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</div> </a> <ul id="toc-Algoritmos_para_la_construcción_del_Diagrama_de_Voronói-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-Algoritmo_por_fuerza_bruta" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-3"> <a class="vector-toc-link" href="#Algoritmo_por_fuerza_bruta"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">1.3.1</span> <span>Algoritmo por fuerza bruta</span> </div> </a> <ul id="toc-Algoritmo_por_fuerza_bruta-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Algoritmo_divide_y_vencerás" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-3"> <a class="vector-toc-link" href="#Algoritmo_divide_y_vencerás"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">1.3.2</span> <span>Algoritmo divide y vencerás</span> </div> </a> <ul id="toc-Algoritmo_divide_y_vencerás-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Algoritmo_de_Fortune_(barrido_de_recta)" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-3"> <a class="vector-toc-link" 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class="vector-toc-list-item vector-toc-level-4"> <a class="vector-toc-link" href="#Estructuras_de_datos_y_algoritmo"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">1.3.3.3</span> <span>Estructuras de datos y algoritmo</span> </div> </a> <ul id="toc-Estructuras_de_datos_y_algoritmo-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Complejidad" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-4"> <a class="vector-toc-link" href="#Complejidad"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">1.3.3.4</span> <span>Complejidad</span> </div> </a> <ul id="toc-Complejidad-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-Generalización_a_'"`UNIQ--postMath-000000E7-QINU`"'" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Generalización_a_'"`UNIQ--postMath-000000E7-QINU`"'"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">2</span> <span>Generalización a '"`UNIQ--postMath-000000E7-QINU`"'</span> </div> </a> <ul id="toc-Generalización_a_'"`UNIQ--postMath-000000E7-QINU`"'-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Aplicaciones" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Aplicaciones"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">3</span> <span>Aplicaciones</span> </div> </a> <ul id="toc-Aplicaciones-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Véase_también" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Véase_también"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">4</span> <span>Véase también</span> </div> </a> <ul id="toc-Véase_también-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Enlaces_externos" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Enlaces_externos"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">5</span> <span>Enlaces externos</span> </div> </a> <ul id="toc-Enlaces_externos-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Referencias" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Referencias"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">6</span> <span>Referencias</span> </div> </a> <ul id="toc-Referencias-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </div> </div> </nav> </div> </div> <div class="mw-content-container"> <main id="content" class="mw-body"> <header class="mw-body-header vector-page-titlebar"> <nav aria-label="Contenidos" class="vector-toc-landmark"> <div id="vector-page-titlebar-toc" class="vector-dropdown vector-page-titlebar-toc vector-button-flush-left" title="Tabla de contenidos" > <input type="checkbox" id="vector-page-titlebar-toc-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" 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aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-p-lang-btn" class="vector-dropdown-checkbox mw-interlanguage-selector" aria-label="Ir a un artículo en otro idioma. Disponible en 30 idiomas" > <label id="p-lang-btn-label" for="p-lang-btn-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--action-progressive mw-portlet-lang-heading-30" aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-language-progressive mw-ui-icon-wikimedia-language-progressive"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">30 idiomas</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li class="interlanguage-link interwiki-ar mw-list-item"><a href="https://ar.wikipedia.org/wiki/%D9%85%D8%AE%D8%B7%D8%B7_%D9%81%D9%88%D8%B1%D9%88%D9%86%D9%88%D9%8A" title="مخطط فورونوي – árabe" lang="ar" hreflang="ar" data-title="مخطط فورونوي" data-language-autonym="العربية" data-language-local-name="árabe" class="interlanguage-link-target"><span>العربية</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bg mw-list-item"><a href="https://bg.wikipedia.org/wiki/%D0%94%D0%B8%D0%B0%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BC%D0%B0_%D0%BD%D0%B0_%D0%92%D0%BE%D1%80%D0%BE%D0%BD%D0%BE%D0%B9" title="Диаграма на Вороной – búlgaro" lang="bg" hreflang="bg" data-title="Диаграма на Вороной" data-language-autonym="Български" data-language-local-name="búlgaro" class="interlanguage-link-target"><span>Български</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ca mw-list-item"><a href="https://ca.wikipedia.org/wiki/Diagrama_de_Voronoi" title="Diagrama de Voronoi – catalán" lang="ca" hreflang="ca" data-title="Diagrama de Voronoi" data-language-autonym="Català" data-language-local-name="catalán" class="interlanguage-link-target"><span>Català</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-cs mw-list-item"><a href="https://cs.wikipedia.org/wiki/Voron%C3%A9ho_diagram" title="Voroného diagram – checo" lang="cs" hreflang="cs" data-title="Voroného diagram" data-language-autonym="Čeština" data-language-local-name="checo" 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class="interlanguage-link-target"><span>English</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-et mw-list-item"><a href="https://et.wikipedia.org/wiki/Voronoi_diagramm" title="Voronoi diagramm – estonio" lang="et" hreflang="et" data-title="Voronoi diagramm" data-language-autonym="Eesti" data-language-local-name="estonio" class="interlanguage-link-target"><span>Eesti</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-eu mw-list-item"><a href="https://eu.wikipedia.org/wiki/Voronoiren_diagrama" title="Voronoiren diagrama – euskera" lang="eu" hreflang="eu" data-title="Voronoiren diagrama" data-language-autonym="Euskara" data-language-local-name="euskera" class="interlanguage-link-target"><span>Euskara</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fa mw-list-item"><a href="https://fa.wikipedia.org/wiki/%D9%86%D9%85%D9%88%D8%AF%D8%A7%D8%B1_%D9%88%D8%B1%D9%86%D9%88%DB%8C" title="نمودار ورنوی – persa" lang="fa" hreflang="fa" data-title="نمودار ورنوی" 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title="דיאגרמת וורונוי – hebreo" lang="he" hreflang="he" data-title="דיאגרמת וורונוי" data-language-autonym="עברית" data-language-local-name="hebreo" class="interlanguage-link-target"><span>עברית</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hu mw-list-item"><a href="https://hu.wikipedia.org/wiki/Voronoj-cella" title="Voronoj-cella – húngaro" lang="hu" hreflang="hu" data-title="Voronoj-cella" data-language-autonym="Magyar" data-language-local-name="húngaro" class="interlanguage-link-target"><span>Magyar</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hy mw-list-item"><a href="https://hy.wikipedia.org/wiki/%D5%8E%D5%B8%D6%80%D5%B8%D5%B6%D5%B8%D5%B5%D5%AB_%D5%A4%D5%AB%D5%A1%D5%A3%D6%80%D5%A1%D5%B4" title="Վորոնոյի դիագրամ – armenio" lang="hy" hreflang="hy" data-title="Վորոնոյի դիագրամ" data-language-autonym="Հայերեն" data-language-local-name="armenio" class="interlanguage-link-target"><span>Հայերեն</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-it mw-list-item"><a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Diagramma_di_Voronoi" title="Diagramma di Voronoi – italiano" lang="it" hreflang="it" data-title="Diagramma di Voronoi" data-language-autonym="Italiano" data-language-local-name="italiano" class="interlanguage-link-target"><span>Italiano</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ja mw-list-item"><a href="https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%9C%E3%83%AD%E3%83%8E%E3%82%A4%E5%9B%B3" title="ボロノイ図 – japonés" lang="ja" hreflang="ja" data-title="ボロノイ図" data-language-autonym="日本語" data-language-local-name="japonés" class="interlanguage-link-target"><span>日本語</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ko mw-list-item"><a href="https://ko.wikipedia.org/wiki/%EB%B3%B4%EB%A1%9C%EB%85%B8%EC%9D%B4_%EB%8B%A4%EC%9D%B4%EC%96%B4%EA%B7%B8%EB%9E%A8" title="보로노이 다이어그램 – coreano" lang="ko" hreflang="ko" data-title="보로노이 다이어그램" data-language-autonym="한국어" data-language-local-name="coreano" 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data-language-local-name="portugués" class="interlanguage-link-target"><span>Português</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ru mw-list-item"><a href="https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%94%D0%B8%D0%B0%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BC%D0%BC%D0%B0_%D0%92%D0%BE%D1%80%D0%BE%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE" title="Диаграмма Вороного – ruso" lang="ru" hreflang="ru" data-title="Диаграмма Вороного" data-language-autonym="Русский" data-language-local-name="ruso" class="interlanguage-link-target"><span>Русский</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sl mw-list-item"><a href="https://sl.wikipedia.org/wiki/Voronojev_diagram" title="Voronojev diagram – esloveno" lang="sl" hreflang="sl" data-title="Voronojev diagram" data-language-autonym="Slovenščina" data-language-local-name="esloveno" class="interlanguage-link-target"><span>Slovenščina</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sr mw-list-item"><a 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title="Діаграма Вороного – ucraniano" lang="uk" hreflang="uk" data-title="Діаграма Вороного" data-language-autonym="Українська" data-language-local-name="ucraniano" class="interlanguage-link-target"><span>Українська</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ur mw-list-item"><a href="https://ur.wikipedia.org/wiki/%D9%88%D9%88%D8%B1%D9%88%D9%86%D8%A7%D8%A6%DB%92_%D8%B1%D8%B3%D9%85%DB%81" title="وورونائے رسمہ – urdu" lang="ur" hreflang="ur" data-title="وورونائے رسمہ" data-language-autonym="اردو" data-language-local-name="urdu" class="interlanguage-link-target"><span>اردو</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-vi mw-list-item"><a href="https://vi.wikipedia.org/wiki/S%C6%A1_%C4%91%E1%BB%93_Voronoi" title="Sơ đồ Voronoi – vietnamita" lang="vi" hreflang="vi" data-title="Sơ đồ Voronoi" data-language-autonym="Tiếng Việt" data-language-local-name="vietnamita" class="interlanguage-link-target"><span>Tiếng Việt</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zh 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Wikipedia, la enciclopedia libre</div> </div> <div id="contentSub"><div id="mw-content-subtitle"><span class="mw-redirectedfrom">(Redirigido desde «<a href="/w/index.php?title=Pol%C3%ADgonos_de_Voronoi&redirect=no" class="mw-redirect" title="Polígonos de Voronoi">Polígonos de Voronoi</a>»)</span></div></div> <div id="mw-content-text" class="mw-body-content"><div class="mw-content-ltr mw-parser-output" lang="es" dir="ltr"><div class="rellink noprint hatnote">«Voronoi» redirige aquí. Para el matemático creador de los Diagramas de Voronói, véase <a href="/wiki/Gueorgui_Voron%C3%B3i" title="Gueorgui Voronói">Gueorgui Voronói</a>. </div> <figure class="mw-default-size" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Archivo:Euclidean_Voronoi_diagram.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/54/Euclidean_Voronoi_diagram.svg/220px-Euclidean_Voronoi_diagram.svg.png" decoding="async" width="220" height="220" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/54/Euclidean_Voronoi_diagram.svg/330px-Euclidean_Voronoi_diagram.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/54/Euclidean_Voronoi_diagram.svg/440px-Euclidean_Voronoi_diagram.svg.png 2x" data-file-width="512" data-file-height="512" /></a><figcaption>20 puntos en el plano y su partición del plano en regiones de Voronoi.</figcaption></figure> <p>Los <b>polígonos de Thiessen</b>, nombrados en honor al <a href="/wiki/Meteorolog%C3%ADa" title="Meteorología">meteorólogo</a> estadounidense <a href="/wiki/Alfred_H._Thiessen" title="Alfred H. Thiessen">Alfred H. Thiessen</a>, son una construcción geométrica que permite construir una <a href="/wiki/Partici%C3%B3n_de_un_conjunto" title="Partición de un conjunto">partición</a> del plano euclídeo. Estos objetos también fueron estudiados por el matemático ucraniano <a href="/wiki/Gueorgui_Voron%C3%B3i" title="Gueorgui Voronói">Gueorgui Voronói</a> en 1907, de donde toman el nombre alternativo de <b>Diagramas de Voronoi</b> o <b>Teselación de Voronoi</b>, y por el matemático alemán <a href="/wiki/Gustav_Lejeune_Dirichlet" class="mw-redirect" title="Gustav Lejeune Dirichlet">Gustav Lejeune Dirichlet</a> en 1850, de donde toman el nombre de <b><a href="/wiki/Tesela" title="Tesela">Teselación</a> de Dirichlet</b>. </p><p>Los Diagramas de Voronoi son uno de los métodos de <a href="/wiki/Interpolaci%C3%B3n" title="Interpolación">interpolación</a> más simples, basados en la <a href="/wiki/Distancia_euclidiana" title="Distancia euclidiana">distancia euclidiana</a>, especialmente apropiada cuando los datos son <a href="/wiki/Cualitativo" class="mw-redirect" title="Cualitativo">cualitativos</a>. Se crean al unir los puntos entre sí, trazando las <a href="/wiki/Mediatriz" title="Mediatriz">mediatrices</a> de los <a href="/wiki/Segmento" title="Segmento">segmento</a> de unión. Las intersecciones de estas mediatrices determinan una serie de <a href="/wiki/Pol%C3%ADgono" title="Polígono">polígonos</a> en un espacio <a href="/wiki/Bidimensional" title="Bidimensional">bidimensional</a> alrededor de un conjunto de puntos de control, de manera que el <a href="/wiki/Per%C3%ADmetro" title="Perímetro">perímetro</a> de los polígonos generados sea <a href="/wiki/Equidistante" title="Equidistante">equidistante</a> a los puntos vecinos y designan su área de influencia. </p> <meta property="mw:PageProp/toc" /> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Diagramas_de_Voronói_en_el_plano_euclidiano_'"`UNIQ--postMath-00000001-QINU`"'"><span id="Diagramas_de_Voron.C3.B3i_en_el_plano_euclidiano_.7F.27.22.60UNIQ--postMath-00000001-QINU.60.22.27.7F"></span>Diagramas de Voronói en el plano euclidiano <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e150115ab9f63023215109595b76686a1ff890fd" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.732ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}" /></span></h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Pol%C3%ADgonos_de_Thiessen&action=edit&section=1" title="Editar sección: Diagramas de Voronói en el plano euclidiano '"`UNIQ--postMath-00000001-QINU`"'"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>La forma más fácil e intuitiva de visualizar a los diagramas de Voronói es a través de su representación en el <a href="/wiki/Plano_eucl%C3%ADdeo" class="mw-redirect" title="Plano euclídeo">plano euclídeo</a>. En la literatura clásica se supone el hecho de contar con un conjunto de establecimientos que se desean colocar sobre una cierta región geográfica de tal manera que las ubicaciones sean lo más rentables posible. Por tanto, se debe hallar una configuración que permita que el número de clientes atraídos sea el más factible. La suposición lógica indica que los clientes irían al establecimiento más cercano a su domicilio y no a aquellos que sean muy lejanos. Con base en esto, los diagramas de Voronói otorgan la configuración deseada por los establecimientos. El diagrama de Voronói induce una subdivisión del plano euclidiano (la región geográfica) en función de un conjunto de sitios (los establecimientos), donde a cada sitio se le asocia una y solamente una subdivisión. Además, cada subdivisión engloba todos los puntos más cercanos al sitio asociado a los sitios restantes, a esto se lo denomina un <i>modelo de asignamiento de Voronói</i>.<sup id="cite_ref-deBerg_1-0" class="reference separada"><a href="#cite_note-deBerg-1"><span class="corchete-llamada">[</span>1<span class="corchete-llamada">]</span></a></sup> </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Definición_formal"><span id="Definici.C3.B3n_formal"></span>Definición formal</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Pol%C3%ADgonos_de_Thiessen&action=edit&section=2" title="Editar sección: Definición formal"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <figure typeof="mw:File/Frame"><a href="/wiki/Archivo:Voronoi_diagram.png" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/b/be/Voronoi_diagram.png" decoding="async" width="309" height="267" class="mw-file-element" data-file-width="309" data-file-height="267" /></a><figcaption>Los cuatro sitios más externos tiene asociados regiones de Voronói abiertas caracterizadas por las semi-aristas.</figcaption></figure> <p>En primera instancia, denotemos a la <a href="/wiki/Distancia_euclidiana" title="Distancia euclidiana">distancia euclidiana</a> entre dos puntos <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>p</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81eac1e205430d1f40810df36a0edffdc367af36" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:1.259ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle p}" /></span> y <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle q}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>q</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle q}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06809d64fa7c817ffc7e323f85997f783dbdf71d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.07ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle q}" /></span> por <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \|p-q\|}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo fence="false" stretchy="false">‖</mo> <mi>p</mi> <mo>−</mo> <mi>q</mi> <mo fence="false" stretchy="false">‖</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \|p-q\|}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9254c9b4ddd76d600f187c85e2d80644d46ef758" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.404ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \|p-q\|}" /></span>. En el plano entonces se tiene: </p><p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \|p-q\|={\sqrt {(p_{x}-q_{x})^{2}+(p_{y}-q_{y})^{2}}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo fence="false" stretchy="false">‖</mo> <mi>p</mi> <mo>−</mo> <mi>q</mi> <mo fence="false" stretchy="false">‖</mo> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>p</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <mo>−</mo> <msub> <mi>q</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>p</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>y</mi> </mrow> </msub> <mo>−</mo> <msub> <mi>q</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>y</mi> </mrow> </msub> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </msqrt> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \|p-q\|={\sqrt {(p_{x}-q_{x})^{2}+(p_{y}-q_{y})^{2}}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/001714fd596766d34fd02b1d815e919de0fa4403" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.671ex; width:35.931ex; height:4.843ex;" alt="{\displaystyle \|p-q\|={\sqrt {(p_{x}-q_{x})^{2}+(p_{y}-q_{y})^{2}}}}" /></span> </p> <figure class="mw-default-size" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Archivo:Voronoi_cell.png" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/aa/Voronoi_cell.png/220px-Voronoi_cell.png" decoding="async" width="220" height="243" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/a/aa/Voronoi_cell.png 1.5x" data-file-width="300" data-file-height="332" /></a><figcaption>Construcción de la región de Voronói de un sitio debido a la intersección de semi-planos.</figcaption></figure> <p>Sea <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P={p_{1},p_{2},\dots ,p_{n}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>P</mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msub> <mi>p</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>p</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mo>…</mo> <mo>,</mo> <msub> <mi>p</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P={p_{1},p_{2},\dots ,p_{n}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e9eb221f217e40c5caab75a452962417db26e00" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:17.891ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle P={p_{1},p_{2},\dots ,p_{n}}}" /></span> el conjunto de <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}" /></span> puntos distintos en el plano que son denominados como sitios. Se define el diagrama de Voronói de <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>P</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4dc73bf40314945ff376bd363916a738548d40a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.745ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle P}" /></span> como la subdivisión del plano en <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}" /></span> regiones, una para cada <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p_{i}\in P}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>p</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>∈</mo> <mi>P</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p_{i}\in P}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a9347c90277f2653733602c2f20f3bcd2c87494" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:6.645ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle p_{i}\in P}" /></span>, cumpliendo la propiedad de proximidad en la que un punto <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle q}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>q</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle q}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06809d64fa7c817ffc7e323f85997f783dbdf71d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.07ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle q}" /></span> pertenece a la región de un sitio <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p_{i}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>p</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p_{i}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5bab39399bf5424f25d957cdc57c84a0622626d2" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:2.059ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle p_{i}}" /></span> si y sólo si <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \|q-p_{i}\|<\|q-p_{j}\|}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo fence="false" stretchy="false">‖</mo> <mi>q</mi> <mo>−</mo> <msub> <mi>p</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo fence="false" stretchy="false">‖</mo> <mo><</mo> <mo fence="false" stretchy="false">‖</mo> <mi>q</mi> <mo>−</mo> <msub> <mi>p</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mo fence="false" stretchy="false">‖</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \|q-p_{i}\|<\|q-p_{j}\|}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2315d2295d3ac06b001431de85462e4fb8b7bdc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:19.616ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle \|q-p_{i}\|<\|q-p_{j}\|}" /></span> para cada <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p_{j}\in P,j\neq i}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>p</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mo>∈</mo> <mi>P</mi> <mo>,</mo> <mi>j</mi> <mo>≠</mo> <mi>i</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p_{j}\in P,j\neq i}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/252dabd284d3c80c48e975196fb136b75e4ea7a3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; margin-left: -0.089ex; width:12.648ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle p_{j}\in P,j\neq i}" /></span>. Se denotará al diagrama de Voronói de <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>P</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4dc73bf40314945ff376bd363916a738548d40a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.745ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle P}" /></span> mediante <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Vor(P)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>V</mi> <mi>o</mi> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>P</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Vor(P)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/acc41991f236a9aa9bd1693ca0b6cd41bb27024b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.518ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle Vor(P)}" /></span>. Cada región que corresponde a un sitio <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p_{i}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>p</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p_{i}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5bab39399bf5424f25d957cdc57c84a0622626d2" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:2.059ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle p_{i}}" /></span> se denotará como <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathcal {V}}(p_{i})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">V</mi> </mrow> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>p</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {V}}(p_{i})}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b934f0b68551f739dfa600c4aec191ed2d89f44b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.308ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {V}}(p_{i})}" /></span> y será llamada <i>región de Voronói de <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p_{i}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>p</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p_{i}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5bab39399bf5424f25d957cdc57c84a0622626d2" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:2.059ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle p_{i}}" /></span></i>. </p><p>La región de Voronói para un sitio <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p_{i}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>p</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p_{i}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5bab39399bf5424f25d957cdc57c84a0622626d2" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:2.059ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle p_{i}}" /></span> está construida a partir de las intersecciones de los semiplanos formados al trazar los <a href="/wiki/Bisectriz" title="Bisectriz">bisectores</a> de <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p_{i}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>p</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p_{i}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5bab39399bf5424f25d957cdc57c84a0622626d2" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:2.059ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle p_{i}}" /></span> hacia los sitios <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p_{j},j\neq i}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>p</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mi>j</mi> <mo>≠</mo> <mi>i</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p_{j},j\neq i}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d497bacf4f14ae538da618e6ff2acc0a9703a03" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; margin-left: -0.089ex; width:8.061ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle p_{j},j\neq i}" /></span>. Tomando el caso donde únicamente hay dos sitios <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>p</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81eac1e205430d1f40810df36a0edffdc367af36" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:1.259ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle p}" /></span> y <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle q}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>q</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle q}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06809d64fa7c817ffc7e323f85997f783dbdf71d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.07ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle q}" /></span>, se traza el segmento de recta <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\overline {pq}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mrow> <mi>p</mi> <mi>q</mi> </mrow> <mo accent="false">¯</mo> </mover> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\overline {pq}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fbf56516d13c686d0d4e00d2f4a34973bb499405" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.032ex; width:2.407ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle {\overline {pq}}}" /></span> y posteriormente se traza el bisector de <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\overline {pq}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mrow> <mi>p</mi> <mi>q</mi> </mrow> <mo accent="false">¯</mo> </mover> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\overline {pq}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fbf56516d13c686d0d4e00d2f4a34973bb499405" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.032ex; width:2.407ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle {\overline {pq}}}" /></span>. Este bisector parte el plano en dos semiplanos, donde el semiplano que contiene a <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>p</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81eac1e205430d1f40810df36a0edffdc367af36" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:1.259ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle p}" /></span> (representado como <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle h(p,q)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>h</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>p</mi> <mo>,</mo> <mi>q</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle h(p,q)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5d8d5041cf2796a0549d9a8e12c986f10fa3eca" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.421ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle h(p,q)}" /></span>) representa el <a href="/wiki/Lugar_geom%C3%A9trico" title="Lugar geométrico">lugar geométrico</a> de todos los puntos más cercanos a <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>p</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81eac1e205430d1f40810df36a0edffdc367af36" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:1.259ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle p}" /></span> que a <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle q}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>q</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle q}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06809d64fa7c817ffc7e323f85997f783dbdf71d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.07ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle q}" /></span>; y el semiplano que contiene a <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle q}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>q</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle q}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06809d64fa7c817ffc7e323f85997f783dbdf71d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.07ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle q}" /></span> (<span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle h(q,p)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>h</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>q</mi> <mo>,</mo> <mi>p</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle h(q,p)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3bac269fb28c5ff6175ce735232f76dc5de33ecf" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.421ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle h(q,p)}" /></span>) alberga a todos los puntos más próximos a <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle q}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>q</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle q}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06809d64fa7c817ffc7e323f85997f783dbdf71d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.07ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle q}" /></span> que a <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>p</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81eac1e205430d1f40810df36a0edffdc367af36" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:1.259ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle p}" /></span>. De acuerdo con esto, entonces se puede establecer de forma general cómo se define la región de Voronói para un sitio <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p_{i}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>p</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p_{i}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5bab39399bf5424f25d957cdc57c84a0622626d2" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:2.059ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle p_{i}}" /></span>. </p><p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathcal {V}}(p_{i})=\bigcap _{j=1,j\neq i}^{n}h(p_{i},p_{j})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">V</mi> </mrow> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>p</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <munderover> <mo>⋂</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mi>j</mi> <mo>≠</mo> <mi>i</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </munderover> <mi>h</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>p</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>p</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {V}}(p_{i})=\bigcap _{j=1,j\neq i}^{n}h(p_{i},p_{j})}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/084b1ef5dfda594bb1d62603f418b2a96bf2f05d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.505ex; width:22.783ex; height:7.343ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {V}}(p_{i})=\bigcap _{j=1,j\neq i}^{n}h(p_{i},p_{j})}" /></span> </p><p><br /> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathcal {V}}(p_{i})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">V</mi> </mrow> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>p</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {V}}(p_{i})}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b934f0b68551f739dfa600c4aec191ed2d89f44b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.308ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {V}}(p_{i})}" /></span> está compuesta por la intersección de <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n-1}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n-1}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fbd0b0f32b28f51962943ee9ede4fb34198a2521" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:5.398ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle n-1}" /></span> semiplanos que conforman una región <a href="/wiki/Pol%C3%ADgono_convexo" title="Polígono convexo">poligonal convexa</a> que puede ser abierta o cerrada. La región está acotada por un máximo de <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n-1}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n-1}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fbd0b0f32b28f51962943ee9ede4fb34198a2521" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:5.398ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle n-1}" /></span> vértices y un máximo de <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n-1}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n-1}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fbd0b0f32b28f51962943ee9ede4fb34198a2521" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:5.398ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle n-1}" /></span> aristas. Se tienen estas cantidades de vértices y aristas debido a que los sitios más lejanos suelen tener asociados regiones de Voronói no acotadas conformadas por aristas y semi-aristas (aristas que tienen un vértice de inicio pero no uno final). </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Propiedades">Propiedades</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Pol%C3%ADgonos_de_Thiessen&action=edit&section=3" title="Editar sección: Propiedades"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>A continuación se enunciarán un conjunto de propiedades<sup id="cite_ref-deBerg_1-1" class="reference separada"><a href="#cite_note-deBerg-1"><span class="corchete-llamada">[</span>1<span class="corchete-llamada">]</span></a></sup><sup id="cite_ref-Preparata_2-0" class="reference separada"><a href="#cite_note-Preparata-2"><span class="corchete-llamada">[</span>2<span class="corchete-llamada">]</span></a></sup> del Diagrama de Voronói donde se asume que no puede haber cuatro puntos del conjunto original <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>P</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4dc73bf40314945ff376bd363916a738548d40a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.745ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle P}" /></span> en posición cocircular. En caso de que esta situación no sea contemplada, entonces se deben considerar una gran cantidad de detalles que deben ser agregados a las diferentes propiedades. </p> <ul><li><b>Teorema 1</b>. Sea <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>P</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4dc73bf40314945ff376bd363916a738548d40a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.745ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle P}" /></span> un conjunto de <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}" /></span> sitios en el plano. Si todos los sitios son colineales, entonces <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Vor(P)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>V</mi> <mi>o</mi> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>P</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Vor(P)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/acc41991f236a9aa9bd1693ca0b6cd41bb27024b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.518ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle Vor(P)}" /></span> consiste de <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n-1}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n-1}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fbd0b0f32b28f51962943ee9ede4fb34198a2521" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:5.398ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle n-1}" /></span> líneas paralelas. De otra forma, <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Vor(p)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>V</mi> <mi>o</mi> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>p</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Vor(p)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/76403e72af0ff8c4b03992f03824f86114f40d8c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.942ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle Vor(p)}" /></span> es conexo y sus aristas podrían ser segmentos o semi-líneas.</li> <li><b>Teorema 2</b>. Para <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n\geq 3}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> <mo>≥</mo> <mn>3</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n\geq 3}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/73136e4a27fe39c123d16a7808e76d3162ce42bb" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:5.656ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle n\geq 3}" /></span>, el número de vértices en el diagrama de Voronói de un conjunto de <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}" /></span>sitios en el plano es a lo más <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 2n-5}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>2</mn> <mi>n</mi> <mo>−</mo> <mn>5</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 2n-5}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e95531381da64f4e1b92403211eddb7283833d4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:6.56ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle 2n-5}" /></span> y el número de aristas es a lo más <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 3n-6}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>3</mn> <mi>n</mi> <mo>−</mo> <mn>6</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 3n-6}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf8cba2b1fe85d6671fb8853a0aea594f6d0dfab" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:6.56ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle 3n-6}" /></span>.</li></ul> <p>La siguiente propiedad ayuda a caracterizar los vértices y aristas que componen el diagrama de Voronói. Sin embargo, es necesario definir qué significa el círculo vacío más grande de <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle q}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>q</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle q}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06809d64fa7c817ffc7e323f85997f783dbdf71d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.07ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle q}" /></span>, denotado como <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle C_{P}(q)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>C</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>P</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>q</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle C_{P}(q)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c7d13505ce45b9a07a47600cf3731210cbb396df" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.007ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle C_{P}(q)}" /></span>. Para un punto <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle q}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>q</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle q}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06809d64fa7c817ffc7e323f85997f783dbdf71d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.07ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle q}" /></span>, <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle C_{P}(q)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>C</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>P</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>q</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle C_{P}(q)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c7d13505ce45b9a07a47600cf3731210cbb396df" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.007ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle C_{P}(q)}" /></span> se define como el círculo más grande que tiene a <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle q}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>q</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle q}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06809d64fa7c817ffc7e323f85997f783dbdf71d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.07ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle q}" /></span> como su centro y no contiene ningún otro sitio de <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>P</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4dc73bf40314945ff376bd363916a738548d40a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.745ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle P}" /></span> en su interior. </p> <ul><li><b>Teorema 3</b>. Para un diagrama de Voronói <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Vor(P)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>V</mi> <mi>o</mi> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>P</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Vor(P)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/acc41991f236a9aa9bd1693ca0b6cd41bb27024b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.518ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle Vor(P)}" /></span> de un conjunto de sitios <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>P</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4dc73bf40314945ff376bd363916a738548d40a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.745ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle P}" /></span> lo siguiente se cumple: <ul><li>Un punto <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle q}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>q</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle q}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06809d64fa7c817ffc7e323f85997f783dbdf71d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.07ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle q}" /></span> es un vértice de <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Vor(P)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>V</mi> <mi>o</mi> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>P</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Vor(P)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/acc41991f236a9aa9bd1693ca0b6cd41bb27024b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.518ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle Vor(P)}" /></span> si y solo si su más grande círculo vacío <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle C_{p}(q)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>C</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>p</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>q</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle C_{p}(q)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d45e025d564fd5700776bc3671803ee8e240f56" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:5.6ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle C_{p}(q)}" /></span> contiene tres o más sitios en su contorno.</li> <li>El bisector entre los sitios <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p_{i}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>p</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p_{i}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5bab39399bf5424f25d957cdc57c84a0622626d2" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:2.059ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle p_{i}}" /></span> y <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p_{j}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>p</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p_{j}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/499e0821b28c43e9bc2a6360b937de535057bc62" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; margin-left: -0.089ex; width:2.169ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle p_{j}}" /></span> define una arista de <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Vor(P)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>V</mi> <mi>o</mi> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>P</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Vor(P)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/acc41991f236a9aa9bd1693ca0b6cd41bb27024b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.518ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle Vor(P)}" /></span> si y solo si hay un punto <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle q}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>q</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle q}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06809d64fa7c817ffc7e323f85997f783dbdf71d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.07ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle q}" /></span> sobre el bisector tal que <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle C_{p}(q)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>C</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>p</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>q</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle C_{p}(q)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d45e025d564fd5700776bc3671803ee8e240f56" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:5.6ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle C_{p}(q)}" /></span> contiene tanto a <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p_{i}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>p</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p_{i}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5bab39399bf5424f25d957cdc57c84a0622626d2" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:2.059ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle p_{i}}" /></span> y a <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p_{j}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>p</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p_{j}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/499e0821b28c43e9bc2a6360b937de535057bc62" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; margin-left: -0.089ex; width:2.169ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle p_{j}}" /></span> en su contorno pero no otro sitio.</li></ul></li> <li><b>Teorema 4</b>. Cada vecino más cercano del sitio <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p_{i}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>p</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p_{i}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5bab39399bf5424f25d957cdc57c84a0622626d2" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:2.059ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle p_{i}}" /></span> en <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>P</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4dc73bf40314945ff376bd363916a738548d40a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.745ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle P}" /></span> define una arista de <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathcal {V}}(p_{i})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">V</mi> </mrow> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>p</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {V}}(p_{i})}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b934f0b68551f739dfa600c4aec191ed2d89f44b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.308ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {V}}(p_{i})}" /></span>.</li> <li><b>Teorema 5</b>. La región de Voronói <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathcal {V}}(p_{i})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">V</mi> </mrow> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>p</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {V}}(p_{i})}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b934f0b68551f739dfa600c4aec191ed2d89f44b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.308ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {V}}(p_{i})}" /></span> es abierta si y solo si <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p_{i}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>p</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p_{i}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5bab39399bf5424f25d957cdc57c84a0622626d2" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:2.059ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle p_{i}}" /></span> es un punto en la <a href="/wiki/Envolvente_convexa" title="Envolvente convexa">envolvente convexa</a> del conjunto <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>P</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4dc73bf40314945ff376bd363916a738548d40a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.745ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle P}" /></span>.</li> <li><b>Teorema 6</b>. La gráfica dual del diagrama de Voronói define la <a href="/wiki/Triangulaci%C3%B3n_de_Delaunay" title="Triangulación de Delaunay">triangulación de Delaunay</a>.</li></ul> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Algoritmos_para_la_construcción_del_Diagrama_de_Voronói"><span id="Algoritmos_para_la_construcci.C3.B3n_del_Diagrama_de_Voron.C3.B3i"></span>Algoritmos para la construcción del Diagrama de Voronói</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Pol%C3%ADgonos_de_Thiessen&action=edit&section=4" title="Editar sección: Algoritmos para la construcción del Diagrama de Voronói"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Algoritmo_por_fuerza_bruta">Algoritmo por fuerza bruta</h4><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Pol%C3%ADgonos_de_Thiessen&action=edit&section=5" title="Editar sección: Algoritmo por fuerza bruta"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Una primera aproximación para la construcción del diagrama de Voronói consiste en explotar la geometría de cada región de Voronói. Por cada sitio <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p_{i}\in P}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>p</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>∈</mo> <mi>P</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p_{i}\in P}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a9347c90277f2653733602c2f20f3bcd2c87494" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:6.645ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle p_{i}\in P}" /></span> se construirá su región de Voronói mediante el cálculo explícito de los <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n-1}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n-1}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fbd0b0f32b28f51962943ee9ede4fb34198a2521" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:5.398ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle n-1}" /></span> semiplanos originados debido a los bisectores trazados con respecto a los demás sitios. Posteriormente, se computará la intersección de estos <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n-1}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n-1}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fbd0b0f32b28f51962943ee9ede4fb34198a2521" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:5.398ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle n-1}" /></span> semiplanos para, finalmente, dar origen a <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathcal {V}}(p_{i})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">V</mi> </mrow> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>p</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {V}}(p_{i})}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b934f0b68551f739dfa600c4aec191ed2d89f44b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.308ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {V}}(p_{i})}" /></span>. </p><p>Este algoritmo tiene muchas desventajas de entre las cuales se tienen las que a continuación se describen. En primera instancia, el cálculo explícito de los semi-planos y su intersección puede provocar problemas de precisión en la computadora generado, evidentemente, una versión incorrecta de <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Vor(P)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>V</mi> <mi>o</mi> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>P</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Vor(P)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/acc41991f236a9aa9bd1693ca0b6cd41bb27024b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.518ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle Vor(P)}" /></span>. El segundo inconveniente involucra que no se produce información inmediata y que se pueda aprovechar acerca del vecindario de cada sitio. Finalmente, dado que se trata del algoritmo de un algoritmo ineficiente, no resulta extraño descubrir que su complejidad computacional sea alta. El algoritmo está en el orden de <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle O(n^{2}\log {n})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>O</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msup> <mi>n</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mi>log</mi> <mo>⁡</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle O(n^{2}\log {n})}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f68711304358e025537124f222f6558f01f7e7a1" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:11.172ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle O(n^{2}\log {n})}" /></span> </p> <div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Algoritmo_divide_y_vencerás"><span id="Algoritmo_divide_y_vencer.C3.A1s"></span>Algoritmo divide y vencerás</h4><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Pol%C3%ADgonos_de_Thiessen&action=edit&section=6" title="Editar sección: Algoritmo divide y vencerás"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Este algoritmo está fundamentado sobre el paradigma de diseño de algoritmos <a href="/wiki/Divide_y_conquista_(algoritmo)" class="mw-redirect" title="Divide y conquista (algoritmo)">divide y vencerás</a>. Dado el problema de construir el diagrama de Voronói para el conjunto <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>P</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4dc73bf40314945ff376bd363916a738548d40a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.745ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle P}" /></span> de sitios, ahora se dividirá a este último en dos subconjuntos <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P_{1}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>P</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P_{1}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/398f438d75434e6fbf48dc232c1ad7228a738568" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.547ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle P_{1}}" /></span> y <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P_{2}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>P</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P_{2}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87858df7457aa93caaef5a316db87a7240cc8c29" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.547ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle P_{2}}" /></span>, con aproximadamente el mismo tamaño, de los que se debe encontrar su diagrama de Voronoi independientemente. Finalmente, <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Vor(P_{1})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>V</mi> <mi>o</mi> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>P</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Vor(P_{1})}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b9a52fc3114965b2dbed01917ed145647b67c66e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.319ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle Vor(P_{1})}" /></span> y <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Vor(P_{2})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>V</mi> <mi>o</mi> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>P</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Vor(P_{2})}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0b67c5abd884d9b79564956239449b6fc006121" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.319ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle Vor(P_{2})}" /></span> deben ser unidos para poder obtener <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Vor(P)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>V</mi> <mi>o</mi> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>P</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Vor(P)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/acc41991f236a9aa9bd1693ca0b6cd41bb27024b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.518ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle Vor(P)}" /></span>. Sin embargo, ¿qué razón existe para que se crea que <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Vor(P_{1})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>V</mi> <mi>o</mi> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>P</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Vor(P_{1})}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b9a52fc3114965b2dbed01917ed145647b67c66e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.319ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle Vor(P_{1})}" /></span> y <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Vor(P_{2})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>V</mi> <mi>o</mi> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>P</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Vor(P_{2})}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0b67c5abd884d9b79564956239449b6fc006121" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.319ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle Vor(P_{2})}" /></span> tengan alguna relación con <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Vor(P)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>V</mi> <mi>o</mi> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>P</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Vor(P)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/acc41991f236a9aa9bd1693ca0b6cd41bb27024b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.518ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle Vor(P)}" /></span>? </p><p>Para que se pueda contestar la última pregunta, es necesario definir construcciones geométricas que serán de vital importancia. </p><p><b>Definición 1</b>. Dado una petición <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {P_{1}P_{2}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msub> <mi>P</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>P</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {P_{1}P_{2}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b568aa29d2cec3885c4a94878992bfd7dc38d1c2" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:5.093ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle {P_{1}P_{2}}}" /></span> de <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>P</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4dc73bf40314945ff376bd363916a738548d40a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.745ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle P}" /></span>, sea <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \sigma (P_{1},P_{2})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>σ</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>P</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>P</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sigma (P_{1},P_{2})}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e1964f4106f403adb2a39f68ffe526002849f06" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.266ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \sigma (P_{1},P_{2})}" /></span> el conjunto de aristas de Voronoi que son compartidas por pares de regiones de Voronoi <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathcal {V}}(p_{i}\in P_{1})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">V</mi> </mrow> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>p</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>∈</mo> <msub> <mi>P</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {V}}(p_{i}\in P_{1})}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/28f112d837e61cf896cbcba06b6c9efb4e90d3f4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:10.695ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {V}}(p_{i}\in P_{1})}" /></span> y <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathcal {V}}(p_{j}\in P_{2})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">V</mi> </mrow> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>p</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mo>∈</mo> <msub> <mi>P</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {V}}(p_{j}\in P_{2})}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd09f7192b8a9c49b125827250d2b45693405f45" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:10.805ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {V}}(p_{j}\in P_{2})}" /></span>. </p><p>La colección de aristas <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \sigma (P_{1},P_{2})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>σ</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>P</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>P</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sigma (P_{1},P_{2})}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e1964f4106f403adb2a39f68ffe526002849f06" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.266ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \sigma (P_{1},P_{2})}" /></span> tiene las siguientes propiedades. </p><p><b>Teorema 7</b> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \sigma (P_{1},P_{2})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>σ</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>P</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>P</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sigma (P_{1},P_{2})}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e1964f4106f403adb2a39f68ffe526002849f06" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.266ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \sigma (P_{1},P_{2})}" /></span>es el conjunto de aristas de una subgráfica de <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Vor(P)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>V</mi> <mi>o</mi> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>P</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Vor(P)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/acc41991f236a9aa9bd1693ca0b6cd41bb27024b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.518ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle Vor(P)}" /></span> con las siguientes propiedades: </p> <dl><dd><ul><li><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \sigma (P_{1},P_{2})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>σ</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>P</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>P</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sigma (P_{1},P_{2})}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e1964f4106f403adb2a39f68ffe526002849f06" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.266ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \sigma (P_{1},P_{2})}" /></span> consta de ciclos y cadenas de aristas disjuntas. Si una cadena tiene una sola arista, ésta es una línea recta; de otra forma sus dos aristas extremas son rayos seminfinitos.</li> <li>Si <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P_{1}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>P</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P_{1}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/398f438d75434e6fbf48dc232c1ad7228a738568" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.547ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle P_{1}}" /></span> y <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P_{2}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>P</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P_{2}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87858df7457aa93caaef5a316db87a7240cc8c29" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.547ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle P_{2}}" /></span> son linealmente separados (si más de un punto pertenece a la línea de separación, todos estos puntos son asignados a un mismo conjunto de la partición), entonces <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \sigma (P_{1},P_{2})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>σ</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>P</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>P</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sigma (P_{1},P_{2})}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e1964f4106f403adb2a39f68ffe526002849f06" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.266ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \sigma (P_{1},P_{2})}" /></span> consiste de una sola cadena monotónica.</li></ul></dd></dl> <p>Con el fin de separar a <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>P</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4dc73bf40314945ff376bd363916a738548d40a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.745ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle P}" /></span> en dos subconjuntos se le deberá ordenar con respecto a las <a href="/wiki/Coordenadas_cartesianas" title="Coordenadas cartesianas">abcisas</a> y tomar la recta <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle m}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>m</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle m}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a07d98bb302f3856cbabc47b2b9016692e3f7bc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.04ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle m}" /></span> que pase por la mediana, de tal suerte que se tengan dos subconjuntos de aproximadamente el mismo tamaño. Adicionalmente, dada esta elección de recta de separación, se puede decir que <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \sigma }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>σ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sigma }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59f59b7c3e6fdb1d0365a494b81fb9a696138c36" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \sigma }" /></span> parte al plano en una porción izquierda <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \pi _{L}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>π</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>L</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \pi _{L}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5dd1f79cffaaf9b096f92a9e47ceb773b8c172d6" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.677ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle \pi _{L}}" /></span> y una porción derecha <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \pi _{R}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>π</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>R</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \pi _{R}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9c0fd69dc3d5e1165a26687d33984cba64a916c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.805ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle \pi _{R}}" /></span>. Con base en esto, se tiene la siguiente propiedad: </p><p><b>Teorema 8</b>. Si <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P_{1}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>P</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P_{1}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/398f438d75434e6fbf48dc232c1ad7228a738568" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.547ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle P_{1}}" /></span> y <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P_{2}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>P</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P_{2}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87858df7457aa93caaef5a316db87a7240cc8c29" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.547ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle P_{2}}" /></span> son linealmente separados por una línea vertical con <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P_{1}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>P</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P_{1}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/398f438d75434e6fbf48dc232c1ad7228a738568" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.547ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle P_{1}}" /></span> a la izquierda y <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P_{2}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>P</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P_{2}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87858df7457aa93caaef5a316db87a7240cc8c29" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.547ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle P_{2}}" /></span> a la derecha, entonces el diagrama de Voronoi <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Vor(P)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>V</mi> <mi>o</mi> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>P</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Vor(P)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/acc41991f236a9aa9bd1693ca0b6cd41bb27024b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.518ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle Vor(P)}" /></span> es la unión de <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Vor(P_{1})\cap \pi _{L}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>V</mi> <mi>o</mi> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>P</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>∩</mo> <msub> <mi>π</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>L</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Vor(P_{1})\cap \pi _{L}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d97d6171cb1a0bdb4f07dda8b08735994d34b02a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:13.578ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle Vor(P_{1})\cap \pi _{L}}" /></span> y <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Vor(P_{2})\cap \pi _{R}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>V</mi> <mi>o</mi> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>P</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>∩</mo> <msub> <mi>π</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>R</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Vor(P_{2})\cap \pi _{R}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5bf1ccc9ba37c88de92fa52cf2bc5455c3ea2c22" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:13.707ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle Vor(P_{2})\cap \pi _{R}}" /></span>. </p><p>A partir del último teorema es que se puede responder la pregunta inicial acerca de cómo se vinculan dos diagramas de Voronoi de dos particiones para generar el diagrama de Voronoi de todo el conjunto de sitios. El siguiente algoritmo<sup id="cite_ref-Preparata_2-1" class="reference separada"><a href="#cite_note-Preparata-2"><span class="corchete-llamada">[</span>2<span class="corchete-llamada">]</span></a></sup> establece la forma de calcular el diagrama de Voronoi mediante la técnica divide y vencerás. </p> <dl><dd><dl><dd><b>Procedimiento</b> DIAGRAMA DE VORONOI</dd></dl></dd></dl> <p><i>Paso 1</i>. Partir a <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>P</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4dc73bf40314945ff376bd363916a738548d40a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.745ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle P}" /></span> en dos subconjunto <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P_{1}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>P</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P_{1}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/398f438d75434e6fbf48dc232c1ad7228a738568" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.547ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle P_{1}}" /></span> y <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P_{2}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>P</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P_{2}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87858df7457aa93caaef5a316db87a7240cc8c29" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.547ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle P_{2}}" /></span>, de aproximadamente el mismo tamaño, mediante la mediana en las coordenadas x. </p><p><i>Paso 2</i>. Construir <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Vor(P_{1})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>V</mi> <mi>o</mi> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>P</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Vor(P_{1})}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b9a52fc3114965b2dbed01917ed145647b67c66e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.319ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle Vor(P_{1})}" /></span> y <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Vor(P_{2})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>V</mi> <mi>o</mi> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>P</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Vor(P_{2})}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0b67c5abd884d9b79564956239449b6fc006121" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.319ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle Vor(P_{2})}" /></span> recursivamente. </p><p><i>Paso 3</i>. Construir la cadena polígona <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \sigma }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>σ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sigma }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59f59b7c3e6fdb1d0365a494b81fb9a696138c36" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \sigma }" /></span>, separando a <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P_{1}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>P</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P_{1}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/398f438d75434e6fbf48dc232c1ad7228a738568" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.547ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle P_{1}}" /></span> y <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P_{2}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>P</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P_{2}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87858df7457aa93caaef5a316db87a7240cc8c29" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.547ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle P_{2}}" /></span>. </p><p><i>Paso 4</i>. Descartar todas las aristas de <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Vor(P_{2})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>V</mi> <mi>o</mi> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>P</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Vor(P_{2})}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0b67c5abd884d9b79564956239449b6fc006121" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.319ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle Vor(P_{2})}" /></span> que estén a la izquierda de <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \sigma }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>σ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sigma }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59f59b7c3e6fdb1d0365a494b81fb9a696138c36" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \sigma }" /></span>. El resultado es <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Vor(P)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>V</mi> <mi>o</mi> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>P</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Vor(P)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/acc41991f236a9aa9bd1693ca0b6cd41bb27024b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.518ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle Vor(P)}" /></span>, el diagrama de Voronoi del diagrama entero. </p> <div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Algoritmo_de_Fortune_(barrido_de_recta)"><span id="Algoritmo_de_Fortune_.28barrido_de_recta.29"></span>Algoritmo de Fortune (barrido de recta)</h4><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Pol%C3%ADgonos_de_Thiessen&action=edit&section=7" title="Editar sección: Algoritmo de Fortune (barrido de recta)"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="mw-heading mw-heading5"><h5 id="Inspiración"><span id="Inspiraci.C3.B3n"></span>Inspiración</h5><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Pol%C3%ADgonos_de_Thiessen&action=edit&section=8" title="Editar sección: Inspiración"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>El algoritmo de fuerza bruta previamente revisado tiene una complejidad <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle O(n^{2}\log {n})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>O</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msup> <mi>n</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mi>log</mi> <mo>⁡</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle O(n^{2}\log {n})}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f68711304358e025537124f222f6558f01f7e7a1" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:11.172ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle O(n^{2}\log {n})}" /></span> , sin embargo, debido al teorema 2, se puede suponer que hay una forma mucho más eficiente de encontrar el diagrama de Voronoi pues sus elementos constituyentes tienen complejidad <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle O(n)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>O</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>n</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle O(n)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/34109fe397fdcff370079185bfdb65826cb5565a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.977ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle O(n)}" /></span>.<sup id="cite_ref-deBerg_1-2" class="reference separada"><a href="#cite_note-deBerg-1"><span class="corchete-llamada">[</span>1<span class="corchete-llamada">]</span></a></sup> En efecto, existe este algoritmo y es llamado <i>Algoritmo de Fortune<sup id="cite_ref-Fortune_3-0" class="reference separada"><a href="#cite_note-Fortune-3"><span class="corchete-llamada">[</span>3<span class="corchete-llamada">]</span></a></sup></i> en honor a <b><a href="/w/index.php?title=Steven_Fortune&action=edit&redlink=1" class="new" title="Steven Fortune (aún no redactado)">Steven Fortune</a></b> quien lo inventó en 1986 y cuya complejidad es <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle O(n\log {n})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>O</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>n</mi> <mi>log</mi> <mo>⁡</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle O(n\log {n})}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b5ea2d55d8c31feb17ce14f35da4c93f94982b3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:10.118ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle O(n\log {n})}" /></span>.<sup id="cite_ref-deBerg_1-3" class="reference separada"><a href="#cite_note-deBerg-1"><span class="corchete-llamada">[</span>1<span class="corchete-llamada">]</span></a></sup> </p> <figure class="mw-default-size mw-halign-right" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Archivo:Fortunes-algorithm.gif" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/25/Fortunes-algorithm.gif/220px-Fortunes-algorithm.gif" decoding="async" width="220" height="175" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/2/25/Fortunes-algorithm.gif 1.5x" data-file-width="285" data-file-height="227" /></a><figcaption>Cálculo del diagrama de Voronoi con ayuda de la técnica de barrido de recta. Se nota que conforme la recta se mueve, la línea de playa cambia generando las regiones de Voronoi de los sitios.</figcaption></figure> <p>El algoritmo de Fortune está basado en una de las técnicas clave dentro de la <a href="/wiki/Geometr%C3%ADa_computacional" title="Geometría computacional">geometría computacional</a> denominada <a href="/w/index.php?title=Barrido_de_recta&action=edit&redlink=1" class="new" title="Barrido de recta (aún no redactado)">barrido de recta</a>. La esencia de esta técnica yace en suponer que existe una recta <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ell }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>ℓ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ell }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f066e981e530bacc07efc6a10fa82deee985929e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.97ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \ell }" /></span> que recorre el plano de arriba hacia abajo (o de izquierda a derecha, incluso en direcciones opuestas) y que a lo largo de su recorrido se interseca con las estructuras que deseamos procesar. Cuando se da esta intersección, se guarda cierta información de tal forma que ayude en los cálculos. Es necesario que la información que se haya obtenido en regiones ya visitadas por la recta sea invariante. Es muy común que está técnica utilice dos tipos de estructuras de datos: <a href="/wiki/Cola_de_prioridades_(estructura_de_datos)" class="mw-redirect" title="Cola de prioridades (estructura de datos)">cola de prioridades</a> donde se guardan <i>eventos</i> que no son más que puntos donde la recta debe detenerse y un <a href="/wiki/%C3%81rbol_binario_de_b%C3%BAsqueda_auto-balanceable" class="mw-redirect" title="Árbol binario de búsqueda auto-balanceable">árbol binario de búsqueda</a> donde se almacenan los elementos geométricos que se han intersecado con la recta y se necesita recordar para el procesamiento futuro. Cabe resaltar que debido a que en la computadora no se puede emular tal cual el movimiento continuo de la recta de barrido, se requiere idear una forma de discretización del movimiento de la recta que sea procesable en la computadora, de ahí que los eventos sean tal discretización. </p> <div class="mw-heading mw-heading5"><h5 id="Propiedades_combinatorias">Propiedades combinatorias</h5><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Pol%C3%ADgonos_de_Thiessen&action=edit&section=9" title="Editar sección: Propiedades combinatorias"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Para aplicar el barrido de recta al diagrama de Voronoi, intuitivamente, se podría tomar al conjunto de sitios <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P={p_{1},\dots ,p_{n}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>P</mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msub> <mi>p</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mo>…</mo> <mo>,</mo> <msub> <mi>p</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P={p_{1},\dots ,p_{n}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0e098139d1e0cdc4dc8d50c0372e7a6d964ab4a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:14.634ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle P={p_{1},\dots ,p_{n}}}" /></span> como los eventos y de esta manera llevar la intersección de la recta de barrido con el diagrama de Voronoi. No obstante, debido a que el cálculo de <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathcal {V}}(p_{i})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">V</mi> </mrow> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>p</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {V}}(p_{i})}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b934f0b68551f739dfa600c4aec191ed2d89f44b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.308ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {V}}(p_{i})}" /></span> depende de la intersección de <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n-1}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n-1}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fbd0b0f32b28f51962943ee9ede4fb34198a2521" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:5.398ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle n-1}" /></span> planos, entonces no se podría mantener el invariante de la técnica ya que aun cuando <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ell }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>ℓ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ell }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f066e981e530bacc07efc6a10fa82deee985929e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.97ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \ell }" /></span> ya haya procesado un sitio, la información con respecto a su región de Voronoi seguirá cambiando debido a los sitios restantes por procesar. Con base en esto, es imperativo cambiar la perspectiva y en lugar de mantener la intersección de <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ell }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>ℓ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ell }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f066e981e530bacc07efc6a10fa82deee985929e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.97ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \ell }" /></span> con <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Vor(P)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>V</mi> <mi>o</mi> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>P</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Vor(P)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/acc41991f236a9aa9bd1693ca0b6cd41bb27024b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.518ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle Vor(P)}" /></span> se necesita mantener la información acerca de aquellos sitios sobre <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ell }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>ℓ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ell }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f066e981e530bacc07efc6a10fa82deee985929e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.97ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \ell }" /></span> que ya no podrá cambiar debido a los sitios debajo de <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ell }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>ℓ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ell }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f066e981e530bacc07efc6a10fa82deee985929e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.97ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \ell }" /></span>. </p> <figure class="mw-default-size mw-halign-right" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Archivo:Voronoi_beach_line.png" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/b4/Voronoi_beach_line.png/220px-Voronoi_beach_line.png" decoding="async" width="220" height="89" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/b/b4/Voronoi_beach_line.png 1.5x" data-file-width="289" data-file-height="117" /></a><figcaption>Línea de playa para el diagrama de Voronoi.</figcaption></figure> <p>Se denotará al semi-plano cerrado sobre <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ell }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>ℓ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ell }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f066e981e530bacc07efc6a10fa82deee985929e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.97ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \ell }" /></span> como <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ell ^{+}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>ℓ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>+</mo> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ell ^{+}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe4738e9b6504b548c23a85857b8eb4938cdd393" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.48ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \ell ^{+}}" /></span>. Se busca cuál es la parte del diagrama de Voronoi sobre <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ell }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>ℓ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ell }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f066e981e530bacc07efc6a10fa82deee985929e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.97ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \ell }" /></span> que ya no podrá cambiar jamás, para lo cual se tiene lo siguiente. Dado un punto <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle q\in \ell ^{+}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>q</mi> <mo>∈</mo> <msup> <mi>ℓ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>+</mo> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle q\in \ell ^{+}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7be875359d65c06e914253a619d348bf5d2c219a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:6.391ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle q\in \ell ^{+}}" /></span>, la distancia de éste a cualquier punto debajo de <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ell }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>ℓ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ell }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f066e981e530bacc07efc6a10fa82deee985929e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.97ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \ell }" /></span> es más grande que la distancia de <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle q}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>q</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle q}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06809d64fa7c817ffc7e323f85997f783dbdf71d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.07ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle q}" /></span> a <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ell }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>ℓ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ell }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f066e981e530bacc07efc6a10fa82deee985929e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.97ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \ell }" /></span> propiamente. Además, el sitio más cercano <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle q}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>q</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle q}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06809d64fa7c817ffc7e323f85997f783dbdf71d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.07ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle q}" /></span> no puede estar debajo de <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ell }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>ℓ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ell }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f066e981e530bacc07efc6a10fa82deee985929e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.97ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \ell }" /></span> si <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle q}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>q</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle q}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06809d64fa7c817ffc7e323f85997f783dbdf71d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.07ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle q}" /></span> es al menos tan cercano a algún sitio <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p_{i}\in \ell ^{+}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>p</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>∈</mo> <msup> <mi>ℓ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>+</mo> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p_{i}\in \ell ^{+}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a4b1869361428b6f7d8d2fad9de2e18b8be2196" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:7.38ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle p_{i}\in \ell ^{+}}" /></span> como <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle q}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>q</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle q}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06809d64fa7c817ffc7e323f85997f783dbdf71d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.07ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle q}" /></span> lo es a <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ell }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>ℓ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ell }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f066e981e530bacc07efc6a10fa82deee985929e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.97ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \ell }" /></span>. Por tanto, el lugar geométrico de puntos más cercanos de algún sitio que a <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ell }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>ℓ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ell }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f066e981e530bacc07efc6a10fa82deee985929e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.97ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \ell }" /></span> está limitado por una <a href="/wiki/Par%C3%A1bola_(matem%C3%A1tica)" title="Parábola (matemática)">parábola</a>. Siguiendo esta línea, el lugar geométrico de todos los puntos más cercanos a algún sitio sobre <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ell }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>ℓ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ell }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f066e981e530bacc07efc6a10fa82deee985929e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.97ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \ell }" /></span> que a <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ell }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>ℓ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ell }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f066e981e530bacc07efc6a10fa82deee985929e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.97ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \ell }" /></span> en sí misma está acotado por un conjunto de a lo más <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 2n-1}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>2</mn> <mi>n</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 2n-1}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb6ce8a02613283b1e60305814a1457335b44437" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:6.56ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle 2n-1}" /></span><sup id="cite_ref-deBerg_1-4" class="reference separada"><a href="#cite_note-deBerg-1"><span class="corchete-llamada">[</span>1<span class="corchete-llamada">]</span></a></sup> arcos parabólicos. Este conjunto de arcos se denomina <i>línea de playa</i>. Cada sitio <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p_{i}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>p</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p_{i}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5bab39399bf5424f25d957cdc57c84a0622626d2" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:2.059ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle p_{i}}" /></span> sobre la línea de barrido define una parábola completamente. La línea de playa cuenta con la propiedad de monotonicidad ya que si se hace pasar cualquier recta vertical por ella, ésta la interseca en exactamente un punto.<sup id="cite_ref-deBerg_1-5" class="reference separada"><a href="#cite_note-deBerg-1"><span class="corchete-llamada">[</span>1<span class="corchete-llamada">]</span></a></sup> </p><p>Entonces, en lugar de mantener la intersección de <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Vor(P)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>V</mi> <mi>o</mi> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>P</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Vor(P)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/acc41991f236a9aa9bd1693ca0b6cd41bb27024b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.518ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle Vor(P)}" /></span> con <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ell }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>ℓ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ell }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f066e981e530bacc07efc6a10fa82deee985929e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.97ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \ell }" /></span>, se mantendrá la línea de playa conforme la línea de barrido se mueva. Evidentemente, no se puede representar explícitamente la línea de playa ya que es continua y se transforma cada que <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ell }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>ℓ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ell }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f066e981e530bacc07efc6a10fa82deee985929e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.97ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \ell }" /></span> cambia de posición. </p> <figure class="mw-default-size mw-halign-right" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Archivo:Voronoi_fortune_droite_balayage_tangente_cercle.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/dc/Voronoi_fortune_droite_balayage_tangente_cercle.svg/220px-Voronoi_fortune_droite_balayage_tangente_cercle.svg.png" decoding="async" width="220" height="137" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/dc/Voronoi_fortune_droite_balayage_tangente_cercle.svg/330px-Voronoi_fortune_droite_balayage_tangente_cercle.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/dc/Voronoi_fortune_droite_balayage_tangente_cercle.svg/440px-Voronoi_fortune_droite_balayage_tangente_cercle.svg.png 2x" data-file-width="479" data-file-height="298" /></a><figcaption>Generación de un nuevo arco en la línea de playa.</figcaption></figure> <p>Un arco puede aparecer en la línea de playa cuando <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ell }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>ℓ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ell }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f066e981e530bacc07efc6a10fa82deee985929e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.97ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \ell }" /></span> procesa un nuevo sitio, de ahí que esto tome el nombre de <i>evento de sitio</i>. En este momento una nueva parábola (en forma de línea vertical pues el lado recto es infinitesimalmente pequeño) rompe sobre la línea de playa. Conforme la línea de playa comienza a bajar, la recientemente creada parábola comienza a hacerse más amplía. Además, conforme va creciendo la parábola se generan intersecciones con otras parábolas en la línea de playa, lo cual comienza a trazar las aristas<sup id="cite_ref-deBerg_1-6" class="reference separada"><a href="#cite_note-deBerg-1"><span class="corchete-llamada">[</span>1<span class="corchete-llamada">]</span></a></sup> del diagrama de Voronoi. </p><p>Un segundo evento de la línea de barrido surge cuando un arco <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \beta }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>β</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \beta }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ed48a5e36207156fb792fa79d29925d2f7901e8" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.332ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \beta }" /></span> se hace tan pequeño que se convierte en un punto. Cuando se presenta esto, las intersecciones que tenía <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \beta }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>β</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \beta }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ed48a5e36207156fb792fa79d29925d2f7901e8" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.332ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \beta }" /></span> con los otros arcos (<span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \beta '}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>β</mi> <mo>′</mo> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \beta '}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d14001f211d8e272b5c10e45c739d320359c48c8" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.022ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \beta '}" /></span> a la izquierda y <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \beta ''}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>β</mi> <mo>″</mo> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \beta ''}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ea133d868709de57c71dcb6f576628d79c9fbe8" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.474ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \beta ''}" /></span> a la derecha) se juntan. Este encuentro de los puntos de intersección implica que dos aristas del diagrama se están encontrado. En consecuencia, se ha formado un vértice <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle q}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>q</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle q}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06809d64fa7c817ffc7e323f85997f783dbdf71d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.07ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle q}" /></span> del diagrama de Voronoi. Gráficamente, <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle q}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>q</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle q}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06809d64fa7c817ffc7e323f85997f783dbdf71d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.07ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle q}" /></span> es el centro de un círculo que pasa por los sitios <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p',p}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>p</mi> <mo>′</mo> </msup> <mo>,</mo> <mi>p</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p',p}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e650a473cca387f82aa17661803def157c5b7b21" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:4.147ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle p',p}" /></span> y <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p''}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>p</mi> <mo>″</mo> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p''}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/742133ed5e4136d6ea8474e14c87a30bb3af7bc8" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:2.396ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle p''}" /></span> correspondientes a <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \beta ',\beta }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>β</mi> <mo>′</mo> </msup> <mo>,</mo> <mi>β</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \beta ',\beta }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c1bb5fcab44f46c406150e384d0f8b52f7559767" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:4.388ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \beta ',\beta }" /></span> y <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \beta ''}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>β</mi> <mo>″</mo> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \beta ''}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ea133d868709de57c71dcb6f576628d79c9fbe8" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.474ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \beta ''}" /></span>, respectivamente. Cuando <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ell }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>ℓ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ell }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f066e981e530bacc07efc6a10fa82deee985929e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.97ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \ell }" /></span> alcanza el punto más bajo de este círculo, se ostenta un <i>evento de círculo</i>. </p> <div class="mw-heading mw-heading5"><h5 id="Estructuras_de_datos_y_algoritmo">Estructuras de datos y algoritmo</h5><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Pol%C3%ADgonos_de_Thiessen&action=edit&section=10" title="Editar sección: Estructuras de datos y algoritmo"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>El algoritmo de Fortune necesita de tres tipos de estructuras de datos: </p> <dl><dd><ol><li><a href="/wiki/Estructura_de_datos" title="Estructura de datos">Estructura de datos</a> que ayude a guardar la porción del diagrama calculada hasta el momento. Para esto se emplea una lista doblemente conectada de aristas <a href="/w/index.php?title=Doubly_connected_edge_list&action=edit&redlink=1" class="new" title="Doubly connected edge list (aún no redactado)">DCEL</a>.<sup id="cite_ref-deBerg_1-7" class="reference separada"><a href="#cite_note-deBerg-1"><span class="corchete-llamada">[</span>1<span class="corchete-llamada">]</span></a></sup> Se referirá a éste como <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathcal {D}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">D</mi> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {D}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3277962e1959c3241fb1b70c7f0ac6dcefebd966" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.792ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {D}}}" /></span>.</li> <li>Cola de prioridades <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathcal {Q}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">Q</mi> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {Q}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/64114d2e2b6847f9e57c33e8f4a5c6d08e40d482" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:1.899ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {Q}}}" /></span> que permita guardar los eventos de sitio y de círculo que debe procesar la línea de barrido.</li> <li>Árbol de búsqueda binario balanceado <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathcal {T}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">T</mi> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {T}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8236d074e42310f5dc24d1d2b5b8f5981c3e87ba" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.936ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {T}}}" /></span> que guarde la línea de playa. Dado que no se puede guardar directamente la línea de playa debido a su naturaleza continua, se hace lo siguiente. En las hojas <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathcal {T}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">T</mi> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {T}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8236d074e42310f5dc24d1d2b5b8f5981c3e87ba" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.936ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {T}}}" /></span>, se guardan los arcos de la línea de playa, caracterizados por el sitio que los define, manteniendo el orden como el que se apreciaría en la línea de playa realmente. Por su parte los nodos intermedios representan los puntos de quiebre (donde un arco rompe en la línea de playa) como túpalas <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle <p_{i},p_{j}>}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo><</mo> <msub> <mi>p</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>p</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mo>></mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle <p_{i},p_{j}>}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2b013352b5873897b738b5e38d35e86dd1fa5c4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:9.989ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle <p_{i},p_{j}>}" /></span>, donde <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p_{i}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>p</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p_{i}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5bab39399bf5424f25d957cdc57c84a0622626d2" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:2.059ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle p_{i}}" /></span> denota la parábola a la izquierda y <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p_{j}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>p</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p_{j}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/499e0821b28c43e9bc2a6360b937de535057bc62" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; margin-left: -0.089ex; width:2.169ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle p_{j}}" /></span> la correspondiente a la derecha.</li></ol></dd></dl> <p>El siguiente <a href="/wiki/Pseudoc%C3%B3digo" title="Pseudocódigo">pseudocódigo</a> se basa en el que se presenta en la obra de Mark de Berg et al.<sup id="cite_ref-deBerg_1-8" class="reference separada"><a href="#cite_note-deBerg-1"><span class="corchete-llamada">[</span>1<span class="corchete-llamada">]</span></a></sup> </p><p><b>Algoritmo</b> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle DiagramaVoronoi(P)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>D</mi> <mi>i</mi> <mi>a</mi> <mi>g</mi> <mi>r</mi> <mi>a</mi> <mi>m</mi> <mi>a</mi> <mi>V</mi> <mi>o</mi> <mi>r</mi> <mi>o</mi> <mi>n</mi> <mi>o</mi> <mi>i</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>P</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle DiagramaVoronoi(P)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19eef637d0ad95dd7754ac630d39f6868f54b2ba" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:22.592ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle DiagramaVoronoi(P)}" /></span> </p><p><i>Entrada</i>. Conjunto de sitios <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P={p_{1},\dots ,p_{n}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>P</mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msub> <mi>p</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mo>…</mo> <mo>,</mo> <msub> <mi>p</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P={p_{1},\dots ,p_{n}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0e098139d1e0cdc4dc8d50c0372e7a6d964ab4a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:14.634ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle P={p_{1},\dots ,p_{n}}}" /></span> en el plano. </p><p><i>Salida</i> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Vor(P)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>V</mi> <mi>o</mi> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>P</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Vor(P)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/acc41991f236a9aa9bd1693ca0b6cd41bb27024b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.518ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle Vor(P)}" /></span> dentro de una caja de restricción en <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathcal {D}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">D</mi> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {D}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3277962e1959c3241fb1b70c7f0ac6dcefebd966" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.792ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {D}}}" /></span>. </p> <dl><dd>Inicializar <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathcal {Q}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">Q</mi> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {Q}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/64114d2e2b6847f9e57c33e8f4a5c6d08e40d482" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:1.899ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {Q}}}" /></span> con todos los sitios; inicializar <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathcal {T}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">T</mi> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {T}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8236d074e42310f5dc24d1d2b5b8f5981c3e87ba" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.936ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {T}}}" /></span> como vacío y una DCEL <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathcal {D}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">D</mi> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {D}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3277962e1959c3241fb1b70c7f0ac6dcefebd966" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.792ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {D}}}" /></span> vacía.</dd></dl> <dl><dd><b>while</b> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathcal {Q}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">Q</mi> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {Q}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/64114d2e2b6847f9e57c33e8f4a5c6d08e40d482" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:1.899ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {Q}}}" /></span> no esté vacía</dd></dl> <dl><dd><dl><dd>Remover el evento con la coordenadana <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>y</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8a6208ec717213d4317e666f1ae872e00620a0d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.155ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle y}" /></span> más grande de <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathcal {Q}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">Q</mi> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {Q}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/64114d2e2b6847f9e57c33e8f4a5c6d08e40d482" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:1.899ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {Q}}}" /></span>.</dd></dl></dd></dl> <dl><dd><dl><dd><b>if</b> el evento es un evento de sitio en <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p_{i}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>p</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p_{i}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5bab39399bf5424f25d957cdc57c84a0622626d2" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:2.059ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle p_{i}}" /></span> <b>then</b></dd></dl></dd></dl> <dl><dd><dl><dd><dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle ManejarEventoSitio(p_{i})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>M</mi> <mi>a</mi> <mi>n</mi> <mi>e</mi> <mi>j</mi> <mi>a</mi> <mi>r</mi> <mi>E</mi> <mi>v</mi> <mi>e</mi> <mi>n</mi> <mi>t</mi> <mi>o</mi> <mi>S</mi> <mi>i</mi> <mi>t</mi> <mi>i</mi> <mi>o</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>p</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle ManejarEventoSitio(p_{i})}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4af88a8ec949bfc23bccee268909ed41755a11b2" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:25.585ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle ManejarEventoSitio(p_{i})}" /></span></dd></dl></dd></dl></dd></dl> <dl><dd><dl><dd><b>else</b> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle ManejarEventoCirculo(\gamma )}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>M</mi> <mi>a</mi> <mi>n</mi> <mi>e</mi> <mi>j</mi> <mi>a</mi> <mi>r</mi> <mi>E</mi> <mi>v</mi> <mi>e</mi> <mi>n</mi> <mi>t</mi> <mi>o</mi> <mi>C</mi> <mi>i</mi> <mi>r</mi> <mi>c</mi> <mi>u</mi> <mi>l</mi> <mi>o</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>γ</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle ManejarEventoCirculo(\gamma )}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/20b319b4241466dcf078fd0d7a033c714b497fec" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:27.582ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle ManejarEventoCirculo(\gamma )}" /></span>, donde <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \gamma }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>γ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \gamma }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a223c880b0ce3da8f64ee33c4f0010beee400b1a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:1.262ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \gamma }" /></span> representa la hoja de <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathcal {T}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">T</mi> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {T}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8236d074e42310f5dc24d1d2b5b8f5981c3e87ba" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.936ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {T}}}" /></span> representando el arco que desaparecerá.</dd></dl></dd></dl> <dl><dd>Computar caja de restricción que contenga todos los vértices de <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Vor(P)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>V</mi> <mi>o</mi> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>P</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Vor(P)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/acc41991f236a9aa9bd1693ca0b6cd41bb27024b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.518ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle Vor(P)}" /></span> dentro y una las semi-aristas hacia la caja.</dd></dl> <p><br /> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle ManejarEventoSitio(p_{i})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>M</mi> <mi>a</mi> <mi>n</mi> <mi>e</mi> <mi>j</mi> <mi>a</mi> <mi>r</mi> <mi>E</mi> <mi>v</mi> <mi>e</mi> <mi>n</mi> <mi>t</mi> <mi>o</mi> <mi>S</mi> <mi>i</mi> <mi>t</mi> <mi>i</mi> <mi>o</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>p</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle ManejarEventoSitio(p_{i})}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4af88a8ec949bfc23bccee268909ed41755a11b2" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:25.585ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle ManejarEventoSitio(p_{i})}" /></span> </p> <dl><dd>Si <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathcal {T}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">T</mi> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {T}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8236d074e42310f5dc24d1d2b5b8f5981c3e87ba" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.936ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {T}}}" /></span> está vacío, insertar <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p_{i}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>p</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p_{i}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5bab39399bf5424f25d957cdc57c84a0622626d2" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:2.059ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle p_{i}}" /></span>. De lo contrario hacer los siguientes pasos.</dd></dl> <dl><dd>Buscar en <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathcal {T}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">T</mi> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {T}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8236d074e42310f5dc24d1d2b5b8f5981c3e87ba" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.936ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {T}}}" /></span> el arco <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \alpha }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>α</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \alpha }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b79333175c8b3f0840bfb4ec41b8072c83ea88d3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.488ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \alpha }" /></span> verticalmente sobre <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p_{i}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>p</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p_{i}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5bab39399bf5424f25d957cdc57c84a0622626d2" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:2.059ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle p_{i}}" /></span>. Si la hoja <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \alpha }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>α</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \alpha }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b79333175c8b3f0840bfb4ec41b8072c83ea88d3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.488ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \alpha }" /></span> tiene un puntero hacia <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathcal {Q}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">Q</mi> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {Q}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/64114d2e2b6847f9e57c33e8f4a5c6d08e40d482" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:1.899ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {Q}}}" /></span>, entonces es una falsa alarma y debe ser eliminado de <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathcal {Q}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">Q</mi> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {Q}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/64114d2e2b6847f9e57c33e8f4a5c6d08e40d482" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:1.899ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {Q}}}" /></span>.</dd></dl> <dl><dd>Reemplazar la hoja de <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathcal {T}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">T</mi> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {T}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8236d074e42310f5dc24d1d2b5b8f5981c3e87ba" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.936ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {T}}}" /></span> que representa a <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \alpha }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>α</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \alpha }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b79333175c8b3f0840bfb4ec41b8072c83ea88d3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.488ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \alpha }" /></span> con un subárbol con tres hojas. La hoja en el centro guarda el sitio <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p_{i}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>p</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p_{i}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5bab39399bf5424f25d957cdc57c84a0622626d2" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:2.059ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle p_{i}}" /></span> y otras dos guardan a <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p_{j}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>p</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p_{j}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/499e0821b28c43e9bc2a6360b937de535057bc62" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; margin-left: -0.089ex; width:2.169ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle p_{j}}" /></span> que originalmente estaba en <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \alpha }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>α</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \alpha }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b79333175c8b3f0840bfb4ec41b8072c83ea88d3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.488ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \alpha }" /></span>. Guardar las túplas <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle <p_{j},p_{i}>}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo><</mo> <msub> <mi>p</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>p</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>></mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle <p_{j},p_{i}>}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f137c43b1960f171fa0fa957b7f4eac2a747cee" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:9.989ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle <p_{j},p_{i}>}" /></span> y <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle <p_{i},p_{j}>}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo><</mo> <msub> <mi>p</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>p</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mo>></mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle <p_{i},p_{j}>}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2b013352b5873897b738b5e38d35e86dd1fa5c4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:9.989ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle <p_{i},p_{j}>}" /></span> representando los nuevos puntos de quiebre.</dd></dl> <dl><dd>Crear nuevos registros de semi-aristas en <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathcal {D}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">D</mi> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {D}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3277962e1959c3241fb1b70c7f0ac6dcefebd966" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.792ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {D}}}" /></span> para la arista que separa a <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathcal {V}}(p_{i})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">V</mi> </mrow> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>p</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {V}}(p_{i})}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b934f0b68551f739dfa600c4aec191ed2d89f44b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.308ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {V}}(p_{i})}" /></span> y <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathcal {V}}(p_{j})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">V</mi> </mrow> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>p</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {V}}(p_{j})}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b0d0a6295d2479cb15b8146ac95986ebf15a07f7" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:5.418ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {V}}(p_{j})}" /></span>, que será trazada debido a los puntos de quiebre.</dd></dl> <dl><dd>Checar las tripleta de arcos consecutivos donde el nuevo arco de <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p_{i}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>p</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p_{i}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5bab39399bf5424f25d957cdc57c84a0622626d2" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:2.059ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle p_{i}}" /></span> es el arco izquierdo para ver si los puntos de quiebre convergen.</dd></dl> <p><br /> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle ManejarEventoCirculo(\gamma )}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>M</mi> <mi>a</mi> <mi>n</mi> <mi>e</mi> <mi>j</mi> <mi>a</mi> <mi>r</mi> <mi>E</mi> <mi>v</mi> <mi>e</mi> <mi>n</mi> <mi>t</mi> <mi>o</mi> <mi>C</mi> <mi>i</mi> <mi>r</mi> <mi>c</mi> <mi>u</mi> <mi>l</mi> <mi>o</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>γ</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle ManejarEventoCirculo(\gamma )}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/20b319b4241466dcf078fd0d7a033c714b497fec" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:27.582ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle ManejarEventoCirculo(\gamma )}" /></span> </p> <dl><dd>Borrar la hoja <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \gamma }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>γ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \gamma }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a223c880b0ce3da8f64ee33c4f0010beee400b1a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:1.262ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \gamma }" /></span> que representa el arco a desaparecer <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \alpha }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>α</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \alpha }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b79333175c8b3f0840bfb4ec41b8072c83ea88d3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.488ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \alpha }" /></span> de <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathcal {T}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">T</mi> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {T}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8236d074e42310f5dc24d1d2b5b8f5981c3e87ba" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.936ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {T}}}" /></span>. Actualizar túplas que representan los puntos de quiebre. Reebalancear <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathcal {T}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">T</mi> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {T}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8236d074e42310f5dc24d1d2b5b8f5981c3e87ba" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.936ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {T}}}" /></span>. Eliminar de <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathcal {Q}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">Q</mi> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {Q}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/64114d2e2b6847f9e57c33e8f4a5c6d08e40d482" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:1.899ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {Q}}}" /></span> todos los eventos que involucren a <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \alpha }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>α</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \alpha }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b79333175c8b3f0840bfb4ec41b8072c83ea88d3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.488ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \alpha }" /></span>.</dd></dl> <dl><dd>Añadir el centro del círculo causante del evento como un registro de vértice en <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathcal {D}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">D</mi> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {D}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3277962e1959c3241fb1b70c7f0ac6dcefebd966" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.792ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {D}}}" /></span>. Crear dos semi-aristas correspondientes a los nuevos puntos de quiebre de la línea de playa.</dd></dl> <dl><dd>Checar la nueva triplete de arcos consecutivos que tenía a <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \alpha }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>α</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \alpha }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b79333175c8b3f0840bfb4ec41b8072c83ea88d3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.488ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \alpha }" /></span> en el medio si los dos puntos de quiebre convergen. De ser así, insertarlo el evento correspondiente en <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathcal {Q}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">Q</mi> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {Q}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/64114d2e2b6847f9e57c33e8f4a5c6d08e40d482" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:1.899ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {Q}}}" /></span>. Hacer lo mismo para la triplete donde <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \alpha }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>α</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \alpha }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b79333175c8b3f0840bfb4ec41b8072c83ea88d3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.488ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \alpha }" /></span> estaba a la derecha.</dd></dl> <div class="mw-heading mw-heading5"><h5 id="Complejidad">Complejidad</h5><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Pol%C3%ADgonos_de_Thiessen&action=edit&section=11" title="Editar sección: Complejidad"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>El algoritmo se ejecuta en <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle O(n\log {n})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>O</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>n</mi> <mi>log</mi> <mo>⁡</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle O(n\log {n})}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b5ea2d55d8c31feb17ce14f35da4c93f94982b3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:10.118ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle O(n\log {n})}" /></span> y usa <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle O(n)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>O</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>n</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle O(n)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/34109fe397fdcff370079185bfdb65826cb5565a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.977ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle O(n)}" /></span> almacenamiento. Esto se debe a que las operaciones sobre <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathcal {T}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">T</mi> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {T}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8236d074e42310f5dc24d1d2b5b8f5981c3e87ba" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.936ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {T}}}" /></span> y en <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathcal {Q}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">Q</mi> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {Q}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/64114d2e2b6847f9e57c33e8f4a5c6d08e40d482" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:1.899ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {Q}}}" /></span> toman <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle O(\log {n})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>O</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>log</mi> <mo>⁡</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle O(\log {n})}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/653ab6d6fd99537d220f179d2591955ff4f37b99" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.336ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle O(\log {n})}" /></span>.<sup id="cite_ref-Cormen_4-0" class="reference separada"><a href="#cite_note-Cormen-4"><span class="corchete-llamada">[</span>4<span class="corchete-llamada">]</span></a></sup> Las operaciones en la DCEL toman tiempo constante.<sup id="cite_ref-deBerg_1-9" class="reference separada"><a href="#cite_note-deBerg-1"><span class="corchete-llamada">[</span>1<span class="corchete-llamada">]</span></a></sup> Cuando se procesa un evento se ejecuta un número constante de operaciones de tales operaciones. Y dado que se tiene <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle O(n)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>O</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>n</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle O(n)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/34109fe397fdcff370079185bfdb65826cb5565a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.977ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle O(n)}" /></span> eventos (debido al teorema 2), entonces la complejidad es <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle O(n\log {n})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>O</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>n</mi> <mi>log</mi> <mo>⁡</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle O(n\log {n})}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b5ea2d55d8c31feb17ce14f35da4c93f94982b3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:10.118ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle O(n\log {n})}" /></span>. Por su parte, el almacenamiento es lineal nuevamente debido al teorema 2. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Generalización_a_'"`UNIQ--postMath-000000E7-QINU`"'"><span id="Generalizaci.C3.B3n_a_.7F.27.22.60UNIQ--postMath-000000E7-QINU.60.22.27.7F"></span>Generalización a <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c510b63578322050121fe966f2e5770bea43308d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.897ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}" /></span></h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Pol%C3%ADgonos_de_Thiessen&action=edit&section=12" title="Editar sección: Generalización a '"`UNIQ--postMath-000000E7-QINU`"'"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <figure typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Archivo:Coloured_Voronoi_2D.png" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/08/Coloured_Voronoi_2D.png/250px-Coloured_Voronoi_2D.png" decoding="async" width="222" height="222" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/0/08/Coloured_Voronoi_2D.png 1.5x" data-file-width="333" data-file-height="333" /></a><figcaption>Teselación de Voronói de un conjunto de puntos aleatorio sobre el plano.</figcaption></figure> <p>Para cada conjunto <a href="/wiki/Topolog%C3%ADa" title="Topología">topológico</a> discreto <i>S</i> de puntos en un <a href="/wiki/Espacio_eucl%C3%ADdeo" title="Espacio euclídeo">espacio euclídeo</a> y <a href="/wiki/Casi_en_todas_partes" title="Casi en todas partes">para casi todo punto</a> <i>x</i>, existe un punto de <i>S</i> que es el más cercano a <i>x</i>. (Aquí, el término <i>casi</i> se usa para indicar que existen excepciones en las cuales <i>x</i> puede equidistar de dos o más puntos de <i>S</i>.) </p><p>Si <i>S</i> contiene sólo dos puntos, <i>a</i> y <i>b</i>, entonces el conjunto de todos los puntos que equidistan de ambos es un <a href="/wiki/Hiperplano" title="Hiperplano">hiperplano</a> de <a href="/w/index.php?title=Codimensi%C3%B3n&action=edit&redlink=1" class="new" title="Codimensión (aún no redactado)">codimensión</a> 1. Ese hiperplano es la frontera entre los puntos más cercanos a <i>a</i> que a <i>b</i>, y los puntos más cercanos a <i>b</i> que a <i>a</i>. De hecho, ese hiperplano es el plano bisector del segmento que une <i>a</i> y <i>b</i>. Más en general, el conjunto de puntos más cercanos a un punto <i>c</i> de <i>S</i> que a ningún otro punto de <i>S</i> (cuenca de atracción de <i>c</i>) es el interior de un <a href="/wiki/Politopo" title="Politopo">politopo</a> <a href="/wiki/Conjunto_convexo" class="mw-redirect" title="Conjunto convexo">convexo</a> (posiblemente no <a href="/wiki/Acotado" title="Acotado">acotado</a>) llamado <b>dominio de Dirichlet</b> o <b>celda de Voronói</b> de <i>c</i>. El conjunto de todos esos politopos constituye una <a href="/wiki/Teselaci%C3%B3n" class="mw-redirect" title="Teselación">teselación</a> completa del espacio euclídeo, llamada <b>teselación de Voronói asociada a <i>S</i></b>. </p><p>Si la dimensión del espacio euclídeo es sólo 2, como en el plano euclídeo, entonces resulta muy sencillo dibujar teselaciones de Voronoi, como las de la figura adjunta. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Aplicaciones">Aplicaciones</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Pol%C3%ADgonos_de_Thiessen&action=edit&section=13" title="Editar sección: Aplicaciones"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <figure class="mw-halign-right" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Archivo:Voronoi_centerlines_skeleton.gif" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/92/Voronoi_centerlines_skeleton.gif/350px-Voronoi_centerlines_skeleton.gif" decoding="async" width="350" height="209" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/92/Voronoi_centerlines_skeleton.gif/525px-Voronoi_centerlines_skeleton.gif 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/92/Voronoi_centerlines_skeleton.gif/700px-Voronoi_centerlines_skeleton.gif 2x" data-file-width="1071" data-file-height="640" /></a><figcaption>Proceso llevado a cabo en un <a href="/wiki/Sistema_de_Informaci%C3%B3n_Geogr%C3%A1fica" class="mw-redirect" title="Sistema de Información Geográfica">Sistema de Información Geográfica</a> (<a href="/wiki/Sistema_de_Informaci%C3%B3n_Geogr%C3%A1fica" class="mw-redirect" title="Sistema de Información Geográfica">SIG</a>) para la obtención de ejes de calles mediante el uso de polígonos de Thiessen</figcaption></figure> <p>Los diagramas de Voronoi tienen diversas aplicaciones en campos como gráficos por computadora, <a href="/wiki/Geograf%C3%ADa" title="Geografía">geografía</a>, <a href="/wiki/Epidemiolog%C3%ADa" title="Epidemiología">epidemiología</a>, <a href="/wiki/Geof%C3%ADsica" title="Geofísica">geofísica</a> y <a href="/wiki/Meteorolog%C3%ADa" title="Meteorología">meteorología</a>. Un ejemplo destacado de su uso se dio durante el análisis de la epidemia de cólera de 1854 en <a href="/wiki/Londres" title="Londres">Londres</a>, realizado por el médico <a href="/wiki/John_Snow" title="John Snow">John Snow</a>. Este estudio reveló una correlación significativa entre las muertes y la proximidad a una bomba de agua contaminada en Broad Street, en el distrito de <a href="/wiki/Soho_(Londres)" title="Soho (Londres)">Soho</a>.<sup id="cite_ref-5" class="reference separada"><a href="#cite_note-5"><span class="corchete-llamada">[</span>5<span class="corchete-llamada">]</span></a></sup> Su famoso mapa del cólera se considera hoy uno de los ejemplos clásicos del uso del <a href="/wiki/M%C3%A9todo_geogr%C3%A1fico" title="Método geográfico">método geográfico</a>. </p><p>Los diagramas de Voronoi se utilizan en diversos campos para realizar <a href="/wiki/An%C3%A1lisis_espacial" title="Análisis espacial">análisis geoespaciales</a>, como meteorología, <a href="/wiki/Geomarketing" title="Geomarketing">geomarketing</a>, transporte y movilidad, <a href="/wiki/Biogeograf%C3%ADa" title="Biogeografía">biogeografía</a> y telecomunicaciones. En meteorología, por ejemplo, se aplican en el análisis de la distribución de <a href="/wiki/Estacion_pluviom%C3%A9trica" class="mw-redirect" title="Estacion pluviométrica">estaciones pluviométricas</a>. En el ámbito del análisis de áreas de servicio, los diagramas de Voronoi son fundamentales para la ubicación de centros hospitalarios, estaciones de bomberos, bocas de metro, centros comerciales, o para el control del tráfico aéreo y la optimización de redes de telefonía móvil. También se utilizan para el análisis de poblaciones de especies vegetales, entre otros. En geomarketing, mediante algoritmos no supervisados como <a href="/wiki/K-medias" title="K-medias">K-Means</a>, se generan clusters delimitados por regiones de Voronoi.<sup id="cite_ref-6" class="reference separada"><a href="#cite_note-6"><span class="corchete-llamada">[</span>6<span class="corchete-llamada">]</span></a></sup> Esto permite, por ejemplo, optimizar la publicidad segmentando a los usuarios según características geoespaciales o socioeconómicas, como ingresos y hábitos de gasto, delimitando las campañas publicitarias dentro de estas regiones para alcanzar a los usuarios de manera más eficiente.<sup id="cite_ref-7" class="reference separada"><a href="#cite_note-7"><span class="corchete-llamada">[</span>7<span class="corchete-llamada">]</span></a></sup> </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Véase_también"><span id="V.C3.A9ase_tambi.C3.A9n"></span>Véase también</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Pol%C3%ADgonos_de_Thiessen&action=edit&section=14" title="Editar sección: Véase también"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li><a href="/wiki/Geometr%C3%ADa_eucl%C3%ADdea" class="mw-redirect" title="Geometría euclídea">Geometría euclídea</a></li> <li><a href="/wiki/Triangulaci%C3%B3n_de_Delaunay" title="Triangulación de Delaunay">Triangulación de Delaunay</a></li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Enlaces_externos">Enlaces externos</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Pol%C3%ADgonos_de_Thiessen&action=edit&section=15" title="Editar sección: Enlaces externos"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li><a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.dma.fi.upm.es/docencia/segundociclo/geomcomp/voronoi.html">Geometría computacional, Departamento de Matemática Aplicada UPM</a></li> <li><a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.ics.uci.edu/~eppstein/gina/scot.drysdale.html">Aplicaciones de arqueología a zoología</a></li> <li><a rel="nofollow" class="external text" href="https://web.archive.org/web/20080905160004/http://www.voronoi.com/">Wiki de Voronói</a></li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Referencias">Referencias</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Pol%C3%ADgonos_de_Thiessen&action=edit&section=16" title="Editar sección: Referencias"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="listaref" style="list-style-type: decimal;"><ol class="references"> <li id="cite_note-deBerg-1"><span class="mw-cite-backlink">↑ <a href="#cite_ref-deBerg_1-0"><sup><i><b>a</b></i></sup></a> <a href="#cite_ref-deBerg_1-1"><sup><i><b>b</b></i></sup></a> <a href="#cite_ref-deBerg_1-2"><sup><i><b>c</b></i></sup></a> <a href="#cite_ref-deBerg_1-3"><sup><i><b>d</b></i></sup></a> <a href="#cite_ref-deBerg_1-4"><sup><i><b>e</b></i></sup></a> <a href="#cite_ref-deBerg_1-5"><sup><i><b>f</b></i></sup></a> <a href="#cite_ref-deBerg_1-6"><sup><i><b>g</b></i></sup></a> <a href="#cite_ref-deBerg_1-7"><sup><i><b>h</b></i></sup></a> <a href="#cite_ref-deBerg_1-8"><sup><i><b>i</b></i></sup></a> <a href="#cite_ref-deBerg_1-9"><sup><i><b>j</b></i></sup></a></span> <span class="reference-text"><span id="CITAREFde_BergCheongvan_KreveldOvermars2008" class="citation libro"><a href="/w/index.php?title=Mark_de_Berg&action=edit&redlink=1" class="new" title="Mark de Berg (aún no redactado)">de Berg, Mark</a>; Cheong, Otfried; van Kreveld, Marc; Overmars, Mark (2008). <a rel="nofollow" class="external text" href="https://archive.org/details/computationalgeo00berg_122">«7»</a>. <i>Computational Geometry: Algorithms and Applications</i> <span style="color:var(--color-subtle, #555 );">(en inglés)</span> (tercera edición). Springer-Verlag Berlín Heidelberg. pp. <a rel="nofollow" class="external text" href="https://archive.org/details/computationalgeo00berg_122/page/n153">147</a>-171. <small><a href="/wiki/ISBN" title="ISBN">ISBN</a> <a href="/wiki/Especial:FuentesDeLibros/978-3-540-77973-5" title="Especial:FuentesDeLibros/978-3-540-77973-5">978-3-540-77973-5</a></small>.</span><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rfr_id=info%3Asid%2Fes.wikipedia.org%3APol%C3%ADgonos+de+Thiessen&rft.atitle=Computational+Geometry%3A+Algorithms+and+Applications&rft.au=Cheong%2C+Otfried&rft.au=Overmars%2C+Mark&rft.au=de+Berg%2C+Mark&rft.au=van+Kreveld%2C+Marc&rft.aufirst=Mark&rft.aulast=de+Berg&rft.btitle=7&rft.date=2008&rft.edition=tercera&rft.genre=bookitem&rft.isbn=978-3-540-77973-5&rft.pages=147-171&rft.pub=Springer-Verlag+Berl%C3%ADn+Heidelberg&rft_id=https%3A%2F%2Farchive.org%2Fdetails%2Fcomputationalgeo00berg_122&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook" class="Z3988"><span style="display:none;"> </span></span></span> </li> <li id="cite_note-Preparata-2"><span class="mw-cite-backlink">↑ <a href="#cite_ref-Preparata_2-0"><sup><i><b>a</b></i></sup></a> <a href="#cite_ref-Preparata_2-1"><sup><i><b>b</b></i></sup></a></span> <span class="reference-text"><span id="CITAREFPreparataShamos1985" class="citation libro">Preparata, Franco P.; Shamos, Michael Ian (1985). <a rel="nofollow" class="external text" href="https://archive.org/details/computationalgeo0000prep/page/204">«5»</a>. En David Gries, ed. <i>Computational Geometry: an introduction</i> <span style="color:var(--color-subtle, #555 );">(en inglés)</span>. Springer-Verlag. pp. <a rel="nofollow" class="external text" href="https://archive.org/details/computationalgeo0000prep/page/204">204-223</a>. <small><a href="/wiki/ISBN" title="ISBN">ISBN</a> <a href="/wiki/Especial:FuentesDeLibros/0-387-96131-3" title="Especial:FuentesDeLibros/0-387-96131-3">0-387-96131-3</a></small>.</span><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rfr_id=info%3Asid%2Fes.wikipedia.org%3APol%C3%ADgonos+de+Thiessen&rft.atitle=Computational+Geometry%3A+an+introduction&rft.au=Preparata%2C+Franco+P.&rft.au=Shamos%2C+Michael+Ian&rft.aufirst=Franco+P.&rft.aulast=Preparata&rft.btitle=5&rft.date=1985&rft.genre=bookitem&rft.isbn=0-387-96131-3&rft.pages=204-223&rft.pub=Springer-Verlag&rft_id=https%3A%2F%2Farchive.org%2Fdetails%2Fcomputationalgeo0000prep%2Fpage%2F204&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook" class="Z3988"><span style="display:none;"> </span></span></span> </li> <li id="cite_note-Fortune-3"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-Fortune_3-0">↑</a></span> <span class="reference-text">Steven Fortune. A sweepline algorithm for Voronoi diagrams. <i>Proceedings of the second annual symposium on Computational geometry</i>. Yorktown Heights, New York, United States, pp.313–322. 1986. <a href="/wiki/Especial:FuentesDeLibros/0897911946" class="internal mw-magiclink-isbn">ISBN 0-89791-194-6</a>. <a rel="nofollow" class="external text" href="http://portal.acm.org/citation.cfm?id=10549">ACM Digital Library</a><a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.springerlink.com/content/n88186tl165168rw/">SpringerLink</a></span> </li> <li id="cite_note-Cormen-4"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-Cormen_4-0">↑</a></span> <span class="reference-text"><span id="CITAREFCormenLeisersonRivestClifford2009" class="citation libro">Cormen, Thomas H.; Leiserson, Charles E.; Rivest, Ronald L.; Clifford, Stein (2009). <i>Introduction to Algorithms</i> <span style="color:var(--color-subtle, #555 );">(en inglés)</span> (tercera edición). <a href="/wiki/MIT_Press" title="MIT Press">MIT Press</a>. <small><a href="/wiki/ISBN" title="ISBN">ISBN</a> <a href="/wiki/Especial:FuentesDeLibros/978-0-262-03384-8" title="Especial:FuentesDeLibros/978-0-262-03384-8">978-0-262-03384-8</a></small>.</span><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rfr_id=info%3Asid%2Fes.wikipedia.org%3APol%C3%ADgonos+de+Thiessen&rft.au=Clifford%2C+Stein&rft.au=Cormen%2C+Thomas+H.&rft.au=Leiserson%2C+Charles+E.&rft.au=Rivest%2C+Ronald+L.&rft.aufirst=Thomas+H.&rft.aulast=Cormen&rft.btitle=Introduction+to+Algorithms&rft.date=2009&rft.edition=tercera&rft.genre=book&rft.isbn=978-0-262-03384-8&rft.pub=MIT+Press&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook" class="Z3988"><span style="display:none;"> </span></span></span> </li> <li id="cite_note-5"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-5">↑</a></span> <span class="reference-text"><span id="CITAREFWeisstein" class="citation web">Weisstein, Eric W. <a rel="nofollow" class="external text" href="https://mathworld.wolfram.com/VoronoiDiagram.html">«Voronoi Diagram»</a>. <i>mathworld.wolfram.com</i> <span style="color:var(--color-subtle, #555 );">(en inglés)</span><span class="reference-accessdate">. Consultado el 14 de marzo de 2025</span>.</span><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rfr_id=info%3Asid%2Fes.wikipedia.org%3APol%C3%ADgonos+de+Thiessen&rft.atitle=Voronoi+Diagram&rft.au=Weisstein%2C+Eric+W.&rft.aufirst=Eric+W.&rft.aulast=Weisstein&rft.genre=article&rft.jtitle=mathworld.wolfram.com&rft_id=https%3A%2F%2Fmathworld.wolfram.com%2FVoronoiDiagram.html&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal" class="Z3988"><span style="display:none;"> </span></span></span> </li> <li id="cite_note-6"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-6">↑</a></span> <span class="reference-text"><span id="CITAREFFonseca2024-01-16" class="citation web">Fonseca, Diego (16 de enero de 2024). <a rel="nofollow" class="external text" href="https://neuralbatch.com/machine-learning/analisis-geoespacial-en-python-cluster-kmeans-voronoi-y-open-street-map/">«▷ Análisis geoespacial en Python: Cluster K-Means, Voronoi y Open Street Map»</a><span class="reference-accessdate">. Consultado el 14 de marzo de 2025</span>.</span><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rfr_id=info%3Asid%2Fes.wikipedia.org%3APol%C3%ADgonos+de+Thiessen&rft.au=Fonseca%2C+Diego&rft.aufirst=Diego&rft.aulast=Fonseca&rft.btitle=%E2%96%B7+An%C3%A1lisis+geoespacial+en+Python%3A+Cluster+K-Means%2C+Voronoi+y+Open+Street+Map&rft.date=2024-01-16&rft.genre=book&rft_id=https%3A%2F%2Fneuralbatch.com%2Fmachine-learning%2Fanalisis-geoespacial-en-python-cluster-kmeans-voronoi-y-open-street-map%2F&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook" class="Z3988"><span style="display:none;"> </span></span></span> </li> <li id="cite_note-7"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-7">↑</a></span> <span class="reference-text"><span class="citation web"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://neuralbatch.com/machine-learning/analisis-geoespacial-en-python-cluster-kmeans-voronoi-y-open-street-map/">«▷ Análisis geoespacial en Python: Cluster K-Means, Voronoi y Open Street Map»</a>. 16 de enero de 2024<span class="reference-accessdate">. Consultado el 1 de marzo de 2024</span>.</span><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rfr_id=info%3Asid%2Fes.wikipedia.org%3APol%C3%ADgonos+de+Thiessen&rft.btitle=%E2%96%B7+An%C3%A1lisis+geoespacial+en+Python%3A+Cluster+K-Means%2C+Voronoi+y+Open+Street+Map&rft.date=2024-01-16&rft.genre=book&rft_id=https%3A%2F%2Fneuralbatch.com%2Fmachine-learning%2Fanalisis-geoespacial-en-python-cluster-kmeans-voronoi-y-open-street-map%2F&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook" class="Z3988"><span style="display:none;"> </span></span></span> </li> </ol></div> <style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r161257576">.mw-parser-output .mw-authority-control{margin-top:1.5em}.mw-parser-output .mw-authority-control .navbox table{margin:0}.mw-parser-output .mw-authority-control .navbox hr:last-child{display:none}.mw-parser-output .mw-authority-control .navbox+.mw-mf-linked-projects{display:none}.mw-parser-output .mw-authority-control .mw-mf-linked-projects{display:flex;padding:0.5em;border:1px solid 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decoding="async" width="20" height="11" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/ff/Wikidata-logo.svg/30px-Wikidata-logo.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/ff/Wikidata-logo.svg/40px-Wikidata-logo.svg.png 2x" data-file-width="1050" data-file-height="590" /></a></span> Datos:</span> <span class="uid"><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Q757267" class="extiw" title="wikidata:Q757267">Q757267</a></span></li> <li><span style="white-space:nowrap;"><span typeof="mw:File"><a href="/wiki/Wikimedia_Commons" title="Commonscat"><img alt="Commonscat" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4a/Commons-logo.svg/15px-Commons-logo.svg.png" decoding="async" width="15" height="20" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4a/Commons-logo.svg/23px-Commons-logo.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4a/Commons-logo.svg/30px-Commons-logo.svg.png 2x" data-file-width="1024" data-file-height="1376" /></a></span> Multimedia:</span> <span class="uid"><span class="plainlinks"><a class="external text" href="https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Voronoi_diagrams">Voronoi diagrams</a></span> / <span class="plainlinks"><a class="external text" href="https://commons.wikimedia.org/wiki/Special:MediaSearch?type=image&search=%22Q757267%22">Q757267</a></span></span></li></ul> <hr /> <ul><li><b>Identificadores</b></li> <li><span style="white-space:nowrap;"><a href="/wiki/Biblioteca_Nacional_de_Francia" title="Biblioteca Nacional de Francia">BNF</a>:</span> <span class="uid"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb12151119k">12151119k</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="http://data.bnf.fr/ark:/12148/cb12151119k">(data)</a></span></li> <li><span style="white-space:nowrap;"><a href="/wiki/Gemeinsame_Normdatei" title="Gemeinsame Normdatei">GND</a>:</span> <span class="uid"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://d-nb.info/gnd/4226013-9">4226013-9</a></span></li> <li><span style="white-space:nowrap;"><a href="/wiki/Library_of_Congress_Control_Number" title="Library of Congress Control Number">LCCN</a>:</span> <span class="uid"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://id.loc.gov/authorities/sh88006450">sh88006450</a></span></li> <li><span style="white-space:nowrap;"><a href="/wiki/Biblioteca_Nacional_de_Israel" title="Biblioteca Nacional de Israel">NLI</a>:</span> <span class="uid"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.nli.org.il/en/authorities/987007534436805171">987007534436805171</a></span></li> <li><span style="white-space:nowrap;"><a href="/wiki/Syst%C3%A8me_universitaire_de_documentation" title="Système universitaire de documentation">SUDOC</a>:</span> <span class="uid"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.idref.fr/030005558">030005558</a></span></li></ul> </div></td></tr></tbody></table></div><div class="mw-mf-linked-projects hlist"> <ul><li><span style="white-space:nowrap;"><span typeof="mw:File"><a href="/wiki/Wikidata" title="Wikidata"><img alt="Wd" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/ff/Wikidata-logo.svg/20px-Wikidata-logo.svg.png" decoding="async" width="20" height="11" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/ff/Wikidata-logo.svg/30px-Wikidata-logo.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/ff/Wikidata-logo.svg/40px-Wikidata-logo.svg.png 2x" data-file-width="1050" data-file-height="590" /></a></span> Datos:</span> <span class="uid"><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Q757267" class="extiw" title="wikidata:Q757267">Q757267</a></span></li> <li><span style="white-space:nowrap;"><span typeof="mw:File"><a href="/wiki/Wikimedia_Commons" title="Commonscat"><img alt="Commonscat" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4a/Commons-logo.svg/15px-Commons-logo.svg.png" decoding="async" width="15" height="20" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4a/Commons-logo.svg/23px-Commons-logo.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4a/Commons-logo.svg/30px-Commons-logo.svg.png 2x" data-file-width="1024" data-file-height="1376" /></a></span> Multimedia:</span> <span class="uid"><span class="plainlinks"><a class="external text" href="https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Voronoi_diagrams">Voronoi diagrams</a></span> / <span class="plainlinks"><a class="external text" href="https://commons.wikimedia.org/wiki/Special:MediaSearch?type=image&search=%22Q757267%22">Q757267</a></span></span></li></ul> </div></div>    </div><noscript><img src="https://auth.wikimedia.org/loginwiki/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?useformat=desktop&type=1x1&usesul3=1" alt="" width="1" height="1" style="border: none; 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geométricos</a></li><li><a href="/wiki/Categor%C3%ADa:Figuras_geom%C3%A9tricas_ep%C3%B3nimas" title="Categoría:Figuras geométricas epónimas">Figuras geométricas epónimas</a></li><li><a href="/wiki/Categor%C3%ADa:Geometr%C3%ADa_computacional" title="Categoría:Geometría computacional">Geometría computacional</a></li><li><a href="/wiki/Categor%C3%ADa:Panales_(geometr%C3%ADa)" title="Categoría:Panales (geometría)">Panales (geometría)</a></li></ul></div><div id="mw-hidden-catlinks" class="mw-hidden-catlinks mw-hidden-cats-hidden">Categorías ocultas: <ul><li><a href="/wiki/Categor%C3%ADa:Wikipedia:P%C3%A1ginas_con_enlaces_m%C3%A1gicos_de_ISBN" title="Categoría:Wikipedia:Páginas con enlaces mágicos de ISBN">Wikipedia:Páginas con enlaces mágicos de ISBN</a></li><li><a href="/wiki/Categor%C3%ADa:Wikipedia:Art%C3%ADculos_con_identificadores_BNF" title="Categoría:Wikipedia:Artículos con identificadores BNF">Wikipedia:Artículos con identificadores BNF</a></li><li><a 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