CINXE.COM

<!DOCTYPE html>    <html>  <head><script type="text/javascript" src="https://web-static.archive.org/_static/js/bundle-playback.js?v=7YQSqjSh" charset="utf-8"></script> <script type="text/javascript" src="https://web-static.archive.org/_static/js/wombat.js?v=txqj7nKC" charset="utf-8"></script> <script>window.RufflePlayer=window.RufflePlayer||{};window.RufflePlayer.config={"autoplay":"on","unmuteOverlay":"hidden"};</script> <script type="text/javascript" src="https://web-static.archive.org/_static/js/ruffle/ruffle.js"></script> <script type="text/javascript"> __wm.init("https://web.archive.org/web"); __wm.wombat("http://n-t.ru:80/tp/ns/upa.htm","20181119131744","https://web.archive.org/","web","https://web-static.archive.org/_static/", "1542633464"); </script> <link rel="stylesheet" type="text/css" href="https://web-static.archive.org/_static/css/banner-styles.css?v=p7PEIJWi" /> <link rel="stylesheet" type="text/css" href="https://web-static.archive.org/_static/css/iconochive.css?v=3PDvdIFv" />  <title>Уравнение Пелля. Cтатьи. Наука и техника</title> <meta http-equiv="X-UA-Compatible" content="IE=edge,chrome=1"/> <meta name="viewport" content="width=device-width, initial-scale=1"> <meta name="SKYPE_TOOLBAR" content="SKYPE_TOOLBAR_PARSER_COMPATIBLE"/>  <meta property="og:title" content="Уравнение Пелля"> <meta property="og:url" content="https://web.archive.org/web/20181119131744/http://n-t.ru/tp/ns/upa.htm"> <meta property="og:image" content="https://web.archive.org/web/20181119131744im_/http://n-t.ru/n-t158.png"> <meta property="og:image:width" content="316"> <meta property="og:image:height" content="316"> <meta property="og:description" content="Предложен новый метод решения уравнения Пелля, позволяющий значительно упростить и сократить вычисления по сравнению с циклическим методом. Метод применим для диофантовых уравнений Для частных значений найдены формулы. Приведены примеры применения метода и сравнение по эффективности с циклическим методом. "> <link rel="icon" href="/web/20181119131744im_/http://n-t.ru/favicon.ico" type="image/x-icon"> <link href="/web/20181119131744cs_/http://n-t.ru/dz/nit.css" rel="stylesheet" type="text/css"> </head> <body> <script type="text/javascript"></script> <div id="fb-root"></div> <script>(function(d, s, id) { var js, fjs = d.getElementsByTagName(s)[0]; if (d.getElementById(id)) return; js = d.createElement(s); js.id = id; js.src = "//web.archive.org/web/20181119131744/http://connect.facebook.net/ru_RU/sdk.js#xfbml=1&version=v2.4&appId=1615304618725556"; fjs.parentNode.insertBefore(js, fjs); }(document, 'script', 'facebook-jssdk'));</script> <div class="vk vkm">  <a href="/web/20181119131744/http://n-t.ru/"> <img class="il1" style="float: left;" src="/web/20181119131744im_/http://n-t.ru/dz/1024-logo.gif" border="0" width="208" height="72" alt="Перейти в начало сайта" title="Перейти в начало сайта"> <img class="il2" style="float: left;" src="/web/20181119131744im_/http://n-t.ru/dz/480-800-logo.gif" border="0" width="50" height="50" alt="Перейти в начало сайта" title="Перейти в начало сайта"> </a>  <div class="nv nm1">Электронная библиотека «Наука и техника»</div> <div class="nv nm2">n-t.ru: Наука и техника</div>  <div class="nv nv1"><a href="/web/20181119131744/http://n-t.ru/">Начало сайта</a> / <a href="/web/20181119131744/http://n-t.ru/tp/">Cтатьи</a> / <a href="/web/20181119131744/http://n-t.ru/tp/ns/">Наука сегодня</a></div> <div class="nv nv2"><a href="/web/20181119131744/http://n-t.ru/">Начало сайта</a> / <a href="/web/20181119131744/http://n-t.ru/tp/">Cтатьи</a> / <a href="/web/20181119131744/http://n-t.ru/tp/ns/">Наука сегодня</a></div> <div class="fp1"><div class="ya-site-form ya-site-form_inited_no" onclick="return {'action':'https://web.archive.org/web/20181119131744/http://n-t.ru/sy.htm','arrow':false,'bg':'transparent','fontsize':14,'fg':'#000000','language':'ru','logo':'rb','publicname':'Поиск по n-t.ru','suggest':false,'target':'_self','tld':'ru','type':3,'usebigdictionary':true,'searchid':149297,'webopt':false,'websearch':false,'input_fg':'#a1aab3','input_bg':'#ffffff','input_fontStyle':'normal','input_fontWeight':'normal','input_placeholder':'Поиск по n-t.ru:','input_placeholderColor':'#a1aab3','input_borderColor':'#B8D9B8'}"><form action="https://web.archive.org/web/20181119131744/http://yandex.ru/sitesearch" method="get" target="_self"><input type="hidden" name="searchid" value="149297"/><input type="hidden" name="l10n" value="ru"/><input type="hidden" name="reqenc" value=""/><input type="search" name="text" value=""/><input type="submit" value="Найти"/></form></div><style type="text/css">.ya-page_js_yes .ya-site-form_inited_no { display: none; }</style><script type="text/javascript">(function(w,d,c){var s=d.createElement('script'),h=d.getElementsByTagName('script')[0],e=d.documentElement;if((' '+e.className+' ').indexOf(' ya-page_js_yes ')===-1){e.className+=' ya-page_js_yes';}s.type='text/javascript';s.async=true;s.charset='utf-8';s.src=(d.location.protocol==='https:'?'https:':'http:')+'//web.archive.org/web/20181119131744/http://site.yandex.net/v2.0/js/all.js';h.parentNode.insertBefore(s,h);(w[c]||(w[c]=[])).push(function(){Ya.Site.Form.init()})})(window,document,'yandex_site_callbacks');</script></div> </div> <div class="pl plm"> <div class="pll"> <p class="rz"><a href="/web/20181119131744/http://n-t.ru/ns/" class="arz">Научные статьи</a></p> <p class="rb"><a href="/web/20181119131744/http://n-t.ru/ns/fz/" class="arb">Физика звёзд</a></p> <p class="rb"><a href="/web/20181119131744/http://n-t.ru/ns/fm/" class="arb">Физика микромира</a></p> <p class="rz"><a href="/web/20181119131744/http://n-t.ru/nj/" class="arz">Журналы</a></p> <p class="rb"><a href="/web/20181119131744/http://n-t.ru/nj/pr/" class="arb">Природа</a></p> <p class="rb"><a href="/web/20181119131744/http://n-t.ru/nj/nz/" class="arb">Наука и жизнь</a></p> <p class="rb"><a href="/web/20181119131744/http://n-t.ru/nj/pl/" class="arb">Природа и люди</a></p> <p class="rb"><a href="/web/20181119131744/http://n-t.ru/nj/tm/" class="arb">Техника – молодёжи</a></p> <p class="rz"><a href="/web/20181119131744/http://n-t.ru/nl/" class="arz">Нобелевские лауреаты</a></p> <p class="rb"><a href="/web/20181119131744/http://n-t.ru/nl/fz/" class="arb">Премия по физике</a></p> <p class="rb"><a href="/web/20181119131744/http://n-t.ru/nl/hm/" class="arb">Премия по химии</a></p> <p class="rb"><a href="/web/20181119131744/http://n-t.ru/nl/lt/" class="arb">Премия по литературе</a></p> <p class="rb"><a href="/web/20181119131744/http://n-t.ru/nl/mf/" class="arb">Премия по медицине</a></p> <p class="rb"><a href="/web/20181119131744/http://n-t.ru/nl/ek/" class="arb">Премия по экономике</a></p> <p class="rb"><a href="/web/20181119131744/http://n-t.ru/nl/mr/" class="arb">Премия мира</a></p> <p class="rz"><a href="/web/20181119131744/http://n-t.ru/ri/" class="arz">Книги</a></p> <p class="rb"><a href="/web/20181119131744/http://n-t.ru/ri/gl/ek.htm" id="rb">В поисках «энергетической капсулы»</a> </p><p class="rb"><a href="/web/20181119131744/http://n-t.ru/ri/gn/kl.htm" id="rb">Как люди научились летать</a> </p><p class="rb"><a href="/web/20181119131744/http://n-t.ru/ri/pt/lb.htm" id="rb">Люди и биты. Информационный взрыв: что он несет</a> </p><p class="rb"><a href="/web/20181119131744/http://n-t.ru/ri/ch/pi.htm" id="rb">Популярная информатика</a> </p><p class="rb"><a href="/web/20181119131744/http://n-t.ru/ri/cg/id.htm" id="rb">У истоков дизайна</a> </p><p class="rb"><a href="/web/20181119131744/http://n-t.ru/ri/fz/" id="rb">Физики продолжают шутить</a> </p> <p class="rz"><a href="/web/20181119131744/http://n-t.ru/ii/" class="arz">Издания НиТ</a></p> <p class="rb"><a href="/web/20181119131744/http://n-t.ru/ii/ba/" class="arb">Батарейки и аккумуляторы</a></p> <p class="rb"><a href="/web/20181119131744/http://n-t.ru/ii/os/" class="arb">Охранные системы</a></p> <p class="rb"><a href="/web/20181119131744/http://n-t.ru/ii/ie/" class="arb">Источники энергии</a></p> <p class="rb"><a href="/web/20181119131744/http://n-t.ru/ii/st/" class="arb">Свет и тепло</a></p> <p class="rz"><a href="/web/20181119131744/http://n-t.ru/tp/" class="arz">Научно-популярные статьи</a></p> <p class="rb"><a href="/web/20181119131744/http://n-t.ru/tp/ns/" class="arb">Наука сегодня</a></p> <p class="rb"><a href="/web/20181119131744/http://n-t.ru/tp/ng/" class="arb">Научные гипотезы</a></p> <p class="rb"><a href="/web/20181119131744/http://n-t.ru/tp/to/" class="arb">Теория относительности</a></p> <p class="rb"><a href="/web/20181119131744/http://n-t.ru/tp/in/" class="arb">История науки</a></p> <p class="rb"><a href="/web/20181119131744/http://n-t.ru/tp/nr/" class="arb">Научные развлечения</a></p> <p class="rb"><a href="/web/20181119131744/http://n-t.ru/tp/ts/" class="arb">Техника сегодня</a></p> <p class="rb"><a href="/web/20181119131744/http://n-t.ru/tp/it/" class="arb">История техники</a></p> <p class="rb"><a href="/web/20181119131744/http://n-t.ru/tp/iz/" class="arb">Измерения в технике</a></p> <p class="rb"><a href="/web/20181119131744/http://n-t.ru/tp/ie/" class="arb">Источники энергии</a></p> <p class="rb"><a href="/web/20181119131744/http://n-t.ru/tp/rn/" class="arb">Наука и религия</a></p> <p class="rb"><a href="/web/20181119131744/http://n-t.ru/tp/mr/" class="arb">Мир, в котором мы живём</a></p> <p class="rb"><a href="/web/20181119131744/http://n-t.ru/tp/lt/" class="arb">Лит. творчество ученых</a></p> <p class="rb"><a href="/web/20181119131744/http://n-t.ru/tp/br/" class="arb">Человек и общество</a></p> <p class="rb"><a href="/web/20181119131744/http://n-t.ru/tp/ob/" class="arb">Образование</a></p> <p class="rb"><a href="/web/20181119131744/http://n-t.ru/tp/rz/" class="arb">Разное</a></p> </div> <div class="plp plpm"> <h1>Уравнение Пелля</h1> <p class="sm mb">Мультипликативные свойства и ациклический метод решения</p> <p class="ats"><a href="/web/20181119131744/http://n-t.ru/ac/ap.htm#M03">Валерий Мешков</a></p> <p class="sm">Полная версия статьи: <a href="/web/20181119131744/http://n-t.ru/tp/ns/upa.doc">DOC</a> (713 кб).</p> <br> <p>Хотя решению уравнения Пелля и связанных с ним диофантовых уравнений, посвящено много работ, интерес к этим задачам теории чисел актуален и в настоящее время. Наиболее известен циклический метод, применяемый еще с древних времен. Имеются некоторые разновидности и варианты этого метода (английский метод, метод непрерывных дробей, композиции форм и т.д.), но все они являются той или иной интерпретацией циклического метода (ЦМ). Оказывается, что с ростом характерного параметра уравнения, при некоторых его значениях, нахождение решения требует значительных вычислительных усилий. Большинство современных работ также используют в качестве основы ЦМ. Применение компьютеров во многом облегчают вычисления, однако с методической точки зрения представляет интерес, что и во времена Ферма можно было сформулировать подход, эффективно снижающий объем вычислений, облегчающий и ускоряющий нахождение решения. Значительный выигрыш с этой точки зрения проявляется, как правило, в «трудных» случаях.</p> <p>Предлагаемый в данной работе ациклический метод решения (АЦМ) включает элементы ЦМ, однако не имеет жесткой привязки к фиксированному алгоритму вычислений, и является гибким методом, позволяющим искать и находить оптимальный алгоритм решения для конкретных случаев. При этом используются мультипликативные свойства уравнения Пелля и мультипликативная структура промежуточных решений. Найдены такие их значения, для которых дальнейшее решение вычисляется по формулам. Приведены некоторые теоремы, дающие теоретическое обоснование методу, а также введена новая запись последовательности решения с помощью несократимых дробей. Это позволило достаточно экономно записывать все этапы решения для очень больших чисел, величина которых для данной статьи ограничивается размером шрифта и размером листа бумаги. Приведено большое число примеров решения уравнений в порядке возрастания сложности и объема вычислений.</p> <p>Оценка эффективности АЦМ проводится путем сравнения шагов решения с числом шагов ЦМ, полученного в одной из недавних работ. Существует явная тенденция повышения эффективности АЦМ с ростом сложности задачи.</p> <p>Отметим для сравнения, что полная запись решения наиболее сложного последнего примера составляет около двух страниц довольно крупным шрифтом. Полная запись последовательности решения циклическим методом содержит более чем в тридцать раз большее число шагов, и объем ее текста намного превысит объем всей данной статьи. Таким образом, предлагаемый метод реализует принцип: больше анализируем, меньше вычисляем.</p> <p>Соответственно при конкретной компьютерной программной реализации будет задействован значительно меньший объем памяти, что даст возможность решать уравнения с большими параметрами и снижать время вычислений.</p> <p> </p> <p class="data">Источники информации:</p> <ol class="sm"> <li>Эдвардс Г. Последняя Теорема Ферма. Генетическое введение в алгебраическую теорию чисел. М.: Мир, 1980.</li> <li>Lenstra Jr. H.W. Solving the Pell Equation. Notices of AMS, v. 49, p. 182...192.</li> <li>Barbeau E.J. Pell’s equation. Problem Books in Mathematics. Springer-Verlag, N.Y., 2003.</li> <li>Williams H.C. Solving the Pell Equation. Number Theory for the millennium, III (Urbana, IL, 2000), A.K. Peters, Natick, MA, 2002, p. 397...435.</li> <li>Oliveira e Silva T. <a href="https://web.archive.org/web/20181119131744/http://www.ieeta.pt/~tos/">Large fundamental solutions of Pell equation</a>.</li> </ol> <p> </p>  <div class="dk"> <div class="dp"> <p class="data nb">Дата публикации:</p> <p class="sm nb">13 июля 2006 года</p> </div> <div class="ev"> <p class="data">Электронная версия:</p> <p class="sm nb">© <a href="/web/20181119131744/http://n-t.ru/">НиТ</a>. <a href="/web/20181119131744/http://n-t.ru/tp/">Cтатьи</a>, 1997</p> </div> </div> </div>  </div>  <div class="nk nkm"> <div class="fp2"><div class="ya-site-form ya-site-form_inited_no" onclick="return {'action':'https://web.archive.org/web/20181119131744/http://n-t.ru/sy.htm','arrow':false,'bg':'transparent','fontsize':14,'fg':'#000000','language':'ru','logo':'rb','publicname':'Поиск по n-t.ru','suggest':false,'target':'_self','tld':'ru','type':3,'usebigdictionary':true,'searchid':149297,'webopt':false,'websearch':false,'input_fg':'#a1aab3','input_bg':'#ffffff','input_fontStyle':'normal','input_fontWeight':'normal','input_placeholder':'Поиск по n-t.ru:','input_placeholderColor':'#a1aab3','input_borderColor':'#B8D9B8'}"><form action="https://web.archive.org/web/20181119131744/http://yandex.ru/sitesearch" method="get" target="_self"><input type="hidden" name="searchid" value="149297"/><input type="hidden" name="l10n" value="ru"/><input type="hidden" name="reqenc" value=""/><input type="search" name="text" value=""/><input type="submit" value="Найти"/></form></div><style type="text/css">.ya-page_js_yes .ya-site-form_inited_no { display: none; }</style><script type="text/javascript">(function(w,d,c){var s=d.createElement('script'),h=d.getElementsByTagName('script')[0],e=d.documentElement;if((' '+e.className+' ').indexOf(' ya-page_js_yes ')===-1){e.className+=' ya-page_js_yes';}s.type='text/javascript';s.async=true;s.charset='utf-8';s.src=(d.location.protocol==='https:'?'https:':'http:')+'//web.archive.org/web/20181119131744/http://site.yandex.net/v2.0/js/all.js';h.parentNode.insertBefore(s,h);(w[c]||(w[c]=[])).push(function(){Ya.Site.Form.init()})})(window,document,'yandex_site_callbacks');</script></div> <div style="padding: 4px 0 6px 0; background: #f0faff;"><div class="fp2"><a href="/web/20181119131744/http://n-t.ru/">В начало сайта</a> | <a href="/web/20181119131744/http://n-t.ru/ri/">Книги</a> | <a href="/web/20181119131744/http://n-t.ru/tp/">Статьи</a> | <a href="/web/20181119131744/http://n-t.ru/nj/">Журналы</a> | <a href="/web/20181119131744/http://n-t.ru/nl/">Нобелевские лауреаты</a> | <a href="/web/20181119131744/http://n-t.ru/ii/">Издания НиТ</a> <br> <a href="/web/20181119131744/http://n-t.ru/ks.htm#n-t">Карта сайта</a> | <a href="/web/20181119131744/http://n-t.ru/sp/">Cовместные проекты</a> | <a href="https://web.archive.org/web/20181119131744/http://smbr.ru/">Журнал «Сумбур»</a> | <a href="https://web.archive.org/web/20181119131744/http://o-val.ru/">Игумен Валериан</a> </div></div> <div style="padding: 4px 0 6px 0; background: #fffceb; border-top: 1px solid #99D8FF;"><div class="fp2">© <a href="https://web.archive.org/web/20181119131744/http://n-t.ru/">МОО «Наука и техника»</a>, 1997...2018</div></div> <div style="padding: 4px 0 6px 0; background: #f0faff; border-top: 1px solid #99D8FF;"><div class="fp2"><a href="/web/20181119131744/http://n-t.ru/md.htm">Об организации</a> • <a href="/web/20181119131744/http://n-t.ru/ad.htm">Аудитория</a> • <a href="/web/20181119131744/http://n-t.ru/ki.htm">Связаться с нами</a> • <a href="/web/20181119131744/http://n-t.ru/rr.htm">Разместить рекламу</a> • <a href="/web/20181119131744/http://n-t.ru/pi.htm">Правовая информация</a> </div></div> </div> </body></html>