSCRIPT ( italic_n )</annotation></semantics></math></span></a></li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_section"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2408.09274v1#Ch0.S4" title="In Matrix structure of classical ℤ₂×ℤ₂ graded Lie algebras"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">4 </span>Example and conclusions</span></a></li> </ol></nav> </nav> <div class="ltx_page_main"> <div class="ltx_page_content"> <article class="ltx_document ltx_authors_1line"><span class="ltx_note ltx_role_institutetext" id="id1"><sup class="ltx_note_mark">1</sup><span class="ltx_note_outer"><span class="ltx_note_content"><sup class="ltx_note_mark">1</sup><span class="ltx_note_type">institutetext: </span>N.I. Stoilova </span></span></span><span class="ltx_note ltx_role_institutetext" id="id2"><sup class="ltx_note_mark">2</sup><span class="ltx_note_outer"><span class="ltx_note_content"><sup class="ltx_note_mark">2</sup><span class="ltx_note_type">institutetext: </span>Institute for Nuclear Research and Nuclear Energy, Bulgarian Academy of Sciences, Boul. Tsarigradsko Chaussee 72, 1784 Sofia, Bulgaria, <span class="ltx_note ltx_role_email" id="id2.1"><sup class="ltx_note_mark">2</sup><span class="ltx_note_outer"><span class="ltx_note_content"><sup class="ltx_note_mark">2</sup><span class="ltx_note_type">email: </span>stoilova@inrne.bas.bg</span></span></span> </span></span></span><span class="ltx_note ltx_role_institutetext" id="id3"><sup class="ltx_note_mark">3</sup><span class="ltx_note_outer"><span class="ltx_note_content"><sup class="ltx_note_mark">3</sup><span class="ltx_note_type">institutetext: </span>J. Van der Jeugt </span></span></span><span class="ltx_note ltx_role_institutetext" id="id4"><sup class="ltx_note_mark">4</sup><span class="ltx_note_outer"><span class="ltx_note_content"><sup class="ltx_note_mark">4</sup><span class="ltx_note_type">institutetext: </span>Department of Applied Mathematics, Computer Science and Statistics, Ghent University, Krijgslaan 281-S9, B-9000 Gent, Belgium, <span class="ltx_note ltx_role_email" id="id4.1"><sup class="ltx_note_mark">4</sup><span class="ltx_note_outer"><span class="ltx_note_content"><sup class="ltx_note_mark">4</sup><span class="ltx_note_type">email: </span>Joris.VanderJeugt@UGent.be</span></span></span></span></span></span> <h1 class="ltx_title ltx_title_document">Matrix structure of classical <math alttext="{\mathbb{Z}}_{2}\times{\mathbb{Z}}_{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="id1.m1.1"><semantics id="id1.m1.1b"><mrow id="id1.m1.1.1" xref="id1.m1.1.1.cmml"><msub id="id1.m1.1.1.2" xref="id1.m1.1.1.2.cmml"><mi id="id1.m1.1.1.2.2" xref="id1.m1.1.1.2.2.cmml">ℤ</mi><mn id="id1.m1.1.1.2.3" xref="id1.m1.1.1.2.3.cmml">2</mn></msub><mo id="id1.m1.1.1.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="id1.m1.1.1.1.cmml">×</mo><msub id="id1.m1.1.1.3" xref="id1.m1.1.1.3.cmml"><mi id="id1.m1.1.1.3.2" xref="id1.m1.1.1.3.2.cmml">ℤ</mi><mn id="id1.m1.1.1.3.3" xref="id1.m1.1.1.3.3.cmml">2</mn></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="id1.m1.1c"><apply id="id1.m1.1.1.cmml" xref="id1.m1.1.1"><times id="id1.m1.1.1.1.cmml" xref="id1.m1.1.1.1"></times><apply id="id1.m1.1.1.2.cmml" xref="id1.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="id1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="id1.m1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="id1.m1.1.1.2.2.cmml" xref="id1.m1.1.1.2.2">ℤ</ci><cn id="id1.m1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="id1.m1.1.1.2.3">2</cn></apply><apply id="id1.m1.1.1.3.cmml" xref="id1.m1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="id1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="id1.m1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="id1.m1.1.1.3.2.cmml" xref="id1.m1.1.1.3.2">ℤ</ci><cn id="id1.m1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="id1.m1.1.1.3.3">2</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="id1.m1.1d">{\mathbb{Z}}_{2}\times{\mathbb{Z}}_{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="id1.m1.1e">blackboard_Z start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT × blackboard_Z start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> graded Lie algebras</h1> <div class="ltx_authors"> <span class="ltx_creator ltx_role_author"> <span class="ltx_personname">N.I. Stoilova and J. Van der Jeugt </span></span> </div> <div class="ltx_abstract"> <h6 class="ltx_title ltx_title_abstract">Abstract</h6> <p class="ltx_p" id="id14.13">A <math alttext="{\mathbb{Z}}_{2}\times{\mathbb{Z}}_{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="id2.1.m1.1"><semantics id="id2.1.m1.1a"><mrow id="id2.1.m1.1.1" xref="id2.1.m1.1.1.cmml"><msub id="id2.1.m1.1.1.2" xref="id2.1.m1.1.1.2.cmml"><mi id="id2.1.m1.1.1.2.2" xref="id2.1.m1.1.1.2.2.cmml">ℤ</mi><mn id="id2.1.m1.1.1.2.3" xref="id2.1.m1.1.1.2.3.cmml">2</mn></msub><mo id="id2.1.m1.1.1.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="id2.1.m1.1.1.1.cmml">×</mo><msub id="id2.1.m1.1.1.3" xref="id2.1.m1.1.1.3.cmml"><mi id="id2.1.m1.1.1.3.2" xref="id2.1.m1.1.1.3.2.cmml">ℤ</mi><mn id="id2.1.m1.1.1.3.3" xref="id2.1.m1.1.1.3.3.cmml">2</mn></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="id2.1.m1.1b"><apply id="id2.1.m1.1.1.cmml" xref="id2.1.m1.1.1"><times id="id2.1.m1.1.1.1.cmml" xref="id2.1.m1.1.1.1"></times><apply id="id2.1.m1.1.1.2.cmml" xref="id2.1.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="id2.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="id2.1.m1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="id2.1.m1.1.1.2.2.cmml" xref="id2.1.m1.1.1.2.2">ℤ</ci><cn id="id2.1.m1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="id2.1.m1.1.1.2.3">2</cn></apply><apply id="id2.1.m1.1.1.3.cmml" xref="id2.1.m1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="id2.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="id2.1.m1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="id2.1.m1.1.1.3.2.cmml" xref="id2.1.m1.1.1.3.2">ℤ</ci><cn id="id2.1.m1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="id2.1.m1.1.1.3.3">2</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="id2.1.m1.1c">{\mathbb{Z}}_{2}\times{\mathbb{Z}}_{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="id2.1.m1.1d">blackboard_Z start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT × blackboard_Z start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>-graded Lie algebra <math alttext="\mathfrak{g}" class="ltx_Math" display="inline" id="id3.2.m2.1"><semantics id="id3.2.m2.1a"><mi id="id3.2.m2.1.1" xref="id3.2.m2.1.1.cmml">𝔤</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="id3.2.m2.1b"><ci id="id3.2.m2.1.1.cmml" xref="id3.2.m2.1.1">𝔤</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="id3.2.m2.1c">\mathfrak{g}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="id3.2.m2.1d">fraktur_g</annotation></semantics></math> is a <math alttext="{\mathbb{Z}}_{2}\times{\mathbb{Z}}_{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="id4.3.m3.1"><semantics id="id4.3.m3.1a"><mrow id="id4.3.m3.1.1" xref="id4.3.m3.1.1.cmml"><msub id="id4.3.m3.1.1.2" xref="id4.3.m3.1.1.2.cmml"><mi id="id4.3.m3.1.1.2.2" xref="id4.3.m3.1.1.2.2.cmml">ℤ</mi><mn id="id4.3.m3.1.1.2.3" xref="id4.3.m3.1.1.2.3.cmml">2</mn></msub><mo id="id4.3.m3.1.1.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="id4.3.m3.1.1.1.cmml">×</mo><msub id="id4.3.m3.1.1.3" xref="id4.3.m3.1.1.3.cmml"><mi id="id4.3.m3.1.1.3.2" xref="id4.3.m3.1.1.3.2.cmml">ℤ</mi><mn id="id4.3.m3.1.1.3.3" xref="id4.3.m3.1.1.3.3.cmml">2</mn></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="id4.3.m3.1b"><apply id="id4.3.m3.1.1.cmml" xref="id4.3.m3.1.1"><times id="id4.3.m3.1.1.1.cmml" xref="id4.3.m3.1.1.1"></times><apply id="id4.3.m3.1.1.2.cmml" xref="id4.3.m3.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="id4.3.m3.1.1.2.1.cmml" xref="id4.3.m3.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="id4.3.m3.1.1.2.2.cmml" xref="id4.3.m3.1.1.2.2">ℤ</ci><cn id="id4.3.m3.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="id4.3.m3.1.1.2.3">2</cn></apply><apply id="id4.3.m3.1.1.3.cmml" xref="id4.3.m3.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="id4.3.m3.1.1.3.1.cmml" xref="id4.3.m3.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="id4.3.m3.1.1.3.2.cmml" xref="id4.3.m3.1.1.3.2">ℤ</ci><cn id="id4.3.m3.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="id4.3.m3.1.1.3.3">2</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="id4.3.m3.1c">{\mathbb{Z}}_{2}\times{\mathbb{Z}}_{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="id4.3.m3.1d">blackboard_Z start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT × blackboard_Z start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>-graded algebra <math alttext="\mathfrak{g}" class="ltx_Math" display="inline" id="id5.4.m4.1"><semantics id="id5.4.m4.1a"><mi id="id5.4.m4.1.1" xref="id5.4.m4.1.1.cmml">𝔤</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="id5.4.m4.1b"><ci id="id5.4.m4.1.1.cmml" xref="id5.4.m4.1.1">𝔤</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="id5.4.m4.1c">\mathfrak{g}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="id5.4.m4.1d">fraktur_g</annotation></semantics></math> with a bracket <math alttext="\llbracket\cdot,\cdot\rrbracket" class="ltx_Math" display="inline" id="id6.5.m5.2"><semantics id="id6.5.m5.2a"><mrow id="id6.5.m5.2.3.2" xref="id6.5.m5.2.3.1.cmml"><mo id="id6.5.m5.2.3.2.1" stretchy="false" xref="id6.5.m5.2.3.1.cmml">⟦</mo><mo id="id6.5.m5.1.1" lspace="0em" rspace="0em" xref="id6.5.m5.1.1.cmml">⋅</mo><mo id="id6.5.m5.2.3.2.2" rspace="0em" xref="id6.5.m5.2.3.1.cmml">,</mo><mo id="id6.5.m5.2.2" lspace="0em" rspace="0em" xref="id6.5.m5.2.2.cmml">⋅</mo><mo id="id6.5.m5.2.3.2.3" stretchy="false" xref="id6.5.m5.2.3.1.cmml">⟧</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="id6.5.m5.2b"><list id="id6.5.m5.2.3.1.cmml" xref="id6.5.m5.2.3.2"><ci id="id6.5.m5.1.1.cmml" xref="id6.5.m5.1.1">⋅</ci><ci id="id6.5.m5.2.2.cmml" xref="id6.5.m5.2.2">⋅</ci></list></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="id6.5.m5.2c">\llbracket\cdot,\cdot\rrbracket</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="id6.5.m5.2d">⟦ ⋅ , ⋅ ⟧</annotation></semantics></math> that satisfies certain graded versions of the symmetry and Jacobi identity. In particular, despite the common terminology, <math alttext="\mathfrak{g}" class="ltx_Math" display="inline" id="id7.6.m6.1"><semantics id="id7.6.m6.1a"><mi id="id7.6.m6.1.1" xref="id7.6.m6.1.1.cmml">𝔤</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="id7.6.m6.1b"><ci id="id7.6.m6.1.1.cmml" xref="id7.6.m6.1.1">𝔤</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="id7.6.m6.1c">\mathfrak{g}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="id7.6.m6.1d">fraktur_g</annotation></semantics></math> is not a Lie algebra. We construct classes of <math alttext="{\mathbb{Z}}_{2}\times{\mathbb{Z}}_{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="id8.7.m7.1"><semantics id="id8.7.m7.1a"><mrow id="id8.7.m7.1.1" xref="id8.7.m7.1.1.cmml"><msub id="id8.7.m7.1.1.2" xref="id8.7.m7.1.1.2.cmml"><mi id="id8.7.m7.1.1.2.2" xref="id8.7.m7.1.1.2.2.cmml">ℤ</mi><mn id="id8.7.m7.1.1.2.3" xref="id8.7.m7.1.1.2.3.cmml">2</mn></msub><mo id="id8.7.m7.1.1.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="id8.7.m7.1.1.1.cmml">×</mo><msub id="id8.7.m7.1.1.3" xref="id8.7.m7.1.1.3.cmml"><mi id="id8.7.m7.1.1.3.2" xref="id8.7.m7.1.1.3.2.cmml">ℤ</mi><mn id="id8.7.m7.1.1.3.3" xref="id8.7.m7.1.1.3.3.cmml">2</mn></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="id8.7.m7.1b"><apply id="id8.7.m7.1.1.cmml" xref="id8.7.m7.1.1"><times id="id8.7.m7.1.1.1.cmml" xref="id8.7.m7.1.1.1"></times><apply id="id8.7.m7.1.1.2.cmml" xref="id8.7.m7.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="id8.7.m7.1.1.2.1.cmml" xref="id8.7.m7.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="id8.7.m7.1.1.2.2.cmml" xref="id8.7.m7.1.1.2.2">ℤ</ci><cn id="id8.7.m7.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="id8.7.m7.1.1.2.3">2</cn></apply><apply id="id8.7.m7.1.1.3.cmml" xref="id8.7.m7.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="id8.7.m7.1.1.3.1.cmml" xref="id8.7.m7.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="id8.7.m7.1.1.3.2.cmml" xref="id8.7.m7.1.1.3.2">ℤ</ci><cn id="id8.7.m7.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="id8.7.m7.1.1.3.3">2</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="id8.7.m7.1c">{\mathbb{Z}}_{2}\times{\mathbb{Z}}_{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="id8.7.m7.1d">blackboard_Z start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT × blackboard_Z start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>-graded Lie algebras corresponding to the classical Lie algebras, in terms of their defining matrices. For the <math alttext="{\mathbb{Z}}_{2}\times{\mathbb{Z}}_{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="id9.8.m8.1"><semantics id="id9.8.m8.1a"><mrow id="id9.8.m8.1.1" xref="id9.8.m8.1.1.cmml"><msub id="id9.8.m8.1.1.2" xref="id9.8.m8.1.1.2.cmml"><mi id="id9.8.m8.1.1.2.2" xref="id9.8.m8.1.1.2.2.cmml">ℤ</mi><mn id="id9.8.m8.1.1.2.3" xref="id9.8.m8.1.1.2.3.cmml">2</mn></msub><mo id="id9.8.m8.1.1.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="id9.8.m8.1.1.1.cmml">×</mo><msub id="id9.8.m8.1.1.3" xref="id9.8.m8.1.1.3.cmml"><mi id="id9.8.m8.1.1.3.2" xref="id9.8.m8.1.1.3.2.cmml">ℤ</mi><mn id="id9.8.m8.1.1.3.3" xref="id9.8.m8.1.1.3.3.cmml">2</mn></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="id9.8.m8.1b"><apply id="id9.8.m8.1.1.cmml" xref="id9.8.m8.1.1"><times id="id9.8.m8.1.1.1.cmml" xref="id9.8.m8.1.1.1"></times><apply id="id9.8.m8.1.1.2.cmml" xref="id9.8.m8.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="id9.8.m8.1.1.2.1.cmml" xref="id9.8.m8.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="id9.8.m8.1.1.2.2.cmml" xref="id9.8.m8.1.1.2.2">ℤ</ci><cn id="id9.8.m8.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="id9.8.m8.1.1.2.3">2</cn></apply><apply id="id9.8.m8.1.1.3.cmml" xref="id9.8.m8.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="id9.8.m8.1.1.3.1.cmml" xref="id9.8.m8.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="id9.8.m8.1.1.3.2.cmml" xref="id9.8.m8.1.1.3.2">ℤ</ci><cn id="id9.8.m8.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="id9.8.m8.1.1.3.3">2</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="id9.8.m8.1c">{\mathbb{Z}}_{2}\times{\mathbb{Z}}_{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="id9.8.m8.1d">blackboard_Z start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT × blackboard_Z start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>-graded Lie algebra of type <math alttext="A" class="ltx_Math" display="inline" id="id10.9.m9.1"><semantics id="id10.9.m9.1a"><mi id="id10.9.m9.1.1" xref="id10.9.m9.1.1.cmml">A</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="id10.9.m9.1b"><ci id="id10.9.m9.1.1.cmml" xref="id10.9.m9.1.1">𝐴</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="id10.9.m9.1c">A</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="id10.9.m9.1d">italic_A</annotation></semantics></math>, the construction coincides with the previously known class. For the <math alttext="{\mathbb{Z}}_{2}\times{\mathbb{Z}}_{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="id11.10.m10.1"><semantics id="id11.10.m10.1a"><mrow id="id11.10.m10.1.1" xref="id11.10.m10.1.1.cmml"><msub id="id11.10.m10.1.1.2" xref="id11.10.m10.1.1.2.cmml"><mi id="id11.10.m10.1.1.2.2" xref="id11.10.m10.1.1.2.2.cmml">ℤ</mi><mn id="id11.10.m10.1.1.2.3" xref="id11.10.m10.1.1.2.3.cmml">2</mn></msub><mo id="id11.10.m10.1.1.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="id11.10.m10.1.1.1.cmml">×</mo><msub id="id11.10.m10.1.1.3" xref="id11.10.m10.1.1.3.cmml"><mi id="id11.10.m10.1.1.3.2" xref="id11.10.m10.1.1.3.2.cmml">ℤ</mi><mn id="id11.10.m10.1.1.3.3" xref="id11.10.m10.1.1.3.3.cmml">2</mn></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="id11.10.m10.1b"><apply id="id11.10.m10.1.1.cmml" xref="id11.10.m10.1.1"><times id="id11.10.m10.1.1.1.cmml" xref="id11.10.m10.1.1.1"></times><apply id="id11.10.m10.1.1.2.cmml" xref="id11.10.m10.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="id11.10.m10.1.1.2.1.cmml" xref="id11.10.m10.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="id11.10.m10.1.1.2.2.cmml" xref="id11.10.m10.1.1.2.2">ℤ</ci><cn id="id11.10.m10.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="id11.10.m10.1.1.2.3">2</cn></apply><apply id="id11.10.m10.1.1.3.cmml" xref="id11.10.m10.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="id11.10.m10.1.1.3.1.cmml" xref="id11.10.m10.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="id11.10.m10.1.1.3.2.cmml" xref="id11.10.m10.1.1.3.2">ℤ</ci><cn id="id11.10.m10.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="id11.10.m10.1.1.3.3">2</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="id11.10.m10.1c">{\mathbb{Z}}_{2}\times{\mathbb{Z}}_{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="id11.10.m10.1d">blackboard_Z start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT × blackboard_Z start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>-graded Lie algebra of type <math alttext="B" class="ltx_Math" display="inline" id="id12.11.m11.1"><semantics id="id12.11.m11.1a"><mi id="id12.11.m11.1.1" xref="id12.11.m11.1.1.cmml">B</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="id12.11.m11.1b"><ci id="id12.11.m11.1.1.cmml" xref="id12.11.m11.1.1">𝐵</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="id12.11.m11.1c">B</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="id12.11.m11.1d">italic_B</annotation></semantics></math>, <math alttext="C" class="ltx_Math" display="inline" id="id13.12.m12.1"><semantics id="id13.12.m12.1a"><mi id="id13.12.m12.1.1" xref="id13.12.m12.1.1.cmml">C</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="id13.12.m12.1b"><ci id="id13.12.m12.1.1.cmml" xref="id13.12.m12.1.1">𝐶</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="id13.12.m12.1c">C</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="id13.12.m12.1d">italic_C</annotation></semantics></math> and <math alttext="D" class="ltx_Math" display="inline" id="id14.13.m13.1"><semantics id="id14.13.m13.1a"><mi id="id14.13.m13.1.1" xref="id14.13.m13.1.1.cmml">D</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="id14.13.m13.1b"><ci id="id14.13.m13.1.1.cmml" xref="id14.13.m13.1.1">𝐷</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="id14.13.m13.1c">D</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="id14.13.m13.1d">italic_D</annotation></semantics></math> our construction is new and gives rise to interesting defining matrices closely related to the classical ones but undoubtedly different. We also give some examples and possible applications to parastatistics.</p> </div> <section class="ltx_section" id="Ch0.S1"> <h2 class="ltx_title ltx_title_section"> <span class="ltx_tag ltx_tag_section">1 </span>Introduction</h2> <div class="ltx_para" id="Ch0.S1.p1"> <p class="ltx_p" id="Ch0.S1.p1.14">In physics, relations between physical operators <math alttext="x" class="ltx_Math" display="inline" id="Ch0.S1.p1.1.m1.1"><semantics id="Ch0.S1.p1.1.m1.1a"><mi id="Ch0.S1.p1.1.m1.1.1" xref="Ch0.S1.p1.1.m1.1.1.cmml">x</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Ch0.S1.p1.1.m1.1b"><ci id="Ch0.S1.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="Ch0.S1.p1.1.m1.1.1">𝑥</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Ch0.S1.p1.1.m1.1c">x</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Ch0.S1.p1.1.m1.1d">italic_x</annotation></semantics></math> and <math alttext="y" class="ltx_Math" display="inline" id="Ch0.S1.p1.2.m2.1"><semantics id="Ch0.S1.p1.2.m2.1a"><mi id="Ch0.S1.p1.2.m2.1.1" xref="Ch0.S1.p1.2.m2.1.1.cmml">y</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Ch0.S1.p1.2.m2.1b"><ci id="Ch0.S1.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="Ch0.S1.p1.2.m2.1.1">𝑦</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Ch0.S1.p1.2.m2.1c">y</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Ch0.S1.p1.2.m2.1d">italic_y</annotation></semantics></math> are commonly expressed in terms of commutators <math alttext="[x,y]" class="ltx_Math" display="inline" id="Ch0.S1.p1.3.m3.2"><semantics id="Ch0.S1.p1.3.m3.2a"><mrow id="Ch0.S1.p1.3.m3.2.3.2" xref="Ch0.S1.p1.3.m3.2.3.1.cmml"><mo id="Ch0.S1.p1.3.m3.2.3.2.1" stretchy="false" xref="Ch0.S1.p1.3.m3.2.3.1.cmml">[</mo><mi id="Ch0.S1.p1.3.m3.1.1" xref="Ch0.S1.p1.3.m3.1.1.cmml">x</mi><mo id="Ch0.S1.p1.3.m3.2.3.2.2" xref="Ch0.S1.p1.3.m3.2.3.1.cmml">,</mo><mi id="Ch0.S1.p1.3.m3.2.2" xref="Ch0.S1.p1.3.m3.2.2.cmml">y</mi><mo id="Ch0.S1.p1.3.m3.2.3.2.3" stretchy="false" xref="Ch0.S1.p1.3.m3.2.3.1.cmml">]</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Ch0.S1.p1.3.m3.2b"><interval closure="closed" id="Ch0.S1.p1.3.m3.2.3.1.cmml" xref="Ch0.S1.p1.3.m3.2.3.2"><ci id="Ch0.S1.p1.3.m3.1.1.cmml" xref="Ch0.S1.p1.3.m3.1.1">𝑥</ci><ci id="Ch0.S1.p1.3.m3.2.2.cmml" xref="Ch0.S1.p1.3.m3.2.2">𝑦</ci></interval></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Ch0.S1.p1.3.m3.2c">[x,y]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Ch0.S1.p1.3.m3.2d">[ italic_x , italic_y ]</annotation></semantics></math> and anticommutators <math alttext="\{x,y\}" class="ltx_Math" display="inline" id="Ch0.S1.p1.4.m4.2"><semantics id="Ch0.S1.p1.4.m4.2a"><mrow id="Ch0.S1.p1.4.m4.2.3.2" xref="Ch0.S1.p1.4.m4.2.3.1.cmml"><mo id="Ch0.S1.p1.4.m4.2.3.2.1" stretchy="false" xref="Ch0.S1.p1.4.m4.2.3.1.cmml">{</mo><mi id="Ch0.S1.p1.4.m4.1.1" xref="Ch0.S1.p1.4.m4.1.1.cmml">x</mi><mo id="Ch0.S1.p1.4.m4.2.3.2.2" xref="Ch0.S1.p1.4.m4.2.3.1.cmml">,</mo><mi id="Ch0.S1.p1.4.m4.2.2" xref="Ch0.S1.p1.4.m4.2.2.cmml">y</mi><mo id="Ch0.S1.p1.4.m4.2.3.2.3" stretchy="false" xref="Ch0.S1.p1.4.m4.2.3.1.cmml">}</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Ch0.S1.p1.4.m4.2b"><set id="Ch0.S1.p1.4.m4.2.3.1.cmml" xref="Ch0.S1.p1.4.m4.2.3.2"><ci id="Ch0.S1.p1.4.m4.1.1.cmml" xref="Ch0.S1.p1.4.m4.1.1">𝑥</ci><ci id="Ch0.S1.p1.4.m4.2.2.cmml" xref="Ch0.S1.p1.4.m4.2.2">𝑦</ci></set></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Ch0.S1.p1.4.m4.2c">\{x,y\}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Ch0.S1.p1.4.m4.2d">{ italic_x , italic_y }</annotation></semantics></math>. Starting from an associative algebra, the bracket <math alttext="[x,y]=xy-yx" class="ltx_Math" display="inline" id="Ch0.S1.p1.5.m5.2"><semantics id="Ch0.S1.p1.5.m5.2a"><mrow id="Ch0.S1.p1.5.m5.2.3" xref="Ch0.S1.p1.5.m5.2.3.cmml"><mrow id="Ch0.S1.p1.5.m5.2.3.2.2" xref="Ch0.S1.p1.5.m5.2.3.2.1.cmml"><mo id="Ch0.S1.p1.5.m5.2.3.2.2.1" stretchy="false" xref="Ch0.S1.p1.5.m5.2.3.2.1.cmml">[</mo><mi id="Ch0.S1.p1.5.m5.1.1" xref="Ch0.S1.p1.5.m5.1.1.cmml">x</mi><mo id="Ch0.S1.p1.5.m5.2.3.2.2.2" xref="Ch0.S1.p1.5.m5.2.3.2.1.cmml">,</mo><mi id="Ch0.S1.p1.5.m5.2.2" xref="Ch0.S1.p1.5.m5.2.2.cmml">y</mi><mo id="Ch0.S1.p1.5.m5.2.3.2.2.3" stretchy="false" xref="Ch0.S1.p1.5.m5.2.3.2.1.cmml">]</mo></mrow><mo id="Ch0.S1.p1.5.m5.2.3.1" xref="Ch0.S1.p1.5.m5.2.3.1.cmml">=</mo><mrow id="Ch0.S1.p1.5.m5.2.3.3" xref="Ch0.S1.p1.5.m5.2.3.3.cmml"><mrow id="Ch0.S1.p1.5.m5.2.3.3.2" xref="Ch0.S1.p1.5.m5.2.3.3.2.cmml"><mi id="Ch0.S1.p1.5.m5.2.3.3.2.2" xref="Ch0.S1.p1.5.m5.2.3.3.2.2.cmml">x</mi><mo id="Ch0.S1.p1.5.m5.2.3.3.2.1" xref="Ch0.S1.p1.5.m5.2.3.3.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="Ch0.S1.p1.5.m5.2.3.3.2.3" xref="Ch0.S1.p1.5.m5.2.3.3.2.3.cmml">y</mi></mrow><mo id="Ch0.S1.p1.5.m5.2.3.3.1" xref="Ch0.S1.p1.5.m5.2.3.3.1.cmml">−</mo><mrow id="Ch0.S1.p1.5.m5.2.3.3.3" xref="Ch0.S1.p1.5.m5.2.3.3.3.cmml"><mi id="Ch0.S1.p1.5.m5.2.3.3.3.2" xref="Ch0.S1.p1.5.m5.2.3.3.3.2.cmml">y</mi><mo id="Ch0.S1.p1.5.m5.2.3.3.3.1" xref="Ch0.S1.p1.5.m5.2.3.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="Ch0.S1.p1.5.m5.2.3.3.3.3" xref="Ch0.S1.p1.5.m5.2.3.3.3.3.cmml">x</mi></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Ch0.S1.p1.5.m5.2b"><apply id="Ch0.S1.p1.5.m5.2.3.cmml" xref="Ch0.S1.p1.5.m5.2.3"><eq id="Ch0.S1.p1.5.m5.2.3.1.cmml" xref="Ch0.S1.p1.5.m5.2.3.1"></eq><interval closure="closed" id="Ch0.S1.p1.5.m5.2.3.2.1.cmml" xref="Ch0.S1.p1.5.m5.2.3.2.2"><ci id="Ch0.S1.p1.5.m5.1.1.cmml" xref="Ch0.S1.p1.5.m5.1.1">𝑥</ci><ci id="Ch0.S1.p1.5.m5.2.2.cmml" xref="Ch0.S1.p1.5.m5.2.2">𝑦</ci></interval><apply id="Ch0.S1.p1.5.m5.2.3.3.cmml" xref="Ch0.S1.p1.5.m5.2.3.3"><minus id="Ch0.S1.p1.5.m5.2.3.3.1.cmml" xref="Ch0.S1.p1.5.m5.2.3.3.1"></minus><apply id="Ch0.S1.p1.5.m5.2.3.3.2.cmml" xref="Ch0.S1.p1.5.m5.2.3.3.2"><times id="Ch0.S1.p1.5.m5.2.3.3.2.1.cmml" xref="Ch0.S1.p1.5.m5.2.3.3.2.1"></times><ci id="Ch0.S1.p1.5.m5.2.3.3.2.2.cmml" xref="Ch0.S1.p1.5.m5.2.3.3.2.2">𝑥</ci><ci id="Ch0.S1.p1.5.m5.2.3.3.2.3.cmml" xref="Ch0.S1.p1.5.m5.2.3.3.2.3">𝑦</ci></apply><apply id="Ch0.S1.p1.5.m5.2.3.3.3.cmml" xref="Ch0.S1.p1.5.m5.2.3.3.3"><times id="Ch0.S1.p1.5.m5.2.3.3.3.1.cmml" xref="Ch0.S1.p1.5.m5.2.3.3.3.1"></times><ci id="Ch0.S1.p1.5.m5.2.3.3.3.2.cmml" xref="Ch0.S1.p1.5.m5.2.3.3.3.2">𝑦</ci><ci id="Ch0.S1.p1.5.m5.2.3.3.3.3.cmml" xref="Ch0.S1.p1.5.m5.2.3.3.3.3">𝑥</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Ch0.S1.p1.5.m5.2c">[x,y]=xy-yx</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Ch0.S1.p1.5.m5.2d">[ italic_x , italic_y ] = italic_x italic_y - italic_y italic_x</annotation></semantics></math> leads to the structure of a Lie algebra. And starting from a <math alttext="{\mathbb{Z}}_{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="Ch0.S1.p1.6.m6.1"><semantics id="Ch0.S1.p1.6.m6.1a"><msub id="Ch0.S1.p1.6.m6.1.1" xref="Ch0.S1.p1.6.m6.1.1.cmml"><mi id="Ch0.S1.p1.6.m6.1.1.2" xref="Ch0.S1.p1.6.m6.1.1.2.cmml">ℤ</mi><mn id="Ch0.S1.p1.6.m6.1.1.3" xref="Ch0.S1.p1.6.m6.1.1.3.cmml">2</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Ch0.S1.p1.6.m6.1b"><apply id="Ch0.S1.p1.6.m6.1.1.cmml" xref="Ch0.S1.p1.6.m6.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.S1.p1.6.m6.1.1.1.cmml" xref="Ch0.S1.p1.6.m6.1.1">subscript</csymbol><ci id="Ch0.S1.p1.6.m6.1.1.2.cmml" xref="Ch0.S1.p1.6.m6.1.1.2">ℤ</ci><cn id="Ch0.S1.p1.6.m6.1.1.3.cmml" type="integer" xref="Ch0.S1.p1.6.m6.1.1.3">2</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Ch0.S1.p1.6.m6.1c">{\mathbb{Z}}_{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Ch0.S1.p1.6.m6.1d">blackboard_Z start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>-graded associative algebra, the bracket <math alttext="\llbracket x,y\rrbracket=xy-(-1)^{\xi\eta}yx" class="ltx_Math" display="inline" id="Ch0.S1.p1.7.m7.3"><semantics id="Ch0.S1.p1.7.m7.3a"><mrow id="Ch0.S1.p1.7.m7.3.3" xref="Ch0.S1.p1.7.m7.3.3.cmml"><mrow id="Ch0.S1.p1.7.m7.3.3.3.2" xref="Ch0.S1.p1.7.m7.3.3.3.1.cmml"><mo id="Ch0.S1.p1.7.m7.3.3.3.2.1" stretchy="false" xref="Ch0.S1.p1.7.m7.3.3.3.1.cmml">⟦</mo><mi id="Ch0.S1.p1.7.m7.1.1" xref="Ch0.S1.p1.7.m7.1.1.cmml">x</mi><mo id="Ch0.S1.p1.7.m7.3.3.3.2.2" xref="Ch0.S1.p1.7.m7.3.3.3.1.cmml">,</mo><mi id="Ch0.S1.p1.7.m7.2.2" xref="Ch0.S1.p1.7.m7.2.2.cmml">y</mi><mo id="Ch0.S1.p1.7.m7.3.3.3.2.3" stretchy="false" xref="Ch0.S1.p1.7.m7.3.3.3.1.cmml">⟧</mo></mrow><mo id="Ch0.S1.p1.7.m7.3.3.2" xref="Ch0.S1.p1.7.m7.3.3.2.cmml">=</mo><mrow id="Ch0.S1.p1.7.m7.3.3.1" xref="Ch0.S1.p1.7.m7.3.3.1.cmml"><mrow id="Ch0.S1.p1.7.m7.3.3.1.3" xref="Ch0.S1.p1.7.m7.3.3.1.3.cmml"><mi id="Ch0.S1.p1.7.m7.3.3.1.3.2" xref="Ch0.S1.p1.7.m7.3.3.1.3.2.cmml">x</mi><mo id="Ch0.S1.p1.7.m7.3.3.1.3.1" xref="Ch0.S1.p1.7.m7.3.3.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="Ch0.S1.p1.7.m7.3.3.1.3.3" xref="Ch0.S1.p1.7.m7.3.3.1.3.3.cmml">y</mi></mrow><mo id="Ch0.S1.p1.7.m7.3.3.1.2" xref="Ch0.S1.p1.7.m7.3.3.1.2.cmml">−</mo><mrow id="Ch0.S1.p1.7.m7.3.3.1.1" xref="Ch0.S1.p1.7.m7.3.3.1.1.cmml"><msup id="Ch0.S1.p1.7.m7.3.3.1.1.1" xref="Ch0.S1.p1.7.m7.3.3.1.1.1.cmml"><mrow id="Ch0.S1.p1.7.m7.3.3.1.1.1.1.1" xref="Ch0.S1.p1.7.m7.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="Ch0.S1.p1.7.m7.3.3.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="Ch0.S1.p1.7.m7.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="Ch0.S1.p1.7.m7.3.3.1.1.1.1.1.1" xref="Ch0.S1.p1.7.m7.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="Ch0.S1.p1.7.m7.3.3.1.1.1.1.1.1a" xref="Ch0.S1.p1.7.m7.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mn id="Ch0.S1.p1.7.m7.3.3.1.1.1.1.1.1.2" xref="Ch0.S1.p1.7.m7.3.3.1.1.1.1.1.1.2.cmml">1</mn></mrow><mo id="Ch0.S1.p1.7.m7.3.3.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="Ch0.S1.p1.7.m7.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="Ch0.S1.p1.7.m7.3.3.1.1.1.3" xref="Ch0.S1.p1.7.m7.3.3.1.1.1.3.cmml"><mi id="Ch0.S1.p1.7.m7.3.3.1.1.1.3.2" xref="Ch0.S1.p1.7.m7.3.3.1.1.1.3.2.cmml">ξ</mi><mo id="Ch0.S1.p1.7.m7.3.3.1.1.1.3.1" xref="Ch0.S1.p1.7.m7.3.3.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="Ch0.S1.p1.7.m7.3.3.1.1.1.3.3" xref="Ch0.S1.p1.7.m7.3.3.1.1.1.3.3.cmml">η</mi></mrow></msup><mo id="Ch0.S1.p1.7.m7.3.3.1.1.2" xref="Ch0.S1.p1.7.m7.3.3.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="Ch0.S1.p1.7.m7.3.3.1.1.3" xref="Ch0.S1.p1.7.m7.3.3.1.1.3.cmml">y</mi><mo id="Ch0.S1.p1.7.m7.3.3.1.1.2a" xref="Ch0.S1.p1.7.m7.3.3.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="Ch0.S1.p1.7.m7.3.3.1.1.4" xref="Ch0.S1.p1.7.m7.3.3.1.1.4.cmml">x</mi></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Ch0.S1.p1.7.m7.3b"><apply id="Ch0.S1.p1.7.m7.3.3.cmml" xref="Ch0.S1.p1.7.m7.3.3"><eq id="Ch0.S1.p1.7.m7.3.3.2.cmml" xref="Ch0.S1.p1.7.m7.3.3.2"></eq><list id="Ch0.S1.p1.7.m7.3.3.3.1.cmml" xref="Ch0.S1.p1.7.m7.3.3.3.2"><ci id="Ch0.S1.p1.7.m7.1.1.cmml" xref="Ch0.S1.p1.7.m7.1.1">𝑥</ci><ci id="Ch0.S1.p1.7.m7.2.2.cmml" xref="Ch0.S1.p1.7.m7.2.2">𝑦</ci></list><apply id="Ch0.S1.p1.7.m7.3.3.1.cmml" xref="Ch0.S1.p1.7.m7.3.3.1"><minus id="Ch0.S1.p1.7.m7.3.3.1.2.cmml" xref="Ch0.S1.p1.7.m7.3.3.1.2"></minus><apply id="Ch0.S1.p1.7.m7.3.3.1.3.cmml" xref="Ch0.S1.p1.7.m7.3.3.1.3"><times id="Ch0.S1.p1.7.m7.3.3.1.3.1.cmml" xref="Ch0.S1.p1.7.m7.3.3.1.3.1"></times><ci id="Ch0.S1.p1.7.m7.3.3.1.3.2.cmml" xref="Ch0.S1.p1.7.m7.3.3.1.3.2">𝑥</ci><ci id="Ch0.S1.p1.7.m7.3.3.1.3.3.cmml" xref="Ch0.S1.p1.7.m7.3.3.1.3.3">𝑦</ci></apply><apply id="Ch0.S1.p1.7.m7.3.3.1.1.cmml" xref="Ch0.S1.p1.7.m7.3.3.1.1"><times id="Ch0.S1.p1.7.m7.3.3.1.1.2.cmml" xref="Ch0.S1.p1.7.m7.3.3.1.1.2"></times><apply id="Ch0.S1.p1.7.m7.3.3.1.1.1.cmml" xref="Ch0.S1.p1.7.m7.3.3.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.S1.p1.7.m7.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="Ch0.S1.p1.7.m7.3.3.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="Ch0.S1.p1.7.m7.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="Ch0.S1.p1.7.m7.3.3.1.1.1.1.1"><minus id="Ch0.S1.p1.7.m7.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="Ch0.S1.p1.7.m7.3.3.1.1.1.1.1"></minus><cn id="Ch0.S1.p1.7.m7.3.3.1.1.1.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="Ch0.S1.p1.7.m7.3.3.1.1.1.1.1.1.2">1</cn></apply><apply id="Ch0.S1.p1.7.m7.3.3.1.1.1.3.cmml" xref="Ch0.S1.p1.7.m7.3.3.1.1.1.3"><times id="Ch0.S1.p1.7.m7.3.3.1.1.1.3.1.cmml" xref="Ch0.S1.p1.7.m7.3.3.1.1.1.3.1"></times><ci id="Ch0.S1.p1.7.m7.3.3.1.1.1.3.2.cmml" xref="Ch0.S1.p1.7.m7.3.3.1.1.1.3.2">𝜉</ci><ci id="Ch0.S1.p1.7.m7.3.3.1.1.1.3.3.cmml" xref="Ch0.S1.p1.7.m7.3.3.1.1.1.3.3">𝜂</ci></apply></apply><ci id="Ch0.S1.p1.7.m7.3.3.1.1.3.cmml" xref="Ch0.S1.p1.7.m7.3.3.1.1.3">𝑦</ci><ci id="Ch0.S1.p1.7.m7.3.3.1.1.4.cmml" xref="Ch0.S1.p1.7.m7.3.3.1.1.4">𝑥</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Ch0.S1.p1.7.m7.3c">\llbracket x,y\rrbracket=xy-(-1)^{\xi\eta}yx</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Ch0.S1.p1.7.m7.3d">⟦ italic_x , italic_y ⟧ = italic_x italic_y - ( - 1 ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_ξ italic_η end_POSTSUPERSCRIPT italic_y italic_x</annotation></semantics></math> (where <math alttext="\xi" class="ltx_Math" display="inline" id="Ch0.S1.p1.8.m8.1"><semantics id="Ch0.S1.p1.8.m8.1a"><mi id="Ch0.S1.p1.8.m8.1.1" xref="Ch0.S1.p1.8.m8.1.1.cmml">ξ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Ch0.S1.p1.8.m8.1b"><ci id="Ch0.S1.p1.8.m8.1.1.cmml" xref="Ch0.S1.p1.8.m8.1.1">𝜉</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Ch0.S1.p1.8.m8.1c">\xi</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Ch0.S1.p1.8.m8.1d">italic_ξ</annotation></semantics></math> is the degree of <math alttext="x" class="ltx_Math" display="inline" id="Ch0.S1.p1.9.m9.1"><semantics id="Ch0.S1.p1.9.m9.1a"><mi id="Ch0.S1.p1.9.m9.1.1" xref="Ch0.S1.p1.9.m9.1.1.cmml">x</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Ch0.S1.p1.9.m9.1b"><ci id="Ch0.S1.p1.9.m9.1.1.cmml" xref="Ch0.S1.p1.9.m9.1.1">𝑥</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Ch0.S1.p1.9.m9.1c">x</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Ch0.S1.p1.9.m9.1d">italic_x</annotation></semantics></math> and <math alttext="\eta" class="ltx_Math" display="inline" id="Ch0.S1.p1.10.m10.1"><semantics id="Ch0.S1.p1.10.m10.1a"><mi id="Ch0.S1.p1.10.m10.1.1" xref="Ch0.S1.p1.10.m10.1.1.cmml">η</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Ch0.S1.p1.10.m10.1b"><ci id="Ch0.S1.p1.10.m10.1.1.cmml" xref="Ch0.S1.p1.10.m10.1.1">𝜂</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Ch0.S1.p1.10.m10.1c">\eta</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Ch0.S1.p1.10.m10.1d">italic_η</annotation></semantics></math> is the degree of <math alttext="y" class="ltx_Math" display="inline" id="Ch0.S1.p1.11.m11.1"><semantics id="Ch0.S1.p1.11.m11.1a"><mi id="Ch0.S1.p1.11.m11.1.1" xref="Ch0.S1.p1.11.m11.1.1.cmml">y</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Ch0.S1.p1.11.m11.1b"><ci id="Ch0.S1.p1.11.m11.1.1.cmml" xref="Ch0.S1.p1.11.m11.1.1">𝑦</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Ch0.S1.p1.11.m11.1c">y</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Ch0.S1.p1.11.m11.1d">italic_y</annotation></semantics></math>) leads to the structure of a Lie superalgebra. So why should one go beyond these structures, and study <math alttext="{\mathbb{Z}}_{2}\times{\mathbb{Z}}_{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="Ch0.S1.p1.12.m12.1"><semantics id="Ch0.S1.p1.12.m12.1a"><mrow id="Ch0.S1.p1.12.m12.1.1" xref="Ch0.S1.p1.12.m12.1.1.cmml"><msub id="Ch0.S1.p1.12.m12.1.1.2" xref="Ch0.S1.p1.12.m12.1.1.2.cmml"><mi id="Ch0.S1.p1.12.m12.1.1.2.2" xref="Ch0.S1.p1.12.m12.1.1.2.2.cmml">ℤ</mi><mn id="Ch0.S1.p1.12.m12.1.1.2.3" xref="Ch0.S1.p1.12.m12.1.1.2.3.cmml">2</mn></msub><mo id="Ch0.S1.p1.12.m12.1.1.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="Ch0.S1.p1.12.m12.1.1.1.cmml">×</mo><msub id="Ch0.S1.p1.12.m12.1.1.3" xref="Ch0.S1.p1.12.m12.1.1.3.cmml"><mi id="Ch0.S1.p1.12.m12.1.1.3.2" xref="Ch0.S1.p1.12.m12.1.1.3.2.cmml">ℤ</mi><mn id="Ch0.S1.p1.12.m12.1.1.3.3" xref="Ch0.S1.p1.12.m12.1.1.3.3.cmml">2</mn></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Ch0.S1.p1.12.m12.1b"><apply id="Ch0.S1.p1.12.m12.1.1.cmml" xref="Ch0.S1.p1.12.m12.1.1"><times id="Ch0.S1.p1.12.m12.1.1.1.cmml" xref="Ch0.S1.p1.12.m12.1.1.1"></times><apply id="Ch0.S1.p1.12.m12.1.1.2.cmml" xref="Ch0.S1.p1.12.m12.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.S1.p1.12.m12.1.1.2.1.cmml" xref="Ch0.S1.p1.12.m12.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="Ch0.S1.p1.12.m12.1.1.2.2.cmml" xref="Ch0.S1.p1.12.m12.1.1.2.2">ℤ</ci><cn id="Ch0.S1.p1.12.m12.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="Ch0.S1.p1.12.m12.1.1.2.3">2</cn></apply><apply id="Ch0.S1.p1.12.m12.1.1.3.cmml" xref="Ch0.S1.p1.12.m12.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.S1.p1.12.m12.1.1.3.1.cmml" xref="Ch0.S1.p1.12.m12.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="Ch0.S1.p1.12.m12.1.1.3.2.cmml" xref="Ch0.S1.p1.12.m12.1.1.3.2">ℤ</ci><cn id="Ch0.S1.p1.12.m12.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="Ch0.S1.p1.12.m12.1.1.3.3">2</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Ch0.S1.p1.12.m12.1c">{\mathbb{Z}}_{2}\times{\mathbb{Z}}_{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Ch0.S1.p1.12.m12.1d">blackboard_Z start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT × blackboard_Z start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>-graded Lie algebras or <math alttext="{\mathbb{Z}}_{2}\times{\mathbb{Z}}_{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="Ch0.S1.p1.13.m13.1"><semantics id="Ch0.S1.p1.13.m13.1a"><mrow id="Ch0.S1.p1.13.m13.1.1" xref="Ch0.S1.p1.13.m13.1.1.cmml"><msub id="Ch0.S1.p1.13.m13.1.1.2" xref="Ch0.S1.p1.13.m13.1.1.2.cmml"><mi id="Ch0.S1.p1.13.m13.1.1.2.2" xref="Ch0.S1.p1.13.m13.1.1.2.2.cmml">ℤ</mi><mn id="Ch0.S1.p1.13.m13.1.1.2.3" xref="Ch0.S1.p1.13.m13.1.1.2.3.cmml">2</mn></msub><mo id="Ch0.S1.p1.13.m13.1.1.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="Ch0.S1.p1.13.m13.1.1.1.cmml">×</mo><msub id="Ch0.S1.p1.13.m13.1.1.3" xref="Ch0.S1.p1.13.m13.1.1.3.cmml"><mi id="Ch0.S1.p1.13.m13.1.1.3.2" xref="Ch0.S1.p1.13.m13.1.1.3.2.cmml">ℤ</mi><mn id="Ch0.S1.p1.13.m13.1.1.3.3" xref="Ch0.S1.p1.13.m13.1.1.3.3.cmml">2</mn></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Ch0.S1.p1.13.m13.1b"><apply id="Ch0.S1.p1.13.m13.1.1.cmml" xref="Ch0.S1.p1.13.m13.1.1"><times id="Ch0.S1.p1.13.m13.1.1.1.cmml" xref="Ch0.S1.p1.13.m13.1.1.1"></times><apply id="Ch0.S1.p1.13.m13.1.1.2.cmml" xref="Ch0.S1.p1.13.m13.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.S1.p1.13.m13.1.1.2.1.cmml" xref="Ch0.S1.p1.13.m13.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="Ch0.S1.p1.13.m13.1.1.2.2.cmml" xref="Ch0.S1.p1.13.m13.1.1.2.2">ℤ</ci><cn id="Ch0.S1.p1.13.m13.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="Ch0.S1.p1.13.m13.1.1.2.3">2</cn></apply><apply id="Ch0.S1.p1.13.m13.1.1.3.cmml" xref="Ch0.S1.p1.13.m13.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.S1.p1.13.m13.1.1.3.1.cmml" xref="Ch0.S1.p1.13.m13.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="Ch0.S1.p1.13.m13.1.1.3.2.cmml" xref="Ch0.S1.p1.13.m13.1.1.3.2">ℤ</ci><cn id="Ch0.S1.p1.13.m13.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="Ch0.S1.p1.13.m13.1.1.3.3">2</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Ch0.S1.p1.13.m13.1c">{\mathbb{Z}}_{2}\times{\mathbb{Z}}_{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Ch0.S1.p1.13.m13.1d">blackboard_Z start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT × blackboard_Z start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>-graded Lie superalgebras? The answer lies in the reformulation of the product order of three operators. For three elements <math alttext="x,y,z" class="ltx_Math" display="inline" id="Ch0.S1.p1.14.m14.3"><semantics id="Ch0.S1.p1.14.m14.3a"><mrow id="Ch0.S1.p1.14.m14.3.4.2" xref="Ch0.S1.p1.14.m14.3.4.1.cmml"><mi id="Ch0.S1.p1.14.m14.1.1" xref="Ch0.S1.p1.14.m14.1.1.cmml">x</mi><mo id="Ch0.S1.p1.14.m14.3.4.2.1" xref="Ch0.S1.p1.14.m14.3.4.1.cmml">,</mo><mi id="Ch0.S1.p1.14.m14.2.2" xref="Ch0.S1.p1.14.m14.2.2.cmml">y</mi><mo id="Ch0.S1.p1.14.m14.3.4.2.2" xref="Ch0.S1.p1.14.m14.3.4.1.cmml">,</mo><mi id="Ch0.S1.p1.14.m14.3.3" xref="Ch0.S1.p1.14.m14.3.3.cmml">z</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Ch0.S1.p1.14.m14.3b"><list id="Ch0.S1.p1.14.m14.3.4.1.cmml" xref="Ch0.S1.p1.14.m14.3.4.2"><ci id="Ch0.S1.p1.14.m14.1.1.cmml" xref="Ch0.S1.p1.14.m14.1.1">𝑥</ci><ci id="Ch0.S1.p1.14.m14.2.2.cmml" xref="Ch0.S1.p1.14.m14.2.2">𝑦</ci><ci id="Ch0.S1.p1.14.m14.3.3.cmml" xref="Ch0.S1.p1.14.m14.3.3">𝑧</ci></list></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Ch0.S1.p1.14.m14.3c">x,y,z</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Ch0.S1.p1.14.m14.3d">italic_x , italic_y , italic_z</annotation></semantics></math> in an associative algebra, the twelve terms of the trivial product identity</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_eqnarray ltx_eqn_table" id="Ch0.S4.EGx1"> <tbody id="Ch0.Ex1"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle(xyz+yzx+zxy+zyx+yxz+xzy)" class="ltx_Math" display="inline" id="Ch0.Ex1.m1.1"><semantics id="Ch0.Ex1.m1.1a"><mrow id="Ch0.Ex1.m1.1.1.1" xref="Ch0.Ex1.m1.1.1.1.1.cmml"><mo id="Ch0.Ex1.m1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="Ch0.Ex1.m1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="Ch0.Ex1.m1.1.1.1.1" xref="Ch0.Ex1.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="Ch0.Ex1.m1.1.1.1.1.2" xref="Ch0.Ex1.m1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="Ch0.Ex1.m1.1.1.1.1.2.2" xref="Ch0.Ex1.m1.1.1.1.1.2.2.cmml">x</mi><mo id="Ch0.Ex1.m1.1.1.1.1.2.1" xref="Ch0.Ex1.m1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="Ch0.Ex1.m1.1.1.1.1.2.3" xref="Ch0.Ex1.m1.1.1.1.1.2.3.cmml">y</mi><mo id="Ch0.Ex1.m1.1.1.1.1.2.1a" xref="Ch0.Ex1.m1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="Ch0.Ex1.m1.1.1.1.1.2.4" xref="Ch0.Ex1.m1.1.1.1.1.2.4.cmml">z</mi></mrow><mo id="Ch0.Ex1.m1.1.1.1.1.1" xref="Ch0.Ex1.m1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="Ch0.Ex1.m1.1.1.1.1.3" xref="Ch0.Ex1.m1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="Ch0.Ex1.m1.1.1.1.1.3.2" xref="Ch0.Ex1.m1.1.1.1.1.3.2.cmml">y</mi><mo id="Ch0.Ex1.m1.1.1.1.1.3.1" xref="Ch0.Ex1.m1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="Ch0.Ex1.m1.1.1.1.1.3.3" xref="Ch0.Ex1.m1.1.1.1.1.3.3.cmml">z</mi><mo id="Ch0.Ex1.m1.1.1.1.1.3.1a" xref="Ch0.Ex1.m1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="Ch0.Ex1.m1.1.1.1.1.3.4" xref="Ch0.Ex1.m1.1.1.1.1.3.4.cmml">x</mi></mrow><mo id="Ch0.Ex1.m1.1.1.1.1.1a" xref="Ch0.Ex1.m1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="Ch0.Ex1.m1.1.1.1.1.4" xref="Ch0.Ex1.m1.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="Ch0.Ex1.m1.1.1.1.1.4.2" xref="Ch0.Ex1.m1.1.1.1.1.4.2.cmml">z</mi><mo id="Ch0.Ex1.m1.1.1.1.1.4.1" xref="Ch0.Ex1.m1.1.1.1.1.4.1.cmml">⁢</mo><mi id="Ch0.Ex1.m1.1.1.1.1.4.3" xref="Ch0.Ex1.m1.1.1.1.1.4.3.cmml">x</mi><mo id="Ch0.Ex1.m1.1.1.1.1.4.1a" xref="Ch0.Ex1.m1.1.1.1.1.4.1.cmml">⁢</mo><mi id="Ch0.Ex1.m1.1.1.1.1.4.4" xref="Ch0.Ex1.m1.1.1.1.1.4.4.cmml">y</mi></mrow><mo id="Ch0.Ex1.m1.1.1.1.1.1b" xref="Ch0.Ex1.m1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="Ch0.Ex1.m1.1.1.1.1.5" xref="Ch0.Ex1.m1.1.1.1.1.5.cmml"><mi id="Ch0.Ex1.m1.1.1.1.1.5.2" xref="Ch0.Ex1.m1.1.1.1.1.5.2.cmml">z</mi><mo id="Ch0.Ex1.m1.1.1.1.1.5.1" xref="Ch0.Ex1.m1.1.1.1.1.5.1.cmml">⁢</mo><mi id="Ch0.Ex1.m1.1.1.1.1.5.3" xref="Ch0.Ex1.m1.1.1.1.1.5.3.cmml">y</mi><mo id="Ch0.Ex1.m1.1.1.1.1.5.1a" xref="Ch0.Ex1.m1.1.1.1.1.5.1.cmml">⁢</mo><mi id="Ch0.Ex1.m1.1.1.1.1.5.4" xref="Ch0.Ex1.m1.1.1.1.1.5.4.cmml">x</mi></mrow><mo id="Ch0.Ex1.m1.1.1.1.1.1c" xref="Ch0.Ex1.m1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="Ch0.Ex1.m1.1.1.1.1.6" xref="Ch0.Ex1.m1.1.1.1.1.6.cmml"><mi id="Ch0.Ex1.m1.1.1.1.1.6.2" xref="Ch0.Ex1.m1.1.1.1.1.6.2.cmml">y</mi><mo id="Ch0.Ex1.m1.1.1.1.1.6.1" xref="Ch0.Ex1.m1.1.1.1.1.6.1.cmml">⁢</mo><mi id="Ch0.Ex1.m1.1.1.1.1.6.3" xref="Ch0.Ex1.m1.1.1.1.1.6.3.cmml">x</mi><mo id="Ch0.Ex1.m1.1.1.1.1.6.1a" xref="Ch0.Ex1.m1.1.1.1.1.6.1.cmml">⁢</mo><mi id="Ch0.Ex1.m1.1.1.1.1.6.4" xref="Ch0.Ex1.m1.1.1.1.1.6.4.cmml">z</mi></mrow><mo id="Ch0.Ex1.m1.1.1.1.1.1d" xref="Ch0.Ex1.m1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="Ch0.Ex1.m1.1.1.1.1.7" xref="Ch0.Ex1.m1.1.1.1.1.7.cmml"><mi id="Ch0.Ex1.m1.1.1.1.1.7.2" xref="Ch0.Ex1.m1.1.1.1.1.7.2.cmml">x</mi><mo id="Ch0.Ex1.m1.1.1.1.1.7.1" xref="Ch0.Ex1.m1.1.1.1.1.7.1.cmml">⁢</mo><mi id="Ch0.Ex1.m1.1.1.1.1.7.3" xref="Ch0.Ex1.m1.1.1.1.1.7.3.cmml">z</mi><mo id="Ch0.Ex1.m1.1.1.1.1.7.1a" xref="Ch0.Ex1.m1.1.1.1.1.7.1.cmml">⁢</mo><mi id="Ch0.Ex1.m1.1.1.1.1.7.4" xref="Ch0.Ex1.m1.1.1.1.1.7.4.cmml">y</mi></mrow></mrow><mo id="Ch0.Ex1.m1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="Ch0.Ex1.m1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Ch0.Ex1.m1.1b"><apply id="Ch0.Ex1.m1.1.1.1.1.cmml" xref="Ch0.Ex1.m1.1.1.1"><plus id="Ch0.Ex1.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="Ch0.Ex1.m1.1.1.1.1.1"></plus><apply id="Ch0.Ex1.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="Ch0.Ex1.m1.1.1.1.1.2"><times id="Ch0.Ex1.m1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="Ch0.Ex1.m1.1.1.1.1.2.1"></times><ci id="Ch0.Ex1.m1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="Ch0.Ex1.m1.1.1.1.1.2.2">𝑥</ci><ci id="Ch0.Ex1.m1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="Ch0.Ex1.m1.1.1.1.1.2.3">𝑦</ci><ci id="Ch0.Ex1.m1.1.1.1.1.2.4.cmml" xref="Ch0.Ex1.m1.1.1.1.1.2.4">𝑧</ci></apply><apply id="Ch0.Ex1.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="Ch0.Ex1.m1.1.1.1.1.3"><times id="Ch0.Ex1.m1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="Ch0.Ex1.m1.1.1.1.1.3.1"></times><ci id="Ch0.Ex1.m1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="Ch0.Ex1.m1.1.1.1.1.3.2">𝑦</ci><ci id="Ch0.Ex1.m1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="Ch0.Ex1.m1.1.1.1.1.3.3">𝑧</ci><ci id="Ch0.Ex1.m1.1.1.1.1.3.4.cmml" xref="Ch0.Ex1.m1.1.1.1.1.3.4">𝑥</ci></apply><apply id="Ch0.Ex1.m1.1.1.1.1.4.cmml" xref="Ch0.Ex1.m1.1.1.1.1.4"><times id="Ch0.Ex1.m1.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="Ch0.Ex1.m1.1.1.1.1.4.1"></times><ci id="Ch0.Ex1.m1.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="Ch0.Ex1.m1.1.1.1.1.4.2">𝑧</ci><ci id="Ch0.Ex1.m1.1.1.1.1.4.3.cmml" xref="Ch0.Ex1.m1.1.1.1.1.4.3">𝑥</ci><ci id="Ch0.Ex1.m1.1.1.1.1.4.4.cmml" xref="Ch0.Ex1.m1.1.1.1.1.4.4">𝑦</ci></apply><apply id="Ch0.Ex1.m1.1.1.1.1.5.cmml" xref="Ch0.Ex1.m1.1.1.1.1.5"><times id="Ch0.Ex1.m1.1.1.1.1.5.1.cmml" xref="Ch0.Ex1.m1.1.1.1.1.5.1"></times><ci id="Ch0.Ex1.m1.1.1.1.1.5.2.cmml" xref="Ch0.Ex1.m1.1.1.1.1.5.2">𝑧</ci><ci id="Ch0.Ex1.m1.1.1.1.1.5.3.cmml" xref="Ch0.Ex1.m1.1.1.1.1.5.3">𝑦</ci><ci id="Ch0.Ex1.m1.1.1.1.1.5.4.cmml" xref="Ch0.Ex1.m1.1.1.1.1.5.4">𝑥</ci></apply><apply id="Ch0.Ex1.m1.1.1.1.1.6.cmml" xref="Ch0.Ex1.m1.1.1.1.1.6"><times id="Ch0.Ex1.m1.1.1.1.1.6.1.cmml" xref="Ch0.Ex1.m1.1.1.1.1.6.1"></times><ci id="Ch0.Ex1.m1.1.1.1.1.6.2.cmml" xref="Ch0.Ex1.m1.1.1.1.1.6.2">𝑦</ci><ci id="Ch0.Ex1.m1.1.1.1.1.6.3.cmml" xref="Ch0.Ex1.m1.1.1.1.1.6.3">𝑥</ci><ci id="Ch0.Ex1.m1.1.1.1.1.6.4.cmml" xref="Ch0.Ex1.m1.1.1.1.1.6.4">𝑧</ci></apply><apply id="Ch0.Ex1.m1.1.1.1.1.7.cmml" xref="Ch0.Ex1.m1.1.1.1.1.7"><times id="Ch0.Ex1.m1.1.1.1.1.7.1.cmml" xref="Ch0.Ex1.m1.1.1.1.1.7.1"></times><ci id="Ch0.Ex1.m1.1.1.1.1.7.2.cmml" xref="Ch0.Ex1.m1.1.1.1.1.7.2">𝑥</ci><ci id="Ch0.Ex1.m1.1.1.1.1.7.3.cmml" xref="Ch0.Ex1.m1.1.1.1.1.7.3">𝑧</ci><ci id="Ch0.Ex1.m1.1.1.1.1.7.4.cmml" xref="Ch0.Ex1.m1.1.1.1.1.7.4">𝑦</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Ch0.Ex1.m1.1c">\displaystyle(xyz+yzx+zxy+zyx+yxz+xzy)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Ch0.Ex1.m1.1d">( italic_x italic_y italic_z + italic_y italic_z italic_x + italic_z italic_x italic_y + italic_z italic_y italic_x + italic_y italic_x italic_z + italic_x italic_z italic_y )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="Ch0.E1"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\qquad-(xyz+yzx+zxy+zyx+yxz+xzy)=0" class="ltx_Math" display="inline" id="Ch0.E1.m1.1"><semantics id="Ch0.E1.m1.1a"><mrow id="Ch0.E1.m1.1.1" xref="Ch0.E1.m1.1.1.cmml"><mrow id="Ch0.E1.m1.1.1.1" xref="Ch0.E1.m1.1.1.1.cmml"><mo id="Ch0.E1.m1.1.1.1a" xref="Ch0.E1.m1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="Ch0.E1.m1.1.1.1.1.1" xref="Ch0.E1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="Ch0.E1.m1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="Ch0.E1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="Ch0.E1.m1.1.1.1.1.1.1" xref="Ch0.E1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="Ch0.E1.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="Ch0.E1.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="Ch0.E1.m1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="Ch0.E1.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">x</mi><mo id="Ch0.E1.m1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="Ch0.E1.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="Ch0.E1.m1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="Ch0.E1.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">y</mi><mo id="Ch0.E1.m1.1.1.1.1.1.1.2.1a" xref="Ch0.E1.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi 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<table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="Ch0.S4.EGx2"> <tbody id="Ch0.Ex2"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><span class="ltx_text ltx_markedasmath" id="Ch0.Ex2.2.1.1.1">(a)</span></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle[x,[y,z]]+[y,[z,x]]+[z,[x,y]]=0," class="ltx_Math" display="inline" id="Ch0.Ex2.m2.10"><semantics id="Ch0.Ex2.m2.10a"><mrow id="Ch0.Ex2.m2.10.10.1" xref="Ch0.Ex2.m2.10.10.1.1.cmml"><mrow id="Ch0.Ex2.m2.10.10.1.1" xref="Ch0.Ex2.m2.10.10.1.1.cmml"><mrow id="Ch0.Ex2.m2.10.10.1.1.3" xref="Ch0.Ex2.m2.10.10.1.1.3.cmml"><mrow id="Ch0.Ex2.m2.10.10.1.1.1.1.1" xref="Ch0.Ex2.m2.10.10.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="Ch0.Ex2.m2.10.10.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="Ch0.Ex2.m2.10.10.1.1.1.1.2.cmml">[</mo><mi id="Ch0.Ex2.m2.3.3" xref="Ch0.Ex2.m2.3.3.cmml">x</mi><mo id="Ch0.Ex2.m2.10.10.1.1.1.1.1.3" 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<td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="Ch0.Ex3"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><span class="ltx_text ltx_markedasmath" id="Ch0.Ex3.2.1.1.1">(b)</span></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle[x,\{y,z\}]+[y,\{z,x\}]+[z,\{x,y\}]=0," class="ltx_Math" display="inline" id="Ch0.Ex3.m2.10"><semantics id="Ch0.Ex3.m2.10a"><mrow id="Ch0.Ex3.m2.10.10.1" xref="Ch0.Ex3.m2.10.10.1.1.cmml"><mrow id="Ch0.Ex3.m2.10.10.1.1" xref="Ch0.Ex3.m2.10.10.1.1.cmml"><mrow id="Ch0.Ex3.m2.10.10.1.1.3" xref="Ch0.Ex3.m2.10.10.1.1.3.cmml"><mrow id="Ch0.Ex3.m2.10.10.1.1.1.1.1" xref="Ch0.Ex3.m2.10.10.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="Ch0.Ex3.m2.10.10.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="Ch0.Ex3.m2.10.10.1.1.1.1.2.cmml">[</mo><mi id="Ch0.Ex3.m2.3.3" xref="Ch0.Ex3.m2.3.3.cmml">x</mi><mo id="Ch0.Ex3.m2.10.10.1.1.1.1.1.3" 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id="Ch0.Ex5.m2.10.10.1.1.3.3.1.1.2.3" stretchy="false" xref="Ch0.Ex5.m2.10.10.1.1.3.3.1.1.1.cmml">}</mo></mrow><mo id="Ch0.Ex5.m2.10.10.1.1.3.3.1.4" stretchy="false" xref="Ch0.Ex5.m2.10.10.1.1.3.3.2.cmml">}</mo></mrow></mrow><mo id="Ch0.Ex5.m2.10.10.1.1.4" xref="Ch0.Ex5.m2.10.10.1.1.4.cmml">=</mo><mn id="Ch0.Ex5.m2.10.10.1.1.5" xref="Ch0.Ex5.m2.10.10.1.1.5.cmml">0</mn></mrow><mo id="Ch0.Ex5.m2.10.10.1.2" lspace="0em" xref="Ch0.Ex5.m2.10.10.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Ch0.Ex5.m2.10b"><apply id="Ch0.Ex5.m2.10.10.1.1.cmml" xref="Ch0.Ex5.m2.10.10.1"><eq id="Ch0.Ex5.m2.10.10.1.1.4.cmml" xref="Ch0.Ex5.m2.10.10.1.1.4"></eq><apply id="Ch0.Ex5.m2.10.10.1.1.3.cmml" xref="Ch0.Ex5.m2.10.10.1.1.3"><minus id="Ch0.Ex5.m2.10.10.1.1.3.4.cmml" xref="Ch0.Ex5.m2.10.10.1.1.3.4"></minus><apply id="Ch0.Ex5.m2.10.10.1.1.2.2.cmml" xref="Ch0.Ex5.m2.10.10.1.1.2.2"><plus id="Ch0.Ex5.m2.10.10.1.1.2.2.3.cmml" xref="Ch0.Ex5.m2.10.10.1.1.2.2.3"></plus><interval closure="closed" id="Ch0.Ex5.m2.10.10.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="Ch0.Ex5.m2.10.10.1.1.1.1.1.1"><ci id="Ch0.Ex5.m2.3.3.cmml" xref="Ch0.Ex5.m2.3.3">𝑥</ci><interval closure="closed" id="Ch0.Ex5.m2.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="Ch0.Ex5.m2.10.10.1.1.1.1.1.1.1.2"><ci id="Ch0.Ex5.m2.1.1.cmml" xref="Ch0.Ex5.m2.1.1">𝑦</ci><ci id="Ch0.Ex5.m2.2.2.cmml" xref="Ch0.Ex5.m2.2.2">𝑧</ci></interval></interval><set id="Ch0.Ex5.m2.10.10.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="Ch0.Ex5.m2.10.10.1.1.2.2.2.1"><ci id="Ch0.Ex5.m2.6.6.cmml" xref="Ch0.Ex5.m2.6.6">𝑦</ci><set id="Ch0.Ex5.m2.10.10.1.1.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="Ch0.Ex5.m2.10.10.1.1.2.2.2.1.1.2"><ci id="Ch0.Ex5.m2.4.4.cmml" xref="Ch0.Ex5.m2.4.4">𝑧</ci><ci id="Ch0.Ex5.m2.5.5.cmml" xref="Ch0.Ex5.m2.5.5">𝑥</ci></set></set></apply><set id="Ch0.Ex5.m2.10.10.1.1.3.3.2.cmml" xref="Ch0.Ex5.m2.10.10.1.1.3.3.1"><ci id="Ch0.Ex5.m2.9.9.cmml" xref="Ch0.Ex5.m2.9.9">𝑧</ci><set id="Ch0.Ex5.m2.10.10.1.1.3.3.1.1.1.cmml" xref="Ch0.Ex5.m2.10.10.1.1.3.3.1.1.2"><ci id="Ch0.Ex5.m2.7.7.cmml" xref="Ch0.Ex5.m2.7.7">𝑥</ci><ci id="Ch0.Ex5.m2.8.8.cmml" xref="Ch0.Ex5.m2.8.8">𝑦</ci></set></set></apply><cn id="Ch0.Ex5.m2.10.10.1.1.5.cmml" type="integer" xref="Ch0.Ex5.m2.10.10.1.1.5">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Ch0.Ex5.m2.10c">\displaystyle[x,[y,z]]+\{y,\{z,x\}\}-\{z,\{x,y\}\}=0.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Ch0.Ex5.m2.10d">[ italic_x , [ italic_y , italic_z ] ] + { italic_y , { italic_z , italic_x } } - { italic_z , { italic_x , italic_y } } = 0 .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="Ch0.S1.p1.16">Clearly, (a) corresponds to the Jacobi identity for a Lie algebra (LA); (a)–(c) appears as the Jacobi identity for a Lie superalgebra (LSA); but (d) can appear only as the Jacobi identity for a <math alttext="{\mathbb{Z}}_{2}\times{\mathbb{Z}}_{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="Ch0.S1.p1.15.m1.1"><semantics id="Ch0.S1.p1.15.m1.1a"><mrow id="Ch0.S1.p1.15.m1.1.1" xref="Ch0.S1.p1.15.m1.1.1.cmml"><msub id="Ch0.S1.p1.15.m1.1.1.2" xref="Ch0.S1.p1.15.m1.1.1.2.cmml"><mi id="Ch0.S1.p1.15.m1.1.1.2.2" xref="Ch0.S1.p1.15.m1.1.1.2.2.cmml">ℤ</mi><mn id="Ch0.S1.p1.15.m1.1.1.2.3" xref="Ch0.S1.p1.15.m1.1.1.2.3.cmml">2</mn></msub><mo id="Ch0.S1.p1.15.m1.1.1.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="Ch0.S1.p1.15.m1.1.1.1.cmml">×</mo><msub id="Ch0.S1.p1.15.m1.1.1.3" xref="Ch0.S1.p1.15.m1.1.1.3.cmml"><mi id="Ch0.S1.p1.15.m1.1.1.3.2" xref="Ch0.S1.p1.15.m1.1.1.3.2.cmml">ℤ</mi><mn id="Ch0.S1.p1.15.m1.1.1.3.3" xref="Ch0.S1.p1.15.m1.1.1.3.3.cmml">2</mn></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Ch0.S1.p1.15.m1.1b"><apply id="Ch0.S1.p1.15.m1.1.1.cmml" xref="Ch0.S1.p1.15.m1.1.1"><times id="Ch0.S1.p1.15.m1.1.1.1.cmml" xref="Ch0.S1.p1.15.m1.1.1.1"></times><apply id="Ch0.S1.p1.15.m1.1.1.2.cmml" xref="Ch0.S1.p1.15.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.S1.p1.15.m1.1.1.2.1.cmml" xref="Ch0.S1.p1.15.m1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="Ch0.S1.p1.15.m1.1.1.2.2.cmml" xref="Ch0.S1.p1.15.m1.1.1.2.2">ℤ</ci><cn id="Ch0.S1.p1.15.m1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="Ch0.S1.p1.15.m1.1.1.2.3">2</cn></apply><apply id="Ch0.S1.p1.15.m1.1.1.3.cmml" xref="Ch0.S1.p1.15.m1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.S1.p1.15.m1.1.1.3.1.cmml" xref="Ch0.S1.p1.15.m1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="Ch0.S1.p1.15.m1.1.1.3.2.cmml" xref="Ch0.S1.p1.15.m1.1.1.3.2">ℤ</ci><cn id="Ch0.S1.p1.15.m1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="Ch0.S1.p1.15.m1.1.1.3.3">2</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Ch0.S1.p1.15.m1.1c">{\mathbb{Z}}_{2}\times{\mathbb{Z}}_{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Ch0.S1.p1.15.m1.1d">blackboard_Z start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT × blackboard_Z start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>-graded Lie algebra or a <math alttext="{\mathbb{Z}}_{2}\times{\mathbb{Z}}_{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="Ch0.S1.p1.16.m2.1"><semantics id="Ch0.S1.p1.16.m2.1a"><mrow id="Ch0.S1.p1.16.m2.1.1" xref="Ch0.S1.p1.16.m2.1.1.cmml"><msub id="Ch0.S1.p1.16.m2.1.1.2" xref="Ch0.S1.p1.16.m2.1.1.2.cmml"><mi id="Ch0.S1.p1.16.m2.1.1.2.2" xref="Ch0.S1.p1.16.m2.1.1.2.2.cmml">ℤ</mi><mn id="Ch0.S1.p1.16.m2.1.1.2.3" xref="Ch0.S1.p1.16.m2.1.1.2.3.cmml">2</mn></msub><mo id="Ch0.S1.p1.16.m2.1.1.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="Ch0.S1.p1.16.m2.1.1.1.cmml">×</mo><msub id="Ch0.S1.p1.16.m2.1.1.3" xref="Ch0.S1.p1.16.m2.1.1.3.cmml"><mi id="Ch0.S1.p1.16.m2.1.1.3.2" xref="Ch0.S1.p1.16.m2.1.1.3.2.cmml">ℤ</mi><mn id="Ch0.S1.p1.16.m2.1.1.3.3" xref="Ch0.S1.p1.16.m2.1.1.3.3.cmml">2</mn></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Ch0.S1.p1.16.m2.1b"><apply id="Ch0.S1.p1.16.m2.1.1.cmml" xref="Ch0.S1.p1.16.m2.1.1"><times id="Ch0.S1.p1.16.m2.1.1.1.cmml" xref="Ch0.S1.p1.16.m2.1.1.1"></times><apply id="Ch0.S1.p1.16.m2.1.1.2.cmml" xref="Ch0.S1.p1.16.m2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.S1.p1.16.m2.1.1.2.1.cmml" xref="Ch0.S1.p1.16.m2.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="Ch0.S1.p1.16.m2.1.1.2.2.cmml" xref="Ch0.S1.p1.16.m2.1.1.2.2">ℤ</ci><cn id="Ch0.S1.p1.16.m2.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="Ch0.S1.p1.16.m2.1.1.2.3">2</cn></apply><apply id="Ch0.S1.p1.16.m2.1.1.3.cmml" xref="Ch0.S1.p1.16.m2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.S1.p1.16.m2.1.1.3.1.cmml" xref="Ch0.S1.p1.16.m2.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="Ch0.S1.p1.16.m2.1.1.3.2.cmml" xref="Ch0.S1.p1.16.m2.1.1.3.2">ℤ</ci><cn id="Ch0.S1.p1.16.m2.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="Ch0.S1.p1.16.m2.1.1.3.3">2</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Ch0.S1.p1.16.m2.1c">{\mathbb{Z}}_{2}\times{\mathbb{Z}}_{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Ch0.S1.p1.16.m2.1d">blackboard_Z start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT × blackboard_Z start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>-graded Lie superalgebra.</p> </div> <div class="ltx_para" id="Ch0.S1.p2"> <p class="ltx_p" id="Ch0.S1.p2.6">The definition of a <math alttext="{\mathbb{Z}}_{2}\times{\mathbb{Z}}_{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="Ch0.S1.p2.1.m1.1"><semantics id="Ch0.S1.p2.1.m1.1a"><mrow id="Ch0.S1.p2.1.m1.1.1" xref="Ch0.S1.p2.1.m1.1.1.cmml"><msub id="Ch0.S1.p2.1.m1.1.1.2" xref="Ch0.S1.p2.1.m1.1.1.2.cmml"><mi id="Ch0.S1.p2.1.m1.1.1.2.2" xref="Ch0.S1.p2.1.m1.1.1.2.2.cmml">ℤ</mi><mn id="Ch0.S1.p2.1.m1.1.1.2.3" xref="Ch0.S1.p2.1.m1.1.1.2.3.cmml">2</mn></msub><mo id="Ch0.S1.p2.1.m1.1.1.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="Ch0.S1.p2.1.m1.1.1.1.cmml">×</mo><msub id="Ch0.S1.p2.1.m1.1.1.3" xref="Ch0.S1.p2.1.m1.1.1.3.cmml"><mi id="Ch0.S1.p2.1.m1.1.1.3.2" xref="Ch0.S1.p2.1.m1.1.1.3.2.cmml">ℤ</mi><mn id="Ch0.S1.p2.1.m1.1.1.3.3" xref="Ch0.S1.p2.1.m1.1.1.3.3.cmml">2</mn></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Ch0.S1.p2.1.m1.1b"><apply id="Ch0.S1.p2.1.m1.1.1.cmml" xref="Ch0.S1.p2.1.m1.1.1"><times id="Ch0.S1.p2.1.m1.1.1.1.cmml" xref="Ch0.S1.p2.1.m1.1.1.1"></times><apply id="Ch0.S1.p2.1.m1.1.1.2.cmml" xref="Ch0.S1.p2.1.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.S1.p2.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="Ch0.S1.p2.1.m1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="Ch0.S1.p2.1.m1.1.1.2.2.cmml" xref="Ch0.S1.p2.1.m1.1.1.2.2">ℤ</ci><cn id="Ch0.S1.p2.1.m1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="Ch0.S1.p2.1.m1.1.1.2.3">2</cn></apply><apply id="Ch0.S1.p2.1.m1.1.1.3.cmml" xref="Ch0.S1.p2.1.m1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.S1.p2.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="Ch0.S1.p2.1.m1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="Ch0.S1.p2.1.m1.1.1.3.2.cmml" xref="Ch0.S1.p2.1.m1.1.1.3.2">ℤ</ci><cn id="Ch0.S1.p2.1.m1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="Ch0.S1.p2.1.m1.1.1.3.3">2</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Ch0.S1.p2.1.m1.1c">{\mathbb{Z}}_{2}\times{\mathbb{Z}}_{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Ch0.S1.p2.1.m1.1d">blackboard_Z start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT × blackboard_Z start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>-graded Lie algebra (<math alttext="{\mathbb{Z}}_{2}^{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="Ch0.S1.p2.2.m2.1"><semantics id="Ch0.S1.p2.2.m2.1a"><msubsup id="Ch0.S1.p2.2.m2.1.1" xref="Ch0.S1.p2.2.m2.1.1.cmml"><mi id="Ch0.S1.p2.2.m2.1.1.2.2" xref="Ch0.S1.p2.2.m2.1.1.2.2.cmml">ℤ</mi><mn id="Ch0.S1.p2.2.m2.1.1.2.3" xref="Ch0.S1.p2.2.m2.1.1.2.3.cmml">2</mn><mn id="Ch0.S1.p2.2.m2.1.1.3" xref="Ch0.S1.p2.2.m2.1.1.3.cmml">2</mn></msubsup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Ch0.S1.p2.2.m2.1b"><apply id="Ch0.S1.p2.2.m2.1.1.cmml" xref="Ch0.S1.p2.2.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.S1.p2.2.m2.1.1.1.cmml" xref="Ch0.S1.p2.2.m2.1.1">superscript</csymbol><apply id="Ch0.S1.p2.2.m2.1.1.2.cmml" xref="Ch0.S1.p2.2.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.S1.p2.2.m2.1.1.2.1.cmml" xref="Ch0.S1.p2.2.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="Ch0.S1.p2.2.m2.1.1.2.2.cmml" xref="Ch0.S1.p2.2.m2.1.1.2.2">ℤ</ci><cn id="Ch0.S1.p2.2.m2.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="Ch0.S1.p2.2.m2.1.1.2.3">2</cn></apply><cn id="Ch0.S1.p2.2.m2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="Ch0.S1.p2.2.m2.1.1.3">2</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Ch0.S1.p2.2.m2.1c">{\mathbb{Z}}_{2}^{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Ch0.S1.p2.2.m2.1d">blackboard_Z start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>-GLA) or a <math alttext="{\mathbb{Z}}_{2}\times{\mathbb{Z}}_{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="Ch0.S1.p2.3.m3.1"><semantics id="Ch0.S1.p2.3.m3.1a"><mrow id="Ch0.S1.p2.3.m3.1.1" xref="Ch0.S1.p2.3.m3.1.1.cmml"><msub id="Ch0.S1.p2.3.m3.1.1.2" xref="Ch0.S1.p2.3.m3.1.1.2.cmml"><mi id="Ch0.S1.p2.3.m3.1.1.2.2" xref="Ch0.S1.p2.3.m3.1.1.2.2.cmml">ℤ</mi><mn id="Ch0.S1.p2.3.m3.1.1.2.3" xref="Ch0.S1.p2.3.m3.1.1.2.3.cmml">2</mn></msub><mo id="Ch0.S1.p2.3.m3.1.1.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="Ch0.S1.p2.3.m3.1.1.1.cmml">×</mo><msub id="Ch0.S1.p2.3.m3.1.1.3" xref="Ch0.S1.p2.3.m3.1.1.3.cmml"><mi id="Ch0.S1.p2.3.m3.1.1.3.2" xref="Ch0.S1.p2.3.m3.1.1.3.2.cmml">ℤ</mi><mn id="Ch0.S1.p2.3.m3.1.1.3.3" xref="Ch0.S1.p2.3.m3.1.1.3.3.cmml">2</mn></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Ch0.S1.p2.3.m3.1b"><apply id="Ch0.S1.p2.3.m3.1.1.cmml" xref="Ch0.S1.p2.3.m3.1.1"><times id="Ch0.S1.p2.3.m3.1.1.1.cmml" xref="Ch0.S1.p2.3.m3.1.1.1"></times><apply id="Ch0.S1.p2.3.m3.1.1.2.cmml" xref="Ch0.S1.p2.3.m3.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.S1.p2.3.m3.1.1.2.1.cmml" xref="Ch0.S1.p2.3.m3.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="Ch0.S1.p2.3.m3.1.1.2.2.cmml" xref="Ch0.S1.p2.3.m3.1.1.2.2">ℤ</ci><cn id="Ch0.S1.p2.3.m3.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="Ch0.S1.p2.3.m3.1.1.2.3">2</cn></apply><apply id="Ch0.S1.p2.3.m3.1.1.3.cmml" xref="Ch0.S1.p2.3.m3.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.S1.p2.3.m3.1.1.3.1.cmml" xref="Ch0.S1.p2.3.m3.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="Ch0.S1.p2.3.m3.1.1.3.2.cmml" xref="Ch0.S1.p2.3.m3.1.1.3.2">ℤ</ci><cn id="Ch0.S1.p2.3.m3.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="Ch0.S1.p2.3.m3.1.1.3.3">2</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Ch0.S1.p2.3.m3.1c">{\mathbb{Z}}_{2}\times{\mathbb{Z}}_{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Ch0.S1.p2.3.m3.1d">blackboard_Z start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT × blackboard_Z start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>-graded Lie superalgebras (<math alttext="{\mathbb{Z}}_{2}^{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="Ch0.S1.p2.4.m4.1"><semantics id="Ch0.S1.p2.4.m4.1a"><msubsup id="Ch0.S1.p2.4.m4.1.1" xref="Ch0.S1.p2.4.m4.1.1.cmml"><mi id="Ch0.S1.p2.4.m4.1.1.2.2" xref="Ch0.S1.p2.4.m4.1.1.2.2.cmml">ℤ</mi><mn id="Ch0.S1.p2.4.m4.1.1.2.3" xref="Ch0.S1.p2.4.m4.1.1.2.3.cmml">2</mn><mn id="Ch0.S1.p2.4.m4.1.1.3" xref="Ch0.S1.p2.4.m4.1.1.3.cmml">2</mn></msubsup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Ch0.S1.p2.4.m4.1b"><apply id="Ch0.S1.p2.4.m4.1.1.cmml" xref="Ch0.S1.p2.4.m4.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.S1.p2.4.m4.1.1.1.cmml" xref="Ch0.S1.p2.4.m4.1.1">superscript</csymbol><apply id="Ch0.S1.p2.4.m4.1.1.2.cmml" xref="Ch0.S1.p2.4.m4.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.S1.p2.4.m4.1.1.2.1.cmml" xref="Ch0.S1.p2.4.m4.1.1">subscript</csymbol><ci id="Ch0.S1.p2.4.m4.1.1.2.2.cmml" xref="Ch0.S1.p2.4.m4.1.1.2.2">ℤ</ci><cn id="Ch0.S1.p2.4.m4.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="Ch0.S1.p2.4.m4.1.1.2.3">2</cn></apply><cn id="Ch0.S1.p2.4.m4.1.1.3.cmml" type="integer" xref="Ch0.S1.p2.4.m4.1.1.3">2</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Ch0.S1.p2.4.m4.1c">{\mathbb{Z}}_{2}^{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Ch0.S1.p2.4.m4.1d">blackboard_Z start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>-GLSA) goes back to Rittenberg and Wyler <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2408.09274v1#bib.bib19" title="">Rit1 </a>; <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2408.09274v1#bib.bib20" title="">Rit2 </a></cite>. Let <math alttext="\mathfrak{g}" class="ltx_Math" display="inline" id="Ch0.S1.p2.5.m5.1"><semantics id="Ch0.S1.p2.5.m5.1a"><mi id="Ch0.S1.p2.5.m5.1.1" xref="Ch0.S1.p2.5.m5.1.1.cmml">𝔤</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Ch0.S1.p2.5.m5.1b"><ci id="Ch0.S1.p2.5.m5.1.1.cmml" xref="Ch0.S1.p2.5.m5.1.1">𝔤</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Ch0.S1.p2.5.m5.1c">\mathfrak{g}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Ch0.S1.p2.5.m5.1d">fraktur_g</annotation></semantics></math> be a <math alttext="{\mathbb{Z}}_{2}\times{\mathbb{Z}}_{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="Ch0.S1.p2.6.m6.1"><semantics id="Ch0.S1.p2.6.m6.1a"><mrow id="Ch0.S1.p2.6.m6.1.1" xref="Ch0.S1.p2.6.m6.1.1.cmml"><msub id="Ch0.S1.p2.6.m6.1.1.2" xref="Ch0.S1.p2.6.m6.1.1.2.cmml"><mi id="Ch0.S1.p2.6.m6.1.1.2.2" xref="Ch0.S1.p2.6.m6.1.1.2.2.cmml">ℤ</mi><mn id="Ch0.S1.p2.6.m6.1.1.2.3" xref="Ch0.S1.p2.6.m6.1.1.2.3.cmml">2</mn></msub><mo id="Ch0.S1.p2.6.m6.1.1.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="Ch0.S1.p2.6.m6.1.1.1.cmml">×</mo><msub id="Ch0.S1.p2.6.m6.1.1.3" xref="Ch0.S1.p2.6.m6.1.1.3.cmml"><mi id="Ch0.S1.p2.6.m6.1.1.3.2" xref="Ch0.S1.p2.6.m6.1.1.3.2.cmml">ℤ</mi><mn id="Ch0.S1.p2.6.m6.1.1.3.3" xref="Ch0.S1.p2.6.m6.1.1.3.3.cmml">2</mn></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Ch0.S1.p2.6.m6.1b"><apply id="Ch0.S1.p2.6.m6.1.1.cmml" xref="Ch0.S1.p2.6.m6.1.1"><times id="Ch0.S1.p2.6.m6.1.1.1.cmml" xref="Ch0.S1.p2.6.m6.1.1.1"></times><apply id="Ch0.S1.p2.6.m6.1.1.2.cmml" xref="Ch0.S1.p2.6.m6.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.S1.p2.6.m6.1.1.2.1.cmml" xref="Ch0.S1.p2.6.m6.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="Ch0.S1.p2.6.m6.1.1.2.2.cmml" xref="Ch0.S1.p2.6.m6.1.1.2.2">ℤ</ci><cn id="Ch0.S1.p2.6.m6.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="Ch0.S1.p2.6.m6.1.1.2.3">2</cn></apply><apply id="Ch0.S1.p2.6.m6.1.1.3.cmml" xref="Ch0.S1.p2.6.m6.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.S1.p2.6.m6.1.1.3.1.cmml" xref="Ch0.S1.p2.6.m6.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="Ch0.S1.p2.6.m6.1.1.3.2.cmml" xref="Ch0.S1.p2.6.m6.1.1.3.2">ℤ</ci><cn id="Ch0.S1.p2.6.m6.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="Ch0.S1.p2.6.m6.1.1.3.3">2</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Ch0.S1.p2.6.m6.1c">{\mathbb{Z}}_{2}\times{\mathbb{Z}}_{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Ch0.S1.p2.6.m6.1d">blackboard_Z start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT × blackboard_Z start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>-graded linear space:</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="Ch0.E2"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\mathfrak{g}=\bigoplus_{\boldsymbol{a}}\mathfrak{g}_{\boldsymbol{a}}=\mathfrak% {g}_{(0,0)}\oplus\mathfrak{g}_{(0,1)}\oplus\mathfrak{g}_{(1,0)}\oplus\mathfrak% {g}_{(1,1)}," class="ltx_Math" display="block" id="Ch0.E2.m1.9"><semantics id="Ch0.E2.m1.9a"><mrow id="Ch0.E2.m1.9.9.1" xref="Ch0.E2.m1.9.9.1.1.cmml"><mrow id="Ch0.E2.m1.9.9.1.1" xref="Ch0.E2.m1.9.9.1.1.cmml"><mi id="Ch0.E2.m1.9.9.1.1.2" xref="Ch0.E2.m1.9.9.1.1.2.cmml">𝔤</mi><mo id="Ch0.E2.m1.9.9.1.1.3" rspace="0.111em" xref="Ch0.E2.m1.9.9.1.1.3.cmml">=</mo><mrow id="Ch0.E2.m1.9.9.1.1.4" xref="Ch0.E2.m1.9.9.1.1.4.cmml"><munder id="Ch0.E2.m1.9.9.1.1.4.1" xref="Ch0.E2.m1.9.9.1.1.4.1.cmml"><mo id="Ch0.E2.m1.9.9.1.1.4.1.2" movablelimits="false" xref="Ch0.E2.m1.9.9.1.1.4.1.2.cmml">⨁</mo><mi id="Ch0.E2.m1.9.9.1.1.4.1.3" xref="Ch0.E2.m1.9.9.1.1.4.1.3.cmml">𝒂</mi></munder><msub id="Ch0.E2.m1.9.9.1.1.4.2" xref="Ch0.E2.m1.9.9.1.1.4.2.cmml"><mi id="Ch0.E2.m1.9.9.1.1.4.2.2" xref="Ch0.E2.m1.9.9.1.1.4.2.2.cmml">𝔤</mi><mi id="Ch0.E2.m1.9.9.1.1.4.2.3" xref="Ch0.E2.m1.9.9.1.1.4.2.3.cmml">𝒂</mi></msub></mrow><mo id="Ch0.E2.m1.9.9.1.1.5" xref="Ch0.E2.m1.9.9.1.1.5.cmml">=</mo><mrow id="Ch0.E2.m1.9.9.1.1.6" xref="Ch0.E2.m1.9.9.1.1.6.cmml"><msub id="Ch0.E2.m1.9.9.1.1.6.2" xref="Ch0.E2.m1.9.9.1.1.6.2.cmml"><mi id="Ch0.E2.m1.9.9.1.1.6.2.2" xref="Ch0.E2.m1.9.9.1.1.6.2.2.cmml">𝔤</mi><mrow id="Ch0.E2.m1.2.2.2.4" xref="Ch0.E2.m1.2.2.2.3.cmml"><mo id="Ch0.E2.m1.2.2.2.4.1" stretchy="false" xref="Ch0.E2.m1.2.2.2.3.cmml">(</mo><mn id="Ch0.E2.m1.1.1.1.1" xref="Ch0.E2.m1.1.1.1.1.cmml">0</mn><mo id="Ch0.E2.m1.2.2.2.4.2" xref="Ch0.E2.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mn id="Ch0.E2.m1.2.2.2.2" xref="Ch0.E2.m1.2.2.2.2.cmml">0</mn><mo id="Ch0.E2.m1.2.2.2.4.3" stretchy="false" xref="Ch0.E2.m1.2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></msub><mo id="Ch0.E2.m1.9.9.1.1.6.1" xref="Ch0.E2.m1.9.9.1.1.6.1.cmml">⊕</mo><msub id="Ch0.E2.m1.9.9.1.1.6.3" xref="Ch0.E2.m1.9.9.1.1.6.3.cmml"><mi id="Ch0.E2.m1.9.9.1.1.6.3.2" xref="Ch0.E2.m1.9.9.1.1.6.3.2.cmml">𝔤</mi><mrow id="Ch0.E2.m1.4.4.2.4" xref="Ch0.E2.m1.4.4.2.3.cmml"><mo id="Ch0.E2.m1.4.4.2.4.1" stretchy="false" xref="Ch0.E2.m1.4.4.2.3.cmml">(</mo><mn id="Ch0.E2.m1.3.3.1.1" xref="Ch0.E2.m1.3.3.1.1.cmml">0</mn><mo id="Ch0.E2.m1.4.4.2.4.2" xref="Ch0.E2.m1.4.4.2.3.cmml">,</mo><mn id="Ch0.E2.m1.4.4.2.2" xref="Ch0.E2.m1.4.4.2.2.cmml">1</mn><mo id="Ch0.E2.m1.4.4.2.4.3" stretchy="false" xref="Ch0.E2.m1.4.4.2.3.cmml">)</mo></mrow></msub><mo id="Ch0.E2.m1.9.9.1.1.6.1a" xref="Ch0.E2.m1.9.9.1.1.6.1.cmml">⊕</mo><msub id="Ch0.E2.m1.9.9.1.1.6.4" xref="Ch0.E2.m1.9.9.1.1.6.4.cmml"><mi id="Ch0.E2.m1.9.9.1.1.6.4.2" xref="Ch0.E2.m1.9.9.1.1.6.4.2.cmml">𝔤</mi><mrow id="Ch0.E2.m1.6.6.2.4" xref="Ch0.E2.m1.6.6.2.3.cmml"><mo id="Ch0.E2.m1.6.6.2.4.1" stretchy="false" xref="Ch0.E2.m1.6.6.2.3.cmml">(</mo><mn id="Ch0.E2.m1.5.5.1.1" xref="Ch0.E2.m1.5.5.1.1.cmml">1</mn><mo id="Ch0.E2.m1.6.6.2.4.2" xref="Ch0.E2.m1.6.6.2.3.cmml">,</mo><mn id="Ch0.E2.m1.6.6.2.2" xref="Ch0.E2.m1.6.6.2.2.cmml">0</mn><mo id="Ch0.E2.m1.6.6.2.4.3" stretchy="false" xref="Ch0.E2.m1.6.6.2.3.cmml">)</mo></mrow></msub><mo id="Ch0.E2.m1.9.9.1.1.6.1b" xref="Ch0.E2.m1.9.9.1.1.6.1.cmml">⊕</mo><msub id="Ch0.E2.m1.9.9.1.1.6.5" xref="Ch0.E2.m1.9.9.1.1.6.5.cmml"><mi id="Ch0.E2.m1.9.9.1.1.6.5.2" xref="Ch0.E2.m1.9.9.1.1.6.5.2.cmml">𝔤</mi><mrow id="Ch0.E2.m1.8.8.2.4" xref="Ch0.E2.m1.8.8.2.3.cmml"><mo id="Ch0.E2.m1.8.8.2.4.1" stretchy="false" xref="Ch0.E2.m1.8.8.2.3.cmml">(</mo><mn id="Ch0.E2.m1.7.7.1.1" xref="Ch0.E2.m1.7.7.1.1.cmml">1</mn><mo id="Ch0.E2.m1.8.8.2.4.2" xref="Ch0.E2.m1.8.8.2.3.cmml">,</mo><mn id="Ch0.E2.m1.8.8.2.2" xref="Ch0.E2.m1.8.8.2.2.cmml">1</mn><mo id="Ch0.E2.m1.8.8.2.4.3" stretchy="false" xref="Ch0.E2.m1.8.8.2.3.cmml">)</mo></mrow></msub></mrow></mrow><mo id="Ch0.E2.m1.9.9.1.2" xref="Ch0.E2.m1.9.9.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Ch0.E2.m1.9b"><apply id="Ch0.E2.m1.9.9.1.1.cmml" xref="Ch0.E2.m1.9.9.1"><and id="Ch0.E2.m1.9.9.1.1a.cmml" xref="Ch0.E2.m1.9.9.1"></and><apply id="Ch0.E2.m1.9.9.1.1b.cmml" xref="Ch0.E2.m1.9.9.1"><eq id="Ch0.E2.m1.9.9.1.1.3.cmml" xref="Ch0.E2.m1.9.9.1.1.3"></eq><ci id="Ch0.E2.m1.9.9.1.1.2.cmml" xref="Ch0.E2.m1.9.9.1.1.2">𝔤</ci><apply id="Ch0.E2.m1.9.9.1.1.4.cmml" xref="Ch0.E2.m1.9.9.1.1.4"><apply id="Ch0.E2.m1.9.9.1.1.4.1.cmml" xref="Ch0.E2.m1.9.9.1.1.4.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.E2.m1.9.9.1.1.4.1.1.cmml" xref="Ch0.E2.m1.9.9.1.1.4.1">subscript</csymbol><csymbol cd="latexml" id="Ch0.E2.m1.9.9.1.1.4.1.2.cmml" xref="Ch0.E2.m1.9.9.1.1.4.1.2">direct-sum</csymbol><ci id="Ch0.E2.m1.9.9.1.1.4.1.3.cmml" xref="Ch0.E2.m1.9.9.1.1.4.1.3">𝒂</ci></apply><apply id="Ch0.E2.m1.9.9.1.1.4.2.cmml" xref="Ch0.E2.m1.9.9.1.1.4.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.E2.m1.9.9.1.1.4.2.1.cmml" xref="Ch0.E2.m1.9.9.1.1.4.2">subscript</csymbol><ci id="Ch0.E2.m1.9.9.1.1.4.2.2.cmml" xref="Ch0.E2.m1.9.9.1.1.4.2.2">𝔤</ci><ci id="Ch0.E2.m1.9.9.1.1.4.2.3.cmml" xref="Ch0.E2.m1.9.9.1.1.4.2.3">𝒂</ci></apply></apply></apply><apply id="Ch0.E2.m1.9.9.1.1c.cmml" xref="Ch0.E2.m1.9.9.1"><eq id="Ch0.E2.m1.9.9.1.1.5.cmml" xref="Ch0.E2.m1.9.9.1.1.5"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2408.09274v1#Ch0.E2.m1.9.9.1.1.4.cmml" id="Ch0.E2.m1.9.9.1.1d.cmml" xref="Ch0.E2.m1.9.9.1"></share><apply id="Ch0.E2.m1.9.9.1.1.6.cmml" xref="Ch0.E2.m1.9.9.1.1.6"><csymbol cd="latexml" id="Ch0.E2.m1.9.9.1.1.6.1.cmml" xref="Ch0.E2.m1.9.9.1.1.6.1">direct-sum</csymbol><apply id="Ch0.E2.m1.9.9.1.1.6.2.cmml" xref="Ch0.E2.m1.9.9.1.1.6.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.E2.m1.9.9.1.1.6.2.1.cmml" xref="Ch0.E2.m1.9.9.1.1.6.2">subscript</csymbol><ci id="Ch0.E2.m1.9.9.1.1.6.2.2.cmml" xref="Ch0.E2.m1.9.9.1.1.6.2.2">𝔤</ci><interval closure="open" id="Ch0.E2.m1.2.2.2.3.cmml" xref="Ch0.E2.m1.2.2.2.4"><cn id="Ch0.E2.m1.1.1.1.1.cmml" type="integer" xref="Ch0.E2.m1.1.1.1.1">0</cn><cn id="Ch0.E2.m1.2.2.2.2.cmml" type="integer" xref="Ch0.E2.m1.2.2.2.2">0</cn></interval></apply><apply id="Ch0.E2.m1.9.9.1.1.6.3.cmml" xref="Ch0.E2.m1.9.9.1.1.6.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.E2.m1.9.9.1.1.6.3.1.cmml" xref="Ch0.E2.m1.9.9.1.1.6.3">subscript</csymbol><ci id="Ch0.E2.m1.9.9.1.1.6.3.2.cmml" xref="Ch0.E2.m1.9.9.1.1.6.3.2">𝔤</ci><interval closure="open" id="Ch0.E2.m1.4.4.2.3.cmml" xref="Ch0.E2.m1.4.4.2.4"><cn id="Ch0.E2.m1.3.3.1.1.cmml" type="integer" xref="Ch0.E2.m1.3.3.1.1">0</cn><cn id="Ch0.E2.m1.4.4.2.2.cmml" type="integer" xref="Ch0.E2.m1.4.4.2.2">1</cn></interval></apply><apply id="Ch0.E2.m1.9.9.1.1.6.4.cmml" xref="Ch0.E2.m1.9.9.1.1.6.4"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.E2.m1.9.9.1.1.6.4.1.cmml" xref="Ch0.E2.m1.9.9.1.1.6.4">subscript</csymbol><ci id="Ch0.E2.m1.9.9.1.1.6.4.2.cmml" xref="Ch0.E2.m1.9.9.1.1.6.4.2">𝔤</ci><interval closure="open" id="Ch0.E2.m1.6.6.2.3.cmml" xref="Ch0.E2.m1.6.6.2.4"><cn id="Ch0.E2.m1.5.5.1.1.cmml" type="integer" xref="Ch0.E2.m1.5.5.1.1">1</cn><cn id="Ch0.E2.m1.6.6.2.2.cmml" type="integer" xref="Ch0.E2.m1.6.6.2.2">0</cn></interval></apply><apply id="Ch0.E2.m1.9.9.1.1.6.5.cmml" xref="Ch0.E2.m1.9.9.1.1.6.5"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.E2.m1.9.9.1.1.6.5.1.cmml" xref="Ch0.E2.m1.9.9.1.1.6.5">subscript</csymbol><ci id="Ch0.E2.m1.9.9.1.1.6.5.2.cmml" xref="Ch0.E2.m1.9.9.1.1.6.5.2">𝔤</ci><interval closure="open" id="Ch0.E2.m1.8.8.2.3.cmml" xref="Ch0.E2.m1.8.8.2.4"><cn id="Ch0.E2.m1.7.7.1.1.cmml" type="integer" xref="Ch0.E2.m1.7.7.1.1">1</cn><cn id="Ch0.E2.m1.8.8.2.2.cmml" type="integer" xref="Ch0.E2.m1.8.8.2.2">1</cn></interval></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Ch0.E2.m1.9c">\mathfrak{g}=\bigoplus_{\boldsymbol{a}}\mathfrak{g}_{\boldsymbol{a}}=\mathfrak% {g}_{(0,0)}\oplus\mathfrak{g}_{(0,1)}\oplus\mathfrak{g}_{(1,0)}\oplus\mathfrak% {g}_{(1,1)},</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Ch0.E2.m1.9d">fraktur_g = ⨁ start_POSTSUBSCRIPT bold_italic_a end_POSTSUBSCRIPT fraktur_g start_POSTSUBSCRIPT bold_italic_a end_POSTSUBSCRIPT = fraktur_g start_POSTSUBSCRIPT ( 0 , 0 ) end_POSTSUBSCRIPT ⊕ fraktur_g start_POSTSUBSCRIPT ( 0 , 1 ) end_POSTSUBSCRIPT ⊕ fraktur_g start_POSTSUBSCRIPT ( 1 , 0 ) end_POSTSUBSCRIPT ⊕ fraktur_g start_POSTSUBSCRIPT ( 1 , 1 ) end_POSTSUBSCRIPT ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(2)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="Ch0.S1.p2.10">where <math alttext="\boldsymbol{a}=(a_{1},a_{2})\in{\mathbb{Z}}_{2}\times{\mathbb{Z}}_{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="Ch0.S1.p2.7.m1.2"><semantics id="Ch0.S1.p2.7.m1.2a"><mrow id="Ch0.S1.p2.7.m1.2.2" xref="Ch0.S1.p2.7.m1.2.2.cmml"><mi id="Ch0.S1.p2.7.m1.2.2.4" xref="Ch0.S1.p2.7.m1.2.2.4.cmml">𝒂</mi><mo id="Ch0.S1.p2.7.m1.2.2.5" xref="Ch0.S1.p2.7.m1.2.2.5.cmml">=</mo><mrow id="Ch0.S1.p2.7.m1.2.2.2.2" xref="Ch0.S1.p2.7.m1.2.2.2.3.cmml"><mo id="Ch0.S1.p2.7.m1.2.2.2.2.3" stretchy="false" xref="Ch0.S1.p2.7.m1.2.2.2.3.cmml">(</mo><msub id="Ch0.S1.p2.7.m1.1.1.1.1.1" xref="Ch0.S1.p2.7.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="Ch0.S1.p2.7.m1.1.1.1.1.1.2" xref="Ch0.S1.p2.7.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">a</mi><mn id="Ch0.S1.p2.7.m1.1.1.1.1.1.3" xref="Ch0.S1.p2.7.m1.1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="Ch0.S1.p2.7.m1.2.2.2.2.4" xref="Ch0.S1.p2.7.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><msub id="Ch0.S1.p2.7.m1.2.2.2.2.2" xref="Ch0.S1.p2.7.m1.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="Ch0.S1.p2.7.m1.2.2.2.2.2.2" xref="Ch0.S1.p2.7.m1.2.2.2.2.2.2.cmml">a</mi><mn id="Ch0.S1.p2.7.m1.2.2.2.2.2.3" xref="Ch0.S1.p2.7.m1.2.2.2.2.2.3.cmml">2</mn></msub><mo id="Ch0.S1.p2.7.m1.2.2.2.2.5" stretchy="false" xref="Ch0.S1.p2.7.m1.2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow><mo id="Ch0.S1.p2.7.m1.2.2.6" xref="Ch0.S1.p2.7.m1.2.2.6.cmml">∈</mo><mrow id="Ch0.S1.p2.7.m1.2.2.7" xref="Ch0.S1.p2.7.m1.2.2.7.cmml"><msub id="Ch0.S1.p2.7.m1.2.2.7.2" xref="Ch0.S1.p2.7.m1.2.2.7.2.cmml"><mi id="Ch0.S1.p2.7.m1.2.2.7.2.2" xref="Ch0.S1.p2.7.m1.2.2.7.2.2.cmml">ℤ</mi><mn id="Ch0.S1.p2.7.m1.2.2.7.2.3" xref="Ch0.S1.p2.7.m1.2.2.7.2.3.cmml">2</mn></msub><mo id="Ch0.S1.p2.7.m1.2.2.7.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="Ch0.S1.p2.7.m1.2.2.7.1.cmml">×</mo><msub id="Ch0.S1.p2.7.m1.2.2.7.3" xref="Ch0.S1.p2.7.m1.2.2.7.3.cmml"><mi id="Ch0.S1.p2.7.m1.2.2.7.3.2" xref="Ch0.S1.p2.7.m1.2.2.7.3.2.cmml">ℤ</mi><mn id="Ch0.S1.p2.7.m1.2.2.7.3.3" xref="Ch0.S1.p2.7.m1.2.2.7.3.3.cmml">2</mn></msub></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Ch0.S1.p2.7.m1.2b"><apply id="Ch0.S1.p2.7.m1.2.2.cmml" xref="Ch0.S1.p2.7.m1.2.2"><and id="Ch0.S1.p2.7.m1.2.2a.cmml" xref="Ch0.S1.p2.7.m1.2.2"></and><apply id="Ch0.S1.p2.7.m1.2.2b.cmml" xref="Ch0.S1.p2.7.m1.2.2"><eq id="Ch0.S1.p2.7.m1.2.2.5.cmml" xref="Ch0.S1.p2.7.m1.2.2.5"></eq><ci id="Ch0.S1.p2.7.m1.2.2.4.cmml" xref="Ch0.S1.p2.7.m1.2.2.4">𝒂</ci><interval closure="open" id="Ch0.S1.p2.7.m1.2.2.2.3.cmml" xref="Ch0.S1.p2.7.m1.2.2.2.2"><apply id="Ch0.S1.p2.7.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="Ch0.S1.p2.7.m1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.S1.p2.7.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="Ch0.S1.p2.7.m1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="Ch0.S1.p2.7.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="Ch0.S1.p2.7.m1.1.1.1.1.1.2">𝑎</ci><cn id="Ch0.S1.p2.7.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="Ch0.S1.p2.7.m1.1.1.1.1.1.3">1</cn></apply><apply id="Ch0.S1.p2.7.m1.2.2.2.2.2.cmml" xref="Ch0.S1.p2.7.m1.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.S1.p2.7.m1.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="Ch0.S1.p2.7.m1.2.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="Ch0.S1.p2.7.m1.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="Ch0.S1.p2.7.m1.2.2.2.2.2.2">𝑎</ci><cn id="Ch0.S1.p2.7.m1.2.2.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="Ch0.S1.p2.7.m1.2.2.2.2.2.3">2</cn></apply></interval></apply><apply id="Ch0.S1.p2.7.m1.2.2c.cmml" xref="Ch0.S1.p2.7.m1.2.2"><in id="Ch0.S1.p2.7.m1.2.2.6.cmml" xref="Ch0.S1.p2.7.m1.2.2.6"></in><share href="https://arxiv.org/html/2408.09274v1#Ch0.S1.p2.7.m1.2.2.2.cmml" id="Ch0.S1.p2.7.m1.2.2d.cmml" xref="Ch0.S1.p2.7.m1.2.2"></share><apply id="Ch0.S1.p2.7.m1.2.2.7.cmml" xref="Ch0.S1.p2.7.m1.2.2.7"><times id="Ch0.S1.p2.7.m1.2.2.7.1.cmml" xref="Ch0.S1.p2.7.m1.2.2.7.1"></times><apply id="Ch0.S1.p2.7.m1.2.2.7.2.cmml" xref="Ch0.S1.p2.7.m1.2.2.7.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.S1.p2.7.m1.2.2.7.2.1.cmml" xref="Ch0.S1.p2.7.m1.2.2.7.2">subscript</csymbol><ci id="Ch0.S1.p2.7.m1.2.2.7.2.2.cmml" xref="Ch0.S1.p2.7.m1.2.2.7.2.2">ℤ</ci><cn id="Ch0.S1.p2.7.m1.2.2.7.2.3.cmml" type="integer" xref="Ch0.S1.p2.7.m1.2.2.7.2.3">2</cn></apply><apply id="Ch0.S1.p2.7.m1.2.2.7.3.cmml" xref="Ch0.S1.p2.7.m1.2.2.7.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.S1.p2.7.m1.2.2.7.3.1.cmml" xref="Ch0.S1.p2.7.m1.2.2.7.3">subscript</csymbol><ci id="Ch0.S1.p2.7.m1.2.2.7.3.2.cmml" xref="Ch0.S1.p2.7.m1.2.2.7.3.2">ℤ</ci><cn id="Ch0.S1.p2.7.m1.2.2.7.3.3.cmml" type="integer" xref="Ch0.S1.p2.7.m1.2.2.7.3.3">2</cn></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Ch0.S1.p2.7.m1.2c">\boldsymbol{a}=(a_{1},a_{2})\in{\mathbb{Z}}_{2}\times{\mathbb{Z}}_{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Ch0.S1.p2.7.m1.2d">bold_italic_a = ( italic_a start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , italic_a start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT ) ∈ blackboard_Z start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT × blackboard_Z start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>. The relations that should hold are often written in terms of homogeneous elements, such as <math alttext="x_{\boldsymbol{a}}\in\mathfrak{g}_{\boldsymbol{a}}" class="ltx_Math" display="inline" id="Ch0.S1.p2.8.m2.1"><semantics id="Ch0.S1.p2.8.m2.1a"><mrow id="Ch0.S1.p2.8.m2.1.1" xref="Ch0.S1.p2.8.m2.1.1.cmml"><msub id="Ch0.S1.p2.8.m2.1.1.2" xref="Ch0.S1.p2.8.m2.1.1.2.cmml"><mi id="Ch0.S1.p2.8.m2.1.1.2.2" xref="Ch0.S1.p2.8.m2.1.1.2.2.cmml">x</mi><mi id="Ch0.S1.p2.8.m2.1.1.2.3" xref="Ch0.S1.p2.8.m2.1.1.2.3.cmml">𝒂</mi></msub><mo id="Ch0.S1.p2.8.m2.1.1.1" xref="Ch0.S1.p2.8.m2.1.1.1.cmml">∈</mo><msub id="Ch0.S1.p2.8.m2.1.1.3" xref="Ch0.S1.p2.8.m2.1.1.3.cmml"><mi id="Ch0.S1.p2.8.m2.1.1.3.2" xref="Ch0.S1.p2.8.m2.1.1.3.2.cmml">𝔤</mi><mi id="Ch0.S1.p2.8.m2.1.1.3.3" xref="Ch0.S1.p2.8.m2.1.1.3.3.cmml">𝒂</mi></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Ch0.S1.p2.8.m2.1b"><apply id="Ch0.S1.p2.8.m2.1.1.cmml" xref="Ch0.S1.p2.8.m2.1.1"><in id="Ch0.S1.p2.8.m2.1.1.1.cmml" xref="Ch0.S1.p2.8.m2.1.1.1"></in><apply id="Ch0.S1.p2.8.m2.1.1.2.cmml" xref="Ch0.S1.p2.8.m2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.S1.p2.8.m2.1.1.2.1.cmml" xref="Ch0.S1.p2.8.m2.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="Ch0.S1.p2.8.m2.1.1.2.2.cmml" xref="Ch0.S1.p2.8.m2.1.1.2.2">𝑥</ci><ci id="Ch0.S1.p2.8.m2.1.1.2.3.cmml" xref="Ch0.S1.p2.8.m2.1.1.2.3">𝒂</ci></apply><apply id="Ch0.S1.p2.8.m2.1.1.3.cmml" xref="Ch0.S1.p2.8.m2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.S1.p2.8.m2.1.1.3.1.cmml" xref="Ch0.S1.p2.8.m2.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="Ch0.S1.p2.8.m2.1.1.3.2.cmml" xref="Ch0.S1.p2.8.m2.1.1.3.2">𝔤</ci><ci id="Ch0.S1.p2.8.m2.1.1.3.3.cmml" xref="Ch0.S1.p2.8.m2.1.1.3.3">𝒂</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Ch0.S1.p2.8.m2.1c">x_{\boldsymbol{a}}\in\mathfrak{g}_{\boldsymbol{a}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Ch0.S1.p2.8.m2.1d">italic_x start_POSTSUBSCRIPT bold_italic_a end_POSTSUBSCRIPT ∈ fraktur_g start_POSTSUBSCRIPT bold_italic_a end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, which is of degree <math alttext="\mathop{\rm deg}\nolimits x_{\boldsymbol{a}}=\boldsymbol{a}" class="ltx_Math" display="inline" id="Ch0.S1.p2.9.m3.1"><semantics id="Ch0.S1.p2.9.m3.1a"><mrow id="Ch0.S1.p2.9.m3.1.1" xref="Ch0.S1.p2.9.m3.1.1.cmml"><mrow id="Ch0.S1.p2.9.m3.1.1.2" xref="Ch0.S1.p2.9.m3.1.1.2.cmml"><mo id="Ch0.S1.p2.9.m3.1.1.2.1" rspace="0.167em" xref="Ch0.S1.p2.9.m3.1.1.2.1.cmml">deg</mo><msub id="Ch0.S1.p2.9.m3.1.1.2.2" xref="Ch0.S1.p2.9.m3.1.1.2.2.cmml"><mi id="Ch0.S1.p2.9.m3.1.1.2.2.2" xref="Ch0.S1.p2.9.m3.1.1.2.2.2.cmml">x</mi><mi id="Ch0.S1.p2.9.m3.1.1.2.2.3" xref="Ch0.S1.p2.9.m3.1.1.2.2.3.cmml">𝒂</mi></msub></mrow><mo id="Ch0.S1.p2.9.m3.1.1.1" xref="Ch0.S1.p2.9.m3.1.1.1.cmml">=</mo><mi id="Ch0.S1.p2.9.m3.1.1.3" xref="Ch0.S1.p2.9.m3.1.1.3.cmml">𝒂</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Ch0.S1.p2.9.m3.1b"><apply id="Ch0.S1.p2.9.m3.1.1.cmml" xref="Ch0.S1.p2.9.m3.1.1"><eq id="Ch0.S1.p2.9.m3.1.1.1.cmml" xref="Ch0.S1.p2.9.m3.1.1.1"></eq><apply id="Ch0.S1.p2.9.m3.1.1.2.cmml" xref="Ch0.S1.p2.9.m3.1.1.2"><ci id="Ch0.S1.p2.9.m3.1.1.2.1.cmml" xref="Ch0.S1.p2.9.m3.1.1.2.1">deg</ci><apply id="Ch0.S1.p2.9.m3.1.1.2.2.cmml" xref="Ch0.S1.p2.9.m3.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.S1.p2.9.m3.1.1.2.2.1.cmml" xref="Ch0.S1.p2.9.m3.1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="Ch0.S1.p2.9.m3.1.1.2.2.2.cmml" xref="Ch0.S1.p2.9.m3.1.1.2.2.2">𝑥</ci><ci id="Ch0.S1.p2.9.m3.1.1.2.2.3.cmml" xref="Ch0.S1.p2.9.m3.1.1.2.2.3">𝒂</ci></apply></apply><ci id="Ch0.S1.p2.9.m3.1.1.3.cmml" xref="Ch0.S1.p2.9.m3.1.1.3">𝒂</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Ch0.S1.p2.9.m3.1c">\mathop{\rm deg}\nolimits x_{\boldsymbol{a}}=\boldsymbol{a}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Ch0.S1.p2.9.m3.1d">roman_deg italic_x start_POSTSUBSCRIPT bold_italic_a end_POSTSUBSCRIPT = bold_italic_a</annotation></semantics></math>, and extended by linearity to all elements of <math alttext="\mathfrak{g}" class="ltx_Math" display="inline" id="Ch0.S1.p2.10.m4.1"><semantics id="Ch0.S1.p2.10.m4.1a"><mi id="Ch0.S1.p2.10.m4.1.1" xref="Ch0.S1.p2.10.m4.1.1.cmml">𝔤</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Ch0.S1.p2.10.m4.1b"><ci id="Ch0.S1.p2.10.m4.1.1.cmml" xref="Ch0.S1.p2.10.m4.1.1">𝔤</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Ch0.S1.p2.10.m4.1c">\mathfrak{g}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Ch0.S1.p2.10.m4.1d">fraktur_g</annotation></semantics></math>.</p> </div> <div class="ltx_para" id="Ch0.S1.p3"> <p class="ltx_p" id="Ch0.S1.p3.3">The structure <math alttext="(\mathfrak{g},\llbracket\cdot,\cdot\rrbracket)" class="ltx_Math" display="inline" id="Ch0.S1.p3.1.m1.4"><semantics id="Ch0.S1.p3.1.m1.4a"><mrow id="Ch0.S1.p3.1.m1.4.4.1" xref="Ch0.S1.p3.1.m1.4.4.2.cmml"><mo id="Ch0.S1.p3.1.m1.4.4.1.2" stretchy="false" xref="Ch0.S1.p3.1.m1.4.4.2.cmml">(</mo><mi id="Ch0.S1.p3.1.m1.3.3" xref="Ch0.S1.p3.1.m1.3.3.cmml">𝔤</mi><mo id="Ch0.S1.p3.1.m1.4.4.1.3" xref="Ch0.S1.p3.1.m1.4.4.2.cmml">,</mo><mrow id="Ch0.S1.p3.1.m1.4.4.1.1.2" xref="Ch0.S1.p3.1.m1.4.4.1.1.1.cmml"><mo id="Ch0.S1.p3.1.m1.4.4.1.1.2.1" stretchy="false" xref="Ch0.S1.p3.1.m1.4.4.1.1.1.cmml">⟦</mo><mo id="Ch0.S1.p3.1.m1.1.1" lspace="0em" rspace="0em" xref="Ch0.S1.p3.1.m1.1.1.cmml">⋅</mo><mo id="Ch0.S1.p3.1.m1.4.4.1.1.2.2" rspace="0em" xref="Ch0.S1.p3.1.m1.4.4.1.1.1.cmml">,</mo><mo id="Ch0.S1.p3.1.m1.2.2" lspace="0em" rspace="0em" xref="Ch0.S1.p3.1.m1.2.2.cmml">⋅</mo><mo id="Ch0.S1.p3.1.m1.4.4.1.1.2.3" stretchy="false" xref="Ch0.S1.p3.1.m1.4.4.1.1.1.cmml">⟧</mo></mrow><mo id="Ch0.S1.p3.1.m1.4.4.1.4" stretchy="false" xref="Ch0.S1.p3.1.m1.4.4.2.cmml">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Ch0.S1.p3.1.m1.4b"><interval closure="open" id="Ch0.S1.p3.1.m1.4.4.2.cmml" xref="Ch0.S1.p3.1.m1.4.4.1"><ci id="Ch0.S1.p3.1.m1.3.3.cmml" xref="Ch0.S1.p3.1.m1.3.3">𝔤</ci><list id="Ch0.S1.p3.1.m1.4.4.1.1.1.cmml" xref="Ch0.S1.p3.1.m1.4.4.1.1.2"><ci id="Ch0.S1.p3.1.m1.1.1.cmml" xref="Ch0.S1.p3.1.m1.1.1">⋅</ci><ci id="Ch0.S1.p3.1.m1.2.2.cmml" xref="Ch0.S1.p3.1.m1.2.2">⋅</ci></list></interval></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Ch0.S1.p3.1.m1.4c">(\mathfrak{g},\llbracket\cdot,\cdot\rrbracket)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Ch0.S1.p3.1.m1.4d">( fraktur_g , ⟦ ⋅ , ⋅ ⟧ )</annotation></semantics></math> with <math alttext="\llbracket\cdot,\cdot\rrbracket" class="ltx_Math" display="inline" id="Ch0.S1.p3.2.m2.2"><semantics id="Ch0.S1.p3.2.m2.2a"><mrow id="Ch0.S1.p3.2.m2.2.3.2" xref="Ch0.S1.p3.2.m2.2.3.1.cmml"><mo id="Ch0.S1.p3.2.m2.2.3.2.1" stretchy="false" xref="Ch0.S1.p3.2.m2.2.3.1.cmml">⟦</mo><mo id="Ch0.S1.p3.2.m2.1.1" lspace="0em" rspace="0em" xref="Ch0.S1.p3.2.m2.1.1.cmml">⋅</mo><mo id="Ch0.S1.p3.2.m2.2.3.2.2" rspace="0em" xref="Ch0.S1.p3.2.m2.2.3.1.cmml">,</mo><mo id="Ch0.S1.p3.2.m2.2.2" lspace="0em" rspace="0em" xref="Ch0.S1.p3.2.m2.2.2.cmml">⋅</mo><mo id="Ch0.S1.p3.2.m2.2.3.2.3" stretchy="false" xref="Ch0.S1.p3.2.m2.2.3.1.cmml">⟧</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Ch0.S1.p3.2.m2.2b"><list id="Ch0.S1.p3.2.m2.2.3.1.cmml" xref="Ch0.S1.p3.2.m2.2.3.2"><ci id="Ch0.S1.p3.2.m2.1.1.cmml" xref="Ch0.S1.p3.2.m2.1.1">⋅</ci><ci id="Ch0.S1.p3.2.m2.2.2.cmml" xref="Ch0.S1.p3.2.m2.2.2">⋅</ci></list></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Ch0.S1.p3.2.m2.2c">\llbracket\cdot,\cdot\rrbracket</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Ch0.S1.p3.2.m2.2d">⟦ ⋅ , ⋅ ⟧</annotation></semantics></math> a bilinear operation is a <math alttext="{\mathbb{Z}}_{2}\times{\mathbb{Z}}_{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="Ch0.S1.p3.3.m3.1"><semantics id="Ch0.S1.p3.3.m3.1a"><mrow id="Ch0.S1.p3.3.m3.1.1" xref="Ch0.S1.p3.3.m3.1.1.cmml"><msub id="Ch0.S1.p3.3.m3.1.1.2" xref="Ch0.S1.p3.3.m3.1.1.2.cmml"><mi id="Ch0.S1.p3.3.m3.1.1.2.2" xref="Ch0.S1.p3.3.m3.1.1.2.2.cmml">ℤ</mi><mn id="Ch0.S1.p3.3.m3.1.1.2.3" xref="Ch0.S1.p3.3.m3.1.1.2.3.cmml">2</mn></msub><mo id="Ch0.S1.p3.3.m3.1.1.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="Ch0.S1.p3.3.m3.1.1.1.cmml">×</mo><msub id="Ch0.S1.p3.3.m3.1.1.3" xref="Ch0.S1.p3.3.m3.1.1.3.cmml"><mi id="Ch0.S1.p3.3.m3.1.1.3.2" xref="Ch0.S1.p3.3.m3.1.1.3.2.cmml">ℤ</mi><mn id="Ch0.S1.p3.3.m3.1.1.3.3" xref="Ch0.S1.p3.3.m3.1.1.3.3.cmml">2</mn></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Ch0.S1.p3.3.m3.1b"><apply id="Ch0.S1.p3.3.m3.1.1.cmml" xref="Ch0.S1.p3.3.m3.1.1"><times id="Ch0.S1.p3.3.m3.1.1.1.cmml" xref="Ch0.S1.p3.3.m3.1.1.1"></times><apply id="Ch0.S1.p3.3.m3.1.1.2.cmml" xref="Ch0.S1.p3.3.m3.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.S1.p3.3.m3.1.1.2.1.cmml" xref="Ch0.S1.p3.3.m3.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="Ch0.S1.p3.3.m3.1.1.2.2.cmml" xref="Ch0.S1.p3.3.m3.1.1.2.2">ℤ</ci><cn id="Ch0.S1.p3.3.m3.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="Ch0.S1.p3.3.m3.1.1.2.3">2</cn></apply><apply id="Ch0.S1.p3.3.m3.1.1.3.cmml" xref="Ch0.S1.p3.3.m3.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.S1.p3.3.m3.1.1.3.1.cmml" xref="Ch0.S1.p3.3.m3.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="Ch0.S1.p3.3.m3.1.1.3.2.cmml" xref="Ch0.S1.p3.3.m3.1.1.3.2">ℤ</ci><cn id="Ch0.S1.p3.3.m3.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="Ch0.S1.p3.3.m3.1.1.3.3">2</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Ch0.S1.p3.3.m3.1c">{\mathbb{Z}}_{2}\times{\mathbb{Z}}_{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Ch0.S1.p3.3.m3.1d">blackboard_Z start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT × blackboard_Z start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>-graded Lie algebra if</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="Ch0.S4.EGx3"> <tbody id="Ch0.E3"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\llbracket x_{\boldsymbol{a}},y_{\boldsymbol{b}}\rrbracket\in% \mathfrak{g}_{\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}}," class="ltx_Math" display="inline" id="Ch0.E3.m1.1"><semantics id="Ch0.E3.m1.1a"><mrow id="Ch0.E3.m1.1.1.1" xref="Ch0.E3.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="Ch0.E3.m1.1.1.1.1" xref="Ch0.E3.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="Ch0.E3.m1.1.1.1.1.2.2" xref="Ch0.E3.m1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mo id="Ch0.E3.m1.1.1.1.1.2.2.3" stretchy="false" xref="Ch0.E3.m1.1.1.1.1.2.3.cmml">⟦</mo><msub id="Ch0.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="Ch0.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="Ch0.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="Ch0.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">x</mi><mi id="Ch0.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="Ch0.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">𝒂</mi></msub><mo id="Ch0.E3.m1.1.1.1.1.2.2.4" xref="Ch0.E3.m1.1.1.1.1.2.3.cmml">,</mo><msub id="Ch0.E3.m1.1.1.1.1.2.2.2" xref="Ch0.E3.m1.1.1.1.1.2.2.2.cmml"><mi id="Ch0.E3.m1.1.1.1.1.2.2.2.2" xref="Ch0.E3.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml">y</mi><mi id="Ch0.E3.m1.1.1.1.1.2.2.2.3" xref="Ch0.E3.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml">𝒃</mi></msub><mo id="Ch0.E3.m1.1.1.1.1.2.2.5" stretchy="false" xref="Ch0.E3.m1.1.1.1.1.2.3.cmml">⟧</mo></mrow><mo id="Ch0.E3.m1.1.1.1.1.3" xref="Ch0.E3.m1.1.1.1.1.3.cmml">∈</mo><msub id="Ch0.E3.m1.1.1.1.1.4" xref="Ch0.E3.m1.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="Ch0.E3.m1.1.1.1.1.4.2" xref="Ch0.E3.m1.1.1.1.1.4.2.cmml">𝔤</mi><mrow id="Ch0.E3.m1.1.1.1.1.4.3" xref="Ch0.E3.m1.1.1.1.1.4.3.cmml"><mi id="Ch0.E3.m1.1.1.1.1.4.3.2" xref="Ch0.E3.m1.1.1.1.1.4.3.2.cmml">𝒂</mi><mo id="Ch0.E3.m1.1.1.1.1.4.3.1" xref="Ch0.E3.m1.1.1.1.1.4.3.1.cmml">+</mo><mi id="Ch0.E3.m1.1.1.1.1.4.3.3" xref="Ch0.E3.m1.1.1.1.1.4.3.3.cmml">𝒃</mi></mrow></msub></mrow><mo id="Ch0.E3.m1.1.1.1.2" xref="Ch0.E3.m1.1.1.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Ch0.E3.m1.1b"><apply id="Ch0.E3.m1.1.1.1.1.cmml" xref="Ch0.E3.m1.1.1.1"><in id="Ch0.E3.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="Ch0.E3.m1.1.1.1.1.3"></in><list id="Ch0.E3.m1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="Ch0.E3.m1.1.1.1.1.2.2"><apply id="Ch0.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="Ch0.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="Ch0.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="Ch0.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="Ch0.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑥</ci><ci id="Ch0.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="Ch0.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝒂</ci></apply><apply id="Ch0.E3.m1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="Ch0.E3.m1.1.1.1.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.E3.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="Ch0.E3.m1.1.1.1.1.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="Ch0.E3.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="Ch0.E3.m1.1.1.1.1.2.2.2.2">𝑦</ci><ci id="Ch0.E3.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml" xref="Ch0.E3.m1.1.1.1.1.2.2.2.3">𝒃</ci></apply></list><apply id="Ch0.E3.m1.1.1.1.1.4.cmml" xref="Ch0.E3.m1.1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.E3.m1.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="Ch0.E3.m1.1.1.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="Ch0.E3.m1.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="Ch0.E3.m1.1.1.1.1.4.2">𝔤</ci><apply id="Ch0.E3.m1.1.1.1.1.4.3.cmml" xref="Ch0.E3.m1.1.1.1.1.4.3"><plus id="Ch0.E3.m1.1.1.1.1.4.3.1.cmml" xref="Ch0.E3.m1.1.1.1.1.4.3.1"></plus><ci id="Ch0.E3.m1.1.1.1.1.4.3.2.cmml" xref="Ch0.E3.m1.1.1.1.1.4.3.2">𝒂</ci><ci id="Ch0.E3.m1.1.1.1.1.4.3.3.cmml" xref="Ch0.E3.m1.1.1.1.1.4.3.3">𝒃</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Ch0.E3.m1.1c">\displaystyle\llbracket x_{\boldsymbol{a}},y_{\boldsymbol{b}}\rrbracket\in% \mathfrak{g}_{\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}},</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Ch0.E3.m1.1d">⟦ italic_x start_POSTSUBSCRIPT bold_italic_a end_POSTSUBSCRIPT , italic_y start_POSTSUBSCRIPT bold_italic_b end_POSTSUBSCRIPT ⟧ ∈ fraktur_g start_POSTSUBSCRIPT bold_italic_a + bold_italic_b end_POSTSUBSCRIPT ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(3)</span></td> </tr></tbody> <tbody id="Ch0.E4"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\llbracket x_{\boldsymbol{a}},y_{\boldsymbol{b}}\rrbracket=-(-1)^% {\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}}\llbracket y_{\boldsymbol{b}},x_{% \boldsymbol{a}}\rrbracket," class="ltx_Math" display="inline" id="Ch0.E4.m1.1"><semantics id="Ch0.E4.m1.1a"><mrow id="Ch0.E4.m1.1.1.1" xref="Ch0.E4.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="Ch0.E4.m1.1.1.1.1" xref="Ch0.E4.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="Ch0.E4.m1.1.1.1.1.2.2" xref="Ch0.E4.m1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mo id="Ch0.E4.m1.1.1.1.1.2.2.3" stretchy="false" xref="Ch0.E4.m1.1.1.1.1.2.3.cmml">⟦</mo><msub id="Ch0.E4.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="Ch0.E4.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="Ch0.E4.m1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="Ch0.E4.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">x</mi><mi id="Ch0.E4.m1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="Ch0.E4.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">𝒂</mi></msub><mo id="Ch0.E4.m1.1.1.1.1.2.2.4" xref="Ch0.E4.m1.1.1.1.1.2.3.cmml">,</mo><msub id="Ch0.E4.m1.1.1.1.1.2.2.2" xref="Ch0.E4.m1.1.1.1.1.2.2.2.cmml"><mi id="Ch0.E4.m1.1.1.1.1.2.2.2.2" xref="Ch0.E4.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml">y</mi><mi id="Ch0.E4.m1.1.1.1.1.2.2.2.3" xref="Ch0.E4.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml">𝒃</mi></msub><mo id="Ch0.E4.m1.1.1.1.1.2.2.5" stretchy="false" xref="Ch0.E4.m1.1.1.1.1.2.3.cmml">⟧</mo></mrow><mo id="Ch0.E4.m1.1.1.1.1.6" xref="Ch0.E4.m1.1.1.1.1.6.cmml">=</mo><mrow id="Ch0.E4.m1.1.1.1.1.5" xref="Ch0.E4.m1.1.1.1.1.5.cmml"><mo id="Ch0.E4.m1.1.1.1.1.5a" xref="Ch0.E4.m1.1.1.1.1.5.cmml">−</mo><mrow id="Ch0.E4.m1.1.1.1.1.5.3" xref="Ch0.E4.m1.1.1.1.1.5.3.cmml"><msup id="Ch0.E4.m1.1.1.1.1.3.1.1" xref="Ch0.E4.m1.1.1.1.1.3.1.1.cmml"><mrow id="Ch0.E4.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1" xref="Ch0.E4.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="Ch0.E4.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="Ch0.E4.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="Ch0.E4.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1" xref="Ch0.E4.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="Ch0.E4.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1a" xref="Ch0.E4.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mn id="Ch0.E4.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.2" xref="Ch0.E4.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.2.cmml">1</mn></mrow><mo id="Ch0.E4.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="Ch0.E4.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="Ch0.E4.m1.1.1.1.1.3.1.1.3" xref="Ch0.E4.m1.1.1.1.1.3.1.1.3.cmml"><mi id="Ch0.E4.m1.1.1.1.1.3.1.1.3.2" xref="Ch0.E4.m1.1.1.1.1.3.1.1.3.2.cmml">𝒂</mi><mo id="Ch0.E4.m1.1.1.1.1.3.1.1.3.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="Ch0.E4.m1.1.1.1.1.3.1.1.3.1.cmml">⋅</mo><mi id="Ch0.E4.m1.1.1.1.1.3.1.1.3.3" xref="Ch0.E4.m1.1.1.1.1.3.1.1.3.3.cmml">𝒃</mi></mrow></msup><mo id="Ch0.E4.m1.1.1.1.1.5.3.4" xref="Ch0.E4.m1.1.1.1.1.5.3.4.cmml">⁢</mo><mrow id="Ch0.E4.m1.1.1.1.1.5.3.3.2" xref="Ch0.E4.m1.1.1.1.1.5.3.3.3.cmml"><mo id="Ch0.E4.m1.1.1.1.1.5.3.3.2.3" stretchy="false" xref="Ch0.E4.m1.1.1.1.1.5.3.3.3.cmml">⟦</mo><msub id="Ch0.E4.m1.1.1.1.1.4.2.2.1.1" xref="Ch0.E4.m1.1.1.1.1.4.2.2.1.1.cmml"><mi id="Ch0.E4.m1.1.1.1.1.4.2.2.1.1.2" xref="Ch0.E4.m1.1.1.1.1.4.2.2.1.1.2.cmml">y</mi><mi id="Ch0.E4.m1.1.1.1.1.4.2.2.1.1.3" xref="Ch0.E4.m1.1.1.1.1.4.2.2.1.1.3.cmml">𝒃</mi></msub><mo id="Ch0.E4.m1.1.1.1.1.5.3.3.2.4" xref="Ch0.E4.m1.1.1.1.1.5.3.3.3.cmml">,</mo><msub id="Ch0.E4.m1.1.1.1.1.5.3.3.2.2" xref="Ch0.E4.m1.1.1.1.1.5.3.3.2.2.cmml"><mi id="Ch0.E4.m1.1.1.1.1.5.3.3.2.2.2" xref="Ch0.E4.m1.1.1.1.1.5.3.3.2.2.2.cmml">x</mi><mi id="Ch0.E4.m1.1.1.1.1.5.3.3.2.2.3" xref="Ch0.E4.m1.1.1.1.1.5.3.3.2.2.3.cmml">𝒂</mi></msub><mo id="Ch0.E4.m1.1.1.1.1.5.3.3.2.5" stretchy="false" xref="Ch0.E4.m1.1.1.1.1.5.3.3.3.cmml">⟧</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="Ch0.E4.m1.1.1.1.2" xref="Ch0.E4.m1.1.1.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Ch0.E4.m1.1b"><apply id="Ch0.E4.m1.1.1.1.1.cmml" xref="Ch0.E4.m1.1.1.1"><eq id="Ch0.E4.m1.1.1.1.1.6.cmml" xref="Ch0.E4.m1.1.1.1.1.6"></eq><list id="Ch0.E4.m1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="Ch0.E4.m1.1.1.1.1.2.2"><apply id="Ch0.E4.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="Ch0.E4.m1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.E4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="Ch0.E4.m1.1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="Ch0.E4.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="Ch0.E4.m1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑥</ci><ci id="Ch0.E4.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="Ch0.E4.m1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝒂</ci></apply><apply id="Ch0.E4.m1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="Ch0.E4.m1.1.1.1.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.E4.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="Ch0.E4.m1.1.1.1.1.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="Ch0.E4.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="Ch0.E4.m1.1.1.1.1.2.2.2.2">𝑦</ci><ci id="Ch0.E4.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml" xref="Ch0.E4.m1.1.1.1.1.2.2.2.3">𝒃</ci></apply></list><apply id="Ch0.E4.m1.1.1.1.1.5.cmml" xref="Ch0.E4.m1.1.1.1.1.5"><minus id="Ch0.E4.m1.1.1.1.1.5.4.cmml" xref="Ch0.E4.m1.1.1.1.1.5"></minus><apply id="Ch0.E4.m1.1.1.1.1.5.3.cmml" xref="Ch0.E4.m1.1.1.1.1.5.3"><times 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y_{\boldsymbol{b}},x_{% \boldsymbol{a}}\rrbracket,</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Ch0.E4.m1.1d">⟦ italic_x start_POSTSUBSCRIPT bold_italic_a end_POSTSUBSCRIPT , italic_y start_POSTSUBSCRIPT bold_italic_b end_POSTSUBSCRIPT ⟧ = - ( - 1 ) start_POSTSUPERSCRIPT bold_italic_a ⋅ bold_italic_b end_POSTSUPERSCRIPT ⟦ italic_y start_POSTSUBSCRIPT bold_italic_b end_POSTSUBSCRIPT , italic_x start_POSTSUBSCRIPT bold_italic_a end_POSTSUBSCRIPT ⟧ ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(4)</span></td> </tr></tbody> <tbody id="Ch0.E5"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\llbracket x_{\boldsymbol{a}},\llbracket y_{\boldsymbol{b}},z_{% \boldsymbol{c}}\rrbracket\rrbracket=\llbracket\llbracket x_{\boldsymbol{a}},y_% {\boldsymbol{b}}\rrbracket,z_{\boldsymbol{c}}\rrbracket+(-1)^{\boldsymbol{a}% \cdot\boldsymbol{b}}\llbracket y_{\boldsymbol{b}},\llbracket x_{\boldsymbol{a}% },z_{\boldsymbol{c}}\rrbracket\rrbracket," class="ltx_Math" display="inline" id="Ch0.E5.m1.1"><semantics id="Ch0.E5.m1.1a"><mrow id="Ch0.E5.m1.1.1.1" xref="Ch0.E5.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="Ch0.E5.m1.1.1.1.1" xref="Ch0.E5.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="Ch0.E5.m1.1.1.1.1.2.2" xref="Ch0.E5.m1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mo id="Ch0.E5.m1.1.1.1.1.2.2.3" stretchy="false" xref="Ch0.E5.m1.1.1.1.1.2.3.cmml">⟦</mo><msub id="Ch0.E5.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="Ch0.E5.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="Ch0.E5.m1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="Ch0.E5.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">x</mi><mi id="Ch0.E5.m1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="Ch0.E5.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">𝒂</mi></msub><mo id="Ch0.E5.m1.1.1.1.1.2.2.4" xref="Ch0.E5.m1.1.1.1.1.2.3.cmml">,</mo><mrow id="Ch0.E5.m1.1.1.1.1.2.2.2.2" 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xref="Ch0.E5.m1.1.1.1.1.8.cmml">=</mo><mrow id="Ch0.E5.m1.1.1.1.1.7" xref="Ch0.E5.m1.1.1.1.1.7.cmml"><mrow id="Ch0.E5.m1.1.1.1.1.4.2.2" xref="Ch0.E5.m1.1.1.1.1.4.2.3.cmml"><mo id="Ch0.E5.m1.1.1.1.1.4.2.2.3" stretchy="false" xref="Ch0.E5.m1.1.1.1.1.4.2.3.cmml">⟦</mo><mrow id="Ch0.E5.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.2" xref="Ch0.E5.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.3.cmml"><mo id="Ch0.E5.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.2.3" stretchy="false" xref="Ch0.E5.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.3.cmml">⟦</mo><msub id="Ch0.E5.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1" xref="Ch0.E5.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="Ch0.E5.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.2" xref="Ch0.E5.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.2.cmml">x</mi><mi id="Ch0.E5.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.3" xref="Ch0.E5.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.3.cmml">𝒂</mi></msub><mo id="Ch0.E5.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.2.4" xref="Ch0.E5.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.3.cmml">,</mo><msub id="Ch0.E5.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.2.2" xref="Ch0.E5.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="Ch0.E5.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.2.2.2" xref="Ch0.E5.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.2.2.2.cmml">y</mi><mi id="Ch0.E5.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.2.2.3" xref="Ch0.E5.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.2.2.3.cmml">𝒃</mi></msub><mo id="Ch0.E5.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.2.5" stretchy="false" xref="Ch0.E5.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.3.cmml">⟧</mo></mrow><mo id="Ch0.E5.m1.1.1.1.1.4.2.2.4" xref="Ch0.E5.m1.1.1.1.1.4.2.3.cmml">,</mo><msub id="Ch0.E5.m1.1.1.1.1.4.2.2.2" xref="Ch0.E5.m1.1.1.1.1.4.2.2.2.cmml"><mi id="Ch0.E5.m1.1.1.1.1.4.2.2.2.2" xref="Ch0.E5.m1.1.1.1.1.4.2.2.2.2.cmml">z</mi><mi id="Ch0.E5.m1.1.1.1.1.4.2.2.2.3" xref="Ch0.E5.m1.1.1.1.1.4.2.2.2.3.cmml">𝒄</mi></msub><mo id="Ch0.E5.m1.1.1.1.1.4.2.2.5" stretchy="false" xref="Ch0.E5.m1.1.1.1.1.4.2.3.cmml">⟧</mo></mrow><mo id="Ch0.E5.m1.1.1.1.1.7.6" xref="Ch0.E5.m1.1.1.1.1.7.6.cmml">+</mo><mrow id="Ch0.E5.m1.1.1.1.1.7.5" xref="Ch0.E5.m1.1.1.1.1.7.5.cmml"><msup id="Ch0.E5.m1.1.1.1.1.5.3.1" xref="Ch0.E5.m1.1.1.1.1.5.3.1.cmml"><mrow id="Ch0.E5.m1.1.1.1.1.5.3.1.1.1" xref="Ch0.E5.m1.1.1.1.1.5.3.1.1.1.1.cmml"><mo id="Ch0.E5.m1.1.1.1.1.5.3.1.1.1.2" stretchy="false" 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id="Ch0.E5.m1.1.1.1.1.7.5.3.2.2.2.2" xref="Ch0.E5.m1.1.1.1.1.7.5.3.2.2.2.2.cmml"><mi id="Ch0.E5.m1.1.1.1.1.7.5.3.2.2.2.2.2" xref="Ch0.E5.m1.1.1.1.1.7.5.3.2.2.2.2.2.cmml">z</mi><mi id="Ch0.E5.m1.1.1.1.1.7.5.3.2.2.2.2.3" xref="Ch0.E5.m1.1.1.1.1.7.5.3.2.2.2.2.3.cmml">𝒄</mi></msub><mo id="Ch0.E5.m1.1.1.1.1.7.5.3.2.2.2.5" stretchy="false" xref="Ch0.E5.m1.1.1.1.1.7.5.3.2.2.3.cmml">⟧</mo></mrow><mo id="Ch0.E5.m1.1.1.1.1.7.5.3.2.5" stretchy="false" xref="Ch0.E5.m1.1.1.1.1.7.5.3.3.cmml">⟧</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="Ch0.E5.m1.1.1.1.2" xref="Ch0.E5.m1.1.1.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Ch0.E5.m1.1b"><apply id="Ch0.E5.m1.1.1.1.1.cmml" xref="Ch0.E5.m1.1.1.1"><eq id="Ch0.E5.m1.1.1.1.1.8.cmml" xref="Ch0.E5.m1.1.1.1.1.8"></eq><list id="Ch0.E5.m1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="Ch0.E5.m1.1.1.1.1.2.2"><apply id="Ch0.E5.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="Ch0.E5.m1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.E5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" 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x_{\boldsymbol{a}},\llbracket y_{\boldsymbol{b}},z_{% \boldsymbol{c}}\rrbracket\rrbracket=\llbracket\llbracket x_{\boldsymbol{a}},y_% {\boldsymbol{b}}\rrbracket,z_{\boldsymbol{c}}\rrbracket+(-1)^{\boldsymbol{a}% \cdot\boldsymbol{b}}\llbracket y_{\boldsymbol{b}},\llbracket x_{\boldsymbol{a}% },z_{\boldsymbol{c}}\rrbracket\rrbracket,</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Ch0.E5.m1.1d">⟦ italic_x start_POSTSUBSCRIPT bold_italic_a end_POSTSUBSCRIPT , ⟦ italic_y start_POSTSUBSCRIPT bold_italic_b end_POSTSUBSCRIPT , italic_z start_POSTSUBSCRIPT bold_italic_c end_POSTSUBSCRIPT ⟧ ⟧ = ⟦ ⟦ italic_x start_POSTSUBSCRIPT bold_italic_a end_POSTSUBSCRIPT , italic_y start_POSTSUBSCRIPT bold_italic_b end_POSTSUBSCRIPT ⟧ , italic_z start_POSTSUBSCRIPT bold_italic_c end_POSTSUBSCRIPT ⟧ + ( - 1 ) start_POSTSUPERSCRIPT bold_italic_a ⋅ bold_italic_b end_POSTSUPERSCRIPT ⟦ italic_y start_POSTSUBSCRIPT bold_italic_b end_POSTSUBSCRIPT , ⟦ italic_x start_POSTSUBSCRIPT bold_italic_a end_POSTSUBSCRIPT , italic_z start_POSTSUBSCRIPT bold_italic_c end_POSTSUBSCRIPT ⟧ ⟧ ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(5)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="Ch0.S1.p3.6">where</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="Ch0.E6"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}=(a_{1}+b_{1},a_{2}+b_{2}),\qquad{\boldsymbol{a}% \cdot\boldsymbol{b}=a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}}." class="ltx_Math" display="block" id="Ch0.E6.m1.1"><semantics id="Ch0.E6.m1.1a"><mrow id="Ch0.E6.m1.1.1.1"><mrow id="Ch0.E6.m1.1.1.1.1.2" xref="Ch0.E6.m1.1.1.1.1.3.cmml"><mrow id="Ch0.E6.m1.1.1.1.1.1.1" xref="Ch0.E6.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="Ch0.E6.m1.1.1.1.1.1.1.4" xref="Ch0.E6.m1.1.1.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="Ch0.E6.m1.1.1.1.1.1.1.4.2" xref="Ch0.E6.m1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml">𝒂</mi><mo id="Ch0.E6.m1.1.1.1.1.1.1.4.1" xref="Ch0.E6.m1.1.1.1.1.1.1.4.1.cmml">+</mo><mi id="Ch0.E6.m1.1.1.1.1.1.1.4.3" xref="Ch0.E6.m1.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml">𝒃</mi></mrow><mo id="Ch0.E6.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="Ch0.E6.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">=</mo><mrow id="Ch0.E6.m1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="Ch0.E6.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mo id="Ch0.E6.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3" stretchy="false" xref="Ch0.E6.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">(</mo><mrow id="Ch0.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="Ch0.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="Ch0.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="Ch0.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="Ch0.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="Ch0.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">a</mi><mn id="Ch0.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="Ch0.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">1</mn></msub><mo id="Ch0.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="Ch0.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><msub id="Ch0.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="Ch0.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="Ch0.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="Ch0.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">b</mi><mn id="Ch0.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="Ch0.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">1</mn></msub></mrow><mo id="Ch0.E6.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.4" xref="Ch0.E6.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">,</mo><mrow id="Ch0.E6.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="Ch0.E6.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml"><msub id="Ch0.E6.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2" xref="Ch0.E6.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml"><mi id="Ch0.E6.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2" xref="Ch0.E6.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml">a</mi><mn id="Ch0.E6.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.3" xref="Ch0.E6.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.cmml">2</mn></msub><mo id="Ch0.E6.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1" xref="Ch0.E6.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml">+</mo><msub id="Ch0.E6.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3" xref="Ch0.E6.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml"><mi id="Ch0.E6.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.2" xref="Ch0.E6.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.2.cmml">b</mi><mn id="Ch0.E6.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.3" xref="Ch0.E6.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.3.cmml">2</mn></msub></mrow><mo id="Ch0.E6.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.5" stretchy="false" xref="Ch0.E6.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="Ch0.E6.m1.1.1.1.1.2.3" rspace="2.167em" xref="Ch0.E6.m1.1.1.1.1.3a.cmml">,</mo><mrow id="Ch0.E6.m1.1.1.1.1.2.2" xref="Ch0.E6.m1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mrow id="Ch0.E6.m1.1.1.1.1.2.2.2" xref="Ch0.E6.m1.1.1.1.1.2.2.2.cmml"><mi id="Ch0.E6.m1.1.1.1.1.2.2.2.2" xref="Ch0.E6.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml">𝒂</mi><mo id="Ch0.E6.m1.1.1.1.1.2.2.2.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="Ch0.E6.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml">⋅</mo><mi id="Ch0.E6.m1.1.1.1.1.2.2.2.3" xref="Ch0.E6.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml">𝒃</mi></mrow><mo id="Ch0.E6.m1.1.1.1.1.2.2.1" xref="Ch0.E6.m1.1.1.1.1.2.2.1.cmml">=</mo><mrow id="Ch0.E6.m1.1.1.1.1.2.2.3" xref="Ch0.E6.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mrow id="Ch0.E6.m1.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="Ch0.E6.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml"><msub id="Ch0.E6.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.2" xref="Ch0.E6.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.2.cmml"><mi id="Ch0.E6.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.2.2" xref="Ch0.E6.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.2.2.cmml">a</mi><mn id="Ch0.E6.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.2.3" xref="Ch0.E6.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.2.3.cmml">1</mn></msub><mo id="Ch0.E6.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.1" xref="Ch0.E6.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="Ch0.E6.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.3" xref="Ch0.E6.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.3.cmml"><mi id="Ch0.E6.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.3.2" xref="Ch0.E6.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.3.2.cmml">b</mi><mn id="Ch0.E6.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.3.3" xref="Ch0.E6.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.3.3.cmml">2</mn></msub></mrow><mo id="Ch0.E6.m1.1.1.1.1.2.2.3.1" xref="Ch0.E6.m1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml">−</mo><mrow id="Ch0.E6.m1.1.1.1.1.2.2.3.3" xref="Ch0.E6.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml"><msub id="Ch0.E6.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.2" xref="Ch0.E6.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.2.cmml"><mi id="Ch0.E6.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.2.2" xref="Ch0.E6.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.2.2.cmml">a</mi><mn id="Ch0.E6.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.2.3" xref="Ch0.E6.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.2.3.cmml">2</mn></msub><mo id="Ch0.E6.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.1" xref="Ch0.E6.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="Ch0.E6.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.3" xref="Ch0.E6.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.3.cmml"><mi id="Ch0.E6.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.3.2" xref="Ch0.E6.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.3.2.cmml">b</mi><mn id="Ch0.E6.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.3.3" xref="Ch0.E6.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.3.3.cmml">1</mn></msub></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="Ch0.E6.m1.1.1.1.2" lspace="0em">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Ch0.E6.m1.1b"><apply id="Ch0.E6.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="Ch0.E6.m1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.E6.m1.1.1.1.1.3a.cmml" xref="Ch0.E6.m1.1.1.1.1.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="Ch0.E6.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="Ch0.E6.m1.1.1.1.1.1.1"><eq id="Ch0.E6.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="Ch0.E6.m1.1.1.1.1.1.1.3"></eq><apply id="Ch0.E6.m1.1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="Ch0.E6.m1.1.1.1.1.1.1.4"><plus id="Ch0.E6.m1.1.1.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="Ch0.E6.m1.1.1.1.1.1.1.4.1"></plus><ci id="Ch0.E6.m1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="Ch0.E6.m1.1.1.1.1.1.1.4.2">𝒂</ci><ci id="Ch0.E6.m1.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml" xref="Ch0.E6.m1.1.1.1.1.1.1.4.3">𝒃</ci></apply><interval closure="open" id="Ch0.E6.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="Ch0.E6.m1.1.1.1.1.1.1.2.2"><apply id="Ch0.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="Ch0.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><plus id="Ch0.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="Ch0.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></plus><apply id="Ch0.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="Ch0.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="Ch0.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="Ch0.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="Ch0.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝑎</ci><cn id="Ch0.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="Ch0.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">1</cn></apply><apply id="Ch0.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="Ch0.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="Ch0.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="Ch0.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="Ch0.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑏</ci><cn id="Ch0.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="Ch0.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">1</cn></apply></apply><apply id="Ch0.E6.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="Ch0.E6.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2"><plus id="Ch0.E6.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="Ch0.E6.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1"></plus><apply id="Ch0.E6.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="Ch0.E6.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.E6.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.cmml" xref="Ch0.E6.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="Ch0.E6.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml" xref="Ch0.E6.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2">𝑎</ci><cn id="Ch0.E6.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="Ch0.E6.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.3">2</cn></apply><apply id="Ch0.E6.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml" xref="Ch0.E6.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.E6.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.1.cmml" xref="Ch0.E6.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="Ch0.E6.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.2.cmml" xref="Ch0.E6.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.2">𝑏</ci><cn id="Ch0.E6.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="Ch0.E6.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.3">2</cn></apply></apply></interval></apply><apply id="Ch0.E6.m1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="Ch0.E6.m1.1.1.1.1.2.2"><eq id="Ch0.E6.m1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="Ch0.E6.m1.1.1.1.1.2.2.1"></eq><apply id="Ch0.E6.m1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="Ch0.E6.m1.1.1.1.1.2.2.2"><ci id="Ch0.E6.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="Ch0.E6.m1.1.1.1.1.2.2.2.1">⋅</ci><ci id="Ch0.E6.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="Ch0.E6.m1.1.1.1.1.2.2.2.2">𝒂</ci><ci id="Ch0.E6.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml" xref="Ch0.E6.m1.1.1.1.1.2.2.2.3">𝒃</ci></apply><apply id="Ch0.E6.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="Ch0.E6.m1.1.1.1.1.2.2.3"><minus id="Ch0.E6.m1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="Ch0.E6.m1.1.1.1.1.2.2.3.1"></minus><apply id="Ch0.E6.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="Ch0.E6.m1.1.1.1.1.2.2.3.2"><times id="Ch0.E6.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.1.cmml" xref="Ch0.E6.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.1"></times><apply id="Ch0.E6.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.2.cmml" xref="Ch0.E6.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.E6.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.2.1.cmml" xref="Ch0.E6.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.2">subscript</csymbol><ci id="Ch0.E6.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.2.2.cmml" xref="Ch0.E6.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.2.2">𝑎</ci><cn id="Ch0.E6.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.2.3.cmml" type="integer" xref="Ch0.E6.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.2.3">1</cn></apply><apply id="Ch0.E6.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.3.cmml" xref="Ch0.E6.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.E6.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.3.1.cmml" xref="Ch0.E6.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.3">subscript</csymbol><ci id="Ch0.E6.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.3.2.cmml" xref="Ch0.E6.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.3.2">𝑏</ci><cn id="Ch0.E6.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.3.3.cmml" type="integer" xref="Ch0.E6.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.3.3">2</cn></apply></apply><apply id="Ch0.E6.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml" xref="Ch0.E6.m1.1.1.1.1.2.2.3.3"><times id="Ch0.E6.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.1.cmml" xref="Ch0.E6.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.1"></times><apply id="Ch0.E6.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.2.cmml" xref="Ch0.E6.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.E6.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.2.1.cmml" xref="Ch0.E6.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.2">subscript</csymbol><ci id="Ch0.E6.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.2.2.cmml" xref="Ch0.E6.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.2.2">𝑎</ci><cn id="Ch0.E6.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.2.3.cmml" type="integer" xref="Ch0.E6.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.2.3">2</cn></apply><apply id="Ch0.E6.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.3.cmml" xref="Ch0.E6.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.E6.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.3.1.cmml" xref="Ch0.E6.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.3">subscript</csymbol><ci id="Ch0.E6.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.3.2.cmml" xref="Ch0.E6.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.3.2">𝑏</ci><cn id="Ch0.E6.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.3.3.cmml" type="integer" xref="Ch0.E6.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.3.3">1</cn></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Ch0.E6.m1.1c">\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}=(a_{1}+b_{1},a_{2}+b_{2}),\qquad{\boldsymbol{a}% \cdot\boldsymbol{b}=a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Ch0.E6.m1.1d">bold_italic_a + bold_italic_b = ( italic_a start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT + italic_b start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , italic_a start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT + italic_b start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT ) , bold_italic_a ⋅ bold_italic_b = italic_a start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT italic_b start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT - italic_a start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT italic_b start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(6)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="Ch0.S1.p3.5">Note the peculiar product in (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2408.09274v1#Ch0.E6" title="In 1 Introduction ‣ Matrix structure of classical ℤ₂×ℤ₂ graded Lie algebras"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">6</span></a>). If the product in (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2408.09274v1#Ch0.E6" title="In 1 Introduction ‣ Matrix structure of classical ℤ₂×ℤ₂ graded Lie algebras"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">6</span></a>) is replaced by <math alttext="\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="Ch0.S1.p3.4.m1.1"><semantics id="Ch0.S1.p3.4.m1.1a"><mrow id="Ch0.S1.p3.4.m1.1.1" xref="Ch0.S1.p3.4.m1.1.1.cmml"><mrow id="Ch0.S1.p3.4.m1.1.1.2" xref="Ch0.S1.p3.4.m1.1.1.2.cmml"><mi id="Ch0.S1.p3.4.m1.1.1.2.2" xref="Ch0.S1.p3.4.m1.1.1.2.2.cmml">𝒂</mi><mo id="Ch0.S1.p3.4.m1.1.1.2.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="Ch0.S1.p3.4.m1.1.1.2.1.cmml">⋅</mo><mi id="Ch0.S1.p3.4.m1.1.1.2.3" xref="Ch0.S1.p3.4.m1.1.1.2.3.cmml">𝒃</mi></mrow><mo id="Ch0.S1.p3.4.m1.1.1.1" xref="Ch0.S1.p3.4.m1.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="Ch0.S1.p3.4.m1.1.1.3" xref="Ch0.S1.p3.4.m1.1.1.3.cmml"><mrow id="Ch0.S1.p3.4.m1.1.1.3.2" xref="Ch0.S1.p3.4.m1.1.1.3.2.cmml"><msub id="Ch0.S1.p3.4.m1.1.1.3.2.2" xref="Ch0.S1.p3.4.m1.1.1.3.2.2.cmml"><mi id="Ch0.S1.p3.4.m1.1.1.3.2.2.2" xref="Ch0.S1.p3.4.m1.1.1.3.2.2.2.cmml">a</mi><mn id="Ch0.S1.p3.4.m1.1.1.3.2.2.3" xref="Ch0.S1.p3.4.m1.1.1.3.2.2.3.cmml">1</mn></msub><mo id="Ch0.S1.p3.4.m1.1.1.3.2.1" xref="Ch0.S1.p3.4.m1.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="Ch0.S1.p3.4.m1.1.1.3.2.3" xref="Ch0.S1.p3.4.m1.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="Ch0.S1.p3.4.m1.1.1.3.2.3.2" xref="Ch0.S1.p3.4.m1.1.1.3.2.3.2.cmml">b</mi><mn id="Ch0.S1.p3.4.m1.1.1.3.2.3.3" xref="Ch0.S1.p3.4.m1.1.1.3.2.3.3.cmml">1</mn></msub></mrow><mo id="Ch0.S1.p3.4.m1.1.1.3.1" xref="Ch0.S1.p3.4.m1.1.1.3.1.cmml">+</mo><mrow id="Ch0.S1.p3.4.m1.1.1.3.3" xref="Ch0.S1.p3.4.m1.1.1.3.3.cmml"><msub id="Ch0.S1.p3.4.m1.1.1.3.3.2" xref="Ch0.S1.p3.4.m1.1.1.3.3.2.cmml"><mi id="Ch0.S1.p3.4.m1.1.1.3.3.2.2" xref="Ch0.S1.p3.4.m1.1.1.3.3.2.2.cmml">a</mi><mn id="Ch0.S1.p3.4.m1.1.1.3.3.2.3" xref="Ch0.S1.p3.4.m1.1.1.3.3.2.3.cmml">2</mn></msub><mo id="Ch0.S1.p3.4.m1.1.1.3.3.1" xref="Ch0.S1.p3.4.m1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="Ch0.S1.p3.4.m1.1.1.3.3.3" xref="Ch0.S1.p3.4.m1.1.1.3.3.3.cmml"><mi id="Ch0.S1.p3.4.m1.1.1.3.3.3.2" xref="Ch0.S1.p3.4.m1.1.1.3.3.3.2.cmml">b</mi><mn id="Ch0.S1.p3.4.m1.1.1.3.3.3.3" xref="Ch0.S1.p3.4.m1.1.1.3.3.3.3.cmml">2</mn></msub></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Ch0.S1.p3.4.m1.1b"><apply id="Ch0.S1.p3.4.m1.1.1.cmml" xref="Ch0.S1.p3.4.m1.1.1"><eq id="Ch0.S1.p3.4.m1.1.1.1.cmml" xref="Ch0.S1.p3.4.m1.1.1.1"></eq><apply id="Ch0.S1.p3.4.m1.1.1.2.cmml" xref="Ch0.S1.p3.4.m1.1.1.2"><ci id="Ch0.S1.p3.4.m1.1.1.2.1.cmml" xref="Ch0.S1.p3.4.m1.1.1.2.1">⋅</ci><ci id="Ch0.S1.p3.4.m1.1.1.2.2.cmml" xref="Ch0.S1.p3.4.m1.1.1.2.2">𝒂</ci><ci id="Ch0.S1.p3.4.m1.1.1.2.3.cmml" xref="Ch0.S1.p3.4.m1.1.1.2.3">𝒃</ci></apply><apply id="Ch0.S1.p3.4.m1.1.1.3.cmml" xref="Ch0.S1.p3.4.m1.1.1.3"><plus id="Ch0.S1.p3.4.m1.1.1.3.1.cmml" xref="Ch0.S1.p3.4.m1.1.1.3.1"></plus><apply id="Ch0.S1.p3.4.m1.1.1.3.2.cmml" xref="Ch0.S1.p3.4.m1.1.1.3.2"><times id="Ch0.S1.p3.4.m1.1.1.3.2.1.cmml" xref="Ch0.S1.p3.4.m1.1.1.3.2.1"></times><apply id="Ch0.S1.p3.4.m1.1.1.3.2.2.cmml" xref="Ch0.S1.p3.4.m1.1.1.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.S1.p3.4.m1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="Ch0.S1.p3.4.m1.1.1.3.2.2">subscript</csymbol><ci id="Ch0.S1.p3.4.m1.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="Ch0.S1.p3.4.m1.1.1.3.2.2.2">𝑎</ci><cn id="Ch0.S1.p3.4.m1.1.1.3.2.2.3.cmml" type="integer" xref="Ch0.S1.p3.4.m1.1.1.3.2.2.3">1</cn></apply><apply id="Ch0.S1.p3.4.m1.1.1.3.2.3.cmml" xref="Ch0.S1.p3.4.m1.1.1.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.S1.p3.4.m1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="Ch0.S1.p3.4.m1.1.1.3.2.3">subscript</csymbol><ci id="Ch0.S1.p3.4.m1.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="Ch0.S1.p3.4.m1.1.1.3.2.3.2">𝑏</ci><cn id="Ch0.S1.p3.4.m1.1.1.3.2.3.3.cmml" type="integer" xref="Ch0.S1.p3.4.m1.1.1.3.2.3.3">1</cn></apply></apply><apply id="Ch0.S1.p3.4.m1.1.1.3.3.cmml" xref="Ch0.S1.p3.4.m1.1.1.3.3"><times id="Ch0.S1.p3.4.m1.1.1.3.3.1.cmml" xref="Ch0.S1.p3.4.m1.1.1.3.3.1"></times><apply id="Ch0.S1.p3.4.m1.1.1.3.3.2.cmml" xref="Ch0.S1.p3.4.m1.1.1.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.S1.p3.4.m1.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="Ch0.S1.p3.4.m1.1.1.3.3.2">subscript</csymbol><ci id="Ch0.S1.p3.4.m1.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="Ch0.S1.p3.4.m1.1.1.3.3.2.2">𝑎</ci><cn id="Ch0.S1.p3.4.m1.1.1.3.3.2.3.cmml" type="integer" xref="Ch0.S1.p3.4.m1.1.1.3.3.2.3">2</cn></apply><apply id="Ch0.S1.p3.4.m1.1.1.3.3.3.cmml" xref="Ch0.S1.p3.4.m1.1.1.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.S1.p3.4.m1.1.1.3.3.3.1.cmml" xref="Ch0.S1.p3.4.m1.1.1.3.3.3">subscript</csymbol><ci id="Ch0.S1.p3.4.m1.1.1.3.3.3.2.cmml" xref="Ch0.S1.p3.4.m1.1.1.3.3.3.2">𝑏</ci><cn id="Ch0.S1.p3.4.m1.1.1.3.3.3.3.cmml" type="integer" xref="Ch0.S1.p3.4.m1.1.1.3.3.3.3">2</cn></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Ch0.S1.p3.4.m1.1c">\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Ch0.S1.p3.4.m1.1d">bold_italic_a ⋅ bold_italic_b = italic_a start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT italic_b start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT + italic_a start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT italic_b start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, then the above is the definition of a <math alttext="{\mathbb{Z}}_{2}\times{\mathbb{Z}}_{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="Ch0.S1.p3.5.m2.1"><semantics id="Ch0.S1.p3.5.m2.1a"><mrow id="Ch0.S1.p3.5.m2.1.1" xref="Ch0.S1.p3.5.m2.1.1.cmml"><msub id="Ch0.S1.p3.5.m2.1.1.2" xref="Ch0.S1.p3.5.m2.1.1.2.cmml"><mi id="Ch0.S1.p3.5.m2.1.1.2.2" xref="Ch0.S1.p3.5.m2.1.1.2.2.cmml">ℤ</mi><mn id="Ch0.S1.p3.5.m2.1.1.2.3" xref="Ch0.S1.p3.5.m2.1.1.2.3.cmml">2</mn></msub><mo id="Ch0.S1.p3.5.m2.1.1.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="Ch0.S1.p3.5.m2.1.1.1.cmml">×</mo><msub id="Ch0.S1.p3.5.m2.1.1.3" xref="Ch0.S1.p3.5.m2.1.1.3.cmml"><mi id="Ch0.S1.p3.5.m2.1.1.3.2" xref="Ch0.S1.p3.5.m2.1.1.3.2.cmml">ℤ</mi><mn id="Ch0.S1.p3.5.m2.1.1.3.3" xref="Ch0.S1.p3.5.m2.1.1.3.3.cmml">2</mn></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Ch0.S1.p3.5.m2.1b"><apply id="Ch0.S1.p3.5.m2.1.1.cmml" xref="Ch0.S1.p3.5.m2.1.1"><times id="Ch0.S1.p3.5.m2.1.1.1.cmml" xref="Ch0.S1.p3.5.m2.1.1.1"></times><apply id="Ch0.S1.p3.5.m2.1.1.2.cmml" xref="Ch0.S1.p3.5.m2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.S1.p3.5.m2.1.1.2.1.cmml" xref="Ch0.S1.p3.5.m2.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="Ch0.S1.p3.5.m2.1.1.2.2.cmml" xref="Ch0.S1.p3.5.m2.1.1.2.2">ℤ</ci><cn id="Ch0.S1.p3.5.m2.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="Ch0.S1.p3.5.m2.1.1.2.3">2</cn></apply><apply id="Ch0.S1.p3.5.m2.1.1.3.cmml" xref="Ch0.S1.p3.5.m2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.S1.p3.5.m2.1.1.3.1.cmml" xref="Ch0.S1.p3.5.m2.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="Ch0.S1.p3.5.m2.1.1.3.2.cmml" xref="Ch0.S1.p3.5.m2.1.1.3.2">ℤ</ci><cn id="Ch0.S1.p3.5.m2.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="Ch0.S1.p3.5.m2.1.1.3.3">2</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Ch0.S1.p3.5.m2.1c">{\mathbb{Z}}_{2}\times{\mathbb{Z}}_{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Ch0.S1.p3.5.m2.1d">blackboard_Z start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT × blackboard_Z start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>-graded Lie superalgebra <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2408.09274v1#bib.bib20" title="">Rit2 </a></cite>.</p> </div> <div class="ltx_para" id="Ch0.S1.p4"> <p class="ltx_p" id="Ch0.S1.p4.1">So in general, these algebras are not Lie algebras nor Lie superalgebras. The terminology is therefore slightly misleading. But since these terms have become common now in literature, we shall also use them.</p> </div> <div class="ltx_para" id="Ch0.S1.p5"> <p class="ltx_p" id="Ch0.S1.p5.4">Compared to the essential role of Lie algebras and Lie superalgebras, the <math alttext="{\mathbb{Z}}_{2}\times{\mathbb{Z}}_{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="Ch0.S1.p5.1.m1.1"><semantics id="Ch0.S1.p5.1.m1.1a"><mrow id="Ch0.S1.p5.1.m1.1.1" xref="Ch0.S1.p5.1.m1.1.1.cmml"><msub id="Ch0.S1.p5.1.m1.1.1.2" xref="Ch0.S1.p5.1.m1.1.1.2.cmml"><mi id="Ch0.S1.p5.1.m1.1.1.2.2" xref="Ch0.S1.p5.1.m1.1.1.2.2.cmml">ℤ</mi><mn id="Ch0.S1.p5.1.m1.1.1.2.3" xref="Ch0.S1.p5.1.m1.1.1.2.3.cmml">2</mn></msub><mo id="Ch0.S1.p5.1.m1.1.1.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="Ch0.S1.p5.1.m1.1.1.1.cmml">×</mo><msub id="Ch0.S1.p5.1.m1.1.1.3" xref="Ch0.S1.p5.1.m1.1.1.3.cmml"><mi id="Ch0.S1.p5.1.m1.1.1.3.2" xref="Ch0.S1.p5.1.m1.1.1.3.2.cmml">ℤ</mi><mn id="Ch0.S1.p5.1.m1.1.1.3.3" xref="Ch0.S1.p5.1.m1.1.1.3.3.cmml">2</mn></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Ch0.S1.p5.1.m1.1b"><apply id="Ch0.S1.p5.1.m1.1.1.cmml" xref="Ch0.S1.p5.1.m1.1.1"><times id="Ch0.S1.p5.1.m1.1.1.1.cmml" xref="Ch0.S1.p5.1.m1.1.1.1"></times><apply id="Ch0.S1.p5.1.m1.1.1.2.cmml" xref="Ch0.S1.p5.1.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.S1.p5.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="Ch0.S1.p5.1.m1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="Ch0.S1.p5.1.m1.1.1.2.2.cmml" xref="Ch0.S1.p5.1.m1.1.1.2.2">ℤ</ci><cn id="Ch0.S1.p5.1.m1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="Ch0.S1.p5.1.m1.1.1.2.3">2</cn></apply><apply id="Ch0.S1.p5.1.m1.1.1.3.cmml" xref="Ch0.S1.p5.1.m1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.S1.p5.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="Ch0.S1.p5.1.m1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="Ch0.S1.p5.1.m1.1.1.3.2.cmml" xref="Ch0.S1.p5.1.m1.1.1.3.2">ℤ</ci><cn id="Ch0.S1.p5.1.m1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="Ch0.S1.p5.1.m1.1.1.3.3">2</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Ch0.S1.p5.1.m1.1c">{\mathbb{Z}}_{2}\times{\mathbb{Z}}_{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Ch0.S1.p5.1.m1.1d">blackboard_Z start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT × blackboard_Z start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>-graded Lie (super)algebras received for many years little attention in theoretical and mathematical physics <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2408.09274v1#bib.bib17" title="">LR1978 </a>; <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2408.09274v1#bib.bib29" title="">Vasiliev1985 </a>; <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2408.09274v1#bib.bib14" title="">JYW1987 </a></cite>. Only in recent years there is renewed interest in <math alttext="{\mathbb{Z}}_{2}\times{\mathbb{Z}}_{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="Ch0.S1.p5.2.m2.1"><semantics id="Ch0.S1.p5.2.m2.1a"><mrow id="Ch0.S1.p5.2.m2.1.1" xref="Ch0.S1.p5.2.m2.1.1.cmml"><msub id="Ch0.S1.p5.2.m2.1.1.2" xref="Ch0.S1.p5.2.m2.1.1.2.cmml"><mi id="Ch0.S1.p5.2.m2.1.1.2.2" xref="Ch0.S1.p5.2.m2.1.1.2.2.cmml">ℤ</mi><mn id="Ch0.S1.p5.2.m2.1.1.2.3" xref="Ch0.S1.p5.2.m2.1.1.2.3.cmml">2</mn></msub><mo id="Ch0.S1.p5.2.m2.1.1.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="Ch0.S1.p5.2.m2.1.1.1.cmml">×</mo><msub id="Ch0.S1.p5.2.m2.1.1.3" xref="Ch0.S1.p5.2.m2.1.1.3.cmml"><mi id="Ch0.S1.p5.2.m2.1.1.3.2" xref="Ch0.S1.p5.2.m2.1.1.3.2.cmml">ℤ</mi><mn id="Ch0.S1.p5.2.m2.1.1.3.3" xref="Ch0.S1.p5.2.m2.1.1.3.3.cmml">2</mn></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Ch0.S1.p5.2.m2.1b"><apply id="Ch0.S1.p5.2.m2.1.1.cmml" xref="Ch0.S1.p5.2.m2.1.1"><times id="Ch0.S1.p5.2.m2.1.1.1.cmml" xref="Ch0.S1.p5.2.m2.1.1.1"></times><apply id="Ch0.S1.p5.2.m2.1.1.2.cmml" xref="Ch0.S1.p5.2.m2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.S1.p5.2.m2.1.1.2.1.cmml" xref="Ch0.S1.p5.2.m2.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="Ch0.S1.p5.2.m2.1.1.2.2.cmml" xref="Ch0.S1.p5.2.m2.1.1.2.2">ℤ</ci><cn id="Ch0.S1.p5.2.m2.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="Ch0.S1.p5.2.m2.1.1.2.3">2</cn></apply><apply id="Ch0.S1.p5.2.m2.1.1.3.cmml" xref="Ch0.S1.p5.2.m2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.S1.p5.2.m2.1.1.3.1.cmml" xref="Ch0.S1.p5.2.m2.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="Ch0.S1.p5.2.m2.1.1.3.2.cmml" xref="Ch0.S1.p5.2.m2.1.1.3.2">ℤ</ci><cn id="Ch0.S1.p5.2.m2.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="Ch0.S1.p5.2.m2.1.1.3.3">2</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Ch0.S1.p5.2.m2.1c">{\mathbb{Z}}_{2}\times{\mathbb{Z}}_{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Ch0.S1.p5.2.m2.1d">blackboard_Z start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT × blackboard_Z start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>-graded Lie (super)algebras. For example, such structures have appeared in symmetries of Lévy–Leblond equations <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2408.09274v1#bib.bib2" title="">Aizawa1 </a>; <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2408.09274v1#bib.bib3" title="">Aizawa3 </a></cite>, in graded (quantum) mechanics and quantization <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2408.09274v1#bib.bib8" title="">Bruce2 </a>; <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2408.09274v1#bib.bib1" title="">AMD2020 </a>; <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2408.09274v1#bib.bib4" title="">Aizawa4 </a>; <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2408.09274v1#bib.bib5" title="">Aizawa5 </a>; <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2408.09274v1#bib.bib18" title="">Quesne2021 </a></cite>, and in <math alttext="{\mathbb{Z}}_{2}\times{\mathbb{Z}}_{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="Ch0.S1.p5.3.m3.1"><semantics id="Ch0.S1.p5.3.m3.1a"><mrow id="Ch0.S1.p5.3.m3.1.1" xref="Ch0.S1.p5.3.m3.1.1.cmml"><msub id="Ch0.S1.p5.3.m3.1.1.2" xref="Ch0.S1.p5.3.m3.1.1.2.cmml"><mi id="Ch0.S1.p5.3.m3.1.1.2.2" xref="Ch0.S1.p5.3.m3.1.1.2.2.cmml">ℤ</mi><mn id="Ch0.S1.p5.3.m3.1.1.2.3" xref="Ch0.S1.p5.3.m3.1.1.2.3.cmml">2</mn></msub><mo id="Ch0.S1.p5.3.m3.1.1.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="Ch0.S1.p5.3.m3.1.1.1.cmml">×</mo><msub id="Ch0.S1.p5.3.m3.1.1.3" xref="Ch0.S1.p5.3.m3.1.1.3.cmml"><mi id="Ch0.S1.p5.3.m3.1.1.3.2" xref="Ch0.S1.p5.3.m3.1.1.3.2.cmml">ℤ</mi><mn id="Ch0.S1.p5.3.m3.1.1.3.3" xref="Ch0.S1.p5.3.m3.1.1.3.3.cmml">2</mn></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Ch0.S1.p5.3.m3.1b"><apply id="Ch0.S1.p5.3.m3.1.1.cmml" xref="Ch0.S1.p5.3.m3.1.1"><times id="Ch0.S1.p5.3.m3.1.1.1.cmml" xref="Ch0.S1.p5.3.m3.1.1.1"></times><apply id="Ch0.S1.p5.3.m3.1.1.2.cmml" xref="Ch0.S1.p5.3.m3.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.S1.p5.3.m3.1.1.2.1.cmml" xref="Ch0.S1.p5.3.m3.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="Ch0.S1.p5.3.m3.1.1.2.2.cmml" xref="Ch0.S1.p5.3.m3.1.1.2.2">ℤ</ci><cn id="Ch0.S1.p5.3.m3.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="Ch0.S1.p5.3.m3.1.1.2.3">2</cn></apply><apply id="Ch0.S1.p5.3.m3.1.1.3.cmml" xref="Ch0.S1.p5.3.m3.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.S1.p5.3.m3.1.1.3.1.cmml" xref="Ch0.S1.p5.3.m3.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="Ch0.S1.p5.3.m3.1.1.3.2.cmml" xref="Ch0.S1.p5.3.m3.1.1.3.2">ℤ</ci><cn id="Ch0.S1.p5.3.m3.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="Ch0.S1.p5.3.m3.1.1.3.3">2</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Ch0.S1.p5.3.m3.1c">{\mathbb{Z}}_{2}\times{\mathbb{Z}}_{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Ch0.S1.p5.3.m3.1d">blackboard_Z start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT × blackboard_Z start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>-graded two-dimensional models <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2408.09274v1#bib.bib6" title="">Bruce1 </a>; <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2408.09274v1#bib.bib16" title="">Toppan1 </a>; <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2408.09274v1#bib.bib7" title="">Bruce3 </a></cite>. In particular <math alttext="{\mathbb{Z}}_{2}\times{\mathbb{Z}}_{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="Ch0.S1.p5.4.m4.1"><semantics id="Ch0.S1.p5.4.m4.1a"><mrow id="Ch0.S1.p5.4.m4.1.1" xref="Ch0.S1.p5.4.m4.1.1.cmml"><msub id="Ch0.S1.p5.4.m4.1.1.2" xref="Ch0.S1.p5.4.m4.1.1.2.cmml"><mi id="Ch0.S1.p5.4.m4.1.1.2.2" xref="Ch0.S1.p5.4.m4.1.1.2.2.cmml">ℤ</mi><mn id="Ch0.S1.p5.4.m4.1.1.2.3" xref="Ch0.S1.p5.4.m4.1.1.2.3.cmml">2</mn></msub><mo id="Ch0.S1.p5.4.m4.1.1.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="Ch0.S1.p5.4.m4.1.1.1.cmml">×</mo><msub id="Ch0.S1.p5.4.m4.1.1.3" xref="Ch0.S1.p5.4.m4.1.1.3.cmml"><mi id="Ch0.S1.p5.4.m4.1.1.3.2" xref="Ch0.S1.p5.4.m4.1.1.3.2.cmml">ℤ</mi><mn id="Ch0.S1.p5.4.m4.1.1.3.3" xref="Ch0.S1.p5.4.m4.1.1.3.3.cmml">2</mn></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Ch0.S1.p5.4.m4.1b"><apply id="Ch0.S1.p5.4.m4.1.1.cmml" xref="Ch0.S1.p5.4.m4.1.1"><times id="Ch0.S1.p5.4.m4.1.1.1.cmml" xref="Ch0.S1.p5.4.m4.1.1.1"></times><apply id="Ch0.S1.p5.4.m4.1.1.2.cmml" xref="Ch0.S1.p5.4.m4.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.S1.p5.4.m4.1.1.2.1.cmml" xref="Ch0.S1.p5.4.m4.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="Ch0.S1.p5.4.m4.1.1.2.2.cmml" xref="Ch0.S1.p5.4.m4.1.1.2.2">ℤ</ci><cn id="Ch0.S1.p5.4.m4.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="Ch0.S1.p5.4.m4.1.1.2.3">2</cn></apply><apply id="Ch0.S1.p5.4.m4.1.1.3.cmml" xref="Ch0.S1.p5.4.m4.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.S1.p5.4.m4.1.1.3.1.cmml" xref="Ch0.S1.p5.4.m4.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="Ch0.S1.p5.4.m4.1.1.3.2.cmml" xref="Ch0.S1.p5.4.m4.1.1.3.2">ℤ</ci><cn id="Ch0.S1.p5.4.m4.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="Ch0.S1.p5.4.m4.1.1.3.3">2</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Ch0.S1.p5.4.m4.1c">{\mathbb{Z}}_{2}\times{\mathbb{Z}}_{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Ch0.S1.p5.4.m4.1d">blackboard_Z start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT × blackboard_Z start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>-graded Lie algebras and superalgebras have been recognized in parastatistics <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2408.09274v1#bib.bib26" title="">Tolstoy2014 </a>; <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2408.09274v1#bib.bib24" title="">SV2018 </a></cite> and in the description of parabosons and parafermions <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2408.09274v1#bib.bib27" title="">Toppan2 </a>; <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2408.09274v1#bib.bib28" title="">Toppan3 </a></cite>.</p> </div> <div class="ltx_para" id="Ch0.S1.p6"> <p class="ltx_p" id="Ch0.S1.p6.1">In <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2408.09274v1#bib.bib25" title="">SV2023 </a></cite> several classes of <math alttext="{\mathbb{Z}}_{2}\times{\mathbb{Z}}_{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="Ch0.S1.p6.1.m1.1"><semantics id="Ch0.S1.p6.1.m1.1a"><mrow id="Ch0.S1.p6.1.m1.1.1" xref="Ch0.S1.p6.1.m1.1.1.cmml"><msub id="Ch0.S1.p6.1.m1.1.1.2" xref="Ch0.S1.p6.1.m1.1.1.2.cmml"><mi id="Ch0.S1.p6.1.m1.1.1.2.2" xref="Ch0.S1.p6.1.m1.1.1.2.2.cmml">ℤ</mi><mn id="Ch0.S1.p6.1.m1.1.1.2.3" xref="Ch0.S1.p6.1.m1.1.1.2.3.cmml">2</mn></msub><mo id="Ch0.S1.p6.1.m1.1.1.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="Ch0.S1.p6.1.m1.1.1.1.cmml">×</mo><msub id="Ch0.S1.p6.1.m1.1.1.3" xref="Ch0.S1.p6.1.m1.1.1.3.cmml"><mi id="Ch0.S1.p6.1.m1.1.1.3.2" xref="Ch0.S1.p6.1.m1.1.1.3.2.cmml">ℤ</mi><mn id="Ch0.S1.p6.1.m1.1.1.3.3" xref="Ch0.S1.p6.1.m1.1.1.3.3.cmml">2</mn></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Ch0.S1.p6.1.m1.1b"><apply id="Ch0.S1.p6.1.m1.1.1.cmml" xref="Ch0.S1.p6.1.m1.1.1"><times id="Ch0.S1.p6.1.m1.1.1.1.cmml" xref="Ch0.S1.p6.1.m1.1.1.1"></times><apply id="Ch0.S1.p6.1.m1.1.1.2.cmml" xref="Ch0.S1.p6.1.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.S1.p6.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="Ch0.S1.p6.1.m1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="Ch0.S1.p6.1.m1.1.1.2.2.cmml" xref="Ch0.S1.p6.1.m1.1.1.2.2">ℤ</ci><cn id="Ch0.S1.p6.1.m1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="Ch0.S1.p6.1.m1.1.1.2.3">2</cn></apply><apply id="Ch0.S1.p6.1.m1.1.1.3.cmml" xref="Ch0.S1.p6.1.m1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.S1.p6.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="Ch0.S1.p6.1.m1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="Ch0.S1.p6.1.m1.1.1.3.2.cmml" xref="Ch0.S1.p6.1.m1.1.1.3.2">ℤ</ci><cn id="Ch0.S1.p6.1.m1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="Ch0.S1.p6.1.m1.1.1.3.3">2</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Ch0.S1.p6.1.m1.1c">{\mathbb{Z}}_{2}\times{\mathbb{Z}}_{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Ch0.S1.p6.1.m1.1d">blackboard_Z start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT × blackboard_Z start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>-graded Lie algebras corresponding to classical Lie algebras were constructed, in terms of defining matrices. In the present contribution, we will recall some of these classes, but also characterize these classes of matrix algebras in a new way, by using the notion of graded transpose.</p> </div> </section> <section class="ltx_section" id="Ch0.S2"> <h2 class="ltx_title ltx_title_section"> <span class="ltx_tag ltx_tag_section">2 </span><math alttext="{\mathbb{Z}}_{2}\times{\mathbb{Z}}_{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="Ch0.S2.1.m1.1"><semantics id="Ch0.S2.1.m1.1b"><mrow id="Ch0.S2.1.m1.1.1" xref="Ch0.S2.1.m1.1.1.cmml"><msub id="Ch0.S2.1.m1.1.1.2" xref="Ch0.S2.1.m1.1.1.2.cmml"><mi id="Ch0.S2.1.m1.1.1.2.2" xref="Ch0.S2.1.m1.1.1.2.2.cmml">ℤ</mi><mn id="Ch0.S2.1.m1.1.1.2.3" xref="Ch0.S2.1.m1.1.1.2.3.cmml">2</mn></msub><mo id="Ch0.S2.1.m1.1.1.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="Ch0.S2.1.m1.1.1.1.cmml">×</mo><msub id="Ch0.S2.1.m1.1.1.3" xref="Ch0.S2.1.m1.1.1.3.cmml"><mi id="Ch0.S2.1.m1.1.1.3.2" xref="Ch0.S2.1.m1.1.1.3.2.cmml">ℤ</mi><mn id="Ch0.S2.1.m1.1.1.3.3" xref="Ch0.S2.1.m1.1.1.3.3.cmml">2</mn></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Ch0.S2.1.m1.1c"><apply id="Ch0.S2.1.m1.1.1.cmml" xref="Ch0.S2.1.m1.1.1"><times id="Ch0.S2.1.m1.1.1.1.cmml" xref="Ch0.S2.1.m1.1.1.1"></times><apply id="Ch0.S2.1.m1.1.1.2.cmml" xref="Ch0.S2.1.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.S2.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="Ch0.S2.1.m1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="Ch0.S2.1.m1.1.1.2.2.cmml" xref="Ch0.S2.1.m1.1.1.2.2">ℤ</ci><cn id="Ch0.S2.1.m1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="Ch0.S2.1.m1.1.1.2.3">2</cn></apply><apply id="Ch0.S2.1.m1.1.1.3.cmml" xref="Ch0.S2.1.m1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.S2.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="Ch0.S2.1.m1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="Ch0.S2.1.m1.1.1.3.2.cmml" xref="Ch0.S2.1.m1.1.1.3.2">ℤ</ci><cn id="Ch0.S2.1.m1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="Ch0.S2.1.m1.1.1.3.3">2</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Ch0.S2.1.m1.1d">{\mathbb{Z}}_{2}\times{\mathbb{Z}}_{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Ch0.S2.1.m1.1e">blackboard_Z start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT × blackboard_Z start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>-graded Lie algebras</h2> <div class="ltx_para" id="Ch0.S2.p1"> <p class="ltx_p" id="Ch0.S2.p1.7">Following the definition given in the previous section, it is clear that <math alttext="\mathfrak{g}_{(0,0)}" class="ltx_Math" display="inline" id="Ch0.S2.p1.1.m1.2"><semantics id="Ch0.S2.p1.1.m1.2a"><msub id="Ch0.S2.p1.1.m1.2.3" xref="Ch0.S2.p1.1.m1.2.3.cmml"><mi id="Ch0.S2.p1.1.m1.2.3.2" xref="Ch0.S2.p1.1.m1.2.3.2.cmml">𝔤</mi><mrow id="Ch0.S2.p1.1.m1.2.2.2.4" xref="Ch0.S2.p1.1.m1.2.2.2.3.cmml"><mo id="Ch0.S2.p1.1.m1.2.2.2.4.1" stretchy="false" xref="Ch0.S2.p1.1.m1.2.2.2.3.cmml">(</mo><mn id="Ch0.S2.p1.1.m1.1.1.1.1" xref="Ch0.S2.p1.1.m1.1.1.1.1.cmml">0</mn><mo id="Ch0.S2.p1.1.m1.2.2.2.4.2" xref="Ch0.S2.p1.1.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mn id="Ch0.S2.p1.1.m1.2.2.2.2" xref="Ch0.S2.p1.1.m1.2.2.2.2.cmml">0</mn><mo id="Ch0.S2.p1.1.m1.2.2.2.4.3" stretchy="false" xref="Ch0.S2.p1.1.m1.2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Ch0.S2.p1.1.m1.2b"><apply id="Ch0.S2.p1.1.m1.2.3.cmml" xref="Ch0.S2.p1.1.m1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.S2.p1.1.m1.2.3.1.cmml" xref="Ch0.S2.p1.1.m1.2.3">subscript</csymbol><ci id="Ch0.S2.p1.1.m1.2.3.2.cmml" xref="Ch0.S2.p1.1.m1.2.3.2">𝔤</ci><interval closure="open" id="Ch0.S2.p1.1.m1.2.2.2.3.cmml" xref="Ch0.S2.p1.1.m1.2.2.2.4"><cn id="Ch0.S2.p1.1.m1.1.1.1.1.cmml" type="integer" xref="Ch0.S2.p1.1.m1.1.1.1.1">0</cn><cn id="Ch0.S2.p1.1.m1.2.2.2.2.cmml" type="integer" xref="Ch0.S2.p1.1.m1.2.2.2.2">0</cn></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Ch0.S2.p1.1.m1.2c">\mathfrak{g}_{(0,0)}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Ch0.S2.p1.1.m1.2d">fraktur_g start_POSTSUBSCRIPT ( 0 , 0 ) end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> is a Lie subalgebra of the <math alttext="{\mathbb{Z}}_{2}^{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="Ch0.S2.p1.2.m2.1"><semantics id="Ch0.S2.p1.2.m2.1a"><msubsup id="Ch0.S2.p1.2.m2.1.1" xref="Ch0.S2.p1.2.m2.1.1.cmml"><mi id="Ch0.S2.p1.2.m2.1.1.2.2" xref="Ch0.S2.p1.2.m2.1.1.2.2.cmml">ℤ</mi><mn id="Ch0.S2.p1.2.m2.1.1.2.3" xref="Ch0.S2.p1.2.m2.1.1.2.3.cmml">2</mn><mn id="Ch0.S2.p1.2.m2.1.1.3" xref="Ch0.S2.p1.2.m2.1.1.3.cmml">2</mn></msubsup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Ch0.S2.p1.2.m2.1b"><apply id="Ch0.S2.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="Ch0.S2.p1.2.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.S2.p1.2.m2.1.1.1.cmml" xref="Ch0.S2.p1.2.m2.1.1">superscript</csymbol><apply id="Ch0.S2.p1.2.m2.1.1.2.cmml" xref="Ch0.S2.p1.2.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.S2.p1.2.m2.1.1.2.1.cmml" xref="Ch0.S2.p1.2.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="Ch0.S2.p1.2.m2.1.1.2.2.cmml" xref="Ch0.S2.p1.2.m2.1.1.2.2">ℤ</ci><cn id="Ch0.S2.p1.2.m2.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="Ch0.S2.p1.2.m2.1.1.2.3">2</cn></apply><cn id="Ch0.S2.p1.2.m2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="Ch0.S2.p1.2.m2.1.1.3">2</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Ch0.S2.p1.2.m2.1c">{\mathbb{Z}}_{2}^{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Ch0.S2.p1.2.m2.1d">blackboard_Z start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>-GLA <math alttext="\mathfrak{g}" class="ltx_Math" display="inline" id="Ch0.S2.p1.3.m3.1"><semantics id="Ch0.S2.p1.3.m3.1a"><mi id="Ch0.S2.p1.3.m3.1.1" xref="Ch0.S2.p1.3.m3.1.1.cmml">𝔤</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Ch0.S2.p1.3.m3.1b"><ci id="Ch0.S2.p1.3.m3.1.1.cmml" xref="Ch0.S2.p1.3.m3.1.1">𝔤</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Ch0.S2.p1.3.m3.1c">\mathfrak{g}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Ch0.S2.p1.3.m3.1d">fraktur_g</annotation></semantics></math> and that <math alttext="\mathfrak{g}_{(0,1)}" class="ltx_Math" display="inline" id="Ch0.S2.p1.4.m4.2"><semantics id="Ch0.S2.p1.4.m4.2a"><msub id="Ch0.S2.p1.4.m4.2.3" xref="Ch0.S2.p1.4.m4.2.3.cmml"><mi id="Ch0.S2.p1.4.m4.2.3.2" xref="Ch0.S2.p1.4.m4.2.3.2.cmml">𝔤</mi><mrow id="Ch0.S2.p1.4.m4.2.2.2.4" xref="Ch0.S2.p1.4.m4.2.2.2.3.cmml"><mo id="Ch0.S2.p1.4.m4.2.2.2.4.1" stretchy="false" xref="Ch0.S2.p1.4.m4.2.2.2.3.cmml">(</mo><mn id="Ch0.S2.p1.4.m4.1.1.1.1" xref="Ch0.S2.p1.4.m4.1.1.1.1.cmml">0</mn><mo id="Ch0.S2.p1.4.m4.2.2.2.4.2" xref="Ch0.S2.p1.4.m4.2.2.2.3.cmml">,</mo><mn id="Ch0.S2.p1.4.m4.2.2.2.2" xref="Ch0.S2.p1.4.m4.2.2.2.2.cmml">1</mn><mo id="Ch0.S2.p1.4.m4.2.2.2.4.3" stretchy="false" xref="Ch0.S2.p1.4.m4.2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Ch0.S2.p1.4.m4.2b"><apply id="Ch0.S2.p1.4.m4.2.3.cmml" xref="Ch0.S2.p1.4.m4.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.S2.p1.4.m4.2.3.1.cmml" xref="Ch0.S2.p1.4.m4.2.3">subscript</csymbol><ci id="Ch0.S2.p1.4.m4.2.3.2.cmml" xref="Ch0.S2.p1.4.m4.2.3.2">𝔤</ci><interval closure="open" id="Ch0.S2.p1.4.m4.2.2.2.3.cmml" xref="Ch0.S2.p1.4.m4.2.2.2.4"><cn id="Ch0.S2.p1.4.m4.1.1.1.1.cmml" type="integer" xref="Ch0.S2.p1.4.m4.1.1.1.1">0</cn><cn id="Ch0.S2.p1.4.m4.2.2.2.2.cmml" type="integer" xref="Ch0.S2.p1.4.m4.2.2.2.2">1</cn></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Ch0.S2.p1.4.m4.2c">\mathfrak{g}_{(0,1)}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Ch0.S2.p1.4.m4.2d">fraktur_g start_POSTSUBSCRIPT ( 0 , 1 ) end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, <math alttext="\mathfrak{g}_{(1,0)}" class="ltx_Math" display="inline" id="Ch0.S2.p1.5.m5.2"><semantics id="Ch0.S2.p1.5.m5.2a"><msub id="Ch0.S2.p1.5.m5.2.3" xref="Ch0.S2.p1.5.m5.2.3.cmml"><mi id="Ch0.S2.p1.5.m5.2.3.2" xref="Ch0.S2.p1.5.m5.2.3.2.cmml">𝔤</mi><mrow id="Ch0.S2.p1.5.m5.2.2.2.4" xref="Ch0.S2.p1.5.m5.2.2.2.3.cmml"><mo id="Ch0.S2.p1.5.m5.2.2.2.4.1" stretchy="false" xref="Ch0.S2.p1.5.m5.2.2.2.3.cmml">(</mo><mn id="Ch0.S2.p1.5.m5.1.1.1.1" xref="Ch0.S2.p1.5.m5.1.1.1.1.cmml">1</mn><mo id="Ch0.S2.p1.5.m5.2.2.2.4.2" xref="Ch0.S2.p1.5.m5.2.2.2.3.cmml">,</mo><mn id="Ch0.S2.p1.5.m5.2.2.2.2" xref="Ch0.S2.p1.5.m5.2.2.2.2.cmml">0</mn><mo id="Ch0.S2.p1.5.m5.2.2.2.4.3" stretchy="false" xref="Ch0.S2.p1.5.m5.2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Ch0.S2.p1.5.m5.2b"><apply id="Ch0.S2.p1.5.m5.2.3.cmml" xref="Ch0.S2.p1.5.m5.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.S2.p1.5.m5.2.3.1.cmml" xref="Ch0.S2.p1.5.m5.2.3">subscript</csymbol><ci id="Ch0.S2.p1.5.m5.2.3.2.cmml" xref="Ch0.S2.p1.5.m5.2.3.2">𝔤</ci><interval closure="open" id="Ch0.S2.p1.5.m5.2.2.2.3.cmml" xref="Ch0.S2.p1.5.m5.2.2.2.4"><cn id="Ch0.S2.p1.5.m5.1.1.1.1.cmml" type="integer" xref="Ch0.S2.p1.5.m5.1.1.1.1">1</cn><cn id="Ch0.S2.p1.5.m5.2.2.2.2.cmml" type="integer" xref="Ch0.S2.p1.5.m5.2.2.2.2">0</cn></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Ch0.S2.p1.5.m5.2c">\mathfrak{g}_{(1,0)}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Ch0.S2.p1.5.m5.2d">fraktur_g start_POSTSUBSCRIPT ( 1 , 0 ) end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> and <math alttext="\mathfrak{g}_{(1,1)}" class="ltx_Math" display="inline" id="Ch0.S2.p1.6.m6.2"><semantics id="Ch0.S2.p1.6.m6.2a"><msub id="Ch0.S2.p1.6.m6.2.3" xref="Ch0.S2.p1.6.m6.2.3.cmml"><mi id="Ch0.S2.p1.6.m6.2.3.2" xref="Ch0.S2.p1.6.m6.2.3.2.cmml">𝔤</mi><mrow id="Ch0.S2.p1.6.m6.2.2.2.4" xref="Ch0.S2.p1.6.m6.2.2.2.3.cmml"><mo id="Ch0.S2.p1.6.m6.2.2.2.4.1" stretchy="false" xref="Ch0.S2.p1.6.m6.2.2.2.3.cmml">(</mo><mn id="Ch0.S2.p1.6.m6.1.1.1.1" xref="Ch0.S2.p1.6.m6.1.1.1.1.cmml">1</mn><mo id="Ch0.S2.p1.6.m6.2.2.2.4.2" xref="Ch0.S2.p1.6.m6.2.2.2.3.cmml">,</mo><mn id="Ch0.S2.p1.6.m6.2.2.2.2" xref="Ch0.S2.p1.6.m6.2.2.2.2.cmml">1</mn><mo id="Ch0.S2.p1.6.m6.2.2.2.4.3" stretchy="false" xref="Ch0.S2.p1.6.m6.2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Ch0.S2.p1.6.m6.2b"><apply id="Ch0.S2.p1.6.m6.2.3.cmml" xref="Ch0.S2.p1.6.m6.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.S2.p1.6.m6.2.3.1.cmml" xref="Ch0.S2.p1.6.m6.2.3">subscript</csymbol><ci id="Ch0.S2.p1.6.m6.2.3.2.cmml" xref="Ch0.S2.p1.6.m6.2.3.2">𝔤</ci><interval closure="open" id="Ch0.S2.p1.6.m6.2.2.2.3.cmml" xref="Ch0.S2.p1.6.m6.2.2.2.4"><cn id="Ch0.S2.p1.6.m6.1.1.1.1.cmml" type="integer" xref="Ch0.S2.p1.6.m6.1.1.1.1">1</cn><cn id="Ch0.S2.p1.6.m6.2.2.2.2.cmml" type="integer" xref="Ch0.S2.p1.6.m6.2.2.2.2">1</cn></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Ch0.S2.p1.6.m6.2c">\mathfrak{g}_{(1,1)}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Ch0.S2.p1.6.m6.2d">fraktur_g start_POSTSUBSCRIPT ( 1 , 1 ) end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> are <math alttext="\mathfrak{g}_{(0,0)}" class="ltx_Math" display="inline" id="Ch0.S2.p1.7.m7.2"><semantics id="Ch0.S2.p1.7.m7.2a"><msub id="Ch0.S2.p1.7.m7.2.3" xref="Ch0.S2.p1.7.m7.2.3.cmml"><mi id="Ch0.S2.p1.7.m7.2.3.2" xref="Ch0.S2.p1.7.m7.2.3.2.cmml">𝔤</mi><mrow id="Ch0.S2.p1.7.m7.2.2.2.4" xref="Ch0.S2.p1.7.m7.2.2.2.3.cmml"><mo id="Ch0.S2.p1.7.m7.2.2.2.4.1" stretchy="false" xref="Ch0.S2.p1.7.m7.2.2.2.3.cmml">(</mo><mn id="Ch0.S2.p1.7.m7.1.1.1.1" xref="Ch0.S2.p1.7.m7.1.1.1.1.cmml">0</mn><mo id="Ch0.S2.p1.7.m7.2.2.2.4.2" xref="Ch0.S2.p1.7.m7.2.2.2.3.cmml">,</mo><mn id="Ch0.S2.p1.7.m7.2.2.2.2" xref="Ch0.S2.p1.7.m7.2.2.2.2.cmml">0</mn><mo id="Ch0.S2.p1.7.m7.2.2.2.4.3" stretchy="false" xref="Ch0.S2.p1.7.m7.2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Ch0.S2.p1.7.m7.2b"><apply id="Ch0.S2.p1.7.m7.2.3.cmml" xref="Ch0.S2.p1.7.m7.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.S2.p1.7.m7.2.3.1.cmml" xref="Ch0.S2.p1.7.m7.2.3">subscript</csymbol><ci id="Ch0.S2.p1.7.m7.2.3.2.cmml" xref="Ch0.S2.p1.7.m7.2.3.2">𝔤</ci><interval closure="open" id="Ch0.S2.p1.7.m7.2.2.2.3.cmml" xref="Ch0.S2.p1.7.m7.2.2.2.4"><cn id="Ch0.S2.p1.7.m7.1.1.1.1.cmml" type="integer" xref="Ch0.S2.p1.7.m7.1.1.1.1">0</cn><cn id="Ch0.S2.p1.7.m7.2.2.2.2.cmml" type="integer" xref="Ch0.S2.p1.7.m7.2.2.2.2">0</cn></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Ch0.S2.p1.7.m7.2c">\mathfrak{g}_{(0,0)}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Ch0.S2.p1.7.m7.2d">fraktur_g start_POSTSUBSCRIPT ( 0 , 0 ) end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>-modules. It will be useful to list the brackets (commutators or anticommutators) among the subspaces more explicitly:</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="Ch0.E7"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="[\mathfrak{g}_{(0,0)},\mathfrak{g}_{\boldsymbol{a}}]\subset\mathfrak{g}_{% \boldsymbol{a}},\quad[\mathfrak{g}_{\boldsymbol{a}},\mathfrak{g}_{\boldsymbol{% a}}]\subset\mathfrak{g}_{(0,0)},\qquad\boldsymbol{a}\in{\mathbb{Z}}_{2}\times{% \mathbb{Z}}_{2}" class="ltx_Math" display="block" id="Ch0.E7.m1.6"><semantics id="Ch0.E7.m1.6a"><mrow id="Ch0.E7.m1.6.6.2" xref="Ch0.E7.m1.6.6.3.cmml"><mrow id="Ch0.E7.m1.5.5.1.1" xref="Ch0.E7.m1.5.5.1.1.cmml"><mrow id="Ch0.E7.m1.5.5.1.1.2.2" xref="Ch0.E7.m1.5.5.1.1.2.3.cmml"><mo id="Ch0.E7.m1.5.5.1.1.2.2.3" stretchy="false" xref="Ch0.E7.m1.5.5.1.1.2.3.cmml">[</mo><msub id="Ch0.E7.m1.5.5.1.1.1.1.1" xref="Ch0.E7.m1.5.5.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="Ch0.E7.m1.5.5.1.1.1.1.1.2" xref="Ch0.E7.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.cmml">𝔤</mi><mrow id="Ch0.E7.m1.2.2.2.4" xref="Ch0.E7.m1.2.2.2.3.cmml"><mo id="Ch0.E7.m1.2.2.2.4.1" stretchy="false" xref="Ch0.E7.m1.2.2.2.3.cmml">(</mo><mn id="Ch0.E7.m1.1.1.1.1" xref="Ch0.E7.m1.1.1.1.1.cmml">0</mn><mo id="Ch0.E7.m1.2.2.2.4.2" xref="Ch0.E7.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mn id="Ch0.E7.m1.2.2.2.2" xref="Ch0.E7.m1.2.2.2.2.cmml">0</mn><mo id="Ch0.E7.m1.2.2.2.4.3" stretchy="false" xref="Ch0.E7.m1.2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></msub><mo id="Ch0.E7.m1.5.5.1.1.2.2.4" xref="Ch0.E7.m1.5.5.1.1.2.3.cmml">,</mo><msub id="Ch0.E7.m1.5.5.1.1.2.2.2" xref="Ch0.E7.m1.5.5.1.1.2.2.2.cmml"><mi id="Ch0.E7.m1.5.5.1.1.2.2.2.2" xref="Ch0.E7.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.cmml">𝔤</mi><mi id="Ch0.E7.m1.5.5.1.1.2.2.2.3" xref="Ch0.E7.m1.5.5.1.1.2.2.2.3.cmml">𝒂</mi></msub><mo id="Ch0.E7.m1.5.5.1.1.2.2.5" stretchy="false" xref="Ch0.E7.m1.5.5.1.1.2.3.cmml">]</mo></mrow><mo id="Ch0.E7.m1.5.5.1.1.3" xref="Ch0.E7.m1.5.5.1.1.3.cmml">⊂</mo><msub id="Ch0.E7.m1.5.5.1.1.4" xref="Ch0.E7.m1.5.5.1.1.4.cmml"><mi id="Ch0.E7.m1.5.5.1.1.4.2" xref="Ch0.E7.m1.5.5.1.1.4.2.cmml">𝔤</mi><mi id="Ch0.E7.m1.5.5.1.1.4.3" xref="Ch0.E7.m1.5.5.1.1.4.3.cmml">𝒂</mi></msub></mrow><mo id="Ch0.E7.m1.6.6.2.3" rspace="1.167em" xref="Ch0.E7.m1.6.6.3a.cmml">,</mo><mrow id="Ch0.E7.m1.6.6.2.2.2" xref="Ch0.E7.m1.6.6.2.2.3.cmml"><mrow id="Ch0.E7.m1.6.6.2.2.1.1" xref="Ch0.E7.m1.6.6.2.2.1.1.cmml"><mrow id="Ch0.E7.m1.6.6.2.2.1.1.2.2" xref="Ch0.E7.m1.6.6.2.2.1.1.2.3.cmml"><mo id="Ch0.E7.m1.6.6.2.2.1.1.2.2.3" stretchy="false" xref="Ch0.E7.m1.6.6.2.2.1.1.2.3.cmml">[</mo><msub id="Ch0.E7.m1.6.6.2.2.1.1.1.1.1" xref="Ch0.E7.m1.6.6.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="Ch0.E7.m1.6.6.2.2.1.1.1.1.1.2" xref="Ch0.E7.m1.6.6.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml">𝔤</mi><mi id="Ch0.E7.m1.6.6.2.2.1.1.1.1.1.3" xref="Ch0.E7.m1.6.6.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml">𝒂</mi></msub><mo id="Ch0.E7.m1.6.6.2.2.1.1.2.2.4" xref="Ch0.E7.m1.6.6.2.2.1.1.2.3.cmml">,</mo><msub id="Ch0.E7.m1.6.6.2.2.1.1.2.2.2" xref="Ch0.E7.m1.6.6.2.2.1.1.2.2.2.cmml"><mi id="Ch0.E7.m1.6.6.2.2.1.1.2.2.2.2" xref="Ch0.E7.m1.6.6.2.2.1.1.2.2.2.2.cmml">𝔤</mi><mi id="Ch0.E7.m1.6.6.2.2.1.1.2.2.2.3" xref="Ch0.E7.m1.6.6.2.2.1.1.2.2.2.3.cmml">𝒂</mi></msub><mo id="Ch0.E7.m1.6.6.2.2.1.1.2.2.5" stretchy="false" xref="Ch0.E7.m1.6.6.2.2.1.1.2.3.cmml">]</mo></mrow><mo id="Ch0.E7.m1.6.6.2.2.1.1.3" xref="Ch0.E7.m1.6.6.2.2.1.1.3.cmml">⊂</mo><msub id="Ch0.E7.m1.6.6.2.2.1.1.4" xref="Ch0.E7.m1.6.6.2.2.1.1.4.cmml"><mi id="Ch0.E7.m1.6.6.2.2.1.1.4.2" xref="Ch0.E7.m1.6.6.2.2.1.1.4.2.cmml">𝔤</mi><mrow id="Ch0.E7.m1.4.4.2.4" xref="Ch0.E7.m1.4.4.2.3.cmml"><mo id="Ch0.E7.m1.4.4.2.4.1" stretchy="false" xref="Ch0.E7.m1.4.4.2.3.cmml">(</mo><mn id="Ch0.E7.m1.3.3.1.1" xref="Ch0.E7.m1.3.3.1.1.cmml">0</mn><mo id="Ch0.E7.m1.4.4.2.4.2" xref="Ch0.E7.m1.4.4.2.3.cmml">,</mo><mn id="Ch0.E7.m1.4.4.2.2" xref="Ch0.E7.m1.4.4.2.2.cmml">0</mn><mo id="Ch0.E7.m1.4.4.2.4.3" stretchy="false" xref="Ch0.E7.m1.4.4.2.3.cmml">)</mo></mrow></msub></mrow><mo id="Ch0.E7.m1.6.6.2.2.2.3" rspace="2.167em" xref="Ch0.E7.m1.6.6.2.2.3a.cmml">,</mo><mrow id="Ch0.E7.m1.6.6.2.2.2.2" xref="Ch0.E7.m1.6.6.2.2.2.2.cmml"><mi id="Ch0.E7.m1.6.6.2.2.2.2.2" xref="Ch0.E7.m1.6.6.2.2.2.2.2.cmml">𝒂</mi><mo id="Ch0.E7.m1.6.6.2.2.2.2.1" xref="Ch0.E7.m1.6.6.2.2.2.2.1.cmml">∈</mo><mrow id="Ch0.E7.m1.6.6.2.2.2.2.3" xref="Ch0.E7.m1.6.6.2.2.2.2.3.cmml"><msub id="Ch0.E7.m1.6.6.2.2.2.2.3.2" xref="Ch0.E7.m1.6.6.2.2.2.2.3.2.cmml"><mi id="Ch0.E7.m1.6.6.2.2.2.2.3.2.2" xref="Ch0.E7.m1.6.6.2.2.2.2.3.2.2.cmml">ℤ</mi><mn id="Ch0.E7.m1.6.6.2.2.2.2.3.2.3" xref="Ch0.E7.m1.6.6.2.2.2.2.3.2.3.cmml">2</mn></msub><mo id="Ch0.E7.m1.6.6.2.2.2.2.3.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="Ch0.E7.m1.6.6.2.2.2.2.3.1.cmml">×</mo><msub id="Ch0.E7.m1.6.6.2.2.2.2.3.3" xref="Ch0.E7.m1.6.6.2.2.2.2.3.3.cmml"><mi id="Ch0.E7.m1.6.6.2.2.2.2.3.3.2" xref="Ch0.E7.m1.6.6.2.2.2.2.3.3.2.cmml">ℤ</mi><mn id="Ch0.E7.m1.6.6.2.2.2.2.3.3.3" xref="Ch0.E7.m1.6.6.2.2.2.2.3.3.3.cmml">2</mn></msub></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Ch0.E7.m1.6b"><apply id="Ch0.E7.m1.6.6.3.cmml" xref="Ch0.E7.m1.6.6.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.E7.m1.6.6.3a.cmml" xref="Ch0.E7.m1.6.6.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="Ch0.E7.m1.5.5.1.1.cmml" xref="Ch0.E7.m1.5.5.1.1"><subset id="Ch0.E7.m1.5.5.1.1.3.cmml" xref="Ch0.E7.m1.5.5.1.1.3"></subset><interval closure="closed" id="Ch0.E7.m1.5.5.1.1.2.3.cmml" xref="Ch0.E7.m1.5.5.1.1.2.2"><apply id="Ch0.E7.m1.5.5.1.1.1.1.1.cmml" xref="Ch0.E7.m1.5.5.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.E7.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="Ch0.E7.m1.5.5.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="Ch0.E7.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="Ch0.E7.m1.5.5.1.1.1.1.1.2">𝔤</ci><interval closure="open" id="Ch0.E7.m1.2.2.2.3.cmml" xref="Ch0.E7.m1.2.2.2.4"><cn id="Ch0.E7.m1.1.1.1.1.cmml" type="integer" xref="Ch0.E7.m1.1.1.1.1">0</cn><cn id="Ch0.E7.m1.2.2.2.2.cmml" type="integer" xref="Ch0.E7.m1.2.2.2.2">0</cn></interval></apply><apply id="Ch0.E7.m1.5.5.1.1.2.2.2.cmml" xref="Ch0.E7.m1.5.5.1.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.E7.m1.5.5.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="Ch0.E7.m1.5.5.1.1.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="Ch0.E7.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="Ch0.E7.m1.5.5.1.1.2.2.2.2">𝔤</ci><ci id="Ch0.E7.m1.5.5.1.1.2.2.2.3.cmml" xref="Ch0.E7.m1.5.5.1.1.2.2.2.3">𝒂</ci></apply></interval><apply id="Ch0.E7.m1.5.5.1.1.4.cmml" xref="Ch0.E7.m1.5.5.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.E7.m1.5.5.1.1.4.1.cmml" xref="Ch0.E7.m1.5.5.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="Ch0.E7.m1.5.5.1.1.4.2.cmml" xref="Ch0.E7.m1.5.5.1.1.4.2">𝔤</ci><ci id="Ch0.E7.m1.5.5.1.1.4.3.cmml" xref="Ch0.E7.m1.5.5.1.1.4.3">𝒂</ci></apply></apply><apply id="Ch0.E7.m1.6.6.2.2.3.cmml" xref="Ch0.E7.m1.6.6.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.E7.m1.6.6.2.2.3a.cmml" xref="Ch0.E7.m1.6.6.2.2.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="Ch0.E7.m1.6.6.2.2.1.1.cmml" xref="Ch0.E7.m1.6.6.2.2.1.1"><subset 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\mathbb{Z}}_{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Ch0.E7.m1.6d">[ fraktur_g start_POSTSUBSCRIPT ( 0 , 0 ) end_POSTSUBSCRIPT , fraktur_g start_POSTSUBSCRIPT bold_italic_a end_POSTSUBSCRIPT ] ⊂ fraktur_g start_POSTSUBSCRIPT bold_italic_a end_POSTSUBSCRIPT , [ fraktur_g start_POSTSUBSCRIPT bold_italic_a end_POSTSUBSCRIPT , fraktur_g start_POSTSUBSCRIPT bold_italic_a end_POSTSUBSCRIPT ] ⊂ fraktur_g start_POSTSUBSCRIPT ( 0 , 0 ) end_POSTSUBSCRIPT , bold_italic_a ∈ blackboard_Z start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT × blackboard_Z start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(7)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="Ch0.S2.p1.17">and</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="Ch0.E8"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\{\mathfrak{g}_{\boldsymbol{a}},\mathfrak{g}_{\boldsymbol{b}}\}\subset% \mathfrak{g}_{\boldsymbol{c}}" class="ltx_Math" display="block" id="Ch0.E8.m1.2"><semantics id="Ch0.E8.m1.2a"><mrow id="Ch0.E8.m1.2.2" xref="Ch0.E8.m1.2.2.cmml"><mrow id="Ch0.E8.m1.2.2.2.2" xref="Ch0.E8.m1.2.2.2.3.cmml"><mo id="Ch0.E8.m1.2.2.2.2.3" stretchy="false" xref="Ch0.E8.m1.2.2.2.3.cmml">{</mo><msub id="Ch0.E8.m1.1.1.1.1.1" xref="Ch0.E8.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="Ch0.E8.m1.1.1.1.1.1.2" xref="Ch0.E8.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">𝔤</mi><mi id="Ch0.E8.m1.1.1.1.1.1.3" xref="Ch0.E8.m1.1.1.1.1.1.3.cmml">𝒂</mi></msub><mo id="Ch0.E8.m1.2.2.2.2.4" xref="Ch0.E8.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><msub id="Ch0.E8.m1.2.2.2.2.2" xref="Ch0.E8.m1.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="Ch0.E8.m1.2.2.2.2.2.2" xref="Ch0.E8.m1.2.2.2.2.2.2.cmml">𝔤</mi><mi id="Ch0.E8.m1.2.2.2.2.2.3" 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id="Ch0.S2.p1.9.m2.1a"><mi id="Ch0.S2.p1.9.m2.1.1" xref="Ch0.S2.p1.9.m2.1.1.cmml">𝒃</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Ch0.S2.p1.9.m2.1b"><ci id="Ch0.S2.p1.9.m2.1.1.cmml" xref="Ch0.S2.p1.9.m2.1.1">𝒃</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Ch0.S2.p1.9.m2.1c">\boldsymbol{b}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Ch0.S2.p1.9.m2.1d">bold_italic_b</annotation></semantics></math> and <math alttext="\boldsymbol{c}" class="ltx_Math" display="inline" id="Ch0.S2.p1.10.m3.1"><semantics id="Ch0.S2.p1.10.m3.1a"><mi id="Ch0.S2.p1.10.m3.1.1" xref="Ch0.S2.p1.10.m3.1.1.cmml">𝒄</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Ch0.S2.p1.10.m3.1b"><ci id="Ch0.S2.p1.10.m3.1.1.cmml" xref="Ch0.S2.p1.10.m3.1.1">𝒄</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Ch0.S2.p1.10.m3.1c">\boldsymbol{c}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Ch0.S2.p1.10.m3.1d">bold_italic_c</annotation></semantics></math> are mutually distinct elements of <math alttext="\{(1,0),(0,1),(1,1)\}" class="ltx_Math" display="inline" id="Ch0.S2.p1.11.m4.9"><semantics id="Ch0.S2.p1.11.m4.9a"><mrow id="Ch0.S2.p1.11.m4.9.9.3" xref="Ch0.S2.p1.11.m4.9.9.4.cmml"><mo id="Ch0.S2.p1.11.m4.9.9.3.4" stretchy="false" xref="Ch0.S2.p1.11.m4.9.9.4.cmml">{</mo><mrow id="Ch0.S2.p1.11.m4.7.7.1.1.2" xref="Ch0.S2.p1.11.m4.7.7.1.1.1.cmml"><mo id="Ch0.S2.p1.11.m4.7.7.1.1.2.1" stretchy="false" xref="Ch0.S2.p1.11.m4.7.7.1.1.1.cmml">(</mo><mn id="Ch0.S2.p1.11.m4.1.1" xref="Ch0.S2.p1.11.m4.1.1.cmml">1</mn><mo id="Ch0.S2.p1.11.m4.7.7.1.1.2.2" xref="Ch0.S2.p1.11.m4.7.7.1.1.1.cmml">,</mo><mn id="Ch0.S2.p1.11.m4.2.2" xref="Ch0.S2.p1.11.m4.2.2.cmml">0</mn><mo id="Ch0.S2.p1.11.m4.7.7.1.1.2.3" stretchy="false" xref="Ch0.S2.p1.11.m4.7.7.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="Ch0.S2.p1.11.m4.9.9.3.5" xref="Ch0.S2.p1.11.m4.9.9.4.cmml">,</mo><mrow id="Ch0.S2.p1.11.m4.8.8.2.2.2" xref="Ch0.S2.p1.11.m4.8.8.2.2.1.cmml"><mo id="Ch0.S2.p1.11.m4.8.8.2.2.2.1" stretchy="false" xref="Ch0.S2.p1.11.m4.8.8.2.2.1.cmml">(</mo><mn id="Ch0.S2.p1.11.m4.3.3" xref="Ch0.S2.p1.11.m4.3.3.cmml">0</mn><mo id="Ch0.S2.p1.11.m4.8.8.2.2.2.2" xref="Ch0.S2.p1.11.m4.8.8.2.2.1.cmml">,</mo><mn id="Ch0.S2.p1.11.m4.4.4" xref="Ch0.S2.p1.11.m4.4.4.cmml">1</mn><mo id="Ch0.S2.p1.11.m4.8.8.2.2.2.3" stretchy="false" xref="Ch0.S2.p1.11.m4.8.8.2.2.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="Ch0.S2.p1.11.m4.9.9.3.6" xref="Ch0.S2.p1.11.m4.9.9.4.cmml">,</mo><mrow id="Ch0.S2.p1.11.m4.9.9.3.3.2" xref="Ch0.S2.p1.11.m4.9.9.3.3.1.cmml"><mo id="Ch0.S2.p1.11.m4.9.9.3.3.2.1" stretchy="false" xref="Ch0.S2.p1.11.m4.9.9.3.3.1.cmml">(</mo><mn id="Ch0.S2.p1.11.m4.5.5" xref="Ch0.S2.p1.11.m4.5.5.cmml">1</mn><mo id="Ch0.S2.p1.11.m4.9.9.3.3.2.2" xref="Ch0.S2.p1.11.m4.9.9.3.3.1.cmml">,</mo><mn id="Ch0.S2.p1.11.m4.6.6" xref="Ch0.S2.p1.11.m4.6.6.cmml">1</mn><mo id="Ch0.S2.p1.11.m4.9.9.3.3.2.3" stretchy="false" xref="Ch0.S2.p1.11.m4.9.9.3.3.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="Ch0.S2.p1.11.m4.9.9.3.7" stretchy="false" xref="Ch0.S2.p1.11.m4.9.9.4.cmml">}</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Ch0.S2.p1.11.m4.9b"><set id="Ch0.S2.p1.11.m4.9.9.4.cmml" xref="Ch0.S2.p1.11.m4.9.9.3"><interval closure="open" id="Ch0.S2.p1.11.m4.7.7.1.1.1.cmml" xref="Ch0.S2.p1.11.m4.7.7.1.1.2"><cn id="Ch0.S2.p1.11.m4.1.1.cmml" type="integer" xref="Ch0.S2.p1.11.m4.1.1">1</cn><cn id="Ch0.S2.p1.11.m4.2.2.cmml" type="integer" xref="Ch0.S2.p1.11.m4.2.2">0</cn></interval><interval closure="open" id="Ch0.S2.p1.11.m4.8.8.2.2.1.cmml" xref="Ch0.S2.p1.11.m4.8.8.2.2.2"><cn id="Ch0.S2.p1.11.m4.3.3.cmml" type="integer" xref="Ch0.S2.p1.11.m4.3.3">0</cn><cn id="Ch0.S2.p1.11.m4.4.4.cmml" type="integer" xref="Ch0.S2.p1.11.m4.4.4">1</cn></interval><interval closure="open" id="Ch0.S2.p1.11.m4.9.9.3.3.1.cmml" xref="Ch0.S2.p1.11.m4.9.9.3.3.2"><cn id="Ch0.S2.p1.11.m4.5.5.cmml" type="integer" xref="Ch0.S2.p1.11.m4.5.5">1</cn><cn id="Ch0.S2.p1.11.m4.6.6.cmml" type="integer" xref="Ch0.S2.p1.11.m4.6.6">1</cn></interval></set></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Ch0.S2.p1.11.m4.9c">\{(1,0),(0,1),(1,1)\}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Ch0.S2.p1.11.m4.9d">{ ( 1 , 0 ) , ( 0 , 1 ) , ( 1 , 1 ) }</annotation></semantics></math>. Thus if <math alttext="\mathfrak{g}=\mathfrak{g}_{(0,0)}\oplus\mathfrak{g}_{(0,1)}\oplus\mathfrak{g}_% {(1,0)}\oplus\mathfrak{g}_{(1,1)}" class="ltx_Math" display="inline" id="Ch0.S2.p1.12.m5.8"><semantics id="Ch0.S2.p1.12.m5.8a"><mrow id="Ch0.S2.p1.12.m5.8.9" xref="Ch0.S2.p1.12.m5.8.9.cmml"><mi id="Ch0.S2.p1.12.m5.8.9.2" xref="Ch0.S2.p1.12.m5.8.9.2.cmml">𝔤</mi><mo id="Ch0.S2.p1.12.m5.8.9.1" xref="Ch0.S2.p1.12.m5.8.9.1.cmml">=</mo><mrow id="Ch0.S2.p1.12.m5.8.9.3" xref="Ch0.S2.p1.12.m5.8.9.3.cmml"><msub id="Ch0.S2.p1.12.m5.8.9.3.2" xref="Ch0.S2.p1.12.m5.8.9.3.2.cmml"><mi id="Ch0.S2.p1.12.m5.8.9.3.2.2" xref="Ch0.S2.p1.12.m5.8.9.3.2.2.cmml">𝔤</mi><mrow id="Ch0.S2.p1.12.m5.2.2.2.4" xref="Ch0.S2.p1.12.m5.2.2.2.3.cmml"><mo id="Ch0.S2.p1.12.m5.2.2.2.4.1" stretchy="false" xref="Ch0.S2.p1.12.m5.2.2.2.3.cmml">(</mo><mn id="Ch0.S2.p1.12.m5.1.1.1.1" xref="Ch0.S2.p1.12.m5.1.1.1.1.cmml">0</mn><mo id="Ch0.S2.p1.12.m5.2.2.2.4.2" xref="Ch0.S2.p1.12.m5.2.2.2.3.cmml">,</mo><mn id="Ch0.S2.p1.12.m5.2.2.2.2" xref="Ch0.S2.p1.12.m5.2.2.2.2.cmml">0</mn><mo id="Ch0.S2.p1.12.m5.2.2.2.4.3" stretchy="false" xref="Ch0.S2.p1.12.m5.2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></msub><mo id="Ch0.S2.p1.12.m5.8.9.3.1" xref="Ch0.S2.p1.12.m5.8.9.3.1.cmml">⊕</mo><msub id="Ch0.S2.p1.12.m5.8.9.3.3" xref="Ch0.S2.p1.12.m5.8.9.3.3.cmml"><mi id="Ch0.S2.p1.12.m5.8.9.3.3.2" xref="Ch0.S2.p1.12.m5.8.9.3.3.2.cmml">𝔤</mi><mrow id="Ch0.S2.p1.12.m5.4.4.2.4" xref="Ch0.S2.p1.12.m5.4.4.2.3.cmml"><mo id="Ch0.S2.p1.12.m5.4.4.2.4.1" stretchy="false" xref="Ch0.S2.p1.12.m5.4.4.2.3.cmml">(</mo><mn id="Ch0.S2.p1.12.m5.3.3.1.1" xref="Ch0.S2.p1.12.m5.3.3.1.1.cmml">0</mn><mo id="Ch0.S2.p1.12.m5.4.4.2.4.2" xref="Ch0.S2.p1.12.m5.4.4.2.3.cmml">,</mo><mn id="Ch0.S2.p1.12.m5.4.4.2.2" xref="Ch0.S2.p1.12.m5.4.4.2.2.cmml">1</mn><mo id="Ch0.S2.p1.12.m5.4.4.2.4.3" stretchy="false" xref="Ch0.S2.p1.12.m5.4.4.2.3.cmml">)</mo></mrow></msub><mo id="Ch0.S2.p1.12.m5.8.9.3.1a" xref="Ch0.S2.p1.12.m5.8.9.3.1.cmml">⊕</mo><msub id="Ch0.S2.p1.12.m5.8.9.3.4" xref="Ch0.S2.p1.12.m5.8.9.3.4.cmml"><mi id="Ch0.S2.p1.12.m5.8.9.3.4.2" xref="Ch0.S2.p1.12.m5.8.9.3.4.2.cmml">𝔤</mi><mrow id="Ch0.S2.p1.12.m5.6.6.2.4" xref="Ch0.S2.p1.12.m5.6.6.2.3.cmml"><mo id="Ch0.S2.p1.12.m5.6.6.2.4.1" stretchy="false" xref="Ch0.S2.p1.12.m5.6.6.2.3.cmml">(</mo><mn id="Ch0.S2.p1.12.m5.5.5.1.1" xref="Ch0.S2.p1.12.m5.5.5.1.1.cmml">1</mn><mo id="Ch0.S2.p1.12.m5.6.6.2.4.2" xref="Ch0.S2.p1.12.m5.6.6.2.3.cmml">,</mo><mn id="Ch0.S2.p1.12.m5.6.6.2.2" xref="Ch0.S2.p1.12.m5.6.6.2.2.cmml">0</mn><mo id="Ch0.S2.p1.12.m5.6.6.2.4.3" stretchy="false" xref="Ch0.S2.p1.12.m5.6.6.2.3.cmml">)</mo></mrow></msub><mo id="Ch0.S2.p1.12.m5.8.9.3.1b" xref="Ch0.S2.p1.12.m5.8.9.3.1.cmml">⊕</mo><msub id="Ch0.S2.p1.12.m5.8.9.3.5" xref="Ch0.S2.p1.12.m5.8.9.3.5.cmml"><mi id="Ch0.S2.p1.12.m5.8.9.3.5.2" xref="Ch0.S2.p1.12.m5.8.9.3.5.2.cmml">𝔤</mi><mrow id="Ch0.S2.p1.12.m5.8.8.2.4" xref="Ch0.S2.p1.12.m5.8.8.2.3.cmml"><mo id="Ch0.S2.p1.12.m5.8.8.2.4.1" stretchy="false" xref="Ch0.S2.p1.12.m5.8.8.2.3.cmml">(</mo><mn id="Ch0.S2.p1.12.m5.7.7.1.1" xref="Ch0.S2.p1.12.m5.7.7.1.1.cmml">1</mn><mo id="Ch0.S2.p1.12.m5.8.8.2.4.2" xref="Ch0.S2.p1.12.m5.8.8.2.3.cmml">,</mo><mn id="Ch0.S2.p1.12.m5.8.8.2.2" xref="Ch0.S2.p1.12.m5.8.8.2.2.cmml">1</mn><mo id="Ch0.S2.p1.12.m5.8.8.2.4.3" stretchy="false" xref="Ch0.S2.p1.12.m5.8.8.2.3.cmml">)</mo></mrow></msub></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Ch0.S2.p1.12.m5.8b"><apply id="Ch0.S2.p1.12.m5.8.9.cmml" xref="Ch0.S2.p1.12.m5.8.9"><eq id="Ch0.S2.p1.12.m5.8.9.1.cmml" xref="Ch0.S2.p1.12.m5.8.9.1"></eq><ci id="Ch0.S2.p1.12.m5.8.9.2.cmml" xref="Ch0.S2.p1.12.m5.8.9.2">𝔤</ci><apply id="Ch0.S2.p1.12.m5.8.9.3.cmml" xref="Ch0.S2.p1.12.m5.8.9.3"><csymbol cd="latexml" id="Ch0.S2.p1.12.m5.8.9.3.1.cmml" xref="Ch0.S2.p1.12.m5.8.9.3.1">direct-sum</csymbol><apply id="Ch0.S2.p1.12.m5.8.9.3.2.cmml" xref="Ch0.S2.p1.12.m5.8.9.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.S2.p1.12.m5.8.9.3.2.1.cmml" xref="Ch0.S2.p1.12.m5.8.9.3.2">subscript</csymbol><ci id="Ch0.S2.p1.12.m5.8.9.3.2.2.cmml" xref="Ch0.S2.p1.12.m5.8.9.3.2.2">𝔤</ci><interval closure="open" id="Ch0.S2.p1.12.m5.2.2.2.3.cmml" xref="Ch0.S2.p1.12.m5.2.2.2.4"><cn id="Ch0.S2.p1.12.m5.1.1.1.1.cmml" type="integer" xref="Ch0.S2.p1.12.m5.1.1.1.1">0</cn><cn id="Ch0.S2.p1.12.m5.2.2.2.2.cmml" type="integer" xref="Ch0.S2.p1.12.m5.2.2.2.2">0</cn></interval></apply><apply id="Ch0.S2.p1.12.m5.8.9.3.3.cmml" xref="Ch0.S2.p1.12.m5.8.9.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.S2.p1.12.m5.8.9.3.3.1.cmml" xref="Ch0.S2.p1.12.m5.8.9.3.3">subscript</csymbol><ci id="Ch0.S2.p1.12.m5.8.9.3.3.2.cmml" xref="Ch0.S2.p1.12.m5.8.9.3.3.2">𝔤</ci><interval closure="open" id="Ch0.S2.p1.12.m5.4.4.2.3.cmml" xref="Ch0.S2.p1.12.m5.4.4.2.4"><cn id="Ch0.S2.p1.12.m5.3.3.1.1.cmml" type="integer" xref="Ch0.S2.p1.12.m5.3.3.1.1">0</cn><cn id="Ch0.S2.p1.12.m5.4.4.2.2.cmml" type="integer" xref="Ch0.S2.p1.12.m5.4.4.2.2">1</cn></interval></apply><apply id="Ch0.S2.p1.12.m5.8.9.3.4.cmml" xref="Ch0.S2.p1.12.m5.8.9.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.S2.p1.12.m5.8.9.3.4.1.cmml" xref="Ch0.S2.p1.12.m5.8.9.3.4">subscript</csymbol><ci id="Ch0.S2.p1.12.m5.8.9.3.4.2.cmml" xref="Ch0.S2.p1.12.m5.8.9.3.4.2">𝔤</ci><interval closure="open" id="Ch0.S2.p1.12.m5.6.6.2.3.cmml" xref="Ch0.S2.p1.12.m5.6.6.2.4"><cn id="Ch0.S2.p1.12.m5.5.5.1.1.cmml" type="integer" xref="Ch0.S2.p1.12.m5.5.5.1.1">1</cn><cn id="Ch0.S2.p1.12.m5.6.6.2.2.cmml" type="integer" xref="Ch0.S2.p1.12.m5.6.6.2.2">0</cn></interval></apply><apply id="Ch0.S2.p1.12.m5.8.9.3.5.cmml" xref="Ch0.S2.p1.12.m5.8.9.3.5"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.S2.p1.12.m5.8.9.3.5.1.cmml" xref="Ch0.S2.p1.12.m5.8.9.3.5">subscript</csymbol><ci id="Ch0.S2.p1.12.m5.8.9.3.5.2.cmml" xref="Ch0.S2.p1.12.m5.8.9.3.5.2">𝔤</ci><interval closure="open" id="Ch0.S2.p1.12.m5.8.8.2.3.cmml" xref="Ch0.S2.p1.12.m5.8.8.2.4"><cn id="Ch0.S2.p1.12.m5.7.7.1.1.cmml" type="integer" xref="Ch0.S2.p1.12.m5.7.7.1.1">1</cn><cn id="Ch0.S2.p1.12.m5.8.8.2.2.cmml" type="integer" xref="Ch0.S2.p1.12.m5.8.8.2.2">1</cn></interval></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Ch0.S2.p1.12.m5.8c">\mathfrak{g}=\mathfrak{g}_{(0,0)}\oplus\mathfrak{g}_{(0,1)}\oplus\mathfrak{g}_% {(1,0)}\oplus\mathfrak{g}_{(1,1)}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Ch0.S2.p1.12.m5.8d">fraktur_g = fraktur_g start_POSTSUBSCRIPT ( 0 , 0 ) end_POSTSUBSCRIPT ⊕ fraktur_g start_POSTSUBSCRIPT ( 0 , 1 ) end_POSTSUBSCRIPT ⊕ fraktur_g start_POSTSUBSCRIPT ( 1 , 0 ) end_POSTSUBSCRIPT ⊕ fraktur_g start_POSTSUBSCRIPT ( 1 , 1 ) end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> is a <math alttext="{\mathbb{Z}}_{2}^{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="Ch0.S2.p1.13.m6.1"><semantics id="Ch0.S2.p1.13.m6.1a"><msubsup id="Ch0.S2.p1.13.m6.1.1" xref="Ch0.S2.p1.13.m6.1.1.cmml"><mi id="Ch0.S2.p1.13.m6.1.1.2.2" xref="Ch0.S2.p1.13.m6.1.1.2.2.cmml">ℤ</mi><mn id="Ch0.S2.p1.13.m6.1.1.2.3" xref="Ch0.S2.p1.13.m6.1.1.2.3.cmml">2</mn><mn id="Ch0.S2.p1.13.m6.1.1.3" xref="Ch0.S2.p1.13.m6.1.1.3.cmml">2</mn></msubsup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Ch0.S2.p1.13.m6.1b"><apply id="Ch0.S2.p1.13.m6.1.1.cmml" xref="Ch0.S2.p1.13.m6.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.S2.p1.13.m6.1.1.1.cmml" xref="Ch0.S2.p1.13.m6.1.1">superscript</csymbol><apply id="Ch0.S2.p1.13.m6.1.1.2.cmml" xref="Ch0.S2.p1.13.m6.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.S2.p1.13.m6.1.1.2.1.cmml" xref="Ch0.S2.p1.13.m6.1.1">subscript</csymbol><ci id="Ch0.S2.p1.13.m6.1.1.2.2.cmml" xref="Ch0.S2.p1.13.m6.1.1.2.2">ℤ</ci><cn id="Ch0.S2.p1.13.m6.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="Ch0.S2.p1.13.m6.1.1.2.3">2</cn></apply><cn id="Ch0.S2.p1.13.m6.1.1.3.cmml" type="integer" xref="Ch0.S2.p1.13.m6.1.1.3">2</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Ch0.S2.p1.13.m6.1c">{\mathbb{Z}}_{2}^{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Ch0.S2.p1.13.m6.1d">blackboard_Z start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>-GLA, then any permutation of the last three subspaces maps <math alttext="\mathfrak{g}" class="ltx_Math" display="inline" id="Ch0.S2.p1.14.m7.1"><semantics id="Ch0.S2.p1.14.m7.1a"><mi id="Ch0.S2.p1.14.m7.1.1" xref="Ch0.S2.p1.14.m7.1.1.cmml">𝔤</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Ch0.S2.p1.14.m7.1b"><ci id="Ch0.S2.p1.14.m7.1.1.cmml" xref="Ch0.S2.p1.14.m7.1.1">𝔤</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Ch0.S2.p1.14.m7.1c">\mathfrak{g}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Ch0.S2.p1.14.m7.1d">fraktur_g</annotation></semantics></math> into another <math alttext="{\mathbb{Z}}_{2}^{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="Ch0.S2.p1.15.m8.1"><semantics id="Ch0.S2.p1.15.m8.1a"><msubsup id="Ch0.S2.p1.15.m8.1.1" xref="Ch0.S2.p1.15.m8.1.1.cmml"><mi id="Ch0.S2.p1.15.m8.1.1.2.2" xref="Ch0.S2.p1.15.m8.1.1.2.2.cmml">ℤ</mi><mn id="Ch0.S2.p1.15.m8.1.1.2.3" xref="Ch0.S2.p1.15.m8.1.1.2.3.cmml">2</mn><mn id="Ch0.S2.p1.15.m8.1.1.3" xref="Ch0.S2.p1.15.m8.1.1.3.cmml">2</mn></msubsup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Ch0.S2.p1.15.m8.1b"><apply id="Ch0.S2.p1.15.m8.1.1.cmml" xref="Ch0.S2.p1.15.m8.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.S2.p1.15.m8.1.1.1.cmml" xref="Ch0.S2.p1.15.m8.1.1">superscript</csymbol><apply id="Ch0.S2.p1.15.m8.1.1.2.cmml" xref="Ch0.S2.p1.15.m8.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.S2.p1.15.m8.1.1.2.1.cmml" xref="Ch0.S2.p1.15.m8.1.1">subscript</csymbol><ci id="Ch0.S2.p1.15.m8.1.1.2.2.cmml" xref="Ch0.S2.p1.15.m8.1.1.2.2">ℤ</ci><cn id="Ch0.S2.p1.15.m8.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="Ch0.S2.p1.15.m8.1.1.2.3">2</cn></apply><cn id="Ch0.S2.p1.15.m8.1.1.3.cmml" type="integer" xref="Ch0.S2.p1.15.m8.1.1.3">2</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Ch0.S2.p1.15.m8.1c">{\mathbb{Z}}_{2}^{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Ch0.S2.p1.15.m8.1d">blackboard_Z start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>-GLA. Such mappings are “trivial permutation transformations” of <math alttext="\mathfrak{g}" class="ltx_Math" display="inline" id="Ch0.S2.p1.16.m9.1"><semantics id="Ch0.S2.p1.16.m9.1a"><mi id="Ch0.S2.p1.16.m9.1.1" xref="Ch0.S2.p1.16.m9.1.1.cmml">𝔤</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Ch0.S2.p1.16.m9.1b"><ci id="Ch0.S2.p1.16.m9.1.1.cmml" xref="Ch0.S2.p1.16.m9.1.1">𝔤</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Ch0.S2.p1.16.m9.1c">\mathfrak{g}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Ch0.S2.p1.16.m9.1d">fraktur_g</annotation></semantics></math>.</p> </div> <div class="ltx_para" id="Ch0.S2.p2"> <p class="ltx_p" id="Ch0.S2.p2.5">The three subspaces <math alttext="\mathfrak{g}_{(0,1)}" class="ltx_Math" display="inline" id="Ch0.S2.p2.1.m1.2"><semantics id="Ch0.S2.p2.1.m1.2a"><msub id="Ch0.S2.p2.1.m1.2.3" xref="Ch0.S2.p2.1.m1.2.3.cmml"><mi id="Ch0.S2.p2.1.m1.2.3.2" xref="Ch0.S2.p2.1.m1.2.3.2.cmml">𝔤</mi><mrow id="Ch0.S2.p2.1.m1.2.2.2.4" xref="Ch0.S2.p2.1.m1.2.2.2.3.cmml"><mo id="Ch0.S2.p2.1.m1.2.2.2.4.1" stretchy="false" xref="Ch0.S2.p2.1.m1.2.2.2.3.cmml">(</mo><mn id="Ch0.S2.p2.1.m1.1.1.1.1" xref="Ch0.S2.p2.1.m1.1.1.1.1.cmml">0</mn><mo id="Ch0.S2.p2.1.m1.2.2.2.4.2" xref="Ch0.S2.p2.1.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mn id="Ch0.S2.p2.1.m1.2.2.2.2" xref="Ch0.S2.p2.1.m1.2.2.2.2.cmml">1</mn><mo id="Ch0.S2.p2.1.m1.2.2.2.4.3" stretchy="false" xref="Ch0.S2.p2.1.m1.2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Ch0.S2.p2.1.m1.2b"><apply id="Ch0.S2.p2.1.m1.2.3.cmml" xref="Ch0.S2.p2.1.m1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.S2.p2.1.m1.2.3.1.cmml" xref="Ch0.S2.p2.1.m1.2.3">subscript</csymbol><ci id="Ch0.S2.p2.1.m1.2.3.2.cmml" xref="Ch0.S2.p2.1.m1.2.3.2">𝔤</ci><interval closure="open" id="Ch0.S2.p2.1.m1.2.2.2.3.cmml" xref="Ch0.S2.p2.1.m1.2.2.2.4"><cn id="Ch0.S2.p2.1.m1.1.1.1.1.cmml" type="integer" xref="Ch0.S2.p2.1.m1.1.1.1.1">0</cn><cn id="Ch0.S2.p2.1.m1.2.2.2.2.cmml" type="integer" xref="Ch0.S2.p2.1.m1.2.2.2.2">1</cn></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Ch0.S2.p2.1.m1.2c">\mathfrak{g}_{(0,1)}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Ch0.S2.p2.1.m1.2d">fraktur_g start_POSTSUBSCRIPT ( 0 , 1 ) end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, <math alttext="\mathfrak{g}_{(1,0)}" class="ltx_Math" display="inline" id="Ch0.S2.p2.2.m2.2"><semantics id="Ch0.S2.p2.2.m2.2a"><msub id="Ch0.S2.p2.2.m2.2.3" xref="Ch0.S2.p2.2.m2.2.3.cmml"><mi id="Ch0.S2.p2.2.m2.2.3.2" xref="Ch0.S2.p2.2.m2.2.3.2.cmml">𝔤</mi><mrow id="Ch0.S2.p2.2.m2.2.2.2.4" xref="Ch0.S2.p2.2.m2.2.2.2.3.cmml"><mo id="Ch0.S2.p2.2.m2.2.2.2.4.1" stretchy="false" xref="Ch0.S2.p2.2.m2.2.2.2.3.cmml">(</mo><mn id="Ch0.S2.p2.2.m2.1.1.1.1" xref="Ch0.S2.p2.2.m2.1.1.1.1.cmml">1</mn><mo id="Ch0.S2.p2.2.m2.2.2.2.4.2" xref="Ch0.S2.p2.2.m2.2.2.2.3.cmml">,</mo><mn id="Ch0.S2.p2.2.m2.2.2.2.2" xref="Ch0.S2.p2.2.m2.2.2.2.2.cmml">0</mn><mo id="Ch0.S2.p2.2.m2.2.2.2.4.3" stretchy="false" xref="Ch0.S2.p2.2.m2.2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Ch0.S2.p2.2.m2.2b"><apply id="Ch0.S2.p2.2.m2.2.3.cmml" xref="Ch0.S2.p2.2.m2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.S2.p2.2.m2.2.3.1.cmml" xref="Ch0.S2.p2.2.m2.2.3">subscript</csymbol><ci id="Ch0.S2.p2.2.m2.2.3.2.cmml" xref="Ch0.S2.p2.2.m2.2.3.2">𝔤</ci><interval closure="open" id="Ch0.S2.p2.2.m2.2.2.2.3.cmml" xref="Ch0.S2.p2.2.m2.2.2.2.4"><cn id="Ch0.S2.p2.2.m2.1.1.1.1.cmml" type="integer" xref="Ch0.S2.p2.2.m2.1.1.1.1">1</cn><cn id="Ch0.S2.p2.2.m2.2.2.2.2.cmml" type="integer" xref="Ch0.S2.p2.2.m2.2.2.2.2">0</cn></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Ch0.S2.p2.2.m2.2c">\mathfrak{g}_{(1,0)}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Ch0.S2.p2.2.m2.2d">fraktur_g start_POSTSUBSCRIPT ( 1 , 0 ) end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> and <math alttext="\mathfrak{g}_{(1,1)}" class="ltx_Math" display="inline" id="Ch0.S2.p2.3.m3.2"><semantics id="Ch0.S2.p2.3.m3.2a"><msub id="Ch0.S2.p2.3.m3.2.3" xref="Ch0.S2.p2.3.m3.2.3.cmml"><mi id="Ch0.S2.p2.3.m3.2.3.2" xref="Ch0.S2.p2.3.m3.2.3.2.cmml">𝔤</mi><mrow id="Ch0.S2.p2.3.m3.2.2.2.4" xref="Ch0.S2.p2.3.m3.2.2.2.3.cmml"><mo id="Ch0.S2.p2.3.m3.2.2.2.4.1" stretchy="false" xref="Ch0.S2.p2.3.m3.2.2.2.3.cmml">(</mo><mn id="Ch0.S2.p2.3.m3.1.1.1.1" xref="Ch0.S2.p2.3.m3.1.1.1.1.cmml">1</mn><mo id="Ch0.S2.p2.3.m3.2.2.2.4.2" xref="Ch0.S2.p2.3.m3.2.2.2.3.cmml">,</mo><mn id="Ch0.S2.p2.3.m3.2.2.2.2" xref="Ch0.S2.p2.3.m3.2.2.2.2.cmml">1</mn><mo id="Ch0.S2.p2.3.m3.2.2.2.4.3" stretchy="false" xref="Ch0.S2.p2.3.m3.2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Ch0.S2.p2.3.m3.2b"><apply id="Ch0.S2.p2.3.m3.2.3.cmml" xref="Ch0.S2.p2.3.m3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.S2.p2.3.m3.2.3.1.cmml" xref="Ch0.S2.p2.3.m3.2.3">subscript</csymbol><ci id="Ch0.S2.p2.3.m3.2.3.2.cmml" xref="Ch0.S2.p2.3.m3.2.3.2">𝔤</ci><interval closure="open" id="Ch0.S2.p2.3.m3.2.2.2.3.cmml" xref="Ch0.S2.p2.3.m3.2.2.2.4"><cn id="Ch0.S2.p2.3.m3.1.1.1.1.cmml" type="integer" xref="Ch0.S2.p2.3.m3.1.1.1.1">1</cn><cn id="Ch0.S2.p2.3.m3.2.2.2.2.cmml" type="integer" xref="Ch0.S2.p2.3.m3.2.2.2.2">1</cn></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Ch0.S2.p2.3.m3.2c">\mathfrak{g}_{(1,1)}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Ch0.S2.p2.3.m3.2d">fraktur_g start_POSTSUBSCRIPT ( 1 , 1 ) end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> are therefore on an equal footing. In order to exclude ordinary Lie algebras or Lie superalgebras, we can assume that at least two of these three subspaces are nontrivial. And following the previous remark, we shall impose the condition that <math alttext="\mathfrak{g}" class="ltx_Math" display="inline" id="Ch0.S2.p2.4.m4.1"><semantics id="Ch0.S2.p2.4.m4.1a"><mi id="Ch0.S2.p2.4.m4.1.1" xref="Ch0.S2.p2.4.m4.1.1.cmml">𝔤</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Ch0.S2.p2.4.m4.1b"><ci id="Ch0.S2.p2.4.m4.1.1.cmml" xref="Ch0.S2.p2.4.m4.1.1">𝔤</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Ch0.S2.p2.4.m4.1c">\mathfrak{g}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Ch0.S2.p2.4.m4.1d">fraktur_g</annotation></semantics></math> is generated by <math alttext="\mathfrak{g}_{(1,0)}\oplus\mathfrak{g}_{(0,1)}" class="ltx_Math" display="inline" id="Ch0.S2.p2.5.m5.4"><semantics id="Ch0.S2.p2.5.m5.4a"><mrow id="Ch0.S2.p2.5.m5.4.5" xref="Ch0.S2.p2.5.m5.4.5.cmml"><msub id="Ch0.S2.p2.5.m5.4.5.2" xref="Ch0.S2.p2.5.m5.4.5.2.cmml"><mi id="Ch0.S2.p2.5.m5.4.5.2.2" xref="Ch0.S2.p2.5.m5.4.5.2.2.cmml">𝔤</mi><mrow id="Ch0.S2.p2.5.m5.2.2.2.4" xref="Ch0.S2.p2.5.m5.2.2.2.3.cmml"><mo id="Ch0.S2.p2.5.m5.2.2.2.4.1" stretchy="false" xref="Ch0.S2.p2.5.m5.2.2.2.3.cmml">(</mo><mn id="Ch0.S2.p2.5.m5.1.1.1.1" xref="Ch0.S2.p2.5.m5.1.1.1.1.cmml">1</mn><mo id="Ch0.S2.p2.5.m5.2.2.2.4.2" xref="Ch0.S2.p2.5.m5.2.2.2.3.cmml">,</mo><mn id="Ch0.S2.p2.5.m5.2.2.2.2" xref="Ch0.S2.p2.5.m5.2.2.2.2.cmml">0</mn><mo id="Ch0.S2.p2.5.m5.2.2.2.4.3" stretchy="false" xref="Ch0.S2.p2.5.m5.2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></msub><mo id="Ch0.S2.p2.5.m5.4.5.1" xref="Ch0.S2.p2.5.m5.4.5.1.cmml">⊕</mo><msub id="Ch0.S2.p2.5.m5.4.5.3" xref="Ch0.S2.p2.5.m5.4.5.3.cmml"><mi id="Ch0.S2.p2.5.m5.4.5.3.2" xref="Ch0.S2.p2.5.m5.4.5.3.2.cmml">𝔤</mi><mrow id="Ch0.S2.p2.5.m5.4.4.2.4" xref="Ch0.S2.p2.5.m5.4.4.2.3.cmml"><mo id="Ch0.S2.p2.5.m5.4.4.2.4.1" stretchy="false" xref="Ch0.S2.p2.5.m5.4.4.2.3.cmml">(</mo><mn id="Ch0.S2.p2.5.m5.3.3.1.1" xref="Ch0.S2.p2.5.m5.3.3.1.1.cmml">0</mn><mo id="Ch0.S2.p2.5.m5.4.4.2.4.2" xref="Ch0.S2.p2.5.m5.4.4.2.3.cmml">,</mo><mn id="Ch0.S2.p2.5.m5.4.4.2.2" xref="Ch0.S2.p2.5.m5.4.4.2.2.cmml">1</mn><mo id="Ch0.S2.p2.5.m5.4.4.2.4.3" stretchy="false" xref="Ch0.S2.p2.5.m5.4.4.2.3.cmml">)</mo></mrow></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Ch0.S2.p2.5.m5.4b"><apply id="Ch0.S2.p2.5.m5.4.5.cmml" xref="Ch0.S2.p2.5.m5.4.5"><csymbol cd="latexml" id="Ch0.S2.p2.5.m5.4.5.1.cmml" xref="Ch0.S2.p2.5.m5.4.5.1">direct-sum</csymbol><apply id="Ch0.S2.p2.5.m5.4.5.2.cmml" xref="Ch0.S2.p2.5.m5.4.5.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.S2.p2.5.m5.4.5.2.1.cmml" xref="Ch0.S2.p2.5.m5.4.5.2">subscript</csymbol><ci id="Ch0.S2.p2.5.m5.4.5.2.2.cmml" xref="Ch0.S2.p2.5.m5.4.5.2.2">𝔤</ci><interval closure="open" id="Ch0.S2.p2.5.m5.2.2.2.3.cmml" xref="Ch0.S2.p2.5.m5.2.2.2.4"><cn id="Ch0.S2.p2.5.m5.1.1.1.1.cmml" type="integer" xref="Ch0.S2.p2.5.m5.1.1.1.1">1</cn><cn id="Ch0.S2.p2.5.m5.2.2.2.2.cmml" type="integer" xref="Ch0.S2.p2.5.m5.2.2.2.2">0</cn></interval></apply><apply id="Ch0.S2.p2.5.m5.4.5.3.cmml" xref="Ch0.S2.p2.5.m5.4.5.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.S2.p2.5.m5.4.5.3.1.cmml" xref="Ch0.S2.p2.5.m5.4.5.3">subscript</csymbol><ci id="Ch0.S2.p2.5.m5.4.5.3.2.cmml" xref="Ch0.S2.p2.5.m5.4.5.3.2">𝔤</ci><interval closure="open" id="Ch0.S2.p2.5.m5.4.4.2.3.cmml" xref="Ch0.S2.p2.5.m5.4.4.2.4"><cn id="Ch0.S2.p2.5.m5.3.3.1.1.cmml" type="integer" xref="Ch0.S2.p2.5.m5.3.3.1.1">0</cn><cn id="Ch0.S2.p2.5.m5.4.4.2.2.cmml" type="integer" xref="Ch0.S2.p2.5.m5.4.4.2.2">1</cn></interval></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Ch0.S2.p2.5.m5.4c">\mathfrak{g}_{(1,0)}\oplus\mathfrak{g}_{(0,1)}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Ch0.S2.p2.5.m5.4d">fraktur_g start_POSTSUBSCRIPT ( 1 , 0 ) end_POSTSUBSCRIPT ⊕ fraktur_g start_POSTSUBSCRIPT ( 0 , 1 ) end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> (both nontrivial). Then one can deduce from the Jacobi identity that</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="Ch0.E9"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\mathfrak{g}_{(0,0)}=[\mathfrak{g}_{(1,0)},\mathfrak{g}_{(1,0)}]+[\mathfrak{g}% _{(0,1)},\mathfrak{g}_{(0,1)}]\qquad\hbox{and}\qquad\mathfrak{g}_{(1,1)}=\{% \mathfrak{g}_{(1,0)},\mathfrak{g}_{(0,1)}\}." class="ltx_Math" display="block" id="Ch0.E9.m1.18"><semantics id="Ch0.E9.m1.18a"><mrow id="Ch0.E9.m1.18.18.1"><mrow id="Ch0.E9.m1.18.18.1.1.2" xref="Ch0.E9.m1.18.18.1.1.3.cmml"><mrow id="Ch0.E9.m1.18.18.1.1.1.1" xref="Ch0.E9.m1.18.18.1.1.1.1.cmml"><msub id="Ch0.E9.m1.18.18.1.1.1.1.3" xref="Ch0.E9.m1.18.18.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="Ch0.E9.m1.18.18.1.1.1.1.3.2" xref="Ch0.E9.m1.18.18.1.1.1.1.3.2.cmml">𝔤</mi><mrow id="Ch0.E9.m1.2.2.2.4" xref="Ch0.E9.m1.2.2.2.3.cmml"><mo id="Ch0.E9.m1.2.2.2.4.1" stretchy="false" xref="Ch0.E9.m1.2.2.2.3.cmml">(</mo><mn id="Ch0.E9.m1.1.1.1.1" xref="Ch0.E9.m1.1.1.1.1.cmml">0</mn><mo id="Ch0.E9.m1.2.2.2.4.2" xref="Ch0.E9.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mn id="Ch0.E9.m1.2.2.2.2" xref="Ch0.E9.m1.2.2.2.2.cmml">0</mn><mo id="Ch0.E9.m1.2.2.2.4.3" stretchy="false" xref="Ch0.E9.m1.2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></msub><mo id="Ch0.E9.m1.18.18.1.1.1.1.2" xref="Ch0.E9.m1.18.18.1.1.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="Ch0.E9.m1.18.18.1.1.1.1.1.1" xref="Ch0.E9.m1.18.18.1.1.1.1.1.2.cmml"><mrow id="Ch0.E9.m1.18.18.1.1.1.1.1.1.1" xref="Ch0.E9.m1.18.18.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="Ch0.E9.m1.18.18.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="Ch0.E9.m1.18.18.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mo id="Ch0.E9.m1.18.18.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3" stretchy="false" xref="Ch0.E9.m1.18.18.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">[</mo><msub id="Ch0.E9.m1.18.18.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="Ch0.E9.m1.18.18.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="Ch0.E9.m1.18.18.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="Ch0.E9.m1.18.18.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">𝔤</mi><mrow id="Ch0.E9.m1.4.4.2.4" xref="Ch0.E9.m1.4.4.2.3.cmml"><mo id="Ch0.E9.m1.4.4.2.4.1" stretchy="false" xref="Ch0.E9.m1.4.4.2.3.cmml">(</mo><mn id="Ch0.E9.m1.3.3.1.1" xref="Ch0.E9.m1.3.3.1.1.cmml">1</mn><mo id="Ch0.E9.m1.4.4.2.4.2" xref="Ch0.E9.m1.4.4.2.3.cmml">,</mo><mn id="Ch0.E9.m1.4.4.2.2" xref="Ch0.E9.m1.4.4.2.2.cmml">0</mn><mo id="Ch0.E9.m1.4.4.2.4.3" stretchy="false" xref="Ch0.E9.m1.4.4.2.3.cmml">)</mo></mrow></msub><mo id="Ch0.E9.m1.18.18.1.1.1.1.1.1.1.2.2.4" xref="Ch0.E9.m1.18.18.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">,</mo><msub id="Ch0.E9.m1.18.18.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="Ch0.E9.m1.18.18.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml"><mi id="Ch0.E9.m1.18.18.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2" xref="Ch0.E9.m1.18.18.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml">𝔤</mi><mrow id="Ch0.E9.m1.6.6.2.4" xref="Ch0.E9.m1.6.6.2.3.cmml"><mo id="Ch0.E9.m1.6.6.2.4.1" stretchy="false" xref="Ch0.E9.m1.6.6.2.3.cmml">(</mo><mn id="Ch0.E9.m1.5.5.1.1" xref="Ch0.E9.m1.5.5.1.1.cmml">1</mn><mo id="Ch0.E9.m1.6.6.2.4.2" xref="Ch0.E9.m1.6.6.2.3.cmml">,</mo><mn id="Ch0.E9.m1.6.6.2.2" xref="Ch0.E9.m1.6.6.2.2.cmml">0</mn><mo id="Ch0.E9.m1.6.6.2.4.3" stretchy="false" xref="Ch0.E9.m1.6.6.2.3.cmml">)</mo></mrow></msub><mo id="Ch0.E9.m1.18.18.1.1.1.1.1.1.1.2.2.5" stretchy="false" xref="Ch0.E9.m1.18.18.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">]</mo></mrow><mo id="Ch0.E9.m1.18.18.1.1.1.1.1.1.1.5" xref="Ch0.E9.m1.18.18.1.1.1.1.1.1.1.5.cmml">+</mo><mrow id="Ch0.E9.m1.18.18.1.1.1.1.1.1.1.4.2" xref="Ch0.E9.m1.18.18.1.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml"><mo id="Ch0.E9.m1.18.18.1.1.1.1.1.1.1.4.2.3" stretchy="false" xref="Ch0.E9.m1.18.18.1.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml">[</mo><msub id="Ch0.E9.m1.18.18.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1" xref="Ch0.E9.m1.18.18.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.cmml"><mi id="Ch0.E9.m1.18.18.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.2" xref="Ch0.E9.m1.18.18.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.2.cmml">𝔤</mi><mrow id="Ch0.E9.m1.8.8.2.4" xref="Ch0.E9.m1.8.8.2.3.cmml"><mo id="Ch0.E9.m1.8.8.2.4.1" stretchy="false" xref="Ch0.E9.m1.8.8.2.3.cmml">(</mo><mn id="Ch0.E9.m1.7.7.1.1" xref="Ch0.E9.m1.7.7.1.1.cmml">0</mn><mo id="Ch0.E9.m1.8.8.2.4.2" xref="Ch0.E9.m1.8.8.2.3.cmml">,</mo><mn id="Ch0.E9.m1.8.8.2.2" xref="Ch0.E9.m1.8.8.2.2.cmml">1</mn><mo id="Ch0.E9.m1.8.8.2.4.3" stretchy="false" xref="Ch0.E9.m1.8.8.2.3.cmml">)</mo></mrow></msub><mo id="Ch0.E9.m1.18.18.1.1.1.1.1.1.1.4.2.4" xref="Ch0.E9.m1.18.18.1.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml">,</mo><msub id="Ch0.E9.m1.18.18.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2" xref="Ch0.E9.m1.18.18.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.cmml"><mi id="Ch0.E9.m1.18.18.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.2" xref="Ch0.E9.m1.18.18.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.2.cmml">𝔤</mi><mrow id="Ch0.E9.m1.10.10.2.4" xref="Ch0.E9.m1.10.10.2.3.cmml"><mo id="Ch0.E9.m1.10.10.2.4.1" stretchy="false" xref="Ch0.E9.m1.10.10.2.3.cmml">(</mo><mn id="Ch0.E9.m1.9.9.1.1" xref="Ch0.E9.m1.9.9.1.1.cmml">0</mn><mo id="Ch0.E9.m1.10.10.2.4.2" xref="Ch0.E9.m1.10.10.2.3.cmml">,</mo><mn id="Ch0.E9.m1.10.10.2.2" xref="Ch0.E9.m1.10.10.2.2.cmml">1</mn><mo id="Ch0.E9.m1.10.10.2.4.3" stretchy="false" xref="Ch0.E9.m1.10.10.2.3.cmml">)</mo></mrow></msub><mo id="Ch0.E9.m1.18.18.1.1.1.1.1.1.1.4.2.5" stretchy="false" xref="Ch0.E9.m1.18.18.1.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml">]</mo></mrow></mrow><mspace id="Ch0.E9.m1.18.18.1.1.1.1.1.1.2" width="2em" xref="Ch0.E9.m1.18.18.1.1.1.1.1.2.cmml"></mspace><mtext id="Ch0.E9.m1.17.17" xref="Ch0.E9.m1.17.17a.cmml">and</mtext></mrow></mrow><mspace id="Ch0.E9.m1.18.18.1.1.2.3" width="2em" xref="Ch0.E9.m1.18.18.1.1.3a.cmml"></mspace><mrow id="Ch0.E9.m1.18.18.1.1.2.2" xref="Ch0.E9.m1.18.18.1.1.2.2.cmml"><msub id="Ch0.E9.m1.18.18.1.1.2.2.4" xref="Ch0.E9.m1.18.18.1.1.2.2.4.cmml"><mi id="Ch0.E9.m1.18.18.1.1.2.2.4.2" xref="Ch0.E9.m1.18.18.1.1.2.2.4.2.cmml">𝔤</mi><mrow id="Ch0.E9.m1.12.12.2.4" xref="Ch0.E9.m1.12.12.2.3.cmml"><mo id="Ch0.E9.m1.12.12.2.4.1" stretchy="false" xref="Ch0.E9.m1.12.12.2.3.cmml">(</mo><mn id="Ch0.E9.m1.11.11.1.1" xref="Ch0.E9.m1.11.11.1.1.cmml">1</mn><mo id="Ch0.E9.m1.12.12.2.4.2" xref="Ch0.E9.m1.12.12.2.3.cmml">,</mo><mn id="Ch0.E9.m1.12.12.2.2" xref="Ch0.E9.m1.12.12.2.2.cmml">1</mn><mo id="Ch0.E9.m1.12.12.2.4.3" stretchy="false" xref="Ch0.E9.m1.12.12.2.3.cmml">)</mo></mrow></msub><mo id="Ch0.E9.m1.18.18.1.1.2.2.3" xref="Ch0.E9.m1.18.18.1.1.2.2.3.cmml">=</mo><mrow id="Ch0.E9.m1.18.18.1.1.2.2.2.2" xref="Ch0.E9.m1.18.18.1.1.2.2.2.3.cmml"><mo id="Ch0.E9.m1.18.18.1.1.2.2.2.2.3" stretchy="false" xref="Ch0.E9.m1.18.18.1.1.2.2.2.3.cmml">{</mo><msub id="Ch0.E9.m1.18.18.1.1.2.2.1.1.1" xref="Ch0.E9.m1.18.18.1.1.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="Ch0.E9.m1.18.18.1.1.2.2.1.1.1.2" xref="Ch0.E9.m1.18.18.1.1.2.2.1.1.1.2.cmml">𝔤</mi><mrow id="Ch0.E9.m1.14.14.2.4" xref="Ch0.E9.m1.14.14.2.3.cmml"><mo id="Ch0.E9.m1.14.14.2.4.1" stretchy="false" xref="Ch0.E9.m1.14.14.2.3.cmml">(</mo><mn id="Ch0.E9.m1.13.13.1.1" xref="Ch0.E9.m1.13.13.1.1.cmml">1</mn><mo id="Ch0.E9.m1.14.14.2.4.2" xref="Ch0.E9.m1.14.14.2.3.cmml">,</mo><mn id="Ch0.E9.m1.14.14.2.2" xref="Ch0.E9.m1.14.14.2.2.cmml">0</mn><mo id="Ch0.E9.m1.14.14.2.4.3" stretchy="false" xref="Ch0.E9.m1.14.14.2.3.cmml">)</mo></mrow></msub><mo id="Ch0.E9.m1.18.18.1.1.2.2.2.2.4" xref="Ch0.E9.m1.18.18.1.1.2.2.2.3.cmml">,</mo><msub id="Ch0.E9.m1.18.18.1.1.2.2.2.2.2" xref="Ch0.E9.m1.18.18.1.1.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="Ch0.E9.m1.18.18.1.1.2.2.2.2.2.2" xref="Ch0.E9.m1.18.18.1.1.2.2.2.2.2.2.cmml">𝔤</mi><mrow id="Ch0.E9.m1.16.16.2.4" xref="Ch0.E9.m1.16.16.2.3.cmml"><mo id="Ch0.E9.m1.16.16.2.4.1" stretchy="false" xref="Ch0.E9.m1.16.16.2.3.cmml">(</mo><mn id="Ch0.E9.m1.15.15.1.1" xref="Ch0.E9.m1.15.15.1.1.cmml">0</mn><mo id="Ch0.E9.m1.16.16.2.4.2" xref="Ch0.E9.m1.16.16.2.3.cmml">,</mo><mn id="Ch0.E9.m1.16.16.2.2" xref="Ch0.E9.m1.16.16.2.2.cmml">1</mn><mo id="Ch0.E9.m1.16.16.2.4.3" stretchy="false" xref="Ch0.E9.m1.16.16.2.3.cmml">)</mo></mrow></msub><mo id="Ch0.E9.m1.18.18.1.1.2.2.2.2.5" stretchy="false" xref="Ch0.E9.m1.18.18.1.1.2.2.2.3.cmml">}</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="Ch0.E9.m1.18.18.1.2" lspace="0em">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Ch0.E9.m1.18b"><apply id="Ch0.E9.m1.18.18.1.1.3.cmml" xref="Ch0.E9.m1.18.18.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.E9.m1.18.18.1.1.3a.cmml" xref="Ch0.E9.m1.18.18.1.1.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="Ch0.E9.m1.18.18.1.1.1.1.cmml" xref="Ch0.E9.m1.18.18.1.1.1.1"><eq id="Ch0.E9.m1.18.18.1.1.1.1.2.cmml" xref="Ch0.E9.m1.18.18.1.1.1.1.2"></eq><apply id="Ch0.E9.m1.18.18.1.1.1.1.3.cmml" xref="Ch0.E9.m1.18.18.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.E9.m1.18.18.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="Ch0.E9.m1.18.18.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="Ch0.E9.m1.18.18.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="Ch0.E9.m1.18.18.1.1.1.1.3.2">𝔤</ci><interval closure="open" id="Ch0.E9.m1.2.2.2.3.cmml" xref="Ch0.E9.m1.2.2.2.4"><cn id="Ch0.E9.m1.1.1.1.1.cmml" type="integer" xref="Ch0.E9.m1.1.1.1.1">0</cn><cn id="Ch0.E9.m1.2.2.2.2.cmml" type="integer" xref="Ch0.E9.m1.2.2.2.2">0</cn></interval></apply><list id="Ch0.E9.m1.18.18.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="Ch0.E9.m1.18.18.1.1.1.1.1.1"><apply id="Ch0.E9.m1.18.18.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="Ch0.E9.m1.18.18.1.1.1.1.1.1.1"><plus id="Ch0.E9.m1.18.18.1.1.1.1.1.1.1.5.cmml" xref="Ch0.E9.m1.18.18.1.1.1.1.1.1.1.5"></plus><interval closure="closed" id="Ch0.E9.m1.18.18.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="Ch0.E9.m1.18.18.1.1.1.1.1.1.1.2.2"><apply id="Ch0.E9.m1.18.18.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="Ch0.E9.m1.18.18.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.E9.m1.18.18.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="Ch0.E9.m1.18.18.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="Ch0.E9.m1.18.18.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="Ch0.E9.m1.18.18.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝔤</ci><interval closure="open" id="Ch0.E9.m1.4.4.2.3.cmml" xref="Ch0.E9.m1.4.4.2.4"><cn id="Ch0.E9.m1.3.3.1.1.cmml" type="integer" xref="Ch0.E9.m1.3.3.1.1">1</cn><cn id="Ch0.E9.m1.4.4.2.2.cmml" type="integer" xref="Ch0.E9.m1.4.4.2.2">0</cn></interval></apply><apply id="Ch0.E9.m1.18.18.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="Ch0.E9.m1.18.18.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.E9.m1.18.18.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="Ch0.E9.m1.18.18.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="Ch0.E9.m1.18.18.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="Ch0.E9.m1.18.18.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2">𝔤</ci><interval closure="open" id="Ch0.E9.m1.6.6.2.3.cmml" xref="Ch0.E9.m1.6.6.2.4"><cn id="Ch0.E9.m1.5.5.1.1.cmml" type="integer" xref="Ch0.E9.m1.5.5.1.1">1</cn><cn id="Ch0.E9.m1.6.6.2.2.cmml" type="integer" xref="Ch0.E9.m1.6.6.2.2">0</cn></interval></apply></interval><interval closure="closed" id="Ch0.E9.m1.18.18.1.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml" xref="Ch0.E9.m1.18.18.1.1.1.1.1.1.1.4.2"><apply id="Ch0.E9.m1.18.18.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.cmml" xref="Ch0.E9.m1.18.18.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.E9.m1.18.18.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.cmml" xref="Ch0.E9.m1.18.18.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1">subscript</csymbol><ci id="Ch0.E9.m1.18.18.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.2.cmml" xref="Ch0.E9.m1.18.18.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.2">𝔤</ci><interval closure="open" id="Ch0.E9.m1.8.8.2.3.cmml" xref="Ch0.E9.m1.8.8.2.4"><cn id="Ch0.E9.m1.7.7.1.1.cmml" type="integer" xref="Ch0.E9.m1.7.7.1.1">0</cn><cn id="Ch0.E9.m1.8.8.2.2.cmml" 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id="Ch0.E9.m1.18.18.1.1.2.2.4.cmml" xref="Ch0.E9.m1.18.18.1.1.2.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.E9.m1.18.18.1.1.2.2.4.1.cmml" xref="Ch0.E9.m1.18.18.1.1.2.2.4">subscript</csymbol><ci id="Ch0.E9.m1.18.18.1.1.2.2.4.2.cmml" xref="Ch0.E9.m1.18.18.1.1.2.2.4.2">𝔤</ci><interval closure="open" id="Ch0.E9.m1.12.12.2.3.cmml" xref="Ch0.E9.m1.12.12.2.4"><cn id="Ch0.E9.m1.11.11.1.1.cmml" type="integer" xref="Ch0.E9.m1.11.11.1.1">1</cn><cn id="Ch0.E9.m1.12.12.2.2.cmml" type="integer" xref="Ch0.E9.m1.12.12.2.2">1</cn></interval></apply><set id="Ch0.E9.m1.18.18.1.1.2.2.2.3.cmml" xref="Ch0.E9.m1.18.18.1.1.2.2.2.2"><apply id="Ch0.E9.m1.18.18.1.1.2.2.1.1.1.cmml" xref="Ch0.E9.m1.18.18.1.1.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.E9.m1.18.18.1.1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="Ch0.E9.m1.18.18.1.1.2.2.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="Ch0.E9.m1.18.18.1.1.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="Ch0.E9.m1.18.18.1.1.2.2.1.1.1.2">𝔤</ci><interval closure="open" id="Ch0.E9.m1.14.14.2.3.cmml" xref="Ch0.E9.m1.14.14.2.4"><cn id="Ch0.E9.m1.13.13.1.1.cmml" type="integer" xref="Ch0.E9.m1.13.13.1.1">1</cn><cn id="Ch0.E9.m1.14.14.2.2.cmml" type="integer" xref="Ch0.E9.m1.14.14.2.2">0</cn></interval></apply><apply id="Ch0.E9.m1.18.18.1.1.2.2.2.2.2.cmml" xref="Ch0.E9.m1.18.18.1.1.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.E9.m1.18.18.1.1.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="Ch0.E9.m1.18.18.1.1.2.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="Ch0.E9.m1.18.18.1.1.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="Ch0.E9.m1.18.18.1.1.2.2.2.2.2.2">𝔤</ci><interval closure="open" id="Ch0.E9.m1.16.16.2.3.cmml" xref="Ch0.E9.m1.16.16.2.4"><cn id="Ch0.E9.m1.15.15.1.1.cmml" type="integer" xref="Ch0.E9.m1.15.15.1.1">0</cn><cn id="Ch0.E9.m1.16.16.2.2.cmml" type="integer" xref="Ch0.E9.m1.16.16.2.2">1</cn></interval></apply></set></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Ch0.E9.m1.18c">\mathfrak{g}_{(0,0)}=[\mathfrak{g}_{(1,0)},\mathfrak{g}_{(1,0)}]+[\mathfrak{g}% _{(0,1)},\mathfrak{g}_{(0,1)}]\qquad\hbox{and}\qquad\mathfrak{g}_{(1,1)}=\{% \mathfrak{g}_{(1,0)},\mathfrak{g}_{(0,1)}\}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Ch0.E9.m1.18d">fraktur_g start_POSTSUBSCRIPT ( 0 , 0 ) end_POSTSUBSCRIPT = [ fraktur_g start_POSTSUBSCRIPT ( 1 , 0 ) end_POSTSUBSCRIPT , fraktur_g start_POSTSUBSCRIPT ( 1 , 0 ) end_POSTSUBSCRIPT ] + [ fraktur_g start_POSTSUBSCRIPT ( 0 , 1 ) end_POSTSUBSCRIPT , fraktur_g start_POSTSUBSCRIPT ( 0 , 1 ) end_POSTSUBSCRIPT ] and fraktur_g start_POSTSUBSCRIPT ( 1 , 1 ) end_POSTSUBSCRIPT = { fraktur_g start_POSTSUBSCRIPT ( 1 , 0 ) end_POSTSUBSCRIPT , fraktur_g start_POSTSUBSCRIPT ( 0 , 1 ) end_POSTSUBSCRIPT } .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(9)</span></td> </tr></tbody> </table> </div> <div class="ltx_para" id="Ch0.S2.p3"> <p class="ltx_p" id="Ch0.S2.p3.9">As usual, one can construct a <math alttext="{\mathbb{Z}}_{2}^{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="Ch0.S2.p3.1.m1.1"><semantics id="Ch0.S2.p3.1.m1.1a"><msubsup id="Ch0.S2.p3.1.m1.1.1" xref="Ch0.S2.p3.1.m1.1.1.cmml"><mi id="Ch0.S2.p3.1.m1.1.1.2.2" xref="Ch0.S2.p3.1.m1.1.1.2.2.cmml">ℤ</mi><mn id="Ch0.S2.p3.1.m1.1.1.2.3" xref="Ch0.S2.p3.1.m1.1.1.2.3.cmml">2</mn><mn id="Ch0.S2.p3.1.m1.1.1.3" xref="Ch0.S2.p3.1.m1.1.1.3.cmml">2</mn></msubsup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Ch0.S2.p3.1.m1.1b"><apply id="Ch0.S2.p3.1.m1.1.1.cmml" xref="Ch0.S2.p3.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.S2.p3.1.m1.1.1.1.cmml" xref="Ch0.S2.p3.1.m1.1.1">superscript</csymbol><apply id="Ch0.S2.p3.1.m1.1.1.2.cmml" xref="Ch0.S2.p3.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.S2.p3.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="Ch0.S2.p3.1.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="Ch0.S2.p3.1.m1.1.1.2.2.cmml" xref="Ch0.S2.p3.1.m1.1.1.2.2">ℤ</ci><cn id="Ch0.S2.p3.1.m1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="Ch0.S2.p3.1.m1.1.1.2.3">2</cn></apply><cn id="Ch0.S2.p3.1.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="Ch0.S2.p3.1.m1.1.1.3">2</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Ch0.S2.p3.1.m1.1c">{\mathbb{Z}}_{2}^{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Ch0.S2.p3.1.m1.1d">blackboard_Z start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>-GLA from any <math alttext="{\mathbb{Z}}_{2}\times{\mathbb{Z}}_{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="Ch0.S2.p3.2.m2.1"><semantics id="Ch0.S2.p3.2.m2.1a"><mrow id="Ch0.S2.p3.2.m2.1.1" xref="Ch0.S2.p3.2.m2.1.1.cmml"><msub id="Ch0.S2.p3.2.m2.1.1.2" xref="Ch0.S2.p3.2.m2.1.1.2.cmml"><mi id="Ch0.S2.p3.2.m2.1.1.2.2" xref="Ch0.S2.p3.2.m2.1.1.2.2.cmml">ℤ</mi><mn id="Ch0.S2.p3.2.m2.1.1.2.3" xref="Ch0.S2.p3.2.m2.1.1.2.3.cmml">2</mn></msub><mo id="Ch0.S2.p3.2.m2.1.1.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="Ch0.S2.p3.2.m2.1.1.1.cmml">×</mo><msub id="Ch0.S2.p3.2.m2.1.1.3" xref="Ch0.S2.p3.2.m2.1.1.3.cmml"><mi id="Ch0.S2.p3.2.m2.1.1.3.2" xref="Ch0.S2.p3.2.m2.1.1.3.2.cmml">ℤ</mi><mn id="Ch0.S2.p3.2.m2.1.1.3.3" xref="Ch0.S2.p3.2.m2.1.1.3.3.cmml">2</mn></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Ch0.S2.p3.2.m2.1b"><apply id="Ch0.S2.p3.2.m2.1.1.cmml" xref="Ch0.S2.p3.2.m2.1.1"><times id="Ch0.S2.p3.2.m2.1.1.1.cmml" xref="Ch0.S2.p3.2.m2.1.1.1"></times><apply id="Ch0.S2.p3.2.m2.1.1.2.cmml" xref="Ch0.S2.p3.2.m2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.S2.p3.2.m2.1.1.2.1.cmml" xref="Ch0.S2.p3.2.m2.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="Ch0.S2.p3.2.m2.1.1.2.2.cmml" xref="Ch0.S2.p3.2.m2.1.1.2.2">ℤ</ci><cn id="Ch0.S2.p3.2.m2.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="Ch0.S2.p3.2.m2.1.1.2.3">2</cn></apply><apply id="Ch0.S2.p3.2.m2.1.1.3.cmml" xref="Ch0.S2.p3.2.m2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.S2.p3.2.m2.1.1.3.1.cmml" xref="Ch0.S2.p3.2.m2.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="Ch0.S2.p3.2.m2.1.1.3.2.cmml" xref="Ch0.S2.p3.2.m2.1.1.3.2">ℤ</ci><cn id="Ch0.S2.p3.2.m2.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="Ch0.S2.p3.2.m2.1.1.3.3">2</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Ch0.S2.p3.2.m2.1c">{\mathbb{Z}}_{2}\times{\mathbb{Z}}_{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Ch0.S2.p3.2.m2.1d">blackboard_Z start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT × blackboard_Z start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> graded associative algebra. Indeed, let <math alttext="\mathfrak{g}" class="ltx_Math" display="inline" id="Ch0.S2.p3.3.m3.1"><semantics id="Ch0.S2.p3.3.m3.1a"><mi id="Ch0.S2.p3.3.m3.1.1" xref="Ch0.S2.p3.3.m3.1.1.cmml">𝔤</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Ch0.S2.p3.3.m3.1b"><ci id="Ch0.S2.p3.3.m3.1.1.cmml" xref="Ch0.S2.p3.3.m3.1.1">𝔤</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Ch0.S2.p3.3.m3.1c">\mathfrak{g}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Ch0.S2.p3.3.m3.1d">fraktur_g</annotation></semantics></math> be an associative algebra with a product <math alttext="x\cdot y" class="ltx_Math" display="inline" id="Ch0.S2.p3.4.m4.1"><semantics id="Ch0.S2.p3.4.m4.1a"><mrow id="Ch0.S2.p3.4.m4.1.1" xref="Ch0.S2.p3.4.m4.1.1.cmml"><mi id="Ch0.S2.p3.4.m4.1.1.2" xref="Ch0.S2.p3.4.m4.1.1.2.cmml">x</mi><mo id="Ch0.S2.p3.4.m4.1.1.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="Ch0.S2.p3.4.m4.1.1.1.cmml">⋅</mo><mi id="Ch0.S2.p3.4.m4.1.1.3" xref="Ch0.S2.p3.4.m4.1.1.3.cmml">y</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Ch0.S2.p3.4.m4.1b"><apply id="Ch0.S2.p3.4.m4.1.1.cmml" xref="Ch0.S2.p3.4.m4.1.1"><ci id="Ch0.S2.p3.4.m4.1.1.1.cmml" xref="Ch0.S2.p3.4.m4.1.1.1">⋅</ci><ci id="Ch0.S2.p3.4.m4.1.1.2.cmml" xref="Ch0.S2.p3.4.m4.1.1.2">𝑥</ci><ci id="Ch0.S2.p3.4.m4.1.1.3.cmml" xref="Ch0.S2.p3.4.m4.1.1.3">𝑦</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Ch0.S2.p3.4.m4.1c">x\cdot y</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Ch0.S2.p3.4.m4.1d">italic_x ⋅ italic_y</annotation></semantics></math>, and suppose <math alttext="\mathfrak{g}" class="ltx_Math" display="inline" id="Ch0.S2.p3.5.m5.1"><semantics id="Ch0.S2.p3.5.m5.1a"><mi id="Ch0.S2.p3.5.m5.1.1" xref="Ch0.S2.p3.5.m5.1.1.cmml">𝔤</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Ch0.S2.p3.5.m5.1b"><ci id="Ch0.S2.p3.5.m5.1.1.cmml" xref="Ch0.S2.p3.5.m5.1.1">𝔤</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Ch0.S2.p3.5.m5.1c">\mathfrak{g}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Ch0.S2.p3.5.m5.1d">fraktur_g</annotation></semantics></math> has a <math alttext="{\mathbb{Z}}_{2}\times{\mathbb{Z}}_{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="Ch0.S2.p3.6.m6.1"><semantics id="Ch0.S2.p3.6.m6.1a"><mrow id="Ch0.S2.p3.6.m6.1.1" xref="Ch0.S2.p3.6.m6.1.1.cmml"><msub id="Ch0.S2.p3.6.m6.1.1.2" xref="Ch0.S2.p3.6.m6.1.1.2.cmml"><mi id="Ch0.S2.p3.6.m6.1.1.2.2" xref="Ch0.S2.p3.6.m6.1.1.2.2.cmml">ℤ</mi><mn id="Ch0.S2.p3.6.m6.1.1.2.3" xref="Ch0.S2.p3.6.m6.1.1.2.3.cmml">2</mn></msub><mo id="Ch0.S2.p3.6.m6.1.1.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="Ch0.S2.p3.6.m6.1.1.1.cmml">×</mo><msub id="Ch0.S2.p3.6.m6.1.1.3" xref="Ch0.S2.p3.6.m6.1.1.3.cmml"><mi id="Ch0.S2.p3.6.m6.1.1.3.2" xref="Ch0.S2.p3.6.m6.1.1.3.2.cmml">ℤ</mi><mn id="Ch0.S2.p3.6.m6.1.1.3.3" xref="Ch0.S2.p3.6.m6.1.1.3.3.cmml">2</mn></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Ch0.S2.p3.6.m6.1b"><apply id="Ch0.S2.p3.6.m6.1.1.cmml" xref="Ch0.S2.p3.6.m6.1.1"><times id="Ch0.S2.p3.6.m6.1.1.1.cmml" xref="Ch0.S2.p3.6.m6.1.1.1"></times><apply id="Ch0.S2.p3.6.m6.1.1.2.cmml" xref="Ch0.S2.p3.6.m6.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.S2.p3.6.m6.1.1.2.1.cmml" xref="Ch0.S2.p3.6.m6.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="Ch0.S2.p3.6.m6.1.1.2.2.cmml" xref="Ch0.S2.p3.6.m6.1.1.2.2">ℤ</ci><cn id="Ch0.S2.p3.6.m6.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="Ch0.S2.p3.6.m6.1.1.2.3">2</cn></apply><apply id="Ch0.S2.p3.6.m6.1.1.3.cmml" xref="Ch0.S2.p3.6.m6.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.S2.p3.6.m6.1.1.3.1.cmml" xref="Ch0.S2.p3.6.m6.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="Ch0.S2.p3.6.m6.1.1.3.2.cmml" xref="Ch0.S2.p3.6.m6.1.1.3.2">ℤ</ci><cn id="Ch0.S2.p3.6.m6.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="Ch0.S2.p3.6.m6.1.1.3.3">2</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Ch0.S2.p3.6.m6.1c">{\mathbb{Z}}_{2}\times{\mathbb{Z}}_{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Ch0.S2.p3.6.m6.1d">blackboard_Z start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT × blackboard_Z start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>-grading of the form (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2408.09274v1#Ch0.E2" title="In 1 Introduction ‣ Matrix structure of classical ℤ₂×ℤ₂ graded Lie algebras"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">2</span></a>) that is compatible with the product, i.e. <math alttext="x_{\boldsymbol{a}}\cdot y_{\boldsymbol{b}}\in\mathfrak{g}_{\boldsymbol{a}+% \boldsymbol{b}}" class="ltx_Math" display="inline" id="Ch0.S2.p3.7.m7.1"><semantics id="Ch0.S2.p3.7.m7.1a"><mrow id="Ch0.S2.p3.7.m7.1.1" xref="Ch0.S2.p3.7.m7.1.1.cmml"><mrow id="Ch0.S2.p3.7.m7.1.1.2" xref="Ch0.S2.p3.7.m7.1.1.2.cmml"><msub id="Ch0.S2.p3.7.m7.1.1.2.2" xref="Ch0.S2.p3.7.m7.1.1.2.2.cmml"><mi id="Ch0.S2.p3.7.m7.1.1.2.2.2" xref="Ch0.S2.p3.7.m7.1.1.2.2.2.cmml">x</mi><mi id="Ch0.S2.p3.7.m7.1.1.2.2.3" xref="Ch0.S2.p3.7.m7.1.1.2.2.3.cmml">𝒂</mi></msub><mo id="Ch0.S2.p3.7.m7.1.1.2.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="Ch0.S2.p3.7.m7.1.1.2.1.cmml">⋅</mo><msub id="Ch0.S2.p3.7.m7.1.1.2.3" xref="Ch0.S2.p3.7.m7.1.1.2.3.cmml"><mi id="Ch0.S2.p3.7.m7.1.1.2.3.2" xref="Ch0.S2.p3.7.m7.1.1.2.3.2.cmml">y</mi><mi id="Ch0.S2.p3.7.m7.1.1.2.3.3" xref="Ch0.S2.p3.7.m7.1.1.2.3.3.cmml">𝒃</mi></msub></mrow><mo id="Ch0.S2.p3.7.m7.1.1.1" xref="Ch0.S2.p3.7.m7.1.1.1.cmml">∈</mo><msub id="Ch0.S2.p3.7.m7.1.1.3" xref="Ch0.S2.p3.7.m7.1.1.3.cmml"><mi id="Ch0.S2.p3.7.m7.1.1.3.2" xref="Ch0.S2.p3.7.m7.1.1.3.2.cmml">𝔤</mi><mrow id="Ch0.S2.p3.7.m7.1.1.3.3" xref="Ch0.S2.p3.7.m7.1.1.3.3.cmml"><mi id="Ch0.S2.p3.7.m7.1.1.3.3.2" xref="Ch0.S2.p3.7.m7.1.1.3.3.2.cmml">𝒂</mi><mo id="Ch0.S2.p3.7.m7.1.1.3.3.1" xref="Ch0.S2.p3.7.m7.1.1.3.3.1.cmml">+</mo><mi id="Ch0.S2.p3.7.m7.1.1.3.3.3" xref="Ch0.S2.p3.7.m7.1.1.3.3.3.cmml">𝒃</mi></mrow></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Ch0.S2.p3.7.m7.1b"><apply id="Ch0.S2.p3.7.m7.1.1.cmml" xref="Ch0.S2.p3.7.m7.1.1"><in id="Ch0.S2.p3.7.m7.1.1.1.cmml" xref="Ch0.S2.p3.7.m7.1.1.1"></in><apply id="Ch0.S2.p3.7.m7.1.1.2.cmml" xref="Ch0.S2.p3.7.m7.1.1.2"><ci id="Ch0.S2.p3.7.m7.1.1.2.1.cmml" xref="Ch0.S2.p3.7.m7.1.1.2.1">⋅</ci><apply id="Ch0.S2.p3.7.m7.1.1.2.2.cmml" xref="Ch0.S2.p3.7.m7.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.S2.p3.7.m7.1.1.2.2.1.cmml" xref="Ch0.S2.p3.7.m7.1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="Ch0.S2.p3.7.m7.1.1.2.2.2.cmml" xref="Ch0.S2.p3.7.m7.1.1.2.2.2">𝑥</ci><ci id="Ch0.S2.p3.7.m7.1.1.2.2.3.cmml" xref="Ch0.S2.p3.7.m7.1.1.2.2.3">𝒂</ci></apply><apply id="Ch0.S2.p3.7.m7.1.1.2.3.cmml" xref="Ch0.S2.p3.7.m7.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.S2.p3.7.m7.1.1.2.3.1.cmml" xref="Ch0.S2.p3.7.m7.1.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="Ch0.S2.p3.7.m7.1.1.2.3.2.cmml" xref="Ch0.S2.p3.7.m7.1.1.2.3.2">𝑦</ci><ci id="Ch0.S2.p3.7.m7.1.1.2.3.3.cmml" xref="Ch0.S2.p3.7.m7.1.1.2.3.3">𝒃</ci></apply></apply><apply id="Ch0.S2.p3.7.m7.1.1.3.cmml" xref="Ch0.S2.p3.7.m7.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.S2.p3.7.m7.1.1.3.1.cmml" xref="Ch0.S2.p3.7.m7.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="Ch0.S2.p3.7.m7.1.1.3.2.cmml" xref="Ch0.S2.p3.7.m7.1.1.3.2">𝔤</ci><apply id="Ch0.S2.p3.7.m7.1.1.3.3.cmml" xref="Ch0.S2.p3.7.m7.1.1.3.3"><plus id="Ch0.S2.p3.7.m7.1.1.3.3.1.cmml" xref="Ch0.S2.p3.7.m7.1.1.3.3.1"></plus><ci id="Ch0.S2.p3.7.m7.1.1.3.3.2.cmml" xref="Ch0.S2.p3.7.m7.1.1.3.3.2">𝒂</ci><ci id="Ch0.S2.p3.7.m7.1.1.3.3.3.cmml" xref="Ch0.S2.p3.7.m7.1.1.3.3.3">𝒃</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Ch0.S2.p3.7.m7.1c">x_{\boldsymbol{a}}\cdot y_{\boldsymbol{b}}\in\mathfrak{g}_{\boldsymbol{a}+% \boldsymbol{b}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Ch0.S2.p3.7.m7.1d">italic_x start_POSTSUBSCRIPT bold_italic_a end_POSTSUBSCRIPT ⋅ italic_y start_POSTSUBSCRIPT bold_italic_b end_POSTSUBSCRIPT ∈ fraktur_g start_POSTSUBSCRIPT bold_italic_a + bold_italic_b end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>. Then it is easy to verify that the following bracket turns <math alttext="\mathfrak{g}" class="ltx_Math" display="inline" id="Ch0.S2.p3.8.m8.1"><semantics id="Ch0.S2.p3.8.m8.1a"><mi id="Ch0.S2.p3.8.m8.1.1" xref="Ch0.S2.p3.8.m8.1.1.cmml">𝔤</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Ch0.S2.p3.8.m8.1b"><ci id="Ch0.S2.p3.8.m8.1.1.cmml" xref="Ch0.S2.p3.8.m8.1.1">𝔤</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Ch0.S2.p3.8.m8.1c">\mathfrak{g}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Ch0.S2.p3.8.m8.1d">fraktur_g</annotation></semantics></math> into a <math alttext="{\mathbb{Z}}_{2}^{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="Ch0.S2.p3.9.m9.1"><semantics id="Ch0.S2.p3.9.m9.1a"><msubsup id="Ch0.S2.p3.9.m9.1.1" xref="Ch0.S2.p3.9.m9.1.1.cmml"><mi id="Ch0.S2.p3.9.m9.1.1.2.2" xref="Ch0.S2.p3.9.m9.1.1.2.2.cmml">ℤ</mi><mn id="Ch0.S2.p3.9.m9.1.1.2.3" xref="Ch0.S2.p3.9.m9.1.1.2.3.cmml">2</mn><mn id="Ch0.S2.p3.9.m9.1.1.3" xref="Ch0.S2.p3.9.m9.1.1.3.cmml">2</mn></msubsup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Ch0.S2.p3.9.m9.1b"><apply id="Ch0.S2.p3.9.m9.1.1.cmml" xref="Ch0.S2.p3.9.m9.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.S2.p3.9.m9.1.1.1.cmml" xref="Ch0.S2.p3.9.m9.1.1">superscript</csymbol><apply id="Ch0.S2.p3.9.m9.1.1.2.cmml" xref="Ch0.S2.p3.9.m9.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.S2.p3.9.m9.1.1.2.1.cmml" xref="Ch0.S2.p3.9.m9.1.1">subscript</csymbol><ci id="Ch0.S2.p3.9.m9.1.1.2.2.cmml" xref="Ch0.S2.p3.9.m9.1.1.2.2">ℤ</ci><cn id="Ch0.S2.p3.9.m9.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="Ch0.S2.p3.9.m9.1.1.2.3">2</cn></apply><cn id="Ch0.S2.p3.9.m9.1.1.3.cmml" type="integer" xref="Ch0.S2.p3.9.m9.1.1.3">2</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Ch0.S2.p3.9.m9.1c">{\mathbb{Z}}_{2}^{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Ch0.S2.p3.9.m9.1d">blackboard_Z start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>-GLA:</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="Ch0.E10"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\llbracket x_{\boldsymbol{a}},y_{\boldsymbol{b}}\rrbracket=x_{\boldsymbol{a}}% \cdot y_{\boldsymbol{b}}-(-1)^{\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}}y_{% \boldsymbol{b}}\cdot x_{\boldsymbol{a}}\ ." class="ltx_Math" display="block" id="Ch0.E10.m1.1"><semantics id="Ch0.E10.m1.1a"><mrow id="Ch0.E10.m1.1.1.1" xref="Ch0.E10.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="Ch0.E10.m1.1.1.1.1" xref="Ch0.E10.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="Ch0.E10.m1.1.1.1.1.2.2" xref="Ch0.E10.m1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mo id="Ch0.E10.m1.1.1.1.1.2.2.3" stretchy="false" xref="Ch0.E10.m1.1.1.1.1.2.3.cmml">⟦</mo><msub id="Ch0.E10.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="Ch0.E10.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="Ch0.E10.m1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="Ch0.E10.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">x</mi><mi id="Ch0.E10.m1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="Ch0.E10.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">𝒂</mi></msub><mo id="Ch0.E10.m1.1.1.1.1.2.2.4" xref="Ch0.E10.m1.1.1.1.1.2.3.cmml">,</mo><msub id="Ch0.E10.m1.1.1.1.1.2.2.2" xref="Ch0.E10.m1.1.1.1.1.2.2.2.cmml"><mi id="Ch0.E10.m1.1.1.1.1.2.2.2.2" xref="Ch0.E10.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml">y</mi><mi id="Ch0.E10.m1.1.1.1.1.2.2.2.3" xref="Ch0.E10.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml">𝒃</mi></msub><mo id="Ch0.E10.m1.1.1.1.1.2.2.5" stretchy="false" xref="Ch0.E10.m1.1.1.1.1.2.3.cmml">⟧</mo></mrow><mo id="Ch0.E10.m1.1.1.1.1.4" xref="Ch0.E10.m1.1.1.1.1.4.cmml">=</mo><mrow id="Ch0.E10.m1.1.1.1.1.3" xref="Ch0.E10.m1.1.1.1.1.3.cmml"><mrow id="Ch0.E10.m1.1.1.1.1.3.3" xref="Ch0.E10.m1.1.1.1.1.3.3.cmml"><msub id="Ch0.E10.m1.1.1.1.1.3.3.2" xref="Ch0.E10.m1.1.1.1.1.3.3.2.cmml"><mi id="Ch0.E10.m1.1.1.1.1.3.3.2.2" xref="Ch0.E10.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.cmml">x</mi><mi id="Ch0.E10.m1.1.1.1.1.3.3.2.3" xref="Ch0.E10.m1.1.1.1.1.3.3.2.3.cmml">𝒂</mi></msub><mo id="Ch0.E10.m1.1.1.1.1.3.3.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="Ch0.E10.m1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">⋅</mo><msub id="Ch0.E10.m1.1.1.1.1.3.3.3" xref="Ch0.E10.m1.1.1.1.1.3.3.3.cmml"><mi id="Ch0.E10.m1.1.1.1.1.3.3.3.2" xref="Ch0.E10.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.cmml">y</mi><mi id="Ch0.E10.m1.1.1.1.1.3.3.3.3" xref="Ch0.E10.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.cmml">𝒃</mi></msub></mrow><mo id="Ch0.E10.m1.1.1.1.1.3.2" xref="Ch0.E10.m1.1.1.1.1.3.2.cmml">−</mo><mrow id="Ch0.E10.m1.1.1.1.1.3.1" xref="Ch0.E10.m1.1.1.1.1.3.1.cmml"><mrow id="Ch0.E10.m1.1.1.1.1.3.1.1" xref="Ch0.E10.m1.1.1.1.1.3.1.1.cmml"><msup id="Ch0.E10.m1.1.1.1.1.3.1.1.1" xref="Ch0.E10.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.cmml"><mrow id="Ch0.E10.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1" xref="Ch0.E10.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="Ch0.E10.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="Ch0.E10.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="Ch0.E10.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1" xref="Ch0.E10.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="Ch0.E10.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1a" xref="Ch0.E10.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mn id="Ch0.E10.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.2" xref="Ch0.E10.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.2.cmml">1</mn></mrow><mo id="Ch0.E10.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="Ch0.E10.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="Ch0.E10.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.3" xref="Ch0.E10.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.3.cmml"><mi id="Ch0.E10.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.3.2" xref="Ch0.E10.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.3.2.cmml">𝒂</mi><mo id="Ch0.E10.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.3.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="Ch0.E10.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.3.1.cmml">⋅</mo><mi id="Ch0.E10.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.3.3" xref="Ch0.E10.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.3.3.cmml">𝒃</mi></mrow></msup><mo id="Ch0.E10.m1.1.1.1.1.3.1.1.2" xref="Ch0.E10.m1.1.1.1.1.3.1.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="Ch0.E10.m1.1.1.1.1.3.1.1.3" xref="Ch0.E10.m1.1.1.1.1.3.1.1.3.cmml"><mi id="Ch0.E10.m1.1.1.1.1.3.1.1.3.2" xref="Ch0.E10.m1.1.1.1.1.3.1.1.3.2.cmml">y</mi><mi id="Ch0.E10.m1.1.1.1.1.3.1.1.3.3" 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id="Ch0.E10.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="Ch0.E10.m1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑥</ci><ci id="Ch0.E10.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="Ch0.E10.m1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝒂</ci></apply><apply id="Ch0.E10.m1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="Ch0.E10.m1.1.1.1.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.E10.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="Ch0.E10.m1.1.1.1.1.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="Ch0.E10.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="Ch0.E10.m1.1.1.1.1.2.2.2.2">𝑦</ci><ci id="Ch0.E10.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml" xref="Ch0.E10.m1.1.1.1.1.2.2.2.3">𝒃</ci></apply></list><apply id="Ch0.E10.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="Ch0.E10.m1.1.1.1.1.3"><minus id="Ch0.E10.m1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="Ch0.E10.m1.1.1.1.1.3.2"></minus><apply id="Ch0.E10.m1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="Ch0.E10.m1.1.1.1.1.3.3"><ci id="Ch0.E10.m1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="Ch0.E10.m1.1.1.1.1.3.3.1">⋅</ci><apply id="Ch0.E10.m1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="Ch0.E10.m1.1.1.1.1.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.E10.m1.1.1.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="Ch0.E10.m1.1.1.1.1.3.3.2">subscript</csymbol><ci id="Ch0.E10.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="Ch0.E10.m1.1.1.1.1.3.3.2.2">𝑥</ci><ci id="Ch0.E10.m1.1.1.1.1.3.3.2.3.cmml" xref="Ch0.E10.m1.1.1.1.1.3.3.2.3">𝒂</ci></apply><apply id="Ch0.E10.m1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="Ch0.E10.m1.1.1.1.1.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.E10.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.cmml" xref="Ch0.E10.m1.1.1.1.1.3.3.3">subscript</csymbol><ci id="Ch0.E10.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.cmml" xref="Ch0.E10.m1.1.1.1.1.3.3.3.2">𝑦</ci><ci id="Ch0.E10.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.cmml" xref="Ch0.E10.m1.1.1.1.1.3.3.3.3">𝒃</ci></apply></apply><apply id="Ch0.E10.m1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="Ch0.E10.m1.1.1.1.1.3.1"><ci id="Ch0.E10.m1.1.1.1.1.3.1.2.cmml" xref="Ch0.E10.m1.1.1.1.1.3.1.2">⋅</ci><apply id="Ch0.E10.m1.1.1.1.1.3.1.1.cmml" xref="Ch0.E10.m1.1.1.1.1.3.1.1"><times id="Ch0.E10.m1.1.1.1.1.3.1.1.2.cmml" xref="Ch0.E10.m1.1.1.1.1.3.1.1.2"></times><apply id="Ch0.E10.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.cmml" xref="Ch0.E10.m1.1.1.1.1.3.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.E10.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.2.cmml" xref="Ch0.E10.m1.1.1.1.1.3.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="Ch0.E10.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="Ch0.E10.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1"><minus id="Ch0.E10.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="Ch0.E10.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1"></minus><cn id="Ch0.E10.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="Ch0.E10.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.2">1</cn></apply><apply id="Ch0.E10.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.3.cmml" xref="Ch0.E10.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.3"><ci id="Ch0.E10.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.3.1.cmml" xref="Ch0.E10.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.3.1">⋅</ci><ci id="Ch0.E10.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.3.2.cmml" xref="Ch0.E10.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.3.2">𝒂</ci><ci id="Ch0.E10.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.3.3.cmml" xref="Ch0.E10.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.3.3">𝒃</ci></apply></apply><apply id="Ch0.E10.m1.1.1.1.1.3.1.1.3.cmml" xref="Ch0.E10.m1.1.1.1.1.3.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.E10.m1.1.1.1.1.3.1.1.3.1.cmml" xref="Ch0.E10.m1.1.1.1.1.3.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="Ch0.E10.m1.1.1.1.1.3.1.1.3.2.cmml" xref="Ch0.E10.m1.1.1.1.1.3.1.1.3.2">𝑦</ci><ci id="Ch0.E10.m1.1.1.1.1.3.1.1.3.3.cmml" xref="Ch0.E10.m1.1.1.1.1.3.1.1.3.3">𝒃</ci></apply></apply><apply id="Ch0.E10.m1.1.1.1.1.3.1.3.cmml" xref="Ch0.E10.m1.1.1.1.1.3.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.E10.m1.1.1.1.1.3.1.3.1.cmml" xref="Ch0.E10.m1.1.1.1.1.3.1.3">subscript</csymbol><ci id="Ch0.E10.m1.1.1.1.1.3.1.3.2.cmml" xref="Ch0.E10.m1.1.1.1.1.3.1.3.2">𝑥</ci><ci id="Ch0.E10.m1.1.1.1.1.3.1.3.3.cmml" xref="Ch0.E10.m1.1.1.1.1.3.1.3.3">𝒂</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Ch0.E10.m1.1c">\llbracket x_{\boldsymbol{a}},y_{\boldsymbol{b}}\rrbracket=x_{\boldsymbol{a}}% \cdot y_{\boldsymbol{b}}-(-1)^{\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}}y_{% \boldsymbol{b}}\cdot x_{\boldsymbol{a}}\ .</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Ch0.E10.m1.1d">⟦ italic_x start_POSTSUBSCRIPT bold_italic_a end_POSTSUBSCRIPT , italic_y start_POSTSUBSCRIPT bold_italic_b end_POSTSUBSCRIPT ⟧ = italic_x start_POSTSUBSCRIPT bold_italic_a end_POSTSUBSCRIPT ⋅ italic_y start_POSTSUBSCRIPT bold_italic_b end_POSTSUBSCRIPT - ( - 1 ) start_POSTSUPERSCRIPT bold_italic_a ⋅ bold_italic_b end_POSTSUPERSCRIPT italic_y start_POSTSUBSCRIPT bold_italic_b end_POSTSUBSCRIPT ⋅ italic_x start_POSTSUBSCRIPT bold_italic_a end_POSTSUBSCRIPT .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(10)</span></td> </tr></tbody> </table> </div> <div class="ltx_para" id="Ch0.S2.p4"> <p class="ltx_p" id="Ch0.S2.p4.12">Concretely, let <math alttext="V" class="ltx_Math" display="inline" id="Ch0.S2.p4.1.m1.1"><semantics id="Ch0.S2.p4.1.m1.1a"><mi id="Ch0.S2.p4.1.m1.1.1" xref="Ch0.S2.p4.1.m1.1.1.cmml">V</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Ch0.S2.p4.1.m1.1b"><ci id="Ch0.S2.p4.1.m1.1.1.cmml" xref="Ch0.S2.p4.1.m1.1.1">𝑉</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Ch0.S2.p4.1.m1.1c">V</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Ch0.S2.p4.1.m1.1d">italic_V</annotation></semantics></math> be a <math alttext="{\mathbb{Z}}_{2}\times{\mathbb{Z}}_{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="Ch0.S2.p4.2.m2.1"><semantics id="Ch0.S2.p4.2.m2.1a"><mrow id="Ch0.S2.p4.2.m2.1.1" xref="Ch0.S2.p4.2.m2.1.1.cmml"><msub id="Ch0.S2.p4.2.m2.1.1.2" xref="Ch0.S2.p4.2.m2.1.1.2.cmml"><mi id="Ch0.S2.p4.2.m2.1.1.2.2" xref="Ch0.S2.p4.2.m2.1.1.2.2.cmml">ℤ</mi><mn id="Ch0.S2.p4.2.m2.1.1.2.3" xref="Ch0.S2.p4.2.m2.1.1.2.3.cmml">2</mn></msub><mo id="Ch0.S2.p4.2.m2.1.1.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="Ch0.S2.p4.2.m2.1.1.1.cmml">×</mo><msub id="Ch0.S2.p4.2.m2.1.1.3" xref="Ch0.S2.p4.2.m2.1.1.3.cmml"><mi id="Ch0.S2.p4.2.m2.1.1.3.2" xref="Ch0.S2.p4.2.m2.1.1.3.2.cmml">ℤ</mi><mn id="Ch0.S2.p4.2.m2.1.1.3.3" xref="Ch0.S2.p4.2.m2.1.1.3.3.cmml">2</mn></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Ch0.S2.p4.2.m2.1b"><apply id="Ch0.S2.p4.2.m2.1.1.cmml" xref="Ch0.S2.p4.2.m2.1.1"><times id="Ch0.S2.p4.2.m2.1.1.1.cmml" xref="Ch0.S2.p4.2.m2.1.1.1"></times><apply id="Ch0.S2.p4.2.m2.1.1.2.cmml" xref="Ch0.S2.p4.2.m2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.S2.p4.2.m2.1.1.2.1.cmml" xref="Ch0.S2.p4.2.m2.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="Ch0.S2.p4.2.m2.1.1.2.2.cmml" xref="Ch0.S2.p4.2.m2.1.1.2.2">ℤ</ci><cn id="Ch0.S2.p4.2.m2.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="Ch0.S2.p4.2.m2.1.1.2.3">2</cn></apply><apply id="Ch0.S2.p4.2.m2.1.1.3.cmml" xref="Ch0.S2.p4.2.m2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.S2.p4.2.m2.1.1.3.1.cmml" xref="Ch0.S2.p4.2.m2.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="Ch0.S2.p4.2.m2.1.1.3.2.cmml" xref="Ch0.S2.p4.2.m2.1.1.3.2">ℤ</ci><cn id="Ch0.S2.p4.2.m2.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="Ch0.S2.p4.2.m2.1.1.3.3">2</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Ch0.S2.p4.2.m2.1c">{\mathbb{Z}}_{2}\times{\mathbb{Z}}_{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Ch0.S2.p4.2.m2.1d">blackboard_Z start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT × blackboard_Z start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>-graded linear space of dimension <math alttext="n" class="ltx_Math" display="inline" id="Ch0.S2.p4.3.m3.1"><semantics id="Ch0.S2.p4.3.m3.1a"><mi id="Ch0.S2.p4.3.m3.1.1" xref="Ch0.S2.p4.3.m3.1.1.cmml">n</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Ch0.S2.p4.3.m3.1b"><ci id="Ch0.S2.p4.3.m3.1.1.cmml" xref="Ch0.S2.p4.3.m3.1.1">𝑛</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Ch0.S2.p4.3.m3.1c">n</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Ch0.S2.p4.3.m3.1d">italic_n</annotation></semantics></math>: <math alttext="V=V_{(0,0)}\oplus V_{(0,1)}\oplus V_{(1,0)}\oplus V_{(1,1)}" class="ltx_Math" display="inline" id="Ch0.S2.p4.4.m4.8"><semantics id="Ch0.S2.p4.4.m4.8a"><mrow id="Ch0.S2.p4.4.m4.8.9" xref="Ch0.S2.p4.4.m4.8.9.cmml"><mi id="Ch0.S2.p4.4.m4.8.9.2" xref="Ch0.S2.p4.4.m4.8.9.2.cmml">V</mi><mo id="Ch0.S2.p4.4.m4.8.9.1" xref="Ch0.S2.p4.4.m4.8.9.1.cmml">=</mo><mrow id="Ch0.S2.p4.4.m4.8.9.3" xref="Ch0.S2.p4.4.m4.8.9.3.cmml"><msub id="Ch0.S2.p4.4.m4.8.9.3.2" xref="Ch0.S2.p4.4.m4.8.9.3.2.cmml"><mi id="Ch0.S2.p4.4.m4.8.9.3.2.2" xref="Ch0.S2.p4.4.m4.8.9.3.2.2.cmml">V</mi><mrow id="Ch0.S2.p4.4.m4.2.2.2.4" xref="Ch0.S2.p4.4.m4.2.2.2.3.cmml"><mo id="Ch0.S2.p4.4.m4.2.2.2.4.1" stretchy="false" xref="Ch0.S2.p4.4.m4.2.2.2.3.cmml">(</mo><mn id="Ch0.S2.p4.4.m4.1.1.1.1" xref="Ch0.S2.p4.4.m4.1.1.1.1.cmml">0</mn><mo id="Ch0.S2.p4.4.m4.2.2.2.4.2" xref="Ch0.S2.p4.4.m4.2.2.2.3.cmml">,</mo><mn id="Ch0.S2.p4.4.m4.2.2.2.2" xref="Ch0.S2.p4.4.m4.2.2.2.2.cmml">0</mn><mo id="Ch0.S2.p4.4.m4.2.2.2.4.3" stretchy="false" xref="Ch0.S2.p4.4.m4.2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></msub><mo id="Ch0.S2.p4.4.m4.8.9.3.1" xref="Ch0.S2.p4.4.m4.8.9.3.1.cmml">⊕</mo><msub id="Ch0.S2.p4.4.m4.8.9.3.3" xref="Ch0.S2.p4.4.m4.8.9.3.3.cmml"><mi id="Ch0.S2.p4.4.m4.8.9.3.3.2" xref="Ch0.S2.p4.4.m4.8.9.3.3.2.cmml">V</mi><mrow id="Ch0.S2.p4.4.m4.4.4.2.4" xref="Ch0.S2.p4.4.m4.4.4.2.3.cmml"><mo id="Ch0.S2.p4.4.m4.4.4.2.4.1" stretchy="false" xref="Ch0.S2.p4.4.m4.4.4.2.3.cmml">(</mo><mn id="Ch0.S2.p4.4.m4.3.3.1.1" xref="Ch0.S2.p4.4.m4.3.3.1.1.cmml">0</mn><mo id="Ch0.S2.p4.4.m4.4.4.2.4.2" xref="Ch0.S2.p4.4.m4.4.4.2.3.cmml">,</mo><mn id="Ch0.S2.p4.4.m4.4.4.2.2" xref="Ch0.S2.p4.4.m4.4.4.2.2.cmml">1</mn><mo id="Ch0.S2.p4.4.m4.4.4.2.4.3" stretchy="false" xref="Ch0.S2.p4.4.m4.4.4.2.3.cmml">)</mo></mrow></msub><mo id="Ch0.S2.p4.4.m4.8.9.3.1a" xref="Ch0.S2.p4.4.m4.8.9.3.1.cmml">⊕</mo><msub id="Ch0.S2.p4.4.m4.8.9.3.4" xref="Ch0.S2.p4.4.m4.8.9.3.4.cmml"><mi id="Ch0.S2.p4.4.m4.8.9.3.4.2" xref="Ch0.S2.p4.4.m4.8.9.3.4.2.cmml">V</mi><mrow id="Ch0.S2.p4.4.m4.6.6.2.4" xref="Ch0.S2.p4.4.m4.6.6.2.3.cmml"><mo id="Ch0.S2.p4.4.m4.6.6.2.4.1" stretchy="false" xref="Ch0.S2.p4.4.m4.6.6.2.3.cmml">(</mo><mn id="Ch0.S2.p4.4.m4.5.5.1.1" xref="Ch0.S2.p4.4.m4.5.5.1.1.cmml">1</mn><mo id="Ch0.S2.p4.4.m4.6.6.2.4.2" xref="Ch0.S2.p4.4.m4.6.6.2.3.cmml">,</mo><mn id="Ch0.S2.p4.4.m4.6.6.2.2" xref="Ch0.S2.p4.4.m4.6.6.2.2.cmml">0</mn><mo id="Ch0.S2.p4.4.m4.6.6.2.4.3" stretchy="false" xref="Ch0.S2.p4.4.m4.6.6.2.3.cmml">)</mo></mrow></msub><mo id="Ch0.S2.p4.4.m4.8.9.3.1b" xref="Ch0.S2.p4.4.m4.8.9.3.1.cmml">⊕</mo><msub id="Ch0.S2.p4.4.m4.8.9.3.5" xref="Ch0.S2.p4.4.m4.8.9.3.5.cmml"><mi id="Ch0.S2.p4.4.m4.8.9.3.5.2" xref="Ch0.S2.p4.4.m4.8.9.3.5.2.cmml">V</mi><mrow id="Ch0.S2.p4.4.m4.8.8.2.4" xref="Ch0.S2.p4.4.m4.8.8.2.3.cmml"><mo id="Ch0.S2.p4.4.m4.8.8.2.4.1" stretchy="false" xref="Ch0.S2.p4.4.m4.8.8.2.3.cmml">(</mo><mn id="Ch0.S2.p4.4.m4.7.7.1.1" xref="Ch0.S2.p4.4.m4.7.7.1.1.cmml">1</mn><mo id="Ch0.S2.p4.4.m4.8.8.2.4.2" xref="Ch0.S2.p4.4.m4.8.8.2.3.cmml">,</mo><mn id="Ch0.S2.p4.4.m4.8.8.2.2" xref="Ch0.S2.p4.4.m4.8.8.2.2.cmml">1</mn><mo id="Ch0.S2.p4.4.m4.8.8.2.4.3" stretchy="false" xref="Ch0.S2.p4.4.m4.8.8.2.3.cmml">)</mo></mrow></msub></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Ch0.S2.p4.4.m4.8b"><apply id="Ch0.S2.p4.4.m4.8.9.cmml" xref="Ch0.S2.p4.4.m4.8.9"><eq id="Ch0.S2.p4.4.m4.8.9.1.cmml" xref="Ch0.S2.p4.4.m4.8.9.1"></eq><ci id="Ch0.S2.p4.4.m4.8.9.2.cmml" xref="Ch0.S2.p4.4.m4.8.9.2">𝑉</ci><apply id="Ch0.S2.p4.4.m4.8.9.3.cmml" xref="Ch0.S2.p4.4.m4.8.9.3"><csymbol cd="latexml" id="Ch0.S2.p4.4.m4.8.9.3.1.cmml" xref="Ch0.S2.p4.4.m4.8.9.3.1">direct-sum</csymbol><apply id="Ch0.S2.p4.4.m4.8.9.3.2.cmml" xref="Ch0.S2.p4.4.m4.8.9.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.S2.p4.4.m4.8.9.3.2.1.cmml" xref="Ch0.S2.p4.4.m4.8.9.3.2">subscript</csymbol><ci id="Ch0.S2.p4.4.m4.8.9.3.2.2.cmml" xref="Ch0.S2.p4.4.m4.8.9.3.2.2">𝑉</ci><interval closure="open" id="Ch0.S2.p4.4.m4.2.2.2.3.cmml" xref="Ch0.S2.p4.4.m4.2.2.2.4"><cn id="Ch0.S2.p4.4.m4.1.1.1.1.cmml" type="integer" xref="Ch0.S2.p4.4.m4.1.1.1.1">0</cn><cn id="Ch0.S2.p4.4.m4.2.2.2.2.cmml" type="integer" 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start_POSTSUBSCRIPT ( 0 , 1 ) end_POSTSUBSCRIPT ⊕ italic_V start_POSTSUBSCRIPT ( 1 , 0 ) end_POSTSUBSCRIPT ⊕ italic_V start_POSTSUBSCRIPT ( 1 , 1 ) end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, with subspaces of dimension <math alttext="p,q,r" class="ltx_Math" display="inline" id="Ch0.S2.p4.5.m5.3"><semantics id="Ch0.S2.p4.5.m5.3a"><mrow id="Ch0.S2.p4.5.m5.3.4.2" xref="Ch0.S2.p4.5.m5.3.4.1.cmml"><mi id="Ch0.S2.p4.5.m5.1.1" xref="Ch0.S2.p4.5.m5.1.1.cmml">p</mi><mo id="Ch0.S2.p4.5.m5.3.4.2.1" xref="Ch0.S2.p4.5.m5.3.4.1.cmml">,</mo><mi id="Ch0.S2.p4.5.m5.2.2" xref="Ch0.S2.p4.5.m5.2.2.cmml">q</mi><mo id="Ch0.S2.p4.5.m5.3.4.2.2" xref="Ch0.S2.p4.5.m5.3.4.1.cmml">,</mo><mi id="Ch0.S2.p4.5.m5.3.3" xref="Ch0.S2.p4.5.m5.3.3.cmml">r</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Ch0.S2.p4.5.m5.3b"><list id="Ch0.S2.p4.5.m5.3.4.1.cmml" xref="Ch0.S2.p4.5.m5.3.4.2"><ci id="Ch0.S2.p4.5.m5.1.1.cmml" xref="Ch0.S2.p4.5.m5.1.1">𝑝</ci><ci id="Ch0.S2.p4.5.m5.2.2.cmml" xref="Ch0.S2.p4.5.m5.2.2">𝑞</ci><ci id="Ch0.S2.p4.5.m5.3.3.cmml" xref="Ch0.S2.p4.5.m5.3.3">𝑟</ci></list></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Ch0.S2.p4.5.m5.3c">p,q,r</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Ch0.S2.p4.5.m5.3d">italic_p , italic_q , italic_r</annotation></semantics></math> and <math alttext="s" class="ltx_Math" display="inline" id="Ch0.S2.p4.6.m6.1"><semantics id="Ch0.S2.p4.6.m6.1a"><mi id="Ch0.S2.p4.6.m6.1.1" xref="Ch0.S2.p4.6.m6.1.1.cmml">s</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Ch0.S2.p4.6.m6.1b"><ci id="Ch0.S2.p4.6.m6.1.1.cmml" xref="Ch0.S2.p4.6.m6.1.1">𝑠</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Ch0.S2.p4.6.m6.1c">s</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Ch0.S2.p4.6.m6.1d">italic_s</annotation></semantics></math> respectively, where <math alttext="p+q+r+s=n" class="ltx_Math" display="inline" id="Ch0.S2.p4.7.m7.1"><semantics id="Ch0.S2.p4.7.m7.1a"><mrow id="Ch0.S2.p4.7.m7.1.1" xref="Ch0.S2.p4.7.m7.1.1.cmml"><mrow id="Ch0.S2.p4.7.m7.1.1.2" xref="Ch0.S2.p4.7.m7.1.1.2.cmml"><mi id="Ch0.S2.p4.7.m7.1.1.2.2" xref="Ch0.S2.p4.7.m7.1.1.2.2.cmml">p</mi><mo id="Ch0.S2.p4.7.m7.1.1.2.1" xref="Ch0.S2.p4.7.m7.1.1.2.1.cmml">+</mo><mi id="Ch0.S2.p4.7.m7.1.1.2.3" xref="Ch0.S2.p4.7.m7.1.1.2.3.cmml">q</mi><mo id="Ch0.S2.p4.7.m7.1.1.2.1a" xref="Ch0.S2.p4.7.m7.1.1.2.1.cmml">+</mo><mi id="Ch0.S2.p4.7.m7.1.1.2.4" xref="Ch0.S2.p4.7.m7.1.1.2.4.cmml">r</mi><mo id="Ch0.S2.p4.7.m7.1.1.2.1b" xref="Ch0.S2.p4.7.m7.1.1.2.1.cmml">+</mo><mi id="Ch0.S2.p4.7.m7.1.1.2.5" xref="Ch0.S2.p4.7.m7.1.1.2.5.cmml">s</mi></mrow><mo id="Ch0.S2.p4.7.m7.1.1.1" xref="Ch0.S2.p4.7.m7.1.1.1.cmml">=</mo><mi id="Ch0.S2.p4.7.m7.1.1.3" xref="Ch0.S2.p4.7.m7.1.1.3.cmml">n</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Ch0.S2.p4.7.m7.1b"><apply id="Ch0.S2.p4.7.m7.1.1.cmml" xref="Ch0.S2.p4.7.m7.1.1"><eq id="Ch0.S2.p4.7.m7.1.1.1.cmml" xref="Ch0.S2.p4.7.m7.1.1.1"></eq><apply id="Ch0.S2.p4.7.m7.1.1.2.cmml" xref="Ch0.S2.p4.7.m7.1.1.2"><plus id="Ch0.S2.p4.7.m7.1.1.2.1.cmml" xref="Ch0.S2.p4.7.m7.1.1.2.1"></plus><ci id="Ch0.S2.p4.7.m7.1.1.2.2.cmml" xref="Ch0.S2.p4.7.m7.1.1.2.2">𝑝</ci><ci id="Ch0.S2.p4.7.m7.1.1.2.3.cmml" xref="Ch0.S2.p4.7.m7.1.1.2.3">𝑞</ci><ci id="Ch0.S2.p4.7.m7.1.1.2.4.cmml" xref="Ch0.S2.p4.7.m7.1.1.2.4">𝑟</ci><ci id="Ch0.S2.p4.7.m7.1.1.2.5.cmml" xref="Ch0.S2.p4.7.m7.1.1.2.5">𝑠</ci></apply><ci id="Ch0.S2.p4.7.m7.1.1.3.cmml" xref="Ch0.S2.p4.7.m7.1.1.3">𝑛</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Ch0.S2.p4.7.m7.1c">p+q+r+s=n</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Ch0.S2.p4.7.m7.1d">italic_p + italic_q + italic_r + italic_s = italic_n</annotation></semantics></math>. <math alttext="\operatorname{End}(V)" class="ltx_Math" display="inline" id="Ch0.S2.p4.8.m8.2"><semantics id="Ch0.S2.p4.8.m8.2a"><mrow id="Ch0.S2.p4.8.m8.2.3.2" xref="Ch0.S2.p4.8.m8.2.3.1.cmml"><mi id="Ch0.S2.p4.8.m8.1.1" xref="Ch0.S2.p4.8.m8.1.1.cmml">End</mi><mo id="Ch0.S2.p4.8.m8.2.3.2a" xref="Ch0.S2.p4.8.m8.2.3.1.cmml">⁡</mo><mrow id="Ch0.S2.p4.8.m8.2.3.2.1" xref="Ch0.S2.p4.8.m8.2.3.1.cmml"><mo id="Ch0.S2.p4.8.m8.2.3.2.1.1" stretchy="false" xref="Ch0.S2.p4.8.m8.2.3.1.cmml">(</mo><mi id="Ch0.S2.p4.8.m8.2.2" xref="Ch0.S2.p4.8.m8.2.2.cmml">V</mi><mo id="Ch0.S2.p4.8.m8.2.3.2.1.2" stretchy="false" xref="Ch0.S2.p4.8.m8.2.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Ch0.S2.p4.8.m8.2b"><apply id="Ch0.S2.p4.8.m8.2.3.1.cmml" xref="Ch0.S2.p4.8.m8.2.3.2"><ci id="Ch0.S2.p4.8.m8.1.1.cmml" xref="Ch0.S2.p4.8.m8.1.1">End</ci><ci id="Ch0.S2.p4.8.m8.2.2.cmml" xref="Ch0.S2.p4.8.m8.2.2">𝑉</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Ch0.S2.p4.8.m8.2c">\operatorname{End}(V)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Ch0.S2.p4.8.m8.2d">roman_End ( italic_V )</annotation></semantics></math> is then a <math alttext="{\mathbb{Z}}_{2}\times{\mathbb{Z}}_{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="Ch0.S2.p4.9.m9.1"><semantics id="Ch0.S2.p4.9.m9.1a"><mrow id="Ch0.S2.p4.9.m9.1.1" xref="Ch0.S2.p4.9.m9.1.1.cmml"><msub id="Ch0.S2.p4.9.m9.1.1.2" xref="Ch0.S2.p4.9.m9.1.1.2.cmml"><mi id="Ch0.S2.p4.9.m9.1.1.2.2" xref="Ch0.S2.p4.9.m9.1.1.2.2.cmml">ℤ</mi><mn id="Ch0.S2.p4.9.m9.1.1.2.3" xref="Ch0.S2.p4.9.m9.1.1.2.3.cmml">2</mn></msub><mo id="Ch0.S2.p4.9.m9.1.1.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="Ch0.S2.p4.9.m9.1.1.1.cmml">×</mo><msub id="Ch0.S2.p4.9.m9.1.1.3" xref="Ch0.S2.p4.9.m9.1.1.3.cmml"><mi id="Ch0.S2.p4.9.m9.1.1.3.2" xref="Ch0.S2.p4.9.m9.1.1.3.2.cmml">ℤ</mi><mn id="Ch0.S2.p4.9.m9.1.1.3.3" xref="Ch0.S2.p4.9.m9.1.1.3.3.cmml">2</mn></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Ch0.S2.p4.9.m9.1b"><apply id="Ch0.S2.p4.9.m9.1.1.cmml" xref="Ch0.S2.p4.9.m9.1.1"><times id="Ch0.S2.p4.9.m9.1.1.1.cmml" xref="Ch0.S2.p4.9.m9.1.1.1"></times><apply id="Ch0.S2.p4.9.m9.1.1.2.cmml" xref="Ch0.S2.p4.9.m9.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.S2.p4.9.m9.1.1.2.1.cmml" xref="Ch0.S2.p4.9.m9.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="Ch0.S2.p4.9.m9.1.1.2.2.cmml" xref="Ch0.S2.p4.9.m9.1.1.2.2">ℤ</ci><cn id="Ch0.S2.p4.9.m9.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="Ch0.S2.p4.9.m9.1.1.2.3">2</cn></apply><apply id="Ch0.S2.p4.9.m9.1.1.3.cmml" xref="Ch0.S2.p4.9.m9.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.S2.p4.9.m9.1.1.3.1.cmml" xref="Ch0.S2.p4.9.m9.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="Ch0.S2.p4.9.m9.1.1.3.2.cmml" xref="Ch0.S2.p4.9.m9.1.1.3.2">ℤ</ci><cn id="Ch0.S2.p4.9.m9.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="Ch0.S2.p4.9.m9.1.1.3.3">2</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Ch0.S2.p4.9.m9.1c">{\mathbb{Z}}_{2}\times{\mathbb{Z}}_{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Ch0.S2.p4.9.m9.1d">blackboard_Z start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT × blackboard_Z start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>-graded associative algebra, and by the previous property it is turned into a <math alttext="{\mathbb{Z}}_{2}^{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="Ch0.S2.p4.10.m10.1"><semantics id="Ch0.S2.p4.10.m10.1a"><msubsup id="Ch0.S2.p4.10.m10.1.1" xref="Ch0.S2.p4.10.m10.1.1.cmml"><mi id="Ch0.S2.p4.10.m10.1.1.2.2" xref="Ch0.S2.p4.10.m10.1.1.2.2.cmml">ℤ</mi><mn id="Ch0.S2.p4.10.m10.1.1.2.3" xref="Ch0.S2.p4.10.m10.1.1.2.3.cmml">2</mn><mn id="Ch0.S2.p4.10.m10.1.1.3" xref="Ch0.S2.p4.10.m10.1.1.3.cmml">2</mn></msubsup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Ch0.S2.p4.10.m10.1b"><apply id="Ch0.S2.p4.10.m10.1.1.cmml" xref="Ch0.S2.p4.10.m10.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.S2.p4.10.m10.1.1.1.cmml" xref="Ch0.S2.p4.10.m10.1.1">superscript</csymbol><apply id="Ch0.S2.p4.10.m10.1.1.2.cmml" xref="Ch0.S2.p4.10.m10.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.S2.p4.10.m10.1.1.2.1.cmml" xref="Ch0.S2.p4.10.m10.1.1">subscript</csymbol><ci id="Ch0.S2.p4.10.m10.1.1.2.2.cmml" xref="Ch0.S2.p4.10.m10.1.1.2.2">ℤ</ci><cn id="Ch0.S2.p4.10.m10.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="Ch0.S2.p4.10.m10.1.1.2.3">2</cn></apply><cn id="Ch0.S2.p4.10.m10.1.1.3.cmml" type="integer" xref="Ch0.S2.p4.10.m10.1.1.3">2</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Ch0.S2.p4.10.m10.1c">{\mathbb{Z}}_{2}^{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Ch0.S2.p4.10.m10.1d">blackboard_Z start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>-GLA by the bracket <math alttext="\llbracket\cdot,\cdot\rrbracket" class="ltx_Math" display="inline" id="Ch0.S2.p4.11.m11.2"><semantics id="Ch0.S2.p4.11.m11.2a"><mrow id="Ch0.S2.p4.11.m11.2.3.2" xref="Ch0.S2.p4.11.m11.2.3.1.cmml"><mo id="Ch0.S2.p4.11.m11.2.3.2.1" stretchy="false" xref="Ch0.S2.p4.11.m11.2.3.1.cmml">⟦</mo><mo id="Ch0.S2.p4.11.m11.1.1" lspace="0em" rspace="0em" xref="Ch0.S2.p4.11.m11.1.1.cmml">⋅</mo><mo id="Ch0.S2.p4.11.m11.2.3.2.2" rspace="0em" xref="Ch0.S2.p4.11.m11.2.3.1.cmml">,</mo><mo id="Ch0.S2.p4.11.m11.2.2" lspace="0em" rspace="0em" xref="Ch0.S2.p4.11.m11.2.2.cmml">⋅</mo><mo id="Ch0.S2.p4.11.m11.2.3.2.3" stretchy="false" xref="Ch0.S2.p4.11.m11.2.3.1.cmml">⟧</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Ch0.S2.p4.11.m11.2b"><list id="Ch0.S2.p4.11.m11.2.3.1.cmml" xref="Ch0.S2.p4.11.m11.2.3.2"><ci id="Ch0.S2.p4.11.m11.1.1.cmml" xref="Ch0.S2.p4.11.m11.1.1">⋅</ci><ci id="Ch0.S2.p4.11.m11.2.2.cmml" xref="Ch0.S2.p4.11.m11.2.2">⋅</ci></list></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Ch0.S2.p4.11.m11.2c">\llbracket\cdot,\cdot\rrbracket</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Ch0.S2.p4.11.m11.2d">⟦ ⋅ , ⋅ ⟧</annotation></semantics></math> of (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2408.09274v1#Ch0.E10" title="In 2 ℤ₂×ℤ₂-graded Lie algebras ‣ Matrix structure of classical ℤ₂×ℤ₂ graded Lie algebras"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">10</span></a>). Let us denoted this algebra by <math alttext="\mathfrak{gl}_{p,q,r,s}(n)" class="ltx_Math" display="inline" id="Ch0.S2.p4.12.m12.5"><semantics id="Ch0.S2.p4.12.m12.5a"><mrow id="Ch0.S2.p4.12.m12.5.6" xref="Ch0.S2.p4.12.m12.5.6.cmml"><mi id="Ch0.S2.p4.12.m12.5.6.2" xref="Ch0.S2.p4.12.m12.5.6.2.cmml">𝔤</mi><mo id="Ch0.S2.p4.12.m12.5.6.1" xref="Ch0.S2.p4.12.m12.5.6.1.cmml">⁢</mo><msub id="Ch0.S2.p4.12.m12.5.6.3" xref="Ch0.S2.p4.12.m12.5.6.3.cmml"><mi id="Ch0.S2.p4.12.m12.5.6.3.2" xref="Ch0.S2.p4.12.m12.5.6.3.2.cmml">𝔩</mi><mrow id="Ch0.S2.p4.12.m12.4.4.4.6" xref="Ch0.S2.p4.12.m12.4.4.4.5.cmml"><mi id="Ch0.S2.p4.12.m12.1.1.1.1" xref="Ch0.S2.p4.12.m12.1.1.1.1.cmml">p</mi><mo id="Ch0.S2.p4.12.m12.4.4.4.6.1" xref="Ch0.S2.p4.12.m12.4.4.4.5.cmml">,</mo><mi id="Ch0.S2.p4.12.m12.2.2.2.2" xref="Ch0.S2.p4.12.m12.2.2.2.2.cmml">q</mi><mo id="Ch0.S2.p4.12.m12.4.4.4.6.2" xref="Ch0.S2.p4.12.m12.4.4.4.5.cmml">,</mo><mi id="Ch0.S2.p4.12.m12.3.3.3.3" xref="Ch0.S2.p4.12.m12.3.3.3.3.cmml">r</mi><mo id="Ch0.S2.p4.12.m12.4.4.4.6.3" xref="Ch0.S2.p4.12.m12.4.4.4.5.cmml">,</mo><mi id="Ch0.S2.p4.12.m12.4.4.4.4" xref="Ch0.S2.p4.12.m12.4.4.4.4.cmml">s</mi></mrow></msub><mo id="Ch0.S2.p4.12.m12.5.6.1a" xref="Ch0.S2.p4.12.m12.5.6.1.cmml">⁢</mo><mrow id="Ch0.S2.p4.12.m12.5.6.4.2" xref="Ch0.S2.p4.12.m12.5.6.cmml"><mo id="Ch0.S2.p4.12.m12.5.6.4.2.1" stretchy="false" xref="Ch0.S2.p4.12.m12.5.6.cmml">(</mo><mi id="Ch0.S2.p4.12.m12.5.5" xref="Ch0.S2.p4.12.m12.5.5.cmml">n</mi><mo id="Ch0.S2.p4.12.m12.5.6.4.2.2" stretchy="false" xref="Ch0.S2.p4.12.m12.5.6.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Ch0.S2.p4.12.m12.5b"><apply id="Ch0.S2.p4.12.m12.5.6.cmml" xref="Ch0.S2.p4.12.m12.5.6"><times id="Ch0.S2.p4.12.m12.5.6.1.cmml" xref="Ch0.S2.p4.12.m12.5.6.1"></times><ci id="Ch0.S2.p4.12.m12.5.6.2.cmml" xref="Ch0.S2.p4.12.m12.5.6.2">𝔤</ci><apply id="Ch0.S2.p4.12.m12.5.6.3.cmml" xref="Ch0.S2.p4.12.m12.5.6.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.S2.p4.12.m12.5.6.3.1.cmml" xref="Ch0.S2.p4.12.m12.5.6.3">subscript</csymbol><ci id="Ch0.S2.p4.12.m12.5.6.3.2.cmml" xref="Ch0.S2.p4.12.m12.5.6.3.2">𝔩</ci><list id="Ch0.S2.p4.12.m12.4.4.4.5.cmml" xref="Ch0.S2.p4.12.m12.4.4.4.6"><ci id="Ch0.S2.p4.12.m12.1.1.1.1.cmml" xref="Ch0.S2.p4.12.m12.1.1.1.1">𝑝</ci><ci id="Ch0.S2.p4.12.m12.2.2.2.2.cmml" xref="Ch0.S2.p4.12.m12.2.2.2.2">𝑞</ci><ci id="Ch0.S2.p4.12.m12.3.3.3.3.cmml" xref="Ch0.S2.p4.12.m12.3.3.3.3">𝑟</ci><ci id="Ch0.S2.p4.12.m12.4.4.4.4.cmml" xref="Ch0.S2.p4.12.m12.4.4.4.4">𝑠</ci></list></apply><ci id="Ch0.S2.p4.12.m12.5.5.cmml" xref="Ch0.S2.p4.12.m12.5.5">𝑛</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Ch0.S2.p4.12.m12.5c">\mathfrak{gl}_{p,q,r,s}(n)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Ch0.S2.p4.12.m12.5d">fraktur_g fraktur_l start_POSTSUBSCRIPT italic_p , italic_q , italic_r , italic_s end_POSTSUBSCRIPT ( italic_n )</annotation></semantics></math>. In matrix form, the elements are written as:</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="Ch0.E11"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\begin{array}[]{c c}{\begin{array}[]{@{} c c cc @{}}\ \ p&\ \ q&\ \ r&\ \ s% \end{array}}&{}\hfil\\ \left(\begin{array}[]{cccc}a_{(0,0)}&a_{(0,1)}&a_{(1,0)}&a_{(1,1)}\\[2.84526pt% ] b_{(0,1)}&b_{(0,0)}&b_{(1,1)}&b_{(1,0)}\\[2.84526pt] c_{(1,0)}&c_{(1,1)}&c_{(0,0)}&c_{(0,1)}\\[2.84526pt] d_{(1,1)}&d_{(1,0)}&d_{(0,1)}&d_{(0,0)}\end{array}\right)&{\begin{array}[]{l}p% \\[2.84526pt] q\\[2.84526pt] r\\[2.84526pt] s\end{array}}\\ \end{array}" class="ltx_Math" display="block" id="Ch0.E11.m1.32"><semantics id="Ch0.E11.m1.32a"><mtable columnspacing="5pt" displaystyle="true" id="Ch0.E11.m1.32.32" rowspacing="0pt" xref="Ch0.E11.m1.32.32.cmml"><mtr id="Ch0.E11.m1.32.32a" xref="Ch0.E11.m1.32.32.cmml"><mtd id="Ch0.E11.m1.32.32b" xref="Ch0.E11.m1.32.32.cmml"><mtable columnspacing="5pt" displaystyle="true" id="Ch0.E11.m1.32.32.33.1.1" xref="Ch0.E11.m1.32.32.33.1.1.cmml"><mtr id="Ch0.E11.m1.32.32.33.1.1a" xref="Ch0.E11.m1.32.32.33.1.1.cmml"><mtd id="Ch0.E11.m1.32.32.33.1.1b" xref="Ch0.E11.m1.32.32.33.1.1.cmml"><mi id="Ch0.E11.m1.32.32.33.1.1.1.1.1" xref="Ch0.E11.m1.32.32.33.1.1.1.1.1.cmml">p</mi></mtd><mtd id="Ch0.E11.m1.32.32.33.1.1c" xref="Ch0.E11.m1.32.32.33.1.1.cmml"><mi id="Ch0.E11.m1.32.32.33.1.1.1.2.1" xref="Ch0.E11.m1.32.32.33.1.1.1.2.1.cmml">q</mi></mtd><mtd id="Ch0.E11.m1.32.32.33.1.1d" xref="Ch0.E11.m1.32.32.33.1.1.cmml"><mi id="Ch0.E11.m1.32.32.33.1.1.1.3.1" xref="Ch0.E11.m1.32.32.33.1.1.1.3.1.cmml">r</mi></mtd><mtd id="Ch0.E11.m1.32.32.33.1.1e" xref="Ch0.E11.m1.32.32.33.1.1.cmml"><mi id="Ch0.E11.m1.32.32.33.1.1.1.4.1" xref="Ch0.E11.m1.32.32.33.1.1.1.4.1.cmml">s</mi></mtd></mtr></mtable></mtd><mtd id="Ch0.E11.m1.32.32c" xref="Ch0.E11.m1.32.32.cmml"></mtd></mtr><mtr id="Ch0.E11.m1.32.32d" xref="Ch0.E11.m1.32.32.cmml"><mtd id="Ch0.E11.m1.32.32e" xref="Ch0.E11.m1.32.32.cmml"><mrow id="Ch0.E11.m1.32.32.32.32.32.34" xref="Ch0.E11.m1.32.32.32.32.32.32.cmml"><mo id="Ch0.E11.m1.32.32.32.32.32.34.1" xref="Ch0.E11.m1.32.32.32.32.32.32.cmml">(</mo><mtable columnspacing="5pt" displaystyle="true" id="Ch0.E11.m1.32.32.32.32.32.32" rowspacing="0pt" xref="Ch0.E11.m1.32.32.32.32.32.32.cmml"><mtr id="Ch0.E11.m1.32.32.32.32.32.32a" xref="Ch0.E11.m1.32.32.32.32.32.32.cmml"><mtd id="Ch0.E11.m1.32.32.32.32.32.32b" xref="Ch0.E11.m1.32.32.32.32.32.32.cmml"><msub id="Ch0.E11.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.2" xref="Ch0.E11.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="Ch0.E11.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.4" xref="Ch0.E11.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.4.cmml">a</mi><mrow id="Ch0.E11.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.4" xref="Ch0.E11.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.3.cmml"><mo id="Ch0.E11.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.4.1" stretchy="false" xref="Ch0.E11.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.3.cmml">(</mo><mn id="Ch0.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="Ch0.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">0</mn><mo id="Ch0.E11.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.4.2" xref="Ch0.E11.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.3.cmml">,</mo><mn id="Ch0.E11.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2" xref="Ch0.E11.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.cmml">0</mn><mo id="Ch0.E11.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.4.3" stretchy="false" xref="Ch0.E11.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></msub></mtd><mtd id="Ch0.E11.m1.32.32.32.32.32.32c" xref="Ch0.E11.m1.32.32.32.32.32.32.cmml"><msub id="Ch0.E11.m1.4.4.4.4.4.4.4.4.2" xref="Ch0.E11.m1.4.4.4.4.4.4.4.4.2.cmml"><mi id="Ch0.E11.m1.4.4.4.4.4.4.4.4.2.4" xref="Ch0.E11.m1.4.4.4.4.4.4.4.4.2.4.cmml">a</mi><mrow id="Ch0.E11.m1.4.4.4.4.4.4.4.4.2.2.2.4" xref="Ch0.E11.m1.4.4.4.4.4.4.4.4.2.2.2.3.cmml"><mo id="Ch0.E11.m1.4.4.4.4.4.4.4.4.2.2.2.4.1" stretchy="false" xref="Ch0.E11.m1.4.4.4.4.4.4.4.4.2.2.2.3.cmml">(</mo><mn id="Ch0.E11.m1.3.3.3.3.3.3.3.3.1.1.1.1" xref="Ch0.E11.m1.3.3.3.3.3.3.3.3.1.1.1.1.cmml">0</mn><mo id="Ch0.E11.m1.4.4.4.4.4.4.4.4.2.2.2.4.2" xref="Ch0.E11.m1.4.4.4.4.4.4.4.4.2.2.2.3.cmml">,</mo><mn id="Ch0.E11.m1.4.4.4.4.4.4.4.4.2.2.2.2" xref="Ch0.E11.m1.4.4.4.4.4.4.4.4.2.2.2.2.cmml">1</mn><mo id="Ch0.E11.m1.4.4.4.4.4.4.4.4.2.2.2.4.3" stretchy="false" xref="Ch0.E11.m1.4.4.4.4.4.4.4.4.2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></msub></mtd><mtd id="Ch0.E11.m1.32.32.32.32.32.32d" xref="Ch0.E11.m1.32.32.32.32.32.32.cmml"><msub id="Ch0.E11.m1.6.6.6.6.6.6.6.6.2" xref="Ch0.E11.m1.6.6.6.6.6.6.6.6.2.cmml"><mi id="Ch0.E11.m1.6.6.6.6.6.6.6.6.2.4" xref="Ch0.E11.m1.6.6.6.6.6.6.6.6.2.4.cmml">a</mi><mrow id="Ch0.E11.m1.6.6.6.6.6.6.6.6.2.2.2.4" xref="Ch0.E11.m1.6.6.6.6.6.6.6.6.2.2.2.3.cmml"><mo id="Ch0.E11.m1.6.6.6.6.6.6.6.6.2.2.2.4.1" stretchy="false" xref="Ch0.E11.m1.6.6.6.6.6.6.6.6.2.2.2.3.cmml">(</mo><mn id="Ch0.E11.m1.5.5.5.5.5.5.5.5.1.1.1.1" xref="Ch0.E11.m1.5.5.5.5.5.5.5.5.1.1.1.1.cmml">1</mn><mo id="Ch0.E11.m1.6.6.6.6.6.6.6.6.2.2.2.4.2" xref="Ch0.E11.m1.6.6.6.6.6.6.6.6.2.2.2.3.cmml">,</mo><mn id="Ch0.E11.m1.6.6.6.6.6.6.6.6.2.2.2.2" xref="Ch0.E11.m1.6.6.6.6.6.6.6.6.2.2.2.2.cmml">0</mn><mo id="Ch0.E11.m1.6.6.6.6.6.6.6.6.2.2.2.4.3" stretchy="false" xref="Ch0.E11.m1.6.6.6.6.6.6.6.6.2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></msub></mtd><mtd id="Ch0.E11.m1.32.32.32.32.32.32e" xref="Ch0.E11.m1.32.32.32.32.32.32.cmml"><msub id="Ch0.E11.m1.8.8.8.8.8.8.8.8.2" xref="Ch0.E11.m1.8.8.8.8.8.8.8.8.2.cmml"><mi id="Ch0.E11.m1.8.8.8.8.8.8.8.8.2.4" xref="Ch0.E11.m1.8.8.8.8.8.8.8.8.2.4.cmml">a</mi><mrow id="Ch0.E11.m1.8.8.8.8.8.8.8.8.2.2.2.4" xref="Ch0.E11.m1.8.8.8.8.8.8.8.8.2.2.2.3.cmml"><mo id="Ch0.E11.m1.8.8.8.8.8.8.8.8.2.2.2.4.1" stretchy="false" xref="Ch0.E11.m1.8.8.8.8.8.8.8.8.2.2.2.3.cmml">(</mo><mn id="Ch0.E11.m1.7.7.7.7.7.7.7.7.1.1.1.1" xref="Ch0.E11.m1.7.7.7.7.7.7.7.7.1.1.1.1.cmml">1</mn><mo id="Ch0.E11.m1.8.8.8.8.8.8.8.8.2.2.2.4.2" xref="Ch0.E11.m1.8.8.8.8.8.8.8.8.2.2.2.3.cmml">,</mo><mn id="Ch0.E11.m1.8.8.8.8.8.8.8.8.2.2.2.2" xref="Ch0.E11.m1.8.8.8.8.8.8.8.8.2.2.2.2.cmml">1</mn><mo id="Ch0.E11.m1.8.8.8.8.8.8.8.8.2.2.2.4.3" stretchy="false" xref="Ch0.E11.m1.8.8.8.8.8.8.8.8.2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></msub></mtd></mtr><mtr id="Ch0.E11.m1.32.32.32.32.32.32f" xref="Ch0.E11.m1.32.32.32.32.32.32.cmml"><mtd id="Ch0.E11.m1.32.32.32.32.32.32g" xref="Ch0.E11.m1.32.32.32.32.32.32.cmml"><msub id="Ch0.E11.m1.10.10.10.10.10.10.10.2.2" xref="Ch0.E11.m1.10.10.10.10.10.10.10.2.2.cmml"><mi id="Ch0.E11.m1.10.10.10.10.10.10.10.2.2.4" xref="Ch0.E11.m1.10.10.10.10.10.10.10.2.2.4.cmml">b</mi><mrow id="Ch0.E11.m1.10.10.10.10.10.10.10.2.2.2.2.4" xref="Ch0.E11.m1.10.10.10.10.10.10.10.2.2.2.2.3.cmml"><mo id="Ch0.E11.m1.10.10.10.10.10.10.10.2.2.2.2.4.1" stretchy="false" xref="Ch0.E11.m1.10.10.10.10.10.10.10.2.2.2.2.3.cmml">(</mo><mn id="Ch0.E11.m1.9.9.9.9.9.9.9.1.1.1.1.1" xref="Ch0.E11.m1.9.9.9.9.9.9.9.1.1.1.1.1.cmml">0</mn><mo id="Ch0.E11.m1.10.10.10.10.10.10.10.2.2.2.2.4.2" xref="Ch0.E11.m1.10.10.10.10.10.10.10.2.2.2.2.3.cmml">,</mo><mn id="Ch0.E11.m1.10.10.10.10.10.10.10.2.2.2.2.2" xref="Ch0.E11.m1.10.10.10.10.10.10.10.2.2.2.2.2.cmml">1</mn><mo id="Ch0.E11.m1.10.10.10.10.10.10.10.2.2.2.2.4.3" stretchy="false" xref="Ch0.E11.m1.10.10.10.10.10.10.10.2.2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></msub></mtd><mtd id="Ch0.E11.m1.32.32.32.32.32.32h" xref="Ch0.E11.m1.32.32.32.32.32.32.cmml"><msub id="Ch0.E11.m1.12.12.12.12.12.12.12.4.2" xref="Ch0.E11.m1.12.12.12.12.12.12.12.4.2.cmml"><mi id="Ch0.E11.m1.12.12.12.12.12.12.12.4.2.4" xref="Ch0.E11.m1.12.12.12.12.12.12.12.4.2.4.cmml">b</mi><mrow id="Ch0.E11.m1.12.12.12.12.12.12.12.4.2.2.2.4" xref="Ch0.E11.m1.12.12.12.12.12.12.12.4.2.2.2.3.cmml"><mo id="Ch0.E11.m1.12.12.12.12.12.12.12.4.2.2.2.4.1" stretchy="false" xref="Ch0.E11.m1.12.12.12.12.12.12.12.4.2.2.2.3.cmml">(</mo><mn id="Ch0.E11.m1.11.11.11.11.11.11.11.3.1.1.1.1" xref="Ch0.E11.m1.11.11.11.11.11.11.11.3.1.1.1.1.cmml">0</mn><mo id="Ch0.E11.m1.12.12.12.12.12.12.12.4.2.2.2.4.2" xref="Ch0.E11.m1.12.12.12.12.12.12.12.4.2.2.2.3.cmml">,</mo><mn id="Ch0.E11.m1.12.12.12.12.12.12.12.4.2.2.2.2" xref="Ch0.E11.m1.12.12.12.12.12.12.12.4.2.2.2.2.cmml">0</mn><mo id="Ch0.E11.m1.12.12.12.12.12.12.12.4.2.2.2.4.3" stretchy="false" xref="Ch0.E11.m1.12.12.12.12.12.12.12.4.2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></msub></mtd><mtd id="Ch0.E11.m1.32.32.32.32.32.32i" xref="Ch0.E11.m1.32.32.32.32.32.32.cmml"><msub id="Ch0.E11.m1.14.14.14.14.14.14.14.6.2" xref="Ch0.E11.m1.14.14.14.14.14.14.14.6.2.cmml"><mi id="Ch0.E11.m1.14.14.14.14.14.14.14.6.2.4" xref="Ch0.E11.m1.14.14.14.14.14.14.14.6.2.4.cmml">b</mi><mrow id="Ch0.E11.m1.14.14.14.14.14.14.14.6.2.2.2.4" xref="Ch0.E11.m1.14.14.14.14.14.14.14.6.2.2.2.3.cmml"><mo id="Ch0.E11.m1.14.14.14.14.14.14.14.6.2.2.2.4.1" stretchy="false" xref="Ch0.E11.m1.14.14.14.14.14.14.14.6.2.2.2.3.cmml">(</mo><mn id="Ch0.E11.m1.13.13.13.13.13.13.13.5.1.1.1.1" xref="Ch0.E11.m1.13.13.13.13.13.13.13.5.1.1.1.1.cmml">1</mn><mo id="Ch0.E11.m1.14.14.14.14.14.14.14.6.2.2.2.4.2" xref="Ch0.E11.m1.14.14.14.14.14.14.14.6.2.2.2.3.cmml">,</mo><mn id="Ch0.E11.m1.14.14.14.14.14.14.14.6.2.2.2.2" xref="Ch0.E11.m1.14.14.14.14.14.14.14.6.2.2.2.2.cmml">1</mn><mo id="Ch0.E11.m1.14.14.14.14.14.14.14.6.2.2.2.4.3" stretchy="false" xref="Ch0.E11.m1.14.14.14.14.14.14.14.6.2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></msub></mtd><mtd id="Ch0.E11.m1.32.32.32.32.32.32j" xref="Ch0.E11.m1.32.32.32.32.32.32.cmml"><msub id="Ch0.E11.m1.16.16.16.16.16.16.16.8.2" xref="Ch0.E11.m1.16.16.16.16.16.16.16.8.2.cmml"><mi id="Ch0.E11.m1.16.16.16.16.16.16.16.8.2.4" xref="Ch0.E11.m1.16.16.16.16.16.16.16.8.2.4.cmml">b</mi><mrow id="Ch0.E11.m1.16.16.16.16.16.16.16.8.2.2.2.4" xref="Ch0.E11.m1.16.16.16.16.16.16.16.8.2.2.2.3.cmml"><mo id="Ch0.E11.m1.16.16.16.16.16.16.16.8.2.2.2.4.1" stretchy="false" xref="Ch0.E11.m1.16.16.16.16.16.16.16.8.2.2.2.3.cmml">(</mo><mn id="Ch0.E11.m1.15.15.15.15.15.15.15.7.1.1.1.1" xref="Ch0.E11.m1.15.15.15.15.15.15.15.7.1.1.1.1.cmml">1</mn><mo id="Ch0.E11.m1.16.16.16.16.16.16.16.8.2.2.2.4.2" xref="Ch0.E11.m1.16.16.16.16.16.16.16.8.2.2.2.3.cmml">,</mo><mn id="Ch0.E11.m1.16.16.16.16.16.16.16.8.2.2.2.2" xref="Ch0.E11.m1.16.16.16.16.16.16.16.8.2.2.2.2.cmml">0</mn><mo id="Ch0.E11.m1.16.16.16.16.16.16.16.8.2.2.2.4.3" stretchy="false" xref="Ch0.E11.m1.16.16.16.16.16.16.16.8.2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></msub></mtd></mtr><mtr id="Ch0.E11.m1.32.32.32.32.32.32k" xref="Ch0.E11.m1.32.32.32.32.32.32.cmml"><mtd id="Ch0.E11.m1.32.32.32.32.32.32l" xref="Ch0.E11.m1.32.32.32.32.32.32.cmml"><msub id="Ch0.E11.m1.18.18.18.18.18.18.18.2.2" xref="Ch0.E11.m1.18.18.18.18.18.18.18.2.2.cmml"><mi id="Ch0.E11.m1.18.18.18.18.18.18.18.2.2.4" xref="Ch0.E11.m1.18.18.18.18.18.18.18.2.2.4.cmml">c</mi><mrow id="Ch0.E11.m1.18.18.18.18.18.18.18.2.2.2.2.4" xref="Ch0.E11.m1.18.18.18.18.18.18.18.2.2.2.2.3.cmml"><mo id="Ch0.E11.m1.18.18.18.18.18.18.18.2.2.2.2.4.1" stretchy="false" xref="Ch0.E11.m1.18.18.18.18.18.18.18.2.2.2.2.3.cmml">(</mo><mn id="Ch0.E11.m1.17.17.17.17.17.17.17.1.1.1.1.1" xref="Ch0.E11.m1.17.17.17.17.17.17.17.1.1.1.1.1.cmml">1</mn><mo id="Ch0.E11.m1.18.18.18.18.18.18.18.2.2.2.2.4.2" xref="Ch0.E11.m1.18.18.18.18.18.18.18.2.2.2.2.3.cmml">,</mo><mn id="Ch0.E11.m1.18.18.18.18.18.18.18.2.2.2.2.2" xref="Ch0.E11.m1.18.18.18.18.18.18.18.2.2.2.2.2.cmml">0</mn><mo id="Ch0.E11.m1.18.18.18.18.18.18.18.2.2.2.2.4.3" stretchy="false" xref="Ch0.E11.m1.18.18.18.18.18.18.18.2.2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></msub></mtd><mtd id="Ch0.E11.m1.32.32.32.32.32.32m" xref="Ch0.E11.m1.32.32.32.32.32.32.cmml"><msub id="Ch0.E11.m1.20.20.20.20.20.20.20.4.2" xref="Ch0.E11.m1.20.20.20.20.20.20.20.4.2.cmml"><mi id="Ch0.E11.m1.20.20.20.20.20.20.20.4.2.4" xref="Ch0.E11.m1.20.20.20.20.20.20.20.4.2.4.cmml">c</mi><mrow id="Ch0.E11.m1.20.20.20.20.20.20.20.4.2.2.2.4" xref="Ch0.E11.m1.20.20.20.20.20.20.20.4.2.2.2.3.cmml"><mo id="Ch0.E11.m1.20.20.20.20.20.20.20.4.2.2.2.4.1" stretchy="false" xref="Ch0.E11.m1.20.20.20.20.20.20.20.4.2.2.2.3.cmml">(</mo><mn id="Ch0.E11.m1.19.19.19.19.19.19.19.3.1.1.1.1" xref="Ch0.E11.m1.19.19.19.19.19.19.19.3.1.1.1.1.cmml">1</mn><mo id="Ch0.E11.m1.20.20.20.20.20.20.20.4.2.2.2.4.2" xref="Ch0.E11.m1.20.20.20.20.20.20.20.4.2.2.2.3.cmml">,</mo><mn id="Ch0.E11.m1.20.20.20.20.20.20.20.4.2.2.2.2" xref="Ch0.E11.m1.20.20.20.20.20.20.20.4.2.2.2.2.cmml">1</mn><mo id="Ch0.E11.m1.20.20.20.20.20.20.20.4.2.2.2.4.3" stretchy="false" xref="Ch0.E11.m1.20.20.20.20.20.20.20.4.2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></msub></mtd><mtd id="Ch0.E11.m1.32.32.32.32.32.32n" xref="Ch0.E11.m1.32.32.32.32.32.32.cmml"><msub id="Ch0.E11.m1.22.22.22.22.22.22.22.6.2" xref="Ch0.E11.m1.22.22.22.22.22.22.22.6.2.cmml"><mi id="Ch0.E11.m1.22.22.22.22.22.22.22.6.2.4" xref="Ch0.E11.m1.22.22.22.22.22.22.22.6.2.4.cmml">c</mi><mrow id="Ch0.E11.m1.22.22.22.22.22.22.22.6.2.2.2.4" xref="Ch0.E11.m1.22.22.22.22.22.22.22.6.2.2.2.3.cmml"><mo id="Ch0.E11.m1.22.22.22.22.22.22.22.6.2.2.2.4.1" stretchy="false" xref="Ch0.E11.m1.22.22.22.22.22.22.22.6.2.2.2.3.cmml">(</mo><mn id="Ch0.E11.m1.21.21.21.21.21.21.21.5.1.1.1.1" xref="Ch0.E11.m1.21.21.21.21.21.21.21.5.1.1.1.1.cmml">0</mn><mo id="Ch0.E11.m1.22.22.22.22.22.22.22.6.2.2.2.4.2" xref="Ch0.E11.m1.22.22.22.22.22.22.22.6.2.2.2.3.cmml">,</mo><mn id="Ch0.E11.m1.22.22.22.22.22.22.22.6.2.2.2.2" xref="Ch0.E11.m1.22.22.22.22.22.22.22.6.2.2.2.2.cmml">0</mn><mo id="Ch0.E11.m1.22.22.22.22.22.22.22.6.2.2.2.4.3" stretchy="false" xref="Ch0.E11.m1.22.22.22.22.22.22.22.6.2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></msub></mtd><mtd id="Ch0.E11.m1.32.32.32.32.32.32o" xref="Ch0.E11.m1.32.32.32.32.32.32.cmml"><msub id="Ch0.E11.m1.24.24.24.24.24.24.24.8.2" xref="Ch0.E11.m1.24.24.24.24.24.24.24.8.2.cmml"><mi id="Ch0.E11.m1.24.24.24.24.24.24.24.8.2.4" xref="Ch0.E11.m1.24.24.24.24.24.24.24.8.2.4.cmml">c</mi><mrow id="Ch0.E11.m1.24.24.24.24.24.24.24.8.2.2.2.4" xref="Ch0.E11.m1.24.24.24.24.24.24.24.8.2.2.2.3.cmml"><mo id="Ch0.E11.m1.24.24.24.24.24.24.24.8.2.2.2.4.1" stretchy="false" xref="Ch0.E11.m1.24.24.24.24.24.24.24.8.2.2.2.3.cmml">(</mo><mn id="Ch0.E11.m1.23.23.23.23.23.23.23.7.1.1.1.1" xref="Ch0.E11.m1.23.23.23.23.23.23.23.7.1.1.1.1.cmml">0</mn><mo id="Ch0.E11.m1.24.24.24.24.24.24.24.8.2.2.2.4.2" xref="Ch0.E11.m1.24.24.24.24.24.24.24.8.2.2.2.3.cmml">,</mo><mn id="Ch0.E11.m1.24.24.24.24.24.24.24.8.2.2.2.2" xref="Ch0.E11.m1.24.24.24.24.24.24.24.8.2.2.2.2.cmml">1</mn><mo id="Ch0.E11.m1.24.24.24.24.24.24.24.8.2.2.2.4.3" stretchy="false" xref="Ch0.E11.m1.24.24.24.24.24.24.24.8.2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></msub></mtd></mtr><mtr id="Ch0.E11.m1.32.32.32.32.32.32p" xref="Ch0.E11.m1.32.32.32.32.32.32.cmml"><mtd id="Ch0.E11.m1.32.32.32.32.32.32q" xref="Ch0.E11.m1.32.32.32.32.32.32.cmml"><msub id="Ch0.E11.m1.26.26.26.26.26.26.26.2.2" xref="Ch0.E11.m1.26.26.26.26.26.26.26.2.2.cmml"><mi id="Ch0.E11.m1.26.26.26.26.26.26.26.2.2.4" xref="Ch0.E11.m1.26.26.26.26.26.26.26.2.2.4.cmml">d</mi><mrow id="Ch0.E11.m1.26.26.26.26.26.26.26.2.2.2.2.4" xref="Ch0.E11.m1.26.26.26.26.26.26.26.2.2.2.2.3.cmml"><mo id="Ch0.E11.m1.26.26.26.26.26.26.26.2.2.2.2.4.1" stretchy="false" xref="Ch0.E11.m1.26.26.26.26.26.26.26.2.2.2.2.3.cmml">(</mo><mn id="Ch0.E11.m1.25.25.25.25.25.25.25.1.1.1.1.1" xref="Ch0.E11.m1.25.25.25.25.25.25.25.1.1.1.1.1.cmml">1</mn><mo id="Ch0.E11.m1.26.26.26.26.26.26.26.2.2.2.2.4.2" xref="Ch0.E11.m1.26.26.26.26.26.26.26.2.2.2.2.3.cmml">,</mo><mn id="Ch0.E11.m1.26.26.26.26.26.26.26.2.2.2.2.2" xref="Ch0.E11.m1.26.26.26.26.26.26.26.2.2.2.2.2.cmml">1</mn><mo id="Ch0.E11.m1.26.26.26.26.26.26.26.2.2.2.2.4.3" stretchy="false" xref="Ch0.E11.m1.26.26.26.26.26.26.26.2.2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></msub></mtd><mtd id="Ch0.E11.m1.32.32.32.32.32.32r" xref="Ch0.E11.m1.32.32.32.32.32.32.cmml"><msub id="Ch0.E11.m1.28.28.28.28.28.28.28.4.2" xref="Ch0.E11.m1.28.28.28.28.28.28.28.4.2.cmml"><mi id="Ch0.E11.m1.28.28.28.28.28.28.28.4.2.4" xref="Ch0.E11.m1.28.28.28.28.28.28.28.4.2.4.cmml">d</mi><mrow id="Ch0.E11.m1.28.28.28.28.28.28.28.4.2.2.2.4" xref="Ch0.E11.m1.28.28.28.28.28.28.28.4.2.2.2.3.cmml"><mo id="Ch0.E11.m1.28.28.28.28.28.28.28.4.2.2.2.4.1" stretchy="false" xref="Ch0.E11.m1.28.28.28.28.28.28.28.4.2.2.2.3.cmml">(</mo><mn id="Ch0.E11.m1.27.27.27.27.27.27.27.3.1.1.1.1" xref="Ch0.E11.m1.27.27.27.27.27.27.27.3.1.1.1.1.cmml">1</mn><mo id="Ch0.E11.m1.28.28.28.28.28.28.28.4.2.2.2.4.2" xref="Ch0.E11.m1.28.28.28.28.28.28.28.4.2.2.2.3.cmml">,</mo><mn id="Ch0.E11.m1.28.28.28.28.28.28.28.4.2.2.2.2" xref="Ch0.E11.m1.28.28.28.28.28.28.28.4.2.2.2.2.cmml">0</mn><mo id="Ch0.E11.m1.28.28.28.28.28.28.28.4.2.2.2.4.3" stretchy="false" xref="Ch0.E11.m1.28.28.28.28.28.28.28.4.2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></msub></mtd><mtd id="Ch0.E11.m1.32.32.32.32.32.32s" xref="Ch0.E11.m1.32.32.32.32.32.32.cmml"><msub id="Ch0.E11.m1.30.30.30.30.30.30.30.6.2" xref="Ch0.E11.m1.30.30.30.30.30.30.30.6.2.cmml"><mi id="Ch0.E11.m1.30.30.30.30.30.30.30.6.2.4" xref="Ch0.E11.m1.30.30.30.30.30.30.30.6.2.4.cmml">d</mi><mrow id="Ch0.E11.m1.30.30.30.30.30.30.30.6.2.2.2.4" xref="Ch0.E11.m1.30.30.30.30.30.30.30.6.2.2.2.3.cmml"><mo id="Ch0.E11.m1.30.30.30.30.30.30.30.6.2.2.2.4.1" stretchy="false" xref="Ch0.E11.m1.30.30.30.30.30.30.30.6.2.2.2.3.cmml">(</mo><mn id="Ch0.E11.m1.29.29.29.29.29.29.29.5.1.1.1.1" xref="Ch0.E11.m1.29.29.29.29.29.29.29.5.1.1.1.1.cmml">0</mn><mo id="Ch0.E11.m1.30.30.30.30.30.30.30.6.2.2.2.4.2" xref="Ch0.E11.m1.30.30.30.30.30.30.30.6.2.2.2.3.cmml">,</mo><mn id="Ch0.E11.m1.30.30.30.30.30.30.30.6.2.2.2.2" xref="Ch0.E11.m1.30.30.30.30.30.30.30.6.2.2.2.2.cmml">1</mn><mo id="Ch0.E11.m1.30.30.30.30.30.30.30.6.2.2.2.4.3" stretchy="false" xref="Ch0.E11.m1.30.30.30.30.30.30.30.6.2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></msub></mtd><mtd id="Ch0.E11.m1.32.32.32.32.32.32t" xref="Ch0.E11.m1.32.32.32.32.32.32.cmml"><msub id="Ch0.E11.m1.32.32.32.32.32.32.32.8.2" xref="Ch0.E11.m1.32.32.32.32.32.32.32.8.2.cmml"><mi id="Ch0.E11.m1.32.32.32.32.32.32.32.8.2.4" xref="Ch0.E11.m1.32.32.32.32.32.32.32.8.2.4.cmml">d</mi><mrow id="Ch0.E11.m1.32.32.32.32.32.32.32.8.2.2.2.4" xref="Ch0.E11.m1.32.32.32.32.32.32.32.8.2.2.2.3.cmml"><mo id="Ch0.E11.m1.32.32.32.32.32.32.32.8.2.2.2.4.1" stretchy="false" xref="Ch0.E11.m1.32.32.32.32.32.32.32.8.2.2.2.3.cmml">(</mo><mn id="Ch0.E11.m1.31.31.31.31.31.31.31.7.1.1.1.1" xref="Ch0.E11.m1.31.31.31.31.31.31.31.7.1.1.1.1.cmml">0</mn><mo id="Ch0.E11.m1.32.32.32.32.32.32.32.8.2.2.2.4.2" xref="Ch0.E11.m1.32.32.32.32.32.32.32.8.2.2.2.3.cmml">,</mo><mn id="Ch0.E11.m1.32.32.32.32.32.32.32.8.2.2.2.2" xref="Ch0.E11.m1.32.32.32.32.32.32.32.8.2.2.2.2.cmml">0</mn><mo id="Ch0.E11.m1.32.32.32.32.32.32.32.8.2.2.2.4.3" stretchy="false" xref="Ch0.E11.m1.32.32.32.32.32.32.32.8.2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></msub></mtd></mtr></mtable><mo id="Ch0.E11.m1.32.32.32.32.32.34.2" xref="Ch0.E11.m1.32.32.32.32.32.32.cmml">)</mo></mrow></mtd><mtd id="Ch0.E11.m1.32.32f" xref="Ch0.E11.m1.32.32.cmml"><mtable displaystyle="true" id="Ch0.E11.m1.32.32.32.33.1" rowspacing="0pt" xref="Ch0.E11.m1.32.32.32.33.1.cmml"><mtr id="Ch0.E11.m1.32.32.32.33.1a" xref="Ch0.E11.m1.32.32.32.33.1.cmml"><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="Ch0.E11.m1.32.32.32.33.1b" xref="Ch0.E11.m1.32.32.32.33.1.cmml"><mi id="Ch0.E11.m1.32.32.32.33.1.1.1.1" xref="Ch0.E11.m1.32.32.32.33.1.1.1.1.cmml">p</mi></mtd></mtr><mtr id="Ch0.E11.m1.32.32.32.33.1c" xref="Ch0.E11.m1.32.32.32.33.1.cmml"><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="Ch0.E11.m1.32.32.32.33.1d" xref="Ch0.E11.m1.32.32.32.33.1.cmml"><mi id="Ch0.E11.m1.32.32.32.33.1.2.1.1" xref="Ch0.E11.m1.32.32.32.33.1.2.1.1.cmml">q</mi></mtd></mtr><mtr id="Ch0.E11.m1.32.32.32.33.1e" xref="Ch0.E11.m1.32.32.32.33.1.cmml"><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="Ch0.E11.m1.32.32.32.33.1f" xref="Ch0.E11.m1.32.32.32.33.1.cmml"><mi id="Ch0.E11.m1.32.32.32.33.1.3.1.1" xref="Ch0.E11.m1.32.32.32.33.1.3.1.1.cmml">r</mi></mtd></mtr><mtr id="Ch0.E11.m1.32.32.32.33.1g" xref="Ch0.E11.m1.32.32.32.33.1.cmml"><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="Ch0.E11.m1.32.32.32.33.1h" xref="Ch0.E11.m1.32.32.32.33.1.cmml"><mi id="Ch0.E11.m1.32.32.32.33.1.4.1.1" xref="Ch0.E11.m1.32.32.32.33.1.4.1.1.cmml">s</mi></mtd></mtr></mtable></mtd></mtr></mtable><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Ch0.E11.m1.32b"><matrix id="Ch0.E11.m1.32.32.cmml" xref="Ch0.E11.m1.32.32"><matrixrow id="Ch0.E11.m1.32.32a.cmml" xref="Ch0.E11.m1.32.32"><matrix id="Ch0.E11.m1.32.32.33.1.1.cmml" xref="Ch0.E11.m1.32.32.33.1.1"><matrixrow id="Ch0.E11.m1.32.32.33.1.1a.cmml" xref="Ch0.E11.m1.32.32.33.1.1"><ci id="Ch0.E11.m1.32.32.33.1.1.1.1.1.cmml" xref="Ch0.E11.m1.32.32.33.1.1.1.1.1">𝑝</ci><ci id="Ch0.E11.m1.32.32.33.1.1.1.2.1.cmml" xref="Ch0.E11.m1.32.32.33.1.1.1.2.1">𝑞</ci><ci id="Ch0.E11.m1.32.32.33.1.1.1.3.1.cmml" xref="Ch0.E11.m1.32.32.33.1.1.1.3.1">𝑟</ci><ci id="Ch0.E11.m1.32.32.33.1.1.1.4.1.cmml" xref="Ch0.E11.m1.32.32.33.1.1.1.4.1">𝑠</ci></matrixrow></matrix><cerror id="Ch0.E11.m1.32.32b.cmml" xref="Ch0.E11.m1.32.32"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.E11.m1.32.32c.cmml" xref="Ch0.E11.m1.32.32">missing-subexpression</csymbol></cerror></matrixrow><matrixrow id="Ch0.E11.m1.32.32d.cmml" xref="Ch0.E11.m1.32.32"><matrix id="Ch0.E11.m1.32.32.32.32.32.32.cmml" xref="Ch0.E11.m1.32.32.32.32.32.34"><matrixrow id="Ch0.E11.m1.32.32.32.32.32.32a.cmml" xref="Ch0.E11.m1.32.32.32.32.32.34"><apply id="Ch0.E11.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="Ch0.E11.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.E11.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="Ch0.E11.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="Ch0.E11.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.4.cmml" xref="Ch0.E11.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.4">𝑎</ci><interval closure="open" id="Ch0.E11.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="Ch0.E11.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.4"><cn id="Ch0.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" type="integer" xref="Ch0.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1">0</cn><cn id="Ch0.E11.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.cmml" type="integer" xref="Ch0.E11.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2">0</cn></interval></apply><apply id="Ch0.E11.m1.4.4.4.4.4.4.4.4.2.cmml" xref="Ch0.E11.m1.4.4.4.4.4.4.4.4.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.E11.m1.4.4.4.4.4.4.4.4.2.3.cmml" xref="Ch0.E11.m1.4.4.4.4.4.4.4.4.2">subscript</csymbol><ci id="Ch0.E11.m1.4.4.4.4.4.4.4.4.2.4.cmml" xref="Ch0.E11.m1.4.4.4.4.4.4.4.4.2.4">𝑎</ci><interval closure="open" id="Ch0.E11.m1.4.4.4.4.4.4.4.4.2.2.2.3.cmml" xref="Ch0.E11.m1.4.4.4.4.4.4.4.4.2.2.2.4"><cn id="Ch0.E11.m1.3.3.3.3.3.3.3.3.1.1.1.1.cmml" type="integer" xref="Ch0.E11.m1.3.3.3.3.3.3.3.3.1.1.1.1">0</cn><cn id="Ch0.E11.m1.4.4.4.4.4.4.4.4.2.2.2.2.cmml" type="integer" xref="Ch0.E11.m1.4.4.4.4.4.4.4.4.2.2.2.2">1</cn></interval></apply><apply id="Ch0.E11.m1.6.6.6.6.6.6.6.6.2.cmml" xref="Ch0.E11.m1.6.6.6.6.6.6.6.6.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.E11.m1.6.6.6.6.6.6.6.6.2.3.cmml" xref="Ch0.E11.m1.6.6.6.6.6.6.6.6.2">subscript</csymbol><ci id="Ch0.E11.m1.6.6.6.6.6.6.6.6.2.4.cmml" xref="Ch0.E11.m1.6.6.6.6.6.6.6.6.2.4">𝑎</ci><interval closure="open" id="Ch0.E11.m1.6.6.6.6.6.6.6.6.2.2.2.3.cmml" xref="Ch0.E11.m1.6.6.6.6.6.6.6.6.2.2.2.4"><cn id="Ch0.E11.m1.5.5.5.5.5.5.5.5.1.1.1.1.cmml" type="integer" xref="Ch0.E11.m1.5.5.5.5.5.5.5.5.1.1.1.1">1</cn><cn id="Ch0.E11.m1.6.6.6.6.6.6.6.6.2.2.2.2.cmml" type="integer" xref="Ch0.E11.m1.6.6.6.6.6.6.6.6.2.2.2.2">0</cn></interval></apply><apply id="Ch0.E11.m1.8.8.8.8.8.8.8.8.2.cmml" xref="Ch0.E11.m1.8.8.8.8.8.8.8.8.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.E11.m1.8.8.8.8.8.8.8.8.2.3.cmml" xref="Ch0.E11.m1.8.8.8.8.8.8.8.8.2">subscript</csymbol><ci id="Ch0.E11.m1.8.8.8.8.8.8.8.8.2.4.cmml" xref="Ch0.E11.m1.8.8.8.8.8.8.8.8.2.4">𝑎</ci><interval closure="open" id="Ch0.E11.m1.8.8.8.8.8.8.8.8.2.2.2.3.cmml" xref="Ch0.E11.m1.8.8.8.8.8.8.8.8.2.2.2.4"><cn id="Ch0.E11.m1.7.7.7.7.7.7.7.7.1.1.1.1.cmml" type="integer" xref="Ch0.E11.m1.7.7.7.7.7.7.7.7.1.1.1.1">1</cn><cn id="Ch0.E11.m1.8.8.8.8.8.8.8.8.2.2.2.2.cmml" type="integer" xref="Ch0.E11.m1.8.8.8.8.8.8.8.8.2.2.2.2">1</cn></interval></apply></matrixrow><matrixrow id="Ch0.E11.m1.32.32.32.32.32.32b.cmml" xref="Ch0.E11.m1.32.32.32.32.32.34"><apply id="Ch0.E11.m1.10.10.10.10.10.10.10.2.2.cmml" xref="Ch0.E11.m1.10.10.10.10.10.10.10.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.E11.m1.10.10.10.10.10.10.10.2.2.3.cmml" xref="Ch0.E11.m1.10.10.10.10.10.10.10.2.2">subscript</csymbol><ci id="Ch0.E11.m1.10.10.10.10.10.10.10.2.2.4.cmml" xref="Ch0.E11.m1.10.10.10.10.10.10.10.2.2.4">𝑏</ci><interval closure="open" id="Ch0.E11.m1.10.10.10.10.10.10.10.2.2.2.2.3.cmml" xref="Ch0.E11.m1.10.10.10.10.10.10.10.2.2.2.2.4"><cn id="Ch0.E11.m1.9.9.9.9.9.9.9.1.1.1.1.1.cmml" type="integer" xref="Ch0.E11.m1.9.9.9.9.9.9.9.1.1.1.1.1">0</cn><cn id="Ch0.E11.m1.10.10.10.10.10.10.10.2.2.2.2.2.cmml" type="integer" xref="Ch0.E11.m1.10.10.10.10.10.10.10.2.2.2.2.2">1</cn></interval></apply><apply id="Ch0.E11.m1.12.12.12.12.12.12.12.4.2.cmml" xref="Ch0.E11.m1.12.12.12.12.12.12.12.4.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.E11.m1.12.12.12.12.12.12.12.4.2.3.cmml" xref="Ch0.E11.m1.12.12.12.12.12.12.12.4.2">subscript</csymbol><ci id="Ch0.E11.m1.12.12.12.12.12.12.12.4.2.4.cmml" xref="Ch0.E11.m1.12.12.12.12.12.12.12.4.2.4">𝑏</ci><interval closure="open" id="Ch0.E11.m1.12.12.12.12.12.12.12.4.2.2.2.3.cmml" xref="Ch0.E11.m1.12.12.12.12.12.12.12.4.2.2.2.4"><cn id="Ch0.E11.m1.11.11.11.11.11.11.11.3.1.1.1.1.cmml" type="integer" xref="Ch0.E11.m1.11.11.11.11.11.11.11.3.1.1.1.1">0</cn><cn id="Ch0.E11.m1.12.12.12.12.12.12.12.4.2.2.2.2.cmml" type="integer" xref="Ch0.E11.m1.12.12.12.12.12.12.12.4.2.2.2.2">0</cn></interval></apply><apply id="Ch0.E11.m1.14.14.14.14.14.14.14.6.2.cmml" xref="Ch0.E11.m1.14.14.14.14.14.14.14.6.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.E11.m1.14.14.14.14.14.14.14.6.2.3.cmml" xref="Ch0.E11.m1.14.14.14.14.14.14.14.6.2">subscript</csymbol><ci id="Ch0.E11.m1.14.14.14.14.14.14.14.6.2.4.cmml" xref="Ch0.E11.m1.14.14.14.14.14.14.14.6.2.4">𝑏</ci><interval closure="open" id="Ch0.E11.m1.14.14.14.14.14.14.14.6.2.2.2.3.cmml" xref="Ch0.E11.m1.14.14.14.14.14.14.14.6.2.2.2.4"><cn id="Ch0.E11.m1.13.13.13.13.13.13.13.5.1.1.1.1.cmml" type="integer" xref="Ch0.E11.m1.13.13.13.13.13.13.13.5.1.1.1.1">1</cn><cn id="Ch0.E11.m1.14.14.14.14.14.14.14.6.2.2.2.2.cmml" type="integer" xref="Ch0.E11.m1.14.14.14.14.14.14.14.6.2.2.2.2">1</cn></interval></apply><apply id="Ch0.E11.m1.16.16.16.16.16.16.16.8.2.cmml" xref="Ch0.E11.m1.16.16.16.16.16.16.16.8.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.E11.m1.16.16.16.16.16.16.16.8.2.3.cmml" xref="Ch0.E11.m1.16.16.16.16.16.16.16.8.2">subscript</csymbol><ci id="Ch0.E11.m1.16.16.16.16.16.16.16.8.2.4.cmml" xref="Ch0.E11.m1.16.16.16.16.16.16.16.8.2.4">𝑏</ci><interval closure="open" id="Ch0.E11.m1.16.16.16.16.16.16.16.8.2.2.2.3.cmml" xref="Ch0.E11.m1.16.16.16.16.16.16.16.8.2.2.2.4"><cn id="Ch0.E11.m1.15.15.15.15.15.15.15.7.1.1.1.1.cmml" type="integer" xref="Ch0.E11.m1.15.15.15.15.15.15.15.7.1.1.1.1">1</cn><cn id="Ch0.E11.m1.16.16.16.16.16.16.16.8.2.2.2.2.cmml" type="integer" xref="Ch0.E11.m1.16.16.16.16.16.16.16.8.2.2.2.2">0</cn></interval></apply></matrixrow><matrixrow id="Ch0.E11.m1.32.32.32.32.32.32c.cmml" xref="Ch0.E11.m1.32.32.32.32.32.34"><apply id="Ch0.E11.m1.18.18.18.18.18.18.18.2.2.cmml" xref="Ch0.E11.m1.18.18.18.18.18.18.18.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.E11.m1.18.18.18.18.18.18.18.2.2.3.cmml" xref="Ch0.E11.m1.18.18.18.18.18.18.18.2.2">subscript</csymbol><ci id="Ch0.E11.m1.18.18.18.18.18.18.18.2.2.4.cmml" xref="Ch0.E11.m1.18.18.18.18.18.18.18.2.2.4">𝑐</ci><interval closure="open" id="Ch0.E11.m1.18.18.18.18.18.18.18.2.2.2.2.3.cmml" xref="Ch0.E11.m1.18.18.18.18.18.18.18.2.2.2.2.4"><cn id="Ch0.E11.m1.17.17.17.17.17.17.17.1.1.1.1.1.cmml" type="integer" xref="Ch0.E11.m1.17.17.17.17.17.17.17.1.1.1.1.1">1</cn><cn id="Ch0.E11.m1.18.18.18.18.18.18.18.2.2.2.2.2.cmml" type="integer" xref="Ch0.E11.m1.18.18.18.18.18.18.18.2.2.2.2.2">0</cn></interval></apply><apply id="Ch0.E11.m1.20.20.20.20.20.20.20.4.2.cmml" xref="Ch0.E11.m1.20.20.20.20.20.20.20.4.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.E11.m1.20.20.20.20.20.20.20.4.2.3.cmml" xref="Ch0.E11.m1.20.20.20.20.20.20.20.4.2">subscript</csymbol><ci id="Ch0.E11.m1.20.20.20.20.20.20.20.4.2.4.cmml" xref="Ch0.E11.m1.20.20.20.20.20.20.20.4.2.4">𝑐</ci><interval closure="open" id="Ch0.E11.m1.20.20.20.20.20.20.20.4.2.2.2.3.cmml" xref="Ch0.E11.m1.20.20.20.20.20.20.20.4.2.2.2.4"><cn id="Ch0.E11.m1.19.19.19.19.19.19.19.3.1.1.1.1.cmml" type="integer" xref="Ch0.E11.m1.19.19.19.19.19.19.19.3.1.1.1.1">1</cn><cn id="Ch0.E11.m1.20.20.20.20.20.20.20.4.2.2.2.2.cmml" type="integer" xref="Ch0.E11.m1.20.20.20.20.20.20.20.4.2.2.2.2">1</cn></interval></apply><apply id="Ch0.E11.m1.22.22.22.22.22.22.22.6.2.cmml" xref="Ch0.E11.m1.22.22.22.22.22.22.22.6.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.E11.m1.22.22.22.22.22.22.22.6.2.3.cmml" xref="Ch0.E11.m1.22.22.22.22.22.22.22.6.2">subscript</csymbol><ci id="Ch0.E11.m1.22.22.22.22.22.22.22.6.2.4.cmml" xref="Ch0.E11.m1.22.22.22.22.22.22.22.6.2.4">𝑐</ci><interval closure="open" id="Ch0.E11.m1.22.22.22.22.22.22.22.6.2.2.2.3.cmml" xref="Ch0.E11.m1.22.22.22.22.22.22.22.6.2.2.2.4"><cn id="Ch0.E11.m1.21.21.21.21.21.21.21.5.1.1.1.1.cmml" type="integer" xref="Ch0.E11.m1.21.21.21.21.21.21.21.5.1.1.1.1">0</cn><cn id="Ch0.E11.m1.22.22.22.22.22.22.22.6.2.2.2.2.cmml" type="integer" xref="Ch0.E11.m1.22.22.22.22.22.22.22.6.2.2.2.2">0</cn></interval></apply><apply id="Ch0.E11.m1.24.24.24.24.24.24.24.8.2.cmml" xref="Ch0.E11.m1.24.24.24.24.24.24.24.8.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.E11.m1.24.24.24.24.24.24.24.8.2.3.cmml" xref="Ch0.E11.m1.24.24.24.24.24.24.24.8.2">subscript</csymbol><ci id="Ch0.E11.m1.24.24.24.24.24.24.24.8.2.4.cmml" xref="Ch0.E11.m1.24.24.24.24.24.24.24.8.2.4">𝑐</ci><interval closure="open" id="Ch0.E11.m1.24.24.24.24.24.24.24.8.2.2.2.3.cmml" xref="Ch0.E11.m1.24.24.24.24.24.24.24.8.2.2.2.4"><cn id="Ch0.E11.m1.23.23.23.23.23.23.23.7.1.1.1.1.cmml" type="integer" xref="Ch0.E11.m1.23.23.23.23.23.23.23.7.1.1.1.1">0</cn><cn id="Ch0.E11.m1.24.24.24.24.24.24.24.8.2.2.2.2.cmml" type="integer" xref="Ch0.E11.m1.24.24.24.24.24.24.24.8.2.2.2.2">1</cn></interval></apply></matrixrow><matrixrow id="Ch0.E11.m1.32.32.32.32.32.32d.cmml" xref="Ch0.E11.m1.32.32.32.32.32.34"><apply id="Ch0.E11.m1.26.26.26.26.26.26.26.2.2.cmml" xref="Ch0.E11.m1.26.26.26.26.26.26.26.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.E11.m1.26.26.26.26.26.26.26.2.2.3.cmml" xref="Ch0.E11.m1.26.26.26.26.26.26.26.2.2">subscript</csymbol><ci id="Ch0.E11.m1.26.26.26.26.26.26.26.2.2.4.cmml" xref="Ch0.E11.m1.26.26.26.26.26.26.26.2.2.4">𝑑</ci><interval closure="open" id="Ch0.E11.m1.26.26.26.26.26.26.26.2.2.2.2.3.cmml" xref="Ch0.E11.m1.26.26.26.26.26.26.26.2.2.2.2.4"><cn id="Ch0.E11.m1.25.25.25.25.25.25.25.1.1.1.1.1.cmml" type="integer" xref="Ch0.E11.m1.25.25.25.25.25.25.25.1.1.1.1.1">1</cn><cn id="Ch0.E11.m1.26.26.26.26.26.26.26.2.2.2.2.2.cmml" type="integer" xref="Ch0.E11.m1.26.26.26.26.26.26.26.2.2.2.2.2">1</cn></interval></apply><apply id="Ch0.E11.m1.28.28.28.28.28.28.28.4.2.cmml" xref="Ch0.E11.m1.28.28.28.28.28.28.28.4.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.E11.m1.28.28.28.28.28.28.28.4.2.3.cmml" xref="Ch0.E11.m1.28.28.28.28.28.28.28.4.2">subscript</csymbol><ci id="Ch0.E11.m1.28.28.28.28.28.28.28.4.2.4.cmml" xref="Ch0.E11.m1.28.28.28.28.28.28.28.4.2.4">𝑑</ci><interval closure="open" id="Ch0.E11.m1.28.28.28.28.28.28.28.4.2.2.2.3.cmml" xref="Ch0.E11.m1.28.28.28.28.28.28.28.4.2.2.2.4"><cn id="Ch0.E11.m1.27.27.27.27.27.27.27.3.1.1.1.1.cmml" type="integer" xref="Ch0.E11.m1.27.27.27.27.27.27.27.3.1.1.1.1">1</cn><cn id="Ch0.E11.m1.28.28.28.28.28.28.28.4.2.2.2.2.cmml" type="integer" xref="Ch0.E11.m1.28.28.28.28.28.28.28.4.2.2.2.2">0</cn></interval></apply><apply id="Ch0.E11.m1.30.30.30.30.30.30.30.6.2.cmml" xref="Ch0.E11.m1.30.30.30.30.30.30.30.6.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.E11.m1.30.30.30.30.30.30.30.6.2.3.cmml" xref="Ch0.E11.m1.30.30.30.30.30.30.30.6.2">subscript</csymbol><ci id="Ch0.E11.m1.30.30.30.30.30.30.30.6.2.4.cmml" xref="Ch0.E11.m1.30.30.30.30.30.30.30.6.2.4">𝑑</ci><interval closure="open" id="Ch0.E11.m1.30.30.30.30.30.30.30.6.2.2.2.3.cmml" xref="Ch0.E11.m1.30.30.30.30.30.30.30.6.2.2.2.4"><cn id="Ch0.E11.m1.29.29.29.29.29.29.29.5.1.1.1.1.cmml" type="integer" xref="Ch0.E11.m1.29.29.29.29.29.29.29.5.1.1.1.1">0</cn><cn id="Ch0.E11.m1.30.30.30.30.30.30.30.6.2.2.2.2.cmml" type="integer" xref="Ch0.E11.m1.30.30.30.30.30.30.30.6.2.2.2.2">1</cn></interval></apply><apply id="Ch0.E11.m1.32.32.32.32.32.32.32.8.2.cmml" xref="Ch0.E11.m1.32.32.32.32.32.32.32.8.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.E11.m1.32.32.32.32.32.32.32.8.2.3.cmml" xref="Ch0.E11.m1.32.32.32.32.32.32.32.8.2">subscript</csymbol><ci id="Ch0.E11.m1.32.32.32.32.32.32.32.8.2.4.cmml" xref="Ch0.E11.m1.32.32.32.32.32.32.32.8.2.4">𝑑</ci><interval closure="open" id="Ch0.E11.m1.32.32.32.32.32.32.32.8.2.2.2.3.cmml" xref="Ch0.E11.m1.32.32.32.32.32.32.32.8.2.2.2.4"><cn id="Ch0.E11.m1.31.31.31.31.31.31.31.7.1.1.1.1.cmml" type="integer" xref="Ch0.E11.m1.31.31.31.31.31.31.31.7.1.1.1.1">0</cn><cn id="Ch0.E11.m1.32.32.32.32.32.32.32.8.2.2.2.2.cmml" type="integer" xref="Ch0.E11.m1.32.32.32.32.32.32.32.8.2.2.2.2">0</cn></interval></apply></matrixrow></matrix><matrix id="Ch0.E11.m1.32.32.32.33.1.cmml" xref="Ch0.E11.m1.32.32.32.33.1"><matrixrow id="Ch0.E11.m1.32.32.32.33.1a.cmml" xref="Ch0.E11.m1.32.32.32.33.1"><ci id="Ch0.E11.m1.32.32.32.33.1.1.1.1.cmml" xref="Ch0.E11.m1.32.32.32.33.1.1.1.1">𝑝</ci></matrixrow><matrixrow id="Ch0.E11.m1.32.32.32.33.1b.cmml" xref="Ch0.E11.m1.32.32.32.33.1"><ci id="Ch0.E11.m1.32.32.32.33.1.2.1.1.cmml" xref="Ch0.E11.m1.32.32.32.33.1.2.1.1">𝑞</ci></matrixrow><matrixrow id="Ch0.E11.m1.32.32.32.33.1c.cmml" xref="Ch0.E11.m1.32.32.32.33.1"><ci id="Ch0.E11.m1.32.32.32.33.1.3.1.1.cmml" xref="Ch0.E11.m1.32.32.32.33.1.3.1.1">𝑟</ci></matrixrow><matrixrow id="Ch0.E11.m1.32.32.32.33.1d.cmml" xref="Ch0.E11.m1.32.32.32.33.1"><ci id="Ch0.E11.m1.32.32.32.33.1.4.1.1.cmml" xref="Ch0.E11.m1.32.32.32.33.1.4.1.1">𝑠</ci></matrixrow></matrix></matrixrow></matrix></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Ch0.E11.m1.32c">\begin{array}[]{c c}{\begin{array}[]{@{} c c cc @{}}\ \ p&\ \ q&\ \ r&\ \ s% \end{array}}&{}\hfil\\ \left(\begin{array}[]{cccc}a_{(0,0)}&a_{(0,1)}&a_{(1,0)}&a_{(1,1)}\\[2.84526pt% ] b_{(0,1)}&b_{(0,0)}&b_{(1,1)}&b_{(1,0)}\\[2.84526pt] c_{(1,0)}&c_{(1,1)}&c_{(0,0)}&c_{(0,1)}\\[2.84526pt] d_{(1,1)}&d_{(1,0)}&d_{(0,1)}&d_{(0,0)}\end{array}\right)&{\begin{array}[]{l}p% \\[2.84526pt] q\\[2.84526pt] r\\[2.84526pt] s\end{array}}\\ \end{array}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Ch0.E11.m1.32d">start_ARRAY start_ROW start_CELL start_ARRAY start_ROW start_CELL italic_p end_CELL start_CELL italic_q end_CELL start_CELL italic_r end_CELL start_CELL italic_s end_CELL end_ROW end_ARRAY end_CELL start_CELL end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL ( start_ARRAY start_ROW start_CELL italic_a start_POSTSUBSCRIPT ( 0 , 0 ) end_POSTSUBSCRIPT end_CELL start_CELL italic_a start_POSTSUBSCRIPT ( 0 , 1 ) end_POSTSUBSCRIPT end_CELL start_CELL italic_a start_POSTSUBSCRIPT ( 1 , 0 ) end_POSTSUBSCRIPT end_CELL start_CELL italic_a start_POSTSUBSCRIPT ( 1 , 1 ) end_POSTSUBSCRIPT end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL italic_b start_POSTSUBSCRIPT ( 0 , 1 ) end_POSTSUBSCRIPT end_CELL start_CELL italic_b start_POSTSUBSCRIPT ( 0 , 0 ) end_POSTSUBSCRIPT end_CELL start_CELL italic_b start_POSTSUBSCRIPT ( 1 , 1 ) end_POSTSUBSCRIPT end_CELL start_CELL italic_b start_POSTSUBSCRIPT ( 1 , 0 ) end_POSTSUBSCRIPT end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL italic_c start_POSTSUBSCRIPT ( 1 , 0 ) end_POSTSUBSCRIPT end_CELL start_CELL italic_c start_POSTSUBSCRIPT ( 1 , 1 ) end_POSTSUBSCRIPT end_CELL start_CELL italic_c start_POSTSUBSCRIPT ( 0 , 0 ) end_POSTSUBSCRIPT end_CELL start_CELL italic_c start_POSTSUBSCRIPT ( 0 , 1 ) end_POSTSUBSCRIPT end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL italic_d start_POSTSUBSCRIPT ( 1 , 1 ) end_POSTSUBSCRIPT end_CELL start_CELL italic_d start_POSTSUBSCRIPT ( 1 , 0 ) end_POSTSUBSCRIPT end_CELL start_CELL italic_d start_POSTSUBSCRIPT ( 0 , 1 ) end_POSTSUBSCRIPT end_CELL start_CELL italic_d start_POSTSUBSCRIPT ( 0 , 0 ) end_POSTSUBSCRIPT end_CELL end_ROW end_ARRAY ) end_CELL start_CELL start_ARRAY start_ROW start_CELL italic_p end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL italic_q end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL italic_r end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL italic_s end_CELL end_ROW end_ARRAY end_CELL end_ROW end_ARRAY</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(11)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="Ch0.S2.p4.13">The indices of the matrix blocks refer to the <math alttext="{\mathbb{Z}}_{2}\times{\mathbb{Z}}_{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="Ch0.S2.p4.13.m1.1"><semantics id="Ch0.S2.p4.13.m1.1a"><mrow id="Ch0.S2.p4.13.m1.1.1" xref="Ch0.S2.p4.13.m1.1.1.cmml"><msub id="Ch0.S2.p4.13.m1.1.1.2" xref="Ch0.S2.p4.13.m1.1.1.2.cmml"><mi id="Ch0.S2.p4.13.m1.1.1.2.2" xref="Ch0.S2.p4.13.m1.1.1.2.2.cmml">ℤ</mi><mn id="Ch0.S2.p4.13.m1.1.1.2.3" xref="Ch0.S2.p4.13.m1.1.1.2.3.cmml">2</mn></msub><mo id="Ch0.S2.p4.13.m1.1.1.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="Ch0.S2.p4.13.m1.1.1.1.cmml">×</mo><msub id="Ch0.S2.p4.13.m1.1.1.3" xref="Ch0.S2.p4.13.m1.1.1.3.cmml"><mi id="Ch0.S2.p4.13.m1.1.1.3.2" xref="Ch0.S2.p4.13.m1.1.1.3.2.cmml">ℤ</mi><mn id="Ch0.S2.p4.13.m1.1.1.3.3" xref="Ch0.S2.p4.13.m1.1.1.3.3.cmml">2</mn></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Ch0.S2.p4.13.m1.1b"><apply id="Ch0.S2.p4.13.m1.1.1.cmml" xref="Ch0.S2.p4.13.m1.1.1"><times id="Ch0.S2.p4.13.m1.1.1.1.cmml" xref="Ch0.S2.p4.13.m1.1.1.1"></times><apply id="Ch0.S2.p4.13.m1.1.1.2.cmml" xref="Ch0.S2.p4.13.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.S2.p4.13.m1.1.1.2.1.cmml" xref="Ch0.S2.p4.13.m1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="Ch0.S2.p4.13.m1.1.1.2.2.cmml" xref="Ch0.S2.p4.13.m1.1.1.2.2">ℤ</ci><cn id="Ch0.S2.p4.13.m1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="Ch0.S2.p4.13.m1.1.1.2.3">2</cn></apply><apply id="Ch0.S2.p4.13.m1.1.1.3.cmml" xref="Ch0.S2.p4.13.m1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.S2.p4.13.m1.1.1.3.1.cmml" xref="Ch0.S2.p4.13.m1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="Ch0.S2.p4.13.m1.1.1.3.2.cmml" xref="Ch0.S2.p4.13.m1.1.1.3.2">ℤ</ci><cn id="Ch0.S2.p4.13.m1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="Ch0.S2.p4.13.m1.1.1.3.3">2</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Ch0.S2.p4.13.m1.1c">{\mathbb{Z}}_{2}\times{\mathbb{Z}}_{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Ch0.S2.p4.13.m1.1d">blackboard_Z start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT × blackboard_Z start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>-grading, and the size of the blocks is indicated in the lines above and to the right of the matrix.</p> </div> <div class="ltx_para" id="Ch0.S2.p5"> <p class="ltx_p" id="Ch0.S2.p5.5">One can check that <math alttext="\operatorname{Tr}\llbracket A,B\rrbracket=0" class="ltx_Math" display="inline" id="Ch0.S2.p5.1.m1.2"><semantics id="Ch0.S2.p5.1.m1.2a"><mrow id="Ch0.S2.p5.1.m1.2.3" xref="Ch0.S2.p5.1.m1.2.3.cmml"><mrow id="Ch0.S2.p5.1.m1.2.3.2" xref="Ch0.S2.p5.1.m1.2.3.2.cmml"><mi id="Ch0.S2.p5.1.m1.2.3.2.2" xref="Ch0.S2.p5.1.m1.2.3.2.2.cmml">Tr</mi><mo id="Ch0.S2.p5.1.m1.2.3.2.1" xref="Ch0.S2.p5.1.m1.2.3.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="Ch0.S2.p5.1.m1.2.3.2.3.2" xref="Ch0.S2.p5.1.m1.2.3.2.3.1.cmml"><mo id="Ch0.S2.p5.1.m1.2.3.2.3.2.1" stretchy="false" xref="Ch0.S2.p5.1.m1.2.3.2.3.1.cmml">⟦</mo><mi id="Ch0.S2.p5.1.m1.1.1" xref="Ch0.S2.p5.1.m1.1.1.cmml">A</mi><mo id="Ch0.S2.p5.1.m1.2.3.2.3.2.2" xref="Ch0.S2.p5.1.m1.2.3.2.3.1.cmml">,</mo><mi id="Ch0.S2.p5.1.m1.2.2" xref="Ch0.S2.p5.1.m1.2.2.cmml">B</mi><mo id="Ch0.S2.p5.1.m1.2.3.2.3.2.3" stretchy="false" xref="Ch0.S2.p5.1.m1.2.3.2.3.1.cmml">⟧</mo></mrow></mrow><mo id="Ch0.S2.p5.1.m1.2.3.1" xref="Ch0.S2.p5.1.m1.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="Ch0.S2.p5.1.m1.2.3.3" xref="Ch0.S2.p5.1.m1.2.3.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Ch0.S2.p5.1.m1.2b"><apply id="Ch0.S2.p5.1.m1.2.3.cmml" xref="Ch0.S2.p5.1.m1.2.3"><eq id="Ch0.S2.p5.1.m1.2.3.1.cmml" xref="Ch0.S2.p5.1.m1.2.3.1"></eq><apply id="Ch0.S2.p5.1.m1.2.3.2.cmml" xref="Ch0.S2.p5.1.m1.2.3.2"><times id="Ch0.S2.p5.1.m1.2.3.2.1.cmml" xref="Ch0.S2.p5.1.m1.2.3.2.1"></times><ci id="Ch0.S2.p5.1.m1.2.3.2.2.cmml" xref="Ch0.S2.p5.1.m1.2.3.2.2">Tr</ci><list id="Ch0.S2.p5.1.m1.2.3.2.3.1.cmml" xref="Ch0.S2.p5.1.m1.2.3.2.3.2"><ci id="Ch0.S2.p5.1.m1.1.1.cmml" xref="Ch0.S2.p5.1.m1.1.1">𝐴</ci><ci id="Ch0.S2.p5.1.m1.2.2.cmml" xref="Ch0.S2.p5.1.m1.2.2">𝐵</ci></list></apply><cn id="Ch0.S2.p5.1.m1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="Ch0.S2.p5.1.m1.2.3.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Ch0.S2.p5.1.m1.2c">\operatorname{Tr}\llbracket A,B\rrbracket=0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Ch0.S2.p5.1.m1.2d">roman_Tr ⟦ italic_A , italic_B ⟧ = 0</annotation></semantics></math>, where <math alttext="\operatorname{Tr}" class="ltx_Math" display="inline" id="Ch0.S2.p5.2.m2.1"><semantics id="Ch0.S2.p5.2.m2.1a"><mi id="Ch0.S2.p5.2.m2.1.1" xref="Ch0.S2.p5.2.m2.1.1.cmml">Tr</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Ch0.S2.p5.2.m2.1b"><ci id="Ch0.S2.p5.2.m2.1.1.cmml" xref="Ch0.S2.p5.2.m2.1.1">Tr</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Ch0.S2.p5.2.m2.1c">\operatorname{Tr}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Ch0.S2.p5.2.m2.1d">roman_Tr</annotation></semantics></math> is the ordinary trace, hence <math alttext="\mathfrak{g}=\mathfrak{sl}_{p,q,r,s}(n)" class="ltx_Math" display="inline" id="Ch0.S2.p5.3.m3.5"><semantics id="Ch0.S2.p5.3.m3.5a"><mrow id="Ch0.S2.p5.3.m3.5.6" xref="Ch0.S2.p5.3.m3.5.6.cmml"><mi id="Ch0.S2.p5.3.m3.5.6.2" xref="Ch0.S2.p5.3.m3.5.6.2.cmml">𝔤</mi><mo id="Ch0.S2.p5.3.m3.5.6.1" xref="Ch0.S2.p5.3.m3.5.6.1.cmml">=</mo><mrow id="Ch0.S2.p5.3.m3.5.6.3" xref="Ch0.S2.p5.3.m3.5.6.3.cmml"><mi id="Ch0.S2.p5.3.m3.5.6.3.2" xref="Ch0.S2.p5.3.m3.5.6.3.2.cmml">𝔰</mi><mo id="Ch0.S2.p5.3.m3.5.6.3.1" xref="Ch0.S2.p5.3.m3.5.6.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="Ch0.S2.p5.3.m3.5.6.3.3" xref="Ch0.S2.p5.3.m3.5.6.3.3.cmml"><mi id="Ch0.S2.p5.3.m3.5.6.3.3.2" xref="Ch0.S2.p5.3.m3.5.6.3.3.2.cmml">𝔩</mi><mrow id="Ch0.S2.p5.3.m3.4.4.4.6" xref="Ch0.S2.p5.3.m3.4.4.4.5.cmml"><mi id="Ch0.S2.p5.3.m3.1.1.1.1" xref="Ch0.S2.p5.3.m3.1.1.1.1.cmml">p</mi><mo id="Ch0.S2.p5.3.m3.4.4.4.6.1" xref="Ch0.S2.p5.3.m3.4.4.4.5.cmml">,</mo><mi id="Ch0.S2.p5.3.m3.2.2.2.2" xref="Ch0.S2.p5.3.m3.2.2.2.2.cmml">q</mi><mo id="Ch0.S2.p5.3.m3.4.4.4.6.2" xref="Ch0.S2.p5.3.m3.4.4.4.5.cmml">,</mo><mi id="Ch0.S2.p5.3.m3.3.3.3.3" xref="Ch0.S2.p5.3.m3.3.3.3.3.cmml">r</mi><mo id="Ch0.S2.p5.3.m3.4.4.4.6.3" xref="Ch0.S2.p5.3.m3.4.4.4.5.cmml">,</mo><mi id="Ch0.S2.p5.3.m3.4.4.4.4" xref="Ch0.S2.p5.3.m3.4.4.4.4.cmml">s</mi></mrow></msub><mo id="Ch0.S2.p5.3.m3.5.6.3.1a" xref="Ch0.S2.p5.3.m3.5.6.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="Ch0.S2.p5.3.m3.5.6.3.4.2" xref="Ch0.S2.p5.3.m3.5.6.3.cmml"><mo id="Ch0.S2.p5.3.m3.5.6.3.4.2.1" stretchy="false" xref="Ch0.S2.p5.3.m3.5.6.3.cmml">(</mo><mi id="Ch0.S2.p5.3.m3.5.5" xref="Ch0.S2.p5.3.m3.5.5.cmml">n</mi><mo id="Ch0.S2.p5.3.m3.5.6.3.4.2.2" stretchy="false" xref="Ch0.S2.p5.3.m3.5.6.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Ch0.S2.p5.3.m3.5b"><apply id="Ch0.S2.p5.3.m3.5.6.cmml" xref="Ch0.S2.p5.3.m3.5.6"><eq id="Ch0.S2.p5.3.m3.5.6.1.cmml" xref="Ch0.S2.p5.3.m3.5.6.1"></eq><ci id="Ch0.S2.p5.3.m3.5.6.2.cmml" xref="Ch0.S2.p5.3.m3.5.6.2">𝔤</ci><apply id="Ch0.S2.p5.3.m3.5.6.3.cmml" xref="Ch0.S2.p5.3.m3.5.6.3"><times id="Ch0.S2.p5.3.m3.5.6.3.1.cmml" xref="Ch0.S2.p5.3.m3.5.6.3.1"></times><ci id="Ch0.S2.p5.3.m3.5.6.3.2.cmml" xref="Ch0.S2.p5.3.m3.5.6.3.2">𝔰</ci><apply id="Ch0.S2.p5.3.m3.5.6.3.3.cmml" xref="Ch0.S2.p5.3.m3.5.6.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.S2.p5.3.m3.5.6.3.3.1.cmml" xref="Ch0.S2.p5.3.m3.5.6.3.3">subscript</csymbol><ci id="Ch0.S2.p5.3.m3.5.6.3.3.2.cmml" xref="Ch0.S2.p5.3.m3.5.6.3.3.2">𝔩</ci><list id="Ch0.S2.p5.3.m3.4.4.4.5.cmml" xref="Ch0.S2.p5.3.m3.4.4.4.6"><ci id="Ch0.S2.p5.3.m3.1.1.1.1.cmml" xref="Ch0.S2.p5.3.m3.1.1.1.1">𝑝</ci><ci id="Ch0.S2.p5.3.m3.2.2.2.2.cmml" xref="Ch0.S2.p5.3.m3.2.2.2.2">𝑞</ci><ci id="Ch0.S2.p5.3.m3.3.3.3.3.cmml" xref="Ch0.S2.p5.3.m3.3.3.3.3">𝑟</ci><ci id="Ch0.S2.p5.3.m3.4.4.4.4.cmml" xref="Ch0.S2.p5.3.m3.4.4.4.4">𝑠</ci></list></apply><ci id="Ch0.S2.p5.3.m3.5.5.cmml" xref="Ch0.S2.p5.3.m3.5.5">𝑛</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Ch0.S2.p5.3.m3.5c">\mathfrak{g}=\mathfrak{sl}_{p,q,r,s}(n)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Ch0.S2.p5.3.m3.5d">fraktur_g = fraktur_s fraktur_l start_POSTSUBSCRIPT italic_p , italic_q , italic_r , italic_s end_POSTSUBSCRIPT ( italic_n )</annotation></semantics></math> is defined as the subalgebra of traceless elements of <math alttext="\mathfrak{gl}_{p,q,r,s}(n)" class="ltx_Math" display="inline" id="Ch0.S2.p5.4.m4.5"><semantics id="Ch0.S2.p5.4.m4.5a"><mrow id="Ch0.S2.p5.4.m4.5.6" xref="Ch0.S2.p5.4.m4.5.6.cmml"><mi id="Ch0.S2.p5.4.m4.5.6.2" xref="Ch0.S2.p5.4.m4.5.6.2.cmml">𝔤</mi><mo id="Ch0.S2.p5.4.m4.5.6.1" xref="Ch0.S2.p5.4.m4.5.6.1.cmml">⁢</mo><msub id="Ch0.S2.p5.4.m4.5.6.3" xref="Ch0.S2.p5.4.m4.5.6.3.cmml"><mi id="Ch0.S2.p5.4.m4.5.6.3.2" xref="Ch0.S2.p5.4.m4.5.6.3.2.cmml">𝔩</mi><mrow id="Ch0.S2.p5.4.m4.4.4.4.6" xref="Ch0.S2.p5.4.m4.4.4.4.5.cmml"><mi id="Ch0.S2.p5.4.m4.1.1.1.1" xref="Ch0.S2.p5.4.m4.1.1.1.1.cmml">p</mi><mo id="Ch0.S2.p5.4.m4.4.4.4.6.1" xref="Ch0.S2.p5.4.m4.4.4.4.5.cmml">,</mo><mi id="Ch0.S2.p5.4.m4.2.2.2.2" xref="Ch0.S2.p5.4.m4.2.2.2.2.cmml">q</mi><mo id="Ch0.S2.p5.4.m4.4.4.4.6.2" xref="Ch0.S2.p5.4.m4.4.4.4.5.cmml">,</mo><mi id="Ch0.S2.p5.4.m4.3.3.3.3" xref="Ch0.S2.p5.4.m4.3.3.3.3.cmml">r</mi><mo id="Ch0.S2.p5.4.m4.4.4.4.6.3" xref="Ch0.S2.p5.4.m4.4.4.4.5.cmml">,</mo><mi id="Ch0.S2.p5.4.m4.4.4.4.4" xref="Ch0.S2.p5.4.m4.4.4.4.4.cmml">s</mi></mrow></msub><mo id="Ch0.S2.p5.4.m4.5.6.1a" xref="Ch0.S2.p5.4.m4.5.6.1.cmml">⁢</mo><mrow id="Ch0.S2.p5.4.m4.5.6.4.2" xref="Ch0.S2.p5.4.m4.5.6.cmml"><mo id="Ch0.S2.p5.4.m4.5.6.4.2.1" stretchy="false" xref="Ch0.S2.p5.4.m4.5.6.cmml">(</mo><mi id="Ch0.S2.p5.4.m4.5.5" xref="Ch0.S2.p5.4.m4.5.5.cmml">n</mi><mo id="Ch0.S2.p5.4.m4.5.6.4.2.2" stretchy="false" xref="Ch0.S2.p5.4.m4.5.6.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Ch0.S2.p5.4.m4.5b"><apply id="Ch0.S2.p5.4.m4.5.6.cmml" xref="Ch0.S2.p5.4.m4.5.6"><times id="Ch0.S2.p5.4.m4.5.6.1.cmml" xref="Ch0.S2.p5.4.m4.5.6.1"></times><ci id="Ch0.S2.p5.4.m4.5.6.2.cmml" xref="Ch0.S2.p5.4.m4.5.6.2">𝔤</ci><apply id="Ch0.S2.p5.4.m4.5.6.3.cmml" xref="Ch0.S2.p5.4.m4.5.6.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.S2.p5.4.m4.5.6.3.1.cmml" xref="Ch0.S2.p5.4.m4.5.6.3">subscript</csymbol><ci id="Ch0.S2.p5.4.m4.5.6.3.2.cmml" xref="Ch0.S2.p5.4.m4.5.6.3.2">𝔩</ci><list id="Ch0.S2.p5.4.m4.4.4.4.5.cmml" xref="Ch0.S2.p5.4.m4.4.4.4.6"><ci id="Ch0.S2.p5.4.m4.1.1.1.1.cmml" xref="Ch0.S2.p5.4.m4.1.1.1.1">𝑝</ci><ci id="Ch0.S2.p5.4.m4.2.2.2.2.cmml" xref="Ch0.S2.p5.4.m4.2.2.2.2">𝑞</ci><ci id="Ch0.S2.p5.4.m4.3.3.3.3.cmml" xref="Ch0.S2.p5.4.m4.3.3.3.3">𝑟</ci><ci id="Ch0.S2.p5.4.m4.4.4.4.4.cmml" xref="Ch0.S2.p5.4.m4.4.4.4.4">𝑠</ci></list></apply><ci id="Ch0.S2.p5.4.m4.5.5.cmml" xref="Ch0.S2.p5.4.m4.5.5">𝑛</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Ch0.S2.p5.4.m4.5c">\mathfrak{gl}_{p,q,r,s}(n)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Ch0.S2.p5.4.m4.5d">fraktur_g fraktur_l start_POSTSUBSCRIPT italic_p , italic_q , italic_r , italic_s end_POSTSUBSCRIPT ( italic_n )</annotation></semantics></math>. The dimensions of the subspaces of <math alttext="\mathfrak{g}" class="ltx_Math" display="inline" id="Ch0.S2.p5.5.m5.1"><semantics id="Ch0.S2.p5.5.m5.1a"><mi id="Ch0.S2.p5.5.m5.1.1" xref="Ch0.S2.p5.5.m5.1.1.cmml">𝔤</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Ch0.S2.p5.5.m5.1b"><ci id="Ch0.S2.p5.5.m5.1.1.cmml" xref="Ch0.S2.p5.5.m5.1.1">𝔤</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Ch0.S2.p5.5.m5.1c">\mathfrak{g}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Ch0.S2.p5.5.m5.1d">fraktur_g</annotation></semantics></math> are given by</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="Ch0.Ex6"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\begin{array}[]{ll}\mathfrak{g}_{(0,0)}&p^{2}+q^{2}+r^{2}+s^{2}-1\\ \mathfrak{g}_{(0,1)}&2pq+2rs\\ \mathfrak{g}_{(1,0)}&2pr+2qs\\ \mathfrak{g}_{(1,1)}&2qr+2ps\end{array}" class="ltx_Math" display="block" id="Ch0.Ex6.m1.8"><semantics id="Ch0.Ex6.m1.8a"><mtable columnspacing="5pt" displaystyle="true" id="Ch0.Ex6.m1.8.8" rowspacing="0pt" xref="Ch0.Ex6.m1.8.8.cmml"><mtr id="Ch0.Ex6.m1.8.8a" xref="Ch0.Ex6.m1.8.8.cmml"><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="Ch0.Ex6.m1.8.8b" xref="Ch0.Ex6.m1.8.8.cmml"><msub id="Ch0.Ex6.m1.2.2.2.2.2" xref="Ch0.Ex6.m1.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="Ch0.Ex6.m1.2.2.2.2.2.4" xref="Ch0.Ex6.m1.2.2.2.2.2.4.cmml">𝔤</mi><mrow id="Ch0.Ex6.m1.2.2.2.2.2.2.2.4" xref="Ch0.Ex6.m1.2.2.2.2.2.2.2.3.cmml"><mo id="Ch0.Ex6.m1.2.2.2.2.2.2.2.4.1" stretchy="false" xref="Ch0.Ex6.m1.2.2.2.2.2.2.2.3.cmml">(</mo><mn id="Ch0.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="Ch0.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">0</mn><mo id="Ch0.Ex6.m1.2.2.2.2.2.2.2.4.2" xref="Ch0.Ex6.m1.2.2.2.2.2.2.2.3.cmml">,</mo><mn id="Ch0.Ex6.m1.2.2.2.2.2.2.2.2" xref="Ch0.Ex6.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.cmml">0</mn><mo id="Ch0.Ex6.m1.2.2.2.2.2.2.2.4.3" stretchy="false" xref="Ch0.Ex6.m1.2.2.2.2.2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></msub></mtd><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="Ch0.Ex6.m1.8.8c" xref="Ch0.Ex6.m1.8.8.cmml"><mrow id="Ch0.Ex6.m1.2.2.2.3.1" xref="Ch0.Ex6.m1.2.2.2.3.1.cmml"><mrow id="Ch0.Ex6.m1.2.2.2.3.1.2" xref="Ch0.Ex6.m1.2.2.2.3.1.2.cmml"><msup id="Ch0.Ex6.m1.2.2.2.3.1.2.2" xref="Ch0.Ex6.m1.2.2.2.3.1.2.2.cmml"><mi id="Ch0.Ex6.m1.2.2.2.3.1.2.2.2" xref="Ch0.Ex6.m1.2.2.2.3.1.2.2.2.cmml">p</mi><mn id="Ch0.Ex6.m1.2.2.2.3.1.2.2.3" xref="Ch0.Ex6.m1.2.2.2.3.1.2.2.3.cmml">2</mn></msup><mo id="Ch0.Ex6.m1.2.2.2.3.1.2.1" xref="Ch0.Ex6.m1.2.2.2.3.1.2.1.cmml">+</mo><msup id="Ch0.Ex6.m1.2.2.2.3.1.2.3" xref="Ch0.Ex6.m1.2.2.2.3.1.2.3.cmml"><mi id="Ch0.Ex6.m1.2.2.2.3.1.2.3.2" xref="Ch0.Ex6.m1.2.2.2.3.1.2.3.2.cmml">q</mi><mn id="Ch0.Ex6.m1.2.2.2.3.1.2.3.3" xref="Ch0.Ex6.m1.2.2.2.3.1.2.3.3.cmml">2</mn></msup><mo id="Ch0.Ex6.m1.2.2.2.3.1.2.1a" xref="Ch0.Ex6.m1.2.2.2.3.1.2.1.cmml">+</mo><msup id="Ch0.Ex6.m1.2.2.2.3.1.2.4" xref="Ch0.Ex6.m1.2.2.2.3.1.2.4.cmml"><mi id="Ch0.Ex6.m1.2.2.2.3.1.2.4.2" xref="Ch0.Ex6.m1.2.2.2.3.1.2.4.2.cmml">r</mi><mn id="Ch0.Ex6.m1.2.2.2.3.1.2.4.3" xref="Ch0.Ex6.m1.2.2.2.3.1.2.4.3.cmml">2</mn></msup><mo id="Ch0.Ex6.m1.2.2.2.3.1.2.1b" xref="Ch0.Ex6.m1.2.2.2.3.1.2.1.cmml">+</mo><msup id="Ch0.Ex6.m1.2.2.2.3.1.2.5" xref="Ch0.Ex6.m1.2.2.2.3.1.2.5.cmml"><mi id="Ch0.Ex6.m1.2.2.2.3.1.2.5.2" xref="Ch0.Ex6.m1.2.2.2.3.1.2.5.2.cmml">s</mi><mn id="Ch0.Ex6.m1.2.2.2.3.1.2.5.3" xref="Ch0.Ex6.m1.2.2.2.3.1.2.5.3.cmml">2</mn></msup></mrow><mo id="Ch0.Ex6.m1.2.2.2.3.1.1" xref="Ch0.Ex6.m1.2.2.2.3.1.1.cmml">−</mo><mn id="Ch0.Ex6.m1.2.2.2.3.1.3" xref="Ch0.Ex6.m1.2.2.2.3.1.3.cmml">1</mn></mrow></mtd></mtr><mtr id="Ch0.Ex6.m1.8.8d" xref="Ch0.Ex6.m1.8.8.cmml"><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="Ch0.Ex6.m1.8.8e" xref="Ch0.Ex6.m1.8.8.cmml"><msub id="Ch0.Ex6.m1.4.4.4.2.2" xref="Ch0.Ex6.m1.4.4.4.2.2.cmml"><mi id="Ch0.Ex6.m1.4.4.4.2.2.4" xref="Ch0.Ex6.m1.4.4.4.2.2.4.cmml">𝔤</mi><mrow id="Ch0.Ex6.m1.4.4.4.2.2.2.2.4" xref="Ch0.Ex6.m1.4.4.4.2.2.2.2.3.cmml"><mo id="Ch0.Ex6.m1.4.4.4.2.2.2.2.4.1" stretchy="false" xref="Ch0.Ex6.m1.4.4.4.2.2.2.2.3.cmml">(</mo><mn id="Ch0.Ex6.m1.3.3.3.1.1.1.1.1" xref="Ch0.Ex6.m1.3.3.3.1.1.1.1.1.cmml">0</mn><mo id="Ch0.Ex6.m1.4.4.4.2.2.2.2.4.2" xref="Ch0.Ex6.m1.4.4.4.2.2.2.2.3.cmml">,</mo><mn id="Ch0.Ex6.m1.4.4.4.2.2.2.2.2" xref="Ch0.Ex6.m1.4.4.4.2.2.2.2.2.cmml">1</mn><mo id="Ch0.Ex6.m1.4.4.4.2.2.2.2.4.3" stretchy="false" xref="Ch0.Ex6.m1.4.4.4.2.2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></msub></mtd><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="Ch0.Ex6.m1.8.8f" xref="Ch0.Ex6.m1.8.8.cmml"><mrow id="Ch0.Ex6.m1.4.4.4.3.1" xref="Ch0.Ex6.m1.4.4.4.3.1.cmml"><mrow id="Ch0.Ex6.m1.4.4.4.3.1.2" xref="Ch0.Ex6.m1.4.4.4.3.1.2.cmml"><mn id="Ch0.Ex6.m1.4.4.4.3.1.2.2" xref="Ch0.Ex6.m1.4.4.4.3.1.2.2.cmml">2</mn><mo id="Ch0.Ex6.m1.4.4.4.3.1.2.1" xref="Ch0.Ex6.m1.4.4.4.3.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="Ch0.Ex6.m1.4.4.4.3.1.2.3" xref="Ch0.Ex6.m1.4.4.4.3.1.2.3.cmml">p</mi><mo id="Ch0.Ex6.m1.4.4.4.3.1.2.1a" xref="Ch0.Ex6.m1.4.4.4.3.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="Ch0.Ex6.m1.4.4.4.3.1.2.4" xref="Ch0.Ex6.m1.4.4.4.3.1.2.4.cmml">q</mi></mrow><mo id="Ch0.Ex6.m1.4.4.4.3.1.1" xref="Ch0.Ex6.m1.4.4.4.3.1.1.cmml">+</mo><mrow id="Ch0.Ex6.m1.4.4.4.3.1.3" xref="Ch0.Ex6.m1.4.4.4.3.1.3.cmml"><mn id="Ch0.Ex6.m1.4.4.4.3.1.3.2" xref="Ch0.Ex6.m1.4.4.4.3.1.3.2.cmml">2</mn><mo id="Ch0.Ex6.m1.4.4.4.3.1.3.1" xref="Ch0.Ex6.m1.4.4.4.3.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="Ch0.Ex6.m1.4.4.4.3.1.3.3" xref="Ch0.Ex6.m1.4.4.4.3.1.3.3.cmml">r</mi><mo id="Ch0.Ex6.m1.4.4.4.3.1.3.1a" xref="Ch0.Ex6.m1.4.4.4.3.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="Ch0.Ex6.m1.4.4.4.3.1.3.4" xref="Ch0.Ex6.m1.4.4.4.3.1.3.4.cmml">s</mi></mrow></mrow></mtd></mtr><mtr id="Ch0.Ex6.m1.8.8g" xref="Ch0.Ex6.m1.8.8.cmml"><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="Ch0.Ex6.m1.8.8h" xref="Ch0.Ex6.m1.8.8.cmml"><msub id="Ch0.Ex6.m1.6.6.6.2.2" xref="Ch0.Ex6.m1.6.6.6.2.2.cmml"><mi id="Ch0.Ex6.m1.6.6.6.2.2.4" xref="Ch0.Ex6.m1.6.6.6.2.2.4.cmml">𝔤</mi><mrow id="Ch0.Ex6.m1.6.6.6.2.2.2.2.4" xref="Ch0.Ex6.m1.6.6.6.2.2.2.2.3.cmml"><mo id="Ch0.Ex6.m1.6.6.6.2.2.2.2.4.1" stretchy="false" xref="Ch0.Ex6.m1.6.6.6.2.2.2.2.3.cmml">(</mo><mn id="Ch0.Ex6.m1.5.5.5.1.1.1.1.1" xref="Ch0.Ex6.m1.5.5.5.1.1.1.1.1.cmml">1</mn><mo id="Ch0.Ex6.m1.6.6.6.2.2.2.2.4.2" xref="Ch0.Ex6.m1.6.6.6.2.2.2.2.3.cmml">,</mo><mn id="Ch0.Ex6.m1.6.6.6.2.2.2.2.2" xref="Ch0.Ex6.m1.6.6.6.2.2.2.2.2.cmml">0</mn><mo id="Ch0.Ex6.m1.6.6.6.2.2.2.2.4.3" stretchy="false" xref="Ch0.Ex6.m1.6.6.6.2.2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></msub></mtd><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="Ch0.Ex6.m1.8.8i" xref="Ch0.Ex6.m1.8.8.cmml"><mrow id="Ch0.Ex6.m1.6.6.6.3.1" xref="Ch0.Ex6.m1.6.6.6.3.1.cmml"><mrow id="Ch0.Ex6.m1.6.6.6.3.1.2" xref="Ch0.Ex6.m1.6.6.6.3.1.2.cmml"><mn id="Ch0.Ex6.m1.6.6.6.3.1.2.2" xref="Ch0.Ex6.m1.6.6.6.3.1.2.2.cmml">2</mn><mo id="Ch0.Ex6.m1.6.6.6.3.1.2.1" xref="Ch0.Ex6.m1.6.6.6.3.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="Ch0.Ex6.m1.6.6.6.3.1.2.3" 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id="Ch0.Ex6.m1.8.8.8.3.1.2.3" xref="Ch0.Ex6.m1.8.8.8.3.1.2.3.cmml">q</mi><mo id="Ch0.Ex6.m1.8.8.8.3.1.2.1a" xref="Ch0.Ex6.m1.8.8.8.3.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="Ch0.Ex6.m1.8.8.8.3.1.2.4" xref="Ch0.Ex6.m1.8.8.8.3.1.2.4.cmml">r</mi></mrow><mo id="Ch0.Ex6.m1.8.8.8.3.1.1" xref="Ch0.Ex6.m1.8.8.8.3.1.1.cmml">+</mo><mrow id="Ch0.Ex6.m1.8.8.8.3.1.3" xref="Ch0.Ex6.m1.8.8.8.3.1.3.cmml"><mn id="Ch0.Ex6.m1.8.8.8.3.1.3.2" xref="Ch0.Ex6.m1.8.8.8.3.1.3.2.cmml">2</mn><mo id="Ch0.Ex6.m1.8.8.8.3.1.3.1" xref="Ch0.Ex6.m1.8.8.8.3.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="Ch0.Ex6.m1.8.8.8.3.1.3.3" xref="Ch0.Ex6.m1.8.8.8.3.1.3.3.cmml">p</mi><mo id="Ch0.Ex6.m1.8.8.8.3.1.3.1a" xref="Ch0.Ex6.m1.8.8.8.3.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="Ch0.Ex6.m1.8.8.8.3.1.3.4" xref="Ch0.Ex6.m1.8.8.8.3.1.3.4.cmml">s</mi></mrow></mrow></mtd></mtr></mtable><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Ch0.Ex6.m1.8b"><matrix id="Ch0.Ex6.m1.8.8.cmml" xref="Ch0.Ex6.m1.8.8"><matrixrow id="Ch0.Ex6.m1.8.8a.cmml" xref="Ch0.Ex6.m1.8.8"><apply 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xref="Ch0.Ex6.m1.6.6.6.3.1.2.1"></times><cn id="Ch0.Ex6.m1.6.6.6.3.1.2.2.cmml" type="integer" xref="Ch0.Ex6.m1.6.6.6.3.1.2.2">2</cn><ci id="Ch0.Ex6.m1.6.6.6.3.1.2.3.cmml" xref="Ch0.Ex6.m1.6.6.6.3.1.2.3">𝑝</ci><ci id="Ch0.Ex6.m1.6.6.6.3.1.2.4.cmml" xref="Ch0.Ex6.m1.6.6.6.3.1.2.4">𝑟</ci></apply><apply id="Ch0.Ex6.m1.6.6.6.3.1.3.cmml" xref="Ch0.Ex6.m1.6.6.6.3.1.3"><times id="Ch0.Ex6.m1.6.6.6.3.1.3.1.cmml" xref="Ch0.Ex6.m1.6.6.6.3.1.3.1"></times><cn id="Ch0.Ex6.m1.6.6.6.3.1.3.2.cmml" type="integer" xref="Ch0.Ex6.m1.6.6.6.3.1.3.2">2</cn><ci id="Ch0.Ex6.m1.6.6.6.3.1.3.3.cmml" xref="Ch0.Ex6.m1.6.6.6.3.1.3.3">𝑞</ci><ci id="Ch0.Ex6.m1.6.6.6.3.1.3.4.cmml" xref="Ch0.Ex6.m1.6.6.6.3.1.3.4">𝑠</ci></apply></apply></matrixrow><matrixrow id="Ch0.Ex6.m1.8.8d.cmml" xref="Ch0.Ex6.m1.8.8"><apply id="Ch0.Ex6.m1.8.8.8.2.2.cmml" xref="Ch0.Ex6.m1.8.8.8.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.Ex6.m1.8.8.8.2.2.3.cmml" xref="Ch0.Ex6.m1.8.8.8.2.2">subscript</csymbol><ci id="Ch0.Ex6.m1.8.8.8.2.2.4.cmml" xref="Ch0.Ex6.m1.8.8.8.2.2.4">𝔤</ci><interval closure="open" id="Ch0.Ex6.m1.8.8.8.2.2.2.2.3.cmml" xref="Ch0.Ex6.m1.8.8.8.2.2.2.2.4"><cn id="Ch0.Ex6.m1.7.7.7.1.1.1.1.1.cmml" type="integer" xref="Ch0.Ex6.m1.7.7.7.1.1.1.1.1">1</cn><cn id="Ch0.Ex6.m1.8.8.8.2.2.2.2.2.cmml" type="integer" xref="Ch0.Ex6.m1.8.8.8.2.2.2.2.2">1</cn></interval></apply><apply id="Ch0.Ex6.m1.8.8.8.3.1.cmml" xref="Ch0.Ex6.m1.8.8.8.3.1"><plus id="Ch0.Ex6.m1.8.8.8.3.1.1.cmml" xref="Ch0.Ex6.m1.8.8.8.3.1.1"></plus><apply id="Ch0.Ex6.m1.8.8.8.3.1.2.cmml" xref="Ch0.Ex6.m1.8.8.8.3.1.2"><times id="Ch0.Ex6.m1.8.8.8.3.1.2.1.cmml" xref="Ch0.Ex6.m1.8.8.8.3.1.2.1"></times><cn id="Ch0.Ex6.m1.8.8.8.3.1.2.2.cmml" type="integer" xref="Ch0.Ex6.m1.8.8.8.3.1.2.2">2</cn><ci id="Ch0.Ex6.m1.8.8.8.3.1.2.3.cmml" xref="Ch0.Ex6.m1.8.8.8.3.1.2.3">𝑞</ci><ci id="Ch0.Ex6.m1.8.8.8.3.1.2.4.cmml" xref="Ch0.Ex6.m1.8.8.8.3.1.2.4">𝑟</ci></apply><apply id="Ch0.Ex6.m1.8.8.8.3.1.3.cmml" xref="Ch0.Ex6.m1.8.8.8.3.1.3"><times id="Ch0.Ex6.m1.8.8.8.3.1.3.1.cmml" xref="Ch0.Ex6.m1.8.8.8.3.1.3.1"></times><cn id="Ch0.Ex6.m1.8.8.8.3.1.3.2.cmml" type="integer" xref="Ch0.Ex6.m1.8.8.8.3.1.3.2">2</cn><ci id="Ch0.Ex6.m1.8.8.8.3.1.3.3.cmml" xref="Ch0.Ex6.m1.8.8.8.3.1.3.3">𝑝</ci><ci id="Ch0.Ex6.m1.8.8.8.3.1.3.4.cmml" xref="Ch0.Ex6.m1.8.8.8.3.1.3.4">𝑠</ci></apply></apply></matrixrow></matrix></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Ch0.Ex6.m1.8c">\begin{array}[]{ll}\mathfrak{g}_{(0,0)}&p^{2}+q^{2}+r^{2}+s^{2}-1\\ \mathfrak{g}_{(0,1)}&2pq+2rs\\ \mathfrak{g}_{(1,0)}&2pr+2qs\\ \mathfrak{g}_{(1,1)}&2qr+2ps\end{array}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Ch0.Ex6.m1.8d">start_ARRAY start_ROW start_CELL fraktur_g start_POSTSUBSCRIPT ( 0 , 0 ) end_POSTSUBSCRIPT end_CELL start_CELL italic_p start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + italic_q start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + italic_r start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + italic_s start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL fraktur_g start_POSTSUBSCRIPT ( 0 , 1 ) end_POSTSUBSCRIPT end_CELL start_CELL 2 italic_p italic_q + 2 italic_r italic_s end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL fraktur_g start_POSTSUBSCRIPT ( 1 , 0 ) end_POSTSUBSCRIPT end_CELL start_CELL 2 italic_p italic_r + 2 italic_q italic_s end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL fraktur_g start_POSTSUBSCRIPT ( 1 , 1 ) end_POSTSUBSCRIPT end_CELL start_CELL 2 italic_q italic_r + 2 italic_p italic_s end_CELL end_ROW end_ARRAY</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> </div> <div class="ltx_para" id="Ch0.S2.p6"> <p class="ltx_p" id="Ch0.S2.p6.5">Note that the underlying vector space is just the space of traceless matrices. For the associative matrix algebra of traceless matrices, all <math alttext="{\mathbb{Z}}_{2}\times{\mathbb{Z}}_{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="Ch0.S2.p6.1.m1.1"><semantics id="Ch0.S2.p6.1.m1.1a"><mrow id="Ch0.S2.p6.1.m1.1.1" xref="Ch0.S2.p6.1.m1.1.1.cmml"><msub id="Ch0.S2.p6.1.m1.1.1.2" xref="Ch0.S2.p6.1.m1.1.1.2.cmml"><mi id="Ch0.S2.p6.1.m1.1.1.2.2" xref="Ch0.S2.p6.1.m1.1.1.2.2.cmml">ℤ</mi><mn id="Ch0.S2.p6.1.m1.1.1.2.3" xref="Ch0.S2.p6.1.m1.1.1.2.3.cmml">2</mn></msub><mo id="Ch0.S2.p6.1.m1.1.1.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="Ch0.S2.p6.1.m1.1.1.1.cmml">×</mo><msub id="Ch0.S2.p6.1.m1.1.1.3" xref="Ch0.S2.p6.1.m1.1.1.3.cmml"><mi id="Ch0.S2.p6.1.m1.1.1.3.2" xref="Ch0.S2.p6.1.m1.1.1.3.2.cmml">ℤ</mi><mn id="Ch0.S2.p6.1.m1.1.1.3.3" xref="Ch0.S2.p6.1.m1.1.1.3.3.cmml">2</mn></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Ch0.S2.p6.1.m1.1b"><apply id="Ch0.S2.p6.1.m1.1.1.cmml" xref="Ch0.S2.p6.1.m1.1.1"><times id="Ch0.S2.p6.1.m1.1.1.1.cmml" xref="Ch0.S2.p6.1.m1.1.1.1"></times><apply id="Ch0.S2.p6.1.m1.1.1.2.cmml" xref="Ch0.S2.p6.1.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.S2.p6.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="Ch0.S2.p6.1.m1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="Ch0.S2.p6.1.m1.1.1.2.2.cmml" xref="Ch0.S2.p6.1.m1.1.1.2.2">ℤ</ci><cn id="Ch0.S2.p6.1.m1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="Ch0.S2.p6.1.m1.1.1.2.3">2</cn></apply><apply id="Ch0.S2.p6.1.m1.1.1.3.cmml" xref="Ch0.S2.p6.1.m1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.S2.p6.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="Ch0.S2.p6.1.m1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="Ch0.S2.p6.1.m1.1.1.3.2.cmml" xref="Ch0.S2.p6.1.m1.1.1.3.2">ℤ</ci><cn id="Ch0.S2.p6.1.m1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="Ch0.S2.p6.1.m1.1.1.3.3">2</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Ch0.S2.p6.1.m1.1c">{\mathbb{Z}}_{2}\times{\mathbb{Z}}_{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Ch0.S2.p6.1.m1.1d">blackboard_Z start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT × blackboard_Z start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>-gradings have been classified <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">(<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2408.09274v1#bib.bib9" title="">Elduque, </a>, Example 2.30)</cite>, and these correspond to the gradings (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2408.09274v1#Ch0.E11" title="In 2 ℤ₂×ℤ₂-graded Lie algebras ‣ Matrix structure of classical ℤ₂×ℤ₂ graded Lie algebras"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">11</span></a>). Using the bracket (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2408.09274v1#Ch0.E10" title="In 2 ℤ₂×ℤ₂-graded Lie algebras ‣ Matrix structure of classical ℤ₂×ℤ₂ graded Lie algebras"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">10</span></a>) (checking closure in the same vector space, and yielding the complete vector space) one obtains also in this way the <math alttext="{\mathbb{Z}}_{2}^{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="Ch0.S2.p6.2.m2.1"><semantics id="Ch0.S2.p6.2.m2.1a"><msubsup id="Ch0.S2.p6.2.m2.1.1" xref="Ch0.S2.p6.2.m2.1.1.cmml"><mi id="Ch0.S2.p6.2.m2.1.1.2.2" xref="Ch0.S2.p6.2.m2.1.1.2.2.cmml">ℤ</mi><mn id="Ch0.S2.p6.2.m2.1.1.2.3" xref="Ch0.S2.p6.2.m2.1.1.2.3.cmml">2</mn><mn id="Ch0.S2.p6.2.m2.1.1.3" xref="Ch0.S2.p6.2.m2.1.1.3.cmml">2</mn></msubsup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Ch0.S2.p6.2.m2.1b"><apply id="Ch0.S2.p6.2.m2.1.1.cmml" xref="Ch0.S2.p6.2.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.S2.p6.2.m2.1.1.1.cmml" xref="Ch0.S2.p6.2.m2.1.1">superscript</csymbol><apply id="Ch0.S2.p6.2.m2.1.1.2.cmml" xref="Ch0.S2.p6.2.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.S2.p6.2.m2.1.1.2.1.cmml" xref="Ch0.S2.p6.2.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="Ch0.S2.p6.2.m2.1.1.2.2.cmml" xref="Ch0.S2.p6.2.m2.1.1.2.2">ℤ</ci><cn id="Ch0.S2.p6.2.m2.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="Ch0.S2.p6.2.m2.1.1.2.3">2</cn></apply><cn id="Ch0.S2.p6.2.m2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="Ch0.S2.p6.2.m2.1.1.3">2</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Ch0.S2.p6.2.m2.1c">{\mathbb{Z}}_{2}^{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Ch0.S2.p6.2.m2.1d">blackboard_Z start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>-GLA’s <math alttext="\mathfrak{sl}_{p,q,r,s}(n)" class="ltx_Math" display="inline" id="Ch0.S2.p6.3.m3.5"><semantics id="Ch0.S2.p6.3.m3.5a"><mrow id="Ch0.S2.p6.3.m3.5.6" xref="Ch0.S2.p6.3.m3.5.6.cmml"><mi id="Ch0.S2.p6.3.m3.5.6.2" xref="Ch0.S2.p6.3.m3.5.6.2.cmml">𝔰</mi><mo id="Ch0.S2.p6.3.m3.5.6.1" xref="Ch0.S2.p6.3.m3.5.6.1.cmml">⁢</mo><msub id="Ch0.S2.p6.3.m3.5.6.3" xref="Ch0.S2.p6.3.m3.5.6.3.cmml"><mi id="Ch0.S2.p6.3.m3.5.6.3.2" xref="Ch0.S2.p6.3.m3.5.6.3.2.cmml">𝔩</mi><mrow id="Ch0.S2.p6.3.m3.4.4.4.6" xref="Ch0.S2.p6.3.m3.4.4.4.5.cmml"><mi id="Ch0.S2.p6.3.m3.1.1.1.1" xref="Ch0.S2.p6.3.m3.1.1.1.1.cmml">p</mi><mo id="Ch0.S2.p6.3.m3.4.4.4.6.1" xref="Ch0.S2.p6.3.m3.4.4.4.5.cmml">,</mo><mi id="Ch0.S2.p6.3.m3.2.2.2.2" xref="Ch0.S2.p6.3.m3.2.2.2.2.cmml">q</mi><mo id="Ch0.S2.p6.3.m3.4.4.4.6.2" xref="Ch0.S2.p6.3.m3.4.4.4.5.cmml">,</mo><mi id="Ch0.S2.p6.3.m3.3.3.3.3" xref="Ch0.S2.p6.3.m3.3.3.3.3.cmml">r</mi><mo id="Ch0.S2.p6.3.m3.4.4.4.6.3" xref="Ch0.S2.p6.3.m3.4.4.4.5.cmml">,</mo><mi id="Ch0.S2.p6.3.m3.4.4.4.4" xref="Ch0.S2.p6.3.m3.4.4.4.4.cmml">s</mi></mrow></msub><mo id="Ch0.S2.p6.3.m3.5.6.1a" xref="Ch0.S2.p6.3.m3.5.6.1.cmml">⁢</mo><mrow id="Ch0.S2.p6.3.m3.5.6.4.2" xref="Ch0.S2.p6.3.m3.5.6.cmml"><mo id="Ch0.S2.p6.3.m3.5.6.4.2.1" stretchy="false" xref="Ch0.S2.p6.3.m3.5.6.cmml">(</mo><mi id="Ch0.S2.p6.3.m3.5.5" xref="Ch0.S2.p6.3.m3.5.5.cmml">n</mi><mo id="Ch0.S2.p6.3.m3.5.6.4.2.2" stretchy="false" xref="Ch0.S2.p6.3.m3.5.6.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Ch0.S2.p6.3.m3.5b"><apply id="Ch0.S2.p6.3.m3.5.6.cmml" xref="Ch0.S2.p6.3.m3.5.6"><times id="Ch0.S2.p6.3.m3.5.6.1.cmml" xref="Ch0.S2.p6.3.m3.5.6.1"></times><ci id="Ch0.S2.p6.3.m3.5.6.2.cmml" xref="Ch0.S2.p6.3.m3.5.6.2">𝔰</ci><apply id="Ch0.S2.p6.3.m3.5.6.3.cmml" xref="Ch0.S2.p6.3.m3.5.6.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.S2.p6.3.m3.5.6.3.1.cmml" xref="Ch0.S2.p6.3.m3.5.6.3">subscript</csymbol><ci id="Ch0.S2.p6.3.m3.5.6.3.2.cmml" xref="Ch0.S2.p6.3.m3.5.6.3.2">𝔩</ci><list id="Ch0.S2.p6.3.m3.4.4.4.5.cmml" xref="Ch0.S2.p6.3.m3.4.4.4.6"><ci id="Ch0.S2.p6.3.m3.1.1.1.1.cmml" xref="Ch0.S2.p6.3.m3.1.1.1.1">𝑝</ci><ci id="Ch0.S2.p6.3.m3.2.2.2.2.cmml" xref="Ch0.S2.p6.3.m3.2.2.2.2">𝑞</ci><ci id="Ch0.S2.p6.3.m3.3.3.3.3.cmml" xref="Ch0.S2.p6.3.m3.3.3.3.3">𝑟</ci><ci id="Ch0.S2.p6.3.m3.4.4.4.4.cmml" xref="Ch0.S2.p6.3.m3.4.4.4.4">𝑠</ci></list></apply><ci id="Ch0.S2.p6.3.m3.5.5.cmml" xref="Ch0.S2.p6.3.m3.5.5">𝑛</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Ch0.S2.p6.3.m3.5c">\mathfrak{sl}_{p,q,r,s}(n)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Ch0.S2.p6.3.m3.5d">fraktur_s fraktur_l start_POSTSUBSCRIPT italic_p , italic_q , italic_r , italic_s end_POSTSUBSCRIPT ( italic_n )</annotation></semantics></math>. This class of <math alttext="{\mathbb{Z}}_{2}^{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="Ch0.S2.p6.4.m4.1"><semantics id="Ch0.S2.p6.4.m4.1a"><msubsup id="Ch0.S2.p6.4.m4.1.1" xref="Ch0.S2.p6.4.m4.1.1.cmml"><mi id="Ch0.S2.p6.4.m4.1.1.2.2" xref="Ch0.S2.p6.4.m4.1.1.2.2.cmml">ℤ</mi><mn id="Ch0.S2.p6.4.m4.1.1.2.3" xref="Ch0.S2.p6.4.m4.1.1.2.3.cmml">2</mn><mn id="Ch0.S2.p6.4.m4.1.1.3" xref="Ch0.S2.p6.4.m4.1.1.3.cmml">2</mn></msubsup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Ch0.S2.p6.4.m4.1b"><apply id="Ch0.S2.p6.4.m4.1.1.cmml" xref="Ch0.S2.p6.4.m4.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.S2.p6.4.m4.1.1.1.cmml" xref="Ch0.S2.p6.4.m4.1.1">superscript</csymbol><apply id="Ch0.S2.p6.4.m4.1.1.2.cmml" xref="Ch0.S2.p6.4.m4.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.S2.p6.4.m4.1.1.2.1.cmml" xref="Ch0.S2.p6.4.m4.1.1">subscript</csymbol><ci id="Ch0.S2.p6.4.m4.1.1.2.2.cmml" xref="Ch0.S2.p6.4.m4.1.1.2.2">ℤ</ci><cn id="Ch0.S2.p6.4.m4.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="Ch0.S2.p6.4.m4.1.1.2.3">2</cn></apply><cn id="Ch0.S2.p6.4.m4.1.1.3.cmml" type="integer" xref="Ch0.S2.p6.4.m4.1.1.3">2</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Ch0.S2.p6.4.m4.1c">{\mathbb{Z}}_{2}^{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Ch0.S2.p6.4.m4.1d">blackboard_Z start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>-GLA’s is not new, and has been known for a long time. It appears already in <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2408.09274v1#bib.bib20" title="">Rit2 </a></cite> under the name <math alttext="sl(p,q,r,s)" class="ltx_Math" display="inline" id="Ch0.S2.p6.5.m5.4"><semantics id="Ch0.S2.p6.5.m5.4a"><mrow id="Ch0.S2.p6.5.m5.4.5" xref="Ch0.S2.p6.5.m5.4.5.cmml"><mi id="Ch0.S2.p6.5.m5.4.5.2" xref="Ch0.S2.p6.5.m5.4.5.2.cmml">s</mi><mo id="Ch0.S2.p6.5.m5.4.5.1" xref="Ch0.S2.p6.5.m5.4.5.1.cmml">⁢</mo><mi id="Ch0.S2.p6.5.m5.4.5.3" xref="Ch0.S2.p6.5.m5.4.5.3.cmml">l</mi><mo id="Ch0.S2.p6.5.m5.4.5.1a" xref="Ch0.S2.p6.5.m5.4.5.1.cmml">⁢</mo><mrow id="Ch0.S2.p6.5.m5.4.5.4.2" xref="Ch0.S2.p6.5.m5.4.5.4.1.cmml"><mo id="Ch0.S2.p6.5.m5.4.5.4.2.1" stretchy="false" xref="Ch0.S2.p6.5.m5.4.5.4.1.cmml">(</mo><mi id="Ch0.S2.p6.5.m5.1.1" xref="Ch0.S2.p6.5.m5.1.1.cmml">p</mi><mo id="Ch0.S2.p6.5.m5.4.5.4.2.2" xref="Ch0.S2.p6.5.m5.4.5.4.1.cmml">,</mo><mi id="Ch0.S2.p6.5.m5.2.2" xref="Ch0.S2.p6.5.m5.2.2.cmml">q</mi><mo id="Ch0.S2.p6.5.m5.4.5.4.2.3" xref="Ch0.S2.p6.5.m5.4.5.4.1.cmml">,</mo><mi id="Ch0.S2.p6.5.m5.3.3" xref="Ch0.S2.p6.5.m5.3.3.cmml">r</mi><mo id="Ch0.S2.p6.5.m5.4.5.4.2.4" xref="Ch0.S2.p6.5.m5.4.5.4.1.cmml">,</mo><mi id="Ch0.S2.p6.5.m5.4.4" xref="Ch0.S2.p6.5.m5.4.4.cmml">s</mi><mo id="Ch0.S2.p6.5.m5.4.5.4.2.5" stretchy="false" xref="Ch0.S2.p6.5.m5.4.5.4.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Ch0.S2.p6.5.m5.4b"><apply id="Ch0.S2.p6.5.m5.4.5.cmml" xref="Ch0.S2.p6.5.m5.4.5"><times id="Ch0.S2.p6.5.m5.4.5.1.cmml" xref="Ch0.S2.p6.5.m5.4.5.1"></times><ci id="Ch0.S2.p6.5.m5.4.5.2.cmml" xref="Ch0.S2.p6.5.m5.4.5.2">𝑠</ci><ci id="Ch0.S2.p6.5.m5.4.5.3.cmml" xref="Ch0.S2.p6.5.m5.4.5.3">𝑙</ci><vector id="Ch0.S2.p6.5.m5.4.5.4.1.cmml" xref="Ch0.S2.p6.5.m5.4.5.4.2"><ci id="Ch0.S2.p6.5.m5.1.1.cmml" xref="Ch0.S2.p6.5.m5.1.1">𝑝</ci><ci id="Ch0.S2.p6.5.m5.2.2.cmml" xref="Ch0.S2.p6.5.m5.2.2">𝑞</ci><ci id="Ch0.S2.p6.5.m5.3.3.cmml" xref="Ch0.S2.p6.5.m5.3.3">𝑟</ci><ci id="Ch0.S2.p6.5.m5.4.4.cmml" xref="Ch0.S2.p6.5.m5.4.4">𝑠</ci></vector></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Ch0.S2.p6.5.m5.4c">sl(p,q,r,s)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Ch0.S2.p6.5.m5.4d">italic_s italic_l ( italic_p , italic_q , italic_r , italic_s )</annotation></semantics></math>.</p> </div> </section> <section class="ltx_section" id="Ch0.S3"> <h2 class="ltx_title ltx_title_section"> <span class="ltx_tag ltx_tag_section">3 </span><math alttext="{\mathbb{Z}}_{2}^{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="Ch0.S3.1.m1.1"><semantics id="Ch0.S3.1.m1.1b"><msubsup id="Ch0.S3.1.m1.1.1" xref="Ch0.S3.1.m1.1.1.cmml"><mi id="Ch0.S3.1.m1.1.1.2.2" xref="Ch0.S3.1.m1.1.1.2.2.cmml">ℤ</mi><mn id="Ch0.S3.1.m1.1.1.2.3" xref="Ch0.S3.1.m1.1.1.2.3.cmml">2</mn><mn id="Ch0.S3.1.m1.1.1.3" xref="Ch0.S3.1.m1.1.1.3.cmml">2</mn></msubsup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Ch0.S3.1.m1.1c"><apply id="Ch0.S3.1.m1.1.1.cmml" xref="Ch0.S3.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.S3.1.m1.1.1.1.cmml" xref="Ch0.S3.1.m1.1.1">superscript</csymbol><apply id="Ch0.S3.1.m1.1.1.2.cmml" xref="Ch0.S3.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.S3.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="Ch0.S3.1.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="Ch0.S3.1.m1.1.1.2.2.cmml" xref="Ch0.S3.1.m1.1.1.2.2">ℤ</ci><cn id="Ch0.S3.1.m1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="Ch0.S3.1.m1.1.1.2.3">2</cn></apply><cn id="Ch0.S3.1.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="Ch0.S3.1.m1.1.1.3">2</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Ch0.S3.1.m1.1d">{\mathbb{Z}}_{2}^{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Ch0.S3.1.m1.1e">blackboard_Z start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>-GLA’s as subalgebras of <math alttext="\mathfrak{sl}_{p,q,r,s}(n)" class="ltx_Math" display="inline" id="Ch0.S3.2.m2.5"><semantics id="Ch0.S3.2.m2.5b"><mrow id="Ch0.S3.2.m2.5.6" xref="Ch0.S3.2.m2.5.6.cmml"><mi id="Ch0.S3.2.m2.5.6.2" xref="Ch0.S3.2.m2.5.6.2.cmml">𝔰</mi><mo id="Ch0.S3.2.m2.5.6.1" xref="Ch0.S3.2.m2.5.6.1.cmml">⁢</mo><msub id="Ch0.S3.2.m2.5.6.3" xref="Ch0.S3.2.m2.5.6.3.cmml"><mi id="Ch0.S3.2.m2.5.6.3.2" xref="Ch0.S3.2.m2.5.6.3.2.cmml">𝔩</mi><mrow id="Ch0.S3.2.m2.4.4.4.6" xref="Ch0.S3.2.m2.4.4.4.5.cmml"><mi id="Ch0.S3.2.m2.1.1.1.1" xref="Ch0.S3.2.m2.1.1.1.1.cmml">p</mi><mo id="Ch0.S3.2.m2.4.4.4.6.1" xref="Ch0.S3.2.m2.4.4.4.5.cmml">,</mo><mi id="Ch0.S3.2.m2.2.2.2.2" xref="Ch0.S3.2.m2.2.2.2.2.cmml">q</mi><mo id="Ch0.S3.2.m2.4.4.4.6.2" xref="Ch0.S3.2.m2.4.4.4.5.cmml">,</mo><mi id="Ch0.S3.2.m2.3.3.3.3" xref="Ch0.S3.2.m2.3.3.3.3.cmml">r</mi><mo id="Ch0.S3.2.m2.4.4.4.6.3" xref="Ch0.S3.2.m2.4.4.4.5.cmml">,</mo><mi id="Ch0.S3.2.m2.4.4.4.4" xref="Ch0.S3.2.m2.4.4.4.4.cmml">s</mi></mrow></msub><mo id="Ch0.S3.2.m2.5.6.1b" xref="Ch0.S3.2.m2.5.6.1.cmml">⁢</mo><mrow id="Ch0.S3.2.m2.5.6.4.2" xref="Ch0.S3.2.m2.5.6.cmml"><mo id="Ch0.S3.2.m2.5.6.4.2.1" stretchy="false" xref="Ch0.S3.2.m2.5.6.cmml">(</mo><mi id="Ch0.S3.2.m2.5.5" xref="Ch0.S3.2.m2.5.5.cmml">n</mi><mo id="Ch0.S3.2.m2.5.6.4.2.2" stretchy="false" xref="Ch0.S3.2.m2.5.6.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Ch0.S3.2.m2.5c"><apply id="Ch0.S3.2.m2.5.6.cmml" xref="Ch0.S3.2.m2.5.6"><times id="Ch0.S3.2.m2.5.6.1.cmml" xref="Ch0.S3.2.m2.5.6.1"></times><ci id="Ch0.S3.2.m2.5.6.2.cmml" xref="Ch0.S3.2.m2.5.6.2">𝔰</ci><apply id="Ch0.S3.2.m2.5.6.3.cmml" xref="Ch0.S3.2.m2.5.6.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.S3.2.m2.5.6.3.1.cmml" xref="Ch0.S3.2.m2.5.6.3">subscript</csymbol><ci id="Ch0.S3.2.m2.5.6.3.2.cmml" xref="Ch0.S3.2.m2.5.6.3.2">𝔩</ci><list id="Ch0.S3.2.m2.4.4.4.5.cmml" xref="Ch0.S3.2.m2.4.4.4.6"><ci id="Ch0.S3.2.m2.1.1.1.1.cmml" xref="Ch0.S3.2.m2.1.1.1.1">𝑝</ci><ci id="Ch0.S3.2.m2.2.2.2.2.cmml" xref="Ch0.S3.2.m2.2.2.2.2">𝑞</ci><ci id="Ch0.S3.2.m2.3.3.3.3.cmml" xref="Ch0.S3.2.m2.3.3.3.3">𝑟</ci><ci id="Ch0.S3.2.m2.4.4.4.4.cmml" xref="Ch0.S3.2.m2.4.4.4.4">𝑠</ci></list></apply><ci id="Ch0.S3.2.m2.5.5.cmml" xref="Ch0.S3.2.m2.5.5">𝑛</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Ch0.S3.2.m2.5d">\mathfrak{sl}_{p,q,r,s}(n)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Ch0.S3.2.m2.5e">fraktur_s fraktur_l start_POSTSUBSCRIPT italic_p , italic_q , italic_r , italic_s end_POSTSUBSCRIPT ( italic_n )</annotation></semantics></math> </h2> <div class="ltx_para" id="Ch0.S3.p1"> <p class="ltx_p" id="Ch0.S3.p1.11">A crucial notion to be introduced here is that of graded transpose. Let <math alttext="A" class="ltx_Math" display="inline" id="Ch0.S3.p1.1.m1.1"><semantics id="Ch0.S3.p1.1.m1.1a"><mi id="Ch0.S3.p1.1.m1.1.1" xref="Ch0.S3.p1.1.m1.1.1.cmml">A</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Ch0.S3.p1.1.m1.1b"><ci id="Ch0.S3.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="Ch0.S3.p1.1.m1.1.1">𝐴</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Ch0.S3.p1.1.m1.1c">A</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Ch0.S3.p1.1.m1.1d">italic_A</annotation></semantics></math> be a homogeneous element of <math alttext="\mathfrak{sl}_{p,q,r,s}(n)\subset\operatorname{End}(V)" class="ltx_Math" display="inline" id="Ch0.S3.p1.2.m2.7"><semantics id="Ch0.S3.p1.2.m2.7a"><mrow id="Ch0.S3.p1.2.m2.7.8" xref="Ch0.S3.p1.2.m2.7.8.cmml"><mrow id="Ch0.S3.p1.2.m2.7.8.2" xref="Ch0.S3.p1.2.m2.7.8.2.cmml"><mi id="Ch0.S3.p1.2.m2.7.8.2.2" xref="Ch0.S3.p1.2.m2.7.8.2.2.cmml">𝔰</mi><mo id="Ch0.S3.p1.2.m2.7.8.2.1" xref="Ch0.S3.p1.2.m2.7.8.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="Ch0.S3.p1.2.m2.7.8.2.3" xref="Ch0.S3.p1.2.m2.7.8.2.3.cmml"><mi id="Ch0.S3.p1.2.m2.7.8.2.3.2" xref="Ch0.S3.p1.2.m2.7.8.2.3.2.cmml">𝔩</mi><mrow id="Ch0.S3.p1.2.m2.4.4.4.6" xref="Ch0.S3.p1.2.m2.4.4.4.5.cmml"><mi id="Ch0.S3.p1.2.m2.1.1.1.1" xref="Ch0.S3.p1.2.m2.1.1.1.1.cmml">p</mi><mo id="Ch0.S3.p1.2.m2.4.4.4.6.1" xref="Ch0.S3.p1.2.m2.4.4.4.5.cmml">,</mo><mi id="Ch0.S3.p1.2.m2.2.2.2.2" xref="Ch0.S3.p1.2.m2.2.2.2.2.cmml">q</mi><mo id="Ch0.S3.p1.2.m2.4.4.4.6.2" xref="Ch0.S3.p1.2.m2.4.4.4.5.cmml">,</mo><mi id="Ch0.S3.p1.2.m2.3.3.3.3" xref="Ch0.S3.p1.2.m2.3.3.3.3.cmml">r</mi><mo id="Ch0.S3.p1.2.m2.4.4.4.6.3" xref="Ch0.S3.p1.2.m2.4.4.4.5.cmml">,</mo><mi id="Ch0.S3.p1.2.m2.4.4.4.4" xref="Ch0.S3.p1.2.m2.4.4.4.4.cmml">s</mi></mrow></msub><mo id="Ch0.S3.p1.2.m2.7.8.2.1a" xref="Ch0.S3.p1.2.m2.7.8.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="Ch0.S3.p1.2.m2.7.8.2.4.2" xref="Ch0.S3.p1.2.m2.7.8.2.cmml"><mo id="Ch0.S3.p1.2.m2.7.8.2.4.2.1" stretchy="false" xref="Ch0.S3.p1.2.m2.7.8.2.cmml">(</mo><mi id="Ch0.S3.p1.2.m2.5.5" xref="Ch0.S3.p1.2.m2.5.5.cmml">n</mi><mo id="Ch0.S3.p1.2.m2.7.8.2.4.2.2" stretchy="false" xref="Ch0.S3.p1.2.m2.7.8.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="Ch0.S3.p1.2.m2.7.8.1" xref="Ch0.S3.p1.2.m2.7.8.1.cmml">⊂</mo><mrow id="Ch0.S3.p1.2.m2.7.8.3.2" xref="Ch0.S3.p1.2.m2.7.8.3.1.cmml"><mi id="Ch0.S3.p1.2.m2.6.6" xref="Ch0.S3.p1.2.m2.6.6.cmml">End</mi><mo id="Ch0.S3.p1.2.m2.7.8.3.2a" xref="Ch0.S3.p1.2.m2.7.8.3.1.cmml">⁡</mo><mrow id="Ch0.S3.p1.2.m2.7.8.3.2.1" xref="Ch0.S3.p1.2.m2.7.8.3.1.cmml"><mo id="Ch0.S3.p1.2.m2.7.8.3.2.1.1" stretchy="false" xref="Ch0.S3.p1.2.m2.7.8.3.1.cmml">(</mo><mi id="Ch0.S3.p1.2.m2.7.7" xref="Ch0.S3.p1.2.m2.7.7.cmml">V</mi><mo id="Ch0.S3.p1.2.m2.7.8.3.2.1.2" stretchy="false" xref="Ch0.S3.p1.2.m2.7.8.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Ch0.S3.p1.2.m2.7b"><apply id="Ch0.S3.p1.2.m2.7.8.cmml" xref="Ch0.S3.p1.2.m2.7.8"><subset id="Ch0.S3.p1.2.m2.7.8.1.cmml" xref="Ch0.S3.p1.2.m2.7.8.1"></subset><apply id="Ch0.S3.p1.2.m2.7.8.2.cmml" xref="Ch0.S3.p1.2.m2.7.8.2"><times id="Ch0.S3.p1.2.m2.7.8.2.1.cmml" xref="Ch0.S3.p1.2.m2.7.8.2.1"></times><ci id="Ch0.S3.p1.2.m2.7.8.2.2.cmml" xref="Ch0.S3.p1.2.m2.7.8.2.2">𝔰</ci><apply id="Ch0.S3.p1.2.m2.7.8.2.3.cmml" xref="Ch0.S3.p1.2.m2.7.8.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.S3.p1.2.m2.7.8.2.3.1.cmml" xref="Ch0.S3.p1.2.m2.7.8.2.3">subscript</csymbol><ci id="Ch0.S3.p1.2.m2.7.8.2.3.2.cmml" xref="Ch0.S3.p1.2.m2.7.8.2.3.2">𝔩</ci><list id="Ch0.S3.p1.2.m2.4.4.4.5.cmml" xref="Ch0.S3.p1.2.m2.4.4.4.6"><ci id="Ch0.S3.p1.2.m2.1.1.1.1.cmml" xref="Ch0.S3.p1.2.m2.1.1.1.1">𝑝</ci><ci id="Ch0.S3.p1.2.m2.2.2.2.2.cmml" xref="Ch0.S3.p1.2.m2.2.2.2.2">𝑞</ci><ci id="Ch0.S3.p1.2.m2.3.3.3.3.cmml" xref="Ch0.S3.p1.2.m2.3.3.3.3">𝑟</ci><ci id="Ch0.S3.p1.2.m2.4.4.4.4.cmml" xref="Ch0.S3.p1.2.m2.4.4.4.4">𝑠</ci></list></apply><ci id="Ch0.S3.p1.2.m2.5.5.cmml" xref="Ch0.S3.p1.2.m2.5.5">𝑛</ci></apply><apply id="Ch0.S3.p1.2.m2.7.8.3.1.cmml" xref="Ch0.S3.p1.2.m2.7.8.3.2"><ci id="Ch0.S3.p1.2.m2.6.6.cmml" xref="Ch0.S3.p1.2.m2.6.6">End</ci><ci id="Ch0.S3.p1.2.m2.7.7.cmml" xref="Ch0.S3.p1.2.m2.7.7">𝑉</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Ch0.S3.p1.2.m2.7c">\mathfrak{sl}_{p,q,r,s}(n)\subset\operatorname{End}(V)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Ch0.S3.p1.2.m2.7d">fraktur_s fraktur_l start_POSTSUBSCRIPT italic_p , italic_q , italic_r , italic_s end_POSTSUBSCRIPT ( italic_n ) ⊂ roman_End ( italic_V )</annotation></semantics></math> of degree <math alttext="\boldsymbol{a}\in{\mathbb{Z}}_{2}\times{\mathbb{Z}}_{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="Ch0.S3.p1.3.m3.1"><semantics id="Ch0.S3.p1.3.m3.1a"><mrow id="Ch0.S3.p1.3.m3.1.1" xref="Ch0.S3.p1.3.m3.1.1.cmml"><mi id="Ch0.S3.p1.3.m3.1.1.2" xref="Ch0.S3.p1.3.m3.1.1.2.cmml">𝒂</mi><mo id="Ch0.S3.p1.3.m3.1.1.1" xref="Ch0.S3.p1.3.m3.1.1.1.cmml">∈</mo><mrow id="Ch0.S3.p1.3.m3.1.1.3" xref="Ch0.S3.p1.3.m3.1.1.3.cmml"><msub id="Ch0.S3.p1.3.m3.1.1.3.2" xref="Ch0.S3.p1.3.m3.1.1.3.2.cmml"><mi id="Ch0.S3.p1.3.m3.1.1.3.2.2" xref="Ch0.S3.p1.3.m3.1.1.3.2.2.cmml">ℤ</mi><mn id="Ch0.S3.p1.3.m3.1.1.3.2.3" xref="Ch0.S3.p1.3.m3.1.1.3.2.3.cmml">2</mn></msub><mo id="Ch0.S3.p1.3.m3.1.1.3.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="Ch0.S3.p1.3.m3.1.1.3.1.cmml">×</mo><msub id="Ch0.S3.p1.3.m3.1.1.3.3" xref="Ch0.S3.p1.3.m3.1.1.3.3.cmml"><mi id="Ch0.S3.p1.3.m3.1.1.3.3.2" xref="Ch0.S3.p1.3.m3.1.1.3.3.2.cmml">ℤ</mi><mn id="Ch0.S3.p1.3.m3.1.1.3.3.3" xref="Ch0.S3.p1.3.m3.1.1.3.3.3.cmml">2</mn></msub></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Ch0.S3.p1.3.m3.1b"><apply id="Ch0.S3.p1.3.m3.1.1.cmml" xref="Ch0.S3.p1.3.m3.1.1"><in id="Ch0.S3.p1.3.m3.1.1.1.cmml" xref="Ch0.S3.p1.3.m3.1.1.1"></in><ci id="Ch0.S3.p1.3.m3.1.1.2.cmml" xref="Ch0.S3.p1.3.m3.1.1.2">𝒂</ci><apply id="Ch0.S3.p1.3.m3.1.1.3.cmml" xref="Ch0.S3.p1.3.m3.1.1.3"><times id="Ch0.S3.p1.3.m3.1.1.3.1.cmml" xref="Ch0.S3.p1.3.m3.1.1.3.1"></times><apply id="Ch0.S3.p1.3.m3.1.1.3.2.cmml" xref="Ch0.S3.p1.3.m3.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.S3.p1.3.m3.1.1.3.2.1.cmml" xref="Ch0.S3.p1.3.m3.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="Ch0.S3.p1.3.m3.1.1.3.2.2.cmml" xref="Ch0.S3.p1.3.m3.1.1.3.2.2">ℤ</ci><cn id="Ch0.S3.p1.3.m3.1.1.3.2.3.cmml" type="integer" xref="Ch0.S3.p1.3.m3.1.1.3.2.3">2</cn></apply><apply id="Ch0.S3.p1.3.m3.1.1.3.3.cmml" xref="Ch0.S3.p1.3.m3.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.S3.p1.3.m3.1.1.3.3.1.cmml" xref="Ch0.S3.p1.3.m3.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="Ch0.S3.p1.3.m3.1.1.3.3.2.cmml" xref="Ch0.S3.p1.3.m3.1.1.3.3.2">ℤ</ci><cn id="Ch0.S3.p1.3.m3.1.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="Ch0.S3.p1.3.m3.1.1.3.3.3">2</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Ch0.S3.p1.3.m3.1c">\boldsymbol{a}\in{\mathbb{Z}}_{2}\times{\mathbb{Z}}_{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Ch0.S3.p1.3.m3.1d">bold_italic_a ∈ blackboard_Z start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT × blackboard_Z start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>. Let <math alttext="V^{*}" class="ltx_Math" display="inline" id="Ch0.S3.p1.4.m4.1"><semantics id="Ch0.S3.p1.4.m4.1a"><msup id="Ch0.S3.p1.4.m4.1.1" xref="Ch0.S3.p1.4.m4.1.1.cmml"><mi id="Ch0.S3.p1.4.m4.1.1.2" xref="Ch0.S3.p1.4.m4.1.1.2.cmml">V</mi><mo id="Ch0.S3.p1.4.m4.1.1.3" xref="Ch0.S3.p1.4.m4.1.1.3.cmml">∗</mo></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Ch0.S3.p1.4.m4.1b"><apply id="Ch0.S3.p1.4.m4.1.1.cmml" xref="Ch0.S3.p1.4.m4.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.S3.p1.4.m4.1.1.1.cmml" xref="Ch0.S3.p1.4.m4.1.1">superscript</csymbol><ci id="Ch0.S3.p1.4.m4.1.1.2.cmml" xref="Ch0.S3.p1.4.m4.1.1.2">𝑉</ci><times id="Ch0.S3.p1.4.m4.1.1.3.cmml" xref="Ch0.S3.p1.4.m4.1.1.3"></times></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Ch0.S3.p1.4.m4.1c">V^{*}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Ch0.S3.p1.4.m4.1d">italic_V start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> be the vector space dual to <math alttext="V" class="ltx_Math" display="inline" id="Ch0.S3.p1.5.m5.1"><semantics id="Ch0.S3.p1.5.m5.1a"><mi id="Ch0.S3.p1.5.m5.1.1" xref="Ch0.S3.p1.5.m5.1.1.cmml">V</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Ch0.S3.p1.5.m5.1b"><ci id="Ch0.S3.p1.5.m5.1.1.cmml" xref="Ch0.S3.p1.5.m5.1.1">𝑉</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Ch0.S3.p1.5.m5.1c">V</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Ch0.S3.p1.5.m5.1d">italic_V</annotation></semantics></math>, inheriting the <math alttext="{\mathbb{Z}}_{2}\times{\mathbb{Z}}_{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="Ch0.S3.p1.6.m6.1"><semantics id="Ch0.S3.p1.6.m6.1a"><mrow id="Ch0.S3.p1.6.m6.1.1" xref="Ch0.S3.p1.6.m6.1.1.cmml"><msub id="Ch0.S3.p1.6.m6.1.1.2" xref="Ch0.S3.p1.6.m6.1.1.2.cmml"><mi id="Ch0.S3.p1.6.m6.1.1.2.2" xref="Ch0.S3.p1.6.m6.1.1.2.2.cmml">ℤ</mi><mn id="Ch0.S3.p1.6.m6.1.1.2.3" xref="Ch0.S3.p1.6.m6.1.1.2.3.cmml">2</mn></msub><mo id="Ch0.S3.p1.6.m6.1.1.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="Ch0.S3.p1.6.m6.1.1.1.cmml">×</mo><msub id="Ch0.S3.p1.6.m6.1.1.3" xref="Ch0.S3.p1.6.m6.1.1.3.cmml"><mi id="Ch0.S3.p1.6.m6.1.1.3.2" xref="Ch0.S3.p1.6.m6.1.1.3.2.cmml">ℤ</mi><mn id="Ch0.S3.p1.6.m6.1.1.3.3" xref="Ch0.S3.p1.6.m6.1.1.3.3.cmml">2</mn></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Ch0.S3.p1.6.m6.1b"><apply id="Ch0.S3.p1.6.m6.1.1.cmml" xref="Ch0.S3.p1.6.m6.1.1"><times id="Ch0.S3.p1.6.m6.1.1.1.cmml" xref="Ch0.S3.p1.6.m6.1.1.1"></times><apply id="Ch0.S3.p1.6.m6.1.1.2.cmml" xref="Ch0.S3.p1.6.m6.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.S3.p1.6.m6.1.1.2.1.cmml" xref="Ch0.S3.p1.6.m6.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="Ch0.S3.p1.6.m6.1.1.2.2.cmml" xref="Ch0.S3.p1.6.m6.1.1.2.2">ℤ</ci><cn id="Ch0.S3.p1.6.m6.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="Ch0.S3.p1.6.m6.1.1.2.3">2</cn></apply><apply id="Ch0.S3.p1.6.m6.1.1.3.cmml" xref="Ch0.S3.p1.6.m6.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.S3.p1.6.m6.1.1.3.1.cmml" xref="Ch0.S3.p1.6.m6.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="Ch0.S3.p1.6.m6.1.1.3.2.cmml" xref="Ch0.S3.p1.6.m6.1.1.3.2">ℤ</ci><cn id="Ch0.S3.p1.6.m6.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="Ch0.S3.p1.6.m6.1.1.3.3">2</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Ch0.S3.p1.6.m6.1c">{\mathbb{Z}}_{2}\times{\mathbb{Z}}_{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Ch0.S3.p1.6.m6.1d">blackboard_Z start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT × blackboard_Z start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>-grading from <math alttext="V" class="ltx_Math" display="inline" id="Ch0.S3.p1.7.m7.1"><semantics id="Ch0.S3.p1.7.m7.1a"><mi id="Ch0.S3.p1.7.m7.1.1" xref="Ch0.S3.p1.7.m7.1.1.cmml">V</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Ch0.S3.p1.7.m7.1b"><ci id="Ch0.S3.p1.7.m7.1.1.cmml" xref="Ch0.S3.p1.7.m7.1.1">𝑉</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Ch0.S3.p1.7.m7.1c">V</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Ch0.S3.p1.7.m7.1d">italic_V</annotation></semantics></math>, and denote the natural pairing of <math alttext="V" class="ltx_Math" display="inline" id="Ch0.S3.p1.8.m8.1"><semantics id="Ch0.S3.p1.8.m8.1a"><mi id="Ch0.S3.p1.8.m8.1.1" xref="Ch0.S3.p1.8.m8.1.1.cmml">V</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Ch0.S3.p1.8.m8.1b"><ci id="Ch0.S3.p1.8.m8.1.1.cmml" xref="Ch0.S3.p1.8.m8.1.1">𝑉</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Ch0.S3.p1.8.m8.1c">V</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Ch0.S3.p1.8.m8.1d">italic_V</annotation></semantics></math> and <math alttext="V^{*}" class="ltx_Math" display="inline" id="Ch0.S3.p1.9.m9.1"><semantics id="Ch0.S3.p1.9.m9.1a"><msup id="Ch0.S3.p1.9.m9.1.1" xref="Ch0.S3.p1.9.m9.1.1.cmml"><mi id="Ch0.S3.p1.9.m9.1.1.2" xref="Ch0.S3.p1.9.m9.1.1.2.cmml">V</mi><mo id="Ch0.S3.p1.9.m9.1.1.3" xref="Ch0.S3.p1.9.m9.1.1.3.cmml">∗</mo></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Ch0.S3.p1.9.m9.1b"><apply id="Ch0.S3.p1.9.m9.1.1.cmml" xref="Ch0.S3.p1.9.m9.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.S3.p1.9.m9.1.1.1.cmml" xref="Ch0.S3.p1.9.m9.1.1">superscript</csymbol><ci id="Ch0.S3.p1.9.m9.1.1.2.cmml" xref="Ch0.S3.p1.9.m9.1.1.2">𝑉</ci><times id="Ch0.S3.p1.9.m9.1.1.3.cmml" xref="Ch0.S3.p1.9.m9.1.1.3"></times></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Ch0.S3.p1.9.m9.1c">V^{*}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Ch0.S3.p1.9.m9.1d">italic_V start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> by <math alttext="\langle\cdot,\cdot\rangle" class="ltx_Math" display="inline" id="Ch0.S3.p1.10.m10.2"><semantics id="Ch0.S3.p1.10.m10.2a"><mrow id="Ch0.S3.p1.10.m10.2.3.2" xref="Ch0.S3.p1.10.m10.2.3.1.cmml"><mo id="Ch0.S3.p1.10.m10.2.3.2.1" stretchy="false" xref="Ch0.S3.p1.10.m10.2.3.1.cmml">⟨</mo><mo id="Ch0.S3.p1.10.m10.1.1" lspace="0em" rspace="0em" xref="Ch0.S3.p1.10.m10.1.1.cmml">⋅</mo><mo id="Ch0.S3.p1.10.m10.2.3.2.2" rspace="0em" xref="Ch0.S3.p1.10.m10.2.3.1.cmml">,</mo><mo id="Ch0.S3.p1.10.m10.2.2" lspace="0em" rspace="0em" xref="Ch0.S3.p1.10.m10.2.2.cmml">⋅</mo><mo id="Ch0.S3.p1.10.m10.2.3.2.3" stretchy="false" xref="Ch0.S3.p1.10.m10.2.3.1.cmml">⟩</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Ch0.S3.p1.10.m10.2b"><list id="Ch0.S3.p1.10.m10.2.3.1.cmml" xref="Ch0.S3.p1.10.m10.2.3.2"><ci id="Ch0.S3.p1.10.m10.1.1.cmml" xref="Ch0.S3.p1.10.m10.1.1">⋅</ci><ci id="Ch0.S3.p1.10.m10.2.2.cmml" xref="Ch0.S3.p1.10.m10.2.2">⋅</ci></list></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Ch0.S3.p1.10.m10.2c">\langle\cdot,\cdot\rangle</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Ch0.S3.p1.10.m10.2d">⟨ ⋅ , ⋅ ⟩</annotation></semantics></math>. Then <math alttext="A^{*}\in\operatorname{End}(V^{*})" class="ltx_Math" display="inline" id="Ch0.S3.p1.11.m11.2"><semantics id="Ch0.S3.p1.11.m11.2a"><mrow id="Ch0.S3.p1.11.m11.2.2" xref="Ch0.S3.p1.11.m11.2.2.cmml"><msup id="Ch0.S3.p1.11.m11.2.2.3" xref="Ch0.S3.p1.11.m11.2.2.3.cmml"><mi id="Ch0.S3.p1.11.m11.2.2.3.2" xref="Ch0.S3.p1.11.m11.2.2.3.2.cmml">A</mi><mo id="Ch0.S3.p1.11.m11.2.2.3.3" xref="Ch0.S3.p1.11.m11.2.2.3.3.cmml">∗</mo></msup><mo id="Ch0.S3.p1.11.m11.2.2.2" xref="Ch0.S3.p1.11.m11.2.2.2.cmml">∈</mo><mrow id="Ch0.S3.p1.11.m11.2.2.1.1" xref="Ch0.S3.p1.11.m11.2.2.1.2.cmml"><mi id="Ch0.S3.p1.11.m11.1.1" xref="Ch0.S3.p1.11.m11.1.1.cmml">End</mi><mo id="Ch0.S3.p1.11.m11.2.2.1.1a" xref="Ch0.S3.p1.11.m11.2.2.1.2.cmml">⁡</mo><mrow id="Ch0.S3.p1.11.m11.2.2.1.1.1" xref="Ch0.S3.p1.11.m11.2.2.1.2.cmml"><mo id="Ch0.S3.p1.11.m11.2.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="Ch0.S3.p1.11.m11.2.2.1.2.cmml">(</mo><msup id="Ch0.S3.p1.11.m11.2.2.1.1.1.1" xref="Ch0.S3.p1.11.m11.2.2.1.1.1.1.cmml"><mi id="Ch0.S3.p1.11.m11.2.2.1.1.1.1.2" xref="Ch0.S3.p1.11.m11.2.2.1.1.1.1.2.cmml">V</mi><mo id="Ch0.S3.p1.11.m11.2.2.1.1.1.1.3" xref="Ch0.S3.p1.11.m11.2.2.1.1.1.1.3.cmml">∗</mo></msup><mo id="Ch0.S3.p1.11.m11.2.2.1.1.1.3" stretchy="false" xref="Ch0.S3.p1.11.m11.2.2.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Ch0.S3.p1.11.m11.2b"><apply id="Ch0.S3.p1.11.m11.2.2.cmml" xref="Ch0.S3.p1.11.m11.2.2"><in id="Ch0.S3.p1.11.m11.2.2.2.cmml" xref="Ch0.S3.p1.11.m11.2.2.2"></in><apply id="Ch0.S3.p1.11.m11.2.2.3.cmml" xref="Ch0.S3.p1.11.m11.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.S3.p1.11.m11.2.2.3.1.cmml" xref="Ch0.S3.p1.11.m11.2.2.3">superscript</csymbol><ci id="Ch0.S3.p1.11.m11.2.2.3.2.cmml" xref="Ch0.S3.p1.11.m11.2.2.3.2">𝐴</ci><times id="Ch0.S3.p1.11.m11.2.2.3.3.cmml" xref="Ch0.S3.p1.11.m11.2.2.3.3"></times></apply><apply id="Ch0.S3.p1.11.m11.2.2.1.2.cmml" xref="Ch0.S3.p1.11.m11.2.2.1.1"><ci id="Ch0.S3.p1.11.m11.1.1.cmml" xref="Ch0.S3.p1.11.m11.1.1">End</ci><apply id="Ch0.S3.p1.11.m11.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="Ch0.S3.p1.11.m11.2.2.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.S3.p1.11.m11.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="Ch0.S3.p1.11.m11.2.2.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="Ch0.S3.p1.11.m11.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="Ch0.S3.p1.11.m11.2.2.1.1.1.1.2">𝑉</ci><times id="Ch0.S3.p1.11.m11.2.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="Ch0.S3.p1.11.m11.2.2.1.1.1.1.3"></times></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Ch0.S3.p1.11.m11.2c">A^{*}\in\operatorname{End}(V^{*})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Ch0.S3.p1.11.m11.2d">italic_A start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT ∈ roman_End ( italic_V start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math> is determined by:</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="Ch0.E12"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\langle A^{*}y_{\boldsymbol{b}},x\rangle=(-1)^{{\boldsymbol{a}}\cdot{% \boldsymbol{b}}}\langle y_{\boldsymbol{b}},Ax\rangle,\qquad\forall y_{% \boldsymbol{b}}\in V^{*}_{\boldsymbol{b}},\forall x\in V." class="ltx_Math" display="block" id="Ch0.E12.m1.2"><semantics id="Ch0.E12.m1.2a"><mrow id="Ch0.E12.m1.2.2.1"><mrow id="Ch0.E12.m1.2.2.1.1.2" xref="Ch0.E12.m1.2.2.1.1.3.cmml"><mrow id="Ch0.E12.m1.2.2.1.1.1.1" xref="Ch0.E12.m1.2.2.1.1.1.1.cmml"><mrow id="Ch0.E12.m1.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="Ch0.E12.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="Ch0.E12.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="Ch0.E12.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml">⟨</mo><mrow id="Ch0.E12.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="Ch0.E12.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msup id="Ch0.E12.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="Ch0.E12.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="Ch0.E12.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="Ch0.E12.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">A</mi><mo id="Ch0.E12.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="Ch0.E12.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">∗</mo></msup><mo id="Ch0.E12.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="Ch0.E12.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="Ch0.E12.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="Ch0.E12.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="Ch0.E12.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="Ch0.E12.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">y</mi><mi id="Ch0.E12.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="Ch0.E12.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">𝒃</mi></msub></mrow><mo id="Ch0.E12.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3" xref="Ch0.E12.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml">,</mo><mi id="Ch0.E12.m1.1.1" xref="Ch0.E12.m1.1.1.cmml">x</mi><mo id="Ch0.E12.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.4" stretchy="false" xref="Ch0.E12.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml">⟩</mo></mrow><mo id="Ch0.E12.m1.2.2.1.1.1.1.5" xref="Ch0.E12.m1.2.2.1.1.1.1.5.cmml">=</mo><mrow id="Ch0.E12.m1.2.2.1.1.1.1.4" xref="Ch0.E12.m1.2.2.1.1.1.1.4.cmml"><msup id="Ch0.E12.m1.2.2.1.1.1.1.2.1" xref="Ch0.E12.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.cmml"><mrow id="Ch0.E12.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1" xref="Ch0.E12.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="Ch0.E12.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="Ch0.E12.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="Ch0.E12.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1.1" xref="Ch0.E12.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="Ch0.E12.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1.1a" xref="Ch0.E12.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1.1.cmml">−</mo><mn id="Ch0.E12.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2" xref="Ch0.E12.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.cmml">1</mn></mrow><mo id="Ch0.E12.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1.3" stretchy="false" xref="Ch0.E12.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="Ch0.E12.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.3" xref="Ch0.E12.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.3.cmml"><mi id="Ch0.E12.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.3.2" xref="Ch0.E12.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.3.2.cmml">𝒂</mi><mo id="Ch0.E12.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.3.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="Ch0.E12.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.3.1.cmml">⋅</mo><mi id="Ch0.E12.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.3.3" xref="Ch0.E12.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.3.3.cmml">𝒃</mi></mrow></msup><mo id="Ch0.E12.m1.2.2.1.1.1.1.4.4" xref="Ch0.E12.m1.2.2.1.1.1.1.4.4.cmml">⁢</mo><mrow id="Ch0.E12.m1.2.2.1.1.1.1.4.3.2" xref="Ch0.E12.m1.2.2.1.1.1.1.4.3.3.cmml"><mo id="Ch0.E12.m1.2.2.1.1.1.1.4.3.2.3" stretchy="false" xref="Ch0.E12.m1.2.2.1.1.1.1.4.3.3.cmml">⟨</mo><msub id="Ch0.E12.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.1.1" xref="Ch0.E12.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.1.1.cmml"><mi id="Ch0.E12.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.1.1.2" xref="Ch0.E12.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.1.1.2.cmml">y</mi><mi id="Ch0.E12.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.1.1.3" xref="Ch0.E12.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.1.1.3.cmml">𝒃</mi></msub><mo id="Ch0.E12.m1.2.2.1.1.1.1.4.3.2.4" xref="Ch0.E12.m1.2.2.1.1.1.1.4.3.3.cmml">,</mo><mrow id="Ch0.E12.m1.2.2.1.1.1.1.4.3.2.2" xref="Ch0.E12.m1.2.2.1.1.1.1.4.3.2.2.cmml"><mi id="Ch0.E12.m1.2.2.1.1.1.1.4.3.2.2.2" xref="Ch0.E12.m1.2.2.1.1.1.1.4.3.2.2.2.cmml">A</mi><mo id="Ch0.E12.m1.2.2.1.1.1.1.4.3.2.2.1" xref="Ch0.E12.m1.2.2.1.1.1.1.4.3.2.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="Ch0.E12.m1.2.2.1.1.1.1.4.3.2.2.3" xref="Ch0.E12.m1.2.2.1.1.1.1.4.3.2.2.3.cmml">x</mi></mrow><mo id="Ch0.E12.m1.2.2.1.1.1.1.4.3.2.5" stretchy="false" xref="Ch0.E12.m1.2.2.1.1.1.1.4.3.3.cmml">⟩</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="Ch0.E12.m1.2.2.1.1.2.3" rspace="2.167em" xref="Ch0.E12.m1.2.2.1.1.3a.cmml">,</mo><mrow id="Ch0.E12.m1.2.2.1.1.2.2.2" xref="Ch0.E12.m1.2.2.1.1.2.2.3.cmml"><mrow id="Ch0.E12.m1.2.2.1.1.2.2.1.1" xref="Ch0.E12.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.cmml"><mrow id="Ch0.E12.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.2" xref="Ch0.E12.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.2.cmml"><mo id="Ch0.E12.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.2.1" rspace="0.167em" xref="Ch0.E12.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.2.1.cmml">∀</mo><msub id="Ch0.E12.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.2.2" xref="Ch0.E12.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.2.2.cmml"><mi id="Ch0.E12.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.2.2.2" xref="Ch0.E12.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.2.2.2.cmml">y</mi><mi id="Ch0.E12.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.2.2.3" xref="Ch0.E12.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.2.2.3.cmml">𝒃</mi></msub></mrow><mo id="Ch0.E12.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1" xref="Ch0.E12.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.cmml">∈</mo><msubsup id="Ch0.E12.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.3" xref="Ch0.E12.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.3.cmml"><mi id="Ch0.E12.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.3.2.2" xref="Ch0.E12.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.3.2.2.cmml">V</mi><mi id="Ch0.E12.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.3.3" xref="Ch0.E12.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.3.3.cmml">𝒃</mi><mo id="Ch0.E12.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.3.2.3" xref="Ch0.E12.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.3.2.3.cmml">∗</mo></msubsup></mrow><mo id="Ch0.E12.m1.2.2.1.1.2.2.2.3" xref="Ch0.E12.m1.2.2.1.1.2.2.3a.cmml">,</mo><mrow id="Ch0.E12.m1.2.2.1.1.2.2.2.2" xref="Ch0.E12.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.cmml"><mrow id="Ch0.E12.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2" xref="Ch0.E12.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.cmml"><mo id="Ch0.E12.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.1" rspace="0.167em" xref="Ch0.E12.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.1.cmml">∀</mo><mi id="Ch0.E12.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.2" xref="Ch0.E12.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.2.cmml">x</mi></mrow><mo id="Ch0.E12.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.1" xref="Ch0.E12.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.1.cmml">∈</mo><mi id="Ch0.E12.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.3" xref="Ch0.E12.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.3.cmml">V</mi></mrow></mrow></mrow><mo id="Ch0.E12.m1.2.2.1.2" lspace="0em">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Ch0.E12.m1.2b"><apply id="Ch0.E12.m1.2.2.1.1.3.cmml" xref="Ch0.E12.m1.2.2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.E12.m1.2.2.1.1.3a.cmml" xref="Ch0.E12.m1.2.2.1.1.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="Ch0.E12.m1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="Ch0.E12.m1.2.2.1.1.1.1"><eq id="Ch0.E12.m1.2.2.1.1.1.1.5.cmml" xref="Ch0.E12.m1.2.2.1.1.1.1.5"></eq><list id="Ch0.E12.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="Ch0.E12.m1.2.2.1.1.1.1.1.1"><apply id="Ch0.E12.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="Ch0.E12.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1"><times id="Ch0.E12.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="Ch0.E12.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1"></times><apply id="Ch0.E12.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="Ch0.E12.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.E12.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="Ch0.E12.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="Ch0.E12.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="Ch0.E12.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝐴</ci><times id="Ch0.E12.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="Ch0.E12.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.3"></times></apply><apply id="Ch0.E12.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="Ch0.E12.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.E12.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="Ch0.E12.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="Ch0.E12.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="Ch0.E12.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑦</ci><ci id="Ch0.E12.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="Ch0.E12.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3">𝒃</ci></apply></apply><ci id="Ch0.E12.m1.1.1.cmml" xref="Ch0.E12.m1.1.1">𝑥</ci></list><apply id="Ch0.E12.m1.2.2.1.1.1.1.4.cmml" xref="Ch0.E12.m1.2.2.1.1.1.1.4"><times id="Ch0.E12.m1.2.2.1.1.1.1.4.4.cmml" xref="Ch0.E12.m1.2.2.1.1.1.1.4.4"></times><apply id="Ch0.E12.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="Ch0.E12.m1.2.2.1.1.1.1.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.E12.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.2.cmml" xref="Ch0.E12.m1.2.2.1.1.1.1.2.1">superscript</csymbol><apply id="Ch0.E12.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1.1.cmml" xref="Ch0.E12.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1"><minus id="Ch0.E12.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="Ch0.E12.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1"></minus><cn id="Ch0.E12.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="Ch0.E12.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2">1</cn></apply><apply id="Ch0.E12.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.3.cmml" xref="Ch0.E12.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.3"><ci id="Ch0.E12.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.3.1.cmml" xref="Ch0.E12.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.3.1">⋅</ci><ci id="Ch0.E12.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.3.2.cmml" xref="Ch0.E12.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.3.2">𝒂</ci><ci id="Ch0.E12.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.3.3.cmml" xref="Ch0.E12.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.3.3">𝒃</ci></apply></apply><list id="Ch0.E12.m1.2.2.1.1.1.1.4.3.3.cmml" xref="Ch0.E12.m1.2.2.1.1.1.1.4.3.2"><apply id="Ch0.E12.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.1.1.cmml" xref="Ch0.E12.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.E12.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.1.1.1.cmml" xref="Ch0.E12.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.1.1">subscript</csymbol><ci id="Ch0.E12.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.1.1.2.cmml" xref="Ch0.E12.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.1.1.2">𝑦</ci><ci id="Ch0.E12.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.1.1.3.cmml" xref="Ch0.E12.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.1.1.3">𝒃</ci></apply><apply id="Ch0.E12.m1.2.2.1.1.1.1.4.3.2.2.cmml" xref="Ch0.E12.m1.2.2.1.1.1.1.4.3.2.2"><times id="Ch0.E12.m1.2.2.1.1.1.1.4.3.2.2.1.cmml" xref="Ch0.E12.m1.2.2.1.1.1.1.4.3.2.2.1"></times><ci id="Ch0.E12.m1.2.2.1.1.1.1.4.3.2.2.2.cmml" xref="Ch0.E12.m1.2.2.1.1.1.1.4.3.2.2.2">𝐴</ci><ci id="Ch0.E12.m1.2.2.1.1.1.1.4.3.2.2.3.cmml" xref="Ch0.E12.m1.2.2.1.1.1.1.4.3.2.2.3">𝑥</ci></apply></list></apply></apply><apply id="Ch0.E12.m1.2.2.1.1.2.2.3.cmml" xref="Ch0.E12.m1.2.2.1.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.E12.m1.2.2.1.1.2.2.3a.cmml" xref="Ch0.E12.m1.2.2.1.1.2.2.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="Ch0.E12.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.cmml" xref="Ch0.E12.m1.2.2.1.1.2.2.1.1"><in id="Ch0.E12.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.cmml" xref="Ch0.E12.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1"></in><apply id="Ch0.E12.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.2.cmml" xref="Ch0.E12.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.2"><csymbol cd="latexml" id="Ch0.E12.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.2.1.cmml" xref="Ch0.E12.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.2.1">for-all</csymbol><apply id="Ch0.E12.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.2.2.cmml" xref="Ch0.E12.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.E12.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.2.2.1.cmml" xref="Ch0.E12.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="Ch0.E12.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.2.2.2.cmml" xref="Ch0.E12.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.2.2.2">𝑦</ci><ci id="Ch0.E12.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.2.2.3.cmml" xref="Ch0.E12.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.2.2.3">𝒃</ci></apply></apply><apply id="Ch0.E12.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.3.cmml" xref="Ch0.E12.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.E12.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.3.1.cmml" xref="Ch0.E12.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.3">subscript</csymbol><apply id="Ch0.E12.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.3.2.cmml" xref="Ch0.E12.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.E12.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.3.2.1.cmml" xref="Ch0.E12.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="Ch0.E12.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.3.2.2.cmml" xref="Ch0.E12.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.3.2.2">𝑉</ci><times id="Ch0.E12.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.3.2.3.cmml" xref="Ch0.E12.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.3.2.3"></times></apply><ci id="Ch0.E12.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.3.3.cmml" xref="Ch0.E12.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.3.3">𝒃</ci></apply></apply><apply id="Ch0.E12.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="Ch0.E12.m1.2.2.1.1.2.2.2.2"><in id="Ch0.E12.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.1.cmml" xref="Ch0.E12.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.1"></in><apply id="Ch0.E12.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.cmml" xref="Ch0.E12.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2"><csymbol cd="latexml" id="Ch0.E12.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="Ch0.E12.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.1">for-all</csymbol><ci id="Ch0.E12.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="Ch0.E12.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.2">𝑥</ci></apply><ci id="Ch0.E12.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.3.cmml" xref="Ch0.E12.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.3">𝑉</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Ch0.E12.m1.2c">\langle A^{*}y_{\boldsymbol{b}},x\rangle=(-1)^{{\boldsymbol{a}}\cdot{% \boldsymbol{b}}}\langle y_{\boldsymbol{b}},Ax\rangle,\qquad\forall y_{% \boldsymbol{b}}\in V^{*}_{\boldsymbol{b}},\forall x\in V.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Ch0.E12.m1.2d">⟨ italic_A start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT italic_y start_POSTSUBSCRIPT bold_italic_b end_POSTSUBSCRIPT , italic_x ⟩ = ( - 1 ) start_POSTSUPERSCRIPT bold_italic_a ⋅ bold_italic_b end_POSTSUPERSCRIPT ⟨ italic_y start_POSTSUBSCRIPT bold_italic_b end_POSTSUBSCRIPT , italic_A italic_x ⟩ , ∀ italic_y start_POSTSUBSCRIPT bold_italic_b end_POSTSUBSCRIPT ∈ italic_V start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT bold_italic_b end_POSTSUBSCRIPT , ∀ italic_x ∈ italic_V .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(12)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="Ch0.S3.p1.15">Clearly, this is extended by linearity to all elements of <math alttext="\mathfrak{sl}_{p,q,r,s}(n)" class="ltx_Math" display="inline" id="Ch0.S3.p1.12.m1.5"><semantics id="Ch0.S3.p1.12.m1.5a"><mrow id="Ch0.S3.p1.12.m1.5.6" xref="Ch0.S3.p1.12.m1.5.6.cmml"><mi id="Ch0.S3.p1.12.m1.5.6.2" xref="Ch0.S3.p1.12.m1.5.6.2.cmml">𝔰</mi><mo id="Ch0.S3.p1.12.m1.5.6.1" xref="Ch0.S3.p1.12.m1.5.6.1.cmml">⁢</mo><msub id="Ch0.S3.p1.12.m1.5.6.3" xref="Ch0.S3.p1.12.m1.5.6.3.cmml"><mi id="Ch0.S3.p1.12.m1.5.6.3.2" xref="Ch0.S3.p1.12.m1.5.6.3.2.cmml">𝔩</mi><mrow id="Ch0.S3.p1.12.m1.4.4.4.6" xref="Ch0.S3.p1.12.m1.4.4.4.5.cmml"><mi id="Ch0.S3.p1.12.m1.1.1.1.1" xref="Ch0.S3.p1.12.m1.1.1.1.1.cmml">p</mi><mo id="Ch0.S3.p1.12.m1.4.4.4.6.1" xref="Ch0.S3.p1.12.m1.4.4.4.5.cmml">,</mo><mi id="Ch0.S3.p1.12.m1.2.2.2.2" xref="Ch0.S3.p1.12.m1.2.2.2.2.cmml">q</mi><mo id="Ch0.S3.p1.12.m1.4.4.4.6.2" xref="Ch0.S3.p1.12.m1.4.4.4.5.cmml">,</mo><mi id="Ch0.S3.p1.12.m1.3.3.3.3" xref="Ch0.S3.p1.12.m1.3.3.3.3.cmml">r</mi><mo id="Ch0.S3.p1.12.m1.4.4.4.6.3" xref="Ch0.S3.p1.12.m1.4.4.4.5.cmml">,</mo><mi id="Ch0.S3.p1.12.m1.4.4.4.4" xref="Ch0.S3.p1.12.m1.4.4.4.4.cmml">s</mi></mrow></msub><mo id="Ch0.S3.p1.12.m1.5.6.1a" xref="Ch0.S3.p1.12.m1.5.6.1.cmml">⁢</mo><mrow id="Ch0.S3.p1.12.m1.5.6.4.2" xref="Ch0.S3.p1.12.m1.5.6.cmml"><mo id="Ch0.S3.p1.12.m1.5.6.4.2.1" stretchy="false" xref="Ch0.S3.p1.12.m1.5.6.cmml">(</mo><mi id="Ch0.S3.p1.12.m1.5.5" xref="Ch0.S3.p1.12.m1.5.5.cmml">n</mi><mo id="Ch0.S3.p1.12.m1.5.6.4.2.2" stretchy="false" xref="Ch0.S3.p1.12.m1.5.6.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Ch0.S3.p1.12.m1.5b"><apply id="Ch0.S3.p1.12.m1.5.6.cmml" xref="Ch0.S3.p1.12.m1.5.6"><times id="Ch0.S3.p1.12.m1.5.6.1.cmml" xref="Ch0.S3.p1.12.m1.5.6.1"></times><ci id="Ch0.S3.p1.12.m1.5.6.2.cmml" xref="Ch0.S3.p1.12.m1.5.6.2">𝔰</ci><apply id="Ch0.S3.p1.12.m1.5.6.3.cmml" xref="Ch0.S3.p1.12.m1.5.6.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.S3.p1.12.m1.5.6.3.1.cmml" xref="Ch0.S3.p1.12.m1.5.6.3">subscript</csymbol><ci id="Ch0.S3.p1.12.m1.5.6.3.2.cmml" xref="Ch0.S3.p1.12.m1.5.6.3.2">𝔩</ci><list id="Ch0.S3.p1.12.m1.4.4.4.5.cmml" xref="Ch0.S3.p1.12.m1.4.4.4.6"><ci id="Ch0.S3.p1.12.m1.1.1.1.1.cmml" xref="Ch0.S3.p1.12.m1.1.1.1.1">𝑝</ci><ci id="Ch0.S3.p1.12.m1.2.2.2.2.cmml" xref="Ch0.S3.p1.12.m1.2.2.2.2">𝑞</ci><ci id="Ch0.S3.p1.12.m1.3.3.3.3.cmml" xref="Ch0.S3.p1.12.m1.3.3.3.3">𝑟</ci><ci id="Ch0.S3.p1.12.m1.4.4.4.4.cmml" xref="Ch0.S3.p1.12.m1.4.4.4.4">𝑠</ci></list></apply><ci id="Ch0.S3.p1.12.m1.5.5.cmml" xref="Ch0.S3.p1.12.m1.5.5">𝑛</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Ch0.S3.p1.12.m1.5c">\mathfrak{sl}_{p,q,r,s}(n)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Ch0.S3.p1.12.m1.5d">fraktur_s fraktur_l start_POSTSUBSCRIPT italic_p , italic_q , italic_r , italic_s end_POSTSUBSCRIPT ( italic_n )</annotation></semantics></math>. In matrix form, this yields the <math alttext="{\mathbb{Z}}_{2}\times{\mathbb{Z}}_{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="Ch0.S3.p1.13.m2.1"><semantics id="Ch0.S3.p1.13.m2.1a"><mrow id="Ch0.S3.p1.13.m2.1.1" xref="Ch0.S3.p1.13.m2.1.1.cmml"><msub id="Ch0.S3.p1.13.m2.1.1.2" xref="Ch0.S3.p1.13.m2.1.1.2.cmml"><mi id="Ch0.S3.p1.13.m2.1.1.2.2" xref="Ch0.S3.p1.13.m2.1.1.2.2.cmml">ℤ</mi><mn id="Ch0.S3.p1.13.m2.1.1.2.3" xref="Ch0.S3.p1.13.m2.1.1.2.3.cmml">2</mn></msub><mo id="Ch0.S3.p1.13.m2.1.1.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="Ch0.S3.p1.13.m2.1.1.1.cmml">×</mo><msub id="Ch0.S3.p1.13.m2.1.1.3" xref="Ch0.S3.p1.13.m2.1.1.3.cmml"><mi id="Ch0.S3.p1.13.m2.1.1.3.2" xref="Ch0.S3.p1.13.m2.1.1.3.2.cmml">ℤ</mi><mn id="Ch0.S3.p1.13.m2.1.1.3.3" xref="Ch0.S3.p1.13.m2.1.1.3.3.cmml">2</mn></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Ch0.S3.p1.13.m2.1b"><apply id="Ch0.S3.p1.13.m2.1.1.cmml" xref="Ch0.S3.p1.13.m2.1.1"><times id="Ch0.S3.p1.13.m2.1.1.1.cmml" xref="Ch0.S3.p1.13.m2.1.1.1"></times><apply id="Ch0.S3.p1.13.m2.1.1.2.cmml" xref="Ch0.S3.p1.13.m2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.S3.p1.13.m2.1.1.2.1.cmml" xref="Ch0.S3.p1.13.m2.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="Ch0.S3.p1.13.m2.1.1.2.2.cmml" xref="Ch0.S3.p1.13.m2.1.1.2.2">ℤ</ci><cn id="Ch0.S3.p1.13.m2.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="Ch0.S3.p1.13.m2.1.1.2.3">2</cn></apply><apply id="Ch0.S3.p1.13.m2.1.1.3.cmml" xref="Ch0.S3.p1.13.m2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.S3.p1.13.m2.1.1.3.1.cmml" xref="Ch0.S3.p1.13.m2.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="Ch0.S3.p1.13.m2.1.1.3.2.cmml" xref="Ch0.S3.p1.13.m2.1.1.3.2">ℤ</ci><cn id="Ch0.S3.p1.13.m2.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="Ch0.S3.p1.13.m2.1.1.3.3">2</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Ch0.S3.p1.13.m2.1c">{\mathbb{Z}}_{2}\times{\mathbb{Z}}_{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Ch0.S3.p1.13.m2.1d">blackboard_Z start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT × blackboard_Z start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>-graded transpose <math alttext="A^{T}" class="ltx_Math" display="inline" id="Ch0.S3.p1.14.m3.1"><semantics id="Ch0.S3.p1.14.m3.1a"><msup id="Ch0.S3.p1.14.m3.1.1" xref="Ch0.S3.p1.14.m3.1.1.cmml"><mi id="Ch0.S3.p1.14.m3.1.1.2" xref="Ch0.S3.p1.14.m3.1.1.2.cmml">A</mi><mi id="Ch0.S3.p1.14.m3.1.1.3" xref="Ch0.S3.p1.14.m3.1.1.3.cmml">T</mi></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Ch0.S3.p1.14.m3.1b"><apply id="Ch0.S3.p1.14.m3.1.1.cmml" xref="Ch0.S3.p1.14.m3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.S3.p1.14.m3.1.1.1.cmml" xref="Ch0.S3.p1.14.m3.1.1">superscript</csymbol><ci id="Ch0.S3.p1.14.m3.1.1.2.cmml" xref="Ch0.S3.p1.14.m3.1.1.2">𝐴</ci><ci id="Ch0.S3.p1.14.m3.1.1.3.cmml" xref="Ch0.S3.p1.14.m3.1.1.3">𝑇</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Ch0.S3.p1.14.m3.1c">A^{T}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Ch0.S3.p1.14.m3.1d">italic_A start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> of <math alttext="A" class="ltx_Math" display="inline" id="Ch0.S3.p1.15.m4.1"><semantics id="Ch0.S3.p1.15.m4.1a"><mi id="Ch0.S3.p1.15.m4.1.1" xref="Ch0.S3.p1.15.m4.1.1.cmml">A</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Ch0.S3.p1.15.m4.1b"><ci id="Ch0.S3.p1.15.m4.1.1.cmml" xref="Ch0.S3.p1.15.m4.1.1">𝐴</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Ch0.S3.p1.15.m4.1c">A</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Ch0.S3.p1.15.m4.1d">italic_A</annotation></semantics></math>:</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="Ch0.E13"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="A=\left(\begin{array}[]{cccc}a_{(0,0)}&a_{(0,1)}&a_{(1,0)}&a_{(1,1)}\\ b_{(0,1)}&b_{(0,0)}&b_{(1,1)}&b_{(1,0)}\\ c_{(1,0)}&c_{(1,1)}&c_{(0,0)}&c_{(0,1)}\\ d_{(1,1)}&d_{(1,0)}&d_{(0,1)}&d_{(0,0)}\end{array}\right),A^{T}=\left(\begin{% array}[]{cccc}a_{(0,0)}^{t}&b_{(0,1)}^{t}&c_{(1,0)}^{t}&d_{(1,1)}^{t}\\ a_{(0,1)}^{t}&b_{(0,0)}^{t}&-c_{(1,1)}^{t}&-d_{(1,0)}^{t}\\ a_{(1,0)}^{t}&-b_{(1,1)}^{t}&c_{(0,0)}^{t}&-d_{(0,1)}^{t}\\ a_{(1,1)}^{t}&-b_{(1,0)}^{t}&-c_{(0,1)}^{t}&d_{(0,0)}^{t}\end{array}\right)," class="ltx_Math" display="block" id="Ch0.E13.m1.65"><semantics id="Ch0.E13.m1.65a"><mrow id="Ch0.E13.m1.65.65.1"><mrow id="Ch0.E13.m1.65.65.1.1.2" xref="Ch0.E13.m1.65.65.1.1.3.cmml"><mrow id="Ch0.E13.m1.65.65.1.1.1.1" xref="Ch0.E13.m1.65.65.1.1.1.1.cmml"><mi id="Ch0.E13.m1.65.65.1.1.1.1.2" xref="Ch0.E13.m1.65.65.1.1.1.1.2.cmml">A</mi><mo id="Ch0.E13.m1.65.65.1.1.1.1.1" xref="Ch0.E13.m1.65.65.1.1.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="Ch0.E13.m1.65.65.1.1.1.1.3.2" xref="Ch0.E13.m1.32.32.cmml"><mo id="Ch0.E13.m1.65.65.1.1.1.1.3.2.1" xref="Ch0.E13.m1.32.32.cmml">(</mo><mtable columnspacing="5pt" displaystyle="true" id="Ch0.E13.m1.32.32" rowspacing="0pt" xref="Ch0.E13.m1.32.32.cmml"><mtr id="Ch0.E13.m1.32.32a" xref="Ch0.E13.m1.32.32.cmml"><mtd id="Ch0.E13.m1.32.32b" xref="Ch0.E13.m1.32.32.cmml"><msub id="Ch0.E13.m1.2.2.2.2.2" xref="Ch0.E13.m1.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="Ch0.E13.m1.2.2.2.2.2.4" xref="Ch0.E13.m1.2.2.2.2.2.4.cmml">a</mi><mrow id="Ch0.E13.m1.2.2.2.2.2.2.2.4" xref="Ch0.E13.m1.2.2.2.2.2.2.2.3.cmml"><mo id="Ch0.E13.m1.2.2.2.2.2.2.2.4.1" stretchy="false" xref="Ch0.E13.m1.2.2.2.2.2.2.2.3.cmml">(</mo><mn id="Ch0.E13.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="Ch0.E13.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">0</mn><mo id="Ch0.E13.m1.2.2.2.2.2.2.2.4.2" xref="Ch0.E13.m1.2.2.2.2.2.2.2.3.cmml">,</mo><mn id="Ch0.E13.m1.2.2.2.2.2.2.2.2" xref="Ch0.E13.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.cmml">0</mn><mo id="Ch0.E13.m1.2.2.2.2.2.2.2.4.3" stretchy="false" xref="Ch0.E13.m1.2.2.2.2.2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></msub></mtd><mtd id="Ch0.E13.m1.32.32c" xref="Ch0.E13.m1.32.32.cmml"><msub id="Ch0.E13.m1.4.4.4.4.2" xref="Ch0.E13.m1.4.4.4.4.2.cmml"><mi id="Ch0.E13.m1.4.4.4.4.2.4" xref="Ch0.E13.m1.4.4.4.4.2.4.cmml">a</mi><mrow id="Ch0.E13.m1.4.4.4.4.2.2.2.4" xref="Ch0.E13.m1.4.4.4.4.2.2.2.3.cmml"><mo id="Ch0.E13.m1.4.4.4.4.2.2.2.4.1" stretchy="false" xref="Ch0.E13.m1.4.4.4.4.2.2.2.3.cmml">(</mo><mn id="Ch0.E13.m1.3.3.3.3.1.1.1.1" xref="Ch0.E13.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.cmml">0</mn><mo id="Ch0.E13.m1.4.4.4.4.2.2.2.4.2" xref="Ch0.E13.m1.4.4.4.4.2.2.2.3.cmml">,</mo><mn id="Ch0.E13.m1.4.4.4.4.2.2.2.2" xref="Ch0.E13.m1.4.4.4.4.2.2.2.2.cmml">1</mn><mo id="Ch0.E13.m1.4.4.4.4.2.2.2.4.3" stretchy="false" xref="Ch0.E13.m1.4.4.4.4.2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></msub></mtd><mtd id="Ch0.E13.m1.32.32d" xref="Ch0.E13.m1.32.32.cmml"><msub id="Ch0.E13.m1.6.6.6.6.2" xref="Ch0.E13.m1.6.6.6.6.2.cmml"><mi id="Ch0.E13.m1.6.6.6.6.2.4" xref="Ch0.E13.m1.6.6.6.6.2.4.cmml">a</mi><mrow id="Ch0.E13.m1.6.6.6.6.2.2.2.4" xref="Ch0.E13.m1.6.6.6.6.2.2.2.3.cmml"><mo id="Ch0.E13.m1.6.6.6.6.2.2.2.4.1" stretchy="false" xref="Ch0.E13.m1.6.6.6.6.2.2.2.3.cmml">(</mo><mn id="Ch0.E13.m1.5.5.5.5.1.1.1.1" xref="Ch0.E13.m1.5.5.5.5.1.1.1.1.cmml">1</mn><mo id="Ch0.E13.m1.6.6.6.6.2.2.2.4.2" xref="Ch0.E13.m1.6.6.6.6.2.2.2.3.cmml">,</mo><mn id="Ch0.E13.m1.6.6.6.6.2.2.2.2" xref="Ch0.E13.m1.6.6.6.6.2.2.2.2.cmml">0</mn><mo id="Ch0.E13.m1.6.6.6.6.2.2.2.4.3" stretchy="false" xref="Ch0.E13.m1.6.6.6.6.2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></msub></mtd><mtd id="Ch0.E13.m1.32.32e" xref="Ch0.E13.m1.32.32.cmml"><msub id="Ch0.E13.m1.8.8.8.8.2" xref="Ch0.E13.m1.8.8.8.8.2.cmml"><mi id="Ch0.E13.m1.8.8.8.8.2.4" xref="Ch0.E13.m1.8.8.8.8.2.4.cmml">a</mi><mrow id="Ch0.E13.m1.8.8.8.8.2.2.2.4" xref="Ch0.E13.m1.8.8.8.8.2.2.2.3.cmml"><mo id="Ch0.E13.m1.8.8.8.8.2.2.2.4.1" stretchy="false" xref="Ch0.E13.m1.8.8.8.8.2.2.2.3.cmml">(</mo><mn id="Ch0.E13.m1.7.7.7.7.1.1.1.1" xref="Ch0.E13.m1.7.7.7.7.1.1.1.1.cmml">1</mn><mo id="Ch0.E13.m1.8.8.8.8.2.2.2.4.2" xref="Ch0.E13.m1.8.8.8.8.2.2.2.3.cmml">,</mo><mn id="Ch0.E13.m1.8.8.8.8.2.2.2.2" xref="Ch0.E13.m1.8.8.8.8.2.2.2.2.cmml">1</mn><mo id="Ch0.E13.m1.8.8.8.8.2.2.2.4.3" stretchy="false" xref="Ch0.E13.m1.8.8.8.8.2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></msub></mtd></mtr><mtr id="Ch0.E13.m1.32.32f" xref="Ch0.E13.m1.32.32.cmml"><mtd id="Ch0.E13.m1.32.32g" xref="Ch0.E13.m1.32.32.cmml"><msub id="Ch0.E13.m1.10.10.10.2.2" xref="Ch0.E13.m1.10.10.10.2.2.cmml"><mi id="Ch0.E13.m1.10.10.10.2.2.4" xref="Ch0.E13.m1.10.10.10.2.2.4.cmml">b</mi><mrow id="Ch0.E13.m1.10.10.10.2.2.2.2.4" xref="Ch0.E13.m1.10.10.10.2.2.2.2.3.cmml"><mo id="Ch0.E13.m1.10.10.10.2.2.2.2.4.1" stretchy="false" xref="Ch0.E13.m1.10.10.10.2.2.2.2.3.cmml">(</mo><mn id="Ch0.E13.m1.9.9.9.1.1.1.1.1" xref="Ch0.E13.m1.9.9.9.1.1.1.1.1.cmml">0</mn><mo id="Ch0.E13.m1.10.10.10.2.2.2.2.4.2" xref="Ch0.E13.m1.10.10.10.2.2.2.2.3.cmml">,</mo><mn id="Ch0.E13.m1.10.10.10.2.2.2.2.2" xref="Ch0.E13.m1.10.10.10.2.2.2.2.2.cmml">1</mn><mo id="Ch0.E13.m1.10.10.10.2.2.2.2.4.3" stretchy="false" xref="Ch0.E13.m1.10.10.10.2.2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></msub></mtd><mtd id="Ch0.E13.m1.32.32h" xref="Ch0.E13.m1.32.32.cmml"><msub id="Ch0.E13.m1.12.12.12.4.2" xref="Ch0.E13.m1.12.12.12.4.2.cmml"><mi id="Ch0.E13.m1.12.12.12.4.2.4" xref="Ch0.E13.m1.12.12.12.4.2.4.cmml">b</mi><mrow id="Ch0.E13.m1.12.12.12.4.2.2.2.4" xref="Ch0.E13.m1.12.12.12.4.2.2.2.3.cmml"><mo id="Ch0.E13.m1.12.12.12.4.2.2.2.4.1" stretchy="false" xref="Ch0.E13.m1.12.12.12.4.2.2.2.3.cmml">(</mo><mn id="Ch0.E13.m1.11.11.11.3.1.1.1.1" xref="Ch0.E13.m1.11.11.11.3.1.1.1.1.cmml">0</mn><mo id="Ch0.E13.m1.12.12.12.4.2.2.2.4.2" xref="Ch0.E13.m1.12.12.12.4.2.2.2.3.cmml">,</mo><mn id="Ch0.E13.m1.12.12.12.4.2.2.2.2" xref="Ch0.E13.m1.12.12.12.4.2.2.2.2.cmml">0</mn><mo id="Ch0.E13.m1.12.12.12.4.2.2.2.4.3" stretchy="false" xref="Ch0.E13.m1.12.12.12.4.2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></msub></mtd><mtd id="Ch0.E13.m1.32.32i" xref="Ch0.E13.m1.32.32.cmml"><msub id="Ch0.E13.m1.14.14.14.6.2" xref="Ch0.E13.m1.14.14.14.6.2.cmml"><mi id="Ch0.E13.m1.14.14.14.6.2.4" xref="Ch0.E13.m1.14.14.14.6.2.4.cmml">b</mi><mrow id="Ch0.E13.m1.14.14.14.6.2.2.2.4" xref="Ch0.E13.m1.14.14.14.6.2.2.2.3.cmml"><mo id="Ch0.E13.m1.14.14.14.6.2.2.2.4.1" stretchy="false" xref="Ch0.E13.m1.14.14.14.6.2.2.2.3.cmml">(</mo><mn id="Ch0.E13.m1.13.13.13.5.1.1.1.1" xref="Ch0.E13.m1.13.13.13.5.1.1.1.1.cmml">1</mn><mo id="Ch0.E13.m1.14.14.14.6.2.2.2.4.2" xref="Ch0.E13.m1.14.14.14.6.2.2.2.3.cmml">,</mo><mn id="Ch0.E13.m1.14.14.14.6.2.2.2.2" xref="Ch0.E13.m1.14.14.14.6.2.2.2.2.cmml">1</mn><mo id="Ch0.E13.m1.14.14.14.6.2.2.2.4.3" stretchy="false" xref="Ch0.E13.m1.14.14.14.6.2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></msub></mtd><mtd id="Ch0.E13.m1.32.32j" xref="Ch0.E13.m1.32.32.cmml"><msub id="Ch0.E13.m1.16.16.16.8.2" xref="Ch0.E13.m1.16.16.16.8.2.cmml"><mi id="Ch0.E13.m1.16.16.16.8.2.4" xref="Ch0.E13.m1.16.16.16.8.2.4.cmml">b</mi><mrow id="Ch0.E13.m1.16.16.16.8.2.2.2.4" xref="Ch0.E13.m1.16.16.16.8.2.2.2.3.cmml"><mo id="Ch0.E13.m1.16.16.16.8.2.2.2.4.1" stretchy="false" xref="Ch0.E13.m1.16.16.16.8.2.2.2.3.cmml">(</mo><mn id="Ch0.E13.m1.15.15.15.7.1.1.1.1" xref="Ch0.E13.m1.15.15.15.7.1.1.1.1.cmml">1</mn><mo id="Ch0.E13.m1.16.16.16.8.2.2.2.4.2" xref="Ch0.E13.m1.16.16.16.8.2.2.2.3.cmml">,</mo><mn id="Ch0.E13.m1.16.16.16.8.2.2.2.2" xref="Ch0.E13.m1.16.16.16.8.2.2.2.2.cmml">0</mn><mo id="Ch0.E13.m1.16.16.16.8.2.2.2.4.3" stretchy="false" xref="Ch0.E13.m1.16.16.16.8.2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></msub></mtd></mtr><mtr id="Ch0.E13.m1.32.32k" xref="Ch0.E13.m1.32.32.cmml"><mtd id="Ch0.E13.m1.32.32l" xref="Ch0.E13.m1.32.32.cmml"><msub id="Ch0.E13.m1.18.18.18.2.2" xref="Ch0.E13.m1.18.18.18.2.2.cmml"><mi id="Ch0.E13.m1.18.18.18.2.2.4" xref="Ch0.E13.m1.18.18.18.2.2.4.cmml">c</mi><mrow id="Ch0.E13.m1.18.18.18.2.2.2.2.4" xref="Ch0.E13.m1.18.18.18.2.2.2.2.3.cmml"><mo id="Ch0.E13.m1.18.18.18.2.2.2.2.4.1" stretchy="false" xref="Ch0.E13.m1.18.18.18.2.2.2.2.3.cmml">(</mo><mn id="Ch0.E13.m1.17.17.17.1.1.1.1.1" xref="Ch0.E13.m1.17.17.17.1.1.1.1.1.cmml">1</mn><mo id="Ch0.E13.m1.18.18.18.2.2.2.2.4.2" xref="Ch0.E13.m1.18.18.18.2.2.2.2.3.cmml">,</mo><mn id="Ch0.E13.m1.18.18.18.2.2.2.2.2" xref="Ch0.E13.m1.18.18.18.2.2.2.2.2.cmml">0</mn><mo id="Ch0.E13.m1.18.18.18.2.2.2.2.4.3" stretchy="false" xref="Ch0.E13.m1.18.18.18.2.2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></msub></mtd><mtd id="Ch0.E13.m1.32.32m" xref="Ch0.E13.m1.32.32.cmml"><msub id="Ch0.E13.m1.20.20.20.4.2" xref="Ch0.E13.m1.20.20.20.4.2.cmml"><mi id="Ch0.E13.m1.20.20.20.4.2.4" xref="Ch0.E13.m1.20.20.20.4.2.4.cmml">c</mi><mrow id="Ch0.E13.m1.20.20.20.4.2.2.2.4" xref="Ch0.E13.m1.20.20.20.4.2.2.2.3.cmml"><mo id="Ch0.E13.m1.20.20.20.4.2.2.2.4.1" stretchy="false" xref="Ch0.E13.m1.20.20.20.4.2.2.2.3.cmml">(</mo><mn id="Ch0.E13.m1.19.19.19.3.1.1.1.1" xref="Ch0.E13.m1.19.19.19.3.1.1.1.1.cmml">1</mn><mo id="Ch0.E13.m1.20.20.20.4.2.2.2.4.2" xref="Ch0.E13.m1.20.20.20.4.2.2.2.3.cmml">,</mo><mn id="Ch0.E13.m1.20.20.20.4.2.2.2.2" xref="Ch0.E13.m1.20.20.20.4.2.2.2.2.cmml">1</mn><mo id="Ch0.E13.m1.20.20.20.4.2.2.2.4.3" stretchy="false" xref="Ch0.E13.m1.20.20.20.4.2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></msub></mtd><mtd id="Ch0.E13.m1.32.32n" xref="Ch0.E13.m1.32.32.cmml"><msub id="Ch0.E13.m1.22.22.22.6.2" xref="Ch0.E13.m1.22.22.22.6.2.cmml"><mi id="Ch0.E13.m1.22.22.22.6.2.4" xref="Ch0.E13.m1.22.22.22.6.2.4.cmml">c</mi><mrow id="Ch0.E13.m1.22.22.22.6.2.2.2.4" xref="Ch0.E13.m1.22.22.22.6.2.2.2.3.cmml"><mo id="Ch0.E13.m1.22.22.22.6.2.2.2.4.1" stretchy="false" xref="Ch0.E13.m1.22.22.22.6.2.2.2.3.cmml">(</mo><mn id="Ch0.E13.m1.21.21.21.5.1.1.1.1" xref="Ch0.E13.m1.21.21.21.5.1.1.1.1.cmml">0</mn><mo id="Ch0.E13.m1.22.22.22.6.2.2.2.4.2" xref="Ch0.E13.m1.22.22.22.6.2.2.2.3.cmml">,</mo><mn id="Ch0.E13.m1.22.22.22.6.2.2.2.2" xref="Ch0.E13.m1.22.22.22.6.2.2.2.2.cmml">0</mn><mo id="Ch0.E13.m1.22.22.22.6.2.2.2.4.3" stretchy="false" xref="Ch0.E13.m1.22.22.22.6.2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></msub></mtd><mtd id="Ch0.E13.m1.32.32o" xref="Ch0.E13.m1.32.32.cmml"><msub id="Ch0.E13.m1.24.24.24.8.2" xref="Ch0.E13.m1.24.24.24.8.2.cmml"><mi id="Ch0.E13.m1.24.24.24.8.2.4" xref="Ch0.E13.m1.24.24.24.8.2.4.cmml">c</mi><mrow id="Ch0.E13.m1.24.24.24.8.2.2.2.4" xref="Ch0.E13.m1.24.24.24.8.2.2.2.3.cmml"><mo id="Ch0.E13.m1.24.24.24.8.2.2.2.4.1" stretchy="false" xref="Ch0.E13.m1.24.24.24.8.2.2.2.3.cmml">(</mo><mn id="Ch0.E13.m1.23.23.23.7.1.1.1.1" xref="Ch0.E13.m1.23.23.23.7.1.1.1.1.cmml">0</mn><mo id="Ch0.E13.m1.24.24.24.8.2.2.2.4.2" xref="Ch0.E13.m1.24.24.24.8.2.2.2.3.cmml">,</mo><mn id="Ch0.E13.m1.24.24.24.8.2.2.2.2" xref="Ch0.E13.m1.24.24.24.8.2.2.2.2.cmml">1</mn><mo id="Ch0.E13.m1.24.24.24.8.2.2.2.4.3" stretchy="false" xref="Ch0.E13.m1.24.24.24.8.2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></msub></mtd></mtr><mtr id="Ch0.E13.m1.32.32p" xref="Ch0.E13.m1.32.32.cmml"><mtd id="Ch0.E13.m1.32.32q" xref="Ch0.E13.m1.32.32.cmml"><msub id="Ch0.E13.m1.26.26.26.2.2" xref="Ch0.E13.m1.26.26.26.2.2.cmml"><mi id="Ch0.E13.m1.26.26.26.2.2.4" xref="Ch0.E13.m1.26.26.26.2.2.4.cmml">d</mi><mrow id="Ch0.E13.m1.26.26.26.2.2.2.2.4" xref="Ch0.E13.m1.26.26.26.2.2.2.2.3.cmml"><mo id="Ch0.E13.m1.26.26.26.2.2.2.2.4.1" stretchy="false" xref="Ch0.E13.m1.26.26.26.2.2.2.2.3.cmml">(</mo><mn id="Ch0.E13.m1.25.25.25.1.1.1.1.1" xref="Ch0.E13.m1.25.25.25.1.1.1.1.1.cmml">1</mn><mo id="Ch0.E13.m1.26.26.26.2.2.2.2.4.2" xref="Ch0.E13.m1.26.26.26.2.2.2.2.3.cmml">,</mo><mn id="Ch0.E13.m1.26.26.26.2.2.2.2.2" xref="Ch0.E13.m1.26.26.26.2.2.2.2.2.cmml">1</mn><mo id="Ch0.E13.m1.26.26.26.2.2.2.2.4.3" stretchy="false" xref="Ch0.E13.m1.26.26.26.2.2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></msub></mtd><mtd id="Ch0.E13.m1.32.32r" xref="Ch0.E13.m1.32.32.cmml"><msub id="Ch0.E13.m1.28.28.28.4.2" xref="Ch0.E13.m1.28.28.28.4.2.cmml"><mi id="Ch0.E13.m1.28.28.28.4.2.4" xref="Ch0.E13.m1.28.28.28.4.2.4.cmml">d</mi><mrow id="Ch0.E13.m1.28.28.28.4.2.2.2.4" xref="Ch0.E13.m1.28.28.28.4.2.2.2.3.cmml"><mo id="Ch0.E13.m1.28.28.28.4.2.2.2.4.1" stretchy="false" xref="Ch0.E13.m1.28.28.28.4.2.2.2.3.cmml">(</mo><mn id="Ch0.E13.m1.27.27.27.3.1.1.1.1" xref="Ch0.E13.m1.27.27.27.3.1.1.1.1.cmml">1</mn><mo id="Ch0.E13.m1.28.28.28.4.2.2.2.4.2" xref="Ch0.E13.m1.28.28.28.4.2.2.2.3.cmml">,</mo><mn id="Ch0.E13.m1.28.28.28.4.2.2.2.2" xref="Ch0.E13.m1.28.28.28.4.2.2.2.2.cmml">0</mn><mo id="Ch0.E13.m1.28.28.28.4.2.2.2.4.3" stretchy="false" xref="Ch0.E13.m1.28.28.28.4.2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></msub></mtd><mtd id="Ch0.E13.m1.32.32s" xref="Ch0.E13.m1.32.32.cmml"><msub id="Ch0.E13.m1.30.30.30.6.2" xref="Ch0.E13.m1.30.30.30.6.2.cmml"><mi id="Ch0.E13.m1.30.30.30.6.2.4" xref="Ch0.E13.m1.30.30.30.6.2.4.cmml">d</mi><mrow id="Ch0.E13.m1.30.30.30.6.2.2.2.4" xref="Ch0.E13.m1.30.30.30.6.2.2.2.3.cmml"><mo id="Ch0.E13.m1.30.30.30.6.2.2.2.4.1" stretchy="false" xref="Ch0.E13.m1.30.30.30.6.2.2.2.3.cmml">(</mo><mn id="Ch0.E13.m1.29.29.29.5.1.1.1.1" xref="Ch0.E13.m1.29.29.29.5.1.1.1.1.cmml">0</mn><mo id="Ch0.E13.m1.30.30.30.6.2.2.2.4.2" xref="Ch0.E13.m1.30.30.30.6.2.2.2.3.cmml">,</mo><mn id="Ch0.E13.m1.30.30.30.6.2.2.2.2" xref="Ch0.E13.m1.30.30.30.6.2.2.2.2.cmml">1</mn><mo id="Ch0.E13.m1.30.30.30.6.2.2.2.4.3" stretchy="false" xref="Ch0.E13.m1.30.30.30.6.2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></msub></mtd><mtd id="Ch0.E13.m1.32.32t" xref="Ch0.E13.m1.32.32.cmml"><msub id="Ch0.E13.m1.32.32.32.8.2" xref="Ch0.E13.m1.32.32.32.8.2.cmml"><mi id="Ch0.E13.m1.32.32.32.8.2.4" xref="Ch0.E13.m1.32.32.32.8.2.4.cmml">d</mi><mrow id="Ch0.E13.m1.32.32.32.8.2.2.2.4" xref="Ch0.E13.m1.32.32.32.8.2.2.2.3.cmml"><mo id="Ch0.E13.m1.32.32.32.8.2.2.2.4.1" stretchy="false" xref="Ch0.E13.m1.32.32.32.8.2.2.2.3.cmml">(</mo><mn id="Ch0.E13.m1.31.31.31.7.1.1.1.1" xref="Ch0.E13.m1.31.31.31.7.1.1.1.1.cmml">0</mn><mo id="Ch0.E13.m1.32.32.32.8.2.2.2.4.2" xref="Ch0.E13.m1.32.32.32.8.2.2.2.3.cmml">,</mo><mn id="Ch0.E13.m1.32.32.32.8.2.2.2.2" xref="Ch0.E13.m1.32.32.32.8.2.2.2.2.cmml">0</mn><mo id="Ch0.E13.m1.32.32.32.8.2.2.2.4.3" stretchy="false" xref="Ch0.E13.m1.32.32.32.8.2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></msub></mtd></mtr></mtable><mo id="Ch0.E13.m1.65.65.1.1.1.1.3.2.2" xref="Ch0.E13.m1.32.32.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="Ch0.E13.m1.65.65.1.1.2.3" xref="Ch0.E13.m1.65.65.1.1.3a.cmml">,</mo><mrow id="Ch0.E13.m1.65.65.1.1.2.2" xref="Ch0.E13.m1.65.65.1.1.2.2.cmml"><msup id="Ch0.E13.m1.65.65.1.1.2.2.2" xref="Ch0.E13.m1.65.65.1.1.2.2.2.cmml"><mi id="Ch0.E13.m1.65.65.1.1.2.2.2.2" xref="Ch0.E13.m1.65.65.1.1.2.2.2.2.cmml">A</mi><mi id="Ch0.E13.m1.65.65.1.1.2.2.2.3" xref="Ch0.E13.m1.65.65.1.1.2.2.2.3.cmml">T</mi></msup><mo id="Ch0.E13.m1.65.65.1.1.2.2.1" xref="Ch0.E13.m1.65.65.1.1.2.2.1.cmml">=</mo><mrow id="Ch0.E13.m1.65.65.1.1.2.2.3.2" xref="Ch0.E13.m1.64.64.cmml"><mo id="Ch0.E13.m1.65.65.1.1.2.2.3.2.1" xref="Ch0.E13.m1.64.64.cmml">(</mo><mtable columnspacing="5pt" displaystyle="true" id="Ch0.E13.m1.64.64" rowspacing="0pt" xref="Ch0.E13.m1.64.64.cmml"><mtr id="Ch0.E13.m1.64.64a" xref="Ch0.E13.m1.64.64.cmml"><mtd id="Ch0.E13.m1.64.64b" xref="Ch0.E13.m1.64.64.cmml"><msubsup id="Ch0.E13.m1.34.34.2.2.2" xref="Ch0.E13.m1.34.34.2.2.2.cmml"><mi id="Ch0.E13.m1.34.34.2.2.2.4.2" xref="Ch0.E13.m1.34.34.2.2.2.4.2.cmml">a</mi><mrow id="Ch0.E13.m1.34.34.2.2.2.2.2.4" xref="Ch0.E13.m1.34.34.2.2.2.2.2.3.cmml"><mo id="Ch0.E13.m1.34.34.2.2.2.2.2.4.1" stretchy="false" xref="Ch0.E13.m1.34.34.2.2.2.2.2.3.cmml">(</mo><mn id="Ch0.E13.m1.33.33.1.1.1.1.1.1" xref="Ch0.E13.m1.33.33.1.1.1.1.1.1.cmml">0</mn><mo id="Ch0.E13.m1.34.34.2.2.2.2.2.4.2" xref="Ch0.E13.m1.34.34.2.2.2.2.2.3.cmml">,</mo><mn id="Ch0.E13.m1.34.34.2.2.2.2.2.2" xref="Ch0.E13.m1.34.34.2.2.2.2.2.2.cmml">0</mn><mo id="Ch0.E13.m1.34.34.2.2.2.2.2.4.3" stretchy="false" xref="Ch0.E13.m1.34.34.2.2.2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow><mi id="Ch0.E13.m1.34.34.2.2.2.5" xref="Ch0.E13.m1.34.34.2.2.2.5.cmml">t</mi></msubsup></mtd><mtd id="Ch0.E13.m1.64.64c" xref="Ch0.E13.m1.64.64.cmml"><msubsup id="Ch0.E13.m1.36.36.4.4.2" xref="Ch0.E13.m1.36.36.4.4.2.cmml"><mi id="Ch0.E13.m1.36.36.4.4.2.4.2" xref="Ch0.E13.m1.36.36.4.4.2.4.2.cmml">b</mi><mrow id="Ch0.E13.m1.36.36.4.4.2.2.2.4" xref="Ch0.E13.m1.36.36.4.4.2.2.2.3.cmml"><mo id="Ch0.E13.m1.36.36.4.4.2.2.2.4.1" stretchy="false" xref="Ch0.E13.m1.36.36.4.4.2.2.2.3.cmml">(</mo><mn id="Ch0.E13.m1.35.35.3.3.1.1.1.1" xref="Ch0.E13.m1.35.35.3.3.1.1.1.1.cmml">0</mn><mo id="Ch0.E13.m1.36.36.4.4.2.2.2.4.2" xref="Ch0.E13.m1.36.36.4.4.2.2.2.3.cmml">,</mo><mn id="Ch0.E13.m1.36.36.4.4.2.2.2.2" xref="Ch0.E13.m1.36.36.4.4.2.2.2.2.cmml">1</mn><mo id="Ch0.E13.m1.36.36.4.4.2.2.2.4.3" stretchy="false" xref="Ch0.E13.m1.36.36.4.4.2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow><mi id="Ch0.E13.m1.36.36.4.4.2.5" xref="Ch0.E13.m1.36.36.4.4.2.5.cmml">t</mi></msubsup></mtd><mtd id="Ch0.E13.m1.64.64d" xref="Ch0.E13.m1.64.64.cmml"><msubsup id="Ch0.E13.m1.38.38.6.6.2" xref="Ch0.E13.m1.38.38.6.6.2.cmml"><mi id="Ch0.E13.m1.38.38.6.6.2.4.2" xref="Ch0.E13.m1.38.38.6.6.2.4.2.cmml">c</mi><mrow id="Ch0.E13.m1.38.38.6.6.2.2.2.4" xref="Ch0.E13.m1.38.38.6.6.2.2.2.3.cmml"><mo id="Ch0.E13.m1.38.38.6.6.2.2.2.4.1" stretchy="false" xref="Ch0.E13.m1.38.38.6.6.2.2.2.3.cmml">(</mo><mn id="Ch0.E13.m1.37.37.5.5.1.1.1.1" xref="Ch0.E13.m1.37.37.5.5.1.1.1.1.cmml">1</mn><mo id="Ch0.E13.m1.38.38.6.6.2.2.2.4.2" xref="Ch0.E13.m1.38.38.6.6.2.2.2.3.cmml">,</mo><mn id="Ch0.E13.m1.38.38.6.6.2.2.2.2" xref="Ch0.E13.m1.38.38.6.6.2.2.2.2.cmml">0</mn><mo id="Ch0.E13.m1.38.38.6.6.2.2.2.4.3" stretchy="false" xref="Ch0.E13.m1.38.38.6.6.2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow><mi id="Ch0.E13.m1.38.38.6.6.2.5" xref="Ch0.E13.m1.38.38.6.6.2.5.cmml">t</mi></msubsup></mtd><mtd id="Ch0.E13.m1.64.64e" xref="Ch0.E13.m1.64.64.cmml"><msubsup id="Ch0.E13.m1.40.40.8.8.2" xref="Ch0.E13.m1.40.40.8.8.2.cmml"><mi id="Ch0.E13.m1.40.40.8.8.2.4.2" xref="Ch0.E13.m1.40.40.8.8.2.4.2.cmml">d</mi><mrow id="Ch0.E13.m1.40.40.8.8.2.2.2.4" xref="Ch0.E13.m1.40.40.8.8.2.2.2.3.cmml"><mo id="Ch0.E13.m1.40.40.8.8.2.2.2.4.1" stretchy="false" xref="Ch0.E13.m1.40.40.8.8.2.2.2.3.cmml">(</mo><mn id="Ch0.E13.m1.39.39.7.7.1.1.1.1" xref="Ch0.E13.m1.39.39.7.7.1.1.1.1.cmml">1</mn><mo id="Ch0.E13.m1.40.40.8.8.2.2.2.4.2" xref="Ch0.E13.m1.40.40.8.8.2.2.2.3.cmml">,</mo><mn id="Ch0.E13.m1.40.40.8.8.2.2.2.2" xref="Ch0.E13.m1.40.40.8.8.2.2.2.2.cmml">1</mn><mo id="Ch0.E13.m1.40.40.8.8.2.2.2.4.3" stretchy="false" xref="Ch0.E13.m1.40.40.8.8.2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow><mi id="Ch0.E13.m1.40.40.8.8.2.5" xref="Ch0.E13.m1.40.40.8.8.2.5.cmml">t</mi></msubsup></mtd></mtr><mtr id="Ch0.E13.m1.64.64f" xref="Ch0.E13.m1.64.64.cmml"><mtd id="Ch0.E13.m1.64.64g" xref="Ch0.E13.m1.64.64.cmml"><msubsup id="Ch0.E13.m1.42.42.10.2.2" xref="Ch0.E13.m1.42.42.10.2.2.cmml"><mi id="Ch0.E13.m1.42.42.10.2.2.4.2" xref="Ch0.E13.m1.42.42.10.2.2.4.2.cmml">a</mi><mrow id="Ch0.E13.m1.42.42.10.2.2.2.2.4" xref="Ch0.E13.m1.42.42.10.2.2.2.2.3.cmml"><mo id="Ch0.E13.m1.42.42.10.2.2.2.2.4.1" stretchy="false" xref="Ch0.E13.m1.42.42.10.2.2.2.2.3.cmml">(</mo><mn id="Ch0.E13.m1.41.41.9.1.1.1.1.1" xref="Ch0.E13.m1.41.41.9.1.1.1.1.1.cmml">0</mn><mo id="Ch0.E13.m1.42.42.10.2.2.2.2.4.2" xref="Ch0.E13.m1.42.42.10.2.2.2.2.3.cmml">,</mo><mn id="Ch0.E13.m1.42.42.10.2.2.2.2.2" xref="Ch0.E13.m1.42.42.10.2.2.2.2.2.cmml">1</mn><mo id="Ch0.E13.m1.42.42.10.2.2.2.2.4.3" stretchy="false" xref="Ch0.E13.m1.42.42.10.2.2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow><mi id="Ch0.E13.m1.42.42.10.2.2.5" xref="Ch0.E13.m1.42.42.10.2.2.5.cmml">t</mi></msubsup></mtd><mtd id="Ch0.E13.m1.64.64h" xref="Ch0.E13.m1.64.64.cmml"><msubsup id="Ch0.E13.m1.44.44.12.4.2" xref="Ch0.E13.m1.44.44.12.4.2.cmml"><mi id="Ch0.E13.m1.44.44.12.4.2.4.2" xref="Ch0.E13.m1.44.44.12.4.2.4.2.cmml">b</mi><mrow id="Ch0.E13.m1.44.44.12.4.2.2.2.4" xref="Ch0.E13.m1.44.44.12.4.2.2.2.3.cmml"><mo id="Ch0.E13.m1.44.44.12.4.2.2.2.4.1" stretchy="false" xref="Ch0.E13.m1.44.44.12.4.2.2.2.3.cmml">(</mo><mn id="Ch0.E13.m1.43.43.11.3.1.1.1.1" xref="Ch0.E13.m1.43.43.11.3.1.1.1.1.cmml">0</mn><mo id="Ch0.E13.m1.44.44.12.4.2.2.2.4.2" xref="Ch0.E13.m1.44.44.12.4.2.2.2.3.cmml">,</mo><mn id="Ch0.E13.m1.44.44.12.4.2.2.2.2" xref="Ch0.E13.m1.44.44.12.4.2.2.2.2.cmml">0</mn><mo id="Ch0.E13.m1.44.44.12.4.2.2.2.4.3" stretchy="false" xref="Ch0.E13.m1.44.44.12.4.2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow><mi id="Ch0.E13.m1.44.44.12.4.2.5" xref="Ch0.E13.m1.44.44.12.4.2.5.cmml">t</mi></msubsup></mtd><mtd id="Ch0.E13.m1.64.64i" xref="Ch0.E13.m1.64.64.cmml"><mrow id="Ch0.E13.m1.46.46.14.6.2" xref="Ch0.E13.m1.46.46.14.6.2.cmml"><mo id="Ch0.E13.m1.46.46.14.6.2a" xref="Ch0.E13.m1.46.46.14.6.2.cmml">−</mo><msubsup id="Ch0.E13.m1.46.46.14.6.2.4" xref="Ch0.E13.m1.46.46.14.6.2.4.cmml"><mi id="Ch0.E13.m1.46.46.14.6.2.4.2.2" xref="Ch0.E13.m1.46.46.14.6.2.4.2.2.cmml">c</mi><mrow id="Ch0.E13.m1.46.46.14.6.2.2.2.4" xref="Ch0.E13.m1.46.46.14.6.2.2.2.3.cmml"><mo id="Ch0.E13.m1.46.46.14.6.2.2.2.4.1" stretchy="false" xref="Ch0.E13.m1.46.46.14.6.2.2.2.3.cmml">(</mo><mn id="Ch0.E13.m1.45.45.13.5.1.1.1.1" xref="Ch0.E13.m1.45.45.13.5.1.1.1.1.cmml">1</mn><mo id="Ch0.E13.m1.46.46.14.6.2.2.2.4.2" xref="Ch0.E13.m1.46.46.14.6.2.2.2.3.cmml">,</mo><mn id="Ch0.E13.m1.46.46.14.6.2.2.2.2" xref="Ch0.E13.m1.46.46.14.6.2.2.2.2.cmml">1</mn><mo id="Ch0.E13.m1.46.46.14.6.2.2.2.4.3" stretchy="false" xref="Ch0.E13.m1.46.46.14.6.2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow><mi id="Ch0.E13.m1.46.46.14.6.2.4.3" xref="Ch0.E13.m1.46.46.14.6.2.4.3.cmml">t</mi></msubsup></mrow></mtd><mtd id="Ch0.E13.m1.64.64j" xref="Ch0.E13.m1.64.64.cmml"><mrow id="Ch0.E13.m1.48.48.16.8.2" xref="Ch0.E13.m1.48.48.16.8.2.cmml"><mo id="Ch0.E13.m1.48.48.16.8.2a" xref="Ch0.E13.m1.48.48.16.8.2.cmml">−</mo><msubsup id="Ch0.E13.m1.48.48.16.8.2.4" xref="Ch0.E13.m1.48.48.16.8.2.4.cmml"><mi id="Ch0.E13.m1.48.48.16.8.2.4.2.2" xref="Ch0.E13.m1.48.48.16.8.2.4.2.2.cmml">d</mi><mrow id="Ch0.E13.m1.48.48.16.8.2.2.2.4" xref="Ch0.E13.m1.48.48.16.8.2.2.2.3.cmml"><mo id="Ch0.E13.m1.48.48.16.8.2.2.2.4.1" stretchy="false" xref="Ch0.E13.m1.48.48.16.8.2.2.2.3.cmml">(</mo><mn id="Ch0.E13.m1.47.47.15.7.1.1.1.1" xref="Ch0.E13.m1.47.47.15.7.1.1.1.1.cmml">1</mn><mo id="Ch0.E13.m1.48.48.16.8.2.2.2.4.2" xref="Ch0.E13.m1.48.48.16.8.2.2.2.3.cmml">,</mo><mn id="Ch0.E13.m1.48.48.16.8.2.2.2.2" xref="Ch0.E13.m1.48.48.16.8.2.2.2.2.cmml">0</mn><mo id="Ch0.E13.m1.48.48.16.8.2.2.2.4.3" stretchy="false" xref="Ch0.E13.m1.48.48.16.8.2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow><mi id="Ch0.E13.m1.48.48.16.8.2.4.3" xref="Ch0.E13.m1.48.48.16.8.2.4.3.cmml">t</mi></msubsup></mrow></mtd></mtr><mtr id="Ch0.E13.m1.64.64k" xref="Ch0.E13.m1.64.64.cmml"><mtd id="Ch0.E13.m1.64.64l" xref="Ch0.E13.m1.64.64.cmml"><msubsup id="Ch0.E13.m1.50.50.18.2.2" xref="Ch0.E13.m1.50.50.18.2.2.cmml"><mi id="Ch0.E13.m1.50.50.18.2.2.4.2" xref="Ch0.E13.m1.50.50.18.2.2.4.2.cmml">a</mi><mrow id="Ch0.E13.m1.50.50.18.2.2.2.2.4" xref="Ch0.E13.m1.50.50.18.2.2.2.2.3.cmml"><mo id="Ch0.E13.m1.50.50.18.2.2.2.2.4.1" stretchy="false" xref="Ch0.E13.m1.50.50.18.2.2.2.2.3.cmml">(</mo><mn id="Ch0.E13.m1.49.49.17.1.1.1.1.1" xref="Ch0.E13.m1.49.49.17.1.1.1.1.1.cmml">1</mn><mo id="Ch0.E13.m1.50.50.18.2.2.2.2.4.2" xref="Ch0.E13.m1.50.50.18.2.2.2.2.3.cmml">,</mo><mn id="Ch0.E13.m1.50.50.18.2.2.2.2.2" xref="Ch0.E13.m1.50.50.18.2.2.2.2.2.cmml">0</mn><mo id="Ch0.E13.m1.50.50.18.2.2.2.2.4.3" stretchy="false" xref="Ch0.E13.m1.50.50.18.2.2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow><mi id="Ch0.E13.m1.50.50.18.2.2.5" xref="Ch0.E13.m1.50.50.18.2.2.5.cmml">t</mi></msubsup></mtd><mtd id="Ch0.E13.m1.64.64m" xref="Ch0.E13.m1.64.64.cmml"><mrow id="Ch0.E13.m1.52.52.20.4.2" xref="Ch0.E13.m1.52.52.20.4.2.cmml"><mo id="Ch0.E13.m1.52.52.20.4.2a" xref="Ch0.E13.m1.52.52.20.4.2.cmml">−</mo><msubsup id="Ch0.E13.m1.52.52.20.4.2.4" xref="Ch0.E13.m1.52.52.20.4.2.4.cmml"><mi id="Ch0.E13.m1.52.52.20.4.2.4.2.2" xref="Ch0.E13.m1.52.52.20.4.2.4.2.2.cmml">b</mi><mrow id="Ch0.E13.m1.52.52.20.4.2.2.2.4" xref="Ch0.E13.m1.52.52.20.4.2.2.2.3.cmml"><mo id="Ch0.E13.m1.52.52.20.4.2.2.2.4.1" stretchy="false" xref="Ch0.E13.m1.52.52.20.4.2.2.2.3.cmml">(</mo><mn id="Ch0.E13.m1.51.51.19.3.1.1.1.1" xref="Ch0.E13.m1.51.51.19.3.1.1.1.1.cmml">1</mn><mo id="Ch0.E13.m1.52.52.20.4.2.2.2.4.2" xref="Ch0.E13.m1.52.52.20.4.2.2.2.3.cmml">,</mo><mn id="Ch0.E13.m1.52.52.20.4.2.2.2.2" xref="Ch0.E13.m1.52.52.20.4.2.2.2.2.cmml">1</mn><mo id="Ch0.E13.m1.52.52.20.4.2.2.2.4.3" stretchy="false" xref="Ch0.E13.m1.52.52.20.4.2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow><mi id="Ch0.E13.m1.52.52.20.4.2.4.3" xref="Ch0.E13.m1.52.52.20.4.2.4.3.cmml">t</mi></msubsup></mrow></mtd><mtd id="Ch0.E13.m1.64.64n" xref="Ch0.E13.m1.64.64.cmml"><msubsup id="Ch0.E13.m1.54.54.22.6.2" xref="Ch0.E13.m1.54.54.22.6.2.cmml"><mi id="Ch0.E13.m1.54.54.22.6.2.4.2" xref="Ch0.E13.m1.54.54.22.6.2.4.2.cmml">c</mi><mrow id="Ch0.E13.m1.54.54.22.6.2.2.2.4" xref="Ch0.E13.m1.54.54.22.6.2.2.2.3.cmml"><mo id="Ch0.E13.m1.54.54.22.6.2.2.2.4.1" stretchy="false" xref="Ch0.E13.m1.54.54.22.6.2.2.2.3.cmml">(</mo><mn id="Ch0.E13.m1.53.53.21.5.1.1.1.1" xref="Ch0.E13.m1.53.53.21.5.1.1.1.1.cmml">0</mn><mo id="Ch0.E13.m1.54.54.22.6.2.2.2.4.2" xref="Ch0.E13.m1.54.54.22.6.2.2.2.3.cmml">,</mo><mn id="Ch0.E13.m1.54.54.22.6.2.2.2.2" xref="Ch0.E13.m1.54.54.22.6.2.2.2.2.cmml">0</mn><mo id="Ch0.E13.m1.54.54.22.6.2.2.2.4.3" stretchy="false" xref="Ch0.E13.m1.54.54.22.6.2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow><mi id="Ch0.E13.m1.54.54.22.6.2.5" xref="Ch0.E13.m1.54.54.22.6.2.5.cmml">t</mi></msubsup></mtd><mtd id="Ch0.E13.m1.64.64o" xref="Ch0.E13.m1.64.64.cmml"><mrow id="Ch0.E13.m1.56.56.24.8.2" xref="Ch0.E13.m1.56.56.24.8.2.cmml"><mo id="Ch0.E13.m1.56.56.24.8.2a" xref="Ch0.E13.m1.56.56.24.8.2.cmml">−</mo><msubsup id="Ch0.E13.m1.56.56.24.8.2.4" xref="Ch0.E13.m1.56.56.24.8.2.4.cmml"><mi id="Ch0.E13.m1.56.56.24.8.2.4.2.2" xref="Ch0.E13.m1.56.56.24.8.2.4.2.2.cmml">d</mi><mrow id="Ch0.E13.m1.56.56.24.8.2.2.2.4" xref="Ch0.E13.m1.56.56.24.8.2.2.2.3.cmml"><mo id="Ch0.E13.m1.56.56.24.8.2.2.2.4.1" stretchy="false" xref="Ch0.E13.m1.56.56.24.8.2.2.2.3.cmml">(</mo><mn id="Ch0.E13.m1.55.55.23.7.1.1.1.1" xref="Ch0.E13.m1.55.55.23.7.1.1.1.1.cmml">0</mn><mo id="Ch0.E13.m1.56.56.24.8.2.2.2.4.2" xref="Ch0.E13.m1.56.56.24.8.2.2.2.3.cmml">,</mo><mn id="Ch0.E13.m1.56.56.24.8.2.2.2.2" xref="Ch0.E13.m1.56.56.24.8.2.2.2.2.cmml">1</mn><mo id="Ch0.E13.m1.56.56.24.8.2.2.2.4.3" stretchy="false" 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xref="Ch0.E13.m1.56.56.24.8.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.E13.m1.56.56.24.8.2.4.1.cmml" xref="Ch0.E13.m1.56.56.24.8.2.4">superscript</csymbol><apply id="Ch0.E13.m1.56.56.24.8.2.4.2.cmml" xref="Ch0.E13.m1.56.56.24.8.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.E13.m1.56.56.24.8.2.4.2.1.cmml" xref="Ch0.E13.m1.56.56.24.8.2.4">subscript</csymbol><ci id="Ch0.E13.m1.56.56.24.8.2.4.2.2.cmml" xref="Ch0.E13.m1.56.56.24.8.2.4.2.2">𝑑</ci><interval closure="open" id="Ch0.E13.m1.56.56.24.8.2.2.2.3.cmml" xref="Ch0.E13.m1.56.56.24.8.2.2.2.4"><cn id="Ch0.E13.m1.55.55.23.7.1.1.1.1.cmml" type="integer" xref="Ch0.E13.m1.55.55.23.7.1.1.1.1">0</cn><cn id="Ch0.E13.m1.56.56.24.8.2.2.2.2.cmml" type="integer" xref="Ch0.E13.m1.56.56.24.8.2.2.2.2">1</cn></interval></apply><ci id="Ch0.E13.m1.56.56.24.8.2.4.3.cmml" xref="Ch0.E13.m1.56.56.24.8.2.4.3">𝑡</ci></apply></apply></matrixrow><matrixrow id="Ch0.E13.m1.64.64d.cmml" xref="Ch0.E13.m1.65.65.1.1.2.2.3.2"><apply id="Ch0.E13.m1.58.58.26.2.2.cmml" xref="Ch0.E13.m1.58.58.26.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.E13.m1.58.58.26.2.2.3.cmml" xref="Ch0.E13.m1.58.58.26.2.2">superscript</csymbol><apply id="Ch0.E13.m1.58.58.26.2.2.4.cmml" xref="Ch0.E13.m1.58.58.26.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.E13.m1.58.58.26.2.2.4.1.cmml" xref="Ch0.E13.m1.58.58.26.2.2">subscript</csymbol><ci id="Ch0.E13.m1.58.58.26.2.2.4.2.cmml" xref="Ch0.E13.m1.58.58.26.2.2.4.2">𝑎</ci><interval closure="open" id="Ch0.E13.m1.58.58.26.2.2.2.2.3.cmml" xref="Ch0.E13.m1.58.58.26.2.2.2.2.4"><cn id="Ch0.E13.m1.57.57.25.1.1.1.1.1.cmml" type="integer" xref="Ch0.E13.m1.57.57.25.1.1.1.1.1">1</cn><cn id="Ch0.E13.m1.58.58.26.2.2.2.2.2.cmml" type="integer" xref="Ch0.E13.m1.58.58.26.2.2.2.2.2">1</cn></interval></apply><ci id="Ch0.E13.m1.58.58.26.2.2.5.cmml" xref="Ch0.E13.m1.58.58.26.2.2.5">𝑡</ci></apply><apply id="Ch0.E13.m1.60.60.28.4.2.cmml" xref="Ch0.E13.m1.60.60.28.4.2"><minus id="Ch0.E13.m1.60.60.28.4.2.3.cmml" xref="Ch0.E13.m1.60.60.28.4.2"></minus><apply id="Ch0.E13.m1.60.60.28.4.2.4.cmml" xref="Ch0.E13.m1.60.60.28.4.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.E13.m1.60.60.28.4.2.4.1.cmml" xref="Ch0.E13.m1.60.60.28.4.2.4">superscript</csymbol><apply id="Ch0.E13.m1.60.60.28.4.2.4.2.cmml" xref="Ch0.E13.m1.60.60.28.4.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.E13.m1.60.60.28.4.2.4.2.1.cmml" xref="Ch0.E13.m1.60.60.28.4.2.4">subscript</csymbol><ci id="Ch0.E13.m1.60.60.28.4.2.4.2.2.cmml" xref="Ch0.E13.m1.60.60.28.4.2.4.2.2">𝑏</ci><interval closure="open" id="Ch0.E13.m1.60.60.28.4.2.2.2.3.cmml" xref="Ch0.E13.m1.60.60.28.4.2.2.2.4"><cn id="Ch0.E13.m1.59.59.27.3.1.1.1.1.cmml" type="integer" xref="Ch0.E13.m1.59.59.27.3.1.1.1.1">1</cn><cn id="Ch0.E13.m1.60.60.28.4.2.2.2.2.cmml" type="integer" xref="Ch0.E13.m1.60.60.28.4.2.2.2.2">0</cn></interval></apply><ci id="Ch0.E13.m1.60.60.28.4.2.4.3.cmml" xref="Ch0.E13.m1.60.60.28.4.2.4.3">𝑡</ci></apply></apply><apply id="Ch0.E13.m1.62.62.30.6.2.cmml" xref="Ch0.E13.m1.62.62.30.6.2"><minus id="Ch0.E13.m1.62.62.30.6.2.3.cmml" xref="Ch0.E13.m1.62.62.30.6.2"></minus><apply id="Ch0.E13.m1.62.62.30.6.2.4.cmml" xref="Ch0.E13.m1.62.62.30.6.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.E13.m1.62.62.30.6.2.4.1.cmml" xref="Ch0.E13.m1.62.62.30.6.2.4">superscript</csymbol><apply id="Ch0.E13.m1.62.62.30.6.2.4.2.cmml" xref="Ch0.E13.m1.62.62.30.6.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.E13.m1.62.62.30.6.2.4.2.1.cmml" xref="Ch0.E13.m1.62.62.30.6.2.4">subscript</csymbol><ci id="Ch0.E13.m1.62.62.30.6.2.4.2.2.cmml" xref="Ch0.E13.m1.62.62.30.6.2.4.2.2">𝑐</ci><interval closure="open" id="Ch0.E13.m1.62.62.30.6.2.2.2.3.cmml" xref="Ch0.E13.m1.62.62.30.6.2.2.2.4"><cn id="Ch0.E13.m1.61.61.29.5.1.1.1.1.cmml" type="integer" xref="Ch0.E13.m1.61.61.29.5.1.1.1.1">0</cn><cn id="Ch0.E13.m1.62.62.30.6.2.2.2.2.cmml" type="integer" xref="Ch0.E13.m1.62.62.30.6.2.2.2.2">1</cn></interval></apply><ci id="Ch0.E13.m1.62.62.30.6.2.4.3.cmml" xref="Ch0.E13.m1.62.62.30.6.2.4.3">𝑡</ci></apply></apply><apply id="Ch0.E13.m1.64.64.32.8.2.cmml" xref="Ch0.E13.m1.64.64.32.8.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.E13.m1.64.64.32.8.2.3.cmml" xref="Ch0.E13.m1.64.64.32.8.2">superscript</csymbol><apply id="Ch0.E13.m1.64.64.32.8.2.4.cmml" xref="Ch0.E13.m1.64.64.32.8.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.E13.m1.64.64.32.8.2.4.1.cmml" xref="Ch0.E13.m1.64.64.32.8.2">subscript</csymbol><ci id="Ch0.E13.m1.64.64.32.8.2.4.2.cmml" xref="Ch0.E13.m1.64.64.32.8.2.4.2">𝑑</ci><interval closure="open" id="Ch0.E13.m1.64.64.32.8.2.2.2.3.cmml" xref="Ch0.E13.m1.64.64.32.8.2.2.2.4"><cn id="Ch0.E13.m1.63.63.31.7.1.1.1.1.cmml" type="integer" xref="Ch0.E13.m1.63.63.31.7.1.1.1.1">0</cn><cn id="Ch0.E13.m1.64.64.32.8.2.2.2.2.cmml" type="integer" xref="Ch0.E13.m1.64.64.32.8.2.2.2.2">0</cn></interval></apply><ci id="Ch0.E13.m1.64.64.32.8.2.5.cmml" xref="Ch0.E13.m1.64.64.32.8.2.5">𝑡</ci></apply></matrixrow></matrix></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Ch0.E13.m1.65c">A=\left(\begin{array}[]{cccc}a_{(0,0)}&a_{(0,1)}&a_{(1,0)}&a_{(1,1)}\\ b_{(0,1)}&b_{(0,0)}&b_{(1,1)}&b_{(1,0)}\\ c_{(1,0)}&c_{(1,1)}&c_{(0,0)}&c_{(0,1)}\\ d_{(1,1)}&d_{(1,0)}&d_{(0,1)}&d_{(0,0)}\end{array}\right),A^{T}=\left(\begin{% array}[]{cccc}a_{(0,0)}^{t}&b_{(0,1)}^{t}&c_{(1,0)}^{t}&d_{(1,1)}^{t}\\ a_{(0,1)}^{t}&b_{(0,0)}^{t}&-c_{(1,1)}^{t}&-d_{(1,0)}^{t}\\ a_{(1,0)}^{t}&-b_{(1,1)}^{t}&c_{(0,0)}^{t}&-d_{(0,1)}^{t}\\ a_{(1,1)}^{t}&-b_{(1,0)}^{t}&-c_{(0,1)}^{t}&d_{(0,0)}^{t}\end{array}\right),</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Ch0.E13.m1.65d">italic_A = ( start_ARRAY start_ROW start_CELL italic_a start_POSTSUBSCRIPT ( 0 , 0 ) end_POSTSUBSCRIPT end_CELL start_CELL italic_a start_POSTSUBSCRIPT ( 0 , 1 ) end_POSTSUBSCRIPT end_CELL start_CELL italic_a start_POSTSUBSCRIPT ( 1 , 0 ) end_POSTSUBSCRIPT end_CELL start_CELL italic_a start_POSTSUBSCRIPT ( 1 , 1 ) end_POSTSUBSCRIPT end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL italic_b start_POSTSUBSCRIPT ( 0 , 1 ) end_POSTSUBSCRIPT end_CELL start_CELL italic_b start_POSTSUBSCRIPT ( 0 , 0 ) end_POSTSUBSCRIPT end_CELL start_CELL italic_b start_POSTSUBSCRIPT ( 1 , 1 ) end_POSTSUBSCRIPT end_CELL start_CELL italic_b start_POSTSUBSCRIPT ( 1 , 0 ) end_POSTSUBSCRIPT end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL italic_c start_POSTSUBSCRIPT ( 1 , 0 ) end_POSTSUBSCRIPT end_CELL start_CELL italic_c start_POSTSUBSCRIPT ( 1 , 1 ) end_POSTSUBSCRIPT end_CELL start_CELL italic_c start_POSTSUBSCRIPT ( 0 , 0 ) end_POSTSUBSCRIPT end_CELL start_CELL italic_c start_POSTSUBSCRIPT ( 0 , 1 ) end_POSTSUBSCRIPT end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL italic_d start_POSTSUBSCRIPT ( 1 , 1 ) end_POSTSUBSCRIPT end_CELL start_CELL italic_d start_POSTSUBSCRIPT ( 1 , 0 ) end_POSTSUBSCRIPT end_CELL start_CELL italic_d start_POSTSUBSCRIPT ( 0 , 1 ) end_POSTSUBSCRIPT end_CELL start_CELL italic_d start_POSTSUBSCRIPT ( 0 , 0 ) end_POSTSUBSCRIPT end_CELL end_ROW end_ARRAY ) , italic_A start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT = ( start_ARRAY start_ROW start_CELL italic_a start_POSTSUBSCRIPT ( 0 , 0 ) end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_t end_POSTSUPERSCRIPT end_CELL start_CELL italic_b start_POSTSUBSCRIPT ( 0 , 1 ) end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_t end_POSTSUPERSCRIPT end_CELL start_CELL italic_c start_POSTSUBSCRIPT ( 1 , 0 ) end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_t end_POSTSUPERSCRIPT end_CELL start_CELL italic_d start_POSTSUBSCRIPT ( 1 , 1 ) end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_t end_POSTSUPERSCRIPT end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL italic_a start_POSTSUBSCRIPT ( 0 , 1 ) end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_t end_POSTSUPERSCRIPT end_CELL start_CELL italic_b start_POSTSUBSCRIPT ( 0 , 0 ) end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_t end_POSTSUPERSCRIPT end_CELL start_CELL - italic_c start_POSTSUBSCRIPT ( 1 , 1 ) end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_t end_POSTSUPERSCRIPT end_CELL start_CELL - italic_d start_POSTSUBSCRIPT ( 1 , 0 ) end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_t end_POSTSUPERSCRIPT end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL italic_a start_POSTSUBSCRIPT ( 1 , 0 ) end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_t end_POSTSUPERSCRIPT end_CELL start_CELL - italic_b start_POSTSUBSCRIPT ( 1 , 1 ) end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_t end_POSTSUPERSCRIPT end_CELL start_CELL italic_c start_POSTSUBSCRIPT ( 0 , 0 ) end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_t end_POSTSUPERSCRIPT end_CELL start_CELL - italic_d start_POSTSUBSCRIPT ( 0 , 1 ) end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_t end_POSTSUPERSCRIPT end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL italic_a start_POSTSUBSCRIPT ( 1 , 1 ) end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_t end_POSTSUPERSCRIPT end_CELL start_CELL - italic_b start_POSTSUBSCRIPT ( 1 , 0 ) end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_t end_POSTSUPERSCRIPT end_CELL start_CELL - italic_c start_POSTSUBSCRIPT ( 0 , 1 ) end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_t end_POSTSUPERSCRIPT end_CELL start_CELL italic_d start_POSTSUBSCRIPT ( 0 , 0 ) end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_t end_POSTSUPERSCRIPT end_CELL end_ROW end_ARRAY ) ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(13)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="Ch0.S3.p1.17">where <math alttext="a^{t}" class="ltx_Math" display="inline" id="Ch0.S3.p1.16.m1.1"><semantics id="Ch0.S3.p1.16.m1.1a"><msup id="Ch0.S3.p1.16.m1.1.1" xref="Ch0.S3.p1.16.m1.1.1.cmml"><mi id="Ch0.S3.p1.16.m1.1.1.2" xref="Ch0.S3.p1.16.m1.1.1.2.cmml">a</mi><mi id="Ch0.S3.p1.16.m1.1.1.3" xref="Ch0.S3.p1.16.m1.1.1.3.cmml">t</mi></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Ch0.S3.p1.16.m1.1b"><apply id="Ch0.S3.p1.16.m1.1.1.cmml" xref="Ch0.S3.p1.16.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.S3.p1.16.m1.1.1.1.cmml" xref="Ch0.S3.p1.16.m1.1.1">superscript</csymbol><ci id="Ch0.S3.p1.16.m1.1.1.2.cmml" xref="Ch0.S3.p1.16.m1.1.1.2">𝑎</ci><ci id="Ch0.S3.p1.16.m1.1.1.3.cmml" xref="Ch0.S3.p1.16.m1.1.1.3">𝑡</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Ch0.S3.p1.16.m1.1c">a^{t}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Ch0.S3.p1.16.m1.1d">italic_a start_POSTSUPERSCRIPT italic_t end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> denotes the ordinary matrix transpose. It is not difficult to check (case by case, according to the <math alttext="{\mathbb{Z}}_{2}\times{\mathbb{Z}}_{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="Ch0.S3.p1.17.m2.1"><semantics id="Ch0.S3.p1.17.m2.1a"><mrow id="Ch0.S3.p1.17.m2.1.1" xref="Ch0.S3.p1.17.m2.1.1.cmml"><msub id="Ch0.S3.p1.17.m2.1.1.2" xref="Ch0.S3.p1.17.m2.1.1.2.cmml"><mi id="Ch0.S3.p1.17.m2.1.1.2.2" xref="Ch0.S3.p1.17.m2.1.1.2.2.cmml">ℤ</mi><mn id="Ch0.S3.p1.17.m2.1.1.2.3" xref="Ch0.S3.p1.17.m2.1.1.2.3.cmml">2</mn></msub><mo id="Ch0.S3.p1.17.m2.1.1.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="Ch0.S3.p1.17.m2.1.1.1.cmml">×</mo><msub id="Ch0.S3.p1.17.m2.1.1.3" xref="Ch0.S3.p1.17.m2.1.1.3.cmml"><mi id="Ch0.S3.p1.17.m2.1.1.3.2" xref="Ch0.S3.p1.17.m2.1.1.3.2.cmml">ℤ</mi><mn id="Ch0.S3.p1.17.m2.1.1.3.3" xref="Ch0.S3.p1.17.m2.1.1.3.3.cmml">2</mn></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Ch0.S3.p1.17.m2.1b"><apply id="Ch0.S3.p1.17.m2.1.1.cmml" xref="Ch0.S3.p1.17.m2.1.1"><times id="Ch0.S3.p1.17.m2.1.1.1.cmml" xref="Ch0.S3.p1.17.m2.1.1.1"></times><apply id="Ch0.S3.p1.17.m2.1.1.2.cmml" xref="Ch0.S3.p1.17.m2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.S3.p1.17.m2.1.1.2.1.cmml" xref="Ch0.S3.p1.17.m2.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="Ch0.S3.p1.17.m2.1.1.2.2.cmml" xref="Ch0.S3.p1.17.m2.1.1.2.2">ℤ</ci><cn id="Ch0.S3.p1.17.m2.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="Ch0.S3.p1.17.m2.1.1.2.3">2</cn></apply><apply id="Ch0.S3.p1.17.m2.1.1.3.cmml" xref="Ch0.S3.p1.17.m2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.S3.p1.17.m2.1.1.3.1.cmml" xref="Ch0.S3.p1.17.m2.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="Ch0.S3.p1.17.m2.1.1.3.2.cmml" xref="Ch0.S3.p1.17.m2.1.1.3.2">ℤ</ci><cn id="Ch0.S3.p1.17.m2.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="Ch0.S3.p1.17.m2.1.1.3.3">2</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Ch0.S3.p1.17.m2.1c">{\mathbb{Z}}_{2}\times{\mathbb{Z}}_{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Ch0.S3.p1.17.m2.1d">blackboard_Z start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT × blackboard_Z start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>-grading) that the graded transpose of matrices satisfies</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="Ch0.E14"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="(AB)^{T}=(-1)^{{\boldsymbol{a}}\cdot{\boldsymbol{b}}}B^{T}A^{T}," class="ltx_Math" display="block" id="Ch0.E14.m1.1"><semantics id="Ch0.E14.m1.1a"><mrow id="Ch0.E14.m1.1.1.1" xref="Ch0.E14.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="Ch0.E14.m1.1.1.1.1" xref="Ch0.E14.m1.1.1.1.1.cmml"><msup id="Ch0.E14.m1.1.1.1.1.1" xref="Ch0.E14.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="Ch0.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="Ch0.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="Ch0.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="Ch0.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="Ch0.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="Ch0.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="Ch0.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="Ch0.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">A</mi><mo id="Ch0.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="Ch0.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="Ch0.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="Ch0.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">B</mi></mrow><mo id="Ch0.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="Ch0.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mi id="Ch0.E14.m1.1.1.1.1.1.3" xref="Ch0.E14.m1.1.1.1.1.1.3.cmml">T</mi></msup><mo id="Ch0.E14.m1.1.1.1.1.3" xref="Ch0.E14.m1.1.1.1.1.3.cmml">=</mo><mrow id="Ch0.E14.m1.1.1.1.1.2" xref="Ch0.E14.m1.1.1.1.1.2.cmml"><msup id="Ch0.E14.m1.1.1.1.1.2.1" xref="Ch0.E14.m1.1.1.1.1.2.1.cmml"><mrow id="Ch0.E14.m1.1.1.1.1.2.1.1.1" xref="Ch0.E14.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="Ch0.E14.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="Ch0.E14.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="Ch0.E14.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1" xref="Ch0.E14.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="Ch0.E14.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1a" xref="Ch0.E14.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.cmml">−</mo><mn id="Ch0.E14.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2" xref="Ch0.E14.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.cmml">1</mn></mrow><mo id="Ch0.E14.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3" stretchy="false" xref="Ch0.E14.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="Ch0.E14.m1.1.1.1.1.2.1.3" xref="Ch0.E14.m1.1.1.1.1.2.1.3.cmml"><mi id="Ch0.E14.m1.1.1.1.1.2.1.3.2" xref="Ch0.E14.m1.1.1.1.1.2.1.3.2.cmml">𝒂</mi><mo id="Ch0.E14.m1.1.1.1.1.2.1.3.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="Ch0.E14.m1.1.1.1.1.2.1.3.1.cmml">⋅</mo><mi id="Ch0.E14.m1.1.1.1.1.2.1.3.3" xref="Ch0.E14.m1.1.1.1.1.2.1.3.3.cmml">𝒃</mi></mrow></msup><mo id="Ch0.E14.m1.1.1.1.1.2.2" xref="Ch0.E14.m1.1.1.1.1.2.2.cmml">⁢</mo><msup id="Ch0.E14.m1.1.1.1.1.2.3" xref="Ch0.E14.m1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="Ch0.E14.m1.1.1.1.1.2.3.2" xref="Ch0.E14.m1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">B</mi><mi id="Ch0.E14.m1.1.1.1.1.2.3.3" xref="Ch0.E14.m1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">T</mi></msup><mo id="Ch0.E14.m1.1.1.1.1.2.2a" xref="Ch0.E14.m1.1.1.1.1.2.2.cmml">⁢</mo><msup id="Ch0.E14.m1.1.1.1.1.2.4" xref="Ch0.E14.m1.1.1.1.1.2.4.cmml"><mi id="Ch0.E14.m1.1.1.1.1.2.4.2" xref="Ch0.E14.m1.1.1.1.1.2.4.2.cmml">A</mi><mi id="Ch0.E14.m1.1.1.1.1.2.4.3" xref="Ch0.E14.m1.1.1.1.1.2.4.3.cmml">T</mi></msup></mrow></mrow><mo id="Ch0.E14.m1.1.1.1.2" xref="Ch0.E14.m1.1.1.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Ch0.E14.m1.1b"><apply id="Ch0.E14.m1.1.1.1.1.cmml" xref="Ch0.E14.m1.1.1.1"><eq id="Ch0.E14.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="Ch0.E14.m1.1.1.1.1.3"></eq><apply id="Ch0.E14.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="Ch0.E14.m1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.E14.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="Ch0.E14.m1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="Ch0.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="Ch0.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1"><times id="Ch0.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="Ch0.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></times><ci id="Ch0.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="Ch0.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝐴</ci><ci id="Ch0.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="Ch0.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝐵</ci></apply><ci id="Ch0.E14.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="Ch0.E14.m1.1.1.1.1.1.3">𝑇</ci></apply><apply id="Ch0.E14.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="Ch0.E14.m1.1.1.1.1.2"><times id="Ch0.E14.m1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="Ch0.E14.m1.1.1.1.1.2.2"></times><apply id="Ch0.E14.m1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="Ch0.E14.m1.1.1.1.1.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.E14.m1.1.1.1.1.2.1.2.cmml" xref="Ch0.E14.m1.1.1.1.1.2.1">superscript</csymbol><apply id="Ch0.E14.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.cmml" xref="Ch0.E14.m1.1.1.1.1.2.1.1.1"><minus id="Ch0.E14.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="Ch0.E14.m1.1.1.1.1.2.1.1.1"></minus><cn id="Ch0.E14.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="Ch0.E14.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2">1</cn></apply><apply id="Ch0.E14.m1.1.1.1.1.2.1.3.cmml" xref="Ch0.E14.m1.1.1.1.1.2.1.3"><ci id="Ch0.E14.m1.1.1.1.1.2.1.3.1.cmml" xref="Ch0.E14.m1.1.1.1.1.2.1.3.1">⋅</ci><ci id="Ch0.E14.m1.1.1.1.1.2.1.3.2.cmml" xref="Ch0.E14.m1.1.1.1.1.2.1.3.2">𝒂</ci><ci id="Ch0.E14.m1.1.1.1.1.2.1.3.3.cmml" xref="Ch0.E14.m1.1.1.1.1.2.1.3.3">𝒃</ci></apply></apply><apply id="Ch0.E14.m1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="Ch0.E14.m1.1.1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.E14.m1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="Ch0.E14.m1.1.1.1.1.2.3">superscript</csymbol><ci id="Ch0.E14.m1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="Ch0.E14.m1.1.1.1.1.2.3.2">𝐵</ci><ci id="Ch0.E14.m1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="Ch0.E14.m1.1.1.1.1.2.3.3">𝑇</ci></apply><apply id="Ch0.E14.m1.1.1.1.1.2.4.cmml" xref="Ch0.E14.m1.1.1.1.1.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.E14.m1.1.1.1.1.2.4.1.cmml" xref="Ch0.E14.m1.1.1.1.1.2.4">superscript</csymbol><ci id="Ch0.E14.m1.1.1.1.1.2.4.2.cmml" xref="Ch0.E14.m1.1.1.1.1.2.4.2">𝐴</ci><ci id="Ch0.E14.m1.1.1.1.1.2.4.3.cmml" xref="Ch0.E14.m1.1.1.1.1.2.4.3">𝑇</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Ch0.E14.m1.1c">(AB)^{T}=(-1)^{{\boldsymbol{a}}\cdot{\boldsymbol{b}}}B^{T}A^{T},</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Ch0.E14.m1.1d">( italic_A italic_B ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT = ( - 1 ) start_POSTSUPERSCRIPT bold_italic_a ⋅ bold_italic_b end_POSTSUPERSCRIPT italic_B start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT italic_A start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(14)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="Ch0.S3.p1.18">where the sign is determined by (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2408.09274v1#Ch0.E6" title="In 1 Introduction ‣ Matrix structure of classical ℤ₂×ℤ₂ graded Lie algebras"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">6</span></a>).</p> </div> <div class="ltx_para" id="Ch0.S3.p2"> <p class="ltx_p" id="Ch0.S3.p2.2">This notion of graded transpose allows us to determine certain classes of <math alttext="{\mathbb{Z}}_{2}^{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="Ch0.S3.p2.1.m1.1"><semantics id="Ch0.S3.p2.1.m1.1a"><msubsup id="Ch0.S3.p2.1.m1.1.1" xref="Ch0.S3.p2.1.m1.1.1.cmml"><mi id="Ch0.S3.p2.1.m1.1.1.2.2" xref="Ch0.S3.p2.1.m1.1.1.2.2.cmml">ℤ</mi><mn id="Ch0.S3.p2.1.m1.1.1.2.3" xref="Ch0.S3.p2.1.m1.1.1.2.3.cmml">2</mn><mn id="Ch0.S3.p2.1.m1.1.1.3" xref="Ch0.S3.p2.1.m1.1.1.3.cmml">2</mn></msubsup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Ch0.S3.p2.1.m1.1b"><apply id="Ch0.S3.p2.1.m1.1.1.cmml" xref="Ch0.S3.p2.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.S3.p2.1.m1.1.1.1.cmml" xref="Ch0.S3.p2.1.m1.1.1">superscript</csymbol><apply id="Ch0.S3.p2.1.m1.1.1.2.cmml" xref="Ch0.S3.p2.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.S3.p2.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="Ch0.S3.p2.1.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="Ch0.S3.p2.1.m1.1.1.2.2.cmml" xref="Ch0.S3.p2.1.m1.1.1.2.2">ℤ</ci><cn id="Ch0.S3.p2.1.m1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="Ch0.S3.p2.1.m1.1.1.2.3">2</cn></apply><cn id="Ch0.S3.p2.1.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="Ch0.S3.p2.1.m1.1.1.3">2</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Ch0.S3.p2.1.m1.1c">{\mathbb{Z}}_{2}^{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Ch0.S3.p2.1.m1.1d">blackboard_Z start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>-GLA as subalgebras of <math alttext="\mathfrak{sl}_{p,q,r,s}(n)" class="ltx_Math" display="inline" id="Ch0.S3.p2.2.m2.5"><semantics id="Ch0.S3.p2.2.m2.5a"><mrow id="Ch0.S3.p2.2.m2.5.6" xref="Ch0.S3.p2.2.m2.5.6.cmml"><mi id="Ch0.S3.p2.2.m2.5.6.2" xref="Ch0.S3.p2.2.m2.5.6.2.cmml">𝔰</mi><mo id="Ch0.S3.p2.2.m2.5.6.1" xref="Ch0.S3.p2.2.m2.5.6.1.cmml">⁢</mo><msub id="Ch0.S3.p2.2.m2.5.6.3" xref="Ch0.S3.p2.2.m2.5.6.3.cmml"><mi id="Ch0.S3.p2.2.m2.5.6.3.2" xref="Ch0.S3.p2.2.m2.5.6.3.2.cmml">𝔩</mi><mrow id="Ch0.S3.p2.2.m2.4.4.4.6" xref="Ch0.S3.p2.2.m2.4.4.4.5.cmml"><mi id="Ch0.S3.p2.2.m2.1.1.1.1" xref="Ch0.S3.p2.2.m2.1.1.1.1.cmml">p</mi><mo id="Ch0.S3.p2.2.m2.4.4.4.6.1" xref="Ch0.S3.p2.2.m2.4.4.4.5.cmml">,</mo><mi id="Ch0.S3.p2.2.m2.2.2.2.2" xref="Ch0.S3.p2.2.m2.2.2.2.2.cmml">q</mi><mo id="Ch0.S3.p2.2.m2.4.4.4.6.2" xref="Ch0.S3.p2.2.m2.4.4.4.5.cmml">,</mo><mi id="Ch0.S3.p2.2.m2.3.3.3.3" xref="Ch0.S3.p2.2.m2.3.3.3.3.cmml">r</mi><mo id="Ch0.S3.p2.2.m2.4.4.4.6.3" xref="Ch0.S3.p2.2.m2.4.4.4.5.cmml">,</mo><mi id="Ch0.S3.p2.2.m2.4.4.4.4" xref="Ch0.S3.p2.2.m2.4.4.4.4.cmml">s</mi></mrow></msub><mo id="Ch0.S3.p2.2.m2.5.6.1a" xref="Ch0.S3.p2.2.m2.5.6.1.cmml">⁢</mo><mrow id="Ch0.S3.p2.2.m2.5.6.4.2" xref="Ch0.S3.p2.2.m2.5.6.cmml"><mo id="Ch0.S3.p2.2.m2.5.6.4.2.1" stretchy="false" xref="Ch0.S3.p2.2.m2.5.6.cmml">(</mo><mi id="Ch0.S3.p2.2.m2.5.5" xref="Ch0.S3.p2.2.m2.5.5.cmml">n</mi><mo id="Ch0.S3.p2.2.m2.5.6.4.2.2" stretchy="false" xref="Ch0.S3.p2.2.m2.5.6.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Ch0.S3.p2.2.m2.5b"><apply id="Ch0.S3.p2.2.m2.5.6.cmml" xref="Ch0.S3.p2.2.m2.5.6"><times id="Ch0.S3.p2.2.m2.5.6.1.cmml" xref="Ch0.S3.p2.2.m2.5.6.1"></times><ci id="Ch0.S3.p2.2.m2.5.6.2.cmml" xref="Ch0.S3.p2.2.m2.5.6.2">𝔰</ci><apply id="Ch0.S3.p2.2.m2.5.6.3.cmml" xref="Ch0.S3.p2.2.m2.5.6.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.S3.p2.2.m2.5.6.3.1.cmml" xref="Ch0.S3.p2.2.m2.5.6.3">subscript</csymbol><ci id="Ch0.S3.p2.2.m2.5.6.3.2.cmml" xref="Ch0.S3.p2.2.m2.5.6.3.2">𝔩</ci><list id="Ch0.S3.p2.2.m2.4.4.4.5.cmml" xref="Ch0.S3.p2.2.m2.4.4.4.6"><ci id="Ch0.S3.p2.2.m2.1.1.1.1.cmml" xref="Ch0.S3.p2.2.m2.1.1.1.1">𝑝</ci><ci id="Ch0.S3.p2.2.m2.2.2.2.2.cmml" xref="Ch0.S3.p2.2.m2.2.2.2.2">𝑞</ci><ci id="Ch0.S3.p2.2.m2.3.3.3.3.cmml" xref="Ch0.S3.p2.2.m2.3.3.3.3">𝑟</ci><ci id="Ch0.S3.p2.2.m2.4.4.4.4.cmml" xref="Ch0.S3.p2.2.m2.4.4.4.4">𝑠</ci></list></apply><ci id="Ch0.S3.p2.2.m2.5.5.cmml" xref="Ch0.S3.p2.2.m2.5.5">𝑛</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Ch0.S3.p2.2.m2.5c">\mathfrak{sl}_{p,q,r,s}(n)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Ch0.S3.p2.2.m2.5d">fraktur_s fraktur_l start_POSTSUBSCRIPT italic_p , italic_q , italic_r , italic_s end_POSTSUBSCRIPT ( italic_n )</annotation></semantics></math>. Denote</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="Ch0.E15"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\mathfrak{so}_{p,q,r,s}(n)=\{A\in\mathfrak{sl}_{p,q,r,s}(n)\ |\ A^{T}+A=0\}." class="ltx_Math" display="block" id="Ch0.E15.m1.11"><semantics id="Ch0.E15.m1.11a"><mrow id="Ch0.E15.m1.11.11.1" xref="Ch0.E15.m1.11.11.1.1.cmml"><mrow id="Ch0.E15.m1.11.11.1.1" xref="Ch0.E15.m1.11.11.1.1.cmml"><mrow id="Ch0.E15.m1.11.11.1.1.4" xref="Ch0.E15.m1.11.11.1.1.4.cmml"><mi id="Ch0.E15.m1.11.11.1.1.4.2" xref="Ch0.E15.m1.11.11.1.1.4.2.cmml">𝔰</mi><mo id="Ch0.E15.m1.11.11.1.1.4.1" xref="Ch0.E15.m1.11.11.1.1.4.1.cmml">⁢</mo><msub id="Ch0.E15.m1.11.11.1.1.4.3" xref="Ch0.E15.m1.11.11.1.1.4.3.cmml"><mi id="Ch0.E15.m1.11.11.1.1.4.3.2" xref="Ch0.E15.m1.11.11.1.1.4.3.2.cmml">𝔬</mi><mrow id="Ch0.E15.m1.4.4.4.6" xref="Ch0.E15.m1.4.4.4.5.cmml"><mi id="Ch0.E15.m1.1.1.1.1" 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xref="Ch0.E15.m1.11.11.1.1.2.3.cmml"><mo id="Ch0.E15.m1.11.11.1.1.2.2.3" stretchy="false" xref="Ch0.E15.m1.11.11.1.1.2.3.1.cmml">{</mo><mrow id="Ch0.E15.m1.11.11.1.1.1.1.1" xref="Ch0.E15.m1.11.11.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="Ch0.E15.m1.11.11.1.1.1.1.1.2" xref="Ch0.E15.m1.11.11.1.1.1.1.1.2.cmml">A</mi><mo id="Ch0.E15.m1.11.11.1.1.1.1.1.1" xref="Ch0.E15.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.cmml">∈</mo><mrow id="Ch0.E15.m1.11.11.1.1.1.1.1.3" xref="Ch0.E15.m1.11.11.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="Ch0.E15.m1.11.11.1.1.1.1.1.3.2" xref="Ch0.E15.m1.11.11.1.1.1.1.1.3.2.cmml">𝔰</mi><mo id="Ch0.E15.m1.11.11.1.1.1.1.1.3.1" xref="Ch0.E15.m1.11.11.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="Ch0.E15.m1.11.11.1.1.1.1.1.3.3" xref="Ch0.E15.m1.11.11.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="Ch0.E15.m1.11.11.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="Ch0.E15.m1.11.11.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">𝔩</mi><mrow id="Ch0.E15.m1.8.8.4.6" xref="Ch0.E15.m1.8.8.4.5.cmml"><mi id="Ch0.E15.m1.5.5.1.1" xref="Ch0.E15.m1.5.5.1.1.cmml">p</mi><mo id="Ch0.E15.m1.8.8.4.6.1" 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id="Ch0.E15.m1.11.11.1.1.2.2.2" xref="Ch0.E15.m1.11.11.1.1.2.2.2.cmml"><mrow id="Ch0.E15.m1.11.11.1.1.2.2.2.2" xref="Ch0.E15.m1.11.11.1.1.2.2.2.2.cmml"><msup id="Ch0.E15.m1.11.11.1.1.2.2.2.2.2" xref="Ch0.E15.m1.11.11.1.1.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="Ch0.E15.m1.11.11.1.1.2.2.2.2.2.2" xref="Ch0.E15.m1.11.11.1.1.2.2.2.2.2.2.cmml">A</mi><mi id="Ch0.E15.m1.11.11.1.1.2.2.2.2.2.3" xref="Ch0.E15.m1.11.11.1.1.2.2.2.2.2.3.cmml">T</mi></msup><mo id="Ch0.E15.m1.11.11.1.1.2.2.2.2.1" xref="Ch0.E15.m1.11.11.1.1.2.2.2.2.1.cmml">+</mo><mi id="Ch0.E15.m1.11.11.1.1.2.2.2.2.3" xref="Ch0.E15.m1.11.11.1.1.2.2.2.2.3.cmml">A</mi></mrow><mo id="Ch0.E15.m1.11.11.1.1.2.2.2.1" xref="Ch0.E15.m1.11.11.1.1.2.2.2.1.cmml">=</mo><mn id="Ch0.E15.m1.11.11.1.1.2.2.2.3" xref="Ch0.E15.m1.11.11.1.1.2.2.2.3.cmml">0</mn></mrow><mo id="Ch0.E15.m1.11.11.1.1.2.2.5" stretchy="false" xref="Ch0.E15.m1.11.11.1.1.2.3.1.cmml">}</mo></mrow></mrow><mo id="Ch0.E15.m1.11.11.1.2" lspace="0em" 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id="Ch0.E15.m1.4.4.4.4.cmml" xref="Ch0.E15.m1.4.4.4.4">𝑠</ci></list></apply><ci id="Ch0.E15.m1.9.9.cmml" xref="Ch0.E15.m1.9.9">𝑛</ci></apply><apply id="Ch0.E15.m1.11.11.1.1.2.3.cmml" xref="Ch0.E15.m1.11.11.1.1.2.2"><csymbol cd="latexml" id="Ch0.E15.m1.11.11.1.1.2.3.1.cmml" xref="Ch0.E15.m1.11.11.1.1.2.2.3">conditional-set</csymbol><apply id="Ch0.E15.m1.11.11.1.1.1.1.1.cmml" xref="Ch0.E15.m1.11.11.1.1.1.1.1"><in id="Ch0.E15.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="Ch0.E15.m1.11.11.1.1.1.1.1.1"></in><ci id="Ch0.E15.m1.11.11.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="Ch0.E15.m1.11.11.1.1.1.1.1.2">𝐴</ci><apply id="Ch0.E15.m1.11.11.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="Ch0.E15.m1.11.11.1.1.1.1.1.3"><times id="Ch0.E15.m1.11.11.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="Ch0.E15.m1.11.11.1.1.1.1.1.3.1"></times><ci id="Ch0.E15.m1.11.11.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="Ch0.E15.m1.11.11.1.1.1.1.1.3.2">𝔰</ci><apply id="Ch0.E15.m1.11.11.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="Ch0.E15.m1.11.11.1.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.E15.m1.11.11.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="Ch0.E15.m1.11.11.1.1.1.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="Ch0.E15.m1.11.11.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="Ch0.E15.m1.11.11.1.1.1.1.1.3.3.2">𝔩</ci><list id="Ch0.E15.m1.8.8.4.5.cmml" xref="Ch0.E15.m1.8.8.4.6"><ci id="Ch0.E15.m1.5.5.1.1.cmml" xref="Ch0.E15.m1.5.5.1.1">𝑝</ci><ci id="Ch0.E15.m1.6.6.2.2.cmml" xref="Ch0.E15.m1.6.6.2.2">𝑞</ci><ci id="Ch0.E15.m1.7.7.3.3.cmml" xref="Ch0.E15.m1.7.7.3.3">𝑟</ci><ci id="Ch0.E15.m1.8.8.4.4.cmml" xref="Ch0.E15.m1.8.8.4.4">𝑠</ci></list></apply><ci id="Ch0.E15.m1.10.10.cmml" xref="Ch0.E15.m1.10.10">𝑛</ci></apply></apply><apply id="Ch0.E15.m1.11.11.1.1.2.2.2.cmml" xref="Ch0.E15.m1.11.11.1.1.2.2.2"><eq id="Ch0.E15.m1.11.11.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="Ch0.E15.m1.11.11.1.1.2.2.2.1"></eq><apply id="Ch0.E15.m1.11.11.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="Ch0.E15.m1.11.11.1.1.2.2.2.2"><plus id="Ch0.E15.m1.11.11.1.1.2.2.2.2.1.cmml" xref="Ch0.E15.m1.11.11.1.1.2.2.2.2.1"></plus><apply id="Ch0.E15.m1.11.11.1.1.2.2.2.2.2.cmml" xref="Ch0.E15.m1.11.11.1.1.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.E15.m1.11.11.1.1.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="Ch0.E15.m1.11.11.1.1.2.2.2.2.2">superscript</csymbol><ci id="Ch0.E15.m1.11.11.1.1.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="Ch0.E15.m1.11.11.1.1.2.2.2.2.2.2">𝐴</ci><ci id="Ch0.E15.m1.11.11.1.1.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="Ch0.E15.m1.11.11.1.1.2.2.2.2.2.3">𝑇</ci></apply><ci id="Ch0.E15.m1.11.11.1.1.2.2.2.2.3.cmml" xref="Ch0.E15.m1.11.11.1.1.2.2.2.2.3">𝐴</ci></apply><cn id="Ch0.E15.m1.11.11.1.1.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="Ch0.E15.m1.11.11.1.1.2.2.2.3">0</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Ch0.E15.m1.11c">\mathfrak{so}_{p,q,r,s}(n)=\{A\in\mathfrak{sl}_{p,q,r,s}(n)\ |\ A^{T}+A=0\}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Ch0.E15.m1.11d">fraktur_s fraktur_o start_POSTSUBSCRIPT italic_p , italic_q , italic_r , italic_s end_POSTSUBSCRIPT ( italic_n ) = { italic_A ∈ fraktur_s fraktur_l start_POSTSUBSCRIPT italic_p , italic_q , italic_r , italic_s end_POSTSUBSCRIPT ( italic_n ) | italic_A start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT + italic_A = 0 } .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(15)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="Ch0.S3.p2.3">If <math alttext="A,B\in\mathfrak{so}_{p,q,r,s}(n)" class="ltx_Math" display="inline" id="Ch0.S3.p2.3.m1.7"><semantics id="Ch0.S3.p2.3.m1.7a"><mrow id="Ch0.S3.p2.3.m1.7.8" xref="Ch0.S3.p2.3.m1.7.8.cmml"><mrow id="Ch0.S3.p2.3.m1.7.8.2.2" xref="Ch0.S3.p2.3.m1.7.8.2.1.cmml"><mi id="Ch0.S3.p2.3.m1.6.6" xref="Ch0.S3.p2.3.m1.6.6.cmml">A</mi><mo id="Ch0.S3.p2.3.m1.7.8.2.2.1" xref="Ch0.S3.p2.3.m1.7.8.2.1.cmml">,</mo><mi id="Ch0.S3.p2.3.m1.7.7" xref="Ch0.S3.p2.3.m1.7.7.cmml">B</mi></mrow><mo id="Ch0.S3.p2.3.m1.7.8.1" xref="Ch0.S3.p2.3.m1.7.8.1.cmml">∈</mo><mrow id="Ch0.S3.p2.3.m1.7.8.3" xref="Ch0.S3.p2.3.m1.7.8.3.cmml"><mi id="Ch0.S3.p2.3.m1.7.8.3.2" xref="Ch0.S3.p2.3.m1.7.8.3.2.cmml">𝔰</mi><mo id="Ch0.S3.p2.3.m1.7.8.3.1" xref="Ch0.S3.p2.3.m1.7.8.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="Ch0.S3.p2.3.m1.7.8.3.3" xref="Ch0.S3.p2.3.m1.7.8.3.3.cmml"><mi id="Ch0.S3.p2.3.m1.7.8.3.3.2" xref="Ch0.S3.p2.3.m1.7.8.3.3.2.cmml">𝔬</mi><mrow id="Ch0.S3.p2.3.m1.4.4.4.6" xref="Ch0.S3.p2.3.m1.4.4.4.5.cmml"><mi id="Ch0.S3.p2.3.m1.1.1.1.1" xref="Ch0.S3.p2.3.m1.1.1.1.1.cmml">p</mi><mo id="Ch0.S3.p2.3.m1.4.4.4.6.1" xref="Ch0.S3.p2.3.m1.4.4.4.5.cmml">,</mo><mi id="Ch0.S3.p2.3.m1.2.2.2.2" xref="Ch0.S3.p2.3.m1.2.2.2.2.cmml">q</mi><mo id="Ch0.S3.p2.3.m1.4.4.4.6.2" xref="Ch0.S3.p2.3.m1.4.4.4.5.cmml">,</mo><mi id="Ch0.S3.p2.3.m1.3.3.3.3" xref="Ch0.S3.p2.3.m1.3.3.3.3.cmml">r</mi><mo id="Ch0.S3.p2.3.m1.4.4.4.6.3" xref="Ch0.S3.p2.3.m1.4.4.4.5.cmml">,</mo><mi id="Ch0.S3.p2.3.m1.4.4.4.4" xref="Ch0.S3.p2.3.m1.4.4.4.4.cmml">s</mi></mrow></msub><mo id="Ch0.S3.p2.3.m1.7.8.3.1a" xref="Ch0.S3.p2.3.m1.7.8.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="Ch0.S3.p2.3.m1.7.8.3.4.2" xref="Ch0.S3.p2.3.m1.7.8.3.cmml"><mo id="Ch0.S3.p2.3.m1.7.8.3.4.2.1" stretchy="false" xref="Ch0.S3.p2.3.m1.7.8.3.cmml">(</mo><mi id="Ch0.S3.p2.3.m1.5.5" xref="Ch0.S3.p2.3.m1.5.5.cmml">n</mi><mo id="Ch0.S3.p2.3.m1.7.8.3.4.2.2" stretchy="false" xref="Ch0.S3.p2.3.m1.7.8.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Ch0.S3.p2.3.m1.7b"><apply id="Ch0.S3.p2.3.m1.7.8.cmml" xref="Ch0.S3.p2.3.m1.7.8"><in id="Ch0.S3.p2.3.m1.7.8.1.cmml" xref="Ch0.S3.p2.3.m1.7.8.1"></in><list id="Ch0.S3.p2.3.m1.7.8.2.1.cmml" xref="Ch0.S3.p2.3.m1.7.8.2.2"><ci id="Ch0.S3.p2.3.m1.6.6.cmml" xref="Ch0.S3.p2.3.m1.6.6">𝐴</ci><ci id="Ch0.S3.p2.3.m1.7.7.cmml" xref="Ch0.S3.p2.3.m1.7.7">𝐵</ci></list><apply id="Ch0.S3.p2.3.m1.7.8.3.cmml" xref="Ch0.S3.p2.3.m1.7.8.3"><times id="Ch0.S3.p2.3.m1.7.8.3.1.cmml" xref="Ch0.S3.p2.3.m1.7.8.3.1"></times><ci id="Ch0.S3.p2.3.m1.7.8.3.2.cmml" xref="Ch0.S3.p2.3.m1.7.8.3.2">𝔰</ci><apply id="Ch0.S3.p2.3.m1.7.8.3.3.cmml" xref="Ch0.S3.p2.3.m1.7.8.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.S3.p2.3.m1.7.8.3.3.1.cmml" xref="Ch0.S3.p2.3.m1.7.8.3.3">subscript</csymbol><ci id="Ch0.S3.p2.3.m1.7.8.3.3.2.cmml" xref="Ch0.S3.p2.3.m1.7.8.3.3.2">𝔬</ci><list id="Ch0.S3.p2.3.m1.4.4.4.5.cmml" xref="Ch0.S3.p2.3.m1.4.4.4.6"><ci id="Ch0.S3.p2.3.m1.1.1.1.1.cmml" xref="Ch0.S3.p2.3.m1.1.1.1.1">𝑝</ci><ci id="Ch0.S3.p2.3.m1.2.2.2.2.cmml" xref="Ch0.S3.p2.3.m1.2.2.2.2">𝑞</ci><ci id="Ch0.S3.p2.3.m1.3.3.3.3.cmml" xref="Ch0.S3.p2.3.m1.3.3.3.3">𝑟</ci><ci id="Ch0.S3.p2.3.m1.4.4.4.4.cmml" xref="Ch0.S3.p2.3.m1.4.4.4.4">𝑠</ci></list></apply><ci id="Ch0.S3.p2.3.m1.5.5.cmml" xref="Ch0.S3.p2.3.m1.5.5">𝑛</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Ch0.S3.p2.3.m1.7c">A,B\in\mathfrak{so}_{p,q,r,s}(n)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Ch0.S3.p2.3.m1.7d">italic_A , italic_B ∈ fraktur_s fraktur_o start_POSTSUBSCRIPT italic_p , italic_q , italic_r , italic_s end_POSTSUBSCRIPT ( italic_n )</annotation></semantics></math>, then</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="Ch0.S4.EGx4"> <tbody id="Ch0.Ex7"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\llbracket A,B\rrbracket^{T}" class="ltx_Math" display="inline" id="Ch0.Ex7.m1.2"><semantics id="Ch0.Ex7.m1.2a"><msup id="Ch0.Ex7.m1.2.3" xref="Ch0.Ex7.m1.2.3.cmml"><mrow id="Ch0.Ex7.m1.2.3.2.2" xref="Ch0.Ex7.m1.2.3.2.1.cmml"><mo id="Ch0.Ex7.m1.2.3.2.2.1" stretchy="false" xref="Ch0.Ex7.m1.2.3.2.1.cmml">⟦</mo><mi id="Ch0.Ex7.m1.1.1" xref="Ch0.Ex7.m1.1.1.cmml">A</mi><mo id="Ch0.Ex7.m1.2.3.2.2.2" xref="Ch0.Ex7.m1.2.3.2.1.cmml">,</mo><mi id="Ch0.Ex7.m1.2.2" xref="Ch0.Ex7.m1.2.2.cmml">B</mi><mo id="Ch0.Ex7.m1.2.3.2.2.3" stretchy="false" xref="Ch0.Ex7.m1.2.3.2.1.cmml">⟧</mo></mrow><mi id="Ch0.Ex7.m1.2.3.3" xref="Ch0.Ex7.m1.2.3.3.cmml">T</mi></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Ch0.Ex7.m1.2b"><apply id="Ch0.Ex7.m1.2.3.cmml" xref="Ch0.Ex7.m1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.Ex7.m1.2.3.1.cmml" xref="Ch0.Ex7.m1.2.3">superscript</csymbol><list id="Ch0.Ex7.m1.2.3.2.1.cmml" xref="Ch0.Ex7.m1.2.3.2.2"><ci id="Ch0.Ex7.m1.1.1.cmml" xref="Ch0.Ex7.m1.1.1">𝐴</ci><ci id="Ch0.Ex7.m1.2.2.cmml" xref="Ch0.Ex7.m1.2.2">𝐵</ci></list><ci id="Ch0.Ex7.m1.2.3.3.cmml" xref="Ch0.Ex7.m1.2.3.3">𝑇</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Ch0.Ex7.m1.2c">\displaystyle\llbracket A,B\rrbracket^{T}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Ch0.Ex7.m1.2d">⟦ italic_A , italic_B ⟧ start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=(AB-(-1)^{{\boldsymbol{a}}\cdot{\boldsymbol{b}}}BA)^{T}" class="ltx_Math" display="inline" id="Ch0.Ex7.m2.1"><semantics id="Ch0.Ex7.m2.1a"><mrow id="Ch0.Ex7.m2.1.1" xref="Ch0.Ex7.m2.1.1.cmml"><mi id="Ch0.Ex7.m2.1.1.3" xref="Ch0.Ex7.m2.1.1.3.cmml"></mi><mo id="Ch0.Ex7.m2.1.1.2" xref="Ch0.Ex7.m2.1.1.2.cmml">=</mo><msup id="Ch0.Ex7.m2.1.1.1" xref="Ch0.Ex7.m2.1.1.1.cmml"><mrow id="Ch0.Ex7.m2.1.1.1.1.1" xref="Ch0.Ex7.m2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="Ch0.Ex7.m2.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="Ch0.Ex7.m2.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="Ch0.Ex7.m2.1.1.1.1.1.1" xref="Ch0.Ex7.m2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="Ch0.Ex7.m2.1.1.1.1.1.1.3" xref="Ch0.Ex7.m2.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="Ch0.Ex7.m2.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="Ch0.Ex7.m2.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">A</mi><mo id="Ch0.Ex7.m2.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="Ch0.Ex7.m2.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="Ch0.Ex7.m2.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="Ch0.Ex7.m2.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">B</mi></mrow><mo id="Ch0.Ex7.m2.1.1.1.1.1.1.2" xref="Ch0.Ex7.m2.1.1.1.1.1.1.2.cmml">−</mo><mrow id="Ch0.Ex7.m2.1.1.1.1.1.1.1" xref="Ch0.Ex7.m2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msup id="Ch0.Ex7.m2.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="Ch0.Ex7.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="Ch0.Ex7.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="Ch0.Ex7.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="Ch0.Ex7.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="Ch0.Ex7.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="Ch0.Ex7.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="Ch0.Ex7.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="Ch0.Ex7.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1a" xref="Ch0.Ex7.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mn id="Ch0.Ex7.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="Ch0.Ex7.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">1</mn></mrow><mo id="Ch0.Ex7.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="Ch0.Ex7.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="Ch0.Ex7.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="Ch0.Ex7.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="Ch0.Ex7.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="Ch0.Ex7.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">𝒂</mi><mo id="Ch0.Ex7.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="Ch0.Ex7.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⋅</mo><mi id="Ch0.Ex7.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="Ch0.Ex7.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">𝒃</mi></mrow></msup><mo id="Ch0.Ex7.m2.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="Ch0.Ex7.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="Ch0.Ex7.m2.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="Ch0.Ex7.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">B</mi><mo id="Ch0.Ex7.m2.1.1.1.1.1.1.1.2a" xref="Ch0.Ex7.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="Ch0.Ex7.m2.1.1.1.1.1.1.1.4" xref="Ch0.Ex7.m2.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml">A</mi></mrow></mrow><mo id="Ch0.Ex7.m2.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="Ch0.Ex7.m2.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mi id="Ch0.Ex7.m2.1.1.1.3" xref="Ch0.Ex7.m2.1.1.1.3.cmml">T</mi></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Ch0.Ex7.m2.1b"><apply id="Ch0.Ex7.m2.1.1.cmml" xref="Ch0.Ex7.m2.1.1"><eq id="Ch0.Ex7.m2.1.1.2.cmml" xref="Ch0.Ex7.m2.1.1.2"></eq><csymbol cd="latexml" id="Ch0.Ex7.m2.1.1.3.cmml" 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id="Ch0.Ex8.m1.3"><semantics id="Ch0.Ex8.m1.3a"><mrow id="Ch0.Ex8.m1.3.3.1" xref="Ch0.Ex8.m1.3.3.1.1.cmml"><mrow id="Ch0.Ex8.m1.3.3.1.1" xref="Ch0.Ex8.m1.3.3.1.1.cmml"><mi id="Ch0.Ex8.m1.3.3.1.1.4" xref="Ch0.Ex8.m1.3.3.1.1.4.cmml"></mi><mo id="Ch0.Ex8.m1.3.3.1.1.5" xref="Ch0.Ex8.m1.3.3.1.1.5.cmml">=</mo><mrow id="Ch0.Ex8.m1.3.3.1.1.1" xref="Ch0.Ex8.m1.3.3.1.1.1.cmml"><mrow id="Ch0.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1" xref="Ch0.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.cmml"><msup id="Ch0.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1" xref="Ch0.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="Ch0.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1" xref="Ch0.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="Ch0.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="Ch0.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="Ch0.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="Ch0.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="Ch0.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1a" xref="Ch0.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mn id="Ch0.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="Ch0.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">1</mn></mrow><mo id="Ch0.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="Ch0.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="Ch0.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.3" xref="Ch0.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="Ch0.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2" xref="Ch0.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2.cmml">𝒂</mi><mo id="Ch0.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="Ch0.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⋅</mo><mi id="Ch0.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.3" xref="Ch0.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.3.cmml">𝒃</mi></mrow></msup><mo id="Ch0.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.2" xref="Ch0.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msup id="Ch0.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.3" xref="Ch0.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="Ch0.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.3.2" xref="Ch0.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.cmml">B</mi><mi id="Ch0.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.3.3" xref="Ch0.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.3.3.cmml">T</mi></msup><mo id="Ch0.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.2a" xref="Ch0.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msup id="Ch0.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.4" xref="Ch0.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="Ch0.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.4.2" 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id="Ch0.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="Ch0.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2">𝒂</ci><ci id="Ch0.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="Ch0.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.3">𝒃</ci></apply></apply><apply id="Ch0.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.3.cmml" xref="Ch0.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="Ch0.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="Ch0.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="Ch0.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.3.2">𝐵</ci><ci id="Ch0.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="Ch0.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.3.3">𝑇</ci></apply><apply id="Ch0.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.4.cmml" xref="Ch0.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="Ch0.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.4">superscript</csymbol><ci id="Ch0.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="Ch0.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.4.2">𝐴</ci><ci id="Ch0.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.4.3.cmml" xref="Ch0.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.4.3">𝑇</ci></apply></apply><apply id="Ch0.Ex8.m1.3.3.1.1.1.3.cmml" xref="Ch0.Ex8.m1.3.3.1.1.1.3"><times 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href="https://arxiv.org/html/2408.09274v1#Ch0.Ex8.m1.3.3.1.1.1.cmml" id="Ch0.Ex8.m1.3.3.1.1d.cmml" xref="Ch0.Ex8.m1.3.3.1"></share><apply id="Ch0.Ex8.m1.3.3.1.1.2.cmml" xref="Ch0.Ex8.m1.3.3.1.1.2"><minus id="Ch0.Ex8.m1.3.3.1.1.2.2.cmml" xref="Ch0.Ex8.m1.3.3.1.1.2.2"></minus><apply id="Ch0.Ex8.m1.3.3.1.1.2.1.cmml" xref="Ch0.Ex8.m1.3.3.1.1.2.1"><times id="Ch0.Ex8.m1.3.3.1.1.2.1.2.cmml" xref="Ch0.Ex8.m1.3.3.1.1.2.1.2"></times><apply id="Ch0.Ex8.m1.3.3.1.1.2.1.1.cmml" xref="Ch0.Ex8.m1.3.3.1.1.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.Ex8.m1.3.3.1.1.2.1.1.2.cmml" xref="Ch0.Ex8.m1.3.3.1.1.2.1.1">superscript</csymbol><apply id="Ch0.Ex8.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="Ch0.Ex8.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1"><minus id="Ch0.Ex8.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="Ch0.Ex8.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1"></minus><cn id="Ch0.Ex8.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="Ch0.Ex8.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.2">1</cn></apply><apply id="Ch0.Ex8.m1.3.3.1.1.2.1.1.3.cmml" xref="Ch0.Ex8.m1.3.3.1.1.2.1.1.3"><ci id="Ch0.Ex8.m1.3.3.1.1.2.1.1.3.1.cmml" xref="Ch0.Ex8.m1.3.3.1.1.2.1.1.3.1">⋅</ci><ci id="Ch0.Ex8.m1.3.3.1.1.2.1.1.3.2.cmml" xref="Ch0.Ex8.m1.3.3.1.1.2.1.1.3.2">𝒂</ci><ci id="Ch0.Ex8.m1.3.3.1.1.2.1.1.3.3.cmml" xref="Ch0.Ex8.m1.3.3.1.1.2.1.1.3.3">𝒃</ci></apply></apply><ci id="Ch0.Ex8.m1.3.3.1.1.2.1.3.cmml" xref="Ch0.Ex8.m1.3.3.1.1.2.1.3">𝐵</ci><ci id="Ch0.Ex8.m1.3.3.1.1.2.1.4.cmml" xref="Ch0.Ex8.m1.3.3.1.1.2.1.4">𝐴</ci></apply><apply id="Ch0.Ex8.m1.3.3.1.1.2.3.cmml" xref="Ch0.Ex8.m1.3.3.1.1.2.3"><times id="Ch0.Ex8.m1.3.3.1.1.2.3.1.cmml" xref="Ch0.Ex8.m1.3.3.1.1.2.3.1"></times><ci id="Ch0.Ex8.m1.3.3.1.1.2.3.2.cmml" xref="Ch0.Ex8.m1.3.3.1.1.2.3.2">𝐴</ci><ci id="Ch0.Ex8.m1.3.3.1.1.2.3.3.cmml" xref="Ch0.Ex8.m1.3.3.1.1.2.3.3">𝐵</ci></apply></apply></apply><apply id="Ch0.Ex8.m1.3.3.1.1e.cmml" xref="Ch0.Ex8.m1.3.3.1"><eq id="Ch0.Ex8.m1.3.3.1.1.7.cmml" xref="Ch0.Ex8.m1.3.3.1.1.7"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2408.09274v1#Ch0.Ex8.m1.3.3.1.1.2.cmml" id="Ch0.Ex8.m1.3.3.1.1f.cmml" xref="Ch0.Ex8.m1.3.3.1"></share><apply id="Ch0.Ex8.m1.3.3.1.1.8.cmml" xref="Ch0.Ex8.m1.3.3.1.1.8"><minus id="Ch0.Ex8.m1.3.3.1.1.8.1.cmml" xref="Ch0.Ex8.m1.3.3.1.1.8"></minus><list id="Ch0.Ex8.m1.3.3.1.1.8.2.1.cmml" xref="Ch0.Ex8.m1.3.3.1.1.8.2.2"><ci id="Ch0.Ex8.m1.1.1.cmml" xref="Ch0.Ex8.m1.1.1">𝐴</ci><ci id="Ch0.Ex8.m1.2.2.cmml" xref="Ch0.Ex8.m1.2.2">𝐵</ci></list></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Ch0.Ex8.m1.3c">\displaystyle=(-1)^{{\boldsymbol{a}}\cdot{\boldsymbol{b}}}B^{T}A^{T}-A^{T}B^{T% }=(-1)^{{\boldsymbol{a}}\cdot{\boldsymbol{b}}}BA-AB=-\llbracket A,B\rrbracket,</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Ch0.Ex8.m1.3d">= ( - 1 ) start_POSTSUPERSCRIPT bold_italic_a ⋅ bold_italic_b end_POSTSUPERSCRIPT italic_B start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT italic_A start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT - italic_A start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT italic_B start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT = ( - 1 ) start_POSTSUPERSCRIPT bold_italic_a ⋅ bold_italic_b end_POSTSUPERSCRIPT italic_B italic_A - italic_A italic_B = - ⟦ italic_A , italic_B ⟧ ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="Ch0.S3.p2.7">thus (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2408.09274v1#Ch0.E15" title="In 3 ℤ₂²-GLA’s as subalgebras of 𝔰⁢𝔩_{𝑝,𝑞,𝑟,𝑠}⁢(𝑛) ‣ Matrix structure of classical ℤ₂×ℤ₂ graded Lie algebras"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">15</span></a>) is closed under the bracket <math alttext="\llbracket\cdot,\cdot\rrbracket" class="ltx_Math" display="inline" id="Ch0.S3.p2.4.m1.2"><semantics id="Ch0.S3.p2.4.m1.2a"><mrow id="Ch0.S3.p2.4.m1.2.3.2" xref="Ch0.S3.p2.4.m1.2.3.1.cmml"><mo id="Ch0.S3.p2.4.m1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="Ch0.S3.p2.4.m1.2.3.1.cmml">⟦</mo><mo id="Ch0.S3.p2.4.m1.1.1" lspace="0em" rspace="0em" xref="Ch0.S3.p2.4.m1.1.1.cmml">⋅</mo><mo id="Ch0.S3.p2.4.m1.2.3.2.2" rspace="0em" xref="Ch0.S3.p2.4.m1.2.3.1.cmml">,</mo><mo id="Ch0.S3.p2.4.m1.2.2" lspace="0em" rspace="0em" xref="Ch0.S3.p2.4.m1.2.2.cmml">⋅</mo><mo id="Ch0.S3.p2.4.m1.2.3.2.3" stretchy="false" xref="Ch0.S3.p2.4.m1.2.3.1.cmml">⟧</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Ch0.S3.p2.4.m1.2b"><list id="Ch0.S3.p2.4.m1.2.3.1.cmml" xref="Ch0.S3.p2.4.m1.2.3.2"><ci id="Ch0.S3.p2.4.m1.1.1.cmml" xref="Ch0.S3.p2.4.m1.1.1">⋅</ci><ci id="Ch0.S3.p2.4.m1.2.2.cmml" xref="Ch0.S3.p2.4.m1.2.2">⋅</ci></list></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Ch0.S3.p2.4.m1.2c">\llbracket\cdot,\cdot\rrbracket</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Ch0.S3.p2.4.m1.2d">⟦ ⋅ , ⋅ ⟧</annotation></semantics></math> and forms a <math alttext="{\mathbb{Z}}_{2}^{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="Ch0.S3.p2.5.m2.1"><semantics id="Ch0.S3.p2.5.m2.1a"><msubsup id="Ch0.S3.p2.5.m2.1.1" xref="Ch0.S3.p2.5.m2.1.1.cmml"><mi id="Ch0.S3.p2.5.m2.1.1.2.2" xref="Ch0.S3.p2.5.m2.1.1.2.2.cmml">ℤ</mi><mn id="Ch0.S3.p2.5.m2.1.1.2.3" xref="Ch0.S3.p2.5.m2.1.1.2.3.cmml">2</mn><mn id="Ch0.S3.p2.5.m2.1.1.3" xref="Ch0.S3.p2.5.m2.1.1.3.cmml">2</mn></msubsup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Ch0.S3.p2.5.m2.1b"><apply id="Ch0.S3.p2.5.m2.1.1.cmml" xref="Ch0.S3.p2.5.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.S3.p2.5.m2.1.1.1.cmml" xref="Ch0.S3.p2.5.m2.1.1">superscript</csymbol><apply id="Ch0.S3.p2.5.m2.1.1.2.cmml" xref="Ch0.S3.p2.5.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.S3.p2.5.m2.1.1.2.1.cmml" xref="Ch0.S3.p2.5.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="Ch0.S3.p2.5.m2.1.1.2.2.cmml" xref="Ch0.S3.p2.5.m2.1.1.2.2">ℤ</ci><cn id="Ch0.S3.p2.5.m2.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="Ch0.S3.p2.5.m2.1.1.2.3">2</cn></apply><cn id="Ch0.S3.p2.5.m2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="Ch0.S3.p2.5.m2.1.1.3">2</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Ch0.S3.p2.5.m2.1c">{\mathbb{Z}}_{2}^{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Ch0.S3.p2.5.m2.1d">blackboard_Z start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>-graded Lie subalgebra of <math alttext="\mathfrak{sl}_{p,q,r,s}(n)" class="ltx_Math" display="inline" id="Ch0.S3.p2.6.m3.5"><semantics id="Ch0.S3.p2.6.m3.5a"><mrow id="Ch0.S3.p2.6.m3.5.6" xref="Ch0.S3.p2.6.m3.5.6.cmml"><mi id="Ch0.S3.p2.6.m3.5.6.2" xref="Ch0.S3.p2.6.m3.5.6.2.cmml">𝔰</mi><mo id="Ch0.S3.p2.6.m3.5.6.1" xref="Ch0.S3.p2.6.m3.5.6.1.cmml">⁢</mo><msub id="Ch0.S3.p2.6.m3.5.6.3" xref="Ch0.S3.p2.6.m3.5.6.3.cmml"><mi id="Ch0.S3.p2.6.m3.5.6.3.2" xref="Ch0.S3.p2.6.m3.5.6.3.2.cmml">𝔩</mi><mrow id="Ch0.S3.p2.6.m3.4.4.4.6" xref="Ch0.S3.p2.6.m3.4.4.4.5.cmml"><mi id="Ch0.S3.p2.6.m3.1.1.1.1" xref="Ch0.S3.p2.6.m3.1.1.1.1.cmml">p</mi><mo id="Ch0.S3.p2.6.m3.4.4.4.6.1" xref="Ch0.S3.p2.6.m3.4.4.4.5.cmml">,</mo><mi id="Ch0.S3.p2.6.m3.2.2.2.2" xref="Ch0.S3.p2.6.m3.2.2.2.2.cmml">q</mi><mo id="Ch0.S3.p2.6.m3.4.4.4.6.2" xref="Ch0.S3.p2.6.m3.4.4.4.5.cmml">,</mo><mi id="Ch0.S3.p2.6.m3.3.3.3.3" xref="Ch0.S3.p2.6.m3.3.3.3.3.cmml">r</mi><mo id="Ch0.S3.p2.6.m3.4.4.4.6.3" xref="Ch0.S3.p2.6.m3.4.4.4.5.cmml">,</mo><mi id="Ch0.S3.p2.6.m3.4.4.4.4" xref="Ch0.S3.p2.6.m3.4.4.4.4.cmml">s</mi></mrow></msub><mo id="Ch0.S3.p2.6.m3.5.6.1a" xref="Ch0.S3.p2.6.m3.5.6.1.cmml">⁢</mo><mrow id="Ch0.S3.p2.6.m3.5.6.4.2" xref="Ch0.S3.p2.6.m3.5.6.cmml"><mo id="Ch0.S3.p2.6.m3.5.6.4.2.1" stretchy="false" xref="Ch0.S3.p2.6.m3.5.6.cmml">(</mo><mi id="Ch0.S3.p2.6.m3.5.5" xref="Ch0.S3.p2.6.m3.5.5.cmml">n</mi><mo id="Ch0.S3.p2.6.m3.5.6.4.2.2" stretchy="false" xref="Ch0.S3.p2.6.m3.5.6.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Ch0.S3.p2.6.m3.5b"><apply id="Ch0.S3.p2.6.m3.5.6.cmml" xref="Ch0.S3.p2.6.m3.5.6"><times id="Ch0.S3.p2.6.m3.5.6.1.cmml" xref="Ch0.S3.p2.6.m3.5.6.1"></times><ci id="Ch0.S3.p2.6.m3.5.6.2.cmml" xref="Ch0.S3.p2.6.m3.5.6.2">𝔰</ci><apply id="Ch0.S3.p2.6.m3.5.6.3.cmml" xref="Ch0.S3.p2.6.m3.5.6.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.S3.p2.6.m3.5.6.3.1.cmml" xref="Ch0.S3.p2.6.m3.5.6.3">subscript</csymbol><ci id="Ch0.S3.p2.6.m3.5.6.3.2.cmml" xref="Ch0.S3.p2.6.m3.5.6.3.2">𝔩</ci><list id="Ch0.S3.p2.6.m3.4.4.4.5.cmml" xref="Ch0.S3.p2.6.m3.4.4.4.6"><ci id="Ch0.S3.p2.6.m3.1.1.1.1.cmml" xref="Ch0.S3.p2.6.m3.1.1.1.1">𝑝</ci><ci id="Ch0.S3.p2.6.m3.2.2.2.2.cmml" xref="Ch0.S3.p2.6.m3.2.2.2.2">𝑞</ci><ci id="Ch0.S3.p2.6.m3.3.3.3.3.cmml" xref="Ch0.S3.p2.6.m3.3.3.3.3">𝑟</ci><ci id="Ch0.S3.p2.6.m3.4.4.4.4.cmml" xref="Ch0.S3.p2.6.m3.4.4.4.4">𝑠</ci></list></apply><ci id="Ch0.S3.p2.6.m3.5.5.cmml" xref="Ch0.S3.p2.6.m3.5.5">𝑛</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Ch0.S3.p2.6.m3.5c">\mathfrak{sl}_{p,q,r,s}(n)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Ch0.S3.p2.6.m3.5d">fraktur_s fraktur_l start_POSTSUBSCRIPT italic_p , italic_q , italic_r , italic_s end_POSTSUBSCRIPT ( italic_n )</annotation></semantics></math>. The matrices of <math alttext="\mathfrak{so}_{p,q,r,s}(n)" class="ltx_Math" display="inline" id="Ch0.S3.p2.7.m4.5"><semantics id="Ch0.S3.p2.7.m4.5a"><mrow id="Ch0.S3.p2.7.m4.5.6" xref="Ch0.S3.p2.7.m4.5.6.cmml"><mi id="Ch0.S3.p2.7.m4.5.6.2" xref="Ch0.S3.p2.7.m4.5.6.2.cmml">𝔰</mi><mo id="Ch0.S3.p2.7.m4.5.6.1" xref="Ch0.S3.p2.7.m4.5.6.1.cmml">⁢</mo><msub id="Ch0.S3.p2.7.m4.5.6.3" xref="Ch0.S3.p2.7.m4.5.6.3.cmml"><mi id="Ch0.S3.p2.7.m4.5.6.3.2" xref="Ch0.S3.p2.7.m4.5.6.3.2.cmml">𝔬</mi><mrow id="Ch0.S3.p2.7.m4.4.4.4.6" xref="Ch0.S3.p2.7.m4.4.4.4.5.cmml"><mi id="Ch0.S3.p2.7.m4.1.1.1.1" xref="Ch0.S3.p2.7.m4.1.1.1.1.cmml">p</mi><mo id="Ch0.S3.p2.7.m4.4.4.4.6.1" xref="Ch0.S3.p2.7.m4.4.4.4.5.cmml">,</mo><mi id="Ch0.S3.p2.7.m4.2.2.2.2" xref="Ch0.S3.p2.7.m4.2.2.2.2.cmml">q</mi><mo id="Ch0.S3.p2.7.m4.4.4.4.6.2" xref="Ch0.S3.p2.7.m4.4.4.4.5.cmml">,</mo><mi id="Ch0.S3.p2.7.m4.3.3.3.3" xref="Ch0.S3.p2.7.m4.3.3.3.3.cmml">r</mi><mo id="Ch0.S3.p2.7.m4.4.4.4.6.3" xref="Ch0.S3.p2.7.m4.4.4.4.5.cmml">,</mo><mi id="Ch0.S3.p2.7.m4.4.4.4.4" xref="Ch0.S3.p2.7.m4.4.4.4.4.cmml">s</mi></mrow></msub><mo id="Ch0.S3.p2.7.m4.5.6.1a" xref="Ch0.S3.p2.7.m4.5.6.1.cmml">⁢</mo><mrow id="Ch0.S3.p2.7.m4.5.6.4.2" xref="Ch0.S3.p2.7.m4.5.6.cmml"><mo id="Ch0.S3.p2.7.m4.5.6.4.2.1" stretchy="false" xref="Ch0.S3.p2.7.m4.5.6.cmml">(</mo><mi id="Ch0.S3.p2.7.m4.5.5" xref="Ch0.S3.p2.7.m4.5.5.cmml">n</mi><mo id="Ch0.S3.p2.7.m4.5.6.4.2.2" stretchy="false" xref="Ch0.S3.p2.7.m4.5.6.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Ch0.S3.p2.7.m4.5b"><apply id="Ch0.S3.p2.7.m4.5.6.cmml" xref="Ch0.S3.p2.7.m4.5.6"><times id="Ch0.S3.p2.7.m4.5.6.1.cmml" xref="Ch0.S3.p2.7.m4.5.6.1"></times><ci id="Ch0.S3.p2.7.m4.5.6.2.cmml" xref="Ch0.S3.p2.7.m4.5.6.2">𝔰</ci><apply id="Ch0.S3.p2.7.m4.5.6.3.cmml" xref="Ch0.S3.p2.7.m4.5.6.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.S3.p2.7.m4.5.6.3.1.cmml" xref="Ch0.S3.p2.7.m4.5.6.3">subscript</csymbol><ci id="Ch0.S3.p2.7.m4.5.6.3.2.cmml" xref="Ch0.S3.p2.7.m4.5.6.3.2">𝔬</ci><list id="Ch0.S3.p2.7.m4.4.4.4.5.cmml" xref="Ch0.S3.p2.7.m4.4.4.4.6"><ci id="Ch0.S3.p2.7.m4.1.1.1.1.cmml" xref="Ch0.S3.p2.7.m4.1.1.1.1">𝑝</ci><ci id="Ch0.S3.p2.7.m4.2.2.2.2.cmml" xref="Ch0.S3.p2.7.m4.2.2.2.2">𝑞</ci><ci id="Ch0.S3.p2.7.m4.3.3.3.3.cmml" xref="Ch0.S3.p2.7.m4.3.3.3.3">𝑟</ci><ci id="Ch0.S3.p2.7.m4.4.4.4.4.cmml" xref="Ch0.S3.p2.7.m4.4.4.4.4">𝑠</ci></list></apply><ci id="Ch0.S3.p2.7.m4.5.5.cmml" xref="Ch0.S3.p2.7.m4.5.5">𝑛</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Ch0.S3.p2.7.m4.5c">\mathfrak{so}_{p,q,r,s}(n)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Ch0.S3.p2.7.m4.5d">fraktur_s fraktur_o start_POSTSUBSCRIPT italic_p , italic_q , italic_r , italic_s end_POSTSUBSCRIPT ( italic_n )</annotation></semantics></math> are of the following form:</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="Ch0.E16"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\begin{array}[]{c c}{\begin{array}[]{@{} c c cc @{}}\ \ p&\ \ q&\ \ r&\ \ s% \end{array}}&{}\hfil\\ \left(\begin{array}[]{cccc}a_{(0,0)}&a_{(0,1)}&a_{(1,0)}&a_{(1,1)}\\[2.84526pt% ] -a_{(0,1)}^{t}&b_{(0,0)}&b_{(1,1)}&b_{(1,0)}\\[2.84526pt] -a_{(1,0)}^{t}&b_{(1,1)}^{t}&c_{(0,0)}&c_{(0,1)}\\[2.84526pt] -a_{(1,1)}^{t}&b_{(1,0)}^{t}&c_{(0,1)}^{t}&d_{(0,0)}\end{array}\right)&{\begin% {array}[]{l}p\\[2.84526pt] q\\[2.84526pt] r\\[2.84526pt] s\end{array}}\\ \end{array}" class="ltx_Math" display="block" id="Ch0.E16.m1.32"><semantics id="Ch0.E16.m1.32a"><mtable columnspacing="5pt" displaystyle="true" id="Ch0.E16.m1.32.32" rowspacing="0pt" xref="Ch0.E16.m1.32.32.cmml"><mtr id="Ch0.E16.m1.32.32a" xref="Ch0.E16.m1.32.32.cmml"><mtd id="Ch0.E16.m1.32.32b" xref="Ch0.E16.m1.32.32.cmml"><mtable columnspacing="5pt" displaystyle="true" id="Ch0.E16.m1.32.32.33.1.1" xref="Ch0.E16.m1.32.32.33.1.1.cmml"><mtr id="Ch0.E16.m1.32.32.33.1.1a" xref="Ch0.E16.m1.32.32.33.1.1.cmml"><mtd id="Ch0.E16.m1.32.32.33.1.1b" xref="Ch0.E16.m1.32.32.33.1.1.cmml"><mi id="Ch0.E16.m1.32.32.33.1.1.1.1.1" xref="Ch0.E16.m1.32.32.33.1.1.1.1.1.cmml">p</mi></mtd><mtd id="Ch0.E16.m1.32.32.33.1.1c" xref="Ch0.E16.m1.32.32.33.1.1.cmml"><mi id="Ch0.E16.m1.32.32.33.1.1.1.2.1" xref="Ch0.E16.m1.32.32.33.1.1.1.2.1.cmml">q</mi></mtd><mtd id="Ch0.E16.m1.32.32.33.1.1d" xref="Ch0.E16.m1.32.32.33.1.1.cmml"><mi id="Ch0.E16.m1.32.32.33.1.1.1.3.1" xref="Ch0.E16.m1.32.32.33.1.1.1.3.1.cmml">r</mi></mtd><mtd id="Ch0.E16.m1.32.32.33.1.1e" xref="Ch0.E16.m1.32.32.33.1.1.cmml"><mi id="Ch0.E16.m1.32.32.33.1.1.1.4.1" xref="Ch0.E16.m1.32.32.33.1.1.1.4.1.cmml">s</mi></mtd></mtr></mtable></mtd><mtd id="Ch0.E16.m1.32.32c" xref="Ch0.E16.m1.32.32.cmml"></mtd></mtr><mtr id="Ch0.E16.m1.32.32d" xref="Ch0.E16.m1.32.32.cmml"><mtd id="Ch0.E16.m1.32.32e" xref="Ch0.E16.m1.32.32.cmml"><mrow id="Ch0.E16.m1.32.32.32.32.32.34" xref="Ch0.E16.m1.32.32.32.32.32.32.cmml"><mo id="Ch0.E16.m1.32.32.32.32.32.34.1" xref="Ch0.E16.m1.32.32.32.32.32.32.cmml">(</mo><mtable columnspacing="5pt" displaystyle="true" id="Ch0.E16.m1.32.32.32.32.32.32" rowspacing="0pt" xref="Ch0.E16.m1.32.32.32.32.32.32.cmml"><mtr id="Ch0.E16.m1.32.32.32.32.32.32a" xref="Ch0.E16.m1.32.32.32.32.32.32.cmml"><mtd id="Ch0.E16.m1.32.32.32.32.32.32b" xref="Ch0.E16.m1.32.32.32.32.32.32.cmml"><msub id="Ch0.E16.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.2" xref="Ch0.E16.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="Ch0.E16.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.4" xref="Ch0.E16.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.4.cmml">a</mi><mrow id="Ch0.E16.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.4" xref="Ch0.E16.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.3.cmml"><mo id="Ch0.E16.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.4.1" stretchy="false" xref="Ch0.E16.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.3.cmml">(</mo><mn id="Ch0.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="Ch0.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">0</mn><mo id="Ch0.E16.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.4.2" xref="Ch0.E16.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.3.cmml">,</mo><mn id="Ch0.E16.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2" xref="Ch0.E16.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.cmml">0</mn><mo id="Ch0.E16.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.4.3" stretchy="false" xref="Ch0.E16.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></msub></mtd><mtd id="Ch0.E16.m1.32.32.32.32.32.32c" xref="Ch0.E16.m1.32.32.32.32.32.32.cmml"><msub id="Ch0.E16.m1.4.4.4.4.4.4.4.4.2" xref="Ch0.E16.m1.4.4.4.4.4.4.4.4.2.cmml"><mi id="Ch0.E16.m1.4.4.4.4.4.4.4.4.2.4" xref="Ch0.E16.m1.4.4.4.4.4.4.4.4.2.4.cmml">a</mi><mrow id="Ch0.E16.m1.4.4.4.4.4.4.4.4.2.2.2.4" xref="Ch0.E16.m1.4.4.4.4.4.4.4.4.2.2.2.3.cmml"><mo id="Ch0.E16.m1.4.4.4.4.4.4.4.4.2.2.2.4.1" stretchy="false" xref="Ch0.E16.m1.4.4.4.4.4.4.4.4.2.2.2.3.cmml">(</mo><mn id="Ch0.E16.m1.3.3.3.3.3.3.3.3.1.1.1.1" xref="Ch0.E16.m1.3.3.3.3.3.3.3.3.1.1.1.1.cmml">0</mn><mo id="Ch0.E16.m1.4.4.4.4.4.4.4.4.2.2.2.4.2" xref="Ch0.E16.m1.4.4.4.4.4.4.4.4.2.2.2.3.cmml">,</mo><mn id="Ch0.E16.m1.4.4.4.4.4.4.4.4.2.2.2.2" xref="Ch0.E16.m1.4.4.4.4.4.4.4.4.2.2.2.2.cmml">1</mn><mo id="Ch0.E16.m1.4.4.4.4.4.4.4.4.2.2.2.4.3" stretchy="false" xref="Ch0.E16.m1.4.4.4.4.4.4.4.4.2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></msub></mtd><mtd id="Ch0.E16.m1.32.32.32.32.32.32d" xref="Ch0.E16.m1.32.32.32.32.32.32.cmml"><msub id="Ch0.E16.m1.6.6.6.6.6.6.6.6.2" xref="Ch0.E16.m1.6.6.6.6.6.6.6.6.2.cmml"><mi id="Ch0.E16.m1.6.6.6.6.6.6.6.6.2.4" xref="Ch0.E16.m1.6.6.6.6.6.6.6.6.2.4.cmml">a</mi><mrow id="Ch0.E16.m1.6.6.6.6.6.6.6.6.2.2.2.4" xref="Ch0.E16.m1.6.6.6.6.6.6.6.6.2.2.2.3.cmml"><mo id="Ch0.E16.m1.6.6.6.6.6.6.6.6.2.2.2.4.1" stretchy="false" xref="Ch0.E16.m1.6.6.6.6.6.6.6.6.2.2.2.3.cmml">(</mo><mn id="Ch0.E16.m1.5.5.5.5.5.5.5.5.1.1.1.1" xref="Ch0.E16.m1.5.5.5.5.5.5.5.5.1.1.1.1.cmml">1</mn><mo id="Ch0.E16.m1.6.6.6.6.6.6.6.6.2.2.2.4.2" xref="Ch0.E16.m1.6.6.6.6.6.6.6.6.2.2.2.3.cmml">,</mo><mn id="Ch0.E16.m1.6.6.6.6.6.6.6.6.2.2.2.2" xref="Ch0.E16.m1.6.6.6.6.6.6.6.6.2.2.2.2.cmml">0</mn><mo id="Ch0.E16.m1.6.6.6.6.6.6.6.6.2.2.2.4.3" stretchy="false" xref="Ch0.E16.m1.6.6.6.6.6.6.6.6.2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></msub></mtd><mtd id="Ch0.E16.m1.32.32.32.32.32.32e" xref="Ch0.E16.m1.32.32.32.32.32.32.cmml"><msub id="Ch0.E16.m1.8.8.8.8.8.8.8.8.2" xref="Ch0.E16.m1.8.8.8.8.8.8.8.8.2.cmml"><mi id="Ch0.E16.m1.8.8.8.8.8.8.8.8.2.4" xref="Ch0.E16.m1.8.8.8.8.8.8.8.8.2.4.cmml">a</mi><mrow id="Ch0.E16.m1.8.8.8.8.8.8.8.8.2.2.2.4" xref="Ch0.E16.m1.8.8.8.8.8.8.8.8.2.2.2.3.cmml"><mo id="Ch0.E16.m1.8.8.8.8.8.8.8.8.2.2.2.4.1" stretchy="false" xref="Ch0.E16.m1.8.8.8.8.8.8.8.8.2.2.2.3.cmml">(</mo><mn id="Ch0.E16.m1.7.7.7.7.7.7.7.7.1.1.1.1" xref="Ch0.E16.m1.7.7.7.7.7.7.7.7.1.1.1.1.cmml">1</mn><mo id="Ch0.E16.m1.8.8.8.8.8.8.8.8.2.2.2.4.2" xref="Ch0.E16.m1.8.8.8.8.8.8.8.8.2.2.2.3.cmml">,</mo><mn id="Ch0.E16.m1.8.8.8.8.8.8.8.8.2.2.2.2" xref="Ch0.E16.m1.8.8.8.8.8.8.8.8.2.2.2.2.cmml">1</mn><mo id="Ch0.E16.m1.8.8.8.8.8.8.8.8.2.2.2.4.3" stretchy="false" xref="Ch0.E16.m1.8.8.8.8.8.8.8.8.2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></msub></mtd></mtr><mtr id="Ch0.E16.m1.32.32.32.32.32.32f" xref="Ch0.E16.m1.32.32.32.32.32.32.cmml"><mtd id="Ch0.E16.m1.32.32.32.32.32.32g" xref="Ch0.E16.m1.32.32.32.32.32.32.cmml"><mrow id="Ch0.E16.m1.10.10.10.10.10.10.10.2.2" xref="Ch0.E16.m1.10.10.10.10.10.10.10.2.2.cmml"><mo id="Ch0.E16.m1.10.10.10.10.10.10.10.2.2a" xref="Ch0.E16.m1.10.10.10.10.10.10.10.2.2.cmml">−</mo><msubsup id="Ch0.E16.m1.10.10.10.10.10.10.10.2.2.4" xref="Ch0.E16.m1.10.10.10.10.10.10.10.2.2.4.cmml"><mi id="Ch0.E16.m1.10.10.10.10.10.10.10.2.2.4.2.2" xref="Ch0.E16.m1.10.10.10.10.10.10.10.2.2.4.2.2.cmml">a</mi><mrow id="Ch0.E16.m1.10.10.10.10.10.10.10.2.2.2.2.4" xref="Ch0.E16.m1.10.10.10.10.10.10.10.2.2.2.2.3.cmml"><mo id="Ch0.E16.m1.10.10.10.10.10.10.10.2.2.2.2.4.1" stretchy="false" xref="Ch0.E16.m1.10.10.10.10.10.10.10.2.2.2.2.3.cmml">(</mo><mn id="Ch0.E16.m1.9.9.9.9.9.9.9.1.1.1.1.1" xref="Ch0.E16.m1.9.9.9.9.9.9.9.1.1.1.1.1.cmml">0</mn><mo id="Ch0.E16.m1.10.10.10.10.10.10.10.2.2.2.2.4.2" xref="Ch0.E16.m1.10.10.10.10.10.10.10.2.2.2.2.3.cmml">,</mo><mn id="Ch0.E16.m1.10.10.10.10.10.10.10.2.2.2.2.2" xref="Ch0.E16.m1.10.10.10.10.10.10.10.2.2.2.2.2.cmml">1</mn><mo id="Ch0.E16.m1.10.10.10.10.10.10.10.2.2.2.2.4.3" stretchy="false" xref="Ch0.E16.m1.10.10.10.10.10.10.10.2.2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow><mi id="Ch0.E16.m1.10.10.10.10.10.10.10.2.2.4.3" xref="Ch0.E16.m1.10.10.10.10.10.10.10.2.2.4.3.cmml">t</mi></msubsup></mrow></mtd><mtd id="Ch0.E16.m1.32.32.32.32.32.32h" xref="Ch0.E16.m1.32.32.32.32.32.32.cmml"><msub id="Ch0.E16.m1.12.12.12.12.12.12.12.4.2" xref="Ch0.E16.m1.12.12.12.12.12.12.12.4.2.cmml"><mi id="Ch0.E16.m1.12.12.12.12.12.12.12.4.2.4" xref="Ch0.E16.m1.12.12.12.12.12.12.12.4.2.4.cmml">b</mi><mrow id="Ch0.E16.m1.12.12.12.12.12.12.12.4.2.2.2.4" xref="Ch0.E16.m1.12.12.12.12.12.12.12.4.2.2.2.3.cmml"><mo id="Ch0.E16.m1.12.12.12.12.12.12.12.4.2.2.2.4.1" stretchy="false" xref="Ch0.E16.m1.12.12.12.12.12.12.12.4.2.2.2.3.cmml">(</mo><mn id="Ch0.E16.m1.11.11.11.11.11.11.11.3.1.1.1.1" xref="Ch0.E16.m1.11.11.11.11.11.11.11.3.1.1.1.1.cmml">0</mn><mo id="Ch0.E16.m1.12.12.12.12.12.12.12.4.2.2.2.4.2" xref="Ch0.E16.m1.12.12.12.12.12.12.12.4.2.2.2.3.cmml">,</mo><mn id="Ch0.E16.m1.12.12.12.12.12.12.12.4.2.2.2.2" xref="Ch0.E16.m1.12.12.12.12.12.12.12.4.2.2.2.2.cmml">0</mn><mo id="Ch0.E16.m1.12.12.12.12.12.12.12.4.2.2.2.4.3" stretchy="false" xref="Ch0.E16.m1.12.12.12.12.12.12.12.4.2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></msub></mtd><mtd id="Ch0.E16.m1.32.32.32.32.32.32i" xref="Ch0.E16.m1.32.32.32.32.32.32.cmml"><msub id="Ch0.E16.m1.14.14.14.14.14.14.14.6.2" xref="Ch0.E16.m1.14.14.14.14.14.14.14.6.2.cmml"><mi id="Ch0.E16.m1.14.14.14.14.14.14.14.6.2.4" xref="Ch0.E16.m1.14.14.14.14.14.14.14.6.2.4.cmml">b</mi><mrow id="Ch0.E16.m1.14.14.14.14.14.14.14.6.2.2.2.4" xref="Ch0.E16.m1.14.14.14.14.14.14.14.6.2.2.2.3.cmml"><mo id="Ch0.E16.m1.14.14.14.14.14.14.14.6.2.2.2.4.1" stretchy="false" xref="Ch0.E16.m1.14.14.14.14.14.14.14.6.2.2.2.3.cmml">(</mo><mn id="Ch0.E16.m1.13.13.13.13.13.13.13.5.1.1.1.1" xref="Ch0.E16.m1.13.13.13.13.13.13.13.5.1.1.1.1.cmml">1</mn><mo id="Ch0.E16.m1.14.14.14.14.14.14.14.6.2.2.2.4.2" xref="Ch0.E16.m1.14.14.14.14.14.14.14.6.2.2.2.3.cmml">,</mo><mn id="Ch0.E16.m1.14.14.14.14.14.14.14.6.2.2.2.2" xref="Ch0.E16.m1.14.14.14.14.14.14.14.6.2.2.2.2.cmml">1</mn><mo id="Ch0.E16.m1.14.14.14.14.14.14.14.6.2.2.2.4.3" stretchy="false" xref="Ch0.E16.m1.14.14.14.14.14.14.14.6.2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></msub></mtd><mtd id="Ch0.E16.m1.32.32.32.32.32.32j" xref="Ch0.E16.m1.32.32.32.32.32.32.cmml"><msub id="Ch0.E16.m1.16.16.16.16.16.16.16.8.2" xref="Ch0.E16.m1.16.16.16.16.16.16.16.8.2.cmml"><mi id="Ch0.E16.m1.16.16.16.16.16.16.16.8.2.4" xref="Ch0.E16.m1.16.16.16.16.16.16.16.8.2.4.cmml">b</mi><mrow id="Ch0.E16.m1.16.16.16.16.16.16.16.8.2.2.2.4" xref="Ch0.E16.m1.16.16.16.16.16.16.16.8.2.2.2.3.cmml"><mo id="Ch0.E16.m1.16.16.16.16.16.16.16.8.2.2.2.4.1" stretchy="false" xref="Ch0.E16.m1.16.16.16.16.16.16.16.8.2.2.2.3.cmml">(</mo><mn id="Ch0.E16.m1.15.15.15.15.15.15.15.7.1.1.1.1" xref="Ch0.E16.m1.15.15.15.15.15.15.15.7.1.1.1.1.cmml">1</mn><mo id="Ch0.E16.m1.16.16.16.16.16.16.16.8.2.2.2.4.2" xref="Ch0.E16.m1.16.16.16.16.16.16.16.8.2.2.2.3.cmml">,</mo><mn id="Ch0.E16.m1.16.16.16.16.16.16.16.8.2.2.2.2" xref="Ch0.E16.m1.16.16.16.16.16.16.16.8.2.2.2.2.cmml">0</mn><mo id="Ch0.E16.m1.16.16.16.16.16.16.16.8.2.2.2.4.3" stretchy="false" xref="Ch0.E16.m1.16.16.16.16.16.16.16.8.2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></msub></mtd></mtr><mtr id="Ch0.E16.m1.32.32.32.32.32.32k" xref="Ch0.E16.m1.32.32.32.32.32.32.cmml"><mtd id="Ch0.E16.m1.32.32.32.32.32.32l" xref="Ch0.E16.m1.32.32.32.32.32.32.cmml"><mrow id="Ch0.E16.m1.18.18.18.18.18.18.18.2.2" xref="Ch0.E16.m1.18.18.18.18.18.18.18.2.2.cmml"><mo id="Ch0.E16.m1.18.18.18.18.18.18.18.2.2a" xref="Ch0.E16.m1.18.18.18.18.18.18.18.2.2.cmml">−</mo><msubsup id="Ch0.E16.m1.18.18.18.18.18.18.18.2.2.4" xref="Ch0.E16.m1.18.18.18.18.18.18.18.2.2.4.cmml"><mi id="Ch0.E16.m1.18.18.18.18.18.18.18.2.2.4.2.2" xref="Ch0.E16.m1.18.18.18.18.18.18.18.2.2.4.2.2.cmml">a</mi><mrow id="Ch0.E16.m1.18.18.18.18.18.18.18.2.2.2.2.4" xref="Ch0.E16.m1.18.18.18.18.18.18.18.2.2.2.2.3.cmml"><mo id="Ch0.E16.m1.18.18.18.18.18.18.18.2.2.2.2.4.1" stretchy="false" xref="Ch0.E16.m1.18.18.18.18.18.18.18.2.2.2.2.3.cmml">(</mo><mn id="Ch0.E16.m1.17.17.17.17.17.17.17.1.1.1.1.1" xref="Ch0.E16.m1.17.17.17.17.17.17.17.1.1.1.1.1.cmml">1</mn><mo id="Ch0.E16.m1.18.18.18.18.18.18.18.2.2.2.2.4.2" xref="Ch0.E16.m1.18.18.18.18.18.18.18.2.2.2.2.3.cmml">,</mo><mn id="Ch0.E16.m1.18.18.18.18.18.18.18.2.2.2.2.2" xref="Ch0.E16.m1.18.18.18.18.18.18.18.2.2.2.2.2.cmml">0</mn><mo id="Ch0.E16.m1.18.18.18.18.18.18.18.2.2.2.2.4.3" stretchy="false" xref="Ch0.E16.m1.18.18.18.18.18.18.18.2.2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow><mi id="Ch0.E16.m1.18.18.18.18.18.18.18.2.2.4.3" xref="Ch0.E16.m1.18.18.18.18.18.18.18.2.2.4.3.cmml">t</mi></msubsup></mrow></mtd><mtd id="Ch0.E16.m1.32.32.32.32.32.32m" xref="Ch0.E16.m1.32.32.32.32.32.32.cmml"><msubsup id="Ch0.E16.m1.20.20.20.20.20.20.20.4.2" xref="Ch0.E16.m1.20.20.20.20.20.20.20.4.2.cmml"><mi id="Ch0.E16.m1.20.20.20.20.20.20.20.4.2.4.2" xref="Ch0.E16.m1.20.20.20.20.20.20.20.4.2.4.2.cmml">b</mi><mrow id="Ch0.E16.m1.20.20.20.20.20.20.20.4.2.2.2.4" xref="Ch0.E16.m1.20.20.20.20.20.20.20.4.2.2.2.3.cmml"><mo id="Ch0.E16.m1.20.20.20.20.20.20.20.4.2.2.2.4.1" stretchy="false" xref="Ch0.E16.m1.20.20.20.20.20.20.20.4.2.2.2.3.cmml">(</mo><mn id="Ch0.E16.m1.19.19.19.19.19.19.19.3.1.1.1.1" xref="Ch0.E16.m1.19.19.19.19.19.19.19.3.1.1.1.1.cmml">1</mn><mo id="Ch0.E16.m1.20.20.20.20.20.20.20.4.2.2.2.4.2" xref="Ch0.E16.m1.20.20.20.20.20.20.20.4.2.2.2.3.cmml">,</mo><mn id="Ch0.E16.m1.20.20.20.20.20.20.20.4.2.2.2.2" xref="Ch0.E16.m1.20.20.20.20.20.20.20.4.2.2.2.2.cmml">1</mn><mo id="Ch0.E16.m1.20.20.20.20.20.20.20.4.2.2.2.4.3" stretchy="false" xref="Ch0.E16.m1.20.20.20.20.20.20.20.4.2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow><mi id="Ch0.E16.m1.20.20.20.20.20.20.20.4.2.5" xref="Ch0.E16.m1.20.20.20.20.20.20.20.4.2.5.cmml">t</mi></msubsup></mtd><mtd id="Ch0.E16.m1.32.32.32.32.32.32n" xref="Ch0.E16.m1.32.32.32.32.32.32.cmml"><msub id="Ch0.E16.m1.22.22.22.22.22.22.22.6.2" xref="Ch0.E16.m1.22.22.22.22.22.22.22.6.2.cmml"><mi id="Ch0.E16.m1.22.22.22.22.22.22.22.6.2.4" xref="Ch0.E16.m1.22.22.22.22.22.22.22.6.2.4.cmml">c</mi><mrow id="Ch0.E16.m1.22.22.22.22.22.22.22.6.2.2.2.4" xref="Ch0.E16.m1.22.22.22.22.22.22.22.6.2.2.2.3.cmml"><mo id="Ch0.E16.m1.22.22.22.22.22.22.22.6.2.2.2.4.1" stretchy="false" xref="Ch0.E16.m1.22.22.22.22.22.22.22.6.2.2.2.3.cmml">(</mo><mn id="Ch0.E16.m1.21.21.21.21.21.21.21.5.1.1.1.1" xref="Ch0.E16.m1.21.21.21.21.21.21.21.5.1.1.1.1.cmml">0</mn><mo id="Ch0.E16.m1.22.22.22.22.22.22.22.6.2.2.2.4.2" xref="Ch0.E16.m1.22.22.22.22.22.22.22.6.2.2.2.3.cmml">,</mo><mn id="Ch0.E16.m1.22.22.22.22.22.22.22.6.2.2.2.2" xref="Ch0.E16.m1.22.22.22.22.22.22.22.6.2.2.2.2.cmml">0</mn><mo id="Ch0.E16.m1.22.22.22.22.22.22.22.6.2.2.2.4.3" stretchy="false" xref="Ch0.E16.m1.22.22.22.22.22.22.22.6.2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></msub></mtd><mtd id="Ch0.E16.m1.32.32.32.32.32.32o" xref="Ch0.E16.m1.32.32.32.32.32.32.cmml"><msub id="Ch0.E16.m1.24.24.24.24.24.24.24.8.2" xref="Ch0.E16.m1.24.24.24.24.24.24.24.8.2.cmml"><mi id="Ch0.E16.m1.24.24.24.24.24.24.24.8.2.4" xref="Ch0.E16.m1.24.24.24.24.24.24.24.8.2.4.cmml">c</mi><mrow id="Ch0.E16.m1.24.24.24.24.24.24.24.8.2.2.2.4" xref="Ch0.E16.m1.24.24.24.24.24.24.24.8.2.2.2.3.cmml"><mo id="Ch0.E16.m1.24.24.24.24.24.24.24.8.2.2.2.4.1" stretchy="false" xref="Ch0.E16.m1.24.24.24.24.24.24.24.8.2.2.2.3.cmml">(</mo><mn id="Ch0.E16.m1.23.23.23.23.23.23.23.7.1.1.1.1" xref="Ch0.E16.m1.23.23.23.23.23.23.23.7.1.1.1.1.cmml">0</mn><mo id="Ch0.E16.m1.24.24.24.24.24.24.24.8.2.2.2.4.2" xref="Ch0.E16.m1.24.24.24.24.24.24.24.8.2.2.2.3.cmml">,</mo><mn id="Ch0.E16.m1.24.24.24.24.24.24.24.8.2.2.2.2" xref="Ch0.E16.m1.24.24.24.24.24.24.24.8.2.2.2.2.cmml">1</mn><mo id="Ch0.E16.m1.24.24.24.24.24.24.24.8.2.2.2.4.3" stretchy="false" 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id="Ch0.E16.m1.14.14.14.14.14.14.14.6.2.2.2.2.cmml" type="integer" xref="Ch0.E16.m1.14.14.14.14.14.14.14.6.2.2.2.2">1</cn></interval></apply><apply id="Ch0.E16.m1.16.16.16.16.16.16.16.8.2.cmml" xref="Ch0.E16.m1.16.16.16.16.16.16.16.8.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.E16.m1.16.16.16.16.16.16.16.8.2.3.cmml" xref="Ch0.E16.m1.16.16.16.16.16.16.16.8.2">subscript</csymbol><ci id="Ch0.E16.m1.16.16.16.16.16.16.16.8.2.4.cmml" xref="Ch0.E16.m1.16.16.16.16.16.16.16.8.2.4">𝑏</ci><interval closure="open" id="Ch0.E16.m1.16.16.16.16.16.16.16.8.2.2.2.3.cmml" xref="Ch0.E16.m1.16.16.16.16.16.16.16.8.2.2.2.4"><cn id="Ch0.E16.m1.15.15.15.15.15.15.15.7.1.1.1.1.cmml" type="integer" xref="Ch0.E16.m1.15.15.15.15.15.15.15.7.1.1.1.1">1</cn><cn id="Ch0.E16.m1.16.16.16.16.16.16.16.8.2.2.2.2.cmml" type="integer" xref="Ch0.E16.m1.16.16.16.16.16.16.16.8.2.2.2.2">0</cn></interval></apply></matrixrow><matrixrow id="Ch0.E16.m1.32.32.32.32.32.32c.cmml" xref="Ch0.E16.m1.32.32.32.32.32.34"><apply 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end_CELL start_CELL italic_b start_POSTSUBSCRIPT ( 1 , 1 ) end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_t end_POSTSUPERSCRIPT end_CELL start_CELL italic_c start_POSTSUBSCRIPT ( 0 , 0 ) end_POSTSUBSCRIPT end_CELL start_CELL italic_c start_POSTSUBSCRIPT ( 0 , 1 ) end_POSTSUBSCRIPT end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL - italic_a start_POSTSUBSCRIPT ( 1 , 1 ) end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_t end_POSTSUPERSCRIPT end_CELL start_CELL italic_b start_POSTSUBSCRIPT ( 1 , 0 ) end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_t end_POSTSUPERSCRIPT end_CELL start_CELL italic_c start_POSTSUBSCRIPT ( 0 , 1 ) end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_t end_POSTSUPERSCRIPT end_CELL start_CELL italic_d start_POSTSUBSCRIPT ( 0 , 0 ) end_POSTSUBSCRIPT end_CELL end_ROW end_ARRAY ) end_CELL start_CELL start_ARRAY start_ROW start_CELL italic_p end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL italic_q end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL italic_r end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL italic_s end_CELL end_ROW end_ARRAY end_CELL end_ROW end_ARRAY</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(16)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="Ch0.S3.p2.11">where <math alttext="a_{(0,0)}" class="ltx_Math" display="inline" id="Ch0.S3.p2.8.m1.2"><semantics id="Ch0.S3.p2.8.m1.2a"><msub id="Ch0.S3.p2.8.m1.2.3" xref="Ch0.S3.p2.8.m1.2.3.cmml"><mi id="Ch0.S3.p2.8.m1.2.3.2" xref="Ch0.S3.p2.8.m1.2.3.2.cmml">a</mi><mrow id="Ch0.S3.p2.8.m1.2.2.2.4" xref="Ch0.S3.p2.8.m1.2.2.2.3.cmml"><mo id="Ch0.S3.p2.8.m1.2.2.2.4.1" stretchy="false" xref="Ch0.S3.p2.8.m1.2.2.2.3.cmml">(</mo><mn id="Ch0.S3.p2.8.m1.1.1.1.1" xref="Ch0.S3.p2.8.m1.1.1.1.1.cmml">0</mn><mo id="Ch0.S3.p2.8.m1.2.2.2.4.2" xref="Ch0.S3.p2.8.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mn id="Ch0.S3.p2.8.m1.2.2.2.2" xref="Ch0.S3.p2.8.m1.2.2.2.2.cmml">0</mn><mo id="Ch0.S3.p2.8.m1.2.2.2.4.3" stretchy="false" xref="Ch0.S3.p2.8.m1.2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Ch0.S3.p2.8.m1.2b"><apply id="Ch0.S3.p2.8.m1.2.3.cmml" xref="Ch0.S3.p2.8.m1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.S3.p2.8.m1.2.3.1.cmml" xref="Ch0.S3.p2.8.m1.2.3">subscript</csymbol><ci id="Ch0.S3.p2.8.m1.2.3.2.cmml" xref="Ch0.S3.p2.8.m1.2.3.2">𝑎</ci><interval closure="open" id="Ch0.S3.p2.8.m1.2.2.2.3.cmml" xref="Ch0.S3.p2.8.m1.2.2.2.4"><cn id="Ch0.S3.p2.8.m1.1.1.1.1.cmml" type="integer" xref="Ch0.S3.p2.8.m1.1.1.1.1">0</cn><cn id="Ch0.S3.p2.8.m1.2.2.2.2.cmml" type="integer" xref="Ch0.S3.p2.8.m1.2.2.2.2">0</cn></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Ch0.S3.p2.8.m1.2c">a_{(0,0)}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Ch0.S3.p2.8.m1.2d">italic_a start_POSTSUBSCRIPT ( 0 , 0 ) end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, <math alttext="b_{(0,0)}" class="ltx_Math" display="inline" id="Ch0.S3.p2.9.m2.2"><semantics id="Ch0.S3.p2.9.m2.2a"><msub id="Ch0.S3.p2.9.m2.2.3" xref="Ch0.S3.p2.9.m2.2.3.cmml"><mi id="Ch0.S3.p2.9.m2.2.3.2" xref="Ch0.S3.p2.9.m2.2.3.2.cmml">b</mi><mrow id="Ch0.S3.p2.9.m2.2.2.2.4" xref="Ch0.S3.p2.9.m2.2.2.2.3.cmml"><mo id="Ch0.S3.p2.9.m2.2.2.2.4.1" stretchy="false" xref="Ch0.S3.p2.9.m2.2.2.2.3.cmml">(</mo><mn id="Ch0.S3.p2.9.m2.1.1.1.1" xref="Ch0.S3.p2.9.m2.1.1.1.1.cmml">0</mn><mo id="Ch0.S3.p2.9.m2.2.2.2.4.2" xref="Ch0.S3.p2.9.m2.2.2.2.3.cmml">,</mo><mn id="Ch0.S3.p2.9.m2.2.2.2.2" xref="Ch0.S3.p2.9.m2.2.2.2.2.cmml">0</mn><mo id="Ch0.S3.p2.9.m2.2.2.2.4.3" stretchy="false" xref="Ch0.S3.p2.9.m2.2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Ch0.S3.p2.9.m2.2b"><apply id="Ch0.S3.p2.9.m2.2.3.cmml" xref="Ch0.S3.p2.9.m2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.S3.p2.9.m2.2.3.1.cmml" xref="Ch0.S3.p2.9.m2.2.3">subscript</csymbol><ci id="Ch0.S3.p2.9.m2.2.3.2.cmml" xref="Ch0.S3.p2.9.m2.2.3.2">𝑏</ci><interval closure="open" id="Ch0.S3.p2.9.m2.2.2.2.3.cmml" xref="Ch0.S3.p2.9.m2.2.2.2.4"><cn id="Ch0.S3.p2.9.m2.1.1.1.1.cmml" type="integer" xref="Ch0.S3.p2.9.m2.1.1.1.1">0</cn><cn id="Ch0.S3.p2.9.m2.2.2.2.2.cmml" type="integer" xref="Ch0.S3.p2.9.m2.2.2.2.2">0</cn></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Ch0.S3.p2.9.m2.2c">b_{(0,0)}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Ch0.S3.p2.9.m2.2d">italic_b start_POSTSUBSCRIPT ( 0 , 0 ) end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, <math alttext="c_{(0,0)}" class="ltx_Math" display="inline" id="Ch0.S3.p2.10.m3.2"><semantics id="Ch0.S3.p2.10.m3.2a"><msub id="Ch0.S3.p2.10.m3.2.3" xref="Ch0.S3.p2.10.m3.2.3.cmml"><mi id="Ch0.S3.p2.10.m3.2.3.2" xref="Ch0.S3.p2.10.m3.2.3.2.cmml">c</mi><mrow id="Ch0.S3.p2.10.m3.2.2.2.4" xref="Ch0.S3.p2.10.m3.2.2.2.3.cmml"><mo id="Ch0.S3.p2.10.m3.2.2.2.4.1" stretchy="false" xref="Ch0.S3.p2.10.m3.2.2.2.3.cmml">(</mo><mn id="Ch0.S3.p2.10.m3.1.1.1.1" xref="Ch0.S3.p2.10.m3.1.1.1.1.cmml">0</mn><mo id="Ch0.S3.p2.10.m3.2.2.2.4.2" xref="Ch0.S3.p2.10.m3.2.2.2.3.cmml">,</mo><mn id="Ch0.S3.p2.10.m3.2.2.2.2" xref="Ch0.S3.p2.10.m3.2.2.2.2.cmml">0</mn><mo id="Ch0.S3.p2.10.m3.2.2.2.4.3" stretchy="false" xref="Ch0.S3.p2.10.m3.2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Ch0.S3.p2.10.m3.2b"><apply id="Ch0.S3.p2.10.m3.2.3.cmml" xref="Ch0.S3.p2.10.m3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.S3.p2.10.m3.2.3.1.cmml" xref="Ch0.S3.p2.10.m3.2.3">subscript</csymbol><ci id="Ch0.S3.p2.10.m3.2.3.2.cmml" xref="Ch0.S3.p2.10.m3.2.3.2">𝑐</ci><interval closure="open" id="Ch0.S3.p2.10.m3.2.2.2.3.cmml" xref="Ch0.S3.p2.10.m3.2.2.2.4"><cn id="Ch0.S3.p2.10.m3.1.1.1.1.cmml" type="integer" xref="Ch0.S3.p2.10.m3.1.1.1.1">0</cn><cn id="Ch0.S3.p2.10.m3.2.2.2.2.cmml" type="integer" xref="Ch0.S3.p2.10.m3.2.2.2.2">0</cn></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Ch0.S3.p2.10.m3.2c">c_{(0,0)}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Ch0.S3.p2.10.m3.2d">italic_c start_POSTSUBSCRIPT ( 0 , 0 ) end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> and <math alttext="d_{(0,0)}" class="ltx_Math" display="inline" id="Ch0.S3.p2.11.m4.2"><semantics id="Ch0.S3.p2.11.m4.2a"><msub id="Ch0.S3.p2.11.m4.2.3" xref="Ch0.S3.p2.11.m4.2.3.cmml"><mi id="Ch0.S3.p2.11.m4.2.3.2" xref="Ch0.S3.p2.11.m4.2.3.2.cmml">d</mi><mrow id="Ch0.S3.p2.11.m4.2.2.2.4" xref="Ch0.S3.p2.11.m4.2.2.2.3.cmml"><mo id="Ch0.S3.p2.11.m4.2.2.2.4.1" stretchy="false" xref="Ch0.S3.p2.11.m4.2.2.2.3.cmml">(</mo><mn id="Ch0.S3.p2.11.m4.1.1.1.1" xref="Ch0.S3.p2.11.m4.1.1.1.1.cmml">0</mn><mo id="Ch0.S3.p2.11.m4.2.2.2.4.2" xref="Ch0.S3.p2.11.m4.2.2.2.3.cmml">,</mo><mn id="Ch0.S3.p2.11.m4.2.2.2.2" xref="Ch0.S3.p2.11.m4.2.2.2.2.cmml">0</mn><mo id="Ch0.S3.p2.11.m4.2.2.2.4.3" stretchy="false" xref="Ch0.S3.p2.11.m4.2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Ch0.S3.p2.11.m4.2b"><apply id="Ch0.S3.p2.11.m4.2.3.cmml" xref="Ch0.S3.p2.11.m4.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.S3.p2.11.m4.2.3.1.cmml" xref="Ch0.S3.p2.11.m4.2.3">subscript</csymbol><ci id="Ch0.S3.p2.11.m4.2.3.2.cmml" xref="Ch0.S3.p2.11.m4.2.3.2">𝑑</ci><interval closure="open" id="Ch0.S3.p2.11.m4.2.2.2.3.cmml" xref="Ch0.S3.p2.11.m4.2.2.2.4"><cn id="Ch0.S3.p2.11.m4.1.1.1.1.cmml" type="integer" xref="Ch0.S3.p2.11.m4.1.1.1.1">0</cn><cn id="Ch0.S3.p2.11.m4.2.2.2.2.cmml" type="integer" xref="Ch0.S3.p2.11.m4.2.2.2.2">0</cn></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Ch0.S3.p2.11.m4.2c">d_{(0,0)}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Ch0.S3.p2.11.m4.2d">italic_d start_POSTSUBSCRIPT ( 0 , 0 ) end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> are antisymmetric matrices.</p> </div> <div class="ltx_para" id="Ch0.S3.p3"> <p class="ltx_p" id="Ch0.S3.p3.4">In order to continue in the future with more structural properties of <math alttext="{\mathbb{Z}}_{2}^{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="Ch0.S3.p3.1.m1.1"><semantics id="Ch0.S3.p3.1.m1.1a"><msubsup id="Ch0.S3.p3.1.m1.1.1" xref="Ch0.S3.p3.1.m1.1.1.cmml"><mi id="Ch0.S3.p3.1.m1.1.1.2.2" xref="Ch0.S3.p3.1.m1.1.1.2.2.cmml">ℤ</mi><mn id="Ch0.S3.p3.1.m1.1.1.2.3" xref="Ch0.S3.p3.1.m1.1.1.2.3.cmml">2</mn><mn id="Ch0.S3.p3.1.m1.1.1.3" xref="Ch0.S3.p3.1.m1.1.1.3.cmml">2</mn></msubsup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Ch0.S3.p3.1.m1.1b"><apply id="Ch0.S3.p3.1.m1.1.1.cmml" xref="Ch0.S3.p3.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.S3.p3.1.m1.1.1.1.cmml" xref="Ch0.S3.p3.1.m1.1.1">superscript</csymbol><apply id="Ch0.S3.p3.1.m1.1.1.2.cmml" xref="Ch0.S3.p3.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.S3.p3.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="Ch0.S3.p3.1.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="Ch0.S3.p3.1.m1.1.1.2.2.cmml" xref="Ch0.S3.p3.1.m1.1.1.2.2">ℤ</ci><cn id="Ch0.S3.p3.1.m1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="Ch0.S3.p3.1.m1.1.1.2.3">2</cn></apply><cn id="Ch0.S3.p3.1.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="Ch0.S3.p3.1.m1.1.1.3">2</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Ch0.S3.p3.1.m1.1c">{\mathbb{Z}}_{2}^{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Ch0.S3.p3.1.m1.1d">blackboard_Z start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>-GLA’s (roots, root space decomposition, etc.), it would be interesting to identify a Cartan subalgebra of (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2408.09274v1#Ch0.E16" title="In 3 ℤ₂²-GLA’s as subalgebras of 𝔰⁢𝔩_{𝑝,𝑞,𝑟,𝑠}⁢(𝑛) ‣ Matrix structure of classical ℤ₂×ℤ₂ graded Lie algebras"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">16</span></a>). The classical choice (as for the Lie algebra <math alttext="\mathfrak{so}(n)" class="ltx_Math" display="inline" id="Ch0.S3.p3.2.m2.1"><semantics id="Ch0.S3.p3.2.m2.1a"><mrow id="Ch0.S3.p3.2.m2.1.2" xref="Ch0.S3.p3.2.m2.1.2.cmml"><mi id="Ch0.S3.p3.2.m2.1.2.2" xref="Ch0.S3.p3.2.m2.1.2.2.cmml">𝔰</mi><mo id="Ch0.S3.p3.2.m2.1.2.1" xref="Ch0.S3.p3.2.m2.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="Ch0.S3.p3.2.m2.1.2.3" xref="Ch0.S3.p3.2.m2.1.2.3.cmml">𝔬</mi><mo id="Ch0.S3.p3.2.m2.1.2.1a" xref="Ch0.S3.p3.2.m2.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="Ch0.S3.p3.2.m2.1.2.4.2" xref="Ch0.S3.p3.2.m2.1.2.cmml"><mo id="Ch0.S3.p3.2.m2.1.2.4.2.1" stretchy="false" xref="Ch0.S3.p3.2.m2.1.2.cmml">(</mo><mi id="Ch0.S3.p3.2.m2.1.1" xref="Ch0.S3.p3.2.m2.1.1.cmml">n</mi><mo id="Ch0.S3.p3.2.m2.1.2.4.2.2" stretchy="false" xref="Ch0.S3.p3.2.m2.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Ch0.S3.p3.2.m2.1b"><apply id="Ch0.S3.p3.2.m2.1.2.cmml" xref="Ch0.S3.p3.2.m2.1.2"><times id="Ch0.S3.p3.2.m2.1.2.1.cmml" xref="Ch0.S3.p3.2.m2.1.2.1"></times><ci id="Ch0.S3.p3.2.m2.1.2.2.cmml" xref="Ch0.S3.p3.2.m2.1.2.2">𝔰</ci><ci id="Ch0.S3.p3.2.m2.1.2.3.cmml" xref="Ch0.S3.p3.2.m2.1.2.3">𝔬</ci><ci id="Ch0.S3.p3.2.m2.1.1.cmml" xref="Ch0.S3.p3.2.m2.1.1">𝑛</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Ch0.S3.p3.2.m2.1c">\mathfrak{so}(n)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Ch0.S3.p3.2.m2.1d">fraktur_s fraktur_o ( italic_n )</annotation></semantics></math> of antisymmetric matrices) would lead here to a nonabelian algebra (since the Cartan subalgebra elements would not all be elements of <math alttext="\mathfrak{so}_{p,q,r,s}(n)_{(0,0)}" class="ltx_Math" display="inline" id="Ch0.S3.p3.3.m3.7"><semantics id="Ch0.S3.p3.3.m3.7a"><mrow id="Ch0.S3.p3.3.m3.7.8" xref="Ch0.S3.p3.3.m3.7.8.cmml"><mi id="Ch0.S3.p3.3.m3.7.8.2" xref="Ch0.S3.p3.3.m3.7.8.2.cmml">𝔰</mi><mo id="Ch0.S3.p3.3.m3.7.8.1" xref="Ch0.S3.p3.3.m3.7.8.1.cmml">⁢</mo><msub id="Ch0.S3.p3.3.m3.7.8.3" xref="Ch0.S3.p3.3.m3.7.8.3.cmml"><mi id="Ch0.S3.p3.3.m3.7.8.3.2" xref="Ch0.S3.p3.3.m3.7.8.3.2.cmml">𝔬</mi><mrow id="Ch0.S3.p3.3.m3.4.4.4.6" xref="Ch0.S3.p3.3.m3.4.4.4.5.cmml"><mi id="Ch0.S3.p3.3.m3.1.1.1.1" xref="Ch0.S3.p3.3.m3.1.1.1.1.cmml">p</mi><mo id="Ch0.S3.p3.3.m3.4.4.4.6.1" xref="Ch0.S3.p3.3.m3.4.4.4.5.cmml">,</mo><mi id="Ch0.S3.p3.3.m3.2.2.2.2" xref="Ch0.S3.p3.3.m3.2.2.2.2.cmml">q</mi><mo id="Ch0.S3.p3.3.m3.4.4.4.6.2" xref="Ch0.S3.p3.3.m3.4.4.4.5.cmml">,</mo><mi id="Ch0.S3.p3.3.m3.3.3.3.3" xref="Ch0.S3.p3.3.m3.3.3.3.3.cmml">r</mi><mo id="Ch0.S3.p3.3.m3.4.4.4.6.3" xref="Ch0.S3.p3.3.m3.4.4.4.5.cmml">,</mo><mi id="Ch0.S3.p3.3.m3.4.4.4.4" xref="Ch0.S3.p3.3.m3.4.4.4.4.cmml">s</mi></mrow></msub><mo id="Ch0.S3.p3.3.m3.7.8.1a" xref="Ch0.S3.p3.3.m3.7.8.1.cmml">⁢</mo><msub id="Ch0.S3.p3.3.m3.7.8.4" xref="Ch0.S3.p3.3.m3.7.8.4.cmml"><mrow id="Ch0.S3.p3.3.m3.7.8.4.2.2" xref="Ch0.S3.p3.3.m3.7.8.4.cmml"><mo id="Ch0.S3.p3.3.m3.7.8.4.2.2.1" stretchy="false" xref="Ch0.S3.p3.3.m3.7.8.4.cmml">(</mo><mi id="Ch0.S3.p3.3.m3.7.7" xref="Ch0.S3.p3.3.m3.7.7.cmml">n</mi><mo id="Ch0.S3.p3.3.m3.7.8.4.2.2.2" stretchy="false" xref="Ch0.S3.p3.3.m3.7.8.4.cmml">)</mo></mrow><mrow id="Ch0.S3.p3.3.m3.6.6.2.4" xref="Ch0.S3.p3.3.m3.6.6.2.3.cmml"><mo id="Ch0.S3.p3.3.m3.6.6.2.4.1" stretchy="false" xref="Ch0.S3.p3.3.m3.6.6.2.3.cmml">(</mo><mn id="Ch0.S3.p3.3.m3.5.5.1.1" xref="Ch0.S3.p3.3.m3.5.5.1.1.cmml">0</mn><mo id="Ch0.S3.p3.3.m3.6.6.2.4.2" xref="Ch0.S3.p3.3.m3.6.6.2.3.cmml">,</mo><mn id="Ch0.S3.p3.3.m3.6.6.2.2" xref="Ch0.S3.p3.3.m3.6.6.2.2.cmml">0</mn><mo id="Ch0.S3.p3.3.m3.6.6.2.4.3" stretchy="false" xref="Ch0.S3.p3.3.m3.6.6.2.3.cmml">)</mo></mrow></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Ch0.S3.p3.3.m3.7b"><apply id="Ch0.S3.p3.3.m3.7.8.cmml" xref="Ch0.S3.p3.3.m3.7.8"><times id="Ch0.S3.p3.3.m3.7.8.1.cmml" xref="Ch0.S3.p3.3.m3.7.8.1"></times><ci id="Ch0.S3.p3.3.m3.7.8.2.cmml" xref="Ch0.S3.p3.3.m3.7.8.2">𝔰</ci><apply id="Ch0.S3.p3.3.m3.7.8.3.cmml" xref="Ch0.S3.p3.3.m3.7.8.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.S3.p3.3.m3.7.8.3.1.cmml" xref="Ch0.S3.p3.3.m3.7.8.3">subscript</csymbol><ci id="Ch0.S3.p3.3.m3.7.8.3.2.cmml" xref="Ch0.S3.p3.3.m3.7.8.3.2">𝔬</ci><list id="Ch0.S3.p3.3.m3.4.4.4.5.cmml" xref="Ch0.S3.p3.3.m3.4.4.4.6"><ci id="Ch0.S3.p3.3.m3.1.1.1.1.cmml" xref="Ch0.S3.p3.3.m3.1.1.1.1">𝑝</ci><ci id="Ch0.S3.p3.3.m3.2.2.2.2.cmml" xref="Ch0.S3.p3.3.m3.2.2.2.2">𝑞</ci><ci id="Ch0.S3.p3.3.m3.3.3.3.3.cmml" xref="Ch0.S3.p3.3.m3.3.3.3.3">𝑟</ci><ci id="Ch0.S3.p3.3.m3.4.4.4.4.cmml" xref="Ch0.S3.p3.3.m3.4.4.4.4">𝑠</ci></list></apply><apply id="Ch0.S3.p3.3.m3.7.8.4.cmml" xref="Ch0.S3.p3.3.m3.7.8.4"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.S3.p3.3.m3.7.8.4.1.cmml" xref="Ch0.S3.p3.3.m3.7.8.4">subscript</csymbol><ci id="Ch0.S3.p3.3.m3.7.7.cmml" xref="Ch0.S3.p3.3.m3.7.7">𝑛</ci><interval closure="open" id="Ch0.S3.p3.3.m3.6.6.2.3.cmml" xref="Ch0.S3.p3.3.m3.6.6.2.4"><cn id="Ch0.S3.p3.3.m3.5.5.1.1.cmml" type="integer" xref="Ch0.S3.p3.3.m3.5.5.1.1">0</cn><cn id="Ch0.S3.p3.3.m3.6.6.2.2.cmml" type="integer" xref="Ch0.S3.p3.3.m3.6.6.2.2">0</cn></interval></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Ch0.S3.p3.3.m3.7c">\mathfrak{so}_{p,q,r,s}(n)_{(0,0)}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Ch0.S3.p3.3.m3.7d">fraktur_s fraktur_o start_POSTSUBSCRIPT italic_p , italic_q , italic_r , italic_s end_POSTSUBSCRIPT ( italic_n ) start_POSTSUBSCRIPT ( 0 , 0 ) end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>). Hence we will construct some other subalgebras of <math alttext="\mathfrak{sl}_{p,q,r,s}(n)" class="ltx_Math" display="inline" id="Ch0.S3.p3.4.m4.5"><semantics id="Ch0.S3.p3.4.m4.5a"><mrow id="Ch0.S3.p3.4.m4.5.6" xref="Ch0.S3.p3.4.m4.5.6.cmml"><mi id="Ch0.S3.p3.4.m4.5.6.2" xref="Ch0.S3.p3.4.m4.5.6.2.cmml">𝔰</mi><mo id="Ch0.S3.p3.4.m4.5.6.1" xref="Ch0.S3.p3.4.m4.5.6.1.cmml">⁢</mo><msub id="Ch0.S3.p3.4.m4.5.6.3" xref="Ch0.S3.p3.4.m4.5.6.3.cmml"><mi id="Ch0.S3.p3.4.m4.5.6.3.2" xref="Ch0.S3.p3.4.m4.5.6.3.2.cmml">𝔩</mi><mrow id="Ch0.S3.p3.4.m4.4.4.4.6" xref="Ch0.S3.p3.4.m4.4.4.4.5.cmml"><mi id="Ch0.S3.p3.4.m4.1.1.1.1" xref="Ch0.S3.p3.4.m4.1.1.1.1.cmml">p</mi><mo id="Ch0.S3.p3.4.m4.4.4.4.6.1" xref="Ch0.S3.p3.4.m4.4.4.4.5.cmml">,</mo><mi id="Ch0.S3.p3.4.m4.2.2.2.2" xref="Ch0.S3.p3.4.m4.2.2.2.2.cmml">q</mi><mo id="Ch0.S3.p3.4.m4.4.4.4.6.2" xref="Ch0.S3.p3.4.m4.4.4.4.5.cmml">,</mo><mi id="Ch0.S3.p3.4.m4.3.3.3.3" xref="Ch0.S3.p3.4.m4.3.3.3.3.cmml">r</mi><mo id="Ch0.S3.p3.4.m4.4.4.4.6.3" xref="Ch0.S3.p3.4.m4.4.4.4.5.cmml">,</mo><mi id="Ch0.S3.p3.4.m4.4.4.4.4" xref="Ch0.S3.p3.4.m4.4.4.4.4.cmml">s</mi></mrow></msub><mo id="Ch0.S3.p3.4.m4.5.6.1a" xref="Ch0.S3.p3.4.m4.5.6.1.cmml">⁢</mo><mrow id="Ch0.S3.p3.4.m4.5.6.4.2" xref="Ch0.S3.p3.4.m4.5.6.cmml"><mo id="Ch0.S3.p3.4.m4.5.6.4.2.1" stretchy="false" xref="Ch0.S3.p3.4.m4.5.6.cmml">(</mo><mi id="Ch0.S3.p3.4.m4.5.5" xref="Ch0.S3.p3.4.m4.5.5.cmml">n</mi><mo id="Ch0.S3.p3.4.m4.5.6.4.2.2" stretchy="false" xref="Ch0.S3.p3.4.m4.5.6.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Ch0.S3.p3.4.m4.5b"><apply id="Ch0.S3.p3.4.m4.5.6.cmml" xref="Ch0.S3.p3.4.m4.5.6"><times id="Ch0.S3.p3.4.m4.5.6.1.cmml" xref="Ch0.S3.p3.4.m4.5.6.1"></times><ci id="Ch0.S3.p3.4.m4.5.6.2.cmml" xref="Ch0.S3.p3.4.m4.5.6.2">𝔰</ci><apply id="Ch0.S3.p3.4.m4.5.6.3.cmml" xref="Ch0.S3.p3.4.m4.5.6.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.S3.p3.4.m4.5.6.3.1.cmml" xref="Ch0.S3.p3.4.m4.5.6.3">subscript</csymbol><ci id="Ch0.S3.p3.4.m4.5.6.3.2.cmml" xref="Ch0.S3.p3.4.m4.5.6.3.2">𝔩</ci><list id="Ch0.S3.p3.4.m4.4.4.4.5.cmml" xref="Ch0.S3.p3.4.m4.4.4.4.6"><ci id="Ch0.S3.p3.4.m4.1.1.1.1.cmml" xref="Ch0.S3.p3.4.m4.1.1.1.1">𝑝</ci><ci id="Ch0.S3.p3.4.m4.2.2.2.2.cmml" xref="Ch0.S3.p3.4.m4.2.2.2.2">𝑞</ci><ci id="Ch0.S3.p3.4.m4.3.3.3.3.cmml" xref="Ch0.S3.p3.4.m4.3.3.3.3">𝑟</ci><ci id="Ch0.S3.p3.4.m4.4.4.4.4.cmml" xref="Ch0.S3.p3.4.m4.4.4.4.4">𝑠</ci></list></apply><ci id="Ch0.S3.p3.4.m4.5.5.cmml" xref="Ch0.S3.p3.4.m4.5.5">𝑛</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Ch0.S3.p3.4.m4.5c">\mathfrak{sl}_{p,q,r,s}(n)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Ch0.S3.p3.4.m4.5d">fraktur_s fraktur_l start_POSTSUBSCRIPT italic_p , italic_q , italic_r , italic_s end_POSTSUBSCRIPT ( italic_n )</annotation></semantics></math>, with a matrix form that does exhibit a Cartan subalgebra consisting of diagonal matrices.</p> </div> <div class="ltx_para" id="Ch0.S3.p4"> <p class="ltx_p" id="Ch0.S3.p4.3">For classical LA’s of type <math alttext="B" class="ltx_Math" display="inline" id="Ch0.S3.p4.1.m1.1"><semantics id="Ch0.S3.p4.1.m1.1a"><mi id="Ch0.S3.p4.1.m1.1.1" xref="Ch0.S3.p4.1.m1.1.1.cmml">B</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Ch0.S3.p4.1.m1.1b"><ci id="Ch0.S3.p4.1.m1.1.1.cmml" xref="Ch0.S3.p4.1.m1.1.1">𝐵</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Ch0.S3.p4.1.m1.1c">B</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Ch0.S3.p4.1.m1.1d">italic_B</annotation></semantics></math>, <math alttext="C" class="ltx_Math" display="inline" id="Ch0.S3.p4.2.m2.1"><semantics id="Ch0.S3.p4.2.m2.1a"><mi id="Ch0.S3.p4.2.m2.1.1" xref="Ch0.S3.p4.2.m2.1.1.cmml">C</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Ch0.S3.p4.2.m2.1b"><ci id="Ch0.S3.p4.2.m2.1.1.cmml" xref="Ch0.S3.p4.2.m2.1.1">𝐶</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Ch0.S3.p4.2.m2.1c">C</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Ch0.S3.p4.2.m2.1d">italic_C</annotation></semantics></math>, <math alttext="D" class="ltx_Math" display="inline" id="Ch0.S3.p4.3.m3.1"><semantics id="Ch0.S3.p4.3.m3.1a"><mi id="Ch0.S3.p4.3.m3.1.1" xref="Ch0.S3.p4.3.m3.1.1.cmml">D</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Ch0.S3.p4.3.m3.1b"><ci id="Ch0.S3.p4.3.m3.1.1.cmml" xref="Ch0.S3.p4.3.m3.1.1">𝐷</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Ch0.S3.p4.3.m3.1c">D</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Ch0.S3.p4.3.m3.1d">italic_D</annotation></semantics></math>, the appropriate matrix form exhibiting a Cartan subalgebra of diagonal matrices is given by the following block matrices <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2408.09274v1#bib.bib10" title="">Fulton </a>; <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2408.09274v1#bib.bib13" title="">Humphreys </a></cite>:</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="Ch0.E17"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\begin{array}[]{lll}{\begin{array}[]{ll}G=\mathfrak{so}(2n+1)\\ (\dim G=2n^{2}+n)\end{array}}&\begin{array}[]{c c}{\begin{array}[]{@{} c c c @% {}}\ \ n&\ \ n&1\end{array}}&{}\hfil\\ \left(\begin{array}[]{@{} c c c @{}}a&b&c\\[1.42262pt] d&-a^{t}&e\\[1.42262pt] -e^{t}&-c^{t}&0\end{array}\right)&{\begin{array}[]{c}n\\[1.42262pt] n\\[1.42262pt] 1\end{array}}\end{array}&\hbox{$b$ and $d$ antisymmetric};\\[22.76219pt] {\begin{array}[]{ll}G=\mathfrak{sp}(2n)\\ (\dim G=2n^{2}+n)\end{array}}&\begin{array}[]{c c}{\begin{array}[]{@{} c c @{}% }\,n&\,n\end{array}}&{}\hfil\\ \left(\begin{array}[]{@{} c c @{}}a&b\\[1.42262pt] c&-a^{t}\end{array}\right)&{\begin{array}[]{c}n\\[1.42262pt] n\end{array}}\end{array}&\hbox{$b$ and $c$ symmetric};\\[22.76219pt] {\begin{array}[]{ll}G=\mathfrak{so}(2n)\\ (\dim G=2n^{2}-n)\end{array}}&\begin{array}[]{c c}{\begin{array}[]{@{} c c @{}% }\,n&\,n\end{array}}&{}\hfil\\ \left(\begin{array}[]{@{} c c @{}}a&b\\[1.42262pt] c&-a^{t}\end{array}\right)&{\begin{array}[]{c}n\\[1.42262pt] n\end{array}}\end{array}&\hbox{$b$ and $c$ antisymmetric}.\end{array}" class="ltx_Math" display="block" id="Ch0.E17.m1.15"><semantics id="Ch0.E17.m1.15a"><mtable columnspacing="5pt" displaystyle="true" id="Ch0.E17.m1.15.15" rowspacing="0pt" xref="Ch0.E17.m1.15.15.cmml"><mtr id="Ch0.E17.m1.15.15a" xref="Ch0.E17.m1.15.15.cmml"><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="Ch0.E17.m1.15.15b" xref="Ch0.E17.m1.15.15.cmml"><mtable columnspacing="5pt" displaystyle="true" id="Ch0.E17.m1.8.8.8.4.2" rowspacing="0pt" xref="Ch0.E17.m1.8.8.8.4.2.cmml"><mtr id="Ch0.E17.m1.8.8.8.4.2a" xref="Ch0.E17.m1.8.8.8.4.2.cmml"><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="Ch0.E17.m1.8.8.8.4.2b" xref="Ch0.E17.m1.8.8.8.4.2.cmml"><mrow id="Ch0.E17.m1.7.7.7.3.1.1.1.1.1" xref="Ch0.E17.m1.7.7.7.3.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="Ch0.E17.m1.7.7.7.3.1.1.1.1.1.3" xref="Ch0.E17.m1.7.7.7.3.1.1.1.1.1.3.cmml">G</mi><mo id="Ch0.E17.m1.7.7.7.3.1.1.1.1.1.2" xref="Ch0.E17.m1.7.7.7.3.1.1.1.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="Ch0.E17.m1.7.7.7.3.1.1.1.1.1.1" xref="Ch0.E17.m1.7.7.7.3.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="Ch0.E17.m1.7.7.7.3.1.1.1.1.1.1.3" xref="Ch0.E17.m1.7.7.7.3.1.1.1.1.1.1.3.cmml">𝔰</mi><mo id="Ch0.E17.m1.7.7.7.3.1.1.1.1.1.1.2" xref="Ch0.E17.m1.7.7.7.3.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="Ch0.E17.m1.7.7.7.3.1.1.1.1.1.1.4" xref="Ch0.E17.m1.7.7.7.3.1.1.1.1.1.1.4.cmml">𝔬</mi><mo id="Ch0.E17.m1.7.7.7.3.1.1.1.1.1.1.2a" xref="Ch0.E17.m1.7.7.7.3.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="Ch0.E17.m1.7.7.7.3.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="Ch0.E17.m1.7.7.7.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="Ch0.E17.m1.7.7.7.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="Ch0.E17.m1.7.7.7.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="Ch0.E17.m1.7.7.7.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="Ch0.E17.m1.7.7.7.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="Ch0.E17.m1.7.7.7.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="Ch0.E17.m1.7.7.7.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mn id="Ch0.E17.m1.7.7.7.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="Ch0.E17.m1.7.7.7.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">2</mn><mo id="Ch0.E17.m1.7.7.7.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="Ch0.E17.m1.7.7.7.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="Ch0.E17.m1.7.7.7.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="Ch0.E17.m1.7.7.7.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">n</mi></mrow><mo id="Ch0.E17.m1.7.7.7.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="Ch0.E17.m1.7.7.7.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mn id="Ch0.E17.m1.7.7.7.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="Ch0.E17.m1.7.7.7.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="Ch0.E17.m1.7.7.7.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="Ch0.E17.m1.7.7.7.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mtd><mtd id="Ch0.E17.m1.8.8.8.4.2c" xref="Ch0.E17.m1.8.8.8.4.2.cmml"></mtd></mtr><mtr id="Ch0.E17.m1.8.8.8.4.2d" xref="Ch0.E17.m1.8.8.8.4.2.cmml"><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="Ch0.E17.m1.8.8.8.4.2e" xref="Ch0.E17.m1.8.8.8.4.2.cmml"><mrow id="Ch0.E17.m1.8.8.8.4.2.2.2.1.1.1" xref="Ch0.E17.m1.8.8.8.4.2.2.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="Ch0.E17.m1.8.8.8.4.2.2.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="Ch0.E17.m1.8.8.8.4.2.2.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="Ch0.E17.m1.8.8.8.4.2.2.2.1.1.1.1" xref="Ch0.E17.m1.8.8.8.4.2.2.2.1.1.1.1.cmml"><mrow id="Ch0.E17.m1.8.8.8.4.2.2.2.1.1.1.1.2" xref="Ch0.E17.m1.8.8.8.4.2.2.2.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="Ch0.E17.m1.8.8.8.4.2.2.2.1.1.1.1.2.1" lspace="0em" rspace="0.167em" xref="Ch0.E17.m1.8.8.8.4.2.2.2.1.1.1.1.2.1.cmml">dim</mo><mi id="Ch0.E17.m1.8.8.8.4.2.2.2.1.1.1.1.2.2" xref="Ch0.E17.m1.8.8.8.4.2.2.2.1.1.1.1.2.2.cmml">G</mi></mrow><mo id="Ch0.E17.m1.8.8.8.4.2.2.2.1.1.1.1.1" xref="Ch0.E17.m1.8.8.8.4.2.2.2.1.1.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="Ch0.E17.m1.8.8.8.4.2.2.2.1.1.1.1.3" xref="Ch0.E17.m1.8.8.8.4.2.2.2.1.1.1.1.3.cmml"><mrow id="Ch0.E17.m1.8.8.8.4.2.2.2.1.1.1.1.3.2" xref="Ch0.E17.m1.8.8.8.4.2.2.2.1.1.1.1.3.2.cmml"><mn id="Ch0.E17.m1.8.8.8.4.2.2.2.1.1.1.1.3.2.2" xref="Ch0.E17.m1.8.8.8.4.2.2.2.1.1.1.1.3.2.2.cmml">2</mn><mo id="Ch0.E17.m1.8.8.8.4.2.2.2.1.1.1.1.3.2.1" xref="Ch0.E17.m1.8.8.8.4.2.2.2.1.1.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="Ch0.E17.m1.8.8.8.4.2.2.2.1.1.1.1.3.2.3" xref="Ch0.E17.m1.8.8.8.4.2.2.2.1.1.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="Ch0.E17.m1.8.8.8.4.2.2.2.1.1.1.1.3.2.3.2" xref="Ch0.E17.m1.8.8.8.4.2.2.2.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml">n</mi><mn id="Ch0.E17.m1.8.8.8.4.2.2.2.1.1.1.1.3.2.3.3" xref="Ch0.E17.m1.8.8.8.4.2.2.2.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml">2</mn></msup></mrow><mo id="Ch0.E17.m1.8.8.8.4.2.2.2.1.1.1.1.3.1" xref="Ch0.E17.m1.8.8.8.4.2.2.2.1.1.1.1.3.1.cmml">+</mo><mi id="Ch0.E17.m1.8.8.8.4.2.2.2.1.1.1.1.3.3" xref="Ch0.E17.m1.8.8.8.4.2.2.2.1.1.1.1.3.3.cmml">n</mi></mrow></mrow><mo id="Ch0.E17.m1.8.8.8.4.2.2.2.1.1.1.3" stretchy="false" xref="Ch0.E17.m1.8.8.8.4.2.2.2.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mtd><mtd id="Ch0.E17.m1.8.8.8.4.2f" xref="Ch0.E17.m1.8.8.8.4.2.cmml"></mtd></mtr></mtable></mtd><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="Ch0.E17.m1.15.15c" xref="Ch0.E17.m1.15.15.cmml"><mtable columnspacing="5pt" displaystyle="true" id="Ch0.E17.m1.9.9.9.5.1" rowspacing="0pt" xref="Ch0.E17.m1.9.9.9.5.1.cmml"><mtr id="Ch0.E17.m1.9.9.9.5.1a" xref="Ch0.E17.m1.9.9.9.5.1.cmml"><mtd id="Ch0.E17.m1.9.9.9.5.1b" xref="Ch0.E17.m1.9.9.9.5.1.cmml"><mtable columnspacing="5pt" displaystyle="true" id="Ch0.E17.m1.9.9.9.5.1.2.1.1" xref="Ch0.E17.m1.9.9.9.5.1.2.1.1.cmml"><mtr id="Ch0.E17.m1.9.9.9.5.1.2.1.1a" xref="Ch0.E17.m1.9.9.9.5.1.2.1.1.cmml"><mtd id="Ch0.E17.m1.9.9.9.5.1.2.1.1b" xref="Ch0.E17.m1.9.9.9.5.1.2.1.1.cmml"><mi id="Ch0.E17.m1.9.9.9.5.1.2.1.1.1.1.1" xref="Ch0.E17.m1.9.9.9.5.1.2.1.1.1.1.1.cmml">n</mi></mtd><mtd id="Ch0.E17.m1.9.9.9.5.1.2.1.1c" xref="Ch0.E17.m1.9.9.9.5.1.2.1.1.cmml"><mi id="Ch0.E17.m1.9.9.9.5.1.2.1.1.1.2.1" xref="Ch0.E17.m1.9.9.9.5.1.2.1.1.1.2.1.cmml">n</mi></mtd><mtd id="Ch0.E17.m1.9.9.9.5.1.2.1.1d" xref="Ch0.E17.m1.9.9.9.5.1.2.1.1.cmml"><mn id="Ch0.E17.m1.9.9.9.5.1.2.1.1.1.3.1" xref="Ch0.E17.m1.9.9.9.5.1.2.1.1.1.3.1.cmml">1</mn></mtd></mtr></mtable></mtd><mtd id="Ch0.E17.m1.9.9.9.5.1c" xref="Ch0.E17.m1.9.9.9.5.1.cmml"></mtd></mtr><mtr id="Ch0.E17.m1.9.9.9.5.1d" xref="Ch0.E17.m1.9.9.9.5.1.cmml"><mtd id="Ch0.E17.m1.9.9.9.5.1e" xref="Ch0.E17.m1.9.9.9.5.1.cmml"><mrow id="Ch0.E17.m1.9.9.9.5.1.1.1.1.1.3" xref="Ch0.E17.m1.9.9.9.5.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="Ch0.E17.m1.9.9.9.5.1.1.1.1.1.3.1" xref="Ch0.E17.m1.9.9.9.5.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mtable columnspacing="5pt" displaystyle="true" id="Ch0.E17.m1.9.9.9.5.1.1.1.1.1.1" rowspacing="0pt" xref="Ch0.E17.m1.9.9.9.5.1.1.1.1.1.1.cmml"><mtr id="Ch0.E17.m1.9.9.9.5.1.1.1.1.1.1a" xref="Ch0.E17.m1.9.9.9.5.1.1.1.1.1.1.cmml"><mtd id="Ch0.E17.m1.9.9.9.5.1.1.1.1.1.1b" xref="Ch0.E17.m1.9.9.9.5.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="Ch0.E17.m1.9.9.9.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="Ch0.E17.m1.9.9.9.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">a</mi></mtd><mtd id="Ch0.E17.m1.9.9.9.5.1.1.1.1.1.1c" xref="Ch0.E17.m1.9.9.9.5.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="Ch0.E17.m1.9.9.9.5.1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="Ch0.E17.m1.9.9.9.5.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">b</mi></mtd><mtd id="Ch0.E17.m1.9.9.9.5.1.1.1.1.1.1d" xref="Ch0.E17.m1.9.9.9.5.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="Ch0.E17.m1.9.9.9.5.1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="Ch0.E17.m1.9.9.9.5.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">c</mi></mtd></mtr><mtr id="Ch0.E17.m1.9.9.9.5.1.1.1.1.1.1e" xref="Ch0.E17.m1.9.9.9.5.1.1.1.1.1.1.cmml"><mtd id="Ch0.E17.m1.9.9.9.5.1.1.1.1.1.1f" xref="Ch0.E17.m1.9.9.9.5.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="Ch0.E17.m1.9.9.9.5.1.1.1.1.1.1.2.1.1" xref="Ch0.E17.m1.9.9.9.5.1.1.1.1.1.1.2.1.1.cmml">d</mi></mtd><mtd id="Ch0.E17.m1.9.9.9.5.1.1.1.1.1.1g" xref="Ch0.E17.m1.9.9.9.5.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="Ch0.E17.m1.9.9.9.5.1.1.1.1.1.1.2.2.1" xref="Ch0.E17.m1.9.9.9.5.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml"><mo id="Ch0.E17.m1.9.9.9.5.1.1.1.1.1.1.2.2.1a" xref="Ch0.E17.m1.9.9.9.5.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml">−</mo><msup id="Ch0.E17.m1.9.9.9.5.1.1.1.1.1.1.2.2.1.2" xref="Ch0.E17.m1.9.9.9.5.1.1.1.1.1.1.2.2.1.2.cmml"><mi id="Ch0.E17.m1.9.9.9.5.1.1.1.1.1.1.2.2.1.2.2" xref="Ch0.E17.m1.9.9.9.5.1.1.1.1.1.1.2.2.1.2.2.cmml">a</mi><mi id="Ch0.E17.m1.9.9.9.5.1.1.1.1.1.1.2.2.1.2.3" xref="Ch0.E17.m1.9.9.9.5.1.1.1.1.1.1.2.2.1.2.3.cmml">t</mi></msup></mrow></mtd><mtd id="Ch0.E17.m1.9.9.9.5.1.1.1.1.1.1h" xref="Ch0.E17.m1.9.9.9.5.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="Ch0.E17.m1.9.9.9.5.1.1.1.1.1.1.2.3.1" xref="Ch0.E17.m1.9.9.9.5.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml">e</mi></mtd></mtr><mtr id="Ch0.E17.m1.9.9.9.5.1.1.1.1.1.1i" xref="Ch0.E17.m1.9.9.9.5.1.1.1.1.1.1.cmml"><mtd id="Ch0.E17.m1.9.9.9.5.1.1.1.1.1.1j" xref="Ch0.E17.m1.9.9.9.5.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="Ch0.E17.m1.9.9.9.5.1.1.1.1.1.1.3.1.1" xref="Ch0.E17.m1.9.9.9.5.1.1.1.1.1.1.3.1.1.cmml"><mo id="Ch0.E17.m1.9.9.9.5.1.1.1.1.1.1.3.1.1a" xref="Ch0.E17.m1.9.9.9.5.1.1.1.1.1.1.3.1.1.cmml">−</mo><msup id="Ch0.E17.m1.9.9.9.5.1.1.1.1.1.1.3.1.1.2" xref="Ch0.E17.m1.9.9.9.5.1.1.1.1.1.1.3.1.1.2.cmml"><mi id="Ch0.E17.m1.9.9.9.5.1.1.1.1.1.1.3.1.1.2.2" xref="Ch0.E17.m1.9.9.9.5.1.1.1.1.1.1.3.1.1.2.2.cmml">e</mi><mi id="Ch0.E17.m1.9.9.9.5.1.1.1.1.1.1.3.1.1.2.3" xref="Ch0.E17.m1.9.9.9.5.1.1.1.1.1.1.3.1.1.2.3.cmml">t</mi></msup></mrow></mtd><mtd id="Ch0.E17.m1.9.9.9.5.1.1.1.1.1.1k" xref="Ch0.E17.m1.9.9.9.5.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="Ch0.E17.m1.9.9.9.5.1.1.1.1.1.1.3.2.1" xref="Ch0.E17.m1.9.9.9.5.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml"><mo id="Ch0.E17.m1.9.9.9.5.1.1.1.1.1.1.3.2.1a" xref="Ch0.E17.m1.9.9.9.5.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml">−</mo><msup id="Ch0.E17.m1.9.9.9.5.1.1.1.1.1.1.3.2.1.2" xref="Ch0.E17.m1.9.9.9.5.1.1.1.1.1.1.3.2.1.2.cmml"><mi id="Ch0.E17.m1.9.9.9.5.1.1.1.1.1.1.3.2.1.2.2" xref="Ch0.E17.m1.9.9.9.5.1.1.1.1.1.1.3.2.1.2.2.cmml">c</mi><mi id="Ch0.E17.m1.9.9.9.5.1.1.1.1.1.1.3.2.1.2.3" xref="Ch0.E17.m1.9.9.9.5.1.1.1.1.1.1.3.2.1.2.3.cmml">t</mi></msup></mrow></mtd><mtd id="Ch0.E17.m1.9.9.9.5.1.1.1.1.1.1l" xref="Ch0.E17.m1.9.9.9.5.1.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="Ch0.E17.m1.9.9.9.5.1.1.1.1.1.1.3.3.1" xref="Ch0.E17.m1.9.9.9.5.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">0</mn></mtd></mtr></mtable><mo id="Ch0.E17.m1.9.9.9.5.1.1.1.1.1.3.2" xref="Ch0.E17.m1.9.9.9.5.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mtd><mtd id="Ch0.E17.m1.9.9.9.5.1f" xref="Ch0.E17.m1.9.9.9.5.1.cmml"><mtable displaystyle="true" id="Ch0.E17.m1.9.9.9.5.1.1.1.2.1" rowspacing="0pt" xref="Ch0.E17.m1.9.9.9.5.1.1.1.2.1.cmml"><mtr id="Ch0.E17.m1.9.9.9.5.1.1.1.2.1a" xref="Ch0.E17.m1.9.9.9.5.1.1.1.2.1.cmml"><mtd id="Ch0.E17.m1.9.9.9.5.1.1.1.2.1b" xref="Ch0.E17.m1.9.9.9.5.1.1.1.2.1.cmml"><mi id="Ch0.E17.m1.9.9.9.5.1.1.1.2.1.1.1.1" xref="Ch0.E17.m1.9.9.9.5.1.1.1.2.1.1.1.1.cmml">n</mi></mtd></mtr><mtr id="Ch0.E17.m1.9.9.9.5.1.1.1.2.1c" xref="Ch0.E17.m1.9.9.9.5.1.1.1.2.1.cmml"><mtd id="Ch0.E17.m1.9.9.9.5.1.1.1.2.1d" xref="Ch0.E17.m1.9.9.9.5.1.1.1.2.1.cmml"><mi id="Ch0.E17.m1.9.9.9.5.1.1.1.2.1.2.1.1" xref="Ch0.E17.m1.9.9.9.5.1.1.1.2.1.2.1.1.cmml">n</mi></mtd></mtr><mtr id="Ch0.E17.m1.9.9.9.5.1.1.1.2.1e" xref="Ch0.E17.m1.9.9.9.5.1.1.1.2.1.cmml"><mtd id="Ch0.E17.m1.9.9.9.5.1.1.1.2.1f" xref="Ch0.E17.m1.9.9.9.5.1.1.1.2.1.cmml"><mn id="Ch0.E17.m1.9.9.9.5.1.1.1.2.1.3.1.1" xref="Ch0.E17.m1.9.9.9.5.1.1.1.2.1.3.1.1.cmml">1</mn></mtd></mtr></mtable></mtd></mtr></mtable></mtd><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="Ch0.E17.m1.15.15d" xref="Ch0.E17.m1.15.15.cmml"><mrow id="Ch0.E17.m1.2.2.2.2.2.4" xref="Ch0.E17.m1.2.2.2.2.2.2.2c.cmml"><mrow id="Ch0.E17.m1.2.2.2.2.2.2.2" xref="Ch0.E17.m1.2.2.2.2.2.2.2c.cmml"><mi id="Ch0.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1" xref="Ch0.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml">b</mi><mtext id="Ch0.E17.m1.2.2.2.2.2.2.2a" xref="Ch0.E17.m1.2.2.2.2.2.2.2a.cmml"> and </mtext><mi id="Ch0.E17.m1.2.2.2.2.2.2.2.m2.1.1" xref="Ch0.E17.m1.2.2.2.2.2.2.2.m2.1.1.cmml">d</mi><mtext id="Ch0.E17.m1.2.2.2.2.2.2.2b" xref="Ch0.E17.m1.2.2.2.2.2.2.2a.cmml"> antisymmetric</mtext></mrow><mo id="Ch0.E17.m1.2.2.2.2.2.4.1" xref="Ch0.E17.m1.2.2.2.2.2.2.2c.cmml">;</mo></mrow></mtd></mtr><mtr id="Ch0.E17.m1.15.15e" xref="Ch0.E17.m1.15.15.cmml"><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="Ch0.E17.m1.15.15f" xref="Ch0.E17.m1.15.15.cmml"><mtable columnspacing="5pt" displaystyle="true" id="Ch0.E17.m1.11.11.11.4.2" rowspacing="0pt" xref="Ch0.E17.m1.11.11.11.4.2.cmml"><mtr id="Ch0.E17.m1.11.11.11.4.2a" xref="Ch0.E17.m1.11.11.11.4.2.cmml"><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="Ch0.E17.m1.11.11.11.4.2b" xref="Ch0.E17.m1.11.11.11.4.2.cmml"><mrow id="Ch0.E17.m1.10.10.10.3.1.1.1.1.1" xref="Ch0.E17.m1.10.10.10.3.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="Ch0.E17.m1.10.10.10.3.1.1.1.1.1.3" xref="Ch0.E17.m1.10.10.10.3.1.1.1.1.1.3.cmml">G</mi><mo id="Ch0.E17.m1.10.10.10.3.1.1.1.1.1.2" xref="Ch0.E17.m1.10.10.10.3.1.1.1.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="Ch0.E17.m1.10.10.10.3.1.1.1.1.1.1" xref="Ch0.E17.m1.10.10.10.3.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="Ch0.E17.m1.10.10.10.3.1.1.1.1.1.1.3" xref="Ch0.E17.m1.10.10.10.3.1.1.1.1.1.1.3.cmml">𝔰</mi><mo id="Ch0.E17.m1.10.10.10.3.1.1.1.1.1.1.2" xref="Ch0.E17.m1.10.10.10.3.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="Ch0.E17.m1.10.10.10.3.1.1.1.1.1.1.4" xref="Ch0.E17.m1.10.10.10.3.1.1.1.1.1.1.4.cmml">𝔭</mi><mo id="Ch0.E17.m1.10.10.10.3.1.1.1.1.1.1.2a" xref="Ch0.E17.m1.10.10.10.3.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="Ch0.E17.m1.10.10.10.3.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="Ch0.E17.m1.10.10.10.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="Ch0.E17.m1.10.10.10.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="Ch0.E17.m1.10.10.10.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="Ch0.E17.m1.10.10.10.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="Ch0.E17.m1.10.10.10.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="Ch0.E17.m1.10.10.10.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="Ch0.E17.m1.10.10.10.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">2</mn><mo id="Ch0.E17.m1.10.10.10.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="Ch0.E17.m1.10.10.10.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="Ch0.E17.m1.10.10.10.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="Ch0.E17.m1.10.10.10.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">n</mi></mrow><mo id="Ch0.E17.m1.10.10.10.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="Ch0.E17.m1.10.10.10.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mtd><mtd id="Ch0.E17.m1.11.11.11.4.2c" xref="Ch0.E17.m1.11.11.11.4.2.cmml"></mtd></mtr><mtr id="Ch0.E17.m1.11.11.11.4.2d" xref="Ch0.E17.m1.11.11.11.4.2.cmml"><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="Ch0.E17.m1.11.11.11.4.2e" xref="Ch0.E17.m1.11.11.11.4.2.cmml"><mrow id="Ch0.E17.m1.11.11.11.4.2.2.2.1.1.1" xref="Ch0.E17.m1.11.11.11.4.2.2.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="Ch0.E17.m1.11.11.11.4.2.2.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="Ch0.E17.m1.11.11.11.4.2.2.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="Ch0.E17.m1.11.11.11.4.2.2.2.1.1.1.1" xref="Ch0.E17.m1.11.11.11.4.2.2.2.1.1.1.1.cmml"><mrow id="Ch0.E17.m1.11.11.11.4.2.2.2.1.1.1.1.2" xref="Ch0.E17.m1.11.11.11.4.2.2.2.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="Ch0.E17.m1.11.11.11.4.2.2.2.1.1.1.1.2.1" lspace="0em" rspace="0.167em" xref="Ch0.E17.m1.11.11.11.4.2.2.2.1.1.1.1.2.1.cmml">dim</mo><mi id="Ch0.E17.m1.11.11.11.4.2.2.2.1.1.1.1.2.2" xref="Ch0.E17.m1.11.11.11.4.2.2.2.1.1.1.1.2.2.cmml">G</mi></mrow><mo id="Ch0.E17.m1.11.11.11.4.2.2.2.1.1.1.1.1" xref="Ch0.E17.m1.11.11.11.4.2.2.2.1.1.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="Ch0.E17.m1.11.11.11.4.2.2.2.1.1.1.1.3" xref="Ch0.E17.m1.11.11.11.4.2.2.2.1.1.1.1.3.cmml"><mrow id="Ch0.E17.m1.11.11.11.4.2.2.2.1.1.1.1.3.2" xref="Ch0.E17.m1.11.11.11.4.2.2.2.1.1.1.1.3.2.cmml"><mn id="Ch0.E17.m1.11.11.11.4.2.2.2.1.1.1.1.3.2.2" xref="Ch0.E17.m1.11.11.11.4.2.2.2.1.1.1.1.3.2.2.cmml">2</mn><mo id="Ch0.E17.m1.11.11.11.4.2.2.2.1.1.1.1.3.2.1" xref="Ch0.E17.m1.11.11.11.4.2.2.2.1.1.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="Ch0.E17.m1.11.11.11.4.2.2.2.1.1.1.1.3.2.3" xref="Ch0.E17.m1.11.11.11.4.2.2.2.1.1.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="Ch0.E17.m1.11.11.11.4.2.2.2.1.1.1.1.3.2.3.2" xref="Ch0.E17.m1.11.11.11.4.2.2.2.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml">n</mi><mn id="Ch0.E17.m1.11.11.11.4.2.2.2.1.1.1.1.3.2.3.3" xref="Ch0.E17.m1.11.11.11.4.2.2.2.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml">2</mn></msup></mrow><mo id="Ch0.E17.m1.11.11.11.4.2.2.2.1.1.1.1.3.1" xref="Ch0.E17.m1.11.11.11.4.2.2.2.1.1.1.1.3.1.cmml">+</mo><mi id="Ch0.E17.m1.11.11.11.4.2.2.2.1.1.1.1.3.3" xref="Ch0.E17.m1.11.11.11.4.2.2.2.1.1.1.1.3.3.cmml">n</mi></mrow></mrow><mo id="Ch0.E17.m1.11.11.11.4.2.2.2.1.1.1.3" stretchy="false" xref="Ch0.E17.m1.11.11.11.4.2.2.2.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mtd><mtd id="Ch0.E17.m1.11.11.11.4.2f" xref="Ch0.E17.m1.11.11.11.4.2.cmml"></mtd></mtr></mtable></mtd><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="Ch0.E17.m1.15.15g" xref="Ch0.E17.m1.15.15.cmml"><mtable columnspacing="5pt" displaystyle="true" id="Ch0.E17.m1.12.12.12.5.1" rowspacing="0pt" xref="Ch0.E17.m1.12.12.12.5.1.cmml"><mtr id="Ch0.E17.m1.12.12.12.5.1a" xref="Ch0.E17.m1.12.12.12.5.1.cmml"><mtd id="Ch0.E17.m1.12.12.12.5.1b" xref="Ch0.E17.m1.12.12.12.5.1.cmml"><mtable columnspacing="5pt" displaystyle="true" id="Ch0.E17.m1.12.12.12.5.1.2.1.1" xref="Ch0.E17.m1.12.12.12.5.1.2.1.1.cmml"><mtr id="Ch0.E17.m1.12.12.12.5.1.2.1.1a" xref="Ch0.E17.m1.12.12.12.5.1.2.1.1.cmml"><mtd id="Ch0.E17.m1.12.12.12.5.1.2.1.1b" xref="Ch0.E17.m1.12.12.12.5.1.2.1.1.cmml"><mi id="Ch0.E17.m1.12.12.12.5.1.2.1.1.1.1.1" xref="Ch0.E17.m1.12.12.12.5.1.2.1.1.1.1.1.cmml">n</mi></mtd><mtd id="Ch0.E17.m1.12.12.12.5.1.2.1.1c" xref="Ch0.E17.m1.12.12.12.5.1.2.1.1.cmml"><mi id="Ch0.E17.m1.12.12.12.5.1.2.1.1.1.2.1" xref="Ch0.E17.m1.12.12.12.5.1.2.1.1.1.2.1.cmml">n</mi></mtd></mtr></mtable></mtd><mtd id="Ch0.E17.m1.12.12.12.5.1c" xref="Ch0.E17.m1.12.12.12.5.1.cmml"></mtd></mtr><mtr id="Ch0.E17.m1.12.12.12.5.1d" xref="Ch0.E17.m1.12.12.12.5.1.cmml"><mtd id="Ch0.E17.m1.12.12.12.5.1e" xref="Ch0.E17.m1.12.12.12.5.1.cmml"><mrow id="Ch0.E17.m1.12.12.12.5.1.1.1.1.1.3" xref="Ch0.E17.m1.12.12.12.5.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="Ch0.E17.m1.12.12.12.5.1.1.1.1.1.3.1" xref="Ch0.E17.m1.12.12.12.5.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mtable columnspacing="5pt" displaystyle="true" id="Ch0.E17.m1.12.12.12.5.1.1.1.1.1.1" rowspacing="0pt" xref="Ch0.E17.m1.12.12.12.5.1.1.1.1.1.1.cmml"><mtr id="Ch0.E17.m1.12.12.12.5.1.1.1.1.1.1a" xref="Ch0.E17.m1.12.12.12.5.1.1.1.1.1.1.cmml"><mtd id="Ch0.E17.m1.12.12.12.5.1.1.1.1.1.1b" xref="Ch0.E17.m1.12.12.12.5.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="Ch0.E17.m1.12.12.12.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="Ch0.E17.m1.12.12.12.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">a</mi></mtd><mtd id="Ch0.E17.m1.12.12.12.5.1.1.1.1.1.1c" xref="Ch0.E17.m1.12.12.12.5.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="Ch0.E17.m1.12.12.12.5.1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="Ch0.E17.m1.12.12.12.5.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">b</mi></mtd></mtr><mtr id="Ch0.E17.m1.12.12.12.5.1.1.1.1.1.1d" xref="Ch0.E17.m1.12.12.12.5.1.1.1.1.1.1.cmml"><mtd id="Ch0.E17.m1.12.12.12.5.1.1.1.1.1.1e" xref="Ch0.E17.m1.12.12.12.5.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="Ch0.E17.m1.12.12.12.5.1.1.1.1.1.1.2.1.1" xref="Ch0.E17.m1.12.12.12.5.1.1.1.1.1.1.2.1.1.cmml">c</mi></mtd><mtd id="Ch0.E17.m1.12.12.12.5.1.1.1.1.1.1f" xref="Ch0.E17.m1.12.12.12.5.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="Ch0.E17.m1.12.12.12.5.1.1.1.1.1.1.2.2.1" xref="Ch0.E17.m1.12.12.12.5.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml"><mo id="Ch0.E17.m1.12.12.12.5.1.1.1.1.1.1.2.2.1a" xref="Ch0.E17.m1.12.12.12.5.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml">−</mo><msup id="Ch0.E17.m1.12.12.12.5.1.1.1.1.1.1.2.2.1.2" xref="Ch0.E17.m1.12.12.12.5.1.1.1.1.1.1.2.2.1.2.cmml"><mi id="Ch0.E17.m1.12.12.12.5.1.1.1.1.1.1.2.2.1.2.2" xref="Ch0.E17.m1.12.12.12.5.1.1.1.1.1.1.2.2.1.2.2.cmml">a</mi><mi id="Ch0.E17.m1.12.12.12.5.1.1.1.1.1.1.2.2.1.2.3" xref="Ch0.E17.m1.12.12.12.5.1.1.1.1.1.1.2.2.1.2.3.cmml">t</mi></msup></mrow></mtd></mtr></mtable><mo id="Ch0.E17.m1.12.12.12.5.1.1.1.1.1.3.2" xref="Ch0.E17.m1.12.12.12.5.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mtd><mtd id="Ch0.E17.m1.12.12.12.5.1f" xref="Ch0.E17.m1.12.12.12.5.1.cmml"><mtable displaystyle="true" id="Ch0.E17.m1.12.12.12.5.1.1.1.2.1" rowspacing="0pt" xref="Ch0.E17.m1.12.12.12.5.1.1.1.2.1.cmml"><mtr id="Ch0.E17.m1.12.12.12.5.1.1.1.2.1a" xref="Ch0.E17.m1.12.12.12.5.1.1.1.2.1.cmml"><mtd id="Ch0.E17.m1.12.12.12.5.1.1.1.2.1b" xref="Ch0.E17.m1.12.12.12.5.1.1.1.2.1.cmml"><mi id="Ch0.E17.m1.12.12.12.5.1.1.1.2.1.1.1.1" xref="Ch0.E17.m1.12.12.12.5.1.1.1.2.1.1.1.1.cmml">n</mi></mtd></mtr><mtr id="Ch0.E17.m1.12.12.12.5.1.1.1.2.1c" xref="Ch0.E17.m1.12.12.12.5.1.1.1.2.1.cmml"><mtd id="Ch0.E17.m1.12.12.12.5.1.1.1.2.1d" xref="Ch0.E17.m1.12.12.12.5.1.1.1.2.1.cmml"><mi id="Ch0.E17.m1.12.12.12.5.1.1.1.2.1.2.1.1" xref="Ch0.E17.m1.12.12.12.5.1.1.1.2.1.2.1.1.cmml">n</mi></mtd></mtr></mtable></mtd></mtr></mtable></mtd><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="Ch0.E17.m1.15.15h" xref="Ch0.E17.m1.15.15.cmml"><mrow id="Ch0.E17.m1.4.4.4.2.2.4" xref="Ch0.E17.m1.4.4.4.2.2.2.2c.cmml"><mrow id="Ch0.E17.m1.4.4.4.2.2.2.2" xref="Ch0.E17.m1.4.4.4.2.2.2.2c.cmml"><mi id="Ch0.E17.m1.3.3.3.1.1.1.1.m1.1.1" xref="Ch0.E17.m1.3.3.3.1.1.1.1.m1.1.1.cmml">b</mi><mtext id="Ch0.E17.m1.4.4.4.2.2.2.2a" xref="Ch0.E17.m1.4.4.4.2.2.2.2a.cmml"> and </mtext><mi id="Ch0.E17.m1.4.4.4.2.2.2.2.m2.1.1" xref="Ch0.E17.m1.4.4.4.2.2.2.2.m2.1.1.cmml">c</mi><mtext id="Ch0.E17.m1.4.4.4.2.2.2.2b" xref="Ch0.E17.m1.4.4.4.2.2.2.2a.cmml"> symmetric</mtext></mrow><mo id="Ch0.E17.m1.4.4.4.2.2.4.1" xref="Ch0.E17.m1.4.4.4.2.2.2.2c.cmml">;</mo></mrow></mtd></mtr><mtr id="Ch0.E17.m1.15.15i" xref="Ch0.E17.m1.15.15.cmml"><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="Ch0.E17.m1.15.15j" xref="Ch0.E17.m1.15.15.cmml"><mtable columnspacing="5pt" displaystyle="true" id="Ch0.E17.m1.14.14.14.4.2" rowspacing="0pt" xref="Ch0.E17.m1.14.14.14.4.2.cmml"><mtr id="Ch0.E17.m1.14.14.14.4.2a" xref="Ch0.E17.m1.14.14.14.4.2.cmml"><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="Ch0.E17.m1.14.14.14.4.2b" xref="Ch0.E17.m1.14.14.14.4.2.cmml"><mrow id="Ch0.E17.m1.13.13.13.3.1.1.1.1.1" xref="Ch0.E17.m1.13.13.13.3.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="Ch0.E17.m1.13.13.13.3.1.1.1.1.1.3" xref="Ch0.E17.m1.13.13.13.3.1.1.1.1.1.3.cmml">G</mi><mo id="Ch0.E17.m1.13.13.13.3.1.1.1.1.1.2" xref="Ch0.E17.m1.13.13.13.3.1.1.1.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="Ch0.E17.m1.13.13.13.3.1.1.1.1.1.1" xref="Ch0.E17.m1.13.13.13.3.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="Ch0.E17.m1.13.13.13.3.1.1.1.1.1.1.3" xref="Ch0.E17.m1.13.13.13.3.1.1.1.1.1.1.3.cmml">𝔰</mi><mo id="Ch0.E17.m1.13.13.13.3.1.1.1.1.1.1.2" xref="Ch0.E17.m1.13.13.13.3.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="Ch0.E17.m1.13.13.13.3.1.1.1.1.1.1.4" xref="Ch0.E17.m1.13.13.13.3.1.1.1.1.1.1.4.cmml">𝔬</mi><mo id="Ch0.E17.m1.13.13.13.3.1.1.1.1.1.1.2a" xref="Ch0.E17.m1.13.13.13.3.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="Ch0.E17.m1.13.13.13.3.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="Ch0.E17.m1.13.13.13.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="Ch0.E17.m1.13.13.13.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="Ch0.E17.m1.13.13.13.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="Ch0.E17.m1.13.13.13.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="Ch0.E17.m1.13.13.13.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="Ch0.E17.m1.13.13.13.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="Ch0.E17.m1.13.13.13.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">2</mn><mo id="Ch0.E17.m1.13.13.13.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="Ch0.E17.m1.13.13.13.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="Ch0.E17.m1.13.13.13.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="Ch0.E17.m1.13.13.13.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">n</mi></mrow><mo id="Ch0.E17.m1.13.13.13.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="Ch0.E17.m1.13.13.13.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mtd><mtd id="Ch0.E17.m1.14.14.14.4.2c" xref="Ch0.E17.m1.14.14.14.4.2.cmml"></mtd></mtr><mtr id="Ch0.E17.m1.14.14.14.4.2d" xref="Ch0.E17.m1.14.14.14.4.2.cmml"><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="Ch0.E17.m1.14.14.14.4.2e" xref="Ch0.E17.m1.14.14.14.4.2.cmml"><mrow id="Ch0.E17.m1.14.14.14.4.2.2.2.1.1.1" xref="Ch0.E17.m1.14.14.14.4.2.2.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="Ch0.E17.m1.14.14.14.4.2.2.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="Ch0.E17.m1.14.14.14.4.2.2.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="Ch0.E17.m1.14.14.14.4.2.2.2.1.1.1.1" xref="Ch0.E17.m1.14.14.14.4.2.2.2.1.1.1.1.cmml"><mrow id="Ch0.E17.m1.14.14.14.4.2.2.2.1.1.1.1.2" xref="Ch0.E17.m1.14.14.14.4.2.2.2.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="Ch0.E17.m1.14.14.14.4.2.2.2.1.1.1.1.2.1" lspace="0em" rspace="0.167em" xref="Ch0.E17.m1.14.14.14.4.2.2.2.1.1.1.1.2.1.cmml">dim</mo><mi id="Ch0.E17.m1.14.14.14.4.2.2.2.1.1.1.1.2.2" xref="Ch0.E17.m1.14.14.14.4.2.2.2.1.1.1.1.2.2.cmml">G</mi></mrow><mo id="Ch0.E17.m1.14.14.14.4.2.2.2.1.1.1.1.1" xref="Ch0.E17.m1.14.14.14.4.2.2.2.1.1.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="Ch0.E17.m1.14.14.14.4.2.2.2.1.1.1.1.3" xref="Ch0.E17.m1.14.14.14.4.2.2.2.1.1.1.1.3.cmml"><mrow id="Ch0.E17.m1.14.14.14.4.2.2.2.1.1.1.1.3.2" xref="Ch0.E17.m1.14.14.14.4.2.2.2.1.1.1.1.3.2.cmml"><mn id="Ch0.E17.m1.14.14.14.4.2.2.2.1.1.1.1.3.2.2" xref="Ch0.E17.m1.14.14.14.4.2.2.2.1.1.1.1.3.2.2.cmml">2</mn><mo id="Ch0.E17.m1.14.14.14.4.2.2.2.1.1.1.1.3.2.1" xref="Ch0.E17.m1.14.14.14.4.2.2.2.1.1.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="Ch0.E17.m1.14.14.14.4.2.2.2.1.1.1.1.3.2.3" xref="Ch0.E17.m1.14.14.14.4.2.2.2.1.1.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="Ch0.E17.m1.14.14.14.4.2.2.2.1.1.1.1.3.2.3.2" xref="Ch0.E17.m1.14.14.14.4.2.2.2.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml">n</mi><mn id="Ch0.E17.m1.14.14.14.4.2.2.2.1.1.1.1.3.2.3.3" xref="Ch0.E17.m1.14.14.14.4.2.2.2.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml">2</mn></msup></mrow><mo id="Ch0.E17.m1.14.14.14.4.2.2.2.1.1.1.1.3.1" xref="Ch0.E17.m1.14.14.14.4.2.2.2.1.1.1.1.3.1.cmml">−</mo><mi id="Ch0.E17.m1.14.14.14.4.2.2.2.1.1.1.1.3.3" xref="Ch0.E17.m1.14.14.14.4.2.2.2.1.1.1.1.3.3.cmml">n</mi></mrow></mrow><mo id="Ch0.E17.m1.14.14.14.4.2.2.2.1.1.1.3" stretchy="false" xref="Ch0.E17.m1.14.14.14.4.2.2.2.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mtd><mtd id="Ch0.E17.m1.14.14.14.4.2f" xref="Ch0.E17.m1.14.14.14.4.2.cmml"></mtd></mtr></mtable></mtd><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="Ch0.E17.m1.15.15k" xref="Ch0.E17.m1.15.15.cmml"><mtable columnspacing="5pt" displaystyle="true" id="Ch0.E17.m1.15.15.15.5.1" rowspacing="0pt" xref="Ch0.E17.m1.15.15.15.5.1.cmml"><mtr id="Ch0.E17.m1.15.15.15.5.1a" xref="Ch0.E17.m1.15.15.15.5.1.cmml"><mtd id="Ch0.E17.m1.15.15.15.5.1b" xref="Ch0.E17.m1.15.15.15.5.1.cmml"><mtable columnspacing="5pt" displaystyle="true" id="Ch0.E17.m1.15.15.15.5.1.2.1.1" 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id="Ch0.E17.m1.15.15.15.5.1.1.1.1.1.1" rowspacing="0pt" xref="Ch0.E17.m1.15.15.15.5.1.1.1.1.1.1.cmml"><mtr id="Ch0.E17.m1.15.15.15.5.1.1.1.1.1.1a" xref="Ch0.E17.m1.15.15.15.5.1.1.1.1.1.1.cmml"><mtd id="Ch0.E17.m1.15.15.15.5.1.1.1.1.1.1b" xref="Ch0.E17.m1.15.15.15.5.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="Ch0.E17.m1.15.15.15.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="Ch0.E17.m1.15.15.15.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">a</mi></mtd><mtd id="Ch0.E17.m1.15.15.15.5.1.1.1.1.1.1c" xref="Ch0.E17.m1.15.15.15.5.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="Ch0.E17.m1.15.15.15.5.1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="Ch0.E17.m1.15.15.15.5.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">b</mi></mtd></mtr><mtr id="Ch0.E17.m1.15.15.15.5.1.1.1.1.1.1d" xref="Ch0.E17.m1.15.15.15.5.1.1.1.1.1.1.cmml"><mtd id="Ch0.E17.m1.15.15.15.5.1.1.1.1.1.1e" xref="Ch0.E17.m1.15.15.15.5.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="Ch0.E17.m1.15.15.15.5.1.1.1.1.1.1.2.1.1" xref="Ch0.E17.m1.15.15.15.5.1.1.1.1.1.1.2.1.1.cmml">c</mi></mtd><mtd id="Ch0.E17.m1.15.15.15.5.1.1.1.1.1.1f" xref="Ch0.E17.m1.15.15.15.5.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="Ch0.E17.m1.15.15.15.5.1.1.1.1.1.1.2.2.1" xref="Ch0.E17.m1.15.15.15.5.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml"><mo id="Ch0.E17.m1.15.15.15.5.1.1.1.1.1.1.2.2.1a" xref="Ch0.E17.m1.15.15.15.5.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml">−</mo><msup id="Ch0.E17.m1.15.15.15.5.1.1.1.1.1.1.2.2.1.2" xref="Ch0.E17.m1.15.15.15.5.1.1.1.1.1.1.2.2.1.2.cmml"><mi id="Ch0.E17.m1.15.15.15.5.1.1.1.1.1.1.2.2.1.2.2" xref="Ch0.E17.m1.15.15.15.5.1.1.1.1.1.1.2.2.1.2.2.cmml">a</mi><mi id="Ch0.E17.m1.15.15.15.5.1.1.1.1.1.1.2.2.1.2.3" xref="Ch0.E17.m1.15.15.15.5.1.1.1.1.1.1.2.2.1.2.3.cmml">t</mi></msup></mrow></mtd></mtr></mtable><mo id="Ch0.E17.m1.15.15.15.5.1.1.1.1.1.3.2" xref="Ch0.E17.m1.15.15.15.5.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mtd><mtd id="Ch0.E17.m1.15.15.15.5.1f" xref="Ch0.E17.m1.15.15.15.5.1.cmml"><mtable displaystyle="true" id="Ch0.E17.m1.15.15.15.5.1.1.1.2.1" rowspacing="0pt" xref="Ch0.E17.m1.15.15.15.5.1.1.1.2.1.cmml"><mtr id="Ch0.E17.m1.15.15.15.5.1.1.1.2.1a" xref="Ch0.E17.m1.15.15.15.5.1.1.1.2.1.cmml"><mtd id="Ch0.E17.m1.15.15.15.5.1.1.1.2.1b" xref="Ch0.E17.m1.15.15.15.5.1.1.1.2.1.cmml"><mi id="Ch0.E17.m1.15.15.15.5.1.1.1.2.1.1.1.1" xref="Ch0.E17.m1.15.15.15.5.1.1.1.2.1.1.1.1.cmml">n</mi></mtd></mtr><mtr id="Ch0.E17.m1.15.15.15.5.1.1.1.2.1c" xref="Ch0.E17.m1.15.15.15.5.1.1.1.2.1.cmml"><mtd id="Ch0.E17.m1.15.15.15.5.1.1.1.2.1d" xref="Ch0.E17.m1.15.15.15.5.1.1.1.2.1.cmml"><mi id="Ch0.E17.m1.15.15.15.5.1.1.1.2.1.2.1.1" xref="Ch0.E17.m1.15.15.15.5.1.1.1.2.1.2.1.1.cmml">n</mi></mtd></mtr></mtable></mtd></mtr></mtable></mtd><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="Ch0.E17.m1.15.15l" xref="Ch0.E17.m1.15.15.cmml"><mrow id="Ch0.E17.m1.6.6.6.2.2.4" xref="Ch0.E17.m1.6.6.6.2.2.2.2c.cmml"><mrow id="Ch0.E17.m1.6.6.6.2.2.2.2" xref="Ch0.E17.m1.6.6.6.2.2.2.2c.cmml"><mi id="Ch0.E17.m1.5.5.5.1.1.1.1.m1.1.1" xref="Ch0.E17.m1.5.5.5.1.1.1.1.m1.1.1.cmml">b</mi><mtext id="Ch0.E17.m1.6.6.6.2.2.2.2a" xref="Ch0.E17.m1.6.6.6.2.2.2.2a.cmml"> and </mtext><mi id="Ch0.E17.m1.6.6.6.2.2.2.2.m2.1.1" xref="Ch0.E17.m1.6.6.6.2.2.2.2.m2.1.1.cmml">c</mi><mtext id="Ch0.E17.m1.6.6.6.2.2.2.2b" xref="Ch0.E17.m1.6.6.6.2.2.2.2a.cmml"> antisymmetric</mtext></mrow><mo id="Ch0.E17.m1.6.6.6.2.2.4.1" lspace="0em" xref="Ch0.E17.m1.6.6.6.2.2.2.2c.cmml">.</mo></mrow></mtd></mtr></mtable><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Ch0.E17.m1.15b"><matrix id="Ch0.E17.m1.15.15.cmml" xref="Ch0.E17.m1.15.15"><matrixrow id="Ch0.E17.m1.15.15a.cmml" xref="Ch0.E17.m1.15.15"><matrix id="Ch0.E17.m1.8.8.8.4.2.cmml" xref="Ch0.E17.m1.8.8.8.4.2"><matrixrow id="Ch0.E17.m1.8.8.8.4.2a.cmml" xref="Ch0.E17.m1.8.8.8.4.2"><apply id="Ch0.E17.m1.7.7.7.3.1.1.1.1.1.cmml" xref="Ch0.E17.m1.7.7.7.3.1.1.1.1.1"><eq id="Ch0.E17.m1.7.7.7.3.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="Ch0.E17.m1.7.7.7.3.1.1.1.1.1.2"></eq><ci id="Ch0.E17.m1.7.7.7.3.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="Ch0.E17.m1.7.7.7.3.1.1.1.1.1.3">𝐺</ci><apply id="Ch0.E17.m1.7.7.7.3.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="Ch0.E17.m1.7.7.7.3.1.1.1.1.1.1"><times id="Ch0.E17.m1.7.7.7.3.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="Ch0.E17.m1.7.7.7.3.1.1.1.1.1.1.2"></times><ci id="Ch0.E17.m1.7.7.7.3.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="Ch0.E17.m1.7.7.7.3.1.1.1.1.1.1.3">𝔰</ci><ci id="Ch0.E17.m1.7.7.7.3.1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="Ch0.E17.m1.7.7.7.3.1.1.1.1.1.1.4">𝔬</ci><apply id="Ch0.E17.m1.7.7.7.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="Ch0.E17.m1.7.7.7.3.1.1.1.1.1.1.1.1"><plus id="Ch0.E17.m1.7.7.7.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="Ch0.E17.m1.7.7.7.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></plus><apply id="Ch0.E17.m1.7.7.7.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="Ch0.E17.m1.7.7.7.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><times id="Ch0.E17.m1.7.7.7.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="Ch0.E17.m1.7.7.7.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1"></times><cn id="Ch0.E17.m1.7.7.7.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" type="integer" xref="Ch0.E17.m1.7.7.7.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">2</cn><ci id="Ch0.E17.m1.7.7.7.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="Ch0.E17.m1.7.7.7.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">𝑛</ci></apply><cn id="Ch0.E17.m1.7.7.7.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" 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xref="Ch0.E17.m1.8.8.8.4.2.2.2.1.1.1.1.3.3">𝑛</ci></apply></apply><cerror id="Ch0.E17.m1.8.8.8.4.2e.cmml" xref="Ch0.E17.m1.8.8.8.4.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.E17.m1.8.8.8.4.2f.cmml" xref="Ch0.E17.m1.8.8.8.4.2">missing-subexpression</csymbol></cerror></matrixrow></matrix><matrix id="Ch0.E17.m1.9.9.9.5.1.cmml" xref="Ch0.E17.m1.9.9.9.5.1"><matrixrow id="Ch0.E17.m1.9.9.9.5.1a.cmml" xref="Ch0.E17.m1.9.9.9.5.1"><matrix id="Ch0.E17.m1.9.9.9.5.1.2.1.1.cmml" xref="Ch0.E17.m1.9.9.9.5.1.2.1.1"><matrixrow id="Ch0.E17.m1.9.9.9.5.1.2.1.1a.cmml" xref="Ch0.E17.m1.9.9.9.5.1.2.1.1"><ci id="Ch0.E17.m1.9.9.9.5.1.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="Ch0.E17.m1.9.9.9.5.1.2.1.1.1.1.1">𝑛</ci><ci id="Ch0.E17.m1.9.9.9.5.1.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="Ch0.E17.m1.9.9.9.5.1.2.1.1.1.2.1">𝑛</ci><cn id="Ch0.E17.m1.9.9.9.5.1.2.1.1.1.3.1.cmml" type="integer" xref="Ch0.E17.m1.9.9.9.5.1.2.1.1.1.3.1">1</cn></matrixrow></matrix><cerror id="Ch0.E17.m1.9.9.9.5.1b.cmml" xref="Ch0.E17.m1.9.9.9.5.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.E17.m1.9.9.9.5.1c.cmml" xref="Ch0.E17.m1.9.9.9.5.1">missing-subexpression</csymbol></cerror></matrixrow><matrixrow id="Ch0.E17.m1.9.9.9.5.1d.cmml" xref="Ch0.E17.m1.9.9.9.5.1"><matrix id="Ch0.E17.m1.9.9.9.5.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="Ch0.E17.m1.9.9.9.5.1.1.1.1.1.3"><matrixrow id="Ch0.E17.m1.9.9.9.5.1.1.1.1.1.1a.cmml" xref="Ch0.E17.m1.9.9.9.5.1.1.1.1.1.3"><ci id="Ch0.E17.m1.9.9.9.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="Ch0.E17.m1.9.9.9.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1">𝑎</ci><ci id="Ch0.E17.m1.9.9.9.5.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="Ch0.E17.m1.9.9.9.5.1.1.1.1.1.1.1.2.1">𝑏</ci><ci id="Ch0.E17.m1.9.9.9.5.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="Ch0.E17.m1.9.9.9.5.1.1.1.1.1.1.1.3.1">𝑐</ci></matrixrow><matrixrow id="Ch0.E17.m1.9.9.9.5.1.1.1.1.1.1b.cmml" xref="Ch0.E17.m1.9.9.9.5.1.1.1.1.1.3"><ci id="Ch0.E17.m1.9.9.9.5.1.1.1.1.1.1.2.1.1.cmml" xref="Ch0.E17.m1.9.9.9.5.1.1.1.1.1.1.2.1.1">𝑑</ci><apply id="Ch0.E17.m1.9.9.9.5.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="Ch0.E17.m1.9.9.9.5.1.1.1.1.1.1.2.2.1"><minus id="Ch0.E17.m1.9.9.9.5.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.cmml" xref="Ch0.E17.m1.9.9.9.5.1.1.1.1.1.1.2.2.1"></minus><apply id="Ch0.E17.m1.9.9.9.5.1.1.1.1.1.1.2.2.1.2.cmml" xref="Ch0.E17.m1.9.9.9.5.1.1.1.1.1.1.2.2.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.E17.m1.9.9.9.5.1.1.1.1.1.1.2.2.1.2.1.cmml" xref="Ch0.E17.m1.9.9.9.5.1.1.1.1.1.1.2.2.1.2">superscript</csymbol><ci id="Ch0.E17.m1.9.9.9.5.1.1.1.1.1.1.2.2.1.2.2.cmml" xref="Ch0.E17.m1.9.9.9.5.1.1.1.1.1.1.2.2.1.2.2">𝑎</ci><ci id="Ch0.E17.m1.9.9.9.5.1.1.1.1.1.1.2.2.1.2.3.cmml" xref="Ch0.E17.m1.9.9.9.5.1.1.1.1.1.1.2.2.1.2.3">𝑡</ci></apply></apply><ci id="Ch0.E17.m1.9.9.9.5.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="Ch0.E17.m1.9.9.9.5.1.1.1.1.1.1.2.3.1">𝑒</ci></matrixrow><matrixrow id="Ch0.E17.m1.9.9.9.5.1.1.1.1.1.1c.cmml" xref="Ch0.E17.m1.9.9.9.5.1.1.1.1.1.3"><apply id="Ch0.E17.m1.9.9.9.5.1.1.1.1.1.1.3.1.1.cmml" xref="Ch0.E17.m1.9.9.9.5.1.1.1.1.1.1.3.1.1"><minus id="Ch0.E17.m1.9.9.9.5.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.cmml" xref="Ch0.E17.m1.9.9.9.5.1.1.1.1.1.1.3.1.1"></minus><apply id="Ch0.E17.m1.9.9.9.5.1.1.1.1.1.1.3.1.1.2.cmml" xref="Ch0.E17.m1.9.9.9.5.1.1.1.1.1.1.3.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.E17.m1.9.9.9.5.1.1.1.1.1.1.3.1.1.2.1.cmml" xref="Ch0.E17.m1.9.9.9.5.1.1.1.1.1.1.3.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="Ch0.E17.m1.9.9.9.5.1.1.1.1.1.1.3.1.1.2.2.cmml" xref="Ch0.E17.m1.9.9.9.5.1.1.1.1.1.1.3.1.1.2.2">𝑒</ci><ci id="Ch0.E17.m1.9.9.9.5.1.1.1.1.1.1.3.1.1.2.3.cmml" xref="Ch0.E17.m1.9.9.9.5.1.1.1.1.1.1.3.1.1.2.3">𝑡</ci></apply></apply><apply id="Ch0.E17.m1.9.9.9.5.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="Ch0.E17.m1.9.9.9.5.1.1.1.1.1.1.3.2.1"><minus id="Ch0.E17.m1.9.9.9.5.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.cmml" xref="Ch0.E17.m1.9.9.9.5.1.1.1.1.1.1.3.2.1"></minus><apply id="Ch0.E17.m1.9.9.9.5.1.1.1.1.1.1.3.2.1.2.cmml" xref="Ch0.E17.m1.9.9.9.5.1.1.1.1.1.1.3.2.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.E17.m1.9.9.9.5.1.1.1.1.1.1.3.2.1.2.1.cmml" xref="Ch0.E17.m1.9.9.9.5.1.1.1.1.1.1.3.2.1.2">superscript</csymbol><ci id="Ch0.E17.m1.9.9.9.5.1.1.1.1.1.1.3.2.1.2.2.cmml" xref="Ch0.E17.m1.9.9.9.5.1.1.1.1.1.1.3.2.1.2.2">𝑐</ci><ci id="Ch0.E17.m1.9.9.9.5.1.1.1.1.1.1.3.2.1.2.3.cmml" xref="Ch0.E17.m1.9.9.9.5.1.1.1.1.1.1.3.2.1.2.3">𝑡</ci></apply></apply><cn id="Ch0.E17.m1.9.9.9.5.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" type="integer" xref="Ch0.E17.m1.9.9.9.5.1.1.1.1.1.1.3.3.1">0</cn></matrixrow></matrix><matrix id="Ch0.E17.m1.9.9.9.5.1.1.1.2.1.cmml" xref="Ch0.E17.m1.9.9.9.5.1.1.1.2.1"><matrixrow id="Ch0.E17.m1.9.9.9.5.1.1.1.2.1a.cmml" xref="Ch0.E17.m1.9.9.9.5.1.1.1.2.1"><ci id="Ch0.E17.m1.9.9.9.5.1.1.1.2.1.1.1.1.cmml" xref="Ch0.E17.m1.9.9.9.5.1.1.1.2.1.1.1.1">𝑛</ci></matrixrow><matrixrow id="Ch0.E17.m1.9.9.9.5.1.1.1.2.1b.cmml" xref="Ch0.E17.m1.9.9.9.5.1.1.1.2.1"><ci id="Ch0.E17.m1.9.9.9.5.1.1.1.2.1.2.1.1.cmml" xref="Ch0.E17.m1.9.9.9.5.1.1.1.2.1.2.1.1">𝑛</ci></matrixrow><matrixrow id="Ch0.E17.m1.9.9.9.5.1.1.1.2.1c.cmml" xref="Ch0.E17.m1.9.9.9.5.1.1.1.2.1"><cn id="Ch0.E17.m1.9.9.9.5.1.1.1.2.1.3.1.1.cmml" type="integer" xref="Ch0.E17.m1.9.9.9.5.1.1.1.2.1.3.1.1">1</cn></matrixrow></matrix></matrixrow></matrix><ci id="Ch0.E17.m1.2.2.2.2.2.2.2c.cmml" xref="Ch0.E17.m1.2.2.2.2.2.4"><mrow id="Ch0.E17.m1.2.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="Ch0.E17.m1.2.2.2.2.2.4"><mi id="Ch0.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="Ch0.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1">b</mi><mtext id="Ch0.E17.m1.2.2.2.2.2.2.2a.cmml" xref="Ch0.E17.m1.2.2.2.2.2.2.2a"> and </mtext><mi id="Ch0.E17.m1.2.2.2.2.2.2.2.m2.1.1.cmml" xref="Ch0.E17.m1.2.2.2.2.2.2.2.m2.1.1">d</mi><mtext id="Ch0.E17.m1.2.2.2.2.2.2.2b.cmml" xref="Ch0.E17.m1.2.2.2.2.2.2.2a"> antisymmetric</mtext></mrow></ci></matrixrow><matrixrow id="Ch0.E17.m1.15.15b.cmml" xref="Ch0.E17.m1.15.15"><matrix id="Ch0.E17.m1.11.11.11.4.2.cmml" xref="Ch0.E17.m1.11.11.11.4.2"><matrixrow id="Ch0.E17.m1.11.11.11.4.2a.cmml" xref="Ch0.E17.m1.11.11.11.4.2"><apply id="Ch0.E17.m1.10.10.10.3.1.1.1.1.1.cmml" xref="Ch0.E17.m1.10.10.10.3.1.1.1.1.1"><eq id="Ch0.E17.m1.10.10.10.3.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="Ch0.E17.m1.10.10.10.3.1.1.1.1.1.2"></eq><ci id="Ch0.E17.m1.10.10.10.3.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="Ch0.E17.m1.10.10.10.3.1.1.1.1.1.3">𝐺</ci><apply id="Ch0.E17.m1.10.10.10.3.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="Ch0.E17.m1.10.10.10.3.1.1.1.1.1.1"><times id="Ch0.E17.m1.10.10.10.3.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="Ch0.E17.m1.10.10.10.3.1.1.1.1.1.1.2"></times><ci id="Ch0.E17.m1.10.10.10.3.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="Ch0.E17.m1.10.10.10.3.1.1.1.1.1.1.3">𝔰</ci><ci id="Ch0.E17.m1.10.10.10.3.1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="Ch0.E17.m1.10.10.10.3.1.1.1.1.1.1.4">𝔭</ci><apply id="Ch0.E17.m1.10.10.10.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="Ch0.E17.m1.10.10.10.3.1.1.1.1.1.1.1.1"><times id="Ch0.E17.m1.10.10.10.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="Ch0.E17.m1.10.10.10.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></times><cn id="Ch0.E17.m1.10.10.10.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="Ch0.E17.m1.10.10.10.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">2</cn><ci id="Ch0.E17.m1.10.10.10.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="Ch0.E17.m1.10.10.10.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑛</ci></apply></apply></apply><cerror id="Ch0.E17.m1.11.11.11.4.2b.cmml" xref="Ch0.E17.m1.11.11.11.4.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.E17.m1.11.11.11.4.2c.cmml" xref="Ch0.E17.m1.11.11.11.4.2">missing-subexpression</csymbol></cerror></matrixrow><matrixrow id="Ch0.E17.m1.11.11.11.4.2d.cmml" xref="Ch0.E17.m1.11.11.11.4.2"><apply id="Ch0.E17.m1.11.11.11.4.2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="Ch0.E17.m1.11.11.11.4.2.2.2.1.1.1"><eq id="Ch0.E17.m1.11.11.11.4.2.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="Ch0.E17.m1.11.11.11.4.2.2.2.1.1.1.1.1"></eq><apply id="Ch0.E17.m1.11.11.11.4.2.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="Ch0.E17.m1.11.11.11.4.2.2.2.1.1.1.1.2"><csymbol cd="latexml" id="Ch0.E17.m1.11.11.11.4.2.2.2.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="Ch0.E17.m1.11.11.11.4.2.2.2.1.1.1.1.2.1">dimension</csymbol><ci id="Ch0.E17.m1.11.11.11.4.2.2.2.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="Ch0.E17.m1.11.11.11.4.2.2.2.1.1.1.1.2.2">𝐺</ci></apply><apply id="Ch0.E17.m1.11.11.11.4.2.2.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="Ch0.E17.m1.11.11.11.4.2.2.2.1.1.1.1.3"><plus id="Ch0.E17.m1.11.11.11.4.2.2.2.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="Ch0.E17.m1.11.11.11.4.2.2.2.1.1.1.1.3.1"></plus><apply id="Ch0.E17.m1.11.11.11.4.2.2.2.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="Ch0.E17.m1.11.11.11.4.2.2.2.1.1.1.1.3.2"><times id="Ch0.E17.m1.11.11.11.4.2.2.2.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="Ch0.E17.m1.11.11.11.4.2.2.2.1.1.1.1.3.2.1"></times><cn id="Ch0.E17.m1.11.11.11.4.2.2.2.1.1.1.1.3.2.2.cmml" type="integer" xref="Ch0.E17.m1.11.11.11.4.2.2.2.1.1.1.1.3.2.2">2</cn><apply id="Ch0.E17.m1.11.11.11.4.2.2.2.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="Ch0.E17.m1.11.11.11.4.2.2.2.1.1.1.1.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.E17.m1.11.11.11.4.2.2.2.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="Ch0.E17.m1.11.11.11.4.2.2.2.1.1.1.1.3.2.3">superscript</csymbol><ci id="Ch0.E17.m1.11.11.11.4.2.2.2.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="Ch0.E17.m1.11.11.11.4.2.2.2.1.1.1.1.3.2.3.2">𝑛</ci><cn id="Ch0.E17.m1.11.11.11.4.2.2.2.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml" type="integer" xref="Ch0.E17.m1.11.11.11.4.2.2.2.1.1.1.1.3.2.3.3">2</cn></apply></apply><ci id="Ch0.E17.m1.11.11.11.4.2.2.2.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="Ch0.E17.m1.11.11.11.4.2.2.2.1.1.1.1.3.3">𝑛</ci></apply></apply><cerror id="Ch0.E17.m1.11.11.11.4.2e.cmml" xref="Ch0.E17.m1.11.11.11.4.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.E17.m1.11.11.11.4.2f.cmml" xref="Ch0.E17.m1.11.11.11.4.2">missing-subexpression</csymbol></cerror></matrixrow></matrix><matrix id="Ch0.E17.m1.12.12.12.5.1.cmml" xref="Ch0.E17.m1.12.12.12.5.1"><matrixrow id="Ch0.E17.m1.12.12.12.5.1a.cmml" xref="Ch0.E17.m1.12.12.12.5.1"><matrix id="Ch0.E17.m1.12.12.12.5.1.2.1.1.cmml" xref="Ch0.E17.m1.12.12.12.5.1.2.1.1"><matrixrow id="Ch0.E17.m1.12.12.12.5.1.2.1.1a.cmml" xref="Ch0.E17.m1.12.12.12.5.1.2.1.1"><ci id="Ch0.E17.m1.12.12.12.5.1.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="Ch0.E17.m1.12.12.12.5.1.2.1.1.1.1.1">𝑛</ci><ci id="Ch0.E17.m1.12.12.12.5.1.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="Ch0.E17.m1.12.12.12.5.1.2.1.1.1.2.1">𝑛</ci></matrixrow></matrix><cerror id="Ch0.E17.m1.12.12.12.5.1b.cmml" xref="Ch0.E17.m1.12.12.12.5.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.E17.m1.12.12.12.5.1c.cmml" xref="Ch0.E17.m1.12.12.12.5.1">missing-subexpression</csymbol></cerror></matrixrow><matrixrow id="Ch0.E17.m1.12.12.12.5.1d.cmml" xref="Ch0.E17.m1.12.12.12.5.1"><matrix id="Ch0.E17.m1.12.12.12.5.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="Ch0.E17.m1.12.12.12.5.1.1.1.1.1.3"><matrixrow id="Ch0.E17.m1.12.12.12.5.1.1.1.1.1.1a.cmml" xref="Ch0.E17.m1.12.12.12.5.1.1.1.1.1.3"><ci id="Ch0.E17.m1.12.12.12.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="Ch0.E17.m1.12.12.12.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1">𝑎</ci><ci id="Ch0.E17.m1.12.12.12.5.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="Ch0.E17.m1.12.12.12.5.1.1.1.1.1.1.1.2.1">𝑏</ci></matrixrow><matrixrow id="Ch0.E17.m1.12.12.12.5.1.1.1.1.1.1b.cmml" xref="Ch0.E17.m1.12.12.12.5.1.1.1.1.1.3"><ci id="Ch0.E17.m1.12.12.12.5.1.1.1.1.1.1.2.1.1.cmml" xref="Ch0.E17.m1.12.12.12.5.1.1.1.1.1.1.2.1.1">𝑐</ci><apply id="Ch0.E17.m1.12.12.12.5.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="Ch0.E17.m1.12.12.12.5.1.1.1.1.1.1.2.2.1"><minus id="Ch0.E17.m1.12.12.12.5.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.cmml" xref="Ch0.E17.m1.12.12.12.5.1.1.1.1.1.1.2.2.1"></minus><apply id="Ch0.E17.m1.12.12.12.5.1.1.1.1.1.1.2.2.1.2.cmml" xref="Ch0.E17.m1.12.12.12.5.1.1.1.1.1.1.2.2.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.E17.m1.12.12.12.5.1.1.1.1.1.1.2.2.1.2.1.cmml" xref="Ch0.E17.m1.12.12.12.5.1.1.1.1.1.1.2.2.1.2">superscript</csymbol><ci id="Ch0.E17.m1.12.12.12.5.1.1.1.1.1.1.2.2.1.2.2.cmml" xref="Ch0.E17.m1.12.12.12.5.1.1.1.1.1.1.2.2.1.2.2">𝑎</ci><ci id="Ch0.E17.m1.12.12.12.5.1.1.1.1.1.1.2.2.1.2.3.cmml" xref="Ch0.E17.m1.12.12.12.5.1.1.1.1.1.1.2.2.1.2.3">𝑡</ci></apply></apply></matrixrow></matrix><matrix id="Ch0.E17.m1.12.12.12.5.1.1.1.2.1.cmml" xref="Ch0.E17.m1.12.12.12.5.1.1.1.2.1"><matrixrow id="Ch0.E17.m1.12.12.12.5.1.1.1.2.1a.cmml" xref="Ch0.E17.m1.12.12.12.5.1.1.1.2.1"><ci id="Ch0.E17.m1.12.12.12.5.1.1.1.2.1.1.1.1.cmml" xref="Ch0.E17.m1.12.12.12.5.1.1.1.2.1.1.1.1">𝑛</ci></matrixrow><matrixrow id="Ch0.E17.m1.12.12.12.5.1.1.1.2.1b.cmml" xref="Ch0.E17.m1.12.12.12.5.1.1.1.2.1"><ci id="Ch0.E17.m1.12.12.12.5.1.1.1.2.1.2.1.1.cmml" xref="Ch0.E17.m1.12.12.12.5.1.1.1.2.1.2.1.1">𝑛</ci></matrixrow></matrix></matrixrow></matrix><ci id="Ch0.E17.m1.4.4.4.2.2.2.2c.cmml" xref="Ch0.E17.m1.4.4.4.2.2.4"><mrow id="Ch0.E17.m1.4.4.4.2.2.2.2.cmml" xref="Ch0.E17.m1.4.4.4.2.2.4"><mi id="Ch0.E17.m1.3.3.3.1.1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="Ch0.E17.m1.3.3.3.1.1.1.1.m1.1.1">b</mi><mtext id="Ch0.E17.m1.4.4.4.2.2.2.2a.cmml" xref="Ch0.E17.m1.4.4.4.2.2.2.2a"> and </mtext><mi id="Ch0.E17.m1.4.4.4.2.2.2.2.m2.1.1.cmml" xref="Ch0.E17.m1.4.4.4.2.2.2.2.m2.1.1">c</mi><mtext id="Ch0.E17.m1.4.4.4.2.2.2.2b.cmml" xref="Ch0.E17.m1.4.4.4.2.2.2.2a"> symmetric</mtext></mrow></ci></matrixrow><matrixrow id="Ch0.E17.m1.15.15c.cmml" xref="Ch0.E17.m1.15.15"><matrix id="Ch0.E17.m1.14.14.14.4.2.cmml" xref="Ch0.E17.m1.14.14.14.4.2"><matrixrow id="Ch0.E17.m1.14.14.14.4.2a.cmml" xref="Ch0.E17.m1.14.14.14.4.2"><apply id="Ch0.E17.m1.13.13.13.3.1.1.1.1.1.cmml" xref="Ch0.E17.m1.13.13.13.3.1.1.1.1.1"><eq id="Ch0.E17.m1.13.13.13.3.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="Ch0.E17.m1.13.13.13.3.1.1.1.1.1.2"></eq><ci id="Ch0.E17.m1.13.13.13.3.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="Ch0.E17.m1.13.13.13.3.1.1.1.1.1.3">𝐺</ci><apply id="Ch0.E17.m1.13.13.13.3.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="Ch0.E17.m1.13.13.13.3.1.1.1.1.1.1"><times id="Ch0.E17.m1.13.13.13.3.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="Ch0.E17.m1.13.13.13.3.1.1.1.1.1.1.2"></times><ci id="Ch0.E17.m1.13.13.13.3.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="Ch0.E17.m1.13.13.13.3.1.1.1.1.1.1.3">𝔰</ci><ci id="Ch0.E17.m1.13.13.13.3.1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="Ch0.E17.m1.13.13.13.3.1.1.1.1.1.1.4">𝔬</ci><apply id="Ch0.E17.m1.13.13.13.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="Ch0.E17.m1.13.13.13.3.1.1.1.1.1.1.1.1"><times id="Ch0.E17.m1.13.13.13.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="Ch0.E17.m1.13.13.13.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></times><cn id="Ch0.E17.m1.13.13.13.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="Ch0.E17.m1.13.13.13.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">2</cn><ci id="Ch0.E17.m1.13.13.13.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="Ch0.E17.m1.13.13.13.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑛</ci></apply></apply></apply><cerror id="Ch0.E17.m1.14.14.14.4.2b.cmml" xref="Ch0.E17.m1.14.14.14.4.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.E17.m1.14.14.14.4.2c.cmml" xref="Ch0.E17.m1.14.14.14.4.2">missing-subexpression</csymbol></cerror></matrixrow><matrixrow id="Ch0.E17.m1.14.14.14.4.2d.cmml" xref="Ch0.E17.m1.14.14.14.4.2"><apply id="Ch0.E17.m1.14.14.14.4.2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="Ch0.E17.m1.14.14.14.4.2.2.2.1.1.1"><eq id="Ch0.E17.m1.14.14.14.4.2.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="Ch0.E17.m1.14.14.14.4.2.2.2.1.1.1.1.1"></eq><apply id="Ch0.E17.m1.14.14.14.4.2.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="Ch0.E17.m1.14.14.14.4.2.2.2.1.1.1.1.2"><csymbol cd="latexml" id="Ch0.E17.m1.14.14.14.4.2.2.2.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="Ch0.E17.m1.14.14.14.4.2.2.2.1.1.1.1.2.1">dimension</csymbol><ci id="Ch0.E17.m1.14.14.14.4.2.2.2.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="Ch0.E17.m1.14.14.14.4.2.2.2.1.1.1.1.2.2">𝐺</ci></apply><apply id="Ch0.E17.m1.14.14.14.4.2.2.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="Ch0.E17.m1.14.14.14.4.2.2.2.1.1.1.1.3"><minus id="Ch0.E17.m1.14.14.14.4.2.2.2.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="Ch0.E17.m1.14.14.14.4.2.2.2.1.1.1.1.3.1"></minus><apply id="Ch0.E17.m1.14.14.14.4.2.2.2.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="Ch0.E17.m1.14.14.14.4.2.2.2.1.1.1.1.3.2"><times id="Ch0.E17.m1.14.14.14.4.2.2.2.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="Ch0.E17.m1.14.14.14.4.2.2.2.1.1.1.1.3.2.1"></times><cn id="Ch0.E17.m1.14.14.14.4.2.2.2.1.1.1.1.3.2.2.cmml" type="integer" xref="Ch0.E17.m1.14.14.14.4.2.2.2.1.1.1.1.3.2.2">2</cn><apply id="Ch0.E17.m1.14.14.14.4.2.2.2.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="Ch0.E17.m1.14.14.14.4.2.2.2.1.1.1.1.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.E17.m1.14.14.14.4.2.2.2.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="Ch0.E17.m1.14.14.14.4.2.2.2.1.1.1.1.3.2.3">superscript</csymbol><ci id="Ch0.E17.m1.14.14.14.4.2.2.2.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="Ch0.E17.m1.14.14.14.4.2.2.2.1.1.1.1.3.2.3.2">𝑛</ci><cn id="Ch0.E17.m1.14.14.14.4.2.2.2.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml" type="integer" xref="Ch0.E17.m1.14.14.14.4.2.2.2.1.1.1.1.3.2.3.3">2</cn></apply></apply><ci id="Ch0.E17.m1.14.14.14.4.2.2.2.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="Ch0.E17.m1.14.14.14.4.2.2.2.1.1.1.1.3.3">𝑛</ci></apply></apply><cerror id="Ch0.E17.m1.14.14.14.4.2e.cmml" xref="Ch0.E17.m1.14.14.14.4.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.E17.m1.14.14.14.4.2f.cmml" xref="Ch0.E17.m1.14.14.14.4.2">missing-subexpression</csymbol></cerror></matrixrow></matrix><matrix id="Ch0.E17.m1.15.15.15.5.1.cmml" xref="Ch0.E17.m1.15.15.15.5.1"><matrixrow id="Ch0.E17.m1.15.15.15.5.1a.cmml" xref="Ch0.E17.m1.15.15.15.5.1"><matrix id="Ch0.E17.m1.15.15.15.5.1.2.1.1.cmml" xref="Ch0.E17.m1.15.15.15.5.1.2.1.1"><matrixrow id="Ch0.E17.m1.15.15.15.5.1.2.1.1a.cmml" xref="Ch0.E17.m1.15.15.15.5.1.2.1.1"><ci id="Ch0.E17.m1.15.15.15.5.1.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="Ch0.E17.m1.15.15.15.5.1.2.1.1.1.1.1">𝑛</ci><ci id="Ch0.E17.m1.15.15.15.5.1.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="Ch0.E17.m1.15.15.15.5.1.2.1.1.1.2.1">𝑛</ci></matrixrow></matrix><cerror id="Ch0.E17.m1.15.15.15.5.1b.cmml" xref="Ch0.E17.m1.15.15.15.5.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.E17.m1.15.15.15.5.1c.cmml" xref="Ch0.E17.m1.15.15.15.5.1">missing-subexpression</csymbol></cerror></matrixrow><matrixrow id="Ch0.E17.m1.15.15.15.5.1d.cmml" xref="Ch0.E17.m1.15.15.15.5.1"><matrix id="Ch0.E17.m1.15.15.15.5.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="Ch0.E17.m1.15.15.15.5.1.1.1.1.1.3"><matrixrow id="Ch0.E17.m1.15.15.15.5.1.1.1.1.1.1a.cmml" xref="Ch0.E17.m1.15.15.15.5.1.1.1.1.1.3"><ci id="Ch0.E17.m1.15.15.15.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="Ch0.E17.m1.15.15.15.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1">𝑎</ci><ci id="Ch0.E17.m1.15.15.15.5.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="Ch0.E17.m1.15.15.15.5.1.1.1.1.1.1.1.2.1">𝑏</ci></matrixrow><matrixrow id="Ch0.E17.m1.15.15.15.5.1.1.1.1.1.1b.cmml" xref="Ch0.E17.m1.15.15.15.5.1.1.1.1.1.3"><ci id="Ch0.E17.m1.15.15.15.5.1.1.1.1.1.1.2.1.1.cmml" xref="Ch0.E17.m1.15.15.15.5.1.1.1.1.1.1.2.1.1">𝑐</ci><apply id="Ch0.E17.m1.15.15.15.5.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="Ch0.E17.m1.15.15.15.5.1.1.1.1.1.1.2.2.1"><minus id="Ch0.E17.m1.15.15.15.5.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.cmml" xref="Ch0.E17.m1.15.15.15.5.1.1.1.1.1.1.2.2.1"></minus><apply id="Ch0.E17.m1.15.15.15.5.1.1.1.1.1.1.2.2.1.2.cmml" xref="Ch0.E17.m1.15.15.15.5.1.1.1.1.1.1.2.2.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.E17.m1.15.15.15.5.1.1.1.1.1.1.2.2.1.2.1.cmml" xref="Ch0.E17.m1.15.15.15.5.1.1.1.1.1.1.2.2.1.2">superscript</csymbol><ci id="Ch0.E17.m1.15.15.15.5.1.1.1.1.1.1.2.2.1.2.2.cmml" xref="Ch0.E17.m1.15.15.15.5.1.1.1.1.1.1.2.2.1.2.2">𝑎</ci><ci id="Ch0.E17.m1.15.15.15.5.1.1.1.1.1.1.2.2.1.2.3.cmml" xref="Ch0.E17.m1.15.15.15.5.1.1.1.1.1.1.2.2.1.2.3">𝑡</ci></apply></apply></matrixrow></matrix><matrix id="Ch0.E17.m1.15.15.15.5.1.1.1.2.1.cmml" xref="Ch0.E17.m1.15.15.15.5.1.1.1.2.1"><matrixrow id="Ch0.E17.m1.15.15.15.5.1.1.1.2.1a.cmml" xref="Ch0.E17.m1.15.15.15.5.1.1.1.2.1"><ci id="Ch0.E17.m1.15.15.15.5.1.1.1.2.1.1.1.1.cmml" xref="Ch0.E17.m1.15.15.15.5.1.1.1.2.1.1.1.1">𝑛</ci></matrixrow><matrixrow id="Ch0.E17.m1.15.15.15.5.1.1.1.2.1b.cmml" xref="Ch0.E17.m1.15.15.15.5.1.1.1.2.1"><ci id="Ch0.E17.m1.15.15.15.5.1.1.1.2.1.2.1.1.cmml" xref="Ch0.E17.m1.15.15.15.5.1.1.1.2.1.2.1.1">𝑛</ci></matrixrow></matrix></matrixrow></matrix><ci id="Ch0.E17.m1.6.6.6.2.2.2.2c.cmml" xref="Ch0.E17.m1.6.6.6.2.2.4"><mrow id="Ch0.E17.m1.6.6.6.2.2.2.2.cmml" xref="Ch0.E17.m1.6.6.6.2.2.4"><mi id="Ch0.E17.m1.5.5.5.1.1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="Ch0.E17.m1.5.5.5.1.1.1.1.m1.1.1">b</mi><mtext id="Ch0.E17.m1.6.6.6.2.2.2.2a.cmml" xref="Ch0.E17.m1.6.6.6.2.2.2.2a"> and </mtext><mi id="Ch0.E17.m1.6.6.6.2.2.2.2.m2.1.1.cmml" xref="Ch0.E17.m1.6.6.6.2.2.2.2.m2.1.1">c</mi><mtext id="Ch0.E17.m1.6.6.6.2.2.2.2b.cmml" xref="Ch0.E17.m1.6.6.6.2.2.2.2a"> antisymmetric</mtext></mrow></ci></matrixrow></matrix></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Ch0.E17.m1.15c">\begin{array}[]{lll}{\begin{array}[]{ll}G=\mathfrak{so}(2n+1)\\ (\dim G=2n^{2}+n)\end{array}}&\begin{array}[]{c c}{\begin{array}[]{@{} c c c @% {}}\ \ n&\ \ n&1\end{array}}&{}\hfil\\ \left(\begin{array}[]{@{} c c c @{}}a&b&c\\[1.42262pt] d&-a^{t}&e\\[1.42262pt] -e^{t}&-c^{t}&0\end{array}\right)&{\begin{array}[]{c}n\\[1.42262pt] n\\[1.42262pt] 1\end{array}}\end{array}&\hbox{$b$ and $d$ antisymmetric};\\[22.76219pt] {\begin{array}[]{ll}G=\mathfrak{sp}(2n)\\ (\dim G=2n^{2}+n)\end{array}}&\begin{array}[]{c c}{\begin{array}[]{@{} c c @{}% }\,n&\,n\end{array}}&{}\hfil\\ \left(\begin{array}[]{@{} c c @{}}a&b\\[1.42262pt] c&-a^{t}\end{array}\right)&{\begin{array}[]{c}n\\[1.42262pt] n\end{array}}\end{array}&\hbox{$b$ and $c$ symmetric};\\[22.76219pt] {\begin{array}[]{ll}G=\mathfrak{so}(2n)\\ (\dim G=2n^{2}-n)\end{array}}&\begin{array}[]{c c}{\begin{array}[]{@{} c c @{}% }\,n&\,n\end{array}}&{}\hfil\\ \left(\begin{array}[]{@{} c c @{}}a&b\\[1.42262pt] c&-a^{t}\end{array}\right)&{\begin{array}[]{c}n\\[1.42262pt] n\end{array}}\end{array}&\hbox{$b$ and $c$ antisymmetric}.\end{array}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Ch0.E17.m1.15d">start_ARRAY start_ROW start_CELL start_ARRAY start_ROW start_CELL italic_G = fraktur_s fraktur_o ( 2 italic_n + 1 ) end_CELL start_CELL end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL ( roman_dim italic_G = 2 italic_n start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + italic_n ) end_CELL start_CELL end_CELL end_ROW end_ARRAY end_CELL start_CELL start_ARRAY start_ROW start_CELL start_ARRAY start_ROW start_CELL italic_n end_CELL start_CELL italic_n end_CELL start_CELL 1 end_CELL end_ROW end_ARRAY end_CELL start_CELL end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL ( start_ARRAY start_ROW start_CELL italic_a end_CELL start_CELL italic_b end_CELL start_CELL italic_c end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL italic_d end_CELL start_CELL - italic_a start_POSTSUPERSCRIPT italic_t end_POSTSUPERSCRIPT end_CELL start_CELL italic_e end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL - italic_e start_POSTSUPERSCRIPT italic_t end_POSTSUPERSCRIPT end_CELL start_CELL - italic_c start_POSTSUPERSCRIPT italic_t end_POSTSUPERSCRIPT end_CELL start_CELL 0 end_CELL end_ROW end_ARRAY ) end_CELL start_CELL start_ARRAY start_ROW start_CELL italic_n end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL italic_n end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL 1 end_CELL end_ROW end_ARRAY end_CELL end_ROW end_ARRAY end_CELL start_CELL italic_b and italic_d antisymmetric ; end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL start_ARRAY start_ROW start_CELL italic_G = fraktur_s fraktur_p ( 2 italic_n ) end_CELL start_CELL end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL ( roman_dim italic_G = 2 italic_n start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + italic_n ) end_CELL start_CELL end_CELL end_ROW end_ARRAY end_CELL start_CELL start_ARRAY start_ROW start_CELL start_ARRAY start_ROW start_CELL italic_n end_CELL start_CELL italic_n end_CELL end_ROW end_ARRAY end_CELL start_CELL end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL ( start_ARRAY start_ROW start_CELL italic_a end_CELL start_CELL italic_b end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL italic_c end_CELL start_CELL - italic_a start_POSTSUPERSCRIPT italic_t end_POSTSUPERSCRIPT end_CELL end_ROW end_ARRAY ) end_CELL start_CELL start_ARRAY start_ROW start_CELL italic_n end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL italic_n end_CELL end_ROW end_ARRAY end_CELL end_ROW end_ARRAY end_CELL start_CELL italic_b and italic_c symmetric ; end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL start_ARRAY start_ROW start_CELL italic_G = fraktur_s fraktur_o ( 2 italic_n ) end_CELL start_CELL end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL ( roman_dim italic_G = 2 italic_n start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT - italic_n ) end_CELL start_CELL end_CELL end_ROW end_ARRAY end_CELL start_CELL start_ARRAY start_ROW start_CELL start_ARRAY start_ROW start_CELL italic_n end_CELL start_CELL italic_n end_CELL end_ROW end_ARRAY end_CELL start_CELL end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL ( start_ARRAY start_ROW start_CELL italic_a end_CELL start_CELL italic_b end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL italic_c end_CELL start_CELL - italic_a start_POSTSUPERSCRIPT italic_t end_POSTSUPERSCRIPT end_CELL end_ROW end_ARRAY ) end_CELL start_CELL start_ARRAY start_ROW start_CELL italic_n end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL italic_n end_CELL end_ROW end_ARRAY end_CELL end_ROW end_ARRAY end_CELL start_CELL italic_b and italic_c antisymmetric . end_CELL end_ROW end_ARRAY</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(17)</span></td> </tr></tbody> </table> </div> <div class="ltx_para" id="Ch0.S3.p5"> <p class="ltx_p" id="Ch0.S3.p5.1">In <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2408.09274v1#bib.bib25" title="">SV2023 </a></cite>, we followed a procedure to construct such classes of <math alttext="{\mathbb{Z}}_{2}^{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="Ch0.S3.p5.1.m1.1"><semantics id="Ch0.S3.p5.1.m1.1a"><msubsup id="Ch0.S3.p5.1.m1.1.1" xref="Ch0.S3.p5.1.m1.1.1.cmml"><mi id="Ch0.S3.p5.1.m1.1.1.2.2" xref="Ch0.S3.p5.1.m1.1.1.2.2.cmml">ℤ</mi><mn id="Ch0.S3.p5.1.m1.1.1.2.3" xref="Ch0.S3.p5.1.m1.1.1.2.3.cmml">2</mn><mn id="Ch0.S3.p5.1.m1.1.1.3" xref="Ch0.S3.p5.1.m1.1.1.3.cmml">2</mn></msubsup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Ch0.S3.p5.1.m1.1b"><apply id="Ch0.S3.p5.1.m1.1.1.cmml" xref="Ch0.S3.p5.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.S3.p5.1.m1.1.1.1.cmml" xref="Ch0.S3.p5.1.m1.1.1">superscript</csymbol><apply id="Ch0.S3.p5.1.m1.1.1.2.cmml" xref="Ch0.S3.p5.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.S3.p5.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="Ch0.S3.p5.1.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="Ch0.S3.p5.1.m1.1.1.2.2.cmml" xref="Ch0.S3.p5.1.m1.1.1.2.2">ℤ</ci><cn id="Ch0.S3.p5.1.m1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="Ch0.S3.p5.1.m1.1.1.2.3">2</cn></apply><cn id="Ch0.S3.p5.1.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="Ch0.S3.p5.1.m1.1.1.3">2</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Ch0.S3.p5.1.m1.1c">{\mathbb{Z}}_{2}^{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Ch0.S3.p5.1.m1.1d">blackboard_Z start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>-GLA’s corresponding to classical LA’s. That procedure uses in fact the classification of so-called 5-gradings of classical LA’s as determined in <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2408.09274v1#bib.bib22" title="">SV2005LA </a></cite>. We will not repeat this procedure here, but rather put some of the results of <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2408.09274v1#bib.bib25" title="">SV2023 </a></cite> in the framework of the earlier introduced graded transpose.</p> </div> <div class="ltx_para" id="Ch0.S3.p6"> <p class="ltx_p" id="Ch0.S3.p6.4">The first class of <math alttext="{\mathbb{Z}}^{2}_{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="Ch0.S3.p6.1.m1.1"><semantics id="Ch0.S3.p6.1.m1.1a"><msubsup id="Ch0.S3.p6.1.m1.1.1" xref="Ch0.S3.p6.1.m1.1.1.cmml"><mi id="Ch0.S3.p6.1.m1.1.1.2.2" xref="Ch0.S3.p6.1.m1.1.1.2.2.cmml">ℤ</mi><mn id="Ch0.S3.p6.1.m1.1.1.3" xref="Ch0.S3.p6.1.m1.1.1.3.cmml">2</mn><mn id="Ch0.S3.p6.1.m1.1.1.2.3" xref="Ch0.S3.p6.1.m1.1.1.2.3.cmml">2</mn></msubsup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Ch0.S3.p6.1.m1.1b"><apply id="Ch0.S3.p6.1.m1.1.1.cmml" xref="Ch0.S3.p6.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.S3.p6.1.m1.1.1.1.cmml" xref="Ch0.S3.p6.1.m1.1.1">subscript</csymbol><apply id="Ch0.S3.p6.1.m1.1.1.2.cmml" xref="Ch0.S3.p6.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.S3.p6.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="Ch0.S3.p6.1.m1.1.1">superscript</csymbol><ci id="Ch0.S3.p6.1.m1.1.1.2.2.cmml" xref="Ch0.S3.p6.1.m1.1.1.2.2">ℤ</ci><cn id="Ch0.S3.p6.1.m1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="Ch0.S3.p6.1.m1.1.1.2.3">2</cn></apply><cn id="Ch0.S3.p6.1.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="Ch0.S3.p6.1.m1.1.1.3">2</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Ch0.S3.p6.1.m1.1c">{\mathbb{Z}}^{2}_{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Ch0.S3.p6.1.m1.1d">blackboard_Z start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>-GLA’s we list here are those of type <math alttext="C" class="ltx_Math" display="inline" id="Ch0.S3.p6.2.m2.1"><semantics id="Ch0.S3.p6.2.m2.1a"><mi id="Ch0.S3.p6.2.m2.1.1" xref="Ch0.S3.p6.2.m2.1.1.cmml">C</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Ch0.S3.p6.2.m2.1b"><ci id="Ch0.S3.p6.2.m2.1.1.cmml" xref="Ch0.S3.p6.2.m2.1.1">𝐶</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Ch0.S3.p6.2.m2.1c">C</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Ch0.S3.p6.2.m2.1d">italic_C</annotation></semantics></math>. The <math alttext="{\mathbb{Z}}_{2}^{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="Ch0.S3.p6.3.m3.1"><semantics id="Ch0.S3.p6.3.m3.1a"><msubsup id="Ch0.S3.p6.3.m3.1.1" xref="Ch0.S3.p6.3.m3.1.1.cmml"><mi id="Ch0.S3.p6.3.m3.1.1.2.2" xref="Ch0.S3.p6.3.m3.1.1.2.2.cmml">ℤ</mi><mn id="Ch0.S3.p6.3.m3.1.1.2.3" xref="Ch0.S3.p6.3.m3.1.1.2.3.cmml">2</mn><mn id="Ch0.S3.p6.3.m3.1.1.3" xref="Ch0.S3.p6.3.m3.1.1.3.cmml">2</mn></msubsup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Ch0.S3.p6.3.m3.1b"><apply id="Ch0.S3.p6.3.m3.1.1.cmml" xref="Ch0.S3.p6.3.m3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.S3.p6.3.m3.1.1.1.cmml" xref="Ch0.S3.p6.3.m3.1.1">superscript</csymbol><apply id="Ch0.S3.p6.3.m3.1.1.2.cmml" xref="Ch0.S3.p6.3.m3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.S3.p6.3.m3.1.1.2.1.cmml" xref="Ch0.S3.p6.3.m3.1.1">subscript</csymbol><ci id="Ch0.S3.p6.3.m3.1.1.2.2.cmml" xref="Ch0.S3.p6.3.m3.1.1.2.2">ℤ</ci><cn id="Ch0.S3.p6.3.m3.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="Ch0.S3.p6.3.m3.1.1.2.3">2</cn></apply><cn id="Ch0.S3.p6.3.m3.1.1.3.cmml" type="integer" xref="Ch0.S3.p6.3.m3.1.1.3">2</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Ch0.S3.p6.3.m3.1c">{\mathbb{Z}}_{2}^{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Ch0.S3.p6.3.m3.1d">blackboard_Z start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>-GLA <math alttext="\mathfrak{g}=\mathfrak{sp}_{p}(2n)" class="ltx_Math" display="inline" id="Ch0.S3.p6.4.m4.1"><semantics id="Ch0.S3.p6.4.m4.1a"><mrow id="Ch0.S3.p6.4.m4.1.1" xref="Ch0.S3.p6.4.m4.1.1.cmml"><mi id="Ch0.S3.p6.4.m4.1.1.3" xref="Ch0.S3.p6.4.m4.1.1.3.cmml">𝔤</mi><mo id="Ch0.S3.p6.4.m4.1.1.2" xref="Ch0.S3.p6.4.m4.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="Ch0.S3.p6.4.m4.1.1.1" xref="Ch0.S3.p6.4.m4.1.1.1.cmml"><mi id="Ch0.S3.p6.4.m4.1.1.1.3" xref="Ch0.S3.p6.4.m4.1.1.1.3.cmml">𝔰</mi><mo id="Ch0.S3.p6.4.m4.1.1.1.2" xref="Ch0.S3.p6.4.m4.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="Ch0.S3.p6.4.m4.1.1.1.4" xref="Ch0.S3.p6.4.m4.1.1.1.4.cmml"><mi id="Ch0.S3.p6.4.m4.1.1.1.4.2" xref="Ch0.S3.p6.4.m4.1.1.1.4.2.cmml">𝔭</mi><mi id="Ch0.S3.p6.4.m4.1.1.1.4.3" xref="Ch0.S3.p6.4.m4.1.1.1.4.3.cmml">p</mi></msub><mo id="Ch0.S3.p6.4.m4.1.1.1.2a" xref="Ch0.S3.p6.4.m4.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="Ch0.S3.p6.4.m4.1.1.1.1.1" xref="Ch0.S3.p6.4.m4.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="Ch0.S3.p6.4.m4.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="Ch0.S3.p6.4.m4.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="Ch0.S3.p6.4.m4.1.1.1.1.1.1" xref="Ch0.S3.p6.4.m4.1.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="Ch0.S3.p6.4.m4.1.1.1.1.1.1.2" xref="Ch0.S3.p6.4.m4.1.1.1.1.1.1.2.cmml">2</mn><mo id="Ch0.S3.p6.4.m4.1.1.1.1.1.1.1" xref="Ch0.S3.p6.4.m4.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="Ch0.S3.p6.4.m4.1.1.1.1.1.1.3" xref="Ch0.S3.p6.4.m4.1.1.1.1.1.1.3.cmml">n</mi></mrow><mo id="Ch0.S3.p6.4.m4.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="Ch0.S3.p6.4.m4.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Ch0.S3.p6.4.m4.1b"><apply id="Ch0.S3.p6.4.m4.1.1.cmml" xref="Ch0.S3.p6.4.m4.1.1"><eq id="Ch0.S3.p6.4.m4.1.1.2.cmml" xref="Ch0.S3.p6.4.m4.1.1.2"></eq><ci id="Ch0.S3.p6.4.m4.1.1.3.cmml" xref="Ch0.S3.p6.4.m4.1.1.3">𝔤</ci><apply id="Ch0.S3.p6.4.m4.1.1.1.cmml" xref="Ch0.S3.p6.4.m4.1.1.1"><times id="Ch0.S3.p6.4.m4.1.1.1.2.cmml" xref="Ch0.S3.p6.4.m4.1.1.1.2"></times><ci id="Ch0.S3.p6.4.m4.1.1.1.3.cmml" xref="Ch0.S3.p6.4.m4.1.1.1.3">𝔰</ci><apply id="Ch0.S3.p6.4.m4.1.1.1.4.cmml" xref="Ch0.S3.p6.4.m4.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.S3.p6.4.m4.1.1.1.4.1.cmml" xref="Ch0.S3.p6.4.m4.1.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="Ch0.S3.p6.4.m4.1.1.1.4.2.cmml" xref="Ch0.S3.p6.4.m4.1.1.1.4.2">𝔭</ci><ci id="Ch0.S3.p6.4.m4.1.1.1.4.3.cmml" xref="Ch0.S3.p6.4.m4.1.1.1.4.3">𝑝</ci></apply><apply id="Ch0.S3.p6.4.m4.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="Ch0.S3.p6.4.m4.1.1.1.1.1"><times id="Ch0.S3.p6.4.m4.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="Ch0.S3.p6.4.m4.1.1.1.1.1.1.1"></times><cn id="Ch0.S3.p6.4.m4.1.1.1.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="Ch0.S3.p6.4.m4.1.1.1.1.1.1.2">2</cn><ci id="Ch0.S3.p6.4.m4.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="Ch0.S3.p6.4.m4.1.1.1.1.1.1.3">𝑛</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Ch0.S3.p6.4.m4.1c">\mathfrak{g}=\mathfrak{sp}_{p}(2n)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Ch0.S3.p6.4.m4.1d">fraktur_g = fraktur_s fraktur_p start_POSTSUBSCRIPT italic_p end_POSTSUBSCRIPT ( 2 italic_n )</annotation></semantics></math> consists of all matrices of the following block form:</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="Ch0.E18"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\begin{array}[]{c c}{\begin{array}[]{@{} c c c c @{}}\ \ \ \ p&\ \ n-p&\ p&\ % \ n-p\end{array}}&{}\hfil\\ \left(\begin{array}[]{@{} cc:cc @{}}a_{(0,0)}&a_{(1,0)}&b_{(1,1)}&b_{(0,1)}\\ \tilde{a}_{(1,0)}&\tilde{a}_{(0,0)}&\framebox{$-b_{(0,1)}^{\;\;t}$}&\tilde{b}_% {(1,1)}\\[8.53581pt] \hdashline c_{(1,1)}&c_{(0,1)}&-a_{(0,0)}^{\;\;t}&-\tilde{a}_{(1,0)}^{\;\;t}\\ \framebox{$-c_{(0,1)}^{\;\;t}$}&\tilde{c}_{(1,1)}&-a_{(1,0)}^{\;\;t}&-\tilde{a% }_{(0,0)}^{\;\;t}\end{array}\right)&{\begin{array}[]{c}p\\[5.69054pt] n-p\\[5.69054pt] p\\[5.69054pt] n-p\end{array}}\end{array}" class="ltx_Math" display="block" id="Ch0.E18.m1.32"><semantics id="Ch0.E18.m1.32a"><mtable columnspacing="5pt" displaystyle="true" id="Ch0.E18.m1.32.32" rowspacing="0pt" xref="Ch0.E18.m1.32.32.cmml"><mtr id="Ch0.E18.m1.32.32a" xref="Ch0.E18.m1.32.32.cmml"><mtd id="Ch0.E18.m1.32.32b" xref="Ch0.E18.m1.32.32.cmml"><mtable columnspacing="5pt" displaystyle="true" id="Ch0.E18.m1.32.32.33.1.1" xref="Ch0.E18.m1.32.32.33.1.1.cmml"><mtr id="Ch0.E18.m1.32.32.33.1.1a" xref="Ch0.E18.m1.32.32.33.1.1.cmml"><mtd id="Ch0.E18.m1.32.32.33.1.1b" xref="Ch0.E18.m1.32.32.33.1.1.cmml"><mi id="Ch0.E18.m1.32.32.33.1.1.1.1.1" xref="Ch0.E18.m1.32.32.33.1.1.1.1.1.cmml">p</mi></mtd><mtd id="Ch0.E18.m1.32.32.33.1.1c" xref="Ch0.E18.m1.32.32.33.1.1.cmml"><mrow id="Ch0.E18.m1.32.32.33.1.1.1.2.1" xref="Ch0.E18.m1.32.32.33.1.1.1.2.1.cmml"><mi id="Ch0.E18.m1.32.32.33.1.1.1.2.1.2" xref="Ch0.E18.m1.32.32.33.1.1.1.2.1.2.cmml">n</mi><mo id="Ch0.E18.m1.32.32.33.1.1.1.2.1.1" xref="Ch0.E18.m1.32.32.33.1.1.1.2.1.1.cmml">−</mo><mi id="Ch0.E18.m1.32.32.33.1.1.1.2.1.3" xref="Ch0.E18.m1.32.32.33.1.1.1.2.1.3.cmml">p</mi></mrow></mtd><mtd id="Ch0.E18.m1.32.32.33.1.1d" xref="Ch0.E18.m1.32.32.33.1.1.cmml"><mi id="Ch0.E18.m1.32.32.33.1.1.1.3.1" xref="Ch0.E18.m1.32.32.33.1.1.1.3.1.cmml">p</mi></mtd><mtd id="Ch0.E18.m1.32.32.33.1.1e" xref="Ch0.E18.m1.32.32.33.1.1.cmml"><mrow id="Ch0.E18.m1.32.32.33.1.1.1.4.1" xref="Ch0.E18.m1.32.32.33.1.1.1.4.1.cmml"><mi id="Ch0.E18.m1.32.32.33.1.1.1.4.1.2" xref="Ch0.E18.m1.32.32.33.1.1.1.4.1.2.cmml">n</mi><mo id="Ch0.E18.m1.32.32.33.1.1.1.4.1.1" xref="Ch0.E18.m1.32.32.33.1.1.1.4.1.1.cmml">−</mo><mi id="Ch0.E18.m1.32.32.33.1.1.1.4.1.3" xref="Ch0.E18.m1.32.32.33.1.1.1.4.1.3.cmml">p</mi></mrow></mtd></mtr></mtable></mtd><mtd id="Ch0.E18.m1.32.32c" xref="Ch0.E18.m1.32.32.cmml"></mtd></mtr><mtr id="Ch0.E18.m1.32.32d" xref="Ch0.E18.m1.32.32.cmml"><mtd id="Ch0.E18.m1.32.32e" xref="Ch0.E18.m1.32.32.cmml"><mrow id="Ch0.E18.m1.32.32.32.32.32.34" xref="Ch0.E18.m1.32.32.32.32.32.32.cmml"><mo id="Ch0.E18.m1.32.32.32.32.32.34.1" xref="Ch0.E18.m1.32.32.32.32.32.32.cmml">(</mo><mtable columnspacing="5pt" displaystyle="true" id="Ch0.E18.m1.32.32.32.32.32.32" rowspacing="0pt" xref="Ch0.E18.m1.32.32.32.32.32.32.cmml"><mtr id="Ch0.E18.m1.32.32.32.32.32.32a" xref="Ch0.E18.m1.32.32.32.32.32.32.cmml"><mtd id="Ch0.E18.m1.32.32.32.32.32.32b" xref="Ch0.E18.m1.32.32.32.32.32.32.cmml"><msub id="Ch0.E18.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.2" xref="Ch0.E18.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="Ch0.E18.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.4" xref="Ch0.E18.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.4.cmml">a</mi><mrow id="Ch0.E18.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.4" xref="Ch0.E18.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.3.cmml"><mo id="Ch0.E18.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.4.1" stretchy="false" xref="Ch0.E18.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.3.cmml">(</mo><mn id="Ch0.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="Ch0.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">0</mn><mo id="Ch0.E18.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.4.2" xref="Ch0.E18.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.3.cmml">,</mo><mn id="Ch0.E18.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2" xref="Ch0.E18.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.cmml">0</mn><mo id="Ch0.E18.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.4.3" stretchy="false" xref="Ch0.E18.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></msub></mtd><mtd id="Ch0.E18.m1.32.32.32.32.32.32c" xref="Ch0.E18.m1.32.32.32.32.32.32.cmml"><msub id="Ch0.E18.m1.4.4.4.4.4.4.4.4.2" xref="Ch0.E18.m1.4.4.4.4.4.4.4.4.2.cmml"><mi id="Ch0.E18.m1.4.4.4.4.4.4.4.4.2.4" xref="Ch0.E18.m1.4.4.4.4.4.4.4.4.2.4.cmml">a</mi><mrow id="Ch0.E18.m1.4.4.4.4.4.4.4.4.2.2.2.4" xref="Ch0.E18.m1.4.4.4.4.4.4.4.4.2.2.2.3.cmml"><mo id="Ch0.E18.m1.4.4.4.4.4.4.4.4.2.2.2.4.1" stretchy="false" xref="Ch0.E18.m1.4.4.4.4.4.4.4.4.2.2.2.3.cmml">(</mo><mn id="Ch0.E18.m1.3.3.3.3.3.3.3.3.1.1.1.1" xref="Ch0.E18.m1.3.3.3.3.3.3.3.3.1.1.1.1.cmml">1</mn><mo id="Ch0.E18.m1.4.4.4.4.4.4.4.4.2.2.2.4.2" xref="Ch0.E18.m1.4.4.4.4.4.4.4.4.2.2.2.3.cmml">,</mo><mn id="Ch0.E18.m1.4.4.4.4.4.4.4.4.2.2.2.2" xref="Ch0.E18.m1.4.4.4.4.4.4.4.4.2.2.2.2.cmml">0</mn><mo id="Ch0.E18.m1.4.4.4.4.4.4.4.4.2.2.2.4.3" stretchy="false" xref="Ch0.E18.m1.4.4.4.4.4.4.4.4.2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></msub></mtd><mtd id="Ch0.E18.m1.32.32.32.32.32.32d" xref="Ch0.E18.m1.32.32.32.32.32.32.cmml"><msub id="Ch0.E18.m1.6.6.6.6.6.6.6.6.2" xref="Ch0.E18.m1.6.6.6.6.6.6.6.6.2.cmml"><mi id="Ch0.E18.m1.6.6.6.6.6.6.6.6.2.4" xref="Ch0.E18.m1.6.6.6.6.6.6.6.6.2.4.cmml">b</mi><mrow id="Ch0.E18.m1.6.6.6.6.6.6.6.6.2.2.2.4" xref="Ch0.E18.m1.6.6.6.6.6.6.6.6.2.2.2.3.cmml"><mo id="Ch0.E18.m1.6.6.6.6.6.6.6.6.2.2.2.4.1" stretchy="false" xref="Ch0.E18.m1.6.6.6.6.6.6.6.6.2.2.2.3.cmml">(</mo><mn id="Ch0.E18.m1.5.5.5.5.5.5.5.5.1.1.1.1" xref="Ch0.E18.m1.5.5.5.5.5.5.5.5.1.1.1.1.cmml">1</mn><mo id="Ch0.E18.m1.6.6.6.6.6.6.6.6.2.2.2.4.2" xref="Ch0.E18.m1.6.6.6.6.6.6.6.6.2.2.2.3.cmml">,</mo><mn id="Ch0.E18.m1.6.6.6.6.6.6.6.6.2.2.2.2" xref="Ch0.E18.m1.6.6.6.6.6.6.6.6.2.2.2.2.cmml">1</mn><mo id="Ch0.E18.m1.6.6.6.6.6.6.6.6.2.2.2.4.3" stretchy="false" xref="Ch0.E18.m1.6.6.6.6.6.6.6.6.2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></msub></mtd><mtd id="Ch0.E18.m1.32.32.32.32.32.32e" xref="Ch0.E18.m1.32.32.32.32.32.32.cmml"><msub id="Ch0.E18.m1.8.8.8.8.8.8.8.8.2" xref="Ch0.E18.m1.8.8.8.8.8.8.8.8.2.cmml"><mi id="Ch0.E18.m1.8.8.8.8.8.8.8.8.2.4" xref="Ch0.E18.m1.8.8.8.8.8.8.8.8.2.4.cmml">b</mi><mrow id="Ch0.E18.m1.8.8.8.8.8.8.8.8.2.2.2.4" xref="Ch0.E18.m1.8.8.8.8.8.8.8.8.2.2.2.3.cmml"><mo id="Ch0.E18.m1.8.8.8.8.8.8.8.8.2.2.2.4.1" stretchy="false" xref="Ch0.E18.m1.8.8.8.8.8.8.8.8.2.2.2.3.cmml">(</mo><mn id="Ch0.E18.m1.7.7.7.7.7.7.7.7.1.1.1.1" xref="Ch0.E18.m1.7.7.7.7.7.7.7.7.1.1.1.1.cmml">0</mn><mo id="Ch0.E18.m1.8.8.8.8.8.8.8.8.2.2.2.4.2" xref="Ch0.E18.m1.8.8.8.8.8.8.8.8.2.2.2.3.cmml">,</mo><mn id="Ch0.E18.m1.8.8.8.8.8.8.8.8.2.2.2.2" xref="Ch0.E18.m1.8.8.8.8.8.8.8.8.2.2.2.2.cmml">1</mn><mo id="Ch0.E18.m1.8.8.8.8.8.8.8.8.2.2.2.4.3" stretchy="false" xref="Ch0.E18.m1.8.8.8.8.8.8.8.8.2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></msub></mtd></mtr><mtr id="Ch0.E18.m1.32.32.32.32.32.32f" xref="Ch0.E18.m1.32.32.32.32.32.32.cmml"><mtd id="Ch0.E18.m1.32.32.32.32.32.32g" xref="Ch0.E18.m1.32.32.32.32.32.32.cmml"><msub id="Ch0.E18.m1.10.10.10.10.10.10.10.2.2" xref="Ch0.E18.m1.10.10.10.10.10.10.10.2.2.cmml"><mover accent="true" id="Ch0.E18.m1.10.10.10.10.10.10.10.2.2.4" xref="Ch0.E18.m1.10.10.10.10.10.10.10.2.2.4.cmml"><mi id="Ch0.E18.m1.10.10.10.10.10.10.10.2.2.4.2" xref="Ch0.E18.m1.10.10.10.10.10.10.10.2.2.4.2.cmml">a</mi><mo id="Ch0.E18.m1.10.10.10.10.10.10.10.2.2.4.1" xref="Ch0.E18.m1.10.10.10.10.10.10.10.2.2.4.1.cmml">~</mo></mover><mrow id="Ch0.E18.m1.10.10.10.10.10.10.10.2.2.2.2.4" xref="Ch0.E18.m1.10.10.10.10.10.10.10.2.2.2.2.3.cmml"><mo id="Ch0.E18.m1.10.10.10.10.10.10.10.2.2.2.2.4.1" stretchy="false" xref="Ch0.E18.m1.10.10.10.10.10.10.10.2.2.2.2.3.cmml">(</mo><mn id="Ch0.E18.m1.9.9.9.9.9.9.9.1.1.1.1.1" xref="Ch0.E18.m1.9.9.9.9.9.9.9.1.1.1.1.1.cmml">1</mn><mo id="Ch0.E18.m1.10.10.10.10.10.10.10.2.2.2.2.4.2" xref="Ch0.E18.m1.10.10.10.10.10.10.10.2.2.2.2.3.cmml">,</mo><mn id="Ch0.E18.m1.10.10.10.10.10.10.10.2.2.2.2.2" xref="Ch0.E18.m1.10.10.10.10.10.10.10.2.2.2.2.2.cmml">0</mn><mo id="Ch0.E18.m1.10.10.10.10.10.10.10.2.2.2.2.4.3" stretchy="false" xref="Ch0.E18.m1.10.10.10.10.10.10.10.2.2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></msub></mtd><mtd id="Ch0.E18.m1.32.32.32.32.32.32h" xref="Ch0.E18.m1.32.32.32.32.32.32.cmml"><msub id="Ch0.E18.m1.12.12.12.12.12.12.12.4.2" xref="Ch0.E18.m1.12.12.12.12.12.12.12.4.2.cmml"><mover accent="true" id="Ch0.E18.m1.12.12.12.12.12.12.12.4.2.4" xref="Ch0.E18.m1.12.12.12.12.12.12.12.4.2.4.cmml"><mi id="Ch0.E18.m1.12.12.12.12.12.12.12.4.2.4.2" xref="Ch0.E18.m1.12.12.12.12.12.12.12.4.2.4.2.cmml">a</mi><mo id="Ch0.E18.m1.12.12.12.12.12.12.12.4.2.4.1" xref="Ch0.E18.m1.12.12.12.12.12.12.12.4.2.4.1.cmml">~</mo></mover><mrow id="Ch0.E18.m1.12.12.12.12.12.12.12.4.2.2.2.4" xref="Ch0.E18.m1.12.12.12.12.12.12.12.4.2.2.2.3.cmml"><mo id="Ch0.E18.m1.12.12.12.12.12.12.12.4.2.2.2.4.1" stretchy="false" xref="Ch0.E18.m1.12.12.12.12.12.12.12.4.2.2.2.3.cmml">(</mo><mn id="Ch0.E18.m1.11.11.11.11.11.11.11.3.1.1.1.1" xref="Ch0.E18.m1.11.11.11.11.11.11.11.3.1.1.1.1.cmml">0</mn><mo id="Ch0.E18.m1.12.12.12.12.12.12.12.4.2.2.2.4.2" xref="Ch0.E18.m1.12.12.12.12.12.12.12.4.2.2.2.3.cmml">,</mo><mn id="Ch0.E18.m1.12.12.12.12.12.12.12.4.2.2.2.2" xref="Ch0.E18.m1.12.12.12.12.12.12.12.4.2.2.2.2.cmml">0</mn><mo id="Ch0.E18.m1.12.12.12.12.12.12.12.4.2.2.2.4.3" stretchy="false" xref="Ch0.E18.m1.12.12.12.12.12.12.12.4.2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></msub></mtd><mtd id="Ch0.E18.m1.32.32.32.32.32.32i" xref="Ch0.E18.m1.32.32.32.32.32.32.cmml"><menclose id="Ch0.E18.m1.14.14.14.14.14.14.14.6.2" notation="box" xref="Ch0.E18.m1.14.14.14.14.14.14.14.6.2.cmml"><mrow id="Ch0.E18.m1.14.14.14.14.14.14.14.6.2a" xref="Ch0.E18.m1.14.14.14.14.14.14.14.6.2.cmml"><mo id="Ch0.E18.m1.14.14.14.14.14.14.14.6.2b" xref="Ch0.E18.m1.14.14.14.14.14.14.14.6.2.cmml">−</mo><msubsup id="Ch0.E18.m1.14.14.14.14.14.14.14.6.2.4" xref="Ch0.E18.m1.14.14.14.14.14.14.14.6.2.4.cmml"><mi id="Ch0.E18.m1.14.14.14.14.14.14.14.6.2.4.2.2" xref="Ch0.E18.m1.14.14.14.14.14.14.14.6.2.4.2.2.cmml">b</mi><mrow id="Ch0.E18.m1.14.14.14.14.14.14.14.6.2.2.2.2.4" xref="Ch0.E18.m1.14.14.14.14.14.14.14.6.2.2.2.2.3.cmml"><mo id="Ch0.E18.m1.14.14.14.14.14.14.14.6.2.2.2.2.4.1" stretchy="false" xref="Ch0.E18.m1.14.14.14.14.14.14.14.6.2.2.2.2.3.cmml">(</mo><mn id="Ch0.E18.m1.13.13.13.13.13.13.13.5.1.1.1.1.1" xref="Ch0.E18.m1.13.13.13.13.13.13.13.5.1.1.1.1.1.cmml">0</mn><mo id="Ch0.E18.m1.14.14.14.14.14.14.14.6.2.2.2.2.4.2" xref="Ch0.E18.m1.14.14.14.14.14.14.14.6.2.2.2.2.3.cmml">,</mo><mn id="Ch0.E18.m1.14.14.14.14.14.14.14.6.2.2.2.2.2" xref="Ch0.E18.m1.14.14.14.14.14.14.14.6.2.2.2.2.2.cmml">1</mn><mo id="Ch0.E18.m1.14.14.14.14.14.14.14.6.2.2.2.2.4.3" stretchy="false" xref="Ch0.E18.m1.14.14.14.14.14.14.14.6.2.2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow><mi id="Ch0.E18.m1.14.14.14.14.14.14.14.6.2.4.3" xref="Ch0.E18.m1.14.14.14.14.14.14.14.6.2.4.3.cmml">t</mi></msubsup></mrow></menclose></mtd><mtd id="Ch0.E18.m1.32.32.32.32.32.32j" xref="Ch0.E18.m1.32.32.32.32.32.32.cmml"><msub id="Ch0.E18.m1.16.16.16.16.16.16.16.8.2" xref="Ch0.E18.m1.16.16.16.16.16.16.16.8.2.cmml"><mover accent="true" id="Ch0.E18.m1.16.16.16.16.16.16.16.8.2.4" xref="Ch0.E18.m1.16.16.16.16.16.16.16.8.2.4.cmml"><mi id="Ch0.E18.m1.16.16.16.16.16.16.16.8.2.4.2" xref="Ch0.E18.m1.16.16.16.16.16.16.16.8.2.4.2.cmml">b</mi><mo id="Ch0.E18.m1.16.16.16.16.16.16.16.8.2.4.1" xref="Ch0.E18.m1.16.16.16.16.16.16.16.8.2.4.1.cmml">~</mo></mover><mrow id="Ch0.E18.m1.16.16.16.16.16.16.16.8.2.2.2.4" xref="Ch0.E18.m1.16.16.16.16.16.16.16.8.2.2.2.3.cmml"><mo id="Ch0.E18.m1.16.16.16.16.16.16.16.8.2.2.2.4.1" stretchy="false" xref="Ch0.E18.m1.16.16.16.16.16.16.16.8.2.2.2.3.cmml">(</mo><mn id="Ch0.E18.m1.15.15.15.15.15.15.15.7.1.1.1.1" xref="Ch0.E18.m1.15.15.15.15.15.15.15.7.1.1.1.1.cmml">1</mn><mo id="Ch0.E18.m1.16.16.16.16.16.16.16.8.2.2.2.4.2" xref="Ch0.E18.m1.16.16.16.16.16.16.16.8.2.2.2.3.cmml">,</mo><mn id="Ch0.E18.m1.16.16.16.16.16.16.16.8.2.2.2.2" xref="Ch0.E18.m1.16.16.16.16.16.16.16.8.2.2.2.2.cmml">1</mn><mo id="Ch0.E18.m1.16.16.16.16.16.16.16.8.2.2.2.4.3" stretchy="false" xref="Ch0.E18.m1.16.16.16.16.16.16.16.8.2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></msub></mtd></mtr><mtr id="Ch0.E18.m1.32.32.32.32.32.32k" xref="Ch0.E18.m1.32.32.32.32.32.32.cmml"><mtd id="Ch0.E18.m1.32.32.32.32.32.32l" xref="Ch0.E18.m1.32.32.32.32.32.32.cmml"><mrow id="Ch0.E18.m1.18.18.18.18.18.18.18.2.2" xref="Ch0.E18.m1.18.18.18.18.18.18.18.2.2.cmml"><merror class="ltx_ERROR undefined undefined" id="Ch0.E18.m1.18.18.18.18.18.18.18.2.2.4" xref="Ch0.E18.m1.18.18.18.18.18.18.18.2.2.4b.cmml"><mtext id="Ch0.E18.m1.18.18.18.18.18.18.18.2.2.4a" xref="Ch0.E18.m1.18.18.18.18.18.18.18.2.2.4b.cmml">\hdashline</mtext></merror><mo id="Ch0.E18.m1.18.18.18.18.18.18.18.2.2.3" xref="Ch0.E18.m1.18.18.18.18.18.18.18.2.2.3.cmml">⁢</mo><msub id="Ch0.E18.m1.18.18.18.18.18.18.18.2.2.5" xref="Ch0.E18.m1.18.18.18.18.18.18.18.2.2.5.cmml"><mi id="Ch0.E18.m1.18.18.18.18.18.18.18.2.2.5.2" xref="Ch0.E18.m1.18.18.18.18.18.18.18.2.2.5.2.cmml">c</mi><mrow id="Ch0.E18.m1.18.18.18.18.18.18.18.2.2.2.2.4" xref="Ch0.E18.m1.18.18.18.18.18.18.18.2.2.2.2.3.cmml"><mo id="Ch0.E18.m1.18.18.18.18.18.18.18.2.2.2.2.4.1" stretchy="false" xref="Ch0.E18.m1.18.18.18.18.18.18.18.2.2.2.2.3.cmml">(</mo><mn id="Ch0.E18.m1.17.17.17.17.17.17.17.1.1.1.1.1" xref="Ch0.E18.m1.17.17.17.17.17.17.17.1.1.1.1.1.cmml">1</mn><mo id="Ch0.E18.m1.18.18.18.18.18.18.18.2.2.2.2.4.2" xref="Ch0.E18.m1.18.18.18.18.18.18.18.2.2.2.2.3.cmml">,</mo><mn id="Ch0.E18.m1.18.18.18.18.18.18.18.2.2.2.2.2" xref="Ch0.E18.m1.18.18.18.18.18.18.18.2.2.2.2.2.cmml">1</mn><mo id="Ch0.E18.m1.18.18.18.18.18.18.18.2.2.2.2.4.3" stretchy="false" xref="Ch0.E18.m1.18.18.18.18.18.18.18.2.2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></msub></mrow></mtd><mtd id="Ch0.E18.m1.32.32.32.32.32.32m" xref="Ch0.E18.m1.32.32.32.32.32.32.cmml"><msub id="Ch0.E18.m1.20.20.20.20.20.20.20.4.2" xref="Ch0.E18.m1.20.20.20.20.20.20.20.4.2.cmml"><mi id="Ch0.E18.m1.20.20.20.20.20.20.20.4.2.4" xref="Ch0.E18.m1.20.20.20.20.20.20.20.4.2.4.cmml">c</mi><mrow id="Ch0.E18.m1.20.20.20.20.20.20.20.4.2.2.2.4" xref="Ch0.E18.m1.20.20.20.20.20.20.20.4.2.2.2.3.cmml"><mo id="Ch0.E18.m1.20.20.20.20.20.20.20.4.2.2.2.4.1" stretchy="false" xref="Ch0.E18.m1.20.20.20.20.20.20.20.4.2.2.2.3.cmml">(</mo><mn id="Ch0.E18.m1.19.19.19.19.19.19.19.3.1.1.1.1" xref="Ch0.E18.m1.19.19.19.19.19.19.19.3.1.1.1.1.cmml">0</mn><mo id="Ch0.E18.m1.20.20.20.20.20.20.20.4.2.2.2.4.2" xref="Ch0.E18.m1.20.20.20.20.20.20.20.4.2.2.2.3.cmml">,</mo><mn id="Ch0.E18.m1.20.20.20.20.20.20.20.4.2.2.2.2" xref="Ch0.E18.m1.20.20.20.20.20.20.20.4.2.2.2.2.cmml">1</mn><mo id="Ch0.E18.m1.20.20.20.20.20.20.20.4.2.2.2.4.3" stretchy="false" xref="Ch0.E18.m1.20.20.20.20.20.20.20.4.2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></msub></mtd><mtd id="Ch0.E18.m1.32.32.32.32.32.32n" xref="Ch0.E18.m1.32.32.32.32.32.32.cmml"><mrow id="Ch0.E18.m1.22.22.22.22.22.22.22.6.2" xref="Ch0.E18.m1.22.22.22.22.22.22.22.6.2.cmml"><mo id="Ch0.E18.m1.22.22.22.22.22.22.22.6.2a" xref="Ch0.E18.m1.22.22.22.22.22.22.22.6.2.cmml">−</mo><msubsup id="Ch0.E18.m1.22.22.22.22.22.22.22.6.2.4" xref="Ch0.E18.m1.22.22.22.22.22.22.22.6.2.4.cmml"><mi id="Ch0.E18.m1.22.22.22.22.22.22.22.6.2.4.2.2" xref="Ch0.E18.m1.22.22.22.22.22.22.22.6.2.4.2.2.cmml">a</mi><mrow id="Ch0.E18.m1.22.22.22.22.22.22.22.6.2.2.2.4" xref="Ch0.E18.m1.22.22.22.22.22.22.22.6.2.2.2.3.cmml"><mo id="Ch0.E18.m1.22.22.22.22.22.22.22.6.2.2.2.4.1" stretchy="false" xref="Ch0.E18.m1.22.22.22.22.22.22.22.6.2.2.2.3.cmml">(</mo><mn id="Ch0.E18.m1.21.21.21.21.21.21.21.5.1.1.1.1" xref="Ch0.E18.m1.21.21.21.21.21.21.21.5.1.1.1.1.cmml">0</mn><mo id="Ch0.E18.m1.22.22.22.22.22.22.22.6.2.2.2.4.2" xref="Ch0.E18.m1.22.22.22.22.22.22.22.6.2.2.2.3.cmml">,</mo><mn id="Ch0.E18.m1.22.22.22.22.22.22.22.6.2.2.2.2" xref="Ch0.E18.m1.22.22.22.22.22.22.22.6.2.2.2.2.cmml">0</mn><mo id="Ch0.E18.m1.22.22.22.22.22.22.22.6.2.2.2.4.3" stretchy="false" xref="Ch0.E18.m1.22.22.22.22.22.22.22.6.2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow><mi id="Ch0.E18.m1.22.22.22.22.22.22.22.6.2.4.3" xref="Ch0.E18.m1.22.22.22.22.22.22.22.6.2.4.3.cmml">t</mi></msubsup></mrow></mtd><mtd id="Ch0.E18.m1.32.32.32.32.32.32o" xref="Ch0.E18.m1.32.32.32.32.32.32.cmml"><mrow id="Ch0.E18.m1.24.24.24.24.24.24.24.8.2" xref="Ch0.E18.m1.24.24.24.24.24.24.24.8.2.cmml"><mo id="Ch0.E18.m1.24.24.24.24.24.24.24.8.2a" xref="Ch0.E18.m1.24.24.24.24.24.24.24.8.2.cmml">−</mo><msubsup id="Ch0.E18.m1.24.24.24.24.24.24.24.8.2.4" xref="Ch0.E18.m1.24.24.24.24.24.24.24.8.2.4.cmml"><mover accent="true" id="Ch0.E18.m1.24.24.24.24.24.24.24.8.2.4.2.2" xref="Ch0.E18.m1.24.24.24.24.24.24.24.8.2.4.2.2.cmml"><mi id="Ch0.E18.m1.24.24.24.24.24.24.24.8.2.4.2.2.2" xref="Ch0.E18.m1.24.24.24.24.24.24.24.8.2.4.2.2.2.cmml">a</mi><mo id="Ch0.E18.m1.24.24.24.24.24.24.24.8.2.4.2.2.1" xref="Ch0.E18.m1.24.24.24.24.24.24.24.8.2.4.2.2.1.cmml">~</mo></mover><mrow id="Ch0.E18.m1.24.24.24.24.24.24.24.8.2.2.2.4" xref="Ch0.E18.m1.24.24.24.24.24.24.24.8.2.2.2.3.cmml"><mo id="Ch0.E18.m1.24.24.24.24.24.24.24.8.2.2.2.4.1" stretchy="false" xref="Ch0.E18.m1.24.24.24.24.24.24.24.8.2.2.2.3.cmml">(</mo><mn id="Ch0.E18.m1.23.23.23.23.23.23.23.7.1.1.1.1" xref="Ch0.E18.m1.23.23.23.23.23.23.23.7.1.1.1.1.cmml">1</mn><mo id="Ch0.E18.m1.24.24.24.24.24.24.24.8.2.2.2.4.2" xref="Ch0.E18.m1.24.24.24.24.24.24.24.8.2.2.2.3.cmml">,</mo><mn id="Ch0.E18.m1.24.24.24.24.24.24.24.8.2.2.2.2" xref="Ch0.E18.m1.24.24.24.24.24.24.24.8.2.2.2.2.cmml">0</mn><mo id="Ch0.E18.m1.24.24.24.24.24.24.24.8.2.2.2.4.3" stretchy="false" xref="Ch0.E18.m1.24.24.24.24.24.24.24.8.2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow><mi id="Ch0.E18.m1.24.24.24.24.24.24.24.8.2.4.3" xref="Ch0.E18.m1.24.24.24.24.24.24.24.8.2.4.3.cmml">t</mi></msubsup></mrow></mtd></mtr><mtr id="Ch0.E18.m1.32.32.32.32.32.32p" xref="Ch0.E18.m1.32.32.32.32.32.32.cmml"><mtd id="Ch0.E18.m1.32.32.32.32.32.32q" xref="Ch0.E18.m1.32.32.32.32.32.32.cmml"><menclose id="Ch0.E18.m1.26.26.26.26.26.26.26.2.2" notation="box" xref="Ch0.E18.m1.26.26.26.26.26.26.26.2.2.cmml"><mrow id="Ch0.E18.m1.26.26.26.26.26.26.26.2.2a" xref="Ch0.E18.m1.26.26.26.26.26.26.26.2.2.cmml"><mo id="Ch0.E18.m1.26.26.26.26.26.26.26.2.2b" xref="Ch0.E18.m1.26.26.26.26.26.26.26.2.2.cmml">−</mo><msubsup id="Ch0.E18.m1.26.26.26.26.26.26.26.2.2.4" xref="Ch0.E18.m1.26.26.26.26.26.26.26.2.2.4.cmml"><mi id="Ch0.E18.m1.26.26.26.26.26.26.26.2.2.4.2.2" xref="Ch0.E18.m1.26.26.26.26.26.26.26.2.2.4.2.2.cmml">c</mi><mrow id="Ch0.E18.m1.26.26.26.26.26.26.26.2.2.2.2.2.4" xref="Ch0.E18.m1.26.26.26.26.26.26.26.2.2.2.2.2.3.cmml"><mo id="Ch0.E18.m1.26.26.26.26.26.26.26.2.2.2.2.2.4.1" stretchy="false" xref="Ch0.E18.m1.26.26.26.26.26.26.26.2.2.2.2.2.3.cmml">(</mo><mn id="Ch0.E18.m1.25.25.25.25.25.25.25.1.1.1.1.1.1" xref="Ch0.E18.m1.25.25.25.25.25.25.25.1.1.1.1.1.1.cmml">0</mn><mo id="Ch0.E18.m1.26.26.26.26.26.26.26.2.2.2.2.2.4.2" xref="Ch0.E18.m1.26.26.26.26.26.26.26.2.2.2.2.2.3.cmml">,</mo><mn id="Ch0.E18.m1.26.26.26.26.26.26.26.2.2.2.2.2.2" xref="Ch0.E18.m1.26.26.26.26.26.26.26.2.2.2.2.2.2.cmml">1</mn><mo id="Ch0.E18.m1.26.26.26.26.26.26.26.2.2.2.2.2.4.3" stretchy="false" xref="Ch0.E18.m1.26.26.26.26.26.26.26.2.2.2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow><mi id="Ch0.E18.m1.26.26.26.26.26.26.26.2.2.4.3" xref="Ch0.E18.m1.26.26.26.26.26.26.26.2.2.4.3.cmml">t</mi></msubsup></mrow></menclose></mtd><mtd id="Ch0.E18.m1.32.32.32.32.32.32r" xref="Ch0.E18.m1.32.32.32.32.32.32.cmml"><msub id="Ch0.E18.m1.28.28.28.28.28.28.28.4.2" xref="Ch0.E18.m1.28.28.28.28.28.28.28.4.2.cmml"><mover accent="true" id="Ch0.E18.m1.28.28.28.28.28.28.28.4.2.4" xref="Ch0.E18.m1.28.28.28.28.28.28.28.4.2.4.cmml"><mi id="Ch0.E18.m1.28.28.28.28.28.28.28.4.2.4.2" xref="Ch0.E18.m1.28.28.28.28.28.28.28.4.2.4.2.cmml">c</mi><mo id="Ch0.E18.m1.28.28.28.28.28.28.28.4.2.4.1" xref="Ch0.E18.m1.28.28.28.28.28.28.28.4.2.4.1.cmml">~</mo></mover><mrow id="Ch0.E18.m1.28.28.28.28.28.28.28.4.2.2.2.4" xref="Ch0.E18.m1.28.28.28.28.28.28.28.4.2.2.2.3.cmml"><mo id="Ch0.E18.m1.28.28.28.28.28.28.28.4.2.2.2.4.1" stretchy="false" xref="Ch0.E18.m1.28.28.28.28.28.28.28.4.2.2.2.3.cmml">(</mo><mn id="Ch0.E18.m1.27.27.27.27.27.27.27.3.1.1.1.1" xref="Ch0.E18.m1.27.27.27.27.27.27.27.3.1.1.1.1.cmml">1</mn><mo id="Ch0.E18.m1.28.28.28.28.28.28.28.4.2.2.2.4.2" xref="Ch0.E18.m1.28.28.28.28.28.28.28.4.2.2.2.3.cmml">,</mo><mn id="Ch0.E18.m1.28.28.28.28.28.28.28.4.2.2.2.2" xref="Ch0.E18.m1.28.28.28.28.28.28.28.4.2.2.2.2.cmml">1</mn><mo id="Ch0.E18.m1.28.28.28.28.28.28.28.4.2.2.2.4.3" stretchy="false" xref="Ch0.E18.m1.28.28.28.28.28.28.28.4.2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></msub></mtd><mtd id="Ch0.E18.m1.32.32.32.32.32.32s" xref="Ch0.E18.m1.32.32.32.32.32.32.cmml"><mrow id="Ch0.E18.m1.30.30.30.30.30.30.30.6.2" xref="Ch0.E18.m1.30.30.30.30.30.30.30.6.2.cmml"><mo id="Ch0.E18.m1.30.30.30.30.30.30.30.6.2a" xref="Ch0.E18.m1.30.30.30.30.30.30.30.6.2.cmml">−</mo><msubsup id="Ch0.E18.m1.30.30.30.30.30.30.30.6.2.4" xref="Ch0.E18.m1.30.30.30.30.30.30.30.6.2.4.cmml"><mi id="Ch0.E18.m1.30.30.30.30.30.30.30.6.2.4.2.2" xref="Ch0.E18.m1.30.30.30.30.30.30.30.6.2.4.2.2.cmml">a</mi><mrow id="Ch0.E18.m1.30.30.30.30.30.30.30.6.2.2.2.4" xref="Ch0.E18.m1.30.30.30.30.30.30.30.6.2.2.2.3.cmml"><mo id="Ch0.E18.m1.30.30.30.30.30.30.30.6.2.2.2.4.1" stretchy="false" xref="Ch0.E18.m1.30.30.30.30.30.30.30.6.2.2.2.3.cmml">(</mo><mn id="Ch0.E18.m1.29.29.29.29.29.29.29.5.1.1.1.1" xref="Ch0.E18.m1.29.29.29.29.29.29.29.5.1.1.1.1.cmml">1</mn><mo id="Ch0.E18.m1.30.30.30.30.30.30.30.6.2.2.2.4.2" xref="Ch0.E18.m1.30.30.30.30.30.30.30.6.2.2.2.3.cmml">,</mo><mn id="Ch0.E18.m1.30.30.30.30.30.30.30.6.2.2.2.2" xref="Ch0.E18.m1.30.30.30.30.30.30.30.6.2.2.2.2.cmml">0</mn><mo id="Ch0.E18.m1.30.30.30.30.30.30.30.6.2.2.2.4.3" stretchy="false" xref="Ch0.E18.m1.30.30.30.30.30.30.30.6.2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow><mi id="Ch0.E18.m1.30.30.30.30.30.30.30.6.2.4.3" xref="Ch0.E18.m1.30.30.30.30.30.30.30.6.2.4.3.cmml">t</mi></msubsup></mrow></mtd><mtd id="Ch0.E18.m1.32.32.32.32.32.32t" xref="Ch0.E18.m1.32.32.32.32.32.32.cmml"><mrow id="Ch0.E18.m1.32.32.32.32.32.32.32.8.2" xref="Ch0.E18.m1.32.32.32.32.32.32.32.8.2.cmml"><mo id="Ch0.E18.m1.32.32.32.32.32.32.32.8.2a" xref="Ch0.E18.m1.32.32.32.32.32.32.32.8.2.cmml">−</mo><msubsup id="Ch0.E18.m1.32.32.32.32.32.32.32.8.2.4" xref="Ch0.E18.m1.32.32.32.32.32.32.32.8.2.4.cmml"><mover accent="true" id="Ch0.E18.m1.32.32.32.32.32.32.32.8.2.4.2.2" xref="Ch0.E18.m1.32.32.32.32.32.32.32.8.2.4.2.2.cmml"><mi id="Ch0.E18.m1.32.32.32.32.32.32.32.8.2.4.2.2.2" xref="Ch0.E18.m1.32.32.32.32.32.32.32.8.2.4.2.2.2.cmml">a</mi><mo id="Ch0.E18.m1.32.32.32.32.32.32.32.8.2.4.2.2.1" xref="Ch0.E18.m1.32.32.32.32.32.32.32.8.2.4.2.2.1.cmml">~</mo></mover><mrow id="Ch0.E18.m1.32.32.32.32.32.32.32.8.2.2.2.4" xref="Ch0.E18.m1.32.32.32.32.32.32.32.8.2.2.2.3.cmml"><mo id="Ch0.E18.m1.32.32.32.32.32.32.32.8.2.2.2.4.1" stretchy="false" xref="Ch0.E18.m1.32.32.32.32.32.32.32.8.2.2.2.3.cmml">(</mo><mn id="Ch0.E18.m1.31.31.31.31.31.31.31.7.1.1.1.1" xref="Ch0.E18.m1.31.31.31.31.31.31.31.7.1.1.1.1.cmml">0</mn><mo id="Ch0.E18.m1.32.32.32.32.32.32.32.8.2.2.2.4.2" xref="Ch0.E18.m1.32.32.32.32.32.32.32.8.2.2.2.3.cmml">,</mo><mn id="Ch0.E18.m1.32.32.32.32.32.32.32.8.2.2.2.2" xref="Ch0.E18.m1.32.32.32.32.32.32.32.8.2.2.2.2.cmml">0</mn><mo id="Ch0.E18.m1.32.32.32.32.32.32.32.8.2.2.2.4.3" stretchy="false" xref="Ch0.E18.m1.32.32.32.32.32.32.32.8.2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow><mi id="Ch0.E18.m1.32.32.32.32.32.32.32.8.2.4.3" xref="Ch0.E18.m1.32.32.32.32.32.32.32.8.2.4.3.cmml">t</mi></msubsup></mrow></mtd></mtr></mtable><mo id="Ch0.E18.m1.32.32.32.32.32.34.2" xref="Ch0.E18.m1.32.32.32.32.32.32.cmml">)</mo></mrow></mtd><mtd id="Ch0.E18.m1.32.32f" xref="Ch0.E18.m1.32.32.cmml"><mtable displaystyle="true" id="Ch0.E18.m1.32.32.32.33.1" rowspacing="0pt" xref="Ch0.E18.m1.32.32.32.33.1.cmml"><mtr id="Ch0.E18.m1.32.32.32.33.1a" xref="Ch0.E18.m1.32.32.32.33.1.cmml"><mtd id="Ch0.E18.m1.32.32.32.33.1b" xref="Ch0.E18.m1.32.32.32.33.1.cmml"><mi id="Ch0.E18.m1.32.32.32.33.1.1.1.1" xref="Ch0.E18.m1.32.32.32.33.1.1.1.1.cmml">p</mi></mtd></mtr><mtr id="Ch0.E18.m1.32.32.32.33.1c" xref="Ch0.E18.m1.32.32.32.33.1.cmml"><mtd id="Ch0.E18.m1.32.32.32.33.1d" xref="Ch0.E18.m1.32.32.32.33.1.cmml"><mrow id="Ch0.E18.m1.32.32.32.33.1.2.1.1" xref="Ch0.E18.m1.32.32.32.33.1.2.1.1.cmml"><mi id="Ch0.E18.m1.32.32.32.33.1.2.1.1.2" xref="Ch0.E18.m1.32.32.32.33.1.2.1.1.2.cmml">n</mi><mo id="Ch0.E18.m1.32.32.32.33.1.2.1.1.1" 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id="Ch0.E18.m1.10.10.10.10.10.10.10.2.2.2.2.3.cmml" xref="Ch0.E18.m1.10.10.10.10.10.10.10.2.2.2.2.4"><cn id="Ch0.E18.m1.9.9.9.9.9.9.9.1.1.1.1.1.cmml" type="integer" xref="Ch0.E18.m1.9.9.9.9.9.9.9.1.1.1.1.1">1</cn><cn id="Ch0.E18.m1.10.10.10.10.10.10.10.2.2.2.2.2.cmml" type="integer" xref="Ch0.E18.m1.10.10.10.10.10.10.10.2.2.2.2.2">0</cn></interval></apply><apply id="Ch0.E18.m1.12.12.12.12.12.12.12.4.2.cmml" xref="Ch0.E18.m1.12.12.12.12.12.12.12.4.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.E18.m1.12.12.12.12.12.12.12.4.2.3.cmml" xref="Ch0.E18.m1.12.12.12.12.12.12.12.4.2">subscript</csymbol><apply id="Ch0.E18.m1.12.12.12.12.12.12.12.4.2.4.cmml" xref="Ch0.E18.m1.12.12.12.12.12.12.12.4.2.4"><ci id="Ch0.E18.m1.12.12.12.12.12.12.12.4.2.4.1.cmml" xref="Ch0.E18.m1.12.12.12.12.12.12.12.4.2.4.1">~</ci><ci id="Ch0.E18.m1.12.12.12.12.12.12.12.4.2.4.2.cmml" xref="Ch0.E18.m1.12.12.12.12.12.12.12.4.2.4.2">𝑎</ci></apply><interval closure="open" id="Ch0.E18.m1.12.12.12.12.12.12.12.4.2.2.2.3.cmml" xref="Ch0.E18.m1.12.12.12.12.12.12.12.4.2.2.2.4"><cn id="Ch0.E18.m1.11.11.11.11.11.11.11.3.1.1.1.1.cmml" type="integer" xref="Ch0.E18.m1.11.11.11.11.11.11.11.3.1.1.1.1">0</cn><cn id="Ch0.E18.m1.12.12.12.12.12.12.12.4.2.2.2.2.cmml" type="integer" xref="Ch0.E18.m1.12.12.12.12.12.12.12.4.2.2.2.2">0</cn></interval></apply><apply id="Ch0.E18.m1.14.14.14.14.14.14.14.6.2.cmml" xref="Ch0.E18.m1.14.14.14.14.14.14.14.6.2"><minus id="Ch0.E18.m1.14.14.14.14.14.14.14.6.2.3.cmml" xref="Ch0.E18.m1.14.14.14.14.14.14.14.6.2"></minus><apply id="Ch0.E18.m1.14.14.14.14.14.14.14.6.2.4.cmml" xref="Ch0.E18.m1.14.14.14.14.14.14.14.6.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.E18.m1.14.14.14.14.14.14.14.6.2.4.1.cmml" xref="Ch0.E18.m1.14.14.14.14.14.14.14.6.2.4">superscript</csymbol><apply id="Ch0.E18.m1.14.14.14.14.14.14.14.6.2.4.2.cmml" xref="Ch0.E18.m1.14.14.14.14.14.14.14.6.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.E18.m1.14.14.14.14.14.14.14.6.2.4.2.1.cmml" xref="Ch0.E18.m1.14.14.14.14.14.14.14.6.2.4">subscript</csymbol><ci id="Ch0.E18.m1.14.14.14.14.14.14.14.6.2.4.2.2.cmml" xref="Ch0.E18.m1.14.14.14.14.14.14.14.6.2.4.2.2">𝑏</ci><interval closure="open" id="Ch0.E18.m1.14.14.14.14.14.14.14.6.2.2.2.2.3.cmml" xref="Ch0.E18.m1.14.14.14.14.14.14.14.6.2.2.2.2.4"><cn id="Ch0.E18.m1.13.13.13.13.13.13.13.5.1.1.1.1.1.cmml" type="integer" xref="Ch0.E18.m1.13.13.13.13.13.13.13.5.1.1.1.1.1">0</cn><cn id="Ch0.E18.m1.14.14.14.14.14.14.14.6.2.2.2.2.2.cmml" type="integer" xref="Ch0.E18.m1.14.14.14.14.14.14.14.6.2.2.2.2.2">1</cn></interval></apply><ci id="Ch0.E18.m1.14.14.14.14.14.14.14.6.2.4.3.cmml" xref="Ch0.E18.m1.14.14.14.14.14.14.14.6.2.4.3">𝑡</ci></apply></apply><apply id="Ch0.E18.m1.16.16.16.16.16.16.16.8.2.cmml" xref="Ch0.E18.m1.16.16.16.16.16.16.16.8.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.E18.m1.16.16.16.16.16.16.16.8.2.3.cmml" xref="Ch0.E18.m1.16.16.16.16.16.16.16.8.2">subscript</csymbol><apply id="Ch0.E18.m1.16.16.16.16.16.16.16.8.2.4.cmml" xref="Ch0.E18.m1.16.16.16.16.16.16.16.8.2.4"><ci id="Ch0.E18.m1.16.16.16.16.16.16.16.8.2.4.1.cmml" xref="Ch0.E18.m1.16.16.16.16.16.16.16.8.2.4.1">~</ci><ci id="Ch0.E18.m1.16.16.16.16.16.16.16.8.2.4.2.cmml" xref="Ch0.E18.m1.16.16.16.16.16.16.16.8.2.4.2">𝑏</ci></apply><interval closure="open" id="Ch0.E18.m1.16.16.16.16.16.16.16.8.2.2.2.3.cmml" xref="Ch0.E18.m1.16.16.16.16.16.16.16.8.2.2.2.4"><cn id="Ch0.E18.m1.15.15.15.15.15.15.15.7.1.1.1.1.cmml" type="integer" xref="Ch0.E18.m1.15.15.15.15.15.15.15.7.1.1.1.1">1</cn><cn id="Ch0.E18.m1.16.16.16.16.16.16.16.8.2.2.2.2.cmml" type="integer" xref="Ch0.E18.m1.16.16.16.16.16.16.16.8.2.2.2.2">1</cn></interval></apply></matrixrow><matrixrow id="Ch0.E18.m1.32.32.32.32.32.32c.cmml" xref="Ch0.E18.m1.32.32.32.32.32.34"><apply id="Ch0.E18.m1.18.18.18.18.18.18.18.2.2.cmml" xref="Ch0.E18.m1.18.18.18.18.18.18.18.2.2"><times id="Ch0.E18.m1.18.18.18.18.18.18.18.2.2.3.cmml" xref="Ch0.E18.m1.18.18.18.18.18.18.18.2.2.3"></times><ci id="Ch0.E18.m1.18.18.18.18.18.18.18.2.2.4b.cmml" xref="Ch0.E18.m1.18.18.18.18.18.18.18.2.2.4"><merror class="ltx_ERROR undefined undefined" id="Ch0.E18.m1.18.18.18.18.18.18.18.2.2.4.cmml" xref="Ch0.E18.m1.18.18.18.18.18.18.18.2.2.4"><mtext id="Ch0.E18.m1.18.18.18.18.18.18.18.2.2.4a.cmml" xref="Ch0.E18.m1.18.18.18.18.18.18.18.2.2.4">\hdashline</mtext></merror></ci><apply id="Ch0.E18.m1.18.18.18.18.18.18.18.2.2.5.cmml" xref="Ch0.E18.m1.18.18.18.18.18.18.18.2.2.5"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.E18.m1.18.18.18.18.18.18.18.2.2.5.1.cmml" xref="Ch0.E18.m1.18.18.18.18.18.18.18.2.2.5">subscript</csymbol><ci id="Ch0.E18.m1.18.18.18.18.18.18.18.2.2.5.2.cmml" xref="Ch0.E18.m1.18.18.18.18.18.18.18.2.2.5.2">𝑐</ci><interval closure="open" id="Ch0.E18.m1.18.18.18.18.18.18.18.2.2.2.2.3.cmml" xref="Ch0.E18.m1.18.18.18.18.18.18.18.2.2.2.2.4"><cn id="Ch0.E18.m1.17.17.17.17.17.17.17.1.1.1.1.1.cmml" type="integer" xref="Ch0.E18.m1.17.17.17.17.17.17.17.1.1.1.1.1">1</cn><cn id="Ch0.E18.m1.18.18.18.18.18.18.18.2.2.2.2.2.cmml" type="integer" xref="Ch0.E18.m1.18.18.18.18.18.18.18.2.2.2.2.2">1</cn></interval></apply></apply><apply id="Ch0.E18.m1.20.20.20.20.20.20.20.4.2.cmml" xref="Ch0.E18.m1.20.20.20.20.20.20.20.4.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.E18.m1.20.20.20.20.20.20.20.4.2.3.cmml" xref="Ch0.E18.m1.20.20.20.20.20.20.20.4.2">subscript</csymbol><ci id="Ch0.E18.m1.20.20.20.20.20.20.20.4.2.4.cmml" xref="Ch0.E18.m1.20.20.20.20.20.20.20.4.2.4">𝑐</ci><interval closure="open" id="Ch0.E18.m1.20.20.20.20.20.20.20.4.2.2.2.3.cmml" xref="Ch0.E18.m1.20.20.20.20.20.20.20.4.2.2.2.4"><cn id="Ch0.E18.m1.19.19.19.19.19.19.19.3.1.1.1.1.cmml" type="integer" xref="Ch0.E18.m1.19.19.19.19.19.19.19.3.1.1.1.1">0</cn><cn id="Ch0.E18.m1.20.20.20.20.20.20.20.4.2.2.2.2.cmml" type="integer" xref="Ch0.E18.m1.20.20.20.20.20.20.20.4.2.2.2.2">1</cn></interval></apply><apply id="Ch0.E18.m1.22.22.22.22.22.22.22.6.2.cmml" xref="Ch0.E18.m1.22.22.22.22.22.22.22.6.2"><minus id="Ch0.E18.m1.22.22.22.22.22.22.22.6.2.3.cmml" xref="Ch0.E18.m1.22.22.22.22.22.22.22.6.2"></minus><apply id="Ch0.E18.m1.22.22.22.22.22.22.22.6.2.4.cmml" xref="Ch0.E18.m1.22.22.22.22.22.22.22.6.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.E18.m1.22.22.22.22.22.22.22.6.2.4.1.cmml" xref="Ch0.E18.m1.22.22.22.22.22.22.22.6.2.4">superscript</csymbol><apply id="Ch0.E18.m1.22.22.22.22.22.22.22.6.2.4.2.cmml" xref="Ch0.E18.m1.22.22.22.22.22.22.22.6.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.E18.m1.22.22.22.22.22.22.22.6.2.4.2.1.cmml" xref="Ch0.E18.m1.22.22.22.22.22.22.22.6.2.4">subscript</csymbol><ci id="Ch0.E18.m1.22.22.22.22.22.22.22.6.2.4.2.2.cmml" xref="Ch0.E18.m1.22.22.22.22.22.22.22.6.2.4.2.2">𝑎</ci><interval closure="open" id="Ch0.E18.m1.22.22.22.22.22.22.22.6.2.2.2.3.cmml" xref="Ch0.E18.m1.22.22.22.22.22.22.22.6.2.2.2.4"><cn id="Ch0.E18.m1.21.21.21.21.21.21.21.5.1.1.1.1.cmml" type="integer" xref="Ch0.E18.m1.21.21.21.21.21.21.21.5.1.1.1.1">0</cn><cn id="Ch0.E18.m1.22.22.22.22.22.22.22.6.2.2.2.2.cmml" type="integer" xref="Ch0.E18.m1.22.22.22.22.22.22.22.6.2.2.2.2">0</cn></interval></apply><ci id="Ch0.E18.m1.22.22.22.22.22.22.22.6.2.4.3.cmml" xref="Ch0.E18.m1.22.22.22.22.22.22.22.6.2.4.3">𝑡</ci></apply></apply><apply id="Ch0.E18.m1.24.24.24.24.24.24.24.8.2.cmml" xref="Ch0.E18.m1.24.24.24.24.24.24.24.8.2"><minus id="Ch0.E18.m1.24.24.24.24.24.24.24.8.2.3.cmml" xref="Ch0.E18.m1.24.24.24.24.24.24.24.8.2"></minus><apply id="Ch0.E18.m1.24.24.24.24.24.24.24.8.2.4.cmml" xref="Ch0.E18.m1.24.24.24.24.24.24.24.8.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.E18.m1.24.24.24.24.24.24.24.8.2.4.1.cmml" xref="Ch0.E18.m1.24.24.24.24.24.24.24.8.2.4">superscript</csymbol><apply id="Ch0.E18.m1.24.24.24.24.24.24.24.8.2.4.2.cmml" xref="Ch0.E18.m1.24.24.24.24.24.24.24.8.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.E18.m1.24.24.24.24.24.24.24.8.2.4.2.1.cmml" xref="Ch0.E18.m1.24.24.24.24.24.24.24.8.2.4">subscript</csymbol><apply id="Ch0.E18.m1.24.24.24.24.24.24.24.8.2.4.2.2.cmml" 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class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(18)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="Ch0.S3.p6.9">where <math alttext="b_{(1,1)}" class="ltx_Math" display="inline" id="Ch0.S3.p6.5.m1.2"><semantics id="Ch0.S3.p6.5.m1.2a"><msub id="Ch0.S3.p6.5.m1.2.3" xref="Ch0.S3.p6.5.m1.2.3.cmml"><mi id="Ch0.S3.p6.5.m1.2.3.2" xref="Ch0.S3.p6.5.m1.2.3.2.cmml">b</mi><mrow id="Ch0.S3.p6.5.m1.2.2.2.4" xref="Ch0.S3.p6.5.m1.2.2.2.3.cmml"><mo id="Ch0.S3.p6.5.m1.2.2.2.4.1" stretchy="false" xref="Ch0.S3.p6.5.m1.2.2.2.3.cmml">(</mo><mn id="Ch0.S3.p6.5.m1.1.1.1.1" xref="Ch0.S3.p6.5.m1.1.1.1.1.cmml">1</mn><mo id="Ch0.S3.p6.5.m1.2.2.2.4.2" xref="Ch0.S3.p6.5.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mn id="Ch0.S3.p6.5.m1.2.2.2.2" xref="Ch0.S3.p6.5.m1.2.2.2.2.cmml">1</mn><mo id="Ch0.S3.p6.5.m1.2.2.2.4.3" stretchy="false" xref="Ch0.S3.p6.5.m1.2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Ch0.S3.p6.5.m1.2b"><apply id="Ch0.S3.p6.5.m1.2.3.cmml" xref="Ch0.S3.p6.5.m1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.S3.p6.5.m1.2.3.1.cmml" xref="Ch0.S3.p6.5.m1.2.3">subscript</csymbol><ci id="Ch0.S3.p6.5.m1.2.3.2.cmml" xref="Ch0.S3.p6.5.m1.2.3.2">𝑏</ci><interval closure="open" id="Ch0.S3.p6.5.m1.2.2.2.3.cmml" xref="Ch0.S3.p6.5.m1.2.2.2.4"><cn id="Ch0.S3.p6.5.m1.1.1.1.1.cmml" type="integer" xref="Ch0.S3.p6.5.m1.1.1.1.1">1</cn><cn id="Ch0.S3.p6.5.m1.2.2.2.2.cmml" type="integer" xref="Ch0.S3.p6.5.m1.2.2.2.2">1</cn></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Ch0.S3.p6.5.m1.2c">b_{(1,1)}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Ch0.S3.p6.5.m1.2d">italic_b start_POSTSUBSCRIPT ( 1 , 1 ) end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, <math alttext="\tilde{b}_{(1,1)}" class="ltx_Math" display="inline" id="Ch0.S3.p6.6.m2.2"><semantics id="Ch0.S3.p6.6.m2.2a"><msub id="Ch0.S3.p6.6.m2.2.3" xref="Ch0.S3.p6.6.m2.2.3.cmml"><mover accent="true" id="Ch0.S3.p6.6.m2.2.3.2" xref="Ch0.S3.p6.6.m2.2.3.2.cmml"><mi id="Ch0.S3.p6.6.m2.2.3.2.2" xref="Ch0.S3.p6.6.m2.2.3.2.2.cmml">b</mi><mo id="Ch0.S3.p6.6.m2.2.3.2.1" xref="Ch0.S3.p6.6.m2.2.3.2.1.cmml">~</mo></mover><mrow id="Ch0.S3.p6.6.m2.2.2.2.4" xref="Ch0.S3.p6.6.m2.2.2.2.3.cmml"><mo id="Ch0.S3.p6.6.m2.2.2.2.4.1" stretchy="false" xref="Ch0.S3.p6.6.m2.2.2.2.3.cmml">(</mo><mn id="Ch0.S3.p6.6.m2.1.1.1.1" xref="Ch0.S3.p6.6.m2.1.1.1.1.cmml">1</mn><mo id="Ch0.S3.p6.6.m2.2.2.2.4.2" xref="Ch0.S3.p6.6.m2.2.2.2.3.cmml">,</mo><mn id="Ch0.S3.p6.6.m2.2.2.2.2" xref="Ch0.S3.p6.6.m2.2.2.2.2.cmml">1</mn><mo id="Ch0.S3.p6.6.m2.2.2.2.4.3" stretchy="false" xref="Ch0.S3.p6.6.m2.2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Ch0.S3.p6.6.m2.2b"><apply id="Ch0.S3.p6.6.m2.2.3.cmml" xref="Ch0.S3.p6.6.m2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.S3.p6.6.m2.2.3.1.cmml" xref="Ch0.S3.p6.6.m2.2.3">subscript</csymbol><apply id="Ch0.S3.p6.6.m2.2.3.2.cmml" xref="Ch0.S3.p6.6.m2.2.3.2"><ci id="Ch0.S3.p6.6.m2.2.3.2.1.cmml" xref="Ch0.S3.p6.6.m2.2.3.2.1">~</ci><ci id="Ch0.S3.p6.6.m2.2.3.2.2.cmml" xref="Ch0.S3.p6.6.m2.2.3.2.2">𝑏</ci></apply><interval closure="open" id="Ch0.S3.p6.6.m2.2.2.2.3.cmml" xref="Ch0.S3.p6.6.m2.2.2.2.4"><cn id="Ch0.S3.p6.6.m2.1.1.1.1.cmml" type="integer" xref="Ch0.S3.p6.6.m2.1.1.1.1">1</cn><cn id="Ch0.S3.p6.6.m2.2.2.2.2.cmml" type="integer" xref="Ch0.S3.p6.6.m2.2.2.2.2">1</cn></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Ch0.S3.p6.6.m2.2c">\tilde{b}_{(1,1)}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Ch0.S3.p6.6.m2.2d">over~ start_ARG italic_b end_ARG start_POSTSUBSCRIPT ( 1 , 1 ) end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, <math alttext="c_{(1,1)}" class="ltx_Math" display="inline" id="Ch0.S3.p6.7.m3.2"><semantics id="Ch0.S3.p6.7.m3.2a"><msub id="Ch0.S3.p6.7.m3.2.3" xref="Ch0.S3.p6.7.m3.2.3.cmml"><mi id="Ch0.S3.p6.7.m3.2.3.2" xref="Ch0.S3.p6.7.m3.2.3.2.cmml">c</mi><mrow id="Ch0.S3.p6.7.m3.2.2.2.4" xref="Ch0.S3.p6.7.m3.2.2.2.3.cmml"><mo id="Ch0.S3.p6.7.m3.2.2.2.4.1" stretchy="false" xref="Ch0.S3.p6.7.m3.2.2.2.3.cmml">(</mo><mn id="Ch0.S3.p6.7.m3.1.1.1.1" xref="Ch0.S3.p6.7.m3.1.1.1.1.cmml">1</mn><mo id="Ch0.S3.p6.7.m3.2.2.2.4.2" xref="Ch0.S3.p6.7.m3.2.2.2.3.cmml">,</mo><mn id="Ch0.S3.p6.7.m3.2.2.2.2" xref="Ch0.S3.p6.7.m3.2.2.2.2.cmml">1</mn><mo id="Ch0.S3.p6.7.m3.2.2.2.4.3" stretchy="false" xref="Ch0.S3.p6.7.m3.2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Ch0.S3.p6.7.m3.2b"><apply id="Ch0.S3.p6.7.m3.2.3.cmml" xref="Ch0.S3.p6.7.m3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.S3.p6.7.m3.2.3.1.cmml" xref="Ch0.S3.p6.7.m3.2.3">subscript</csymbol><ci id="Ch0.S3.p6.7.m3.2.3.2.cmml" xref="Ch0.S3.p6.7.m3.2.3.2">𝑐</ci><interval closure="open" id="Ch0.S3.p6.7.m3.2.2.2.3.cmml" xref="Ch0.S3.p6.7.m3.2.2.2.4"><cn id="Ch0.S3.p6.7.m3.1.1.1.1.cmml" type="integer" xref="Ch0.S3.p6.7.m3.1.1.1.1">1</cn><cn id="Ch0.S3.p6.7.m3.2.2.2.2.cmml" type="integer" xref="Ch0.S3.p6.7.m3.2.2.2.2">1</cn></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Ch0.S3.p6.7.m3.2c">c_{(1,1)}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Ch0.S3.p6.7.m3.2d">italic_c start_POSTSUBSCRIPT ( 1 , 1 ) end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> and <math alttext="\tilde{c}_{(1,1)}" class="ltx_Math" display="inline" id="Ch0.S3.p6.8.m4.2"><semantics id="Ch0.S3.p6.8.m4.2a"><msub id="Ch0.S3.p6.8.m4.2.3" xref="Ch0.S3.p6.8.m4.2.3.cmml"><mover accent="true" id="Ch0.S3.p6.8.m4.2.3.2" xref="Ch0.S3.p6.8.m4.2.3.2.cmml"><mi id="Ch0.S3.p6.8.m4.2.3.2.2" xref="Ch0.S3.p6.8.m4.2.3.2.2.cmml">c</mi><mo id="Ch0.S3.p6.8.m4.2.3.2.1" xref="Ch0.S3.p6.8.m4.2.3.2.1.cmml">~</mo></mover><mrow id="Ch0.S3.p6.8.m4.2.2.2.4" xref="Ch0.S3.p6.8.m4.2.2.2.3.cmml"><mo id="Ch0.S3.p6.8.m4.2.2.2.4.1" stretchy="false" xref="Ch0.S3.p6.8.m4.2.2.2.3.cmml">(</mo><mn id="Ch0.S3.p6.8.m4.1.1.1.1" xref="Ch0.S3.p6.8.m4.1.1.1.1.cmml">1</mn><mo id="Ch0.S3.p6.8.m4.2.2.2.4.2" xref="Ch0.S3.p6.8.m4.2.2.2.3.cmml">,</mo><mn id="Ch0.S3.p6.8.m4.2.2.2.2" xref="Ch0.S3.p6.8.m4.2.2.2.2.cmml">1</mn><mo id="Ch0.S3.p6.8.m4.2.2.2.4.3" stretchy="false" xref="Ch0.S3.p6.8.m4.2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Ch0.S3.p6.8.m4.2b"><apply id="Ch0.S3.p6.8.m4.2.3.cmml" xref="Ch0.S3.p6.8.m4.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.S3.p6.8.m4.2.3.1.cmml" xref="Ch0.S3.p6.8.m4.2.3">subscript</csymbol><apply id="Ch0.S3.p6.8.m4.2.3.2.cmml" xref="Ch0.S3.p6.8.m4.2.3.2"><ci id="Ch0.S3.p6.8.m4.2.3.2.1.cmml" xref="Ch0.S3.p6.8.m4.2.3.2.1">~</ci><ci id="Ch0.S3.p6.8.m4.2.3.2.2.cmml" xref="Ch0.S3.p6.8.m4.2.3.2.2">𝑐</ci></apply><interval closure="open" id="Ch0.S3.p6.8.m4.2.2.2.3.cmml" xref="Ch0.S3.p6.8.m4.2.2.2.4"><cn id="Ch0.S3.p6.8.m4.1.1.1.1.cmml" type="integer" xref="Ch0.S3.p6.8.m4.1.1.1.1">1</cn><cn id="Ch0.S3.p6.8.m4.2.2.2.2.cmml" type="integer" xref="Ch0.S3.p6.8.m4.2.2.2.2">1</cn></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Ch0.S3.p6.8.m4.2c">\tilde{c}_{(1,1)}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Ch0.S3.p6.8.m4.2d">over~ start_ARG italic_c end_ARG start_POSTSUBSCRIPT ( 1 , 1 ) end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> are symmetric matrices of appropriate size. Compare this with the matrices of <math alttext="\mathfrak{sp}(2n)" class="ltx_Math" display="inline" id="Ch0.S3.p6.9.m5.1"><semantics id="Ch0.S3.p6.9.m5.1a"><mrow id="Ch0.S3.p6.9.m5.1.1" xref="Ch0.S3.p6.9.m5.1.1.cmml"><mi id="Ch0.S3.p6.9.m5.1.1.3" xref="Ch0.S3.p6.9.m5.1.1.3.cmml">𝔰</mi><mo id="Ch0.S3.p6.9.m5.1.1.2" xref="Ch0.S3.p6.9.m5.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="Ch0.S3.p6.9.m5.1.1.4" xref="Ch0.S3.p6.9.m5.1.1.4.cmml">𝔭</mi><mo id="Ch0.S3.p6.9.m5.1.1.2a" xref="Ch0.S3.p6.9.m5.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="Ch0.S3.p6.9.m5.1.1.1.1" xref="Ch0.S3.p6.9.m5.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="Ch0.S3.p6.9.m5.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="Ch0.S3.p6.9.m5.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="Ch0.S3.p6.9.m5.1.1.1.1.1" xref="Ch0.S3.p6.9.m5.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="Ch0.S3.p6.9.m5.1.1.1.1.1.2" xref="Ch0.S3.p6.9.m5.1.1.1.1.1.2.cmml">2</mn><mo id="Ch0.S3.p6.9.m5.1.1.1.1.1.1" xref="Ch0.S3.p6.9.m5.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="Ch0.S3.p6.9.m5.1.1.1.1.1.3" xref="Ch0.S3.p6.9.m5.1.1.1.1.1.3.cmml">n</mi></mrow><mo id="Ch0.S3.p6.9.m5.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="Ch0.S3.p6.9.m5.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Ch0.S3.p6.9.m5.1b"><apply id="Ch0.S3.p6.9.m5.1.1.cmml" xref="Ch0.S3.p6.9.m5.1.1"><times id="Ch0.S3.p6.9.m5.1.1.2.cmml" xref="Ch0.S3.p6.9.m5.1.1.2"></times><ci id="Ch0.S3.p6.9.m5.1.1.3.cmml" xref="Ch0.S3.p6.9.m5.1.1.3">𝔰</ci><ci id="Ch0.S3.p6.9.m5.1.1.4.cmml" xref="Ch0.S3.p6.9.m5.1.1.4">𝔭</ci><apply id="Ch0.S3.p6.9.m5.1.1.1.1.1.cmml" xref="Ch0.S3.p6.9.m5.1.1.1.1"><times id="Ch0.S3.p6.9.m5.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="Ch0.S3.p6.9.m5.1.1.1.1.1.1"></times><cn id="Ch0.S3.p6.9.m5.1.1.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="Ch0.S3.p6.9.m5.1.1.1.1.1.2">2</cn><ci id="Ch0.S3.p6.9.m5.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="Ch0.S3.p6.9.m5.1.1.1.1.1.3">𝑛</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Ch0.S3.p6.9.m5.1c">\mathfrak{sp}(2n)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Ch0.S3.p6.9.m5.1d">fraktur_s fraktur_p ( 2 italic_n )</annotation></semantics></math> given in (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2408.09274v1#Ch0.E17" title="In 3 ℤ₂²-GLA’s as subalgebras of 𝔰⁢𝔩_{𝑝,𝑞,𝑟,𝑠}⁢(𝑛) ‣ Matrix structure of classical ℤ₂×ℤ₂ graded Lie algebras"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">17</span></a>). The only difference is a sign difference in the two blocks that are put in a frame in (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2408.09274v1#Ch0.E18" title="In 3 ℤ₂²-GLA’s as subalgebras of 𝔰⁢𝔩_{𝑝,𝑞,𝑟,𝑠}⁢(𝑛) ‣ Matrix structure of classical ℤ₂×ℤ₂ graded Lie algebras"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">18</span></a>). We have</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="Ch0.S4.EGx5"> <tbody id="Ch0.Ex9"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\dim\mathfrak{g}_{(0,0)}=p^{2}+(n-p)^{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="Ch0.Ex9.m1.3"><semantics id="Ch0.Ex9.m1.3a"><mrow id="Ch0.Ex9.m1.3.3" xref="Ch0.Ex9.m1.3.3.cmml"><mrow id="Ch0.Ex9.m1.3.3.3" xref="Ch0.Ex9.m1.3.3.3.cmml"><mo id="Ch0.Ex9.m1.3.3.3.1" rspace="0.167em" xref="Ch0.Ex9.m1.3.3.3.1.cmml">dim</mo><msub id="Ch0.Ex9.m1.3.3.3.2" xref="Ch0.Ex9.m1.3.3.3.2.cmml"><mi id="Ch0.Ex9.m1.3.3.3.2.2" xref="Ch0.Ex9.m1.3.3.3.2.2.cmml">𝔤</mi><mrow id="Ch0.Ex9.m1.2.2.2.4" xref="Ch0.Ex9.m1.2.2.2.3.cmml"><mo id="Ch0.Ex9.m1.2.2.2.4.1" stretchy="false" xref="Ch0.Ex9.m1.2.2.2.3.cmml">(</mo><mn id="Ch0.Ex9.m1.1.1.1.1" xref="Ch0.Ex9.m1.1.1.1.1.cmml">0</mn><mo id="Ch0.Ex9.m1.2.2.2.4.2" xref="Ch0.Ex9.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mn id="Ch0.Ex9.m1.2.2.2.2" xref="Ch0.Ex9.m1.2.2.2.2.cmml">0</mn><mo id="Ch0.Ex9.m1.2.2.2.4.3" stretchy="false" xref="Ch0.Ex9.m1.2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></msub></mrow><mo id="Ch0.Ex9.m1.3.3.2" xref="Ch0.Ex9.m1.3.3.2.cmml">=</mo><mrow id="Ch0.Ex9.m1.3.3.1" xref="Ch0.Ex9.m1.3.3.1.cmml"><msup id="Ch0.Ex9.m1.3.3.1.3" xref="Ch0.Ex9.m1.3.3.1.3.cmml"><mi id="Ch0.Ex9.m1.3.3.1.3.2" xref="Ch0.Ex9.m1.3.3.1.3.2.cmml">p</mi><mn id="Ch0.Ex9.m1.3.3.1.3.3" xref="Ch0.Ex9.m1.3.3.1.3.3.cmml">2</mn></msup><mo id="Ch0.Ex9.m1.3.3.1.2" xref="Ch0.Ex9.m1.3.3.1.2.cmml">+</mo><msup id="Ch0.Ex9.m1.3.3.1.1" xref="Ch0.Ex9.m1.3.3.1.1.cmml"><mrow id="Ch0.Ex9.m1.3.3.1.1.1.1" xref="Ch0.Ex9.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="Ch0.Ex9.m1.3.3.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="Ch0.Ex9.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="Ch0.Ex9.m1.3.3.1.1.1.1.1" xref="Ch0.Ex9.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="Ch0.Ex9.m1.3.3.1.1.1.1.1.2" xref="Ch0.Ex9.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.cmml">n</mi><mo id="Ch0.Ex9.m1.3.3.1.1.1.1.1.1" xref="Ch0.Ex9.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mi id="Ch0.Ex9.m1.3.3.1.1.1.1.1.3" xref="Ch0.Ex9.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.cmml">p</mi></mrow><mo id="Ch0.Ex9.m1.3.3.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="Ch0.Ex9.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mn id="Ch0.Ex9.m1.3.3.1.1.3" xref="Ch0.Ex9.m1.3.3.1.1.3.cmml">2</mn></msup></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Ch0.Ex9.m1.3b"><apply id="Ch0.Ex9.m1.3.3.cmml" xref="Ch0.Ex9.m1.3.3"><eq id="Ch0.Ex9.m1.3.3.2.cmml" xref="Ch0.Ex9.m1.3.3.2"></eq><apply id="Ch0.Ex9.m1.3.3.3.cmml" xref="Ch0.Ex9.m1.3.3.3"><csymbol cd="latexml" id="Ch0.Ex9.m1.3.3.3.1.cmml" xref="Ch0.Ex9.m1.3.3.3.1">dimension</csymbol><apply id="Ch0.Ex9.m1.3.3.3.2.cmml" xref="Ch0.Ex9.m1.3.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.Ex9.m1.3.3.3.2.1.cmml" xref="Ch0.Ex9.m1.3.3.3.2">subscript</csymbol><ci id="Ch0.Ex9.m1.3.3.3.2.2.cmml" xref="Ch0.Ex9.m1.3.3.3.2.2">𝔤</ci><interval closure="open" id="Ch0.Ex9.m1.2.2.2.3.cmml" xref="Ch0.Ex9.m1.2.2.2.4"><cn 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alttext="\displaystyle\dim\mathfrak{g}_{(0,1)}=2p(n-p),\quad\dim\mathfrak{g}_{(1,0)}=2p% (n-p)" class="ltx_Math" display="inline" id="Ch0.Ex10.m1.6"><semantics id="Ch0.Ex10.m1.6a"><mrow id="Ch0.Ex10.m1.6.6.2" xref="Ch0.Ex10.m1.6.6.3.cmml"><mrow id="Ch0.Ex10.m1.5.5.1.1" xref="Ch0.Ex10.m1.5.5.1.1.cmml"><mrow id="Ch0.Ex10.m1.5.5.1.1.3" xref="Ch0.Ex10.m1.5.5.1.1.3.cmml"><mo id="Ch0.Ex10.m1.5.5.1.1.3.1" rspace="0.167em" xref="Ch0.Ex10.m1.5.5.1.1.3.1.cmml">dim</mo><msub id="Ch0.Ex10.m1.5.5.1.1.3.2" xref="Ch0.Ex10.m1.5.5.1.1.3.2.cmml"><mi id="Ch0.Ex10.m1.5.5.1.1.3.2.2" xref="Ch0.Ex10.m1.5.5.1.1.3.2.2.cmml">𝔤</mi><mrow id="Ch0.Ex10.m1.2.2.2.4" xref="Ch0.Ex10.m1.2.2.2.3.cmml"><mo id="Ch0.Ex10.m1.2.2.2.4.1" stretchy="false" xref="Ch0.Ex10.m1.2.2.2.3.cmml">(</mo><mn id="Ch0.Ex10.m1.1.1.1.1" xref="Ch0.Ex10.m1.1.1.1.1.cmml">0</mn><mo id="Ch0.Ex10.m1.2.2.2.4.2" xref="Ch0.Ex10.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mn id="Ch0.Ex10.m1.2.2.2.2" xref="Ch0.Ex10.m1.2.2.2.2.cmml">1</mn><mo id="Ch0.Ex10.m1.2.2.2.4.3" 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)</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="Ch0.Ex11"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\dim\mathfrak{g}_{(1,1)}=p(p+1)+(n-p)(n-p+1)," class="ltx_Math" display="inline" id="Ch0.Ex11.m1.3"><semantics id="Ch0.Ex11.m1.3a"><mrow id="Ch0.Ex11.m1.3.3.1" xref="Ch0.Ex11.m1.3.3.1.1.cmml"><mrow id="Ch0.Ex11.m1.3.3.1.1" xref="Ch0.Ex11.m1.3.3.1.1.cmml"><mrow id="Ch0.Ex11.m1.3.3.1.1.5" xref="Ch0.Ex11.m1.3.3.1.1.5.cmml"><mo id="Ch0.Ex11.m1.3.3.1.1.5.1" rspace="0.167em" xref="Ch0.Ex11.m1.3.3.1.1.5.1.cmml">dim</mo><msub id="Ch0.Ex11.m1.3.3.1.1.5.2" xref="Ch0.Ex11.m1.3.3.1.1.5.2.cmml"><mi id="Ch0.Ex11.m1.3.3.1.1.5.2.2" xref="Ch0.Ex11.m1.3.3.1.1.5.2.2.cmml">𝔤</mi><mrow id="Ch0.Ex11.m1.2.2.2.4" xref="Ch0.Ex11.m1.2.2.2.3.cmml"><mo id="Ch0.Ex11.m1.2.2.2.4.1" stretchy="false" xref="Ch0.Ex11.m1.2.2.2.3.cmml">(</mo><mn id="Ch0.Ex11.m1.1.1.1.1" xref="Ch0.Ex11.m1.1.1.1.1.cmml">1</mn><mo id="Ch0.Ex11.m1.2.2.2.4.2" xref="Ch0.Ex11.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mn id="Ch0.Ex11.m1.2.2.2.2" xref="Ch0.Ex11.m1.2.2.2.2.cmml">1</mn><mo id="Ch0.Ex11.m1.2.2.2.4.3" stretchy="false" xref="Ch0.Ex11.m1.2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></msub></mrow><mo id="Ch0.Ex11.m1.3.3.1.1.4" xref="Ch0.Ex11.m1.3.3.1.1.4.cmml">=</mo><mrow id="Ch0.Ex11.m1.3.3.1.1.3" xref="Ch0.Ex11.m1.3.3.1.1.3.cmml"><mrow id="Ch0.Ex11.m1.3.3.1.1.1.1" xref="Ch0.Ex11.m1.3.3.1.1.1.1.cmml"><mi id="Ch0.Ex11.m1.3.3.1.1.1.1.3" xref="Ch0.Ex11.m1.3.3.1.1.1.1.3.cmml">p</mi><mo id="Ch0.Ex11.m1.3.3.1.1.1.1.2" xref="Ch0.Ex11.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="Ch0.Ex11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1" xref="Ch0.Ex11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="Ch0.Ex11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="Ch0.Ex11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="Ch0.Ex11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1" xref="Ch0.Ex11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="Ch0.Ex11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="Ch0.Ex11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">p</mi><mo id="Ch0.Ex11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="Ch0.Ex11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mn id="Ch0.Ex11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="Ch0.Ex11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="Ch0.Ex11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="Ch0.Ex11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="Ch0.Ex11.m1.3.3.1.1.3.4" xref="Ch0.Ex11.m1.3.3.1.1.3.4.cmml">+</mo><mrow id="Ch0.Ex11.m1.3.3.1.1.3.3" xref="Ch0.Ex11.m1.3.3.1.1.3.3.cmml"><mrow id="Ch0.Ex11.m1.3.3.1.1.2.2.1.1" xref="Ch0.Ex11.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="Ch0.Ex11.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="Ch0.Ex11.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="Ch0.Ex11.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1" xref="Ch0.Ex11.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="Ch0.Ex11.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.2" xref="Ch0.Ex11.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.2.cmml">n</mi><mo id="Ch0.Ex11.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.1" xref="Ch0.Ex11.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.1.cmml">−</mo><mi id="Ch0.Ex11.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.3" xref="Ch0.Ex11.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.3.cmml">p</mi></mrow><mo id="Ch0.Ex11.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="Ch0.Ex11.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="Ch0.Ex11.m1.3.3.1.1.3.3.3" xref="Ch0.Ex11.m1.3.3.1.1.3.3.3.cmml">⁢</mo><mrow id="Ch0.Ex11.m1.3.3.1.1.3.3.2.1" xref="Ch0.Ex11.m1.3.3.1.1.3.3.2.1.1.cmml"><mo id="Ch0.Ex11.m1.3.3.1.1.3.3.2.1.2" stretchy="false" xref="Ch0.Ex11.m1.3.3.1.1.3.3.2.1.1.cmml">(</mo><mrow id="Ch0.Ex11.m1.3.3.1.1.3.3.2.1.1" xref="Ch0.Ex11.m1.3.3.1.1.3.3.2.1.1.cmml"><mrow id="Ch0.Ex11.m1.3.3.1.1.3.3.2.1.1.2" xref="Ch0.Ex11.m1.3.3.1.1.3.3.2.1.1.2.cmml"><mi id="Ch0.Ex11.m1.3.3.1.1.3.3.2.1.1.2.2" xref="Ch0.Ex11.m1.3.3.1.1.3.3.2.1.1.2.2.cmml">n</mi><mo id="Ch0.Ex11.m1.3.3.1.1.3.3.2.1.1.2.1" xref="Ch0.Ex11.m1.3.3.1.1.3.3.2.1.1.2.1.cmml">−</mo><mi id="Ch0.Ex11.m1.3.3.1.1.3.3.2.1.1.2.3" xref="Ch0.Ex11.m1.3.3.1.1.3.3.2.1.1.2.3.cmml">p</mi></mrow><mo id="Ch0.Ex11.m1.3.3.1.1.3.3.2.1.1.1" xref="Ch0.Ex11.m1.3.3.1.1.3.3.2.1.1.1.cmml">+</mo><mn id="Ch0.Ex11.m1.3.3.1.1.3.3.2.1.1.3" xref="Ch0.Ex11.m1.3.3.1.1.3.3.2.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="Ch0.Ex11.m1.3.3.1.1.3.3.2.1.3" stretchy="false" xref="Ch0.Ex11.m1.3.3.1.1.3.3.2.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="Ch0.Ex11.m1.3.3.1.2" xref="Ch0.Ex11.m1.3.3.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Ch0.Ex11.m1.3b"><apply id="Ch0.Ex11.m1.3.3.1.1.cmml" xref="Ch0.Ex11.m1.3.3.1"><eq id="Ch0.Ex11.m1.3.3.1.1.4.cmml" xref="Ch0.Ex11.m1.3.3.1.1.4"></eq><apply id="Ch0.Ex11.m1.3.3.1.1.5.cmml" xref="Ch0.Ex11.m1.3.3.1.1.5"><csymbol cd="latexml" id="Ch0.Ex11.m1.3.3.1.1.5.1.cmml" xref="Ch0.Ex11.m1.3.3.1.1.5.1">dimension</csymbol><apply id="Ch0.Ex11.m1.3.3.1.1.5.2.cmml" xref="Ch0.Ex11.m1.3.3.1.1.5.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.Ex11.m1.3.3.1.1.5.2.1.cmml" xref="Ch0.Ex11.m1.3.3.1.1.5.2">subscript</csymbol><ci id="Ch0.Ex11.m1.3.3.1.1.5.2.2.cmml" xref="Ch0.Ex11.m1.3.3.1.1.5.2.2">𝔤</ci><interval closure="open" id="Ch0.Ex11.m1.2.2.2.3.cmml" xref="Ch0.Ex11.m1.2.2.2.4"><cn id="Ch0.Ex11.m1.1.1.1.1.cmml" type="integer" xref="Ch0.Ex11.m1.1.1.1.1">1</cn><cn id="Ch0.Ex11.m1.2.2.2.2.cmml" type="integer" xref="Ch0.Ex11.m1.2.2.2.2">1</cn></interval></apply></apply><apply id="Ch0.Ex11.m1.3.3.1.1.3.cmml" xref="Ch0.Ex11.m1.3.3.1.1.3"><plus id="Ch0.Ex11.m1.3.3.1.1.3.4.cmml" xref="Ch0.Ex11.m1.3.3.1.1.3.4"></plus><apply id="Ch0.Ex11.m1.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="Ch0.Ex11.m1.3.3.1.1.1.1"><times id="Ch0.Ex11.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml" xref="Ch0.Ex11.m1.3.3.1.1.1.1.2"></times><ci id="Ch0.Ex11.m1.3.3.1.1.1.1.3.cmml" xref="Ch0.Ex11.m1.3.3.1.1.1.1.3">𝑝</ci><apply id="Ch0.Ex11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="Ch0.Ex11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1"><plus id="Ch0.Ex11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="Ch0.Ex11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1"></plus><ci id="Ch0.Ex11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="Ch0.Ex11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑝</ci><cn id="Ch0.Ex11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="Ch0.Ex11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3">1</cn></apply></apply><apply id="Ch0.Ex11.m1.3.3.1.1.3.3.cmml" xref="Ch0.Ex11.m1.3.3.1.1.3.3"><times id="Ch0.Ex11.m1.3.3.1.1.3.3.3.cmml" xref="Ch0.Ex11.m1.3.3.1.1.3.3.3"></times><apply id="Ch0.Ex11.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.cmml" xref="Ch0.Ex11.m1.3.3.1.1.2.2.1.1"><minus id="Ch0.Ex11.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="Ch0.Ex11.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.1"></minus><ci id="Ch0.Ex11.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="Ch0.Ex11.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.2">𝑛</ci><ci id="Ch0.Ex11.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="Ch0.Ex11.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.3">𝑝</ci></apply><apply id="Ch0.Ex11.m1.3.3.1.1.3.3.2.1.1.cmml" xref="Ch0.Ex11.m1.3.3.1.1.3.3.2.1"><plus id="Ch0.Ex11.m1.3.3.1.1.3.3.2.1.1.1.cmml" xref="Ch0.Ex11.m1.3.3.1.1.3.3.2.1.1.1"></plus><apply id="Ch0.Ex11.m1.3.3.1.1.3.3.2.1.1.2.cmml" xref="Ch0.Ex11.m1.3.3.1.1.3.3.2.1.1.2"><minus id="Ch0.Ex11.m1.3.3.1.1.3.3.2.1.1.2.1.cmml" xref="Ch0.Ex11.m1.3.3.1.1.3.3.2.1.1.2.1"></minus><ci id="Ch0.Ex11.m1.3.3.1.1.3.3.2.1.1.2.2.cmml" xref="Ch0.Ex11.m1.3.3.1.1.3.3.2.1.1.2.2">𝑛</ci><ci id="Ch0.Ex11.m1.3.3.1.1.3.3.2.1.1.2.3.cmml" xref="Ch0.Ex11.m1.3.3.1.1.3.3.2.1.1.2.3">𝑝</ci></apply><cn id="Ch0.Ex11.m1.3.3.1.1.3.3.2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="Ch0.Ex11.m1.3.3.1.1.3.3.2.1.1.3">1</cn></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Ch0.Ex11.m1.3c">\displaystyle\dim\mathfrak{g}_{(1,1)}=p(p+1)+(n-p)(n-p+1),</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Ch0.Ex11.m1.3d">roman_dim fraktur_g start_POSTSUBSCRIPT ( 1 , 1 ) end_POSTSUBSCRIPT = italic_p ( italic_p + 1 ) + ( italic_n - italic_p ) ( italic_n - italic_p + 1 ) ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="Ch0.S3.p6.10">and obviously by the previous remark: <math alttext="\dim\mathfrak{sp}_{p}(2n)=\dim\mathfrak{sp}(2n)" class="ltx_Math" display="inline" id="Ch0.S3.p6.10.m1.2"><semantics id="Ch0.S3.p6.10.m1.2a"><mrow id="Ch0.S3.p6.10.m1.2.2" xref="Ch0.S3.p6.10.m1.2.2.cmml"><mrow id="Ch0.S3.p6.10.m1.1.1.1" xref="Ch0.S3.p6.10.m1.1.1.1.cmml"><mo id="Ch0.S3.p6.10.m1.1.1.1.2" rspace="0.167em" xref="Ch0.S3.p6.10.m1.1.1.1.2.cmml">dim</mo><mrow id="Ch0.S3.p6.10.m1.1.1.1.1" xref="Ch0.S3.p6.10.m1.1.1.1.1.cmml"><mi id="Ch0.S3.p6.10.m1.1.1.1.1.3" xref="Ch0.S3.p6.10.m1.1.1.1.1.3.cmml">𝔰</mi><mo id="Ch0.S3.p6.10.m1.1.1.1.1.2" xref="Ch0.S3.p6.10.m1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="Ch0.S3.p6.10.m1.1.1.1.1.4" xref="Ch0.S3.p6.10.m1.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="Ch0.S3.p6.10.m1.1.1.1.1.4.2" xref="Ch0.S3.p6.10.m1.1.1.1.1.4.2.cmml">𝔭</mi><mi id="Ch0.S3.p6.10.m1.1.1.1.1.4.3" xref="Ch0.S3.p6.10.m1.1.1.1.1.4.3.cmml">p</mi></msub><mo id="Ch0.S3.p6.10.m1.1.1.1.1.2a" xref="Ch0.S3.p6.10.m1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="Ch0.S3.p6.10.m1.1.1.1.1.1.1" xref="Ch0.S3.p6.10.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="Ch0.S3.p6.10.m1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="Ch0.S3.p6.10.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="Ch0.S3.p6.10.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="Ch0.S3.p6.10.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="Ch0.S3.p6.10.m1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="Ch0.S3.p6.10.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">2</mn><mo id="Ch0.S3.p6.10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="Ch0.S3.p6.10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="Ch0.S3.p6.10.m1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="Ch0.S3.p6.10.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">n</mi></mrow><mo id="Ch0.S3.p6.10.m1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="Ch0.S3.p6.10.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="Ch0.S3.p6.10.m1.2.2.3" rspace="0.1389em" xref="Ch0.S3.p6.10.m1.2.2.3.cmml">=</mo><mrow id="Ch0.S3.p6.10.m1.2.2.2" xref="Ch0.S3.p6.10.m1.2.2.2.cmml"><mo id="Ch0.S3.p6.10.m1.2.2.2.2" lspace="0.1389em" rspace="0.167em" xref="Ch0.S3.p6.10.m1.2.2.2.2.cmml">dim</mo><mrow id="Ch0.S3.p6.10.m1.2.2.2.1" xref="Ch0.S3.p6.10.m1.2.2.2.1.cmml"><mi id="Ch0.S3.p6.10.m1.2.2.2.1.3" xref="Ch0.S3.p6.10.m1.2.2.2.1.3.cmml">𝔰</mi><mo id="Ch0.S3.p6.10.m1.2.2.2.1.2" xref="Ch0.S3.p6.10.m1.2.2.2.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="Ch0.S3.p6.10.m1.2.2.2.1.4" xref="Ch0.S3.p6.10.m1.2.2.2.1.4.cmml">𝔭</mi><mo id="Ch0.S3.p6.10.m1.2.2.2.1.2a" xref="Ch0.S3.p6.10.m1.2.2.2.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="Ch0.S3.p6.10.m1.2.2.2.1.1.1" xref="Ch0.S3.p6.10.m1.2.2.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="Ch0.S3.p6.10.m1.2.2.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="Ch0.S3.p6.10.m1.2.2.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="Ch0.S3.p6.10.m1.2.2.2.1.1.1.1" xref="Ch0.S3.p6.10.m1.2.2.2.1.1.1.1.cmml"><mn id="Ch0.S3.p6.10.m1.2.2.2.1.1.1.1.2" xref="Ch0.S3.p6.10.m1.2.2.2.1.1.1.1.2.cmml">2</mn><mo id="Ch0.S3.p6.10.m1.2.2.2.1.1.1.1.1" xref="Ch0.S3.p6.10.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="Ch0.S3.p6.10.m1.2.2.2.1.1.1.1.3" xref="Ch0.S3.p6.10.m1.2.2.2.1.1.1.1.3.cmml">n</mi></mrow><mo id="Ch0.S3.p6.10.m1.2.2.2.1.1.1.3" stretchy="false" xref="Ch0.S3.p6.10.m1.2.2.2.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Ch0.S3.p6.10.m1.2b"><apply id="Ch0.S3.p6.10.m1.2.2.cmml" xref="Ch0.S3.p6.10.m1.2.2"><eq id="Ch0.S3.p6.10.m1.2.2.3.cmml" xref="Ch0.S3.p6.10.m1.2.2.3"></eq><apply id="Ch0.S3.p6.10.m1.1.1.1.cmml" xref="Ch0.S3.p6.10.m1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="Ch0.S3.p6.10.m1.1.1.1.2.cmml" xref="Ch0.S3.p6.10.m1.1.1.1.2">dimension</csymbol><apply id="Ch0.S3.p6.10.m1.1.1.1.1.cmml" xref="Ch0.S3.p6.10.m1.1.1.1.1"><times id="Ch0.S3.p6.10.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="Ch0.S3.p6.10.m1.1.1.1.1.2"></times><ci id="Ch0.S3.p6.10.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="Ch0.S3.p6.10.m1.1.1.1.1.3">𝔰</ci><apply id="Ch0.S3.p6.10.m1.1.1.1.1.4.cmml" xref="Ch0.S3.p6.10.m1.1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.S3.p6.10.m1.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="Ch0.S3.p6.10.m1.1.1.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="Ch0.S3.p6.10.m1.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="Ch0.S3.p6.10.m1.1.1.1.1.4.2">𝔭</ci><ci id="Ch0.S3.p6.10.m1.1.1.1.1.4.3.cmml" xref="Ch0.S3.p6.10.m1.1.1.1.1.4.3">𝑝</ci></apply><apply id="Ch0.S3.p6.10.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="Ch0.S3.p6.10.m1.1.1.1.1.1.1"><times id="Ch0.S3.p6.10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="Ch0.S3.p6.10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1"></times><cn id="Ch0.S3.p6.10.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="Ch0.S3.p6.10.m1.1.1.1.1.1.1.1.2">2</cn><ci id="Ch0.S3.p6.10.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="Ch0.S3.p6.10.m1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑛</ci></apply></apply></apply><apply id="Ch0.S3.p6.10.m1.2.2.2.cmml" xref="Ch0.S3.p6.10.m1.2.2.2"><csymbol cd="latexml" id="Ch0.S3.p6.10.m1.2.2.2.2.cmml" xref="Ch0.S3.p6.10.m1.2.2.2.2">dimension</csymbol><apply id="Ch0.S3.p6.10.m1.2.2.2.1.cmml" xref="Ch0.S3.p6.10.m1.2.2.2.1"><times id="Ch0.S3.p6.10.m1.2.2.2.1.2.cmml" xref="Ch0.S3.p6.10.m1.2.2.2.1.2"></times><ci id="Ch0.S3.p6.10.m1.2.2.2.1.3.cmml" xref="Ch0.S3.p6.10.m1.2.2.2.1.3">𝔰</ci><ci id="Ch0.S3.p6.10.m1.2.2.2.1.4.cmml" xref="Ch0.S3.p6.10.m1.2.2.2.1.4">𝔭</ci><apply id="Ch0.S3.p6.10.m1.2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="Ch0.S3.p6.10.m1.2.2.2.1.1.1"><times id="Ch0.S3.p6.10.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="Ch0.S3.p6.10.m1.2.2.2.1.1.1.1.1"></times><cn id="Ch0.S3.p6.10.m1.2.2.2.1.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="Ch0.S3.p6.10.m1.2.2.2.1.1.1.1.2">2</cn><ci 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id="Ch0.S3.p7.1.m1.1.1.2.cmml" xref="Ch0.S3.p7.1.m1.1.1.2"></times><ci id="Ch0.S3.p7.1.m1.1.1.3.cmml" xref="Ch0.S3.p7.1.m1.1.1.3">𝔰</ci><apply id="Ch0.S3.p7.1.m1.1.1.4.cmml" xref="Ch0.S3.p7.1.m1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.S3.p7.1.m1.1.1.4.1.cmml" xref="Ch0.S3.p7.1.m1.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="Ch0.S3.p7.1.m1.1.1.4.2.cmml" xref="Ch0.S3.p7.1.m1.1.1.4.2">𝔭</ci><ci id="Ch0.S3.p7.1.m1.1.1.4.3.cmml" xref="Ch0.S3.p7.1.m1.1.1.4.3">𝑝</ci></apply><apply id="Ch0.S3.p7.1.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="Ch0.S3.p7.1.m1.1.1.1.1"><times id="Ch0.S3.p7.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="Ch0.S3.p7.1.m1.1.1.1.1.1.1"></times><cn id="Ch0.S3.p7.1.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="Ch0.S3.p7.1.m1.1.1.1.1.1.2">2</cn><ci id="Ch0.S3.p7.1.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="Ch0.S3.p7.1.m1.1.1.1.1.1.3">𝑛</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Ch0.S3.p7.1.m1.1c">\mathfrak{sp}_{p}(2n)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Ch0.S3.p7.1.m1.1d">fraktur_s fraktur_p start_POSTSUBSCRIPT italic_p end_POSTSUBSCRIPT ( 2 italic_n )</annotation></semantics></math> consists of all matrices <math alttext="A" class="ltx_Math" display="inline" id="Ch0.S3.p7.2.m2.1"><semantics id="Ch0.S3.p7.2.m2.1a"><mi id="Ch0.S3.p7.2.m2.1.1" xref="Ch0.S3.p7.2.m2.1.1.cmml">A</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Ch0.S3.p7.2.m2.1b"><ci id="Ch0.S3.p7.2.m2.1.1.cmml" xref="Ch0.S3.p7.2.m2.1.1">𝐴</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Ch0.S3.p7.2.m2.1c">A</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Ch0.S3.p7.2.m2.1d">italic_A</annotation></semantics></math> of <math alttext="\mathfrak{sl}_{p,n-p,n-p,p}(2n)" class="ltx_Math" display="inline" id="Ch0.S3.p7.3.m3.5"><semantics id="Ch0.S3.p7.3.m3.5a"><mrow id="Ch0.S3.p7.3.m3.5.5" xref="Ch0.S3.p7.3.m3.5.5.cmml"><mi id="Ch0.S3.p7.3.m3.5.5.3" xref="Ch0.S3.p7.3.m3.5.5.3.cmml">𝔰</mi><mo id="Ch0.S3.p7.3.m3.5.5.2" xref="Ch0.S3.p7.3.m3.5.5.2.cmml">⁢</mo><msub id="Ch0.S3.p7.3.m3.5.5.4" xref="Ch0.S3.p7.3.m3.5.5.4.cmml"><mi id="Ch0.S3.p7.3.m3.5.5.4.2" xref="Ch0.S3.p7.3.m3.5.5.4.2.cmml">𝔩</mi><mrow id="Ch0.S3.p7.3.m3.4.4.4.4" xref="Ch0.S3.p7.3.m3.4.4.4.5.cmml"><mi id="Ch0.S3.p7.3.m3.1.1.1.1" xref="Ch0.S3.p7.3.m3.1.1.1.1.cmml">p</mi><mo id="Ch0.S3.p7.3.m3.4.4.4.4.3" xref="Ch0.S3.p7.3.m3.4.4.4.5.cmml">,</mo><mrow id="Ch0.S3.p7.3.m3.3.3.3.3.1" xref="Ch0.S3.p7.3.m3.3.3.3.3.1.cmml"><mi id="Ch0.S3.p7.3.m3.3.3.3.3.1.2" xref="Ch0.S3.p7.3.m3.3.3.3.3.1.2.cmml">n</mi><mo id="Ch0.S3.p7.3.m3.3.3.3.3.1.1" xref="Ch0.S3.p7.3.m3.3.3.3.3.1.1.cmml">−</mo><mi id="Ch0.S3.p7.3.m3.3.3.3.3.1.3" xref="Ch0.S3.p7.3.m3.3.3.3.3.1.3.cmml">p</mi></mrow><mo id="Ch0.S3.p7.3.m3.4.4.4.4.4" xref="Ch0.S3.p7.3.m3.4.4.4.5.cmml">,</mo><mrow id="Ch0.S3.p7.3.m3.4.4.4.4.2" xref="Ch0.S3.p7.3.m3.4.4.4.4.2.cmml"><mi id="Ch0.S3.p7.3.m3.4.4.4.4.2.2" xref="Ch0.S3.p7.3.m3.4.4.4.4.2.2.cmml">n</mi><mo id="Ch0.S3.p7.3.m3.4.4.4.4.2.1" xref="Ch0.S3.p7.3.m3.4.4.4.4.2.1.cmml">−</mo><mi id="Ch0.S3.p7.3.m3.4.4.4.4.2.3" xref="Ch0.S3.p7.3.m3.4.4.4.4.2.3.cmml">p</mi></mrow><mo id="Ch0.S3.p7.3.m3.4.4.4.4.5" xref="Ch0.S3.p7.3.m3.4.4.4.5.cmml">,</mo><mi id="Ch0.S3.p7.3.m3.2.2.2.2" xref="Ch0.S3.p7.3.m3.2.2.2.2.cmml">p</mi></mrow></msub><mo id="Ch0.S3.p7.3.m3.5.5.2a" xref="Ch0.S3.p7.3.m3.5.5.2.cmml">⁢</mo><mrow id="Ch0.S3.p7.3.m3.5.5.1.1" xref="Ch0.S3.p7.3.m3.5.5.1.1.1.cmml"><mo id="Ch0.S3.p7.3.m3.5.5.1.1.2" stretchy="false" xref="Ch0.S3.p7.3.m3.5.5.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="Ch0.S3.p7.3.m3.5.5.1.1.1" xref="Ch0.S3.p7.3.m3.5.5.1.1.1.cmml"><mn id="Ch0.S3.p7.3.m3.5.5.1.1.1.2" xref="Ch0.S3.p7.3.m3.5.5.1.1.1.2.cmml">2</mn><mo id="Ch0.S3.p7.3.m3.5.5.1.1.1.1" xref="Ch0.S3.p7.3.m3.5.5.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="Ch0.S3.p7.3.m3.5.5.1.1.1.3" xref="Ch0.S3.p7.3.m3.5.5.1.1.1.3.cmml">n</mi></mrow><mo id="Ch0.S3.p7.3.m3.5.5.1.1.3" stretchy="false" xref="Ch0.S3.p7.3.m3.5.5.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Ch0.S3.p7.3.m3.5b"><apply id="Ch0.S3.p7.3.m3.5.5.cmml" xref="Ch0.S3.p7.3.m3.5.5"><times id="Ch0.S3.p7.3.m3.5.5.2.cmml" xref="Ch0.S3.p7.3.m3.5.5.2"></times><ci id="Ch0.S3.p7.3.m3.5.5.3.cmml" xref="Ch0.S3.p7.3.m3.5.5.3">𝔰</ci><apply id="Ch0.S3.p7.3.m3.5.5.4.cmml" xref="Ch0.S3.p7.3.m3.5.5.4"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.S3.p7.3.m3.5.5.4.1.cmml" xref="Ch0.S3.p7.3.m3.5.5.4">subscript</csymbol><ci id="Ch0.S3.p7.3.m3.5.5.4.2.cmml" xref="Ch0.S3.p7.3.m3.5.5.4.2">𝔩</ci><list id="Ch0.S3.p7.3.m3.4.4.4.5.cmml" xref="Ch0.S3.p7.3.m3.4.4.4.4"><ci id="Ch0.S3.p7.3.m3.1.1.1.1.cmml" xref="Ch0.S3.p7.3.m3.1.1.1.1">𝑝</ci><apply id="Ch0.S3.p7.3.m3.3.3.3.3.1.cmml" xref="Ch0.S3.p7.3.m3.3.3.3.3.1"><minus id="Ch0.S3.p7.3.m3.3.3.3.3.1.1.cmml" xref="Ch0.S3.p7.3.m3.3.3.3.3.1.1"></minus><ci id="Ch0.S3.p7.3.m3.3.3.3.3.1.2.cmml" xref="Ch0.S3.p7.3.m3.3.3.3.3.1.2">𝑛</ci><ci id="Ch0.S3.p7.3.m3.3.3.3.3.1.3.cmml" xref="Ch0.S3.p7.3.m3.3.3.3.3.1.3">𝑝</ci></apply><apply id="Ch0.S3.p7.3.m3.4.4.4.4.2.cmml" xref="Ch0.S3.p7.3.m3.4.4.4.4.2"><minus id="Ch0.S3.p7.3.m3.4.4.4.4.2.1.cmml" xref="Ch0.S3.p7.3.m3.4.4.4.4.2.1"></minus><ci id="Ch0.S3.p7.3.m3.4.4.4.4.2.2.cmml" xref="Ch0.S3.p7.3.m3.4.4.4.4.2.2">𝑛</ci><ci id="Ch0.S3.p7.3.m3.4.4.4.4.2.3.cmml" xref="Ch0.S3.p7.3.m3.4.4.4.4.2.3">𝑝</ci></apply><ci id="Ch0.S3.p7.3.m3.2.2.2.2.cmml" xref="Ch0.S3.p7.3.m3.2.2.2.2">𝑝</ci></list></apply><apply id="Ch0.S3.p7.3.m3.5.5.1.1.1.cmml" xref="Ch0.S3.p7.3.m3.5.5.1.1"><times id="Ch0.S3.p7.3.m3.5.5.1.1.1.1.cmml" xref="Ch0.S3.p7.3.m3.5.5.1.1.1.1"></times><cn id="Ch0.S3.p7.3.m3.5.5.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="Ch0.S3.p7.3.m3.5.5.1.1.1.2">2</cn><ci id="Ch0.S3.p7.3.m3.5.5.1.1.1.3.cmml" xref="Ch0.S3.p7.3.m3.5.5.1.1.1.3">𝑛</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Ch0.S3.p7.3.m3.5c">\mathfrak{sl}_{p,n-p,n-p,p}(2n)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Ch0.S3.p7.3.m3.5d">fraktur_s fraktur_l start_POSTSUBSCRIPT italic_p , italic_n - italic_p , italic_n - italic_p , italic_p end_POSTSUBSCRIPT ( 2 italic_n )</annotation></semantics></math> that satisfy</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="Ch0.E19"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="A^{T}J+JA=0" class="ltx_Math" display="block" id="Ch0.E19.m1.1"><semantics id="Ch0.E19.m1.1a"><mrow id="Ch0.E19.m1.1.1" xref="Ch0.E19.m1.1.1.cmml"><mrow id="Ch0.E19.m1.1.1.2" xref="Ch0.E19.m1.1.1.2.cmml"><mrow id="Ch0.E19.m1.1.1.2.2" xref="Ch0.E19.m1.1.1.2.2.cmml"><msup id="Ch0.E19.m1.1.1.2.2.2" xref="Ch0.E19.m1.1.1.2.2.2.cmml"><mi id="Ch0.E19.m1.1.1.2.2.2.2" xref="Ch0.E19.m1.1.1.2.2.2.2.cmml">A</mi><mi id="Ch0.E19.m1.1.1.2.2.2.3" xref="Ch0.E19.m1.1.1.2.2.2.3.cmml">T</mi></msup><mo id="Ch0.E19.m1.1.1.2.2.1" xref="Ch0.E19.m1.1.1.2.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="Ch0.E19.m1.1.1.2.2.3" 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xref="Ch0.E19.m1.1.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.E19.m1.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="Ch0.E19.m1.1.1.2.2.2">superscript</csymbol><ci id="Ch0.E19.m1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="Ch0.E19.m1.1.1.2.2.2.2">𝐴</ci><ci id="Ch0.E19.m1.1.1.2.2.2.3.cmml" xref="Ch0.E19.m1.1.1.2.2.2.3">𝑇</ci></apply><ci id="Ch0.E19.m1.1.1.2.2.3.cmml" xref="Ch0.E19.m1.1.1.2.2.3">𝐽</ci></apply><apply id="Ch0.E19.m1.1.1.2.3.cmml" xref="Ch0.E19.m1.1.1.2.3"><times id="Ch0.E19.m1.1.1.2.3.1.cmml" xref="Ch0.E19.m1.1.1.2.3.1"></times><ci id="Ch0.E19.m1.1.1.2.3.2.cmml" xref="Ch0.E19.m1.1.1.2.3.2">𝐽</ci><ci id="Ch0.E19.m1.1.1.2.3.3.cmml" xref="Ch0.E19.m1.1.1.2.3.3">𝐴</ci></apply></apply><cn id="Ch0.E19.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="Ch0.E19.m1.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Ch0.E19.m1.1c">A^{T}J+JA=0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Ch0.E19.m1.1d">italic_A start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT italic_J + italic_J italic_A = 0</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(19)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="Ch0.S3.p7.10">where</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="Ch0.E20"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="J=\begin{array}[]{c c}\left(\begin{array}[]{@{} cc:cc @{}}\ 0&\ 0&\ I&\ 0\\[2.% 84526pt] 0&0&0&I\\[2.84526pt] \hdashline-I&0&0&0\\[2.84526pt] 0&I&0&0\end{array}\right)&{\begin{array}[]{c}p\\[2.84526pt] n-p\\[2.84526pt] p\\[2.84526pt] n-p\end{array}}\end{array}" class="ltx_Math" display="block" id="Ch0.E20.m1.1"><semantics id="Ch0.E20.m1.1a"><mrow id="Ch0.E20.m1.1.2" xref="Ch0.E20.m1.1.2.cmml"><mi id="Ch0.E20.m1.1.2.2" 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xref="Ch0.E20.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="Ch0.E20.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="Ch0.E20.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">I</mi></mtd><mtd id="Ch0.E20.m1.1.1.1.1.1.1e" xref="Ch0.E20.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="Ch0.E20.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.1" xref="Ch0.E20.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.1.cmml"> 0</mn></mtd></mtr><mtr id="Ch0.E20.m1.1.1.1.1.1.1f" xref="Ch0.E20.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mtd id="Ch0.E20.m1.1.1.1.1.1.1g" xref="Ch0.E20.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="Ch0.E20.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1" xref="Ch0.E20.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.cmml">0</mn></mtd><mtd id="Ch0.E20.m1.1.1.1.1.1.1h" xref="Ch0.E20.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="Ch0.E20.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1" xref="Ch0.E20.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml">0</mn></mtd><mtd id="Ch0.E20.m1.1.1.1.1.1.1i" xref="Ch0.E20.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="Ch0.E20.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.1" xref="Ch0.E20.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml">0</mn></mtd><mtd id="Ch0.E20.m1.1.1.1.1.1.1j" xref="Ch0.E20.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="Ch0.E20.m1.1.1.1.1.1.1.2.4.1" xref="Ch0.E20.m1.1.1.1.1.1.1.2.4.1.cmml">I</mi></mtd></mtr><mtr id="Ch0.E20.m1.1.1.1.1.1.1k" xref="Ch0.E20.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mtd id="Ch0.E20.m1.1.1.1.1.1.1l" xref="Ch0.E20.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="Ch0.E20.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1" xref="Ch0.E20.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.cmml"><merror class="ltx_ERROR undefined undefined" id="Ch0.E20.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.2" xref="Ch0.E20.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.2b.cmml"><mtext id="Ch0.E20.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.2a" xref="Ch0.E20.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.2b.cmml">\hdashline</mtext></merror><mo id="Ch0.E20.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1" xref="Ch0.E20.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.cmml">−</mo><mi id="Ch0.E20.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.3" xref="Ch0.E20.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.3.cmml">I</mi></mrow></mtd><mtd id="Ch0.E20.m1.1.1.1.1.1.1m" xref="Ch0.E20.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="Ch0.E20.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1" xref="Ch0.E20.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml">0</mn></mtd><mtd id="Ch0.E20.m1.1.1.1.1.1.1n" xref="Ch0.E20.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="Ch0.E20.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1" xref="Ch0.E20.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">0</mn></mtd><mtd id="Ch0.E20.m1.1.1.1.1.1.1o" xref="Ch0.E20.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="Ch0.E20.m1.1.1.1.1.1.1.3.4.1" xref="Ch0.E20.m1.1.1.1.1.1.1.3.4.1.cmml">0</mn></mtd></mtr><mtr id="Ch0.E20.m1.1.1.1.1.1.1p" xref="Ch0.E20.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mtd id="Ch0.E20.m1.1.1.1.1.1.1q" xref="Ch0.E20.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="Ch0.E20.m1.1.1.1.1.1.1.4.1.1" xref="Ch0.E20.m1.1.1.1.1.1.1.4.1.1.cmml">0</mn></mtd><mtd id="Ch0.E20.m1.1.1.1.1.1.1r" xref="Ch0.E20.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="Ch0.E20.m1.1.1.1.1.1.1.4.2.1" xref="Ch0.E20.m1.1.1.1.1.1.1.4.2.1.cmml">I</mi></mtd><mtd id="Ch0.E20.m1.1.1.1.1.1.1s" xref="Ch0.E20.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="Ch0.E20.m1.1.1.1.1.1.1.4.3.1" xref="Ch0.E20.m1.1.1.1.1.1.1.4.3.1.cmml">0</mn></mtd><mtd id="Ch0.E20.m1.1.1.1.1.1.1t" xref="Ch0.E20.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="Ch0.E20.m1.1.1.1.1.1.1.4.4.1" xref="Ch0.E20.m1.1.1.1.1.1.1.4.4.1.cmml">0</mn></mtd></mtr></mtable><mo id="Ch0.E20.m1.1.1.1.1.1.3.2" xref="Ch0.E20.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mtd><mtd id="Ch0.E20.m1.1.1c" xref="Ch0.E20.m1.1.1.cmml"><mtable displaystyle="true" id="Ch0.E20.m1.1.1.1.2.1" rowspacing="0pt" xref="Ch0.E20.m1.1.1.1.2.1.cmml"><mtr id="Ch0.E20.m1.1.1.1.2.1a" xref="Ch0.E20.m1.1.1.1.2.1.cmml"><mtd id="Ch0.E20.m1.1.1.1.2.1b" xref="Ch0.E20.m1.1.1.1.2.1.cmml"><mi id="Ch0.E20.m1.1.1.1.2.1.1.1.1" xref="Ch0.E20.m1.1.1.1.2.1.1.1.1.cmml">p</mi></mtd></mtr><mtr id="Ch0.E20.m1.1.1.1.2.1c" xref="Ch0.E20.m1.1.1.1.2.1.cmml"><mtd id="Ch0.E20.m1.1.1.1.2.1d" xref="Ch0.E20.m1.1.1.1.2.1.cmml"><mrow id="Ch0.E20.m1.1.1.1.2.1.2.1.1" xref="Ch0.E20.m1.1.1.1.2.1.2.1.1.cmml"><mi id="Ch0.E20.m1.1.1.1.2.1.2.1.1.2" xref="Ch0.E20.m1.1.1.1.2.1.2.1.1.2.cmml">n</mi><mo id="Ch0.E20.m1.1.1.1.2.1.2.1.1.1" xref="Ch0.E20.m1.1.1.1.2.1.2.1.1.1.cmml">−</mo><mi id="Ch0.E20.m1.1.1.1.2.1.2.1.1.3" xref="Ch0.E20.m1.1.1.1.2.1.2.1.1.3.cmml">p</mi></mrow></mtd></mtr><mtr id="Ch0.E20.m1.1.1.1.2.1e" xref="Ch0.E20.m1.1.1.1.2.1.cmml"><mtd 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@{}}\ 0&\ 0&\ I&\ 0\\[2.% 84526pt] 0&0&0&I\\[2.84526pt] \hdashline-I&0&0&0\\[2.84526pt] 0&I&0&0\end{array}\right)&{\begin{array}[]{c}p\\[2.84526pt] n-p\\[2.84526pt] p\\[2.84526pt] n-p\end{array}}\end{array}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Ch0.E20.m1.1d">italic_J = start_ARRAY start_ROW start_CELL ( start_ARRAY start_ROW start_CELL 0 end_CELL start_CELL 0 end_CELL start_CELL italic_I end_CELL start_CELL 0 end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL 0 end_CELL start_CELL 0 end_CELL start_CELL 0 end_CELL start_CELL italic_I end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL - italic_I end_CELL start_CELL 0 end_CELL start_CELL 0 end_CELL start_CELL 0 end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL 0 end_CELL start_CELL italic_I end_CELL start_CELL 0 end_CELL start_CELL 0 end_CELL end_ROW end_ARRAY ) end_CELL start_CELL start_ARRAY start_ROW start_CELL italic_p end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL italic_n - italic_p end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL italic_p end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL italic_n - italic_p end_CELL end_ROW end_ARRAY end_CELL end_ROW end_ARRAY</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(20)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="Ch0.S3.p7.9">and <math alttext="I" class="ltx_Math" display="inline" id="Ch0.S3.p7.4.m1.1"><semantics id="Ch0.S3.p7.4.m1.1a"><mi id="Ch0.S3.p7.4.m1.1.1" xref="Ch0.S3.p7.4.m1.1.1.cmml">I</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Ch0.S3.p7.4.m1.1b"><ci id="Ch0.S3.p7.4.m1.1.1.cmml" xref="Ch0.S3.p7.4.m1.1.1">𝐼</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Ch0.S3.p7.4.m1.1c">I</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Ch0.S3.p7.4.m1.1d">italic_I</annotation></semantics></math> is an identity matrix of appropriate size. Note that <math alttext="J^{T}=-J" class="ltx_Math" display="inline" id="Ch0.S3.p7.5.m2.1"><semantics id="Ch0.S3.p7.5.m2.1a"><mrow id="Ch0.S3.p7.5.m2.1.1" xref="Ch0.S3.p7.5.m2.1.1.cmml"><msup id="Ch0.S3.p7.5.m2.1.1.2" xref="Ch0.S3.p7.5.m2.1.1.2.cmml"><mi id="Ch0.S3.p7.5.m2.1.1.2.2" xref="Ch0.S3.p7.5.m2.1.1.2.2.cmml">J</mi><mi id="Ch0.S3.p7.5.m2.1.1.2.3" xref="Ch0.S3.p7.5.m2.1.1.2.3.cmml">T</mi></msup><mo id="Ch0.S3.p7.5.m2.1.1.1" xref="Ch0.S3.p7.5.m2.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="Ch0.S3.p7.5.m2.1.1.3" xref="Ch0.S3.p7.5.m2.1.1.3.cmml"><mo id="Ch0.S3.p7.5.m2.1.1.3a" xref="Ch0.S3.p7.5.m2.1.1.3.cmml">−</mo><mi id="Ch0.S3.p7.5.m2.1.1.3.2" xref="Ch0.S3.p7.5.m2.1.1.3.2.cmml">J</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Ch0.S3.p7.5.m2.1b"><apply id="Ch0.S3.p7.5.m2.1.1.cmml" xref="Ch0.S3.p7.5.m2.1.1"><eq id="Ch0.S3.p7.5.m2.1.1.1.cmml" xref="Ch0.S3.p7.5.m2.1.1.1"></eq><apply id="Ch0.S3.p7.5.m2.1.1.2.cmml" xref="Ch0.S3.p7.5.m2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.S3.p7.5.m2.1.1.2.1.cmml" xref="Ch0.S3.p7.5.m2.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="Ch0.S3.p7.5.m2.1.1.2.2.cmml" xref="Ch0.S3.p7.5.m2.1.1.2.2">𝐽</ci><ci id="Ch0.S3.p7.5.m2.1.1.2.3.cmml" xref="Ch0.S3.p7.5.m2.1.1.2.3">𝑇</ci></apply><apply id="Ch0.S3.p7.5.m2.1.1.3.cmml" xref="Ch0.S3.p7.5.m2.1.1.3"><minus id="Ch0.S3.p7.5.m2.1.1.3.1.cmml" xref="Ch0.S3.p7.5.m2.1.1.3"></minus><ci id="Ch0.S3.p7.5.m2.1.1.3.2.cmml" xref="Ch0.S3.p7.5.m2.1.1.3.2">𝐽</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Ch0.S3.p7.5.m2.1c">J^{T}=-J</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Ch0.S3.p7.5.m2.1d">italic_J start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT = - italic_J</annotation></semantics></math> and <math alttext="J^{-1}=J^{t}" class="ltx_Math" display="inline" id="Ch0.S3.p7.6.m3.1"><semantics id="Ch0.S3.p7.6.m3.1a"><mrow id="Ch0.S3.p7.6.m3.1.1" xref="Ch0.S3.p7.6.m3.1.1.cmml"><msup id="Ch0.S3.p7.6.m3.1.1.2" xref="Ch0.S3.p7.6.m3.1.1.2.cmml"><mi id="Ch0.S3.p7.6.m3.1.1.2.2" xref="Ch0.S3.p7.6.m3.1.1.2.2.cmml">J</mi><mrow id="Ch0.S3.p7.6.m3.1.1.2.3" xref="Ch0.S3.p7.6.m3.1.1.2.3.cmml"><mo id="Ch0.S3.p7.6.m3.1.1.2.3a" xref="Ch0.S3.p7.6.m3.1.1.2.3.cmml">−</mo><mn id="Ch0.S3.p7.6.m3.1.1.2.3.2" xref="Ch0.S3.p7.6.m3.1.1.2.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="Ch0.S3.p7.6.m3.1.1.1" xref="Ch0.S3.p7.6.m3.1.1.1.cmml">=</mo><msup id="Ch0.S3.p7.6.m3.1.1.3" xref="Ch0.S3.p7.6.m3.1.1.3.cmml"><mi id="Ch0.S3.p7.6.m3.1.1.3.2" xref="Ch0.S3.p7.6.m3.1.1.3.2.cmml">J</mi><mi id="Ch0.S3.p7.6.m3.1.1.3.3" xref="Ch0.S3.p7.6.m3.1.1.3.3.cmml">t</mi></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Ch0.S3.p7.6.m3.1b"><apply id="Ch0.S3.p7.6.m3.1.1.cmml" xref="Ch0.S3.p7.6.m3.1.1"><eq id="Ch0.S3.p7.6.m3.1.1.1.cmml" xref="Ch0.S3.p7.6.m3.1.1.1"></eq><apply id="Ch0.S3.p7.6.m3.1.1.2.cmml" xref="Ch0.S3.p7.6.m3.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.S3.p7.6.m3.1.1.2.1.cmml" xref="Ch0.S3.p7.6.m3.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="Ch0.S3.p7.6.m3.1.1.2.2.cmml" xref="Ch0.S3.p7.6.m3.1.1.2.2">𝐽</ci><apply id="Ch0.S3.p7.6.m3.1.1.2.3.cmml" xref="Ch0.S3.p7.6.m3.1.1.2.3"><minus id="Ch0.S3.p7.6.m3.1.1.2.3.1.cmml" xref="Ch0.S3.p7.6.m3.1.1.2.3"></minus><cn id="Ch0.S3.p7.6.m3.1.1.2.3.2.cmml" type="integer" xref="Ch0.S3.p7.6.m3.1.1.2.3.2">1</cn></apply></apply><apply id="Ch0.S3.p7.6.m3.1.1.3.cmml" xref="Ch0.S3.p7.6.m3.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.S3.p7.6.m3.1.1.3.1.cmml" xref="Ch0.S3.p7.6.m3.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="Ch0.S3.p7.6.m3.1.1.3.2.cmml" xref="Ch0.S3.p7.6.m3.1.1.3.2">𝐽</ci><ci id="Ch0.S3.p7.6.m3.1.1.3.3.cmml" xref="Ch0.S3.p7.6.m3.1.1.3.3">𝑡</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Ch0.S3.p7.6.m3.1c">J^{-1}=J^{t}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Ch0.S3.p7.6.m3.1d">italic_J start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT = italic_J start_POSTSUPERSCRIPT italic_t end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>. From this, it is easy to show that <math alttext="\llbracket A,B\rrbracket" class="ltx_Math" display="inline" id="Ch0.S3.p7.7.m4.2"><semantics id="Ch0.S3.p7.7.m4.2a"><mrow id="Ch0.S3.p7.7.m4.2.3.2" xref="Ch0.S3.p7.7.m4.2.3.1.cmml"><mo id="Ch0.S3.p7.7.m4.2.3.2.1" stretchy="false" xref="Ch0.S3.p7.7.m4.2.3.1.cmml">⟦</mo><mi id="Ch0.S3.p7.7.m4.1.1" xref="Ch0.S3.p7.7.m4.1.1.cmml">A</mi><mo id="Ch0.S3.p7.7.m4.2.3.2.2" xref="Ch0.S3.p7.7.m4.2.3.1.cmml">,</mo><mi id="Ch0.S3.p7.7.m4.2.2" xref="Ch0.S3.p7.7.m4.2.2.cmml">B</mi><mo id="Ch0.S3.p7.7.m4.2.3.2.3" stretchy="false" xref="Ch0.S3.p7.7.m4.2.3.1.cmml">⟧</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Ch0.S3.p7.7.m4.2b"><list id="Ch0.S3.p7.7.m4.2.3.1.cmml" xref="Ch0.S3.p7.7.m4.2.3.2"><ci id="Ch0.S3.p7.7.m4.1.1.cmml" xref="Ch0.S3.p7.7.m4.1.1">𝐴</ci><ci id="Ch0.S3.p7.7.m4.2.2.cmml" xref="Ch0.S3.p7.7.m4.2.2">𝐵</ci></list></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Ch0.S3.p7.7.m4.2c">\llbracket A,B\rrbracket</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Ch0.S3.p7.7.m4.2d">⟦ italic_A , italic_B ⟧</annotation></semantics></math> satisfies (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2408.09274v1#Ch0.E19" title="In 3 ℤ₂²-GLA’s as subalgebras of 𝔰⁢𝔩_{𝑝,𝑞,𝑟,𝑠}⁢(𝑛) ‣ Matrix structure of classical ℤ₂×ℤ₂ graded Lie algebras"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">19</span></a>) when <math alttext="A" class="ltx_Math" display="inline" id="Ch0.S3.p7.8.m5.1"><semantics id="Ch0.S3.p7.8.m5.1a"><mi id="Ch0.S3.p7.8.m5.1.1" xref="Ch0.S3.p7.8.m5.1.1.cmml">A</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Ch0.S3.p7.8.m5.1b"><ci id="Ch0.S3.p7.8.m5.1.1.cmml" xref="Ch0.S3.p7.8.m5.1.1">𝐴</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Ch0.S3.p7.8.m5.1c">A</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Ch0.S3.p7.8.m5.1d">italic_A</annotation></semantics></math> and <math alttext="B" class="ltx_Math" display="inline" id="Ch0.S3.p7.9.m6.1"><semantics id="Ch0.S3.p7.9.m6.1a"><mi id="Ch0.S3.p7.9.m6.1.1" xref="Ch0.S3.p7.9.m6.1.1.cmml">B</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Ch0.S3.p7.9.m6.1b"><ci id="Ch0.S3.p7.9.m6.1.1.cmml" xref="Ch0.S3.p7.9.m6.1.1">𝐵</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Ch0.S3.p7.9.m6.1c">B</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Ch0.S3.p7.9.m6.1d">italic_B</annotation></semantics></math> satisfy (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2408.09274v1#Ch0.E19" title="In 3 ℤ₂²-GLA’s as subalgebras of 𝔰⁢𝔩_{𝑝,𝑞,𝑟,𝑠}⁢(𝑛) ‣ Matrix structure of classical ℤ₂×ℤ₂ graded Lie algebras"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">19</span></a>).</p> </div> <div class="ltx_para" id="Ch0.S3.p8"> <p class="ltx_p" id="Ch0.S3.p8.4">Next, we turn to the class of <math alttext="{\mathbb{Z}}^{2}_{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="Ch0.S3.p8.1.m1.1"><semantics id="Ch0.S3.p8.1.m1.1a"><msubsup id="Ch0.S3.p8.1.m1.1.1" xref="Ch0.S3.p8.1.m1.1.1.cmml"><mi id="Ch0.S3.p8.1.m1.1.1.2.2" xref="Ch0.S3.p8.1.m1.1.1.2.2.cmml">ℤ</mi><mn id="Ch0.S3.p8.1.m1.1.1.3" xref="Ch0.S3.p8.1.m1.1.1.3.cmml">2</mn><mn id="Ch0.S3.p8.1.m1.1.1.2.3" xref="Ch0.S3.p8.1.m1.1.1.2.3.cmml">2</mn></msubsup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Ch0.S3.p8.1.m1.1b"><apply id="Ch0.S3.p8.1.m1.1.1.cmml" xref="Ch0.S3.p8.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.S3.p8.1.m1.1.1.1.cmml" xref="Ch0.S3.p8.1.m1.1.1">subscript</csymbol><apply id="Ch0.S3.p8.1.m1.1.1.2.cmml" xref="Ch0.S3.p8.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.S3.p8.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="Ch0.S3.p8.1.m1.1.1">superscript</csymbol><ci id="Ch0.S3.p8.1.m1.1.1.2.2.cmml" xref="Ch0.S3.p8.1.m1.1.1.2.2">ℤ</ci><cn id="Ch0.S3.p8.1.m1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="Ch0.S3.p8.1.m1.1.1.2.3">2</cn></apply><cn id="Ch0.S3.p8.1.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="Ch0.S3.p8.1.m1.1.1.3">2</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Ch0.S3.p8.1.m1.1c">{\mathbb{Z}}^{2}_{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Ch0.S3.p8.1.m1.1d">blackboard_Z start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>-GLA’s of type <math alttext="D" class="ltx_Math" display="inline" id="Ch0.S3.p8.2.m2.1"><semantics id="Ch0.S3.p8.2.m2.1a"><mi id="Ch0.S3.p8.2.m2.1.1" xref="Ch0.S3.p8.2.m2.1.1.cmml">D</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Ch0.S3.p8.2.m2.1b"><ci id="Ch0.S3.p8.2.m2.1.1.cmml" xref="Ch0.S3.p8.2.m2.1.1">𝐷</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Ch0.S3.p8.2.m2.1c">D</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Ch0.S3.p8.2.m2.1d">italic_D</annotation></semantics></math>. The <math alttext="{\mathbb{Z}}_{2}\times{\mathbb{Z}}_{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="Ch0.S3.p8.3.m3.1"><semantics id="Ch0.S3.p8.3.m3.1a"><mrow id="Ch0.S3.p8.3.m3.1.1" xref="Ch0.S3.p8.3.m3.1.1.cmml"><msub id="Ch0.S3.p8.3.m3.1.1.2" xref="Ch0.S3.p8.3.m3.1.1.2.cmml"><mi id="Ch0.S3.p8.3.m3.1.1.2.2" xref="Ch0.S3.p8.3.m3.1.1.2.2.cmml">ℤ</mi><mn id="Ch0.S3.p8.3.m3.1.1.2.3" xref="Ch0.S3.p8.3.m3.1.1.2.3.cmml">2</mn></msub><mo id="Ch0.S3.p8.3.m3.1.1.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="Ch0.S3.p8.3.m3.1.1.1.cmml">×</mo><msub id="Ch0.S3.p8.3.m3.1.1.3" xref="Ch0.S3.p8.3.m3.1.1.3.cmml"><mi id="Ch0.S3.p8.3.m3.1.1.3.2" xref="Ch0.S3.p8.3.m3.1.1.3.2.cmml">ℤ</mi><mn id="Ch0.S3.p8.3.m3.1.1.3.3" xref="Ch0.S3.p8.3.m3.1.1.3.3.cmml">2</mn></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Ch0.S3.p8.3.m3.1b"><apply id="Ch0.S3.p8.3.m3.1.1.cmml" xref="Ch0.S3.p8.3.m3.1.1"><times id="Ch0.S3.p8.3.m3.1.1.1.cmml" xref="Ch0.S3.p8.3.m3.1.1.1"></times><apply id="Ch0.S3.p8.3.m3.1.1.2.cmml" xref="Ch0.S3.p8.3.m3.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.S3.p8.3.m3.1.1.2.1.cmml" xref="Ch0.S3.p8.3.m3.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="Ch0.S3.p8.3.m3.1.1.2.2.cmml" xref="Ch0.S3.p8.3.m3.1.1.2.2">ℤ</ci><cn id="Ch0.S3.p8.3.m3.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="Ch0.S3.p8.3.m3.1.1.2.3">2</cn></apply><apply id="Ch0.S3.p8.3.m3.1.1.3.cmml" xref="Ch0.S3.p8.3.m3.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.S3.p8.3.m3.1.1.3.1.cmml" xref="Ch0.S3.p8.3.m3.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="Ch0.S3.p8.3.m3.1.1.3.2.cmml" xref="Ch0.S3.p8.3.m3.1.1.3.2">ℤ</ci><cn id="Ch0.S3.p8.3.m3.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="Ch0.S3.p8.3.m3.1.1.3.3">2</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Ch0.S3.p8.3.m3.1c">{\mathbb{Z}}_{2}\times{\mathbb{Z}}_{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Ch0.S3.p8.3.m3.1d">blackboard_Z start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT × blackboard_Z start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>-graded LA <math alttext="\mathfrak{g}=\mathfrak{so}_{p}(2n)" class="ltx_Math" display="inline" id="Ch0.S3.p8.4.m4.1"><semantics id="Ch0.S3.p8.4.m4.1a"><mrow id="Ch0.S3.p8.4.m4.1.1" xref="Ch0.S3.p8.4.m4.1.1.cmml"><mi id="Ch0.S3.p8.4.m4.1.1.3" xref="Ch0.S3.p8.4.m4.1.1.3.cmml">𝔤</mi><mo id="Ch0.S3.p8.4.m4.1.1.2" xref="Ch0.S3.p8.4.m4.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="Ch0.S3.p8.4.m4.1.1.1" xref="Ch0.S3.p8.4.m4.1.1.1.cmml"><mi id="Ch0.S3.p8.4.m4.1.1.1.3" xref="Ch0.S3.p8.4.m4.1.1.1.3.cmml">𝔰</mi><mo id="Ch0.S3.p8.4.m4.1.1.1.2" xref="Ch0.S3.p8.4.m4.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="Ch0.S3.p8.4.m4.1.1.1.4" xref="Ch0.S3.p8.4.m4.1.1.1.4.cmml"><mi id="Ch0.S3.p8.4.m4.1.1.1.4.2" xref="Ch0.S3.p8.4.m4.1.1.1.4.2.cmml">𝔬</mi><mi id="Ch0.S3.p8.4.m4.1.1.1.4.3" xref="Ch0.S3.p8.4.m4.1.1.1.4.3.cmml">p</mi></msub><mo id="Ch0.S3.p8.4.m4.1.1.1.2a" xref="Ch0.S3.p8.4.m4.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="Ch0.S3.p8.4.m4.1.1.1.1.1" xref="Ch0.S3.p8.4.m4.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="Ch0.S3.p8.4.m4.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="Ch0.S3.p8.4.m4.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="Ch0.S3.p8.4.m4.1.1.1.1.1.1" xref="Ch0.S3.p8.4.m4.1.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="Ch0.S3.p8.4.m4.1.1.1.1.1.1.2" xref="Ch0.S3.p8.4.m4.1.1.1.1.1.1.2.cmml">2</mn><mo id="Ch0.S3.p8.4.m4.1.1.1.1.1.1.1" xref="Ch0.S3.p8.4.m4.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="Ch0.S3.p8.4.m4.1.1.1.1.1.1.3" xref="Ch0.S3.p8.4.m4.1.1.1.1.1.1.3.cmml">n</mi></mrow><mo id="Ch0.S3.p8.4.m4.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="Ch0.S3.p8.4.m4.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Ch0.S3.p8.4.m4.1b"><apply id="Ch0.S3.p8.4.m4.1.1.cmml" xref="Ch0.S3.p8.4.m4.1.1"><eq id="Ch0.S3.p8.4.m4.1.1.2.cmml" xref="Ch0.S3.p8.4.m4.1.1.2"></eq><ci id="Ch0.S3.p8.4.m4.1.1.3.cmml" xref="Ch0.S3.p8.4.m4.1.1.3">𝔤</ci><apply id="Ch0.S3.p8.4.m4.1.1.1.cmml" xref="Ch0.S3.p8.4.m4.1.1.1"><times id="Ch0.S3.p8.4.m4.1.1.1.2.cmml" xref="Ch0.S3.p8.4.m4.1.1.1.2"></times><ci id="Ch0.S3.p8.4.m4.1.1.1.3.cmml" xref="Ch0.S3.p8.4.m4.1.1.1.3">𝔰</ci><apply id="Ch0.S3.p8.4.m4.1.1.1.4.cmml" xref="Ch0.S3.p8.4.m4.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.S3.p8.4.m4.1.1.1.4.1.cmml" xref="Ch0.S3.p8.4.m4.1.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="Ch0.S3.p8.4.m4.1.1.1.4.2.cmml" xref="Ch0.S3.p8.4.m4.1.1.1.4.2">𝔬</ci><ci id="Ch0.S3.p8.4.m4.1.1.1.4.3.cmml" xref="Ch0.S3.p8.4.m4.1.1.1.4.3">𝑝</ci></apply><apply id="Ch0.S3.p8.4.m4.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="Ch0.S3.p8.4.m4.1.1.1.1.1"><times id="Ch0.S3.p8.4.m4.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="Ch0.S3.p8.4.m4.1.1.1.1.1.1.1"></times><cn id="Ch0.S3.p8.4.m4.1.1.1.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="Ch0.S3.p8.4.m4.1.1.1.1.1.1.2">2</cn><ci id="Ch0.S3.p8.4.m4.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="Ch0.S3.p8.4.m4.1.1.1.1.1.1.3">𝑛</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Ch0.S3.p8.4.m4.1c">\mathfrak{g}=\mathfrak{so}_{p}(2n)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Ch0.S3.p8.4.m4.1d">fraktur_g = fraktur_s fraktur_o start_POSTSUBSCRIPT italic_p end_POSTSUBSCRIPT ( 2 italic_n )</annotation></semantics></math> consists of all matrices of the following block form:</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="Ch0.E21"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\begin{array}[]{c c}{\begin{array}[]{@{} c c c c @{}}\ \ \ \ p&\ n-p&\ p&\ \ n% -p\end{array}}&{}\hfil\\ \left(\begin{array}[]{@{} cc:cc @{}}a_{(0,0)}&a_{(1,0)}&b_{(1,1)}&b_{(0,1)}\\ \tilde{a}_{(1,0)}&\tilde{a}_{(0,0)}&\framebox{$b_{(0,1)}^{\;\;t}$}&\tilde{b}_{% (1,1)}\\[8.53581pt] \hdashline c_{(1,1)}&c_{(0,1)}&-a_{(0,0)}^{\;\;t}&-\tilde{a}_{(1,0)}^{\;\;t}\\ \framebox{$c_{(0,1)}^{\;\;t}$}&\tilde{c}_{(1,1)}&-a_{(1,0)}^{\;\;t}&-\tilde{a}% _{(0,0)}^{\;\;t}\end{array}\right)&{\begin{array}[]{c}p\\[5.69054pt] n-p\\[5.69054pt] p\\[5.69054pt] n-p\end{array}}\end{array}" class="ltx_Math" display="block" id="Ch0.E21.m1.32"><semantics id="Ch0.E21.m1.32a"><mtable columnspacing="5pt" displaystyle="true" id="Ch0.E21.m1.32.32" rowspacing="0pt" xref="Ch0.E21.m1.32.32.cmml"><mtr id="Ch0.E21.m1.32.32a" xref="Ch0.E21.m1.32.32.cmml"><mtd id="Ch0.E21.m1.32.32b" xref="Ch0.E21.m1.32.32.cmml"><mtable columnspacing="5pt" displaystyle="true" id="Ch0.E21.m1.32.32.33.1.1" xref="Ch0.E21.m1.32.32.33.1.1.cmml"><mtr id="Ch0.E21.m1.32.32.33.1.1a" xref="Ch0.E21.m1.32.32.33.1.1.cmml"><mtd id="Ch0.E21.m1.32.32.33.1.1b" xref="Ch0.E21.m1.32.32.33.1.1.cmml"><mi id="Ch0.E21.m1.32.32.33.1.1.1.1.1" xref="Ch0.E21.m1.32.32.33.1.1.1.1.1.cmml">p</mi></mtd><mtd id="Ch0.E21.m1.32.32.33.1.1c" xref="Ch0.E21.m1.32.32.33.1.1.cmml"><mrow id="Ch0.E21.m1.32.32.33.1.1.1.2.1" xref="Ch0.E21.m1.32.32.33.1.1.1.2.1.cmml"><mi id="Ch0.E21.m1.32.32.33.1.1.1.2.1.2" xref="Ch0.E21.m1.32.32.33.1.1.1.2.1.2.cmml">n</mi><mo id="Ch0.E21.m1.32.32.33.1.1.1.2.1.1" xref="Ch0.E21.m1.32.32.33.1.1.1.2.1.1.cmml">−</mo><mi id="Ch0.E21.m1.32.32.33.1.1.1.2.1.3" xref="Ch0.E21.m1.32.32.33.1.1.1.2.1.3.cmml">p</mi></mrow></mtd><mtd id="Ch0.E21.m1.32.32.33.1.1d" xref="Ch0.E21.m1.32.32.33.1.1.cmml"><mi id="Ch0.E21.m1.32.32.33.1.1.1.3.1" xref="Ch0.E21.m1.32.32.33.1.1.1.3.1.cmml">p</mi></mtd><mtd id="Ch0.E21.m1.32.32.33.1.1e" xref="Ch0.E21.m1.32.32.33.1.1.cmml"><mrow id="Ch0.E21.m1.32.32.33.1.1.1.4.1" xref="Ch0.E21.m1.32.32.33.1.1.1.4.1.cmml"><mi id="Ch0.E21.m1.32.32.33.1.1.1.4.1.2" xref="Ch0.E21.m1.32.32.33.1.1.1.4.1.2.cmml">n</mi><mo id="Ch0.E21.m1.32.32.33.1.1.1.4.1.1" xref="Ch0.E21.m1.32.32.33.1.1.1.4.1.1.cmml">−</mo><mi id="Ch0.E21.m1.32.32.33.1.1.1.4.1.3" xref="Ch0.E21.m1.32.32.33.1.1.1.4.1.3.cmml">p</mi></mrow></mtd></mtr></mtable></mtd><mtd id="Ch0.E21.m1.32.32c" xref="Ch0.E21.m1.32.32.cmml"></mtd></mtr><mtr id="Ch0.E21.m1.32.32d" xref="Ch0.E21.m1.32.32.cmml"><mtd id="Ch0.E21.m1.32.32e" xref="Ch0.E21.m1.32.32.cmml"><mrow id="Ch0.E21.m1.32.32.32.32.32.34" xref="Ch0.E21.m1.32.32.32.32.32.32.cmml"><mo id="Ch0.E21.m1.32.32.32.32.32.34.1" xref="Ch0.E21.m1.32.32.32.32.32.32.cmml">(</mo><mtable columnspacing="5pt" displaystyle="true" id="Ch0.E21.m1.32.32.32.32.32.32" rowspacing="0pt" xref="Ch0.E21.m1.32.32.32.32.32.32.cmml"><mtr id="Ch0.E21.m1.32.32.32.32.32.32a" xref="Ch0.E21.m1.32.32.32.32.32.32.cmml"><mtd id="Ch0.E21.m1.32.32.32.32.32.32b" xref="Ch0.E21.m1.32.32.32.32.32.32.cmml"><msub id="Ch0.E21.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.2" xref="Ch0.E21.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="Ch0.E21.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.4" xref="Ch0.E21.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.4.cmml">a</mi><mrow id="Ch0.E21.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.4" xref="Ch0.E21.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.3.cmml"><mo id="Ch0.E21.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.4.1" stretchy="false" xref="Ch0.E21.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.3.cmml">(</mo><mn id="Ch0.E21.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="Ch0.E21.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">0</mn><mo id="Ch0.E21.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.4.2" xref="Ch0.E21.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.3.cmml">,</mo><mn id="Ch0.E21.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2" xref="Ch0.E21.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.cmml">0</mn><mo id="Ch0.E21.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.4.3" stretchy="false" xref="Ch0.E21.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></msub></mtd><mtd id="Ch0.E21.m1.32.32.32.32.32.32c" xref="Ch0.E21.m1.32.32.32.32.32.32.cmml"><msub id="Ch0.E21.m1.4.4.4.4.4.4.4.4.2" xref="Ch0.E21.m1.4.4.4.4.4.4.4.4.2.cmml"><mi id="Ch0.E21.m1.4.4.4.4.4.4.4.4.2.4" xref="Ch0.E21.m1.4.4.4.4.4.4.4.4.2.4.cmml">a</mi><mrow id="Ch0.E21.m1.4.4.4.4.4.4.4.4.2.2.2.4" xref="Ch0.E21.m1.4.4.4.4.4.4.4.4.2.2.2.3.cmml"><mo id="Ch0.E21.m1.4.4.4.4.4.4.4.4.2.2.2.4.1" stretchy="false" xref="Ch0.E21.m1.4.4.4.4.4.4.4.4.2.2.2.3.cmml">(</mo><mn id="Ch0.E21.m1.3.3.3.3.3.3.3.3.1.1.1.1" xref="Ch0.E21.m1.3.3.3.3.3.3.3.3.1.1.1.1.cmml">1</mn><mo id="Ch0.E21.m1.4.4.4.4.4.4.4.4.2.2.2.4.2" xref="Ch0.E21.m1.4.4.4.4.4.4.4.4.2.2.2.3.cmml">,</mo><mn id="Ch0.E21.m1.4.4.4.4.4.4.4.4.2.2.2.2" xref="Ch0.E21.m1.4.4.4.4.4.4.4.4.2.2.2.2.cmml">0</mn><mo id="Ch0.E21.m1.4.4.4.4.4.4.4.4.2.2.2.4.3" stretchy="false" xref="Ch0.E21.m1.4.4.4.4.4.4.4.4.2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></msub></mtd><mtd id="Ch0.E21.m1.32.32.32.32.32.32d" xref="Ch0.E21.m1.32.32.32.32.32.32.cmml"><msub id="Ch0.E21.m1.6.6.6.6.6.6.6.6.2" xref="Ch0.E21.m1.6.6.6.6.6.6.6.6.2.cmml"><mi id="Ch0.E21.m1.6.6.6.6.6.6.6.6.2.4" xref="Ch0.E21.m1.6.6.6.6.6.6.6.6.2.4.cmml">b</mi><mrow id="Ch0.E21.m1.6.6.6.6.6.6.6.6.2.2.2.4" xref="Ch0.E21.m1.6.6.6.6.6.6.6.6.2.2.2.3.cmml"><mo id="Ch0.E21.m1.6.6.6.6.6.6.6.6.2.2.2.4.1" stretchy="false" xref="Ch0.E21.m1.6.6.6.6.6.6.6.6.2.2.2.3.cmml">(</mo><mn id="Ch0.E21.m1.5.5.5.5.5.5.5.5.1.1.1.1" xref="Ch0.E21.m1.5.5.5.5.5.5.5.5.1.1.1.1.cmml">1</mn><mo id="Ch0.E21.m1.6.6.6.6.6.6.6.6.2.2.2.4.2" xref="Ch0.E21.m1.6.6.6.6.6.6.6.6.2.2.2.3.cmml">,</mo><mn id="Ch0.E21.m1.6.6.6.6.6.6.6.6.2.2.2.2" xref="Ch0.E21.m1.6.6.6.6.6.6.6.6.2.2.2.2.cmml">1</mn><mo id="Ch0.E21.m1.6.6.6.6.6.6.6.6.2.2.2.4.3" stretchy="false" xref="Ch0.E21.m1.6.6.6.6.6.6.6.6.2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></msub></mtd><mtd id="Ch0.E21.m1.32.32.32.32.32.32e" xref="Ch0.E21.m1.32.32.32.32.32.32.cmml"><msub id="Ch0.E21.m1.8.8.8.8.8.8.8.8.2" xref="Ch0.E21.m1.8.8.8.8.8.8.8.8.2.cmml"><mi id="Ch0.E21.m1.8.8.8.8.8.8.8.8.2.4" xref="Ch0.E21.m1.8.8.8.8.8.8.8.8.2.4.cmml">b</mi><mrow id="Ch0.E21.m1.8.8.8.8.8.8.8.8.2.2.2.4" xref="Ch0.E21.m1.8.8.8.8.8.8.8.8.2.2.2.3.cmml"><mo id="Ch0.E21.m1.8.8.8.8.8.8.8.8.2.2.2.4.1" stretchy="false" xref="Ch0.E21.m1.8.8.8.8.8.8.8.8.2.2.2.3.cmml">(</mo><mn id="Ch0.E21.m1.7.7.7.7.7.7.7.7.1.1.1.1" xref="Ch0.E21.m1.7.7.7.7.7.7.7.7.1.1.1.1.cmml">0</mn><mo id="Ch0.E21.m1.8.8.8.8.8.8.8.8.2.2.2.4.2" xref="Ch0.E21.m1.8.8.8.8.8.8.8.8.2.2.2.3.cmml">,</mo><mn id="Ch0.E21.m1.8.8.8.8.8.8.8.8.2.2.2.2" xref="Ch0.E21.m1.8.8.8.8.8.8.8.8.2.2.2.2.cmml">1</mn><mo id="Ch0.E21.m1.8.8.8.8.8.8.8.8.2.2.2.4.3" stretchy="false" xref="Ch0.E21.m1.8.8.8.8.8.8.8.8.2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></msub></mtd></mtr><mtr id="Ch0.E21.m1.32.32.32.32.32.32f" xref="Ch0.E21.m1.32.32.32.32.32.32.cmml"><mtd id="Ch0.E21.m1.32.32.32.32.32.32g" xref="Ch0.E21.m1.32.32.32.32.32.32.cmml"><msub id="Ch0.E21.m1.10.10.10.10.10.10.10.2.2" xref="Ch0.E21.m1.10.10.10.10.10.10.10.2.2.cmml"><mover accent="true" id="Ch0.E21.m1.10.10.10.10.10.10.10.2.2.4" xref="Ch0.E21.m1.10.10.10.10.10.10.10.2.2.4.cmml"><mi id="Ch0.E21.m1.10.10.10.10.10.10.10.2.2.4.2" xref="Ch0.E21.m1.10.10.10.10.10.10.10.2.2.4.2.cmml">a</mi><mo id="Ch0.E21.m1.10.10.10.10.10.10.10.2.2.4.1" xref="Ch0.E21.m1.10.10.10.10.10.10.10.2.2.4.1.cmml">~</mo></mover><mrow id="Ch0.E21.m1.10.10.10.10.10.10.10.2.2.2.2.4" xref="Ch0.E21.m1.10.10.10.10.10.10.10.2.2.2.2.3.cmml"><mo id="Ch0.E21.m1.10.10.10.10.10.10.10.2.2.2.2.4.1" stretchy="false" xref="Ch0.E21.m1.10.10.10.10.10.10.10.2.2.2.2.3.cmml">(</mo><mn id="Ch0.E21.m1.9.9.9.9.9.9.9.1.1.1.1.1" xref="Ch0.E21.m1.9.9.9.9.9.9.9.1.1.1.1.1.cmml">1</mn><mo id="Ch0.E21.m1.10.10.10.10.10.10.10.2.2.2.2.4.2" xref="Ch0.E21.m1.10.10.10.10.10.10.10.2.2.2.2.3.cmml">,</mo><mn id="Ch0.E21.m1.10.10.10.10.10.10.10.2.2.2.2.2" xref="Ch0.E21.m1.10.10.10.10.10.10.10.2.2.2.2.2.cmml">0</mn><mo id="Ch0.E21.m1.10.10.10.10.10.10.10.2.2.2.2.4.3" stretchy="false" xref="Ch0.E21.m1.10.10.10.10.10.10.10.2.2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></msub></mtd><mtd id="Ch0.E21.m1.32.32.32.32.32.32h" xref="Ch0.E21.m1.32.32.32.32.32.32.cmml"><msub id="Ch0.E21.m1.12.12.12.12.12.12.12.4.2" xref="Ch0.E21.m1.12.12.12.12.12.12.12.4.2.cmml"><mover accent="true" id="Ch0.E21.m1.12.12.12.12.12.12.12.4.2.4" xref="Ch0.E21.m1.12.12.12.12.12.12.12.4.2.4.cmml"><mi id="Ch0.E21.m1.12.12.12.12.12.12.12.4.2.4.2" xref="Ch0.E21.m1.12.12.12.12.12.12.12.4.2.4.2.cmml">a</mi><mo id="Ch0.E21.m1.12.12.12.12.12.12.12.4.2.4.1" xref="Ch0.E21.m1.12.12.12.12.12.12.12.4.2.4.1.cmml">~</mo></mover><mrow id="Ch0.E21.m1.12.12.12.12.12.12.12.4.2.2.2.4" xref="Ch0.E21.m1.12.12.12.12.12.12.12.4.2.2.2.3.cmml"><mo id="Ch0.E21.m1.12.12.12.12.12.12.12.4.2.2.2.4.1" stretchy="false" xref="Ch0.E21.m1.12.12.12.12.12.12.12.4.2.2.2.3.cmml">(</mo><mn id="Ch0.E21.m1.11.11.11.11.11.11.11.3.1.1.1.1" xref="Ch0.E21.m1.11.11.11.11.11.11.11.3.1.1.1.1.cmml">0</mn><mo id="Ch0.E21.m1.12.12.12.12.12.12.12.4.2.2.2.4.2" xref="Ch0.E21.m1.12.12.12.12.12.12.12.4.2.2.2.3.cmml">,</mo><mn id="Ch0.E21.m1.12.12.12.12.12.12.12.4.2.2.2.2" xref="Ch0.E21.m1.12.12.12.12.12.12.12.4.2.2.2.2.cmml">0</mn><mo id="Ch0.E21.m1.12.12.12.12.12.12.12.4.2.2.2.4.3" stretchy="false" xref="Ch0.E21.m1.12.12.12.12.12.12.12.4.2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></msub></mtd><mtd id="Ch0.E21.m1.32.32.32.32.32.32i" xref="Ch0.E21.m1.32.32.32.32.32.32.cmml"><menclose id="Ch0.E21.m1.14.14.14.14.14.14.14.6.2" notation="box" xref="Ch0.E21.m1.14.14.14.14.14.14.14.6.2.cmml"><msubsup id="Ch0.E21.m1.14.14.14.14.14.14.14.6.2a" xref="Ch0.E21.m1.14.14.14.14.14.14.14.6.2.cmml"><mi id="Ch0.E21.m1.14.14.14.14.14.14.14.6.2.4.2" xref="Ch0.E21.m1.14.14.14.14.14.14.14.6.2.4.2.cmml">b</mi><mrow id="Ch0.E21.m1.14.14.14.14.14.14.14.6.2.2.2.2.4" xref="Ch0.E21.m1.14.14.14.14.14.14.14.6.2.2.2.2.3.cmml"><mo id="Ch0.E21.m1.14.14.14.14.14.14.14.6.2.2.2.2.4.1" stretchy="false" xref="Ch0.E21.m1.14.14.14.14.14.14.14.6.2.2.2.2.3.cmml">(</mo><mn id="Ch0.E21.m1.13.13.13.13.13.13.13.5.1.1.1.1.1" xref="Ch0.E21.m1.13.13.13.13.13.13.13.5.1.1.1.1.1.cmml">0</mn><mo id="Ch0.E21.m1.14.14.14.14.14.14.14.6.2.2.2.2.4.2" xref="Ch0.E21.m1.14.14.14.14.14.14.14.6.2.2.2.2.3.cmml">,</mo><mn id="Ch0.E21.m1.14.14.14.14.14.14.14.6.2.2.2.2.2" xref="Ch0.E21.m1.14.14.14.14.14.14.14.6.2.2.2.2.2.cmml">1</mn><mo id="Ch0.E21.m1.14.14.14.14.14.14.14.6.2.2.2.2.4.3" stretchy="false" xref="Ch0.E21.m1.14.14.14.14.14.14.14.6.2.2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow><mi id="Ch0.E21.m1.14.14.14.14.14.14.14.6.2.5" xref="Ch0.E21.m1.14.14.14.14.14.14.14.6.2.5.cmml">t</mi></msubsup></menclose></mtd><mtd id="Ch0.E21.m1.32.32.32.32.32.32j" xref="Ch0.E21.m1.32.32.32.32.32.32.cmml"><msub id="Ch0.E21.m1.16.16.16.16.16.16.16.8.2" xref="Ch0.E21.m1.16.16.16.16.16.16.16.8.2.cmml"><mover accent="true" id="Ch0.E21.m1.16.16.16.16.16.16.16.8.2.4" xref="Ch0.E21.m1.16.16.16.16.16.16.16.8.2.4.cmml"><mi id="Ch0.E21.m1.16.16.16.16.16.16.16.8.2.4.2" xref="Ch0.E21.m1.16.16.16.16.16.16.16.8.2.4.2.cmml">b</mi><mo id="Ch0.E21.m1.16.16.16.16.16.16.16.8.2.4.1" xref="Ch0.E21.m1.16.16.16.16.16.16.16.8.2.4.1.cmml">~</mo></mover><mrow id="Ch0.E21.m1.16.16.16.16.16.16.16.8.2.2.2.4" xref="Ch0.E21.m1.16.16.16.16.16.16.16.8.2.2.2.3.cmml"><mo id="Ch0.E21.m1.16.16.16.16.16.16.16.8.2.2.2.4.1" stretchy="false" xref="Ch0.E21.m1.16.16.16.16.16.16.16.8.2.2.2.3.cmml">(</mo><mn id="Ch0.E21.m1.15.15.15.15.15.15.15.7.1.1.1.1" xref="Ch0.E21.m1.15.15.15.15.15.15.15.7.1.1.1.1.cmml">1</mn><mo id="Ch0.E21.m1.16.16.16.16.16.16.16.8.2.2.2.4.2" xref="Ch0.E21.m1.16.16.16.16.16.16.16.8.2.2.2.3.cmml">,</mo><mn id="Ch0.E21.m1.16.16.16.16.16.16.16.8.2.2.2.2" xref="Ch0.E21.m1.16.16.16.16.16.16.16.8.2.2.2.2.cmml">1</mn><mo id="Ch0.E21.m1.16.16.16.16.16.16.16.8.2.2.2.4.3" stretchy="false" xref="Ch0.E21.m1.16.16.16.16.16.16.16.8.2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></msub></mtd></mtr><mtr id="Ch0.E21.m1.32.32.32.32.32.32k" xref="Ch0.E21.m1.32.32.32.32.32.32.cmml"><mtd id="Ch0.E21.m1.32.32.32.32.32.32l" xref="Ch0.E21.m1.32.32.32.32.32.32.cmml"><mrow id="Ch0.E21.m1.18.18.18.18.18.18.18.2.2" xref="Ch0.E21.m1.18.18.18.18.18.18.18.2.2.cmml"><merror class="ltx_ERROR undefined undefined" id="Ch0.E21.m1.18.18.18.18.18.18.18.2.2.4" xref="Ch0.E21.m1.18.18.18.18.18.18.18.2.2.4b.cmml"><mtext id="Ch0.E21.m1.18.18.18.18.18.18.18.2.2.4a" xref="Ch0.E21.m1.18.18.18.18.18.18.18.2.2.4b.cmml">\hdashline</mtext></merror><mo id="Ch0.E21.m1.18.18.18.18.18.18.18.2.2.3" xref="Ch0.E21.m1.18.18.18.18.18.18.18.2.2.3.cmml">⁢</mo><msub id="Ch0.E21.m1.18.18.18.18.18.18.18.2.2.5" xref="Ch0.E21.m1.18.18.18.18.18.18.18.2.2.5.cmml"><mi id="Ch0.E21.m1.18.18.18.18.18.18.18.2.2.5.2" xref="Ch0.E21.m1.18.18.18.18.18.18.18.2.2.5.2.cmml">c</mi><mrow id="Ch0.E21.m1.18.18.18.18.18.18.18.2.2.2.2.4" xref="Ch0.E21.m1.18.18.18.18.18.18.18.2.2.2.2.3.cmml"><mo id="Ch0.E21.m1.18.18.18.18.18.18.18.2.2.2.2.4.1" stretchy="false" xref="Ch0.E21.m1.18.18.18.18.18.18.18.2.2.2.2.3.cmml">(</mo><mn id="Ch0.E21.m1.17.17.17.17.17.17.17.1.1.1.1.1" xref="Ch0.E21.m1.17.17.17.17.17.17.17.1.1.1.1.1.cmml">1</mn><mo id="Ch0.E21.m1.18.18.18.18.18.18.18.2.2.2.2.4.2" xref="Ch0.E21.m1.18.18.18.18.18.18.18.2.2.2.2.3.cmml">,</mo><mn id="Ch0.E21.m1.18.18.18.18.18.18.18.2.2.2.2.2" xref="Ch0.E21.m1.18.18.18.18.18.18.18.2.2.2.2.2.cmml">1</mn><mo id="Ch0.E21.m1.18.18.18.18.18.18.18.2.2.2.2.4.3" stretchy="false" xref="Ch0.E21.m1.18.18.18.18.18.18.18.2.2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></msub></mrow></mtd><mtd id="Ch0.E21.m1.32.32.32.32.32.32m" xref="Ch0.E21.m1.32.32.32.32.32.32.cmml"><msub id="Ch0.E21.m1.20.20.20.20.20.20.20.4.2" xref="Ch0.E21.m1.20.20.20.20.20.20.20.4.2.cmml"><mi id="Ch0.E21.m1.20.20.20.20.20.20.20.4.2.4" xref="Ch0.E21.m1.20.20.20.20.20.20.20.4.2.4.cmml">c</mi><mrow id="Ch0.E21.m1.20.20.20.20.20.20.20.4.2.2.2.4" xref="Ch0.E21.m1.20.20.20.20.20.20.20.4.2.2.2.3.cmml"><mo id="Ch0.E21.m1.20.20.20.20.20.20.20.4.2.2.2.4.1" stretchy="false" xref="Ch0.E21.m1.20.20.20.20.20.20.20.4.2.2.2.3.cmml">(</mo><mn id="Ch0.E21.m1.19.19.19.19.19.19.19.3.1.1.1.1" xref="Ch0.E21.m1.19.19.19.19.19.19.19.3.1.1.1.1.cmml">0</mn><mo id="Ch0.E21.m1.20.20.20.20.20.20.20.4.2.2.2.4.2" xref="Ch0.E21.m1.20.20.20.20.20.20.20.4.2.2.2.3.cmml">,</mo><mn id="Ch0.E21.m1.20.20.20.20.20.20.20.4.2.2.2.2" xref="Ch0.E21.m1.20.20.20.20.20.20.20.4.2.2.2.2.cmml">1</mn><mo id="Ch0.E21.m1.20.20.20.20.20.20.20.4.2.2.2.4.3" stretchy="false" xref="Ch0.E21.m1.20.20.20.20.20.20.20.4.2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></msub></mtd><mtd id="Ch0.E21.m1.32.32.32.32.32.32n" xref="Ch0.E21.m1.32.32.32.32.32.32.cmml"><mrow id="Ch0.E21.m1.22.22.22.22.22.22.22.6.2" xref="Ch0.E21.m1.22.22.22.22.22.22.22.6.2.cmml"><mo id="Ch0.E21.m1.22.22.22.22.22.22.22.6.2a" xref="Ch0.E21.m1.22.22.22.22.22.22.22.6.2.cmml">−</mo><msubsup id="Ch0.E21.m1.22.22.22.22.22.22.22.6.2.4" xref="Ch0.E21.m1.22.22.22.22.22.22.22.6.2.4.cmml"><mi id="Ch0.E21.m1.22.22.22.22.22.22.22.6.2.4.2.2" xref="Ch0.E21.m1.22.22.22.22.22.22.22.6.2.4.2.2.cmml">a</mi><mrow id="Ch0.E21.m1.22.22.22.22.22.22.22.6.2.2.2.4" xref="Ch0.E21.m1.22.22.22.22.22.22.22.6.2.2.2.3.cmml"><mo id="Ch0.E21.m1.22.22.22.22.22.22.22.6.2.2.2.4.1" stretchy="false" xref="Ch0.E21.m1.22.22.22.22.22.22.22.6.2.2.2.3.cmml">(</mo><mn id="Ch0.E21.m1.21.21.21.21.21.21.21.5.1.1.1.1" xref="Ch0.E21.m1.21.21.21.21.21.21.21.5.1.1.1.1.cmml">0</mn><mo id="Ch0.E21.m1.22.22.22.22.22.22.22.6.2.2.2.4.2" xref="Ch0.E21.m1.22.22.22.22.22.22.22.6.2.2.2.3.cmml">,</mo><mn id="Ch0.E21.m1.22.22.22.22.22.22.22.6.2.2.2.2" xref="Ch0.E21.m1.22.22.22.22.22.22.22.6.2.2.2.2.cmml">0</mn><mo id="Ch0.E21.m1.22.22.22.22.22.22.22.6.2.2.2.4.3" stretchy="false" xref="Ch0.E21.m1.22.22.22.22.22.22.22.6.2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow><mi id="Ch0.E21.m1.22.22.22.22.22.22.22.6.2.4.3" xref="Ch0.E21.m1.22.22.22.22.22.22.22.6.2.4.3.cmml">t</mi></msubsup></mrow></mtd><mtd id="Ch0.E21.m1.32.32.32.32.32.32o" xref="Ch0.E21.m1.32.32.32.32.32.32.cmml"><mrow id="Ch0.E21.m1.24.24.24.24.24.24.24.8.2" xref="Ch0.E21.m1.24.24.24.24.24.24.24.8.2.cmml"><mo id="Ch0.E21.m1.24.24.24.24.24.24.24.8.2a" xref="Ch0.E21.m1.24.24.24.24.24.24.24.8.2.cmml">−</mo><msubsup id="Ch0.E21.m1.24.24.24.24.24.24.24.8.2.4" xref="Ch0.E21.m1.24.24.24.24.24.24.24.8.2.4.cmml"><mover accent="true" id="Ch0.E21.m1.24.24.24.24.24.24.24.8.2.4.2.2" xref="Ch0.E21.m1.24.24.24.24.24.24.24.8.2.4.2.2.cmml"><mi id="Ch0.E21.m1.24.24.24.24.24.24.24.8.2.4.2.2.2" xref="Ch0.E21.m1.24.24.24.24.24.24.24.8.2.4.2.2.2.cmml">a</mi><mo id="Ch0.E21.m1.24.24.24.24.24.24.24.8.2.4.2.2.1" xref="Ch0.E21.m1.24.24.24.24.24.24.24.8.2.4.2.2.1.cmml">~</mo></mover><mrow id="Ch0.E21.m1.24.24.24.24.24.24.24.8.2.2.2.4" xref="Ch0.E21.m1.24.24.24.24.24.24.24.8.2.2.2.3.cmml"><mo id="Ch0.E21.m1.24.24.24.24.24.24.24.8.2.2.2.4.1" stretchy="false" xref="Ch0.E21.m1.24.24.24.24.24.24.24.8.2.2.2.3.cmml">(</mo><mn id="Ch0.E21.m1.23.23.23.23.23.23.23.7.1.1.1.1" xref="Ch0.E21.m1.23.23.23.23.23.23.23.7.1.1.1.1.cmml">1</mn><mo id="Ch0.E21.m1.24.24.24.24.24.24.24.8.2.2.2.4.2" xref="Ch0.E21.m1.24.24.24.24.24.24.24.8.2.2.2.3.cmml">,</mo><mn id="Ch0.E21.m1.24.24.24.24.24.24.24.8.2.2.2.2" xref="Ch0.E21.m1.24.24.24.24.24.24.24.8.2.2.2.2.cmml">0</mn><mo id="Ch0.E21.m1.24.24.24.24.24.24.24.8.2.2.2.4.3" stretchy="false" xref="Ch0.E21.m1.24.24.24.24.24.24.24.8.2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow><mi id="Ch0.E21.m1.24.24.24.24.24.24.24.8.2.4.3" xref="Ch0.E21.m1.24.24.24.24.24.24.24.8.2.4.3.cmml">t</mi></msubsup></mrow></mtd></mtr><mtr id="Ch0.E21.m1.32.32.32.32.32.32p" xref="Ch0.E21.m1.32.32.32.32.32.32.cmml"><mtd id="Ch0.E21.m1.32.32.32.32.32.32q" xref="Ch0.E21.m1.32.32.32.32.32.32.cmml"><menclose id="Ch0.E21.m1.26.26.26.26.26.26.26.2.2" notation="box" xref="Ch0.E21.m1.26.26.26.26.26.26.26.2.2.cmml"><msubsup id="Ch0.E21.m1.26.26.26.26.26.26.26.2.2a" xref="Ch0.E21.m1.26.26.26.26.26.26.26.2.2.cmml"><mi id="Ch0.E21.m1.26.26.26.26.26.26.26.2.2.4.2" xref="Ch0.E21.m1.26.26.26.26.26.26.26.2.2.4.2.cmml">c</mi><mrow id="Ch0.E21.m1.26.26.26.26.26.26.26.2.2.2.2.2.4" xref="Ch0.E21.m1.26.26.26.26.26.26.26.2.2.2.2.2.3.cmml"><mo id="Ch0.E21.m1.26.26.26.26.26.26.26.2.2.2.2.2.4.1" stretchy="false" xref="Ch0.E21.m1.26.26.26.26.26.26.26.2.2.2.2.2.3.cmml">(</mo><mn id="Ch0.E21.m1.25.25.25.25.25.25.25.1.1.1.1.1.1" xref="Ch0.E21.m1.25.25.25.25.25.25.25.1.1.1.1.1.1.cmml">0</mn><mo id="Ch0.E21.m1.26.26.26.26.26.26.26.2.2.2.2.2.4.2" xref="Ch0.E21.m1.26.26.26.26.26.26.26.2.2.2.2.2.3.cmml">,</mo><mn id="Ch0.E21.m1.26.26.26.26.26.26.26.2.2.2.2.2.2" xref="Ch0.E21.m1.26.26.26.26.26.26.26.2.2.2.2.2.2.cmml">1</mn><mo id="Ch0.E21.m1.26.26.26.26.26.26.26.2.2.2.2.2.4.3" stretchy="false" xref="Ch0.E21.m1.26.26.26.26.26.26.26.2.2.2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow><mi id="Ch0.E21.m1.26.26.26.26.26.26.26.2.2.5" xref="Ch0.E21.m1.26.26.26.26.26.26.26.2.2.5.cmml">t</mi></msubsup></menclose></mtd><mtd id="Ch0.E21.m1.32.32.32.32.32.32r" xref="Ch0.E21.m1.32.32.32.32.32.32.cmml"><msub id="Ch0.E21.m1.28.28.28.28.28.28.28.4.2" xref="Ch0.E21.m1.28.28.28.28.28.28.28.4.2.cmml"><mover accent="true" id="Ch0.E21.m1.28.28.28.28.28.28.28.4.2.4" xref="Ch0.E21.m1.28.28.28.28.28.28.28.4.2.4.cmml"><mi id="Ch0.E21.m1.28.28.28.28.28.28.28.4.2.4.2" xref="Ch0.E21.m1.28.28.28.28.28.28.28.4.2.4.2.cmml">c</mi><mo id="Ch0.E21.m1.28.28.28.28.28.28.28.4.2.4.1" xref="Ch0.E21.m1.28.28.28.28.28.28.28.4.2.4.1.cmml">~</mo></mover><mrow id="Ch0.E21.m1.28.28.28.28.28.28.28.4.2.2.2.4" xref="Ch0.E21.m1.28.28.28.28.28.28.28.4.2.2.2.3.cmml"><mo id="Ch0.E21.m1.28.28.28.28.28.28.28.4.2.2.2.4.1" stretchy="false" xref="Ch0.E21.m1.28.28.28.28.28.28.28.4.2.2.2.3.cmml">(</mo><mn id="Ch0.E21.m1.27.27.27.27.27.27.27.3.1.1.1.1" xref="Ch0.E21.m1.27.27.27.27.27.27.27.3.1.1.1.1.cmml">1</mn><mo id="Ch0.E21.m1.28.28.28.28.28.28.28.4.2.2.2.4.2" xref="Ch0.E21.m1.28.28.28.28.28.28.28.4.2.2.2.3.cmml">,</mo><mn id="Ch0.E21.m1.28.28.28.28.28.28.28.4.2.2.2.2" xref="Ch0.E21.m1.28.28.28.28.28.28.28.4.2.2.2.2.cmml">1</mn><mo id="Ch0.E21.m1.28.28.28.28.28.28.28.4.2.2.2.4.3" stretchy="false" xref="Ch0.E21.m1.28.28.28.28.28.28.28.4.2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></msub></mtd><mtd id="Ch0.E21.m1.32.32.32.32.32.32s" xref="Ch0.E21.m1.32.32.32.32.32.32.cmml"><mrow id="Ch0.E21.m1.30.30.30.30.30.30.30.6.2" xref="Ch0.E21.m1.30.30.30.30.30.30.30.6.2.cmml"><mo id="Ch0.E21.m1.30.30.30.30.30.30.30.6.2a" xref="Ch0.E21.m1.30.30.30.30.30.30.30.6.2.cmml">−</mo><msubsup id="Ch0.E21.m1.30.30.30.30.30.30.30.6.2.4" xref="Ch0.E21.m1.30.30.30.30.30.30.30.6.2.4.cmml"><mi id="Ch0.E21.m1.30.30.30.30.30.30.30.6.2.4.2.2" xref="Ch0.E21.m1.30.30.30.30.30.30.30.6.2.4.2.2.cmml">a</mi><mrow id="Ch0.E21.m1.30.30.30.30.30.30.30.6.2.2.2.4" xref="Ch0.E21.m1.30.30.30.30.30.30.30.6.2.2.2.3.cmml"><mo id="Ch0.E21.m1.30.30.30.30.30.30.30.6.2.2.2.4.1" stretchy="false" xref="Ch0.E21.m1.30.30.30.30.30.30.30.6.2.2.2.3.cmml">(</mo><mn id="Ch0.E21.m1.29.29.29.29.29.29.29.5.1.1.1.1" xref="Ch0.E21.m1.29.29.29.29.29.29.29.5.1.1.1.1.cmml">1</mn><mo id="Ch0.E21.m1.30.30.30.30.30.30.30.6.2.2.2.4.2" xref="Ch0.E21.m1.30.30.30.30.30.30.30.6.2.2.2.3.cmml">,</mo><mn id="Ch0.E21.m1.30.30.30.30.30.30.30.6.2.2.2.2" xref="Ch0.E21.m1.30.30.30.30.30.30.30.6.2.2.2.2.cmml">0</mn><mo id="Ch0.E21.m1.30.30.30.30.30.30.30.6.2.2.2.4.3" stretchy="false" xref="Ch0.E21.m1.30.30.30.30.30.30.30.6.2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow><mi id="Ch0.E21.m1.30.30.30.30.30.30.30.6.2.4.3" xref="Ch0.E21.m1.30.30.30.30.30.30.30.6.2.4.3.cmml">t</mi></msubsup></mrow></mtd><mtd id="Ch0.E21.m1.32.32.32.32.32.32t" xref="Ch0.E21.m1.32.32.32.32.32.32.cmml"><mrow id="Ch0.E21.m1.32.32.32.32.32.32.32.8.2" xref="Ch0.E21.m1.32.32.32.32.32.32.32.8.2.cmml"><mo id="Ch0.E21.m1.32.32.32.32.32.32.32.8.2a" xref="Ch0.E21.m1.32.32.32.32.32.32.32.8.2.cmml">−</mo><msubsup id="Ch0.E21.m1.32.32.32.32.32.32.32.8.2.4" xref="Ch0.E21.m1.32.32.32.32.32.32.32.8.2.4.cmml"><mover accent="true" id="Ch0.E21.m1.32.32.32.32.32.32.32.8.2.4.2.2" xref="Ch0.E21.m1.32.32.32.32.32.32.32.8.2.4.2.2.cmml"><mi id="Ch0.E21.m1.32.32.32.32.32.32.32.8.2.4.2.2.2" xref="Ch0.E21.m1.32.32.32.32.32.32.32.8.2.4.2.2.2.cmml">a</mi><mo id="Ch0.E21.m1.32.32.32.32.32.32.32.8.2.4.2.2.1" xref="Ch0.E21.m1.32.32.32.32.32.32.32.8.2.4.2.2.1.cmml">~</mo></mover><mrow id="Ch0.E21.m1.32.32.32.32.32.32.32.8.2.2.2.4" xref="Ch0.E21.m1.32.32.32.32.32.32.32.8.2.2.2.3.cmml"><mo id="Ch0.E21.m1.32.32.32.32.32.32.32.8.2.2.2.4.1" stretchy="false" xref="Ch0.E21.m1.32.32.32.32.32.32.32.8.2.2.2.3.cmml">(</mo><mn id="Ch0.E21.m1.31.31.31.31.31.31.31.7.1.1.1.1" xref="Ch0.E21.m1.31.31.31.31.31.31.31.7.1.1.1.1.cmml">0</mn><mo id="Ch0.E21.m1.32.32.32.32.32.32.32.8.2.2.2.4.2" xref="Ch0.E21.m1.32.32.32.32.32.32.32.8.2.2.2.3.cmml">,</mo><mn id="Ch0.E21.m1.32.32.32.32.32.32.32.8.2.2.2.2" xref="Ch0.E21.m1.32.32.32.32.32.32.32.8.2.2.2.2.cmml">0</mn><mo 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xref="Ch0.E21.m1.32.32.32.33.1.4.1.1.1.cmml">−</mo><mi id="Ch0.E21.m1.32.32.32.33.1.4.1.1.3" xref="Ch0.E21.m1.32.32.32.33.1.4.1.1.3.cmml">p</mi></mrow></mtd></mtr></mtable></mtd></mtr></mtable><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Ch0.E21.m1.32b"><matrix id="Ch0.E21.m1.32.32.cmml" xref="Ch0.E21.m1.32.32"><matrixrow id="Ch0.E21.m1.32.32a.cmml" xref="Ch0.E21.m1.32.32"><matrix id="Ch0.E21.m1.32.32.33.1.1.cmml" xref="Ch0.E21.m1.32.32.33.1.1"><matrixrow id="Ch0.E21.m1.32.32.33.1.1a.cmml" xref="Ch0.E21.m1.32.32.33.1.1"><ci id="Ch0.E21.m1.32.32.33.1.1.1.1.1.cmml" xref="Ch0.E21.m1.32.32.33.1.1.1.1.1">𝑝</ci><apply id="Ch0.E21.m1.32.32.33.1.1.1.2.1.cmml" xref="Ch0.E21.m1.32.32.33.1.1.1.2.1"><minus id="Ch0.E21.m1.32.32.33.1.1.1.2.1.1.cmml" xref="Ch0.E21.m1.32.32.33.1.1.1.2.1.1"></minus><ci id="Ch0.E21.m1.32.32.33.1.1.1.2.1.2.cmml" xref="Ch0.E21.m1.32.32.33.1.1.1.2.1.2">𝑛</ci><ci id="Ch0.E21.m1.32.32.33.1.1.1.2.1.3.cmml" xref="Ch0.E21.m1.32.32.33.1.1.1.2.1.3">𝑝</ci></apply><ci 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xref="Ch0.E21.m1.8.8.8.8.8.8.8.8.2">subscript</csymbol><ci id="Ch0.E21.m1.8.8.8.8.8.8.8.8.2.4.cmml" xref="Ch0.E21.m1.8.8.8.8.8.8.8.8.2.4">𝑏</ci><interval closure="open" id="Ch0.E21.m1.8.8.8.8.8.8.8.8.2.2.2.3.cmml" xref="Ch0.E21.m1.8.8.8.8.8.8.8.8.2.2.2.4"><cn id="Ch0.E21.m1.7.7.7.7.7.7.7.7.1.1.1.1.cmml" type="integer" xref="Ch0.E21.m1.7.7.7.7.7.7.7.7.1.1.1.1">0</cn><cn id="Ch0.E21.m1.8.8.8.8.8.8.8.8.2.2.2.2.cmml" type="integer" xref="Ch0.E21.m1.8.8.8.8.8.8.8.8.2.2.2.2">1</cn></interval></apply></matrixrow><matrixrow id="Ch0.E21.m1.32.32.32.32.32.32b.cmml" xref="Ch0.E21.m1.32.32.32.32.32.34"><apply id="Ch0.E21.m1.10.10.10.10.10.10.10.2.2.cmml" xref="Ch0.E21.m1.10.10.10.10.10.10.10.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.E21.m1.10.10.10.10.10.10.10.2.2.3.cmml" xref="Ch0.E21.m1.10.10.10.10.10.10.10.2.2">subscript</csymbol><apply id="Ch0.E21.m1.10.10.10.10.10.10.10.2.2.4.cmml" xref="Ch0.E21.m1.10.10.10.10.10.10.10.2.2.4"><ci id="Ch0.E21.m1.10.10.10.10.10.10.10.2.2.4.1.cmml" xref="Ch0.E21.m1.10.10.10.10.10.10.10.2.2.4.1">~</ci><ci id="Ch0.E21.m1.10.10.10.10.10.10.10.2.2.4.2.cmml" xref="Ch0.E21.m1.10.10.10.10.10.10.10.2.2.4.2">𝑎</ci></apply><interval closure="open" id="Ch0.E21.m1.10.10.10.10.10.10.10.2.2.2.2.3.cmml" xref="Ch0.E21.m1.10.10.10.10.10.10.10.2.2.2.2.4"><cn id="Ch0.E21.m1.9.9.9.9.9.9.9.1.1.1.1.1.cmml" type="integer" xref="Ch0.E21.m1.9.9.9.9.9.9.9.1.1.1.1.1">1</cn><cn id="Ch0.E21.m1.10.10.10.10.10.10.10.2.2.2.2.2.cmml" type="integer" xref="Ch0.E21.m1.10.10.10.10.10.10.10.2.2.2.2.2">0</cn></interval></apply><apply id="Ch0.E21.m1.12.12.12.12.12.12.12.4.2.cmml" xref="Ch0.E21.m1.12.12.12.12.12.12.12.4.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.E21.m1.12.12.12.12.12.12.12.4.2.3.cmml" xref="Ch0.E21.m1.12.12.12.12.12.12.12.4.2">subscript</csymbol><apply id="Ch0.E21.m1.12.12.12.12.12.12.12.4.2.4.cmml" xref="Ch0.E21.m1.12.12.12.12.12.12.12.4.2.4"><ci id="Ch0.E21.m1.12.12.12.12.12.12.12.4.2.4.1.cmml" xref="Ch0.E21.m1.12.12.12.12.12.12.12.4.2.4.1">~</ci><ci id="Ch0.E21.m1.12.12.12.12.12.12.12.4.2.4.2.cmml" xref="Ch0.E21.m1.12.12.12.12.12.12.12.4.2.4.2">𝑎</ci></apply><interval closure="open" id="Ch0.E21.m1.12.12.12.12.12.12.12.4.2.2.2.3.cmml" xref="Ch0.E21.m1.12.12.12.12.12.12.12.4.2.2.2.4"><cn id="Ch0.E21.m1.11.11.11.11.11.11.11.3.1.1.1.1.cmml" type="integer" xref="Ch0.E21.m1.11.11.11.11.11.11.11.3.1.1.1.1">0</cn><cn id="Ch0.E21.m1.12.12.12.12.12.12.12.4.2.2.2.2.cmml" type="integer" xref="Ch0.E21.m1.12.12.12.12.12.12.12.4.2.2.2.2">0</cn></interval></apply><apply id="Ch0.E21.m1.14.14.14.14.14.14.14.6.2.cmml" xref="Ch0.E21.m1.14.14.14.14.14.14.14.6.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.E21.m1.14.14.14.14.14.14.14.6.2.3.cmml" xref="Ch0.E21.m1.14.14.14.14.14.14.14.6.2">superscript</csymbol><apply id="Ch0.E21.m1.14.14.14.14.14.14.14.6.2.4.cmml" xref="Ch0.E21.m1.14.14.14.14.14.14.14.6.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.E21.m1.14.14.14.14.14.14.14.6.2.4.1.cmml" xref="Ch0.E21.m1.14.14.14.14.14.14.14.6.2">subscript</csymbol><ci id="Ch0.E21.m1.14.14.14.14.14.14.14.6.2.4.2.cmml" xref="Ch0.E21.m1.14.14.14.14.14.14.14.6.2.4.2">𝑏</ci><interval closure="open" id="Ch0.E21.m1.14.14.14.14.14.14.14.6.2.2.2.2.3.cmml" xref="Ch0.E21.m1.14.14.14.14.14.14.14.6.2.2.2.2.4"><cn id="Ch0.E21.m1.13.13.13.13.13.13.13.5.1.1.1.1.1.cmml" type="integer" xref="Ch0.E21.m1.13.13.13.13.13.13.13.5.1.1.1.1.1">0</cn><cn id="Ch0.E21.m1.14.14.14.14.14.14.14.6.2.2.2.2.2.cmml" type="integer" xref="Ch0.E21.m1.14.14.14.14.14.14.14.6.2.2.2.2.2">1</cn></interval></apply><ci id="Ch0.E21.m1.14.14.14.14.14.14.14.6.2.5.cmml" xref="Ch0.E21.m1.14.14.14.14.14.14.14.6.2.5">𝑡</ci></apply><apply id="Ch0.E21.m1.16.16.16.16.16.16.16.8.2.cmml" xref="Ch0.E21.m1.16.16.16.16.16.16.16.8.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.E21.m1.16.16.16.16.16.16.16.8.2.3.cmml" xref="Ch0.E21.m1.16.16.16.16.16.16.16.8.2">subscript</csymbol><apply id="Ch0.E21.m1.16.16.16.16.16.16.16.8.2.4.cmml" xref="Ch0.E21.m1.16.16.16.16.16.16.16.8.2.4"><ci id="Ch0.E21.m1.16.16.16.16.16.16.16.8.2.4.1.cmml" xref="Ch0.E21.m1.16.16.16.16.16.16.16.8.2.4.1">~</ci><ci id="Ch0.E21.m1.16.16.16.16.16.16.16.8.2.4.2.cmml" xref="Ch0.E21.m1.16.16.16.16.16.16.16.8.2.4.2">𝑏</ci></apply><interval closure="open" id="Ch0.E21.m1.16.16.16.16.16.16.16.8.2.2.2.3.cmml" xref="Ch0.E21.m1.16.16.16.16.16.16.16.8.2.2.2.4"><cn id="Ch0.E21.m1.15.15.15.15.15.15.15.7.1.1.1.1.cmml" type="integer" xref="Ch0.E21.m1.15.15.15.15.15.15.15.7.1.1.1.1">1</cn><cn id="Ch0.E21.m1.16.16.16.16.16.16.16.8.2.2.2.2.cmml" type="integer" xref="Ch0.E21.m1.16.16.16.16.16.16.16.8.2.2.2.2">1</cn></interval></apply></matrixrow><matrixrow id="Ch0.E21.m1.32.32.32.32.32.32c.cmml" xref="Ch0.E21.m1.32.32.32.32.32.34"><apply id="Ch0.E21.m1.18.18.18.18.18.18.18.2.2.cmml" xref="Ch0.E21.m1.18.18.18.18.18.18.18.2.2"><times id="Ch0.E21.m1.18.18.18.18.18.18.18.2.2.3.cmml" xref="Ch0.E21.m1.18.18.18.18.18.18.18.2.2.3"></times><ci id="Ch0.E21.m1.18.18.18.18.18.18.18.2.2.4b.cmml" xref="Ch0.E21.m1.18.18.18.18.18.18.18.2.2.4"><merror class="ltx_ERROR undefined undefined" id="Ch0.E21.m1.18.18.18.18.18.18.18.2.2.4.cmml" xref="Ch0.E21.m1.18.18.18.18.18.18.18.2.2.4"><mtext id="Ch0.E21.m1.18.18.18.18.18.18.18.2.2.4a.cmml" xref="Ch0.E21.m1.18.18.18.18.18.18.18.2.2.4">\hdashline</mtext></merror></ci><apply id="Ch0.E21.m1.18.18.18.18.18.18.18.2.2.5.cmml" xref="Ch0.E21.m1.18.18.18.18.18.18.18.2.2.5"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.E21.m1.18.18.18.18.18.18.18.2.2.5.1.cmml" xref="Ch0.E21.m1.18.18.18.18.18.18.18.2.2.5">subscript</csymbol><ci id="Ch0.E21.m1.18.18.18.18.18.18.18.2.2.5.2.cmml" xref="Ch0.E21.m1.18.18.18.18.18.18.18.2.2.5.2">𝑐</ci><interval closure="open" id="Ch0.E21.m1.18.18.18.18.18.18.18.2.2.2.2.3.cmml" xref="Ch0.E21.m1.18.18.18.18.18.18.18.2.2.2.2.4"><cn id="Ch0.E21.m1.17.17.17.17.17.17.17.1.1.1.1.1.cmml" type="integer" xref="Ch0.E21.m1.17.17.17.17.17.17.17.1.1.1.1.1">1</cn><cn id="Ch0.E21.m1.18.18.18.18.18.18.18.2.2.2.2.2.cmml" type="integer" xref="Ch0.E21.m1.18.18.18.18.18.18.18.2.2.2.2.2">1</cn></interval></apply></apply><apply id="Ch0.E21.m1.20.20.20.20.20.20.20.4.2.cmml" xref="Ch0.E21.m1.20.20.20.20.20.20.20.4.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.E21.m1.20.20.20.20.20.20.20.4.2.3.cmml" xref="Ch0.E21.m1.20.20.20.20.20.20.20.4.2">subscript</csymbol><ci id="Ch0.E21.m1.20.20.20.20.20.20.20.4.2.4.cmml" xref="Ch0.E21.m1.20.20.20.20.20.20.20.4.2.4">𝑐</ci><interval closure="open" id="Ch0.E21.m1.20.20.20.20.20.20.20.4.2.2.2.3.cmml" xref="Ch0.E21.m1.20.20.20.20.20.20.20.4.2.2.2.4"><cn id="Ch0.E21.m1.19.19.19.19.19.19.19.3.1.1.1.1.cmml" type="integer" xref="Ch0.E21.m1.19.19.19.19.19.19.19.3.1.1.1.1">0</cn><cn id="Ch0.E21.m1.20.20.20.20.20.20.20.4.2.2.2.2.cmml" type="integer" xref="Ch0.E21.m1.20.20.20.20.20.20.20.4.2.2.2.2">1</cn></interval></apply><apply id="Ch0.E21.m1.22.22.22.22.22.22.22.6.2.cmml" xref="Ch0.E21.m1.22.22.22.22.22.22.22.6.2"><minus id="Ch0.E21.m1.22.22.22.22.22.22.22.6.2.3.cmml" xref="Ch0.E21.m1.22.22.22.22.22.22.22.6.2"></minus><apply id="Ch0.E21.m1.22.22.22.22.22.22.22.6.2.4.cmml" xref="Ch0.E21.m1.22.22.22.22.22.22.22.6.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.E21.m1.22.22.22.22.22.22.22.6.2.4.1.cmml" xref="Ch0.E21.m1.22.22.22.22.22.22.22.6.2.4">superscript</csymbol><apply id="Ch0.E21.m1.22.22.22.22.22.22.22.6.2.4.2.cmml" xref="Ch0.E21.m1.22.22.22.22.22.22.22.6.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.E21.m1.22.22.22.22.22.22.22.6.2.4.2.1.cmml" xref="Ch0.E21.m1.22.22.22.22.22.22.22.6.2.4">subscript</csymbol><ci id="Ch0.E21.m1.22.22.22.22.22.22.22.6.2.4.2.2.cmml" xref="Ch0.E21.m1.22.22.22.22.22.22.22.6.2.4.2.2">𝑎</ci><interval closure="open" id="Ch0.E21.m1.22.22.22.22.22.22.22.6.2.2.2.3.cmml" xref="Ch0.E21.m1.22.22.22.22.22.22.22.6.2.2.2.4"><cn id="Ch0.E21.m1.21.21.21.21.21.21.21.5.1.1.1.1.cmml" type="integer" xref="Ch0.E21.m1.21.21.21.21.21.21.21.5.1.1.1.1">0</cn><cn id="Ch0.E21.m1.22.22.22.22.22.22.22.6.2.2.2.2.cmml" type="integer" 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start_POSTSUBSCRIPT ( 0 , 0 ) end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_t end_POSTSUPERSCRIPT end_CELL end_ROW end_ARRAY ) end_CELL start_CELL start_ARRAY start_ROW start_CELL italic_p end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL italic_n - italic_p end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL italic_p end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL italic_n - italic_p end_CELL end_ROW end_ARRAY end_CELL end_ROW end_ARRAY</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(21)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="Ch0.S3.p8.9">where <math alttext="b_{(1,1)}" class="ltx_Math" display="inline" id="Ch0.S3.p8.5.m1.2"><semantics id="Ch0.S3.p8.5.m1.2a"><msub id="Ch0.S3.p8.5.m1.2.3" xref="Ch0.S3.p8.5.m1.2.3.cmml"><mi id="Ch0.S3.p8.5.m1.2.3.2" xref="Ch0.S3.p8.5.m1.2.3.2.cmml">b</mi><mrow id="Ch0.S3.p8.5.m1.2.2.2.4" xref="Ch0.S3.p8.5.m1.2.2.2.3.cmml"><mo id="Ch0.S3.p8.5.m1.2.2.2.4.1" stretchy="false" xref="Ch0.S3.p8.5.m1.2.2.2.3.cmml">(</mo><mn id="Ch0.S3.p8.5.m1.1.1.1.1" xref="Ch0.S3.p8.5.m1.1.1.1.1.cmml">1</mn><mo id="Ch0.S3.p8.5.m1.2.2.2.4.2" xref="Ch0.S3.p8.5.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mn id="Ch0.S3.p8.5.m1.2.2.2.2" xref="Ch0.S3.p8.5.m1.2.2.2.2.cmml">1</mn><mo id="Ch0.S3.p8.5.m1.2.2.2.4.3" stretchy="false" xref="Ch0.S3.p8.5.m1.2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Ch0.S3.p8.5.m1.2b"><apply id="Ch0.S3.p8.5.m1.2.3.cmml" xref="Ch0.S3.p8.5.m1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.S3.p8.5.m1.2.3.1.cmml" xref="Ch0.S3.p8.5.m1.2.3">subscript</csymbol><ci id="Ch0.S3.p8.5.m1.2.3.2.cmml" xref="Ch0.S3.p8.5.m1.2.3.2">𝑏</ci><interval closure="open" id="Ch0.S3.p8.5.m1.2.2.2.3.cmml" xref="Ch0.S3.p8.5.m1.2.2.2.4"><cn id="Ch0.S3.p8.5.m1.1.1.1.1.cmml" type="integer" xref="Ch0.S3.p8.5.m1.1.1.1.1">1</cn><cn id="Ch0.S3.p8.5.m1.2.2.2.2.cmml" type="integer" xref="Ch0.S3.p8.5.m1.2.2.2.2">1</cn></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Ch0.S3.p8.5.m1.2c">b_{(1,1)}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Ch0.S3.p8.5.m1.2d">italic_b start_POSTSUBSCRIPT ( 1 , 1 ) end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, <math alttext="\tilde{b}_{(1,1)}" class="ltx_Math" display="inline" id="Ch0.S3.p8.6.m2.2"><semantics id="Ch0.S3.p8.6.m2.2a"><msub id="Ch0.S3.p8.6.m2.2.3" xref="Ch0.S3.p8.6.m2.2.3.cmml"><mover accent="true" id="Ch0.S3.p8.6.m2.2.3.2" xref="Ch0.S3.p8.6.m2.2.3.2.cmml"><mi id="Ch0.S3.p8.6.m2.2.3.2.2" xref="Ch0.S3.p8.6.m2.2.3.2.2.cmml">b</mi><mo id="Ch0.S3.p8.6.m2.2.3.2.1" xref="Ch0.S3.p8.6.m2.2.3.2.1.cmml">~</mo></mover><mrow id="Ch0.S3.p8.6.m2.2.2.2.4" xref="Ch0.S3.p8.6.m2.2.2.2.3.cmml"><mo id="Ch0.S3.p8.6.m2.2.2.2.4.1" stretchy="false" xref="Ch0.S3.p8.6.m2.2.2.2.3.cmml">(</mo><mn id="Ch0.S3.p8.6.m2.1.1.1.1" xref="Ch0.S3.p8.6.m2.1.1.1.1.cmml">1</mn><mo id="Ch0.S3.p8.6.m2.2.2.2.4.2" xref="Ch0.S3.p8.6.m2.2.2.2.3.cmml">,</mo><mn id="Ch0.S3.p8.6.m2.2.2.2.2" xref="Ch0.S3.p8.6.m2.2.2.2.2.cmml">1</mn><mo id="Ch0.S3.p8.6.m2.2.2.2.4.3" stretchy="false" xref="Ch0.S3.p8.6.m2.2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Ch0.S3.p8.6.m2.2b"><apply id="Ch0.S3.p8.6.m2.2.3.cmml" xref="Ch0.S3.p8.6.m2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.S3.p8.6.m2.2.3.1.cmml" xref="Ch0.S3.p8.6.m2.2.3">subscript</csymbol><apply id="Ch0.S3.p8.6.m2.2.3.2.cmml" xref="Ch0.S3.p8.6.m2.2.3.2"><ci id="Ch0.S3.p8.6.m2.2.3.2.1.cmml" xref="Ch0.S3.p8.6.m2.2.3.2.1">~</ci><ci id="Ch0.S3.p8.6.m2.2.3.2.2.cmml" xref="Ch0.S3.p8.6.m2.2.3.2.2">𝑏</ci></apply><interval closure="open" id="Ch0.S3.p8.6.m2.2.2.2.3.cmml" xref="Ch0.S3.p8.6.m2.2.2.2.4"><cn id="Ch0.S3.p8.6.m2.1.1.1.1.cmml" type="integer" xref="Ch0.S3.p8.6.m2.1.1.1.1">1</cn><cn id="Ch0.S3.p8.6.m2.2.2.2.2.cmml" type="integer" xref="Ch0.S3.p8.6.m2.2.2.2.2">1</cn></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Ch0.S3.p8.6.m2.2c">\tilde{b}_{(1,1)}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Ch0.S3.p8.6.m2.2d">over~ start_ARG italic_b end_ARG start_POSTSUBSCRIPT ( 1 , 1 ) end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, <math alttext="c_{(1,1)}" class="ltx_Math" display="inline" id="Ch0.S3.p8.7.m3.2"><semantics id="Ch0.S3.p8.7.m3.2a"><msub id="Ch0.S3.p8.7.m3.2.3" xref="Ch0.S3.p8.7.m3.2.3.cmml"><mi id="Ch0.S3.p8.7.m3.2.3.2" xref="Ch0.S3.p8.7.m3.2.3.2.cmml">c</mi><mrow id="Ch0.S3.p8.7.m3.2.2.2.4" xref="Ch0.S3.p8.7.m3.2.2.2.3.cmml"><mo id="Ch0.S3.p8.7.m3.2.2.2.4.1" stretchy="false" xref="Ch0.S3.p8.7.m3.2.2.2.3.cmml">(</mo><mn id="Ch0.S3.p8.7.m3.1.1.1.1" xref="Ch0.S3.p8.7.m3.1.1.1.1.cmml">1</mn><mo id="Ch0.S3.p8.7.m3.2.2.2.4.2" xref="Ch0.S3.p8.7.m3.2.2.2.3.cmml">,</mo><mn id="Ch0.S3.p8.7.m3.2.2.2.2" xref="Ch0.S3.p8.7.m3.2.2.2.2.cmml">1</mn><mo id="Ch0.S3.p8.7.m3.2.2.2.4.3" stretchy="false" xref="Ch0.S3.p8.7.m3.2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Ch0.S3.p8.7.m3.2b"><apply id="Ch0.S3.p8.7.m3.2.3.cmml" xref="Ch0.S3.p8.7.m3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.S3.p8.7.m3.2.3.1.cmml" xref="Ch0.S3.p8.7.m3.2.3">subscript</csymbol><ci id="Ch0.S3.p8.7.m3.2.3.2.cmml" xref="Ch0.S3.p8.7.m3.2.3.2">𝑐</ci><interval closure="open" id="Ch0.S3.p8.7.m3.2.2.2.3.cmml" xref="Ch0.S3.p8.7.m3.2.2.2.4"><cn id="Ch0.S3.p8.7.m3.1.1.1.1.cmml" type="integer" xref="Ch0.S3.p8.7.m3.1.1.1.1">1</cn><cn id="Ch0.S3.p8.7.m3.2.2.2.2.cmml" type="integer" xref="Ch0.S3.p8.7.m3.2.2.2.2">1</cn></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Ch0.S3.p8.7.m3.2c">c_{(1,1)}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Ch0.S3.p8.7.m3.2d">italic_c start_POSTSUBSCRIPT ( 1 , 1 ) end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> and <math alttext="\tilde{c}_{(1,1)}" class="ltx_Math" display="inline" id="Ch0.S3.p8.8.m4.2"><semantics id="Ch0.S3.p8.8.m4.2a"><msub id="Ch0.S3.p8.8.m4.2.3" xref="Ch0.S3.p8.8.m4.2.3.cmml"><mover accent="true" id="Ch0.S3.p8.8.m4.2.3.2" xref="Ch0.S3.p8.8.m4.2.3.2.cmml"><mi id="Ch0.S3.p8.8.m4.2.3.2.2" xref="Ch0.S3.p8.8.m4.2.3.2.2.cmml">c</mi><mo id="Ch0.S3.p8.8.m4.2.3.2.1" xref="Ch0.S3.p8.8.m4.2.3.2.1.cmml">~</mo></mover><mrow id="Ch0.S3.p8.8.m4.2.2.2.4" xref="Ch0.S3.p8.8.m4.2.2.2.3.cmml"><mo id="Ch0.S3.p8.8.m4.2.2.2.4.1" stretchy="false" xref="Ch0.S3.p8.8.m4.2.2.2.3.cmml">(</mo><mn id="Ch0.S3.p8.8.m4.1.1.1.1" xref="Ch0.S3.p8.8.m4.1.1.1.1.cmml">1</mn><mo id="Ch0.S3.p8.8.m4.2.2.2.4.2" xref="Ch0.S3.p8.8.m4.2.2.2.3.cmml">,</mo><mn id="Ch0.S3.p8.8.m4.2.2.2.2" xref="Ch0.S3.p8.8.m4.2.2.2.2.cmml">1</mn><mo id="Ch0.S3.p8.8.m4.2.2.2.4.3" stretchy="false" xref="Ch0.S3.p8.8.m4.2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Ch0.S3.p8.8.m4.2b"><apply id="Ch0.S3.p8.8.m4.2.3.cmml" xref="Ch0.S3.p8.8.m4.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.S3.p8.8.m4.2.3.1.cmml" xref="Ch0.S3.p8.8.m4.2.3">subscript</csymbol><apply id="Ch0.S3.p8.8.m4.2.3.2.cmml" xref="Ch0.S3.p8.8.m4.2.3.2"><ci id="Ch0.S3.p8.8.m4.2.3.2.1.cmml" xref="Ch0.S3.p8.8.m4.2.3.2.1">~</ci><ci id="Ch0.S3.p8.8.m4.2.3.2.2.cmml" xref="Ch0.S3.p8.8.m4.2.3.2.2">𝑐</ci></apply><interval closure="open" id="Ch0.S3.p8.8.m4.2.2.2.3.cmml" xref="Ch0.S3.p8.8.m4.2.2.2.4"><cn id="Ch0.S3.p8.8.m4.1.1.1.1.cmml" type="integer" xref="Ch0.S3.p8.8.m4.1.1.1.1">1</cn><cn id="Ch0.S3.p8.8.m4.2.2.2.2.cmml" type="integer" xref="Ch0.S3.p8.8.m4.2.2.2.2">1</cn></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Ch0.S3.p8.8.m4.2c">\tilde{c}_{(1,1)}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Ch0.S3.p8.8.m4.2d">over~ start_ARG italic_c end_ARG start_POSTSUBSCRIPT ( 1 , 1 ) end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> are antisymmetric matrices. Now one should compare these matrices with the matrices of <math alttext="\mathfrak{so}(2n)" class="ltx_Math" display="inline" id="Ch0.S3.p8.9.m5.1"><semantics id="Ch0.S3.p8.9.m5.1a"><mrow id="Ch0.S3.p8.9.m5.1.1" xref="Ch0.S3.p8.9.m5.1.1.cmml"><mi id="Ch0.S3.p8.9.m5.1.1.3" xref="Ch0.S3.p8.9.m5.1.1.3.cmml">𝔰</mi><mo id="Ch0.S3.p8.9.m5.1.1.2" xref="Ch0.S3.p8.9.m5.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="Ch0.S3.p8.9.m5.1.1.4" xref="Ch0.S3.p8.9.m5.1.1.4.cmml">𝔬</mi><mo id="Ch0.S3.p8.9.m5.1.1.2a" xref="Ch0.S3.p8.9.m5.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="Ch0.S3.p8.9.m5.1.1.1.1" xref="Ch0.S3.p8.9.m5.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="Ch0.S3.p8.9.m5.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="Ch0.S3.p8.9.m5.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="Ch0.S3.p8.9.m5.1.1.1.1.1" xref="Ch0.S3.p8.9.m5.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="Ch0.S3.p8.9.m5.1.1.1.1.1.2" xref="Ch0.S3.p8.9.m5.1.1.1.1.1.2.cmml">2</mn><mo id="Ch0.S3.p8.9.m5.1.1.1.1.1.1" xref="Ch0.S3.p8.9.m5.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="Ch0.S3.p8.9.m5.1.1.1.1.1.3" xref="Ch0.S3.p8.9.m5.1.1.1.1.1.3.cmml">n</mi></mrow><mo id="Ch0.S3.p8.9.m5.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="Ch0.S3.p8.9.m5.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Ch0.S3.p8.9.m5.1b"><apply id="Ch0.S3.p8.9.m5.1.1.cmml" xref="Ch0.S3.p8.9.m5.1.1"><times id="Ch0.S3.p8.9.m5.1.1.2.cmml" xref="Ch0.S3.p8.9.m5.1.1.2"></times><ci id="Ch0.S3.p8.9.m5.1.1.3.cmml" xref="Ch0.S3.p8.9.m5.1.1.3">𝔰</ci><ci id="Ch0.S3.p8.9.m5.1.1.4.cmml" xref="Ch0.S3.p8.9.m5.1.1.4">𝔬</ci><apply id="Ch0.S3.p8.9.m5.1.1.1.1.1.cmml" xref="Ch0.S3.p8.9.m5.1.1.1.1"><times id="Ch0.S3.p8.9.m5.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="Ch0.S3.p8.9.m5.1.1.1.1.1.1"></times><cn id="Ch0.S3.p8.9.m5.1.1.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="Ch0.S3.p8.9.m5.1.1.1.1.1.2">2</cn><ci id="Ch0.S3.p8.9.m5.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="Ch0.S3.p8.9.m5.1.1.1.1.1.3">𝑛</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Ch0.S3.p8.9.m5.1c">\mathfrak{so}(2n)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Ch0.S3.p8.9.m5.1d">fraktur_s fraktur_o ( 2 italic_n )</annotation></semantics></math> given in (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2408.09274v1#Ch0.E17" title="In 3 ℤ₂²-GLA’s as subalgebras of 𝔰⁢𝔩_{𝑝,𝑞,𝑟,𝑠}⁢(𝑛) ‣ Matrix structure of classical ℤ₂×ℤ₂ graded Lie algebras"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">17</span></a>). Again, the only difference is a sign difference in the two blocks that are put in a frame in (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2408.09274v1#Ch0.E21" title="In 3 ℤ₂²-GLA’s as subalgebras of 𝔰⁢𝔩_{𝑝,𝑞,𝑟,𝑠}⁢(𝑛) ‣ Matrix structure of classical ℤ₂×ℤ₂ graded Lie algebras"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">21</span></a>). One can verify</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="Ch0.S4.EGx6"> <tbody id="Ch0.Ex12"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\dim\mathfrak{g}_{(0,0)}=p^{2}+(n-p)^{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="Ch0.Ex12.m1.3"><semantics id="Ch0.Ex12.m1.3a"><mrow id="Ch0.Ex12.m1.3.3" xref="Ch0.Ex12.m1.3.3.cmml"><mrow id="Ch0.Ex12.m1.3.3.3" xref="Ch0.Ex12.m1.3.3.3.cmml"><mo id="Ch0.Ex12.m1.3.3.3.1" rspace="0.167em" xref="Ch0.Ex12.m1.3.3.3.1.cmml">dim</mo><msub id="Ch0.Ex12.m1.3.3.3.2" xref="Ch0.Ex12.m1.3.3.3.2.cmml"><mi id="Ch0.Ex12.m1.3.3.3.2.2" xref="Ch0.Ex12.m1.3.3.3.2.2.cmml">𝔤</mi><mrow id="Ch0.Ex12.m1.2.2.2.4" xref="Ch0.Ex12.m1.2.2.2.3.cmml"><mo id="Ch0.Ex12.m1.2.2.2.4.1" stretchy="false" xref="Ch0.Ex12.m1.2.2.2.3.cmml">(</mo><mn id="Ch0.Ex12.m1.1.1.1.1" xref="Ch0.Ex12.m1.1.1.1.1.cmml">0</mn><mo id="Ch0.Ex12.m1.2.2.2.4.2" xref="Ch0.Ex12.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mn id="Ch0.Ex12.m1.2.2.2.2" xref="Ch0.Ex12.m1.2.2.2.2.cmml">0</mn><mo id="Ch0.Ex12.m1.2.2.2.4.3" stretchy="false" xref="Ch0.Ex12.m1.2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></msub></mrow><mo id="Ch0.Ex12.m1.3.3.2" xref="Ch0.Ex12.m1.3.3.2.cmml">=</mo><mrow id="Ch0.Ex12.m1.3.3.1" xref="Ch0.Ex12.m1.3.3.1.cmml"><msup id="Ch0.Ex12.m1.3.3.1.3" xref="Ch0.Ex12.m1.3.3.1.3.cmml"><mi id="Ch0.Ex12.m1.3.3.1.3.2" xref="Ch0.Ex12.m1.3.3.1.3.2.cmml">p</mi><mn id="Ch0.Ex12.m1.3.3.1.3.3" xref="Ch0.Ex12.m1.3.3.1.3.3.cmml">2</mn></msup><mo id="Ch0.Ex12.m1.3.3.1.2" xref="Ch0.Ex12.m1.3.3.1.2.cmml">+</mo><msup id="Ch0.Ex12.m1.3.3.1.1" xref="Ch0.Ex12.m1.3.3.1.1.cmml"><mrow id="Ch0.Ex12.m1.3.3.1.1.1.1" xref="Ch0.Ex12.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="Ch0.Ex12.m1.3.3.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="Ch0.Ex12.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="Ch0.Ex12.m1.3.3.1.1.1.1.1" xref="Ch0.Ex12.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="Ch0.Ex12.m1.3.3.1.1.1.1.1.2" xref="Ch0.Ex12.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.cmml">n</mi><mo id="Ch0.Ex12.m1.3.3.1.1.1.1.1.1" xref="Ch0.Ex12.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mi id="Ch0.Ex12.m1.3.3.1.1.1.1.1.3" xref="Ch0.Ex12.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.cmml">p</mi></mrow><mo id="Ch0.Ex12.m1.3.3.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="Ch0.Ex12.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mn id="Ch0.Ex12.m1.3.3.1.1.3" xref="Ch0.Ex12.m1.3.3.1.1.3.cmml">2</mn></msup></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Ch0.Ex12.m1.3b"><apply id="Ch0.Ex12.m1.3.3.cmml" xref="Ch0.Ex12.m1.3.3"><eq id="Ch0.Ex12.m1.3.3.2.cmml" xref="Ch0.Ex12.m1.3.3.2"></eq><apply id="Ch0.Ex12.m1.3.3.3.cmml" xref="Ch0.Ex12.m1.3.3.3"><csymbol cd="latexml" id="Ch0.Ex12.m1.3.3.3.1.cmml" xref="Ch0.Ex12.m1.3.3.3.1">dimension</csymbol><apply id="Ch0.Ex12.m1.3.3.3.2.cmml" xref="Ch0.Ex12.m1.3.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.Ex12.m1.3.3.3.2.1.cmml" xref="Ch0.Ex12.m1.3.3.3.2">subscript</csymbol><ci id="Ch0.Ex12.m1.3.3.3.2.2.cmml" xref="Ch0.Ex12.m1.3.3.3.2.2">𝔤</ci><interval closure="open" id="Ch0.Ex12.m1.2.2.2.3.cmml" xref="Ch0.Ex12.m1.2.2.2.4"><cn id="Ch0.Ex12.m1.1.1.1.1.cmml" type="integer" xref="Ch0.Ex12.m1.1.1.1.1">0</cn><cn id="Ch0.Ex12.m1.2.2.2.2.cmml" type="integer" xref="Ch0.Ex12.m1.2.2.2.2">0</cn></interval></apply></apply><apply id="Ch0.Ex12.m1.3.3.1.cmml" xref="Ch0.Ex12.m1.3.3.1"><plus id="Ch0.Ex12.m1.3.3.1.2.cmml" xref="Ch0.Ex12.m1.3.3.1.2"></plus><apply id="Ch0.Ex12.m1.3.3.1.3.cmml" xref="Ch0.Ex12.m1.3.3.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.Ex12.m1.3.3.1.3.1.cmml" xref="Ch0.Ex12.m1.3.3.1.3">superscript</csymbol><ci id="Ch0.Ex12.m1.3.3.1.3.2.cmml" xref="Ch0.Ex12.m1.3.3.1.3.2">𝑝</ci><cn id="Ch0.Ex12.m1.3.3.1.3.3.cmml" type="integer" xref="Ch0.Ex12.m1.3.3.1.3.3">2</cn></apply><apply id="Ch0.Ex12.m1.3.3.1.1.cmml" xref="Ch0.Ex12.m1.3.3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.Ex12.m1.3.3.1.1.2.cmml" xref="Ch0.Ex12.m1.3.3.1.1">superscript</csymbol><apply id="Ch0.Ex12.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml" xref="Ch0.Ex12.m1.3.3.1.1.1.1"><minus id="Ch0.Ex12.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="Ch0.Ex12.m1.3.3.1.1.1.1.1.1"></minus><ci id="Ch0.Ex12.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="Ch0.Ex12.m1.3.3.1.1.1.1.1.2">𝑛</ci><ci id="Ch0.Ex12.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="Ch0.Ex12.m1.3.3.1.1.1.1.1.3">𝑝</ci></apply><cn id="Ch0.Ex12.m1.3.3.1.1.3.cmml" type="integer" xref="Ch0.Ex12.m1.3.3.1.1.3">2</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Ch0.Ex12.m1.3c">\displaystyle\dim\mathfrak{g}_{(0,0)}=p^{2}+(n-p)^{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Ch0.Ex12.m1.3d">roman_dim fraktur_g start_POSTSUBSCRIPT ( 0 , 0 ) end_POSTSUBSCRIPT = italic_p start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + ( italic_n - italic_p ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="Ch0.Ex13"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\dim\mathfrak{g}_{(0,1)}=2p(n-p),\quad\dim\mathfrak{g}_{(1,0)}=2p% (n-p)" class="ltx_Math" display="inline" id="Ch0.Ex13.m1.6"><semantics id="Ch0.Ex13.m1.6a"><mrow id="Ch0.Ex13.m1.6.6.2" xref="Ch0.Ex13.m1.6.6.3.cmml"><mrow id="Ch0.Ex13.m1.5.5.1.1" xref="Ch0.Ex13.m1.5.5.1.1.cmml"><mrow id="Ch0.Ex13.m1.5.5.1.1.3" xref="Ch0.Ex13.m1.5.5.1.1.3.cmml"><mo id="Ch0.Ex13.m1.5.5.1.1.3.1" rspace="0.167em" xref="Ch0.Ex13.m1.5.5.1.1.3.1.cmml">dim</mo><msub id="Ch0.Ex13.m1.5.5.1.1.3.2" xref="Ch0.Ex13.m1.5.5.1.1.3.2.cmml"><mi id="Ch0.Ex13.m1.5.5.1.1.3.2.2" xref="Ch0.Ex13.m1.5.5.1.1.3.2.2.cmml">𝔤</mi><mrow id="Ch0.Ex13.m1.2.2.2.4" xref="Ch0.Ex13.m1.2.2.2.3.cmml"><mo id="Ch0.Ex13.m1.2.2.2.4.1" stretchy="false" xref="Ch0.Ex13.m1.2.2.2.3.cmml">(</mo><mn id="Ch0.Ex13.m1.1.1.1.1" xref="Ch0.Ex13.m1.1.1.1.1.cmml">0</mn><mo id="Ch0.Ex13.m1.2.2.2.4.2" xref="Ch0.Ex13.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mn id="Ch0.Ex13.m1.2.2.2.2" xref="Ch0.Ex13.m1.2.2.2.2.cmml">1</mn><mo id="Ch0.Ex13.m1.2.2.2.4.3" stretchy="false" xref="Ch0.Ex13.m1.2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></msub></mrow><mo id="Ch0.Ex13.m1.5.5.1.1.2" xref="Ch0.Ex13.m1.5.5.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="Ch0.Ex13.m1.5.5.1.1.1" xref="Ch0.Ex13.m1.5.5.1.1.1.cmml"><mn id="Ch0.Ex13.m1.5.5.1.1.1.3" xref="Ch0.Ex13.m1.5.5.1.1.1.3.cmml">2</mn><mo id="Ch0.Ex13.m1.5.5.1.1.1.2" xref="Ch0.Ex13.m1.5.5.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="Ch0.Ex13.m1.5.5.1.1.1.4" xref="Ch0.Ex13.m1.5.5.1.1.1.4.cmml">p</mi><mo id="Ch0.Ex13.m1.5.5.1.1.1.2a" xref="Ch0.Ex13.m1.5.5.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="Ch0.Ex13.m1.5.5.1.1.1.1.1" xref="Ch0.Ex13.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="Ch0.Ex13.m1.5.5.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="Ch0.Ex13.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="Ch0.Ex13.m1.5.5.1.1.1.1.1.1" xref="Ch0.Ex13.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="Ch0.Ex13.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2" xref="Ch0.Ex13.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.cmml">n</mi><mo id="Ch0.Ex13.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1" xref="Ch0.Ex13.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mi id="Ch0.Ex13.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3" xref="Ch0.Ex13.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.cmml">p</mi></mrow><mo id="Ch0.Ex13.m1.5.5.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="Ch0.Ex13.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="Ch0.Ex13.m1.6.6.2.3" rspace="0.889em" xref="Ch0.Ex13.m1.6.6.3a.cmml">,</mo><mrow id="Ch0.Ex13.m1.6.6.2.2" xref="Ch0.Ex13.m1.6.6.2.2.cmml"><mrow id="Ch0.Ex13.m1.6.6.2.2.3" xref="Ch0.Ex13.m1.6.6.2.2.3.cmml"><mo id="Ch0.Ex13.m1.6.6.2.2.3.1" rspace="0.167em" xref="Ch0.Ex13.m1.6.6.2.2.3.1.cmml">dim</mo><msub id="Ch0.Ex13.m1.6.6.2.2.3.2" xref="Ch0.Ex13.m1.6.6.2.2.3.2.cmml"><mi id="Ch0.Ex13.m1.6.6.2.2.3.2.2" xref="Ch0.Ex13.m1.6.6.2.2.3.2.2.cmml">𝔤</mi><mrow id="Ch0.Ex13.m1.4.4.2.4" xref="Ch0.Ex13.m1.4.4.2.3.cmml"><mo id="Ch0.Ex13.m1.4.4.2.4.1" stretchy="false" xref="Ch0.Ex13.m1.4.4.2.3.cmml">(</mo><mn id="Ch0.Ex13.m1.3.3.1.1" xref="Ch0.Ex13.m1.3.3.1.1.cmml">1</mn><mo id="Ch0.Ex13.m1.4.4.2.4.2" xref="Ch0.Ex13.m1.4.4.2.3.cmml">,</mo><mn id="Ch0.Ex13.m1.4.4.2.2" xref="Ch0.Ex13.m1.4.4.2.2.cmml">0</mn><mo id="Ch0.Ex13.m1.4.4.2.4.3" stretchy="false" xref="Ch0.Ex13.m1.4.4.2.3.cmml">)</mo></mrow></msub></mrow><mo id="Ch0.Ex13.m1.6.6.2.2.2" xref="Ch0.Ex13.m1.6.6.2.2.2.cmml">=</mo><mrow id="Ch0.Ex13.m1.6.6.2.2.1" xref="Ch0.Ex13.m1.6.6.2.2.1.cmml"><mn id="Ch0.Ex13.m1.6.6.2.2.1.3" xref="Ch0.Ex13.m1.6.6.2.2.1.3.cmml">2</mn><mo id="Ch0.Ex13.m1.6.6.2.2.1.2" xref="Ch0.Ex13.m1.6.6.2.2.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="Ch0.Ex13.m1.6.6.2.2.1.4" xref="Ch0.Ex13.m1.6.6.2.2.1.4.cmml">p</mi><mo id="Ch0.Ex13.m1.6.6.2.2.1.2a" xref="Ch0.Ex13.m1.6.6.2.2.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="Ch0.Ex13.m1.6.6.2.2.1.1.1" xref="Ch0.Ex13.m1.6.6.2.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="Ch0.Ex13.m1.6.6.2.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="Ch0.Ex13.m1.6.6.2.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="Ch0.Ex13.m1.6.6.2.2.1.1.1.1" xref="Ch0.Ex13.m1.6.6.2.2.1.1.1.1.cmml"><mi id="Ch0.Ex13.m1.6.6.2.2.1.1.1.1.2" xref="Ch0.Ex13.m1.6.6.2.2.1.1.1.1.2.cmml">n</mi><mo id="Ch0.Ex13.m1.6.6.2.2.1.1.1.1.1" xref="Ch0.Ex13.m1.6.6.2.2.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mi id="Ch0.Ex13.m1.6.6.2.2.1.1.1.1.3" xref="Ch0.Ex13.m1.6.6.2.2.1.1.1.1.3.cmml">p</mi></mrow><mo id="Ch0.Ex13.m1.6.6.2.2.1.1.1.3" stretchy="false" xref="Ch0.Ex13.m1.6.6.2.2.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Ch0.Ex13.m1.6b"><apply id="Ch0.Ex13.m1.6.6.3.cmml" xref="Ch0.Ex13.m1.6.6.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.Ex13.m1.6.6.3a.cmml" xref="Ch0.Ex13.m1.6.6.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="Ch0.Ex13.m1.5.5.1.1.cmml" xref="Ch0.Ex13.m1.5.5.1.1"><eq id="Ch0.Ex13.m1.5.5.1.1.2.cmml" xref="Ch0.Ex13.m1.5.5.1.1.2"></eq><apply id="Ch0.Ex13.m1.5.5.1.1.3.cmml" xref="Ch0.Ex13.m1.5.5.1.1.3"><csymbol cd="latexml" id="Ch0.Ex13.m1.5.5.1.1.3.1.cmml" xref="Ch0.Ex13.m1.5.5.1.1.3.1">dimension</csymbol><apply id="Ch0.Ex13.m1.5.5.1.1.3.2.cmml" xref="Ch0.Ex13.m1.5.5.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.Ex13.m1.5.5.1.1.3.2.1.cmml" 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roman_dim fraktur_g start_POSTSUBSCRIPT ( 1 , 0 ) end_POSTSUBSCRIPT = 2 italic_p ( italic_n - italic_p )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="Ch0.Ex14"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\dim\mathfrak{g}_{(1,1)}=p(p-1)+(n-p)(n-p-1)," class="ltx_Math" display="inline" id="Ch0.Ex14.m1.3"><semantics id="Ch0.Ex14.m1.3a"><mrow id="Ch0.Ex14.m1.3.3.1" xref="Ch0.Ex14.m1.3.3.1.1.cmml"><mrow id="Ch0.Ex14.m1.3.3.1.1" xref="Ch0.Ex14.m1.3.3.1.1.cmml"><mrow id="Ch0.Ex14.m1.3.3.1.1.5" xref="Ch0.Ex14.m1.3.3.1.1.5.cmml"><mo id="Ch0.Ex14.m1.3.3.1.1.5.1" rspace="0.167em" xref="Ch0.Ex14.m1.3.3.1.1.5.1.cmml">dim</mo><msub id="Ch0.Ex14.m1.3.3.1.1.5.2" xref="Ch0.Ex14.m1.3.3.1.1.5.2.cmml"><mi id="Ch0.Ex14.m1.3.3.1.1.5.2.2" xref="Ch0.Ex14.m1.3.3.1.1.5.2.2.cmml">𝔤</mi><mrow 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xref="Ch0.Ex14.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.2.cmml">n</mi><mo id="Ch0.Ex14.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.1" xref="Ch0.Ex14.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.1.cmml">−</mo><mi id="Ch0.Ex14.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.3" xref="Ch0.Ex14.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.3.cmml">p</mi></mrow><mo id="Ch0.Ex14.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="Ch0.Ex14.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="Ch0.Ex14.m1.3.3.1.1.3.3.3" xref="Ch0.Ex14.m1.3.3.1.1.3.3.3.cmml">⁢</mo><mrow id="Ch0.Ex14.m1.3.3.1.1.3.3.2.1" xref="Ch0.Ex14.m1.3.3.1.1.3.3.2.1.1.cmml"><mo id="Ch0.Ex14.m1.3.3.1.1.3.3.2.1.2" stretchy="false" xref="Ch0.Ex14.m1.3.3.1.1.3.3.2.1.1.cmml">(</mo><mrow id="Ch0.Ex14.m1.3.3.1.1.3.3.2.1.1" xref="Ch0.Ex14.m1.3.3.1.1.3.3.2.1.1.cmml"><mi id="Ch0.Ex14.m1.3.3.1.1.3.3.2.1.1.2" xref="Ch0.Ex14.m1.3.3.1.1.3.3.2.1.1.2.cmml">n</mi><mo id="Ch0.Ex14.m1.3.3.1.1.3.3.2.1.1.1" xref="Ch0.Ex14.m1.3.3.1.1.3.3.2.1.1.1.cmml">−</mo><mi id="Ch0.Ex14.m1.3.3.1.1.3.3.2.1.1.3" xref="Ch0.Ex14.m1.3.3.1.1.3.3.2.1.1.3.cmml">p</mi><mo 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id="Ch0.Ex14.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="Ch0.Ex14.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3">1</cn></apply></apply><apply id="Ch0.Ex14.m1.3.3.1.1.3.3.cmml" xref="Ch0.Ex14.m1.3.3.1.1.3.3"><times id="Ch0.Ex14.m1.3.3.1.1.3.3.3.cmml" xref="Ch0.Ex14.m1.3.3.1.1.3.3.3"></times><apply id="Ch0.Ex14.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.cmml" xref="Ch0.Ex14.m1.3.3.1.1.2.2.1.1"><minus id="Ch0.Ex14.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="Ch0.Ex14.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.1"></minus><ci id="Ch0.Ex14.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="Ch0.Ex14.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.2">𝑛</ci><ci id="Ch0.Ex14.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="Ch0.Ex14.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.3">𝑝</ci></apply><apply id="Ch0.Ex14.m1.3.3.1.1.3.3.2.1.1.cmml" xref="Ch0.Ex14.m1.3.3.1.1.3.3.2.1"><minus id="Ch0.Ex14.m1.3.3.1.1.3.3.2.1.1.1.cmml" xref="Ch0.Ex14.m1.3.3.1.1.3.3.2.1.1.1"></minus><ci id="Ch0.Ex14.m1.3.3.1.1.3.3.2.1.1.2.cmml" xref="Ch0.Ex14.m1.3.3.1.1.3.3.2.1.1.2">𝑛</ci><ci id="Ch0.Ex14.m1.3.3.1.1.3.3.2.1.1.3.cmml" xref="Ch0.Ex14.m1.3.3.1.1.3.3.2.1.1.3">𝑝</ci><cn id="Ch0.Ex14.m1.3.3.1.1.3.3.2.1.1.4.cmml" type="integer" xref="Ch0.Ex14.m1.3.3.1.1.3.3.2.1.1.4">1</cn></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Ch0.Ex14.m1.3c">\displaystyle\dim\mathfrak{g}_{(1,1)}=p(p-1)+(n-p)(n-p-1),</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Ch0.Ex14.m1.3d">roman_dim fraktur_g start_POSTSUBSCRIPT ( 1 , 1 ) end_POSTSUBSCRIPT = italic_p ( italic_p - 1 ) + ( italic_n - italic_p ) ( italic_n - italic_p - 1 ) ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="Ch0.S3.p8.10">and obviously <math alttext="\dim\mathfrak{so}_{p}(2n)=\dim\mathfrak{so}(2n)" class="ltx_Math" display="inline" id="Ch0.S3.p8.10.m1.2"><semantics id="Ch0.S3.p8.10.m1.2a"><mrow id="Ch0.S3.p8.10.m1.2.2" xref="Ch0.S3.p8.10.m1.2.2.cmml"><mrow id="Ch0.S3.p8.10.m1.1.1.1" xref="Ch0.S3.p8.10.m1.1.1.1.cmml"><mo id="Ch0.S3.p8.10.m1.1.1.1.2" rspace="0.167em" xref="Ch0.S3.p8.10.m1.1.1.1.2.cmml">dim</mo><mrow id="Ch0.S3.p8.10.m1.1.1.1.1" xref="Ch0.S3.p8.10.m1.1.1.1.1.cmml"><mi id="Ch0.S3.p8.10.m1.1.1.1.1.3" xref="Ch0.S3.p8.10.m1.1.1.1.1.3.cmml">𝔰</mi><mo id="Ch0.S3.p8.10.m1.1.1.1.1.2" xref="Ch0.S3.p8.10.m1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="Ch0.S3.p8.10.m1.1.1.1.1.4" xref="Ch0.S3.p8.10.m1.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="Ch0.S3.p8.10.m1.1.1.1.1.4.2" xref="Ch0.S3.p8.10.m1.1.1.1.1.4.2.cmml">𝔬</mi><mi id="Ch0.S3.p8.10.m1.1.1.1.1.4.3" xref="Ch0.S3.p8.10.m1.1.1.1.1.4.3.cmml">p</mi></msub><mo id="Ch0.S3.p8.10.m1.1.1.1.1.2a" xref="Ch0.S3.p8.10.m1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="Ch0.S3.p8.10.m1.1.1.1.1.1.1" xref="Ch0.S3.p8.10.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="Ch0.S3.p8.10.m1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="Ch0.S3.p8.10.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="Ch0.S3.p8.10.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="Ch0.S3.p8.10.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="Ch0.S3.p8.10.m1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="Ch0.S3.p8.10.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">2</mn><mo id="Ch0.S3.p8.10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="Ch0.S3.p8.10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="Ch0.S3.p8.10.m1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="Ch0.S3.p8.10.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">n</mi></mrow><mo id="Ch0.S3.p8.10.m1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="Ch0.S3.p8.10.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="Ch0.S3.p8.10.m1.2.2.3" rspace="0.1389em" xref="Ch0.S3.p8.10.m1.2.2.3.cmml">=</mo><mrow id="Ch0.S3.p8.10.m1.2.2.2" xref="Ch0.S3.p8.10.m1.2.2.2.cmml"><mo id="Ch0.S3.p8.10.m1.2.2.2.2" lspace="0.1389em" rspace="0.167em" xref="Ch0.S3.p8.10.m1.2.2.2.2.cmml">dim</mo><mrow id="Ch0.S3.p8.10.m1.2.2.2.1" xref="Ch0.S3.p8.10.m1.2.2.2.1.cmml"><mi id="Ch0.S3.p8.10.m1.2.2.2.1.3" xref="Ch0.S3.p8.10.m1.2.2.2.1.3.cmml">𝔰</mi><mo id="Ch0.S3.p8.10.m1.2.2.2.1.2" xref="Ch0.S3.p8.10.m1.2.2.2.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="Ch0.S3.p8.10.m1.2.2.2.1.4" xref="Ch0.S3.p8.10.m1.2.2.2.1.4.cmml">𝔬</mi><mo id="Ch0.S3.p8.10.m1.2.2.2.1.2a" xref="Ch0.S3.p8.10.m1.2.2.2.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="Ch0.S3.p8.10.m1.2.2.2.1.1.1" xref="Ch0.S3.p8.10.m1.2.2.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="Ch0.S3.p8.10.m1.2.2.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="Ch0.S3.p8.10.m1.2.2.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="Ch0.S3.p8.10.m1.2.2.2.1.1.1.1" xref="Ch0.S3.p8.10.m1.2.2.2.1.1.1.1.cmml"><mn id="Ch0.S3.p8.10.m1.2.2.2.1.1.1.1.2" xref="Ch0.S3.p8.10.m1.2.2.2.1.1.1.1.2.cmml">2</mn><mo id="Ch0.S3.p8.10.m1.2.2.2.1.1.1.1.1" xref="Ch0.S3.p8.10.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="Ch0.S3.p8.10.m1.2.2.2.1.1.1.1.3" xref="Ch0.S3.p8.10.m1.2.2.2.1.1.1.1.3.cmml">n</mi></mrow><mo id="Ch0.S3.p8.10.m1.2.2.2.1.1.1.3" stretchy="false" xref="Ch0.S3.p8.10.m1.2.2.2.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Ch0.S3.p8.10.m1.2b"><apply id="Ch0.S3.p8.10.m1.2.2.cmml" xref="Ch0.S3.p8.10.m1.2.2"><eq id="Ch0.S3.p8.10.m1.2.2.3.cmml" xref="Ch0.S3.p8.10.m1.2.2.3"></eq><apply id="Ch0.S3.p8.10.m1.1.1.1.cmml" xref="Ch0.S3.p8.10.m1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="Ch0.S3.p8.10.m1.1.1.1.2.cmml" xref="Ch0.S3.p8.10.m1.1.1.1.2">dimension</csymbol><apply id="Ch0.S3.p8.10.m1.1.1.1.1.cmml" xref="Ch0.S3.p8.10.m1.1.1.1.1"><times id="Ch0.S3.p8.10.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="Ch0.S3.p8.10.m1.1.1.1.1.2"></times><ci id="Ch0.S3.p8.10.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="Ch0.S3.p8.10.m1.1.1.1.1.3">𝔰</ci><apply id="Ch0.S3.p8.10.m1.1.1.1.1.4.cmml" xref="Ch0.S3.p8.10.m1.1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.S3.p8.10.m1.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="Ch0.S3.p8.10.m1.1.1.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="Ch0.S3.p8.10.m1.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="Ch0.S3.p8.10.m1.1.1.1.1.4.2">𝔬</ci><ci id="Ch0.S3.p8.10.m1.1.1.1.1.4.3.cmml" xref="Ch0.S3.p8.10.m1.1.1.1.1.4.3">𝑝</ci></apply><apply id="Ch0.S3.p8.10.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="Ch0.S3.p8.10.m1.1.1.1.1.1.1"><times id="Ch0.S3.p8.10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="Ch0.S3.p8.10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1"></times><cn id="Ch0.S3.p8.10.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="Ch0.S3.p8.10.m1.1.1.1.1.1.1.1.2">2</cn><ci id="Ch0.S3.p8.10.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="Ch0.S3.p8.10.m1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑛</ci></apply></apply></apply><apply id="Ch0.S3.p8.10.m1.2.2.2.cmml" xref="Ch0.S3.p8.10.m1.2.2.2"><csymbol cd="latexml" id="Ch0.S3.p8.10.m1.2.2.2.2.cmml" xref="Ch0.S3.p8.10.m1.2.2.2.2">dimension</csymbol><apply id="Ch0.S3.p8.10.m1.2.2.2.1.cmml" xref="Ch0.S3.p8.10.m1.2.2.2.1"><times id="Ch0.S3.p8.10.m1.2.2.2.1.2.cmml" xref="Ch0.S3.p8.10.m1.2.2.2.1.2"></times><ci id="Ch0.S3.p8.10.m1.2.2.2.1.3.cmml" xref="Ch0.S3.p8.10.m1.2.2.2.1.3">𝔰</ci><ci id="Ch0.S3.p8.10.m1.2.2.2.1.4.cmml" xref="Ch0.S3.p8.10.m1.2.2.2.1.4">𝔬</ci><apply id="Ch0.S3.p8.10.m1.2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="Ch0.S3.p8.10.m1.2.2.2.1.1.1"><times id="Ch0.S3.p8.10.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="Ch0.S3.p8.10.m1.2.2.2.1.1.1.1.1"></times><cn id="Ch0.S3.p8.10.m1.2.2.2.1.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="Ch0.S3.p8.10.m1.2.2.2.1.1.1.1.2">2</cn><ci id="Ch0.S3.p8.10.m1.2.2.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="Ch0.S3.p8.10.m1.2.2.2.1.1.1.1.3">𝑛</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Ch0.S3.p8.10.m1.2c">\dim\mathfrak{so}_{p}(2n)=\dim\mathfrak{so}(2n)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Ch0.S3.p8.10.m1.2d">roman_dim fraktur_s fraktur_o start_POSTSUBSCRIPT italic_p end_POSTSUBSCRIPT ( 2 italic_n ) = roman_dim fraktur_s fraktur_o ( 2 italic_n )</annotation></semantics></math>.</p> </div> <div class="ltx_para" id="Ch0.S3.p9"> <p class="ltx_p" id="Ch0.S3.p9.3">There is a similar characterization as before. One can check that <math alttext="\mathfrak{so}_{p}(2n)" class="ltx_Math" display="inline" id="Ch0.S3.p9.1.m1.1"><semantics id="Ch0.S3.p9.1.m1.1a"><mrow id="Ch0.S3.p9.1.m1.1.1" xref="Ch0.S3.p9.1.m1.1.1.cmml"><mi id="Ch0.S3.p9.1.m1.1.1.3" xref="Ch0.S3.p9.1.m1.1.1.3.cmml">𝔰</mi><mo id="Ch0.S3.p9.1.m1.1.1.2" xref="Ch0.S3.p9.1.m1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="Ch0.S3.p9.1.m1.1.1.4" xref="Ch0.S3.p9.1.m1.1.1.4.cmml"><mi id="Ch0.S3.p9.1.m1.1.1.4.2" xref="Ch0.S3.p9.1.m1.1.1.4.2.cmml">𝔬</mi><mi id="Ch0.S3.p9.1.m1.1.1.4.3" xref="Ch0.S3.p9.1.m1.1.1.4.3.cmml">p</mi></msub><mo id="Ch0.S3.p9.1.m1.1.1.2a" xref="Ch0.S3.p9.1.m1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="Ch0.S3.p9.1.m1.1.1.1.1" xref="Ch0.S3.p9.1.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="Ch0.S3.p9.1.m1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="Ch0.S3.p9.1.m1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="Ch0.S3.p9.1.m1.1.1.1.1.1" xref="Ch0.S3.p9.1.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="Ch0.S3.p9.1.m1.1.1.1.1.1.2" xref="Ch0.S3.p9.1.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">2</mn><mo id="Ch0.S3.p9.1.m1.1.1.1.1.1.1" xref="Ch0.S3.p9.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="Ch0.S3.p9.1.m1.1.1.1.1.1.3" xref="Ch0.S3.p9.1.m1.1.1.1.1.1.3.cmml">n</mi></mrow><mo id="Ch0.S3.p9.1.m1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="Ch0.S3.p9.1.m1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Ch0.S3.p9.1.m1.1b"><apply id="Ch0.S3.p9.1.m1.1.1.cmml" xref="Ch0.S3.p9.1.m1.1.1"><times id="Ch0.S3.p9.1.m1.1.1.2.cmml" xref="Ch0.S3.p9.1.m1.1.1.2"></times><ci id="Ch0.S3.p9.1.m1.1.1.3.cmml" xref="Ch0.S3.p9.1.m1.1.1.3">𝔰</ci><apply id="Ch0.S3.p9.1.m1.1.1.4.cmml" xref="Ch0.S3.p9.1.m1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.S3.p9.1.m1.1.1.4.1.cmml" xref="Ch0.S3.p9.1.m1.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="Ch0.S3.p9.1.m1.1.1.4.2.cmml" xref="Ch0.S3.p9.1.m1.1.1.4.2">𝔬</ci><ci id="Ch0.S3.p9.1.m1.1.1.4.3.cmml" xref="Ch0.S3.p9.1.m1.1.1.4.3">𝑝</ci></apply><apply id="Ch0.S3.p9.1.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="Ch0.S3.p9.1.m1.1.1.1.1"><times id="Ch0.S3.p9.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="Ch0.S3.p9.1.m1.1.1.1.1.1.1"></times><cn id="Ch0.S3.p9.1.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="Ch0.S3.p9.1.m1.1.1.1.1.1.2">2</cn><ci id="Ch0.S3.p9.1.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="Ch0.S3.p9.1.m1.1.1.1.1.1.3">𝑛</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Ch0.S3.p9.1.m1.1c">\mathfrak{so}_{p}(2n)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Ch0.S3.p9.1.m1.1d">fraktur_s fraktur_o start_POSTSUBSCRIPT italic_p end_POSTSUBSCRIPT ( 2 italic_n )</annotation></semantics></math> consists of all matrices <math alttext="A" class="ltx_Math" display="inline" id="Ch0.S3.p9.2.m2.1"><semantics id="Ch0.S3.p9.2.m2.1a"><mi id="Ch0.S3.p9.2.m2.1.1" xref="Ch0.S3.p9.2.m2.1.1.cmml">A</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Ch0.S3.p9.2.m2.1b"><ci id="Ch0.S3.p9.2.m2.1.1.cmml" xref="Ch0.S3.p9.2.m2.1.1">𝐴</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Ch0.S3.p9.2.m2.1c">A</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Ch0.S3.p9.2.m2.1d">italic_A</annotation></semantics></math> of <math alttext="\mathfrak{sl}_{p,n-p,n-p,p}(2n)" class="ltx_Math" display="inline" id="Ch0.S3.p9.3.m3.5"><semantics id="Ch0.S3.p9.3.m3.5a"><mrow id="Ch0.S3.p9.3.m3.5.5" xref="Ch0.S3.p9.3.m3.5.5.cmml"><mi id="Ch0.S3.p9.3.m3.5.5.3" xref="Ch0.S3.p9.3.m3.5.5.3.cmml">𝔰</mi><mo id="Ch0.S3.p9.3.m3.5.5.2" xref="Ch0.S3.p9.3.m3.5.5.2.cmml">⁢</mo><msub id="Ch0.S3.p9.3.m3.5.5.4" xref="Ch0.S3.p9.3.m3.5.5.4.cmml"><mi id="Ch0.S3.p9.3.m3.5.5.4.2" xref="Ch0.S3.p9.3.m3.5.5.4.2.cmml">𝔩</mi><mrow id="Ch0.S3.p9.3.m3.4.4.4.4" xref="Ch0.S3.p9.3.m3.4.4.4.5.cmml"><mi id="Ch0.S3.p9.3.m3.1.1.1.1" xref="Ch0.S3.p9.3.m3.1.1.1.1.cmml">p</mi><mo id="Ch0.S3.p9.3.m3.4.4.4.4.3" xref="Ch0.S3.p9.3.m3.4.4.4.5.cmml">,</mo><mrow id="Ch0.S3.p9.3.m3.3.3.3.3.1" xref="Ch0.S3.p9.3.m3.3.3.3.3.1.cmml"><mi id="Ch0.S3.p9.3.m3.3.3.3.3.1.2" xref="Ch0.S3.p9.3.m3.3.3.3.3.1.2.cmml">n</mi><mo id="Ch0.S3.p9.3.m3.3.3.3.3.1.1" xref="Ch0.S3.p9.3.m3.3.3.3.3.1.1.cmml">−</mo><mi id="Ch0.S3.p9.3.m3.3.3.3.3.1.3" xref="Ch0.S3.p9.3.m3.3.3.3.3.1.3.cmml">p</mi></mrow><mo id="Ch0.S3.p9.3.m3.4.4.4.4.4" xref="Ch0.S3.p9.3.m3.4.4.4.5.cmml">,</mo><mrow id="Ch0.S3.p9.3.m3.4.4.4.4.2" xref="Ch0.S3.p9.3.m3.4.4.4.4.2.cmml"><mi id="Ch0.S3.p9.3.m3.4.4.4.4.2.2" xref="Ch0.S3.p9.3.m3.4.4.4.4.2.2.cmml">n</mi><mo id="Ch0.S3.p9.3.m3.4.4.4.4.2.1" xref="Ch0.S3.p9.3.m3.4.4.4.4.2.1.cmml">−</mo><mi id="Ch0.S3.p9.3.m3.4.4.4.4.2.3" xref="Ch0.S3.p9.3.m3.4.4.4.4.2.3.cmml">p</mi></mrow><mo id="Ch0.S3.p9.3.m3.4.4.4.4.5" xref="Ch0.S3.p9.3.m3.4.4.4.5.cmml">,</mo><mi id="Ch0.S3.p9.3.m3.2.2.2.2" xref="Ch0.S3.p9.3.m3.2.2.2.2.cmml">p</mi></mrow></msub><mo id="Ch0.S3.p9.3.m3.5.5.2a" xref="Ch0.S3.p9.3.m3.5.5.2.cmml">⁢</mo><mrow id="Ch0.S3.p9.3.m3.5.5.1.1" xref="Ch0.S3.p9.3.m3.5.5.1.1.1.cmml"><mo id="Ch0.S3.p9.3.m3.5.5.1.1.2" stretchy="false" xref="Ch0.S3.p9.3.m3.5.5.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="Ch0.S3.p9.3.m3.5.5.1.1.1" xref="Ch0.S3.p9.3.m3.5.5.1.1.1.cmml"><mn id="Ch0.S3.p9.3.m3.5.5.1.1.1.2" 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id="Ch0.S3.p9.3.m3.3.3.3.3.1.cmml" xref="Ch0.S3.p9.3.m3.3.3.3.3.1"><minus id="Ch0.S3.p9.3.m3.3.3.3.3.1.1.cmml" xref="Ch0.S3.p9.3.m3.3.3.3.3.1.1"></minus><ci id="Ch0.S3.p9.3.m3.3.3.3.3.1.2.cmml" xref="Ch0.S3.p9.3.m3.3.3.3.3.1.2">𝑛</ci><ci id="Ch0.S3.p9.3.m3.3.3.3.3.1.3.cmml" xref="Ch0.S3.p9.3.m3.3.3.3.3.1.3">𝑝</ci></apply><apply id="Ch0.S3.p9.3.m3.4.4.4.4.2.cmml" xref="Ch0.S3.p9.3.m3.4.4.4.4.2"><minus id="Ch0.S3.p9.3.m3.4.4.4.4.2.1.cmml" xref="Ch0.S3.p9.3.m3.4.4.4.4.2.1"></minus><ci id="Ch0.S3.p9.3.m3.4.4.4.4.2.2.cmml" xref="Ch0.S3.p9.3.m3.4.4.4.4.2.2">𝑛</ci><ci id="Ch0.S3.p9.3.m3.4.4.4.4.2.3.cmml" xref="Ch0.S3.p9.3.m3.4.4.4.4.2.3">𝑝</ci></apply><ci id="Ch0.S3.p9.3.m3.2.2.2.2.cmml" xref="Ch0.S3.p9.3.m3.2.2.2.2">𝑝</ci></list></apply><apply id="Ch0.S3.p9.3.m3.5.5.1.1.1.cmml" xref="Ch0.S3.p9.3.m3.5.5.1.1"><times id="Ch0.S3.p9.3.m3.5.5.1.1.1.1.cmml" xref="Ch0.S3.p9.3.m3.5.5.1.1.1.1"></times><cn id="Ch0.S3.p9.3.m3.5.5.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="Ch0.S3.p9.3.m3.5.5.1.1.1.2">2</cn><ci id="Ch0.S3.p9.3.m3.5.5.1.1.1.3.cmml" xref="Ch0.S3.p9.3.m3.5.5.1.1.1.3">𝑛</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Ch0.S3.p9.3.m3.5c">\mathfrak{sl}_{p,n-p,n-p,p}(2n)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Ch0.S3.p9.3.m3.5d">fraktur_s fraktur_l start_POSTSUBSCRIPT italic_p , italic_n - italic_p , italic_n - italic_p , italic_p end_POSTSUBSCRIPT ( 2 italic_n )</annotation></semantics></math> that satisfy</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="Ch0.E22"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="A^{T}K+KA=0" class="ltx_Math" display="block" id="Ch0.E22.m1.1"><semantics id="Ch0.E22.m1.1a"><mrow id="Ch0.E22.m1.1.1" xref="Ch0.E22.m1.1.1.cmml"><mrow id="Ch0.E22.m1.1.1.2" xref="Ch0.E22.m1.1.1.2.cmml"><mrow id="Ch0.E22.m1.1.1.2.2" xref="Ch0.E22.m1.1.1.2.2.cmml"><msup id="Ch0.E22.m1.1.1.2.2.2" 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id="Ch0.E22.m1.1.1.2.cmml" xref="Ch0.E22.m1.1.1.2"><plus id="Ch0.E22.m1.1.1.2.1.cmml" xref="Ch0.E22.m1.1.1.2.1"></plus><apply id="Ch0.E22.m1.1.1.2.2.cmml" xref="Ch0.E22.m1.1.1.2.2"><times id="Ch0.E22.m1.1.1.2.2.1.cmml" xref="Ch0.E22.m1.1.1.2.2.1"></times><apply id="Ch0.E22.m1.1.1.2.2.2.cmml" xref="Ch0.E22.m1.1.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.E22.m1.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="Ch0.E22.m1.1.1.2.2.2">superscript</csymbol><ci id="Ch0.E22.m1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="Ch0.E22.m1.1.1.2.2.2.2">𝐴</ci><ci id="Ch0.E22.m1.1.1.2.2.2.3.cmml" xref="Ch0.E22.m1.1.1.2.2.2.3">𝑇</ci></apply><ci id="Ch0.E22.m1.1.1.2.2.3.cmml" xref="Ch0.E22.m1.1.1.2.2.3">𝐾</ci></apply><apply id="Ch0.E22.m1.1.1.2.3.cmml" xref="Ch0.E22.m1.1.1.2.3"><times id="Ch0.E22.m1.1.1.2.3.1.cmml" xref="Ch0.E22.m1.1.1.2.3.1"></times><ci id="Ch0.E22.m1.1.1.2.3.2.cmml" xref="Ch0.E22.m1.1.1.2.3.2">𝐾</ci><ci id="Ch0.E22.m1.1.1.2.3.3.cmml" xref="Ch0.E22.m1.1.1.2.3.3">𝐴</ci></apply></apply><cn id="Ch0.E22.m1.1.1.3.cmml" type="integer" 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0&-I&0&0\end{array}\right)&{\begin{array}[]{c}p\\[2.84526pt] n-p\\[2.84526pt] p\\[2.84526pt] n-p\end{array}}\end{array}." class="ltx_Math" display="block" id="Ch0.E23.m1.2"><semantics id="Ch0.E23.m1.2a"><mrow id="Ch0.E23.m1.2.2.1" xref="Ch0.E23.m1.2.2.1.1.cmml"><mrow id="Ch0.E23.m1.2.2.1.1" xref="Ch0.E23.m1.2.2.1.1.cmml"><mi id="Ch0.E23.m1.2.2.1.1.2" xref="Ch0.E23.m1.2.2.1.1.2.cmml">K</mi><mo id="Ch0.E23.m1.2.2.1.1.1" xref="Ch0.E23.m1.2.2.1.1.1.cmml">=</mo><mtable columnspacing="5pt" displaystyle="true" id="Ch0.E23.m1.1.1" xref="Ch0.E23.m1.1.1.cmml"><mtr id="Ch0.E23.m1.1.1a" xref="Ch0.E23.m1.1.1.cmml"><mtd id="Ch0.E23.m1.1.1b" xref="Ch0.E23.m1.1.1.cmml"><mrow id="Ch0.E23.m1.1.1.1.1.1.3" xref="Ch0.E23.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="Ch0.E23.m1.1.1.1.1.1.3.1" xref="Ch0.E23.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mtable columnspacing="5pt" displaystyle="true" id="Ch0.E23.m1.1.1.1.1.1.1" rowspacing="0pt" xref="Ch0.E23.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mtr id="Ch0.E23.m1.1.1.1.1.1.1a" xref="Ch0.E23.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mtd id="Ch0.E23.m1.1.1.1.1.1.1b" xref="Ch0.E23.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="Ch0.E23.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="Ch0.E23.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"> 0</mn></mtd><mtd id="Ch0.E23.m1.1.1.1.1.1.1c" xref="Ch0.E23.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="Ch0.E23.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="Ch0.E23.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml"> 0</mn></mtd><mtd id="Ch0.E23.m1.1.1.1.1.1.1d" xref="Ch0.E23.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="Ch0.E23.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="Ch0.E23.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">I</mi></mtd><mtd id="Ch0.E23.m1.1.1.1.1.1.1e" xref="Ch0.E23.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="Ch0.E23.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.1" xref="Ch0.E23.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.1.cmml"> 0</mn></mtd></mtr><mtr id="Ch0.E23.m1.1.1.1.1.1.1f" xref="Ch0.E23.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mtd id="Ch0.E23.m1.1.1.1.1.1.1g" xref="Ch0.E23.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="Ch0.E23.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1" xref="Ch0.E23.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.cmml">0</mn></mtd><mtd id="Ch0.E23.m1.1.1.1.1.1.1h" xref="Ch0.E23.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="Ch0.E23.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1" xref="Ch0.E23.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml">0</mn></mtd><mtd id="Ch0.E23.m1.1.1.1.1.1.1i" xref="Ch0.E23.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="Ch0.E23.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.1" xref="Ch0.E23.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml">0</mn></mtd><mtd id="Ch0.E23.m1.1.1.1.1.1.1j" xref="Ch0.E23.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="Ch0.E23.m1.1.1.1.1.1.1.2.4.1" xref="Ch0.E23.m1.1.1.1.1.1.1.2.4.1.cmml">I</mi></mtd></mtr><mtr id="Ch0.E23.m1.1.1.1.1.1.1k" xref="Ch0.E23.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mtd id="Ch0.E23.m1.1.1.1.1.1.1l" xref="Ch0.E23.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="Ch0.E23.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1" xref="Ch0.E23.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.cmml"><merror class="ltx_ERROR undefined undefined" id="Ch0.E23.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.2" xref="Ch0.E23.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.2b.cmml"><mtext id="Ch0.E23.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.2a" xref="Ch0.E23.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.2b.cmml">\hdashline</mtext></merror><mo id="Ch0.E23.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1" xref="Ch0.E23.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="Ch0.E23.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.3" xref="Ch0.E23.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.3.cmml">I</mi></mrow></mtd><mtd id="Ch0.E23.m1.1.1.1.1.1.1m" xref="Ch0.E23.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="Ch0.E23.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1" xref="Ch0.E23.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml">0</mn></mtd><mtd id="Ch0.E23.m1.1.1.1.1.1.1n" xref="Ch0.E23.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="Ch0.E23.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1" xref="Ch0.E23.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">0</mn></mtd><mtd id="Ch0.E23.m1.1.1.1.1.1.1o" xref="Ch0.E23.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="Ch0.E23.m1.1.1.1.1.1.1.3.4.1" xref="Ch0.E23.m1.1.1.1.1.1.1.3.4.1.cmml">0</mn></mtd></mtr><mtr id="Ch0.E23.m1.1.1.1.1.1.1p" xref="Ch0.E23.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mtd id="Ch0.E23.m1.1.1.1.1.1.1q" xref="Ch0.E23.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="Ch0.E23.m1.1.1.1.1.1.1.4.1.1" xref="Ch0.E23.m1.1.1.1.1.1.1.4.1.1.cmml">0</mn></mtd><mtd id="Ch0.E23.m1.1.1.1.1.1.1r" xref="Ch0.E23.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="Ch0.E23.m1.1.1.1.1.1.1.4.2.1" xref="Ch0.E23.m1.1.1.1.1.1.1.4.2.1.cmml"><mo id="Ch0.E23.m1.1.1.1.1.1.1.4.2.1a" xref="Ch0.E23.m1.1.1.1.1.1.1.4.2.1.cmml">−</mo><mi id="Ch0.E23.m1.1.1.1.1.1.1.4.2.1.2" xref="Ch0.E23.m1.1.1.1.1.1.1.4.2.1.2.cmml">I</mi></mrow></mtd><mtd id="Ch0.E23.m1.1.1.1.1.1.1s" xref="Ch0.E23.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="Ch0.E23.m1.1.1.1.1.1.1.4.3.1" xref="Ch0.E23.m1.1.1.1.1.1.1.4.3.1.cmml">0</mn></mtd><mtd id="Ch0.E23.m1.1.1.1.1.1.1t" xref="Ch0.E23.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="Ch0.E23.m1.1.1.1.1.1.1.4.4.1" xref="Ch0.E23.m1.1.1.1.1.1.1.4.4.1.cmml">0</mn></mtd></mtr></mtable><mo id="Ch0.E23.m1.1.1.1.1.1.3.2" xref="Ch0.E23.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mtd><mtd id="Ch0.E23.m1.1.1c" xref="Ch0.E23.m1.1.1.cmml"><mtable displaystyle="true" id="Ch0.E23.m1.1.1.1.2.1" rowspacing="0pt" xref="Ch0.E23.m1.1.1.1.2.1.cmml"><mtr id="Ch0.E23.m1.1.1.1.2.1a" xref="Ch0.E23.m1.1.1.1.2.1.cmml"><mtd id="Ch0.E23.m1.1.1.1.2.1b" xref="Ch0.E23.m1.1.1.1.2.1.cmml"><mi id="Ch0.E23.m1.1.1.1.2.1.1.1.1" xref="Ch0.E23.m1.1.1.1.2.1.1.1.1.cmml">p</mi></mtd></mtr><mtr id="Ch0.E23.m1.1.1.1.2.1c" xref="Ch0.E23.m1.1.1.1.2.1.cmml"><mtd id="Ch0.E23.m1.1.1.1.2.1d" xref="Ch0.E23.m1.1.1.1.2.1.cmml"><mrow id="Ch0.E23.m1.1.1.1.2.1.2.1.1" xref="Ch0.E23.m1.1.1.1.2.1.2.1.1.cmml"><mi id="Ch0.E23.m1.1.1.1.2.1.2.1.1.2" xref="Ch0.E23.m1.1.1.1.2.1.2.1.1.2.cmml">n</mi><mo id="Ch0.E23.m1.1.1.1.2.1.2.1.1.1" xref="Ch0.E23.m1.1.1.1.2.1.2.1.1.1.cmml">−</mo><mi id="Ch0.E23.m1.1.1.1.2.1.2.1.1.3" xref="Ch0.E23.m1.1.1.1.2.1.2.1.1.3.cmml">p</mi></mrow></mtd></mtr><mtr id="Ch0.E23.m1.1.1.1.2.1e" xref="Ch0.E23.m1.1.1.1.2.1.cmml"><mtd id="Ch0.E23.m1.1.1.1.2.1f" xref="Ch0.E23.m1.1.1.1.2.1.cmml"><mi id="Ch0.E23.m1.1.1.1.2.1.3.1.1" xref="Ch0.E23.m1.1.1.1.2.1.3.1.1.cmml">p</mi></mtd></mtr><mtr id="Ch0.E23.m1.1.1.1.2.1g" xref="Ch0.E23.m1.1.1.1.2.1.cmml"><mtd id="Ch0.E23.m1.1.1.1.2.1h" xref="Ch0.E23.m1.1.1.1.2.1.cmml"><mrow id="Ch0.E23.m1.1.1.1.2.1.4.1.1" xref="Ch0.E23.m1.1.1.1.2.1.4.1.1.cmml"><mi id="Ch0.E23.m1.1.1.1.2.1.4.1.1.2" xref="Ch0.E23.m1.1.1.1.2.1.4.1.1.2.cmml">n</mi><mo id="Ch0.E23.m1.1.1.1.2.1.4.1.1.1" xref="Ch0.E23.m1.1.1.1.2.1.4.1.1.1.cmml">−</mo><mi id="Ch0.E23.m1.1.1.1.2.1.4.1.1.3" xref="Ch0.E23.m1.1.1.1.2.1.4.1.1.3.cmml">p</mi></mrow></mtd></mtr></mtable></mtd></mtr></mtable></mrow><mo id="Ch0.E23.m1.2.2.1.2" lspace="0.167em" xref="Ch0.E23.m1.2.2.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Ch0.E23.m1.2b"><apply id="Ch0.E23.m1.2.2.1.1.cmml" xref="Ch0.E23.m1.2.2.1"><eq id="Ch0.E23.m1.2.2.1.1.1.cmml" xref="Ch0.E23.m1.2.2.1.1.1"></eq><ci id="Ch0.E23.m1.2.2.1.1.2.cmml" xref="Ch0.E23.m1.2.2.1.1.2">𝐾</ci><matrix id="Ch0.E23.m1.1.1.cmml" xref="Ch0.E23.m1.1.1"><matrixrow id="Ch0.E23.m1.1.1a.cmml" xref="Ch0.E23.m1.1.1"><matrix id="Ch0.E23.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="Ch0.E23.m1.1.1.1.1.1.3"><matrixrow id="Ch0.E23.m1.1.1.1.1.1.1a.cmml" xref="Ch0.E23.m1.1.1.1.1.1.3"><cn id="Ch0.E23.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" type="float" xref="Ch0.E23.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"> 0</cn><cn id="Ch0.E23.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" type="float" xref="Ch0.E23.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.1"> 0</cn><ci id="Ch0.E23.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="Ch0.E23.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.1">𝐼</ci><cn id="Ch0.E23.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.1.cmml" type="float" xref="Ch0.E23.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.1"> 0</cn></matrixrow><matrixrow id="Ch0.E23.m1.1.1.1.1.1.1b.cmml" xref="Ch0.E23.m1.1.1.1.1.1.3"><cn id="Ch0.E23.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.cmml" type="integer" xref="Ch0.E23.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1">0</cn><cn id="Ch0.E23.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" type="integer" xref="Ch0.E23.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1">0</cn><cn id="Ch0.E23.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" type="integer" xref="Ch0.E23.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.1">0</cn><ci id="Ch0.E23.m1.1.1.1.1.1.1.2.4.1.cmml" xref="Ch0.E23.m1.1.1.1.1.1.1.2.4.1">𝐼</ci></matrixrow><matrixrow id="Ch0.E23.m1.1.1.1.1.1.1c.cmml" xref="Ch0.E23.m1.1.1.1.1.1.3"><apply id="Ch0.E23.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.cmml" xref="Ch0.E23.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1"><times id="Ch0.E23.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.cmml" xref="Ch0.E23.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1"></times><ci id="Ch0.E23.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.2b.cmml" xref="Ch0.E23.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.2"><merror class="ltx_ERROR undefined undefined" id="Ch0.E23.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.2.cmml" xref="Ch0.E23.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.2"><mtext id="Ch0.E23.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.2a.cmml" xref="Ch0.E23.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.2">\hdashline</mtext></merror></ci><ci id="Ch0.E23.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.3.cmml" xref="Ch0.E23.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.3">𝐼</ci></apply><cn id="Ch0.E23.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" type="integer" xref="Ch0.E23.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1">0</cn><cn id="Ch0.E23.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" type="integer" xref="Ch0.E23.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1">0</cn><cn id="Ch0.E23.m1.1.1.1.1.1.1.3.4.1.cmml" type="integer" xref="Ch0.E23.m1.1.1.1.1.1.1.3.4.1">0</cn></matrixrow><matrixrow id="Ch0.E23.m1.1.1.1.1.1.1d.cmml" xref="Ch0.E23.m1.1.1.1.1.1.3"><cn id="Ch0.E23.m1.1.1.1.1.1.1.4.1.1.cmml" type="integer" xref="Ch0.E23.m1.1.1.1.1.1.1.4.1.1">0</cn><apply id="Ch0.E23.m1.1.1.1.1.1.1.4.2.1.cmml" xref="Ch0.E23.m1.1.1.1.1.1.1.4.2.1"><minus id="Ch0.E23.m1.1.1.1.1.1.1.4.2.1.1.cmml" xref="Ch0.E23.m1.1.1.1.1.1.1.4.2.1"></minus><ci id="Ch0.E23.m1.1.1.1.1.1.1.4.2.1.2.cmml" xref="Ch0.E23.m1.1.1.1.1.1.1.4.2.1.2">𝐼</ci></apply><cn id="Ch0.E23.m1.1.1.1.1.1.1.4.3.1.cmml" type="integer" xref="Ch0.E23.m1.1.1.1.1.1.1.4.3.1">0</cn><cn id="Ch0.E23.m1.1.1.1.1.1.1.4.4.1.cmml" type="integer" xref="Ch0.E23.m1.1.1.1.1.1.1.4.4.1">0</cn></matrixrow></matrix><matrix id="Ch0.E23.m1.1.1.1.2.1.cmml" xref="Ch0.E23.m1.1.1.1.2.1"><matrixrow id="Ch0.E23.m1.1.1.1.2.1a.cmml" xref="Ch0.E23.m1.1.1.1.2.1"><ci id="Ch0.E23.m1.1.1.1.2.1.1.1.1.cmml" xref="Ch0.E23.m1.1.1.1.2.1.1.1.1">𝑝</ci></matrixrow><matrixrow id="Ch0.E23.m1.1.1.1.2.1b.cmml" xref="Ch0.E23.m1.1.1.1.2.1"><apply id="Ch0.E23.m1.1.1.1.2.1.2.1.1.cmml" xref="Ch0.E23.m1.1.1.1.2.1.2.1.1"><minus id="Ch0.E23.m1.1.1.1.2.1.2.1.1.1.cmml" xref="Ch0.E23.m1.1.1.1.2.1.2.1.1.1"></minus><ci id="Ch0.E23.m1.1.1.1.2.1.2.1.1.2.cmml" xref="Ch0.E23.m1.1.1.1.2.1.2.1.1.2">𝑛</ci><ci id="Ch0.E23.m1.1.1.1.2.1.2.1.1.3.cmml" xref="Ch0.E23.m1.1.1.1.2.1.2.1.1.3">𝑝</ci></apply></matrixrow><matrixrow id="Ch0.E23.m1.1.1.1.2.1c.cmml" xref="Ch0.E23.m1.1.1.1.2.1"><ci id="Ch0.E23.m1.1.1.1.2.1.3.1.1.cmml" xref="Ch0.E23.m1.1.1.1.2.1.3.1.1">𝑝</ci></matrixrow><matrixrow id="Ch0.E23.m1.1.1.1.2.1d.cmml" xref="Ch0.E23.m1.1.1.1.2.1"><apply id="Ch0.E23.m1.1.1.1.2.1.4.1.1.cmml" xref="Ch0.E23.m1.1.1.1.2.1.4.1.1"><minus id="Ch0.E23.m1.1.1.1.2.1.4.1.1.1.cmml" xref="Ch0.E23.m1.1.1.1.2.1.4.1.1.1"></minus><ci id="Ch0.E23.m1.1.1.1.2.1.4.1.1.2.cmml" xref="Ch0.E23.m1.1.1.1.2.1.4.1.1.2">𝑛</ci><ci id="Ch0.E23.m1.1.1.1.2.1.4.1.1.3.cmml" xref="Ch0.E23.m1.1.1.1.2.1.4.1.1.3">𝑝</ci></apply></matrixrow></matrix></matrixrow></matrix></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Ch0.E23.m1.2c">K=\begin{array}[]{c c}\left(\begin{array}[]{@{} cc:cc @{}}\ 0&\ 0&\ I&\ 0\\[2.% 84526pt] 0&0&0&I\\[2.84526pt] \hdashline I&0&0&0\\[2.84526pt] 0&-I&0&0\end{array}\right)&{\begin{array}[]{c}p\\[2.84526pt] n-p\\[2.84526pt] p\\[2.84526pt] n-p\end{array}}\end{array}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Ch0.E23.m1.2d">italic_K = start_ARRAY start_ROW start_CELL ( start_ARRAY start_ROW start_CELL 0 end_CELL start_CELL 0 end_CELL start_CELL italic_I end_CELL start_CELL 0 end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL 0 end_CELL start_CELL 0 end_CELL start_CELL 0 end_CELL start_CELL italic_I end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL italic_I end_CELL start_CELL 0 end_CELL start_CELL 0 end_CELL start_CELL 0 end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL 0 end_CELL start_CELL - italic_I end_CELL start_CELL 0 end_CELL start_CELL 0 end_CELL end_ROW end_ARRAY ) end_CELL start_CELL start_ARRAY start_ROW start_CELL italic_p end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL italic_n - italic_p end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL italic_p end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL italic_n - italic_p end_CELL end_ROW end_ARRAY end_CELL end_ROW end_ARRAY .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(23)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="Ch0.S3.p9.9">From the identities <math alttext="K^{T}=K" class="ltx_Math" display="inline" id="Ch0.S3.p9.4.m1.1"><semantics id="Ch0.S3.p9.4.m1.1a"><mrow id="Ch0.S3.p9.4.m1.1.1" xref="Ch0.S3.p9.4.m1.1.1.cmml"><msup id="Ch0.S3.p9.4.m1.1.1.2" xref="Ch0.S3.p9.4.m1.1.1.2.cmml"><mi id="Ch0.S3.p9.4.m1.1.1.2.2" xref="Ch0.S3.p9.4.m1.1.1.2.2.cmml">K</mi><mi id="Ch0.S3.p9.4.m1.1.1.2.3" xref="Ch0.S3.p9.4.m1.1.1.2.3.cmml">T</mi></msup><mo id="Ch0.S3.p9.4.m1.1.1.1" xref="Ch0.S3.p9.4.m1.1.1.1.cmml">=</mo><mi id="Ch0.S3.p9.4.m1.1.1.3" xref="Ch0.S3.p9.4.m1.1.1.3.cmml">K</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Ch0.S3.p9.4.m1.1b"><apply id="Ch0.S3.p9.4.m1.1.1.cmml" xref="Ch0.S3.p9.4.m1.1.1"><eq id="Ch0.S3.p9.4.m1.1.1.1.cmml" xref="Ch0.S3.p9.4.m1.1.1.1"></eq><apply id="Ch0.S3.p9.4.m1.1.1.2.cmml" xref="Ch0.S3.p9.4.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.S3.p9.4.m1.1.1.2.1.cmml" xref="Ch0.S3.p9.4.m1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="Ch0.S3.p9.4.m1.1.1.2.2.cmml" xref="Ch0.S3.p9.4.m1.1.1.2.2">𝐾</ci><ci id="Ch0.S3.p9.4.m1.1.1.2.3.cmml" xref="Ch0.S3.p9.4.m1.1.1.2.3">𝑇</ci></apply><ci id="Ch0.S3.p9.4.m1.1.1.3.cmml" xref="Ch0.S3.p9.4.m1.1.1.3">𝐾</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Ch0.S3.p9.4.m1.1c">K^{T}=K</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Ch0.S3.p9.4.m1.1d">italic_K start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT = italic_K</annotation></semantics></math> and <math alttext="K^{-1}=K^{t}" class="ltx_Math" display="inline" id="Ch0.S3.p9.5.m2.1"><semantics id="Ch0.S3.p9.5.m2.1a"><mrow id="Ch0.S3.p9.5.m2.1.1" xref="Ch0.S3.p9.5.m2.1.1.cmml"><msup id="Ch0.S3.p9.5.m2.1.1.2" xref="Ch0.S3.p9.5.m2.1.1.2.cmml"><mi id="Ch0.S3.p9.5.m2.1.1.2.2" xref="Ch0.S3.p9.5.m2.1.1.2.2.cmml">K</mi><mrow id="Ch0.S3.p9.5.m2.1.1.2.3" xref="Ch0.S3.p9.5.m2.1.1.2.3.cmml"><mo id="Ch0.S3.p9.5.m2.1.1.2.3a" xref="Ch0.S3.p9.5.m2.1.1.2.3.cmml">−</mo><mn id="Ch0.S3.p9.5.m2.1.1.2.3.2" xref="Ch0.S3.p9.5.m2.1.1.2.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="Ch0.S3.p9.5.m2.1.1.1" xref="Ch0.S3.p9.5.m2.1.1.1.cmml">=</mo><msup id="Ch0.S3.p9.5.m2.1.1.3" xref="Ch0.S3.p9.5.m2.1.1.3.cmml"><mi id="Ch0.S3.p9.5.m2.1.1.3.2" xref="Ch0.S3.p9.5.m2.1.1.3.2.cmml">K</mi><mi id="Ch0.S3.p9.5.m2.1.1.3.3" xref="Ch0.S3.p9.5.m2.1.1.3.3.cmml">t</mi></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Ch0.S3.p9.5.m2.1b"><apply id="Ch0.S3.p9.5.m2.1.1.cmml" xref="Ch0.S3.p9.5.m2.1.1"><eq id="Ch0.S3.p9.5.m2.1.1.1.cmml" xref="Ch0.S3.p9.5.m2.1.1.1"></eq><apply id="Ch0.S3.p9.5.m2.1.1.2.cmml" xref="Ch0.S3.p9.5.m2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.S3.p9.5.m2.1.1.2.1.cmml" xref="Ch0.S3.p9.5.m2.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="Ch0.S3.p9.5.m2.1.1.2.2.cmml" xref="Ch0.S3.p9.5.m2.1.1.2.2">𝐾</ci><apply id="Ch0.S3.p9.5.m2.1.1.2.3.cmml" xref="Ch0.S3.p9.5.m2.1.1.2.3"><minus id="Ch0.S3.p9.5.m2.1.1.2.3.1.cmml" xref="Ch0.S3.p9.5.m2.1.1.2.3"></minus><cn id="Ch0.S3.p9.5.m2.1.1.2.3.2.cmml" type="integer" xref="Ch0.S3.p9.5.m2.1.1.2.3.2">1</cn></apply></apply><apply id="Ch0.S3.p9.5.m2.1.1.3.cmml" xref="Ch0.S3.p9.5.m2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.S3.p9.5.m2.1.1.3.1.cmml" xref="Ch0.S3.p9.5.m2.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="Ch0.S3.p9.5.m2.1.1.3.2.cmml" xref="Ch0.S3.p9.5.m2.1.1.3.2">𝐾</ci><ci id="Ch0.S3.p9.5.m2.1.1.3.3.cmml" xref="Ch0.S3.p9.5.m2.1.1.3.3">𝑡</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Ch0.S3.p9.5.m2.1c">K^{-1}=K^{t}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Ch0.S3.p9.5.m2.1d">italic_K start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT = italic_K start_POSTSUPERSCRIPT italic_t end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> one can again deduce that the graded bracket of <math alttext="A" class="ltx_Math" display="inline" id="Ch0.S3.p9.6.m3.1"><semantics id="Ch0.S3.p9.6.m3.1a"><mi id="Ch0.S3.p9.6.m3.1.1" xref="Ch0.S3.p9.6.m3.1.1.cmml">A</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Ch0.S3.p9.6.m3.1b"><ci id="Ch0.S3.p9.6.m3.1.1.cmml" xref="Ch0.S3.p9.6.m3.1.1">𝐴</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Ch0.S3.p9.6.m3.1c">A</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Ch0.S3.p9.6.m3.1d">italic_A</annotation></semantics></math> and <math alttext="B" class="ltx_Math" display="inline" id="Ch0.S3.p9.7.m4.1"><semantics id="Ch0.S3.p9.7.m4.1a"><mi id="Ch0.S3.p9.7.m4.1.1" xref="Ch0.S3.p9.7.m4.1.1.cmml">B</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Ch0.S3.p9.7.m4.1b"><ci id="Ch0.S3.p9.7.m4.1.1.cmml" xref="Ch0.S3.p9.7.m4.1.1">𝐵</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Ch0.S3.p9.7.m4.1c">B</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Ch0.S3.p9.7.m4.1d">italic_B</annotation></semantics></math> satisfies (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2408.09274v1#Ch0.E22" title="In 3 ℤ₂²-GLA’s as subalgebras of 𝔰⁢𝔩_{𝑝,𝑞,𝑟,𝑠}⁢(𝑛) ‣ Matrix structure of classical ℤ₂×ℤ₂ graded Lie algebras"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">22</span></a>) when <math alttext="A" class="ltx_Math" display="inline" id="Ch0.S3.p9.8.m5.1"><semantics id="Ch0.S3.p9.8.m5.1a"><mi id="Ch0.S3.p9.8.m5.1.1" xref="Ch0.S3.p9.8.m5.1.1.cmml">A</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Ch0.S3.p9.8.m5.1b"><ci id="Ch0.S3.p9.8.m5.1.1.cmml" xref="Ch0.S3.p9.8.m5.1.1">𝐴</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Ch0.S3.p9.8.m5.1c">A</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Ch0.S3.p9.8.m5.1d">italic_A</annotation></semantics></math> and <math alttext="B" class="ltx_Math" display="inline" id="Ch0.S3.p9.9.m6.1"><semantics id="Ch0.S3.p9.9.m6.1a"><mi id="Ch0.S3.p9.9.m6.1.1" xref="Ch0.S3.p9.9.m6.1.1.cmml">B</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Ch0.S3.p9.9.m6.1b"><ci id="Ch0.S3.p9.9.m6.1.1.cmml" xref="Ch0.S3.p9.9.m6.1.1">𝐵</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Ch0.S3.p9.9.m6.1c">B</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Ch0.S3.p9.9.m6.1d">italic_B</annotation></semantics></math> satisfy (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2408.09274v1#Ch0.E22" title="In 3 ℤ₂²-GLA’s as subalgebras of 𝔰⁢𝔩_{𝑝,𝑞,𝑟,𝑠}⁢(𝑛) ‣ Matrix structure of classical ℤ₂×ℤ₂ graded Lie algebras"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">22</span></a>).</p> </div> <div class="ltx_para" id="Ch0.S3.p10"> <p class="ltx_p" id="Ch0.S3.p10.4">Finally, the last class of <math alttext="{\mathbb{Z}}^{2}_{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="Ch0.S3.p10.1.m1.1"><semantics id="Ch0.S3.p10.1.m1.1a"><msubsup id="Ch0.S3.p10.1.m1.1.1" xref="Ch0.S3.p10.1.m1.1.1.cmml"><mi id="Ch0.S3.p10.1.m1.1.1.2.2" xref="Ch0.S3.p10.1.m1.1.1.2.2.cmml">ℤ</mi><mn id="Ch0.S3.p10.1.m1.1.1.3" xref="Ch0.S3.p10.1.m1.1.1.3.cmml">2</mn><mn id="Ch0.S3.p10.1.m1.1.1.2.3" xref="Ch0.S3.p10.1.m1.1.1.2.3.cmml">2</mn></msubsup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Ch0.S3.p10.1.m1.1b"><apply id="Ch0.S3.p10.1.m1.1.1.cmml" xref="Ch0.S3.p10.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.S3.p10.1.m1.1.1.1.cmml" xref="Ch0.S3.p10.1.m1.1.1">subscript</csymbol><apply id="Ch0.S3.p10.1.m1.1.1.2.cmml" xref="Ch0.S3.p10.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.S3.p10.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="Ch0.S3.p10.1.m1.1.1">superscript</csymbol><ci id="Ch0.S3.p10.1.m1.1.1.2.2.cmml" xref="Ch0.S3.p10.1.m1.1.1.2.2">ℤ</ci><cn id="Ch0.S3.p10.1.m1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="Ch0.S3.p10.1.m1.1.1.2.3">2</cn></apply><cn id="Ch0.S3.p10.1.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="Ch0.S3.p10.1.m1.1.1.3">2</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Ch0.S3.p10.1.m1.1c">{\mathbb{Z}}^{2}_{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Ch0.S3.p10.1.m1.1d">blackboard_Z start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>-GLA’s listed here is that of type <math alttext="B" class="ltx_Math" display="inline" id="Ch0.S3.p10.2.m2.1"><semantics id="Ch0.S3.p10.2.m2.1a"><mi id="Ch0.S3.p10.2.m2.1.1" xref="Ch0.S3.p10.2.m2.1.1.cmml">B</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Ch0.S3.p10.2.m2.1b"><ci id="Ch0.S3.p10.2.m2.1.1.cmml" xref="Ch0.S3.p10.2.m2.1.1">𝐵</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Ch0.S3.p10.2.m2.1c">B</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Ch0.S3.p10.2.m2.1d">italic_B</annotation></semantics></math>. The <math alttext="{\mathbb{Z}}_{2}\times{\mathbb{Z}}_{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="Ch0.S3.p10.3.m3.1"><semantics id="Ch0.S3.p10.3.m3.1a"><mrow id="Ch0.S3.p10.3.m3.1.1" xref="Ch0.S3.p10.3.m3.1.1.cmml"><msub id="Ch0.S3.p10.3.m3.1.1.2" xref="Ch0.S3.p10.3.m3.1.1.2.cmml"><mi id="Ch0.S3.p10.3.m3.1.1.2.2" xref="Ch0.S3.p10.3.m3.1.1.2.2.cmml">ℤ</mi><mn id="Ch0.S3.p10.3.m3.1.1.2.3" xref="Ch0.S3.p10.3.m3.1.1.2.3.cmml">2</mn></msub><mo id="Ch0.S3.p10.3.m3.1.1.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="Ch0.S3.p10.3.m3.1.1.1.cmml">×</mo><msub id="Ch0.S3.p10.3.m3.1.1.3" xref="Ch0.S3.p10.3.m3.1.1.3.cmml"><mi id="Ch0.S3.p10.3.m3.1.1.3.2" xref="Ch0.S3.p10.3.m3.1.1.3.2.cmml">ℤ</mi><mn id="Ch0.S3.p10.3.m3.1.1.3.3" xref="Ch0.S3.p10.3.m3.1.1.3.3.cmml">2</mn></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Ch0.S3.p10.3.m3.1b"><apply id="Ch0.S3.p10.3.m3.1.1.cmml" xref="Ch0.S3.p10.3.m3.1.1"><times id="Ch0.S3.p10.3.m3.1.1.1.cmml" xref="Ch0.S3.p10.3.m3.1.1.1"></times><apply id="Ch0.S3.p10.3.m3.1.1.2.cmml" xref="Ch0.S3.p10.3.m3.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.S3.p10.3.m3.1.1.2.1.cmml" xref="Ch0.S3.p10.3.m3.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="Ch0.S3.p10.3.m3.1.1.2.2.cmml" xref="Ch0.S3.p10.3.m3.1.1.2.2">ℤ</ci><cn id="Ch0.S3.p10.3.m3.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="Ch0.S3.p10.3.m3.1.1.2.3">2</cn></apply><apply id="Ch0.S3.p10.3.m3.1.1.3.cmml" xref="Ch0.S3.p10.3.m3.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.S3.p10.3.m3.1.1.3.1.cmml" xref="Ch0.S3.p10.3.m3.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="Ch0.S3.p10.3.m3.1.1.3.2.cmml" xref="Ch0.S3.p10.3.m3.1.1.3.2">ℤ</ci><cn id="Ch0.S3.p10.3.m3.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="Ch0.S3.p10.3.m3.1.1.3.3">2</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Ch0.S3.p10.3.m3.1c">{\mathbb{Z}}_{2}\times{\mathbb{Z}}_{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Ch0.S3.p10.3.m3.1d">blackboard_Z start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT × blackboard_Z start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>-graded LA <math alttext="\mathfrak{g}=\mathfrak{so}_{p}(2n+1)" class="ltx_Math" display="inline" id="Ch0.S3.p10.4.m4.1"><semantics id="Ch0.S3.p10.4.m4.1a"><mrow id="Ch0.S3.p10.4.m4.1.1" xref="Ch0.S3.p10.4.m4.1.1.cmml"><mi id="Ch0.S3.p10.4.m4.1.1.3" xref="Ch0.S3.p10.4.m4.1.1.3.cmml">𝔤</mi><mo id="Ch0.S3.p10.4.m4.1.1.2" xref="Ch0.S3.p10.4.m4.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="Ch0.S3.p10.4.m4.1.1.1" xref="Ch0.S3.p10.4.m4.1.1.1.cmml"><mi id="Ch0.S3.p10.4.m4.1.1.1.3" xref="Ch0.S3.p10.4.m4.1.1.1.3.cmml">𝔰</mi><mo id="Ch0.S3.p10.4.m4.1.1.1.2" xref="Ch0.S3.p10.4.m4.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="Ch0.S3.p10.4.m4.1.1.1.4" xref="Ch0.S3.p10.4.m4.1.1.1.4.cmml"><mi id="Ch0.S3.p10.4.m4.1.1.1.4.2" xref="Ch0.S3.p10.4.m4.1.1.1.4.2.cmml">𝔬</mi><mi id="Ch0.S3.p10.4.m4.1.1.1.4.3" xref="Ch0.S3.p10.4.m4.1.1.1.4.3.cmml">p</mi></msub><mo id="Ch0.S3.p10.4.m4.1.1.1.2a" xref="Ch0.S3.p10.4.m4.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="Ch0.S3.p10.4.m4.1.1.1.1.1" xref="Ch0.S3.p10.4.m4.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="Ch0.S3.p10.4.m4.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="Ch0.S3.p10.4.m4.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="Ch0.S3.p10.4.m4.1.1.1.1.1.1" xref="Ch0.S3.p10.4.m4.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="Ch0.S3.p10.4.m4.1.1.1.1.1.1.2" xref="Ch0.S3.p10.4.m4.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mn id="Ch0.S3.p10.4.m4.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="Ch0.S3.p10.4.m4.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">2</mn><mo id="Ch0.S3.p10.4.m4.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="Ch0.S3.p10.4.m4.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="Ch0.S3.p10.4.m4.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="Ch0.S3.p10.4.m4.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">n</mi></mrow><mo id="Ch0.S3.p10.4.m4.1.1.1.1.1.1.1" xref="Ch0.S3.p10.4.m4.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mn id="Ch0.S3.p10.4.m4.1.1.1.1.1.1.3" xref="Ch0.S3.p10.4.m4.1.1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="Ch0.S3.p10.4.m4.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="Ch0.S3.p10.4.m4.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Ch0.S3.p10.4.m4.1b"><apply id="Ch0.S3.p10.4.m4.1.1.cmml" xref="Ch0.S3.p10.4.m4.1.1"><eq id="Ch0.S3.p10.4.m4.1.1.2.cmml" xref="Ch0.S3.p10.4.m4.1.1.2"></eq><ci id="Ch0.S3.p10.4.m4.1.1.3.cmml" xref="Ch0.S3.p10.4.m4.1.1.3">𝔤</ci><apply id="Ch0.S3.p10.4.m4.1.1.1.cmml" xref="Ch0.S3.p10.4.m4.1.1.1"><times id="Ch0.S3.p10.4.m4.1.1.1.2.cmml" xref="Ch0.S3.p10.4.m4.1.1.1.2"></times><ci id="Ch0.S3.p10.4.m4.1.1.1.3.cmml" xref="Ch0.S3.p10.4.m4.1.1.1.3">𝔰</ci><apply id="Ch0.S3.p10.4.m4.1.1.1.4.cmml" xref="Ch0.S3.p10.4.m4.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.S3.p10.4.m4.1.1.1.4.1.cmml" xref="Ch0.S3.p10.4.m4.1.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="Ch0.S3.p10.4.m4.1.1.1.4.2.cmml" xref="Ch0.S3.p10.4.m4.1.1.1.4.2">𝔬</ci><ci id="Ch0.S3.p10.4.m4.1.1.1.4.3.cmml" xref="Ch0.S3.p10.4.m4.1.1.1.4.3">𝑝</ci></apply><apply id="Ch0.S3.p10.4.m4.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="Ch0.S3.p10.4.m4.1.1.1.1.1"><plus id="Ch0.S3.p10.4.m4.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="Ch0.S3.p10.4.m4.1.1.1.1.1.1.1"></plus><apply id="Ch0.S3.p10.4.m4.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="Ch0.S3.p10.4.m4.1.1.1.1.1.1.2"><times id="Ch0.S3.p10.4.m4.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="Ch0.S3.p10.4.m4.1.1.1.1.1.1.2.1"></times><cn id="Ch0.S3.p10.4.m4.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" type="integer" xref="Ch0.S3.p10.4.m4.1.1.1.1.1.1.2.2">2</cn><ci id="Ch0.S3.p10.4.m4.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="Ch0.S3.p10.4.m4.1.1.1.1.1.1.2.3">𝑛</ci></apply><cn id="Ch0.S3.p10.4.m4.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="Ch0.S3.p10.4.m4.1.1.1.1.1.1.3">1</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Ch0.S3.p10.4.m4.1c">\mathfrak{g}=\mathfrak{so}_{p}(2n+1)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Ch0.S3.p10.4.m4.1d">fraktur_g = fraktur_s fraktur_o start_POSTSUBSCRIPT italic_p end_POSTSUBSCRIPT ( 2 italic_n + 1 )</annotation></semantics></math> consists of all matrices of the following block form:</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="Ch0.E24"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\begin{array}[]{c c}{\begin{array}[]{@{} c c c c c @{}}\ \ p&\ \ \ n-p&\ \ p&% \ \ n-p&\ 1\end{array}}&{}\hfil\\ \left(\begin{array}[]{@{} cc:cc:c @{}}a_{(0,0)}&a_{(1,1)}&b_{(0,0)}&b_{(1,1)}&% c_{(0,1)}\\[2.84526pt] \tilde{a}_{(1,1)}&\tilde{a}_{(0,0)}&b_{(1,1)}^{\;\;t}&\tilde{b}_{(0,0)}&c_{(1,% 0)}\\[2.84526pt] \hdashline&&&&\\[-8.53581pt] d_{(0,0)}&d_{(1,1)}&-a_{(0,0)}^{\;\;t}&\tilde{a}_{(1,1)}^{\;\;t}&e_{(0,1)}\\[2% .84526pt] d_{(1,1)}^{\;\;t}&\tilde{d}_{(0,0)}&a_{(1,1)}^{\;\;t}&-\tilde{a}_{(0,0)}^{\;\;% t}&e_{(1,0)}\\[2.84526pt] \hdashline&&&&\\[-8.53581pt] -e_{(0,1)}^{\;\;t}&-e_{(1,0)}^{\;\;t}&-c_{(0,1)}^{\;\;t}&-c_{(1,0)}^{\;\;t}&0% \end{array}\right)&{\begin{array}[]{c}p\\[4.2679pt] n-p\\[4.2679pt] p\\[4.2679pt] n-p\\[5.69054pt] 1\end{array}}\end{array}" class="ltx_Math" display="block" id="Ch0.E24.m1.48"><semantics id="Ch0.E24.m1.48a"><mtable columnspacing="5pt" displaystyle="true" id="Ch0.E24.m1.48.48" rowspacing="0pt" xref="Ch0.E24.m1.48.48.cmml"><mtr id="Ch0.E24.m1.48.48a" xref="Ch0.E24.m1.48.48.cmml"><mtd id="Ch0.E24.m1.48.48b" xref="Ch0.E24.m1.48.48.cmml"><mtable columnspacing="5pt" displaystyle="true" id="Ch0.E24.m1.48.48.49.1.1" xref="Ch0.E24.m1.48.48.49.1.1.cmml"><mtr id="Ch0.E24.m1.48.48.49.1.1a" xref="Ch0.E24.m1.48.48.49.1.1.cmml"><mtd id="Ch0.E24.m1.48.48.49.1.1b" xref="Ch0.E24.m1.48.48.49.1.1.cmml"><mi id="Ch0.E24.m1.48.48.49.1.1.1.1.1" xref="Ch0.E24.m1.48.48.49.1.1.1.1.1.cmml">p</mi></mtd><mtd id="Ch0.E24.m1.48.48.49.1.1c" xref="Ch0.E24.m1.48.48.49.1.1.cmml"><mrow id="Ch0.E24.m1.48.48.49.1.1.1.2.1" xref="Ch0.E24.m1.48.48.49.1.1.1.2.1.cmml"><mi id="Ch0.E24.m1.48.48.49.1.1.1.2.1.2" xref="Ch0.E24.m1.48.48.49.1.1.1.2.1.2.cmml">n</mi><mo id="Ch0.E24.m1.48.48.49.1.1.1.2.1.1" xref="Ch0.E24.m1.48.48.49.1.1.1.2.1.1.cmml">−</mo><mi id="Ch0.E24.m1.48.48.49.1.1.1.2.1.3" xref="Ch0.E24.m1.48.48.49.1.1.1.2.1.3.cmml">p</mi></mrow></mtd><mtd id="Ch0.E24.m1.48.48.49.1.1d" xref="Ch0.E24.m1.48.48.49.1.1.cmml"><mi id="Ch0.E24.m1.48.48.49.1.1.1.3.1" xref="Ch0.E24.m1.48.48.49.1.1.1.3.1.cmml">p</mi></mtd><mtd id="Ch0.E24.m1.48.48.49.1.1e" xref="Ch0.E24.m1.48.48.49.1.1.cmml"><mrow id="Ch0.E24.m1.48.48.49.1.1.1.4.1" xref="Ch0.E24.m1.48.48.49.1.1.1.4.1.cmml"><mi id="Ch0.E24.m1.48.48.49.1.1.1.4.1.2" xref="Ch0.E24.m1.48.48.49.1.1.1.4.1.2.cmml">n</mi><mo id="Ch0.E24.m1.48.48.49.1.1.1.4.1.1" xref="Ch0.E24.m1.48.48.49.1.1.1.4.1.1.cmml">−</mo><mi id="Ch0.E24.m1.48.48.49.1.1.1.4.1.3" xref="Ch0.E24.m1.48.48.49.1.1.1.4.1.3.cmml">p</mi></mrow></mtd><mtd id="Ch0.E24.m1.48.48.49.1.1f" xref="Ch0.E24.m1.48.48.49.1.1.cmml"><mn id="Ch0.E24.m1.48.48.49.1.1.1.5.1" xref="Ch0.E24.m1.48.48.49.1.1.1.5.1.cmml"> 1</mn></mtd></mtr></mtable></mtd><mtd id="Ch0.E24.m1.48.48c" xref="Ch0.E24.m1.48.48.cmml"></mtd></mtr><mtr id="Ch0.E24.m1.48.48d" xref="Ch0.E24.m1.48.48.cmml"><mtd id="Ch0.E24.m1.48.48e" xref="Ch0.E24.m1.48.48.cmml"><mrow id="Ch0.E24.m1.48.48.48.48.48.50" xref="Ch0.E24.m1.48.48.48.48.48.48.cmml"><mo id="Ch0.E24.m1.48.48.48.48.48.50.1" xref="Ch0.E24.m1.48.48.48.48.48.48.cmml">(</mo><mtable columnspacing="5pt" displaystyle="true" id="Ch0.E24.m1.48.48.48.48.48.48" rowspacing="0pt" xref="Ch0.E24.m1.48.48.48.48.48.48.cmml"><mtr id="Ch0.E24.m1.48.48.48.48.48.48a" xref="Ch0.E24.m1.48.48.48.48.48.48.cmml"><mtd id="Ch0.E24.m1.48.48.48.48.48.48b" xref="Ch0.E24.m1.48.48.48.48.48.48.cmml"><msub id="Ch0.E24.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.2" xref="Ch0.E24.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="Ch0.E24.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.4" xref="Ch0.E24.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.4.cmml">a</mi><mrow id="Ch0.E24.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.4" xref="Ch0.E24.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.3.cmml"><mo id="Ch0.E24.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.4.1" stretchy="false" xref="Ch0.E24.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.3.cmml">(</mo><mn id="Ch0.E24.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="Ch0.E24.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">0</mn><mo id="Ch0.E24.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.4.2" xref="Ch0.E24.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.3.cmml">,</mo><mn id="Ch0.E24.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2" xref="Ch0.E24.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.cmml">0</mn><mo id="Ch0.E24.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.4.3" stretchy="false" xref="Ch0.E24.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></msub></mtd><mtd id="Ch0.E24.m1.48.48.48.48.48.48c" xref="Ch0.E24.m1.48.48.48.48.48.48.cmml"><msub id="Ch0.E24.m1.4.4.4.4.4.4.4.4.2" xref="Ch0.E24.m1.4.4.4.4.4.4.4.4.2.cmml"><mi id="Ch0.E24.m1.4.4.4.4.4.4.4.4.2.4" xref="Ch0.E24.m1.4.4.4.4.4.4.4.4.2.4.cmml">a</mi><mrow id="Ch0.E24.m1.4.4.4.4.4.4.4.4.2.2.2.4" xref="Ch0.E24.m1.4.4.4.4.4.4.4.4.2.2.2.3.cmml"><mo id="Ch0.E24.m1.4.4.4.4.4.4.4.4.2.2.2.4.1" stretchy="false" xref="Ch0.E24.m1.4.4.4.4.4.4.4.4.2.2.2.3.cmml">(</mo><mn id="Ch0.E24.m1.3.3.3.3.3.3.3.3.1.1.1.1" xref="Ch0.E24.m1.3.3.3.3.3.3.3.3.1.1.1.1.cmml">1</mn><mo id="Ch0.E24.m1.4.4.4.4.4.4.4.4.2.2.2.4.2" xref="Ch0.E24.m1.4.4.4.4.4.4.4.4.2.2.2.3.cmml">,</mo><mn id="Ch0.E24.m1.4.4.4.4.4.4.4.4.2.2.2.2" xref="Ch0.E24.m1.4.4.4.4.4.4.4.4.2.2.2.2.cmml">1</mn><mo id="Ch0.E24.m1.4.4.4.4.4.4.4.4.2.2.2.4.3" stretchy="false" xref="Ch0.E24.m1.4.4.4.4.4.4.4.4.2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></msub></mtd><mtd id="Ch0.E24.m1.48.48.48.48.48.48d" xref="Ch0.E24.m1.48.48.48.48.48.48.cmml"><msub id="Ch0.E24.m1.6.6.6.6.6.6.6.6.2" xref="Ch0.E24.m1.6.6.6.6.6.6.6.6.2.cmml"><mi id="Ch0.E24.m1.6.6.6.6.6.6.6.6.2.4" xref="Ch0.E24.m1.6.6.6.6.6.6.6.6.2.4.cmml">b</mi><mrow id="Ch0.E24.m1.6.6.6.6.6.6.6.6.2.2.2.4" xref="Ch0.E24.m1.6.6.6.6.6.6.6.6.2.2.2.3.cmml"><mo id="Ch0.E24.m1.6.6.6.6.6.6.6.6.2.2.2.4.1" stretchy="false" xref="Ch0.E24.m1.6.6.6.6.6.6.6.6.2.2.2.3.cmml">(</mo><mn id="Ch0.E24.m1.5.5.5.5.5.5.5.5.1.1.1.1" xref="Ch0.E24.m1.5.5.5.5.5.5.5.5.1.1.1.1.cmml">0</mn><mo id="Ch0.E24.m1.6.6.6.6.6.6.6.6.2.2.2.4.2" xref="Ch0.E24.m1.6.6.6.6.6.6.6.6.2.2.2.3.cmml">,</mo><mn id="Ch0.E24.m1.6.6.6.6.6.6.6.6.2.2.2.2" xref="Ch0.E24.m1.6.6.6.6.6.6.6.6.2.2.2.2.cmml">0</mn><mo id="Ch0.E24.m1.6.6.6.6.6.6.6.6.2.2.2.4.3" stretchy="false" xref="Ch0.E24.m1.6.6.6.6.6.6.6.6.2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></msub></mtd><mtd id="Ch0.E24.m1.48.48.48.48.48.48e" xref="Ch0.E24.m1.48.48.48.48.48.48.cmml"><msub id="Ch0.E24.m1.8.8.8.8.8.8.8.8.2" xref="Ch0.E24.m1.8.8.8.8.8.8.8.8.2.cmml"><mi id="Ch0.E24.m1.8.8.8.8.8.8.8.8.2.4" xref="Ch0.E24.m1.8.8.8.8.8.8.8.8.2.4.cmml">b</mi><mrow id="Ch0.E24.m1.8.8.8.8.8.8.8.8.2.2.2.4" xref="Ch0.E24.m1.8.8.8.8.8.8.8.8.2.2.2.3.cmml"><mo id="Ch0.E24.m1.8.8.8.8.8.8.8.8.2.2.2.4.1" stretchy="false" xref="Ch0.E24.m1.8.8.8.8.8.8.8.8.2.2.2.3.cmml">(</mo><mn id="Ch0.E24.m1.7.7.7.7.7.7.7.7.1.1.1.1" xref="Ch0.E24.m1.7.7.7.7.7.7.7.7.1.1.1.1.cmml">1</mn><mo id="Ch0.E24.m1.8.8.8.8.8.8.8.8.2.2.2.4.2" xref="Ch0.E24.m1.8.8.8.8.8.8.8.8.2.2.2.3.cmml">,</mo><mn id="Ch0.E24.m1.8.8.8.8.8.8.8.8.2.2.2.2" xref="Ch0.E24.m1.8.8.8.8.8.8.8.8.2.2.2.2.cmml">1</mn><mo id="Ch0.E24.m1.8.8.8.8.8.8.8.8.2.2.2.4.3" stretchy="false" xref="Ch0.E24.m1.8.8.8.8.8.8.8.8.2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></msub></mtd><mtd id="Ch0.E24.m1.48.48.48.48.48.48f" xref="Ch0.E24.m1.48.48.48.48.48.48.cmml"><msub id="Ch0.E24.m1.10.10.10.10.10.10.10.10.2" xref="Ch0.E24.m1.10.10.10.10.10.10.10.10.2.cmml"><mi id="Ch0.E24.m1.10.10.10.10.10.10.10.10.2.4" xref="Ch0.E24.m1.10.10.10.10.10.10.10.10.2.4.cmml">c</mi><mrow id="Ch0.E24.m1.10.10.10.10.10.10.10.10.2.2.2.4" xref="Ch0.E24.m1.10.10.10.10.10.10.10.10.2.2.2.3.cmml"><mo id="Ch0.E24.m1.10.10.10.10.10.10.10.10.2.2.2.4.1" stretchy="false" xref="Ch0.E24.m1.10.10.10.10.10.10.10.10.2.2.2.3.cmml">(</mo><mn id="Ch0.E24.m1.9.9.9.9.9.9.9.9.1.1.1.1" xref="Ch0.E24.m1.9.9.9.9.9.9.9.9.1.1.1.1.cmml">0</mn><mo id="Ch0.E24.m1.10.10.10.10.10.10.10.10.2.2.2.4.2" xref="Ch0.E24.m1.10.10.10.10.10.10.10.10.2.2.2.3.cmml">,</mo><mn id="Ch0.E24.m1.10.10.10.10.10.10.10.10.2.2.2.2" xref="Ch0.E24.m1.10.10.10.10.10.10.10.10.2.2.2.2.cmml">1</mn><mo id="Ch0.E24.m1.10.10.10.10.10.10.10.10.2.2.2.4.3" stretchy="false" xref="Ch0.E24.m1.10.10.10.10.10.10.10.10.2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></msub></mtd></mtr><mtr id="Ch0.E24.m1.48.48.48.48.48.48g" xref="Ch0.E24.m1.48.48.48.48.48.48.cmml"><mtd id="Ch0.E24.m1.48.48.48.48.48.48h" xref="Ch0.E24.m1.48.48.48.48.48.48.cmml"><msub id="Ch0.E24.m1.12.12.12.12.12.12.12.2.2" xref="Ch0.E24.m1.12.12.12.12.12.12.12.2.2.cmml"><mover accent="true" id="Ch0.E24.m1.12.12.12.12.12.12.12.2.2.4" xref="Ch0.E24.m1.12.12.12.12.12.12.12.2.2.4.cmml"><mi id="Ch0.E24.m1.12.12.12.12.12.12.12.2.2.4.2" xref="Ch0.E24.m1.12.12.12.12.12.12.12.2.2.4.2.cmml">a</mi><mo id="Ch0.E24.m1.12.12.12.12.12.12.12.2.2.4.1" xref="Ch0.E24.m1.12.12.12.12.12.12.12.2.2.4.1.cmml">~</mo></mover><mrow id="Ch0.E24.m1.12.12.12.12.12.12.12.2.2.2.2.4" xref="Ch0.E24.m1.12.12.12.12.12.12.12.2.2.2.2.3.cmml"><mo id="Ch0.E24.m1.12.12.12.12.12.12.12.2.2.2.2.4.1" stretchy="false" xref="Ch0.E24.m1.12.12.12.12.12.12.12.2.2.2.2.3.cmml">(</mo><mn id="Ch0.E24.m1.11.11.11.11.11.11.11.1.1.1.1.1" xref="Ch0.E24.m1.11.11.11.11.11.11.11.1.1.1.1.1.cmml">1</mn><mo id="Ch0.E24.m1.12.12.12.12.12.12.12.2.2.2.2.4.2" xref="Ch0.E24.m1.12.12.12.12.12.12.12.2.2.2.2.3.cmml">,</mo><mn id="Ch0.E24.m1.12.12.12.12.12.12.12.2.2.2.2.2" xref="Ch0.E24.m1.12.12.12.12.12.12.12.2.2.2.2.2.cmml">1</mn><mo id="Ch0.E24.m1.12.12.12.12.12.12.12.2.2.2.2.4.3" stretchy="false" xref="Ch0.E24.m1.12.12.12.12.12.12.12.2.2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></msub></mtd><mtd id="Ch0.E24.m1.48.48.48.48.48.48i" xref="Ch0.E24.m1.48.48.48.48.48.48.cmml"><msub id="Ch0.E24.m1.14.14.14.14.14.14.14.4.2" xref="Ch0.E24.m1.14.14.14.14.14.14.14.4.2.cmml"><mover accent="true" id="Ch0.E24.m1.14.14.14.14.14.14.14.4.2.4" xref="Ch0.E24.m1.14.14.14.14.14.14.14.4.2.4.cmml"><mi id="Ch0.E24.m1.14.14.14.14.14.14.14.4.2.4.2" xref="Ch0.E24.m1.14.14.14.14.14.14.14.4.2.4.2.cmml">a</mi><mo id="Ch0.E24.m1.14.14.14.14.14.14.14.4.2.4.1" xref="Ch0.E24.m1.14.14.14.14.14.14.14.4.2.4.1.cmml">~</mo></mover><mrow id="Ch0.E24.m1.14.14.14.14.14.14.14.4.2.2.2.4" xref="Ch0.E24.m1.14.14.14.14.14.14.14.4.2.2.2.3.cmml"><mo id="Ch0.E24.m1.14.14.14.14.14.14.14.4.2.2.2.4.1" stretchy="false" xref="Ch0.E24.m1.14.14.14.14.14.14.14.4.2.2.2.3.cmml">(</mo><mn id="Ch0.E24.m1.13.13.13.13.13.13.13.3.1.1.1.1" xref="Ch0.E24.m1.13.13.13.13.13.13.13.3.1.1.1.1.cmml">0</mn><mo id="Ch0.E24.m1.14.14.14.14.14.14.14.4.2.2.2.4.2" xref="Ch0.E24.m1.14.14.14.14.14.14.14.4.2.2.2.3.cmml">,</mo><mn id="Ch0.E24.m1.14.14.14.14.14.14.14.4.2.2.2.2" xref="Ch0.E24.m1.14.14.14.14.14.14.14.4.2.2.2.2.cmml">0</mn><mo id="Ch0.E24.m1.14.14.14.14.14.14.14.4.2.2.2.4.3" stretchy="false" xref="Ch0.E24.m1.14.14.14.14.14.14.14.4.2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></msub></mtd><mtd id="Ch0.E24.m1.48.48.48.48.48.48j" xref="Ch0.E24.m1.48.48.48.48.48.48.cmml"><msubsup id="Ch0.E24.m1.16.16.16.16.16.16.16.6.2" xref="Ch0.E24.m1.16.16.16.16.16.16.16.6.2.cmml"><mi id="Ch0.E24.m1.16.16.16.16.16.16.16.6.2.4.2" xref="Ch0.E24.m1.16.16.16.16.16.16.16.6.2.4.2.cmml">b</mi><mrow id="Ch0.E24.m1.16.16.16.16.16.16.16.6.2.2.2.4" xref="Ch0.E24.m1.16.16.16.16.16.16.16.6.2.2.2.3.cmml"><mo id="Ch0.E24.m1.16.16.16.16.16.16.16.6.2.2.2.4.1" stretchy="false" xref="Ch0.E24.m1.16.16.16.16.16.16.16.6.2.2.2.3.cmml">(</mo><mn id="Ch0.E24.m1.15.15.15.15.15.15.15.5.1.1.1.1" xref="Ch0.E24.m1.15.15.15.15.15.15.15.5.1.1.1.1.cmml">1</mn><mo id="Ch0.E24.m1.16.16.16.16.16.16.16.6.2.2.2.4.2" xref="Ch0.E24.m1.16.16.16.16.16.16.16.6.2.2.2.3.cmml">,</mo><mn id="Ch0.E24.m1.16.16.16.16.16.16.16.6.2.2.2.2" xref="Ch0.E24.m1.16.16.16.16.16.16.16.6.2.2.2.2.cmml">1</mn><mo id="Ch0.E24.m1.16.16.16.16.16.16.16.6.2.2.2.4.3" stretchy="false" xref="Ch0.E24.m1.16.16.16.16.16.16.16.6.2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow><mi id="Ch0.E24.m1.16.16.16.16.16.16.16.6.2.5" xref="Ch0.E24.m1.16.16.16.16.16.16.16.6.2.5.cmml">t</mi></msubsup></mtd><mtd id="Ch0.E24.m1.48.48.48.48.48.48k" xref="Ch0.E24.m1.48.48.48.48.48.48.cmml"><msub id="Ch0.E24.m1.18.18.18.18.18.18.18.8.2" xref="Ch0.E24.m1.18.18.18.18.18.18.18.8.2.cmml"><mover accent="true" id="Ch0.E24.m1.18.18.18.18.18.18.18.8.2.4" xref="Ch0.E24.m1.18.18.18.18.18.18.18.8.2.4.cmml"><mi id="Ch0.E24.m1.18.18.18.18.18.18.18.8.2.4.2" xref="Ch0.E24.m1.18.18.18.18.18.18.18.8.2.4.2.cmml">b</mi><mo id="Ch0.E24.m1.18.18.18.18.18.18.18.8.2.4.1" xref="Ch0.E24.m1.18.18.18.18.18.18.18.8.2.4.1.cmml">~</mo></mover><mrow id="Ch0.E24.m1.18.18.18.18.18.18.18.8.2.2.2.4" xref="Ch0.E24.m1.18.18.18.18.18.18.18.8.2.2.2.3.cmml"><mo id="Ch0.E24.m1.18.18.18.18.18.18.18.8.2.2.2.4.1" stretchy="false" xref="Ch0.E24.m1.18.18.18.18.18.18.18.8.2.2.2.3.cmml">(</mo><mn id="Ch0.E24.m1.17.17.17.17.17.17.17.7.1.1.1.1" xref="Ch0.E24.m1.17.17.17.17.17.17.17.7.1.1.1.1.cmml">0</mn><mo id="Ch0.E24.m1.18.18.18.18.18.18.18.8.2.2.2.4.2" xref="Ch0.E24.m1.18.18.18.18.18.18.18.8.2.2.2.3.cmml">,</mo><mn id="Ch0.E24.m1.18.18.18.18.18.18.18.8.2.2.2.2" xref="Ch0.E24.m1.18.18.18.18.18.18.18.8.2.2.2.2.cmml">0</mn><mo id="Ch0.E24.m1.18.18.18.18.18.18.18.8.2.2.2.4.3" stretchy="false" xref="Ch0.E24.m1.18.18.18.18.18.18.18.8.2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></msub></mtd><mtd id="Ch0.E24.m1.48.48.48.48.48.48l" xref="Ch0.E24.m1.48.48.48.48.48.48.cmml"><msub id="Ch0.E24.m1.20.20.20.20.20.20.20.10.2" xref="Ch0.E24.m1.20.20.20.20.20.20.20.10.2.cmml"><mi id="Ch0.E24.m1.20.20.20.20.20.20.20.10.2.4" xref="Ch0.E24.m1.20.20.20.20.20.20.20.10.2.4.cmml">c</mi><mrow id="Ch0.E24.m1.20.20.20.20.20.20.20.10.2.2.2.4" xref="Ch0.E24.m1.20.20.20.20.20.20.20.10.2.2.2.3.cmml"><mo id="Ch0.E24.m1.20.20.20.20.20.20.20.10.2.2.2.4.1" stretchy="false" xref="Ch0.E24.m1.20.20.20.20.20.20.20.10.2.2.2.3.cmml">(</mo><mn id="Ch0.E24.m1.19.19.19.19.19.19.19.9.1.1.1.1" xref="Ch0.E24.m1.19.19.19.19.19.19.19.9.1.1.1.1.cmml">1</mn><mo id="Ch0.E24.m1.20.20.20.20.20.20.20.10.2.2.2.4.2" xref="Ch0.E24.m1.20.20.20.20.20.20.20.10.2.2.2.3.cmml">,</mo><mn id="Ch0.E24.m1.20.20.20.20.20.20.20.10.2.2.2.2" xref="Ch0.E24.m1.20.20.20.20.20.20.20.10.2.2.2.2.cmml">0</mn><mo id="Ch0.E24.m1.20.20.20.20.20.20.20.10.2.2.2.4.3" stretchy="false" xref="Ch0.E24.m1.20.20.20.20.20.20.20.10.2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></msub></mtd></mtr><mtr id="Ch0.E24.m1.48.48.48.48.48.48m" xref="Ch0.E24.m1.48.48.48.48.48.48.cmml"><mtd id="Ch0.E24.m1.48.48.48.48.48.48n" xref="Ch0.E24.m1.48.48.48.48.48.48.cmml"><merror class="ltx_ERROR undefined undefined" id="Ch0.E24.m1.48.48.48.48.48.48.49.1.1" xref="Ch0.E24.m1.48.48.48.48.48.48.49.1.1b.cmml"><mtext id="Ch0.E24.m1.48.48.48.48.48.48.49.1.1a" xref="Ch0.E24.m1.48.48.48.48.48.48.49.1.1b.cmml">\hdashline</mtext></merror></mtd><mtd id="Ch0.E24.m1.48.48.48.48.48.48o" xref="Ch0.E24.m1.48.48.48.48.48.48e.cmml"></mtd><mtd id="Ch0.E24.m1.48.48.48.48.48.48p" xref="Ch0.E24.m1.48.48.48.48.48.48e.cmml"></mtd><mtd id="Ch0.E24.m1.48.48.48.48.48.48q" xref="Ch0.E24.m1.48.48.48.48.48.48e.cmml"></mtd><mtd id="Ch0.E24.m1.48.48.48.48.48.48r" xref="Ch0.E24.m1.48.48.48.48.48.48e.cmml"></mtd></mtr><mtr id="Ch0.E24.m1.48.48.48.48.48.48s" xref="Ch0.E24.m1.48.48.48.48.48.48.cmml"><mtd id="Ch0.E24.m1.48.48.48.48.48.48t" xref="Ch0.E24.m1.48.48.48.48.48.48.cmml"><msub id="Ch0.E24.m1.22.22.22.22.22.22.22.2.2" xref="Ch0.E24.m1.22.22.22.22.22.22.22.2.2.cmml"><mi id="Ch0.E24.m1.22.22.22.22.22.22.22.2.2.4" xref="Ch0.E24.m1.22.22.22.22.22.22.22.2.2.4.cmml">d</mi><mrow id="Ch0.E24.m1.22.22.22.22.22.22.22.2.2.2.2.4" xref="Ch0.E24.m1.22.22.22.22.22.22.22.2.2.2.2.3.cmml"><mo id="Ch0.E24.m1.22.22.22.22.22.22.22.2.2.2.2.4.1" stretchy="false" xref="Ch0.E24.m1.22.22.22.22.22.22.22.2.2.2.2.3.cmml">(</mo><mn id="Ch0.E24.m1.21.21.21.21.21.21.21.1.1.1.1.1" xref="Ch0.E24.m1.21.21.21.21.21.21.21.1.1.1.1.1.cmml">0</mn><mo id="Ch0.E24.m1.22.22.22.22.22.22.22.2.2.2.2.4.2" xref="Ch0.E24.m1.22.22.22.22.22.22.22.2.2.2.2.3.cmml">,</mo><mn id="Ch0.E24.m1.22.22.22.22.22.22.22.2.2.2.2.2" xref="Ch0.E24.m1.22.22.22.22.22.22.22.2.2.2.2.2.cmml">0</mn><mo id="Ch0.E24.m1.22.22.22.22.22.22.22.2.2.2.2.4.3" stretchy="false" xref="Ch0.E24.m1.22.22.22.22.22.22.22.2.2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></msub></mtd><mtd id="Ch0.E24.m1.48.48.48.48.48.48u" xref="Ch0.E24.m1.48.48.48.48.48.48.cmml"><msub id="Ch0.E24.m1.24.24.24.24.24.24.24.4.2" xref="Ch0.E24.m1.24.24.24.24.24.24.24.4.2.cmml"><mi id="Ch0.E24.m1.24.24.24.24.24.24.24.4.2.4" xref="Ch0.E24.m1.24.24.24.24.24.24.24.4.2.4.cmml">d</mi><mrow id="Ch0.E24.m1.24.24.24.24.24.24.24.4.2.2.2.4" xref="Ch0.E24.m1.24.24.24.24.24.24.24.4.2.2.2.3.cmml"><mo id="Ch0.E24.m1.24.24.24.24.24.24.24.4.2.2.2.4.1" stretchy="false" xref="Ch0.E24.m1.24.24.24.24.24.24.24.4.2.2.2.3.cmml">(</mo><mn id="Ch0.E24.m1.23.23.23.23.23.23.23.3.1.1.1.1" xref="Ch0.E24.m1.23.23.23.23.23.23.23.3.1.1.1.1.cmml">1</mn><mo id="Ch0.E24.m1.24.24.24.24.24.24.24.4.2.2.2.4.2" xref="Ch0.E24.m1.24.24.24.24.24.24.24.4.2.2.2.3.cmml">,</mo><mn id="Ch0.E24.m1.24.24.24.24.24.24.24.4.2.2.2.2" xref="Ch0.E24.m1.24.24.24.24.24.24.24.4.2.2.2.2.cmml">1</mn><mo id="Ch0.E24.m1.24.24.24.24.24.24.24.4.2.2.2.4.3" stretchy="false" xref="Ch0.E24.m1.24.24.24.24.24.24.24.4.2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></msub></mtd><mtd id="Ch0.E24.m1.48.48.48.48.48.48v" xref="Ch0.E24.m1.48.48.48.48.48.48.cmml"><mrow id="Ch0.E24.m1.26.26.26.26.26.26.26.6.2" xref="Ch0.E24.m1.26.26.26.26.26.26.26.6.2.cmml"><mo id="Ch0.E24.m1.26.26.26.26.26.26.26.6.2a" xref="Ch0.E24.m1.26.26.26.26.26.26.26.6.2.cmml">−</mo><msubsup id="Ch0.E24.m1.26.26.26.26.26.26.26.6.2.4" xref="Ch0.E24.m1.26.26.26.26.26.26.26.6.2.4.cmml"><mi id="Ch0.E24.m1.26.26.26.26.26.26.26.6.2.4.2.2" xref="Ch0.E24.m1.26.26.26.26.26.26.26.6.2.4.2.2.cmml">a</mi><mrow id="Ch0.E24.m1.26.26.26.26.26.26.26.6.2.2.2.4" xref="Ch0.E24.m1.26.26.26.26.26.26.26.6.2.2.2.3.cmml"><mo id="Ch0.E24.m1.26.26.26.26.26.26.26.6.2.2.2.4.1" stretchy="false" xref="Ch0.E24.m1.26.26.26.26.26.26.26.6.2.2.2.3.cmml">(</mo><mn id="Ch0.E24.m1.25.25.25.25.25.25.25.5.1.1.1.1" xref="Ch0.E24.m1.25.25.25.25.25.25.25.5.1.1.1.1.cmml">0</mn><mo id="Ch0.E24.m1.26.26.26.26.26.26.26.6.2.2.2.4.2" xref="Ch0.E24.m1.26.26.26.26.26.26.26.6.2.2.2.3.cmml">,</mo><mn id="Ch0.E24.m1.26.26.26.26.26.26.26.6.2.2.2.2" xref="Ch0.E24.m1.26.26.26.26.26.26.26.6.2.2.2.2.cmml">0</mn><mo id="Ch0.E24.m1.26.26.26.26.26.26.26.6.2.2.2.4.3" stretchy="false" xref="Ch0.E24.m1.26.26.26.26.26.26.26.6.2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow><mi id="Ch0.E24.m1.26.26.26.26.26.26.26.6.2.4.3" xref="Ch0.E24.m1.26.26.26.26.26.26.26.6.2.4.3.cmml">t</mi></msubsup></mrow></mtd><mtd id="Ch0.E24.m1.48.48.48.48.48.48w" xref="Ch0.E24.m1.48.48.48.48.48.48.cmml"><msubsup id="Ch0.E24.m1.28.28.28.28.28.28.28.8.2" xref="Ch0.E24.m1.28.28.28.28.28.28.28.8.2.cmml"><mover accent="true" id="Ch0.E24.m1.28.28.28.28.28.28.28.8.2.4.2" xref="Ch0.E24.m1.28.28.28.28.28.28.28.8.2.4.2.cmml"><mi id="Ch0.E24.m1.28.28.28.28.28.28.28.8.2.4.2.2" xref="Ch0.E24.m1.28.28.28.28.28.28.28.8.2.4.2.2.cmml">a</mi><mo id="Ch0.E24.m1.28.28.28.28.28.28.28.8.2.4.2.1" xref="Ch0.E24.m1.28.28.28.28.28.28.28.8.2.4.2.1.cmml">~</mo></mover><mrow id="Ch0.E24.m1.28.28.28.28.28.28.28.8.2.2.2.4" xref="Ch0.E24.m1.28.28.28.28.28.28.28.8.2.2.2.3.cmml"><mo id="Ch0.E24.m1.28.28.28.28.28.28.28.8.2.2.2.4.1" stretchy="false" xref="Ch0.E24.m1.28.28.28.28.28.28.28.8.2.2.2.3.cmml">(</mo><mn id="Ch0.E24.m1.27.27.27.27.27.27.27.7.1.1.1.1" xref="Ch0.E24.m1.27.27.27.27.27.27.27.7.1.1.1.1.cmml">1</mn><mo id="Ch0.E24.m1.28.28.28.28.28.28.28.8.2.2.2.4.2" xref="Ch0.E24.m1.28.28.28.28.28.28.28.8.2.2.2.3.cmml">,</mo><mn id="Ch0.E24.m1.28.28.28.28.28.28.28.8.2.2.2.2" xref="Ch0.E24.m1.28.28.28.28.28.28.28.8.2.2.2.2.cmml">1</mn><mo id="Ch0.E24.m1.28.28.28.28.28.28.28.8.2.2.2.4.3" stretchy="false" xref="Ch0.E24.m1.28.28.28.28.28.28.28.8.2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow><mi id="Ch0.E24.m1.28.28.28.28.28.28.28.8.2.5" xref="Ch0.E24.m1.28.28.28.28.28.28.28.8.2.5.cmml">t</mi></msubsup></mtd><mtd id="Ch0.E24.m1.48.48.48.48.48.48x" xref="Ch0.E24.m1.48.48.48.48.48.48.cmml"><msub id="Ch0.E24.m1.30.30.30.30.30.30.30.10.2" xref="Ch0.E24.m1.30.30.30.30.30.30.30.10.2.cmml"><mi id="Ch0.E24.m1.30.30.30.30.30.30.30.10.2.4" xref="Ch0.E24.m1.30.30.30.30.30.30.30.10.2.4.cmml">e</mi><mrow id="Ch0.E24.m1.30.30.30.30.30.30.30.10.2.2.2.4" xref="Ch0.E24.m1.30.30.30.30.30.30.30.10.2.2.2.3.cmml"><mo id="Ch0.E24.m1.30.30.30.30.30.30.30.10.2.2.2.4.1" stretchy="false" xref="Ch0.E24.m1.30.30.30.30.30.30.30.10.2.2.2.3.cmml">(</mo><mn id="Ch0.E24.m1.29.29.29.29.29.29.29.9.1.1.1.1" xref="Ch0.E24.m1.29.29.29.29.29.29.29.9.1.1.1.1.cmml">0</mn><mo id="Ch0.E24.m1.30.30.30.30.30.30.30.10.2.2.2.4.2" xref="Ch0.E24.m1.30.30.30.30.30.30.30.10.2.2.2.3.cmml">,</mo><mn id="Ch0.E24.m1.30.30.30.30.30.30.30.10.2.2.2.2" xref="Ch0.E24.m1.30.30.30.30.30.30.30.10.2.2.2.2.cmml">1</mn><mo id="Ch0.E24.m1.30.30.30.30.30.30.30.10.2.2.2.4.3" stretchy="false" xref="Ch0.E24.m1.30.30.30.30.30.30.30.10.2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></msub></mtd></mtr><mtr id="Ch0.E24.m1.48.48.48.48.48.48y" xref="Ch0.E24.m1.48.48.48.48.48.48.cmml"><mtd id="Ch0.E24.m1.48.48.48.48.48.48z" xref="Ch0.E24.m1.48.48.48.48.48.48.cmml"><msubsup id="Ch0.E24.m1.32.32.32.32.32.32.32.2.2" xref="Ch0.E24.m1.32.32.32.32.32.32.32.2.2.cmml"><mi id="Ch0.E24.m1.32.32.32.32.32.32.32.2.2.4.2" xref="Ch0.E24.m1.32.32.32.32.32.32.32.2.2.4.2.cmml">d</mi><mrow id="Ch0.E24.m1.32.32.32.32.32.32.32.2.2.2.2.4" xref="Ch0.E24.m1.32.32.32.32.32.32.32.2.2.2.2.3.cmml"><mo id="Ch0.E24.m1.32.32.32.32.32.32.32.2.2.2.2.4.1" stretchy="false" xref="Ch0.E24.m1.32.32.32.32.32.32.32.2.2.2.2.3.cmml">(</mo><mn id="Ch0.E24.m1.31.31.31.31.31.31.31.1.1.1.1.1" xref="Ch0.E24.m1.31.31.31.31.31.31.31.1.1.1.1.1.cmml">1</mn><mo id="Ch0.E24.m1.32.32.32.32.32.32.32.2.2.2.2.4.2" xref="Ch0.E24.m1.32.32.32.32.32.32.32.2.2.2.2.3.cmml">,</mo><mn id="Ch0.E24.m1.32.32.32.32.32.32.32.2.2.2.2.2" xref="Ch0.E24.m1.32.32.32.32.32.32.32.2.2.2.2.2.cmml">1</mn><mo id="Ch0.E24.m1.32.32.32.32.32.32.32.2.2.2.2.4.3" stretchy="false" xref="Ch0.E24.m1.32.32.32.32.32.32.32.2.2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow><mi id="Ch0.E24.m1.32.32.32.32.32.32.32.2.2.5" xref="Ch0.E24.m1.32.32.32.32.32.32.32.2.2.5.cmml">t</mi></msubsup></mtd><mtd id="Ch0.E24.m1.48.48.48.48.48.48aa" xref="Ch0.E24.m1.48.48.48.48.48.48.cmml"><msub id="Ch0.E24.m1.34.34.34.34.34.34.34.4.2" xref="Ch0.E24.m1.34.34.34.34.34.34.34.4.2.cmml"><mover accent="true" id="Ch0.E24.m1.34.34.34.34.34.34.34.4.2.4" xref="Ch0.E24.m1.34.34.34.34.34.34.34.4.2.4.cmml"><mi id="Ch0.E24.m1.34.34.34.34.34.34.34.4.2.4.2" xref="Ch0.E24.m1.34.34.34.34.34.34.34.4.2.4.2.cmml">d</mi><mo id="Ch0.E24.m1.34.34.34.34.34.34.34.4.2.4.1" xref="Ch0.E24.m1.34.34.34.34.34.34.34.4.2.4.1.cmml">~</mo></mover><mrow id="Ch0.E24.m1.34.34.34.34.34.34.34.4.2.2.2.4" xref="Ch0.E24.m1.34.34.34.34.34.34.34.4.2.2.2.3.cmml"><mo id="Ch0.E24.m1.34.34.34.34.34.34.34.4.2.2.2.4.1" stretchy="false" xref="Ch0.E24.m1.34.34.34.34.34.34.34.4.2.2.2.3.cmml">(</mo><mn id="Ch0.E24.m1.33.33.33.33.33.33.33.3.1.1.1.1" xref="Ch0.E24.m1.33.33.33.33.33.33.33.3.1.1.1.1.cmml">0</mn><mo id="Ch0.E24.m1.34.34.34.34.34.34.34.4.2.2.2.4.2" xref="Ch0.E24.m1.34.34.34.34.34.34.34.4.2.2.2.3.cmml">,</mo><mn id="Ch0.E24.m1.34.34.34.34.34.34.34.4.2.2.2.2" xref="Ch0.E24.m1.34.34.34.34.34.34.34.4.2.2.2.2.cmml">0</mn><mo id="Ch0.E24.m1.34.34.34.34.34.34.34.4.2.2.2.4.3" stretchy="false" xref="Ch0.E24.m1.34.34.34.34.34.34.34.4.2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></msub></mtd><mtd id="Ch0.E24.m1.48.48.48.48.48.48ab" xref="Ch0.E24.m1.48.48.48.48.48.48.cmml"><msubsup id="Ch0.E24.m1.36.36.36.36.36.36.36.6.2" xref="Ch0.E24.m1.36.36.36.36.36.36.36.6.2.cmml"><mi id="Ch0.E24.m1.36.36.36.36.36.36.36.6.2.4.2" xref="Ch0.E24.m1.36.36.36.36.36.36.36.6.2.4.2.cmml">a</mi><mrow id="Ch0.E24.m1.36.36.36.36.36.36.36.6.2.2.2.4" xref="Ch0.E24.m1.36.36.36.36.36.36.36.6.2.2.2.3.cmml"><mo id="Ch0.E24.m1.36.36.36.36.36.36.36.6.2.2.2.4.1" stretchy="false" xref="Ch0.E24.m1.36.36.36.36.36.36.36.6.2.2.2.3.cmml">(</mo><mn id="Ch0.E24.m1.35.35.35.35.35.35.35.5.1.1.1.1" xref="Ch0.E24.m1.35.35.35.35.35.35.35.5.1.1.1.1.cmml">1</mn><mo id="Ch0.E24.m1.36.36.36.36.36.36.36.6.2.2.2.4.2" xref="Ch0.E24.m1.36.36.36.36.36.36.36.6.2.2.2.3.cmml">,</mo><mn id="Ch0.E24.m1.36.36.36.36.36.36.36.6.2.2.2.2" xref="Ch0.E24.m1.36.36.36.36.36.36.36.6.2.2.2.2.cmml">1</mn><mo id="Ch0.E24.m1.36.36.36.36.36.36.36.6.2.2.2.4.3" stretchy="false" xref="Ch0.E24.m1.36.36.36.36.36.36.36.6.2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow><mi id="Ch0.E24.m1.36.36.36.36.36.36.36.6.2.5" xref="Ch0.E24.m1.36.36.36.36.36.36.36.6.2.5.cmml">t</mi></msubsup></mtd><mtd id="Ch0.E24.m1.48.48.48.48.48.48ac" xref="Ch0.E24.m1.48.48.48.48.48.48.cmml"><mrow id="Ch0.E24.m1.38.38.38.38.38.38.38.8.2" xref="Ch0.E24.m1.38.38.38.38.38.38.38.8.2.cmml"><mo id="Ch0.E24.m1.38.38.38.38.38.38.38.8.2a" xref="Ch0.E24.m1.38.38.38.38.38.38.38.8.2.cmml">−</mo><msubsup id="Ch0.E24.m1.38.38.38.38.38.38.38.8.2.4" xref="Ch0.E24.m1.38.38.38.38.38.38.38.8.2.4.cmml"><mover accent="true" id="Ch0.E24.m1.38.38.38.38.38.38.38.8.2.4.2.2" xref="Ch0.E24.m1.38.38.38.38.38.38.38.8.2.4.2.2.cmml"><mi id="Ch0.E24.m1.38.38.38.38.38.38.38.8.2.4.2.2.2" xref="Ch0.E24.m1.38.38.38.38.38.38.38.8.2.4.2.2.2.cmml">a</mi><mo id="Ch0.E24.m1.38.38.38.38.38.38.38.8.2.4.2.2.1" xref="Ch0.E24.m1.38.38.38.38.38.38.38.8.2.4.2.2.1.cmml">~</mo></mover><mrow id="Ch0.E24.m1.38.38.38.38.38.38.38.8.2.2.2.4" xref="Ch0.E24.m1.38.38.38.38.38.38.38.8.2.2.2.3.cmml"><mo id="Ch0.E24.m1.38.38.38.38.38.38.38.8.2.2.2.4.1" stretchy="false" xref="Ch0.E24.m1.38.38.38.38.38.38.38.8.2.2.2.3.cmml">(</mo><mn id="Ch0.E24.m1.37.37.37.37.37.37.37.7.1.1.1.1" xref="Ch0.E24.m1.37.37.37.37.37.37.37.7.1.1.1.1.cmml">0</mn><mo id="Ch0.E24.m1.38.38.38.38.38.38.38.8.2.2.2.4.2" xref="Ch0.E24.m1.38.38.38.38.38.38.38.8.2.2.2.3.cmml">,</mo><mn id="Ch0.E24.m1.38.38.38.38.38.38.38.8.2.2.2.2" xref="Ch0.E24.m1.38.38.38.38.38.38.38.8.2.2.2.2.cmml">0</mn><mo id="Ch0.E24.m1.38.38.38.38.38.38.38.8.2.2.2.4.3" stretchy="false" xref="Ch0.E24.m1.38.38.38.38.38.38.38.8.2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow><mi id="Ch0.E24.m1.38.38.38.38.38.38.38.8.2.4.3" xref="Ch0.E24.m1.38.38.38.38.38.38.38.8.2.4.3.cmml">t</mi></msubsup></mrow></mtd><mtd id="Ch0.E24.m1.48.48.48.48.48.48ad" xref="Ch0.E24.m1.48.48.48.48.48.48.cmml"><msub id="Ch0.E24.m1.40.40.40.40.40.40.40.10.2" xref="Ch0.E24.m1.40.40.40.40.40.40.40.10.2.cmml"><mi id="Ch0.E24.m1.40.40.40.40.40.40.40.10.2.4" xref="Ch0.E24.m1.40.40.40.40.40.40.40.10.2.4.cmml">e</mi><mrow id="Ch0.E24.m1.40.40.40.40.40.40.40.10.2.2.2.4" xref="Ch0.E24.m1.40.40.40.40.40.40.40.10.2.2.2.3.cmml"><mo id="Ch0.E24.m1.40.40.40.40.40.40.40.10.2.2.2.4.1" stretchy="false" xref="Ch0.E24.m1.40.40.40.40.40.40.40.10.2.2.2.3.cmml">(</mo><mn id="Ch0.E24.m1.39.39.39.39.39.39.39.9.1.1.1.1" xref="Ch0.E24.m1.39.39.39.39.39.39.39.9.1.1.1.1.cmml">1</mn><mo id="Ch0.E24.m1.40.40.40.40.40.40.40.10.2.2.2.4.2" xref="Ch0.E24.m1.40.40.40.40.40.40.40.10.2.2.2.3.cmml">,</mo><mn id="Ch0.E24.m1.40.40.40.40.40.40.40.10.2.2.2.2" xref="Ch0.E24.m1.40.40.40.40.40.40.40.10.2.2.2.2.cmml">0</mn><mo id="Ch0.E24.m1.40.40.40.40.40.40.40.10.2.2.2.4.3" stretchy="false" xref="Ch0.E24.m1.40.40.40.40.40.40.40.10.2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></msub></mtd></mtr><mtr id="Ch0.E24.m1.48.48.48.48.48.48ae" xref="Ch0.E24.m1.48.48.48.48.48.48.cmml"><mtd id="Ch0.E24.m1.48.48.48.48.48.48af" xref="Ch0.E24.m1.48.48.48.48.48.48.cmml"><merror class="ltx_ERROR undefined undefined" id="Ch0.E24.m1.48.48.48.48.48.48.50.1.1" xref="Ch0.E24.m1.48.48.48.48.48.48.50.1.1b.cmml"><mtext id="Ch0.E24.m1.48.48.48.48.48.48.50.1.1a" xref="Ch0.E24.m1.48.48.48.48.48.48.50.1.1b.cmml">\hdashline</mtext></merror></mtd><mtd id="Ch0.E24.m1.48.48.48.48.48.48ag" xref="Ch0.E24.m1.48.48.48.48.48.48e.cmml"></mtd><mtd id="Ch0.E24.m1.48.48.48.48.48.48ah" xref="Ch0.E24.m1.48.48.48.48.48.48e.cmml"></mtd><mtd id="Ch0.E24.m1.48.48.48.48.48.48ai" xref="Ch0.E24.m1.48.48.48.48.48.48e.cmml"></mtd><mtd id="Ch0.E24.m1.48.48.48.48.48.48aj" xref="Ch0.E24.m1.48.48.48.48.48.48e.cmml"></mtd></mtr><mtr id="Ch0.E24.m1.48.48.48.48.48.48ak" xref="Ch0.E24.m1.48.48.48.48.48.48.cmml"><mtd id="Ch0.E24.m1.48.48.48.48.48.48al" xref="Ch0.E24.m1.48.48.48.48.48.48.cmml"><mrow id="Ch0.E24.m1.42.42.42.42.42.42.42.2.2" xref="Ch0.E24.m1.42.42.42.42.42.42.42.2.2.cmml"><mo id="Ch0.E24.m1.42.42.42.42.42.42.42.2.2a" xref="Ch0.E24.m1.42.42.42.42.42.42.42.2.2.cmml">−</mo><msubsup id="Ch0.E24.m1.42.42.42.42.42.42.42.2.2.4" xref="Ch0.E24.m1.42.42.42.42.42.42.42.2.2.4.cmml"><mi id="Ch0.E24.m1.42.42.42.42.42.42.42.2.2.4.2.2" xref="Ch0.E24.m1.42.42.42.42.42.42.42.2.2.4.2.2.cmml">e</mi><mrow id="Ch0.E24.m1.42.42.42.42.42.42.42.2.2.2.2.4" xref="Ch0.E24.m1.42.42.42.42.42.42.42.2.2.2.2.3.cmml"><mo id="Ch0.E24.m1.42.42.42.42.42.42.42.2.2.2.2.4.1" stretchy="false" xref="Ch0.E24.m1.42.42.42.42.42.42.42.2.2.2.2.3.cmml">(</mo><mn id="Ch0.E24.m1.41.41.41.41.41.41.41.1.1.1.1.1" xref="Ch0.E24.m1.41.41.41.41.41.41.41.1.1.1.1.1.cmml">0</mn><mo id="Ch0.E24.m1.42.42.42.42.42.42.42.2.2.2.2.4.2" xref="Ch0.E24.m1.42.42.42.42.42.42.42.2.2.2.2.3.cmml">,</mo><mn id="Ch0.E24.m1.42.42.42.42.42.42.42.2.2.2.2.2" xref="Ch0.E24.m1.42.42.42.42.42.42.42.2.2.2.2.2.cmml">1</mn><mo id="Ch0.E24.m1.42.42.42.42.42.42.42.2.2.2.2.4.3" stretchy="false" xref="Ch0.E24.m1.42.42.42.42.42.42.42.2.2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow><mi id="Ch0.E24.m1.42.42.42.42.42.42.42.2.2.4.3" xref="Ch0.E24.m1.42.42.42.42.42.42.42.2.2.4.3.cmml">t</mi></msubsup></mrow></mtd><mtd id="Ch0.E24.m1.48.48.48.48.48.48am" xref="Ch0.E24.m1.48.48.48.48.48.48.cmml"><mrow id="Ch0.E24.m1.44.44.44.44.44.44.44.4.2" xref="Ch0.E24.m1.44.44.44.44.44.44.44.4.2.cmml"><mo id="Ch0.E24.m1.44.44.44.44.44.44.44.4.2a" xref="Ch0.E24.m1.44.44.44.44.44.44.44.4.2.cmml">−</mo><msubsup id="Ch0.E24.m1.44.44.44.44.44.44.44.4.2.4" xref="Ch0.E24.m1.44.44.44.44.44.44.44.4.2.4.cmml"><mi id="Ch0.E24.m1.44.44.44.44.44.44.44.4.2.4.2.2" xref="Ch0.E24.m1.44.44.44.44.44.44.44.4.2.4.2.2.cmml">e</mi><mrow id="Ch0.E24.m1.44.44.44.44.44.44.44.4.2.2.2.4" xref="Ch0.E24.m1.44.44.44.44.44.44.44.4.2.2.2.3.cmml"><mo id="Ch0.E24.m1.44.44.44.44.44.44.44.4.2.2.2.4.1" stretchy="false" xref="Ch0.E24.m1.44.44.44.44.44.44.44.4.2.2.2.3.cmml">(</mo><mn id="Ch0.E24.m1.43.43.43.43.43.43.43.3.1.1.1.1" xref="Ch0.E24.m1.43.43.43.43.43.43.43.3.1.1.1.1.cmml">1</mn><mo id="Ch0.E24.m1.44.44.44.44.44.44.44.4.2.2.2.4.2" xref="Ch0.E24.m1.44.44.44.44.44.44.44.4.2.2.2.3.cmml">,</mo><mn id="Ch0.E24.m1.44.44.44.44.44.44.44.4.2.2.2.2" xref="Ch0.E24.m1.44.44.44.44.44.44.44.4.2.2.2.2.cmml">0</mn><mo id="Ch0.E24.m1.44.44.44.44.44.44.44.4.2.2.2.4.3" stretchy="false" xref="Ch0.E24.m1.44.44.44.44.44.44.44.4.2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow><mi id="Ch0.E24.m1.44.44.44.44.44.44.44.4.2.4.3" xref="Ch0.E24.m1.44.44.44.44.44.44.44.4.2.4.3.cmml">t</mi></msubsup></mrow></mtd><mtd id="Ch0.E24.m1.48.48.48.48.48.48an" xref="Ch0.E24.m1.48.48.48.48.48.48.cmml"><mrow id="Ch0.E24.m1.46.46.46.46.46.46.46.6.2" xref="Ch0.E24.m1.46.46.46.46.46.46.46.6.2.cmml"><mo id="Ch0.E24.m1.46.46.46.46.46.46.46.6.2a" xref="Ch0.E24.m1.46.46.46.46.46.46.46.6.2.cmml">−</mo><msubsup id="Ch0.E24.m1.46.46.46.46.46.46.46.6.2.4" xref="Ch0.E24.m1.46.46.46.46.46.46.46.6.2.4.cmml"><mi id="Ch0.E24.m1.46.46.46.46.46.46.46.6.2.4.2.2" xref="Ch0.E24.m1.46.46.46.46.46.46.46.6.2.4.2.2.cmml">c</mi><mrow id="Ch0.E24.m1.46.46.46.46.46.46.46.6.2.2.2.4" xref="Ch0.E24.m1.46.46.46.46.46.46.46.6.2.2.2.3.cmml"><mo id="Ch0.E24.m1.46.46.46.46.46.46.46.6.2.2.2.4.1" stretchy="false" xref="Ch0.E24.m1.46.46.46.46.46.46.46.6.2.2.2.3.cmml">(</mo><mn id="Ch0.E24.m1.45.45.45.45.45.45.45.5.1.1.1.1" xref="Ch0.E24.m1.45.45.45.45.45.45.45.5.1.1.1.1.cmml">0</mn><mo id="Ch0.E24.m1.46.46.46.46.46.46.46.6.2.2.2.4.2" xref="Ch0.E24.m1.46.46.46.46.46.46.46.6.2.2.2.3.cmml">,</mo><mn id="Ch0.E24.m1.46.46.46.46.46.46.46.6.2.2.2.2" xref="Ch0.E24.m1.46.46.46.46.46.46.46.6.2.2.2.2.cmml">1</mn><mo id="Ch0.E24.m1.46.46.46.46.46.46.46.6.2.2.2.4.3" 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xref="Ch0.E24.m1.48.48.48.49.1.3.1.1.cmml">p</mi></mtd></mtr><mtr id="Ch0.E24.m1.48.48.48.49.1g" xref="Ch0.E24.m1.48.48.48.49.1.cmml"><mtd id="Ch0.E24.m1.48.48.48.49.1h" xref="Ch0.E24.m1.48.48.48.49.1.cmml"><mrow id="Ch0.E24.m1.48.48.48.49.1.4.1.1" xref="Ch0.E24.m1.48.48.48.49.1.4.1.1.cmml"><mi id="Ch0.E24.m1.48.48.48.49.1.4.1.1.2" xref="Ch0.E24.m1.48.48.48.49.1.4.1.1.2.cmml">n</mi><mo id="Ch0.E24.m1.48.48.48.49.1.4.1.1.1" xref="Ch0.E24.m1.48.48.48.49.1.4.1.1.1.cmml">−</mo><mi id="Ch0.E24.m1.48.48.48.49.1.4.1.1.3" xref="Ch0.E24.m1.48.48.48.49.1.4.1.1.3.cmml">p</mi></mrow></mtd></mtr><mtr id="Ch0.E24.m1.48.48.48.49.1i" xref="Ch0.E24.m1.48.48.48.49.1.cmml"><mtd id="Ch0.E24.m1.48.48.48.49.1j" xref="Ch0.E24.m1.48.48.48.49.1.cmml"><mn id="Ch0.E24.m1.48.48.48.49.1.5.1.1" xref="Ch0.E24.m1.48.48.48.49.1.5.1.1.cmml">1</mn></mtd></mtr></mtable></mtd></mtr></mtable><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Ch0.E24.m1.48b"><matrix id="Ch0.E24.m1.48.48.cmml" xref="Ch0.E24.m1.48.48"><matrixrow 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xref="Ch0.E24.m1.48.48.49.1.1.1.4.1.2">𝑛</ci><ci id="Ch0.E24.m1.48.48.49.1.1.1.4.1.3.cmml" xref="Ch0.E24.m1.48.48.49.1.1.1.4.1.3">𝑝</ci></apply><cn id="Ch0.E24.m1.48.48.49.1.1.1.5.1.cmml" type="integer" xref="Ch0.E24.m1.48.48.49.1.1.1.5.1">1</cn></matrixrow></matrix><cerror id="Ch0.E24.m1.48.48b.cmml" xref="Ch0.E24.m1.48.48"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.E24.m1.48.48c.cmml" xref="Ch0.E24.m1.48.48">missing-subexpression</csymbol></cerror></matrixrow><matrixrow id="Ch0.E24.m1.48.48d.cmml" xref="Ch0.E24.m1.48.48"><matrix id="Ch0.E24.m1.48.48.48.48.48.48.cmml" xref="Ch0.E24.m1.48.48.48.48.48.50"><matrixrow id="Ch0.E24.m1.48.48.48.48.48.48a.cmml" xref="Ch0.E24.m1.48.48.48.48.48.50"><apply id="Ch0.E24.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="Ch0.E24.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.E24.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="Ch0.E24.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="Ch0.E24.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.4.cmml" xref="Ch0.E24.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.4">𝑎</ci><interval closure="open" id="Ch0.E24.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="Ch0.E24.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.4"><cn id="Ch0.E24.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" type="integer" xref="Ch0.E24.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1">0</cn><cn id="Ch0.E24.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.cmml" type="integer" xref="Ch0.E24.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2">0</cn></interval></apply><apply id="Ch0.E24.m1.4.4.4.4.4.4.4.4.2.cmml" xref="Ch0.E24.m1.4.4.4.4.4.4.4.4.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.E24.m1.4.4.4.4.4.4.4.4.2.3.cmml" xref="Ch0.E24.m1.4.4.4.4.4.4.4.4.2">subscript</csymbol><ci id="Ch0.E24.m1.4.4.4.4.4.4.4.4.2.4.cmml" xref="Ch0.E24.m1.4.4.4.4.4.4.4.4.2.4">𝑎</ci><interval closure="open" id="Ch0.E24.m1.4.4.4.4.4.4.4.4.2.2.2.3.cmml" xref="Ch0.E24.m1.4.4.4.4.4.4.4.4.2.2.2.4"><cn id="Ch0.E24.m1.3.3.3.3.3.3.3.3.1.1.1.1.cmml" type="integer" xref="Ch0.E24.m1.3.3.3.3.3.3.3.3.1.1.1.1">1</cn><cn id="Ch0.E24.m1.4.4.4.4.4.4.4.4.2.2.2.2.cmml" type="integer" xref="Ch0.E24.m1.4.4.4.4.4.4.4.4.2.2.2.2">1</cn></interval></apply><apply id="Ch0.E24.m1.6.6.6.6.6.6.6.6.2.cmml" xref="Ch0.E24.m1.6.6.6.6.6.6.6.6.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.E24.m1.6.6.6.6.6.6.6.6.2.3.cmml" xref="Ch0.E24.m1.6.6.6.6.6.6.6.6.2">subscript</csymbol><ci id="Ch0.E24.m1.6.6.6.6.6.6.6.6.2.4.cmml" xref="Ch0.E24.m1.6.6.6.6.6.6.6.6.2.4">𝑏</ci><interval closure="open" id="Ch0.E24.m1.6.6.6.6.6.6.6.6.2.2.2.3.cmml" xref="Ch0.E24.m1.6.6.6.6.6.6.6.6.2.2.2.4"><cn id="Ch0.E24.m1.5.5.5.5.5.5.5.5.1.1.1.1.cmml" type="integer" xref="Ch0.E24.m1.5.5.5.5.5.5.5.5.1.1.1.1">0</cn><cn id="Ch0.E24.m1.6.6.6.6.6.6.6.6.2.2.2.2.cmml" type="integer" xref="Ch0.E24.m1.6.6.6.6.6.6.6.6.2.2.2.2">0</cn></interval></apply><apply id="Ch0.E24.m1.8.8.8.8.8.8.8.8.2.cmml" xref="Ch0.E24.m1.8.8.8.8.8.8.8.8.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.E24.m1.8.8.8.8.8.8.8.8.2.3.cmml" xref="Ch0.E24.m1.8.8.8.8.8.8.8.8.2">subscript</csymbol><ci id="Ch0.E24.m1.8.8.8.8.8.8.8.8.2.4.cmml" xref="Ch0.E24.m1.8.8.8.8.8.8.8.8.2.4">𝑏</ci><interval closure="open" id="Ch0.E24.m1.8.8.8.8.8.8.8.8.2.2.2.3.cmml" xref="Ch0.E24.m1.8.8.8.8.8.8.8.8.2.2.2.4"><cn id="Ch0.E24.m1.7.7.7.7.7.7.7.7.1.1.1.1.cmml" type="integer" xref="Ch0.E24.m1.7.7.7.7.7.7.7.7.1.1.1.1">1</cn><cn id="Ch0.E24.m1.8.8.8.8.8.8.8.8.2.2.2.2.cmml" type="integer" xref="Ch0.E24.m1.8.8.8.8.8.8.8.8.2.2.2.2">1</cn></interval></apply><apply id="Ch0.E24.m1.10.10.10.10.10.10.10.10.2.cmml" xref="Ch0.E24.m1.10.10.10.10.10.10.10.10.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.E24.m1.10.10.10.10.10.10.10.10.2.3.cmml" xref="Ch0.E24.m1.10.10.10.10.10.10.10.10.2">subscript</csymbol><ci id="Ch0.E24.m1.10.10.10.10.10.10.10.10.2.4.cmml" xref="Ch0.E24.m1.10.10.10.10.10.10.10.10.2.4">𝑐</ci><interval closure="open" id="Ch0.E24.m1.10.10.10.10.10.10.10.10.2.2.2.3.cmml" xref="Ch0.E24.m1.10.10.10.10.10.10.10.10.2.2.2.4"><cn id="Ch0.E24.m1.9.9.9.9.9.9.9.9.1.1.1.1.cmml" type="integer" xref="Ch0.E24.m1.9.9.9.9.9.9.9.9.1.1.1.1">0</cn><cn id="Ch0.E24.m1.10.10.10.10.10.10.10.10.2.2.2.2.cmml" type="integer" xref="Ch0.E24.m1.10.10.10.10.10.10.10.10.2.2.2.2">1</cn></interval></apply></matrixrow><matrixrow id="Ch0.E24.m1.48.48.48.48.48.48b.cmml" xref="Ch0.E24.m1.48.48.48.48.48.50"><apply id="Ch0.E24.m1.12.12.12.12.12.12.12.2.2.cmml" xref="Ch0.E24.m1.12.12.12.12.12.12.12.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.E24.m1.12.12.12.12.12.12.12.2.2.3.cmml" xref="Ch0.E24.m1.12.12.12.12.12.12.12.2.2">subscript</csymbol><apply id="Ch0.E24.m1.12.12.12.12.12.12.12.2.2.4.cmml" xref="Ch0.E24.m1.12.12.12.12.12.12.12.2.2.4"><ci id="Ch0.E24.m1.12.12.12.12.12.12.12.2.2.4.1.cmml" xref="Ch0.E24.m1.12.12.12.12.12.12.12.2.2.4.1">~</ci><ci id="Ch0.E24.m1.12.12.12.12.12.12.12.2.2.4.2.cmml" xref="Ch0.E24.m1.12.12.12.12.12.12.12.2.2.4.2">𝑎</ci></apply><interval closure="open" id="Ch0.E24.m1.12.12.12.12.12.12.12.2.2.2.2.3.cmml" xref="Ch0.E24.m1.12.12.12.12.12.12.12.2.2.2.2.4"><cn id="Ch0.E24.m1.11.11.11.11.11.11.11.1.1.1.1.1.cmml" type="integer" xref="Ch0.E24.m1.11.11.11.11.11.11.11.1.1.1.1.1">1</cn><cn id="Ch0.E24.m1.12.12.12.12.12.12.12.2.2.2.2.2.cmml" type="integer" xref="Ch0.E24.m1.12.12.12.12.12.12.12.2.2.2.2.2">1</cn></interval></apply><apply id="Ch0.E24.m1.14.14.14.14.14.14.14.4.2.cmml" xref="Ch0.E24.m1.14.14.14.14.14.14.14.4.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.E24.m1.14.14.14.14.14.14.14.4.2.3.cmml" xref="Ch0.E24.m1.14.14.14.14.14.14.14.4.2">subscript</csymbol><apply id="Ch0.E24.m1.14.14.14.14.14.14.14.4.2.4.cmml" xref="Ch0.E24.m1.14.14.14.14.14.14.14.4.2.4"><ci id="Ch0.E24.m1.14.14.14.14.14.14.14.4.2.4.1.cmml" xref="Ch0.E24.m1.14.14.14.14.14.14.14.4.2.4.1">~</ci><ci id="Ch0.E24.m1.14.14.14.14.14.14.14.4.2.4.2.cmml" xref="Ch0.E24.m1.14.14.14.14.14.14.14.4.2.4.2">𝑎</ci></apply><interval closure="open" id="Ch0.E24.m1.14.14.14.14.14.14.14.4.2.2.2.3.cmml" xref="Ch0.E24.m1.14.14.14.14.14.14.14.4.2.2.2.4"><cn id="Ch0.E24.m1.13.13.13.13.13.13.13.3.1.1.1.1.cmml" type="integer" xref="Ch0.E24.m1.13.13.13.13.13.13.13.3.1.1.1.1">0</cn><cn id="Ch0.E24.m1.14.14.14.14.14.14.14.4.2.2.2.2.cmml" type="integer" xref="Ch0.E24.m1.14.14.14.14.14.14.14.4.2.2.2.2">0</cn></interval></apply><apply id="Ch0.E24.m1.16.16.16.16.16.16.16.6.2.cmml" xref="Ch0.E24.m1.16.16.16.16.16.16.16.6.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.E24.m1.16.16.16.16.16.16.16.6.2.3.cmml" xref="Ch0.E24.m1.16.16.16.16.16.16.16.6.2">superscript</csymbol><apply id="Ch0.E24.m1.16.16.16.16.16.16.16.6.2.4.cmml" xref="Ch0.E24.m1.16.16.16.16.16.16.16.6.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.E24.m1.16.16.16.16.16.16.16.6.2.4.1.cmml" xref="Ch0.E24.m1.16.16.16.16.16.16.16.6.2">subscript</csymbol><ci id="Ch0.E24.m1.16.16.16.16.16.16.16.6.2.4.2.cmml" xref="Ch0.E24.m1.16.16.16.16.16.16.16.6.2.4.2">𝑏</ci><interval closure="open" id="Ch0.E24.m1.16.16.16.16.16.16.16.6.2.2.2.3.cmml" xref="Ch0.E24.m1.16.16.16.16.16.16.16.6.2.2.2.4"><cn id="Ch0.E24.m1.15.15.15.15.15.15.15.5.1.1.1.1.cmml" type="integer" xref="Ch0.E24.m1.15.15.15.15.15.15.15.5.1.1.1.1">1</cn><cn id="Ch0.E24.m1.16.16.16.16.16.16.16.6.2.2.2.2.cmml" type="integer" xref="Ch0.E24.m1.16.16.16.16.16.16.16.6.2.2.2.2">1</cn></interval></apply><ci id="Ch0.E24.m1.16.16.16.16.16.16.16.6.2.5.cmml" xref="Ch0.E24.m1.16.16.16.16.16.16.16.6.2.5">𝑡</ci></apply><apply id="Ch0.E24.m1.18.18.18.18.18.18.18.8.2.cmml" xref="Ch0.E24.m1.18.18.18.18.18.18.18.8.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.E24.m1.18.18.18.18.18.18.18.8.2.3.cmml" xref="Ch0.E24.m1.18.18.18.18.18.18.18.8.2">subscript</csymbol><apply id="Ch0.E24.m1.18.18.18.18.18.18.18.8.2.4.cmml" xref="Ch0.E24.m1.18.18.18.18.18.18.18.8.2.4"><ci id="Ch0.E24.m1.18.18.18.18.18.18.18.8.2.4.1.cmml" xref="Ch0.E24.m1.18.18.18.18.18.18.18.8.2.4.1">~</ci><ci id="Ch0.E24.m1.18.18.18.18.18.18.18.8.2.4.2.cmml" xref="Ch0.E24.m1.18.18.18.18.18.18.18.8.2.4.2">𝑏</ci></apply><interval closure="open" id="Ch0.E24.m1.18.18.18.18.18.18.18.8.2.2.2.3.cmml" xref="Ch0.E24.m1.18.18.18.18.18.18.18.8.2.2.2.4"><cn id="Ch0.E24.m1.17.17.17.17.17.17.17.7.1.1.1.1.cmml" type="integer" xref="Ch0.E24.m1.17.17.17.17.17.17.17.7.1.1.1.1">0</cn><cn id="Ch0.E24.m1.18.18.18.18.18.18.18.8.2.2.2.2.cmml" type="integer" xref="Ch0.E24.m1.18.18.18.18.18.18.18.8.2.2.2.2">0</cn></interval></apply><apply id="Ch0.E24.m1.20.20.20.20.20.20.20.10.2.cmml" xref="Ch0.E24.m1.20.20.20.20.20.20.20.10.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.E24.m1.20.20.20.20.20.20.20.10.2.3.cmml" xref="Ch0.E24.m1.20.20.20.20.20.20.20.10.2">subscript</csymbol><ci id="Ch0.E24.m1.20.20.20.20.20.20.20.10.2.4.cmml" xref="Ch0.E24.m1.20.20.20.20.20.20.20.10.2.4">𝑐</ci><interval closure="open" id="Ch0.E24.m1.20.20.20.20.20.20.20.10.2.2.2.3.cmml" xref="Ch0.E24.m1.20.20.20.20.20.20.20.10.2.2.2.4"><cn id="Ch0.E24.m1.19.19.19.19.19.19.19.9.1.1.1.1.cmml" type="integer" xref="Ch0.E24.m1.19.19.19.19.19.19.19.9.1.1.1.1">1</cn><cn id="Ch0.E24.m1.20.20.20.20.20.20.20.10.2.2.2.2.cmml" type="integer" xref="Ch0.E24.m1.20.20.20.20.20.20.20.10.2.2.2.2">0</cn></interval></apply></matrixrow><matrixrow id="Ch0.E24.m1.48.48.48.48.48.48c.cmml" xref="Ch0.E24.m1.48.48.48.48.48.50"><ci id="Ch0.E24.m1.48.48.48.48.48.48.49.1.1b.cmml" xref="Ch0.E24.m1.48.48.48.48.48.48.49.1.1"><merror class="ltx_ERROR undefined undefined" id="Ch0.E24.m1.48.48.48.48.48.48.49.1.1.cmml" xref="Ch0.E24.m1.48.48.48.48.48.48.49.1.1"><mtext id="Ch0.E24.m1.48.48.48.48.48.48.49.1.1a.cmml" xref="Ch0.E24.m1.48.48.48.48.48.48.49.1.1">\hdashline</mtext></merror></ci><cerror id="Ch0.E24.m1.48.48.48.48.48.48d.cmml" xref="Ch0.E24.m1.48.48.48.48.48.50"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.E24.m1.48.48.48.48.48.48e.cmml" xref="Ch0.E24.m1.48.48.48.48.48.48o">missing-subexpression</csymbol></cerror><cerror id="Ch0.E24.m1.48.48.48.48.48.48f.cmml" xref="Ch0.E24.m1.48.48.48.48.48.50"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.E24.m1.48.48.48.48.48.48g.cmml" xref="Ch0.E24.m1.48.48.48.48.48.48o">missing-subexpression</csymbol></cerror><cerror id="Ch0.E24.m1.48.48.48.48.48.48h.cmml" xref="Ch0.E24.m1.48.48.48.48.48.50"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.E24.m1.48.48.48.48.48.48i.cmml" xref="Ch0.E24.m1.48.48.48.48.48.48o">missing-subexpression</csymbol></cerror><cerror id="Ch0.E24.m1.48.48.48.48.48.48j.cmml" xref="Ch0.E24.m1.48.48.48.48.48.50"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.E24.m1.48.48.48.48.48.48k.cmml" xref="Ch0.E24.m1.48.48.48.48.48.48o">missing-subexpression</csymbol></cerror></matrixrow><matrixrow id="Ch0.E24.m1.48.48.48.48.48.48l.cmml" xref="Ch0.E24.m1.48.48.48.48.48.50"><apply id="Ch0.E24.m1.22.22.22.22.22.22.22.2.2.cmml" xref="Ch0.E24.m1.22.22.22.22.22.22.22.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.E24.m1.22.22.22.22.22.22.22.2.2.3.cmml" xref="Ch0.E24.m1.22.22.22.22.22.22.22.2.2">subscript</csymbol><ci id="Ch0.E24.m1.22.22.22.22.22.22.22.2.2.4.cmml" xref="Ch0.E24.m1.22.22.22.22.22.22.22.2.2.4">𝑑</ci><interval closure="open" id="Ch0.E24.m1.22.22.22.22.22.22.22.2.2.2.2.3.cmml" xref="Ch0.E24.m1.22.22.22.22.22.22.22.2.2.2.2.4"><cn id="Ch0.E24.m1.21.21.21.21.21.21.21.1.1.1.1.1.cmml" type="integer" xref="Ch0.E24.m1.21.21.21.21.21.21.21.1.1.1.1.1">0</cn><cn id="Ch0.E24.m1.22.22.22.22.22.22.22.2.2.2.2.2.cmml" type="integer" xref="Ch0.E24.m1.22.22.22.22.22.22.22.2.2.2.2.2">0</cn></interval></apply><apply id="Ch0.E24.m1.24.24.24.24.24.24.24.4.2.cmml" xref="Ch0.E24.m1.24.24.24.24.24.24.24.4.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.E24.m1.24.24.24.24.24.24.24.4.2.3.cmml" xref="Ch0.E24.m1.24.24.24.24.24.24.24.4.2">subscript</csymbol><ci id="Ch0.E24.m1.24.24.24.24.24.24.24.4.2.4.cmml" xref="Ch0.E24.m1.24.24.24.24.24.24.24.4.2.4">𝑑</ci><interval closure="open" id="Ch0.E24.m1.24.24.24.24.24.24.24.4.2.2.2.3.cmml" xref="Ch0.E24.m1.24.24.24.24.24.24.24.4.2.2.2.4"><cn id="Ch0.E24.m1.23.23.23.23.23.23.23.3.1.1.1.1.cmml" type="integer" xref="Ch0.E24.m1.23.23.23.23.23.23.23.3.1.1.1.1">1</cn><cn id="Ch0.E24.m1.24.24.24.24.24.24.24.4.2.2.2.2.cmml" type="integer" xref="Ch0.E24.m1.24.24.24.24.24.24.24.4.2.2.2.2">1</cn></interval></apply><apply id="Ch0.E24.m1.26.26.26.26.26.26.26.6.2.cmml" xref="Ch0.E24.m1.26.26.26.26.26.26.26.6.2"><minus id="Ch0.E24.m1.26.26.26.26.26.26.26.6.2.3.cmml" xref="Ch0.E24.m1.26.26.26.26.26.26.26.6.2"></minus><apply id="Ch0.E24.m1.26.26.26.26.26.26.26.6.2.4.cmml" xref="Ch0.E24.m1.26.26.26.26.26.26.26.6.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.E24.m1.26.26.26.26.26.26.26.6.2.4.1.cmml" xref="Ch0.E24.m1.26.26.26.26.26.26.26.6.2.4">superscript</csymbol><apply id="Ch0.E24.m1.26.26.26.26.26.26.26.6.2.4.2.cmml" xref="Ch0.E24.m1.26.26.26.26.26.26.26.6.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.E24.m1.26.26.26.26.26.26.26.6.2.4.2.1.cmml" xref="Ch0.E24.m1.26.26.26.26.26.26.26.6.2.4">subscript</csymbol><ci id="Ch0.E24.m1.26.26.26.26.26.26.26.6.2.4.2.2.cmml" xref="Ch0.E24.m1.26.26.26.26.26.26.26.6.2.4.2.2">𝑎</ci><interval closure="open" id="Ch0.E24.m1.26.26.26.26.26.26.26.6.2.2.2.3.cmml" xref="Ch0.E24.m1.26.26.26.26.26.26.26.6.2.2.2.4"><cn id="Ch0.E24.m1.25.25.25.25.25.25.25.5.1.1.1.1.cmml" type="integer" xref="Ch0.E24.m1.25.25.25.25.25.25.25.5.1.1.1.1">0</cn><cn id="Ch0.E24.m1.26.26.26.26.26.26.26.6.2.2.2.2.cmml" type="integer" xref="Ch0.E24.m1.26.26.26.26.26.26.26.6.2.2.2.2">0</cn></interval></apply><ci id="Ch0.E24.m1.26.26.26.26.26.26.26.6.2.4.3.cmml" xref="Ch0.E24.m1.26.26.26.26.26.26.26.6.2.4.3">𝑡</ci></apply></apply><apply id="Ch0.E24.m1.28.28.28.28.28.28.28.8.2.cmml" xref="Ch0.E24.m1.28.28.28.28.28.28.28.8.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.E24.m1.28.28.28.28.28.28.28.8.2.3.cmml" xref="Ch0.E24.m1.28.28.28.28.28.28.28.8.2">superscript</csymbol><apply id="Ch0.E24.m1.28.28.28.28.28.28.28.8.2.4.cmml" xref="Ch0.E24.m1.28.28.28.28.28.28.28.8.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.E24.m1.28.28.28.28.28.28.28.8.2.4.1.cmml" xref="Ch0.E24.m1.28.28.28.28.28.28.28.8.2">subscript</csymbol><apply id="Ch0.E24.m1.28.28.28.28.28.28.28.8.2.4.2.cmml" xref="Ch0.E24.m1.28.28.28.28.28.28.28.8.2.4.2"><ci id="Ch0.E24.m1.28.28.28.28.28.28.28.8.2.4.2.1.cmml" xref="Ch0.E24.m1.28.28.28.28.28.28.28.8.2.4.2.1">~</ci><ci id="Ch0.E24.m1.28.28.28.28.28.28.28.8.2.4.2.2.cmml" xref="Ch0.E24.m1.28.28.28.28.28.28.28.8.2.4.2.2">𝑎</ci></apply><interval closure="open" id="Ch0.E24.m1.28.28.28.28.28.28.28.8.2.2.2.3.cmml" xref="Ch0.E24.m1.28.28.28.28.28.28.28.8.2.2.2.4"><cn id="Ch0.E24.m1.27.27.27.27.27.27.27.7.1.1.1.1.cmml" type="integer" xref="Ch0.E24.m1.27.27.27.27.27.27.27.7.1.1.1.1">1</cn><cn id="Ch0.E24.m1.28.28.28.28.28.28.28.8.2.2.2.2.cmml" type="integer" xref="Ch0.E24.m1.28.28.28.28.28.28.28.8.2.2.2.2">1</cn></interval></apply><ci id="Ch0.E24.m1.28.28.28.28.28.28.28.8.2.5.cmml" xref="Ch0.E24.m1.28.28.28.28.28.28.28.8.2.5">𝑡</ci></apply><apply id="Ch0.E24.m1.30.30.30.30.30.30.30.10.2.cmml" xref="Ch0.E24.m1.30.30.30.30.30.30.30.10.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.E24.m1.30.30.30.30.30.30.30.10.2.3.cmml" xref="Ch0.E24.m1.30.30.30.30.30.30.30.10.2">subscript</csymbol><ci id="Ch0.E24.m1.30.30.30.30.30.30.30.10.2.4.cmml" xref="Ch0.E24.m1.30.30.30.30.30.30.30.10.2.4">𝑒</ci><interval closure="open" id="Ch0.E24.m1.30.30.30.30.30.30.30.10.2.2.2.3.cmml" xref="Ch0.E24.m1.30.30.30.30.30.30.30.10.2.2.2.4"><cn id="Ch0.E24.m1.29.29.29.29.29.29.29.9.1.1.1.1.cmml" type="integer" xref="Ch0.E24.m1.29.29.29.29.29.29.29.9.1.1.1.1">0</cn><cn id="Ch0.E24.m1.30.30.30.30.30.30.30.10.2.2.2.2.cmml" type="integer" xref="Ch0.E24.m1.30.30.30.30.30.30.30.10.2.2.2.2">1</cn></interval></apply></matrixrow><matrixrow id="Ch0.E24.m1.48.48.48.48.48.48m.cmml" xref="Ch0.E24.m1.48.48.48.48.48.50"><apply id="Ch0.E24.m1.32.32.32.32.32.32.32.2.2.cmml" xref="Ch0.E24.m1.32.32.32.32.32.32.32.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.E24.m1.32.32.32.32.32.32.32.2.2.3.cmml" xref="Ch0.E24.m1.32.32.32.32.32.32.32.2.2">superscript</csymbol><apply id="Ch0.E24.m1.32.32.32.32.32.32.32.2.2.4.cmml" xref="Ch0.E24.m1.32.32.32.32.32.32.32.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.E24.m1.32.32.32.32.32.32.32.2.2.4.1.cmml" xref="Ch0.E24.m1.32.32.32.32.32.32.32.2.2">subscript</csymbol><ci id="Ch0.E24.m1.32.32.32.32.32.32.32.2.2.4.2.cmml" xref="Ch0.E24.m1.32.32.32.32.32.32.32.2.2.4.2">𝑑</ci><interval closure="open" id="Ch0.E24.m1.32.32.32.32.32.32.32.2.2.2.2.3.cmml" xref="Ch0.E24.m1.32.32.32.32.32.32.32.2.2.2.2.4"><cn id="Ch0.E24.m1.31.31.31.31.31.31.31.1.1.1.1.1.cmml" type="integer" xref="Ch0.E24.m1.31.31.31.31.31.31.31.1.1.1.1.1">1</cn><cn id="Ch0.E24.m1.32.32.32.32.32.32.32.2.2.2.2.2.cmml" type="integer" xref="Ch0.E24.m1.32.32.32.32.32.32.32.2.2.2.2.2">1</cn></interval></apply><ci id="Ch0.E24.m1.32.32.32.32.32.32.32.2.2.5.cmml" xref="Ch0.E24.m1.32.32.32.32.32.32.32.2.2.5">𝑡</ci></apply><apply id="Ch0.E24.m1.34.34.34.34.34.34.34.4.2.cmml" xref="Ch0.E24.m1.34.34.34.34.34.34.34.4.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.E24.m1.34.34.34.34.34.34.34.4.2.3.cmml" xref="Ch0.E24.m1.34.34.34.34.34.34.34.4.2">subscript</csymbol><apply id="Ch0.E24.m1.34.34.34.34.34.34.34.4.2.4.cmml" xref="Ch0.E24.m1.34.34.34.34.34.34.34.4.2.4"><ci id="Ch0.E24.m1.34.34.34.34.34.34.34.4.2.4.1.cmml" xref="Ch0.E24.m1.34.34.34.34.34.34.34.4.2.4.1">~</ci><ci id="Ch0.E24.m1.34.34.34.34.34.34.34.4.2.4.2.cmml" xref="Ch0.E24.m1.34.34.34.34.34.34.34.4.2.4.2">𝑑</ci></apply><interval closure="open" id="Ch0.E24.m1.34.34.34.34.34.34.34.4.2.2.2.3.cmml" xref="Ch0.E24.m1.34.34.34.34.34.34.34.4.2.2.2.4"><cn id="Ch0.E24.m1.33.33.33.33.33.33.33.3.1.1.1.1.cmml" type="integer" xref="Ch0.E24.m1.33.33.33.33.33.33.33.3.1.1.1.1">0</cn><cn id="Ch0.E24.m1.34.34.34.34.34.34.34.4.2.2.2.2.cmml" type="integer" xref="Ch0.E24.m1.34.34.34.34.34.34.34.4.2.2.2.2">0</cn></interval></apply><apply id="Ch0.E24.m1.36.36.36.36.36.36.36.6.2.cmml" xref="Ch0.E24.m1.36.36.36.36.36.36.36.6.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.E24.m1.36.36.36.36.36.36.36.6.2.3.cmml" xref="Ch0.E24.m1.36.36.36.36.36.36.36.6.2">superscript</csymbol><apply id="Ch0.E24.m1.36.36.36.36.36.36.36.6.2.4.cmml" xref="Ch0.E24.m1.36.36.36.36.36.36.36.6.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.E24.m1.36.36.36.36.36.36.36.6.2.4.1.cmml" xref="Ch0.E24.m1.36.36.36.36.36.36.36.6.2">subscript</csymbol><ci id="Ch0.E24.m1.36.36.36.36.36.36.36.6.2.4.2.cmml" xref="Ch0.E24.m1.36.36.36.36.36.36.36.6.2.4.2">𝑎</ci><interval closure="open" id="Ch0.E24.m1.36.36.36.36.36.36.36.6.2.2.2.3.cmml" xref="Ch0.E24.m1.36.36.36.36.36.36.36.6.2.2.2.4"><cn id="Ch0.E24.m1.35.35.35.35.35.35.35.5.1.1.1.1.cmml" type="integer" xref="Ch0.E24.m1.35.35.35.35.35.35.35.5.1.1.1.1">1</cn><cn id="Ch0.E24.m1.36.36.36.36.36.36.36.6.2.2.2.2.cmml" type="integer" xref="Ch0.E24.m1.36.36.36.36.36.36.36.6.2.2.2.2">1</cn></interval></apply><ci id="Ch0.E24.m1.36.36.36.36.36.36.36.6.2.5.cmml" xref="Ch0.E24.m1.36.36.36.36.36.36.36.6.2.5">𝑡</ci></apply><apply id="Ch0.E24.m1.38.38.38.38.38.38.38.8.2.cmml" xref="Ch0.E24.m1.38.38.38.38.38.38.38.8.2"><minus id="Ch0.E24.m1.38.38.38.38.38.38.38.8.2.3.cmml" xref="Ch0.E24.m1.38.38.38.38.38.38.38.8.2"></minus><apply id="Ch0.E24.m1.38.38.38.38.38.38.38.8.2.4.cmml" xref="Ch0.E24.m1.38.38.38.38.38.38.38.8.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.E24.m1.38.38.38.38.38.38.38.8.2.4.1.cmml" xref="Ch0.E24.m1.38.38.38.38.38.38.38.8.2.4">superscript</csymbol><apply id="Ch0.E24.m1.38.38.38.38.38.38.38.8.2.4.2.cmml" xref="Ch0.E24.m1.38.38.38.38.38.38.38.8.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.E24.m1.38.38.38.38.38.38.38.8.2.4.2.1.cmml" xref="Ch0.E24.m1.38.38.38.38.38.38.38.8.2.4">subscript</csymbol><apply id="Ch0.E24.m1.38.38.38.38.38.38.38.8.2.4.2.2.cmml" xref="Ch0.E24.m1.38.38.38.38.38.38.38.8.2.4.2.2"><ci id="Ch0.E24.m1.38.38.38.38.38.38.38.8.2.4.2.2.1.cmml" xref="Ch0.E24.m1.38.38.38.38.38.38.38.8.2.4.2.2.1">~</ci><ci id="Ch0.E24.m1.38.38.38.38.38.38.38.8.2.4.2.2.2.cmml" xref="Ch0.E24.m1.38.38.38.38.38.38.38.8.2.4.2.2.2">𝑎</ci></apply><interval closure="open" id="Ch0.E24.m1.38.38.38.38.38.38.38.8.2.2.2.3.cmml" xref="Ch0.E24.m1.38.38.38.38.38.38.38.8.2.2.2.4"><cn id="Ch0.E24.m1.37.37.37.37.37.37.37.7.1.1.1.1.cmml" type="integer" xref="Ch0.E24.m1.37.37.37.37.37.37.37.7.1.1.1.1">0</cn><cn id="Ch0.E24.m1.38.38.38.38.38.38.38.8.2.2.2.2.cmml" type="integer" xref="Ch0.E24.m1.38.38.38.38.38.38.38.8.2.2.2.2">0</cn></interval></apply><ci id="Ch0.E24.m1.38.38.38.38.38.38.38.8.2.4.3.cmml" xref="Ch0.E24.m1.38.38.38.38.38.38.38.8.2.4.3">𝑡</ci></apply></apply><apply id="Ch0.E24.m1.40.40.40.40.40.40.40.10.2.cmml" xref="Ch0.E24.m1.40.40.40.40.40.40.40.10.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.E24.m1.40.40.40.40.40.40.40.10.2.3.cmml" xref="Ch0.E24.m1.40.40.40.40.40.40.40.10.2">subscript</csymbol><ci id="Ch0.E24.m1.40.40.40.40.40.40.40.10.2.4.cmml" xref="Ch0.E24.m1.40.40.40.40.40.40.40.10.2.4">𝑒</ci><interval closure="open" id="Ch0.E24.m1.40.40.40.40.40.40.40.10.2.2.2.3.cmml" xref="Ch0.E24.m1.40.40.40.40.40.40.40.10.2.2.2.4"><cn id="Ch0.E24.m1.39.39.39.39.39.39.39.9.1.1.1.1.cmml" type="integer" xref="Ch0.E24.m1.39.39.39.39.39.39.39.9.1.1.1.1">1</cn><cn id="Ch0.E24.m1.40.40.40.40.40.40.40.10.2.2.2.2.cmml" type="integer" xref="Ch0.E24.m1.40.40.40.40.40.40.40.10.2.2.2.2">0</cn></interval></apply></matrixrow><matrixrow id="Ch0.E24.m1.48.48.48.48.48.48n.cmml" xref="Ch0.E24.m1.48.48.48.48.48.50"><ci id="Ch0.E24.m1.48.48.48.48.48.48.50.1.1b.cmml" xref="Ch0.E24.m1.48.48.48.48.48.48.50.1.1"><merror class="ltx_ERROR undefined undefined" id="Ch0.E24.m1.48.48.48.48.48.48.50.1.1.cmml" xref="Ch0.E24.m1.48.48.48.48.48.48.50.1.1"><mtext id="Ch0.E24.m1.48.48.48.48.48.48.50.1.1a.cmml" xref="Ch0.E24.m1.48.48.48.48.48.48.50.1.1">\hdashline</mtext></merror></ci><cerror id="Ch0.E24.m1.48.48.48.48.48.48o.cmml" xref="Ch0.E24.m1.48.48.48.48.48.50"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.E24.m1.48.48.48.48.48.48p.cmml" xref="Ch0.E24.m1.48.48.48.48.48.48o">missing-subexpression</csymbol></cerror><cerror id="Ch0.E24.m1.48.48.48.48.48.48q.cmml" xref="Ch0.E24.m1.48.48.48.48.48.50"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.E24.m1.48.48.48.48.48.48r.cmml" xref="Ch0.E24.m1.48.48.48.48.48.48o">missing-subexpression</csymbol></cerror><cerror id="Ch0.E24.m1.48.48.48.48.48.48s.cmml" xref="Ch0.E24.m1.48.48.48.48.48.50"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.E24.m1.48.48.48.48.48.48t.cmml" xref="Ch0.E24.m1.48.48.48.48.48.48o">missing-subexpression</csymbol></cerror><cerror id="Ch0.E24.m1.48.48.48.48.48.48u.cmml" xref="Ch0.E24.m1.48.48.48.48.48.50"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.E24.m1.48.48.48.48.48.48v.cmml" xref="Ch0.E24.m1.48.48.48.48.48.48o">missing-subexpression</csymbol></cerror></matrixrow><matrixrow id="Ch0.E24.m1.48.48.48.48.48.48w.cmml" xref="Ch0.E24.m1.48.48.48.48.48.50"><apply id="Ch0.E24.m1.42.42.42.42.42.42.42.2.2.cmml" xref="Ch0.E24.m1.42.42.42.42.42.42.42.2.2"><minus id="Ch0.E24.m1.42.42.42.42.42.42.42.2.2.3.cmml" xref="Ch0.E24.m1.42.42.42.42.42.42.42.2.2"></minus><apply id="Ch0.E24.m1.42.42.42.42.42.42.42.2.2.4.cmml" xref="Ch0.E24.m1.42.42.42.42.42.42.42.2.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.E24.m1.42.42.42.42.42.42.42.2.2.4.1.cmml" xref="Ch0.E24.m1.42.42.42.42.42.42.42.2.2.4">superscript</csymbol><apply id="Ch0.E24.m1.42.42.42.42.42.42.42.2.2.4.2.cmml" xref="Ch0.E24.m1.42.42.42.42.42.42.42.2.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.E24.m1.42.42.42.42.42.42.42.2.2.4.2.1.cmml" xref="Ch0.E24.m1.42.42.42.42.42.42.42.2.2.4">subscript</csymbol><ci id="Ch0.E24.m1.42.42.42.42.42.42.42.2.2.4.2.2.cmml" xref="Ch0.E24.m1.42.42.42.42.42.42.42.2.2.4.2.2">𝑒</ci><interval closure="open" id="Ch0.E24.m1.42.42.42.42.42.42.42.2.2.2.2.3.cmml" xref="Ch0.E24.m1.42.42.42.42.42.42.42.2.2.2.2.4"><cn id="Ch0.E24.m1.41.41.41.41.41.41.41.1.1.1.1.1.cmml" type="integer" xref="Ch0.E24.m1.41.41.41.41.41.41.41.1.1.1.1.1">0</cn><cn id="Ch0.E24.m1.42.42.42.42.42.42.42.2.2.2.2.2.cmml" type="integer" xref="Ch0.E24.m1.42.42.42.42.42.42.42.2.2.2.2.2">1</cn></interval></apply><ci id="Ch0.E24.m1.42.42.42.42.42.42.42.2.2.4.3.cmml" xref="Ch0.E24.m1.42.42.42.42.42.42.42.2.2.4.3">𝑡</ci></apply></apply><apply id="Ch0.E24.m1.44.44.44.44.44.44.44.4.2.cmml" xref="Ch0.E24.m1.44.44.44.44.44.44.44.4.2"><minus id="Ch0.E24.m1.44.44.44.44.44.44.44.4.2.3.cmml" xref="Ch0.E24.m1.44.44.44.44.44.44.44.4.2"></minus><apply id="Ch0.E24.m1.44.44.44.44.44.44.44.4.2.4.cmml" xref="Ch0.E24.m1.44.44.44.44.44.44.44.4.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.E24.m1.44.44.44.44.44.44.44.4.2.4.1.cmml" xref="Ch0.E24.m1.44.44.44.44.44.44.44.4.2.4">superscript</csymbol><apply id="Ch0.E24.m1.44.44.44.44.44.44.44.4.2.4.2.cmml" xref="Ch0.E24.m1.44.44.44.44.44.44.44.4.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.E24.m1.44.44.44.44.44.44.44.4.2.4.2.1.cmml" xref="Ch0.E24.m1.44.44.44.44.44.44.44.4.2.4">subscript</csymbol><ci id="Ch0.E24.m1.44.44.44.44.44.44.44.4.2.4.2.2.cmml" xref="Ch0.E24.m1.44.44.44.44.44.44.44.4.2.4.2.2">𝑒</ci><interval closure="open" id="Ch0.E24.m1.44.44.44.44.44.44.44.4.2.2.2.3.cmml" xref="Ch0.E24.m1.44.44.44.44.44.44.44.4.2.2.2.4"><cn id="Ch0.E24.m1.43.43.43.43.43.43.43.3.1.1.1.1.cmml" type="integer" xref="Ch0.E24.m1.43.43.43.43.43.43.43.3.1.1.1.1">1</cn><cn id="Ch0.E24.m1.44.44.44.44.44.44.44.4.2.2.2.2.cmml" type="integer" xref="Ch0.E24.m1.44.44.44.44.44.44.44.4.2.2.2.2">0</cn></interval></apply><ci id="Ch0.E24.m1.44.44.44.44.44.44.44.4.2.4.3.cmml" xref="Ch0.E24.m1.44.44.44.44.44.44.44.4.2.4.3">𝑡</ci></apply></apply><apply id="Ch0.E24.m1.46.46.46.46.46.46.46.6.2.cmml" xref="Ch0.E24.m1.46.46.46.46.46.46.46.6.2"><minus id="Ch0.E24.m1.46.46.46.46.46.46.46.6.2.3.cmml" xref="Ch0.E24.m1.46.46.46.46.46.46.46.6.2"></minus><apply id="Ch0.E24.m1.46.46.46.46.46.46.46.6.2.4.cmml" xref="Ch0.E24.m1.46.46.46.46.46.46.46.6.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.E24.m1.46.46.46.46.46.46.46.6.2.4.1.cmml" xref="Ch0.E24.m1.46.46.46.46.46.46.46.6.2.4">superscript</csymbol><apply id="Ch0.E24.m1.46.46.46.46.46.46.46.6.2.4.2.cmml" xref="Ch0.E24.m1.46.46.46.46.46.46.46.6.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.E24.m1.46.46.46.46.46.46.46.6.2.4.2.1.cmml" xref="Ch0.E24.m1.46.46.46.46.46.46.46.6.2.4">subscript</csymbol><ci id="Ch0.E24.m1.46.46.46.46.46.46.46.6.2.4.2.2.cmml" 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cd="ambiguous" id="Ch0.S3.p10.7.m3.2.3.1.cmml" xref="Ch0.S3.p10.7.m3.2.3">subscript</csymbol><ci id="Ch0.S3.p10.7.m3.2.3.2.cmml" xref="Ch0.S3.p10.7.m3.2.3.2">𝑑</ci><interval closure="open" id="Ch0.S3.p10.7.m3.2.2.2.3.cmml" xref="Ch0.S3.p10.7.m3.2.2.2.4"><cn id="Ch0.S3.p10.7.m3.1.1.1.1.cmml" type="integer" xref="Ch0.S3.p10.7.m3.1.1.1.1">0</cn><cn id="Ch0.S3.p10.7.m3.2.2.2.2.cmml" type="integer" xref="Ch0.S3.p10.7.m3.2.2.2.2">0</cn></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Ch0.S3.p10.7.m3.2c">d_{(0,0)}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Ch0.S3.p10.7.m3.2d">italic_d start_POSTSUBSCRIPT ( 0 , 0 ) end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> and <math alttext="\tilde{d}_{(0,0)}" class="ltx_Math" display="inline" id="Ch0.S3.p10.8.m4.2"><semantics id="Ch0.S3.p10.8.m4.2a"><msub id="Ch0.S3.p10.8.m4.2.3" xref="Ch0.S3.p10.8.m4.2.3.cmml"><mover accent="true" id="Ch0.S3.p10.8.m4.2.3.2" xref="Ch0.S3.p10.8.m4.2.3.2.cmml"><mi id="Ch0.S3.p10.8.m4.2.3.2.2" xref="Ch0.S3.p10.8.m4.2.3.2.2.cmml">d</mi><mo id="Ch0.S3.p10.8.m4.2.3.2.1" xref="Ch0.S3.p10.8.m4.2.3.2.1.cmml">~</mo></mover><mrow id="Ch0.S3.p10.8.m4.2.2.2.4" xref="Ch0.S3.p10.8.m4.2.2.2.3.cmml"><mo id="Ch0.S3.p10.8.m4.2.2.2.4.1" stretchy="false" xref="Ch0.S3.p10.8.m4.2.2.2.3.cmml">(</mo><mn id="Ch0.S3.p10.8.m4.1.1.1.1" xref="Ch0.S3.p10.8.m4.1.1.1.1.cmml">0</mn><mo id="Ch0.S3.p10.8.m4.2.2.2.4.2" xref="Ch0.S3.p10.8.m4.2.2.2.3.cmml">,</mo><mn id="Ch0.S3.p10.8.m4.2.2.2.2" xref="Ch0.S3.p10.8.m4.2.2.2.2.cmml">0</mn><mo id="Ch0.S3.p10.8.m4.2.2.2.4.3" stretchy="false" xref="Ch0.S3.p10.8.m4.2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Ch0.S3.p10.8.m4.2b"><apply id="Ch0.S3.p10.8.m4.2.3.cmml" xref="Ch0.S3.p10.8.m4.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.S3.p10.8.m4.2.3.1.cmml" xref="Ch0.S3.p10.8.m4.2.3">subscript</csymbol><apply id="Ch0.S3.p10.8.m4.2.3.2.cmml" xref="Ch0.S3.p10.8.m4.2.3.2"><ci id="Ch0.S3.p10.8.m4.2.3.2.1.cmml" xref="Ch0.S3.p10.8.m4.2.3.2.1">~</ci><ci id="Ch0.S3.p10.8.m4.2.3.2.2.cmml" xref="Ch0.S3.p10.8.m4.2.3.2.2">𝑑</ci></apply><interval closure="open" id="Ch0.S3.p10.8.m4.2.2.2.3.cmml" xref="Ch0.S3.p10.8.m4.2.2.2.4"><cn id="Ch0.S3.p10.8.m4.1.1.1.1.cmml" type="integer" xref="Ch0.S3.p10.8.m4.1.1.1.1">0</cn><cn id="Ch0.S3.p10.8.m4.2.2.2.2.cmml" type="integer" xref="Ch0.S3.p10.8.m4.2.2.2.2">0</cn></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Ch0.S3.p10.8.m4.2c">\tilde{d}_{(0,0)}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Ch0.S3.p10.8.m4.2d">over~ start_ARG italic_d end_ARG start_POSTSUBSCRIPT ( 0 , 0 ) end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> are antisymmetric matrices. There are some other matrix forms for <math alttext="\mathfrak{g}=\mathfrak{so}_{p}(2n+1)" class="ltx_Math" display="inline" id="Ch0.S3.p10.9.m5.1"><semantics id="Ch0.S3.p10.9.m5.1a"><mrow id="Ch0.S3.p10.9.m5.1.1" xref="Ch0.S3.p10.9.m5.1.1.cmml"><mi id="Ch0.S3.p10.9.m5.1.1.3" xref="Ch0.S3.p10.9.m5.1.1.3.cmml">𝔤</mi><mo id="Ch0.S3.p10.9.m5.1.1.2" xref="Ch0.S3.p10.9.m5.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="Ch0.S3.p10.9.m5.1.1.1" xref="Ch0.S3.p10.9.m5.1.1.1.cmml"><mi id="Ch0.S3.p10.9.m5.1.1.1.3" xref="Ch0.S3.p10.9.m5.1.1.1.3.cmml">𝔰</mi><mo id="Ch0.S3.p10.9.m5.1.1.1.2" xref="Ch0.S3.p10.9.m5.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="Ch0.S3.p10.9.m5.1.1.1.4" xref="Ch0.S3.p10.9.m5.1.1.1.4.cmml"><mi id="Ch0.S3.p10.9.m5.1.1.1.4.2" xref="Ch0.S3.p10.9.m5.1.1.1.4.2.cmml">𝔬</mi><mi id="Ch0.S3.p10.9.m5.1.1.1.4.3" xref="Ch0.S3.p10.9.m5.1.1.1.4.3.cmml">p</mi></msub><mo id="Ch0.S3.p10.9.m5.1.1.1.2a" xref="Ch0.S3.p10.9.m5.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="Ch0.S3.p10.9.m5.1.1.1.1.1" xref="Ch0.S3.p10.9.m5.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="Ch0.S3.p10.9.m5.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="Ch0.S3.p10.9.m5.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="Ch0.S3.p10.9.m5.1.1.1.1.1.1" xref="Ch0.S3.p10.9.m5.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="Ch0.S3.p10.9.m5.1.1.1.1.1.1.2" xref="Ch0.S3.p10.9.m5.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mn id="Ch0.S3.p10.9.m5.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="Ch0.S3.p10.9.m5.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">2</mn><mo id="Ch0.S3.p10.9.m5.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="Ch0.S3.p10.9.m5.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="Ch0.S3.p10.9.m5.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="Ch0.S3.p10.9.m5.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">n</mi></mrow><mo id="Ch0.S3.p10.9.m5.1.1.1.1.1.1.1" xref="Ch0.S3.p10.9.m5.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mn id="Ch0.S3.p10.9.m5.1.1.1.1.1.1.3" xref="Ch0.S3.p10.9.m5.1.1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="Ch0.S3.p10.9.m5.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="Ch0.S3.p10.9.m5.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Ch0.S3.p10.9.m5.1b"><apply id="Ch0.S3.p10.9.m5.1.1.cmml" xref="Ch0.S3.p10.9.m5.1.1"><eq id="Ch0.S3.p10.9.m5.1.1.2.cmml" xref="Ch0.S3.p10.9.m5.1.1.2"></eq><ci id="Ch0.S3.p10.9.m5.1.1.3.cmml" xref="Ch0.S3.p10.9.m5.1.1.3">𝔤</ci><apply id="Ch0.S3.p10.9.m5.1.1.1.cmml" xref="Ch0.S3.p10.9.m5.1.1.1"><times id="Ch0.S3.p10.9.m5.1.1.1.2.cmml" xref="Ch0.S3.p10.9.m5.1.1.1.2"></times><ci id="Ch0.S3.p10.9.m5.1.1.1.3.cmml" xref="Ch0.S3.p10.9.m5.1.1.1.3">𝔰</ci><apply id="Ch0.S3.p10.9.m5.1.1.1.4.cmml" xref="Ch0.S3.p10.9.m5.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.S3.p10.9.m5.1.1.1.4.1.cmml" xref="Ch0.S3.p10.9.m5.1.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="Ch0.S3.p10.9.m5.1.1.1.4.2.cmml" xref="Ch0.S3.p10.9.m5.1.1.1.4.2">𝔬</ci><ci id="Ch0.S3.p10.9.m5.1.1.1.4.3.cmml" xref="Ch0.S3.p10.9.m5.1.1.1.4.3">𝑝</ci></apply><apply id="Ch0.S3.p10.9.m5.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="Ch0.S3.p10.9.m5.1.1.1.1.1"><plus id="Ch0.S3.p10.9.m5.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="Ch0.S3.p10.9.m5.1.1.1.1.1.1.1"></plus><apply id="Ch0.S3.p10.9.m5.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="Ch0.S3.p10.9.m5.1.1.1.1.1.1.2"><times id="Ch0.S3.p10.9.m5.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="Ch0.S3.p10.9.m5.1.1.1.1.1.1.2.1"></times><cn id="Ch0.S3.p10.9.m5.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" type="integer" xref="Ch0.S3.p10.9.m5.1.1.1.1.1.1.2.2">2</cn><ci id="Ch0.S3.p10.9.m5.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="Ch0.S3.p10.9.m5.1.1.1.1.1.1.2.3">𝑛</ci></apply><cn id="Ch0.S3.p10.9.m5.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="Ch0.S3.p10.9.m5.1.1.1.1.1.1.3">1</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Ch0.S3.p10.9.m5.1c">\mathfrak{g}=\mathfrak{so}_{p}(2n+1)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Ch0.S3.p10.9.m5.1d">fraktur_g = fraktur_s fraktur_o start_POSTSUBSCRIPT italic_p end_POSTSUBSCRIPT ( 2 italic_n + 1 )</annotation></semantics></math>, see <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2408.09274v1#bib.bib25" title="">SV2023 </a></cite>. Note that</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="Ch0.S4.EGx7"> <tbody id="Ch0.Ex15"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\dim\mathfrak{g}_{(0,0)}=2n^{2}-n-4p(n-p)^{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="Ch0.Ex15.m1.3"><semantics id="Ch0.Ex15.m1.3a"><mrow id="Ch0.Ex15.m1.3.3" xref="Ch0.Ex15.m1.3.3.cmml"><mrow id="Ch0.Ex15.m1.3.3.3" xref="Ch0.Ex15.m1.3.3.3.cmml"><mo id="Ch0.Ex15.m1.3.3.3.1" rspace="0.167em" xref="Ch0.Ex15.m1.3.3.3.1.cmml">dim</mo><msub id="Ch0.Ex15.m1.3.3.3.2" xref="Ch0.Ex15.m1.3.3.3.2.cmml"><mi id="Ch0.Ex15.m1.3.3.3.2.2" xref="Ch0.Ex15.m1.3.3.3.2.2.cmml">𝔤</mi><mrow id="Ch0.Ex15.m1.2.2.2.4" xref="Ch0.Ex15.m1.2.2.2.3.cmml"><mo id="Ch0.Ex15.m1.2.2.2.4.1" stretchy="false" xref="Ch0.Ex15.m1.2.2.2.3.cmml">(</mo><mn id="Ch0.Ex15.m1.1.1.1.1" xref="Ch0.Ex15.m1.1.1.1.1.cmml">0</mn><mo id="Ch0.Ex15.m1.2.2.2.4.2" xref="Ch0.Ex15.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mn id="Ch0.Ex15.m1.2.2.2.2" xref="Ch0.Ex15.m1.2.2.2.2.cmml">0</mn><mo id="Ch0.Ex15.m1.2.2.2.4.3" stretchy="false" xref="Ch0.Ex15.m1.2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></msub></mrow><mo id="Ch0.Ex15.m1.3.3.2" xref="Ch0.Ex15.m1.3.3.2.cmml">=</mo><mrow id="Ch0.Ex15.m1.3.3.1" xref="Ch0.Ex15.m1.3.3.1.cmml"><mrow id="Ch0.Ex15.m1.3.3.1.3" xref="Ch0.Ex15.m1.3.3.1.3.cmml"><mn id="Ch0.Ex15.m1.3.3.1.3.2" xref="Ch0.Ex15.m1.3.3.1.3.2.cmml">2</mn><mo id="Ch0.Ex15.m1.3.3.1.3.1" xref="Ch0.Ex15.m1.3.3.1.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="Ch0.Ex15.m1.3.3.1.3.3" xref="Ch0.Ex15.m1.3.3.1.3.3.cmml"><mi id="Ch0.Ex15.m1.3.3.1.3.3.2" xref="Ch0.Ex15.m1.3.3.1.3.3.2.cmml">n</mi><mn id="Ch0.Ex15.m1.3.3.1.3.3.3" xref="Ch0.Ex15.m1.3.3.1.3.3.3.cmml">2</mn></msup></mrow><mo id="Ch0.Ex15.m1.3.3.1.2" xref="Ch0.Ex15.m1.3.3.1.2.cmml">−</mo><mi id="Ch0.Ex15.m1.3.3.1.4" xref="Ch0.Ex15.m1.3.3.1.4.cmml">n</mi><mo id="Ch0.Ex15.m1.3.3.1.2a" xref="Ch0.Ex15.m1.3.3.1.2.cmml">−</mo><mrow id="Ch0.Ex15.m1.3.3.1.1" xref="Ch0.Ex15.m1.3.3.1.1.cmml"><mn id="Ch0.Ex15.m1.3.3.1.1.3" xref="Ch0.Ex15.m1.3.3.1.1.3.cmml">4</mn><mo id="Ch0.Ex15.m1.3.3.1.1.2" xref="Ch0.Ex15.m1.3.3.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="Ch0.Ex15.m1.3.3.1.1.4" xref="Ch0.Ex15.m1.3.3.1.1.4.cmml">p</mi><mo id="Ch0.Ex15.m1.3.3.1.1.2a" xref="Ch0.Ex15.m1.3.3.1.1.2.cmml">⁢</mo><msup id="Ch0.Ex15.m1.3.3.1.1.1" xref="Ch0.Ex15.m1.3.3.1.1.1.cmml"><mrow id="Ch0.Ex15.m1.3.3.1.1.1.1.1" xref="Ch0.Ex15.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="Ch0.Ex15.m1.3.3.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="Ch0.Ex15.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="Ch0.Ex15.m1.3.3.1.1.1.1.1.1" xref="Ch0.Ex15.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="Ch0.Ex15.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2" xref="Ch0.Ex15.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.cmml">n</mi><mo id="Ch0.Ex15.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1" xref="Ch0.Ex15.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mi id="Ch0.Ex15.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3" xref="Ch0.Ex15.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.cmml">p</mi></mrow><mo id="Ch0.Ex15.m1.3.3.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="Ch0.Ex15.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mn id="Ch0.Ex15.m1.3.3.1.1.1.3" xref="Ch0.Ex15.m1.3.3.1.1.1.3.cmml">2</mn></msup></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Ch0.Ex15.m1.3b"><apply id="Ch0.Ex15.m1.3.3.cmml" xref="Ch0.Ex15.m1.3.3"><eq id="Ch0.Ex15.m1.3.3.2.cmml" xref="Ch0.Ex15.m1.3.3.2"></eq><apply id="Ch0.Ex15.m1.3.3.3.cmml" xref="Ch0.Ex15.m1.3.3.3"><csymbol cd="latexml" id="Ch0.Ex15.m1.3.3.3.1.cmml" xref="Ch0.Ex15.m1.3.3.3.1">dimension</csymbol><apply id="Ch0.Ex15.m1.3.3.3.2.cmml" xref="Ch0.Ex15.m1.3.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.Ex15.m1.3.3.3.2.1.cmml" xref="Ch0.Ex15.m1.3.3.3.2">subscript</csymbol><ci id="Ch0.Ex15.m1.3.3.3.2.2.cmml" xref="Ch0.Ex15.m1.3.3.3.2.2">𝔤</ci><interval closure="open" id="Ch0.Ex15.m1.2.2.2.3.cmml" xref="Ch0.Ex15.m1.2.2.2.4"><cn id="Ch0.Ex15.m1.1.1.1.1.cmml" type="integer" xref="Ch0.Ex15.m1.1.1.1.1">0</cn><cn id="Ch0.Ex15.m1.2.2.2.2.cmml" type="integer" 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fraktur_g start_POSTSUBSCRIPT ( 0 , 1 ) end_POSTSUBSCRIPT = 2 italic_p , roman_dim fraktur_g start_POSTSUBSCRIPT ( 1 , 0 ) end_POSTSUBSCRIPT = 2 ( italic_n - italic_p )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="Ch0.Ex17"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\dim\mathfrak{g}_{(1,1)}=4p(n-p)," class="ltx_Math" display="inline" id="Ch0.Ex17.m1.3"><semantics id="Ch0.Ex17.m1.3a"><mrow id="Ch0.Ex17.m1.3.3.1" xref="Ch0.Ex17.m1.3.3.1.1.cmml"><mrow id="Ch0.Ex17.m1.3.3.1.1" xref="Ch0.Ex17.m1.3.3.1.1.cmml"><mrow id="Ch0.Ex17.m1.3.3.1.1.3" xref="Ch0.Ex17.m1.3.3.1.1.3.cmml"><mo id="Ch0.Ex17.m1.3.3.1.1.3.1" rspace="0.167em" xref="Ch0.Ex17.m1.3.3.1.1.3.1.cmml">dim</mo><msub id="Ch0.Ex17.m1.3.3.1.1.3.2" xref="Ch0.Ex17.m1.3.3.1.1.3.2.cmml"><mi id="Ch0.Ex17.m1.3.3.1.1.3.2.2" 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xref="Ch0.Ex17.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="Ch0.Ex17.m1.3.3.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="Ch0.Ex17.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="Ch0.Ex17.m1.3.3.1.1.1.1.1.1" xref="Ch0.Ex17.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="Ch0.Ex17.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2" xref="Ch0.Ex17.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.cmml">n</mi><mo id="Ch0.Ex17.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1" xref="Ch0.Ex17.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mi id="Ch0.Ex17.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3" xref="Ch0.Ex17.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.cmml">p</mi></mrow><mo id="Ch0.Ex17.m1.3.3.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="Ch0.Ex17.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="Ch0.Ex17.m1.3.3.1.2" xref="Ch0.Ex17.m1.3.3.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Ch0.Ex17.m1.3b"><apply id="Ch0.Ex17.m1.3.3.1.1.cmml" xref="Ch0.Ex17.m1.3.3.1"><eq id="Ch0.Ex17.m1.3.3.1.1.2.cmml" xref="Ch0.Ex17.m1.3.3.1.1.2"></eq><apply id="Ch0.Ex17.m1.3.3.1.1.3.cmml" xref="Ch0.Ex17.m1.3.3.1.1.3"><csymbol cd="latexml" id="Ch0.Ex17.m1.3.3.1.1.3.1.cmml" 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id="Ch0.Ex17.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="Ch0.Ex17.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1"></minus><ci id="Ch0.Ex17.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="Ch0.Ex17.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2">𝑛</ci><ci id="Ch0.Ex17.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="Ch0.Ex17.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3">𝑝</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Ch0.Ex17.m1.3c">\displaystyle\dim\mathfrak{g}_{(1,1)}=4p(n-p),</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Ch0.Ex17.m1.3d">roman_dim fraktur_g start_POSTSUBSCRIPT ( 1 , 1 ) end_POSTSUBSCRIPT = 4 italic_p ( italic_n - italic_p ) ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="Ch0.S3.p10.10">and <math alttext="\dim\mathfrak{so}_{p}(2n+1)=\dim\mathfrak{so}(2n+1)" class="ltx_Math" display="inline" id="Ch0.S3.p10.10.m1.2"><semantics id="Ch0.S3.p10.10.m1.2a"><mrow id="Ch0.S3.p10.10.m1.2.2" xref="Ch0.S3.p10.10.m1.2.2.cmml"><mrow 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id="Ch0.S3.p10.10.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="Ch0.S3.p10.10.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">𝑛</ci></apply><cn id="Ch0.S3.p10.10.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="Ch0.S3.p10.10.m1.1.1.1.1.1.1.1.3">1</cn></apply></apply></apply><apply id="Ch0.S3.p10.10.m1.2.2.2.cmml" xref="Ch0.S3.p10.10.m1.2.2.2"><csymbol cd="latexml" id="Ch0.S3.p10.10.m1.2.2.2.2.cmml" xref="Ch0.S3.p10.10.m1.2.2.2.2">dimension</csymbol><apply id="Ch0.S3.p10.10.m1.2.2.2.1.cmml" xref="Ch0.S3.p10.10.m1.2.2.2.1"><times id="Ch0.S3.p10.10.m1.2.2.2.1.2.cmml" xref="Ch0.S3.p10.10.m1.2.2.2.1.2"></times><ci id="Ch0.S3.p10.10.m1.2.2.2.1.3.cmml" xref="Ch0.S3.p10.10.m1.2.2.2.1.3">𝔰</ci><ci id="Ch0.S3.p10.10.m1.2.2.2.1.4.cmml" xref="Ch0.S3.p10.10.m1.2.2.2.1.4">𝔬</ci><apply id="Ch0.S3.p10.10.m1.2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="Ch0.S3.p10.10.m1.2.2.2.1.1.1"><plus id="Ch0.S3.p10.10.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="Ch0.S3.p10.10.m1.2.2.2.1.1.1.1.1"></plus><apply id="Ch0.S3.p10.10.m1.2.2.2.1.1.1.1.2.cmml" 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other classes, there is a different characterization: <math alttext="\mathfrak{g}=\mathfrak{so}_{p}(2n+1)" class="ltx_Math" display="inline" id="Ch0.S3.p11.1.m1.1"><semantics id="Ch0.S3.p11.1.m1.1a"><mrow id="Ch0.S3.p11.1.m1.1.1" xref="Ch0.S3.p11.1.m1.1.1.cmml"><mi id="Ch0.S3.p11.1.m1.1.1.3" xref="Ch0.S3.p11.1.m1.1.1.3.cmml">𝔤</mi><mo id="Ch0.S3.p11.1.m1.1.1.2" xref="Ch0.S3.p11.1.m1.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="Ch0.S3.p11.1.m1.1.1.1" xref="Ch0.S3.p11.1.m1.1.1.1.cmml"><mi id="Ch0.S3.p11.1.m1.1.1.1.3" xref="Ch0.S3.p11.1.m1.1.1.1.3.cmml">𝔰</mi><mo id="Ch0.S3.p11.1.m1.1.1.1.2" xref="Ch0.S3.p11.1.m1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="Ch0.S3.p11.1.m1.1.1.1.4" xref="Ch0.S3.p11.1.m1.1.1.1.4.cmml"><mi id="Ch0.S3.p11.1.m1.1.1.1.4.2" xref="Ch0.S3.p11.1.m1.1.1.1.4.2.cmml">𝔬</mi><mi id="Ch0.S3.p11.1.m1.1.1.1.4.3" xref="Ch0.S3.p11.1.m1.1.1.1.4.3.cmml">p</mi></msub><mo id="Ch0.S3.p11.1.m1.1.1.1.2a" xref="Ch0.S3.p11.1.m1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="Ch0.S3.p11.1.m1.1.1.1.1.1" xref="Ch0.S3.p11.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="Ch0.S3.p11.1.m1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="Ch0.S3.p11.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="Ch0.S3.p11.1.m1.1.1.1.1.1.1" xref="Ch0.S3.p11.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="Ch0.S3.p11.1.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="Ch0.S3.p11.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mn id="Ch0.S3.p11.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="Ch0.S3.p11.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">2</mn><mo id="Ch0.S3.p11.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="Ch0.S3.p11.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="Ch0.S3.p11.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="Ch0.S3.p11.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">n</mi></mrow><mo id="Ch0.S3.p11.1.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="Ch0.S3.p11.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mn id="Ch0.S3.p11.1.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="Ch0.S3.p11.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="Ch0.S3.p11.1.m1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="Ch0.S3.p11.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Ch0.S3.p11.1.m1.1b"><apply id="Ch0.S3.p11.1.m1.1.1.cmml" xref="Ch0.S3.p11.1.m1.1.1"><eq id="Ch0.S3.p11.1.m1.1.1.2.cmml" xref="Ch0.S3.p11.1.m1.1.1.2"></eq><ci id="Ch0.S3.p11.1.m1.1.1.3.cmml" xref="Ch0.S3.p11.1.m1.1.1.3">𝔤</ci><apply id="Ch0.S3.p11.1.m1.1.1.1.cmml" xref="Ch0.S3.p11.1.m1.1.1.1"><times id="Ch0.S3.p11.1.m1.1.1.1.2.cmml" xref="Ch0.S3.p11.1.m1.1.1.1.2"></times><ci id="Ch0.S3.p11.1.m1.1.1.1.3.cmml" xref="Ch0.S3.p11.1.m1.1.1.1.3">𝔰</ci><apply id="Ch0.S3.p11.1.m1.1.1.1.4.cmml" xref="Ch0.S3.p11.1.m1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.S3.p11.1.m1.1.1.1.4.1.cmml" xref="Ch0.S3.p11.1.m1.1.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="Ch0.S3.p11.1.m1.1.1.1.4.2.cmml" xref="Ch0.S3.p11.1.m1.1.1.1.4.2">𝔬</ci><ci id="Ch0.S3.p11.1.m1.1.1.1.4.3.cmml" xref="Ch0.S3.p11.1.m1.1.1.1.4.3">𝑝</ci></apply><apply id="Ch0.S3.p11.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="Ch0.S3.p11.1.m1.1.1.1.1.1"><plus id="Ch0.S3.p11.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="Ch0.S3.p11.1.m1.1.1.1.1.1.1.1"></plus><apply id="Ch0.S3.p11.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="Ch0.S3.p11.1.m1.1.1.1.1.1.1.2"><times id="Ch0.S3.p11.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="Ch0.S3.p11.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.1"></times><cn id="Ch0.S3.p11.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" type="integer" xref="Ch0.S3.p11.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.2">2</cn><ci id="Ch0.S3.p11.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="Ch0.S3.p11.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.3">𝑛</ci></apply><cn id="Ch0.S3.p11.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="Ch0.S3.p11.1.m1.1.1.1.1.1.1.3">1</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Ch0.S3.p11.1.m1.1c">\mathfrak{g}=\mathfrak{so}_{p}(2n+1)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Ch0.S3.p11.1.m1.1d">fraktur_g = fraktur_s fraktur_o start_POSTSUBSCRIPT italic_p end_POSTSUBSCRIPT ( 2 italic_n + 1 )</annotation></semantics></math> consists of all matrices <math alttext="A" class="ltx_Math" display="inline" id="Ch0.S3.p11.2.m2.1"><semantics id="Ch0.S3.p11.2.m2.1a"><mi id="Ch0.S3.p11.2.m2.1.1" xref="Ch0.S3.p11.2.m2.1.1.cmml">A</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Ch0.S3.p11.2.m2.1b"><ci id="Ch0.S3.p11.2.m2.1.1.cmml" xref="Ch0.S3.p11.2.m2.1.1">𝐴</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Ch0.S3.p11.2.m2.1c">A</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Ch0.S3.p11.2.m2.1d">italic_A</annotation></semantics></math> of <math alttext="\mathfrak{sl}_{2p,1,0,2n-2p}(2n+1)" class="ltx_Math" display="inline" id="Ch0.S3.p11.3.m3.5"><semantics id="Ch0.S3.p11.3.m3.5a"><mrow id="Ch0.S3.p11.3.m3.5.5" xref="Ch0.S3.p11.3.m3.5.5.cmml"><mi id="Ch0.S3.p11.3.m3.5.5.3" xref="Ch0.S3.p11.3.m3.5.5.3.cmml">𝔰</mi><mo id="Ch0.S3.p11.3.m3.5.5.2" xref="Ch0.S3.p11.3.m3.5.5.2.cmml">⁢</mo><msub id="Ch0.S3.p11.3.m3.5.5.4" xref="Ch0.S3.p11.3.m3.5.5.4.cmml"><mi id="Ch0.S3.p11.3.m3.5.5.4.2" xref="Ch0.S3.p11.3.m3.5.5.4.2.cmml">𝔩</mi><mrow id="Ch0.S3.p11.3.m3.4.4.4.4" xref="Ch0.S3.p11.3.m3.4.4.4.5.cmml"><mrow id="Ch0.S3.p11.3.m3.3.3.3.3.1" xref="Ch0.S3.p11.3.m3.3.3.3.3.1.cmml"><mn id="Ch0.S3.p11.3.m3.3.3.3.3.1.2" xref="Ch0.S3.p11.3.m3.3.3.3.3.1.2.cmml">2</mn><mo id="Ch0.S3.p11.3.m3.3.3.3.3.1.1" xref="Ch0.S3.p11.3.m3.3.3.3.3.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="Ch0.S3.p11.3.m3.3.3.3.3.1.3" xref="Ch0.S3.p11.3.m3.3.3.3.3.1.3.cmml">p</mi></mrow><mo id="Ch0.S3.p11.3.m3.4.4.4.4.3" xref="Ch0.S3.p11.3.m3.4.4.4.5.cmml">,</mo><mn id="Ch0.S3.p11.3.m3.1.1.1.1" xref="Ch0.S3.p11.3.m3.1.1.1.1.cmml">1</mn><mo id="Ch0.S3.p11.3.m3.4.4.4.4.4" xref="Ch0.S3.p11.3.m3.4.4.4.5.cmml">,</mo><mn id="Ch0.S3.p11.3.m3.2.2.2.2" xref="Ch0.S3.p11.3.m3.2.2.2.2.cmml">0</mn><mo id="Ch0.S3.p11.3.m3.4.4.4.4.5" xref="Ch0.S3.p11.3.m3.4.4.4.5.cmml">,</mo><mrow id="Ch0.S3.p11.3.m3.4.4.4.4.2" xref="Ch0.S3.p11.3.m3.4.4.4.4.2.cmml"><mrow id="Ch0.S3.p11.3.m3.4.4.4.4.2.2" xref="Ch0.S3.p11.3.m3.4.4.4.4.2.2.cmml"><mn id="Ch0.S3.p11.3.m3.4.4.4.4.2.2.2" xref="Ch0.S3.p11.3.m3.4.4.4.4.2.2.2.cmml">2</mn><mo id="Ch0.S3.p11.3.m3.4.4.4.4.2.2.1" xref="Ch0.S3.p11.3.m3.4.4.4.4.2.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="Ch0.S3.p11.3.m3.4.4.4.4.2.2.3" xref="Ch0.S3.p11.3.m3.4.4.4.4.2.2.3.cmml">n</mi></mrow><mo id="Ch0.S3.p11.3.m3.4.4.4.4.2.1" xref="Ch0.S3.p11.3.m3.4.4.4.4.2.1.cmml">−</mo><mrow id="Ch0.S3.p11.3.m3.4.4.4.4.2.3" xref="Ch0.S3.p11.3.m3.4.4.4.4.2.3.cmml"><mn id="Ch0.S3.p11.3.m3.4.4.4.4.2.3.2" xref="Ch0.S3.p11.3.m3.4.4.4.4.2.3.2.cmml">2</mn><mo id="Ch0.S3.p11.3.m3.4.4.4.4.2.3.1" xref="Ch0.S3.p11.3.m3.4.4.4.4.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="Ch0.S3.p11.3.m3.4.4.4.4.2.3.3" xref="Ch0.S3.p11.3.m3.4.4.4.4.2.3.3.cmml">p</mi></mrow></mrow></mrow></msub><mo id="Ch0.S3.p11.3.m3.5.5.2a" xref="Ch0.S3.p11.3.m3.5.5.2.cmml">⁢</mo><mrow id="Ch0.S3.p11.3.m3.5.5.1.1" xref="Ch0.S3.p11.3.m3.5.5.1.1.1.cmml"><mo id="Ch0.S3.p11.3.m3.5.5.1.1.2" stretchy="false" xref="Ch0.S3.p11.3.m3.5.5.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="Ch0.S3.p11.3.m3.5.5.1.1.1" xref="Ch0.S3.p11.3.m3.5.5.1.1.1.cmml"><mrow id="Ch0.S3.p11.3.m3.5.5.1.1.1.2" xref="Ch0.S3.p11.3.m3.5.5.1.1.1.2.cmml"><mn id="Ch0.S3.p11.3.m3.5.5.1.1.1.2.2" xref="Ch0.S3.p11.3.m3.5.5.1.1.1.2.2.cmml">2</mn><mo id="Ch0.S3.p11.3.m3.5.5.1.1.1.2.1" xref="Ch0.S3.p11.3.m3.5.5.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="Ch0.S3.p11.3.m3.5.5.1.1.1.2.3" xref="Ch0.S3.p11.3.m3.5.5.1.1.1.2.3.cmml">n</mi></mrow><mo id="Ch0.S3.p11.3.m3.5.5.1.1.1.1" xref="Ch0.S3.p11.3.m3.5.5.1.1.1.1.cmml">+</mo><mn id="Ch0.S3.p11.3.m3.5.5.1.1.1.3" xref="Ch0.S3.p11.3.m3.5.5.1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="Ch0.S3.p11.3.m3.5.5.1.1.3" stretchy="false" xref="Ch0.S3.p11.3.m3.5.5.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Ch0.S3.p11.3.m3.5b"><apply id="Ch0.S3.p11.3.m3.5.5.cmml" xref="Ch0.S3.p11.3.m3.5.5"><times id="Ch0.S3.p11.3.m3.5.5.2.cmml" xref="Ch0.S3.p11.3.m3.5.5.2"></times><ci id="Ch0.S3.p11.3.m3.5.5.3.cmml" xref="Ch0.S3.p11.3.m3.5.5.3">𝔰</ci><apply id="Ch0.S3.p11.3.m3.5.5.4.cmml" xref="Ch0.S3.p11.3.m3.5.5.4"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.S3.p11.3.m3.5.5.4.1.cmml" xref="Ch0.S3.p11.3.m3.5.5.4">subscript</csymbol><ci id="Ch0.S3.p11.3.m3.5.5.4.2.cmml" xref="Ch0.S3.p11.3.m3.5.5.4.2">𝔩</ci><list id="Ch0.S3.p11.3.m3.4.4.4.5.cmml" xref="Ch0.S3.p11.3.m3.4.4.4.4"><apply id="Ch0.S3.p11.3.m3.3.3.3.3.1.cmml" xref="Ch0.S3.p11.3.m3.3.3.3.3.1"><times id="Ch0.S3.p11.3.m3.3.3.3.3.1.1.cmml" xref="Ch0.S3.p11.3.m3.3.3.3.3.1.1"></times><cn id="Ch0.S3.p11.3.m3.3.3.3.3.1.2.cmml" type="integer" xref="Ch0.S3.p11.3.m3.3.3.3.3.1.2">2</cn><ci id="Ch0.S3.p11.3.m3.3.3.3.3.1.3.cmml" xref="Ch0.S3.p11.3.m3.3.3.3.3.1.3">𝑝</ci></apply><cn id="Ch0.S3.p11.3.m3.1.1.1.1.cmml" type="integer" xref="Ch0.S3.p11.3.m3.1.1.1.1">1</cn><cn id="Ch0.S3.p11.3.m3.2.2.2.2.cmml" type="integer" xref="Ch0.S3.p11.3.m3.2.2.2.2">0</cn><apply id="Ch0.S3.p11.3.m3.4.4.4.4.2.cmml" xref="Ch0.S3.p11.3.m3.4.4.4.4.2"><minus id="Ch0.S3.p11.3.m3.4.4.4.4.2.1.cmml" xref="Ch0.S3.p11.3.m3.4.4.4.4.2.1"></minus><apply id="Ch0.S3.p11.3.m3.4.4.4.4.2.2.cmml" xref="Ch0.S3.p11.3.m3.4.4.4.4.2.2"><times id="Ch0.S3.p11.3.m3.4.4.4.4.2.2.1.cmml" xref="Ch0.S3.p11.3.m3.4.4.4.4.2.2.1"></times><cn id="Ch0.S3.p11.3.m3.4.4.4.4.2.2.2.cmml" type="integer" 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id="Ch0.S3.p11.3.m3.5.5.1.1.1.2.3.cmml" xref="Ch0.S3.p11.3.m3.5.5.1.1.1.2.3">𝑛</ci></apply><cn id="Ch0.S3.p11.3.m3.5.5.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="Ch0.S3.p11.3.m3.5.5.1.1.1.3">1</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Ch0.S3.p11.3.m3.5c">\mathfrak{sl}_{2p,1,0,2n-2p}(2n+1)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Ch0.S3.p11.3.m3.5d">fraktur_s fraktur_l start_POSTSUBSCRIPT 2 italic_p , 1 , 0 , 2 italic_n - 2 italic_p end_POSTSUBSCRIPT ( 2 italic_n + 1 )</annotation></semantics></math> that satisfy</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="Ch0.E25"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="A^{T}K^{\prime}+K^{\prime}A=0" class="ltx_Math" display="block" id="Ch0.E25.m1.1"><semantics id="Ch0.E25.m1.1a"><mrow id="Ch0.E25.m1.1.1" xref="Ch0.E25.m1.1.1.cmml"><mrow id="Ch0.E25.m1.1.1.2" 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xref="Ch0.E25.m1.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="Ch0.E25.m1.1.1.2.3.3" xref="Ch0.E25.m1.1.1.2.3.3.cmml">A</mi></mrow></mrow><mo id="Ch0.E25.m1.1.1.1" xref="Ch0.E25.m1.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="Ch0.E25.m1.1.1.3" xref="Ch0.E25.m1.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Ch0.E25.m1.1b"><apply id="Ch0.E25.m1.1.1.cmml" xref="Ch0.E25.m1.1.1"><eq id="Ch0.E25.m1.1.1.1.cmml" xref="Ch0.E25.m1.1.1.1"></eq><apply id="Ch0.E25.m1.1.1.2.cmml" xref="Ch0.E25.m1.1.1.2"><plus id="Ch0.E25.m1.1.1.2.1.cmml" xref="Ch0.E25.m1.1.1.2.1"></plus><apply id="Ch0.E25.m1.1.1.2.2.cmml" xref="Ch0.E25.m1.1.1.2.2"><times id="Ch0.E25.m1.1.1.2.2.1.cmml" xref="Ch0.E25.m1.1.1.2.2.1"></times><apply id="Ch0.E25.m1.1.1.2.2.2.cmml" xref="Ch0.E25.m1.1.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.E25.m1.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="Ch0.E25.m1.1.1.2.2.2">superscript</csymbol><ci id="Ch0.E25.m1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="Ch0.E25.m1.1.1.2.2.2.2">𝐴</ci><ci id="Ch0.E25.m1.1.1.2.2.2.3.cmml" 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xref="Ch0.E25.m1.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Ch0.E25.m1.1c">A^{T}K^{\prime}+K^{\prime}A=0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Ch0.E25.m1.1d">italic_A start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT italic_K start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT + italic_K start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT italic_A = 0</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(25)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="Ch0.S3.p11.7">where</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="Ch0.E26"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="K^{\prime}=\begin{array}[]{c c}\left(\begin{array}[]{@{} cc:cc:c @{}}\ 0&\ 0&% \ I&\ 0&\ 0\\[2.84526pt] 0&0&0&-I&0\\[2.84526pt] \hdashline I&0&0&0&0\\[2.84526pt] 0&-I&0&0&0\\[2.84526pt] \hdashline 0&0&0&0&1\end{array}\right)&{\begin{array}[]{c}p\\[2.84526pt] n-p\\[2.84526pt] p\\[2.84526pt] n-p\\[2.84526pt] 1\end{array}}\end{array}" class="ltx_Math" display="block" id="Ch0.E26.m1.1"><semantics id="Ch0.E26.m1.1a"><mrow id="Ch0.E26.m1.1.2" xref="Ch0.E26.m1.1.2.cmml"><msup id="Ch0.E26.m1.1.2.2" xref="Ch0.E26.m1.1.2.2.cmml"><mi id="Ch0.E26.m1.1.2.2.2" xref="Ch0.E26.m1.1.2.2.2.cmml">K</mi><mo id="Ch0.E26.m1.1.2.2.3" xref="Ch0.E26.m1.1.2.2.3.cmml">′</mo></msup><mo id="Ch0.E26.m1.1.2.1" xref="Ch0.E26.m1.1.2.1.cmml">=</mo><mtable columnspacing="5pt" displaystyle="true" id="Ch0.E26.m1.1.1" xref="Ch0.E26.m1.1.1.cmml"><mtr id="Ch0.E26.m1.1.1a" xref="Ch0.E26.m1.1.1.cmml"><mtd id="Ch0.E26.m1.1.1b" xref="Ch0.E26.m1.1.1.cmml"><mrow id="Ch0.E26.m1.1.1.1.1.1.3" xref="Ch0.E26.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="Ch0.E26.m1.1.1.1.1.1.3.1" xref="Ch0.E26.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mtable columnspacing="5pt" displaystyle="true" id="Ch0.E26.m1.1.1.1.1.1.1" rowspacing="0pt" xref="Ch0.E26.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mtr id="Ch0.E26.m1.1.1.1.1.1.1a" xref="Ch0.E26.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mtd id="Ch0.E26.m1.1.1.1.1.1.1b" xref="Ch0.E26.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="Ch0.E26.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="Ch0.E26.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"> 0</mn></mtd><mtd id="Ch0.E26.m1.1.1.1.1.1.1c" xref="Ch0.E26.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="Ch0.E26.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="Ch0.E26.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml"> 0</mn></mtd><mtd id="Ch0.E26.m1.1.1.1.1.1.1d" xref="Ch0.E26.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="Ch0.E26.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="Ch0.E26.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">I</mi></mtd><mtd id="Ch0.E26.m1.1.1.1.1.1.1e" xref="Ch0.E26.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="Ch0.E26.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.1" xref="Ch0.E26.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.1.cmml"> 0</mn></mtd><mtd id="Ch0.E26.m1.1.1.1.1.1.1f" xref="Ch0.E26.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="Ch0.E26.m1.1.1.1.1.1.1.1.5.1" xref="Ch0.E26.m1.1.1.1.1.1.1.1.5.1.cmml"> 0</mn></mtd></mtr><mtr id="Ch0.E26.m1.1.1.1.1.1.1g" xref="Ch0.E26.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mtd id="Ch0.E26.m1.1.1.1.1.1.1h" xref="Ch0.E26.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="Ch0.E26.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1" xref="Ch0.E26.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.cmml">0</mn></mtd><mtd id="Ch0.E26.m1.1.1.1.1.1.1i" xref="Ch0.E26.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="Ch0.E26.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1" xref="Ch0.E26.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml">0</mn></mtd><mtd id="Ch0.E26.m1.1.1.1.1.1.1j" xref="Ch0.E26.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="Ch0.E26.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.1" xref="Ch0.E26.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml">0</mn></mtd><mtd id="Ch0.E26.m1.1.1.1.1.1.1k" xref="Ch0.E26.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="Ch0.E26.m1.1.1.1.1.1.1.2.4.1" xref="Ch0.E26.m1.1.1.1.1.1.1.2.4.1.cmml"><mo id="Ch0.E26.m1.1.1.1.1.1.1.2.4.1a" xref="Ch0.E26.m1.1.1.1.1.1.1.2.4.1.cmml">−</mo><mi id="Ch0.E26.m1.1.1.1.1.1.1.2.4.1.2" xref="Ch0.E26.m1.1.1.1.1.1.1.2.4.1.2.cmml">I</mi></mrow></mtd><mtd id="Ch0.E26.m1.1.1.1.1.1.1l" xref="Ch0.E26.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="Ch0.E26.m1.1.1.1.1.1.1.2.5.1" xref="Ch0.E26.m1.1.1.1.1.1.1.2.5.1.cmml">0</mn></mtd></mtr><mtr id="Ch0.E26.m1.1.1.1.1.1.1m" xref="Ch0.E26.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mtd id="Ch0.E26.m1.1.1.1.1.1.1n" xref="Ch0.E26.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="Ch0.E26.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1" xref="Ch0.E26.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.cmml"><merror class="ltx_ERROR undefined undefined" id="Ch0.E26.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.2" xref="Ch0.E26.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.2b.cmml"><mtext id="Ch0.E26.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.2a" xref="Ch0.E26.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.2b.cmml">\hdashline</mtext></merror><mo id="Ch0.E26.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1" xref="Ch0.E26.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="Ch0.E26.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.3" xref="Ch0.E26.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.3.cmml">I</mi></mrow></mtd><mtd id="Ch0.E26.m1.1.1.1.1.1.1o" xref="Ch0.E26.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="Ch0.E26.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1" xref="Ch0.E26.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml">0</mn></mtd><mtd id="Ch0.E26.m1.1.1.1.1.1.1p" xref="Ch0.E26.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="Ch0.E26.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1" xref="Ch0.E26.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">0</mn></mtd><mtd id="Ch0.E26.m1.1.1.1.1.1.1q" xref="Ch0.E26.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="Ch0.E26.m1.1.1.1.1.1.1.3.4.1" xref="Ch0.E26.m1.1.1.1.1.1.1.3.4.1.cmml">0</mn></mtd><mtd id="Ch0.E26.m1.1.1.1.1.1.1r" xref="Ch0.E26.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="Ch0.E26.m1.1.1.1.1.1.1.3.5.1" xref="Ch0.E26.m1.1.1.1.1.1.1.3.5.1.cmml">0</mn></mtd></mtr><mtr id="Ch0.E26.m1.1.1.1.1.1.1s" xref="Ch0.E26.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mtd id="Ch0.E26.m1.1.1.1.1.1.1t" xref="Ch0.E26.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="Ch0.E26.m1.1.1.1.1.1.1.4.1.1" xref="Ch0.E26.m1.1.1.1.1.1.1.4.1.1.cmml">0</mn></mtd><mtd id="Ch0.E26.m1.1.1.1.1.1.1u" xref="Ch0.E26.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="Ch0.E26.m1.1.1.1.1.1.1.4.2.1" xref="Ch0.E26.m1.1.1.1.1.1.1.4.2.1.cmml"><mo id="Ch0.E26.m1.1.1.1.1.1.1.4.2.1a" xref="Ch0.E26.m1.1.1.1.1.1.1.4.2.1.cmml">−</mo><mi id="Ch0.E26.m1.1.1.1.1.1.1.4.2.1.2" xref="Ch0.E26.m1.1.1.1.1.1.1.4.2.1.2.cmml">I</mi></mrow></mtd><mtd id="Ch0.E26.m1.1.1.1.1.1.1v" xref="Ch0.E26.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="Ch0.E26.m1.1.1.1.1.1.1.4.3.1" xref="Ch0.E26.m1.1.1.1.1.1.1.4.3.1.cmml">0</mn></mtd><mtd id="Ch0.E26.m1.1.1.1.1.1.1w" xref="Ch0.E26.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="Ch0.E26.m1.1.1.1.1.1.1.4.4.1" xref="Ch0.E26.m1.1.1.1.1.1.1.4.4.1.cmml">0</mn></mtd><mtd id="Ch0.E26.m1.1.1.1.1.1.1x" xref="Ch0.E26.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="Ch0.E26.m1.1.1.1.1.1.1.4.5.1" xref="Ch0.E26.m1.1.1.1.1.1.1.4.5.1.cmml">0</mn></mtd></mtr><mtr id="Ch0.E26.m1.1.1.1.1.1.1y" xref="Ch0.E26.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mtd id="Ch0.E26.m1.1.1.1.1.1.1z" xref="Ch0.E26.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="Ch0.E26.m1.1.1.1.1.1.1.5.1.1" xref="Ch0.E26.m1.1.1.1.1.1.1.5.1.1.cmml"><merror class="ltx_ERROR undefined undefined" id="Ch0.E26.m1.1.1.1.1.1.1.5.1.1.2" xref="Ch0.E26.m1.1.1.1.1.1.1.5.1.1.2b.cmml"><mtext id="Ch0.E26.m1.1.1.1.1.1.1.5.1.1.2a" xref="Ch0.E26.m1.1.1.1.1.1.1.5.1.1.2b.cmml">\hdashline</mtext></merror><mo id="Ch0.E26.m1.1.1.1.1.1.1.5.1.1.1" xref="Ch0.E26.m1.1.1.1.1.1.1.5.1.1.1.cmml">⁢</mo><mn id="Ch0.E26.m1.1.1.1.1.1.1.5.1.1.3" xref="Ch0.E26.m1.1.1.1.1.1.1.5.1.1.3.cmml">0</mn></mrow></mtd><mtd id="Ch0.E26.m1.1.1.1.1.1.1aa" xref="Ch0.E26.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="Ch0.E26.m1.1.1.1.1.1.1.5.2.1" xref="Ch0.E26.m1.1.1.1.1.1.1.5.2.1.cmml">0</mn></mtd><mtd id="Ch0.E26.m1.1.1.1.1.1.1ab" xref="Ch0.E26.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="Ch0.E26.m1.1.1.1.1.1.1.5.3.1" xref="Ch0.E26.m1.1.1.1.1.1.1.5.3.1.cmml">0</mn></mtd><mtd id="Ch0.E26.m1.1.1.1.1.1.1ac" xref="Ch0.E26.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="Ch0.E26.m1.1.1.1.1.1.1.5.4.1" xref="Ch0.E26.m1.1.1.1.1.1.1.5.4.1.cmml">0</mn></mtd><mtd id="Ch0.E26.m1.1.1.1.1.1.1ad" xref="Ch0.E26.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="Ch0.E26.m1.1.1.1.1.1.1.5.5.1" xref="Ch0.E26.m1.1.1.1.1.1.1.5.5.1.cmml">1</mn></mtd></mtr></mtable><mo id="Ch0.E26.m1.1.1.1.1.1.3.2" xref="Ch0.E26.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mtd><mtd id="Ch0.E26.m1.1.1c" xref="Ch0.E26.m1.1.1.cmml"><mtable displaystyle="true" id="Ch0.E26.m1.1.1.1.2.1" rowspacing="0pt" xref="Ch0.E26.m1.1.1.1.2.1.cmml"><mtr id="Ch0.E26.m1.1.1.1.2.1a" xref="Ch0.E26.m1.1.1.1.2.1.cmml"><mtd id="Ch0.E26.m1.1.1.1.2.1b" xref="Ch0.E26.m1.1.1.1.2.1.cmml"><mi id="Ch0.E26.m1.1.1.1.2.1.1.1.1" xref="Ch0.E26.m1.1.1.1.2.1.1.1.1.cmml">p</mi></mtd></mtr><mtr id="Ch0.E26.m1.1.1.1.2.1c" xref="Ch0.E26.m1.1.1.1.2.1.cmml"><mtd id="Ch0.E26.m1.1.1.1.2.1d" xref="Ch0.E26.m1.1.1.1.2.1.cmml"><mrow id="Ch0.E26.m1.1.1.1.2.1.2.1.1" xref="Ch0.E26.m1.1.1.1.2.1.2.1.1.cmml"><mi id="Ch0.E26.m1.1.1.1.2.1.2.1.1.2" xref="Ch0.E26.m1.1.1.1.2.1.2.1.1.2.cmml">n</mi><mo id="Ch0.E26.m1.1.1.1.2.1.2.1.1.1" xref="Ch0.E26.m1.1.1.1.2.1.2.1.1.1.cmml">−</mo><mi id="Ch0.E26.m1.1.1.1.2.1.2.1.1.3" xref="Ch0.E26.m1.1.1.1.2.1.2.1.1.3.cmml">p</mi></mrow></mtd></mtr><mtr id="Ch0.E26.m1.1.1.1.2.1e" xref="Ch0.E26.m1.1.1.1.2.1.cmml"><mtd id="Ch0.E26.m1.1.1.1.2.1f" xref="Ch0.E26.m1.1.1.1.2.1.cmml"><mi id="Ch0.E26.m1.1.1.1.2.1.3.1.1" xref="Ch0.E26.m1.1.1.1.2.1.3.1.1.cmml">p</mi></mtd></mtr><mtr id="Ch0.E26.m1.1.1.1.2.1g" xref="Ch0.E26.m1.1.1.1.2.1.cmml"><mtd id="Ch0.E26.m1.1.1.1.2.1h" xref="Ch0.E26.m1.1.1.1.2.1.cmml"><mrow id="Ch0.E26.m1.1.1.1.2.1.4.1.1" xref="Ch0.E26.m1.1.1.1.2.1.4.1.1.cmml"><mi id="Ch0.E26.m1.1.1.1.2.1.4.1.1.2" xref="Ch0.E26.m1.1.1.1.2.1.4.1.1.2.cmml">n</mi><mo id="Ch0.E26.m1.1.1.1.2.1.4.1.1.1" xref="Ch0.E26.m1.1.1.1.2.1.4.1.1.1.cmml">−</mo><mi id="Ch0.E26.m1.1.1.1.2.1.4.1.1.3" xref="Ch0.E26.m1.1.1.1.2.1.4.1.1.3.cmml">p</mi></mrow></mtd></mtr><mtr id="Ch0.E26.m1.1.1.1.2.1i" xref="Ch0.E26.m1.1.1.1.2.1.cmml"><mtd id="Ch0.E26.m1.1.1.1.2.1j" xref="Ch0.E26.m1.1.1.1.2.1.cmml"><mn id="Ch0.E26.m1.1.1.1.2.1.5.1.1" xref="Ch0.E26.m1.1.1.1.2.1.5.1.1.cmml">1</mn></mtd></mtr></mtable></mtd></mtr></mtable></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Ch0.E26.m1.1b"><apply id="Ch0.E26.m1.1.2.cmml" xref="Ch0.E26.m1.1.2"><eq id="Ch0.E26.m1.1.2.1.cmml" xref="Ch0.E26.m1.1.2.1"></eq><apply id="Ch0.E26.m1.1.2.2.cmml" xref="Ch0.E26.m1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.E26.m1.1.2.2.1.cmml" xref="Ch0.E26.m1.1.2.2">superscript</csymbol><ci id="Ch0.E26.m1.1.2.2.2.cmml" xref="Ch0.E26.m1.1.2.2.2">𝐾</ci><ci id="Ch0.E26.m1.1.2.2.3.cmml" xref="Ch0.E26.m1.1.2.2.3">′</ci></apply><matrix id="Ch0.E26.m1.1.1.cmml" xref="Ch0.E26.m1.1.1"><matrixrow id="Ch0.E26.m1.1.1a.cmml" xref="Ch0.E26.m1.1.1"><matrix id="Ch0.E26.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="Ch0.E26.m1.1.1.1.1.1.3"><matrixrow id="Ch0.E26.m1.1.1.1.1.1.1a.cmml" xref="Ch0.E26.m1.1.1.1.1.1.3"><cn id="Ch0.E26.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" type="float" xref="Ch0.E26.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"> 0</cn><cn id="Ch0.E26.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" type="float" xref="Ch0.E26.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.1"> 0</cn><ci id="Ch0.E26.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="Ch0.E26.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.1">𝐼</ci><cn id="Ch0.E26.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.1.cmml" type="float" 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id="Ch0.E26.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.cmml" xref="Ch0.E26.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1"><times id="Ch0.E26.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.cmml" xref="Ch0.E26.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1"></times><ci id="Ch0.E26.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.2b.cmml" xref="Ch0.E26.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.2"><merror class="ltx_ERROR undefined undefined" id="Ch0.E26.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.2.cmml" xref="Ch0.E26.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.2"><mtext id="Ch0.E26.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.2a.cmml" xref="Ch0.E26.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.2">\hdashline</mtext></merror></ci><ci id="Ch0.E26.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.3.cmml" xref="Ch0.E26.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.3">𝐼</ci></apply><cn id="Ch0.E26.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" type="integer" xref="Ch0.E26.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1">0</cn><cn id="Ch0.E26.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" type="integer" xref="Ch0.E26.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1">0</cn><cn id="Ch0.E26.m1.1.1.1.1.1.1.3.4.1.cmml" type="integer" xref="Ch0.E26.m1.1.1.1.1.1.1.3.4.1">0</cn><cn id="Ch0.E26.m1.1.1.1.1.1.1.3.5.1.cmml" type="integer" 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id="Ch0.E26.m1.1.1.1.1.1.1.5.1.1.1.cmml" xref="Ch0.E26.m1.1.1.1.1.1.1.5.1.1.1"></times><ci id="Ch0.E26.m1.1.1.1.1.1.1.5.1.1.2b.cmml" xref="Ch0.E26.m1.1.1.1.1.1.1.5.1.1.2"><merror class="ltx_ERROR undefined undefined" id="Ch0.E26.m1.1.1.1.1.1.1.5.1.1.2.cmml" xref="Ch0.E26.m1.1.1.1.1.1.1.5.1.1.2"><mtext id="Ch0.E26.m1.1.1.1.1.1.1.5.1.1.2a.cmml" xref="Ch0.E26.m1.1.1.1.1.1.1.5.1.1.2">\hdashline</mtext></merror></ci><cn id="Ch0.E26.m1.1.1.1.1.1.1.5.1.1.3.cmml" type="integer" xref="Ch0.E26.m1.1.1.1.1.1.1.5.1.1.3">0</cn></apply><cn id="Ch0.E26.m1.1.1.1.1.1.1.5.2.1.cmml" type="integer" xref="Ch0.E26.m1.1.1.1.1.1.1.5.2.1">0</cn><cn id="Ch0.E26.m1.1.1.1.1.1.1.5.3.1.cmml" type="integer" xref="Ch0.E26.m1.1.1.1.1.1.1.5.3.1">0</cn><cn id="Ch0.E26.m1.1.1.1.1.1.1.5.4.1.cmml" type="integer" xref="Ch0.E26.m1.1.1.1.1.1.1.5.4.1">0</cn><cn id="Ch0.E26.m1.1.1.1.1.1.1.5.5.1.cmml" type="integer" xref="Ch0.E26.m1.1.1.1.1.1.1.5.5.1">1</cn></matrixrow></matrix><matrix id="Ch0.E26.m1.1.1.1.2.1.cmml" xref="Ch0.E26.m1.1.1.1.2.1"><matrixrow id="Ch0.E26.m1.1.1.1.2.1a.cmml" xref="Ch0.E26.m1.1.1.1.2.1"><ci id="Ch0.E26.m1.1.1.1.2.1.1.1.1.cmml" xref="Ch0.E26.m1.1.1.1.2.1.1.1.1">𝑝</ci></matrixrow><matrixrow id="Ch0.E26.m1.1.1.1.2.1b.cmml" xref="Ch0.E26.m1.1.1.1.2.1"><apply id="Ch0.E26.m1.1.1.1.2.1.2.1.1.cmml" xref="Ch0.E26.m1.1.1.1.2.1.2.1.1"><minus id="Ch0.E26.m1.1.1.1.2.1.2.1.1.1.cmml" xref="Ch0.E26.m1.1.1.1.2.1.2.1.1.1"></minus><ci id="Ch0.E26.m1.1.1.1.2.1.2.1.1.2.cmml" xref="Ch0.E26.m1.1.1.1.2.1.2.1.1.2">𝑛</ci><ci id="Ch0.E26.m1.1.1.1.2.1.2.1.1.3.cmml" xref="Ch0.E26.m1.1.1.1.2.1.2.1.1.3">𝑝</ci></apply></matrixrow><matrixrow id="Ch0.E26.m1.1.1.1.2.1c.cmml" xref="Ch0.E26.m1.1.1.1.2.1"><ci id="Ch0.E26.m1.1.1.1.2.1.3.1.1.cmml" xref="Ch0.E26.m1.1.1.1.2.1.3.1.1">𝑝</ci></matrixrow><matrixrow id="Ch0.E26.m1.1.1.1.2.1d.cmml" xref="Ch0.E26.m1.1.1.1.2.1"><apply id="Ch0.E26.m1.1.1.1.2.1.4.1.1.cmml" xref="Ch0.E26.m1.1.1.1.2.1.4.1.1"><minus id="Ch0.E26.m1.1.1.1.2.1.4.1.1.1.cmml" xref="Ch0.E26.m1.1.1.1.2.1.4.1.1.1"></minus><ci id="Ch0.E26.m1.1.1.1.2.1.4.1.1.2.cmml" xref="Ch0.E26.m1.1.1.1.2.1.4.1.1.2">𝑛</ci><ci id="Ch0.E26.m1.1.1.1.2.1.4.1.1.3.cmml" xref="Ch0.E26.m1.1.1.1.2.1.4.1.1.3">𝑝</ci></apply></matrixrow><matrixrow id="Ch0.E26.m1.1.1.1.2.1e.cmml" xref="Ch0.E26.m1.1.1.1.2.1"><cn id="Ch0.E26.m1.1.1.1.2.1.5.1.1.cmml" type="integer" xref="Ch0.E26.m1.1.1.1.2.1.5.1.1">1</cn></matrixrow></matrix></matrixrow></matrix></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Ch0.E26.m1.1c">K^{\prime}=\begin{array}[]{c c}\left(\begin{array}[]{@{} cc:cc:c @{}}\ 0&\ 0&% \ I&\ 0&\ 0\\[2.84526pt] 0&0&0&-I&0\\[2.84526pt] \hdashline I&0&0&0&0\\[2.84526pt] 0&-I&0&0&0\\[2.84526pt] \hdashline 0&0&0&0&1\end{array}\right)&{\begin{array}[]{c}p\\[2.84526pt] n-p\\[2.84526pt] p\\[2.84526pt] n-p\\[2.84526pt] 1\end{array}}\end{array}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Ch0.E26.m1.1d">italic_K start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT = start_ARRAY start_ROW start_CELL ( start_ARRAY start_ROW start_CELL 0 end_CELL start_CELL 0 end_CELL start_CELL italic_I end_CELL start_CELL 0 end_CELL start_CELL 0 end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL 0 end_CELL start_CELL 0 end_CELL start_CELL 0 end_CELL start_CELL - italic_I end_CELL start_CELL 0 end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL italic_I end_CELL start_CELL 0 end_CELL start_CELL 0 end_CELL start_CELL 0 end_CELL start_CELL 0 end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL 0 end_CELL start_CELL - italic_I end_CELL start_CELL 0 end_CELL start_CELL 0 end_CELL start_CELL 0 end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL 0 end_CELL start_CELL 0 end_CELL start_CELL 0 end_CELL start_CELL 0 end_CELL start_CELL 1 end_CELL end_ROW end_ARRAY ) end_CELL start_CELL start_ARRAY start_ROW start_CELL italic_p end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL italic_n - italic_p end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL italic_p end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL italic_n - italic_p end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL 1 end_CELL end_ROW end_ARRAY end_CELL end_ROW end_ARRAY</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(26)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="Ch0.S3.p11.6">In this case, <math alttext="K^{\prime T}=K^{\prime}" class="ltx_Math" display="inline" id="Ch0.S3.p11.4.m1.2"><semantics id="Ch0.S3.p11.4.m1.2a"><mrow id="Ch0.S3.p11.4.m1.2.3" xref="Ch0.S3.p11.4.m1.2.3.cmml"><msup id="Ch0.S3.p11.4.m1.2.3.2" xref="Ch0.S3.p11.4.m1.2.3.2.cmml"><mi id="Ch0.S3.p11.4.m1.2.3.2.2" xref="Ch0.S3.p11.4.m1.2.3.2.2.cmml">K</mi><mrow id="Ch0.S3.p11.4.m1.2.2.2.2" xref="Ch0.S3.p11.4.m1.2.2.2.3.cmml"><mo id="Ch0.S3.p11.4.m1.2.2.2.2.1" mathsize="142%" xref="Ch0.S3.p11.4.m1.2.2.2.2.1.cmml">′</mo><mo id="Ch0.S3.p11.4.m1.2.2.2.2.2" lspace="0em" xref="Ch0.S3.p11.4.m1.2.2.2.3.cmml">⁣</mo><mi id="Ch0.S3.p11.4.m1.1.1.1.1" xref="Ch0.S3.p11.4.m1.1.1.1.1.cmml">T</mi></mrow></msup><mo id="Ch0.S3.p11.4.m1.2.3.1" xref="Ch0.S3.p11.4.m1.2.3.1.cmml">=</mo><msup id="Ch0.S3.p11.4.m1.2.3.3" xref="Ch0.S3.p11.4.m1.2.3.3.cmml"><mi id="Ch0.S3.p11.4.m1.2.3.3.2" xref="Ch0.S3.p11.4.m1.2.3.3.2.cmml">K</mi><mo id="Ch0.S3.p11.4.m1.2.3.3.3" xref="Ch0.S3.p11.4.m1.2.3.3.3.cmml">′</mo></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Ch0.S3.p11.4.m1.2b"><apply id="Ch0.S3.p11.4.m1.2.3.cmml" xref="Ch0.S3.p11.4.m1.2.3"><eq id="Ch0.S3.p11.4.m1.2.3.1.cmml" xref="Ch0.S3.p11.4.m1.2.3.1"></eq><apply id="Ch0.S3.p11.4.m1.2.3.2.cmml" xref="Ch0.S3.p11.4.m1.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.S3.p11.4.m1.2.3.2.1.cmml" xref="Ch0.S3.p11.4.m1.2.3.2">superscript</csymbol><ci id="Ch0.S3.p11.4.m1.2.3.2.2.cmml" xref="Ch0.S3.p11.4.m1.2.3.2.2">𝐾</ci><list id="Ch0.S3.p11.4.m1.2.2.2.3.cmml" xref="Ch0.S3.p11.4.m1.2.2.2.2"><ci id="Ch0.S3.p11.4.m1.2.2.2.2.1.cmml" xref="Ch0.S3.p11.4.m1.2.2.2.2.1">′</ci><ci id="Ch0.S3.p11.4.m1.1.1.1.1.cmml" xref="Ch0.S3.p11.4.m1.1.1.1.1">𝑇</ci></list></apply><apply id="Ch0.S3.p11.4.m1.2.3.3.cmml" xref="Ch0.S3.p11.4.m1.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.S3.p11.4.m1.2.3.3.1.cmml" xref="Ch0.S3.p11.4.m1.2.3.3">superscript</csymbol><ci id="Ch0.S3.p11.4.m1.2.3.3.2.cmml" xref="Ch0.S3.p11.4.m1.2.3.3.2">𝐾</ci><ci id="Ch0.S3.p11.4.m1.2.3.3.3.cmml" xref="Ch0.S3.p11.4.m1.2.3.3.3">′</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Ch0.S3.p11.4.m1.2c">K^{\prime T}=K^{\prime}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Ch0.S3.p11.4.m1.2d">italic_K start_POSTSUPERSCRIPT ′ italic_T end_POSTSUPERSCRIPT = italic_K start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> and <math alttext="K^{\prime-1}=K^{\prime t}" class="ltx_Math" display="inline" id="Ch0.S3.p11.5.m2.4"><semantics id="Ch0.S3.p11.5.m2.4a"><mrow id="Ch0.S3.p11.5.m2.4.5" xref="Ch0.S3.p11.5.m2.4.5.cmml"><msup id="Ch0.S3.p11.5.m2.4.5.2" xref="Ch0.S3.p11.5.m2.4.5.2.cmml"><mi id="Ch0.S3.p11.5.m2.4.5.2.2" xref="Ch0.S3.p11.5.m2.4.5.2.2.cmml">K</mi><mrow id="Ch0.S3.p11.5.m2.2.2.2.2" xref="Ch0.S3.p11.5.m2.2.2.2.3.cmml"><mo id="Ch0.S3.p11.5.m2.1.1.1.1.1" mathsize="142%" xref="Ch0.S3.p11.5.m2.1.1.1.1.1.cmml">′</mo><mo id="Ch0.S3.p11.5.m2.2.2.2.2.3" lspace="0em" xref="Ch0.S3.p11.5.m2.2.2.2.3.cmml">⁣</mo><mrow id="Ch0.S3.p11.5.m2.2.2.2.2.2" xref="Ch0.S3.p11.5.m2.2.2.2.2.2.cmml"><mo id="Ch0.S3.p11.5.m2.2.2.2.2.2a" xref="Ch0.S3.p11.5.m2.2.2.2.2.2.cmml">−</mo><mn id="Ch0.S3.p11.5.m2.2.2.2.2.2.2" xref="Ch0.S3.p11.5.m2.2.2.2.2.2.2.cmml">1</mn></mrow></mrow></msup><mo id="Ch0.S3.p11.5.m2.4.5.1" xref="Ch0.S3.p11.5.m2.4.5.1.cmml">=</mo><msup id="Ch0.S3.p11.5.m2.4.5.3" xref="Ch0.S3.p11.5.m2.4.5.3.cmml"><mi id="Ch0.S3.p11.5.m2.4.5.3.2" xref="Ch0.S3.p11.5.m2.4.5.3.2.cmml">K</mi><mrow id="Ch0.S3.p11.5.m2.4.4.2.2" xref="Ch0.S3.p11.5.m2.4.4.2.3.cmml"><mo id="Ch0.S3.p11.5.m2.4.4.2.2.1" mathsize="142%" xref="Ch0.S3.p11.5.m2.4.4.2.2.1.cmml">′</mo><mo id="Ch0.S3.p11.5.m2.4.4.2.2.2" lspace="0em" xref="Ch0.S3.p11.5.m2.4.4.2.3.cmml">⁣</mo><mi id="Ch0.S3.p11.5.m2.3.3.1.1" xref="Ch0.S3.p11.5.m2.3.3.1.1.cmml">t</mi></mrow></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Ch0.S3.p11.5.m2.4b"><apply id="Ch0.S3.p11.5.m2.4.5.cmml" xref="Ch0.S3.p11.5.m2.4.5"><eq id="Ch0.S3.p11.5.m2.4.5.1.cmml" xref="Ch0.S3.p11.5.m2.4.5.1"></eq><apply id="Ch0.S3.p11.5.m2.4.5.2.cmml" xref="Ch0.S3.p11.5.m2.4.5.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.S3.p11.5.m2.4.5.2.1.cmml" xref="Ch0.S3.p11.5.m2.4.5.2">superscript</csymbol><ci id="Ch0.S3.p11.5.m2.4.5.2.2.cmml" xref="Ch0.S3.p11.5.m2.4.5.2.2">𝐾</ci><list id="Ch0.S3.p11.5.m2.2.2.2.3.cmml" xref="Ch0.S3.p11.5.m2.2.2.2.2"><ci id="Ch0.S3.p11.5.m2.1.1.1.1.1.cmml" xref="Ch0.S3.p11.5.m2.1.1.1.1.1">′</ci><apply id="Ch0.S3.p11.5.m2.2.2.2.2.2.cmml" xref="Ch0.S3.p11.5.m2.2.2.2.2.2"><minus id="Ch0.S3.p11.5.m2.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="Ch0.S3.p11.5.m2.2.2.2.2.2"></minus><cn id="Ch0.S3.p11.5.m2.2.2.2.2.2.2.cmml" type="integer" xref="Ch0.S3.p11.5.m2.2.2.2.2.2.2">1</cn></apply></list></apply><apply id="Ch0.S3.p11.5.m2.4.5.3.cmml" xref="Ch0.S3.p11.5.m2.4.5.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.S3.p11.5.m2.4.5.3.1.cmml" xref="Ch0.S3.p11.5.m2.4.5.3">superscript</csymbol><ci id="Ch0.S3.p11.5.m2.4.5.3.2.cmml" xref="Ch0.S3.p11.5.m2.4.5.3.2">𝐾</ci><list id="Ch0.S3.p11.5.m2.4.4.2.3.cmml" xref="Ch0.S3.p11.5.m2.4.4.2.2"><ci id="Ch0.S3.p11.5.m2.4.4.2.2.1.cmml" xref="Ch0.S3.p11.5.m2.4.4.2.2.1">′</ci><ci id="Ch0.S3.p11.5.m2.3.3.1.1.cmml" xref="Ch0.S3.p11.5.m2.3.3.1.1">𝑡</ci></list></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Ch0.S3.p11.5.m2.4c">K^{\prime-1}=K^{\prime t}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Ch0.S3.p11.5.m2.4d">italic_K start_POSTSUPERSCRIPT ′ - 1 end_POSTSUPERSCRIPT = italic_K start_POSTSUPERSCRIPT ′ italic_t end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>. These relations are again sufficient to show that the matrices of type (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2408.09274v1#Ch0.E24" title="In 3 ℤ₂²-GLA’s as subalgebras of 𝔰⁢𝔩_{𝑝,𝑞,𝑟,𝑠}⁢(𝑛) ‣ Matrix structure of classical ℤ₂×ℤ₂ graded Lie algebras"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">24</span></a>) close under the <math alttext="{\mathbb{Z}}_{2}\times{\mathbb{Z}}_{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="Ch0.S3.p11.6.m3.1"><semantics id="Ch0.S3.p11.6.m3.1a"><mrow id="Ch0.S3.p11.6.m3.1.1" xref="Ch0.S3.p11.6.m3.1.1.cmml"><msub id="Ch0.S3.p11.6.m3.1.1.2" xref="Ch0.S3.p11.6.m3.1.1.2.cmml"><mi id="Ch0.S3.p11.6.m3.1.1.2.2" xref="Ch0.S3.p11.6.m3.1.1.2.2.cmml">ℤ</mi><mn id="Ch0.S3.p11.6.m3.1.1.2.3" xref="Ch0.S3.p11.6.m3.1.1.2.3.cmml">2</mn></msub><mo id="Ch0.S3.p11.6.m3.1.1.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="Ch0.S3.p11.6.m3.1.1.1.cmml">×</mo><msub id="Ch0.S3.p11.6.m3.1.1.3" xref="Ch0.S3.p11.6.m3.1.1.3.cmml"><mi id="Ch0.S3.p11.6.m3.1.1.3.2" xref="Ch0.S3.p11.6.m3.1.1.3.2.cmml">ℤ</mi><mn id="Ch0.S3.p11.6.m3.1.1.3.3" xref="Ch0.S3.p11.6.m3.1.1.3.3.cmml">2</mn></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Ch0.S3.p11.6.m3.1b"><apply id="Ch0.S3.p11.6.m3.1.1.cmml" xref="Ch0.S3.p11.6.m3.1.1"><times id="Ch0.S3.p11.6.m3.1.1.1.cmml" xref="Ch0.S3.p11.6.m3.1.1.1"></times><apply id="Ch0.S3.p11.6.m3.1.1.2.cmml" xref="Ch0.S3.p11.6.m3.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.S3.p11.6.m3.1.1.2.1.cmml" xref="Ch0.S3.p11.6.m3.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="Ch0.S3.p11.6.m3.1.1.2.2.cmml" xref="Ch0.S3.p11.6.m3.1.1.2.2">ℤ</ci><cn id="Ch0.S3.p11.6.m3.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="Ch0.S3.p11.6.m3.1.1.2.3">2</cn></apply><apply id="Ch0.S3.p11.6.m3.1.1.3.cmml" xref="Ch0.S3.p11.6.m3.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.S3.p11.6.m3.1.1.3.1.cmml" xref="Ch0.S3.p11.6.m3.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="Ch0.S3.p11.6.m3.1.1.3.2.cmml" xref="Ch0.S3.p11.6.m3.1.1.3.2">ℤ</ci><cn id="Ch0.S3.p11.6.m3.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="Ch0.S3.p11.6.m3.1.1.3.3">2</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Ch0.S3.p11.6.m3.1c">{\mathbb{Z}}_{2}\times{\mathbb{Z}}_{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Ch0.S3.p11.6.m3.1d">blackboard_Z start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT × blackboard_Z start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>-graded bracket.</p> </div> </section> <section class="ltx_section" id="Ch0.S4"> <h2 class="ltx_title ltx_title_section"> <span class="ltx_tag ltx_tag_section">4 </span>Example and conclusions</h2> <div class="ltx_para" id="Ch0.S4.p1"> <p class="ltx_p" id="Ch0.S4.p1.4">A number of examples of systems displaying a <math alttext="{\mathbb{Z}}_{2}\times{\mathbb{Z}}_{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="Ch0.S4.p1.1.m1.1"><semantics id="Ch0.S4.p1.1.m1.1a"><mrow id="Ch0.S4.p1.1.m1.1.1" xref="Ch0.S4.p1.1.m1.1.1.cmml"><msub id="Ch0.S4.p1.1.m1.1.1.2" xref="Ch0.S4.p1.1.m1.1.1.2.cmml"><mi id="Ch0.S4.p1.1.m1.1.1.2.2" xref="Ch0.S4.p1.1.m1.1.1.2.2.cmml">ℤ</mi><mn id="Ch0.S4.p1.1.m1.1.1.2.3" xref="Ch0.S4.p1.1.m1.1.1.2.3.cmml">2</mn></msub><mo id="Ch0.S4.p1.1.m1.1.1.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="Ch0.S4.p1.1.m1.1.1.1.cmml">×</mo><msub id="Ch0.S4.p1.1.m1.1.1.3" xref="Ch0.S4.p1.1.m1.1.1.3.cmml"><mi id="Ch0.S4.p1.1.m1.1.1.3.2" xref="Ch0.S4.p1.1.m1.1.1.3.2.cmml">ℤ</mi><mn id="Ch0.S4.p1.1.m1.1.1.3.3" xref="Ch0.S4.p1.1.m1.1.1.3.3.cmml">2</mn></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Ch0.S4.p1.1.m1.1b"><apply id="Ch0.S4.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="Ch0.S4.p1.1.m1.1.1"><times id="Ch0.S4.p1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="Ch0.S4.p1.1.m1.1.1.1"></times><apply id="Ch0.S4.p1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="Ch0.S4.p1.1.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.S4.p1.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="Ch0.S4.p1.1.m1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="Ch0.S4.p1.1.m1.1.1.2.2.cmml" xref="Ch0.S4.p1.1.m1.1.1.2.2">ℤ</ci><cn id="Ch0.S4.p1.1.m1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="Ch0.S4.p1.1.m1.1.1.2.3">2</cn></apply><apply id="Ch0.S4.p1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="Ch0.S4.p1.1.m1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.S4.p1.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="Ch0.S4.p1.1.m1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="Ch0.S4.p1.1.m1.1.1.3.2.cmml" xref="Ch0.S4.p1.1.m1.1.1.3.2">ℤ</ci><cn id="Ch0.S4.p1.1.m1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="Ch0.S4.p1.1.m1.1.1.3.3">2</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Ch0.S4.p1.1.m1.1c">{\mathbb{Z}}_{2}\times{\mathbb{Z}}_{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Ch0.S4.p1.1.m1.1d">blackboard_Z start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT × blackboard_Z start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>-graded Lie symmetry were already given in <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2408.09274v1#bib.bib25" title="">SV2023 </a></cite>. Here, let us again consider an example in the context of parafermion operators. Ordinary parafermion operators satisfy certain triple commutation relations <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2408.09274v1#bib.bib11" title="">Green </a>; <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2408.09274v1#bib.bib12" title="">GM </a></cite>, and form a generating set for the Lie algebra <math alttext="\mathfrak{so}(2n+1)" class="ltx_Math" display="inline" id="Ch0.S4.p1.2.m2.1"><semantics id="Ch0.S4.p1.2.m2.1a"><mrow id="Ch0.S4.p1.2.m2.1.1" xref="Ch0.S4.p1.2.m2.1.1.cmml"><mi id="Ch0.S4.p1.2.m2.1.1.3" xref="Ch0.S4.p1.2.m2.1.1.3.cmml">𝔰</mi><mo id="Ch0.S4.p1.2.m2.1.1.2" xref="Ch0.S4.p1.2.m2.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="Ch0.S4.p1.2.m2.1.1.4" xref="Ch0.S4.p1.2.m2.1.1.4.cmml">𝔬</mi><mo id="Ch0.S4.p1.2.m2.1.1.2a" xref="Ch0.S4.p1.2.m2.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="Ch0.S4.p1.2.m2.1.1.1.1" xref="Ch0.S4.p1.2.m2.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="Ch0.S4.p1.2.m2.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="Ch0.S4.p1.2.m2.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="Ch0.S4.p1.2.m2.1.1.1.1.1" xref="Ch0.S4.p1.2.m2.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="Ch0.S4.p1.2.m2.1.1.1.1.1.2" xref="Ch0.S4.p1.2.m2.1.1.1.1.1.2.cmml"><mn id="Ch0.S4.p1.2.m2.1.1.1.1.1.2.2" xref="Ch0.S4.p1.2.m2.1.1.1.1.1.2.2.cmml">2</mn><mo id="Ch0.S4.p1.2.m2.1.1.1.1.1.2.1" xref="Ch0.S4.p1.2.m2.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="Ch0.S4.p1.2.m2.1.1.1.1.1.2.3" xref="Ch0.S4.p1.2.m2.1.1.1.1.1.2.3.cmml">n</mi></mrow><mo id="Ch0.S4.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1" xref="Ch0.S4.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mn id="Ch0.S4.p1.2.m2.1.1.1.1.1.3" xref="Ch0.S4.p1.2.m2.1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="Ch0.S4.p1.2.m2.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="Ch0.S4.p1.2.m2.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Ch0.S4.p1.2.m2.1b"><apply id="Ch0.S4.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="Ch0.S4.p1.2.m2.1.1"><times id="Ch0.S4.p1.2.m2.1.1.2.cmml" xref="Ch0.S4.p1.2.m2.1.1.2"></times><ci id="Ch0.S4.p1.2.m2.1.1.3.cmml" xref="Ch0.S4.p1.2.m2.1.1.3">𝔰</ci><ci id="Ch0.S4.p1.2.m2.1.1.4.cmml" xref="Ch0.S4.p1.2.m2.1.1.4">𝔬</ci><apply id="Ch0.S4.p1.2.m2.1.1.1.1.1.cmml" xref="Ch0.S4.p1.2.m2.1.1.1.1"><plus id="Ch0.S4.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="Ch0.S4.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1"></plus><apply id="Ch0.S4.p1.2.m2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="Ch0.S4.p1.2.m2.1.1.1.1.1.2"><times id="Ch0.S4.p1.2.m2.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="Ch0.S4.p1.2.m2.1.1.1.1.1.2.1"></times><cn id="Ch0.S4.p1.2.m2.1.1.1.1.1.2.2.cmml" type="integer" xref="Ch0.S4.p1.2.m2.1.1.1.1.1.2.2">2</cn><ci id="Ch0.S4.p1.2.m2.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="Ch0.S4.p1.2.m2.1.1.1.1.1.2.3">𝑛</ci></apply><cn id="Ch0.S4.p1.2.m2.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="Ch0.S4.p1.2.m2.1.1.1.1.1.3">1</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Ch0.S4.p1.2.m2.1c">\mathfrak{so}(2n+1)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Ch0.S4.p1.2.m2.1d">fraktur_s fraktur_o ( 2 italic_n + 1 )</annotation></semantics></math> <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2408.09274v1#bib.bib15" title="">KT </a>; <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2408.09274v1#bib.bib21" title="">Ryan </a>; <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2408.09274v1#bib.bib23" title="">SV2008 </a></cite>. Consider now the following set of generators from the <math alttext="{\mathbb{Z}}_{2}^{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="Ch0.S4.p1.3.m3.1"><semantics id="Ch0.S4.p1.3.m3.1a"><msubsup id="Ch0.S4.p1.3.m3.1.1" xref="Ch0.S4.p1.3.m3.1.1.cmml"><mi id="Ch0.S4.p1.3.m3.1.1.2.2" xref="Ch0.S4.p1.3.m3.1.1.2.2.cmml">ℤ</mi><mn id="Ch0.S4.p1.3.m3.1.1.2.3" xref="Ch0.S4.p1.3.m3.1.1.2.3.cmml">2</mn><mn id="Ch0.S4.p1.3.m3.1.1.3" xref="Ch0.S4.p1.3.m3.1.1.3.cmml">2</mn></msubsup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Ch0.S4.p1.3.m3.1b"><apply id="Ch0.S4.p1.3.m3.1.1.cmml" xref="Ch0.S4.p1.3.m3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.S4.p1.3.m3.1.1.1.cmml" xref="Ch0.S4.p1.3.m3.1.1">superscript</csymbol><apply id="Ch0.S4.p1.3.m3.1.1.2.cmml" xref="Ch0.S4.p1.3.m3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.S4.p1.3.m3.1.1.2.1.cmml" xref="Ch0.S4.p1.3.m3.1.1">subscript</csymbol><ci id="Ch0.S4.p1.3.m3.1.1.2.2.cmml" xref="Ch0.S4.p1.3.m3.1.1.2.2">ℤ</ci><cn id="Ch0.S4.p1.3.m3.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="Ch0.S4.p1.3.m3.1.1.2.3">2</cn></apply><cn id="Ch0.S4.p1.3.m3.1.1.3.cmml" type="integer" xref="Ch0.S4.p1.3.m3.1.1.3">2</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Ch0.S4.p1.3.m3.1c">{\mathbb{Z}}_{2}^{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Ch0.S4.p1.3.m3.1d">blackboard_Z start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>-GLA <math alttext="\mathfrak{so}_{q}(2n+1)" class="ltx_Math" display="inline" id="Ch0.S4.p1.4.m4.1"><semantics id="Ch0.S4.p1.4.m4.1a"><mrow id="Ch0.S4.p1.4.m4.1.1" xref="Ch0.S4.p1.4.m4.1.1.cmml"><mi id="Ch0.S4.p1.4.m4.1.1.3" xref="Ch0.S4.p1.4.m4.1.1.3.cmml">𝔰</mi><mo id="Ch0.S4.p1.4.m4.1.1.2" xref="Ch0.S4.p1.4.m4.1.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="Ch0.S4.p1.4.m4.1.1.4" xref="Ch0.S4.p1.4.m4.1.1.4.cmml"><mi id="Ch0.S4.p1.4.m4.1.1.4.2" xref="Ch0.S4.p1.4.m4.1.1.4.2.cmml">𝔬</mi><mi id="Ch0.S4.p1.4.m4.1.1.4.3" xref="Ch0.S4.p1.4.m4.1.1.4.3.cmml">q</mi></msub><mo id="Ch0.S4.p1.4.m4.1.1.2a" xref="Ch0.S4.p1.4.m4.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="Ch0.S4.p1.4.m4.1.1.1.1" xref="Ch0.S4.p1.4.m4.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="Ch0.S4.p1.4.m4.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="Ch0.S4.p1.4.m4.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="Ch0.S4.p1.4.m4.1.1.1.1.1" xref="Ch0.S4.p1.4.m4.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="Ch0.S4.p1.4.m4.1.1.1.1.1.2" xref="Ch0.S4.p1.4.m4.1.1.1.1.1.2.cmml"><mn id="Ch0.S4.p1.4.m4.1.1.1.1.1.2.2" xref="Ch0.S4.p1.4.m4.1.1.1.1.1.2.2.cmml">2</mn><mo id="Ch0.S4.p1.4.m4.1.1.1.1.1.2.1" xref="Ch0.S4.p1.4.m4.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="Ch0.S4.p1.4.m4.1.1.1.1.1.2.3" xref="Ch0.S4.p1.4.m4.1.1.1.1.1.2.3.cmml">n</mi></mrow><mo id="Ch0.S4.p1.4.m4.1.1.1.1.1.1" xref="Ch0.S4.p1.4.m4.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mn id="Ch0.S4.p1.4.m4.1.1.1.1.1.3" xref="Ch0.S4.p1.4.m4.1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="Ch0.S4.p1.4.m4.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="Ch0.S4.p1.4.m4.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml 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<td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle f_{j}^{-}=\sqrt{2}(e_{j,2n+1}-e_{2n+1,n+j})," class="ltx_Math" display="inline" id="Ch0.Ex18.m1.5"><semantics id="Ch0.Ex18.m1.5a"><mrow id="Ch0.Ex18.m1.5.5.1" xref="Ch0.Ex18.m1.5.5.1.1.cmml"><mrow id="Ch0.Ex18.m1.5.5.1.1" xref="Ch0.Ex18.m1.5.5.1.1.cmml"><msubsup id="Ch0.Ex18.m1.5.5.1.1.3" xref="Ch0.Ex18.m1.5.5.1.1.3.cmml"><mi id="Ch0.Ex18.m1.5.5.1.1.3.2.2" xref="Ch0.Ex18.m1.5.5.1.1.3.2.2.cmml">f</mi><mi id="Ch0.Ex18.m1.5.5.1.1.3.2.3" xref="Ch0.Ex18.m1.5.5.1.1.3.2.3.cmml">j</mi><mo id="Ch0.Ex18.m1.5.5.1.1.3.3" xref="Ch0.Ex18.m1.5.5.1.1.3.3.cmml">−</mo></msubsup><mo id="Ch0.Ex18.m1.5.5.1.1.2" xref="Ch0.Ex18.m1.5.5.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="Ch0.Ex18.m1.5.5.1.1.1" xref="Ch0.Ex18.m1.5.5.1.1.1.cmml"><msqrt id="Ch0.Ex18.m1.5.5.1.1.1.3" xref="Ch0.Ex18.m1.5.5.1.1.1.3.cmml"><mn id="Ch0.Ex18.m1.5.5.1.1.1.3.2" xref="Ch0.Ex18.m1.5.5.1.1.1.3.2.cmml">2</mn></msqrt><mo id="Ch0.Ex18.m1.5.5.1.1.1.2" xref="Ch0.Ex18.m1.5.5.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="Ch0.Ex18.m1.5.5.1.1.1.1.1" xref="Ch0.Ex18.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="Ch0.Ex18.m1.5.5.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="Ch0.Ex18.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="Ch0.Ex18.m1.5.5.1.1.1.1.1.1" xref="Ch0.Ex18.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="Ch0.Ex18.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2" xref="Ch0.Ex18.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="Ch0.Ex18.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="Ch0.Ex18.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">e</mi><mrow id="Ch0.Ex18.m1.2.2.2.2" xref="Ch0.Ex18.m1.2.2.2.3.cmml"><mi id="Ch0.Ex18.m1.1.1.1.1" xref="Ch0.Ex18.m1.1.1.1.1.cmml">j</mi><mo id="Ch0.Ex18.m1.2.2.2.2.2" xref="Ch0.Ex18.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mrow id="Ch0.Ex18.m1.2.2.2.2.1" xref="Ch0.Ex18.m1.2.2.2.2.1.cmml"><mrow id="Ch0.Ex18.m1.2.2.2.2.1.2" xref="Ch0.Ex18.m1.2.2.2.2.1.2.cmml"><mn id="Ch0.Ex18.m1.2.2.2.2.1.2.2" xref="Ch0.Ex18.m1.2.2.2.2.1.2.2.cmml">2</mn><mo id="Ch0.Ex18.m1.2.2.2.2.1.2.1" xref="Ch0.Ex18.m1.2.2.2.2.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi 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,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="Ch0.E27"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle f_{j}^{+}=\sqrt{2}(e_{2n+1,j}-e_{n+j,2n+1}),\qquad j=1,\ldots,n." class="ltx_Math" display="inline" id="Ch0.E27.m1.8"><semantics id="Ch0.E27.m1.8a"><mrow id="Ch0.E27.m1.8.8.1"><mrow id="Ch0.E27.m1.8.8.1.1.2" xref="Ch0.E27.m1.8.8.1.1.3.cmml"><mrow id="Ch0.E27.m1.8.8.1.1.1.1" xref="Ch0.E27.m1.8.8.1.1.1.1.cmml"><msubsup id="Ch0.E27.m1.8.8.1.1.1.1.3" xref="Ch0.E27.m1.8.8.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="Ch0.E27.m1.8.8.1.1.1.1.3.2.2" xref="Ch0.E27.m1.8.8.1.1.1.1.3.2.2.cmml">f</mi><mi id="Ch0.E27.m1.8.8.1.1.1.1.3.2.3" xref="Ch0.E27.m1.8.8.1.1.1.1.3.2.3.cmml">j</mi><mo id="Ch0.E27.m1.8.8.1.1.1.1.3.3" xref="Ch0.E27.m1.8.8.1.1.1.1.3.3.cmml">+</mo></msubsup><mo id="Ch0.E27.m1.8.8.1.1.1.1.2" 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id="Ch0.E27.m1.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="Ch0.E27.m1.3.3.1.1.1.1"></plus><ci id="Ch0.E27.m1.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="Ch0.E27.m1.3.3.1.1.1.2">𝑛</ci><ci id="Ch0.E27.m1.3.3.1.1.1.3.cmml" xref="Ch0.E27.m1.3.3.1.1.1.3">𝑗</ci></apply><apply id="Ch0.E27.m1.4.4.2.2.2.cmml" xref="Ch0.E27.m1.4.4.2.2.2"><plus id="Ch0.E27.m1.4.4.2.2.2.1.cmml" xref="Ch0.E27.m1.4.4.2.2.2.1"></plus><apply id="Ch0.E27.m1.4.4.2.2.2.2.cmml" xref="Ch0.E27.m1.4.4.2.2.2.2"><times id="Ch0.E27.m1.4.4.2.2.2.2.1.cmml" xref="Ch0.E27.m1.4.4.2.2.2.2.1"></times><cn id="Ch0.E27.m1.4.4.2.2.2.2.2.cmml" type="integer" xref="Ch0.E27.m1.4.4.2.2.2.2.2">2</cn><ci id="Ch0.E27.m1.4.4.2.2.2.2.3.cmml" xref="Ch0.E27.m1.4.4.2.2.2.2.3">𝑛</ci></apply><cn id="Ch0.E27.m1.4.4.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="Ch0.E27.m1.4.4.2.2.2.3">1</cn></apply></list></apply></apply></apply></apply><apply id="Ch0.E27.m1.8.8.1.1.2.2.cmml" xref="Ch0.E27.m1.8.8.1.1.2.2"><eq id="Ch0.E27.m1.8.8.1.1.2.2.1.cmml" xref="Ch0.E27.m1.8.8.1.1.2.2.1"></eq><ci id="Ch0.E27.m1.8.8.1.1.2.2.2.cmml" xref="Ch0.E27.m1.8.8.1.1.2.2.2">𝑗</ci><list id="Ch0.E27.m1.8.8.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="Ch0.E27.m1.8.8.1.1.2.2.3.2"><cn id="Ch0.E27.m1.5.5.cmml" type="integer" xref="Ch0.E27.m1.5.5">1</cn><ci id="Ch0.E27.m1.6.6.cmml" xref="Ch0.E27.m1.6.6">…</ci><ci id="Ch0.E27.m1.7.7.cmml" xref="Ch0.E27.m1.7.7">𝑛</ci></list></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Ch0.E27.m1.8c">\displaystyle f_{j}^{+}=\sqrt{2}(e_{2n+1,j}-e_{n+j,2n+1}),\qquad j=1,\ldots,n.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Ch0.E27.m1.8d">italic_f start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT + end_POSTSUPERSCRIPT = square-root start_ARG 2 end_ARG ( italic_e start_POSTSUBSCRIPT 2 italic_n + 1 , italic_j end_POSTSUBSCRIPT - italic_e start_POSTSUBSCRIPT italic_n + italic_j , 2 italic_n + 1 end_POSTSUBSCRIPT ) , italic_j = 1 , … , italic_n .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(27)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="Ch0.S4.p1.8">As usual, <math alttext="e_{jk}" class="ltx_Math" display="inline" id="Ch0.S4.p1.5.m1.1"><semantics id="Ch0.S4.p1.5.m1.1a"><msub id="Ch0.S4.p1.5.m1.1.1" xref="Ch0.S4.p1.5.m1.1.1.cmml"><mi id="Ch0.S4.p1.5.m1.1.1.2" xref="Ch0.S4.p1.5.m1.1.1.2.cmml">e</mi><mrow id="Ch0.S4.p1.5.m1.1.1.3" xref="Ch0.S4.p1.5.m1.1.1.3.cmml"><mi id="Ch0.S4.p1.5.m1.1.1.3.2" xref="Ch0.S4.p1.5.m1.1.1.3.2.cmml">j</mi><mo id="Ch0.S4.p1.5.m1.1.1.3.1" xref="Ch0.S4.p1.5.m1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="Ch0.S4.p1.5.m1.1.1.3.3" xref="Ch0.S4.p1.5.m1.1.1.3.3.cmml">k</mi></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Ch0.S4.p1.5.m1.1b"><apply id="Ch0.S4.p1.5.m1.1.1.cmml" xref="Ch0.S4.p1.5.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.S4.p1.5.m1.1.1.1.cmml" xref="Ch0.S4.p1.5.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="Ch0.S4.p1.5.m1.1.1.2.cmml" xref="Ch0.S4.p1.5.m1.1.1.2">𝑒</ci><apply id="Ch0.S4.p1.5.m1.1.1.3.cmml" xref="Ch0.S4.p1.5.m1.1.1.3"><times id="Ch0.S4.p1.5.m1.1.1.3.1.cmml" xref="Ch0.S4.p1.5.m1.1.1.3.1"></times><ci id="Ch0.S4.p1.5.m1.1.1.3.2.cmml" xref="Ch0.S4.p1.5.m1.1.1.3.2">𝑗</ci><ci id="Ch0.S4.p1.5.m1.1.1.3.3.cmml" xref="Ch0.S4.p1.5.m1.1.1.3.3">𝑘</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Ch0.S4.p1.5.m1.1c">e_{jk}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Ch0.S4.p1.5.m1.1d">italic_e start_POSTSUBSCRIPT italic_j italic_k end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> is the notation of a matrix of the relevant size with zeros everywhere except a 1 on the intersection of row <math alttext="j" class="ltx_Math" display="inline" id="Ch0.S4.p1.6.m2.1"><semantics id="Ch0.S4.p1.6.m2.1a"><mi id="Ch0.S4.p1.6.m2.1.1" xref="Ch0.S4.p1.6.m2.1.1.cmml">j</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Ch0.S4.p1.6.m2.1b"><ci id="Ch0.S4.p1.6.m2.1.1.cmml" xref="Ch0.S4.p1.6.m2.1.1">𝑗</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Ch0.S4.p1.6.m2.1c">j</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Ch0.S4.p1.6.m2.1d">italic_j</annotation></semantics></math> and column <math alttext="k" class="ltx_Math" display="inline" id="Ch0.S4.p1.7.m3.1"><semantics id="Ch0.S4.p1.7.m3.1a"><mi id="Ch0.S4.p1.7.m3.1.1" xref="Ch0.S4.p1.7.m3.1.1.cmml">k</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Ch0.S4.p1.7.m3.1b"><ci id="Ch0.S4.p1.7.m3.1.1.cmml" xref="Ch0.S4.p1.7.m3.1.1">𝑘</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Ch0.S4.p1.7.m3.1c">k</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Ch0.S4.p1.7.m3.1d">italic_k</annotation></semantics></math>. In terms of these generators, the subspaces of <math alttext="\mathfrak{so}_{q}(2n+1)" class="ltx_Math" display="inline" id="Ch0.S4.p1.8.m4.1"><semantics id="Ch0.S4.p1.8.m4.1a"><mrow id="Ch0.S4.p1.8.m4.1.1" xref="Ch0.S4.p1.8.m4.1.1.cmml"><mi id="Ch0.S4.p1.8.m4.1.1.3" xref="Ch0.S4.p1.8.m4.1.1.3.cmml">𝔰</mi><mo id="Ch0.S4.p1.8.m4.1.1.2" xref="Ch0.S4.p1.8.m4.1.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="Ch0.S4.p1.8.m4.1.1.4" xref="Ch0.S4.p1.8.m4.1.1.4.cmml"><mi id="Ch0.S4.p1.8.m4.1.1.4.2" xref="Ch0.S4.p1.8.m4.1.1.4.2.cmml">𝔬</mi><mi id="Ch0.S4.p1.8.m4.1.1.4.3" xref="Ch0.S4.p1.8.m4.1.1.4.3.cmml">q</mi></msub><mo id="Ch0.S4.p1.8.m4.1.1.2a" xref="Ch0.S4.p1.8.m4.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="Ch0.S4.p1.8.m4.1.1.1.1" xref="Ch0.S4.p1.8.m4.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="Ch0.S4.p1.8.m4.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="Ch0.S4.p1.8.m4.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="Ch0.S4.p1.8.m4.1.1.1.1.1" xref="Ch0.S4.p1.8.m4.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="Ch0.S4.p1.8.m4.1.1.1.1.1.2" xref="Ch0.S4.p1.8.m4.1.1.1.1.1.2.cmml"><mn id="Ch0.S4.p1.8.m4.1.1.1.1.1.2.2" xref="Ch0.S4.p1.8.m4.1.1.1.1.1.2.2.cmml">2</mn><mo id="Ch0.S4.p1.8.m4.1.1.1.1.1.2.1" xref="Ch0.S4.p1.8.m4.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="Ch0.S4.p1.8.m4.1.1.1.1.1.2.3" xref="Ch0.S4.p1.8.m4.1.1.1.1.1.2.3.cmml">n</mi></mrow><mo id="Ch0.S4.p1.8.m4.1.1.1.1.1.1" xref="Ch0.S4.p1.8.m4.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mn id="Ch0.S4.p1.8.m4.1.1.1.1.1.3" xref="Ch0.S4.p1.8.m4.1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="Ch0.S4.p1.8.m4.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="Ch0.S4.p1.8.m4.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Ch0.S4.p1.8.m4.1b"><apply id="Ch0.S4.p1.8.m4.1.1.cmml" xref="Ch0.S4.p1.8.m4.1.1"><times id="Ch0.S4.p1.8.m4.1.1.2.cmml" xref="Ch0.S4.p1.8.m4.1.1.2"></times><ci id="Ch0.S4.p1.8.m4.1.1.3.cmml" xref="Ch0.S4.p1.8.m4.1.1.3">𝔰</ci><apply id="Ch0.S4.p1.8.m4.1.1.4.cmml" xref="Ch0.S4.p1.8.m4.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.S4.p1.8.m4.1.1.4.1.cmml" xref="Ch0.S4.p1.8.m4.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="Ch0.S4.p1.8.m4.1.1.4.2.cmml" xref="Ch0.S4.p1.8.m4.1.1.4.2">𝔬</ci><ci id="Ch0.S4.p1.8.m4.1.1.4.3.cmml" xref="Ch0.S4.p1.8.m4.1.1.4.3">𝑞</ci></apply><apply id="Ch0.S4.p1.8.m4.1.1.1.1.1.cmml" xref="Ch0.S4.p1.8.m4.1.1.1.1"><plus id="Ch0.S4.p1.8.m4.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="Ch0.S4.p1.8.m4.1.1.1.1.1.1"></plus><apply id="Ch0.S4.p1.8.m4.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="Ch0.S4.p1.8.m4.1.1.1.1.1.2"><times id="Ch0.S4.p1.8.m4.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="Ch0.S4.p1.8.m4.1.1.1.1.1.2.1"></times><cn id="Ch0.S4.p1.8.m4.1.1.1.1.1.2.2.cmml" type="integer" xref="Ch0.S4.p1.8.m4.1.1.1.1.1.2.2">2</cn><ci id="Ch0.S4.p1.8.m4.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="Ch0.S4.p1.8.m4.1.1.1.1.1.2.3">𝑛</ci></apply><cn id="Ch0.S4.p1.8.m4.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="Ch0.S4.p1.8.m4.1.1.1.1.1.3">1</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Ch0.S4.p1.8.m4.1c">\mathfrak{so}_{q}(2n+1)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Ch0.S4.p1.8.m4.1d">fraktur_s fraktur_o start_POSTSUBSCRIPT italic_q end_POSTSUBSCRIPT ( 2 italic_n + 1 )</annotation></semantics></math> consist of the following elements:</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="Ch0.S4.EGx9"> <tbody id="Ch0.Ex19"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\mathfrak{g}_{(0,1)}=\operatorname{span}\{f_{k}^{\pm},\;k=1,% \ldots,q\}" class="ltx_Math" display="inline" id="Ch0.Ex19.m1.7"><semantics id="Ch0.Ex19.m1.7a"><mrow id="Ch0.Ex19.m1.7.7" xref="Ch0.Ex19.m1.7.7.cmml"><msub id="Ch0.Ex19.m1.7.7.4" xref="Ch0.Ex19.m1.7.7.4.cmml"><mi id="Ch0.Ex19.m1.7.7.4.2" xref="Ch0.Ex19.m1.7.7.4.2.cmml">𝔤</mi><mrow id="Ch0.Ex19.m1.2.2.2.4" xref="Ch0.Ex19.m1.2.2.2.3.cmml"><mo id="Ch0.Ex19.m1.2.2.2.4.1" stretchy="false" xref="Ch0.Ex19.m1.2.2.2.3.cmml">(</mo><mn id="Ch0.Ex19.m1.1.1.1.1" xref="Ch0.Ex19.m1.1.1.1.1.cmml">0</mn><mo id="Ch0.Ex19.m1.2.2.2.4.2" xref="Ch0.Ex19.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mn id="Ch0.Ex19.m1.2.2.2.2" xref="Ch0.Ex19.m1.2.2.2.2.cmml">1</mn><mo id="Ch0.Ex19.m1.2.2.2.4.3" stretchy="false" xref="Ch0.Ex19.m1.2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></msub><mo id="Ch0.Ex19.m1.7.7.3" xref="Ch0.Ex19.m1.7.7.3.cmml">=</mo><mrow id="Ch0.Ex19.m1.7.7.2.2" xref="Ch0.Ex19.m1.7.7.2.3.cmml"><mi id="Ch0.Ex19.m1.3.3" xref="Ch0.Ex19.m1.3.3.cmml">span</mi><mo id="Ch0.Ex19.m1.7.7.2.2a" xref="Ch0.Ex19.m1.7.7.2.3.cmml">⁡</mo><mrow id="Ch0.Ex19.m1.7.7.2.2.2" xref="Ch0.Ex19.m1.7.7.2.3.cmml"><mo id="Ch0.Ex19.m1.7.7.2.2.2.3" stretchy="false" xref="Ch0.Ex19.m1.7.7.2.3.cmml">{</mo><msubsup id="Ch0.Ex19.m1.6.6.1.1.1.1" xref="Ch0.Ex19.m1.6.6.1.1.1.1.cmml"><mi id="Ch0.Ex19.m1.6.6.1.1.1.1.2.2" xref="Ch0.Ex19.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.cmml">f</mi><mi id="Ch0.Ex19.m1.6.6.1.1.1.1.2.3" xref="Ch0.Ex19.m1.6.6.1.1.1.1.2.3.cmml">k</mi><mo id="Ch0.Ex19.m1.6.6.1.1.1.1.3" xref="Ch0.Ex19.m1.6.6.1.1.1.1.3.cmml">±</mo></msubsup><mo id="Ch0.Ex19.m1.7.7.2.2.2.4" rspace="0.447em" xref="Ch0.Ex19.m1.7.7.2.3.cmml">,</mo><mrow id="Ch0.Ex19.m1.7.7.2.2.2.2" xref="Ch0.Ex19.m1.7.7.2.2.2.2.cmml"><mi id="Ch0.Ex19.m1.7.7.2.2.2.2.2" xref="Ch0.Ex19.m1.7.7.2.2.2.2.2.cmml">k</mi><mo id="Ch0.Ex19.m1.7.7.2.2.2.2.1" xref="Ch0.Ex19.m1.7.7.2.2.2.2.1.cmml">=</mo><mn id="Ch0.Ex19.m1.7.7.2.2.2.2.3" xref="Ch0.Ex19.m1.7.7.2.2.2.2.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="Ch0.Ex19.m1.7.7.2.2.2.5" xref="Ch0.Ex19.m1.7.7.2.3.cmml">,</mo><mi id="Ch0.Ex19.m1.4.4" mathvariant="normal" xref="Ch0.Ex19.m1.4.4.cmml">…</mi><mo id="Ch0.Ex19.m1.7.7.2.2.2.6" xref="Ch0.Ex19.m1.7.7.2.3.cmml">,</mo><mi id="Ch0.Ex19.m1.5.5" xref="Ch0.Ex19.m1.5.5.cmml">q</mi><mo id="Ch0.Ex19.m1.7.7.2.2.2.7" stretchy="false" xref="Ch0.Ex19.m1.7.7.2.3.cmml">}</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Ch0.Ex19.m1.7b"><apply id="Ch0.Ex19.m1.7.7.cmml" xref="Ch0.Ex19.m1.7.7"><eq id="Ch0.Ex19.m1.7.7.3.cmml" xref="Ch0.Ex19.m1.7.7.3"></eq><apply id="Ch0.Ex19.m1.7.7.4.cmml" xref="Ch0.Ex19.m1.7.7.4"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.Ex19.m1.7.7.4.1.cmml" xref="Ch0.Ex19.m1.7.7.4">subscript</csymbol><ci id="Ch0.Ex19.m1.7.7.4.2.cmml" xref="Ch0.Ex19.m1.7.7.4.2">𝔤</ci><interval closure="open" id="Ch0.Ex19.m1.2.2.2.3.cmml" xref="Ch0.Ex19.m1.2.2.2.4"><cn id="Ch0.Ex19.m1.1.1.1.1.cmml" type="integer" xref="Ch0.Ex19.m1.1.1.1.1">0</cn><cn id="Ch0.Ex19.m1.2.2.2.2.cmml" type="integer" xref="Ch0.Ex19.m1.2.2.2.2">1</cn></interval></apply><apply id="Ch0.Ex19.m1.7.7.2.3.cmml" xref="Ch0.Ex19.m1.7.7.2.2"><ci id="Ch0.Ex19.m1.3.3.cmml" xref="Ch0.Ex19.m1.3.3">span</ci><apply id="Ch0.Ex19.m1.6.6.1.1.1.1.cmml" xref="Ch0.Ex19.m1.6.6.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.Ex19.m1.6.6.1.1.1.1.1.cmml" xref="Ch0.Ex19.m1.6.6.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="Ch0.Ex19.m1.6.6.1.1.1.1.2.cmml" xref="Ch0.Ex19.m1.6.6.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.Ex19.m1.6.6.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="Ch0.Ex19.m1.6.6.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="Ch0.Ex19.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="Ch0.Ex19.m1.6.6.1.1.1.1.2.2">𝑓</ci><ci id="Ch0.Ex19.m1.6.6.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="Ch0.Ex19.m1.6.6.1.1.1.1.2.3">𝑘</ci></apply><csymbol cd="latexml" id="Ch0.Ex19.m1.6.6.1.1.1.1.3.cmml" xref="Ch0.Ex19.m1.6.6.1.1.1.1.3">plus-or-minus</csymbol></apply><apply id="Ch0.Ex19.m1.7.7.2.2.2.2.cmml" xref="Ch0.Ex19.m1.7.7.2.2.2.2"><eq id="Ch0.Ex19.m1.7.7.2.2.2.2.1.cmml" xref="Ch0.Ex19.m1.7.7.2.2.2.2.1"></eq><ci id="Ch0.Ex19.m1.7.7.2.2.2.2.2.cmml" xref="Ch0.Ex19.m1.7.7.2.2.2.2.2">𝑘</ci><cn id="Ch0.Ex19.m1.7.7.2.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="Ch0.Ex19.m1.7.7.2.2.2.2.3">1</cn></apply><ci id="Ch0.Ex19.m1.4.4.cmml" xref="Ch0.Ex19.m1.4.4">…</ci><ci id="Ch0.Ex19.m1.5.5.cmml" xref="Ch0.Ex19.m1.5.5">𝑞</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Ch0.Ex19.m1.7c">\displaystyle\mathfrak{g}_{(0,1)}=\operatorname{span}\{f_{k}^{\pm},\;k=1,% \ldots,q\}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" 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ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\mathfrak{g}_{(0,0)}=\operatorname{span}\{[f_{k}^{\xi},f_{l}^{% \eta}],\;\xi,\eta=\pm,\;k,l=1,\ldots,q\;\hbox{and}\;k,l=q+1,\ldots,n\}" class="ltx_Math" display="inline" id="Ch0.Ex21.m1.13"><semantics id="Ch0.Ex21.m1.13a"><mrow id="Ch0.Ex21.m1.13.13" xref="Ch0.Ex21.m1.13.13.cmml"><msub id="Ch0.Ex21.m1.13.13.7" xref="Ch0.Ex21.m1.13.13.7.cmml"><mi id="Ch0.Ex21.m1.13.13.7.2" xref="Ch0.Ex21.m1.13.13.7.2.cmml">𝔤</mi><mrow id="Ch0.Ex21.m1.2.2.2.4" xref="Ch0.Ex21.m1.2.2.2.3.cmml"><mo id="Ch0.Ex21.m1.2.2.2.4.1" stretchy="false" xref="Ch0.Ex21.m1.2.2.2.3.cmml">(</mo><mn id="Ch0.Ex21.m1.1.1.1.1" xref="Ch0.Ex21.m1.1.1.1.1.cmml">0</mn><mo id="Ch0.Ex21.m1.2.2.2.4.2" xref="Ch0.Ex21.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mn id="Ch0.Ex21.m1.2.2.2.2" xref="Ch0.Ex21.m1.2.2.2.2.cmml">0</mn><mo id="Ch0.Ex21.m1.2.2.2.4.3" stretchy="false" 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xref="Ch0.Ex22.m1.7.7.1.1.5.5.5.5.1"></times><ci id="Ch0.Ex22.m1.7.7.1.1.5.5.5.5.2.cmml" xref="Ch0.Ex22.m1.7.7.1.1.5.5.5.5.2">…</ci><ci id="Ch0.Ex22.m1.7.7.1.1.5.5.5.5.3.cmml" xref="Ch0.Ex22.m1.7.7.1.1.5.5.5.5.3">𝑛</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Ch0.Ex22.m1.7c">\displaystyle\mathfrak{g}_{(1,1)}=\operatorname{span}\{\{f_{k}^{\xi},f_{l}^{% \eta}\},\;\xi,\eta=\pm,\;k=1,\ldots,q,\;l=q+1,\ldots n\}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Ch0.Ex22.m1.7d">fraktur_g start_POSTSUBSCRIPT ( 1 , 1 ) end_POSTSUBSCRIPT = roman_span { { italic_f start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_ξ end_POSTSUPERSCRIPT , italic_f start_POSTSUBSCRIPT italic_l end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_η end_POSTSUPERSCRIPT } , italic_ξ , italic_η = ± , italic_k = 1 , … , italic_q , italic_l = italic_q + 1 , … italic_n } .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="Ch0.S4.p1.13">The generators <math alttext="f_{i}^{\pm},\ i=1,\ldots,n" class="ltx_Math" display="inline" id="Ch0.S4.p1.9.m1.5"><semantics id="Ch0.S4.p1.9.m1.5a"><mrow id="Ch0.S4.p1.9.m1.5.5.2" xref="Ch0.S4.p1.9.m1.5.5.3.cmml"><mrow id="Ch0.S4.p1.9.m1.4.4.1.1" xref="Ch0.S4.p1.9.m1.4.4.1.1.cmml"><mrow id="Ch0.S4.p1.9.m1.4.4.1.1.1.1" xref="Ch0.S4.p1.9.m1.4.4.1.1.1.2.cmml"><msubsup id="Ch0.S4.p1.9.m1.4.4.1.1.1.1.1" xref="Ch0.S4.p1.9.m1.4.4.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="Ch0.S4.p1.9.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2" xref="Ch0.S4.p1.9.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.cmml">f</mi><mi id="Ch0.S4.p1.9.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.3" xref="Ch0.S4.p1.9.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.3.cmml">i</mi><mo id="Ch0.S4.p1.9.m1.4.4.1.1.1.1.1.3" xref="Ch0.S4.p1.9.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.cmml">±</mo></msubsup><mo id="Ch0.S4.p1.9.m1.4.4.1.1.1.1.2" rspace="0.667em" xref="Ch0.S4.p1.9.m1.4.4.1.1.1.2.cmml">,</mo><mi id="Ch0.S4.p1.9.m1.1.1" xref="Ch0.S4.p1.9.m1.1.1.cmml">i</mi></mrow><mo id="Ch0.S4.p1.9.m1.4.4.1.1.2" xref="Ch0.S4.p1.9.m1.4.4.1.1.2.cmml">=</mo><mn id="Ch0.S4.p1.9.m1.4.4.1.1.3" xref="Ch0.S4.p1.9.m1.4.4.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="Ch0.S4.p1.9.m1.5.5.2.3" xref="Ch0.S4.p1.9.m1.5.5.3a.cmml">,</mo><mrow id="Ch0.S4.p1.9.m1.5.5.2.2.2" xref="Ch0.S4.p1.9.m1.5.5.2.2.1.cmml"><mi id="Ch0.S4.p1.9.m1.2.2" mathvariant="normal" xref="Ch0.S4.p1.9.m1.2.2.cmml">…</mi><mo id="Ch0.S4.p1.9.m1.5.5.2.2.2.1" xref="Ch0.S4.p1.9.m1.5.5.2.2.1.cmml">,</mo><mi id="Ch0.S4.p1.9.m1.3.3" xref="Ch0.S4.p1.9.m1.3.3.cmml">n</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Ch0.S4.p1.9.m1.5b"><apply id="Ch0.S4.p1.9.m1.5.5.3.cmml" xref="Ch0.S4.p1.9.m1.5.5.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.S4.p1.9.m1.5.5.3a.cmml" xref="Ch0.S4.p1.9.m1.5.5.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="Ch0.S4.p1.9.m1.4.4.1.1.cmml" xref="Ch0.S4.p1.9.m1.4.4.1.1"><eq id="Ch0.S4.p1.9.m1.4.4.1.1.2.cmml" xref="Ch0.S4.p1.9.m1.4.4.1.1.2"></eq><list id="Ch0.S4.p1.9.m1.4.4.1.1.1.2.cmml" xref="Ch0.S4.p1.9.m1.4.4.1.1.1.1"><apply id="Ch0.S4.p1.9.m1.4.4.1.1.1.1.1.cmml" xref="Ch0.S4.p1.9.m1.4.4.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.S4.p1.9.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="Ch0.S4.p1.9.m1.4.4.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="Ch0.S4.p1.9.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="Ch0.S4.p1.9.m1.4.4.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.S4.p1.9.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="Ch0.S4.p1.9.m1.4.4.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="Ch0.S4.p1.9.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="Ch0.S4.p1.9.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2">𝑓</ci><ci id="Ch0.S4.p1.9.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="Ch0.S4.p1.9.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.3">𝑖</ci></apply><csymbol cd="latexml" id="Ch0.S4.p1.9.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="Ch0.S4.p1.9.m1.4.4.1.1.1.1.1.3">plus-or-minus</csymbol></apply><ci id="Ch0.S4.p1.9.m1.1.1.cmml" xref="Ch0.S4.p1.9.m1.1.1">𝑖</ci></list><cn id="Ch0.S4.p1.9.m1.4.4.1.1.3.cmml" type="integer" xref="Ch0.S4.p1.9.m1.4.4.1.1.3">1</cn></apply><list id="Ch0.S4.p1.9.m1.5.5.2.2.1.cmml" xref="Ch0.S4.p1.9.m1.5.5.2.2.2"><ci id="Ch0.S4.p1.9.m1.2.2.cmml" xref="Ch0.S4.p1.9.m1.2.2">…</ci><ci id="Ch0.S4.p1.9.m1.3.3.cmml" xref="Ch0.S4.p1.9.m1.3.3">𝑛</ci></list></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Ch0.S4.p1.9.m1.5c">f_{i}^{\pm},\ i=1,\ldots,n</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Ch0.S4.p1.9.m1.5d">italic_f start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ± end_POSTSUPERSCRIPT , italic_i = 1 , … , italic_n</annotation></semantics></math> consists of two sorts of parafermion operators <math alttext="f_{i}^{\pm},\ i=1,\ldots,q" class="ltx_Math" display="inline" id="Ch0.S4.p1.10.m2.5"><semantics id="Ch0.S4.p1.10.m2.5a"><mrow id="Ch0.S4.p1.10.m2.5.5.2" xref="Ch0.S4.p1.10.m2.5.5.3.cmml"><mrow id="Ch0.S4.p1.10.m2.4.4.1.1" xref="Ch0.S4.p1.10.m2.4.4.1.1.cmml"><mrow id="Ch0.S4.p1.10.m2.4.4.1.1.1.1" xref="Ch0.S4.p1.10.m2.4.4.1.1.1.2.cmml"><msubsup id="Ch0.S4.p1.10.m2.4.4.1.1.1.1.1" xref="Ch0.S4.p1.10.m2.4.4.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="Ch0.S4.p1.10.m2.4.4.1.1.1.1.1.2.2" xref="Ch0.S4.p1.10.m2.4.4.1.1.1.1.1.2.2.cmml">f</mi><mi id="Ch0.S4.p1.10.m2.4.4.1.1.1.1.1.2.3" xref="Ch0.S4.p1.10.m2.4.4.1.1.1.1.1.2.3.cmml">i</mi><mo id="Ch0.S4.p1.10.m2.4.4.1.1.1.1.1.3" xref="Ch0.S4.p1.10.m2.4.4.1.1.1.1.1.3.cmml">±</mo></msubsup><mo id="Ch0.S4.p1.10.m2.4.4.1.1.1.1.2" rspace="0.667em" xref="Ch0.S4.p1.10.m2.4.4.1.1.1.2.cmml">,</mo><mi id="Ch0.S4.p1.10.m2.1.1" xref="Ch0.S4.p1.10.m2.1.1.cmml">i</mi></mrow><mo id="Ch0.S4.p1.10.m2.4.4.1.1.2" xref="Ch0.S4.p1.10.m2.4.4.1.1.2.cmml">=</mo><mn id="Ch0.S4.p1.10.m2.4.4.1.1.3" xref="Ch0.S4.p1.10.m2.4.4.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="Ch0.S4.p1.10.m2.5.5.2.3" xref="Ch0.S4.p1.10.m2.5.5.3a.cmml">,</mo><mrow id="Ch0.S4.p1.10.m2.5.5.2.2.2" xref="Ch0.S4.p1.10.m2.5.5.2.2.1.cmml"><mi id="Ch0.S4.p1.10.m2.2.2" mathvariant="normal" xref="Ch0.S4.p1.10.m2.2.2.cmml">…</mi><mo id="Ch0.S4.p1.10.m2.5.5.2.2.2.1" xref="Ch0.S4.p1.10.m2.5.5.2.2.1.cmml">,</mo><mi id="Ch0.S4.p1.10.m2.3.3" xref="Ch0.S4.p1.10.m2.3.3.cmml">q</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Ch0.S4.p1.10.m2.5b"><apply id="Ch0.S4.p1.10.m2.5.5.3.cmml" xref="Ch0.S4.p1.10.m2.5.5.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.S4.p1.10.m2.5.5.3a.cmml" xref="Ch0.S4.p1.10.m2.5.5.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="Ch0.S4.p1.10.m2.4.4.1.1.cmml" xref="Ch0.S4.p1.10.m2.4.4.1.1"><eq id="Ch0.S4.p1.10.m2.4.4.1.1.2.cmml" xref="Ch0.S4.p1.10.m2.4.4.1.1.2"></eq><list id="Ch0.S4.p1.10.m2.4.4.1.1.1.2.cmml" xref="Ch0.S4.p1.10.m2.4.4.1.1.1.1"><apply id="Ch0.S4.p1.10.m2.4.4.1.1.1.1.1.cmml" xref="Ch0.S4.p1.10.m2.4.4.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.S4.p1.10.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="Ch0.S4.p1.10.m2.4.4.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="Ch0.S4.p1.10.m2.4.4.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="Ch0.S4.p1.10.m2.4.4.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.S4.p1.10.m2.4.4.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="Ch0.S4.p1.10.m2.4.4.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="Ch0.S4.p1.10.m2.4.4.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="Ch0.S4.p1.10.m2.4.4.1.1.1.1.1.2.2">𝑓</ci><ci id="Ch0.S4.p1.10.m2.4.4.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="Ch0.S4.p1.10.m2.4.4.1.1.1.1.1.2.3">𝑖</ci></apply><csymbol cd="latexml" id="Ch0.S4.p1.10.m2.4.4.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="Ch0.S4.p1.10.m2.4.4.1.1.1.1.1.3">plus-or-minus</csymbol></apply><ci id="Ch0.S4.p1.10.m2.1.1.cmml" xref="Ch0.S4.p1.10.m2.1.1">𝑖</ci></list><cn id="Ch0.S4.p1.10.m2.4.4.1.1.3.cmml" type="integer" xref="Ch0.S4.p1.10.m2.4.4.1.1.3">1</cn></apply><list id="Ch0.S4.p1.10.m2.5.5.2.2.1.cmml" xref="Ch0.S4.p1.10.m2.5.5.2.2.2"><ci id="Ch0.S4.p1.10.m2.2.2.cmml" xref="Ch0.S4.p1.10.m2.2.2">…</ci><ci id="Ch0.S4.p1.10.m2.3.3.cmml" xref="Ch0.S4.p1.10.m2.3.3">𝑞</ci></list></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Ch0.S4.p1.10.m2.5c">f_{i}^{\pm},\ i=1,\ldots,q</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Ch0.S4.p1.10.m2.5d">italic_f start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ± end_POSTSUPERSCRIPT , italic_i = 1 , … , italic_q</annotation></semantics></math> and <math alttext="f_{i}^{\pm},\ i=q+1,\ldots,n" class="ltx_Math" display="inline" id="Ch0.S4.p1.11.m3.5"><semantics id="Ch0.S4.p1.11.m3.5a"><mrow id="Ch0.S4.p1.11.m3.5.5.2" xref="Ch0.S4.p1.11.m3.5.5.3.cmml"><mrow id="Ch0.S4.p1.11.m3.4.4.1.1" xref="Ch0.S4.p1.11.m3.4.4.1.1.cmml"><mrow id="Ch0.S4.p1.11.m3.4.4.1.1.1.1" xref="Ch0.S4.p1.11.m3.4.4.1.1.1.2.cmml"><msubsup id="Ch0.S4.p1.11.m3.4.4.1.1.1.1.1" xref="Ch0.S4.p1.11.m3.4.4.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="Ch0.S4.p1.11.m3.4.4.1.1.1.1.1.2.2" xref="Ch0.S4.p1.11.m3.4.4.1.1.1.1.1.2.2.cmml">f</mi><mi id="Ch0.S4.p1.11.m3.4.4.1.1.1.1.1.2.3" xref="Ch0.S4.p1.11.m3.4.4.1.1.1.1.1.2.3.cmml">i</mi><mo id="Ch0.S4.p1.11.m3.4.4.1.1.1.1.1.3" xref="Ch0.S4.p1.11.m3.4.4.1.1.1.1.1.3.cmml">±</mo></msubsup><mo id="Ch0.S4.p1.11.m3.4.4.1.1.1.1.2" rspace="0.667em" xref="Ch0.S4.p1.11.m3.4.4.1.1.1.2.cmml">,</mo><mi id="Ch0.S4.p1.11.m3.1.1" xref="Ch0.S4.p1.11.m3.1.1.cmml">i</mi></mrow><mo id="Ch0.S4.p1.11.m3.4.4.1.1.2" xref="Ch0.S4.p1.11.m3.4.4.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="Ch0.S4.p1.11.m3.4.4.1.1.3" xref="Ch0.S4.p1.11.m3.4.4.1.1.3.cmml"><mi id="Ch0.S4.p1.11.m3.4.4.1.1.3.2" xref="Ch0.S4.p1.11.m3.4.4.1.1.3.2.cmml">q</mi><mo id="Ch0.S4.p1.11.m3.4.4.1.1.3.1" xref="Ch0.S4.p1.11.m3.4.4.1.1.3.1.cmml">+</mo><mn id="Ch0.S4.p1.11.m3.4.4.1.1.3.3" xref="Ch0.S4.p1.11.m3.4.4.1.1.3.3.cmml">1</mn></mrow></mrow><mo id="Ch0.S4.p1.11.m3.5.5.2.3" xref="Ch0.S4.p1.11.m3.5.5.3a.cmml">,</mo><mrow id="Ch0.S4.p1.11.m3.5.5.2.2.2" xref="Ch0.S4.p1.11.m3.5.5.2.2.1.cmml"><mi id="Ch0.S4.p1.11.m3.2.2" mathvariant="normal" xref="Ch0.S4.p1.11.m3.2.2.cmml">…</mi><mo id="Ch0.S4.p1.11.m3.5.5.2.2.2.1" xref="Ch0.S4.p1.11.m3.5.5.2.2.1.cmml">,</mo><mi id="Ch0.S4.p1.11.m3.3.3" xref="Ch0.S4.p1.11.m3.3.3.cmml">n</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Ch0.S4.p1.11.m3.5b"><apply id="Ch0.S4.p1.11.m3.5.5.3.cmml" xref="Ch0.S4.p1.11.m3.5.5.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.S4.p1.11.m3.5.5.3a.cmml" xref="Ch0.S4.p1.11.m3.5.5.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="Ch0.S4.p1.11.m3.4.4.1.1.cmml" xref="Ch0.S4.p1.11.m3.4.4.1.1"><eq id="Ch0.S4.p1.11.m3.4.4.1.1.2.cmml" xref="Ch0.S4.p1.11.m3.4.4.1.1.2"></eq><list id="Ch0.S4.p1.11.m3.4.4.1.1.1.2.cmml" xref="Ch0.S4.p1.11.m3.4.4.1.1.1.1"><apply id="Ch0.S4.p1.11.m3.4.4.1.1.1.1.1.cmml" xref="Ch0.S4.p1.11.m3.4.4.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.S4.p1.11.m3.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="Ch0.S4.p1.11.m3.4.4.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="Ch0.S4.p1.11.m3.4.4.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="Ch0.S4.p1.11.m3.4.4.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.S4.p1.11.m3.4.4.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="Ch0.S4.p1.11.m3.4.4.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="Ch0.S4.p1.11.m3.4.4.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="Ch0.S4.p1.11.m3.4.4.1.1.1.1.1.2.2">𝑓</ci><ci id="Ch0.S4.p1.11.m3.4.4.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="Ch0.S4.p1.11.m3.4.4.1.1.1.1.1.2.3">𝑖</ci></apply><csymbol cd="latexml" id="Ch0.S4.p1.11.m3.4.4.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="Ch0.S4.p1.11.m3.4.4.1.1.1.1.1.3">plus-or-minus</csymbol></apply><ci id="Ch0.S4.p1.11.m3.1.1.cmml" xref="Ch0.S4.p1.11.m3.1.1">𝑖</ci></list><apply id="Ch0.S4.p1.11.m3.4.4.1.1.3.cmml" xref="Ch0.S4.p1.11.m3.4.4.1.1.3"><plus id="Ch0.S4.p1.11.m3.4.4.1.1.3.1.cmml" xref="Ch0.S4.p1.11.m3.4.4.1.1.3.1"></plus><ci id="Ch0.S4.p1.11.m3.4.4.1.1.3.2.cmml" xref="Ch0.S4.p1.11.m3.4.4.1.1.3.2">𝑞</ci><cn id="Ch0.S4.p1.11.m3.4.4.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="Ch0.S4.p1.11.m3.4.4.1.1.3.3">1</cn></apply></apply><list id="Ch0.S4.p1.11.m3.5.5.2.2.1.cmml" xref="Ch0.S4.p1.11.m3.5.5.2.2.2"><ci id="Ch0.S4.p1.11.m3.2.2.cmml" xref="Ch0.S4.p1.11.m3.2.2">…</ci><ci id="Ch0.S4.p1.11.m3.3.3.cmml" xref="Ch0.S4.p1.11.m3.3.3">𝑛</ci></list></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Ch0.S4.p1.11.m3.5c">f_{i}^{\pm},\ i=q+1,\ldots,n</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Ch0.S4.p1.11.m3.5d">italic_f start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ± end_POSTSUPERSCRIPT , italic_i = italic_q + 1 , … , italic_n</annotation></semantics></math>. Each sort is subject to the common triple relations <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2408.09274v1#bib.bib23" title="">SV2008 </a></cite> of parafermion statistics (<math alttext="j,k,l=1,\ldots,q" class="ltx_Math" display="inline" id="Ch0.S4.p1.12.m4.7"><semantics id="Ch0.S4.p1.12.m4.7a"><mrow id="Ch0.S4.p1.12.m4.7.7.2" xref="Ch0.S4.p1.12.m4.7.7.3.cmml"><mrow id="Ch0.S4.p1.12.m4.6.6.1.1" xref="Ch0.S4.p1.12.m4.6.6.1.1.cmml"><mrow id="Ch0.S4.p1.12.m4.6.6.1.1.2.2" xref="Ch0.S4.p1.12.m4.6.6.1.1.2.1.cmml"><mi id="Ch0.S4.p1.12.m4.1.1" xref="Ch0.S4.p1.12.m4.1.1.cmml">j</mi><mo id="Ch0.S4.p1.12.m4.6.6.1.1.2.2.1" xref="Ch0.S4.p1.12.m4.6.6.1.1.2.1.cmml">,</mo><mi id="Ch0.S4.p1.12.m4.2.2" xref="Ch0.S4.p1.12.m4.2.2.cmml">k</mi><mo id="Ch0.S4.p1.12.m4.6.6.1.1.2.2.2" xref="Ch0.S4.p1.12.m4.6.6.1.1.2.1.cmml">,</mo><mi id="Ch0.S4.p1.12.m4.3.3" xref="Ch0.S4.p1.12.m4.3.3.cmml">l</mi></mrow><mo id="Ch0.S4.p1.12.m4.6.6.1.1.1" 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id="Ch0.S4.p1.13.m5.7.7.2.3" xref="Ch0.S4.p1.13.m5.7.7.3a.cmml">,</mo><mrow id="Ch0.S4.p1.13.m5.7.7.2.2.2" xref="Ch0.S4.p1.13.m5.7.7.2.2.1.cmml"><mi id="Ch0.S4.p1.13.m5.4.4" mathvariant="normal" xref="Ch0.S4.p1.13.m5.4.4.cmml">…</mi><mo id="Ch0.S4.p1.13.m5.7.7.2.2.2.1" xref="Ch0.S4.p1.13.m5.7.7.2.2.1.cmml">,</mo><mi id="Ch0.S4.p1.13.m5.5.5" xref="Ch0.S4.p1.13.m5.5.5.cmml">n</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Ch0.S4.p1.13.m5.7b"><apply id="Ch0.S4.p1.13.m5.7.7.3.cmml" xref="Ch0.S4.p1.13.m5.7.7.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.S4.p1.13.m5.7.7.3a.cmml" xref="Ch0.S4.p1.13.m5.7.7.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="Ch0.S4.p1.13.m5.6.6.1.1.cmml" xref="Ch0.S4.p1.13.m5.6.6.1.1"><eq id="Ch0.S4.p1.13.m5.6.6.1.1.1.cmml" xref="Ch0.S4.p1.13.m5.6.6.1.1.1"></eq><list id="Ch0.S4.p1.13.m5.6.6.1.1.2.1.cmml" xref="Ch0.S4.p1.13.m5.6.6.1.1.2.2"><ci id="Ch0.S4.p1.13.m5.1.1.cmml" xref="Ch0.S4.p1.13.m5.1.1">𝑗</ci><ci id="Ch0.S4.p1.13.m5.2.2.cmml" 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ltx_eqn_table" id="Ch0.E28"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="[[f_{j}^{\xi},f_{k}^{\eta}],f_{l}^{\epsilon}]=\frac{1}{2}(\epsilon-\eta)^{2}% \delta_{kl}f_{j}^{\xi}-\frac{1}{2}(\epsilon-\xi)^{2}\delta_{jl}f_{k}^{\eta},\;% \;\xi,\eta,\epsilon=\pm\hbox{ or }\pm 1," class="ltx_Math" display="block" id="Ch0.E28.m1.3"><semantics id="Ch0.E28.m1.3a"><mrow id="Ch0.E28.m1.3.3.1"><mrow id="Ch0.E28.m1.3.3.1.1.2" xref="Ch0.E28.m1.3.3.1.1.3.cmml"><mrow id="Ch0.E28.m1.3.3.1.1.1.1" xref="Ch0.E28.m1.3.3.1.1.1.1.cmml"><mrow id="Ch0.E28.m1.3.3.1.1.1.1.2.2" xref="Ch0.E28.m1.3.3.1.1.1.1.2.3.cmml"><mo id="Ch0.E28.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.3" stretchy="false" xref="Ch0.E28.m1.3.3.1.1.1.1.2.3.cmml">[</mo><mrow id="Ch0.E28.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="Ch0.E28.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="Ch0.E28.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.3" stretchy="false" 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xref="Ch0.E28.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">]</mo></mrow><mo id="Ch0.E28.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.4" xref="Ch0.E28.m1.3.3.1.1.1.1.2.3.cmml">,</mo><msubsup id="Ch0.E28.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.2" xref="Ch0.E28.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.2.cmml"><mi id="Ch0.E28.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.2.2.2" xref="Ch0.E28.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml">f</mi><mi id="Ch0.E28.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.2.2.3" xref="Ch0.E28.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.2.2.3.cmml">l</mi><mi id="Ch0.E28.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.2.3" xref="Ch0.E28.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml">ϵ</mi></msubsup><mo id="Ch0.E28.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.5" stretchy="false" xref="Ch0.E28.m1.3.3.1.1.1.1.2.3.cmml">]</mo></mrow><mo id="Ch0.E28.m1.3.3.1.1.1.1.4" xref="Ch0.E28.m1.3.3.1.1.1.1.4.cmml">=</mo><mrow id="Ch0.E28.m1.3.3.1.1.1.1.3.1" xref="Ch0.E28.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.cmml"><mrow id="Ch0.E28.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1" xref="Ch0.E28.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.cmml"><mrow id="Ch0.E28.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.1" xref="Ch0.E28.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.1.cmml"><mfrac id="Ch0.E28.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.1.3" xref="Ch0.E28.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.1.3.cmml"><mn id="Ch0.E28.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.1.3.2" xref="Ch0.E28.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.1.3.2.cmml">1</mn><mn id="Ch0.E28.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.1.3.3" xref="Ch0.E28.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></mfrac><mo id="Ch0.E28.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.1.2" xref="Ch0.E28.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msup id="Ch0.E28.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.1.1" xref="Ch0.E28.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.1.1.cmml"><mrow id="Ch0.E28.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1" xref="Ch0.E28.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="Ch0.E28.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="Ch0.E28.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="Ch0.E28.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1" xref="Ch0.E28.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="Ch0.E28.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="Ch0.E28.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">ϵ</mi><mo id="Ch0.E28.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="Ch0.E28.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mi id="Ch0.E28.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="Ch0.E28.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">η</mi></mrow><mo id="Ch0.E28.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="Ch0.E28.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mn id="Ch0.E28.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.1.1.3" xref="Ch0.E28.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.1.1.3.cmml">2</mn></msup><mo id="Ch0.E28.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.1.2a" xref="Ch0.E28.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="Ch0.E28.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.1.4" xref="Ch0.E28.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.1.4.cmml"><mi id="Ch0.E28.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.1.4.2" xref="Ch0.E28.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.1.4.2.cmml">δ</mi><mrow id="Ch0.E28.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.1.4.3" xref="Ch0.E28.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.1.4.3.cmml"><mi id="Ch0.E28.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.1.4.3.2" xref="Ch0.E28.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.1.4.3.2.cmml">k</mi><mo id="Ch0.E28.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.1.4.3.1" xref="Ch0.E28.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.1.4.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="Ch0.E28.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.1.4.3.3" xref="Ch0.E28.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.1.4.3.3.cmml">l</mi></mrow></msub><mo id="Ch0.E28.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.1.2b" xref="Ch0.E28.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msubsup id="Ch0.E28.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.1.5" xref="Ch0.E28.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.1.5.cmml"><mi id="Ch0.E28.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.1.5.2.2" xref="Ch0.E28.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.1.5.2.2.cmml">f</mi><mi id="Ch0.E28.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.1.5.2.3" xref="Ch0.E28.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.1.5.2.3.cmml">j</mi><mi id="Ch0.E28.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.1.5.3" xref="Ch0.E28.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.1.5.3.cmml">ξ</mi></msubsup></mrow><mo id="Ch0.E28.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.3" xref="Ch0.E28.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.3.cmml">−</mo><mrow id="Ch0.E28.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.2" xref="Ch0.E28.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.2.cmml"><mfrac id="Ch0.E28.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.2.3" xref="Ch0.E28.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.2.3.cmml"><mn id="Ch0.E28.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.2.3.2" xref="Ch0.E28.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.2.3.2.cmml">1</mn><mn id="Ch0.E28.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.2.3.3" xref="Ch0.E28.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.2.3.3.cmml">2</mn></mfrac><mo id="Ch0.E28.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.2.2" xref="Ch0.E28.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.2.2.cmml">⁢</mo><msup id="Ch0.E28.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.2.1" xref="Ch0.E28.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.2.1.cmml"><mrow id="Ch0.E28.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.2.1.1.1" xref="Ch0.E28.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="Ch0.E28.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="Ch0.E28.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="Ch0.E28.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.2.1.1.1.1" xref="Ch0.E28.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.2.1.1.1.1.cmml"><mi id="Ch0.E28.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.2.1.1.1.1.2" xref="Ch0.E28.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.2.1.1.1.1.2.cmml">ϵ</mi><mo id="Ch0.E28.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.2.1.1.1.1.1" xref="Ch0.E28.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.2.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mi id="Ch0.E28.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.2.1.1.1.1.3" xref="Ch0.E28.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.2.1.1.1.1.3.cmml">ξ</mi></mrow><mo id="Ch0.E28.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.2.1.1.1.3" stretchy="false" 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id="Ch0.E28.m1.3.3.1.1.2.2.3" xref="Ch0.E28.m1.3.3.1.1.2.2.3.cmml"><mrow id="Ch0.E28.m1.3.3.1.1.2.2.3.2" xref="Ch0.E28.m1.3.3.1.1.2.2.3.2.cmml"><mo id="Ch0.E28.m1.3.3.1.1.2.2.3.2a" xref="Ch0.E28.m1.3.3.1.1.2.2.3.2.cmml">±</mo><mtext id="Ch0.E28.m1.3.3.1.1.2.2.3.2.2" xref="Ch0.E28.m1.3.3.1.1.2.2.3.2.2a.cmml"> or </mtext></mrow><mo id="Ch0.E28.m1.3.3.1.1.2.2.3.1" xref="Ch0.E28.m1.3.3.1.1.2.2.3.1.cmml">±</mo><mn id="Ch0.E28.m1.3.3.1.1.2.2.3.3" xref="Ch0.E28.m1.3.3.1.1.2.2.3.3.cmml">1</mn></mrow></mrow></mrow><mo id="Ch0.E28.m1.3.3.1.2">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Ch0.E28.m1.3b"><apply id="Ch0.E28.m1.3.3.1.1.3.cmml" xref="Ch0.E28.m1.3.3.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.E28.m1.3.3.1.1.3a.cmml" xref="Ch0.E28.m1.3.3.1.1.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="Ch0.E28.m1.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="Ch0.E28.m1.3.3.1.1.1.1"><eq id="Ch0.E28.m1.3.3.1.1.1.1.4.cmml" xref="Ch0.E28.m1.3.3.1.1.1.1.4"></eq><interval closure="closed" 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xref="Ch0.E28.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.E28.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.2.2.1.cmml" xref="Ch0.E28.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="Ch0.E28.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml" xref="Ch0.E28.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.2.2.2">𝑓</ci><ci id="Ch0.E28.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.2.2.3.cmml" xref="Ch0.E28.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.2.2.3">𝑙</ci></apply><ci id="Ch0.E28.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml" xref="Ch0.E28.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.2.3">italic-ϵ</ci></apply></interval><list id="Ch0.E28.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="Ch0.E28.m1.3.3.1.1.1.1.3.1"><apply id="Ch0.E28.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.cmml" xref="Ch0.E28.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1"><minus id="Ch0.E28.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.3.cmml" xref="Ch0.E28.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.3"></minus><apply id="Ch0.E28.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.1.cmml" xref="Ch0.E28.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.1"><times id="Ch0.E28.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.1.2.cmml" xref="Ch0.E28.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.1.2"></times><apply id="Ch0.E28.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.1.3.cmml" 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xref="Ch0.E28.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.3">𝜂</ci></apply><cn id="Ch0.E28.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="Ch0.E28.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.1.1.3">2</cn></apply><apply id="Ch0.E28.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.1.4.cmml" xref="Ch0.E28.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.E28.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.1.4.1.cmml" xref="Ch0.E28.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="Ch0.E28.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.1.4.2.cmml" xref="Ch0.E28.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.1.4.2">𝛿</ci><apply id="Ch0.E28.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.1.4.3.cmml" xref="Ch0.E28.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.1.4.3"><times id="Ch0.E28.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.1.4.3.1.cmml" xref="Ch0.E28.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.1.4.3.1"></times><ci id="Ch0.E28.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.1.4.3.2.cmml" xref="Ch0.E28.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.1.4.3.2">𝑘</ci><ci id="Ch0.E28.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.1.4.3.3.cmml" xref="Ch0.E28.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.1.4.3.3">𝑙</ci></apply></apply><apply id="Ch0.E28.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.1.5.cmml" xref="Ch0.E28.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.1.5"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.E28.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.1.5.1.cmml" xref="Ch0.E28.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.1.5">superscript</csymbol><apply id="Ch0.E28.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.1.5.2.cmml" xref="Ch0.E28.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.1.5"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.E28.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.1.5.2.1.cmml" xref="Ch0.E28.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.1.5">subscript</csymbol><ci id="Ch0.E28.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.1.5.2.2.cmml" xref="Ch0.E28.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.1.5.2.2">𝑓</ci><ci id="Ch0.E28.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.1.5.2.3.cmml" xref="Ch0.E28.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.1.5.2.3">𝑗</ci></apply><ci id="Ch0.E28.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.1.5.3.cmml" xref="Ch0.E28.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.1.5.3">𝜉</ci></apply></apply><apply id="Ch0.E28.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.2.cmml" xref="Ch0.E28.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.2"><times id="Ch0.E28.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.2.2.cmml" xref="Ch0.E28.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.2.2"></times><apply id="Ch0.E28.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.2.3.cmml" xref="Ch0.E28.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.2.3"><divide id="Ch0.E28.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.2.3.1.cmml" xref="Ch0.E28.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.2.3"></divide><cn id="Ch0.E28.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.2.3.2.cmml" type="integer" xref="Ch0.E28.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.2.3.2">1</cn><cn id="Ch0.E28.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="Ch0.E28.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.2.3.3">2</cn></apply><apply id="Ch0.E28.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.2.1.cmml" xref="Ch0.E28.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.E28.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.2.1.2.cmml" xref="Ch0.E28.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.2.1">superscript</csymbol><apply id="Ch0.E28.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.2.1.1.1.1.cmml" xref="Ch0.E28.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.2.1.1.1"><minus id="Ch0.E28.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="Ch0.E28.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.2.1.1.1.1.1"></minus><ci id="Ch0.E28.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="Ch0.E28.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.2.1.1.1.1.2">italic-ϵ</ci><ci id="Ch0.E28.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="Ch0.E28.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.2.1.1.1.1.3">𝜉</ci></apply><cn id="Ch0.E28.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.2.1.3.cmml" type="integer" xref="Ch0.E28.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.2.1.3">2</cn></apply><apply id="Ch0.E28.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.2.4.cmml" xref="Ch0.E28.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.E28.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.2.4.1.cmml" xref="Ch0.E28.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.2.4">subscript</csymbol><ci id="Ch0.E28.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.2.4.2.cmml" xref="Ch0.E28.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.2.4.2">𝛿</ci><apply id="Ch0.E28.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.2.4.3.cmml" xref="Ch0.E28.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.2.4.3"><times id="Ch0.E28.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.2.4.3.1.cmml" xref="Ch0.E28.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.2.4.3.1"></times><ci id="Ch0.E28.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.2.4.3.2.cmml" xref="Ch0.E28.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.2.4.3.2">𝑗</ci><ci id="Ch0.E28.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.2.4.3.3.cmml" xref="Ch0.E28.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.2.4.3.3">𝑙</ci></apply></apply><apply id="Ch0.E28.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.2.5.cmml" xref="Ch0.E28.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.2.5"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.E28.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.2.5.1.cmml" xref="Ch0.E28.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.2.5">superscript</csymbol><apply id="Ch0.E28.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.2.5.2.cmml" xref="Ch0.E28.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.2.5"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.E28.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.2.5.2.1.cmml" xref="Ch0.E28.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.2.5">subscript</csymbol><ci id="Ch0.E28.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.2.5.2.2.cmml" xref="Ch0.E28.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.2.5.2.2">𝑓</ci><ci id="Ch0.E28.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.2.5.2.3.cmml" xref="Ch0.E28.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.2.5.2.3">𝑘</ci></apply><ci id="Ch0.E28.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.2.5.3.cmml" xref="Ch0.E28.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.2.5.3">𝜂</ci></apply></apply></apply><ci id="Ch0.E28.m1.1.1.cmml" xref="Ch0.E28.m1.1.1">𝜉</ci><ci id="Ch0.E28.m1.2.2.cmml" xref="Ch0.E28.m1.2.2">𝜂</ci></list></apply><apply id="Ch0.E28.m1.3.3.1.1.2.2.cmml" xref="Ch0.E28.m1.3.3.1.1.2.2"><eq id="Ch0.E28.m1.3.3.1.1.2.2.1.cmml" xref="Ch0.E28.m1.3.3.1.1.2.2.1"></eq><ci id="Ch0.E28.m1.3.3.1.1.2.2.2.cmml" xref="Ch0.E28.m1.3.3.1.1.2.2.2">italic-ϵ</ci><apply id="Ch0.E28.m1.3.3.1.1.2.2.3.cmml" xref="Ch0.E28.m1.3.3.1.1.2.2.3"><csymbol cd="latexml" id="Ch0.E28.m1.3.3.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="Ch0.E28.m1.3.3.1.1.2.2.3.1">plus-or-minus</csymbol><apply id="Ch0.E28.m1.3.3.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="Ch0.E28.m1.3.3.1.1.2.2.3.2"><csymbol cd="latexml" id="Ch0.E28.m1.3.3.1.1.2.2.3.2.1.cmml" xref="Ch0.E28.m1.3.3.1.1.2.2.3.2">plus-or-minus</csymbol><ci id="Ch0.E28.m1.3.3.1.1.2.2.3.2.2a.cmml" xref="Ch0.E28.m1.3.3.1.1.2.2.3.2.2"><mtext id="Ch0.E28.m1.3.3.1.1.2.2.3.2.2.cmml" xref="Ch0.E28.m1.3.3.1.1.2.2.3.2.2"> or </mtext></ci></apply><cn id="Ch0.E28.m1.3.3.1.1.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="Ch0.E28.m1.3.3.1.1.2.2.3.3">1</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Ch0.E28.m1.3c">[[f_{j}^{\xi},f_{k}^{\eta}],f_{l}^{\epsilon}]=\frac{1}{2}(\epsilon-\eta)^{2}% \delta_{kl}f_{j}^{\xi}-\frac{1}{2}(\epsilon-\xi)^{2}\delta_{jl}f_{k}^{\eta},\;% \;\xi,\eta,\epsilon=\pm\hbox{ or }\pm 1,</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Ch0.E28.m1.3d">[ [ italic_f start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_ξ end_POSTSUPERSCRIPT , italic_f start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_η end_POSTSUPERSCRIPT ] , italic_f start_POSTSUBSCRIPT italic_l end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_ϵ end_POSTSUPERSCRIPT ] = divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 end_ARG ( italic_ϵ - italic_η ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT italic_δ start_POSTSUBSCRIPT italic_k italic_l end_POSTSUBSCRIPT italic_f start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_ξ end_POSTSUPERSCRIPT - divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 end_ARG ( italic_ϵ - italic_ξ ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT italic_δ start_POSTSUBSCRIPT italic_j italic_l end_POSTSUBSCRIPT italic_f start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_η end_POSTSUPERSCRIPT , italic_ξ , italic_η , italic_ϵ = ± or ± 1 ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(28)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="Ch0.S4.p1.15">in terms of nested commutators only. However, the system as a whole is very different from an ordinary set of parafermions. Indeed, the “relative commutation relations” between the two sorts of parafermion operators are as follows, and given only in terms of nested anticommutators (<math alttext="j=1,\ldots,q,\ k=q+1,\ldots,n,\ l=1,\ldots,n" class="ltx_Math" display="inline" id="Ch0.S4.p1.14.m1.10"><semantics id="Ch0.S4.p1.14.m1.10a"><mrow id="Ch0.S4.p1.14.m1.10.10.2" xref="Ch0.S4.p1.14.m1.10.10.3.cmml"><mrow id="Ch0.S4.p1.14.m1.9.9.1.1" xref="Ch0.S4.p1.14.m1.9.9.1.1.cmml"><mi id="Ch0.S4.p1.14.m1.9.9.1.1.2" xref="Ch0.S4.p1.14.m1.9.9.1.1.2.cmml">j</mi><mo id="Ch0.S4.p1.14.m1.9.9.1.1.1" xref="Ch0.S4.p1.14.m1.9.9.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="Ch0.S4.p1.14.m1.9.9.1.1.3.2" xref="Ch0.S4.p1.14.m1.9.9.1.1.3.1.cmml"><mn id="Ch0.S4.p1.14.m1.6.6" xref="Ch0.S4.p1.14.m1.6.6.cmml">1</mn><mo id="Ch0.S4.p1.14.m1.9.9.1.1.3.2.1" xref="Ch0.S4.p1.14.m1.9.9.1.1.3.1.cmml">,</mo><mi id="Ch0.S4.p1.14.m1.7.7" mathvariant="normal" xref="Ch0.S4.p1.14.m1.7.7.cmml">…</mi><mo id="Ch0.S4.p1.14.m1.9.9.1.1.3.2.2" xref="Ch0.S4.p1.14.m1.9.9.1.1.3.1.cmml">,</mo><mi id="Ch0.S4.p1.14.m1.8.8" xref="Ch0.S4.p1.14.m1.8.8.cmml">q</mi></mrow></mrow><mo id="Ch0.S4.p1.14.m1.10.10.2.3" rspace="0.667em" xref="Ch0.S4.p1.14.m1.10.10.3a.cmml">,</mo><mrow id="Ch0.S4.p1.14.m1.10.10.2.2.2" xref="Ch0.S4.p1.14.m1.10.10.2.2.3.cmml"><mrow id="Ch0.S4.p1.14.m1.10.10.2.2.1.1" xref="Ch0.S4.p1.14.m1.10.10.2.2.1.1.cmml"><mi id="Ch0.S4.p1.14.m1.10.10.2.2.1.1.3" xref="Ch0.S4.p1.14.m1.10.10.2.2.1.1.3.cmml">k</mi><mo id="Ch0.S4.p1.14.m1.10.10.2.2.1.1.2" xref="Ch0.S4.p1.14.m1.10.10.2.2.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="Ch0.S4.p1.14.m1.10.10.2.2.1.1.1.1" xref="Ch0.S4.p1.14.m1.10.10.2.2.1.1.1.2.cmml"><mrow id="Ch0.S4.p1.14.m1.10.10.2.2.1.1.1.1.1" xref="Ch0.S4.p1.14.m1.10.10.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="Ch0.S4.p1.14.m1.10.10.2.2.1.1.1.1.1.2" xref="Ch0.S4.p1.14.m1.10.10.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml">q</mi><mo id="Ch0.S4.p1.14.m1.10.10.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="Ch0.S4.p1.14.m1.10.10.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mn id="Ch0.S4.p1.14.m1.10.10.2.2.1.1.1.1.1.3" xref="Ch0.S4.p1.14.m1.10.10.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="Ch0.S4.p1.14.m1.10.10.2.2.1.1.1.1.2" xref="Ch0.S4.p1.14.m1.10.10.2.2.1.1.1.2.cmml">,</mo><mi id="Ch0.S4.p1.14.m1.4.4" mathvariant="normal" xref="Ch0.S4.p1.14.m1.4.4.cmml">…</mi><mo id="Ch0.S4.p1.14.m1.10.10.2.2.1.1.1.1.3" xref="Ch0.S4.p1.14.m1.10.10.2.2.1.1.1.2.cmml">,</mo><mi id="Ch0.S4.p1.14.m1.5.5" xref="Ch0.S4.p1.14.m1.5.5.cmml">n</mi></mrow></mrow><mo id="Ch0.S4.p1.14.m1.10.10.2.2.2.3" rspace="0.667em" xref="Ch0.S4.p1.14.m1.10.10.2.2.3a.cmml">,</mo><mrow id="Ch0.S4.p1.14.m1.10.10.2.2.2.2" xref="Ch0.S4.p1.14.m1.10.10.2.2.2.2.cmml"><mi id="Ch0.S4.p1.14.m1.10.10.2.2.2.2.2" xref="Ch0.S4.p1.14.m1.10.10.2.2.2.2.2.cmml">l</mi><mo id="Ch0.S4.p1.14.m1.10.10.2.2.2.2.1" xref="Ch0.S4.p1.14.m1.10.10.2.2.2.2.1.cmml">=</mo><mrow id="Ch0.S4.p1.14.m1.10.10.2.2.2.2.3.2" xref="Ch0.S4.p1.14.m1.10.10.2.2.2.2.3.1.cmml"><mn id="Ch0.S4.p1.14.m1.1.1" xref="Ch0.S4.p1.14.m1.1.1.cmml">1</mn><mo id="Ch0.S4.p1.14.m1.10.10.2.2.2.2.3.2.1" xref="Ch0.S4.p1.14.m1.10.10.2.2.2.2.3.1.cmml">,</mo><mi id="Ch0.S4.p1.14.m1.2.2" mathvariant="normal" xref="Ch0.S4.p1.14.m1.2.2.cmml">…</mi><mo id="Ch0.S4.p1.14.m1.10.10.2.2.2.2.3.2.2" xref="Ch0.S4.p1.14.m1.10.10.2.2.2.2.3.1.cmml">,</mo><mi id="Ch0.S4.p1.14.m1.3.3" xref="Ch0.S4.p1.14.m1.3.3.cmml">n</mi></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Ch0.S4.p1.14.m1.10b"><apply id="Ch0.S4.p1.14.m1.10.10.3.cmml" xref="Ch0.S4.p1.14.m1.10.10.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.S4.p1.14.m1.10.10.3a.cmml" xref="Ch0.S4.p1.14.m1.10.10.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="Ch0.S4.p1.14.m1.9.9.1.1.cmml" xref="Ch0.S4.p1.14.m1.9.9.1.1"><eq id="Ch0.S4.p1.14.m1.9.9.1.1.1.cmml" xref="Ch0.S4.p1.14.m1.9.9.1.1.1"></eq><ci id="Ch0.S4.p1.14.m1.9.9.1.1.2.cmml" xref="Ch0.S4.p1.14.m1.9.9.1.1.2">𝑗</ci><list id="Ch0.S4.p1.14.m1.9.9.1.1.3.1.cmml" xref="Ch0.S4.p1.14.m1.9.9.1.1.3.2"><cn id="Ch0.S4.p1.14.m1.6.6.cmml" type="integer" xref="Ch0.S4.p1.14.m1.6.6">1</cn><ci id="Ch0.S4.p1.14.m1.7.7.cmml" xref="Ch0.S4.p1.14.m1.7.7">…</ci><ci id="Ch0.S4.p1.14.m1.8.8.cmml" xref="Ch0.S4.p1.14.m1.8.8">𝑞</ci></list></apply><apply id="Ch0.S4.p1.14.m1.10.10.2.2.3.cmml" xref="Ch0.S4.p1.14.m1.10.10.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.S4.p1.14.m1.10.10.2.2.3a.cmml" xref="Ch0.S4.p1.14.m1.10.10.2.2.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="Ch0.S4.p1.14.m1.10.10.2.2.1.1.cmml" xref="Ch0.S4.p1.14.m1.10.10.2.2.1.1"><eq id="Ch0.S4.p1.14.m1.10.10.2.2.1.1.2.cmml" xref="Ch0.S4.p1.14.m1.10.10.2.2.1.1.2"></eq><ci id="Ch0.S4.p1.14.m1.10.10.2.2.1.1.3.cmml" xref="Ch0.S4.p1.14.m1.10.10.2.2.1.1.3">𝑘</ci><list id="Ch0.S4.p1.14.m1.10.10.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="Ch0.S4.p1.14.m1.10.10.2.2.1.1.1.1"><apply id="Ch0.S4.p1.14.m1.10.10.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="Ch0.S4.p1.14.m1.10.10.2.2.1.1.1.1.1"><plus id="Ch0.S4.p1.14.m1.10.10.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="Ch0.S4.p1.14.m1.10.10.2.2.1.1.1.1.1.1"></plus><ci id="Ch0.S4.p1.14.m1.10.10.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="Ch0.S4.p1.14.m1.10.10.2.2.1.1.1.1.1.2">𝑞</ci><cn id="Ch0.S4.p1.14.m1.10.10.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="Ch0.S4.p1.14.m1.10.10.2.2.1.1.1.1.1.3">1</cn></apply><ci id="Ch0.S4.p1.14.m1.4.4.cmml" xref="Ch0.S4.p1.14.m1.4.4">…</ci><ci id="Ch0.S4.p1.14.m1.5.5.cmml" xref="Ch0.S4.p1.14.m1.5.5">𝑛</ci></list></apply><apply id="Ch0.S4.p1.14.m1.10.10.2.2.2.2.cmml" xref="Ch0.S4.p1.14.m1.10.10.2.2.2.2"><eq id="Ch0.S4.p1.14.m1.10.10.2.2.2.2.1.cmml" xref="Ch0.S4.p1.14.m1.10.10.2.2.2.2.1"></eq><ci id="Ch0.S4.p1.14.m1.10.10.2.2.2.2.2.cmml" xref="Ch0.S4.p1.14.m1.10.10.2.2.2.2.2">𝑙</ci><list id="Ch0.S4.p1.14.m1.10.10.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="Ch0.S4.p1.14.m1.10.10.2.2.2.2.3.2"><cn id="Ch0.S4.p1.14.m1.1.1.cmml" type="integer" xref="Ch0.S4.p1.14.m1.1.1">1</cn><ci id="Ch0.S4.p1.14.m1.2.2.cmml" xref="Ch0.S4.p1.14.m1.2.2">…</ci><ci id="Ch0.S4.p1.14.m1.3.3.cmml" xref="Ch0.S4.p1.14.m1.3.3">𝑛</ci></list></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Ch0.S4.p1.14.m1.10c">j=1,\ldots,q,\ k=q+1,\ldots,n,\ l=1,\ldots,n</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Ch0.S4.p1.14.m1.10d">italic_j = 1 , … , italic_q , italic_k = italic_q + 1 , … , italic_n , italic_l = 1 , … , italic_n</annotation></semantics></math> or <math alttext="j=q+1,\ldots,n,\ k=1,\ldots,q,\ l=1,\ldots,n" class="ltx_Math" display="inline" id="Ch0.S4.p1.15.m2.10"><semantics id="Ch0.S4.p1.15.m2.10a"><mrow id="Ch0.S4.p1.15.m2.10.10.2" xref="Ch0.S4.p1.15.m2.10.10.3.cmml"><mrow id="Ch0.S4.p1.15.m2.9.9.1.1" xref="Ch0.S4.p1.15.m2.9.9.1.1.cmml"><mi id="Ch0.S4.p1.15.m2.9.9.1.1.3" xref="Ch0.S4.p1.15.m2.9.9.1.1.3.cmml">j</mi><mo id="Ch0.S4.p1.15.m2.9.9.1.1.2" xref="Ch0.S4.p1.15.m2.9.9.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="Ch0.S4.p1.15.m2.9.9.1.1.1.1" xref="Ch0.S4.p1.15.m2.9.9.1.1.1.2.cmml"><mrow id="Ch0.S4.p1.15.m2.9.9.1.1.1.1.1" xref="Ch0.S4.p1.15.m2.9.9.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="Ch0.S4.p1.15.m2.9.9.1.1.1.1.1.2" xref="Ch0.S4.p1.15.m2.9.9.1.1.1.1.1.2.cmml">q</mi><mo id="Ch0.S4.p1.15.m2.9.9.1.1.1.1.1.1" xref="Ch0.S4.p1.15.m2.9.9.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mn id="Ch0.S4.p1.15.m2.9.9.1.1.1.1.1.3" xref="Ch0.S4.p1.15.m2.9.9.1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="Ch0.S4.p1.15.m2.9.9.1.1.1.1.2" xref="Ch0.S4.p1.15.m2.9.9.1.1.1.2.cmml">,</mo><mi id="Ch0.S4.p1.15.m2.7.7" mathvariant="normal" xref="Ch0.S4.p1.15.m2.7.7.cmml">…</mi><mo id="Ch0.S4.p1.15.m2.9.9.1.1.1.1.3" xref="Ch0.S4.p1.15.m2.9.9.1.1.1.2.cmml">,</mo><mi id="Ch0.S4.p1.15.m2.8.8" xref="Ch0.S4.p1.15.m2.8.8.cmml">n</mi></mrow></mrow><mo id="Ch0.S4.p1.15.m2.10.10.2.3" rspace="0.667em" xref="Ch0.S4.p1.15.m2.10.10.3a.cmml">,</mo><mrow id="Ch0.S4.p1.15.m2.10.10.2.2.2" xref="Ch0.S4.p1.15.m2.10.10.2.2.3.cmml"><mrow id="Ch0.S4.p1.15.m2.10.10.2.2.1.1" xref="Ch0.S4.p1.15.m2.10.10.2.2.1.1.cmml"><mi id="Ch0.S4.p1.15.m2.10.10.2.2.1.1.2" xref="Ch0.S4.p1.15.m2.10.10.2.2.1.1.2.cmml">k</mi><mo id="Ch0.S4.p1.15.m2.10.10.2.2.1.1.1" xref="Ch0.S4.p1.15.m2.10.10.2.2.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="Ch0.S4.p1.15.m2.10.10.2.2.1.1.3.2" xref="Ch0.S4.p1.15.m2.10.10.2.2.1.1.3.1.cmml"><mn id="Ch0.S4.p1.15.m2.4.4" xref="Ch0.S4.p1.15.m2.4.4.cmml">1</mn><mo id="Ch0.S4.p1.15.m2.10.10.2.2.1.1.3.2.1" xref="Ch0.S4.p1.15.m2.10.10.2.2.1.1.3.1.cmml">,</mo><mi id="Ch0.S4.p1.15.m2.5.5" mathvariant="normal" xref="Ch0.S4.p1.15.m2.5.5.cmml">…</mi><mo id="Ch0.S4.p1.15.m2.10.10.2.2.1.1.3.2.2" xref="Ch0.S4.p1.15.m2.10.10.2.2.1.1.3.1.cmml">,</mo><mi id="Ch0.S4.p1.15.m2.6.6" xref="Ch0.S4.p1.15.m2.6.6.cmml">q</mi></mrow></mrow><mo id="Ch0.S4.p1.15.m2.10.10.2.2.2.3" rspace="0.667em" xref="Ch0.S4.p1.15.m2.10.10.2.2.3a.cmml">,</mo><mrow id="Ch0.S4.p1.15.m2.10.10.2.2.2.2" xref="Ch0.S4.p1.15.m2.10.10.2.2.2.2.cmml"><mi id="Ch0.S4.p1.15.m2.10.10.2.2.2.2.2" xref="Ch0.S4.p1.15.m2.10.10.2.2.2.2.2.cmml">l</mi><mo id="Ch0.S4.p1.15.m2.10.10.2.2.2.2.1" xref="Ch0.S4.p1.15.m2.10.10.2.2.2.2.1.cmml">=</mo><mrow id="Ch0.S4.p1.15.m2.10.10.2.2.2.2.3.2" xref="Ch0.S4.p1.15.m2.10.10.2.2.2.2.3.1.cmml"><mn id="Ch0.S4.p1.15.m2.1.1" xref="Ch0.S4.p1.15.m2.1.1.cmml">1</mn><mo id="Ch0.S4.p1.15.m2.10.10.2.2.2.2.3.2.1" xref="Ch0.S4.p1.15.m2.10.10.2.2.2.2.3.1.cmml">,</mo><mi id="Ch0.S4.p1.15.m2.2.2" mathvariant="normal" xref="Ch0.S4.p1.15.m2.2.2.cmml">…</mi><mo id="Ch0.S4.p1.15.m2.10.10.2.2.2.2.3.2.2" xref="Ch0.S4.p1.15.m2.10.10.2.2.2.2.3.1.cmml">,</mo><mi id="Ch0.S4.p1.15.m2.3.3" xref="Ch0.S4.p1.15.m2.3.3.cmml">n</mi></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Ch0.S4.p1.15.m2.10b"><apply id="Ch0.S4.p1.15.m2.10.10.3.cmml" xref="Ch0.S4.p1.15.m2.10.10.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.S4.p1.15.m2.10.10.3a.cmml" xref="Ch0.S4.p1.15.m2.10.10.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="Ch0.S4.p1.15.m2.9.9.1.1.cmml" xref="Ch0.S4.p1.15.m2.9.9.1.1"><eq id="Ch0.S4.p1.15.m2.9.9.1.1.2.cmml" xref="Ch0.S4.p1.15.m2.9.9.1.1.2"></eq><ci id="Ch0.S4.p1.15.m2.9.9.1.1.3.cmml" xref="Ch0.S4.p1.15.m2.9.9.1.1.3">𝑗</ci><list id="Ch0.S4.p1.15.m2.9.9.1.1.1.2.cmml" xref="Ch0.S4.p1.15.m2.9.9.1.1.1.1"><apply id="Ch0.S4.p1.15.m2.9.9.1.1.1.1.1.cmml" xref="Ch0.S4.p1.15.m2.9.9.1.1.1.1.1"><plus id="Ch0.S4.p1.15.m2.9.9.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="Ch0.S4.p1.15.m2.9.9.1.1.1.1.1.1"></plus><ci id="Ch0.S4.p1.15.m2.9.9.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="Ch0.S4.p1.15.m2.9.9.1.1.1.1.1.2">𝑞</ci><cn id="Ch0.S4.p1.15.m2.9.9.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="Ch0.S4.p1.15.m2.9.9.1.1.1.1.1.3">1</cn></apply><ci id="Ch0.S4.p1.15.m2.7.7.cmml" xref="Ch0.S4.p1.15.m2.7.7">…</ci><ci id="Ch0.S4.p1.15.m2.8.8.cmml" xref="Ch0.S4.p1.15.m2.8.8">𝑛</ci></list></apply><apply id="Ch0.S4.p1.15.m2.10.10.2.2.3.cmml" xref="Ch0.S4.p1.15.m2.10.10.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.S4.p1.15.m2.10.10.2.2.3a.cmml" xref="Ch0.S4.p1.15.m2.10.10.2.2.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="Ch0.S4.p1.15.m2.10.10.2.2.1.1.cmml" xref="Ch0.S4.p1.15.m2.10.10.2.2.1.1"><eq id="Ch0.S4.p1.15.m2.10.10.2.2.1.1.1.cmml" xref="Ch0.S4.p1.15.m2.10.10.2.2.1.1.1"></eq><ci id="Ch0.S4.p1.15.m2.10.10.2.2.1.1.2.cmml" 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id="Ch0.E29.m1.3.3.1.1.1.1.4" xref="Ch0.E29.m1.3.3.1.1.1.1.4.cmml">=</mo><mrow id="Ch0.E29.m1.3.3.1.1.1.1.3.1" xref="Ch0.E29.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.cmml"><mrow id="Ch0.E29.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1" xref="Ch0.E29.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.cmml"><mrow id="Ch0.E29.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.1" xref="Ch0.E29.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.1.cmml"><mfrac id="Ch0.E29.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.1.3" xref="Ch0.E29.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.1.3.cmml"><mn id="Ch0.E29.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.1.3.2" xref="Ch0.E29.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.1.3.2.cmml">1</mn><mn id="Ch0.E29.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.1.3.3" xref="Ch0.E29.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></mfrac><mo id="Ch0.E29.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.1.2" xref="Ch0.E29.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msup id="Ch0.E29.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.1.1" xref="Ch0.E29.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.1.1.cmml"><mrow id="Ch0.E29.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1" xref="Ch0.E29.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="Ch0.E29.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="Ch0.E29.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="Ch0.E29.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1" xref="Ch0.E29.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="Ch0.E29.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="Ch0.E29.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">ϵ</mi><mo id="Ch0.E29.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="Ch0.E29.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mi id="Ch0.E29.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="Ch0.E29.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">η</mi></mrow><mo id="Ch0.E29.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="Ch0.E29.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mn id="Ch0.E29.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.1.1.3" xref="Ch0.E29.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.1.1.3.cmml">2</mn></msup><mo id="Ch0.E29.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.1.2a" xref="Ch0.E29.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="Ch0.E29.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.1.4" xref="Ch0.E29.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.1.4.cmml"><mi id="Ch0.E29.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.1.4.2" xref="Ch0.E29.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.1.4.2.cmml">δ</mi><mrow id="Ch0.E29.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.1.4.3" xref="Ch0.E29.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.1.4.3.cmml"><mi id="Ch0.E29.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.1.4.3.2" xref="Ch0.E29.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.1.4.3.2.cmml">k</mi><mo id="Ch0.E29.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.1.4.3.1" xref="Ch0.E29.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.1.4.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="Ch0.E29.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.1.4.3.3" xref="Ch0.E29.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.1.4.3.3.cmml">l</mi></mrow></msub><mo id="Ch0.E29.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.1.2b" xref="Ch0.E29.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msubsup id="Ch0.E29.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.1.5" xref="Ch0.E29.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.1.5.cmml"><mi id="Ch0.E29.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.1.5.2.2" xref="Ch0.E29.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.1.5.2.2.cmml">f</mi><mi id="Ch0.E29.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.1.5.2.3" xref="Ch0.E29.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.1.5.2.3.cmml">j</mi><mi id="Ch0.E29.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.1.5.3" xref="Ch0.E29.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.1.5.3.cmml">ξ</mi></msubsup></mrow><mo id="Ch0.E29.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.3" xref="Ch0.E29.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.3.cmml">+</mo><mrow id="Ch0.E29.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.2" xref="Ch0.E29.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.2.cmml"><mfrac id="Ch0.E29.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.2.3" xref="Ch0.E29.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.2.3.cmml"><mn id="Ch0.E29.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.2.3.2" xref="Ch0.E29.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.2.3.2.cmml">1</mn><mn id="Ch0.E29.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.2.3.3" xref="Ch0.E29.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.2.3.3.cmml">2</mn></mfrac><mo id="Ch0.E29.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.2.2" xref="Ch0.E29.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.2.2.cmml">⁢</mo><msup id="Ch0.E29.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.2.1" xref="Ch0.E29.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.2.1.cmml"><mrow id="Ch0.E29.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.2.1.1.1" xref="Ch0.E29.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="Ch0.E29.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="Ch0.E29.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="Ch0.E29.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.2.1.1.1.1" xref="Ch0.E29.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.2.1.1.1.1.cmml"><mi id="Ch0.E29.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.2.1.1.1.1.2" xref="Ch0.E29.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.2.1.1.1.1.2.cmml">ϵ</mi><mo id="Ch0.E29.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.2.1.1.1.1.1" xref="Ch0.E29.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.2.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mi id="Ch0.E29.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.2.1.1.1.1.3" xref="Ch0.E29.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.2.1.1.1.1.3.cmml">ξ</mi></mrow><mo id="Ch0.E29.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.2.1.1.1.3" stretchy="false" xref="Ch0.E29.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.2.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mn id="Ch0.E29.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.2.1.3" xref="Ch0.E29.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.2.1.3.cmml">2</mn></msup><mo id="Ch0.E29.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.2.2a" xref="Ch0.E29.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.2.2.cmml">⁢</mo><msub id="Ch0.E29.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.2.4" xref="Ch0.E29.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.2.4.cmml"><mi id="Ch0.E29.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.2.4.2" xref="Ch0.E29.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.2.4.2.cmml">δ</mi><mrow id="Ch0.E29.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.2.4.3" xref="Ch0.E29.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.2.4.3.cmml"><mi id="Ch0.E29.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.2.4.3.2" xref="Ch0.E29.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.2.4.3.2.cmml">j</mi><mo id="Ch0.E29.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.2.4.3.1" xref="Ch0.E29.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.2.4.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="Ch0.E29.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.2.4.3.3" xref="Ch0.E29.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.2.4.3.3.cmml">l</mi></mrow></msub><mo id="Ch0.E29.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.2.2b" xref="Ch0.E29.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.2.2.cmml">⁢</mo><msubsup id="Ch0.E29.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.2.5" xref="Ch0.E29.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.2.5.cmml"><mi id="Ch0.E29.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.2.5.2.2" xref="Ch0.E29.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.2.5.2.2.cmml">f</mi><mi id="Ch0.E29.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.2.5.2.3" xref="Ch0.E29.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.2.5.2.3.cmml">k</mi><mi id="Ch0.E29.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.2.5.3" xref="Ch0.E29.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.2.5.3.cmml">η</mi></msubsup></mrow></mrow><mo id="Ch0.E29.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.2" rspace="0.727em" xref="Ch0.E29.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.cmml">,</mo><mi id="Ch0.E29.m1.1.1" xref="Ch0.E29.m1.1.1.cmml">ξ</mi><mo id="Ch0.E29.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.3" xref="Ch0.E29.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.cmml">,</mo><mi id="Ch0.E29.m1.2.2" xref="Ch0.E29.m1.2.2.cmml">η</mi></mrow></mrow><mo id="Ch0.E29.m1.3.3.1.1.2.3" xref="Ch0.E29.m1.3.3.1.1.3a.cmml">,</mo><mrow id="Ch0.E29.m1.3.3.1.1.2.2" xref="Ch0.E29.m1.3.3.1.1.2.2.cmml"><mi id="Ch0.E29.m1.3.3.1.1.2.2.2" xref="Ch0.E29.m1.3.3.1.1.2.2.2.cmml">ϵ</mi><mo id="Ch0.E29.m1.3.3.1.1.2.2.1" xref="Ch0.E29.m1.3.3.1.1.2.2.1.cmml">=</mo><mrow id="Ch0.E29.m1.3.3.1.1.2.2.3" xref="Ch0.E29.m1.3.3.1.1.2.2.3.cmml"><mrow id="Ch0.E29.m1.3.3.1.1.2.2.3.2" xref="Ch0.E29.m1.3.3.1.1.2.2.3.2.cmml"><mo id="Ch0.E29.m1.3.3.1.1.2.2.3.2a" xref="Ch0.E29.m1.3.3.1.1.2.2.3.2.cmml">±</mo><mtext id="Ch0.E29.m1.3.3.1.1.2.2.3.2.2" xref="Ch0.E29.m1.3.3.1.1.2.2.3.2.2a.cmml"> or </mtext></mrow><mo id="Ch0.E29.m1.3.3.1.1.2.2.3.1" xref="Ch0.E29.m1.3.3.1.1.2.2.3.1.cmml">±</mo><mn id="Ch0.E29.m1.3.3.1.1.2.2.3.3" xref="Ch0.E29.m1.3.3.1.1.2.2.3.3.cmml">1</mn></mrow></mrow></mrow><mo id="Ch0.E29.m1.3.3.1.2" lspace="0em">.</mo></mrow><annotation-xml 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id="Ch0.E29.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.3.cmml" xref="Ch0.E29.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.3"></plus><apply id="Ch0.E29.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.1.cmml" xref="Ch0.E29.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.1"><times id="Ch0.E29.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.1.2.cmml" xref="Ch0.E29.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.1.2"></times><apply id="Ch0.E29.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.1.3.cmml" xref="Ch0.E29.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.1.3"><divide id="Ch0.E29.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.1.3.1.cmml" xref="Ch0.E29.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.1.3"></divide><cn id="Ch0.E29.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="Ch0.E29.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.1.3.2">1</cn><cn id="Ch0.E29.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="Ch0.E29.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.1.3.3">2</cn></apply><apply id="Ch0.E29.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.1.1.cmml" xref="Ch0.E29.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.E29.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2.cmml" xref="Ch0.E29.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="Ch0.E29.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="Ch0.E29.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1"><minus id="Ch0.E29.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="Ch0.E29.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><ci id="Ch0.E29.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="Ch0.E29.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.2">italic-ϵ</ci><ci id="Ch0.E29.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="Ch0.E29.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.3">𝜂</ci></apply><cn id="Ch0.E29.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="Ch0.E29.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.1.1.3">2</cn></apply><apply id="Ch0.E29.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.1.4.cmml" xref="Ch0.E29.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.E29.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.1.4.1.cmml" xref="Ch0.E29.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="Ch0.E29.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.1.4.2.cmml" xref="Ch0.E29.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.1.4.2">𝛿</ci><apply id="Ch0.E29.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.1.4.3.cmml" xref="Ch0.E29.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.1.4.3"><times id="Ch0.E29.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.1.4.3.1.cmml" xref="Ch0.E29.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.1.4.3.1"></times><ci id="Ch0.E29.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.1.4.3.2.cmml" xref="Ch0.E29.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.1.4.3.2">𝑘</ci><ci id="Ch0.E29.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.1.4.3.3.cmml" xref="Ch0.E29.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.1.4.3.3">𝑙</ci></apply></apply><apply id="Ch0.E29.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.1.5.cmml" xref="Ch0.E29.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.1.5"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.E29.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.1.5.1.cmml" xref="Ch0.E29.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.1.5">superscript</csymbol><apply id="Ch0.E29.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.1.5.2.cmml" xref="Ch0.E29.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.1.5"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.E29.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.1.5.2.1.cmml" xref="Ch0.E29.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.1.5">subscript</csymbol><ci id="Ch0.E29.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.1.5.2.2.cmml" xref="Ch0.E29.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.1.5.2.2">𝑓</ci><ci id="Ch0.E29.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.1.5.2.3.cmml" xref="Ch0.E29.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.1.5.2.3">𝑗</ci></apply><ci id="Ch0.E29.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.1.5.3.cmml" xref="Ch0.E29.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.1.5.3">𝜉</ci></apply></apply><apply id="Ch0.E29.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.2.cmml" xref="Ch0.E29.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.2"><times id="Ch0.E29.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.2.2.cmml" xref="Ch0.E29.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.2.2"></times><apply id="Ch0.E29.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.2.3.cmml" xref="Ch0.E29.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.2.3"><divide id="Ch0.E29.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.2.3.1.cmml" xref="Ch0.E29.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.2.3"></divide><cn id="Ch0.E29.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.2.3.2.cmml" type="integer" xref="Ch0.E29.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.2.3.2">1</cn><cn id="Ch0.E29.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="Ch0.E29.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.2.3.3">2</cn></apply><apply id="Ch0.E29.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.2.1.cmml" xref="Ch0.E29.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.E29.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.2.1.2.cmml" xref="Ch0.E29.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.2.1">superscript</csymbol><apply id="Ch0.E29.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.2.1.1.1.1.cmml" xref="Ch0.E29.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.2.1.1.1"><minus id="Ch0.E29.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="Ch0.E29.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.2.1.1.1.1.1"></minus><ci id="Ch0.E29.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="Ch0.E29.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.2.1.1.1.1.2">italic-ϵ</ci><ci id="Ch0.E29.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="Ch0.E29.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.2.1.1.1.1.3">𝜉</ci></apply><cn id="Ch0.E29.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.2.1.3.cmml" type="integer" xref="Ch0.E29.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.2.1.3">2</cn></apply><apply id="Ch0.E29.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.2.4.cmml" xref="Ch0.E29.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.E29.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.2.4.1.cmml" xref="Ch0.E29.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.2.4">subscript</csymbol><ci id="Ch0.E29.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.2.4.2.cmml" xref="Ch0.E29.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.2.4.2">𝛿</ci><apply id="Ch0.E29.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.2.4.3.cmml" xref="Ch0.E29.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.2.4.3"><times id="Ch0.E29.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.2.4.3.1.cmml" xref="Ch0.E29.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.2.4.3.1"></times><ci id="Ch0.E29.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.2.4.3.2.cmml" xref="Ch0.E29.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.2.4.3.2">𝑗</ci><ci id="Ch0.E29.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.2.4.3.3.cmml" xref="Ch0.E29.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.2.4.3.3">𝑙</ci></apply></apply><apply id="Ch0.E29.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.2.5.cmml" xref="Ch0.E29.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.2.5"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.E29.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.2.5.1.cmml" xref="Ch0.E29.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.2.5">superscript</csymbol><apply id="Ch0.E29.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.2.5.2.cmml" xref="Ch0.E29.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.2.5"><csymbol cd="ambiguous" id="Ch0.E29.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.2.5.2.1.cmml" xref="Ch0.E29.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.2.5">subscript</csymbol><ci id="Ch0.E29.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.2.5.2.2.cmml" xref="Ch0.E29.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.2.5.2.2">𝑓</ci><ci id="Ch0.E29.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.2.5.2.3.cmml" xref="Ch0.E29.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.2.5.2.3">𝑘</ci></apply><ci id="Ch0.E29.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.2.5.3.cmml" xref="Ch0.E29.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.2.5.3">𝜂</ci></apply></apply></apply><ci id="Ch0.E29.m1.1.1.cmml" xref="Ch0.E29.m1.1.1">𝜉</ci><ci id="Ch0.E29.m1.2.2.cmml" xref="Ch0.E29.m1.2.2">𝜂</ci></list></apply><apply id="Ch0.E29.m1.3.3.1.1.2.2.cmml" xref="Ch0.E29.m1.3.3.1.1.2.2"><eq id="Ch0.E29.m1.3.3.1.1.2.2.1.cmml" xref="Ch0.E29.m1.3.3.1.1.2.2.1"></eq><ci id="Ch0.E29.m1.3.3.1.1.2.2.2.cmml" xref="Ch0.E29.m1.3.3.1.1.2.2.2">italic-ϵ</ci><apply id="Ch0.E29.m1.3.3.1.1.2.2.3.cmml" xref="Ch0.E29.m1.3.3.1.1.2.2.3"><csymbol cd="latexml" id="Ch0.E29.m1.3.3.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="Ch0.E29.m1.3.3.1.1.2.2.3.1">plus-or-minus</csymbol><apply id="Ch0.E29.m1.3.3.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="Ch0.E29.m1.3.3.1.1.2.2.3.2"><csymbol cd="latexml" id="Ch0.E29.m1.3.3.1.1.2.2.3.2.1.cmml" xref="Ch0.E29.m1.3.3.1.1.2.2.3.2">plus-or-minus</csymbol><ci id="Ch0.E29.m1.3.3.1.1.2.2.3.2.2a.cmml" xref="Ch0.E29.m1.3.3.1.1.2.2.3.2.2"><mtext id="Ch0.E29.m1.3.3.1.1.2.2.3.2.2.cmml" xref="Ch0.E29.m1.3.3.1.1.2.2.3.2.2"> or </mtext></ci></apply><cn id="Ch0.E29.m1.3.3.1.1.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="Ch0.E29.m1.3.3.1.1.2.2.3.3">1</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Ch0.E29.m1.3c">\{\{f_{j}^{\xi},f_{k}^{\eta}\},f_{l}^{\epsilon}\}=\frac{1}{2}(\epsilon-\eta)^{% 2}\delta_{kl}f_{j}^{\xi}+\frac{1}{2}(\epsilon-\xi)^{2}\delta_{jl}f_{k}^{\eta},% \;\;\xi,\eta,\epsilon=\pm\hbox{ or }\pm 1.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Ch0.E29.m1.3d">{ { italic_f start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_ξ end_POSTSUPERSCRIPT , italic_f start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_η end_POSTSUPERSCRIPT } , italic_f start_POSTSUBSCRIPT italic_l end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_ϵ end_POSTSUPERSCRIPT } = divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 end_ARG ( italic_ϵ - italic_η ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT italic_δ start_POSTSUBSCRIPT italic_k italic_l end_POSTSUBSCRIPT italic_f start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_ξ end_POSTSUPERSCRIPT + divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 end_ARG ( italic_ϵ - italic_ξ ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT italic_δ start_POSTSUBSCRIPT italic_j italic_l end_POSTSUBSCRIPT italic_f start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_η end_POSTSUPERSCRIPT , italic_ξ , italic_η , italic_ϵ = ± or ± 1 .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(29)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="Ch0.S4.p1.16">This gives a new type of parastatistics, not considered before and worth studying. It could describe a model consisting of two sets of parafermionic particles, where the two sets are not independent of each other but there is a kind of entanglement determined by (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2408.09274v1#Ch0.E29" title="In 4 Example and conclusions ‣ Matrix structure of classical ℤ₂×ℤ₂ graded Lie algebras"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">29</span></a>).</p> </div> </section> <section class="ltx_bibliography" id="bib"> <h2 class="ltx_title ltx_title_bibliography">References</h2> <ul class="ltx_biblist"> <li class="ltx_bibitem" id="bib.bib1"> <span class="ltx_tag ltx_role_refnum ltx_tag_bibitem">(1)</span> <span class="ltx_bibblock"> N. Aizawa, K. Amakawa and S. Doi, J. Phys. A: Math. Theor. <span class="ltx_text ltx_font_bold" id="bib.bib1.1.1">53</span> (2020) 065205. </span> </li> <li class="ltx_bibitem" id="bib.bib2"> <span class="ltx_tag ltx_role_refnum ltx_tag_bibitem">(2)</span> <span class="ltx_bibblock"> N. Aizawa, Z. Kuznetsova, H. 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