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<!DOCTYPE html> <html lang="en"> <head> <meta content="text/html; charset=utf-8" http-equiv="content-type"/> <title>Conditional 𝑡-independent spectral gap for random quantum circuits and implications for 𝑡-design depths</title>  <meta content="width=device-width, initial-scale=1, shrink-to-fit=no" name="viewport"/> <link href="https://cdn.jsdelivr.net/npm/bootstrap@5.3.0/dist/css/bootstrap.min.css" rel="stylesheet" type="text/css"/> <link href="/static/browse/0.3.4/css/ar5iv.0.7.9.min.css" rel="stylesheet" type="text/css"/> <link href="/static/browse/0.3.4/css/ar5iv-fonts.0.7.9.min.css" rel="stylesheet" type="text/css"/> <link href="/static/browse/0.3.4/css/latexml_styles.css" rel="stylesheet" type="text/css"/> <script src="https://cdn.jsdelivr.net/npm/bootstrap@5.3.0/dist/js/bootstrap.bundle.min.js"></script> <script src="https://cdnjs.cloudflare.com/ajax/libs/html2canvas/1.3.3/html2canvas.min.js"></script> <script src="/static/browse/0.3.4/js/addons_new.js"></script> <script src="/static/browse/0.3.4/js/feedbackOverlay.js"></script> <base href="/html/2411.13739v1/"/></head> <body> <nav class="ltx_page_navbar"> <nav class="ltx_TOC"> <ol class="ltx_toclist"> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_section"> <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#S1" title="In Conditional 𝑡-independent spectral gap for random quantum circuits and implications for 𝑡-design depths"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">I </span>Introduction</span></a> <ol class="ltx_toclist ltx_toclist_section"> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_subsection"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#S1.SS1" title="In I Introduction ‣ Conditional 𝑡-independent spectral gap for random quantum circuits and implications for 𝑡-design depths"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">I.1 </span>Prior work</span></a></li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_subsection"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#S1.SS2" title="In I Introduction ‣ Conditional 𝑡-independent spectral gap for random quantum circuits and implications for 𝑡-design depths"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">I.2 </span>Main results</span></a></li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_subsection"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#S1.SS3" title="In I Introduction ‣ Conditional 𝑡-independent spectral gap for random quantum circuits and implications for 𝑡-design depths"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">I.3 </span>Proof overview</span></a></li> </ol> </li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_section"> <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#S2" title="In Conditional 𝑡-independent spectral gap for random quantum circuits and implications for 𝑡-design depths"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">II </span>Preliminary work</span></a> <ol class="ltx_toclist ltx_toclist_section"> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_subsection"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#S2.SS1" title="In II Preliminary work ‣ Conditional 𝑡-independent spectral gap for random quantum circuits and implications for 𝑡-design depths"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">II.1 </span>Definitions</span></a></li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_subsection"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#S2.SS2" title="In II Preliminary work ‣ Conditional 𝑡-independent spectral gap for random quantum circuits and implications for 𝑡-design depths"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">II.2 </span>Mapping moment operators to tensor networks</span></a></li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_subsection"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#S2.SS3" title="In II Preliminary work ‣ Conditional 𝑡-independent spectral gap for random quantum circuits and implications for 𝑡-design depths"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">II.3 </span>Brickwork and staircase</span></a></li> </ol> </li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_section"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#S3" title="In Conditional 𝑡-independent spectral gap for random quantum circuits and implications for 𝑡-design depths"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">III </span>Bounding the staircase by a single gate</span></a></li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_section"> <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#S4" title="In Conditional 𝑡-independent spectral gap for random quantum circuits and implications for 𝑡-design depths"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">IV </span>Properties of the eigenspaces</span></a> <ol class="ltx_toclist ltx_toclist_section"> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_subsection"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#S4.SS1" title="In IV Properties of the eigenspaces ‣ Conditional 𝑡-independent spectral gap for random quantum circuits and implications for 𝑡-design depths"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">IV.1 </span>Deranged subspace</span></a></li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_subsection"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#S4.SS2" title="In IV Properties of the eigenspaces ‣ Conditional 𝑡-independent spectral gap for random quantum circuits and implications for 𝑡-design depths"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">IV.2 </span>Co-deranged subspace</span></a></li> </ol> </li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_section"> <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#S5" title="In Conditional 𝑡-independent spectral gap for random quantum circuits and implications for 𝑡-design depths"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">V </span>Structure of the 3-Site Operator</span></a> <ol class="ltx_toclist ltx_toclist_section"> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_subsection"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#S5.SS1" title="In V Structure of the 3-Site Operator ‣ Conditional 𝑡-independent spectral gap for random quantum circuits and implications for 𝑡-design depths"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">V.1 </span>Factorization of <math alttext="K_{m}" class="ltx_Math" display="inline"><semantics><msub><mi>K</mi><mi>m</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content"><apply><csymbol cd="ambiguous">subscript</csymbol><ci>𝐾</ci><ci>𝑚</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex">K_{m}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun">italic_K start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></span></a></li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_subsection"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#S5.SS2" title="In V Structure of the 3-Site Operator ‣ Conditional 𝑡-independent spectral gap for random quantum circuits and implications for 𝑡-design depths"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">V.2 </span>Computing <math alttext="\lambda" class="ltx_Math" display="inline"><semantics><mi>λ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content"><ci>𝜆</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex">\lambda</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun">italic_λ</annotation></semantics></math> when <math alttext="t=2" class="ltx_Math" display="inline"><semantics><mrow><mi>t</mi><mo>=</mo><mn>2</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content"><apply><eq></eq><ci>𝑡</ci><cn type="integer">2</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex">t=2</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun">italic_t = 2</annotation></semantics></math></span></a></li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_subsection"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#S5.SS3" title="In V Structure of the 3-Site Operator ‣ Conditional 𝑡-independent spectral gap for random quantum circuits and implications for 𝑡-design depths"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">V.3 </span>Computing <math alttext="\lambda" class="ltx_Math" display="inline"><semantics><mi>λ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content"><ci>𝜆</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex">\lambda</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun">italic_λ</annotation></semantics></math> when <math alttext="t>2" class="ltx_Math" display="inline"><semantics><mrow><mi>t</mi><mo>></mo><mn>2</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content"><apply><gt></gt><ci>𝑡</ci><cn type="integer">2</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex">t>2</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun">italic_t > 2</annotation></semantics></math></span></a></li> </ol> </li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_section"> <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#S6" title="In Conditional 𝑡-independent spectral gap for random quantum circuits and implications for 𝑡-design depths"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">VI </span>Bounding the complete derangement block</span></a> <ol class="ltx_toclist ltx_toclist_section"> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_subsection"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#S6.SS1" title="In VI Bounding the complete derangement block ‣ Conditional 𝑡-independent spectral gap for random quantum circuits and implications for 𝑡-design depths"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">VI.1 </span>Bounds by factorization of <math alttext="K_{m}" class="ltx_Math" display="inline"><semantics><msub><mi>K</mi><mi>m</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content"><apply><csymbol cd="ambiguous">subscript</csymbol><ci>𝐾</ci><ci>𝑚</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex">K_{m}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun">italic_K start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></span></a></li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_subsection"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#S6.SS2" title="In VI Bounding the complete derangement block ‣ Conditional 𝑡-independent spectral gap for random quantum circuits and implications for 𝑡-design depths"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">VI.2 </span>Bounds for <math alttext="2<t<7" class="ltx_Math" display="inline"><semantics><mrow><mn>2</mn><mo><</mo><mi>t</mi><mo><</mo><mn>7</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content"><apply><and></and><apply><lt></lt><cn type="integer">2</cn><ci>𝑡</ci></apply><apply><lt></lt><share></share><cn type="integer">7</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex">2<t<7</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun">2 < italic_t < 7</annotation></semantics></math> and <math alttext="q\geq t" class="ltx_Math" display="inline"><semantics><mrow><mi>q</mi><mo>≥</mo><mi>t</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content"><apply><geq></geq><ci>𝑞</ci><ci>𝑡</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex">q\geq t</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun">italic_q ≥ italic_t</annotation></semantics></math> (Lemma <span class="ltx_text ltx_ref_tag">41</span>)</span></a></li> </ol> </li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_section"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#S7" title="In Conditional 𝑡-independent spectral gap for random quantum circuits and implications for 𝑡-design depths"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">VII </span>Conclusion</span></a></li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_appendix"> <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#A1" title="In Conditional 𝑡-independent spectral gap for random quantum circuits and implications for 𝑡-design depths"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">A </span>Relationship between spectral gap and <math alttext="t" class="ltx_Math" display="inline"><semantics><mi>t</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content"><ci>𝑡</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex">t</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun">italic_t</annotation></semantics></math>-design depth</span></a> <ol class="ltx_toclist ltx_toclist_appendix"> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_subsection"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#A1.SS1" title="In Appendix A Relationship between spectral gap and 𝑡-design depth ‣ Conditional 𝑡-independent spectral gap for random quantum circuits and implications for 𝑡-design depths"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">A.1 </span>Obtaining the approximate <math alttext="t" class="ltx_Math" display="inline"><semantics><mi>t</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content"><ci>𝑡</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex">t</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun">italic_t</annotation></semantics></math>-design depth from the spectral gap</span></a></li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_subsection"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#A1.SS2" title="In Appendix A Relationship between spectral gap and 𝑡-design depth ‣ Conditional 𝑡-independent spectral gap for random quantum circuits and implications for 𝑡-design depths"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">A.2 </span>Proof of Corollary <span class="ltx_text ltx_ref_tag">4</span></span></a></li> </ol> </li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_appendix"> <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#A2" title="In Conditional 𝑡-independent spectral gap for random quantum circuits and implications for 𝑡-design depths"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">B </span>Assorted proofs</span></a> <ol class="ltx_toclist ltx_toclist_appendix"> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_subsection"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#A2.SS1" title="In Appendix B Assorted proofs ‣ Conditional 𝑡-independent spectral gap for random quantum circuits and implications for 𝑡-design depths"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">B.1 </span>Matrix bound from block decomposition (Theorem <span class="ltx_text ltx_ref_tag">56</span>)</span></a></li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_subsection"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#A2.SS2" title="In Appendix B Assorted proofs ‣ Conditional 𝑡-independent spectral gap for random quantum circuits and implications for 𝑡-design depths"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">B.2 </span>Proof of Lemma <span class="ltx_text ltx_ref_tag">22</span></span></a></li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_subsection"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#A2.SS3" title="In Appendix B Assorted proofs ‣ Conditional 𝑡-independent spectral gap for random quantum circuits and implications for 𝑡-design depths"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">B.3 </span>Proof of Lemma <span class="ltx_text ltx_ref_tag">31</span></span></a></li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_subsection"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#A2.SS4" title="In Appendix B Assorted proofs ‣ Conditional 𝑡-independent spectral gap for random quantum circuits and implications for 𝑡-design depths"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">B.4 </span>Proof of Lemma <span class="ltx_text ltx_ref_tag">35</span></span></a></li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_subsection"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#A2.SS5" title="In Appendix B Assorted proofs ‣ Conditional 𝑡-independent spectral gap for random quantum circuits and implications for 𝑡-design depths"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">B.5 </span>Proof of bound on Weingarten function (Lemma <span class="ltx_text ltx_ref_tag">42</span>)</span></a></li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_subsection"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#A2.SS6" title="In Appendix B Assorted proofs ‣ Conditional 𝑡-independent spectral gap for random quantum circuits and implications for 𝑡-design depths"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">B.6 </span>Proof of Lemma <span class="ltx_text ltx_ref_tag">58</span> (Coset Decomposition)</span></a></li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_subsection"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#A2.SS7" title="In Appendix B Assorted proofs ‣ Conditional 𝑡-independent spectral gap for random quantum circuits and implications for 𝑡-design depths"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">B.7 </span>Proof of Theorem <span class="ltx_text ltx_ref_tag">26</span></span></a></li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_subsection"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#A2.SS8" title="In Appendix B Assorted proofs ‣ Conditional 𝑡-independent spectral gap for random quantum circuits and implications for 𝑡-design depths"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">B.8 </span>Proof of Lemma <span class="ltx_text ltx_ref_tag">46</span></span></a></li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_subsection"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#A2.SS9" title="In Appendix B Assorted proofs ‣ Conditional 𝑡-independent spectral gap for random quantum circuits and implications for 𝑡-design depths"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">B.9 </span>Proof of Theorem <span class="ltx_text ltx_ref_tag">34</span></span></a></li> </ol> </li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_appendix"> <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#A3" title="In Conditional 𝑡-independent spectral gap for random quantum circuits and implications for 𝑡-design depths"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">C </span>Numerical results</span></a> <ol class="ltx_toclist ltx_toclist_appendix"> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_subsection"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#A3.SS1" title="In Appendix C Numerical results ‣ Conditional 𝑡-independent spectral gap for random quantum circuits and implications for 𝑡-design depths"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">C.1 </span>Values of <math alttext="||K_{m}||_{\mathfrak{D}}" class="ltx_Math" display="inline"><semantics><msub><mrow><mo stretchy="false">‖</mo><msub><mi>K</mi><mi>m</mi></msub><mo stretchy="false">‖</mo></mrow><mi>𝔇</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content"><apply><csymbol cd="ambiguous">subscript</csymbol><apply><csymbol cd="latexml">norm</csymbol><apply><csymbol cd="ambiguous">subscript</csymbol><ci>𝐾</ci><ci>𝑚</ci></apply></apply><ci>𝔇</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex">||K_{m}||_{\mathfrak{D}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun">| | italic_K start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT | | start_POSTSUBSCRIPT fraktur_D end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> for <math alttext="t\leq 6,t\leq q" class="ltx_Math" display="inline"><semantics><mrow><mrow><mi>t</mi><mo>≤</mo><mn>6</mn></mrow><mo>,</mo><mrow><mi>t</mi><mo>≤</mo><mi>q</mi></mrow></mrow><annotation-xml 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encoding="MathML-Content"><apply><csymbol cd="ambiguous">subscript</csymbol><apply><csymbol cd="latexml">norm</csymbol><apply><csymbol cd="ambiguous">subscript</csymbol><ci>𝐾</ci><ci>𝑚</ci></apply></apply><ci>𝔇</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex">||K_{m}||_{\mathfrak{D}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun">| | italic_K start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT | | start_POSTSUBSCRIPT fraktur_D end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> for <math alttext="q<t" class="ltx_Math" display="inline"><semantics><mrow><mi>q</mi><mo><</mo><mi>t</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content"><apply><lt></lt><ci>𝑞</ci><ci>𝑡</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex">q<t</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun">italic_q < italic_t</annotation></semantics></math> (Proof of Theorem <span class="ltx_text ltx_ref_tag">5</span>)</span></a></li> </ol> </li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_appendix"> <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#A4" title="In Conditional 𝑡-independent spectral gap for random quantum circuits and implications for 𝑡-design depths"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">D </span>Properties of the Derangement Polynomial</span></a> <ol class="ltx_toclist ltx_toclist_appendix"> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_subsection"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#A4.SS1" title="In Appendix D Properties of the Derangement Polynomial ‣ Conditional 𝑡-independent spectral gap for random quantum circuits and implications for 𝑡-design depths"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">D.1 </span>Proof of Lemma <span class="ltx_text ltx_ref_tag">43</span></span></a></li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_subsection"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#A4.SS2" title="In Appendix D Properties of the Derangement Polynomial ‣ Conditional 𝑡-independent spectral gap for random quantum circuits and implications for 𝑡-design depths"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">D.2 </span>Product and Matrix Forms</span></a></li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_subsection"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#A4.SS3" title="In Appendix D Properties of the Derangement Polynomial ‣ Conditional 𝑡-independent spectral gap for random quantum circuits and implications for 𝑡-design depths"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">D.3 </span>Numerical Bound on the Derangement Polynomial (Proof of Lemma <span class="ltx_text ltx_ref_tag">45</span>)</span></a></li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_subsection"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#A4.SS4" title="In Appendix D Properties of the Derangement Polynomial ‣ Conditional 𝑡-independent spectral gap for random quantum circuits and implications for 𝑡-design depths"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">D.4 </span>Analytic Bound on the Derangement Polynomial (Proof of Lemma <span class="ltx_text ltx_ref_tag">44</span>)</span></a></li> </ol> </li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_appendix"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#A5" title="In Conditional 𝑡-independent spectral gap for random quantum circuits and implications for 𝑡-design depths"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">E </span>Irreps of generalized action</span></a></li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_appendix"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#A6" title="In Conditional 𝑡-independent spectral gap for random quantum circuits and implications for 𝑡-design depths"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">F </span>Special bound for <math alttext="q=2" class="ltx_Math" display="inline"><semantics><mrow><mi>q</mi><mo>=</mo><mn>2</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content"><apply><eq></eq><ci>𝑞</ci><cn type="integer">2</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex">q=2</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun">italic_q = 2</annotation></semantics></math></span></a></li> </ol></nav> </nav> <div class="ltx_page_main"> <div class="ltx_page_content"> <article class="ltx_document ltx_authors_1line"><span class="ltx_note ltx_role_thanks" id="id1"><sup class="ltx_note_mark">†</sup><span class="ltx_note_outer"><span class="ltx_note_content"><sup class="ltx_note_mark">†</sup><span class="ltx_note_type">thanks: </span>Co-first authors.</span></span></span><span class="ltx_note ltx_role_thanks" id="id2"><sup class="ltx_note_mark">†</sup><span class="ltx_note_outer"><span class="ltx_note_content"><sup class="ltx_note_mark">†</sup><span class="ltx_note_type">thanks: </span>Co-first authors.</span></span></span> <h1 class="ltx_title ltx_title_document">Conditional <math alttext="t" class="ltx_Math" display="inline" id="id1.m1.1"><semantics id="id1.m1.1b"><mi id="id1.m1.1.1" xref="id1.m1.1.1.cmml">t</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="id1.m1.1c"><ci id="id1.m1.1.1.cmml" xref="id1.m1.1.1">𝑡</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="id1.m1.1d">t</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="id1.m1.1e">italic_t</annotation></semantics></math>-independent spectral gap for random quantum circuits and implications for <math alttext="t" class="ltx_Math" display="inline" id="id2.m2.1"><semantics id="id2.m2.1b"><mi id="id2.m2.1.1" xref="id2.m2.1.1.cmml">t</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="id2.m2.1c"><ci id="id2.m2.1.1.cmml" xref="id2.m2.1.1">𝑡</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="id2.m2.1d">t</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="id2.m2.1e">italic_t</annotation></semantics></math>-design depths</h1> <div class="ltx_authors"> <span class="ltx_creator ltx_role_author"> <span class="ltx_personname">James Allen </span><span class="ltx_author_notes"> <span class="ltx_contact ltx_role_affiliation"> Institute for Condensed Matter Theory and IQUIST and NCSA Center for Artificial Intelligence Innovation and Department of Physics, University of Illinois at Urbana-Champaign, IL 61801, USA </span></span></span> <span class="ltx_author_before"> </span><span class="ltx_creator ltx_role_author"> <span class="ltx_personname">Daniel Belkin </span><span class="ltx_author_notes"> <span class="ltx_contact ltx_role_affiliation"> Institute for Condensed Matter Theory and IQUIST and NCSA Center for Artificial Intelligence Innovation and Department of Physics, University of Illinois at Urbana-Champaign, IL 61801, USA </span></span></span> <span class="ltx_author_before"> </span><span class="ltx_creator ltx_role_author"> <span class="ltx_personname">Bryan K. Clark </span><span class="ltx_author_notes"> <span class="ltx_contact ltx_role_email"><a href="mailto:bkclark@illinois.edu">bkclark@illinois.edu</a> </span> <span class="ltx_contact ltx_role_affiliation"> Institute for Condensed Matter Theory and IQUIST and NCSA Center for Artificial Intelligence Innovation and Department of Physics, University of Illinois at Urbana-Champaign, IL 61801, USA </span></span></span> </div> <div class="ltx_abstract"> <h6 class="ltx_title ltx_title_abstract">Abstract</h6> <p class="ltx_p" id="id13.11">A fundamental question is understanding the rate at which random quantum circuits converge to the Haar measure. One quantity which is important in establishing this rate is the spectral gap of a random quantum ensemble. In this work we establish a new bound on the spectral gap of the <math alttext="t" class="ltx_Math" display="inline" id="id3.1.m1.1"><semantics id="id3.1.m1.1a"><mi id="id3.1.m1.1.1" xref="id3.1.m1.1.1.cmml">t</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="id3.1.m1.1b"><ci id="id3.1.m1.1.1.cmml" xref="id3.1.m1.1.1">𝑡</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="id3.1.m1.1c">t</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="id3.1.m1.1d">italic_t</annotation></semantics></math>-th moment of a one-dimensional brickwork architecture on <math alttext="N" class="ltx_Math" display="inline" id="id4.2.m2.1"><semantics id="id4.2.m2.1a"><mi id="id4.2.m2.1.1" xref="id4.2.m2.1.1.cmml">N</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="id4.2.m2.1b"><ci id="id4.2.m2.1.1.cmml" xref="id4.2.m2.1.1">𝑁</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="id4.2.m2.1c">N</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="id4.2.m2.1d">italic_N</annotation></semantics></math> qudits. This bound is independent of both <math alttext="t" class="ltx_Math" display="inline" id="id5.3.m3.1"><semantics id="id5.3.m3.1a"><mi id="id5.3.m3.1.1" xref="id5.3.m3.1.1.cmml">t</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="id5.3.m3.1b"><ci id="id5.3.m3.1.1.cmml" xref="id5.3.m3.1.1">𝑡</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="id5.3.m3.1c">t</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="id5.3.m3.1d">italic_t</annotation></semantics></math> and <math alttext="N" class="ltx_Math" display="inline" id="id6.4.m4.1"><semantics id="id6.4.m4.1a"><mi id="id6.4.m4.1.1" xref="id6.4.m4.1.1.cmml">N</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="id6.4.m4.1b"><ci id="id6.4.m4.1.1.cmml" xref="id6.4.m4.1.1">𝑁</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="id6.4.m4.1c">N</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="id6.4.m4.1d">italic_N</annotation></semantics></math>, provided <math alttext="t" class="ltx_Math" display="inline" id="id7.5.m5.1"><semantics id="id7.5.m5.1a"><mi id="id7.5.m5.1.1" xref="id7.5.m5.1.1.cmml">t</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="id7.5.m5.1b"><ci id="id7.5.m5.1.1.cmml" xref="id7.5.m5.1.1">𝑡</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="id7.5.m5.1c">t</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="id7.5.m5.1d">italic_t</annotation></semantics></math> does not exceed the qudit dimension <math alttext="q" class="ltx_Math" display="inline" id="id8.6.m6.1"><semantics id="id8.6.m6.1a"><mi id="id8.6.m6.1.1" xref="id8.6.m6.1.1.cmml">q</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="id8.6.m6.1b"><ci id="id8.6.m6.1.1.cmml" xref="id8.6.m6.1.1">𝑞</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="id8.6.m6.1c">q</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="id8.6.m6.1d">italic_q</annotation></semantics></math>. We also show that the bound is nearly optimal. The improved spectral gaps gives large improvements to the constant factors in known results on the approximate <math alttext="t" class="ltx_Math" display="inline" id="id9.7.m7.1"><semantics id="id9.7.m7.1a"><mi id="id9.7.m7.1.1" xref="id9.7.m7.1.1.cmml">t</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="id9.7.m7.1b"><ci id="id9.7.m7.1.1.cmml" xref="id9.7.m7.1.1">𝑡</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="id9.7.m7.1c">t</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="id9.7.m7.1d">italic_t</annotation></semantics></math>-design depths of the 1D brickwork, of generic circuit architectures, and of specially-constructed architectures which scramble in depth <math alttext="O(\log N)" class="ltx_Math" display="inline" id="id10.8.m8.1"><semantics id="id10.8.m8.1a"><mrow id="id10.8.m8.1.1" xref="id10.8.m8.1.1.cmml"><mi id="id10.8.m8.1.1.3" xref="id10.8.m8.1.1.3.cmml">O</mi><mo id="id10.8.m8.1.1.2" xref="id10.8.m8.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="id10.8.m8.1.1.1.1" xref="id10.8.m8.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="id10.8.m8.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="id10.8.m8.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="id10.8.m8.1.1.1.1.1" xref="id10.8.m8.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="id10.8.m8.1.1.1.1.1.1" xref="id10.8.m8.1.1.1.1.1.1.cmml">log</mi><mo id="id10.8.m8.1.1.1.1.1a" lspace="0.167em" xref="id10.8.m8.1.1.1.1.1.cmml">⁡</mo><mi id="id10.8.m8.1.1.1.1.1.2" xref="id10.8.m8.1.1.1.1.1.2.cmml">N</mi></mrow><mo id="id10.8.m8.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="id10.8.m8.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="id10.8.m8.1b"><apply id="id10.8.m8.1.1.cmml" xref="id10.8.m8.1.1"><times id="id10.8.m8.1.1.2.cmml" xref="id10.8.m8.1.1.2"></times><ci id="id10.8.m8.1.1.3.cmml" xref="id10.8.m8.1.1.3">𝑂</ci><apply id="id10.8.m8.1.1.1.1.1.cmml" xref="id10.8.m8.1.1.1.1"><log id="id10.8.m8.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="id10.8.m8.1.1.1.1.1.1"></log><ci id="id10.8.m8.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="id10.8.m8.1.1.1.1.1.2">𝑁</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="id10.8.m8.1c">O(\log N)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="id10.8.m8.1d">italic_O ( roman_log italic_N )</annotation></semantics></math>. We moreover show that the spectral gap gives the dominant <math alttext="\epsilon" class="ltx_Math" display="inline" id="id11.9.m9.1"><semantics id="id11.9.m9.1a"><mi id="id11.9.m9.1.1" xref="id11.9.m9.1.1.cmml">ϵ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="id11.9.m9.1b"><ci id="id11.9.m9.1.1.cmml" xref="id11.9.m9.1.1">italic-ϵ</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="id11.9.m9.1c">\epsilon</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="id11.9.m9.1d">italic_ϵ</annotation></semantics></math>-dependence of the t-design depth at small-<math alttext="\epsilon" class="ltx_Math" display="inline" id="id12.10.m10.1"><semantics id="id12.10.m10.1a"><mi id="id12.10.m10.1.1" xref="id12.10.m10.1.1.cmml">ϵ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="id12.10.m10.1b"><ci id="id12.10.m10.1.1.cmml" xref="id12.10.m10.1.1">italic-ϵ</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="id12.10.m10.1c">\epsilon</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="id12.10.m10.1d">italic_ϵ</annotation></semantics></math>. Our spectral gap bound is obtained by bounding the <math alttext="N" class="ltx_Math" display="inline" id="id13.11.m11.1"><semantics id="id13.11.m11.1a"><mi id="id13.11.m11.1.1" xref="id13.11.m11.1.1.cmml">N</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="id13.11.m11.1b"><ci id="id13.11.m11.1.1.cmml" xref="id13.11.m11.1.1">𝑁</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="id13.11.m11.1c">N</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="id13.11.m11.1d">italic_N</annotation></semantics></math>-site 1D brickwork architecture by the spectra of 3-site operators. We then exploit a block-triangular hierarchy and a global symmetry in these operators in order to efficiently bound them. The technical methods used are a qualitatively different approach for bounding spectral gaps and and have little in common with previous techniques.</p> </div> <section class="ltx_section" id="S1"> <h2 class="ltx_title ltx_title_section"> <span class="ltx_tag ltx_tag_section">I </span>Introduction</h2> <div class="ltx_para" id="S1.p1"> <p class="ltx_p" id="S1.p1.1">Random quantum circuits are an important model in quantum information theory and beyond. They are used in quantum advantage experiments <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#bib.bib1" title="">1</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#bib.bib2" title="">2</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#bib.bib3" title="">3</a>]</cite>, as a representation of unstructured dynamics in physical systems like black holes <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#bib.bib4" title="">4</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#bib.bib5" title="">5</a>]</cite>, and as a setting for studying measurement-induced phase transitions <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#bib.bib6" title="">6</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#bib.bib7" title="">7</a>]</cite> as well as the AdS/CFT correspondence <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#bib.bib8" title="">8</a>]</cite>. Central to most of these applications is the approximate <math alttext="t" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p1.1.m1.1"><semantics id="S1.p1.1.m1.1a"><mi id="S1.p1.1.m1.1.1" xref="S1.p1.1.m1.1.1.cmml">t</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p1.1.m1.1b"><ci id="S1.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S1.p1.1.m1.1.1">𝑡</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p1.1.m1.1c">t</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p1.1.m1.1d">italic_t</annotation></semantics></math>-design depth, which characterizes the depth at which the moments of a random quantum circuit ensemble become difficult to distinguish from those of the Haar measure.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S1.p2"> <p class="ltx_p" id="S1.p2.7">Many of the known results on <math alttext="t" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p2.1.m1.1"><semantics id="S1.p2.1.m1.1a"><mi id="S1.p2.1.m1.1.1" xref="S1.p2.1.m1.1.1.cmml">t</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p2.1.m1.1b"><ci id="S1.p2.1.m1.1.1.cmml" xref="S1.p2.1.m1.1.1">𝑡</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p2.1.m1.1c">t</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p2.1.m1.1d">italic_t</annotation></semantics></math>-design depths are based on the spectral gap (see Definition <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#Thmtheorem7" title="Definition 7. ‣ II.1 Definitions ‣ II Preliminary work ‣ Conditional 𝑡-independent spectral gap for random quantum circuits and implications for 𝑡-design depths"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">7</span></a>) of the 1D brickwork architecture. Refs. <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_citep"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#bib.bib9" title="">9</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#bib.bib10" title="">10</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#bib.bib11" title="">11</a></cite> use bounds on the spectral gap to bound the additive-error and multiplicative-error approximate t-design depths of the 1D brickwork architecture. These bounds scale as <math alttext="O(N)" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p2.2.m2.1"><semantics id="S1.p2.2.m2.1a"><mrow id="S1.p2.2.m2.1.2" xref="S1.p2.2.m2.1.2.cmml"><mi id="S1.p2.2.m2.1.2.2" xref="S1.p2.2.m2.1.2.2.cmml">O</mi><mo id="S1.p2.2.m2.1.2.1" xref="S1.p2.2.m2.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S1.p2.2.m2.1.2.3.2" xref="S1.p2.2.m2.1.2.cmml"><mo id="S1.p2.2.m2.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S1.p2.2.m2.1.2.cmml">(</mo><mi id="S1.p2.2.m2.1.1" xref="S1.p2.2.m2.1.1.cmml">N</mi><mo id="S1.p2.2.m2.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S1.p2.2.m2.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p2.2.m2.1b"><apply id="S1.p2.2.m2.1.2.cmml" xref="S1.p2.2.m2.1.2"><times id="S1.p2.2.m2.1.2.1.cmml" xref="S1.p2.2.m2.1.2.1"></times><ci id="S1.p2.2.m2.1.2.2.cmml" xref="S1.p2.2.m2.1.2.2">𝑂</ci><ci id="S1.p2.2.m2.1.1.cmml" xref="S1.p2.2.m2.1.1">𝑁</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p2.2.m2.1c">O(N)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p2.2.m2.1d">italic_O ( italic_N )</annotation></semantics></math>, where <math alttext="N" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p2.3.m3.1"><semantics id="S1.p2.3.m3.1a"><mi id="S1.p2.3.m3.1.1" xref="S1.p2.3.m3.1.1.cmml">N</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p2.3.m3.1b"><ci id="S1.p2.3.m3.1.1.cmml" xref="S1.p2.3.m3.1.1">𝑁</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p2.3.m3.1c">N</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p2.3.m3.1d">italic_N</annotation></semantics></math> is the number of sites. Refs. <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_citep"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#bib.bib12" title="">12</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#bib.bib13" title="">13</a></cite>, meanwhile, use results on the spectral gap of the brickwork to construct families of circuits that form approximate <math alttext="t" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p2.4.m4.1"><semantics id="S1.p2.4.m4.1a"><mi id="S1.p2.4.m4.1.1" xref="S1.p2.4.m4.1.1.cmml">t</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p2.4.m4.1b"><ci id="S1.p2.4.m4.1.1.cmml" xref="S1.p2.4.m4.1.1">𝑡</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p2.4.m4.1c">t</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p2.4.m4.1d">italic_t</annotation></semantics></math>-designs in depth <math alttext="O(\log N)" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p2.5.m5.1"><semantics id="S1.p2.5.m5.1a"><mrow id="S1.p2.5.m5.1.1" xref="S1.p2.5.m5.1.1.cmml"><mi id="S1.p2.5.m5.1.1.3" xref="S1.p2.5.m5.1.1.3.cmml">O</mi><mo id="S1.p2.5.m5.1.1.2" xref="S1.p2.5.m5.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S1.p2.5.m5.1.1.1.1" xref="S1.p2.5.m5.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S1.p2.5.m5.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S1.p2.5.m5.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S1.p2.5.m5.1.1.1.1.1" xref="S1.p2.5.m5.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S1.p2.5.m5.1.1.1.1.1.1" xref="S1.p2.5.m5.1.1.1.1.1.1.cmml">log</mi><mo id="S1.p2.5.m5.1.1.1.1.1a" lspace="0.167em" xref="S1.p2.5.m5.1.1.1.1.1.cmml">⁡</mo><mi id="S1.p2.5.m5.1.1.1.1.1.2" xref="S1.p2.5.m5.1.1.1.1.1.2.cmml">N</mi></mrow><mo id="S1.p2.5.m5.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S1.p2.5.m5.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p2.5.m5.1b"><apply id="S1.p2.5.m5.1.1.cmml" xref="S1.p2.5.m5.1.1"><times id="S1.p2.5.m5.1.1.2.cmml" xref="S1.p2.5.m5.1.1.2"></times><ci id="S1.p2.5.m5.1.1.3.cmml" xref="S1.p2.5.m5.1.1.3">𝑂</ci><apply id="S1.p2.5.m5.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.p2.5.m5.1.1.1.1"><log id="S1.p2.5.m5.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.p2.5.m5.1.1.1.1.1.1"></log><ci id="S1.p2.5.m5.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S1.p2.5.m5.1.1.1.1.1.2">𝑁</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p2.5.m5.1c">O(\log N)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p2.5.m5.1d">italic_O ( roman_log italic_N )</annotation></semantics></math>. Ref. <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_citep"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#bib.bib14" title="">14</a></cite> gives a reduction from spectral gaps of arbitrary architectures to that of the 1D brickwork to show that all well-connected circuit architectures form approximate <math alttext="t" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p2.6.m6.1"><semantics id="S1.p2.6.m6.1a"><mi id="S1.p2.6.m6.1.1" xref="S1.p2.6.m6.1.1.cmml">t</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p2.6.m6.1b"><ci id="S1.p2.6.m6.1.1.cmml" xref="S1.p2.6.m6.1.1">𝑡</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p2.6.m6.1c">t</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p2.6.m6.1d">italic_t</annotation></semantics></math>-designs in depth <math alttext="\text{poly}(N)" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p2.7.m7.1"><semantics id="S1.p2.7.m7.1a"><mrow id="S1.p2.7.m7.1.2" xref="S1.p2.7.m7.1.2.cmml"><mtext id="S1.p2.7.m7.1.2.2" xref="S1.p2.7.m7.1.2.2a.cmml">poly</mtext><mo id="S1.p2.7.m7.1.2.1" xref="S1.p2.7.m7.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S1.p2.7.m7.1.2.3.2" xref="S1.p2.7.m7.1.2.cmml"><mo id="S1.p2.7.m7.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S1.p2.7.m7.1.2.cmml">(</mo><mi id="S1.p2.7.m7.1.1" xref="S1.p2.7.m7.1.1.cmml">N</mi><mo id="S1.p2.7.m7.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S1.p2.7.m7.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p2.7.m7.1b"><apply id="S1.p2.7.m7.1.2.cmml" xref="S1.p2.7.m7.1.2"><times id="S1.p2.7.m7.1.2.1.cmml" xref="S1.p2.7.m7.1.2.1"></times><ci id="S1.p2.7.m7.1.2.2a.cmml" xref="S1.p2.7.m7.1.2.2"><mtext id="S1.p2.7.m7.1.2.2.cmml" xref="S1.p2.7.m7.1.2.2">poly</mtext></ci><ci id="S1.p2.7.m7.1.1.cmml" xref="S1.p2.7.m7.1.1">𝑁</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p2.7.m7.1c">\text{poly}(N)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p2.7.m7.1d">poly ( italic_N )</annotation></semantics></math>.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S1.p3"> <p class="ltx_p" id="S1.p3.9">In this work we give improved bounds on the spectral gap of the 1D brickwork when the qudit dimension <math alttext="q" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p3.1.m1.1"><semantics id="S1.p3.1.m1.1a"><mi id="S1.p3.1.m1.1.1" xref="S1.p3.1.m1.1.1.cmml">q</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p3.1.m1.1b"><ci id="S1.p3.1.m1.1.1.cmml" xref="S1.p3.1.m1.1.1">𝑞</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p3.1.m1.1c">q</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p3.1.m1.1d">italic_q</annotation></semantics></math> exceeds <math alttext="t" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p3.2.m2.1"><semantics id="S1.p3.2.m2.1a"><mi id="S1.p3.2.m2.1.1" xref="S1.p3.2.m2.1.1.cmml">t</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p3.2.m2.1b"><ci id="S1.p3.2.m2.1.1.cmml" xref="S1.p3.2.m2.1.1">𝑡</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p3.2.m2.1c">t</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p3.2.m2.1d">italic_t</annotation></semantics></math>. We further show that our bounds on the spectral gap are nearly tight, providing a matching lower bound which differs from our upper bound by at most 15%. We also show that the spectral gap is the sole quantity controlling the asymptotic small-<math alttext="\epsilon" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p3.3.m3.1"><semantics id="S1.p3.3.m3.1a"><mi id="S1.p3.3.m3.1.1" xref="S1.p3.3.m3.1.1.cmml">ϵ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p3.3.m3.1b"><ci id="S1.p3.3.m3.1.1.cmml" xref="S1.p3.3.m3.1.1">italic-ϵ</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p3.3.m3.1c">\epsilon</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p3.3.m3.1d">italic_ϵ</annotation></semantics></math> scaling of the <math alttext="\epsilon" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p3.4.m4.1"><semantics id="S1.p3.4.m4.1a"><mi id="S1.p3.4.m4.1.1" xref="S1.p3.4.m4.1.1.cmml">ϵ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p3.4.m4.1b"><ci id="S1.p3.4.m4.1.1.cmml" xref="S1.p3.4.m4.1.1">italic-ϵ</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p3.4.m4.1c">\epsilon</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p3.4.m4.1d">italic_ϵ</annotation></semantics></math>-approximate <math alttext="t" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p3.5.m5.1"><semantics id="S1.p3.5.m5.1a"><mi id="S1.p3.5.m5.1.1" xref="S1.p3.5.m5.1.1.cmml">t</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p3.5.m5.1b"><ci id="S1.p3.5.m5.1.1.cmml" xref="S1.p3.5.m5.1.1">𝑡</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p3.5.m5.1c">t</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p3.5.m5.1d">italic_t</annotation></semantics></math>-design depth. More precisely we provide both upper and lower bounds on the depth of the form <math alttext="\log\left(\frac{1}{\sqrt{1-\Delta}}\right)^{-1}\log\left(\frac{1}{\epsilon}% \right)+o\left[\log\left(\frac{1}{\epsilon}\right)\right]" class="ltx_math_unparsed" display="inline" id="S1.p3.6.m6.2"><semantics id="S1.p3.6.m6.2a"><mrow id="S1.p3.6.m6.2b"><mi id="S1.p3.6.m6.1.1">log</mi><msup id="S1.p3.6.m6.2.3"><mrow id="S1.p3.6.m6.2.3.2"><mo id="S1.p3.6.m6.2.3.2.1">(</mo><mfrac id="S1.p3.6.m6.2.2"><mn id="S1.p3.6.m6.2.2.2">1</mn><msqrt id="S1.p3.6.m6.2.2.3"><mrow id="S1.p3.6.m6.2.2.3.2"><mn id="S1.p3.6.m6.2.2.3.2.2">1</mn><mo id="S1.p3.6.m6.2.2.3.2.1">−</mo><mi id="S1.p3.6.m6.2.2.3.2.3" mathvariant="normal">Δ</mi></mrow></msqrt></mfrac><mo id="S1.p3.6.m6.2.3.2.2" rspace="0.167em">)</mo></mrow><mrow id="S1.p3.6.m6.2.3.3"><mo id="S1.p3.6.m6.2.3.3a">−</mo><mn id="S1.p3.6.m6.2.3.3.2">1</mn></mrow></msup><mi id="S1.p3.6.m6.2.4">log</mi><mrow id="S1.p3.6.m6.2.5"><mo id="S1.p3.6.m6.2.5.1">(</mo><mfrac id="S1.p3.6.m6.2.5.2"><mn id="S1.p3.6.m6.2.5.2.2">1</mn><mi id="S1.p3.6.m6.2.5.2.3">ϵ</mi></mfrac><mo id="S1.p3.6.m6.2.5.3">)</mo></mrow><mo id="S1.p3.6.m6.2.6">+</mo><mi id="S1.p3.6.m6.2.7">o</mi><mrow id="S1.p3.6.m6.2.8"><mo id="S1.p3.6.m6.2.8.1">[</mo><mi id="S1.p3.6.m6.2.8.2">log</mi><mrow id="S1.p3.6.m6.2.8.3"><mo id="S1.p3.6.m6.2.8.3.1">(</mo><mfrac id="S1.p3.6.m6.2.8.3.2"><mn id="S1.p3.6.m6.2.8.3.2.2">1</mn><mi id="S1.p3.6.m6.2.8.3.2.3">ϵ</mi></mfrac><mo id="S1.p3.6.m6.2.8.3.3">)</mo></mrow><mo id="S1.p3.6.m6.2.8.4">]</mo></mrow></mrow><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p3.6.m6.2c">\log\left(\frac{1}{\sqrt{1-\Delta}}\right)^{-1}\log\left(\frac{1}{\epsilon}% \right)+o\left[\log\left(\frac{1}{\epsilon}\right)\right]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p3.6.m6.2d">roman_log ( divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG square-root start_ARG 1 - roman_Δ end_ARG end_ARG ) start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT roman_log ( divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_ϵ end_ARG ) + italic_o [ roman_log ( divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_ϵ end_ARG ) ]</annotation></semantics></math> , where <math alttext="\Delta" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p3.7.m7.1"><semantics id="S1.p3.7.m7.1a"><mi id="S1.p3.7.m7.1.1" mathvariant="normal" xref="S1.p3.7.m7.1.1.cmml">Δ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p3.7.m7.1b"><ci id="S1.p3.7.m7.1.1.cmml" xref="S1.p3.7.m7.1.1">Δ</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p3.7.m7.1c">\Delta</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p3.7.m7.1d">roman_Δ</annotation></semantics></math> is the spectral gap. It follows that our upper and lower bounds on the spectral gap give upper and lower bounds on the approximate <math alttext="t" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p3.8.m8.1"><semantics id="S1.p3.8.m8.1a"><mi id="S1.p3.8.m8.1.1" xref="S1.p3.8.m8.1.1.cmml">t</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p3.8.m8.1b"><ci id="S1.p3.8.m8.1.1.cmml" xref="S1.p3.8.m8.1.1">𝑡</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p3.8.m8.1c">t</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p3.8.m8.1d">italic_t</annotation></semantics></math>-design depth, and that the true formula for the approximate <math alttext="t" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p3.9.m9.1"><semantics id="S1.p3.9.m9.1a"><mi id="S1.p3.9.m9.1.1" xref="S1.p3.9.m9.1.1.cmml">t</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p3.9.m9.1b"><ci id="S1.p3.9.m9.1.1.cmml" xref="S1.p3.9.m9.1.1">𝑡</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p3.9.m9.1c">t</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p3.9.m9.1d">italic_t</annotation></semantics></math>-design depth must involve the spectral gap.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S1.p4"> <p class="ltx_p" id="S1.p4.11">Our spectral gap bound also improves the approximate <math alttext="t-" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p4.1.m1.1"><semantics id="S1.p4.1.m1.1a"><mrow id="S1.p4.1.m1.1.1" xref="S1.p4.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S1.p4.1.m1.1.1.2" xref="S1.p4.1.m1.1.1.2.cmml">t</mi><mo id="S1.p4.1.m1.1.1.3" xref="S1.p4.1.m1.1.1.3.cmml">−</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p4.1.m1.1b"><apply id="S1.p4.1.m1.1.1.cmml" xref="S1.p4.1.m1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S1.p4.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S1.p4.1.m1.1.1">limit-from</csymbol><ci id="S1.p4.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S1.p4.1.m1.1.1.2">𝑡</ci><minus id="S1.p4.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S1.p4.1.m1.1.1.3"></minus></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p4.1.m1.1c">t-</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p4.1.m1.1d">italic_t -</annotation></semantics></math>design depth for each of the five bounds listed above. The asymptotic <math alttext="N" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p4.2.m2.1"><semantics id="S1.p4.2.m2.1a"><mi id="S1.p4.2.m2.1.1" xref="S1.p4.2.m2.1.1.cmml">N</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p4.2.m2.1b"><ci id="S1.p4.2.m2.1.1.cmml" xref="S1.p4.2.m2.1.1">𝑁</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p4.2.m2.1c">N</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p4.2.m2.1d">italic_N</annotation></semantics></math>-dependencies do not change, but the constant factors often change dramatically. We show, for example, that the 100-site 1D brickwork of local dimension <math alttext="4" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p4.3.m3.1"><semantics id="S1.p4.3.m3.1a"><mn id="S1.p4.3.m3.1.1" xref="S1.p4.3.m3.1.1.cmml">4</mn><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p4.3.m3.1b"><cn id="S1.p4.3.m3.1.1.cmml" type="integer" xref="S1.p4.3.m3.1.1">4</cn></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p4.3.m3.1c">4</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p4.3.m3.1d">4</annotation></semantics></math> forms a <math alttext="10^{-4}" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p4.4.m4.1"><semantics id="S1.p4.4.m4.1a"><msup id="S1.p4.4.m4.1.1" xref="S1.p4.4.m4.1.1.cmml"><mn id="S1.p4.4.m4.1.1.2" xref="S1.p4.4.m4.1.1.2.cmml">10</mn><mrow id="S1.p4.4.m4.1.1.3" xref="S1.p4.4.m4.1.1.3.cmml"><mo id="S1.p4.4.m4.1.1.3a" xref="S1.p4.4.m4.1.1.3.cmml">−</mo><mn id="S1.p4.4.m4.1.1.3.2" xref="S1.p4.4.m4.1.1.3.2.cmml">4</mn></mrow></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p4.4.m4.1b"><apply id="S1.p4.4.m4.1.1.cmml" xref="S1.p4.4.m4.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.p4.4.m4.1.1.1.cmml" xref="S1.p4.4.m4.1.1">superscript</csymbol><cn id="S1.p4.4.m4.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S1.p4.4.m4.1.1.2">10</cn><apply id="S1.p4.4.m4.1.1.3.cmml" xref="S1.p4.4.m4.1.1.3"><minus id="S1.p4.4.m4.1.1.3.1.cmml" xref="S1.p4.4.m4.1.1.3"></minus><cn id="S1.p4.4.m4.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S1.p4.4.m4.1.1.3.2">4</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p4.4.m4.1c">10^{-4}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p4.4.m4.1d">10 start_POSTSUPERSCRIPT - 4 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>-approximate <math alttext="4" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p4.5.m5.1"><semantics id="S1.p4.5.m5.1a"><mn id="S1.p4.5.m5.1.1" xref="S1.p4.5.m5.1.1.cmml">4</mn><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p4.5.m5.1b"><cn id="S1.p4.5.m5.1.1.cmml" type="integer" xref="S1.p4.5.m5.1.1">4</cn></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p4.5.m5.1c">4</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p4.5.m5.1d">4</annotation></semantics></math>-design in at most 3030 layers. The best previously-known bound for this case was <math alttext="1.77\cdot 10^{15}" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p4.6.m6.1"><semantics id="S1.p4.6.m6.1a"><mrow id="S1.p4.6.m6.1.1" xref="S1.p4.6.m6.1.1.cmml"><mn id="S1.p4.6.m6.1.1.2" xref="S1.p4.6.m6.1.1.2.cmml">1.77</mn><mo id="S1.p4.6.m6.1.1.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S1.p4.6.m6.1.1.1.cmml">⋅</mo><msup id="S1.p4.6.m6.1.1.3" xref="S1.p4.6.m6.1.1.3.cmml"><mn id="S1.p4.6.m6.1.1.3.2" xref="S1.p4.6.m6.1.1.3.2.cmml">10</mn><mn id="S1.p4.6.m6.1.1.3.3" xref="S1.p4.6.m6.1.1.3.3.cmml">15</mn></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p4.6.m6.1b"><apply id="S1.p4.6.m6.1.1.cmml" xref="S1.p4.6.m6.1.1"><ci id="S1.p4.6.m6.1.1.1.cmml" xref="S1.p4.6.m6.1.1.1">⋅</ci><cn id="S1.p4.6.m6.1.1.2.cmml" type="float" xref="S1.p4.6.m6.1.1.2">1.77</cn><apply id="S1.p4.6.m6.1.1.3.cmml" xref="S1.p4.6.m6.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.p4.6.m6.1.1.3.1.cmml" xref="S1.p4.6.m6.1.1.3">superscript</csymbol><cn id="S1.p4.6.m6.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S1.p4.6.m6.1.1.3.2">10</cn><cn id="S1.p4.6.m6.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S1.p4.6.m6.1.1.3.3">15</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p4.6.m6.1c">1.77\cdot 10^{15}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p4.6.m6.1d">1.77 ⋅ 10 start_POSTSUPERSCRIPT 15 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> layers<cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#bib.bib9" title="">9</a>]</cite>. Our bound does not vary with <math alttext="t" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p4.7.m7.1"><semantics id="S1.p4.7.m7.1a"><mi id="S1.p4.7.m7.1.1" xref="S1.p4.7.m7.1.1.cmml">t</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p4.7.m7.1b"><ci id="S1.p4.7.m7.1.1.cmml" xref="S1.p4.7.m7.1.1">𝑡</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p4.7.m7.1c">t</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p4.7.m7.1d">italic_t</annotation></semantics></math>, but it is valid only when the local Hilbert space dimension <math alttext="q\geq t" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p4.8.m8.1"><semantics id="S1.p4.8.m8.1a"><mrow id="S1.p4.8.m8.1.1" xref="S1.p4.8.m8.1.1.cmml"><mi id="S1.p4.8.m8.1.1.2" xref="S1.p4.8.m8.1.1.2.cmml">q</mi><mo id="S1.p4.8.m8.1.1.1" xref="S1.p4.8.m8.1.1.1.cmml">≥</mo><mi id="S1.p4.8.m8.1.1.3" xref="S1.p4.8.m8.1.1.3.cmml">t</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p4.8.m8.1b"><apply id="S1.p4.8.m8.1.1.cmml" xref="S1.p4.8.m8.1.1"><geq id="S1.p4.8.m8.1.1.1.cmml" xref="S1.p4.8.m8.1.1.1"></geq><ci id="S1.p4.8.m8.1.1.2.cmml" xref="S1.p4.8.m8.1.1.2">𝑞</ci><ci id="S1.p4.8.m8.1.1.3.cmml" xref="S1.p4.8.m8.1.1.3">𝑡</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p4.8.m8.1c">q\geq t</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p4.8.m8.1d">italic_q ≥ italic_t</annotation></semantics></math>. If our proof technique can be extended to <math alttext="q<t" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p4.9.m9.1"><semantics id="S1.p4.9.m9.1a"><mrow id="S1.p4.9.m9.1.1" xref="S1.p4.9.m9.1.1.cmml"><mi id="S1.p4.9.m9.1.1.2" xref="S1.p4.9.m9.1.1.2.cmml">q</mi><mo id="S1.p4.9.m9.1.1.1" xref="S1.p4.9.m9.1.1.1.cmml"><</mo><mi id="S1.p4.9.m9.1.1.3" xref="S1.p4.9.m9.1.1.3.cmml">t</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p4.9.m9.1b"><apply id="S1.p4.9.m9.1.1.cmml" xref="S1.p4.9.m9.1.1"><lt id="S1.p4.9.m9.1.1.1.cmml" xref="S1.p4.9.m9.1.1.1"></lt><ci id="S1.p4.9.m9.1.1.2.cmml" xref="S1.p4.9.m9.1.1.2">𝑞</ci><ci id="S1.p4.9.m9.1.1.3.cmml" xref="S1.p4.9.m9.1.1.3">𝑡</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p4.9.m9.1c">q<t</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p4.9.m9.1d">italic_q < italic_t</annotation></semantics></math>, the asymptotic <math alttext="t" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p4.10.m10.1"><semantics id="S1.p4.10.m10.1a"><mi id="S1.p4.10.m10.1.1" xref="S1.p4.10.m10.1.1.cmml">t</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p4.10.m10.1b"><ci id="S1.p4.10.m10.1.1.cmml" xref="S1.p4.10.m10.1.1">𝑡</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p4.10.m10.1c">t</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p4.10.m10.1d">italic_t</annotation></semantics></math>-dependence of these bounds will also improve by a factor of <math alttext="\text{polylog}(t)" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p4.11.m11.1"><semantics id="S1.p4.11.m11.1a"><mrow id="S1.p4.11.m11.1.2" xref="S1.p4.11.m11.1.2.cmml"><mtext id="S1.p4.11.m11.1.2.2" xref="S1.p4.11.m11.1.2.2a.cmml">polylog</mtext><mo id="S1.p4.11.m11.1.2.1" xref="S1.p4.11.m11.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S1.p4.11.m11.1.2.3.2" xref="S1.p4.11.m11.1.2.cmml"><mo id="S1.p4.11.m11.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S1.p4.11.m11.1.2.cmml">(</mo><mi id="S1.p4.11.m11.1.1" xref="S1.p4.11.m11.1.1.cmml">t</mi><mo id="S1.p4.11.m11.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S1.p4.11.m11.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p4.11.m11.1b"><apply id="S1.p4.11.m11.1.2.cmml" xref="S1.p4.11.m11.1.2"><times id="S1.p4.11.m11.1.2.1.cmml" xref="S1.p4.11.m11.1.2.1"></times><ci id="S1.p4.11.m11.1.2.2a.cmml" xref="S1.p4.11.m11.1.2.2"><mtext id="S1.p4.11.m11.1.2.2.cmml" xref="S1.p4.11.m11.1.2.2">polylog</mtext></ci><ci id="S1.p4.11.m11.1.1.cmml" xref="S1.p4.11.m11.1.1">𝑡</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p4.11.m11.1c">\text{polylog}(t)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p4.11.m11.1d">polylog ( italic_t )</annotation></semantics></math>.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S1.p5"> <p class="ltx_p" id="S1.p5.10">The first step of our proof is a reduction from the <math alttext="N" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p5.1.m1.1"><semantics id="S1.p5.1.m1.1a"><mi id="S1.p5.1.m1.1.1" xref="S1.p5.1.m1.1.1.cmml">N</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p5.1.m1.1b"><ci id="S1.p5.1.m1.1.1.cmml" xref="S1.p5.1.m1.1.1">𝑁</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p5.1.m1.1c">N</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p5.1.m1.1d">italic_N</annotation></semantics></math>-site brickwork to a series of <math alttext="3" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p5.2.m2.1"><semantics id="S1.p5.2.m2.1a"><mn id="S1.p5.2.m2.1.1" xref="S1.p5.2.m2.1.1.cmml">3</mn><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p5.2.m2.1b"><cn id="S1.p5.2.m2.1.1.cmml" type="integer" xref="S1.p5.2.m2.1.1">3</cn></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p5.2.m2.1c">3</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p5.2.m2.1d">3</annotation></semantics></math>-site operators. A bound on the spectral gaps of the <math alttext="3" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p5.3.m3.1"><semantics id="S1.p5.3.m3.1a"><mn id="S1.p5.3.m3.1.1" xref="S1.p5.3.m3.1.1.cmml">3</mn><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p5.3.m3.1b"><cn id="S1.p5.3.m3.1.1.cmml" type="integer" xref="S1.p5.3.m3.1.1">3</cn></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p5.3.m3.1c">3</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p5.3.m3.1d">3</annotation></semantics></math>-site operators implies a bound on the spectral gap of the full operator. Moreover, this relationship between the spectral gap bounds is independent of <math alttext="N,q," class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p5.4.m4.3"><semantics id="S1.p5.4.m4.3a"><mrow id="S1.p5.4.m4.3.3.1"><mrow id="S1.p5.4.m4.3.3.1.1.2" xref="S1.p5.4.m4.3.3.1.1.1.cmml"><mi id="S1.p5.4.m4.1.1" xref="S1.p5.4.m4.1.1.cmml">N</mi><mo id="S1.p5.4.m4.3.3.1.1.2.1" xref="S1.p5.4.m4.3.3.1.1.1.cmml">,</mo><mi id="S1.p5.4.m4.2.2" xref="S1.p5.4.m4.2.2.cmml">q</mi></mrow><mo id="S1.p5.4.m4.3.3.1.2">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p5.4.m4.3b"><list id="S1.p5.4.m4.3.3.1.1.1.cmml" xref="S1.p5.4.m4.3.3.1.1.2"><ci id="S1.p5.4.m4.1.1.cmml" xref="S1.p5.4.m4.1.1">𝑁</ci><ci id="S1.p5.4.m4.2.2.cmml" xref="S1.p5.4.m4.2.2">𝑞</ci></list></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p5.4.m4.3c">N,q,</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p5.4.m4.3d">italic_N , italic_q ,</annotation></semantics></math> and <math alttext="t" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p5.5.m5.1"><semantics id="S1.p5.5.m5.1a"><mi id="S1.p5.5.m5.1.1" xref="S1.p5.5.m5.1.1.cmml">t</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p5.5.m5.1b"><ci id="S1.p5.5.m5.1.1.cmml" xref="S1.p5.5.m5.1.1">𝑡</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p5.5.m5.1c">t</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p5.5.m5.1d">italic_t</annotation></semantics></math>. We then show that the spectral gaps of the <math alttext="3" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p5.6.m6.1"><semantics id="S1.p5.6.m6.1a"><mn id="S1.p5.6.m6.1.1" xref="S1.p5.6.m6.1.1.cmml">3</mn><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p5.6.m6.1b"><cn id="S1.p5.6.m6.1.1.cmml" type="integer" xref="S1.p5.6.m6.1.1">3</cn></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p5.6.m6.1c">3</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p5.6.m6.1d">3</annotation></semantics></math>-site operators do not depend on <math alttext="t" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p5.7.m7.1"><semantics id="S1.p5.7.m7.1a"><mi id="S1.p5.7.m7.1.1" xref="S1.p5.7.m7.1.1.cmml">t</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p5.7.m7.1b"><ci id="S1.p5.7.m7.1.1.cmml" xref="S1.p5.7.m7.1.1">𝑡</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p5.7.m7.1c">t</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p5.7.m7.1d">italic_t</annotation></semantics></math> so long as <math alttext="t\leq q" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p5.8.m8.1"><semantics id="S1.p5.8.m8.1a"><mrow id="S1.p5.8.m8.1.1" xref="S1.p5.8.m8.1.1.cmml"><mi id="S1.p5.8.m8.1.1.2" xref="S1.p5.8.m8.1.1.2.cmml">t</mi><mo id="S1.p5.8.m8.1.1.1" xref="S1.p5.8.m8.1.1.1.cmml">≤</mo><mi id="S1.p5.8.m8.1.1.3" xref="S1.p5.8.m8.1.1.3.cmml">q</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p5.8.m8.1b"><apply id="S1.p5.8.m8.1.1.cmml" xref="S1.p5.8.m8.1.1"><leq id="S1.p5.8.m8.1.1.1.cmml" xref="S1.p5.8.m8.1.1.1"></leq><ci id="S1.p5.8.m8.1.1.2.cmml" xref="S1.p5.8.m8.1.1.2">𝑡</ci><ci id="S1.p5.8.m8.1.1.3.cmml" xref="S1.p5.8.m8.1.1.3">𝑞</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p5.8.m8.1c">t\leq q</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p5.8.m8.1d">italic_t ≤ italic_q</annotation></semantics></math>. The restriction on <math alttext="t" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p5.9.m9.1"><semantics id="S1.p5.9.m9.1a"><mi id="S1.p5.9.m9.1.1" xref="S1.p5.9.m9.1.1.cmml">t</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p5.9.m9.1b"><ci id="S1.p5.9.m9.1.1.cmml" xref="S1.p5.9.m9.1.1">𝑡</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p5.9.m9.1c">t</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p5.9.m9.1d">italic_t</annotation></semantics></math> enters into our proof quite late, and so it is possible that many of the techniques we develop will be useful for establishing the spectral gap in the <math alttext="t>q" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p5.10.m10.1"><semantics id="S1.p5.10.m10.1a"><mrow id="S1.p5.10.m10.1.1" xref="S1.p5.10.m10.1.1.cmml"><mi id="S1.p5.10.m10.1.1.2" xref="S1.p5.10.m10.1.1.2.cmml">t</mi><mo id="S1.p5.10.m10.1.1.1" xref="S1.p5.10.m10.1.1.1.cmml">></mo><mi id="S1.p5.10.m10.1.1.3" xref="S1.p5.10.m10.1.1.3.cmml">q</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p5.10.m10.1b"><apply id="S1.p5.10.m10.1.1.cmml" xref="S1.p5.10.m10.1.1"><gt id="S1.p5.10.m10.1.1.1.cmml" xref="S1.p5.10.m10.1.1.1"></gt><ci id="S1.p5.10.m10.1.1.2.cmml" xref="S1.p5.10.m10.1.1.2">𝑡</ci><ci id="S1.p5.10.m10.1.1.3.cmml" xref="S1.p5.10.m10.1.1.3">𝑞</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p5.10.m10.1c">t>q</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p5.10.m10.1d">italic_t > italic_q</annotation></semantics></math> case. Some of the mathematical structure we develop is also relevant to non-brickwork architectures or properties of the random circuit other than the spectral gap, such as anticoncentration <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#bib.bib15" title="">15</a>]</cite>.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S1.p6"> <p class="ltx_p" id="S1.p6.6">Our proof exploits three types of structure in the eigenspaces of the moment operator. We first describe a block-triangular structure due to the 1D geometry of the circuit. This is similar in flavor to the known <math alttext="t=2" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p6.1.m1.1"><semantics id="S1.p6.1.m1.1a"><mrow id="S1.p6.1.m1.1.1" xref="S1.p6.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S1.p6.1.m1.1.1.2" xref="S1.p6.1.m1.1.1.2.cmml">t</mi><mo id="S1.p6.1.m1.1.1.1" xref="S1.p6.1.m1.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S1.p6.1.m1.1.1.3" xref="S1.p6.1.m1.1.1.3.cmml">2</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p6.1.m1.1b"><apply id="S1.p6.1.m1.1.1.cmml" xref="S1.p6.1.m1.1.1"><eq id="S1.p6.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S1.p6.1.m1.1.1.1"></eq><ci id="S1.p6.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S1.p6.1.m1.1.1.2">𝑡</ci><cn id="S1.p6.1.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S1.p6.1.m1.1.1.3">2</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p6.1.m1.1c">t=2</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p6.1.m1.1d">italic_t = 2</annotation></semantics></math> block-triangular structure exploited by ref. <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#bib.bib16" title="">16</a>]</cite>, but not equivalent even in the <math alttext="t=2" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p6.2.m2.1"><semantics id="S1.p6.2.m2.1a"><mrow id="S1.p6.2.m2.1.1" xref="S1.p6.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S1.p6.2.m2.1.1.2" xref="S1.p6.2.m2.1.1.2.cmml">t</mi><mo id="S1.p6.2.m2.1.1.1" xref="S1.p6.2.m2.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S1.p6.2.m2.1.1.3" xref="S1.p6.2.m2.1.1.3.cmml">2</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p6.2.m2.1b"><apply id="S1.p6.2.m2.1.1.cmml" xref="S1.p6.2.m2.1.1"><eq id="S1.p6.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S1.p6.2.m2.1.1.1"></eq><ci id="S1.p6.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S1.p6.2.m2.1.1.2">𝑡</ci><cn id="S1.p6.2.m2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S1.p6.2.m2.1.1.3">2</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p6.2.m2.1c">t=2</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p6.2.m2.1d">italic_t = 2</annotation></semantics></math> case. Using this structure we reduce the problem of bounding the <math alttext="N" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p6.3.m3.1"><semantics id="S1.p6.3.m3.1a"><mi id="S1.p6.3.m3.1.1" xref="S1.p6.3.m3.1.1.cmml">N</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p6.3.m3.1b"><ci id="S1.p6.3.m3.1.1.cmml" xref="S1.p6.3.m3.1.1">𝑁</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p6.3.m3.1c">N</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p6.3.m3.1d">italic_N</annotation></semantics></math>-site brickwork to that of bounding a family of <math alttext="3" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p6.4.m4.1"><semantics id="S1.p6.4.m4.1a"><mn id="S1.p6.4.m4.1.1" xref="S1.p6.4.m4.1.1.cmml">3</mn><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p6.4.m4.1b"><cn id="S1.p6.4.m4.1.1.cmml" type="integer" xref="S1.p6.4.m4.1.1">3</cn></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p6.4.m4.1c">3</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p6.4.m4.1d">3</annotation></semantics></math>-site circuits. Second, we develop a block-triangular structure from the subgroup structure of the permutation group. This allows us to decompose the eigenspaces of the <math alttext="t" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p6.5.m5.1"><semantics id="S1.p6.5.m5.1a"><mi id="S1.p6.5.m5.1.1" xref="S1.p6.5.m5.1.1.cmml">t</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p6.5.m5.1b"><ci id="S1.p6.5.m5.1.1.cmml" xref="S1.p6.5.m5.1.1">𝑡</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p6.5.m5.1c">t</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p6.5.m5.1d">italic_t</annotation></semantics></math><sup class="ltx_sup" id="S1.p6.6.1">th</sup> moment operator, isolating new eigenvalues from those inherited from the <math alttext="(t-1)" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p6.6.m6.1"><semantics id="S1.p6.6.m6.1a"><mrow id="S1.p6.6.m6.1.1.1" xref="S1.p6.6.m6.1.1.1.1.cmml"><mo id="S1.p6.6.m6.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S1.p6.6.m6.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S1.p6.6.m6.1.1.1.1" xref="S1.p6.6.m6.1.1.1.1.cmml"><mi id="S1.p6.6.m6.1.1.1.1.2" xref="S1.p6.6.m6.1.1.1.1.2.cmml">t</mi><mo id="S1.p6.6.m6.1.1.1.1.1" xref="S1.p6.6.m6.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mn id="S1.p6.6.m6.1.1.1.1.3" xref="S1.p6.6.m6.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="S1.p6.6.m6.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S1.p6.6.m6.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p6.6.m6.1b"><apply id="S1.p6.6.m6.1.1.1.1.cmml" xref="S1.p6.6.m6.1.1.1"><minus id="S1.p6.6.m6.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.p6.6.m6.1.1.1.1.1"></minus><ci id="S1.p6.6.m6.1.1.1.1.2.cmml" xref="S1.p6.6.m6.1.1.1.1.2">𝑡</ci><cn id="S1.p6.6.m6.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S1.p6.6.m6.1.1.1.1.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p6.6.m6.1c">(t-1)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p6.6.m6.1d">( italic_t - 1 )</annotation></semantics></math><sup class="ltx_sup" id="S1.p6.6.2">th</sup> moment operator. Third, we find a block-diagonal structure which corresponds to the irreducible representations of the symmetric group. We believe this proof technique is independently interesting beyond our new bounds on the spectral gap. It has very little in common with prior methods, such as detectability lemma-based approaches that bound the spectral gap through the Nachtergaele method<cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#bib.bib9" title="">9</a>]</cite>, Knabe bounds<cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#bib.bib17" title="">17</a>]</cite>, or relating to the PFC ensemble<cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#bib.bib11" title="">11</a>]</cite>. Some of our strategies may prove useful for stronger results on the 1D brickwork spectral gap or other properties of random circuits in the future.</p> </div> <section class="ltx_subsection" id="S1.SS1"> <h3 class="ltx_title ltx_title_subsection"> <span class="ltx_tag ltx_tag_subsection">I.1 </span>Prior work</h3> <div class="ltx_para" id="S1.SS1.p1"> <p class="ltx_p" id="S1.SS1.p1.2">For a one-dimensional brickwork architecture (see Definition <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#Thmtheorem9" title="Definition 9. ‣ II.3 Brickwork and staircase ‣ II Preliminary work ‣ Conditional 𝑡-independent spectral gap for random quantum circuits and implications for 𝑡-design depths"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">9</span></a>) over <math alttext="N" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.SS1.p1.1.m1.1"><semantics id="S1.SS1.p1.1.m1.1a"><mi id="S1.SS1.p1.1.m1.1.1" xref="S1.SS1.p1.1.m1.1.1.cmml">N</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.SS1.p1.1.m1.1b"><ci id="S1.SS1.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S1.SS1.p1.1.m1.1.1">𝑁</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.SS1.p1.1.m1.1c">N</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.SS1.p1.1.m1.1d">italic_N</annotation></semantics></math> qudits with local Hilbert space dimension <math alttext="q" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.SS1.p1.2.m2.1"><semantics id="S1.SS1.p1.2.m2.1a"><mi id="S1.SS1.p1.2.m2.1.1" xref="S1.SS1.p1.2.m2.1.1.cmml">q</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.SS1.p1.2.m2.1b"><ci id="S1.SS1.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="S1.SS1.p1.2.m2.1.1">𝑞</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.SS1.p1.2.m2.1c">q</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.SS1.p1.2.m2.1d">italic_q</annotation></semantics></math>, ref. <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_citep"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#bib.bib9" title="">9</a></cite> established a lower bound on the spectral gap (see Definition <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#Thmtheorem7" title="Definition 7. ‣ II.1 Definitions ‣ II Preliminary work ‣ Conditional 𝑡-independent spectral gap for random quantum circuits and implications for 𝑡-design depths"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">7</span></a>):</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_gather ltx_eqn_table" id="S6.EGx1"> <tbody id="S1.E1"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\displaystyle\Delta(N,q,t)\geq\left[553000\lceil\log_{q}(4t)\rceil^{2}q^{2}t^{% 5+\frac{3.1}{\log q}}\right]^{-1}" class="ltx_Math" display="block" id="S1.E1.m1.4"><semantics id="S1.E1.m1.4a"><mrow id="S1.E1.m1.4.4" xref="S1.E1.m1.4.4.cmml"><mrow id="S1.E1.m1.4.4.3" xref="S1.E1.m1.4.4.3.cmml"><mi id="S1.E1.m1.4.4.3.2" mathvariant="normal" xref="S1.E1.m1.4.4.3.2.cmml">Δ</mi><mo id="S1.E1.m1.4.4.3.1" xref="S1.E1.m1.4.4.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S1.E1.m1.4.4.3.3.2" xref="S1.E1.m1.4.4.3.3.1.cmml"><mo id="S1.E1.m1.4.4.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S1.E1.m1.4.4.3.3.1.cmml">(</mo><mi id="S1.E1.m1.1.1" xref="S1.E1.m1.1.1.cmml">N</mi><mo id="S1.E1.m1.4.4.3.3.2.2" xref="S1.E1.m1.4.4.3.3.1.cmml">,</mo><mi id="S1.E1.m1.2.2" xref="S1.E1.m1.2.2.cmml">q</mi><mo id="S1.E1.m1.4.4.3.3.2.3" xref="S1.E1.m1.4.4.3.3.1.cmml">,</mo><mi id="S1.E1.m1.3.3" xref="S1.E1.m1.3.3.cmml">t</mi><mo id="S1.E1.m1.4.4.3.3.2.4" stretchy="false" xref="S1.E1.m1.4.4.3.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S1.E1.m1.4.4.2" xref="S1.E1.m1.4.4.2.cmml">≥</mo><msup id="S1.E1.m1.4.4.1" xref="S1.E1.m1.4.4.1.cmml"><mrow id="S1.E1.m1.4.4.1.1.1" xref="S1.E1.m1.4.4.1.1.2.cmml"><mo id="S1.E1.m1.4.4.1.1.1.2" xref="S1.E1.m1.4.4.1.1.2.1.cmml">[</mo><mrow id="S1.E1.m1.4.4.1.1.1.1" xref="S1.E1.m1.4.4.1.1.1.1.cmml"><mn id="S1.E1.m1.4.4.1.1.1.1.3" xref="S1.E1.m1.4.4.1.1.1.1.3.cmml">553000</mn><mo id="S1.E1.m1.4.4.1.1.1.1.2" xref="S1.E1.m1.4.4.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msup id="S1.E1.m1.4.4.1.1.1.1.1" xref="S1.E1.m1.4.4.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S1.E1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1" xref="S1.E1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S1.E1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S1.E1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⌈</mo><mrow id="S1.E1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S1.E1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><msub id="S1.E1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S1.E1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S1.E1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S1.E1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">log</mi><mi id="S1.E1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S1.E1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">q</mi></msub><mo id="S1.E1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.2a" xref="S1.E1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">⁡</mo><mrow id="S1.E1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S1.E1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="S1.E1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" stretchy="false" xref="S1.E1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">(</mo><mrow id="S1.E1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1" xref="S1.E1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml"><mn id="S1.E1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.2" xref="S1.E1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.2.cmml">4</mn><mo id="S1.E1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1" xref="S1.E1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S1.E1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.3" xref="S1.E1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.3.cmml">t</mi></mrow><mo id="S1.E1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3" stretchy="false" xref="S1.E1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S1.E1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S1.E1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⌉</mo></mrow><mn id="S1.E1.m1.4.4.1.1.1.1.1.3" xref="S1.E1.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S1.E1.m1.4.4.1.1.1.1.2a" xref="S1.E1.m1.4.4.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msup id="S1.E1.m1.4.4.1.1.1.1.4" xref="S1.E1.m1.4.4.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="S1.E1.m1.4.4.1.1.1.1.4.2" xref="S1.E1.m1.4.4.1.1.1.1.4.2.cmml">q</mi><mn id="S1.E1.m1.4.4.1.1.1.1.4.3" xref="S1.E1.m1.4.4.1.1.1.1.4.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S1.E1.m1.4.4.1.1.1.1.2b" xref="S1.E1.m1.4.4.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msup id="S1.E1.m1.4.4.1.1.1.1.5" xref="S1.E1.m1.4.4.1.1.1.1.5.cmml"><mi id="S1.E1.m1.4.4.1.1.1.1.5.2" xref="S1.E1.m1.4.4.1.1.1.1.5.2.cmml">t</mi><mrow id="S1.E1.m1.4.4.1.1.1.1.5.3" xref="S1.E1.m1.4.4.1.1.1.1.5.3.cmml"><mn id="S1.E1.m1.4.4.1.1.1.1.5.3.2" xref="S1.E1.m1.4.4.1.1.1.1.5.3.2.cmml">5</mn><mo id="S1.E1.m1.4.4.1.1.1.1.5.3.1" xref="S1.E1.m1.4.4.1.1.1.1.5.3.1.cmml">+</mo><mfrac id="S1.E1.m1.4.4.1.1.1.1.5.3.3" xref="S1.E1.m1.4.4.1.1.1.1.5.3.3.cmml"><mn id="S1.E1.m1.4.4.1.1.1.1.5.3.3.2" xref="S1.E1.m1.4.4.1.1.1.1.5.3.3.2.cmml">3.1</mn><mrow id="S1.E1.m1.4.4.1.1.1.1.5.3.3.3" xref="S1.E1.m1.4.4.1.1.1.1.5.3.3.3.cmml"><mi id="S1.E1.m1.4.4.1.1.1.1.5.3.3.3.1" xref="S1.E1.m1.4.4.1.1.1.1.5.3.3.3.1.cmml">log</mi><mo id="S1.E1.m1.4.4.1.1.1.1.5.3.3.3a" lspace="0.167em" xref="S1.E1.m1.4.4.1.1.1.1.5.3.3.3.cmml">⁡</mo><mi id="S1.E1.m1.4.4.1.1.1.1.5.3.3.3.2" xref="S1.E1.m1.4.4.1.1.1.1.5.3.3.3.2.cmml">q</mi></mrow></mfrac></mrow></msup></mrow><mo id="S1.E1.m1.4.4.1.1.1.3" xref="S1.E1.m1.4.4.1.1.2.1.cmml">]</mo></mrow><mrow id="S1.E1.m1.4.4.1.3" xref="S1.E1.m1.4.4.1.3.cmml"><mo id="S1.E1.m1.4.4.1.3a" xref="S1.E1.m1.4.4.1.3.cmml">−</mo><mn id="S1.E1.m1.4.4.1.3.2" xref="S1.E1.m1.4.4.1.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.E1.m1.4b"><apply id="S1.E1.m1.4.4.cmml" xref="S1.E1.m1.4.4"><geq id="S1.E1.m1.4.4.2.cmml" xref="S1.E1.m1.4.4.2"></geq><apply id="S1.E1.m1.4.4.3.cmml" xref="S1.E1.m1.4.4.3"><times id="S1.E1.m1.4.4.3.1.cmml" xref="S1.E1.m1.4.4.3.1"></times><ci id="S1.E1.m1.4.4.3.2.cmml" xref="S1.E1.m1.4.4.3.2">Δ</ci><vector id="S1.E1.m1.4.4.3.3.1.cmml" xref="S1.E1.m1.4.4.3.3.2"><ci id="S1.E1.m1.1.1.cmml" xref="S1.E1.m1.1.1">𝑁</ci><ci id="S1.E1.m1.2.2.cmml" xref="S1.E1.m1.2.2">𝑞</ci><ci id="S1.E1.m1.3.3.cmml" xref="S1.E1.m1.3.3">𝑡</ci></vector></apply><apply id="S1.E1.m1.4.4.1.cmml" xref="S1.E1.m1.4.4.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.E1.m1.4.4.1.2.cmml" xref="S1.E1.m1.4.4.1">superscript</csymbol><apply id="S1.E1.m1.4.4.1.1.2.cmml" xref="S1.E1.m1.4.4.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S1.E1.m1.4.4.1.1.2.1.cmml" xref="S1.E1.m1.4.4.1.1.1.2">delimited-[]</csymbol><apply id="S1.E1.m1.4.4.1.1.1.1.cmml" xref="S1.E1.m1.4.4.1.1.1.1"><times id="S1.E1.m1.4.4.1.1.1.1.2.cmml" xref="S1.E1.m1.4.4.1.1.1.1.2"></times><cn id="S1.E1.m1.4.4.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S1.E1.m1.4.4.1.1.1.1.3">553000</cn><apply id="S1.E1.m1.4.4.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.E1.m1.4.4.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.E1.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S1.E1.m1.4.4.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S1.E1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S1.E1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1"><ceiling id="S1.E1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S1.E1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2"></ceiling><apply id="S1.E1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S1.E1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><apply id="S1.E1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.E1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.E1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.E1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><log id="S1.E1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S1.E1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"></log><ci id="S1.E1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S1.E1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑞</ci></apply><apply id="S1.E1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S1.E1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1"><times id="S1.E1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.cmml" xref="S1.E1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1"></times><cn id="S1.E1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.2.cmml" type="integer" xref="S1.E1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.2">4</cn><ci id="S1.E1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.3.cmml" xref="S1.E1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.3">𝑡</ci></apply></apply></apply><cn id="S1.E1.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S1.E1.m1.4.4.1.1.1.1.1.3">2</cn></apply><apply id="S1.E1.m1.4.4.1.1.1.1.4.cmml" xref="S1.E1.m1.4.4.1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.E1.m1.4.4.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="S1.E1.m1.4.4.1.1.1.1.4">superscript</csymbol><ci id="S1.E1.m1.4.4.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="S1.E1.m1.4.4.1.1.1.1.4.2">𝑞</ci><cn id="S1.E1.m1.4.4.1.1.1.1.4.3.cmml" type="integer" xref="S1.E1.m1.4.4.1.1.1.1.4.3">2</cn></apply><apply id="S1.E1.m1.4.4.1.1.1.1.5.cmml" xref="S1.E1.m1.4.4.1.1.1.1.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.E1.m1.4.4.1.1.1.1.5.1.cmml" xref="S1.E1.m1.4.4.1.1.1.1.5">superscript</csymbol><ci id="S1.E1.m1.4.4.1.1.1.1.5.2.cmml" xref="S1.E1.m1.4.4.1.1.1.1.5.2">𝑡</ci><apply id="S1.E1.m1.4.4.1.1.1.1.5.3.cmml" xref="S1.E1.m1.4.4.1.1.1.1.5.3"><plus id="S1.E1.m1.4.4.1.1.1.1.5.3.1.cmml" xref="S1.E1.m1.4.4.1.1.1.1.5.3.1"></plus><cn id="S1.E1.m1.4.4.1.1.1.1.5.3.2.cmml" type="integer" xref="S1.E1.m1.4.4.1.1.1.1.5.3.2">5</cn><apply id="S1.E1.m1.4.4.1.1.1.1.5.3.3.cmml" xref="S1.E1.m1.4.4.1.1.1.1.5.3.3"><divide id="S1.E1.m1.4.4.1.1.1.1.5.3.3.1.cmml" xref="S1.E1.m1.4.4.1.1.1.1.5.3.3"></divide><cn id="S1.E1.m1.4.4.1.1.1.1.5.3.3.2.cmml" type="float" xref="S1.E1.m1.4.4.1.1.1.1.5.3.3.2">3.1</cn><apply id="S1.E1.m1.4.4.1.1.1.1.5.3.3.3.cmml" xref="S1.E1.m1.4.4.1.1.1.1.5.3.3.3"><log id="S1.E1.m1.4.4.1.1.1.1.5.3.3.3.1.cmml" xref="S1.E1.m1.4.4.1.1.1.1.5.3.3.3.1"></log><ci id="S1.E1.m1.4.4.1.1.1.1.5.3.3.3.2.cmml" xref="S1.E1.m1.4.4.1.1.1.1.5.3.3.3.2">𝑞</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="S1.E1.m1.4.4.1.3.cmml" xref="S1.E1.m1.4.4.1.3"><minus id="S1.E1.m1.4.4.1.3.1.cmml" xref="S1.E1.m1.4.4.1.3"></minus><cn id="S1.E1.m1.4.4.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S1.E1.m1.4.4.1.3.2">1</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.E1.m1.4c">\displaystyle\Delta(N,q,t)\geq\left[553000\lceil\log_{q}(4t)\rceil^{2}q^{2}t^{% 5+\frac{3.1}{\log q}}\right]^{-1}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.E1.m1.4d">roman_Δ ( italic_N , italic_q , italic_t ) ≥ [ 553000 ⌈ roman_log start_POSTSUBSCRIPT italic_q end_POSTSUBSCRIPT ( 4 italic_t ) ⌉ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT italic_q start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT italic_t start_POSTSUPERSCRIPT 5 + divide start_ARG 3.1 end_ARG start_ARG roman_log italic_q end_ARG end_POSTSUPERSCRIPT ] start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(1)</span></td> </tr></tbody> </table> </div> <div class="ltx_para" id="S1.SS1.p2"> <p class="ltx_p" id="S1.SS1.p2.1">Ref. <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_citep"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#bib.bib10" title="">10</a></cite> introduced an improvement on the <math alttext="t" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.SS1.p2.1.m1.1"><semantics id="S1.SS1.p2.1.m1.1a"><mi id="S1.SS1.p2.1.m1.1.1" xref="S1.SS1.p2.1.m1.1.1.cmml">t</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.SS1.p2.1.m1.1b"><ci id="S1.SS1.p2.1.m1.1.1.cmml" xref="S1.SS1.p2.1.m1.1.1">𝑡</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.SS1.p2.1.m1.1c">t</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.SS1.p2.1.m1.1d">italic_t</annotation></semantics></math> dependence of the previous bound in the case of qubits:</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_gather ltx_eqn_table" id="S6.EGx2"> <tbody id="S1.E2"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\displaystyle\Delta(N,q,t)\geq\left[3\times 10^{13}\log^{5}(t)t^{4+\frac{3}{% \sqrt{\log_{2}(t)}}}\right]^{-1}\quad\text{for }q=2" class="ltx_Math" display="block" id="S1.E2.m1.8"><semantics id="S1.E2.m1.8a"><mrow id="S1.E2.m1.8.8.2" xref="S1.E2.m1.8.8.3.cmml"><mrow id="S1.E2.m1.7.7.1.1" xref="S1.E2.m1.7.7.1.1.cmml"><mrow id="S1.E2.m1.7.7.1.1.3" xref="S1.E2.m1.7.7.1.1.3.cmml"><mi id="S1.E2.m1.7.7.1.1.3.2" mathvariant="normal" xref="S1.E2.m1.7.7.1.1.3.2.cmml">Δ</mi><mo id="S1.E2.m1.7.7.1.1.3.1" xref="S1.E2.m1.7.7.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S1.E2.m1.7.7.1.1.3.3.2" xref="S1.E2.m1.7.7.1.1.3.3.1.cmml"><mo id="S1.E2.m1.7.7.1.1.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S1.E2.m1.7.7.1.1.3.3.1.cmml">(</mo><mi id="S1.E2.m1.3.3" xref="S1.E2.m1.3.3.cmml">N</mi><mo id="S1.E2.m1.7.7.1.1.3.3.2.2" xref="S1.E2.m1.7.7.1.1.3.3.1.cmml">,</mo><mi id="S1.E2.m1.4.4" xref="S1.E2.m1.4.4.cmml">q</mi><mo id="S1.E2.m1.7.7.1.1.3.3.2.3" xref="S1.E2.m1.7.7.1.1.3.3.1.cmml">,</mo><mi id="S1.E2.m1.5.5" xref="S1.E2.m1.5.5.cmml">t</mi><mo id="S1.E2.m1.7.7.1.1.3.3.2.4" stretchy="false" xref="S1.E2.m1.7.7.1.1.3.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S1.E2.m1.7.7.1.1.2" xref="S1.E2.m1.7.7.1.1.2.cmml">≥</mo><msup id="S1.E2.m1.7.7.1.1.1" xref="S1.E2.m1.7.7.1.1.1.cmml"><mrow id="S1.E2.m1.7.7.1.1.1.1.1" xref="S1.E2.m1.7.7.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S1.E2.m1.7.7.1.1.1.1.1.2" xref="S1.E2.m1.7.7.1.1.1.1.2.1.cmml">[</mo><mrow id="S1.E2.m1.7.7.1.1.1.1.1.1" xref="S1.E2.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S1.E2.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.3" xref="S1.E2.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mn id="S1.E2.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S1.E2.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">3</mn><mo id="S1.E2.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.3.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S1.E2.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">×</mo><msup id="S1.E2.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S1.E2.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mn id="S1.E2.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S1.E2.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">10</mn><mn id="S1.E2.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S1.E2.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">13</mn></msup></mrow><mo id="S1.E2.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2" lspace="0.167em" xref="S1.E2.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S1.E2.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S1.E2.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><msup id="S1.E2.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S1.E2.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S1.E2.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S1.E2.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">log</mi><mn id="S1.E2.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S1.E2.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">5</mn></msup><mo id="S1.E2.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1a" xref="S1.E2.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁡</mo><mrow id="S1.E2.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S1.E2.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S1.E2.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1" stretchy="false" xref="S1.E2.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S1.E2.m1.6.6" xref="S1.E2.m1.6.6.cmml">t</mi><mo id="S1.E2.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" stretchy="false" xref="S1.E2.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S1.E2.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2a" xref="S1.E2.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msup id="S1.E2.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.4" xref="S1.E2.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="S1.E2.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.4.2" xref="S1.E2.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml">t</mi><mrow id="S1.E2.m1.2.2.2" xref="S1.E2.m1.2.2.2.cmml"><mn id="S1.E2.m1.2.2.2.4" xref="S1.E2.m1.2.2.2.4.cmml">4</mn><mo id="S1.E2.m1.2.2.2.3" xref="S1.E2.m1.2.2.2.3.cmml">+</mo><mfrac id="S1.E2.m1.2.2.2.2" xref="S1.E2.m1.2.2.2.2.cmml"><mn id="S1.E2.m1.2.2.2.2.4" xref="S1.E2.m1.2.2.2.2.4.cmml">3</mn><msqrt id="S1.E2.m1.2.2.2.2.2" xref="S1.E2.m1.2.2.2.2.2.cmml"><mrow id="S1.E2.m1.2.2.2.2.2.2.2.2" xref="S1.E2.m1.2.2.2.2.2.2.2.3.cmml"><msub id="S1.E2.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.1" xref="S1.E2.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.1.cmml"><mi id="S1.E2.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.1.2" xref="S1.E2.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.1.2.cmml">log</mi><mn id="S1.E2.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.1.3" xref="S1.E2.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.1.3.cmml">2</mn></msub><mo id="S1.E2.m1.2.2.2.2.2.2.2.2a" xref="S1.E2.m1.2.2.2.2.2.2.2.3.cmml">⁡</mo><mrow id="S1.E2.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.2" xref="S1.E2.m1.2.2.2.2.2.2.2.3.cmml"><mo id="S1.E2.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1" stretchy="false" xref="S1.E2.m1.2.2.2.2.2.2.2.3.cmml">(</mo><mi id="S1.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S1.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">t</mi><mo id="S1.E2.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2" stretchy="false" xref="S1.E2.m1.2.2.2.2.2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></msqrt></mfrac></mrow></msup></mrow><mo id="S1.E2.m1.7.7.1.1.1.1.1.3" xref="S1.E2.m1.7.7.1.1.1.1.2.1.cmml">]</mo></mrow><mrow id="S1.E2.m1.7.7.1.1.1.3" xref="S1.E2.m1.7.7.1.1.1.3.cmml"><mo id="S1.E2.m1.7.7.1.1.1.3a" xref="S1.E2.m1.7.7.1.1.1.3.cmml">−</mo><mn id="S1.E2.m1.7.7.1.1.1.3.2" xref="S1.E2.m1.7.7.1.1.1.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup></mrow><mspace id="S1.E2.m1.8.8.2.3" width="1em" xref="S1.E2.m1.8.8.3a.cmml"></mspace><mrow id="S1.E2.m1.8.8.2.2" xref="S1.E2.m1.8.8.2.2.cmml"><mrow id="S1.E2.m1.8.8.2.2.2" xref="S1.E2.m1.8.8.2.2.2.cmml"><mtext id="S1.E2.m1.8.8.2.2.2.2" xref="S1.E2.m1.8.8.2.2.2.2a.cmml">for </mtext><mo id="S1.E2.m1.8.8.2.2.2.1" xref="S1.E2.m1.8.8.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S1.E2.m1.8.8.2.2.2.3" xref="S1.E2.m1.8.8.2.2.2.3.cmml">q</mi></mrow><mo id="S1.E2.m1.8.8.2.2.1" xref="S1.E2.m1.8.8.2.2.1.cmml">=</mo><mn id="S1.E2.m1.8.8.2.2.3" xref="S1.E2.m1.8.8.2.2.3.cmml">2</mn></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.E2.m1.8b"><apply id="S1.E2.m1.8.8.3.cmml" xref="S1.E2.m1.8.8.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.E2.m1.8.8.3a.cmml" xref="S1.E2.m1.8.8.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S1.E2.m1.7.7.1.1.cmml" xref="S1.E2.m1.7.7.1.1"><geq id="S1.E2.m1.7.7.1.1.2.cmml" xref="S1.E2.m1.7.7.1.1.2"></geq><apply id="S1.E2.m1.7.7.1.1.3.cmml" xref="S1.E2.m1.7.7.1.1.3"><times id="S1.E2.m1.7.7.1.1.3.1.cmml" xref="S1.E2.m1.7.7.1.1.3.1"></times><ci id="S1.E2.m1.7.7.1.1.3.2.cmml" xref="S1.E2.m1.7.7.1.1.3.2">Δ</ci><vector id="S1.E2.m1.7.7.1.1.3.3.1.cmml" xref="S1.E2.m1.7.7.1.1.3.3.2"><ci id="S1.E2.m1.3.3.cmml" xref="S1.E2.m1.3.3">𝑁</ci><ci id="S1.E2.m1.4.4.cmml" xref="S1.E2.m1.4.4">𝑞</ci><ci id="S1.E2.m1.5.5.cmml" xref="S1.E2.m1.5.5">𝑡</ci></vector></apply><apply id="S1.E2.m1.7.7.1.1.1.cmml" xref="S1.E2.m1.7.7.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.E2.m1.7.7.1.1.1.2.cmml" xref="S1.E2.m1.7.7.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S1.E2.m1.7.7.1.1.1.1.2.cmml" xref="S1.E2.m1.7.7.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S1.E2.m1.7.7.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S1.E2.m1.7.7.1.1.1.1.1.2">delimited-[]</csymbol><apply id="S1.E2.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.E2.m1.7.7.1.1.1.1.1.1"><times id="S1.E2.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S1.E2.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2"></times><apply id="S1.E2.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S1.E2.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.3"><times id="S1.E2.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S1.E2.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><cn id="S1.E2.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S1.E2.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.3.2">3</cn><apply id="S1.E2.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S1.E2.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.E2.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S1.E2.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.3.3">superscript</csymbol><cn id="S1.E2.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" type="integer" xref="S1.E2.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.3.3.2">10</cn><cn id="S1.E2.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S1.E2.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.3.3.3">13</cn></apply></apply><apply id="S1.E2.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S1.E2.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1"><apply id="S1.E2.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.E2.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.E2.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.E2.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><log id="S1.E2.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S1.E2.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"></log><cn id="S1.E2.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S1.E2.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">5</cn></apply><ci id="S1.E2.m1.6.6.cmml" xref="S1.E2.m1.6.6">𝑡</ci></apply><apply id="S1.E2.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S1.E2.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.E2.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="S1.E2.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.4">superscript</csymbol><ci id="S1.E2.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="S1.E2.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.4.2">𝑡</ci><apply id="S1.E2.m1.2.2.2.cmml" xref="S1.E2.m1.2.2.2"><plus id="S1.E2.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S1.E2.m1.2.2.2.3"></plus><cn id="S1.E2.m1.2.2.2.4.cmml" type="integer" xref="S1.E2.m1.2.2.2.4">4</cn><apply id="S1.E2.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S1.E2.m1.2.2.2.2"><divide id="S1.E2.m1.2.2.2.2.3.cmml" xref="S1.E2.m1.2.2.2.2"></divide><cn id="S1.E2.m1.2.2.2.2.4.cmml" type="integer" xref="S1.E2.m1.2.2.2.2.4">3</cn><apply id="S1.E2.m1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S1.E2.m1.2.2.2.2.2"><root id="S1.E2.m1.2.2.2.2.2a.cmml" xref="S1.E2.m1.2.2.2.2.2"></root><apply id="S1.E2.m1.2.2.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S1.E2.m1.2.2.2.2.2.2.2.2"><apply id="S1.E2.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S1.E2.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.E2.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.cmml" xref="S1.E2.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.1">subscript</csymbol><log id="S1.E2.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.1.2.cmml" xref="S1.E2.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.1.2"></log><cn id="S1.E2.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.1.3.cmml" type="integer" xref="S1.E2.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.1.3">2</cn></apply><ci id="S1.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1">𝑡</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="S1.E2.m1.7.7.1.1.1.3.cmml" xref="S1.E2.m1.7.7.1.1.1.3"><minus id="S1.E2.m1.7.7.1.1.1.3.1.cmml" xref="S1.E2.m1.7.7.1.1.1.3"></minus><cn id="S1.E2.m1.7.7.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S1.E2.m1.7.7.1.1.1.3.2">1</cn></apply></apply></apply><apply id="S1.E2.m1.8.8.2.2.cmml" xref="S1.E2.m1.8.8.2.2"><eq id="S1.E2.m1.8.8.2.2.1.cmml" xref="S1.E2.m1.8.8.2.2.1"></eq><apply id="S1.E2.m1.8.8.2.2.2.cmml" xref="S1.E2.m1.8.8.2.2.2"><times id="S1.E2.m1.8.8.2.2.2.1.cmml" xref="S1.E2.m1.8.8.2.2.2.1"></times><ci id="S1.E2.m1.8.8.2.2.2.2a.cmml" xref="S1.E2.m1.8.8.2.2.2.2"><mtext id="S1.E2.m1.8.8.2.2.2.2.cmml" xref="S1.E2.m1.8.8.2.2.2.2">for </mtext></ci><ci id="S1.E2.m1.8.8.2.2.2.3.cmml" xref="S1.E2.m1.8.8.2.2.2.3">𝑞</ci></apply><cn id="S1.E2.m1.8.8.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S1.E2.m1.8.8.2.2.3">2</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.E2.m1.8c">\displaystyle\Delta(N,q,t)\geq\left[3\times 10^{13}\log^{5}(t)t^{4+\frac{3}{% \sqrt{\log_{2}(t)}}}\right]^{-1}\quad\text{for }q=2</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.E2.m1.8d">roman_Δ ( italic_N , italic_q , italic_t ) ≥ [ 3 × 10 start_POSTSUPERSCRIPT 13 end_POSTSUPERSCRIPT roman_log start_POSTSUPERSCRIPT 5 end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_t ) italic_t start_POSTSUPERSCRIPT 4 + divide start_ARG 3 end_ARG start_ARG square-root start_ARG roman_log start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t ) end_ARG end_ARG end_POSTSUPERSCRIPT ] start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT for italic_q = 2</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(2)</span></td> </tr></tbody> </table> </div> <div class="ltx_para" id="S1.SS1.p3"> <p class="ltx_p" id="S1.SS1.p3.3">Ref. <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_citep"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#bib.bib11" title="">11</a></cite> recently improved these <math alttext="q=2" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.SS1.p3.1.m1.1"><semantics id="S1.SS1.p3.1.m1.1a"><mrow id="S1.SS1.p3.1.m1.1.1" xref="S1.SS1.p3.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S1.SS1.p3.1.m1.1.1.2" xref="S1.SS1.p3.1.m1.1.1.2.cmml">q</mi><mo id="S1.SS1.p3.1.m1.1.1.1" xref="S1.SS1.p3.1.m1.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S1.SS1.p3.1.m1.1.1.3" xref="S1.SS1.p3.1.m1.1.1.3.cmml">2</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.SS1.p3.1.m1.1b"><apply id="S1.SS1.p3.1.m1.1.1.cmml" xref="S1.SS1.p3.1.m1.1.1"><eq id="S1.SS1.p3.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S1.SS1.p3.1.m1.1.1.1"></eq><ci id="S1.SS1.p3.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S1.SS1.p3.1.m1.1.1.2">𝑞</ci><cn id="S1.SS1.p3.1.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S1.SS1.p3.1.m1.1.1.3">2</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.SS1.p3.1.m1.1c">q=2</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.SS1.p3.1.m1.1d">italic_q = 2</annotation></semantics></math> bounds to one independent of <math alttext="N" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.SS1.p3.2.m2.1"><semantics id="S1.SS1.p3.2.m2.1a"><mi id="S1.SS1.p3.2.m2.1.1" xref="S1.SS1.p3.2.m2.1.1.cmml">N</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.SS1.p3.2.m2.1b"><ci id="S1.SS1.p3.2.m2.1.1.cmml" xref="S1.SS1.p3.2.m2.1.1">𝑁</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.SS1.p3.2.m2.1c">N</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.SS1.p3.2.m2.1d">italic_N</annotation></semantics></math> and only weakly dependent on <math alttext="t" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.SS1.p3.3.m3.1"><semantics id="S1.SS1.p3.3.m3.1a"><mi id="S1.SS1.p3.3.m3.1.1" xref="S1.SS1.p3.3.m3.1.1.cmml">t</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.SS1.p3.3.m3.1b"><ci id="S1.SS1.p3.3.m3.1.1.cmml" xref="S1.SS1.p3.3.m3.1.1">𝑡</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.SS1.p3.3.m3.1c">t</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.SS1.p3.3.m3.1d">italic_t</annotation></semantics></math>:</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_gather ltx_eqn_table" id="S6.EGx3"> <tbody id="S1.E3"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\displaystyle\Delta(N,q,t)\geq\Omega(\log(t)^{-7})\quad\text{for }q=2,t\leq% \Theta(2^{2n/5})" class="ltx_math_unparsed" display="block" id="S1.E3.m1.5"><semantics id="S1.E3.m1.5a"><mrow id="S1.E3.m1.5b"><mi id="S1.E3.m1.5.6" mathvariant="normal">Δ</mi><mrow id="S1.E3.m1.5.7"><mo id="S1.E3.m1.5.7.1" stretchy="false">(</mo><mi id="S1.E3.m1.1.1">N</mi><mo id="S1.E3.m1.5.7.2">,</mo><mi id="S1.E3.m1.2.2">q</mi><mo id="S1.E3.m1.5.7.3">,</mo><mi id="S1.E3.m1.3.3">t</mi><mo id="S1.E3.m1.5.7.4" stretchy="false">)</mo></mrow><mo id="S1.E3.m1.5.8">≥</mo><mi id="S1.E3.m1.5.9" mathvariant="normal">Ω</mi><mrow id="S1.E3.m1.5.10"><mo id="S1.E3.m1.5.10.1" stretchy="false">(</mo><mi id="S1.E3.m1.4.4">log</mi><msup id="S1.E3.m1.5.10.2"><mrow id="S1.E3.m1.5.10.2.2"><mo id="S1.E3.m1.5.10.2.2.1" stretchy="false">(</mo><mi id="S1.E3.m1.5.5">t</mi><mo id="S1.E3.m1.5.10.2.2.2" stretchy="false">)</mo></mrow><mrow id="S1.E3.m1.5.10.2.3"><mo id="S1.E3.m1.5.10.2.3a">−</mo><mn id="S1.E3.m1.5.10.2.3.2">7</mn></mrow></msup><mo id="S1.E3.m1.5.10.3" stretchy="false">)</mo></mrow><mspace id="S1.E3.m1.5.11" width="1em"></mspace><mtext id="S1.E3.m1.5.12">for </mtext><mi id="S1.E3.m1.5.13">q</mi><mo id="S1.E3.m1.5.14">=</mo><mn id="S1.E3.m1.5.15">2</mn><mo id="S1.E3.m1.5.16">,</mo><mi id="S1.E3.m1.5.17">t</mi><mo id="S1.E3.m1.5.18">≤</mo><mi id="S1.E3.m1.5.19" mathvariant="normal">Θ</mi><mrow id="S1.E3.m1.5.20"><mo id="S1.E3.m1.5.20.1" stretchy="false">(</mo><msup id="S1.E3.m1.5.20.2"><mn id="S1.E3.m1.5.20.2.2">2</mn><mrow id="S1.E3.m1.5.20.2.3"><mrow id="S1.E3.m1.5.20.2.3.2"><mn id="S1.E3.m1.5.20.2.3.2.2">2</mn><mo id="S1.E3.m1.5.20.2.3.2.1">⁢</mo><mi id="S1.E3.m1.5.20.2.3.2.3">n</mi></mrow><mo id="S1.E3.m1.5.20.2.3.1">/</mo><mn id="S1.E3.m1.5.20.2.3.3">5</mn></mrow></msup><mo id="S1.E3.m1.5.20.3" stretchy="false">)</mo></mrow></mrow><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.E3.m1.5c">\displaystyle\Delta(N,q,t)\geq\Omega(\log(t)^{-7})\quad\text{for }q=2,t\leq% \Theta(2^{2n/5})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.E3.m1.5d">roman_Δ ( italic_N , italic_q , italic_t ) ≥ roman_Ω ( roman_log ( italic_t ) start_POSTSUPERSCRIPT - 7 end_POSTSUPERSCRIPT ) for italic_q = 2 , italic_t ≤ roman_Θ ( 2 start_POSTSUPERSCRIPT 2 italic_n / 5 end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(3)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S1.SS1.p3.4">with an alternate bound for a slightly larger range of <math alttext="t" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.SS1.p3.4.m1.1"><semantics id="S1.SS1.p3.4.m1.1a"><mi id="S1.SS1.p3.4.m1.1.1" xref="S1.SS1.p3.4.m1.1.1.cmml">t</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.SS1.p3.4.m1.1b"><ci id="S1.SS1.p3.4.m1.1.1.cmml" xref="S1.SS1.p3.4.m1.1.1">𝑡</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.SS1.p3.4.m1.1c">t</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.SS1.p3.4.m1.1d">italic_t</annotation></semantics></math>:</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_gather ltx_eqn_table" id="S6.EGx4"> <tbody id="S1.E4"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\displaystyle\Delta(N,q,t)\geq\Omega\left(\frac{N^{-5}}{\log(N)}\right)\quad% \text{ for }q=2,t\leq\Theta(2^{n/2})" class="ltx_Math" display="block" id="S1.E4.m1.7"><semantics id="S1.E4.m1.7a"><mrow id="S1.E4.m1.7.7.2" xref="S1.E4.m1.7.7.3.cmml"><mrow id="S1.E4.m1.6.6.1.1" xref="S1.E4.m1.6.6.1.1.cmml"><mrow id="S1.E4.m1.6.6.1.1.2" xref="S1.E4.m1.6.6.1.1.2.cmml"><mi id="S1.E4.m1.6.6.1.1.2.2" mathvariant="normal" xref="S1.E4.m1.6.6.1.1.2.2.cmml">Δ</mi><mo id="S1.E4.m1.6.6.1.1.2.1" xref="S1.E4.m1.6.6.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S1.E4.m1.6.6.1.1.2.3.2" xref="S1.E4.m1.6.6.1.1.2.3.1.cmml"><mo id="S1.E4.m1.6.6.1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S1.E4.m1.6.6.1.1.2.3.1.cmml">(</mo><mi id="S1.E4.m1.3.3" xref="S1.E4.m1.3.3.cmml">N</mi><mo id="S1.E4.m1.6.6.1.1.2.3.2.2" xref="S1.E4.m1.6.6.1.1.2.3.1.cmml">,</mo><mi id="S1.E4.m1.4.4" xref="S1.E4.m1.4.4.cmml">q</mi><mo id="S1.E4.m1.6.6.1.1.2.3.2.3" xref="S1.E4.m1.6.6.1.1.2.3.1.cmml">,</mo><mi id="S1.E4.m1.5.5" xref="S1.E4.m1.5.5.cmml">t</mi><mo id="S1.E4.m1.6.6.1.1.2.3.2.4" stretchy="false" xref="S1.E4.m1.6.6.1.1.2.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S1.E4.m1.6.6.1.1.1" xref="S1.E4.m1.6.6.1.1.1.cmml">≥</mo><mrow id="S1.E4.m1.6.6.1.1.3" xref="S1.E4.m1.6.6.1.1.3.cmml"><mi id="S1.E4.m1.6.6.1.1.3.2" mathvariant="normal" xref="S1.E4.m1.6.6.1.1.3.2.cmml">Ω</mi><mo id="S1.E4.m1.6.6.1.1.3.1" xref="S1.E4.m1.6.6.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S1.E4.m1.6.6.1.1.3.3.2" xref="S1.E4.m1.2.2.cmml"><mo id="S1.E4.m1.6.6.1.1.3.3.2.1" xref="S1.E4.m1.2.2.cmml">(</mo><mfrac id="S1.E4.m1.2.2" xref="S1.E4.m1.2.2.cmml"><msup id="S1.E4.m1.2.2.4" xref="S1.E4.m1.2.2.4.cmml"><mi id="S1.E4.m1.2.2.4.2" xref="S1.E4.m1.2.2.4.2.cmml">N</mi><mrow id="S1.E4.m1.2.2.4.3" xref="S1.E4.m1.2.2.4.3.cmml"><mo id="S1.E4.m1.2.2.4.3a" xref="S1.E4.m1.2.2.4.3.cmml">−</mo><mn id="S1.E4.m1.2.2.4.3.2" xref="S1.E4.m1.2.2.4.3.2.cmml">5</mn></mrow></msup><mrow id="S1.E4.m1.2.2.2.4" xref="S1.E4.m1.2.2.2.3.cmml"><mi id="S1.E4.m1.1.1.1.1" xref="S1.E4.m1.1.1.1.1.cmml">log</mi><mo id="S1.E4.m1.2.2.2.4a" xref="S1.E4.m1.2.2.2.3.cmml">⁡</mo><mrow id="S1.E4.m1.2.2.2.4.1" xref="S1.E4.m1.2.2.2.3.cmml"><mo id="S1.E4.m1.2.2.2.4.1.1" stretchy="false" xref="S1.E4.m1.2.2.2.3.cmml">(</mo><mi id="S1.E4.m1.2.2.2.2" xref="S1.E4.m1.2.2.2.2.cmml">N</mi><mo id="S1.E4.m1.2.2.2.4.1.2" stretchy="false" xref="S1.E4.m1.2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mfrac><mo id="S1.E4.m1.6.6.1.1.3.3.2.2" xref="S1.E4.m1.2.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mspace id="S1.E4.m1.7.7.2.3" width="1em" xref="S1.E4.m1.7.7.3a.cmml"></mspace><mrow id="S1.E4.m1.7.7.2.2.2" xref="S1.E4.m1.7.7.2.2.3.cmml"><mrow id="S1.E4.m1.7.7.2.2.1.1" xref="S1.E4.m1.7.7.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S1.E4.m1.7.7.2.2.1.1.2" xref="S1.E4.m1.7.7.2.2.1.1.2.cmml"><mtext id="S1.E4.m1.7.7.2.2.1.1.2.2" xref="S1.E4.m1.7.7.2.2.1.1.2.2a.cmml"> for </mtext><mo id="S1.E4.m1.7.7.2.2.1.1.2.1" xref="S1.E4.m1.7.7.2.2.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S1.E4.m1.7.7.2.2.1.1.2.3" xref="S1.E4.m1.7.7.2.2.1.1.2.3.cmml">q</mi></mrow><mo id="S1.E4.m1.7.7.2.2.1.1.1" xref="S1.E4.m1.7.7.2.2.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S1.E4.m1.7.7.2.2.1.1.3" xref="S1.E4.m1.7.7.2.2.1.1.3.cmml">2</mn></mrow><mo id="S1.E4.m1.7.7.2.2.2.3" xref="S1.E4.m1.7.7.2.2.3a.cmml">,</mo><mrow id="S1.E4.m1.7.7.2.2.2.2" xref="S1.E4.m1.7.7.2.2.2.2.cmml"><mi id="S1.E4.m1.7.7.2.2.2.2.3" xref="S1.E4.m1.7.7.2.2.2.2.3.cmml">t</mi><mo id="S1.E4.m1.7.7.2.2.2.2.2" xref="S1.E4.m1.7.7.2.2.2.2.2.cmml">≤</mo><mrow id="S1.E4.m1.7.7.2.2.2.2.1" xref="S1.E4.m1.7.7.2.2.2.2.1.cmml"><mi id="S1.E4.m1.7.7.2.2.2.2.1.3" mathvariant="normal" xref="S1.E4.m1.7.7.2.2.2.2.1.3.cmml">Θ</mi><mo id="S1.E4.m1.7.7.2.2.2.2.1.2" xref="S1.E4.m1.7.7.2.2.2.2.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S1.E4.m1.7.7.2.2.2.2.1.1.1" xref="S1.E4.m1.7.7.2.2.2.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="S1.E4.m1.7.7.2.2.2.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S1.E4.m1.7.7.2.2.2.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="S1.E4.m1.7.7.2.2.2.2.1.1.1.1" xref="S1.E4.m1.7.7.2.2.2.2.1.1.1.1.cmml"><mn id="S1.E4.m1.7.7.2.2.2.2.1.1.1.1.2" xref="S1.E4.m1.7.7.2.2.2.2.1.1.1.1.2.cmml">2</mn><mrow id="S1.E4.m1.7.7.2.2.2.2.1.1.1.1.3" xref="S1.E4.m1.7.7.2.2.2.2.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S1.E4.m1.7.7.2.2.2.2.1.1.1.1.3.2" xref="S1.E4.m1.7.7.2.2.2.2.1.1.1.1.3.2.cmml">n</mi><mo id="S1.E4.m1.7.7.2.2.2.2.1.1.1.1.3.1" xref="S1.E4.m1.7.7.2.2.2.2.1.1.1.1.3.1.cmml">/</mo><mn id="S1.E4.m1.7.7.2.2.2.2.1.1.1.1.3.3" xref="S1.E4.m1.7.7.2.2.2.2.1.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></mrow></msup><mo id="S1.E4.m1.7.7.2.2.2.2.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S1.E4.m1.7.7.2.2.2.2.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.E4.m1.7b"><apply id="S1.E4.m1.7.7.3.cmml" xref="S1.E4.m1.7.7.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.E4.m1.7.7.3a.cmml" xref="S1.E4.m1.7.7.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S1.E4.m1.6.6.1.1.cmml" xref="S1.E4.m1.6.6.1.1"><geq id="S1.E4.m1.6.6.1.1.1.cmml" xref="S1.E4.m1.6.6.1.1.1"></geq><apply id="S1.E4.m1.6.6.1.1.2.cmml" xref="S1.E4.m1.6.6.1.1.2"><times id="S1.E4.m1.6.6.1.1.2.1.cmml" xref="S1.E4.m1.6.6.1.1.2.1"></times><ci id="S1.E4.m1.6.6.1.1.2.2.cmml" xref="S1.E4.m1.6.6.1.1.2.2">Δ</ci><vector id="S1.E4.m1.6.6.1.1.2.3.1.cmml" xref="S1.E4.m1.6.6.1.1.2.3.2"><ci id="S1.E4.m1.3.3.cmml" xref="S1.E4.m1.3.3">𝑁</ci><ci id="S1.E4.m1.4.4.cmml" xref="S1.E4.m1.4.4">𝑞</ci><ci id="S1.E4.m1.5.5.cmml" xref="S1.E4.m1.5.5">𝑡</ci></vector></apply><apply id="S1.E4.m1.6.6.1.1.3.cmml" xref="S1.E4.m1.6.6.1.1.3"><times id="S1.E4.m1.6.6.1.1.3.1.cmml" xref="S1.E4.m1.6.6.1.1.3.1"></times><ci id="S1.E4.m1.6.6.1.1.3.2.cmml" xref="S1.E4.m1.6.6.1.1.3.2">Ω</ci><apply id="S1.E4.m1.2.2.cmml" xref="S1.E4.m1.6.6.1.1.3.3.2"><divide id="S1.E4.m1.2.2.3.cmml" xref="S1.E4.m1.6.6.1.1.3.3.2"></divide><apply id="S1.E4.m1.2.2.4.cmml" xref="S1.E4.m1.2.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.E4.m1.2.2.4.1.cmml" xref="S1.E4.m1.2.2.4">superscript</csymbol><ci id="S1.E4.m1.2.2.4.2.cmml" xref="S1.E4.m1.2.2.4.2">𝑁</ci><apply id="S1.E4.m1.2.2.4.3.cmml" xref="S1.E4.m1.2.2.4.3"><minus id="S1.E4.m1.2.2.4.3.1.cmml" xref="S1.E4.m1.2.2.4.3"></minus><cn id="S1.E4.m1.2.2.4.3.2.cmml" type="integer" xref="S1.E4.m1.2.2.4.3.2">5</cn></apply></apply><apply id="S1.E4.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S1.E4.m1.2.2.2.4"><log id="S1.E4.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.E4.m1.1.1.1.1"></log><ci id="S1.E4.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S1.E4.m1.2.2.2.2">𝑁</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="S1.E4.m1.7.7.2.2.3.cmml" xref="S1.E4.m1.7.7.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.E4.m1.7.7.2.2.3a.cmml" xref="S1.E4.m1.7.7.2.2.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S1.E4.m1.7.7.2.2.1.1.cmml" xref="S1.E4.m1.7.7.2.2.1.1"><eq id="S1.E4.m1.7.7.2.2.1.1.1.cmml" xref="S1.E4.m1.7.7.2.2.1.1.1"></eq><apply id="S1.E4.m1.7.7.2.2.1.1.2.cmml" xref="S1.E4.m1.7.7.2.2.1.1.2"><times id="S1.E4.m1.7.7.2.2.1.1.2.1.cmml" xref="S1.E4.m1.7.7.2.2.1.1.2.1"></times><ci id="S1.E4.m1.7.7.2.2.1.1.2.2a.cmml" xref="S1.E4.m1.7.7.2.2.1.1.2.2"><mtext id="S1.E4.m1.7.7.2.2.1.1.2.2.cmml" xref="S1.E4.m1.7.7.2.2.1.1.2.2"> for </mtext></ci><ci id="S1.E4.m1.7.7.2.2.1.1.2.3.cmml" xref="S1.E4.m1.7.7.2.2.1.1.2.3">𝑞</ci></apply><cn id="S1.E4.m1.7.7.2.2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S1.E4.m1.7.7.2.2.1.1.3">2</cn></apply><apply id="S1.E4.m1.7.7.2.2.2.2.cmml" xref="S1.E4.m1.7.7.2.2.2.2"><leq id="S1.E4.m1.7.7.2.2.2.2.2.cmml" xref="S1.E4.m1.7.7.2.2.2.2.2"></leq><ci id="S1.E4.m1.7.7.2.2.2.2.3.cmml" xref="S1.E4.m1.7.7.2.2.2.2.3">𝑡</ci><apply id="S1.E4.m1.7.7.2.2.2.2.1.cmml" xref="S1.E4.m1.7.7.2.2.2.2.1"><times id="S1.E4.m1.7.7.2.2.2.2.1.2.cmml" xref="S1.E4.m1.7.7.2.2.2.2.1.2"></times><ci id="S1.E4.m1.7.7.2.2.2.2.1.3.cmml" xref="S1.E4.m1.7.7.2.2.2.2.1.3">Θ</ci><apply id="S1.E4.m1.7.7.2.2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S1.E4.m1.7.7.2.2.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.E4.m1.7.7.2.2.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.E4.m1.7.7.2.2.2.2.1.1.1">superscript</csymbol><cn id="S1.E4.m1.7.7.2.2.2.2.1.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S1.E4.m1.7.7.2.2.2.2.1.1.1.1.2">2</cn><apply id="S1.E4.m1.7.7.2.2.2.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S1.E4.m1.7.7.2.2.2.2.1.1.1.1.3"><divide id="S1.E4.m1.7.7.2.2.2.2.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S1.E4.m1.7.7.2.2.2.2.1.1.1.1.3.1"></divide><ci id="S1.E4.m1.7.7.2.2.2.2.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S1.E4.m1.7.7.2.2.2.2.1.1.1.1.3.2">𝑛</ci><cn id="S1.E4.m1.7.7.2.2.2.2.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S1.E4.m1.7.7.2.2.2.2.1.1.1.1.3.3">2</cn></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.E4.m1.7c">\displaystyle\Delta(N,q,t)\geq\Omega\left(\frac{N^{-5}}{\log(N)}\right)\quad% \text{ for }q=2,t\leq\Theta(2^{n/2})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.E4.m1.7d">roman_Δ ( italic_N , italic_q , italic_t ) ≥ roman_Ω ( divide start_ARG italic_N start_POSTSUPERSCRIPT - 5 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG roman_log ( italic_N ) end_ARG ) for italic_q = 2 , italic_t ≤ roman_Θ ( 2 start_POSTSUPERSCRIPT italic_n / 2 end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(4)</span></td> </tr></tbody> </table> </div> <div class="ltx_para" id="S1.SS1.p4"> <p class="ltx_p" id="S1.SS1.p4.1">These bounds leave two areas of improvement. Firstly, establishing a tighter bound on the exact value of the spectral gap may have useful practical implications in the construction of these circuits on real quantum systems. The constant factors in these bounds are for the most part impractically large. Second, it seems likely that the polylogarithmic scaling in <math alttext="t" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.SS1.p4.1.m1.1"><semantics id="S1.SS1.p4.1.m1.1a"><mi id="S1.SS1.p4.1.m1.1.1" xref="S1.SS1.p4.1.m1.1.1.cmml">t</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.SS1.p4.1.m1.1b"><ci id="S1.SS1.p4.1.m1.1.1.cmml" xref="S1.SS1.p4.1.m1.1.1">𝑡</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.SS1.p4.1.m1.1c">t</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.SS1.p4.1.m1.1d">italic_t</annotation></semantics></math> established by ref. <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_citep"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#bib.bib11" title="">11</a></cite> is not optimal.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S1.SS1.p5"> <p class="ltx_p" id="S1.SS1.p5.4">Ref. <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_citep"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#bib.bib18" title="">18</a></cite> showed that</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_gather ltx_eqn_table" id="S6.EGx5"> <tbody id="S1.E5"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\displaystyle\Delta(N,q,t)\geq 1-\left(\frac{2}{q}\right)^{2}\quad\text{for }q\rightarrow\infty" class="ltx_Math" display="block" id="S1.E5.m1.6"><semantics id="S1.E5.m1.6a"><mrow id="S1.E5.m1.6.6.2" xref="S1.E5.m1.6.6.3.cmml"><mrow id="S1.E5.m1.5.5.1.1" xref="S1.E5.m1.5.5.1.1.cmml"><mrow id="S1.E5.m1.5.5.1.1.2" xref="S1.E5.m1.5.5.1.1.2.cmml"><mi id="S1.E5.m1.5.5.1.1.2.2" mathvariant="normal" xref="S1.E5.m1.5.5.1.1.2.2.cmml">Δ</mi><mo id="S1.E5.m1.5.5.1.1.2.1" xref="S1.E5.m1.5.5.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S1.E5.m1.5.5.1.1.2.3.2" xref="S1.E5.m1.5.5.1.1.2.3.1.cmml"><mo id="S1.E5.m1.5.5.1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S1.E5.m1.5.5.1.1.2.3.1.cmml">(</mo><mi id="S1.E5.m1.1.1" xref="S1.E5.m1.1.1.cmml">N</mi><mo id="S1.E5.m1.5.5.1.1.2.3.2.2" xref="S1.E5.m1.5.5.1.1.2.3.1.cmml">,</mo><mi id="S1.E5.m1.2.2" xref="S1.E5.m1.2.2.cmml">q</mi><mo id="S1.E5.m1.5.5.1.1.2.3.2.3" xref="S1.E5.m1.5.5.1.1.2.3.1.cmml">,</mo><mi id="S1.E5.m1.3.3" xref="S1.E5.m1.3.3.cmml">t</mi><mo id="S1.E5.m1.5.5.1.1.2.3.2.4" stretchy="false" xref="S1.E5.m1.5.5.1.1.2.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S1.E5.m1.5.5.1.1.1" xref="S1.E5.m1.5.5.1.1.1.cmml">≥</mo><mrow id="S1.E5.m1.5.5.1.1.3" xref="S1.E5.m1.5.5.1.1.3.cmml"><mn id="S1.E5.m1.5.5.1.1.3.2" xref="S1.E5.m1.5.5.1.1.3.2.cmml">1</mn><mo id="S1.E5.m1.5.5.1.1.3.1" xref="S1.E5.m1.5.5.1.1.3.1.cmml">−</mo><msup id="S1.E5.m1.5.5.1.1.3.3" xref="S1.E5.m1.5.5.1.1.3.3.cmml"><mrow id="S1.E5.m1.5.5.1.1.3.3.2.2" xref="S1.E5.m1.4.4.cmml"><mo id="S1.E5.m1.5.5.1.1.3.3.2.2.1" xref="S1.E5.m1.4.4.cmml">(</mo><mfrac id="S1.E5.m1.4.4" xref="S1.E5.m1.4.4.cmml"><mn id="S1.E5.m1.4.4.2" xref="S1.E5.m1.4.4.2.cmml">2</mn><mi id="S1.E5.m1.4.4.3" xref="S1.E5.m1.4.4.3.cmml">q</mi></mfrac><mo id="S1.E5.m1.5.5.1.1.3.3.2.2.2" xref="S1.E5.m1.4.4.cmml">)</mo></mrow><mn id="S1.E5.m1.5.5.1.1.3.3.3" xref="S1.E5.m1.5.5.1.1.3.3.3.cmml">2</mn></msup></mrow></mrow><mspace id="S1.E5.m1.6.6.2.3" width="1em" xref="S1.E5.m1.6.6.3a.cmml"></mspace><mrow id="S1.E5.m1.6.6.2.2" xref="S1.E5.m1.6.6.2.2.cmml"><mrow id="S1.E5.m1.6.6.2.2.2" xref="S1.E5.m1.6.6.2.2.2.cmml"><mtext id="S1.E5.m1.6.6.2.2.2.2" xref="S1.E5.m1.6.6.2.2.2.2a.cmml">for </mtext><mo id="S1.E5.m1.6.6.2.2.2.1" xref="S1.E5.m1.6.6.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S1.E5.m1.6.6.2.2.2.3" xref="S1.E5.m1.6.6.2.2.2.3.cmml">q</mi></mrow><mo id="S1.E5.m1.6.6.2.2.1" stretchy="false" xref="S1.E5.m1.6.6.2.2.1.cmml">→</mo><mi id="S1.E5.m1.6.6.2.2.3" mathvariant="normal" xref="S1.E5.m1.6.6.2.2.3.cmml">∞</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.E5.m1.6b"><apply id="S1.E5.m1.6.6.3.cmml" xref="S1.E5.m1.6.6.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.E5.m1.6.6.3a.cmml" xref="S1.E5.m1.6.6.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S1.E5.m1.5.5.1.1.cmml" xref="S1.E5.m1.5.5.1.1"><geq id="S1.E5.m1.5.5.1.1.1.cmml" xref="S1.E5.m1.5.5.1.1.1"></geq><apply id="S1.E5.m1.5.5.1.1.2.cmml" xref="S1.E5.m1.5.5.1.1.2"><times id="S1.E5.m1.5.5.1.1.2.1.cmml" xref="S1.E5.m1.5.5.1.1.2.1"></times><ci id="S1.E5.m1.5.5.1.1.2.2.cmml" xref="S1.E5.m1.5.5.1.1.2.2">Δ</ci><vector id="S1.E5.m1.5.5.1.1.2.3.1.cmml" xref="S1.E5.m1.5.5.1.1.2.3.2"><ci id="S1.E5.m1.1.1.cmml" xref="S1.E5.m1.1.1">𝑁</ci><ci id="S1.E5.m1.2.2.cmml" xref="S1.E5.m1.2.2">𝑞</ci><ci id="S1.E5.m1.3.3.cmml" xref="S1.E5.m1.3.3">𝑡</ci></vector></apply><apply id="S1.E5.m1.5.5.1.1.3.cmml" xref="S1.E5.m1.5.5.1.1.3"><minus id="S1.E5.m1.5.5.1.1.3.1.cmml" xref="S1.E5.m1.5.5.1.1.3.1"></minus><cn id="S1.E5.m1.5.5.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S1.E5.m1.5.5.1.1.3.2">1</cn><apply id="S1.E5.m1.5.5.1.1.3.3.cmml" xref="S1.E5.m1.5.5.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.E5.m1.5.5.1.1.3.3.1.cmml" xref="S1.E5.m1.5.5.1.1.3.3">superscript</csymbol><apply id="S1.E5.m1.4.4.cmml" xref="S1.E5.m1.5.5.1.1.3.3.2.2"><divide id="S1.E5.m1.4.4.1.cmml" xref="S1.E5.m1.5.5.1.1.3.3.2.2"></divide><cn id="S1.E5.m1.4.4.2.cmml" type="integer" xref="S1.E5.m1.4.4.2">2</cn><ci id="S1.E5.m1.4.4.3.cmml" xref="S1.E5.m1.4.4.3">𝑞</ci></apply><cn id="S1.E5.m1.5.5.1.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S1.E5.m1.5.5.1.1.3.3.3">2</cn></apply></apply></apply><apply id="S1.E5.m1.6.6.2.2.cmml" xref="S1.E5.m1.6.6.2.2"><ci id="S1.E5.m1.6.6.2.2.1.cmml" xref="S1.E5.m1.6.6.2.2.1">→</ci><apply id="S1.E5.m1.6.6.2.2.2.cmml" xref="S1.E5.m1.6.6.2.2.2"><times id="S1.E5.m1.6.6.2.2.2.1.cmml" xref="S1.E5.m1.6.6.2.2.2.1"></times><ci id="S1.E5.m1.6.6.2.2.2.2a.cmml" xref="S1.E5.m1.6.6.2.2.2.2"><mtext id="S1.E5.m1.6.6.2.2.2.2.cmml" xref="S1.E5.m1.6.6.2.2.2.2">for </mtext></ci><ci id="S1.E5.m1.6.6.2.2.2.3.cmml" xref="S1.E5.m1.6.6.2.2.2.3">𝑞</ci></apply><infinity id="S1.E5.m1.6.6.2.2.3.cmml" xref="S1.E5.m1.6.6.2.2.3"></infinity></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.E5.m1.6c">\displaystyle\Delta(N,q,t)\geq 1-\left(\frac{2}{q}\right)^{2}\quad\text{for }q\rightarrow\infty</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.E5.m1.6d">roman_Δ ( italic_N , italic_q , italic_t ) ≥ 1 - ( divide start_ARG 2 end_ARG start_ARG italic_q end_ARG ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT for italic_q → ∞</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(5)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S1.SS1.p5.3">Ref. <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_citep"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#bib.bib17" title="">17</a></cite> showed that <math alttext="t" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.SS1.p5.1.m1.1"><semantics id="S1.SS1.p5.1.m1.1a"><mi id="S1.SS1.p5.1.m1.1.1" xref="S1.SS1.p5.1.m1.1.1.cmml">t</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.SS1.p5.1.m1.1b"><ci id="S1.SS1.p5.1.m1.1.1.cmml" xref="S1.SS1.p5.1.m1.1.1">𝑡</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.SS1.p5.1.m1.1c">t</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.SS1.p5.1.m1.1d">italic_t</annotation></semantics></math>-independence holds even for finite values of <math alttext="q" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.SS1.p5.2.m2.1"><semantics id="S1.SS1.p5.2.m2.1a"><mi id="S1.SS1.p5.2.m2.1.1" xref="S1.SS1.p5.2.m2.1.1.cmml">q</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.SS1.p5.2.m2.1b"><ci id="S1.SS1.p5.2.m2.1.1.cmml" xref="S1.SS1.p5.2.m2.1.1">𝑞</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.SS1.p5.2.m2.1c">q</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.SS1.p5.2.m2.1d">italic_q</annotation></semantics></math> above some cutoff <math alttext="q_{0}(t)" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.SS1.p5.3.m3.1"><semantics id="S1.SS1.p5.3.m3.1a"><mrow id="S1.SS1.p5.3.m3.1.2" xref="S1.SS1.p5.3.m3.1.2.cmml"><msub id="S1.SS1.p5.3.m3.1.2.2" xref="S1.SS1.p5.3.m3.1.2.2.cmml"><mi id="S1.SS1.p5.3.m3.1.2.2.2" xref="S1.SS1.p5.3.m3.1.2.2.2.cmml">q</mi><mn id="S1.SS1.p5.3.m3.1.2.2.3" xref="S1.SS1.p5.3.m3.1.2.2.3.cmml">0</mn></msub><mo id="S1.SS1.p5.3.m3.1.2.1" xref="S1.SS1.p5.3.m3.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S1.SS1.p5.3.m3.1.2.3.2" xref="S1.SS1.p5.3.m3.1.2.cmml"><mo id="S1.SS1.p5.3.m3.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S1.SS1.p5.3.m3.1.2.cmml">(</mo><mi id="S1.SS1.p5.3.m3.1.1" xref="S1.SS1.p5.3.m3.1.1.cmml">t</mi><mo id="S1.SS1.p5.3.m3.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S1.SS1.p5.3.m3.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.SS1.p5.3.m3.1b"><apply id="S1.SS1.p5.3.m3.1.2.cmml" xref="S1.SS1.p5.3.m3.1.2"><times id="S1.SS1.p5.3.m3.1.2.1.cmml" xref="S1.SS1.p5.3.m3.1.2.1"></times><apply id="S1.SS1.p5.3.m3.1.2.2.cmml" xref="S1.SS1.p5.3.m3.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.SS1.p5.3.m3.1.2.2.1.cmml" xref="S1.SS1.p5.3.m3.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S1.SS1.p5.3.m3.1.2.2.2.cmml" xref="S1.SS1.p5.3.m3.1.2.2.2">𝑞</ci><cn id="S1.SS1.p5.3.m3.1.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S1.SS1.p5.3.m3.1.2.2.3">0</cn></apply><ci id="S1.SS1.p5.3.m3.1.1.cmml" xref="S1.SS1.p5.3.m3.1.1">𝑡</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.SS1.p5.3.m3.1c">q_{0}(t)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.SS1.p5.3.m3.1d">italic_q start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t )</annotation></semantics></math>. In particular, they found</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_gather ltx_eqn_table" id="S6.EGx6"> <tbody id="S1.E6"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\displaystyle\Delta(N,q,t)\geq\frac{1}{18}\quad\text{for }q\geq 6t^{2}" class="ltx_Math" display="block" id="S1.E6.m1.5"><semantics id="S1.E6.m1.5a"><mrow id="S1.E6.m1.5.5.2" xref="S1.E6.m1.5.5.3.cmml"><mrow id="S1.E6.m1.4.4.1.1" xref="S1.E6.m1.4.4.1.1.cmml"><mrow id="S1.E6.m1.4.4.1.1.2" xref="S1.E6.m1.4.4.1.1.2.cmml"><mi id="S1.E6.m1.4.4.1.1.2.2" mathvariant="normal" xref="S1.E6.m1.4.4.1.1.2.2.cmml">Δ</mi><mo id="S1.E6.m1.4.4.1.1.2.1" xref="S1.E6.m1.4.4.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S1.E6.m1.4.4.1.1.2.3.2" xref="S1.E6.m1.4.4.1.1.2.3.1.cmml"><mo id="S1.E6.m1.4.4.1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S1.E6.m1.4.4.1.1.2.3.1.cmml">(</mo><mi id="S1.E6.m1.1.1" xref="S1.E6.m1.1.1.cmml">N</mi><mo id="S1.E6.m1.4.4.1.1.2.3.2.2" xref="S1.E6.m1.4.4.1.1.2.3.1.cmml">,</mo><mi id="S1.E6.m1.2.2" xref="S1.E6.m1.2.2.cmml">q</mi><mo id="S1.E6.m1.4.4.1.1.2.3.2.3" xref="S1.E6.m1.4.4.1.1.2.3.1.cmml">,</mo><mi id="S1.E6.m1.3.3" xref="S1.E6.m1.3.3.cmml">t</mi><mo id="S1.E6.m1.4.4.1.1.2.3.2.4" stretchy="false" xref="S1.E6.m1.4.4.1.1.2.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S1.E6.m1.4.4.1.1.1" xref="S1.E6.m1.4.4.1.1.1.cmml">≥</mo><mfrac id="S1.E6.m1.4.4.1.1.3" xref="S1.E6.m1.4.4.1.1.3.cmml"><mn id="S1.E6.m1.4.4.1.1.3.2" xref="S1.E6.m1.4.4.1.1.3.2.cmml">1</mn><mn id="S1.E6.m1.4.4.1.1.3.3" xref="S1.E6.m1.4.4.1.1.3.3.cmml">18</mn></mfrac></mrow><mspace id="S1.E6.m1.5.5.2.3" width="1em" xref="S1.E6.m1.5.5.3a.cmml"></mspace><mrow id="S1.E6.m1.5.5.2.2" xref="S1.E6.m1.5.5.2.2.cmml"><mrow id="S1.E6.m1.5.5.2.2.2" xref="S1.E6.m1.5.5.2.2.2.cmml"><mtext id="S1.E6.m1.5.5.2.2.2.2" xref="S1.E6.m1.5.5.2.2.2.2a.cmml">for </mtext><mo id="S1.E6.m1.5.5.2.2.2.1" xref="S1.E6.m1.5.5.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S1.E6.m1.5.5.2.2.2.3" xref="S1.E6.m1.5.5.2.2.2.3.cmml">q</mi></mrow><mo id="S1.E6.m1.5.5.2.2.1" xref="S1.E6.m1.5.5.2.2.1.cmml">≥</mo><mrow id="S1.E6.m1.5.5.2.2.3" xref="S1.E6.m1.5.5.2.2.3.cmml"><mn id="S1.E6.m1.5.5.2.2.3.2" xref="S1.E6.m1.5.5.2.2.3.2.cmml">6</mn><mo id="S1.E6.m1.5.5.2.2.3.1" xref="S1.E6.m1.5.5.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="S1.E6.m1.5.5.2.2.3.3" xref="S1.E6.m1.5.5.2.2.3.3.cmml"><mi id="S1.E6.m1.5.5.2.2.3.3.2" xref="S1.E6.m1.5.5.2.2.3.3.2.cmml">t</mi><mn id="S1.E6.m1.5.5.2.2.3.3.3" xref="S1.E6.m1.5.5.2.2.3.3.3.cmml">2</mn></msup></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.E6.m1.5b"><apply id="S1.E6.m1.5.5.3.cmml" xref="S1.E6.m1.5.5.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.E6.m1.5.5.3a.cmml" xref="S1.E6.m1.5.5.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S1.E6.m1.4.4.1.1.cmml" xref="S1.E6.m1.4.4.1.1"><geq id="S1.E6.m1.4.4.1.1.1.cmml" xref="S1.E6.m1.4.4.1.1.1"></geq><apply id="S1.E6.m1.4.4.1.1.2.cmml" xref="S1.E6.m1.4.4.1.1.2"><times id="S1.E6.m1.4.4.1.1.2.1.cmml" xref="S1.E6.m1.4.4.1.1.2.1"></times><ci id="S1.E6.m1.4.4.1.1.2.2.cmml" xref="S1.E6.m1.4.4.1.1.2.2">Δ</ci><vector id="S1.E6.m1.4.4.1.1.2.3.1.cmml" xref="S1.E6.m1.4.4.1.1.2.3.2"><ci id="S1.E6.m1.1.1.cmml" xref="S1.E6.m1.1.1">𝑁</ci><ci id="S1.E6.m1.2.2.cmml" xref="S1.E6.m1.2.2">𝑞</ci><ci id="S1.E6.m1.3.3.cmml" xref="S1.E6.m1.3.3">𝑡</ci></vector></apply><apply id="S1.E6.m1.4.4.1.1.3.cmml" xref="S1.E6.m1.4.4.1.1.3"><divide id="S1.E6.m1.4.4.1.1.3.1.cmml" xref="S1.E6.m1.4.4.1.1.3"></divide><cn id="S1.E6.m1.4.4.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S1.E6.m1.4.4.1.1.3.2">1</cn><cn id="S1.E6.m1.4.4.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S1.E6.m1.4.4.1.1.3.3">18</cn></apply></apply><apply id="S1.E6.m1.5.5.2.2.cmml" xref="S1.E6.m1.5.5.2.2"><geq id="S1.E6.m1.5.5.2.2.1.cmml" xref="S1.E6.m1.5.5.2.2.1"></geq><apply id="S1.E6.m1.5.5.2.2.2.cmml" xref="S1.E6.m1.5.5.2.2.2"><times id="S1.E6.m1.5.5.2.2.2.1.cmml" xref="S1.E6.m1.5.5.2.2.2.1"></times><ci id="S1.E6.m1.5.5.2.2.2.2a.cmml" xref="S1.E6.m1.5.5.2.2.2.2"><mtext id="S1.E6.m1.5.5.2.2.2.2.cmml" xref="S1.E6.m1.5.5.2.2.2.2">for </mtext></ci><ci id="S1.E6.m1.5.5.2.2.2.3.cmml" xref="S1.E6.m1.5.5.2.2.2.3">𝑞</ci></apply><apply id="S1.E6.m1.5.5.2.2.3.cmml" xref="S1.E6.m1.5.5.2.2.3"><times id="S1.E6.m1.5.5.2.2.3.1.cmml" xref="S1.E6.m1.5.5.2.2.3.1"></times><cn id="S1.E6.m1.5.5.2.2.3.2.cmml" type="integer" xref="S1.E6.m1.5.5.2.2.3.2">6</cn><apply id="S1.E6.m1.5.5.2.2.3.3.cmml" xref="S1.E6.m1.5.5.2.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.E6.m1.5.5.2.2.3.3.1.cmml" xref="S1.E6.m1.5.5.2.2.3.3">superscript</csymbol><ci id="S1.E6.m1.5.5.2.2.3.3.2.cmml" xref="S1.E6.m1.5.5.2.2.3.3.2">𝑡</ci><cn id="S1.E6.m1.5.5.2.2.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S1.E6.m1.5.5.2.2.3.3.3">2</cn></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.E6.m1.5c">\displaystyle\Delta(N,q,t)\geq\frac{1}{18}\quad\text{for }q\geq 6t^{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.E6.m1.5d">roman_Δ ( italic_N , italic_q , italic_t ) ≥ divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 18 end_ARG for italic_q ≥ 6 italic_t start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(6)</span></td> </tr></tbody> </table> </div> <div class="ltx_para" id="S1.SS1.p6"> <p class="ltx_p" id="S1.SS1.p6.1">How far can we reduce this limit? It has been conjectured<cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#bib.bib18" title="">18</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#bib.bib14" title="">14</a>]</cite> that</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_gather ltx_eqn_table" id="S6.EGx7"> <tbody id="S1.E7"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\displaystyle\Delta(N,q,t)=1-\left(\frac{2q}{q^{2}+1}\right)^{2}\quad\text{for% }N\rightarrow\infty" class="ltx_Math" display="block" id="S1.E7.m1.6"><semantics id="S1.E7.m1.6a"><mrow id="S1.E7.m1.6.6.2" xref="S1.E7.m1.6.6.3.cmml"><mrow id="S1.E7.m1.5.5.1.1" xref="S1.E7.m1.5.5.1.1.cmml"><mrow id="S1.E7.m1.5.5.1.1.2" xref="S1.E7.m1.5.5.1.1.2.cmml"><mi id="S1.E7.m1.5.5.1.1.2.2" mathvariant="normal" xref="S1.E7.m1.5.5.1.1.2.2.cmml">Δ</mi><mo id="S1.E7.m1.5.5.1.1.2.1" xref="S1.E7.m1.5.5.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S1.E7.m1.5.5.1.1.2.3.2" xref="S1.E7.m1.5.5.1.1.2.3.1.cmml"><mo id="S1.E7.m1.5.5.1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S1.E7.m1.5.5.1.1.2.3.1.cmml">(</mo><mi id="S1.E7.m1.1.1" xref="S1.E7.m1.1.1.cmml">N</mi><mo id="S1.E7.m1.5.5.1.1.2.3.2.2" xref="S1.E7.m1.5.5.1.1.2.3.1.cmml">,</mo><mi id="S1.E7.m1.2.2" xref="S1.E7.m1.2.2.cmml">q</mi><mo id="S1.E7.m1.5.5.1.1.2.3.2.3" xref="S1.E7.m1.5.5.1.1.2.3.1.cmml">,</mo><mi id="S1.E7.m1.3.3" xref="S1.E7.m1.3.3.cmml">t</mi><mo id="S1.E7.m1.5.5.1.1.2.3.2.4" stretchy="false" xref="S1.E7.m1.5.5.1.1.2.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S1.E7.m1.5.5.1.1.1" xref="S1.E7.m1.5.5.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S1.E7.m1.5.5.1.1.3" xref="S1.E7.m1.5.5.1.1.3.cmml"><mn id="S1.E7.m1.5.5.1.1.3.2" xref="S1.E7.m1.5.5.1.1.3.2.cmml">1</mn><mo id="S1.E7.m1.5.5.1.1.3.1" xref="S1.E7.m1.5.5.1.1.3.1.cmml">−</mo><msup id="S1.E7.m1.5.5.1.1.3.3" xref="S1.E7.m1.5.5.1.1.3.3.cmml"><mrow id="S1.E7.m1.5.5.1.1.3.3.2.2" xref="S1.E7.m1.4.4.cmml"><mo id="S1.E7.m1.5.5.1.1.3.3.2.2.1" xref="S1.E7.m1.4.4.cmml">(</mo><mfrac id="S1.E7.m1.4.4" xref="S1.E7.m1.4.4.cmml"><mrow id="S1.E7.m1.4.4.2" xref="S1.E7.m1.4.4.2.cmml"><mn id="S1.E7.m1.4.4.2.2" xref="S1.E7.m1.4.4.2.2.cmml">2</mn><mo id="S1.E7.m1.4.4.2.1" xref="S1.E7.m1.4.4.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S1.E7.m1.4.4.2.3" xref="S1.E7.m1.4.4.2.3.cmml">q</mi></mrow><mrow id="S1.E7.m1.4.4.3" xref="S1.E7.m1.4.4.3.cmml"><msup id="S1.E7.m1.4.4.3.2" xref="S1.E7.m1.4.4.3.2.cmml"><mi id="S1.E7.m1.4.4.3.2.2" xref="S1.E7.m1.4.4.3.2.2.cmml">q</mi><mn id="S1.E7.m1.4.4.3.2.3" xref="S1.E7.m1.4.4.3.2.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S1.E7.m1.4.4.3.1" xref="S1.E7.m1.4.4.3.1.cmml">+</mo><mn id="S1.E7.m1.4.4.3.3" xref="S1.E7.m1.4.4.3.3.cmml">1</mn></mrow></mfrac><mo id="S1.E7.m1.5.5.1.1.3.3.2.2.2" xref="S1.E7.m1.4.4.cmml">)</mo></mrow><mn id="S1.E7.m1.5.5.1.1.3.3.3" xref="S1.E7.m1.5.5.1.1.3.3.3.cmml">2</mn></msup></mrow></mrow><mspace id="S1.E7.m1.6.6.2.3" width="1em" xref="S1.E7.m1.6.6.3a.cmml"></mspace><mrow id="S1.E7.m1.6.6.2.2" xref="S1.E7.m1.6.6.2.2.cmml"><mrow id="S1.E7.m1.6.6.2.2.2" xref="S1.E7.m1.6.6.2.2.2.cmml"><mtext id="S1.E7.m1.6.6.2.2.2.2" xref="S1.E7.m1.6.6.2.2.2.2a.cmml">for </mtext><mo id="S1.E7.m1.6.6.2.2.2.1" xref="S1.E7.m1.6.6.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S1.E7.m1.6.6.2.2.2.3" xref="S1.E7.m1.6.6.2.2.2.3.cmml">N</mi></mrow><mo id="S1.E7.m1.6.6.2.2.1" stretchy="false" xref="S1.E7.m1.6.6.2.2.1.cmml">→</mo><mi id="S1.E7.m1.6.6.2.2.3" mathvariant="normal" xref="S1.E7.m1.6.6.2.2.3.cmml">∞</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.E7.m1.6b"><apply id="S1.E7.m1.6.6.3.cmml" xref="S1.E7.m1.6.6.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.E7.m1.6.6.3a.cmml" xref="S1.E7.m1.6.6.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S1.E7.m1.5.5.1.1.cmml" xref="S1.E7.m1.5.5.1.1"><eq id="S1.E7.m1.5.5.1.1.1.cmml" xref="S1.E7.m1.5.5.1.1.1"></eq><apply id="S1.E7.m1.5.5.1.1.2.cmml" xref="S1.E7.m1.5.5.1.1.2"><times id="S1.E7.m1.5.5.1.1.2.1.cmml" xref="S1.E7.m1.5.5.1.1.2.1"></times><ci id="S1.E7.m1.5.5.1.1.2.2.cmml" xref="S1.E7.m1.5.5.1.1.2.2">Δ</ci><vector id="S1.E7.m1.5.5.1.1.2.3.1.cmml" xref="S1.E7.m1.5.5.1.1.2.3.2"><ci id="S1.E7.m1.1.1.cmml" xref="S1.E7.m1.1.1">𝑁</ci><ci id="S1.E7.m1.2.2.cmml" xref="S1.E7.m1.2.2">𝑞</ci><ci id="S1.E7.m1.3.3.cmml" xref="S1.E7.m1.3.3">𝑡</ci></vector></apply><apply id="S1.E7.m1.5.5.1.1.3.cmml" xref="S1.E7.m1.5.5.1.1.3"><minus id="S1.E7.m1.5.5.1.1.3.1.cmml" xref="S1.E7.m1.5.5.1.1.3.1"></minus><cn id="S1.E7.m1.5.5.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S1.E7.m1.5.5.1.1.3.2">1</cn><apply id="S1.E7.m1.5.5.1.1.3.3.cmml" xref="S1.E7.m1.5.5.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.E7.m1.5.5.1.1.3.3.1.cmml" xref="S1.E7.m1.5.5.1.1.3.3">superscript</csymbol><apply id="S1.E7.m1.4.4.cmml" xref="S1.E7.m1.5.5.1.1.3.3.2.2"><divide id="S1.E7.m1.4.4.1.cmml" xref="S1.E7.m1.5.5.1.1.3.3.2.2"></divide><apply id="S1.E7.m1.4.4.2.cmml" xref="S1.E7.m1.4.4.2"><times id="S1.E7.m1.4.4.2.1.cmml" xref="S1.E7.m1.4.4.2.1"></times><cn id="S1.E7.m1.4.4.2.2.cmml" type="integer" xref="S1.E7.m1.4.4.2.2">2</cn><ci id="S1.E7.m1.4.4.2.3.cmml" xref="S1.E7.m1.4.4.2.3">𝑞</ci></apply><apply id="S1.E7.m1.4.4.3.cmml" xref="S1.E7.m1.4.4.3"><plus id="S1.E7.m1.4.4.3.1.cmml" xref="S1.E7.m1.4.4.3.1"></plus><apply id="S1.E7.m1.4.4.3.2.cmml" xref="S1.E7.m1.4.4.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.E7.m1.4.4.3.2.1.cmml" xref="S1.E7.m1.4.4.3.2">superscript</csymbol><ci id="S1.E7.m1.4.4.3.2.2.cmml" xref="S1.E7.m1.4.4.3.2.2">𝑞</ci><cn id="S1.E7.m1.4.4.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S1.E7.m1.4.4.3.2.3">2</cn></apply><cn id="S1.E7.m1.4.4.3.3.cmml" type="integer" xref="S1.E7.m1.4.4.3.3">1</cn></apply></apply><cn id="S1.E7.m1.5.5.1.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S1.E7.m1.5.5.1.1.3.3.3">2</cn></apply></apply></apply><apply id="S1.E7.m1.6.6.2.2.cmml" xref="S1.E7.m1.6.6.2.2"><ci id="S1.E7.m1.6.6.2.2.1.cmml" xref="S1.E7.m1.6.6.2.2.1">→</ci><apply id="S1.E7.m1.6.6.2.2.2.cmml" xref="S1.E7.m1.6.6.2.2.2"><times id="S1.E7.m1.6.6.2.2.2.1.cmml" xref="S1.E7.m1.6.6.2.2.2.1"></times><ci id="S1.E7.m1.6.6.2.2.2.2a.cmml" xref="S1.E7.m1.6.6.2.2.2.2"><mtext id="S1.E7.m1.6.6.2.2.2.2.cmml" xref="S1.E7.m1.6.6.2.2.2.2">for </mtext></ci><ci id="S1.E7.m1.6.6.2.2.2.3.cmml" xref="S1.E7.m1.6.6.2.2.2.3">𝑁</ci></apply><infinity id="S1.E7.m1.6.6.2.2.3.cmml" xref="S1.E7.m1.6.6.2.2.3"></infinity></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.E7.m1.6c">\displaystyle\Delta(N,q,t)=1-\left(\frac{2q}{q^{2}+1}\right)^{2}\quad\text{for% }N\rightarrow\infty</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.E7.m1.6d">roman_Δ ( italic_N , italic_q , italic_t ) = 1 - ( divide start_ARG 2 italic_q end_ARG start_ARG italic_q start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + 1 end_ARG ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT for italic_N → ∞</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(7)</span></td> </tr></tbody> </table> </div> <div class="ltx_para" id="S1.SS1.p7"> <p class="ltx_p" id="S1.SS1.p7.3">In this paper, we will establish a near-optimal, <math alttext="t" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.SS1.p7.1.m1.1"><semantics id="S1.SS1.p7.1.m1.1a"><mi id="S1.SS1.p7.1.m1.1.1" xref="S1.SS1.p7.1.m1.1.1.cmml">t</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.SS1.p7.1.m1.1b"><ci id="S1.SS1.p7.1.m1.1.1.cmml" xref="S1.SS1.p7.1.m1.1.1">𝑡</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.SS1.p7.1.m1.1c">t</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.SS1.p7.1.m1.1d">italic_t</annotation></semantics></math>-independent spectral gap bound for one-dimensional random circuits for any <math alttext="q\geq t" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.SS1.p7.2.m2.1"><semantics id="S1.SS1.p7.2.m2.1a"><mrow id="S1.SS1.p7.2.m2.1.1" xref="S1.SS1.p7.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S1.SS1.p7.2.m2.1.1.2" xref="S1.SS1.p7.2.m2.1.1.2.cmml">q</mi><mo id="S1.SS1.p7.2.m2.1.1.1" xref="S1.SS1.p7.2.m2.1.1.1.cmml">≥</mo><mi id="S1.SS1.p7.2.m2.1.1.3" xref="S1.SS1.p7.2.m2.1.1.3.cmml">t</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.SS1.p7.2.m2.1b"><apply id="S1.SS1.p7.2.m2.1.1.cmml" xref="S1.SS1.p7.2.m2.1.1"><geq id="S1.SS1.p7.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S1.SS1.p7.2.m2.1.1.1"></geq><ci id="S1.SS1.p7.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S1.SS1.p7.2.m2.1.1.2">𝑞</ci><ci id="S1.SS1.p7.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S1.SS1.p7.2.m2.1.1.3">𝑡</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.SS1.p7.2.m2.1c">q\geq t</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.SS1.p7.2.m2.1d">italic_q ≥ italic_t</annotation></semantics></math>. Our result is in the spirit of Equation <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#S1.E6" title="In I.1 Prior work ‣ I Introduction ‣ Conditional 𝑡-independent spectral gap for random quantum circuits and implications for 𝑡-design depths"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">6</span></a>, but with the cutoff improved to <math alttext="q_{0}(t)=t" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.SS1.p7.3.m3.1"><semantics id="S1.SS1.p7.3.m3.1a"><mrow id="S1.SS1.p7.3.m3.1.2" xref="S1.SS1.p7.3.m3.1.2.cmml"><mrow id="S1.SS1.p7.3.m3.1.2.2" xref="S1.SS1.p7.3.m3.1.2.2.cmml"><msub id="S1.SS1.p7.3.m3.1.2.2.2" xref="S1.SS1.p7.3.m3.1.2.2.2.cmml"><mi id="S1.SS1.p7.3.m3.1.2.2.2.2" xref="S1.SS1.p7.3.m3.1.2.2.2.2.cmml">q</mi><mn id="S1.SS1.p7.3.m3.1.2.2.2.3" xref="S1.SS1.p7.3.m3.1.2.2.2.3.cmml">0</mn></msub><mo id="S1.SS1.p7.3.m3.1.2.2.1" xref="S1.SS1.p7.3.m3.1.2.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S1.SS1.p7.3.m3.1.2.2.3.2" xref="S1.SS1.p7.3.m3.1.2.2.cmml"><mo id="S1.SS1.p7.3.m3.1.2.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S1.SS1.p7.3.m3.1.2.2.cmml">(</mo><mi id="S1.SS1.p7.3.m3.1.1" xref="S1.SS1.p7.3.m3.1.1.cmml">t</mi><mo id="S1.SS1.p7.3.m3.1.2.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S1.SS1.p7.3.m3.1.2.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S1.SS1.p7.3.m3.1.2.1" xref="S1.SS1.p7.3.m3.1.2.1.cmml">=</mo><mi id="S1.SS1.p7.3.m3.1.2.3" xref="S1.SS1.p7.3.m3.1.2.3.cmml">t</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.SS1.p7.3.m3.1b"><apply id="S1.SS1.p7.3.m3.1.2.cmml" xref="S1.SS1.p7.3.m3.1.2"><eq id="S1.SS1.p7.3.m3.1.2.1.cmml" xref="S1.SS1.p7.3.m3.1.2.1"></eq><apply id="S1.SS1.p7.3.m3.1.2.2.cmml" xref="S1.SS1.p7.3.m3.1.2.2"><times id="S1.SS1.p7.3.m3.1.2.2.1.cmml" xref="S1.SS1.p7.3.m3.1.2.2.1"></times><apply id="S1.SS1.p7.3.m3.1.2.2.2.cmml" xref="S1.SS1.p7.3.m3.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.SS1.p7.3.m3.1.2.2.2.1.cmml" xref="S1.SS1.p7.3.m3.1.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S1.SS1.p7.3.m3.1.2.2.2.2.cmml" xref="S1.SS1.p7.3.m3.1.2.2.2.2">𝑞</ci><cn id="S1.SS1.p7.3.m3.1.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S1.SS1.p7.3.m3.1.2.2.2.3">0</cn></apply><ci id="S1.SS1.p7.3.m3.1.1.cmml" xref="S1.SS1.p7.3.m3.1.1">𝑡</ci></apply><ci id="S1.SS1.p7.3.m3.1.2.3.cmml" xref="S1.SS1.p7.3.m3.1.2.3">𝑡</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.SS1.p7.3.m3.1c">q_{0}(t)=t</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.SS1.p7.3.m3.1d">italic_q start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t ) = italic_t</annotation></semantics></math> and the spectral gap tightened to nearly that of Equation <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#S1.E7" title="In I.1 Prior work ‣ I Introduction ‣ Conditional 𝑡-independent spectral gap for random quantum circuits and implications for 𝑡-design depths"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">7</span></a>.</p> </div> </section> <section class="ltx_subsection" id="S1.SS2"> <h3 class="ltx_title ltx_title_subsection"> <span class="ltx_tag ltx_tag_subsection">I.2 </span>Main results</h3> <div class="ltx_para" id="S1.SS2.p1"> <p class="ltx_p" id="S1.SS2.p1.1">Our core results are about the spectral gap (see Definition <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#Thmtheorem7" title="Definition 7. ‣ II.1 Definitions ‣ II Preliminary work ‣ Conditional 𝑡-independent spectral gap for random quantum circuits and implications for 𝑡-design depths"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">7</span></a>) of the 1D brickwork architecture (see Definition <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#Thmtheorem9" title="Definition 9. ‣ II.3 Brickwork and staircase ‣ II Preliminary work ‣ Conditional 𝑡-independent spectral gap for random quantum circuits and implications for 𝑡-design depths"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">9</span></a>).</p> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_theorem" id="Thmtheorem1"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmtheorem1.1.1.1">Theorem 1</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmtheorem1.2.2">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="Thmtheorem1.p1"> <p class="ltx_p" id="Thmtheorem1.p1.3"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmtheorem1.p1.3.3">When <math alttext="t\leq q" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1"><semantics id="Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1a"><mrow id="Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1.1" xref="Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1.1.2" xref="Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1.1.2.cmml">t</mi><mo id="Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1.1.1" xref="Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1.1.1.cmml">≤</mo><mi id="Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1.1.3" xref="Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1.1.3.cmml">q</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1b"><apply id="Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1.1"><leq id="Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1.1.1"></leq><ci id="Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1.1.2">𝑡</ci><ci id="Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1.1.3">𝑞</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1c">t\leq q</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1d">italic_t ≤ italic_q</annotation></semantics></math>, the spectral gap of the 1D brickwork architecture with <math alttext="N" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem1.p1.2.2.m2.1"><semantics id="Thmtheorem1.p1.2.2.m2.1a"><mi id="Thmtheorem1.p1.2.2.m2.1.1" xref="Thmtheorem1.p1.2.2.m2.1.1.cmml">N</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem1.p1.2.2.m2.1b"><ci id="Thmtheorem1.p1.2.2.m2.1.1.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.2.2.m2.1.1">𝑁</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem1.p1.2.2.m2.1c">N</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem1.p1.2.2.m2.1d">italic_N</annotation></semantics></math> sites of local Hilbert space dimension <math alttext="q" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.1"><semantics id="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.1a"><mi id="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.1.1" xref="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.1.1.cmml">q</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.1b"><ci id="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.1.1.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.1.1">𝑞</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.1c">q</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem1.p1.3.3.m3.1d">italic_q</annotation></semantics></math> is at least</span></p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_gather ltx_eqn_table" id="S6.EGx8"> <tbody id="S1.E8"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\displaystyle\Delta(N,q,t)\geq 1-\left(\frac{2q}{q^{2}+1}\frac{1+\sqrt{1+\frac% {1}{q^{2}}}}{2}\right)^{2}" class="ltx_Math" display="block" id="S1.E8.m1.4"><semantics id="S1.E8.m1.4a"><mrow id="S1.E8.m1.4.4" xref="S1.E8.m1.4.4.cmml"><mrow id="S1.E8.m1.4.4.3" xref="S1.E8.m1.4.4.3.cmml"><mi id="S1.E8.m1.4.4.3.2" mathvariant="normal" xref="S1.E8.m1.4.4.3.2.cmml">Δ</mi><mo id="S1.E8.m1.4.4.3.1" xref="S1.E8.m1.4.4.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S1.E8.m1.4.4.3.3.2" xref="S1.E8.m1.4.4.3.3.1.cmml"><mo id="S1.E8.m1.4.4.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S1.E8.m1.4.4.3.3.1.cmml">(</mo><mi id="S1.E8.m1.1.1" xref="S1.E8.m1.1.1.cmml">N</mi><mo id="S1.E8.m1.4.4.3.3.2.2" xref="S1.E8.m1.4.4.3.3.1.cmml">,</mo><mi id="S1.E8.m1.2.2" xref="S1.E8.m1.2.2.cmml">q</mi><mo id="S1.E8.m1.4.4.3.3.2.3" xref="S1.E8.m1.4.4.3.3.1.cmml">,</mo><mi id="S1.E8.m1.3.3" xref="S1.E8.m1.3.3.cmml">t</mi><mo id="S1.E8.m1.4.4.3.3.2.4" stretchy="false" xref="S1.E8.m1.4.4.3.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S1.E8.m1.4.4.2" xref="S1.E8.m1.4.4.2.cmml">≥</mo><mrow id="S1.E8.m1.4.4.1" xref="S1.E8.m1.4.4.1.cmml"><mn id="S1.E8.m1.4.4.1.3" xref="S1.E8.m1.4.4.1.3.cmml">1</mn><mo id="S1.E8.m1.4.4.1.2" xref="S1.E8.m1.4.4.1.2.cmml">−</mo><msup id="S1.E8.m1.4.4.1.1" xref="S1.E8.m1.4.4.1.1.cmml"><mrow id="S1.E8.m1.4.4.1.1.1.1" xref="S1.E8.m1.4.4.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S1.E8.m1.4.4.1.1.1.1.2" xref="S1.E8.m1.4.4.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S1.E8.m1.4.4.1.1.1.1.1" xref="S1.E8.m1.4.4.1.1.1.1.1.cmml"><mfrac id="S1.E8.m1.4.4.1.1.1.1.1.2" xref="S1.E8.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.cmml"><mrow id="S1.E8.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2" xref="S1.E8.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mn id="S1.E8.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S1.E8.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">2</mn><mo id="S1.E8.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.1" xref="S1.E8.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S1.E8.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S1.E8.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">q</mi></mrow><mrow id="S1.E8.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.3" xref="S1.E8.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><msup id="S1.E8.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S1.E8.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml"><mi id="S1.E8.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.3.2.2" xref="S1.E8.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.3.2.2.cmml">q</mi><mn id="S1.E8.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.3.2.3" xref="S1.E8.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.3.2.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S1.E8.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.3.1" xref="S1.E8.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml">+</mo><mn id="S1.E8.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="S1.E8.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">1</mn></mrow></mfrac><mo id="S1.E8.m1.4.4.1.1.1.1.1.1" xref="S1.E8.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mfrac id="S1.E8.m1.4.4.1.1.1.1.1.3" xref="S1.E8.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.cmml"><mrow id="S1.E8.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.2" xref="S1.E8.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mn id="S1.E8.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S1.E8.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">1</mn><mo id="S1.E8.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.2.1" xref="S1.E8.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml">+</mo><msqrt id="S1.E8.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S1.E8.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml"><mrow id="S1.E8.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.2.3.2" xref="S1.E8.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml"><mn id="S1.E8.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.2.3.2.2" xref="S1.E8.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.2.3.2.2.cmml">1</mn><mo id="S1.E8.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.2.3.2.1" xref="S1.E8.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.2.3.2.1.cmml">+</mo><mfrac id="S1.E8.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.2.3.2.3" xref="S1.E8.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.2.3.2.3.cmml"><mn id="S1.E8.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.2.3.2.3.2" xref="S1.E8.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.2.3.2.3.2.cmml">1</mn><msup id="S1.E8.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.2.3.2.3.3" xref="S1.E8.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.2.3.2.3.3.cmml"><mi id="S1.E8.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.2.3.2.3.3.2" xref="S1.E8.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.2.3.2.3.3.2.cmml">q</mi><mn id="S1.E8.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.2.3.2.3.3.3" xref="S1.E8.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.2.3.2.3.3.3.cmml">2</mn></msup></mfrac></mrow></msqrt></mrow><mn id="S1.E8.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3" xref="S1.E8.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></mfrac></mrow><mo id="S1.E8.m1.4.4.1.1.1.1.3" xref="S1.E8.m1.4.4.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mn id="S1.E8.m1.4.4.1.1.3" xref="S1.E8.m1.4.4.1.1.3.cmml">2</mn></msup></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.E8.m1.4b"><apply id="S1.E8.m1.4.4.cmml" xref="S1.E8.m1.4.4"><geq id="S1.E8.m1.4.4.2.cmml" xref="S1.E8.m1.4.4.2"></geq><apply id="S1.E8.m1.4.4.3.cmml" xref="S1.E8.m1.4.4.3"><times id="S1.E8.m1.4.4.3.1.cmml" xref="S1.E8.m1.4.4.3.1"></times><ci id="S1.E8.m1.4.4.3.2.cmml" xref="S1.E8.m1.4.4.3.2">Δ</ci><vector id="S1.E8.m1.4.4.3.3.1.cmml" xref="S1.E8.m1.4.4.3.3.2"><ci id="S1.E8.m1.1.1.cmml" xref="S1.E8.m1.1.1">𝑁</ci><ci id="S1.E8.m1.2.2.cmml" xref="S1.E8.m1.2.2">𝑞</ci><ci id="S1.E8.m1.3.3.cmml" xref="S1.E8.m1.3.3">𝑡</ci></vector></apply><apply id="S1.E8.m1.4.4.1.cmml" xref="S1.E8.m1.4.4.1"><minus id="S1.E8.m1.4.4.1.2.cmml" xref="S1.E8.m1.4.4.1.2"></minus><cn id="S1.E8.m1.4.4.1.3.cmml" type="integer" xref="S1.E8.m1.4.4.1.3">1</cn><apply id="S1.E8.m1.4.4.1.1.cmml" xref="S1.E8.m1.4.4.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.E8.m1.4.4.1.1.2.cmml" xref="S1.E8.m1.4.4.1.1">superscript</csymbol><apply id="S1.E8.m1.4.4.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.E8.m1.4.4.1.1.1.1"><times id="S1.E8.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.E8.m1.4.4.1.1.1.1.1.1"></times><apply id="S1.E8.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S1.E8.m1.4.4.1.1.1.1.1.2"><divide id="S1.E8.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S1.E8.m1.4.4.1.1.1.1.1.2"></divide><apply id="S1.E8.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S1.E8.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2"><times id="S1.E8.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S1.E8.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.1"></times><cn id="S1.E8.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" type="integer" xref="S1.E8.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.2">2</cn><ci id="S1.E8.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S1.E8.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.3">𝑞</ci></apply><apply id="S1.E8.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S1.E8.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.3"><plus id="S1.E8.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S1.E8.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.3.1"></plus><apply id="S1.E8.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S1.E8.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.E8.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.3.2.1.cmml" xref="S1.E8.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.3.2">superscript</csymbol><ci id="S1.E8.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.3.2.2.cmml" xref="S1.E8.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.3.2.2">𝑞</ci><cn id="S1.E8.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S1.E8.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.3.2.3">2</cn></apply><cn id="S1.E8.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S1.E8.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.3.3">1</cn></apply></apply><apply id="S1.E8.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S1.E8.m1.4.4.1.1.1.1.1.3"><divide id="S1.E8.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S1.E8.m1.4.4.1.1.1.1.1.3"></divide><apply id="S1.E8.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S1.E8.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.2"><plus id="S1.E8.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S1.E8.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.2.1"></plus><cn id="S1.E8.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" type="integer" xref="S1.E8.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.2.2">1</cn><apply id="S1.E8.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S1.E8.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.2.3"><root id="S1.E8.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.2.3a.cmml" xref="S1.E8.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.2.3"></root><apply id="S1.E8.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S1.E8.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.2.3.2"><plus id="S1.E8.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.2.3.2.1.cmml" xref="S1.E8.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.2.3.2.1"></plus><cn id="S1.E8.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.2.3.2.2.cmml" type="integer" xref="S1.E8.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.2.3.2.2">1</cn><apply id="S1.E8.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.2.3.2.3.cmml" xref="S1.E8.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.2.3.2.3"><divide id="S1.E8.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.2.3.2.3.1.cmml" xref="S1.E8.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.2.3.2.3"></divide><cn id="S1.E8.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.2.3.2.3.2.cmml" type="integer" xref="S1.E8.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.2.3.2.3.2">1</cn><apply id="S1.E8.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.2.3.2.3.3.cmml" xref="S1.E8.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.2.3.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.E8.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.2.3.2.3.3.1.cmml" xref="S1.E8.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.2.3.2.3.3">superscript</csymbol><ci id="S1.E8.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.2.3.2.3.3.2.cmml" xref="S1.E8.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.2.3.2.3.3.2">𝑞</ci><cn id="S1.E8.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.2.3.2.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S1.E8.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.2.3.2.3.3.3">2</cn></apply></apply></apply></apply></apply><cn id="S1.E8.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S1.E8.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3">2</cn></apply></apply><cn id="S1.E8.m1.4.4.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S1.E8.m1.4.4.1.1.3">2</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.E8.m1.4c">\displaystyle\Delta(N,q,t)\geq 1-\left(\frac{2q}{q^{2}+1}\frac{1+\sqrt{1+\frac% {1}{q^{2}}}}{2}\right)^{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.E8.m1.4d">roman_Δ ( italic_N , italic_q , italic_t ) ≥ 1 - ( divide start_ARG 2 italic_q end_ARG start_ARG italic_q start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + 1 end_ARG divide start_ARG 1 + square-root start_ARG 1 + divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_q start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG end_ARG end_ARG start_ARG 2 end_ARG ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(8)</span></td> </tr></tbody> </table> </div> </div> <div class="ltx_para" id="S1.SS2.p2"> <p class="ltx_p" id="S1.SS2.p2.2">In addition, we show that known results on the <math alttext="t=2" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.SS2.p2.1.m1.1"><semantics id="S1.SS2.p2.1.m1.1a"><mrow id="S1.SS2.p2.1.m1.1.1" xref="S1.SS2.p2.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S1.SS2.p2.1.m1.1.1.2" xref="S1.SS2.p2.1.m1.1.1.2.cmml">t</mi><mo id="S1.SS2.p2.1.m1.1.1.1" xref="S1.SS2.p2.1.m1.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S1.SS2.p2.1.m1.1.1.3" xref="S1.SS2.p2.1.m1.1.1.3.cmml">2</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.SS2.p2.1.m1.1b"><apply id="S1.SS2.p2.1.m1.1.1.cmml" xref="S1.SS2.p2.1.m1.1.1"><eq id="S1.SS2.p2.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S1.SS2.p2.1.m1.1.1.1"></eq><ci id="S1.SS2.p2.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S1.SS2.p2.1.m1.1.1.2">𝑡</ci><cn id="S1.SS2.p2.1.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S1.SS2.p2.1.m1.1.1.3">2</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.SS2.p2.1.m1.1c">t=2</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.SS2.p2.1.m1.1d">italic_t = 2</annotation></semantics></math> case can be extended to a lower bound for all <math alttext="t" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.SS2.p2.2.m2.1"><semantics id="S1.SS2.p2.2.m2.1a"><mi id="S1.SS2.p2.2.m2.1.1" xref="S1.SS2.p2.2.m2.1.1.cmml">t</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.SS2.p2.2.m2.1b"><ci id="S1.SS2.p2.2.m2.1.1.cmml" xref="S1.SS2.p2.2.m2.1.1">𝑡</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.SS2.p2.2.m2.1c">t</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.SS2.p2.2.m2.1d">italic_t</annotation></semantics></math>.</p> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_theorem" id="Thmtheorem2"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmtheorem2.1.1.1">Theorem 2</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmtheorem2.2.2">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="Thmtheorem2.p1"> <p class="ltx_p" id="Thmtheorem2.p1.2"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmtheorem2.p1.2.2">The spectral gap of the 1D brickwork architecture with <math alttext="N" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem2.p1.1.1.m1.1"><semantics id="Thmtheorem2.p1.1.1.m1.1a"><mi id="Thmtheorem2.p1.1.1.m1.1.1" xref="Thmtheorem2.p1.1.1.m1.1.1.cmml">N</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem2.p1.1.1.m1.1b"><ci id="Thmtheorem2.p1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem2.p1.1.1.m1.1.1">𝑁</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem2.p1.1.1.m1.1c">N</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem2.p1.1.1.m1.1d">italic_N</annotation></semantics></math> sites of local Hilbert space dimension <math alttext="q" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem2.p1.2.2.m2.1"><semantics id="Thmtheorem2.p1.2.2.m2.1a"><mi id="Thmtheorem2.p1.2.2.m2.1.1" xref="Thmtheorem2.p1.2.2.m2.1.1.cmml">q</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem2.p1.2.2.m2.1b"><ci id="Thmtheorem2.p1.2.2.m2.1.1.cmml" xref="Thmtheorem2.p1.2.2.m2.1.1">𝑞</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem2.p1.2.2.m2.1c">q</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem2.p1.2.2.m2.1d">italic_q</annotation></semantics></math> is at most</span></p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_gather ltx_eqn_table" id="S6.EGx9"> <tbody id="S1.E9"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\displaystyle\Delta(N,q,t)\leq 1-\left(\frac{2q}{q^{2}+1}\cos\frac{\pi}{N}% \right)^{2}" class="ltx_Math" display="block" id="S1.E9.m1.4"><semantics id="S1.E9.m1.4a"><mrow id="S1.E9.m1.4.4" xref="S1.E9.m1.4.4.cmml"><mrow id="S1.E9.m1.4.4.3" xref="S1.E9.m1.4.4.3.cmml"><mi id="S1.E9.m1.4.4.3.2" mathvariant="normal" xref="S1.E9.m1.4.4.3.2.cmml">Δ</mi><mo id="S1.E9.m1.4.4.3.1" xref="S1.E9.m1.4.4.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S1.E9.m1.4.4.3.3.2" xref="S1.E9.m1.4.4.3.3.1.cmml"><mo id="S1.E9.m1.4.4.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S1.E9.m1.4.4.3.3.1.cmml">(</mo><mi id="S1.E9.m1.1.1" xref="S1.E9.m1.1.1.cmml">N</mi><mo id="S1.E9.m1.4.4.3.3.2.2" xref="S1.E9.m1.4.4.3.3.1.cmml">,</mo><mi id="S1.E9.m1.2.2" xref="S1.E9.m1.2.2.cmml">q</mi><mo id="S1.E9.m1.4.4.3.3.2.3" xref="S1.E9.m1.4.4.3.3.1.cmml">,</mo><mi id="S1.E9.m1.3.3" xref="S1.E9.m1.3.3.cmml">t</mi><mo id="S1.E9.m1.4.4.3.3.2.4" stretchy="false" xref="S1.E9.m1.4.4.3.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S1.E9.m1.4.4.2" xref="S1.E9.m1.4.4.2.cmml">≤</mo><mrow id="S1.E9.m1.4.4.1" xref="S1.E9.m1.4.4.1.cmml"><mn id="S1.E9.m1.4.4.1.3" xref="S1.E9.m1.4.4.1.3.cmml">1</mn><mo id="S1.E9.m1.4.4.1.2" xref="S1.E9.m1.4.4.1.2.cmml">−</mo><msup id="S1.E9.m1.4.4.1.1" xref="S1.E9.m1.4.4.1.1.cmml"><mrow id="S1.E9.m1.4.4.1.1.1.1" xref="S1.E9.m1.4.4.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S1.E9.m1.4.4.1.1.1.1.2" xref="S1.E9.m1.4.4.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S1.E9.m1.4.4.1.1.1.1.1" xref="S1.E9.m1.4.4.1.1.1.1.1.cmml"><mfrac id="S1.E9.m1.4.4.1.1.1.1.1.2" xref="S1.E9.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.cmml"><mrow id="S1.E9.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2" xref="S1.E9.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mn id="S1.E9.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S1.E9.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">2</mn><mo id="S1.E9.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.1" xref="S1.E9.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S1.E9.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S1.E9.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">q</mi></mrow><mrow id="S1.E9.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.3" xref="S1.E9.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><msup id="S1.E9.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S1.E9.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml"><mi id="S1.E9.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.3.2.2" xref="S1.E9.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.3.2.2.cmml">q</mi><mn id="S1.E9.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.3.2.3" xref="S1.E9.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.3.2.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S1.E9.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.3.1" xref="S1.E9.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml">+</mo><mn id="S1.E9.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="S1.E9.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">1</mn></mrow></mfrac><mo id="S1.E9.m1.4.4.1.1.1.1.1.1" lspace="0.167em" xref="S1.E9.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S1.E9.m1.4.4.1.1.1.1.1.3" xref="S1.E9.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S1.E9.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.1" xref="S1.E9.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.1.cmml">cos</mi><mo id="S1.E9.m1.4.4.1.1.1.1.1.3a" lspace="0.167em" xref="S1.E9.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.cmml">⁡</mo><mfrac id="S1.E9.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.2" xref="S1.E9.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S1.E9.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S1.E9.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">π</mi><mi id="S1.E9.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S1.E9.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">N</mi></mfrac></mrow></mrow><mo id="S1.E9.m1.4.4.1.1.1.1.3" xref="S1.E9.m1.4.4.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mn id="S1.E9.m1.4.4.1.1.3" xref="S1.E9.m1.4.4.1.1.3.cmml">2</mn></msup></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.E9.m1.4b"><apply id="S1.E9.m1.4.4.cmml" xref="S1.E9.m1.4.4"><leq id="S1.E9.m1.4.4.2.cmml" xref="S1.E9.m1.4.4.2"></leq><apply id="S1.E9.m1.4.4.3.cmml" xref="S1.E9.m1.4.4.3"><times id="S1.E9.m1.4.4.3.1.cmml" xref="S1.E9.m1.4.4.3.1"></times><ci id="S1.E9.m1.4.4.3.2.cmml" xref="S1.E9.m1.4.4.3.2">Δ</ci><vector id="S1.E9.m1.4.4.3.3.1.cmml" xref="S1.E9.m1.4.4.3.3.2"><ci id="S1.E9.m1.1.1.cmml" xref="S1.E9.m1.1.1">𝑁</ci><ci id="S1.E9.m1.2.2.cmml" xref="S1.E9.m1.2.2">𝑞</ci><ci id="S1.E9.m1.3.3.cmml" xref="S1.E9.m1.3.3">𝑡</ci></vector></apply><apply id="S1.E9.m1.4.4.1.cmml" xref="S1.E9.m1.4.4.1"><minus id="S1.E9.m1.4.4.1.2.cmml" xref="S1.E9.m1.4.4.1.2"></minus><cn id="S1.E9.m1.4.4.1.3.cmml" type="integer" xref="S1.E9.m1.4.4.1.3">1</cn><apply id="S1.E9.m1.4.4.1.1.cmml" xref="S1.E9.m1.4.4.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.E9.m1.4.4.1.1.2.cmml" xref="S1.E9.m1.4.4.1.1">superscript</csymbol><apply id="S1.E9.m1.4.4.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.E9.m1.4.4.1.1.1.1"><times id="S1.E9.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.E9.m1.4.4.1.1.1.1.1.1"></times><apply id="S1.E9.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S1.E9.m1.4.4.1.1.1.1.1.2"><divide id="S1.E9.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S1.E9.m1.4.4.1.1.1.1.1.2"></divide><apply id="S1.E9.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S1.E9.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2"><times id="S1.E9.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S1.E9.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.1"></times><cn id="S1.E9.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" type="integer" xref="S1.E9.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.2">2</cn><ci id="S1.E9.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S1.E9.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.3">𝑞</ci></apply><apply id="S1.E9.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S1.E9.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.3"><plus id="S1.E9.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S1.E9.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.3.1"></plus><apply id="S1.E9.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S1.E9.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.E9.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.3.2.1.cmml" xref="S1.E9.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.3.2">superscript</csymbol><ci id="S1.E9.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.3.2.2.cmml" xref="S1.E9.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.3.2.2">𝑞</ci><cn id="S1.E9.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S1.E9.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.3.2.3">2</cn></apply><cn id="S1.E9.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S1.E9.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.3.3">1</cn></apply></apply><apply id="S1.E9.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S1.E9.m1.4.4.1.1.1.1.1.3"><cos id="S1.E9.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S1.E9.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.1"></cos><apply id="S1.E9.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S1.E9.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.2"><divide id="S1.E9.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S1.E9.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.2"></divide><ci id="S1.E9.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S1.E9.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.2.2">𝜋</ci><ci id="S1.E9.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S1.E9.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.2.3">𝑁</ci></apply></apply></apply><cn id="S1.E9.m1.4.4.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S1.E9.m1.4.4.1.1.3">2</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.E9.m1.4c">\displaystyle\Delta(N,q,t)\leq 1-\left(\frac{2q}{q^{2}+1}\cos\frac{\pi}{N}% \right)^{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.E9.m1.4d">roman_Δ ( italic_N , italic_q , italic_t ) ≤ 1 - ( divide start_ARG 2 italic_q end_ARG start_ARG italic_q start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + 1 end_ARG roman_cos divide start_ARG italic_π end_ARG start_ARG italic_N end_ARG ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(9)</span></td> </tr></tbody> </table> </div> </div> <div class="ltx_para" id="S1.SS2.p3"> <p class="ltx_p" id="S1.SS2.p3.4">This lower bound approaches <math alttext="1-\left(\frac{2q}{q^{2}+1}\right)^{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.SS2.p3.1.m1.1"><semantics id="S1.SS2.p3.1.m1.1a"><mrow id="S1.SS2.p3.1.m1.1.2" xref="S1.SS2.p3.1.m1.1.2.cmml"><mn id="S1.SS2.p3.1.m1.1.2.2" xref="S1.SS2.p3.1.m1.1.2.2.cmml">1</mn><mo id="S1.SS2.p3.1.m1.1.2.1" xref="S1.SS2.p3.1.m1.1.2.1.cmml">−</mo><msup id="S1.SS2.p3.1.m1.1.2.3" xref="S1.SS2.p3.1.m1.1.2.3.cmml"><mrow id="S1.SS2.p3.1.m1.1.2.3.2.2" xref="S1.SS2.p3.1.m1.1.1.cmml"><mo id="S1.SS2.p3.1.m1.1.2.3.2.2.1" xref="S1.SS2.p3.1.m1.1.1.cmml">(</mo><mfrac id="S1.SS2.p3.1.m1.1.1" xref="S1.SS2.p3.1.m1.1.1.cmml"><mrow id="S1.SS2.p3.1.m1.1.1.2" xref="S1.SS2.p3.1.m1.1.1.2.cmml"><mn id="S1.SS2.p3.1.m1.1.1.2.2" xref="S1.SS2.p3.1.m1.1.1.2.2.cmml">2</mn><mo id="S1.SS2.p3.1.m1.1.1.2.1" xref="S1.SS2.p3.1.m1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S1.SS2.p3.1.m1.1.1.2.3" xref="S1.SS2.p3.1.m1.1.1.2.3.cmml">q</mi></mrow><mrow id="S1.SS2.p3.1.m1.1.1.3" xref="S1.SS2.p3.1.m1.1.1.3.cmml"><msup id="S1.SS2.p3.1.m1.1.1.3.2" xref="S1.SS2.p3.1.m1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S1.SS2.p3.1.m1.1.1.3.2.2" xref="S1.SS2.p3.1.m1.1.1.3.2.2.cmml">q</mi><mn id="S1.SS2.p3.1.m1.1.1.3.2.3" xref="S1.SS2.p3.1.m1.1.1.3.2.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S1.SS2.p3.1.m1.1.1.3.1" xref="S1.SS2.p3.1.m1.1.1.3.1.cmml">+</mo><mn id="S1.SS2.p3.1.m1.1.1.3.3" xref="S1.SS2.p3.1.m1.1.1.3.3.cmml">1</mn></mrow></mfrac><mo id="S1.SS2.p3.1.m1.1.2.3.2.2.2" xref="S1.SS2.p3.1.m1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mn id="S1.SS2.p3.1.m1.1.2.3.3" xref="S1.SS2.p3.1.m1.1.2.3.3.cmml">2</mn></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.SS2.p3.1.m1.1b"><apply id="S1.SS2.p3.1.m1.1.2.cmml" xref="S1.SS2.p3.1.m1.1.2"><minus id="S1.SS2.p3.1.m1.1.2.1.cmml" xref="S1.SS2.p3.1.m1.1.2.1"></minus><cn id="S1.SS2.p3.1.m1.1.2.2.cmml" type="integer" xref="S1.SS2.p3.1.m1.1.2.2">1</cn><apply id="S1.SS2.p3.1.m1.1.2.3.cmml" xref="S1.SS2.p3.1.m1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.SS2.p3.1.m1.1.2.3.1.cmml" xref="S1.SS2.p3.1.m1.1.2.3">superscript</csymbol><apply id="S1.SS2.p3.1.m1.1.1.cmml" xref="S1.SS2.p3.1.m1.1.2.3.2.2"><divide id="S1.SS2.p3.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S1.SS2.p3.1.m1.1.2.3.2.2"></divide><apply id="S1.SS2.p3.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S1.SS2.p3.1.m1.1.1.2"><times id="S1.SS2.p3.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S1.SS2.p3.1.m1.1.1.2.1"></times><cn id="S1.SS2.p3.1.m1.1.1.2.2.cmml" type="integer" xref="S1.SS2.p3.1.m1.1.1.2.2">2</cn><ci id="S1.SS2.p3.1.m1.1.1.2.3.cmml" xref="S1.SS2.p3.1.m1.1.1.2.3">𝑞</ci></apply><apply id="S1.SS2.p3.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S1.SS2.p3.1.m1.1.1.3"><plus id="S1.SS2.p3.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S1.SS2.p3.1.m1.1.1.3.1"></plus><apply id="S1.SS2.p3.1.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S1.SS2.p3.1.m1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.SS2.p3.1.m1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S1.SS2.p3.1.m1.1.1.3.2">superscript</csymbol><ci id="S1.SS2.p3.1.m1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S1.SS2.p3.1.m1.1.1.3.2.2">𝑞</ci><cn id="S1.SS2.p3.1.m1.1.1.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S1.SS2.p3.1.m1.1.1.3.2.3">2</cn></apply><cn id="S1.SS2.p3.1.m1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S1.SS2.p3.1.m1.1.1.3.3">1</cn></apply></apply><cn id="S1.SS2.p3.1.m1.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S1.SS2.p3.1.m1.1.2.3.3">2</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.SS2.p3.1.m1.1c">1-\left(\frac{2q}{q^{2}+1}\right)^{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.SS2.p3.1.m1.1d">1 - ( divide start_ARG 2 italic_q end_ARG start_ARG italic_q start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + 1 end_ARG ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> for large <math alttext="N" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.SS2.p3.2.m2.1"><semantics id="S1.SS2.p3.2.m2.1a"><mi id="S1.SS2.p3.2.m2.1.1" xref="S1.SS2.p3.2.m2.1.1.cmml">N</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.SS2.p3.2.m2.1b"><ci id="S1.SS2.p3.2.m2.1.1.cmml" xref="S1.SS2.p3.2.m2.1.1">𝑁</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.SS2.p3.2.m2.1c">N</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.SS2.p3.2.m2.1d">italic_N</annotation></semantics></math>. Figure <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#S1.F1" title="Figure 1 ‣ I.2 Main results ‣ I Introduction ‣ Conditional 𝑡-independent spectral gap for random quantum circuits and implications for 𝑡-design depths"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">1</span></a> shows that our upper and lower bounds differ by at most <math alttext="0.0473" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.SS2.p3.3.m3.1"><semantics id="S1.SS2.p3.3.m3.1a"><mn id="S1.SS2.p3.3.m3.1.1" xref="S1.SS2.p3.3.m3.1.1.cmml">0.0473</mn><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.SS2.p3.3.m3.1b"><cn id="S1.SS2.p3.3.m3.1.1.cmml" type="float" xref="S1.SS2.p3.3.m3.1.1">0.0473</cn></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.SS2.p3.3.m3.1c">0.0473</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.SS2.p3.3.m3.1d">0.0473</annotation></semantics></math>, with convergence as <math alttext="q\rightarrow\infty" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.SS2.p3.4.m4.1"><semantics id="S1.SS2.p3.4.m4.1a"><mrow id="S1.SS2.p3.4.m4.1.1" xref="S1.SS2.p3.4.m4.1.1.cmml"><mi id="S1.SS2.p3.4.m4.1.1.2" xref="S1.SS2.p3.4.m4.1.1.2.cmml">q</mi><mo id="S1.SS2.p3.4.m4.1.1.1" stretchy="false" xref="S1.SS2.p3.4.m4.1.1.1.cmml">→</mo><mi id="S1.SS2.p3.4.m4.1.1.3" mathvariant="normal" xref="S1.SS2.p3.4.m4.1.1.3.cmml">∞</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.SS2.p3.4.m4.1b"><apply id="S1.SS2.p3.4.m4.1.1.cmml" xref="S1.SS2.p3.4.m4.1.1"><ci id="S1.SS2.p3.4.m4.1.1.1.cmml" xref="S1.SS2.p3.4.m4.1.1.1">→</ci><ci id="S1.SS2.p3.4.m4.1.1.2.cmml" xref="S1.SS2.p3.4.m4.1.1.2">𝑞</ci><infinity id="S1.SS2.p3.4.m4.1.1.3.cmml" xref="S1.SS2.p3.4.m4.1.1.3"></infinity></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.SS2.p3.4.m4.1c">q\rightarrow\infty</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.SS2.p3.4.m4.1d">italic_q → ∞</annotation></semantics></math>.</p> </div> <figure class="ltx_figure" id="S1.F1"><svg class="ltx_picture ltx_centering" height="240" id="S1.F1.pic1" overflow="visible" version="1.1" width="359"><g fill="#000000" stroke="#000000" stroke-width="0.4pt" transform="translate(0,240) matrix(1 0 0 -1 0 0) translate(-16.02,0) translate(0,240.28) matrix(1.0 0.0 0.0 1.0 16.02 -240.28)"><foreignobject height="240" overflow="visible" transform="matrix(1 0 0 -1 0 16.6)" width="359"><img alt="Refer to caption" class="ltx_graphics ltx_img_landscape" height="333" id="S1.F1.pic1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.g1" src="x1.png" width="498"/></foreignobject></g></svg> <figcaption class="ltx_caption ltx_centering"><span class="ltx_tag ltx_tag_figure">Figure 1: </span>Comparison of our upper and lower bounds on the spectral gap when <math alttext="N\rightarrow\infty" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.F1.2.m1.1"><semantics id="S1.F1.2.m1.1b"><mrow id="S1.F1.2.m1.1.1" xref="S1.F1.2.m1.1.1.cmml"><mi id="S1.F1.2.m1.1.1.2" xref="S1.F1.2.m1.1.1.2.cmml">N</mi><mo id="S1.F1.2.m1.1.1.1" stretchy="false" xref="S1.F1.2.m1.1.1.1.cmml">→</mo><mi id="S1.F1.2.m1.1.1.3" mathvariant="normal" xref="S1.F1.2.m1.1.1.3.cmml">∞</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.F1.2.m1.1c"><apply id="S1.F1.2.m1.1.1.cmml" xref="S1.F1.2.m1.1.1"><ci id="S1.F1.2.m1.1.1.1.cmml" xref="S1.F1.2.m1.1.1.1">→</ci><ci id="S1.F1.2.m1.1.1.2.cmml" xref="S1.F1.2.m1.1.1.2">𝑁</ci><infinity id="S1.F1.2.m1.1.1.3.cmml" xref="S1.F1.2.m1.1.1.3"></infinity></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.F1.2.m1.1d">N\rightarrow\infty</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.F1.2.m1.1e">italic_N → ∞</annotation></semantics></math>. </figcaption> </figure> <div class="ltx_para" id="S1.SS2.p4"> <p class="ltx_p" id="S1.SS2.p4.1">These results on spectral gaps imply new bounds on the approximate <math alttext="t" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.SS2.p4.1.m1.1"><semantics id="S1.SS2.p4.1.m1.1a"><mi id="S1.SS2.p4.1.m1.1.1" xref="S1.SS2.p4.1.m1.1.1.cmml">t</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.SS2.p4.1.m1.1b"><ci id="S1.SS2.p4.1.m1.1.1.cmml" xref="S1.SS2.p4.1.m1.1.1">𝑡</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.SS2.p4.1.m1.1c">t</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.SS2.p4.1.m1.1d">italic_t</annotation></semantics></math>-design depth (see Definition <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#Thmtheorem8" title="Definition 8. ‣ II.1 Definitions ‣ II Preliminary work ‣ Conditional 𝑡-independent spectral gap for random quantum circuits and implications for 𝑡-design depths"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">8</span></a>).</p> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_corollary" id="Thmtheorem3"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmtheorem3.1.1.1">Corollary 3</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmtheorem3.2.2">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="Thmtheorem3.p1"> <p class="ltx_p" id="Thmtheorem3.p1.6"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmtheorem3.p1.6.6">Let <math alttext="\ell_{*}(N,q,t,\epsilon)" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem3.p1.1.1.m1.4"><semantics id="Thmtheorem3.p1.1.1.m1.4a"><mrow id="Thmtheorem3.p1.1.1.m1.4.5" xref="Thmtheorem3.p1.1.1.m1.4.5.cmml"><msub id="Thmtheorem3.p1.1.1.m1.4.5.2" xref="Thmtheorem3.p1.1.1.m1.4.5.2.cmml"><mi id="Thmtheorem3.p1.1.1.m1.4.5.2.2" mathvariant="normal" xref="Thmtheorem3.p1.1.1.m1.4.5.2.2.cmml">ℓ</mi><mo id="Thmtheorem3.p1.1.1.m1.4.5.2.3" xref="Thmtheorem3.p1.1.1.m1.4.5.2.3.cmml">∗</mo></msub><mo id="Thmtheorem3.p1.1.1.m1.4.5.1" xref="Thmtheorem3.p1.1.1.m1.4.5.1.cmml">⁢</mo><mrow id="Thmtheorem3.p1.1.1.m1.4.5.3.2" xref="Thmtheorem3.p1.1.1.m1.4.5.3.1.cmml"><mo id="Thmtheorem3.p1.1.1.m1.4.5.3.2.1" stretchy="false" xref="Thmtheorem3.p1.1.1.m1.4.5.3.1.cmml">(</mo><mi id="Thmtheorem3.p1.1.1.m1.1.1" xref="Thmtheorem3.p1.1.1.m1.1.1.cmml">N</mi><mo id="Thmtheorem3.p1.1.1.m1.4.5.3.2.2" xref="Thmtheorem3.p1.1.1.m1.4.5.3.1.cmml">,</mo><mi id="Thmtheorem3.p1.1.1.m1.2.2" xref="Thmtheorem3.p1.1.1.m1.2.2.cmml">q</mi><mo id="Thmtheorem3.p1.1.1.m1.4.5.3.2.3" xref="Thmtheorem3.p1.1.1.m1.4.5.3.1.cmml">,</mo><mi id="Thmtheorem3.p1.1.1.m1.3.3" xref="Thmtheorem3.p1.1.1.m1.3.3.cmml">t</mi><mo id="Thmtheorem3.p1.1.1.m1.4.5.3.2.4" xref="Thmtheorem3.p1.1.1.m1.4.5.3.1.cmml">,</mo><mi id="Thmtheorem3.p1.1.1.m1.4.4" xref="Thmtheorem3.p1.1.1.m1.4.4.cmml">ϵ</mi><mo id="Thmtheorem3.p1.1.1.m1.4.5.3.2.5" stretchy="false" xref="Thmtheorem3.p1.1.1.m1.4.5.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem3.p1.1.1.m1.4b"><apply id="Thmtheorem3.p1.1.1.m1.4.5.cmml" xref="Thmtheorem3.p1.1.1.m1.4.5"><times id="Thmtheorem3.p1.1.1.m1.4.5.1.cmml" xref="Thmtheorem3.p1.1.1.m1.4.5.1"></times><apply id="Thmtheorem3.p1.1.1.m1.4.5.2.cmml" xref="Thmtheorem3.p1.1.1.m1.4.5.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem3.p1.1.1.m1.4.5.2.1.cmml" xref="Thmtheorem3.p1.1.1.m1.4.5.2">subscript</csymbol><ci id="Thmtheorem3.p1.1.1.m1.4.5.2.2.cmml" xref="Thmtheorem3.p1.1.1.m1.4.5.2.2">ℓ</ci><times id="Thmtheorem3.p1.1.1.m1.4.5.2.3.cmml" xref="Thmtheorem3.p1.1.1.m1.4.5.2.3"></times></apply><vector id="Thmtheorem3.p1.1.1.m1.4.5.3.1.cmml" xref="Thmtheorem3.p1.1.1.m1.4.5.3.2"><ci id="Thmtheorem3.p1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem3.p1.1.1.m1.1.1">𝑁</ci><ci id="Thmtheorem3.p1.1.1.m1.2.2.cmml" xref="Thmtheorem3.p1.1.1.m1.2.2">𝑞</ci><ci id="Thmtheorem3.p1.1.1.m1.3.3.cmml" xref="Thmtheorem3.p1.1.1.m1.3.3">𝑡</ci><ci id="Thmtheorem3.p1.1.1.m1.4.4.cmml" xref="Thmtheorem3.p1.1.1.m1.4.4">italic-ϵ</ci></vector></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem3.p1.1.1.m1.4c">\ell_{*}(N,q,t,\epsilon)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem3.p1.1.1.m1.4d">roman_ℓ start_POSTSUBSCRIPT ∗ end_POSTSUBSCRIPT ( italic_N , italic_q , italic_t , italic_ϵ )</annotation></semantics></math> be the number of layers at which the 1D brickwork architecture with <math alttext="N" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem3.p1.2.2.m2.1"><semantics id="Thmtheorem3.p1.2.2.m2.1a"><mi id="Thmtheorem3.p1.2.2.m2.1.1" xref="Thmtheorem3.p1.2.2.m2.1.1.cmml">N</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem3.p1.2.2.m2.1b"><ci id="Thmtheorem3.p1.2.2.m2.1.1.cmml" xref="Thmtheorem3.p1.2.2.m2.1.1">𝑁</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem3.p1.2.2.m2.1c">N</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem3.p1.2.2.m2.1d">italic_N</annotation></semantics></math> sites of local Hilbert space dimension <math alttext="q" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem3.p1.3.3.m3.1"><semantics id="Thmtheorem3.p1.3.3.m3.1a"><mi id="Thmtheorem3.p1.3.3.m3.1.1" xref="Thmtheorem3.p1.3.3.m3.1.1.cmml">q</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem3.p1.3.3.m3.1b"><ci id="Thmtheorem3.p1.3.3.m3.1.1.cmml" xref="Thmtheorem3.p1.3.3.m3.1.1">𝑞</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem3.p1.3.3.m3.1c">q</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem3.p1.3.3.m3.1d">italic_q</annotation></semantics></math> first forms an <math alttext="\epsilon" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem3.p1.4.4.m4.1"><semantics id="Thmtheorem3.p1.4.4.m4.1a"><mi id="Thmtheorem3.p1.4.4.m4.1.1" xref="Thmtheorem3.p1.4.4.m4.1.1.cmml">ϵ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem3.p1.4.4.m4.1b"><ci id="Thmtheorem3.p1.4.4.m4.1.1.cmml" xref="Thmtheorem3.p1.4.4.m4.1.1">italic-ϵ</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem3.p1.4.4.m4.1c">\epsilon</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem3.p1.4.4.m4.1d">italic_ϵ</annotation></semantics></math>-approximate <math alttext="t" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem3.p1.5.5.m5.1"><semantics id="Thmtheorem3.p1.5.5.m5.1a"><mi id="Thmtheorem3.p1.5.5.m5.1.1" xref="Thmtheorem3.p1.5.5.m5.1.1.cmml">t</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem3.p1.5.5.m5.1b"><ci id="Thmtheorem3.p1.5.5.m5.1.1.cmml" xref="Thmtheorem3.p1.5.5.m5.1.1">𝑡</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem3.p1.5.5.m5.1c">t</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem3.p1.5.5.m5.1d">italic_t</annotation></semantics></math>-design. When <math alttext="t\leq q" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem3.p1.6.6.m6.1"><semantics id="Thmtheorem3.p1.6.6.m6.1a"><mrow id="Thmtheorem3.p1.6.6.m6.1.1" xref="Thmtheorem3.p1.6.6.m6.1.1.cmml"><mi id="Thmtheorem3.p1.6.6.m6.1.1.2" xref="Thmtheorem3.p1.6.6.m6.1.1.2.cmml">t</mi><mo id="Thmtheorem3.p1.6.6.m6.1.1.1" xref="Thmtheorem3.p1.6.6.m6.1.1.1.cmml">≤</mo><mi id="Thmtheorem3.p1.6.6.m6.1.1.3" xref="Thmtheorem3.p1.6.6.m6.1.1.3.cmml">q</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem3.p1.6.6.m6.1b"><apply id="Thmtheorem3.p1.6.6.m6.1.1.cmml" xref="Thmtheorem3.p1.6.6.m6.1.1"><leq id="Thmtheorem3.p1.6.6.m6.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem3.p1.6.6.m6.1.1.1"></leq><ci id="Thmtheorem3.p1.6.6.m6.1.1.2.cmml" xref="Thmtheorem3.p1.6.6.m6.1.1.2">𝑡</ci><ci id="Thmtheorem3.p1.6.6.m6.1.1.3.cmml" xref="Thmtheorem3.p1.6.6.m6.1.1.3">𝑞</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem3.p1.6.6.m6.1c">t\leq q</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem3.p1.6.6.m6.1d">italic_t ≤ italic_q</annotation></semantics></math>,</span></p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_gather ltx_eqn_table" id="S6.EGx10"> <tbody id="S1.E10"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\displaystyle\ell_{*}\leq 1+C\left(2Nt\log q+\log\frac{1}{\epsilon}\right)" class="ltx_Math" display="block" id="S1.E10.m1.1"><semantics id="S1.E10.m1.1a"><mrow id="S1.E10.m1.1.1" xref="S1.E10.m1.1.1.cmml"><msub id="S1.E10.m1.1.1.3" xref="S1.E10.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S1.E10.m1.1.1.3.2" mathvariant="normal" xref="S1.E10.m1.1.1.3.2.cmml">ℓ</mi><mo id="S1.E10.m1.1.1.3.3" xref="S1.E10.m1.1.1.3.3.cmml">∗</mo></msub><mo id="S1.E10.m1.1.1.2" xref="S1.E10.m1.1.1.2.cmml">≤</mo><mrow id="S1.E10.m1.1.1.1" xref="S1.E10.m1.1.1.1.cmml"><mn id="S1.E10.m1.1.1.1.3" xref="S1.E10.m1.1.1.1.3.cmml">1</mn><mo id="S1.E10.m1.1.1.1.2" xref="S1.E10.m1.1.1.1.2.cmml">+</mo><mrow id="S1.E10.m1.1.1.1.1" xref="S1.E10.m1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S1.E10.m1.1.1.1.1.3" xref="S1.E10.m1.1.1.1.1.3.cmml">C</mi><mo id="S1.E10.m1.1.1.1.1.2" xref="S1.E10.m1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S1.E10.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S1.E10.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S1.E10.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S1.E10.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S1.E10.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S1.E10.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S1.E10.m1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S1.E10.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mn id="S1.E10.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S1.E10.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">2</mn><mo id="S1.E10.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S1.E10.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S1.E10.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S1.E10.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">N</mi><mo id="S1.E10.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.1a" xref="S1.E10.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S1.E10.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.4" xref="S1.E10.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.4.cmml">t</mi><mo id="S1.E10.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.1b" lspace="0.167em" xref="S1.E10.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S1.E10.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.5" xref="S1.E10.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.5.cmml"><mi id="S1.E10.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.5.1" xref="S1.E10.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.5.1.cmml">log</mi><mo id="S1.E10.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.5a" lspace="0.167em" xref="S1.E10.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.5.cmml">⁡</mo><mi id="S1.E10.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.5.2" xref="S1.E10.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.5.2.cmml">q</mi></mrow></mrow><mo id="S1.E10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S1.E10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S1.E10.m1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S1.E10.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S1.E10.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S1.E10.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">log</mi><mo id="S1.E10.m1.1.1.1.1.1.1.1.3a" lspace="0.167em" xref="S1.E10.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">⁡</mo><mfrac id="S1.E10.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S1.E10.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mn id="S1.E10.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S1.E10.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">1</mn><mi id="S1.E10.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S1.E10.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">ϵ</mi></mfrac></mrow></mrow><mo id="S1.E10.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S1.E10.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.E10.m1.1b"><apply id="S1.E10.m1.1.1.cmml" xref="S1.E10.m1.1.1"><leq id="S1.E10.m1.1.1.2.cmml" xref="S1.E10.m1.1.1.2"></leq><apply id="S1.E10.m1.1.1.3.cmml" xref="S1.E10.m1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.E10.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S1.E10.m1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S1.E10.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S1.E10.m1.1.1.3.2">ℓ</ci><times id="S1.E10.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S1.E10.m1.1.1.3.3"></times></apply><apply id="S1.E10.m1.1.1.1.cmml" xref="S1.E10.m1.1.1.1"><plus id="S1.E10.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S1.E10.m1.1.1.1.2"></plus><cn id="S1.E10.m1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S1.E10.m1.1.1.1.3">1</cn><apply id="S1.E10.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.E10.m1.1.1.1.1"><times id="S1.E10.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S1.E10.m1.1.1.1.1.2"></times><ci id="S1.E10.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S1.E10.m1.1.1.1.1.3">𝐶</ci><apply id="S1.E10.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.E10.m1.1.1.1.1.1.1"><plus id="S1.E10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.E10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1"></plus><apply id="S1.E10.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S1.E10.m1.1.1.1.1.1.1.1.2"><times id="S1.E10.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S1.E10.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.1"></times><cn id="S1.E10.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" type="integer" xref="S1.E10.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">2</cn><ci id="S1.E10.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S1.E10.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">𝑁</ci><ci id="S1.E10.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.4.cmml" xref="S1.E10.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.4">𝑡</ci><apply id="S1.E10.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.5.cmml" xref="S1.E10.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.5"><log id="S1.E10.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.5.1.cmml" xref="S1.E10.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.5.1"></log><ci id="S1.E10.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.5.2.cmml" xref="S1.E10.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.5.2">𝑞</ci></apply></apply><apply id="S1.E10.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S1.E10.m1.1.1.1.1.1.1.1.3"><log id="S1.E10.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S1.E10.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.1"></log><apply id="S1.E10.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S1.E10.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2"><divide id="S1.E10.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S1.E10.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2"></divide><cn id="S1.E10.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" type="integer" xref="S1.E10.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2">1</cn><ci id="S1.E10.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S1.E10.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3">italic-ϵ</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.E10.m1.1c">\displaystyle\ell_{*}\leq 1+C\left(2Nt\log q+\log\frac{1}{\epsilon}\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.E10.m1.1d">roman_ℓ start_POSTSUBSCRIPT ∗ end_POSTSUBSCRIPT ≤ 1 + italic_C ( 2 italic_N italic_t roman_log italic_q + roman_log divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_ϵ end_ARG )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(10)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="Thmtheorem3.p1.7"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmtheorem3.p1.7.1">where</span></p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_gather ltx_eqn_table" id="S6.EGx11"> <tbody id="S1.E11"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\displaystyle C=\left[\log\frac{q^{2}+1}{2q}+\log\frac{2}{1+\sqrt{1+\frac{1}{q% ^{2}}}}\right]^{-1}\leq 6.032" class="ltx_Math" display="block" id="S1.E11.m1.1"><semantics id="S1.E11.m1.1a"><mrow id="S1.E11.m1.1.1" xref="S1.E11.m1.1.1.cmml"><mi id="S1.E11.m1.1.1.3" xref="S1.E11.m1.1.1.3.cmml">C</mi><mo id="S1.E11.m1.1.1.4" xref="S1.E11.m1.1.1.4.cmml">=</mo><msup id="S1.E11.m1.1.1.1" xref="S1.E11.m1.1.1.1.cmml"><mrow id="S1.E11.m1.1.1.1.1.1" xref="S1.E11.m1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S1.E11.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S1.E11.m1.1.1.1.1.2.1.cmml">[</mo><mrow id="S1.E11.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S1.E11.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S1.E11.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S1.E11.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S1.E11.m1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S1.E11.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">log</mi><mo id="S1.E11.m1.1.1.1.1.1.1.2a" lspace="0.167em" xref="S1.E11.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁡</mo><mfrac id="S1.E11.m1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S1.E11.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mrow id="S1.E11.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S1.E11.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml"><msup id="S1.E11.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2" xref="S1.E11.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml"><mi id="S1.E11.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2" xref="S1.E11.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml">q</mi><mn id="S1.E11.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.3" xref="S1.E11.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S1.E11.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1" xref="S1.E11.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml">+</mo><mn id="S1.E11.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3" xref="S1.E11.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml">1</mn></mrow><mrow id="S1.E11.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S1.E11.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mn id="S1.E11.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="S1.E11.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml">2</mn><mo id="S1.E11.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1" xref="S1.E11.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S1.E11.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3" xref="S1.E11.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml">q</mi></mrow></mfrac></mrow><mo id="S1.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S1.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S1.E11.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S1.E11.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S1.E11.m1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S1.E11.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">log</mi><mo id="S1.E11.m1.1.1.1.1.1.1.3a" lspace="0.167em" xref="S1.E11.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">⁡</mo><mfrac id="S1.E11.m1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S1.E11.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mn id="S1.E11.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S1.E11.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">2</mn><mrow id="S1.E11.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S1.E11.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml"><mn id="S1.E11.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2" xref="S1.E11.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml">1</mn><mo id="S1.E11.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1" xref="S1.E11.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml">+</mo><msqrt id="S1.E11.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3" xref="S1.E11.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml"><mrow id="S1.E11.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3.2" xref="S1.E11.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3.2.cmml"><mn id="S1.E11.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3.2.2" xref="S1.E11.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3.2.2.cmml">1</mn><mo id="S1.E11.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3.2.1" xref="S1.E11.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3.2.1.cmml">+</mo><mfrac id="S1.E11.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3.2.3" xref="S1.E11.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3.2.3.cmml"><mn id="S1.E11.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3.2.3.2" xref="S1.E11.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3.2.3.2.cmml">1</mn><msup id="S1.E11.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3.2.3.3" xref="S1.E11.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3.2.3.3.cmml"><mi id="S1.E11.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3.2.3.3.2" xref="S1.E11.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3.2.3.3.2.cmml">q</mi><mn id="S1.E11.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3.2.3.3.3" xref="S1.E11.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3.2.3.3.3.cmml">2</mn></msup></mfrac></mrow></msqrt></mrow></mfrac></mrow></mrow><mo id="S1.E11.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S1.E11.m1.1.1.1.1.2.1.cmml">]</mo></mrow><mrow id="S1.E11.m1.1.1.1.3" xref="S1.E11.m1.1.1.1.3.cmml"><mo id="S1.E11.m1.1.1.1.3a" xref="S1.E11.m1.1.1.1.3.cmml">−</mo><mn id="S1.E11.m1.1.1.1.3.2" xref="S1.E11.m1.1.1.1.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="S1.E11.m1.1.1.5" xref="S1.E11.m1.1.1.5.cmml">≤</mo><mn id="S1.E11.m1.1.1.6" xref="S1.E11.m1.1.1.6.cmml">6.032</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.E11.m1.1b"><apply id="S1.E11.m1.1.1.cmml" xref="S1.E11.m1.1.1"><and id="S1.E11.m1.1.1a.cmml" xref="S1.E11.m1.1.1"></and><apply id="S1.E11.m1.1.1b.cmml" xref="S1.E11.m1.1.1"><eq id="S1.E11.m1.1.1.4.cmml" xref="S1.E11.m1.1.1.4"></eq><ci id="S1.E11.m1.1.1.3.cmml" xref="S1.E11.m1.1.1.3">𝐶</ci><apply id="S1.E11.m1.1.1.1.cmml" xref="S1.E11.m1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.E11.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S1.E11.m1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S1.E11.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S1.E11.m1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S1.E11.m1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S1.E11.m1.1.1.1.1.1.2">delimited-[]</csymbol><apply id="S1.E11.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.E11.m1.1.1.1.1.1.1"><plus id="S1.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1"></plus><apply id="S1.E11.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S1.E11.m1.1.1.1.1.1.1.2"><log id="S1.E11.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S1.E11.m1.1.1.1.1.1.1.2.1"></log><apply id="S1.E11.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S1.E11.m1.1.1.1.1.1.1.2.2"><divide id="S1.E11.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S1.E11.m1.1.1.1.1.1.1.2.2"></divide><apply id="S1.E11.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S1.E11.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2"><plus id="S1.E11.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S1.E11.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1"></plus><apply id="S1.E11.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S1.E11.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.E11.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.cmml" xref="S1.E11.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2">superscript</csymbol><ci id="S1.E11.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S1.E11.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2">𝑞</ci><cn id="S1.E11.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S1.E11.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.3">2</cn></apply><cn id="S1.E11.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S1.E11.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3">1</cn></apply><apply id="S1.E11.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S1.E11.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3"><times id="S1.E11.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S1.E11.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1"></times><cn id="S1.E11.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml" type="integer" xref="S1.E11.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2">2</cn><ci id="S1.E11.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml" xref="S1.E11.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3">𝑞</ci></apply></apply></apply><apply id="S1.E11.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S1.E11.m1.1.1.1.1.1.1.3"><log id="S1.E11.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S1.E11.m1.1.1.1.1.1.1.3.1"></log><apply id="S1.E11.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S1.E11.m1.1.1.1.1.1.1.3.2"><divide id="S1.E11.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S1.E11.m1.1.1.1.1.1.1.3.2"></divide><cn id="S1.E11.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" type="integer" xref="S1.E11.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2">2</cn><apply id="S1.E11.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S1.E11.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3"><plus id="S1.E11.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S1.E11.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1"></plus><cn id="S1.E11.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml" type="integer" xref="S1.E11.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2">1</cn><apply id="S1.E11.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml" xref="S1.E11.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3"><root id="S1.E11.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3a.cmml" xref="S1.E11.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3"></root><apply id="S1.E11.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3.2.cmml" xref="S1.E11.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3.2"><plus id="S1.E11.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3.2.1.cmml" xref="S1.E11.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3.2.1"></plus><cn id="S1.E11.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3.2.2.cmml" type="integer" xref="S1.E11.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3.2.2">1</cn><apply id="S1.E11.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3.2.3.cmml" xref="S1.E11.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3.2.3"><divide id="S1.E11.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3.2.3.1.cmml" xref="S1.E11.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3.2.3"></divide><cn id="S1.E11.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3.2.3.2.cmml" type="integer" xref="S1.E11.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3.2.3.2">1</cn><apply id="S1.E11.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3.2.3.3.cmml" xref="S1.E11.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.E11.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3.2.3.3.1.cmml" xref="S1.E11.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3.2.3.3">superscript</csymbol><ci id="S1.E11.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3.2.3.3.2.cmml" xref="S1.E11.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3.2.3.3.2">𝑞</ci><cn id="S1.E11.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3.2.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S1.E11.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3.2.3.3.3">2</cn></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="S1.E11.m1.1.1.1.3.cmml" xref="S1.E11.m1.1.1.1.3"><minus id="S1.E11.m1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S1.E11.m1.1.1.1.3"></minus><cn id="S1.E11.m1.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S1.E11.m1.1.1.1.3.2">1</cn></apply></apply></apply><apply id="S1.E11.m1.1.1c.cmml" xref="S1.E11.m1.1.1"><leq id="S1.E11.m1.1.1.5.cmml" xref="S1.E11.m1.1.1.5"></leq><share href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#S1.E11.m1.1.1.1.cmml" id="S1.E11.m1.1.1d.cmml" xref="S1.E11.m1.1.1"></share><cn id="S1.E11.m1.1.1.6.cmml" type="float" xref="S1.E11.m1.1.1.6">6.032</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.E11.m1.1c">\displaystyle C=\left[\log\frac{q^{2}+1}{2q}+\log\frac{2}{1+\sqrt{1+\frac{1}{q% ^{2}}}}\right]^{-1}\leq 6.032</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.E11.m1.1d">italic_C = [ roman_log divide start_ARG italic_q start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + 1 end_ARG start_ARG 2 italic_q end_ARG + roman_log divide start_ARG 2 end_ARG start_ARG 1 + square-root start_ARG 1 + divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_q start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG end_ARG end_ARG ] start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT ≤ 6.032</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(11)</span></td> </tr></tbody> </table> </div> </div> <div class="ltx_para" id="S1.SS2.p5"> <p class="ltx_p" id="S1.SS2.p5.1">This corollary is a consequence of Theorem <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#Thmtheorem54" title="Theorem 54. ‣ A.1 Obtaining the approximate 𝑡-design depth from the spectral gap ‣ Appendix A Relationship between spectral gap and 𝑡-design depth ‣ Conditional 𝑡-independent spectral gap for random quantum circuits and implications for 𝑡-design depths"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">54</span></a>, in Appendix <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#A1.SS1" title="A.1 Obtaining the approximate 𝑡-design depth from the spectral gap ‣ Appendix A Relationship between spectral gap and 𝑡-design depth ‣ Conditional 𝑡-independent spectral gap for random quantum circuits and implications for 𝑡-design depths"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">A.1</span></a>. Theorem <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#Thmtheorem54" title="Theorem 54. ‣ A.1 Obtaining the approximate 𝑡-design depth from the spectral gap ‣ Appendix A Relationship between spectral gap and 𝑡-design depth ‣ Conditional 𝑡-independent spectral gap for random quantum circuits and implications for 𝑡-design depths"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">54</span></a> also gives a similar bound on the multiplicative-error <math alttext="t" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.SS2.p5.1.m1.1"><semantics id="S1.SS2.p5.1.m1.1a"><mi id="S1.SS2.p5.1.m1.1.1" xref="S1.SS2.p5.1.m1.1.1.cmml">t</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.SS2.p5.1.m1.1b"><ci id="S1.SS2.p5.1.m1.1.1.cmml" xref="S1.SS2.p5.1.m1.1.1">𝑡</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.SS2.p5.1.m1.1c">t</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.SS2.p5.1.m1.1d">italic_t</annotation></semantics></math>-design depth in terms of the spectral gap.</p> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_corollary" id="Thmtheorem4"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmtheorem4.1.1.1">Corollary 4</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmtheorem4.2.2">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="Thmtheorem4.p1"> <p class="ltx_p" id="Thmtheorem4.p1.1"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmtheorem4.p1.1.1">There exists a constant <math alttext="C(N,q,t)" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem4.p1.1.1.m1.3"><semantics id="Thmtheorem4.p1.1.1.m1.3a"><mrow id="Thmtheorem4.p1.1.1.m1.3.4" xref="Thmtheorem4.p1.1.1.m1.3.4.cmml"><mi id="Thmtheorem4.p1.1.1.m1.3.4.2" xref="Thmtheorem4.p1.1.1.m1.3.4.2.cmml">C</mi><mo id="Thmtheorem4.p1.1.1.m1.3.4.1" xref="Thmtheorem4.p1.1.1.m1.3.4.1.cmml">⁢</mo><mrow id="Thmtheorem4.p1.1.1.m1.3.4.3.2" xref="Thmtheorem4.p1.1.1.m1.3.4.3.1.cmml"><mo id="Thmtheorem4.p1.1.1.m1.3.4.3.2.1" stretchy="false" xref="Thmtheorem4.p1.1.1.m1.3.4.3.1.cmml">(</mo><mi id="Thmtheorem4.p1.1.1.m1.1.1" xref="Thmtheorem4.p1.1.1.m1.1.1.cmml">N</mi><mo id="Thmtheorem4.p1.1.1.m1.3.4.3.2.2" xref="Thmtheorem4.p1.1.1.m1.3.4.3.1.cmml">,</mo><mi id="Thmtheorem4.p1.1.1.m1.2.2" xref="Thmtheorem4.p1.1.1.m1.2.2.cmml">q</mi><mo id="Thmtheorem4.p1.1.1.m1.3.4.3.2.3" xref="Thmtheorem4.p1.1.1.m1.3.4.3.1.cmml">,</mo><mi id="Thmtheorem4.p1.1.1.m1.3.3" xref="Thmtheorem4.p1.1.1.m1.3.3.cmml">t</mi><mo id="Thmtheorem4.p1.1.1.m1.3.4.3.2.4" stretchy="false" xref="Thmtheorem4.p1.1.1.m1.3.4.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem4.p1.1.1.m1.3b"><apply id="Thmtheorem4.p1.1.1.m1.3.4.cmml" xref="Thmtheorem4.p1.1.1.m1.3.4"><times id="Thmtheorem4.p1.1.1.m1.3.4.1.cmml" xref="Thmtheorem4.p1.1.1.m1.3.4.1"></times><ci id="Thmtheorem4.p1.1.1.m1.3.4.2.cmml" xref="Thmtheorem4.p1.1.1.m1.3.4.2">𝐶</ci><vector id="Thmtheorem4.p1.1.1.m1.3.4.3.1.cmml" xref="Thmtheorem4.p1.1.1.m1.3.4.3.2"><ci id="Thmtheorem4.p1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem4.p1.1.1.m1.1.1">𝑁</ci><ci id="Thmtheorem4.p1.1.1.m1.2.2.cmml" xref="Thmtheorem4.p1.1.1.m1.2.2">𝑞</ci><ci id="Thmtheorem4.p1.1.1.m1.3.3.cmml" xref="Thmtheorem4.p1.1.1.m1.3.3">𝑡</ci></vector></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem4.p1.1.1.m1.3c">C(N,q,t)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem4.p1.1.1.m1.3d">italic_C ( italic_N , italic_q , italic_t )</annotation></semantics></math> such that</span></p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_gather ltx_eqn_table" id="S6.EGx12"> <tbody id="S1.E12"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\displaystyle\ell_{*}(N,q,t,\epsilon)=\left(C(N,q,t)+o(1)\right)\log\frac{1}{\epsilon}" class="ltx_Math" display="block" id="S1.E12.m1.9"><semantics id="S1.E12.m1.9a"><mrow id="S1.E12.m1.9.9" xref="S1.E12.m1.9.9.cmml"><mrow id="S1.E12.m1.9.9.3" xref="S1.E12.m1.9.9.3.cmml"><msub id="S1.E12.m1.9.9.3.2" xref="S1.E12.m1.9.9.3.2.cmml"><mi id="S1.E12.m1.9.9.3.2.2" mathvariant="normal" xref="S1.E12.m1.9.9.3.2.2.cmml">ℓ</mi><mo id="S1.E12.m1.9.9.3.2.3" xref="S1.E12.m1.9.9.3.2.3.cmml">∗</mo></msub><mo id="S1.E12.m1.9.9.3.1" xref="S1.E12.m1.9.9.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S1.E12.m1.9.9.3.3.2" xref="S1.E12.m1.9.9.3.3.1.cmml"><mo id="S1.E12.m1.9.9.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S1.E12.m1.9.9.3.3.1.cmml">(</mo><mi id="S1.E12.m1.1.1" xref="S1.E12.m1.1.1.cmml">N</mi><mo id="S1.E12.m1.9.9.3.3.2.2" xref="S1.E12.m1.9.9.3.3.1.cmml">,</mo><mi id="S1.E12.m1.2.2" xref="S1.E12.m1.2.2.cmml">q</mi><mo id="S1.E12.m1.9.9.3.3.2.3" xref="S1.E12.m1.9.9.3.3.1.cmml">,</mo><mi id="S1.E12.m1.3.3" xref="S1.E12.m1.3.3.cmml">t</mi><mo id="S1.E12.m1.9.9.3.3.2.4" xref="S1.E12.m1.9.9.3.3.1.cmml">,</mo><mi id="S1.E12.m1.4.4" xref="S1.E12.m1.4.4.cmml">ϵ</mi><mo id="S1.E12.m1.9.9.3.3.2.5" stretchy="false" xref="S1.E12.m1.9.9.3.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S1.E12.m1.9.9.2" xref="S1.E12.m1.9.9.2.cmml">=</mo><mrow id="S1.E12.m1.9.9.1" xref="S1.E12.m1.9.9.1.cmml"><mrow id="S1.E12.m1.9.9.1.1.1" xref="S1.E12.m1.9.9.1.1.1.1.cmml"><mo id="S1.E12.m1.9.9.1.1.1.2" xref="S1.E12.m1.9.9.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S1.E12.m1.9.9.1.1.1.1" xref="S1.E12.m1.9.9.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S1.E12.m1.9.9.1.1.1.1.2" xref="S1.E12.m1.9.9.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S1.E12.m1.9.9.1.1.1.1.2.2" xref="S1.E12.m1.9.9.1.1.1.1.2.2.cmml">C</mi><mo id="S1.E12.m1.9.9.1.1.1.1.2.1" xref="S1.E12.m1.9.9.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S1.E12.m1.9.9.1.1.1.1.2.3.2" xref="S1.E12.m1.9.9.1.1.1.1.2.3.1.cmml"><mo id="S1.E12.m1.9.9.1.1.1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S1.E12.m1.9.9.1.1.1.1.2.3.1.cmml">(</mo><mi id="S1.E12.m1.5.5" xref="S1.E12.m1.5.5.cmml">N</mi><mo id="S1.E12.m1.9.9.1.1.1.1.2.3.2.2" xref="S1.E12.m1.9.9.1.1.1.1.2.3.1.cmml">,</mo><mi id="S1.E12.m1.6.6" xref="S1.E12.m1.6.6.cmml">q</mi><mo id="S1.E12.m1.9.9.1.1.1.1.2.3.2.3" xref="S1.E12.m1.9.9.1.1.1.1.2.3.1.cmml">,</mo><mi id="S1.E12.m1.7.7" xref="S1.E12.m1.7.7.cmml">t</mi><mo id="S1.E12.m1.9.9.1.1.1.1.2.3.2.4" stretchy="false" xref="S1.E12.m1.9.9.1.1.1.1.2.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S1.E12.m1.9.9.1.1.1.1.1" xref="S1.E12.m1.9.9.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S1.E12.m1.9.9.1.1.1.1.3" xref="S1.E12.m1.9.9.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S1.E12.m1.9.9.1.1.1.1.3.2" xref="S1.E12.m1.9.9.1.1.1.1.3.2.cmml">o</mi><mo id="S1.E12.m1.9.9.1.1.1.1.3.1" xref="S1.E12.m1.9.9.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S1.E12.m1.9.9.1.1.1.1.3.3.2" xref="S1.E12.m1.9.9.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="S1.E12.m1.9.9.1.1.1.1.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S1.E12.m1.9.9.1.1.1.1.3.cmml">(</mo><mn id="S1.E12.m1.8.8" xref="S1.E12.m1.8.8.cmml">1</mn><mo id="S1.E12.m1.9.9.1.1.1.1.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S1.E12.m1.9.9.1.1.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S1.E12.m1.9.9.1.1.1.3" xref="S1.E12.m1.9.9.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S1.E12.m1.9.9.1.2" lspace="0.167em" xref="S1.E12.m1.9.9.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S1.E12.m1.9.9.1.3" xref="S1.E12.m1.9.9.1.3.cmml"><mi id="S1.E12.m1.9.9.1.3.1" xref="S1.E12.m1.9.9.1.3.1.cmml">log</mi><mo id="S1.E12.m1.9.9.1.3a" lspace="0.167em" xref="S1.E12.m1.9.9.1.3.cmml">⁡</mo><mfrac id="S1.E12.m1.9.9.1.3.2" xref="S1.E12.m1.9.9.1.3.2.cmml"><mn id="S1.E12.m1.9.9.1.3.2.2" xref="S1.E12.m1.9.9.1.3.2.2.cmml">1</mn><mi id="S1.E12.m1.9.9.1.3.2.3" xref="S1.E12.m1.9.9.1.3.2.3.cmml">ϵ</mi></mfrac></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.E12.m1.9b"><apply id="S1.E12.m1.9.9.cmml" xref="S1.E12.m1.9.9"><eq id="S1.E12.m1.9.9.2.cmml" xref="S1.E12.m1.9.9.2"></eq><apply id="S1.E12.m1.9.9.3.cmml" xref="S1.E12.m1.9.9.3"><times id="S1.E12.m1.9.9.3.1.cmml" xref="S1.E12.m1.9.9.3.1"></times><apply id="S1.E12.m1.9.9.3.2.cmml" xref="S1.E12.m1.9.9.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.E12.m1.9.9.3.2.1.cmml" xref="S1.E12.m1.9.9.3.2">subscript</csymbol><ci id="S1.E12.m1.9.9.3.2.2.cmml" xref="S1.E12.m1.9.9.3.2.2">ℓ</ci><times id="S1.E12.m1.9.9.3.2.3.cmml" xref="S1.E12.m1.9.9.3.2.3"></times></apply><vector id="S1.E12.m1.9.9.3.3.1.cmml" xref="S1.E12.m1.9.9.3.3.2"><ci id="S1.E12.m1.1.1.cmml" xref="S1.E12.m1.1.1">𝑁</ci><ci id="S1.E12.m1.2.2.cmml" xref="S1.E12.m1.2.2">𝑞</ci><ci id="S1.E12.m1.3.3.cmml" xref="S1.E12.m1.3.3">𝑡</ci><ci id="S1.E12.m1.4.4.cmml" xref="S1.E12.m1.4.4">italic-ϵ</ci></vector></apply><apply id="S1.E12.m1.9.9.1.cmml" xref="S1.E12.m1.9.9.1"><times id="S1.E12.m1.9.9.1.2.cmml" xref="S1.E12.m1.9.9.1.2"></times><apply id="S1.E12.m1.9.9.1.1.1.1.cmml" xref="S1.E12.m1.9.9.1.1.1"><plus id="S1.E12.m1.9.9.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.E12.m1.9.9.1.1.1.1.1"></plus><apply id="S1.E12.m1.9.9.1.1.1.1.2.cmml" xref="S1.E12.m1.9.9.1.1.1.1.2"><times id="S1.E12.m1.9.9.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S1.E12.m1.9.9.1.1.1.1.2.1"></times><ci id="S1.E12.m1.9.9.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S1.E12.m1.9.9.1.1.1.1.2.2">𝐶</ci><vector id="S1.E12.m1.9.9.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S1.E12.m1.9.9.1.1.1.1.2.3.2"><ci id="S1.E12.m1.5.5.cmml" xref="S1.E12.m1.5.5">𝑁</ci><ci id="S1.E12.m1.6.6.cmml" xref="S1.E12.m1.6.6">𝑞</ci><ci id="S1.E12.m1.7.7.cmml" xref="S1.E12.m1.7.7">𝑡</ci></vector></apply><apply id="S1.E12.m1.9.9.1.1.1.1.3.cmml" xref="S1.E12.m1.9.9.1.1.1.1.3"><times id="S1.E12.m1.9.9.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S1.E12.m1.9.9.1.1.1.1.3.1"></times><ci id="S1.E12.m1.9.9.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S1.E12.m1.9.9.1.1.1.1.3.2">𝑜</ci><cn id="S1.E12.m1.8.8.cmml" type="integer" xref="S1.E12.m1.8.8">1</cn></apply></apply><apply id="S1.E12.m1.9.9.1.3.cmml" xref="S1.E12.m1.9.9.1.3"><log id="S1.E12.m1.9.9.1.3.1.cmml" xref="S1.E12.m1.9.9.1.3.1"></log><apply id="S1.E12.m1.9.9.1.3.2.cmml" xref="S1.E12.m1.9.9.1.3.2"><divide id="S1.E12.m1.9.9.1.3.2.1.cmml" xref="S1.E12.m1.9.9.1.3.2"></divide><cn id="S1.E12.m1.9.9.1.3.2.2.cmml" type="integer" xref="S1.E12.m1.9.9.1.3.2.2">1</cn><ci id="S1.E12.m1.9.9.1.3.2.3.cmml" xref="S1.E12.m1.9.9.1.3.2.3">italic-ϵ</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.E12.m1.9c">\displaystyle\ell_{*}(N,q,t,\epsilon)=\left(C(N,q,t)+o(1)\right)\log\frac{1}{\epsilon}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.E12.m1.9d">roman_ℓ start_POSTSUBSCRIPT ∗ end_POSTSUBSCRIPT ( italic_N , italic_q , italic_t , italic_ϵ ) = ( italic_C ( italic_N , italic_q , italic_t ) + italic_o ( 1 ) ) roman_log divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_ϵ end_ARG</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(12)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="Thmtheorem4.p1.3"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmtheorem4.p1.3.2">as <math alttext="\epsilon\rightarrow 0" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem4.p1.2.1.m1.1"><semantics id="Thmtheorem4.p1.2.1.m1.1a"><mrow id="Thmtheorem4.p1.2.1.m1.1.1" xref="Thmtheorem4.p1.2.1.m1.1.1.cmml"><mi id="Thmtheorem4.p1.2.1.m1.1.1.2" xref="Thmtheorem4.p1.2.1.m1.1.1.2.cmml">ϵ</mi><mo id="Thmtheorem4.p1.2.1.m1.1.1.1" stretchy="false" xref="Thmtheorem4.p1.2.1.m1.1.1.1.cmml">→</mo><mn id="Thmtheorem4.p1.2.1.m1.1.1.3" xref="Thmtheorem4.p1.2.1.m1.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem4.p1.2.1.m1.1b"><apply id="Thmtheorem4.p1.2.1.m1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem4.p1.2.1.m1.1.1"><ci id="Thmtheorem4.p1.2.1.m1.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem4.p1.2.1.m1.1.1.1">→</ci><ci id="Thmtheorem4.p1.2.1.m1.1.1.2.cmml" xref="Thmtheorem4.p1.2.1.m1.1.1.2">italic-ϵ</ci><cn id="Thmtheorem4.p1.2.1.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="Thmtheorem4.p1.2.1.m1.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem4.p1.2.1.m1.1c">\epsilon\rightarrow 0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem4.p1.2.1.m1.1d">italic_ϵ → 0</annotation></semantics></math>. If <math alttext="t\leq q" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem4.p1.3.2.m2.1"><semantics id="Thmtheorem4.p1.3.2.m2.1a"><mrow id="Thmtheorem4.p1.3.2.m2.1.1" xref="Thmtheorem4.p1.3.2.m2.1.1.cmml"><mi id="Thmtheorem4.p1.3.2.m2.1.1.2" xref="Thmtheorem4.p1.3.2.m2.1.1.2.cmml">t</mi><mo id="Thmtheorem4.p1.3.2.m2.1.1.1" xref="Thmtheorem4.p1.3.2.m2.1.1.1.cmml">≤</mo><mi id="Thmtheorem4.p1.3.2.m2.1.1.3" xref="Thmtheorem4.p1.3.2.m2.1.1.3.cmml">q</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem4.p1.3.2.m2.1b"><apply id="Thmtheorem4.p1.3.2.m2.1.1.cmml" xref="Thmtheorem4.p1.3.2.m2.1.1"><leq id="Thmtheorem4.p1.3.2.m2.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem4.p1.3.2.m2.1.1.1"></leq><ci id="Thmtheorem4.p1.3.2.m2.1.1.2.cmml" xref="Thmtheorem4.p1.3.2.m2.1.1.2">𝑡</ci><ci id="Thmtheorem4.p1.3.2.m2.1.1.3.cmml" xref="Thmtheorem4.p1.3.2.m2.1.1.3">𝑞</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem4.p1.3.2.m2.1c">t\leq q</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem4.p1.3.2.m2.1d">italic_t ≤ italic_q</annotation></semantics></math>, then</span></p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_gather ltx_eqn_table" id="S6.EGx13"> <tbody id="S1.E13"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\displaystyle\left[\log\frac{q^{2}+1}{2q}+\log\frac{1}{\cos\frac{\pi}{N}}% \right]^{-1}\leq C(N,q,t)\leq\left[\log\frac{q^{2}+1}{2q}+\log\frac{2}{1+\sqrt% {1+\frac{1}{q^{2}}}}\right]^{-1}" class="ltx_Math" display="block" id="S1.E13.m1.5"><semantics id="S1.E13.m1.5a"><mrow id="S1.E13.m1.5.5" xref="S1.E13.m1.5.5.cmml"><msup id="S1.E13.m1.4.4.1" xref="S1.E13.m1.4.4.1.cmml"><mrow id="S1.E13.m1.4.4.1.1.1" xref="S1.E13.m1.4.4.1.1.2.cmml"><mo id="S1.E13.m1.4.4.1.1.1.2" xref="S1.E13.m1.4.4.1.1.2.1.cmml">[</mo><mrow id="S1.E13.m1.4.4.1.1.1.1" xref="S1.E13.m1.4.4.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S1.E13.m1.4.4.1.1.1.1.2" xref="S1.E13.m1.4.4.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S1.E13.m1.4.4.1.1.1.1.2.1" xref="S1.E13.m1.4.4.1.1.1.1.2.1.cmml">log</mi><mo id="S1.E13.m1.4.4.1.1.1.1.2a" lspace="0.167em" xref="S1.E13.m1.4.4.1.1.1.1.2.cmml">⁡</mo><mfrac id="S1.E13.m1.4.4.1.1.1.1.2.2" xref="S1.E13.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.cmml"><mrow id="S1.E13.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.2" xref="S1.E13.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.2.cmml"><msup id="S1.E13.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.2.2" xref="S1.E13.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml"><mi id="S1.E13.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.2.2.2" xref="S1.E13.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml">q</mi><mn id="S1.E13.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.2.2.3" xref="S1.E13.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.2.2.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S1.E13.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.2.1" xref="S1.E13.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml">+</mo><mn id="S1.E13.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.2.3" xref="S1.E13.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml">1</mn></mrow><mrow id="S1.E13.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.3" xref="S1.E13.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mn id="S1.E13.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="S1.E13.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml">2</mn><mo id="S1.E13.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.3.1" xref="S1.E13.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S1.E13.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.3.3" xref="S1.E13.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml">q</mi></mrow></mfrac></mrow><mo id="S1.E13.m1.4.4.1.1.1.1.1" xref="S1.E13.m1.4.4.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S1.E13.m1.4.4.1.1.1.1.3" xref="S1.E13.m1.4.4.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S1.E13.m1.4.4.1.1.1.1.3.1" xref="S1.E13.m1.4.4.1.1.1.1.3.1.cmml">log</mi><mo id="S1.E13.m1.4.4.1.1.1.1.3a" lspace="0.167em" xref="S1.E13.m1.4.4.1.1.1.1.3.cmml">⁡</mo><mfrac id="S1.E13.m1.4.4.1.1.1.1.3.2" xref="S1.E13.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.cmml"><mn id="S1.E13.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.2" xref="S1.E13.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.2.cmml">1</mn><mrow id="S1.E13.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.3" xref="S1.E13.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="S1.E13.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.3.1" xref="S1.E13.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml">cos</mi><mo id="S1.E13.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.3a" lspace="0.167em" xref="S1.E13.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.3.cmml">⁡</mo><mfrac id="S1.E13.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.3.2" xref="S1.E13.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml"><mi id="S1.E13.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.3.2.2" xref="S1.E13.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.3.2.2.cmml">π</mi><mi id="S1.E13.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.3.2.3" xref="S1.E13.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.3.2.3.cmml">N</mi></mfrac></mrow></mfrac></mrow></mrow><mo id="S1.E13.m1.4.4.1.1.1.3" xref="S1.E13.m1.4.4.1.1.2.1.cmml">]</mo></mrow><mrow id="S1.E13.m1.4.4.1.3" xref="S1.E13.m1.4.4.1.3.cmml"><mo id="S1.E13.m1.4.4.1.3a" xref="S1.E13.m1.4.4.1.3.cmml">−</mo><mn id="S1.E13.m1.4.4.1.3.2" xref="S1.E13.m1.4.4.1.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="S1.E13.m1.5.5.4" xref="S1.E13.m1.5.5.4.cmml">≤</mo><mrow id="S1.E13.m1.5.5.5" xref="S1.E13.m1.5.5.5.cmml"><mi id="S1.E13.m1.5.5.5.2" xref="S1.E13.m1.5.5.5.2.cmml">C</mi><mo id="S1.E13.m1.5.5.5.1" xref="S1.E13.m1.5.5.5.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S1.E13.m1.5.5.5.3.2" xref="S1.E13.m1.5.5.5.3.1.cmml"><mo id="S1.E13.m1.5.5.5.3.2.1" stretchy="false" xref="S1.E13.m1.5.5.5.3.1.cmml">(</mo><mi id="S1.E13.m1.1.1" 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id="S1.E13.m1.5.5.2.1.1.1.3.2.3.3.2.1" xref="S1.E13.m1.5.5.2.1.1.1.3.2.3.3.2.1.cmml">+</mo><mfrac id="S1.E13.m1.5.5.2.1.1.1.3.2.3.3.2.3" xref="S1.E13.m1.5.5.2.1.1.1.3.2.3.3.2.3.cmml"><mn id="S1.E13.m1.5.5.2.1.1.1.3.2.3.3.2.3.2" xref="S1.E13.m1.5.5.2.1.1.1.3.2.3.3.2.3.2.cmml">1</mn><msup id="S1.E13.m1.5.5.2.1.1.1.3.2.3.3.2.3.3" xref="S1.E13.m1.5.5.2.1.1.1.3.2.3.3.2.3.3.cmml"><mi id="S1.E13.m1.5.5.2.1.1.1.3.2.3.3.2.3.3.2" xref="S1.E13.m1.5.5.2.1.1.1.3.2.3.3.2.3.3.2.cmml">q</mi><mn id="S1.E13.m1.5.5.2.1.1.1.3.2.3.3.2.3.3.3" xref="S1.E13.m1.5.5.2.1.1.1.3.2.3.3.2.3.3.3.cmml">2</mn></msup></mfrac></mrow></msqrt></mrow></mfrac></mrow></mrow><mo id="S1.E13.m1.5.5.2.1.1.3" xref="S1.E13.m1.5.5.2.1.2.1.cmml">]</mo></mrow><mrow id="S1.E13.m1.5.5.2.3" xref="S1.E13.m1.5.5.2.3.cmml"><mo id="S1.E13.m1.5.5.2.3a" xref="S1.E13.m1.5.5.2.3.cmml">−</mo><mn id="S1.E13.m1.5.5.2.3.2" xref="S1.E13.m1.5.5.2.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.E13.m1.5b"><apply 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xref="S1.E13.m1.4.4.1.1.1.1.2.2"></divide><apply id="S1.E13.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S1.E13.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.2"><plus id="S1.E13.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S1.E13.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.2.1"></plus><apply id="S1.E13.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S1.E13.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.E13.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.2.2.1.cmml" xref="S1.E13.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.2.2">superscript</csymbol><ci id="S1.E13.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S1.E13.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.2.2.2">𝑞</ci><cn id="S1.E13.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S1.E13.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.2.2.3">2</cn></apply><cn id="S1.E13.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S1.E13.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.2.3">1</cn></apply><apply id="S1.E13.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S1.E13.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.3"><times id="S1.E13.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S1.E13.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.3.1"></times><cn id="S1.E13.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml" type="integer" xref="S1.E13.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.3.2">2</cn><ci id="S1.E13.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml" xref="S1.E13.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.3.3">𝑞</ci></apply></apply></apply><apply id="S1.E13.m1.4.4.1.1.1.1.3.cmml" xref="S1.E13.m1.4.4.1.1.1.1.3"><log id="S1.E13.m1.4.4.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S1.E13.m1.4.4.1.1.1.1.3.1"></log><apply id="S1.E13.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S1.E13.m1.4.4.1.1.1.1.3.2"><divide id="S1.E13.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S1.E13.m1.4.4.1.1.1.1.3.2"></divide><cn id="S1.E13.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.2.cmml" type="integer" xref="S1.E13.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.2">1</cn><apply id="S1.E13.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S1.E13.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.3"><cos id="S1.E13.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S1.E13.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.3.1"></cos><apply id="S1.E13.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S1.E13.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.3.2"><divide id="S1.E13.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.3.2.1.cmml" xref="S1.E13.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.3.2"></divide><ci id="S1.E13.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.3.2.2.cmml" xref="S1.E13.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.3.2.2">𝜋</ci><ci id="S1.E13.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.3.2.3.cmml" xref="S1.E13.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.3.2.3">𝑁</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="S1.E13.m1.4.4.1.3.cmml" xref="S1.E13.m1.4.4.1.3"><minus id="S1.E13.m1.4.4.1.3.1.cmml" xref="S1.E13.m1.4.4.1.3"></minus><cn id="S1.E13.m1.4.4.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S1.E13.m1.4.4.1.3.2">1</cn></apply></apply><apply id="S1.E13.m1.5.5.5.cmml" xref="S1.E13.m1.5.5.5"><times id="S1.E13.m1.5.5.5.1.cmml" xref="S1.E13.m1.5.5.5.1"></times><ci id="S1.E13.m1.5.5.5.2.cmml" xref="S1.E13.m1.5.5.5.2">𝐶</ci><vector id="S1.E13.m1.5.5.5.3.1.cmml" xref="S1.E13.m1.5.5.5.3.2"><ci id="S1.E13.m1.1.1.cmml" xref="S1.E13.m1.1.1">𝑁</ci><ci id="S1.E13.m1.2.2.cmml" xref="S1.E13.m1.2.2">𝑞</ci><ci id="S1.E13.m1.3.3.cmml" xref="S1.E13.m1.3.3">𝑡</ci></vector></apply></apply><apply id="S1.E13.m1.5.5c.cmml" xref="S1.E13.m1.5.5"><leq id="S1.E13.m1.5.5.6.cmml" xref="S1.E13.m1.5.5.6"></leq><share href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#S1.E13.m1.5.5.5.cmml" id="S1.E13.m1.5.5d.cmml" xref="S1.E13.m1.5.5"></share><apply id="S1.E13.m1.5.5.2.cmml" xref="S1.E13.m1.5.5.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.E13.m1.5.5.2.2.cmml" xref="S1.E13.m1.5.5.2">superscript</csymbol><apply id="S1.E13.m1.5.5.2.1.2.cmml" xref="S1.E13.m1.5.5.2.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S1.E13.m1.5.5.2.1.2.1.cmml" xref="S1.E13.m1.5.5.2.1.1.2">delimited-[]</csymbol><apply id="S1.E13.m1.5.5.2.1.1.1.cmml" xref="S1.E13.m1.5.5.2.1.1.1"><plus id="S1.E13.m1.5.5.2.1.1.1.1.cmml" xref="S1.E13.m1.5.5.2.1.1.1.1"></plus><apply id="S1.E13.m1.5.5.2.1.1.1.2.cmml" xref="S1.E13.m1.5.5.2.1.1.1.2"><log id="S1.E13.m1.5.5.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="S1.E13.m1.5.5.2.1.1.1.2.1"></log><apply id="S1.E13.m1.5.5.2.1.1.1.2.2.cmml" xref="S1.E13.m1.5.5.2.1.1.1.2.2"><divide id="S1.E13.m1.5.5.2.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S1.E13.m1.5.5.2.1.1.1.2.2"></divide><apply id="S1.E13.m1.5.5.2.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S1.E13.m1.5.5.2.1.1.1.2.2.2"><plus id="S1.E13.m1.5.5.2.1.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S1.E13.m1.5.5.2.1.1.1.2.2.2.1"></plus><apply id="S1.E13.m1.5.5.2.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S1.E13.m1.5.5.2.1.1.1.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.E13.m1.5.5.2.1.1.1.2.2.2.2.1.cmml" xref="S1.E13.m1.5.5.2.1.1.1.2.2.2.2">superscript</csymbol><ci id="S1.E13.m1.5.5.2.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S1.E13.m1.5.5.2.1.1.1.2.2.2.2.2">𝑞</ci><cn id="S1.E13.m1.5.5.2.1.1.1.2.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S1.E13.m1.5.5.2.1.1.1.2.2.2.2.3">2</cn></apply><cn id="S1.E13.m1.5.5.2.1.1.1.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S1.E13.m1.5.5.2.1.1.1.2.2.2.3">1</cn></apply><apply id="S1.E13.m1.5.5.2.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S1.E13.m1.5.5.2.1.1.1.2.2.3"><times id="S1.E13.m1.5.5.2.1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S1.E13.m1.5.5.2.1.1.1.2.2.3.1"></times><cn id="S1.E13.m1.5.5.2.1.1.1.2.2.3.2.cmml" type="integer" xref="S1.E13.m1.5.5.2.1.1.1.2.2.3.2">2</cn><ci id="S1.E13.m1.5.5.2.1.1.1.2.2.3.3.cmml" xref="S1.E13.m1.5.5.2.1.1.1.2.2.3.3">𝑞</ci></apply></apply></apply><apply id="S1.E13.m1.5.5.2.1.1.1.3.cmml" xref="S1.E13.m1.5.5.2.1.1.1.3"><log id="S1.E13.m1.5.5.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="S1.E13.m1.5.5.2.1.1.1.3.1"></log><apply id="S1.E13.m1.5.5.2.1.1.1.3.2.cmml" xref="S1.E13.m1.5.5.2.1.1.1.3.2"><divide id="S1.E13.m1.5.5.2.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S1.E13.m1.5.5.2.1.1.1.3.2"></divide><cn id="S1.E13.m1.5.5.2.1.1.1.3.2.2.cmml" type="integer" xref="S1.E13.m1.5.5.2.1.1.1.3.2.2">2</cn><apply id="S1.E13.m1.5.5.2.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S1.E13.m1.5.5.2.1.1.1.3.2.3"><plus id="S1.E13.m1.5.5.2.1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S1.E13.m1.5.5.2.1.1.1.3.2.3.1"></plus><cn id="S1.E13.m1.5.5.2.1.1.1.3.2.3.2.cmml" type="integer" xref="S1.E13.m1.5.5.2.1.1.1.3.2.3.2">1</cn><apply id="S1.E13.m1.5.5.2.1.1.1.3.2.3.3.cmml" xref="S1.E13.m1.5.5.2.1.1.1.3.2.3.3"><root id="S1.E13.m1.5.5.2.1.1.1.3.2.3.3a.cmml" xref="S1.E13.m1.5.5.2.1.1.1.3.2.3.3"></root><apply id="S1.E13.m1.5.5.2.1.1.1.3.2.3.3.2.cmml" xref="S1.E13.m1.5.5.2.1.1.1.3.2.3.3.2"><plus id="S1.E13.m1.5.5.2.1.1.1.3.2.3.3.2.1.cmml" xref="S1.E13.m1.5.5.2.1.1.1.3.2.3.3.2.1"></plus><cn id="S1.E13.m1.5.5.2.1.1.1.3.2.3.3.2.2.cmml" type="integer" xref="S1.E13.m1.5.5.2.1.1.1.3.2.3.3.2.2">1</cn><apply id="S1.E13.m1.5.5.2.1.1.1.3.2.3.3.2.3.cmml" xref="S1.E13.m1.5.5.2.1.1.1.3.2.3.3.2.3"><divide id="S1.E13.m1.5.5.2.1.1.1.3.2.3.3.2.3.1.cmml" xref="S1.E13.m1.5.5.2.1.1.1.3.2.3.3.2.3"></divide><cn id="S1.E13.m1.5.5.2.1.1.1.3.2.3.3.2.3.2.cmml" type="integer" xref="S1.E13.m1.5.5.2.1.1.1.3.2.3.3.2.3.2">1</cn><apply id="S1.E13.m1.5.5.2.1.1.1.3.2.3.3.2.3.3.cmml" xref="S1.E13.m1.5.5.2.1.1.1.3.2.3.3.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.E13.m1.5.5.2.1.1.1.3.2.3.3.2.3.3.1.cmml" xref="S1.E13.m1.5.5.2.1.1.1.3.2.3.3.2.3.3">superscript</csymbol><ci id="S1.E13.m1.5.5.2.1.1.1.3.2.3.3.2.3.3.2.cmml" xref="S1.E13.m1.5.5.2.1.1.1.3.2.3.3.2.3.3.2">𝑞</ci><cn id="S1.E13.m1.5.5.2.1.1.1.3.2.3.3.2.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S1.E13.m1.5.5.2.1.1.1.3.2.3.3.2.3.3.3">2</cn></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="S1.E13.m1.5.5.2.3.cmml" xref="S1.E13.m1.5.5.2.3"><minus id="S1.E13.m1.5.5.2.3.1.cmml" xref="S1.E13.m1.5.5.2.3"></minus><cn id="S1.E13.m1.5.5.2.3.2.cmml" type="integer" xref="S1.E13.m1.5.5.2.3.2">1</cn></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.E13.m1.5c">\displaystyle\left[\log\frac{q^{2}+1}{2q}+\log\frac{1}{\cos\frac{\pi}{N}}% \right]^{-1}\leq C(N,q,t)\leq\left[\log\frac{q^{2}+1}{2q}+\log\frac{2}{1+\sqrt% {1+\frac{1}{q^{2}}}}\right]^{-1}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.E13.m1.5d">[ roman_log divide start_ARG italic_q start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + 1 end_ARG start_ARG 2 italic_q end_ARG + roman_log divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG roman_cos divide start_ARG italic_π end_ARG start_ARG italic_N end_ARG end_ARG ] start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT ≤ italic_C ( italic_N , italic_q , italic_t ) ≤ [ roman_log divide start_ARG italic_q start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + 1 end_ARG start_ARG 2 italic_q end_ARG + roman_log divide start_ARG 2 end_ARG start_ARG 1 + square-root start_ARG 1 + divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_q start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG end_ARG end_ARG ] start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(13)</span></td> </tr></tbody> </table> </div> </div> <div class="ltx_para" id="S1.SS2.p6"> <p class="ltx_p" id="S1.SS2.p6.6">This corollary is proven in Appendix <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#A1.SS2" title="A.2 Proof of Corollary 4 ‣ Appendix A Relationship between spectral gap and 𝑡-design depth ‣ Conditional 𝑡-independent spectral gap for random quantum circuits and implications for 𝑡-design depths"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">A.2</span></a>. This implies that the behavior of the random quantum circuit has rather precise bounds in the large depth/low-<math alttext="\epsilon" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.SS2.p6.1.m1.1"><semantics id="S1.SS2.p6.1.m1.1a"><mi id="S1.SS2.p6.1.m1.1.1" xref="S1.SS2.p6.1.m1.1.1.cmml">ϵ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.SS2.p6.1.m1.1b"><ci id="S1.SS2.p6.1.m1.1.1.cmml" xref="S1.SS2.p6.1.m1.1.1">italic-ϵ</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.SS2.p6.1.m1.1c">\epsilon</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.SS2.p6.1.m1.1d">italic_ϵ</annotation></semantics></math> regime. In particular, the depth at which the circuit reaches an approximate <math alttext="t" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.SS2.p6.2.m2.1"><semantics id="S1.SS2.p6.2.m2.1a"><mi id="S1.SS2.p6.2.m2.1.1" xref="S1.SS2.p6.2.m2.1.1.cmml">t</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.SS2.p6.2.m2.1b"><ci id="S1.SS2.p6.2.m2.1.1.cmml" xref="S1.SS2.p6.2.m2.1.1">𝑡</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.SS2.p6.2.m2.1c">t</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.SS2.p6.2.m2.1d">italic_t</annotation></semantics></math>-design is <span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S1.SS2.p6.6.1">independent</span> of both <math alttext="N" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.SS2.p6.3.m3.1"><semantics id="S1.SS2.p6.3.m3.1a"><mi id="S1.SS2.p6.3.m3.1.1" xref="S1.SS2.p6.3.m3.1.1.cmml">N</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.SS2.p6.3.m3.1b"><ci id="S1.SS2.p6.3.m3.1.1.cmml" xref="S1.SS2.p6.3.m3.1.1">𝑁</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.SS2.p6.3.m3.1c">N</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.SS2.p6.3.m3.1d">italic_N</annotation></semantics></math> and <math alttext="t" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.SS2.p6.4.m4.1"><semantics id="S1.SS2.p6.4.m4.1a"><mi id="S1.SS2.p6.4.m4.1.1" xref="S1.SS2.p6.4.m4.1.1.cmml">t</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.SS2.p6.4.m4.1b"><ci id="S1.SS2.p6.4.m4.1.1.cmml" xref="S1.SS2.p6.4.m4.1.1">𝑡</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.SS2.p6.4.m4.1c">t</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.SS2.p6.4.m4.1d">italic_t</annotation></semantics></math> in this regime (although the location of the regime itself might be dependent on <math alttext="N" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.SS2.p6.5.m5.1"><semantics id="S1.SS2.p6.5.m5.1a"><mi id="S1.SS2.p6.5.m5.1.1" xref="S1.SS2.p6.5.m5.1.1.cmml">N</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.SS2.p6.5.m5.1b"><ci id="S1.SS2.p6.5.m5.1.1.cmml" xref="S1.SS2.p6.5.m5.1.1">𝑁</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.SS2.p6.5.m5.1c">N</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.SS2.p6.5.m5.1d">italic_N</annotation></semantics></math> and <math alttext="t" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.SS2.p6.6.m6.1"><semantics id="S1.SS2.p6.6.m6.1a"><mi id="S1.SS2.p6.6.m6.1.1" xref="S1.SS2.p6.6.m6.1.1.cmml">t</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.SS2.p6.6.m6.1b"><ci id="S1.SS2.p6.6.m6.1.1.cmml" xref="S1.SS2.p6.6.m6.1.1">𝑡</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.SS2.p6.6.m6.1c">t</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.SS2.p6.6.m6.1d">italic_t</annotation></semantics></math>).</p> </div> <div class="ltx_para" id="S1.SS2.p7"> <p class="ltx_p" id="S1.SS2.p7.1">In addition, we have a semi-numerical bound on the spectral gap for finite system sizes:</p> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_theorem" id="Thmtheorem5"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmtheorem5.1.1.1">Theorem 5</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmtheorem5.2.2">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="Thmtheorem5.p1"> <p class="ltx_p" id="Thmtheorem5.p1.5"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmtheorem5.p1.5.5">When <math alttext="q=2" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem5.p1.1.1.m1.1"><semantics id="Thmtheorem5.p1.1.1.m1.1a"><mrow id="Thmtheorem5.p1.1.1.m1.1.1" xref="Thmtheorem5.p1.1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="Thmtheorem5.p1.1.1.m1.1.1.2" xref="Thmtheorem5.p1.1.1.m1.1.1.2.cmml">q</mi><mo id="Thmtheorem5.p1.1.1.m1.1.1.1" xref="Thmtheorem5.p1.1.1.m1.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="Thmtheorem5.p1.1.1.m1.1.1.3" xref="Thmtheorem5.p1.1.1.m1.1.1.3.cmml">2</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem5.p1.1.1.m1.1b"><apply id="Thmtheorem5.p1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem5.p1.1.1.m1.1.1"><eq id="Thmtheorem5.p1.1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem5.p1.1.1.m1.1.1.1"></eq><ci id="Thmtheorem5.p1.1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="Thmtheorem5.p1.1.1.m1.1.1.2">𝑞</ci><cn id="Thmtheorem5.p1.1.1.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="Thmtheorem5.p1.1.1.m1.1.1.3">2</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem5.p1.1.1.m1.1c">q=2</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem5.p1.1.1.m1.1d">italic_q = 2</annotation></semantics></math>, <math alttext="t\leq 6" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem5.p1.2.2.m2.1"><semantics id="Thmtheorem5.p1.2.2.m2.1a"><mrow id="Thmtheorem5.p1.2.2.m2.1.1" xref="Thmtheorem5.p1.2.2.m2.1.1.cmml"><mi id="Thmtheorem5.p1.2.2.m2.1.1.2" xref="Thmtheorem5.p1.2.2.m2.1.1.2.cmml">t</mi><mo id="Thmtheorem5.p1.2.2.m2.1.1.1" xref="Thmtheorem5.p1.2.2.m2.1.1.1.cmml">≤</mo><mn id="Thmtheorem5.p1.2.2.m2.1.1.3" xref="Thmtheorem5.p1.2.2.m2.1.1.3.cmml">6</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem5.p1.2.2.m2.1b"><apply id="Thmtheorem5.p1.2.2.m2.1.1.cmml" xref="Thmtheorem5.p1.2.2.m2.1.1"><leq id="Thmtheorem5.p1.2.2.m2.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem5.p1.2.2.m2.1.1.1"></leq><ci id="Thmtheorem5.p1.2.2.m2.1.1.2.cmml" xref="Thmtheorem5.p1.2.2.m2.1.1.2">𝑡</ci><cn id="Thmtheorem5.p1.2.2.m2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="Thmtheorem5.p1.2.2.m2.1.1.3">6</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem5.p1.2.2.m2.1c">t\leq 6</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem5.p1.2.2.m2.1d">italic_t ≤ 6</annotation></semantics></math>, and <math alttext="N\leq 1000" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem5.p1.3.3.m3.1"><semantics id="Thmtheorem5.p1.3.3.m3.1a"><mrow id="Thmtheorem5.p1.3.3.m3.1.1" xref="Thmtheorem5.p1.3.3.m3.1.1.cmml"><mi id="Thmtheorem5.p1.3.3.m3.1.1.2" xref="Thmtheorem5.p1.3.3.m3.1.1.2.cmml">N</mi><mo id="Thmtheorem5.p1.3.3.m3.1.1.1" xref="Thmtheorem5.p1.3.3.m3.1.1.1.cmml">≤</mo><mn id="Thmtheorem5.p1.3.3.m3.1.1.3" xref="Thmtheorem5.p1.3.3.m3.1.1.3.cmml">1000</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem5.p1.3.3.m3.1b"><apply id="Thmtheorem5.p1.3.3.m3.1.1.cmml" xref="Thmtheorem5.p1.3.3.m3.1.1"><leq id="Thmtheorem5.p1.3.3.m3.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem5.p1.3.3.m3.1.1.1"></leq><ci id="Thmtheorem5.p1.3.3.m3.1.1.2.cmml" xref="Thmtheorem5.p1.3.3.m3.1.1.2">𝑁</ci><cn id="Thmtheorem5.p1.3.3.m3.1.1.3.cmml" type="integer" xref="Thmtheorem5.p1.3.3.m3.1.1.3">1000</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem5.p1.3.3.m3.1c">N\leq 1000</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem5.p1.3.3.m3.1d">italic_N ≤ 1000</annotation></semantics></math>, the spectral gap of the 1D brickwork architecture with <math alttext="N" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem5.p1.4.4.m4.1"><semantics id="Thmtheorem5.p1.4.4.m4.1a"><mi id="Thmtheorem5.p1.4.4.m4.1.1" xref="Thmtheorem5.p1.4.4.m4.1.1.cmml">N</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem5.p1.4.4.m4.1b"><ci id="Thmtheorem5.p1.4.4.m4.1.1.cmml" xref="Thmtheorem5.p1.4.4.m4.1.1">𝑁</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem5.p1.4.4.m4.1c">N</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem5.p1.4.4.m4.1d">italic_N</annotation></semantics></math> sites of local Hilbert space dimension <math alttext="q" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem5.p1.5.5.m5.1"><semantics id="Thmtheorem5.p1.5.5.m5.1a"><mi id="Thmtheorem5.p1.5.5.m5.1.1" xref="Thmtheorem5.p1.5.5.m5.1.1.cmml">q</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem5.p1.5.5.m5.1b"><ci id="Thmtheorem5.p1.5.5.m5.1.1.cmml" xref="Thmtheorem5.p1.5.5.m5.1.1">𝑞</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem5.p1.5.5.m5.1c">q</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem5.p1.5.5.m5.1d">italic_q</annotation></semantics></math> is at least</span></p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_gather ltx_eqn_table" id="S6.EGx14"> <tbody id="S1.E14"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\displaystyle 1-\left(\frac{2q}{q^{2}+1}\frac{1+\sqrt{1+\frac{1}{q^{2}}}}{2}% \right)^{2}" class="ltx_Math" display="block" id="S1.E14.m1.1"><semantics id="S1.E14.m1.1a"><mrow id="S1.E14.m1.1.1" xref="S1.E14.m1.1.1.cmml"><mn id="S1.E14.m1.1.1.3" xref="S1.E14.m1.1.1.3.cmml">1</mn><mo id="S1.E14.m1.1.1.2" xref="S1.E14.m1.1.1.2.cmml">−</mo><msup id="S1.E14.m1.1.1.1" xref="S1.E14.m1.1.1.1.cmml"><mrow id="S1.E14.m1.1.1.1.1.1" xref="S1.E14.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S1.E14.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S1.E14.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S1.E14.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S1.E14.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mfrac id="S1.E14.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S1.E14.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mrow id="S1.E14.m1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S1.E14.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mn id="S1.E14.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S1.E14.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">2</mn><mo id="S1.E14.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1" xref="S1.E14.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S1.E14.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S1.E14.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">q</mi></mrow><mrow id="S1.E14.m1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S1.E14.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><msup id="S1.E14.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S1.E14.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml"><mi id="S1.E14.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2" xref="S1.E14.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2.cmml">q</mi><mn id="S1.E14.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3" xref="S1.E14.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S1.E14.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.1" xref="S1.E14.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml">+</mo><mn id="S1.E14.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="S1.E14.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">1</mn></mrow></mfrac><mo id="S1.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S1.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mfrac id="S1.E14.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S1.E14.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mrow id="S1.E14.m1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S1.E14.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mn id="S1.E14.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S1.E14.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">1</mn><mo id="S1.E14.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1" xref="S1.E14.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml">+</mo><msqrt id="S1.E14.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S1.E14.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml"><mrow id="S1.E14.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2" xref="S1.E14.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml"><mn id="S1.E14.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.2" xref="S1.E14.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.2.cmml">1</mn><mo id="S1.E14.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.1" xref="S1.E14.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.1.cmml">+</mo><mfrac id="S1.E14.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.3" xref="S1.E14.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.3.cmml"><mn id="S1.E14.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.3.2" xref="S1.E14.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.3.2.cmml">1</mn><msup id="S1.E14.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.3.3" xref="S1.E14.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.3.3.cmml"><mi id="S1.E14.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.3.3.2" xref="S1.E14.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.3.3.2.cmml">q</mi><mn id="S1.E14.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.3.3.3" xref="S1.E14.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.3.3.3.cmml">2</mn></msup></mfrac></mrow></msqrt></mrow><mn id="S1.E14.m1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S1.E14.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></mfrac></mrow><mo id="S1.E14.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S1.E14.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mn id="S1.E14.m1.1.1.1.3" xref="S1.E14.m1.1.1.1.3.cmml">2</mn></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.E14.m1.1b"><apply id="S1.E14.m1.1.1.cmml" xref="S1.E14.m1.1.1"><minus id="S1.E14.m1.1.1.2.cmml" xref="S1.E14.m1.1.1.2"></minus><cn id="S1.E14.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S1.E14.m1.1.1.3">1</cn><apply id="S1.E14.m1.1.1.1.cmml" xref="S1.E14.m1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.E14.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S1.E14.m1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S1.E14.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.E14.m1.1.1.1.1.1"><times id="S1.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1"></times><apply id="S1.E14.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S1.E14.m1.1.1.1.1.1.1.2"><divide id="S1.E14.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S1.E14.m1.1.1.1.1.1.1.2"></divide><apply id="S1.E14.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S1.E14.m1.1.1.1.1.1.1.2.2"><times id="S1.E14.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S1.E14.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1"></times><cn id="S1.E14.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" type="integer" xref="S1.E14.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2">2</cn><ci id="S1.E14.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S1.E14.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3">𝑞</ci></apply><apply id="S1.E14.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S1.E14.m1.1.1.1.1.1.1.2.3"><plus id="S1.E14.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S1.E14.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.1"></plus><apply id="S1.E14.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S1.E14.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.E14.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.1.cmml" xref="S1.E14.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2">superscript</csymbol><ci id="S1.E14.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2.cmml" xref="S1.E14.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2">𝑞</ci><cn id="S1.E14.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S1.E14.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3">2</cn></apply><cn id="S1.E14.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S1.E14.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3">1</cn></apply></apply><apply id="S1.E14.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S1.E14.m1.1.1.1.1.1.1.3"><divide id="S1.E14.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S1.E14.m1.1.1.1.1.1.1.3"></divide><apply id="S1.E14.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S1.E14.m1.1.1.1.1.1.1.3.2"><plus id="S1.E14.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S1.E14.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1"></plus><cn id="S1.E14.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" type="integer" xref="S1.E14.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2">1</cn><apply id="S1.E14.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S1.E14.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3"><root id="S1.E14.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3a.cmml" xref="S1.E14.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3"></root><apply id="S1.E14.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S1.E14.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2"><plus id="S1.E14.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.1.cmml" xref="S1.E14.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.1"></plus><cn id="S1.E14.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.2.cmml" type="integer" xref="S1.E14.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.2">1</cn><apply id="S1.E14.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.3.cmml" xref="S1.E14.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.3"><divide id="S1.E14.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.3.1.cmml" xref="S1.E14.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.3"></divide><cn id="S1.E14.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.3.2.cmml" type="integer" xref="S1.E14.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.3.2">1</cn><apply id="S1.E14.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.3.3.cmml" xref="S1.E14.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.E14.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.3.3.1.cmml" xref="S1.E14.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.3.3">superscript</csymbol><ci id="S1.E14.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.3.3.2.cmml" xref="S1.E14.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.3.3.2">𝑞</ci><cn id="S1.E14.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S1.E14.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.3.3.3">2</cn></apply></apply></apply></apply></apply><cn id="S1.E14.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S1.E14.m1.1.1.1.1.1.1.3.3">2</cn></apply></apply><cn id="S1.E14.m1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S1.E14.m1.1.1.1.3">2</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.E14.m1.1c">\displaystyle 1-\left(\frac{2q}{q^{2}+1}\frac{1+\sqrt{1+\frac{1}{q^{2}}}}{2}% \right)^{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.E14.m1.1d">1 - ( divide start_ARG 2 italic_q end_ARG start_ARG italic_q start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + 1 end_ARG divide start_ARG 1 + square-root start_ARG 1 + divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_q start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG end_ARG end_ARG start_ARG 2 end_ARG ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(14)</span></td> </tr></tbody> </table> </div> </div> <div class="ltx_para" id="S1.SS2.p8"> <p class="ltx_p" id="S1.SS2.p8.3">These results will be proved in Appendix <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#A3.SS2" title="C.2 Values of ‖𝐾_𝑚‖_𝔇 for 𝑞<𝑡 (Proof of Theorem 5) ‣ Appendix C Numerical results ‣ Conditional 𝑡-independent spectral gap for random quantum circuits and implications for 𝑡-design depths"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">C.2</span></a>. They can be extended to other <math alttext="N" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.SS2.p8.1.m1.1"><semantics id="S1.SS2.p8.1.m1.1a"><mi id="S1.SS2.p8.1.m1.1.1" xref="S1.SS2.p8.1.m1.1.1.cmml">N</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.SS2.p8.1.m1.1b"><ci id="S1.SS2.p8.1.m1.1.1.cmml" xref="S1.SS2.p8.1.m1.1.1">𝑁</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.SS2.p8.1.m1.1c">N</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.SS2.p8.1.m1.1d">italic_N</annotation></semantics></math>, <math alttext="t" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.SS2.p8.2.m2.1"><semantics id="S1.SS2.p8.2.m2.1a"><mi id="S1.SS2.p8.2.m2.1.1" xref="S1.SS2.p8.2.m2.1.1.cmml">t</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.SS2.p8.2.m2.1b"><ci id="S1.SS2.p8.2.m2.1.1.cmml" xref="S1.SS2.p8.2.m2.1.1">𝑡</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.SS2.p8.2.m2.1c">t</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.SS2.p8.2.m2.1d">italic_t</annotation></semantics></math>, and <math alttext="q" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.SS2.p8.3.m3.1"><semantics id="S1.SS2.p8.3.m3.1a"><mi id="S1.SS2.p8.3.m3.1.1" xref="S1.SS2.p8.3.m3.1.1.cmml">q</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.SS2.p8.3.m3.1b"><ci id="S1.SS2.p8.3.m3.1.1.cmml" xref="S1.SS2.p8.3.m3.1.1">𝑞</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.SS2.p8.3.m3.1c">q</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.SS2.p8.3.m3.1d">italic_q</annotation></semantics></math> with additional computational effort.</p> </div> </section> <section class="ltx_subsection" id="S1.SS3"> <h3 class="ltx_title ltx_title_subsection"> <span class="ltx_tag ltx_tag_subsection">I.3 </span>Proof overview</h3> <div class="ltx_para" id="S1.SS3.p1"> <p class="ltx_p" id="S1.SS3.p1.1">The first phase of our proof is a reduction from the brickwork architecture to a family of three-site operator. We begin by relating the brickwork architecture to the staircase architecture (Figure <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#S3.F3" title="Figure 3 ‣ III Bounding the staircase by a single gate ‣ Conditional 𝑡-independent spectral gap for random quantum circuits and implications for 𝑡-design depths"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">3</span></a>). We then define an orthogonal decomposition of the vector space into subspaces. This corresponds to a specific block-matrix decomposition of the transfer matrix. Next, we show that the spectral gap of the architecture can be bounded in terms of the norms of each block in this matrix. We complete this phase by relating each block norms to the spectral gap of an effective three-site operator.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S1.SS3.p2"> <p class="ltx_p" id="S1.SS3.p2.1">The second phase of our proof is concerned with bounds on these three-site spectral gaps. We show that it suffices to restrict these operators to a certain subspace, which we term the <span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S1.SS3.p2.1.1">complete derangement space</span>. Furthermore, the representation theory of the symmetric group allows us to decompose each of these subspaces into isotypic components.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S1.SS3.p3"> <p class="ltx_p" id="S1.SS3.p3.6">At this point our bounds split into cases. The general strategy is to obtain analytic bounds when <math alttext="q" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.SS3.p3.1.m1.1"><semantics id="S1.SS3.p3.1.m1.1a"><mi id="S1.SS3.p3.1.m1.1.1" xref="S1.SS3.p3.1.m1.1.1.cmml">q</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.SS3.p3.1.m1.1b"><ci id="S1.SS3.p3.1.m1.1.1.cmml" xref="S1.SS3.p3.1.m1.1.1">𝑞</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.SS3.p3.1.m1.1c">q</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.SS3.p3.1.m1.1d">italic_q</annotation></semantics></math> or <math alttext="t" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.SS3.p3.2.m2.1"><semantics id="S1.SS3.p3.2.m2.1a"><mi id="S1.SS3.p3.2.m2.1.1" xref="S1.SS3.p3.2.m2.1.1.cmml">t</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.SS3.p3.2.m2.1b"><ci id="S1.SS3.p3.2.m2.1.1.cmml" xref="S1.SS3.p3.2.m2.1.1">𝑡</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.SS3.p3.2.m2.1c">t</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.SS3.p3.2.m2.1d">italic_t</annotation></semantics></math> is sufficiently large, and numerically bound the spectral gap for smaller <math alttext="t" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.SS3.p3.3.m3.1"><semantics id="S1.SS3.p3.3.m3.1a"><mi id="S1.SS3.p3.3.m3.1.1" xref="S1.SS3.p3.3.m3.1.1.cmml">t</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.SS3.p3.3.m3.1b"><ci id="S1.SS3.p3.3.m3.1.1.cmml" xref="S1.SS3.p3.3.m3.1.1">𝑡</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.SS3.p3.3.m3.1c">t</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.SS3.p3.3.m3.1d">italic_t</annotation></semantics></math>. We use multiple numerical bounds depending on the size of <math alttext="t" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.SS3.p3.4.m4.1"><semantics id="S1.SS3.p3.4.m4.1a"><mi id="S1.SS3.p3.4.m4.1.1" xref="S1.SS3.p3.4.m4.1.1.cmml">t</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.SS3.p3.4.m4.1b"><ci id="S1.SS3.p3.4.m4.1.1.cmml" xref="S1.SS3.p3.4.m4.1.1">𝑡</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.SS3.p3.4.m4.1c">t</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.SS3.p3.4.m4.1d">italic_t</annotation></semantics></math>, with larger <math alttext="t" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.SS3.p3.5.m5.1"><semantics id="S1.SS3.p3.5.m5.1a"><mi id="S1.SS3.p3.5.m5.1.1" xref="S1.SS3.p3.5.m5.1.1.cmml">t</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.SS3.p3.5.m5.1b"><ci id="S1.SS3.p3.5.m5.1.1.cmml" xref="S1.SS3.p3.5.m5.1.1">𝑡</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.SS3.p3.5.m5.1c">t</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.SS3.p3.5.m5.1d">italic_t</annotation></semantics></math> values using looser bounds that are easier to compute, while smaller <math alttext="t" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.SS3.p3.6.m6.1"><semantics id="S1.SS3.p3.6.m6.1a"><mi id="S1.SS3.p3.6.m6.1.1" xref="S1.SS3.p3.6.m6.1.1.cmml">t</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.SS3.p3.6.m6.1b"><ci id="S1.SS3.p3.6.m6.1.1.cmml" xref="S1.SS3.p3.6.m6.1.1">𝑡</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.SS3.p3.6.m6.1c">t</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.SS3.p3.6.m6.1d">italic_t</annotation></semantics></math> values use tighter bounds that require more detailed analysis.</p> </div> </section> </section> <section class="ltx_section" id="S2"> <h2 class="ltx_title ltx_title_section"> <span class="ltx_tag ltx_tag_section">II </span>Preliminary work</h2> <section class="ltx_subsection" id="S2.SS1"> <h3 class="ltx_title ltx_title_subsection"> <span class="ltx_tag ltx_tag_subsection">II.1 </span>Definitions</h3> <div class="ltx_para" id="S2.SS1.p1"> <p class="ltx_p" id="S2.SS1.p1.5">Taking an ensemble <math alttext="\varepsilon" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p1.1.m1.1"><semantics id="S2.SS1.p1.1.m1.1a"><mi id="S2.SS1.p1.1.m1.1.1" xref="S2.SS1.p1.1.m1.1.1.cmml">ε</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p1.1.m1.1b"><ci id="S2.SS1.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.1.m1.1.1">𝜀</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p1.1.m1.1c">\varepsilon</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p1.1.m1.1d">italic_ε</annotation></semantics></math> of random quantum circuits <math alttext="U_{\varepsilon}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p1.2.m2.1"><semantics id="S2.SS1.p1.2.m2.1a"><msub id="S2.SS1.p1.2.m2.1.1" xref="S2.SS1.p1.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S2.SS1.p1.2.m2.1.1.2" xref="S2.SS1.p1.2.m2.1.1.2.cmml">U</mi><mi id="S2.SS1.p1.2.m2.1.1.3" xref="S2.SS1.p1.2.m2.1.1.3.cmml">ε</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p1.2.m2.1b"><apply id="S2.SS1.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.2.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p1.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.2.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p1.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.2.m2.1.1.2">𝑈</ci><ci id="S2.SS1.p1.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S2.SS1.p1.2.m2.1.1.3">𝜀</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p1.2.m2.1c">U_{\varepsilon}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p1.2.m2.1d">italic_U start_POSTSUBSCRIPT italic_ε end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> acting on a Hilbert space <math alttext="\mathcal{H}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p1.3.m3.1"><semantics id="S2.SS1.p1.3.m3.1a"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.SS1.p1.3.m3.1.1" xref="S2.SS1.p1.3.m3.1.1.cmml">ℋ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p1.3.m3.1b"><ci id="S2.SS1.p1.3.m3.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.3.m3.1.1">ℋ</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p1.3.m3.1c">\mathcal{H}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p1.3.m3.1d">caligraphic_H</annotation></semantics></math>, we want to understand the conditions under which this ensemble approaches within <math alttext="\epsilon" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p1.4.m4.1"><semantics id="S2.SS1.p1.4.m4.1a"><mi id="S2.SS1.p1.4.m4.1.1" xref="S2.SS1.p1.4.m4.1.1.cmml">ϵ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p1.4.m4.1b"><ci id="S2.SS1.p1.4.m4.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.4.m4.1.1">italic-ϵ</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p1.4.m4.1c">\epsilon</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p1.4.m4.1d">italic_ϵ</annotation></semantics></math> distance of a global Haar random distribution given any <math alttext="t" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p1.5.m5.1"><semantics id="S2.SS1.p1.5.m5.1a"><mi id="S2.SS1.p1.5.m5.1.1" xref="S2.SS1.p1.5.m5.1.1.cmml">t</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p1.5.m5.1b"><ci id="S2.SS1.p1.5.m5.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.5.m5.1.1">𝑡</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p1.5.m5.1c">t</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p1.5.m5.1d">italic_t</annotation></semantics></math>-body measurement.</p> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_definition" id="Thmtheorem6"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmtheorem6.1.1.1">Definition 6</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmtheorem6.2.2">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="Thmtheorem6.p1"> <p class="ltx_p" id="Thmtheorem6.p1.4">The <math alttext="t" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem6.p1.1.m1.1"><semantics id="Thmtheorem6.p1.1.m1.1a"><mi id="Thmtheorem6.p1.1.m1.1.1" xref="Thmtheorem6.p1.1.m1.1.1.cmml">t</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem6.p1.1.m1.1b"><ci id="Thmtheorem6.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem6.p1.1.m1.1.1">𝑡</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem6.p1.1.m1.1c">t</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem6.p1.1.m1.1d">italic_t</annotation></semantics></math><sup class="ltx_sup" id="Thmtheorem6.p1.4.1"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmtheorem6.p1.4.1.1">th</span></sup><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmtheorem6.p1.4.2"> moment operator</span> of a random quantum circuit ensemble <math alttext="U_{\varepsilon}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem6.p1.2.m2.1"><semantics id="Thmtheorem6.p1.2.m2.1a"><msub id="Thmtheorem6.p1.2.m2.1.1" xref="Thmtheorem6.p1.2.m2.1.1.cmml"><mi id="Thmtheorem6.p1.2.m2.1.1.2" xref="Thmtheorem6.p1.2.m2.1.1.2.cmml">U</mi><mi id="Thmtheorem6.p1.2.m2.1.1.3" xref="Thmtheorem6.p1.2.m2.1.1.3.cmml">ε</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem6.p1.2.m2.1b"><apply id="Thmtheorem6.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="Thmtheorem6.p1.2.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem6.p1.2.m2.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem6.p1.2.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="Thmtheorem6.p1.2.m2.1.1.2.cmml" xref="Thmtheorem6.p1.2.m2.1.1.2">𝑈</ci><ci id="Thmtheorem6.p1.2.m2.1.1.3.cmml" xref="Thmtheorem6.p1.2.m2.1.1.3">𝜀</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem6.p1.2.m2.1c">U_{\varepsilon}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem6.p1.2.m2.1d">italic_U start_POSTSUBSCRIPT italic_ε end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> is the <math alttext="L(\mathcal{H}^{\otimes t})\rightarrow L(\mathcal{H}^{\otimes t})" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem6.p1.3.m3.2"><semantics id="Thmtheorem6.p1.3.m3.2a"><mrow id="Thmtheorem6.p1.3.m3.2.2" xref="Thmtheorem6.p1.3.m3.2.2.cmml"><mrow id="Thmtheorem6.p1.3.m3.1.1.1" xref="Thmtheorem6.p1.3.m3.1.1.1.cmml"><mi id="Thmtheorem6.p1.3.m3.1.1.1.3" xref="Thmtheorem6.p1.3.m3.1.1.1.3.cmml">L</mi><mo id="Thmtheorem6.p1.3.m3.1.1.1.2" xref="Thmtheorem6.p1.3.m3.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="Thmtheorem6.p1.3.m3.1.1.1.1.1" xref="Thmtheorem6.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="Thmtheorem6.p1.3.m3.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="Thmtheorem6.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="Thmtheorem6.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1" xref="Thmtheorem6.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="Thmtheorem6.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.2" xref="Thmtheorem6.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.2.cmml">ℋ</mi><mrow id="Thmtheorem6.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.3" xref="Thmtheorem6.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="Thmtheorem6.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="Thmtheorem6.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"></mi><mo id="Thmtheorem6.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.3.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="Thmtheorem6.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⊗</mo><mi id="Thmtheorem6.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="Thmtheorem6.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">t</mi></mrow></msup><mo id="Thmtheorem6.p1.3.m3.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="Thmtheorem6.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="Thmtheorem6.p1.3.m3.2.2.3" stretchy="false" xref="Thmtheorem6.p1.3.m3.2.2.3.cmml">→</mo><mrow id="Thmtheorem6.p1.3.m3.2.2.2" xref="Thmtheorem6.p1.3.m3.2.2.2.cmml"><mi id="Thmtheorem6.p1.3.m3.2.2.2.3" xref="Thmtheorem6.p1.3.m3.2.2.2.3.cmml">L</mi><mo id="Thmtheorem6.p1.3.m3.2.2.2.2" xref="Thmtheorem6.p1.3.m3.2.2.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="Thmtheorem6.p1.3.m3.2.2.2.1.1" xref="Thmtheorem6.p1.3.m3.2.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="Thmtheorem6.p1.3.m3.2.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="Thmtheorem6.p1.3.m3.2.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="Thmtheorem6.p1.3.m3.2.2.2.1.1.1" xref="Thmtheorem6.p1.3.m3.2.2.2.1.1.1.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="Thmtheorem6.p1.3.m3.2.2.2.1.1.1.2" xref="Thmtheorem6.p1.3.m3.2.2.2.1.1.1.2.cmml">ℋ</mi><mrow id="Thmtheorem6.p1.3.m3.2.2.2.1.1.1.3" xref="Thmtheorem6.p1.3.m3.2.2.2.1.1.1.3.cmml"><mi id="Thmtheorem6.p1.3.m3.2.2.2.1.1.1.3.2" xref="Thmtheorem6.p1.3.m3.2.2.2.1.1.1.3.2.cmml"></mi><mo id="Thmtheorem6.p1.3.m3.2.2.2.1.1.1.3.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="Thmtheorem6.p1.3.m3.2.2.2.1.1.1.3.1.cmml">⊗</mo><mi id="Thmtheorem6.p1.3.m3.2.2.2.1.1.1.3.3" xref="Thmtheorem6.p1.3.m3.2.2.2.1.1.1.3.3.cmml">t</mi></mrow></msup><mo id="Thmtheorem6.p1.3.m3.2.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="Thmtheorem6.p1.3.m3.2.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem6.p1.3.m3.2b"><apply id="Thmtheorem6.p1.3.m3.2.2.cmml" xref="Thmtheorem6.p1.3.m3.2.2"><ci id="Thmtheorem6.p1.3.m3.2.2.3.cmml" xref="Thmtheorem6.p1.3.m3.2.2.3">→</ci><apply id="Thmtheorem6.p1.3.m3.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem6.p1.3.m3.1.1.1"><times id="Thmtheorem6.p1.3.m3.1.1.1.2.cmml" xref="Thmtheorem6.p1.3.m3.1.1.1.2"></times><ci id="Thmtheorem6.p1.3.m3.1.1.1.3.cmml" xref="Thmtheorem6.p1.3.m3.1.1.1.3">𝐿</ci><apply id="Thmtheorem6.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem6.p1.3.m3.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem6.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem6.p1.3.m3.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="Thmtheorem6.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="Thmtheorem6.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.2">ℋ</ci><apply id="Thmtheorem6.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="Thmtheorem6.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="latexml" id="Thmtheorem6.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="Thmtheorem6.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.3.1">tensor-product</csymbol><csymbol cd="latexml" id="Thmtheorem6.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="Thmtheorem6.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.3.2">absent</csymbol><ci id="Thmtheorem6.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="Thmtheorem6.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑡</ci></apply></apply></apply><apply id="Thmtheorem6.p1.3.m3.2.2.2.cmml" xref="Thmtheorem6.p1.3.m3.2.2.2"><times id="Thmtheorem6.p1.3.m3.2.2.2.2.cmml" xref="Thmtheorem6.p1.3.m3.2.2.2.2"></times><ci id="Thmtheorem6.p1.3.m3.2.2.2.3.cmml" xref="Thmtheorem6.p1.3.m3.2.2.2.3">𝐿</ci><apply id="Thmtheorem6.p1.3.m3.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem6.p1.3.m3.2.2.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem6.p1.3.m3.2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem6.p1.3.m3.2.2.2.1.1">superscript</csymbol><ci id="Thmtheorem6.p1.3.m3.2.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="Thmtheorem6.p1.3.m3.2.2.2.1.1.1.2">ℋ</ci><apply id="Thmtheorem6.p1.3.m3.2.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="Thmtheorem6.p1.3.m3.2.2.2.1.1.1.3"><csymbol cd="latexml" id="Thmtheorem6.p1.3.m3.2.2.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="Thmtheorem6.p1.3.m3.2.2.2.1.1.1.3.1">tensor-product</csymbol><csymbol cd="latexml" id="Thmtheorem6.p1.3.m3.2.2.2.1.1.1.3.2.cmml" xref="Thmtheorem6.p1.3.m3.2.2.2.1.1.1.3.2">absent</csymbol><ci id="Thmtheorem6.p1.3.m3.2.2.2.1.1.1.3.3.cmml" xref="Thmtheorem6.p1.3.m3.2.2.2.1.1.1.3.3">𝑡</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem6.p1.3.m3.2c">L(\mathcal{H}^{\otimes t})\rightarrow L(\mathcal{H}^{\otimes t})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem6.p1.3.m3.2d">italic_L ( caligraphic_H start_POSTSUPERSCRIPT ⊗ italic_t end_POSTSUPERSCRIPT ) → italic_L ( caligraphic_H start_POSTSUPERSCRIPT ⊗ italic_t end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math> channel formed by averaging the action of <math alttext="t" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem6.p1.4.m4.1"><semantics id="Thmtheorem6.p1.4.m4.1a"><mi id="Thmtheorem6.p1.4.m4.1.1" xref="Thmtheorem6.p1.4.m4.1.1.cmml">t</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem6.p1.4.m4.1b"><ci id="Thmtheorem6.p1.4.m4.1.1.cmml" xref="Thmtheorem6.p1.4.m4.1.1">𝑡</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem6.p1.4.m4.1c">t</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem6.p1.4.m4.1d">italic_t</annotation></semantics></math> copies of the circuit as follows:</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_gather ltx_eqn_table" id="S6.EGx15"> <tbody id="S2.E15"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\displaystyle\Phi_{\varepsilon}^{(t)}[\rho]=\int_{\varepsilon}(U_{\varepsilon}% ^{\dagger})^{\otimes t}\!\rho(U_{\varepsilon})^{\otimes t}\text{d}U_{\varepsilon}" class="ltx_Math" display="block" id="S2.E15.m1.4"><semantics id="S2.E15.m1.4a"><mrow id="S2.E15.m1.4.4" xref="S2.E15.m1.4.4.cmml"><mrow id="S2.E15.m1.4.4.4" xref="S2.E15.m1.4.4.4.cmml"><msubsup id="S2.E15.m1.4.4.4.2" xref="S2.E15.m1.4.4.4.2.cmml"><mi id="S2.E15.m1.4.4.4.2.2.2" mathvariant="normal" xref="S2.E15.m1.4.4.4.2.2.2.cmml">Φ</mi><mi id="S2.E15.m1.4.4.4.2.2.3" xref="S2.E15.m1.4.4.4.2.2.3.cmml">ε</mi><mrow id="S2.E15.m1.1.1.1.3" xref="S2.E15.m1.4.4.4.2.cmml"><mo id="S2.E15.m1.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S2.E15.m1.4.4.4.2.cmml">(</mo><mi id="S2.E15.m1.1.1.1.1" xref="S2.E15.m1.1.1.1.1.cmml">t</mi><mo id="S2.E15.m1.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S2.E15.m1.4.4.4.2.cmml">)</mo></mrow></msubsup><mo id="S2.E15.m1.4.4.4.1" xref="S2.E15.m1.4.4.4.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E15.m1.4.4.4.3.2" xref="S2.E15.m1.4.4.4.3.1.cmml"><mo id="S2.E15.m1.4.4.4.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.E15.m1.4.4.4.3.1.1.cmml">[</mo><mi id="S2.E15.m1.2.2" xref="S2.E15.m1.2.2.cmml">ρ</mi><mo id="S2.E15.m1.4.4.4.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.E15.m1.4.4.4.3.1.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><mo id="S2.E15.m1.4.4.3" rspace="0.111em" xref="S2.E15.m1.4.4.3.cmml">=</mo><mrow id="S2.E15.m1.4.4.2" xref="S2.E15.m1.4.4.2.cmml"><msub id="S2.E15.m1.4.4.2.3" xref="S2.E15.m1.4.4.2.3.cmml"><mo id="S2.E15.m1.4.4.2.3.2" rspace="0em" xref="S2.E15.m1.4.4.2.3.2.cmml">∫</mo><mi id="S2.E15.m1.4.4.2.3.3" xref="S2.E15.m1.4.4.2.3.3.cmml">ε</mi></msub><mrow id="S2.E15.m1.4.4.2.2" xref="S2.E15.m1.4.4.2.2.cmml"><msup id="S2.E15.m1.3.3.1.1.1" xref="S2.E15.m1.3.3.1.1.1.cmml"><mrow id="S2.E15.m1.3.3.1.1.1.1.1" xref="S2.E15.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.E15.m1.3.3.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.E15.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msubsup id="S2.E15.m1.3.3.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E15.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.E15.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S2.E15.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">U</mi><mi id="S2.E15.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S2.E15.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">ε</mi><mo id="S2.E15.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.E15.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.cmml">†</mo></msubsup><mo id="S2.E15.m1.3.3.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.E15.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S2.E15.m1.3.3.1.1.1.3" xref="S2.E15.m1.3.3.1.1.1.3.cmml"><mi id="S2.E15.m1.3.3.1.1.1.3.2" xref="S2.E15.m1.3.3.1.1.1.3.2.cmml"></mi><mo id="S2.E15.m1.3.3.1.1.1.3.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S2.E15.m1.3.3.1.1.1.3.1.cmml">⊗</mo><mi id="S2.E15.m1.3.3.1.1.1.3.3" xref="S2.E15.m1.3.3.1.1.1.3.3.cmml">t</mi></mrow></msup><mo id="S2.E15.m1.4.4.2.2.3" xref="S2.E15.m1.4.4.2.2.3.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E15.m1.4.4.2.2.4" xref="S2.E15.m1.4.4.2.2.4.cmml">ρ</mi><mo id="S2.E15.m1.4.4.2.2.3a" xref="S2.E15.m1.4.4.2.2.3.cmml">⁢</mo><msup id="S2.E15.m1.4.4.2.2.2" xref="S2.E15.m1.4.4.2.2.2.cmml"><mrow id="S2.E15.m1.4.4.2.2.2.1.1" xref="S2.E15.m1.4.4.2.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="S2.E15.m1.4.4.2.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.E15.m1.4.4.2.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S2.E15.m1.4.4.2.2.2.1.1.1" xref="S2.E15.m1.4.4.2.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S2.E15.m1.4.4.2.2.2.1.1.1.2" xref="S2.E15.m1.4.4.2.2.2.1.1.1.2.cmml">U</mi><mi id="S2.E15.m1.4.4.2.2.2.1.1.1.3" xref="S2.E15.m1.4.4.2.2.2.1.1.1.3.cmml">ε</mi></msub><mo id="S2.E15.m1.4.4.2.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.E15.m1.4.4.2.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S2.E15.m1.4.4.2.2.2.3" xref="S2.E15.m1.4.4.2.2.2.3.cmml"><mi id="S2.E15.m1.4.4.2.2.2.3.2" xref="S2.E15.m1.4.4.2.2.2.3.2.cmml"></mi><mo id="S2.E15.m1.4.4.2.2.2.3.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S2.E15.m1.4.4.2.2.2.3.1.cmml">⊗</mo><mi id="S2.E15.m1.4.4.2.2.2.3.3" xref="S2.E15.m1.4.4.2.2.2.3.3.cmml">t</mi></mrow></msup><mo id="S2.E15.m1.4.4.2.2.3b" xref="S2.E15.m1.4.4.2.2.3.cmml">⁢</mo><mtext id="S2.E15.m1.4.4.2.2.5" xref="S2.E15.m1.4.4.2.2.5a.cmml">d</mtext><mo id="S2.E15.m1.4.4.2.2.3c" xref="S2.E15.m1.4.4.2.2.3.cmml">⁢</mo><msub id="S2.E15.m1.4.4.2.2.6" xref="S2.E15.m1.4.4.2.2.6.cmml"><mi id="S2.E15.m1.4.4.2.2.6.2" xref="S2.E15.m1.4.4.2.2.6.2.cmml">U</mi><mi id="S2.E15.m1.4.4.2.2.6.3" xref="S2.E15.m1.4.4.2.2.6.3.cmml">ε</mi></msub></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.E15.m1.4b"><apply id="S2.E15.m1.4.4.cmml" xref="S2.E15.m1.4.4"><eq id="S2.E15.m1.4.4.3.cmml" xref="S2.E15.m1.4.4.3"></eq><apply id="S2.E15.m1.4.4.4.cmml" xref="S2.E15.m1.4.4.4"><times id="S2.E15.m1.4.4.4.1.cmml" xref="S2.E15.m1.4.4.4.1"></times><apply id="S2.E15.m1.4.4.4.2.cmml" xref="S2.E15.m1.4.4.4.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E15.m1.4.4.4.2.1.cmml" xref="S2.E15.m1.4.4.4.2">superscript</csymbol><apply id="S2.E15.m1.4.4.4.2.2.cmml" xref="S2.E15.m1.4.4.4.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E15.m1.4.4.4.2.2.1.cmml" xref="S2.E15.m1.4.4.4.2">subscript</csymbol><ci id="S2.E15.m1.4.4.4.2.2.2.cmml" xref="S2.E15.m1.4.4.4.2.2.2">Φ</ci><ci id="S2.E15.m1.4.4.4.2.2.3.cmml" xref="S2.E15.m1.4.4.4.2.2.3">𝜀</ci></apply><ci id="S2.E15.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E15.m1.1.1.1.1">𝑡</ci></apply><apply id="S2.E15.m1.4.4.4.3.1.cmml" xref="S2.E15.m1.4.4.4.3.2"><csymbol cd="latexml" id="S2.E15.m1.4.4.4.3.1.1.cmml" xref="S2.E15.m1.4.4.4.3.2.1">delimited-[]</csymbol><ci id="S2.E15.m1.2.2.cmml" xref="S2.E15.m1.2.2">𝜌</ci></apply></apply><apply id="S2.E15.m1.4.4.2.cmml" xref="S2.E15.m1.4.4.2"><apply id="S2.E15.m1.4.4.2.3.cmml" xref="S2.E15.m1.4.4.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E15.m1.4.4.2.3.1.cmml" xref="S2.E15.m1.4.4.2.3">subscript</csymbol><int id="S2.E15.m1.4.4.2.3.2.cmml" xref="S2.E15.m1.4.4.2.3.2"></int><ci id="S2.E15.m1.4.4.2.3.3.cmml" xref="S2.E15.m1.4.4.2.3.3">𝜀</ci></apply><apply id="S2.E15.m1.4.4.2.2.cmml" xref="S2.E15.m1.4.4.2.2"><times id="S2.E15.m1.4.4.2.2.3.cmml" xref="S2.E15.m1.4.4.2.2.3"></times><apply id="S2.E15.m1.3.3.1.1.1.cmml" xref="S2.E15.m1.3.3.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E15.m1.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E15.m1.3.3.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S2.E15.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E15.m1.3.3.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E15.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E15.m1.3.3.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S2.E15.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E15.m1.3.3.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E15.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.E15.m1.3.3.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.E15.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.E15.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2">𝑈</ci><ci id="S2.E15.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.E15.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.3">𝜀</ci></apply><ci id="S2.E15.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E15.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3">†</ci></apply><apply id="S2.E15.m1.3.3.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E15.m1.3.3.1.1.1.3"><csymbol cd="latexml" id="S2.E15.m1.3.3.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.E15.m1.3.3.1.1.1.3.1">tensor-product</csymbol><csymbol cd="latexml" id="S2.E15.m1.3.3.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.E15.m1.3.3.1.1.1.3.2">absent</csymbol><ci id="S2.E15.m1.3.3.1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.E15.m1.3.3.1.1.1.3.3">𝑡</ci></apply></apply><ci id="S2.E15.m1.4.4.2.2.4.cmml" xref="S2.E15.m1.4.4.2.2.4">𝜌</ci><apply id="S2.E15.m1.4.4.2.2.2.cmml" xref="S2.E15.m1.4.4.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E15.m1.4.4.2.2.2.2.cmml" xref="S2.E15.m1.4.4.2.2.2">superscript</csymbol><apply id="S2.E15.m1.4.4.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S2.E15.m1.4.4.2.2.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E15.m1.4.4.2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E15.m1.4.4.2.2.2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.E15.m1.4.4.2.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E15.m1.4.4.2.2.2.1.1.1.2">𝑈</ci><ci id="S2.E15.m1.4.4.2.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E15.m1.4.4.2.2.2.1.1.1.3">𝜀</ci></apply><apply id="S2.E15.m1.4.4.2.2.2.3.cmml" xref="S2.E15.m1.4.4.2.2.2.3"><csymbol cd="latexml" id="S2.E15.m1.4.4.2.2.2.3.1.cmml" xref="S2.E15.m1.4.4.2.2.2.3.1">tensor-product</csymbol><csymbol cd="latexml" id="S2.E15.m1.4.4.2.2.2.3.2.cmml" xref="S2.E15.m1.4.4.2.2.2.3.2">absent</csymbol><ci id="S2.E15.m1.4.4.2.2.2.3.3.cmml" xref="S2.E15.m1.4.4.2.2.2.3.3">𝑡</ci></apply></apply><ci id="S2.E15.m1.4.4.2.2.5a.cmml" xref="S2.E15.m1.4.4.2.2.5"><mtext id="S2.E15.m1.4.4.2.2.5.cmml" xref="S2.E15.m1.4.4.2.2.5">d</mtext></ci><apply id="S2.E15.m1.4.4.2.2.6.cmml" xref="S2.E15.m1.4.4.2.2.6"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E15.m1.4.4.2.2.6.1.cmml" xref="S2.E15.m1.4.4.2.2.6">subscript</csymbol><ci id="S2.E15.m1.4.4.2.2.6.2.cmml" xref="S2.E15.m1.4.4.2.2.6.2">𝑈</ci><ci id="S2.E15.m1.4.4.2.2.6.3.cmml" xref="S2.E15.m1.4.4.2.2.6.3">𝜀</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.E15.m1.4c">\displaystyle\Phi_{\varepsilon}^{(t)}[\rho]=\int_{\varepsilon}(U_{\varepsilon}% ^{\dagger})^{\otimes t}\!\rho(U_{\varepsilon})^{\otimes t}\text{d}U_{\varepsilon}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.E15.m1.4d">roman_Φ start_POSTSUBSCRIPT italic_ε end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_t ) end_POSTSUPERSCRIPT [ italic_ρ ] = ∫ start_POSTSUBSCRIPT italic_ε end_POSTSUBSCRIPT ( italic_U start_POSTSUBSCRIPT italic_ε end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT † end_POSTSUPERSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT ⊗ italic_t end_POSTSUPERSCRIPT italic_ρ ( italic_U start_POSTSUBSCRIPT italic_ε end_POSTSUBSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT ⊗ italic_t end_POSTSUPERSCRIPT d italic_U start_POSTSUBSCRIPT italic_ε end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(15)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="Thmtheorem6.p1.5">We can also write this as the expectation of the circuit ensemble over <math alttext="2t" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem6.p1.5.m1.1"><semantics id="Thmtheorem6.p1.5.m1.1a"><mrow id="Thmtheorem6.p1.5.m1.1.1" xref="Thmtheorem6.p1.5.m1.1.1.cmml"><mn id="Thmtheorem6.p1.5.m1.1.1.2" xref="Thmtheorem6.p1.5.m1.1.1.2.cmml">2</mn><mo id="Thmtheorem6.p1.5.m1.1.1.1" xref="Thmtheorem6.p1.5.m1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="Thmtheorem6.p1.5.m1.1.1.3" xref="Thmtheorem6.p1.5.m1.1.1.3.cmml">t</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem6.p1.5.m1.1b"><apply id="Thmtheorem6.p1.5.m1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem6.p1.5.m1.1.1"><times id="Thmtheorem6.p1.5.m1.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem6.p1.5.m1.1.1.1"></times><cn id="Thmtheorem6.p1.5.m1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="Thmtheorem6.p1.5.m1.1.1.2">2</cn><ci id="Thmtheorem6.p1.5.m1.1.1.3.cmml" xref="Thmtheorem6.p1.5.m1.1.1.3">𝑡</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem6.p1.5.m1.1c">2t</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem6.p1.5.m1.1d">2 italic_t</annotation></semantics></math> copies</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_gather ltx_eqn_table" id="S6.EGx16"> <tbody id="S2.E16"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\displaystyle\Phi_{\varepsilon}^{(t)}=\left\langle U_{\varepsilon}^{\otimes t,% t}\right\rangle_{U_{\varepsilon}}" class="ltx_Math" display="block" id="S2.E16.m1.4"><semantics id="S2.E16.m1.4a"><mrow id="S2.E16.m1.4.4" xref="S2.E16.m1.4.4.cmml"><msubsup id="S2.E16.m1.4.4.3" xref="S2.E16.m1.4.4.3.cmml"><mi id="S2.E16.m1.4.4.3.2.2" mathvariant="normal" xref="S2.E16.m1.4.4.3.2.2.cmml">Φ</mi><mi id="S2.E16.m1.4.4.3.2.3" xref="S2.E16.m1.4.4.3.2.3.cmml">ε</mi><mrow id="S2.E16.m1.1.1.1.3" xref="S2.E16.m1.4.4.3.cmml"><mo id="S2.E16.m1.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S2.E16.m1.4.4.3.cmml">(</mo><mi id="S2.E16.m1.1.1.1.1" xref="S2.E16.m1.1.1.1.1.cmml">t</mi><mo id="S2.E16.m1.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S2.E16.m1.4.4.3.cmml">)</mo></mrow></msubsup><mo id="S2.E16.m1.4.4.2" xref="S2.E16.m1.4.4.2.cmml">=</mo><msub id="S2.E16.m1.4.4.1" xref="S2.E16.m1.4.4.1.cmml"><mrow id="S2.E16.m1.4.4.1.1.1" xref="S2.E16.m1.4.4.1.1.2.cmml"><mo id="S2.E16.m1.4.4.1.1.1.2" xref="S2.E16.m1.4.4.1.1.2.1.cmml">⟨</mo><msubsup id="S2.E16.m1.4.4.1.1.1.1" xref="S2.E16.m1.4.4.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.E16.m1.4.4.1.1.1.1.2.2" xref="S2.E16.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.cmml">U</mi><mi id="S2.E16.m1.4.4.1.1.1.1.2.3" xref="S2.E16.m1.4.4.1.1.1.1.2.3.cmml">ε</mi><mrow id="S2.E16.m1.3.3.2.2" xref="S2.E16.m1.3.3.2.3.cmml"><mrow id="S2.E16.m1.3.3.2.2.1" xref="S2.E16.m1.3.3.2.2.1.cmml"><mi id="S2.E16.m1.3.3.2.2.1.2" xref="S2.E16.m1.3.3.2.2.1.2.cmml"></mi><mo id="S2.E16.m1.3.3.2.2.1.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S2.E16.m1.3.3.2.2.1.1.cmml">⊗</mo><mi id="S2.E16.m1.3.3.2.2.1.3" xref="S2.E16.m1.3.3.2.2.1.3.cmml">t</mi></mrow><mo id="S2.E16.m1.3.3.2.2.2" xref="S2.E16.m1.3.3.2.3.cmml">,</mo><mi id="S2.E16.m1.2.2.1.1" xref="S2.E16.m1.2.2.1.1.cmml">t</mi></mrow></msubsup><mo id="S2.E16.m1.4.4.1.1.1.3" xref="S2.E16.m1.4.4.1.1.2.1.cmml">⟩</mo></mrow><msub id="S2.E16.m1.4.4.1.3" xref="S2.E16.m1.4.4.1.3.cmml"><mi id="S2.E16.m1.4.4.1.3.2" xref="S2.E16.m1.4.4.1.3.2.cmml">U</mi><mi id="S2.E16.m1.4.4.1.3.3" xref="S2.E16.m1.4.4.1.3.3.cmml">ε</mi></msub></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.E16.m1.4b"><apply id="S2.E16.m1.4.4.cmml" xref="S2.E16.m1.4.4"><eq id="S2.E16.m1.4.4.2.cmml" xref="S2.E16.m1.4.4.2"></eq><apply id="S2.E16.m1.4.4.3.cmml" xref="S2.E16.m1.4.4.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E16.m1.4.4.3.1.cmml" xref="S2.E16.m1.4.4.3">superscript</csymbol><apply id="S2.E16.m1.4.4.3.2.cmml" xref="S2.E16.m1.4.4.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E16.m1.4.4.3.2.1.cmml" xref="S2.E16.m1.4.4.3">subscript</csymbol><ci id="S2.E16.m1.4.4.3.2.2.cmml" xref="S2.E16.m1.4.4.3.2.2">Φ</ci><ci id="S2.E16.m1.4.4.3.2.3.cmml" xref="S2.E16.m1.4.4.3.2.3">𝜀</ci></apply><ci id="S2.E16.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E16.m1.1.1.1.1">𝑡</ci></apply><apply id="S2.E16.m1.4.4.1.cmml" xref="S2.E16.m1.4.4.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E16.m1.4.4.1.2.cmml" xref="S2.E16.m1.4.4.1">subscript</csymbol><apply id="S2.E16.m1.4.4.1.1.2.cmml" xref="S2.E16.m1.4.4.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S2.E16.m1.4.4.1.1.2.1.cmml" xref="S2.E16.m1.4.4.1.1.1.2">delimited-⟨⟩</csymbol><apply id="S2.E16.m1.4.4.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E16.m1.4.4.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E16.m1.4.4.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E16.m1.4.4.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S2.E16.m1.4.4.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E16.m1.4.4.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E16.m1.4.4.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.E16.m1.4.4.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.E16.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.E16.m1.4.4.1.1.1.1.2.2">𝑈</ci><ci id="S2.E16.m1.4.4.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.E16.m1.4.4.1.1.1.1.2.3">𝜀</ci></apply><list id="S2.E16.m1.3.3.2.3.cmml" xref="S2.E16.m1.3.3.2.2"><apply id="S2.E16.m1.3.3.2.2.1.cmml" xref="S2.E16.m1.3.3.2.2.1"><csymbol cd="latexml" id="S2.E16.m1.3.3.2.2.1.1.cmml" xref="S2.E16.m1.3.3.2.2.1.1">tensor-product</csymbol><csymbol cd="latexml" id="S2.E16.m1.3.3.2.2.1.2.cmml" xref="S2.E16.m1.3.3.2.2.1.2">absent</csymbol><ci id="S2.E16.m1.3.3.2.2.1.3.cmml" xref="S2.E16.m1.3.3.2.2.1.3">𝑡</ci></apply><ci id="S2.E16.m1.2.2.1.1.cmml" xref="S2.E16.m1.2.2.1.1">𝑡</ci></list></apply></apply><apply id="S2.E16.m1.4.4.1.3.cmml" xref="S2.E16.m1.4.4.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E16.m1.4.4.1.3.1.cmml" xref="S2.E16.m1.4.4.1.3">subscript</csymbol><ci id="S2.E16.m1.4.4.1.3.2.cmml" xref="S2.E16.m1.4.4.1.3.2">𝑈</ci><ci id="S2.E16.m1.4.4.1.3.3.cmml" xref="S2.E16.m1.4.4.1.3.3">𝜀</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.E16.m1.4c">\displaystyle\Phi_{\varepsilon}^{(t)}=\left\langle U_{\varepsilon}^{\otimes t,% t}\right\rangle_{U_{\varepsilon}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.E16.m1.4d">roman_Φ start_POSTSUBSCRIPT italic_ε end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_t ) end_POSTSUPERSCRIPT = ⟨ italic_U start_POSTSUBSCRIPT italic_ε end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ⊗ italic_t , italic_t end_POSTSUPERSCRIPT ⟩ start_POSTSUBSCRIPT italic_U start_POSTSUBSCRIPT italic_ε end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(16)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="Thmtheorem6.p1.6">where <math alttext="X^{\otimes t,t}\equiv X^{\otimes t}\otimes(X^{*})^{\otimes t}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem6.p1.6.m1.3"><semantics id="Thmtheorem6.p1.6.m1.3a"><mrow id="Thmtheorem6.p1.6.m1.3.3" xref="Thmtheorem6.p1.6.m1.3.3.cmml"><msup id="Thmtheorem6.p1.6.m1.3.3.3" xref="Thmtheorem6.p1.6.m1.3.3.3.cmml"><mi id="Thmtheorem6.p1.6.m1.3.3.3.2" xref="Thmtheorem6.p1.6.m1.3.3.3.2.cmml">X</mi><mrow id="Thmtheorem6.p1.6.m1.2.2.2.2" xref="Thmtheorem6.p1.6.m1.2.2.2.3.cmml"><mrow id="Thmtheorem6.p1.6.m1.2.2.2.2.1" xref="Thmtheorem6.p1.6.m1.2.2.2.2.1.cmml"><mi id="Thmtheorem6.p1.6.m1.2.2.2.2.1.2" xref="Thmtheorem6.p1.6.m1.2.2.2.2.1.2.cmml"></mi><mo id="Thmtheorem6.p1.6.m1.2.2.2.2.1.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="Thmtheorem6.p1.6.m1.2.2.2.2.1.1.cmml">⊗</mo><mi id="Thmtheorem6.p1.6.m1.2.2.2.2.1.3" xref="Thmtheorem6.p1.6.m1.2.2.2.2.1.3.cmml">t</mi></mrow><mo id="Thmtheorem6.p1.6.m1.2.2.2.2.2" xref="Thmtheorem6.p1.6.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="Thmtheorem6.p1.6.m1.1.1.1.1" xref="Thmtheorem6.p1.6.m1.1.1.1.1.cmml">t</mi></mrow></msup><mo id="Thmtheorem6.p1.6.m1.3.3.2" xref="Thmtheorem6.p1.6.m1.3.3.2.cmml">≡</mo><mrow id="Thmtheorem6.p1.6.m1.3.3.1" xref="Thmtheorem6.p1.6.m1.3.3.1.cmml"><msup id="Thmtheorem6.p1.6.m1.3.3.1.3" xref="Thmtheorem6.p1.6.m1.3.3.1.3.cmml"><mi id="Thmtheorem6.p1.6.m1.3.3.1.3.2" xref="Thmtheorem6.p1.6.m1.3.3.1.3.2.cmml">X</mi><mrow id="Thmtheorem6.p1.6.m1.3.3.1.3.3" xref="Thmtheorem6.p1.6.m1.3.3.1.3.3.cmml"><mi id="Thmtheorem6.p1.6.m1.3.3.1.3.3.2" xref="Thmtheorem6.p1.6.m1.3.3.1.3.3.2.cmml"></mi><mo id="Thmtheorem6.p1.6.m1.3.3.1.3.3.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="Thmtheorem6.p1.6.m1.3.3.1.3.3.1.cmml">⊗</mo><mi id="Thmtheorem6.p1.6.m1.3.3.1.3.3.3" xref="Thmtheorem6.p1.6.m1.3.3.1.3.3.3.cmml">t</mi></mrow></msup><mo id="Thmtheorem6.p1.6.m1.3.3.1.2" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="Thmtheorem6.p1.6.m1.3.3.1.2.cmml">⊗</mo><msup id="Thmtheorem6.p1.6.m1.3.3.1.1" xref="Thmtheorem6.p1.6.m1.3.3.1.1.cmml"><mrow id="Thmtheorem6.p1.6.m1.3.3.1.1.1.1" xref="Thmtheorem6.p1.6.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="Thmtheorem6.p1.6.m1.3.3.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="Thmtheorem6.p1.6.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="Thmtheorem6.p1.6.m1.3.3.1.1.1.1.1" xref="Thmtheorem6.p1.6.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="Thmtheorem6.p1.6.m1.3.3.1.1.1.1.1.2" xref="Thmtheorem6.p1.6.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.cmml">X</mi><mo id="Thmtheorem6.p1.6.m1.3.3.1.1.1.1.1.3" xref="Thmtheorem6.p1.6.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.cmml">∗</mo></msup><mo id="Thmtheorem6.p1.6.m1.3.3.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="Thmtheorem6.p1.6.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="Thmtheorem6.p1.6.m1.3.3.1.1.3" xref="Thmtheorem6.p1.6.m1.3.3.1.1.3.cmml"><mi id="Thmtheorem6.p1.6.m1.3.3.1.1.3.2" xref="Thmtheorem6.p1.6.m1.3.3.1.1.3.2.cmml"></mi><mo id="Thmtheorem6.p1.6.m1.3.3.1.1.3.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="Thmtheorem6.p1.6.m1.3.3.1.1.3.1.cmml">⊗</mo><mi id="Thmtheorem6.p1.6.m1.3.3.1.1.3.3" xref="Thmtheorem6.p1.6.m1.3.3.1.1.3.3.cmml">t</mi></mrow></msup></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem6.p1.6.m1.3b"><apply id="Thmtheorem6.p1.6.m1.3.3.cmml" xref="Thmtheorem6.p1.6.m1.3.3"><equivalent id="Thmtheorem6.p1.6.m1.3.3.2.cmml" xref="Thmtheorem6.p1.6.m1.3.3.2"></equivalent><apply id="Thmtheorem6.p1.6.m1.3.3.3.cmml" xref="Thmtheorem6.p1.6.m1.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem6.p1.6.m1.3.3.3.1.cmml" xref="Thmtheorem6.p1.6.m1.3.3.3">superscript</csymbol><ci id="Thmtheorem6.p1.6.m1.3.3.3.2.cmml" xref="Thmtheorem6.p1.6.m1.3.3.3.2">𝑋</ci><list id="Thmtheorem6.p1.6.m1.2.2.2.3.cmml" xref="Thmtheorem6.p1.6.m1.2.2.2.2"><apply id="Thmtheorem6.p1.6.m1.2.2.2.2.1.cmml" xref="Thmtheorem6.p1.6.m1.2.2.2.2.1"><csymbol cd="latexml" id="Thmtheorem6.p1.6.m1.2.2.2.2.1.1.cmml" xref="Thmtheorem6.p1.6.m1.2.2.2.2.1.1">tensor-product</csymbol><csymbol cd="latexml" id="Thmtheorem6.p1.6.m1.2.2.2.2.1.2.cmml" 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class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmtheorem7.1.1.1">Definition 7</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmtheorem7.2.2">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="Thmtheorem7.p1"> <p class="ltx_p" id="Thmtheorem7.p1.7">The <span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmtheorem7.p1.7.1">spectral gap</span> <math alttext="\Delta(\varepsilon,t)" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem7.p1.1.m1.2"><semantics id="Thmtheorem7.p1.1.m1.2a"><mrow id="Thmtheorem7.p1.1.m1.2.3" xref="Thmtheorem7.p1.1.m1.2.3.cmml"><mi id="Thmtheorem7.p1.1.m1.2.3.2" mathvariant="normal" xref="Thmtheorem7.p1.1.m1.2.3.2.cmml">Δ</mi><mo id="Thmtheorem7.p1.1.m1.2.3.1" xref="Thmtheorem7.p1.1.m1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="Thmtheorem7.p1.1.m1.2.3.3.2" xref="Thmtheorem7.p1.1.m1.2.3.3.1.cmml"><mo id="Thmtheorem7.p1.1.m1.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="Thmtheorem7.p1.1.m1.2.3.3.1.cmml">(</mo><mi id="Thmtheorem7.p1.1.m1.1.1" xref="Thmtheorem7.p1.1.m1.1.1.cmml">ε</mi><mo id="Thmtheorem7.p1.1.m1.2.3.3.2.2" xref="Thmtheorem7.p1.1.m1.2.3.3.1.cmml">,</mo><mi id="Thmtheorem7.p1.1.m1.2.2" xref="Thmtheorem7.p1.1.m1.2.2.cmml">t</mi><mo id="Thmtheorem7.p1.1.m1.2.3.3.2.3" stretchy="false" xref="Thmtheorem7.p1.1.m1.2.3.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem7.p1.1.m1.2b"><apply id="Thmtheorem7.p1.1.m1.2.3.cmml" xref="Thmtheorem7.p1.1.m1.2.3"><times id="Thmtheorem7.p1.1.m1.2.3.1.cmml" xref="Thmtheorem7.p1.1.m1.2.3.1"></times><ci id="Thmtheorem7.p1.1.m1.2.3.2.cmml" xref="Thmtheorem7.p1.1.m1.2.3.2">Δ</ci><interval closure="open" id="Thmtheorem7.p1.1.m1.2.3.3.1.cmml" xref="Thmtheorem7.p1.1.m1.2.3.3.2"><ci id="Thmtheorem7.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem7.p1.1.m1.1.1">𝜀</ci><ci id="Thmtheorem7.p1.1.m1.2.2.cmml" xref="Thmtheorem7.p1.1.m1.2.2">𝑡</ci></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem7.p1.1.m1.2c">\Delta(\varepsilon,t)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem7.p1.1.m1.2d">roman_Δ ( italic_ε , italic_t )</annotation></semantics></math> of a random quantum circuit ensemble <math alttext="\varepsilon" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem7.p1.2.m2.1"><semantics id="Thmtheorem7.p1.2.m2.1a"><mi id="Thmtheorem7.p1.2.m2.1.1" xref="Thmtheorem7.p1.2.m2.1.1.cmml">ε</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem7.p1.2.m2.1b"><ci id="Thmtheorem7.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="Thmtheorem7.p1.2.m2.1.1">𝜀</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem7.p1.2.m2.1c">\varepsilon</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem7.p1.2.m2.1d">italic_ε</annotation></semantics></math> and moment <math alttext="t" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem7.p1.3.m3.1"><semantics id="Thmtheorem7.p1.3.m3.1a"><mi id="Thmtheorem7.p1.3.m3.1.1" xref="Thmtheorem7.p1.3.m3.1.1.cmml">t</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem7.p1.3.m3.1b"><ci id="Thmtheorem7.p1.3.m3.1.1.cmml" xref="Thmtheorem7.p1.3.m3.1.1">𝑡</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem7.p1.3.m3.1c">t</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem7.p1.3.m3.1d">italic_t</annotation></semantics></math> is the difference between the largest and second-largest eigenvalues of the corresponding <math alttext="t" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem7.p1.4.m4.1"><semantics id="Thmtheorem7.p1.4.m4.1a"><mi id="Thmtheorem7.p1.4.m4.1.1" xref="Thmtheorem7.p1.4.m4.1.1.cmml">t</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem7.p1.4.m4.1b"><ci id="Thmtheorem7.p1.4.m4.1.1.cmml" xref="Thmtheorem7.p1.4.m4.1.1">𝑡</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem7.p1.4.m4.1c">t</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem7.p1.4.m4.1d">italic_t</annotation></semantics></math>-th moment operator. For a one-dimensional brickwork of <math alttext="N" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem7.p1.5.m5.1"><semantics id="Thmtheorem7.p1.5.m5.1a"><mi id="Thmtheorem7.p1.5.m5.1.1" xref="Thmtheorem7.p1.5.m5.1.1.cmml">N</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem7.p1.5.m5.1b"><ci id="Thmtheorem7.p1.5.m5.1.1.cmml" xref="Thmtheorem7.p1.5.m5.1.1">𝑁</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem7.p1.5.m5.1c">N</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem7.p1.5.m5.1d">italic_N</annotation></semantics></math> qubits with local Hilbert space dimension <math alttext="q" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem7.p1.6.m6.1"><semantics id="Thmtheorem7.p1.6.m6.1a"><mi id="Thmtheorem7.p1.6.m6.1.1" xref="Thmtheorem7.p1.6.m6.1.1.cmml">q</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem7.p1.6.m6.1b"><ci id="Thmtheorem7.p1.6.m6.1.1.cmml" xref="Thmtheorem7.p1.6.m6.1.1">𝑞</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem7.p1.6.m6.1c">q</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem7.p1.6.m6.1d">italic_q</annotation></semantics></math>, we will refer to the spectral gap as <math alttext="\Delta(N,q,t)" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem7.p1.7.m7.3"><semantics id="Thmtheorem7.p1.7.m7.3a"><mrow id="Thmtheorem7.p1.7.m7.3.4" xref="Thmtheorem7.p1.7.m7.3.4.cmml"><mi id="Thmtheorem7.p1.7.m7.3.4.2" mathvariant="normal" xref="Thmtheorem7.p1.7.m7.3.4.2.cmml">Δ</mi><mo id="Thmtheorem7.p1.7.m7.3.4.1" xref="Thmtheorem7.p1.7.m7.3.4.1.cmml">⁢</mo><mrow id="Thmtheorem7.p1.7.m7.3.4.3.2" xref="Thmtheorem7.p1.7.m7.3.4.3.1.cmml"><mo id="Thmtheorem7.p1.7.m7.3.4.3.2.1" stretchy="false" xref="Thmtheorem7.p1.7.m7.3.4.3.1.cmml">(</mo><mi id="Thmtheorem7.p1.7.m7.1.1" xref="Thmtheorem7.p1.7.m7.1.1.cmml">N</mi><mo id="Thmtheorem7.p1.7.m7.3.4.3.2.2" xref="Thmtheorem7.p1.7.m7.3.4.3.1.cmml">,</mo><mi id="Thmtheorem7.p1.7.m7.2.2" xref="Thmtheorem7.p1.7.m7.2.2.cmml">q</mi><mo id="Thmtheorem7.p1.7.m7.3.4.3.2.3" xref="Thmtheorem7.p1.7.m7.3.4.3.1.cmml">,</mo><mi id="Thmtheorem7.p1.7.m7.3.3" xref="Thmtheorem7.p1.7.m7.3.3.cmml">t</mi><mo id="Thmtheorem7.p1.7.m7.3.4.3.2.4" stretchy="false" xref="Thmtheorem7.p1.7.m7.3.4.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem7.p1.7.m7.3b"><apply id="Thmtheorem7.p1.7.m7.3.4.cmml" xref="Thmtheorem7.p1.7.m7.3.4"><times id="Thmtheorem7.p1.7.m7.3.4.1.cmml" xref="Thmtheorem7.p1.7.m7.3.4.1"></times><ci id="Thmtheorem7.p1.7.m7.3.4.2.cmml" xref="Thmtheorem7.p1.7.m7.3.4.2">Δ</ci><vector id="Thmtheorem7.p1.7.m7.3.4.3.1.cmml" xref="Thmtheorem7.p1.7.m7.3.4.3.2"><ci id="Thmtheorem7.p1.7.m7.1.1.cmml" xref="Thmtheorem7.p1.7.m7.1.1">𝑁</ci><ci id="Thmtheorem7.p1.7.m7.2.2.cmml" xref="Thmtheorem7.p1.7.m7.2.2">𝑞</ci><ci id="Thmtheorem7.p1.7.m7.3.3.cmml" xref="Thmtheorem7.p1.7.m7.3.3">𝑡</ci></vector></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem7.p1.7.m7.3c">\Delta(N,q,t)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem7.p1.7.m7.3d">roman_Δ ( italic_N , italic_q , italic_t )</annotation></semantics></math> instead.</p> </div> </div> <div class="ltx_para" id="S2.SS1.p2"> <p class="ltx_p" id="S2.SS1.p2.1">We call the second-largest eigenvalue the <span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S2.SS1.p2.1.1">subleading eigenvalue</span> or <span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S2.SS1.p2.1.2">SEV</span>.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S2.SS1.p3"> <p class="ltx_p" id="S2.SS1.p3.4">A primary use of the spectral gap is in determining the <math alttext="\epsilon" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p3.1.m1.1"><semantics id="S2.SS1.p3.1.m1.1a"><mi id="S2.SS1.p3.1.m1.1.1" xref="S2.SS1.p3.1.m1.1.1.cmml">ϵ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p3.1.m1.1b"><ci id="S2.SS1.p3.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p3.1.m1.1.1">italic-ϵ</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p3.1.m1.1c">\epsilon</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p3.1.m1.1d">italic_ϵ</annotation></semantics></math>-approximate <math alttext="t" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p3.2.m2.1"><semantics id="S2.SS1.p3.2.m2.1a"><mi id="S2.SS1.p3.2.m2.1.1" xref="S2.SS1.p3.2.m2.1.1.cmml">t</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p3.2.m2.1b"><ci id="S2.SS1.p3.2.m2.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p3.2.m2.1.1">𝑡</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p3.2.m2.1c">t</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p3.2.m2.1d">italic_t</annotation></semantics></math>-design depth of a random quantum circuit, which is the depth required for the statistical average of any specific <math alttext="t" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p3.3.m3.1"><semantics id="S2.SS1.p3.3.m3.1a"><mi id="S2.SS1.p3.3.m3.1.1" xref="S2.SS1.p3.3.m3.1.1.cmml">t</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p3.3.m3.1b"><ci id="S2.SS1.p3.3.m3.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p3.3.m3.1.1">𝑡</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p3.3.m3.1c">t</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p3.3.m3.1d">italic_t</annotation></semantics></math>-body measurement of the random quantum circuit to be equal to to a measurement on the global Haar distribution, within an error of <math alttext="\epsilon" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p3.4.m4.1"><semantics id="S2.SS1.p3.4.m4.1a"><mi id="S2.SS1.p3.4.m4.1.1" xref="S2.SS1.p3.4.m4.1.1.cmml">ϵ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p3.4.m4.1b"><ci id="S2.SS1.p3.4.m4.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p3.4.m4.1.1">italic-ϵ</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p3.4.m4.1c">\epsilon</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p3.4.m4.1d">italic_ϵ</annotation></semantics></math>:</p> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_definition" id="Thmtheorem8"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmtheorem8.1.1.1">Definition 8</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmtheorem8.2.2">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="Thmtheorem8.p1"> <p class="ltx_p" id="Thmtheorem8.p1.7">A random quantum circuit ensemble <math alttext="\varepsilon" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem8.p1.1.m1.1"><semantics id="Thmtheorem8.p1.1.m1.1a"><mi id="Thmtheorem8.p1.1.m1.1.1" xref="Thmtheorem8.p1.1.m1.1.1.cmml">ε</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem8.p1.1.m1.1b"><ci id="Thmtheorem8.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem8.p1.1.m1.1.1">𝜀</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem8.p1.1.m1.1c">\varepsilon</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem8.p1.1.m1.1d">italic_ε</annotation></semantics></math> is an <math alttext="\epsilon" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem8.p1.2.m2.1"><semantics id="Thmtheorem8.p1.2.m2.1a"><mi id="Thmtheorem8.p1.2.m2.1.1" xref="Thmtheorem8.p1.2.m2.1.1.cmml">ϵ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem8.p1.2.m2.1b"><ci id="Thmtheorem8.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="Thmtheorem8.p1.2.m2.1.1">italic-ϵ</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem8.p1.2.m2.1c">\epsilon</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem8.p1.2.m2.1d">italic_ϵ</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmtheorem8.p1.3.1">-approximate <math alttext="t" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem8.p1.3.1.m1.1"><semantics id="Thmtheorem8.p1.3.1.m1.1a"><mi id="Thmtheorem8.p1.3.1.m1.1.1" xref="Thmtheorem8.p1.3.1.m1.1.1.cmml">t</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem8.p1.3.1.m1.1b"><ci id="Thmtheorem8.p1.3.1.m1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem8.p1.3.1.m1.1.1">𝑡</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem8.p1.3.1.m1.1c">t</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem8.p1.3.1.m1.1d">italic_t</annotation></semantics></math>-design</span> if the diamond norm distance between the ensemble’s <math alttext="t" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem8.p1.4.m3.1"><semantics id="Thmtheorem8.p1.4.m3.1a"><mi id="Thmtheorem8.p1.4.m3.1.1" xref="Thmtheorem8.p1.4.m3.1.1.cmml">t</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem8.p1.4.m3.1b"><ci id="Thmtheorem8.p1.4.m3.1.1.cmml" xref="Thmtheorem8.p1.4.m3.1.1">𝑡</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem8.p1.4.m3.1c">t</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem8.p1.4.m3.1d">italic_t</annotation></semantics></math><sup class="ltx_sup" id="Thmtheorem8.p1.7.2">th</sup> moment operator <math alttext="\Phi_{\epsilon}^{(t)}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem8.p1.5.m4.1"><semantics id="Thmtheorem8.p1.5.m4.1a"><msubsup id="Thmtheorem8.p1.5.m4.1.2" xref="Thmtheorem8.p1.5.m4.1.2.cmml"><mi id="Thmtheorem8.p1.5.m4.1.2.2.2" mathvariant="normal" xref="Thmtheorem8.p1.5.m4.1.2.2.2.cmml">Φ</mi><mi id="Thmtheorem8.p1.5.m4.1.2.2.3" xref="Thmtheorem8.p1.5.m4.1.2.2.3.cmml">ϵ</mi><mrow id="Thmtheorem8.p1.5.m4.1.1.1.3" xref="Thmtheorem8.p1.5.m4.1.2.cmml"><mo id="Thmtheorem8.p1.5.m4.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="Thmtheorem8.p1.5.m4.1.2.cmml">(</mo><mi id="Thmtheorem8.p1.5.m4.1.1.1.1" xref="Thmtheorem8.p1.5.m4.1.1.1.1.cmml">t</mi><mo id="Thmtheorem8.p1.5.m4.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="Thmtheorem8.p1.5.m4.1.2.cmml">)</mo></mrow></msubsup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem8.p1.5.m4.1b"><apply id="Thmtheorem8.p1.5.m4.1.2.cmml" xref="Thmtheorem8.p1.5.m4.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem8.p1.5.m4.1.2.1.cmml" xref="Thmtheorem8.p1.5.m4.1.2">superscript</csymbol><apply id="Thmtheorem8.p1.5.m4.1.2.2.cmml" xref="Thmtheorem8.p1.5.m4.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem8.p1.5.m4.1.2.2.1.cmml" xref="Thmtheorem8.p1.5.m4.1.2">subscript</csymbol><ci id="Thmtheorem8.p1.5.m4.1.2.2.2.cmml" xref="Thmtheorem8.p1.5.m4.1.2.2.2">Φ</ci><ci id="Thmtheorem8.p1.5.m4.1.2.2.3.cmml" xref="Thmtheorem8.p1.5.m4.1.2.2.3">italic-ϵ</ci></apply><ci id="Thmtheorem8.p1.5.m4.1.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem8.p1.5.m4.1.1.1.1">𝑡</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem8.p1.5.m4.1c">\Phi_{\epsilon}^{(t)}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem8.p1.5.m4.1d">roman_Φ start_POSTSUBSCRIPT italic_ϵ end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_t ) end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> and the Haar measure’s <math alttext="t" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem8.p1.6.m5.1"><semantics id="Thmtheorem8.p1.6.m5.1a"><mi id="Thmtheorem8.p1.6.m5.1.1" xref="Thmtheorem8.p1.6.m5.1.1.cmml">t</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem8.p1.6.m5.1b"><ci id="Thmtheorem8.p1.6.m5.1.1.cmml" xref="Thmtheorem8.p1.6.m5.1.1">𝑡</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem8.p1.6.m5.1c">t</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem8.p1.6.m5.1d">italic_t</annotation></semantics></math><sup class="ltx_sup" id="Thmtheorem8.p1.7.3">th</sup> moment operator is at most <math alttext="\epsilon" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem8.p1.7.m6.1"><semantics id="Thmtheorem8.p1.7.m6.1a"><mi id="Thmtheorem8.p1.7.m6.1.1" xref="Thmtheorem8.p1.7.m6.1.1.cmml">ϵ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem8.p1.7.m6.1b"><ci id="Thmtheorem8.p1.7.m6.1.1.cmml" xref="Thmtheorem8.p1.7.m6.1.1">italic-ϵ</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem8.p1.7.m6.1c">\epsilon</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem8.p1.7.m6.1d">italic_ϵ</annotation></semantics></math>:</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_gather ltx_eqn_table" id="S6.EGx17"> <tbody id="S2.E17"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\displaystyle||\Phi_{\varepsilon}^{(t)}-\Phi_{\text{Haar}}^{(t)}||_{\diamond}\leq\epsilon" class="ltx_Math" display="block" id="S2.E17.m1.3"><semantics id="S2.E17.m1.3a"><mrow id="S2.E17.m1.3.3" xref="S2.E17.m1.3.3.cmml"><msub id="S2.E17.m1.3.3.1" xref="S2.E17.m1.3.3.1.cmml"><mrow id="S2.E17.m1.3.3.1.1.1" xref="S2.E17.m1.3.3.1.1.2.cmml"><mo id="S2.E17.m1.3.3.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.E17.m1.3.3.1.1.2.1.cmml">‖</mo><mrow id="S2.E17.m1.3.3.1.1.1.1" xref="S2.E17.m1.3.3.1.1.1.1.cmml"><msubsup id="S2.E17.m1.3.3.1.1.1.1.2" xref="S2.E17.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S2.E17.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.2" mathvariant="normal" xref="S2.E17.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.2.cmml">Φ</mi><mi id="S2.E17.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.3" xref="S2.E17.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.3.cmml">ε</mi><mrow id="S2.E17.m1.1.1.1.3" xref="S2.E17.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S2.E17.m1.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S2.E17.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S2.E17.m1.1.1.1.1" xref="S2.E17.m1.1.1.1.1.cmml">t</mi><mo id="S2.E17.m1.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S2.E17.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></msubsup><mo id="S2.E17.m1.3.3.1.1.1.1.1" xref="S2.E17.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><msubsup id="S2.E17.m1.3.3.1.1.1.1.3" xref="S2.E17.m1.3.3.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S2.E17.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.2" mathvariant="normal" xref="S2.E17.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.2.cmml">Φ</mi><mtext id="S2.E17.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.3" xref="S2.E17.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.3a.cmml">Haar</mtext><mrow id="S2.E17.m1.2.2.1.3" xref="S2.E17.m1.3.3.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="S2.E17.m1.2.2.1.3.1" stretchy="false" xref="S2.E17.m1.3.3.1.1.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="S2.E17.m1.2.2.1.1" xref="S2.E17.m1.2.2.1.1.cmml">t</mi><mo id="S2.E17.m1.2.2.1.3.2" stretchy="false" xref="S2.E17.m1.3.3.1.1.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></msubsup></mrow><mo id="S2.E17.m1.3.3.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.E17.m1.3.3.1.1.2.1.cmml">‖</mo></mrow><mo id="S2.E17.m1.3.3.1.3" xref="S2.E17.m1.3.3.1.3.cmml">⋄</mo></msub><mo id="S2.E17.m1.3.3.2" xref="S2.E17.m1.3.3.2.cmml">≤</mo><mi id="S2.E17.m1.3.3.3" xref="S2.E17.m1.3.3.3.cmml">ϵ</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.E17.m1.3b"><apply id="S2.E17.m1.3.3.cmml" xref="S2.E17.m1.3.3"><leq id="S2.E17.m1.3.3.2.cmml" xref="S2.E17.m1.3.3.2"></leq><apply id="S2.E17.m1.3.3.1.cmml" xref="S2.E17.m1.3.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E17.m1.3.3.1.2.cmml" xref="S2.E17.m1.3.3.1">subscript</csymbol><apply id="S2.E17.m1.3.3.1.1.2.cmml" xref="S2.E17.m1.3.3.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S2.E17.m1.3.3.1.1.2.1.cmml" xref="S2.E17.m1.3.3.1.1.1.2">norm</csymbol><apply id="S2.E17.m1.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E17.m1.3.3.1.1.1.1"><minus id="S2.E17.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E17.m1.3.3.1.1.1.1.1"></minus><apply id="S2.E17.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E17.m1.3.3.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E17.m1.3.3.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.E17.m1.3.3.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="S2.E17.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.E17.m1.3.3.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E17.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S2.E17.m1.3.3.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S2.E17.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S2.E17.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.2">Φ</ci><ci id="S2.E17.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S2.E17.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.3">𝜀</ci></apply><ci id="S2.E17.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E17.m1.1.1.1.1">𝑡</ci></apply><apply id="S2.E17.m1.3.3.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E17.m1.3.3.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E17.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.E17.m1.3.3.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="S2.E17.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.E17.m1.3.3.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E17.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S2.E17.m1.3.3.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S2.E17.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S2.E17.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.2">Φ</ci><ci id="S2.E17.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.3a.cmml" xref="S2.E17.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.3"><mtext id="S2.E17.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.3.cmml" mathsize="70%" xref="S2.E17.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.3">Haar</mtext></ci></apply><ci id="S2.E17.m1.2.2.1.1.cmml" xref="S2.E17.m1.2.2.1.1">𝑡</ci></apply></apply></apply><ci id="S2.E17.m1.3.3.1.3.cmml" xref="S2.E17.m1.3.3.1.3">⋄</ci></apply><ci id="S2.E17.m1.3.3.3.cmml" xref="S2.E17.m1.3.3.3">italic-ϵ</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.E17.m1.3c">\displaystyle||\Phi_{\varepsilon}^{(t)}-\Phi_{\text{Haar}}^{(t)}||_{\diamond}\leq\epsilon</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.E17.m1.3d">| | roman_Φ start_POSTSUBSCRIPT italic_ε end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_t ) end_POSTSUPERSCRIPT - roman_Φ start_POSTSUBSCRIPT Haar end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_t ) end_POSTSUPERSCRIPT | | start_POSTSUBSCRIPT ⋄ end_POSTSUBSCRIPT ≤ italic_ϵ</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(17)</span></td> </tr></tbody> </table> </div> </div> </section> <section class="ltx_subsection" id="S2.SS2"> <h3 class="ltx_title ltx_title_subsection"> <span class="ltx_tag ltx_tag_subsection">II.2 </span>Mapping moment operators to tensor networks</h3> <div class="ltx_para" id="S2.SS2.p1"> <p class="ltx_p" id="S2.SS2.p1.1">In this section, we will give a mapping from the spectrum of the moment operator corresponding to a random quantum circuit architecture to the spectrum of a particular tensor network.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S2.SS2.p2"> <p class="ltx_p" id="S2.SS2.p2.2">For a circuit ensemble <math alttext="U_{\varepsilon}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS2.p2.1.m1.1"><semantics id="S2.SS2.p2.1.m1.1a"><msub id="S2.SS2.p2.1.m1.1.1" xref="S2.SS2.p2.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S2.SS2.p2.1.m1.1.1.2" xref="S2.SS2.p2.1.m1.1.1.2.cmml">U</mi><mi id="S2.SS2.p2.1.m1.1.1.3" xref="S2.SS2.p2.1.m1.1.1.3.cmml">ε</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS2.p2.1.m1.1b"><apply id="S2.SS2.p2.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p2.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS2.p2.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p2.1.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.SS2.p2.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS2.p2.1.m1.1.1.2">𝑈</ci><ci id="S2.SS2.p2.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S2.SS2.p2.1.m1.1.1.3">𝜀</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS2.p2.1.m1.1c">U_{\varepsilon}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS2.p2.1.m1.1d">italic_U start_POSTSUBSCRIPT italic_ε end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> composed of 2-local<span class="ltx_note ltx_role_footnote" id="footnote1"><sup class="ltx_note_mark">1</sup><span class="ltx_note_outer"><span class="ltx_note_content"><sup class="ltx_note_mark">1</sup><span class="ltx_tag ltx_tag_note">1</span>By ”2-local” we mean that the unitary gate acts nontrivially only on some pair of sites.</span></span></span> Haar random unitaries <math alttext="U_{i}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS2.p2.2.m2.1"><semantics id="S2.SS2.p2.2.m2.1a"><msub id="S2.SS2.p2.2.m2.1.1" xref="S2.SS2.p2.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S2.SS2.p2.2.m2.1.1.2" xref="S2.SS2.p2.2.m2.1.1.2.cmml">U</mi><mi id="S2.SS2.p2.2.m2.1.1.3" xref="S2.SS2.p2.2.m2.1.1.3.cmml">i</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS2.p2.2.m2.1b"><apply id="S2.SS2.p2.2.m2.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p2.2.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS2.p2.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p2.2.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.SS2.p2.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S2.SS2.p2.2.m2.1.1.2">𝑈</ci><ci id="S2.SS2.p2.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S2.SS2.p2.2.m2.1.1.3">𝑖</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS2.p2.2.m2.1c">U_{i}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS2.p2.2.m2.1d">italic_U start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, we may use the independence of the gates to write</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_gather ltx_eqn_table" id="S6.EGx18"> <tbody id="S2.E18"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\displaystyle\Phi_{\varepsilon}^{(t)}=\left\langle\prod_{i}U_{i}^{\otimes t,t}% \right\rangle=\prod_{i}\left\langle U_{i}^{\otimes t,t}\right\rangle_{U_{i}}" class="ltx_Math" display="block" id="S2.E18.m1.7"><semantics id="S2.E18.m1.7a"><mrow id="S2.E18.m1.7.7" xref="S2.E18.m1.7.7.cmml"><msubsup id="S2.E18.m1.7.7.4" xref="S2.E18.m1.7.7.4.cmml"><mi id="S2.E18.m1.7.7.4.2.2" mathvariant="normal" xref="S2.E18.m1.7.7.4.2.2.cmml">Φ</mi><mi id="S2.E18.m1.7.7.4.2.3" xref="S2.E18.m1.7.7.4.2.3.cmml">ε</mi><mrow id="S2.E18.m1.1.1.1.3" xref="S2.E18.m1.7.7.4.cmml"><mo id="S2.E18.m1.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S2.E18.m1.7.7.4.cmml">(</mo><mi id="S2.E18.m1.1.1.1.1" xref="S2.E18.m1.1.1.1.1.cmml">t</mi><mo id="S2.E18.m1.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S2.E18.m1.7.7.4.cmml">)</mo></mrow></msubsup><mo id="S2.E18.m1.7.7.5" xref="S2.E18.m1.7.7.5.cmml">=</mo><mrow id="S2.E18.m1.6.6.1.1" xref="S2.E18.m1.6.6.1.2.cmml"><mo id="S2.E18.m1.6.6.1.1.2" xref="S2.E18.m1.6.6.1.2.1.cmml">⟨</mo><mrow id="S2.E18.m1.6.6.1.1.1" xref="S2.E18.m1.6.6.1.1.1.cmml"><munder id="S2.E18.m1.6.6.1.1.1.1" xref="S2.E18.m1.6.6.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.E18.m1.6.6.1.1.1.1.2" lspace="0em" movablelimits="false" xref="S2.E18.m1.6.6.1.1.1.1.2.cmml">∏</mo><mi id="S2.E18.m1.6.6.1.1.1.1.3" xref="S2.E18.m1.6.6.1.1.1.1.3.cmml">i</mi></munder><msubsup id="S2.E18.m1.6.6.1.1.1.2" xref="S2.E18.m1.6.6.1.1.1.2.cmml"><mi id="S2.E18.m1.6.6.1.1.1.2.2.2" xref="S2.E18.m1.6.6.1.1.1.2.2.2.cmml">U</mi><mi id="S2.E18.m1.6.6.1.1.1.2.2.3" xref="S2.E18.m1.6.6.1.1.1.2.2.3.cmml">i</mi><mrow id="S2.E18.m1.3.3.2.2" xref="S2.E18.m1.3.3.2.3.cmml"><mrow id="S2.E18.m1.3.3.2.2.1" xref="S2.E18.m1.3.3.2.2.1.cmml"><mi id="S2.E18.m1.3.3.2.2.1.2" xref="S2.E18.m1.3.3.2.2.1.2.cmml"></mi><mo id="S2.E18.m1.3.3.2.2.1.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S2.E18.m1.3.3.2.2.1.1.cmml">⊗</mo><mi id="S2.E18.m1.3.3.2.2.1.3" xref="S2.E18.m1.3.3.2.2.1.3.cmml">t</mi></mrow><mo id="S2.E18.m1.3.3.2.2.2" xref="S2.E18.m1.3.3.2.3.cmml">,</mo><mi id="S2.E18.m1.2.2.1.1" xref="S2.E18.m1.2.2.1.1.cmml">t</mi></mrow></msubsup></mrow><mo id="S2.E18.m1.6.6.1.1.3" xref="S2.E18.m1.6.6.1.2.1.cmml">⟩</mo></mrow><mo id="S2.E18.m1.7.7.6" rspace="0.111em" xref="S2.E18.m1.7.7.6.cmml">=</mo><mrow id="S2.E18.m1.7.7.2" xref="S2.E18.m1.7.7.2.cmml"><munder id="S2.E18.m1.7.7.2.2" xref="S2.E18.m1.7.7.2.2.cmml"><mo id="S2.E18.m1.7.7.2.2.2" movablelimits="false" rspace="0em" xref="S2.E18.m1.7.7.2.2.2.cmml">∏</mo><mi id="S2.E18.m1.7.7.2.2.3" xref="S2.E18.m1.7.7.2.2.3.cmml">i</mi></munder><msub id="S2.E18.m1.7.7.2.1" xref="S2.E18.m1.7.7.2.1.cmml"><mrow id="S2.E18.m1.7.7.2.1.1.1" xref="S2.E18.m1.7.7.2.1.1.2.cmml"><mo id="S2.E18.m1.7.7.2.1.1.1.2" xref="S2.E18.m1.7.7.2.1.1.2.1.cmml">⟨</mo><msubsup id="S2.E18.m1.7.7.2.1.1.1.1" xref="S2.E18.m1.7.7.2.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.E18.m1.7.7.2.1.1.1.1.2.2" xref="S2.E18.m1.7.7.2.1.1.1.1.2.2.cmml">U</mi><mi id="S2.E18.m1.7.7.2.1.1.1.1.2.3" xref="S2.E18.m1.7.7.2.1.1.1.1.2.3.cmml">i</mi><mrow id="S2.E18.m1.5.5.2.2" xref="S2.E18.m1.5.5.2.3.cmml"><mrow id="S2.E18.m1.5.5.2.2.1" xref="S2.E18.m1.5.5.2.2.1.cmml"><mi id="S2.E18.m1.5.5.2.2.1.2" xref="S2.E18.m1.5.5.2.2.1.2.cmml"></mi><mo id="S2.E18.m1.5.5.2.2.1.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S2.E18.m1.5.5.2.2.1.1.cmml">⊗</mo><mi id="S2.E18.m1.5.5.2.2.1.3" xref="S2.E18.m1.5.5.2.2.1.3.cmml">t</mi></mrow><mo id="S2.E18.m1.5.5.2.2.2" xref="S2.E18.m1.5.5.2.3.cmml">,</mo><mi id="S2.E18.m1.4.4.1.1" xref="S2.E18.m1.4.4.1.1.cmml">t</mi></mrow></msubsup><mo id="S2.E18.m1.7.7.2.1.1.1.3" xref="S2.E18.m1.7.7.2.1.1.2.1.cmml">⟩</mo></mrow><msub id="S2.E18.m1.7.7.2.1.3" xref="S2.E18.m1.7.7.2.1.3.cmml"><mi id="S2.E18.m1.7.7.2.1.3.2" xref="S2.E18.m1.7.7.2.1.3.2.cmml">U</mi><mi id="S2.E18.m1.7.7.2.1.3.3" xref="S2.E18.m1.7.7.2.1.3.3.cmml">i</mi></msub></msub></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.E18.m1.7b"><apply id="S2.E18.m1.7.7.cmml" xref="S2.E18.m1.7.7"><and id="S2.E18.m1.7.7a.cmml" xref="S2.E18.m1.7.7"></and><apply id="S2.E18.m1.7.7b.cmml" xref="S2.E18.m1.7.7"><eq id="S2.E18.m1.7.7.5.cmml" xref="S2.E18.m1.7.7.5"></eq><apply id="S2.E18.m1.7.7.4.cmml" xref="S2.E18.m1.7.7.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E18.m1.7.7.4.1.cmml" xref="S2.E18.m1.7.7.4">superscript</csymbol><apply id="S2.E18.m1.7.7.4.2.cmml" xref="S2.E18.m1.7.7.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E18.m1.7.7.4.2.1.cmml" xref="S2.E18.m1.7.7.4">subscript</csymbol><ci id="S2.E18.m1.7.7.4.2.2.cmml" xref="S2.E18.m1.7.7.4.2.2">Φ</ci><ci id="S2.E18.m1.7.7.4.2.3.cmml" xref="S2.E18.m1.7.7.4.2.3">𝜀</ci></apply><ci id="S2.E18.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E18.m1.1.1.1.1">𝑡</ci></apply><apply id="S2.E18.m1.6.6.1.2.cmml" xref="S2.E18.m1.6.6.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S2.E18.m1.6.6.1.2.1.cmml" xref="S2.E18.m1.6.6.1.1.2">delimited-⟨⟩</csymbol><apply id="S2.E18.m1.6.6.1.1.1.cmml" xref="S2.E18.m1.6.6.1.1.1"><apply id="S2.E18.m1.6.6.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E18.m1.6.6.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E18.m1.6.6.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E18.m1.6.6.1.1.1.1">subscript</csymbol><csymbol cd="latexml" id="S2.E18.m1.6.6.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E18.m1.6.6.1.1.1.1.2">product</csymbol><ci id="S2.E18.m1.6.6.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E18.m1.6.6.1.1.1.1.3">𝑖</ci></apply><apply id="S2.E18.m1.6.6.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E18.m1.6.6.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E18.m1.6.6.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.E18.m1.6.6.1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="S2.E18.m1.6.6.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.E18.m1.6.6.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E18.m1.6.6.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S2.E18.m1.6.6.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S2.E18.m1.6.6.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S2.E18.m1.6.6.1.1.1.2.2.2">𝑈</ci><ci id="S2.E18.m1.6.6.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S2.E18.m1.6.6.1.1.1.2.2.3">𝑖</ci></apply><list id="S2.E18.m1.3.3.2.3.cmml" xref="S2.E18.m1.3.3.2.2"><apply id="S2.E18.m1.3.3.2.2.1.cmml" xref="S2.E18.m1.3.3.2.2.1"><csymbol cd="latexml" id="S2.E18.m1.3.3.2.2.1.1.cmml" xref="S2.E18.m1.3.3.2.2.1.1">tensor-product</csymbol><csymbol cd="latexml" id="S2.E18.m1.3.3.2.2.1.2.cmml" xref="S2.E18.m1.3.3.2.2.1.2">absent</csymbol><ci id="S2.E18.m1.3.3.2.2.1.3.cmml" xref="S2.E18.m1.3.3.2.2.1.3">𝑡</ci></apply><ci id="S2.E18.m1.2.2.1.1.cmml" xref="S2.E18.m1.2.2.1.1">𝑡</ci></list></apply></apply></apply></apply><apply id="S2.E18.m1.7.7c.cmml" xref="S2.E18.m1.7.7"><eq id="S2.E18.m1.7.7.6.cmml" xref="S2.E18.m1.7.7.6"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#S2.E18.m1.6.6.1.cmml" id="S2.E18.m1.7.7d.cmml" xref="S2.E18.m1.7.7"></share><apply id="S2.E18.m1.7.7.2.cmml" xref="S2.E18.m1.7.7.2"><apply id="S2.E18.m1.7.7.2.2.cmml" xref="S2.E18.m1.7.7.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E18.m1.7.7.2.2.1.cmml" xref="S2.E18.m1.7.7.2.2">subscript</csymbol><csymbol cd="latexml" id="S2.E18.m1.7.7.2.2.2.cmml" xref="S2.E18.m1.7.7.2.2.2">product</csymbol><ci id="S2.E18.m1.7.7.2.2.3.cmml" xref="S2.E18.m1.7.7.2.2.3">𝑖</ci></apply><apply id="S2.E18.m1.7.7.2.1.cmml" xref="S2.E18.m1.7.7.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E18.m1.7.7.2.1.2.cmml" xref="S2.E18.m1.7.7.2.1">subscript</csymbol><apply id="S2.E18.m1.7.7.2.1.1.2.cmml" xref="S2.E18.m1.7.7.2.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S2.E18.m1.7.7.2.1.1.2.1.cmml" xref="S2.E18.m1.7.7.2.1.1.1.2">delimited-⟨⟩</csymbol><apply id="S2.E18.m1.7.7.2.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E18.m1.7.7.2.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E18.m1.7.7.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E18.m1.7.7.2.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S2.E18.m1.7.7.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E18.m1.7.7.2.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E18.m1.7.7.2.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.E18.m1.7.7.2.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.E18.m1.7.7.2.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.E18.m1.7.7.2.1.1.1.1.2.2">𝑈</ci><ci id="S2.E18.m1.7.7.2.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.E18.m1.7.7.2.1.1.1.1.2.3">𝑖</ci></apply><list id="S2.E18.m1.5.5.2.3.cmml" xref="S2.E18.m1.5.5.2.2"><apply id="S2.E18.m1.5.5.2.2.1.cmml" xref="S2.E18.m1.5.5.2.2.1"><csymbol cd="latexml" id="S2.E18.m1.5.5.2.2.1.1.cmml" xref="S2.E18.m1.5.5.2.2.1.1">tensor-product</csymbol><csymbol cd="latexml" id="S2.E18.m1.5.5.2.2.1.2.cmml" xref="S2.E18.m1.5.5.2.2.1.2">absent</csymbol><ci id="S2.E18.m1.5.5.2.2.1.3.cmml" xref="S2.E18.m1.5.5.2.2.1.3">𝑡</ci></apply><ci id="S2.E18.m1.4.4.1.1.cmml" xref="S2.E18.m1.4.4.1.1">𝑡</ci></list></apply></apply><apply id="S2.E18.m1.7.7.2.1.3.cmml" xref="S2.E18.m1.7.7.2.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E18.m1.7.7.2.1.3.1.cmml" xref="S2.E18.m1.7.7.2.1.3">subscript</csymbol><ci id="S2.E18.m1.7.7.2.1.3.2.cmml" xref="S2.E18.m1.7.7.2.1.3.2">𝑈</ci><ci id="S2.E18.m1.7.7.2.1.3.3.cmml" xref="S2.E18.m1.7.7.2.1.3.3">𝑖</ci></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.E18.m1.7c">\displaystyle\Phi_{\varepsilon}^{(t)}=\left\langle\prod_{i}U_{i}^{\otimes t,t}% \right\rangle=\prod_{i}\left\langle U_{i}^{\otimes t,t}\right\rangle_{U_{i}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.E18.m1.7d">roman_Φ start_POSTSUBSCRIPT italic_ε end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_t ) end_POSTSUPERSCRIPT = ⟨ ∏ start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT italic_U start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ⊗ italic_t , italic_t end_POSTSUPERSCRIPT ⟩ = ∏ start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT ⟨ italic_U start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ⊗ italic_t , italic_t end_POSTSUPERSCRIPT ⟩ start_POSTSUBSCRIPT italic_U start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(18)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S2.SS2.p2.3">The result is a tensor network in the same form as the original circuit, with each random gate replaced with a copy of <math alttext="\left\langle U_{i}^{\otimes t,t}\right\rangle" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS2.p2.3.m1.3"><semantics id="S2.SS2.p2.3.m1.3a"><mrow id="S2.SS2.p2.3.m1.3.3.1" xref="S2.SS2.p2.3.m1.3.3.2.cmml"><mo id="S2.SS2.p2.3.m1.3.3.1.2" xref="S2.SS2.p2.3.m1.3.3.2.1.cmml">⟨</mo><msubsup id="S2.SS2.p2.3.m1.3.3.1.1" xref="S2.SS2.p2.3.m1.3.3.1.1.cmml"><mi id="S2.SS2.p2.3.m1.3.3.1.1.2.2" xref="S2.SS2.p2.3.m1.3.3.1.1.2.2.cmml">U</mi><mi id="S2.SS2.p2.3.m1.3.3.1.1.2.3" xref="S2.SS2.p2.3.m1.3.3.1.1.2.3.cmml">i</mi><mrow id="S2.SS2.p2.3.m1.2.2.2.2" xref="S2.SS2.p2.3.m1.2.2.2.3.cmml"><mrow id="S2.SS2.p2.3.m1.2.2.2.2.1" xref="S2.SS2.p2.3.m1.2.2.2.2.1.cmml"><mi id="S2.SS2.p2.3.m1.2.2.2.2.1.2" xref="S2.SS2.p2.3.m1.2.2.2.2.1.2.cmml"></mi><mo id="S2.SS2.p2.3.m1.2.2.2.2.1.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S2.SS2.p2.3.m1.2.2.2.2.1.1.cmml">⊗</mo><mi id="S2.SS2.p2.3.m1.2.2.2.2.1.3" xref="S2.SS2.p2.3.m1.2.2.2.2.1.3.cmml">t</mi></mrow><mo id="S2.SS2.p2.3.m1.2.2.2.2.2" xref="S2.SS2.p2.3.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S2.SS2.p2.3.m1.1.1.1.1" xref="S2.SS2.p2.3.m1.1.1.1.1.cmml">t</mi></mrow></msubsup><mo id="S2.SS2.p2.3.m1.3.3.1.3" xref="S2.SS2.p2.3.m1.3.3.2.1.cmml">⟩</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS2.p2.3.m1.3b"><apply id="S2.SS2.p2.3.m1.3.3.2.cmml" xref="S2.SS2.p2.3.m1.3.3.1"><csymbol cd="latexml" id="S2.SS2.p2.3.m1.3.3.2.1.cmml" xref="S2.SS2.p2.3.m1.3.3.1.2">delimited-⟨⟩</csymbol><apply id="S2.SS2.p2.3.m1.3.3.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p2.3.m1.3.3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS2.p2.3.m1.3.3.1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p2.3.m1.3.3.1.1">superscript</csymbol><apply id="S2.SS2.p2.3.m1.3.3.1.1.2.cmml" xref="S2.SS2.p2.3.m1.3.3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS2.p2.3.m1.3.3.1.1.2.1.cmml" xref="S2.SS2.p2.3.m1.3.3.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.SS2.p2.3.m1.3.3.1.1.2.2.cmml" xref="S2.SS2.p2.3.m1.3.3.1.1.2.2">𝑈</ci><ci id="S2.SS2.p2.3.m1.3.3.1.1.2.3.cmml" xref="S2.SS2.p2.3.m1.3.3.1.1.2.3">𝑖</ci></apply><list id="S2.SS2.p2.3.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S2.SS2.p2.3.m1.2.2.2.2"><apply id="S2.SS2.p2.3.m1.2.2.2.2.1.cmml" xref="S2.SS2.p2.3.m1.2.2.2.2.1"><csymbol cd="latexml" id="S2.SS2.p2.3.m1.2.2.2.2.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p2.3.m1.2.2.2.2.1.1">tensor-product</csymbol><csymbol cd="latexml" id="S2.SS2.p2.3.m1.2.2.2.2.1.2.cmml" xref="S2.SS2.p2.3.m1.2.2.2.2.1.2">absent</csymbol><ci id="S2.SS2.p2.3.m1.2.2.2.2.1.3.cmml" xref="S2.SS2.p2.3.m1.2.2.2.2.1.3">𝑡</ci></apply><ci id="S2.SS2.p2.3.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p2.3.m1.1.1.1.1">𝑡</ci></list></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS2.p2.3.m1.3c">\left\langle U_{i}^{\otimes t,t}\right\rangle</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS2.p2.3.m1.3d">⟨ italic_U start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ⊗ italic_t , italic_t end_POSTSUPERSCRIPT ⟩</annotation></semantics></math> (see Figure <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#S2.F2" title="Figure 2 ‣ II.2 Mapping moment operators to tensor networks ‣ II Preliminary work ‣ Conditional 𝑡-independent spectral gap for random quantum circuits and implications for 𝑡-design depths"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">2</span></a>.).</p> </div> <figure class="ltx_figure" id="S2.F2"><svg class="ltx_picture ltx_centering" height="118.72" id="S2.F2.pic1" overflow="visible" version="1.1" width="610.46"><g fill="#000000" stroke="#000000" stroke-width="0.4pt" transform="translate(0,118.72) matrix(1 0 0 -1 0 0) translate(-16.02,0) translate(0,119)"><g fill="#000000" stroke="#000000" transform="matrix(1.0 0.0 0.0 1.0 16.02 -95.28)"><foreignobject height="95" overflow="visible" transform="matrix(1 0 0 -1 0 16.6)" width="538"><img alt="Refer to caption" class="ltx_graphics ltx_img_landscape" height="132" id="S2.F2.pic1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.g1" src="x2.png" width="747"/></foreignobject></g><g fill="#000000" stroke="#000000" transform="matrix(1.0 0.0 0.0 1.0 33.5 -111.96)"><foreignobject height="11.07" overflow="visible" transform="matrix(1 0 0 -1 0 16.6)" width="86.55"><span class="ltx_text" id="S2.F2.pic1.3.3.3.1.1" style="font-size:90%;">Original Circuit</span></foreignobject></g><g fill="#000000" stroke="#000000" transform="matrix(1.0 0.0 0.0 1.0 225.22 -110.5)"><foreignobject height="12.63" overflow="visible" transform="matrix(1 0 0 -1 0 16.6)" width="16.4"><math alttext="\Phi_{\varepsilon}^{(t)}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.F2.pic1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1"><semantics id="S2.F2.pic1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1a"><msubsup id="S2.F2.pic1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.2" xref="S2.F2.pic1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.2.cmml"><mi id="S2.F2.pic1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.2.2.2" mathsize="90%" mathvariant="normal" xref="S2.F2.pic1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.2.2.2.cmml">Φ</mi><mi id="S2.F2.pic1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.2.2.3" mathsize="90%" xref="S2.F2.pic1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.2.2.3.cmml">ε</mi><mrow id="S2.F2.pic1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1.3" xref="S2.F2.pic1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.2.cmml"><mo id="S2.F2.pic1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1.3.1" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S2.F2.pic1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S2.F2.pic1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1.1" mathsize="90%" xref="S2.F2.pic1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1.1.cmml">t</mi><mo id="S2.F2.pic1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1.3.2" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S2.F2.pic1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.2.cmml">)</mo></mrow></msubsup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.F2.pic1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1b"><apply id="S2.F2.pic1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.2.cmml" xref="S2.F2.pic1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.F2.pic1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.2.1.cmml" xref="S2.F2.pic1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.2">superscript</csymbol><apply id="S2.F2.pic1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.2.2.cmml" xref="S2.F2.pic1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.F2.pic1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.2.2.1.cmml" xref="S2.F2.pic1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S2.F2.pic1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.2.2.2.cmml" xref="S2.F2.pic1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.2.2.2">Φ</ci><ci id="S2.F2.pic1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.2.2.3.cmml" xref="S2.F2.pic1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.2.2.3">𝜀</ci></apply><ci id="S2.F2.pic1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.F2.pic1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1.1">𝑡</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.F2.pic1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1c">\Phi_{\varepsilon}^{(t)}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.F2.pic1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1d">roman_Φ start_POSTSUBSCRIPT italic_ε end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_t ) end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math><span class="ltx_text" id="S2.F2.pic1.4.4.4.2.1" style="font-size:90%;"> Channel</span></foreignobject></g><g fill="#000000" stroke="#000000" transform="matrix(1.0 0.0 0.0 1.0 535.6 -111.96)"><foreignobject height="8.65" overflow="visible" transform="matrix(1 0 0 -1 0 16.6)" width="86.62"><span class="ltx_text" id="S2.F2.pic1.5.5.5.1.1" style="font-size:90%;">Tensor Network</span></foreignobject></g></g></svg> <figcaption class="ltx_caption ltx_centering"><span class="ltx_tag ltx_tag_figure">Figure 2: </span>Converting a random circuit ensemble <math alttext="\varepsilon" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.F2.6.m1.1"><semantics id="S2.F2.6.m1.1b"><mi id="S2.F2.6.m1.1.1" xref="S2.F2.6.m1.1.1.cmml">ε</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.F2.6.m1.1c"><ci id="S2.F2.6.m1.1.1.cmml" xref="S2.F2.6.m1.1.1">𝜀</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.F2.6.m1.1d">\varepsilon</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.F2.6.m1.1e">italic_ε</annotation></semantics></math> consisting of 2-local Haar random unitaries <math alttext="U_{i}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.F2.7.m2.1"><semantics id="S2.F2.7.m2.1b"><msub id="S2.F2.7.m2.1.1" xref="S2.F2.7.m2.1.1.cmml"><mi id="S2.F2.7.m2.1.1.2" xref="S2.F2.7.m2.1.1.2.cmml">U</mi><mi id="S2.F2.7.m2.1.1.3" xref="S2.F2.7.m2.1.1.3.cmml">i</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.F2.7.m2.1c"><apply id="S2.F2.7.m2.1.1.cmml" xref="S2.F2.7.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.F2.7.m2.1.1.1.cmml" xref="S2.F2.7.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.F2.7.m2.1.1.2.cmml" xref="S2.F2.7.m2.1.1.2">𝑈</ci><ci id="S2.F2.7.m2.1.1.3.cmml" xref="S2.F2.7.m2.1.1.3">𝑖</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.F2.7.m2.1d">U_{i}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.F2.7.m2.1e">italic_U start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> to its <math alttext="t" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.F2.8.m3.1"><semantics id="S2.F2.8.m3.1b"><mi id="S2.F2.8.m3.1.1" xref="S2.F2.8.m3.1.1.cmml">t</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.F2.8.m3.1c"><ci id="S2.F2.8.m3.1.1.cmml" xref="S2.F2.8.m3.1.1">𝑡</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.F2.8.m3.1d">t</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.F2.8.m3.1e">italic_t</annotation></semantics></math>-fold channel <math alttext="\Phi_{\varepsilon}^{(t)}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.F2.9.m4.1"><semantics id="S2.F2.9.m4.1b"><msubsup id="S2.F2.9.m4.1.2" xref="S2.F2.9.m4.1.2.cmml"><mi id="S2.F2.9.m4.1.2.2.2" mathvariant="normal" xref="S2.F2.9.m4.1.2.2.2.cmml">Φ</mi><mi id="S2.F2.9.m4.1.2.2.3" xref="S2.F2.9.m4.1.2.2.3.cmml">ε</mi><mrow id="S2.F2.9.m4.1.1.1.3" xref="S2.F2.9.m4.1.2.cmml"><mo id="S2.F2.9.m4.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S2.F2.9.m4.1.2.cmml">(</mo><mi id="S2.F2.9.m4.1.1.1.1" xref="S2.F2.9.m4.1.1.1.1.cmml">t</mi><mo id="S2.F2.9.m4.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S2.F2.9.m4.1.2.cmml">)</mo></mrow></msubsup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.F2.9.m4.1c"><apply id="S2.F2.9.m4.1.2.cmml" xref="S2.F2.9.m4.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.F2.9.m4.1.2.1.cmml" xref="S2.F2.9.m4.1.2">superscript</csymbol><apply id="S2.F2.9.m4.1.2.2.cmml" xref="S2.F2.9.m4.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.F2.9.m4.1.2.2.1.cmml" xref="S2.F2.9.m4.1.2">subscript</csymbol><ci id="S2.F2.9.m4.1.2.2.2.cmml" xref="S2.F2.9.m4.1.2.2.2">Φ</ci><ci id="S2.F2.9.m4.1.2.2.3.cmml" xref="S2.F2.9.m4.1.2.2.3">𝜀</ci></apply><ci id="S2.F2.9.m4.1.1.1.1.cmml" xref="S2.F2.9.m4.1.1.1.1">𝑡</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.F2.9.m4.1d">\Phi_{\varepsilon}^{(t)}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.F2.9.m4.1e">roman_Φ start_POSTSUBSCRIPT italic_ε end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_t ) end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>, which can be written as a tensor network of identical tensors <math alttext="G" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.F2.10.m5.1"><semantics id="S2.F2.10.m5.1b"><mi id="S2.F2.10.m5.1.1" xref="S2.F2.10.m5.1.1.cmml">G</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.F2.10.m5.1c"><ci id="S2.F2.10.m5.1.1.cmml" xref="S2.F2.10.m5.1.1">𝐺</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.F2.10.m5.1d">G</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.F2.10.m5.1e">italic_G</annotation></semantics></math> in the same position as the original unitaries.</figcaption> </figure> <div class="ltx_para" id="S2.SS2.p3"> <p class="ltx_p" id="S2.SS2.p3.1">The averaged tensors <math alttext="\left\langle U_{i}^{\otimes t,t}\right\rangle_{U_{i}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS2.p3.1.m1.3"><semantics id="S2.SS2.p3.1.m1.3a"><msub id="S2.SS2.p3.1.m1.3.3" xref="S2.SS2.p3.1.m1.3.3.cmml"><mrow id="S2.SS2.p3.1.m1.3.3.1.1" xref="S2.SS2.p3.1.m1.3.3.1.2.cmml"><mo id="S2.SS2.p3.1.m1.3.3.1.1.2" xref="S2.SS2.p3.1.m1.3.3.1.2.1.cmml">⟨</mo><msubsup id="S2.SS2.p3.1.m1.3.3.1.1.1" xref="S2.SS2.p3.1.m1.3.3.1.1.1.cmml"><mi id="S2.SS2.p3.1.m1.3.3.1.1.1.2.2" xref="S2.SS2.p3.1.m1.3.3.1.1.1.2.2.cmml">U</mi><mi id="S2.SS2.p3.1.m1.3.3.1.1.1.2.3" xref="S2.SS2.p3.1.m1.3.3.1.1.1.2.3.cmml">i</mi><mrow id="S2.SS2.p3.1.m1.2.2.2.2" xref="S2.SS2.p3.1.m1.2.2.2.3.cmml"><mrow id="S2.SS2.p3.1.m1.2.2.2.2.1" xref="S2.SS2.p3.1.m1.2.2.2.2.1.cmml"><mi id="S2.SS2.p3.1.m1.2.2.2.2.1.2" xref="S2.SS2.p3.1.m1.2.2.2.2.1.2.cmml"></mi><mo id="S2.SS2.p3.1.m1.2.2.2.2.1.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S2.SS2.p3.1.m1.2.2.2.2.1.1.cmml">⊗</mo><mi id="S2.SS2.p3.1.m1.2.2.2.2.1.3" xref="S2.SS2.p3.1.m1.2.2.2.2.1.3.cmml">t</mi></mrow><mo id="S2.SS2.p3.1.m1.2.2.2.2.2" xref="S2.SS2.p3.1.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S2.SS2.p3.1.m1.1.1.1.1" xref="S2.SS2.p3.1.m1.1.1.1.1.cmml">t</mi></mrow></msubsup><mo id="S2.SS2.p3.1.m1.3.3.1.1.3" xref="S2.SS2.p3.1.m1.3.3.1.2.1.cmml">⟩</mo></mrow><msub id="S2.SS2.p3.1.m1.3.3.3" xref="S2.SS2.p3.1.m1.3.3.3.cmml"><mi id="S2.SS2.p3.1.m1.3.3.3.2" xref="S2.SS2.p3.1.m1.3.3.3.2.cmml">U</mi><mi id="S2.SS2.p3.1.m1.3.3.3.3" xref="S2.SS2.p3.1.m1.3.3.3.3.cmml">i</mi></msub></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS2.p3.1.m1.3b"><apply id="S2.SS2.p3.1.m1.3.3.cmml" xref="S2.SS2.p3.1.m1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS2.p3.1.m1.3.3.2.cmml" xref="S2.SS2.p3.1.m1.3.3">subscript</csymbol><apply id="S2.SS2.p3.1.m1.3.3.1.2.cmml" xref="S2.SS2.p3.1.m1.3.3.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S2.SS2.p3.1.m1.3.3.1.2.1.cmml" xref="S2.SS2.p3.1.m1.3.3.1.1.2">delimited-⟨⟩</csymbol><apply id="S2.SS2.p3.1.m1.3.3.1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p3.1.m1.3.3.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS2.p3.1.m1.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p3.1.m1.3.3.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S2.SS2.p3.1.m1.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS2.p3.1.m1.3.3.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS2.p3.1.m1.3.3.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.SS2.p3.1.m1.3.3.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.SS2.p3.1.m1.3.3.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.SS2.p3.1.m1.3.3.1.1.1.2.2">𝑈</ci><ci id="S2.SS2.p3.1.m1.3.3.1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.SS2.p3.1.m1.3.3.1.1.1.2.3">𝑖</ci></apply><list id="S2.SS2.p3.1.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S2.SS2.p3.1.m1.2.2.2.2"><apply id="S2.SS2.p3.1.m1.2.2.2.2.1.cmml" xref="S2.SS2.p3.1.m1.2.2.2.2.1"><csymbol cd="latexml" id="S2.SS2.p3.1.m1.2.2.2.2.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p3.1.m1.2.2.2.2.1.1">tensor-product</csymbol><csymbol cd="latexml" id="S2.SS2.p3.1.m1.2.2.2.2.1.2.cmml" xref="S2.SS2.p3.1.m1.2.2.2.2.1.2">absent</csymbol><ci id="S2.SS2.p3.1.m1.2.2.2.2.1.3.cmml" xref="S2.SS2.p3.1.m1.2.2.2.2.1.3">𝑡</ci></apply><ci id="S2.SS2.p3.1.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p3.1.m1.1.1.1.1">𝑡</ci></list></apply></apply><apply id="S2.SS2.p3.1.m1.3.3.3.cmml" xref="S2.SS2.p3.1.m1.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS2.p3.1.m1.3.3.3.1.cmml" xref="S2.SS2.p3.1.m1.3.3.3">subscript</csymbol><ci id="S2.SS2.p3.1.m1.3.3.3.2.cmml" xref="S2.SS2.p3.1.m1.3.3.3.2">𝑈</ci><ci id="S2.SS2.p3.1.m1.3.3.3.3.cmml" xref="S2.SS2.p3.1.m1.3.3.3.3">𝑖</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS2.p3.1.m1.3c">\left\langle U_{i}^{\otimes t,t}\right\rangle_{U_{i}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS2.p3.1.m1.3d">⟨ italic_U start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ⊗ italic_t , italic_t end_POSTSUPERSCRIPT ⟩ start_POSTSUBSCRIPT italic_U start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> are projectors on to the commutant. Let us define the state</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_gather ltx_eqn_table" id="S6.EGx19"> <tbody id="S2.E19"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\displaystyle\ket{\sigma}=\frac{1}{\sqrt{q}^{t}}\sum_{\vec{i}\in\mathbb{Z}_{q}% ^{t}}\ket{\vec{i}}\otimes\ket{\sigma(\vec{i})}" class="ltx_Math" display="block" id="S2.E19.m1.3"><semantics id="S2.E19.m1.3a"><mrow id="S2.E19.m1.3.4" xref="S2.E19.m1.3.4.cmml"><mrow id="S2.E19.m1.1.1.3" xref="S2.E19.m1.1.1.2.cmml"><mo id="S2.E19.m1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S2.E19.m1.1.1.2.1.cmml">|</mo><mi id="S2.E19.m1.1.1.1.1" xref="S2.E19.m1.1.1.1.1.cmml">σ</mi><mo id="S2.E19.m1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S2.E19.m1.1.1.2.1.cmml">⟩</mo></mrow><mo id="S2.E19.m1.3.4.1" xref="S2.E19.m1.3.4.1.cmml">=</mo><mrow id="S2.E19.m1.3.4.2" xref="S2.E19.m1.3.4.2.cmml"><mfrac id="S2.E19.m1.3.4.2.2" xref="S2.E19.m1.3.4.2.2.cmml"><mn id="S2.E19.m1.3.4.2.2.2" xref="S2.E19.m1.3.4.2.2.2.cmml">1</mn><msup id="S2.E19.m1.3.4.2.2.3" xref="S2.E19.m1.3.4.2.2.3.cmml"><msqrt id="S2.E19.m1.3.4.2.2.3.2" xref="S2.E19.m1.3.4.2.2.3.2.cmml"><mi id="S2.E19.m1.3.4.2.2.3.2.2" xref="S2.E19.m1.3.4.2.2.3.2.2.cmml">q</mi></msqrt><mi id="S2.E19.m1.3.4.2.2.3.3" xref="S2.E19.m1.3.4.2.2.3.3.cmml">t</mi></msup></mfrac><mo id="S2.E19.m1.3.4.2.1" xref="S2.E19.m1.3.4.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E19.m1.3.4.2.3" xref="S2.E19.m1.3.4.2.3.cmml"><munder id="S2.E19.m1.3.4.2.3.1" xref="S2.E19.m1.3.4.2.3.1.cmml"><mo id="S2.E19.m1.3.4.2.3.1.2" movablelimits="false" rspace="0em" xref="S2.E19.m1.3.4.2.3.1.2.cmml">∑</mo><mrow id="S2.E19.m1.3.4.2.3.1.3" xref="S2.E19.m1.3.4.2.3.1.3.cmml"><mover accent="true" id="S2.E19.m1.3.4.2.3.1.3.2" xref="S2.E19.m1.3.4.2.3.1.3.2.cmml"><mi id="S2.E19.m1.3.4.2.3.1.3.2.2" xref="S2.E19.m1.3.4.2.3.1.3.2.2.cmml">i</mi><mo id="S2.E19.m1.3.4.2.3.1.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.E19.m1.3.4.2.3.1.3.2.1.cmml">→</mo></mover><mo id="S2.E19.m1.3.4.2.3.1.3.1" xref="S2.E19.m1.3.4.2.3.1.3.1.cmml">∈</mo><msubsup id="S2.E19.m1.3.4.2.3.1.3.3" xref="S2.E19.m1.3.4.2.3.1.3.3.cmml"><mi id="S2.E19.m1.3.4.2.3.1.3.3.2.2" xref="S2.E19.m1.3.4.2.3.1.3.3.2.2.cmml">ℤ</mi><mi id="S2.E19.m1.3.4.2.3.1.3.3.2.3" xref="S2.E19.m1.3.4.2.3.1.3.3.2.3.cmml">q</mi><mi id="S2.E19.m1.3.4.2.3.1.3.3.3" xref="S2.E19.m1.3.4.2.3.1.3.3.3.cmml">t</mi></msubsup></mrow></munder><mrow id="S2.E19.m1.3.4.2.3.2" xref="S2.E19.m1.3.4.2.3.2.cmml"><mrow id="S2.E19.m1.2.2.3" xref="S2.E19.m1.2.2.2.cmml"><mo id="S2.E19.m1.2.2.3.1" stretchy="false" xref="S2.E19.m1.2.2.2.1.cmml">|</mo><mover accent="true" id="S2.E19.m1.2.2.1.1" xref="S2.E19.m1.2.2.1.1.cmml"><mi id="S2.E19.m1.2.2.1.1.2" xref="S2.E19.m1.2.2.1.1.2.cmml">i</mi><mo id="S2.E19.m1.2.2.1.1.1" stretchy="false" xref="S2.E19.m1.2.2.1.1.1.cmml">→</mo></mover><mo id="S2.E19.m1.2.2.3.2" rspace="0.055em" stretchy="false" xref="S2.E19.m1.2.2.2.1.cmml">⟩</mo></mrow><mo id="S2.E19.m1.3.4.2.3.2.1" rspace="0.222em" xref="S2.E19.m1.3.4.2.3.2.1.cmml">⊗</mo><mrow id="S2.E19.m1.3.3.3" xref="S2.E19.m1.3.3.2.cmml"><mo id="S2.E19.m1.3.3.3.1" stretchy="false" xref="S2.E19.m1.3.3.2.1.cmml">|</mo><mrow id="S2.E19.m1.3.3.1.1" xref="S2.E19.m1.3.3.1.1.cmml"><mi id="S2.E19.m1.3.3.1.1.3" xref="S2.E19.m1.3.3.1.1.3.cmml">σ</mi><mo id="S2.E19.m1.3.3.1.1.2" xref="S2.E19.m1.3.3.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E19.m1.3.3.1.1.4.2" xref="S2.E19.m1.3.3.1.1.1.cmml"><mo id="S2.E19.m1.3.3.1.1.4.2.1" stretchy="false" xref="S2.E19.m1.3.3.1.1.1.cmml">(</mo><mover accent="true" id="S2.E19.m1.3.3.1.1.1" xref="S2.E19.m1.3.3.1.1.1.cmml"><mi id="S2.E19.m1.3.3.1.1.1.2" xref="S2.E19.m1.3.3.1.1.1.2.cmml">i</mi><mo id="S2.E19.m1.3.3.1.1.1.1" stretchy="false" xref="S2.E19.m1.3.3.1.1.1.1.cmml">→</mo></mover><mo id="S2.E19.m1.3.3.1.1.4.2.2" stretchy="false" xref="S2.E19.m1.3.3.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.E19.m1.3.3.3.2" stretchy="false" xref="S2.E19.m1.3.3.2.1.cmml">⟩</mo></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.E19.m1.3b"><apply id="S2.E19.m1.3.4.cmml" xref="S2.E19.m1.3.4"><eq id="S2.E19.m1.3.4.1.cmml" xref="S2.E19.m1.3.4.1"></eq><apply id="S2.E19.m1.1.1.2.cmml" xref="S2.E19.m1.1.1.3"><csymbol cd="latexml" id="S2.E19.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.E19.m1.1.1.3.1">ket</csymbol><ci id="S2.E19.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E19.m1.1.1.1.1">𝜎</ci></apply><apply id="S2.E19.m1.3.4.2.cmml" xref="S2.E19.m1.3.4.2"><times id="S2.E19.m1.3.4.2.1.cmml" xref="S2.E19.m1.3.4.2.1"></times><apply id="S2.E19.m1.3.4.2.2.cmml" xref="S2.E19.m1.3.4.2.2"><divide id="S2.E19.m1.3.4.2.2.1.cmml" xref="S2.E19.m1.3.4.2.2"></divide><cn id="S2.E19.m1.3.4.2.2.2.cmml" type="integer" xref="S2.E19.m1.3.4.2.2.2">1</cn><apply id="S2.E19.m1.3.4.2.2.3.cmml" xref="S2.E19.m1.3.4.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E19.m1.3.4.2.2.3.1.cmml" xref="S2.E19.m1.3.4.2.2.3">superscript</csymbol><apply id="S2.E19.m1.3.4.2.2.3.2.cmml" xref="S2.E19.m1.3.4.2.2.3.2"><root id="S2.E19.m1.3.4.2.2.3.2a.cmml" xref="S2.E19.m1.3.4.2.2.3.2"></root><ci id="S2.E19.m1.3.4.2.2.3.2.2.cmml" xref="S2.E19.m1.3.4.2.2.3.2.2">𝑞</ci></apply><ci id="S2.E19.m1.3.4.2.2.3.3.cmml" xref="S2.E19.m1.3.4.2.2.3.3">𝑡</ci></apply></apply><apply id="S2.E19.m1.3.4.2.3.cmml" xref="S2.E19.m1.3.4.2.3"><apply id="S2.E19.m1.3.4.2.3.1.cmml" xref="S2.E19.m1.3.4.2.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E19.m1.3.4.2.3.1.1.cmml" xref="S2.E19.m1.3.4.2.3.1">subscript</csymbol><sum id="S2.E19.m1.3.4.2.3.1.2.cmml" xref="S2.E19.m1.3.4.2.3.1.2"></sum><apply id="S2.E19.m1.3.4.2.3.1.3.cmml" xref="S2.E19.m1.3.4.2.3.1.3"><in id="S2.E19.m1.3.4.2.3.1.3.1.cmml" xref="S2.E19.m1.3.4.2.3.1.3.1"></in><apply id="S2.E19.m1.3.4.2.3.1.3.2.cmml" xref="S2.E19.m1.3.4.2.3.1.3.2"><ci id="S2.E19.m1.3.4.2.3.1.3.2.1.cmml" xref="S2.E19.m1.3.4.2.3.1.3.2.1">→</ci><ci id="S2.E19.m1.3.4.2.3.1.3.2.2.cmml" xref="S2.E19.m1.3.4.2.3.1.3.2.2">𝑖</ci></apply><apply id="S2.E19.m1.3.4.2.3.1.3.3.cmml" xref="S2.E19.m1.3.4.2.3.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E19.m1.3.4.2.3.1.3.3.1.cmml" xref="S2.E19.m1.3.4.2.3.1.3.3">superscript</csymbol><apply id="S2.E19.m1.3.4.2.3.1.3.3.2.cmml" xref="S2.E19.m1.3.4.2.3.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E19.m1.3.4.2.3.1.3.3.2.1.cmml" xref="S2.E19.m1.3.4.2.3.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S2.E19.m1.3.4.2.3.1.3.3.2.2.cmml" xref="S2.E19.m1.3.4.2.3.1.3.3.2.2">ℤ</ci><ci id="S2.E19.m1.3.4.2.3.1.3.3.2.3.cmml" xref="S2.E19.m1.3.4.2.3.1.3.3.2.3">𝑞</ci></apply><ci id="S2.E19.m1.3.4.2.3.1.3.3.3.cmml" xref="S2.E19.m1.3.4.2.3.1.3.3.3">𝑡</ci></apply></apply></apply><apply id="S2.E19.m1.3.4.2.3.2.cmml" xref="S2.E19.m1.3.4.2.3.2"><csymbol cd="latexml" id="S2.E19.m1.3.4.2.3.2.1.cmml" xref="S2.E19.m1.3.4.2.3.2.1">tensor-product</csymbol><apply id="S2.E19.m1.2.2.2.cmml" xref="S2.E19.m1.2.2.3"><csymbol cd="latexml" id="S2.E19.m1.2.2.2.1.cmml" xref="S2.E19.m1.2.2.3.1">ket</csymbol><apply id="S2.E19.m1.2.2.1.1.cmml" xref="S2.E19.m1.2.2.1.1"><ci id="S2.E19.m1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S2.E19.m1.2.2.1.1.1">→</ci><ci id="S2.E19.m1.2.2.1.1.2.cmml" xref="S2.E19.m1.2.2.1.1.2">𝑖</ci></apply></apply><apply id="S2.E19.m1.3.3.2.cmml" xref="S2.E19.m1.3.3.3"><csymbol cd="latexml" id="S2.E19.m1.3.3.2.1.cmml" xref="S2.E19.m1.3.3.3.1">ket</csymbol><apply id="S2.E19.m1.3.3.1.1.cmml" xref="S2.E19.m1.3.3.1.1"><times id="S2.E19.m1.3.3.1.1.2.cmml" xref="S2.E19.m1.3.3.1.1.2"></times><ci id="S2.E19.m1.3.3.1.1.3.cmml" xref="S2.E19.m1.3.3.1.1.3">𝜎</ci><apply id="S2.E19.m1.3.3.1.1.1.cmml" xref="S2.E19.m1.3.3.1.1.4.2"><ci id="S2.E19.m1.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E19.m1.3.3.1.1.1.1">→</ci><ci id="S2.E19.m1.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E19.m1.3.3.1.1.1.2">𝑖</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.E19.m1.3c">\displaystyle\ket{\sigma}=\frac{1}{\sqrt{q}^{t}}\sum_{\vec{i}\in\mathbb{Z}_{q}% ^{t}}\ket{\vec{i}}\otimes\ket{\sigma(\vec{i})}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.E19.m1.3d">| start_ARG italic_σ end_ARG ⟩ = divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG square-root start_ARG italic_q end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT italic_t end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG ∑ start_POSTSUBSCRIPT over→ start_ARG italic_i end_ARG ∈ blackboard_Z start_POSTSUBSCRIPT italic_q end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_t end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT | start_ARG over→ start_ARG italic_i end_ARG end_ARG ⟩ ⊗ | start_ARG italic_σ ( over→ start_ARG italic_i end_ARG ) end_ARG ⟩</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(19)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S2.SS2.p3.5">where <math alttext="\sigma" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS2.p3.2.m1.1"><semantics id="S2.SS2.p3.2.m1.1a"><mi id="S2.SS2.p3.2.m1.1.1" xref="S2.SS2.p3.2.m1.1.1.cmml">σ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS2.p3.2.m1.1b"><ci id="S2.SS2.p3.2.m1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p3.2.m1.1.1">𝜎</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS2.p3.2.m1.1c">\sigma</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS2.p3.2.m1.1d">italic_σ</annotation></semantics></math> is some permutation in the symmetric group <math alttext="S_{t}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS2.p3.3.m2.1"><semantics id="S2.SS2.p3.3.m2.1a"><msub id="S2.SS2.p3.3.m2.1.1" xref="S2.SS2.p3.3.m2.1.1.cmml"><mi id="S2.SS2.p3.3.m2.1.1.2" xref="S2.SS2.p3.3.m2.1.1.2.cmml">S</mi><mi id="S2.SS2.p3.3.m2.1.1.3" xref="S2.SS2.p3.3.m2.1.1.3.cmml">t</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS2.p3.3.m2.1b"><apply id="S2.SS2.p3.3.m2.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p3.3.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS2.p3.3.m2.1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p3.3.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.SS2.p3.3.m2.1.1.2.cmml" xref="S2.SS2.p3.3.m2.1.1.2">𝑆</ci><ci id="S2.SS2.p3.3.m2.1.1.3.cmml" xref="S2.SS2.p3.3.m2.1.1.3">𝑡</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS2.p3.3.m2.1c">S_{t}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS2.p3.3.m2.1d">italic_S start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>. The permutation <math alttext="\sigma" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS2.p3.4.m3.1"><semantics id="S2.SS2.p3.4.m3.1a"><mi id="S2.SS2.p3.4.m3.1.1" xref="S2.SS2.p3.4.m3.1.1.cmml">σ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS2.p3.4.m3.1b"><ci id="S2.SS2.p3.4.m3.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p3.4.m3.1.1">𝜎</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS2.p3.4.m3.1c">\sigma</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS2.p3.4.m3.1d">italic_σ</annotation></semantics></math> acts on the multi-index <math alttext="\vec{i}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS2.p3.5.m4.1"><semantics id="S2.SS2.p3.5.m4.1a"><mover accent="true" id="S2.SS2.p3.5.m4.1.1" xref="S2.SS2.p3.5.m4.1.1.cmml"><mi id="S2.SS2.p3.5.m4.1.1.2" xref="S2.SS2.p3.5.m4.1.1.2.cmml">i</mi><mo id="S2.SS2.p3.5.m4.1.1.1" stretchy="false" xref="S2.SS2.p3.5.m4.1.1.1.cmml">→</mo></mover><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS2.p3.5.m4.1b"><apply id="S2.SS2.p3.5.m4.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p3.5.m4.1.1"><ci id="S2.SS2.p3.5.m4.1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p3.5.m4.1.1.1">→</ci><ci id="S2.SS2.p3.5.m4.1.1.2.cmml" xref="S2.SS2.p3.5.m4.1.1.2">𝑖</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS2.p3.5.m4.1c">\vec{i}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS2.p3.5.m4.1d">over→ start_ARG italic_i end_ARG</annotation></semantics></math> by reordering its elements. In terms of these states, the moment operator corresponding to a random 2-site gate may be written</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_gather ltx_eqn_table" id="S6.EGx20"> <tbody id="S2.E20"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\displaystyle G\equiv\left\langle U_{i}^{\otimes t,t}\right\rangle=\sum_{% \sigma\in S_{t}}\text{Wg}(\sigma^{-1}\tau,q^{2})\ket{\sigma}^{(t)\otimes 2}% \bra{\tau}^{(t)\otimes 2}" class="ltx_Math" display="block" id="S2.E20.m1.9"><semantics id="S2.E20.m1.9a"><mrow id="S2.E20.m1.9.9" xref="S2.E20.m1.9.9.cmml"><mi id="S2.E20.m1.9.9.5" xref="S2.E20.m1.9.9.5.cmml">G</mi><mo id="S2.E20.m1.9.9.6" xref="S2.E20.m1.9.9.6.cmml">≡</mo><mrow id="S2.E20.m1.7.7.1.1" xref="S2.E20.m1.7.7.1.2.cmml"><mo id="S2.E20.m1.7.7.1.1.2" xref="S2.E20.m1.7.7.1.2.1.cmml">⟨</mo><msubsup id="S2.E20.m1.7.7.1.1.1" xref="S2.E20.m1.7.7.1.1.1.cmml"><mi id="S2.E20.m1.7.7.1.1.1.2.2" xref="S2.E20.m1.7.7.1.1.1.2.2.cmml">U</mi><mi id="S2.E20.m1.7.7.1.1.1.2.3" xref="S2.E20.m1.7.7.1.1.1.2.3.cmml">i</mi><mrow id="S2.E20.m1.4.4.2.2" xref="S2.E20.m1.4.4.2.3.cmml"><mrow id="S2.E20.m1.4.4.2.2.1" xref="S2.E20.m1.4.4.2.2.1.cmml"><mi id="S2.E20.m1.4.4.2.2.1.2" xref="S2.E20.m1.4.4.2.2.1.2.cmml"></mi><mo id="S2.E20.m1.4.4.2.2.1.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S2.E20.m1.4.4.2.2.1.1.cmml">⊗</mo><mi id="S2.E20.m1.4.4.2.2.1.3" xref="S2.E20.m1.4.4.2.2.1.3.cmml">t</mi></mrow><mo id="S2.E20.m1.4.4.2.2.2" xref="S2.E20.m1.4.4.2.3.cmml">,</mo><mi id="S2.E20.m1.3.3.1.1" xref="S2.E20.m1.3.3.1.1.cmml">t</mi></mrow></msubsup><mo id="S2.E20.m1.7.7.1.1.3" xref="S2.E20.m1.7.7.1.2.1.cmml">⟩</mo></mrow><mo id="S2.E20.m1.9.9.7" rspace="0.111em" xref="S2.E20.m1.9.9.7.cmml">=</mo><mrow id="S2.E20.m1.9.9.3" xref="S2.E20.m1.9.9.3.cmml"><munder id="S2.E20.m1.9.9.3.3" xref="S2.E20.m1.9.9.3.3.cmml"><mo id="S2.E20.m1.9.9.3.3.2" movablelimits="false" xref="S2.E20.m1.9.9.3.3.2.cmml">∑</mo><mrow id="S2.E20.m1.9.9.3.3.3" xref="S2.E20.m1.9.9.3.3.3.cmml"><mi id="S2.E20.m1.9.9.3.3.3.2" xref="S2.E20.m1.9.9.3.3.3.2.cmml">σ</mi><mo id="S2.E20.m1.9.9.3.3.3.1" xref="S2.E20.m1.9.9.3.3.3.1.cmml">∈</mo><msub id="S2.E20.m1.9.9.3.3.3.3" xref="S2.E20.m1.9.9.3.3.3.3.cmml"><mi id="S2.E20.m1.9.9.3.3.3.3.2" xref="S2.E20.m1.9.9.3.3.3.3.2.cmml">S</mi><mi id="S2.E20.m1.9.9.3.3.3.3.3" xref="S2.E20.m1.9.9.3.3.3.3.3.cmml">t</mi></msub></mrow></munder><mrow id="S2.E20.m1.9.9.3.2" xref="S2.E20.m1.9.9.3.2.cmml"><mtext id="S2.E20.m1.9.9.3.2.4" xref="S2.E20.m1.9.9.3.2.4a.cmml">Wg</mtext><mo id="S2.E20.m1.9.9.3.2.3" xref="S2.E20.m1.9.9.3.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E20.m1.9.9.3.2.2.2" xref="S2.E20.m1.9.9.3.2.2.3.cmml"><mo id="S2.E20.m1.9.9.3.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S2.E20.m1.9.9.3.2.2.3.cmml">(</mo><mrow id="S2.E20.m1.8.8.2.1.1.1.1" xref="S2.E20.m1.8.8.2.1.1.1.1.cmml"><msup id="S2.E20.m1.8.8.2.1.1.1.1.2" xref="S2.E20.m1.8.8.2.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S2.E20.m1.8.8.2.1.1.1.1.2.2" xref="S2.E20.m1.8.8.2.1.1.1.1.2.2.cmml">σ</mi><mrow id="S2.E20.m1.8.8.2.1.1.1.1.2.3" xref="S2.E20.m1.8.8.2.1.1.1.1.2.3.cmml"><mo id="S2.E20.m1.8.8.2.1.1.1.1.2.3a" xref="S2.E20.m1.8.8.2.1.1.1.1.2.3.cmml">−</mo><mn id="S2.E20.m1.8.8.2.1.1.1.1.2.3.2" xref="S2.E20.m1.8.8.2.1.1.1.1.2.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="S2.E20.m1.8.8.2.1.1.1.1.1" xref="S2.E20.m1.8.8.2.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E20.m1.8.8.2.1.1.1.1.3" xref="S2.E20.m1.8.8.2.1.1.1.1.3.cmml">τ</mi></mrow><mo id="S2.E20.m1.9.9.3.2.2.2.4" xref="S2.E20.m1.9.9.3.2.2.3.cmml">,</mo><msup id="S2.E20.m1.9.9.3.2.2.2.2" xref="S2.E20.m1.9.9.3.2.2.2.2.cmml"><mi id="S2.E20.m1.9.9.3.2.2.2.2.2" xref="S2.E20.m1.9.9.3.2.2.2.2.2.cmml">q</mi><mn id="S2.E20.m1.9.9.3.2.2.2.2.3" xref="S2.E20.m1.9.9.3.2.2.2.2.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S2.E20.m1.9.9.3.2.2.2.5" stretchy="false" xref="S2.E20.m1.9.9.3.2.2.3.cmml">)</mo></mrow><mo id="S2.E20.m1.9.9.3.2.3a" xref="S2.E20.m1.9.9.3.2.3.cmml">⁢</mo><msup id="S2.E20.m1.9.9.3.2.5" xref="S2.E20.m1.9.9.3.2.5.cmml"><mrow id="S2.E20.m1.1.1.3" xref="S2.E20.m1.1.1.2.cmml"><mo id="S2.E20.m1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S2.E20.m1.1.1.2.1.cmml">|</mo><mi id="S2.E20.m1.1.1.1.1" xref="S2.E20.m1.1.1.1.1.cmml">σ</mi><mo id="S2.E20.m1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S2.E20.m1.1.1.2.1.cmml">⟩</mo></mrow><mrow id="S2.E20.m1.5.5.1" xref="S2.E20.m1.5.5.1.cmml"><mrow id="S2.E20.m1.5.5.1.3.2" xref="S2.E20.m1.5.5.1.cmml"><mo id="S2.E20.m1.5.5.1.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.E20.m1.5.5.1.cmml">(</mo><mi id="S2.E20.m1.5.5.1.1" xref="S2.E20.m1.5.5.1.1.cmml">t</mi><mo id="S2.E20.m1.5.5.1.3.2.2" rspace="0.055em" stretchy="false" xref="S2.E20.m1.5.5.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S2.E20.m1.5.5.1.2" rspace="0.222em" xref="S2.E20.m1.5.5.1.2.cmml">⊗</mo><mn id="S2.E20.m1.5.5.1.4" xref="S2.E20.m1.5.5.1.4.cmml">2</mn></mrow></msup><mo id="S2.E20.m1.9.9.3.2.3b" xref="S2.E20.m1.9.9.3.2.3.cmml">⁢</mo><msup id="S2.E20.m1.9.9.3.2.6" xref="S2.E20.m1.9.9.3.2.6.cmml"><mrow id="S2.E20.m1.2.2.3" xref="S2.E20.m1.2.2.2.cmml"><mo id="S2.E20.m1.2.2.3.1" stretchy="false" xref="S2.E20.m1.2.2.2.1.cmml">⟨</mo><mi id="S2.E20.m1.2.2.1.1" xref="S2.E20.m1.2.2.1.1.cmml">τ</mi><mo id="S2.E20.m1.2.2.3.2" stretchy="false" xref="S2.E20.m1.2.2.2.1.cmml">|</mo></mrow><mrow id="S2.E20.m1.6.6.1" xref="S2.E20.m1.6.6.1.cmml"><mrow id="S2.E20.m1.6.6.1.3.2" xref="S2.E20.m1.6.6.1.cmml"><mo id="S2.E20.m1.6.6.1.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.E20.m1.6.6.1.cmml">(</mo><mi id="S2.E20.m1.6.6.1.1" xref="S2.E20.m1.6.6.1.1.cmml">t</mi><mo id="S2.E20.m1.6.6.1.3.2.2" rspace="0.055em" stretchy="false" xref="S2.E20.m1.6.6.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S2.E20.m1.6.6.1.2" rspace="0.222em" xref="S2.E20.m1.6.6.1.2.cmml">⊗</mo><mn id="S2.E20.m1.6.6.1.4" xref="S2.E20.m1.6.6.1.4.cmml">2</mn></mrow></msup></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.E20.m1.9b"><apply id="S2.E20.m1.9.9.cmml" xref="S2.E20.m1.9.9"><and id="S2.E20.m1.9.9a.cmml" xref="S2.E20.m1.9.9"></and><apply id="S2.E20.m1.9.9b.cmml" xref="S2.E20.m1.9.9"><equivalent id="S2.E20.m1.9.9.6.cmml" xref="S2.E20.m1.9.9.6"></equivalent><ci id="S2.E20.m1.9.9.5.cmml" xref="S2.E20.m1.9.9.5">𝐺</ci><apply id="S2.E20.m1.7.7.1.2.cmml" xref="S2.E20.m1.7.7.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S2.E20.m1.7.7.1.2.1.cmml" xref="S2.E20.m1.7.7.1.1.2">delimited-⟨⟩</csymbol><apply id="S2.E20.m1.7.7.1.1.1.cmml" xref="S2.E20.m1.7.7.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E20.m1.7.7.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E20.m1.7.7.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S2.E20.m1.7.7.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E20.m1.7.7.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E20.m1.7.7.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.E20.m1.7.7.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.E20.m1.7.7.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.E20.m1.7.7.1.1.1.2.2">𝑈</ci><ci id="S2.E20.m1.7.7.1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.E20.m1.7.7.1.1.1.2.3">𝑖</ci></apply><list id="S2.E20.m1.4.4.2.3.cmml" xref="S2.E20.m1.4.4.2.2"><apply id="S2.E20.m1.4.4.2.2.1.cmml" xref="S2.E20.m1.4.4.2.2.1"><csymbol cd="latexml" id="S2.E20.m1.4.4.2.2.1.1.cmml" xref="S2.E20.m1.4.4.2.2.1.1">tensor-product</csymbol><csymbol cd="latexml" id="S2.E20.m1.4.4.2.2.1.2.cmml" xref="S2.E20.m1.4.4.2.2.1.2">absent</csymbol><ci id="S2.E20.m1.4.4.2.2.1.3.cmml" xref="S2.E20.m1.4.4.2.2.1.3">𝑡</ci></apply><ci id="S2.E20.m1.3.3.1.1.cmml" xref="S2.E20.m1.3.3.1.1">𝑡</ci></list></apply></apply></apply><apply id="S2.E20.m1.9.9c.cmml" xref="S2.E20.m1.9.9"><eq id="S2.E20.m1.9.9.7.cmml" xref="S2.E20.m1.9.9.7"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#S2.E20.m1.7.7.1.cmml" id="S2.E20.m1.9.9d.cmml" xref="S2.E20.m1.9.9"></share><apply id="S2.E20.m1.9.9.3.cmml" xref="S2.E20.m1.9.9.3"><apply id="S2.E20.m1.9.9.3.3.cmml" xref="S2.E20.m1.9.9.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E20.m1.9.9.3.3.1.cmml" xref="S2.E20.m1.9.9.3.3">subscript</csymbol><sum id="S2.E20.m1.9.9.3.3.2.cmml" xref="S2.E20.m1.9.9.3.3.2"></sum><apply id="S2.E20.m1.9.9.3.3.3.cmml" xref="S2.E20.m1.9.9.3.3.3"><in id="S2.E20.m1.9.9.3.3.3.1.cmml" xref="S2.E20.m1.9.9.3.3.3.1"></in><ci id="S2.E20.m1.9.9.3.3.3.2.cmml" xref="S2.E20.m1.9.9.3.3.3.2">𝜎</ci><apply id="S2.E20.m1.9.9.3.3.3.3.cmml" xref="S2.E20.m1.9.9.3.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E20.m1.9.9.3.3.3.3.1.cmml" xref="S2.E20.m1.9.9.3.3.3.3">subscript</csymbol><ci id="S2.E20.m1.9.9.3.3.3.3.2.cmml" xref="S2.E20.m1.9.9.3.3.3.3.2">𝑆</ci><ci id="S2.E20.m1.9.9.3.3.3.3.3.cmml" xref="S2.E20.m1.9.9.3.3.3.3.3">𝑡</ci></apply></apply></apply><apply id="S2.E20.m1.9.9.3.2.cmml" xref="S2.E20.m1.9.9.3.2"><times id="S2.E20.m1.9.9.3.2.3.cmml" xref="S2.E20.m1.9.9.3.2.3"></times><ci id="S2.E20.m1.9.9.3.2.4a.cmml" xref="S2.E20.m1.9.9.3.2.4"><mtext id="S2.E20.m1.9.9.3.2.4.cmml" xref="S2.E20.m1.9.9.3.2.4">Wg</mtext></ci><interval closure="open" id="S2.E20.m1.9.9.3.2.2.3.cmml" xref="S2.E20.m1.9.9.3.2.2.2"><apply id="S2.E20.m1.8.8.2.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E20.m1.8.8.2.1.1.1.1"><times id="S2.E20.m1.8.8.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E20.m1.8.8.2.1.1.1.1.1"></times><apply id="S2.E20.m1.8.8.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E20.m1.8.8.2.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E20.m1.8.8.2.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.E20.m1.8.8.2.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S2.E20.m1.8.8.2.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.E20.m1.8.8.2.1.1.1.1.2.2">𝜎</ci><apply id="S2.E20.m1.8.8.2.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.E20.m1.8.8.2.1.1.1.1.2.3"><minus id="S2.E20.m1.8.8.2.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S2.E20.m1.8.8.2.1.1.1.1.2.3"></minus><cn id="S2.E20.m1.8.8.2.1.1.1.1.2.3.2.cmml" type="integer" xref="S2.E20.m1.8.8.2.1.1.1.1.2.3.2">1</cn></apply></apply><ci id="S2.E20.m1.8.8.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E20.m1.8.8.2.1.1.1.1.3">𝜏</ci></apply><apply id="S2.E20.m1.9.9.3.2.2.2.2.cmml" xref="S2.E20.m1.9.9.3.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E20.m1.9.9.3.2.2.2.2.1.cmml" xref="S2.E20.m1.9.9.3.2.2.2.2">superscript</csymbol><ci id="S2.E20.m1.9.9.3.2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.E20.m1.9.9.3.2.2.2.2.2">𝑞</ci><cn id="S2.E20.m1.9.9.3.2.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S2.E20.m1.9.9.3.2.2.2.2.3">2</cn></apply></interval><apply id="S2.E20.m1.9.9.3.2.5.cmml" xref="S2.E20.m1.9.9.3.2.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E20.m1.9.9.3.2.5.1.cmml" xref="S2.E20.m1.9.9.3.2.5">superscript</csymbol><apply id="S2.E20.m1.1.1.2.cmml" xref="S2.E20.m1.1.1.3"><csymbol cd="latexml" id="S2.E20.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.E20.m1.1.1.3.1">ket</csymbol><ci id="S2.E20.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E20.m1.1.1.1.1">𝜎</ci></apply><apply id="S2.E20.m1.5.5.1.cmml" xref="S2.E20.m1.5.5.1"><csymbol cd="latexml" id="S2.E20.m1.5.5.1.2.cmml" xref="S2.E20.m1.5.5.1.2">tensor-product</csymbol><ci id="S2.E20.m1.5.5.1.1.cmml" xref="S2.E20.m1.5.5.1.1">𝑡</ci><cn id="S2.E20.m1.5.5.1.4.cmml" type="integer" xref="S2.E20.m1.5.5.1.4">2</cn></apply></apply><apply id="S2.E20.m1.9.9.3.2.6.cmml" xref="S2.E20.m1.9.9.3.2.6"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E20.m1.9.9.3.2.6.1.cmml" xref="S2.E20.m1.9.9.3.2.6">superscript</csymbol><apply id="S2.E20.m1.2.2.2.cmml" xref="S2.E20.m1.2.2.3"><csymbol cd="latexml" id="S2.E20.m1.2.2.2.1.cmml" xref="S2.E20.m1.2.2.3.1">bra</csymbol><ci id="S2.E20.m1.2.2.1.1.cmml" xref="S2.E20.m1.2.2.1.1">𝜏</ci></apply><apply id="S2.E20.m1.6.6.1.cmml" xref="S2.E20.m1.6.6.1"><csymbol cd="latexml" id="S2.E20.m1.6.6.1.2.cmml" xref="S2.E20.m1.6.6.1.2">tensor-product</csymbol><ci id="S2.E20.m1.6.6.1.1.cmml" xref="S2.E20.m1.6.6.1.1">𝑡</ci><cn id="S2.E20.m1.6.6.1.4.cmml" type="integer" xref="S2.E20.m1.6.6.1.4">2</cn></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.E20.m1.9c">\displaystyle G\equiv\left\langle U_{i}^{\otimes t,t}\right\rangle=\sum_{% \sigma\in S_{t}}\text{Wg}(\sigma^{-1}\tau,q^{2})\ket{\sigma}^{(t)\otimes 2}% \bra{\tau}^{(t)\otimes 2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.E20.m1.9d">italic_G ≡ ⟨ italic_U start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ⊗ italic_t , italic_t end_POSTSUPERSCRIPT ⟩ = ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_σ ∈ italic_S start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT Wg ( italic_σ start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT italic_τ , italic_q start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ) | start_ARG italic_σ end_ARG ⟩ start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_t ) ⊗ 2 end_POSTSUPERSCRIPT ⟨ start_ARG italic_τ end_ARG | start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_t ) ⊗ 2 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(20)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S2.SS2.p3.7">where <span class="ltx_text ltx_markedasmath" id="S2.SS2.p3.7.1">Wg</span> is the Weingarten function defined in ref. <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_citep"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#bib.bib19" title="">19</a></cite>, multiplied by a pseudo-normalizing<span class="ltx_note ltx_role_footnote" id="footnote2"><sup class="ltx_note_mark">2</sup><span class="ltx_note_outer"><span class="ltx_note_content"><sup class="ltx_note_mark">2</sup><span class="ltx_tag ltx_tag_note">2</span>In this paper we define the Weingarten function with an extra factor of <math alttext="d^{t}" class="ltx_Math" display="inline" id="footnote2.m1.1"><semantics id="footnote2.m1.1b"><msup id="footnote2.m1.1.1" xref="footnote2.m1.1.1.cmml"><mi id="footnote2.m1.1.1.2" xref="footnote2.m1.1.1.2.cmml">d</mi><mi id="footnote2.m1.1.1.3" xref="footnote2.m1.1.1.3.cmml">t</mi></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="footnote2.m1.1c"><apply id="footnote2.m1.1.1.cmml" xref="footnote2.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="footnote2.m1.1.1.1.cmml" xref="footnote2.m1.1.1">superscript</csymbol><ci id="footnote2.m1.1.1.2.cmml" xref="footnote2.m1.1.1.2">𝑑</ci><ci id="footnote2.m1.1.1.3.cmml" xref="footnote2.m1.1.1.3">𝑡</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="footnote2.m1.1d">d^{t}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="footnote2.m1.1e">italic_d start_POSTSUPERSCRIPT italic_t end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> compared to the traditional definition. We call this the <span class="ltx_text ltx_font_italic" id="footnote2.1">pseudo-normalized</span> version of the Weingarten function, because this way <math alttext="\text{Wg}(\mathbb{I},q)" class="ltx_Math" display="inline" id="footnote2.m2.2"><semantics id="footnote2.m2.2b"><mrow id="footnote2.m2.2.3" xref="footnote2.m2.2.3.cmml"><mtext id="footnote2.m2.2.3.2" xref="footnote2.m2.2.3.2a.cmml">Wg</mtext><mo id="footnote2.m2.2.3.1" xref="footnote2.m2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="footnote2.m2.2.3.3.2" xref="footnote2.m2.2.3.3.1.cmml"><mo id="footnote2.m2.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="footnote2.m2.2.3.3.1.cmml">(</mo><mi id="footnote2.m2.1.1" xref="footnote2.m2.1.1.cmml">𝕀</mi><mo id="footnote2.m2.2.3.3.2.2" xref="footnote2.m2.2.3.3.1.cmml">,</mo><mi id="footnote2.m2.2.2" xref="footnote2.m2.2.2.cmml">q</mi><mo id="footnote2.m2.2.3.3.2.3" stretchy="false" xref="footnote2.m2.2.3.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="footnote2.m2.2c"><apply id="footnote2.m2.2.3.cmml" xref="footnote2.m2.2.3"><times id="footnote2.m2.2.3.1.cmml" xref="footnote2.m2.2.3.1"></times><ci id="footnote2.m2.2.3.2a.cmml" xref="footnote2.m2.2.3.2"><mtext id="footnote2.m2.2.3.2.cmml" xref="footnote2.m2.2.3.2">Wg</mtext></ci><interval closure="open" id="footnote2.m2.2.3.3.1.cmml" xref="footnote2.m2.2.3.3.2"><ci id="footnote2.m2.1.1.cmml" xref="footnote2.m2.1.1">𝕀</ci><ci id="footnote2.m2.2.2.cmml" xref="footnote2.m2.2.2">𝑞</ci></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="footnote2.m2.2d">\text{Wg}(\mathbb{I},q)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="footnote2.m2.2e">Wg ( blackboard_I , italic_q )</annotation></semantics></math> approaches <math alttext="1" class="ltx_Math" display="inline" id="footnote2.m3.1"><semantics id="footnote2.m3.1b"><mn id="footnote2.m3.1.1" xref="footnote2.m3.1.1.cmml">1</mn><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="footnote2.m3.1c"><cn id="footnote2.m3.1.1.cmml" type="integer" xref="footnote2.m3.1.1">1</cn></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="footnote2.m3.1d">1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="footnote2.m3.1e">1</annotation></semantics></math> as <math alttext="d\rightarrow\infty" class="ltx_Math" display="inline" id="footnote2.m4.1"><semantics id="footnote2.m4.1b"><mrow id="footnote2.m4.1.1" xref="footnote2.m4.1.1.cmml"><mi id="footnote2.m4.1.1.2" xref="footnote2.m4.1.1.2.cmml">d</mi><mo id="footnote2.m4.1.1.1" stretchy="false" xref="footnote2.m4.1.1.1.cmml">→</mo><mi id="footnote2.m4.1.1.3" mathvariant="normal" xref="footnote2.m4.1.1.3.cmml">∞</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="footnote2.m4.1c"><apply id="footnote2.m4.1.1.cmml" xref="footnote2.m4.1.1"><ci id="footnote2.m4.1.1.1.cmml" xref="footnote2.m4.1.1.1">→</ci><ci id="footnote2.m4.1.1.2.cmml" xref="footnote2.m4.1.1.2">𝑑</ci><infinity id="footnote2.m4.1.1.3.cmml" xref="footnote2.m4.1.1.3"></infinity></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="footnote2.m4.1d">d\rightarrow\infty</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="footnote2.m4.1e">italic_d → ∞</annotation></semantics></math>.</span></span></span> factor <math alttext="d^{t}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS2.p3.7.m2.1"><semantics id="S2.SS2.p3.7.m2.1a"><msup id="S2.SS2.p3.7.m2.1.1" xref="S2.SS2.p3.7.m2.1.1.cmml"><mi id="S2.SS2.p3.7.m2.1.1.2" xref="S2.SS2.p3.7.m2.1.1.2.cmml">d</mi><mi id="S2.SS2.p3.7.m2.1.1.3" xref="S2.SS2.p3.7.m2.1.1.3.cmml">t</mi></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS2.p3.7.m2.1b"><apply id="S2.SS2.p3.7.m2.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p3.7.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS2.p3.7.m2.1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p3.7.m2.1.1">superscript</csymbol><ci id="S2.SS2.p3.7.m2.1.1.2.cmml" xref="S2.SS2.p3.7.m2.1.1.2">𝑑</ci><ci id="S2.SS2.p3.7.m2.1.1.3.cmml" xref="S2.SS2.p3.7.m2.1.1.3">𝑡</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS2.p3.7.m2.1c">d^{t}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS2.p3.7.m2.1d">italic_d start_POSTSUPERSCRIPT italic_t end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>. It will also be useful to note that</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S2.Ex1"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\braket{\sigma}{\tau}=q^{-|\sigma^{-1}\tau|}" class="ltx_Math" display="block" id="S2.Ex1.m1.3"><semantics id="S2.Ex1.m1.3a"><mrow id="S2.Ex1.m1.3.4" xref="S2.Ex1.m1.3.4.cmml"><mrow id="S2.Ex1.m1.2.2.4" xref="S2.Ex1.m1.2.2.3.cmml"><mo id="S2.Ex1.m1.2.2.4.1" stretchy="false" xref="S2.Ex1.m1.2.2.3.1.cmml">⟨</mo><mi id="S2.Ex1.m1.1.1.1.1" xref="S2.Ex1.m1.1.1.1.1.cmml">σ</mi><mo id="S2.Ex1.m1.2.2.4.2" lspace="0.170em" rspace="0.170em" xref="S2.Ex1.m1.2.2.3.1.cmml">|</mo><mi id="S2.Ex1.m1.2.2.2.2" xref="S2.Ex1.m1.2.2.2.2.cmml">τ</mi><mo id="S2.Ex1.m1.2.2.4.3" stretchy="false" xref="S2.Ex1.m1.2.2.3.1.cmml">⟩</mo></mrow><mo id="S2.Ex1.m1.3.4.1" xref="S2.Ex1.m1.3.4.1.cmml">=</mo><msup id="S2.Ex1.m1.3.4.2" xref="S2.Ex1.m1.3.4.2.cmml"><mi id="S2.Ex1.m1.3.4.2.2" xref="S2.Ex1.m1.3.4.2.2.cmml">q</mi><mrow id="S2.Ex1.m1.3.3.1" xref="S2.Ex1.m1.3.3.1.cmml"><mo id="S2.Ex1.m1.3.3.1a" xref="S2.Ex1.m1.3.3.1.cmml">−</mo><mrow id="S2.Ex1.m1.3.3.1.1.1" xref="S2.Ex1.m1.3.3.1.1.2.cmml"><mo id="S2.Ex1.m1.3.3.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.Ex1.m1.3.3.1.1.2.1.cmml">|</mo><mrow id="S2.Ex1.m1.3.3.1.1.1.1" xref="S2.Ex1.m1.3.3.1.1.1.1.cmml"><msup id="S2.Ex1.m1.3.3.1.1.1.1.2" xref="S2.Ex1.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S2.Ex1.m1.3.3.1.1.1.1.2.2" xref="S2.Ex1.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.cmml">σ</mi><mrow id="S2.Ex1.m1.3.3.1.1.1.1.2.3" xref="S2.Ex1.m1.3.3.1.1.1.1.2.3.cmml"><mo id="S2.Ex1.m1.3.3.1.1.1.1.2.3a" xref="S2.Ex1.m1.3.3.1.1.1.1.2.3.cmml">−</mo><mn id="S2.Ex1.m1.3.3.1.1.1.1.2.3.2" xref="S2.Ex1.m1.3.3.1.1.1.1.2.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="S2.Ex1.m1.3.3.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex1.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.Ex1.m1.3.3.1.1.1.1.3" xref="S2.Ex1.m1.3.3.1.1.1.1.3.cmml">τ</mi></mrow><mo id="S2.Ex1.m1.3.3.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.Ex1.m1.3.3.1.1.2.1.cmml">|</mo></mrow></mrow></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Ex1.m1.3b"><apply id="S2.Ex1.m1.3.4.cmml" xref="S2.Ex1.m1.3.4"><eq id="S2.Ex1.m1.3.4.1.cmml" xref="S2.Ex1.m1.3.4.1"></eq><apply id="S2.Ex1.m1.2.2.3.cmml" xref="S2.Ex1.m1.2.2.4"><csymbol cd="latexml" id="S2.Ex1.m1.2.2.3.1.cmml" xref="S2.Ex1.m1.2.2.4.1">inner-product</csymbol><ci id="S2.Ex1.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex1.m1.1.1.1.1">𝜎</ci><ci id="S2.Ex1.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S2.Ex1.m1.2.2.2.2">𝜏</ci></apply><apply id="S2.Ex1.m1.3.4.2.cmml" xref="S2.Ex1.m1.3.4.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex1.m1.3.4.2.1.cmml" xref="S2.Ex1.m1.3.4.2">superscript</csymbol><ci id="S2.Ex1.m1.3.4.2.2.cmml" xref="S2.Ex1.m1.3.4.2.2">𝑞</ci><apply id="S2.Ex1.m1.3.3.1.cmml" xref="S2.Ex1.m1.3.3.1"><minus id="S2.Ex1.m1.3.3.1.2.cmml" xref="S2.Ex1.m1.3.3.1"></minus><apply id="S2.Ex1.m1.3.3.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex1.m1.3.3.1.1.1"><abs id="S2.Ex1.m1.3.3.1.1.2.1.cmml" xref="S2.Ex1.m1.3.3.1.1.1.2"></abs><apply id="S2.Ex1.m1.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex1.m1.3.3.1.1.1.1"><times id="S2.Ex1.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex1.m1.3.3.1.1.1.1.1"></times><apply id="S2.Ex1.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex1.m1.3.3.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex1.m1.3.3.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.Ex1.m1.3.3.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S2.Ex1.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.Ex1.m1.3.3.1.1.1.1.2.2">𝜎</ci><apply id="S2.Ex1.m1.3.3.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.Ex1.m1.3.3.1.1.1.1.2.3"><minus id="S2.Ex1.m1.3.3.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S2.Ex1.m1.3.3.1.1.1.1.2.3"></minus><cn id="S2.Ex1.m1.3.3.1.1.1.1.2.3.2.cmml" type="integer" xref="S2.Ex1.m1.3.3.1.1.1.1.2.3.2">1</cn></apply></apply><ci id="S2.Ex1.m1.3.3.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex1.m1.3.3.1.1.1.1.3">𝜏</ci></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Ex1.m1.3c">\braket{\sigma}{\tau}=q^{-|\sigma^{-1}\tau|}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Ex1.m1.3d">⟨ start_ARG italic_σ end_ARG | start_ARG italic_τ end_ARG ⟩ = italic_q start_POSTSUPERSCRIPT - | italic_σ start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT italic_τ | end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S2.SS2.p3.9">where <math alttext="|\sigma^{-1}\tau|" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS2.p3.8.m1.1"><semantics id="S2.SS2.p3.8.m1.1a"><mrow id="S2.SS2.p3.8.m1.1.1.1" xref="S2.SS2.p3.8.m1.1.1.2.cmml"><mo id="S2.SS2.p3.8.m1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.SS2.p3.8.m1.1.1.2.1.cmml">|</mo><mrow id="S2.SS2.p3.8.m1.1.1.1.1" xref="S2.SS2.p3.8.m1.1.1.1.1.cmml"><msup id="S2.SS2.p3.8.m1.1.1.1.1.2" xref="S2.SS2.p3.8.m1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S2.SS2.p3.8.m1.1.1.1.1.2.2" xref="S2.SS2.p3.8.m1.1.1.1.1.2.2.cmml">σ</mi><mrow id="S2.SS2.p3.8.m1.1.1.1.1.2.3" xref="S2.SS2.p3.8.m1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mo id="S2.SS2.p3.8.m1.1.1.1.1.2.3a" xref="S2.SS2.p3.8.m1.1.1.1.1.2.3.cmml">−</mo><mn id="S2.SS2.p3.8.m1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S2.SS2.p3.8.m1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="S2.SS2.p3.8.m1.1.1.1.1.1" xref="S2.SS2.p3.8.m1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.SS2.p3.8.m1.1.1.1.1.3" xref="S2.SS2.p3.8.m1.1.1.1.1.3.cmml">τ</mi></mrow><mo id="S2.SS2.p3.8.m1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.SS2.p3.8.m1.1.1.2.1.cmml">|</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS2.p3.8.m1.1b"><apply id="S2.SS2.p3.8.m1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS2.p3.8.m1.1.1.1"><abs id="S2.SS2.p3.8.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.SS2.p3.8.m1.1.1.1.2"></abs><apply id="S2.SS2.p3.8.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p3.8.m1.1.1.1.1"><times id="S2.SS2.p3.8.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p3.8.m1.1.1.1.1.1"></times><apply id="S2.SS2.p3.8.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS2.p3.8.m1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS2.p3.8.m1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.SS2.p3.8.m1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S2.SS2.p3.8.m1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.SS2.p3.8.m1.1.1.1.1.2.2">𝜎</ci><apply id="S2.SS2.p3.8.m1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.SS2.p3.8.m1.1.1.1.1.2.3"><minus id="S2.SS2.p3.8.m1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S2.SS2.p3.8.m1.1.1.1.1.2.3"></minus><cn id="S2.SS2.p3.8.m1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" type="integer" xref="S2.SS2.p3.8.m1.1.1.1.1.2.3.2">1</cn></apply></apply><ci id="S2.SS2.p3.8.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.SS2.p3.8.m1.1.1.1.1.3">𝜏</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS2.p3.8.m1.1c">|\sigma^{-1}\tau|</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS2.p3.8.m1.1d">| italic_σ start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT italic_τ |</annotation></semantics></math> is the minimal number of transpositions required to form <math alttext="\sigma^{-1}\tau" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS2.p3.9.m2.1"><semantics id="S2.SS2.p3.9.m2.1a"><mrow id="S2.SS2.p3.9.m2.1.1" xref="S2.SS2.p3.9.m2.1.1.cmml"><msup id="S2.SS2.p3.9.m2.1.1.2" xref="S2.SS2.p3.9.m2.1.1.2.cmml"><mi id="S2.SS2.p3.9.m2.1.1.2.2" xref="S2.SS2.p3.9.m2.1.1.2.2.cmml">σ</mi><mrow id="S2.SS2.p3.9.m2.1.1.2.3" xref="S2.SS2.p3.9.m2.1.1.2.3.cmml"><mo id="S2.SS2.p3.9.m2.1.1.2.3a" xref="S2.SS2.p3.9.m2.1.1.2.3.cmml">−</mo><mn id="S2.SS2.p3.9.m2.1.1.2.3.2" xref="S2.SS2.p3.9.m2.1.1.2.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="S2.SS2.p3.9.m2.1.1.1" xref="S2.SS2.p3.9.m2.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.SS2.p3.9.m2.1.1.3" xref="S2.SS2.p3.9.m2.1.1.3.cmml">τ</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS2.p3.9.m2.1b"><apply id="S2.SS2.p3.9.m2.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p3.9.m2.1.1"><times id="S2.SS2.p3.9.m2.1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p3.9.m2.1.1.1"></times><apply id="S2.SS2.p3.9.m2.1.1.2.cmml" xref="S2.SS2.p3.9.m2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS2.p3.9.m2.1.1.2.1.cmml" xref="S2.SS2.p3.9.m2.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S2.SS2.p3.9.m2.1.1.2.2.cmml" xref="S2.SS2.p3.9.m2.1.1.2.2">𝜎</ci><apply id="S2.SS2.p3.9.m2.1.1.2.3.cmml" xref="S2.SS2.p3.9.m2.1.1.2.3"><minus id="S2.SS2.p3.9.m2.1.1.2.3.1.cmml" xref="S2.SS2.p3.9.m2.1.1.2.3"></minus><cn id="S2.SS2.p3.9.m2.1.1.2.3.2.cmml" type="integer" xref="S2.SS2.p3.9.m2.1.1.2.3.2">1</cn></apply></apply><ci id="S2.SS2.p3.9.m2.1.1.3.cmml" xref="S2.SS2.p3.9.m2.1.1.3">𝜏</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS2.p3.9.m2.1c">\sigma^{-1}\tau</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS2.p3.9.m2.1d">italic_σ start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT italic_τ</annotation></semantics></math>.</p> </div> </section> <section class="ltx_subsection" id="S2.SS3"> <h3 class="ltx_title ltx_title_subsection"> <span class="ltx_tag ltx_tag_subsection">II.3 </span>Brickwork and staircase</h3> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_definition" id="Thmtheorem9"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmtheorem9.1.1.1">Definition 9</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmtheorem9.2.2">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="Thmtheorem9.p1"> <p class="ltx_p" id="Thmtheorem9.p1.6">The <span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmtheorem9.p1.6.1">1D brickwork architecture</span> is a random quantum circuit architecture. Odd-numbered layers have gates between sites <math alttext="i" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem9.p1.1.m1.1"><semantics id="Thmtheorem9.p1.1.m1.1a"><mi id="Thmtheorem9.p1.1.m1.1.1" xref="Thmtheorem9.p1.1.m1.1.1.cmml">i</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem9.p1.1.m1.1b"><ci id="Thmtheorem9.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem9.p1.1.m1.1.1">𝑖</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem9.p1.1.m1.1c">i</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem9.p1.1.m1.1d">italic_i</annotation></semantics></math> and <math alttext="i+1" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem9.p1.2.m2.1"><semantics id="Thmtheorem9.p1.2.m2.1a"><mrow id="Thmtheorem9.p1.2.m2.1.1" xref="Thmtheorem9.p1.2.m2.1.1.cmml"><mi id="Thmtheorem9.p1.2.m2.1.1.2" xref="Thmtheorem9.p1.2.m2.1.1.2.cmml">i</mi><mo id="Thmtheorem9.p1.2.m2.1.1.1" xref="Thmtheorem9.p1.2.m2.1.1.1.cmml">+</mo><mn id="Thmtheorem9.p1.2.m2.1.1.3" xref="Thmtheorem9.p1.2.m2.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem9.p1.2.m2.1b"><apply id="Thmtheorem9.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="Thmtheorem9.p1.2.m2.1.1"><plus id="Thmtheorem9.p1.2.m2.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem9.p1.2.m2.1.1.1"></plus><ci id="Thmtheorem9.p1.2.m2.1.1.2.cmml" xref="Thmtheorem9.p1.2.m2.1.1.2">𝑖</ci><cn id="Thmtheorem9.p1.2.m2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="Thmtheorem9.p1.2.m2.1.1.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem9.p1.2.m2.1c">i+1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem9.p1.2.m2.1d">italic_i + 1</annotation></semantics></math> for each odd <math alttext="i<N" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem9.p1.3.m3.1"><semantics id="Thmtheorem9.p1.3.m3.1a"><mrow id="Thmtheorem9.p1.3.m3.1.1" xref="Thmtheorem9.p1.3.m3.1.1.cmml"><mi id="Thmtheorem9.p1.3.m3.1.1.2" xref="Thmtheorem9.p1.3.m3.1.1.2.cmml">i</mi><mo id="Thmtheorem9.p1.3.m3.1.1.1" xref="Thmtheorem9.p1.3.m3.1.1.1.cmml"><</mo><mi id="Thmtheorem9.p1.3.m3.1.1.3" xref="Thmtheorem9.p1.3.m3.1.1.3.cmml">N</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem9.p1.3.m3.1b"><apply id="Thmtheorem9.p1.3.m3.1.1.cmml" xref="Thmtheorem9.p1.3.m3.1.1"><lt id="Thmtheorem9.p1.3.m3.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem9.p1.3.m3.1.1.1"></lt><ci id="Thmtheorem9.p1.3.m3.1.1.2.cmml" xref="Thmtheorem9.p1.3.m3.1.1.2">𝑖</ci><ci id="Thmtheorem9.p1.3.m3.1.1.3.cmml" xref="Thmtheorem9.p1.3.m3.1.1.3">𝑁</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem9.p1.3.m3.1c">i<N</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem9.p1.3.m3.1d">italic_i < italic_N</annotation></semantics></math>, while even-numbered layers have gates between sites <math alttext="i" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem9.p1.4.m4.1"><semantics id="Thmtheorem9.p1.4.m4.1a"><mi id="Thmtheorem9.p1.4.m4.1.1" xref="Thmtheorem9.p1.4.m4.1.1.cmml">i</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem9.p1.4.m4.1b"><ci id="Thmtheorem9.p1.4.m4.1.1.cmml" xref="Thmtheorem9.p1.4.m4.1.1">𝑖</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem9.p1.4.m4.1c">i</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem9.p1.4.m4.1d">italic_i</annotation></semantics></math> and <math alttext="i+1" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem9.p1.5.m5.1"><semantics id="Thmtheorem9.p1.5.m5.1a"><mrow id="Thmtheorem9.p1.5.m5.1.1" xref="Thmtheorem9.p1.5.m5.1.1.cmml"><mi id="Thmtheorem9.p1.5.m5.1.1.2" xref="Thmtheorem9.p1.5.m5.1.1.2.cmml">i</mi><mo id="Thmtheorem9.p1.5.m5.1.1.1" xref="Thmtheorem9.p1.5.m5.1.1.1.cmml">+</mo><mn id="Thmtheorem9.p1.5.m5.1.1.3" xref="Thmtheorem9.p1.5.m5.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem9.p1.5.m5.1b"><apply id="Thmtheorem9.p1.5.m5.1.1.cmml" xref="Thmtheorem9.p1.5.m5.1.1"><plus id="Thmtheorem9.p1.5.m5.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem9.p1.5.m5.1.1.1"></plus><ci id="Thmtheorem9.p1.5.m5.1.1.2.cmml" xref="Thmtheorem9.p1.5.m5.1.1.2">𝑖</ci><cn id="Thmtheorem9.p1.5.m5.1.1.3.cmml" type="integer" xref="Thmtheorem9.p1.5.m5.1.1.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem9.p1.5.m5.1c">i+1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem9.p1.5.m5.1d">italic_i + 1</annotation></semantics></math> for each even <math alttext="i<N" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem9.p1.6.m6.1"><semantics id="Thmtheorem9.p1.6.m6.1a"><mrow id="Thmtheorem9.p1.6.m6.1.1" xref="Thmtheorem9.p1.6.m6.1.1.cmml"><mi id="Thmtheorem9.p1.6.m6.1.1.2" xref="Thmtheorem9.p1.6.m6.1.1.2.cmml">i</mi><mo id="Thmtheorem9.p1.6.m6.1.1.1" xref="Thmtheorem9.p1.6.m6.1.1.1.cmml"><</mo><mi id="Thmtheorem9.p1.6.m6.1.1.3" xref="Thmtheorem9.p1.6.m6.1.1.3.cmml">N</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem9.p1.6.m6.1b"><apply id="Thmtheorem9.p1.6.m6.1.1.cmml" xref="Thmtheorem9.p1.6.m6.1.1"><lt id="Thmtheorem9.p1.6.m6.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem9.p1.6.m6.1.1.1"></lt><ci id="Thmtheorem9.p1.6.m6.1.1.2.cmml" xref="Thmtheorem9.p1.6.m6.1.1.2">𝑖</ci><ci id="Thmtheorem9.p1.6.m6.1.1.3.cmml" xref="Thmtheorem9.p1.6.m6.1.1.3">𝑁</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem9.p1.6.m6.1c">i<N</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem9.p1.6.m6.1d">italic_i < italic_N</annotation></semantics></math>.</p> </div> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_definition" id="Thmtheorem10"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmtheorem10.1.1.1">Definition 10</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmtheorem10.2.2">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="Thmtheorem10.p1"> <p class="ltx_p" id="Thmtheorem10.p1.3">The <span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmtheorem10.p1.3.1">staircase architecture</span>, illustrated in Figure <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#S3.F3" title="Figure 3 ‣ III Bounding the staircase by a single gate ‣ Conditional 𝑡-independent spectral gap for random quantum circuits and implications for 𝑡-design depths"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">3</span></a>, is the random quantum circuit architecture in which layer <math alttext="i" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem10.p1.1.m1.1"><semantics id="Thmtheorem10.p1.1.m1.1a"><mi id="Thmtheorem10.p1.1.m1.1.1" xref="Thmtheorem10.p1.1.m1.1.1.cmml">i</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem10.p1.1.m1.1b"><ci id="Thmtheorem10.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem10.p1.1.m1.1.1">𝑖</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem10.p1.1.m1.1c">i</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem10.p1.1.m1.1d">italic_i</annotation></semantics></math> consist of a single gate between sites <math alttext="i" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem10.p1.2.m2.1"><semantics id="Thmtheorem10.p1.2.m2.1a"><mi id="Thmtheorem10.p1.2.m2.1.1" xref="Thmtheorem10.p1.2.m2.1.1.cmml">i</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem10.p1.2.m2.1b"><ci id="Thmtheorem10.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="Thmtheorem10.p1.2.m2.1.1">𝑖</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem10.p1.2.m2.1c">i</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem10.p1.2.m2.1d">italic_i</annotation></semantics></math> and <math alttext="i+1" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem10.p1.3.m3.1"><semantics id="Thmtheorem10.p1.3.m3.1a"><mrow id="Thmtheorem10.p1.3.m3.1.1" xref="Thmtheorem10.p1.3.m3.1.1.cmml"><mi id="Thmtheorem10.p1.3.m3.1.1.2" xref="Thmtheorem10.p1.3.m3.1.1.2.cmml">i</mi><mo id="Thmtheorem10.p1.3.m3.1.1.1" xref="Thmtheorem10.p1.3.m3.1.1.1.cmml">+</mo><mn id="Thmtheorem10.p1.3.m3.1.1.3" xref="Thmtheorem10.p1.3.m3.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem10.p1.3.m3.1b"><apply id="Thmtheorem10.p1.3.m3.1.1.cmml" xref="Thmtheorem10.p1.3.m3.1.1"><plus id="Thmtheorem10.p1.3.m3.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem10.p1.3.m3.1.1.1"></plus><ci id="Thmtheorem10.p1.3.m3.1.1.2.cmml" xref="Thmtheorem10.p1.3.m3.1.1.2">𝑖</ci><cn id="Thmtheorem10.p1.3.m3.1.1.3.cmml" type="integer" xref="Thmtheorem10.p1.3.m3.1.1.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem10.p1.3.m3.1c">i+1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem10.p1.3.m3.1d">italic_i + 1</annotation></semantics></math>.</p> </div> </div> <div class="ltx_para" id="S2.SS3.p1"> <p class="ltx_p" id="S2.SS3.p1.4">Let <math alttext="L_{O}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS3.p1.1.m1.1"><semantics id="S2.SS3.p1.1.m1.1a"><msub id="S2.SS3.p1.1.m1.1.1" xref="S2.SS3.p1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S2.SS3.p1.1.m1.1.1.2" xref="S2.SS3.p1.1.m1.1.1.2.cmml">L</mi><mi id="S2.SS3.p1.1.m1.1.1.3" xref="S2.SS3.p1.1.m1.1.1.3.cmml">O</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS3.p1.1.m1.1b"><apply id="S2.SS3.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p1.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS3.p1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p1.1.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.SS3.p1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS3.p1.1.m1.1.1.2">𝐿</ci><ci id="S2.SS3.p1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S2.SS3.p1.1.m1.1.1.3">𝑂</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS3.p1.1.m1.1c">L_{O}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS3.p1.1.m1.1d">italic_L start_POSTSUBSCRIPT italic_O end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> and <math alttext="L_{E}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS3.p1.2.m2.1"><semantics id="S2.SS3.p1.2.m2.1a"><msub id="S2.SS3.p1.2.m2.1.1" xref="S2.SS3.p1.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S2.SS3.p1.2.m2.1.1.2" xref="S2.SS3.p1.2.m2.1.1.2.cmml">L</mi><mi id="S2.SS3.p1.2.m2.1.1.3" xref="S2.SS3.p1.2.m2.1.1.3.cmml">E</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS3.p1.2.m2.1b"><apply id="S2.SS3.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p1.2.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS3.p1.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p1.2.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.SS3.p1.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S2.SS3.p1.2.m2.1.1.2">𝐿</ci><ci id="S2.SS3.p1.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S2.SS3.p1.2.m2.1.1.3">𝐸</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS3.p1.2.m2.1c">L_{E}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS3.p1.2.m2.1d">italic_L start_POSTSUBSCRIPT italic_E end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> refer to the “even” and “odd” layers of the 1D brickwork architecture, respectively. The transfer matrix associated with a single period of the architecture is then <math alttext="T_{1DB}=L_{O}L_{E}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS3.p1.3.m3.1"><semantics id="S2.SS3.p1.3.m3.1a"><mrow id="S2.SS3.p1.3.m3.1.1" xref="S2.SS3.p1.3.m3.1.1.cmml"><msub id="S2.SS3.p1.3.m3.1.1.2" xref="S2.SS3.p1.3.m3.1.1.2.cmml"><mi id="S2.SS3.p1.3.m3.1.1.2.2" xref="S2.SS3.p1.3.m3.1.1.2.2.cmml">T</mi><mrow id="S2.SS3.p1.3.m3.1.1.2.3" xref="S2.SS3.p1.3.m3.1.1.2.3.cmml"><mn id="S2.SS3.p1.3.m3.1.1.2.3.2" xref="S2.SS3.p1.3.m3.1.1.2.3.2.cmml">1</mn><mo id="S2.SS3.p1.3.m3.1.1.2.3.1" xref="S2.SS3.p1.3.m3.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.SS3.p1.3.m3.1.1.2.3.3" xref="S2.SS3.p1.3.m3.1.1.2.3.3.cmml">D</mi><mo id="S2.SS3.p1.3.m3.1.1.2.3.1a" xref="S2.SS3.p1.3.m3.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.SS3.p1.3.m3.1.1.2.3.4" xref="S2.SS3.p1.3.m3.1.1.2.3.4.cmml">B</mi></mrow></msub><mo id="S2.SS3.p1.3.m3.1.1.1" xref="S2.SS3.p1.3.m3.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S2.SS3.p1.3.m3.1.1.3" xref="S2.SS3.p1.3.m3.1.1.3.cmml"><msub id="S2.SS3.p1.3.m3.1.1.3.2" xref="S2.SS3.p1.3.m3.1.1.3.2.cmml"><mi id="S2.SS3.p1.3.m3.1.1.3.2.2" xref="S2.SS3.p1.3.m3.1.1.3.2.2.cmml">L</mi><mi id="S2.SS3.p1.3.m3.1.1.3.2.3" xref="S2.SS3.p1.3.m3.1.1.3.2.3.cmml">O</mi></msub><mo id="S2.SS3.p1.3.m3.1.1.3.1" xref="S2.SS3.p1.3.m3.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S2.SS3.p1.3.m3.1.1.3.3" xref="S2.SS3.p1.3.m3.1.1.3.3.cmml"><mi id="S2.SS3.p1.3.m3.1.1.3.3.2" xref="S2.SS3.p1.3.m3.1.1.3.3.2.cmml">L</mi><mi id="S2.SS3.p1.3.m3.1.1.3.3.3" xref="S2.SS3.p1.3.m3.1.1.3.3.3.cmml">E</mi></msub></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS3.p1.3.m3.1b"><apply id="S2.SS3.p1.3.m3.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p1.3.m3.1.1"><eq id="S2.SS3.p1.3.m3.1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p1.3.m3.1.1.1"></eq><apply id="S2.SS3.p1.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S2.SS3.p1.3.m3.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS3.p1.3.m3.1.1.2.1.cmml" xref="S2.SS3.p1.3.m3.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S2.SS3.p1.3.m3.1.1.2.2.cmml" xref="S2.SS3.p1.3.m3.1.1.2.2">𝑇</ci><apply id="S2.SS3.p1.3.m3.1.1.2.3.cmml" xref="S2.SS3.p1.3.m3.1.1.2.3"><times id="S2.SS3.p1.3.m3.1.1.2.3.1.cmml" xref="S2.SS3.p1.3.m3.1.1.2.3.1"></times><cn id="S2.SS3.p1.3.m3.1.1.2.3.2.cmml" type="integer" xref="S2.SS3.p1.3.m3.1.1.2.3.2">1</cn><ci id="S2.SS3.p1.3.m3.1.1.2.3.3.cmml" xref="S2.SS3.p1.3.m3.1.1.2.3.3">𝐷</ci><ci id="S2.SS3.p1.3.m3.1.1.2.3.4.cmml" xref="S2.SS3.p1.3.m3.1.1.2.3.4">𝐵</ci></apply></apply><apply id="S2.SS3.p1.3.m3.1.1.3.cmml" xref="S2.SS3.p1.3.m3.1.1.3"><times id="S2.SS3.p1.3.m3.1.1.3.1.cmml" xref="S2.SS3.p1.3.m3.1.1.3.1"></times><apply id="S2.SS3.p1.3.m3.1.1.3.2.cmml" xref="S2.SS3.p1.3.m3.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS3.p1.3.m3.1.1.3.2.1.cmml" xref="S2.SS3.p1.3.m3.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S2.SS3.p1.3.m3.1.1.3.2.2.cmml" xref="S2.SS3.p1.3.m3.1.1.3.2.2">𝐿</ci><ci id="S2.SS3.p1.3.m3.1.1.3.2.3.cmml" xref="S2.SS3.p1.3.m3.1.1.3.2.3">𝑂</ci></apply><apply id="S2.SS3.p1.3.m3.1.1.3.3.cmml" xref="S2.SS3.p1.3.m3.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS3.p1.3.m3.1.1.3.3.1.cmml" xref="S2.SS3.p1.3.m3.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S2.SS3.p1.3.m3.1.1.3.3.2.cmml" xref="S2.SS3.p1.3.m3.1.1.3.3.2">𝐿</ci><ci id="S2.SS3.p1.3.m3.1.1.3.3.3.cmml" xref="S2.SS3.p1.3.m3.1.1.3.3.3">𝐸</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS3.p1.3.m3.1c">T_{1DB}=L_{O}L_{E}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS3.p1.3.m3.1d">italic_T start_POSTSUBSCRIPT 1 italic_D italic_B end_POSTSUBSCRIPT = italic_L start_POSTSUBSCRIPT italic_O end_POSTSUBSCRIPT italic_L start_POSTSUBSCRIPT italic_E end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>. Let <math alttext="T_{\text{stair}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS3.p1.4.m4.1"><semantics id="S2.SS3.p1.4.m4.1a"><msub id="S2.SS3.p1.4.m4.1.1" xref="S2.SS3.p1.4.m4.1.1.cmml"><mi id="S2.SS3.p1.4.m4.1.1.2" xref="S2.SS3.p1.4.m4.1.1.2.cmml">T</mi><mtext id="S2.SS3.p1.4.m4.1.1.3" xref="S2.SS3.p1.4.m4.1.1.3a.cmml">stair</mtext></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS3.p1.4.m4.1b"><apply id="S2.SS3.p1.4.m4.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p1.4.m4.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS3.p1.4.m4.1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p1.4.m4.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.SS3.p1.4.m4.1.1.2.cmml" xref="S2.SS3.p1.4.m4.1.1.2">𝑇</ci><ci id="S2.SS3.p1.4.m4.1.1.3a.cmml" xref="S2.SS3.p1.4.m4.1.1.3"><mtext id="S2.SS3.p1.4.m4.1.1.3.cmml" mathsize="70%" xref="S2.SS3.p1.4.m4.1.1.3">stair</mtext></ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS3.p1.4.m4.1c">T_{\text{stair}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS3.p1.4.m4.1d">italic_T start_POSTSUBSCRIPT stair end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> refer to the moment operator of the staircase architecture.</p> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_lemma" id="Thmtheorem11"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmtheorem11.1.1.1">Lemma 11</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmtheorem11.2.2">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="Thmtheorem11.p1"> <p class="ltx_p" id="Thmtheorem11.p1.2"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmtheorem11.p1.2.2">The eigenspectra of <math alttext="L_{O}L_{E}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem11.p1.1.1.m1.1"><semantics id="Thmtheorem11.p1.1.1.m1.1a"><mrow id="Thmtheorem11.p1.1.1.m1.1.1" xref="Thmtheorem11.p1.1.1.m1.1.1.cmml"><msub id="Thmtheorem11.p1.1.1.m1.1.1.2" xref="Thmtheorem11.p1.1.1.m1.1.1.2.cmml"><mi id="Thmtheorem11.p1.1.1.m1.1.1.2.2" xref="Thmtheorem11.p1.1.1.m1.1.1.2.2.cmml">L</mi><mi id="Thmtheorem11.p1.1.1.m1.1.1.2.3" xref="Thmtheorem11.p1.1.1.m1.1.1.2.3.cmml">O</mi></msub><mo id="Thmtheorem11.p1.1.1.m1.1.1.1" xref="Thmtheorem11.p1.1.1.m1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="Thmtheorem11.p1.1.1.m1.1.1.3" xref="Thmtheorem11.p1.1.1.m1.1.1.3.cmml"><mi id="Thmtheorem11.p1.1.1.m1.1.1.3.2" xref="Thmtheorem11.p1.1.1.m1.1.1.3.2.cmml">L</mi><mi id="Thmtheorem11.p1.1.1.m1.1.1.3.3" xref="Thmtheorem11.p1.1.1.m1.1.1.3.3.cmml">E</mi></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem11.p1.1.1.m1.1b"><apply id="Thmtheorem11.p1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem11.p1.1.1.m1.1.1"><times id="Thmtheorem11.p1.1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem11.p1.1.1.m1.1.1.1"></times><apply id="Thmtheorem11.p1.1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="Thmtheorem11.p1.1.1.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem11.p1.1.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="Thmtheorem11.p1.1.1.m1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="Thmtheorem11.p1.1.1.m1.1.1.2.2.cmml" xref="Thmtheorem11.p1.1.1.m1.1.1.2.2">𝐿</ci><ci id="Thmtheorem11.p1.1.1.m1.1.1.2.3.cmml" xref="Thmtheorem11.p1.1.1.m1.1.1.2.3">𝑂</ci></apply><apply id="Thmtheorem11.p1.1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="Thmtheorem11.p1.1.1.m1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem11.p1.1.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="Thmtheorem11.p1.1.1.m1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="Thmtheorem11.p1.1.1.m1.1.1.3.2.cmml" xref="Thmtheorem11.p1.1.1.m1.1.1.3.2">𝐿</ci><ci id="Thmtheorem11.p1.1.1.m1.1.1.3.3.cmml" xref="Thmtheorem11.p1.1.1.m1.1.1.3.3">𝐸</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem11.p1.1.1.m1.1c">L_{O}L_{E}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem11.p1.1.1.m1.1d">italic_L start_POSTSUBSCRIPT italic_O end_POSTSUBSCRIPT italic_L start_POSTSUBSCRIPT italic_E end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> and the staircase transfer matrix <math alttext="T_{\text{stair}}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem11.p1.2.2.m2.1"><semantics id="Thmtheorem11.p1.2.2.m2.1a"><msub id="Thmtheorem11.p1.2.2.m2.1.1" xref="Thmtheorem11.p1.2.2.m2.1.1.cmml"><mi id="Thmtheorem11.p1.2.2.m2.1.1.2" xref="Thmtheorem11.p1.2.2.m2.1.1.2.cmml">T</mi><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="Thmtheorem11.p1.2.2.m2.1.1.3" xref="Thmtheorem11.p1.2.2.m2.1.1.3a.cmml">stair</mtext></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem11.p1.2.2.m2.1b"><apply id="Thmtheorem11.p1.2.2.m2.1.1.cmml" xref="Thmtheorem11.p1.2.2.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem11.p1.2.2.m2.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem11.p1.2.2.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="Thmtheorem11.p1.2.2.m2.1.1.2.cmml" xref="Thmtheorem11.p1.2.2.m2.1.1.2">𝑇</ci><ci id="Thmtheorem11.p1.2.2.m2.1.1.3a.cmml" xref="Thmtheorem11.p1.2.2.m2.1.1.3"><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="Thmtheorem11.p1.2.2.m2.1.1.3.cmml" mathsize="70%" xref="Thmtheorem11.p1.2.2.m2.1.1.3">stair</mtext></ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem11.p1.2.2.m2.1c">T_{\text{stair}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem11.p1.2.2.m2.1d">italic_T start_POSTSUBSCRIPT stair end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> are the same.</span></p> </div> </div> <div class="ltx_proof" id="S2.SS3.1"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_font_italic ltx_title_proof">Proof.</h6> <div class="ltx_para" id="S2.SS3.1.p1"> <p class="ltx_p" id="S2.SS3.1.p1.1">The eigenvalues of a product of matrices are invariant under cyclic permutations. <math alttext="L_{E}L_{O}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS3.1.p1.1.m1.1"><semantics id="S2.SS3.1.p1.1.m1.1a"><mrow id="S2.SS3.1.p1.1.m1.1.1" xref="S2.SS3.1.p1.1.m1.1.1.cmml"><msub id="S2.SS3.1.p1.1.m1.1.1.2" xref="S2.SS3.1.p1.1.m1.1.1.2.cmml"><mi id="S2.SS3.1.p1.1.m1.1.1.2.2" xref="S2.SS3.1.p1.1.m1.1.1.2.2.cmml">L</mi><mi id="S2.SS3.1.p1.1.m1.1.1.2.3" xref="S2.SS3.1.p1.1.m1.1.1.2.3.cmml">E</mi></msub><mo id="S2.SS3.1.p1.1.m1.1.1.1" xref="S2.SS3.1.p1.1.m1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S2.SS3.1.p1.1.m1.1.1.3" xref="S2.SS3.1.p1.1.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S2.SS3.1.p1.1.m1.1.1.3.2" xref="S2.SS3.1.p1.1.m1.1.1.3.2.cmml">L</mi><mi id="S2.SS3.1.p1.1.m1.1.1.3.3" xref="S2.SS3.1.p1.1.m1.1.1.3.3.cmml">O</mi></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS3.1.p1.1.m1.1b"><apply id="S2.SS3.1.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.1.p1.1.m1.1.1"><times id="S2.SS3.1.p1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.1.p1.1.m1.1.1.1"></times><apply id="S2.SS3.1.p1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS3.1.p1.1.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS3.1.p1.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.SS3.1.p1.1.m1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S2.SS3.1.p1.1.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.SS3.1.p1.1.m1.1.1.2.2">𝐿</ci><ci id="S2.SS3.1.p1.1.m1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.SS3.1.p1.1.m1.1.1.2.3">𝐸</ci></apply><apply id="S2.SS3.1.p1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S2.SS3.1.p1.1.m1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS3.1.p1.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.SS3.1.p1.1.m1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S2.SS3.1.p1.1.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.SS3.1.p1.1.m1.1.1.3.2">𝐿</ci><ci id="S2.SS3.1.p1.1.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.SS3.1.p1.1.m1.1.1.3.3">𝑂</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS3.1.p1.1.m1.1c">L_{E}L_{O}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS3.1.p1.1.m1.1d">italic_L start_POSTSUBSCRIPT italic_E end_POSTSUBSCRIPT italic_L start_POSTSUBSCRIPT italic_O end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> is related to the staircase transfer matrix by cyclic permutations of the individual gates. ∎</p> </div> </div> </section> </section> <section class="ltx_section" id="S3"> <h2 class="ltx_title ltx_title_section"> <span class="ltx_tag ltx_tag_section">III </span>Bounding the staircase by a single gate</h2> <figure class="ltx_figure" id="S3.F3"><svg class="ltx_picture ltx_centering" height="130" id="S3.F3.pic1" overflow="visible" version="1.1" width="287.04"><g fill="#000000" stroke="#000000" stroke-width="0.4pt" transform="translate(0,130) matrix(1 0 0 -1 0 0) translate(-0.28,0) translate(0,130.28)"><g fill="#000000" stroke="#000000" transform="matrix(1.0 0.0 0.0 1.0 16.02 -130.28)"><foreignobject height="130" overflow="visible" transform="matrix(1 0 0 -1 0 16.6)" width="120"><img alt="Refer to caption" class="ltx_graphics ltx_img_square" height="180" id="S3.F3.pic1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.g1" src="x3.png" width="166"/></foreignobject></g><g fill="#000000" stroke="#000000" transform="matrix(1.0 0.0 0.0 1.0 4.89 -18.17)"><foreignobject height="12.45" overflow="visible" transform="matrix(1 0 0 -1 0 16.6)" width="11.07"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S3.F3.pic1.3.3.3.1.1" style="font-size:90%;">a)</span></foreignobject></g><g fill="#000000" stroke="#000000" transform="matrix(1.0 0.0 0.0 1.0 185.32 -122.28)"><foreignobject height="122" overflow="visible" transform="matrix(1 0 0 -1 0 16.6)" width="102"><img alt="Refer to caption" class="ltx_graphics ltx_img_square" height="169" id="S3.F3.pic1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.g1" src="x4.png" width="141"/></foreignobject></g><g fill="#000000" stroke="#000000" transform="matrix(1.0 0.0 0.0 1.0 174.18 -18.17)"><foreignobject height="12.45" overflow="visible" transform="matrix(1 0 0 -1 0 16.6)" width="11.76"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S3.F3.pic1.4.4.4.1.1" style="font-size:90%;">b)</span></foreignobject></g></g></svg> <figcaption class="ltx_caption ltx_centering"><span class="ltx_tag ltx_tag_figure">Figure 3: </span>a) The staircase architecture on 5 sites. b) The effective 3-site gate operator <math alttext="K_{i}\equiv\Pi_{i}G_{i}\Pi_{i}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.F3.2.m1.1"><semantics id="S3.F3.2.m1.1b"><mrow id="S3.F3.2.m1.1.1" xref="S3.F3.2.m1.1.1.cmml"><msub id="S3.F3.2.m1.1.1.2" xref="S3.F3.2.m1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.F3.2.m1.1.1.2.2" xref="S3.F3.2.m1.1.1.2.2.cmml">K</mi><mi id="S3.F3.2.m1.1.1.2.3" xref="S3.F3.2.m1.1.1.2.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S3.F3.2.m1.1.1.1" xref="S3.F3.2.m1.1.1.1.cmml">≡</mo><mrow id="S3.F3.2.m1.1.1.3" xref="S3.F3.2.m1.1.1.3.cmml"><msub id="S3.F3.2.m1.1.1.3.2" xref="S3.F3.2.m1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S3.F3.2.m1.1.1.3.2.2" mathvariant="normal" xref="S3.F3.2.m1.1.1.3.2.2.cmml">Π</mi><mi id="S3.F3.2.m1.1.1.3.2.3" xref="S3.F3.2.m1.1.1.3.2.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S3.F3.2.m1.1.1.3.1" xref="S3.F3.2.m1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.F3.2.m1.1.1.3.3" xref="S3.F3.2.m1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S3.F3.2.m1.1.1.3.3.2" xref="S3.F3.2.m1.1.1.3.3.2.cmml">G</mi><mi id="S3.F3.2.m1.1.1.3.3.3" xref="S3.F3.2.m1.1.1.3.3.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S3.F3.2.m1.1.1.3.1b" xref="S3.F3.2.m1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.F3.2.m1.1.1.3.4" xref="S3.F3.2.m1.1.1.3.4.cmml"><mi id="S3.F3.2.m1.1.1.3.4.2" mathvariant="normal" xref="S3.F3.2.m1.1.1.3.4.2.cmml">Π</mi><mi id="S3.F3.2.m1.1.1.3.4.3" xref="S3.F3.2.m1.1.1.3.4.3.cmml">i</mi></msub></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.F3.2.m1.1c"><apply id="S3.F3.2.m1.1.1.cmml" xref="S3.F3.2.m1.1.1"><equivalent id="S3.F3.2.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.F3.2.m1.1.1.1"></equivalent><apply id="S3.F3.2.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.F3.2.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.F3.2.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.F3.2.m1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S3.F3.2.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.F3.2.m1.1.1.2.2">𝐾</ci><ci id="S3.F3.2.m1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.F3.2.m1.1.1.2.3">𝑖</ci></apply><apply id="S3.F3.2.m1.1.1.3.cmml" xref="S3.F3.2.m1.1.1.3"><times id="S3.F3.2.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.F3.2.m1.1.1.3.1"></times><apply id="S3.F3.2.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.F3.2.m1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.F3.2.m1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S3.F3.2.m1.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S3.F3.2.m1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S3.F3.2.m1.1.1.3.2.2">Π</ci><ci id="S3.F3.2.m1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S3.F3.2.m1.1.1.3.2.3">𝑖</ci></apply><apply id="S3.F3.2.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.F3.2.m1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.F3.2.m1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.F3.2.m1.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S3.F3.2.m1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S3.F3.2.m1.1.1.3.3.2">𝐺</ci><ci id="S3.F3.2.m1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S3.F3.2.m1.1.1.3.3.3">𝑖</ci></apply><apply id="S3.F3.2.m1.1.1.3.4.cmml" xref="S3.F3.2.m1.1.1.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.F3.2.m1.1.1.3.4.1.cmml" xref="S3.F3.2.m1.1.1.3.4">subscript</csymbol><ci id="S3.F3.2.m1.1.1.3.4.2.cmml" xref="S3.F3.2.m1.1.1.3.4.2">Π</ci><ci id="S3.F3.2.m1.1.1.3.4.3.cmml" xref="S3.F3.2.m1.1.1.3.4.3">𝑖</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.F3.2.m1.1d">K_{i}\equiv\Pi_{i}G_{i}\Pi_{i}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.F3.2.m1.1e">italic_K start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT ≡ roman_Π start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT italic_G start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT roman_Π start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>.</figcaption> </figure> <div class="ltx_para" id="S3.p1"> <p class="ltx_p" id="S3.p1.4">In this section, we will develop a reduction from an arbitrary staircase to the three-site staircase. The staircase architecture consists of <math alttext="N-1" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p1.1.m1.1"><semantics id="S3.p1.1.m1.1a"><mrow id="S3.p1.1.m1.1.1" xref="S3.p1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S3.p1.1.m1.1.1.2" xref="S3.p1.1.m1.1.1.2.cmml">N</mi><mo id="S3.p1.1.m1.1.1.1" xref="S3.p1.1.m1.1.1.1.cmml">−</mo><mn id="S3.p1.1.m1.1.1.3" xref="S3.p1.1.m1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p1.1.m1.1b"><apply id="S3.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.p1.1.m1.1.1"><minus id="S3.p1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.p1.1.m1.1.1.1"></minus><ci id="S3.p1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.p1.1.m1.1.1.2">𝑁</ci><cn id="S3.p1.1.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.p1.1.m1.1.1.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p1.1.m1.1c">N-1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p1.1.m1.1d">italic_N - 1</annotation></semantics></math> gates <math alttext="G_{1},...,G_{N-1}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p1.2.m2.3"><semantics id="S3.p1.2.m2.3a"><mrow id="S3.p1.2.m2.3.3.2" xref="S3.p1.2.m2.3.3.3.cmml"><msub id="S3.p1.2.m2.2.2.1.1" xref="S3.p1.2.m2.2.2.1.1.cmml"><mi id="S3.p1.2.m2.2.2.1.1.2" xref="S3.p1.2.m2.2.2.1.1.2.cmml">G</mi><mn id="S3.p1.2.m2.2.2.1.1.3" xref="S3.p1.2.m2.2.2.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S3.p1.2.m2.3.3.2.3" xref="S3.p1.2.m2.3.3.3.cmml">,</mo><mi id="S3.p1.2.m2.1.1" mathvariant="normal" xref="S3.p1.2.m2.1.1.cmml">…</mi><mo id="S3.p1.2.m2.3.3.2.4" xref="S3.p1.2.m2.3.3.3.cmml">,</mo><msub id="S3.p1.2.m2.3.3.2.2" xref="S3.p1.2.m2.3.3.2.2.cmml"><mi id="S3.p1.2.m2.3.3.2.2.2" xref="S3.p1.2.m2.3.3.2.2.2.cmml">G</mi><mrow id="S3.p1.2.m2.3.3.2.2.3" xref="S3.p1.2.m2.3.3.2.2.3.cmml"><mi id="S3.p1.2.m2.3.3.2.2.3.2" xref="S3.p1.2.m2.3.3.2.2.3.2.cmml">N</mi><mo id="S3.p1.2.m2.3.3.2.2.3.1" xref="S3.p1.2.m2.3.3.2.2.3.1.cmml">−</mo><mn id="S3.p1.2.m2.3.3.2.2.3.3" xref="S3.p1.2.m2.3.3.2.2.3.3.cmml">1</mn></mrow></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p1.2.m2.3b"><list id="S3.p1.2.m2.3.3.3.cmml" xref="S3.p1.2.m2.3.3.2"><apply id="S3.p1.2.m2.2.2.1.1.cmml" xref="S3.p1.2.m2.2.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p1.2.m2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S3.p1.2.m2.2.2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.p1.2.m2.2.2.1.1.2.cmml" xref="S3.p1.2.m2.2.2.1.1.2">𝐺</ci><cn id="S3.p1.2.m2.2.2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.p1.2.m2.2.2.1.1.3">1</cn></apply><ci id="S3.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.p1.2.m2.1.1">…</ci><apply id="S3.p1.2.m2.3.3.2.2.cmml" xref="S3.p1.2.m2.3.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p1.2.m2.3.3.2.2.1.cmml" xref="S3.p1.2.m2.3.3.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.p1.2.m2.3.3.2.2.2.cmml" xref="S3.p1.2.m2.3.3.2.2.2">𝐺</ci><apply id="S3.p1.2.m2.3.3.2.2.3.cmml" xref="S3.p1.2.m2.3.3.2.2.3"><minus id="S3.p1.2.m2.3.3.2.2.3.1.cmml" xref="S3.p1.2.m2.3.3.2.2.3.1"></minus><ci id="S3.p1.2.m2.3.3.2.2.3.2.cmml" xref="S3.p1.2.m2.3.3.2.2.3.2">𝑁</ci><cn id="S3.p1.2.m2.3.3.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.p1.2.m2.3.3.2.2.3.3">1</cn></apply></apply></list></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p1.2.m2.3c">G_{1},...,G_{N-1}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p1.2.m2.3d">italic_G start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , … , italic_G start_POSTSUBSCRIPT italic_N - 1 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, where gate <math alttext="G_{i}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p1.3.m3.1"><semantics id="S3.p1.3.m3.1a"><msub id="S3.p1.3.m3.1.1" xref="S3.p1.3.m3.1.1.cmml"><mi id="S3.p1.3.m3.1.1.2" xref="S3.p1.3.m3.1.1.2.cmml">G</mi><mi id="S3.p1.3.m3.1.1.3" xref="S3.p1.3.m3.1.1.3.cmml">i</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p1.3.m3.1b"><apply id="S3.p1.3.m3.1.1.cmml" xref="S3.p1.3.m3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p1.3.m3.1.1.1.cmml" xref="S3.p1.3.m3.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.p1.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S3.p1.3.m3.1.1.2">𝐺</ci><ci id="S3.p1.3.m3.1.1.3.cmml" xref="S3.p1.3.m3.1.1.3">𝑖</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p1.3.m3.1c">G_{i}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p1.3.m3.1d">italic_G start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> acts on sites <math alttext="i,i+1" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p1.4.m4.2"><semantics id="S3.p1.4.m4.2a"><mrow id="S3.p1.4.m4.2.2.1" xref="S3.p1.4.m4.2.2.2.cmml"><mi id="S3.p1.4.m4.1.1" xref="S3.p1.4.m4.1.1.cmml">i</mi><mo id="S3.p1.4.m4.2.2.1.2" xref="S3.p1.4.m4.2.2.2.cmml">,</mo><mrow id="S3.p1.4.m4.2.2.1.1" xref="S3.p1.4.m4.2.2.1.1.cmml"><mi id="S3.p1.4.m4.2.2.1.1.2" xref="S3.p1.4.m4.2.2.1.1.2.cmml">i</mi><mo id="S3.p1.4.m4.2.2.1.1.1" xref="S3.p1.4.m4.2.2.1.1.1.cmml">+</mo><mn id="S3.p1.4.m4.2.2.1.1.3" xref="S3.p1.4.m4.2.2.1.1.3.cmml">1</mn></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p1.4.m4.2b"><list id="S3.p1.4.m4.2.2.2.cmml" xref="S3.p1.4.m4.2.2.1"><ci id="S3.p1.4.m4.1.1.cmml" xref="S3.p1.4.m4.1.1">𝑖</ci><apply id="S3.p1.4.m4.2.2.1.1.cmml" xref="S3.p1.4.m4.2.2.1.1"><plus id="S3.p1.4.m4.2.2.1.1.1.cmml" xref="S3.p1.4.m4.2.2.1.1.1"></plus><ci id="S3.p1.4.m4.2.2.1.1.2.cmml" xref="S3.p1.4.m4.2.2.1.1.2">𝑖</ci><cn id="S3.p1.4.m4.2.2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.p1.4.m4.2.2.1.1.3">1</cn></apply></list></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p1.4.m4.2c">i,i+1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p1.4.m4.2d">italic_i , italic_i + 1</annotation></semantics></math> (see Figure <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#S3.F3" title="Figure 3 ‣ III Bounding the staircase by a single gate ‣ Conditional 𝑡-independent spectral gap for random quantum circuits and implications for 𝑡-design depths"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">3</span></a>a.)</p> </div> <div class="ltx_para" id="S3.p2"> <p class="ltx_p" id="S3.p2.5">Let <math alttext="\Pi_{i}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p2.1.m1.1"><semantics id="S3.p2.1.m1.1a"><msub id="S3.p2.1.m1.1.1" xref="S3.p2.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S3.p2.1.m1.1.1.2" mathvariant="normal" xref="S3.p2.1.m1.1.1.2.cmml">Π</mi><mi id="S3.p2.1.m1.1.1.3" xref="S3.p2.1.m1.1.1.3.cmml">i</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p2.1.m1.1b"><apply id="S3.p2.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.p2.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p2.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.p2.1.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.p2.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.p2.1.m1.1.1.2">Π</ci><ci id="S3.p2.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S3.p2.1.m1.1.1.3">𝑖</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p2.1.m1.1c">\Pi_{i}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p2.1.m1.1d">roman_Π start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> be the orthogonal projector to the span of the uniform permutations on the first <math alttext="i" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p2.2.m2.1"><semantics id="S3.p2.2.m2.1a"><mi id="S3.p2.2.m2.1.1" xref="S3.p2.2.m2.1.1.cmml">i</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p2.2.m2.1b"><ci id="S3.p2.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.p2.2.m2.1.1">𝑖</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p2.2.m2.1c">i</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p2.2.m2.1d">italic_i</annotation></semantics></math> sites. Since the permutation states which are uniform on the first <math alttext="i" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p2.3.m3.1"><semantics id="S3.p2.3.m3.1a"><mi id="S3.p2.3.m3.1.1" xref="S3.p2.3.m3.1.1.cmml">i</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p2.3.m3.1b"><ci id="S3.p2.3.m3.1.1.cmml" xref="S3.p2.3.m3.1.1">𝑖</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p2.3.m3.1c">i</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p2.3.m3.1d">italic_i</annotation></semantics></math> sites are a subset of the permutation states which are uniform on the first <math alttext="i+1" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p2.4.m4.1"><semantics id="S3.p2.4.m4.1a"><mrow id="S3.p2.4.m4.1.1" xref="S3.p2.4.m4.1.1.cmml"><mi id="S3.p2.4.m4.1.1.2" xref="S3.p2.4.m4.1.1.2.cmml">i</mi><mo id="S3.p2.4.m4.1.1.1" xref="S3.p2.4.m4.1.1.1.cmml">+</mo><mn id="S3.p2.4.m4.1.1.3" xref="S3.p2.4.m4.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p2.4.m4.1b"><apply id="S3.p2.4.m4.1.1.cmml" xref="S3.p2.4.m4.1.1"><plus id="S3.p2.4.m4.1.1.1.cmml" xref="S3.p2.4.m4.1.1.1"></plus><ci id="S3.p2.4.m4.1.1.2.cmml" xref="S3.p2.4.m4.1.1.2">𝑖</ci><cn id="S3.p2.4.m4.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.p2.4.m4.1.1.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p2.4.m4.1c">i+1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p2.4.m4.1d">italic_i + 1</annotation></semantics></math> sites, we have a hierarchy on the <math alttext="\Pi_{i}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p2.5.m5.1"><semantics id="S3.p2.5.m5.1a"><msub id="S3.p2.5.m5.1.1" xref="S3.p2.5.m5.1.1.cmml"><mi id="S3.p2.5.m5.1.1.2" mathvariant="normal" xref="S3.p2.5.m5.1.1.2.cmml">Π</mi><mi id="S3.p2.5.m5.1.1.3" xref="S3.p2.5.m5.1.1.3.cmml">i</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p2.5.m5.1b"><apply id="S3.p2.5.m5.1.1.cmml" xref="S3.p2.5.m5.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p2.5.m5.1.1.1.cmml" xref="S3.p2.5.m5.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.p2.5.m5.1.1.2.cmml" xref="S3.p2.5.m5.1.1.2">Π</ci><ci id="S3.p2.5.m5.1.1.3.cmml" xref="S3.p2.5.m5.1.1.3">𝑖</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p2.5.m5.1c">\Pi_{i}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p2.5.m5.1d">roman_Π start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>.</p> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_lemma" id="Thmtheorem12"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmtheorem12.1.1.1">Lemma 12</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmtheorem12.2.2">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="Thmtheorem12.p1"> <p class="ltx_p" id="Thmtheorem12.p1.1"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmtheorem12.p1.1.1">The projectors and gate follow a subspace hierarchy:</span></p> <ul class="ltx_itemize" id="S3.I1"> <li class="ltx_item" id="S3.I1.i1" style="list-style-type:none;"> <span class="ltx_tag ltx_tag_item">•</span> <div class="ltx_para" id="S3.I1.i1.p1"> <p class="ltx_p" id="S3.I1.i1.p1.2"><math alttext="\Pi_{i}\Pi_{j}=\Pi_{j}\Pi_{i}=\Pi_{j}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I1.i1.p1.1.m1.1"><semantics id="S3.I1.i1.p1.1.m1.1a"><mrow id="S3.I1.i1.p1.1.m1.1.1" xref="S3.I1.i1.p1.1.m1.1.1.cmml"><mrow id="S3.I1.i1.p1.1.m1.1.1.2" xref="S3.I1.i1.p1.1.m1.1.1.2.cmml"><msub id="S3.I1.i1.p1.1.m1.1.1.2.2" xref="S3.I1.i1.p1.1.m1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S3.I1.i1.p1.1.m1.1.1.2.2.2" mathvariant="normal" xref="S3.I1.i1.p1.1.m1.1.1.2.2.2.cmml">Π</mi><mi id="S3.I1.i1.p1.1.m1.1.1.2.2.3" xref="S3.I1.i1.p1.1.m1.1.1.2.2.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S3.I1.i1.p1.1.m1.1.1.2.1" xref="S3.I1.i1.p1.1.m1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.I1.i1.p1.1.m1.1.1.2.3" xref="S3.I1.i1.p1.1.m1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S3.I1.i1.p1.1.m1.1.1.2.3.2" mathvariant="normal" xref="S3.I1.i1.p1.1.m1.1.1.2.3.2.cmml">Π</mi><mi id="S3.I1.i1.p1.1.m1.1.1.2.3.3" xref="S3.I1.i1.p1.1.m1.1.1.2.3.3.cmml">j</mi></msub></mrow><mo id="S3.I1.i1.p1.1.m1.1.1.3" xref="S3.I1.i1.p1.1.m1.1.1.3.cmml">=</mo><mrow id="S3.I1.i1.p1.1.m1.1.1.4" xref="S3.I1.i1.p1.1.m1.1.1.4.cmml"><msub id="S3.I1.i1.p1.1.m1.1.1.4.2" xref="S3.I1.i1.p1.1.m1.1.1.4.2.cmml"><mi id="S3.I1.i1.p1.1.m1.1.1.4.2.2" mathvariant="normal" xref="S3.I1.i1.p1.1.m1.1.1.4.2.2.cmml">Π</mi><mi id="S3.I1.i1.p1.1.m1.1.1.4.2.3" xref="S3.I1.i1.p1.1.m1.1.1.4.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S3.I1.i1.p1.1.m1.1.1.4.1" xref="S3.I1.i1.p1.1.m1.1.1.4.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.I1.i1.p1.1.m1.1.1.4.3" xref="S3.I1.i1.p1.1.m1.1.1.4.3.cmml"><mi id="S3.I1.i1.p1.1.m1.1.1.4.3.2" mathvariant="normal" xref="S3.I1.i1.p1.1.m1.1.1.4.3.2.cmml">Π</mi><mi id="S3.I1.i1.p1.1.m1.1.1.4.3.3" xref="S3.I1.i1.p1.1.m1.1.1.4.3.3.cmml">i</mi></msub></mrow><mo id="S3.I1.i1.p1.1.m1.1.1.5" xref="S3.I1.i1.p1.1.m1.1.1.5.cmml">=</mo><msub id="S3.I1.i1.p1.1.m1.1.1.6" xref="S3.I1.i1.p1.1.m1.1.1.6.cmml"><mi id="S3.I1.i1.p1.1.m1.1.1.6.2" mathvariant="normal" xref="S3.I1.i1.p1.1.m1.1.1.6.2.cmml">Π</mi><mi id="S3.I1.i1.p1.1.m1.1.1.6.3" xref="S3.I1.i1.p1.1.m1.1.1.6.3.cmml">j</mi></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I1.i1.p1.1.m1.1b"><apply id="S3.I1.i1.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.1.m1.1.1"><and id="S3.I1.i1.p1.1.m1.1.1a.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.1.m1.1.1"></and><apply id="S3.I1.i1.p1.1.m1.1.1b.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.1.m1.1.1"><eq id="S3.I1.i1.p1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.1.m1.1.1.3"></eq><apply id="S3.I1.i1.p1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.1.m1.1.1.2"><times id="S3.I1.i1.p1.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.1.m1.1.1.2.1"></times><apply id="S3.I1.i1.p1.1.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.1.m1.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I1.i1.p1.1.m1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.1.m1.1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.I1.i1.p1.1.m1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.1.m1.1.1.2.2.2">Π</ci><ci id="S3.I1.i1.p1.1.m1.1.1.2.2.3.cmml" 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xref="S3.I1.i2.p1.1.m1.1.1"><eq id="S3.I1.i2.p1.1.m1.1.1.5.cmml" xref="S3.I1.i2.p1.1.m1.1.1.5"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#S3.I1.i2.p1.1.m1.1.1.4.cmml" id="S3.I1.i2.p1.1.m1.1.1d.cmml" xref="S3.I1.i2.p1.1.m1.1.1"></share><apply id="S3.I1.i2.p1.1.m1.1.1.6.cmml" xref="S3.I1.i2.p1.1.m1.1.1.6"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I1.i2.p1.1.m1.1.1.6.1.cmml" xref="S3.I1.i2.p1.1.m1.1.1.6">subscript</csymbol><ci id="S3.I1.i2.p1.1.m1.1.1.6.2.cmml" xref="S3.I1.i2.p1.1.m1.1.1.6.2">Π</ci><ci id="S3.I1.i2.p1.1.m1.1.1.6.3.cmml" xref="S3.I1.i2.p1.1.m1.1.1.6.3">𝑗</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I1.i2.p1.1.m1.1c">\Pi_{j}G_{i}=G_{i}\Pi_{j}=\Pi_{j}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I1.i2.p1.1.m1.1d">roman_Π start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT italic_G start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT = italic_G start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT roman_Π start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT = roman_Π start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S3.I1.i2.p1.2.1"> for all </span><math alttext="i<j" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I1.i2.p1.2.m2.1"><semantics id="S3.I1.i2.p1.2.m2.1a"><mrow id="S3.I1.i2.p1.2.m2.1.1" xref="S3.I1.i2.p1.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S3.I1.i2.p1.2.m2.1.1.2" xref="S3.I1.i2.p1.2.m2.1.1.2.cmml">i</mi><mo id="S3.I1.i2.p1.2.m2.1.1.1" xref="S3.I1.i2.p1.2.m2.1.1.1.cmml"><</mo><mi id="S3.I1.i2.p1.2.m2.1.1.3" xref="S3.I1.i2.p1.2.m2.1.1.3.cmml">j</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I1.i2.p1.2.m2.1b"><apply id="S3.I1.i2.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.I1.i2.p1.2.m2.1.1"><lt id="S3.I1.i2.p1.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S3.I1.i2.p1.2.m2.1.1.1"></lt><ci id="S3.I1.i2.p1.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S3.I1.i2.p1.2.m2.1.1.2">𝑖</ci><ci id="S3.I1.i2.p1.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S3.I1.i2.p1.2.m2.1.1.3">𝑗</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I1.i2.p1.2.m2.1c">i<j</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I1.i2.p1.2.m2.1d">italic_i < italic_j</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S3.I1.i2.p1.2.2">.</span></p> </div> </li> </ul> </div> </div> <div class="ltx_para" id="S3.p3"> <p class="ltx_p" id="S3.p3.3">With this lemma, we define</p> <ul class="ltx_itemize" id="S3.I2"> <li class="ltx_item" id="S3.I2.i1" style="list-style-type:none;"> <span class="ltx_tag ltx_tag_item">•</span> <div class="ltx_para" id="S3.I2.i1.p1"> <p class="ltx_p" id="S3.I2.i1.p1.5"><math alttext="P_{i}=\Pi_{i}-\Pi_{i+1}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I2.i1.p1.1.m1.1"><semantics id="S3.I2.i1.p1.1.m1.1a"><mrow id="S3.I2.i1.p1.1.m1.1.1" xref="S3.I2.i1.p1.1.m1.1.1.cmml"><msub id="S3.I2.i1.p1.1.m1.1.1.2" xref="S3.I2.i1.p1.1.m1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.I2.i1.p1.1.m1.1.1.2.2" xref="S3.I2.i1.p1.1.m1.1.1.2.2.cmml">P</mi><mi id="S3.I2.i1.p1.1.m1.1.1.2.3" xref="S3.I2.i1.p1.1.m1.1.1.2.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S3.I2.i1.p1.1.m1.1.1.1" xref="S3.I2.i1.p1.1.m1.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S3.I2.i1.p1.1.m1.1.1.3" xref="S3.I2.i1.p1.1.m1.1.1.3.cmml"><msub id="S3.I2.i1.p1.1.m1.1.1.3.2" xref="S3.I2.i1.p1.1.m1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S3.I2.i1.p1.1.m1.1.1.3.2.2" mathvariant="normal" xref="S3.I2.i1.p1.1.m1.1.1.3.2.2.cmml">Π</mi><mi id="S3.I2.i1.p1.1.m1.1.1.3.2.3" xref="S3.I2.i1.p1.1.m1.1.1.3.2.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S3.I2.i1.p1.1.m1.1.1.3.1" xref="S3.I2.i1.p1.1.m1.1.1.3.1.cmml">−</mo><msub id="S3.I2.i1.p1.1.m1.1.1.3.3" xref="S3.I2.i1.p1.1.m1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S3.I2.i1.p1.1.m1.1.1.3.3.2" mathvariant="normal" xref="S3.I2.i1.p1.1.m1.1.1.3.3.2.cmml">Π</mi><mrow id="S3.I2.i1.p1.1.m1.1.1.3.3.3" xref="S3.I2.i1.p1.1.m1.1.1.3.3.3.cmml"><mi id="S3.I2.i1.p1.1.m1.1.1.3.3.3.2" xref="S3.I2.i1.p1.1.m1.1.1.3.3.3.2.cmml">i</mi><mo id="S3.I2.i1.p1.1.m1.1.1.3.3.3.1" xref="S3.I2.i1.p1.1.m1.1.1.3.3.3.1.cmml">+</mo><mn id="S3.I2.i1.p1.1.m1.1.1.3.3.3.3" xref="S3.I2.i1.p1.1.m1.1.1.3.3.3.3.cmml">1</mn></mrow></msub></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I2.i1.p1.1.m1.1b"><apply id="S3.I2.i1.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.I2.i1.p1.1.m1.1.1"><eq id="S3.I2.i1.p1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.I2.i1.p1.1.m1.1.1.1"></eq><apply id="S3.I2.i1.p1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.I2.i1.p1.1.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I2.i1.p1.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.I2.i1.p1.1.m1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S3.I2.i1.p1.1.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.I2.i1.p1.1.m1.1.1.2.2">𝑃</ci><ci id="S3.I2.i1.p1.1.m1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.I2.i1.p1.1.m1.1.1.2.3">𝑖</ci></apply><apply id="S3.I2.i1.p1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S3.I2.i1.p1.1.m1.1.1.3"><minus id="S3.I2.i1.p1.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.I2.i1.p1.1.m1.1.1.3.1"></minus><apply id="S3.I2.i1.p1.1.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.I2.i1.p1.1.m1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I2.i1.p1.1.m1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S3.I2.i1.p1.1.m1.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S3.I2.i1.p1.1.m1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S3.I2.i1.p1.1.m1.1.1.3.2.2">Π</ci><ci id="S3.I2.i1.p1.1.m1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S3.I2.i1.p1.1.m1.1.1.3.2.3">𝑖</ci></apply><apply id="S3.I2.i1.p1.1.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.I2.i1.p1.1.m1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I2.i1.p1.1.m1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.I2.i1.p1.1.m1.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S3.I2.i1.p1.1.m1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S3.I2.i1.p1.1.m1.1.1.3.3.2">Π</ci><apply id="S3.I2.i1.p1.1.m1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S3.I2.i1.p1.1.m1.1.1.3.3.3"><plus id="S3.I2.i1.p1.1.m1.1.1.3.3.3.1.cmml" xref="S3.I2.i1.p1.1.m1.1.1.3.3.3.1"></plus><ci id="S3.I2.i1.p1.1.m1.1.1.3.3.3.2.cmml" xref="S3.I2.i1.p1.1.m1.1.1.3.3.3.2">𝑖</ci><cn id="S3.I2.i1.p1.1.m1.1.1.3.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.I2.i1.p1.1.m1.1.1.3.3.3.3">1</cn></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I2.i1.p1.1.m1.1c">P_{i}=\Pi_{i}-\Pi_{i+1}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I2.i1.p1.1.m1.1d">italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT = roman_Π start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT - roman_Π start_POSTSUBSCRIPT italic_i + 1 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> is the projector onto states which are uniform on the first <math alttext="i" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I2.i1.p1.2.m2.1"><semantics id="S3.I2.i1.p1.2.m2.1a"><mi id="S3.I2.i1.p1.2.m2.1.1" xref="S3.I2.i1.p1.2.m2.1.1.cmml">i</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I2.i1.p1.2.m2.1b"><ci id="S3.I2.i1.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.I2.i1.p1.2.m2.1.1">𝑖</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I2.i1.p1.2.m2.1c">i</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I2.i1.p1.2.m2.1d">italic_i</annotation></semantics></math> sites, but orthogonally not uniform on the first <math alttext="i+1" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I2.i1.p1.3.m3.1"><semantics id="S3.I2.i1.p1.3.m3.1a"><mrow id="S3.I2.i1.p1.3.m3.1.1" xref="S3.I2.i1.p1.3.m3.1.1.cmml"><mi id="S3.I2.i1.p1.3.m3.1.1.2" xref="S3.I2.i1.p1.3.m3.1.1.2.cmml">i</mi><mo id="S3.I2.i1.p1.3.m3.1.1.1" xref="S3.I2.i1.p1.3.m3.1.1.1.cmml">+</mo><mn id="S3.I2.i1.p1.3.m3.1.1.3" xref="S3.I2.i1.p1.3.m3.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I2.i1.p1.3.m3.1b"><apply id="S3.I2.i1.p1.3.m3.1.1.cmml" xref="S3.I2.i1.p1.3.m3.1.1"><plus id="S3.I2.i1.p1.3.m3.1.1.1.cmml" xref="S3.I2.i1.p1.3.m3.1.1.1"></plus><ci id="S3.I2.i1.p1.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S3.I2.i1.p1.3.m3.1.1.2">𝑖</ci><cn id="S3.I2.i1.p1.3.m3.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.I2.i1.p1.3.m3.1.1.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I2.i1.p1.3.m3.1c">i+1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I2.i1.p1.3.m3.1d">italic_i + 1</annotation></semantics></math> sites. We will define <math alttext="\Pi_{N+1}=0" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I2.i1.p1.4.m4.1"><semantics id="S3.I2.i1.p1.4.m4.1a"><mrow id="S3.I2.i1.p1.4.m4.1.1" xref="S3.I2.i1.p1.4.m4.1.1.cmml"><msub id="S3.I2.i1.p1.4.m4.1.1.2" xref="S3.I2.i1.p1.4.m4.1.1.2.cmml"><mi id="S3.I2.i1.p1.4.m4.1.1.2.2" mathvariant="normal" xref="S3.I2.i1.p1.4.m4.1.1.2.2.cmml">Π</mi><mrow id="S3.I2.i1.p1.4.m4.1.1.2.3" xref="S3.I2.i1.p1.4.m4.1.1.2.3.cmml"><mi id="S3.I2.i1.p1.4.m4.1.1.2.3.2" xref="S3.I2.i1.p1.4.m4.1.1.2.3.2.cmml">N</mi><mo id="S3.I2.i1.p1.4.m4.1.1.2.3.1" xref="S3.I2.i1.p1.4.m4.1.1.2.3.1.cmml">+</mo><mn id="S3.I2.i1.p1.4.m4.1.1.2.3.3" xref="S3.I2.i1.p1.4.m4.1.1.2.3.3.cmml">1</mn></mrow></msub><mo id="S3.I2.i1.p1.4.m4.1.1.1" xref="S3.I2.i1.p1.4.m4.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S3.I2.i1.p1.4.m4.1.1.3" xref="S3.I2.i1.p1.4.m4.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I2.i1.p1.4.m4.1b"><apply id="S3.I2.i1.p1.4.m4.1.1.cmml" xref="S3.I2.i1.p1.4.m4.1.1"><eq id="S3.I2.i1.p1.4.m4.1.1.1.cmml" xref="S3.I2.i1.p1.4.m4.1.1.1"></eq><apply id="S3.I2.i1.p1.4.m4.1.1.2.cmml" xref="S3.I2.i1.p1.4.m4.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I2.i1.p1.4.m4.1.1.2.1.cmml" xref="S3.I2.i1.p1.4.m4.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S3.I2.i1.p1.4.m4.1.1.2.2.cmml" xref="S3.I2.i1.p1.4.m4.1.1.2.2">Π</ci><apply id="S3.I2.i1.p1.4.m4.1.1.2.3.cmml" xref="S3.I2.i1.p1.4.m4.1.1.2.3"><plus id="S3.I2.i1.p1.4.m4.1.1.2.3.1.cmml" xref="S3.I2.i1.p1.4.m4.1.1.2.3.1"></plus><ci id="S3.I2.i1.p1.4.m4.1.1.2.3.2.cmml" xref="S3.I2.i1.p1.4.m4.1.1.2.3.2">𝑁</ci><cn id="S3.I2.i1.p1.4.m4.1.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.I2.i1.p1.4.m4.1.1.2.3.3">1</cn></apply></apply><cn id="S3.I2.i1.p1.4.m4.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.I2.i1.p1.4.m4.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I2.i1.p1.4.m4.1c">\Pi_{N+1}=0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I2.i1.p1.4.m4.1d">roman_Π start_POSTSUBSCRIPT italic_N + 1 end_POSTSUBSCRIPT = 0</annotation></semantics></math>, so that <math alttext="P_{N}=\Pi_{N}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I2.i1.p1.5.m5.1"><semantics id="S3.I2.i1.p1.5.m5.1a"><mrow id="S3.I2.i1.p1.5.m5.1.1" xref="S3.I2.i1.p1.5.m5.1.1.cmml"><msub id="S3.I2.i1.p1.5.m5.1.1.2" xref="S3.I2.i1.p1.5.m5.1.1.2.cmml"><mi id="S3.I2.i1.p1.5.m5.1.1.2.2" xref="S3.I2.i1.p1.5.m5.1.1.2.2.cmml">P</mi><mi id="S3.I2.i1.p1.5.m5.1.1.2.3" xref="S3.I2.i1.p1.5.m5.1.1.2.3.cmml">N</mi></msub><mo id="S3.I2.i1.p1.5.m5.1.1.1" xref="S3.I2.i1.p1.5.m5.1.1.1.cmml">=</mo><msub id="S3.I2.i1.p1.5.m5.1.1.3" xref="S3.I2.i1.p1.5.m5.1.1.3.cmml"><mi id="S3.I2.i1.p1.5.m5.1.1.3.2" mathvariant="normal" xref="S3.I2.i1.p1.5.m5.1.1.3.2.cmml">Π</mi><mi id="S3.I2.i1.p1.5.m5.1.1.3.3" xref="S3.I2.i1.p1.5.m5.1.1.3.3.cmml">N</mi></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I2.i1.p1.5.m5.1b"><apply id="S3.I2.i1.p1.5.m5.1.1.cmml" xref="S3.I2.i1.p1.5.m5.1.1"><eq id="S3.I2.i1.p1.5.m5.1.1.1.cmml" xref="S3.I2.i1.p1.5.m5.1.1.1"></eq><apply id="S3.I2.i1.p1.5.m5.1.1.2.cmml" xref="S3.I2.i1.p1.5.m5.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I2.i1.p1.5.m5.1.1.2.1.cmml" xref="S3.I2.i1.p1.5.m5.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S3.I2.i1.p1.5.m5.1.1.2.2.cmml" xref="S3.I2.i1.p1.5.m5.1.1.2.2">𝑃</ci><ci id="S3.I2.i1.p1.5.m5.1.1.2.3.cmml" xref="S3.I2.i1.p1.5.m5.1.1.2.3">𝑁</ci></apply><apply id="S3.I2.i1.p1.5.m5.1.1.3.cmml" xref="S3.I2.i1.p1.5.m5.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I2.i1.p1.5.m5.1.1.3.1.cmml" xref="S3.I2.i1.p1.5.m5.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.I2.i1.p1.5.m5.1.1.3.2.cmml" xref="S3.I2.i1.p1.5.m5.1.1.3.2">Π</ci><ci id="S3.I2.i1.p1.5.m5.1.1.3.3.cmml" xref="S3.I2.i1.p1.5.m5.1.1.3.3">𝑁</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I2.i1.p1.5.m5.1c">P_{N}=\Pi_{N}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I2.i1.p1.5.m5.1d">italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_N end_POSTSUBSCRIPT = roman_Π start_POSTSUBSCRIPT italic_N end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>. This is consistent with Lemma <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#Thmtheorem12" title="Lemma 12. ‣ III Bounding the staircase by a single gate ‣ Conditional 𝑡-independent spectral gap for random quantum circuits and implications for 𝑡-design depths"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">12</span></a>.</p> </div> </li> <li class="ltx_item" id="S3.I2.i2" style="list-style-type:none;"> <span class="ltx_tag ltx_tag_item">•</span> <div class="ltx_para" id="S3.I2.i2.p1"> <p class="ltx_p" id="S3.I2.i2.p1.5"><math alttext="\lambda_{i}=||P_{i}G_{i}P_{i}||_{\infty}=||\Pi_{i}G_{i}\Pi_{i}-\Pi_{i+1}||_{\infty}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I2.i2.p1.1.m1.2"><semantics id="S3.I2.i2.p1.1.m1.2a"><mrow id="S3.I2.i2.p1.1.m1.2.2" xref="S3.I2.i2.p1.1.m1.2.2.cmml"><msub id="S3.I2.i2.p1.1.m1.2.2.4" xref="S3.I2.i2.p1.1.m1.2.2.4.cmml"><mi id="S3.I2.i2.p1.1.m1.2.2.4.2" xref="S3.I2.i2.p1.1.m1.2.2.4.2.cmml">λ</mi><mi id="S3.I2.i2.p1.1.m1.2.2.4.3" xref="S3.I2.i2.p1.1.m1.2.2.4.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S3.I2.i2.p1.1.m1.2.2.5" xref="S3.I2.i2.p1.1.m1.2.2.5.cmml">=</mo><msub id="S3.I2.i2.p1.1.m1.1.1.1" xref="S3.I2.i2.p1.1.m1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.I2.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1" xref="S3.I2.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.I2.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.I2.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo><mrow id="S3.I2.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.I2.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S3.I2.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.I2.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.I2.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.I2.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">P</mi><mi id="S3.I2.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S3.I2.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S3.I2.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.I2.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.I2.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.I2.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.I2.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.I2.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">G</mi><mi id="S3.I2.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.I2.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S3.I2.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1a" xref="S3.I2.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.I2.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.4" xref="S3.I2.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="S3.I2.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.4.2" xref="S3.I2.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml">P</mi><mi id="S3.I2.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.4.3" xref="S3.I2.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml">i</mi></msub></mrow><mo id="S3.I2.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.I2.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo></mrow><mi id="S3.I2.i2.p1.1.m1.1.1.1.3" mathvariant="normal" xref="S3.I2.i2.p1.1.m1.1.1.1.3.cmml">∞</mi></msub><mo id="S3.I2.i2.p1.1.m1.2.2.6" xref="S3.I2.i2.p1.1.m1.2.2.6.cmml">=</mo><msub id="S3.I2.i2.p1.1.m1.2.2.2" xref="S3.I2.i2.p1.1.m1.2.2.2.cmml"><mrow id="S3.I2.i2.p1.1.m1.2.2.2.1.1" xref="S3.I2.i2.p1.1.m1.2.2.2.1.2.cmml"><mo id="S3.I2.i2.p1.1.m1.2.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.I2.i2.p1.1.m1.2.2.2.1.2.1.cmml">‖</mo><mrow id="S3.I2.i2.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1" xref="S3.I2.i2.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.I2.i2.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.2" xref="S3.I2.i2.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.2.cmml"><msub id="S3.I2.i2.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.2.2" xref="S3.I2.i2.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S3.I2.i2.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.2.2.2" mathvariant="normal" xref="S3.I2.i2.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.2.2.2.cmml">Π</mi><mi id="S3.I2.i2.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.2.2.3" xref="S3.I2.i2.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.2.2.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S3.I2.i2.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.2.1" xref="S3.I2.i2.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.I2.i2.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.2.3" xref="S3.I2.i2.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S3.I2.i2.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.2.3.2" xref="S3.I2.i2.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.2.3.2.cmml">G</mi><mi id="S3.I2.i2.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.2.3.3" xref="S3.I2.i2.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.2.3.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S3.I2.i2.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.2.1a" xref="S3.I2.i2.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.I2.i2.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.2.4" xref="S3.I2.i2.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.2.4.cmml"><mi id="S3.I2.i2.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.2.4.2" mathvariant="normal" xref="S3.I2.i2.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.2.4.2.cmml">Π</mi><mi id="S3.I2.i2.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.2.4.3" xref="S3.I2.i2.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.2.4.3.cmml">i</mi></msub></mrow><mo id="S3.I2.i2.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.1" xref="S3.I2.i2.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.1.cmml">−</mo><msub id="S3.I2.i2.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.3" xref="S3.I2.i2.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.I2.i2.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.3.2" mathvariant="normal" xref="S3.I2.i2.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.3.2.cmml">Π</mi><mrow id="S3.I2.i2.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.3.3" xref="S3.I2.i2.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S3.I2.i2.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.3.3.2" xref="S3.I2.i2.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.3.3.2.cmml">i</mi><mo id="S3.I2.i2.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.3.3.1" xref="S3.I2.i2.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.3.3.1.cmml">+</mo><mn id="S3.I2.i2.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.3.3.3" xref="S3.I2.i2.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.3.3.3.cmml">1</mn></mrow></msub></mrow><mo id="S3.I2.i2.p1.1.m1.2.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.I2.i2.p1.1.m1.2.2.2.1.2.1.cmml">‖</mo></mrow><mi id="S3.I2.i2.p1.1.m1.2.2.2.3" mathvariant="normal" xref="S3.I2.i2.p1.1.m1.2.2.2.3.cmml">∞</mi></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I2.i2.p1.1.m1.2b"><apply id="S3.I2.i2.p1.1.m1.2.2.cmml" xref="S3.I2.i2.p1.1.m1.2.2"><and id="S3.I2.i2.p1.1.m1.2.2a.cmml" xref="S3.I2.i2.p1.1.m1.2.2"></and><apply id="S3.I2.i2.p1.1.m1.2.2b.cmml" xref="S3.I2.i2.p1.1.m1.2.2"><eq id="S3.I2.i2.p1.1.m1.2.2.5.cmml" xref="S3.I2.i2.p1.1.m1.2.2.5"></eq><apply id="S3.I2.i2.p1.1.m1.2.2.4.cmml" xref="S3.I2.i2.p1.1.m1.2.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I2.i2.p1.1.m1.2.2.4.1.cmml" xref="S3.I2.i2.p1.1.m1.2.2.4">subscript</csymbol><ci id="S3.I2.i2.p1.1.m1.2.2.4.2.cmml" xref="S3.I2.i2.p1.1.m1.2.2.4.2">𝜆</ci><ci id="S3.I2.i2.p1.1.m1.2.2.4.3.cmml" xref="S3.I2.i2.p1.1.m1.2.2.4.3">𝑖</ci></apply><apply id="S3.I2.i2.p1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.I2.i2.p1.1.m1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I2.i2.p1.1.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.I2.i2.p1.1.m1.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="S3.I2.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.I2.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.I2.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.I2.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.2">norm</csymbol><apply id="S3.I2.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.I2.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1"><times id="S3.I2.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.I2.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1"></times><apply id="S3.I2.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.I2.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I2.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.I2.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S3.I2.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.I2.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝑃</ci><ci id="S3.I2.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.I2.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.3">𝑖</ci></apply><apply id="S3.I2.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.I2.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I2.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.I2.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.I2.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.I2.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝐺</ci><ci id="S3.I2.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.I2.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑖</ci></apply><apply id="S3.I2.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S3.I2.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I2.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="S3.I2.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="S3.I2.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="S3.I2.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.4.2">𝑃</ci><ci id="S3.I2.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml" xref="S3.I2.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.4.3">𝑖</ci></apply></apply></apply><infinity id="S3.I2.i2.p1.1.m1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.I2.i2.p1.1.m1.1.1.1.3"></infinity></apply></apply><apply id="S3.I2.i2.p1.1.m1.2.2c.cmml" xref="S3.I2.i2.p1.1.m1.2.2"><eq id="S3.I2.i2.p1.1.m1.2.2.6.cmml" xref="S3.I2.i2.p1.1.m1.2.2.6"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#S3.I2.i2.p1.1.m1.1.1.1.cmml" id="S3.I2.i2.p1.1.m1.2.2d.cmml" xref="S3.I2.i2.p1.1.m1.2.2"></share><apply id="S3.I2.i2.p1.1.m1.2.2.2.cmml" xref="S3.I2.i2.p1.1.m1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I2.i2.p1.1.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.I2.i2.p1.1.m1.2.2.2">subscript</csymbol><apply id="S3.I2.i2.p1.1.m1.2.2.2.1.2.cmml" xref="S3.I2.i2.p1.1.m1.2.2.2.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.I2.i2.p1.1.m1.2.2.2.1.2.1.cmml" xref="S3.I2.i2.p1.1.m1.2.2.2.1.1.2">norm</csymbol><apply id="S3.I2.i2.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S3.I2.i2.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1"><minus id="S3.I2.i2.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.I2.i2.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.1"></minus><apply id="S3.I2.i2.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S3.I2.i2.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.2"><times id="S3.I2.i2.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.I2.i2.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.2.1"></times><apply id="S3.I2.i2.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.I2.i2.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I2.i2.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.I2.i2.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.I2.i2.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.I2.i2.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.2.2.2">Π</ci><ci id="S3.I2.i2.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S3.I2.i2.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.2.2.3">𝑖</ci></apply><apply id="S3.I2.i2.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.I2.i2.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I2.i2.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S3.I2.i2.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="S3.I2.i2.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S3.I2.i2.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.2.3.2">𝐺</ci><ci id="S3.I2.i2.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S3.I2.i2.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.2.3.3">𝑖</ci></apply><apply id="S3.I2.i2.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.2.4.cmml" xref="S3.I2.i2.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I2.i2.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.2.4.1.cmml" xref="S3.I2.i2.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.2.4">subscript</csymbol><ci id="S3.I2.i2.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.2.4.2.cmml" xref="S3.I2.i2.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.2.4.2">Π</ci><ci id="S3.I2.i2.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.2.4.3.cmml" xref="S3.I2.i2.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.2.4.3">𝑖</ci></apply></apply><apply id="S3.I2.i2.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S3.I2.i2.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I2.i2.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.I2.i2.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.I2.i2.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.I2.i2.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.3.2">Π</ci><apply id="S3.I2.i2.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.I2.i2.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.3.3"><plus id="S3.I2.i2.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.I2.i2.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.3.3.1"></plus><ci id="S3.I2.i2.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S3.I2.i2.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.3.3.2">𝑖</ci><cn id="S3.I2.i2.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.I2.i2.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.3.3.3">1</cn></apply></apply></apply></apply><infinity id="S3.I2.i2.p1.1.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S3.I2.i2.p1.1.m1.2.2.2.3"></infinity></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I2.i2.p1.1.m1.2c">\lambda_{i}=||P_{i}G_{i}P_{i}||_{\infty}=||\Pi_{i}G_{i}\Pi_{i}-\Pi_{i+1}||_{\infty}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I2.i2.p1.1.m1.2d">italic_λ start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT = | | italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT italic_G start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT | | start_POSTSUBSCRIPT ∞ end_POSTSUBSCRIPT = | | roman_Π start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT italic_G start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT roman_Π start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT - roman_Π start_POSTSUBSCRIPT italic_i + 1 end_POSTSUBSCRIPT | | start_POSTSUBSCRIPT ∞ end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> is the leading singular value (and eigenvalue) of <math alttext="G_{i}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I2.i2.p1.2.m2.1"><semantics id="S3.I2.i2.p1.2.m2.1a"><msub id="S3.I2.i2.p1.2.m2.1.1" xref="S3.I2.i2.p1.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S3.I2.i2.p1.2.m2.1.1.2" xref="S3.I2.i2.p1.2.m2.1.1.2.cmml">G</mi><mi id="S3.I2.i2.p1.2.m2.1.1.3" xref="S3.I2.i2.p1.2.m2.1.1.3.cmml">i</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I2.i2.p1.2.m2.1b"><apply id="S3.I2.i2.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.I2.i2.p1.2.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I2.i2.p1.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S3.I2.i2.p1.2.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.I2.i2.p1.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S3.I2.i2.p1.2.m2.1.1.2">𝐺</ci><ci id="S3.I2.i2.p1.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S3.I2.i2.p1.2.m2.1.1.3">𝑖</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I2.i2.p1.2.m2.1c">G_{i}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I2.i2.p1.2.m2.1d">italic_G start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> restricted to the image of <math alttext="P_{i}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I2.i2.p1.3.m3.1"><semantics id="S3.I2.i2.p1.3.m3.1a"><msub id="S3.I2.i2.p1.3.m3.1.1" xref="S3.I2.i2.p1.3.m3.1.1.cmml"><mi id="S3.I2.i2.p1.3.m3.1.1.2" xref="S3.I2.i2.p1.3.m3.1.1.2.cmml">P</mi><mi id="S3.I2.i2.p1.3.m3.1.1.3" xref="S3.I2.i2.p1.3.m3.1.1.3.cmml">i</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I2.i2.p1.3.m3.1b"><apply id="S3.I2.i2.p1.3.m3.1.1.cmml" xref="S3.I2.i2.p1.3.m3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I2.i2.p1.3.m3.1.1.1.cmml" xref="S3.I2.i2.p1.3.m3.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.I2.i2.p1.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S3.I2.i2.p1.3.m3.1.1.2">𝑃</ci><ci id="S3.I2.i2.p1.3.m3.1.1.3.cmml" xref="S3.I2.i2.p1.3.m3.1.1.3">𝑖</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I2.i2.p1.3.m3.1c">P_{i}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I2.i2.p1.3.m3.1d">italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>. Here <math alttext="||A||_{\infty}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I2.i2.p1.4.m4.1"><semantics id="S3.I2.i2.p1.4.m4.1a"><msub id="S3.I2.i2.p1.4.m4.1.2" xref="S3.I2.i2.p1.4.m4.1.2.cmml"><mrow id="S3.I2.i2.p1.4.m4.1.2.2.2" xref="S3.I2.i2.p1.4.m4.1.2.2.1.cmml"><mo id="S3.I2.i2.p1.4.m4.1.2.2.2.1" stretchy="false" xref="S3.I2.i2.p1.4.m4.1.2.2.1.1.cmml">‖</mo><mi id="S3.I2.i2.p1.4.m4.1.1" xref="S3.I2.i2.p1.4.m4.1.1.cmml">A</mi><mo id="S3.I2.i2.p1.4.m4.1.2.2.2.2" stretchy="false" xref="S3.I2.i2.p1.4.m4.1.2.2.1.1.cmml">‖</mo></mrow><mi id="S3.I2.i2.p1.4.m4.1.2.3" mathvariant="normal" xref="S3.I2.i2.p1.4.m4.1.2.3.cmml">∞</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I2.i2.p1.4.m4.1b"><apply id="S3.I2.i2.p1.4.m4.1.2.cmml" xref="S3.I2.i2.p1.4.m4.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I2.i2.p1.4.m4.1.2.1.cmml" xref="S3.I2.i2.p1.4.m4.1.2">subscript</csymbol><apply id="S3.I2.i2.p1.4.m4.1.2.2.1.cmml" xref="S3.I2.i2.p1.4.m4.1.2.2.2"><csymbol cd="latexml" id="S3.I2.i2.p1.4.m4.1.2.2.1.1.cmml" xref="S3.I2.i2.p1.4.m4.1.2.2.2.1">norm</csymbol><ci id="S3.I2.i2.p1.4.m4.1.1.cmml" xref="S3.I2.i2.p1.4.m4.1.1">𝐴</ci></apply><infinity id="S3.I2.i2.p1.4.m4.1.2.3.cmml" xref="S3.I2.i2.p1.4.m4.1.2.3"></infinity></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I2.i2.p1.4.m4.1c">||A||_{\infty}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I2.i2.p1.4.m4.1d">| | italic_A | | start_POSTSUBSCRIPT ∞ end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> denotes the spectral norm of <math alttext="A" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I2.i2.p1.5.m5.1"><semantics id="S3.I2.i2.p1.5.m5.1a"><mi id="S3.I2.i2.p1.5.m5.1.1" xref="S3.I2.i2.p1.5.m5.1.1.cmml">A</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I2.i2.p1.5.m5.1b"><ci id="S3.I2.i2.p1.5.m5.1.1.cmml" xref="S3.I2.i2.p1.5.m5.1.1">𝐴</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I2.i2.p1.5.m5.1c">A</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I2.i2.p1.5.m5.1d">italic_A</annotation></semantics></math>.</p> </div> </li> <li class="ltx_item" id="S3.I2.i3" style="list-style-type:none;"> <span class="ltx_tag ltx_tag_item">•</span> <div class="ltx_para" id="S3.I2.i3.p1"> <p class="ltx_p" id="S3.I2.i3.p1.1"><math alttext="\mu_{i}=||(I-\Pi_{i})G_{i}\Pi_{i}||_{\infty}=||\Pi_{i}G_{i}(I-\Pi_{i})||_{\infty}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I2.i3.p1.1.m1.2"><semantics id="S3.I2.i3.p1.1.m1.2a"><mrow id="S3.I2.i3.p1.1.m1.2.2" xref="S3.I2.i3.p1.1.m1.2.2.cmml"><msub id="S3.I2.i3.p1.1.m1.2.2.4" xref="S3.I2.i3.p1.1.m1.2.2.4.cmml"><mi id="S3.I2.i3.p1.1.m1.2.2.4.2" xref="S3.I2.i3.p1.1.m1.2.2.4.2.cmml">μ</mi><mi id="S3.I2.i3.p1.1.m1.2.2.4.3" xref="S3.I2.i3.p1.1.m1.2.2.4.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S3.I2.i3.p1.1.m1.2.2.5" xref="S3.I2.i3.p1.1.m1.2.2.5.cmml">=</mo><msub id="S3.I2.i3.p1.1.m1.1.1.1" xref="S3.I2.i3.p1.1.m1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.I2.i3.p1.1.m1.1.1.1.1.1" xref="S3.I2.i3.p1.1.m1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.I2.i3.p1.1.m1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.I2.i3.p1.1.m1.1.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo><mrow id="S3.I2.i3.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.I2.i3.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.I2.i3.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.I2.i3.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.I2.i3.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.I2.i3.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.I2.i3.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.I2.i3.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.I2.i3.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.I2.i3.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">I</mi><mo id="S3.I2.i3.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.I2.i3.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><msub id="S3.I2.i3.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.I2.i3.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.I2.i3.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" mathvariant="normal" xref="S3.I2.i3.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">Π</mi><mi id="S3.I2.i3.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.I2.i3.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">i</mi></msub></mrow><mo id="S3.I2.i3.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.I2.i3.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.I2.i3.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.I2.i3.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="S3.I2.i3.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.I2.i3.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.I2.i3.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.I2.i3.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">G</mi><mi id="S3.I2.i3.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.I2.i3.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S3.I2.i3.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2a" xref="S3.I2.i3.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="S3.I2.i3.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.4" xref="S3.I2.i3.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="S3.I2.i3.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.4.2" mathvariant="normal" xref="S3.I2.i3.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml">Π</mi><mi id="S3.I2.i3.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.4.3" xref="S3.I2.i3.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml">i</mi></msub></mrow><mo id="S3.I2.i3.p1.1.m1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.I2.i3.p1.1.m1.1.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo></mrow><mi id="S3.I2.i3.p1.1.m1.1.1.1.3" mathvariant="normal" xref="S3.I2.i3.p1.1.m1.1.1.1.3.cmml">∞</mi></msub><mo id="S3.I2.i3.p1.1.m1.2.2.6" xref="S3.I2.i3.p1.1.m1.2.2.6.cmml">=</mo><msub id="S3.I2.i3.p1.1.m1.2.2.2" xref="S3.I2.i3.p1.1.m1.2.2.2.cmml"><mrow id="S3.I2.i3.p1.1.m1.2.2.2.1.1" xref="S3.I2.i3.p1.1.m1.2.2.2.1.2.cmml"><mo id="S3.I2.i3.p1.1.m1.2.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.I2.i3.p1.1.m1.2.2.2.1.2.1.cmml">‖</mo><mrow id="S3.I2.i3.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1" xref="S3.I2.i3.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.cmml"><msub id="S3.I2.i3.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.3" xref="S3.I2.i3.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.I2.i3.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.3.2" mathvariant="normal" xref="S3.I2.i3.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.3.2.cmml">Π</mi><mi id="S3.I2.i3.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.3.3" xref="S3.I2.i3.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.3.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S3.I2.i3.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.2" xref="S3.I2.i3.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="S3.I2.i3.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.4" xref="S3.I2.i3.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.4.cmml"><mi id="S3.I2.i3.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.4.2" xref="S3.I2.i3.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.4.2.cmml">G</mi><mi id="S3.I2.i3.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.4.3" xref="S3.I2.i3.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.4.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S3.I2.i3.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.2a" xref="S3.I2.i3.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.I2.i3.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.1.1" xref="S3.I2.i3.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.I2.i3.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.I2.i3.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.I2.i3.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="S3.I2.i3.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.I2.i3.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.I2.i3.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml">I</mi><mo id="S3.I2.i3.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.I2.i3.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><msub id="S3.I2.i3.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.I2.i3.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.I2.i3.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2" mathvariant="normal" xref="S3.I2.i3.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">Π</mi><mi id="S3.I2.i3.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.I2.i3.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">i</mi></msub></mrow><mo id="S3.I2.i3.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.I2.i3.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.I2.i3.p1.1.m1.2.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.I2.i3.p1.1.m1.2.2.2.1.2.1.cmml">‖</mo></mrow><mi id="S3.I2.i3.p1.1.m1.2.2.2.3" mathvariant="normal" xref="S3.I2.i3.p1.1.m1.2.2.2.3.cmml">∞</mi></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I2.i3.p1.1.m1.2b"><apply id="S3.I2.i3.p1.1.m1.2.2.cmml" xref="S3.I2.i3.p1.1.m1.2.2"><and id="S3.I2.i3.p1.1.m1.2.2a.cmml" xref="S3.I2.i3.p1.1.m1.2.2"></and><apply id="S3.I2.i3.p1.1.m1.2.2b.cmml" xref="S3.I2.i3.p1.1.m1.2.2"><eq id="S3.I2.i3.p1.1.m1.2.2.5.cmml" xref="S3.I2.i3.p1.1.m1.2.2.5"></eq><apply id="S3.I2.i3.p1.1.m1.2.2.4.cmml" xref="S3.I2.i3.p1.1.m1.2.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I2.i3.p1.1.m1.2.2.4.1.cmml" xref="S3.I2.i3.p1.1.m1.2.2.4">subscript</csymbol><ci id="S3.I2.i3.p1.1.m1.2.2.4.2.cmml" xref="S3.I2.i3.p1.1.m1.2.2.4.2">𝜇</ci><ci id="S3.I2.i3.p1.1.m1.2.2.4.3.cmml" xref="S3.I2.i3.p1.1.m1.2.2.4.3">𝑖</ci></apply><apply id="S3.I2.i3.p1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.I2.i3.p1.1.m1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I2.i3.p1.1.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.I2.i3.p1.1.m1.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="S3.I2.i3.p1.1.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.I2.i3.p1.1.m1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.I2.i3.p1.1.m1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.I2.i3.p1.1.m1.1.1.1.1.1.2">norm</csymbol><apply id="S3.I2.i3.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.I2.i3.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1"><times id="S3.I2.i3.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.I2.i3.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2"></times><apply id="S3.I2.i3.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.I2.i3.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1"><minus id="S3.I2.i3.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.I2.i3.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><ci id="S3.I2.i3.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.I2.i3.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝐼</ci><apply id="S3.I2.i3.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.I2.i3.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I2.i3.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.I2.i3.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.I2.i3.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.I2.i3.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">Π</ci><ci id="S3.I2.i3.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.I2.i3.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑖</ci></apply></apply><apply id="S3.I2.i3.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.I2.i3.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I2.i3.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.I2.i3.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.I2.i3.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.I2.i3.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝐺</ci><ci id="S3.I2.i3.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.I2.i3.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑖</ci></apply><apply id="S3.I2.i3.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S3.I2.i3.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I2.i3.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="S3.I2.i3.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="S3.I2.i3.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="S3.I2.i3.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.4.2">Π</ci><ci id="S3.I2.i3.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml" xref="S3.I2.i3.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.4.3">𝑖</ci></apply></apply></apply><infinity id="S3.I2.i3.p1.1.m1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.I2.i3.p1.1.m1.1.1.1.3"></infinity></apply></apply><apply id="S3.I2.i3.p1.1.m1.2.2c.cmml" xref="S3.I2.i3.p1.1.m1.2.2"><eq id="S3.I2.i3.p1.1.m1.2.2.6.cmml" xref="S3.I2.i3.p1.1.m1.2.2.6"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#S3.I2.i3.p1.1.m1.1.1.1.cmml" id="S3.I2.i3.p1.1.m1.2.2d.cmml" xref="S3.I2.i3.p1.1.m1.2.2"></share><apply id="S3.I2.i3.p1.1.m1.2.2.2.cmml" xref="S3.I2.i3.p1.1.m1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I2.i3.p1.1.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.I2.i3.p1.1.m1.2.2.2">subscript</csymbol><apply id="S3.I2.i3.p1.1.m1.2.2.2.1.2.cmml" xref="S3.I2.i3.p1.1.m1.2.2.2.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.I2.i3.p1.1.m1.2.2.2.1.2.1.cmml" xref="S3.I2.i3.p1.1.m1.2.2.2.1.1.2">norm</csymbol><apply id="S3.I2.i3.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S3.I2.i3.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1"><times id="S3.I2.i3.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S3.I2.i3.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.2"></times><apply id="S3.I2.i3.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S3.I2.i3.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I2.i3.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.I2.i3.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.I2.i3.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.I2.i3.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.3.2">Π</ci><ci id="S3.I2.i3.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.I2.i3.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.3.3">𝑖</ci></apply><apply id="S3.I2.i3.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.4.cmml" xref="S3.I2.i3.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I2.i3.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.4.1.cmml" xref="S3.I2.i3.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="S3.I2.i3.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.4.2.cmml" xref="S3.I2.i3.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.4.2">𝐺</ci><ci id="S3.I2.i3.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.4.3.cmml" xref="S3.I2.i3.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.4.3">𝑖</ci></apply><apply id="S3.I2.i3.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.I2.i3.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.1.1"><minus id="S3.I2.i3.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.I2.i3.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1"></minus><ci id="S3.I2.i3.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.I2.i3.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2">𝐼</ci><apply id="S3.I2.i3.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.I2.i3.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I2.i3.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.I2.i3.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.I2.i3.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.I2.i3.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2">Π</ci><ci id="S3.I2.i3.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.I2.i3.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑖</ci></apply></apply></apply></apply><infinity id="S3.I2.i3.p1.1.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S3.I2.i3.p1.1.m1.2.2.2.3"></infinity></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I2.i3.p1.1.m1.2c">\mu_{i}=||(I-\Pi_{i})G_{i}\Pi_{i}||_{\infty}=||\Pi_{i}G_{i}(I-\Pi_{i})||_{\infty}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I2.i3.p1.1.m1.2d">italic_μ start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT = | | ( italic_I - roman_Π start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT ) italic_G start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT roman_Π start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT | | start_POSTSUBSCRIPT ∞ end_POSTSUBSCRIPT = | | roman_Π start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT italic_G start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT ( italic_I - roman_Π start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT ) | | start_POSTSUBSCRIPT ∞ end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>.</p> </div> </li> </ul> <p class="ltx_p" id="S3.p3.2">It will also be useful to define the gate <math alttext="G_{i}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p3.1.m1.1"><semantics id="S3.p3.1.m1.1a"><msub id="S3.p3.1.m1.1.1" xref="S3.p3.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S3.p3.1.m1.1.1.2" xref="S3.p3.1.m1.1.1.2.cmml">G</mi><mi id="S3.p3.1.m1.1.1.3" xref="S3.p3.1.m1.1.1.3.cmml">i</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p3.1.m1.1b"><apply id="S3.p3.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.p3.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p3.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.p3.1.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.p3.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.p3.1.m1.1.1.2">𝐺</ci><ci id="S3.p3.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S3.p3.1.m1.1.1.3">𝑖</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p3.1.m1.1c">G_{i}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p3.1.m1.1d">italic_G start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> restricted to the space projected by <math alttext="\Pi_{i}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p3.2.m2.1"><semantics id="S3.p3.2.m2.1a"><msub id="S3.p3.2.m2.1.1" xref="S3.p3.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S3.p3.2.m2.1.1.2" mathvariant="normal" xref="S3.p3.2.m2.1.1.2.cmml">Π</mi><mi id="S3.p3.2.m2.1.1.3" xref="S3.p3.2.m2.1.1.3.cmml">i</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p3.2.m2.1b"><apply id="S3.p3.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.p3.2.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p3.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S3.p3.2.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.p3.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S3.p3.2.m2.1.1.2">Π</ci><ci id="S3.p3.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S3.p3.2.m2.1.1.3">𝑖</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p3.2.m2.1c">\Pi_{i}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p3.2.m2.1d">roman_Π start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> as well:</p> <ul class="ltx_itemize" id="S3.I3"> <li class="ltx_item" id="S3.I3.i1" style="list-style-type:none;"> <span class="ltx_tag ltx_tag_item">•</span> <div class="ltx_para" id="S3.I3.i1.p1"> <p class="ltx_p" id="S3.I3.i1.p1.3"><math alttext="K_{i}=\Pi_{i}G_{i}\Pi_{i}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I3.i1.p1.1.m1.1"><semantics id="S3.I3.i1.p1.1.m1.1a"><mrow id="S3.I3.i1.p1.1.m1.1.1" xref="S3.I3.i1.p1.1.m1.1.1.cmml"><msub id="S3.I3.i1.p1.1.m1.1.1.2" xref="S3.I3.i1.p1.1.m1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.I3.i1.p1.1.m1.1.1.2.2" xref="S3.I3.i1.p1.1.m1.1.1.2.2.cmml">K</mi><mi id="S3.I3.i1.p1.1.m1.1.1.2.3" xref="S3.I3.i1.p1.1.m1.1.1.2.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S3.I3.i1.p1.1.m1.1.1.1" xref="S3.I3.i1.p1.1.m1.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S3.I3.i1.p1.1.m1.1.1.3" xref="S3.I3.i1.p1.1.m1.1.1.3.cmml"><msub id="S3.I3.i1.p1.1.m1.1.1.3.2" xref="S3.I3.i1.p1.1.m1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S3.I3.i1.p1.1.m1.1.1.3.2.2" mathvariant="normal" xref="S3.I3.i1.p1.1.m1.1.1.3.2.2.cmml">Π</mi><mi id="S3.I3.i1.p1.1.m1.1.1.3.2.3" xref="S3.I3.i1.p1.1.m1.1.1.3.2.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S3.I3.i1.p1.1.m1.1.1.3.1" xref="S3.I3.i1.p1.1.m1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.I3.i1.p1.1.m1.1.1.3.3" xref="S3.I3.i1.p1.1.m1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S3.I3.i1.p1.1.m1.1.1.3.3.2" xref="S3.I3.i1.p1.1.m1.1.1.3.3.2.cmml">G</mi><mi id="S3.I3.i1.p1.1.m1.1.1.3.3.3" xref="S3.I3.i1.p1.1.m1.1.1.3.3.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S3.I3.i1.p1.1.m1.1.1.3.1a" xref="S3.I3.i1.p1.1.m1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.I3.i1.p1.1.m1.1.1.3.4" xref="S3.I3.i1.p1.1.m1.1.1.3.4.cmml"><mi id="S3.I3.i1.p1.1.m1.1.1.3.4.2" mathvariant="normal" xref="S3.I3.i1.p1.1.m1.1.1.3.4.2.cmml">Π</mi><mi id="S3.I3.i1.p1.1.m1.1.1.3.4.3" xref="S3.I3.i1.p1.1.m1.1.1.3.4.3.cmml">i</mi></msub></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I3.i1.p1.1.m1.1b"><apply id="S3.I3.i1.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.I3.i1.p1.1.m1.1.1"><eq id="S3.I3.i1.p1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.I3.i1.p1.1.m1.1.1.1"></eq><apply id="S3.I3.i1.p1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.I3.i1.p1.1.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I3.i1.p1.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.I3.i1.p1.1.m1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S3.I3.i1.p1.1.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.I3.i1.p1.1.m1.1.1.2.2">𝐾</ci><ci id="S3.I3.i1.p1.1.m1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.I3.i1.p1.1.m1.1.1.2.3">𝑖</ci></apply><apply id="S3.I3.i1.p1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S3.I3.i1.p1.1.m1.1.1.3"><times id="S3.I3.i1.p1.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.I3.i1.p1.1.m1.1.1.3.1"></times><apply id="S3.I3.i1.p1.1.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.I3.i1.p1.1.m1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I3.i1.p1.1.m1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S3.I3.i1.p1.1.m1.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S3.I3.i1.p1.1.m1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S3.I3.i1.p1.1.m1.1.1.3.2.2">Π</ci><ci id="S3.I3.i1.p1.1.m1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S3.I3.i1.p1.1.m1.1.1.3.2.3">𝑖</ci></apply><apply id="S3.I3.i1.p1.1.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.I3.i1.p1.1.m1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I3.i1.p1.1.m1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.I3.i1.p1.1.m1.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S3.I3.i1.p1.1.m1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S3.I3.i1.p1.1.m1.1.1.3.3.2">𝐺</ci><ci id="S3.I3.i1.p1.1.m1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S3.I3.i1.p1.1.m1.1.1.3.3.3">𝑖</ci></apply><apply id="S3.I3.i1.p1.1.m1.1.1.3.4.cmml" xref="S3.I3.i1.p1.1.m1.1.1.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I3.i1.p1.1.m1.1.1.3.4.1.cmml" xref="S3.I3.i1.p1.1.m1.1.1.3.4">subscript</csymbol><ci id="S3.I3.i1.p1.1.m1.1.1.3.4.2.cmml" xref="S3.I3.i1.p1.1.m1.1.1.3.4.2">Π</ci><ci id="S3.I3.i1.p1.1.m1.1.1.3.4.3.cmml" xref="S3.I3.i1.p1.1.m1.1.1.3.4.3">𝑖</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I3.i1.p1.1.m1.1c">K_{i}=\Pi_{i}G_{i}\Pi_{i}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I3.i1.p1.1.m1.1d">italic_K start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT = roman_Π start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT italic_G start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT roman_Π start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> (i.e. <math alttext="\lambda_{i}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I3.i1.p1.2.m2.1"><semantics id="S3.I3.i1.p1.2.m2.1a"><msub id="S3.I3.i1.p1.2.m2.1.1" xref="S3.I3.i1.p1.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S3.I3.i1.p1.2.m2.1.1.2" xref="S3.I3.i1.p1.2.m2.1.1.2.cmml">λ</mi><mi id="S3.I3.i1.p1.2.m2.1.1.3" xref="S3.I3.i1.p1.2.m2.1.1.3.cmml">i</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I3.i1.p1.2.m2.1b"><apply id="S3.I3.i1.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.I3.i1.p1.2.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I3.i1.p1.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S3.I3.i1.p1.2.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.I3.i1.p1.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S3.I3.i1.p1.2.m2.1.1.2">𝜆</ci><ci id="S3.I3.i1.p1.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S3.I3.i1.p1.2.m2.1.1.3">𝑖</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I3.i1.p1.2.m2.1c">\lambda_{i}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I3.i1.p1.2.m2.1d">italic_λ start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> is the largest singular value of <math alttext="K_{i}-\Pi_{i+1}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I3.i1.p1.3.m3.1"><semantics id="S3.I3.i1.p1.3.m3.1a"><mrow id="S3.I3.i1.p1.3.m3.1.1" xref="S3.I3.i1.p1.3.m3.1.1.cmml"><msub id="S3.I3.i1.p1.3.m3.1.1.2" xref="S3.I3.i1.p1.3.m3.1.1.2.cmml"><mi id="S3.I3.i1.p1.3.m3.1.1.2.2" xref="S3.I3.i1.p1.3.m3.1.1.2.2.cmml">K</mi><mi id="S3.I3.i1.p1.3.m3.1.1.2.3" xref="S3.I3.i1.p1.3.m3.1.1.2.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S3.I3.i1.p1.3.m3.1.1.1" xref="S3.I3.i1.p1.3.m3.1.1.1.cmml">−</mo><msub id="S3.I3.i1.p1.3.m3.1.1.3" xref="S3.I3.i1.p1.3.m3.1.1.3.cmml"><mi id="S3.I3.i1.p1.3.m3.1.1.3.2" mathvariant="normal" xref="S3.I3.i1.p1.3.m3.1.1.3.2.cmml">Π</mi><mrow id="S3.I3.i1.p1.3.m3.1.1.3.3" xref="S3.I3.i1.p1.3.m3.1.1.3.3.cmml"><mi id="S3.I3.i1.p1.3.m3.1.1.3.3.2" xref="S3.I3.i1.p1.3.m3.1.1.3.3.2.cmml">i</mi><mo id="S3.I3.i1.p1.3.m3.1.1.3.3.1" xref="S3.I3.i1.p1.3.m3.1.1.3.3.1.cmml">+</mo><mn id="S3.I3.i1.p1.3.m3.1.1.3.3.3" xref="S3.I3.i1.p1.3.m3.1.1.3.3.3.cmml">1</mn></mrow></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I3.i1.p1.3.m3.1b"><apply id="S3.I3.i1.p1.3.m3.1.1.cmml" xref="S3.I3.i1.p1.3.m3.1.1"><minus id="S3.I3.i1.p1.3.m3.1.1.1.cmml" xref="S3.I3.i1.p1.3.m3.1.1.1"></minus><apply id="S3.I3.i1.p1.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S3.I3.i1.p1.3.m3.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I3.i1.p1.3.m3.1.1.2.1.cmml" xref="S3.I3.i1.p1.3.m3.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S3.I3.i1.p1.3.m3.1.1.2.2.cmml" xref="S3.I3.i1.p1.3.m3.1.1.2.2">𝐾</ci><ci id="S3.I3.i1.p1.3.m3.1.1.2.3.cmml" xref="S3.I3.i1.p1.3.m3.1.1.2.3">𝑖</ci></apply><apply id="S3.I3.i1.p1.3.m3.1.1.3.cmml" xref="S3.I3.i1.p1.3.m3.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I3.i1.p1.3.m3.1.1.3.1.cmml" xref="S3.I3.i1.p1.3.m3.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.I3.i1.p1.3.m3.1.1.3.2.cmml" xref="S3.I3.i1.p1.3.m3.1.1.3.2">Π</ci><apply id="S3.I3.i1.p1.3.m3.1.1.3.3.cmml" xref="S3.I3.i1.p1.3.m3.1.1.3.3"><plus id="S3.I3.i1.p1.3.m3.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.I3.i1.p1.3.m3.1.1.3.3.1"></plus><ci id="S3.I3.i1.p1.3.m3.1.1.3.3.2.cmml" xref="S3.I3.i1.p1.3.m3.1.1.3.3.2">𝑖</ci><cn id="S3.I3.i1.p1.3.m3.1.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.I3.i1.p1.3.m3.1.1.3.3.3">1</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I3.i1.p1.3.m3.1c">K_{i}-\Pi_{i+1}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I3.i1.p1.3.m3.1d">italic_K start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT - roman_Π start_POSTSUBSCRIPT italic_i + 1 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>)</p> </div> </li> </ul> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_lemma" id="Thmtheorem13"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmtheorem13.1.1.1">Lemma 13</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmtheorem13.2.2">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="Thmtheorem13.p1"> <p class="ltx_p" id="Thmtheorem13.p1.2"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmtheorem13.p1.2.2">Suppose <math alttext="\lambda_{i}\leq\frac{1}{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem13.p1.1.1.m1.1"><semantics id="Thmtheorem13.p1.1.1.m1.1a"><mrow id="Thmtheorem13.p1.1.1.m1.1.1" xref="Thmtheorem13.p1.1.1.m1.1.1.cmml"><msub id="Thmtheorem13.p1.1.1.m1.1.1.2" xref="Thmtheorem13.p1.1.1.m1.1.1.2.cmml"><mi id="Thmtheorem13.p1.1.1.m1.1.1.2.2" xref="Thmtheorem13.p1.1.1.m1.1.1.2.2.cmml">λ</mi><mi id="Thmtheorem13.p1.1.1.m1.1.1.2.3" xref="Thmtheorem13.p1.1.1.m1.1.1.2.3.cmml">i</mi></msub><mo id="Thmtheorem13.p1.1.1.m1.1.1.1" xref="Thmtheorem13.p1.1.1.m1.1.1.1.cmml">≤</mo><mfrac id="Thmtheorem13.p1.1.1.m1.1.1.3" xref="Thmtheorem13.p1.1.1.m1.1.1.3.cmml"><mn id="Thmtheorem13.p1.1.1.m1.1.1.3.2" xref="Thmtheorem13.p1.1.1.m1.1.1.3.2.cmml">1</mn><mn id="Thmtheorem13.p1.1.1.m1.1.1.3.3" xref="Thmtheorem13.p1.1.1.m1.1.1.3.3.cmml">2</mn></mfrac></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem13.p1.1.1.m1.1b"><apply id="Thmtheorem13.p1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem13.p1.1.1.m1.1.1"><leq id="Thmtheorem13.p1.1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem13.p1.1.1.m1.1.1.1"></leq><apply id="Thmtheorem13.p1.1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="Thmtheorem13.p1.1.1.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem13.p1.1.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="Thmtheorem13.p1.1.1.m1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="Thmtheorem13.p1.1.1.m1.1.1.2.2.cmml" xref="Thmtheorem13.p1.1.1.m1.1.1.2.2">𝜆</ci><ci id="Thmtheorem13.p1.1.1.m1.1.1.2.3.cmml" xref="Thmtheorem13.p1.1.1.m1.1.1.2.3">𝑖</ci></apply><apply id="Thmtheorem13.p1.1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="Thmtheorem13.p1.1.1.m1.1.1.3"><divide id="Thmtheorem13.p1.1.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="Thmtheorem13.p1.1.1.m1.1.1.3"></divide><cn id="Thmtheorem13.p1.1.1.m1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="Thmtheorem13.p1.1.1.m1.1.1.3.2">1</cn><cn id="Thmtheorem13.p1.1.1.m1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="Thmtheorem13.p1.1.1.m1.1.1.3.3">2</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem13.p1.1.1.m1.1c">\lambda_{i}\leq\frac{1}{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem13.p1.1.1.m1.1d">italic_λ start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT ≤ divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 end_ARG</annotation></semantics></math>. Then <math alttext="\mu_{i}=\sqrt{\lambda_{i}(1-\lambda_{i})}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem13.p1.2.2.m2.1"><semantics id="Thmtheorem13.p1.2.2.m2.1a"><mrow id="Thmtheorem13.p1.2.2.m2.1.2" xref="Thmtheorem13.p1.2.2.m2.1.2.cmml"><msub id="Thmtheorem13.p1.2.2.m2.1.2.2" xref="Thmtheorem13.p1.2.2.m2.1.2.2.cmml"><mi id="Thmtheorem13.p1.2.2.m2.1.2.2.2" xref="Thmtheorem13.p1.2.2.m2.1.2.2.2.cmml">μ</mi><mi id="Thmtheorem13.p1.2.2.m2.1.2.2.3" xref="Thmtheorem13.p1.2.2.m2.1.2.2.3.cmml">i</mi></msub><mo id="Thmtheorem13.p1.2.2.m2.1.2.1" xref="Thmtheorem13.p1.2.2.m2.1.2.1.cmml">=</mo><msqrt id="Thmtheorem13.p1.2.2.m2.1.1" xref="Thmtheorem13.p1.2.2.m2.1.1.cmml"><mrow id="Thmtheorem13.p1.2.2.m2.1.1.1" xref="Thmtheorem13.p1.2.2.m2.1.1.1.cmml"><msub id="Thmtheorem13.p1.2.2.m2.1.1.1.3" xref="Thmtheorem13.p1.2.2.m2.1.1.1.3.cmml"><mi id="Thmtheorem13.p1.2.2.m2.1.1.1.3.2" xref="Thmtheorem13.p1.2.2.m2.1.1.1.3.2.cmml">λ</mi><mi id="Thmtheorem13.p1.2.2.m2.1.1.1.3.3" xref="Thmtheorem13.p1.2.2.m2.1.1.1.3.3.cmml">i</mi></msub><mo id="Thmtheorem13.p1.2.2.m2.1.1.1.2" xref="Thmtheorem13.p1.2.2.m2.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="Thmtheorem13.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1" xref="Thmtheorem13.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="Thmtheorem13.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="Thmtheorem13.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="Thmtheorem13.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1.1" xref="Thmtheorem13.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="Thmtheorem13.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1.1.2" xref="Thmtheorem13.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1.1.2.cmml">1</mn><mo id="Thmtheorem13.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1.1.1" xref="Thmtheorem13.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><msub id="Thmtheorem13.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1.1.3" xref="Thmtheorem13.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="Thmtheorem13.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="Thmtheorem13.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">λ</mi><mi id="Thmtheorem13.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="Thmtheorem13.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">i</mi></msub></mrow><mo id="Thmtheorem13.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="Thmtheorem13.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></msqrt></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem13.p1.2.2.m2.1b"><apply id="Thmtheorem13.p1.2.2.m2.1.2.cmml" xref="Thmtheorem13.p1.2.2.m2.1.2"><eq id="Thmtheorem13.p1.2.2.m2.1.2.1.cmml" xref="Thmtheorem13.p1.2.2.m2.1.2.1"></eq><apply id="Thmtheorem13.p1.2.2.m2.1.2.2.cmml" xref="Thmtheorem13.p1.2.2.m2.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem13.p1.2.2.m2.1.2.2.1.cmml" xref="Thmtheorem13.p1.2.2.m2.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="Thmtheorem13.p1.2.2.m2.1.2.2.2.cmml" xref="Thmtheorem13.p1.2.2.m2.1.2.2.2">𝜇</ci><ci id="Thmtheorem13.p1.2.2.m2.1.2.2.3.cmml" xref="Thmtheorem13.p1.2.2.m2.1.2.2.3">𝑖</ci></apply><apply id="Thmtheorem13.p1.2.2.m2.1.1.cmml" xref="Thmtheorem13.p1.2.2.m2.1.1"><root id="Thmtheorem13.p1.2.2.m2.1.1a.cmml" xref="Thmtheorem13.p1.2.2.m2.1.1"></root><apply id="Thmtheorem13.p1.2.2.m2.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem13.p1.2.2.m2.1.1.1"><times id="Thmtheorem13.p1.2.2.m2.1.1.1.2.cmml" xref="Thmtheorem13.p1.2.2.m2.1.1.1.2"></times><apply id="Thmtheorem13.p1.2.2.m2.1.1.1.3.cmml" xref="Thmtheorem13.p1.2.2.m2.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem13.p1.2.2.m2.1.1.1.3.1.cmml" xref="Thmtheorem13.p1.2.2.m2.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="Thmtheorem13.p1.2.2.m2.1.1.1.3.2.cmml" xref="Thmtheorem13.p1.2.2.m2.1.1.1.3.2">𝜆</ci><ci id="Thmtheorem13.p1.2.2.m2.1.1.1.3.3.cmml" xref="Thmtheorem13.p1.2.2.m2.1.1.1.3.3">𝑖</ci></apply><apply id="Thmtheorem13.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem13.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1"><minus id="Thmtheorem13.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem13.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1.1.1"></minus><cn id="Thmtheorem13.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="Thmtheorem13.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1.1.2">1</cn><apply id="Thmtheorem13.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="Thmtheorem13.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem13.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="Thmtheorem13.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="Thmtheorem13.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="Thmtheorem13.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1.1.3.2">𝜆</ci><ci id="Thmtheorem13.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="Thmtheorem13.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑖</ci></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem13.p1.2.2.m2.1c">\mu_{i}=\sqrt{\lambda_{i}(1-\lambda_{i})}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem13.p1.2.2.m2.1d">italic_μ start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT = square-root start_ARG italic_λ start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT ( 1 - italic_λ start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT ) end_ARG</annotation></semantics></math></span></p> </div> </div> <div class="ltx_proof" id="S3.1"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_font_italic ltx_title_proof">Proof.</h6> <div class="ltx_para" id="S3.1.p1"> <p class="ltx_p" id="S3.1.p1.4">We use the facts that projectors are Hermitian and <math alttext="||f(H)||_{\infty}=\max_{\lambda}f(\lambda)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.1.p1.1.m1.3"><semantics id="S3.1.p1.1.m1.3a"><mrow id="S3.1.p1.1.m1.3.3" xref="S3.1.p1.1.m1.3.3.cmml"><msub id="S3.1.p1.1.m1.3.3.1" xref="S3.1.p1.1.m1.3.3.1.cmml"><mrow id="S3.1.p1.1.m1.3.3.1.1.1" xref="S3.1.p1.1.m1.3.3.1.1.2.cmml"><mo id="S3.1.p1.1.m1.3.3.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.1.p1.1.m1.3.3.1.1.2.1.cmml">‖</mo><mrow id="S3.1.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1" xref="S3.1.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.1.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.2" xref="S3.1.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml">f</mi><mo id="S3.1.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1" xref="S3.1.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.1.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.3.2" xref="S3.1.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.1.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.1.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S3.1.p1.1.m1.1.1" xref="S3.1.p1.1.m1.1.1.cmml">H</mi><mo id="S3.1.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.1.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.1.p1.1.m1.3.3.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.1.p1.1.m1.3.3.1.1.2.1.cmml">‖</mo></mrow><mi id="S3.1.p1.1.m1.3.3.1.3" mathvariant="normal" xref="S3.1.p1.1.m1.3.3.1.3.cmml">∞</mi></msub><mo id="S3.1.p1.1.m1.3.3.2" xref="S3.1.p1.1.m1.3.3.2.cmml">=</mo><mrow id="S3.1.p1.1.m1.3.3.3" xref="S3.1.p1.1.m1.3.3.3.cmml"><mrow id="S3.1.p1.1.m1.3.3.3.2" xref="S3.1.p1.1.m1.3.3.3.2.cmml"><msub id="S3.1.p1.1.m1.3.3.3.2.1" xref="S3.1.p1.1.m1.3.3.3.2.1.cmml"><mi id="S3.1.p1.1.m1.3.3.3.2.1.2" xref="S3.1.p1.1.m1.3.3.3.2.1.2.cmml">max</mi><mi id="S3.1.p1.1.m1.3.3.3.2.1.3" xref="S3.1.p1.1.m1.3.3.3.2.1.3.cmml">λ</mi></msub><mo id="S3.1.p1.1.m1.3.3.3.2a" lspace="0.167em" xref="S3.1.p1.1.m1.3.3.3.2.cmml">⁡</mo><mi id="S3.1.p1.1.m1.3.3.3.2.2" xref="S3.1.p1.1.m1.3.3.3.2.2.cmml">f</mi></mrow><mo id="S3.1.p1.1.m1.3.3.3.1" xref="S3.1.p1.1.m1.3.3.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.1.p1.1.m1.3.3.3.3.2" xref="S3.1.p1.1.m1.3.3.3.cmml"><mo id="S3.1.p1.1.m1.3.3.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.1.p1.1.m1.3.3.3.cmml">(</mo><mi id="S3.1.p1.1.m1.2.2" xref="S3.1.p1.1.m1.2.2.cmml">λ</mi><mo id="S3.1.p1.1.m1.3.3.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.1.p1.1.m1.3.3.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.1.p1.1.m1.3b"><apply id="S3.1.p1.1.m1.3.3.cmml" xref="S3.1.p1.1.m1.3.3"><eq id="S3.1.p1.1.m1.3.3.2.cmml" xref="S3.1.p1.1.m1.3.3.2"></eq><apply id="S3.1.p1.1.m1.3.3.1.cmml" xref="S3.1.p1.1.m1.3.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.1.p1.1.m1.3.3.1.2.cmml" xref="S3.1.p1.1.m1.3.3.1">subscript</csymbol><apply id="S3.1.p1.1.m1.3.3.1.1.2.cmml" xref="S3.1.p1.1.m1.3.3.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.1.p1.1.m1.3.3.1.1.2.1.cmml" xref="S3.1.p1.1.m1.3.3.1.1.1.2">norm</csymbol><apply id="S3.1.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S3.1.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1"><times id="S3.1.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.1.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1"></times><ci id="S3.1.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.1.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.2">𝑓</ci><ci id="S3.1.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.1.p1.1.m1.1.1">𝐻</ci></apply></apply><infinity id="S3.1.p1.1.m1.3.3.1.3.cmml" xref="S3.1.p1.1.m1.3.3.1.3"></infinity></apply><apply id="S3.1.p1.1.m1.3.3.3.cmml" xref="S3.1.p1.1.m1.3.3.3"><times id="S3.1.p1.1.m1.3.3.3.1.cmml" xref="S3.1.p1.1.m1.3.3.3.1"></times><apply id="S3.1.p1.1.m1.3.3.3.2.cmml" xref="S3.1.p1.1.m1.3.3.3.2"><apply id="S3.1.p1.1.m1.3.3.3.2.1.cmml" xref="S3.1.p1.1.m1.3.3.3.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.1.p1.1.m1.3.3.3.2.1.1.cmml" xref="S3.1.p1.1.m1.3.3.3.2.1">subscript</csymbol><max id="S3.1.p1.1.m1.3.3.3.2.1.2.cmml" xref="S3.1.p1.1.m1.3.3.3.2.1.2"></max><ci id="S3.1.p1.1.m1.3.3.3.2.1.3.cmml" xref="S3.1.p1.1.m1.3.3.3.2.1.3">𝜆</ci></apply><ci id="S3.1.p1.1.m1.3.3.3.2.2.cmml" xref="S3.1.p1.1.m1.3.3.3.2.2">𝑓</ci></apply><ci id="S3.1.p1.1.m1.2.2.cmml" xref="S3.1.p1.1.m1.2.2">𝜆</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.1.p1.1.m1.3c">||f(H)||_{\infty}=\max_{\lambda}f(\lambda)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.1.p1.1.m1.3d">| | italic_f ( italic_H ) | | start_POSTSUBSCRIPT ∞ end_POSTSUBSCRIPT = roman_max start_POSTSUBSCRIPT italic_λ end_POSTSUBSCRIPT italic_f ( italic_λ )</annotation></semantics></math> for analytic functions <math alttext="f" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.1.p1.2.m2.1"><semantics id="S3.1.p1.2.m2.1a"><mi id="S3.1.p1.2.m2.1.1" xref="S3.1.p1.2.m2.1.1.cmml">f</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.1.p1.2.m2.1b"><ci id="S3.1.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.1.p1.2.m2.1.1">𝑓</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.1.p1.2.m2.1c">f</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.1.p1.2.m2.1d">italic_f</annotation></semantics></math> and Hermitian operators <math alttext="H" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.1.p1.3.m3.1"><semantics id="S3.1.p1.3.m3.1a"><mi id="S3.1.p1.3.m3.1.1" xref="S3.1.p1.3.m3.1.1.cmml">H</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.1.p1.3.m3.1b"><ci id="S3.1.p1.3.m3.1.1.cmml" xref="S3.1.p1.3.m3.1.1">𝐻</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.1.p1.3.m3.1c">H</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.1.p1.3.m3.1d">italic_H</annotation></semantics></math> with eigenvalues <math alttext="\lambda" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.1.p1.4.m4.1"><semantics id="S3.1.p1.4.m4.1a"><mi id="S3.1.p1.4.m4.1.1" xref="S3.1.p1.4.m4.1.1.cmml">λ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.1.p1.4.m4.1b"><ci id="S3.1.p1.4.m4.1.1.cmml" xref="S3.1.p1.4.m4.1.1">𝜆</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.1.p1.4.m4.1c">\lambda</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.1.p1.4.m4.1d">italic_λ</annotation></semantics></math>. This gives</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="S6.EGx21"> <tbody id="S3.Ex2"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\mu_{i}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Ex2.m1.1"><semantics id="S3.Ex2.m1.1a"><msub id="S3.Ex2.m1.1.1" xref="S3.Ex2.m1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex2.m1.1.1.2" xref="S3.Ex2.m1.1.1.2.cmml">μ</mi><mi id="S3.Ex2.m1.1.1.3" xref="S3.Ex2.m1.1.1.3.cmml">i</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex2.m1.1b"><apply id="S3.Ex2.m1.1.1.cmml" xref="S3.Ex2.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex2.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex2.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex2.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex2.m1.1.1.2">𝜇</ci><ci id="S3.Ex2.m1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex2.m1.1.1.3">𝑖</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex2.m1.1c">\displaystyle\mu_{i}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex2.m1.1d">italic_μ start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=||(I-\Pi_{i})G_{i}\Pi_{i}||_{\infty}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Ex2.m2.1"><semantics id="S3.Ex2.m2.1a"><mrow id="S3.Ex2.m2.1.1" xref="S3.Ex2.m2.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex2.m2.1.1.3" xref="S3.Ex2.m2.1.1.3.cmml"></mi><mo id="S3.Ex2.m2.1.1.2" xref="S3.Ex2.m2.1.1.2.cmml">=</mo><msub id="S3.Ex2.m2.1.1.1" xref="S3.Ex2.m2.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex2.m2.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex2.m2.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.Ex2.m2.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.Ex2.m2.1.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo><mrow id="S3.Ex2.m2.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex2.m2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex2.m2.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex2.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex2.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.Ex2.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.Ex2.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex2.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex2.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex2.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">I</mi><mo id="S3.Ex2.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex2.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><msub id="S3.Ex2.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex2.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.Ex2.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" mathvariant="normal" xref="S3.Ex2.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">Π</mi><mi id="S3.Ex2.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.Ex2.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">i</mi></msub></mrow><mo id="S3.Ex2.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.Ex2.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.Ex2.m2.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex2.m2.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="S3.Ex2.m2.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex2.m2.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.Ex2.m2.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.Ex2.m2.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">G</mi><mi id="S3.Ex2.m2.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.Ex2.m2.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S3.Ex2.m2.1.1.1.1.1.1.2a" xref="S3.Ex2.m2.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="S3.Ex2.m2.1.1.1.1.1.1.4" xref="S3.Ex2.m2.1.1.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="S3.Ex2.m2.1.1.1.1.1.1.4.2" mathvariant="normal" xref="S3.Ex2.m2.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml">Π</mi><mi id="S3.Ex2.m2.1.1.1.1.1.1.4.3" xref="S3.Ex2.m2.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml">i</mi></msub></mrow><mo id="S3.Ex2.m2.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.Ex2.m2.1.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo></mrow><mi id="S3.Ex2.m2.1.1.1.3" mathvariant="normal" xref="S3.Ex2.m2.1.1.1.3.cmml">∞</mi></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex2.m2.1b"><apply id="S3.Ex2.m2.1.1.cmml" xref="S3.Ex2.m2.1.1"><eq id="S3.Ex2.m2.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex2.m2.1.1.2"></eq><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex2.m2.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex2.m2.1.1.3">absent</csymbol><apply id="S3.Ex2.m2.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex2.m2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex2.m2.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex2.m2.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="S3.Ex2.m2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex2.m2.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex2.m2.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex2.m2.1.1.1.1.1.2">norm</csymbol><apply id="S3.Ex2.m2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex2.m2.1.1.1.1.1.1"><times id="S3.Ex2.m2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex2.m2.1.1.1.1.1.1.2"></times><apply id="S3.Ex2.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex2.m2.1.1.1.1.1.1.1.1"><minus id="S3.Ex2.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex2.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><ci id="S3.Ex2.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex2.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝐼</ci><apply id="S3.Ex2.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex2.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex2.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex2.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex2.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex2.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">Π</ci><ci id="S3.Ex2.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.Ex2.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑖</ci></apply></apply><apply id="S3.Ex2.m2.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex2.m2.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex2.m2.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex2.m2.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex2.m2.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex2.m2.1.1.1.1.1.1.3.2">𝐺</ci><ci id="S3.Ex2.m2.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.Ex2.m2.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑖</ci></apply><apply id="S3.Ex2.m2.1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S3.Ex2.m2.1.1.1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex2.m2.1.1.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="S3.Ex2.m2.1.1.1.1.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex2.m2.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="S3.Ex2.m2.1.1.1.1.1.1.4.2">Π</ci><ci id="S3.Ex2.m2.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml" xref="S3.Ex2.m2.1.1.1.1.1.1.4.3">𝑖</ci></apply></apply></apply><infinity id="S3.Ex2.m2.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex2.m2.1.1.1.3"></infinity></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex2.m2.1c">\displaystyle=||(I-\Pi_{i})G_{i}\Pi_{i}||_{\infty}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex2.m2.1d">= | | ( italic_I - roman_Π start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT ) italic_G start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT roman_Π start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT | | start_POSTSUBSCRIPT ∞ end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="S3.Ex3"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\mu_{i}^{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Ex3.m1.1"><semantics id="S3.Ex3.m1.1a"><msubsup id="S3.Ex3.m1.1.1" xref="S3.Ex3.m1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex3.m1.1.1.2.2" xref="S3.Ex3.m1.1.1.2.2.cmml">μ</mi><mi id="S3.Ex3.m1.1.1.2.3" xref="S3.Ex3.m1.1.1.2.3.cmml">i</mi><mn id="S3.Ex3.m1.1.1.3" xref="S3.Ex3.m1.1.1.3.cmml">2</mn></msubsup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex3.m1.1b"><apply id="S3.Ex3.m1.1.1.cmml" xref="S3.Ex3.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex3.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex3.m1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S3.Ex3.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex3.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex3.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex3.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex3.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex3.m1.1.1.2.2">𝜇</ci><ci id="S3.Ex3.m1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.Ex3.m1.1.1.2.3">𝑖</ci></apply><cn id="S3.Ex3.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex3.m1.1.1.3">2</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex3.m1.1c">\displaystyle\mu_{i}^{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex3.m1.1d">italic_μ start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=||\Pi_{i}G_{i}(I-\Pi_{i})^{2}G_{i}\Pi_{i}||_{\infty}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Ex3.m2.1"><semantics id="S3.Ex3.m2.1a"><mrow id="S3.Ex3.m2.1.1" xref="S3.Ex3.m2.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex3.m2.1.1.3" xref="S3.Ex3.m2.1.1.3.cmml"></mi><mo id="S3.Ex3.m2.1.1.2" xref="S3.Ex3.m2.1.1.2.cmml">=</mo><msub id="S3.Ex3.m2.1.1.1" xref="S3.Ex3.m2.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex3.m2.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex3.m2.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.Ex3.m2.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.Ex3.m2.1.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo><mrow id="S3.Ex3.m2.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex3.m2.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S3.Ex3.m2.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex3.m2.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.Ex3.m2.1.1.1.1.1.1.3.2" mathvariant="normal" xref="S3.Ex3.m2.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">Π</mi><mi id="S3.Ex3.m2.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.Ex3.m2.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S3.Ex3.m2.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex3.m2.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="S3.Ex3.m2.1.1.1.1.1.1.4" xref="S3.Ex3.m2.1.1.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="S3.Ex3.m2.1.1.1.1.1.1.4.2" xref="S3.Ex3.m2.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml">G</mi><mi id="S3.Ex3.m2.1.1.1.1.1.1.4.3" xref="S3.Ex3.m2.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S3.Ex3.m2.1.1.1.1.1.1.2a" xref="S3.Ex3.m2.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msup id="S3.Ex3.m2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex3.m2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex3.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex3.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex3.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.Ex3.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.Ex3.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex3.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex3.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex3.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">I</mi><mo id="S3.Ex3.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex3.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><msub id="S3.Ex3.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex3.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.Ex3.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" mathvariant="normal" xref="S3.Ex3.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">Π</mi><mi id="S3.Ex3.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.Ex3.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">i</mi></msub></mrow><mo id="S3.Ex3.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.Ex3.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mn id="S3.Ex3.m2.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex3.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S3.Ex3.m2.1.1.1.1.1.1.2b" xref="S3.Ex3.m2.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="S3.Ex3.m2.1.1.1.1.1.1.5" xref="S3.Ex3.m2.1.1.1.1.1.1.5.cmml"><mi id="S3.Ex3.m2.1.1.1.1.1.1.5.2" xref="S3.Ex3.m2.1.1.1.1.1.1.5.2.cmml">G</mi><mi id="S3.Ex3.m2.1.1.1.1.1.1.5.3" xref="S3.Ex3.m2.1.1.1.1.1.1.5.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S3.Ex3.m2.1.1.1.1.1.1.2c" xref="S3.Ex3.m2.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="S3.Ex3.m2.1.1.1.1.1.1.6" xref="S3.Ex3.m2.1.1.1.1.1.1.6.cmml"><mi id="S3.Ex3.m2.1.1.1.1.1.1.6.2" mathvariant="normal" xref="S3.Ex3.m2.1.1.1.1.1.1.6.2.cmml">Π</mi><mi id="S3.Ex3.m2.1.1.1.1.1.1.6.3" xref="S3.Ex3.m2.1.1.1.1.1.1.6.3.cmml">i</mi></msub></mrow><mo id="S3.Ex3.m2.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.Ex3.m2.1.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo></mrow><mi id="S3.Ex3.m2.1.1.1.3" mathvariant="normal" 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xref="S3.Ex3.m2.1.1.1.1.1.1.3.2">Π</ci><ci id="S3.Ex3.m2.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.Ex3.m2.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑖</ci></apply><apply id="S3.Ex3.m2.1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S3.Ex3.m2.1.1.1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex3.m2.1.1.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="S3.Ex3.m2.1.1.1.1.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex3.m2.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="S3.Ex3.m2.1.1.1.1.1.1.4.2">𝐺</ci><ci id="S3.Ex3.m2.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml" xref="S3.Ex3.m2.1.1.1.1.1.1.4.3">𝑖</ci></apply><apply id="S3.Ex3.m2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex3.m2.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex3.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex3.m2.1.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S3.Ex3.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex3.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><minus id="S3.Ex3.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex3.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><ci id="S3.Ex3.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex3.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝐼</ci><apply id="S3.Ex3.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex3.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex3.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex3.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex3.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex3.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">Π</ci><ci id="S3.Ex3.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.Ex3.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑖</ci></apply></apply><cn id="S3.Ex3.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex3.m2.1.1.1.1.1.1.1.3">2</cn></apply><apply id="S3.Ex3.m2.1.1.1.1.1.1.5.cmml" xref="S3.Ex3.m2.1.1.1.1.1.1.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex3.m2.1.1.1.1.1.1.5.1.cmml" xref="S3.Ex3.m2.1.1.1.1.1.1.5">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex3.m2.1.1.1.1.1.1.5.2.cmml" xref="S3.Ex3.m2.1.1.1.1.1.1.5.2">𝐺</ci><ci id="S3.Ex3.m2.1.1.1.1.1.1.5.3.cmml" xref="S3.Ex3.m2.1.1.1.1.1.1.5.3">𝑖</ci></apply><apply id="S3.Ex3.m2.1.1.1.1.1.1.6.cmml" xref="S3.Ex3.m2.1.1.1.1.1.1.6"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex3.m2.1.1.1.1.1.1.6.1.cmml" 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ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="S3.Ex4"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=||\Pi_{i}G_{i}\Pi_{i}-(\Pi_{i}G_{i}\Pi_{i})^{2}||_{\infty}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Ex4.m1.1"><semantics id="S3.Ex4.m1.1a"><mrow id="S3.Ex4.m1.1.1" xref="S3.Ex4.m1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex4.m1.1.1.3" xref="S3.Ex4.m1.1.1.3.cmml"></mi><mo id="S3.Ex4.m1.1.1.2" xref="S3.Ex4.m1.1.1.2.cmml">=</mo><msub id="S3.Ex4.m1.1.1.1" xref="S3.Ex4.m1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex4.m1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex4.m1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.Ex4.m1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.Ex4.m1.1.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo><mrow id="S3.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><msub id="S3.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.3.2" 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xref="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">G</mi><mi id="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1a" xref="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.4" xref="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.4.cmml"><mi id="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.4.2" mathvariant="normal" xref="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.4.2.cmml">Π</mi><mi id="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.4.3" xref="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.4.3.cmml">i</mi></msub></mrow><mo id="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><msub id="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" mathvariant="normal" xref="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">Π</mi><mrow id="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">i</mi><mo id="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1" xref="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">+</mo><mn id="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">1</mn></mrow></msub></mrow><mo id="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">−</mo><msup id="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mrow id="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1" xref="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1" xref="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2" xref="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.cmml"><msub id="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.2" xref="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.2.2" mathvariant="normal" xref="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.2.2.cmml">Π</mi><mi id="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.2.3" xref="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.2.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.1" xref="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.3" xref="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.3.2" xref="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.3.2.cmml">G</mi><mi id="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.3.3" xref="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.3.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.1a" xref="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.4" xref="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.4.cmml"><mi id="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.4.2" mathvariant="normal" xref="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.4.2.cmml">Π</mi><mi id="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.4.3" xref="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.4.3.cmml">i</mi></msub></mrow><mo id="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1" xref="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.cmml">−</mo><msub id="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3" xref="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2" mathvariant="normal" xref="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2.cmml">Π</mi><mrow id="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.3" xref="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.3.2" xref="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.3.2.cmml">i</mi><mo id="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.3.1" xref="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.3.1.cmml">+</mo><mn id="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.3.3" xref="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.3.3.cmml">1</mn></mrow></msub></mrow><mo id="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mn id="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">2</mn></msup></mrow><mo id="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo></mrow><mi id="S3.Ex5.m1.1.1.1.3" mathvariant="normal" xref="S3.Ex5.m1.1.1.1.3.cmml">∞</mi></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex5.m1.1b"><apply id="S3.Ex5.m1.1.1.cmml" xref="S3.Ex5.m1.1.1"><eq id="S3.Ex5.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex5.m1.1.1.2"></eq><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex5.m1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex5.m1.1.1.3">absent</csymbol><apply id="S3.Ex5.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex5.m1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex5.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex5.m1.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.2">norm</csymbol><apply id="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1"><minus id="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.3"></minus><apply id="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1"><minus id="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><apply id="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><times id="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1"></times><apply id="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2">Π</ci><ci id="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3">𝑖</ci></apply><apply id="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2">𝐺</ci><ci id="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3">𝑖</ci></apply><apply id="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.4.cmml" xref="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.4.1.cmml" xref="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.4">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.4.2.cmml" xref="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.4.2">Π</ci><ci id="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.4.3.cmml" xref="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.4.3">𝑖</ci></apply></apply><apply id="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">Π</ci><apply id="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3"><plus id="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1"></plus><ci id="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2">𝑖</ci><cn id="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3">1</cn></apply></apply></apply><apply id="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1"><minus id="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1"></minus><apply id="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2"><times id="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.1"></times><apply id="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.2.2">Π</ci><ci id="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.2.3">𝑖</ci></apply><apply id="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.3.2">𝐺</ci><ci id="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.3.3">𝑖</ci></apply><apply id="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.4.cmml" xref="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.4"><csymbol cd="ambiguous" 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start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT | | start_POSTSUBSCRIPT ∞ end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="S3.Ex6"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=||(K_{i}-\Pi_{i+1})-(K_{i}-\Pi_{i+1})^{2}||_{\infty}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Ex6.m1.1"><semantics id="S3.Ex6.m1.1a"><mrow id="S3.Ex6.m1.1.1" xref="S3.Ex6.m1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex6.m1.1.1.3" xref="S3.Ex6.m1.1.1.3.cmml"></mi><mo id="S3.Ex6.m1.1.1.2" xref="S3.Ex6.m1.1.1.2.cmml">=</mo><msub id="S3.Ex6.m1.1.1.1" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo><mrow id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1" 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id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.3" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.cmml">−</mo><msub id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2" mathvariant="normal" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2.cmml">Π</mi><mrow id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.3" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.3.2" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.3.2.cmml">i</mi><mo id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.3.1" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.3.1.cmml">+</mo><mn id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.3.3" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.3.3.cmml">1</mn></mrow></msub></mrow><mo id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mn id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.2.3" 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id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1"><minus id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><apply id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝐾</ci><ci id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">𝑖</ci></apply><apply id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">Π</ci><apply id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3"><plus id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1"></plus><ci id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2">𝑖</ci><cn id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3">1</cn></apply></apply></apply><apply id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1"><minus id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1"></minus><apply id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.2">𝐾</ci><ci id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.3">𝑖</ci></apply><apply id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2">Π</ci><apply id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.3"><plus id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.3.1"></plus><ci id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.3.2">𝑖</ci><cn id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.3.3">1</cn></apply></apply></apply><cn id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.2.3">2</cn></apply></apply></apply><infinity id="S3.Ex6.m1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.3"></infinity></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex6.m1.1c">\displaystyle=||(K_{i}-\Pi_{i+1})-(K_{i}-\Pi_{i+1})^{2}||_{\infty}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex6.m1.1d">= | | ( italic_K start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT - roman_Π start_POSTSUBSCRIPT italic_i + 1 end_POSTSUBSCRIPT ) - ( italic_K start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT - roman_Π start_POSTSUBSCRIPT italic_i + 1 end_POSTSUBSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT | | start_POSTSUBSCRIPT ∞ end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="S3.Ex7"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=\max_{\lambda}\lambda(1-\lambda)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Ex7.m1.1"><semantics id="S3.Ex7.m1.1a"><mrow id="S3.Ex7.m1.1.1" xref="S3.Ex7.m1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex7.m1.1.1.3" xref="S3.Ex7.m1.1.1.3.cmml"></mi><mo id="S3.Ex7.m1.1.1.2" xref="S3.Ex7.m1.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S3.Ex7.m1.1.1.1" xref="S3.Ex7.m1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex7.m1.1.1.1.3" xref="S3.Ex7.m1.1.1.1.3.cmml"><munder id="S3.Ex7.m1.1.1.1.3.1" xref="S3.Ex7.m1.1.1.1.3.1.cmml"><mi id="S3.Ex7.m1.1.1.1.3.1.2" xref="S3.Ex7.m1.1.1.1.3.1.2.cmml">max</mi><mi id="S3.Ex7.m1.1.1.1.3.1.3" xref="S3.Ex7.m1.1.1.1.3.1.3.cmml">λ</mi></munder><mo id="S3.Ex7.m1.1.1.1.3a" lspace="0.167em" xref="S3.Ex7.m1.1.1.1.3.cmml">⁡</mo><mi id="S3.Ex7.m1.1.1.1.3.2" xref="S3.Ex7.m1.1.1.1.3.2.cmml">λ</mi></mrow><mo id="S3.Ex7.m1.1.1.1.2" xref="S3.Ex7.m1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex7.m1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex7.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex7.m1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.Ex7.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.Ex7.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex7.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="S3.Ex7.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex7.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">1</mn><mo id="S3.Ex7.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex7.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mi id="S3.Ex7.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex7.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">λ</mi></mrow><mo id="S3.Ex7.m1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.Ex7.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex7.m1.1b"><apply id="S3.Ex7.m1.1.1.cmml" xref="S3.Ex7.m1.1.1"><eq id="S3.Ex7.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex7.m1.1.1.2"></eq><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex7.m1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex7.m1.1.1.3">absent</csymbol><apply id="S3.Ex7.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex7.m1.1.1.1"><times id="S3.Ex7.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex7.m1.1.1.1.2"></times><apply id="S3.Ex7.m1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex7.m1.1.1.1.3"><apply id="S3.Ex7.m1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex7.m1.1.1.1.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex7.m1.1.1.1.3.1.1.cmml" xref="S3.Ex7.m1.1.1.1.3.1">subscript</csymbol><max id="S3.Ex7.m1.1.1.1.3.1.2.cmml" xref="S3.Ex7.m1.1.1.1.3.1.2"></max><ci id="S3.Ex7.m1.1.1.1.3.1.3.cmml" xref="S3.Ex7.m1.1.1.1.3.1.3">𝜆</ci></apply><ci id="S3.Ex7.m1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex7.m1.1.1.1.3.2">𝜆</ci></apply><apply id="S3.Ex7.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex7.m1.1.1.1.1.1"><minus id="S3.Ex7.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex7.m1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><cn id="S3.Ex7.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S3.Ex7.m1.1.1.1.1.1.1.2">1</cn><ci id="S3.Ex7.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex7.m1.1.1.1.1.1.1.3">𝜆</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex7.m1.1c">\displaystyle=\max_{\lambda}\lambda(1-\lambda)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex7.m1.1d">= roman_max start_POSTSUBSCRIPT italic_λ end_POSTSUBSCRIPT italic_λ ( 1 - italic_λ )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.1.p1.8">for eigenvalues <math alttext="\lambda" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.1.p1.5.m1.1"><semantics id="S3.1.p1.5.m1.1a"><mi id="S3.1.p1.5.m1.1.1" xref="S3.1.p1.5.m1.1.1.cmml">λ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.1.p1.5.m1.1b"><ci id="S3.1.p1.5.m1.1.1.cmml" xref="S3.1.p1.5.m1.1.1">𝜆</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.1.p1.5.m1.1c">\lambda</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.1.p1.5.m1.1d">italic_λ</annotation></semantics></math> of <math alttext="K_{i}-\Pi_{i+1}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.1.p1.6.m2.1"><semantics id="S3.1.p1.6.m2.1a"><mrow id="S3.1.p1.6.m2.1.1" xref="S3.1.p1.6.m2.1.1.cmml"><msub id="S3.1.p1.6.m2.1.1.2" xref="S3.1.p1.6.m2.1.1.2.cmml"><mi id="S3.1.p1.6.m2.1.1.2.2" xref="S3.1.p1.6.m2.1.1.2.2.cmml">K</mi><mi id="S3.1.p1.6.m2.1.1.2.3" xref="S3.1.p1.6.m2.1.1.2.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S3.1.p1.6.m2.1.1.1" xref="S3.1.p1.6.m2.1.1.1.cmml">−</mo><msub id="S3.1.p1.6.m2.1.1.3" xref="S3.1.p1.6.m2.1.1.3.cmml"><mi id="S3.1.p1.6.m2.1.1.3.2" mathvariant="normal" xref="S3.1.p1.6.m2.1.1.3.2.cmml">Π</mi><mrow id="S3.1.p1.6.m2.1.1.3.3" xref="S3.1.p1.6.m2.1.1.3.3.cmml"><mi id="S3.1.p1.6.m2.1.1.3.3.2" xref="S3.1.p1.6.m2.1.1.3.3.2.cmml">i</mi><mo id="S3.1.p1.6.m2.1.1.3.3.1" xref="S3.1.p1.6.m2.1.1.3.3.1.cmml">+</mo><mn id="S3.1.p1.6.m2.1.1.3.3.3" xref="S3.1.p1.6.m2.1.1.3.3.3.cmml">1</mn></mrow></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.1.p1.6.m2.1b"><apply id="S3.1.p1.6.m2.1.1.cmml" xref="S3.1.p1.6.m2.1.1"><minus id="S3.1.p1.6.m2.1.1.1.cmml" xref="S3.1.p1.6.m2.1.1.1"></minus><apply id="S3.1.p1.6.m2.1.1.2.cmml" xref="S3.1.p1.6.m2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.1.p1.6.m2.1.1.2.1.cmml" xref="S3.1.p1.6.m2.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S3.1.p1.6.m2.1.1.2.2.cmml" xref="S3.1.p1.6.m2.1.1.2.2">𝐾</ci><ci id="S3.1.p1.6.m2.1.1.2.3.cmml" xref="S3.1.p1.6.m2.1.1.2.3">𝑖</ci></apply><apply id="S3.1.p1.6.m2.1.1.3.cmml" xref="S3.1.p1.6.m2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.1.p1.6.m2.1.1.3.1.cmml" xref="S3.1.p1.6.m2.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.1.p1.6.m2.1.1.3.2.cmml" xref="S3.1.p1.6.m2.1.1.3.2">Π</ci><apply id="S3.1.p1.6.m2.1.1.3.3.cmml" xref="S3.1.p1.6.m2.1.1.3.3"><plus id="S3.1.p1.6.m2.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.1.p1.6.m2.1.1.3.3.1"></plus><ci id="S3.1.p1.6.m2.1.1.3.3.2.cmml" xref="S3.1.p1.6.m2.1.1.3.3.2">𝑖</ci><cn id="S3.1.p1.6.m2.1.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.1.p1.6.m2.1.1.3.3.3">1</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.1.p1.6.m2.1c">K_{i}-\Pi_{i+1}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.1.p1.6.m2.1d">italic_K start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT - roman_Π start_POSTSUBSCRIPT italic_i + 1 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>. If all eigenvalues are below <math alttext="0.5" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.1.p1.7.m3.1"><semantics id="S3.1.p1.7.m3.1a"><mn id="S3.1.p1.7.m3.1.1" xref="S3.1.p1.7.m3.1.1.cmml">0.5</mn><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.1.p1.7.m3.1b"><cn id="S3.1.p1.7.m3.1.1.cmml" type="float" xref="S3.1.p1.7.m3.1.1">0.5</cn></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.1.p1.7.m3.1c">0.5</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.1.p1.7.m3.1d">0.5</annotation></semantics></math>, then the function <math alttext="\lambda(1-\lambda)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.1.p1.8.m4.1"><semantics id="S3.1.p1.8.m4.1a"><mrow id="S3.1.p1.8.m4.1.1" xref="S3.1.p1.8.m4.1.1.cmml"><mi id="S3.1.p1.8.m4.1.1.3" xref="S3.1.p1.8.m4.1.1.3.cmml">λ</mi><mo id="S3.1.p1.8.m4.1.1.2" xref="S3.1.p1.8.m4.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.1.p1.8.m4.1.1.1.1" xref="S3.1.p1.8.m4.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.1.p1.8.m4.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.1.p1.8.m4.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.1.p1.8.m4.1.1.1.1.1" xref="S3.1.p1.8.m4.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="S3.1.p1.8.m4.1.1.1.1.1.2" xref="S3.1.p1.8.m4.1.1.1.1.1.2.cmml">1</mn><mo id="S3.1.p1.8.m4.1.1.1.1.1.1" xref="S3.1.p1.8.m4.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mi id="S3.1.p1.8.m4.1.1.1.1.1.3" xref="S3.1.p1.8.m4.1.1.1.1.1.3.cmml">λ</mi></mrow><mo id="S3.1.p1.8.m4.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.1.p1.8.m4.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.1.p1.8.m4.1b"><apply id="S3.1.p1.8.m4.1.1.cmml" xref="S3.1.p1.8.m4.1.1"><times id="S3.1.p1.8.m4.1.1.2.cmml" xref="S3.1.p1.8.m4.1.1.2"></times><ci id="S3.1.p1.8.m4.1.1.3.cmml" xref="S3.1.p1.8.m4.1.1.3">𝜆</ci><apply id="S3.1.p1.8.m4.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.1.p1.8.m4.1.1.1.1"><minus id="S3.1.p1.8.m4.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.1.p1.8.m4.1.1.1.1.1.1"></minus><cn id="S3.1.p1.8.m4.1.1.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S3.1.p1.8.m4.1.1.1.1.1.2">1</cn><ci id="S3.1.p1.8.m4.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.1.p1.8.m4.1.1.1.1.1.3">𝜆</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.1.p1.8.m4.1c">\lambda(1-\lambda)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.1.p1.8.m4.1d">italic_λ ( 1 - italic_λ )</annotation></semantics></math> is monotonically increasing, so the maximum is attained by the largest eigenvalue. ∎</p> </div> </div> <div class="ltx_para" id="S3.p4"> <p class="ltx_p" id="S3.p4.4">Next, we note that we can establish the following resolution of the identity:</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_gather ltx_eqn_table" id="S6.EGx22"> <tbody id="S3.E21"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\displaystyle I=\Pi_{1}=P_{1}+\Pi_{2}=...=\sum_{i=1}^{N}P_{i}+\Pi_{N+1}=\sum_{% i=1}^{N}P_{i}" class="ltx_Math" display="block" id="S3.E21.m1.1"><semantics id="S3.E21.m1.1a"><mrow id="S3.E21.m1.1.1" xref="S3.E21.m1.1.1.cmml"><mi id="S3.E21.m1.1.1.2" xref="S3.E21.m1.1.1.2.cmml">I</mi><mo id="S3.E21.m1.1.1.3" xref="S3.E21.m1.1.1.3.cmml">=</mo><msub id="S3.E21.m1.1.1.4" xref="S3.E21.m1.1.1.4.cmml"><mi id="S3.E21.m1.1.1.4.2" mathvariant="normal" xref="S3.E21.m1.1.1.4.2.cmml">Π</mi><mn id="S3.E21.m1.1.1.4.3" xref="S3.E21.m1.1.1.4.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S3.E21.m1.1.1.5" xref="S3.E21.m1.1.1.5.cmml">=</mo><mrow id="S3.E21.m1.1.1.6" xref="S3.E21.m1.1.1.6.cmml"><msub id="S3.E21.m1.1.1.6.2" xref="S3.E21.m1.1.1.6.2.cmml"><mi id="S3.E21.m1.1.1.6.2.2" xref="S3.E21.m1.1.1.6.2.2.cmml">P</mi><mn id="S3.E21.m1.1.1.6.2.3" xref="S3.E21.m1.1.1.6.2.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S3.E21.m1.1.1.6.1" xref="S3.E21.m1.1.1.6.1.cmml">+</mo><msub id="S3.E21.m1.1.1.6.3" xref="S3.E21.m1.1.1.6.3.cmml"><mi id="S3.E21.m1.1.1.6.3.2" mathvariant="normal" xref="S3.E21.m1.1.1.6.3.2.cmml">Π</mi><mn id="S3.E21.m1.1.1.6.3.3" xref="S3.E21.m1.1.1.6.3.3.cmml">2</mn></msub></mrow><mo id="S3.E21.m1.1.1.7" xref="S3.E21.m1.1.1.7.cmml">=</mo><mi id="S3.E21.m1.1.1.8" mathvariant="normal" xref="S3.E21.m1.1.1.8.cmml">…</mi><mo id="S3.E21.m1.1.1.9" rspace="0.111em" xref="S3.E21.m1.1.1.9.cmml">=</mo><mrow id="S3.E21.m1.1.1.10" xref="S3.E21.m1.1.1.10.cmml"><mrow id="S3.E21.m1.1.1.10.2" xref="S3.E21.m1.1.1.10.2.cmml"><munderover id="S3.E21.m1.1.1.10.2.1" xref="S3.E21.m1.1.1.10.2.1.cmml"><mo id="S3.E21.m1.1.1.10.2.1.2.2" movablelimits="false" xref="S3.E21.m1.1.1.10.2.1.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="S3.E21.m1.1.1.10.2.1.2.3" xref="S3.E21.m1.1.1.10.2.1.2.3.cmml"><mi id="S3.E21.m1.1.1.10.2.1.2.3.2" xref="S3.E21.m1.1.1.10.2.1.2.3.2.cmml">i</mi><mo id="S3.E21.m1.1.1.10.2.1.2.3.1" xref="S3.E21.m1.1.1.10.2.1.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="S3.E21.m1.1.1.10.2.1.2.3.3" xref="S3.E21.m1.1.1.10.2.1.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="S3.E21.m1.1.1.10.2.1.3" xref="S3.E21.m1.1.1.10.2.1.3.cmml">N</mi></munderover><msub id="S3.E21.m1.1.1.10.2.2" xref="S3.E21.m1.1.1.10.2.2.cmml"><mi id="S3.E21.m1.1.1.10.2.2.2" xref="S3.E21.m1.1.1.10.2.2.2.cmml">P</mi><mi id="S3.E21.m1.1.1.10.2.2.3" xref="S3.E21.m1.1.1.10.2.2.3.cmml">i</mi></msub></mrow><mo id="S3.E21.m1.1.1.10.1" xref="S3.E21.m1.1.1.10.1.cmml">+</mo><msub id="S3.E21.m1.1.1.10.3" xref="S3.E21.m1.1.1.10.3.cmml"><mi id="S3.E21.m1.1.1.10.3.2" mathvariant="normal" xref="S3.E21.m1.1.1.10.3.2.cmml">Π</mi><mrow id="S3.E21.m1.1.1.10.3.3" xref="S3.E21.m1.1.1.10.3.3.cmml"><mi id="S3.E21.m1.1.1.10.3.3.2" xref="S3.E21.m1.1.1.10.3.3.2.cmml">N</mi><mo id="S3.E21.m1.1.1.10.3.3.1" xref="S3.E21.m1.1.1.10.3.3.1.cmml">+</mo><mn id="S3.E21.m1.1.1.10.3.3.3" xref="S3.E21.m1.1.1.10.3.3.3.cmml">1</mn></mrow></msub></mrow><mo id="S3.E21.m1.1.1.11" rspace="0.111em" xref="S3.E21.m1.1.1.11.cmml">=</mo><mrow id="S3.E21.m1.1.1.12" xref="S3.E21.m1.1.1.12.cmml"><munderover id="S3.E21.m1.1.1.12.1" xref="S3.E21.m1.1.1.12.1.cmml"><mo id="S3.E21.m1.1.1.12.1.2.2" movablelimits="false" xref="S3.E21.m1.1.1.12.1.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="S3.E21.m1.1.1.12.1.2.3" xref="S3.E21.m1.1.1.12.1.2.3.cmml"><mi id="S3.E21.m1.1.1.12.1.2.3.2" xref="S3.E21.m1.1.1.12.1.2.3.2.cmml">i</mi><mo id="S3.E21.m1.1.1.12.1.2.3.1" xref="S3.E21.m1.1.1.12.1.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="S3.E21.m1.1.1.12.1.2.3.3" xref="S3.E21.m1.1.1.12.1.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="S3.E21.m1.1.1.12.1.3" xref="S3.E21.m1.1.1.12.1.3.cmml">N</mi></munderover><msub id="S3.E21.m1.1.1.12.2" xref="S3.E21.m1.1.1.12.2.cmml"><mi id="S3.E21.m1.1.1.12.2.2" xref="S3.E21.m1.1.1.12.2.2.cmml">P</mi><mi id="S3.E21.m1.1.1.12.2.3" xref="S3.E21.m1.1.1.12.2.3.cmml">i</mi></msub></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E21.m1.1b"><apply id="S3.E21.m1.1.1.cmml" xref="S3.E21.m1.1.1"><and id="S3.E21.m1.1.1a.cmml" xref="S3.E21.m1.1.1"></and><apply id="S3.E21.m1.1.1b.cmml" xref="S3.E21.m1.1.1"><eq id="S3.E21.m1.1.1.3.cmml" xref="S3.E21.m1.1.1.3"></eq><ci id="S3.E21.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.E21.m1.1.1.2">𝐼</ci><apply id="S3.E21.m1.1.1.4.cmml" xref="S3.E21.m1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E21.m1.1.1.4.1.cmml" xref="S3.E21.m1.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="S3.E21.m1.1.1.4.2.cmml" xref="S3.E21.m1.1.1.4.2">Π</ci><cn id="S3.E21.m1.1.1.4.3.cmml" type="integer" xref="S3.E21.m1.1.1.4.3">1</cn></apply></apply><apply id="S3.E21.m1.1.1c.cmml" xref="S3.E21.m1.1.1"><eq id="S3.E21.m1.1.1.5.cmml" xref="S3.E21.m1.1.1.5"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#S3.E21.m1.1.1.4.cmml" id="S3.E21.m1.1.1d.cmml" xref="S3.E21.m1.1.1"></share><apply id="S3.E21.m1.1.1.6.cmml" xref="S3.E21.m1.1.1.6"><plus id="S3.E21.m1.1.1.6.1.cmml" xref="S3.E21.m1.1.1.6.1"></plus><apply id="S3.E21.m1.1.1.6.2.cmml" xref="S3.E21.m1.1.1.6.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E21.m1.1.1.6.2.1.cmml" xref="S3.E21.m1.1.1.6.2">subscript</csymbol><ci id="S3.E21.m1.1.1.6.2.2.cmml" xref="S3.E21.m1.1.1.6.2.2">𝑃</ci><cn id="S3.E21.m1.1.1.6.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.E21.m1.1.1.6.2.3">1</cn></apply><apply id="S3.E21.m1.1.1.6.3.cmml" xref="S3.E21.m1.1.1.6.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E21.m1.1.1.6.3.1.cmml" xref="S3.E21.m1.1.1.6.3">subscript</csymbol><ci id="S3.E21.m1.1.1.6.3.2.cmml" xref="S3.E21.m1.1.1.6.3.2">Π</ci><cn id="S3.E21.m1.1.1.6.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.E21.m1.1.1.6.3.3">2</cn></apply></apply></apply><apply id="S3.E21.m1.1.1e.cmml" xref="S3.E21.m1.1.1"><eq id="S3.E21.m1.1.1.7.cmml" xref="S3.E21.m1.1.1.7"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#S3.E21.m1.1.1.6.cmml" id="S3.E21.m1.1.1f.cmml" xref="S3.E21.m1.1.1"></share><ci id="S3.E21.m1.1.1.8.cmml" xref="S3.E21.m1.1.1.8">…</ci></apply><apply id="S3.E21.m1.1.1g.cmml" xref="S3.E21.m1.1.1"><eq id="S3.E21.m1.1.1.9.cmml" xref="S3.E21.m1.1.1.9"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#S3.E21.m1.1.1.8.cmml" id="S3.E21.m1.1.1h.cmml" xref="S3.E21.m1.1.1"></share><apply id="S3.E21.m1.1.1.10.cmml" xref="S3.E21.m1.1.1.10"><plus id="S3.E21.m1.1.1.10.1.cmml" xref="S3.E21.m1.1.1.10.1"></plus><apply id="S3.E21.m1.1.1.10.2.cmml" xref="S3.E21.m1.1.1.10.2"><apply id="S3.E21.m1.1.1.10.2.1.cmml" xref="S3.E21.m1.1.1.10.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E21.m1.1.1.10.2.1.1.cmml" xref="S3.E21.m1.1.1.10.2.1">superscript</csymbol><apply id="S3.E21.m1.1.1.10.2.1.2.cmml" xref="S3.E21.m1.1.1.10.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E21.m1.1.1.10.2.1.2.1.cmml" xref="S3.E21.m1.1.1.10.2.1">subscript</csymbol><sum id="S3.E21.m1.1.1.10.2.1.2.2.cmml" xref="S3.E21.m1.1.1.10.2.1.2.2"></sum><apply id="S3.E21.m1.1.1.10.2.1.2.3.cmml" xref="S3.E21.m1.1.1.10.2.1.2.3"><eq id="S3.E21.m1.1.1.10.2.1.2.3.1.cmml" xref="S3.E21.m1.1.1.10.2.1.2.3.1"></eq><ci id="S3.E21.m1.1.1.10.2.1.2.3.2.cmml" xref="S3.E21.m1.1.1.10.2.1.2.3.2">𝑖</ci><cn id="S3.E21.m1.1.1.10.2.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.E21.m1.1.1.10.2.1.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="S3.E21.m1.1.1.10.2.1.3.cmml" xref="S3.E21.m1.1.1.10.2.1.3">𝑁</ci></apply><apply id="S3.E21.m1.1.1.10.2.2.cmml" xref="S3.E21.m1.1.1.10.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E21.m1.1.1.10.2.2.1.cmml" xref="S3.E21.m1.1.1.10.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.E21.m1.1.1.10.2.2.2.cmml" xref="S3.E21.m1.1.1.10.2.2.2">𝑃</ci><ci id="S3.E21.m1.1.1.10.2.2.3.cmml" xref="S3.E21.m1.1.1.10.2.2.3">𝑖</ci></apply></apply><apply id="S3.E21.m1.1.1.10.3.cmml" xref="S3.E21.m1.1.1.10.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E21.m1.1.1.10.3.1.cmml" xref="S3.E21.m1.1.1.10.3">subscript</csymbol><ci id="S3.E21.m1.1.1.10.3.2.cmml" xref="S3.E21.m1.1.1.10.3.2">Π</ci><apply id="S3.E21.m1.1.1.10.3.3.cmml" xref="S3.E21.m1.1.1.10.3.3"><plus id="S3.E21.m1.1.1.10.3.3.1.cmml" xref="S3.E21.m1.1.1.10.3.3.1"></plus><ci id="S3.E21.m1.1.1.10.3.3.2.cmml" xref="S3.E21.m1.1.1.10.3.3.2">𝑁</ci><cn id="S3.E21.m1.1.1.10.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.E21.m1.1.1.10.3.3.3">1</cn></apply></apply></apply></apply><apply id="S3.E21.m1.1.1i.cmml" xref="S3.E21.m1.1.1"><eq id="S3.E21.m1.1.1.11.cmml" xref="S3.E21.m1.1.1.11"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#S3.E21.m1.1.1.10.cmml" id="S3.E21.m1.1.1j.cmml" xref="S3.E21.m1.1.1"></share><apply id="S3.E21.m1.1.1.12.cmml" xref="S3.E21.m1.1.1.12"><apply id="S3.E21.m1.1.1.12.1.cmml" xref="S3.E21.m1.1.1.12.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E21.m1.1.1.12.1.1.cmml" xref="S3.E21.m1.1.1.12.1">superscript</csymbol><apply id="S3.E21.m1.1.1.12.1.2.cmml" xref="S3.E21.m1.1.1.12.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E21.m1.1.1.12.1.2.1.cmml" xref="S3.E21.m1.1.1.12.1">subscript</csymbol><sum id="S3.E21.m1.1.1.12.1.2.2.cmml" xref="S3.E21.m1.1.1.12.1.2.2"></sum><apply id="S3.E21.m1.1.1.12.1.2.3.cmml" xref="S3.E21.m1.1.1.12.1.2.3"><eq id="S3.E21.m1.1.1.12.1.2.3.1.cmml" xref="S3.E21.m1.1.1.12.1.2.3.1"></eq><ci id="S3.E21.m1.1.1.12.1.2.3.2.cmml" xref="S3.E21.m1.1.1.12.1.2.3.2">𝑖</ci><cn id="S3.E21.m1.1.1.12.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.E21.m1.1.1.12.1.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="S3.E21.m1.1.1.12.1.3.cmml" xref="S3.E21.m1.1.1.12.1.3">𝑁</ci></apply><apply id="S3.E21.m1.1.1.12.2.cmml" xref="S3.E21.m1.1.1.12.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E21.m1.1.1.12.2.1.cmml" xref="S3.E21.m1.1.1.12.2">subscript</csymbol><ci id="S3.E21.m1.1.1.12.2.2.cmml" xref="S3.E21.m1.1.1.12.2.2">𝑃</ci><ci id="S3.E21.m1.1.1.12.2.3.cmml" xref="S3.E21.m1.1.1.12.2.3">𝑖</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E21.m1.1c">\displaystyle I=\Pi_{1}=P_{1}+\Pi_{2}=...=\sum_{i=1}^{N}P_{i}+\Pi_{N+1}=\sum_{% i=1}^{N}P_{i}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E21.m1.1d">italic_I = roman_Π start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT = italic_P start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT + roman_Π start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT = … = ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_i = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_N end_POSTSUPERSCRIPT italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT + roman_Π start_POSTSUBSCRIPT italic_N + 1 end_POSTSUBSCRIPT = ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_i = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_N end_POSTSUPERSCRIPT italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(21)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.p4.1">Moreover, for all <math alttext="j>i" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p4.1.m1.1"><semantics id="S3.p4.1.m1.1a"><mrow id="S3.p4.1.m1.1.1" xref="S3.p4.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S3.p4.1.m1.1.1.2" xref="S3.p4.1.m1.1.1.2.cmml">j</mi><mo id="S3.p4.1.m1.1.1.1" xref="S3.p4.1.m1.1.1.1.cmml">></mo><mi id="S3.p4.1.m1.1.1.3" xref="S3.p4.1.m1.1.1.3.cmml">i</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p4.1.m1.1b"><apply id="S3.p4.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.p4.1.m1.1.1"><gt id="S3.p4.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.p4.1.m1.1.1.1"></gt><ci id="S3.p4.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.p4.1.m1.1.1.2">𝑗</ci><ci id="S3.p4.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S3.p4.1.m1.1.1.3">𝑖</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p4.1.m1.1c">j>i</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p4.1.m1.1d">italic_j > italic_i</annotation></semantics></math>,</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_gather ltx_eqn_table" id="S6.EGx23"> <tbody id="S3.E22"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\displaystyle P_{j}P_{i}=P_{i}P_{j}=\Pi_{j}-\Pi_{j+1}-(\Pi_{j}-\Pi_{j+1})=0" class="ltx_Math" display="block" id="S3.E22.m1.1"><semantics id="S3.E22.m1.1a"><mrow id="S3.E22.m1.1.1" xref="S3.E22.m1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E22.m1.1.1.3" xref="S3.E22.m1.1.1.3.cmml"><msub id="S3.E22.m1.1.1.3.2" xref="S3.E22.m1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S3.E22.m1.1.1.3.2.2" xref="S3.E22.m1.1.1.3.2.2.cmml">P</mi><mi id="S3.E22.m1.1.1.3.2.3" xref="S3.E22.m1.1.1.3.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S3.E22.m1.1.1.3.1" xref="S3.E22.m1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.E22.m1.1.1.3.3" xref="S3.E22.m1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S3.E22.m1.1.1.3.3.2" xref="S3.E22.m1.1.1.3.3.2.cmml">P</mi><mi id="S3.E22.m1.1.1.3.3.3" xref="S3.E22.m1.1.1.3.3.3.cmml">i</mi></msub></mrow><mo id="S3.E22.m1.1.1.4" xref="S3.E22.m1.1.1.4.cmml">=</mo><mrow id="S3.E22.m1.1.1.5" xref="S3.E22.m1.1.1.5.cmml"><msub id="S3.E22.m1.1.1.5.2" xref="S3.E22.m1.1.1.5.2.cmml"><mi id="S3.E22.m1.1.1.5.2.2" xref="S3.E22.m1.1.1.5.2.2.cmml">P</mi><mi id="S3.E22.m1.1.1.5.2.3" xref="S3.E22.m1.1.1.5.2.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S3.E22.m1.1.1.5.1" xref="S3.E22.m1.1.1.5.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.E22.m1.1.1.5.3" xref="S3.E22.m1.1.1.5.3.cmml"><mi id="S3.E22.m1.1.1.5.3.2" xref="S3.E22.m1.1.1.5.3.2.cmml">P</mi><mi id="S3.E22.m1.1.1.5.3.3" xref="S3.E22.m1.1.1.5.3.3.cmml">j</mi></msub></mrow><mo id="S3.E22.m1.1.1.6" xref="S3.E22.m1.1.1.6.cmml">=</mo><mrow id="S3.E22.m1.1.1.1" xref="S3.E22.m1.1.1.1.cmml"><msub id="S3.E22.m1.1.1.1.3" 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id="S3.E22.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E22.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.E22.m1.1.1.1.1.1.1.2.2" mathvariant="normal" xref="S3.E22.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">Π</mi><mi id="S3.E22.m1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S3.E22.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S3.E22.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E22.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><msub id="S3.E22.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E22.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.E22.m1.1.1.1.1.1.1.3.2" mathvariant="normal" xref="S3.E22.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">Π</mi><mrow id="S3.E22.m1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.E22.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S3.E22.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S3.E22.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">j</mi><mo id="S3.E22.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1" xref="S3.E22.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">+</mo><mn id="S3.E22.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S3.E22.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">1</mn></mrow></msub></mrow><mo id="S3.E22.m1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.E22.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.E22.m1.1.1.7" 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xref="S3.E22.m1.1.1.3.3.2">𝑃</ci><ci id="S3.E22.m1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S3.E22.m1.1.1.3.3.3">𝑖</ci></apply></apply><apply id="S3.E22.m1.1.1.5.cmml" xref="S3.E22.m1.1.1.5"><times id="S3.E22.m1.1.1.5.1.cmml" xref="S3.E22.m1.1.1.5.1"></times><apply id="S3.E22.m1.1.1.5.2.cmml" xref="S3.E22.m1.1.1.5.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E22.m1.1.1.5.2.1.cmml" xref="S3.E22.m1.1.1.5.2">subscript</csymbol><ci id="S3.E22.m1.1.1.5.2.2.cmml" xref="S3.E22.m1.1.1.5.2.2">𝑃</ci><ci id="S3.E22.m1.1.1.5.2.3.cmml" xref="S3.E22.m1.1.1.5.2.3">𝑖</ci></apply><apply id="S3.E22.m1.1.1.5.3.cmml" xref="S3.E22.m1.1.1.5.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E22.m1.1.1.5.3.1.cmml" xref="S3.E22.m1.1.1.5.3">subscript</csymbol><ci id="S3.E22.m1.1.1.5.3.2.cmml" xref="S3.E22.m1.1.1.5.3.2">𝑃</ci><ci id="S3.E22.m1.1.1.5.3.3.cmml" xref="S3.E22.m1.1.1.5.3.3">𝑗</ci></apply></apply></apply><apply id="S3.E22.m1.1.1c.cmml" xref="S3.E22.m1.1.1"><eq id="S3.E22.m1.1.1.6.cmml" xref="S3.E22.m1.1.1.6"></eq><share 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id="S3.E22.m1.1.1.1.4.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.E22.m1.1.1.1.4.3.3">1</cn></apply></apply><apply id="S3.E22.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E22.m1.1.1.1.1.1"><minus id="S3.E22.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E22.m1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><apply id="S3.E22.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E22.m1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E22.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E22.m1.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S3.E22.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.E22.m1.1.1.1.1.1.1.2.2">Π</ci><ci id="S3.E22.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.E22.m1.1.1.1.1.1.1.2.3">𝑗</ci></apply><apply id="S3.E22.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E22.m1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E22.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E22.m1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.E22.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E22.m1.1.1.1.1.1.1.3.2">Π</ci><apply id="S3.E22.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.E22.m1.1.1.1.1.1.1.3.3"><plus id="S3.E22.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.E22.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1"></plus><ci id="S3.E22.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S3.E22.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2">𝑗</ci><cn id="S3.E22.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.E22.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3">1</cn></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="S3.E22.m1.1.1e.cmml" xref="S3.E22.m1.1.1"><eq id="S3.E22.m1.1.1.7.cmml" xref="S3.E22.m1.1.1.7"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#S3.E22.m1.1.1.1.cmml" id="S3.E22.m1.1.1f.cmml" xref="S3.E22.m1.1.1"></share><cn id="S3.E22.m1.1.1.8.cmml" type="integer" xref="S3.E22.m1.1.1.8">0</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E22.m1.1c">\displaystyle P_{j}P_{i}=P_{i}P_{j}=\Pi_{j}-\Pi_{j+1}-(\Pi_{j}-\Pi_{j+1})=0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E22.m1.1d">italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT = italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT = roman_Π start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT - roman_Π start_POSTSUBSCRIPT italic_j + 1 end_POSTSUBSCRIPT - ( roman_Π start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT - roman_Π start_POSTSUBSCRIPT italic_j + 1 end_POSTSUBSCRIPT ) = 0</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(22)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.p4.3">so each <math alttext="P_{i}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p4.2.m1.1"><semantics id="S3.p4.2.m1.1a"><msub id="S3.p4.2.m1.1.1" xref="S3.p4.2.m1.1.1.cmml"><mi id="S3.p4.2.m1.1.1.2" xref="S3.p4.2.m1.1.1.2.cmml">P</mi><mi id="S3.p4.2.m1.1.1.3" xref="S3.p4.2.m1.1.1.3.cmml">i</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p4.2.m1.1b"><apply id="S3.p4.2.m1.1.1.cmml" xref="S3.p4.2.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p4.2.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.p4.2.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.p4.2.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.p4.2.m1.1.1.2">𝑃</ci><ci id="S3.p4.2.m1.1.1.3.cmml" xref="S3.p4.2.m1.1.1.3">𝑖</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p4.2.m1.1c">P_{i}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p4.2.m1.1d">italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> is an orthogonal idempotent. It follows that for any vector <math alttext="v" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p4.3.m2.1"><semantics id="S3.p4.3.m2.1a"><mi id="S3.p4.3.m2.1.1" xref="S3.p4.3.m2.1.1.cmml">v</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p4.3.m2.1b"><ci id="S3.p4.3.m2.1.1.cmml" xref="S3.p4.3.m2.1.1">𝑣</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p4.3.m2.1c">v</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p4.3.m2.1d">italic_v</annotation></semantics></math> in the permutation space, we have</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_gather ltx_eqn_table" id="S6.EGx24"> <tbody id="S3.E23"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\displaystyle||v||^{2}=\sum_{i}||P_{i}v||^{2}" class="ltx_Math" display="block" id="S3.E23.m1.2"><semantics id="S3.E23.m1.2a"><mrow id="S3.E23.m1.2.2" xref="S3.E23.m1.2.2.cmml"><msup id="S3.E23.m1.2.2.3" xref="S3.E23.m1.2.2.3.cmml"><mrow id="S3.E23.m1.2.2.3.2.2" xref="S3.E23.m1.2.2.3.2.1.cmml"><mo id="S3.E23.m1.2.2.3.2.2.1" stretchy="false" xref="S3.E23.m1.2.2.3.2.1.1.cmml">‖</mo><mi id="S3.E23.m1.1.1" xref="S3.E23.m1.1.1.cmml">v</mi><mo id="S3.E23.m1.2.2.3.2.2.2" stretchy="false" xref="S3.E23.m1.2.2.3.2.1.1.cmml">‖</mo></mrow><mn id="S3.E23.m1.2.2.3.3" xref="S3.E23.m1.2.2.3.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S3.E23.m1.2.2.2" rspace="0.111em" xref="S3.E23.m1.2.2.2.cmml">=</mo><mrow id="S3.E23.m1.2.2.1" xref="S3.E23.m1.2.2.1.cmml"><munder id="S3.E23.m1.2.2.1.2" xref="S3.E23.m1.2.2.1.2.cmml"><mo id="S3.E23.m1.2.2.1.2.2" movablelimits="false" rspace="0em" xref="S3.E23.m1.2.2.1.2.2.cmml">∑</mo><mi id="S3.E23.m1.2.2.1.2.3" xref="S3.E23.m1.2.2.1.2.3.cmml">i</mi></munder><msup id="S3.E23.m1.2.2.1.1" xref="S3.E23.m1.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S3.E23.m1.2.2.1.1.1.1" xref="S3.E23.m1.2.2.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.E23.m1.2.2.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E23.m1.2.2.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo><mrow id="S3.E23.m1.2.2.1.1.1.1.1" xref="S3.E23.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S3.E23.m1.2.2.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E23.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.E23.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.E23.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2.cmml">P</mi><mi id="S3.E23.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.3" xref="S3.E23.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S3.E23.m1.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E23.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E23.m1.2.2.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E23.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml">v</mi></mrow><mo id="S3.E23.m1.2.2.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.E23.m1.2.2.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo></mrow><mn id="S3.E23.m1.2.2.1.1.3" xref="S3.E23.m1.2.2.1.1.3.cmml">2</mn></msup></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E23.m1.2b"><apply id="S3.E23.m1.2.2.cmml" xref="S3.E23.m1.2.2"><eq id="S3.E23.m1.2.2.2.cmml" xref="S3.E23.m1.2.2.2"></eq><apply id="S3.E23.m1.2.2.3.cmml" xref="S3.E23.m1.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E23.m1.2.2.3.1.cmml" xref="S3.E23.m1.2.2.3">superscript</csymbol><apply id="S3.E23.m1.2.2.3.2.1.cmml" xref="S3.E23.m1.2.2.3.2.2"><csymbol cd="latexml" id="S3.E23.m1.2.2.3.2.1.1.cmml" xref="S3.E23.m1.2.2.3.2.2.1">norm</csymbol><ci id="S3.E23.m1.1.1.cmml" xref="S3.E23.m1.1.1">𝑣</ci></apply><cn id="S3.E23.m1.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.E23.m1.2.2.3.3">2</cn></apply><apply id="S3.E23.m1.2.2.1.cmml" xref="S3.E23.m1.2.2.1"><apply id="S3.E23.m1.2.2.1.2.cmml" xref="S3.E23.m1.2.2.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E23.m1.2.2.1.2.1.cmml" xref="S3.E23.m1.2.2.1.2">subscript</csymbol><sum id="S3.E23.m1.2.2.1.2.2.cmml" xref="S3.E23.m1.2.2.1.2.2"></sum><ci id="S3.E23.m1.2.2.1.2.3.cmml" xref="S3.E23.m1.2.2.1.2.3">𝑖</ci></apply><apply id="S3.E23.m1.2.2.1.1.cmml" xref="S3.E23.m1.2.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E23.m1.2.2.1.1.2.cmml" xref="S3.E23.m1.2.2.1.1">superscript</csymbol><apply id="S3.E23.m1.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E23.m1.2.2.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.E23.m1.2.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E23.m1.2.2.1.1.1.1.2">norm</csymbol><apply id="S3.E23.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E23.m1.2.2.1.1.1.1.1"><times id="S3.E23.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E23.m1.2.2.1.1.1.1.1.1"></times><apply id="S3.E23.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E23.m1.2.2.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E23.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E23.m1.2.2.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S3.E23.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.E23.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2">𝑃</ci><ci id="S3.E23.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.E23.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.3">𝑖</ci></apply><ci id="S3.E23.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E23.m1.2.2.1.1.1.1.1.3">𝑣</ci></apply></apply><cn id="S3.E23.m1.2.2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.E23.m1.2.2.1.1.3">2</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E23.m1.2c">\displaystyle||v||^{2}=\sum_{i}||P_{i}v||^{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E23.m1.2d">| | italic_v | | start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT = ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT | | italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT italic_v | | start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(23)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.p4.5">Finally, we note as a corollary of Lemma <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#Thmtheorem12" title="Lemma 12. ‣ III Bounding the staircase by a single gate ‣ Conditional 𝑡-independent spectral gap for random quantum circuits and implications for 𝑡-design depths"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">12</span></a>,</p> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_corollary" id="Thmtheorem14"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmtheorem14.1.1.1">Corollary 14</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmtheorem14.2.2">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="Thmtheorem14.p1"> <p class="ltx_p" id="Thmtheorem14.p1.7"><math alttext="P_{j}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem14.p1.1.m1.1"><semantics id="Thmtheorem14.p1.1.m1.1a"><msub id="Thmtheorem14.p1.1.m1.1.1" xref="Thmtheorem14.p1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="Thmtheorem14.p1.1.m1.1.1.2" xref="Thmtheorem14.p1.1.m1.1.1.2.cmml">P</mi><mi id="Thmtheorem14.p1.1.m1.1.1.3" xref="Thmtheorem14.p1.1.m1.1.1.3.cmml">j</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem14.p1.1.m1.1b"><apply id="Thmtheorem14.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem14.p1.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem14.p1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem14.p1.1.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="Thmtheorem14.p1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="Thmtheorem14.p1.1.m1.1.1.2">𝑃</ci><ci id="Thmtheorem14.p1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="Thmtheorem14.p1.1.m1.1.1.3">𝑗</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem14.p1.1.m1.1c">P_{j}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem14.p1.1.m1.1d">italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmtheorem14.p1.7.6"> absorbs all <math alttext="G_{i}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem14.p1.2.1.m1.1"><semantics id="Thmtheorem14.p1.2.1.m1.1a"><msub id="Thmtheorem14.p1.2.1.m1.1.1" xref="Thmtheorem14.p1.2.1.m1.1.1.cmml"><mi id="Thmtheorem14.p1.2.1.m1.1.1.2" xref="Thmtheorem14.p1.2.1.m1.1.1.2.cmml">G</mi><mi id="Thmtheorem14.p1.2.1.m1.1.1.3" xref="Thmtheorem14.p1.2.1.m1.1.1.3.cmml">i</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem14.p1.2.1.m1.1b"><apply id="Thmtheorem14.p1.2.1.m1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem14.p1.2.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem14.p1.2.1.m1.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem14.p1.2.1.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="Thmtheorem14.p1.2.1.m1.1.1.2.cmml" xref="Thmtheorem14.p1.2.1.m1.1.1.2">𝐺</ci><ci id="Thmtheorem14.p1.2.1.m1.1.1.3.cmml" xref="Thmtheorem14.p1.2.1.m1.1.1.3">𝑖</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem14.p1.2.1.m1.1c">G_{i}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem14.p1.2.1.m1.1d">italic_G start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> for <math alttext="i<j" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem14.p1.3.2.m2.1"><semantics id="Thmtheorem14.p1.3.2.m2.1a"><mrow id="Thmtheorem14.p1.3.2.m2.1.1" xref="Thmtheorem14.p1.3.2.m2.1.1.cmml"><mi id="Thmtheorem14.p1.3.2.m2.1.1.2" xref="Thmtheorem14.p1.3.2.m2.1.1.2.cmml">i</mi><mo id="Thmtheorem14.p1.3.2.m2.1.1.1" xref="Thmtheorem14.p1.3.2.m2.1.1.1.cmml"><</mo><mi id="Thmtheorem14.p1.3.2.m2.1.1.3" xref="Thmtheorem14.p1.3.2.m2.1.1.3.cmml">j</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem14.p1.3.2.m2.1b"><apply id="Thmtheorem14.p1.3.2.m2.1.1.cmml" xref="Thmtheorem14.p1.3.2.m2.1.1"><lt id="Thmtheorem14.p1.3.2.m2.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem14.p1.3.2.m2.1.1.1"></lt><ci id="Thmtheorem14.p1.3.2.m2.1.1.2.cmml" xref="Thmtheorem14.p1.3.2.m2.1.1.2">𝑖</ci><ci id="Thmtheorem14.p1.3.2.m2.1.1.3.cmml" xref="Thmtheorem14.p1.3.2.m2.1.1.3">𝑗</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem14.p1.3.2.m2.1c">i<j</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem14.p1.3.2.m2.1d">italic_i < italic_j</annotation></semantics></math>, similar to <math alttext="\Pi_{j}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem14.p1.4.3.m3.1"><semantics id="Thmtheorem14.p1.4.3.m3.1a"><msub id="Thmtheorem14.p1.4.3.m3.1.1" xref="Thmtheorem14.p1.4.3.m3.1.1.cmml"><mi id="Thmtheorem14.p1.4.3.m3.1.1.2" mathvariant="normal" xref="Thmtheorem14.p1.4.3.m3.1.1.2.cmml">Π</mi><mi id="Thmtheorem14.p1.4.3.m3.1.1.3" xref="Thmtheorem14.p1.4.3.m3.1.1.3.cmml">j</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem14.p1.4.3.m3.1b"><apply id="Thmtheorem14.p1.4.3.m3.1.1.cmml" xref="Thmtheorem14.p1.4.3.m3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem14.p1.4.3.m3.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem14.p1.4.3.m3.1.1">subscript</csymbol><ci id="Thmtheorem14.p1.4.3.m3.1.1.2.cmml" xref="Thmtheorem14.p1.4.3.m3.1.1.2">Π</ci><ci id="Thmtheorem14.p1.4.3.m3.1.1.3.cmml" xref="Thmtheorem14.p1.4.3.m3.1.1.3">𝑗</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem14.p1.4.3.m3.1c">\Pi_{j}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem14.p1.4.3.m3.1d">roman_Π start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> in Lemma <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#Thmtheorem12" title="Lemma 12. ‣ III Bounding the staircase by a single gate ‣ Conditional 𝑡-independent spectral gap for random quantum circuits and implications for 𝑡-design depths"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">12</span></a>. In addition, <math alttext="P_{j}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem14.p1.5.4.m4.1"><semantics id="Thmtheorem14.p1.5.4.m4.1a"><msub id="Thmtheorem14.p1.5.4.m4.1.1" xref="Thmtheorem14.p1.5.4.m4.1.1.cmml"><mi id="Thmtheorem14.p1.5.4.m4.1.1.2" xref="Thmtheorem14.p1.5.4.m4.1.1.2.cmml">P</mi><mi id="Thmtheorem14.p1.5.4.m4.1.1.3" xref="Thmtheorem14.p1.5.4.m4.1.1.3.cmml">j</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem14.p1.5.4.m4.1b"><apply id="Thmtheorem14.p1.5.4.m4.1.1.cmml" xref="Thmtheorem14.p1.5.4.m4.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem14.p1.5.4.m4.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem14.p1.5.4.m4.1.1">subscript</csymbol><ci id="Thmtheorem14.p1.5.4.m4.1.1.2.cmml" xref="Thmtheorem14.p1.5.4.m4.1.1.2">𝑃</ci><ci id="Thmtheorem14.p1.5.4.m4.1.1.3.cmml" xref="Thmtheorem14.p1.5.4.m4.1.1.3">𝑗</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem14.p1.5.4.m4.1c">P_{j}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem14.p1.5.4.m4.1d">italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> commutes with all <math alttext="G_{i}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem14.p1.6.5.m5.1"><semantics id="Thmtheorem14.p1.6.5.m5.1a"><msub id="Thmtheorem14.p1.6.5.m5.1.1" xref="Thmtheorem14.p1.6.5.m5.1.1.cmml"><mi id="Thmtheorem14.p1.6.5.m5.1.1.2" xref="Thmtheorem14.p1.6.5.m5.1.1.2.cmml">G</mi><mi id="Thmtheorem14.p1.6.5.m5.1.1.3" xref="Thmtheorem14.p1.6.5.m5.1.1.3.cmml">i</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem14.p1.6.5.m5.1b"><apply id="Thmtheorem14.p1.6.5.m5.1.1.cmml" xref="Thmtheorem14.p1.6.5.m5.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem14.p1.6.5.m5.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem14.p1.6.5.m5.1.1">subscript</csymbol><ci id="Thmtheorem14.p1.6.5.m5.1.1.2.cmml" xref="Thmtheorem14.p1.6.5.m5.1.1.2">𝐺</ci><ci id="Thmtheorem14.p1.6.5.m5.1.1.3.cmml" xref="Thmtheorem14.p1.6.5.m5.1.1.3">𝑖</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem14.p1.6.5.m5.1c">G_{i}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem14.p1.6.5.m5.1d">italic_G start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> for <math alttext="i>j+1" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem14.p1.7.6.m6.1"><semantics id="Thmtheorem14.p1.7.6.m6.1a"><mrow id="Thmtheorem14.p1.7.6.m6.1.1" xref="Thmtheorem14.p1.7.6.m6.1.1.cmml"><mi id="Thmtheorem14.p1.7.6.m6.1.1.2" xref="Thmtheorem14.p1.7.6.m6.1.1.2.cmml">i</mi><mo id="Thmtheorem14.p1.7.6.m6.1.1.1" xref="Thmtheorem14.p1.7.6.m6.1.1.1.cmml">></mo><mrow id="Thmtheorem14.p1.7.6.m6.1.1.3" xref="Thmtheorem14.p1.7.6.m6.1.1.3.cmml"><mi id="Thmtheorem14.p1.7.6.m6.1.1.3.2" xref="Thmtheorem14.p1.7.6.m6.1.1.3.2.cmml">j</mi><mo id="Thmtheorem14.p1.7.6.m6.1.1.3.1" xref="Thmtheorem14.p1.7.6.m6.1.1.3.1.cmml">+</mo><mn id="Thmtheorem14.p1.7.6.m6.1.1.3.3" xref="Thmtheorem14.p1.7.6.m6.1.1.3.3.cmml">1</mn></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem14.p1.7.6.m6.1b"><apply id="Thmtheorem14.p1.7.6.m6.1.1.cmml" xref="Thmtheorem14.p1.7.6.m6.1.1"><gt id="Thmtheorem14.p1.7.6.m6.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem14.p1.7.6.m6.1.1.1"></gt><ci id="Thmtheorem14.p1.7.6.m6.1.1.2.cmml" xref="Thmtheorem14.p1.7.6.m6.1.1.2">𝑖</ci><apply id="Thmtheorem14.p1.7.6.m6.1.1.3.cmml" xref="Thmtheorem14.p1.7.6.m6.1.1.3"><plus id="Thmtheorem14.p1.7.6.m6.1.1.3.1.cmml" xref="Thmtheorem14.p1.7.6.m6.1.1.3.1"></plus><ci id="Thmtheorem14.p1.7.6.m6.1.1.3.2.cmml" xref="Thmtheorem14.p1.7.6.m6.1.1.3.2">𝑗</ci><cn id="Thmtheorem14.p1.7.6.m6.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="Thmtheorem14.p1.7.6.m6.1.1.3.3">1</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem14.p1.7.6.m6.1c">i>j+1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem14.p1.7.6.m6.1d">italic_i > italic_j + 1</annotation></semantics></math>. In other words,</span></p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="S6.EGx25"> <tbody id="S3.E24"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle P_{j}G_{i}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.E24.m1.1"><semantics id="S3.E24.m1.1a"><mrow id="S3.E24.m1.1.1" xref="S3.E24.m1.1.1.cmml"><msub id="S3.E24.m1.1.1.2" xref="S3.E24.m1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.E24.m1.1.1.2.2" xref="S3.E24.m1.1.1.2.2.cmml">P</mi><mi id="S3.E24.m1.1.1.2.3" xref="S3.E24.m1.1.1.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S3.E24.m1.1.1.1" xref="S3.E24.m1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.E24.m1.1.1.3" xref="S3.E24.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.E24.m1.1.1.3.2" xref="S3.E24.m1.1.1.3.2.cmml">G</mi><mi id="S3.E24.m1.1.1.3.3" xref="S3.E24.m1.1.1.3.3.cmml">i</mi></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E24.m1.1b"><apply id="S3.E24.m1.1.1.cmml" xref="S3.E24.m1.1.1"><times id="S3.E24.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.E24.m1.1.1.1"></times><apply id="S3.E24.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.E24.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E24.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E24.m1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S3.E24.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.E24.m1.1.1.2.2">𝑃</ci><ci id="S3.E24.m1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.E24.m1.1.1.2.3">𝑗</ci></apply><apply id="S3.E24.m1.1.1.3.cmml" xref="S3.E24.m1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E24.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E24.m1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.E24.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E24.m1.1.1.3.2">𝐺</ci><ci id="S3.E24.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.E24.m1.1.1.3.3">𝑖</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E24.m1.1c">\displaystyle P_{j}G_{i}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E24.m1.1d">italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT italic_G start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=G_{i}P_{j}=P_{j}\qquad i<j" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.E24.m2.2"><semantics id="S3.E24.m2.2a"><mrow id="S3.E24.m2.2.2.2" xref="S3.E24.m2.2.2.3.cmml"><mrow id="S3.E24.m2.1.1.1.1" xref="S3.E24.m2.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E24.m2.1.1.1.1.2" xref="S3.E24.m2.1.1.1.1.2.cmml"></mi><mo id="S3.E24.m2.1.1.1.1.3" xref="S3.E24.m2.1.1.1.1.3.cmml">=</mo><mrow id="S3.E24.m2.1.1.1.1.4" xref="S3.E24.m2.1.1.1.1.4.cmml"><msub id="S3.E24.m2.1.1.1.1.4.2" xref="S3.E24.m2.1.1.1.1.4.2.cmml"><mi id="S3.E24.m2.1.1.1.1.4.2.2" xref="S3.E24.m2.1.1.1.1.4.2.2.cmml">G</mi><mi id="S3.E24.m2.1.1.1.1.4.2.3" xref="S3.E24.m2.1.1.1.1.4.2.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S3.E24.m2.1.1.1.1.4.1" xref="S3.E24.m2.1.1.1.1.4.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.E24.m2.1.1.1.1.4.3" xref="S3.E24.m2.1.1.1.1.4.3.cmml"><mi id="S3.E24.m2.1.1.1.1.4.3.2" xref="S3.E24.m2.1.1.1.1.4.3.2.cmml">P</mi><mi id="S3.E24.m2.1.1.1.1.4.3.3" xref="S3.E24.m2.1.1.1.1.4.3.3.cmml">j</mi></msub></mrow><mo id="S3.E24.m2.1.1.1.1.5" xref="S3.E24.m2.1.1.1.1.5.cmml">=</mo><msub id="S3.E24.m2.1.1.1.1.6" xref="S3.E24.m2.1.1.1.1.6.cmml"><mi id="S3.E24.m2.1.1.1.1.6.2" xref="S3.E24.m2.1.1.1.1.6.2.cmml">P</mi><mi id="S3.E24.m2.1.1.1.1.6.3" xref="S3.E24.m2.1.1.1.1.6.3.cmml">j</mi></msub></mrow><mspace id="S3.E24.m2.2.2.2.3" width="2em" xref="S3.E24.m2.2.2.3a.cmml"></mspace><mrow id="S3.E24.m2.2.2.2.2" xref="S3.E24.m2.2.2.2.2.cmml"><mi id="S3.E24.m2.2.2.2.2.2" xref="S3.E24.m2.2.2.2.2.2.cmml">i</mi><mo id="S3.E24.m2.2.2.2.2.1" xref="S3.E24.m2.2.2.2.2.1.cmml"><</mo><mi id="S3.E24.m2.2.2.2.2.3" xref="S3.E24.m2.2.2.2.2.3.cmml">j</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E24.m2.2b"><apply id="S3.E24.m2.2.2.3.cmml" xref="S3.E24.m2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E24.m2.2.2.3a.cmml" xref="S3.E24.m2.2.2.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S3.E24.m2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E24.m2.1.1.1.1"><and id="S3.E24.m2.1.1.1.1a.cmml" xref="S3.E24.m2.1.1.1.1"></and><apply id="S3.E24.m2.1.1.1.1b.cmml" xref="S3.E24.m2.1.1.1.1"><eq id="S3.E24.m2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E24.m2.1.1.1.1.3"></eq><csymbol cd="latexml" id="S3.E24.m2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E24.m2.1.1.1.1.2">absent</csymbol><apply id="S3.E24.m2.1.1.1.1.4.cmml" xref="S3.E24.m2.1.1.1.1.4"><times id="S3.E24.m2.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="S3.E24.m2.1.1.1.1.4.1"></times><apply id="S3.E24.m2.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="S3.E24.m2.1.1.1.1.4.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E24.m2.1.1.1.1.4.2.1.cmml" xref="S3.E24.m2.1.1.1.1.4.2">subscript</csymbol><ci id="S3.E24.m2.1.1.1.1.4.2.2.cmml" xref="S3.E24.m2.1.1.1.1.4.2.2">𝐺</ci><ci id="S3.E24.m2.1.1.1.1.4.2.3.cmml" xref="S3.E24.m2.1.1.1.1.4.2.3">𝑖</ci></apply><apply id="S3.E24.m2.1.1.1.1.4.3.cmml" xref="S3.E24.m2.1.1.1.1.4.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E24.m2.1.1.1.1.4.3.1.cmml" xref="S3.E24.m2.1.1.1.1.4.3">subscript</csymbol><ci id="S3.E24.m2.1.1.1.1.4.3.2.cmml" xref="S3.E24.m2.1.1.1.1.4.3.2">𝑃</ci><ci id="S3.E24.m2.1.1.1.1.4.3.3.cmml" xref="S3.E24.m2.1.1.1.1.4.3.3">𝑗</ci></apply></apply></apply><apply id="S3.E24.m2.1.1.1.1c.cmml" xref="S3.E24.m2.1.1.1.1"><eq id="S3.E24.m2.1.1.1.1.5.cmml" xref="S3.E24.m2.1.1.1.1.5"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#S3.E24.m2.1.1.1.1.4.cmml" id="S3.E24.m2.1.1.1.1d.cmml" xref="S3.E24.m2.1.1.1.1"></share><apply id="S3.E24.m2.1.1.1.1.6.cmml" xref="S3.E24.m2.1.1.1.1.6"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E24.m2.1.1.1.1.6.1.cmml" xref="S3.E24.m2.1.1.1.1.6">subscript</csymbol><ci id="S3.E24.m2.1.1.1.1.6.2.cmml" xref="S3.E24.m2.1.1.1.1.6.2">𝑃</ci><ci id="S3.E24.m2.1.1.1.1.6.3.cmml" xref="S3.E24.m2.1.1.1.1.6.3">𝑗</ci></apply></apply></apply><apply id="S3.E24.m2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.E24.m2.2.2.2.2"><lt id="S3.E24.m2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.E24.m2.2.2.2.2.1"></lt><ci id="S3.E24.m2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.E24.m2.2.2.2.2.2">𝑖</ci><ci id="S3.E24.m2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S3.E24.m2.2.2.2.2.3">𝑗</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E24.m2.2c">\displaystyle=G_{i}P_{j}=P_{j}\qquad i<j</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E24.m2.2d">= italic_G start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT = italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT italic_i < italic_j</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(24)</span></td> </tr></tbody> <tbody id="S3.E25"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle P_{j}G_{i}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.E25.m1.1"><semantics id="S3.E25.m1.1a"><mrow id="S3.E25.m1.1.1" xref="S3.E25.m1.1.1.cmml"><msub id="S3.E25.m1.1.1.2" xref="S3.E25.m1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.E25.m1.1.1.2.2" xref="S3.E25.m1.1.1.2.2.cmml">P</mi><mi id="S3.E25.m1.1.1.2.3" xref="S3.E25.m1.1.1.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S3.E25.m1.1.1.1" xref="S3.E25.m1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.E25.m1.1.1.3" xref="S3.E25.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.E25.m1.1.1.3.2" xref="S3.E25.m1.1.1.3.2.cmml">G</mi><mi id="S3.E25.m1.1.1.3.3" xref="S3.E25.m1.1.1.3.3.cmml">i</mi></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E25.m1.1b"><apply id="S3.E25.m1.1.1.cmml" xref="S3.E25.m1.1.1"><times id="S3.E25.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.E25.m1.1.1.1"></times><apply id="S3.E25.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.E25.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E25.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E25.m1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S3.E25.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.E25.m1.1.1.2.2">𝑃</ci><ci id="S3.E25.m1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.E25.m1.1.1.2.3">𝑗</ci></apply><apply id="S3.E25.m1.1.1.3.cmml" xref="S3.E25.m1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E25.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E25.m1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.E25.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E25.m1.1.1.3.2">𝐺</ci><ci id="S3.E25.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.E25.m1.1.1.3.3">𝑖</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E25.m1.1c">\displaystyle P_{j}G_{i}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E25.m1.1d">italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT italic_G start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=G_{i}P_{j}\qquad\qquad i>j+1" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.E25.m2.2"><semantics id="S3.E25.m2.2a"><mrow id="S3.E25.m2.2.2.2" xref="S3.E25.m2.2.2.3.cmml"><mrow id="S3.E25.m2.1.1.1.1" xref="S3.E25.m2.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E25.m2.1.1.1.1.2" xref="S3.E25.m2.1.1.1.1.2.cmml"></mi><mo id="S3.E25.m2.1.1.1.1.1" xref="S3.E25.m2.1.1.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S3.E25.m2.1.1.1.1.3" xref="S3.E25.m2.1.1.1.1.3.cmml"><msub id="S3.E25.m2.1.1.1.1.3.2" xref="S3.E25.m2.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S3.E25.m2.1.1.1.1.3.2.2" xref="S3.E25.m2.1.1.1.1.3.2.2.cmml">G</mi><mi id="S3.E25.m2.1.1.1.1.3.2.3" xref="S3.E25.m2.1.1.1.1.3.2.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S3.E25.m2.1.1.1.1.3.1" xref="S3.E25.m2.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.E25.m2.1.1.1.1.3.3" xref="S3.E25.m2.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S3.E25.m2.1.1.1.1.3.3.2" xref="S3.E25.m2.1.1.1.1.3.3.2.cmml">P</mi><mi id="S3.E25.m2.1.1.1.1.3.3.3" xref="S3.E25.m2.1.1.1.1.3.3.3.cmml">j</mi></msub></mrow></mrow><mspace id="S3.E25.m2.2.2.2.3" width="4em" xref="S3.E25.m2.2.2.3a.cmml"></mspace><mrow id="S3.E25.m2.2.2.2.2" xref="S3.E25.m2.2.2.2.2.cmml"><mi id="S3.E25.m2.2.2.2.2.2" xref="S3.E25.m2.2.2.2.2.2.cmml">i</mi><mo id="S3.E25.m2.2.2.2.2.1" xref="S3.E25.m2.2.2.2.2.1.cmml">></mo><mrow id="S3.E25.m2.2.2.2.2.3" xref="S3.E25.m2.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="S3.E25.m2.2.2.2.2.3.2" xref="S3.E25.m2.2.2.2.2.3.2.cmml">j</mi><mo id="S3.E25.m2.2.2.2.2.3.1" xref="S3.E25.m2.2.2.2.2.3.1.cmml">+</mo><mn id="S3.E25.m2.2.2.2.2.3.3" xref="S3.E25.m2.2.2.2.2.3.3.cmml">1</mn></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E25.m2.2b"><apply id="S3.E25.m2.2.2.3.cmml" xref="S3.E25.m2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E25.m2.2.2.3a.cmml" xref="S3.E25.m2.2.2.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S3.E25.m2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E25.m2.1.1.1.1"><eq id="S3.E25.m2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E25.m2.1.1.1.1.1"></eq><csymbol cd="latexml" id="S3.E25.m2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E25.m2.1.1.1.1.2">absent</csymbol><apply id="S3.E25.m2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E25.m2.1.1.1.1.3"><times id="S3.E25.m2.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E25.m2.1.1.1.1.3.1"></times><apply id="S3.E25.m2.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E25.m2.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E25.m2.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S3.E25.m2.1.1.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S3.E25.m2.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S3.E25.m2.1.1.1.1.3.2.2">𝐺</ci><ci id="S3.E25.m2.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S3.E25.m2.1.1.1.1.3.2.3">𝑖</ci></apply><apply id="S3.E25.m2.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.E25.m2.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E25.m2.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.E25.m2.1.1.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S3.E25.m2.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S3.E25.m2.1.1.1.1.3.3.2">𝑃</ci><ci id="S3.E25.m2.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S3.E25.m2.1.1.1.1.3.3.3">𝑗</ci></apply></apply></apply><apply id="S3.E25.m2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.E25.m2.2.2.2.2"><gt id="S3.E25.m2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.E25.m2.2.2.2.2.1"></gt><ci id="S3.E25.m2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.E25.m2.2.2.2.2.2">𝑖</ci><apply id="S3.E25.m2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S3.E25.m2.2.2.2.2.3"><plus id="S3.E25.m2.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="S3.E25.m2.2.2.2.2.3.1"></plus><ci id="S3.E25.m2.2.2.2.2.3.2.cmml" xref="S3.E25.m2.2.2.2.2.3.2">𝑗</ci><cn id="S3.E25.m2.2.2.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.E25.m2.2.2.2.2.3.3">1</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E25.m2.2c">\displaystyle=G_{i}P_{j}\qquad\qquad i>j+1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E25.m2.2d">= italic_G start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT italic_i > italic_j + 1</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(25)</span></td> </tr></tbody> </table> </div> </div> <div class="ltx_para" id="S3.p5"> <p class="ltx_p" id="S3.p5.6">Define the partial staircase operator</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_gather ltx_eqn_table" id="S6.EGx26"> <tbody id="S3.E26"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\displaystyle T_{j}=G_{j}G_{j-1}...G_{1}" class="ltx_Math" display="block" id="S3.E26.m1.1"><semantics id="S3.E26.m1.1a"><mrow id="S3.E26.m1.1.1" xref="S3.E26.m1.1.1.cmml"><msub id="S3.E26.m1.1.1.2" xref="S3.E26.m1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.E26.m1.1.1.2.2" xref="S3.E26.m1.1.1.2.2.cmml">T</mi><mi id="S3.E26.m1.1.1.2.3" xref="S3.E26.m1.1.1.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S3.E26.m1.1.1.1" xref="S3.E26.m1.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S3.E26.m1.1.1.3" xref="S3.E26.m1.1.1.3.cmml"><msub id="S3.E26.m1.1.1.3.2" xref="S3.E26.m1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S3.E26.m1.1.1.3.2.2" xref="S3.E26.m1.1.1.3.2.2.cmml">G</mi><mi id="S3.E26.m1.1.1.3.2.3" xref="S3.E26.m1.1.1.3.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S3.E26.m1.1.1.3.1" xref="S3.E26.m1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.E26.m1.1.1.3.3" xref="S3.E26.m1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S3.E26.m1.1.1.3.3.2" xref="S3.E26.m1.1.1.3.3.2.cmml">G</mi><mrow id="S3.E26.m1.1.1.3.3.3" xref="S3.E26.m1.1.1.3.3.3.cmml"><mi id="S3.E26.m1.1.1.3.3.3.2" xref="S3.E26.m1.1.1.3.3.3.2.cmml">j</mi><mo id="S3.E26.m1.1.1.3.3.3.1" xref="S3.E26.m1.1.1.3.3.3.1.cmml">−</mo><mn id="S3.E26.m1.1.1.3.3.3.3" xref="S3.E26.m1.1.1.3.3.3.3.cmml">1</mn></mrow></msub><mo id="S3.E26.m1.1.1.3.1a" xref="S3.E26.m1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E26.m1.1.1.3.4" mathvariant="normal" xref="S3.E26.m1.1.1.3.4.cmml">…</mi><mo id="S3.E26.m1.1.1.3.1b" xref="S3.E26.m1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.E26.m1.1.1.3.5" xref="S3.E26.m1.1.1.3.5.cmml"><mi id="S3.E26.m1.1.1.3.5.2" xref="S3.E26.m1.1.1.3.5.2.cmml">G</mi><mn id="S3.E26.m1.1.1.3.5.3" xref="S3.E26.m1.1.1.3.5.3.cmml">1</mn></msub></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E26.m1.1b"><apply id="S3.E26.m1.1.1.cmml" xref="S3.E26.m1.1.1"><eq id="S3.E26.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.E26.m1.1.1.1"></eq><apply id="S3.E26.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.E26.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E26.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E26.m1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S3.E26.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.E26.m1.1.1.2.2">𝑇</ci><ci id="S3.E26.m1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.E26.m1.1.1.2.3">𝑗</ci></apply><apply id="S3.E26.m1.1.1.3.cmml" xref="S3.E26.m1.1.1.3"><times id="S3.E26.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E26.m1.1.1.3.1"></times><apply id="S3.E26.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E26.m1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E26.m1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S3.E26.m1.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S3.E26.m1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S3.E26.m1.1.1.3.2.2">𝐺</ci><ci id="S3.E26.m1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S3.E26.m1.1.1.3.2.3">𝑗</ci></apply><apply id="S3.E26.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.E26.m1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E26.m1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.E26.m1.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S3.E26.m1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S3.E26.m1.1.1.3.3.2">𝐺</ci><apply id="S3.E26.m1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S3.E26.m1.1.1.3.3.3"><minus id="S3.E26.m1.1.1.3.3.3.1.cmml" xref="S3.E26.m1.1.1.3.3.3.1"></minus><ci id="S3.E26.m1.1.1.3.3.3.2.cmml" xref="S3.E26.m1.1.1.3.3.3.2">𝑗</ci><cn id="S3.E26.m1.1.1.3.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.E26.m1.1.1.3.3.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="S3.E26.m1.1.1.3.4.cmml" xref="S3.E26.m1.1.1.3.4">…</ci><apply id="S3.E26.m1.1.1.3.5.cmml" xref="S3.E26.m1.1.1.3.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E26.m1.1.1.3.5.1.cmml" xref="S3.E26.m1.1.1.3.5">subscript</csymbol><ci id="S3.E26.m1.1.1.3.5.2.cmml" xref="S3.E26.m1.1.1.3.5.2">𝐺</ci><cn id="S3.E26.m1.1.1.3.5.3.cmml" type="integer" xref="S3.E26.m1.1.1.3.5.3">1</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E26.m1.1c">\displaystyle T_{j}=G_{j}G_{j-1}...G_{1}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E26.m1.1d">italic_T start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT = italic_G start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT italic_G start_POSTSUBSCRIPT italic_j - 1 end_POSTSUBSCRIPT … italic_G start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(26)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.p5.2">with <math alttext="T_{N-1}\equiv T" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p5.1.m1.1"><semantics id="S3.p5.1.m1.1a"><mrow id="S3.p5.1.m1.1.1" xref="S3.p5.1.m1.1.1.cmml"><msub id="S3.p5.1.m1.1.1.2" xref="S3.p5.1.m1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.p5.1.m1.1.1.2.2" xref="S3.p5.1.m1.1.1.2.2.cmml">T</mi><mrow id="S3.p5.1.m1.1.1.2.3" xref="S3.p5.1.m1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S3.p5.1.m1.1.1.2.3.2" xref="S3.p5.1.m1.1.1.2.3.2.cmml">N</mi><mo id="S3.p5.1.m1.1.1.2.3.1" xref="S3.p5.1.m1.1.1.2.3.1.cmml">−</mo><mn id="S3.p5.1.m1.1.1.2.3.3" xref="S3.p5.1.m1.1.1.2.3.3.cmml">1</mn></mrow></msub><mo id="S3.p5.1.m1.1.1.1" xref="S3.p5.1.m1.1.1.1.cmml">≡</mo><mi id="S3.p5.1.m1.1.1.3" xref="S3.p5.1.m1.1.1.3.cmml">T</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p5.1.m1.1b"><apply id="S3.p5.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.p5.1.m1.1.1"><equivalent id="S3.p5.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.p5.1.m1.1.1.1"></equivalent><apply id="S3.p5.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.p5.1.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p5.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.p5.1.m1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S3.p5.1.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.p5.1.m1.1.1.2.2">𝑇</ci><apply id="S3.p5.1.m1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.p5.1.m1.1.1.2.3"><minus id="S3.p5.1.m1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S3.p5.1.m1.1.1.2.3.1"></minus><ci id="S3.p5.1.m1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S3.p5.1.m1.1.1.2.3.2">𝑁</ci><cn id="S3.p5.1.m1.1.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.p5.1.m1.1.1.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="S3.p5.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S3.p5.1.m1.1.1.3">𝑇</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p5.1.m1.1c">T_{N-1}\equiv T</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p5.1.m1.1d">italic_T start_POSTSUBSCRIPT italic_N - 1 end_POSTSUBSCRIPT ≡ italic_T</annotation></semantics></math> being the full staircase operator. We also define <math alttext="s_{ij}=||P_{i}TP_{j}||_{\infty}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p5.2.m2.1"><semantics id="S3.p5.2.m2.1a"><mrow id="S3.p5.2.m2.1.1" xref="S3.p5.2.m2.1.1.cmml"><msub id="S3.p5.2.m2.1.1.3" xref="S3.p5.2.m2.1.1.3.cmml"><mi id="S3.p5.2.m2.1.1.3.2" xref="S3.p5.2.m2.1.1.3.2.cmml">s</mi><mrow id="S3.p5.2.m2.1.1.3.3" xref="S3.p5.2.m2.1.1.3.3.cmml"><mi id="S3.p5.2.m2.1.1.3.3.2" xref="S3.p5.2.m2.1.1.3.3.2.cmml">i</mi><mo id="S3.p5.2.m2.1.1.3.3.1" xref="S3.p5.2.m2.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.p5.2.m2.1.1.3.3.3" xref="S3.p5.2.m2.1.1.3.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="S3.p5.2.m2.1.1.2" xref="S3.p5.2.m2.1.1.2.cmml">=</mo><msub id="S3.p5.2.m2.1.1.1" xref="S3.p5.2.m2.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.p5.2.m2.1.1.1.1.1" xref="S3.p5.2.m2.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.p5.2.m2.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.p5.2.m2.1.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo><mrow id="S3.p5.2.m2.1.1.1.1.1.1" xref="S3.p5.2.m2.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S3.p5.2.m2.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.p5.2.m2.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.p5.2.m2.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.p5.2.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">P</mi><mi id="S3.p5.2.m2.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S3.p5.2.m2.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S3.p5.2.m2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.p5.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.p5.2.m2.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.p5.2.m2.1.1.1.1.1.1.3.cmml">T</mi><mo id="S3.p5.2.m2.1.1.1.1.1.1.1a" xref="S3.p5.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.p5.2.m2.1.1.1.1.1.1.4" xref="S3.p5.2.m2.1.1.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="S3.p5.2.m2.1.1.1.1.1.1.4.2" xref="S3.p5.2.m2.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml">P</mi><mi id="S3.p5.2.m2.1.1.1.1.1.1.4.3" xref="S3.p5.2.m2.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml">j</mi></msub></mrow><mo id="S3.p5.2.m2.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.p5.2.m2.1.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo></mrow><mi id="S3.p5.2.m2.1.1.1.3" mathvariant="normal" xref="S3.p5.2.m2.1.1.1.3.cmml">∞</mi></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p5.2.m2.1b"><apply id="S3.p5.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.p5.2.m2.1.1"><eq id="S3.p5.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S3.p5.2.m2.1.1.2"></eq><apply id="S3.p5.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S3.p5.2.m2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p5.2.m2.1.1.3.1.cmml" xref="S3.p5.2.m2.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.p5.2.m2.1.1.3.2.cmml" xref="S3.p5.2.m2.1.1.3.2">𝑠</ci><apply id="S3.p5.2.m2.1.1.3.3.cmml" xref="S3.p5.2.m2.1.1.3.3"><times id="S3.p5.2.m2.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.p5.2.m2.1.1.3.3.1"></times><ci id="S3.p5.2.m2.1.1.3.3.2.cmml" xref="S3.p5.2.m2.1.1.3.3.2">𝑖</ci><ci id="S3.p5.2.m2.1.1.3.3.3.cmml" xref="S3.p5.2.m2.1.1.3.3.3">𝑗</ci></apply></apply><apply id="S3.p5.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S3.p5.2.m2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p5.2.m2.1.1.1.2.cmml" xref="S3.p5.2.m2.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="S3.p5.2.m2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.p5.2.m2.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.p5.2.m2.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.p5.2.m2.1.1.1.1.1.2">norm</csymbol><apply id="S3.p5.2.m2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.p5.2.m2.1.1.1.1.1.1"><times id="S3.p5.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.p5.2.m2.1.1.1.1.1.1.1"></times><apply id="S3.p5.2.m2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.p5.2.m2.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p5.2.m2.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.p5.2.m2.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S3.p5.2.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.p5.2.m2.1.1.1.1.1.1.2.2">𝑃</ci><ci id="S3.p5.2.m2.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.p5.2.m2.1.1.1.1.1.1.2.3">𝑖</ci></apply><ci id="S3.p5.2.m2.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.p5.2.m2.1.1.1.1.1.1.3">𝑇</ci><apply id="S3.p5.2.m2.1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S3.p5.2.m2.1.1.1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p5.2.m2.1.1.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="S3.p5.2.m2.1.1.1.1.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="S3.p5.2.m2.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="S3.p5.2.m2.1.1.1.1.1.1.4.2">𝑃</ci><ci id="S3.p5.2.m2.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml" xref="S3.p5.2.m2.1.1.1.1.1.1.4.3">𝑗</ci></apply></apply></apply><infinity id="S3.p5.2.m2.1.1.1.3.cmml" xref="S3.p5.2.m2.1.1.1.3"></infinity></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p5.2.m2.1c">s_{ij}=||P_{i}TP_{j}||_{\infty}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p5.2.m2.1d">italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_i italic_j end_POSTSUBSCRIPT = | | italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT italic_T italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT | | start_POSTSUBSCRIPT ∞ end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>. Because of Lemma <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#Thmtheorem14" title="Corollary 14. ‣ III Bounding the staircase by a single gate ‣ Conditional 𝑡-independent spectral gap for random quantum circuits and implications for 𝑡-design depths"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">14</span></a>,</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="S6.EGx27"> <tbody id="S3.Ex8"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle s_{ij}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Ex8.m1.1"><semantics id="S3.Ex8.m1.1a"><msub id="S3.Ex8.m1.1.1" xref="S3.Ex8.m1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex8.m1.1.1.2" xref="S3.Ex8.m1.1.1.2.cmml">s</mi><mrow id="S3.Ex8.m1.1.1.3" xref="S3.Ex8.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.Ex8.m1.1.1.3.2" xref="S3.Ex8.m1.1.1.3.2.cmml">i</mi><mo id="S3.Ex8.m1.1.1.3.1" xref="S3.Ex8.m1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex8.m1.1.1.3.3" xref="S3.Ex8.m1.1.1.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex8.m1.1b"><apply id="S3.Ex8.m1.1.1.cmml" xref="S3.Ex8.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex8.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex8.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex8.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex8.m1.1.1.2">𝑠</ci><apply id="S3.Ex8.m1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex8.m1.1.1.3"><times id="S3.Ex8.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex8.m1.1.1.3.1"></times><ci id="S3.Ex8.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex8.m1.1.1.3.2">𝑖</ci><ci id="S3.Ex8.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.Ex8.m1.1.1.3.3">𝑗</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex8.m1.1c">\displaystyle s_{ij}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex8.m1.1d">italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_i italic_j end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=||P_{i}G_{N-1}...G_{1}P_{j}||_{\infty}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Ex8.m2.1"><semantics id="S3.Ex8.m2.1a"><mrow id="S3.Ex8.m2.1.1" xref="S3.Ex8.m2.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex8.m2.1.1.3" xref="S3.Ex8.m2.1.1.3.cmml"></mi><mo id="S3.Ex8.m2.1.1.2" xref="S3.Ex8.m2.1.1.2.cmml">=</mo><msub id="S3.Ex8.m2.1.1.1" xref="S3.Ex8.m2.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex8.m2.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex8.m2.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.Ex8.m2.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.Ex8.m2.1.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo><mrow id="S3.Ex8.m2.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex8.m2.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S3.Ex8.m2.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex8.m2.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.Ex8.m2.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.Ex8.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">P</mi><mi id="S3.Ex8.m2.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S3.Ex8.m2.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S3.Ex8.m2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex8.m2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.Ex8.m2.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex8.m2.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.Ex8.m2.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.Ex8.m2.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">G</mi><mrow id="S3.Ex8.m2.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.Ex8.m2.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S3.Ex8.m2.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S3.Ex8.m2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">N</mi><mo id="S3.Ex8.m2.1.1.1.1.1.1.3.3.1" xref="S3.Ex8.m2.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">−</mo><mn id="S3.Ex8.m2.1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S3.Ex8.m2.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">1</mn></mrow></msub><mo id="S3.Ex8.m2.1.1.1.1.1.1.1a" xref="S3.Ex8.m2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex8.m2.1.1.1.1.1.1.4" mathvariant="normal" xref="S3.Ex8.m2.1.1.1.1.1.1.4.cmml">…</mi><mo id="S3.Ex8.m2.1.1.1.1.1.1.1b" xref="S3.Ex8.m2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.Ex8.m2.1.1.1.1.1.1.5" xref="S3.Ex8.m2.1.1.1.1.1.1.5.cmml"><mi id="S3.Ex8.m2.1.1.1.1.1.1.5.2" xref="S3.Ex8.m2.1.1.1.1.1.1.5.2.cmml">G</mi><mn id="S3.Ex8.m2.1.1.1.1.1.1.5.3" xref="S3.Ex8.m2.1.1.1.1.1.1.5.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S3.Ex8.m2.1.1.1.1.1.1.1c" xref="S3.Ex8.m2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.Ex8.m2.1.1.1.1.1.1.6" xref="S3.Ex8.m2.1.1.1.1.1.1.6.cmml"><mi id="S3.Ex8.m2.1.1.1.1.1.1.6.2" xref="S3.Ex8.m2.1.1.1.1.1.1.6.2.cmml">P</mi><mi id="S3.Ex8.m2.1.1.1.1.1.1.6.3" xref="S3.Ex8.m2.1.1.1.1.1.1.6.3.cmml">j</mi></msub></mrow><mo id="S3.Ex8.m2.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.Ex8.m2.1.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo></mrow><mi id="S3.Ex8.m2.1.1.1.3" mathvariant="normal" xref="S3.Ex8.m2.1.1.1.3.cmml">∞</mi></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex8.m2.1b"><apply id="S3.Ex8.m2.1.1.cmml" xref="S3.Ex8.m2.1.1"><eq id="S3.Ex8.m2.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex8.m2.1.1.2"></eq><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex8.m2.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex8.m2.1.1.3">absent</csymbol><apply id="S3.Ex8.m2.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex8.m2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex8.m2.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex8.m2.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="S3.Ex8.m2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex8.m2.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex8.m2.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex8.m2.1.1.1.1.1.2">norm</csymbol><apply id="S3.Ex8.m2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex8.m2.1.1.1.1.1.1"><times id="S3.Ex8.m2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex8.m2.1.1.1.1.1.1.1"></times><apply id="S3.Ex8.m2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex8.m2.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex8.m2.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex8.m2.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex8.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex8.m2.1.1.1.1.1.1.2.2">𝑃</ci><ci id="S3.Ex8.m2.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.Ex8.m2.1.1.1.1.1.1.2.3">𝑖</ci></apply><apply id="S3.Ex8.m2.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex8.m2.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex8.m2.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex8.m2.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex8.m2.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex8.m2.1.1.1.1.1.1.3.2">𝐺</ci><apply id="S3.Ex8.m2.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.Ex8.m2.1.1.1.1.1.1.3.3"><minus id="S3.Ex8.m2.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.Ex8.m2.1.1.1.1.1.1.3.3.1"></minus><ci id="S3.Ex8.m2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S3.Ex8.m2.1.1.1.1.1.1.3.3.2">𝑁</ci><cn id="S3.Ex8.m2.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" type="integer" 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alttext="\displaystyle\leq||G_{N-1}...G_{i+2}P_{i}G_{i+1}G_{i}...G_{j}P_{j}||_{\infty}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Ex10.m1.1"><semantics id="S3.Ex10.m1.1a"><mrow id="S3.Ex10.m1.1.1" xref="S3.Ex10.m1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex10.m1.1.1.3" xref="S3.Ex10.m1.1.1.3.cmml"></mi><mo id="S3.Ex10.m1.1.1.2" xref="S3.Ex10.m1.1.1.2.cmml">≤</mo><msub id="S3.Ex10.m1.1.1.1" xref="S3.Ex10.m1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex10.m1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex10.m1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.Ex10.m1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.Ex10.m1.1.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo><mrow id="S3.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S3.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">G</mi><mrow id="S3.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S3.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S3.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">N</mi><mo id="S3.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.1" xref="S3.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml">−</mo><mn id="S3.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="S3.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">1</mn></mrow></msub><mo id="S3.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.3" mathvariant="normal" xref="S3.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">…</mi><mo id="S3.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.1a" xref="S3.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.4" xref="S3.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="S3.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.4.2" xref="S3.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml">G</mi><mrow id="S3.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.4.3" xref="S3.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml"><mi id="S3.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.4.3.2" xref="S3.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.4.3.2.cmml">i</mi><mo id="S3.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.4.3.1" xref="S3.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.4.3.1.cmml">+</mo><mn id="S3.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.4.3.3" xref="S3.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.4.3.3.cmml">2</mn></mrow></msub><mo id="S3.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.1b" xref="S3.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub 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id="S3.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝐺</ci><apply id="S3.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.2.3"><minus id="S3.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S3.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.1"></minus><ci id="S3.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S3.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2">𝑁</ci><cn id="S3.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="S3.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.3">…</ci><apply id="S3.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S3.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="S3.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="S3.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.4.2">𝐺</ci><apply id="S3.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml" xref="S3.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.4.3"><plus id="S3.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.4.3.1.cmml" xref="S3.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.4.3.1"></plus><ci id="S3.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.4.3.2.cmml" xref="S3.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.4.3.2">𝑖</ci><cn id="S3.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.4.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.4.3.3">2</cn></apply></apply><apply id="S3.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.5.cmml" xref="S3.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.5.1.cmml" xref="S3.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.5">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.5.2.cmml" xref="S3.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.5.2">𝑃</ci><ci id="S3.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.5.3.cmml" xref="S3.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.5.3">𝑖</ci></apply><apply id="S3.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.6.cmml" xref="S3.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.6"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.6.1.cmml" xref="S3.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.6">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.6.2.cmml" xref="S3.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.6.2">𝐺</ci><apply id="S3.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.6.3.cmml" xref="S3.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.6.3"><plus id="S3.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.6.3.1.cmml" xref="S3.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.6.3.1"></plus><ci id="S3.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.6.3.2.cmml" xref="S3.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.6.3.2">𝑖</ci><cn id="S3.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.6.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.6.3.3">1</cn></apply></apply><apply id="S3.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.7.cmml" xref="S3.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.7"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.7.1.cmml" xref="S3.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.7">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.7.2.cmml" xref="S3.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.7.2">𝐺</ci><ci id="S3.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.7.3.cmml" xref="S3.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.7.3">𝑖</ci></apply><ci id="S3.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.8.cmml" xref="S3.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.8">…</ci><apply id="S3.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.9.cmml" xref="S3.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.9"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.9.1.cmml" xref="S3.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.9">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.9.2.cmml" xref="S3.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.9.2">𝐺</ci><ci id="S3.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.9.3.cmml" xref="S3.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.9.3">𝑗</ci></apply><apply id="S3.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.10.cmml" xref="S3.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.10"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.10.1.cmml" xref="S3.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.10">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.10.2.cmml" xref="S3.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.10.2">𝑃</ci><ci id="S3.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.10.3.cmml" xref="S3.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.10.3">𝑗</ci></apply></apply></apply><infinity id="S3.Ex10.m1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex10.m1.1.1.1.3"></infinity></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex10.m1.1c">\displaystyle\leq||G_{N-1}...G_{i+2}P_{i}G_{i+1}G_{i}...G_{j}P_{j}||_{\infty}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex10.m1.1d">≤ | | italic_G start_POSTSUBSCRIPT italic_N - 1 end_POSTSUBSCRIPT … italic_G start_POSTSUBSCRIPT italic_i + 2 end_POSTSUBSCRIPT italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT italic_G start_POSTSUBSCRIPT italic_i + 1 end_POSTSUBSCRIPT italic_G start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT … italic_G start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT | | start_POSTSUBSCRIPT ∞ end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="S3.E27"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\leq||P_{i}G_{i+1}G_{i}...G_{j}P_{j}||_{\infty}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.E27.m1.1"><semantics id="S3.E27.m1.1a"><mrow id="S3.E27.m1.1.1" xref="S3.E27.m1.1.1.cmml"><mi id="S3.E27.m1.1.1.3" xref="S3.E27.m1.1.1.3.cmml"></mi><mo id="S3.E27.m1.1.1.2" xref="S3.E27.m1.1.1.2.cmml">≤</mo><msub id="S3.E27.m1.1.1.1" xref="S3.E27.m1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E27.m1.1.1.1.1.1" xref="S3.E27.m1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.E27.m1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E27.m1.1.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo><mrow id="S3.E27.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E27.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S3.E27.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E27.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.E27.m1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.E27.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">P</mi><mi id="S3.E27.m1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S3.E27.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S3.E27.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E27.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.E27.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E27.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.E27.m1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.E27.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">G</mi><mrow id="S3.E27.m1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.E27.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S3.E27.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S3.E27.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">i</mi><mo id="S3.E27.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1" xref="S3.E27.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">+</mo><mn id="S3.E27.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S3.E27.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">1</mn></mrow></msub><mo id="S3.E27.m1.1.1.1.1.1.1.1a" xref="S3.E27.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.E27.m1.1.1.1.1.1.1.4" xref="S3.E27.m1.1.1.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="S3.E27.m1.1.1.1.1.1.1.4.2" xref="S3.E27.m1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml">G</mi><mi id="S3.E27.m1.1.1.1.1.1.1.4.3" xref="S3.E27.m1.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S3.E27.m1.1.1.1.1.1.1.1b" xref="S3.E27.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E27.m1.1.1.1.1.1.1.5" mathvariant="normal" xref="S3.E27.m1.1.1.1.1.1.1.5.cmml">…</mi><mo id="S3.E27.m1.1.1.1.1.1.1.1c" xref="S3.E27.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.E27.m1.1.1.1.1.1.1.6" xref="S3.E27.m1.1.1.1.1.1.1.6.cmml"><mi id="S3.E27.m1.1.1.1.1.1.1.6.2" xref="S3.E27.m1.1.1.1.1.1.1.6.2.cmml">G</mi><mi id="S3.E27.m1.1.1.1.1.1.1.6.3" xref="S3.E27.m1.1.1.1.1.1.1.6.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S3.E27.m1.1.1.1.1.1.1.1d" xref="S3.E27.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.E27.m1.1.1.1.1.1.1.7" xref="S3.E27.m1.1.1.1.1.1.1.7.cmml"><mi id="S3.E27.m1.1.1.1.1.1.1.7.2" 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ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(27)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.p5.5">for all <math alttext="1\leq i<N-1" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p5.3.m1.1"><semantics id="S3.p5.3.m1.1a"><mrow id="S3.p5.3.m1.1.1" xref="S3.p5.3.m1.1.1.cmml"><mn id="S3.p5.3.m1.1.1.2" xref="S3.p5.3.m1.1.1.2.cmml">1</mn><mo id="S3.p5.3.m1.1.1.3" xref="S3.p5.3.m1.1.1.3.cmml">≤</mo><mi id="S3.p5.3.m1.1.1.4" xref="S3.p5.3.m1.1.1.4.cmml">i</mi><mo id="S3.p5.3.m1.1.1.5" xref="S3.p5.3.m1.1.1.5.cmml"><</mo><mrow id="S3.p5.3.m1.1.1.6" xref="S3.p5.3.m1.1.1.6.cmml"><mi id="S3.p5.3.m1.1.1.6.2" xref="S3.p5.3.m1.1.1.6.2.cmml">N</mi><mo id="S3.p5.3.m1.1.1.6.1" xref="S3.p5.3.m1.1.1.6.1.cmml">−</mo><mn id="S3.p5.3.m1.1.1.6.3" xref="S3.p5.3.m1.1.1.6.3.cmml">1</mn></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p5.3.m1.1b"><apply id="S3.p5.3.m1.1.1.cmml" xref="S3.p5.3.m1.1.1"><and id="S3.p5.3.m1.1.1a.cmml" 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italic_i < italic_N - 1</annotation></semantics></math>, <math alttext="1\leq j<N" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p5.4.m2.1"><semantics id="S3.p5.4.m2.1a"><mrow id="S3.p5.4.m2.1.1" xref="S3.p5.4.m2.1.1.cmml"><mn id="S3.p5.4.m2.1.1.2" xref="S3.p5.4.m2.1.1.2.cmml">1</mn><mo id="S3.p5.4.m2.1.1.3" xref="S3.p5.4.m2.1.1.3.cmml">≤</mo><mi id="S3.p5.4.m2.1.1.4" xref="S3.p5.4.m2.1.1.4.cmml">j</mi><mo id="S3.p5.4.m2.1.1.5" xref="S3.p5.4.m2.1.1.5.cmml"><</mo><mi id="S3.p5.4.m2.1.1.6" xref="S3.p5.4.m2.1.1.6.cmml">N</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p5.4.m2.1b"><apply id="S3.p5.4.m2.1.1.cmml" xref="S3.p5.4.m2.1.1"><and id="S3.p5.4.m2.1.1a.cmml" xref="S3.p5.4.m2.1.1"></and><apply id="S3.p5.4.m2.1.1b.cmml" xref="S3.p5.4.m2.1.1"><leq id="S3.p5.4.m2.1.1.3.cmml" xref="S3.p5.4.m2.1.1.3"></leq><cn id="S3.p5.4.m2.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S3.p5.4.m2.1.1.2">1</cn><ci id="S3.p5.4.m2.1.1.4.cmml" xref="S3.p5.4.m2.1.1.4">𝑗</ci></apply><apply id="S3.p5.4.m2.1.1c.cmml" xref="S3.p5.4.m2.1.1"><lt id="S3.p5.4.m2.1.1.5.cmml" xref="S3.p5.4.m2.1.1.5"></lt><share href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#S3.p5.4.m2.1.1.4.cmml" id="S3.p5.4.m2.1.1d.cmml" xref="S3.p5.4.m2.1.1"></share><ci id="S3.p5.4.m2.1.1.6.cmml" xref="S3.p5.4.m2.1.1.6">𝑁</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p5.4.m2.1c">1\leq j<N</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p5.4.m2.1d">1 ≤ italic_j < italic_N</annotation></semantics></math>. If <math alttext="i+1<j" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p5.5.m3.1"><semantics id="S3.p5.5.m3.1a"><mrow id="S3.p5.5.m3.1.1" xref="S3.p5.5.m3.1.1.cmml"><mrow id="S3.p5.5.m3.1.1.2" xref="S3.p5.5.m3.1.1.2.cmml"><mi id="S3.p5.5.m3.1.1.2.2" xref="S3.p5.5.m3.1.1.2.2.cmml">i</mi><mo id="S3.p5.5.m3.1.1.2.1" xref="S3.p5.5.m3.1.1.2.1.cmml">+</mo><mn id="S3.p5.5.m3.1.1.2.3" xref="S3.p5.5.m3.1.1.2.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="S3.p5.5.m3.1.1.1" xref="S3.p5.5.m3.1.1.1.cmml"><</mo><mi id="S3.p5.5.m3.1.1.3" xref="S3.p5.5.m3.1.1.3.cmml">j</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p5.5.m3.1b"><apply id="S3.p5.5.m3.1.1.cmml" xref="S3.p5.5.m3.1.1"><lt id="S3.p5.5.m3.1.1.1.cmml" xref="S3.p5.5.m3.1.1.1"></lt><apply id="S3.p5.5.m3.1.1.2.cmml" xref="S3.p5.5.m3.1.1.2"><plus id="S3.p5.5.m3.1.1.2.1.cmml" xref="S3.p5.5.m3.1.1.2.1"></plus><ci id="S3.p5.5.m3.1.1.2.2.cmml" xref="S3.p5.5.m3.1.1.2.2">𝑖</ci><cn id="S3.p5.5.m3.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.p5.5.m3.1.1.2.3">1</cn></apply><ci id="S3.p5.5.m3.1.1.3.cmml" xref="S3.p5.5.m3.1.1.3">𝑗</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p5.5.m3.1c">i+1<j</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p5.5.m3.1d">italic_i + 1 < italic_j</annotation></semantics></math>, there are no gates in between the two projectors, as every gate commutes with one or the other.. This leads to the following relations:</p> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_lemma" id="Thmtheorem15"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmtheorem15.1.1.1">Lemma 15</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmtheorem15.2.2">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="Thmtheorem15.p1"> <p class="ltx_p" id="Thmtheorem15.p1.2"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmtheorem15.p1.2.2">For all <math alttext="1\leq i,j<N" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem15.p1.1.1.m1.2"><semantics id="Thmtheorem15.p1.1.1.m1.2a"><mrow id="Thmtheorem15.p1.1.1.m1.2.2.2" xref="Thmtheorem15.p1.1.1.m1.2.2.3.cmml"><mrow id="Thmtheorem15.p1.1.1.m1.1.1.1.1" xref="Thmtheorem15.p1.1.1.m1.1.1.1.1.cmml"><mn id="Thmtheorem15.p1.1.1.m1.1.1.1.1.2" xref="Thmtheorem15.p1.1.1.m1.1.1.1.1.2.cmml">1</mn><mo id="Thmtheorem15.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1" xref="Thmtheorem15.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.cmml">≤</mo><mi id="Thmtheorem15.p1.1.1.m1.1.1.1.1.3" xref="Thmtheorem15.p1.1.1.m1.1.1.1.1.3.cmml">i</mi></mrow><mo id="Thmtheorem15.p1.1.1.m1.2.2.2.3" xref="Thmtheorem15.p1.1.1.m1.2.2.3a.cmml">,</mo><mrow id="Thmtheorem15.p1.1.1.m1.2.2.2.2" xref="Thmtheorem15.p1.1.1.m1.2.2.2.2.cmml"><mi id="Thmtheorem15.p1.1.1.m1.2.2.2.2.2" xref="Thmtheorem15.p1.1.1.m1.2.2.2.2.2.cmml">j</mi><mo id="Thmtheorem15.p1.1.1.m1.2.2.2.2.1" xref="Thmtheorem15.p1.1.1.m1.2.2.2.2.1.cmml"><</mo><mi id="Thmtheorem15.p1.1.1.m1.2.2.2.2.3" xref="Thmtheorem15.p1.1.1.m1.2.2.2.2.3.cmml">N</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem15.p1.1.1.m1.2b"><apply id="Thmtheorem15.p1.1.1.m1.2.2.3.cmml" xref="Thmtheorem15.p1.1.1.m1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem15.p1.1.1.m1.2.2.3a.cmml" xref="Thmtheorem15.p1.1.1.m1.2.2.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="Thmtheorem15.p1.1.1.m1.1.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem15.p1.1.1.m1.1.1.1.1"><leq id="Thmtheorem15.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem15.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1"></leq><cn id="Thmtheorem15.p1.1.1.m1.1.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="Thmtheorem15.p1.1.1.m1.1.1.1.1.2">1</cn><ci id="Thmtheorem15.p1.1.1.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="Thmtheorem15.p1.1.1.m1.1.1.1.1.3">𝑖</ci></apply><apply id="Thmtheorem15.p1.1.1.m1.2.2.2.2.cmml" xref="Thmtheorem15.p1.1.1.m1.2.2.2.2"><lt id="Thmtheorem15.p1.1.1.m1.2.2.2.2.1.cmml" xref="Thmtheorem15.p1.1.1.m1.2.2.2.2.1"></lt><ci id="Thmtheorem15.p1.1.1.m1.2.2.2.2.2.cmml" xref="Thmtheorem15.p1.1.1.m1.2.2.2.2.2">𝑗</ci><ci id="Thmtheorem15.p1.1.1.m1.2.2.2.2.3.cmml" xref="Thmtheorem15.p1.1.1.m1.2.2.2.2.3">𝑁</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem15.p1.1.1.m1.2c">1\leq i,j<N</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem15.p1.1.1.m1.2d">1 ≤ italic_i , italic_j < italic_N</annotation></semantics></math>, the elements <math alttext="s_{ij}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem15.p1.2.2.m2.1"><semantics id="Thmtheorem15.p1.2.2.m2.1a"><msub id="Thmtheorem15.p1.2.2.m2.1.1" xref="Thmtheorem15.p1.2.2.m2.1.1.cmml"><mi id="Thmtheorem15.p1.2.2.m2.1.1.2" xref="Thmtheorem15.p1.2.2.m2.1.1.2.cmml">s</mi><mrow id="Thmtheorem15.p1.2.2.m2.1.1.3" xref="Thmtheorem15.p1.2.2.m2.1.1.3.cmml"><mi id="Thmtheorem15.p1.2.2.m2.1.1.3.2" xref="Thmtheorem15.p1.2.2.m2.1.1.3.2.cmml">i</mi><mo id="Thmtheorem15.p1.2.2.m2.1.1.3.1" xref="Thmtheorem15.p1.2.2.m2.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="Thmtheorem15.p1.2.2.m2.1.1.3.3" xref="Thmtheorem15.p1.2.2.m2.1.1.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem15.p1.2.2.m2.1b"><apply id="Thmtheorem15.p1.2.2.m2.1.1.cmml" xref="Thmtheorem15.p1.2.2.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem15.p1.2.2.m2.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem15.p1.2.2.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="Thmtheorem15.p1.2.2.m2.1.1.2.cmml" xref="Thmtheorem15.p1.2.2.m2.1.1.2">𝑠</ci><apply id="Thmtheorem15.p1.2.2.m2.1.1.3.cmml" xref="Thmtheorem15.p1.2.2.m2.1.1.3"><times id="Thmtheorem15.p1.2.2.m2.1.1.3.1.cmml" xref="Thmtheorem15.p1.2.2.m2.1.1.3.1"></times><ci id="Thmtheorem15.p1.2.2.m2.1.1.3.2.cmml" xref="Thmtheorem15.p1.2.2.m2.1.1.3.2">𝑖</ci><ci id="Thmtheorem15.p1.2.2.m2.1.1.3.3.cmml" xref="Thmtheorem15.p1.2.2.m2.1.1.3.3">𝑗</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem15.p1.2.2.m2.1c">s_{ij}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem15.p1.2.2.m2.1d">italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_i italic_j end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> are bounded as follows:</span></p> <ul class="ltx_itemize" id="S3.I4"> <li class="ltx_item" id="S3.I4.i1" style="list-style-type:none;"> <span class="ltx_tag ltx_tag_item">•</span> <div class="ltx_para" id="S3.I4.i1.p1"> <p class="ltx_p" id="S3.I4.i1.p1.2"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S3.I4.i1.p1.2.1">For </span><math alttext="i<j-1" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I4.i1.p1.1.m1.1"><semantics id="S3.I4.i1.p1.1.m1.1a"><mrow id="S3.I4.i1.p1.1.m1.1.1" xref="S3.I4.i1.p1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S3.I4.i1.p1.1.m1.1.1.2" xref="S3.I4.i1.p1.1.m1.1.1.2.cmml">i</mi><mo id="S3.I4.i1.p1.1.m1.1.1.1" xref="S3.I4.i1.p1.1.m1.1.1.1.cmml"><</mo><mrow id="S3.I4.i1.p1.1.m1.1.1.3" xref="S3.I4.i1.p1.1.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.I4.i1.p1.1.m1.1.1.3.2" xref="S3.I4.i1.p1.1.m1.1.1.3.2.cmml">j</mi><mo id="S3.I4.i1.p1.1.m1.1.1.3.1" xref="S3.I4.i1.p1.1.m1.1.1.3.1.cmml">−</mo><mn id="S3.I4.i1.p1.1.m1.1.1.3.3" xref="S3.I4.i1.p1.1.m1.1.1.3.3.cmml">1</mn></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I4.i1.p1.1.m1.1b"><apply id="S3.I4.i1.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.I4.i1.p1.1.m1.1.1"><lt id="S3.I4.i1.p1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.I4.i1.p1.1.m1.1.1.1"></lt><ci id="S3.I4.i1.p1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.I4.i1.p1.1.m1.1.1.2">𝑖</ci><apply id="S3.I4.i1.p1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S3.I4.i1.p1.1.m1.1.1.3"><minus id="S3.I4.i1.p1.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.I4.i1.p1.1.m1.1.1.3.1"></minus><ci id="S3.I4.i1.p1.1.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.I4.i1.p1.1.m1.1.1.3.2">𝑗</ci><cn id="S3.I4.i1.p1.1.m1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.I4.i1.p1.1.m1.1.1.3.3">1</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I4.i1.p1.1.m1.1c">i<j-1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I4.i1.p1.1.m1.1d">italic_i < italic_j - 1</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S3.I4.i1.p1.2.2">, </span><math alttext="s_{ij}=0" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I4.i1.p1.2.m2.1"><semantics id="S3.I4.i1.p1.2.m2.1a"><mrow id="S3.I4.i1.p1.2.m2.1.1" xref="S3.I4.i1.p1.2.m2.1.1.cmml"><msub id="S3.I4.i1.p1.2.m2.1.1.2" xref="S3.I4.i1.p1.2.m2.1.1.2.cmml"><mi id="S3.I4.i1.p1.2.m2.1.1.2.2" xref="S3.I4.i1.p1.2.m2.1.1.2.2.cmml">s</mi><mrow id="S3.I4.i1.p1.2.m2.1.1.2.3" xref="S3.I4.i1.p1.2.m2.1.1.2.3.cmml"><mi id="S3.I4.i1.p1.2.m2.1.1.2.3.2" xref="S3.I4.i1.p1.2.m2.1.1.2.3.2.cmml">i</mi><mo id="S3.I4.i1.p1.2.m2.1.1.2.3.1" xref="S3.I4.i1.p1.2.m2.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.I4.i1.p1.2.m2.1.1.2.3.3" xref="S3.I4.i1.p1.2.m2.1.1.2.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="S3.I4.i1.p1.2.m2.1.1.1" xref="S3.I4.i1.p1.2.m2.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S3.I4.i1.p1.2.m2.1.1.3" xref="S3.I4.i1.p1.2.m2.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I4.i1.p1.2.m2.1b"><apply id="S3.I4.i1.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.I4.i1.p1.2.m2.1.1"><eq id="S3.I4.i1.p1.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S3.I4.i1.p1.2.m2.1.1.1"></eq><apply id="S3.I4.i1.p1.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S3.I4.i1.p1.2.m2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I4.i1.p1.2.m2.1.1.2.1.cmml" xref="S3.I4.i1.p1.2.m2.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S3.I4.i1.p1.2.m2.1.1.2.2.cmml" xref="S3.I4.i1.p1.2.m2.1.1.2.2">𝑠</ci><apply id="S3.I4.i1.p1.2.m2.1.1.2.3.cmml" xref="S3.I4.i1.p1.2.m2.1.1.2.3"><times id="S3.I4.i1.p1.2.m2.1.1.2.3.1.cmml" xref="S3.I4.i1.p1.2.m2.1.1.2.3.1"></times><ci id="S3.I4.i1.p1.2.m2.1.1.2.3.2.cmml" xref="S3.I4.i1.p1.2.m2.1.1.2.3.2">𝑖</ci><ci id="S3.I4.i1.p1.2.m2.1.1.2.3.3.cmml" xref="S3.I4.i1.p1.2.m2.1.1.2.3.3">𝑗</ci></apply></apply><cn id="S3.I4.i1.p1.2.m2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.I4.i1.p1.2.m2.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I4.i1.p1.2.m2.1c">s_{ij}=0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I4.i1.p1.2.m2.1d">italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_i italic_j end_POSTSUBSCRIPT = 0</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S3.I4.i1.p1.2.3">.</span></p> </div> </li> <li class="ltx_item" id="S3.I4.i2" style="list-style-type:none;"> <span class="ltx_tag ltx_tag_item">•</span> <div class="ltx_para" id="S3.I4.i2.p1"> <p class="ltx_p" id="S3.I4.i2.p1.2"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S3.I4.i2.p1.2.1">For </span><math alttext="i=j-1" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I4.i2.p1.1.m1.1"><semantics id="S3.I4.i2.p1.1.m1.1a"><mrow id="S3.I4.i2.p1.1.m1.1.1" xref="S3.I4.i2.p1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S3.I4.i2.p1.1.m1.1.1.2" xref="S3.I4.i2.p1.1.m1.1.1.2.cmml">i</mi><mo id="S3.I4.i2.p1.1.m1.1.1.1" xref="S3.I4.i2.p1.1.m1.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S3.I4.i2.p1.1.m1.1.1.3" xref="S3.I4.i2.p1.1.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.I4.i2.p1.1.m1.1.1.3.2" xref="S3.I4.i2.p1.1.m1.1.1.3.2.cmml">j</mi><mo id="S3.I4.i2.p1.1.m1.1.1.3.1" xref="S3.I4.i2.p1.1.m1.1.1.3.1.cmml">−</mo><mn id="S3.I4.i2.p1.1.m1.1.1.3.3" xref="S3.I4.i2.p1.1.m1.1.1.3.3.cmml">1</mn></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I4.i2.p1.1.m1.1b"><apply id="S3.I4.i2.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.I4.i2.p1.1.m1.1.1"><eq id="S3.I4.i2.p1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.I4.i2.p1.1.m1.1.1.1"></eq><ci id="S3.I4.i2.p1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.I4.i2.p1.1.m1.1.1.2">𝑖</ci><apply id="S3.I4.i2.p1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S3.I4.i2.p1.1.m1.1.1.3"><minus id="S3.I4.i2.p1.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.I4.i2.p1.1.m1.1.1.3.1"></minus><ci id="S3.I4.i2.p1.1.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.I4.i2.p1.1.m1.1.1.3.2">𝑗</ci><cn id="S3.I4.i2.p1.1.m1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.I4.i2.p1.1.m1.1.1.3.3">1</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I4.i2.p1.1.m1.1c">i=j-1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I4.i2.p1.1.m1.1d">italic_i = italic_j - 1</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S3.I4.i2.p1.2.2">, </span><math alttext="s_{ij}\leq\mu_{j}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I4.i2.p1.2.m2.1"><semantics id="S3.I4.i2.p1.2.m2.1a"><mrow id="S3.I4.i2.p1.2.m2.1.1" xref="S3.I4.i2.p1.2.m2.1.1.cmml"><msub id="S3.I4.i2.p1.2.m2.1.1.2" xref="S3.I4.i2.p1.2.m2.1.1.2.cmml"><mi id="S3.I4.i2.p1.2.m2.1.1.2.2" xref="S3.I4.i2.p1.2.m2.1.1.2.2.cmml">s</mi><mrow id="S3.I4.i2.p1.2.m2.1.1.2.3" xref="S3.I4.i2.p1.2.m2.1.1.2.3.cmml"><mi id="S3.I4.i2.p1.2.m2.1.1.2.3.2" xref="S3.I4.i2.p1.2.m2.1.1.2.3.2.cmml">i</mi><mo id="S3.I4.i2.p1.2.m2.1.1.2.3.1" xref="S3.I4.i2.p1.2.m2.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.I4.i2.p1.2.m2.1.1.2.3.3" xref="S3.I4.i2.p1.2.m2.1.1.2.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="S3.I4.i2.p1.2.m2.1.1.1" xref="S3.I4.i2.p1.2.m2.1.1.1.cmml">≤</mo><msub id="S3.I4.i2.p1.2.m2.1.1.3" xref="S3.I4.i2.p1.2.m2.1.1.3.cmml"><mi id="S3.I4.i2.p1.2.m2.1.1.3.2" xref="S3.I4.i2.p1.2.m2.1.1.3.2.cmml">μ</mi><mi id="S3.I4.i2.p1.2.m2.1.1.3.3" xref="S3.I4.i2.p1.2.m2.1.1.3.3.cmml">j</mi></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I4.i2.p1.2.m2.1b"><apply id="S3.I4.i2.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.I4.i2.p1.2.m2.1.1"><leq id="S3.I4.i2.p1.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S3.I4.i2.p1.2.m2.1.1.1"></leq><apply id="S3.I4.i2.p1.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S3.I4.i2.p1.2.m2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I4.i2.p1.2.m2.1.1.2.1.cmml" xref="S3.I4.i2.p1.2.m2.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S3.I4.i2.p1.2.m2.1.1.2.2.cmml" xref="S3.I4.i2.p1.2.m2.1.1.2.2">𝑠</ci><apply id="S3.I4.i2.p1.2.m2.1.1.2.3.cmml" xref="S3.I4.i2.p1.2.m2.1.1.2.3"><times id="S3.I4.i2.p1.2.m2.1.1.2.3.1.cmml" xref="S3.I4.i2.p1.2.m2.1.1.2.3.1"></times><ci id="S3.I4.i2.p1.2.m2.1.1.2.3.2.cmml" xref="S3.I4.i2.p1.2.m2.1.1.2.3.2">𝑖</ci><ci id="S3.I4.i2.p1.2.m2.1.1.2.3.3.cmml" xref="S3.I4.i2.p1.2.m2.1.1.2.3.3">𝑗</ci></apply></apply><apply id="S3.I4.i2.p1.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S3.I4.i2.p1.2.m2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I4.i2.p1.2.m2.1.1.3.1.cmml" xref="S3.I4.i2.p1.2.m2.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.I4.i2.p1.2.m2.1.1.3.2.cmml" xref="S3.I4.i2.p1.2.m2.1.1.3.2">𝜇</ci><ci id="S3.I4.i2.p1.2.m2.1.1.3.3.cmml" xref="S3.I4.i2.p1.2.m2.1.1.3.3">𝑗</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I4.i2.p1.2.m2.1c">s_{ij}\leq\mu_{j}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I4.i2.p1.2.m2.1d">italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_i italic_j end_POSTSUBSCRIPT ≤ italic_μ start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S3.I4.i2.p1.2.3">.</span></p> </div> </li> <li class="ltx_item" id="S3.I4.i3" style="list-style-type:none;"> <span class="ltx_tag ltx_tag_item">•</span> <div class="ltx_para" id="S3.I4.i3.p1"> <p class="ltx_p" id="S3.I4.i3.p1.2"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S3.I4.i3.p1.2.1">For </span><math alttext="i\geq j" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I4.i3.p1.1.m1.1"><semantics id="S3.I4.i3.p1.1.m1.1a"><mrow id="S3.I4.i3.p1.1.m1.1.1" xref="S3.I4.i3.p1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S3.I4.i3.p1.1.m1.1.1.2" xref="S3.I4.i3.p1.1.m1.1.1.2.cmml">i</mi><mo id="S3.I4.i3.p1.1.m1.1.1.1" xref="S3.I4.i3.p1.1.m1.1.1.1.cmml">≥</mo><mi id="S3.I4.i3.p1.1.m1.1.1.3" xref="S3.I4.i3.p1.1.m1.1.1.3.cmml">j</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I4.i3.p1.1.m1.1b"><apply id="S3.I4.i3.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.I4.i3.p1.1.m1.1.1"><geq id="S3.I4.i3.p1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.I4.i3.p1.1.m1.1.1.1"></geq><ci id="S3.I4.i3.p1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.I4.i3.p1.1.m1.1.1.2">𝑖</ci><ci id="S3.I4.i3.p1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S3.I4.i3.p1.1.m1.1.1.3">𝑗</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I4.i3.p1.1.m1.1c">i\geq j</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I4.i3.p1.1.m1.1d">italic_i ≥ italic_j</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S3.I4.i3.p1.2.2">, </span><math alttext="s_{ij}\leq\lambda_{j}\prod_{k=j+1}^{i}\mu_{k}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I4.i3.p1.2.m2.1"><semantics id="S3.I4.i3.p1.2.m2.1a"><mrow id="S3.I4.i3.p1.2.m2.1.1" xref="S3.I4.i3.p1.2.m2.1.1.cmml"><msub id="S3.I4.i3.p1.2.m2.1.1.2" xref="S3.I4.i3.p1.2.m2.1.1.2.cmml"><mi id="S3.I4.i3.p1.2.m2.1.1.2.2" xref="S3.I4.i3.p1.2.m2.1.1.2.2.cmml">s</mi><mrow id="S3.I4.i3.p1.2.m2.1.1.2.3" xref="S3.I4.i3.p1.2.m2.1.1.2.3.cmml"><mi id="S3.I4.i3.p1.2.m2.1.1.2.3.2" xref="S3.I4.i3.p1.2.m2.1.1.2.3.2.cmml">i</mi><mo id="S3.I4.i3.p1.2.m2.1.1.2.3.1" xref="S3.I4.i3.p1.2.m2.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.I4.i3.p1.2.m2.1.1.2.3.3" xref="S3.I4.i3.p1.2.m2.1.1.2.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="S3.I4.i3.p1.2.m2.1.1.1" xref="S3.I4.i3.p1.2.m2.1.1.1.cmml">≤</mo><mrow id="S3.I4.i3.p1.2.m2.1.1.3" xref="S3.I4.i3.p1.2.m2.1.1.3.cmml"><msub id="S3.I4.i3.p1.2.m2.1.1.3.2" xref="S3.I4.i3.p1.2.m2.1.1.3.2.cmml"><mi id="S3.I4.i3.p1.2.m2.1.1.3.2.2" xref="S3.I4.i3.p1.2.m2.1.1.3.2.2.cmml">λ</mi><mi id="S3.I4.i3.p1.2.m2.1.1.3.2.3" xref="S3.I4.i3.p1.2.m2.1.1.3.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S3.I4.i3.p1.2.m2.1.1.3.1" xref="S3.I4.i3.p1.2.m2.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.I4.i3.p1.2.m2.1.1.3.3" xref="S3.I4.i3.p1.2.m2.1.1.3.3.cmml"><msubsup id="S3.I4.i3.p1.2.m2.1.1.3.3.1" xref="S3.I4.i3.p1.2.m2.1.1.3.3.1.cmml"><mo id="S3.I4.i3.p1.2.m2.1.1.3.3.1.2.2" xref="S3.I4.i3.p1.2.m2.1.1.3.3.1.2.2.cmml">∏</mo><mrow id="S3.I4.i3.p1.2.m2.1.1.3.3.1.2.3" xref="S3.I4.i3.p1.2.m2.1.1.3.3.1.2.3.cmml"><mi id="S3.I4.i3.p1.2.m2.1.1.3.3.1.2.3.2" xref="S3.I4.i3.p1.2.m2.1.1.3.3.1.2.3.2.cmml">k</mi><mo id="S3.I4.i3.p1.2.m2.1.1.3.3.1.2.3.1" xref="S3.I4.i3.p1.2.m2.1.1.3.3.1.2.3.1.cmml">=</mo><mrow id="S3.I4.i3.p1.2.m2.1.1.3.3.1.2.3.3" xref="S3.I4.i3.p1.2.m2.1.1.3.3.1.2.3.3.cmml"><mi id="S3.I4.i3.p1.2.m2.1.1.3.3.1.2.3.3.2" xref="S3.I4.i3.p1.2.m2.1.1.3.3.1.2.3.3.2.cmml">j</mi><mo id="S3.I4.i3.p1.2.m2.1.1.3.3.1.2.3.3.1" xref="S3.I4.i3.p1.2.m2.1.1.3.3.1.2.3.3.1.cmml">+</mo><mn id="S3.I4.i3.p1.2.m2.1.1.3.3.1.2.3.3.3" xref="S3.I4.i3.p1.2.m2.1.1.3.3.1.2.3.3.3.cmml">1</mn></mrow></mrow><mi id="S3.I4.i3.p1.2.m2.1.1.3.3.1.3" xref="S3.I4.i3.p1.2.m2.1.1.3.3.1.3.cmml">i</mi></msubsup><msub id="S3.I4.i3.p1.2.m2.1.1.3.3.2" xref="S3.I4.i3.p1.2.m2.1.1.3.3.2.cmml"><mi id="S3.I4.i3.p1.2.m2.1.1.3.3.2.2" xref="S3.I4.i3.p1.2.m2.1.1.3.3.2.2.cmml">μ</mi><mi id="S3.I4.i3.p1.2.m2.1.1.3.3.2.3" xref="S3.I4.i3.p1.2.m2.1.1.3.3.2.3.cmml">k</mi></msub></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I4.i3.p1.2.m2.1b"><apply id="S3.I4.i3.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.I4.i3.p1.2.m2.1.1"><leq id="S3.I4.i3.p1.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S3.I4.i3.p1.2.m2.1.1.1"></leq><apply id="S3.I4.i3.p1.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S3.I4.i3.p1.2.m2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I4.i3.p1.2.m2.1.1.2.1.cmml" xref="S3.I4.i3.p1.2.m2.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S3.I4.i3.p1.2.m2.1.1.2.2.cmml" xref="S3.I4.i3.p1.2.m2.1.1.2.2">𝑠</ci><apply id="S3.I4.i3.p1.2.m2.1.1.2.3.cmml" xref="S3.I4.i3.p1.2.m2.1.1.2.3"><times id="S3.I4.i3.p1.2.m2.1.1.2.3.1.cmml" xref="S3.I4.i3.p1.2.m2.1.1.2.3.1"></times><ci id="S3.I4.i3.p1.2.m2.1.1.2.3.2.cmml" xref="S3.I4.i3.p1.2.m2.1.1.2.3.2">𝑖</ci><ci id="S3.I4.i3.p1.2.m2.1.1.2.3.3.cmml" xref="S3.I4.i3.p1.2.m2.1.1.2.3.3">𝑗</ci></apply></apply><apply id="S3.I4.i3.p1.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S3.I4.i3.p1.2.m2.1.1.3"><times id="S3.I4.i3.p1.2.m2.1.1.3.1.cmml" xref="S3.I4.i3.p1.2.m2.1.1.3.1"></times><apply id="S3.I4.i3.p1.2.m2.1.1.3.2.cmml" xref="S3.I4.i3.p1.2.m2.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I4.i3.p1.2.m2.1.1.3.2.1.cmml" xref="S3.I4.i3.p1.2.m2.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S3.I4.i3.p1.2.m2.1.1.3.2.2.cmml" xref="S3.I4.i3.p1.2.m2.1.1.3.2.2">𝜆</ci><ci id="S3.I4.i3.p1.2.m2.1.1.3.2.3.cmml" xref="S3.I4.i3.p1.2.m2.1.1.3.2.3">𝑗</ci></apply><apply id="S3.I4.i3.p1.2.m2.1.1.3.3.cmml" xref="S3.I4.i3.p1.2.m2.1.1.3.3"><apply id="S3.I4.i3.p1.2.m2.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.I4.i3.p1.2.m2.1.1.3.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I4.i3.p1.2.m2.1.1.3.3.1.1.cmml" xref="S3.I4.i3.p1.2.m2.1.1.3.3.1">superscript</csymbol><apply id="S3.I4.i3.p1.2.m2.1.1.3.3.1.2.cmml" xref="S3.I4.i3.p1.2.m2.1.1.3.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I4.i3.p1.2.m2.1.1.3.3.1.2.1.cmml" xref="S3.I4.i3.p1.2.m2.1.1.3.3.1">subscript</csymbol><csymbol cd="latexml" id="S3.I4.i3.p1.2.m2.1.1.3.3.1.2.2.cmml" xref="S3.I4.i3.p1.2.m2.1.1.3.3.1.2.2">product</csymbol><apply id="S3.I4.i3.p1.2.m2.1.1.3.3.1.2.3.cmml" xref="S3.I4.i3.p1.2.m2.1.1.3.3.1.2.3"><eq id="S3.I4.i3.p1.2.m2.1.1.3.3.1.2.3.1.cmml" xref="S3.I4.i3.p1.2.m2.1.1.3.3.1.2.3.1"></eq><ci id="S3.I4.i3.p1.2.m2.1.1.3.3.1.2.3.2.cmml" xref="S3.I4.i3.p1.2.m2.1.1.3.3.1.2.3.2">𝑘</ci><apply id="S3.I4.i3.p1.2.m2.1.1.3.3.1.2.3.3.cmml" xref="S3.I4.i3.p1.2.m2.1.1.3.3.1.2.3.3"><plus id="S3.I4.i3.p1.2.m2.1.1.3.3.1.2.3.3.1.cmml" xref="S3.I4.i3.p1.2.m2.1.1.3.3.1.2.3.3.1"></plus><ci id="S3.I4.i3.p1.2.m2.1.1.3.3.1.2.3.3.2.cmml" xref="S3.I4.i3.p1.2.m2.1.1.3.3.1.2.3.3.2">𝑗</ci><cn id="S3.I4.i3.p1.2.m2.1.1.3.3.1.2.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.I4.i3.p1.2.m2.1.1.3.3.1.2.3.3.3">1</cn></apply></apply></apply><ci id="S3.I4.i3.p1.2.m2.1.1.3.3.1.3.cmml" xref="S3.I4.i3.p1.2.m2.1.1.3.3.1.3">𝑖</ci></apply><apply id="S3.I4.i3.p1.2.m2.1.1.3.3.2.cmml" xref="S3.I4.i3.p1.2.m2.1.1.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I4.i3.p1.2.m2.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="S3.I4.i3.p1.2.m2.1.1.3.3.2">subscript</csymbol><ci id="S3.I4.i3.p1.2.m2.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="S3.I4.i3.p1.2.m2.1.1.3.3.2.2">𝜇</ci><ci id="S3.I4.i3.p1.2.m2.1.1.3.3.2.3.cmml" xref="S3.I4.i3.p1.2.m2.1.1.3.3.2.3">𝑘</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I4.i3.p1.2.m2.1c">s_{ij}\leq\lambda_{j}\prod_{k=j+1}^{i}\mu_{k}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I4.i3.p1.2.m2.1d">italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_i italic_j end_POSTSUBSCRIPT ≤ italic_λ start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ∏ start_POSTSUBSCRIPT italic_k = italic_j + 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_i end_POSTSUPERSCRIPT italic_μ start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S3.I4.i3.p1.2.3">.</span></p> </div> </li> </ul> </div> </div> <div class="ltx_proof" id="S3.2"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_font_italic ltx_title_proof">Proof.</h6> <div class="ltx_para" id="S3.2.p1"> <p class="ltx_p" id="S3.2.p1.1">Starting with the first case, if <math alttext="i<j-1" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.2.p1.1.m1.1"><semantics id="S3.2.p1.1.m1.1a"><mrow id="S3.2.p1.1.m1.1.1" xref="S3.2.p1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S3.2.p1.1.m1.1.1.2" xref="S3.2.p1.1.m1.1.1.2.cmml">i</mi><mo id="S3.2.p1.1.m1.1.1.1" xref="S3.2.p1.1.m1.1.1.1.cmml"><</mo><mrow id="S3.2.p1.1.m1.1.1.3" xref="S3.2.p1.1.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.2.p1.1.m1.1.1.3.2" xref="S3.2.p1.1.m1.1.1.3.2.cmml">j</mi><mo id="S3.2.p1.1.m1.1.1.3.1" xref="S3.2.p1.1.m1.1.1.3.1.cmml">−</mo><mn id="S3.2.p1.1.m1.1.1.3.3" xref="S3.2.p1.1.m1.1.1.3.3.cmml">1</mn></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.2.p1.1.m1.1b"><apply id="S3.2.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.2.p1.1.m1.1.1"><lt id="S3.2.p1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.2.p1.1.m1.1.1.1"></lt><ci id="S3.2.p1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.2.p1.1.m1.1.1.2">𝑖</ci><apply id="S3.2.p1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S3.2.p1.1.m1.1.1.3"><minus id="S3.2.p1.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.2.p1.1.m1.1.1.3.1"></minus><ci id="S3.2.p1.1.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.2.p1.1.m1.1.1.3.2">𝑗</ci><cn id="S3.2.p1.1.m1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.2.p1.1.m1.1.1.3.3">1</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.2.p1.1.m1.1c">i<j-1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.2.p1.1.m1.1d">italic_i < italic_j - 1</annotation></semantics></math> there are no gates in Equation <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#S3.E27" title="In III Bounding the staircase by a single gate ‣ Conditional 𝑡-independent spectral gap for random quantum circuits and implications for 𝑡-design depths"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">27</span></a>, so</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_gather ltx_eqn_table" id="S6.EGx28"> <tbody id="S3.E28"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\displaystyle s_{ij}\leq||P_{i}G_{i+1}...G_{j}P_{j}||_{\infty}=||P_{i}P_{j}||_% {\infty}=0" class="ltx_Math" display="block" id="S3.E28.m1.2"><semantics id="S3.E28.m1.2a"><mrow id="S3.E28.m1.2.2" xref="S3.E28.m1.2.2.cmml"><msub id="S3.E28.m1.2.2.4" xref="S3.E28.m1.2.2.4.cmml"><mi id="S3.E28.m1.2.2.4.2" xref="S3.E28.m1.2.2.4.2.cmml">s</mi><mrow id="S3.E28.m1.2.2.4.3" xref="S3.E28.m1.2.2.4.3.cmml"><mi id="S3.E28.m1.2.2.4.3.2" xref="S3.E28.m1.2.2.4.3.2.cmml">i</mi><mo id="S3.E28.m1.2.2.4.3.1" xref="S3.E28.m1.2.2.4.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E28.m1.2.2.4.3.3" xref="S3.E28.m1.2.2.4.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="S3.E28.m1.2.2.5" xref="S3.E28.m1.2.2.5.cmml">≤</mo><msub id="S3.E28.m1.1.1.1" xref="S3.E28.m1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E28.m1.1.1.1.1.1" xref="S3.E28.m1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.E28.m1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E28.m1.1.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo><mrow id="S3.E28.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E28.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S3.E28.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E28.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.E28.m1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.E28.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">P</mi><mi id="S3.E28.m1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S3.E28.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S3.E28.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E28.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.E28.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E28.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.E28.m1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.E28.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">G</mi><mrow id="S3.E28.m1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.E28.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S3.E28.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S3.E28.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">i</mi><mo id="S3.E28.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1" xref="S3.E28.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">+</mo><mn id="S3.E28.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S3.E28.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">1</mn></mrow></msub><mo id="S3.E28.m1.1.1.1.1.1.1.1a" xref="S3.E28.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E28.m1.1.1.1.1.1.1.4" mathvariant="normal" xref="S3.E28.m1.1.1.1.1.1.1.4.cmml">…</mi><mo id="S3.E28.m1.1.1.1.1.1.1.1b" xref="S3.E28.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.E28.m1.1.1.1.1.1.1.5" xref="S3.E28.m1.1.1.1.1.1.1.5.cmml"><mi id="S3.E28.m1.1.1.1.1.1.1.5.2" xref="S3.E28.m1.1.1.1.1.1.1.5.2.cmml">G</mi><mi id="S3.E28.m1.1.1.1.1.1.1.5.3" xref="S3.E28.m1.1.1.1.1.1.1.5.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S3.E28.m1.1.1.1.1.1.1.1c" xref="S3.E28.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.E28.m1.1.1.1.1.1.1.6" xref="S3.E28.m1.1.1.1.1.1.1.6.cmml"><mi id="S3.E28.m1.1.1.1.1.1.1.6.2" xref="S3.E28.m1.1.1.1.1.1.1.6.2.cmml">P</mi><mi id="S3.E28.m1.1.1.1.1.1.1.6.3" xref="S3.E28.m1.1.1.1.1.1.1.6.3.cmml">j</mi></msub></mrow><mo id="S3.E28.m1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.E28.m1.1.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo></mrow><mi id="S3.E28.m1.1.1.1.3" mathvariant="normal" xref="S3.E28.m1.1.1.1.3.cmml">∞</mi></msub><mo id="S3.E28.m1.2.2.6" xref="S3.E28.m1.2.2.6.cmml">=</mo><msub id="S3.E28.m1.2.2.2" xref="S3.E28.m1.2.2.2.cmml"><mrow id="S3.E28.m1.2.2.2.1.1" xref="S3.E28.m1.2.2.2.1.2.cmml"><mo id="S3.E28.m1.2.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E28.m1.2.2.2.1.2.1.cmml">‖</mo><mrow id="S3.E28.m1.2.2.2.1.1.1" xref="S3.E28.m1.2.2.2.1.1.1.cmml"><msub id="S3.E28.m1.2.2.2.1.1.1.2" xref="S3.E28.m1.2.2.2.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.E28.m1.2.2.2.1.1.1.2.2" xref="S3.E28.m1.2.2.2.1.1.1.2.2.cmml">P</mi><mi id="S3.E28.m1.2.2.2.1.1.1.2.3" xref="S3.E28.m1.2.2.2.1.1.1.2.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S3.E28.m1.2.2.2.1.1.1.1" xref="S3.E28.m1.2.2.2.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.E28.m1.2.2.2.1.1.1.3" xref="S3.E28.m1.2.2.2.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.E28.m1.2.2.2.1.1.1.3.2" xref="S3.E28.m1.2.2.2.1.1.1.3.2.cmml">P</mi><mi id="S3.E28.m1.2.2.2.1.1.1.3.3" xref="S3.E28.m1.2.2.2.1.1.1.3.3.cmml">j</mi></msub></mrow><mo id="S3.E28.m1.2.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.E28.m1.2.2.2.1.2.1.cmml">‖</mo></mrow><mi id="S3.E28.m1.2.2.2.3" mathvariant="normal" xref="S3.E28.m1.2.2.2.3.cmml">∞</mi></msub><mo id="S3.E28.m1.2.2.7" xref="S3.E28.m1.2.2.7.cmml">=</mo><mn id="S3.E28.m1.2.2.8" xref="S3.E28.m1.2.2.8.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E28.m1.2b"><apply id="S3.E28.m1.2.2.cmml" xref="S3.E28.m1.2.2"><and id="S3.E28.m1.2.2a.cmml" xref="S3.E28.m1.2.2"></and><apply id="S3.E28.m1.2.2b.cmml" xref="S3.E28.m1.2.2"><leq id="S3.E28.m1.2.2.5.cmml" xref="S3.E28.m1.2.2.5"></leq><apply id="S3.E28.m1.2.2.4.cmml" xref="S3.E28.m1.2.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E28.m1.2.2.4.1.cmml" xref="S3.E28.m1.2.2.4">subscript</csymbol><ci id="S3.E28.m1.2.2.4.2.cmml" xref="S3.E28.m1.2.2.4.2">𝑠</ci><apply id="S3.E28.m1.2.2.4.3.cmml" xref="S3.E28.m1.2.2.4.3"><times id="S3.E28.m1.2.2.4.3.1.cmml" xref="S3.E28.m1.2.2.4.3.1"></times><ci id="S3.E28.m1.2.2.4.3.2.cmml" xref="S3.E28.m1.2.2.4.3.2">𝑖</ci><ci id="S3.E28.m1.2.2.4.3.3.cmml" xref="S3.E28.m1.2.2.4.3.3">𝑗</ci></apply></apply><apply id="S3.E28.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.E28.m1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E28.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E28.m1.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="S3.E28.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E28.m1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.E28.m1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E28.m1.1.1.1.1.1.2">norm</csymbol><apply id="S3.E28.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E28.m1.1.1.1.1.1.1"><times id="S3.E28.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E28.m1.1.1.1.1.1.1.1"></times><apply id="S3.E28.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E28.m1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E28.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E28.m1.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S3.E28.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.E28.m1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝑃</ci><ci id="S3.E28.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.E28.m1.1.1.1.1.1.1.2.3">𝑖</ci></apply><apply id="S3.E28.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E28.m1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E28.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E28.m1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.E28.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E28.m1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝐺</ci><apply id="S3.E28.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.E28.m1.1.1.1.1.1.1.3.3"><plus id="S3.E28.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.E28.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1"></plus><ci id="S3.E28.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S3.E28.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2">𝑖</ci><cn id="S3.E28.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.E28.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="S3.E28.m1.1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S3.E28.m1.1.1.1.1.1.1.4">…</ci><apply id="S3.E28.m1.1.1.1.1.1.1.5.cmml" xref="S3.E28.m1.1.1.1.1.1.1.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E28.m1.1.1.1.1.1.1.5.1.cmml" xref="S3.E28.m1.1.1.1.1.1.1.5">subscript</csymbol><ci id="S3.E28.m1.1.1.1.1.1.1.5.2.cmml" xref="S3.E28.m1.1.1.1.1.1.1.5.2">𝐺</ci><ci id="S3.E28.m1.1.1.1.1.1.1.5.3.cmml" xref="S3.E28.m1.1.1.1.1.1.1.5.3">𝑗</ci></apply><apply id="S3.E28.m1.1.1.1.1.1.1.6.cmml" xref="S3.E28.m1.1.1.1.1.1.1.6"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E28.m1.1.1.1.1.1.1.6.1.cmml" xref="S3.E28.m1.1.1.1.1.1.1.6">subscript</csymbol><ci id="S3.E28.m1.1.1.1.1.1.1.6.2.cmml" xref="S3.E28.m1.1.1.1.1.1.1.6.2">𝑃</ci><ci id="S3.E28.m1.1.1.1.1.1.1.6.3.cmml" xref="S3.E28.m1.1.1.1.1.1.1.6.3">𝑗</ci></apply></apply></apply><infinity id="S3.E28.m1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E28.m1.1.1.1.3"></infinity></apply></apply><apply id="S3.E28.m1.2.2c.cmml" xref="S3.E28.m1.2.2"><eq id="S3.E28.m1.2.2.6.cmml" xref="S3.E28.m1.2.2.6"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#S3.E28.m1.1.1.1.cmml" id="S3.E28.m1.2.2d.cmml" xref="S3.E28.m1.2.2"></share><apply id="S3.E28.m1.2.2.2.cmml" xref="S3.E28.m1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E28.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.E28.m1.2.2.2">subscript</csymbol><apply id="S3.E28.m1.2.2.2.1.2.cmml" xref="S3.E28.m1.2.2.2.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.E28.m1.2.2.2.1.2.1.cmml" xref="S3.E28.m1.2.2.2.1.1.2">norm</csymbol><apply id="S3.E28.m1.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S3.E28.m1.2.2.2.1.1.1"><times id="S3.E28.m1.2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E28.m1.2.2.2.1.1.1.1"></times><apply id="S3.E28.m1.2.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E28.m1.2.2.2.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E28.m1.2.2.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E28.m1.2.2.2.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S3.E28.m1.2.2.2.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.E28.m1.2.2.2.1.1.1.2.2">𝑃</ci><ci id="S3.E28.m1.2.2.2.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.E28.m1.2.2.2.1.1.1.2.3">𝑖</ci></apply><apply id="S3.E28.m1.2.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E28.m1.2.2.2.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E28.m1.2.2.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E28.m1.2.2.2.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.E28.m1.2.2.2.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E28.m1.2.2.2.1.1.1.3.2">𝑃</ci><ci id="S3.E28.m1.2.2.2.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.E28.m1.2.2.2.1.1.1.3.3">𝑗</ci></apply></apply></apply><infinity id="S3.E28.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S3.E28.m1.2.2.2.3"></infinity></apply></apply><apply id="S3.E28.m1.2.2e.cmml" xref="S3.E28.m1.2.2"><eq id="S3.E28.m1.2.2.7.cmml" xref="S3.E28.m1.2.2.7"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#S3.E28.m1.2.2.2.cmml" id="S3.E28.m1.2.2f.cmml" xref="S3.E28.m1.2.2"></share><cn id="S3.E28.m1.2.2.8.cmml" type="integer" xref="S3.E28.m1.2.2.8">0</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E28.m1.2c">\displaystyle s_{ij}\leq||P_{i}G_{i+1}...G_{j}P_{j}||_{\infty}=||P_{i}P_{j}||_% {\infty}=0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E28.m1.2d">italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_i italic_j end_POSTSUBSCRIPT ≤ | | italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT italic_G start_POSTSUBSCRIPT italic_i + 1 end_POSTSUBSCRIPT … italic_G start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT | | start_POSTSUBSCRIPT ∞ end_POSTSUBSCRIPT = | | italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT | | start_POSTSUBSCRIPT ∞ end_POSTSUBSCRIPT = 0</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(28)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.2.p1.2">For <math alttext="i=j-1" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.2.p1.2.m1.1"><semantics id="S3.2.p1.2.m1.1a"><mrow id="S3.2.p1.2.m1.1.1" xref="S3.2.p1.2.m1.1.1.cmml"><mi id="S3.2.p1.2.m1.1.1.2" xref="S3.2.p1.2.m1.1.1.2.cmml">i</mi><mo id="S3.2.p1.2.m1.1.1.1" xref="S3.2.p1.2.m1.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S3.2.p1.2.m1.1.1.3" xref="S3.2.p1.2.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.2.p1.2.m1.1.1.3.2" xref="S3.2.p1.2.m1.1.1.3.2.cmml">j</mi><mo id="S3.2.p1.2.m1.1.1.3.1" xref="S3.2.p1.2.m1.1.1.3.1.cmml">−</mo><mn id="S3.2.p1.2.m1.1.1.3.3" xref="S3.2.p1.2.m1.1.1.3.3.cmml">1</mn></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.2.p1.2.m1.1b"><apply id="S3.2.p1.2.m1.1.1.cmml" xref="S3.2.p1.2.m1.1.1"><eq id="S3.2.p1.2.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.2.p1.2.m1.1.1.1"></eq><ci id="S3.2.p1.2.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.2.p1.2.m1.1.1.2">𝑖</ci><apply id="S3.2.p1.2.m1.1.1.3.cmml" xref="S3.2.p1.2.m1.1.1.3"><minus id="S3.2.p1.2.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.2.p1.2.m1.1.1.3.1"></minus><ci id="S3.2.p1.2.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.2.p1.2.m1.1.1.3.2">𝑗</ci><cn id="S3.2.p1.2.m1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.2.p1.2.m1.1.1.3.3">1</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.2.p1.2.m1.1c">i=j-1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.2.p1.2.m1.1d">italic_i = italic_j - 1</annotation></semantics></math>, we have</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="S6.EGx29"> <tbody id="S3.Ex11"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle s_{j-1,j}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Ex11.m1.2"><semantics id="S3.Ex11.m1.2a"><msub id="S3.Ex11.m1.2.3" xref="S3.Ex11.m1.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex11.m1.2.3.2" xref="S3.Ex11.m1.2.3.2.cmml">s</mi><mrow id="S3.Ex11.m1.2.2.2.2" xref="S3.Ex11.m1.2.2.2.3.cmml"><mrow id="S3.Ex11.m1.2.2.2.2.1" xref="S3.Ex11.m1.2.2.2.2.1.cmml"><mi id="S3.Ex11.m1.2.2.2.2.1.2" xref="S3.Ex11.m1.2.2.2.2.1.2.cmml">j</mi><mo id="S3.Ex11.m1.2.2.2.2.1.1" xref="S3.Ex11.m1.2.2.2.2.1.1.cmml">−</mo><mn id="S3.Ex11.m1.2.2.2.2.1.3" xref="S3.Ex11.m1.2.2.2.2.1.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="S3.Ex11.m1.2.2.2.2.2" xref="S3.Ex11.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S3.Ex11.m1.1.1.1.1" xref="S3.Ex11.m1.1.1.1.1.cmml">j</mi></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex11.m1.2b"><apply id="S3.Ex11.m1.2.3.cmml" xref="S3.Ex11.m1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex11.m1.2.3.1.cmml" xref="S3.Ex11.m1.2.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex11.m1.2.3.2.cmml" xref="S3.Ex11.m1.2.3.2">𝑠</ci><list id="S3.Ex11.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex11.m1.2.2.2.2"><apply id="S3.Ex11.m1.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex11.m1.2.2.2.2.1"><minus id="S3.Ex11.m1.2.2.2.2.1.1.cmml" xref="S3.Ex11.m1.2.2.2.2.1.1"></minus><ci id="S3.Ex11.m1.2.2.2.2.1.2.cmml" xref="S3.Ex11.m1.2.2.2.2.1.2">𝑗</ci><cn id="S3.Ex11.m1.2.2.2.2.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex11.m1.2.2.2.2.1.3">1</cn></apply><ci id="S3.Ex11.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex11.m1.1.1.1.1">𝑗</ci></list></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex11.m1.2c">\displaystyle s_{j-1,j}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex11.m1.2d">italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_j - 1 , italic_j end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\leq||P_{j-1}G_{j}P_{j}||_{\infty}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Ex11.m2.1"><semantics id="S3.Ex11.m2.1a"><mrow id="S3.Ex11.m2.1.1" xref="S3.Ex11.m2.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex11.m2.1.1.3" xref="S3.Ex11.m2.1.1.3.cmml"></mi><mo id="S3.Ex11.m2.1.1.2" xref="S3.Ex11.m2.1.1.2.cmml">≤</mo><msub id="S3.Ex11.m2.1.1.1" xref="S3.Ex11.m2.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex11.m2.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex11.m2.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.Ex11.m2.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.Ex11.m2.1.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo><mrow id="S3.Ex11.m2.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex11.m2.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S3.Ex11.m2.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex11.m2.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.Ex11.m2.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.Ex11.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">P</mi><mrow id="S3.Ex11.m2.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S3.Ex11.m2.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex11.m2.1.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S3.Ex11.m2.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">j</mi><mo id="S3.Ex11.m2.1.1.1.1.1.1.2.3.1" xref="S3.Ex11.m2.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml">−</mo><mn id="S3.Ex11.m2.1.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="S3.Ex11.m2.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">1</mn></mrow></msub><mo id="S3.Ex11.m2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex11.m2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.Ex11.m2.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex11.m2.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.Ex11.m2.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.Ex11.m2.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">G</mi><mi id="S3.Ex11.m2.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.Ex11.m2.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S3.Ex11.m2.1.1.1.1.1.1.1a" xref="S3.Ex11.m2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.Ex11.m2.1.1.1.1.1.1.4" xref="S3.Ex11.m2.1.1.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="S3.Ex11.m2.1.1.1.1.1.1.4.2" xref="S3.Ex11.m2.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml">P</mi><mi id="S3.Ex11.m2.1.1.1.1.1.1.4.3" xref="S3.Ex11.m2.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml">j</mi></msub></mrow><mo id="S3.Ex11.m2.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.Ex11.m2.1.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo></mrow><mi id="S3.Ex11.m2.1.1.1.3" mathvariant="normal" xref="S3.Ex11.m2.1.1.1.3.cmml">∞</mi></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex11.m2.1b"><apply id="S3.Ex11.m2.1.1.cmml" xref="S3.Ex11.m2.1.1"><leq id="S3.Ex11.m2.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex11.m2.1.1.2"></leq><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex11.m2.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex11.m2.1.1.3">absent</csymbol><apply id="S3.Ex11.m2.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex11.m2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex11.m2.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex11.m2.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="S3.Ex11.m2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex11.m2.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex11.m2.1.1.1.1.2.1.cmml" 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class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\leq||(I-\Pi_{j})G_{j}\Pi_{j}||_{\infty}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Ex14.m1.1"><semantics id="S3.Ex14.m1.1a"><mrow id="S3.Ex14.m1.1.1" xref="S3.Ex14.m1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex14.m1.1.1.3" xref="S3.Ex14.m1.1.1.3.cmml"></mi><mo id="S3.Ex14.m1.1.1.2" xref="S3.Ex14.m1.1.1.2.cmml">≤</mo><msub id="S3.Ex14.m1.1.1.1" xref="S3.Ex14.m1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo><mrow id="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">I</mi><mo id="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><msub id="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" mathvariant="normal" xref="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">Π</mi><mi id="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">j</mi></msub></mrow><mo id="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">G</mi><mi id="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.2a" xref="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.4" xref="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.4.2" mathvariant="normal" xref="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml">Π</mi><mi id="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.4.3" xref="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml">j</mi></msub></mrow><mo id="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo></mrow><mi id="S3.Ex14.m1.1.1.1.3" mathvariant="normal" xref="S3.Ex14.m1.1.1.1.3.cmml">∞</mi></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex14.m1.1b"><apply id="S3.Ex14.m1.1.1.cmml" xref="S3.Ex14.m1.1.1"><leq id="S3.Ex14.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex14.m1.1.1.2"></leq><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex14.m1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex14.m1.1.1.3">absent</csymbol><apply id="S3.Ex14.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex14.m1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex14.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex14.m1.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.1.2">norm</csymbol><apply id="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1"><times id="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.2"></times><apply id="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1"><minus id="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><ci id="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝐼</ci><apply id="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">Π</ci><ci id="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑗</ci></apply></apply><apply id="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝐺</ci><ci id="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑗</ci></apply><apply id="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.4.2">Π</ci><ci id="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml" xref="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.4.3">𝑗</ci></apply></apply></apply><infinity id="S3.Ex14.m1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex14.m1.1.1.1.3"></infinity></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex14.m1.1c">\displaystyle\leq||(I-\Pi_{j})G_{j}\Pi_{j}||_{\infty}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex14.m1.1d">≤ | | ( italic_I - roman_Π start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ) italic_G start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT roman_Π start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT | | start_POSTSUBSCRIPT ∞ end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="S3.Ex15"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\leq\mu_{j}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Ex15.m1.1"><semantics id="S3.Ex15.m1.1a"><mrow id="S3.Ex15.m1.1.1" xref="S3.Ex15.m1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex15.m1.1.1.2" xref="S3.Ex15.m1.1.1.2.cmml"></mi><mo id="S3.Ex15.m1.1.1.1" xref="S3.Ex15.m1.1.1.1.cmml">≤</mo><msub id="S3.Ex15.m1.1.1.3" xref="S3.Ex15.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.Ex15.m1.1.1.3.2" xref="S3.Ex15.m1.1.1.3.2.cmml">μ</mi><mi id="S3.Ex15.m1.1.1.3.3" xref="S3.Ex15.m1.1.1.3.3.cmml">j</mi></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex15.m1.1b"><apply id="S3.Ex15.m1.1.1.cmml" xref="S3.Ex15.m1.1.1"><leq id="S3.Ex15.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex15.m1.1.1.1"></leq><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex15.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex15.m1.1.1.2">absent</csymbol><apply id="S3.Ex15.m1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex15.m1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex15.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex15.m1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex15.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex15.m1.1.1.3.2">𝜇</ci><ci id="S3.Ex15.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.Ex15.m1.1.1.3.3">𝑗</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex15.m1.1c">\displaystyle\leq\mu_{j}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex15.m1.1d">≤ italic_μ start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.2.p1.4">Finally, for <math alttext="i\geq j" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.2.p1.3.m1.1"><semantics id="S3.2.p1.3.m1.1a"><mrow id="S3.2.p1.3.m1.1.1" xref="S3.2.p1.3.m1.1.1.cmml"><mi id="S3.2.p1.3.m1.1.1.2" xref="S3.2.p1.3.m1.1.1.2.cmml">i</mi><mo id="S3.2.p1.3.m1.1.1.1" xref="S3.2.p1.3.m1.1.1.1.cmml">≥</mo><mi id="S3.2.p1.3.m1.1.1.3" xref="S3.2.p1.3.m1.1.1.3.cmml">j</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.2.p1.3.m1.1b"><apply id="S3.2.p1.3.m1.1.1.cmml" xref="S3.2.p1.3.m1.1.1"><geq id="S3.2.p1.3.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.2.p1.3.m1.1.1.1"></geq><ci id="S3.2.p1.3.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.2.p1.3.m1.1.1.2">𝑖</ci><ci id="S3.2.p1.3.m1.1.1.3.cmml" xref="S3.2.p1.3.m1.1.1.3">𝑗</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.2.p1.3.m1.1c">i\geq j</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.2.p1.3.m1.1d">italic_i ≥ italic_j</annotation></semantics></math>, we first assume <math alttext="i<N-1" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.2.p1.4.m2.1"><semantics id="S3.2.p1.4.m2.1a"><mrow id="S3.2.p1.4.m2.1.1" xref="S3.2.p1.4.m2.1.1.cmml"><mi id="S3.2.p1.4.m2.1.1.2" xref="S3.2.p1.4.m2.1.1.2.cmml">i</mi><mo id="S3.2.p1.4.m2.1.1.1" xref="S3.2.p1.4.m2.1.1.1.cmml"><</mo><mrow id="S3.2.p1.4.m2.1.1.3" xref="S3.2.p1.4.m2.1.1.3.cmml"><mi id="S3.2.p1.4.m2.1.1.3.2" xref="S3.2.p1.4.m2.1.1.3.2.cmml">N</mi><mo id="S3.2.p1.4.m2.1.1.3.1" xref="S3.2.p1.4.m2.1.1.3.1.cmml">−</mo><mn id="S3.2.p1.4.m2.1.1.3.3" xref="S3.2.p1.4.m2.1.1.3.3.cmml">1</mn></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.2.p1.4.m2.1b"><apply id="S3.2.p1.4.m2.1.1.cmml" xref="S3.2.p1.4.m2.1.1"><lt id="S3.2.p1.4.m2.1.1.1.cmml" xref="S3.2.p1.4.m2.1.1.1"></lt><ci id="S3.2.p1.4.m2.1.1.2.cmml" xref="S3.2.p1.4.m2.1.1.2">𝑖</ci><apply id="S3.2.p1.4.m2.1.1.3.cmml" xref="S3.2.p1.4.m2.1.1.3"><minus id="S3.2.p1.4.m2.1.1.3.1.cmml" xref="S3.2.p1.4.m2.1.1.3.1"></minus><ci id="S3.2.p1.4.m2.1.1.3.2.cmml" xref="S3.2.p1.4.m2.1.1.3.2">𝑁</ci><cn id="S3.2.p1.4.m2.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.2.p1.4.m2.1.1.3.3">1</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.2.p1.4.m2.1c">i<N-1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.2.p1.4.m2.1d">italic_i < italic_N - 1</annotation></semantics></math>. Then we have</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="S6.EGx30"> <tbody id="S3.Ex16"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle s_{i,j}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Ex16.m1.2"><semantics id="S3.Ex16.m1.2a"><msub id="S3.Ex16.m1.2.3" xref="S3.Ex16.m1.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex16.m1.2.3.2" xref="S3.Ex16.m1.2.3.2.cmml">s</mi><mrow id="S3.Ex16.m1.2.2.2.4" xref="S3.Ex16.m1.2.2.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.cmml">i</mi><mo id="S3.Ex16.m1.2.2.2.4.1" xref="S3.Ex16.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S3.Ex16.m1.2.2.2.2" xref="S3.Ex16.m1.2.2.2.2.cmml">j</mi></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex16.m1.2b"><apply id="S3.Ex16.m1.2.3.cmml" xref="S3.Ex16.m1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex16.m1.2.3.1.cmml" xref="S3.Ex16.m1.2.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex16.m1.2.3.2.cmml" xref="S3.Ex16.m1.2.3.2">𝑠</ci><list id="S3.Ex16.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex16.m1.2.2.2.4"><ci id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1">𝑖</ci><ci id="S3.Ex16.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex16.m1.2.2.2.2">𝑗</ci></list></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex16.m1.2c">\displaystyle s_{i,j}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex16.m1.2d">italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_i , italic_j end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\leq||P_{i}G_{i+1}...G_{j}P_{j}||_{\infty}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Ex16.m2.1"><semantics id="S3.Ex16.m2.1a"><mrow id="S3.Ex16.m2.1.1" xref="S3.Ex16.m2.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex16.m2.1.1.3" xref="S3.Ex16.m2.1.1.3.cmml"></mi><mo id="S3.Ex16.m2.1.1.2" xref="S3.Ex16.m2.1.1.2.cmml">≤</mo><msub id="S3.Ex16.m2.1.1.1" xref="S3.Ex16.m2.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex16.m2.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex16.m2.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.Ex16.m2.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.Ex16.m2.1.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo><mrow id="S3.Ex16.m2.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex16.m2.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S3.Ex16.m2.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex16.m2.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.Ex16.m2.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.Ex16.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">P</mi><mi id="S3.Ex16.m2.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S3.Ex16.m2.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S3.Ex16.m2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex16.m2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.Ex16.m2.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex16.m2.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.Ex16.m2.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.Ex16.m2.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">G</mi><mrow id="S3.Ex16.m2.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.Ex16.m2.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S3.Ex16.m2.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S3.Ex16.m2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">i</mi><mo id="S3.Ex16.m2.1.1.1.1.1.1.3.3.1" xref="S3.Ex16.m2.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">+</mo><mn id="S3.Ex16.m2.1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S3.Ex16.m2.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">1</mn></mrow></msub><mo id="S3.Ex16.m2.1.1.1.1.1.1.1a" xref="S3.Ex16.m2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex16.m2.1.1.1.1.1.1.4" mathvariant="normal" xref="S3.Ex16.m2.1.1.1.1.1.1.4.cmml">…</mi><mo id="S3.Ex16.m2.1.1.1.1.1.1.1b" xref="S3.Ex16.m2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.Ex16.m2.1.1.1.1.1.1.5" xref="S3.Ex16.m2.1.1.1.1.1.1.5.cmml"><mi id="S3.Ex16.m2.1.1.1.1.1.1.5.2" xref="S3.Ex16.m2.1.1.1.1.1.1.5.2.cmml">G</mi><mi id="S3.Ex16.m2.1.1.1.1.1.1.5.3" xref="S3.Ex16.m2.1.1.1.1.1.1.5.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S3.Ex16.m2.1.1.1.1.1.1.1c" xref="S3.Ex16.m2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.Ex16.m2.1.1.1.1.1.1.6" xref="S3.Ex16.m2.1.1.1.1.1.1.6.cmml"><mi id="S3.Ex16.m2.1.1.1.1.1.1.6.2" xref="S3.Ex16.m2.1.1.1.1.1.1.6.2.cmml">P</mi><mi id="S3.Ex16.m2.1.1.1.1.1.1.6.3" xref="S3.Ex16.m2.1.1.1.1.1.1.6.3.cmml">j</mi></msub></mrow><mo id="S3.Ex16.m2.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.Ex16.m2.1.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo></mrow><mi 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xref="S3.Ex16.m2.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex16.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex16.m2.1.1.1.1.1.1.2.2">𝑃</ci><ci id="S3.Ex16.m2.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.Ex16.m2.1.1.1.1.1.1.2.3">𝑖</ci></apply><apply id="S3.Ex16.m2.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex16.m2.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex16.m2.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex16.m2.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex16.m2.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex16.m2.1.1.1.1.1.1.3.2">𝐺</ci><apply id="S3.Ex16.m2.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.Ex16.m2.1.1.1.1.1.1.3.3"><plus id="S3.Ex16.m2.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.Ex16.m2.1.1.1.1.1.1.3.3.1"></plus><ci id="S3.Ex16.m2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S3.Ex16.m2.1.1.1.1.1.1.3.3.2">𝑖</ci><cn id="S3.Ex16.m2.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex16.m2.1.1.1.1.1.1.3.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="S3.Ex16.m2.1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S3.Ex16.m2.1.1.1.1.1.1.4">…</ci><apply id="S3.Ex16.m2.1.1.1.1.1.1.5.cmml" xref="S3.Ex16.m2.1.1.1.1.1.1.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex16.m2.1.1.1.1.1.1.5.1.cmml" xref="S3.Ex16.m2.1.1.1.1.1.1.5">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex16.m2.1.1.1.1.1.1.5.2.cmml" xref="S3.Ex16.m2.1.1.1.1.1.1.5.2">𝐺</ci><ci id="S3.Ex16.m2.1.1.1.1.1.1.5.3.cmml" xref="S3.Ex16.m2.1.1.1.1.1.1.5.3">𝑗</ci></apply><apply id="S3.Ex16.m2.1.1.1.1.1.1.6.cmml" xref="S3.Ex16.m2.1.1.1.1.1.1.6"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex16.m2.1.1.1.1.1.1.6.1.cmml" xref="S3.Ex16.m2.1.1.1.1.1.1.6">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex16.m2.1.1.1.1.1.1.6.2.cmml" xref="S3.Ex16.m2.1.1.1.1.1.1.6.2">𝑃</ci><ci id="S3.Ex16.m2.1.1.1.1.1.1.6.3.cmml" xref="S3.Ex16.m2.1.1.1.1.1.1.6.3">𝑗</ci></apply></apply></apply><infinity id="S3.Ex16.m2.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex16.m2.1.1.1.3"></infinity></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex16.m2.1c">\displaystyle\leq||P_{i}G_{i+1}...G_{j}P_{j}||_{\infty}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex16.m2.1d">≤ | | italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT italic_G start_POSTSUBSCRIPT italic_i + 1 end_POSTSUBSCRIPT … italic_G start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT | | start_POSTSUBSCRIPT ∞ end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="S3.Ex17"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\leq||(I-\Pi_{i+1})\Pi_{i}...\Pi_{j}G_{i+1}...G_{j}P_{j}||_{\infty}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Ex17.m1.1"><semantics id="S3.Ex17.m1.1a"><mrow id="S3.Ex17.m1.1.1" xref="S3.Ex17.m1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex17.m1.1.1.3" xref="S3.Ex17.m1.1.1.3.cmml"></mi><mo id="S3.Ex17.m1.1.1.2" xref="S3.Ex17.m1.1.1.2.cmml">≤</mo><msub id="S3.Ex17.m1.1.1.1" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo><mrow id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">I</mi><mo id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><msub id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" mathvariant="normal" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">Π</mi><mrow id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">i</mi><mo id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">+</mo><mn id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">1</mn></mrow></msub></mrow><mo id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.3.2" mathvariant="normal" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">Π</mi><mi id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.2a" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.4" mathvariant="normal" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.4.cmml">…</mi><mo id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.2b" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.5" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.5.cmml"><mi id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.5.2" mathvariant="normal" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.5.2.cmml">Π</mi><mi id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.5.3" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.5.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.2c" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.6" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.6.cmml"><mi id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.6.2" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.6.2.cmml">G</mi><mrow id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.6.3" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.6.3.cmml"><mi id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.6.3.2" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.6.3.2.cmml">i</mi><mo id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.6.3.1" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.6.3.1.cmml">+</mo><mn id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.6.3.3" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.6.3.3.cmml">1</mn></mrow></msub><mo id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.2d" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.7" mathvariant="normal" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.7.cmml">…</mi><mo id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.2e" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.8" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.8.cmml"><mi id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.8.2" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.8.2.cmml">G</mi><mi id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.8.3" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.8.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.2f" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.9" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.9.cmml"><mi id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.9.2" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.9.2.cmml">P</mi><mi id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.9.3" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.9.3.cmml">j</mi></msub></mrow><mo id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo></mrow><mi id="S3.Ex17.m1.1.1.1.3" mathvariant="normal" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.3.cmml">∞</mi></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex17.m1.1b"><apply id="S3.Ex17.m1.1.1.cmml" 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xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">Π</ci><apply id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3"><plus id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1"></plus><ci id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2">𝑖</ci><cn id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3">1</cn></apply></apply></apply><apply id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.3.2">Π</ci><ci id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" 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xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.6.3.2">𝑖</ci><cn id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.6.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.6.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.7.cmml" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.7">…</ci><apply id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.8.cmml" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.8"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.8.1.cmml" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.8">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.8.2.cmml" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.8.2">𝐺</ci><ci id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.8.3.cmml" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.8.3">𝑗</ci></apply><apply id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.9.cmml" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.9"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.9.1.cmml" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.9">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.9.2.cmml" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.9.2">𝑃</ci><ci id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.9.3.cmml" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.9.3">𝑗</ci></apply></apply></apply><infinity 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ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\leq||(I-\Pi_{i+1})G_{i+1}\Pi_{i}G_{i}\Pi_{i-1}...\Pi_{j}G_{j}P_{% j}||_{\infty}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Ex18.m1.1"><semantics id="S3.Ex18.m1.1a"><mrow id="S3.Ex18.m1.1.1" xref="S3.Ex18.m1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex18.m1.1.1.3" xref="S3.Ex18.m1.1.1.3.cmml"></mi><mo id="S3.Ex18.m1.1.1.2" xref="S3.Ex18.m1.1.1.2.cmml">≤</mo><msub id="S3.Ex18.m1.1.1.1" xref="S3.Ex18.m1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex18.m1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex18.m1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.Ex18.m1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.Ex18.m1.1.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo><mrow id="S3.Ex18.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex18.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex18.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex18.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex18.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.Ex18.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.Ex18.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex18.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex18.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex18.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">I</mi><mo id="S3.Ex18.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex18.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><msub id="S3.Ex18.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex18.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.Ex18.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" mathvariant="normal" xref="S3.Ex18.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">Π</mi><mrow id="S3.Ex18.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.Ex18.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S3.Ex18.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S3.Ex18.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">i</mi><mo id="S3.Ex18.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1" xref="S3.Ex18.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">+</mo><mn id="S3.Ex18.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S3.Ex18.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">1</mn></mrow></msub></mrow><mo id="S3.Ex18.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.Ex18.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.Ex18.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex18.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="S3.Ex18.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex18.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.Ex18.m1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.Ex18.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">G</mi><mrow id="S3.Ex18.m1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.Ex18.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S3.Ex18.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S3.Ex18.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">i</mi><mo id="S3.Ex18.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1" xref="S3.Ex18.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">+</mo><mn id="S3.Ex18.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S3.Ex18.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">1</mn></mrow></msub><mo id="S3.Ex18.m1.1.1.1.1.1.1.2a" xref="S3.Ex18.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="S3.Ex18.m1.1.1.1.1.1.1.4" xref="S3.Ex18.m1.1.1.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="S3.Ex18.m1.1.1.1.1.1.1.4.2" mathvariant="normal" xref="S3.Ex18.m1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml">Π</mi><mi id="S3.Ex18.m1.1.1.1.1.1.1.4.3" xref="S3.Ex18.m1.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S3.Ex18.m1.1.1.1.1.1.1.2b" xref="S3.Ex18.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="S3.Ex18.m1.1.1.1.1.1.1.5" xref="S3.Ex18.m1.1.1.1.1.1.1.5.cmml"><mi id="S3.Ex18.m1.1.1.1.1.1.1.5.2" xref="S3.Ex18.m1.1.1.1.1.1.1.5.2.cmml">G</mi><mi id="S3.Ex18.m1.1.1.1.1.1.1.5.3" xref="S3.Ex18.m1.1.1.1.1.1.1.5.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S3.Ex18.m1.1.1.1.1.1.1.2c" xref="S3.Ex18.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="S3.Ex18.m1.1.1.1.1.1.1.6" xref="S3.Ex18.m1.1.1.1.1.1.1.6.cmml"><mi id="S3.Ex18.m1.1.1.1.1.1.1.6.2" mathvariant="normal" xref="S3.Ex18.m1.1.1.1.1.1.1.6.2.cmml">Π</mi><mrow id="S3.Ex18.m1.1.1.1.1.1.1.6.3" xref="S3.Ex18.m1.1.1.1.1.1.1.6.3.cmml"><mi id="S3.Ex18.m1.1.1.1.1.1.1.6.3.2" xref="S3.Ex18.m1.1.1.1.1.1.1.6.3.2.cmml">i</mi><mo id="S3.Ex18.m1.1.1.1.1.1.1.6.3.1" xref="S3.Ex18.m1.1.1.1.1.1.1.6.3.1.cmml">−</mo><mn id="S3.Ex18.m1.1.1.1.1.1.1.6.3.3" xref="S3.Ex18.m1.1.1.1.1.1.1.6.3.3.cmml">1</mn></mrow></msub><mo id="S3.Ex18.m1.1.1.1.1.1.1.2d" xref="S3.Ex18.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex18.m1.1.1.1.1.1.1.7" mathvariant="normal" xref="S3.Ex18.m1.1.1.1.1.1.1.7.cmml">…</mi><mo id="S3.Ex18.m1.1.1.1.1.1.1.2e" xref="S3.Ex18.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="S3.Ex18.m1.1.1.1.1.1.1.8" xref="S3.Ex18.m1.1.1.1.1.1.1.8.cmml"><mi id="S3.Ex18.m1.1.1.1.1.1.1.8.2" mathvariant="normal" xref="S3.Ex18.m1.1.1.1.1.1.1.8.2.cmml">Π</mi><mi id="S3.Ex18.m1.1.1.1.1.1.1.8.3" xref="S3.Ex18.m1.1.1.1.1.1.1.8.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S3.Ex18.m1.1.1.1.1.1.1.2f" xref="S3.Ex18.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="S3.Ex18.m1.1.1.1.1.1.1.9" xref="S3.Ex18.m1.1.1.1.1.1.1.9.cmml"><mi id="S3.Ex18.m1.1.1.1.1.1.1.9.2" xref="S3.Ex18.m1.1.1.1.1.1.1.9.2.cmml">G</mi><mi id="S3.Ex18.m1.1.1.1.1.1.1.9.3" xref="S3.Ex18.m1.1.1.1.1.1.1.9.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S3.Ex18.m1.1.1.1.1.1.1.2g" xref="S3.Ex18.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="S3.Ex18.m1.1.1.1.1.1.1.10" xref="S3.Ex18.m1.1.1.1.1.1.1.10.cmml"><mi id="S3.Ex18.m1.1.1.1.1.1.1.10.2" xref="S3.Ex18.m1.1.1.1.1.1.1.10.2.cmml">P</mi><mi id="S3.Ex18.m1.1.1.1.1.1.1.10.3" xref="S3.Ex18.m1.1.1.1.1.1.1.10.3.cmml">j</mi></msub></mrow><mo id="S3.Ex18.m1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" 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id="S3.Ex18.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex18.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><ci id="S3.Ex18.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex18.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝐼</ci><apply id="S3.Ex18.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex18.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex18.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex18.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex18.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex18.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">Π</ci><apply id="S3.Ex18.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.Ex18.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3"><plus id="S3.Ex18.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.Ex18.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1"></plus><ci id="S3.Ex18.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S3.Ex18.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2">𝑖</ci><cn id="S3.Ex18.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex18.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3">1</cn></apply></apply></apply><apply id="S3.Ex18.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex18.m1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex18.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex18.m1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex18.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex18.m1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝐺</ci><apply id="S3.Ex18.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.Ex18.m1.1.1.1.1.1.1.3.3"><plus id="S3.Ex18.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.Ex18.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1"></plus><ci id="S3.Ex18.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S3.Ex18.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2">𝑖</ci><cn id="S3.Ex18.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex18.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3">1</cn></apply></apply><apply id="S3.Ex18.m1.1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S3.Ex18.m1.1.1.1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex18.m1.1.1.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="S3.Ex18.m1.1.1.1.1.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex18.m1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="S3.Ex18.m1.1.1.1.1.1.1.4.2">Π</ci><ci id="S3.Ex18.m1.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml" xref="S3.Ex18.m1.1.1.1.1.1.1.4.3">𝑖</ci></apply><apply id="S3.Ex18.m1.1.1.1.1.1.1.5.cmml" xref="S3.Ex18.m1.1.1.1.1.1.1.5"><csymbol cd="ambiguous" 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id="S3.Ex18.m1.1.1.1.1.1.1.8.cmml" xref="S3.Ex18.m1.1.1.1.1.1.1.8"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex18.m1.1.1.1.1.1.1.8.1.cmml" xref="S3.Ex18.m1.1.1.1.1.1.1.8">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex18.m1.1.1.1.1.1.1.8.2.cmml" xref="S3.Ex18.m1.1.1.1.1.1.1.8.2">Π</ci><ci id="S3.Ex18.m1.1.1.1.1.1.1.8.3.cmml" xref="S3.Ex18.m1.1.1.1.1.1.1.8.3">𝑗</ci></apply><apply id="S3.Ex18.m1.1.1.1.1.1.1.9.cmml" xref="S3.Ex18.m1.1.1.1.1.1.1.9"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex18.m1.1.1.1.1.1.1.9.1.cmml" xref="S3.Ex18.m1.1.1.1.1.1.1.9">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex18.m1.1.1.1.1.1.1.9.2.cmml" xref="S3.Ex18.m1.1.1.1.1.1.1.9.2">𝐺</ci><ci id="S3.Ex18.m1.1.1.1.1.1.1.9.3.cmml" xref="S3.Ex18.m1.1.1.1.1.1.1.9.3">𝑗</ci></apply><apply id="S3.Ex18.m1.1.1.1.1.1.1.10.cmml" xref="S3.Ex18.m1.1.1.1.1.1.1.10"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex18.m1.1.1.1.1.1.1.10.1.cmml" xref="S3.Ex18.m1.1.1.1.1.1.1.10">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex18.m1.1.1.1.1.1.1.10.2.cmml" xref="S3.Ex18.m1.1.1.1.1.1.1.10.2">𝑃</ci><ci id="S3.Ex18.m1.1.1.1.1.1.1.10.3.cmml" xref="S3.Ex18.m1.1.1.1.1.1.1.10.3">𝑗</ci></apply></apply></apply><infinity id="S3.Ex18.m1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex18.m1.1.1.1.3"></infinity></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex18.m1.1c">\displaystyle\leq||(I-\Pi_{i+1})G_{i+1}\Pi_{i}G_{i}\Pi_{i-1}...\Pi_{j}G_{j}P_{% j}||_{\infty}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex18.m1.1d">≤ | | ( italic_I - roman_Π start_POSTSUBSCRIPT italic_i + 1 end_POSTSUBSCRIPT ) italic_G start_POSTSUBSCRIPT italic_i + 1 end_POSTSUBSCRIPT roman_Π start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT italic_G start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT roman_Π start_POSTSUBSCRIPT italic_i - 1 end_POSTSUBSCRIPT … roman_Π start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT italic_G start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT | | start_POSTSUBSCRIPT ∞ end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="S3.Ex19"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\leq||(I-\Pi_{i+1})G_{i+1}\Pi_{i}G_{i}\Pi_{i-1}...\Pi_{j}G_{j}(I-% \Pi_{i+1})(I-\Pi_{i})...(I-\Pi_{j+1})\Pi_{j}||_{\infty}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Ex19.m1.1"><semantics id="S3.Ex19.m1.1a"><mrow id="S3.Ex19.m1.1.1" xref="S3.Ex19.m1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex19.m1.1.1.3" xref="S3.Ex19.m1.1.1.3.cmml"></mi><mo id="S3.Ex19.m1.1.1.2" xref="S3.Ex19.m1.1.1.2.cmml">≤</mo><msub id="S3.Ex19.m1.1.1.1" xref="S3.Ex19.m1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo><mrow id="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">I</mi><mo id="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><msub id="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" mathvariant="normal" xref="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">Π</mi><mrow id="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">i</mi><mo id="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1" xref="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">+</mo><mn id="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">1</mn></mrow></msub></mrow><mo id="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.5" xref="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.5.cmml">⁢</mo><msub id="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.6" xref="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.6.cmml"><mi id="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.6.2" xref="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.6.2.cmml">G</mi><mrow id="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.6.3" xref="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.6.3.cmml"><mi id="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.6.3.2" xref="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.6.3.2.cmml">i</mi><mo id="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.6.3.1" xref="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.6.3.1.cmml">+</mo><mn id="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.6.3.3" xref="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.6.3.3.cmml">1</mn></mrow></msub><mo id="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.5a" xref="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.5.cmml">⁢</mo><msub id="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.7" xref="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.7.cmml"><mi id="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.7.2" mathvariant="normal" xref="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.7.2.cmml">Π</mi><mi id="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.7.3" xref="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.7.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.5b" xref="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.5.cmml">⁢</mo><msub id="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.8" xref="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.8.cmml"><mi id="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.8.2" xref="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.8.2.cmml">G</mi><mi id="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.8.3" xref="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.8.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.5c" xref="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.5.cmml">⁢</mo><msub id="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.9" xref="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.9.cmml"><mi id="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.9.2" mathvariant="normal" xref="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.9.2.cmml">Π</mi><mrow id="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.9.3" xref="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.9.3.cmml"><mi id="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.9.3.2" xref="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.9.3.2.cmml">i</mi><mo id="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.9.3.1" xref="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.9.3.1.cmml">−</mo><mn id="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.9.3.3" xref="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.9.3.3.cmml">1</mn></mrow></msub><mo id="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.5d" xref="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.5.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.10" mathvariant="normal" xref="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.10.cmml">…</mi><mo id="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.5e" xref="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.5.cmml">⁢</mo><msub id="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.11" xref="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.11.cmml"><mi id="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.11.2" mathvariant="normal" xref="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.11.2.cmml">Π</mi><mi id="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.11.3" xref="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.11.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.5f" xref="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.5.cmml">⁢</mo><msub id="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.12" xref="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.12.cmml"><mi id="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.12.2" xref="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.12.2.cmml">G</mi><mi id="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.12.3" xref="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.12.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.5g" xref="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.5.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.2" stretchy="false" xref="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1" xref="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.2" xref="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.2.cmml">I</mi><mo id="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1" xref="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml">−</mo><msub id="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3" xref="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.cmml"><mi id="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.2" mathvariant="normal" xref="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.2.cmml">Π</mi><mrow id="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.3" xref="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.3.cmml"><mi id="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.3.2" xref="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.3.2.cmml">i</mi><mo id="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.3.1" xref="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.3.1.cmml">+</mo><mn id="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.3.3" xref="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.3.3.cmml">1</mn></mrow></msub></mrow><mo id="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.3" stretchy="false" xref="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.5h" xref="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.5.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.2" stretchy="false" xref="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1" xref="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.2" xref="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.2.cmml">I</mi><mo id="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1" xref="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.cmml">−</mo><msub id="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.3" xref="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.3.cmml"><mi id="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.3.2" mathvariant="normal" xref="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.3.2.cmml">Π</mi><mi id="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.3.3" xref="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.3.3.cmml">i</mi></msub></mrow><mo id="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.3" stretchy="false" xref="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.5i" xref="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.5.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.13" mathvariant="normal" xref="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.13.cmml">…</mi><mo id="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.5j" xref="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.5.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.4.1" xref="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.4.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.4.1.2" stretchy="false" xref="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.4.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.4.1.1" xref="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.4.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.4.1.1.2" xref="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.4.1.1.2.cmml">I</mi><mo id="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.4.1.1.1" xref="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.4.1.1.1.cmml">−</mo><msub id="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.4.1.1.3" xref="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.4.1.1.3.cmml"><mi id="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.4.1.1.3.2" mathvariant="normal" xref="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.4.1.1.3.2.cmml">Π</mi><mrow id="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.4.1.1.3.3" xref="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.4.1.1.3.3.cmml"><mi id="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.4.1.1.3.3.2" xref="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.4.1.1.3.3.2.cmml">j</mi><mo id="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.4.1.1.3.3.1" xref="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.4.1.1.3.3.1.cmml">+</mo><mn id="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.4.1.1.3.3.3" xref="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.4.1.1.3.3.3.cmml">1</mn></mrow></msub></mrow><mo id="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.4.1.3" stretchy="false" xref="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.4.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.5k" xref="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.5.cmml">⁢</mo><msub id="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.14" xref="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.14.cmml"><mi id="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.14.2" mathvariant="normal" xref="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.14.2.cmml">Π</mi><mi id="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.14.3" xref="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.14.3.cmml">j</mi></msub></mrow><mo id="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo></mrow><mi id="S3.Ex19.m1.1.1.1.3" mathvariant="normal" xref="S3.Ex19.m1.1.1.1.3.cmml">∞</mi></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex19.m1.1b"><apply id="S3.Ex19.m1.1.1.cmml" xref="S3.Ex19.m1.1.1"><leq id="S3.Ex19.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex19.m1.1.1.2"></leq><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex19.m1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex19.m1.1.1.3">absent</csymbol><apply id="S3.Ex19.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex19.m1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex19.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex19.m1.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.2">norm</csymbol><apply id="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1"><times id="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.5.cmml" xref="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.5"></times><apply id="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.1.1"><minus id="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><ci id="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝐼</ci><apply id="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">Π</ci><apply id="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3"><plus id="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1"></plus><ci id="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2">𝑖</ci><cn id="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3">1</cn></apply></apply></apply><apply id="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.6.cmml" xref="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.6"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.6.1.cmml" xref="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.6">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.6.2.cmml" xref="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.6.2">𝐺</ci><apply id="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.6.3.cmml" xref="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.6.3"><plus id="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.6.3.1.cmml" xref="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.6.3.1"></plus><ci id="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.6.3.2.cmml" xref="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.6.3.2">𝑖</ci><cn id="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.6.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.6.3.3">1</cn></apply></apply><apply id="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.7.cmml" xref="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.7"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.7.1.cmml" xref="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.7">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.7.2.cmml" xref="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.7.2">Π</ci><ci id="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.7.3.cmml" xref="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.7.3">𝑖</ci></apply><apply id="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.8.cmml" xref="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.8"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.8.1.cmml" xref="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.8">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.8.2.cmml" xref="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.8.2">𝐺</ci><ci id="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.8.3.cmml" xref="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.8.3">𝑖</ci></apply><apply id="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.9.cmml" xref="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.9"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.9.1.cmml" xref="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.9">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.9.2.cmml" xref="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.9.2">Π</ci><apply id="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.9.3.cmml" xref="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.9.3"><minus id="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.9.3.1.cmml" xref="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.9.3.1"></minus><ci id="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.9.3.2.cmml" xref="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.9.3.2">𝑖</ci><cn id="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.9.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.9.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.10.cmml" xref="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.10">…</ci><apply id="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.11.cmml" xref="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.11"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.11.1.cmml" xref="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.11">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.11.2.cmml" xref="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.11.2">Π</ci><ci id="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.11.3.cmml" xref="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.11.3">𝑗</ci></apply><apply id="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.12.cmml" xref="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.12"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.12.1.cmml" xref="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.12">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.12.2.cmml" xref="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.12.2">𝐺</ci><ci id="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.12.3.cmml" xref="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.12.3">𝑗</ci></apply><apply id="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.cmml" xref="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.2.1"><minus id="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1"></minus><ci id="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.2">𝐼</ci><apply id="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.2">Π</ci><apply id="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.3.cmml" xref="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.3"><plus id="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.3.1"></plus><ci id="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.3.2.cmml" xref="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.3.2">𝑖</ci><cn id="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.3.3">1</cn></apply></apply></apply><apply id="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.cmml" xref="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.3.1"><minus id="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1"></minus><ci id="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.2">𝐼</ci><apply 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id="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.4.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.4.1.1.3.2">Π</ci><apply id="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.4.1.1.3.3.cmml" xref="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.4.1.1.3.3"><plus id="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.4.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.4.1.1.3.3.1"></plus><ci id="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.4.1.1.3.3.2.cmml" xref="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.4.1.1.3.3.2">𝑗</ci><cn id="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.4.1.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.4.1.1.3.3.3">1</cn></apply></apply></apply><apply id="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.14.cmml" xref="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.14"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.14.1.cmml" xref="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.14">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.14.2.cmml" xref="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.14.2">Π</ci><ci id="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.14.3.cmml" xref="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.14.3">𝑗</ci></apply></apply></apply><infinity id="S3.Ex19.m1.1.1.1.3.cmml" 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start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT | | start_POSTSUBSCRIPT ∞ end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="S3.Ex20"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\leq\bigg{|}\bigg{|}\left[(I-\Pi_{i+1})G_{i+1}(I-\Pi_{i+1})\right% ]\left[\Pi_{i}G_{i}(I-\Pi_{i})\right]\left[\Pi_{i-1}G_{i-1}(I-\Pi_{i-1})\right% ]...\left[\Pi_{j+1}G_{j+1}(I-\Pi_{j+1})\right]\Pi_{j}G_{j}\Pi_{j}\bigg{|}\bigg% {|}_{\infty}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Ex20.m1.1"><semantics id="S3.Ex20.m1.1a"><mrow id="S3.Ex20.m1.1.1" xref="S3.Ex20.m1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex20.m1.1.1.3" xref="S3.Ex20.m1.1.1.3.cmml"></mi><mo id="S3.Ex20.m1.1.1.2" xref="S3.Ex20.m1.1.1.2.cmml">≤</mo><msub id="S3.Ex20.m1.1.1.1" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo><mrow id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">[</mo><mrow id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">I</mi><mo id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><msub id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" mathvariant="normal" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">Π</mi><mrow id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">i</mi><mo id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">+</mo><mn id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">1</mn></mrow></msub></mrow><mo id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">⁢</mo><msub id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml">G</mi><mrow id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml"><mi id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.2" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.2.cmml">i</mi><mo id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.1" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.1.cmml">+</mo><mn id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.3" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.3.cmml">1</mn></mrow></msub><mo id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3a" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.2" stretchy="false" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.2" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.2.cmml">I</mi><mo id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml">−</mo><msub id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.cmml"><mi id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.2" mathvariant="normal" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.2.cmml">Π</mi><mrow id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.3" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.3.cmml"><mi id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.3.2" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.3.2.cmml">i</mi><mo id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.3.1" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.3.1.cmml">+</mo><mn id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.3.3" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.3.3.cmml">1</mn></mrow></msub></mrow><mo id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.3" stretchy="false" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">]</mo></mrow><mo id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.5" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.5.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mo id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.2" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml">[</mo><mrow id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.cmml"><msub id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.cmml"><mi id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.2" mathvariant="normal" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.2.cmml">Π</mi><mi id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.3" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.2" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.4" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.4.cmml"><mi id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.4.2" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.4.2.cmml">G</mi><mi id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.4.3" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.4.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.2a" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.2.cmml">I</mi><mo id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><msub id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.3.2" mathvariant="normal" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.3.2.cmml">Π</mi><mi id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.3.3.cmml">i</mi></msub></mrow><mo id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.3" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml">]</mo></mrow><mo id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.5a" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.5.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mo id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.2" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml">[</mo><mrow id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.cmml"><msub id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.3" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.3.cmml"><mi id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.3.2" mathvariant="normal" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.3.2.cmml">Π</mi><mrow id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.3.3" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.3.3.cmml"><mi id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.3.3.2" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.3.3.2.cmml">i</mi><mo id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.3.3.1" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.3.3.1.cmml">−</mo><mn id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.3.3.3" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.3.3.3.cmml">1</mn></mrow></msub><mo id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.2" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.4" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.4.cmml"><mi id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.4.2" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.4.2.cmml">G</mi><mrow id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.4.3" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.4.3.cmml"><mi id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.4.3.2" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.4.3.2.cmml">i</mi><mo id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.4.3.1" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.4.3.1.cmml">−</mo><mn id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.4.3.3" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.4.3.3.cmml">1</mn></mrow></msub><mo id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.2a" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.2.cmml">I</mi><mo id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><msub id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.3.2" mathvariant="normal" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.3.2.cmml">Π</mi><mrow id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">i</mi><mo id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.3.3.1" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">−</mo><mn id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">1</mn></mrow></msub></mrow><mo id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.3" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml">]</mo></mrow><mo id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.5b" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.5.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.6" mathvariant="normal" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.6.cmml">…</mi><mo id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.5c" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.5.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.4.1" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml"><mo id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.4.1.2" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.4.2.1.cmml">[</mo><mrow id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.4.1.1" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.4.1.1.cmml"><msub id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.4.1.1.3" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.4.1.1.3.cmml"><mi id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.4.1.1.3.2" mathvariant="normal" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.4.1.1.3.2.cmml">Π</mi><mrow id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.4.1.1.3.3" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.4.1.1.3.3.cmml"><mi id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.4.1.1.3.3.2" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.4.1.1.3.3.2.cmml">j</mi><mo id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.4.1.1.3.3.1" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.4.1.1.3.3.1.cmml">+</mo><mn id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.4.1.1.3.3.3" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.4.1.1.3.3.3.cmml">1</mn></mrow></msub><mo id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.4.1.1.2" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.4.1.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.4.1.1.4" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.4.1.1.4.cmml"><mi id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.4.1.1.4.2" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.4.1.1.4.2.cmml">G</mi><mrow id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.4.1.1.4.3" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.4.1.1.4.3.cmml"><mi id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.4.1.1.4.3.2" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.4.1.1.4.3.2.cmml">j</mi><mo id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.4.1.1.4.3.1" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.4.1.1.4.3.1.cmml">+</mo><mn id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.4.1.1.4.3.3" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.4.1.1.4.3.3.cmml">1</mn></mrow></msub><mo id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.4.1.1.2a" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.4.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.4.1.1.1.1" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.4.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.4.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.4.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.4.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.4.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.4.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.4.1.1.1.1.1.2.cmml">I</mi><mo id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.4.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.4.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><msub id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.4.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.4.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.4.1.1.1.1.1.3.2" mathvariant="normal" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.4.1.1.1.1.1.3.2.cmml">Π</mi><mrow id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.4.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.4.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.4.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.4.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">j</mi><mo id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.4.1.1.1.1.1.3.3.1" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.4.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">+</mo><mn id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.4.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.4.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">1</mn></mrow></msub></mrow><mo id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.4.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.4.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.4.1.3" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.4.2.1.cmml">]</mo></mrow><mo id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.5d" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.5.cmml">⁢</mo><msub id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.7" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.7.cmml"><mi id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.7.2" mathvariant="normal" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.7.2.cmml">Π</mi><mi id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.7.3" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.7.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.5e" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.5.cmml">⁢</mo><msub id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.8" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.8.cmml"><mi id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.8.2" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.8.2.cmml">G</mi><mi id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.8.3" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.8.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.5f" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.5.cmml">⁢</mo><msub id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.9" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.9.cmml"><mi id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.9.2" mathvariant="normal" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.9.2.cmml">Π</mi><mi id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.9.3" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.9.3.cmml">j</mi></msub></mrow><mo id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo></mrow><mi id="S3.Ex20.m1.1.1.1.3" mathvariant="normal" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.3.cmml">∞</mi></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex20.m1.1b"><apply id="S3.Ex20.m1.1.1.cmml" xref="S3.Ex20.m1.1.1"><leq id="S3.Ex20.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex20.m1.1.1.2"></leq><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex20.m1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex20.m1.1.1.3">absent</csymbol><apply id="S3.Ex20.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex20.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.2">norm</csymbol><apply id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1"><times id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.5.cmml" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.5"></times><apply id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">delimited-[]</csymbol><apply id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><times id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"></times><apply id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><minus id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><ci id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝐼</ci><apply id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">Π</ci><apply id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3"><plus id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1"></plus><ci id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2">𝑖</ci><cn id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3">1</cn></apply></apply></apply><apply id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2">𝐺</ci><apply id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3"><plus id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.1.cmml" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.1"></plus><ci id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.2.cmml" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.2">𝑖</ci><cn id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.3">1</cn></apply></apply><apply id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.cmml" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1"><minus id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1"></minus><ci id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.2">𝐼</ci><apply id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.2">Π</ci><apply id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.3.cmml" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.3"><plus id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.3.1"></plus><ci id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.3.2.cmml" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.3.2">𝑖</ci><cn id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.3.3">1</cn></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.2.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.2">delimited-[]</csymbol><apply id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.cmml" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1"><times id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.2"></times><apply id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.2">Π</ci><ci id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.3.cmml" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.3">𝑖</ci></apply><apply id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.4.cmml" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.4.1.cmml" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.4.2.cmml" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.4.2">𝐺</ci><ci id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.4.3.cmml" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.4.3">𝑖</ci></apply><apply id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1"><minus id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1"></minus><ci id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.2">𝐼</ci><apply id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.3.2">Π</ci><ci id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.3.3">𝑖</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.3.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.2">delimited-[]</csymbol><apply id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.cmml" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1"><times id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.2"></times><apply id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.3.2">Π</ci><apply id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.3.3.cmml" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.3.3"><minus id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.3.3.1"></minus><ci id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.3.3.2.cmml" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.3.3.2">𝑖</ci><cn id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.3.3.3">1</cn></apply></apply><apply id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.4.cmml" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.4.1.cmml" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.4.2.cmml" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.4.2">𝐺</ci><apply id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.4.3.cmml" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.4.3"><minus id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.4.3.1.cmml" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.4.3.1"></minus><ci id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.4.3.2.cmml" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.4.3.2">𝑖</ci><cn id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.4.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.4.3.3">1</cn></apply></apply><apply id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1"><minus id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1"></minus><ci id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.2">𝐼</ci><apply id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.3.2">Π</ci><apply id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.3.3"><minus id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.3.3.1"></minus><ci id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.3.3.2">𝑖</ci><cn id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.3.3.3">1</cn></apply></apply></apply></apply></apply><ci id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.6.cmml" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.6">…</ci><apply id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.4.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.4.2.1.cmml" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.4.1.2">delimited-[]</csymbol><apply id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.4.1.1.cmml" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.4.1.1"><times id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.4.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.4.1.1.2"></times><apply id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.4.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.4.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.4.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.4.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.4.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.4.1.1.3.2">Π</ci><apply id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.4.1.1.3.3.cmml" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.4.1.1.3.3"><plus id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.4.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.4.1.1.3.3.1"></plus><ci id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.4.1.1.3.3.2.cmml" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.4.1.1.3.3.2">𝑗</ci><cn id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.4.1.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.4.1.1.3.3.3">1</cn></apply></apply><apply id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.4.1.1.4.cmml" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.4.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.4.1.1.4.1.cmml" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.4.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.4.1.1.4.2.cmml" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.4.1.1.4.2">𝐺</ci><apply id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.4.1.1.4.3.cmml" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.4.1.1.4.3"><plus id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.4.1.1.4.3.1.cmml" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.4.1.1.4.3.1"></plus><ci id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.4.1.1.4.3.2.cmml" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.4.1.1.4.3.2">𝑗</ci><cn id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.4.1.1.4.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.4.1.1.4.3.3">1</cn></apply></apply><apply id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.4.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.4.1.1.1.1"><minus id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.4.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.4.1.1.1.1.1.1"></minus><ci id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.4.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.4.1.1.1.1.1.2">𝐼</ci><apply id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.4.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.4.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.4.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.4.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.4.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.4.1.1.1.1.1.3.2">Π</ci><apply id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.4.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.4.1.1.1.1.1.3.3"><plus id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.4.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.4.1.1.1.1.1.3.3.1"></plus><ci id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.4.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.4.1.1.1.1.1.3.3.2">𝑗</ci><cn id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.4.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.4.1.1.1.1.1.3.3.3">1</cn></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.7.cmml" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.7"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.7.1.cmml" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.7">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.7.2.cmml" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.7.2">Π</ci><ci id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.7.3.cmml" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.7.3">𝑗</ci></apply><apply id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.8.cmml" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.8"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.8.1.cmml" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.8">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.8.2.cmml" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.8.2">𝐺</ci><ci id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.8.3.cmml" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.8.3">𝑗</ci></apply><apply id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.9.cmml" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.9"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.9.1.cmml" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.9">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.9.2.cmml" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.9.2">Π</ci><ci id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.9.3.cmml" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.9.3">𝑗</ci></apply></apply></apply><infinity id="S3.Ex20.m1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.3"></infinity></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex20.m1.1c">\displaystyle\leq\bigg{|}\bigg{|}\left[(I-\Pi_{i+1})G_{i+1}(I-\Pi_{i+1})\right% ]\left[\Pi_{i}G_{i}(I-\Pi_{i})\right]\left[\Pi_{i-1}G_{i-1}(I-\Pi_{i-1})\right% ]...\left[\Pi_{j+1}G_{j+1}(I-\Pi_{j+1})\right]\Pi_{j}G_{j}\Pi_{j}\bigg{|}\bigg% {|}_{\infty}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex20.m1.1d">≤ | | [ ( italic_I - roman_Π start_POSTSUBSCRIPT italic_i + 1 end_POSTSUBSCRIPT ) italic_G start_POSTSUBSCRIPT italic_i + 1 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_I - roman_Π start_POSTSUBSCRIPT italic_i + 1 end_POSTSUBSCRIPT ) ] [ roman_Π start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT italic_G start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT ( italic_I - roman_Π start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT ) ] [ roman_Π start_POSTSUBSCRIPT italic_i - 1 end_POSTSUBSCRIPT italic_G start_POSTSUBSCRIPT italic_i - 1 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_I - roman_Π start_POSTSUBSCRIPT italic_i - 1 end_POSTSUBSCRIPT ) ] … [ roman_Π start_POSTSUBSCRIPT italic_j + 1 end_POSTSUBSCRIPT italic_G start_POSTSUBSCRIPT italic_j + 1 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_I - roman_Π start_POSTSUBSCRIPT italic_j + 1 end_POSTSUBSCRIPT ) ] roman_Π start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT italic_G start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT roman_Π start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT | | start_POSTSUBSCRIPT ∞ end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="S3.Ex21"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\leq\big{|}\big{|}(I-\Pi_{i+1})G_{i+1}(I-\Pi_{i+1})\big{|}\big{|}% _{\infty}\mu_{i}\mu_{i-1}...\mu_{j+1}\lambda_{j}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Ex21.m1.1"><semantics id="S3.Ex21.m1.1a"><mrow id="S3.Ex21.m1.1.1" xref="S3.Ex21.m1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex21.m1.1.1.3" xref="S3.Ex21.m1.1.1.3.cmml"></mi><mo id="S3.Ex21.m1.1.1.2" xref="S3.Ex21.m1.1.1.2.cmml">≤</mo><mrow id="S3.Ex21.m1.1.1.1" xref="S3.Ex21.m1.1.1.1.cmml"><msub id="S3.Ex21.m1.1.1.1.1" xref="S3.Ex21.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex21.m1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.Ex21.m1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo><mrow id="S3.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">I</mi><mo id="S3.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><msub id="S3.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" mathvariant="normal" xref="S3.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">Π</mi><mrow id="S3.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S3.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S3.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">i</mi><mo id="S3.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1" xref="S3.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">+</mo><mn id="S3.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S3.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">1</mn></mrow></msub></mrow><mo id="S3.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">⁢</mo><msub id="S3.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.4" xref="S3.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="S3.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.2" xref="S3.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml">G</mi><mrow id="S3.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.3" xref="S3.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml"><mi id="S3.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.2" xref="S3.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.2.cmml">i</mi><mo id="S3.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.1" xref="S3.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.1.cmml">+</mo><mn id="S3.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.3" xref="S3.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.3.cmml">1</mn></mrow></msub><mo id="S3.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.3a" xref="S3.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S3.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.2" stretchy="false" xref="S3.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1" xref="S3.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.2" xref="S3.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.2.cmml">I</mi><mo id="S3.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1" xref="S3.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml">−</mo><msub id="S3.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3" xref="S3.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.cmml"><mi id="S3.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.2" mathvariant="normal" xref="S3.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.2.cmml">Π</mi><mrow id="S3.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.3" xref="S3.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.3.cmml"><mi id="S3.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.3.2" xref="S3.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.3.2.cmml">i</mi><mo id="S3.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.3.1" xref="S3.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.3.1.cmml">+</mo><mn id="S3.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.3.3" xref="S3.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.3.3.cmml">1</mn></mrow></msub></mrow><mo id="S3.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.3" stretchy="false" xref="S3.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.Ex21.m1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo></mrow><mi id="S3.Ex21.m1.1.1.1.1.3" mathvariant="normal" xref="S3.Ex21.m1.1.1.1.1.3.cmml">∞</mi></msub><mo id="S3.Ex21.m1.1.1.1.2" xref="S3.Ex21.m1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="S3.Ex21.m1.1.1.1.3" xref="S3.Ex21.m1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.Ex21.m1.1.1.1.3.2" xref="S3.Ex21.m1.1.1.1.3.2.cmml">μ</mi><mi id="S3.Ex21.m1.1.1.1.3.3" xref="S3.Ex21.m1.1.1.1.3.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S3.Ex21.m1.1.1.1.2a" xref="S3.Ex21.m1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="S3.Ex21.m1.1.1.1.4" xref="S3.Ex21.m1.1.1.1.4.cmml"><mi id="S3.Ex21.m1.1.1.1.4.2" xref="S3.Ex21.m1.1.1.1.4.2.cmml">μ</mi><mrow id="S3.Ex21.m1.1.1.1.4.3" xref="S3.Ex21.m1.1.1.1.4.3.cmml"><mi id="S3.Ex21.m1.1.1.1.4.3.2" xref="S3.Ex21.m1.1.1.1.4.3.2.cmml">i</mi><mo id="S3.Ex21.m1.1.1.1.4.3.1" xref="S3.Ex21.m1.1.1.1.4.3.1.cmml">−</mo><mn id="S3.Ex21.m1.1.1.1.4.3.3" xref="S3.Ex21.m1.1.1.1.4.3.3.cmml">1</mn></mrow></msub><mo id="S3.Ex21.m1.1.1.1.2b" xref="S3.Ex21.m1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex21.m1.1.1.1.5" mathvariant="normal" xref="S3.Ex21.m1.1.1.1.5.cmml">…</mi><mo id="S3.Ex21.m1.1.1.1.2c" xref="S3.Ex21.m1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="S3.Ex21.m1.1.1.1.6" xref="S3.Ex21.m1.1.1.1.6.cmml"><mi id="S3.Ex21.m1.1.1.1.6.2" xref="S3.Ex21.m1.1.1.1.6.2.cmml">μ</mi><mrow id="S3.Ex21.m1.1.1.1.6.3" xref="S3.Ex21.m1.1.1.1.6.3.cmml"><mi id="S3.Ex21.m1.1.1.1.6.3.2" xref="S3.Ex21.m1.1.1.1.6.3.2.cmml">j</mi><mo id="S3.Ex21.m1.1.1.1.6.3.1" xref="S3.Ex21.m1.1.1.1.6.3.1.cmml">+</mo><mn id="S3.Ex21.m1.1.1.1.6.3.3" xref="S3.Ex21.m1.1.1.1.6.3.3.cmml">1</mn></mrow></msub><mo id="S3.Ex21.m1.1.1.1.2d" xref="S3.Ex21.m1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="S3.Ex21.m1.1.1.1.7" xref="S3.Ex21.m1.1.1.1.7.cmml"><mi id="S3.Ex21.m1.1.1.1.7.2" xref="S3.Ex21.m1.1.1.1.7.2.cmml">λ</mi><mi id="S3.Ex21.m1.1.1.1.7.3" xref="S3.Ex21.m1.1.1.1.7.3.cmml">j</mi></msub></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex21.m1.1b"><apply id="S3.Ex21.m1.1.1.cmml" xref="S3.Ex21.m1.1.1"><leq id="S3.Ex21.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex21.m1.1.1.2"></leq><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex21.m1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex21.m1.1.1.3">absent</csymbol><apply id="S3.Ex21.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex21.m1.1.1.1"><times id="S3.Ex21.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex21.m1.1.1.1.2"></times><apply id="S3.Ex21.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex21.m1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex21.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex21.m1.1.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="S3.Ex21.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex21.m1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.2">norm</csymbol><apply id="S3.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1"><times id="S3.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.3"></times><apply id="S3.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><minus id="S3.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><ci id="S3.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝐼</ci><apply id="S3.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">Π</ci><apply id="S3.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3"><plus id="S3.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1"></plus><ci id="S3.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S3.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2">𝑖</ci><cn id="S3.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3">1</cn></apply></apply></apply><apply id="S3.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S3.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="S3.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="S3.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.2">𝐺</ci><apply id="S3.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml" xref="S3.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.3"><plus id="S3.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.1.cmml" xref="S3.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.1"></plus><ci id="S3.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.2.cmml" xref="S3.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.2">𝑖</ci><cn id="S3.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.3">1</cn></apply></apply><apply id="S3.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.cmml" xref="S3.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.1"><minus id="S3.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1"></minus><ci id="S3.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.2">𝐼</ci><apply id="S3.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.2">Π</ci><apply id="S3.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.3.cmml" xref="S3.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.3"><plus id="S3.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.3.1"></plus><ci id="S3.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.3.2.cmml" xref="S3.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.3.2">𝑖</ci><cn id="S3.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.3.3">1</cn></apply></apply></apply></apply></apply><infinity id="S3.Ex21.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex21.m1.1.1.1.1.3"></infinity></apply><apply id="S3.Ex21.m1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex21.m1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex21.m1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex21.m1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex21.m1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex21.m1.1.1.1.3.2">𝜇</ci><ci id="S3.Ex21.m1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.Ex21.m1.1.1.1.3.3">𝑖</ci></apply><apply id="S3.Ex21.m1.1.1.1.4.cmml" xref="S3.Ex21.m1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex21.m1.1.1.1.4.1.cmml" xref="S3.Ex21.m1.1.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex21.m1.1.1.1.4.2.cmml" xref="S3.Ex21.m1.1.1.1.4.2">𝜇</ci><apply id="S3.Ex21.m1.1.1.1.4.3.cmml" xref="S3.Ex21.m1.1.1.1.4.3"><minus id="S3.Ex21.m1.1.1.1.4.3.1.cmml" xref="S3.Ex21.m1.1.1.1.4.3.1"></minus><ci id="S3.Ex21.m1.1.1.1.4.3.2.cmml" xref="S3.Ex21.m1.1.1.1.4.3.2">𝑖</ci><cn id="S3.Ex21.m1.1.1.1.4.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex21.m1.1.1.1.4.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="S3.Ex21.m1.1.1.1.5.cmml" xref="S3.Ex21.m1.1.1.1.5">…</ci><apply id="S3.Ex21.m1.1.1.1.6.cmml" xref="S3.Ex21.m1.1.1.1.6"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex21.m1.1.1.1.6.1.cmml" xref="S3.Ex21.m1.1.1.1.6">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex21.m1.1.1.1.6.2.cmml" xref="S3.Ex21.m1.1.1.1.6.2">𝜇</ci><apply id="S3.Ex21.m1.1.1.1.6.3.cmml" xref="S3.Ex21.m1.1.1.1.6.3"><plus id="S3.Ex21.m1.1.1.1.6.3.1.cmml" xref="S3.Ex21.m1.1.1.1.6.3.1"></plus><ci id="S3.Ex21.m1.1.1.1.6.3.2.cmml" xref="S3.Ex21.m1.1.1.1.6.3.2">𝑗</ci><cn id="S3.Ex21.m1.1.1.1.6.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex21.m1.1.1.1.6.3.3">1</cn></apply></apply><apply id="S3.Ex21.m1.1.1.1.7.cmml" xref="S3.Ex21.m1.1.1.1.7"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex21.m1.1.1.1.7.1.cmml" xref="S3.Ex21.m1.1.1.1.7">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex21.m1.1.1.1.7.2.cmml" xref="S3.Ex21.m1.1.1.1.7.2">𝜆</ci><ci id="S3.Ex21.m1.1.1.1.7.3.cmml" xref="S3.Ex21.m1.1.1.1.7.3">𝑗</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex21.m1.1c">\displaystyle\leq\big{|}\big{|}(I-\Pi_{i+1})G_{i+1}(I-\Pi_{i+1})\big{|}\big{|}% _{\infty}\mu_{i}\mu_{i-1}...\mu_{j+1}\lambda_{j}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex21.m1.1d">≤ | | ( italic_I - roman_Π start_POSTSUBSCRIPT italic_i + 1 end_POSTSUBSCRIPT ) italic_G start_POSTSUBSCRIPT italic_i + 1 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_I - roman_Π start_POSTSUBSCRIPT italic_i + 1 end_POSTSUBSCRIPT ) | | start_POSTSUBSCRIPT ∞ end_POSTSUBSCRIPT italic_μ start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT italic_μ start_POSTSUBSCRIPT italic_i - 1 end_POSTSUBSCRIPT … italic_μ start_POSTSUBSCRIPT italic_j + 1 end_POSTSUBSCRIPT italic_λ start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="S3.Ex22"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\leq\lambda_{j}\prod_{k=j+1}^{i}\mu_{k}." class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Ex22.m1.1"><semantics id="S3.Ex22.m1.1a"><mrow id="S3.Ex22.m1.1.1.1" xref="S3.Ex22.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex22.m1.1.1.1.1" xref="S3.Ex22.m1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex22.m1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex22.m1.1.1.1.1.2.cmml"></mi><mo id="S3.Ex22.m1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex22.m1.1.1.1.1.1.cmml">≤</mo><mrow id="S3.Ex22.m1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex22.m1.1.1.1.1.3.cmml"><msub id="S3.Ex22.m1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.Ex22.m1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S3.Ex22.m1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S3.Ex22.m1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">λ</mi><mi id="S3.Ex22.m1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S3.Ex22.m1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S3.Ex22.m1.1.1.1.1.3.1" xref="S3.Ex22.m1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex22.m1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.Ex22.m1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S3.Ex22.m1.1.1.1.1.3.3.1" xref="S3.Ex22.m1.1.1.1.1.3.3.1.cmml"><munderover id="S3.Ex22.m1.1.1.1.1.3.3.1a" xref="S3.Ex22.m1.1.1.1.1.3.3.1.cmml"><mo id="S3.Ex22.m1.1.1.1.1.3.3.1.2.2" movablelimits="false" xref="S3.Ex22.m1.1.1.1.1.3.3.1.2.2.cmml">∏</mo><mrow id="S3.Ex22.m1.1.1.1.1.3.3.1.2.3" xref="S3.Ex22.m1.1.1.1.1.3.3.1.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex22.m1.1.1.1.1.3.3.1.2.3.2" xref="S3.Ex22.m1.1.1.1.1.3.3.1.2.3.2.cmml">k</mi><mo id="S3.Ex22.m1.1.1.1.1.3.3.1.2.3.1" xref="S3.Ex22.m1.1.1.1.1.3.3.1.2.3.1.cmml">=</mo><mrow id="S3.Ex22.m1.1.1.1.1.3.3.1.2.3.3" xref="S3.Ex22.m1.1.1.1.1.3.3.1.2.3.3.cmml"><mi id="S3.Ex22.m1.1.1.1.1.3.3.1.2.3.3.2" xref="S3.Ex22.m1.1.1.1.1.3.3.1.2.3.3.2.cmml">j</mi><mo id="S3.Ex22.m1.1.1.1.1.3.3.1.2.3.3.1" xref="S3.Ex22.m1.1.1.1.1.3.3.1.2.3.3.1.cmml">+</mo><mn id="S3.Ex22.m1.1.1.1.1.3.3.1.2.3.3.3" xref="S3.Ex22.m1.1.1.1.1.3.3.1.2.3.3.3.cmml">1</mn></mrow></mrow><mi id="S3.Ex22.m1.1.1.1.1.3.3.1.3" xref="S3.Ex22.m1.1.1.1.1.3.3.1.3.cmml">i</mi></munderover></mstyle><msub id="S3.Ex22.m1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S3.Ex22.m1.1.1.1.1.3.3.2.cmml"><mi id="S3.Ex22.m1.1.1.1.1.3.3.2.2" xref="S3.Ex22.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.cmml">μ</mi><mi id="S3.Ex22.m1.1.1.1.1.3.3.2.3" xref="S3.Ex22.m1.1.1.1.1.3.3.2.3.cmml">k</mi></msub></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.Ex22.m1.1.1.1.2" lspace="0em" xref="S3.Ex22.m1.1.1.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex22.m1.1b"><apply id="S3.Ex22.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex22.m1.1.1.1"><leq id="S3.Ex22.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex22.m1.1.1.1.1.1"></leq><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex22.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex22.m1.1.1.1.1.2">absent</csymbol><apply id="S3.Ex22.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex22.m1.1.1.1.1.3"><times id="S3.Ex22.m1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex22.m1.1.1.1.1.3.1"></times><apply id="S3.Ex22.m1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex22.m1.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex22.m1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S3.Ex22.m1.1.1.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex22.m1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S3.Ex22.m1.1.1.1.1.3.2.2">𝜆</ci><ci id="S3.Ex22.m1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S3.Ex22.m1.1.1.1.1.3.2.3">𝑗</ci></apply><apply id="S3.Ex22.m1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.Ex22.m1.1.1.1.1.3.3"><apply id="S3.Ex22.m1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.Ex22.m1.1.1.1.1.3.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex22.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.cmml" xref="S3.Ex22.m1.1.1.1.1.3.3.1">superscript</csymbol><apply id="S3.Ex22.m1.1.1.1.1.3.3.1.2.cmml" 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xref="S3.Ex22.m1.1.1.1.1.3.3.1.3">𝑖</ci></apply><apply id="S3.Ex22.m1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S3.Ex22.m1.1.1.1.1.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex22.m1.1.1.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="S3.Ex22.m1.1.1.1.1.3.3.2">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex22.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="S3.Ex22.m1.1.1.1.1.3.3.2.2">𝜇</ci><ci id="S3.Ex22.m1.1.1.1.1.3.3.2.3.cmml" xref="S3.Ex22.m1.1.1.1.1.3.3.2.3">𝑘</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex22.m1.1c">\displaystyle\leq\lambda_{j}\prod_{k=j+1}^{i}\mu_{k}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex22.m1.1d">≤ italic_λ start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ∏ start_POSTSUBSCRIPT italic_k = italic_j + 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_i end_POSTSUPERSCRIPT italic_μ start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.2.p1.13">Where we have used the facts that the projector <math alttext="(I-\Pi_{i})" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.2.p1.5.m1.1"><semantics id="S3.2.p1.5.m1.1a"><mrow id="S3.2.p1.5.m1.1.1.1" xref="S3.2.p1.5.m1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.2.p1.5.m1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.2.p1.5.m1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.2.p1.5.m1.1.1.1.1" xref="S3.2.p1.5.m1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.2.p1.5.m1.1.1.1.1.2" xref="S3.2.p1.5.m1.1.1.1.1.2.cmml">I</mi><mo id="S3.2.p1.5.m1.1.1.1.1.1" xref="S3.2.p1.5.m1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><msub id="S3.2.p1.5.m1.1.1.1.1.3" xref="S3.2.p1.5.m1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.2.p1.5.m1.1.1.1.1.3.2" mathvariant="normal" xref="S3.2.p1.5.m1.1.1.1.1.3.2.cmml">Π</mi><mi id="S3.2.p1.5.m1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.2.p1.5.m1.1.1.1.1.3.3.cmml">i</mi></msub></mrow><mo id="S3.2.p1.5.m1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.2.p1.5.m1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.2.p1.5.m1.1b"><apply id="S3.2.p1.5.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.2.p1.5.m1.1.1.1"><minus id="S3.2.p1.5.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.2.p1.5.m1.1.1.1.1.1"></minus><ci id="S3.2.p1.5.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.2.p1.5.m1.1.1.1.1.2">𝐼</ci><apply id="S3.2.p1.5.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.2.p1.5.m1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.2.p1.5.m1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.2.p1.5.m1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.2.p1.5.m1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.2.p1.5.m1.1.1.1.1.3.2">Π</ci><ci id="S3.2.p1.5.m1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.2.p1.5.m1.1.1.1.1.3.3">𝑖</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.2.p1.5.m1.1c">(I-\Pi_{i})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.2.p1.5.m1.1d">( italic_I - roman_Π start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math> absorbs <math alttext="(I-\Pi_{j})" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.2.p1.6.m2.1"><semantics id="S3.2.p1.6.m2.1a"><mrow id="S3.2.p1.6.m2.1.1.1" xref="S3.2.p1.6.m2.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.2.p1.6.m2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.2.p1.6.m2.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.2.p1.6.m2.1.1.1.1" xref="S3.2.p1.6.m2.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.2.p1.6.m2.1.1.1.1.2" xref="S3.2.p1.6.m2.1.1.1.1.2.cmml">I</mi><mo id="S3.2.p1.6.m2.1.1.1.1.1" xref="S3.2.p1.6.m2.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><msub id="S3.2.p1.6.m2.1.1.1.1.3" xref="S3.2.p1.6.m2.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.2.p1.6.m2.1.1.1.1.3.2" mathvariant="normal" xref="S3.2.p1.6.m2.1.1.1.1.3.2.cmml">Π</mi><mi id="S3.2.p1.6.m2.1.1.1.1.3.3" xref="S3.2.p1.6.m2.1.1.1.1.3.3.cmml">j</mi></msub></mrow><mo id="S3.2.p1.6.m2.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.2.p1.6.m2.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.2.p1.6.m2.1b"><apply id="S3.2.p1.6.m2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.2.p1.6.m2.1.1.1"><minus id="S3.2.p1.6.m2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.2.p1.6.m2.1.1.1.1.1"></minus><ci id="S3.2.p1.6.m2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.2.p1.6.m2.1.1.1.1.2">𝐼</ci><apply id="S3.2.p1.6.m2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.2.p1.6.m2.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.2.p1.6.m2.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.2.p1.6.m2.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.2.p1.6.m2.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.2.p1.6.m2.1.1.1.1.3.2">Π</ci><ci id="S3.2.p1.6.m2.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.2.p1.6.m2.1.1.1.1.3.3">𝑗</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.2.p1.6.m2.1c">(I-\Pi_{j})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.2.p1.6.m2.1d">( italic_I - roman_Π start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math> for all <math alttext="i<j" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.2.p1.7.m3.1"><semantics id="S3.2.p1.7.m3.1a"><mrow id="S3.2.p1.7.m3.1.1" xref="S3.2.p1.7.m3.1.1.cmml"><mi id="S3.2.p1.7.m3.1.1.2" xref="S3.2.p1.7.m3.1.1.2.cmml">i</mi><mo id="S3.2.p1.7.m3.1.1.1" xref="S3.2.p1.7.m3.1.1.1.cmml"><</mo><mi id="S3.2.p1.7.m3.1.1.3" xref="S3.2.p1.7.m3.1.1.3.cmml">j</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.2.p1.7.m3.1b"><apply id="S3.2.p1.7.m3.1.1.cmml" xref="S3.2.p1.7.m3.1.1"><lt id="S3.2.p1.7.m3.1.1.1.cmml" xref="S3.2.p1.7.m3.1.1.1"></lt><ci id="S3.2.p1.7.m3.1.1.2.cmml" xref="S3.2.p1.7.m3.1.1.2">𝑖</ci><ci id="S3.2.p1.7.m3.1.1.3.cmml" xref="S3.2.p1.7.m3.1.1.3">𝑗</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.2.p1.7.m3.1c">i<j</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.2.p1.7.m3.1d">italic_i < italic_j</annotation></semantics></math>, and commutes with <math alttext="G_{j}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.2.p1.8.m4.1"><semantics id="S3.2.p1.8.m4.1a"><msub id="S3.2.p1.8.m4.1.1" xref="S3.2.p1.8.m4.1.1.cmml"><mi id="S3.2.p1.8.m4.1.1.2" xref="S3.2.p1.8.m4.1.1.2.cmml">G</mi><mi id="S3.2.p1.8.m4.1.1.3" xref="S3.2.p1.8.m4.1.1.3.cmml">j</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.2.p1.8.m4.1b"><apply id="S3.2.p1.8.m4.1.1.cmml" xref="S3.2.p1.8.m4.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.2.p1.8.m4.1.1.1.cmml" xref="S3.2.p1.8.m4.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.2.p1.8.m4.1.1.2.cmml" xref="S3.2.p1.8.m4.1.1.2">𝐺</ci><ci id="S3.2.p1.8.m4.1.1.3.cmml" xref="S3.2.p1.8.m4.1.1.3">𝑗</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.2.p1.8.m4.1c">G_{j}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.2.p1.8.m4.1d">italic_G start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> for all <math alttext="j<i" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.2.p1.9.m5.1"><semantics id="S3.2.p1.9.m5.1a"><mrow id="S3.2.p1.9.m5.1.1" xref="S3.2.p1.9.m5.1.1.cmml"><mi id="S3.2.p1.9.m5.1.1.2" xref="S3.2.p1.9.m5.1.1.2.cmml">j</mi><mo id="S3.2.p1.9.m5.1.1.1" xref="S3.2.p1.9.m5.1.1.1.cmml"><</mo><mi id="S3.2.p1.9.m5.1.1.3" xref="S3.2.p1.9.m5.1.1.3.cmml">i</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.2.p1.9.m5.1b"><apply id="S3.2.p1.9.m5.1.1.cmml" xref="S3.2.p1.9.m5.1.1"><lt id="S3.2.p1.9.m5.1.1.1.cmml" xref="S3.2.p1.9.m5.1.1.1"></lt><ci id="S3.2.p1.9.m5.1.1.2.cmml" xref="S3.2.p1.9.m5.1.1.2">𝑗</ci><ci id="S3.2.p1.9.m5.1.1.3.cmml" xref="S3.2.p1.9.m5.1.1.3">𝑖</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.2.p1.9.m5.1c">j<i</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.2.p1.9.m5.1d">italic_j < italic_i</annotation></semantics></math>. If <math alttext="i=N-1" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.2.p1.10.m6.1"><semantics id="S3.2.p1.10.m6.1a"><mrow id="S3.2.p1.10.m6.1.1" xref="S3.2.p1.10.m6.1.1.cmml"><mi id="S3.2.p1.10.m6.1.1.2" xref="S3.2.p1.10.m6.1.1.2.cmml">i</mi><mo id="S3.2.p1.10.m6.1.1.1" xref="S3.2.p1.10.m6.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S3.2.p1.10.m6.1.1.3" xref="S3.2.p1.10.m6.1.1.3.cmml"><mi id="S3.2.p1.10.m6.1.1.3.2" xref="S3.2.p1.10.m6.1.1.3.2.cmml">N</mi><mo id="S3.2.p1.10.m6.1.1.3.1" xref="S3.2.p1.10.m6.1.1.3.1.cmml">−</mo><mn id="S3.2.p1.10.m6.1.1.3.3" xref="S3.2.p1.10.m6.1.1.3.3.cmml">1</mn></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.2.p1.10.m6.1b"><apply id="S3.2.p1.10.m6.1.1.cmml" xref="S3.2.p1.10.m6.1.1"><eq id="S3.2.p1.10.m6.1.1.1.cmml" xref="S3.2.p1.10.m6.1.1.1"></eq><ci id="S3.2.p1.10.m6.1.1.2.cmml" xref="S3.2.p1.10.m6.1.1.2">𝑖</ci><apply id="S3.2.p1.10.m6.1.1.3.cmml" xref="S3.2.p1.10.m6.1.1.3"><minus id="S3.2.p1.10.m6.1.1.3.1.cmml" xref="S3.2.p1.10.m6.1.1.3.1"></minus><ci id="S3.2.p1.10.m6.1.1.3.2.cmml" xref="S3.2.p1.10.m6.1.1.3.2">𝑁</ci><cn id="S3.2.p1.10.m6.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.2.p1.10.m6.1.1.3.3">1</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.2.p1.10.m6.1c">i=N-1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.2.p1.10.m6.1d">italic_i = italic_N - 1</annotation></semantics></math>, gate <math alttext="G_{i+1}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.2.p1.11.m7.1"><semantics id="S3.2.p1.11.m7.1a"><msub id="S3.2.p1.11.m7.1.1" xref="S3.2.p1.11.m7.1.1.cmml"><mi id="S3.2.p1.11.m7.1.1.2" xref="S3.2.p1.11.m7.1.1.2.cmml">G</mi><mrow id="S3.2.p1.11.m7.1.1.3" xref="S3.2.p1.11.m7.1.1.3.cmml"><mi id="S3.2.p1.11.m7.1.1.3.2" xref="S3.2.p1.11.m7.1.1.3.2.cmml">i</mi><mo id="S3.2.p1.11.m7.1.1.3.1" xref="S3.2.p1.11.m7.1.1.3.1.cmml">+</mo><mn id="S3.2.p1.11.m7.1.1.3.3" xref="S3.2.p1.11.m7.1.1.3.3.cmml">1</mn></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.2.p1.11.m7.1b"><apply id="S3.2.p1.11.m7.1.1.cmml" xref="S3.2.p1.11.m7.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.2.p1.11.m7.1.1.1.cmml" xref="S3.2.p1.11.m7.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.2.p1.11.m7.1.1.2.cmml" xref="S3.2.p1.11.m7.1.1.2">𝐺</ci><apply id="S3.2.p1.11.m7.1.1.3.cmml" xref="S3.2.p1.11.m7.1.1.3"><plus id="S3.2.p1.11.m7.1.1.3.1.cmml" xref="S3.2.p1.11.m7.1.1.3.1"></plus><ci id="S3.2.p1.11.m7.1.1.3.2.cmml" xref="S3.2.p1.11.m7.1.1.3.2">𝑖</ci><cn id="S3.2.p1.11.m7.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.2.p1.11.m7.1.1.3.3">1</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.2.p1.11.m7.1c">G_{i+1}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.2.p1.11.m7.1d">italic_G start_POSTSUBSCRIPT italic_i + 1 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> does not exist, so <math alttext="s_{ij}=||P_{i}G_{i}...G_{j}P_{j}||_{\infty}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.2.p1.12.m8.1"><semantics id="S3.2.p1.12.m8.1a"><mrow id="S3.2.p1.12.m8.1.1" xref="S3.2.p1.12.m8.1.1.cmml"><msub id="S3.2.p1.12.m8.1.1.3" xref="S3.2.p1.12.m8.1.1.3.cmml"><mi id="S3.2.p1.12.m8.1.1.3.2" xref="S3.2.p1.12.m8.1.1.3.2.cmml">s</mi><mrow id="S3.2.p1.12.m8.1.1.3.3" xref="S3.2.p1.12.m8.1.1.3.3.cmml"><mi id="S3.2.p1.12.m8.1.1.3.3.2" xref="S3.2.p1.12.m8.1.1.3.3.2.cmml">i</mi><mo id="S3.2.p1.12.m8.1.1.3.3.1" xref="S3.2.p1.12.m8.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.2.p1.12.m8.1.1.3.3.3" xref="S3.2.p1.12.m8.1.1.3.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="S3.2.p1.12.m8.1.1.2" xref="S3.2.p1.12.m8.1.1.2.cmml">=</mo><msub id="S3.2.p1.12.m8.1.1.1" xref="S3.2.p1.12.m8.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.2.p1.12.m8.1.1.1.1.1" xref="S3.2.p1.12.m8.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.2.p1.12.m8.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.2.p1.12.m8.1.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo><mrow id="S3.2.p1.12.m8.1.1.1.1.1.1" xref="S3.2.p1.12.m8.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S3.2.p1.12.m8.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.2.p1.12.m8.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.2.p1.12.m8.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.2.p1.12.m8.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">P</mi><mi id="S3.2.p1.12.m8.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S3.2.p1.12.m8.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S3.2.p1.12.m8.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.2.p1.12.m8.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.2.p1.12.m8.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.2.p1.12.m8.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.2.p1.12.m8.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.2.p1.12.m8.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">G</mi><mi id="S3.2.p1.12.m8.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.2.p1.12.m8.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S3.2.p1.12.m8.1.1.1.1.1.1.1a" xref="S3.2.p1.12.m8.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.2.p1.12.m8.1.1.1.1.1.1.4" mathvariant="normal" xref="S3.2.p1.12.m8.1.1.1.1.1.1.4.cmml">…</mi><mo id="S3.2.p1.12.m8.1.1.1.1.1.1.1b" xref="S3.2.p1.12.m8.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.2.p1.12.m8.1.1.1.1.1.1.5" xref="S3.2.p1.12.m8.1.1.1.1.1.1.5.cmml"><mi id="S3.2.p1.12.m8.1.1.1.1.1.1.5.2" xref="S3.2.p1.12.m8.1.1.1.1.1.1.5.2.cmml">G</mi><mi id="S3.2.p1.12.m8.1.1.1.1.1.1.5.3" xref="S3.2.p1.12.m8.1.1.1.1.1.1.5.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S3.2.p1.12.m8.1.1.1.1.1.1.1c" xref="S3.2.p1.12.m8.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.2.p1.12.m8.1.1.1.1.1.1.6" xref="S3.2.p1.12.m8.1.1.1.1.1.1.6.cmml"><mi id="S3.2.p1.12.m8.1.1.1.1.1.1.6.2" xref="S3.2.p1.12.m8.1.1.1.1.1.1.6.2.cmml">P</mi><mi id="S3.2.p1.12.m8.1.1.1.1.1.1.6.3" xref="S3.2.p1.12.m8.1.1.1.1.1.1.6.3.cmml">j</mi></msub></mrow><mo id="S3.2.p1.12.m8.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.2.p1.12.m8.1.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo></mrow><mi id="S3.2.p1.12.m8.1.1.1.3" mathvariant="normal" xref="S3.2.p1.12.m8.1.1.1.3.cmml">∞</mi></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.2.p1.12.m8.1b"><apply id="S3.2.p1.12.m8.1.1.cmml" xref="S3.2.p1.12.m8.1.1"><eq id="S3.2.p1.12.m8.1.1.2.cmml" xref="S3.2.p1.12.m8.1.1.2"></eq><apply id="S3.2.p1.12.m8.1.1.3.cmml" xref="S3.2.p1.12.m8.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.2.p1.12.m8.1.1.3.1.cmml" xref="S3.2.p1.12.m8.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.2.p1.12.m8.1.1.3.2.cmml" xref="S3.2.p1.12.m8.1.1.3.2">𝑠</ci><apply id="S3.2.p1.12.m8.1.1.3.3.cmml" xref="S3.2.p1.12.m8.1.1.3.3"><times id="S3.2.p1.12.m8.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.2.p1.12.m8.1.1.3.3.1"></times><ci id="S3.2.p1.12.m8.1.1.3.3.2.cmml" xref="S3.2.p1.12.m8.1.1.3.3.2">𝑖</ci><ci id="S3.2.p1.12.m8.1.1.3.3.3.cmml" xref="S3.2.p1.12.m8.1.1.3.3.3">𝑗</ci></apply></apply><apply id="S3.2.p1.12.m8.1.1.1.cmml" xref="S3.2.p1.12.m8.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.2.p1.12.m8.1.1.1.2.cmml" xref="S3.2.p1.12.m8.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="S3.2.p1.12.m8.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.2.p1.12.m8.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.2.p1.12.m8.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.2.p1.12.m8.1.1.1.1.1.2">norm</csymbol><apply id="S3.2.p1.12.m8.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.2.p1.12.m8.1.1.1.1.1.1"><times id="S3.2.p1.12.m8.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.2.p1.12.m8.1.1.1.1.1.1.1"></times><apply id="S3.2.p1.12.m8.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.2.p1.12.m8.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.2.p1.12.m8.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.2.p1.12.m8.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S3.2.p1.12.m8.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.2.p1.12.m8.1.1.1.1.1.1.2.2">𝑃</ci><ci id="S3.2.p1.12.m8.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.2.p1.12.m8.1.1.1.1.1.1.2.3">𝑖</ci></apply><apply id="S3.2.p1.12.m8.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.2.p1.12.m8.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.2.p1.12.m8.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.2.p1.12.m8.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.2.p1.12.m8.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.2.p1.12.m8.1.1.1.1.1.1.3.2">𝐺</ci><ci id="S3.2.p1.12.m8.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.2.p1.12.m8.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑖</ci></apply><ci id="S3.2.p1.12.m8.1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S3.2.p1.12.m8.1.1.1.1.1.1.4">…</ci><apply id="S3.2.p1.12.m8.1.1.1.1.1.1.5.cmml" xref="S3.2.p1.12.m8.1.1.1.1.1.1.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.2.p1.12.m8.1.1.1.1.1.1.5.1.cmml" xref="S3.2.p1.12.m8.1.1.1.1.1.1.5">subscript</csymbol><ci id="S3.2.p1.12.m8.1.1.1.1.1.1.5.2.cmml" xref="S3.2.p1.12.m8.1.1.1.1.1.1.5.2">𝐺</ci><ci id="S3.2.p1.12.m8.1.1.1.1.1.1.5.3.cmml" xref="S3.2.p1.12.m8.1.1.1.1.1.1.5.3">𝑗</ci></apply><apply id="S3.2.p1.12.m8.1.1.1.1.1.1.6.cmml" xref="S3.2.p1.12.m8.1.1.1.1.1.1.6"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.2.p1.12.m8.1.1.1.1.1.1.6.1.cmml" xref="S3.2.p1.12.m8.1.1.1.1.1.1.6">subscript</csymbol><ci id="S3.2.p1.12.m8.1.1.1.1.1.1.6.2.cmml" xref="S3.2.p1.12.m8.1.1.1.1.1.1.6.2">𝑃</ci><ci id="S3.2.p1.12.m8.1.1.1.1.1.1.6.3.cmml" xref="S3.2.p1.12.m8.1.1.1.1.1.1.6.3">𝑗</ci></apply></apply></apply><infinity id="S3.2.p1.12.m8.1.1.1.3.cmml" xref="S3.2.p1.12.m8.1.1.1.3"></infinity></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.2.p1.12.m8.1c">s_{ij}=||P_{i}G_{i}...G_{j}P_{j}||_{\infty}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.2.p1.12.m8.1d">italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_i italic_j end_POSTSUBSCRIPT = | | italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT italic_G start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT … italic_G start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT | | start_POSTSUBSCRIPT ∞ end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> instead. This removes the <math alttext="\big{|}\big{|}(I-\Pi_{i+1})G_{i+1}(I-\Pi_{i+1})\big{|}\big{|}_{\infty}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.2.p1.13.m9.1"><semantics id="S3.2.p1.13.m9.1a"><msub id="S3.2.p1.13.m9.1.1" xref="S3.2.p1.13.m9.1.1.cmml"><mrow id="S3.2.p1.13.m9.1.1.1.1" xref="S3.2.p1.13.m9.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.2.p1.13.m9.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.2.p1.13.m9.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo><mrow id="S3.2.p1.13.m9.1.1.1.1.1" xref="S3.2.p1.13.m9.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.2.p1.13.m9.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.2.p1.13.m9.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.2.p1.13.m9.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.2.p1.13.m9.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.2.p1.13.m9.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.2.p1.13.m9.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.2.p1.13.m9.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.2.p1.13.m9.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">I</mi><mo id="S3.2.p1.13.m9.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.2.p1.13.m9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><msub id="S3.2.p1.13.m9.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.2.p1.13.m9.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.2.p1.13.m9.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" mathvariant="normal" xref="S3.2.p1.13.m9.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">Π</mi><mrow id="S3.2.p1.13.m9.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.2.p1.13.m9.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S3.2.p1.13.m9.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S3.2.p1.13.m9.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">i</mi><mo id="S3.2.p1.13.m9.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1" xref="S3.2.p1.13.m9.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">+</mo><mn id="S3.2.p1.13.m9.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S3.2.p1.13.m9.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">1</mn></mrow></msub></mrow><mo id="S3.2.p1.13.m9.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.2.p1.13.m9.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.2.p1.13.m9.1.1.1.1.1.3" xref="S3.2.p1.13.m9.1.1.1.1.1.3.cmml">⁢</mo><msub id="S3.2.p1.13.m9.1.1.1.1.1.4" xref="S3.2.p1.13.m9.1.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="S3.2.p1.13.m9.1.1.1.1.1.4.2" xref="S3.2.p1.13.m9.1.1.1.1.1.4.2.cmml">G</mi><mrow id="S3.2.p1.13.m9.1.1.1.1.1.4.3" xref="S3.2.p1.13.m9.1.1.1.1.1.4.3.cmml"><mi id="S3.2.p1.13.m9.1.1.1.1.1.4.3.2" xref="S3.2.p1.13.m9.1.1.1.1.1.4.3.2.cmml">i</mi><mo id="S3.2.p1.13.m9.1.1.1.1.1.4.3.1" xref="S3.2.p1.13.m9.1.1.1.1.1.4.3.1.cmml">+</mo><mn id="S3.2.p1.13.m9.1.1.1.1.1.4.3.3" xref="S3.2.p1.13.m9.1.1.1.1.1.4.3.3.cmml">1</mn></mrow></msub><mo id="S3.2.p1.13.m9.1.1.1.1.1.3a" xref="S3.2.p1.13.m9.1.1.1.1.1.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.2.p1.13.m9.1.1.1.1.1.2.1" xref="S3.2.p1.13.m9.1.1.1.1.1.2.1.1.cmml"><mo id="S3.2.p1.13.m9.1.1.1.1.1.2.1.2" stretchy="false" xref="S3.2.p1.13.m9.1.1.1.1.1.2.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.2.p1.13.m9.1.1.1.1.1.2.1.1" xref="S3.2.p1.13.m9.1.1.1.1.1.2.1.1.cmml"><mi id="S3.2.p1.13.m9.1.1.1.1.1.2.1.1.2" xref="S3.2.p1.13.m9.1.1.1.1.1.2.1.1.2.cmml">I</mi><mo id="S3.2.p1.13.m9.1.1.1.1.1.2.1.1.1" xref="S3.2.p1.13.m9.1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml">−</mo><msub id="S3.2.p1.13.m9.1.1.1.1.1.2.1.1.3" xref="S3.2.p1.13.m9.1.1.1.1.1.2.1.1.3.cmml"><mi id="S3.2.p1.13.m9.1.1.1.1.1.2.1.1.3.2" mathvariant="normal" xref="S3.2.p1.13.m9.1.1.1.1.1.2.1.1.3.2.cmml">Π</mi><mrow id="S3.2.p1.13.m9.1.1.1.1.1.2.1.1.3.3" xref="S3.2.p1.13.m9.1.1.1.1.1.2.1.1.3.3.cmml"><mi id="S3.2.p1.13.m9.1.1.1.1.1.2.1.1.3.3.2" xref="S3.2.p1.13.m9.1.1.1.1.1.2.1.1.3.3.2.cmml">i</mi><mo id="S3.2.p1.13.m9.1.1.1.1.1.2.1.1.3.3.1" xref="S3.2.p1.13.m9.1.1.1.1.1.2.1.1.3.3.1.cmml">+</mo><mn id="S3.2.p1.13.m9.1.1.1.1.1.2.1.1.3.3.3" xref="S3.2.p1.13.m9.1.1.1.1.1.2.1.1.3.3.3.cmml">1</mn></mrow></msub></mrow><mo id="S3.2.p1.13.m9.1.1.1.1.1.2.1.3" stretchy="false" xref="S3.2.p1.13.m9.1.1.1.1.1.2.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.2.p1.13.m9.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.2.p1.13.m9.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo></mrow><mi id="S3.2.p1.13.m9.1.1.3" mathvariant="normal" xref="S3.2.p1.13.m9.1.1.3.cmml">∞</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.2.p1.13.m9.1b"><apply id="S3.2.p1.13.m9.1.1.cmml" xref="S3.2.p1.13.m9.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.2.p1.13.m9.1.1.2.cmml" xref="S3.2.p1.13.m9.1.1">subscript</csymbol><apply id="S3.2.p1.13.m9.1.1.1.2.cmml" xref="S3.2.p1.13.m9.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.2.p1.13.m9.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.2.p1.13.m9.1.1.1.1.2">norm</csymbol><apply id="S3.2.p1.13.m9.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.2.p1.13.m9.1.1.1.1.1"><times id="S3.2.p1.13.m9.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.2.p1.13.m9.1.1.1.1.1.3"></times><apply id="S3.2.p1.13.m9.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.2.p1.13.m9.1.1.1.1.1.1.1"><minus id="S3.2.p1.13.m9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.2.p1.13.m9.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><ci id="S3.2.p1.13.m9.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.2.p1.13.m9.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝐼</ci><apply id="S3.2.p1.13.m9.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.2.p1.13.m9.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.2.p1.13.m9.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.2.p1.13.m9.1.1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.2.p1.13.m9.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.2.p1.13.m9.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">Π</ci><apply id="S3.2.p1.13.m9.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.2.p1.13.m9.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3"><plus id="S3.2.p1.13.m9.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.2.p1.13.m9.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1"></plus><ci id="S3.2.p1.13.m9.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S3.2.p1.13.m9.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2">𝑖</ci><cn id="S3.2.p1.13.m9.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.2.p1.13.m9.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3">1</cn></apply></apply></apply><apply id="S3.2.p1.13.m9.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S3.2.p1.13.m9.1.1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.2.p1.13.m9.1.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="S3.2.p1.13.m9.1.1.1.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="S3.2.p1.13.m9.1.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="S3.2.p1.13.m9.1.1.1.1.1.4.2">𝐺</ci><apply id="S3.2.p1.13.m9.1.1.1.1.1.4.3.cmml" xref="S3.2.p1.13.m9.1.1.1.1.1.4.3"><plus id="S3.2.p1.13.m9.1.1.1.1.1.4.3.1.cmml" xref="S3.2.p1.13.m9.1.1.1.1.1.4.3.1"></plus><ci id="S3.2.p1.13.m9.1.1.1.1.1.4.3.2.cmml" xref="S3.2.p1.13.m9.1.1.1.1.1.4.3.2">𝑖</ci><cn id="S3.2.p1.13.m9.1.1.1.1.1.4.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.2.p1.13.m9.1.1.1.1.1.4.3.3">1</cn></apply></apply><apply id="S3.2.p1.13.m9.1.1.1.1.1.2.1.1.cmml" xref="S3.2.p1.13.m9.1.1.1.1.1.2.1"><minus id="S3.2.p1.13.m9.1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml" xref="S3.2.p1.13.m9.1.1.1.1.1.2.1.1.1"></minus><ci id="S3.2.p1.13.m9.1.1.1.1.1.2.1.1.2.cmml" xref="S3.2.p1.13.m9.1.1.1.1.1.2.1.1.2">𝐼</ci><apply id="S3.2.p1.13.m9.1.1.1.1.1.2.1.1.3.cmml" xref="S3.2.p1.13.m9.1.1.1.1.1.2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.2.p1.13.m9.1.1.1.1.1.2.1.1.3.1.cmml" xref="S3.2.p1.13.m9.1.1.1.1.1.2.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.2.p1.13.m9.1.1.1.1.1.2.1.1.3.2.cmml" xref="S3.2.p1.13.m9.1.1.1.1.1.2.1.1.3.2">Π</ci><apply id="S3.2.p1.13.m9.1.1.1.1.1.2.1.1.3.3.cmml" xref="S3.2.p1.13.m9.1.1.1.1.1.2.1.1.3.3"><plus id="S3.2.p1.13.m9.1.1.1.1.1.2.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.2.p1.13.m9.1.1.1.1.1.2.1.1.3.3.1"></plus><ci id="S3.2.p1.13.m9.1.1.1.1.1.2.1.1.3.3.2.cmml" xref="S3.2.p1.13.m9.1.1.1.1.1.2.1.1.3.3.2">𝑖</ci><cn id="S3.2.p1.13.m9.1.1.1.1.1.2.1.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.2.p1.13.m9.1.1.1.1.1.2.1.1.3.3.3">1</cn></apply></apply></apply></apply></apply><infinity id="S3.2.p1.13.m9.1.1.3.cmml" xref="S3.2.p1.13.m9.1.1.3"></infinity></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.2.p1.13.m9.1c">\big{|}\big{|}(I-\Pi_{i+1})G_{i+1}(I-\Pi_{i+1})\big{|}\big{|}_{\infty}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.2.p1.13.m9.1d">| | ( italic_I - roman_Π start_POSTSUBSCRIPT italic_i + 1 end_POSTSUBSCRIPT ) italic_G start_POSTSUBSCRIPT italic_i + 1 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_I - roman_Π start_POSTSUBSCRIPT italic_i + 1 end_POSTSUBSCRIPT ) | | start_POSTSUBSCRIPT ∞ end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> term from the penultimate line of the previous derivation, which did not change the inequality anyways. ∎</p> </div> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_corollary" id="Thmtheorem16"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmtheorem16.1.1.1">Corollary 16</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmtheorem16.2.2">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="Thmtheorem16.p1"> <p class="ltx_p" id="Thmtheorem16.p1.6"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmtheorem16.p1.6.6">Suppose there exists <math alttext="\lambda\leq 0.5" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem16.p1.1.1.m1.1"><semantics id="Thmtheorem16.p1.1.1.m1.1a"><mrow id="Thmtheorem16.p1.1.1.m1.1.1" xref="Thmtheorem16.p1.1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="Thmtheorem16.p1.1.1.m1.1.1.2" xref="Thmtheorem16.p1.1.1.m1.1.1.2.cmml">λ</mi><mo id="Thmtheorem16.p1.1.1.m1.1.1.1" xref="Thmtheorem16.p1.1.1.m1.1.1.1.cmml">≤</mo><mn id="Thmtheorem16.p1.1.1.m1.1.1.3" xref="Thmtheorem16.p1.1.1.m1.1.1.3.cmml">0.5</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem16.p1.1.1.m1.1b"><apply id="Thmtheorem16.p1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem16.p1.1.1.m1.1.1"><leq id="Thmtheorem16.p1.1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem16.p1.1.1.m1.1.1.1"></leq><ci id="Thmtheorem16.p1.1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="Thmtheorem16.p1.1.1.m1.1.1.2">𝜆</ci><cn id="Thmtheorem16.p1.1.1.m1.1.1.3.cmml" type="float" xref="Thmtheorem16.p1.1.1.m1.1.1.3">0.5</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem16.p1.1.1.m1.1c">\lambda\leq 0.5</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem16.p1.1.1.m1.1d">italic_λ ≤ 0.5</annotation></semantics></math> such that <math alttext="\lambda_{i}\leq\lambda" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem16.p1.2.2.m2.1"><semantics id="Thmtheorem16.p1.2.2.m2.1a"><mrow id="Thmtheorem16.p1.2.2.m2.1.1" xref="Thmtheorem16.p1.2.2.m2.1.1.cmml"><msub id="Thmtheorem16.p1.2.2.m2.1.1.2" xref="Thmtheorem16.p1.2.2.m2.1.1.2.cmml"><mi id="Thmtheorem16.p1.2.2.m2.1.1.2.2" xref="Thmtheorem16.p1.2.2.m2.1.1.2.2.cmml">λ</mi><mi id="Thmtheorem16.p1.2.2.m2.1.1.2.3" xref="Thmtheorem16.p1.2.2.m2.1.1.2.3.cmml">i</mi></msub><mo id="Thmtheorem16.p1.2.2.m2.1.1.1" xref="Thmtheorem16.p1.2.2.m2.1.1.1.cmml">≤</mo><mi id="Thmtheorem16.p1.2.2.m2.1.1.3" xref="Thmtheorem16.p1.2.2.m2.1.1.3.cmml">λ</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem16.p1.2.2.m2.1b"><apply id="Thmtheorem16.p1.2.2.m2.1.1.cmml" xref="Thmtheorem16.p1.2.2.m2.1.1"><leq id="Thmtheorem16.p1.2.2.m2.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem16.p1.2.2.m2.1.1.1"></leq><apply id="Thmtheorem16.p1.2.2.m2.1.1.2.cmml" xref="Thmtheorem16.p1.2.2.m2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem16.p1.2.2.m2.1.1.2.1.cmml" xref="Thmtheorem16.p1.2.2.m2.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="Thmtheorem16.p1.2.2.m2.1.1.2.2.cmml" xref="Thmtheorem16.p1.2.2.m2.1.1.2.2">𝜆</ci><ci id="Thmtheorem16.p1.2.2.m2.1.1.2.3.cmml" xref="Thmtheorem16.p1.2.2.m2.1.1.2.3">𝑖</ci></apply><ci id="Thmtheorem16.p1.2.2.m2.1.1.3.cmml" xref="Thmtheorem16.p1.2.2.m2.1.1.3">𝜆</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem16.p1.2.2.m2.1c">\lambda_{i}\leq\lambda</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem16.p1.2.2.m2.1d">italic_λ start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT ≤ italic_λ</annotation></semantics></math> for all <math alttext="i" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem16.p1.3.3.m3.1"><semantics id="Thmtheorem16.p1.3.3.m3.1a"><mi id="Thmtheorem16.p1.3.3.m3.1.1" xref="Thmtheorem16.p1.3.3.m3.1.1.cmml">i</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem16.p1.3.3.m3.1b"><ci id="Thmtheorem16.p1.3.3.m3.1.1.cmml" xref="Thmtheorem16.p1.3.3.m3.1.1">𝑖</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem16.p1.3.3.m3.1c">i</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem16.p1.3.3.m3.1d">italic_i</annotation></semantics></math> (and therefore by Lemma <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#Thmtheorem13" title="Lemma 13. ‣ III Bounding the staircase by a single gate ‣ Conditional 𝑡-independent spectral gap for random quantum circuits and implications for 𝑡-design depths"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">13</span></a>, <math alttext="\mu_{i}\leq\mu\equiv\sqrt{\lambda(1-\lambda)}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem16.p1.4.4.m4.1"><semantics id="Thmtheorem16.p1.4.4.m4.1a"><mrow id="Thmtheorem16.p1.4.4.m4.1.2" xref="Thmtheorem16.p1.4.4.m4.1.2.cmml"><msub id="Thmtheorem16.p1.4.4.m4.1.2.2" xref="Thmtheorem16.p1.4.4.m4.1.2.2.cmml"><mi id="Thmtheorem16.p1.4.4.m4.1.2.2.2" xref="Thmtheorem16.p1.4.4.m4.1.2.2.2.cmml">μ</mi><mi id="Thmtheorem16.p1.4.4.m4.1.2.2.3" xref="Thmtheorem16.p1.4.4.m4.1.2.2.3.cmml">i</mi></msub><mo id="Thmtheorem16.p1.4.4.m4.1.2.3" xref="Thmtheorem16.p1.4.4.m4.1.2.3.cmml">≤</mo><mi id="Thmtheorem16.p1.4.4.m4.1.2.4" xref="Thmtheorem16.p1.4.4.m4.1.2.4.cmml">μ</mi><mo id="Thmtheorem16.p1.4.4.m4.1.2.5" xref="Thmtheorem16.p1.4.4.m4.1.2.5.cmml">≡</mo><msqrt id="Thmtheorem16.p1.4.4.m4.1.1" xref="Thmtheorem16.p1.4.4.m4.1.1.cmml"><mrow id="Thmtheorem16.p1.4.4.m4.1.1.1" xref="Thmtheorem16.p1.4.4.m4.1.1.1.cmml"><mi id="Thmtheorem16.p1.4.4.m4.1.1.1.3" xref="Thmtheorem16.p1.4.4.m4.1.1.1.3.cmml">λ</mi><mo id="Thmtheorem16.p1.4.4.m4.1.1.1.2" xref="Thmtheorem16.p1.4.4.m4.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="Thmtheorem16.p1.4.4.m4.1.1.1.1.1" xref="Thmtheorem16.p1.4.4.m4.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="Thmtheorem16.p1.4.4.m4.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="Thmtheorem16.p1.4.4.m4.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="Thmtheorem16.p1.4.4.m4.1.1.1.1.1.1" xref="Thmtheorem16.p1.4.4.m4.1.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="Thmtheorem16.p1.4.4.m4.1.1.1.1.1.1.2" xref="Thmtheorem16.p1.4.4.m4.1.1.1.1.1.1.2.cmml">1</mn><mo id="Thmtheorem16.p1.4.4.m4.1.1.1.1.1.1.1" xref="Thmtheorem16.p1.4.4.m4.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mi id="Thmtheorem16.p1.4.4.m4.1.1.1.1.1.1.3" xref="Thmtheorem16.p1.4.4.m4.1.1.1.1.1.1.3.cmml">λ</mi></mrow><mo id="Thmtheorem16.p1.4.4.m4.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="Thmtheorem16.p1.4.4.m4.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></msqrt></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem16.p1.4.4.m4.1b"><apply id="Thmtheorem16.p1.4.4.m4.1.2.cmml" xref="Thmtheorem16.p1.4.4.m4.1.2"><and id="Thmtheorem16.p1.4.4.m4.1.2a.cmml" xref="Thmtheorem16.p1.4.4.m4.1.2"></and><apply id="Thmtheorem16.p1.4.4.m4.1.2b.cmml" xref="Thmtheorem16.p1.4.4.m4.1.2"><leq id="Thmtheorem16.p1.4.4.m4.1.2.3.cmml" xref="Thmtheorem16.p1.4.4.m4.1.2.3"></leq><apply id="Thmtheorem16.p1.4.4.m4.1.2.2.cmml" xref="Thmtheorem16.p1.4.4.m4.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem16.p1.4.4.m4.1.2.2.1.cmml" xref="Thmtheorem16.p1.4.4.m4.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="Thmtheorem16.p1.4.4.m4.1.2.2.2.cmml" xref="Thmtheorem16.p1.4.4.m4.1.2.2.2">𝜇</ci><ci id="Thmtheorem16.p1.4.4.m4.1.2.2.3.cmml" xref="Thmtheorem16.p1.4.4.m4.1.2.2.3">𝑖</ci></apply><ci id="Thmtheorem16.p1.4.4.m4.1.2.4.cmml" xref="Thmtheorem16.p1.4.4.m4.1.2.4">𝜇</ci></apply><apply id="Thmtheorem16.p1.4.4.m4.1.2c.cmml" xref="Thmtheorem16.p1.4.4.m4.1.2"><equivalent id="Thmtheorem16.p1.4.4.m4.1.2.5.cmml" xref="Thmtheorem16.p1.4.4.m4.1.2.5"></equivalent><share href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#Thmtheorem16.p1.4.4.m4.1.2.4.cmml" id="Thmtheorem16.p1.4.4.m4.1.2d.cmml" xref="Thmtheorem16.p1.4.4.m4.1.2"></share><apply id="Thmtheorem16.p1.4.4.m4.1.1.cmml" xref="Thmtheorem16.p1.4.4.m4.1.1"><root id="Thmtheorem16.p1.4.4.m4.1.1a.cmml" xref="Thmtheorem16.p1.4.4.m4.1.1"></root><apply id="Thmtheorem16.p1.4.4.m4.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem16.p1.4.4.m4.1.1.1"><times id="Thmtheorem16.p1.4.4.m4.1.1.1.2.cmml" xref="Thmtheorem16.p1.4.4.m4.1.1.1.2"></times><ci id="Thmtheorem16.p1.4.4.m4.1.1.1.3.cmml" xref="Thmtheorem16.p1.4.4.m4.1.1.1.3">𝜆</ci><apply id="Thmtheorem16.p1.4.4.m4.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem16.p1.4.4.m4.1.1.1.1.1"><minus id="Thmtheorem16.p1.4.4.m4.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem16.p1.4.4.m4.1.1.1.1.1.1.1"></minus><cn id="Thmtheorem16.p1.4.4.m4.1.1.1.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="Thmtheorem16.p1.4.4.m4.1.1.1.1.1.1.2">1</cn><ci id="Thmtheorem16.p1.4.4.m4.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="Thmtheorem16.p1.4.4.m4.1.1.1.1.1.1.3">𝜆</ci></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem16.p1.4.4.m4.1c">\mu_{i}\leq\mu\equiv\sqrt{\lambda(1-\lambda)}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem16.p1.4.4.m4.1d">italic_μ start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT ≤ italic_μ ≡ square-root start_ARG italic_λ ( 1 - italic_λ ) end_ARG</annotation></semantics></math> for all <math alttext="i" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem16.p1.5.5.m5.1"><semantics id="Thmtheorem16.p1.5.5.m5.1a"><mi id="Thmtheorem16.p1.5.5.m5.1.1" xref="Thmtheorem16.p1.5.5.m5.1.1.cmml">i</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem16.p1.5.5.m5.1b"><ci id="Thmtheorem16.p1.5.5.m5.1.1.cmml" xref="Thmtheorem16.p1.5.5.m5.1.1">𝑖</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem16.p1.5.5.m5.1c">i</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem16.p1.5.5.m5.1d">italic_i</annotation></semantics></math>). Then for all <math alttext="1\leq i,j<N" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem16.p1.6.6.m6.2"><semantics id="Thmtheorem16.p1.6.6.m6.2a"><mrow id="Thmtheorem16.p1.6.6.m6.2.2.2" xref="Thmtheorem16.p1.6.6.m6.2.2.3.cmml"><mrow id="Thmtheorem16.p1.6.6.m6.1.1.1.1" xref="Thmtheorem16.p1.6.6.m6.1.1.1.1.cmml"><mn id="Thmtheorem16.p1.6.6.m6.1.1.1.1.2" xref="Thmtheorem16.p1.6.6.m6.1.1.1.1.2.cmml">1</mn><mo id="Thmtheorem16.p1.6.6.m6.1.1.1.1.1" xref="Thmtheorem16.p1.6.6.m6.1.1.1.1.1.cmml">≤</mo><mi id="Thmtheorem16.p1.6.6.m6.1.1.1.1.3" xref="Thmtheorem16.p1.6.6.m6.1.1.1.1.3.cmml">i</mi></mrow><mo id="Thmtheorem16.p1.6.6.m6.2.2.2.3" xref="Thmtheorem16.p1.6.6.m6.2.2.3a.cmml">,</mo><mrow id="Thmtheorem16.p1.6.6.m6.2.2.2.2" xref="Thmtheorem16.p1.6.6.m6.2.2.2.2.cmml"><mi id="Thmtheorem16.p1.6.6.m6.2.2.2.2.2" xref="Thmtheorem16.p1.6.6.m6.2.2.2.2.2.cmml">j</mi><mo id="Thmtheorem16.p1.6.6.m6.2.2.2.2.1" xref="Thmtheorem16.p1.6.6.m6.2.2.2.2.1.cmml"><</mo><mi id="Thmtheorem16.p1.6.6.m6.2.2.2.2.3" xref="Thmtheorem16.p1.6.6.m6.2.2.2.2.3.cmml">N</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem16.p1.6.6.m6.2b"><apply id="Thmtheorem16.p1.6.6.m6.2.2.3.cmml" xref="Thmtheorem16.p1.6.6.m6.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem16.p1.6.6.m6.2.2.3a.cmml" xref="Thmtheorem16.p1.6.6.m6.2.2.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="Thmtheorem16.p1.6.6.m6.1.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem16.p1.6.6.m6.1.1.1.1"><leq id="Thmtheorem16.p1.6.6.m6.1.1.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem16.p1.6.6.m6.1.1.1.1.1"></leq><cn id="Thmtheorem16.p1.6.6.m6.1.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="Thmtheorem16.p1.6.6.m6.1.1.1.1.2">1</cn><ci id="Thmtheorem16.p1.6.6.m6.1.1.1.1.3.cmml" xref="Thmtheorem16.p1.6.6.m6.1.1.1.1.3">𝑖</ci></apply><apply id="Thmtheorem16.p1.6.6.m6.2.2.2.2.cmml" xref="Thmtheorem16.p1.6.6.m6.2.2.2.2"><lt id="Thmtheorem16.p1.6.6.m6.2.2.2.2.1.cmml" xref="Thmtheorem16.p1.6.6.m6.2.2.2.2.1"></lt><ci id="Thmtheorem16.p1.6.6.m6.2.2.2.2.2.cmml" xref="Thmtheorem16.p1.6.6.m6.2.2.2.2.2">𝑗</ci><ci id="Thmtheorem16.p1.6.6.m6.2.2.2.2.3.cmml" xref="Thmtheorem16.p1.6.6.m6.2.2.2.2.3">𝑁</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem16.p1.6.6.m6.2c">1\leq i,j<N</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem16.p1.6.6.m6.2d">1 ≤ italic_i , italic_j < italic_N</annotation></semantics></math>,</span></p> <ul class="ltx_itemize" id="S3.I5"> <li class="ltx_item" id="S3.I5.i1" style="list-style-type:none;"> <span class="ltx_tag ltx_tag_item">•</span> <div class="ltx_para" id="S3.I5.i1.p1"> <p class="ltx_p" id="S3.I5.i1.p1.2"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S3.I5.i1.p1.2.1">If </span><math alttext="i<j-1" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I5.i1.p1.1.m1.1"><semantics id="S3.I5.i1.p1.1.m1.1a"><mrow id="S3.I5.i1.p1.1.m1.1.1" xref="S3.I5.i1.p1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S3.I5.i1.p1.1.m1.1.1.2" xref="S3.I5.i1.p1.1.m1.1.1.2.cmml">i</mi><mo id="S3.I5.i1.p1.1.m1.1.1.1" xref="S3.I5.i1.p1.1.m1.1.1.1.cmml"><</mo><mrow id="S3.I5.i1.p1.1.m1.1.1.3" xref="S3.I5.i1.p1.1.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.I5.i1.p1.1.m1.1.1.3.2" xref="S3.I5.i1.p1.1.m1.1.1.3.2.cmml">j</mi><mo id="S3.I5.i1.p1.1.m1.1.1.3.1" xref="S3.I5.i1.p1.1.m1.1.1.3.1.cmml">−</mo><mn id="S3.I5.i1.p1.1.m1.1.1.3.3" xref="S3.I5.i1.p1.1.m1.1.1.3.3.cmml">1</mn></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I5.i1.p1.1.m1.1b"><apply id="S3.I5.i1.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.I5.i1.p1.1.m1.1.1"><lt id="S3.I5.i1.p1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.I5.i1.p1.1.m1.1.1.1"></lt><ci id="S3.I5.i1.p1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.I5.i1.p1.1.m1.1.1.2">𝑖</ci><apply id="S3.I5.i1.p1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S3.I5.i1.p1.1.m1.1.1.3"><minus id="S3.I5.i1.p1.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.I5.i1.p1.1.m1.1.1.3.1"></minus><ci id="S3.I5.i1.p1.1.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.I5.i1.p1.1.m1.1.1.3.2">𝑗</ci><cn id="S3.I5.i1.p1.1.m1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.I5.i1.p1.1.m1.1.1.3.3">1</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I5.i1.p1.1.m1.1c">i<j-1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I5.i1.p1.1.m1.1d">italic_i < italic_j - 1</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S3.I5.i1.p1.2.2">, </span><math alttext="s_{ij}=0" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I5.i1.p1.2.m2.1"><semantics id="S3.I5.i1.p1.2.m2.1a"><mrow id="S3.I5.i1.p1.2.m2.1.1" xref="S3.I5.i1.p1.2.m2.1.1.cmml"><msub id="S3.I5.i1.p1.2.m2.1.1.2" xref="S3.I5.i1.p1.2.m2.1.1.2.cmml"><mi id="S3.I5.i1.p1.2.m2.1.1.2.2" xref="S3.I5.i1.p1.2.m2.1.1.2.2.cmml">s</mi><mrow id="S3.I5.i1.p1.2.m2.1.1.2.3" xref="S3.I5.i1.p1.2.m2.1.1.2.3.cmml"><mi id="S3.I5.i1.p1.2.m2.1.1.2.3.2" xref="S3.I5.i1.p1.2.m2.1.1.2.3.2.cmml">i</mi><mo id="S3.I5.i1.p1.2.m2.1.1.2.3.1" xref="S3.I5.i1.p1.2.m2.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.I5.i1.p1.2.m2.1.1.2.3.3" xref="S3.I5.i1.p1.2.m2.1.1.2.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="S3.I5.i1.p1.2.m2.1.1.1" xref="S3.I5.i1.p1.2.m2.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S3.I5.i1.p1.2.m2.1.1.3" xref="S3.I5.i1.p1.2.m2.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I5.i1.p1.2.m2.1b"><apply id="S3.I5.i1.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.I5.i1.p1.2.m2.1.1"><eq id="S3.I5.i1.p1.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S3.I5.i1.p1.2.m2.1.1.1"></eq><apply id="S3.I5.i1.p1.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S3.I5.i1.p1.2.m2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I5.i1.p1.2.m2.1.1.2.1.cmml" xref="S3.I5.i1.p1.2.m2.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S3.I5.i1.p1.2.m2.1.1.2.2.cmml" xref="S3.I5.i1.p1.2.m2.1.1.2.2">𝑠</ci><apply id="S3.I5.i1.p1.2.m2.1.1.2.3.cmml" xref="S3.I5.i1.p1.2.m2.1.1.2.3"><times id="S3.I5.i1.p1.2.m2.1.1.2.3.1.cmml" xref="S3.I5.i1.p1.2.m2.1.1.2.3.1"></times><ci id="S3.I5.i1.p1.2.m2.1.1.2.3.2.cmml" xref="S3.I5.i1.p1.2.m2.1.1.2.3.2">𝑖</ci><ci id="S3.I5.i1.p1.2.m2.1.1.2.3.3.cmml" xref="S3.I5.i1.p1.2.m2.1.1.2.3.3">𝑗</ci></apply></apply><cn id="S3.I5.i1.p1.2.m2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.I5.i1.p1.2.m2.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I5.i1.p1.2.m2.1c">s_{ij}=0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I5.i1.p1.2.m2.1d">italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_i italic_j end_POSTSUBSCRIPT = 0</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S3.I5.i1.p1.2.3">.</span></p> </div> </li> <li class="ltx_item" id="S3.I5.i2" style="list-style-type:none;"> <span class="ltx_tag ltx_tag_item">•</span> <div class="ltx_para" id="S3.I5.i2.p1"> <p class="ltx_p" id="S3.I5.i2.p1.2"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S3.I5.i2.p1.2.1">If </span><math alttext="i=j-1" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I5.i2.p1.1.m1.1"><semantics id="S3.I5.i2.p1.1.m1.1a"><mrow id="S3.I5.i2.p1.1.m1.1.1" xref="S3.I5.i2.p1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S3.I5.i2.p1.1.m1.1.1.2" xref="S3.I5.i2.p1.1.m1.1.1.2.cmml">i</mi><mo id="S3.I5.i2.p1.1.m1.1.1.1" xref="S3.I5.i2.p1.1.m1.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S3.I5.i2.p1.1.m1.1.1.3" xref="S3.I5.i2.p1.1.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.I5.i2.p1.1.m1.1.1.3.2" xref="S3.I5.i2.p1.1.m1.1.1.3.2.cmml">j</mi><mo id="S3.I5.i2.p1.1.m1.1.1.3.1" xref="S3.I5.i2.p1.1.m1.1.1.3.1.cmml">−</mo><mn id="S3.I5.i2.p1.1.m1.1.1.3.3" xref="S3.I5.i2.p1.1.m1.1.1.3.3.cmml">1</mn></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I5.i2.p1.1.m1.1b"><apply id="S3.I5.i2.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.I5.i2.p1.1.m1.1.1"><eq id="S3.I5.i2.p1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.I5.i2.p1.1.m1.1.1.1"></eq><ci id="S3.I5.i2.p1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.I5.i2.p1.1.m1.1.1.2">𝑖</ci><apply id="S3.I5.i2.p1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S3.I5.i2.p1.1.m1.1.1.3"><minus id="S3.I5.i2.p1.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.I5.i2.p1.1.m1.1.1.3.1"></minus><ci id="S3.I5.i2.p1.1.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.I5.i2.p1.1.m1.1.1.3.2">𝑗</ci><cn id="S3.I5.i2.p1.1.m1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.I5.i2.p1.1.m1.1.1.3.3">1</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I5.i2.p1.1.m1.1c">i=j-1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I5.i2.p1.1.m1.1d">italic_i = italic_j - 1</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S3.I5.i2.p1.2.2">, </span><math alttext="s_{ij}\leq\mu" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I5.i2.p1.2.m2.1"><semantics id="S3.I5.i2.p1.2.m2.1a"><mrow id="S3.I5.i2.p1.2.m2.1.1" xref="S3.I5.i2.p1.2.m2.1.1.cmml"><msub id="S3.I5.i2.p1.2.m2.1.1.2" xref="S3.I5.i2.p1.2.m2.1.1.2.cmml"><mi id="S3.I5.i2.p1.2.m2.1.1.2.2" xref="S3.I5.i2.p1.2.m2.1.1.2.2.cmml">s</mi><mrow id="S3.I5.i2.p1.2.m2.1.1.2.3" xref="S3.I5.i2.p1.2.m2.1.1.2.3.cmml"><mi id="S3.I5.i2.p1.2.m2.1.1.2.3.2" xref="S3.I5.i2.p1.2.m2.1.1.2.3.2.cmml">i</mi><mo id="S3.I5.i2.p1.2.m2.1.1.2.3.1" xref="S3.I5.i2.p1.2.m2.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.I5.i2.p1.2.m2.1.1.2.3.3" xref="S3.I5.i2.p1.2.m2.1.1.2.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="S3.I5.i2.p1.2.m2.1.1.1" xref="S3.I5.i2.p1.2.m2.1.1.1.cmml">≤</mo><mi id="S3.I5.i2.p1.2.m2.1.1.3" xref="S3.I5.i2.p1.2.m2.1.1.3.cmml">μ</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I5.i2.p1.2.m2.1b"><apply id="S3.I5.i2.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.I5.i2.p1.2.m2.1.1"><leq id="S3.I5.i2.p1.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S3.I5.i2.p1.2.m2.1.1.1"></leq><apply id="S3.I5.i2.p1.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S3.I5.i2.p1.2.m2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I5.i2.p1.2.m2.1.1.2.1.cmml" xref="S3.I5.i2.p1.2.m2.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S3.I5.i2.p1.2.m2.1.1.2.2.cmml" xref="S3.I5.i2.p1.2.m2.1.1.2.2">𝑠</ci><apply id="S3.I5.i2.p1.2.m2.1.1.2.3.cmml" xref="S3.I5.i2.p1.2.m2.1.1.2.3"><times id="S3.I5.i2.p1.2.m2.1.1.2.3.1.cmml" xref="S3.I5.i2.p1.2.m2.1.1.2.3.1"></times><ci id="S3.I5.i2.p1.2.m2.1.1.2.3.2.cmml" xref="S3.I5.i2.p1.2.m2.1.1.2.3.2">𝑖</ci><ci id="S3.I5.i2.p1.2.m2.1.1.2.3.3.cmml" xref="S3.I5.i2.p1.2.m2.1.1.2.3.3">𝑗</ci></apply></apply><ci id="S3.I5.i2.p1.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S3.I5.i2.p1.2.m2.1.1.3">𝜇</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I5.i2.p1.2.m2.1c">s_{ij}\leq\mu</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I5.i2.p1.2.m2.1d">italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_i italic_j end_POSTSUBSCRIPT ≤ italic_μ</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S3.I5.i2.p1.2.3">.</span></p> </div> </li> <li class="ltx_item" id="S3.I5.i3" style="list-style-type:none;"> <span class="ltx_tag ltx_tag_item">•</span> <div class="ltx_para" id="S3.I5.i3.p1"> <p class="ltx_p" id="S3.I5.i3.p1.2"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S3.I5.i3.p1.2.1">If </span><math alttext="i\geq j" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I5.i3.p1.1.m1.1"><semantics id="S3.I5.i3.p1.1.m1.1a"><mrow id="S3.I5.i3.p1.1.m1.1.1" xref="S3.I5.i3.p1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S3.I5.i3.p1.1.m1.1.1.2" xref="S3.I5.i3.p1.1.m1.1.1.2.cmml">i</mi><mo id="S3.I5.i3.p1.1.m1.1.1.1" xref="S3.I5.i3.p1.1.m1.1.1.1.cmml">≥</mo><mi id="S3.I5.i3.p1.1.m1.1.1.3" xref="S3.I5.i3.p1.1.m1.1.1.3.cmml">j</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I5.i3.p1.1.m1.1b"><apply id="S3.I5.i3.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.I5.i3.p1.1.m1.1.1"><geq id="S3.I5.i3.p1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.I5.i3.p1.1.m1.1.1.1"></geq><ci id="S3.I5.i3.p1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.I5.i3.p1.1.m1.1.1.2">𝑖</ci><ci id="S3.I5.i3.p1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S3.I5.i3.p1.1.m1.1.1.3">𝑗</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I5.i3.p1.1.m1.1c">i\geq j</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I5.i3.p1.1.m1.1d">italic_i ≥ italic_j</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S3.I5.i3.p1.2.2">, </span><math alttext="s_{ij}\leq\lambda\mu^{i-j}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I5.i3.p1.2.m2.1"><semantics id="S3.I5.i3.p1.2.m2.1a"><mrow id="S3.I5.i3.p1.2.m2.1.1" xref="S3.I5.i3.p1.2.m2.1.1.cmml"><msub id="S3.I5.i3.p1.2.m2.1.1.2" xref="S3.I5.i3.p1.2.m2.1.1.2.cmml"><mi id="S3.I5.i3.p1.2.m2.1.1.2.2" xref="S3.I5.i3.p1.2.m2.1.1.2.2.cmml">s</mi><mrow id="S3.I5.i3.p1.2.m2.1.1.2.3" xref="S3.I5.i3.p1.2.m2.1.1.2.3.cmml"><mi id="S3.I5.i3.p1.2.m2.1.1.2.3.2" xref="S3.I5.i3.p1.2.m2.1.1.2.3.2.cmml">i</mi><mo id="S3.I5.i3.p1.2.m2.1.1.2.3.1" xref="S3.I5.i3.p1.2.m2.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.I5.i3.p1.2.m2.1.1.2.3.3" xref="S3.I5.i3.p1.2.m2.1.1.2.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="S3.I5.i3.p1.2.m2.1.1.1" xref="S3.I5.i3.p1.2.m2.1.1.1.cmml">≤</mo><mrow id="S3.I5.i3.p1.2.m2.1.1.3" xref="S3.I5.i3.p1.2.m2.1.1.3.cmml"><mi id="S3.I5.i3.p1.2.m2.1.1.3.2" xref="S3.I5.i3.p1.2.m2.1.1.3.2.cmml">λ</mi><mo id="S3.I5.i3.p1.2.m2.1.1.3.1" xref="S3.I5.i3.p1.2.m2.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="S3.I5.i3.p1.2.m2.1.1.3.3" xref="S3.I5.i3.p1.2.m2.1.1.3.3.cmml"><mi id="S3.I5.i3.p1.2.m2.1.1.3.3.2" xref="S3.I5.i3.p1.2.m2.1.1.3.3.2.cmml">μ</mi><mrow id="S3.I5.i3.p1.2.m2.1.1.3.3.3" xref="S3.I5.i3.p1.2.m2.1.1.3.3.3.cmml"><mi id="S3.I5.i3.p1.2.m2.1.1.3.3.3.2" xref="S3.I5.i3.p1.2.m2.1.1.3.3.3.2.cmml">i</mi><mo id="S3.I5.i3.p1.2.m2.1.1.3.3.3.1" xref="S3.I5.i3.p1.2.m2.1.1.3.3.3.1.cmml">−</mo><mi id="S3.I5.i3.p1.2.m2.1.1.3.3.3.3" xref="S3.I5.i3.p1.2.m2.1.1.3.3.3.3.cmml">j</mi></mrow></msup></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I5.i3.p1.2.m2.1b"><apply id="S3.I5.i3.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.I5.i3.p1.2.m2.1.1"><leq id="S3.I5.i3.p1.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S3.I5.i3.p1.2.m2.1.1.1"></leq><apply id="S3.I5.i3.p1.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S3.I5.i3.p1.2.m2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I5.i3.p1.2.m2.1.1.2.1.cmml" xref="S3.I5.i3.p1.2.m2.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S3.I5.i3.p1.2.m2.1.1.2.2.cmml" xref="S3.I5.i3.p1.2.m2.1.1.2.2">𝑠</ci><apply id="S3.I5.i3.p1.2.m2.1.1.2.3.cmml" xref="S3.I5.i3.p1.2.m2.1.1.2.3"><times id="S3.I5.i3.p1.2.m2.1.1.2.3.1.cmml" xref="S3.I5.i3.p1.2.m2.1.1.2.3.1"></times><ci id="S3.I5.i3.p1.2.m2.1.1.2.3.2.cmml" xref="S3.I5.i3.p1.2.m2.1.1.2.3.2">𝑖</ci><ci id="S3.I5.i3.p1.2.m2.1.1.2.3.3.cmml" xref="S3.I5.i3.p1.2.m2.1.1.2.3.3">𝑗</ci></apply></apply><apply id="S3.I5.i3.p1.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S3.I5.i3.p1.2.m2.1.1.3"><times id="S3.I5.i3.p1.2.m2.1.1.3.1.cmml" xref="S3.I5.i3.p1.2.m2.1.1.3.1"></times><ci id="S3.I5.i3.p1.2.m2.1.1.3.2.cmml" xref="S3.I5.i3.p1.2.m2.1.1.3.2">𝜆</ci><apply id="S3.I5.i3.p1.2.m2.1.1.3.3.cmml" xref="S3.I5.i3.p1.2.m2.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I5.i3.p1.2.m2.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.I5.i3.p1.2.m2.1.1.3.3">superscript</csymbol><ci id="S3.I5.i3.p1.2.m2.1.1.3.3.2.cmml" xref="S3.I5.i3.p1.2.m2.1.1.3.3.2">𝜇</ci><apply id="S3.I5.i3.p1.2.m2.1.1.3.3.3.cmml" xref="S3.I5.i3.p1.2.m2.1.1.3.3.3"><minus id="S3.I5.i3.p1.2.m2.1.1.3.3.3.1.cmml" xref="S3.I5.i3.p1.2.m2.1.1.3.3.3.1"></minus><ci id="S3.I5.i3.p1.2.m2.1.1.3.3.3.2.cmml" xref="S3.I5.i3.p1.2.m2.1.1.3.3.3.2">𝑖</ci><ci id="S3.I5.i3.p1.2.m2.1.1.3.3.3.3.cmml" xref="S3.I5.i3.p1.2.m2.1.1.3.3.3.3">𝑗</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I5.i3.p1.2.m2.1c">s_{ij}\leq\lambda\mu^{i-j}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I5.i3.p1.2.m2.1d">italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_i italic_j end_POSTSUBSCRIPT ≤ italic_λ italic_μ start_POSTSUPERSCRIPT italic_i - italic_j end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S3.I5.i3.p1.2.3">.</span></p> </div> </li> </ul> </div> </div> <div class="ltx_para" id="S3.p6"> <p class="ltx_p" id="S3.p6.1">For the rest of this section we will suppose that such an upper bound <math alttext="\lambda\leq 0.5" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p6.1.m1.1"><semantics id="S3.p6.1.m1.1a"><mrow id="S3.p6.1.m1.1.1" xref="S3.p6.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S3.p6.1.m1.1.1.2" xref="S3.p6.1.m1.1.1.2.cmml">λ</mi><mo id="S3.p6.1.m1.1.1.1" xref="S3.p6.1.m1.1.1.1.cmml">≤</mo><mn id="S3.p6.1.m1.1.1.3" xref="S3.p6.1.m1.1.1.3.cmml">0.5</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p6.1.m1.1b"><apply id="S3.p6.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.p6.1.m1.1.1"><leq id="S3.p6.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.p6.1.m1.1.1.1"></leq><ci id="S3.p6.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.p6.1.m1.1.1.2">𝜆</ci><cn id="S3.p6.1.m1.1.1.3.cmml" type="float" xref="S3.p6.1.m1.1.1.3">0.5</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p6.1.m1.1c">\lambda\leq 0.5</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p6.1.m1.1d">italic_λ ≤ 0.5</annotation></semantics></math> exists. We thus have</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S3.Ex23"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="||P_{i}TP_{j}||_{\infty}\leq A_{ij}" class="ltx_Math" display="block" id="S3.Ex23.m1.1"><semantics id="S3.Ex23.m1.1a"><mrow id="S3.Ex23.m1.1.1" xref="S3.Ex23.m1.1.1.cmml"><msub id="S3.Ex23.m1.1.1.1" xref="S3.Ex23.m1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex23.m1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex23.m1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.Ex23.m1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.Ex23.m1.1.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo><mrow id="S3.Ex23.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex23.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S3.Ex23.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex23.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.Ex23.m1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.Ex23.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">P</mi><mi id="S3.Ex23.m1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S3.Ex23.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S3.Ex23.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex23.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex23.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex23.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">T</mi><mo id="S3.Ex23.m1.1.1.1.1.1.1.1a" xref="S3.Ex23.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.Ex23.m1.1.1.1.1.1.1.4" xref="S3.Ex23.m1.1.1.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="S3.Ex23.m1.1.1.1.1.1.1.4.2" xref="S3.Ex23.m1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml">P</mi><mi id="S3.Ex23.m1.1.1.1.1.1.1.4.3" xref="S3.Ex23.m1.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml">j</mi></msub></mrow><mo id="S3.Ex23.m1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.Ex23.m1.1.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo></mrow><mi id="S3.Ex23.m1.1.1.1.3" mathvariant="normal" xref="S3.Ex23.m1.1.1.1.3.cmml">∞</mi></msub><mo id="S3.Ex23.m1.1.1.2" xref="S3.Ex23.m1.1.1.2.cmml">≤</mo><msub id="S3.Ex23.m1.1.1.3" xref="S3.Ex23.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.Ex23.m1.1.1.3.2" xref="S3.Ex23.m1.1.1.3.2.cmml">A</mi><mrow id="S3.Ex23.m1.1.1.3.3" xref="S3.Ex23.m1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S3.Ex23.m1.1.1.3.3.2" xref="S3.Ex23.m1.1.1.3.3.2.cmml">i</mi><mo id="S3.Ex23.m1.1.1.3.3.1" xref="S3.Ex23.m1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex23.m1.1.1.3.3.3" xref="S3.Ex23.m1.1.1.3.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex23.m1.1b"><apply id="S3.Ex23.m1.1.1.cmml" xref="S3.Ex23.m1.1.1"><leq id="S3.Ex23.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex23.m1.1.1.2"></leq><apply id="S3.Ex23.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex23.m1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex23.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex23.m1.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="S3.Ex23.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex23.m1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex23.m1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex23.m1.1.1.1.1.1.2">norm</csymbol><apply id="S3.Ex23.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex23.m1.1.1.1.1.1.1"><times id="S3.Ex23.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex23.m1.1.1.1.1.1.1.1"></times><apply id="S3.Ex23.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex23.m1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex23.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex23.m1.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex23.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex23.m1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝑃</ci><ci id="S3.Ex23.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.Ex23.m1.1.1.1.1.1.1.2.3">𝑖</ci></apply><ci id="S3.Ex23.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex23.m1.1.1.1.1.1.1.3">𝑇</ci><apply id="S3.Ex23.m1.1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S3.Ex23.m1.1.1.1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex23.m1.1.1.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="S3.Ex23.m1.1.1.1.1.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex23.m1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="S3.Ex23.m1.1.1.1.1.1.1.4.2">𝑃</ci><ci id="S3.Ex23.m1.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml" xref="S3.Ex23.m1.1.1.1.1.1.1.4.3">𝑗</ci></apply></apply></apply><infinity id="S3.Ex23.m1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex23.m1.1.1.1.3"></infinity></apply><apply id="S3.Ex23.m1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex23.m1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex23.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex23.m1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex23.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex23.m1.1.1.3.2">𝐴</ci><apply id="S3.Ex23.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.Ex23.m1.1.1.3.3"><times id="S3.Ex23.m1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.Ex23.m1.1.1.3.3.1"></times><ci id="S3.Ex23.m1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S3.Ex23.m1.1.1.3.3.2">𝑖</ci><ci id="S3.Ex23.m1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S3.Ex23.m1.1.1.3.3.3">𝑗</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex23.m1.1c">||P_{i}TP_{j}||_{\infty}\leq A_{ij}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex23.m1.1d">| | italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT italic_T italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT | | start_POSTSUBSCRIPT ∞ end_POSTSUBSCRIPT ≤ italic_A start_POSTSUBSCRIPT italic_i italic_j end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.p6.2">where</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S3.E29"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="A=\begin{bmatrix}\lambda&\lambda\mu&\lambda\mu^{2}&\dots&\lambda\mu^{N-1}&% \lambda\mu^{N}\\ \mu&\lambda&\lambda\mu&\dots&\lambda\mu^{N-2}&\lambda\mu^{N-1}\\ 0&\mu&\lambda&\dots&\lambda\mu^{N-3}&\lambda\mu^{N-2}\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\ 0&0&0&\dots&\mu&\lambda\\ \end{bmatrix}" class="ltx_Math" display="block" id="S3.E29.m1.1"><semantics id="S3.E29.m1.1a"><mrow id="S3.E29.m1.1.2" xref="S3.E29.m1.1.2.cmml"><mi id="S3.E29.m1.1.2.2" xref="S3.E29.m1.1.2.2.cmml">A</mi><mo id="S3.E29.m1.1.2.1" xref="S3.E29.m1.1.2.1.cmml">=</mo><mrow id="S3.E29.m1.1.1.3" xref="S3.E29.m1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.E29.m1.1.1.3.1" xref="S3.E29.m1.1.1.2.1.cmml">[</mo><mtable columnspacing="5pt" displaystyle="true" id="S3.E29.m1.1.1.1.1" rowspacing="0pt" xref="S3.E29.m1.1.1.1.1.cmml"><mtr id="S3.E29.m1.1.1.1.1a" xref="S3.E29.m1.1.1.1.1.cmml"><mtd id="S3.E29.m1.1.1.1.1b" xref="S3.E29.m1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E29.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E29.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">λ</mi></mtd><mtd id="S3.E29.m1.1.1.1.1c" xref="S3.E29.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E29.m1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S3.E29.m1.1.1.1.1.1.2.1.cmml"><mi id="S3.E29.m1.1.1.1.1.1.2.1.2" xref="S3.E29.m1.1.1.1.1.1.2.1.2.cmml">λ</mi><mo id="S3.E29.m1.1.1.1.1.1.2.1.1" xref="S3.E29.m1.1.1.1.1.1.2.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E29.m1.1.1.1.1.1.2.1.3" xref="S3.E29.m1.1.1.1.1.1.2.1.3.cmml">μ</mi></mrow></mtd><mtd id="S3.E29.m1.1.1.1.1d" xref="S3.E29.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E29.m1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S3.E29.m1.1.1.1.1.1.3.1.cmml"><mi id="S3.E29.m1.1.1.1.1.1.3.1.2" xref="S3.E29.m1.1.1.1.1.1.3.1.2.cmml">λ</mi><mo id="S3.E29.m1.1.1.1.1.1.3.1.1" xref="S3.E29.m1.1.1.1.1.1.3.1.1.cmml">⁢</mo><msup id="S3.E29.m1.1.1.1.1.1.3.1.3" xref="S3.E29.m1.1.1.1.1.1.3.1.3.cmml"><mi id="S3.E29.m1.1.1.1.1.1.3.1.3.2" xref="S3.E29.m1.1.1.1.1.1.3.1.3.2.cmml">μ</mi><mn id="S3.E29.m1.1.1.1.1.1.3.1.3.3" xref="S3.E29.m1.1.1.1.1.1.3.1.3.3.cmml">2</mn></msup></mrow></mtd><mtd id="S3.E29.m1.1.1.1.1e" xref="S3.E29.m1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E29.m1.1.1.1.1.1.4.1" mathvariant="normal" xref="S3.E29.m1.1.1.1.1.1.4.1.cmml">…</mi></mtd><mtd id="S3.E29.m1.1.1.1.1f" xref="S3.E29.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E29.m1.1.1.1.1.1.5.1" xref="S3.E29.m1.1.1.1.1.1.5.1.cmml"><mi id="S3.E29.m1.1.1.1.1.1.5.1.2" xref="S3.E29.m1.1.1.1.1.1.5.1.2.cmml">λ</mi><mo id="S3.E29.m1.1.1.1.1.1.5.1.1" xref="S3.E29.m1.1.1.1.1.1.5.1.1.cmml">⁢</mo><msup id="S3.E29.m1.1.1.1.1.1.5.1.3" xref="S3.E29.m1.1.1.1.1.1.5.1.3.cmml"><mi id="S3.E29.m1.1.1.1.1.1.5.1.3.2" xref="S3.E29.m1.1.1.1.1.1.5.1.3.2.cmml">μ</mi><mrow id="S3.E29.m1.1.1.1.1.1.5.1.3.3" xref="S3.E29.m1.1.1.1.1.1.5.1.3.3.cmml"><mi id="S3.E29.m1.1.1.1.1.1.5.1.3.3.2" xref="S3.E29.m1.1.1.1.1.1.5.1.3.3.2.cmml">N</mi><mo id="S3.E29.m1.1.1.1.1.1.5.1.3.3.1" xref="S3.E29.m1.1.1.1.1.1.5.1.3.3.1.cmml">−</mo><mn id="S3.E29.m1.1.1.1.1.1.5.1.3.3.3" xref="S3.E29.m1.1.1.1.1.1.5.1.3.3.3.cmml">1</mn></mrow></msup></mrow></mtd><mtd id="S3.E29.m1.1.1.1.1g" xref="S3.E29.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E29.m1.1.1.1.1.1.6.1" xref="S3.E29.m1.1.1.1.1.1.6.1.cmml"><mi id="S3.E29.m1.1.1.1.1.1.6.1.2" xref="S3.E29.m1.1.1.1.1.1.6.1.2.cmml">λ</mi><mo id="S3.E29.m1.1.1.1.1.1.6.1.1" xref="S3.E29.m1.1.1.1.1.1.6.1.1.cmml">⁢</mo><msup id="S3.E29.m1.1.1.1.1.1.6.1.3" xref="S3.E29.m1.1.1.1.1.1.6.1.3.cmml"><mi id="S3.E29.m1.1.1.1.1.1.6.1.3.2" xref="S3.E29.m1.1.1.1.1.1.6.1.3.2.cmml">μ</mi><mi id="S3.E29.m1.1.1.1.1.1.6.1.3.3" xref="S3.E29.m1.1.1.1.1.1.6.1.3.3.cmml">N</mi></msup></mrow></mtd></mtr><mtr id="S3.E29.m1.1.1.1.1h" xref="S3.E29.m1.1.1.1.1.cmml"><mtd id="S3.E29.m1.1.1.1.1i" xref="S3.E29.m1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E29.m1.1.1.1.1.2.1.1" xref="S3.E29.m1.1.1.1.1.2.1.1.cmml">μ</mi></mtd><mtd id="S3.E29.m1.1.1.1.1j" xref="S3.E29.m1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E29.m1.1.1.1.1.2.2.1" xref="S3.E29.m1.1.1.1.1.2.2.1.cmml">λ</mi></mtd><mtd id="S3.E29.m1.1.1.1.1k" xref="S3.E29.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E29.m1.1.1.1.1.2.3.1" xref="S3.E29.m1.1.1.1.1.2.3.1.cmml"><mi id="S3.E29.m1.1.1.1.1.2.3.1.2" xref="S3.E29.m1.1.1.1.1.2.3.1.2.cmml">λ</mi><mo id="S3.E29.m1.1.1.1.1.2.3.1.1" xref="S3.E29.m1.1.1.1.1.2.3.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E29.m1.1.1.1.1.2.3.1.3" xref="S3.E29.m1.1.1.1.1.2.3.1.3.cmml">μ</mi></mrow></mtd><mtd id="S3.E29.m1.1.1.1.1l" xref="S3.E29.m1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E29.m1.1.1.1.1.2.4.1" mathvariant="normal" xref="S3.E29.m1.1.1.1.1.2.4.1.cmml">…</mi></mtd><mtd id="S3.E29.m1.1.1.1.1m" xref="S3.E29.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E29.m1.1.1.1.1.2.5.1" xref="S3.E29.m1.1.1.1.1.2.5.1.cmml"><mi id="S3.E29.m1.1.1.1.1.2.5.1.2" xref="S3.E29.m1.1.1.1.1.2.5.1.2.cmml">λ</mi><mo id="S3.E29.m1.1.1.1.1.2.5.1.1" xref="S3.E29.m1.1.1.1.1.2.5.1.1.cmml">⁢</mo><msup id="S3.E29.m1.1.1.1.1.2.5.1.3" xref="S3.E29.m1.1.1.1.1.2.5.1.3.cmml"><mi id="S3.E29.m1.1.1.1.1.2.5.1.3.2" xref="S3.E29.m1.1.1.1.1.2.5.1.3.2.cmml">μ</mi><mrow id="S3.E29.m1.1.1.1.1.2.5.1.3.3" xref="S3.E29.m1.1.1.1.1.2.5.1.3.3.cmml"><mi id="S3.E29.m1.1.1.1.1.2.5.1.3.3.2" xref="S3.E29.m1.1.1.1.1.2.5.1.3.3.2.cmml">N</mi><mo id="S3.E29.m1.1.1.1.1.2.5.1.3.3.1" xref="S3.E29.m1.1.1.1.1.2.5.1.3.3.1.cmml">−</mo><mn id="S3.E29.m1.1.1.1.1.2.5.1.3.3.3" xref="S3.E29.m1.1.1.1.1.2.5.1.3.3.3.cmml">2</mn></mrow></msup></mrow></mtd><mtd id="S3.E29.m1.1.1.1.1n" xref="S3.E29.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E29.m1.1.1.1.1.2.6.1" xref="S3.E29.m1.1.1.1.1.2.6.1.cmml"><mi id="S3.E29.m1.1.1.1.1.2.6.1.2" xref="S3.E29.m1.1.1.1.1.2.6.1.2.cmml">λ</mi><mo id="S3.E29.m1.1.1.1.1.2.6.1.1" xref="S3.E29.m1.1.1.1.1.2.6.1.1.cmml">⁢</mo><msup id="S3.E29.m1.1.1.1.1.2.6.1.3" xref="S3.E29.m1.1.1.1.1.2.6.1.3.cmml"><mi id="S3.E29.m1.1.1.1.1.2.6.1.3.2" xref="S3.E29.m1.1.1.1.1.2.6.1.3.2.cmml">μ</mi><mrow id="S3.E29.m1.1.1.1.1.2.6.1.3.3" xref="S3.E29.m1.1.1.1.1.2.6.1.3.3.cmml"><mi id="S3.E29.m1.1.1.1.1.2.6.1.3.3.2" xref="S3.E29.m1.1.1.1.1.2.6.1.3.3.2.cmml">N</mi><mo id="S3.E29.m1.1.1.1.1.2.6.1.3.3.1" xref="S3.E29.m1.1.1.1.1.2.6.1.3.3.1.cmml">−</mo><mn id="S3.E29.m1.1.1.1.1.2.6.1.3.3.3" xref="S3.E29.m1.1.1.1.1.2.6.1.3.3.3.cmml">1</mn></mrow></msup></mrow></mtd></mtr><mtr id="S3.E29.m1.1.1.1.1o" xref="S3.E29.m1.1.1.1.1.cmml"><mtd id="S3.E29.m1.1.1.1.1p" xref="S3.E29.m1.1.1.1.1.cmml"><mn id="S3.E29.m1.1.1.1.1.3.1.1" xref="S3.E29.m1.1.1.1.1.3.1.1.cmml">0</mn></mtd><mtd id="S3.E29.m1.1.1.1.1q" xref="S3.E29.m1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E29.m1.1.1.1.1.3.2.1" xref="S3.E29.m1.1.1.1.1.3.2.1.cmml">μ</mi></mtd><mtd id="S3.E29.m1.1.1.1.1r" xref="S3.E29.m1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E29.m1.1.1.1.1.3.3.1" xref="S3.E29.m1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">λ</mi></mtd><mtd id="S3.E29.m1.1.1.1.1s" xref="S3.E29.m1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E29.m1.1.1.1.1.3.4.1" mathvariant="normal" xref="S3.E29.m1.1.1.1.1.3.4.1.cmml">…</mi></mtd><mtd id="S3.E29.m1.1.1.1.1t" xref="S3.E29.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E29.m1.1.1.1.1.3.5.1" xref="S3.E29.m1.1.1.1.1.3.5.1.cmml"><mi id="S3.E29.m1.1.1.1.1.3.5.1.2" xref="S3.E29.m1.1.1.1.1.3.5.1.2.cmml">λ</mi><mo id="S3.E29.m1.1.1.1.1.3.5.1.1" xref="S3.E29.m1.1.1.1.1.3.5.1.1.cmml">⁢</mo><msup id="S3.E29.m1.1.1.1.1.3.5.1.3" xref="S3.E29.m1.1.1.1.1.3.5.1.3.cmml"><mi id="S3.E29.m1.1.1.1.1.3.5.1.3.2" xref="S3.E29.m1.1.1.1.1.3.5.1.3.2.cmml">μ</mi><mrow id="S3.E29.m1.1.1.1.1.3.5.1.3.3" xref="S3.E29.m1.1.1.1.1.3.5.1.3.3.cmml"><mi id="S3.E29.m1.1.1.1.1.3.5.1.3.3.2" xref="S3.E29.m1.1.1.1.1.3.5.1.3.3.2.cmml">N</mi><mo id="S3.E29.m1.1.1.1.1.3.5.1.3.3.1" xref="S3.E29.m1.1.1.1.1.3.5.1.3.3.1.cmml">−</mo><mn id="S3.E29.m1.1.1.1.1.3.5.1.3.3.3" xref="S3.E29.m1.1.1.1.1.3.5.1.3.3.3.cmml">3</mn></mrow></msup></mrow></mtd><mtd id="S3.E29.m1.1.1.1.1u" xref="S3.E29.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E29.m1.1.1.1.1.3.6.1" xref="S3.E29.m1.1.1.1.1.3.6.1.cmml"><mi id="S3.E29.m1.1.1.1.1.3.6.1.2" xref="S3.E29.m1.1.1.1.1.3.6.1.2.cmml">λ</mi><mo id="S3.E29.m1.1.1.1.1.3.6.1.1" xref="S3.E29.m1.1.1.1.1.3.6.1.1.cmml">⁢</mo><msup id="S3.E29.m1.1.1.1.1.3.6.1.3" xref="S3.E29.m1.1.1.1.1.3.6.1.3.cmml"><mi id="S3.E29.m1.1.1.1.1.3.6.1.3.2" xref="S3.E29.m1.1.1.1.1.3.6.1.3.2.cmml">μ</mi><mrow id="S3.E29.m1.1.1.1.1.3.6.1.3.3" xref="S3.E29.m1.1.1.1.1.3.6.1.3.3.cmml"><mi id="S3.E29.m1.1.1.1.1.3.6.1.3.3.2" xref="S3.E29.m1.1.1.1.1.3.6.1.3.3.2.cmml">N</mi><mo id="S3.E29.m1.1.1.1.1.3.6.1.3.3.1" xref="S3.E29.m1.1.1.1.1.3.6.1.3.3.1.cmml">−</mo><mn id="S3.E29.m1.1.1.1.1.3.6.1.3.3.3" xref="S3.E29.m1.1.1.1.1.3.6.1.3.3.3.cmml">2</mn></mrow></msup></mrow></mtd></mtr><mtr id="S3.E29.m1.1.1.1.1v" xref="S3.E29.m1.1.1.1.1.cmml"><mtd id="S3.E29.m1.1.1.1.1w" xref="S3.E29.m1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E29.m1.1.1.1.1.4.1.1" mathvariant="normal" xref="S3.E29.m1.1.1.1.1.4.1.1.cmml">⋮</mi></mtd><mtd id="S3.E29.m1.1.1.1.1x" xref="S3.E29.m1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E29.m1.1.1.1.1.4.2.1" mathvariant="normal" xref="S3.E29.m1.1.1.1.1.4.2.1.cmml">⋮</mi></mtd><mtd id="S3.E29.m1.1.1.1.1y" xref="S3.E29.m1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E29.m1.1.1.1.1.4.3.1" mathvariant="normal" xref="S3.E29.m1.1.1.1.1.4.3.1.cmml">⋮</mi></mtd><mtd id="S3.E29.m1.1.1.1.1z" xref="S3.E29.m1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E29.m1.1.1.1.1.4.4.1" mathvariant="normal" xref="S3.E29.m1.1.1.1.1.4.4.1.cmml">⋱</mi></mtd><mtd id="S3.E29.m1.1.1.1.1aa" xref="S3.E29.m1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E29.m1.1.1.1.1.4.5.1" mathvariant="normal" xref="S3.E29.m1.1.1.1.1.4.5.1.cmml">⋮</mi></mtd><mtd id="S3.E29.m1.1.1.1.1ab" xref="S3.E29.m1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E29.m1.1.1.1.1.4.6.1" mathvariant="normal" xref="S3.E29.m1.1.1.1.1.4.6.1.cmml">⋮</mi></mtd></mtr><mtr id="S3.E29.m1.1.1.1.1ac" xref="S3.E29.m1.1.1.1.1.cmml"><mtd id="S3.E29.m1.1.1.1.1ad" xref="S3.E29.m1.1.1.1.1.cmml"><mn id="S3.E29.m1.1.1.1.1.5.1.1" xref="S3.E29.m1.1.1.1.1.5.1.1.cmml">0</mn></mtd><mtd id="S3.E29.m1.1.1.1.1ae" xref="S3.E29.m1.1.1.1.1.cmml"><mn id="S3.E29.m1.1.1.1.1.5.2.1" xref="S3.E29.m1.1.1.1.1.5.2.1.cmml">0</mn></mtd><mtd id="S3.E29.m1.1.1.1.1af" xref="S3.E29.m1.1.1.1.1.cmml"><mn id="S3.E29.m1.1.1.1.1.5.3.1" xref="S3.E29.m1.1.1.1.1.5.3.1.cmml">0</mn></mtd><mtd id="S3.E29.m1.1.1.1.1ag" 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id="S3.E29.m1.1.1.1.1.2.3.1.1.cmml" xref="S3.E29.m1.1.1.1.1.2.3.1.1"></times><ci id="S3.E29.m1.1.1.1.1.2.3.1.2.cmml" xref="S3.E29.m1.1.1.1.1.2.3.1.2">𝜆</ci><ci id="S3.E29.m1.1.1.1.1.2.3.1.3.cmml" xref="S3.E29.m1.1.1.1.1.2.3.1.3">𝜇</ci></apply><ci id="S3.E29.m1.1.1.1.1.2.4.1.cmml" xref="S3.E29.m1.1.1.1.1.2.4.1">…</ci><apply id="S3.E29.m1.1.1.1.1.2.5.1.cmml" xref="S3.E29.m1.1.1.1.1.2.5.1"><times id="S3.E29.m1.1.1.1.1.2.5.1.1.cmml" xref="S3.E29.m1.1.1.1.1.2.5.1.1"></times><ci id="S3.E29.m1.1.1.1.1.2.5.1.2.cmml" xref="S3.E29.m1.1.1.1.1.2.5.1.2">𝜆</ci><apply id="S3.E29.m1.1.1.1.1.2.5.1.3.cmml" xref="S3.E29.m1.1.1.1.1.2.5.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E29.m1.1.1.1.1.2.5.1.3.1.cmml" xref="S3.E29.m1.1.1.1.1.2.5.1.3">superscript</csymbol><ci id="S3.E29.m1.1.1.1.1.2.5.1.3.2.cmml" xref="S3.E29.m1.1.1.1.1.2.5.1.3.2">𝜇</ci><apply id="S3.E29.m1.1.1.1.1.2.5.1.3.3.cmml" xref="S3.E29.m1.1.1.1.1.2.5.1.3.3"><minus id="S3.E29.m1.1.1.1.1.2.5.1.3.3.1.cmml" xref="S3.E29.m1.1.1.1.1.2.5.1.3.3.1"></minus><ci id="S3.E29.m1.1.1.1.1.2.5.1.3.3.2.cmml" xref="S3.E29.m1.1.1.1.1.2.5.1.3.3.2">𝑁</ci><cn id="S3.E29.m1.1.1.1.1.2.5.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.E29.m1.1.1.1.1.2.5.1.3.3.3">2</cn></apply></apply></apply><apply id="S3.E29.m1.1.1.1.1.2.6.1.cmml" xref="S3.E29.m1.1.1.1.1.2.6.1"><times id="S3.E29.m1.1.1.1.1.2.6.1.1.cmml" xref="S3.E29.m1.1.1.1.1.2.6.1.1"></times><ci id="S3.E29.m1.1.1.1.1.2.6.1.2.cmml" xref="S3.E29.m1.1.1.1.1.2.6.1.2">𝜆</ci><apply id="S3.E29.m1.1.1.1.1.2.6.1.3.cmml" xref="S3.E29.m1.1.1.1.1.2.6.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E29.m1.1.1.1.1.2.6.1.3.1.cmml" xref="S3.E29.m1.1.1.1.1.2.6.1.3">superscript</csymbol><ci id="S3.E29.m1.1.1.1.1.2.6.1.3.2.cmml" xref="S3.E29.m1.1.1.1.1.2.6.1.3.2">𝜇</ci><apply id="S3.E29.m1.1.1.1.1.2.6.1.3.3.cmml" xref="S3.E29.m1.1.1.1.1.2.6.1.3.3"><minus id="S3.E29.m1.1.1.1.1.2.6.1.3.3.1.cmml" xref="S3.E29.m1.1.1.1.1.2.6.1.3.3.1"></minus><ci id="S3.E29.m1.1.1.1.1.2.6.1.3.3.2.cmml" xref="S3.E29.m1.1.1.1.1.2.6.1.3.3.2">𝑁</ci><cn id="S3.E29.m1.1.1.1.1.2.6.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.E29.m1.1.1.1.1.2.6.1.3.3.3">1</cn></apply></apply></apply></matrixrow><matrixrow id="S3.E29.m1.1.1.1.1c.cmml" xref="S3.E29.m1.1.1.1.1"><cn id="S3.E29.m1.1.1.1.1.3.1.1.cmml" type="integer" xref="S3.E29.m1.1.1.1.1.3.1.1">0</cn><ci id="S3.E29.m1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S3.E29.m1.1.1.1.1.3.2.1">𝜇</ci><ci id="S3.E29.m1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.E29.m1.1.1.1.1.3.3.1">𝜆</ci><ci id="S3.E29.m1.1.1.1.1.3.4.1.cmml" xref="S3.E29.m1.1.1.1.1.3.4.1">…</ci><apply id="S3.E29.m1.1.1.1.1.3.5.1.cmml" xref="S3.E29.m1.1.1.1.1.3.5.1"><times id="S3.E29.m1.1.1.1.1.3.5.1.1.cmml" xref="S3.E29.m1.1.1.1.1.3.5.1.1"></times><ci id="S3.E29.m1.1.1.1.1.3.5.1.2.cmml" xref="S3.E29.m1.1.1.1.1.3.5.1.2">𝜆</ci><apply id="S3.E29.m1.1.1.1.1.3.5.1.3.cmml" xref="S3.E29.m1.1.1.1.1.3.5.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E29.m1.1.1.1.1.3.5.1.3.1.cmml" xref="S3.E29.m1.1.1.1.1.3.5.1.3">superscript</csymbol><ci id="S3.E29.m1.1.1.1.1.3.5.1.3.2.cmml" xref="S3.E29.m1.1.1.1.1.3.5.1.3.2">𝜇</ci><apply id="S3.E29.m1.1.1.1.1.3.5.1.3.3.cmml" xref="S3.E29.m1.1.1.1.1.3.5.1.3.3"><minus id="S3.E29.m1.1.1.1.1.3.5.1.3.3.1.cmml" xref="S3.E29.m1.1.1.1.1.3.5.1.3.3.1"></minus><ci id="S3.E29.m1.1.1.1.1.3.5.1.3.3.2.cmml" xref="S3.E29.m1.1.1.1.1.3.5.1.3.3.2">𝑁</ci><cn id="S3.E29.m1.1.1.1.1.3.5.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.E29.m1.1.1.1.1.3.5.1.3.3.3">3</cn></apply></apply></apply><apply id="S3.E29.m1.1.1.1.1.3.6.1.cmml" xref="S3.E29.m1.1.1.1.1.3.6.1"><times id="S3.E29.m1.1.1.1.1.3.6.1.1.cmml" xref="S3.E29.m1.1.1.1.1.3.6.1.1"></times><ci id="S3.E29.m1.1.1.1.1.3.6.1.2.cmml" xref="S3.E29.m1.1.1.1.1.3.6.1.2">𝜆</ci><apply id="S3.E29.m1.1.1.1.1.3.6.1.3.cmml" xref="S3.E29.m1.1.1.1.1.3.6.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E29.m1.1.1.1.1.3.6.1.3.1.cmml" xref="S3.E29.m1.1.1.1.1.3.6.1.3">superscript</csymbol><ci id="S3.E29.m1.1.1.1.1.3.6.1.3.2.cmml" xref="S3.E29.m1.1.1.1.1.3.6.1.3.2">𝜇</ci><apply id="S3.E29.m1.1.1.1.1.3.6.1.3.3.cmml" xref="S3.E29.m1.1.1.1.1.3.6.1.3.3"><minus id="S3.E29.m1.1.1.1.1.3.6.1.3.3.1.cmml" xref="S3.E29.m1.1.1.1.1.3.6.1.3.3.1"></minus><ci id="S3.E29.m1.1.1.1.1.3.6.1.3.3.2.cmml" xref="S3.E29.m1.1.1.1.1.3.6.1.3.3.2">𝑁</ci><cn id="S3.E29.m1.1.1.1.1.3.6.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.E29.m1.1.1.1.1.3.6.1.3.3.3">2</cn></apply></apply></apply></matrixrow><matrixrow id="S3.E29.m1.1.1.1.1d.cmml" xref="S3.E29.m1.1.1.1.1"><ci id="S3.E29.m1.1.1.1.1.4.1.1.cmml" xref="S3.E29.m1.1.1.1.1.4.1.1">⋮</ci><ci id="S3.E29.m1.1.1.1.1.4.2.1.cmml" xref="S3.E29.m1.1.1.1.1.4.2.1">⋮</ci><ci id="S3.E29.m1.1.1.1.1.4.3.1.cmml" xref="S3.E29.m1.1.1.1.1.4.3.1">⋮</ci><ci id="S3.E29.m1.1.1.1.1.4.4.1.cmml" xref="S3.E29.m1.1.1.1.1.4.4.1">⋱</ci><ci id="S3.E29.m1.1.1.1.1.4.5.1.cmml" xref="S3.E29.m1.1.1.1.1.4.5.1">⋮</ci><ci id="S3.E29.m1.1.1.1.1.4.6.1.cmml" xref="S3.E29.m1.1.1.1.1.4.6.1">⋮</ci></matrixrow><matrixrow id="S3.E29.m1.1.1.1.1e.cmml" xref="S3.E29.m1.1.1.1.1"><cn id="S3.E29.m1.1.1.1.1.5.1.1.cmml" type="integer" xref="S3.E29.m1.1.1.1.1.5.1.1">0</cn><cn id="S3.E29.m1.1.1.1.1.5.2.1.cmml" type="integer" xref="S3.E29.m1.1.1.1.1.5.2.1">0</cn><cn id="S3.E29.m1.1.1.1.1.5.3.1.cmml" type="integer" xref="S3.E29.m1.1.1.1.1.5.3.1">0</cn><ci id="S3.E29.m1.1.1.1.1.5.4.1.cmml" xref="S3.E29.m1.1.1.1.1.5.4.1">…</ci><ci id="S3.E29.m1.1.1.1.1.5.5.1.cmml" xref="S3.E29.m1.1.1.1.1.5.5.1">𝜇</ci><ci id="S3.E29.m1.1.1.1.1.5.6.1.cmml" xref="S3.E29.m1.1.1.1.1.5.6.1">𝜆</ci></matrixrow></matrix></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E29.m1.1c">A=\begin{bmatrix}\lambda&\lambda\mu&\lambda\mu^{2}&\dots&\lambda\mu^{N-1}&% \lambda\mu^{N}\\ \mu&\lambda&\lambda\mu&\dots&\lambda\mu^{N-2}&\lambda\mu^{N-1}\\ 0&\mu&\lambda&\dots&\lambda\mu^{N-3}&\lambda\mu^{N-2}\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\ 0&0&0&\dots&\mu&\lambda\\ \end{bmatrix}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E29.m1.1d">italic_A = [ start_ARG start_ROW start_CELL italic_λ end_CELL start_CELL italic_λ italic_μ end_CELL start_CELL italic_λ italic_μ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_CELL start_CELL … end_CELL start_CELL italic_λ italic_μ start_POSTSUPERSCRIPT italic_N - 1 end_POSTSUPERSCRIPT end_CELL start_CELL italic_λ italic_μ start_POSTSUPERSCRIPT italic_N end_POSTSUPERSCRIPT end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL italic_μ end_CELL start_CELL italic_λ end_CELL start_CELL italic_λ italic_μ end_CELL start_CELL … end_CELL start_CELL italic_λ italic_μ start_POSTSUPERSCRIPT italic_N - 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_CELL start_CELL italic_λ italic_μ start_POSTSUPERSCRIPT italic_N - 1 end_POSTSUPERSCRIPT end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL 0 end_CELL start_CELL italic_μ end_CELL start_CELL italic_λ end_CELL start_CELL … end_CELL start_CELL italic_λ italic_μ start_POSTSUPERSCRIPT italic_N - 3 end_POSTSUPERSCRIPT end_CELL start_CELL italic_λ italic_μ start_POSTSUPERSCRIPT italic_N - 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL ⋮ end_CELL start_CELL ⋮ end_CELL start_CELL ⋮ end_CELL start_CELL ⋱ end_CELL start_CELL ⋮ end_CELL start_CELL ⋮ end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL 0 end_CELL start_CELL 0 end_CELL start_CELL 0 end_CELL start_CELL … end_CELL start_CELL italic_μ end_CELL start_CELL italic_λ end_CELL end_ROW end_ARG ]</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(29)</span></td> </tr></tbody> </table> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_lemma" id="Thmtheorem17"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmtheorem17.1.1.1">Lemma 17</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmtheorem17.2.2">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="Thmtheorem17.p1"> <p class="ltx_p" id="Thmtheorem17.p1.2"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmtheorem17.p1.2.2">The largest eigenvalue of <math alttext="A" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem17.p1.1.1.m1.1"><semantics id="Thmtheorem17.p1.1.1.m1.1a"><mi id="Thmtheorem17.p1.1.1.m1.1.1" xref="Thmtheorem17.p1.1.1.m1.1.1.cmml">A</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem17.p1.1.1.m1.1b"><ci id="Thmtheorem17.p1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem17.p1.1.1.m1.1.1">𝐴</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem17.p1.1.1.m1.1c">A</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem17.p1.1.1.m1.1d">italic_A</annotation></semantics></math> is an upper bound on the largest non-unit eigenvalue of <math alttext="T" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem17.p1.2.2.m2.1"><semantics id="Thmtheorem17.p1.2.2.m2.1a"><mi id="Thmtheorem17.p1.2.2.m2.1.1" xref="Thmtheorem17.p1.2.2.m2.1.1.cmml">T</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem17.p1.2.2.m2.1b"><ci id="Thmtheorem17.p1.2.2.m2.1.1.cmml" xref="Thmtheorem17.p1.2.2.m2.1.1">𝑇</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem17.p1.2.2.m2.1c">T</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem17.p1.2.2.m2.1d">italic_T</annotation></semantics></math>.</span></p> </div> </div> <div class="ltx_proof" id="S3.3"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_font_italic ltx_title_proof">Proof.</h6> <div class="ltx_para" id="S3.3.p1"> <p class="ltx_p" id="S3.3.p1.1">This follows from Theorem <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#Thmtheorem56" title="Theorem 56. ‣ B.1 Matrix bound from block decomposition (Theorem 56) ‣ Appendix B Assorted proofs ‣ Conditional 𝑡-independent spectral gap for random quantum circuits and implications for 𝑡-design depths"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">56</span></a> of Appendix <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#A2.SS1" title="B.1 Matrix bound from block decomposition (Theorem 56) ‣ Appendix B Assorted proofs ‣ Conditional 𝑡-independent spectral gap for random quantum circuits and implications for 𝑡-design depths"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">B.1</span></a>. ∎</p> </div> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_lemma" id="Thmtheorem18"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmtheorem18.1.1.1">Lemma 18</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmtheorem18.2.2">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="Thmtheorem18.p1"> <p class="ltx_p" id="Thmtheorem18.p1.2"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmtheorem18.p1.2.2">The largest eigenvalue of <math alttext="A" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem18.p1.1.1.m1.1"><semantics id="Thmtheorem18.p1.1.1.m1.1a"><mi id="Thmtheorem18.p1.1.1.m1.1.1" xref="Thmtheorem18.p1.1.1.m1.1.1.cmml">A</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem18.p1.1.1.m1.1b"><ci id="Thmtheorem18.p1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem18.p1.1.1.m1.1.1">𝐴</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem18.p1.1.1.m1.1c">A</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem18.p1.1.1.m1.1d">italic_A</annotation></semantics></math> is at most <math alttext="(1+\sqrt{1-\lambda})^{2}\lambda" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem18.p1.2.2.m2.1"><semantics id="Thmtheorem18.p1.2.2.m2.1a"><mrow id="Thmtheorem18.p1.2.2.m2.1.1" xref="Thmtheorem18.p1.2.2.m2.1.1.cmml"><msup id="Thmtheorem18.p1.2.2.m2.1.1.1" xref="Thmtheorem18.p1.2.2.m2.1.1.1.cmml"><mrow id="Thmtheorem18.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1" xref="Thmtheorem18.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="Thmtheorem18.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="Thmtheorem18.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="Thmtheorem18.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1.1" xref="Thmtheorem18.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="Thmtheorem18.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1.1.2" xref="Thmtheorem18.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1.1.2.cmml">1</mn><mo id="Thmtheorem18.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1.1.1" xref="Thmtheorem18.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><msqrt id="Thmtheorem18.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1.1.3" xref="Thmtheorem18.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mrow id="Thmtheorem18.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="Thmtheorem18.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mn id="Thmtheorem18.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="Thmtheorem18.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">1</mn><mo id="Thmtheorem18.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1.1.3.2.1" xref="Thmtheorem18.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml">−</mo><mi id="Thmtheorem18.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="Thmtheorem18.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">λ</mi></mrow></msqrt></mrow><mo id="Thmtheorem18.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="Thmtheorem18.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mn id="Thmtheorem18.p1.2.2.m2.1.1.1.3" xref="Thmtheorem18.p1.2.2.m2.1.1.1.3.cmml">2</mn></msup><mo id="Thmtheorem18.p1.2.2.m2.1.1.2" xref="Thmtheorem18.p1.2.2.m2.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="Thmtheorem18.p1.2.2.m2.1.1.3" xref="Thmtheorem18.p1.2.2.m2.1.1.3.cmml">λ</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem18.p1.2.2.m2.1b"><apply id="Thmtheorem18.p1.2.2.m2.1.1.cmml" xref="Thmtheorem18.p1.2.2.m2.1.1"><times id="Thmtheorem18.p1.2.2.m2.1.1.2.cmml" xref="Thmtheorem18.p1.2.2.m2.1.1.2"></times><apply id="Thmtheorem18.p1.2.2.m2.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem18.p1.2.2.m2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem18.p1.2.2.m2.1.1.1.2.cmml" xref="Thmtheorem18.p1.2.2.m2.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="Thmtheorem18.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem18.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1"><plus id="Thmtheorem18.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem18.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1.1.1"></plus><cn id="Thmtheorem18.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="Thmtheorem18.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1.1.2">1</cn><apply id="Thmtheorem18.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="Thmtheorem18.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1.1.3"><root id="Thmtheorem18.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1.1.3a.cmml" xref="Thmtheorem18.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1.1.3"></root><apply id="Thmtheorem18.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="Thmtheorem18.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1.1.3.2"><minus id="Thmtheorem18.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="Thmtheorem18.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1.1.3.2.1"></minus><cn id="Thmtheorem18.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" type="integer" xref="Thmtheorem18.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1.1.3.2.2">1</cn><ci id="Thmtheorem18.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="Thmtheorem18.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1.1.3.2.3">𝜆</ci></apply></apply></apply><cn id="Thmtheorem18.p1.2.2.m2.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="Thmtheorem18.p1.2.2.m2.1.1.1.3">2</cn></apply><ci id="Thmtheorem18.p1.2.2.m2.1.1.3.cmml" xref="Thmtheorem18.p1.2.2.m2.1.1.3">𝜆</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem18.p1.2.2.m2.1c">(1+\sqrt{1-\lambda})^{2}\lambda</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem18.p1.2.2.m2.1d">( 1 + square-root start_ARG 1 - italic_λ end_ARG ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT italic_λ</annotation></semantics></math>.</span></p> </div> </div> <div class="ltx_proof" id="S3.4"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_font_italic ltx_title_proof">Proof.</h6> <div class="ltx_para" id="S3.4.p1"> <p class="ltx_p" id="S3.4.p1.4">Consider the diagonal matrix<span class="ltx_note ltx_role_footnote" id="footnote3"><sup class="ltx_note_mark">3</sup><span class="ltx_note_outer"><span class="ltx_note_content"><sup class="ltx_note_mark">3</sup><span class="ltx_tag ltx_tag_note">3</span>This matrix was obtained by an optimization procedure, the details of which are not necessary for this proof. Numerics suggest that the resulting bound is tight in the limit of large <math alttext="N" class="ltx_Math" display="inline" id="footnote3.m1.1"><semantics id="footnote3.m1.1b"><mi id="footnote3.m1.1.1" xref="footnote3.m1.1.1.cmml">N</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="footnote3.m1.1c"><ci id="footnote3.m1.1.1.cmml" xref="footnote3.m1.1.1">𝑁</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="footnote3.m1.1d">N</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="footnote3.m1.1e">italic_N</annotation></semantics></math>.</span></span></span> with elements</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S3.Ex24"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="M_{ij}=\delta_{ij}(\mu+\sqrt{\lambda})^{j}" class="ltx_Math" display="block" id="S3.Ex24.m1.1"><semantics id="S3.Ex24.m1.1a"><mrow id="S3.Ex24.m1.1.1" xref="S3.Ex24.m1.1.1.cmml"><msub id="S3.Ex24.m1.1.1.3" xref="S3.Ex24.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.Ex24.m1.1.1.3.2" xref="S3.Ex24.m1.1.1.3.2.cmml">M</mi><mrow id="S3.Ex24.m1.1.1.3.3" xref="S3.Ex24.m1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S3.Ex24.m1.1.1.3.3.2" xref="S3.Ex24.m1.1.1.3.3.2.cmml">i</mi><mo id="S3.Ex24.m1.1.1.3.3.1" xref="S3.Ex24.m1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex24.m1.1.1.3.3.3" xref="S3.Ex24.m1.1.1.3.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="S3.Ex24.m1.1.1.2" xref="S3.Ex24.m1.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S3.Ex24.m1.1.1.1" xref="S3.Ex24.m1.1.1.1.cmml"><msub id="S3.Ex24.m1.1.1.1.3" xref="S3.Ex24.m1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.Ex24.m1.1.1.1.3.2" xref="S3.Ex24.m1.1.1.1.3.2.cmml">δ</mi><mrow id="S3.Ex24.m1.1.1.1.3.3" xref="S3.Ex24.m1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S3.Ex24.m1.1.1.1.3.3.2" xref="S3.Ex24.m1.1.1.1.3.3.2.cmml">i</mi><mo id="S3.Ex24.m1.1.1.1.3.3.1" xref="S3.Ex24.m1.1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex24.m1.1.1.1.3.3.3" xref="S3.Ex24.m1.1.1.1.3.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="S3.Ex24.m1.1.1.1.2" xref="S3.Ex24.m1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msup id="S3.Ex24.m1.1.1.1.1" xref="S3.Ex24.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">μ</mi><mo id="S3.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><msqrt id="S3.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">λ</mi></msqrt></mrow><mo id="S3.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mi id="S3.Ex24.m1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex24.m1.1.1.1.1.3.cmml">j</mi></msup></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex24.m1.1b"><apply id="S3.Ex24.m1.1.1.cmml" xref="S3.Ex24.m1.1.1"><eq id="S3.Ex24.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex24.m1.1.1.2"></eq><apply id="S3.Ex24.m1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex24.m1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex24.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex24.m1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex24.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex24.m1.1.1.3.2">𝑀</ci><apply id="S3.Ex24.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.Ex24.m1.1.1.3.3"><times id="S3.Ex24.m1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.Ex24.m1.1.1.3.3.1"></times><ci id="S3.Ex24.m1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S3.Ex24.m1.1.1.3.3.2">𝑖</ci><ci id="S3.Ex24.m1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S3.Ex24.m1.1.1.3.3.3">𝑗</ci></apply></apply><apply id="S3.Ex24.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex24.m1.1.1.1"><times id="S3.Ex24.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex24.m1.1.1.1.2"></times><apply id="S3.Ex24.m1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex24.m1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex24.m1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex24.m1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex24.m1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex24.m1.1.1.1.3.2">𝛿</ci><apply id="S3.Ex24.m1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.Ex24.m1.1.1.1.3.3"><times id="S3.Ex24.m1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.Ex24.m1.1.1.1.3.3.1"></times><ci id="S3.Ex24.m1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S3.Ex24.m1.1.1.1.3.3.2">𝑖</ci><ci id="S3.Ex24.m1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S3.Ex24.m1.1.1.1.3.3.3">𝑗</ci></apply></apply><apply id="S3.Ex24.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex24.m1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex24.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex24.m1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S3.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1"><plus id="S3.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.1.1"></plus><ci id="S3.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝜇</ci><apply id="S3.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.1.3"><root id="S3.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.1.3a.cmml" xref="S3.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.1.3"></root><ci id="S3.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝜆</ci></apply></apply><ci id="S3.Ex24.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex24.m1.1.1.1.1.3">𝑗</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex24.m1.1c">M_{ij}=\delta_{ij}(\mu+\sqrt{\lambda})^{j}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex24.m1.1d">italic_M start_POSTSUBSCRIPT italic_i italic_j end_POSTSUBSCRIPT = italic_δ start_POSTSUBSCRIPT italic_i italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_μ + square-root start_ARG italic_λ end_ARG ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_j end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.4.p1.3">The eigenvalues of <math alttext="B=MAM^{-1}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.4.p1.1.m1.1"><semantics id="S3.4.p1.1.m1.1a"><mrow id="S3.4.p1.1.m1.1.1" xref="S3.4.p1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S3.4.p1.1.m1.1.1.2" xref="S3.4.p1.1.m1.1.1.2.cmml">B</mi><mo id="S3.4.p1.1.m1.1.1.1" xref="S3.4.p1.1.m1.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S3.4.p1.1.m1.1.1.3" xref="S3.4.p1.1.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.4.p1.1.m1.1.1.3.2" xref="S3.4.p1.1.m1.1.1.3.2.cmml">M</mi><mo id="S3.4.p1.1.m1.1.1.3.1" xref="S3.4.p1.1.m1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.4.p1.1.m1.1.1.3.3" xref="S3.4.p1.1.m1.1.1.3.3.cmml">A</mi><mo id="S3.4.p1.1.m1.1.1.3.1a" xref="S3.4.p1.1.m1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="S3.4.p1.1.m1.1.1.3.4" xref="S3.4.p1.1.m1.1.1.3.4.cmml"><mi id="S3.4.p1.1.m1.1.1.3.4.2" xref="S3.4.p1.1.m1.1.1.3.4.2.cmml">M</mi><mrow id="S3.4.p1.1.m1.1.1.3.4.3" xref="S3.4.p1.1.m1.1.1.3.4.3.cmml"><mo id="S3.4.p1.1.m1.1.1.3.4.3a" xref="S3.4.p1.1.m1.1.1.3.4.3.cmml">−</mo><mn id="S3.4.p1.1.m1.1.1.3.4.3.2" xref="S3.4.p1.1.m1.1.1.3.4.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.4.p1.1.m1.1b"><apply id="S3.4.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.4.p1.1.m1.1.1"><eq id="S3.4.p1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.4.p1.1.m1.1.1.1"></eq><ci id="S3.4.p1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.4.p1.1.m1.1.1.2">𝐵</ci><apply id="S3.4.p1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S3.4.p1.1.m1.1.1.3"><times id="S3.4.p1.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.4.p1.1.m1.1.1.3.1"></times><ci id="S3.4.p1.1.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.4.p1.1.m1.1.1.3.2">𝑀</ci><ci id="S3.4.p1.1.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.4.p1.1.m1.1.1.3.3">𝐴</ci><apply id="S3.4.p1.1.m1.1.1.3.4.cmml" xref="S3.4.p1.1.m1.1.1.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.4.p1.1.m1.1.1.3.4.1.cmml" xref="S3.4.p1.1.m1.1.1.3.4">superscript</csymbol><ci id="S3.4.p1.1.m1.1.1.3.4.2.cmml" xref="S3.4.p1.1.m1.1.1.3.4.2">𝑀</ci><apply id="S3.4.p1.1.m1.1.1.3.4.3.cmml" xref="S3.4.p1.1.m1.1.1.3.4.3"><minus id="S3.4.p1.1.m1.1.1.3.4.3.1.cmml" xref="S3.4.p1.1.m1.1.1.3.4.3"></minus><cn id="S3.4.p1.1.m1.1.1.3.4.3.2.cmml" type="integer" xref="S3.4.p1.1.m1.1.1.3.4.3.2">1</cn></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.4.p1.1.m1.1c">B=MAM^{-1}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.4.p1.1.m1.1d">italic_B = italic_M italic_A italic_M start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> are the same as those of <math alttext="A" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.4.p1.2.m2.1"><semantics id="S3.4.p1.2.m2.1a"><mi id="S3.4.p1.2.m2.1.1" xref="S3.4.p1.2.m2.1.1.cmml">A</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.4.p1.2.m2.1b"><ci id="S3.4.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.4.p1.2.m2.1.1">𝐴</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.4.p1.2.m2.1c">A</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.4.p1.2.m2.1d">italic_A</annotation></semantics></math>. If we apply the Gershgorin circle theorem to <math alttext="B" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.4.p1.3.m3.1"><semantics id="S3.4.p1.3.m3.1a"><mi id="S3.4.p1.3.m3.1.1" xref="S3.4.p1.3.m3.1.1.cmml">B</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.4.p1.3.m3.1b"><ci id="S3.4.p1.3.m3.1.1.cmml" xref="S3.4.p1.3.m3.1.1">𝐵</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.4.p1.3.m3.1c">B</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.4.p1.3.m3.1d">italic_B</annotation></semantics></math>, we obtain a bound on the largest eigenvalue of</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="S6.EGx31"> <tbody id="S3.E30"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\max_{i}\left[\lambda+(1-\delta_{iN})(\mu+\sqrt{\lambda})\mu+\sum% _{j=1}^{i}\lambda\left(\frac{\mu}{\mu+\sqrt{\lambda}}\right)^{j}\right]" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.E30.m1.3"><semantics id="S3.E30.m1.3a"><mrow id="S3.E30.m1.3.3.2" xref="S3.E30.m1.3.3.3.cmml"><munder id="S3.E30.m1.2.2.1.1" xref="S3.E30.m1.2.2.1.1.cmml"><mi id="S3.E30.m1.2.2.1.1.2" xref="S3.E30.m1.2.2.1.1.2.cmml">max</mi><mi id="S3.E30.m1.2.2.1.1.3" xref="S3.E30.m1.2.2.1.1.3.cmml">i</mi></munder><mo id="S3.E30.m1.3.3.2a" xref="S3.E30.m1.3.3.3.cmml">⁡</mo><mrow id="S3.E30.m1.3.3.2.2" xref="S3.E30.m1.3.3.3.cmml"><mo id="S3.E30.m1.3.3.2.2.2" xref="S3.E30.m1.3.3.3.cmml">[</mo><mrow id="S3.E30.m1.3.3.2.2.1" xref="S3.E30.m1.3.3.2.2.1.cmml"><mi id="S3.E30.m1.3.3.2.2.1.4" xref="S3.E30.m1.3.3.2.2.1.4.cmml">λ</mi><mo id="S3.E30.m1.3.3.2.2.1.3" xref="S3.E30.m1.3.3.2.2.1.3.cmml">+</mo><mrow id="S3.E30.m1.3.3.2.2.1.2" xref="S3.E30.m1.3.3.2.2.1.2.cmml"><mrow id="S3.E30.m1.3.3.2.2.1.1.1.1" xref="S3.E30.m1.3.3.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E30.m1.3.3.2.2.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E30.m1.3.3.2.2.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.E30.m1.3.3.2.2.1.1.1.1.1" xref="S3.E30.m1.3.3.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="S3.E30.m1.3.3.2.2.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E30.m1.3.3.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml">1</mn><mo id="S3.E30.m1.3.3.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E30.m1.3.3.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><msub id="S3.E30.m1.3.3.2.2.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E30.m1.3.3.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.E30.m1.3.3.2.2.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.E30.m1.3.3.2.2.1.1.1.1.1.3.2.cmml">δ</mi><mrow id="S3.E30.m1.3.3.2.2.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.E30.m1.3.3.2.2.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S3.E30.m1.3.3.2.2.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S3.E30.m1.3.3.2.2.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">i</mi><mo id="S3.E30.m1.3.3.2.2.1.1.1.1.1.3.3.1" xref="S3.E30.m1.3.3.2.2.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E30.m1.3.3.2.2.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S3.E30.m1.3.3.2.2.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">N</mi></mrow></msub></mrow><mo id="S3.E30.m1.3.3.2.2.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.E30.m1.3.3.2.2.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.E30.m1.3.3.2.2.1.2.3" xref="S3.E30.m1.3.3.2.2.1.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E30.m1.3.3.2.2.1.2.2.1" xref="S3.E30.m1.3.3.2.2.1.2.2.1.1.cmml"><mo id="S3.E30.m1.3.3.2.2.1.2.2.1.2" stretchy="false" xref="S3.E30.m1.3.3.2.2.1.2.2.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.E30.m1.3.3.2.2.1.2.2.1.1" xref="S3.E30.m1.3.3.2.2.1.2.2.1.1.cmml"><mi id="S3.E30.m1.3.3.2.2.1.2.2.1.1.2" xref="S3.E30.m1.3.3.2.2.1.2.2.1.1.2.cmml">μ</mi><mo id="S3.E30.m1.3.3.2.2.1.2.2.1.1.1" xref="S3.E30.m1.3.3.2.2.1.2.2.1.1.1.cmml">+</mo><msqrt id="S3.E30.m1.3.3.2.2.1.2.2.1.1.3" xref="S3.E30.m1.3.3.2.2.1.2.2.1.1.3.cmml"><mi id="S3.E30.m1.3.3.2.2.1.2.2.1.1.3.2" xref="S3.E30.m1.3.3.2.2.1.2.2.1.1.3.2.cmml">λ</mi></msqrt></mrow><mo id="S3.E30.m1.3.3.2.2.1.2.2.1.3" stretchy="false" xref="S3.E30.m1.3.3.2.2.1.2.2.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.E30.m1.3.3.2.2.1.2.3a" xref="S3.E30.m1.3.3.2.2.1.2.3.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E30.m1.3.3.2.2.1.2.4" xref="S3.E30.m1.3.3.2.2.1.2.4.cmml">μ</mi></mrow><mo id="S3.E30.m1.3.3.2.2.1.3a" xref="S3.E30.m1.3.3.2.2.1.3.cmml">+</mo><mrow id="S3.E30.m1.3.3.2.2.1.5" xref="S3.E30.m1.3.3.2.2.1.5.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S3.E30.m1.3.3.2.2.1.5.1" xref="S3.E30.m1.3.3.2.2.1.5.1.cmml"><munderover id="S3.E30.m1.3.3.2.2.1.5.1a" xref="S3.E30.m1.3.3.2.2.1.5.1.cmml"><mo id="S3.E30.m1.3.3.2.2.1.5.1.2.2" movablelimits="false" xref="S3.E30.m1.3.3.2.2.1.5.1.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="S3.E30.m1.3.3.2.2.1.5.1.2.3" xref="S3.E30.m1.3.3.2.2.1.5.1.2.3.cmml"><mi id="S3.E30.m1.3.3.2.2.1.5.1.2.3.2" xref="S3.E30.m1.3.3.2.2.1.5.1.2.3.2.cmml">j</mi><mo id="S3.E30.m1.3.3.2.2.1.5.1.2.3.1" xref="S3.E30.m1.3.3.2.2.1.5.1.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="S3.E30.m1.3.3.2.2.1.5.1.2.3.3" xref="S3.E30.m1.3.3.2.2.1.5.1.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="S3.E30.m1.3.3.2.2.1.5.1.3" xref="S3.E30.m1.3.3.2.2.1.5.1.3.cmml">i</mi></munderover></mstyle><mrow id="S3.E30.m1.3.3.2.2.1.5.2" xref="S3.E30.m1.3.3.2.2.1.5.2.cmml"><mi id="S3.E30.m1.3.3.2.2.1.5.2.2" xref="S3.E30.m1.3.3.2.2.1.5.2.2.cmml">λ</mi><mo id="S3.E30.m1.3.3.2.2.1.5.2.1" xref="S3.E30.m1.3.3.2.2.1.5.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="S3.E30.m1.3.3.2.2.1.5.2.3" xref="S3.E30.m1.3.3.2.2.1.5.2.3.cmml"><mrow id="S3.E30.m1.3.3.2.2.1.5.2.3.2.2" xref="S3.E30.m1.1.1.cmml"><mo id="S3.E30.m1.3.3.2.2.1.5.2.3.2.2.1" xref="S3.E30.m1.1.1.cmml">(</mo><mstyle displaystyle="true" id="S3.E30.m1.1.1" xref="S3.E30.m1.1.1.cmml"><mfrac id="S3.E30.m1.1.1a" xref="S3.E30.m1.1.1.cmml"><mi id="S3.E30.m1.1.1.2" xref="S3.E30.m1.1.1.2.cmml">μ</mi><mrow id="S3.E30.m1.1.1.3" xref="S3.E30.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.E30.m1.1.1.3.2" xref="S3.E30.m1.1.1.3.2.cmml">μ</mi><mo id="S3.E30.m1.1.1.3.1" xref="S3.E30.m1.1.1.3.1.cmml">+</mo><msqrt id="S3.E30.m1.1.1.3.3" xref="S3.E30.m1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S3.E30.m1.1.1.3.3.2" xref="S3.E30.m1.1.1.3.3.2.cmml">λ</mi></msqrt></mrow></mfrac></mstyle><mo id="S3.E30.m1.3.3.2.2.1.5.2.3.2.2.2" xref="S3.E30.m1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mi id="S3.E30.m1.3.3.2.2.1.5.2.3.3" xref="S3.E30.m1.3.3.2.2.1.5.2.3.3.cmml">j</mi></msup></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.E30.m1.3.3.2.2.3" xref="S3.E30.m1.3.3.3.cmml">]</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E30.m1.3b"><apply id="S3.E30.m1.3.3.3.cmml" xref="S3.E30.m1.3.3.2"><apply id="S3.E30.m1.2.2.1.1.cmml" xref="S3.E30.m1.2.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E30.m1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S3.E30.m1.2.2.1.1">subscript</csymbol><max id="S3.E30.m1.2.2.1.1.2.cmml" xref="S3.E30.m1.2.2.1.1.2"></max><ci id="S3.E30.m1.2.2.1.1.3.cmml" xref="S3.E30.m1.2.2.1.1.3">𝑖</ci></apply><apply id="S3.E30.m1.3.3.2.2.1.cmml" xref="S3.E30.m1.3.3.2.2.1"><plus id="S3.E30.m1.3.3.2.2.1.3.cmml" xref="S3.E30.m1.3.3.2.2.1.3"></plus><ci id="S3.E30.m1.3.3.2.2.1.4.cmml" xref="S3.E30.m1.3.3.2.2.1.4">𝜆</ci><apply id="S3.E30.m1.3.3.2.2.1.2.cmml" xref="S3.E30.m1.3.3.2.2.1.2"><times id="S3.E30.m1.3.3.2.2.1.2.3.cmml" xref="S3.E30.m1.3.3.2.2.1.2.3"></times><apply id="S3.E30.m1.3.3.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E30.m1.3.3.2.2.1.1.1.1"><minus id="S3.E30.m1.3.3.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E30.m1.3.3.2.2.1.1.1.1.1.1"></minus><cn id="S3.E30.m1.3.3.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S3.E30.m1.3.3.2.2.1.1.1.1.1.2">1</cn><apply id="S3.E30.m1.3.3.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E30.m1.3.3.2.2.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E30.m1.3.3.2.2.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E30.m1.3.3.2.2.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.E30.m1.3.3.2.2.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E30.m1.3.3.2.2.1.1.1.1.1.3.2">𝛿</ci><apply id="S3.E30.m1.3.3.2.2.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.E30.m1.3.3.2.2.1.1.1.1.1.3.3"><times id="S3.E30.m1.3.3.2.2.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.E30.m1.3.3.2.2.1.1.1.1.1.3.3.1"></times><ci id="S3.E30.m1.3.3.2.2.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S3.E30.m1.3.3.2.2.1.1.1.1.1.3.3.2">𝑖</ci><ci id="S3.E30.m1.3.3.2.2.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S3.E30.m1.3.3.2.2.1.1.1.1.1.3.3.3">𝑁</ci></apply></apply></apply><apply id="S3.E30.m1.3.3.2.2.1.2.2.1.1.cmml" 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ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle<(\mu+\sqrt{\lambda})\mu+\sum_{j=0}^{\infty}\lambda\left(\frac{% \mu}{\mu+\sqrt{\lambda}}\right)^{j}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.E31.m1.2"><semantics id="S3.E31.m1.2a"><mrow id="S3.E31.m1.2.2" xref="S3.E31.m1.2.2.cmml"><mi id="S3.E31.m1.2.2.3" xref="S3.E31.m1.2.2.3.cmml"></mi><mo id="S3.E31.m1.2.2.2" xref="S3.E31.m1.2.2.2.cmml"><</mo><mrow id="S3.E31.m1.2.2.1" xref="S3.E31.m1.2.2.1.cmml"><mrow id="S3.E31.m1.2.2.1.1" xref="S3.E31.m1.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S3.E31.m1.2.2.1.1.1.1" xref="S3.E31.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E31.m1.2.2.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E31.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.E31.m1.2.2.1.1.1.1.1" xref="S3.E31.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E31.m1.2.2.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E31.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml">μ</mi><mo id="S3.E31.m1.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E31.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><msqrt id="S3.E31.m1.2.2.1.1.1.1.1.3" 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id="S3.E31.m1.2.2.1.3.1.2.3.3" xref="S3.E31.m1.2.2.1.3.1.2.3.3.cmml">0</mn></mrow><mi id="S3.E31.m1.2.2.1.3.1.3" mathvariant="normal" xref="S3.E31.m1.2.2.1.3.1.3.cmml">∞</mi></munderover></mstyle><mrow id="S3.E31.m1.2.2.1.3.2" xref="S3.E31.m1.2.2.1.3.2.cmml"><mi id="S3.E31.m1.2.2.1.3.2.2" xref="S3.E31.m1.2.2.1.3.2.2.cmml">λ</mi><mo id="S3.E31.m1.2.2.1.3.2.1" xref="S3.E31.m1.2.2.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="S3.E31.m1.2.2.1.3.2.3" xref="S3.E31.m1.2.2.1.3.2.3.cmml"><mrow id="S3.E31.m1.2.2.1.3.2.3.2.2" xref="S3.E31.m1.1.1.cmml"><mo id="S3.E31.m1.2.2.1.3.2.3.2.2.1" xref="S3.E31.m1.1.1.cmml">(</mo><mstyle displaystyle="true" id="S3.E31.m1.1.1" xref="S3.E31.m1.1.1.cmml"><mfrac id="S3.E31.m1.1.1a" xref="S3.E31.m1.1.1.cmml"><mi id="S3.E31.m1.1.1.2" xref="S3.E31.m1.1.1.2.cmml">μ</mi><mrow id="S3.E31.m1.1.1.3" xref="S3.E31.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.E31.m1.1.1.3.2" xref="S3.E31.m1.1.1.3.2.cmml">μ</mi><mo id="S3.E31.m1.1.1.3.1" xref="S3.E31.m1.1.1.3.1.cmml">+</mo><msqrt id="S3.E31.m1.1.1.3.3" 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id="S3.E32.m1.2b"><apply id="S3.E32.m1.2.2.cmml" xref="S3.E32.m1.2.2"><eq id="S3.E32.m1.2.2.2.cmml" xref="S3.E32.m1.2.2.2"></eq><csymbol cd="latexml" id="S3.E32.m1.2.2.3.cmml" xref="S3.E32.m1.2.2.3">absent</csymbol><apply id="S3.E32.m1.2.2.1.cmml" xref="S3.E32.m1.2.2.1"><plus id="S3.E32.m1.2.2.1.2.cmml" xref="S3.E32.m1.2.2.1.2"></plus><apply id="S3.E32.m1.2.2.1.1.cmml" xref="S3.E32.m1.2.2.1.1"><times id="S3.E32.m1.2.2.1.1.2.cmml" xref="S3.E32.m1.2.2.1.1.2"></times><apply id="S3.E32.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E32.m1.2.2.1.1.1.1"><plus id="S3.E32.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E32.m1.2.2.1.1.1.1.1.1"></plus><ci id="S3.E32.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E32.m1.2.2.1.1.1.1.1.2">𝜇</ci><apply id="S3.E32.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E32.m1.2.2.1.1.1.1.1.3"><root id="S3.E32.m1.2.2.1.1.1.1.1.3a.cmml" xref="S3.E32.m1.2.2.1.1.1.1.1.3"></root><ci id="S3.E32.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E32.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.2">𝜆</ci></apply></apply><ci id="S3.E32.m1.2.2.1.1.3.cmml" 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<td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=(\mu+\sqrt{\lambda})^{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.E33.m1.1"><semantics id="S3.E33.m1.1a"><mrow id="S3.E33.m1.1.1" xref="S3.E33.m1.1.1.cmml"><mi id="S3.E33.m1.1.1.3" xref="S3.E33.m1.1.1.3.cmml"></mi><mo id="S3.E33.m1.1.1.2" xref="S3.E33.m1.1.1.2.cmml">=</mo><msup id="S3.E33.m1.1.1.1" xref="S3.E33.m1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E33.m1.1.1.1.1.1" xref="S3.E33.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E33.m1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E33.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.E33.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E33.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E33.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E33.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">μ</mi><mo id="S3.E33.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E33.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><msqrt id="S3.E33.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E33.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.E33.m1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.E33.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">λ</mi></msqrt></mrow><mo id="S3.E33.m1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.E33.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mn id="S3.E33.m1.1.1.1.3" xref="S3.E33.m1.1.1.1.3.cmml">2</mn></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E33.m1.1b"><apply id="S3.E33.m1.1.1.cmml" xref="S3.E33.m1.1.1"><eq id="S3.E33.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.E33.m1.1.1.2"></eq><csymbol cd="latexml" id="S3.E33.m1.1.1.3.cmml" xref="S3.E33.m1.1.1.3">absent</csymbol><apply id="S3.E33.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.E33.m1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E33.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E33.m1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S3.E33.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E33.m1.1.1.1.1.1"><plus id="S3.E33.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E33.m1.1.1.1.1.1.1.1"></plus><ci id="S3.E33.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E33.m1.1.1.1.1.1.1.2">𝜇</ci><apply id="S3.E33.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E33.m1.1.1.1.1.1.1.3"><root id="S3.E33.m1.1.1.1.1.1.1.3a.cmml" xref="S3.E33.m1.1.1.1.1.1.1.3"></root><ci id="S3.E33.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E33.m1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝜆</ci></apply></apply><cn id="S3.E33.m1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.E33.m1.1.1.1.3">2</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E33.m1.1c">\displaystyle=(\mu+\sqrt{\lambda})^{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E33.m1.1d">= ( italic_μ + square-root start_ARG italic_λ end_ARG ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(33)</span></td> </tr></tbody> <tbody id="S3.E34"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=(1+\sqrt{1-\lambda})^{2}\lambda" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.E34.m1.1"><semantics id="S3.E34.m1.1a"><mrow id="S3.E34.m1.1.1" xref="S3.E34.m1.1.1.cmml"><mi id="S3.E34.m1.1.1.3" xref="S3.E34.m1.1.1.3.cmml"></mi><mo id="S3.E34.m1.1.1.2" xref="S3.E34.m1.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S3.E34.m1.1.1.1" xref="S3.E34.m1.1.1.1.cmml"><msup id="S3.E34.m1.1.1.1.1" xref="S3.E34.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E34.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E34.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E34.m1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E34.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.E34.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E34.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="S3.E34.m1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E34.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">1</mn><mo id="S3.E34.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E34.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><msqrt id="S3.E34.m1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E34.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mrow id="S3.E34.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.E34.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mn id="S3.E34.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S3.E34.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">1</mn><mo id="S3.E34.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1" xref="S3.E34.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml">−</mo><mi id="S3.E34.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S3.E34.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">λ</mi></mrow></msqrt></mrow><mo id="S3.E34.m1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.E34.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mn id="S3.E34.m1.1.1.1.1.3" xref="S3.E34.m1.1.1.1.1.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S3.E34.m1.1.1.1.2" xref="S3.E34.m1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E34.m1.1.1.1.3" xref="S3.E34.m1.1.1.1.3.cmml">λ</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E34.m1.1b"><apply id="S3.E34.m1.1.1.cmml" xref="S3.E34.m1.1.1"><eq id="S3.E34.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.E34.m1.1.1.2"></eq><csymbol cd="latexml" id="S3.E34.m1.1.1.3.cmml" xref="S3.E34.m1.1.1.3">absent</csymbol><apply id="S3.E34.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.E34.m1.1.1.1"><times id="S3.E34.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E34.m1.1.1.1.2"></times><apply id="S3.E34.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E34.m1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E34.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E34.m1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S3.E34.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E34.m1.1.1.1.1.1.1"><plus id="S3.E34.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E34.m1.1.1.1.1.1.1.1.1"></plus><cn id="S3.E34.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S3.E34.m1.1.1.1.1.1.1.1.2">1</cn><apply id="S3.E34.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E34.m1.1.1.1.1.1.1.1.3"><root id="S3.E34.m1.1.1.1.1.1.1.1.3a.cmml" xref="S3.E34.m1.1.1.1.1.1.1.1.3"></root><apply id="S3.E34.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E34.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2"><minus id="S3.E34.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S3.E34.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1"></minus><cn id="S3.E34.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" type="integer" xref="S3.E34.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2">1</cn><ci id="S3.E34.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S3.E34.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3">𝜆</ci></apply></apply></apply><cn id="S3.E34.m1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.E34.m1.1.1.1.1.3">2</cn></apply><ci id="S3.E34.m1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E34.m1.1.1.1.3">𝜆</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E34.m1.1c">\displaystyle=(1+\sqrt{1-\lambda})^{2}\lambda</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E34.m1.1d">= ( 1 + square-root start_ARG 1 - italic_λ end_ARG ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT italic_λ</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(34)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.4.p1.5">∎</p> </div> </div> <div class="ltx_para" id="S3.p7"> <p class="ltx_p" id="S3.p7.1">Combining these lemmas, we obtain a relationship between the staircase spectral gap and the spectral gaps of a family of smaller operators:</p> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_theorem" id="Thmtheorem19"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmtheorem19.1.1.1">Theorem 19</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmtheorem19.2.2">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="Thmtheorem19.p1"> <p class="ltx_p" id="Thmtheorem19.p1.2"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmtheorem19.p1.2.2">Let <math alttext="T_{N}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem19.p1.1.1.m1.1"><semantics id="Thmtheorem19.p1.1.1.m1.1a"><msub id="Thmtheorem19.p1.1.1.m1.1.1" xref="Thmtheorem19.p1.1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="Thmtheorem19.p1.1.1.m1.1.1.2" xref="Thmtheorem19.p1.1.1.m1.1.1.2.cmml">T</mi><mi id="Thmtheorem19.p1.1.1.m1.1.1.3" xref="Thmtheorem19.p1.1.1.m1.1.1.3.cmml">N</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem19.p1.1.1.m1.1b"><apply id="Thmtheorem19.p1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem19.p1.1.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem19.p1.1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem19.p1.1.1.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="Thmtheorem19.p1.1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="Thmtheorem19.p1.1.1.m1.1.1.2">𝑇</ci><ci id="Thmtheorem19.p1.1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="Thmtheorem19.p1.1.1.m1.1.1.3">𝑁</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem19.p1.1.1.m1.1c">T_{N}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem19.p1.1.1.m1.1d">italic_T start_POSTSUBSCRIPT italic_N end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> be the <math alttext="N" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem19.p1.2.2.m2.1"><semantics id="Thmtheorem19.p1.2.2.m2.1a"><mi id="Thmtheorem19.p1.2.2.m2.1.1" xref="Thmtheorem19.p1.2.2.m2.1.1.cmml">N</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem19.p1.2.2.m2.1b"><ci id="Thmtheorem19.p1.2.2.m2.1.1.cmml" xref="Thmtheorem19.p1.2.2.m2.1.1">𝑁</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem19.p1.2.2.m2.1c">N</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem19.p1.2.2.m2.1d">italic_N</annotation></semantics></math>-site staircase transfer matrix and define</span></p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S3.E35"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\lambda=\sup_{m}||K_{m}-\Pi_{m+1}||_{2}" class="ltx_Math" display="block" id="S3.E35.m1.1"><semantics id="S3.E35.m1.1a"><mrow id="S3.E35.m1.1.1" xref="S3.E35.m1.1.1.cmml"><mi id="S3.E35.m1.1.1.3" xref="S3.E35.m1.1.1.3.cmml">λ</mi><mo id="S3.E35.m1.1.1.2" rspace="0.1389em" xref="S3.E35.m1.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S3.E35.m1.1.1.1" xref="S3.E35.m1.1.1.1.cmml"><munder id="S3.E35.m1.1.1.1.2" xref="S3.E35.m1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.E35.m1.1.1.1.2.2" lspace="0.1389em" movablelimits="false" rspace="0em" xref="S3.E35.m1.1.1.1.2.2.cmml">sup</mo><mi id="S3.E35.m1.1.1.1.2.3" xref="S3.E35.m1.1.1.1.2.3.cmml">m</mi></munder><msub id="S3.E35.m1.1.1.1.1" xref="S3.E35.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E35.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E35.m1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.E35.m1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E35.m1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo><mrow id="S3.E35.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E35.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S3.E35.m1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E35.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.E35.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.E35.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">K</mi><mi id="S3.E35.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S3.E35.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">m</mi></msub><mo id="S3.E35.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E35.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><msub id="S3.E35.m1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E35.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.E35.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" mathvariant="normal" xref="S3.E35.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">Π</mi><mrow id="S3.E35.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.E35.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S3.E35.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S3.E35.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">m</mi><mo id="S3.E35.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1" xref="S3.E35.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">+</mo><mn id="S3.E35.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S3.E35.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">1</mn></mrow></msub></mrow><mo id="S3.E35.m1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.E35.m1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo></mrow><mn id="S3.E35.m1.1.1.1.1.3" xref="S3.E35.m1.1.1.1.1.3.cmml">2</mn></msub></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E35.m1.1b"><apply id="S3.E35.m1.1.1.cmml" xref="S3.E35.m1.1.1"><eq id="S3.E35.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.E35.m1.1.1.2"></eq><ci id="S3.E35.m1.1.1.3.cmml" xref="S3.E35.m1.1.1.3">𝜆</ci><apply id="S3.E35.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.E35.m1.1.1.1"><apply id="S3.E35.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E35.m1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E35.m1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E35.m1.1.1.1.2">subscript</csymbol><csymbol cd="latexml" id="S3.E35.m1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.E35.m1.1.1.1.2.2">supremum</csymbol><ci id="S3.E35.m1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.E35.m1.1.1.1.2.3">𝑚</ci></apply><apply id="S3.E35.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E35.m1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E35.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E35.m1.1.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="S3.E35.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E35.m1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.E35.m1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E35.m1.1.1.1.1.1.1.2">norm</csymbol><apply id="S3.E35.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E35.m1.1.1.1.1.1.1.1"><minus id="S3.E35.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E35.m1.1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><apply id="S3.E35.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E35.m1.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E35.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E35.m1.1.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S3.E35.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.E35.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝐾</ci><ci id="S3.E35.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.E35.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">𝑚</ci></apply><apply id="S3.E35.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E35.m1.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E35.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E35.m1.1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.E35.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E35.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">Π</ci><apply id="S3.E35.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.E35.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3"><plus id="S3.E35.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.E35.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1"></plus><ci id="S3.E35.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S3.E35.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2">𝑚</ci><cn id="S3.E35.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.E35.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3">1</cn></apply></apply></apply></apply><cn id="S3.E35.m1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.E35.m1.1.1.1.1.3">2</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E35.m1.1c">\lambda=\sup_{m}||K_{m}-\Pi_{m+1}||_{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E35.m1.1d">italic_λ = roman_sup start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT | | italic_K start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT - roman_Π start_POSTSUBSCRIPT italic_m + 1 end_POSTSUBSCRIPT | | start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(35)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="Thmtheorem19.p1.3"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmtheorem19.p1.3.1">Then</span></p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_gather ltx_eqn_table" id="S6.EGx32"> <tbody id="S3.E36"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\displaystyle\lambda_{\text{stair}}\leq(1+\sqrt{1-\lambda})^{2}\lambda" class="ltx_Math" display="block" id="S3.E36.m1.1"><semantics id="S3.E36.m1.1a"><mrow id="S3.E36.m1.1.1" xref="S3.E36.m1.1.1.cmml"><msub id="S3.E36.m1.1.1.3" xref="S3.E36.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.E36.m1.1.1.3.2" xref="S3.E36.m1.1.1.3.2.cmml">λ</mi><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S3.E36.m1.1.1.3.3" xref="S3.E36.m1.1.1.3.3a.cmml">stair</mtext></msub><mo id="S3.E36.m1.1.1.2" xref="S3.E36.m1.1.1.2.cmml">≤</mo><mrow id="S3.E36.m1.1.1.1" xref="S3.E36.m1.1.1.1.cmml"><msup id="S3.E36.m1.1.1.1.1" xref="S3.E36.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E36.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E36.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E36.m1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E36.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.E36.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E36.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="S3.E36.m1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E36.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">1</mn><mo id="S3.E36.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E36.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><msqrt id="S3.E36.m1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E36.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mrow id="S3.E36.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.E36.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mn id="S3.E36.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S3.E36.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">1</mn><mo id="S3.E36.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1" xref="S3.E36.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml">−</mo><mi id="S3.E36.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S3.E36.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">λ</mi></mrow></msqrt></mrow><mo id="S3.E36.m1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.E36.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mn id="S3.E36.m1.1.1.1.1.3" xref="S3.E36.m1.1.1.1.1.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S3.E36.m1.1.1.1.2" xref="S3.E36.m1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E36.m1.1.1.1.3" xref="S3.E36.m1.1.1.1.3.cmml">λ</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E36.m1.1b"><apply id="S3.E36.m1.1.1.cmml" xref="S3.E36.m1.1.1"><leq id="S3.E36.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.E36.m1.1.1.2"></leq><apply id="S3.E36.m1.1.1.3.cmml" xref="S3.E36.m1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E36.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E36.m1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.E36.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E36.m1.1.1.3.2">𝜆</ci><ci id="S3.E36.m1.1.1.3.3a.cmml" xref="S3.E36.m1.1.1.3.3"><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S3.E36.m1.1.1.3.3.cmml" mathsize="70%" xref="S3.E36.m1.1.1.3.3">stair</mtext></ci></apply><apply id="S3.E36.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.E36.m1.1.1.1"><times id="S3.E36.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E36.m1.1.1.1.2"></times><apply id="S3.E36.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E36.m1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E36.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E36.m1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S3.E36.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E36.m1.1.1.1.1.1.1"><plus id="S3.E36.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E36.m1.1.1.1.1.1.1.1.1"></plus><cn id="S3.E36.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S3.E36.m1.1.1.1.1.1.1.1.2">1</cn><apply id="S3.E36.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E36.m1.1.1.1.1.1.1.1.3"><root id="S3.E36.m1.1.1.1.1.1.1.1.3a.cmml" xref="S3.E36.m1.1.1.1.1.1.1.1.3"></root><apply id="S3.E36.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E36.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2"><minus id="S3.E36.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S3.E36.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1"></minus><cn id="S3.E36.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" type="integer" xref="S3.E36.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2">1</cn><ci id="S3.E36.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S3.E36.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3">𝜆</ci></apply></apply></apply><cn id="S3.E36.m1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.E36.m1.1.1.1.1.3">2</cn></apply><ci id="S3.E36.m1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E36.m1.1.1.1.3">𝜆</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E36.m1.1c">\displaystyle\lambda_{\text{stair}}\leq(1+\sqrt{1-\lambda})^{2}\lambda</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E36.m1.1d">italic_λ start_POSTSUBSCRIPT stair end_POSTSUBSCRIPT ≤ ( 1 + square-root start_ARG 1 - italic_λ end_ARG ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT italic_λ</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(36)</span></td> </tr></tbody> </table> </div> </div> <div class="ltx_para" id="S3.p8"> <p class="ltx_p" id="S3.p8.7">Note that this bound is nontrivial only when</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S3.Ex25"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\lambda<\frac{1}{3}\left[2^{\frac{1}{3}}\left(13+3\sqrt{33}\right)^{\frac{1}{3% }}-2^{\frac{8}{3}}\left(13+3\sqrt{33}\right)^{-\frac{1}{3}}-1\right]\approx 0.% 2956" class="ltx_Math" display="block" id="S3.Ex25.m1.1"><semantics id="S3.Ex25.m1.1a"><mrow id="S3.Ex25.m1.1.1" xref="S3.Ex25.m1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex25.m1.1.1.3" xref="S3.Ex25.m1.1.1.3.cmml">λ</mi><mo id="S3.Ex25.m1.1.1.4" xref="S3.Ex25.m1.1.1.4.cmml"><</mo><mrow id="S3.Ex25.m1.1.1.1" xref="S3.Ex25.m1.1.1.1.cmml"><mfrac id="S3.Ex25.m1.1.1.1.3" xref="S3.Ex25.m1.1.1.1.3.cmml"><mn id="S3.Ex25.m1.1.1.1.3.2" xref="S3.Ex25.m1.1.1.1.3.2.cmml">1</mn><mn id="S3.Ex25.m1.1.1.1.3.3" xref="S3.Ex25.m1.1.1.1.3.3.cmml">3</mn></mfrac><mo id="S3.Ex25.m1.1.1.1.2" xref="S3.Ex25.m1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex25.m1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex25.m1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.Ex25.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex25.m1.1.1.1.1.2.1.cmml">[</mo><mrow id="S3.Ex25.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex25.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex25.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex25.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msup id="S3.Ex25.m1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex25.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mn id="S3.Ex25.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.Ex25.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">2</mn><mfrac id="S3.Ex25.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.Ex25.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mn id="S3.Ex25.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S3.Ex25.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">1</mn><mn id="S3.Ex25.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S3.Ex25.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">3</mn></mfrac></msup><mo id="S3.Ex25.m1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex25.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msup id="S3.Ex25.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex25.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex25.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex25.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex25.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex25.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.Ex25.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex25.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="S3.Ex25.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex25.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">13</mn><mo id="S3.Ex25.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex25.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S3.Ex25.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex25.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mn id="S3.Ex25.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.Ex25.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">3</mn><mo id="S3.Ex25.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S3.Ex25.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msqrt id="S3.Ex25.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.Ex25.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mn id="S3.Ex25.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S3.Ex25.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">33</mn></msqrt></mrow></mrow><mo id="S3.Ex25.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex25.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mfrac id="S3.Ex25.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex25.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mn id="S3.Ex25.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.Ex25.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">1</mn><mn id="S3.Ex25.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.Ex25.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">3</mn></mfrac></msup></mrow><mo id="S3.Ex25.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex25.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">−</mo><mrow id="S3.Ex25.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex25.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><msup id="S3.Ex25.m1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S3.Ex25.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mn id="S3.Ex25.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S3.Ex25.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">2</mn><mfrac id="S3.Ex25.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="S3.Ex25.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml"><mn id="S3.Ex25.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.2" xref="S3.Ex25.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.2.cmml">8</mn><mn id="S3.Ex25.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.3" xref="S3.Ex25.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.3.cmml">3</mn></mfrac></msup><mo id="S3.Ex25.m1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.Ex25.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">⁢</mo><msup id="S3.Ex25.m1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S3.Ex25.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml"><mrow id="S3.Ex25.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1" xref="S3.Ex25.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex25.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2" xref="S3.Ex25.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.Ex25.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1" xref="S3.Ex25.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.cmml"><mn id="S3.Ex25.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex25.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.cmml">13</mn><mo id="S3.Ex25.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex25.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S3.Ex25.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex25.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.3.cmml"><mn id="S3.Ex25.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.3.2" xref="S3.Ex25.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.3.2.cmml">3</mn><mo id="S3.Ex25.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.3.1" 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xref="S3.Ex25.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.3"><minus id="S3.Ex25.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex25.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.3"></minus><apply id="S3.Ex25.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex25.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.3.2"><divide id="S3.Ex25.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.3.2.1.cmml" xref="S3.Ex25.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.3.2"></divide><cn id="S3.Ex25.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.3.2.2.cmml" type="integer" xref="S3.Ex25.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.3.2.2">1</cn><cn id="S3.Ex25.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex25.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.3.2.3">3</cn></apply></apply></apply></apply><cn id="S3.Ex25.m1.1.1.1.1.1.1.4.cmml" type="integer" xref="S3.Ex25.m1.1.1.1.1.1.1.4">1</cn></apply></apply></apply></apply><apply id="S3.Ex25.m1.1.1c.cmml" xref="S3.Ex25.m1.1.1"><approx id="S3.Ex25.m1.1.1.5.cmml" xref="S3.Ex25.m1.1.1.5"></approx><share href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#S3.Ex25.m1.1.1.1.cmml" id="S3.Ex25.m1.1.1d.cmml" xref="S3.Ex25.m1.1.1"></share><cn id="S3.Ex25.m1.1.1.6.cmml" type="float" xref="S3.Ex25.m1.1.1.6">0.2956</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex25.m1.1c">\lambda<\frac{1}{3}\left[2^{\frac{1}{3}}\left(13+3\sqrt{33}\right)^{\frac{1}{3% }}-2^{\frac{8}{3}}\left(13+3\sqrt{33}\right)^{-\frac{1}{3}}-1\right]\approx 0.% 2956</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex25.m1.1d">italic_λ < divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 3 end_ARG [ 2 start_POSTSUPERSCRIPT divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 3 end_ARG end_POSTSUPERSCRIPT ( 13 + 3 square-root start_ARG 33 end_ARG ) start_POSTSUPERSCRIPT divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 3 end_ARG end_POSTSUPERSCRIPT - 2 start_POSTSUPERSCRIPT divide start_ARG 8 end_ARG start_ARG 3 end_ARG end_POSTSUPERSCRIPT ( 13 + 3 square-root start_ARG 33 end_ARG ) start_POSTSUPERSCRIPT - divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 3 end_ARG end_POSTSUPERSCRIPT - 1 ] ≈ 0.2956</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.p8.6">Over this region, we have <math alttext="3.382<(1+\sqrt{1-\lambda})^{2}<4" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p8.1.m1.1"><semantics id="S3.p8.1.m1.1a"><mrow id="S3.p8.1.m1.1.1" xref="S3.p8.1.m1.1.1.cmml"><mn id="S3.p8.1.m1.1.1.3" xref="S3.p8.1.m1.1.1.3.cmml">3.382</mn><mo id="S3.p8.1.m1.1.1.4" xref="S3.p8.1.m1.1.1.4.cmml"><</mo><msup id="S3.p8.1.m1.1.1.1" xref="S3.p8.1.m1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.p8.1.m1.1.1.1.1.1" xref="S3.p8.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.p8.1.m1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.p8.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.p8.1.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.p8.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="S3.p8.1.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.p8.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">1</mn><mo id="S3.p8.1.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.p8.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><msqrt id="S3.p8.1.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.p8.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mrow id="S3.p8.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.p8.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mn id="S3.p8.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S3.p8.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">1</mn><mo id="S3.p8.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1" xref="S3.p8.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml">−</mo><mi id="S3.p8.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S3.p8.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">λ</mi></mrow></msqrt></mrow><mo id="S3.p8.1.m1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.p8.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mn id="S3.p8.1.m1.1.1.1.3" xref="S3.p8.1.m1.1.1.1.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S3.p8.1.m1.1.1.5" xref="S3.p8.1.m1.1.1.5.cmml"><</mo><mn id="S3.p8.1.m1.1.1.6" xref="S3.p8.1.m1.1.1.6.cmml">4</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p8.1.m1.1b"><apply id="S3.p8.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.p8.1.m1.1.1"><and id="S3.p8.1.m1.1.1a.cmml" xref="S3.p8.1.m1.1.1"></and><apply id="S3.p8.1.m1.1.1b.cmml" xref="S3.p8.1.m1.1.1"><lt id="S3.p8.1.m1.1.1.4.cmml" xref="S3.p8.1.m1.1.1.4"></lt><cn id="S3.p8.1.m1.1.1.3.cmml" type="float" xref="S3.p8.1.m1.1.1.3">3.382</cn><apply id="S3.p8.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.p8.1.m1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p8.1.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.p8.1.m1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S3.p8.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.p8.1.m1.1.1.1.1.1"><plus id="S3.p8.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.p8.1.m1.1.1.1.1.1.1.1"></plus><cn id="S3.p8.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S3.p8.1.m1.1.1.1.1.1.1.2">1</cn><apply id="S3.p8.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.p8.1.m1.1.1.1.1.1.1.3"><root id="S3.p8.1.m1.1.1.1.1.1.1.3a.cmml" xref="S3.p8.1.m1.1.1.1.1.1.1.3"></root><apply id="S3.p8.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.p8.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.2"><minus id="S3.p8.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S3.p8.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1"></minus><cn id="S3.p8.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" type="integer" xref="S3.p8.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2">1</cn><ci id="S3.p8.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S3.p8.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3">𝜆</ci></apply></apply></apply><cn id="S3.p8.1.m1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.p8.1.m1.1.1.1.3">2</cn></apply></apply><apply id="S3.p8.1.m1.1.1c.cmml" xref="S3.p8.1.m1.1.1"><lt id="S3.p8.1.m1.1.1.5.cmml" xref="S3.p8.1.m1.1.1.5"></lt><share href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#S3.p8.1.m1.1.1.1.cmml" id="S3.p8.1.m1.1.1d.cmml" xref="S3.p8.1.m1.1.1"></share><cn id="S3.p8.1.m1.1.1.6.cmml" type="integer" xref="S3.p8.1.m1.1.1.6">4</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p8.1.m1.1c">3.382<(1+\sqrt{1-\lambda})^{2}<4</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p8.1.m1.1d">3.382 < ( 1 + square-root start_ARG 1 - italic_λ end_ARG ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT < 4</annotation></semantics></math>, so the bound is nearly proportional to <math alttext="\lambda" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p8.2.m2.1"><semantics id="S3.p8.2.m2.1a"><mi id="S3.p8.2.m2.1.1" xref="S3.p8.2.m2.1.1.cmml">λ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p8.2.m2.1b"><ci id="S3.p8.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.p8.2.m2.1.1">𝜆</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p8.2.m2.1c">\lambda</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p8.2.m2.1d">italic_λ</annotation></semantics></math>. Also note that <math alttext="\Pi_{m+1}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p8.3.m3.1"><semantics id="S3.p8.3.m3.1a"><msub id="S3.p8.3.m3.1.1" xref="S3.p8.3.m3.1.1.cmml"><mi id="S3.p8.3.m3.1.1.2" mathvariant="normal" xref="S3.p8.3.m3.1.1.2.cmml">Π</mi><mrow id="S3.p8.3.m3.1.1.3" xref="S3.p8.3.m3.1.1.3.cmml"><mi id="S3.p8.3.m3.1.1.3.2" xref="S3.p8.3.m3.1.1.3.2.cmml">m</mi><mo id="S3.p8.3.m3.1.1.3.1" xref="S3.p8.3.m3.1.1.3.1.cmml">+</mo><mn id="S3.p8.3.m3.1.1.3.3" xref="S3.p8.3.m3.1.1.3.3.cmml">1</mn></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p8.3.m3.1b"><apply id="S3.p8.3.m3.1.1.cmml" xref="S3.p8.3.m3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p8.3.m3.1.1.1.cmml" xref="S3.p8.3.m3.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.p8.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S3.p8.3.m3.1.1.2">Π</ci><apply id="S3.p8.3.m3.1.1.3.cmml" xref="S3.p8.3.m3.1.1.3"><plus id="S3.p8.3.m3.1.1.3.1.cmml" xref="S3.p8.3.m3.1.1.3.1"></plus><ci id="S3.p8.3.m3.1.1.3.2.cmml" xref="S3.p8.3.m3.1.1.3.2">𝑚</ci><cn id="S3.p8.3.m3.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.p8.3.m3.1.1.3.3">1</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p8.3.m3.1c">\Pi_{m+1}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p8.3.m3.1d">roman_Π start_POSTSUBSCRIPT italic_m + 1 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> is the projector onto the unit eigenspace of <math alttext="K_{m}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p8.4.m4.1"><semantics id="S3.p8.4.m4.1a"><msub id="S3.p8.4.m4.1.1" xref="S3.p8.4.m4.1.1.cmml"><mi id="S3.p8.4.m4.1.1.2" xref="S3.p8.4.m4.1.1.2.cmml">K</mi><mi id="S3.p8.4.m4.1.1.3" xref="S3.p8.4.m4.1.1.3.cmml">m</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p8.4.m4.1b"><apply id="S3.p8.4.m4.1.1.cmml" xref="S3.p8.4.m4.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p8.4.m4.1.1.1.cmml" xref="S3.p8.4.m4.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.p8.4.m4.1.1.2.cmml" xref="S3.p8.4.m4.1.1.2">𝐾</ci><ci id="S3.p8.4.m4.1.1.3.cmml" xref="S3.p8.4.m4.1.1.3">𝑚</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p8.4.m4.1c">K_{m}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p8.4.m4.1d">italic_K start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, so <math alttext="||K_{m}-\Pi_{m+1}||_{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p8.5.m5.1"><semantics id="S3.p8.5.m5.1a"><msub id="S3.p8.5.m5.1.1" xref="S3.p8.5.m5.1.1.cmml"><mrow id="S3.p8.5.m5.1.1.1.1" xref="S3.p8.5.m5.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.p8.5.m5.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.p8.5.m5.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo><mrow id="S3.p8.5.m5.1.1.1.1.1" xref="S3.p8.5.m5.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S3.p8.5.m5.1.1.1.1.1.2" xref="S3.p8.5.m5.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.p8.5.m5.1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.p8.5.m5.1.1.1.1.1.2.2.cmml">K</mi><mi id="S3.p8.5.m5.1.1.1.1.1.2.3" xref="S3.p8.5.m5.1.1.1.1.1.2.3.cmml">m</mi></msub><mo id="S3.p8.5.m5.1.1.1.1.1.1" xref="S3.p8.5.m5.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><msub id="S3.p8.5.m5.1.1.1.1.1.3" xref="S3.p8.5.m5.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.p8.5.m5.1.1.1.1.1.3.2" mathvariant="normal" xref="S3.p8.5.m5.1.1.1.1.1.3.2.cmml">Π</mi><mrow id="S3.p8.5.m5.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.p8.5.m5.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S3.p8.5.m5.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S3.p8.5.m5.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">m</mi><mo id="S3.p8.5.m5.1.1.1.1.1.3.3.1" xref="S3.p8.5.m5.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">+</mo><mn id="S3.p8.5.m5.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S3.p8.5.m5.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">1</mn></mrow></msub></mrow><mo id="S3.p8.5.m5.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.p8.5.m5.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo></mrow><mn id="S3.p8.5.m5.1.1.3" xref="S3.p8.5.m5.1.1.3.cmml">2</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p8.5.m5.1b"><apply id="S3.p8.5.m5.1.1.cmml" xref="S3.p8.5.m5.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p8.5.m5.1.1.2.cmml" xref="S3.p8.5.m5.1.1">subscript</csymbol><apply id="S3.p8.5.m5.1.1.1.2.cmml" xref="S3.p8.5.m5.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.p8.5.m5.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.p8.5.m5.1.1.1.1.2">norm</csymbol><apply id="S3.p8.5.m5.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.p8.5.m5.1.1.1.1.1"><minus id="S3.p8.5.m5.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.p8.5.m5.1.1.1.1.1.1"></minus><apply id="S3.p8.5.m5.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.p8.5.m5.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p8.5.m5.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.p8.5.m5.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S3.p8.5.m5.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.p8.5.m5.1.1.1.1.1.2.2">𝐾</ci><ci id="S3.p8.5.m5.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.p8.5.m5.1.1.1.1.1.2.3">𝑚</ci></apply><apply id="S3.p8.5.m5.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.p8.5.m5.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p8.5.m5.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.p8.5.m5.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.p8.5.m5.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.p8.5.m5.1.1.1.1.1.3.2">Π</ci><apply id="S3.p8.5.m5.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.p8.5.m5.1.1.1.1.1.3.3"><plus id="S3.p8.5.m5.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.p8.5.m5.1.1.1.1.1.3.3.1"></plus><ci id="S3.p8.5.m5.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S3.p8.5.m5.1.1.1.1.1.3.3.2">𝑚</ci><cn id="S3.p8.5.m5.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.p8.5.m5.1.1.1.1.1.3.3.3">1</cn></apply></apply></apply></apply><cn id="S3.p8.5.m5.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.p8.5.m5.1.1.3">2</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p8.5.m5.1c">||K_{m}-\Pi_{m+1}||_{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p8.5.m5.1d">| | italic_K start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT - roman_Π start_POSTSUBSCRIPT italic_m + 1 end_POSTSUBSCRIPT | | start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> is also the largest non-unit eigenvalue of <math alttext="K_{m}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p8.6.m6.1"><semantics id="S3.p8.6.m6.1a"><msub id="S3.p8.6.m6.1.1" xref="S3.p8.6.m6.1.1.cmml"><mi id="S3.p8.6.m6.1.1.2" xref="S3.p8.6.m6.1.1.2.cmml">K</mi><mi id="S3.p8.6.m6.1.1.3" xref="S3.p8.6.m6.1.1.3.cmml">m</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p8.6.m6.1b"><apply id="S3.p8.6.m6.1.1.cmml" xref="S3.p8.6.m6.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p8.6.m6.1.1.1.cmml" xref="S3.p8.6.m6.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.p8.6.m6.1.1.2.cmml" xref="S3.p8.6.m6.1.1.2">𝐾</ci><ci id="S3.p8.6.m6.1.1.3.cmml" xref="S3.p8.6.m6.1.1.3">𝑚</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p8.6.m6.1c">K_{m}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p8.6.m6.1d">italic_K start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>.</p> </div> </section> <section class="ltx_section" id="S4"> <h2 class="ltx_title ltx_title_section"> <span class="ltx_tag ltx_tag_section">IV </span>Properties of the eigenspaces</h2> <div class="ltx_para" id="S4.p1"> <p class="ltx_p" id="S4.p1.1">We will now discuss some useful aspects of the structure of the gate and transfer operators. The first is a symmetry under <math alttext="S_{t}\times S_{t}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p1.1.m1.1"><semantics id="S4.p1.1.m1.1a"><mrow id="S4.p1.1.m1.1.1" xref="S4.p1.1.m1.1.1.cmml"><msub id="S4.p1.1.m1.1.1.2" xref="S4.p1.1.m1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.p1.1.m1.1.1.2.2" xref="S4.p1.1.m1.1.1.2.2.cmml">S</mi><mi id="S4.p1.1.m1.1.1.2.3" xref="S4.p1.1.m1.1.1.2.3.cmml">t</mi></msub><mo id="S4.p1.1.m1.1.1.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S4.p1.1.m1.1.1.1.cmml">×</mo><msub id="S4.p1.1.m1.1.1.3" xref="S4.p1.1.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.p1.1.m1.1.1.3.2" xref="S4.p1.1.m1.1.1.3.2.cmml">S</mi><mi id="S4.p1.1.m1.1.1.3.3" xref="S4.p1.1.m1.1.1.3.3.cmml">t</mi></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p1.1.m1.1b"><apply id="S4.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.p1.1.m1.1.1"><times id="S4.p1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.p1.1.m1.1.1.1"></times><apply id="S4.p1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.p1.1.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p1.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.p1.1.m1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S4.p1.1.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.p1.1.m1.1.1.2.2">𝑆</ci><ci id="S4.p1.1.m1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.p1.1.m1.1.1.2.3">𝑡</ci></apply><apply id="S4.p1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S4.p1.1.m1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p1.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.p1.1.m1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.p1.1.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.p1.1.m1.1.1.3.2">𝑆</ci><ci id="S4.p1.1.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.p1.1.m1.1.1.3.3">𝑡</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p1.1.m1.1c">S_{t}\times S_{t}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p1.1.m1.1d">italic_S start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT × italic_S start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>.</p> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_definition" id="Thmtheorem20"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmtheorem20.1.1.1">Definition 20</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmtheorem20.2.2">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="Thmtheorem20.p1"> <p class="ltx_p" id="Thmtheorem20.p1.1">For <math alttext="\pi\in S_{t}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem20.p1.1.m1.1"><semantics id="Thmtheorem20.p1.1.m1.1a"><mrow id="Thmtheorem20.p1.1.m1.1.1" xref="Thmtheorem20.p1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="Thmtheorem20.p1.1.m1.1.1.2" xref="Thmtheorem20.p1.1.m1.1.1.2.cmml">π</mi><mo id="Thmtheorem20.p1.1.m1.1.1.1" xref="Thmtheorem20.p1.1.m1.1.1.1.cmml">∈</mo><msub id="Thmtheorem20.p1.1.m1.1.1.3" xref="Thmtheorem20.p1.1.m1.1.1.3.cmml"><mi id="Thmtheorem20.p1.1.m1.1.1.3.2" xref="Thmtheorem20.p1.1.m1.1.1.3.2.cmml">S</mi><mi id="Thmtheorem20.p1.1.m1.1.1.3.3" xref="Thmtheorem20.p1.1.m1.1.1.3.3.cmml">t</mi></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem20.p1.1.m1.1b"><apply id="Thmtheorem20.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem20.p1.1.m1.1.1"><in id="Thmtheorem20.p1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem20.p1.1.m1.1.1.1"></in><ci id="Thmtheorem20.p1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="Thmtheorem20.p1.1.m1.1.1.2">𝜋</ci><apply id="Thmtheorem20.p1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="Thmtheorem20.p1.1.m1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem20.p1.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="Thmtheorem20.p1.1.m1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="Thmtheorem20.p1.1.m1.1.1.3.2.cmml" xref="Thmtheorem20.p1.1.m1.1.1.3.2">𝑆</ci><ci id="Thmtheorem20.p1.1.m1.1.1.3.3.cmml" xref="Thmtheorem20.p1.1.m1.1.1.3.3">𝑡</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem20.p1.1.m1.1c">\pi\in S_{t}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem20.p1.1.m1.1d">italic_π ∈ italic_S start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, define the <span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmtheorem20.p1.1.1">global left-action</span></p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_gather ltx_eqn_table" id="S6.EGx33"> <tbody id="S4.E37"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\displaystyle\pi_{L}:\ket{\sigma_{1},\sigma_{2}...\sigma_{N}}\rightarrow\ket{% \pi\circ\sigma_{1},\pi\circ\sigma_{2}...\pi\circ\sigma_{N}}" class="ltx_Math" display="block" id="S4.E37.m1.2"><semantics id="S4.E37.m1.2a"><mrow id="S4.E37.m1.2.3" xref="S4.E37.m1.2.3.cmml"><msub id="S4.E37.m1.2.3.2" xref="S4.E37.m1.2.3.2.cmml"><mi id="S4.E37.m1.2.3.2.2" xref="S4.E37.m1.2.3.2.2.cmml">π</mi><mi id="S4.E37.m1.2.3.2.3" xref="S4.E37.m1.2.3.2.3.cmml">L</mi></msub><mo id="S4.E37.m1.2.3.1" lspace="0.278em" rspace="0.278em" xref="S4.E37.m1.2.3.1.cmml">:</mo><mrow id="S4.E37.m1.2.3.3" xref="S4.E37.m1.2.3.3.cmml"><mrow id="S4.E37.m1.1.1.3" xref="S4.E37.m1.1.1.2.cmml"><mo id="S4.E37.m1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S4.E37.m1.1.1.2.1.cmml">|</mo><mrow id="S4.E37.m1.1.1.1.1.2" xref="S4.E37.m1.1.1.1.1.3.cmml"><msub id="S4.E37.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E37.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.E37.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.E37.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">σ</mi><mn id="S4.E37.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.E37.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S4.E37.m1.1.1.1.1.2.3" xref="S4.E37.m1.1.1.1.1.3.cmml">,</mo><mrow id="S4.E37.m1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.E37.m1.1.1.1.1.2.2.cmml"><msub id="S4.E37.m1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S4.E37.m1.1.1.1.1.2.2.2.cmml"><mi id="S4.E37.m1.1.1.1.1.2.2.2.2" xref="S4.E37.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml">σ</mi><mn id="S4.E37.m1.1.1.1.1.2.2.2.3" xref="S4.E37.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml">2</mn></msub><mo id="S4.E37.m1.1.1.1.1.2.2.1" xref="S4.E37.m1.1.1.1.1.2.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E37.m1.1.1.1.1.2.2.3" mathvariant="normal" xref="S4.E37.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">…</mi><mo id="S4.E37.m1.1.1.1.1.2.2.1a" xref="S4.E37.m1.1.1.1.1.2.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S4.E37.m1.1.1.1.1.2.2.4" xref="S4.E37.m1.1.1.1.1.2.2.4.cmml"><mi id="S4.E37.m1.1.1.1.1.2.2.4.2" xref="S4.E37.m1.1.1.1.1.2.2.4.2.cmml">σ</mi><mi id="S4.E37.m1.1.1.1.1.2.2.4.3" xref="S4.E37.m1.1.1.1.1.2.2.4.3.cmml">N</mi></msub></mrow></mrow><mo id="S4.E37.m1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S4.E37.m1.1.1.2.1.cmml">⟩</mo></mrow><mo id="S4.E37.m1.2.3.3.1" stretchy="false" xref="S4.E37.m1.2.3.3.1.cmml">→</mo><mrow id="S4.E37.m1.2.2.3" xref="S4.E37.m1.2.2.2.cmml"><mo id="S4.E37.m1.2.2.3.1" stretchy="false" xref="S4.E37.m1.2.2.2.1.cmml">|</mo><mrow id="S4.E37.m1.2.2.1.1.2" xref="S4.E37.m1.2.2.1.1.3.cmml"><mrow id="S4.E37.m1.2.2.1.1.1.1" xref="S4.E37.m1.2.2.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.E37.m1.2.2.1.1.1.1.2" xref="S4.E37.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml">π</mi><mo id="S4.E37.m1.2.2.1.1.1.1.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S4.E37.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml">∘</mo><msub id="S4.E37.m1.2.2.1.1.1.1.3" xref="S4.E37.m1.2.2.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.E37.m1.2.2.1.1.1.1.3.2" xref="S4.E37.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.cmml">σ</mi><mn id="S4.E37.m1.2.2.1.1.1.1.3.3" xref="S4.E37.m1.2.2.1.1.1.1.3.3.cmml">1</mn></msub></mrow><mo id="S4.E37.m1.2.2.1.1.2.3" xref="S4.E37.m1.2.2.1.1.3.cmml">,</mo><mrow id="S4.E37.m1.2.2.1.1.2.2" xref="S4.E37.m1.2.2.1.1.2.2.cmml"><mrow id="S4.E37.m1.2.2.1.1.2.2.2" xref="S4.E37.m1.2.2.1.1.2.2.2.cmml"><mrow id="S4.E37.m1.2.2.1.1.2.2.2.2" xref="S4.E37.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.cmml"><mi id="S4.E37.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2" xref="S4.E37.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.cmml">π</mi><mo id="S4.E37.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S4.E37.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.1.cmml">∘</mo><msub id="S4.E37.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.3" xref="S4.E37.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="S4.E37.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.3.2" xref="S4.E37.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.3.2.cmml">σ</mi><mn id="S4.E37.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.3.3" xref="S4.E37.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.3.3.cmml">2</mn></msub></mrow><mo id="S4.E37.m1.2.2.1.1.2.2.2.1" xref="S4.E37.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E37.m1.2.2.1.1.2.2.2.3" mathvariant="normal" xref="S4.E37.m1.2.2.1.1.2.2.2.3.cmml">…</mi><mo id="S4.E37.m1.2.2.1.1.2.2.2.1a" xref="S4.E37.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E37.m1.2.2.1.1.2.2.2.4" xref="S4.E37.m1.2.2.1.1.2.2.2.4.cmml">π</mi></mrow><mo id="S4.E37.m1.2.2.1.1.2.2.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S4.E37.m1.2.2.1.1.2.2.1.cmml">∘</mo><msub id="S4.E37.m1.2.2.1.1.2.2.3" xref="S4.E37.m1.2.2.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="S4.E37.m1.2.2.1.1.2.2.3.2" xref="S4.E37.m1.2.2.1.1.2.2.3.2.cmml">σ</mi><mi id="S4.E37.m1.2.2.1.1.2.2.3.3" xref="S4.E37.m1.2.2.1.1.2.2.3.3.cmml">N</mi></msub></mrow></mrow><mo id="S4.E37.m1.2.2.3.2" stretchy="false" xref="S4.E37.m1.2.2.2.1.cmml">⟩</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.E37.m1.2b"><apply id="S4.E37.m1.2.3.cmml" xref="S4.E37.m1.2.3"><ci id="S4.E37.m1.2.3.1.cmml" xref="S4.E37.m1.2.3.1">:</ci><apply id="S4.E37.m1.2.3.2.cmml" xref="S4.E37.m1.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E37.m1.2.3.2.1.cmml" xref="S4.E37.m1.2.3.2">subscript</csymbol><ci id="S4.E37.m1.2.3.2.2.cmml" xref="S4.E37.m1.2.3.2.2">𝜋</ci><ci id="S4.E37.m1.2.3.2.3.cmml" xref="S4.E37.m1.2.3.2.3">𝐿</ci></apply><apply id="S4.E37.m1.2.3.3.cmml" xref="S4.E37.m1.2.3.3"><ci id="S4.E37.m1.2.3.3.1.cmml" xref="S4.E37.m1.2.3.3.1">→</ci><apply id="S4.E37.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.E37.m1.1.1.3"><csymbol cd="latexml" id="S4.E37.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.E37.m1.1.1.3.1">ket</csymbol><list id="S4.E37.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E37.m1.1.1.1.1.2"><apply id="S4.E37.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E37.m1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E37.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E37.m1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.E37.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E37.m1.1.1.1.1.1.1.2">𝜎</ci><cn id="S4.E37.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.E37.m1.1.1.1.1.1.1.3">1</cn></apply><apply id="S4.E37.m1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.E37.m1.1.1.1.1.2.2"><times id="S4.E37.m1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.E37.m1.1.1.1.1.2.2.1"></times><apply id="S4.E37.m1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.E37.m1.1.1.1.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E37.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S4.E37.m1.1.1.1.1.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S4.E37.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S4.E37.m1.1.1.1.1.2.2.2.2">𝜎</ci><cn id="S4.E37.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.E37.m1.1.1.1.1.2.2.2.3">2</cn></apply><ci id="S4.E37.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.E37.m1.1.1.1.1.2.2.3">…</ci><apply id="S4.E37.m1.1.1.1.1.2.2.4.cmml" xref="S4.E37.m1.1.1.1.1.2.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E37.m1.1.1.1.1.2.2.4.1.cmml" xref="S4.E37.m1.1.1.1.1.2.2.4">subscript</csymbol><ci id="S4.E37.m1.1.1.1.1.2.2.4.2.cmml" xref="S4.E37.m1.1.1.1.1.2.2.4.2">𝜎</ci><ci id="S4.E37.m1.1.1.1.1.2.2.4.3.cmml" xref="S4.E37.m1.1.1.1.1.2.2.4.3">𝑁</ci></apply></apply></list></apply><apply id="S4.E37.m1.2.2.2.cmml" xref="S4.E37.m1.2.2.3"><csymbol cd="latexml" id="S4.E37.m1.2.2.2.1.cmml" xref="S4.E37.m1.2.2.3.1">ket</csymbol><list id="S4.E37.m1.2.2.1.1.3.cmml" xref="S4.E37.m1.2.2.1.1.2"><apply id="S4.E37.m1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E37.m1.2.2.1.1.1.1"><compose id="S4.E37.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E37.m1.2.2.1.1.1.1.1"></compose><ci id="S4.E37.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E37.m1.2.2.1.1.1.1.2">𝜋</ci><apply id="S4.E37.m1.2.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E37.m1.2.2.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E37.m1.2.2.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E37.m1.2.2.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.E37.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.E37.m1.2.2.1.1.1.1.3.2">𝜎</ci><cn id="S4.E37.m1.2.2.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.E37.m1.2.2.1.1.1.1.3.3">1</cn></apply></apply><apply id="S4.E37.m1.2.2.1.1.2.2.cmml" xref="S4.E37.m1.2.2.1.1.2.2"><compose id="S4.E37.m1.2.2.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.E37.m1.2.2.1.1.2.2.1"></compose><apply id="S4.E37.m1.2.2.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.E37.m1.2.2.1.1.2.2.2"><times id="S4.E37.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S4.E37.m1.2.2.1.1.2.2.2.1"></times><apply id="S4.E37.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S4.E37.m1.2.2.1.1.2.2.2.2"><compose id="S4.E37.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.1.cmml" xref="S4.E37.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.1"></compose><ci id="S4.E37.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.E37.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2">𝜋</ci><apply id="S4.E37.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.3.cmml" xref="S4.E37.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E37.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="S4.E37.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S4.E37.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.3.2.cmml" xref="S4.E37.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.3.2">𝜎</ci><cn id="S4.E37.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.E37.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.3.3">2</cn></apply></apply><ci id="S4.E37.m1.2.2.1.1.2.2.2.3.cmml" xref="S4.E37.m1.2.2.1.1.2.2.2.3">…</ci><ci id="S4.E37.m1.2.2.1.1.2.2.2.4.cmml" xref="S4.E37.m1.2.2.1.1.2.2.2.4">𝜋</ci></apply><apply id="S4.E37.m1.2.2.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.E37.m1.2.2.1.1.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E37.m1.2.2.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S4.E37.m1.2.2.1.1.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S4.E37.m1.2.2.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S4.E37.m1.2.2.1.1.2.2.3.2">𝜎</ci><ci id="S4.E37.m1.2.2.1.1.2.2.3.3.cmml" xref="S4.E37.m1.2.2.1.1.2.2.3.3">𝑁</ci></apply></apply></list></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.E37.m1.2c">\displaystyle\pi_{L}:\ket{\sigma_{1},\sigma_{2}...\sigma_{N}}\rightarrow\ket{% \pi\circ\sigma_{1},\pi\circ\sigma_{2}...\pi\circ\sigma_{N}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.E37.m1.2d">italic_π start_POSTSUBSCRIPT italic_L end_POSTSUBSCRIPT : | start_ARG italic_σ start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , italic_σ start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT … italic_σ start_POSTSUBSCRIPT italic_N end_POSTSUBSCRIPT end_ARG ⟩ → | start_ARG italic_π ∘ italic_σ start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , italic_π ∘ italic_σ start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT … italic_π ∘ italic_σ start_POSTSUBSCRIPT italic_N end_POSTSUBSCRIPT end_ARG ⟩</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(37)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="Thmtheorem20.p1.2">and the analogous <span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmtheorem20.p1.2.1">global right-action</span></p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_gather ltx_eqn_table" id="S6.EGx34"> <tbody id="S4.E38"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\displaystyle\pi_{R}:\ket{\sigma_{1},\sigma_{2}...\sigma_{N}}\rightarrow\ket{% \sigma_{1}\circ\pi,\sigma_{2}\circ\pi...\sigma_{N}\circ\pi}" class="ltx_Math" display="block" id="S4.E38.m1.2"><semantics id="S4.E38.m1.2a"><mrow id="S4.E38.m1.2.3" xref="S4.E38.m1.2.3.cmml"><msub id="S4.E38.m1.2.3.2" xref="S4.E38.m1.2.3.2.cmml"><mi id="S4.E38.m1.2.3.2.2" xref="S4.E38.m1.2.3.2.2.cmml">π</mi><mi id="S4.E38.m1.2.3.2.3" xref="S4.E38.m1.2.3.2.3.cmml">R</mi></msub><mo id="S4.E38.m1.2.3.1" lspace="0.278em" rspace="0.278em" xref="S4.E38.m1.2.3.1.cmml">:</mo><mrow id="S4.E38.m1.2.3.3" xref="S4.E38.m1.2.3.3.cmml"><mrow id="S4.E38.m1.1.1.3" xref="S4.E38.m1.1.1.2.cmml"><mo id="S4.E38.m1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S4.E38.m1.1.1.2.1.cmml">|</mo><mrow id="S4.E38.m1.1.1.1.1.2" xref="S4.E38.m1.1.1.1.1.3.cmml"><msub id="S4.E38.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E38.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.E38.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.E38.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">σ</mi><mn id="S4.E38.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.E38.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S4.E38.m1.1.1.1.1.2.3" xref="S4.E38.m1.1.1.1.1.3.cmml">,</mo><mrow id="S4.E38.m1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.E38.m1.1.1.1.1.2.2.cmml"><msub id="S4.E38.m1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S4.E38.m1.1.1.1.1.2.2.2.cmml"><mi id="S4.E38.m1.1.1.1.1.2.2.2.2" xref="S4.E38.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml">σ</mi><mn id="S4.E38.m1.1.1.1.1.2.2.2.3" xref="S4.E38.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml">2</mn></msub><mo id="S4.E38.m1.1.1.1.1.2.2.1" xref="S4.E38.m1.1.1.1.1.2.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E38.m1.1.1.1.1.2.2.3" mathvariant="normal" xref="S4.E38.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">…</mi><mo id="S4.E38.m1.1.1.1.1.2.2.1a" xref="S4.E38.m1.1.1.1.1.2.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S4.E38.m1.1.1.1.1.2.2.4" xref="S4.E38.m1.1.1.1.1.2.2.4.cmml"><mi id="S4.E38.m1.1.1.1.1.2.2.4.2" xref="S4.E38.m1.1.1.1.1.2.2.4.2.cmml">σ</mi><mi id="S4.E38.m1.1.1.1.1.2.2.4.3" xref="S4.E38.m1.1.1.1.1.2.2.4.3.cmml">N</mi></msub></mrow></mrow><mo id="S4.E38.m1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S4.E38.m1.1.1.2.1.cmml">⟩</mo></mrow><mo id="S4.E38.m1.2.3.3.1" stretchy="false" xref="S4.E38.m1.2.3.3.1.cmml">→</mo><mrow id="S4.E38.m1.2.2.3" xref="S4.E38.m1.2.2.2.cmml"><mo id="S4.E38.m1.2.2.3.1" stretchy="false" xref="S4.E38.m1.2.2.2.1.cmml">|</mo><mrow id="S4.E38.m1.2.2.1.1.2" xref="S4.E38.m1.2.2.1.1.3.cmml"><mrow id="S4.E38.m1.2.2.1.1.1.1" xref="S4.E38.m1.2.2.1.1.1.1.cmml"><msub id="S4.E38.m1.2.2.1.1.1.1.2" xref="S4.E38.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.E38.m1.2.2.1.1.1.1.2.2" xref="S4.E38.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.cmml">σ</mi><mn id="S4.E38.m1.2.2.1.1.1.1.2.3" xref="S4.E38.m1.2.2.1.1.1.1.2.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S4.E38.m1.2.2.1.1.1.1.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S4.E38.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml">∘</mo><mi id="S4.E38.m1.2.2.1.1.1.1.3" xref="S4.E38.m1.2.2.1.1.1.1.3.cmml">π</mi></mrow><mo id="S4.E38.m1.2.2.1.1.2.3" xref="S4.E38.m1.2.2.1.1.3.cmml">,</mo><mrow id="S4.E38.m1.2.2.1.1.2.2" xref="S4.E38.m1.2.2.1.1.2.2.cmml"><mrow id="S4.E38.m1.2.2.1.1.2.2.2" xref="S4.E38.m1.2.2.1.1.2.2.2.cmml"><mrow id="S4.E38.m1.2.2.1.1.2.2.2.2" xref="S4.E38.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.cmml"><msub id="S4.E38.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2" xref="S4.E38.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="S4.E38.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.2" xref="S4.E38.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.2.cmml">σ</mi><mn id="S4.E38.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.3" xref="S4.E38.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.3.cmml">2</mn></msub><mo id="S4.E38.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S4.E38.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.1.cmml">∘</mo><mi id="S4.E38.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.3" xref="S4.E38.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.3.cmml">π</mi></mrow><mo id="S4.E38.m1.2.2.1.1.2.2.2.1" xref="S4.E38.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E38.m1.2.2.1.1.2.2.2.3" mathvariant="normal" xref="S4.E38.m1.2.2.1.1.2.2.2.3.cmml">…</mi><mo id="S4.E38.m1.2.2.1.1.2.2.2.1a" xref="S4.E38.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S4.E38.m1.2.2.1.1.2.2.2.4" xref="S4.E38.m1.2.2.1.1.2.2.2.4.cmml"><mi id="S4.E38.m1.2.2.1.1.2.2.2.4.2" xref="S4.E38.m1.2.2.1.1.2.2.2.4.2.cmml">σ</mi><mi id="S4.E38.m1.2.2.1.1.2.2.2.4.3" xref="S4.E38.m1.2.2.1.1.2.2.2.4.3.cmml">N</mi></msub></mrow><mo id="S4.E38.m1.2.2.1.1.2.2.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S4.E38.m1.2.2.1.1.2.2.1.cmml">∘</mo><mi id="S4.E38.m1.2.2.1.1.2.2.3" xref="S4.E38.m1.2.2.1.1.2.2.3.cmml">π</mi></mrow></mrow><mo id="S4.E38.m1.2.2.3.2" stretchy="false" xref="S4.E38.m1.2.2.2.1.cmml">⟩</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.E38.m1.2b"><apply id="S4.E38.m1.2.3.cmml" xref="S4.E38.m1.2.3"><ci id="S4.E38.m1.2.3.1.cmml" xref="S4.E38.m1.2.3.1">:</ci><apply id="S4.E38.m1.2.3.2.cmml" xref="S4.E38.m1.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E38.m1.2.3.2.1.cmml" xref="S4.E38.m1.2.3.2">subscript</csymbol><ci id="S4.E38.m1.2.3.2.2.cmml" xref="S4.E38.m1.2.3.2.2">𝜋</ci><ci id="S4.E38.m1.2.3.2.3.cmml" xref="S4.E38.m1.2.3.2.3">𝑅</ci></apply><apply id="S4.E38.m1.2.3.3.cmml" xref="S4.E38.m1.2.3.3"><ci id="S4.E38.m1.2.3.3.1.cmml" xref="S4.E38.m1.2.3.3.1">→</ci><apply id="S4.E38.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.E38.m1.1.1.3"><csymbol cd="latexml" id="S4.E38.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.E38.m1.1.1.3.1">ket</csymbol><list id="S4.E38.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E38.m1.1.1.1.1.2"><apply id="S4.E38.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E38.m1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E38.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E38.m1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.E38.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E38.m1.1.1.1.1.1.1.2">𝜎</ci><cn id="S4.E38.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.E38.m1.1.1.1.1.1.1.3">1</cn></apply><apply id="S4.E38.m1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.E38.m1.1.1.1.1.2.2"><times id="S4.E38.m1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.E38.m1.1.1.1.1.2.2.1"></times><apply id="S4.E38.m1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.E38.m1.1.1.1.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E38.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S4.E38.m1.1.1.1.1.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S4.E38.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S4.E38.m1.1.1.1.1.2.2.2.2">𝜎</ci><cn id="S4.E38.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.E38.m1.1.1.1.1.2.2.2.3">2</cn></apply><ci id="S4.E38.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.E38.m1.1.1.1.1.2.2.3">…</ci><apply id="S4.E38.m1.1.1.1.1.2.2.4.cmml" xref="S4.E38.m1.1.1.1.1.2.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E38.m1.1.1.1.1.2.2.4.1.cmml" xref="S4.E38.m1.1.1.1.1.2.2.4">subscript</csymbol><ci id="S4.E38.m1.1.1.1.1.2.2.4.2.cmml" xref="S4.E38.m1.1.1.1.1.2.2.4.2">𝜎</ci><ci id="S4.E38.m1.1.1.1.1.2.2.4.3.cmml" xref="S4.E38.m1.1.1.1.1.2.2.4.3">𝑁</ci></apply></apply></list></apply><apply id="S4.E38.m1.2.2.2.cmml" xref="S4.E38.m1.2.2.3"><csymbol cd="latexml" id="S4.E38.m1.2.2.2.1.cmml" xref="S4.E38.m1.2.2.3.1">ket</csymbol><list id="S4.E38.m1.2.2.1.1.3.cmml" xref="S4.E38.m1.2.2.1.1.2"><apply id="S4.E38.m1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E38.m1.2.2.1.1.1.1"><compose id="S4.E38.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E38.m1.2.2.1.1.1.1.1"></compose><apply id="S4.E38.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E38.m1.2.2.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E38.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.E38.m1.2.2.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S4.E38.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.E38.m1.2.2.1.1.1.1.2.2">𝜎</ci><cn id="S4.E38.m1.2.2.1.1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.E38.m1.2.2.1.1.1.1.2.3">1</cn></apply><ci id="S4.E38.m1.2.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E38.m1.2.2.1.1.1.1.3">𝜋</ci></apply><apply id="S4.E38.m1.2.2.1.1.2.2.cmml" xref="S4.E38.m1.2.2.1.1.2.2"><compose id="S4.E38.m1.2.2.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.E38.m1.2.2.1.1.2.2.1"></compose><apply id="S4.E38.m1.2.2.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.E38.m1.2.2.1.1.2.2.2"><times id="S4.E38.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S4.E38.m1.2.2.1.1.2.2.2.1"></times><apply id="S4.E38.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S4.E38.m1.2.2.1.1.2.2.2.2"><compose id="S4.E38.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.1.cmml" xref="S4.E38.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.1"></compose><apply id="S4.E38.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.E38.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E38.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S4.E38.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S4.E38.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.E38.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.2">𝜎</ci><cn id="S4.E38.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.E38.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.3">2</cn></apply><ci id="S4.E38.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.3.cmml" xref="S4.E38.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.3">𝜋</ci></apply><ci id="S4.E38.m1.2.2.1.1.2.2.2.3.cmml" xref="S4.E38.m1.2.2.1.1.2.2.2.3">…</ci><apply id="S4.E38.m1.2.2.1.1.2.2.2.4.cmml" xref="S4.E38.m1.2.2.1.1.2.2.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E38.m1.2.2.1.1.2.2.2.4.1.cmml" xref="S4.E38.m1.2.2.1.1.2.2.2.4">subscript</csymbol><ci id="S4.E38.m1.2.2.1.1.2.2.2.4.2.cmml" xref="S4.E38.m1.2.2.1.1.2.2.2.4.2">𝜎</ci><ci id="S4.E38.m1.2.2.1.1.2.2.2.4.3.cmml" xref="S4.E38.m1.2.2.1.1.2.2.2.4.3">𝑁</ci></apply></apply><ci id="S4.E38.m1.2.2.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.E38.m1.2.2.1.1.2.2.3">𝜋</ci></apply></list></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.E38.m1.2c">\displaystyle\pi_{R}:\ket{\sigma_{1},\sigma_{2}...\sigma_{N}}\rightarrow\ket{% \sigma_{1}\circ\pi,\sigma_{2}\circ\pi...\sigma_{N}\circ\pi}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.E38.m1.2d">italic_π start_POSTSUBSCRIPT italic_R end_POSTSUBSCRIPT : | start_ARG italic_σ start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , italic_σ start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT … italic_σ start_POSTSUBSCRIPT italic_N end_POSTSUBSCRIPT end_ARG ⟩ → | start_ARG italic_σ start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ∘ italic_π , italic_σ start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT ∘ italic_π … italic_σ start_POSTSUBSCRIPT italic_N end_POSTSUBSCRIPT ∘ italic_π end_ARG ⟩</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(38)</span></td> </tr></tbody> </table> </div> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_lemma" id="Thmtheorem21"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmtheorem21.1.1.1">Lemma 21</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmtheorem21.2.2">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="Thmtheorem21.p1"> <p class="ltx_p" id="Thmtheorem21.p1.2"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmtheorem21.p1.2.2">The moment operator <math alttext="G" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem21.p1.1.1.m1.1"><semantics id="Thmtheorem21.p1.1.1.m1.1a"><mi id="Thmtheorem21.p1.1.1.m1.1.1" xref="Thmtheorem21.p1.1.1.m1.1.1.cmml">G</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem21.p1.1.1.m1.1b"><ci id="Thmtheorem21.p1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem21.p1.1.1.m1.1.1">𝐺</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem21.p1.1.1.m1.1c">G</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem21.p1.1.1.m1.1d">italic_G</annotation></semantics></math> corresponding to a random unitary acting on <math alttext="k" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem21.p1.2.2.m2.1"><semantics id="Thmtheorem21.p1.2.2.m2.1a"><mi id="Thmtheorem21.p1.2.2.m2.1.1" xref="Thmtheorem21.p1.2.2.m2.1.1.cmml">k</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem21.p1.2.2.m2.1b"><ci id="Thmtheorem21.p1.2.2.m2.1.1.cmml" xref="Thmtheorem21.p1.2.2.m2.1.1">𝑘</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem21.p1.2.2.m2.1c">k</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem21.p1.2.2.m2.1d">italic_k</annotation></semantics></math> of the sites is invariant under global left and right action:</span></p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S4.Ex26"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="[G,\pi_{R}]=[G,\pi_{L}]=0" class="ltx_Math" display="block" id="S4.Ex26.m1.4"><semantics id="S4.Ex26.m1.4a"><mrow id="S4.Ex26.m1.4.4" xref="S4.Ex26.m1.4.4.cmml"><mrow id="S4.Ex26.m1.3.3.1.1" xref="S4.Ex26.m1.3.3.1.2.cmml"><mo id="S4.Ex26.m1.3.3.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.Ex26.m1.3.3.1.2.cmml">[</mo><mi id="S4.Ex26.m1.1.1" xref="S4.Ex26.m1.1.1.cmml">G</mi><mo id="S4.Ex26.m1.3.3.1.1.3" xref="S4.Ex26.m1.3.3.1.2.cmml">,</mo><msub id="S4.Ex26.m1.3.3.1.1.1" xref="S4.Ex26.m1.3.3.1.1.1.cmml"><mi id="S4.Ex26.m1.3.3.1.1.1.2" xref="S4.Ex26.m1.3.3.1.1.1.2.cmml">π</mi><mi id="S4.Ex26.m1.3.3.1.1.1.3" xref="S4.Ex26.m1.3.3.1.1.1.3.cmml">R</mi></msub><mo id="S4.Ex26.m1.3.3.1.1.4" stretchy="false" xref="S4.Ex26.m1.3.3.1.2.cmml">]</mo></mrow><mo id="S4.Ex26.m1.4.4.4" xref="S4.Ex26.m1.4.4.4.cmml">=</mo><mrow id="S4.Ex26.m1.4.4.2.1" xref="S4.Ex26.m1.4.4.2.2.cmml"><mo id="S4.Ex26.m1.4.4.2.1.2" stretchy="false" xref="S4.Ex26.m1.4.4.2.2.cmml">[</mo><mi id="S4.Ex26.m1.2.2" xref="S4.Ex26.m1.2.2.cmml">G</mi><mo id="S4.Ex26.m1.4.4.2.1.3" xref="S4.Ex26.m1.4.4.2.2.cmml">,</mo><msub id="S4.Ex26.m1.4.4.2.1.1" xref="S4.Ex26.m1.4.4.2.1.1.cmml"><mi id="S4.Ex26.m1.4.4.2.1.1.2" xref="S4.Ex26.m1.4.4.2.1.1.2.cmml">π</mi><mi id="S4.Ex26.m1.4.4.2.1.1.3" xref="S4.Ex26.m1.4.4.2.1.1.3.cmml">L</mi></msub><mo id="S4.Ex26.m1.4.4.2.1.4" stretchy="false" xref="S4.Ex26.m1.4.4.2.2.cmml">]</mo></mrow><mo id="S4.Ex26.m1.4.4.5" xref="S4.Ex26.m1.4.4.5.cmml">=</mo><mn id="S4.Ex26.m1.4.4.6" xref="S4.Ex26.m1.4.4.6.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Ex26.m1.4b"><apply id="S4.Ex26.m1.4.4.cmml" xref="S4.Ex26.m1.4.4"><and id="S4.Ex26.m1.4.4a.cmml" xref="S4.Ex26.m1.4.4"></and><apply id="S4.Ex26.m1.4.4b.cmml" xref="S4.Ex26.m1.4.4"><eq id="S4.Ex26.m1.4.4.4.cmml" xref="S4.Ex26.m1.4.4.4"></eq><interval closure="closed" id="S4.Ex26.m1.3.3.1.2.cmml" xref="S4.Ex26.m1.3.3.1.1"><ci id="S4.Ex26.m1.1.1.cmml" xref="S4.Ex26.m1.1.1">𝐺</ci><apply id="S4.Ex26.m1.3.3.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex26.m1.3.3.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex26.m1.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex26.m1.3.3.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex26.m1.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex26.m1.3.3.1.1.1.2">𝜋</ci><ci id="S4.Ex26.m1.3.3.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex26.m1.3.3.1.1.1.3">𝑅</ci></apply></interval><interval closure="closed" id="S4.Ex26.m1.4.4.2.2.cmml" xref="S4.Ex26.m1.4.4.2.1"><ci id="S4.Ex26.m1.2.2.cmml" xref="S4.Ex26.m1.2.2">𝐺</ci><apply id="S4.Ex26.m1.4.4.2.1.1.cmml" xref="S4.Ex26.m1.4.4.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex26.m1.4.4.2.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex26.m1.4.4.2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex26.m1.4.4.2.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex26.m1.4.4.2.1.1.2">𝜋</ci><ci id="S4.Ex26.m1.4.4.2.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex26.m1.4.4.2.1.1.3">𝐿</ci></apply></interval></apply><apply id="S4.Ex26.m1.4.4c.cmml" xref="S4.Ex26.m1.4.4"><eq id="S4.Ex26.m1.4.4.5.cmml" xref="S4.Ex26.m1.4.4.5"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#S4.Ex26.m1.4.4.2.cmml" id="S4.Ex26.m1.4.4d.cmml" xref="S4.Ex26.m1.4.4"></share><cn id="S4.Ex26.m1.4.4.6.cmml" type="integer" xref="S4.Ex26.m1.4.4.6">0</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Ex26.m1.4c">[G,\pi_{R}]=[G,\pi_{L}]=0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Ex26.m1.4d">[ italic_G , italic_π start_POSTSUBSCRIPT italic_R end_POSTSUBSCRIPT ] = [ italic_G , italic_π start_POSTSUBSCRIPT italic_L end_POSTSUBSCRIPT ] = 0</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> </div> </div> <div class="ltx_proof" id="S4.1"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_font_italic ltx_title_proof">Proof.</h6> <div class="ltx_para" id="S4.1.p1"> <p class="ltx_p" id="S4.1.p1.6">A <math alttext="k" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.1.p1.1.m1.1"><semantics id="S4.1.p1.1.m1.1a"><mi id="S4.1.p1.1.m1.1.1" xref="S4.1.p1.1.m1.1.1.cmml">k</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.1.p1.1.m1.1b"><ci id="S4.1.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.1.p1.1.m1.1.1">𝑘</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.1.p1.1.m1.1c">k</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.1.p1.1.m1.1d">italic_k</annotation></semantics></math>-site gate <math alttext="G" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.1.p1.2.m2.1"><semantics id="S4.1.p1.2.m2.1a"><mi id="S4.1.p1.2.m2.1.1" xref="S4.1.p1.2.m2.1.1.cmml">G</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.1.p1.2.m2.1b"><ci id="S4.1.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="S4.1.p1.2.m2.1.1">𝐺</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.1.p1.2.m2.1c">G</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.1.p1.2.m2.1d">italic_G</annotation></semantics></math> is a projector on to the span of the <math alttext="k" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.1.p1.3.m3.1"><semantics id="S4.1.p1.3.m3.1a"><mi id="S4.1.p1.3.m3.1.1" xref="S4.1.p1.3.m3.1.1.cmml">k</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.1.p1.3.m3.1b"><ci id="S4.1.p1.3.m3.1.1.cmml" xref="S4.1.p1.3.m3.1.1">𝑘</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.1.p1.3.m3.1c">k</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.1.p1.3.m3.1d">italic_k</annotation></semantics></math>-site uniform permutation states <math alttext="\langle\ket{\sigma}^{\otimes k}:\sigma\in S_{t}\rangle" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.1.p1.4.m4.2"><semantics id="S4.1.p1.4.m4.2a"><mrow id="S4.1.p1.4.m4.2.2.1" xref="S4.1.p1.4.m4.2.2.2.cmml"><mo id="S4.1.p1.4.m4.2.2.1.2" stretchy="false" xref="S4.1.p1.4.m4.2.2.2.1.cmml">⟨</mo><mrow id="S4.1.p1.4.m4.2.2.1.1" xref="S4.1.p1.4.m4.2.2.1.1.cmml"><msup id="S4.1.p1.4.m4.2.2.1.1.2" xref="S4.1.p1.4.m4.2.2.1.1.2.cmml"><mrow id="S4.1.p1.4.m4.1.1.3" xref="S4.1.p1.4.m4.1.1.2.cmml"><mo id="S4.1.p1.4.m4.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S4.1.p1.4.m4.1.1.2.1.cmml">|</mo><mi id="S4.1.p1.4.m4.1.1.1.1" xref="S4.1.p1.4.m4.1.1.1.1.cmml">σ</mi><mo id="S4.1.p1.4.m4.1.1.3.2" rspace="0.278em" stretchy="false" xref="S4.1.p1.4.m4.1.1.2.1.cmml">⟩</mo></mrow><mrow id="S4.1.p1.4.m4.2.2.1.1.2.2" xref="S4.1.p1.4.m4.2.2.1.1.2.2.cmml"><mi id="S4.1.p1.4.m4.2.2.1.1.2.2.2" xref="S4.1.p1.4.m4.2.2.1.1.2.2.2.cmml"></mi><mo id="S4.1.p1.4.m4.2.2.1.1.2.2.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S4.1.p1.4.m4.2.2.1.1.2.2.1.cmml">⊗</mo><mi id="S4.1.p1.4.m4.2.2.1.1.2.2.3" xref="S4.1.p1.4.m4.2.2.1.1.2.2.3.cmml">k</mi></mrow></msup><mo id="S4.1.p1.4.m4.2.2.1.1.1" rspace="0.278em" xref="S4.1.p1.4.m4.2.2.1.1.1.cmml">:</mo><mrow id="S4.1.p1.4.m4.2.2.1.1.3" xref="S4.1.p1.4.m4.2.2.1.1.3.cmml"><mi id="S4.1.p1.4.m4.2.2.1.1.3.2" xref="S4.1.p1.4.m4.2.2.1.1.3.2.cmml">σ</mi><mo id="S4.1.p1.4.m4.2.2.1.1.3.1" xref="S4.1.p1.4.m4.2.2.1.1.3.1.cmml">∈</mo><msub id="S4.1.p1.4.m4.2.2.1.1.3.3" xref="S4.1.p1.4.m4.2.2.1.1.3.3.cmml"><mi id="S4.1.p1.4.m4.2.2.1.1.3.3.2" xref="S4.1.p1.4.m4.2.2.1.1.3.3.2.cmml">S</mi><mi id="S4.1.p1.4.m4.2.2.1.1.3.3.3" xref="S4.1.p1.4.m4.2.2.1.1.3.3.3.cmml">t</mi></msub></mrow></mrow><mo id="S4.1.p1.4.m4.2.2.1.3" stretchy="false" xref="S4.1.p1.4.m4.2.2.2.1.cmml">⟩</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.1.p1.4.m4.2b"><apply id="S4.1.p1.4.m4.2.2.2.cmml" xref="S4.1.p1.4.m4.2.2.1"><csymbol cd="latexml" id="S4.1.p1.4.m4.2.2.2.1.cmml" xref="S4.1.p1.4.m4.2.2.1.2">delimited-⟨⟩</csymbol><apply id="S4.1.p1.4.m4.2.2.1.1.cmml" xref="S4.1.p1.4.m4.2.2.1.1"><ci id="S4.1.p1.4.m4.2.2.1.1.1.cmml" xref="S4.1.p1.4.m4.2.2.1.1.1">:</ci><apply id="S4.1.p1.4.m4.2.2.1.1.2.cmml" xref="S4.1.p1.4.m4.2.2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.1.p1.4.m4.2.2.1.1.2.1.cmml" xref="S4.1.p1.4.m4.2.2.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="S4.1.p1.4.m4.1.1.2.cmml" xref="S4.1.p1.4.m4.1.1.3"><csymbol cd="latexml" id="S4.1.p1.4.m4.1.1.2.1.cmml" xref="S4.1.p1.4.m4.1.1.3.1">ket</csymbol><ci id="S4.1.p1.4.m4.1.1.1.1.cmml" xref="S4.1.p1.4.m4.1.1.1.1">𝜎</ci></apply><apply id="S4.1.p1.4.m4.2.2.1.1.2.2.cmml" xref="S4.1.p1.4.m4.2.2.1.1.2.2"><csymbol cd="latexml" id="S4.1.p1.4.m4.2.2.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.1.p1.4.m4.2.2.1.1.2.2.1">tensor-product</csymbol><csymbol cd="latexml" id="S4.1.p1.4.m4.2.2.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.1.p1.4.m4.2.2.1.1.2.2.2">absent</csymbol><ci id="S4.1.p1.4.m4.2.2.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.1.p1.4.m4.2.2.1.1.2.2.3">𝑘</ci></apply></apply><apply id="S4.1.p1.4.m4.2.2.1.1.3.cmml" xref="S4.1.p1.4.m4.2.2.1.1.3"><in id="S4.1.p1.4.m4.2.2.1.1.3.1.cmml" xref="S4.1.p1.4.m4.2.2.1.1.3.1"></in><ci id="S4.1.p1.4.m4.2.2.1.1.3.2.cmml" xref="S4.1.p1.4.m4.2.2.1.1.3.2">𝜎</ci><apply id="S4.1.p1.4.m4.2.2.1.1.3.3.cmml" xref="S4.1.p1.4.m4.2.2.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.1.p1.4.m4.2.2.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.1.p1.4.m4.2.2.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S4.1.p1.4.m4.2.2.1.1.3.3.2.cmml" xref="S4.1.p1.4.m4.2.2.1.1.3.3.2">𝑆</ci><ci id="S4.1.p1.4.m4.2.2.1.1.3.3.3.cmml" xref="S4.1.p1.4.m4.2.2.1.1.3.3.3">𝑡</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.1.p1.4.m4.2c">\langle\ket{\sigma}^{\otimes k}:\sigma\in S_{t}\rangle</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.1.p1.4.m4.2d">⟨ | start_ARG italic_σ end_ARG ⟩ start_POSTSUPERSCRIPT ⊗ italic_k end_POSTSUPERSCRIPT : italic_σ ∈ italic_S start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ⟩</annotation></semantics></math>. The metric in this subspace, <math alttext="\langle\sigma|\tau\rangle^{k}=q^{-k|\sigma^{-1}\tau|}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.1.p1.5.m5.3"><semantics id="S4.1.p1.5.m5.3a"><mrow id="S4.1.p1.5.m5.3.4" xref="S4.1.p1.5.m5.3.4.cmml"><msup id="S4.1.p1.5.m5.3.4.2" xref="S4.1.p1.5.m5.3.4.2.cmml"><mrow id="S4.1.p1.5.m5.3.4.2.2.2" xref="S4.1.p1.5.m5.3.4.2.2.1.cmml"><mo id="S4.1.p1.5.m5.3.4.2.2.2.1" stretchy="false" xref="S4.1.p1.5.m5.3.4.2.2.1.1.cmml">⟨</mo><mi id="S4.1.p1.5.m5.3.3" xref="S4.1.p1.5.m5.3.3.cmml">σ</mi><mo id="S4.1.p1.5.m5.3.4.2.2.2.2" lspace="0em" rspace="0em" xref="S4.1.p1.5.m5.3.4.2.2.1.1.cmml">|</mo><mi id="S4.1.p1.5.m5.2.2" xref="S4.1.p1.5.m5.2.2.cmml">τ</mi><mo id="S4.1.p1.5.m5.3.4.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S4.1.p1.5.m5.3.4.2.2.1.1.cmml">⟩</mo></mrow><mi id="S4.1.p1.5.m5.3.4.2.3" xref="S4.1.p1.5.m5.3.4.2.3.cmml">k</mi></msup><mo id="S4.1.p1.5.m5.3.4.1" xref="S4.1.p1.5.m5.3.4.1.cmml">=</mo><msup id="S4.1.p1.5.m5.3.4.3" xref="S4.1.p1.5.m5.3.4.3.cmml"><mi id="S4.1.p1.5.m5.3.4.3.2" xref="S4.1.p1.5.m5.3.4.3.2.cmml">q</mi><mrow id="S4.1.p1.5.m5.1.1.1" xref="S4.1.p1.5.m5.1.1.1.cmml"><mo id="S4.1.p1.5.m5.1.1.1a" xref="S4.1.p1.5.m5.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S4.1.p1.5.m5.1.1.1.1" xref="S4.1.p1.5.m5.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.1.p1.5.m5.1.1.1.1.3" xref="S4.1.p1.5.m5.1.1.1.1.3.cmml">k</mi><mo id="S4.1.p1.5.m5.1.1.1.1.2" xref="S4.1.p1.5.m5.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.1.p1.5.m5.1.1.1.1.1.1" xref="S4.1.p1.5.m5.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S4.1.p1.5.m5.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.1.p1.5.m5.1.1.1.1.1.2.1.cmml">|</mo><mrow id="S4.1.p1.5.m5.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.1.p1.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msup id="S4.1.p1.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.1.p1.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.1.p1.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.1.p1.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">σ</mi><mrow id="S4.1.p1.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S4.1.p1.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mo id="S4.1.p1.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.2.3a" xref="S4.1.p1.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">−</mo><mn id="S4.1.p1.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S4.1.p1.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="S4.1.p1.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.1.p1.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.1.p1.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.1.p1.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">τ</mi></mrow><mo id="S4.1.p1.5.m5.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.1.p1.5.m5.1.1.1.1.1.2.1.cmml">|</mo></mrow></mrow></mrow></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.1.p1.5.m5.3b"><apply id="S4.1.p1.5.m5.3.4.cmml" xref="S4.1.p1.5.m5.3.4"><eq id="S4.1.p1.5.m5.3.4.1.cmml" xref="S4.1.p1.5.m5.3.4.1"></eq><apply id="S4.1.p1.5.m5.3.4.2.cmml" xref="S4.1.p1.5.m5.3.4.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.1.p1.5.m5.3.4.2.1.cmml" xref="S4.1.p1.5.m5.3.4.2">superscript</csymbol><apply id="S4.1.p1.5.m5.3.4.2.2.1.cmml" xref="S4.1.p1.5.m5.3.4.2.2.2"><csymbol cd="latexml" id="S4.1.p1.5.m5.3.4.2.2.1.1.cmml" xref="S4.1.p1.5.m5.3.4.2.2.2.1">inner-product</csymbol><ci id="S4.1.p1.5.m5.3.3.cmml" xref="S4.1.p1.5.m5.3.3">𝜎</ci><ci id="S4.1.p1.5.m5.2.2.cmml" xref="S4.1.p1.5.m5.2.2">𝜏</ci></apply><ci id="S4.1.p1.5.m5.3.4.2.3.cmml" xref="S4.1.p1.5.m5.3.4.2.3">𝑘</ci></apply><apply id="S4.1.p1.5.m5.3.4.3.cmml" xref="S4.1.p1.5.m5.3.4.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.1.p1.5.m5.3.4.3.1.cmml" xref="S4.1.p1.5.m5.3.4.3">superscript</csymbol><ci id="S4.1.p1.5.m5.3.4.3.2.cmml" xref="S4.1.p1.5.m5.3.4.3.2">𝑞</ci><apply id="S4.1.p1.5.m5.1.1.1.cmml" xref="S4.1.p1.5.m5.1.1.1"><minus id="S4.1.p1.5.m5.1.1.1.2.cmml" xref="S4.1.p1.5.m5.1.1.1"></minus><apply id="S4.1.p1.5.m5.1.1.1.1.cmml" xref="S4.1.p1.5.m5.1.1.1.1"><times id="S4.1.p1.5.m5.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.1.p1.5.m5.1.1.1.1.2"></times><ci id="S4.1.p1.5.m5.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.1.p1.5.m5.1.1.1.1.3">𝑘</ci><apply id="S4.1.p1.5.m5.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.1.p1.5.m5.1.1.1.1.1.1"><abs id="S4.1.p1.5.m5.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.1.p1.5.m5.1.1.1.1.1.1.2"></abs><apply id="S4.1.p1.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.1.p1.5.m5.1.1.1.1.1.1.1"><times id="S4.1.p1.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.1.p1.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.1"></times><apply id="S4.1.p1.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.1.p1.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.1.p1.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.1.p1.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S4.1.p1.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.1.p1.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝜎</ci><apply id="S4.1.p1.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.1.p1.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.2.3"><minus id="S4.1.p1.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S4.1.p1.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.2.3"></minus><cn id="S4.1.p1.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" type="integer" xref="S4.1.p1.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2">1</cn></apply></apply><ci id="S4.1.p1.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.1.p1.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.3">𝜏</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.1.p1.5.m5.3c">\langle\sigma|\tau\rangle^{k}=q^{-k|\sigma^{-1}\tau|}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.1.p1.5.m5.3d">⟨ italic_σ | italic_τ ⟩ start_POSTSUPERSCRIPT italic_k end_POSTSUPERSCRIPT = italic_q start_POSTSUPERSCRIPT - italic_k | italic_σ start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT italic_τ | end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>, is invariant under global left or right action. In addition, the space itself is closed under global left or right action. Therefore, the image of <math alttext="G" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.1.p1.6.m6.1"><semantics id="S4.1.p1.6.m6.1a"><mi id="S4.1.p1.6.m6.1.1" xref="S4.1.p1.6.m6.1.1.cmml">G</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.1.p1.6.m6.1b"><ci id="S4.1.p1.6.m6.1.1.cmml" xref="S4.1.p1.6.m6.1.1">𝐺</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.1.p1.6.m6.1c">G</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.1.p1.6.m6.1d">italic_G</annotation></semantics></math>, as a subspace, is preserved under global left or right action. The commutativity follows. ∎</p> </div> </div> <div class="ltx_para" id="S4.p2"> <p class="ltx_p" id="S4.p2.4">Next we show that there is a natural embedding of transfer matrices at some moment <math alttext="t" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p2.1.m1.1"><semantics id="S4.p2.1.m1.1a"><mi id="S4.p2.1.m1.1.1" xref="S4.p2.1.m1.1.1.cmml">t</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p2.1.m1.1b"><ci id="S4.p2.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.p2.1.m1.1.1">𝑡</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p2.1.m1.1c">t</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p2.1.m1.1d">italic_t</annotation></semantics></math> and transfer matrices at any higher moment <math alttext="t^{\prime}>t" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p2.2.m2.1"><semantics id="S4.p2.2.m2.1a"><mrow id="S4.p2.2.m2.1.1" xref="S4.p2.2.m2.1.1.cmml"><msup id="S4.p2.2.m2.1.1.2" xref="S4.p2.2.m2.1.1.2.cmml"><mi id="S4.p2.2.m2.1.1.2.2" xref="S4.p2.2.m2.1.1.2.2.cmml">t</mi><mo id="S4.p2.2.m2.1.1.2.3" xref="S4.p2.2.m2.1.1.2.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S4.p2.2.m2.1.1.1" xref="S4.p2.2.m2.1.1.1.cmml">></mo><mi id="S4.p2.2.m2.1.1.3" xref="S4.p2.2.m2.1.1.3.cmml">t</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p2.2.m2.1b"><apply id="S4.p2.2.m2.1.1.cmml" xref="S4.p2.2.m2.1.1"><gt id="S4.p2.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S4.p2.2.m2.1.1.1"></gt><apply id="S4.p2.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S4.p2.2.m2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p2.2.m2.1.1.2.1.cmml" xref="S4.p2.2.m2.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S4.p2.2.m2.1.1.2.2.cmml" xref="S4.p2.2.m2.1.1.2.2">𝑡</ci><ci id="S4.p2.2.m2.1.1.2.3.cmml" xref="S4.p2.2.m2.1.1.2.3">′</ci></apply><ci id="S4.p2.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S4.p2.2.m2.1.1.3">𝑡</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p2.2.m2.1c">t^{\prime}>t</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p2.2.m2.1d">italic_t start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT > italic_t</annotation></semantics></math>. Since we will be working with states and gates at different values of <math alttext="t" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p2.3.m3.1"><semantics id="S4.p2.3.m3.1a"><mi id="S4.p2.3.m3.1.1" xref="S4.p2.3.m3.1.1.cmml">t</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p2.3.m3.1b"><ci id="S4.p2.3.m3.1.1.cmml" xref="S4.p2.3.m3.1.1">𝑡</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p2.3.m3.1c">t</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p2.3.m3.1d">italic_t</annotation></semantics></math>, we will here note the <math alttext="t" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p2.4.m4.1"><semantics id="S4.p2.4.m4.1a"><mi id="S4.p2.4.m4.1.1" xref="S4.p2.4.m4.1.1.cmml">t</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p2.4.m4.1b"><ci id="S4.p2.4.m4.1.1.cmml" xref="S4.p2.4.m4.1.1">𝑡</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p2.4.m4.1c">t</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p2.4.m4.1d">italic_t</annotation></semantics></math>-value with a superscript, so that</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_gather ltx_eqn_table" id="S6.EGx35"> <tbody id="S4.E39"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\displaystyle\ket{\sigma}^{(t)}=\frac{1}{\sqrt{q}^{t}}\sum_{\vec{i}\in\mathbb{% Z}_{q}^{t}}\ket{\vec{i}}\otimes\ket{\sigma(\vec{i})}" class="ltx_Math" display="block" id="S4.E39.m1.4"><semantics id="S4.E39.m1.4a"><mrow id="S4.E39.m1.4.5" xref="S4.E39.m1.4.5.cmml"><msup id="S4.E39.m1.4.5.2" xref="S4.E39.m1.4.5.2.cmml"><mrow id="S4.E39.m1.1.1.3" xref="S4.E39.m1.1.1.2.cmml"><mo id="S4.E39.m1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S4.E39.m1.1.1.2.1.cmml">|</mo><mi id="S4.E39.m1.1.1.1.1" xref="S4.E39.m1.1.1.1.1.cmml">σ</mi><mo id="S4.E39.m1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S4.E39.m1.1.1.2.1.cmml">⟩</mo></mrow><mrow id="S4.E39.m1.4.4.1.3" xref="S4.E39.m1.4.5.2.cmml"><mo id="S4.E39.m1.4.4.1.3.1" stretchy="false" xref="S4.E39.m1.4.5.2.cmml">(</mo><mi id="S4.E39.m1.4.4.1.1" xref="S4.E39.m1.4.4.1.1.cmml">t</mi><mo id="S4.E39.m1.4.4.1.3.2" stretchy="false" xref="S4.E39.m1.4.5.2.cmml">)</mo></mrow></msup><mo id="S4.E39.m1.4.5.1" xref="S4.E39.m1.4.5.1.cmml">=</mo><mrow id="S4.E39.m1.4.5.3" xref="S4.E39.m1.4.5.3.cmml"><mfrac id="S4.E39.m1.4.5.3.2" xref="S4.E39.m1.4.5.3.2.cmml"><mn id="S4.E39.m1.4.5.3.2.2" xref="S4.E39.m1.4.5.3.2.2.cmml">1</mn><msup id="S4.E39.m1.4.5.3.2.3" xref="S4.E39.m1.4.5.3.2.3.cmml"><msqrt id="S4.E39.m1.4.5.3.2.3.2" xref="S4.E39.m1.4.5.3.2.3.2.cmml"><mi id="S4.E39.m1.4.5.3.2.3.2.2" xref="S4.E39.m1.4.5.3.2.3.2.2.cmml">q</mi></msqrt><mi id="S4.E39.m1.4.5.3.2.3.3" xref="S4.E39.m1.4.5.3.2.3.3.cmml">t</mi></msup></mfrac><mo id="S4.E39.m1.4.5.3.1" xref="S4.E39.m1.4.5.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E39.m1.4.5.3.3" xref="S4.E39.m1.4.5.3.3.cmml"><munder id="S4.E39.m1.4.5.3.3.1" xref="S4.E39.m1.4.5.3.3.1.cmml"><mo id="S4.E39.m1.4.5.3.3.1.2" movablelimits="false" rspace="0em" xref="S4.E39.m1.4.5.3.3.1.2.cmml">∑</mo><mrow id="S4.E39.m1.4.5.3.3.1.3" xref="S4.E39.m1.4.5.3.3.1.3.cmml"><mover accent="true" id="S4.E39.m1.4.5.3.3.1.3.2" xref="S4.E39.m1.4.5.3.3.1.3.2.cmml"><mi id="S4.E39.m1.4.5.3.3.1.3.2.2" xref="S4.E39.m1.4.5.3.3.1.3.2.2.cmml">i</mi><mo id="S4.E39.m1.4.5.3.3.1.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.E39.m1.4.5.3.3.1.3.2.1.cmml">→</mo></mover><mo id="S4.E39.m1.4.5.3.3.1.3.1" xref="S4.E39.m1.4.5.3.3.1.3.1.cmml">∈</mo><msubsup id="S4.E39.m1.4.5.3.3.1.3.3" xref="S4.E39.m1.4.5.3.3.1.3.3.cmml"><mi id="S4.E39.m1.4.5.3.3.1.3.3.2.2" xref="S4.E39.m1.4.5.3.3.1.3.3.2.2.cmml">ℤ</mi><mi id="S4.E39.m1.4.5.3.3.1.3.3.2.3" xref="S4.E39.m1.4.5.3.3.1.3.3.2.3.cmml">q</mi><mi id="S4.E39.m1.4.5.3.3.1.3.3.3" xref="S4.E39.m1.4.5.3.3.1.3.3.3.cmml">t</mi></msubsup></mrow></munder><mrow id="S4.E39.m1.4.5.3.3.2" xref="S4.E39.m1.4.5.3.3.2.cmml"><mrow id="S4.E39.m1.2.2.3" xref="S4.E39.m1.2.2.2.cmml"><mo id="S4.E39.m1.2.2.3.1" stretchy="false" xref="S4.E39.m1.2.2.2.1.cmml">|</mo><mover accent="true" id="S4.E39.m1.2.2.1.1" xref="S4.E39.m1.2.2.1.1.cmml"><mi id="S4.E39.m1.2.2.1.1.2" xref="S4.E39.m1.2.2.1.1.2.cmml">i</mi><mo id="S4.E39.m1.2.2.1.1.1" stretchy="false" xref="S4.E39.m1.2.2.1.1.1.cmml">→</mo></mover><mo id="S4.E39.m1.2.2.3.2" rspace="0.055em" stretchy="false" xref="S4.E39.m1.2.2.2.1.cmml">⟩</mo></mrow><mo id="S4.E39.m1.4.5.3.3.2.1" rspace="0.222em" xref="S4.E39.m1.4.5.3.3.2.1.cmml">⊗</mo><mrow id="S4.E39.m1.3.3.3" xref="S4.E39.m1.3.3.2.cmml"><mo id="S4.E39.m1.3.3.3.1" stretchy="false" xref="S4.E39.m1.3.3.2.1.cmml">|</mo><mrow id="S4.E39.m1.3.3.1.1" xref="S4.E39.m1.3.3.1.1.cmml"><mi id="S4.E39.m1.3.3.1.1.3" xref="S4.E39.m1.3.3.1.1.3.cmml">σ</mi><mo id="S4.E39.m1.3.3.1.1.2" xref="S4.E39.m1.3.3.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E39.m1.3.3.1.1.4.2" xref="S4.E39.m1.3.3.1.1.1.cmml"><mo id="S4.E39.m1.3.3.1.1.4.2.1" stretchy="false" xref="S4.E39.m1.3.3.1.1.1.cmml">(</mo><mover accent="true" id="S4.E39.m1.3.3.1.1.1" xref="S4.E39.m1.3.3.1.1.1.cmml"><mi id="S4.E39.m1.3.3.1.1.1.2" xref="S4.E39.m1.3.3.1.1.1.2.cmml">i</mi><mo id="S4.E39.m1.3.3.1.1.1.1" stretchy="false" xref="S4.E39.m1.3.3.1.1.1.1.cmml">→</mo></mover><mo id="S4.E39.m1.3.3.1.1.4.2.2" stretchy="false" xref="S4.E39.m1.3.3.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.E39.m1.3.3.3.2" stretchy="false" xref="S4.E39.m1.3.3.2.1.cmml">⟩</mo></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.E39.m1.4b"><apply id="S4.E39.m1.4.5.cmml" xref="S4.E39.m1.4.5"><eq id="S4.E39.m1.4.5.1.cmml" xref="S4.E39.m1.4.5.1"></eq><apply id="S4.E39.m1.4.5.2.cmml" xref="S4.E39.m1.4.5.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E39.m1.4.5.2.1.cmml" xref="S4.E39.m1.4.5.2">superscript</csymbol><apply id="S4.E39.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.E39.m1.1.1.3"><csymbol cd="latexml" id="S4.E39.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.E39.m1.1.1.3.1">ket</csymbol><ci id="S4.E39.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E39.m1.1.1.1.1">𝜎</ci></apply><ci id="S4.E39.m1.4.4.1.1.cmml" xref="S4.E39.m1.4.4.1.1">𝑡</ci></apply><apply id="S4.E39.m1.4.5.3.cmml" xref="S4.E39.m1.4.5.3"><times id="S4.E39.m1.4.5.3.1.cmml" xref="S4.E39.m1.4.5.3.1"></times><apply id="S4.E39.m1.4.5.3.2.cmml" xref="S4.E39.m1.4.5.3.2"><divide id="S4.E39.m1.4.5.3.2.1.cmml" xref="S4.E39.m1.4.5.3.2"></divide><cn id="S4.E39.m1.4.5.3.2.2.cmml" type="integer" xref="S4.E39.m1.4.5.3.2.2">1</cn><apply id="S4.E39.m1.4.5.3.2.3.cmml" xref="S4.E39.m1.4.5.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E39.m1.4.5.3.2.3.1.cmml" xref="S4.E39.m1.4.5.3.2.3">superscript</csymbol><apply id="S4.E39.m1.4.5.3.2.3.2.cmml" xref="S4.E39.m1.4.5.3.2.3.2"><root id="S4.E39.m1.4.5.3.2.3.2a.cmml" xref="S4.E39.m1.4.5.3.2.3.2"></root><ci id="S4.E39.m1.4.5.3.2.3.2.2.cmml" xref="S4.E39.m1.4.5.3.2.3.2.2">𝑞</ci></apply><ci id="S4.E39.m1.4.5.3.2.3.3.cmml" xref="S4.E39.m1.4.5.3.2.3.3">𝑡</ci></apply></apply><apply id="S4.E39.m1.4.5.3.3.cmml" xref="S4.E39.m1.4.5.3.3"><apply id="S4.E39.m1.4.5.3.3.1.cmml" xref="S4.E39.m1.4.5.3.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E39.m1.4.5.3.3.1.1.cmml" xref="S4.E39.m1.4.5.3.3.1">subscript</csymbol><sum id="S4.E39.m1.4.5.3.3.1.2.cmml" xref="S4.E39.m1.4.5.3.3.1.2"></sum><apply id="S4.E39.m1.4.5.3.3.1.3.cmml" xref="S4.E39.m1.4.5.3.3.1.3"><in id="S4.E39.m1.4.5.3.3.1.3.1.cmml" xref="S4.E39.m1.4.5.3.3.1.3.1"></in><apply id="S4.E39.m1.4.5.3.3.1.3.2.cmml" xref="S4.E39.m1.4.5.3.3.1.3.2"><ci id="S4.E39.m1.4.5.3.3.1.3.2.1.cmml" xref="S4.E39.m1.4.5.3.3.1.3.2.1">→</ci><ci id="S4.E39.m1.4.5.3.3.1.3.2.2.cmml" xref="S4.E39.m1.4.5.3.3.1.3.2.2">𝑖</ci></apply><apply id="S4.E39.m1.4.5.3.3.1.3.3.cmml" xref="S4.E39.m1.4.5.3.3.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E39.m1.4.5.3.3.1.3.3.1.cmml" xref="S4.E39.m1.4.5.3.3.1.3.3">superscript</csymbol><apply id="S4.E39.m1.4.5.3.3.1.3.3.2.cmml" xref="S4.E39.m1.4.5.3.3.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E39.m1.4.5.3.3.1.3.3.2.1.cmml" xref="S4.E39.m1.4.5.3.3.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S4.E39.m1.4.5.3.3.1.3.3.2.2.cmml" xref="S4.E39.m1.4.5.3.3.1.3.3.2.2">ℤ</ci><ci id="S4.E39.m1.4.5.3.3.1.3.3.2.3.cmml" xref="S4.E39.m1.4.5.3.3.1.3.3.2.3">𝑞</ci></apply><ci id="S4.E39.m1.4.5.3.3.1.3.3.3.cmml" xref="S4.E39.m1.4.5.3.3.1.3.3.3">𝑡</ci></apply></apply></apply><apply id="S4.E39.m1.4.5.3.3.2.cmml" xref="S4.E39.m1.4.5.3.3.2"><csymbol cd="latexml" id="S4.E39.m1.4.5.3.3.2.1.cmml" xref="S4.E39.m1.4.5.3.3.2.1">tensor-product</csymbol><apply id="S4.E39.m1.2.2.2.cmml" xref="S4.E39.m1.2.2.3"><csymbol cd="latexml" id="S4.E39.m1.2.2.2.1.cmml" xref="S4.E39.m1.2.2.3.1">ket</csymbol><apply id="S4.E39.m1.2.2.1.1.cmml" xref="S4.E39.m1.2.2.1.1"><ci id="S4.E39.m1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S4.E39.m1.2.2.1.1.1">→</ci><ci id="S4.E39.m1.2.2.1.1.2.cmml" xref="S4.E39.m1.2.2.1.1.2">𝑖</ci></apply></apply><apply id="S4.E39.m1.3.3.2.cmml" xref="S4.E39.m1.3.3.3"><csymbol cd="latexml" id="S4.E39.m1.3.3.2.1.cmml" xref="S4.E39.m1.3.3.3.1">ket</csymbol><apply id="S4.E39.m1.3.3.1.1.cmml" xref="S4.E39.m1.3.3.1.1"><times id="S4.E39.m1.3.3.1.1.2.cmml" xref="S4.E39.m1.3.3.1.1.2"></times><ci id="S4.E39.m1.3.3.1.1.3.cmml" xref="S4.E39.m1.3.3.1.1.3">𝜎</ci><apply id="S4.E39.m1.3.3.1.1.1.cmml" xref="S4.E39.m1.3.3.1.1.4.2"><ci id="S4.E39.m1.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E39.m1.3.3.1.1.1.1">→</ci><ci id="S4.E39.m1.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E39.m1.3.3.1.1.1.2">𝑖</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.E39.m1.4c">\displaystyle\ket{\sigma}^{(t)}=\frac{1}{\sqrt{q}^{t}}\sum_{\vec{i}\in\mathbb{% Z}_{q}^{t}}\ket{\vec{i}}\otimes\ket{\sigma(\vec{i})}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.E39.m1.4d">| start_ARG italic_σ end_ARG ⟩ start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_t ) end_POSTSUPERSCRIPT = divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG square-root start_ARG italic_q end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT italic_t end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG ∑ start_POSTSUBSCRIPT over→ start_ARG italic_i end_ARG ∈ blackboard_Z start_POSTSUBSCRIPT italic_q end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_t end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT | start_ARG over→ start_ARG italic_i end_ARG end_ARG ⟩ ⊗ | start_ARG italic_σ ( over→ start_ARG italic_i end_ARG ) end_ARG ⟩</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(39)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S4.p2.5">Here the tensor product is between copies of the random circuit and copies of its adjoint, not sites. Similarly we define</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_gather ltx_eqn_table" id="S6.EGx36"> <tbody id="S4.E40"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\displaystyle G^{(t)}=\sum_{\sigma\in S_{t}}\text{Wg}(\sigma^{-1}\tau,q^{2})% \ket{\sigma}^{(t)\otimes 2}\bra{\tau}^{(t)\otimes 2}" class="ltx_Math" display="block" id="S4.E40.m1.7"><semantics id="S4.E40.m1.7a"><mrow id="S4.E40.m1.7.7" xref="S4.E40.m1.7.7.cmml"><msup id="S4.E40.m1.7.7.4" xref="S4.E40.m1.7.7.4.cmml"><mi id="S4.E40.m1.7.7.4.2" xref="S4.E40.m1.7.7.4.2.cmml">G</mi><mrow id="S4.E40.m1.3.3.1.3" xref="S4.E40.m1.7.7.4.cmml"><mo id="S4.E40.m1.3.3.1.3.1" stretchy="false" xref="S4.E40.m1.7.7.4.cmml">(</mo><mi id="S4.E40.m1.3.3.1.1" xref="S4.E40.m1.3.3.1.1.cmml">t</mi><mo id="S4.E40.m1.3.3.1.3.2" stretchy="false" xref="S4.E40.m1.7.7.4.cmml">)</mo></mrow></msup><mo id="S4.E40.m1.7.7.3" rspace="0.111em" xref="S4.E40.m1.7.7.3.cmml">=</mo><mrow id="S4.E40.m1.7.7.2" xref="S4.E40.m1.7.7.2.cmml"><munder id="S4.E40.m1.7.7.2.3" xref="S4.E40.m1.7.7.2.3.cmml"><mo id="S4.E40.m1.7.7.2.3.2" movablelimits="false" xref="S4.E40.m1.7.7.2.3.2.cmml">∑</mo><mrow id="S4.E40.m1.7.7.2.3.3" xref="S4.E40.m1.7.7.2.3.3.cmml"><mi id="S4.E40.m1.7.7.2.3.3.2" xref="S4.E40.m1.7.7.2.3.3.2.cmml">σ</mi><mo id="S4.E40.m1.7.7.2.3.3.1" xref="S4.E40.m1.7.7.2.3.3.1.cmml">∈</mo><msub id="S4.E40.m1.7.7.2.3.3.3" xref="S4.E40.m1.7.7.2.3.3.3.cmml"><mi id="S4.E40.m1.7.7.2.3.3.3.2" xref="S4.E40.m1.7.7.2.3.3.3.2.cmml">S</mi><mi id="S4.E40.m1.7.7.2.3.3.3.3" xref="S4.E40.m1.7.7.2.3.3.3.3.cmml">t</mi></msub></mrow></munder><mrow id="S4.E40.m1.7.7.2.2" xref="S4.E40.m1.7.7.2.2.cmml"><mtext id="S4.E40.m1.7.7.2.2.4" xref="S4.E40.m1.7.7.2.2.4a.cmml">Wg</mtext><mo id="S4.E40.m1.7.7.2.2.3" xref="S4.E40.m1.7.7.2.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E40.m1.7.7.2.2.2.2" xref="S4.E40.m1.7.7.2.2.2.3.cmml"><mo id="S4.E40.m1.7.7.2.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S4.E40.m1.7.7.2.2.2.3.cmml">(</mo><mrow id="S4.E40.m1.6.6.1.1.1.1.1" xref="S4.E40.m1.6.6.1.1.1.1.1.cmml"><msup id="S4.E40.m1.6.6.1.1.1.1.1.2" xref="S4.E40.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.E40.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.E40.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.2.cmml">σ</mi><mrow id="S4.E40.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.3" xref="S4.E40.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mo id="S4.E40.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.3a" xref="S4.E40.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.3.cmml">−</mo><mn id="S4.E40.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S4.E40.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="S4.E40.m1.6.6.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E40.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E40.m1.6.6.1.1.1.1.1.3" xref="S4.E40.m1.6.6.1.1.1.1.1.3.cmml">τ</mi></mrow><mo id="S4.E40.m1.7.7.2.2.2.2.4" xref="S4.E40.m1.7.7.2.2.2.3.cmml">,</mo><msup id="S4.E40.m1.7.7.2.2.2.2.2" xref="S4.E40.m1.7.7.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="S4.E40.m1.7.7.2.2.2.2.2.2" xref="S4.E40.m1.7.7.2.2.2.2.2.2.cmml">q</mi><mn id="S4.E40.m1.7.7.2.2.2.2.2.3" xref="S4.E40.m1.7.7.2.2.2.2.2.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S4.E40.m1.7.7.2.2.2.2.5" stretchy="false" xref="S4.E40.m1.7.7.2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow><mo id="S4.E40.m1.7.7.2.2.3a" xref="S4.E40.m1.7.7.2.2.3.cmml">⁢</mo><msup id="S4.E40.m1.7.7.2.2.5" xref="S4.E40.m1.7.7.2.2.5.cmml"><mrow id="S4.E40.m1.1.1.3" xref="S4.E40.m1.1.1.2.cmml"><mo id="S4.E40.m1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S4.E40.m1.1.1.2.1.cmml">|</mo><mi id="S4.E40.m1.1.1.1.1" xref="S4.E40.m1.1.1.1.1.cmml">σ</mi><mo id="S4.E40.m1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S4.E40.m1.1.1.2.1.cmml">⟩</mo></mrow><mrow id="S4.E40.m1.4.4.1" xref="S4.E40.m1.4.4.1.cmml"><mrow id="S4.E40.m1.4.4.1.3.2" xref="S4.E40.m1.4.4.1.cmml"><mo id="S4.E40.m1.4.4.1.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.E40.m1.4.4.1.cmml">(</mo><mi id="S4.E40.m1.4.4.1.1" xref="S4.E40.m1.4.4.1.1.cmml">t</mi><mo id="S4.E40.m1.4.4.1.3.2.2" rspace="0.055em" stretchy="false" xref="S4.E40.m1.4.4.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S4.E40.m1.4.4.1.2" rspace="0.222em" xref="S4.E40.m1.4.4.1.2.cmml">⊗</mo><mn id="S4.E40.m1.4.4.1.4" xref="S4.E40.m1.4.4.1.4.cmml">2</mn></mrow></msup><mo id="S4.E40.m1.7.7.2.2.3b" xref="S4.E40.m1.7.7.2.2.3.cmml">⁢</mo><msup id="S4.E40.m1.7.7.2.2.6" xref="S4.E40.m1.7.7.2.2.6.cmml"><mrow id="S4.E40.m1.2.2.3" xref="S4.E40.m1.2.2.2.cmml"><mo id="S4.E40.m1.2.2.3.1" stretchy="false" xref="S4.E40.m1.2.2.2.1.cmml">⟨</mo><mi id="S4.E40.m1.2.2.1.1" xref="S4.E40.m1.2.2.1.1.cmml">τ</mi><mo id="S4.E40.m1.2.2.3.2" stretchy="false" xref="S4.E40.m1.2.2.2.1.cmml">|</mo></mrow><mrow id="S4.E40.m1.5.5.1" xref="S4.E40.m1.5.5.1.cmml"><mrow id="S4.E40.m1.5.5.1.3.2" xref="S4.E40.m1.5.5.1.cmml"><mo id="S4.E40.m1.5.5.1.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.E40.m1.5.5.1.cmml">(</mo><mi id="S4.E40.m1.5.5.1.1" xref="S4.E40.m1.5.5.1.1.cmml">t</mi><mo id="S4.E40.m1.5.5.1.3.2.2" rspace="0.055em" stretchy="false" xref="S4.E40.m1.5.5.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S4.E40.m1.5.5.1.2" rspace="0.222em" xref="S4.E40.m1.5.5.1.2.cmml">⊗</mo><mn id="S4.E40.m1.5.5.1.4" xref="S4.E40.m1.5.5.1.4.cmml">2</mn></mrow></msup></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.E40.m1.7b"><apply id="S4.E40.m1.7.7.cmml" xref="S4.E40.m1.7.7"><eq id="S4.E40.m1.7.7.3.cmml" xref="S4.E40.m1.7.7.3"></eq><apply id="S4.E40.m1.7.7.4.cmml" xref="S4.E40.m1.7.7.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E40.m1.7.7.4.1.cmml" xref="S4.E40.m1.7.7.4">superscript</csymbol><ci id="S4.E40.m1.7.7.4.2.cmml" xref="S4.E40.m1.7.7.4.2">𝐺</ci><ci id="S4.E40.m1.3.3.1.1.cmml" xref="S4.E40.m1.3.3.1.1">𝑡</ci></apply><apply id="S4.E40.m1.7.7.2.cmml" xref="S4.E40.m1.7.7.2"><apply id="S4.E40.m1.7.7.2.3.cmml" xref="S4.E40.m1.7.7.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E40.m1.7.7.2.3.1.cmml" xref="S4.E40.m1.7.7.2.3">subscript</csymbol><sum id="S4.E40.m1.7.7.2.3.2.cmml" xref="S4.E40.m1.7.7.2.3.2"></sum><apply id="S4.E40.m1.7.7.2.3.3.cmml" xref="S4.E40.m1.7.7.2.3.3"><in id="S4.E40.m1.7.7.2.3.3.1.cmml" xref="S4.E40.m1.7.7.2.3.3.1"></in><ci id="S4.E40.m1.7.7.2.3.3.2.cmml" xref="S4.E40.m1.7.7.2.3.3.2">𝜎</ci><apply id="S4.E40.m1.7.7.2.3.3.3.cmml" xref="S4.E40.m1.7.7.2.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E40.m1.7.7.2.3.3.3.1.cmml" xref="S4.E40.m1.7.7.2.3.3.3">subscript</csymbol><ci id="S4.E40.m1.7.7.2.3.3.3.2.cmml" xref="S4.E40.m1.7.7.2.3.3.3.2">𝑆</ci><ci id="S4.E40.m1.7.7.2.3.3.3.3.cmml" xref="S4.E40.m1.7.7.2.3.3.3.3">𝑡</ci></apply></apply></apply><apply id="S4.E40.m1.7.7.2.2.cmml" xref="S4.E40.m1.7.7.2.2"><times id="S4.E40.m1.7.7.2.2.3.cmml" xref="S4.E40.m1.7.7.2.2.3"></times><ci id="S4.E40.m1.7.7.2.2.4a.cmml" xref="S4.E40.m1.7.7.2.2.4"><mtext id="S4.E40.m1.7.7.2.2.4.cmml" xref="S4.E40.m1.7.7.2.2.4">Wg</mtext></ci><interval closure="open" id="S4.E40.m1.7.7.2.2.2.3.cmml" xref="S4.E40.m1.7.7.2.2.2.2"><apply id="S4.E40.m1.6.6.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E40.m1.6.6.1.1.1.1.1"><times id="S4.E40.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E40.m1.6.6.1.1.1.1.1.1"></times><apply id="S4.E40.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E40.m1.6.6.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E40.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.E40.m1.6.6.1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S4.E40.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.E40.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.2">𝜎</ci><apply id="S4.E40.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.E40.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.3"><minus id="S4.E40.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S4.E40.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.3"></minus><cn id="S4.E40.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" type="integer" xref="S4.E40.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.3.2">1</cn></apply></apply><ci id="S4.E40.m1.6.6.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E40.m1.6.6.1.1.1.1.1.3">𝜏</ci></apply><apply id="S4.E40.m1.7.7.2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.E40.m1.7.7.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E40.m1.7.7.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S4.E40.m1.7.7.2.2.2.2.2">superscript</csymbol><ci id="S4.E40.m1.7.7.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.E40.m1.7.7.2.2.2.2.2.2">𝑞</ci><cn id="S4.E40.m1.7.7.2.2.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.E40.m1.7.7.2.2.2.2.2.3">2</cn></apply></interval><apply id="S4.E40.m1.7.7.2.2.5.cmml" xref="S4.E40.m1.7.7.2.2.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E40.m1.7.7.2.2.5.1.cmml" xref="S4.E40.m1.7.7.2.2.5">superscript</csymbol><apply id="S4.E40.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.E40.m1.1.1.3"><csymbol cd="latexml" id="S4.E40.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.E40.m1.1.1.3.1">ket</csymbol><ci id="S4.E40.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E40.m1.1.1.1.1">𝜎</ci></apply><apply id="S4.E40.m1.4.4.1.cmml" xref="S4.E40.m1.4.4.1"><csymbol cd="latexml" id="S4.E40.m1.4.4.1.2.cmml" xref="S4.E40.m1.4.4.1.2">tensor-product</csymbol><ci id="S4.E40.m1.4.4.1.1.cmml" xref="S4.E40.m1.4.4.1.1">𝑡</ci><cn id="S4.E40.m1.4.4.1.4.cmml" type="integer" xref="S4.E40.m1.4.4.1.4">2</cn></apply></apply><apply id="S4.E40.m1.7.7.2.2.6.cmml" xref="S4.E40.m1.7.7.2.2.6"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E40.m1.7.7.2.2.6.1.cmml" xref="S4.E40.m1.7.7.2.2.6">superscript</csymbol><apply id="S4.E40.m1.2.2.2.cmml" xref="S4.E40.m1.2.2.3"><csymbol cd="latexml" id="S4.E40.m1.2.2.2.1.cmml" xref="S4.E40.m1.2.2.3.1">bra</csymbol><ci id="S4.E40.m1.2.2.1.1.cmml" xref="S4.E40.m1.2.2.1.1">𝜏</ci></apply><apply id="S4.E40.m1.5.5.1.cmml" xref="S4.E40.m1.5.5.1"><csymbol cd="latexml" id="S4.E40.m1.5.5.1.2.cmml" xref="S4.E40.m1.5.5.1.2">tensor-product</csymbol><ci id="S4.E40.m1.5.5.1.1.cmml" xref="S4.E40.m1.5.5.1.1">𝑡</ci><cn id="S4.E40.m1.5.5.1.4.cmml" type="integer" xref="S4.E40.m1.5.5.1.4">2</cn></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.E40.m1.7c">\displaystyle G^{(t)}=\sum_{\sigma\in S_{t}}\text{Wg}(\sigma^{-1}\tau,q^{2})% \ket{\sigma}^{(t)\otimes 2}\bra{\tau}^{(t)\otimes 2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.E40.m1.7d">italic_G start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_t ) end_POSTSUPERSCRIPT = ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_σ ∈ italic_S start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT Wg ( italic_σ start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT italic_τ , italic_q start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ) | start_ARG italic_σ end_ARG ⟩ start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_t ) ⊗ 2 end_POSTSUPERSCRIPT ⟨ start_ARG italic_τ end_ARG | start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_t ) ⊗ 2 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(40)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S4.p2.6">where this tensor product is between sites, not copies. Then</p> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_lemma" id="Thmtheorem22"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmtheorem22.1.1.1">Lemma 22</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmtheorem22.2.2">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="Thmtheorem22.p1"> <p class="ltx_p" id="Thmtheorem22.p1.4"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmtheorem22.p1.4.4">Let <math alttext="k<t" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem22.p1.1.1.m1.1"><semantics id="Thmtheorem22.p1.1.1.m1.1a"><mrow id="Thmtheorem22.p1.1.1.m1.1.1" xref="Thmtheorem22.p1.1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="Thmtheorem22.p1.1.1.m1.1.1.2" xref="Thmtheorem22.p1.1.1.m1.1.1.2.cmml">k</mi><mo id="Thmtheorem22.p1.1.1.m1.1.1.1" xref="Thmtheorem22.p1.1.1.m1.1.1.1.cmml"><</mo><mi id="Thmtheorem22.p1.1.1.m1.1.1.3" xref="Thmtheorem22.p1.1.1.m1.1.1.3.cmml">t</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem22.p1.1.1.m1.1b"><apply id="Thmtheorem22.p1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem22.p1.1.1.m1.1.1"><lt id="Thmtheorem22.p1.1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem22.p1.1.1.m1.1.1.1"></lt><ci id="Thmtheorem22.p1.1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="Thmtheorem22.p1.1.1.m1.1.1.2">𝑘</ci><ci id="Thmtheorem22.p1.1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="Thmtheorem22.p1.1.1.m1.1.1.3">𝑡</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem22.p1.1.1.m1.1c">k<t</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem22.p1.1.1.m1.1d">italic_k < italic_t</annotation></semantics></math> and <math alttext="\vec{\sigma}\in S_{k}^{\times N}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem22.p1.2.2.m2.1"><semantics id="Thmtheorem22.p1.2.2.m2.1a"><mrow id="Thmtheorem22.p1.2.2.m2.1.1" xref="Thmtheorem22.p1.2.2.m2.1.1.cmml"><mover accent="true" id="Thmtheorem22.p1.2.2.m2.1.1.2" xref="Thmtheorem22.p1.2.2.m2.1.1.2.cmml"><mi id="Thmtheorem22.p1.2.2.m2.1.1.2.2" xref="Thmtheorem22.p1.2.2.m2.1.1.2.2.cmml">σ</mi><mo id="Thmtheorem22.p1.2.2.m2.1.1.2.1" stretchy="false" xref="Thmtheorem22.p1.2.2.m2.1.1.2.1.cmml">→</mo></mover><mo id="Thmtheorem22.p1.2.2.m2.1.1.1" xref="Thmtheorem22.p1.2.2.m2.1.1.1.cmml">∈</mo><msubsup id="Thmtheorem22.p1.2.2.m2.1.1.3" xref="Thmtheorem22.p1.2.2.m2.1.1.3.cmml"><mi id="Thmtheorem22.p1.2.2.m2.1.1.3.2.2" xref="Thmtheorem22.p1.2.2.m2.1.1.3.2.2.cmml">S</mi><mi id="Thmtheorem22.p1.2.2.m2.1.1.3.2.3" xref="Thmtheorem22.p1.2.2.m2.1.1.3.2.3.cmml">k</mi><mrow id="Thmtheorem22.p1.2.2.m2.1.1.3.3" xref="Thmtheorem22.p1.2.2.m2.1.1.3.3.cmml"><mi id="Thmtheorem22.p1.2.2.m2.1.1.3.3.2" xref="Thmtheorem22.p1.2.2.m2.1.1.3.3.2.cmml"></mi><mo id="Thmtheorem22.p1.2.2.m2.1.1.3.3.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="Thmtheorem22.p1.2.2.m2.1.1.3.3.1.cmml">×</mo><mi id="Thmtheorem22.p1.2.2.m2.1.1.3.3.3" xref="Thmtheorem22.p1.2.2.m2.1.1.3.3.3.cmml">N</mi></mrow></msubsup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem22.p1.2.2.m2.1b"><apply id="Thmtheorem22.p1.2.2.m2.1.1.cmml" xref="Thmtheorem22.p1.2.2.m2.1.1"><in id="Thmtheorem22.p1.2.2.m2.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem22.p1.2.2.m2.1.1.1"></in><apply id="Thmtheorem22.p1.2.2.m2.1.1.2.cmml" xref="Thmtheorem22.p1.2.2.m2.1.1.2"><ci id="Thmtheorem22.p1.2.2.m2.1.1.2.1.cmml" xref="Thmtheorem22.p1.2.2.m2.1.1.2.1">→</ci><ci id="Thmtheorem22.p1.2.2.m2.1.1.2.2.cmml" xref="Thmtheorem22.p1.2.2.m2.1.1.2.2">𝜎</ci></apply><apply id="Thmtheorem22.p1.2.2.m2.1.1.3.cmml" xref="Thmtheorem22.p1.2.2.m2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem22.p1.2.2.m2.1.1.3.1.cmml" xref="Thmtheorem22.p1.2.2.m2.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="Thmtheorem22.p1.2.2.m2.1.1.3.2.cmml" xref="Thmtheorem22.p1.2.2.m2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem22.p1.2.2.m2.1.1.3.2.1.cmml" xref="Thmtheorem22.p1.2.2.m2.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="Thmtheorem22.p1.2.2.m2.1.1.3.2.2.cmml" xref="Thmtheorem22.p1.2.2.m2.1.1.3.2.2">𝑆</ci><ci id="Thmtheorem22.p1.2.2.m2.1.1.3.2.3.cmml" xref="Thmtheorem22.p1.2.2.m2.1.1.3.2.3">𝑘</ci></apply><apply id="Thmtheorem22.p1.2.2.m2.1.1.3.3.cmml" xref="Thmtheorem22.p1.2.2.m2.1.1.3.3"><times id="Thmtheorem22.p1.2.2.m2.1.1.3.3.1.cmml" xref="Thmtheorem22.p1.2.2.m2.1.1.3.3.1"></times><csymbol cd="latexml" id="Thmtheorem22.p1.2.2.m2.1.1.3.3.2.cmml" xref="Thmtheorem22.p1.2.2.m2.1.1.3.3.2">absent</csymbol><ci id="Thmtheorem22.p1.2.2.m2.1.1.3.3.3.cmml" xref="Thmtheorem22.p1.2.2.m2.1.1.3.3.3">𝑁</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem22.p1.2.2.m2.1c">\vec{\sigma}\in S_{k}^{\times N}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem22.p1.2.2.m2.1d">over→ start_ARG italic_σ end_ARG ∈ italic_S start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT × italic_N end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>, where <math alttext="S_{k}^{\times N}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem22.p1.3.3.m3.1"><semantics id="Thmtheorem22.p1.3.3.m3.1a"><msubsup id="Thmtheorem22.p1.3.3.m3.1.1" xref="Thmtheorem22.p1.3.3.m3.1.1.cmml"><mi id="Thmtheorem22.p1.3.3.m3.1.1.2.2" xref="Thmtheorem22.p1.3.3.m3.1.1.2.2.cmml">S</mi><mi id="Thmtheorem22.p1.3.3.m3.1.1.2.3" xref="Thmtheorem22.p1.3.3.m3.1.1.2.3.cmml">k</mi><mrow id="Thmtheorem22.p1.3.3.m3.1.1.3" xref="Thmtheorem22.p1.3.3.m3.1.1.3.cmml"><mi id="Thmtheorem22.p1.3.3.m3.1.1.3.2" xref="Thmtheorem22.p1.3.3.m3.1.1.3.2.cmml"></mi><mo id="Thmtheorem22.p1.3.3.m3.1.1.3.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="Thmtheorem22.p1.3.3.m3.1.1.3.1.cmml">×</mo><mi id="Thmtheorem22.p1.3.3.m3.1.1.3.3" xref="Thmtheorem22.p1.3.3.m3.1.1.3.3.cmml">N</mi></mrow></msubsup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem22.p1.3.3.m3.1b"><apply id="Thmtheorem22.p1.3.3.m3.1.1.cmml" xref="Thmtheorem22.p1.3.3.m3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem22.p1.3.3.m3.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem22.p1.3.3.m3.1.1">superscript</csymbol><apply id="Thmtheorem22.p1.3.3.m3.1.1.2.cmml" xref="Thmtheorem22.p1.3.3.m3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem22.p1.3.3.m3.1.1.2.1.cmml" xref="Thmtheorem22.p1.3.3.m3.1.1">subscript</csymbol><ci id="Thmtheorem22.p1.3.3.m3.1.1.2.2.cmml" xref="Thmtheorem22.p1.3.3.m3.1.1.2.2">𝑆</ci><ci id="Thmtheorem22.p1.3.3.m3.1.1.2.3.cmml" xref="Thmtheorem22.p1.3.3.m3.1.1.2.3">𝑘</ci></apply><apply id="Thmtheorem22.p1.3.3.m3.1.1.3.cmml" xref="Thmtheorem22.p1.3.3.m3.1.1.3"><times id="Thmtheorem22.p1.3.3.m3.1.1.3.1.cmml" xref="Thmtheorem22.p1.3.3.m3.1.1.3.1"></times><csymbol cd="latexml" id="Thmtheorem22.p1.3.3.m3.1.1.3.2.cmml" xref="Thmtheorem22.p1.3.3.m3.1.1.3.2">absent</csymbol><ci id="Thmtheorem22.p1.3.3.m3.1.1.3.3.cmml" xref="Thmtheorem22.p1.3.3.m3.1.1.3.3">𝑁</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem22.p1.3.3.m3.1c">S_{k}^{\times N}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem22.p1.3.3.m3.1d">italic_S start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT × italic_N end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> is the set of tuples<math alttext="\{(\sigma_{1},\sigma_{2},...,\sigma_{N}):\sigma_{i}\in S_{k}\}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem22.p1.4.4.m4.3"><semantics id="Thmtheorem22.p1.4.4.m4.3a"><mrow id="Thmtheorem22.p1.4.4.m4.3.3.2" xref="Thmtheorem22.p1.4.4.m4.3.3.3.cmml"><mo id="Thmtheorem22.p1.4.4.m4.3.3.2.3" stretchy="false" xref="Thmtheorem22.p1.4.4.m4.3.3.3.1.cmml">{</mo><mrow id="Thmtheorem22.p1.4.4.m4.2.2.1.1.3" xref="Thmtheorem22.p1.4.4.m4.2.2.1.1.4.cmml"><mo id="Thmtheorem22.p1.4.4.m4.2.2.1.1.3.4" stretchy="false" xref="Thmtheorem22.p1.4.4.m4.2.2.1.1.4.cmml">(</mo><msub id="Thmtheorem22.p1.4.4.m4.2.2.1.1.1.1" xref="Thmtheorem22.p1.4.4.m4.2.2.1.1.1.1.cmml"><mi id="Thmtheorem22.p1.4.4.m4.2.2.1.1.1.1.2" xref="Thmtheorem22.p1.4.4.m4.2.2.1.1.1.1.2.cmml">σ</mi><mn id="Thmtheorem22.p1.4.4.m4.2.2.1.1.1.1.3" xref="Thmtheorem22.p1.4.4.m4.2.2.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="Thmtheorem22.p1.4.4.m4.2.2.1.1.3.5" xref="Thmtheorem22.p1.4.4.m4.2.2.1.1.4.cmml">,</mo><msub id="Thmtheorem22.p1.4.4.m4.2.2.1.1.2.2" xref="Thmtheorem22.p1.4.4.m4.2.2.1.1.2.2.cmml"><mi id="Thmtheorem22.p1.4.4.m4.2.2.1.1.2.2.2" xref="Thmtheorem22.p1.4.4.m4.2.2.1.1.2.2.2.cmml">σ</mi><mn id="Thmtheorem22.p1.4.4.m4.2.2.1.1.2.2.3" xref="Thmtheorem22.p1.4.4.m4.2.2.1.1.2.2.3.cmml">2</mn></msub><mo id="Thmtheorem22.p1.4.4.m4.2.2.1.1.3.6" xref="Thmtheorem22.p1.4.4.m4.2.2.1.1.4.cmml">,</mo><mi id="Thmtheorem22.p1.4.4.m4.1.1" mathvariant="normal" xref="Thmtheorem22.p1.4.4.m4.1.1.cmml">…</mi><mo id="Thmtheorem22.p1.4.4.m4.2.2.1.1.3.7" xref="Thmtheorem22.p1.4.4.m4.2.2.1.1.4.cmml">,</mo><msub id="Thmtheorem22.p1.4.4.m4.2.2.1.1.3.3" xref="Thmtheorem22.p1.4.4.m4.2.2.1.1.3.3.cmml"><mi id="Thmtheorem22.p1.4.4.m4.2.2.1.1.3.3.2" xref="Thmtheorem22.p1.4.4.m4.2.2.1.1.3.3.2.cmml">σ</mi><mi id="Thmtheorem22.p1.4.4.m4.2.2.1.1.3.3.3" xref="Thmtheorem22.p1.4.4.m4.2.2.1.1.3.3.3.cmml">N</mi></msub><mo id="Thmtheorem22.p1.4.4.m4.2.2.1.1.3.8" rspace="0.278em" stretchy="false" xref="Thmtheorem22.p1.4.4.m4.2.2.1.1.4.cmml">)</mo></mrow><mo id="Thmtheorem22.p1.4.4.m4.3.3.2.4" rspace="0.278em" xref="Thmtheorem22.p1.4.4.m4.3.3.3.1.cmml">:</mo><mrow id="Thmtheorem22.p1.4.4.m4.3.3.2.2" xref="Thmtheorem22.p1.4.4.m4.3.3.2.2.cmml"><msub id="Thmtheorem22.p1.4.4.m4.3.3.2.2.2" xref="Thmtheorem22.p1.4.4.m4.3.3.2.2.2.cmml"><mi id="Thmtheorem22.p1.4.4.m4.3.3.2.2.2.2" xref="Thmtheorem22.p1.4.4.m4.3.3.2.2.2.2.cmml">σ</mi><mi id="Thmtheorem22.p1.4.4.m4.3.3.2.2.2.3" xref="Thmtheorem22.p1.4.4.m4.3.3.2.2.2.3.cmml">i</mi></msub><mo id="Thmtheorem22.p1.4.4.m4.3.3.2.2.1" xref="Thmtheorem22.p1.4.4.m4.3.3.2.2.1.cmml">∈</mo><msub id="Thmtheorem22.p1.4.4.m4.3.3.2.2.3" xref="Thmtheorem22.p1.4.4.m4.3.3.2.2.3.cmml"><mi id="Thmtheorem22.p1.4.4.m4.3.3.2.2.3.2" xref="Thmtheorem22.p1.4.4.m4.3.3.2.2.3.2.cmml">S</mi><mi id="Thmtheorem22.p1.4.4.m4.3.3.2.2.3.3" xref="Thmtheorem22.p1.4.4.m4.3.3.2.2.3.3.cmml">k</mi></msub></mrow><mo id="Thmtheorem22.p1.4.4.m4.3.3.2.5" stretchy="false" xref="Thmtheorem22.p1.4.4.m4.3.3.3.1.cmml">}</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem22.p1.4.4.m4.3b"><apply id="Thmtheorem22.p1.4.4.m4.3.3.3.cmml" xref="Thmtheorem22.p1.4.4.m4.3.3.2"><csymbol cd="latexml" id="Thmtheorem22.p1.4.4.m4.3.3.3.1.cmml" xref="Thmtheorem22.p1.4.4.m4.3.3.2.3">conditional-set</csymbol><vector id="Thmtheorem22.p1.4.4.m4.2.2.1.1.4.cmml" xref="Thmtheorem22.p1.4.4.m4.2.2.1.1.3"><apply id="Thmtheorem22.p1.4.4.m4.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem22.p1.4.4.m4.2.2.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem22.p1.4.4.m4.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem22.p1.4.4.m4.2.2.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="Thmtheorem22.p1.4.4.m4.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="Thmtheorem22.p1.4.4.m4.2.2.1.1.1.1.2">𝜎</ci><cn id="Thmtheorem22.p1.4.4.m4.2.2.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="Thmtheorem22.p1.4.4.m4.2.2.1.1.1.1.3">1</cn></apply><apply id="Thmtheorem22.p1.4.4.m4.2.2.1.1.2.2.cmml" xref="Thmtheorem22.p1.4.4.m4.2.2.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem22.p1.4.4.m4.2.2.1.1.2.2.1.cmml" xref="Thmtheorem22.p1.4.4.m4.2.2.1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="Thmtheorem22.p1.4.4.m4.2.2.1.1.2.2.2.cmml" xref="Thmtheorem22.p1.4.4.m4.2.2.1.1.2.2.2">𝜎</ci><cn id="Thmtheorem22.p1.4.4.m4.2.2.1.1.2.2.3.cmml" type="integer" xref="Thmtheorem22.p1.4.4.m4.2.2.1.1.2.2.3">2</cn></apply><ci id="Thmtheorem22.p1.4.4.m4.1.1.cmml" xref="Thmtheorem22.p1.4.4.m4.1.1">…</ci><apply id="Thmtheorem22.p1.4.4.m4.2.2.1.1.3.3.cmml" xref="Thmtheorem22.p1.4.4.m4.2.2.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem22.p1.4.4.m4.2.2.1.1.3.3.1.cmml" xref="Thmtheorem22.p1.4.4.m4.2.2.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="Thmtheorem22.p1.4.4.m4.2.2.1.1.3.3.2.cmml" xref="Thmtheorem22.p1.4.4.m4.2.2.1.1.3.3.2">𝜎</ci><ci id="Thmtheorem22.p1.4.4.m4.2.2.1.1.3.3.3.cmml" xref="Thmtheorem22.p1.4.4.m4.2.2.1.1.3.3.3">𝑁</ci></apply></vector><apply id="Thmtheorem22.p1.4.4.m4.3.3.2.2.cmml" xref="Thmtheorem22.p1.4.4.m4.3.3.2.2"><in id="Thmtheorem22.p1.4.4.m4.3.3.2.2.1.cmml" xref="Thmtheorem22.p1.4.4.m4.3.3.2.2.1"></in><apply id="Thmtheorem22.p1.4.4.m4.3.3.2.2.2.cmml" xref="Thmtheorem22.p1.4.4.m4.3.3.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem22.p1.4.4.m4.3.3.2.2.2.1.cmml" xref="Thmtheorem22.p1.4.4.m4.3.3.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="Thmtheorem22.p1.4.4.m4.3.3.2.2.2.2.cmml" xref="Thmtheorem22.p1.4.4.m4.3.3.2.2.2.2">𝜎</ci><ci id="Thmtheorem22.p1.4.4.m4.3.3.2.2.2.3.cmml" xref="Thmtheorem22.p1.4.4.m4.3.3.2.2.2.3">𝑖</ci></apply><apply id="Thmtheorem22.p1.4.4.m4.3.3.2.2.3.cmml" xref="Thmtheorem22.p1.4.4.m4.3.3.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem22.p1.4.4.m4.3.3.2.2.3.1.cmml" xref="Thmtheorem22.p1.4.4.m4.3.3.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="Thmtheorem22.p1.4.4.m4.3.3.2.2.3.2.cmml" xref="Thmtheorem22.p1.4.4.m4.3.3.2.2.3.2">𝑆</ci><ci id="Thmtheorem22.p1.4.4.m4.3.3.2.2.3.3.cmml" xref="Thmtheorem22.p1.4.4.m4.3.3.2.2.3.3">𝑘</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem22.p1.4.4.m4.3c">\{(\sigma_{1},\sigma_{2},...,\sigma_{N}):\sigma_{i}\in S_{k}\}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem22.p1.4.4.m4.3d">{ ( italic_σ start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , italic_σ start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT , … , italic_σ start_POSTSUBSCRIPT italic_N end_POSTSUBSCRIPT ) : italic_σ start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT ∈ italic_S start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT }</annotation></semantics></math>. Suppose</span></p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_gather ltx_eqn_table" id="S6.EGx37"> <tbody id="S4.E41"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\displaystyle G^{(k)}\ket{\vec{\sigma}}^{(k)}=\sum_{\vec{\tau}\in S_{k}^{N}}c_% {\vec{\tau}}\ket{\vec{\tau}}^{(k)}" class="ltx_Math" display="block" id="S4.E41.m1.5"><semantics id="S4.E41.m1.5a"><mrow id="S4.E41.m1.5.6" xref="S4.E41.m1.5.6.cmml"><mrow id="S4.E41.m1.5.6.2" xref="S4.E41.m1.5.6.2.cmml"><msup id="S4.E41.m1.5.6.2.2" xref="S4.E41.m1.5.6.2.2.cmml"><mi id="S4.E41.m1.5.6.2.2.2" xref="S4.E41.m1.5.6.2.2.2.cmml">G</mi><mrow id="S4.E41.m1.3.3.1.3" xref="S4.E41.m1.5.6.2.2.cmml"><mo id="S4.E41.m1.3.3.1.3.1" stretchy="false" xref="S4.E41.m1.5.6.2.2.cmml">(</mo><mi id="S4.E41.m1.3.3.1.1" xref="S4.E41.m1.3.3.1.1.cmml">k</mi><mo id="S4.E41.m1.3.3.1.3.2" stretchy="false" 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id="S4.E41.m1.5.6.3.1.3.2.cmml" xref="S4.E41.m1.5.6.3.1.3.2"><ci id="S4.E41.m1.5.6.3.1.3.2.1.cmml" xref="S4.E41.m1.5.6.3.1.3.2.1">→</ci><ci id="S4.E41.m1.5.6.3.1.3.2.2.cmml" xref="S4.E41.m1.5.6.3.1.3.2.2">𝜏</ci></apply><apply id="S4.E41.m1.5.6.3.1.3.3.cmml" xref="S4.E41.m1.5.6.3.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E41.m1.5.6.3.1.3.3.1.cmml" xref="S4.E41.m1.5.6.3.1.3.3">superscript</csymbol><apply id="S4.E41.m1.5.6.3.1.3.3.2.cmml" xref="S4.E41.m1.5.6.3.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E41.m1.5.6.3.1.3.3.2.1.cmml" xref="S4.E41.m1.5.6.3.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S4.E41.m1.5.6.3.1.3.3.2.2.cmml" xref="S4.E41.m1.5.6.3.1.3.3.2.2">𝑆</ci><ci id="S4.E41.m1.5.6.3.1.3.3.2.3.cmml" xref="S4.E41.m1.5.6.3.1.3.3.2.3">𝑘</ci></apply><ci id="S4.E41.m1.5.6.3.1.3.3.3.cmml" xref="S4.E41.m1.5.6.3.1.3.3.3">𝑁</ci></apply></apply></apply><apply id="S4.E41.m1.5.6.3.2.cmml" xref="S4.E41.m1.5.6.3.2"><times id="S4.E41.m1.5.6.3.2.1.cmml" xref="S4.E41.m1.5.6.3.2.1"></times><apply id="S4.E41.m1.5.6.3.2.2.cmml" xref="S4.E41.m1.5.6.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E41.m1.5.6.3.2.2.1.cmml" xref="S4.E41.m1.5.6.3.2.2">subscript</csymbol><ci id="S4.E41.m1.5.6.3.2.2.2.cmml" xref="S4.E41.m1.5.6.3.2.2.2">𝑐</ci><apply id="S4.E41.m1.5.6.3.2.2.3.cmml" xref="S4.E41.m1.5.6.3.2.2.3"><ci id="S4.E41.m1.5.6.3.2.2.3.1.cmml" xref="S4.E41.m1.5.6.3.2.2.3.1">→</ci><ci id="S4.E41.m1.5.6.3.2.2.3.2.cmml" xref="S4.E41.m1.5.6.3.2.2.3.2">𝜏</ci></apply></apply><apply id="S4.E41.m1.5.6.3.2.3.cmml" xref="S4.E41.m1.5.6.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E41.m1.5.6.3.2.3.1.cmml" xref="S4.E41.m1.5.6.3.2.3">superscript</csymbol><apply id="S4.E41.m1.2.2.2.cmml" xref="S4.E41.m1.2.2.3"><csymbol cd="latexml" id="S4.E41.m1.2.2.2.1.cmml" xref="S4.E41.m1.2.2.3.1">ket</csymbol><apply id="S4.E41.m1.2.2.1.1.cmml" xref="S4.E41.m1.2.2.1.1"><ci id="S4.E41.m1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S4.E41.m1.2.2.1.1.1">→</ci><ci id="S4.E41.m1.2.2.1.1.2.cmml" xref="S4.E41.m1.2.2.1.1.2">𝜏</ci></apply></apply><ci id="S4.E41.m1.5.5.1.1.cmml" xref="S4.E41.m1.5.5.1.1">𝑘</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.E41.m1.5c">\displaystyle G^{(k)}\ket{\vec{\sigma}}^{(k)}=\sum_{\vec{\tau}\in S_{k}^{N}}c_% {\vec{\tau}}\ket{\vec{\tau}}^{(k)}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.E41.m1.5d">italic_G start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_k ) end_POSTSUPERSCRIPT | start_ARG over→ start_ARG italic_σ end_ARG end_ARG ⟩ start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_k ) end_POSTSUPERSCRIPT = ∑ start_POSTSUBSCRIPT over→ start_ARG italic_τ end_ARG ∈ italic_S start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_N end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT italic_c start_POSTSUBSCRIPT over→ start_ARG italic_τ end_ARG end_POSTSUBSCRIPT | start_ARG over→ start_ARG italic_τ end_ARG end_ARG ⟩ start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_k ) end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(41)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="Thmtheorem22.p1.6"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmtheorem22.p1.6.1">Then</span></p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_gather ltx_eqn_table" id="S6.EGx38"> <tbody id="S4.E42"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\displaystyle G^{(t)}\ket{\vec{\sigma}}^{(t)}=\sum_{\vec{\tau}\in S_{k}^{N}}c_% {\vec{\tau}}\ket{\vec{\tau}}^{(t)}" class="ltx_Math" display="block" id="S4.E42.m1.5"><semantics id="S4.E42.m1.5a"><mrow id="S4.E42.m1.5.6" xref="S4.E42.m1.5.6.cmml"><mrow id="S4.E42.m1.5.6.2" xref="S4.E42.m1.5.6.2.cmml"><msup id="S4.E42.m1.5.6.2.2" xref="S4.E42.m1.5.6.2.2.cmml"><mi id="S4.E42.m1.5.6.2.2.2" xref="S4.E42.m1.5.6.2.2.2.cmml">G</mi><mrow id="S4.E42.m1.3.3.1.3" xref="S4.E42.m1.5.6.2.2.cmml"><mo id="S4.E42.m1.3.3.1.3.1" stretchy="false" xref="S4.E42.m1.5.6.2.2.cmml">(</mo><mi id="S4.E42.m1.3.3.1.1" xref="S4.E42.m1.3.3.1.1.cmml">t</mi><mo id="S4.E42.m1.3.3.1.3.2" stretchy="false" xref="S4.E42.m1.5.6.2.2.cmml">)</mo></mrow></msup><mo id="S4.E42.m1.5.6.2.1" xref="S4.E42.m1.5.6.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="S4.E42.m1.5.6.2.3" xref="S4.E42.m1.5.6.2.3.cmml"><mrow id="S4.E42.m1.1.1.3" xref="S4.E42.m1.1.1.2.cmml"><mo id="S4.E42.m1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S4.E42.m1.1.1.2.1.cmml">|</mo><mover accent="true" id="S4.E42.m1.1.1.1.1" xref="S4.E42.m1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.E42.m1.1.1.1.1.2" xref="S4.E42.m1.1.1.1.1.2.cmml">σ</mi><mo id="S4.E42.m1.1.1.1.1.1" stretchy="false" xref="S4.E42.m1.1.1.1.1.1.cmml">→</mo></mover><mo id="S4.E42.m1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S4.E42.m1.1.1.2.1.cmml">⟩</mo></mrow><mrow id="S4.E42.m1.4.4.1.3" xref="S4.E42.m1.5.6.2.3.cmml"><mo id="S4.E42.m1.4.4.1.3.1" stretchy="false" 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xref="S4.E42.m1.5.6.3.1.3.3.2.2.cmml">S</mi><mi id="S4.E42.m1.5.6.3.1.3.3.2.3" xref="S4.E42.m1.5.6.3.1.3.3.2.3.cmml">k</mi><mi id="S4.E42.m1.5.6.3.1.3.3.3" xref="S4.E42.m1.5.6.3.1.3.3.3.cmml">N</mi></msubsup></mrow></munder><mrow id="S4.E42.m1.5.6.3.2" xref="S4.E42.m1.5.6.3.2.cmml"><msub id="S4.E42.m1.5.6.3.2.2" xref="S4.E42.m1.5.6.3.2.2.cmml"><mi id="S4.E42.m1.5.6.3.2.2.2" xref="S4.E42.m1.5.6.3.2.2.2.cmml">c</mi><mover accent="true" id="S4.E42.m1.5.6.3.2.2.3" xref="S4.E42.m1.5.6.3.2.2.3.cmml"><mi id="S4.E42.m1.5.6.3.2.2.3.2" xref="S4.E42.m1.5.6.3.2.2.3.2.cmml">τ</mi><mo id="S4.E42.m1.5.6.3.2.2.3.1" stretchy="false" xref="S4.E42.m1.5.6.3.2.2.3.1.cmml">→</mo></mover></msub><mo id="S4.E42.m1.5.6.3.2.1" xref="S4.E42.m1.5.6.3.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="S4.E42.m1.5.6.3.2.3" xref="S4.E42.m1.5.6.3.2.3.cmml"><mrow id="S4.E42.m1.2.2.3" xref="S4.E42.m1.2.2.2.cmml"><mo id="S4.E42.m1.2.2.3.1" stretchy="false" xref="S4.E42.m1.2.2.2.1.cmml">|</mo><mover accent="true" id="S4.E42.m1.2.2.1.1" xref="S4.E42.m1.2.2.1.1.cmml"><mi id="S4.E42.m1.2.2.1.1.2" xref="S4.E42.m1.2.2.1.1.2.cmml">τ</mi><mo id="S4.E42.m1.2.2.1.1.1" stretchy="false" xref="S4.E42.m1.2.2.1.1.1.cmml">→</mo></mover><mo id="S4.E42.m1.2.2.3.2" stretchy="false" xref="S4.E42.m1.2.2.2.1.cmml">⟩</mo></mrow><mrow id="S4.E42.m1.5.5.1.3" xref="S4.E42.m1.5.6.3.2.3.cmml"><mo id="S4.E42.m1.5.5.1.3.1" stretchy="false" xref="S4.E42.m1.5.6.3.2.3.cmml">(</mo><mi id="S4.E42.m1.5.5.1.1" xref="S4.E42.m1.5.5.1.1.cmml">t</mi><mo id="S4.E42.m1.5.5.1.3.2" stretchy="false" xref="S4.E42.m1.5.6.3.2.3.cmml">)</mo></mrow></msup></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.E42.m1.5b"><apply id="S4.E42.m1.5.6.cmml" xref="S4.E42.m1.5.6"><eq id="S4.E42.m1.5.6.1.cmml" xref="S4.E42.m1.5.6.1"></eq><apply id="S4.E42.m1.5.6.2.cmml" xref="S4.E42.m1.5.6.2"><times id="S4.E42.m1.5.6.2.1.cmml" xref="S4.E42.m1.5.6.2.1"></times><apply id="S4.E42.m1.5.6.2.2.cmml" xref="S4.E42.m1.5.6.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E42.m1.5.6.2.2.1.cmml" xref="S4.E42.m1.5.6.2.2">superscript</csymbol><ci id="S4.E42.m1.5.6.2.2.2.cmml" xref="S4.E42.m1.5.6.2.2.2">𝐺</ci><ci id="S4.E42.m1.3.3.1.1.cmml" xref="S4.E42.m1.3.3.1.1">𝑡</ci></apply><apply id="S4.E42.m1.5.6.2.3.cmml" xref="S4.E42.m1.5.6.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E42.m1.5.6.2.3.1.cmml" xref="S4.E42.m1.5.6.2.3">superscript</csymbol><apply id="S4.E42.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.E42.m1.1.1.3"><csymbol cd="latexml" id="S4.E42.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.E42.m1.1.1.3.1">ket</csymbol><apply id="S4.E42.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E42.m1.1.1.1.1"><ci id="S4.E42.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E42.m1.1.1.1.1.1">→</ci><ci id="S4.E42.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E42.m1.1.1.1.1.2">𝜎</ci></apply></apply><ci id="S4.E42.m1.4.4.1.1.cmml" xref="S4.E42.m1.4.4.1.1">𝑡</ci></apply></apply><apply id="S4.E42.m1.5.6.3.cmml" xref="S4.E42.m1.5.6.3"><apply id="S4.E42.m1.5.6.3.1.cmml" xref="S4.E42.m1.5.6.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E42.m1.5.6.3.1.1.cmml" xref="S4.E42.m1.5.6.3.1">subscript</csymbol><sum id="S4.E42.m1.5.6.3.1.2.cmml" xref="S4.E42.m1.5.6.3.1.2"></sum><apply id="S4.E42.m1.5.6.3.1.3.cmml" xref="S4.E42.m1.5.6.3.1.3"><in id="S4.E42.m1.5.6.3.1.3.1.cmml" xref="S4.E42.m1.5.6.3.1.3.1"></in><apply id="S4.E42.m1.5.6.3.1.3.2.cmml" xref="S4.E42.m1.5.6.3.1.3.2"><ci id="S4.E42.m1.5.6.3.1.3.2.1.cmml" xref="S4.E42.m1.5.6.3.1.3.2.1">→</ci><ci id="S4.E42.m1.5.6.3.1.3.2.2.cmml" xref="S4.E42.m1.5.6.3.1.3.2.2">𝜏</ci></apply><apply id="S4.E42.m1.5.6.3.1.3.3.cmml" xref="S4.E42.m1.5.6.3.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E42.m1.5.6.3.1.3.3.1.cmml" xref="S4.E42.m1.5.6.3.1.3.3">superscript</csymbol><apply id="S4.E42.m1.5.6.3.1.3.3.2.cmml" xref="S4.E42.m1.5.6.3.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E42.m1.5.6.3.1.3.3.2.1.cmml" xref="S4.E42.m1.5.6.3.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S4.E42.m1.5.6.3.1.3.3.2.2.cmml" xref="S4.E42.m1.5.6.3.1.3.3.2.2">𝑆</ci><ci id="S4.E42.m1.5.6.3.1.3.3.2.3.cmml" xref="S4.E42.m1.5.6.3.1.3.3.2.3">𝑘</ci></apply><ci id="S4.E42.m1.5.6.3.1.3.3.3.cmml" xref="S4.E42.m1.5.6.3.1.3.3.3">𝑁</ci></apply></apply></apply><apply id="S4.E42.m1.5.6.3.2.cmml" xref="S4.E42.m1.5.6.3.2"><times id="S4.E42.m1.5.6.3.2.1.cmml" xref="S4.E42.m1.5.6.3.2.1"></times><apply id="S4.E42.m1.5.6.3.2.2.cmml" xref="S4.E42.m1.5.6.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E42.m1.5.6.3.2.2.1.cmml" xref="S4.E42.m1.5.6.3.2.2">subscript</csymbol><ci id="S4.E42.m1.5.6.3.2.2.2.cmml" xref="S4.E42.m1.5.6.3.2.2.2">𝑐</ci><apply id="S4.E42.m1.5.6.3.2.2.3.cmml" xref="S4.E42.m1.5.6.3.2.2.3"><ci id="S4.E42.m1.5.6.3.2.2.3.1.cmml" xref="S4.E42.m1.5.6.3.2.2.3.1">→</ci><ci id="S4.E42.m1.5.6.3.2.2.3.2.cmml" xref="S4.E42.m1.5.6.3.2.2.3.2">𝜏</ci></apply></apply><apply id="S4.E42.m1.5.6.3.2.3.cmml" xref="S4.E42.m1.5.6.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E42.m1.5.6.3.2.3.1.cmml" xref="S4.E42.m1.5.6.3.2.3">superscript</csymbol><apply id="S4.E42.m1.2.2.2.cmml" xref="S4.E42.m1.2.2.3"><csymbol cd="latexml" id="S4.E42.m1.2.2.2.1.cmml" xref="S4.E42.m1.2.2.3.1">ket</csymbol><apply id="S4.E42.m1.2.2.1.1.cmml" xref="S4.E42.m1.2.2.1.1"><ci id="S4.E42.m1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S4.E42.m1.2.2.1.1.1">→</ci><ci id="S4.E42.m1.2.2.1.1.2.cmml" xref="S4.E42.m1.2.2.1.1.2">𝜏</ci></apply></apply><ci id="S4.E42.m1.5.5.1.1.cmml" xref="S4.E42.m1.5.5.1.1">𝑡</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.E42.m1.5c">\displaystyle G^{(t)}\ket{\vec{\sigma}}^{(t)}=\sum_{\vec{\tau}\in S_{k}^{N}}c_% {\vec{\tau}}\ket{\vec{\tau}}^{(t)}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.E42.m1.5d">italic_G start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_t ) end_POSTSUPERSCRIPT | start_ARG over→ start_ARG italic_σ end_ARG end_ARG ⟩ start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_t ) end_POSTSUPERSCRIPT = ∑ start_POSTSUBSCRIPT over→ start_ARG italic_τ end_ARG ∈ italic_S start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_N end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT italic_c start_POSTSUBSCRIPT over→ start_ARG italic_τ end_ARG end_POSTSUBSCRIPT | start_ARG over→ start_ARG italic_τ end_ARG end_ARG ⟩ start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_t ) end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(42)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="Thmtheorem22.p1.5"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmtheorem22.p1.5.1">where the coefficients <math alttext="c_{\vec{\tau}}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem22.p1.5.1.m1.1"><semantics id="Thmtheorem22.p1.5.1.m1.1a"><msub id="Thmtheorem22.p1.5.1.m1.1.1" xref="Thmtheorem22.p1.5.1.m1.1.1.cmml"><mi id="Thmtheorem22.p1.5.1.m1.1.1.2" xref="Thmtheorem22.p1.5.1.m1.1.1.2.cmml">c</mi><mover accent="true" id="Thmtheorem22.p1.5.1.m1.1.1.3" xref="Thmtheorem22.p1.5.1.m1.1.1.3.cmml"><mi id="Thmtheorem22.p1.5.1.m1.1.1.3.2" xref="Thmtheorem22.p1.5.1.m1.1.1.3.2.cmml">τ</mi><mo id="Thmtheorem22.p1.5.1.m1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="Thmtheorem22.p1.5.1.m1.1.1.3.1.cmml">→</mo></mover></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem22.p1.5.1.m1.1b"><apply id="Thmtheorem22.p1.5.1.m1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem22.p1.5.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem22.p1.5.1.m1.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem22.p1.5.1.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="Thmtheorem22.p1.5.1.m1.1.1.2.cmml" xref="Thmtheorem22.p1.5.1.m1.1.1.2">𝑐</ci><apply id="Thmtheorem22.p1.5.1.m1.1.1.3.cmml" xref="Thmtheorem22.p1.5.1.m1.1.1.3"><ci id="Thmtheorem22.p1.5.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="Thmtheorem22.p1.5.1.m1.1.1.3.1">→</ci><ci id="Thmtheorem22.p1.5.1.m1.1.1.3.2.cmml" xref="Thmtheorem22.p1.5.1.m1.1.1.3.2">𝜏</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem22.p1.5.1.m1.1c">c_{\vec{\tau}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem22.p1.5.1.m1.1d">italic_c start_POSTSUBSCRIPT over→ start_ARG italic_τ end_ARG end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> are the same.</span></p> </div> </div> <div class="ltx_proof" id="S4.2"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_font_italic ltx_title_proof">Proof.</h6> <div class="ltx_para" id="S4.2.p1"> <p class="ltx_p" id="S4.2.p1.3"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S4.2.p1.3.1">(Informal)</span> The basic insight here is to return to the original picture of averaging <math alttext="t" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.2.p1.1.m1.1"><semantics id="S4.2.p1.1.m1.1a"><mi id="S4.2.p1.1.m1.1.1" xref="S4.2.p1.1.m1.1.1.cmml">t</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.2.p1.1.m1.1b"><ci id="S4.2.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.2.p1.1.m1.1.1">𝑡</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.2.p1.1.m1.1c">t</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.2.p1.1.m1.1d">italic_t</annotation></semantics></math> copies of a Haar random unitary over a density matrix given by a permutation state <math alttext="\ket{\vec{\sigma}}^{(k)}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.2.p1.2.m2.2"><semantics id="S4.2.p1.2.m2.2a"><msup id="S4.2.p1.2.m2.2.3" xref="S4.2.p1.2.m2.2.3.cmml"><mrow id="S4.2.p1.2.m2.1.1.3" xref="S4.2.p1.2.m2.1.1.2.cmml"><mo id="S4.2.p1.2.m2.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S4.2.p1.2.m2.1.1.2.1.cmml">|</mo><mover accent="true" id="S4.2.p1.2.m2.1.1.1.1" xref="S4.2.p1.2.m2.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.2.p1.2.m2.1.1.1.1.2" xref="S4.2.p1.2.m2.1.1.1.1.2.cmml">σ</mi><mo id="S4.2.p1.2.m2.1.1.1.1.1" stretchy="false" xref="S4.2.p1.2.m2.1.1.1.1.1.cmml">→</mo></mover><mo id="S4.2.p1.2.m2.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S4.2.p1.2.m2.1.1.2.1.cmml">⟩</mo></mrow><mrow id="S4.2.p1.2.m2.2.2.1.3" xref="S4.2.p1.2.m2.2.3.cmml"><mo id="S4.2.p1.2.m2.2.2.1.3.1" stretchy="false" xref="S4.2.p1.2.m2.2.3.cmml">(</mo><mi id="S4.2.p1.2.m2.2.2.1.1" xref="S4.2.p1.2.m2.2.2.1.1.cmml">k</mi><mo id="S4.2.p1.2.m2.2.2.1.3.2" stretchy="false" xref="S4.2.p1.2.m2.2.3.cmml">)</mo></mrow></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.2.p1.2.m2.2b"><apply id="S4.2.p1.2.m2.2.3.cmml" xref="S4.2.p1.2.m2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.2.p1.2.m2.2.3.1.cmml" xref="S4.2.p1.2.m2.2.3">superscript</csymbol><apply id="S4.2.p1.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S4.2.p1.2.m2.1.1.3"><csymbol cd="latexml" id="S4.2.p1.2.m2.1.1.2.1.cmml" xref="S4.2.p1.2.m2.1.1.3.1">ket</csymbol><apply id="S4.2.p1.2.m2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.2.p1.2.m2.1.1.1.1"><ci id="S4.2.p1.2.m2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.2.p1.2.m2.1.1.1.1.1">→</ci><ci id="S4.2.p1.2.m2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.2.p1.2.m2.1.1.1.1.2">𝜎</ci></apply></apply><ci id="S4.2.p1.2.m2.2.2.1.1.cmml" xref="S4.2.p1.2.m2.2.2.1.1">𝑘</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.2.p1.2.m2.2c">\ket{\vec{\sigma}}^{(k)}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.2.p1.2.m2.2d">| start_ARG over→ start_ARG italic_σ end_ARG end_ARG ⟩ start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_k ) end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> in the <math alttext="S_{k}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.2.p1.3.m3.1"><semantics id="S4.2.p1.3.m3.1a"><msub id="S4.2.p1.3.m3.1.1" xref="S4.2.p1.3.m3.1.1.cmml"><mi id="S4.2.p1.3.m3.1.1.2" xref="S4.2.p1.3.m3.1.1.2.cmml">S</mi><mi id="S4.2.p1.3.m3.1.1.3" xref="S4.2.p1.3.m3.1.1.3.cmml">k</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.2.p1.3.m3.1b"><apply id="S4.2.p1.3.m3.1.1.cmml" xref="S4.2.p1.3.m3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.2.p1.3.m3.1.1.1.cmml" xref="S4.2.p1.3.m3.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.2.p1.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S4.2.p1.3.m3.1.1.2">𝑆</ci><ci id="S4.2.p1.3.m3.1.1.3.cmml" xref="S4.2.p1.3.m3.1.1.3">𝑘</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.2.p1.3.m3.1c">S_{k}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.2.p1.3.m3.1d">italic_S start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> symmetric group. In this case, we can cancel out the unitaries on copies on which the permutation acts trivially. A full proof may be found in Appendix <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#A2.SS2" title="B.2 Proof of Lemma 22 ‣ Appendix B Assorted proofs ‣ Conditional 𝑡-independent spectral gap for random quantum circuits and implications for 𝑡-design depths"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">B.2</span></a>. ∎</p> </div> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_corollary" id="Thmtheorem23"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmtheorem23.1.1.1">Corollary 23</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmtheorem23.2.2">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="Thmtheorem23.p1"> <p class="ltx_p" id="Thmtheorem23.p1.4"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmtheorem23.p1.4.4">Let <math alttext="k<t" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem23.p1.1.1.m1.1"><semantics id="Thmtheorem23.p1.1.1.m1.1a"><mrow id="Thmtheorem23.p1.1.1.m1.1.1" xref="Thmtheorem23.p1.1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="Thmtheorem23.p1.1.1.m1.1.1.2" xref="Thmtheorem23.p1.1.1.m1.1.1.2.cmml">k</mi><mo id="Thmtheorem23.p1.1.1.m1.1.1.1" xref="Thmtheorem23.p1.1.1.m1.1.1.1.cmml"><</mo><mi id="Thmtheorem23.p1.1.1.m1.1.1.3" xref="Thmtheorem23.p1.1.1.m1.1.1.3.cmml">t</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem23.p1.1.1.m1.1b"><apply id="Thmtheorem23.p1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem23.p1.1.1.m1.1.1"><lt id="Thmtheorem23.p1.1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem23.p1.1.1.m1.1.1.1"></lt><ci id="Thmtheorem23.p1.1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="Thmtheorem23.p1.1.1.m1.1.1.2">𝑘</ci><ci id="Thmtheorem23.p1.1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="Thmtheorem23.p1.1.1.m1.1.1.3">𝑡</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem23.p1.1.1.m1.1c">k<t</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem23.p1.1.1.m1.1d">italic_k < italic_t</annotation></semantics></math>. Define <math alttext="\operatorname{span}(S_{k}^{\times N})=\operatorname{span}\{\ket{\sigma_{1},...% \sigma_{N}}^{(t)},\sigma_{i}\in S_{k}\}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem23.p1.2.2.m2.7"><semantics id="Thmtheorem23.p1.2.2.m2.7a"><mrow id="Thmtheorem23.p1.2.2.m2.7.7" xref="Thmtheorem23.p1.2.2.m2.7.7.cmml"><mrow id="Thmtheorem23.p1.2.2.m2.5.5.1.1" xref="Thmtheorem23.p1.2.2.m2.5.5.1.2.cmml"><mi id="Thmtheorem23.p1.2.2.m2.3.3" xref="Thmtheorem23.p1.2.2.m2.3.3.cmml">span</mi><mo id="Thmtheorem23.p1.2.2.m2.5.5.1.1a" xref="Thmtheorem23.p1.2.2.m2.5.5.1.2.cmml">⁡</mo><mrow id="Thmtheorem23.p1.2.2.m2.5.5.1.1.1" xref="Thmtheorem23.p1.2.2.m2.5.5.1.2.cmml"><mo id="Thmtheorem23.p1.2.2.m2.5.5.1.1.1.2" stretchy="false" xref="Thmtheorem23.p1.2.2.m2.5.5.1.2.cmml">(</mo><msubsup id="Thmtheorem23.p1.2.2.m2.5.5.1.1.1.1" xref="Thmtheorem23.p1.2.2.m2.5.5.1.1.1.1.cmml"><mi id="Thmtheorem23.p1.2.2.m2.5.5.1.1.1.1.2.2" xref="Thmtheorem23.p1.2.2.m2.5.5.1.1.1.1.2.2.cmml">S</mi><mi id="Thmtheorem23.p1.2.2.m2.5.5.1.1.1.1.2.3" xref="Thmtheorem23.p1.2.2.m2.5.5.1.1.1.1.2.3.cmml">k</mi><mrow id="Thmtheorem23.p1.2.2.m2.5.5.1.1.1.1.3" xref="Thmtheorem23.p1.2.2.m2.5.5.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="Thmtheorem23.p1.2.2.m2.5.5.1.1.1.1.3.2" xref="Thmtheorem23.p1.2.2.m2.5.5.1.1.1.1.3.2.cmml"></mi><mo id="Thmtheorem23.p1.2.2.m2.5.5.1.1.1.1.3.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="Thmtheorem23.p1.2.2.m2.5.5.1.1.1.1.3.1.cmml">×</mo><mi id="Thmtheorem23.p1.2.2.m2.5.5.1.1.1.1.3.3" xref="Thmtheorem23.p1.2.2.m2.5.5.1.1.1.1.3.3.cmml">N</mi></mrow></msubsup><mo id="Thmtheorem23.p1.2.2.m2.5.5.1.1.1.3" stretchy="false" xref="Thmtheorem23.p1.2.2.m2.5.5.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="Thmtheorem23.p1.2.2.m2.7.7.4" xref="Thmtheorem23.p1.2.2.m2.7.7.4.cmml">=</mo><mrow id="Thmtheorem23.p1.2.2.m2.7.7.3.2" xref="Thmtheorem23.p1.2.2.m2.7.7.3.3.cmml"><mi id="Thmtheorem23.p1.2.2.m2.4.4" xref="Thmtheorem23.p1.2.2.m2.4.4.cmml">span</mi><mo id="Thmtheorem23.p1.2.2.m2.7.7.3.2a" xref="Thmtheorem23.p1.2.2.m2.7.7.3.3.cmml">⁡</mo><mrow id="Thmtheorem23.p1.2.2.m2.7.7.3.2.2" xref="Thmtheorem23.p1.2.2.m2.7.7.3.3.cmml"><mo id="Thmtheorem23.p1.2.2.m2.7.7.3.2.2.3" stretchy="false" xref="Thmtheorem23.p1.2.2.m2.7.7.3.3.cmml">{</mo><msup id="Thmtheorem23.p1.2.2.m2.6.6.2.1.1.1" xref="Thmtheorem23.p1.2.2.m2.6.6.2.1.1.1.cmml"><mrow id="Thmtheorem23.p1.2.2.m2.1.1.3" xref="Thmtheorem23.p1.2.2.m2.1.1.2.cmml"><mo id="Thmtheorem23.p1.2.2.m2.1.1.3.1" stretchy="false" xref="Thmtheorem23.p1.2.2.m2.1.1.2.1.cmml">|</mo><mrow id="Thmtheorem23.p1.2.2.m2.1.1.1.1.2" xref="Thmtheorem23.p1.2.2.m2.1.1.1.1.3.cmml"><msub id="Thmtheorem23.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1.1" xref="Thmtheorem23.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="Thmtheorem23.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1.1.2" xref="Thmtheorem23.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1.1.2.cmml">σ</mi><mn id="Thmtheorem23.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1.1.3" xref="Thmtheorem23.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="Thmtheorem23.p1.2.2.m2.1.1.1.1.2.3" xref="Thmtheorem23.p1.2.2.m2.1.1.1.1.3.cmml">,</mo><mrow id="Thmtheorem23.p1.2.2.m2.1.1.1.1.2.2" xref="Thmtheorem23.p1.2.2.m2.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="Thmtheorem23.p1.2.2.m2.1.1.1.1.2.2.2" mathvariant="normal" xref="Thmtheorem23.p1.2.2.m2.1.1.1.1.2.2.2.cmml">…</mi><mo id="Thmtheorem23.p1.2.2.m2.1.1.1.1.2.2.1" xref="Thmtheorem23.p1.2.2.m2.1.1.1.1.2.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="Thmtheorem23.p1.2.2.m2.1.1.1.1.2.2.3" xref="Thmtheorem23.p1.2.2.m2.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="Thmtheorem23.p1.2.2.m2.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="Thmtheorem23.p1.2.2.m2.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml">σ</mi><mi id="Thmtheorem23.p1.2.2.m2.1.1.1.1.2.2.3.3" xref="Thmtheorem23.p1.2.2.m2.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml">N</mi></msub></mrow></mrow><mo id="Thmtheorem23.p1.2.2.m2.1.1.3.2" stretchy="false" xref="Thmtheorem23.p1.2.2.m2.1.1.2.1.cmml">⟩</mo></mrow><mrow id="Thmtheorem23.p1.2.2.m2.2.2.1.3" xref="Thmtheorem23.p1.2.2.m2.6.6.2.1.1.1.cmml"><mo id="Thmtheorem23.p1.2.2.m2.2.2.1.3.1" stretchy="false" xref="Thmtheorem23.p1.2.2.m2.6.6.2.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="Thmtheorem23.p1.2.2.m2.2.2.1.1" xref="Thmtheorem23.p1.2.2.m2.2.2.1.1.cmml">t</mi><mo id="Thmtheorem23.p1.2.2.m2.2.2.1.3.2" stretchy="false" xref="Thmtheorem23.p1.2.2.m2.6.6.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></msup><mo id="Thmtheorem23.p1.2.2.m2.7.7.3.2.2.4" xref="Thmtheorem23.p1.2.2.m2.7.7.3.3.cmml">,</mo><mrow id="Thmtheorem23.p1.2.2.m2.7.7.3.2.2.2" xref="Thmtheorem23.p1.2.2.m2.7.7.3.2.2.2.cmml"><msub id="Thmtheorem23.p1.2.2.m2.7.7.3.2.2.2.2" xref="Thmtheorem23.p1.2.2.m2.7.7.3.2.2.2.2.cmml"><mi id="Thmtheorem23.p1.2.2.m2.7.7.3.2.2.2.2.2" xref="Thmtheorem23.p1.2.2.m2.7.7.3.2.2.2.2.2.cmml">σ</mi><mi id="Thmtheorem23.p1.2.2.m2.7.7.3.2.2.2.2.3" xref="Thmtheorem23.p1.2.2.m2.7.7.3.2.2.2.2.3.cmml">i</mi></msub><mo id="Thmtheorem23.p1.2.2.m2.7.7.3.2.2.2.1" xref="Thmtheorem23.p1.2.2.m2.7.7.3.2.2.2.1.cmml">∈</mo><msub id="Thmtheorem23.p1.2.2.m2.7.7.3.2.2.2.3" xref="Thmtheorem23.p1.2.2.m2.7.7.3.2.2.2.3.cmml"><mi id="Thmtheorem23.p1.2.2.m2.7.7.3.2.2.2.3.2" xref="Thmtheorem23.p1.2.2.m2.7.7.3.2.2.2.3.2.cmml">S</mi><mi id="Thmtheorem23.p1.2.2.m2.7.7.3.2.2.2.3.3" xref="Thmtheorem23.p1.2.2.m2.7.7.3.2.2.2.3.3.cmml">k</mi></msub></mrow><mo id="Thmtheorem23.p1.2.2.m2.7.7.3.2.2.5" stretchy="false" xref="Thmtheorem23.p1.2.2.m2.7.7.3.3.cmml">}</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem23.p1.2.2.m2.7b"><apply id="Thmtheorem23.p1.2.2.m2.7.7.cmml" xref="Thmtheorem23.p1.2.2.m2.7.7"><eq id="Thmtheorem23.p1.2.2.m2.7.7.4.cmml" xref="Thmtheorem23.p1.2.2.m2.7.7.4"></eq><apply id="Thmtheorem23.p1.2.2.m2.5.5.1.2.cmml" xref="Thmtheorem23.p1.2.2.m2.5.5.1.1"><ci id="Thmtheorem23.p1.2.2.m2.3.3.cmml" xref="Thmtheorem23.p1.2.2.m2.3.3">span</ci><apply id="Thmtheorem23.p1.2.2.m2.5.5.1.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem23.p1.2.2.m2.5.5.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem23.p1.2.2.m2.5.5.1.1.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem23.p1.2.2.m2.5.5.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="Thmtheorem23.p1.2.2.m2.5.5.1.1.1.1.2.cmml" xref="Thmtheorem23.p1.2.2.m2.5.5.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem23.p1.2.2.m2.5.5.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="Thmtheorem23.p1.2.2.m2.5.5.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="Thmtheorem23.p1.2.2.m2.5.5.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="Thmtheorem23.p1.2.2.m2.5.5.1.1.1.1.2.2">𝑆</ci><ci id="Thmtheorem23.p1.2.2.m2.5.5.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="Thmtheorem23.p1.2.2.m2.5.5.1.1.1.1.2.3">𝑘</ci></apply><apply id="Thmtheorem23.p1.2.2.m2.5.5.1.1.1.1.3.cmml" xref="Thmtheorem23.p1.2.2.m2.5.5.1.1.1.1.3"><times id="Thmtheorem23.p1.2.2.m2.5.5.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="Thmtheorem23.p1.2.2.m2.5.5.1.1.1.1.3.1"></times><csymbol cd="latexml" id="Thmtheorem23.p1.2.2.m2.5.5.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="Thmtheorem23.p1.2.2.m2.5.5.1.1.1.1.3.2">absent</csymbol><ci id="Thmtheorem23.p1.2.2.m2.5.5.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="Thmtheorem23.p1.2.2.m2.5.5.1.1.1.1.3.3">𝑁</ci></apply></apply></apply><apply id="Thmtheorem23.p1.2.2.m2.7.7.3.3.cmml" xref="Thmtheorem23.p1.2.2.m2.7.7.3.2"><ci id="Thmtheorem23.p1.2.2.m2.4.4.cmml" xref="Thmtheorem23.p1.2.2.m2.4.4">span</ci><apply id="Thmtheorem23.p1.2.2.m2.6.6.2.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem23.p1.2.2.m2.6.6.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem23.p1.2.2.m2.6.6.2.1.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem23.p1.2.2.m2.6.6.2.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="Thmtheorem23.p1.2.2.m2.1.1.2.cmml" xref="Thmtheorem23.p1.2.2.m2.1.1.3"><csymbol cd="latexml" id="Thmtheorem23.p1.2.2.m2.1.1.2.1.cmml" xref="Thmtheorem23.p1.2.2.m2.1.1.3.1">ket</csymbol><list id="Thmtheorem23.p1.2.2.m2.1.1.1.1.3.cmml" xref="Thmtheorem23.p1.2.2.m2.1.1.1.1.2"><apply id="Thmtheorem23.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem23.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem23.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem23.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="Thmtheorem23.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="Thmtheorem23.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1.1.2">𝜎</ci><cn id="Thmtheorem23.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="Thmtheorem23.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1.1.3">1</cn></apply><apply id="Thmtheorem23.p1.2.2.m2.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="Thmtheorem23.p1.2.2.m2.1.1.1.1.2.2"><times id="Thmtheorem23.p1.2.2.m2.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="Thmtheorem23.p1.2.2.m2.1.1.1.1.2.2.1"></times><ci id="Thmtheorem23.p1.2.2.m2.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="Thmtheorem23.p1.2.2.m2.1.1.1.1.2.2.2">…</ci><apply id="Thmtheorem23.p1.2.2.m2.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="Thmtheorem23.p1.2.2.m2.1.1.1.1.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem23.p1.2.2.m2.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="Thmtheorem23.p1.2.2.m2.1.1.1.1.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="Thmtheorem23.p1.2.2.m2.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="Thmtheorem23.p1.2.2.m2.1.1.1.1.2.2.3.2">𝜎</ci><ci id="Thmtheorem23.p1.2.2.m2.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml" xref="Thmtheorem23.p1.2.2.m2.1.1.1.1.2.2.3.3">𝑁</ci></apply></apply></list></apply><ci id="Thmtheorem23.p1.2.2.m2.2.2.1.1.cmml" xref="Thmtheorem23.p1.2.2.m2.2.2.1.1">𝑡</ci></apply><apply id="Thmtheorem23.p1.2.2.m2.7.7.3.2.2.2.cmml" xref="Thmtheorem23.p1.2.2.m2.7.7.3.2.2.2"><in id="Thmtheorem23.p1.2.2.m2.7.7.3.2.2.2.1.cmml" xref="Thmtheorem23.p1.2.2.m2.7.7.3.2.2.2.1"></in><apply id="Thmtheorem23.p1.2.2.m2.7.7.3.2.2.2.2.cmml" xref="Thmtheorem23.p1.2.2.m2.7.7.3.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem23.p1.2.2.m2.7.7.3.2.2.2.2.1.cmml" xref="Thmtheorem23.p1.2.2.m2.7.7.3.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="Thmtheorem23.p1.2.2.m2.7.7.3.2.2.2.2.2.cmml" xref="Thmtheorem23.p1.2.2.m2.7.7.3.2.2.2.2.2">𝜎</ci><ci id="Thmtheorem23.p1.2.2.m2.7.7.3.2.2.2.2.3.cmml" xref="Thmtheorem23.p1.2.2.m2.7.7.3.2.2.2.2.3">𝑖</ci></apply><apply id="Thmtheorem23.p1.2.2.m2.7.7.3.2.2.2.3.cmml" xref="Thmtheorem23.p1.2.2.m2.7.7.3.2.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem23.p1.2.2.m2.7.7.3.2.2.2.3.1.cmml" xref="Thmtheorem23.p1.2.2.m2.7.7.3.2.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="Thmtheorem23.p1.2.2.m2.7.7.3.2.2.2.3.2.cmml" xref="Thmtheorem23.p1.2.2.m2.7.7.3.2.2.2.3.2">𝑆</ci><ci id="Thmtheorem23.p1.2.2.m2.7.7.3.2.2.2.3.3.cmml" xref="Thmtheorem23.p1.2.2.m2.7.7.3.2.2.2.3.3">𝑘</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem23.p1.2.2.m2.7c">\operatorname{span}(S_{k}^{\times N})=\operatorname{span}\{\ket{\sigma_{1},...% \sigma_{N}}^{(t)},\sigma_{i}\in S_{k}\}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem23.p1.2.2.m2.7d">roman_span ( italic_S start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT × italic_N end_POSTSUPERSCRIPT ) = roman_span { | start_ARG italic_σ start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , … italic_σ start_POSTSUBSCRIPT italic_N end_POSTSUBSCRIPT end_ARG ⟩ start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_t ) end_POSTSUPERSCRIPT , italic_σ start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT ∈ italic_S start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT }</annotation></semantics></math> Then <math alttext="\operatorname{span}(S_{k}^{\times N})" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem23.p1.3.3.m3.2"><semantics id="Thmtheorem23.p1.3.3.m3.2a"><mrow id="Thmtheorem23.p1.3.3.m3.2.2.1" xref="Thmtheorem23.p1.3.3.m3.2.2.2.cmml"><mi id="Thmtheorem23.p1.3.3.m3.1.1" xref="Thmtheorem23.p1.3.3.m3.1.1.cmml">span</mi><mo id="Thmtheorem23.p1.3.3.m3.2.2.1a" xref="Thmtheorem23.p1.3.3.m3.2.2.2.cmml">⁡</mo><mrow id="Thmtheorem23.p1.3.3.m3.2.2.1.1" xref="Thmtheorem23.p1.3.3.m3.2.2.2.cmml"><mo id="Thmtheorem23.p1.3.3.m3.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="Thmtheorem23.p1.3.3.m3.2.2.2.cmml">(</mo><msubsup id="Thmtheorem23.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1" xref="Thmtheorem23.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="Thmtheorem23.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.2.2" xref="Thmtheorem23.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.2.2.cmml">S</mi><mi id="Thmtheorem23.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.2.3" xref="Thmtheorem23.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.2.3.cmml">k</mi><mrow id="Thmtheorem23.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.3" xref="Thmtheorem23.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.3.cmml"><mi id="Thmtheorem23.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.3.2" xref="Thmtheorem23.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.3.2.cmml"></mi><mo id="Thmtheorem23.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.3.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="Thmtheorem23.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.3.1.cmml">×</mo><mi id="Thmtheorem23.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.3.3" xref="Thmtheorem23.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.3.3.cmml">N</mi></mrow></msubsup><mo id="Thmtheorem23.p1.3.3.m3.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="Thmtheorem23.p1.3.3.m3.2.2.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem23.p1.3.3.m3.2b"><apply id="Thmtheorem23.p1.3.3.m3.2.2.2.cmml" xref="Thmtheorem23.p1.3.3.m3.2.2.1"><ci id="Thmtheorem23.p1.3.3.m3.1.1.cmml" xref="Thmtheorem23.p1.3.3.m3.1.1">span</ci><apply id="Thmtheorem23.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem23.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem23.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem23.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="Thmtheorem23.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="Thmtheorem23.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem23.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="Thmtheorem23.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="Thmtheorem23.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.2.2.cmml" xref="Thmtheorem23.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.2.2">𝑆</ci><ci id="Thmtheorem23.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.2.3.cmml" xref="Thmtheorem23.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.2.3">𝑘</ci></apply><apply id="Thmtheorem23.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="Thmtheorem23.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.3"><times id="Thmtheorem23.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="Thmtheorem23.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.3.1"></times><csymbol cd="latexml" id="Thmtheorem23.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.3.2.cmml" xref="Thmtheorem23.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.3.2">absent</csymbol><ci id="Thmtheorem23.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.3.3.cmml" xref="Thmtheorem23.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.3.3">𝑁</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem23.p1.3.3.m3.2c">\operatorname{span}(S_{k}^{\times N})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem23.p1.3.3.m3.2d">roman_span ( italic_S start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT × italic_N end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math> is an invariant subspace of <math alttext="G_{i}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem23.p1.4.4.m4.1"><semantics id="Thmtheorem23.p1.4.4.m4.1a"><msub id="Thmtheorem23.p1.4.4.m4.1.1" xref="Thmtheorem23.p1.4.4.m4.1.1.cmml"><mi id="Thmtheorem23.p1.4.4.m4.1.1.2" xref="Thmtheorem23.p1.4.4.m4.1.1.2.cmml">G</mi><mi id="Thmtheorem23.p1.4.4.m4.1.1.3" xref="Thmtheorem23.p1.4.4.m4.1.1.3.cmml">i</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem23.p1.4.4.m4.1b"><apply id="Thmtheorem23.p1.4.4.m4.1.1.cmml" xref="Thmtheorem23.p1.4.4.m4.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem23.p1.4.4.m4.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem23.p1.4.4.m4.1.1">subscript</csymbol><ci id="Thmtheorem23.p1.4.4.m4.1.1.2.cmml" xref="Thmtheorem23.p1.4.4.m4.1.1.2">𝐺</ci><ci id="Thmtheorem23.p1.4.4.m4.1.1.3.cmml" xref="Thmtheorem23.p1.4.4.m4.1.1.3">𝑖</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem23.p1.4.4.m4.1c">G_{i}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem23.p1.4.4.m4.1d">italic_G start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>.</span></p> </div> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_corollary" id="Thmtheorem24"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmtheorem24.1.1.1">Corollary 24</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmtheorem24.2.2">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="Thmtheorem24.p1"> <p class="ltx_p" id="Thmtheorem24.p1.3"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmtheorem24.p1.3.3">The subspace <math alttext="\pi_{L}\rho_{R}\operatorname{span}(S_{k}^{\times N})=\operatorname{span}\{\ket% {\pi\circ\sigma_{1}\circ\rho,...\pi\circ\sigma_{N}\circ\rho}^{(t)},\sigma_{i}% \in S_{k}\}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem24.p1.1.1.m1.7"><semantics id="Thmtheorem24.p1.1.1.m1.7a"><mrow id="Thmtheorem24.p1.1.1.m1.7.7" xref="Thmtheorem24.p1.1.1.m1.7.7.cmml"><mrow id="Thmtheorem24.p1.1.1.m1.5.5.1" xref="Thmtheorem24.p1.1.1.m1.5.5.1.cmml"><msub id="Thmtheorem24.p1.1.1.m1.5.5.1.3" xref="Thmtheorem24.p1.1.1.m1.5.5.1.3.cmml"><mi id="Thmtheorem24.p1.1.1.m1.5.5.1.3.2" xref="Thmtheorem24.p1.1.1.m1.5.5.1.3.2.cmml">π</mi><mi id="Thmtheorem24.p1.1.1.m1.5.5.1.3.3" xref="Thmtheorem24.p1.1.1.m1.5.5.1.3.3.cmml">L</mi></msub><mo id="Thmtheorem24.p1.1.1.m1.5.5.1.2" xref="Thmtheorem24.p1.1.1.m1.5.5.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="Thmtheorem24.p1.1.1.m1.5.5.1.4" xref="Thmtheorem24.p1.1.1.m1.5.5.1.4.cmml"><mi id="Thmtheorem24.p1.1.1.m1.5.5.1.4.2" xref="Thmtheorem24.p1.1.1.m1.5.5.1.4.2.cmml">ρ</mi><mi id="Thmtheorem24.p1.1.1.m1.5.5.1.4.3" xref="Thmtheorem24.p1.1.1.m1.5.5.1.4.3.cmml">R</mi></msub><mo id="Thmtheorem24.p1.1.1.m1.5.5.1.2a" lspace="0.167em" xref="Thmtheorem24.p1.1.1.m1.5.5.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="Thmtheorem24.p1.1.1.m1.5.5.1.1.1" xref="Thmtheorem24.p1.1.1.m1.5.5.1.1.2.cmml"><mi id="Thmtheorem24.p1.1.1.m1.3.3" xref="Thmtheorem24.p1.1.1.m1.3.3.cmml">span</mi><mo id="Thmtheorem24.p1.1.1.m1.5.5.1.1.1a" xref="Thmtheorem24.p1.1.1.m1.5.5.1.1.2.cmml">⁡</mo><mrow id="Thmtheorem24.p1.1.1.m1.5.5.1.1.1.1" xref="Thmtheorem24.p1.1.1.m1.5.5.1.1.2.cmml"><mo id="Thmtheorem24.p1.1.1.m1.5.5.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="Thmtheorem24.p1.1.1.m1.5.5.1.1.2.cmml">(</mo><msubsup id="Thmtheorem24.p1.1.1.m1.5.5.1.1.1.1.1" xref="Thmtheorem24.p1.1.1.m1.5.5.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="Thmtheorem24.p1.1.1.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.2" xref="Thmtheorem24.p1.1.1.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.2.cmml">S</mi><mi id="Thmtheorem24.p1.1.1.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.3" xref="Thmtheorem24.p1.1.1.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.3.cmml">k</mi><mrow id="Thmtheorem24.p1.1.1.m1.5.5.1.1.1.1.1.3" xref="Thmtheorem24.p1.1.1.m1.5.5.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="Thmtheorem24.p1.1.1.m1.5.5.1.1.1.1.1.3.2" xref="Thmtheorem24.p1.1.1.m1.5.5.1.1.1.1.1.3.2.cmml"></mi><mo id="Thmtheorem24.p1.1.1.m1.5.5.1.1.1.1.1.3.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="Thmtheorem24.p1.1.1.m1.5.5.1.1.1.1.1.3.1.cmml">×</mo><mi id="Thmtheorem24.p1.1.1.m1.5.5.1.1.1.1.1.3.3" xref="Thmtheorem24.p1.1.1.m1.5.5.1.1.1.1.1.3.3.cmml">N</mi></mrow></msubsup><mo id="Thmtheorem24.p1.1.1.m1.5.5.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="Thmtheorem24.p1.1.1.m1.5.5.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="Thmtheorem24.p1.1.1.m1.7.7.4" xref="Thmtheorem24.p1.1.1.m1.7.7.4.cmml">=</mo><mrow id="Thmtheorem24.p1.1.1.m1.7.7.3.2" xref="Thmtheorem24.p1.1.1.m1.7.7.3.3.cmml"><mi id="Thmtheorem24.p1.1.1.m1.4.4" xref="Thmtheorem24.p1.1.1.m1.4.4.cmml">span</mi><mo id="Thmtheorem24.p1.1.1.m1.7.7.3.2a" xref="Thmtheorem24.p1.1.1.m1.7.7.3.3.cmml">⁡</mo><mrow id="Thmtheorem24.p1.1.1.m1.7.7.3.2.2" xref="Thmtheorem24.p1.1.1.m1.7.7.3.3.cmml"><mo id="Thmtheorem24.p1.1.1.m1.7.7.3.2.2.3" stretchy="false" xref="Thmtheorem24.p1.1.1.m1.7.7.3.3.cmml">{</mo><msup id="Thmtheorem24.p1.1.1.m1.6.6.2.1.1.1" 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id="Thmtheorem24.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1a" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="Thmtheorem24.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">∘</mo><mi id="Thmtheorem24.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.4" xref="Thmtheorem24.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.4.cmml">ρ</mi></mrow><mo id="Thmtheorem24.p1.1.1.m1.1.1.1.1.2.3" xref="Thmtheorem24.p1.1.1.m1.1.1.1.1.3.cmml">,</mo><mrow id="Thmtheorem24.p1.1.1.m1.1.1.1.1.2.2" xref="Thmtheorem24.p1.1.1.m1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mrow id="Thmtheorem24.p1.1.1.m1.1.1.1.1.2.2.2" xref="Thmtheorem24.p1.1.1.m1.1.1.1.1.2.2.2.cmml"><mi id="Thmtheorem24.p1.1.1.m1.1.1.1.1.2.2.2.2" mathvariant="normal" xref="Thmtheorem24.p1.1.1.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml">…</mi><mo id="Thmtheorem24.p1.1.1.m1.1.1.1.1.2.2.2.1" xref="Thmtheorem24.p1.1.1.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="Thmtheorem24.p1.1.1.m1.1.1.1.1.2.2.2.3" xref="Thmtheorem24.p1.1.1.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml">π</mi></mrow><mo id="Thmtheorem24.p1.1.1.m1.1.1.1.1.2.2.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" 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id="Thmtheorem24.p1.1.1.m1.4.4.cmml" xref="Thmtheorem24.p1.1.1.m1.4.4">span</ci><apply id="Thmtheorem24.p1.1.1.m1.6.6.2.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem24.p1.1.1.m1.6.6.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem24.p1.1.1.m1.6.6.2.1.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem24.p1.1.1.m1.6.6.2.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="Thmtheorem24.p1.1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="Thmtheorem24.p1.1.1.m1.1.1.3"><csymbol cd="latexml" id="Thmtheorem24.p1.1.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="Thmtheorem24.p1.1.1.m1.1.1.3.1">ket</csymbol><list id="Thmtheorem24.p1.1.1.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="Thmtheorem24.p1.1.1.m1.1.1.1.1.2"><apply id="Thmtheorem24.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem24.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1"><compose id="Thmtheorem24.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem24.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1"></compose><ci id="Thmtheorem24.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="Thmtheorem24.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2">𝜋</ci><apply id="Thmtheorem24.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="Thmtheorem24.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem24.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="Thmtheorem24.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="Thmtheorem24.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="Thmtheorem24.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝜎</ci><cn id="Thmtheorem24.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="Thmtheorem24.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.3">1</cn></apply><ci id="Thmtheorem24.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="Thmtheorem24.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.4">𝜌</ci></apply><apply id="Thmtheorem24.p1.1.1.m1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="Thmtheorem24.p1.1.1.m1.1.1.1.1.2.2"><compose id="Thmtheorem24.p1.1.1.m1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="Thmtheorem24.p1.1.1.m1.1.1.1.1.2.2.1"></compose><apply id="Thmtheorem24.p1.1.1.m1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="Thmtheorem24.p1.1.1.m1.1.1.1.1.2.2.2"><times id="Thmtheorem24.p1.1.1.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="Thmtheorem24.p1.1.1.m1.1.1.1.1.2.2.2.1"></times><ci id="Thmtheorem24.p1.1.1.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="Thmtheorem24.p1.1.1.m1.1.1.1.1.2.2.2.2">…</ci><ci id="Thmtheorem24.p1.1.1.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml" xref="Thmtheorem24.p1.1.1.m1.1.1.1.1.2.2.2.3">𝜋</ci></apply><apply id="Thmtheorem24.p1.1.1.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="Thmtheorem24.p1.1.1.m1.1.1.1.1.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem24.p1.1.1.m1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="Thmtheorem24.p1.1.1.m1.1.1.1.1.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="Thmtheorem24.p1.1.1.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="Thmtheorem24.p1.1.1.m1.1.1.1.1.2.2.3.2">𝜎</ci><ci id="Thmtheorem24.p1.1.1.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml" xref="Thmtheorem24.p1.1.1.m1.1.1.1.1.2.2.3.3">𝑁</ci></apply><ci id="Thmtheorem24.p1.1.1.m1.1.1.1.1.2.2.4.cmml" xref="Thmtheorem24.p1.1.1.m1.1.1.1.1.2.2.4">𝜌</ci></apply></list></apply><ci id="Thmtheorem24.p1.1.1.m1.2.2.1.1.cmml" xref="Thmtheorem24.p1.1.1.m1.2.2.1.1">𝑡</ci></apply><apply id="Thmtheorem24.p1.1.1.m1.7.7.3.2.2.2.cmml" xref="Thmtheorem24.p1.1.1.m1.7.7.3.2.2.2"><in id="Thmtheorem24.p1.1.1.m1.7.7.3.2.2.2.1.cmml" xref="Thmtheorem24.p1.1.1.m1.7.7.3.2.2.2.1"></in><apply id="Thmtheorem24.p1.1.1.m1.7.7.3.2.2.2.2.cmml" xref="Thmtheorem24.p1.1.1.m1.7.7.3.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem24.p1.1.1.m1.7.7.3.2.2.2.2.1.cmml" xref="Thmtheorem24.p1.1.1.m1.7.7.3.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="Thmtheorem24.p1.1.1.m1.7.7.3.2.2.2.2.2.cmml" xref="Thmtheorem24.p1.1.1.m1.7.7.3.2.2.2.2.2">𝜎</ci><ci id="Thmtheorem24.p1.1.1.m1.7.7.3.2.2.2.2.3.cmml" xref="Thmtheorem24.p1.1.1.m1.7.7.3.2.2.2.2.3">𝑖</ci></apply><apply id="Thmtheorem24.p1.1.1.m1.7.7.3.2.2.2.3.cmml" xref="Thmtheorem24.p1.1.1.m1.7.7.3.2.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem24.p1.1.1.m1.7.7.3.2.2.2.3.1.cmml" xref="Thmtheorem24.p1.1.1.m1.7.7.3.2.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="Thmtheorem24.p1.1.1.m1.7.7.3.2.2.2.3.2.cmml" xref="Thmtheorem24.p1.1.1.m1.7.7.3.2.2.2.3.2">𝑆</ci><ci id="Thmtheorem24.p1.1.1.m1.7.7.3.2.2.2.3.3.cmml" xref="Thmtheorem24.p1.1.1.m1.7.7.3.2.2.2.3.3">𝑘</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem24.p1.1.1.m1.7c">\pi_{L}\rho_{R}\operatorname{span}(S_{k}^{\times N})=\operatorname{span}\{\ket% {\pi\circ\sigma_{1}\circ\rho,...\pi\circ\sigma_{N}\circ\rho}^{(t)},\sigma_{i}% \in S_{k}\}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem24.p1.1.1.m1.7d">italic_π start_POSTSUBSCRIPT italic_L end_POSTSUBSCRIPT italic_ρ start_POSTSUBSCRIPT italic_R end_POSTSUBSCRIPT roman_span ( italic_S start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT × italic_N end_POSTSUPERSCRIPT ) = roman_span { | start_ARG italic_π ∘ italic_σ start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ∘ italic_ρ , … italic_π ∘ italic_σ start_POSTSUBSCRIPT italic_N end_POSTSUBSCRIPT ∘ italic_ρ end_ARG ⟩ start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_t ) end_POSTSUPERSCRIPT , italic_σ start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT ∈ italic_S start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT }</annotation></semantics></math> is also an invariant subspace of <math alttext="G_{i}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem24.p1.2.2.m2.1"><semantics id="Thmtheorem24.p1.2.2.m2.1a"><msub id="Thmtheorem24.p1.2.2.m2.1.1" xref="Thmtheorem24.p1.2.2.m2.1.1.cmml"><mi id="Thmtheorem24.p1.2.2.m2.1.1.2" xref="Thmtheorem24.p1.2.2.m2.1.1.2.cmml">G</mi><mi id="Thmtheorem24.p1.2.2.m2.1.1.3" xref="Thmtheorem24.p1.2.2.m2.1.1.3.cmml">i</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem24.p1.2.2.m2.1b"><apply id="Thmtheorem24.p1.2.2.m2.1.1.cmml" xref="Thmtheorem24.p1.2.2.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem24.p1.2.2.m2.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem24.p1.2.2.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="Thmtheorem24.p1.2.2.m2.1.1.2.cmml" xref="Thmtheorem24.p1.2.2.m2.1.1.2">𝐺</ci><ci id="Thmtheorem24.p1.2.2.m2.1.1.3.cmml" xref="Thmtheorem24.p1.2.2.m2.1.1.3">𝑖</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem24.p1.2.2.m2.1c">G_{i}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem24.p1.2.2.m2.1d">italic_G start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> for every <math alttext="\pi,\rho\in S_{t}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem24.p1.3.3.m3.2"><semantics id="Thmtheorem24.p1.3.3.m3.2a"><mrow id="Thmtheorem24.p1.3.3.m3.2.3" xref="Thmtheorem24.p1.3.3.m3.2.3.cmml"><mrow id="Thmtheorem24.p1.3.3.m3.2.3.2.2" xref="Thmtheorem24.p1.3.3.m3.2.3.2.1.cmml"><mi id="Thmtheorem24.p1.3.3.m3.1.1" xref="Thmtheorem24.p1.3.3.m3.1.1.cmml">π</mi><mo id="Thmtheorem24.p1.3.3.m3.2.3.2.2.1" xref="Thmtheorem24.p1.3.3.m3.2.3.2.1.cmml">,</mo><mi id="Thmtheorem24.p1.3.3.m3.2.2" xref="Thmtheorem24.p1.3.3.m3.2.2.cmml">ρ</mi></mrow><mo id="Thmtheorem24.p1.3.3.m3.2.3.1" xref="Thmtheorem24.p1.3.3.m3.2.3.1.cmml">∈</mo><msub id="Thmtheorem24.p1.3.3.m3.2.3.3" xref="Thmtheorem24.p1.3.3.m3.2.3.3.cmml"><mi id="Thmtheorem24.p1.3.3.m3.2.3.3.2" xref="Thmtheorem24.p1.3.3.m3.2.3.3.2.cmml">S</mi><mi id="Thmtheorem24.p1.3.3.m3.2.3.3.3" xref="Thmtheorem24.p1.3.3.m3.2.3.3.3.cmml">t</mi></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem24.p1.3.3.m3.2b"><apply id="Thmtheorem24.p1.3.3.m3.2.3.cmml" xref="Thmtheorem24.p1.3.3.m3.2.3"><in id="Thmtheorem24.p1.3.3.m3.2.3.1.cmml" xref="Thmtheorem24.p1.3.3.m3.2.3.1"></in><list id="Thmtheorem24.p1.3.3.m3.2.3.2.1.cmml" xref="Thmtheorem24.p1.3.3.m3.2.3.2.2"><ci id="Thmtheorem24.p1.3.3.m3.1.1.cmml" xref="Thmtheorem24.p1.3.3.m3.1.1">𝜋</ci><ci id="Thmtheorem24.p1.3.3.m3.2.2.cmml" xref="Thmtheorem24.p1.3.3.m3.2.2">𝜌</ci></list><apply id="Thmtheorem24.p1.3.3.m3.2.3.3.cmml" xref="Thmtheorem24.p1.3.3.m3.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem24.p1.3.3.m3.2.3.3.1.cmml" xref="Thmtheorem24.p1.3.3.m3.2.3.3">subscript</csymbol><ci id="Thmtheorem24.p1.3.3.m3.2.3.3.2.cmml" xref="Thmtheorem24.p1.3.3.m3.2.3.3.2">𝑆</ci><ci id="Thmtheorem24.p1.3.3.m3.2.3.3.3.cmml" xref="Thmtheorem24.p1.3.3.m3.2.3.3.3">𝑡</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem24.p1.3.3.m3.2c">\pi,\rho\in S_{t}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem24.p1.3.3.m3.2d">italic_π , italic_ρ ∈ italic_S start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>.</span></p> </div> </div> <div class="ltx_para" id="S4.p3"> <p class="ltx_p" id="S4.p3.3">Call the direct sum of all subspaces of this form <math alttext="\operatorname{span}(S_{t}^{2}\circ S_{k}^{\times N})" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p3.1.m1.2"><semantics id="S4.p3.1.m1.2a"><mrow id="S4.p3.1.m1.2.2.1" xref="S4.p3.1.m1.2.2.2.cmml"><mi id="S4.p3.1.m1.1.1" xref="S4.p3.1.m1.1.1.cmml">span</mi><mo id="S4.p3.1.m1.2.2.1a" xref="S4.p3.1.m1.2.2.2.cmml">⁡</mo><mrow id="S4.p3.1.m1.2.2.1.1" xref="S4.p3.1.m1.2.2.2.cmml"><mo id="S4.p3.1.m1.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.p3.1.m1.2.2.2.cmml">(</mo><mrow id="S4.p3.1.m1.2.2.1.1.1" xref="S4.p3.1.m1.2.2.1.1.1.cmml"><msubsup id="S4.p3.1.m1.2.2.1.1.1.2" xref="S4.p3.1.m1.2.2.1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.p3.1.m1.2.2.1.1.1.2.2.2" xref="S4.p3.1.m1.2.2.1.1.1.2.2.2.cmml">S</mi><mi id="S4.p3.1.m1.2.2.1.1.1.2.2.3" xref="S4.p3.1.m1.2.2.1.1.1.2.2.3.cmml">t</mi><mn id="S4.p3.1.m1.2.2.1.1.1.2.3" xref="S4.p3.1.m1.2.2.1.1.1.2.3.cmml">2</mn></msubsup><mo id="S4.p3.1.m1.2.2.1.1.1.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S4.p3.1.m1.2.2.1.1.1.1.cmml">∘</mo><msubsup id="S4.p3.1.m1.2.2.1.1.1.3" xref="S4.p3.1.m1.2.2.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.p3.1.m1.2.2.1.1.1.3.2.2" xref="S4.p3.1.m1.2.2.1.1.1.3.2.2.cmml">S</mi><mi id="S4.p3.1.m1.2.2.1.1.1.3.2.3" xref="S4.p3.1.m1.2.2.1.1.1.3.2.3.cmml">k</mi><mrow id="S4.p3.1.m1.2.2.1.1.1.3.3" xref="S4.p3.1.m1.2.2.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S4.p3.1.m1.2.2.1.1.1.3.3.2" xref="S4.p3.1.m1.2.2.1.1.1.3.3.2.cmml"></mi><mo id="S4.p3.1.m1.2.2.1.1.1.3.3.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S4.p3.1.m1.2.2.1.1.1.3.3.1.cmml">×</mo><mi id="S4.p3.1.m1.2.2.1.1.1.3.3.3" xref="S4.p3.1.m1.2.2.1.1.1.3.3.3.cmml">N</mi></mrow></msubsup></mrow><mo id="S4.p3.1.m1.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.p3.1.m1.2.2.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p3.1.m1.2b"><apply id="S4.p3.1.m1.2.2.2.cmml" xref="S4.p3.1.m1.2.2.1"><ci id="S4.p3.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.p3.1.m1.1.1">span</ci><apply id="S4.p3.1.m1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S4.p3.1.m1.2.2.1.1.1"><compose id="S4.p3.1.m1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.p3.1.m1.2.2.1.1.1.1"></compose><apply id="S4.p3.1.m1.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S4.p3.1.m1.2.2.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p3.1.m1.2.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.p3.1.m1.2.2.1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="S4.p3.1.m1.2.2.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.p3.1.m1.2.2.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p3.1.m1.2.2.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.p3.1.m1.2.2.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S4.p3.1.m1.2.2.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.p3.1.m1.2.2.1.1.1.2.2.2">𝑆</ci><ci id="S4.p3.1.m1.2.2.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.p3.1.m1.2.2.1.1.1.2.2.3">𝑡</ci></apply><cn id="S4.p3.1.m1.2.2.1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.p3.1.m1.2.2.1.1.1.2.3">2</cn></apply><apply id="S4.p3.1.m1.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S4.p3.1.m1.2.2.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p3.1.m1.2.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.p3.1.m1.2.2.1.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="S4.p3.1.m1.2.2.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.p3.1.m1.2.2.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p3.1.m1.2.2.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.p3.1.m1.2.2.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.p3.1.m1.2.2.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.p3.1.m1.2.2.1.1.1.3.2.2">𝑆</ci><ci id="S4.p3.1.m1.2.2.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S4.p3.1.m1.2.2.1.1.1.3.2.3">𝑘</ci></apply><apply id="S4.p3.1.m1.2.2.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.p3.1.m1.2.2.1.1.1.3.3"><times id="S4.p3.1.m1.2.2.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.p3.1.m1.2.2.1.1.1.3.3.1"></times><csymbol cd="latexml" id="S4.p3.1.m1.2.2.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S4.p3.1.m1.2.2.1.1.1.3.3.2">absent</csymbol><ci id="S4.p3.1.m1.2.2.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S4.p3.1.m1.2.2.1.1.1.3.3.3">𝑁</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p3.1.m1.2c">\operatorname{span}(S_{t}^{2}\circ S_{k}^{\times N})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p3.1.m1.2d">roman_span ( italic_S start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ∘ italic_S start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT × italic_N end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math>. The arguments above generalize straightforwardly to non-two-site gates, so these subspaces are also invariant under the <math alttext="\Pi_{i}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p3.2.m2.1"><semantics id="S4.p3.2.m2.1a"><msub id="S4.p3.2.m2.1.1" xref="S4.p3.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S4.p3.2.m2.1.1.2" mathvariant="normal" xref="S4.p3.2.m2.1.1.2.cmml">Π</mi><mi id="S4.p3.2.m2.1.1.3" xref="S4.p3.2.m2.1.1.3.cmml">i</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p3.2.m2.1b"><apply id="S4.p3.2.m2.1.1.cmml" xref="S4.p3.2.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p3.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S4.p3.2.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.p3.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S4.p3.2.m2.1.1.2">Π</ci><ci id="S4.p3.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S4.p3.2.m2.1.1.3">𝑖</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p3.2.m2.1c">\Pi_{i}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p3.2.m2.1d">roman_Π start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> operators. The subspaces have a nested structure, with <math alttext="\operatorname{span}(S_{t}^{2}\circ S_{k-1}^{N})\subset\operatorname{span}(S_{t% }^{2}\circ S_{k}^{N})" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p3.3.m3.4"><semantics id="S4.p3.3.m3.4a"><mrow id="S4.p3.3.m3.4.4" xref="S4.p3.3.m3.4.4.cmml"><mrow id="S4.p3.3.m3.3.3.1.1" xref="S4.p3.3.m3.3.3.1.2.cmml"><mi id="S4.p3.3.m3.1.1" xref="S4.p3.3.m3.1.1.cmml">span</mi><mo id="S4.p3.3.m3.3.3.1.1a" xref="S4.p3.3.m3.3.3.1.2.cmml">⁡</mo><mrow id="S4.p3.3.m3.3.3.1.1.1" xref="S4.p3.3.m3.3.3.1.2.cmml"><mo id="S4.p3.3.m3.3.3.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.p3.3.m3.3.3.1.2.cmml">(</mo><mrow id="S4.p3.3.m3.3.3.1.1.1.1" xref="S4.p3.3.m3.3.3.1.1.1.1.cmml"><msubsup id="S4.p3.3.m3.3.3.1.1.1.1.2" xref="S4.p3.3.m3.3.3.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.p3.3.m3.3.3.1.1.1.1.2.2.2" xref="S4.p3.3.m3.3.3.1.1.1.1.2.2.2.cmml">S</mi><mi id="S4.p3.3.m3.3.3.1.1.1.1.2.2.3" xref="S4.p3.3.m3.3.3.1.1.1.1.2.2.3.cmml">t</mi><mn id="S4.p3.3.m3.3.3.1.1.1.1.2.3" xref="S4.p3.3.m3.3.3.1.1.1.1.2.3.cmml">2</mn></msubsup><mo id="S4.p3.3.m3.3.3.1.1.1.1.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S4.p3.3.m3.3.3.1.1.1.1.1.cmml">∘</mo><msubsup id="S4.p3.3.m3.3.3.1.1.1.1.3" xref="S4.p3.3.m3.3.3.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.p3.3.m3.3.3.1.1.1.1.3.2.2" xref="S4.p3.3.m3.3.3.1.1.1.1.3.2.2.cmml">S</mi><mrow id="S4.p3.3.m3.3.3.1.1.1.1.3.2.3" xref="S4.p3.3.m3.3.3.1.1.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="S4.p3.3.m3.3.3.1.1.1.1.3.2.3.2" xref="S4.p3.3.m3.3.3.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml">k</mi><mo id="S4.p3.3.m3.3.3.1.1.1.1.3.2.3.1" xref="S4.p3.3.m3.3.3.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml">−</mo><mn id="S4.p3.3.m3.3.3.1.1.1.1.3.2.3.3" xref="S4.p3.3.m3.3.3.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="S4.p3.3.m3.3.3.1.1.1.1.3.3" xref="S4.p3.3.m3.3.3.1.1.1.1.3.3.cmml">N</mi></msubsup></mrow><mo id="S4.p3.3.m3.3.3.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.p3.3.m3.3.3.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.p3.3.m3.4.4.3" xref="S4.p3.3.m3.4.4.3.cmml">⊂</mo><mrow id="S4.p3.3.m3.4.4.2.1" xref="S4.p3.3.m3.4.4.2.2.cmml"><mi id="S4.p3.3.m3.2.2" xref="S4.p3.3.m3.2.2.cmml">span</mi><mo id="S4.p3.3.m3.4.4.2.1a" xref="S4.p3.3.m3.4.4.2.2.cmml">⁡</mo><mrow id="S4.p3.3.m3.4.4.2.1.1" xref="S4.p3.3.m3.4.4.2.2.cmml"><mo id="S4.p3.3.m3.4.4.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.p3.3.m3.4.4.2.2.cmml">(</mo><mrow id="S4.p3.3.m3.4.4.2.1.1.1" xref="S4.p3.3.m3.4.4.2.1.1.1.cmml"><msubsup id="S4.p3.3.m3.4.4.2.1.1.1.2" xref="S4.p3.3.m3.4.4.2.1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.p3.3.m3.4.4.2.1.1.1.2.2.2" xref="S4.p3.3.m3.4.4.2.1.1.1.2.2.2.cmml">S</mi><mi id="S4.p3.3.m3.4.4.2.1.1.1.2.2.3" xref="S4.p3.3.m3.4.4.2.1.1.1.2.2.3.cmml">t</mi><mn id="S4.p3.3.m3.4.4.2.1.1.1.2.3" xref="S4.p3.3.m3.4.4.2.1.1.1.2.3.cmml">2</mn></msubsup><mo id="S4.p3.3.m3.4.4.2.1.1.1.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S4.p3.3.m3.4.4.2.1.1.1.1.cmml">∘</mo><msubsup id="S4.p3.3.m3.4.4.2.1.1.1.3" xref="S4.p3.3.m3.4.4.2.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.p3.3.m3.4.4.2.1.1.1.3.2.2" xref="S4.p3.3.m3.4.4.2.1.1.1.3.2.2.cmml">S</mi><mi id="S4.p3.3.m3.4.4.2.1.1.1.3.2.3" xref="S4.p3.3.m3.4.4.2.1.1.1.3.2.3.cmml">k</mi><mi id="S4.p3.3.m3.4.4.2.1.1.1.3.3" xref="S4.p3.3.m3.4.4.2.1.1.1.3.3.cmml">N</mi></msubsup></mrow><mo id="S4.p3.3.m3.4.4.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.p3.3.m3.4.4.2.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p3.3.m3.4b"><apply id="S4.p3.3.m3.4.4.cmml" xref="S4.p3.3.m3.4.4"><subset id="S4.p3.3.m3.4.4.3.cmml" xref="S4.p3.3.m3.4.4.3"></subset><apply id="S4.p3.3.m3.3.3.1.2.cmml" xref="S4.p3.3.m3.3.3.1.1"><ci id="S4.p3.3.m3.1.1.cmml" xref="S4.p3.3.m3.1.1">span</ci><apply id="S4.p3.3.m3.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S4.p3.3.m3.3.3.1.1.1.1"><compose id="S4.p3.3.m3.3.3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.p3.3.m3.3.3.1.1.1.1.1"></compose><apply id="S4.p3.3.m3.3.3.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.p3.3.m3.3.3.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p3.3.m3.3.3.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.p3.3.m3.3.3.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="S4.p3.3.m3.3.3.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.p3.3.m3.3.3.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p3.3.m3.3.3.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.p3.3.m3.3.3.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S4.p3.3.m3.3.3.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.p3.3.m3.3.3.1.1.1.1.2.2.2">𝑆</ci><ci id="S4.p3.3.m3.3.3.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.p3.3.m3.3.3.1.1.1.1.2.2.3">𝑡</ci></apply><cn id="S4.p3.3.m3.3.3.1.1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.p3.3.m3.3.3.1.1.1.1.2.3">2</cn></apply><apply id="S4.p3.3.m3.3.3.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.p3.3.m3.3.3.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p3.3.m3.3.3.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.p3.3.m3.3.3.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="S4.p3.3.m3.3.3.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.p3.3.m3.3.3.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p3.3.m3.3.3.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.p3.3.m3.3.3.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.p3.3.m3.3.3.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.p3.3.m3.3.3.1.1.1.1.3.2.2">𝑆</ci><apply id="S4.p3.3.m3.3.3.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S4.p3.3.m3.3.3.1.1.1.1.3.2.3"><minus id="S4.p3.3.m3.3.3.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S4.p3.3.m3.3.3.1.1.1.1.3.2.3.1"></minus><ci id="S4.p3.3.m3.3.3.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S4.p3.3.m3.3.3.1.1.1.1.3.2.3.2">𝑘</ci><cn id="S4.p3.3.m3.3.3.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.p3.3.m3.3.3.1.1.1.1.3.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="S4.p3.3.m3.3.3.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.p3.3.m3.3.3.1.1.1.1.3.3">𝑁</ci></apply></apply></apply><apply id="S4.p3.3.m3.4.4.2.2.cmml" xref="S4.p3.3.m3.4.4.2.1"><ci id="S4.p3.3.m3.2.2.cmml" xref="S4.p3.3.m3.2.2">span</ci><apply id="S4.p3.3.m3.4.4.2.1.1.1.cmml" xref="S4.p3.3.m3.4.4.2.1.1.1"><compose id="S4.p3.3.m3.4.4.2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.p3.3.m3.4.4.2.1.1.1.1"></compose><apply id="S4.p3.3.m3.4.4.2.1.1.1.2.cmml" xref="S4.p3.3.m3.4.4.2.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p3.3.m3.4.4.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.p3.3.m3.4.4.2.1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="S4.p3.3.m3.4.4.2.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.p3.3.m3.4.4.2.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p3.3.m3.4.4.2.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.p3.3.m3.4.4.2.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S4.p3.3.m3.4.4.2.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.p3.3.m3.4.4.2.1.1.1.2.2.2">𝑆</ci><ci id="S4.p3.3.m3.4.4.2.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.p3.3.m3.4.4.2.1.1.1.2.2.3">𝑡</ci></apply><cn id="S4.p3.3.m3.4.4.2.1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.p3.3.m3.4.4.2.1.1.1.2.3">2</cn></apply><apply id="S4.p3.3.m3.4.4.2.1.1.1.3.cmml" xref="S4.p3.3.m3.4.4.2.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p3.3.m3.4.4.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.p3.3.m3.4.4.2.1.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="S4.p3.3.m3.4.4.2.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.p3.3.m3.4.4.2.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p3.3.m3.4.4.2.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.p3.3.m3.4.4.2.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.p3.3.m3.4.4.2.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.p3.3.m3.4.4.2.1.1.1.3.2.2">𝑆</ci><ci id="S4.p3.3.m3.4.4.2.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S4.p3.3.m3.4.4.2.1.1.1.3.2.3">𝑘</ci></apply><ci id="S4.p3.3.m3.4.4.2.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.p3.3.m3.4.4.2.1.1.1.3.3">𝑁</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p3.3.m3.4c">\operatorname{span}(S_{t}^{2}\circ S_{k-1}^{N})\subset\operatorname{span}(S_{t% }^{2}\circ S_{k}^{N})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p3.3.m3.4d">roman_span ( italic_S start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ∘ italic_S start_POSTSUBSCRIPT italic_k - 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_N end_POSTSUPERSCRIPT ) ⊂ roman_span ( italic_S start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ∘ italic_S start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_N end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math>. Since they are invariant subspaces of each gate, they are also invariant subspaces of any circuit. In other words, the circuit may be diagonalized separately in each subspace.</p> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_lemma" id="Thmtheorem25"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmtheorem25.1.1.1">Lemma 25</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmtheorem25.2.2">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="Thmtheorem25.p1"> <p class="ltx_p" id="Thmtheorem25.p1.2"><math alttext="T" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem25.p1.1.m1.1"><semantics id="Thmtheorem25.p1.1.m1.1a"><mi id="Thmtheorem25.p1.1.m1.1.1" xref="Thmtheorem25.p1.1.m1.1.1.cmml">T</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem25.p1.1.m1.1b"><ci id="Thmtheorem25.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem25.p1.1.m1.1.1">𝑇</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem25.p1.1.m1.1c">T</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem25.p1.1.m1.1d">italic_T</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmtheorem25.p1.2.1"> is block-diagonal in <math alttext="\operatorname{span}(S_{t}^{2}\circ S_{k}^{\times N})" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem25.p1.2.1.m1.2"><semantics id="Thmtheorem25.p1.2.1.m1.2a"><mrow id="Thmtheorem25.p1.2.1.m1.2.2.1" xref="Thmtheorem25.p1.2.1.m1.2.2.2.cmml"><mi id="Thmtheorem25.p1.2.1.m1.1.1" xref="Thmtheorem25.p1.2.1.m1.1.1.cmml">span</mi><mo id="Thmtheorem25.p1.2.1.m1.2.2.1a" xref="Thmtheorem25.p1.2.1.m1.2.2.2.cmml">⁡</mo><mrow id="Thmtheorem25.p1.2.1.m1.2.2.1.1" xref="Thmtheorem25.p1.2.1.m1.2.2.2.cmml"><mo id="Thmtheorem25.p1.2.1.m1.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="Thmtheorem25.p1.2.1.m1.2.2.2.cmml">(</mo><mrow id="Thmtheorem25.p1.2.1.m1.2.2.1.1.1" xref="Thmtheorem25.p1.2.1.m1.2.2.1.1.1.cmml"><msubsup id="Thmtheorem25.p1.2.1.m1.2.2.1.1.1.2" xref="Thmtheorem25.p1.2.1.m1.2.2.1.1.1.2.cmml"><mi id="Thmtheorem25.p1.2.1.m1.2.2.1.1.1.2.2.2" xref="Thmtheorem25.p1.2.1.m1.2.2.1.1.1.2.2.2.cmml">S</mi><mi id="Thmtheorem25.p1.2.1.m1.2.2.1.1.1.2.2.3" xref="Thmtheorem25.p1.2.1.m1.2.2.1.1.1.2.2.3.cmml">t</mi><mn id="Thmtheorem25.p1.2.1.m1.2.2.1.1.1.2.3" xref="Thmtheorem25.p1.2.1.m1.2.2.1.1.1.2.3.cmml">2</mn></msubsup><mo id="Thmtheorem25.p1.2.1.m1.2.2.1.1.1.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="Thmtheorem25.p1.2.1.m1.2.2.1.1.1.1.cmml">∘</mo><msubsup id="Thmtheorem25.p1.2.1.m1.2.2.1.1.1.3" xref="Thmtheorem25.p1.2.1.m1.2.2.1.1.1.3.cmml"><mi id="Thmtheorem25.p1.2.1.m1.2.2.1.1.1.3.2.2" xref="Thmtheorem25.p1.2.1.m1.2.2.1.1.1.3.2.2.cmml">S</mi><mi id="Thmtheorem25.p1.2.1.m1.2.2.1.1.1.3.2.3" xref="Thmtheorem25.p1.2.1.m1.2.2.1.1.1.3.2.3.cmml">k</mi><mrow id="Thmtheorem25.p1.2.1.m1.2.2.1.1.1.3.3" xref="Thmtheorem25.p1.2.1.m1.2.2.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="Thmtheorem25.p1.2.1.m1.2.2.1.1.1.3.3.2" xref="Thmtheorem25.p1.2.1.m1.2.2.1.1.1.3.3.2.cmml"></mi><mo id="Thmtheorem25.p1.2.1.m1.2.2.1.1.1.3.3.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="Thmtheorem25.p1.2.1.m1.2.2.1.1.1.3.3.1.cmml">×</mo><mi id="Thmtheorem25.p1.2.1.m1.2.2.1.1.1.3.3.3" xref="Thmtheorem25.p1.2.1.m1.2.2.1.1.1.3.3.3.cmml">N</mi></mrow></msubsup></mrow><mo id="Thmtheorem25.p1.2.1.m1.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="Thmtheorem25.p1.2.1.m1.2.2.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem25.p1.2.1.m1.2b"><apply id="Thmtheorem25.p1.2.1.m1.2.2.2.cmml" xref="Thmtheorem25.p1.2.1.m1.2.2.1"><ci id="Thmtheorem25.p1.2.1.m1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem25.p1.2.1.m1.1.1">span</ci><apply id="Thmtheorem25.p1.2.1.m1.2.2.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem25.p1.2.1.m1.2.2.1.1.1"><compose id="Thmtheorem25.p1.2.1.m1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem25.p1.2.1.m1.2.2.1.1.1.1"></compose><apply id="Thmtheorem25.p1.2.1.m1.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="Thmtheorem25.p1.2.1.m1.2.2.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem25.p1.2.1.m1.2.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="Thmtheorem25.p1.2.1.m1.2.2.1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="Thmtheorem25.p1.2.1.m1.2.2.1.1.1.2.2.cmml" xref="Thmtheorem25.p1.2.1.m1.2.2.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem25.p1.2.1.m1.2.2.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="Thmtheorem25.p1.2.1.m1.2.2.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="Thmtheorem25.p1.2.1.m1.2.2.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="Thmtheorem25.p1.2.1.m1.2.2.1.1.1.2.2.2">𝑆</ci><ci id="Thmtheorem25.p1.2.1.m1.2.2.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="Thmtheorem25.p1.2.1.m1.2.2.1.1.1.2.2.3">𝑡</ci></apply><cn id="Thmtheorem25.p1.2.1.m1.2.2.1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="Thmtheorem25.p1.2.1.m1.2.2.1.1.1.2.3">2</cn></apply><apply id="Thmtheorem25.p1.2.1.m1.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="Thmtheorem25.p1.2.1.m1.2.2.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem25.p1.2.1.m1.2.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="Thmtheorem25.p1.2.1.m1.2.2.1.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="Thmtheorem25.p1.2.1.m1.2.2.1.1.1.3.2.cmml" xref="Thmtheorem25.p1.2.1.m1.2.2.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem25.p1.2.1.m1.2.2.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="Thmtheorem25.p1.2.1.m1.2.2.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="Thmtheorem25.p1.2.1.m1.2.2.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="Thmtheorem25.p1.2.1.m1.2.2.1.1.1.3.2.2">𝑆</ci><ci id="Thmtheorem25.p1.2.1.m1.2.2.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="Thmtheorem25.p1.2.1.m1.2.2.1.1.1.3.2.3">𝑘</ci></apply><apply id="Thmtheorem25.p1.2.1.m1.2.2.1.1.1.3.3.cmml" xref="Thmtheorem25.p1.2.1.m1.2.2.1.1.1.3.3"><times id="Thmtheorem25.p1.2.1.m1.2.2.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="Thmtheorem25.p1.2.1.m1.2.2.1.1.1.3.3.1"></times><csymbol cd="latexml" id="Thmtheorem25.p1.2.1.m1.2.2.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="Thmtheorem25.p1.2.1.m1.2.2.1.1.1.3.3.2">absent</csymbol><ci id="Thmtheorem25.p1.2.1.m1.2.2.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="Thmtheorem25.p1.2.1.m1.2.2.1.1.1.3.3.3">𝑁</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem25.p1.2.1.m1.2c">\operatorname{span}(S_{t}^{2}\circ S_{k}^{\times N})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem25.p1.2.1.m1.2d">roman_span ( italic_S start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ∘ italic_S start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT × italic_N end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math> and its orthogonal complement.</span></p> </div> </div> <div class="ltx_proof" id="S4.3"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_font_italic ltx_title_proof">Proof.</h6> <div class="ltx_para" id="S4.3.p1"> <p class="ltx_p" id="S4.3.p1.8">Let <math alttext="P" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.3.p1.1.m1.1"><semantics id="S4.3.p1.1.m1.1a"><mi id="S4.3.p1.1.m1.1.1" xref="S4.3.p1.1.m1.1.1.cmml">P</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.3.p1.1.m1.1b"><ci id="S4.3.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.3.p1.1.m1.1.1">𝑃</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.3.p1.1.m1.1c">P</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.3.p1.1.m1.1d">italic_P</annotation></semantics></math> be the orthogonal projector on to <math alttext="\operatorname{span}(S_{t}^{2}\circ S_{k}^{\times N})" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.3.p1.2.m2.2"><semantics id="S4.3.p1.2.m2.2a"><mrow id="S4.3.p1.2.m2.2.2.1" xref="S4.3.p1.2.m2.2.2.2.cmml"><mi id="S4.3.p1.2.m2.1.1" xref="S4.3.p1.2.m2.1.1.cmml">span</mi><mo id="S4.3.p1.2.m2.2.2.1a" xref="S4.3.p1.2.m2.2.2.2.cmml">⁡</mo><mrow id="S4.3.p1.2.m2.2.2.1.1" xref="S4.3.p1.2.m2.2.2.2.cmml"><mo id="S4.3.p1.2.m2.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.3.p1.2.m2.2.2.2.cmml">(</mo><mrow id="S4.3.p1.2.m2.2.2.1.1.1" xref="S4.3.p1.2.m2.2.2.1.1.1.cmml"><msubsup id="S4.3.p1.2.m2.2.2.1.1.1.2" xref="S4.3.p1.2.m2.2.2.1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.3.p1.2.m2.2.2.1.1.1.2.2.2" xref="S4.3.p1.2.m2.2.2.1.1.1.2.2.2.cmml">S</mi><mi id="S4.3.p1.2.m2.2.2.1.1.1.2.2.3" xref="S4.3.p1.2.m2.2.2.1.1.1.2.2.3.cmml">t</mi><mn id="S4.3.p1.2.m2.2.2.1.1.1.2.3" xref="S4.3.p1.2.m2.2.2.1.1.1.2.3.cmml">2</mn></msubsup><mo id="S4.3.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S4.3.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.cmml">∘</mo><msubsup id="S4.3.p1.2.m2.2.2.1.1.1.3" xref="S4.3.p1.2.m2.2.2.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.3.p1.2.m2.2.2.1.1.1.3.2.2" xref="S4.3.p1.2.m2.2.2.1.1.1.3.2.2.cmml">S</mi><mi id="S4.3.p1.2.m2.2.2.1.1.1.3.2.3" xref="S4.3.p1.2.m2.2.2.1.1.1.3.2.3.cmml">k</mi><mrow id="S4.3.p1.2.m2.2.2.1.1.1.3.3" xref="S4.3.p1.2.m2.2.2.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S4.3.p1.2.m2.2.2.1.1.1.3.3.2" xref="S4.3.p1.2.m2.2.2.1.1.1.3.3.2.cmml"></mi><mo id="S4.3.p1.2.m2.2.2.1.1.1.3.3.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S4.3.p1.2.m2.2.2.1.1.1.3.3.1.cmml">×</mo><mi id="S4.3.p1.2.m2.2.2.1.1.1.3.3.3" xref="S4.3.p1.2.m2.2.2.1.1.1.3.3.3.cmml">N</mi></mrow></msubsup></mrow><mo id="S4.3.p1.2.m2.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.3.p1.2.m2.2.2.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.3.p1.2.m2.2b"><apply id="S4.3.p1.2.m2.2.2.2.cmml" xref="S4.3.p1.2.m2.2.2.1"><ci id="S4.3.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="S4.3.p1.2.m2.1.1">span</ci><apply id="S4.3.p1.2.m2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S4.3.p1.2.m2.2.2.1.1.1"><compose id="S4.3.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.3.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1"></compose><apply id="S4.3.p1.2.m2.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S4.3.p1.2.m2.2.2.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.3.p1.2.m2.2.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.3.p1.2.m2.2.2.1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="S4.3.p1.2.m2.2.2.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.3.p1.2.m2.2.2.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.3.p1.2.m2.2.2.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.3.p1.2.m2.2.2.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S4.3.p1.2.m2.2.2.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.3.p1.2.m2.2.2.1.1.1.2.2.2">𝑆</ci><ci id="S4.3.p1.2.m2.2.2.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.3.p1.2.m2.2.2.1.1.1.2.2.3">𝑡</ci></apply><cn id="S4.3.p1.2.m2.2.2.1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.3.p1.2.m2.2.2.1.1.1.2.3">2</cn></apply><apply id="S4.3.p1.2.m2.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S4.3.p1.2.m2.2.2.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.3.p1.2.m2.2.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.3.p1.2.m2.2.2.1.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="S4.3.p1.2.m2.2.2.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.3.p1.2.m2.2.2.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.3.p1.2.m2.2.2.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.3.p1.2.m2.2.2.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.3.p1.2.m2.2.2.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.3.p1.2.m2.2.2.1.1.1.3.2.2">𝑆</ci><ci id="S4.3.p1.2.m2.2.2.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S4.3.p1.2.m2.2.2.1.1.1.3.2.3">𝑘</ci></apply><apply id="S4.3.p1.2.m2.2.2.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.3.p1.2.m2.2.2.1.1.1.3.3"><times id="S4.3.p1.2.m2.2.2.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.3.p1.2.m2.2.2.1.1.1.3.3.1"></times><csymbol cd="latexml" id="S4.3.p1.2.m2.2.2.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S4.3.p1.2.m2.2.2.1.1.1.3.3.2">absent</csymbol><ci id="S4.3.p1.2.m2.2.2.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S4.3.p1.2.m2.2.2.1.1.1.3.3.3">𝑁</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.3.p1.2.m2.2c">\operatorname{span}(S_{t}^{2}\circ S_{k}^{\times N})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.3.p1.2.m2.2d">roman_span ( italic_S start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ∘ italic_S start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT × italic_N end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math>. We first show that <math alttext="G" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.3.p1.3.m3.1"><semantics id="S4.3.p1.3.m3.1a"><mi id="S4.3.p1.3.m3.1.1" xref="S4.3.p1.3.m3.1.1.cmml">G</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.3.p1.3.m3.1b"><ci id="S4.3.p1.3.m3.1.1.cmml" xref="S4.3.p1.3.m3.1.1">𝐺</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.3.p1.3.m3.1c">G</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.3.p1.3.m3.1d">italic_G</annotation></semantics></math> and <math alttext="P" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.3.p1.4.m4.1"><semantics id="S4.3.p1.4.m4.1a"><mi id="S4.3.p1.4.m4.1.1" xref="S4.3.p1.4.m4.1.1.cmml">P</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.3.p1.4.m4.1b"><ci id="S4.3.p1.4.m4.1.1.cmml" xref="S4.3.p1.4.m4.1.1">𝑃</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.3.p1.4.m4.1c">P</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.3.p1.4.m4.1d">italic_P</annotation></semantics></math> commute. Since <math alttext="\text{Im}(GP)\subseteq\operatorname{span}(S_{t}^{2}\circ S_{k}^{\times N})" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.3.p1.5.m5.3"><semantics id="S4.3.p1.5.m5.3a"><mrow id="S4.3.p1.5.m5.3.3" xref="S4.3.p1.5.m5.3.3.cmml"><mrow id="S4.3.p1.5.m5.2.2.1" xref="S4.3.p1.5.m5.2.2.1.cmml"><mtext id="S4.3.p1.5.m5.2.2.1.3" xref="S4.3.p1.5.m5.2.2.1.3a.cmml">Im</mtext><mo id="S4.3.p1.5.m5.2.2.1.2" xref="S4.3.p1.5.m5.2.2.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.3.p1.5.m5.2.2.1.1.1" xref="S4.3.p1.5.m5.2.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.3.p1.5.m5.2.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.3.p1.5.m5.2.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.3.p1.5.m5.2.2.1.1.1.1" xref="S4.3.p1.5.m5.2.2.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.3.p1.5.m5.2.2.1.1.1.1.2" xref="S4.3.p1.5.m5.2.2.1.1.1.1.2.cmml">G</mi><mo id="S4.3.p1.5.m5.2.2.1.1.1.1.1" xref="S4.3.p1.5.m5.2.2.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.3.p1.5.m5.2.2.1.1.1.1.3" xref="S4.3.p1.5.m5.2.2.1.1.1.1.3.cmml">P</mi></mrow><mo id="S4.3.p1.5.m5.2.2.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.3.p1.5.m5.2.2.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.3.p1.5.m5.3.3.3" xref="S4.3.p1.5.m5.3.3.3.cmml">⊆</mo><mrow id="S4.3.p1.5.m5.3.3.2.1" xref="S4.3.p1.5.m5.3.3.2.2.cmml"><mi id="S4.3.p1.5.m5.1.1" xref="S4.3.p1.5.m5.1.1.cmml">span</mi><mo id="S4.3.p1.5.m5.3.3.2.1a" xref="S4.3.p1.5.m5.3.3.2.2.cmml">⁡</mo><mrow id="S4.3.p1.5.m5.3.3.2.1.1" xref="S4.3.p1.5.m5.3.3.2.2.cmml"><mo id="S4.3.p1.5.m5.3.3.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.3.p1.5.m5.3.3.2.2.cmml">(</mo><mrow id="S4.3.p1.5.m5.3.3.2.1.1.1" xref="S4.3.p1.5.m5.3.3.2.1.1.1.cmml"><msubsup id="S4.3.p1.5.m5.3.3.2.1.1.1.2" xref="S4.3.p1.5.m5.3.3.2.1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.3.p1.5.m5.3.3.2.1.1.1.2.2.2" xref="S4.3.p1.5.m5.3.3.2.1.1.1.2.2.2.cmml">S</mi><mi id="S4.3.p1.5.m5.3.3.2.1.1.1.2.2.3" xref="S4.3.p1.5.m5.3.3.2.1.1.1.2.2.3.cmml">t</mi><mn id="S4.3.p1.5.m5.3.3.2.1.1.1.2.3" xref="S4.3.p1.5.m5.3.3.2.1.1.1.2.3.cmml">2</mn></msubsup><mo id="S4.3.p1.5.m5.3.3.2.1.1.1.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S4.3.p1.5.m5.3.3.2.1.1.1.1.cmml">∘</mo><msubsup id="S4.3.p1.5.m5.3.3.2.1.1.1.3" xref="S4.3.p1.5.m5.3.3.2.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.3.p1.5.m5.3.3.2.1.1.1.3.2.2" xref="S4.3.p1.5.m5.3.3.2.1.1.1.3.2.2.cmml">S</mi><mi id="S4.3.p1.5.m5.3.3.2.1.1.1.3.2.3" xref="S4.3.p1.5.m5.3.3.2.1.1.1.3.2.3.cmml">k</mi><mrow id="S4.3.p1.5.m5.3.3.2.1.1.1.3.3" xref="S4.3.p1.5.m5.3.3.2.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S4.3.p1.5.m5.3.3.2.1.1.1.3.3.2" xref="S4.3.p1.5.m5.3.3.2.1.1.1.3.3.2.cmml"></mi><mo id="S4.3.p1.5.m5.3.3.2.1.1.1.3.3.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S4.3.p1.5.m5.3.3.2.1.1.1.3.3.1.cmml">×</mo><mi id="S4.3.p1.5.m5.3.3.2.1.1.1.3.3.3" xref="S4.3.p1.5.m5.3.3.2.1.1.1.3.3.3.cmml">N</mi></mrow></msubsup></mrow><mo id="S4.3.p1.5.m5.3.3.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.3.p1.5.m5.3.3.2.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.3.p1.5.m5.3b"><apply id="S4.3.p1.5.m5.3.3.cmml" xref="S4.3.p1.5.m5.3.3"><subset id="S4.3.p1.5.m5.3.3.3.cmml" xref="S4.3.p1.5.m5.3.3.3"></subset><apply id="S4.3.p1.5.m5.2.2.1.cmml" xref="S4.3.p1.5.m5.2.2.1"><times id="S4.3.p1.5.m5.2.2.1.2.cmml" xref="S4.3.p1.5.m5.2.2.1.2"></times><ci id="S4.3.p1.5.m5.2.2.1.3a.cmml" xref="S4.3.p1.5.m5.2.2.1.3"><mtext id="S4.3.p1.5.m5.2.2.1.3.cmml" xref="S4.3.p1.5.m5.2.2.1.3">Im</mtext></ci><apply id="S4.3.p1.5.m5.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.3.p1.5.m5.2.2.1.1.1"><times id="S4.3.p1.5.m5.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.3.p1.5.m5.2.2.1.1.1.1.1"></times><ci id="S4.3.p1.5.m5.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.3.p1.5.m5.2.2.1.1.1.1.2">𝐺</ci><ci id="S4.3.p1.5.m5.2.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.3.p1.5.m5.2.2.1.1.1.1.3">𝑃</ci></apply></apply><apply id="S4.3.p1.5.m5.3.3.2.2.cmml" xref="S4.3.p1.5.m5.3.3.2.1"><ci id="S4.3.p1.5.m5.1.1.cmml" xref="S4.3.p1.5.m5.1.1">span</ci><apply id="S4.3.p1.5.m5.3.3.2.1.1.1.cmml" xref="S4.3.p1.5.m5.3.3.2.1.1.1"><compose id="S4.3.p1.5.m5.3.3.2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.3.p1.5.m5.3.3.2.1.1.1.1"></compose><apply id="S4.3.p1.5.m5.3.3.2.1.1.1.2.cmml" xref="S4.3.p1.5.m5.3.3.2.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.3.p1.5.m5.3.3.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.3.p1.5.m5.3.3.2.1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="S4.3.p1.5.m5.3.3.2.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.3.p1.5.m5.3.3.2.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.3.p1.5.m5.3.3.2.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.3.p1.5.m5.3.3.2.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S4.3.p1.5.m5.3.3.2.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.3.p1.5.m5.3.3.2.1.1.1.2.2.2">𝑆</ci><ci id="S4.3.p1.5.m5.3.3.2.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.3.p1.5.m5.3.3.2.1.1.1.2.2.3">𝑡</ci></apply><cn id="S4.3.p1.5.m5.3.3.2.1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.3.p1.5.m5.3.3.2.1.1.1.2.3">2</cn></apply><apply id="S4.3.p1.5.m5.3.3.2.1.1.1.3.cmml" xref="S4.3.p1.5.m5.3.3.2.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.3.p1.5.m5.3.3.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.3.p1.5.m5.3.3.2.1.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="S4.3.p1.5.m5.3.3.2.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.3.p1.5.m5.3.3.2.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.3.p1.5.m5.3.3.2.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.3.p1.5.m5.3.3.2.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.3.p1.5.m5.3.3.2.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.3.p1.5.m5.3.3.2.1.1.1.3.2.2">𝑆</ci><ci id="S4.3.p1.5.m5.3.3.2.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S4.3.p1.5.m5.3.3.2.1.1.1.3.2.3">𝑘</ci></apply><apply id="S4.3.p1.5.m5.3.3.2.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.3.p1.5.m5.3.3.2.1.1.1.3.3"><times id="S4.3.p1.5.m5.3.3.2.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.3.p1.5.m5.3.3.2.1.1.1.3.3.1"></times><csymbol cd="latexml" id="S4.3.p1.5.m5.3.3.2.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S4.3.p1.5.m5.3.3.2.1.1.1.3.3.2">absent</csymbol><ci id="S4.3.p1.5.m5.3.3.2.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S4.3.p1.5.m5.3.3.2.1.1.1.3.3.3">𝑁</ci></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.3.p1.5.m5.3c">\text{Im}(GP)\subseteq\operatorname{span}(S_{t}^{2}\circ S_{k}^{\times N})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.3.p1.5.m5.3d">Im ( italic_G italic_P ) ⊆ roman_span ( italic_S start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ∘ italic_S start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT × italic_N end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math>, we see that <math alttext="GP=PGP" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.3.p1.6.m6.1"><semantics id="S4.3.p1.6.m6.1a"><mrow id="S4.3.p1.6.m6.1.1" xref="S4.3.p1.6.m6.1.1.cmml"><mrow id="S4.3.p1.6.m6.1.1.2" xref="S4.3.p1.6.m6.1.1.2.cmml"><mi id="S4.3.p1.6.m6.1.1.2.2" xref="S4.3.p1.6.m6.1.1.2.2.cmml">G</mi><mo id="S4.3.p1.6.m6.1.1.2.1" xref="S4.3.p1.6.m6.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.3.p1.6.m6.1.1.2.3" xref="S4.3.p1.6.m6.1.1.2.3.cmml">P</mi></mrow><mo id="S4.3.p1.6.m6.1.1.1" xref="S4.3.p1.6.m6.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S4.3.p1.6.m6.1.1.3" xref="S4.3.p1.6.m6.1.1.3.cmml"><mi id="S4.3.p1.6.m6.1.1.3.2" xref="S4.3.p1.6.m6.1.1.3.2.cmml">P</mi><mo id="S4.3.p1.6.m6.1.1.3.1" xref="S4.3.p1.6.m6.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.3.p1.6.m6.1.1.3.3" xref="S4.3.p1.6.m6.1.1.3.3.cmml">G</mi><mo id="S4.3.p1.6.m6.1.1.3.1a" xref="S4.3.p1.6.m6.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.3.p1.6.m6.1.1.3.4" xref="S4.3.p1.6.m6.1.1.3.4.cmml">P</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.3.p1.6.m6.1b"><apply id="S4.3.p1.6.m6.1.1.cmml" xref="S4.3.p1.6.m6.1.1"><eq id="S4.3.p1.6.m6.1.1.1.cmml" xref="S4.3.p1.6.m6.1.1.1"></eq><apply id="S4.3.p1.6.m6.1.1.2.cmml" xref="S4.3.p1.6.m6.1.1.2"><times id="S4.3.p1.6.m6.1.1.2.1.cmml" xref="S4.3.p1.6.m6.1.1.2.1"></times><ci id="S4.3.p1.6.m6.1.1.2.2.cmml" xref="S4.3.p1.6.m6.1.1.2.2">𝐺</ci><ci id="S4.3.p1.6.m6.1.1.2.3.cmml" xref="S4.3.p1.6.m6.1.1.2.3">𝑃</ci></apply><apply id="S4.3.p1.6.m6.1.1.3.cmml" xref="S4.3.p1.6.m6.1.1.3"><times id="S4.3.p1.6.m6.1.1.3.1.cmml" xref="S4.3.p1.6.m6.1.1.3.1"></times><ci id="S4.3.p1.6.m6.1.1.3.2.cmml" xref="S4.3.p1.6.m6.1.1.3.2">𝑃</ci><ci id="S4.3.p1.6.m6.1.1.3.3.cmml" xref="S4.3.p1.6.m6.1.1.3.3">𝐺</ci><ci id="S4.3.p1.6.m6.1.1.3.4.cmml" xref="S4.3.p1.6.m6.1.1.3.4">𝑃</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.3.p1.6.m6.1c">GP=PGP</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.3.p1.6.m6.1d">italic_G italic_P = italic_P italic_G italic_P</annotation></semantics></math>. Since both <math alttext="G" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.3.p1.7.m7.1"><semantics id="S4.3.p1.7.m7.1a"><mi id="S4.3.p1.7.m7.1.1" xref="S4.3.p1.7.m7.1.1.cmml">G</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.3.p1.7.m7.1b"><ci id="S4.3.p1.7.m7.1.1.cmml" xref="S4.3.p1.7.m7.1.1">𝐺</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.3.p1.7.m7.1c">G</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.3.p1.7.m7.1d">italic_G</annotation></semantics></math> and <math alttext="P" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.3.p1.8.m8.1"><semantics id="S4.3.p1.8.m8.1a"><mi id="S4.3.p1.8.m8.1.1" xref="S4.3.p1.8.m8.1.1.cmml">P</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.3.p1.8.m8.1b"><ci id="S4.3.p1.8.m8.1.1.cmml" xref="S4.3.p1.8.m8.1.1">𝑃</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.3.p1.8.m8.1c">P</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.3.p1.8.m8.1d">italic_P</annotation></semantics></math> are Hermitian,</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S4.Ex27"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="PG=(GP)^{\dagger}=(PGP)^{\dagger}=PGP=GP" class="ltx_Math" display="block" id="S4.Ex27.m1.2"><semantics id="S4.Ex27.m1.2a"><mrow id="S4.Ex27.m1.2.2" xref="S4.Ex27.m1.2.2.cmml"><mrow id="S4.Ex27.m1.2.2.4" xref="S4.Ex27.m1.2.2.4.cmml"><mi id="S4.Ex27.m1.2.2.4.2" xref="S4.Ex27.m1.2.2.4.2.cmml">P</mi><mo id="S4.Ex27.m1.2.2.4.1" xref="S4.Ex27.m1.2.2.4.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex27.m1.2.2.4.3" xref="S4.Ex27.m1.2.2.4.3.cmml">G</mi></mrow><mo id="S4.Ex27.m1.2.2.5" xref="S4.Ex27.m1.2.2.5.cmml">=</mo><msup id="S4.Ex27.m1.1.1.1" xref="S4.Ex27.m1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex27.m1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex27.m1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">G</mi><mo id="S4.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">P</mi></mrow><mo id="S4.Ex27.m1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S4.Ex27.m1.1.1.1.3" xref="S4.Ex27.m1.1.1.1.3.cmml">†</mo></msup><mo id="S4.Ex27.m1.2.2.6" xref="S4.Ex27.m1.2.2.6.cmml">=</mo><msup id="S4.Ex27.m1.2.2.2" xref="S4.Ex27.m1.2.2.2.cmml"><mrow id="S4.Ex27.m1.2.2.2.1.1" xref="S4.Ex27.m1.2.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex27.m1.2.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.Ex27.m1.2.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.Ex27.m1.2.2.2.1.1.1" xref="S4.Ex27.m1.2.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S4.Ex27.m1.2.2.2.1.1.1.2" xref="S4.Ex27.m1.2.2.2.1.1.1.2.cmml">P</mi><mo id="S4.Ex27.m1.2.2.2.1.1.1.1" xref="S4.Ex27.m1.2.2.2.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex27.m1.2.2.2.1.1.1.3" xref="S4.Ex27.m1.2.2.2.1.1.1.3.cmml">G</mi><mo id="S4.Ex27.m1.2.2.2.1.1.1.1a" xref="S4.Ex27.m1.2.2.2.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex27.m1.2.2.2.1.1.1.4" xref="S4.Ex27.m1.2.2.2.1.1.1.4.cmml">P</mi></mrow><mo id="S4.Ex27.m1.2.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.Ex27.m1.2.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S4.Ex27.m1.2.2.2.3" xref="S4.Ex27.m1.2.2.2.3.cmml">†</mo></msup><mo id="S4.Ex27.m1.2.2.7" xref="S4.Ex27.m1.2.2.7.cmml">=</mo><mrow id="S4.Ex27.m1.2.2.8" xref="S4.Ex27.m1.2.2.8.cmml"><mi id="S4.Ex27.m1.2.2.8.2" xref="S4.Ex27.m1.2.2.8.2.cmml">P</mi><mo id="S4.Ex27.m1.2.2.8.1" xref="S4.Ex27.m1.2.2.8.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex27.m1.2.2.8.3" xref="S4.Ex27.m1.2.2.8.3.cmml">G</mi><mo id="S4.Ex27.m1.2.2.8.1a" xref="S4.Ex27.m1.2.2.8.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex27.m1.2.2.8.4" xref="S4.Ex27.m1.2.2.8.4.cmml">P</mi></mrow><mo id="S4.Ex27.m1.2.2.9" xref="S4.Ex27.m1.2.2.9.cmml">=</mo><mrow id="S4.Ex27.m1.2.2.10" xref="S4.Ex27.m1.2.2.10.cmml"><mi id="S4.Ex27.m1.2.2.10.2" xref="S4.Ex27.m1.2.2.10.2.cmml">G</mi><mo id="S4.Ex27.m1.2.2.10.1" xref="S4.Ex27.m1.2.2.10.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex27.m1.2.2.10.3" xref="S4.Ex27.m1.2.2.10.3.cmml">P</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Ex27.m1.2b"><apply id="S4.Ex27.m1.2.2.cmml" xref="S4.Ex27.m1.2.2"><and id="S4.Ex27.m1.2.2a.cmml" xref="S4.Ex27.m1.2.2"></and><apply id="S4.Ex27.m1.2.2b.cmml" xref="S4.Ex27.m1.2.2"><eq id="S4.Ex27.m1.2.2.5.cmml" xref="S4.Ex27.m1.2.2.5"></eq><apply id="S4.Ex27.m1.2.2.4.cmml" xref="S4.Ex27.m1.2.2.4"><times id="S4.Ex27.m1.2.2.4.1.cmml" xref="S4.Ex27.m1.2.2.4.1"></times><ci id="S4.Ex27.m1.2.2.4.2.cmml" xref="S4.Ex27.m1.2.2.4.2">𝑃</ci><ci id="S4.Ex27.m1.2.2.4.3.cmml" xref="S4.Ex27.m1.2.2.4.3">𝐺</ci></apply><apply id="S4.Ex27.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex27.m1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex27.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex27.m1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex27.m1.1.1.1.1.1"><times id="S4.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.1"></times><ci id="S4.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.2">𝐺</ci><ci id="S4.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.3">𝑃</ci></apply><ci id="S4.Ex27.m1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex27.m1.1.1.1.3">†</ci></apply></apply><apply id="S4.Ex27.m1.2.2c.cmml" xref="S4.Ex27.m1.2.2"><eq id="S4.Ex27.m1.2.2.6.cmml" xref="S4.Ex27.m1.2.2.6"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#S4.Ex27.m1.1.1.1.cmml" id="S4.Ex27.m1.2.2d.cmml" xref="S4.Ex27.m1.2.2"></share><apply id="S4.Ex27.m1.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex27.m1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex27.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex27.m1.2.2.2">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex27.m1.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex27.m1.2.2.2.1.1"><times id="S4.Ex27.m1.2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex27.m1.2.2.2.1.1.1.1"></times><ci id="S4.Ex27.m1.2.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex27.m1.2.2.2.1.1.1.2">𝑃</ci><ci id="S4.Ex27.m1.2.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex27.m1.2.2.2.1.1.1.3">𝐺</ci><ci id="S4.Ex27.m1.2.2.2.1.1.1.4.cmml" xref="S4.Ex27.m1.2.2.2.1.1.1.4">𝑃</ci></apply><ci id="S4.Ex27.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex27.m1.2.2.2.3">†</ci></apply></apply><apply id="S4.Ex27.m1.2.2e.cmml" xref="S4.Ex27.m1.2.2"><eq id="S4.Ex27.m1.2.2.7.cmml" xref="S4.Ex27.m1.2.2.7"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#S4.Ex27.m1.2.2.2.cmml" id="S4.Ex27.m1.2.2f.cmml" xref="S4.Ex27.m1.2.2"></share><apply id="S4.Ex27.m1.2.2.8.cmml" xref="S4.Ex27.m1.2.2.8"><times id="S4.Ex27.m1.2.2.8.1.cmml" xref="S4.Ex27.m1.2.2.8.1"></times><ci id="S4.Ex27.m1.2.2.8.2.cmml" xref="S4.Ex27.m1.2.2.8.2">𝑃</ci><ci id="S4.Ex27.m1.2.2.8.3.cmml" xref="S4.Ex27.m1.2.2.8.3">𝐺</ci><ci id="S4.Ex27.m1.2.2.8.4.cmml" xref="S4.Ex27.m1.2.2.8.4">𝑃</ci></apply></apply><apply id="S4.Ex27.m1.2.2g.cmml" xref="S4.Ex27.m1.2.2"><eq id="S4.Ex27.m1.2.2.9.cmml" xref="S4.Ex27.m1.2.2.9"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#S4.Ex27.m1.2.2.8.cmml" id="S4.Ex27.m1.2.2h.cmml" xref="S4.Ex27.m1.2.2"></share><apply id="S4.Ex27.m1.2.2.10.cmml" xref="S4.Ex27.m1.2.2.10"><times id="S4.Ex27.m1.2.2.10.1.cmml" xref="S4.Ex27.m1.2.2.10.1"></times><ci id="S4.Ex27.m1.2.2.10.2.cmml" xref="S4.Ex27.m1.2.2.10.2">𝐺</ci><ci id="S4.Ex27.m1.2.2.10.3.cmml" xref="S4.Ex27.m1.2.2.10.3">𝑃</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Ex27.m1.2c">PG=(GP)^{\dagger}=(PGP)^{\dagger}=PGP=GP</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Ex27.m1.2d">italic_P italic_G = ( italic_G italic_P ) start_POSTSUPERSCRIPT † end_POSTSUPERSCRIPT = ( italic_P italic_G italic_P ) start_POSTSUPERSCRIPT † end_POSTSUPERSCRIPT = italic_P italic_G italic_P = italic_G italic_P</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S4.3.p1.10">It follows that <math alttext="(I-P)GP=0" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.3.p1.9.m1.1"><semantics id="S4.3.p1.9.m1.1a"><mrow id="S4.3.p1.9.m1.1.1" xref="S4.3.p1.9.m1.1.1.cmml"><mrow id="S4.3.p1.9.m1.1.1.1" xref="S4.3.p1.9.m1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.3.p1.9.m1.1.1.1.1.1" xref="S4.3.p1.9.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.3.p1.9.m1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.3.p1.9.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.3.p1.9.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.3.p1.9.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.3.p1.9.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.3.p1.9.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">I</mi><mo id="S4.3.p1.9.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.3.p1.9.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mi id="S4.3.p1.9.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.3.p1.9.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">P</mi></mrow><mo id="S4.3.p1.9.m1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.3.p1.9.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S4.3.p1.9.m1.1.1.1.2" xref="S4.3.p1.9.m1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S4.3.p1.9.m1.1.1.1.3" xref="S4.3.p1.9.m1.1.1.1.3.cmml">G</mi><mo id="S4.3.p1.9.m1.1.1.1.2a" xref="S4.3.p1.9.m1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S4.3.p1.9.m1.1.1.1.4" xref="S4.3.p1.9.m1.1.1.1.4.cmml">P</mi></mrow><mo id="S4.3.p1.9.m1.1.1.2" xref="S4.3.p1.9.m1.1.1.2.cmml">=</mo><mn id="S4.3.p1.9.m1.1.1.3" xref="S4.3.p1.9.m1.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.3.p1.9.m1.1b"><apply id="S4.3.p1.9.m1.1.1.cmml" xref="S4.3.p1.9.m1.1.1"><eq id="S4.3.p1.9.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.3.p1.9.m1.1.1.2"></eq><apply id="S4.3.p1.9.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.3.p1.9.m1.1.1.1"><times id="S4.3.p1.9.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.3.p1.9.m1.1.1.1.2"></times><apply id="S4.3.p1.9.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.3.p1.9.m1.1.1.1.1.1"><minus id="S4.3.p1.9.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.3.p1.9.m1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><ci id="S4.3.p1.9.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.3.p1.9.m1.1.1.1.1.1.1.2">𝐼</ci><ci id="S4.3.p1.9.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.3.p1.9.m1.1.1.1.1.1.1.3">𝑃</ci></apply><ci id="S4.3.p1.9.m1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.3.p1.9.m1.1.1.1.3">𝐺</ci><ci id="S4.3.p1.9.m1.1.1.1.4.cmml" xref="S4.3.p1.9.m1.1.1.1.4">𝑃</ci></apply><cn id="S4.3.p1.9.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.3.p1.9.m1.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.3.p1.9.m1.1c">(I-P)GP=0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.3.p1.9.m1.1d">( italic_I - italic_P ) italic_G italic_P = 0</annotation></semantics></math>, so each gate operator is block-diagonal. <math alttext="T" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.3.p1.10.m2.1"><semantics id="S4.3.p1.10.m2.1a"><mi id="S4.3.p1.10.m2.1.1" xref="S4.3.p1.10.m2.1.1.cmml">T</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.3.p1.10.m2.1b"><ci id="S4.3.p1.10.m2.1.1.cmml" xref="S4.3.p1.10.m2.1.1">𝑇</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.3.p1.10.m2.1c">T</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.3.p1.10.m2.1d">italic_T</annotation></semantics></math> is a product of gate operators, so it inherits their block-diagonal structure. ∎</p> </div> </div> <div class="ltx_para" id="S4.p4"> <p class="ltx_p" id="S4.p4.4">The nonzero eigenvalues of <math alttext="PG^{(t)}P" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p4.1.m1.1"><semantics id="S4.p4.1.m1.1a"><mrow id="S4.p4.1.m1.1.2" xref="S4.p4.1.m1.1.2.cmml"><mi id="S4.p4.1.m1.1.2.2" xref="S4.p4.1.m1.1.2.2.cmml">P</mi><mo id="S4.p4.1.m1.1.2.1" xref="S4.p4.1.m1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="S4.p4.1.m1.1.2.3" xref="S4.p4.1.m1.1.2.3.cmml"><mi id="S4.p4.1.m1.1.2.3.2" xref="S4.p4.1.m1.1.2.3.2.cmml">G</mi><mrow id="S4.p4.1.m1.1.1.1.3" xref="S4.p4.1.m1.1.2.3.cmml"><mo id="S4.p4.1.m1.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S4.p4.1.m1.1.2.3.cmml">(</mo><mi id="S4.p4.1.m1.1.1.1.1" xref="S4.p4.1.m1.1.1.1.1.cmml">t</mi><mo id="S4.p4.1.m1.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S4.p4.1.m1.1.2.3.cmml">)</mo></mrow></msup><mo id="S4.p4.1.m1.1.2.1a" xref="S4.p4.1.m1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.p4.1.m1.1.2.4" xref="S4.p4.1.m1.1.2.4.cmml">P</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p4.1.m1.1b"><apply id="S4.p4.1.m1.1.2.cmml" xref="S4.p4.1.m1.1.2"><times id="S4.p4.1.m1.1.2.1.cmml" xref="S4.p4.1.m1.1.2.1"></times><ci id="S4.p4.1.m1.1.2.2.cmml" xref="S4.p4.1.m1.1.2.2">𝑃</ci><apply id="S4.p4.1.m1.1.2.3.cmml" xref="S4.p4.1.m1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p4.1.m1.1.2.3.1.cmml" xref="S4.p4.1.m1.1.2.3">superscript</csymbol><ci id="S4.p4.1.m1.1.2.3.2.cmml" xref="S4.p4.1.m1.1.2.3.2">𝐺</ci><ci id="S4.p4.1.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.p4.1.m1.1.1.1.1">𝑡</ci></apply><ci id="S4.p4.1.m1.1.2.4.cmml" xref="S4.p4.1.m1.1.2.4">𝑃</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p4.1.m1.1c">PG^{(t)}P</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p4.1.m1.1d">italic_P italic_G start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_t ) end_POSTSUPERSCRIPT italic_P</annotation></semantics></math> are of course exactly those of <math alttext="G^{(k)}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p4.2.m2.1"><semantics id="S4.p4.2.m2.1a"><msup id="S4.p4.2.m2.1.2" xref="S4.p4.2.m2.1.2.cmml"><mi id="S4.p4.2.m2.1.2.2" xref="S4.p4.2.m2.1.2.2.cmml">G</mi><mrow id="S4.p4.2.m2.1.1.1.3" xref="S4.p4.2.m2.1.2.cmml"><mo id="S4.p4.2.m2.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S4.p4.2.m2.1.2.cmml">(</mo><mi id="S4.p4.2.m2.1.1.1.1" xref="S4.p4.2.m2.1.1.1.1.cmml">k</mi><mo id="S4.p4.2.m2.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S4.p4.2.m2.1.2.cmml">)</mo></mrow></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p4.2.m2.1b"><apply id="S4.p4.2.m2.1.2.cmml" xref="S4.p4.2.m2.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p4.2.m2.1.2.1.cmml" xref="S4.p4.2.m2.1.2">superscript</csymbol><ci id="S4.p4.2.m2.1.2.2.cmml" xref="S4.p4.2.m2.1.2.2">𝐺</ci><ci id="S4.p4.2.m2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.p4.2.m2.1.1.1.1">𝑘</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p4.2.m2.1c">G^{(k)}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p4.2.m2.1d">italic_G start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_k ) end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>. It follows that as we increase <math alttext="t" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p4.3.m3.1"><semantics id="S4.p4.3.m3.1a"><mi id="S4.p4.3.m3.1.1" xref="S4.p4.3.m3.1.1.cmml">t</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p4.3.m3.1b"><ci id="S4.p4.3.m3.1.1.cmml" xref="S4.p4.3.m3.1.1">𝑡</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p4.3.m3.1c">t</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p4.3.m3.1d">italic_t</annotation></semantics></math>, new eigenvalues can appear only in the orthogonal complement of <math alttext="\operatorname{span}(S_{t}^{2}\circ S_{k}^{\times N})" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p4.4.m4.2"><semantics id="S4.p4.4.m4.2a"><mrow id="S4.p4.4.m4.2.2.1" xref="S4.p4.4.m4.2.2.2.cmml"><mi id="S4.p4.4.m4.1.1" xref="S4.p4.4.m4.1.1.cmml">span</mi><mo id="S4.p4.4.m4.2.2.1a" xref="S4.p4.4.m4.2.2.2.cmml">⁡</mo><mrow id="S4.p4.4.m4.2.2.1.1" xref="S4.p4.4.m4.2.2.2.cmml"><mo id="S4.p4.4.m4.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.p4.4.m4.2.2.2.cmml">(</mo><mrow id="S4.p4.4.m4.2.2.1.1.1" xref="S4.p4.4.m4.2.2.1.1.1.cmml"><msubsup id="S4.p4.4.m4.2.2.1.1.1.2" xref="S4.p4.4.m4.2.2.1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.p4.4.m4.2.2.1.1.1.2.2.2" xref="S4.p4.4.m4.2.2.1.1.1.2.2.2.cmml">S</mi><mi id="S4.p4.4.m4.2.2.1.1.1.2.2.3" xref="S4.p4.4.m4.2.2.1.1.1.2.2.3.cmml">t</mi><mn id="S4.p4.4.m4.2.2.1.1.1.2.3" xref="S4.p4.4.m4.2.2.1.1.1.2.3.cmml">2</mn></msubsup><mo id="S4.p4.4.m4.2.2.1.1.1.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S4.p4.4.m4.2.2.1.1.1.1.cmml">∘</mo><msubsup id="S4.p4.4.m4.2.2.1.1.1.3" xref="S4.p4.4.m4.2.2.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.p4.4.m4.2.2.1.1.1.3.2.2" xref="S4.p4.4.m4.2.2.1.1.1.3.2.2.cmml">S</mi><mi id="S4.p4.4.m4.2.2.1.1.1.3.2.3" xref="S4.p4.4.m4.2.2.1.1.1.3.2.3.cmml">k</mi><mrow id="S4.p4.4.m4.2.2.1.1.1.3.3" xref="S4.p4.4.m4.2.2.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S4.p4.4.m4.2.2.1.1.1.3.3.2" xref="S4.p4.4.m4.2.2.1.1.1.3.3.2.cmml"></mi><mo id="S4.p4.4.m4.2.2.1.1.1.3.3.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S4.p4.4.m4.2.2.1.1.1.3.3.1.cmml">×</mo><mi id="S4.p4.4.m4.2.2.1.1.1.3.3.3" xref="S4.p4.4.m4.2.2.1.1.1.3.3.3.cmml">N</mi></mrow></msubsup></mrow><mo id="S4.p4.4.m4.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.p4.4.m4.2.2.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p4.4.m4.2b"><apply id="S4.p4.4.m4.2.2.2.cmml" xref="S4.p4.4.m4.2.2.1"><ci id="S4.p4.4.m4.1.1.cmml" xref="S4.p4.4.m4.1.1">span</ci><apply id="S4.p4.4.m4.2.2.1.1.1.cmml" xref="S4.p4.4.m4.2.2.1.1.1"><compose id="S4.p4.4.m4.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.p4.4.m4.2.2.1.1.1.1"></compose><apply id="S4.p4.4.m4.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S4.p4.4.m4.2.2.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p4.4.m4.2.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.p4.4.m4.2.2.1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="S4.p4.4.m4.2.2.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.p4.4.m4.2.2.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p4.4.m4.2.2.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.p4.4.m4.2.2.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S4.p4.4.m4.2.2.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.p4.4.m4.2.2.1.1.1.2.2.2">𝑆</ci><ci id="S4.p4.4.m4.2.2.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.p4.4.m4.2.2.1.1.1.2.2.3">𝑡</ci></apply><cn id="S4.p4.4.m4.2.2.1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.p4.4.m4.2.2.1.1.1.2.3">2</cn></apply><apply id="S4.p4.4.m4.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S4.p4.4.m4.2.2.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p4.4.m4.2.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.p4.4.m4.2.2.1.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="S4.p4.4.m4.2.2.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.p4.4.m4.2.2.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p4.4.m4.2.2.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.p4.4.m4.2.2.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.p4.4.m4.2.2.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.p4.4.m4.2.2.1.1.1.3.2.2">𝑆</ci><ci id="S4.p4.4.m4.2.2.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S4.p4.4.m4.2.2.1.1.1.3.2.3">𝑘</ci></apply><apply id="S4.p4.4.m4.2.2.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.p4.4.m4.2.2.1.1.1.3.3"><times id="S4.p4.4.m4.2.2.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.p4.4.m4.2.2.1.1.1.3.3.1"></times><csymbol cd="latexml" id="S4.p4.4.m4.2.2.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S4.p4.4.m4.2.2.1.1.1.3.3.2">absent</csymbol><ci id="S4.p4.4.m4.2.2.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S4.p4.4.m4.2.2.1.1.1.3.3.3">𝑁</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p4.4.m4.2c">\operatorname{span}(S_{t}^{2}\circ S_{k}^{\times N})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p4.4.m4.2d">roman_span ( italic_S start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ∘ italic_S start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT × italic_N end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math>. To proceed, however, we will need a slightly stronger theorem. We now show that even a nonorthogonal complement will do:</p> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_theorem" id="Thmtheorem26"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmtheorem26.1.1.1">Theorem 26</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmtheorem26.2.2">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="Thmtheorem26.p1"> <p class="ltx_p" id="Thmtheorem26.p1.8"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmtheorem26.p1.8.8">Let <math alttext="P" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem26.p1.1.1.m1.1"><semantics id="Thmtheorem26.p1.1.1.m1.1a"><mi id="Thmtheorem26.p1.1.1.m1.1.1" xref="Thmtheorem26.p1.1.1.m1.1.1.cmml">P</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem26.p1.1.1.m1.1b"><ci id="Thmtheorem26.p1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem26.p1.1.1.m1.1.1">𝑃</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem26.p1.1.1.m1.1c">P</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem26.p1.1.1.m1.1d">italic_P</annotation></semantics></math> be any projector (not necessarily orthogonal) onto <math alttext="\operatorname{span}(S_{t}^{2}\circ S_{k}^{\times N})" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem26.p1.2.2.m2.2"><semantics id="Thmtheorem26.p1.2.2.m2.2a"><mrow id="Thmtheorem26.p1.2.2.m2.2.2.1" xref="Thmtheorem26.p1.2.2.m2.2.2.2.cmml"><mi id="Thmtheorem26.p1.2.2.m2.1.1" xref="Thmtheorem26.p1.2.2.m2.1.1.cmml">span</mi><mo id="Thmtheorem26.p1.2.2.m2.2.2.1a" xref="Thmtheorem26.p1.2.2.m2.2.2.2.cmml">⁡</mo><mrow id="Thmtheorem26.p1.2.2.m2.2.2.1.1" xref="Thmtheorem26.p1.2.2.m2.2.2.2.cmml"><mo id="Thmtheorem26.p1.2.2.m2.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="Thmtheorem26.p1.2.2.m2.2.2.2.cmml">(</mo><mrow id="Thmtheorem26.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1" xref="Thmtheorem26.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.cmml"><msubsup id="Thmtheorem26.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.2" xref="Thmtheorem26.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.2.cmml"><mi id="Thmtheorem26.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.2.2.2" xref="Thmtheorem26.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.2.2.2.cmml">S</mi><mi id="Thmtheorem26.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.2.2.3" xref="Thmtheorem26.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.2.2.3.cmml">t</mi><mn id="Thmtheorem26.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.2.3" xref="Thmtheorem26.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.2.3.cmml">2</mn></msubsup><mo id="Thmtheorem26.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="Thmtheorem26.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.1.cmml">∘</mo><msubsup id="Thmtheorem26.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.3" xref="Thmtheorem26.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.3.cmml"><mi id="Thmtheorem26.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.3.2.2" xref="Thmtheorem26.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.3.2.2.cmml">S</mi><mi id="Thmtheorem26.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.3.2.3" xref="Thmtheorem26.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.3.2.3.cmml">k</mi><mrow id="Thmtheorem26.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.3.3" xref="Thmtheorem26.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="Thmtheorem26.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.3.3.2" xref="Thmtheorem26.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.3.3.2.cmml"></mi><mo id="Thmtheorem26.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.3.3.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="Thmtheorem26.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.3.3.1.cmml">×</mo><mi id="Thmtheorem26.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.3.3.3" xref="Thmtheorem26.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.3.3.3.cmml">N</mi></mrow></msubsup></mrow><mo id="Thmtheorem26.p1.2.2.m2.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="Thmtheorem26.p1.2.2.m2.2.2.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem26.p1.2.2.m2.2b"><apply id="Thmtheorem26.p1.2.2.m2.2.2.2.cmml" xref="Thmtheorem26.p1.2.2.m2.2.2.1"><ci id="Thmtheorem26.p1.2.2.m2.1.1.cmml" xref="Thmtheorem26.p1.2.2.m2.1.1">span</ci><apply id="Thmtheorem26.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem26.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1"><compose id="Thmtheorem26.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem26.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.1"></compose><apply id="Thmtheorem26.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="Thmtheorem26.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem26.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="Thmtheorem26.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="Thmtheorem26.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.2.2.cmml" xref="Thmtheorem26.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem26.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="Thmtheorem26.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="Thmtheorem26.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="Thmtheorem26.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.2.2.2">𝑆</ci><ci id="Thmtheorem26.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="Thmtheorem26.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.2.2.3">𝑡</ci></apply><cn id="Thmtheorem26.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="Thmtheorem26.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.2.3">2</cn></apply><apply id="Thmtheorem26.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="Thmtheorem26.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem26.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="Thmtheorem26.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="Thmtheorem26.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.3.2.cmml" xref="Thmtheorem26.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem26.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="Thmtheorem26.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="Thmtheorem26.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="Thmtheorem26.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.3.2.2">𝑆</ci><ci id="Thmtheorem26.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="Thmtheorem26.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.3.2.3">𝑘</ci></apply><apply id="Thmtheorem26.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.3.3.cmml" xref="Thmtheorem26.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.3.3"><times id="Thmtheorem26.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="Thmtheorem26.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.3.3.1"></times><csymbol cd="latexml" id="Thmtheorem26.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="Thmtheorem26.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.3.3.2">absent</csymbol><ci id="Thmtheorem26.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="Thmtheorem26.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.3.3.3">𝑁</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem26.p1.2.2.m2.2c">\operatorname{span}(S_{t}^{2}\circ S_{k}^{\times N})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem26.p1.2.2.m2.2d">roman_span ( italic_S start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ∘ italic_S start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT × italic_N end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math>. Then <math alttext="T^{(t)}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem26.p1.3.3.m3.1"><semantics id="Thmtheorem26.p1.3.3.m3.1a"><msup id="Thmtheorem26.p1.3.3.m3.1.2" xref="Thmtheorem26.p1.3.3.m3.1.2.cmml"><mi id="Thmtheorem26.p1.3.3.m3.1.2.2" xref="Thmtheorem26.p1.3.3.m3.1.2.2.cmml">T</mi><mrow id="Thmtheorem26.p1.3.3.m3.1.1.1.3" xref="Thmtheorem26.p1.3.3.m3.1.2.cmml"><mo id="Thmtheorem26.p1.3.3.m3.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="Thmtheorem26.p1.3.3.m3.1.2.cmml">(</mo><mi id="Thmtheorem26.p1.3.3.m3.1.1.1.1" xref="Thmtheorem26.p1.3.3.m3.1.1.1.1.cmml">t</mi><mo id="Thmtheorem26.p1.3.3.m3.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="Thmtheorem26.p1.3.3.m3.1.2.cmml">)</mo></mrow></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem26.p1.3.3.m3.1b"><apply id="Thmtheorem26.p1.3.3.m3.1.2.cmml" xref="Thmtheorem26.p1.3.3.m3.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem26.p1.3.3.m3.1.2.1.cmml" xref="Thmtheorem26.p1.3.3.m3.1.2">superscript</csymbol><ci id="Thmtheorem26.p1.3.3.m3.1.2.2.cmml" xref="Thmtheorem26.p1.3.3.m3.1.2.2">𝑇</ci><ci id="Thmtheorem26.p1.3.3.m3.1.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem26.p1.3.3.m3.1.1.1.1">𝑡</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem26.p1.3.3.m3.1c">T^{(t)}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem26.p1.3.3.m3.1d">italic_T start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_t ) end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> has a block-triangular structure in <math alttext="P" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem26.p1.4.4.m4.1"><semantics id="Thmtheorem26.p1.4.4.m4.1a"><mi id="Thmtheorem26.p1.4.4.m4.1.1" xref="Thmtheorem26.p1.4.4.m4.1.1.cmml">P</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem26.p1.4.4.m4.1b"><ci id="Thmtheorem26.p1.4.4.m4.1.1.cmml" xref="Thmtheorem26.p1.4.4.m4.1.1">𝑃</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem26.p1.4.4.m4.1c">P</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem26.p1.4.4.m4.1d">italic_P</annotation></semantics></math> and <math alttext="(I-P)" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem26.p1.5.5.m5.1"><semantics id="Thmtheorem26.p1.5.5.m5.1a"><mrow id="Thmtheorem26.p1.5.5.m5.1.1.1" xref="Thmtheorem26.p1.5.5.m5.1.1.1.1.cmml"><mo id="Thmtheorem26.p1.5.5.m5.1.1.1.2" stretchy="false" xref="Thmtheorem26.p1.5.5.m5.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="Thmtheorem26.p1.5.5.m5.1.1.1.1" xref="Thmtheorem26.p1.5.5.m5.1.1.1.1.cmml"><mi id="Thmtheorem26.p1.5.5.m5.1.1.1.1.2" xref="Thmtheorem26.p1.5.5.m5.1.1.1.1.2.cmml">I</mi><mo id="Thmtheorem26.p1.5.5.m5.1.1.1.1.1" xref="Thmtheorem26.p1.5.5.m5.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mi id="Thmtheorem26.p1.5.5.m5.1.1.1.1.3" xref="Thmtheorem26.p1.5.5.m5.1.1.1.1.3.cmml">P</mi></mrow><mo id="Thmtheorem26.p1.5.5.m5.1.1.1.3" stretchy="false" xref="Thmtheorem26.p1.5.5.m5.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem26.p1.5.5.m5.1b"><apply id="Thmtheorem26.p1.5.5.m5.1.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem26.p1.5.5.m5.1.1.1"><minus id="Thmtheorem26.p1.5.5.m5.1.1.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem26.p1.5.5.m5.1.1.1.1.1"></minus><ci id="Thmtheorem26.p1.5.5.m5.1.1.1.1.2.cmml" xref="Thmtheorem26.p1.5.5.m5.1.1.1.1.2">𝐼</ci><ci id="Thmtheorem26.p1.5.5.m5.1.1.1.1.3.cmml" xref="Thmtheorem26.p1.5.5.m5.1.1.1.1.3">𝑃</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem26.p1.5.5.m5.1c">(I-P)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem26.p1.5.5.m5.1d">( italic_I - italic_P )</annotation></semantics></math> and the former block contains the same eigenvalues as <math alttext="T^{(k)}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem26.p1.6.6.m6.1"><semantics id="Thmtheorem26.p1.6.6.m6.1a"><msup id="Thmtheorem26.p1.6.6.m6.1.2" xref="Thmtheorem26.p1.6.6.m6.1.2.cmml"><mi id="Thmtheorem26.p1.6.6.m6.1.2.2" xref="Thmtheorem26.p1.6.6.m6.1.2.2.cmml">T</mi><mrow id="Thmtheorem26.p1.6.6.m6.1.1.1.3" xref="Thmtheorem26.p1.6.6.m6.1.2.cmml"><mo id="Thmtheorem26.p1.6.6.m6.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="Thmtheorem26.p1.6.6.m6.1.2.cmml">(</mo><mi id="Thmtheorem26.p1.6.6.m6.1.1.1.1" xref="Thmtheorem26.p1.6.6.m6.1.1.1.1.cmml">k</mi><mo id="Thmtheorem26.p1.6.6.m6.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="Thmtheorem26.p1.6.6.m6.1.2.cmml">)</mo></mrow></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem26.p1.6.6.m6.1b"><apply id="Thmtheorem26.p1.6.6.m6.1.2.cmml" xref="Thmtheorem26.p1.6.6.m6.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem26.p1.6.6.m6.1.2.1.cmml" xref="Thmtheorem26.p1.6.6.m6.1.2">superscript</csymbol><ci id="Thmtheorem26.p1.6.6.m6.1.2.2.cmml" xref="Thmtheorem26.p1.6.6.m6.1.2.2">𝑇</ci><ci id="Thmtheorem26.p1.6.6.m6.1.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem26.p1.6.6.m6.1.1.1.1">𝑘</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem26.p1.6.6.m6.1c">T^{(k)}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem26.p1.6.6.m6.1d">italic_T start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_k ) end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>. More precisely, let <math alttext="\text{eig}^{*}(M)" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem26.p1.7.7.m7.1"><semantics id="Thmtheorem26.p1.7.7.m7.1a"><mrow id="Thmtheorem26.p1.7.7.m7.1.2" xref="Thmtheorem26.p1.7.7.m7.1.2.cmml"><msup id="Thmtheorem26.p1.7.7.m7.1.2.2" xref="Thmtheorem26.p1.7.7.m7.1.2.2.cmml"><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="Thmtheorem26.p1.7.7.m7.1.2.2.2" xref="Thmtheorem26.p1.7.7.m7.1.2.2.2a.cmml">eig</mtext><mo id="Thmtheorem26.p1.7.7.m7.1.2.2.3" xref="Thmtheorem26.p1.7.7.m7.1.2.2.3.cmml">∗</mo></msup><mo id="Thmtheorem26.p1.7.7.m7.1.2.1" xref="Thmtheorem26.p1.7.7.m7.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="Thmtheorem26.p1.7.7.m7.1.2.3.2" xref="Thmtheorem26.p1.7.7.m7.1.2.cmml"><mo id="Thmtheorem26.p1.7.7.m7.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="Thmtheorem26.p1.7.7.m7.1.2.cmml">(</mo><mi id="Thmtheorem26.p1.7.7.m7.1.1" xref="Thmtheorem26.p1.7.7.m7.1.1.cmml">M</mi><mo id="Thmtheorem26.p1.7.7.m7.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="Thmtheorem26.p1.7.7.m7.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem26.p1.7.7.m7.1b"><apply id="Thmtheorem26.p1.7.7.m7.1.2.cmml" xref="Thmtheorem26.p1.7.7.m7.1.2"><times id="Thmtheorem26.p1.7.7.m7.1.2.1.cmml" xref="Thmtheorem26.p1.7.7.m7.1.2.1"></times><apply id="Thmtheorem26.p1.7.7.m7.1.2.2.cmml" xref="Thmtheorem26.p1.7.7.m7.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem26.p1.7.7.m7.1.2.2.1.cmml" xref="Thmtheorem26.p1.7.7.m7.1.2.2">superscript</csymbol><ci id="Thmtheorem26.p1.7.7.m7.1.2.2.2a.cmml" xref="Thmtheorem26.p1.7.7.m7.1.2.2.2"><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="Thmtheorem26.p1.7.7.m7.1.2.2.2.cmml" xref="Thmtheorem26.p1.7.7.m7.1.2.2.2">eig</mtext></ci><times id="Thmtheorem26.p1.7.7.m7.1.2.2.3.cmml" xref="Thmtheorem26.p1.7.7.m7.1.2.2.3"></times></apply><ci id="Thmtheorem26.p1.7.7.m7.1.1.cmml" xref="Thmtheorem26.p1.7.7.m7.1.1">𝑀</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem26.p1.7.7.m7.1c">\text{eig}^{*}(M)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem26.p1.7.7.m7.1d">eig start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_M )</annotation></semantics></math> denote the set of nonzero eigenvalues of <math alttext="M" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem26.p1.8.8.m8.1"><semantics id="Thmtheorem26.p1.8.8.m8.1a"><mi id="Thmtheorem26.p1.8.8.m8.1.1" xref="Thmtheorem26.p1.8.8.m8.1.1.cmml">M</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem26.p1.8.8.m8.1b"><ci id="Thmtheorem26.p1.8.8.m8.1.1.cmml" xref="Thmtheorem26.p1.8.8.m8.1.1">𝑀</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem26.p1.8.8.m8.1c">M</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem26.p1.8.8.m8.1d">italic_M</annotation></semantics></math>. Then</span></p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_gather ltx_eqn_table" id="S6.EGx39"> <tbody id="S4.E43"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\displaystyle\text{eig}^{*}\left(T^{(k)}\right)=\text{eig}^{*}\left(PT^{(t)}P\right)" class="ltx_Math" display="block" id="S4.E43.m1.4"><semantics id="S4.E43.m1.4a"><mrow id="S4.E43.m1.4.4" xref="S4.E43.m1.4.4.cmml"><mrow id="S4.E43.m1.3.3.1" xref="S4.E43.m1.3.3.1.cmml"><msup id="S4.E43.m1.3.3.1.3" xref="S4.E43.m1.3.3.1.3.cmml"><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S4.E43.m1.3.3.1.3.2" xref="S4.E43.m1.3.3.1.3.2a.cmml">eig</mtext><mo id="S4.E43.m1.3.3.1.3.3" xref="S4.E43.m1.3.3.1.3.3.cmml">∗</mo></msup><mo id="S4.E43.m1.3.3.1.2" xref="S4.E43.m1.3.3.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E43.m1.3.3.1.1.1" xref="S4.E43.m1.3.3.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.E43.m1.3.3.1.1.1.2" xref="S4.E43.m1.3.3.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="S4.E43.m1.3.3.1.1.1.1" xref="S4.E43.m1.3.3.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.E43.m1.3.3.1.1.1.1.2" xref="S4.E43.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml">T</mi><mrow id="S4.E43.m1.1.1.1.3" xref="S4.E43.m1.3.3.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.E43.m1.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S4.E43.m1.3.3.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S4.E43.m1.1.1.1.1" xref="S4.E43.m1.1.1.1.1.cmml">k</mi><mo id="S4.E43.m1.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S4.E43.m1.3.3.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></msup><mo id="S4.E43.m1.3.3.1.1.1.3" xref="S4.E43.m1.3.3.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.E43.m1.4.4.3" xref="S4.E43.m1.4.4.3.cmml">=</mo><mrow id="S4.E43.m1.4.4.2" xref="S4.E43.m1.4.4.2.cmml"><msup id="S4.E43.m1.4.4.2.3" xref="S4.E43.m1.4.4.2.3.cmml"><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S4.E43.m1.4.4.2.3.2" xref="S4.E43.m1.4.4.2.3.2a.cmml">eig</mtext><mo id="S4.E43.m1.4.4.2.3.3" xref="S4.E43.m1.4.4.2.3.3.cmml">∗</mo></msup><mo id="S4.E43.m1.4.4.2.2" xref="S4.E43.m1.4.4.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E43.m1.4.4.2.1.1" xref="S4.E43.m1.4.4.2.1.1.1.cmml"><mo id="S4.E43.m1.4.4.2.1.1.2" xref="S4.E43.m1.4.4.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.E43.m1.4.4.2.1.1.1" xref="S4.E43.m1.4.4.2.1.1.1.cmml"><mi id="S4.E43.m1.4.4.2.1.1.1.2" xref="S4.E43.m1.4.4.2.1.1.1.2.cmml">P</mi><mo id="S4.E43.m1.4.4.2.1.1.1.1" xref="S4.E43.m1.4.4.2.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msup id="S4.E43.m1.4.4.2.1.1.1.3" xref="S4.E43.m1.4.4.2.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.E43.m1.4.4.2.1.1.1.3.2" xref="S4.E43.m1.4.4.2.1.1.1.3.2.cmml">T</mi><mrow id="S4.E43.m1.2.2.1.3" xref="S4.E43.m1.4.4.2.1.1.1.3.cmml"><mo id="S4.E43.m1.2.2.1.3.1" stretchy="false" xref="S4.E43.m1.4.4.2.1.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="S4.E43.m1.2.2.1.1" xref="S4.E43.m1.2.2.1.1.cmml">t</mi><mo id="S4.E43.m1.2.2.1.3.2" stretchy="false" xref="S4.E43.m1.4.4.2.1.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></msup><mo id="S4.E43.m1.4.4.2.1.1.1.1a" xref="S4.E43.m1.4.4.2.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E43.m1.4.4.2.1.1.1.4" xref="S4.E43.m1.4.4.2.1.1.1.4.cmml">P</mi></mrow><mo id="S4.E43.m1.4.4.2.1.1.3" xref="S4.E43.m1.4.4.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.E43.m1.4b"><apply id="S4.E43.m1.4.4.cmml" xref="S4.E43.m1.4.4"><eq id="S4.E43.m1.4.4.3.cmml" xref="S4.E43.m1.4.4.3"></eq><apply id="S4.E43.m1.3.3.1.cmml" xref="S4.E43.m1.3.3.1"><times id="S4.E43.m1.3.3.1.2.cmml" xref="S4.E43.m1.3.3.1.2"></times><apply id="S4.E43.m1.3.3.1.3.cmml" xref="S4.E43.m1.3.3.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E43.m1.3.3.1.3.1.cmml" xref="S4.E43.m1.3.3.1.3">superscript</csymbol><ci id="S4.E43.m1.3.3.1.3.2a.cmml" xref="S4.E43.m1.3.3.1.3.2"><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S4.E43.m1.3.3.1.3.2.cmml" xref="S4.E43.m1.3.3.1.3.2">eig</mtext></ci><times id="S4.E43.m1.3.3.1.3.3.cmml" xref="S4.E43.m1.3.3.1.3.3"></times></apply><apply id="S4.E43.m1.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E43.m1.3.3.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E43.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E43.m1.3.3.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S4.E43.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E43.m1.3.3.1.1.1.1.2">𝑇</ci><ci id="S4.E43.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E43.m1.1.1.1.1">𝑘</ci></apply></apply><apply id="S4.E43.m1.4.4.2.cmml" xref="S4.E43.m1.4.4.2"><times id="S4.E43.m1.4.4.2.2.cmml" xref="S4.E43.m1.4.4.2.2"></times><apply id="S4.E43.m1.4.4.2.3.cmml" xref="S4.E43.m1.4.4.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E43.m1.4.4.2.3.1.cmml" xref="S4.E43.m1.4.4.2.3">superscript</csymbol><ci id="S4.E43.m1.4.4.2.3.2a.cmml" xref="S4.E43.m1.4.4.2.3.2"><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S4.E43.m1.4.4.2.3.2.cmml" xref="S4.E43.m1.4.4.2.3.2">eig</mtext></ci><times id="S4.E43.m1.4.4.2.3.3.cmml" xref="S4.E43.m1.4.4.2.3.3"></times></apply><apply id="S4.E43.m1.4.4.2.1.1.1.cmml" xref="S4.E43.m1.4.4.2.1.1"><times id="S4.E43.m1.4.4.2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E43.m1.4.4.2.1.1.1.1"></times><ci id="S4.E43.m1.4.4.2.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E43.m1.4.4.2.1.1.1.2">𝑃</ci><apply id="S4.E43.m1.4.4.2.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E43.m1.4.4.2.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E43.m1.4.4.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E43.m1.4.4.2.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S4.E43.m1.4.4.2.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.E43.m1.4.4.2.1.1.1.3.2">𝑇</ci><ci id="S4.E43.m1.2.2.1.1.cmml" xref="S4.E43.m1.2.2.1.1">𝑡</ci></apply><ci id="S4.E43.m1.4.4.2.1.1.1.4.cmml" xref="S4.E43.m1.4.4.2.1.1.1.4">𝑃</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.E43.m1.4c">\displaystyle\text{eig}^{*}\left(T^{(k)}\right)=\text{eig}^{*}\left(PT^{(t)}P\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.E43.m1.4d">eig start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_T start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_k ) end_POSTSUPERSCRIPT ) = eig start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_P italic_T start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_t ) end_POSTSUPERSCRIPT italic_P )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(43)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="Thmtheorem26.p1.9"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmtheorem26.p1.9.1">and</span></p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_gather ltx_eqn_table" id="S6.EGx40"> <tbody id="S4.E44"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\displaystyle\text{eig}^{*}\left(T^{(t)}\right)=\text{eig}^{*}\left((I-P)T^{(t% )}(I-P)\right)\cup\text{eig}^{*}\left(T^{(k)}\right)" class="ltx_Math" display="block" id="S4.E44.m1.6"><semantics id="S4.E44.m1.6a"><mrow id="S4.E44.m1.6.6" xref="S4.E44.m1.6.6.cmml"><mrow id="S4.E44.m1.4.4.1" xref="S4.E44.m1.4.4.1.cmml"><msup id="S4.E44.m1.4.4.1.3" xref="S4.E44.m1.4.4.1.3.cmml"><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S4.E44.m1.4.4.1.3.2" xref="S4.E44.m1.4.4.1.3.2a.cmml">eig</mtext><mo id="S4.E44.m1.4.4.1.3.3" xref="S4.E44.m1.4.4.1.3.3.cmml">∗</mo></msup><mo id="S4.E44.m1.4.4.1.2" xref="S4.E44.m1.4.4.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E44.m1.4.4.1.1.1" xref="S4.E44.m1.4.4.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.E44.m1.4.4.1.1.1.2" xref="S4.E44.m1.4.4.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="S4.E44.m1.4.4.1.1.1.1" xref="S4.E44.m1.4.4.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.E44.m1.4.4.1.1.1.1.2" xref="S4.E44.m1.4.4.1.1.1.1.2.cmml">T</mi><mrow id="S4.E44.m1.1.1.1.3" xref="S4.E44.m1.4.4.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.E44.m1.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S4.E44.m1.4.4.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S4.E44.m1.1.1.1.1" xref="S4.E44.m1.1.1.1.1.cmml">t</mi><mo id="S4.E44.m1.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S4.E44.m1.4.4.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></msup><mo id="S4.E44.m1.4.4.1.1.1.3" xref="S4.E44.m1.4.4.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.E44.m1.6.6.4" xref="S4.E44.m1.6.6.4.cmml">=</mo><mrow id="S4.E44.m1.6.6.3" xref="S4.E44.m1.6.6.3.cmml"><mrow id="S4.E44.m1.5.5.2.1" xref="S4.E44.m1.5.5.2.1.cmml"><msup id="S4.E44.m1.5.5.2.1.3" xref="S4.E44.m1.5.5.2.1.3.cmml"><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S4.E44.m1.5.5.2.1.3.2" xref="S4.E44.m1.5.5.2.1.3.2a.cmml">eig</mtext><mo id="S4.E44.m1.5.5.2.1.3.3" xref="S4.E44.m1.5.5.2.1.3.3.cmml">∗</mo></msup><mo id="S4.E44.m1.5.5.2.1.2" xref="S4.E44.m1.5.5.2.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E44.m1.5.5.2.1.1.1" xref="S4.E44.m1.5.5.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.E44.m1.5.5.2.1.1.1.2" xref="S4.E44.m1.5.5.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.E44.m1.5.5.2.1.1.1.1" xref="S4.E44.m1.5.5.2.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.E44.m1.5.5.2.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E44.m1.5.5.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.E44.m1.5.5.2.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.E44.m1.5.5.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.E44.m1.5.5.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E44.m1.5.5.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.E44.m1.5.5.2.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.E44.m1.5.5.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">I</mi><mo id="S4.E44.m1.5.5.2.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E44.m1.5.5.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mi id="S4.E44.m1.5.5.2.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.E44.m1.5.5.2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">P</mi></mrow><mo id="S4.E44.m1.5.5.2.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.E44.m1.5.5.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S4.E44.m1.5.5.2.1.1.1.1.3" xref="S4.E44.m1.5.5.2.1.1.1.1.3.cmml">⁢</mo><msup id="S4.E44.m1.5.5.2.1.1.1.1.4" xref="S4.E44.m1.5.5.2.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="S4.E44.m1.5.5.2.1.1.1.1.4.2" xref="S4.E44.m1.5.5.2.1.1.1.1.4.2.cmml">T</mi><mrow id="S4.E44.m1.2.2.1.3" xref="S4.E44.m1.5.5.2.1.1.1.1.4.cmml"><mo id="S4.E44.m1.2.2.1.3.1" stretchy="false" xref="S4.E44.m1.5.5.2.1.1.1.1.4.cmml">(</mo><mi id="S4.E44.m1.2.2.1.1" xref="S4.E44.m1.2.2.1.1.cmml">t</mi><mo id="S4.E44.m1.2.2.1.3.2" stretchy="false" xref="S4.E44.m1.5.5.2.1.1.1.1.4.cmml">)</mo></mrow></msup><mo id="S4.E44.m1.5.5.2.1.1.1.1.3a" xref="S4.E44.m1.5.5.2.1.1.1.1.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E44.m1.5.5.2.1.1.1.1.2.1" xref="S4.E44.m1.5.5.2.1.1.1.1.2.1.1.cmml"><mo id="S4.E44.m1.5.5.2.1.1.1.1.2.1.2" stretchy="false" xref="S4.E44.m1.5.5.2.1.1.1.1.2.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.E44.m1.5.5.2.1.1.1.1.2.1.1" xref="S4.E44.m1.5.5.2.1.1.1.1.2.1.1.cmml"><mi id="S4.E44.m1.5.5.2.1.1.1.1.2.1.1.2" xref="S4.E44.m1.5.5.2.1.1.1.1.2.1.1.2.cmml">I</mi><mo id="S4.E44.m1.5.5.2.1.1.1.1.2.1.1.1" xref="S4.E44.m1.5.5.2.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml">−</mo><mi id="S4.E44.m1.5.5.2.1.1.1.1.2.1.1.3" xref="S4.E44.m1.5.5.2.1.1.1.1.2.1.1.3.cmml">P</mi></mrow><mo id="S4.E44.m1.5.5.2.1.1.1.1.2.1.3" stretchy="false" xref="S4.E44.m1.5.5.2.1.1.1.1.2.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.E44.m1.5.5.2.1.1.1.3" xref="S4.E44.m1.5.5.2.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.E44.m1.6.6.3.3" xref="S4.E44.m1.6.6.3.3.cmml">∪</mo><mrow id="S4.E44.m1.6.6.3.2" xref="S4.E44.m1.6.6.3.2.cmml"><msup id="S4.E44.m1.6.6.3.2.3" xref="S4.E44.m1.6.6.3.2.3.cmml"><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S4.E44.m1.6.6.3.2.3.2" xref="S4.E44.m1.6.6.3.2.3.2a.cmml">eig</mtext><mo id="S4.E44.m1.6.6.3.2.3.3" xref="S4.E44.m1.6.6.3.2.3.3.cmml">∗</mo></msup><mo id="S4.E44.m1.6.6.3.2.2" xref="S4.E44.m1.6.6.3.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E44.m1.6.6.3.2.1.1" xref="S4.E44.m1.6.6.3.2.1.1.1.cmml"><mo id="S4.E44.m1.6.6.3.2.1.1.2" xref="S4.E44.m1.6.6.3.2.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="S4.E44.m1.6.6.3.2.1.1.1" xref="S4.E44.m1.6.6.3.2.1.1.1.cmml"><mi id="S4.E44.m1.6.6.3.2.1.1.1.2" xref="S4.E44.m1.6.6.3.2.1.1.1.2.cmml">T</mi><mrow id="S4.E44.m1.3.3.1.3" xref="S4.E44.m1.6.6.3.2.1.1.1.cmml"><mo id="S4.E44.m1.3.3.1.3.1" stretchy="false" xref="S4.E44.m1.6.6.3.2.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S4.E44.m1.3.3.1.1" xref="S4.E44.m1.3.3.1.1.cmml">k</mi><mo id="S4.E44.m1.3.3.1.3.2" stretchy="false" xref="S4.E44.m1.6.6.3.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></msup><mo id="S4.E44.m1.6.6.3.2.1.1.3" xref="S4.E44.m1.6.6.3.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.E44.m1.6b"><apply id="S4.E44.m1.6.6.cmml" xref="S4.E44.m1.6.6"><eq id="S4.E44.m1.6.6.4.cmml" xref="S4.E44.m1.6.6.4"></eq><apply id="S4.E44.m1.4.4.1.cmml" xref="S4.E44.m1.4.4.1"><times id="S4.E44.m1.4.4.1.2.cmml" xref="S4.E44.m1.4.4.1.2"></times><apply id="S4.E44.m1.4.4.1.3.cmml" xref="S4.E44.m1.4.4.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E44.m1.4.4.1.3.1.cmml" xref="S4.E44.m1.4.4.1.3">superscript</csymbol><ci id="S4.E44.m1.4.4.1.3.2a.cmml" xref="S4.E44.m1.4.4.1.3.2"><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S4.E44.m1.4.4.1.3.2.cmml" xref="S4.E44.m1.4.4.1.3.2">eig</mtext></ci><times id="S4.E44.m1.4.4.1.3.3.cmml" xref="S4.E44.m1.4.4.1.3.3"></times></apply><apply id="S4.E44.m1.4.4.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E44.m1.4.4.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E44.m1.4.4.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E44.m1.4.4.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S4.E44.m1.4.4.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E44.m1.4.4.1.1.1.1.2">𝑇</ci><ci id="S4.E44.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E44.m1.1.1.1.1">𝑡</ci></apply></apply><apply id="S4.E44.m1.6.6.3.cmml" xref="S4.E44.m1.6.6.3"><union id="S4.E44.m1.6.6.3.3.cmml" xref="S4.E44.m1.6.6.3.3"></union><apply id="S4.E44.m1.5.5.2.1.cmml" xref="S4.E44.m1.5.5.2.1"><times id="S4.E44.m1.5.5.2.1.2.cmml" xref="S4.E44.m1.5.5.2.1.2"></times><apply id="S4.E44.m1.5.5.2.1.3.cmml" xref="S4.E44.m1.5.5.2.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E44.m1.5.5.2.1.3.1.cmml" xref="S4.E44.m1.5.5.2.1.3">superscript</csymbol><ci id="S4.E44.m1.5.5.2.1.3.2a.cmml" xref="S4.E44.m1.5.5.2.1.3.2"><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S4.E44.m1.5.5.2.1.3.2.cmml" xref="S4.E44.m1.5.5.2.1.3.2">eig</mtext></ci><times id="S4.E44.m1.5.5.2.1.3.3.cmml" xref="S4.E44.m1.5.5.2.1.3.3"></times></apply><apply id="S4.E44.m1.5.5.2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E44.m1.5.5.2.1.1.1"><times id="S4.E44.m1.5.5.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E44.m1.5.5.2.1.1.1.1.3"></times><apply id="S4.E44.m1.5.5.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E44.m1.5.5.2.1.1.1.1.1.1"><minus id="S4.E44.m1.5.5.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E44.m1.5.5.2.1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><ci id="S4.E44.m1.5.5.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E44.m1.5.5.2.1.1.1.1.1.1.1.2">𝐼</ci><ci id="S4.E44.m1.5.5.2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E44.m1.5.5.2.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑃</ci></apply><apply id="S4.E44.m1.5.5.2.1.1.1.1.4.cmml" xref="S4.E44.m1.5.5.2.1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E44.m1.5.5.2.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="S4.E44.m1.5.5.2.1.1.1.1.4">superscript</csymbol><ci id="S4.E44.m1.5.5.2.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="S4.E44.m1.5.5.2.1.1.1.1.4.2">𝑇</ci><ci id="S4.E44.m1.2.2.1.1.cmml" xref="S4.E44.m1.2.2.1.1">𝑡</ci></apply><apply id="S4.E44.m1.5.5.2.1.1.1.1.2.1.1.cmml" xref="S4.E44.m1.5.5.2.1.1.1.1.2.1"><minus id="S4.E44.m1.5.5.2.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml" xref="S4.E44.m1.5.5.2.1.1.1.1.2.1.1.1"></minus><ci id="S4.E44.m1.5.5.2.1.1.1.1.2.1.1.2.cmml" xref="S4.E44.m1.5.5.2.1.1.1.1.2.1.1.2">𝐼</ci><ci id="S4.E44.m1.5.5.2.1.1.1.1.2.1.1.3.cmml" xref="S4.E44.m1.5.5.2.1.1.1.1.2.1.1.3">𝑃</ci></apply></apply></apply><apply id="S4.E44.m1.6.6.3.2.cmml" xref="S4.E44.m1.6.6.3.2"><times id="S4.E44.m1.6.6.3.2.2.cmml" xref="S4.E44.m1.6.6.3.2.2"></times><apply id="S4.E44.m1.6.6.3.2.3.cmml" xref="S4.E44.m1.6.6.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E44.m1.6.6.3.2.3.1.cmml" xref="S4.E44.m1.6.6.3.2.3">superscript</csymbol><ci id="S4.E44.m1.6.6.3.2.3.2a.cmml" xref="S4.E44.m1.6.6.3.2.3.2"><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S4.E44.m1.6.6.3.2.3.2.cmml" xref="S4.E44.m1.6.6.3.2.3.2">eig</mtext></ci><times id="S4.E44.m1.6.6.3.2.3.3.cmml" xref="S4.E44.m1.6.6.3.2.3.3"></times></apply><apply id="S4.E44.m1.6.6.3.2.1.1.1.cmml" xref="S4.E44.m1.6.6.3.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E44.m1.6.6.3.2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E44.m1.6.6.3.2.1.1">superscript</csymbol><ci id="S4.E44.m1.6.6.3.2.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E44.m1.6.6.3.2.1.1.1.2">𝑇</ci><ci id="S4.E44.m1.3.3.1.1.cmml" xref="S4.E44.m1.3.3.1.1">𝑘</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.E44.m1.6c">\displaystyle\text{eig}^{*}\left(T^{(t)}\right)=\text{eig}^{*}\left((I-P)T^{(t% )}(I-P)\right)\cup\text{eig}^{*}\left(T^{(k)}\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.E44.m1.6d">eig start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_T start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_t ) end_POSTSUPERSCRIPT ) = eig start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT ( ( italic_I - italic_P ) italic_T start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_t ) end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_I - italic_P ) ) ∪ eig start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_T start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_k ) end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(44)</span></td> </tr></tbody> </table> </div> </div> <div class="ltx_proof" id="S4.4"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_font_italic ltx_title_proof">Proof.</h6> <div class="ltx_para" id="S4.4.p1"> <p class="ltx_p" id="S4.4.p1.5"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S4.4.p1.5.1">(Informal)</span> To prove Equation <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#S4.E43" title="In Theorem 26. ‣ IV Properties of the eigenspaces ‣ Conditional 𝑡-independent spectral gap for random quantum circuits and implications for 𝑡-design depths"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">43</span></a>, we use Lemma <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#Thmtheorem22" title="Lemma 22. ‣ IV Properties of the eigenspaces ‣ Conditional 𝑡-independent spectral gap for random quantum circuits and implications for 𝑡-design depths"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">22</span></a> to show that <math alttext="PT^{(t)}P" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.4.p1.1.m1.1"><semantics id="S4.4.p1.1.m1.1a"><mrow id="S4.4.p1.1.m1.1.2" xref="S4.4.p1.1.m1.1.2.cmml"><mi id="S4.4.p1.1.m1.1.2.2" xref="S4.4.p1.1.m1.1.2.2.cmml">P</mi><mo id="S4.4.p1.1.m1.1.2.1" xref="S4.4.p1.1.m1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="S4.4.p1.1.m1.1.2.3" xref="S4.4.p1.1.m1.1.2.3.cmml"><mi id="S4.4.p1.1.m1.1.2.3.2" xref="S4.4.p1.1.m1.1.2.3.2.cmml">T</mi><mrow id="S4.4.p1.1.m1.1.1.1.3" xref="S4.4.p1.1.m1.1.2.3.cmml"><mo id="S4.4.p1.1.m1.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S4.4.p1.1.m1.1.2.3.cmml">(</mo><mi id="S4.4.p1.1.m1.1.1.1.1" xref="S4.4.p1.1.m1.1.1.1.1.cmml">t</mi><mo id="S4.4.p1.1.m1.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S4.4.p1.1.m1.1.2.3.cmml">)</mo></mrow></msup><mo id="S4.4.p1.1.m1.1.2.1a" xref="S4.4.p1.1.m1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.4.p1.1.m1.1.2.4" xref="S4.4.p1.1.m1.1.2.4.cmml">P</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.4.p1.1.m1.1b"><apply id="S4.4.p1.1.m1.1.2.cmml" xref="S4.4.p1.1.m1.1.2"><times id="S4.4.p1.1.m1.1.2.1.cmml" xref="S4.4.p1.1.m1.1.2.1"></times><ci id="S4.4.p1.1.m1.1.2.2.cmml" xref="S4.4.p1.1.m1.1.2.2">𝑃</ci><apply id="S4.4.p1.1.m1.1.2.3.cmml" xref="S4.4.p1.1.m1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.4.p1.1.m1.1.2.3.1.cmml" xref="S4.4.p1.1.m1.1.2.3">superscript</csymbol><ci id="S4.4.p1.1.m1.1.2.3.2.cmml" xref="S4.4.p1.1.m1.1.2.3.2">𝑇</ci><ci id="S4.4.p1.1.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.4.p1.1.m1.1.1.1.1">𝑡</ci></apply><ci id="S4.4.p1.1.m1.1.2.4.cmml" xref="S4.4.p1.1.m1.1.2.4">𝑃</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.4.p1.1.m1.1c">PT^{(t)}P</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.4.p1.1.m1.1d">italic_P italic_T start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_t ) end_POSTSUPERSCRIPT italic_P</annotation></semantics></math> is essentially several copies of <math alttext="T^{(k)}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.4.p1.2.m2.1"><semantics id="S4.4.p1.2.m2.1a"><msup id="S4.4.p1.2.m2.1.2" xref="S4.4.p1.2.m2.1.2.cmml"><mi id="S4.4.p1.2.m2.1.2.2" xref="S4.4.p1.2.m2.1.2.2.cmml">T</mi><mrow id="S4.4.p1.2.m2.1.1.1.3" xref="S4.4.p1.2.m2.1.2.cmml"><mo id="S4.4.p1.2.m2.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S4.4.p1.2.m2.1.2.cmml">(</mo><mi id="S4.4.p1.2.m2.1.1.1.1" xref="S4.4.p1.2.m2.1.1.1.1.cmml">k</mi><mo id="S4.4.p1.2.m2.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S4.4.p1.2.m2.1.2.cmml">)</mo></mrow></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.4.p1.2.m2.1b"><apply id="S4.4.p1.2.m2.1.2.cmml" xref="S4.4.p1.2.m2.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.4.p1.2.m2.1.2.1.cmml" xref="S4.4.p1.2.m2.1.2">superscript</csymbol><ci id="S4.4.p1.2.m2.1.2.2.cmml" xref="S4.4.p1.2.m2.1.2.2">𝑇</ci><ci id="S4.4.p1.2.m2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.4.p1.2.m2.1.1.1.1">𝑘</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.4.p1.2.m2.1c">T^{(k)}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.4.p1.2.m2.1d">italic_T start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_k ) end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>. To prove Equation <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#S4.E44" title="In Theorem 26. ‣ IV Properties of the eigenspaces ‣ Conditional 𝑡-independent spectral gap for random quantum circuits and implications for 𝑡-design depths"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">44</span></a>, we show that <math alttext="T^{(t)}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.4.p1.3.m3.1"><semantics id="S4.4.p1.3.m3.1a"><msup id="S4.4.p1.3.m3.1.2" xref="S4.4.p1.3.m3.1.2.cmml"><mi id="S4.4.p1.3.m3.1.2.2" xref="S4.4.p1.3.m3.1.2.2.cmml">T</mi><mrow id="S4.4.p1.3.m3.1.1.1.3" xref="S4.4.p1.3.m3.1.2.cmml"><mo id="S4.4.p1.3.m3.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S4.4.p1.3.m3.1.2.cmml">(</mo><mi id="S4.4.p1.3.m3.1.1.1.1" xref="S4.4.p1.3.m3.1.1.1.1.cmml">t</mi><mo id="S4.4.p1.3.m3.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S4.4.p1.3.m3.1.2.cmml">)</mo></mrow></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.4.p1.3.m3.1b"><apply id="S4.4.p1.3.m3.1.2.cmml" xref="S4.4.p1.3.m3.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.4.p1.3.m3.1.2.1.cmml" xref="S4.4.p1.3.m3.1.2">superscript</csymbol><ci id="S4.4.p1.3.m3.1.2.2.cmml" xref="S4.4.p1.3.m3.1.2.2">𝑇</ci><ci id="S4.4.p1.3.m3.1.1.1.1.cmml" xref="S4.4.p1.3.m3.1.1.1.1">𝑡</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.4.p1.3.m3.1c">T^{(t)}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.4.p1.3.m3.1d">italic_T start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_t ) end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> is block-triangular in the images of <math alttext="P" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.4.p1.4.m4.1"><semantics id="S4.4.p1.4.m4.1a"><mi id="S4.4.p1.4.m4.1.1" xref="S4.4.p1.4.m4.1.1.cmml">P</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.4.p1.4.m4.1b"><ci id="S4.4.p1.4.m4.1.1.cmml" xref="S4.4.p1.4.m4.1.1">𝑃</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.4.p1.4.m4.1c">P</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.4.p1.4.m4.1d">italic_P</annotation></semantics></math> and <math alttext="I-P" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.4.p1.5.m5.1"><semantics id="S4.4.p1.5.m5.1a"><mrow id="S4.4.p1.5.m5.1.1" xref="S4.4.p1.5.m5.1.1.cmml"><mi id="S4.4.p1.5.m5.1.1.2" xref="S4.4.p1.5.m5.1.1.2.cmml">I</mi><mo id="S4.4.p1.5.m5.1.1.1" xref="S4.4.p1.5.m5.1.1.1.cmml">−</mo><mi id="S4.4.p1.5.m5.1.1.3" xref="S4.4.p1.5.m5.1.1.3.cmml">P</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.4.p1.5.m5.1b"><apply id="S4.4.p1.5.m5.1.1.cmml" xref="S4.4.p1.5.m5.1.1"><minus id="S4.4.p1.5.m5.1.1.1.cmml" xref="S4.4.p1.5.m5.1.1.1"></minus><ci id="S4.4.p1.5.m5.1.1.2.cmml" xref="S4.4.p1.5.m5.1.1.2">𝐼</ci><ci id="S4.4.p1.5.m5.1.1.3.cmml" xref="S4.4.p1.5.m5.1.1.3">𝑃</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.4.p1.5.m5.1c">I-P</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.4.p1.5.m5.1d">italic_I - italic_P</annotation></semantics></math>. We then use the fact that the eigenvalues of a block-triangular matrix are those of the diagonal blocks. A full proof may be found in Appendix <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#A2.SS7" title="B.7 Proof of Theorem 26 ‣ Appendix B Assorted proofs ‣ Conditional 𝑡-independent spectral gap for random quantum circuits and implications for 𝑡-design depths"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">B.7</span></a>. ∎</p> </div> </div> <div class="ltx_para" id="S4.p5"> <p class="ltx_p" id="S4.p5.1">We now define and characterize two useful subspaces. Our analytical proofs will make use of the <span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S4.p5.1.1">deranged subspace</span>, while our numerical work is done in terms of the <span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S4.p5.1.2">coderanged subspace</span>.</p> </div> <section class="ltx_subsection" id="S4.SS1"> <h3 class="ltx_title ltx_title_subsection"> <span class="ltx_tag ltx_tag_subsection">IV.1 </span>Deranged subspace</h3> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_definition" id="Thmtheorem27"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmtheorem27.1.1.1">Definition 27</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmtheorem27.2.2">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="Thmtheorem27.p1"> <p class="ltx_p" id="Thmtheorem27.p1.9">A state <math alttext="\ket{\sigma_{1},...\sigma_{N}}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem27.p1.1.m1.1"><semantics id="Thmtheorem27.p1.1.m1.1a"><mrow id="Thmtheorem27.p1.1.m1.1.1.3" xref="Thmtheorem27.p1.1.m1.1.1.2.cmml"><mo id="Thmtheorem27.p1.1.m1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="Thmtheorem27.p1.1.m1.1.1.2.1.cmml">|</mo><mrow id="Thmtheorem27.p1.1.m1.1.1.1.1.2" xref="Thmtheorem27.p1.1.m1.1.1.1.1.3.cmml"><msub id="Thmtheorem27.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1" xref="Thmtheorem27.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="Thmtheorem27.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="Thmtheorem27.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">σ</mi><mn id="Thmtheorem27.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="Thmtheorem27.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="Thmtheorem27.p1.1.m1.1.1.1.1.2.3" xref="Thmtheorem27.p1.1.m1.1.1.1.1.3.cmml">,</mo><mrow id="Thmtheorem27.p1.1.m1.1.1.1.1.2.2" xref="Thmtheorem27.p1.1.m1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="Thmtheorem27.p1.1.m1.1.1.1.1.2.2.2" mathvariant="normal" xref="Thmtheorem27.p1.1.m1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">…</mi><mo id="Thmtheorem27.p1.1.m1.1.1.1.1.2.2.1" xref="Thmtheorem27.p1.1.m1.1.1.1.1.2.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="Thmtheorem27.p1.1.m1.1.1.1.1.2.2.3" xref="Thmtheorem27.p1.1.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="Thmtheorem27.p1.1.m1.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="Thmtheorem27.p1.1.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml">σ</mi><mi id="Thmtheorem27.p1.1.m1.1.1.1.1.2.2.3.3" xref="Thmtheorem27.p1.1.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml">N</mi></msub></mrow></mrow><mo id="Thmtheorem27.p1.1.m1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="Thmtheorem27.p1.1.m1.1.1.2.1.cmml">⟩</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem27.p1.1.m1.1b"><apply id="Thmtheorem27.p1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="Thmtheorem27.p1.1.m1.1.1.3"><csymbol cd="latexml" id="Thmtheorem27.p1.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="Thmtheorem27.p1.1.m1.1.1.3.1">ket</csymbol><list id="Thmtheorem27.p1.1.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="Thmtheorem27.p1.1.m1.1.1.1.1.2"><apply id="Thmtheorem27.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem27.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem27.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem27.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="Thmtheorem27.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="Thmtheorem27.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2">𝜎</ci><cn id="Thmtheorem27.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="Thmtheorem27.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.3">1</cn></apply><apply id="Thmtheorem27.p1.1.m1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="Thmtheorem27.p1.1.m1.1.1.1.1.2.2"><times id="Thmtheorem27.p1.1.m1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="Thmtheorem27.p1.1.m1.1.1.1.1.2.2.1"></times><ci id="Thmtheorem27.p1.1.m1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="Thmtheorem27.p1.1.m1.1.1.1.1.2.2.2">…</ci><apply id="Thmtheorem27.p1.1.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="Thmtheorem27.p1.1.m1.1.1.1.1.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem27.p1.1.m1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="Thmtheorem27.p1.1.m1.1.1.1.1.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="Thmtheorem27.p1.1.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="Thmtheorem27.p1.1.m1.1.1.1.1.2.2.3.2">𝜎</ci><ci id="Thmtheorem27.p1.1.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml" xref="Thmtheorem27.p1.1.m1.1.1.1.1.2.2.3.3">𝑁</ci></apply></apply></list></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem27.p1.1.m1.1c">\ket{\sigma_{1},...\sigma_{N}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem27.p1.1.m1.1d">| start_ARG italic_σ start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , … italic_σ start_POSTSUBSCRIPT italic_N end_POSTSUBSCRIPT end_ARG ⟩</annotation></semantics></math> is called a <span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmtheorem27.p1.9.1">complete derangement state</span> if and only if there does not exist <math alttext="i\in\{1...t\}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem27.p1.2.m2.1"><semantics id="Thmtheorem27.p1.2.m2.1a"><mrow id="Thmtheorem27.p1.2.m2.1.1" xref="Thmtheorem27.p1.2.m2.1.1.cmml"><mi id="Thmtheorem27.p1.2.m2.1.1.3" xref="Thmtheorem27.p1.2.m2.1.1.3.cmml">i</mi><mo id="Thmtheorem27.p1.2.m2.1.1.2" xref="Thmtheorem27.p1.2.m2.1.1.2.cmml">∈</mo><mrow id="Thmtheorem27.p1.2.m2.1.1.1.1" xref="Thmtheorem27.p1.2.m2.1.1.1.2.cmml"><mo id="Thmtheorem27.p1.2.m2.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="Thmtheorem27.p1.2.m2.1.1.1.2.cmml">{</mo><mrow id="Thmtheorem27.p1.2.m2.1.1.1.1.1" xref="Thmtheorem27.p1.2.m2.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="Thmtheorem27.p1.2.m2.1.1.1.1.1.2" xref="Thmtheorem27.p1.2.m2.1.1.1.1.1.2.cmml">1</mn><mo id="Thmtheorem27.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1" xref="Thmtheorem27.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="Thmtheorem27.p1.2.m2.1.1.1.1.1.3" mathvariant="normal" xref="Thmtheorem27.p1.2.m2.1.1.1.1.1.3.cmml">…</mi><mo id="Thmtheorem27.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1a" xref="Thmtheorem27.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="Thmtheorem27.p1.2.m2.1.1.1.1.1.4" xref="Thmtheorem27.p1.2.m2.1.1.1.1.1.4.cmml">t</mi></mrow><mo id="Thmtheorem27.p1.2.m2.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="Thmtheorem27.p1.2.m2.1.1.1.2.cmml">}</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem27.p1.2.m2.1b"><apply id="Thmtheorem27.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="Thmtheorem27.p1.2.m2.1.1"><in id="Thmtheorem27.p1.2.m2.1.1.2.cmml" xref="Thmtheorem27.p1.2.m2.1.1.2"></in><ci id="Thmtheorem27.p1.2.m2.1.1.3.cmml" xref="Thmtheorem27.p1.2.m2.1.1.3">𝑖</ci><set id="Thmtheorem27.p1.2.m2.1.1.1.2.cmml" xref="Thmtheorem27.p1.2.m2.1.1.1.1"><apply id="Thmtheorem27.p1.2.m2.1.1.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem27.p1.2.m2.1.1.1.1.1"><times id="Thmtheorem27.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem27.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1"></times><cn id="Thmtheorem27.p1.2.m2.1.1.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="Thmtheorem27.p1.2.m2.1.1.1.1.1.2">1</cn><ci id="Thmtheorem27.p1.2.m2.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="Thmtheorem27.p1.2.m2.1.1.1.1.1.3">…</ci><ci id="Thmtheorem27.p1.2.m2.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="Thmtheorem27.p1.2.m2.1.1.1.1.1.4">𝑡</ci></apply></set></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem27.p1.2.m2.1c">i\in\{1...t\}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem27.p1.2.m2.1d">italic_i ∈ { 1 … italic_t }</annotation></semantics></math> such that <math alttext="\sigma_{1}(i)=\sigma_{2}(i)=...=\sigma_{N}(i)" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem27.p1.3.m3.3"><semantics id="Thmtheorem27.p1.3.m3.3a"><mrow id="Thmtheorem27.p1.3.m3.3.4" xref="Thmtheorem27.p1.3.m3.3.4.cmml"><mrow id="Thmtheorem27.p1.3.m3.3.4.2" xref="Thmtheorem27.p1.3.m3.3.4.2.cmml"><msub id="Thmtheorem27.p1.3.m3.3.4.2.2" xref="Thmtheorem27.p1.3.m3.3.4.2.2.cmml"><mi id="Thmtheorem27.p1.3.m3.3.4.2.2.2" xref="Thmtheorem27.p1.3.m3.3.4.2.2.2.cmml">σ</mi><mn id="Thmtheorem27.p1.3.m3.3.4.2.2.3" xref="Thmtheorem27.p1.3.m3.3.4.2.2.3.cmml">1</mn></msub><mo id="Thmtheorem27.p1.3.m3.3.4.2.1" xref="Thmtheorem27.p1.3.m3.3.4.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="Thmtheorem27.p1.3.m3.3.4.2.3.2" xref="Thmtheorem27.p1.3.m3.3.4.2.cmml"><mo id="Thmtheorem27.p1.3.m3.3.4.2.3.2.1" stretchy="false" xref="Thmtheorem27.p1.3.m3.3.4.2.cmml">(</mo><mi id="Thmtheorem27.p1.3.m3.1.1" xref="Thmtheorem27.p1.3.m3.1.1.cmml">i</mi><mo id="Thmtheorem27.p1.3.m3.3.4.2.3.2.2" stretchy="false" xref="Thmtheorem27.p1.3.m3.3.4.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="Thmtheorem27.p1.3.m3.3.4.3" xref="Thmtheorem27.p1.3.m3.3.4.3.cmml">=</mo><mrow id="Thmtheorem27.p1.3.m3.3.4.4" xref="Thmtheorem27.p1.3.m3.3.4.4.cmml"><msub id="Thmtheorem27.p1.3.m3.3.4.4.2" xref="Thmtheorem27.p1.3.m3.3.4.4.2.cmml"><mi id="Thmtheorem27.p1.3.m3.3.4.4.2.2" xref="Thmtheorem27.p1.3.m3.3.4.4.2.2.cmml">σ</mi><mn id="Thmtheorem27.p1.3.m3.3.4.4.2.3" xref="Thmtheorem27.p1.3.m3.3.4.4.2.3.cmml">2</mn></msub><mo id="Thmtheorem27.p1.3.m3.3.4.4.1" xref="Thmtheorem27.p1.3.m3.3.4.4.1.cmml">⁢</mo><mrow id="Thmtheorem27.p1.3.m3.3.4.4.3.2" xref="Thmtheorem27.p1.3.m3.3.4.4.cmml"><mo id="Thmtheorem27.p1.3.m3.3.4.4.3.2.1" stretchy="false" xref="Thmtheorem27.p1.3.m3.3.4.4.cmml">(</mo><mi id="Thmtheorem27.p1.3.m3.2.2" xref="Thmtheorem27.p1.3.m3.2.2.cmml">i</mi><mo id="Thmtheorem27.p1.3.m3.3.4.4.3.2.2" stretchy="false" xref="Thmtheorem27.p1.3.m3.3.4.4.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="Thmtheorem27.p1.3.m3.3.4.5" xref="Thmtheorem27.p1.3.m3.3.4.5.cmml">=</mo><mi id="Thmtheorem27.p1.3.m3.3.4.6" mathvariant="normal" xref="Thmtheorem27.p1.3.m3.3.4.6.cmml">…</mi><mo id="Thmtheorem27.p1.3.m3.3.4.7" xref="Thmtheorem27.p1.3.m3.3.4.7.cmml">=</mo><mrow id="Thmtheorem27.p1.3.m3.3.4.8" xref="Thmtheorem27.p1.3.m3.3.4.8.cmml"><msub id="Thmtheorem27.p1.3.m3.3.4.8.2" xref="Thmtheorem27.p1.3.m3.3.4.8.2.cmml"><mi id="Thmtheorem27.p1.3.m3.3.4.8.2.2" xref="Thmtheorem27.p1.3.m3.3.4.8.2.2.cmml">σ</mi><mi id="Thmtheorem27.p1.3.m3.3.4.8.2.3" xref="Thmtheorem27.p1.3.m3.3.4.8.2.3.cmml">N</mi></msub><mo id="Thmtheorem27.p1.3.m3.3.4.8.1" xref="Thmtheorem27.p1.3.m3.3.4.8.1.cmml">⁢</mo><mrow id="Thmtheorem27.p1.3.m3.3.4.8.3.2" xref="Thmtheorem27.p1.3.m3.3.4.8.cmml"><mo id="Thmtheorem27.p1.3.m3.3.4.8.3.2.1" stretchy="false" xref="Thmtheorem27.p1.3.m3.3.4.8.cmml">(</mo><mi id="Thmtheorem27.p1.3.m3.3.3" xref="Thmtheorem27.p1.3.m3.3.3.cmml">i</mi><mo id="Thmtheorem27.p1.3.m3.3.4.8.3.2.2" stretchy="false" xref="Thmtheorem27.p1.3.m3.3.4.8.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem27.p1.3.m3.3b"><apply id="Thmtheorem27.p1.3.m3.3.4.cmml" xref="Thmtheorem27.p1.3.m3.3.4"><and id="Thmtheorem27.p1.3.m3.3.4a.cmml" xref="Thmtheorem27.p1.3.m3.3.4"></and><apply id="Thmtheorem27.p1.3.m3.3.4b.cmml" xref="Thmtheorem27.p1.3.m3.3.4"><eq id="Thmtheorem27.p1.3.m3.3.4.3.cmml" xref="Thmtheorem27.p1.3.m3.3.4.3"></eq><apply id="Thmtheorem27.p1.3.m3.3.4.2.cmml" xref="Thmtheorem27.p1.3.m3.3.4.2"><times id="Thmtheorem27.p1.3.m3.3.4.2.1.cmml" xref="Thmtheorem27.p1.3.m3.3.4.2.1"></times><apply id="Thmtheorem27.p1.3.m3.3.4.2.2.cmml" xref="Thmtheorem27.p1.3.m3.3.4.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem27.p1.3.m3.3.4.2.2.1.cmml" xref="Thmtheorem27.p1.3.m3.3.4.2.2">subscript</csymbol><ci id="Thmtheorem27.p1.3.m3.3.4.2.2.2.cmml" xref="Thmtheorem27.p1.3.m3.3.4.2.2.2">𝜎</ci><cn id="Thmtheorem27.p1.3.m3.3.4.2.2.3.cmml" type="integer" xref="Thmtheorem27.p1.3.m3.3.4.2.2.3">1</cn></apply><ci id="Thmtheorem27.p1.3.m3.1.1.cmml" xref="Thmtheorem27.p1.3.m3.1.1">𝑖</ci></apply><apply id="Thmtheorem27.p1.3.m3.3.4.4.cmml" xref="Thmtheorem27.p1.3.m3.3.4.4"><times id="Thmtheorem27.p1.3.m3.3.4.4.1.cmml" xref="Thmtheorem27.p1.3.m3.3.4.4.1"></times><apply id="Thmtheorem27.p1.3.m3.3.4.4.2.cmml" xref="Thmtheorem27.p1.3.m3.3.4.4.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem27.p1.3.m3.3.4.4.2.1.cmml" xref="Thmtheorem27.p1.3.m3.3.4.4.2">subscript</csymbol><ci id="Thmtheorem27.p1.3.m3.3.4.4.2.2.cmml" xref="Thmtheorem27.p1.3.m3.3.4.4.2.2">𝜎</ci><cn id="Thmtheorem27.p1.3.m3.3.4.4.2.3.cmml" type="integer" xref="Thmtheorem27.p1.3.m3.3.4.4.2.3">2</cn></apply><ci id="Thmtheorem27.p1.3.m3.2.2.cmml" xref="Thmtheorem27.p1.3.m3.2.2">𝑖</ci></apply></apply><apply id="Thmtheorem27.p1.3.m3.3.4c.cmml" xref="Thmtheorem27.p1.3.m3.3.4"><eq id="Thmtheorem27.p1.3.m3.3.4.5.cmml" xref="Thmtheorem27.p1.3.m3.3.4.5"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#Thmtheorem27.p1.3.m3.3.4.4.cmml" id="Thmtheorem27.p1.3.m3.3.4d.cmml" xref="Thmtheorem27.p1.3.m3.3.4"></share><ci id="Thmtheorem27.p1.3.m3.3.4.6.cmml" xref="Thmtheorem27.p1.3.m3.3.4.6">…</ci></apply><apply id="Thmtheorem27.p1.3.m3.3.4e.cmml" xref="Thmtheorem27.p1.3.m3.3.4"><eq id="Thmtheorem27.p1.3.m3.3.4.7.cmml" xref="Thmtheorem27.p1.3.m3.3.4.7"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#Thmtheorem27.p1.3.m3.3.4.6.cmml" id="Thmtheorem27.p1.3.m3.3.4f.cmml" xref="Thmtheorem27.p1.3.m3.3.4"></share><apply id="Thmtheorem27.p1.3.m3.3.4.8.cmml" xref="Thmtheorem27.p1.3.m3.3.4.8"><times id="Thmtheorem27.p1.3.m3.3.4.8.1.cmml" xref="Thmtheorem27.p1.3.m3.3.4.8.1"></times><apply id="Thmtheorem27.p1.3.m3.3.4.8.2.cmml" xref="Thmtheorem27.p1.3.m3.3.4.8.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem27.p1.3.m3.3.4.8.2.1.cmml" xref="Thmtheorem27.p1.3.m3.3.4.8.2">subscript</csymbol><ci id="Thmtheorem27.p1.3.m3.3.4.8.2.2.cmml" xref="Thmtheorem27.p1.3.m3.3.4.8.2.2">𝜎</ci><ci id="Thmtheorem27.p1.3.m3.3.4.8.2.3.cmml" xref="Thmtheorem27.p1.3.m3.3.4.8.2.3">𝑁</ci></apply><ci id="Thmtheorem27.p1.3.m3.3.3.cmml" xref="Thmtheorem27.p1.3.m3.3.3">𝑖</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem27.p1.3.m3.3c">\sigma_{1}(i)=\sigma_{2}(i)=...=\sigma_{N}(i)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem27.p1.3.m3.3d">italic_σ start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_i ) = italic_σ start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_i ) = … = italic_σ start_POSTSUBSCRIPT italic_N end_POSTSUBSCRIPT ( italic_i )</annotation></semantics></math>. Equivalently, <math alttext="\ket{\sigma_{1},...\sigma_{N}}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem27.p1.4.m4.1"><semantics id="Thmtheorem27.p1.4.m4.1a"><mrow id="Thmtheorem27.p1.4.m4.1.1.3" xref="Thmtheorem27.p1.4.m4.1.1.2.cmml"><mo id="Thmtheorem27.p1.4.m4.1.1.3.1" stretchy="false" xref="Thmtheorem27.p1.4.m4.1.1.2.1.cmml">|</mo><mrow id="Thmtheorem27.p1.4.m4.1.1.1.1.2" xref="Thmtheorem27.p1.4.m4.1.1.1.1.3.cmml"><msub id="Thmtheorem27.p1.4.m4.1.1.1.1.1.1" xref="Thmtheorem27.p1.4.m4.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="Thmtheorem27.p1.4.m4.1.1.1.1.1.1.2" xref="Thmtheorem27.p1.4.m4.1.1.1.1.1.1.2.cmml">σ</mi><mn id="Thmtheorem27.p1.4.m4.1.1.1.1.1.1.3" xref="Thmtheorem27.p1.4.m4.1.1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="Thmtheorem27.p1.4.m4.1.1.1.1.2.3" xref="Thmtheorem27.p1.4.m4.1.1.1.1.3.cmml">,</mo><mrow id="Thmtheorem27.p1.4.m4.1.1.1.1.2.2" xref="Thmtheorem27.p1.4.m4.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="Thmtheorem27.p1.4.m4.1.1.1.1.2.2.2" mathvariant="normal" xref="Thmtheorem27.p1.4.m4.1.1.1.1.2.2.2.cmml">…</mi><mo id="Thmtheorem27.p1.4.m4.1.1.1.1.2.2.1" xref="Thmtheorem27.p1.4.m4.1.1.1.1.2.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="Thmtheorem27.p1.4.m4.1.1.1.1.2.2.3" xref="Thmtheorem27.p1.4.m4.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="Thmtheorem27.p1.4.m4.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="Thmtheorem27.p1.4.m4.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml">σ</mi><mi id="Thmtheorem27.p1.4.m4.1.1.1.1.2.2.3.3" xref="Thmtheorem27.p1.4.m4.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml">N</mi></msub></mrow></mrow><mo id="Thmtheorem27.p1.4.m4.1.1.3.2" stretchy="false" xref="Thmtheorem27.p1.4.m4.1.1.2.1.cmml">⟩</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem27.p1.4.m4.1b"><apply id="Thmtheorem27.p1.4.m4.1.1.2.cmml" xref="Thmtheorem27.p1.4.m4.1.1.3"><csymbol cd="latexml" id="Thmtheorem27.p1.4.m4.1.1.2.1.cmml" xref="Thmtheorem27.p1.4.m4.1.1.3.1">ket</csymbol><list id="Thmtheorem27.p1.4.m4.1.1.1.1.3.cmml" xref="Thmtheorem27.p1.4.m4.1.1.1.1.2"><apply id="Thmtheorem27.p1.4.m4.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem27.p1.4.m4.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem27.p1.4.m4.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem27.p1.4.m4.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="Thmtheorem27.p1.4.m4.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="Thmtheorem27.p1.4.m4.1.1.1.1.1.1.2">𝜎</ci><cn id="Thmtheorem27.p1.4.m4.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="Thmtheorem27.p1.4.m4.1.1.1.1.1.1.3">1</cn></apply><apply id="Thmtheorem27.p1.4.m4.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="Thmtheorem27.p1.4.m4.1.1.1.1.2.2"><times id="Thmtheorem27.p1.4.m4.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="Thmtheorem27.p1.4.m4.1.1.1.1.2.2.1"></times><ci id="Thmtheorem27.p1.4.m4.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="Thmtheorem27.p1.4.m4.1.1.1.1.2.2.2">…</ci><apply id="Thmtheorem27.p1.4.m4.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="Thmtheorem27.p1.4.m4.1.1.1.1.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem27.p1.4.m4.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="Thmtheorem27.p1.4.m4.1.1.1.1.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="Thmtheorem27.p1.4.m4.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="Thmtheorem27.p1.4.m4.1.1.1.1.2.2.3.2">𝜎</ci><ci id="Thmtheorem27.p1.4.m4.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml" xref="Thmtheorem27.p1.4.m4.1.1.1.1.2.2.3.3">𝑁</ci></apply></apply></list></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem27.p1.4.m4.1c">\ket{\sigma_{1},...\sigma_{N}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem27.p1.4.m4.1d">| start_ARG italic_σ start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , … italic_σ start_POSTSUBSCRIPT italic_N end_POSTSUBSCRIPT end_ARG ⟩</annotation></semantics></math> is a <span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmtheorem27.p1.9.2">complete derangement state</span> if and only if the permutations <math alttext="\sigma_{1}^{-1}\circ\sigma_{2},\sigma_{1}^{-1}\circ\sigma_{3},...\sigma_{1}^{-% 1}\circ\sigma_{N}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem27.p1.5.m5.3"><semantics id="Thmtheorem27.p1.5.m5.3a"><mrow id="Thmtheorem27.p1.5.m5.3.3.3" xref="Thmtheorem27.p1.5.m5.3.3.4.cmml"><mrow id="Thmtheorem27.p1.5.m5.1.1.1.1" xref="Thmtheorem27.p1.5.m5.1.1.1.1.cmml"><msubsup id="Thmtheorem27.p1.5.m5.1.1.1.1.2" xref="Thmtheorem27.p1.5.m5.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="Thmtheorem27.p1.5.m5.1.1.1.1.2.2.2" xref="Thmtheorem27.p1.5.m5.1.1.1.1.2.2.2.cmml">σ</mi><mn id="Thmtheorem27.p1.5.m5.1.1.1.1.2.2.3" xref="Thmtheorem27.p1.5.m5.1.1.1.1.2.2.3.cmml">1</mn><mrow id="Thmtheorem27.p1.5.m5.1.1.1.1.2.3" xref="Thmtheorem27.p1.5.m5.1.1.1.1.2.3.cmml"><mo id="Thmtheorem27.p1.5.m5.1.1.1.1.2.3a" xref="Thmtheorem27.p1.5.m5.1.1.1.1.2.3.cmml">−</mo><mn id="Thmtheorem27.p1.5.m5.1.1.1.1.2.3.2" xref="Thmtheorem27.p1.5.m5.1.1.1.1.2.3.2.cmml">1</mn></mrow></msubsup><mo id="Thmtheorem27.p1.5.m5.1.1.1.1.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="Thmtheorem27.p1.5.m5.1.1.1.1.1.cmml">∘</mo><msub id="Thmtheorem27.p1.5.m5.1.1.1.1.3" xref="Thmtheorem27.p1.5.m5.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="Thmtheorem27.p1.5.m5.1.1.1.1.3.2" xref="Thmtheorem27.p1.5.m5.1.1.1.1.3.2.cmml">σ</mi><mn id="Thmtheorem27.p1.5.m5.1.1.1.1.3.3" xref="Thmtheorem27.p1.5.m5.1.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></msub></mrow><mo id="Thmtheorem27.p1.5.m5.3.3.3.4" xref="Thmtheorem27.p1.5.m5.3.3.4.cmml">,</mo><mrow id="Thmtheorem27.p1.5.m5.2.2.2.2" xref="Thmtheorem27.p1.5.m5.2.2.2.2.cmml"><msubsup id="Thmtheorem27.p1.5.m5.2.2.2.2.2" xref="Thmtheorem27.p1.5.m5.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="Thmtheorem27.p1.5.m5.2.2.2.2.2.2.2" xref="Thmtheorem27.p1.5.m5.2.2.2.2.2.2.2.cmml">σ</mi><mn id="Thmtheorem27.p1.5.m5.2.2.2.2.2.2.3" xref="Thmtheorem27.p1.5.m5.2.2.2.2.2.2.3.cmml">1</mn><mrow id="Thmtheorem27.p1.5.m5.2.2.2.2.2.3" xref="Thmtheorem27.p1.5.m5.2.2.2.2.2.3.cmml"><mo id="Thmtheorem27.p1.5.m5.2.2.2.2.2.3a" xref="Thmtheorem27.p1.5.m5.2.2.2.2.2.3.cmml">−</mo><mn id="Thmtheorem27.p1.5.m5.2.2.2.2.2.3.2" xref="Thmtheorem27.p1.5.m5.2.2.2.2.2.3.2.cmml">1</mn></mrow></msubsup><mo id="Thmtheorem27.p1.5.m5.2.2.2.2.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="Thmtheorem27.p1.5.m5.2.2.2.2.1.cmml">∘</mo><msub id="Thmtheorem27.p1.5.m5.2.2.2.2.3" xref="Thmtheorem27.p1.5.m5.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="Thmtheorem27.p1.5.m5.2.2.2.2.3.2" xref="Thmtheorem27.p1.5.m5.2.2.2.2.3.2.cmml">σ</mi><mn id="Thmtheorem27.p1.5.m5.2.2.2.2.3.3" xref="Thmtheorem27.p1.5.m5.2.2.2.2.3.3.cmml">3</mn></msub></mrow><mo id="Thmtheorem27.p1.5.m5.3.3.3.5" xref="Thmtheorem27.p1.5.m5.3.3.4.cmml">,</mo><mrow id="Thmtheorem27.p1.5.m5.3.3.3.3" xref="Thmtheorem27.p1.5.m5.3.3.3.3.cmml"><mrow id="Thmtheorem27.p1.5.m5.3.3.3.3.2" xref="Thmtheorem27.p1.5.m5.3.3.3.3.2.cmml"><mi id="Thmtheorem27.p1.5.m5.3.3.3.3.2.2" mathvariant="normal" xref="Thmtheorem27.p1.5.m5.3.3.3.3.2.2.cmml">…</mi><mo id="Thmtheorem27.p1.5.m5.3.3.3.3.2.1" xref="Thmtheorem27.p1.5.m5.3.3.3.3.2.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="Thmtheorem27.p1.5.m5.3.3.3.3.2.3" xref="Thmtheorem27.p1.5.m5.3.3.3.3.2.3.cmml"><mi id="Thmtheorem27.p1.5.m5.3.3.3.3.2.3.2.2" xref="Thmtheorem27.p1.5.m5.3.3.3.3.2.3.2.2.cmml">σ</mi><mn id="Thmtheorem27.p1.5.m5.3.3.3.3.2.3.2.3" xref="Thmtheorem27.p1.5.m5.3.3.3.3.2.3.2.3.cmml">1</mn><mrow id="Thmtheorem27.p1.5.m5.3.3.3.3.2.3.3" xref="Thmtheorem27.p1.5.m5.3.3.3.3.2.3.3.cmml"><mo id="Thmtheorem27.p1.5.m5.3.3.3.3.2.3.3a" xref="Thmtheorem27.p1.5.m5.3.3.3.3.2.3.3.cmml">−</mo><mn id="Thmtheorem27.p1.5.m5.3.3.3.3.2.3.3.2" xref="Thmtheorem27.p1.5.m5.3.3.3.3.2.3.3.2.cmml">1</mn></mrow></msubsup></mrow><mo id="Thmtheorem27.p1.5.m5.3.3.3.3.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="Thmtheorem27.p1.5.m5.3.3.3.3.1.cmml">∘</mo><msub id="Thmtheorem27.p1.5.m5.3.3.3.3.3" xref="Thmtheorem27.p1.5.m5.3.3.3.3.3.cmml"><mi id="Thmtheorem27.p1.5.m5.3.3.3.3.3.2" xref="Thmtheorem27.p1.5.m5.3.3.3.3.3.2.cmml">σ</mi><mi id="Thmtheorem27.p1.5.m5.3.3.3.3.3.3" xref="Thmtheorem27.p1.5.m5.3.3.3.3.3.3.cmml">N</mi></msub></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem27.p1.5.m5.3b"><list id="Thmtheorem27.p1.5.m5.3.3.4.cmml" xref="Thmtheorem27.p1.5.m5.3.3.3"><apply id="Thmtheorem27.p1.5.m5.1.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem27.p1.5.m5.1.1.1.1"><compose id="Thmtheorem27.p1.5.m5.1.1.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem27.p1.5.m5.1.1.1.1.1"></compose><apply id="Thmtheorem27.p1.5.m5.1.1.1.1.2.cmml" xref="Thmtheorem27.p1.5.m5.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem27.p1.5.m5.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="Thmtheorem27.p1.5.m5.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="Thmtheorem27.p1.5.m5.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="Thmtheorem27.p1.5.m5.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem27.p1.5.m5.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="Thmtheorem27.p1.5.m5.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="Thmtheorem27.p1.5.m5.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="Thmtheorem27.p1.5.m5.1.1.1.1.2.2.2">𝜎</ci><cn id="Thmtheorem27.p1.5.m5.1.1.1.1.2.2.3.cmml" type="integer" xref="Thmtheorem27.p1.5.m5.1.1.1.1.2.2.3">1</cn></apply><apply id="Thmtheorem27.p1.5.m5.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="Thmtheorem27.p1.5.m5.1.1.1.1.2.3"><minus id="Thmtheorem27.p1.5.m5.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="Thmtheorem27.p1.5.m5.1.1.1.1.2.3"></minus><cn id="Thmtheorem27.p1.5.m5.1.1.1.1.2.3.2.cmml" type="integer" xref="Thmtheorem27.p1.5.m5.1.1.1.1.2.3.2">1</cn></apply></apply><apply id="Thmtheorem27.p1.5.m5.1.1.1.1.3.cmml" xref="Thmtheorem27.p1.5.m5.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem27.p1.5.m5.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="Thmtheorem27.p1.5.m5.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="Thmtheorem27.p1.5.m5.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="Thmtheorem27.p1.5.m5.1.1.1.1.3.2">𝜎</ci><cn id="Thmtheorem27.p1.5.m5.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="Thmtheorem27.p1.5.m5.1.1.1.1.3.3">2</cn></apply></apply><apply id="Thmtheorem27.p1.5.m5.2.2.2.2.cmml" xref="Thmtheorem27.p1.5.m5.2.2.2.2"><compose id="Thmtheorem27.p1.5.m5.2.2.2.2.1.cmml" xref="Thmtheorem27.p1.5.m5.2.2.2.2.1"></compose><apply id="Thmtheorem27.p1.5.m5.2.2.2.2.2.cmml" xref="Thmtheorem27.p1.5.m5.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem27.p1.5.m5.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="Thmtheorem27.p1.5.m5.2.2.2.2.2">superscript</csymbol><apply id="Thmtheorem27.p1.5.m5.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="Thmtheorem27.p1.5.m5.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem27.p1.5.m5.2.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="Thmtheorem27.p1.5.m5.2.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="Thmtheorem27.p1.5.m5.2.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="Thmtheorem27.p1.5.m5.2.2.2.2.2.2.2">𝜎</ci><cn id="Thmtheorem27.p1.5.m5.2.2.2.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="Thmtheorem27.p1.5.m5.2.2.2.2.2.2.3">1</cn></apply><apply id="Thmtheorem27.p1.5.m5.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="Thmtheorem27.p1.5.m5.2.2.2.2.2.3"><minus id="Thmtheorem27.p1.5.m5.2.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="Thmtheorem27.p1.5.m5.2.2.2.2.2.3"></minus><cn id="Thmtheorem27.p1.5.m5.2.2.2.2.2.3.2.cmml" type="integer" xref="Thmtheorem27.p1.5.m5.2.2.2.2.2.3.2">1</cn></apply></apply><apply id="Thmtheorem27.p1.5.m5.2.2.2.2.3.cmml" xref="Thmtheorem27.p1.5.m5.2.2.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem27.p1.5.m5.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="Thmtheorem27.p1.5.m5.2.2.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="Thmtheorem27.p1.5.m5.2.2.2.2.3.2.cmml" xref="Thmtheorem27.p1.5.m5.2.2.2.2.3.2">𝜎</ci><cn id="Thmtheorem27.p1.5.m5.2.2.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="Thmtheorem27.p1.5.m5.2.2.2.2.3.3">3</cn></apply></apply><apply id="Thmtheorem27.p1.5.m5.3.3.3.3.cmml" xref="Thmtheorem27.p1.5.m5.3.3.3.3"><compose id="Thmtheorem27.p1.5.m5.3.3.3.3.1.cmml" xref="Thmtheorem27.p1.5.m5.3.3.3.3.1"></compose><apply id="Thmtheorem27.p1.5.m5.3.3.3.3.2.cmml" xref="Thmtheorem27.p1.5.m5.3.3.3.3.2"><times id="Thmtheorem27.p1.5.m5.3.3.3.3.2.1.cmml" xref="Thmtheorem27.p1.5.m5.3.3.3.3.2.1"></times><ci id="Thmtheorem27.p1.5.m5.3.3.3.3.2.2.cmml" xref="Thmtheorem27.p1.5.m5.3.3.3.3.2.2">…</ci><apply id="Thmtheorem27.p1.5.m5.3.3.3.3.2.3.cmml" xref="Thmtheorem27.p1.5.m5.3.3.3.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem27.p1.5.m5.3.3.3.3.2.3.1.cmml" xref="Thmtheorem27.p1.5.m5.3.3.3.3.2.3">superscript</csymbol><apply id="Thmtheorem27.p1.5.m5.3.3.3.3.2.3.2.cmml" xref="Thmtheorem27.p1.5.m5.3.3.3.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem27.p1.5.m5.3.3.3.3.2.3.2.1.cmml" xref="Thmtheorem27.p1.5.m5.3.3.3.3.2.3">subscript</csymbol><ci id="Thmtheorem27.p1.5.m5.3.3.3.3.2.3.2.2.cmml" xref="Thmtheorem27.p1.5.m5.3.3.3.3.2.3.2.2">𝜎</ci><cn id="Thmtheorem27.p1.5.m5.3.3.3.3.2.3.2.3.cmml" type="integer" xref="Thmtheorem27.p1.5.m5.3.3.3.3.2.3.2.3">1</cn></apply><apply id="Thmtheorem27.p1.5.m5.3.3.3.3.2.3.3.cmml" xref="Thmtheorem27.p1.5.m5.3.3.3.3.2.3.3"><minus id="Thmtheorem27.p1.5.m5.3.3.3.3.2.3.3.1.cmml" xref="Thmtheorem27.p1.5.m5.3.3.3.3.2.3.3"></minus><cn id="Thmtheorem27.p1.5.m5.3.3.3.3.2.3.3.2.cmml" type="integer" xref="Thmtheorem27.p1.5.m5.3.3.3.3.2.3.3.2">1</cn></apply></apply></apply><apply id="Thmtheorem27.p1.5.m5.3.3.3.3.3.cmml" xref="Thmtheorem27.p1.5.m5.3.3.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem27.p1.5.m5.3.3.3.3.3.1.cmml" xref="Thmtheorem27.p1.5.m5.3.3.3.3.3">subscript</csymbol><ci id="Thmtheorem27.p1.5.m5.3.3.3.3.3.2.cmml" xref="Thmtheorem27.p1.5.m5.3.3.3.3.3.2">𝜎</ci><ci id="Thmtheorem27.p1.5.m5.3.3.3.3.3.3.cmml" xref="Thmtheorem27.p1.5.m5.3.3.3.3.3.3">𝑁</ci></apply></apply></list></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem27.p1.5.m5.3c">\sigma_{1}^{-1}\circ\sigma_{2},\sigma_{1}^{-1}\circ\sigma_{3},...\sigma_{1}^{-% 1}\circ\sigma_{N}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem27.p1.5.m5.3d">italic_σ start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT ∘ italic_σ start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT , italic_σ start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT ∘ italic_σ start_POSTSUBSCRIPT 3 end_POSTSUBSCRIPT , … italic_σ start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT ∘ italic_σ start_POSTSUBSCRIPT italic_N end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> have no common fixed point. Let <math alttext="\mathfrak{D}_{N}^{(t)}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem27.p1.6.m6.1"><semantics id="Thmtheorem27.p1.6.m6.1a"><msubsup id="Thmtheorem27.p1.6.m6.1.2" xref="Thmtheorem27.p1.6.m6.1.2.cmml"><mi id="Thmtheorem27.p1.6.m6.1.2.2.2" xref="Thmtheorem27.p1.6.m6.1.2.2.2.cmml">𝔇</mi><mi id="Thmtheorem27.p1.6.m6.1.2.2.3" xref="Thmtheorem27.p1.6.m6.1.2.2.3.cmml">N</mi><mrow id="Thmtheorem27.p1.6.m6.1.1.1.3" xref="Thmtheorem27.p1.6.m6.1.2.cmml"><mo id="Thmtheorem27.p1.6.m6.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="Thmtheorem27.p1.6.m6.1.2.cmml">(</mo><mi id="Thmtheorem27.p1.6.m6.1.1.1.1" xref="Thmtheorem27.p1.6.m6.1.1.1.1.cmml">t</mi><mo id="Thmtheorem27.p1.6.m6.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="Thmtheorem27.p1.6.m6.1.2.cmml">)</mo></mrow></msubsup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem27.p1.6.m6.1b"><apply id="Thmtheorem27.p1.6.m6.1.2.cmml" xref="Thmtheorem27.p1.6.m6.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem27.p1.6.m6.1.2.1.cmml" xref="Thmtheorem27.p1.6.m6.1.2">superscript</csymbol><apply id="Thmtheorem27.p1.6.m6.1.2.2.cmml" xref="Thmtheorem27.p1.6.m6.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem27.p1.6.m6.1.2.2.1.cmml" xref="Thmtheorem27.p1.6.m6.1.2">subscript</csymbol><ci id="Thmtheorem27.p1.6.m6.1.2.2.2.cmml" xref="Thmtheorem27.p1.6.m6.1.2.2.2">𝔇</ci><ci id="Thmtheorem27.p1.6.m6.1.2.2.3.cmml" xref="Thmtheorem27.p1.6.m6.1.2.2.3">𝑁</ci></apply><ci id="Thmtheorem27.p1.6.m6.1.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem27.p1.6.m6.1.1.1.1">𝑡</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem27.p1.6.m6.1c">\mathfrak{D}_{N}^{(t)}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem27.p1.6.m6.1d">fraktur_D start_POSTSUBSCRIPT italic_N end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_t ) end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> denote the set of complete derangement states on <math alttext="t" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem27.p1.7.m7.1"><semantics id="Thmtheorem27.p1.7.m7.1a"><mi id="Thmtheorem27.p1.7.m7.1.1" xref="Thmtheorem27.p1.7.m7.1.1.cmml">t</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem27.p1.7.m7.1b"><ci id="Thmtheorem27.p1.7.m7.1.1.cmml" xref="Thmtheorem27.p1.7.m7.1.1">𝑡</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem27.p1.7.m7.1c">t</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem27.p1.7.m7.1d">italic_t</annotation></semantics></math> copies of <math alttext="N" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem27.p1.8.m8.1"><semantics id="Thmtheorem27.p1.8.m8.1a"><mi id="Thmtheorem27.p1.8.m8.1.1" xref="Thmtheorem27.p1.8.m8.1.1.cmml">N</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem27.p1.8.m8.1b"><ci id="Thmtheorem27.p1.8.m8.1.1.cmml" xref="Thmtheorem27.p1.8.m8.1.1">𝑁</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem27.p1.8.m8.1c">N</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem27.p1.8.m8.1d">italic_N</annotation></semantics></math> sites. We will usually suppress the <math alttext="t" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem27.p1.9.m9.1"><semantics id="Thmtheorem27.p1.9.m9.1a"><mi id="Thmtheorem27.p1.9.m9.1.1" xref="Thmtheorem27.p1.9.m9.1.1.cmml">t</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem27.p1.9.m9.1b"><ci id="Thmtheorem27.p1.9.m9.1.1.cmml" xref="Thmtheorem27.p1.9.m9.1.1">𝑡</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem27.p1.9.m9.1c">t</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem27.p1.9.m9.1d">italic_t</annotation></semantics></math>.</p> </div> </div> <div class="ltx_para" id="S4.SS1.p1"> <p class="ltx_p" id="S4.SS1.p1.4">In the two-site case, things become a bit simpler. A state <math alttext="\ket{\sigma,\tau}\in\mathfrak{D}_{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p1.1.m1.1"><semantics id="S4.SS1.p1.1.m1.1a"><mrow id="S4.SS1.p1.1.m1.1.2" xref="S4.SS1.p1.1.m1.1.2.cmml"><mrow id="S4.SS1.p1.1.m1.1.1.3" xref="S4.SS1.p1.1.m1.1.1.2.cmml"><mo id="S4.SS1.p1.1.m1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S4.SS1.p1.1.m1.1.1.2.1.cmml">|</mo><mrow id="S4.SS1.p1.1.m1.1.1.1.1.4" xref="S4.SS1.p1.1.m1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.SS1.p1.1.m1.1.1.1.1.1" xref="S4.SS1.p1.1.m1.1.1.1.1.1.cmml">σ</mi><mo id="S4.SS1.p1.1.m1.1.1.1.1.4.1" xref="S4.SS1.p1.1.m1.1.1.1.1.3.cmml">,</mo><mi id="S4.SS1.p1.1.m1.1.1.1.1.2" xref="S4.SS1.p1.1.m1.1.1.1.1.2.cmml">τ</mi></mrow><mo id="S4.SS1.p1.1.m1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S4.SS1.p1.1.m1.1.1.2.1.cmml">⟩</mo></mrow><mo id="S4.SS1.p1.1.m1.1.2.1" xref="S4.SS1.p1.1.m1.1.2.1.cmml">∈</mo><msub id="S4.SS1.p1.1.m1.1.2.2" xref="S4.SS1.p1.1.m1.1.2.2.cmml"><mi id="S4.SS1.p1.1.m1.1.2.2.2" xref="S4.SS1.p1.1.m1.1.2.2.2.cmml">𝔇</mi><mn id="S4.SS1.p1.1.m1.1.2.2.3" xref="S4.SS1.p1.1.m1.1.2.2.3.cmml">2</mn></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p1.1.m1.1b"><apply id="S4.SS1.p1.1.m1.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p1.1.m1.1.2"><in id="S4.SS1.p1.1.m1.1.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p1.1.m1.1.2.1"></in><apply id="S4.SS1.p1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p1.1.m1.1.1.3"><csymbol cd="latexml" id="S4.SS1.p1.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p1.1.m1.1.1.3.1">ket</csymbol><list id="S4.SS1.p1.1.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.SS1.p1.1.m1.1.1.1.1.4"><ci id="S4.SS1.p1.1.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p1.1.m1.1.1.1.1.1">𝜎</ci><ci id="S4.SS1.p1.1.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p1.1.m1.1.1.1.1.2">𝜏</ci></list></apply><apply id="S4.SS1.p1.1.m1.1.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p1.1.m1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p1.1.m1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p1.1.m1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S4.SS1.p1.1.m1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p1.1.m1.1.2.2.2">𝔇</ci><cn id="S4.SS1.p1.1.m1.1.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS1.p1.1.m1.1.2.2.3">2</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p1.1.m1.1c">\ket{\sigma,\tau}\in\mathfrak{D}_{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p1.1.m1.1d">| start_ARG italic_σ , italic_τ end_ARG ⟩ ∈ fraktur_D start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> if and only if <math alttext="\sigma^{-1}\circ\tau" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p1.2.m2.1"><semantics id="S4.SS1.p1.2.m2.1a"><mrow id="S4.SS1.p1.2.m2.1.1" xref="S4.SS1.p1.2.m2.1.1.cmml"><msup id="S4.SS1.p1.2.m2.1.1.2" xref="S4.SS1.p1.2.m2.1.1.2.cmml"><mi id="S4.SS1.p1.2.m2.1.1.2.2" xref="S4.SS1.p1.2.m2.1.1.2.2.cmml">σ</mi><mrow id="S4.SS1.p1.2.m2.1.1.2.3" xref="S4.SS1.p1.2.m2.1.1.2.3.cmml"><mo id="S4.SS1.p1.2.m2.1.1.2.3a" xref="S4.SS1.p1.2.m2.1.1.2.3.cmml">−</mo><mn id="S4.SS1.p1.2.m2.1.1.2.3.2" xref="S4.SS1.p1.2.m2.1.1.2.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="S4.SS1.p1.2.m2.1.1.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S4.SS1.p1.2.m2.1.1.1.cmml">∘</mo><mi id="S4.SS1.p1.2.m2.1.1.3" xref="S4.SS1.p1.2.m2.1.1.3.cmml">τ</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p1.2.m2.1b"><apply id="S4.SS1.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p1.2.m2.1.1"><compose id="S4.SS1.p1.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p1.2.m2.1.1.1"></compose><apply id="S4.SS1.p1.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p1.2.m2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p1.2.m2.1.1.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p1.2.m2.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S4.SS1.p1.2.m2.1.1.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p1.2.m2.1.1.2.2">𝜎</ci><apply id="S4.SS1.p1.2.m2.1.1.2.3.cmml" xref="S4.SS1.p1.2.m2.1.1.2.3"><minus id="S4.SS1.p1.2.m2.1.1.2.3.1.cmml" xref="S4.SS1.p1.2.m2.1.1.2.3"></minus><cn id="S4.SS1.p1.2.m2.1.1.2.3.2.cmml" type="integer" xref="S4.SS1.p1.2.m2.1.1.2.3.2">1</cn></apply></apply><ci id="S4.SS1.p1.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S4.SS1.p1.2.m2.1.1.3">𝜏</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p1.2.m2.1c">\sigma^{-1}\circ\tau</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p1.2.m2.1d">italic_σ start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT ∘ italic_τ</annotation></semantics></math> is a derangement. Let <math alttext="S_{t}^{(\mathfrak{D})}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p1.3.m3.1"><semantics id="S4.SS1.p1.3.m3.1a"><msubsup id="S4.SS1.p1.3.m3.1.2" xref="S4.SS1.p1.3.m3.1.2.cmml"><mi id="S4.SS1.p1.3.m3.1.2.2.2" xref="S4.SS1.p1.3.m3.1.2.2.2.cmml">S</mi><mi id="S4.SS1.p1.3.m3.1.2.2.3" xref="S4.SS1.p1.3.m3.1.2.2.3.cmml">t</mi><mrow id="S4.SS1.p1.3.m3.1.1.1.3" xref="S4.SS1.p1.3.m3.1.2.cmml"><mo id="S4.SS1.p1.3.m3.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S4.SS1.p1.3.m3.1.2.cmml">(</mo><mi id="S4.SS1.p1.3.m3.1.1.1.1" xref="S4.SS1.p1.3.m3.1.1.1.1.cmml">𝔇</mi><mo id="S4.SS1.p1.3.m3.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S4.SS1.p1.3.m3.1.2.cmml">)</mo></mrow></msubsup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p1.3.m3.1b"><apply id="S4.SS1.p1.3.m3.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p1.3.m3.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p1.3.m3.1.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p1.3.m3.1.2">superscript</csymbol><apply id="S4.SS1.p1.3.m3.1.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p1.3.m3.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p1.3.m3.1.2.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p1.3.m3.1.2">subscript</csymbol><ci id="S4.SS1.p1.3.m3.1.2.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p1.3.m3.1.2.2.2">𝑆</ci><ci id="S4.SS1.p1.3.m3.1.2.2.3.cmml" xref="S4.SS1.p1.3.m3.1.2.2.3">𝑡</ci></apply><ci id="S4.SS1.p1.3.m3.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p1.3.m3.1.1.1.1">𝔇</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p1.3.m3.1c">S_{t}^{(\mathfrak{D})}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p1.3.m3.1d">italic_S start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( fraktur_D ) end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> refer to the set of derangements of order <math alttext="t" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p1.4.m4.1"><semantics id="S4.SS1.p1.4.m4.1a"><mi id="S4.SS1.p1.4.m4.1.1" xref="S4.SS1.p1.4.m4.1.1.cmml">t</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p1.4.m4.1b"><ci id="S4.SS1.p1.4.m4.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p1.4.m4.1.1">𝑡</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p1.4.m4.1c">t</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p1.4.m4.1d">italic_t</annotation></semantics></math>.</p> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_lemma" id="Thmtheorem28"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmtheorem28.1.1.1">Lemma 28</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmtheorem28.2.2">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="Thmtheorem28.p1"> <p class="ltx_p" id="Thmtheorem28.p1.3"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmtheorem28.p1.3.3">Suppose <math alttext="t\leq q" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem28.p1.1.1.m1.1"><semantics id="Thmtheorem28.p1.1.1.m1.1a"><mrow id="Thmtheorem28.p1.1.1.m1.1.1" xref="Thmtheorem28.p1.1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="Thmtheorem28.p1.1.1.m1.1.1.2" xref="Thmtheorem28.p1.1.1.m1.1.1.2.cmml">t</mi><mo id="Thmtheorem28.p1.1.1.m1.1.1.1" xref="Thmtheorem28.p1.1.1.m1.1.1.1.cmml">≤</mo><mi id="Thmtheorem28.p1.1.1.m1.1.1.3" xref="Thmtheorem28.p1.1.1.m1.1.1.3.cmml">q</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem28.p1.1.1.m1.1b"><apply id="Thmtheorem28.p1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem28.p1.1.1.m1.1.1"><leq id="Thmtheorem28.p1.1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem28.p1.1.1.m1.1.1.1"></leq><ci id="Thmtheorem28.p1.1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="Thmtheorem28.p1.1.1.m1.1.1.2">𝑡</ci><ci id="Thmtheorem28.p1.1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="Thmtheorem28.p1.1.1.m1.1.1.3">𝑞</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem28.p1.1.1.m1.1c">t\leq q</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem28.p1.1.1.m1.1d">italic_t ≤ italic_q</annotation></semantics></math>. Then <math alttext="\operatorname{span}\left({\mathfrak{D}_{N}^{(t)}}\right)" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem28.p1.2.2.m2.3"><semantics id="Thmtheorem28.p1.2.2.m2.3a"><mrow id="Thmtheorem28.p1.2.2.m2.3.3.1" xref="Thmtheorem28.p1.2.2.m2.3.3.2.cmml"><mi id="Thmtheorem28.p1.2.2.m2.2.2" xref="Thmtheorem28.p1.2.2.m2.2.2.cmml">span</mi><mo id="Thmtheorem28.p1.2.2.m2.3.3.1a" xref="Thmtheorem28.p1.2.2.m2.3.3.2.cmml">⁡</mo><mrow id="Thmtheorem28.p1.2.2.m2.3.3.1.1" xref="Thmtheorem28.p1.2.2.m2.3.3.2.cmml"><mo id="Thmtheorem28.p1.2.2.m2.3.3.1.1.2" xref="Thmtheorem28.p1.2.2.m2.3.3.2.cmml">(</mo><msubsup id="Thmtheorem28.p1.2.2.m2.3.3.1.1.1" xref="Thmtheorem28.p1.2.2.m2.3.3.1.1.1.cmml"><mi id="Thmtheorem28.p1.2.2.m2.3.3.1.1.1.2.2" xref="Thmtheorem28.p1.2.2.m2.3.3.1.1.1.2.2.cmml">𝔇</mi><mi id="Thmtheorem28.p1.2.2.m2.3.3.1.1.1.2.3" xref="Thmtheorem28.p1.2.2.m2.3.3.1.1.1.2.3.cmml">N</mi><mrow id="Thmtheorem28.p1.2.2.m2.1.1.1.3" xref="Thmtheorem28.p1.2.2.m2.3.3.1.1.1.cmml"><mo id="Thmtheorem28.p1.2.2.m2.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="Thmtheorem28.p1.2.2.m2.3.3.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="Thmtheorem28.p1.2.2.m2.1.1.1.1" xref="Thmtheorem28.p1.2.2.m2.1.1.1.1.cmml">t</mi><mo id="Thmtheorem28.p1.2.2.m2.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="Thmtheorem28.p1.2.2.m2.3.3.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></msubsup><mo id="Thmtheorem28.p1.2.2.m2.3.3.1.1.3" xref="Thmtheorem28.p1.2.2.m2.3.3.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem28.p1.2.2.m2.3b"><apply id="Thmtheorem28.p1.2.2.m2.3.3.2.cmml" xref="Thmtheorem28.p1.2.2.m2.3.3.1"><ci id="Thmtheorem28.p1.2.2.m2.2.2.cmml" xref="Thmtheorem28.p1.2.2.m2.2.2">span</ci><apply id="Thmtheorem28.p1.2.2.m2.3.3.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem28.p1.2.2.m2.3.3.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem28.p1.2.2.m2.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem28.p1.2.2.m2.3.3.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="Thmtheorem28.p1.2.2.m2.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="Thmtheorem28.p1.2.2.m2.3.3.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem28.p1.2.2.m2.3.3.1.1.1.2.1.cmml" xref="Thmtheorem28.p1.2.2.m2.3.3.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="Thmtheorem28.p1.2.2.m2.3.3.1.1.1.2.2.cmml" xref="Thmtheorem28.p1.2.2.m2.3.3.1.1.1.2.2">𝔇</ci><ci id="Thmtheorem28.p1.2.2.m2.3.3.1.1.1.2.3.cmml" xref="Thmtheorem28.p1.2.2.m2.3.3.1.1.1.2.3">𝑁</ci></apply><ci id="Thmtheorem28.p1.2.2.m2.1.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem28.p1.2.2.m2.1.1.1.1">𝑡</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem28.p1.2.2.m2.3c">\operatorname{span}\left({\mathfrak{D}_{N}^{(t)}}\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem28.p1.2.2.m2.3d">roman_span ( fraktur_D start_POSTSUBSCRIPT italic_N end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_t ) end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math> is a complement of <math alttext="\operatorname{span}\left(S_{t}^{2}\circ S_{t-1}^{\times N}\right)" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem28.p1.3.3.m3.2"><semantics id="Thmtheorem28.p1.3.3.m3.2a"><mrow id="Thmtheorem28.p1.3.3.m3.2.2.1" xref="Thmtheorem28.p1.3.3.m3.2.2.2.cmml"><mi id="Thmtheorem28.p1.3.3.m3.1.1" xref="Thmtheorem28.p1.3.3.m3.1.1.cmml">span</mi><mo id="Thmtheorem28.p1.3.3.m3.2.2.1a" xref="Thmtheorem28.p1.3.3.m3.2.2.2.cmml">⁡</mo><mrow id="Thmtheorem28.p1.3.3.m3.2.2.1.1" xref="Thmtheorem28.p1.3.3.m3.2.2.2.cmml"><mo id="Thmtheorem28.p1.3.3.m3.2.2.1.1.2" xref="Thmtheorem28.p1.3.3.m3.2.2.2.cmml">(</mo><mrow id="Thmtheorem28.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1" xref="Thmtheorem28.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.cmml"><msubsup id="Thmtheorem28.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.2" xref="Thmtheorem28.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.2.cmml"><mi id="Thmtheorem28.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.2.2.2" xref="Thmtheorem28.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.2.2.2.cmml">S</mi><mi id="Thmtheorem28.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.2.2.3" xref="Thmtheorem28.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.2.2.3.cmml">t</mi><mn id="Thmtheorem28.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.2.3" xref="Thmtheorem28.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.2.3.cmml">2</mn></msubsup><mo id="Thmtheorem28.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="Thmtheorem28.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.1.cmml">∘</mo><msubsup id="Thmtheorem28.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.3" xref="Thmtheorem28.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.3.cmml"><mi id="Thmtheorem28.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.3.2.2" xref="Thmtheorem28.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.3.2.2.cmml">S</mi><mrow id="Thmtheorem28.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.3.2.3" xref="Thmtheorem28.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="Thmtheorem28.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.3.2.3.2" xref="Thmtheorem28.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.3.2.3.2.cmml">t</mi><mo id="Thmtheorem28.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.3.2.3.1" xref="Thmtheorem28.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.3.2.3.1.cmml">−</mo><mn id="Thmtheorem28.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.3.2.3.3" xref="Thmtheorem28.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.3.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mrow id="Thmtheorem28.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.3.3" xref="Thmtheorem28.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="Thmtheorem28.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.3.3.2" xref="Thmtheorem28.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.3.3.2.cmml"></mi><mo id="Thmtheorem28.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.3.3.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="Thmtheorem28.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.3.3.1.cmml">×</mo><mi id="Thmtheorem28.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.3.3.3" xref="Thmtheorem28.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.3.3.3.cmml">N</mi></mrow></msubsup></mrow><mo id="Thmtheorem28.p1.3.3.m3.2.2.1.1.3" xref="Thmtheorem28.p1.3.3.m3.2.2.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem28.p1.3.3.m3.2b"><apply id="Thmtheorem28.p1.3.3.m3.2.2.2.cmml" xref="Thmtheorem28.p1.3.3.m3.2.2.1"><ci id="Thmtheorem28.p1.3.3.m3.1.1.cmml" xref="Thmtheorem28.p1.3.3.m3.1.1">span</ci><apply id="Thmtheorem28.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem28.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1"><compose id="Thmtheorem28.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem28.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.1"></compose><apply id="Thmtheorem28.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="Thmtheorem28.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem28.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="Thmtheorem28.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="Thmtheorem28.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.2.2.cmml" xref="Thmtheorem28.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem28.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="Thmtheorem28.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="Thmtheorem28.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="Thmtheorem28.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.2.2.2">𝑆</ci><ci id="Thmtheorem28.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="Thmtheorem28.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.2.2.3">𝑡</ci></apply><cn id="Thmtheorem28.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="Thmtheorem28.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.2.3">2</cn></apply><apply id="Thmtheorem28.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="Thmtheorem28.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem28.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="Thmtheorem28.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="Thmtheorem28.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.3.2.cmml" xref="Thmtheorem28.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem28.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="Thmtheorem28.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="Thmtheorem28.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="Thmtheorem28.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.3.2.2">𝑆</ci><apply id="Thmtheorem28.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="Thmtheorem28.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.3.2.3"><minus id="Thmtheorem28.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="Thmtheorem28.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.3.2.3.1"></minus><ci id="Thmtheorem28.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="Thmtheorem28.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.3.2.3.2">𝑡</ci><cn id="Thmtheorem28.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.3.2.3.3.cmml" type="integer" xref="Thmtheorem28.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.3.2.3.3">1</cn></apply></apply><apply id="Thmtheorem28.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.3.3.cmml" xref="Thmtheorem28.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.3.3"><times id="Thmtheorem28.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="Thmtheorem28.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.3.3.1"></times><csymbol cd="latexml" id="Thmtheorem28.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="Thmtheorem28.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.3.3.2">absent</csymbol><ci id="Thmtheorem28.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="Thmtheorem28.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.3.3.3">𝑁</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem28.p1.3.3.m3.2c">\operatorname{span}\left(S_{t}^{2}\circ S_{t-1}^{\times N}\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem28.p1.3.3.m3.2d">roman_span ( italic_S start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ∘ italic_S start_POSTSUBSCRIPT italic_t - 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT × italic_N end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math>.</span></p> </div> </div> <div class="ltx_proof" id="S4.SS1.3"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_font_italic ltx_title_proof">Proof.</h6> <div class="ltx_para" id="S4.SS1.1.p1"> <p class="ltx_p" id="S4.SS1.1.p1.6">When <math alttext="t\leq q" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.1.p1.1.m1.1"><semantics id="S4.SS1.1.p1.1.m1.1a"><mrow id="S4.SS1.1.p1.1.m1.1.1" xref="S4.SS1.1.p1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S4.SS1.1.p1.1.m1.1.1.2" xref="S4.SS1.1.p1.1.m1.1.1.2.cmml">t</mi><mo id="S4.SS1.1.p1.1.m1.1.1.1" xref="S4.SS1.1.p1.1.m1.1.1.1.cmml">≤</mo><mi id="S4.SS1.1.p1.1.m1.1.1.3" xref="S4.SS1.1.p1.1.m1.1.1.3.cmml">q</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.1.p1.1.m1.1b"><apply id="S4.SS1.1.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.1.p1.1.m1.1.1"><leq id="S4.SS1.1.p1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.1.p1.1.m1.1.1.1"></leq><ci id="S4.SS1.1.p1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS1.1.p1.1.m1.1.1.2">𝑡</ci><ci id="S4.SS1.1.p1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S4.SS1.1.p1.1.m1.1.1.3">𝑞</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.1.p1.1.m1.1c">t\leq q</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.1.p1.1.m1.1d">italic_t ≤ italic_q</annotation></semantics></math>, the basis states are linearly independent. We will prove that every basis state <math alttext="\ket{\sigma_{1},...\sigma_{N}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.1.p1.2.m2.1"><semantics id="S4.SS1.1.p1.2.m2.1a"><mrow id="S4.SS1.1.p1.2.m2.1.1.3" xref="S4.SS1.1.p1.2.m2.1.1.2.cmml"><mo id="S4.SS1.1.p1.2.m2.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S4.SS1.1.p1.2.m2.1.1.2.1.cmml">|</mo><mrow id="S4.SS1.1.p1.2.m2.1.1.1.1.2" xref="S4.SS1.1.p1.2.m2.1.1.1.1.3.cmml"><msub id="S4.SS1.1.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1" xref="S4.SS1.1.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.SS1.1.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.SS1.1.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.2.cmml">σ</mi><mn id="S4.SS1.1.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.SS1.1.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S4.SS1.1.p1.2.m2.1.1.1.1.2.3" xref="S4.SS1.1.p1.2.m2.1.1.1.1.3.cmml">,</mo><mrow id="S4.SS1.1.p1.2.m2.1.1.1.1.2.2" xref="S4.SS1.1.p1.2.m2.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S4.SS1.1.p1.2.m2.1.1.1.1.2.2.2" mathvariant="normal" xref="S4.SS1.1.p1.2.m2.1.1.1.1.2.2.2.cmml">…</mi><mo id="S4.SS1.1.p1.2.m2.1.1.1.1.2.2.1" xref="S4.SS1.1.p1.2.m2.1.1.1.1.2.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S4.SS1.1.p1.2.m2.1.1.1.1.2.2.3" xref="S4.SS1.1.p1.2.m2.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="S4.SS1.1.p1.2.m2.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="S4.SS1.1.p1.2.m2.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml">σ</mi><mi id="S4.SS1.1.p1.2.m2.1.1.1.1.2.2.3.3" xref="S4.SS1.1.p1.2.m2.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml">N</mi></msub></mrow></mrow><mo id="S4.SS1.1.p1.2.m2.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S4.SS1.1.p1.2.m2.1.1.2.1.cmml">⟩</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.1.p1.2.m2.1b"><apply id="S4.SS1.1.p1.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S4.SS1.1.p1.2.m2.1.1.3"><csymbol cd="latexml" id="S4.SS1.1.p1.2.m2.1.1.2.1.cmml" xref="S4.SS1.1.p1.2.m2.1.1.3.1">ket</csymbol><list id="S4.SS1.1.p1.2.m2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.SS1.1.p1.2.m2.1.1.1.1.2"><apply id="S4.SS1.1.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.1.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.1.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.1.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.SS1.1.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS1.1.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.2">𝜎</ci><cn id="S4.SS1.1.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS1.1.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.3">1</cn></apply><apply id="S4.SS1.1.p1.2.m2.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.SS1.1.p1.2.m2.1.1.1.1.2.2"><times id="S4.SS1.1.p1.2.m2.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.SS1.1.p1.2.m2.1.1.1.1.2.2.1"></times><ci id="S4.SS1.1.p1.2.m2.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.SS1.1.p1.2.m2.1.1.1.1.2.2.2">…</ci><apply id="S4.SS1.1.p1.2.m2.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.SS1.1.p1.2.m2.1.1.1.1.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.1.p1.2.m2.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S4.SS1.1.p1.2.m2.1.1.1.1.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S4.SS1.1.p1.2.m2.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S4.SS1.1.p1.2.m2.1.1.1.1.2.2.3.2">𝜎</ci><ci id="S4.SS1.1.p1.2.m2.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml" xref="S4.SS1.1.p1.2.m2.1.1.1.1.2.2.3.3">𝑁</ci></apply></apply></list></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.1.p1.2.m2.1c">\ket{\sigma_{1},...\sigma_{N}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.1.p1.2.m2.1d">| start_ARG italic_σ start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , … italic_σ start_POSTSUBSCRIPT italic_N end_POSTSUBSCRIPT end_ARG ⟩</annotation></semantics></math> is either in <math alttext="\mathfrak{D}_{N}^{(t)}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.1.p1.3.m3.1"><semantics id="S4.SS1.1.p1.3.m3.1a"><msubsup id="S4.SS1.1.p1.3.m3.1.2" xref="S4.SS1.1.p1.3.m3.1.2.cmml"><mi id="S4.SS1.1.p1.3.m3.1.2.2.2" xref="S4.SS1.1.p1.3.m3.1.2.2.2.cmml">𝔇</mi><mi id="S4.SS1.1.p1.3.m3.1.2.2.3" xref="S4.SS1.1.p1.3.m3.1.2.2.3.cmml">N</mi><mrow id="S4.SS1.1.p1.3.m3.1.1.1.3" xref="S4.SS1.1.p1.3.m3.1.2.cmml"><mo id="S4.SS1.1.p1.3.m3.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S4.SS1.1.p1.3.m3.1.2.cmml">(</mo><mi id="S4.SS1.1.p1.3.m3.1.1.1.1" xref="S4.SS1.1.p1.3.m3.1.1.1.1.cmml">t</mi><mo id="S4.SS1.1.p1.3.m3.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S4.SS1.1.p1.3.m3.1.2.cmml">)</mo></mrow></msubsup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.1.p1.3.m3.1b"><apply id="S4.SS1.1.p1.3.m3.1.2.cmml" xref="S4.SS1.1.p1.3.m3.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.1.p1.3.m3.1.2.1.cmml" xref="S4.SS1.1.p1.3.m3.1.2">superscript</csymbol><apply id="S4.SS1.1.p1.3.m3.1.2.2.cmml" xref="S4.SS1.1.p1.3.m3.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.1.p1.3.m3.1.2.2.1.cmml" xref="S4.SS1.1.p1.3.m3.1.2">subscript</csymbol><ci id="S4.SS1.1.p1.3.m3.1.2.2.2.cmml" xref="S4.SS1.1.p1.3.m3.1.2.2.2">𝔇</ci><ci id="S4.SS1.1.p1.3.m3.1.2.2.3.cmml" xref="S4.SS1.1.p1.3.m3.1.2.2.3">𝑁</ci></apply><ci id="S4.SS1.1.p1.3.m3.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.1.p1.3.m3.1.1.1.1">𝑡</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.1.p1.3.m3.1c">\mathfrak{D}_{N}^{(t)}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.1.p1.3.m3.1d">fraktur_D start_POSTSUBSCRIPT italic_N end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_t ) end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> or <math alttext="S_{t}^{2}\circ S_{t-1}^{\times N}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.1.p1.4.m4.1"><semantics id="S4.SS1.1.p1.4.m4.1a"><mrow id="S4.SS1.1.p1.4.m4.1.1" xref="S4.SS1.1.p1.4.m4.1.1.cmml"><msubsup id="S4.SS1.1.p1.4.m4.1.1.2" xref="S4.SS1.1.p1.4.m4.1.1.2.cmml"><mi id="S4.SS1.1.p1.4.m4.1.1.2.2.2" xref="S4.SS1.1.p1.4.m4.1.1.2.2.2.cmml">S</mi><mi id="S4.SS1.1.p1.4.m4.1.1.2.2.3" xref="S4.SS1.1.p1.4.m4.1.1.2.2.3.cmml">t</mi><mn id="S4.SS1.1.p1.4.m4.1.1.2.3" xref="S4.SS1.1.p1.4.m4.1.1.2.3.cmml">2</mn></msubsup><mo id="S4.SS1.1.p1.4.m4.1.1.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S4.SS1.1.p1.4.m4.1.1.1.cmml">∘</mo><msubsup id="S4.SS1.1.p1.4.m4.1.1.3" xref="S4.SS1.1.p1.4.m4.1.1.3.cmml"><mi id="S4.SS1.1.p1.4.m4.1.1.3.2.2" xref="S4.SS1.1.p1.4.m4.1.1.3.2.2.cmml">S</mi><mrow id="S4.SS1.1.p1.4.m4.1.1.3.2.3" xref="S4.SS1.1.p1.4.m4.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="S4.SS1.1.p1.4.m4.1.1.3.2.3.2" xref="S4.SS1.1.p1.4.m4.1.1.3.2.3.2.cmml">t</mi><mo id="S4.SS1.1.p1.4.m4.1.1.3.2.3.1" xref="S4.SS1.1.p1.4.m4.1.1.3.2.3.1.cmml">−</mo><mn id="S4.SS1.1.p1.4.m4.1.1.3.2.3.3" xref="S4.SS1.1.p1.4.m4.1.1.3.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mrow id="S4.SS1.1.p1.4.m4.1.1.3.3" xref="S4.SS1.1.p1.4.m4.1.1.3.3.cmml"><mi id="S4.SS1.1.p1.4.m4.1.1.3.3.2" xref="S4.SS1.1.p1.4.m4.1.1.3.3.2.cmml"></mi><mo id="S4.SS1.1.p1.4.m4.1.1.3.3.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S4.SS1.1.p1.4.m4.1.1.3.3.1.cmml">×</mo><mi id="S4.SS1.1.p1.4.m4.1.1.3.3.3" xref="S4.SS1.1.p1.4.m4.1.1.3.3.3.cmml">N</mi></mrow></msubsup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.1.p1.4.m4.1b"><apply id="S4.SS1.1.p1.4.m4.1.1.cmml" xref="S4.SS1.1.p1.4.m4.1.1"><compose id="S4.SS1.1.p1.4.m4.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.1.p1.4.m4.1.1.1"></compose><apply id="S4.SS1.1.p1.4.m4.1.1.2.cmml" xref="S4.SS1.1.p1.4.m4.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.1.p1.4.m4.1.1.2.1.cmml" xref="S4.SS1.1.p1.4.m4.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="S4.SS1.1.p1.4.m4.1.1.2.2.cmml" xref="S4.SS1.1.p1.4.m4.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.1.p1.4.m4.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.SS1.1.p1.4.m4.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S4.SS1.1.p1.4.m4.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.SS1.1.p1.4.m4.1.1.2.2.2">𝑆</ci><ci id="S4.SS1.1.p1.4.m4.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.SS1.1.p1.4.m4.1.1.2.2.3">𝑡</ci></apply><cn id="S4.SS1.1.p1.4.m4.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS1.1.p1.4.m4.1.1.2.3">2</cn></apply><apply id="S4.SS1.1.p1.4.m4.1.1.3.cmml" xref="S4.SS1.1.p1.4.m4.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.1.p1.4.m4.1.1.3.1.cmml" xref="S4.SS1.1.p1.4.m4.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="S4.SS1.1.p1.4.m4.1.1.3.2.cmml" xref="S4.SS1.1.p1.4.m4.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.1.p1.4.m4.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.SS1.1.p1.4.m4.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.SS1.1.p1.4.m4.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.SS1.1.p1.4.m4.1.1.3.2.2">𝑆</ci><apply id="S4.SS1.1.p1.4.m4.1.1.3.2.3.cmml" xref="S4.SS1.1.p1.4.m4.1.1.3.2.3"><minus id="S4.SS1.1.p1.4.m4.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S4.SS1.1.p1.4.m4.1.1.3.2.3.1"></minus><ci id="S4.SS1.1.p1.4.m4.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S4.SS1.1.p1.4.m4.1.1.3.2.3.2">𝑡</ci><cn id="S4.SS1.1.p1.4.m4.1.1.3.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS1.1.p1.4.m4.1.1.3.2.3.3">1</cn></apply></apply><apply id="S4.SS1.1.p1.4.m4.1.1.3.3.cmml" xref="S4.SS1.1.p1.4.m4.1.1.3.3"><times id="S4.SS1.1.p1.4.m4.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.SS1.1.p1.4.m4.1.1.3.3.1"></times><csymbol cd="latexml" id="S4.SS1.1.p1.4.m4.1.1.3.3.2.cmml" xref="S4.SS1.1.p1.4.m4.1.1.3.3.2">absent</csymbol><ci id="S4.SS1.1.p1.4.m4.1.1.3.3.3.cmml" xref="S4.SS1.1.p1.4.m4.1.1.3.3.3">𝑁</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.1.p1.4.m4.1c">S_{t}^{2}\circ S_{t-1}^{\times N}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.1.p1.4.m4.1d">italic_S start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ∘ italic_S start_POSTSUBSCRIPT italic_t - 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT × italic_N end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>, that is, the complement of <math alttext="\mathfrak{D}_{N}^{(t)}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.1.p1.5.m5.1"><semantics id="S4.SS1.1.p1.5.m5.1a"><msubsup id="S4.SS1.1.p1.5.m5.1.2" xref="S4.SS1.1.p1.5.m5.1.2.cmml"><mi id="S4.SS1.1.p1.5.m5.1.2.2.2" xref="S4.SS1.1.p1.5.m5.1.2.2.2.cmml">𝔇</mi><mi id="S4.SS1.1.p1.5.m5.1.2.2.3" xref="S4.SS1.1.p1.5.m5.1.2.2.3.cmml">N</mi><mrow id="S4.SS1.1.p1.5.m5.1.1.1.3" xref="S4.SS1.1.p1.5.m5.1.2.cmml"><mo id="S4.SS1.1.p1.5.m5.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S4.SS1.1.p1.5.m5.1.2.cmml">(</mo><mi id="S4.SS1.1.p1.5.m5.1.1.1.1" xref="S4.SS1.1.p1.5.m5.1.1.1.1.cmml">t</mi><mo id="S4.SS1.1.p1.5.m5.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S4.SS1.1.p1.5.m5.1.2.cmml">)</mo></mrow></msubsup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.1.p1.5.m5.1b"><apply id="S4.SS1.1.p1.5.m5.1.2.cmml" xref="S4.SS1.1.p1.5.m5.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.1.p1.5.m5.1.2.1.cmml" xref="S4.SS1.1.p1.5.m5.1.2">superscript</csymbol><apply id="S4.SS1.1.p1.5.m5.1.2.2.cmml" xref="S4.SS1.1.p1.5.m5.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.1.p1.5.m5.1.2.2.1.cmml" xref="S4.SS1.1.p1.5.m5.1.2">subscript</csymbol><ci id="S4.SS1.1.p1.5.m5.1.2.2.2.cmml" xref="S4.SS1.1.p1.5.m5.1.2.2.2">𝔇</ci><ci id="S4.SS1.1.p1.5.m5.1.2.2.3.cmml" xref="S4.SS1.1.p1.5.m5.1.2.2.3">𝑁</ci></apply><ci id="S4.SS1.1.p1.5.m5.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.1.p1.5.m5.1.1.1.1">𝑡</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.1.p1.5.m5.1c">\mathfrak{D}_{N}^{(t)}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.1.p1.5.m5.1d">fraktur_D start_POSTSUBSCRIPT italic_N end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_t ) end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> is exactly <math alttext="S_{t}^{2}\circ S_{t-1}^{\times N}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.1.p1.6.m6.1"><semantics id="S4.SS1.1.p1.6.m6.1a"><mrow id="S4.SS1.1.p1.6.m6.1.1" xref="S4.SS1.1.p1.6.m6.1.1.cmml"><msubsup id="S4.SS1.1.p1.6.m6.1.1.2" xref="S4.SS1.1.p1.6.m6.1.1.2.cmml"><mi id="S4.SS1.1.p1.6.m6.1.1.2.2.2" xref="S4.SS1.1.p1.6.m6.1.1.2.2.2.cmml">S</mi><mi id="S4.SS1.1.p1.6.m6.1.1.2.2.3" xref="S4.SS1.1.p1.6.m6.1.1.2.2.3.cmml">t</mi><mn id="S4.SS1.1.p1.6.m6.1.1.2.3" xref="S4.SS1.1.p1.6.m6.1.1.2.3.cmml">2</mn></msubsup><mo id="S4.SS1.1.p1.6.m6.1.1.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S4.SS1.1.p1.6.m6.1.1.1.cmml">∘</mo><msubsup id="S4.SS1.1.p1.6.m6.1.1.3" xref="S4.SS1.1.p1.6.m6.1.1.3.cmml"><mi id="S4.SS1.1.p1.6.m6.1.1.3.2.2" xref="S4.SS1.1.p1.6.m6.1.1.3.2.2.cmml">S</mi><mrow id="S4.SS1.1.p1.6.m6.1.1.3.2.3" xref="S4.SS1.1.p1.6.m6.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="S4.SS1.1.p1.6.m6.1.1.3.2.3.2" xref="S4.SS1.1.p1.6.m6.1.1.3.2.3.2.cmml">t</mi><mo id="S4.SS1.1.p1.6.m6.1.1.3.2.3.1" xref="S4.SS1.1.p1.6.m6.1.1.3.2.3.1.cmml">−</mo><mn id="S4.SS1.1.p1.6.m6.1.1.3.2.3.3" xref="S4.SS1.1.p1.6.m6.1.1.3.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mrow id="S4.SS1.1.p1.6.m6.1.1.3.3" xref="S4.SS1.1.p1.6.m6.1.1.3.3.cmml"><mi id="S4.SS1.1.p1.6.m6.1.1.3.3.2" xref="S4.SS1.1.p1.6.m6.1.1.3.3.2.cmml"></mi><mo id="S4.SS1.1.p1.6.m6.1.1.3.3.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S4.SS1.1.p1.6.m6.1.1.3.3.1.cmml">×</mo><mi id="S4.SS1.1.p1.6.m6.1.1.3.3.3" xref="S4.SS1.1.p1.6.m6.1.1.3.3.3.cmml">N</mi></mrow></msubsup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.1.p1.6.m6.1b"><apply id="S4.SS1.1.p1.6.m6.1.1.cmml" xref="S4.SS1.1.p1.6.m6.1.1"><compose id="S4.SS1.1.p1.6.m6.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.1.p1.6.m6.1.1.1"></compose><apply id="S4.SS1.1.p1.6.m6.1.1.2.cmml" xref="S4.SS1.1.p1.6.m6.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.1.p1.6.m6.1.1.2.1.cmml" xref="S4.SS1.1.p1.6.m6.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="S4.SS1.1.p1.6.m6.1.1.2.2.cmml" xref="S4.SS1.1.p1.6.m6.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.1.p1.6.m6.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.SS1.1.p1.6.m6.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S4.SS1.1.p1.6.m6.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.SS1.1.p1.6.m6.1.1.2.2.2">𝑆</ci><ci id="S4.SS1.1.p1.6.m6.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.SS1.1.p1.6.m6.1.1.2.2.3">𝑡</ci></apply><cn id="S4.SS1.1.p1.6.m6.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS1.1.p1.6.m6.1.1.2.3">2</cn></apply><apply id="S4.SS1.1.p1.6.m6.1.1.3.cmml" xref="S4.SS1.1.p1.6.m6.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.1.p1.6.m6.1.1.3.1.cmml" xref="S4.SS1.1.p1.6.m6.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="S4.SS1.1.p1.6.m6.1.1.3.2.cmml" xref="S4.SS1.1.p1.6.m6.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.1.p1.6.m6.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.SS1.1.p1.6.m6.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.SS1.1.p1.6.m6.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.SS1.1.p1.6.m6.1.1.3.2.2">𝑆</ci><apply id="S4.SS1.1.p1.6.m6.1.1.3.2.3.cmml" xref="S4.SS1.1.p1.6.m6.1.1.3.2.3"><minus id="S4.SS1.1.p1.6.m6.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S4.SS1.1.p1.6.m6.1.1.3.2.3.1"></minus><ci id="S4.SS1.1.p1.6.m6.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S4.SS1.1.p1.6.m6.1.1.3.2.3.2">𝑡</ci><cn id="S4.SS1.1.p1.6.m6.1.1.3.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS1.1.p1.6.m6.1.1.3.2.3.3">1</cn></apply></apply><apply id="S4.SS1.1.p1.6.m6.1.1.3.3.cmml" xref="S4.SS1.1.p1.6.m6.1.1.3.3"><times id="S4.SS1.1.p1.6.m6.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.SS1.1.p1.6.m6.1.1.3.3.1"></times><csymbol cd="latexml" id="S4.SS1.1.p1.6.m6.1.1.3.3.2.cmml" xref="S4.SS1.1.p1.6.m6.1.1.3.3.2">absent</csymbol><ci id="S4.SS1.1.p1.6.m6.1.1.3.3.3.cmml" xref="S4.SS1.1.p1.6.m6.1.1.3.3.3">𝑁</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.1.p1.6.m6.1c">S_{t}^{2}\circ S_{t-1}^{\times N}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.1.p1.6.m6.1d">italic_S start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ∘ italic_S start_POSTSUBSCRIPT italic_t - 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT × italic_N end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S4.SS1.2.p2"> <p class="ltx_p" id="S4.SS1.2.p2.12">Firstly, suppose that <math alttext="\ket{\sigma_{1},...\sigma_{N}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.2.p2.1.m1.1"><semantics id="S4.SS1.2.p2.1.m1.1a"><mrow id="S4.SS1.2.p2.1.m1.1.1.3" xref="S4.SS1.2.p2.1.m1.1.1.2.cmml"><mo id="S4.SS1.2.p2.1.m1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S4.SS1.2.p2.1.m1.1.1.2.1.cmml">|</mo><mrow id="S4.SS1.2.p2.1.m1.1.1.1.1.2" xref="S4.SS1.2.p2.1.m1.1.1.1.1.3.cmml"><msub id="S4.SS1.2.p2.1.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.SS1.2.p2.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.SS1.2.p2.1.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.SS1.2.p2.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">σ</mi><mn id="S4.SS1.2.p2.1.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.SS1.2.p2.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S4.SS1.2.p2.1.m1.1.1.1.1.2.3" xref="S4.SS1.2.p2.1.m1.1.1.1.1.3.cmml">,</mo><mrow id="S4.SS1.2.p2.1.m1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.SS1.2.p2.1.m1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S4.SS1.2.p2.1.m1.1.1.1.1.2.2.2" mathvariant="normal" xref="S4.SS1.2.p2.1.m1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">…</mi><mo id="S4.SS1.2.p2.1.m1.1.1.1.1.2.2.1" xref="S4.SS1.2.p2.1.m1.1.1.1.1.2.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S4.SS1.2.p2.1.m1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S4.SS1.2.p2.1.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="S4.SS1.2.p2.1.m1.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="S4.SS1.2.p2.1.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml">σ</mi><mi id="S4.SS1.2.p2.1.m1.1.1.1.1.2.2.3.3" xref="S4.SS1.2.p2.1.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml">N</mi></msub></mrow></mrow><mo id="S4.SS1.2.p2.1.m1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S4.SS1.2.p2.1.m1.1.1.2.1.cmml">⟩</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.2.p2.1.m1.1b"><apply id="S4.SS1.2.p2.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS1.2.p2.1.m1.1.1.3"><csymbol cd="latexml" id="S4.SS1.2.p2.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.SS1.2.p2.1.m1.1.1.3.1">ket</csymbol><list id="S4.SS1.2.p2.1.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.SS1.2.p2.1.m1.1.1.1.1.2"><apply id="S4.SS1.2.p2.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.2.p2.1.m1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.2.p2.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.2.p2.1.m1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.SS1.2.p2.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS1.2.p2.1.m1.1.1.1.1.1.1.2">𝜎</ci><cn id="S4.SS1.2.p2.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS1.2.p2.1.m1.1.1.1.1.1.1.3">1</cn></apply><apply id="S4.SS1.2.p2.1.m1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.SS1.2.p2.1.m1.1.1.1.1.2.2"><times id="S4.SS1.2.p2.1.m1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.SS1.2.p2.1.m1.1.1.1.1.2.2.1"></times><ci id="S4.SS1.2.p2.1.m1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.SS1.2.p2.1.m1.1.1.1.1.2.2.2">…</ci><apply id="S4.SS1.2.p2.1.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.SS1.2.p2.1.m1.1.1.1.1.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.2.p2.1.m1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S4.SS1.2.p2.1.m1.1.1.1.1.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S4.SS1.2.p2.1.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S4.SS1.2.p2.1.m1.1.1.1.1.2.2.3.2">𝜎</ci><ci id="S4.SS1.2.p2.1.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml" xref="S4.SS1.2.p2.1.m1.1.1.1.1.2.2.3.3">𝑁</ci></apply></apply></list></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.2.p2.1.m1.1c">\ket{\sigma_{1},...\sigma_{N}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.2.p2.1.m1.1d">| start_ARG italic_σ start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , … italic_σ start_POSTSUBSCRIPT italic_N end_POSTSUBSCRIPT end_ARG ⟩</annotation></semantics></math> is not in <math alttext="\mathfrak{D}_{N}^{(t)}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.2.p2.2.m2.1"><semantics id="S4.SS1.2.p2.2.m2.1a"><msubsup id="S4.SS1.2.p2.2.m2.1.2" xref="S4.SS1.2.p2.2.m2.1.2.cmml"><mi id="S4.SS1.2.p2.2.m2.1.2.2.2" xref="S4.SS1.2.p2.2.m2.1.2.2.2.cmml">𝔇</mi><mi id="S4.SS1.2.p2.2.m2.1.2.2.3" xref="S4.SS1.2.p2.2.m2.1.2.2.3.cmml">N</mi><mrow id="S4.SS1.2.p2.2.m2.1.1.1.3" xref="S4.SS1.2.p2.2.m2.1.2.cmml"><mo id="S4.SS1.2.p2.2.m2.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S4.SS1.2.p2.2.m2.1.2.cmml">(</mo><mi id="S4.SS1.2.p2.2.m2.1.1.1.1" xref="S4.SS1.2.p2.2.m2.1.1.1.1.cmml">t</mi><mo id="S4.SS1.2.p2.2.m2.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S4.SS1.2.p2.2.m2.1.2.cmml">)</mo></mrow></msubsup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.2.p2.2.m2.1b"><apply id="S4.SS1.2.p2.2.m2.1.2.cmml" xref="S4.SS1.2.p2.2.m2.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.2.p2.2.m2.1.2.1.cmml" xref="S4.SS1.2.p2.2.m2.1.2">superscript</csymbol><apply id="S4.SS1.2.p2.2.m2.1.2.2.cmml" xref="S4.SS1.2.p2.2.m2.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.2.p2.2.m2.1.2.2.1.cmml" xref="S4.SS1.2.p2.2.m2.1.2">subscript</csymbol><ci id="S4.SS1.2.p2.2.m2.1.2.2.2.cmml" xref="S4.SS1.2.p2.2.m2.1.2.2.2">𝔇</ci><ci id="S4.SS1.2.p2.2.m2.1.2.2.3.cmml" xref="S4.SS1.2.p2.2.m2.1.2.2.3">𝑁</ci></apply><ci id="S4.SS1.2.p2.2.m2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.2.p2.2.m2.1.1.1.1">𝑡</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.2.p2.2.m2.1c">\mathfrak{D}_{N}^{(t)}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.2.p2.2.m2.1d">fraktur_D start_POSTSUBSCRIPT italic_N end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_t ) end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>, that is, there is a common fixed point <math alttext="j" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.2.p2.3.m3.1"><semantics id="S4.SS1.2.p2.3.m3.1a"><mi id="S4.SS1.2.p2.3.m3.1.1" xref="S4.SS1.2.p2.3.m3.1.1.cmml">j</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.2.p2.3.m3.1b"><ci id="S4.SS1.2.p2.3.m3.1.1.cmml" xref="S4.SS1.2.p2.3.m3.1.1">𝑗</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.2.p2.3.m3.1c">j</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.2.p2.3.m3.1d">italic_j</annotation></semantics></math> among <math alttext="\sigma_{1}^{-1}\circ\sigma_{2},\sigma_{1}^{-1}\circ\sigma_{3},...\sigma_{1}^{-% 1}\circ\sigma_{N}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.2.p2.4.m4.3"><semantics id="S4.SS1.2.p2.4.m4.3a"><mrow id="S4.SS1.2.p2.4.m4.3.3.3" xref="S4.SS1.2.p2.4.m4.3.3.4.cmml"><mrow id="S4.SS1.2.p2.4.m4.1.1.1.1" xref="S4.SS1.2.p2.4.m4.1.1.1.1.cmml"><msubsup id="S4.SS1.2.p2.4.m4.1.1.1.1.2" xref="S4.SS1.2.p2.4.m4.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.SS1.2.p2.4.m4.1.1.1.1.2.2.2" xref="S4.SS1.2.p2.4.m4.1.1.1.1.2.2.2.cmml">σ</mi><mn id="S4.SS1.2.p2.4.m4.1.1.1.1.2.2.3" xref="S4.SS1.2.p2.4.m4.1.1.1.1.2.2.3.cmml">1</mn><mrow id="S4.SS1.2.p2.4.m4.1.1.1.1.2.3" xref="S4.SS1.2.p2.4.m4.1.1.1.1.2.3.cmml"><mo id="S4.SS1.2.p2.4.m4.1.1.1.1.2.3a" xref="S4.SS1.2.p2.4.m4.1.1.1.1.2.3.cmml">−</mo><mn id="S4.SS1.2.p2.4.m4.1.1.1.1.2.3.2" xref="S4.SS1.2.p2.4.m4.1.1.1.1.2.3.2.cmml">1</mn></mrow></msubsup><mo id="S4.SS1.2.p2.4.m4.1.1.1.1.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S4.SS1.2.p2.4.m4.1.1.1.1.1.cmml">∘</mo><msub id="S4.SS1.2.p2.4.m4.1.1.1.1.3" xref="S4.SS1.2.p2.4.m4.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.SS1.2.p2.4.m4.1.1.1.1.3.2" xref="S4.SS1.2.p2.4.m4.1.1.1.1.3.2.cmml">σ</mi><mn id="S4.SS1.2.p2.4.m4.1.1.1.1.3.3" xref="S4.SS1.2.p2.4.m4.1.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></msub></mrow><mo id="S4.SS1.2.p2.4.m4.3.3.3.4" xref="S4.SS1.2.p2.4.m4.3.3.4.cmml">,</mo><mrow id="S4.SS1.2.p2.4.m4.2.2.2.2" xref="S4.SS1.2.p2.4.m4.2.2.2.2.cmml"><msubsup id="S4.SS1.2.p2.4.m4.2.2.2.2.2" xref="S4.SS1.2.p2.4.m4.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="S4.SS1.2.p2.4.m4.2.2.2.2.2.2.2" xref="S4.SS1.2.p2.4.m4.2.2.2.2.2.2.2.cmml">σ</mi><mn id="S4.SS1.2.p2.4.m4.2.2.2.2.2.2.3" xref="S4.SS1.2.p2.4.m4.2.2.2.2.2.2.3.cmml">1</mn><mrow id="S4.SS1.2.p2.4.m4.2.2.2.2.2.3" xref="S4.SS1.2.p2.4.m4.2.2.2.2.2.3.cmml"><mo id="S4.SS1.2.p2.4.m4.2.2.2.2.2.3a" xref="S4.SS1.2.p2.4.m4.2.2.2.2.2.3.cmml">−</mo><mn id="S4.SS1.2.p2.4.m4.2.2.2.2.2.3.2" xref="S4.SS1.2.p2.4.m4.2.2.2.2.2.3.2.cmml">1</mn></mrow></msubsup><mo id="S4.SS1.2.p2.4.m4.2.2.2.2.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S4.SS1.2.p2.4.m4.2.2.2.2.1.cmml">∘</mo><msub id="S4.SS1.2.p2.4.m4.2.2.2.2.3" xref="S4.SS1.2.p2.4.m4.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="S4.SS1.2.p2.4.m4.2.2.2.2.3.2" xref="S4.SS1.2.p2.4.m4.2.2.2.2.3.2.cmml">σ</mi><mn id="S4.SS1.2.p2.4.m4.2.2.2.2.3.3" xref="S4.SS1.2.p2.4.m4.2.2.2.2.3.3.cmml">3</mn></msub></mrow><mo id="S4.SS1.2.p2.4.m4.3.3.3.5" xref="S4.SS1.2.p2.4.m4.3.3.4.cmml">,</mo><mrow id="S4.SS1.2.p2.4.m4.3.3.3.3" xref="S4.SS1.2.p2.4.m4.3.3.3.3.cmml"><mrow id="S4.SS1.2.p2.4.m4.3.3.3.3.2" xref="S4.SS1.2.p2.4.m4.3.3.3.3.2.cmml"><mi id="S4.SS1.2.p2.4.m4.3.3.3.3.2.2" mathvariant="normal" xref="S4.SS1.2.p2.4.m4.3.3.3.3.2.2.cmml">…</mi><mo id="S4.SS1.2.p2.4.m4.3.3.3.3.2.1" xref="S4.SS1.2.p2.4.m4.3.3.3.3.2.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.SS1.2.p2.4.m4.3.3.3.3.2.3" xref="S4.SS1.2.p2.4.m4.3.3.3.3.2.3.cmml"><mi id="S4.SS1.2.p2.4.m4.3.3.3.3.2.3.2.2" xref="S4.SS1.2.p2.4.m4.3.3.3.3.2.3.2.2.cmml">σ</mi><mn id="S4.SS1.2.p2.4.m4.3.3.3.3.2.3.2.3" xref="S4.SS1.2.p2.4.m4.3.3.3.3.2.3.2.3.cmml">1</mn><mrow id="S4.SS1.2.p2.4.m4.3.3.3.3.2.3.3" xref="S4.SS1.2.p2.4.m4.3.3.3.3.2.3.3.cmml"><mo id="S4.SS1.2.p2.4.m4.3.3.3.3.2.3.3a" xref="S4.SS1.2.p2.4.m4.3.3.3.3.2.3.3.cmml">−</mo><mn id="S4.SS1.2.p2.4.m4.3.3.3.3.2.3.3.2" xref="S4.SS1.2.p2.4.m4.3.3.3.3.2.3.3.2.cmml">1</mn></mrow></msubsup></mrow><mo id="S4.SS1.2.p2.4.m4.3.3.3.3.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S4.SS1.2.p2.4.m4.3.3.3.3.1.cmml">∘</mo><msub id="S4.SS1.2.p2.4.m4.3.3.3.3.3" xref="S4.SS1.2.p2.4.m4.3.3.3.3.3.cmml"><mi id="S4.SS1.2.p2.4.m4.3.3.3.3.3.2" xref="S4.SS1.2.p2.4.m4.3.3.3.3.3.2.cmml">σ</mi><mi id="S4.SS1.2.p2.4.m4.3.3.3.3.3.3" xref="S4.SS1.2.p2.4.m4.3.3.3.3.3.3.cmml">N</mi></msub></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.2.p2.4.m4.3b"><list id="S4.SS1.2.p2.4.m4.3.3.4.cmml" xref="S4.SS1.2.p2.4.m4.3.3.3"><apply id="S4.SS1.2.p2.4.m4.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.2.p2.4.m4.1.1.1.1"><compose id="S4.SS1.2.p2.4.m4.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.2.p2.4.m4.1.1.1.1.1"></compose><apply id="S4.SS1.2.p2.4.m4.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS1.2.p2.4.m4.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.2.p2.4.m4.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.SS1.2.p2.4.m4.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="S4.SS1.2.p2.4.m4.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.SS1.2.p2.4.m4.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.2.p2.4.m4.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.SS1.2.p2.4.m4.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S4.SS1.2.p2.4.m4.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.SS1.2.p2.4.m4.1.1.1.1.2.2.2">𝜎</ci><cn id="S4.SS1.2.p2.4.m4.1.1.1.1.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS1.2.p2.4.m4.1.1.1.1.2.2.3">1</cn></apply><apply id="S4.SS1.2.p2.4.m4.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.SS1.2.p2.4.m4.1.1.1.1.2.3"><minus id="S4.SS1.2.p2.4.m4.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S4.SS1.2.p2.4.m4.1.1.1.1.2.3"></minus><cn id="S4.SS1.2.p2.4.m4.1.1.1.1.2.3.2.cmml" type="integer" xref="S4.SS1.2.p2.4.m4.1.1.1.1.2.3.2">1</cn></apply></apply><apply id="S4.SS1.2.p2.4.m4.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.SS1.2.p2.4.m4.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.2.p2.4.m4.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.SS1.2.p2.4.m4.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.SS1.2.p2.4.m4.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.SS1.2.p2.4.m4.1.1.1.1.3.2">𝜎</ci><cn id="S4.SS1.2.p2.4.m4.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS1.2.p2.4.m4.1.1.1.1.3.3">2</cn></apply></apply><apply id="S4.SS1.2.p2.4.m4.2.2.2.2.cmml" xref="S4.SS1.2.p2.4.m4.2.2.2.2"><compose id="S4.SS1.2.p2.4.m4.2.2.2.2.1.cmml" xref="S4.SS1.2.p2.4.m4.2.2.2.2.1"></compose><apply id="S4.SS1.2.p2.4.m4.2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.SS1.2.p2.4.m4.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.2.p2.4.m4.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S4.SS1.2.p2.4.m4.2.2.2.2.2">superscript</csymbol><apply id="S4.SS1.2.p2.4.m4.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.SS1.2.p2.4.m4.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.2.p2.4.m4.2.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S4.SS1.2.p2.4.m4.2.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S4.SS1.2.p2.4.m4.2.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.SS1.2.p2.4.m4.2.2.2.2.2.2.2">𝜎</ci><cn id="S4.SS1.2.p2.4.m4.2.2.2.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS1.2.p2.4.m4.2.2.2.2.2.2.3">1</cn></apply><apply id="S4.SS1.2.p2.4.m4.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S4.SS1.2.p2.4.m4.2.2.2.2.2.3"><minus id="S4.SS1.2.p2.4.m4.2.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="S4.SS1.2.p2.4.m4.2.2.2.2.2.3"></minus><cn id="S4.SS1.2.p2.4.m4.2.2.2.2.2.3.2.cmml" type="integer" xref="S4.SS1.2.p2.4.m4.2.2.2.2.2.3.2">1</cn></apply></apply><apply id="S4.SS1.2.p2.4.m4.2.2.2.2.3.cmml" xref="S4.SS1.2.p2.4.m4.2.2.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.2.p2.4.m4.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="S4.SS1.2.p2.4.m4.2.2.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S4.SS1.2.p2.4.m4.2.2.2.2.3.2.cmml" xref="S4.SS1.2.p2.4.m4.2.2.2.2.3.2">𝜎</ci><cn id="S4.SS1.2.p2.4.m4.2.2.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS1.2.p2.4.m4.2.2.2.2.3.3">3</cn></apply></apply><apply id="S4.SS1.2.p2.4.m4.3.3.3.3.cmml" xref="S4.SS1.2.p2.4.m4.3.3.3.3"><compose id="S4.SS1.2.p2.4.m4.3.3.3.3.1.cmml" xref="S4.SS1.2.p2.4.m4.3.3.3.3.1"></compose><apply id="S4.SS1.2.p2.4.m4.3.3.3.3.2.cmml" xref="S4.SS1.2.p2.4.m4.3.3.3.3.2"><times id="S4.SS1.2.p2.4.m4.3.3.3.3.2.1.cmml" xref="S4.SS1.2.p2.4.m4.3.3.3.3.2.1"></times><ci id="S4.SS1.2.p2.4.m4.3.3.3.3.2.2.cmml" xref="S4.SS1.2.p2.4.m4.3.3.3.3.2.2">…</ci><apply id="S4.SS1.2.p2.4.m4.3.3.3.3.2.3.cmml" xref="S4.SS1.2.p2.4.m4.3.3.3.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.2.p2.4.m4.3.3.3.3.2.3.1.cmml" xref="S4.SS1.2.p2.4.m4.3.3.3.3.2.3">superscript</csymbol><apply id="S4.SS1.2.p2.4.m4.3.3.3.3.2.3.2.cmml" xref="S4.SS1.2.p2.4.m4.3.3.3.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.2.p2.4.m4.3.3.3.3.2.3.2.1.cmml" xref="S4.SS1.2.p2.4.m4.3.3.3.3.2.3">subscript</csymbol><ci id="S4.SS1.2.p2.4.m4.3.3.3.3.2.3.2.2.cmml" xref="S4.SS1.2.p2.4.m4.3.3.3.3.2.3.2.2">𝜎</ci><cn id="S4.SS1.2.p2.4.m4.3.3.3.3.2.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS1.2.p2.4.m4.3.3.3.3.2.3.2.3">1</cn></apply><apply id="S4.SS1.2.p2.4.m4.3.3.3.3.2.3.3.cmml" xref="S4.SS1.2.p2.4.m4.3.3.3.3.2.3.3"><minus id="S4.SS1.2.p2.4.m4.3.3.3.3.2.3.3.1.cmml" xref="S4.SS1.2.p2.4.m4.3.3.3.3.2.3.3"></minus><cn id="S4.SS1.2.p2.4.m4.3.3.3.3.2.3.3.2.cmml" type="integer" xref="S4.SS1.2.p2.4.m4.3.3.3.3.2.3.3.2">1</cn></apply></apply></apply><apply id="S4.SS1.2.p2.4.m4.3.3.3.3.3.cmml" xref="S4.SS1.2.p2.4.m4.3.3.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.2.p2.4.m4.3.3.3.3.3.1.cmml" xref="S4.SS1.2.p2.4.m4.3.3.3.3.3">subscript</csymbol><ci id="S4.SS1.2.p2.4.m4.3.3.3.3.3.2.cmml" xref="S4.SS1.2.p2.4.m4.3.3.3.3.3.2">𝜎</ci><ci id="S4.SS1.2.p2.4.m4.3.3.3.3.3.3.cmml" xref="S4.SS1.2.p2.4.m4.3.3.3.3.3.3">𝑁</ci></apply></apply></list></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.2.p2.4.m4.3c">\sigma_{1}^{-1}\circ\sigma_{2},\sigma_{1}^{-1}\circ\sigma_{3},...\sigma_{1}^{-% 1}\circ\sigma_{N}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.2.p2.4.m4.3d">italic_σ start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT ∘ italic_σ start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT , italic_σ start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT ∘ italic_σ start_POSTSUBSCRIPT 3 end_POSTSUBSCRIPT , … italic_σ start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT ∘ italic_σ start_POSTSUBSCRIPT italic_N end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>. Let <math alttext="\tau_{jt}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.2.p2.5.m5.1"><semantics id="S4.SS1.2.p2.5.m5.1a"><msub id="S4.SS1.2.p2.5.m5.1.1" xref="S4.SS1.2.p2.5.m5.1.1.cmml"><mi id="S4.SS1.2.p2.5.m5.1.1.2" xref="S4.SS1.2.p2.5.m5.1.1.2.cmml">τ</mi><mrow id="S4.SS1.2.p2.5.m5.1.1.3" xref="S4.SS1.2.p2.5.m5.1.1.3.cmml"><mi id="S4.SS1.2.p2.5.m5.1.1.3.2" xref="S4.SS1.2.p2.5.m5.1.1.3.2.cmml">j</mi><mo id="S4.SS1.2.p2.5.m5.1.1.3.1" xref="S4.SS1.2.p2.5.m5.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.SS1.2.p2.5.m5.1.1.3.3" xref="S4.SS1.2.p2.5.m5.1.1.3.3.cmml">t</mi></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.2.p2.5.m5.1b"><apply id="S4.SS1.2.p2.5.m5.1.1.cmml" xref="S4.SS1.2.p2.5.m5.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.2.p2.5.m5.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.2.p2.5.m5.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.SS1.2.p2.5.m5.1.1.2.cmml" xref="S4.SS1.2.p2.5.m5.1.1.2">𝜏</ci><apply id="S4.SS1.2.p2.5.m5.1.1.3.cmml" xref="S4.SS1.2.p2.5.m5.1.1.3"><times id="S4.SS1.2.p2.5.m5.1.1.3.1.cmml" xref="S4.SS1.2.p2.5.m5.1.1.3.1"></times><ci id="S4.SS1.2.p2.5.m5.1.1.3.2.cmml" xref="S4.SS1.2.p2.5.m5.1.1.3.2">𝑗</ci><ci id="S4.SS1.2.p2.5.m5.1.1.3.3.cmml" xref="S4.SS1.2.p2.5.m5.1.1.3.3">𝑡</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.2.p2.5.m5.1c">\tau_{jt}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.2.p2.5.m5.1d">italic_τ start_POSTSUBSCRIPT italic_j italic_t end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> denote the permutation which swaps copy <math alttext="j" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.2.p2.6.m6.1"><semantics id="S4.SS1.2.p2.6.m6.1a"><mi id="S4.SS1.2.p2.6.m6.1.1" xref="S4.SS1.2.p2.6.m6.1.1.cmml">j</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.2.p2.6.m6.1b"><ci id="S4.SS1.2.p2.6.m6.1.1.cmml" xref="S4.SS1.2.p2.6.m6.1.1">𝑗</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.2.p2.6.m6.1c">j</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.2.p2.6.m6.1d">italic_j</annotation></semantics></math> and copy <math alttext="t" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.2.p2.7.m7.1"><semantics id="S4.SS1.2.p2.7.m7.1a"><mi id="S4.SS1.2.p2.7.m7.1.1" xref="S4.SS1.2.p2.7.m7.1.1.cmml">t</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.2.p2.7.m7.1b"><ci id="S4.SS1.2.p2.7.m7.1.1.cmml" xref="S4.SS1.2.p2.7.m7.1.1">𝑡</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.2.p2.7.m7.1c">t</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.2.p2.7.m7.1d">italic_t</annotation></semantics></math>. Then <math alttext="(\tau_{jt}\sigma_{1}^{-1})\cdot\sigma_{i}\cdot\tau_{jt}\in S_{t-1}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.2.p2.8.m8.1"><semantics id="S4.SS1.2.p2.8.m8.1a"><mrow id="S4.SS1.2.p2.8.m8.1.1" xref="S4.SS1.2.p2.8.m8.1.1.cmml"><mrow id="S4.SS1.2.p2.8.m8.1.1.1" xref="S4.SS1.2.p2.8.m8.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.SS1.2.p2.8.m8.1.1.1.1.1" xref="S4.SS1.2.p2.8.m8.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.SS1.2.p2.8.m8.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.SS1.2.p2.8.m8.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.SS1.2.p2.8.m8.1.1.1.1.1.1" xref="S4.SS1.2.p2.8.m8.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S4.SS1.2.p2.8.m8.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.SS1.2.p2.8.m8.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.SS1.2.p2.8.m8.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.SS1.2.p2.8.m8.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">τ</mi><mrow id="S4.SS1.2.p2.8.m8.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S4.SS1.2.p2.8.m8.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S4.SS1.2.p2.8.m8.1.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S4.SS1.2.p2.8.m8.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">j</mi><mo id="S4.SS1.2.p2.8.m8.1.1.1.1.1.1.2.3.1" xref="S4.SS1.2.p2.8.m8.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.SS1.2.p2.8.m8.1.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="S4.SS1.2.p2.8.m8.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">t</mi></mrow></msub><mo id="S4.SS1.2.p2.8.m8.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.SS1.2.p2.8.m8.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.SS1.2.p2.8.m8.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.SS1.2.p2.8.m8.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.SS1.2.p2.8.m8.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S4.SS1.2.p2.8.m8.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">σ</mi><mn id="S4.SS1.2.p2.8.m8.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S4.SS1.2.p2.8.m8.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">1</mn><mrow id="S4.SS1.2.p2.8.m8.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.SS1.2.p2.8.m8.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mo id="S4.SS1.2.p2.8.m8.1.1.1.1.1.1.3.3a" xref="S4.SS1.2.p2.8.m8.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">−</mo><mn id="S4.SS1.2.p2.8.m8.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S4.SS1.2.p2.8.m8.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">1</mn></mrow></msubsup></mrow><mo id="S4.SS1.2.p2.8.m8.1.1.1.1.1.3" rspace="0.055em" stretchy="false" xref="S4.SS1.2.p2.8.m8.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S4.SS1.2.p2.8.m8.1.1.1.2" rspace="0.222em" xref="S4.SS1.2.p2.8.m8.1.1.1.2.cmml">⋅</mo><msub id="S4.SS1.2.p2.8.m8.1.1.1.3" xref="S4.SS1.2.p2.8.m8.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.SS1.2.p2.8.m8.1.1.1.3.2" xref="S4.SS1.2.p2.8.m8.1.1.1.3.2.cmml">σ</mi><mi id="S4.SS1.2.p2.8.m8.1.1.1.3.3" xref="S4.SS1.2.p2.8.m8.1.1.1.3.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S4.SS1.2.p2.8.m8.1.1.1.2a" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S4.SS1.2.p2.8.m8.1.1.1.2.cmml">⋅</mo><msub id="S4.SS1.2.p2.8.m8.1.1.1.4" xref="S4.SS1.2.p2.8.m8.1.1.1.4.cmml"><mi id="S4.SS1.2.p2.8.m8.1.1.1.4.2" xref="S4.SS1.2.p2.8.m8.1.1.1.4.2.cmml">τ</mi><mrow id="S4.SS1.2.p2.8.m8.1.1.1.4.3" xref="S4.SS1.2.p2.8.m8.1.1.1.4.3.cmml"><mi id="S4.SS1.2.p2.8.m8.1.1.1.4.3.2" xref="S4.SS1.2.p2.8.m8.1.1.1.4.3.2.cmml">j</mi><mo id="S4.SS1.2.p2.8.m8.1.1.1.4.3.1" xref="S4.SS1.2.p2.8.m8.1.1.1.4.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.SS1.2.p2.8.m8.1.1.1.4.3.3" xref="S4.SS1.2.p2.8.m8.1.1.1.4.3.3.cmml">t</mi></mrow></msub></mrow><mo id="S4.SS1.2.p2.8.m8.1.1.2" xref="S4.SS1.2.p2.8.m8.1.1.2.cmml">∈</mo><msub id="S4.SS1.2.p2.8.m8.1.1.3" xref="S4.SS1.2.p2.8.m8.1.1.3.cmml"><mi id="S4.SS1.2.p2.8.m8.1.1.3.2" xref="S4.SS1.2.p2.8.m8.1.1.3.2.cmml">S</mi><mrow id="S4.SS1.2.p2.8.m8.1.1.3.3" xref="S4.SS1.2.p2.8.m8.1.1.3.3.cmml"><mi id="S4.SS1.2.p2.8.m8.1.1.3.3.2" xref="S4.SS1.2.p2.8.m8.1.1.3.3.2.cmml">t</mi><mo id="S4.SS1.2.p2.8.m8.1.1.3.3.1" xref="S4.SS1.2.p2.8.m8.1.1.3.3.1.cmml">−</mo><mn id="S4.SS1.2.p2.8.m8.1.1.3.3.3" xref="S4.SS1.2.p2.8.m8.1.1.3.3.3.cmml">1</mn></mrow></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.2.p2.8.m8.1b"><apply id="S4.SS1.2.p2.8.m8.1.1.cmml" xref="S4.SS1.2.p2.8.m8.1.1"><in id="S4.SS1.2.p2.8.m8.1.1.2.cmml" xref="S4.SS1.2.p2.8.m8.1.1.2"></in><apply id="S4.SS1.2.p2.8.m8.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.2.p2.8.m8.1.1.1"><ci id="S4.SS1.2.p2.8.m8.1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS1.2.p2.8.m8.1.1.1.2">⋅</ci><apply id="S4.SS1.2.p2.8.m8.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.2.p2.8.m8.1.1.1.1.1"><times id="S4.SS1.2.p2.8.m8.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.2.p2.8.m8.1.1.1.1.1.1.1"></times><apply id="S4.SS1.2.p2.8.m8.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS1.2.p2.8.m8.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.2.p2.8.m8.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.SS1.2.p2.8.m8.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S4.SS1.2.p2.8.m8.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.SS1.2.p2.8.m8.1.1.1.1.1.1.2.2">𝜏</ci><apply id="S4.SS1.2.p2.8.m8.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.SS1.2.p2.8.m8.1.1.1.1.1.1.2.3"><times id="S4.SS1.2.p2.8.m8.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S4.SS1.2.p2.8.m8.1.1.1.1.1.1.2.3.1"></times><ci id="S4.SS1.2.p2.8.m8.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S4.SS1.2.p2.8.m8.1.1.1.1.1.1.2.3.2">𝑗</ci><ci id="S4.SS1.2.p2.8.m8.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S4.SS1.2.p2.8.m8.1.1.1.1.1.1.2.3.3">𝑡</ci></apply></apply><apply id="S4.SS1.2.p2.8.m8.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.SS1.2.p2.8.m8.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.2.p2.8.m8.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.SS1.2.p2.8.m8.1.1.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="S4.SS1.2.p2.8.m8.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.SS1.2.p2.8.m8.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.2.p2.8.m8.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.SS1.2.p2.8.m8.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.SS1.2.p2.8.m8.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.SS1.2.p2.8.m8.1.1.1.1.1.1.3.2.2">𝜎</ci><cn id="S4.SS1.2.p2.8.m8.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS1.2.p2.8.m8.1.1.1.1.1.1.3.2.3">1</cn></apply><apply id="S4.SS1.2.p2.8.m8.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.SS1.2.p2.8.m8.1.1.1.1.1.1.3.3"><minus id="S4.SS1.2.p2.8.m8.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.SS1.2.p2.8.m8.1.1.1.1.1.1.3.3"></minus><cn id="S4.SS1.2.p2.8.m8.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" type="integer" xref="S4.SS1.2.p2.8.m8.1.1.1.1.1.1.3.3.2">1</cn></apply></apply></apply><apply id="S4.SS1.2.p2.8.m8.1.1.1.3.cmml" xref="S4.SS1.2.p2.8.m8.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.2.p2.8.m8.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.SS1.2.p2.8.m8.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.SS1.2.p2.8.m8.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.SS1.2.p2.8.m8.1.1.1.3.2">𝜎</ci><ci id="S4.SS1.2.p2.8.m8.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.SS1.2.p2.8.m8.1.1.1.3.3">𝑖</ci></apply><apply id="S4.SS1.2.p2.8.m8.1.1.1.4.cmml" xref="S4.SS1.2.p2.8.m8.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.2.p2.8.m8.1.1.1.4.1.cmml" xref="S4.SS1.2.p2.8.m8.1.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="S4.SS1.2.p2.8.m8.1.1.1.4.2.cmml" xref="S4.SS1.2.p2.8.m8.1.1.1.4.2">𝜏</ci><apply id="S4.SS1.2.p2.8.m8.1.1.1.4.3.cmml" xref="S4.SS1.2.p2.8.m8.1.1.1.4.3"><times id="S4.SS1.2.p2.8.m8.1.1.1.4.3.1.cmml" xref="S4.SS1.2.p2.8.m8.1.1.1.4.3.1"></times><ci id="S4.SS1.2.p2.8.m8.1.1.1.4.3.2.cmml" xref="S4.SS1.2.p2.8.m8.1.1.1.4.3.2">𝑗</ci><ci id="S4.SS1.2.p2.8.m8.1.1.1.4.3.3.cmml" xref="S4.SS1.2.p2.8.m8.1.1.1.4.3.3">𝑡</ci></apply></apply></apply><apply id="S4.SS1.2.p2.8.m8.1.1.3.cmml" xref="S4.SS1.2.p2.8.m8.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.2.p2.8.m8.1.1.3.1.cmml" xref="S4.SS1.2.p2.8.m8.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.SS1.2.p2.8.m8.1.1.3.2.cmml" xref="S4.SS1.2.p2.8.m8.1.1.3.2">𝑆</ci><apply id="S4.SS1.2.p2.8.m8.1.1.3.3.cmml" xref="S4.SS1.2.p2.8.m8.1.1.3.3"><minus id="S4.SS1.2.p2.8.m8.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.SS1.2.p2.8.m8.1.1.3.3.1"></minus><ci id="S4.SS1.2.p2.8.m8.1.1.3.3.2.cmml" xref="S4.SS1.2.p2.8.m8.1.1.3.3.2">𝑡</ci><cn id="S4.SS1.2.p2.8.m8.1.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS1.2.p2.8.m8.1.1.3.3.3">1</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.2.p2.8.m8.1c">(\tau_{jt}\sigma_{1}^{-1})\cdot\sigma_{i}\cdot\tau_{jt}\in S_{t-1}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.2.p2.8.m8.1d">( italic_τ start_POSTSUBSCRIPT italic_j italic_t end_POSTSUBSCRIPT italic_σ start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT ) ⋅ italic_σ start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT ⋅ italic_τ start_POSTSUBSCRIPT italic_j italic_t end_POSTSUBSCRIPT ∈ italic_S start_POSTSUBSCRIPT italic_t - 1 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> for all <math alttext="i" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.2.p2.9.m9.1"><semantics id="S4.SS1.2.p2.9.m9.1a"><mi id="S4.SS1.2.p2.9.m9.1.1" xref="S4.SS1.2.p2.9.m9.1.1.cmml">i</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.2.p2.9.m9.1b"><ci id="S4.SS1.2.p2.9.m9.1.1.cmml" xref="S4.SS1.2.p2.9.m9.1.1">𝑖</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.2.p2.9.m9.1c">i</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.2.p2.9.m9.1d">italic_i</annotation></semantics></math>, as this permutation must fix the <math alttext="t" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.2.p2.10.m10.1"><semantics id="S4.SS1.2.p2.10.m10.1a"><mi id="S4.SS1.2.p2.10.m10.1.1" xref="S4.SS1.2.p2.10.m10.1.1.cmml">t</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.2.p2.10.m10.1b"><ci id="S4.SS1.2.p2.10.m10.1.1.cmml" xref="S4.SS1.2.p2.10.m10.1.1">𝑡</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.2.p2.10.m10.1c">t</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.2.p2.10.m10.1d">italic_t</annotation></semantics></math>th element. The complement of <math alttext="\mathfrak{D}_{N}^{(t)}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.2.p2.11.m11.1"><semantics id="S4.SS1.2.p2.11.m11.1a"><msubsup id="S4.SS1.2.p2.11.m11.1.2" xref="S4.SS1.2.p2.11.m11.1.2.cmml"><mi id="S4.SS1.2.p2.11.m11.1.2.2.2" xref="S4.SS1.2.p2.11.m11.1.2.2.2.cmml">𝔇</mi><mi id="S4.SS1.2.p2.11.m11.1.2.2.3" xref="S4.SS1.2.p2.11.m11.1.2.2.3.cmml">N</mi><mrow id="S4.SS1.2.p2.11.m11.1.1.1.3" xref="S4.SS1.2.p2.11.m11.1.2.cmml"><mo id="S4.SS1.2.p2.11.m11.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S4.SS1.2.p2.11.m11.1.2.cmml">(</mo><mi id="S4.SS1.2.p2.11.m11.1.1.1.1" xref="S4.SS1.2.p2.11.m11.1.1.1.1.cmml">t</mi><mo id="S4.SS1.2.p2.11.m11.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S4.SS1.2.p2.11.m11.1.2.cmml">)</mo></mrow></msubsup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.2.p2.11.m11.1b"><apply id="S4.SS1.2.p2.11.m11.1.2.cmml" xref="S4.SS1.2.p2.11.m11.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.2.p2.11.m11.1.2.1.cmml" xref="S4.SS1.2.p2.11.m11.1.2">superscript</csymbol><apply id="S4.SS1.2.p2.11.m11.1.2.2.cmml" xref="S4.SS1.2.p2.11.m11.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.2.p2.11.m11.1.2.2.1.cmml" xref="S4.SS1.2.p2.11.m11.1.2">subscript</csymbol><ci id="S4.SS1.2.p2.11.m11.1.2.2.2.cmml" xref="S4.SS1.2.p2.11.m11.1.2.2.2">𝔇</ci><ci id="S4.SS1.2.p2.11.m11.1.2.2.3.cmml" xref="S4.SS1.2.p2.11.m11.1.2.2.3">𝑁</ci></apply><ci id="S4.SS1.2.p2.11.m11.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.2.p2.11.m11.1.1.1.1">𝑡</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.2.p2.11.m11.1c">\mathfrak{D}_{N}^{(t)}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.2.p2.11.m11.1d">fraktur_D start_POSTSUBSCRIPT italic_N end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_t ) end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> is therefore contained in <math alttext="S_{t}^{2}\circ S_{t-1}^{\times N}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.2.p2.12.m12.1"><semantics id="S4.SS1.2.p2.12.m12.1a"><mrow id="S4.SS1.2.p2.12.m12.1.1" xref="S4.SS1.2.p2.12.m12.1.1.cmml"><msubsup id="S4.SS1.2.p2.12.m12.1.1.2" xref="S4.SS1.2.p2.12.m12.1.1.2.cmml"><mi id="S4.SS1.2.p2.12.m12.1.1.2.2.2" xref="S4.SS1.2.p2.12.m12.1.1.2.2.2.cmml">S</mi><mi id="S4.SS1.2.p2.12.m12.1.1.2.2.3" xref="S4.SS1.2.p2.12.m12.1.1.2.2.3.cmml">t</mi><mn id="S4.SS1.2.p2.12.m12.1.1.2.3" xref="S4.SS1.2.p2.12.m12.1.1.2.3.cmml">2</mn></msubsup><mo id="S4.SS1.2.p2.12.m12.1.1.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S4.SS1.2.p2.12.m12.1.1.1.cmml">∘</mo><msubsup id="S4.SS1.2.p2.12.m12.1.1.3" xref="S4.SS1.2.p2.12.m12.1.1.3.cmml"><mi id="S4.SS1.2.p2.12.m12.1.1.3.2.2" xref="S4.SS1.2.p2.12.m12.1.1.3.2.2.cmml">S</mi><mrow id="S4.SS1.2.p2.12.m12.1.1.3.2.3" xref="S4.SS1.2.p2.12.m12.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="S4.SS1.2.p2.12.m12.1.1.3.2.3.2" xref="S4.SS1.2.p2.12.m12.1.1.3.2.3.2.cmml">t</mi><mo id="S4.SS1.2.p2.12.m12.1.1.3.2.3.1" xref="S4.SS1.2.p2.12.m12.1.1.3.2.3.1.cmml">−</mo><mn id="S4.SS1.2.p2.12.m12.1.1.3.2.3.3" xref="S4.SS1.2.p2.12.m12.1.1.3.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mrow id="S4.SS1.2.p2.12.m12.1.1.3.3" xref="S4.SS1.2.p2.12.m12.1.1.3.3.cmml"><mi id="S4.SS1.2.p2.12.m12.1.1.3.3.2" xref="S4.SS1.2.p2.12.m12.1.1.3.3.2.cmml"></mi><mo id="S4.SS1.2.p2.12.m12.1.1.3.3.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S4.SS1.2.p2.12.m12.1.1.3.3.1.cmml">×</mo><mi id="S4.SS1.2.p2.12.m12.1.1.3.3.3" xref="S4.SS1.2.p2.12.m12.1.1.3.3.3.cmml">N</mi></mrow></msubsup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.2.p2.12.m12.1b"><apply id="S4.SS1.2.p2.12.m12.1.1.cmml" xref="S4.SS1.2.p2.12.m12.1.1"><compose id="S4.SS1.2.p2.12.m12.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.2.p2.12.m12.1.1.1"></compose><apply id="S4.SS1.2.p2.12.m12.1.1.2.cmml" xref="S4.SS1.2.p2.12.m12.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.2.p2.12.m12.1.1.2.1.cmml" xref="S4.SS1.2.p2.12.m12.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="S4.SS1.2.p2.12.m12.1.1.2.2.cmml" xref="S4.SS1.2.p2.12.m12.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.2.p2.12.m12.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.SS1.2.p2.12.m12.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S4.SS1.2.p2.12.m12.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.SS1.2.p2.12.m12.1.1.2.2.2">𝑆</ci><ci id="S4.SS1.2.p2.12.m12.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.SS1.2.p2.12.m12.1.1.2.2.3">𝑡</ci></apply><cn id="S4.SS1.2.p2.12.m12.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS1.2.p2.12.m12.1.1.2.3">2</cn></apply><apply id="S4.SS1.2.p2.12.m12.1.1.3.cmml" xref="S4.SS1.2.p2.12.m12.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.2.p2.12.m12.1.1.3.1.cmml" xref="S4.SS1.2.p2.12.m12.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="S4.SS1.2.p2.12.m12.1.1.3.2.cmml" xref="S4.SS1.2.p2.12.m12.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.2.p2.12.m12.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.SS1.2.p2.12.m12.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.SS1.2.p2.12.m12.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.SS1.2.p2.12.m12.1.1.3.2.2">𝑆</ci><apply id="S4.SS1.2.p2.12.m12.1.1.3.2.3.cmml" xref="S4.SS1.2.p2.12.m12.1.1.3.2.3"><minus id="S4.SS1.2.p2.12.m12.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S4.SS1.2.p2.12.m12.1.1.3.2.3.1"></minus><ci id="S4.SS1.2.p2.12.m12.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S4.SS1.2.p2.12.m12.1.1.3.2.3.2">𝑡</ci><cn id="S4.SS1.2.p2.12.m12.1.1.3.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS1.2.p2.12.m12.1.1.3.2.3.3">1</cn></apply></apply><apply id="S4.SS1.2.p2.12.m12.1.1.3.3.cmml" xref="S4.SS1.2.p2.12.m12.1.1.3.3"><times id="S4.SS1.2.p2.12.m12.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.SS1.2.p2.12.m12.1.1.3.3.1"></times><csymbol cd="latexml" id="S4.SS1.2.p2.12.m12.1.1.3.3.2.cmml" xref="S4.SS1.2.p2.12.m12.1.1.3.3.2">absent</csymbol><ci id="S4.SS1.2.p2.12.m12.1.1.3.3.3.cmml" xref="S4.SS1.2.p2.12.m12.1.1.3.3.3">𝑁</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.2.p2.12.m12.1c">S_{t}^{2}\circ S_{t-1}^{\times N}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.2.p2.12.m12.1d">italic_S start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ∘ italic_S start_POSTSUBSCRIPT italic_t - 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT × italic_N end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S4.SS1.3.p3"> <p class="ltx_p" id="S4.SS1.3.p3.4">Now take a basis element <math alttext="\ket{\sigma_{1},...\sigma_{N}}\in S_{t}^{2}\circ S_{t-1}^{\times N}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.3.p3.1.m1.1"><semantics id="S4.SS1.3.p3.1.m1.1a"><mrow id="S4.SS1.3.p3.1.m1.1.2" xref="S4.SS1.3.p3.1.m1.1.2.cmml"><mrow id="S4.SS1.3.p3.1.m1.1.1.3" xref="S4.SS1.3.p3.1.m1.1.1.2.cmml"><mo id="S4.SS1.3.p3.1.m1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S4.SS1.3.p3.1.m1.1.1.2.1.cmml">|</mo><mrow id="S4.SS1.3.p3.1.m1.1.1.1.1.2" xref="S4.SS1.3.p3.1.m1.1.1.1.1.3.cmml"><msub id="S4.SS1.3.p3.1.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.SS1.3.p3.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.SS1.3.p3.1.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.SS1.3.p3.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">σ</mi><mn id="S4.SS1.3.p3.1.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.SS1.3.p3.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S4.SS1.3.p3.1.m1.1.1.1.1.2.3" xref="S4.SS1.3.p3.1.m1.1.1.1.1.3.cmml">,</mo><mrow id="S4.SS1.3.p3.1.m1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.SS1.3.p3.1.m1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S4.SS1.3.p3.1.m1.1.1.1.1.2.2.2" mathvariant="normal" xref="S4.SS1.3.p3.1.m1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">…</mi><mo id="S4.SS1.3.p3.1.m1.1.1.1.1.2.2.1" xref="S4.SS1.3.p3.1.m1.1.1.1.1.2.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S4.SS1.3.p3.1.m1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S4.SS1.3.p3.1.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="S4.SS1.3.p3.1.m1.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="S4.SS1.3.p3.1.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml">σ</mi><mi id="S4.SS1.3.p3.1.m1.1.1.1.1.2.2.3.3" xref="S4.SS1.3.p3.1.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml">N</mi></msub></mrow></mrow><mo id="S4.SS1.3.p3.1.m1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S4.SS1.3.p3.1.m1.1.1.2.1.cmml">⟩</mo></mrow><mo id="S4.SS1.3.p3.1.m1.1.2.1" xref="S4.SS1.3.p3.1.m1.1.2.1.cmml">∈</mo><mrow id="S4.SS1.3.p3.1.m1.1.2.2" xref="S4.SS1.3.p3.1.m1.1.2.2.cmml"><msubsup id="S4.SS1.3.p3.1.m1.1.2.2.2" xref="S4.SS1.3.p3.1.m1.1.2.2.2.cmml"><mi id="S4.SS1.3.p3.1.m1.1.2.2.2.2.2" xref="S4.SS1.3.p3.1.m1.1.2.2.2.2.2.cmml">S</mi><mi id="S4.SS1.3.p3.1.m1.1.2.2.2.2.3" xref="S4.SS1.3.p3.1.m1.1.2.2.2.2.3.cmml">t</mi><mn id="S4.SS1.3.p3.1.m1.1.2.2.2.3" xref="S4.SS1.3.p3.1.m1.1.2.2.2.3.cmml">2</mn></msubsup><mo id="S4.SS1.3.p3.1.m1.1.2.2.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S4.SS1.3.p3.1.m1.1.2.2.1.cmml">∘</mo><msubsup id="S4.SS1.3.p3.1.m1.1.2.2.3" xref="S4.SS1.3.p3.1.m1.1.2.2.3.cmml"><mi id="S4.SS1.3.p3.1.m1.1.2.2.3.2.2" xref="S4.SS1.3.p3.1.m1.1.2.2.3.2.2.cmml">S</mi><mrow id="S4.SS1.3.p3.1.m1.1.2.2.3.2.3" xref="S4.SS1.3.p3.1.m1.1.2.2.3.2.3.cmml"><mi id="S4.SS1.3.p3.1.m1.1.2.2.3.2.3.2" xref="S4.SS1.3.p3.1.m1.1.2.2.3.2.3.2.cmml">t</mi><mo id="S4.SS1.3.p3.1.m1.1.2.2.3.2.3.1" xref="S4.SS1.3.p3.1.m1.1.2.2.3.2.3.1.cmml">−</mo><mn id="S4.SS1.3.p3.1.m1.1.2.2.3.2.3.3" xref="S4.SS1.3.p3.1.m1.1.2.2.3.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mrow id="S4.SS1.3.p3.1.m1.1.2.2.3.3" xref="S4.SS1.3.p3.1.m1.1.2.2.3.3.cmml"><mi id="S4.SS1.3.p3.1.m1.1.2.2.3.3.2" xref="S4.SS1.3.p3.1.m1.1.2.2.3.3.2.cmml"></mi><mo id="S4.SS1.3.p3.1.m1.1.2.2.3.3.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S4.SS1.3.p3.1.m1.1.2.2.3.3.1.cmml">×</mo><mi id="S4.SS1.3.p3.1.m1.1.2.2.3.3.3" xref="S4.SS1.3.p3.1.m1.1.2.2.3.3.3.cmml">N</mi></mrow></msubsup></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.3.p3.1.m1.1b"><apply id="S4.SS1.3.p3.1.m1.1.2.cmml" xref="S4.SS1.3.p3.1.m1.1.2"><in id="S4.SS1.3.p3.1.m1.1.2.1.cmml" xref="S4.SS1.3.p3.1.m1.1.2.1"></in><apply id="S4.SS1.3.p3.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS1.3.p3.1.m1.1.1.3"><csymbol cd="latexml" id="S4.SS1.3.p3.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.SS1.3.p3.1.m1.1.1.3.1">ket</csymbol><list id="S4.SS1.3.p3.1.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.SS1.3.p3.1.m1.1.1.1.1.2"><apply id="S4.SS1.3.p3.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.3.p3.1.m1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.3.p3.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.3.p3.1.m1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.SS1.3.p3.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS1.3.p3.1.m1.1.1.1.1.1.1.2">𝜎</ci><cn id="S4.SS1.3.p3.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS1.3.p3.1.m1.1.1.1.1.1.1.3">1</cn></apply><apply id="S4.SS1.3.p3.1.m1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.SS1.3.p3.1.m1.1.1.1.1.2.2"><times id="S4.SS1.3.p3.1.m1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.SS1.3.p3.1.m1.1.1.1.1.2.2.1"></times><ci id="S4.SS1.3.p3.1.m1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.SS1.3.p3.1.m1.1.1.1.1.2.2.2">…</ci><apply id="S4.SS1.3.p3.1.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.SS1.3.p3.1.m1.1.1.1.1.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.3.p3.1.m1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S4.SS1.3.p3.1.m1.1.1.1.1.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S4.SS1.3.p3.1.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S4.SS1.3.p3.1.m1.1.1.1.1.2.2.3.2">𝜎</ci><ci id="S4.SS1.3.p3.1.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml" xref="S4.SS1.3.p3.1.m1.1.1.1.1.2.2.3.3">𝑁</ci></apply></apply></list></apply><apply id="S4.SS1.3.p3.1.m1.1.2.2.cmml" xref="S4.SS1.3.p3.1.m1.1.2.2"><compose id="S4.SS1.3.p3.1.m1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.SS1.3.p3.1.m1.1.2.2.1"></compose><apply id="S4.SS1.3.p3.1.m1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.SS1.3.p3.1.m1.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.3.p3.1.m1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S4.SS1.3.p3.1.m1.1.2.2.2">superscript</csymbol><apply id="S4.SS1.3.p3.1.m1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S4.SS1.3.p3.1.m1.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.3.p3.1.m1.1.2.2.2.2.1.cmml" xref="S4.SS1.3.p3.1.m1.1.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S4.SS1.3.p3.1.m1.1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.SS1.3.p3.1.m1.1.2.2.2.2.2">𝑆</ci><ci id="S4.SS1.3.p3.1.m1.1.2.2.2.2.3.cmml" xref="S4.SS1.3.p3.1.m1.1.2.2.2.2.3">𝑡</ci></apply><cn id="S4.SS1.3.p3.1.m1.1.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS1.3.p3.1.m1.1.2.2.2.3">2</cn></apply><apply id="S4.SS1.3.p3.1.m1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.SS1.3.p3.1.m1.1.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.3.p3.1.m1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S4.SS1.3.p3.1.m1.1.2.2.3">superscript</csymbol><apply id="S4.SS1.3.p3.1.m1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S4.SS1.3.p3.1.m1.1.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.3.p3.1.m1.1.2.2.3.2.1.cmml" xref="S4.SS1.3.p3.1.m1.1.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S4.SS1.3.p3.1.m1.1.2.2.3.2.2.cmml" xref="S4.SS1.3.p3.1.m1.1.2.2.3.2.2">𝑆</ci><apply id="S4.SS1.3.p3.1.m1.1.2.2.3.2.3.cmml" xref="S4.SS1.3.p3.1.m1.1.2.2.3.2.3"><minus id="S4.SS1.3.p3.1.m1.1.2.2.3.2.3.1.cmml" xref="S4.SS1.3.p3.1.m1.1.2.2.3.2.3.1"></minus><ci id="S4.SS1.3.p3.1.m1.1.2.2.3.2.3.2.cmml" xref="S4.SS1.3.p3.1.m1.1.2.2.3.2.3.2">𝑡</ci><cn id="S4.SS1.3.p3.1.m1.1.2.2.3.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS1.3.p3.1.m1.1.2.2.3.2.3.3">1</cn></apply></apply><apply id="S4.SS1.3.p3.1.m1.1.2.2.3.3.cmml" xref="S4.SS1.3.p3.1.m1.1.2.2.3.3"><times id="S4.SS1.3.p3.1.m1.1.2.2.3.3.1.cmml" xref="S4.SS1.3.p3.1.m1.1.2.2.3.3.1"></times><csymbol cd="latexml" id="S4.SS1.3.p3.1.m1.1.2.2.3.3.2.cmml" xref="S4.SS1.3.p3.1.m1.1.2.2.3.3.2">absent</csymbol><ci id="S4.SS1.3.p3.1.m1.1.2.2.3.3.3.cmml" xref="S4.SS1.3.p3.1.m1.1.2.2.3.3.3">𝑁</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.3.p3.1.m1.1c">\ket{\sigma_{1},...\sigma_{N}}\in S_{t}^{2}\circ S_{t-1}^{\times N}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.3.p3.1.m1.1d">| start_ARG italic_σ start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , … italic_σ start_POSTSUBSCRIPT italic_N end_POSTSUBSCRIPT end_ARG ⟩ ∈ italic_S start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ∘ italic_S start_POSTSUBSCRIPT italic_t - 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT × italic_N end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>. We must have some <math alttext="\pi,\rho,\tau_{1},...,\tau_{N}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.3.p3.2.m2.5"><semantics id="S4.SS1.3.p3.2.m2.5a"><mrow id="S4.SS1.3.p3.2.m2.5.5.2" xref="S4.SS1.3.p3.2.m2.5.5.3.cmml"><mi id="S4.SS1.3.p3.2.m2.1.1" xref="S4.SS1.3.p3.2.m2.1.1.cmml">π</mi><mo id="S4.SS1.3.p3.2.m2.5.5.2.3" xref="S4.SS1.3.p3.2.m2.5.5.3.cmml">,</mo><mi id="S4.SS1.3.p3.2.m2.2.2" xref="S4.SS1.3.p3.2.m2.2.2.cmml">ρ</mi><mo id="S4.SS1.3.p3.2.m2.5.5.2.4" xref="S4.SS1.3.p3.2.m2.5.5.3.cmml">,</mo><msub id="S4.SS1.3.p3.2.m2.4.4.1.1" xref="S4.SS1.3.p3.2.m2.4.4.1.1.cmml"><mi id="S4.SS1.3.p3.2.m2.4.4.1.1.2" xref="S4.SS1.3.p3.2.m2.4.4.1.1.2.cmml">τ</mi><mn id="S4.SS1.3.p3.2.m2.4.4.1.1.3" xref="S4.SS1.3.p3.2.m2.4.4.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S4.SS1.3.p3.2.m2.5.5.2.5" xref="S4.SS1.3.p3.2.m2.5.5.3.cmml">,</mo><mi id="S4.SS1.3.p3.2.m2.3.3" mathvariant="normal" xref="S4.SS1.3.p3.2.m2.3.3.cmml">…</mi><mo id="S4.SS1.3.p3.2.m2.5.5.2.6" xref="S4.SS1.3.p3.2.m2.5.5.3.cmml">,</mo><msub id="S4.SS1.3.p3.2.m2.5.5.2.2" xref="S4.SS1.3.p3.2.m2.5.5.2.2.cmml"><mi id="S4.SS1.3.p3.2.m2.5.5.2.2.2" xref="S4.SS1.3.p3.2.m2.5.5.2.2.2.cmml">τ</mi><mi id="S4.SS1.3.p3.2.m2.5.5.2.2.3" xref="S4.SS1.3.p3.2.m2.5.5.2.2.3.cmml">N</mi></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.3.p3.2.m2.5b"><list id="S4.SS1.3.p3.2.m2.5.5.3.cmml" xref="S4.SS1.3.p3.2.m2.5.5.2"><ci id="S4.SS1.3.p3.2.m2.1.1.cmml" xref="S4.SS1.3.p3.2.m2.1.1">𝜋</ci><ci id="S4.SS1.3.p3.2.m2.2.2.cmml" xref="S4.SS1.3.p3.2.m2.2.2">𝜌</ci><apply id="S4.SS1.3.p3.2.m2.4.4.1.1.cmml" xref="S4.SS1.3.p3.2.m2.4.4.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.3.p3.2.m2.4.4.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.3.p3.2.m2.4.4.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.SS1.3.p3.2.m2.4.4.1.1.2.cmml" xref="S4.SS1.3.p3.2.m2.4.4.1.1.2">𝜏</ci><cn id="S4.SS1.3.p3.2.m2.4.4.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS1.3.p3.2.m2.4.4.1.1.3">1</cn></apply><ci id="S4.SS1.3.p3.2.m2.3.3.cmml" xref="S4.SS1.3.p3.2.m2.3.3">…</ci><apply id="S4.SS1.3.p3.2.m2.5.5.2.2.cmml" xref="S4.SS1.3.p3.2.m2.5.5.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.3.p3.2.m2.5.5.2.2.1.cmml" xref="S4.SS1.3.p3.2.m2.5.5.2.2">subscript</csymbol><ci id="S4.SS1.3.p3.2.m2.5.5.2.2.2.cmml" xref="S4.SS1.3.p3.2.m2.5.5.2.2.2">𝜏</ci><ci id="S4.SS1.3.p3.2.m2.5.5.2.2.3.cmml" xref="S4.SS1.3.p3.2.m2.5.5.2.2.3">𝑁</ci></apply></list></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.3.p3.2.m2.5c">\pi,\rho,\tau_{1},...,\tau_{N}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.3.p3.2.m2.5d">italic_π , italic_ρ , italic_τ start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , … , italic_τ start_POSTSUBSCRIPT italic_N end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> such that <math alttext="\sigma_{i}=\pi\tau_{i}\rho" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.3.p3.3.m3.1"><semantics id="S4.SS1.3.p3.3.m3.1a"><mrow id="S4.SS1.3.p3.3.m3.1.1" xref="S4.SS1.3.p3.3.m3.1.1.cmml"><msub id="S4.SS1.3.p3.3.m3.1.1.2" xref="S4.SS1.3.p3.3.m3.1.1.2.cmml"><mi id="S4.SS1.3.p3.3.m3.1.1.2.2" xref="S4.SS1.3.p3.3.m3.1.1.2.2.cmml">σ</mi><mi id="S4.SS1.3.p3.3.m3.1.1.2.3" xref="S4.SS1.3.p3.3.m3.1.1.2.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S4.SS1.3.p3.3.m3.1.1.1" xref="S4.SS1.3.p3.3.m3.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S4.SS1.3.p3.3.m3.1.1.3" xref="S4.SS1.3.p3.3.m3.1.1.3.cmml"><mi id="S4.SS1.3.p3.3.m3.1.1.3.2" xref="S4.SS1.3.p3.3.m3.1.1.3.2.cmml">π</mi><mo id="S4.SS1.3.p3.3.m3.1.1.3.1" xref="S4.SS1.3.p3.3.m3.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S4.SS1.3.p3.3.m3.1.1.3.3" xref="S4.SS1.3.p3.3.m3.1.1.3.3.cmml"><mi id="S4.SS1.3.p3.3.m3.1.1.3.3.2" xref="S4.SS1.3.p3.3.m3.1.1.3.3.2.cmml">τ</mi><mi id="S4.SS1.3.p3.3.m3.1.1.3.3.3" xref="S4.SS1.3.p3.3.m3.1.1.3.3.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S4.SS1.3.p3.3.m3.1.1.3.1a" xref="S4.SS1.3.p3.3.m3.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.SS1.3.p3.3.m3.1.1.3.4" xref="S4.SS1.3.p3.3.m3.1.1.3.4.cmml">ρ</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.3.p3.3.m3.1b"><apply id="S4.SS1.3.p3.3.m3.1.1.cmml" xref="S4.SS1.3.p3.3.m3.1.1"><eq id="S4.SS1.3.p3.3.m3.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.3.p3.3.m3.1.1.1"></eq><apply id="S4.SS1.3.p3.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S4.SS1.3.p3.3.m3.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.3.p3.3.m3.1.1.2.1.cmml" xref="S4.SS1.3.p3.3.m3.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S4.SS1.3.p3.3.m3.1.1.2.2.cmml" xref="S4.SS1.3.p3.3.m3.1.1.2.2">𝜎</ci><ci id="S4.SS1.3.p3.3.m3.1.1.2.3.cmml" xref="S4.SS1.3.p3.3.m3.1.1.2.3">𝑖</ci></apply><apply id="S4.SS1.3.p3.3.m3.1.1.3.cmml" xref="S4.SS1.3.p3.3.m3.1.1.3"><times id="S4.SS1.3.p3.3.m3.1.1.3.1.cmml" xref="S4.SS1.3.p3.3.m3.1.1.3.1"></times><ci id="S4.SS1.3.p3.3.m3.1.1.3.2.cmml" xref="S4.SS1.3.p3.3.m3.1.1.3.2">𝜋</ci><apply id="S4.SS1.3.p3.3.m3.1.1.3.3.cmml" xref="S4.SS1.3.p3.3.m3.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.3.p3.3.m3.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.SS1.3.p3.3.m3.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S4.SS1.3.p3.3.m3.1.1.3.3.2.cmml" xref="S4.SS1.3.p3.3.m3.1.1.3.3.2">𝜏</ci><ci id="S4.SS1.3.p3.3.m3.1.1.3.3.3.cmml" xref="S4.SS1.3.p3.3.m3.1.1.3.3.3">𝑖</ci></apply><ci id="S4.SS1.3.p3.3.m3.1.1.3.4.cmml" xref="S4.SS1.3.p3.3.m3.1.1.3.4">𝜌</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.3.p3.3.m3.1c">\sigma_{i}=\pi\tau_{i}\rho</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.3.p3.3.m3.1d">italic_σ start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT = italic_π italic_τ start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT italic_ρ</annotation></semantics></math> for all <math alttext="i" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.3.p3.4.m4.1"><semantics id="S4.SS1.3.p3.4.m4.1a"><mi id="S4.SS1.3.p3.4.m4.1.1" xref="S4.SS1.3.p3.4.m4.1.1.cmml">i</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.3.p3.4.m4.1b"><ci id="S4.SS1.3.p3.4.m4.1.1.cmml" xref="S4.SS1.3.p3.4.m4.1.1">𝑖</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.3.p3.4.m4.1c">i</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.3.p3.4.m4.1d">italic_i</annotation></semantics></math>. Therefore</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_gather ltx_eqn_table" id="S6.EGx41"> <tbody id="S4.E45"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\displaystyle\sigma_{1}^{-1}\sigma_{i}=\rho^{-1}\left(\tau_{1}^{-1}\tau_{i}% \right)\rho" class="ltx_Math" display="block" id="S4.E45.m1.1"><semantics id="S4.E45.m1.1a"><mrow id="S4.E45.m1.1.1" xref="S4.E45.m1.1.1.cmml"><mrow id="S4.E45.m1.1.1.3" xref="S4.E45.m1.1.1.3.cmml"><msubsup id="S4.E45.m1.1.1.3.2" xref="S4.E45.m1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S4.E45.m1.1.1.3.2.2.2" xref="S4.E45.m1.1.1.3.2.2.2.cmml">σ</mi><mn id="S4.E45.m1.1.1.3.2.2.3" xref="S4.E45.m1.1.1.3.2.2.3.cmml">1</mn><mrow id="S4.E45.m1.1.1.3.2.3" xref="S4.E45.m1.1.1.3.2.3.cmml"><mo id="S4.E45.m1.1.1.3.2.3a" xref="S4.E45.m1.1.1.3.2.3.cmml">−</mo><mn id="S4.E45.m1.1.1.3.2.3.2" xref="S4.E45.m1.1.1.3.2.3.2.cmml">1</mn></mrow></msubsup><mo id="S4.E45.m1.1.1.3.1" xref="S4.E45.m1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S4.E45.m1.1.1.3.3" xref="S4.E45.m1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S4.E45.m1.1.1.3.3.2" xref="S4.E45.m1.1.1.3.3.2.cmml">σ</mi><mi id="S4.E45.m1.1.1.3.3.3" xref="S4.E45.m1.1.1.3.3.3.cmml">i</mi></msub></mrow><mo id="S4.E45.m1.1.1.2" xref="S4.E45.m1.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S4.E45.m1.1.1.1" xref="S4.E45.m1.1.1.1.cmml"><msup id="S4.E45.m1.1.1.1.3" xref="S4.E45.m1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.E45.m1.1.1.1.3.2" xref="S4.E45.m1.1.1.1.3.2.cmml">ρ</mi><mrow id="S4.E45.m1.1.1.1.3.3" xref="S4.E45.m1.1.1.1.3.3.cmml"><mo id="S4.E45.m1.1.1.1.3.3a" xref="S4.E45.m1.1.1.1.3.3.cmml">−</mo><mn id="S4.E45.m1.1.1.1.3.3.2" xref="S4.E45.m1.1.1.1.3.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="S4.E45.m1.1.1.1.2" xref="S4.E45.m1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E45.m1.1.1.1.1.1" xref="S4.E45.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.E45.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.E45.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.E45.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E45.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msubsup id="S4.E45.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.E45.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.E45.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S4.E45.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">τ</mi><mn id="S4.E45.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S4.E45.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">1</mn><mrow id="S4.E45.m1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S4.E45.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mo id="S4.E45.m1.1.1.1.1.1.1.2.3a" xref="S4.E45.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">−</mo><mn id="S4.E45.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S4.E45.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">1</mn></mrow></msubsup><mo id="S4.E45.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E45.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S4.E45.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.E45.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.E45.m1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.E45.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">τ</mi><mi id="S4.E45.m1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.E45.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">i</mi></msub></mrow><mo id="S4.E45.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.E45.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S4.E45.m1.1.1.1.2a" xref="S4.E45.m1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E45.m1.1.1.1.4" xref="S4.E45.m1.1.1.1.4.cmml">ρ</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.E45.m1.1b"><apply id="S4.E45.m1.1.1.cmml" xref="S4.E45.m1.1.1"><eq id="S4.E45.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.E45.m1.1.1.2"></eq><apply id="S4.E45.m1.1.1.3.cmml" xref="S4.E45.m1.1.1.3"><times id="S4.E45.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E45.m1.1.1.3.1"></times><apply id="S4.E45.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.E45.m1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E45.m1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.E45.m1.1.1.3.2">superscript</csymbol><apply id="S4.E45.m1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.E45.m1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E45.m1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S4.E45.m1.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S4.E45.m1.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S4.E45.m1.1.1.3.2.2.2">𝜎</ci><cn id="S4.E45.m1.1.1.3.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.E45.m1.1.1.3.2.2.3">1</cn></apply><apply id="S4.E45.m1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S4.E45.m1.1.1.3.2.3"><minus id="S4.E45.m1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S4.E45.m1.1.1.3.2.3"></minus><cn id="S4.E45.m1.1.1.3.2.3.2.cmml" type="integer" xref="S4.E45.m1.1.1.3.2.3.2">1</cn></apply></apply><apply id="S4.E45.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.E45.m1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E45.m1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.E45.m1.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S4.E45.m1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S4.E45.m1.1.1.3.3.2">𝜎</ci><ci id="S4.E45.m1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S4.E45.m1.1.1.3.3.3">𝑖</ci></apply></apply><apply id="S4.E45.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.E45.m1.1.1.1"><times id="S4.E45.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E45.m1.1.1.1.2"></times><apply id="S4.E45.m1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E45.m1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E45.m1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E45.m1.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S4.E45.m1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.E45.m1.1.1.1.3.2">𝜌</ci><apply id="S4.E45.m1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.E45.m1.1.1.1.3.3"><minus id="S4.E45.m1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.E45.m1.1.1.1.3.3"></minus><cn id="S4.E45.m1.1.1.1.3.3.2.cmml" type="integer" xref="S4.E45.m1.1.1.1.3.3.2">1</cn></apply></apply><apply id="S4.E45.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E45.m1.1.1.1.1.1"><times id="S4.E45.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E45.m1.1.1.1.1.1.1.1"></times><apply id="S4.E45.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E45.m1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E45.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.E45.m1.1.1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="S4.E45.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.E45.m1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E45.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.E45.m1.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S4.E45.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.E45.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2">𝜏</ci><cn id="S4.E45.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.E45.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3">1</cn></apply><apply id="S4.E45.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.E45.m1.1.1.1.1.1.1.2.3"><minus id="S4.E45.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S4.E45.m1.1.1.1.1.1.1.2.3"></minus><cn id="S4.E45.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" type="integer" xref="S4.E45.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2">1</cn></apply></apply><apply id="S4.E45.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E45.m1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E45.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E45.m1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.E45.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.E45.m1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝜏</ci><ci id="S4.E45.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.E45.m1.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑖</ci></apply></apply><ci id="S4.E45.m1.1.1.1.4.cmml" xref="S4.E45.m1.1.1.1.4">𝜌</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.E45.m1.1c">\displaystyle\sigma_{1}^{-1}\sigma_{i}=\rho^{-1}\left(\tau_{1}^{-1}\tau_{i}% \right)\rho</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.E45.m1.1d">italic_σ start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT italic_σ start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT = italic_ρ start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_τ start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT italic_τ start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT ) italic_ρ</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(45)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S4.SS1.3.p3.12">is a conjugation by <math alttext="\rho" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.3.p3.5.m1.1"><semantics id="S4.SS1.3.p3.5.m1.1a"><mi id="S4.SS1.3.p3.5.m1.1.1" xref="S4.SS1.3.p3.5.m1.1.1.cmml">ρ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.3.p3.5.m1.1b"><ci id="S4.SS1.3.p3.5.m1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.3.p3.5.m1.1.1">𝜌</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.3.p3.5.m1.1c">\rho</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.3.p3.5.m1.1d">italic_ρ</annotation></semantics></math> of a permutation in <math alttext="S_{t-1}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.3.p3.6.m2.1"><semantics id="S4.SS1.3.p3.6.m2.1a"><msub id="S4.SS1.3.p3.6.m2.1.1" xref="S4.SS1.3.p3.6.m2.1.1.cmml"><mi id="S4.SS1.3.p3.6.m2.1.1.2" xref="S4.SS1.3.p3.6.m2.1.1.2.cmml">S</mi><mrow id="S4.SS1.3.p3.6.m2.1.1.3" xref="S4.SS1.3.p3.6.m2.1.1.3.cmml"><mi id="S4.SS1.3.p3.6.m2.1.1.3.2" xref="S4.SS1.3.p3.6.m2.1.1.3.2.cmml">t</mi><mo id="S4.SS1.3.p3.6.m2.1.1.3.1" xref="S4.SS1.3.p3.6.m2.1.1.3.1.cmml">−</mo><mn id="S4.SS1.3.p3.6.m2.1.1.3.3" xref="S4.SS1.3.p3.6.m2.1.1.3.3.cmml">1</mn></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.3.p3.6.m2.1b"><apply id="S4.SS1.3.p3.6.m2.1.1.cmml" xref="S4.SS1.3.p3.6.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.3.p3.6.m2.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.3.p3.6.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.SS1.3.p3.6.m2.1.1.2.cmml" xref="S4.SS1.3.p3.6.m2.1.1.2">𝑆</ci><apply id="S4.SS1.3.p3.6.m2.1.1.3.cmml" xref="S4.SS1.3.p3.6.m2.1.1.3"><minus id="S4.SS1.3.p3.6.m2.1.1.3.1.cmml" xref="S4.SS1.3.p3.6.m2.1.1.3.1"></minus><ci id="S4.SS1.3.p3.6.m2.1.1.3.2.cmml" xref="S4.SS1.3.p3.6.m2.1.1.3.2">𝑡</ci><cn id="S4.SS1.3.p3.6.m2.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS1.3.p3.6.m2.1.1.3.3">1</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.3.p3.6.m2.1c">S_{t-1}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.3.p3.6.m2.1d">italic_S start_POSTSUBSCRIPT italic_t - 1 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> - therefore, it must leave the element <math alttext="\rho^{-1}(t)" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.3.p3.7.m3.1"><semantics id="S4.SS1.3.p3.7.m3.1a"><mrow id="S4.SS1.3.p3.7.m3.1.2" xref="S4.SS1.3.p3.7.m3.1.2.cmml"><msup id="S4.SS1.3.p3.7.m3.1.2.2" xref="S4.SS1.3.p3.7.m3.1.2.2.cmml"><mi id="S4.SS1.3.p3.7.m3.1.2.2.2" xref="S4.SS1.3.p3.7.m3.1.2.2.2.cmml">ρ</mi><mrow id="S4.SS1.3.p3.7.m3.1.2.2.3" xref="S4.SS1.3.p3.7.m3.1.2.2.3.cmml"><mo id="S4.SS1.3.p3.7.m3.1.2.2.3a" xref="S4.SS1.3.p3.7.m3.1.2.2.3.cmml">−</mo><mn id="S4.SS1.3.p3.7.m3.1.2.2.3.2" xref="S4.SS1.3.p3.7.m3.1.2.2.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="S4.SS1.3.p3.7.m3.1.2.1" xref="S4.SS1.3.p3.7.m3.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.SS1.3.p3.7.m3.1.2.3.2" xref="S4.SS1.3.p3.7.m3.1.2.cmml"><mo id="S4.SS1.3.p3.7.m3.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.SS1.3.p3.7.m3.1.2.cmml">(</mo><mi id="S4.SS1.3.p3.7.m3.1.1" xref="S4.SS1.3.p3.7.m3.1.1.cmml">t</mi><mo id="S4.SS1.3.p3.7.m3.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S4.SS1.3.p3.7.m3.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.3.p3.7.m3.1b"><apply id="S4.SS1.3.p3.7.m3.1.2.cmml" xref="S4.SS1.3.p3.7.m3.1.2"><times id="S4.SS1.3.p3.7.m3.1.2.1.cmml" xref="S4.SS1.3.p3.7.m3.1.2.1"></times><apply id="S4.SS1.3.p3.7.m3.1.2.2.cmml" xref="S4.SS1.3.p3.7.m3.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.3.p3.7.m3.1.2.2.1.cmml" xref="S4.SS1.3.p3.7.m3.1.2.2">superscript</csymbol><ci id="S4.SS1.3.p3.7.m3.1.2.2.2.cmml" xref="S4.SS1.3.p3.7.m3.1.2.2.2">𝜌</ci><apply id="S4.SS1.3.p3.7.m3.1.2.2.3.cmml" xref="S4.SS1.3.p3.7.m3.1.2.2.3"><minus id="S4.SS1.3.p3.7.m3.1.2.2.3.1.cmml" xref="S4.SS1.3.p3.7.m3.1.2.2.3"></minus><cn id="S4.SS1.3.p3.7.m3.1.2.2.3.2.cmml" type="integer" xref="S4.SS1.3.p3.7.m3.1.2.2.3.2">1</cn></apply></apply><ci id="S4.SS1.3.p3.7.m3.1.1.cmml" xref="S4.SS1.3.p3.7.m3.1.1">𝑡</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.3.p3.7.m3.1c">\rho^{-1}(t)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.3.p3.7.m3.1d">italic_ρ start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_t )</annotation></semantics></math> fixed. This is true for all <math alttext="i>1" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.3.p3.8.m4.1"><semantics id="S4.SS1.3.p3.8.m4.1a"><mrow id="S4.SS1.3.p3.8.m4.1.1" xref="S4.SS1.3.p3.8.m4.1.1.cmml"><mi id="S4.SS1.3.p3.8.m4.1.1.2" xref="S4.SS1.3.p3.8.m4.1.1.2.cmml">i</mi><mo id="S4.SS1.3.p3.8.m4.1.1.1" xref="S4.SS1.3.p3.8.m4.1.1.1.cmml">></mo><mn id="S4.SS1.3.p3.8.m4.1.1.3" xref="S4.SS1.3.p3.8.m4.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.3.p3.8.m4.1b"><apply id="S4.SS1.3.p3.8.m4.1.1.cmml" xref="S4.SS1.3.p3.8.m4.1.1"><gt id="S4.SS1.3.p3.8.m4.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.3.p3.8.m4.1.1.1"></gt><ci id="S4.SS1.3.p3.8.m4.1.1.2.cmml" xref="S4.SS1.3.p3.8.m4.1.1.2">𝑖</ci><cn id="S4.SS1.3.p3.8.m4.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS1.3.p3.8.m4.1.1.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.3.p3.8.m4.1c">i>1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.3.p3.8.m4.1d">italic_i > 1</annotation></semantics></math>, however, so <math alttext="\ket{\sigma_{1},...,\sigma_{N}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.3.p3.9.m5.1"><semantics id="S4.SS1.3.p3.9.m5.1a"><mrow id="S4.SS1.3.p3.9.m5.1.1.3" xref="S4.SS1.3.p3.9.m5.1.1.2.cmml"><mo id="S4.SS1.3.p3.9.m5.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S4.SS1.3.p3.9.m5.1.1.2.1.cmml">|</mo><mrow id="S4.SS1.3.p3.9.m5.1.1.1.1.3" xref="S4.SS1.3.p3.9.m5.1.1.1.1.4.cmml"><msub id="S4.SS1.3.p3.9.m5.1.1.1.1.2.1" xref="S4.SS1.3.p3.9.m5.1.1.1.1.2.1.cmml"><mi id="S4.SS1.3.p3.9.m5.1.1.1.1.2.1.2" xref="S4.SS1.3.p3.9.m5.1.1.1.1.2.1.2.cmml">σ</mi><mn id="S4.SS1.3.p3.9.m5.1.1.1.1.2.1.3" xref="S4.SS1.3.p3.9.m5.1.1.1.1.2.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S4.SS1.3.p3.9.m5.1.1.1.1.3.3" xref="S4.SS1.3.p3.9.m5.1.1.1.1.4.cmml">,</mo><mi id="S4.SS1.3.p3.9.m5.1.1.1.1.1" mathvariant="normal" xref="S4.SS1.3.p3.9.m5.1.1.1.1.1.cmml">…</mi><mo id="S4.SS1.3.p3.9.m5.1.1.1.1.3.4" xref="S4.SS1.3.p3.9.m5.1.1.1.1.4.cmml">,</mo><msub id="S4.SS1.3.p3.9.m5.1.1.1.1.3.2" xref="S4.SS1.3.p3.9.m5.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S4.SS1.3.p3.9.m5.1.1.1.1.3.2.2" xref="S4.SS1.3.p3.9.m5.1.1.1.1.3.2.2.cmml">σ</mi><mi id="S4.SS1.3.p3.9.m5.1.1.1.1.3.2.3" xref="S4.SS1.3.p3.9.m5.1.1.1.1.3.2.3.cmml">N</mi></msub></mrow><mo id="S4.SS1.3.p3.9.m5.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S4.SS1.3.p3.9.m5.1.1.2.1.cmml">⟩</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.3.p3.9.m5.1b"><apply id="S4.SS1.3.p3.9.m5.1.1.2.cmml" xref="S4.SS1.3.p3.9.m5.1.1.3"><csymbol cd="latexml" id="S4.SS1.3.p3.9.m5.1.1.2.1.cmml" xref="S4.SS1.3.p3.9.m5.1.1.3.1">ket</csymbol><list id="S4.SS1.3.p3.9.m5.1.1.1.1.4.cmml" xref="S4.SS1.3.p3.9.m5.1.1.1.1.3"><apply id="S4.SS1.3.p3.9.m5.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.SS1.3.p3.9.m5.1.1.1.1.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.3.p3.9.m5.1.1.1.1.2.1.1.cmml" xref="S4.SS1.3.p3.9.m5.1.1.1.1.2.1">subscript</csymbol><ci id="S4.SS1.3.p3.9.m5.1.1.1.1.2.1.2.cmml" xref="S4.SS1.3.p3.9.m5.1.1.1.1.2.1.2">𝜎</ci><cn id="S4.SS1.3.p3.9.m5.1.1.1.1.2.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS1.3.p3.9.m5.1.1.1.1.2.1.3">1</cn></apply><ci id="S4.SS1.3.p3.9.m5.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.3.p3.9.m5.1.1.1.1.1">…</ci><apply id="S4.SS1.3.p3.9.m5.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.SS1.3.p3.9.m5.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.3.p3.9.m5.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.SS1.3.p3.9.m5.1.1.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S4.SS1.3.p3.9.m5.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.SS1.3.p3.9.m5.1.1.1.1.3.2.2">𝜎</ci><ci id="S4.SS1.3.p3.9.m5.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S4.SS1.3.p3.9.m5.1.1.1.1.3.2.3">𝑁</ci></apply></list></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.3.p3.9.m5.1c">\ket{\sigma_{1},...,\sigma_{N}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.3.p3.9.m5.1d">| start_ARG italic_σ start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , … , italic_σ start_POSTSUBSCRIPT italic_N end_POSTSUBSCRIPT end_ARG ⟩</annotation></semantics></math> is not in <math alttext="\mathfrak{D}_{N}^{(t)}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.3.p3.10.m6.1"><semantics id="S4.SS1.3.p3.10.m6.1a"><msubsup id="S4.SS1.3.p3.10.m6.1.2" xref="S4.SS1.3.p3.10.m6.1.2.cmml"><mi id="S4.SS1.3.p3.10.m6.1.2.2.2" xref="S4.SS1.3.p3.10.m6.1.2.2.2.cmml">𝔇</mi><mi id="S4.SS1.3.p3.10.m6.1.2.2.3" xref="S4.SS1.3.p3.10.m6.1.2.2.3.cmml">N</mi><mrow id="S4.SS1.3.p3.10.m6.1.1.1.3" xref="S4.SS1.3.p3.10.m6.1.2.cmml"><mo id="S4.SS1.3.p3.10.m6.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S4.SS1.3.p3.10.m6.1.2.cmml">(</mo><mi id="S4.SS1.3.p3.10.m6.1.1.1.1" xref="S4.SS1.3.p3.10.m6.1.1.1.1.cmml">t</mi><mo id="S4.SS1.3.p3.10.m6.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S4.SS1.3.p3.10.m6.1.2.cmml">)</mo></mrow></msubsup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.3.p3.10.m6.1b"><apply id="S4.SS1.3.p3.10.m6.1.2.cmml" xref="S4.SS1.3.p3.10.m6.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.3.p3.10.m6.1.2.1.cmml" xref="S4.SS1.3.p3.10.m6.1.2">superscript</csymbol><apply id="S4.SS1.3.p3.10.m6.1.2.2.cmml" xref="S4.SS1.3.p3.10.m6.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.3.p3.10.m6.1.2.2.1.cmml" xref="S4.SS1.3.p3.10.m6.1.2">subscript</csymbol><ci id="S4.SS1.3.p3.10.m6.1.2.2.2.cmml" xref="S4.SS1.3.p3.10.m6.1.2.2.2">𝔇</ci><ci id="S4.SS1.3.p3.10.m6.1.2.2.3.cmml" xref="S4.SS1.3.p3.10.m6.1.2.2.3">𝑁</ci></apply><ci id="S4.SS1.3.p3.10.m6.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.3.p3.10.m6.1.1.1.1">𝑡</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.3.p3.10.m6.1c">\mathfrak{D}_{N}^{(t)}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.3.p3.10.m6.1d">fraktur_D start_POSTSUBSCRIPT italic_N end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_t ) end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>. Hence, the complement of <math alttext="\mathfrak{D}_{N}^{(t)}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.3.p3.11.m7.1"><semantics id="S4.SS1.3.p3.11.m7.1a"><msubsup id="S4.SS1.3.p3.11.m7.1.2" xref="S4.SS1.3.p3.11.m7.1.2.cmml"><mi id="S4.SS1.3.p3.11.m7.1.2.2.2" xref="S4.SS1.3.p3.11.m7.1.2.2.2.cmml">𝔇</mi><mi id="S4.SS1.3.p3.11.m7.1.2.2.3" xref="S4.SS1.3.p3.11.m7.1.2.2.3.cmml">N</mi><mrow id="S4.SS1.3.p3.11.m7.1.1.1.3" xref="S4.SS1.3.p3.11.m7.1.2.cmml"><mo id="S4.SS1.3.p3.11.m7.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S4.SS1.3.p3.11.m7.1.2.cmml">(</mo><mi id="S4.SS1.3.p3.11.m7.1.1.1.1" xref="S4.SS1.3.p3.11.m7.1.1.1.1.cmml">t</mi><mo id="S4.SS1.3.p3.11.m7.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S4.SS1.3.p3.11.m7.1.2.cmml">)</mo></mrow></msubsup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.3.p3.11.m7.1b"><apply id="S4.SS1.3.p3.11.m7.1.2.cmml" xref="S4.SS1.3.p3.11.m7.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.3.p3.11.m7.1.2.1.cmml" xref="S4.SS1.3.p3.11.m7.1.2">superscript</csymbol><apply id="S4.SS1.3.p3.11.m7.1.2.2.cmml" xref="S4.SS1.3.p3.11.m7.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.3.p3.11.m7.1.2.2.1.cmml" xref="S4.SS1.3.p3.11.m7.1.2">subscript</csymbol><ci id="S4.SS1.3.p3.11.m7.1.2.2.2.cmml" xref="S4.SS1.3.p3.11.m7.1.2.2.2">𝔇</ci><ci id="S4.SS1.3.p3.11.m7.1.2.2.3.cmml" xref="S4.SS1.3.p3.11.m7.1.2.2.3">𝑁</ci></apply><ci id="S4.SS1.3.p3.11.m7.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.3.p3.11.m7.1.1.1.1">𝑡</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.3.p3.11.m7.1c">\mathfrak{D}_{N}^{(t)}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.3.p3.11.m7.1d">fraktur_D start_POSTSUBSCRIPT italic_N end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_t ) end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> also contains all of <math alttext="S_{t}^{2}\circ S_{t-1}^{\times N}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.3.p3.12.m8.1"><semantics id="S4.SS1.3.p3.12.m8.1a"><mrow id="S4.SS1.3.p3.12.m8.1.1" xref="S4.SS1.3.p3.12.m8.1.1.cmml"><msubsup id="S4.SS1.3.p3.12.m8.1.1.2" xref="S4.SS1.3.p3.12.m8.1.1.2.cmml"><mi id="S4.SS1.3.p3.12.m8.1.1.2.2.2" xref="S4.SS1.3.p3.12.m8.1.1.2.2.2.cmml">S</mi><mi id="S4.SS1.3.p3.12.m8.1.1.2.2.3" xref="S4.SS1.3.p3.12.m8.1.1.2.2.3.cmml">t</mi><mn id="S4.SS1.3.p3.12.m8.1.1.2.3" xref="S4.SS1.3.p3.12.m8.1.1.2.3.cmml">2</mn></msubsup><mo id="S4.SS1.3.p3.12.m8.1.1.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S4.SS1.3.p3.12.m8.1.1.1.cmml">∘</mo><msubsup id="S4.SS1.3.p3.12.m8.1.1.3" xref="S4.SS1.3.p3.12.m8.1.1.3.cmml"><mi id="S4.SS1.3.p3.12.m8.1.1.3.2.2" xref="S4.SS1.3.p3.12.m8.1.1.3.2.2.cmml">S</mi><mrow id="S4.SS1.3.p3.12.m8.1.1.3.2.3" xref="S4.SS1.3.p3.12.m8.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="S4.SS1.3.p3.12.m8.1.1.3.2.3.2" xref="S4.SS1.3.p3.12.m8.1.1.3.2.3.2.cmml">t</mi><mo id="S4.SS1.3.p3.12.m8.1.1.3.2.3.1" xref="S4.SS1.3.p3.12.m8.1.1.3.2.3.1.cmml">−</mo><mn id="S4.SS1.3.p3.12.m8.1.1.3.2.3.3" xref="S4.SS1.3.p3.12.m8.1.1.3.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mrow id="S4.SS1.3.p3.12.m8.1.1.3.3" xref="S4.SS1.3.p3.12.m8.1.1.3.3.cmml"><mi id="S4.SS1.3.p3.12.m8.1.1.3.3.2" xref="S4.SS1.3.p3.12.m8.1.1.3.3.2.cmml"></mi><mo id="S4.SS1.3.p3.12.m8.1.1.3.3.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S4.SS1.3.p3.12.m8.1.1.3.3.1.cmml">×</mo><mi id="S4.SS1.3.p3.12.m8.1.1.3.3.3" xref="S4.SS1.3.p3.12.m8.1.1.3.3.3.cmml">N</mi></mrow></msubsup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.3.p3.12.m8.1b"><apply id="S4.SS1.3.p3.12.m8.1.1.cmml" xref="S4.SS1.3.p3.12.m8.1.1"><compose id="S4.SS1.3.p3.12.m8.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.3.p3.12.m8.1.1.1"></compose><apply id="S4.SS1.3.p3.12.m8.1.1.2.cmml" xref="S4.SS1.3.p3.12.m8.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.3.p3.12.m8.1.1.2.1.cmml" xref="S4.SS1.3.p3.12.m8.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="S4.SS1.3.p3.12.m8.1.1.2.2.cmml" xref="S4.SS1.3.p3.12.m8.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.3.p3.12.m8.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.SS1.3.p3.12.m8.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S4.SS1.3.p3.12.m8.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.SS1.3.p3.12.m8.1.1.2.2.2">𝑆</ci><ci id="S4.SS1.3.p3.12.m8.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.SS1.3.p3.12.m8.1.1.2.2.3">𝑡</ci></apply><cn id="S4.SS1.3.p3.12.m8.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS1.3.p3.12.m8.1.1.2.3">2</cn></apply><apply id="S4.SS1.3.p3.12.m8.1.1.3.cmml" xref="S4.SS1.3.p3.12.m8.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.3.p3.12.m8.1.1.3.1.cmml" xref="S4.SS1.3.p3.12.m8.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="S4.SS1.3.p3.12.m8.1.1.3.2.cmml" xref="S4.SS1.3.p3.12.m8.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.3.p3.12.m8.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.SS1.3.p3.12.m8.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.SS1.3.p3.12.m8.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.SS1.3.p3.12.m8.1.1.3.2.2">𝑆</ci><apply id="S4.SS1.3.p3.12.m8.1.1.3.2.3.cmml" xref="S4.SS1.3.p3.12.m8.1.1.3.2.3"><minus id="S4.SS1.3.p3.12.m8.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S4.SS1.3.p3.12.m8.1.1.3.2.3.1"></minus><ci id="S4.SS1.3.p3.12.m8.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S4.SS1.3.p3.12.m8.1.1.3.2.3.2">𝑡</ci><cn id="S4.SS1.3.p3.12.m8.1.1.3.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS1.3.p3.12.m8.1.1.3.2.3.3">1</cn></apply></apply><apply id="S4.SS1.3.p3.12.m8.1.1.3.3.cmml" xref="S4.SS1.3.p3.12.m8.1.1.3.3"><times id="S4.SS1.3.p3.12.m8.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.SS1.3.p3.12.m8.1.1.3.3.1"></times><csymbol cd="latexml" id="S4.SS1.3.p3.12.m8.1.1.3.3.2.cmml" xref="S4.SS1.3.p3.12.m8.1.1.3.3.2">absent</csymbol><ci id="S4.SS1.3.p3.12.m8.1.1.3.3.3.cmml" xref="S4.SS1.3.p3.12.m8.1.1.3.3.3">𝑁</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.3.p3.12.m8.1c">S_{t}^{2}\circ S_{t-1}^{\times N}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.3.p3.12.m8.1d">italic_S start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ∘ italic_S start_POSTSUBSCRIPT italic_t - 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT × italic_N end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>, so the two sets are identical. ∎</p> </div> </div> <div class="ltx_para" id="S4.SS1.p2"> <p class="ltx_p" id="S4.SS1.p2.2">We will refer to <math alttext="\operatorname{span}\left({\mathfrak{D}_{N}^{(t)}}\right)" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p2.1.m1.3"><semantics id="S4.SS1.p2.1.m1.3a"><mrow id="S4.SS1.p2.1.m1.3.3.1" xref="S4.SS1.p2.1.m1.3.3.2.cmml"><mi id="S4.SS1.p2.1.m1.2.2" xref="S4.SS1.p2.1.m1.2.2.cmml">span</mi><mo id="S4.SS1.p2.1.m1.3.3.1a" xref="S4.SS1.p2.1.m1.3.3.2.cmml">⁡</mo><mrow id="S4.SS1.p2.1.m1.3.3.1.1" xref="S4.SS1.p2.1.m1.3.3.2.cmml"><mo id="S4.SS1.p2.1.m1.3.3.1.1.2" xref="S4.SS1.p2.1.m1.3.3.2.cmml">(</mo><msubsup id="S4.SS1.p2.1.m1.3.3.1.1.1" xref="S4.SS1.p2.1.m1.3.3.1.1.1.cmml"><mi id="S4.SS1.p2.1.m1.3.3.1.1.1.2.2" xref="S4.SS1.p2.1.m1.3.3.1.1.1.2.2.cmml">𝔇</mi><mi id="S4.SS1.p2.1.m1.3.3.1.1.1.2.3" xref="S4.SS1.p2.1.m1.3.3.1.1.1.2.3.cmml">N</mi><mrow id="S4.SS1.p2.1.m1.1.1.1.3" xref="S4.SS1.p2.1.m1.3.3.1.1.1.cmml"><mo id="S4.SS1.p2.1.m1.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S4.SS1.p2.1.m1.3.3.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S4.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1" xref="S4.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.cmml">t</mi><mo id="S4.SS1.p2.1.m1.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S4.SS1.p2.1.m1.3.3.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></msubsup><mo id="S4.SS1.p2.1.m1.3.3.1.1.3" xref="S4.SS1.p2.1.m1.3.3.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p2.1.m1.3b"><apply id="S4.SS1.p2.1.m1.3.3.2.cmml" xref="S4.SS1.p2.1.m1.3.3.1"><ci id="S4.SS1.p2.1.m1.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p2.1.m1.2.2">span</ci><apply id="S4.SS1.p2.1.m1.3.3.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p2.1.m1.3.3.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p2.1.m1.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p2.1.m1.3.3.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S4.SS1.p2.1.m1.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p2.1.m1.3.3.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p2.1.m1.3.3.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p2.1.m1.3.3.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.SS1.p2.1.m1.3.3.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p2.1.m1.3.3.1.1.1.2.2">𝔇</ci><ci id="S4.SS1.p2.1.m1.3.3.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.SS1.p2.1.m1.3.3.1.1.1.2.3">𝑁</ci></apply><ci id="S4.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1">𝑡</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p2.1.m1.3c">\operatorname{span}\left({\mathfrak{D}_{N}^{(t)}}\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p2.1.m1.3d">roman_span ( fraktur_D start_POSTSUBSCRIPT italic_N end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_t ) end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math> and <math alttext="\operatorname{span}\left(S_{t}^{2}\circ S_{t-1}^{\times N}\right)" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p2.2.m2.2"><semantics id="S4.SS1.p2.2.m2.2a"><mrow id="S4.SS1.p2.2.m2.2.2.1" xref="S4.SS1.p2.2.m2.2.2.2.cmml"><mi id="S4.SS1.p2.2.m2.1.1" xref="S4.SS1.p2.2.m2.1.1.cmml">span</mi><mo id="S4.SS1.p2.2.m2.2.2.1a" xref="S4.SS1.p2.2.m2.2.2.2.cmml">⁡</mo><mrow id="S4.SS1.p2.2.m2.2.2.1.1" xref="S4.SS1.p2.2.m2.2.2.2.cmml"><mo id="S4.SS1.p2.2.m2.2.2.1.1.2" xref="S4.SS1.p2.2.m2.2.2.2.cmml">(</mo><mrow id="S4.SS1.p2.2.m2.2.2.1.1.1" xref="S4.SS1.p2.2.m2.2.2.1.1.1.cmml"><msubsup id="S4.SS1.p2.2.m2.2.2.1.1.1.2" xref="S4.SS1.p2.2.m2.2.2.1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.SS1.p2.2.m2.2.2.1.1.1.2.2.2" xref="S4.SS1.p2.2.m2.2.2.1.1.1.2.2.2.cmml">S</mi><mi id="S4.SS1.p2.2.m2.2.2.1.1.1.2.2.3" xref="S4.SS1.p2.2.m2.2.2.1.1.1.2.2.3.cmml">t</mi><mn id="S4.SS1.p2.2.m2.2.2.1.1.1.2.3" xref="S4.SS1.p2.2.m2.2.2.1.1.1.2.3.cmml">2</mn></msubsup><mo id="S4.SS1.p2.2.m2.2.2.1.1.1.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S4.SS1.p2.2.m2.2.2.1.1.1.1.cmml">∘</mo><msubsup id="S4.SS1.p2.2.m2.2.2.1.1.1.3" xref="S4.SS1.p2.2.m2.2.2.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.SS1.p2.2.m2.2.2.1.1.1.3.2.2" xref="S4.SS1.p2.2.m2.2.2.1.1.1.3.2.2.cmml">S</mi><mrow id="S4.SS1.p2.2.m2.2.2.1.1.1.3.2.3" xref="S4.SS1.p2.2.m2.2.2.1.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="S4.SS1.p2.2.m2.2.2.1.1.1.3.2.3.2" xref="S4.SS1.p2.2.m2.2.2.1.1.1.3.2.3.2.cmml">t</mi><mo id="S4.SS1.p2.2.m2.2.2.1.1.1.3.2.3.1" xref="S4.SS1.p2.2.m2.2.2.1.1.1.3.2.3.1.cmml">−</mo><mn id="S4.SS1.p2.2.m2.2.2.1.1.1.3.2.3.3" xref="S4.SS1.p2.2.m2.2.2.1.1.1.3.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mrow id="S4.SS1.p2.2.m2.2.2.1.1.1.3.3" xref="S4.SS1.p2.2.m2.2.2.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S4.SS1.p2.2.m2.2.2.1.1.1.3.3.2" xref="S4.SS1.p2.2.m2.2.2.1.1.1.3.3.2.cmml"></mi><mo id="S4.SS1.p2.2.m2.2.2.1.1.1.3.3.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S4.SS1.p2.2.m2.2.2.1.1.1.3.3.1.cmml">×</mo><mi id="S4.SS1.p2.2.m2.2.2.1.1.1.3.3.3" xref="S4.SS1.p2.2.m2.2.2.1.1.1.3.3.3.cmml">N</mi></mrow></msubsup></mrow><mo id="S4.SS1.p2.2.m2.2.2.1.1.3" xref="S4.SS1.p2.2.m2.2.2.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p2.2.m2.2b"><apply id="S4.SS1.p2.2.m2.2.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p2.2.m2.2.2.1"><ci id="S4.SS1.p2.2.m2.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p2.2.m2.1.1">span</ci><apply id="S4.SS1.p2.2.m2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p2.2.m2.2.2.1.1.1"><compose id="S4.SS1.p2.2.m2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p2.2.m2.2.2.1.1.1.1"></compose><apply id="S4.SS1.p2.2.m2.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p2.2.m2.2.2.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p2.2.m2.2.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p2.2.m2.2.2.1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="S4.SS1.p2.2.m2.2.2.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p2.2.m2.2.2.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p2.2.m2.2.2.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p2.2.m2.2.2.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S4.SS1.p2.2.m2.2.2.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p2.2.m2.2.2.1.1.1.2.2.2">𝑆</ci><ci id="S4.SS1.p2.2.m2.2.2.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.SS1.p2.2.m2.2.2.1.1.1.2.2.3">𝑡</ci></apply><cn id="S4.SS1.p2.2.m2.2.2.1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS1.p2.2.m2.2.2.1.1.1.2.3">2</cn></apply><apply id="S4.SS1.p2.2.m2.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S4.SS1.p2.2.m2.2.2.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p2.2.m2.2.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.SS1.p2.2.m2.2.2.1.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="S4.SS1.p2.2.m2.2.2.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.SS1.p2.2.m2.2.2.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p2.2.m2.2.2.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p2.2.m2.2.2.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.SS1.p2.2.m2.2.2.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p2.2.m2.2.2.1.1.1.3.2.2">𝑆</ci><apply id="S4.SS1.p2.2.m2.2.2.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S4.SS1.p2.2.m2.2.2.1.1.1.3.2.3"><minus id="S4.SS1.p2.2.m2.2.2.1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S4.SS1.p2.2.m2.2.2.1.1.1.3.2.3.1"></minus><ci id="S4.SS1.p2.2.m2.2.2.1.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S4.SS1.p2.2.m2.2.2.1.1.1.3.2.3.2">𝑡</ci><cn id="S4.SS1.p2.2.m2.2.2.1.1.1.3.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS1.p2.2.m2.2.2.1.1.1.3.2.3.3">1</cn></apply></apply><apply id="S4.SS1.p2.2.m2.2.2.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.SS1.p2.2.m2.2.2.1.1.1.3.3"><times id="S4.SS1.p2.2.m2.2.2.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.SS1.p2.2.m2.2.2.1.1.1.3.3.1"></times><csymbol cd="latexml" id="S4.SS1.p2.2.m2.2.2.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S4.SS1.p2.2.m2.2.2.1.1.1.3.3.2">absent</csymbol><ci id="S4.SS1.p2.2.m2.2.2.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S4.SS1.p2.2.m2.2.2.1.1.1.3.3.3">𝑁</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p2.2.m2.2c">\operatorname{span}\left(S_{t}^{2}\circ S_{t-1}^{\times N}\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p2.2.m2.2d">roman_span ( italic_S start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ∘ italic_S start_POSTSUBSCRIPT italic_t - 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT × italic_N end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math> as the <span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S4.SS1.p2.2.1">deranged subspace</span> and <span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S4.SS1.p2.2.2">non-deranged subspace</span>, respectively.</p> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_corollary" id="Thmtheorem29"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmtheorem29.1.1.1">Corollary 29</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmtheorem29.2.2">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="Thmtheorem29.p1"> <p class="ltx_p" id="Thmtheorem29.p1.2"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmtheorem29.p1.2.2">Suppose <math alttext="t\leq q" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem29.p1.1.1.m1.1"><semantics id="Thmtheorem29.p1.1.1.m1.1a"><mrow id="Thmtheorem29.p1.1.1.m1.1.1" xref="Thmtheorem29.p1.1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="Thmtheorem29.p1.1.1.m1.1.1.2" xref="Thmtheorem29.p1.1.1.m1.1.1.2.cmml">t</mi><mo id="Thmtheorem29.p1.1.1.m1.1.1.1" xref="Thmtheorem29.p1.1.1.m1.1.1.1.cmml">≤</mo><mi id="Thmtheorem29.p1.1.1.m1.1.1.3" xref="Thmtheorem29.p1.1.1.m1.1.1.3.cmml">q</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem29.p1.1.1.m1.1b"><apply id="Thmtheorem29.p1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem29.p1.1.1.m1.1.1"><leq id="Thmtheorem29.p1.1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem29.p1.1.1.m1.1.1.1"></leq><ci id="Thmtheorem29.p1.1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="Thmtheorem29.p1.1.1.m1.1.1.2">𝑡</ci><ci id="Thmtheorem29.p1.1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="Thmtheorem29.p1.1.1.m1.1.1.3">𝑞</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem29.p1.1.1.m1.1c">t\leq q</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem29.p1.1.1.m1.1d">italic_t ≤ italic_q</annotation></semantics></math>. Define an operator <math alttext="P_{\mathfrak{D}}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem29.p1.2.2.m2.1"><semantics id="Thmtheorem29.p1.2.2.m2.1a"><msub id="Thmtheorem29.p1.2.2.m2.1.1" xref="Thmtheorem29.p1.2.2.m2.1.1.cmml"><mi id="Thmtheorem29.p1.2.2.m2.1.1.2" xref="Thmtheorem29.p1.2.2.m2.1.1.2.cmml">P</mi><mi id="Thmtheorem29.p1.2.2.m2.1.1.3" xref="Thmtheorem29.p1.2.2.m2.1.1.3.cmml">𝔇</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem29.p1.2.2.m2.1b"><apply id="Thmtheorem29.p1.2.2.m2.1.1.cmml" xref="Thmtheorem29.p1.2.2.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem29.p1.2.2.m2.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem29.p1.2.2.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="Thmtheorem29.p1.2.2.m2.1.1.2.cmml" xref="Thmtheorem29.p1.2.2.m2.1.1.2">𝑃</ci><ci id="Thmtheorem29.p1.2.2.m2.1.1.3.cmml" xref="Thmtheorem29.p1.2.2.m2.1.1.3">𝔇</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem29.p1.2.2.m2.1c">P_{\mathfrak{D}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem29.p1.2.2.m2.1d">italic_P start_POSTSUBSCRIPT fraktur_D end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> on basis states by</span></p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_gather ltx_eqn_table" id="S6.EGx42"> <tbody id="S4.E46"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\displaystyle P_{\mathfrak{D}}\ket{\vec{\sigma}}=\begin{cases}\ket{\vec{\sigma% }}&\vec{\sigma}\in\mathfrak{D}_{N}\\ \mathbf{0}&\text{otherwise}\\ \end{cases}" class="ltx_Math" display="block" id="S4.E46.m1.5"><semantics id="S4.E46.m1.5a"><mrow id="S4.E46.m1.5.6" xref="S4.E46.m1.5.6.cmml"><mrow id="S4.E46.m1.5.6.2" xref="S4.E46.m1.5.6.2.cmml"><msub id="S4.E46.m1.5.6.2.2" xref="S4.E46.m1.5.6.2.2.cmml"><mi id="S4.E46.m1.5.6.2.2.2" xref="S4.E46.m1.5.6.2.2.2.cmml">P</mi><mi id="S4.E46.m1.5.6.2.2.3" xref="S4.E46.m1.5.6.2.2.3.cmml">𝔇</mi></msub><mo id="S4.E46.m1.5.6.2.1" xref="S4.E46.m1.5.6.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E46.m1.1.1.3" xref="S4.E46.m1.1.1.2.cmml"><mo id="S4.E46.m1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S4.E46.m1.1.1.2.1.cmml">|</mo><mover accent="true" id="S4.E46.m1.1.1.1.1" xref="S4.E46.m1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.E46.m1.1.1.1.1.2" xref="S4.E46.m1.1.1.1.1.2.cmml">σ</mi><mo id="S4.E46.m1.1.1.1.1.1" stretchy="false" xref="S4.E46.m1.1.1.1.1.1.cmml">→</mo></mover><mo id="S4.E46.m1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S4.E46.m1.1.1.2.1.cmml">⟩</mo></mrow></mrow><mo id="S4.E46.m1.5.6.1" xref="S4.E46.m1.5.6.1.cmml">=</mo><mrow id="S4.E46.m1.5.5" xref="S4.E46.m1.5.6.3.1.cmml"><mo id="S4.E46.m1.5.5.5" xref="S4.E46.m1.5.6.3.1.1.cmml">{</mo><mtable columnspacing="5pt" displaystyle="true" id="S4.E46.m1.5.5.4" rowspacing="0pt" xref="S4.E46.m1.5.6.3.1.cmml"><mtr id="S4.E46.m1.5.5.4a" xref="S4.E46.m1.5.6.3.1.cmml"><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="S4.E46.m1.5.5.4b" xref="S4.E46.m1.5.6.3.1.cmml"><mrow id="S4.E46.m1.2.2.1.1.1.1.3" xref="S4.E46.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S4.E46.m1.2.2.1.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S4.E46.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.cmml">|</mo><mover accent="true" id="S4.E46.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E46.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.E46.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.E46.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">σ</mi><mo id="S4.E46.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1" stretchy="false" xref="S4.E46.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">→</mo></mover><mo id="S4.E46.m1.2.2.1.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S4.E46.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.cmml">⟩</mo></mrow></mtd><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="S4.E46.m1.5.5.4c" xref="S4.E46.m1.5.6.3.1.cmml"><mrow id="S4.E46.m1.3.3.2.2.2.1" xref="S4.E46.m1.3.3.2.2.2.1.cmml"><mover accent="true" id="S4.E46.m1.3.3.2.2.2.1.2" xref="S4.E46.m1.3.3.2.2.2.1.2.cmml"><mi id="S4.E46.m1.3.3.2.2.2.1.2.2" xref="S4.E46.m1.3.3.2.2.2.1.2.2.cmml">σ</mi><mo id="S4.E46.m1.3.3.2.2.2.1.2.1" stretchy="false" xref="S4.E46.m1.3.3.2.2.2.1.2.1.cmml">→</mo></mover><mo id="S4.E46.m1.3.3.2.2.2.1.1" xref="S4.E46.m1.3.3.2.2.2.1.1.cmml">∈</mo><msub id="S4.E46.m1.3.3.2.2.2.1.3" xref="S4.E46.m1.3.3.2.2.2.1.3.cmml"><mi id="S4.E46.m1.3.3.2.2.2.1.3.2" xref="S4.E46.m1.3.3.2.2.2.1.3.2.cmml">𝔇</mi><mi id="S4.E46.m1.3.3.2.2.2.1.3.3" xref="S4.E46.m1.3.3.2.2.2.1.3.3.cmml">N</mi></msub></mrow></mtd></mtr><mtr id="S4.E46.m1.5.5.4d" xref="S4.E46.m1.5.6.3.1.cmml"><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="S4.E46.m1.5.5.4e" xref="S4.E46.m1.5.6.3.1.cmml"><mn id="S4.E46.m1.4.4.3.3.1.1" xref="S4.E46.m1.4.4.3.3.1.1.cmml">𝟎</mn></mtd><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="S4.E46.m1.5.5.4f" xref="S4.E46.m1.5.6.3.1.cmml"><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S4.E46.m1.5.5.4.4.2.1" xref="S4.E46.m1.5.5.4.4.2.1a.cmml">otherwise</mtext></mtd></mtr></mtable></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.E46.m1.5b"><apply id="S4.E46.m1.5.6.cmml" xref="S4.E46.m1.5.6"><eq id="S4.E46.m1.5.6.1.cmml" xref="S4.E46.m1.5.6.1"></eq><apply id="S4.E46.m1.5.6.2.cmml" xref="S4.E46.m1.5.6.2"><times id="S4.E46.m1.5.6.2.1.cmml" xref="S4.E46.m1.5.6.2.1"></times><apply id="S4.E46.m1.5.6.2.2.cmml" xref="S4.E46.m1.5.6.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E46.m1.5.6.2.2.1.cmml" xref="S4.E46.m1.5.6.2.2">subscript</csymbol><ci id="S4.E46.m1.5.6.2.2.2.cmml" xref="S4.E46.m1.5.6.2.2.2">𝑃</ci><ci id="S4.E46.m1.5.6.2.2.3.cmml" xref="S4.E46.m1.5.6.2.2.3">𝔇</ci></apply><apply id="S4.E46.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.E46.m1.1.1.3"><csymbol cd="latexml" id="S4.E46.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.E46.m1.1.1.3.1">ket</csymbol><apply id="S4.E46.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E46.m1.1.1.1.1"><ci id="S4.E46.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E46.m1.1.1.1.1.1">→</ci><ci id="S4.E46.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E46.m1.1.1.1.1.2">𝜎</ci></apply></apply></apply><apply id="S4.E46.m1.5.6.3.1.cmml" xref="S4.E46.m1.5.5"><csymbol cd="latexml" id="S4.E46.m1.5.6.3.1.1.cmml" xref="S4.E46.m1.5.5.5">cases</csymbol><apply id="S4.E46.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E46.m1.2.2.1.1.1.1.3"><csymbol cd="latexml" id="S4.E46.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.E46.m1.2.2.1.1.1.1.3.1">ket</csymbol><apply id="S4.E46.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E46.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1"><ci id="S4.E46.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E46.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1">→</ci><ci id="S4.E46.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E46.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2">𝜎</ci></apply></apply><apply id="S4.E46.m1.3.3.2.2.2.1.cmml" xref="S4.E46.m1.3.3.2.2.2.1"><in id="S4.E46.m1.3.3.2.2.2.1.1.cmml" xref="S4.E46.m1.3.3.2.2.2.1.1"></in><apply id="S4.E46.m1.3.3.2.2.2.1.2.cmml" xref="S4.E46.m1.3.3.2.2.2.1.2"><ci id="S4.E46.m1.3.3.2.2.2.1.2.1.cmml" xref="S4.E46.m1.3.3.2.2.2.1.2.1">→</ci><ci id="S4.E46.m1.3.3.2.2.2.1.2.2.cmml" xref="S4.E46.m1.3.3.2.2.2.1.2.2">𝜎</ci></apply><apply id="S4.E46.m1.3.3.2.2.2.1.3.cmml" xref="S4.E46.m1.3.3.2.2.2.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E46.m1.3.3.2.2.2.1.3.1.cmml" xref="S4.E46.m1.3.3.2.2.2.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.E46.m1.3.3.2.2.2.1.3.2.cmml" xref="S4.E46.m1.3.3.2.2.2.1.3.2">𝔇</ci><ci id="S4.E46.m1.3.3.2.2.2.1.3.3.cmml" xref="S4.E46.m1.3.3.2.2.2.1.3.3">𝑁</ci></apply></apply><cn id="S4.E46.m1.4.4.3.3.1.1.cmml" type="integer" xref="S4.E46.m1.4.4.3.3.1.1">0</cn><ci id="S4.E46.m1.5.5.4.4.2.1a.cmml" xref="S4.E46.m1.5.5.4.4.2.1"><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S4.E46.m1.5.5.4.4.2.1.cmml" xref="S4.E46.m1.5.5.4.4.2.1">otherwise</mtext></ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.E46.m1.5c">\displaystyle P_{\mathfrak{D}}\ket{\vec{\sigma}}=\begin{cases}\ket{\vec{\sigma% }}&\vec{\sigma}\in\mathfrak{D}_{N}\\ \mathbf{0}&\text{otherwise}\\ \end{cases}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.E46.m1.5d">italic_P start_POSTSUBSCRIPT fraktur_D end_POSTSUBSCRIPT | start_ARG over→ start_ARG italic_σ end_ARG end_ARG ⟩ = { start_ROW start_CELL | start_ARG over→ start_ARG italic_σ end_ARG end_ARG ⟩ end_CELL start_CELL over→ start_ARG italic_σ end_ARG ∈ fraktur_D start_POSTSUBSCRIPT italic_N end_POSTSUBSCRIPT end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL bold_0 end_CELL start_CELL otherwise end_CELL end_ROW</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(46)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="Thmtheorem29.p1.3"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmtheorem29.p1.3.1">Then</span></p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_gather ltx_eqn_table" id="S6.EGx43"> <tbody id="S4.E47"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\displaystyle\text{eig}^{*}\left(T^{(t)}\right)=\text{eig}^{*}\left(P_{% \mathfrak{D}}T^{(t)}P_{\mathfrak{D}}\right)\cup\text{eig}^{*}\left(T^{(t-1)}\right)" class="ltx_Math" display="block" id="S4.E47.m1.6"><semantics id="S4.E47.m1.6a"><mrow id="S4.E47.m1.6.6" xref="S4.E47.m1.6.6.cmml"><mrow id="S4.E47.m1.4.4.1" xref="S4.E47.m1.4.4.1.cmml"><msup id="S4.E47.m1.4.4.1.3" xref="S4.E47.m1.4.4.1.3.cmml"><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S4.E47.m1.4.4.1.3.2" xref="S4.E47.m1.4.4.1.3.2a.cmml">eig</mtext><mo id="S4.E47.m1.4.4.1.3.3" xref="S4.E47.m1.4.4.1.3.3.cmml">∗</mo></msup><mo id="S4.E47.m1.4.4.1.2" xref="S4.E47.m1.4.4.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E47.m1.4.4.1.1.1" xref="S4.E47.m1.4.4.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.E47.m1.4.4.1.1.1.2" xref="S4.E47.m1.4.4.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="S4.E47.m1.4.4.1.1.1.1" xref="S4.E47.m1.4.4.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.E47.m1.4.4.1.1.1.1.2" xref="S4.E47.m1.4.4.1.1.1.1.2.cmml">T</mi><mrow id="S4.E47.m1.1.1.1.3" xref="S4.E47.m1.4.4.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.E47.m1.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S4.E47.m1.4.4.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S4.E47.m1.1.1.1.1" xref="S4.E47.m1.1.1.1.1.cmml">t</mi><mo id="S4.E47.m1.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S4.E47.m1.4.4.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></msup><mo id="S4.E47.m1.4.4.1.1.1.3" xref="S4.E47.m1.4.4.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.E47.m1.6.6.4" xref="S4.E47.m1.6.6.4.cmml">=</mo><mrow id="S4.E47.m1.6.6.3" xref="S4.E47.m1.6.6.3.cmml"><mrow id="S4.E47.m1.5.5.2.1" xref="S4.E47.m1.5.5.2.1.cmml"><msup id="S4.E47.m1.5.5.2.1.3" xref="S4.E47.m1.5.5.2.1.3.cmml"><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S4.E47.m1.5.5.2.1.3.2" xref="S4.E47.m1.5.5.2.1.3.2a.cmml">eig</mtext><mo id="S4.E47.m1.5.5.2.1.3.3" xref="S4.E47.m1.5.5.2.1.3.3.cmml">∗</mo></msup><mo id="S4.E47.m1.5.5.2.1.2" xref="S4.E47.m1.5.5.2.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E47.m1.5.5.2.1.1.1" xref="S4.E47.m1.5.5.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.E47.m1.5.5.2.1.1.1.2" xref="S4.E47.m1.5.5.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.E47.m1.5.5.2.1.1.1.1" xref="S4.E47.m1.5.5.2.1.1.1.1.cmml"><msub id="S4.E47.m1.5.5.2.1.1.1.1.2" xref="S4.E47.m1.5.5.2.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.E47.m1.5.5.2.1.1.1.1.2.2" xref="S4.E47.m1.5.5.2.1.1.1.1.2.2.cmml">P</mi><mi id="S4.E47.m1.5.5.2.1.1.1.1.2.3" xref="S4.E47.m1.5.5.2.1.1.1.1.2.3.cmml">𝔇</mi></msub><mo id="S4.E47.m1.5.5.2.1.1.1.1.1" xref="S4.E47.m1.5.5.2.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msup id="S4.E47.m1.5.5.2.1.1.1.1.3" xref="S4.E47.m1.5.5.2.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.E47.m1.5.5.2.1.1.1.1.3.2" xref="S4.E47.m1.5.5.2.1.1.1.1.3.2.cmml">T</mi><mrow id="S4.E47.m1.2.2.1.3" xref="S4.E47.m1.5.5.2.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="S4.E47.m1.2.2.1.3.1" stretchy="false" xref="S4.E47.m1.5.5.2.1.1.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="S4.E47.m1.2.2.1.1" xref="S4.E47.m1.2.2.1.1.cmml">t</mi><mo id="S4.E47.m1.2.2.1.3.2" stretchy="false" xref="S4.E47.m1.5.5.2.1.1.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></msup><mo id="S4.E47.m1.5.5.2.1.1.1.1.1a" xref="S4.E47.m1.5.5.2.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S4.E47.m1.5.5.2.1.1.1.1.4" xref="S4.E47.m1.5.5.2.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="S4.E47.m1.5.5.2.1.1.1.1.4.2" xref="S4.E47.m1.5.5.2.1.1.1.1.4.2.cmml">P</mi><mi id="S4.E47.m1.5.5.2.1.1.1.1.4.3" xref="S4.E47.m1.5.5.2.1.1.1.1.4.3.cmml">𝔇</mi></msub></mrow><mo id="S4.E47.m1.5.5.2.1.1.1.3" xref="S4.E47.m1.5.5.2.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.E47.m1.6.6.3.3" xref="S4.E47.m1.6.6.3.3.cmml">∪</mo><mrow id="S4.E47.m1.6.6.3.2" xref="S4.E47.m1.6.6.3.2.cmml"><msup id="S4.E47.m1.6.6.3.2.3" xref="S4.E47.m1.6.6.3.2.3.cmml"><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S4.E47.m1.6.6.3.2.3.2" xref="S4.E47.m1.6.6.3.2.3.2a.cmml">eig</mtext><mo id="S4.E47.m1.6.6.3.2.3.3" xref="S4.E47.m1.6.6.3.2.3.3.cmml">∗</mo></msup><mo id="S4.E47.m1.6.6.3.2.2" xref="S4.E47.m1.6.6.3.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E47.m1.6.6.3.2.1.1" xref="S4.E47.m1.6.6.3.2.1.1.1.cmml"><mo id="S4.E47.m1.6.6.3.2.1.1.2" xref="S4.E47.m1.6.6.3.2.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="S4.E47.m1.6.6.3.2.1.1.1" xref="S4.E47.m1.6.6.3.2.1.1.1.cmml"><mi id="S4.E47.m1.6.6.3.2.1.1.1.2" xref="S4.E47.m1.6.6.3.2.1.1.1.2.cmml">T</mi><mrow id="S4.E47.m1.3.3.1.1" xref="S4.E47.m1.3.3.1.1.1.cmml"><mo id="S4.E47.m1.3.3.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.E47.m1.3.3.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.E47.m1.3.3.1.1.1" xref="S4.E47.m1.3.3.1.1.1.cmml"><mi id="S4.E47.m1.3.3.1.1.1.2" xref="S4.E47.m1.3.3.1.1.1.2.cmml">t</mi><mo id="S4.E47.m1.3.3.1.1.1.1" xref="S4.E47.m1.3.3.1.1.1.1.cmml">−</mo><mn id="S4.E47.m1.3.3.1.1.1.3" xref="S4.E47.m1.3.3.1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="S4.E47.m1.3.3.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.E47.m1.3.3.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></msup><mo id="S4.E47.m1.6.6.3.2.1.1.3" xref="S4.E47.m1.6.6.3.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.E47.m1.6b"><apply id="S4.E47.m1.6.6.cmml" xref="S4.E47.m1.6.6"><eq id="S4.E47.m1.6.6.4.cmml" xref="S4.E47.m1.6.6.4"></eq><apply id="S4.E47.m1.4.4.1.cmml" xref="S4.E47.m1.4.4.1"><times id="S4.E47.m1.4.4.1.2.cmml" xref="S4.E47.m1.4.4.1.2"></times><apply id="S4.E47.m1.4.4.1.3.cmml" xref="S4.E47.m1.4.4.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E47.m1.4.4.1.3.1.cmml" xref="S4.E47.m1.4.4.1.3">superscript</csymbol><ci id="S4.E47.m1.4.4.1.3.2a.cmml" xref="S4.E47.m1.4.4.1.3.2"><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S4.E47.m1.4.4.1.3.2.cmml" xref="S4.E47.m1.4.4.1.3.2">eig</mtext></ci><times id="S4.E47.m1.4.4.1.3.3.cmml" xref="S4.E47.m1.4.4.1.3.3"></times></apply><apply id="S4.E47.m1.4.4.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E47.m1.4.4.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E47.m1.4.4.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E47.m1.4.4.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S4.E47.m1.4.4.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E47.m1.4.4.1.1.1.1.2">𝑇</ci><ci id="S4.E47.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E47.m1.1.1.1.1">𝑡</ci></apply></apply><apply id="S4.E47.m1.6.6.3.cmml" xref="S4.E47.m1.6.6.3"><union id="S4.E47.m1.6.6.3.3.cmml" xref="S4.E47.m1.6.6.3.3"></union><apply id="S4.E47.m1.5.5.2.1.cmml" xref="S4.E47.m1.5.5.2.1"><times id="S4.E47.m1.5.5.2.1.2.cmml" xref="S4.E47.m1.5.5.2.1.2"></times><apply id="S4.E47.m1.5.5.2.1.3.cmml" xref="S4.E47.m1.5.5.2.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E47.m1.5.5.2.1.3.1.cmml" xref="S4.E47.m1.5.5.2.1.3">superscript</csymbol><ci id="S4.E47.m1.5.5.2.1.3.2a.cmml" xref="S4.E47.m1.5.5.2.1.3.2"><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S4.E47.m1.5.5.2.1.3.2.cmml" xref="S4.E47.m1.5.5.2.1.3.2">eig</mtext></ci><times id="S4.E47.m1.5.5.2.1.3.3.cmml" xref="S4.E47.m1.5.5.2.1.3.3"></times></apply><apply id="S4.E47.m1.5.5.2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E47.m1.5.5.2.1.1.1"><times id="S4.E47.m1.5.5.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E47.m1.5.5.2.1.1.1.1.1"></times><apply id="S4.E47.m1.5.5.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E47.m1.5.5.2.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E47.m1.5.5.2.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.E47.m1.5.5.2.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S4.E47.m1.5.5.2.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.E47.m1.5.5.2.1.1.1.1.2.2">𝑃</ci><ci id="S4.E47.m1.5.5.2.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.E47.m1.5.5.2.1.1.1.1.2.3">𝔇</ci></apply><apply id="S4.E47.m1.5.5.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E47.m1.5.5.2.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E47.m1.5.5.2.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E47.m1.5.5.2.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S4.E47.m1.5.5.2.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.E47.m1.5.5.2.1.1.1.1.3.2">𝑇</ci><ci id="S4.E47.m1.2.2.1.1.cmml" xref="S4.E47.m1.2.2.1.1">𝑡</ci></apply><apply id="S4.E47.m1.5.5.2.1.1.1.1.4.cmml" xref="S4.E47.m1.5.5.2.1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E47.m1.5.5.2.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="S4.E47.m1.5.5.2.1.1.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="S4.E47.m1.5.5.2.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="S4.E47.m1.5.5.2.1.1.1.1.4.2">𝑃</ci><ci id="S4.E47.m1.5.5.2.1.1.1.1.4.3.cmml" xref="S4.E47.m1.5.5.2.1.1.1.1.4.3">𝔇</ci></apply></apply></apply><apply id="S4.E47.m1.6.6.3.2.cmml" xref="S4.E47.m1.6.6.3.2"><times id="S4.E47.m1.6.6.3.2.2.cmml" xref="S4.E47.m1.6.6.3.2.2"></times><apply id="S4.E47.m1.6.6.3.2.3.cmml" xref="S4.E47.m1.6.6.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E47.m1.6.6.3.2.3.1.cmml" xref="S4.E47.m1.6.6.3.2.3">superscript</csymbol><ci id="S4.E47.m1.6.6.3.2.3.2a.cmml" xref="S4.E47.m1.6.6.3.2.3.2"><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S4.E47.m1.6.6.3.2.3.2.cmml" xref="S4.E47.m1.6.6.3.2.3.2">eig</mtext></ci><times id="S4.E47.m1.6.6.3.2.3.3.cmml" xref="S4.E47.m1.6.6.3.2.3.3"></times></apply><apply id="S4.E47.m1.6.6.3.2.1.1.1.cmml" xref="S4.E47.m1.6.6.3.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E47.m1.6.6.3.2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E47.m1.6.6.3.2.1.1">superscript</csymbol><ci id="S4.E47.m1.6.6.3.2.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E47.m1.6.6.3.2.1.1.1.2">𝑇</ci><apply id="S4.E47.m1.3.3.1.1.1.cmml" xref="S4.E47.m1.3.3.1.1"><minus id="S4.E47.m1.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E47.m1.3.3.1.1.1.1"></minus><ci id="S4.E47.m1.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E47.m1.3.3.1.1.1.2">𝑡</ci><cn id="S4.E47.m1.3.3.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.E47.m1.3.3.1.1.1.3">1</cn></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.E47.m1.6c">\displaystyle\text{eig}^{*}\left(T^{(t)}\right)=\text{eig}^{*}\left(P_{% \mathfrak{D}}T^{(t)}P_{\mathfrak{D}}\right)\cup\text{eig}^{*}\left(T^{(t-1)}\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.E47.m1.6d">eig start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_T start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_t ) end_POSTSUPERSCRIPT ) = eig start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_P start_POSTSUBSCRIPT fraktur_D end_POSTSUBSCRIPT italic_T start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_t ) end_POSTSUPERSCRIPT italic_P start_POSTSUBSCRIPT fraktur_D end_POSTSUBSCRIPT ) ∪ eig start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_T start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_t - 1 ) end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(47)</span></td> </tr></tbody> </table> </div> </div> <div class="ltx_proof" id="S4.SS1.4"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_font_italic ltx_title_proof">Proof.</h6> <div class="ltx_para" id="S4.SS1.4.p1"> <p class="ltx_p" id="S4.SS1.4.p1.4">When <math alttext="t\leq q" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.4.p1.1.m1.1"><semantics id="S4.SS1.4.p1.1.m1.1a"><mrow id="S4.SS1.4.p1.1.m1.1.1" xref="S4.SS1.4.p1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S4.SS1.4.p1.1.m1.1.1.2" xref="S4.SS1.4.p1.1.m1.1.1.2.cmml">t</mi><mo id="S4.SS1.4.p1.1.m1.1.1.1" xref="S4.SS1.4.p1.1.m1.1.1.1.cmml">≤</mo><mi id="S4.SS1.4.p1.1.m1.1.1.3" xref="S4.SS1.4.p1.1.m1.1.1.3.cmml">q</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.4.p1.1.m1.1b"><apply id="S4.SS1.4.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.4.p1.1.m1.1.1"><leq id="S4.SS1.4.p1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.4.p1.1.m1.1.1.1"></leq><ci id="S4.SS1.4.p1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS1.4.p1.1.m1.1.1.2">𝑡</ci><ci id="S4.SS1.4.p1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S4.SS1.4.p1.1.m1.1.1.3">𝑞</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.4.p1.1.m1.1c">t\leq q</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.4.p1.1.m1.1d">italic_t ≤ italic_q</annotation></semantics></math>, the basis states are linearly independent, so <math alttext="P_{\mathfrak{D}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.4.p1.2.m2.1"><semantics id="S4.SS1.4.p1.2.m2.1a"><msub id="S4.SS1.4.p1.2.m2.1.1" xref="S4.SS1.4.p1.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S4.SS1.4.p1.2.m2.1.1.2" xref="S4.SS1.4.p1.2.m2.1.1.2.cmml">P</mi><mi id="S4.SS1.4.p1.2.m2.1.1.3" xref="S4.SS1.4.p1.2.m2.1.1.3.cmml">𝔇</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.4.p1.2.m2.1b"><apply id="S4.SS1.4.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="S4.SS1.4.p1.2.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.4.p1.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.4.p1.2.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.SS1.4.p1.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S4.SS1.4.p1.2.m2.1.1.2">𝑃</ci><ci id="S4.SS1.4.p1.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S4.SS1.4.p1.2.m2.1.1.3">𝔇</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.4.p1.2.m2.1c">P_{\mathfrak{D}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.4.p1.2.m2.1d">italic_P start_POSTSUBSCRIPT fraktur_D end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> extends to a well-defined linear operator. Furthermore, <math alttext="I-P_{\mathfrak{D}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.4.p1.3.m3.1"><semantics id="S4.SS1.4.p1.3.m3.1a"><mrow id="S4.SS1.4.p1.3.m3.1.1" xref="S4.SS1.4.p1.3.m3.1.1.cmml"><mi id="S4.SS1.4.p1.3.m3.1.1.2" xref="S4.SS1.4.p1.3.m3.1.1.2.cmml">I</mi><mo id="S4.SS1.4.p1.3.m3.1.1.1" xref="S4.SS1.4.p1.3.m3.1.1.1.cmml">−</mo><msub id="S4.SS1.4.p1.3.m3.1.1.3" xref="S4.SS1.4.p1.3.m3.1.1.3.cmml"><mi id="S4.SS1.4.p1.3.m3.1.1.3.2" xref="S4.SS1.4.p1.3.m3.1.1.3.2.cmml">P</mi><mi id="S4.SS1.4.p1.3.m3.1.1.3.3" xref="S4.SS1.4.p1.3.m3.1.1.3.3.cmml">𝔇</mi></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.4.p1.3.m3.1b"><apply id="S4.SS1.4.p1.3.m3.1.1.cmml" xref="S4.SS1.4.p1.3.m3.1.1"><minus id="S4.SS1.4.p1.3.m3.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.4.p1.3.m3.1.1.1"></minus><ci id="S4.SS1.4.p1.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S4.SS1.4.p1.3.m3.1.1.2">𝐼</ci><apply id="S4.SS1.4.p1.3.m3.1.1.3.cmml" xref="S4.SS1.4.p1.3.m3.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.4.p1.3.m3.1.1.3.1.cmml" xref="S4.SS1.4.p1.3.m3.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.SS1.4.p1.3.m3.1.1.3.2.cmml" xref="S4.SS1.4.p1.3.m3.1.1.3.2">𝑃</ci><ci id="S4.SS1.4.p1.3.m3.1.1.3.3.cmml" xref="S4.SS1.4.p1.3.m3.1.1.3.3">𝔇</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.4.p1.3.m3.1c">I-P_{\mathfrak{D}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.4.p1.3.m3.1d">italic_I - italic_P start_POSTSUBSCRIPT fraktur_D end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> is a projector to the non-deranged subspace. We may thus apply Theorem <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#Thmtheorem26" title="Theorem 26. ‣ IV Properties of the eigenspaces ‣ Conditional 𝑡-independent spectral gap for random quantum circuits and implications for 𝑡-design depths"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">26</span></a> with <math alttext="k=t-1" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.4.p1.4.m4.1"><semantics id="S4.SS1.4.p1.4.m4.1a"><mrow id="S4.SS1.4.p1.4.m4.1.1" xref="S4.SS1.4.p1.4.m4.1.1.cmml"><mi id="S4.SS1.4.p1.4.m4.1.1.2" xref="S4.SS1.4.p1.4.m4.1.1.2.cmml">k</mi><mo id="S4.SS1.4.p1.4.m4.1.1.1" xref="S4.SS1.4.p1.4.m4.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S4.SS1.4.p1.4.m4.1.1.3" xref="S4.SS1.4.p1.4.m4.1.1.3.cmml"><mi id="S4.SS1.4.p1.4.m4.1.1.3.2" xref="S4.SS1.4.p1.4.m4.1.1.3.2.cmml">t</mi><mo id="S4.SS1.4.p1.4.m4.1.1.3.1" xref="S4.SS1.4.p1.4.m4.1.1.3.1.cmml">−</mo><mn id="S4.SS1.4.p1.4.m4.1.1.3.3" xref="S4.SS1.4.p1.4.m4.1.1.3.3.cmml">1</mn></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.4.p1.4.m4.1b"><apply id="S4.SS1.4.p1.4.m4.1.1.cmml" xref="S4.SS1.4.p1.4.m4.1.1"><eq id="S4.SS1.4.p1.4.m4.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.4.p1.4.m4.1.1.1"></eq><ci id="S4.SS1.4.p1.4.m4.1.1.2.cmml" xref="S4.SS1.4.p1.4.m4.1.1.2">𝑘</ci><apply id="S4.SS1.4.p1.4.m4.1.1.3.cmml" xref="S4.SS1.4.p1.4.m4.1.1.3"><minus id="S4.SS1.4.p1.4.m4.1.1.3.1.cmml" xref="S4.SS1.4.p1.4.m4.1.1.3.1"></minus><ci id="S4.SS1.4.p1.4.m4.1.1.3.2.cmml" xref="S4.SS1.4.p1.4.m4.1.1.3.2">𝑡</ci><cn id="S4.SS1.4.p1.4.m4.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS1.4.p1.4.m4.1.1.3.3">1</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.4.p1.4.m4.1c">k=t-1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.4.p1.4.m4.1d">italic_k = italic_t - 1</annotation></semantics></math>. ∎</p> </div> </div> <div class="ltx_para" id="S4.SS1.p3"> <p class="ltx_p" id="S4.SS1.p3.1">By inductively applying Corollary <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#Thmtheorem29" title="Corollary 29. ‣ IV.1 Deranged subspace ‣ IV Properties of the eigenspaces ‣ Conditional 𝑡-independent spectral gap for random quantum circuits and implications for 𝑡-design depths"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">29</span></a>, we arrive at the following:</p> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_lemma" id="Thmtheorem30"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmtheorem30.1.1.1">Lemma 30</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmtheorem30.2.2">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="Thmtheorem30.p1"> <p class="ltx_p" id="Thmtheorem30.p1.1"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmtheorem30.p1.1.1">When <math alttext="t\leq q" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem30.p1.1.1.m1.1"><semantics id="Thmtheorem30.p1.1.1.m1.1a"><mrow id="Thmtheorem30.p1.1.1.m1.1.1" xref="Thmtheorem30.p1.1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="Thmtheorem30.p1.1.1.m1.1.1.2" xref="Thmtheorem30.p1.1.1.m1.1.1.2.cmml">t</mi><mo id="Thmtheorem30.p1.1.1.m1.1.1.1" xref="Thmtheorem30.p1.1.1.m1.1.1.1.cmml">≤</mo><mi id="Thmtheorem30.p1.1.1.m1.1.1.3" xref="Thmtheorem30.p1.1.1.m1.1.1.3.cmml">q</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem30.p1.1.1.m1.1b"><apply id="Thmtheorem30.p1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem30.p1.1.1.m1.1.1"><leq id="Thmtheorem30.p1.1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem30.p1.1.1.m1.1.1.1"></leq><ci id="Thmtheorem30.p1.1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="Thmtheorem30.p1.1.1.m1.1.1.2">𝑡</ci><ci id="Thmtheorem30.p1.1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="Thmtheorem30.p1.1.1.m1.1.1.3">𝑞</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem30.p1.1.1.m1.1c">t\leq q</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem30.p1.1.1.m1.1d">italic_t ≤ italic_q</annotation></semantics></math>,</span></p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_gather ltx_eqn_table" id="S6.EGx44"> <tbody id="S4.E48"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\displaystyle\text{eig}^{*}\left(K_{m}^{(t)}\right)=\bigcup_{k=1}^{t}\text{eig% }^{*}\left(P_{\mathfrak{D}}K_{m}^{(k)}P_{\mathfrak{D}}\right)" class="ltx_Math" display="block" id="S4.E48.m1.4"><semantics id="S4.E48.m1.4a"><mrow id="S4.E48.m1.4.4" xref="S4.E48.m1.4.4.cmml"><mrow id="S4.E48.m1.3.3.1" xref="S4.E48.m1.3.3.1.cmml"><msup id="S4.E48.m1.3.3.1.3" xref="S4.E48.m1.3.3.1.3.cmml"><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S4.E48.m1.3.3.1.3.2" xref="S4.E48.m1.3.3.1.3.2a.cmml">eig</mtext><mo id="S4.E48.m1.3.3.1.3.3" xref="S4.E48.m1.3.3.1.3.3.cmml">∗</mo></msup><mo id="S4.E48.m1.3.3.1.2" xref="S4.E48.m1.3.3.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E48.m1.3.3.1.1.1" xref="S4.E48.m1.3.3.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.E48.m1.3.3.1.1.1.2" xref="S4.E48.m1.3.3.1.1.1.1.cmml">(</mo><msubsup id="S4.E48.m1.3.3.1.1.1.1" xref="S4.E48.m1.3.3.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.E48.m1.3.3.1.1.1.1.2.2" xref="S4.E48.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.cmml">K</mi><mi id="S4.E48.m1.3.3.1.1.1.1.2.3" xref="S4.E48.m1.3.3.1.1.1.1.2.3.cmml">m</mi><mrow id="S4.E48.m1.1.1.1.3" xref="S4.E48.m1.3.3.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.E48.m1.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S4.E48.m1.3.3.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S4.E48.m1.1.1.1.1" xref="S4.E48.m1.1.1.1.1.cmml">t</mi><mo id="S4.E48.m1.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S4.E48.m1.3.3.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></msubsup><mo id="S4.E48.m1.3.3.1.1.1.3" xref="S4.E48.m1.3.3.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.E48.m1.4.4.3" rspace="0.111em" xref="S4.E48.m1.4.4.3.cmml">=</mo><mrow id="S4.E48.m1.4.4.2" xref="S4.E48.m1.4.4.2.cmml"><munderover id="S4.E48.m1.4.4.2.2" xref="S4.E48.m1.4.4.2.2.cmml"><mo id="S4.E48.m1.4.4.2.2.2.2" movablelimits="false" xref="S4.E48.m1.4.4.2.2.2.2.cmml">⋃</mo><mrow id="S4.E48.m1.4.4.2.2.2.3" xref="S4.E48.m1.4.4.2.2.2.3.cmml"><mi id="S4.E48.m1.4.4.2.2.2.3.2" xref="S4.E48.m1.4.4.2.2.2.3.2.cmml">k</mi><mo id="S4.E48.m1.4.4.2.2.2.3.1" xref="S4.E48.m1.4.4.2.2.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="S4.E48.m1.4.4.2.2.2.3.3" xref="S4.E48.m1.4.4.2.2.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="S4.E48.m1.4.4.2.2.3" xref="S4.E48.m1.4.4.2.2.3.cmml">t</mi></munderover><mrow id="S4.E48.m1.4.4.2.1" xref="S4.E48.m1.4.4.2.1.cmml"><msup id="S4.E48.m1.4.4.2.1.3" xref="S4.E48.m1.4.4.2.1.3.cmml"><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S4.E48.m1.4.4.2.1.3.2" xref="S4.E48.m1.4.4.2.1.3.2a.cmml">eig</mtext><mo id="S4.E48.m1.4.4.2.1.3.3" xref="S4.E48.m1.4.4.2.1.3.3.cmml">∗</mo></msup><mo id="S4.E48.m1.4.4.2.1.2" xref="S4.E48.m1.4.4.2.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E48.m1.4.4.2.1.1.1" xref="S4.E48.m1.4.4.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.E48.m1.4.4.2.1.1.1.2" xref="S4.E48.m1.4.4.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.E48.m1.4.4.2.1.1.1.1" xref="S4.E48.m1.4.4.2.1.1.1.1.cmml"><msub id="S4.E48.m1.4.4.2.1.1.1.1.2" xref="S4.E48.m1.4.4.2.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.E48.m1.4.4.2.1.1.1.1.2.2" xref="S4.E48.m1.4.4.2.1.1.1.1.2.2.cmml">P</mi><mi id="S4.E48.m1.4.4.2.1.1.1.1.2.3" xref="S4.E48.m1.4.4.2.1.1.1.1.2.3.cmml">𝔇</mi></msub><mo id="S4.E48.m1.4.4.2.1.1.1.1.1" xref="S4.E48.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.E48.m1.4.4.2.1.1.1.1.3" xref="S4.E48.m1.4.4.2.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.E48.m1.4.4.2.1.1.1.1.3.2.2" xref="S4.E48.m1.4.4.2.1.1.1.1.3.2.2.cmml">K</mi><mi id="S4.E48.m1.4.4.2.1.1.1.1.3.2.3" xref="S4.E48.m1.4.4.2.1.1.1.1.3.2.3.cmml">m</mi><mrow id="S4.E48.m1.2.2.1.3" xref="S4.E48.m1.4.4.2.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="S4.E48.m1.2.2.1.3.1" stretchy="false" xref="S4.E48.m1.4.4.2.1.1.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="S4.E48.m1.2.2.1.1" xref="S4.E48.m1.2.2.1.1.cmml">k</mi><mo id="S4.E48.m1.2.2.1.3.2" stretchy="false" xref="S4.E48.m1.4.4.2.1.1.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></msubsup><mo id="S4.E48.m1.4.4.2.1.1.1.1.1a" xref="S4.E48.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S4.E48.m1.4.4.2.1.1.1.1.4" xref="S4.E48.m1.4.4.2.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="S4.E48.m1.4.4.2.1.1.1.1.4.2" xref="S4.E48.m1.4.4.2.1.1.1.1.4.2.cmml">P</mi><mi id="S4.E48.m1.4.4.2.1.1.1.1.4.3" xref="S4.E48.m1.4.4.2.1.1.1.1.4.3.cmml">𝔇</mi></msub></mrow><mo id="S4.E48.m1.4.4.2.1.1.1.3" xref="S4.E48.m1.4.4.2.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.E48.m1.4b"><apply id="S4.E48.m1.4.4.cmml" xref="S4.E48.m1.4.4"><eq id="S4.E48.m1.4.4.3.cmml" xref="S4.E48.m1.4.4.3"></eq><apply id="S4.E48.m1.3.3.1.cmml" xref="S4.E48.m1.3.3.1"><times id="S4.E48.m1.3.3.1.2.cmml" xref="S4.E48.m1.3.3.1.2"></times><apply id="S4.E48.m1.3.3.1.3.cmml" xref="S4.E48.m1.3.3.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E48.m1.3.3.1.3.1.cmml" xref="S4.E48.m1.3.3.1.3">superscript</csymbol><ci id="S4.E48.m1.3.3.1.3.2a.cmml" xref="S4.E48.m1.3.3.1.3.2"><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S4.E48.m1.3.3.1.3.2.cmml" xref="S4.E48.m1.3.3.1.3.2">eig</mtext></ci><times id="S4.E48.m1.3.3.1.3.3.cmml" xref="S4.E48.m1.3.3.1.3.3"></times></apply><apply id="S4.E48.m1.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E48.m1.3.3.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E48.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E48.m1.3.3.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S4.E48.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E48.m1.3.3.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E48.m1.3.3.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.E48.m1.3.3.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.E48.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.E48.m1.3.3.1.1.1.1.2.2">𝐾</ci><ci id="S4.E48.m1.3.3.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.E48.m1.3.3.1.1.1.1.2.3">𝑚</ci></apply><ci id="S4.E48.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E48.m1.1.1.1.1">𝑡</ci></apply></apply><apply id="S4.E48.m1.4.4.2.cmml" xref="S4.E48.m1.4.4.2"><apply id="S4.E48.m1.4.4.2.2.cmml" xref="S4.E48.m1.4.4.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E48.m1.4.4.2.2.1.cmml" xref="S4.E48.m1.4.4.2.2">superscript</csymbol><apply id="S4.E48.m1.4.4.2.2.2.cmml" xref="S4.E48.m1.4.4.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E48.m1.4.4.2.2.2.1.cmml" xref="S4.E48.m1.4.4.2.2">subscript</csymbol><union id="S4.E48.m1.4.4.2.2.2.2.cmml" xref="S4.E48.m1.4.4.2.2.2.2"></union><apply id="S4.E48.m1.4.4.2.2.2.3.cmml" xref="S4.E48.m1.4.4.2.2.2.3"><eq id="S4.E48.m1.4.4.2.2.2.3.1.cmml" xref="S4.E48.m1.4.4.2.2.2.3.1"></eq><ci id="S4.E48.m1.4.4.2.2.2.3.2.cmml" xref="S4.E48.m1.4.4.2.2.2.3.2">𝑘</ci><cn id="S4.E48.m1.4.4.2.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.E48.m1.4.4.2.2.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="S4.E48.m1.4.4.2.2.3.cmml" xref="S4.E48.m1.4.4.2.2.3">𝑡</ci></apply><apply id="S4.E48.m1.4.4.2.1.cmml" xref="S4.E48.m1.4.4.2.1"><times id="S4.E48.m1.4.4.2.1.2.cmml" xref="S4.E48.m1.4.4.2.1.2"></times><apply id="S4.E48.m1.4.4.2.1.3.cmml" xref="S4.E48.m1.4.4.2.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E48.m1.4.4.2.1.3.1.cmml" xref="S4.E48.m1.4.4.2.1.3">superscript</csymbol><ci id="S4.E48.m1.4.4.2.1.3.2a.cmml" xref="S4.E48.m1.4.4.2.1.3.2"><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S4.E48.m1.4.4.2.1.3.2.cmml" xref="S4.E48.m1.4.4.2.1.3.2">eig</mtext></ci><times id="S4.E48.m1.4.4.2.1.3.3.cmml" xref="S4.E48.m1.4.4.2.1.3.3"></times></apply><apply id="S4.E48.m1.4.4.2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E48.m1.4.4.2.1.1.1"><times id="S4.E48.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E48.m1.4.4.2.1.1.1.1.1"></times><apply id="S4.E48.m1.4.4.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E48.m1.4.4.2.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E48.m1.4.4.2.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.E48.m1.4.4.2.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S4.E48.m1.4.4.2.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.E48.m1.4.4.2.1.1.1.1.2.2">𝑃</ci><ci id="S4.E48.m1.4.4.2.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.E48.m1.4.4.2.1.1.1.1.2.3">𝔇</ci></apply><apply id="S4.E48.m1.4.4.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E48.m1.4.4.2.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E48.m1.4.4.2.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E48.m1.4.4.2.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="S4.E48.m1.4.4.2.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.E48.m1.4.4.2.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E48.m1.4.4.2.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.E48.m1.4.4.2.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.E48.m1.4.4.2.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.E48.m1.4.4.2.1.1.1.1.3.2.2">𝐾</ci><ci id="S4.E48.m1.4.4.2.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S4.E48.m1.4.4.2.1.1.1.1.3.2.3">𝑚</ci></apply><ci id="S4.E48.m1.2.2.1.1.cmml" xref="S4.E48.m1.2.2.1.1">𝑘</ci></apply><apply id="S4.E48.m1.4.4.2.1.1.1.1.4.cmml" xref="S4.E48.m1.4.4.2.1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E48.m1.4.4.2.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="S4.E48.m1.4.4.2.1.1.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="S4.E48.m1.4.4.2.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="S4.E48.m1.4.4.2.1.1.1.1.4.2">𝑃</ci><ci id="S4.E48.m1.4.4.2.1.1.1.1.4.3.cmml" xref="S4.E48.m1.4.4.2.1.1.1.1.4.3">𝔇</ci></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.E48.m1.4c">\displaystyle\text{eig}^{*}\left(K_{m}^{(t)}\right)=\bigcup_{k=1}^{t}\text{eig% }^{*}\left(P_{\mathfrak{D}}K_{m}^{(k)}P_{\mathfrak{D}}\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.E48.m1.4d">eig start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_K start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_t ) end_POSTSUPERSCRIPT ) = ⋃ start_POSTSUBSCRIPT italic_k = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_t end_POSTSUPERSCRIPT eig start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_P start_POSTSUBSCRIPT fraktur_D end_POSTSUBSCRIPT italic_K start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_k ) end_POSTSUPERSCRIPT italic_P start_POSTSUBSCRIPT fraktur_D end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(48)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="Thmtheorem30.p1.5"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmtheorem30.p1.5.4">As the unit eigenvalues make up <math alttext="\text{eig}^{*}(K_{m}^{(1)})" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem30.p1.2.1.m1.2"><semantics id="Thmtheorem30.p1.2.1.m1.2a"><mrow id="Thmtheorem30.p1.2.1.m1.2.2" xref="Thmtheorem30.p1.2.1.m1.2.2.cmml"><msup id="Thmtheorem30.p1.2.1.m1.2.2.3" xref="Thmtheorem30.p1.2.1.m1.2.2.3.cmml"><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="Thmtheorem30.p1.2.1.m1.2.2.3.2" xref="Thmtheorem30.p1.2.1.m1.2.2.3.2a.cmml">eig</mtext><mo id="Thmtheorem30.p1.2.1.m1.2.2.3.3" xref="Thmtheorem30.p1.2.1.m1.2.2.3.3.cmml">∗</mo></msup><mo id="Thmtheorem30.p1.2.1.m1.2.2.2" xref="Thmtheorem30.p1.2.1.m1.2.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="Thmtheorem30.p1.2.1.m1.2.2.1.1" xref="Thmtheorem30.p1.2.1.m1.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="Thmtheorem30.p1.2.1.m1.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="Thmtheorem30.p1.2.1.m1.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><msubsup id="Thmtheorem30.p1.2.1.m1.2.2.1.1.1" xref="Thmtheorem30.p1.2.1.m1.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="Thmtheorem30.p1.2.1.m1.2.2.1.1.1.2.2" xref="Thmtheorem30.p1.2.1.m1.2.2.1.1.1.2.2.cmml">K</mi><mi id="Thmtheorem30.p1.2.1.m1.2.2.1.1.1.2.3" xref="Thmtheorem30.p1.2.1.m1.2.2.1.1.1.2.3.cmml">m</mi><mrow id="Thmtheorem30.p1.2.1.m1.1.1.1.3" xref="Thmtheorem30.p1.2.1.m1.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="Thmtheorem30.p1.2.1.m1.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="Thmtheorem30.p1.2.1.m1.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><mn id="Thmtheorem30.p1.2.1.m1.1.1.1.1" xref="Thmtheorem30.p1.2.1.m1.1.1.1.1.cmml">1</mn><mo id="Thmtheorem30.p1.2.1.m1.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="Thmtheorem30.p1.2.1.m1.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></msubsup><mo id="Thmtheorem30.p1.2.1.m1.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="Thmtheorem30.p1.2.1.m1.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem30.p1.2.1.m1.2b"><apply id="Thmtheorem30.p1.2.1.m1.2.2.cmml" xref="Thmtheorem30.p1.2.1.m1.2.2"><times id="Thmtheorem30.p1.2.1.m1.2.2.2.cmml" xref="Thmtheorem30.p1.2.1.m1.2.2.2"></times><apply id="Thmtheorem30.p1.2.1.m1.2.2.3.cmml" xref="Thmtheorem30.p1.2.1.m1.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem30.p1.2.1.m1.2.2.3.1.cmml" xref="Thmtheorem30.p1.2.1.m1.2.2.3">superscript</csymbol><ci id="Thmtheorem30.p1.2.1.m1.2.2.3.2a.cmml" xref="Thmtheorem30.p1.2.1.m1.2.2.3.2"><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="Thmtheorem30.p1.2.1.m1.2.2.3.2.cmml" xref="Thmtheorem30.p1.2.1.m1.2.2.3.2">eig</mtext></ci><times id="Thmtheorem30.p1.2.1.m1.2.2.3.3.cmml" xref="Thmtheorem30.p1.2.1.m1.2.2.3.3"></times></apply><apply id="Thmtheorem30.p1.2.1.m1.2.2.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem30.p1.2.1.m1.2.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem30.p1.2.1.m1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem30.p1.2.1.m1.2.2.1.1">superscript</csymbol><apply id="Thmtheorem30.p1.2.1.m1.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="Thmtheorem30.p1.2.1.m1.2.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem30.p1.2.1.m1.2.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="Thmtheorem30.p1.2.1.m1.2.2.1.1">subscript</csymbol><ci id="Thmtheorem30.p1.2.1.m1.2.2.1.1.1.2.2.cmml" xref="Thmtheorem30.p1.2.1.m1.2.2.1.1.1.2.2">𝐾</ci><ci id="Thmtheorem30.p1.2.1.m1.2.2.1.1.1.2.3.cmml" xref="Thmtheorem30.p1.2.1.m1.2.2.1.1.1.2.3">𝑚</ci></apply><cn id="Thmtheorem30.p1.2.1.m1.1.1.1.1.cmml" type="integer" xref="Thmtheorem30.p1.2.1.m1.1.1.1.1">1</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem30.p1.2.1.m1.2c">\text{eig}^{*}(K_{m}^{(1)})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem30.p1.2.1.m1.2d">eig start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_K start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( 1 ) end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math>, the subleading eigenvalue of <math alttext="K_{m}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem30.p1.3.2.m2.1"><semantics id="Thmtheorem30.p1.3.2.m2.1a"><msub id="Thmtheorem30.p1.3.2.m2.1.1" xref="Thmtheorem30.p1.3.2.m2.1.1.cmml"><mi id="Thmtheorem30.p1.3.2.m2.1.1.2" xref="Thmtheorem30.p1.3.2.m2.1.1.2.cmml">K</mi><mi id="Thmtheorem30.p1.3.2.m2.1.1.3" xref="Thmtheorem30.p1.3.2.m2.1.1.3.cmml">m</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem30.p1.3.2.m2.1b"><apply id="Thmtheorem30.p1.3.2.m2.1.1.cmml" xref="Thmtheorem30.p1.3.2.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem30.p1.3.2.m2.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem30.p1.3.2.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="Thmtheorem30.p1.3.2.m2.1.1.2.cmml" xref="Thmtheorem30.p1.3.2.m2.1.1.2">𝐾</ci><ci id="Thmtheorem30.p1.3.2.m2.1.1.3.cmml" xref="Thmtheorem30.p1.3.2.m2.1.1.3">𝑚</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem30.p1.3.2.m2.1c">K_{m}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem30.p1.3.2.m2.1d">italic_K start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> is bounded by the leading eigenvalues of <math alttext="P_{\mathfrak{D}}K_{m}^{(k)}P_{\mathfrak{D}}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem30.p1.4.3.m3.1"><semantics id="Thmtheorem30.p1.4.3.m3.1a"><mrow id="Thmtheorem30.p1.4.3.m3.1.2" xref="Thmtheorem30.p1.4.3.m3.1.2.cmml"><msub id="Thmtheorem30.p1.4.3.m3.1.2.2" xref="Thmtheorem30.p1.4.3.m3.1.2.2.cmml"><mi id="Thmtheorem30.p1.4.3.m3.1.2.2.2" xref="Thmtheorem30.p1.4.3.m3.1.2.2.2.cmml">P</mi><mi id="Thmtheorem30.p1.4.3.m3.1.2.2.3" xref="Thmtheorem30.p1.4.3.m3.1.2.2.3.cmml">𝔇</mi></msub><mo id="Thmtheorem30.p1.4.3.m3.1.2.1" xref="Thmtheorem30.p1.4.3.m3.1.2.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="Thmtheorem30.p1.4.3.m3.1.2.3" xref="Thmtheorem30.p1.4.3.m3.1.2.3.cmml"><mi id="Thmtheorem30.p1.4.3.m3.1.2.3.2.2" xref="Thmtheorem30.p1.4.3.m3.1.2.3.2.2.cmml">K</mi><mi id="Thmtheorem30.p1.4.3.m3.1.2.3.2.3" xref="Thmtheorem30.p1.4.3.m3.1.2.3.2.3.cmml">m</mi><mrow id="Thmtheorem30.p1.4.3.m3.1.1.1.3" xref="Thmtheorem30.p1.4.3.m3.1.2.3.cmml"><mo id="Thmtheorem30.p1.4.3.m3.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="Thmtheorem30.p1.4.3.m3.1.2.3.cmml">(</mo><mi id="Thmtheorem30.p1.4.3.m3.1.1.1.1" xref="Thmtheorem30.p1.4.3.m3.1.1.1.1.cmml">k</mi><mo id="Thmtheorem30.p1.4.3.m3.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="Thmtheorem30.p1.4.3.m3.1.2.3.cmml">)</mo></mrow></msubsup><mo id="Thmtheorem30.p1.4.3.m3.1.2.1a" xref="Thmtheorem30.p1.4.3.m3.1.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="Thmtheorem30.p1.4.3.m3.1.2.4" xref="Thmtheorem30.p1.4.3.m3.1.2.4.cmml"><mi id="Thmtheorem30.p1.4.3.m3.1.2.4.2" xref="Thmtheorem30.p1.4.3.m3.1.2.4.2.cmml">P</mi><mi id="Thmtheorem30.p1.4.3.m3.1.2.4.3" xref="Thmtheorem30.p1.4.3.m3.1.2.4.3.cmml">𝔇</mi></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem30.p1.4.3.m3.1b"><apply id="Thmtheorem30.p1.4.3.m3.1.2.cmml" xref="Thmtheorem30.p1.4.3.m3.1.2"><times id="Thmtheorem30.p1.4.3.m3.1.2.1.cmml" xref="Thmtheorem30.p1.4.3.m3.1.2.1"></times><apply id="Thmtheorem30.p1.4.3.m3.1.2.2.cmml" xref="Thmtheorem30.p1.4.3.m3.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem30.p1.4.3.m3.1.2.2.1.cmml" xref="Thmtheorem30.p1.4.3.m3.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="Thmtheorem30.p1.4.3.m3.1.2.2.2.cmml" xref="Thmtheorem30.p1.4.3.m3.1.2.2.2">𝑃</ci><ci id="Thmtheorem30.p1.4.3.m3.1.2.2.3.cmml" xref="Thmtheorem30.p1.4.3.m3.1.2.2.3">𝔇</ci></apply><apply id="Thmtheorem30.p1.4.3.m3.1.2.3.cmml" xref="Thmtheorem30.p1.4.3.m3.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem30.p1.4.3.m3.1.2.3.1.cmml" xref="Thmtheorem30.p1.4.3.m3.1.2.3">superscript</csymbol><apply id="Thmtheorem30.p1.4.3.m3.1.2.3.2.cmml" xref="Thmtheorem30.p1.4.3.m3.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem30.p1.4.3.m3.1.2.3.2.1.cmml" xref="Thmtheorem30.p1.4.3.m3.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="Thmtheorem30.p1.4.3.m3.1.2.3.2.2.cmml" xref="Thmtheorem30.p1.4.3.m3.1.2.3.2.2">𝐾</ci><ci id="Thmtheorem30.p1.4.3.m3.1.2.3.2.3.cmml" xref="Thmtheorem30.p1.4.3.m3.1.2.3.2.3">𝑚</ci></apply><ci id="Thmtheorem30.p1.4.3.m3.1.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem30.p1.4.3.m3.1.1.1.1">𝑘</ci></apply><apply id="Thmtheorem30.p1.4.3.m3.1.2.4.cmml" xref="Thmtheorem30.p1.4.3.m3.1.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem30.p1.4.3.m3.1.2.4.1.cmml" xref="Thmtheorem30.p1.4.3.m3.1.2.4">subscript</csymbol><ci id="Thmtheorem30.p1.4.3.m3.1.2.4.2.cmml" xref="Thmtheorem30.p1.4.3.m3.1.2.4.2">𝑃</ci><ci id="Thmtheorem30.p1.4.3.m3.1.2.4.3.cmml" xref="Thmtheorem30.p1.4.3.m3.1.2.4.3">𝔇</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem30.p1.4.3.m3.1c">P_{\mathfrak{D}}K_{m}^{(k)}P_{\mathfrak{D}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem30.p1.4.3.m3.1d">italic_P start_POSTSUBSCRIPT fraktur_D end_POSTSUBSCRIPT italic_K start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_k ) end_POSTSUPERSCRIPT italic_P start_POSTSUBSCRIPT fraktur_D end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> for all <math alttext="2\leq k\leq t" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem30.p1.5.4.m4.1"><semantics id="Thmtheorem30.p1.5.4.m4.1a"><mrow id="Thmtheorem30.p1.5.4.m4.1.1" xref="Thmtheorem30.p1.5.4.m4.1.1.cmml"><mn id="Thmtheorem30.p1.5.4.m4.1.1.2" xref="Thmtheorem30.p1.5.4.m4.1.1.2.cmml">2</mn><mo id="Thmtheorem30.p1.5.4.m4.1.1.3" xref="Thmtheorem30.p1.5.4.m4.1.1.3.cmml">≤</mo><mi id="Thmtheorem30.p1.5.4.m4.1.1.4" xref="Thmtheorem30.p1.5.4.m4.1.1.4.cmml">k</mi><mo id="Thmtheorem30.p1.5.4.m4.1.1.5" xref="Thmtheorem30.p1.5.4.m4.1.1.5.cmml">≤</mo><mi id="Thmtheorem30.p1.5.4.m4.1.1.6" xref="Thmtheorem30.p1.5.4.m4.1.1.6.cmml">t</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem30.p1.5.4.m4.1b"><apply id="Thmtheorem30.p1.5.4.m4.1.1.cmml" xref="Thmtheorem30.p1.5.4.m4.1.1"><and id="Thmtheorem30.p1.5.4.m4.1.1a.cmml" xref="Thmtheorem30.p1.5.4.m4.1.1"></and><apply id="Thmtheorem30.p1.5.4.m4.1.1b.cmml" xref="Thmtheorem30.p1.5.4.m4.1.1"><leq id="Thmtheorem30.p1.5.4.m4.1.1.3.cmml" xref="Thmtheorem30.p1.5.4.m4.1.1.3"></leq><cn id="Thmtheorem30.p1.5.4.m4.1.1.2.cmml" type="integer" xref="Thmtheorem30.p1.5.4.m4.1.1.2">2</cn><ci id="Thmtheorem30.p1.5.4.m4.1.1.4.cmml" xref="Thmtheorem30.p1.5.4.m4.1.1.4">𝑘</ci></apply><apply id="Thmtheorem30.p1.5.4.m4.1.1c.cmml" xref="Thmtheorem30.p1.5.4.m4.1.1"><leq id="Thmtheorem30.p1.5.4.m4.1.1.5.cmml" xref="Thmtheorem30.p1.5.4.m4.1.1.5"></leq><share href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#Thmtheorem30.p1.5.4.m4.1.1.4.cmml" id="Thmtheorem30.p1.5.4.m4.1.1d.cmml" xref="Thmtheorem30.p1.5.4.m4.1.1"></share><ci id="Thmtheorem30.p1.5.4.m4.1.1.6.cmml" xref="Thmtheorem30.p1.5.4.m4.1.1.6">𝑡</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem30.p1.5.4.m4.1c">2\leq k\leq t</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem30.p1.5.4.m4.1d">2 ≤ italic_k ≤ italic_t</annotation></semantics></math>.</span></p> </div> </div> <div class="ltx_para" id="S4.SS1.p4"> <p class="ltx_p" id="S4.SS1.p4.2">It therefore suffices to check the leading eigenvalues of <math alttext="K_{m}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p4.1.m1.1"><semantics id="S4.SS1.p4.1.m1.1a"><msub id="S4.SS1.p4.1.m1.1.1" xref="S4.SS1.p4.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S4.SS1.p4.1.m1.1.1.2" xref="S4.SS1.p4.1.m1.1.1.2.cmml">K</mi><mi id="S4.SS1.p4.1.m1.1.1.3" xref="S4.SS1.p4.1.m1.1.1.3.cmml">m</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p4.1.m1.1b"><apply id="S4.SS1.p4.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p4.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p4.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p4.1.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.SS1.p4.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p4.1.m1.1.1.2">𝐾</ci><ci id="S4.SS1.p4.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S4.SS1.p4.1.m1.1.1.3">𝑚</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p4.1.m1.1c">K_{m}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p4.1.m1.1d">italic_K start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> restricted to deranged subspaces. These eigenvalues are bounded by the spectral norm of <math alttext="K_{m}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p4.2.m2.1"><semantics id="S4.SS1.p4.2.m2.1a"><msub id="S4.SS1.p4.2.m2.1.1" xref="S4.SS1.p4.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S4.SS1.p4.2.m2.1.1.2" xref="S4.SS1.p4.2.m2.1.1.2.cmml">K</mi><mi id="S4.SS1.p4.2.m2.1.1.3" xref="S4.SS1.p4.2.m2.1.1.3.cmml">m</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p4.2.m2.1b"><apply id="S4.SS1.p4.2.m2.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p4.2.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p4.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p4.2.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.SS1.p4.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p4.2.m2.1.1.2">𝐾</ci><ci id="S4.SS1.p4.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S4.SS1.p4.2.m2.1.1.3">𝑚</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p4.2.m2.1c">K_{m}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p4.2.m2.1d">italic_K start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> in these subspaces with respect to any inner product. In particular, we will work in terms of operator norm induced by the <span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S4.SS1.p4.2.1">basis norm</span></p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_gather ltx_eqn_table" id="S6.EGx45"> <tbody id="S4.E49"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\displaystyle\left|\left|\sum_{\sigma\in S_{t}}c_{\sigma}\ket{\sigma}\right|% \right|_{\text{basis}}^{2}\equiv\sum_{\sigma\in S_{t}}|c_{\sigma}|^{2}" class="ltx_Math" display="block" id="S4.E49.m1.3"><semantics id="S4.E49.m1.3a"><mrow id="S4.E49.m1.3.3" xref="S4.E49.m1.3.3.cmml"><msubsup id="S4.E49.m1.2.2.1" xref="S4.E49.m1.2.2.1.cmml"><mrow id="S4.E49.m1.2.2.1.1.1.1" xref="S4.E49.m1.2.2.1.1.1.2.cmml"><mo id="S4.E49.m1.2.2.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.E49.m1.2.2.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo><mrow id="S4.E49.m1.2.2.1.1.1.1.1" xref="S4.E49.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><munder id="S4.E49.m1.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E49.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.E49.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2" lspace="0em" movablelimits="false" xref="S4.E49.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml">∑</mo><mrow id="S4.E49.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.E49.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.E49.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.E49.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">σ</mi><mo id="S4.E49.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S4.E49.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">∈</mo><msub id="S4.E49.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.E49.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S4.E49.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S4.E49.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">S</mi><mi id="S4.E49.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S4.E49.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">t</mi></msub></mrow></munder><mrow id="S4.E49.m1.2.2.1.1.1.1.1.2" xref="S4.E49.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml"><msub id="S4.E49.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.E49.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S4.E49.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S4.E49.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">c</mi><mi id="S4.E49.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S4.E49.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">σ</mi></msub><mo id="S4.E49.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1" xref="S4.E49.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E49.m1.1.1.3" xref="S4.E49.m1.1.1.2.cmml"><mo id="S4.E49.m1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S4.E49.m1.1.1.2.1.cmml">|</mo><mi id="S4.E49.m1.1.1.1.1" xref="S4.E49.m1.1.1.1.1.cmml">σ</mi><mo id="S4.E49.m1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S4.E49.m1.1.1.2.1.cmml">⟩</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.E49.m1.2.2.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.E49.m1.2.2.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo></mrow><mtext id="S4.E49.m1.2.2.1.1.3" xref="S4.E49.m1.2.2.1.1.3a.cmml">basis</mtext><mn id="S4.E49.m1.2.2.1.3" xref="S4.E49.m1.2.2.1.3.cmml">2</mn></msubsup><mo id="S4.E49.m1.3.3.3" rspace="0.111em" xref="S4.E49.m1.3.3.3.cmml">≡</mo><mrow id="S4.E49.m1.3.3.2" xref="S4.E49.m1.3.3.2.cmml"><munder id="S4.E49.m1.3.3.2.2" xref="S4.E49.m1.3.3.2.2.cmml"><mo id="S4.E49.m1.3.3.2.2.2" movablelimits="false" rspace="0em" xref="S4.E49.m1.3.3.2.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="S4.E49.m1.3.3.2.2.3" xref="S4.E49.m1.3.3.2.2.3.cmml"><mi id="S4.E49.m1.3.3.2.2.3.2" xref="S4.E49.m1.3.3.2.2.3.2.cmml">σ</mi><mo id="S4.E49.m1.3.3.2.2.3.1" xref="S4.E49.m1.3.3.2.2.3.1.cmml">∈</mo><msub id="S4.E49.m1.3.3.2.2.3.3" xref="S4.E49.m1.3.3.2.2.3.3.cmml"><mi id="S4.E49.m1.3.3.2.2.3.3.2" xref="S4.E49.m1.3.3.2.2.3.3.2.cmml">S</mi><mi id="S4.E49.m1.3.3.2.2.3.3.3" xref="S4.E49.m1.3.3.2.2.3.3.3.cmml">t</mi></msub></mrow></munder><msup id="S4.E49.m1.3.3.2.1" xref="S4.E49.m1.3.3.2.1.cmml"><mrow id="S4.E49.m1.3.3.2.1.1.1" xref="S4.E49.m1.3.3.2.1.1.2.cmml"><mo id="S4.E49.m1.3.3.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.E49.m1.3.3.2.1.1.2.1.cmml">|</mo><msub id="S4.E49.m1.3.3.2.1.1.1.1" xref="S4.E49.m1.3.3.2.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.E49.m1.3.3.2.1.1.1.1.2" xref="S4.E49.m1.3.3.2.1.1.1.1.2.cmml">c</mi><mi id="S4.E49.m1.3.3.2.1.1.1.1.3" xref="S4.E49.m1.3.3.2.1.1.1.1.3.cmml">σ</mi></msub><mo id="S4.E49.m1.3.3.2.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.E49.m1.3.3.2.1.1.2.1.cmml">|</mo></mrow><mn id="S4.E49.m1.3.3.2.1.3" xref="S4.E49.m1.3.3.2.1.3.cmml">2</mn></msup></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.E49.m1.3b"><apply id="S4.E49.m1.3.3.cmml" xref="S4.E49.m1.3.3"><equivalent id="S4.E49.m1.3.3.3.cmml" xref="S4.E49.m1.3.3.3"></equivalent><apply id="S4.E49.m1.2.2.1.cmml" xref="S4.E49.m1.2.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E49.m1.2.2.1.2.cmml" xref="S4.E49.m1.2.2.1">superscript</csymbol><apply id="S4.E49.m1.2.2.1.1.cmml" xref="S4.E49.m1.2.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E49.m1.2.2.1.1.2.cmml" xref="S4.E49.m1.2.2.1">subscript</csymbol><apply id="S4.E49.m1.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E49.m1.2.2.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S4.E49.m1.2.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.E49.m1.2.2.1.1.1.1.2">norm</csymbol><apply id="S4.E49.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E49.m1.2.2.1.1.1.1.1"><apply id="S4.E49.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E49.m1.2.2.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E49.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E49.m1.2.2.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><sum id="S4.E49.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E49.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2"></sum><apply id="S4.E49.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E49.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3"><in id="S4.E49.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E49.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.1"></in><ci id="S4.E49.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.E49.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2">𝜎</ci><apply id="S4.E49.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.E49.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E49.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.E49.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S4.E49.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S4.E49.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2">𝑆</ci><ci id="S4.E49.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S4.E49.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.3">𝑡</ci></apply></apply></apply><apply id="S4.E49.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E49.m1.2.2.1.1.1.1.1.2"><times id="S4.E49.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.E49.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1"></times><apply id="S4.E49.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.E49.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E49.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.E49.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S4.E49.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.E49.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2.2">𝑐</ci><ci id="S4.E49.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.E49.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2.3">𝜎</ci></apply><apply id="S4.E49.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.E49.m1.1.1.3"><csymbol cd="latexml" id="S4.E49.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.E49.m1.1.1.3.1">ket</csymbol><ci id="S4.E49.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E49.m1.1.1.1.1">𝜎</ci></apply></apply></apply></apply><ci id="S4.E49.m1.2.2.1.1.3a.cmml" xref="S4.E49.m1.2.2.1.1.3"><mtext id="S4.E49.m1.2.2.1.1.3.cmml" mathsize="70%" xref="S4.E49.m1.2.2.1.1.3">basis</mtext></ci></apply><cn id="S4.E49.m1.2.2.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.E49.m1.2.2.1.3">2</cn></apply><apply id="S4.E49.m1.3.3.2.cmml" xref="S4.E49.m1.3.3.2"><apply id="S4.E49.m1.3.3.2.2.cmml" xref="S4.E49.m1.3.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E49.m1.3.3.2.2.1.cmml" xref="S4.E49.m1.3.3.2.2">subscript</csymbol><sum id="S4.E49.m1.3.3.2.2.2.cmml" xref="S4.E49.m1.3.3.2.2.2"></sum><apply id="S4.E49.m1.3.3.2.2.3.cmml" xref="S4.E49.m1.3.3.2.2.3"><in id="S4.E49.m1.3.3.2.2.3.1.cmml" xref="S4.E49.m1.3.3.2.2.3.1"></in><ci id="S4.E49.m1.3.3.2.2.3.2.cmml" xref="S4.E49.m1.3.3.2.2.3.2">𝜎</ci><apply id="S4.E49.m1.3.3.2.2.3.3.cmml" xref="S4.E49.m1.3.3.2.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E49.m1.3.3.2.2.3.3.1.cmml" xref="S4.E49.m1.3.3.2.2.3.3">subscript</csymbol><ci id="S4.E49.m1.3.3.2.2.3.3.2.cmml" xref="S4.E49.m1.3.3.2.2.3.3.2">𝑆</ci><ci id="S4.E49.m1.3.3.2.2.3.3.3.cmml" xref="S4.E49.m1.3.3.2.2.3.3.3">𝑡</ci></apply></apply></apply><apply id="S4.E49.m1.3.3.2.1.cmml" xref="S4.E49.m1.3.3.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E49.m1.3.3.2.1.2.cmml" xref="S4.E49.m1.3.3.2.1">superscript</csymbol><apply id="S4.E49.m1.3.3.2.1.1.2.cmml" xref="S4.E49.m1.3.3.2.1.1.1"><abs id="S4.E49.m1.3.3.2.1.1.2.1.cmml" xref="S4.E49.m1.3.3.2.1.1.1.2"></abs><apply id="S4.E49.m1.3.3.2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E49.m1.3.3.2.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E49.m1.3.3.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E49.m1.3.3.2.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.E49.m1.3.3.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E49.m1.3.3.2.1.1.1.1.2">𝑐</ci><ci id="S4.E49.m1.3.3.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E49.m1.3.3.2.1.1.1.1.3">𝜎</ci></apply></apply><cn id="S4.E49.m1.3.3.2.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.E49.m1.3.3.2.1.3">2</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.E49.m1.3c">\displaystyle\left|\left|\sum_{\sigma\in S_{t}}c_{\sigma}\ket{\sigma}\right|% \right|_{\text{basis}}^{2}\equiv\sum_{\sigma\in S_{t}}|c_{\sigma}|^{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.E49.m1.3d">| | ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_σ ∈ italic_S start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_σ end_POSTSUBSCRIPT | start_ARG italic_σ end_ARG ⟩ | | start_POSTSUBSCRIPT basis end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ≡ ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_σ ∈ italic_S start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT | italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_σ end_POSTSUBSCRIPT | start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(49)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S4.SS1.p4.6">Note that this norm is not equivalent to the norm inherited from the inner product on the original Hilbert space. Then, we define the <span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S4.SS1.p4.6.1">deranged subspace basis norm</span></p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_gather ltx_eqn_table" id="S6.EGx46"> <tbody id="S4.E50"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\displaystyle||K_{m}||_{\mathfrak{D}}\equiv||P_{\mathfrak{D}}K_{m}P_{\mathfrak% {D}}||_{\text{basis}}" class="ltx_Math" display="block" id="S4.E50.m1.2"><semantics id="S4.E50.m1.2a"><mrow id="S4.E50.m1.2.2" xref="S4.E50.m1.2.2.cmml"><msub id="S4.E50.m1.1.1.1" xref="S4.E50.m1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.E50.m1.1.1.1.1.1" xref="S4.E50.m1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S4.E50.m1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.E50.m1.1.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo><msub id="S4.E50.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E50.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.E50.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.E50.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">K</mi><mi id="S4.E50.m1.1.1.1.1.1.1.3" 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xref="S4.E50.m1.2.2.2.1.1.1.3.2.cmml">K</mi><mi id="S4.E50.m1.2.2.2.1.1.1.3.3" xref="S4.E50.m1.2.2.2.1.1.1.3.3.cmml">m</mi></msub><mo id="S4.E50.m1.2.2.2.1.1.1.1a" xref="S4.E50.m1.2.2.2.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S4.E50.m1.2.2.2.1.1.1.4" xref="S4.E50.m1.2.2.2.1.1.1.4.cmml"><mi id="S4.E50.m1.2.2.2.1.1.1.4.2" xref="S4.E50.m1.2.2.2.1.1.1.4.2.cmml">P</mi><mi id="S4.E50.m1.2.2.2.1.1.1.4.3" xref="S4.E50.m1.2.2.2.1.1.1.4.3.cmml">𝔇</mi></msub></mrow><mo id="S4.E50.m1.2.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.E50.m1.2.2.2.1.2.1.cmml">‖</mo></mrow><mtext id="S4.E50.m1.2.2.2.3" xref="S4.E50.m1.2.2.2.3a.cmml">basis</mtext></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.E50.m1.2b"><apply id="S4.E50.m1.2.2.cmml" xref="S4.E50.m1.2.2"><equivalent id="S4.E50.m1.2.2.3.cmml" xref="S4.E50.m1.2.2.3"></equivalent><apply id="S4.E50.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.E50.m1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E50.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E50.m1.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="S4.E50.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E50.m1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S4.E50.m1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.E50.m1.1.1.1.1.1.2">norm</csymbol><apply id="S4.E50.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E50.m1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E50.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E50.m1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.E50.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E50.m1.1.1.1.1.1.1.2">𝐾</ci><ci id="S4.E50.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E50.m1.1.1.1.1.1.1.3">𝑚</ci></apply></apply><ci id="S4.E50.m1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E50.m1.1.1.1.3">𝔇</ci></apply><apply id="S4.E50.m1.2.2.2.cmml" xref="S4.E50.m1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E50.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S4.E50.m1.2.2.2">subscript</csymbol><apply id="S4.E50.m1.2.2.2.1.2.cmml" xref="S4.E50.m1.2.2.2.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S4.E50.m1.2.2.2.1.2.1.cmml" xref="S4.E50.m1.2.2.2.1.1.2">norm</csymbol><apply id="S4.E50.m1.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S4.E50.m1.2.2.2.1.1.1"><times id="S4.E50.m1.2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E50.m1.2.2.2.1.1.1.1"></times><apply id="S4.E50.m1.2.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E50.m1.2.2.2.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E50.m1.2.2.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.E50.m1.2.2.2.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S4.E50.m1.2.2.2.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.E50.m1.2.2.2.1.1.1.2.2">𝑃</ci><ci id="S4.E50.m1.2.2.2.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.E50.m1.2.2.2.1.1.1.2.3">𝔇</ci></apply><apply id="S4.E50.m1.2.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E50.m1.2.2.2.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E50.m1.2.2.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E50.m1.2.2.2.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.E50.m1.2.2.2.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.E50.m1.2.2.2.1.1.1.3.2">𝐾</ci><ci id="S4.E50.m1.2.2.2.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.E50.m1.2.2.2.1.1.1.3.3">𝑚</ci></apply><apply id="S4.E50.m1.2.2.2.1.1.1.4.cmml" xref="S4.E50.m1.2.2.2.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E50.m1.2.2.2.1.1.1.4.1.cmml" xref="S4.E50.m1.2.2.2.1.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="S4.E50.m1.2.2.2.1.1.1.4.2.cmml" xref="S4.E50.m1.2.2.2.1.1.1.4.2">𝑃</ci><ci id="S4.E50.m1.2.2.2.1.1.1.4.3.cmml" xref="S4.E50.m1.2.2.2.1.1.1.4.3">𝔇</ci></apply></apply></apply><ci id="S4.E50.m1.2.2.2.3a.cmml" xref="S4.E50.m1.2.2.2.3"><mtext id="S4.E50.m1.2.2.2.3.cmml" mathsize="70%" xref="S4.E50.m1.2.2.2.3">basis</mtext></ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.E50.m1.2c">\displaystyle||K_{m}||_{\mathfrak{D}}\equiv||P_{\mathfrak{D}}K_{m}P_{\mathfrak% {D}}||_{\text{basis}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.E50.m1.2d">| | italic_K start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT | | start_POSTSUBSCRIPT fraktur_D end_POSTSUBSCRIPT ≡ | | italic_P start_POSTSUBSCRIPT fraktur_D end_POSTSUBSCRIPT italic_K start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT italic_P start_POSTSUBSCRIPT fraktur_D end_POSTSUBSCRIPT | | start_POSTSUBSCRIPT basis end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(50)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S4.SS1.p4.5">The subleading eigenvalue of <math alttext="K_{m}^{(t)}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p4.3.m1.1"><semantics id="S4.SS1.p4.3.m1.1a"><msubsup id="S4.SS1.p4.3.m1.1.2" xref="S4.SS1.p4.3.m1.1.2.cmml"><mi id="S4.SS1.p4.3.m1.1.2.2.2" xref="S4.SS1.p4.3.m1.1.2.2.2.cmml">K</mi><mi id="S4.SS1.p4.3.m1.1.2.2.3" xref="S4.SS1.p4.3.m1.1.2.2.3.cmml">m</mi><mrow id="S4.SS1.p4.3.m1.1.1.1.3" xref="S4.SS1.p4.3.m1.1.2.cmml"><mo id="S4.SS1.p4.3.m1.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S4.SS1.p4.3.m1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S4.SS1.p4.3.m1.1.1.1.1" xref="S4.SS1.p4.3.m1.1.1.1.1.cmml">t</mi><mo id="S4.SS1.p4.3.m1.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S4.SS1.p4.3.m1.1.2.cmml">)</mo></mrow></msubsup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p4.3.m1.1b"><apply id="S4.SS1.p4.3.m1.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p4.3.m1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p4.3.m1.1.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p4.3.m1.1.2">superscript</csymbol><apply id="S4.SS1.p4.3.m1.1.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p4.3.m1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p4.3.m1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p4.3.m1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S4.SS1.p4.3.m1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p4.3.m1.1.2.2.2">𝐾</ci><ci id="S4.SS1.p4.3.m1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.SS1.p4.3.m1.1.2.2.3">𝑚</ci></apply><ci id="S4.SS1.p4.3.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p4.3.m1.1.1.1.1">𝑡</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p4.3.m1.1c">K_{m}^{(t)}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p4.3.m1.1d">italic_K start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_t ) end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> is then bounded by largest deranged subspace basis norm of <math alttext="K_{m}^{(k)}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p4.4.m2.1"><semantics id="S4.SS1.p4.4.m2.1a"><msubsup id="S4.SS1.p4.4.m2.1.2" xref="S4.SS1.p4.4.m2.1.2.cmml"><mi id="S4.SS1.p4.4.m2.1.2.2.2" xref="S4.SS1.p4.4.m2.1.2.2.2.cmml">K</mi><mi id="S4.SS1.p4.4.m2.1.2.2.3" xref="S4.SS1.p4.4.m2.1.2.2.3.cmml">m</mi><mrow id="S4.SS1.p4.4.m2.1.1.1.3" xref="S4.SS1.p4.4.m2.1.2.cmml"><mo id="S4.SS1.p4.4.m2.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S4.SS1.p4.4.m2.1.2.cmml">(</mo><mi id="S4.SS1.p4.4.m2.1.1.1.1" xref="S4.SS1.p4.4.m2.1.1.1.1.cmml">k</mi><mo id="S4.SS1.p4.4.m2.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S4.SS1.p4.4.m2.1.2.cmml">)</mo></mrow></msubsup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p4.4.m2.1b"><apply id="S4.SS1.p4.4.m2.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p4.4.m2.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p4.4.m2.1.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p4.4.m2.1.2">superscript</csymbol><apply id="S4.SS1.p4.4.m2.1.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p4.4.m2.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p4.4.m2.1.2.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p4.4.m2.1.2">subscript</csymbol><ci id="S4.SS1.p4.4.m2.1.2.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p4.4.m2.1.2.2.2">𝐾</ci><ci id="S4.SS1.p4.4.m2.1.2.2.3.cmml" xref="S4.SS1.p4.4.m2.1.2.2.3">𝑚</ci></apply><ci id="S4.SS1.p4.4.m2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p4.4.m2.1.1.1.1">𝑘</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p4.4.m2.1c">K_{m}^{(k)}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p4.4.m2.1d">italic_K start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_k ) end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> over all <math alttext="k\leq t" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p4.5.m3.1"><semantics id="S4.SS1.p4.5.m3.1a"><mrow id="S4.SS1.p4.5.m3.1.1" xref="S4.SS1.p4.5.m3.1.1.cmml"><mi id="S4.SS1.p4.5.m3.1.1.2" xref="S4.SS1.p4.5.m3.1.1.2.cmml">k</mi><mo id="S4.SS1.p4.5.m3.1.1.1" xref="S4.SS1.p4.5.m3.1.1.1.cmml">≤</mo><mi id="S4.SS1.p4.5.m3.1.1.3" xref="S4.SS1.p4.5.m3.1.1.3.cmml">t</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p4.5.m3.1b"><apply id="S4.SS1.p4.5.m3.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p4.5.m3.1.1"><leq id="S4.SS1.p4.5.m3.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p4.5.m3.1.1.1"></leq><ci id="S4.SS1.p4.5.m3.1.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p4.5.m3.1.1.2">𝑘</ci><ci id="S4.SS1.p4.5.m3.1.1.3.cmml" xref="S4.SS1.p4.5.m3.1.1.3">𝑡</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p4.5.m3.1c">k\leq t</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p4.5.m3.1d">italic_k ≤ italic_t</annotation></semantics></math>, i.e.</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_gather ltx_eqn_table" id="S6.EGx47"> <tbody id="S4.E51"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\displaystyle||K_{m}^{(t)}-\Pi_{m+1}||_{\infty}\leq\max_{2\leq k\leq t}||K_{m}% ^{(k)}||_{\mathfrak{D}}" class="ltx_Math" display="block" id="S4.E51.m1.4"><semantics id="S4.E51.m1.4a"><mrow id="S4.E51.m1.4.4" xref="S4.E51.m1.4.4.cmml"><msub id="S4.E51.m1.3.3.1" xref="S4.E51.m1.3.3.1.cmml"><mrow id="S4.E51.m1.3.3.1.1.1" xref="S4.E51.m1.3.3.1.1.2.cmml"><mo id="S4.E51.m1.3.3.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.E51.m1.3.3.1.1.2.1.cmml">‖</mo><mrow id="S4.E51.m1.3.3.1.1.1.1" xref="S4.E51.m1.3.3.1.1.1.1.cmml"><msubsup id="S4.E51.m1.3.3.1.1.1.1.2" xref="S4.E51.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.E51.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.2" xref="S4.E51.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.2.cmml">K</mi><mi id="S4.E51.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.3" xref="S4.E51.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.3.cmml">m</mi><mrow id="S4.E51.m1.1.1.1.3" xref="S4.E51.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S4.E51.m1.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S4.E51.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S4.E51.m1.1.1.1.1" xref="S4.E51.m1.1.1.1.1.cmml">t</mi><mo id="S4.E51.m1.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S4.E51.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></msubsup><mo id="S4.E51.m1.3.3.1.1.1.1.1" xref="S4.E51.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><msub id="S4.E51.m1.3.3.1.1.1.1.3" xref="S4.E51.m1.3.3.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.E51.m1.3.3.1.1.1.1.3.2" mathvariant="normal" xref="S4.E51.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.cmml">Π</mi><mrow id="S4.E51.m1.3.3.1.1.1.1.3.3" xref="S4.E51.m1.3.3.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S4.E51.m1.3.3.1.1.1.1.3.3.2" xref="S4.E51.m1.3.3.1.1.1.1.3.3.2.cmml">m</mi><mo id="S4.E51.m1.3.3.1.1.1.1.3.3.1" xref="S4.E51.m1.3.3.1.1.1.1.3.3.1.cmml">+</mo><mn id="S4.E51.m1.3.3.1.1.1.1.3.3.3" xref="S4.E51.m1.3.3.1.1.1.1.3.3.3.cmml">1</mn></mrow></msub></mrow><mo id="S4.E51.m1.3.3.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.E51.m1.3.3.1.1.2.1.cmml">‖</mo></mrow><mi id="S4.E51.m1.3.3.1.3" mathvariant="normal" xref="S4.E51.m1.3.3.1.3.cmml">∞</mi></msub><mo id="S4.E51.m1.4.4.3" xref="S4.E51.m1.4.4.3.cmml">≤</mo><mrow id="S4.E51.m1.4.4.2" xref="S4.E51.m1.4.4.2.cmml"><munder id="S4.E51.m1.4.4.2.3" xref="S4.E51.m1.4.4.2.3.cmml"><mi id="S4.E51.m1.4.4.2.3.2" xref="S4.E51.m1.4.4.2.3.2.cmml">max</mi><mrow id="S4.E51.m1.4.4.2.3.3" xref="S4.E51.m1.4.4.2.3.3.cmml"><mn id="S4.E51.m1.4.4.2.3.3.2" xref="S4.E51.m1.4.4.2.3.3.2.cmml">2</mn><mo id="S4.E51.m1.4.4.2.3.3.3" xref="S4.E51.m1.4.4.2.3.3.3.cmml">≤</mo><mi id="S4.E51.m1.4.4.2.3.3.4" xref="S4.E51.m1.4.4.2.3.3.4.cmml">k</mi><mo id="S4.E51.m1.4.4.2.3.3.5" xref="S4.E51.m1.4.4.2.3.3.5.cmml">≤</mo><mi id="S4.E51.m1.4.4.2.3.3.6" xref="S4.E51.m1.4.4.2.3.3.6.cmml">t</mi></mrow></munder><mo id="S4.E51.m1.4.4.2.2" xref="S4.E51.m1.4.4.2.2.cmml">⁢</mo><msub id="S4.E51.m1.4.4.2.1" xref="S4.E51.m1.4.4.2.1.cmml"><mrow id="S4.E51.m1.4.4.2.1.1.1" xref="S4.E51.m1.4.4.2.1.1.2.cmml"><mo id="S4.E51.m1.4.4.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.E51.m1.4.4.2.1.1.2.1.cmml">‖</mo><msubsup id="S4.E51.m1.4.4.2.1.1.1.1" xref="S4.E51.m1.4.4.2.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.E51.m1.4.4.2.1.1.1.1.2.2" xref="S4.E51.m1.4.4.2.1.1.1.1.2.2.cmml">K</mi><mi id="S4.E51.m1.4.4.2.1.1.1.1.2.3" xref="S4.E51.m1.4.4.2.1.1.1.1.2.3.cmml">m</mi><mrow id="S4.E51.m1.2.2.1.3" xref="S4.E51.m1.4.4.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.E51.m1.2.2.1.3.1" stretchy="false" xref="S4.E51.m1.4.4.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S4.E51.m1.2.2.1.1" xref="S4.E51.m1.2.2.1.1.cmml">k</mi><mo id="S4.E51.m1.2.2.1.3.2" stretchy="false" xref="S4.E51.m1.4.4.2.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></msubsup><mo id="S4.E51.m1.4.4.2.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.E51.m1.4.4.2.1.1.2.1.cmml">‖</mo></mrow><mi id="S4.E51.m1.4.4.2.1.3" xref="S4.E51.m1.4.4.2.1.3.cmml">𝔇</mi></msub></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.E51.m1.4b"><apply id="S4.E51.m1.4.4.cmml" xref="S4.E51.m1.4.4"><leq id="S4.E51.m1.4.4.3.cmml" xref="S4.E51.m1.4.4.3"></leq><apply id="S4.E51.m1.3.3.1.cmml" xref="S4.E51.m1.3.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E51.m1.3.3.1.2.cmml" xref="S4.E51.m1.3.3.1">subscript</csymbol><apply id="S4.E51.m1.3.3.1.1.2.cmml" xref="S4.E51.m1.3.3.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S4.E51.m1.3.3.1.1.2.1.cmml" xref="S4.E51.m1.3.3.1.1.1.2">norm</csymbol><apply id="S4.E51.m1.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E51.m1.3.3.1.1.1.1"><minus id="S4.E51.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E51.m1.3.3.1.1.1.1.1"></minus><apply id="S4.E51.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E51.m1.3.3.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E51.m1.3.3.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.E51.m1.3.3.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="S4.E51.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.E51.m1.3.3.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E51.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.E51.m1.3.3.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S4.E51.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.E51.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.2">𝐾</ci><ci id="S4.E51.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.E51.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.3">𝑚</ci></apply><ci id="S4.E51.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E51.m1.1.1.1.1">𝑡</ci></apply><apply id="S4.E51.m1.3.3.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E51.m1.3.3.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E51.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E51.m1.3.3.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.E51.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.E51.m1.3.3.1.1.1.1.3.2">Π</ci><apply id="S4.E51.m1.3.3.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.E51.m1.3.3.1.1.1.1.3.3"><plus id="S4.E51.m1.3.3.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.E51.m1.3.3.1.1.1.1.3.3.1"></plus><ci id="S4.E51.m1.3.3.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S4.E51.m1.3.3.1.1.1.1.3.3.2">𝑚</ci><cn id="S4.E51.m1.3.3.1.1.1.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.E51.m1.3.3.1.1.1.1.3.3.3">1</cn></apply></apply></apply></apply><infinity id="S4.E51.m1.3.3.1.3.cmml" xref="S4.E51.m1.3.3.1.3"></infinity></apply><apply id="S4.E51.m1.4.4.2.cmml" xref="S4.E51.m1.4.4.2"><times id="S4.E51.m1.4.4.2.2.cmml" xref="S4.E51.m1.4.4.2.2"></times><apply id="S4.E51.m1.4.4.2.3.cmml" xref="S4.E51.m1.4.4.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E51.m1.4.4.2.3.1.cmml" xref="S4.E51.m1.4.4.2.3">subscript</csymbol><max id="S4.E51.m1.4.4.2.3.2.cmml" xref="S4.E51.m1.4.4.2.3.2"></max><apply id="S4.E51.m1.4.4.2.3.3.cmml" xref="S4.E51.m1.4.4.2.3.3"><and id="S4.E51.m1.4.4.2.3.3a.cmml" xref="S4.E51.m1.4.4.2.3.3"></and><apply id="S4.E51.m1.4.4.2.3.3b.cmml" xref="S4.E51.m1.4.4.2.3.3"><leq id="S4.E51.m1.4.4.2.3.3.3.cmml" xref="S4.E51.m1.4.4.2.3.3.3"></leq><cn id="S4.E51.m1.4.4.2.3.3.2.cmml" type="integer" xref="S4.E51.m1.4.4.2.3.3.2">2</cn><ci id="S4.E51.m1.4.4.2.3.3.4.cmml" xref="S4.E51.m1.4.4.2.3.3.4">𝑘</ci></apply><apply id="S4.E51.m1.4.4.2.3.3c.cmml" xref="S4.E51.m1.4.4.2.3.3"><leq id="S4.E51.m1.4.4.2.3.3.5.cmml" xref="S4.E51.m1.4.4.2.3.3.5"></leq><share href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#S4.E51.m1.4.4.2.3.3.4.cmml" id="S4.E51.m1.4.4.2.3.3d.cmml" xref="S4.E51.m1.4.4.2.3.3"></share><ci id="S4.E51.m1.4.4.2.3.3.6.cmml" xref="S4.E51.m1.4.4.2.3.3.6">𝑡</ci></apply></apply></apply><apply id="S4.E51.m1.4.4.2.1.cmml" xref="S4.E51.m1.4.4.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E51.m1.4.4.2.1.2.cmml" xref="S4.E51.m1.4.4.2.1">subscript</csymbol><apply id="S4.E51.m1.4.4.2.1.1.2.cmml" xref="S4.E51.m1.4.4.2.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S4.E51.m1.4.4.2.1.1.2.1.cmml" xref="S4.E51.m1.4.4.2.1.1.1.2">norm</csymbol><apply id="S4.E51.m1.4.4.2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E51.m1.4.4.2.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E51.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E51.m1.4.4.2.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S4.E51.m1.4.4.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E51.m1.4.4.2.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E51.m1.4.4.2.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.E51.m1.4.4.2.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.E51.m1.4.4.2.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.E51.m1.4.4.2.1.1.1.1.2.2">𝐾</ci><ci id="S4.E51.m1.4.4.2.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.E51.m1.4.4.2.1.1.1.1.2.3">𝑚</ci></apply><ci id="S4.E51.m1.2.2.1.1.cmml" xref="S4.E51.m1.2.2.1.1">𝑘</ci></apply></apply><ci id="S4.E51.m1.4.4.2.1.3.cmml" xref="S4.E51.m1.4.4.2.1.3">𝔇</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.E51.m1.4c">\displaystyle||K_{m}^{(t)}-\Pi_{m+1}||_{\infty}\leq\max_{2\leq k\leq t}||K_{m}% ^{(k)}||_{\mathfrak{D}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.E51.m1.4d">| | italic_K start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_t ) end_POSTSUPERSCRIPT - roman_Π start_POSTSUBSCRIPT italic_m + 1 end_POSTSUBSCRIPT | | start_POSTSUBSCRIPT ∞ end_POSTSUBSCRIPT ≤ roman_max start_POSTSUBSCRIPT 2 ≤ italic_k ≤ italic_t end_POSTSUBSCRIPT | | italic_K start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_k ) end_POSTSUPERSCRIPT | | start_POSTSUBSCRIPT fraktur_D end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(51)</span></td> </tr></tbody> </table> </div> <div class="ltx_para" id="S4.SS1.p5"> <p class="ltx_p" id="S4.SS1.p5.1">Finally, we note that the symmetry of Lemma <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#Thmtheorem21" title="Lemma 21. ‣ IV Properties of the eigenspaces ‣ Conditional 𝑡-independent spectral gap for random quantum circuits and implications for 𝑡-design depths"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">21</span></a> applies separately within each subspace.</p> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_lemma" id="Thmtheorem31"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmtheorem31.1.1.1">Lemma 31</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmtheorem31.2.2">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="Thmtheorem31.p1"> <p class="ltx_p" id="Thmtheorem31.p1.5"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmtheorem31.p1.5.5">The subspaces <math alttext="\operatorname{span}\left(\mathfrak{D}_{N}^{(t)}\right)" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem31.p1.1.1.m1.3"><semantics id="Thmtheorem31.p1.1.1.m1.3a"><mrow id="Thmtheorem31.p1.1.1.m1.3.3.1" xref="Thmtheorem31.p1.1.1.m1.3.3.2.cmml"><mi id="Thmtheorem31.p1.1.1.m1.2.2" xref="Thmtheorem31.p1.1.1.m1.2.2.cmml">span</mi><mo id="Thmtheorem31.p1.1.1.m1.3.3.1a" xref="Thmtheorem31.p1.1.1.m1.3.3.2.cmml">⁡</mo><mrow id="Thmtheorem31.p1.1.1.m1.3.3.1.1" xref="Thmtheorem31.p1.1.1.m1.3.3.2.cmml"><mo id="Thmtheorem31.p1.1.1.m1.3.3.1.1.2" xref="Thmtheorem31.p1.1.1.m1.3.3.2.cmml">(</mo><msubsup id="Thmtheorem31.p1.1.1.m1.3.3.1.1.1" xref="Thmtheorem31.p1.1.1.m1.3.3.1.1.1.cmml"><mi id="Thmtheorem31.p1.1.1.m1.3.3.1.1.1.2.2" xref="Thmtheorem31.p1.1.1.m1.3.3.1.1.1.2.2.cmml">𝔇</mi><mi id="Thmtheorem31.p1.1.1.m1.3.3.1.1.1.2.3" xref="Thmtheorem31.p1.1.1.m1.3.3.1.1.1.2.3.cmml">N</mi><mrow id="Thmtheorem31.p1.1.1.m1.1.1.1.3" xref="Thmtheorem31.p1.1.1.m1.3.3.1.1.1.cmml"><mo id="Thmtheorem31.p1.1.1.m1.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="Thmtheorem31.p1.1.1.m1.3.3.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="Thmtheorem31.p1.1.1.m1.1.1.1.1" xref="Thmtheorem31.p1.1.1.m1.1.1.1.1.cmml">t</mi><mo id="Thmtheorem31.p1.1.1.m1.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="Thmtheorem31.p1.1.1.m1.3.3.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></msubsup><mo id="Thmtheorem31.p1.1.1.m1.3.3.1.1.3" xref="Thmtheorem31.p1.1.1.m1.3.3.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem31.p1.1.1.m1.3b"><apply id="Thmtheorem31.p1.1.1.m1.3.3.2.cmml" xref="Thmtheorem31.p1.1.1.m1.3.3.1"><ci id="Thmtheorem31.p1.1.1.m1.2.2.cmml" xref="Thmtheorem31.p1.1.1.m1.2.2">span</ci><apply id="Thmtheorem31.p1.1.1.m1.3.3.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem31.p1.1.1.m1.3.3.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem31.p1.1.1.m1.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem31.p1.1.1.m1.3.3.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="Thmtheorem31.p1.1.1.m1.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="Thmtheorem31.p1.1.1.m1.3.3.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem31.p1.1.1.m1.3.3.1.1.1.2.1.cmml" xref="Thmtheorem31.p1.1.1.m1.3.3.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="Thmtheorem31.p1.1.1.m1.3.3.1.1.1.2.2.cmml" xref="Thmtheorem31.p1.1.1.m1.3.3.1.1.1.2.2">𝔇</ci><ci id="Thmtheorem31.p1.1.1.m1.3.3.1.1.1.2.3.cmml" xref="Thmtheorem31.p1.1.1.m1.3.3.1.1.1.2.3">𝑁</ci></apply><ci id="Thmtheorem31.p1.1.1.m1.1.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem31.p1.1.1.m1.1.1.1.1">𝑡</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem31.p1.1.1.m1.3c">\operatorname{span}\left(\mathfrak{D}_{N}^{(t)}\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem31.p1.1.1.m1.3d">roman_span ( fraktur_D start_POSTSUBSCRIPT italic_N end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_t ) end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math>, <math alttext="\operatorname{span}\left(S_{t}^{2}\circ S_{t-1}^{\times N}\right)" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem31.p1.2.2.m2.2"><semantics id="Thmtheorem31.p1.2.2.m2.2a"><mrow id="Thmtheorem31.p1.2.2.m2.2.2.1" xref="Thmtheorem31.p1.2.2.m2.2.2.2.cmml"><mi id="Thmtheorem31.p1.2.2.m2.1.1" xref="Thmtheorem31.p1.2.2.m2.1.1.cmml">span</mi><mo id="Thmtheorem31.p1.2.2.m2.2.2.1a" xref="Thmtheorem31.p1.2.2.m2.2.2.2.cmml">⁡</mo><mrow id="Thmtheorem31.p1.2.2.m2.2.2.1.1" xref="Thmtheorem31.p1.2.2.m2.2.2.2.cmml"><mo id="Thmtheorem31.p1.2.2.m2.2.2.1.1.2" xref="Thmtheorem31.p1.2.2.m2.2.2.2.cmml">(</mo><mrow id="Thmtheorem31.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1" xref="Thmtheorem31.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.cmml"><msubsup id="Thmtheorem31.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.2" xref="Thmtheorem31.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.2.cmml"><mi id="Thmtheorem31.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.2.2.2" xref="Thmtheorem31.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.2.2.2.cmml">S</mi><mi id="Thmtheorem31.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.2.2.3" xref="Thmtheorem31.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.2.2.3.cmml">t</mi><mn id="Thmtheorem31.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.2.3" xref="Thmtheorem31.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.2.3.cmml">2</mn></msubsup><mo id="Thmtheorem31.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="Thmtheorem31.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.1.cmml">∘</mo><msubsup id="Thmtheorem31.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.3" xref="Thmtheorem31.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.3.cmml"><mi id="Thmtheorem31.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.3.2.2" xref="Thmtheorem31.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.3.2.2.cmml">S</mi><mrow id="Thmtheorem31.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.3.2.3" xref="Thmtheorem31.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="Thmtheorem31.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.3.2.3.2" xref="Thmtheorem31.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.3.2.3.2.cmml">t</mi><mo id="Thmtheorem31.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.3.2.3.1" xref="Thmtheorem31.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.3.2.3.1.cmml">−</mo><mn id="Thmtheorem31.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.3.2.3.3" xref="Thmtheorem31.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.3.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mrow id="Thmtheorem31.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.3.3" xref="Thmtheorem31.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="Thmtheorem31.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.3.3.2" xref="Thmtheorem31.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.3.3.2.cmml"></mi><mo id="Thmtheorem31.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.3.3.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="Thmtheorem31.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.3.3.1.cmml">×</mo><mi id="Thmtheorem31.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.3.3.3" xref="Thmtheorem31.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.3.3.3.cmml">N</mi></mrow></msubsup></mrow><mo id="Thmtheorem31.p1.2.2.m2.2.2.1.1.3" xref="Thmtheorem31.p1.2.2.m2.2.2.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem31.p1.2.2.m2.2b"><apply id="Thmtheorem31.p1.2.2.m2.2.2.2.cmml" xref="Thmtheorem31.p1.2.2.m2.2.2.1"><ci id="Thmtheorem31.p1.2.2.m2.1.1.cmml" xref="Thmtheorem31.p1.2.2.m2.1.1">span</ci><apply id="Thmtheorem31.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem31.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1"><compose id="Thmtheorem31.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem31.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.1"></compose><apply id="Thmtheorem31.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="Thmtheorem31.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem31.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="Thmtheorem31.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="Thmtheorem31.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.2.2.cmml" xref="Thmtheorem31.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem31.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="Thmtheorem31.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="Thmtheorem31.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="Thmtheorem31.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.2.2.2">𝑆</ci><ci id="Thmtheorem31.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="Thmtheorem31.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.2.2.3">𝑡</ci></apply><cn id="Thmtheorem31.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="Thmtheorem31.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.2.3">2</cn></apply><apply id="Thmtheorem31.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="Thmtheorem31.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem31.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="Thmtheorem31.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="Thmtheorem31.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.3.2.cmml" xref="Thmtheorem31.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem31.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="Thmtheorem31.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="Thmtheorem31.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="Thmtheorem31.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.3.2.2">𝑆</ci><apply id="Thmtheorem31.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="Thmtheorem31.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.3.2.3"><minus id="Thmtheorem31.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="Thmtheorem31.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.3.2.3.1"></minus><ci id="Thmtheorem31.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="Thmtheorem31.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.3.2.3.2">𝑡</ci><cn id="Thmtheorem31.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.3.2.3.3.cmml" type="integer" xref="Thmtheorem31.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.3.2.3.3">1</cn></apply></apply><apply id="Thmtheorem31.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.3.3.cmml" xref="Thmtheorem31.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.3.3"><times id="Thmtheorem31.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="Thmtheorem31.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.3.3.1"></times><csymbol cd="latexml" id="Thmtheorem31.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="Thmtheorem31.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.3.3.2">absent</csymbol><ci id="Thmtheorem31.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="Thmtheorem31.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.3.3.3">𝑁</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem31.p1.2.2.m2.2c">\operatorname{span}\left(S_{t}^{2}\circ S_{t-1}^{\times N}\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem31.p1.2.2.m2.2d">roman_span ( italic_S start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ∘ italic_S start_POSTSUBSCRIPT italic_t - 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT × italic_N end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math>, and the orthogonal complement of <math alttext="\operatorname{span}\left(S_{t}^{2}\circ S_{t-1}^{\times N}\right)" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem31.p1.3.3.m3.2"><semantics id="Thmtheorem31.p1.3.3.m3.2a"><mrow id="Thmtheorem31.p1.3.3.m3.2.2.1" xref="Thmtheorem31.p1.3.3.m3.2.2.2.cmml"><mi id="Thmtheorem31.p1.3.3.m3.1.1" xref="Thmtheorem31.p1.3.3.m3.1.1.cmml">span</mi><mo id="Thmtheorem31.p1.3.3.m3.2.2.1a" xref="Thmtheorem31.p1.3.3.m3.2.2.2.cmml">⁡</mo><mrow id="Thmtheorem31.p1.3.3.m3.2.2.1.1" xref="Thmtheorem31.p1.3.3.m3.2.2.2.cmml"><mo id="Thmtheorem31.p1.3.3.m3.2.2.1.1.2" xref="Thmtheorem31.p1.3.3.m3.2.2.2.cmml">(</mo><mrow id="Thmtheorem31.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1" xref="Thmtheorem31.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.cmml"><msubsup id="Thmtheorem31.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.2" xref="Thmtheorem31.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.2.cmml"><mi id="Thmtheorem31.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.2.2.2" xref="Thmtheorem31.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.2.2.2.cmml">S</mi><mi id="Thmtheorem31.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.2.2.3" xref="Thmtheorem31.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.2.2.3.cmml">t</mi><mn id="Thmtheorem31.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.2.3" xref="Thmtheorem31.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.2.3.cmml">2</mn></msubsup><mo id="Thmtheorem31.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="Thmtheorem31.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.1.cmml">∘</mo><msubsup id="Thmtheorem31.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.3" xref="Thmtheorem31.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.3.cmml"><mi id="Thmtheorem31.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.3.2.2" xref="Thmtheorem31.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.3.2.2.cmml">S</mi><mrow id="Thmtheorem31.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.3.2.3" xref="Thmtheorem31.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="Thmtheorem31.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.3.2.3.2" xref="Thmtheorem31.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.3.2.3.2.cmml">t</mi><mo id="Thmtheorem31.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.3.2.3.1" xref="Thmtheorem31.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.3.2.3.1.cmml">−</mo><mn id="Thmtheorem31.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.3.2.3.3" xref="Thmtheorem31.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.3.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mrow id="Thmtheorem31.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.3.3" xref="Thmtheorem31.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="Thmtheorem31.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.3.3.2" xref="Thmtheorem31.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.3.3.2.cmml"></mi><mo id="Thmtheorem31.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.3.3.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="Thmtheorem31.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.3.3.1.cmml">×</mo><mi id="Thmtheorem31.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.3.3.3" xref="Thmtheorem31.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.3.3.3.cmml">N</mi></mrow></msubsup></mrow><mo id="Thmtheorem31.p1.3.3.m3.2.2.1.1.3" xref="Thmtheorem31.p1.3.3.m3.2.2.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem31.p1.3.3.m3.2b"><apply id="Thmtheorem31.p1.3.3.m3.2.2.2.cmml" xref="Thmtheorem31.p1.3.3.m3.2.2.1"><ci id="Thmtheorem31.p1.3.3.m3.1.1.cmml" xref="Thmtheorem31.p1.3.3.m3.1.1">span</ci><apply id="Thmtheorem31.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem31.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1"><compose id="Thmtheorem31.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem31.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.1"></compose><apply id="Thmtheorem31.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="Thmtheorem31.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem31.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="Thmtheorem31.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="Thmtheorem31.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.2.2.cmml" xref="Thmtheorem31.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem31.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="Thmtheorem31.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="Thmtheorem31.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="Thmtheorem31.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.2.2.2">𝑆</ci><ci id="Thmtheorem31.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="Thmtheorem31.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.2.2.3">𝑡</ci></apply><cn id="Thmtheorem31.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="Thmtheorem31.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.2.3">2</cn></apply><apply id="Thmtheorem31.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="Thmtheorem31.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem31.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="Thmtheorem31.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="Thmtheorem31.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.3.2.cmml" xref="Thmtheorem31.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem31.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="Thmtheorem31.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="Thmtheorem31.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="Thmtheorem31.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.3.2.2">𝑆</ci><apply id="Thmtheorem31.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="Thmtheorem31.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.3.2.3"><minus id="Thmtheorem31.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="Thmtheorem31.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.3.2.3.1"></minus><ci id="Thmtheorem31.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="Thmtheorem31.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.3.2.3.2">𝑡</ci><cn id="Thmtheorem31.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.3.2.3.3.cmml" type="integer" xref="Thmtheorem31.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.3.2.3.3">1</cn></apply></apply><apply id="Thmtheorem31.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.3.3.cmml" xref="Thmtheorem31.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.3.3"><times id="Thmtheorem31.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="Thmtheorem31.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.3.3.1"></times><csymbol cd="latexml" id="Thmtheorem31.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="Thmtheorem31.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.3.3.2">absent</csymbol><ci id="Thmtheorem31.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="Thmtheorem31.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.3.3.3">𝑁</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem31.p1.3.3.m3.2c">\operatorname{span}\left(S_{t}^{2}\circ S_{t-1}^{\times N}\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem31.p1.3.3.m3.2d">roman_span ( italic_S start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ∘ italic_S start_POSTSUBSCRIPT italic_t - 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT × italic_N end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math> are each invariant under the global right-action <math alttext="\sigma_{R}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem31.p1.4.4.m4.1"><semantics id="Thmtheorem31.p1.4.4.m4.1a"><msub id="Thmtheorem31.p1.4.4.m4.1.1" xref="Thmtheorem31.p1.4.4.m4.1.1.cmml"><mi id="Thmtheorem31.p1.4.4.m4.1.1.2" xref="Thmtheorem31.p1.4.4.m4.1.1.2.cmml">σ</mi><mi id="Thmtheorem31.p1.4.4.m4.1.1.3" xref="Thmtheorem31.p1.4.4.m4.1.1.3.cmml">R</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem31.p1.4.4.m4.1b"><apply id="Thmtheorem31.p1.4.4.m4.1.1.cmml" xref="Thmtheorem31.p1.4.4.m4.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem31.p1.4.4.m4.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem31.p1.4.4.m4.1.1">subscript</csymbol><ci id="Thmtheorem31.p1.4.4.m4.1.1.2.cmml" xref="Thmtheorem31.p1.4.4.m4.1.1.2">𝜎</ci><ci id="Thmtheorem31.p1.4.4.m4.1.1.3.cmml" xref="Thmtheorem31.p1.4.4.m4.1.1.3">𝑅</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem31.p1.4.4.m4.1c">\sigma_{R}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem31.p1.4.4.m4.1d">italic_σ start_POSTSUBSCRIPT italic_R end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> of any <math alttext="\sigma\in S_{t}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem31.p1.5.5.m5.1"><semantics id="Thmtheorem31.p1.5.5.m5.1a"><mrow id="Thmtheorem31.p1.5.5.m5.1.1" xref="Thmtheorem31.p1.5.5.m5.1.1.cmml"><mi id="Thmtheorem31.p1.5.5.m5.1.1.2" xref="Thmtheorem31.p1.5.5.m5.1.1.2.cmml">σ</mi><mo id="Thmtheorem31.p1.5.5.m5.1.1.1" xref="Thmtheorem31.p1.5.5.m5.1.1.1.cmml">∈</mo><msub id="Thmtheorem31.p1.5.5.m5.1.1.3" xref="Thmtheorem31.p1.5.5.m5.1.1.3.cmml"><mi id="Thmtheorem31.p1.5.5.m5.1.1.3.2" xref="Thmtheorem31.p1.5.5.m5.1.1.3.2.cmml">S</mi><mi id="Thmtheorem31.p1.5.5.m5.1.1.3.3" xref="Thmtheorem31.p1.5.5.m5.1.1.3.3.cmml">t</mi></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem31.p1.5.5.m5.1b"><apply id="Thmtheorem31.p1.5.5.m5.1.1.cmml" xref="Thmtheorem31.p1.5.5.m5.1.1"><in id="Thmtheorem31.p1.5.5.m5.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem31.p1.5.5.m5.1.1.1"></in><ci id="Thmtheorem31.p1.5.5.m5.1.1.2.cmml" xref="Thmtheorem31.p1.5.5.m5.1.1.2">𝜎</ci><apply id="Thmtheorem31.p1.5.5.m5.1.1.3.cmml" xref="Thmtheorem31.p1.5.5.m5.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem31.p1.5.5.m5.1.1.3.1.cmml" xref="Thmtheorem31.p1.5.5.m5.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="Thmtheorem31.p1.5.5.m5.1.1.3.2.cmml" xref="Thmtheorem31.p1.5.5.m5.1.1.3.2">𝑆</ci><ci id="Thmtheorem31.p1.5.5.m5.1.1.3.3.cmml" xref="Thmtheorem31.p1.5.5.m5.1.1.3.3">𝑡</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem31.p1.5.5.m5.1c">\sigma\in S_{t}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem31.p1.5.5.m5.1d">italic_σ ∈ italic_S start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>.</span></p> </div> </div> <div class="ltx_para" id="S4.SS1.p6"> <p class="ltx_p" id="S4.SS1.p6.3">The proof is in Appendix <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#A2.SS3" title="B.3 Proof of Lemma 31 ‣ Appendix B Assorted proofs ‣ Conditional 𝑡-independent spectral gap for random quantum circuits and implications for 𝑡-design depths"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">B.3</span></a>. It follows that when <math alttext="t\leq q" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p6.1.m1.1"><semantics id="S4.SS1.p6.1.m1.1a"><mrow id="S4.SS1.p6.1.m1.1.1" xref="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.2" xref="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.2.cmml">t</mi><mo id="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.1" xref="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.1.cmml">≤</mo><mi id="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.3" xref="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.3.cmml">q</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p6.1.m1.1b"><apply id="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p6.1.m1.1.1"><leq id="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.1"></leq><ci id="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.2">𝑡</ci><ci id="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.3">𝑞</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p6.1.m1.1c">t\leq q</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p6.1.m1.1d">italic_t ≤ italic_q</annotation></semantics></math>, new eigenvalues may be classified according to the irreducible representations of <math alttext="S_{t}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p6.2.m2.1"><semantics id="S4.SS1.p6.2.m2.1a"><msub id="S4.SS1.p6.2.m2.1.1" xref="S4.SS1.p6.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S4.SS1.p6.2.m2.1.1.2" xref="S4.SS1.p6.2.m2.1.1.2.cmml">S</mi><mi id="S4.SS1.p6.2.m2.1.1.3" xref="S4.SS1.p6.2.m2.1.1.3.cmml">t</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p6.2.m2.1b"><apply id="S4.SS1.p6.2.m2.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p6.2.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p6.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p6.2.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.SS1.p6.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p6.2.m2.1.1.2">𝑆</ci><ci id="S4.SS1.p6.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S4.SS1.p6.2.m2.1.1.3">𝑡</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p6.2.m2.1c">S_{t}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p6.2.m2.1d">italic_S start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>. The lemma also holds for left-action and thus for <math alttext="S_{t}\times S_{t}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p6.3.m3.1"><semantics id="S4.SS1.p6.3.m3.1a"><mrow id="S4.SS1.p6.3.m3.1.1" xref="S4.SS1.p6.3.m3.1.1.cmml"><msub id="S4.SS1.p6.3.m3.1.1.2" xref="S4.SS1.p6.3.m3.1.1.2.cmml"><mi id="S4.SS1.p6.3.m3.1.1.2.2" xref="S4.SS1.p6.3.m3.1.1.2.2.cmml">S</mi><mi id="S4.SS1.p6.3.m3.1.1.2.3" xref="S4.SS1.p6.3.m3.1.1.2.3.cmml">t</mi></msub><mo id="S4.SS1.p6.3.m3.1.1.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S4.SS1.p6.3.m3.1.1.1.cmml">×</mo><msub id="S4.SS1.p6.3.m3.1.1.3" xref="S4.SS1.p6.3.m3.1.1.3.cmml"><mi id="S4.SS1.p6.3.m3.1.1.3.2" xref="S4.SS1.p6.3.m3.1.1.3.2.cmml">S</mi><mi id="S4.SS1.p6.3.m3.1.1.3.3" xref="S4.SS1.p6.3.m3.1.1.3.3.cmml">t</mi></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p6.3.m3.1b"><apply id="S4.SS1.p6.3.m3.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p6.3.m3.1.1"><times id="S4.SS1.p6.3.m3.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p6.3.m3.1.1.1"></times><apply id="S4.SS1.p6.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p6.3.m3.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p6.3.m3.1.1.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p6.3.m3.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S4.SS1.p6.3.m3.1.1.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p6.3.m3.1.1.2.2">𝑆</ci><ci id="S4.SS1.p6.3.m3.1.1.2.3.cmml" xref="S4.SS1.p6.3.m3.1.1.2.3">𝑡</ci></apply><apply id="S4.SS1.p6.3.m3.1.1.3.cmml" xref="S4.SS1.p6.3.m3.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p6.3.m3.1.1.3.1.cmml" xref="S4.SS1.p6.3.m3.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.SS1.p6.3.m3.1.1.3.2.cmml" xref="S4.SS1.p6.3.m3.1.1.3.2">𝑆</ci><ci id="S4.SS1.p6.3.m3.1.1.3.3.cmml" xref="S4.SS1.p6.3.m3.1.1.3.3">𝑡</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p6.3.m3.1c">S_{t}\times S_{t}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p6.3.m3.1d">italic_S start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT × italic_S start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, but we will need only right-action.</p> </div> </section> <section class="ltx_subsection" id="S4.SS2"> <h3 class="ltx_title ltx_title_subsection"> <span class="ltx_tag ltx_tag_subsection">IV.2 </span>Co-deranged subspace</h3> <div class="ltx_para" id="S4.SS2.p1"> <p class="ltx_p" id="S4.SS2.p1.4">We will now give a formal description of the orthogonal complement of <math alttext="\operatorname{span}\left(S_{t}^{2}\circ S_{t-1}^{\times N}\right)" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS2.p1.1.m1.2"><semantics id="S4.SS2.p1.1.m1.2a"><mrow id="S4.SS2.p1.1.m1.2.2.1" xref="S4.SS2.p1.1.m1.2.2.2.cmml"><mi id="S4.SS2.p1.1.m1.1.1" xref="S4.SS2.p1.1.m1.1.1.cmml">span</mi><mo id="S4.SS2.p1.1.m1.2.2.1a" xref="S4.SS2.p1.1.m1.2.2.2.cmml">⁡</mo><mrow id="S4.SS2.p1.1.m1.2.2.1.1" xref="S4.SS2.p1.1.m1.2.2.2.cmml"><mo id="S4.SS2.p1.1.m1.2.2.1.1.2" xref="S4.SS2.p1.1.m1.2.2.2.cmml">(</mo><mrow id="S4.SS2.p1.1.m1.2.2.1.1.1" xref="S4.SS2.p1.1.m1.2.2.1.1.1.cmml"><msubsup id="S4.SS2.p1.1.m1.2.2.1.1.1.2" xref="S4.SS2.p1.1.m1.2.2.1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.SS2.p1.1.m1.2.2.1.1.1.2.2.2" xref="S4.SS2.p1.1.m1.2.2.1.1.1.2.2.2.cmml">S</mi><mi id="S4.SS2.p1.1.m1.2.2.1.1.1.2.2.3" xref="S4.SS2.p1.1.m1.2.2.1.1.1.2.2.3.cmml">t</mi><mn id="S4.SS2.p1.1.m1.2.2.1.1.1.2.3" xref="S4.SS2.p1.1.m1.2.2.1.1.1.2.3.cmml">2</mn></msubsup><mo id="S4.SS2.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S4.SS2.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.cmml">∘</mo><msubsup id="S4.SS2.p1.1.m1.2.2.1.1.1.3" xref="S4.SS2.p1.1.m1.2.2.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.SS2.p1.1.m1.2.2.1.1.1.3.2.2" xref="S4.SS2.p1.1.m1.2.2.1.1.1.3.2.2.cmml">S</mi><mrow id="S4.SS2.p1.1.m1.2.2.1.1.1.3.2.3" xref="S4.SS2.p1.1.m1.2.2.1.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="S4.SS2.p1.1.m1.2.2.1.1.1.3.2.3.2" xref="S4.SS2.p1.1.m1.2.2.1.1.1.3.2.3.2.cmml">t</mi><mo id="S4.SS2.p1.1.m1.2.2.1.1.1.3.2.3.1" xref="S4.SS2.p1.1.m1.2.2.1.1.1.3.2.3.1.cmml">−</mo><mn id="S4.SS2.p1.1.m1.2.2.1.1.1.3.2.3.3" xref="S4.SS2.p1.1.m1.2.2.1.1.1.3.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mrow id="S4.SS2.p1.1.m1.2.2.1.1.1.3.3" xref="S4.SS2.p1.1.m1.2.2.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S4.SS2.p1.1.m1.2.2.1.1.1.3.3.2" xref="S4.SS2.p1.1.m1.2.2.1.1.1.3.3.2.cmml"></mi><mo id="S4.SS2.p1.1.m1.2.2.1.1.1.3.3.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S4.SS2.p1.1.m1.2.2.1.1.1.3.3.1.cmml">×</mo><mi id="S4.SS2.p1.1.m1.2.2.1.1.1.3.3.3" xref="S4.SS2.p1.1.m1.2.2.1.1.1.3.3.3.cmml">N</mi></mrow></msubsup></mrow><mo id="S4.SS2.p1.1.m1.2.2.1.1.3" xref="S4.SS2.p1.1.m1.2.2.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS2.p1.1.m1.2b"><apply id="S4.SS2.p1.1.m1.2.2.2.cmml" xref="S4.SS2.p1.1.m1.2.2.1"><ci id="S4.SS2.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.1.m1.1.1">span</ci><apply id="S4.SS2.p1.1.m1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.1.m1.2.2.1.1.1"><compose id="S4.SS2.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1"></compose><apply id="S4.SS2.p1.1.m1.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS2.p1.1.m1.2.2.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS2.p1.1.m1.2.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.1.m1.2.2.1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="S4.SS2.p1.1.m1.2.2.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.SS2.p1.1.m1.2.2.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS2.p1.1.m1.2.2.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.1.m1.2.2.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S4.SS2.p1.1.m1.2.2.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.SS2.p1.1.m1.2.2.1.1.1.2.2.2">𝑆</ci><ci id="S4.SS2.p1.1.m1.2.2.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.SS2.p1.1.m1.2.2.1.1.1.2.2.3">𝑡</ci></apply><cn id="S4.SS2.p1.1.m1.2.2.1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS2.p1.1.m1.2.2.1.1.1.2.3">2</cn></apply><apply id="S4.SS2.p1.1.m1.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S4.SS2.p1.1.m1.2.2.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS2.p1.1.m1.2.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.1.m1.2.2.1.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="S4.SS2.p1.1.m1.2.2.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.SS2.p1.1.m1.2.2.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS2.p1.1.m1.2.2.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.1.m1.2.2.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.SS2.p1.1.m1.2.2.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.SS2.p1.1.m1.2.2.1.1.1.3.2.2">𝑆</ci><apply id="S4.SS2.p1.1.m1.2.2.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S4.SS2.p1.1.m1.2.2.1.1.1.3.2.3"><minus id="S4.SS2.p1.1.m1.2.2.1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.1.m1.2.2.1.1.1.3.2.3.1"></minus><ci id="S4.SS2.p1.1.m1.2.2.1.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S4.SS2.p1.1.m1.2.2.1.1.1.3.2.3.2">𝑡</ci><cn id="S4.SS2.p1.1.m1.2.2.1.1.1.3.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS2.p1.1.m1.2.2.1.1.1.3.2.3.3">1</cn></apply></apply><apply id="S4.SS2.p1.1.m1.2.2.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.SS2.p1.1.m1.2.2.1.1.1.3.3"><times id="S4.SS2.p1.1.m1.2.2.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.1.m1.2.2.1.1.1.3.3.1"></times><csymbol cd="latexml" id="S4.SS2.p1.1.m1.2.2.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S4.SS2.p1.1.m1.2.2.1.1.1.3.3.2">absent</csymbol><ci id="S4.SS2.p1.1.m1.2.2.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S4.SS2.p1.1.m1.2.2.1.1.1.3.3.3">𝑁</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS2.p1.1.m1.2c">\operatorname{span}\left(S_{t}^{2}\circ S_{t-1}^{\times N}\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS2.p1.1.m1.2d">roman_span ( italic_S start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ∘ italic_S start_POSTSUBSCRIPT italic_t - 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT × italic_N end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math> which is consistent for all <math alttext="q,t" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS2.p1.2.m2.2"><semantics id="S4.SS2.p1.2.m2.2a"><mrow id="S4.SS2.p1.2.m2.2.3.2" xref="S4.SS2.p1.2.m2.2.3.1.cmml"><mi id="S4.SS2.p1.2.m2.1.1" xref="S4.SS2.p1.2.m2.1.1.cmml">q</mi><mo id="S4.SS2.p1.2.m2.2.3.2.1" xref="S4.SS2.p1.2.m2.2.3.1.cmml">,</mo><mi id="S4.SS2.p1.2.m2.2.2" xref="S4.SS2.p1.2.m2.2.2.cmml">t</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS2.p1.2.m2.2b"><list id="S4.SS2.p1.2.m2.2.3.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.2.m2.2.3.2"><ci id="S4.SS2.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.2.m2.1.1">𝑞</ci><ci id="S4.SS2.p1.2.m2.2.2.cmml" xref="S4.SS2.p1.2.m2.2.2">𝑡</ci></list></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS2.p1.2.m2.2c">q,t</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS2.p1.2.m2.2d">italic_q , italic_t</annotation></semantics></math>. The results of this section are not necessary for the proof of Theorem <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#Thmtheorem1" title="Theorem 1. ‣ I.2 Main results ‣ I Introduction ‣ Conditional 𝑡-independent spectral gap for random quantum circuits and implications for 𝑡-design depths"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">1</span></a>, where <math alttext="t\leq q" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS2.p1.3.m3.1"><semantics id="S4.SS2.p1.3.m3.1a"><mrow id="S4.SS2.p1.3.m3.1.1" xref="S4.SS2.p1.3.m3.1.1.cmml"><mi id="S4.SS2.p1.3.m3.1.1.2" xref="S4.SS2.p1.3.m3.1.1.2.cmml">t</mi><mo id="S4.SS2.p1.3.m3.1.1.1" xref="S4.SS2.p1.3.m3.1.1.1.cmml">≤</mo><mi id="S4.SS2.p1.3.m3.1.1.3" xref="S4.SS2.p1.3.m3.1.1.3.cmml">q</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS2.p1.3.m3.1b"><apply id="S4.SS2.p1.3.m3.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.3.m3.1.1"><leq id="S4.SS2.p1.3.m3.1.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.3.m3.1.1.1"></leq><ci id="S4.SS2.p1.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S4.SS2.p1.3.m3.1.1.2">𝑡</ci><ci id="S4.SS2.p1.3.m3.1.1.3.cmml" xref="S4.SS2.p1.3.m3.1.1.3">𝑞</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS2.p1.3.m3.1c">t\leq q</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS2.p1.3.m3.1d">italic_t ≤ italic_q</annotation></semantics></math>, but are relied on by the numerics used to establish Theorem <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#Thmtheorem5" title="Theorem 5. ‣ I.2 Main results ‣ I Introduction ‣ Conditional 𝑡-independent spectral gap for random quantum circuits and implications for 𝑡-design depths"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">5</span></a> in the <math alttext="t>q" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS2.p1.4.m4.1"><semantics id="S4.SS2.p1.4.m4.1a"><mrow id="S4.SS2.p1.4.m4.1.1" xref="S4.SS2.p1.4.m4.1.1.cmml"><mi id="S4.SS2.p1.4.m4.1.1.2" xref="S4.SS2.p1.4.m4.1.1.2.cmml">t</mi><mo id="S4.SS2.p1.4.m4.1.1.1" xref="S4.SS2.p1.4.m4.1.1.1.cmml">></mo><mi id="S4.SS2.p1.4.m4.1.1.3" xref="S4.SS2.p1.4.m4.1.1.3.cmml">q</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS2.p1.4.m4.1b"><apply id="S4.SS2.p1.4.m4.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.4.m4.1.1"><gt id="S4.SS2.p1.4.m4.1.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.4.m4.1.1.1"></gt><ci id="S4.SS2.p1.4.m4.1.1.2.cmml" xref="S4.SS2.p1.4.m4.1.1.2">𝑡</ci><ci id="S4.SS2.p1.4.m4.1.1.3.cmml" xref="S4.SS2.p1.4.m4.1.1.3">𝑞</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS2.p1.4.m4.1c">t>q</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS2.p1.4.m4.1d">italic_t > italic_q</annotation></semantics></math> regime.</p> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_definition" id="Thmtheorem32"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmtheorem32.1.1.1">Definition 32</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmtheorem32.2.2">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="Thmtheorem32.p1"> <p class="ltx_p" id="Thmtheorem32.p1.4">Define the <span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmtheorem32.p1.4.1">permutation cobasis<span class="ltx_note ltx_role_footnote" id="footnote4"><sup class="ltx_note_mark">4</sup><span class="ltx_note_outer"><span class="ltx_note_content"><sup class="ltx_note_mark">4</sup><span class="ltx_tag ltx_tag_note"><span class="ltx_text ltx_font_medium" id="footnote4.1.1.1">4</span></span><span class="ltx_text ltx_font_medium" id="footnote4.5">It should be noted that the permutation cobasis is only a true cobasis for </span><math alttext="t\leq q" class="ltx_Math" display="inline" id="footnote4.m1.1"><semantics id="footnote4.m1.1b"><mrow id="footnote4.m1.1.1" xref="footnote4.m1.1.1.cmml"><mi id="footnote4.m1.1.1.2" xref="footnote4.m1.1.1.2.cmml">t</mi><mo id="footnote4.m1.1.1.1" xref="footnote4.m1.1.1.1.cmml">≤</mo><mi id="footnote4.m1.1.1.3" xref="footnote4.m1.1.1.3.cmml">q</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="footnote4.m1.1c"><apply id="footnote4.m1.1.1.cmml" xref="footnote4.m1.1.1"><leq id="footnote4.m1.1.1.1.cmml" xref="footnote4.m1.1.1.1"></leq><ci id="footnote4.m1.1.1.2.cmml" xref="footnote4.m1.1.1.2">𝑡</ci><ci id="footnote4.m1.1.1.3.cmml" xref="footnote4.m1.1.1.3">𝑞</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="footnote4.m1.1d">t\leq q</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="footnote4.m1.1e">italic_t ≤ italic_q</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_medium" id="footnote4.6">. For </span><math alttext="t>q" class="ltx_Math" display="inline" id="footnote4.m2.1"><semantics id="footnote4.m2.1b"><mrow id="footnote4.m2.1.1" xref="footnote4.m2.1.1.cmml"><mi id="footnote4.m2.1.1.2" xref="footnote4.m2.1.1.2.cmml">t</mi><mo id="footnote4.m2.1.1.1" xref="footnote4.m2.1.1.1.cmml">></mo><mi id="footnote4.m2.1.1.3" xref="footnote4.m2.1.1.3.cmml">q</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="footnote4.m2.1c"><apply id="footnote4.m2.1.1.cmml" xref="footnote4.m2.1.1"><gt id="footnote4.m2.1.1.1.cmml" xref="footnote4.m2.1.1.1"></gt><ci id="footnote4.m2.1.1.2.cmml" xref="footnote4.m2.1.1.2">𝑡</ci><ci id="footnote4.m2.1.1.3.cmml" xref="footnote4.m2.1.1.3">𝑞</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="footnote4.m2.1d">t>q</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="footnote4.m2.1e">italic_t > italic_q</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_medium" id="footnote4.7">, the linear dependence of the original basis does not allow us to define a true cobasis, but we are still allowed to write down the set of states </span><math alttext="\{\ket{\widetilde{\sigma}}:\sigma\in S_{t}\}" class="ltx_Math" display="inline" id="footnote4.m3.2"><semantics id="footnote4.m3.2b"><mrow id="footnote4.m3.2.2.1" xref="footnote4.m3.2.2.2.cmml"><mo id="footnote4.m3.2.2.1.2" stretchy="false" xref="footnote4.m3.2.2.2.1.cmml">{</mo><mrow id="footnote4.m3.1.1.3" xref="footnote4.m3.1.1.2.cmml"><mo id="footnote4.m3.1.1.3.1" stretchy="false" xref="footnote4.m3.1.1.2.1.cmml">|</mo><mover accent="true" id="footnote4.m3.1.1.1.1" xref="footnote4.m3.1.1.1.1.cmml"><mi id="footnote4.m3.1.1.1.1.2" xref="footnote4.m3.1.1.1.1.2.cmml">σ</mi><mo id="footnote4.m3.1.1.1.1.1" xref="footnote4.m3.1.1.1.1.1.cmml">~</mo></mover><mo id="footnote4.m3.1.1.3.2" rspace="0.278em" stretchy="false" xref="footnote4.m3.1.1.2.1.cmml">⟩</mo></mrow><mo id="footnote4.m3.2.2.1.3" rspace="0.278em" xref="footnote4.m3.2.2.2.1.cmml">:</mo><mrow id="footnote4.m3.2.2.1.1" xref="footnote4.m3.2.2.1.1.cmml"><mi id="footnote4.m3.2.2.1.1.2" xref="footnote4.m3.2.2.1.1.2.cmml">σ</mi><mo id="footnote4.m3.2.2.1.1.1" xref="footnote4.m3.2.2.1.1.1.cmml">∈</mo><msub id="footnote4.m3.2.2.1.1.3" xref="footnote4.m3.2.2.1.1.3.cmml"><mi id="footnote4.m3.2.2.1.1.3.2" xref="footnote4.m3.2.2.1.1.3.2.cmml">S</mi><mi id="footnote4.m3.2.2.1.1.3.3" xref="footnote4.m3.2.2.1.1.3.3.cmml">t</mi></msub></mrow><mo id="footnote4.m3.2.2.1.4" stretchy="false" xref="footnote4.m3.2.2.2.1.cmml">}</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="footnote4.m3.2c"><apply id="footnote4.m3.2.2.2.cmml" xref="footnote4.m3.2.2.1"><csymbol cd="latexml" id="footnote4.m3.2.2.2.1.cmml" xref="footnote4.m3.2.2.1.2">conditional-set</csymbol><apply id="footnote4.m3.1.1.2.cmml" xref="footnote4.m3.1.1.3"><csymbol cd="latexml" id="footnote4.m3.1.1.2.1.cmml" xref="footnote4.m3.1.1.3.1">ket</csymbol><apply id="footnote4.m3.1.1.1.1.cmml" xref="footnote4.m3.1.1.1.1"><ci id="footnote4.m3.1.1.1.1.1.cmml" xref="footnote4.m3.1.1.1.1.1">~</ci><ci id="footnote4.m3.1.1.1.1.2.cmml" xref="footnote4.m3.1.1.1.1.2">𝜎</ci></apply></apply><apply id="footnote4.m3.2.2.1.1.cmml" xref="footnote4.m3.2.2.1.1"><in id="footnote4.m3.2.2.1.1.1.cmml" xref="footnote4.m3.2.2.1.1.1"></in><ci id="footnote4.m3.2.2.1.1.2.cmml" xref="footnote4.m3.2.2.1.1.2">𝜎</ci><apply id="footnote4.m3.2.2.1.1.3.cmml" xref="footnote4.m3.2.2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="footnote4.m3.2.2.1.1.3.1.cmml" xref="footnote4.m3.2.2.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="footnote4.m3.2.2.1.1.3.2.cmml" xref="footnote4.m3.2.2.1.1.3.2">𝑆</ci><ci id="footnote4.m3.2.2.1.1.3.3.cmml" xref="footnote4.m3.2.2.1.1.3.3">𝑡</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="footnote4.m3.2d">\{\ket{\widetilde{\sigma}}:\sigma\in S_{t}\}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="footnote4.m3.2e">{ | start_ARG over~ start_ARG italic_σ end_ARG end_ARG ⟩ : italic_σ ∈ italic_S start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT }</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_medium" id="footnote4.8">.</span></span></span></span></span> states by</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_gather ltx_eqn_table" id="S6.EGx48"> <tbody id="S4.E52"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\displaystyle\ket{\widetilde{\sigma}}=\sum_{\tau}\text{Wg}(\sigma^{-1}\tau)% \ket{\tau}" class="ltx_Math" display="block" id="S4.E52.m1.3"><semantics id="S4.E52.m1.3a"><mrow id="S4.E52.m1.3.3" xref="S4.E52.m1.3.3.cmml"><mrow id="S4.E52.m1.1.1.3" xref="S4.E52.m1.1.1.2.cmml"><mo id="S4.E52.m1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S4.E52.m1.1.1.2.1.cmml">|</mo><mover accent="true" id="S4.E52.m1.1.1.1.1" xref="S4.E52.m1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.E52.m1.1.1.1.1.2" xref="S4.E52.m1.1.1.1.1.2.cmml">σ</mi><mo id="S4.E52.m1.1.1.1.1.1" xref="S4.E52.m1.1.1.1.1.1.cmml">~</mo></mover><mo id="S4.E52.m1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S4.E52.m1.1.1.2.1.cmml">⟩</mo></mrow><mo id="S4.E52.m1.3.3.2" rspace="0.111em" xref="S4.E52.m1.3.3.2.cmml">=</mo><mrow id="S4.E52.m1.3.3.1" xref="S4.E52.m1.3.3.1.cmml"><munder id="S4.E52.m1.3.3.1.2" xref="S4.E52.m1.3.3.1.2.cmml"><mo id="S4.E52.m1.3.3.1.2.2" movablelimits="false" xref="S4.E52.m1.3.3.1.2.2.cmml">∑</mo><mi id="S4.E52.m1.3.3.1.2.3" xref="S4.E52.m1.3.3.1.2.3.cmml">τ</mi></munder><mrow id="S4.E52.m1.3.3.1.1" xref="S4.E52.m1.3.3.1.1.cmml"><mtext id="S4.E52.m1.3.3.1.1.3" xref="S4.E52.m1.3.3.1.1.3a.cmml">Wg</mtext><mo id="S4.E52.m1.3.3.1.1.2" xref="S4.E52.m1.3.3.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E52.m1.3.3.1.1.1.1" xref="S4.E52.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.E52.m1.3.3.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.E52.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.E52.m1.3.3.1.1.1.1.1" xref="S4.E52.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml"><msup id="S4.E52.m1.3.3.1.1.1.1.1.2" xref="S4.E52.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.E52.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.E52.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2.cmml">σ</mi><mrow id="S4.E52.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.3" xref="S4.E52.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mo id="S4.E52.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.3a" xref="S4.E52.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.3.cmml">−</mo><mn id="S4.E52.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S4.E52.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="S4.E52.m1.3.3.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E52.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E52.m1.3.3.1.1.1.1.1.3" xref="S4.E52.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.cmml">τ</mi></mrow><mo id="S4.E52.m1.3.3.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.E52.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S4.E52.m1.3.3.1.1.2a" xref="S4.E52.m1.3.3.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E52.m1.2.2.3" xref="S4.E52.m1.2.2.2.cmml"><mo id="S4.E52.m1.2.2.3.1" stretchy="false" xref="S4.E52.m1.2.2.2.1.cmml">|</mo><mi id="S4.E52.m1.2.2.1.1" xref="S4.E52.m1.2.2.1.1.cmml">τ</mi><mo id="S4.E52.m1.2.2.3.2" stretchy="false" xref="S4.E52.m1.2.2.2.1.cmml">⟩</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.E52.m1.3b"><apply id="S4.E52.m1.3.3.cmml" xref="S4.E52.m1.3.3"><eq id="S4.E52.m1.3.3.2.cmml" xref="S4.E52.m1.3.3.2"></eq><apply id="S4.E52.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.E52.m1.1.1.3"><csymbol cd="latexml" id="S4.E52.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.E52.m1.1.1.3.1">ket</csymbol><apply id="S4.E52.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E52.m1.1.1.1.1"><ci id="S4.E52.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E52.m1.1.1.1.1.1">~</ci><ci id="S4.E52.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E52.m1.1.1.1.1.2">𝜎</ci></apply></apply><apply id="S4.E52.m1.3.3.1.cmml" xref="S4.E52.m1.3.3.1"><apply id="S4.E52.m1.3.3.1.2.cmml" xref="S4.E52.m1.3.3.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E52.m1.3.3.1.2.1.cmml" xref="S4.E52.m1.3.3.1.2">subscript</csymbol><sum id="S4.E52.m1.3.3.1.2.2.cmml" xref="S4.E52.m1.3.3.1.2.2"></sum><ci id="S4.E52.m1.3.3.1.2.3.cmml" xref="S4.E52.m1.3.3.1.2.3">𝜏</ci></apply><apply id="S4.E52.m1.3.3.1.1.cmml" xref="S4.E52.m1.3.3.1.1"><times id="S4.E52.m1.3.3.1.1.2.cmml" xref="S4.E52.m1.3.3.1.1.2"></times><ci id="S4.E52.m1.3.3.1.1.3a.cmml" xref="S4.E52.m1.3.3.1.1.3"><mtext id="S4.E52.m1.3.3.1.1.3.cmml" xref="S4.E52.m1.3.3.1.1.3">Wg</mtext></ci><apply id="S4.E52.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E52.m1.3.3.1.1.1.1"><times id="S4.E52.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E52.m1.3.3.1.1.1.1.1.1"></times><apply id="S4.E52.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E52.m1.3.3.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E52.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.E52.m1.3.3.1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S4.E52.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.E52.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2">𝜎</ci><apply id="S4.E52.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.E52.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.3"><minus id="S4.E52.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S4.E52.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.3"></minus><cn id="S4.E52.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" type="integer" xref="S4.E52.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.3.2">1</cn></apply></apply><ci id="S4.E52.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E52.m1.3.3.1.1.1.1.1.3">𝜏</ci></apply><apply id="S4.E52.m1.2.2.2.cmml" xref="S4.E52.m1.2.2.3"><csymbol cd="latexml" id="S4.E52.m1.2.2.2.1.cmml" xref="S4.E52.m1.2.2.3.1">ket</csymbol><ci id="S4.E52.m1.2.2.1.1.cmml" xref="S4.E52.m1.2.2.1.1">𝜏</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.E52.m1.3c">\displaystyle\ket{\widetilde{\sigma}}=\sum_{\tau}\text{Wg}(\sigma^{-1}\tau)% \ket{\tau}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.E52.m1.3d">| start_ARG over~ start_ARG italic_σ end_ARG end_ARG ⟩ = ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_τ end_POSTSUBSCRIPT Wg ( italic_σ start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT italic_τ ) | start_ARG italic_τ end_ARG ⟩</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(52)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="Thmtheorem32.p1.3">Then the <span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmtheorem32.p1.3.1">coderanged states</span> are states of the form <math alttext="\ket{\widetilde{\sigma}_{1},...\widetilde{\sigma}_{N}}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem32.p1.1.m1.1"><semantics id="Thmtheorem32.p1.1.m1.1a"><mrow id="Thmtheorem32.p1.1.m1.1.1.3" xref="Thmtheorem32.p1.1.m1.1.1.2.cmml"><mo id="Thmtheorem32.p1.1.m1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="Thmtheorem32.p1.1.m1.1.1.2.1.cmml">|</mo><mrow id="Thmtheorem32.p1.1.m1.1.1.1.1.2" xref="Thmtheorem32.p1.1.m1.1.1.1.1.3.cmml"><msub id="Thmtheorem32.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1" xref="Thmtheorem32.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="Thmtheorem32.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="Thmtheorem32.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="Thmtheorem32.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="Thmtheorem32.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">σ</mi><mo id="Thmtheorem32.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="Thmtheorem32.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">~</mo></mover><mn id="Thmtheorem32.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="Thmtheorem32.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="Thmtheorem32.p1.1.m1.1.1.1.1.2.3" xref="Thmtheorem32.p1.1.m1.1.1.1.1.3.cmml">,</mo><mrow id="Thmtheorem32.p1.1.m1.1.1.1.1.2.2" xref="Thmtheorem32.p1.1.m1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="Thmtheorem32.p1.1.m1.1.1.1.1.2.2.2" mathvariant="normal" xref="Thmtheorem32.p1.1.m1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">…</mi><mo id="Thmtheorem32.p1.1.m1.1.1.1.1.2.2.1" xref="Thmtheorem32.p1.1.m1.1.1.1.1.2.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="Thmtheorem32.p1.1.m1.1.1.1.1.2.2.3" xref="Thmtheorem32.p1.1.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mover accent="true" id="Thmtheorem32.p1.1.m1.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="Thmtheorem32.p1.1.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml"><mi id="Thmtheorem32.p1.1.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.2" xref="Thmtheorem32.p1.1.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.2.cmml">σ</mi><mo id="Thmtheorem32.p1.1.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.1" xref="Thmtheorem32.p1.1.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.1.cmml">~</mo></mover><mi id="Thmtheorem32.p1.1.m1.1.1.1.1.2.2.3.3" xref="Thmtheorem32.p1.1.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml">N</mi></msub></mrow></mrow><mo id="Thmtheorem32.p1.1.m1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="Thmtheorem32.p1.1.m1.1.1.2.1.cmml">⟩</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem32.p1.1.m1.1b"><apply id="Thmtheorem32.p1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="Thmtheorem32.p1.1.m1.1.1.3"><csymbol cd="latexml" id="Thmtheorem32.p1.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="Thmtheorem32.p1.1.m1.1.1.3.1">ket</csymbol><list id="Thmtheorem32.p1.1.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="Thmtheorem32.p1.1.m1.1.1.1.1.2"><apply id="Thmtheorem32.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem32.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem32.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem32.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="Thmtheorem32.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="Thmtheorem32.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2"><ci id="Thmtheorem32.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="Thmtheorem32.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.1">~</ci><ci id="Thmtheorem32.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="Thmtheorem32.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝜎</ci></apply><cn id="Thmtheorem32.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="Thmtheorem32.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.3">1</cn></apply><apply id="Thmtheorem32.p1.1.m1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="Thmtheorem32.p1.1.m1.1.1.1.1.2.2"><times id="Thmtheorem32.p1.1.m1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="Thmtheorem32.p1.1.m1.1.1.1.1.2.2.1"></times><ci id="Thmtheorem32.p1.1.m1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="Thmtheorem32.p1.1.m1.1.1.1.1.2.2.2">…</ci><apply id="Thmtheorem32.p1.1.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="Thmtheorem32.p1.1.m1.1.1.1.1.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem32.p1.1.m1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="Thmtheorem32.p1.1.m1.1.1.1.1.2.2.3">subscript</csymbol><apply id="Thmtheorem32.p1.1.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="Thmtheorem32.p1.1.m1.1.1.1.1.2.2.3.2"><ci id="Thmtheorem32.p1.1.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.1.cmml" xref="Thmtheorem32.p1.1.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.1">~</ci><ci id="Thmtheorem32.p1.1.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.2.cmml" xref="Thmtheorem32.p1.1.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.2">𝜎</ci></apply><ci id="Thmtheorem32.p1.1.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml" xref="Thmtheorem32.p1.1.m1.1.1.1.1.2.2.3.3">𝑁</ci></apply></apply></list></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem32.p1.1.m1.1c">\ket{\widetilde{\sigma}_{1},...\widetilde{\sigma}_{N}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem32.p1.1.m1.1d">| start_ARG over~ start_ARG italic_σ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , … over~ start_ARG italic_σ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_N end_POSTSUBSCRIPT end_ARG ⟩</annotation></semantics></math>, where <math alttext="\sigma_{1}^{-1}\circ\sigma_{2},\sigma_{1}^{-1}\circ\sigma_{3},...\sigma_{1}^{-% 1}\circ\sigma_{N}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem32.p1.2.m2.3"><semantics id="Thmtheorem32.p1.2.m2.3a"><mrow id="Thmtheorem32.p1.2.m2.3.3.3" xref="Thmtheorem32.p1.2.m2.3.3.4.cmml"><mrow id="Thmtheorem32.p1.2.m2.1.1.1.1" xref="Thmtheorem32.p1.2.m2.1.1.1.1.cmml"><msubsup id="Thmtheorem32.p1.2.m2.1.1.1.1.2" xref="Thmtheorem32.p1.2.m2.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="Thmtheorem32.p1.2.m2.1.1.1.1.2.2.2" xref="Thmtheorem32.p1.2.m2.1.1.1.1.2.2.2.cmml">σ</mi><mn id="Thmtheorem32.p1.2.m2.1.1.1.1.2.2.3" xref="Thmtheorem32.p1.2.m2.1.1.1.1.2.2.3.cmml">1</mn><mrow id="Thmtheorem32.p1.2.m2.1.1.1.1.2.3" xref="Thmtheorem32.p1.2.m2.1.1.1.1.2.3.cmml"><mo id="Thmtheorem32.p1.2.m2.1.1.1.1.2.3a" xref="Thmtheorem32.p1.2.m2.1.1.1.1.2.3.cmml">−</mo><mn id="Thmtheorem32.p1.2.m2.1.1.1.1.2.3.2" xref="Thmtheorem32.p1.2.m2.1.1.1.1.2.3.2.cmml">1</mn></mrow></msubsup><mo id="Thmtheorem32.p1.2.m2.1.1.1.1.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="Thmtheorem32.p1.2.m2.1.1.1.1.1.cmml">∘</mo><msub id="Thmtheorem32.p1.2.m2.1.1.1.1.3" xref="Thmtheorem32.p1.2.m2.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="Thmtheorem32.p1.2.m2.1.1.1.1.3.2" xref="Thmtheorem32.p1.2.m2.1.1.1.1.3.2.cmml">σ</mi><mn id="Thmtheorem32.p1.2.m2.1.1.1.1.3.3" xref="Thmtheorem32.p1.2.m2.1.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></msub></mrow><mo id="Thmtheorem32.p1.2.m2.3.3.3.4" xref="Thmtheorem32.p1.2.m2.3.3.4.cmml">,</mo><mrow id="Thmtheorem32.p1.2.m2.2.2.2.2" xref="Thmtheorem32.p1.2.m2.2.2.2.2.cmml"><msubsup id="Thmtheorem32.p1.2.m2.2.2.2.2.2" xref="Thmtheorem32.p1.2.m2.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="Thmtheorem32.p1.2.m2.2.2.2.2.2.2.2" xref="Thmtheorem32.p1.2.m2.2.2.2.2.2.2.2.cmml">σ</mi><mn id="Thmtheorem32.p1.2.m2.2.2.2.2.2.2.3" xref="Thmtheorem32.p1.2.m2.2.2.2.2.2.2.3.cmml">1</mn><mrow id="Thmtheorem32.p1.2.m2.2.2.2.2.2.3" xref="Thmtheorem32.p1.2.m2.2.2.2.2.2.3.cmml"><mo id="Thmtheorem32.p1.2.m2.2.2.2.2.2.3a" xref="Thmtheorem32.p1.2.m2.2.2.2.2.2.3.cmml">−</mo><mn id="Thmtheorem32.p1.2.m2.2.2.2.2.2.3.2" xref="Thmtheorem32.p1.2.m2.2.2.2.2.2.3.2.cmml">1</mn></mrow></msubsup><mo id="Thmtheorem32.p1.2.m2.2.2.2.2.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="Thmtheorem32.p1.2.m2.2.2.2.2.1.cmml">∘</mo><msub id="Thmtheorem32.p1.2.m2.2.2.2.2.3" xref="Thmtheorem32.p1.2.m2.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="Thmtheorem32.p1.2.m2.2.2.2.2.3.2" xref="Thmtheorem32.p1.2.m2.2.2.2.2.3.2.cmml">σ</mi><mn id="Thmtheorem32.p1.2.m2.2.2.2.2.3.3" xref="Thmtheorem32.p1.2.m2.2.2.2.2.3.3.cmml">3</mn></msub></mrow><mo id="Thmtheorem32.p1.2.m2.3.3.3.5" xref="Thmtheorem32.p1.2.m2.3.3.4.cmml">,</mo><mrow id="Thmtheorem32.p1.2.m2.3.3.3.3" xref="Thmtheorem32.p1.2.m2.3.3.3.3.cmml"><mrow id="Thmtheorem32.p1.2.m2.3.3.3.3.2" xref="Thmtheorem32.p1.2.m2.3.3.3.3.2.cmml"><mi id="Thmtheorem32.p1.2.m2.3.3.3.3.2.2" mathvariant="normal" xref="Thmtheorem32.p1.2.m2.3.3.3.3.2.2.cmml">…</mi><mo id="Thmtheorem32.p1.2.m2.3.3.3.3.2.1" xref="Thmtheorem32.p1.2.m2.3.3.3.3.2.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="Thmtheorem32.p1.2.m2.3.3.3.3.2.3" xref="Thmtheorem32.p1.2.m2.3.3.3.3.2.3.cmml"><mi id="Thmtheorem32.p1.2.m2.3.3.3.3.2.3.2.2" xref="Thmtheorem32.p1.2.m2.3.3.3.3.2.3.2.2.cmml">σ</mi><mn id="Thmtheorem32.p1.2.m2.3.3.3.3.2.3.2.3" xref="Thmtheorem32.p1.2.m2.3.3.3.3.2.3.2.3.cmml">1</mn><mrow id="Thmtheorem32.p1.2.m2.3.3.3.3.2.3.3" xref="Thmtheorem32.p1.2.m2.3.3.3.3.2.3.3.cmml"><mo id="Thmtheorem32.p1.2.m2.3.3.3.3.2.3.3a" xref="Thmtheorem32.p1.2.m2.3.3.3.3.2.3.3.cmml">−</mo><mn id="Thmtheorem32.p1.2.m2.3.3.3.3.2.3.3.2" xref="Thmtheorem32.p1.2.m2.3.3.3.3.2.3.3.2.cmml">1</mn></mrow></msubsup></mrow><mo id="Thmtheorem32.p1.2.m2.3.3.3.3.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="Thmtheorem32.p1.2.m2.3.3.3.3.1.cmml">∘</mo><msub id="Thmtheorem32.p1.2.m2.3.3.3.3.3" xref="Thmtheorem32.p1.2.m2.3.3.3.3.3.cmml"><mi id="Thmtheorem32.p1.2.m2.3.3.3.3.3.2" xref="Thmtheorem32.p1.2.m2.3.3.3.3.3.2.cmml">σ</mi><mi id="Thmtheorem32.p1.2.m2.3.3.3.3.3.3" xref="Thmtheorem32.p1.2.m2.3.3.3.3.3.3.cmml">N</mi></msub></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem32.p1.2.m2.3b"><list id="Thmtheorem32.p1.2.m2.3.3.4.cmml" xref="Thmtheorem32.p1.2.m2.3.3.3"><apply id="Thmtheorem32.p1.2.m2.1.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem32.p1.2.m2.1.1.1.1"><compose id="Thmtheorem32.p1.2.m2.1.1.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem32.p1.2.m2.1.1.1.1.1"></compose><apply id="Thmtheorem32.p1.2.m2.1.1.1.1.2.cmml" xref="Thmtheorem32.p1.2.m2.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem32.p1.2.m2.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="Thmtheorem32.p1.2.m2.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="Thmtheorem32.p1.2.m2.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="Thmtheorem32.p1.2.m2.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem32.p1.2.m2.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="Thmtheorem32.p1.2.m2.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="Thmtheorem32.p1.2.m2.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="Thmtheorem32.p1.2.m2.1.1.1.1.2.2.2">𝜎</ci><cn id="Thmtheorem32.p1.2.m2.1.1.1.1.2.2.3.cmml" type="integer" xref="Thmtheorem32.p1.2.m2.1.1.1.1.2.2.3">1</cn></apply><apply id="Thmtheorem32.p1.2.m2.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="Thmtheorem32.p1.2.m2.1.1.1.1.2.3"><minus id="Thmtheorem32.p1.2.m2.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="Thmtheorem32.p1.2.m2.1.1.1.1.2.3"></minus><cn id="Thmtheorem32.p1.2.m2.1.1.1.1.2.3.2.cmml" type="integer" xref="Thmtheorem32.p1.2.m2.1.1.1.1.2.3.2">1</cn></apply></apply><apply id="Thmtheorem32.p1.2.m2.1.1.1.1.3.cmml" xref="Thmtheorem32.p1.2.m2.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem32.p1.2.m2.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="Thmtheorem32.p1.2.m2.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="Thmtheorem32.p1.2.m2.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="Thmtheorem32.p1.2.m2.1.1.1.1.3.2">𝜎</ci><cn id="Thmtheorem32.p1.2.m2.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="Thmtheorem32.p1.2.m2.1.1.1.1.3.3">2</cn></apply></apply><apply id="Thmtheorem32.p1.2.m2.2.2.2.2.cmml" xref="Thmtheorem32.p1.2.m2.2.2.2.2"><compose id="Thmtheorem32.p1.2.m2.2.2.2.2.1.cmml" xref="Thmtheorem32.p1.2.m2.2.2.2.2.1"></compose><apply id="Thmtheorem32.p1.2.m2.2.2.2.2.2.cmml" xref="Thmtheorem32.p1.2.m2.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem32.p1.2.m2.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="Thmtheorem32.p1.2.m2.2.2.2.2.2">superscript</csymbol><apply id="Thmtheorem32.p1.2.m2.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="Thmtheorem32.p1.2.m2.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem32.p1.2.m2.2.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="Thmtheorem32.p1.2.m2.2.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="Thmtheorem32.p1.2.m2.2.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="Thmtheorem32.p1.2.m2.2.2.2.2.2.2.2">𝜎</ci><cn id="Thmtheorem32.p1.2.m2.2.2.2.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="Thmtheorem32.p1.2.m2.2.2.2.2.2.2.3">1</cn></apply><apply id="Thmtheorem32.p1.2.m2.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="Thmtheorem32.p1.2.m2.2.2.2.2.2.3"><minus id="Thmtheorem32.p1.2.m2.2.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="Thmtheorem32.p1.2.m2.2.2.2.2.2.3"></minus><cn id="Thmtheorem32.p1.2.m2.2.2.2.2.2.3.2.cmml" type="integer" xref="Thmtheorem32.p1.2.m2.2.2.2.2.2.3.2">1</cn></apply></apply><apply id="Thmtheorem32.p1.2.m2.2.2.2.2.3.cmml" xref="Thmtheorem32.p1.2.m2.2.2.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem32.p1.2.m2.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="Thmtheorem32.p1.2.m2.2.2.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="Thmtheorem32.p1.2.m2.2.2.2.2.3.2.cmml" xref="Thmtheorem32.p1.2.m2.2.2.2.2.3.2">𝜎</ci><cn id="Thmtheorem32.p1.2.m2.2.2.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="Thmtheorem32.p1.2.m2.2.2.2.2.3.3">3</cn></apply></apply><apply id="Thmtheorem32.p1.2.m2.3.3.3.3.cmml" xref="Thmtheorem32.p1.2.m2.3.3.3.3"><compose id="Thmtheorem32.p1.2.m2.3.3.3.3.1.cmml" xref="Thmtheorem32.p1.2.m2.3.3.3.3.1"></compose><apply id="Thmtheorem32.p1.2.m2.3.3.3.3.2.cmml" xref="Thmtheorem32.p1.2.m2.3.3.3.3.2"><times id="Thmtheorem32.p1.2.m2.3.3.3.3.2.1.cmml" xref="Thmtheorem32.p1.2.m2.3.3.3.3.2.1"></times><ci id="Thmtheorem32.p1.2.m2.3.3.3.3.2.2.cmml" xref="Thmtheorem32.p1.2.m2.3.3.3.3.2.2">…</ci><apply id="Thmtheorem32.p1.2.m2.3.3.3.3.2.3.cmml" xref="Thmtheorem32.p1.2.m2.3.3.3.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem32.p1.2.m2.3.3.3.3.2.3.1.cmml" xref="Thmtheorem32.p1.2.m2.3.3.3.3.2.3">superscript</csymbol><apply id="Thmtheorem32.p1.2.m2.3.3.3.3.2.3.2.cmml" xref="Thmtheorem32.p1.2.m2.3.3.3.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem32.p1.2.m2.3.3.3.3.2.3.2.1.cmml" xref="Thmtheorem32.p1.2.m2.3.3.3.3.2.3">subscript</csymbol><ci id="Thmtheorem32.p1.2.m2.3.3.3.3.2.3.2.2.cmml" xref="Thmtheorem32.p1.2.m2.3.3.3.3.2.3.2.2">𝜎</ci><cn id="Thmtheorem32.p1.2.m2.3.3.3.3.2.3.2.3.cmml" type="integer" xref="Thmtheorem32.p1.2.m2.3.3.3.3.2.3.2.3">1</cn></apply><apply id="Thmtheorem32.p1.2.m2.3.3.3.3.2.3.3.cmml" xref="Thmtheorem32.p1.2.m2.3.3.3.3.2.3.3"><minus id="Thmtheorem32.p1.2.m2.3.3.3.3.2.3.3.1.cmml" xref="Thmtheorem32.p1.2.m2.3.3.3.3.2.3.3"></minus><cn id="Thmtheorem32.p1.2.m2.3.3.3.3.2.3.3.2.cmml" type="integer" xref="Thmtheorem32.p1.2.m2.3.3.3.3.2.3.3.2">1</cn></apply></apply></apply><apply id="Thmtheorem32.p1.2.m2.3.3.3.3.3.cmml" xref="Thmtheorem32.p1.2.m2.3.3.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem32.p1.2.m2.3.3.3.3.3.1.cmml" xref="Thmtheorem32.p1.2.m2.3.3.3.3.3">subscript</csymbol><ci id="Thmtheorem32.p1.2.m2.3.3.3.3.3.2.cmml" xref="Thmtheorem32.p1.2.m2.3.3.3.3.3.2">𝜎</ci><ci id="Thmtheorem32.p1.2.m2.3.3.3.3.3.3.cmml" xref="Thmtheorem32.p1.2.m2.3.3.3.3.3.3">𝑁</ci></apply></apply></list></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem32.p1.2.m2.3c">\sigma_{1}^{-1}\circ\sigma_{2},\sigma_{1}^{-1}\circ\sigma_{3},...\sigma_{1}^{-% 1}\circ\sigma_{N}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem32.p1.2.m2.3d">italic_σ start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT ∘ italic_σ start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT , italic_σ start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT ∘ italic_σ start_POSTSUBSCRIPT 3 end_POSTSUBSCRIPT , … italic_σ start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT ∘ italic_σ start_POSTSUBSCRIPT italic_N end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> have no common fixed point. Denote the set of such states by <math alttext="\widetilde{\mathfrak{D}}_{N}." class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem32.p1.3.m3.1"><semantics id="Thmtheorem32.p1.3.m3.1a"><mrow id="Thmtheorem32.p1.3.m3.1.1.1" xref="Thmtheorem32.p1.3.m3.1.1.1.1.cmml"><msub id="Thmtheorem32.p1.3.m3.1.1.1.1" xref="Thmtheorem32.p1.3.m3.1.1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="Thmtheorem32.p1.3.m3.1.1.1.1.2" xref="Thmtheorem32.p1.3.m3.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="Thmtheorem32.p1.3.m3.1.1.1.1.2.2" xref="Thmtheorem32.p1.3.m3.1.1.1.1.2.2.cmml">𝔇</mi><mo id="Thmtheorem32.p1.3.m3.1.1.1.1.2.1" xref="Thmtheorem32.p1.3.m3.1.1.1.1.2.1.cmml">~</mo></mover><mi id="Thmtheorem32.p1.3.m3.1.1.1.1.3" xref="Thmtheorem32.p1.3.m3.1.1.1.1.3.cmml">N</mi></msub><mo id="Thmtheorem32.p1.3.m3.1.1.1.2" lspace="0em" xref="Thmtheorem32.p1.3.m3.1.1.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem32.p1.3.m3.1b"><apply id="Thmtheorem32.p1.3.m3.1.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem32.p1.3.m3.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem32.p1.3.m3.1.1.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem32.p1.3.m3.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="Thmtheorem32.p1.3.m3.1.1.1.1.2.cmml" xref="Thmtheorem32.p1.3.m3.1.1.1.1.2"><ci id="Thmtheorem32.p1.3.m3.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="Thmtheorem32.p1.3.m3.1.1.1.1.2.1">~</ci><ci id="Thmtheorem32.p1.3.m3.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="Thmtheorem32.p1.3.m3.1.1.1.1.2.2">𝔇</ci></apply><ci id="Thmtheorem32.p1.3.m3.1.1.1.1.3.cmml" xref="Thmtheorem32.p1.3.m3.1.1.1.1.3">𝑁</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem32.p1.3.m3.1c">\widetilde{\mathfrak{D}}_{N}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem32.p1.3.m3.1d">over~ start_ARG fraktur_D end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_N end_POSTSUBSCRIPT .</annotation></semantics></math></p> </div> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_corollary" id="Thmtheorem33"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmtheorem33.1.1.1">Corollary 33</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmtheorem33.2.2">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="Thmtheorem33.p1"> <p class="ltx_p" id="Thmtheorem33.p1.6"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmtheorem33.p1.6.6">If <math alttext="t\leq q" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem33.p1.1.1.m1.1"><semantics id="Thmtheorem33.p1.1.1.m1.1a"><mrow id="Thmtheorem33.p1.1.1.m1.1.1" xref="Thmtheorem33.p1.1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="Thmtheorem33.p1.1.1.m1.1.1.2" xref="Thmtheorem33.p1.1.1.m1.1.1.2.cmml">t</mi><mo id="Thmtheorem33.p1.1.1.m1.1.1.1" xref="Thmtheorem33.p1.1.1.m1.1.1.1.cmml">≤</mo><mi id="Thmtheorem33.p1.1.1.m1.1.1.3" xref="Thmtheorem33.p1.1.1.m1.1.1.3.cmml">q</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem33.p1.1.1.m1.1b"><apply id="Thmtheorem33.p1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem33.p1.1.1.m1.1.1"><leq id="Thmtheorem33.p1.1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem33.p1.1.1.m1.1.1.1"></leq><ci id="Thmtheorem33.p1.1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="Thmtheorem33.p1.1.1.m1.1.1.2">𝑡</ci><ci id="Thmtheorem33.p1.1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="Thmtheorem33.p1.1.1.m1.1.1.3">𝑞</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem33.p1.1.1.m1.1c">t\leq q</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem33.p1.1.1.m1.1d">italic_t ≤ italic_q</annotation></semantics></math>, then <math alttext="\operatorname{span}\left({\widetilde{\mathfrak{D}}_{N}^{(t)}}\right)" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem33.p1.2.2.m2.3"><semantics id="Thmtheorem33.p1.2.2.m2.3a"><mrow id="Thmtheorem33.p1.2.2.m2.3.3.1" xref="Thmtheorem33.p1.2.2.m2.3.3.2.cmml"><mi id="Thmtheorem33.p1.2.2.m2.2.2" xref="Thmtheorem33.p1.2.2.m2.2.2.cmml">span</mi><mo id="Thmtheorem33.p1.2.2.m2.3.3.1a" xref="Thmtheorem33.p1.2.2.m2.3.3.2.cmml">⁡</mo><mrow id="Thmtheorem33.p1.2.2.m2.3.3.1.1" xref="Thmtheorem33.p1.2.2.m2.3.3.2.cmml"><mo id="Thmtheorem33.p1.2.2.m2.3.3.1.1.2" xref="Thmtheorem33.p1.2.2.m2.3.3.2.cmml">(</mo><msubsup id="Thmtheorem33.p1.2.2.m2.3.3.1.1.1" xref="Thmtheorem33.p1.2.2.m2.3.3.1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="Thmtheorem33.p1.2.2.m2.3.3.1.1.1.2.2" xref="Thmtheorem33.p1.2.2.m2.3.3.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="Thmtheorem33.p1.2.2.m2.3.3.1.1.1.2.2.2" xref="Thmtheorem33.p1.2.2.m2.3.3.1.1.1.2.2.2.cmml">𝔇</mi><mo id="Thmtheorem33.p1.2.2.m2.3.3.1.1.1.2.2.1" xref="Thmtheorem33.p1.2.2.m2.3.3.1.1.1.2.2.1.cmml">~</mo></mover><mi id="Thmtheorem33.p1.2.2.m2.3.3.1.1.1.2.3" xref="Thmtheorem33.p1.2.2.m2.3.3.1.1.1.2.3.cmml">N</mi><mrow id="Thmtheorem33.p1.2.2.m2.1.1.1.3" xref="Thmtheorem33.p1.2.2.m2.3.3.1.1.1.cmml"><mo id="Thmtheorem33.p1.2.2.m2.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="Thmtheorem33.p1.2.2.m2.3.3.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="Thmtheorem33.p1.2.2.m2.1.1.1.1" xref="Thmtheorem33.p1.2.2.m2.1.1.1.1.cmml">t</mi><mo id="Thmtheorem33.p1.2.2.m2.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="Thmtheorem33.p1.2.2.m2.3.3.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></msubsup><mo id="Thmtheorem33.p1.2.2.m2.3.3.1.1.3" xref="Thmtheorem33.p1.2.2.m2.3.3.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem33.p1.2.2.m2.3b"><apply id="Thmtheorem33.p1.2.2.m2.3.3.2.cmml" xref="Thmtheorem33.p1.2.2.m2.3.3.1"><ci id="Thmtheorem33.p1.2.2.m2.2.2.cmml" xref="Thmtheorem33.p1.2.2.m2.2.2">span</ci><apply id="Thmtheorem33.p1.2.2.m2.3.3.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem33.p1.2.2.m2.3.3.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem33.p1.2.2.m2.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem33.p1.2.2.m2.3.3.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="Thmtheorem33.p1.2.2.m2.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="Thmtheorem33.p1.2.2.m2.3.3.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem33.p1.2.2.m2.3.3.1.1.1.2.1.cmml" xref="Thmtheorem33.p1.2.2.m2.3.3.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="Thmtheorem33.p1.2.2.m2.3.3.1.1.1.2.2.cmml" xref="Thmtheorem33.p1.2.2.m2.3.3.1.1.1.2.2"><ci id="Thmtheorem33.p1.2.2.m2.3.3.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="Thmtheorem33.p1.2.2.m2.3.3.1.1.1.2.2.1">~</ci><ci id="Thmtheorem33.p1.2.2.m2.3.3.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="Thmtheorem33.p1.2.2.m2.3.3.1.1.1.2.2.2">𝔇</ci></apply><ci id="Thmtheorem33.p1.2.2.m2.3.3.1.1.1.2.3.cmml" xref="Thmtheorem33.p1.2.2.m2.3.3.1.1.1.2.3">𝑁</ci></apply><ci id="Thmtheorem33.p1.2.2.m2.1.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem33.p1.2.2.m2.1.1.1.1">𝑡</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem33.p1.2.2.m2.3c">\operatorname{span}\left({\widetilde{\mathfrak{D}}_{N}^{(t)}}\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem33.p1.2.2.m2.3d">roman_span ( over~ start_ARG fraktur_D end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_N end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_t ) end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math> is the orthogonal complement of <math alttext="\operatorname{span}\left(S_{t}^{2}\circ S_{t-1}^{\times N}\right)" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem33.p1.3.3.m3.2"><semantics id="Thmtheorem33.p1.3.3.m3.2a"><mrow 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If <math alttext="t>q" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem33.p1.4.4.m4.1"><semantics id="Thmtheorem33.p1.4.4.m4.1a"><mrow id="Thmtheorem33.p1.4.4.m4.1.1" xref="Thmtheorem33.p1.4.4.m4.1.1.cmml"><mi id="Thmtheorem33.p1.4.4.m4.1.1.2" xref="Thmtheorem33.p1.4.4.m4.1.1.2.cmml">t</mi><mo id="Thmtheorem33.p1.4.4.m4.1.1.1" xref="Thmtheorem33.p1.4.4.m4.1.1.1.cmml">></mo><mi id="Thmtheorem33.p1.4.4.m4.1.1.3" xref="Thmtheorem33.p1.4.4.m4.1.1.3.cmml">q</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem33.p1.4.4.m4.1b"><apply id="Thmtheorem33.p1.4.4.m4.1.1.cmml" xref="Thmtheorem33.p1.4.4.m4.1.1"><gt id="Thmtheorem33.p1.4.4.m4.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem33.p1.4.4.m4.1.1.1"></gt><ci id="Thmtheorem33.p1.4.4.m4.1.1.2.cmml" xref="Thmtheorem33.p1.4.4.m4.1.1.2">𝑡</ci><ci id="Thmtheorem33.p1.4.4.m4.1.1.3.cmml" xref="Thmtheorem33.p1.4.4.m4.1.1.3">𝑞</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem33.p1.4.4.m4.1c">t>q</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem33.p1.4.4.m4.1d">italic_t > italic_q</annotation></semantics></math>, then <math alttext="\operatorname{span}\left({\widetilde{\mathfrak{D}}_{N}^{(t)}}\right)" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem33.p1.5.5.m5.3"><semantics id="Thmtheorem33.p1.5.5.m5.3a"><mrow id="Thmtheorem33.p1.5.5.m5.3.3.1" xref="Thmtheorem33.p1.5.5.m5.3.3.2.cmml"><mi id="Thmtheorem33.p1.5.5.m5.2.2" xref="Thmtheorem33.p1.5.5.m5.2.2.cmml">span</mi><mo id="Thmtheorem33.p1.5.5.m5.3.3.1a" xref="Thmtheorem33.p1.5.5.m5.3.3.2.cmml">⁡</mo><mrow id="Thmtheorem33.p1.5.5.m5.3.3.1.1" xref="Thmtheorem33.p1.5.5.m5.3.3.2.cmml"><mo id="Thmtheorem33.p1.5.5.m5.3.3.1.1.2" xref="Thmtheorem33.p1.5.5.m5.3.3.2.cmml">(</mo><msubsup id="Thmtheorem33.p1.5.5.m5.3.3.1.1.1" xref="Thmtheorem33.p1.5.5.m5.3.3.1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="Thmtheorem33.p1.5.5.m5.3.3.1.1.1.2.2" xref="Thmtheorem33.p1.5.5.m5.3.3.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="Thmtheorem33.p1.5.5.m5.3.3.1.1.1.2.2.2" 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xref="Thmtheorem33.p1.5.5.m5.1.1.1.1">𝑡</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem33.p1.5.5.m5.3c">\operatorname{span}\left({\widetilde{\mathfrak{D}}_{N}^{(t)}}\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem33.p1.5.5.m5.3d">roman_span ( over~ start_ARG fraktur_D end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_N end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_t ) end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math> contains the orthogonal complement of <math alttext="\operatorname{span}\left(S_{t}^{2}\circ S_{t-1}^{\times N}\right)" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem33.p1.6.6.m6.2"><semantics id="Thmtheorem33.p1.6.6.m6.2a"><mrow id="Thmtheorem33.p1.6.6.m6.2.2.1" xref="Thmtheorem33.p1.6.6.m6.2.2.2.cmml"><mi id="Thmtheorem33.p1.6.6.m6.1.1" xref="Thmtheorem33.p1.6.6.m6.1.1.cmml">span</mi><mo id="Thmtheorem33.p1.6.6.m6.2.2.1a" xref="Thmtheorem33.p1.6.6.m6.2.2.2.cmml">⁡</mo><mrow id="Thmtheorem33.p1.6.6.m6.2.2.1.1" xref="Thmtheorem33.p1.6.6.m6.2.2.2.cmml"><mo id="Thmtheorem33.p1.6.6.m6.2.2.1.1.2" xref="Thmtheorem33.p1.6.6.m6.2.2.2.cmml">(</mo><mrow id="Thmtheorem33.p1.6.6.m6.2.2.1.1.1" xref="Thmtheorem33.p1.6.6.m6.2.2.1.1.1.cmml"><msubsup id="Thmtheorem33.p1.6.6.m6.2.2.1.1.1.2" xref="Thmtheorem33.p1.6.6.m6.2.2.1.1.1.2.cmml"><mi id="Thmtheorem33.p1.6.6.m6.2.2.1.1.1.2.2.2" xref="Thmtheorem33.p1.6.6.m6.2.2.1.1.1.2.2.2.cmml">S</mi><mi id="Thmtheorem33.p1.6.6.m6.2.2.1.1.1.2.2.3" xref="Thmtheorem33.p1.6.6.m6.2.2.1.1.1.2.2.3.cmml">t</mi><mn id="Thmtheorem33.p1.6.6.m6.2.2.1.1.1.2.3" xref="Thmtheorem33.p1.6.6.m6.2.2.1.1.1.2.3.cmml">2</mn></msubsup><mo id="Thmtheorem33.p1.6.6.m6.2.2.1.1.1.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="Thmtheorem33.p1.6.6.m6.2.2.1.1.1.1.cmml">∘</mo><msubsup id="Thmtheorem33.p1.6.6.m6.2.2.1.1.1.3" xref="Thmtheorem33.p1.6.6.m6.2.2.1.1.1.3.cmml"><mi id="Thmtheorem33.p1.6.6.m6.2.2.1.1.1.3.2.2" xref="Thmtheorem33.p1.6.6.m6.2.2.1.1.1.3.2.2.cmml">S</mi><mrow id="Thmtheorem33.p1.6.6.m6.2.2.1.1.1.3.2.3" xref="Thmtheorem33.p1.6.6.m6.2.2.1.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="Thmtheorem33.p1.6.6.m6.2.2.1.1.1.3.2.3.2" xref="Thmtheorem33.p1.6.6.m6.2.2.1.1.1.3.2.3.2.cmml">t</mi><mo id="Thmtheorem33.p1.6.6.m6.2.2.1.1.1.3.2.3.1" xref="Thmtheorem33.p1.6.6.m6.2.2.1.1.1.3.2.3.1.cmml">−</mo><mn id="Thmtheorem33.p1.6.6.m6.2.2.1.1.1.3.2.3.3" xref="Thmtheorem33.p1.6.6.m6.2.2.1.1.1.3.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mrow id="Thmtheorem33.p1.6.6.m6.2.2.1.1.1.3.3" xref="Thmtheorem33.p1.6.6.m6.2.2.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="Thmtheorem33.p1.6.6.m6.2.2.1.1.1.3.3.2" xref="Thmtheorem33.p1.6.6.m6.2.2.1.1.1.3.3.2.cmml"></mi><mo id="Thmtheorem33.p1.6.6.m6.2.2.1.1.1.3.3.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="Thmtheorem33.p1.6.6.m6.2.2.1.1.1.3.3.1.cmml">×</mo><mi id="Thmtheorem33.p1.6.6.m6.2.2.1.1.1.3.3.3" xref="Thmtheorem33.p1.6.6.m6.2.2.1.1.1.3.3.3.cmml">N</mi></mrow></msubsup></mrow><mo id="Thmtheorem33.p1.6.6.m6.2.2.1.1.3" xref="Thmtheorem33.p1.6.6.m6.2.2.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem33.p1.6.6.m6.2b"><apply id="Thmtheorem33.p1.6.6.m6.2.2.2.cmml" xref="Thmtheorem33.p1.6.6.m6.2.2.1"><ci id="Thmtheorem33.p1.6.6.m6.1.1.cmml" xref="Thmtheorem33.p1.6.6.m6.1.1">span</ci><apply id="Thmtheorem33.p1.6.6.m6.2.2.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem33.p1.6.6.m6.2.2.1.1.1"><compose id="Thmtheorem33.p1.6.6.m6.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem33.p1.6.6.m6.2.2.1.1.1.1"></compose><apply id="Thmtheorem33.p1.6.6.m6.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="Thmtheorem33.p1.6.6.m6.2.2.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem33.p1.6.6.m6.2.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="Thmtheorem33.p1.6.6.m6.2.2.1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="Thmtheorem33.p1.6.6.m6.2.2.1.1.1.2.2.cmml" xref="Thmtheorem33.p1.6.6.m6.2.2.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem33.p1.6.6.m6.2.2.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="Thmtheorem33.p1.6.6.m6.2.2.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="Thmtheorem33.p1.6.6.m6.2.2.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="Thmtheorem33.p1.6.6.m6.2.2.1.1.1.2.2.2">𝑆</ci><ci id="Thmtheorem33.p1.6.6.m6.2.2.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="Thmtheorem33.p1.6.6.m6.2.2.1.1.1.2.2.3">𝑡</ci></apply><cn id="Thmtheorem33.p1.6.6.m6.2.2.1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="Thmtheorem33.p1.6.6.m6.2.2.1.1.1.2.3">2</cn></apply><apply id="Thmtheorem33.p1.6.6.m6.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="Thmtheorem33.p1.6.6.m6.2.2.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem33.p1.6.6.m6.2.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="Thmtheorem33.p1.6.6.m6.2.2.1.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="Thmtheorem33.p1.6.6.m6.2.2.1.1.1.3.2.cmml" xref="Thmtheorem33.p1.6.6.m6.2.2.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem33.p1.6.6.m6.2.2.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="Thmtheorem33.p1.6.6.m6.2.2.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="Thmtheorem33.p1.6.6.m6.2.2.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="Thmtheorem33.p1.6.6.m6.2.2.1.1.1.3.2.2">𝑆</ci><apply id="Thmtheorem33.p1.6.6.m6.2.2.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="Thmtheorem33.p1.6.6.m6.2.2.1.1.1.3.2.3"><minus id="Thmtheorem33.p1.6.6.m6.2.2.1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="Thmtheorem33.p1.6.6.m6.2.2.1.1.1.3.2.3.1"></minus><ci id="Thmtheorem33.p1.6.6.m6.2.2.1.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="Thmtheorem33.p1.6.6.m6.2.2.1.1.1.3.2.3.2">𝑡</ci><cn id="Thmtheorem33.p1.6.6.m6.2.2.1.1.1.3.2.3.3.cmml" type="integer" xref="Thmtheorem33.p1.6.6.m6.2.2.1.1.1.3.2.3.3">1</cn></apply></apply><apply id="Thmtheorem33.p1.6.6.m6.2.2.1.1.1.3.3.cmml" xref="Thmtheorem33.p1.6.6.m6.2.2.1.1.1.3.3"><times id="Thmtheorem33.p1.6.6.m6.2.2.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="Thmtheorem33.p1.6.6.m6.2.2.1.1.1.3.3.1"></times><csymbol cd="latexml" id="Thmtheorem33.p1.6.6.m6.2.2.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="Thmtheorem33.p1.6.6.m6.2.2.1.1.1.3.3.2">absent</csymbol><ci id="Thmtheorem33.p1.6.6.m6.2.2.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="Thmtheorem33.p1.6.6.m6.2.2.1.1.1.3.3.3">𝑁</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem33.p1.6.6.m6.2c">\operatorname{span}\left(S_{t}^{2}\circ S_{t-1}^{\times N}\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem33.p1.6.6.m6.2d">roman_span ( italic_S start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ∘ italic_S start_POSTSUBSCRIPT italic_t - 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT × italic_N end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math>.</span></p> </div> </div> <div class="ltx_para" id="S4.SS2.p2"> <p class="ltx_p" id="S4.SS2.p2.4">This corollary will follow from Theorem <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#Thmtheorem34" title="Theorem 34. ‣ IV.2 Co-deranged subspace ‣ IV Properties of the eigenspaces ‣ Conditional 𝑡-independent spectral gap for random quantum circuits and implications for 𝑡-design depths"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">34</span></a> below. It follows immediately that when <math alttext="t\leq q" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS2.p2.1.m1.1"><semantics id="S4.SS2.p2.1.m1.1a"><mrow id="S4.SS2.p2.1.m1.1.1" xref="S4.SS2.p2.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S4.SS2.p2.1.m1.1.1.2" xref="S4.SS2.p2.1.m1.1.1.2.cmml">t</mi><mo id="S4.SS2.p2.1.m1.1.1.1" xref="S4.SS2.p2.1.m1.1.1.1.cmml">≤</mo><mi id="S4.SS2.p2.1.m1.1.1.3" xref="S4.SS2.p2.1.m1.1.1.3.cmml">q</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS2.p2.1.m1.1b"><apply id="S4.SS2.p2.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p2.1.m1.1.1"><leq id="S4.SS2.p2.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p2.1.m1.1.1.1"></leq><ci id="S4.SS2.p2.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS2.p2.1.m1.1.1.2">𝑡</ci><ci id="S4.SS2.p2.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S4.SS2.p2.1.m1.1.1.3">𝑞</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS2.p2.1.m1.1c">t\leq q</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS2.p2.1.m1.1d">italic_t ≤ italic_q</annotation></semantics></math>, a version of Lemma <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#Thmtheorem30" title="Lemma 30. ‣ IV.1 Deranged subspace ‣ IV Properties of the eigenspaces ‣ Conditional 𝑡-independent spectral gap for random quantum circuits and implications for 𝑡-design depths"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">30</span></a> holds with <math alttext="P_{\mathfrak{D}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS2.p2.2.m2.1"><semantics id="S4.SS2.p2.2.m2.1a"><msub id="S4.SS2.p2.2.m2.1.1" xref="S4.SS2.p2.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S4.SS2.p2.2.m2.1.1.2" xref="S4.SS2.p2.2.m2.1.1.2.cmml">P</mi><mi id="S4.SS2.p2.2.m2.1.1.3" xref="S4.SS2.p2.2.m2.1.1.3.cmml">𝔇</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS2.p2.2.m2.1b"><apply id="S4.SS2.p2.2.m2.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p2.2.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS2.p2.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p2.2.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.SS2.p2.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S4.SS2.p2.2.m2.1.1.2">𝑃</ci><ci id="S4.SS2.p2.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S4.SS2.p2.2.m2.1.1.3">𝔇</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS2.p2.2.m2.1c">P_{\mathfrak{D}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS2.p2.2.m2.1d">italic_P start_POSTSUBSCRIPT fraktur_D end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> replaced by the orthogonal projector on to the co-deranged subspace. However, when <math alttext="t>q" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS2.p2.3.m3.1"><semantics id="S4.SS2.p2.3.m3.1a"><mrow id="S4.SS2.p2.3.m3.1.1" xref="S4.SS2.p2.3.m3.1.1.cmml"><mi id="S4.SS2.p2.3.m3.1.1.2" xref="S4.SS2.p2.3.m3.1.1.2.cmml">t</mi><mo id="S4.SS2.p2.3.m3.1.1.1" xref="S4.SS2.p2.3.m3.1.1.1.cmml">></mo><mi id="S4.SS2.p2.3.m3.1.1.3" xref="S4.SS2.p2.3.m3.1.1.3.cmml">q</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS2.p2.3.m3.1b"><apply id="S4.SS2.p2.3.m3.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p2.3.m3.1.1"><gt id="S4.SS2.p2.3.m3.1.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p2.3.m3.1.1.1"></gt><ci id="S4.SS2.p2.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S4.SS2.p2.3.m3.1.1.2">𝑡</ci><ci id="S4.SS2.p2.3.m3.1.1.3.cmml" xref="S4.SS2.p2.3.m3.1.1.3">𝑞</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS2.p2.3.m3.1c">t>q</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS2.p2.3.m3.1d">italic_t > italic_q</annotation></semantics></math> the co-deranged subspace has nontrivial intersection with the non-deranged subspace, so we must restrict ourselves the subspace of <math alttext="\operatorname{span}\left({\widetilde{\mathfrak{D}}_{N}^{(t)}}\right)" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS2.p2.4.m4.3"><semantics id="S4.SS2.p2.4.m4.3a"><mrow id="S4.SS2.p2.4.m4.3.3.1" xref="S4.SS2.p2.4.m4.3.3.2.cmml"><mi id="S4.SS2.p2.4.m4.2.2" xref="S4.SS2.p2.4.m4.2.2.cmml">span</mi><mo id="S4.SS2.p2.4.m4.3.3.1a" xref="S4.SS2.p2.4.m4.3.3.2.cmml">⁡</mo><mrow id="S4.SS2.p2.4.m4.3.3.1.1" xref="S4.SS2.p2.4.m4.3.3.2.cmml"><mo id="S4.SS2.p2.4.m4.3.3.1.1.2" xref="S4.SS2.p2.4.m4.3.3.2.cmml">(</mo><msubsup id="S4.SS2.p2.4.m4.3.3.1.1.1" xref="S4.SS2.p2.4.m4.3.3.1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S4.SS2.p2.4.m4.3.3.1.1.1.2.2" xref="S4.SS2.p2.4.m4.3.3.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S4.SS2.p2.4.m4.3.3.1.1.1.2.2.2" xref="S4.SS2.p2.4.m4.3.3.1.1.1.2.2.2.cmml">𝔇</mi><mo id="S4.SS2.p2.4.m4.3.3.1.1.1.2.2.1" xref="S4.SS2.p2.4.m4.3.3.1.1.1.2.2.1.cmml">~</mo></mover><mi id="S4.SS2.p2.4.m4.3.3.1.1.1.2.3" xref="S4.SS2.p2.4.m4.3.3.1.1.1.2.3.cmml">N</mi><mrow id="S4.SS2.p2.4.m4.1.1.1.3" xref="S4.SS2.p2.4.m4.3.3.1.1.1.cmml"><mo id="S4.SS2.p2.4.m4.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S4.SS2.p2.4.m4.3.3.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S4.SS2.p2.4.m4.1.1.1.1" xref="S4.SS2.p2.4.m4.1.1.1.1.cmml">t</mi><mo id="S4.SS2.p2.4.m4.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S4.SS2.p2.4.m4.3.3.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></msubsup><mo id="S4.SS2.p2.4.m4.3.3.1.1.3" xref="S4.SS2.p2.4.m4.3.3.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS2.p2.4.m4.3b"><apply id="S4.SS2.p2.4.m4.3.3.2.cmml" xref="S4.SS2.p2.4.m4.3.3.1"><ci id="S4.SS2.p2.4.m4.2.2.cmml" xref="S4.SS2.p2.4.m4.2.2">span</ci><apply id="S4.SS2.p2.4.m4.3.3.1.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p2.4.m4.3.3.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS2.p2.4.m4.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p2.4.m4.3.3.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S4.SS2.p2.4.m4.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS2.p2.4.m4.3.3.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS2.p2.4.m4.3.3.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.SS2.p2.4.m4.3.3.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="S4.SS2.p2.4.m4.3.3.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.SS2.p2.4.m4.3.3.1.1.1.2.2"><ci id="S4.SS2.p2.4.m4.3.3.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.SS2.p2.4.m4.3.3.1.1.1.2.2.1">~</ci><ci id="S4.SS2.p2.4.m4.3.3.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.SS2.p2.4.m4.3.3.1.1.1.2.2.2">𝔇</ci></apply><ci id="S4.SS2.p2.4.m4.3.3.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.SS2.p2.4.m4.3.3.1.1.1.2.3">𝑁</ci></apply><ci id="S4.SS2.p2.4.m4.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p2.4.m4.1.1.1.1">𝑡</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS2.p2.4.m4.3c">\operatorname{span}\left({\widetilde{\mathfrak{D}}_{N}^{(t)}}\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS2.p2.4.m4.3d">roman_span ( over~ start_ARG fraktur_D end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_N end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_t ) end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math> which is orthogonal to the non-deranged subspace.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S4.SS2.p3"> <p class="ltx_p" id="S4.SS2.p3.2">It turns out that we can find a more concrete description of this subspace. Define</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_gather ltx_eqn_table" id="S6.EGx49"> <tbody id="S4.E53"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\displaystyle X_{\sigma\tau}(q,t)=\braket{\sigma}{\widetilde{\tau}}" class="ltx_Math" display="block" id="S4.E53.m1.4"><semantics id="S4.E53.m1.4a"><mrow id="S4.E53.m1.4.5" xref="S4.E53.m1.4.5.cmml"><mrow id="S4.E53.m1.4.5.2" xref="S4.E53.m1.4.5.2.cmml"><msub id="S4.E53.m1.4.5.2.2" xref="S4.E53.m1.4.5.2.2.cmml"><mi id="S4.E53.m1.4.5.2.2.2" xref="S4.E53.m1.4.5.2.2.2.cmml">X</mi><mrow id="S4.E53.m1.4.5.2.2.3" xref="S4.E53.m1.4.5.2.2.3.cmml"><mi id="S4.E53.m1.4.5.2.2.3.2" xref="S4.E53.m1.4.5.2.2.3.2.cmml">σ</mi><mo id="S4.E53.m1.4.5.2.2.3.1" xref="S4.E53.m1.4.5.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E53.m1.4.5.2.2.3.3" xref="S4.E53.m1.4.5.2.2.3.3.cmml">τ</mi></mrow></msub><mo id="S4.E53.m1.4.5.2.1" xref="S4.E53.m1.4.5.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E53.m1.4.5.2.3.2" xref="S4.E53.m1.4.5.2.3.1.cmml"><mo id="S4.E53.m1.4.5.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.E53.m1.4.5.2.3.1.cmml">(</mo><mi id="S4.E53.m1.3.3" xref="S4.E53.m1.3.3.cmml">q</mi><mo id="S4.E53.m1.4.5.2.3.2.2" xref="S4.E53.m1.4.5.2.3.1.cmml">,</mo><mi id="S4.E53.m1.4.4" xref="S4.E53.m1.4.4.cmml">t</mi><mo id="S4.E53.m1.4.5.2.3.2.3" stretchy="false" xref="S4.E53.m1.4.5.2.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.E53.m1.4.5.1" xref="S4.E53.m1.4.5.1.cmml">=</mo><mrow id="S4.E53.m1.2.2.4" xref="S4.E53.m1.2.2.3.cmml"><mo id="S4.E53.m1.2.2.4.1" stretchy="false" xref="S4.E53.m1.2.2.3.1.cmml">⟨</mo><mi id="S4.E53.m1.1.1.1.1" xref="S4.E53.m1.1.1.1.1.cmml">σ</mi><mo id="S4.E53.m1.2.2.4.2" lspace="0.170em" rspace="0.170em" xref="S4.E53.m1.2.2.3.1.cmml">|</mo><mover accent="true" id="S4.E53.m1.2.2.2.2" xref="S4.E53.m1.2.2.2.2.cmml"><mi id="S4.E53.m1.2.2.2.2.2" xref="S4.E53.m1.2.2.2.2.2.cmml">τ</mi><mo id="S4.E53.m1.2.2.2.2.1" xref="S4.E53.m1.2.2.2.2.1.cmml">~</mo></mover><mo id="S4.E53.m1.2.2.4.3" stretchy="false" xref="S4.E53.m1.2.2.3.1.cmml">⟩</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.E53.m1.4b"><apply id="S4.E53.m1.4.5.cmml" xref="S4.E53.m1.4.5"><eq id="S4.E53.m1.4.5.1.cmml" xref="S4.E53.m1.4.5.1"></eq><apply id="S4.E53.m1.4.5.2.cmml" xref="S4.E53.m1.4.5.2"><times id="S4.E53.m1.4.5.2.1.cmml" xref="S4.E53.m1.4.5.2.1"></times><apply id="S4.E53.m1.4.5.2.2.cmml" xref="S4.E53.m1.4.5.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E53.m1.4.5.2.2.1.cmml" xref="S4.E53.m1.4.5.2.2">subscript</csymbol><ci id="S4.E53.m1.4.5.2.2.2.cmml" xref="S4.E53.m1.4.5.2.2.2">𝑋</ci><apply id="S4.E53.m1.4.5.2.2.3.cmml" xref="S4.E53.m1.4.5.2.2.3"><times id="S4.E53.m1.4.5.2.2.3.1.cmml" xref="S4.E53.m1.4.5.2.2.3.1"></times><ci id="S4.E53.m1.4.5.2.2.3.2.cmml" xref="S4.E53.m1.4.5.2.2.3.2">𝜎</ci><ci id="S4.E53.m1.4.5.2.2.3.3.cmml" xref="S4.E53.m1.4.5.2.2.3.3">𝜏</ci></apply></apply><interval closure="open" id="S4.E53.m1.4.5.2.3.1.cmml" xref="S4.E53.m1.4.5.2.3.2"><ci id="S4.E53.m1.3.3.cmml" xref="S4.E53.m1.3.3">𝑞</ci><ci id="S4.E53.m1.4.4.cmml" xref="S4.E53.m1.4.4">𝑡</ci></interval></apply><apply id="S4.E53.m1.2.2.3.cmml" xref="S4.E53.m1.2.2.4"><csymbol cd="latexml" id="S4.E53.m1.2.2.3.1.cmml" xref="S4.E53.m1.2.2.4.1">inner-product</csymbol><ci id="S4.E53.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E53.m1.1.1.1.1">𝜎</ci><apply id="S4.E53.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S4.E53.m1.2.2.2.2"><ci id="S4.E53.m1.2.2.2.2.1.cmml" xref="S4.E53.m1.2.2.2.2.1">~</ci><ci id="S4.E53.m1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.E53.m1.2.2.2.2.2">𝜏</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.E53.m1.4c">\displaystyle X_{\sigma\tau}(q,t)=\braket{\sigma}{\widetilde{\tau}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.E53.m1.4d">italic_X start_POSTSUBSCRIPT italic_σ italic_τ end_POSTSUBSCRIPT ( italic_q , italic_t ) = ⟨ start_ARG italic_σ end_ARG | start_ARG over~ start_ARG italic_τ end_ARG end_ARG ⟩</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(53)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S4.SS2.p3.1">By abuse of notation we also define the multi-site version <math alttext="X(\vec{q},t)=\bigotimes_{i}X(q_{i},t)" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS2.p3.1.m1.4"><semantics id="S4.SS2.p3.1.m1.4a"><mrow id="S4.SS2.p3.1.m1.4.4" xref="S4.SS2.p3.1.m1.4.4.cmml"><mrow id="S4.SS2.p3.1.m1.4.4.3" xref="S4.SS2.p3.1.m1.4.4.3.cmml"><mi id="S4.SS2.p3.1.m1.4.4.3.2" xref="S4.SS2.p3.1.m1.4.4.3.2.cmml">X</mi><mo id="S4.SS2.p3.1.m1.4.4.3.1" xref="S4.SS2.p3.1.m1.4.4.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.SS2.p3.1.m1.4.4.3.3.2" xref="S4.SS2.p3.1.m1.4.4.3.3.1.cmml"><mo id="S4.SS2.p3.1.m1.4.4.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.SS2.p3.1.m1.4.4.3.3.1.cmml">(</mo><mover accent="true" id="S4.SS2.p3.1.m1.1.1" xref="S4.SS2.p3.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S4.SS2.p3.1.m1.1.1.2" xref="S4.SS2.p3.1.m1.1.1.2.cmml">q</mi><mo id="S4.SS2.p3.1.m1.1.1.1" stretchy="false" xref="S4.SS2.p3.1.m1.1.1.1.cmml">→</mo></mover><mo id="S4.SS2.p3.1.m1.4.4.3.3.2.2" xref="S4.SS2.p3.1.m1.4.4.3.3.1.cmml">,</mo><mi id="S4.SS2.p3.1.m1.2.2" xref="S4.SS2.p3.1.m1.2.2.cmml">t</mi><mo id="S4.SS2.p3.1.m1.4.4.3.3.2.3" stretchy="false" xref="S4.SS2.p3.1.m1.4.4.3.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.SS2.p3.1.m1.4.4.2" rspace="0.111em" xref="S4.SS2.p3.1.m1.4.4.2.cmml">=</mo><mrow id="S4.SS2.p3.1.m1.4.4.1" xref="S4.SS2.p3.1.m1.4.4.1.cmml"><msub id="S4.SS2.p3.1.m1.4.4.1.2" xref="S4.SS2.p3.1.m1.4.4.1.2.cmml"><mo id="S4.SS2.p3.1.m1.4.4.1.2.2" xref="S4.SS2.p3.1.m1.4.4.1.2.2.cmml">⨂</mo><mi id="S4.SS2.p3.1.m1.4.4.1.2.3" xref="S4.SS2.p3.1.m1.4.4.1.2.3.cmml">i</mi></msub><mrow id="S4.SS2.p3.1.m1.4.4.1.1" xref="S4.SS2.p3.1.m1.4.4.1.1.cmml"><mi id="S4.SS2.p3.1.m1.4.4.1.1.3" xref="S4.SS2.p3.1.m1.4.4.1.1.3.cmml">X</mi><mo id="S4.SS2.p3.1.m1.4.4.1.1.2" xref="S4.SS2.p3.1.m1.4.4.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.SS2.p3.1.m1.4.4.1.1.1.1" xref="S4.SS2.p3.1.m1.4.4.1.1.1.2.cmml"><mo id="S4.SS2.p3.1.m1.4.4.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.SS2.p3.1.m1.4.4.1.1.1.2.cmml">(</mo><msub id="S4.SS2.p3.1.m1.4.4.1.1.1.1.1" xref="S4.SS2.p3.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.SS2.p3.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.2" xref="S4.SS2.p3.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.cmml">q</mi><mi id="S4.SS2.p3.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.3" xref="S4.SS2.p3.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S4.SS2.p3.1.m1.4.4.1.1.1.1.3" xref="S4.SS2.p3.1.m1.4.4.1.1.1.2.cmml">,</mo><mi id="S4.SS2.p3.1.m1.3.3" xref="S4.SS2.p3.1.m1.3.3.cmml">t</mi><mo id="S4.SS2.p3.1.m1.4.4.1.1.1.1.4" stretchy="false" xref="S4.SS2.p3.1.m1.4.4.1.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS2.p3.1.m1.4b"><apply id="S4.SS2.p3.1.m1.4.4.cmml" xref="S4.SS2.p3.1.m1.4.4"><eq id="S4.SS2.p3.1.m1.4.4.2.cmml" xref="S4.SS2.p3.1.m1.4.4.2"></eq><apply id="S4.SS2.p3.1.m1.4.4.3.cmml" xref="S4.SS2.p3.1.m1.4.4.3"><times id="S4.SS2.p3.1.m1.4.4.3.1.cmml" xref="S4.SS2.p3.1.m1.4.4.3.1"></times><ci id="S4.SS2.p3.1.m1.4.4.3.2.cmml" xref="S4.SS2.p3.1.m1.4.4.3.2">𝑋</ci><interval closure="open" id="S4.SS2.p3.1.m1.4.4.3.3.1.cmml" xref="S4.SS2.p3.1.m1.4.4.3.3.2"><apply id="S4.SS2.p3.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p3.1.m1.1.1"><ci id="S4.SS2.p3.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p3.1.m1.1.1.1">→</ci><ci id="S4.SS2.p3.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS2.p3.1.m1.1.1.2">𝑞</ci></apply><ci id="S4.SS2.p3.1.m1.2.2.cmml" xref="S4.SS2.p3.1.m1.2.2">𝑡</ci></interval></apply><apply id="S4.SS2.p3.1.m1.4.4.1.cmml" xref="S4.SS2.p3.1.m1.4.4.1"><apply id="S4.SS2.p3.1.m1.4.4.1.2.cmml" xref="S4.SS2.p3.1.m1.4.4.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS2.p3.1.m1.4.4.1.2.1.cmml" xref="S4.SS2.p3.1.m1.4.4.1.2">subscript</csymbol><csymbol cd="latexml" id="S4.SS2.p3.1.m1.4.4.1.2.2.cmml" xref="S4.SS2.p3.1.m1.4.4.1.2.2">tensor-product</csymbol><ci id="S4.SS2.p3.1.m1.4.4.1.2.3.cmml" xref="S4.SS2.p3.1.m1.4.4.1.2.3">𝑖</ci></apply><apply id="S4.SS2.p3.1.m1.4.4.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p3.1.m1.4.4.1.1"><times id="S4.SS2.p3.1.m1.4.4.1.1.2.cmml" xref="S4.SS2.p3.1.m1.4.4.1.1.2"></times><ci id="S4.SS2.p3.1.m1.4.4.1.1.3.cmml" xref="S4.SS2.p3.1.m1.4.4.1.1.3">𝑋</ci><interval closure="open" id="S4.SS2.p3.1.m1.4.4.1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS2.p3.1.m1.4.4.1.1.1.1"><apply id="S4.SS2.p3.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p3.1.m1.4.4.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS2.p3.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p3.1.m1.4.4.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.SS2.p3.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS2.p3.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.2">𝑞</ci><ci id="S4.SS2.p3.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.SS2.p3.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.3">𝑖</ci></apply><ci id="S4.SS2.p3.1.m1.3.3.cmml" xref="S4.SS2.p3.1.m1.3.3">𝑡</ci></interval></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS2.p3.1.m1.4c">X(\vec{q},t)=\bigotimes_{i}X(q_{i},t)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS2.p3.1.m1.4d">italic_X ( over→ start_ARG italic_q end_ARG , italic_t ) = ⨂ start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT italic_X ( italic_q start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT , italic_t )</annotation></semantics></math>.</p> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_theorem" id="Thmtheorem34"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmtheorem34.1.1.1">Theorem 34</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmtheorem34.2.2">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="Thmtheorem34.p1"> <p class="ltx_p" id="Thmtheorem34.p1.1"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmtheorem34.p1.1.1">Define the intersection space to be the intersection of <math alttext="\operatorname{image}(X(\vec{q},t))" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem34.p1.1.1.m1.4"><semantics id="Thmtheorem34.p1.1.1.m1.4a"><mrow id="Thmtheorem34.p1.1.1.m1.4.4.1" xref="Thmtheorem34.p1.1.1.m1.4.4.2.cmml"><mi id="Thmtheorem34.p1.1.1.m1.3.3" xref="Thmtheorem34.p1.1.1.m1.3.3.cmml">image</mi><mo id="Thmtheorem34.p1.1.1.m1.4.4.1a" xref="Thmtheorem34.p1.1.1.m1.4.4.2.cmml">⁡</mo><mrow id="Thmtheorem34.p1.1.1.m1.4.4.1.1" xref="Thmtheorem34.p1.1.1.m1.4.4.2.cmml"><mo id="Thmtheorem34.p1.1.1.m1.4.4.1.1.2" stretchy="false" xref="Thmtheorem34.p1.1.1.m1.4.4.2.cmml">(</mo><mrow id="Thmtheorem34.p1.1.1.m1.4.4.1.1.1" xref="Thmtheorem34.p1.1.1.m1.4.4.1.1.1.cmml"><mi id="Thmtheorem34.p1.1.1.m1.4.4.1.1.1.2" xref="Thmtheorem34.p1.1.1.m1.4.4.1.1.1.2.cmml">X</mi><mo id="Thmtheorem34.p1.1.1.m1.4.4.1.1.1.1" xref="Thmtheorem34.p1.1.1.m1.4.4.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="Thmtheorem34.p1.1.1.m1.4.4.1.1.1.3.2" xref="Thmtheorem34.p1.1.1.m1.4.4.1.1.1.3.1.cmml"><mo id="Thmtheorem34.p1.1.1.m1.4.4.1.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="Thmtheorem34.p1.1.1.m1.4.4.1.1.1.3.1.cmml">(</mo><mover accent="true" id="Thmtheorem34.p1.1.1.m1.1.1" xref="Thmtheorem34.p1.1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="Thmtheorem34.p1.1.1.m1.1.1.2" xref="Thmtheorem34.p1.1.1.m1.1.1.2.cmml">q</mi><mo id="Thmtheorem34.p1.1.1.m1.1.1.1" stretchy="false" xref="Thmtheorem34.p1.1.1.m1.1.1.1.cmml">→</mo></mover><mo id="Thmtheorem34.p1.1.1.m1.4.4.1.1.1.3.2.2" xref="Thmtheorem34.p1.1.1.m1.4.4.1.1.1.3.1.cmml">,</mo><mi id="Thmtheorem34.p1.1.1.m1.2.2" xref="Thmtheorem34.p1.1.1.m1.2.2.cmml">t</mi><mo id="Thmtheorem34.p1.1.1.m1.4.4.1.1.1.3.2.3" stretchy="false" xref="Thmtheorem34.p1.1.1.m1.4.4.1.1.1.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="Thmtheorem34.p1.1.1.m1.4.4.1.1.3" stretchy="false" xref="Thmtheorem34.p1.1.1.m1.4.4.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem34.p1.1.1.m1.4b"><apply id="Thmtheorem34.p1.1.1.m1.4.4.2.cmml" xref="Thmtheorem34.p1.1.1.m1.4.4.1"><ci id="Thmtheorem34.p1.1.1.m1.3.3.cmml" xref="Thmtheorem34.p1.1.1.m1.3.3">image</ci><apply id="Thmtheorem34.p1.1.1.m1.4.4.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem34.p1.1.1.m1.4.4.1.1.1"><times id="Thmtheorem34.p1.1.1.m1.4.4.1.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem34.p1.1.1.m1.4.4.1.1.1.1"></times><ci id="Thmtheorem34.p1.1.1.m1.4.4.1.1.1.2.cmml" xref="Thmtheorem34.p1.1.1.m1.4.4.1.1.1.2">𝑋</ci><interval closure="open" id="Thmtheorem34.p1.1.1.m1.4.4.1.1.1.3.1.cmml" xref="Thmtheorem34.p1.1.1.m1.4.4.1.1.1.3.2"><apply id="Thmtheorem34.p1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem34.p1.1.1.m1.1.1"><ci id="Thmtheorem34.p1.1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem34.p1.1.1.m1.1.1.1">→</ci><ci id="Thmtheorem34.p1.1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="Thmtheorem34.p1.1.1.m1.1.1.2">𝑞</ci></apply><ci id="Thmtheorem34.p1.1.1.m1.2.2.cmml" xref="Thmtheorem34.p1.1.1.m1.2.2">𝑡</ci></interval></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem34.p1.1.1.m1.4c">\operatorname{image}(X(\vec{q},t))</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem34.p1.1.1.m1.4d">roman_image ( italic_X ( over→ start_ARG italic_q end_ARG , italic_t ) )</annotation></semantics></math> with the preimage of the coderanged subspace,</span></p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_gather ltx_eqn_table" id="S6.EGx50"> <tbody id="S4.E54"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\displaystyle\mathcal{I}=\left\{\mathbf{v}\in\mathbb{C}^{t!^{N}}:\left(v_{\vec% {\sigma}}=0\forall\vec{\sigma}\in S_{t}^{2}\circ S_{t-1}^{\times N}\right)% \wedge\left(\mathbf{v}\in\operatorname{image}(X)\right)\right\}" class="ltx_Math" display="block" id="S4.E54.m1.4"><semantics id="S4.E54.m1.4a"><mrow id="S4.E54.m1.4.4" xref="S4.E54.m1.4.4.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S4.E54.m1.4.4.4" xref="S4.E54.m1.4.4.4.cmml">ℐ</mi><mo id="S4.E54.m1.4.4.3" xref="S4.E54.m1.4.4.3.cmml">=</mo><mrow id="S4.E54.m1.4.4.2.2" xref="S4.E54.m1.4.4.2.3.cmml"><mo id="S4.E54.m1.4.4.2.2.3" xref="S4.E54.m1.4.4.2.3.1.cmml">{</mo><mrow id="S4.E54.m1.3.3.1.1.1" xref="S4.E54.m1.3.3.1.1.1.cmml"><mi id="S4.E54.m1.3.3.1.1.1.2" xref="S4.E54.m1.3.3.1.1.1.2.cmml">𝐯</mi><mo id="S4.E54.m1.3.3.1.1.1.1" xref="S4.E54.m1.3.3.1.1.1.1.cmml">∈</mo><msup id="S4.E54.m1.3.3.1.1.1.3" xref="S4.E54.m1.3.3.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.E54.m1.3.3.1.1.1.3.2" xref="S4.E54.m1.3.3.1.1.1.3.2.cmml">ℂ</mi><msup id="S4.E54.m1.3.3.1.1.1.3.3" xref="S4.E54.m1.3.3.1.1.1.3.3.cmml"><mrow id="S4.E54.m1.3.3.1.1.1.3.3.2" xref="S4.E54.m1.3.3.1.1.1.3.3.2.cmml"><mi id="S4.E54.m1.3.3.1.1.1.3.3.2.2" xref="S4.E54.m1.3.3.1.1.1.3.3.2.2.cmml">t</mi><mo id="S4.E54.m1.3.3.1.1.1.3.3.2.1" xref="S4.E54.m1.3.3.1.1.1.3.3.2.1.cmml">!</mo></mrow><mi id="S4.E54.m1.3.3.1.1.1.3.3.3" xref="S4.E54.m1.3.3.1.1.1.3.3.3.cmml">N</mi></msup></msup></mrow><mo id="S4.E54.m1.4.4.2.2.4" lspace="0.278em" rspace="0.278em" xref="S4.E54.m1.4.4.2.3.1.cmml">:</mo><mrow id="S4.E54.m1.4.4.2.2.2" xref="S4.E54.m1.4.4.2.2.2.cmml"><mrow id="S4.E54.m1.4.4.2.2.2.1.1" xref="S4.E54.m1.4.4.2.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="S4.E54.m1.4.4.2.2.2.1.1.2" xref="S4.E54.m1.4.4.2.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.E54.m1.4.4.2.2.2.1.1.1" xref="S4.E54.m1.4.4.2.2.2.1.1.1.cmml"><msub id="S4.E54.m1.4.4.2.2.2.1.1.1.2" xref="S4.E54.m1.4.4.2.2.2.1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.E54.m1.4.4.2.2.2.1.1.1.2.2" xref="S4.E54.m1.4.4.2.2.2.1.1.1.2.2.cmml">v</mi><mover accent="true" id="S4.E54.m1.4.4.2.2.2.1.1.1.2.3" xref="S4.E54.m1.4.4.2.2.2.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S4.E54.m1.4.4.2.2.2.1.1.1.2.3.2" xref="S4.E54.m1.4.4.2.2.2.1.1.1.2.3.2.cmml">σ</mi><mo id="S4.E54.m1.4.4.2.2.2.1.1.1.2.3.1" stretchy="false" xref="S4.E54.m1.4.4.2.2.2.1.1.1.2.3.1.cmml">→</mo></mover></msub><mo id="S4.E54.m1.4.4.2.2.2.1.1.1.3" xref="S4.E54.m1.4.4.2.2.2.1.1.1.3.cmml">=</mo><mrow id="S4.E54.m1.4.4.2.2.2.1.1.1.4" xref="S4.E54.m1.4.4.2.2.2.1.1.1.4.cmml"><mn id="S4.E54.m1.4.4.2.2.2.1.1.1.4.2" xref="S4.E54.m1.4.4.2.2.2.1.1.1.4.2.cmml">0</mn><mo id="S4.E54.m1.4.4.2.2.2.1.1.1.4.1" lspace="0.167em" xref="S4.E54.m1.4.4.2.2.2.1.1.1.4.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E54.m1.4.4.2.2.2.1.1.1.4.3" xref="S4.E54.m1.4.4.2.2.2.1.1.1.4.3.cmml"><mo id="S4.E54.m1.4.4.2.2.2.1.1.1.4.3.1" rspace="0.167em" xref="S4.E54.m1.4.4.2.2.2.1.1.1.4.3.1.cmml">∀</mo><mover accent="true" id="S4.E54.m1.4.4.2.2.2.1.1.1.4.3.2" xref="S4.E54.m1.4.4.2.2.2.1.1.1.4.3.2.cmml"><mi id="S4.E54.m1.4.4.2.2.2.1.1.1.4.3.2.2" xref="S4.E54.m1.4.4.2.2.2.1.1.1.4.3.2.2.cmml">σ</mi><mo id="S4.E54.m1.4.4.2.2.2.1.1.1.4.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.E54.m1.4.4.2.2.2.1.1.1.4.3.2.1.cmml">→</mo></mover></mrow></mrow><mo id="S4.E54.m1.4.4.2.2.2.1.1.1.5" xref="S4.E54.m1.4.4.2.2.2.1.1.1.5.cmml">∈</mo><mrow id="S4.E54.m1.4.4.2.2.2.1.1.1.6" xref="S4.E54.m1.4.4.2.2.2.1.1.1.6.cmml"><msubsup id="S4.E54.m1.4.4.2.2.2.1.1.1.6.2" xref="S4.E54.m1.4.4.2.2.2.1.1.1.6.2.cmml"><mi id="S4.E54.m1.4.4.2.2.2.1.1.1.6.2.2.2" xref="S4.E54.m1.4.4.2.2.2.1.1.1.6.2.2.2.cmml">S</mi><mi id="S4.E54.m1.4.4.2.2.2.1.1.1.6.2.2.3" xref="S4.E54.m1.4.4.2.2.2.1.1.1.6.2.2.3.cmml">t</mi><mn id="S4.E54.m1.4.4.2.2.2.1.1.1.6.2.3" xref="S4.E54.m1.4.4.2.2.2.1.1.1.6.2.3.cmml">2</mn></msubsup><mo id="S4.E54.m1.4.4.2.2.2.1.1.1.6.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S4.E54.m1.4.4.2.2.2.1.1.1.6.1.cmml">∘</mo><msubsup id="S4.E54.m1.4.4.2.2.2.1.1.1.6.3" xref="S4.E54.m1.4.4.2.2.2.1.1.1.6.3.cmml"><mi id="S4.E54.m1.4.4.2.2.2.1.1.1.6.3.2.2" xref="S4.E54.m1.4.4.2.2.2.1.1.1.6.3.2.2.cmml">S</mi><mrow id="S4.E54.m1.4.4.2.2.2.1.1.1.6.3.2.3" xref="S4.E54.m1.4.4.2.2.2.1.1.1.6.3.2.3.cmml"><mi id="S4.E54.m1.4.4.2.2.2.1.1.1.6.3.2.3.2" xref="S4.E54.m1.4.4.2.2.2.1.1.1.6.3.2.3.2.cmml">t</mi><mo id="S4.E54.m1.4.4.2.2.2.1.1.1.6.3.2.3.1" xref="S4.E54.m1.4.4.2.2.2.1.1.1.6.3.2.3.1.cmml">−</mo><mn id="S4.E54.m1.4.4.2.2.2.1.1.1.6.3.2.3.3" xref="S4.E54.m1.4.4.2.2.2.1.1.1.6.3.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mrow id="S4.E54.m1.4.4.2.2.2.1.1.1.6.3.3" xref="S4.E54.m1.4.4.2.2.2.1.1.1.6.3.3.cmml"><mi id="S4.E54.m1.4.4.2.2.2.1.1.1.6.3.3.2" xref="S4.E54.m1.4.4.2.2.2.1.1.1.6.3.3.2.cmml"></mi><mo id="S4.E54.m1.4.4.2.2.2.1.1.1.6.3.3.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S4.E54.m1.4.4.2.2.2.1.1.1.6.3.3.1.cmml">×</mo><mi id="S4.E54.m1.4.4.2.2.2.1.1.1.6.3.3.3" xref="S4.E54.m1.4.4.2.2.2.1.1.1.6.3.3.3.cmml">N</mi></mrow></msubsup></mrow></mrow><mo id="S4.E54.m1.4.4.2.2.2.1.1.3" xref="S4.E54.m1.4.4.2.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S4.E54.m1.4.4.2.2.2.3" xref="S4.E54.m1.4.4.2.2.2.3.cmml">∧</mo><mrow id="S4.E54.m1.4.4.2.2.2.2.1" xref="S4.E54.m1.4.4.2.2.2.2.1.1.cmml"><mo id="S4.E54.m1.4.4.2.2.2.2.1.2" xref="S4.E54.m1.4.4.2.2.2.2.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.E54.m1.4.4.2.2.2.2.1.1" xref="S4.E54.m1.4.4.2.2.2.2.1.1.cmml"><mi id="S4.E54.m1.4.4.2.2.2.2.1.1.2" xref="S4.E54.m1.4.4.2.2.2.2.1.1.2.cmml">𝐯</mi><mo id="S4.E54.m1.4.4.2.2.2.2.1.1.1" xref="S4.E54.m1.4.4.2.2.2.2.1.1.1.cmml">∈</mo><mrow id="S4.E54.m1.4.4.2.2.2.2.1.1.3.2" xref="S4.E54.m1.4.4.2.2.2.2.1.1.3.1.cmml"><mi id="S4.E54.m1.1.1" xref="S4.E54.m1.1.1.cmml">image</mi><mo id="S4.E54.m1.4.4.2.2.2.2.1.1.3.2a" xref="S4.E54.m1.4.4.2.2.2.2.1.1.3.1.cmml">⁡</mo><mrow id="S4.E54.m1.4.4.2.2.2.2.1.1.3.2.1" xref="S4.E54.m1.4.4.2.2.2.2.1.1.3.1.cmml"><mo id="S4.E54.m1.4.4.2.2.2.2.1.1.3.2.1.1" stretchy="false" xref="S4.E54.m1.4.4.2.2.2.2.1.1.3.1.cmml">(</mo><mi id="S4.E54.m1.2.2" xref="S4.E54.m1.2.2.cmml">X</mi><mo id="S4.E54.m1.4.4.2.2.2.2.1.1.3.2.1.2" stretchy="false" xref="S4.E54.m1.4.4.2.2.2.2.1.1.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.E54.m1.4.4.2.2.2.2.1.3" xref="S4.E54.m1.4.4.2.2.2.2.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.E54.m1.4.4.2.2.5" xref="S4.E54.m1.4.4.2.3.1.cmml">}</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.E54.m1.4b"><apply id="S4.E54.m1.4.4.cmml" xref="S4.E54.m1.4.4"><eq id="S4.E54.m1.4.4.3.cmml" xref="S4.E54.m1.4.4.3"></eq><ci id="S4.E54.m1.4.4.4.cmml" xref="S4.E54.m1.4.4.4">ℐ</ci><apply id="S4.E54.m1.4.4.2.3.cmml" xref="S4.E54.m1.4.4.2.2"><csymbol cd="latexml" 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xref="S4.E54.m1.4.4.2.2.2.1.1.1.2.3.1">→</ci><ci id="S4.E54.m1.4.4.2.2.2.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S4.E54.m1.4.4.2.2.2.1.1.1.2.3.2">𝜎</ci></apply></apply><apply id="S4.E54.m1.4.4.2.2.2.1.1.1.4.cmml" xref="S4.E54.m1.4.4.2.2.2.1.1.1.4"><times id="S4.E54.m1.4.4.2.2.2.1.1.1.4.1.cmml" xref="S4.E54.m1.4.4.2.2.2.1.1.1.4.1"></times><cn id="S4.E54.m1.4.4.2.2.2.1.1.1.4.2.cmml" type="integer" xref="S4.E54.m1.4.4.2.2.2.1.1.1.4.2">0</cn><apply id="S4.E54.m1.4.4.2.2.2.1.1.1.4.3.cmml" xref="S4.E54.m1.4.4.2.2.2.1.1.1.4.3"><csymbol cd="latexml" id="S4.E54.m1.4.4.2.2.2.1.1.1.4.3.1.cmml" xref="S4.E54.m1.4.4.2.2.2.1.1.1.4.3.1">for-all</csymbol><apply id="S4.E54.m1.4.4.2.2.2.1.1.1.4.3.2.cmml" xref="S4.E54.m1.4.4.2.2.2.1.1.1.4.3.2"><ci id="S4.E54.m1.4.4.2.2.2.1.1.1.4.3.2.1.cmml" xref="S4.E54.m1.4.4.2.2.2.1.1.1.4.3.2.1">→</ci><ci id="S4.E54.m1.4.4.2.2.2.1.1.1.4.3.2.2.cmml" xref="S4.E54.m1.4.4.2.2.2.1.1.1.4.3.2.2">𝜎</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="S4.E54.m1.4.4.2.2.2.1.1.1c.cmml" xref="S4.E54.m1.4.4.2.2.2.1.1"><in id="S4.E54.m1.4.4.2.2.2.1.1.1.5.cmml" xref="S4.E54.m1.4.4.2.2.2.1.1.1.5"></in><share href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#S4.E54.m1.4.4.2.2.2.1.1.1.4.cmml" id="S4.E54.m1.4.4.2.2.2.1.1.1d.cmml" xref="S4.E54.m1.4.4.2.2.2.1.1"></share><apply id="S4.E54.m1.4.4.2.2.2.1.1.1.6.cmml" xref="S4.E54.m1.4.4.2.2.2.1.1.1.6"><compose id="S4.E54.m1.4.4.2.2.2.1.1.1.6.1.cmml" xref="S4.E54.m1.4.4.2.2.2.1.1.1.6.1"></compose><apply id="S4.E54.m1.4.4.2.2.2.1.1.1.6.2.cmml" xref="S4.E54.m1.4.4.2.2.2.1.1.1.6.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E54.m1.4.4.2.2.2.1.1.1.6.2.1.cmml" xref="S4.E54.m1.4.4.2.2.2.1.1.1.6.2">superscript</csymbol><apply id="S4.E54.m1.4.4.2.2.2.1.1.1.6.2.2.cmml" xref="S4.E54.m1.4.4.2.2.2.1.1.1.6.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E54.m1.4.4.2.2.2.1.1.1.6.2.2.1.cmml" xref="S4.E54.m1.4.4.2.2.2.1.1.1.6.2">subscript</csymbol><ci id="S4.E54.m1.4.4.2.2.2.1.1.1.6.2.2.2.cmml" xref="S4.E54.m1.4.4.2.2.2.1.1.1.6.2.2.2">𝑆</ci><ci id="S4.E54.m1.4.4.2.2.2.1.1.1.6.2.2.3.cmml" xref="S4.E54.m1.4.4.2.2.2.1.1.1.6.2.2.3">𝑡</ci></apply><cn id="S4.E54.m1.4.4.2.2.2.1.1.1.6.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.E54.m1.4.4.2.2.2.1.1.1.6.2.3">2</cn></apply><apply id="S4.E54.m1.4.4.2.2.2.1.1.1.6.3.cmml" xref="S4.E54.m1.4.4.2.2.2.1.1.1.6.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E54.m1.4.4.2.2.2.1.1.1.6.3.1.cmml" xref="S4.E54.m1.4.4.2.2.2.1.1.1.6.3">superscript</csymbol><apply id="S4.E54.m1.4.4.2.2.2.1.1.1.6.3.2.cmml" xref="S4.E54.m1.4.4.2.2.2.1.1.1.6.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E54.m1.4.4.2.2.2.1.1.1.6.3.2.1.cmml" xref="S4.E54.m1.4.4.2.2.2.1.1.1.6.3">subscript</csymbol><ci id="S4.E54.m1.4.4.2.2.2.1.1.1.6.3.2.2.cmml" xref="S4.E54.m1.4.4.2.2.2.1.1.1.6.3.2.2">𝑆</ci><apply id="S4.E54.m1.4.4.2.2.2.1.1.1.6.3.2.3.cmml" xref="S4.E54.m1.4.4.2.2.2.1.1.1.6.3.2.3"><minus id="S4.E54.m1.4.4.2.2.2.1.1.1.6.3.2.3.1.cmml" xref="S4.E54.m1.4.4.2.2.2.1.1.1.6.3.2.3.1"></minus><ci id="S4.E54.m1.4.4.2.2.2.1.1.1.6.3.2.3.2.cmml" xref="S4.E54.m1.4.4.2.2.2.1.1.1.6.3.2.3.2">𝑡</ci><cn id="S4.E54.m1.4.4.2.2.2.1.1.1.6.3.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.E54.m1.4.4.2.2.2.1.1.1.6.3.2.3.3">1</cn></apply></apply><apply id="S4.E54.m1.4.4.2.2.2.1.1.1.6.3.3.cmml" xref="S4.E54.m1.4.4.2.2.2.1.1.1.6.3.3"><times id="S4.E54.m1.4.4.2.2.2.1.1.1.6.3.3.1.cmml" xref="S4.E54.m1.4.4.2.2.2.1.1.1.6.3.3.1"></times><csymbol cd="latexml" id="S4.E54.m1.4.4.2.2.2.1.1.1.6.3.3.2.cmml" xref="S4.E54.m1.4.4.2.2.2.1.1.1.6.3.3.2">absent</csymbol><ci id="S4.E54.m1.4.4.2.2.2.1.1.1.6.3.3.3.cmml" xref="S4.E54.m1.4.4.2.2.2.1.1.1.6.3.3.3">𝑁</ci></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="S4.E54.m1.4.4.2.2.2.2.1.1.cmml" xref="S4.E54.m1.4.4.2.2.2.2.1"><in id="S4.E54.m1.4.4.2.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S4.E54.m1.4.4.2.2.2.2.1.1.1"></in><ci id="S4.E54.m1.4.4.2.2.2.2.1.1.2.cmml" xref="S4.E54.m1.4.4.2.2.2.2.1.1.2">𝐯</ci><apply id="S4.E54.m1.4.4.2.2.2.2.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E54.m1.4.4.2.2.2.2.1.1.3.2"><ci id="S4.E54.m1.1.1.cmml" xref="S4.E54.m1.1.1">image</ci><ci id="S4.E54.m1.2.2.cmml" xref="S4.E54.m1.2.2">𝑋</ci></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.E54.m1.4c">\displaystyle\mathcal{I}=\left\{\mathbf{v}\in\mathbb{C}^{t!^{N}}:\left(v_{\vec% {\sigma}}=0\forall\vec{\sigma}\in S_{t}^{2}\circ S_{t-1}^{\times N}\right)% \wedge\left(\mathbf{v}\in\operatorname{image}(X)\right)\right\}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.E54.m1.4d">caligraphic_I = { bold_v ∈ blackboard_C start_POSTSUPERSCRIPT italic_t ! start_POSTSUPERSCRIPT italic_N end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT : ( italic_v start_POSTSUBSCRIPT over→ start_ARG italic_σ end_ARG end_POSTSUBSCRIPT = 0 ∀ over→ start_ARG italic_σ end_ARG ∈ italic_S start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ∘ italic_S start_POSTSUBSCRIPT italic_t - 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT × italic_N end_POSTSUPERSCRIPT ) ∧ ( bold_v ∈ roman_image ( italic_X ) ) }</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(54)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="Thmtheorem34.p1.6"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmtheorem34.p1.6.1">Define the embedding</span></p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_gather ltx_eqn_table" id="S6.EGx51"> <tbody id="S4.E55"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\displaystyle E(\mathbf{v})=\sum_{\vec{\sigma}\in S_{t}^{N}}v_{\vec{\sigma}}% \ket{\widetilde{\sigma_{1},\dots\sigma_{N}}}" class="ltx_Math" display="block" id="S4.E55.m1.2"><semantics id="S4.E55.m1.2a"><mrow id="S4.E55.m1.2.3" xref="S4.E55.m1.2.3.cmml"><mrow id="S4.E55.m1.2.3.2" xref="S4.E55.m1.2.3.2.cmml"><mi id="S4.E55.m1.2.3.2.2" xref="S4.E55.m1.2.3.2.2.cmml">E</mi><mo id="S4.E55.m1.2.3.2.1" xref="S4.E55.m1.2.3.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E55.m1.2.3.2.3.2" xref="S4.E55.m1.2.3.2.cmml"><mo id="S4.E55.m1.2.3.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.E55.m1.2.3.2.cmml">(</mo><mi id="S4.E55.m1.2.2" xref="S4.E55.m1.2.2.cmml">𝐯</mi><mo id="S4.E55.m1.2.3.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S4.E55.m1.2.3.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.E55.m1.2.3.1" rspace="0.111em" xref="S4.E55.m1.2.3.1.cmml">=</mo><mrow id="S4.E55.m1.2.3.3" xref="S4.E55.m1.2.3.3.cmml"><munder id="S4.E55.m1.2.3.3.1" xref="S4.E55.m1.2.3.3.1.cmml"><mo id="S4.E55.m1.2.3.3.1.2" movablelimits="false" xref="S4.E55.m1.2.3.3.1.2.cmml">∑</mo><mrow id="S4.E55.m1.2.3.3.1.3" xref="S4.E55.m1.2.3.3.1.3.cmml"><mover accent="true" id="S4.E55.m1.2.3.3.1.3.2" xref="S4.E55.m1.2.3.3.1.3.2.cmml"><mi id="S4.E55.m1.2.3.3.1.3.2.2" xref="S4.E55.m1.2.3.3.1.3.2.2.cmml">σ</mi><mo id="S4.E55.m1.2.3.3.1.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.E55.m1.2.3.3.1.3.2.1.cmml">→</mo></mover><mo id="S4.E55.m1.2.3.3.1.3.1" xref="S4.E55.m1.2.3.3.1.3.1.cmml">∈</mo><msubsup id="S4.E55.m1.2.3.3.1.3.3" xref="S4.E55.m1.2.3.3.1.3.3.cmml"><mi id="S4.E55.m1.2.3.3.1.3.3.2.2" xref="S4.E55.m1.2.3.3.1.3.3.2.2.cmml">S</mi><mi id="S4.E55.m1.2.3.3.1.3.3.2.3" xref="S4.E55.m1.2.3.3.1.3.3.2.3.cmml">t</mi><mi id="S4.E55.m1.2.3.3.1.3.3.3" xref="S4.E55.m1.2.3.3.1.3.3.3.cmml">N</mi></msubsup></mrow></munder><mrow id="S4.E55.m1.2.3.3.2" xref="S4.E55.m1.2.3.3.2.cmml"><msub id="S4.E55.m1.2.3.3.2.2" xref="S4.E55.m1.2.3.3.2.2.cmml"><mi id="S4.E55.m1.2.3.3.2.2.2" xref="S4.E55.m1.2.3.3.2.2.2.cmml">v</mi><mover accent="true" id="S4.E55.m1.2.3.3.2.2.3" xref="S4.E55.m1.2.3.3.2.2.3.cmml"><mi id="S4.E55.m1.2.3.3.2.2.3.2" xref="S4.E55.m1.2.3.3.2.2.3.2.cmml">σ</mi><mo id="S4.E55.m1.2.3.3.2.2.3.1" stretchy="false" xref="S4.E55.m1.2.3.3.2.2.3.1.cmml">→</mo></mover></msub><mo id="S4.E55.m1.2.3.3.2.1" xref="S4.E55.m1.2.3.3.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E55.m1.1.1.3" xref="S4.E55.m1.1.1.2.cmml"><mo id="S4.E55.m1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S4.E55.m1.1.1.2.1.cmml">|</mo><mover accent="true" id="S4.E55.m1.1.1.1.1" xref="S4.E55.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.E55.m1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S4.E55.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><msub id="S4.E55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.E55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.E55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">σ</mi><mn id="S4.E55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.E55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S4.E55.m1.1.1.1.1.2.2.2.3" xref="S4.E55.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">,</mo><mrow id="S4.E55.m1.1.1.1.1.2.2.2.2" xref="S4.E55.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml"><mi id="S4.E55.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2" mathvariant="normal" xref="S4.E55.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml">…</mi><mo id="S4.E55.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1" xref="S4.E55.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S4.E55.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3" xref="S4.E55.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="S4.E55.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.2" xref="S4.E55.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.2.cmml">σ</mi><mi id="S4.E55.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.3" xref="S4.E55.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.3.cmml">N</mi></msub></mrow></mrow><mo id="S4.E55.m1.1.1.1.1.3" xref="S4.E55.m1.1.1.1.1.3.cmml">~</mo></mover><mo id="S4.E55.m1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S4.E55.m1.1.1.2.1.cmml">⟩</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.E55.m1.2b"><apply id="S4.E55.m1.2.3.cmml" xref="S4.E55.m1.2.3"><eq id="S4.E55.m1.2.3.1.cmml" xref="S4.E55.m1.2.3.1"></eq><apply id="S4.E55.m1.2.3.2.cmml" xref="S4.E55.m1.2.3.2"><times id="S4.E55.m1.2.3.2.1.cmml" xref="S4.E55.m1.2.3.2.1"></times><ci id="S4.E55.m1.2.3.2.2.cmml" xref="S4.E55.m1.2.3.2.2">𝐸</ci><ci id="S4.E55.m1.2.2.cmml" xref="S4.E55.m1.2.2">𝐯</ci></apply><apply id="S4.E55.m1.2.3.3.cmml" xref="S4.E55.m1.2.3.3"><apply id="S4.E55.m1.2.3.3.1.cmml" xref="S4.E55.m1.2.3.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E55.m1.2.3.3.1.1.cmml" xref="S4.E55.m1.2.3.3.1">subscript</csymbol><sum id="S4.E55.m1.2.3.3.1.2.cmml" xref="S4.E55.m1.2.3.3.1.2"></sum><apply id="S4.E55.m1.2.3.3.1.3.cmml" xref="S4.E55.m1.2.3.3.1.3"><in id="S4.E55.m1.2.3.3.1.3.1.cmml" xref="S4.E55.m1.2.3.3.1.3.1"></in><apply id="S4.E55.m1.2.3.3.1.3.2.cmml" xref="S4.E55.m1.2.3.3.1.3.2"><ci id="S4.E55.m1.2.3.3.1.3.2.1.cmml" xref="S4.E55.m1.2.3.3.1.3.2.1">→</ci><ci id="S4.E55.m1.2.3.3.1.3.2.2.cmml" xref="S4.E55.m1.2.3.3.1.3.2.2">𝜎</ci></apply><apply id="S4.E55.m1.2.3.3.1.3.3.cmml" xref="S4.E55.m1.2.3.3.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E55.m1.2.3.3.1.3.3.1.cmml" xref="S4.E55.m1.2.3.3.1.3.3">superscript</csymbol><apply id="S4.E55.m1.2.3.3.1.3.3.2.cmml" xref="S4.E55.m1.2.3.3.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E55.m1.2.3.3.1.3.3.2.1.cmml" xref="S4.E55.m1.2.3.3.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S4.E55.m1.2.3.3.1.3.3.2.2.cmml" xref="S4.E55.m1.2.3.3.1.3.3.2.2">𝑆</ci><ci id="S4.E55.m1.2.3.3.1.3.3.2.3.cmml" xref="S4.E55.m1.2.3.3.1.3.3.2.3">𝑡</ci></apply><ci id="S4.E55.m1.2.3.3.1.3.3.3.cmml" xref="S4.E55.m1.2.3.3.1.3.3.3">𝑁</ci></apply></apply></apply><apply id="S4.E55.m1.2.3.3.2.cmml" xref="S4.E55.m1.2.3.3.2"><times id="S4.E55.m1.2.3.3.2.1.cmml" xref="S4.E55.m1.2.3.3.2.1"></times><apply id="S4.E55.m1.2.3.3.2.2.cmml" xref="S4.E55.m1.2.3.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E55.m1.2.3.3.2.2.1.cmml" xref="S4.E55.m1.2.3.3.2.2">subscript</csymbol><ci id="S4.E55.m1.2.3.3.2.2.2.cmml" xref="S4.E55.m1.2.3.3.2.2.2">𝑣</ci><apply id="S4.E55.m1.2.3.3.2.2.3.cmml" xref="S4.E55.m1.2.3.3.2.2.3"><ci id="S4.E55.m1.2.3.3.2.2.3.1.cmml" xref="S4.E55.m1.2.3.3.2.2.3.1">→</ci><ci id="S4.E55.m1.2.3.3.2.2.3.2.cmml" xref="S4.E55.m1.2.3.3.2.2.3.2">𝜎</ci></apply></apply><apply id="S4.E55.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.E55.m1.1.1.3"><csymbol cd="latexml" id="S4.E55.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.E55.m1.1.1.3.1">ket</csymbol><apply id="S4.E55.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E55.m1.1.1.1.1"><ci id="S4.E55.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E55.m1.1.1.1.1.3">~</ci><list id="S4.E55.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.E55.m1.1.1.1.1.2.2.2"><apply id="S4.E55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.E55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝜎</ci><cn id="S4.E55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.E55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">1</cn></apply><apply id="S4.E55.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S4.E55.m1.1.1.1.1.2.2.2.2"><times id="S4.E55.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.cmml" xref="S4.E55.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1"></times><ci id="S4.E55.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.E55.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2">…</ci><apply id="S4.E55.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.cmml" xref="S4.E55.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E55.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="S4.E55.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S4.E55.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.2.cmml" xref="S4.E55.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.2">𝜎</ci><ci id="S4.E55.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.3.cmml" xref="S4.E55.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.3">𝑁</ci></apply></apply></list></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.E55.m1.2c">\displaystyle E(\mathbf{v})=\sum_{\vec{\sigma}\in S_{t}^{N}}v_{\vec{\sigma}}% \ket{\widetilde{\sigma_{1},\dots\sigma_{N}}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.E55.m1.2d">italic_E ( bold_v ) = ∑ start_POSTSUBSCRIPT over→ start_ARG italic_σ end_ARG ∈ italic_S start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_N end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT italic_v start_POSTSUBSCRIPT over→ start_ARG italic_σ end_ARG end_POSTSUBSCRIPT | start_ARG over~ start_ARG italic_σ start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , … italic_σ start_POSTSUBSCRIPT italic_N end_POSTSUBSCRIPT end_ARG end_ARG ⟩</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(55)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="Thmtheorem34.p1.5"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmtheorem34.p1.5.4">The restriction of <math alttext="E" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem34.p1.2.1.m1.1"><semantics id="Thmtheorem34.p1.2.1.m1.1a"><mi id="Thmtheorem34.p1.2.1.m1.1.1" xref="Thmtheorem34.p1.2.1.m1.1.1.cmml">E</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem34.p1.2.1.m1.1b"><ci id="Thmtheorem34.p1.2.1.m1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem34.p1.2.1.m1.1.1">𝐸</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem34.p1.2.1.m1.1c">E</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem34.p1.2.1.m1.1d">italic_E</annotation></semantics></math> to <math alttext="\mathcal{I}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem34.p1.3.2.m2.1"><semantics id="Thmtheorem34.p1.3.2.m2.1a"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="Thmtheorem34.p1.3.2.m2.1.1" xref="Thmtheorem34.p1.3.2.m2.1.1.cmml">ℐ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem34.p1.3.2.m2.1b"><ci id="Thmtheorem34.p1.3.2.m2.1.1.cmml" xref="Thmtheorem34.p1.3.2.m2.1.1">ℐ</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem34.p1.3.2.m2.1c">\mathcal{I}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem34.p1.3.2.m2.1d">caligraphic_I</annotation></semantics></math> gives an isomorphism between <math alttext="\mathcal{I}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem34.p1.4.3.m3.1"><semantics id="Thmtheorem34.p1.4.3.m3.1a"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="Thmtheorem34.p1.4.3.m3.1.1" xref="Thmtheorem34.p1.4.3.m3.1.1.cmml">ℐ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem34.p1.4.3.m3.1b"><ci id="Thmtheorem34.p1.4.3.m3.1.1.cmml" xref="Thmtheorem34.p1.4.3.m3.1.1">ℐ</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem34.p1.4.3.m3.1c">\mathcal{I}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem34.p1.4.3.m3.1d">caligraphic_I</annotation></semantics></math> and the orthogonal complement of <math alttext="\operatorname{span}\left(S_{t}^{2}\circ S_{t-1}^{\times N}\right)" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem34.p1.5.4.m4.2"><semantics id="Thmtheorem34.p1.5.4.m4.2a"><mrow id="Thmtheorem34.p1.5.4.m4.2.2.1" xref="Thmtheorem34.p1.5.4.m4.2.2.2.cmml"><mi id="Thmtheorem34.p1.5.4.m4.1.1" xref="Thmtheorem34.p1.5.4.m4.1.1.cmml">span</mi><mo id="Thmtheorem34.p1.5.4.m4.2.2.1a" xref="Thmtheorem34.p1.5.4.m4.2.2.2.cmml">⁡</mo><mrow id="Thmtheorem34.p1.5.4.m4.2.2.1.1" xref="Thmtheorem34.p1.5.4.m4.2.2.2.cmml"><mo id="Thmtheorem34.p1.5.4.m4.2.2.1.1.2" xref="Thmtheorem34.p1.5.4.m4.2.2.2.cmml">(</mo><mrow id="Thmtheorem34.p1.5.4.m4.2.2.1.1.1" xref="Thmtheorem34.p1.5.4.m4.2.2.1.1.1.cmml"><msubsup id="Thmtheorem34.p1.5.4.m4.2.2.1.1.1.2" xref="Thmtheorem34.p1.5.4.m4.2.2.1.1.1.2.cmml"><mi id="Thmtheorem34.p1.5.4.m4.2.2.1.1.1.2.2.2" xref="Thmtheorem34.p1.5.4.m4.2.2.1.1.1.2.2.2.cmml">S</mi><mi id="Thmtheorem34.p1.5.4.m4.2.2.1.1.1.2.2.3" xref="Thmtheorem34.p1.5.4.m4.2.2.1.1.1.2.2.3.cmml">t</mi><mn id="Thmtheorem34.p1.5.4.m4.2.2.1.1.1.2.3" xref="Thmtheorem34.p1.5.4.m4.2.2.1.1.1.2.3.cmml">2</mn></msubsup><mo id="Thmtheorem34.p1.5.4.m4.2.2.1.1.1.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="Thmtheorem34.p1.5.4.m4.2.2.1.1.1.1.cmml">∘</mo><msubsup id="Thmtheorem34.p1.5.4.m4.2.2.1.1.1.3" xref="Thmtheorem34.p1.5.4.m4.2.2.1.1.1.3.cmml"><mi id="Thmtheorem34.p1.5.4.m4.2.2.1.1.1.3.2.2" xref="Thmtheorem34.p1.5.4.m4.2.2.1.1.1.3.2.2.cmml">S</mi><mrow id="Thmtheorem34.p1.5.4.m4.2.2.1.1.1.3.2.3" xref="Thmtheorem34.p1.5.4.m4.2.2.1.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="Thmtheorem34.p1.5.4.m4.2.2.1.1.1.3.2.3.2" xref="Thmtheorem34.p1.5.4.m4.2.2.1.1.1.3.2.3.2.cmml">t</mi><mo id="Thmtheorem34.p1.5.4.m4.2.2.1.1.1.3.2.3.1" xref="Thmtheorem34.p1.5.4.m4.2.2.1.1.1.3.2.3.1.cmml">−</mo><mn id="Thmtheorem34.p1.5.4.m4.2.2.1.1.1.3.2.3.3" xref="Thmtheorem34.p1.5.4.m4.2.2.1.1.1.3.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mrow id="Thmtheorem34.p1.5.4.m4.2.2.1.1.1.3.3" xref="Thmtheorem34.p1.5.4.m4.2.2.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="Thmtheorem34.p1.5.4.m4.2.2.1.1.1.3.3.2" xref="Thmtheorem34.p1.5.4.m4.2.2.1.1.1.3.3.2.cmml"></mi><mo id="Thmtheorem34.p1.5.4.m4.2.2.1.1.1.3.3.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="Thmtheorem34.p1.5.4.m4.2.2.1.1.1.3.3.1.cmml">×</mo><mi id="Thmtheorem34.p1.5.4.m4.2.2.1.1.1.3.3.3" xref="Thmtheorem34.p1.5.4.m4.2.2.1.1.1.3.3.3.cmml">N</mi></mrow></msubsup></mrow><mo id="Thmtheorem34.p1.5.4.m4.2.2.1.1.3" xref="Thmtheorem34.p1.5.4.m4.2.2.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem34.p1.5.4.m4.2b"><apply id="Thmtheorem34.p1.5.4.m4.2.2.2.cmml" xref="Thmtheorem34.p1.5.4.m4.2.2.1"><ci id="Thmtheorem34.p1.5.4.m4.1.1.cmml" xref="Thmtheorem34.p1.5.4.m4.1.1">span</ci><apply id="Thmtheorem34.p1.5.4.m4.2.2.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem34.p1.5.4.m4.2.2.1.1.1"><compose id="Thmtheorem34.p1.5.4.m4.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem34.p1.5.4.m4.2.2.1.1.1.1"></compose><apply id="Thmtheorem34.p1.5.4.m4.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="Thmtheorem34.p1.5.4.m4.2.2.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem34.p1.5.4.m4.2.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="Thmtheorem34.p1.5.4.m4.2.2.1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="Thmtheorem34.p1.5.4.m4.2.2.1.1.1.2.2.cmml" xref="Thmtheorem34.p1.5.4.m4.2.2.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem34.p1.5.4.m4.2.2.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="Thmtheorem34.p1.5.4.m4.2.2.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="Thmtheorem34.p1.5.4.m4.2.2.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="Thmtheorem34.p1.5.4.m4.2.2.1.1.1.2.2.2">𝑆</ci><ci id="Thmtheorem34.p1.5.4.m4.2.2.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="Thmtheorem34.p1.5.4.m4.2.2.1.1.1.2.2.3">𝑡</ci></apply><cn id="Thmtheorem34.p1.5.4.m4.2.2.1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="Thmtheorem34.p1.5.4.m4.2.2.1.1.1.2.3">2</cn></apply><apply id="Thmtheorem34.p1.5.4.m4.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="Thmtheorem34.p1.5.4.m4.2.2.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem34.p1.5.4.m4.2.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="Thmtheorem34.p1.5.4.m4.2.2.1.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="Thmtheorem34.p1.5.4.m4.2.2.1.1.1.3.2.cmml" xref="Thmtheorem34.p1.5.4.m4.2.2.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem34.p1.5.4.m4.2.2.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="Thmtheorem34.p1.5.4.m4.2.2.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="Thmtheorem34.p1.5.4.m4.2.2.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="Thmtheorem34.p1.5.4.m4.2.2.1.1.1.3.2.2">𝑆</ci><apply id="Thmtheorem34.p1.5.4.m4.2.2.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="Thmtheorem34.p1.5.4.m4.2.2.1.1.1.3.2.3"><minus id="Thmtheorem34.p1.5.4.m4.2.2.1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="Thmtheorem34.p1.5.4.m4.2.2.1.1.1.3.2.3.1"></minus><ci id="Thmtheorem34.p1.5.4.m4.2.2.1.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="Thmtheorem34.p1.5.4.m4.2.2.1.1.1.3.2.3.2">𝑡</ci><cn id="Thmtheorem34.p1.5.4.m4.2.2.1.1.1.3.2.3.3.cmml" type="integer" xref="Thmtheorem34.p1.5.4.m4.2.2.1.1.1.3.2.3.3">1</cn></apply></apply><apply id="Thmtheorem34.p1.5.4.m4.2.2.1.1.1.3.3.cmml" xref="Thmtheorem34.p1.5.4.m4.2.2.1.1.1.3.3"><times id="Thmtheorem34.p1.5.4.m4.2.2.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="Thmtheorem34.p1.5.4.m4.2.2.1.1.1.3.3.1"></times><csymbol cd="latexml" id="Thmtheorem34.p1.5.4.m4.2.2.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="Thmtheorem34.p1.5.4.m4.2.2.1.1.1.3.3.2">absent</csymbol><ci id="Thmtheorem34.p1.5.4.m4.2.2.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="Thmtheorem34.p1.5.4.m4.2.2.1.1.1.3.3.3">𝑁</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem34.p1.5.4.m4.2c">\operatorname{span}\left(S_{t}^{2}\circ S_{t-1}^{\times N}\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem34.p1.5.4.m4.2d">roman_span ( italic_S start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ∘ italic_S start_POSTSUBSCRIPT italic_t - 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT × italic_N end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math>.</span></p> </div> </div> <div class="ltx_para" id="S4.SS2.p4"> <p class="ltx_p" id="S4.SS2.p4.3">This theorem is proven in Appendix <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#A2.SS9" title="B.9 Proof of Theorem 34 ‣ Appendix B Assorted proofs ‣ Conditional 𝑡-independent spectral gap for random quantum circuits and implications for 𝑡-design depths"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">B.9</span></a>. Since <math alttext="K_{m}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS2.p4.1.m1.1"><semantics id="S4.SS2.p4.1.m1.1a"><msub id="S4.SS2.p4.1.m1.1.1" xref="S4.SS2.p4.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S4.SS2.p4.1.m1.1.1.2" xref="S4.SS2.p4.1.m1.1.1.2.cmml">K</mi><mi id="S4.SS2.p4.1.m1.1.1.3" xref="S4.SS2.p4.1.m1.1.1.3.cmml">m</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS2.p4.1.m1.1b"><apply id="S4.SS2.p4.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p4.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS2.p4.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p4.1.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.SS2.p4.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS2.p4.1.m1.1.1.2">𝐾</ci><ci id="S4.SS2.p4.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S4.SS2.p4.1.m1.1.1.3">𝑚</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS2.p4.1.m1.1c">K_{m}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS2.p4.1.m1.1d">italic_K start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> is block-diagonal in <math alttext="\operatorname{span}\left(S_{t}^{2}\circ S_{t-1}^{\times N}\right)" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS2.p4.2.m2.2"><semantics id="S4.SS2.p4.2.m2.2a"><mrow id="S4.SS2.p4.2.m2.2.2.1" xref="S4.SS2.p4.2.m2.2.2.2.cmml"><mi id="S4.SS2.p4.2.m2.1.1" xref="S4.SS2.p4.2.m2.1.1.cmml">span</mi><mo id="S4.SS2.p4.2.m2.2.2.1a" xref="S4.SS2.p4.2.m2.2.2.2.cmml">⁡</mo><mrow id="S4.SS2.p4.2.m2.2.2.1.1" xref="S4.SS2.p4.2.m2.2.2.2.cmml"><mo id="S4.SS2.p4.2.m2.2.2.1.1.2" xref="S4.SS2.p4.2.m2.2.2.2.cmml">(</mo><mrow id="S4.SS2.p4.2.m2.2.2.1.1.1" xref="S4.SS2.p4.2.m2.2.2.1.1.1.cmml"><msubsup id="S4.SS2.p4.2.m2.2.2.1.1.1.2" xref="S4.SS2.p4.2.m2.2.2.1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.SS2.p4.2.m2.2.2.1.1.1.2.2.2" xref="S4.SS2.p4.2.m2.2.2.1.1.1.2.2.2.cmml">S</mi><mi id="S4.SS2.p4.2.m2.2.2.1.1.1.2.2.3" xref="S4.SS2.p4.2.m2.2.2.1.1.1.2.2.3.cmml">t</mi><mn id="S4.SS2.p4.2.m2.2.2.1.1.1.2.3" xref="S4.SS2.p4.2.m2.2.2.1.1.1.2.3.cmml">2</mn></msubsup><mo id="S4.SS2.p4.2.m2.2.2.1.1.1.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S4.SS2.p4.2.m2.2.2.1.1.1.1.cmml">∘</mo><msubsup id="S4.SS2.p4.2.m2.2.2.1.1.1.3" xref="S4.SS2.p4.2.m2.2.2.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.SS2.p4.2.m2.2.2.1.1.1.3.2.2" xref="S4.SS2.p4.2.m2.2.2.1.1.1.3.2.2.cmml">S</mi><mrow id="S4.SS2.p4.2.m2.2.2.1.1.1.3.2.3" xref="S4.SS2.p4.2.m2.2.2.1.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="S4.SS2.p4.2.m2.2.2.1.1.1.3.2.3.2" xref="S4.SS2.p4.2.m2.2.2.1.1.1.3.2.3.2.cmml">t</mi><mo id="S4.SS2.p4.2.m2.2.2.1.1.1.3.2.3.1" xref="S4.SS2.p4.2.m2.2.2.1.1.1.3.2.3.1.cmml">−</mo><mn id="S4.SS2.p4.2.m2.2.2.1.1.1.3.2.3.3" xref="S4.SS2.p4.2.m2.2.2.1.1.1.3.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mrow id="S4.SS2.p4.2.m2.2.2.1.1.1.3.3" xref="S4.SS2.p4.2.m2.2.2.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S4.SS2.p4.2.m2.2.2.1.1.1.3.3.2" xref="S4.SS2.p4.2.m2.2.2.1.1.1.3.3.2.cmml"></mi><mo id="S4.SS2.p4.2.m2.2.2.1.1.1.3.3.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S4.SS2.p4.2.m2.2.2.1.1.1.3.3.1.cmml">×</mo><mi id="S4.SS2.p4.2.m2.2.2.1.1.1.3.3.3" xref="S4.SS2.p4.2.m2.2.2.1.1.1.3.3.3.cmml">N</mi></mrow></msubsup></mrow><mo id="S4.SS2.p4.2.m2.2.2.1.1.3" xref="S4.SS2.p4.2.m2.2.2.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS2.p4.2.m2.2b"><apply id="S4.SS2.p4.2.m2.2.2.2.cmml" xref="S4.SS2.p4.2.m2.2.2.1"><ci id="S4.SS2.p4.2.m2.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p4.2.m2.1.1">span</ci><apply id="S4.SS2.p4.2.m2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p4.2.m2.2.2.1.1.1"><compose id="S4.SS2.p4.2.m2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p4.2.m2.2.2.1.1.1.1"></compose><apply id="S4.SS2.p4.2.m2.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS2.p4.2.m2.2.2.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS2.p4.2.m2.2.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.SS2.p4.2.m2.2.2.1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="S4.SS2.p4.2.m2.2.2.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.SS2.p4.2.m2.2.2.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS2.p4.2.m2.2.2.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.SS2.p4.2.m2.2.2.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S4.SS2.p4.2.m2.2.2.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.SS2.p4.2.m2.2.2.1.1.1.2.2.2">𝑆</ci><ci id="S4.SS2.p4.2.m2.2.2.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.SS2.p4.2.m2.2.2.1.1.1.2.2.3">𝑡</ci></apply><cn id="S4.SS2.p4.2.m2.2.2.1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS2.p4.2.m2.2.2.1.1.1.2.3">2</cn></apply><apply id="S4.SS2.p4.2.m2.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S4.SS2.p4.2.m2.2.2.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS2.p4.2.m2.2.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.SS2.p4.2.m2.2.2.1.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="S4.SS2.p4.2.m2.2.2.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.SS2.p4.2.m2.2.2.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS2.p4.2.m2.2.2.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.SS2.p4.2.m2.2.2.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.SS2.p4.2.m2.2.2.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.SS2.p4.2.m2.2.2.1.1.1.3.2.2">𝑆</ci><apply id="S4.SS2.p4.2.m2.2.2.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S4.SS2.p4.2.m2.2.2.1.1.1.3.2.3"><minus id="S4.SS2.p4.2.m2.2.2.1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S4.SS2.p4.2.m2.2.2.1.1.1.3.2.3.1"></minus><ci id="S4.SS2.p4.2.m2.2.2.1.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S4.SS2.p4.2.m2.2.2.1.1.1.3.2.3.2">𝑡</ci><cn id="S4.SS2.p4.2.m2.2.2.1.1.1.3.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS2.p4.2.m2.2.2.1.1.1.3.2.3.3">1</cn></apply></apply><apply id="S4.SS2.p4.2.m2.2.2.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.SS2.p4.2.m2.2.2.1.1.1.3.3"><times id="S4.SS2.p4.2.m2.2.2.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.SS2.p4.2.m2.2.2.1.1.1.3.3.1"></times><csymbol cd="latexml" id="S4.SS2.p4.2.m2.2.2.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S4.SS2.p4.2.m2.2.2.1.1.1.3.3.2">absent</csymbol><ci id="S4.SS2.p4.2.m2.2.2.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S4.SS2.p4.2.m2.2.2.1.1.1.3.3.3">𝑁</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS2.p4.2.m2.2c">\operatorname{span}\left(S_{t}^{2}\circ S_{t-1}^{\times N}\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS2.p4.2.m2.2d">roman_span ( italic_S start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ∘ italic_S start_POSTSUBSCRIPT italic_t - 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT × italic_N end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math> and <math alttext="E(\mathcal{I})" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS2.p4.3.m3.1"><semantics id="S4.SS2.p4.3.m3.1a"><mrow id="S4.SS2.p4.3.m3.1.2" xref="S4.SS2.p4.3.m3.1.2.cmml"><mi id="S4.SS2.p4.3.m3.1.2.2" xref="S4.SS2.p4.3.m3.1.2.2.cmml">E</mi><mo id="S4.SS2.p4.3.m3.1.2.1" xref="S4.SS2.p4.3.m3.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.SS2.p4.3.m3.1.2.3.2" xref="S4.SS2.p4.3.m3.1.2.cmml"><mo id="S4.SS2.p4.3.m3.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.SS2.p4.3.m3.1.2.cmml">(</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S4.SS2.p4.3.m3.1.1" xref="S4.SS2.p4.3.m3.1.1.cmml">ℐ</mi><mo id="S4.SS2.p4.3.m3.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S4.SS2.p4.3.m3.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS2.p4.3.m3.1b"><apply id="S4.SS2.p4.3.m3.1.2.cmml" xref="S4.SS2.p4.3.m3.1.2"><times id="S4.SS2.p4.3.m3.1.2.1.cmml" xref="S4.SS2.p4.3.m3.1.2.1"></times><ci id="S4.SS2.p4.3.m3.1.2.2.cmml" xref="S4.SS2.p4.3.m3.1.2.2">𝐸</ci><ci id="S4.SS2.p4.3.m3.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p4.3.m3.1.1">ℐ</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS2.p4.3.m3.1c">E(\mathcal{I})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS2.p4.3.m3.1d">italic_E ( caligraphic_I )</annotation></semantics></math>, this isomorphism allows us to run more efficient numerical eigensolving.</p> </div> </section> </section> <section class="ltx_section" id="S5"> <h2 class="ltx_title ltx_title_section"> <span class="ltx_tag ltx_tag_section">V </span>Structure of the 3-Site Operator</h2> <div class="ltx_para" id="S5.p1"> <p class="ltx_p" id="S5.p1.1">Our goal is to to bound the subleading eigenvalue <math alttext="\lambda_{m}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p1.1.m1.1"><semantics id="S5.p1.1.m1.1a"><msub id="S5.p1.1.m1.1.1" xref="S5.p1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S5.p1.1.m1.1.1.2" xref="S5.p1.1.m1.1.1.2.cmml">λ</mi><mi id="S5.p1.1.m1.1.1.3" xref="S5.p1.1.m1.1.1.3.cmml">m</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p1.1.m1.1b"><apply id="S5.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S5.p1.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S5.p1.1.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.p1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S5.p1.1.m1.1.1.2">𝜆</ci><ci id="S5.p1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S5.p1.1.m1.1.1.3">𝑚</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p1.1.m1.1c">\lambda_{m}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p1.1.m1.1d">italic_λ start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> of the effective three-site gate operator (Fig. <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#S3.F3" title="Figure 3 ‣ III Bounding the staircase by a single gate ‣ Conditional 𝑡-independent spectral gap for random quantum circuits and implications for 𝑡-design depths"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">3</span></a>b)</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_gather ltx_eqn_table" id="S6.EGx52"> <tbody id="S5.E56"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\displaystyle K_{m}=\Pi_{m}G_{m}\Pi_{m}" class="ltx_Math" display="block" id="S5.E56.m1.1"><semantics id="S5.E56.m1.1a"><mrow id="S5.E56.m1.1.1" xref="S5.E56.m1.1.1.cmml"><msub id="S5.E56.m1.1.1.2" xref="S5.E56.m1.1.1.2.cmml"><mi id="S5.E56.m1.1.1.2.2" xref="S5.E56.m1.1.1.2.2.cmml">K</mi><mi id="S5.E56.m1.1.1.2.3" xref="S5.E56.m1.1.1.2.3.cmml">m</mi></msub><mo id="S5.E56.m1.1.1.1" xref="S5.E56.m1.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S5.E56.m1.1.1.3" xref="S5.E56.m1.1.1.3.cmml"><msub id="S5.E56.m1.1.1.3.2" xref="S5.E56.m1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S5.E56.m1.1.1.3.2.2" mathvariant="normal" xref="S5.E56.m1.1.1.3.2.2.cmml">Π</mi><mi id="S5.E56.m1.1.1.3.2.3" xref="S5.E56.m1.1.1.3.2.3.cmml">m</mi></msub><mo id="S5.E56.m1.1.1.3.1" xref="S5.E56.m1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S5.E56.m1.1.1.3.3" xref="S5.E56.m1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S5.E56.m1.1.1.3.3.2" xref="S5.E56.m1.1.1.3.3.2.cmml">G</mi><mi id="S5.E56.m1.1.1.3.3.3" xref="S5.E56.m1.1.1.3.3.3.cmml">m</mi></msub><mo id="S5.E56.m1.1.1.3.1a" xref="S5.E56.m1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S5.E56.m1.1.1.3.4" xref="S5.E56.m1.1.1.3.4.cmml"><mi id="S5.E56.m1.1.1.3.4.2" mathvariant="normal" xref="S5.E56.m1.1.1.3.4.2.cmml">Π</mi><mi id="S5.E56.m1.1.1.3.4.3" xref="S5.E56.m1.1.1.3.4.3.cmml">m</mi></msub></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.E56.m1.1b"><apply id="S5.E56.m1.1.1.cmml" xref="S5.E56.m1.1.1"><eq id="S5.E56.m1.1.1.1.cmml" xref="S5.E56.m1.1.1.1"></eq><apply id="S5.E56.m1.1.1.2.cmml" xref="S5.E56.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E56.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.E56.m1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S5.E56.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.E56.m1.1.1.2.2">𝐾</ci><ci id="S5.E56.m1.1.1.2.3.cmml" xref="S5.E56.m1.1.1.2.3">𝑚</ci></apply><apply id="S5.E56.m1.1.1.3.cmml" xref="S5.E56.m1.1.1.3"><times id="S5.E56.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.E56.m1.1.1.3.1"></times><apply id="S5.E56.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.E56.m1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E56.m1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S5.E56.m1.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S5.E56.m1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S5.E56.m1.1.1.3.2.2">Π</ci><ci id="S5.E56.m1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S5.E56.m1.1.1.3.2.3">𝑚</ci></apply><apply id="S5.E56.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S5.E56.m1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E56.m1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S5.E56.m1.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S5.E56.m1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S5.E56.m1.1.1.3.3.2">𝐺</ci><ci id="S5.E56.m1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S5.E56.m1.1.1.3.3.3">𝑚</ci></apply><apply id="S5.E56.m1.1.1.3.4.cmml" xref="S5.E56.m1.1.1.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E56.m1.1.1.3.4.1.cmml" xref="S5.E56.m1.1.1.3.4">subscript</csymbol><ci id="S5.E56.m1.1.1.3.4.2.cmml" xref="S5.E56.m1.1.1.3.4.2">Π</ci><ci id="S5.E56.m1.1.1.3.4.3.cmml" xref="S5.E56.m1.1.1.3.4.3">𝑚</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.E56.m1.1c">\displaystyle K_{m}=\Pi_{m}G_{m}\Pi_{m}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.E56.m1.1d">italic_K start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT = roman_Π start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT italic_G start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT roman_Π start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(56)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S5.p1.4">Since each <math alttext="\Pi_{m}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p1.2.m1.1"><semantics id="S5.p1.2.m1.1a"><msub id="S5.p1.2.m1.1.1" xref="S5.p1.2.m1.1.1.cmml"><mi id="S5.p1.2.m1.1.1.2" mathvariant="normal" xref="S5.p1.2.m1.1.1.2.cmml">Π</mi><mi id="S5.p1.2.m1.1.1.3" xref="S5.p1.2.m1.1.1.3.cmml">m</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p1.2.m1.1b"><apply id="S5.p1.2.m1.1.1.cmml" xref="S5.p1.2.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p1.2.m1.1.1.1.cmml" xref="S5.p1.2.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.p1.2.m1.1.1.2.cmml" xref="S5.p1.2.m1.1.1.2">Π</ci><ci id="S5.p1.2.m1.1.1.3.cmml" xref="S5.p1.2.m1.1.1.3">𝑚</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p1.2.m1.1c">\Pi_{m}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p1.2.m1.1d">roman_Π start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> is a projector, we can restrict our search to the image of <math alttext="\Pi_{m}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p1.3.m2.1"><semantics id="S5.p1.3.m2.1a"><msub id="S5.p1.3.m2.1.1" xref="S5.p1.3.m2.1.1.cmml"><mi id="S5.p1.3.m2.1.1.2" mathvariant="normal" xref="S5.p1.3.m2.1.1.2.cmml">Π</mi><mi id="S5.p1.3.m2.1.1.3" xref="S5.p1.3.m2.1.1.3.cmml">m</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p1.3.m2.1b"><apply id="S5.p1.3.m2.1.1.cmml" xref="S5.p1.3.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p1.3.m2.1.1.1.cmml" xref="S5.p1.3.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.p1.3.m2.1.1.2.cmml" xref="S5.p1.3.m2.1.1.2">Π</ci><ci id="S5.p1.3.m2.1.1.3.cmml" xref="S5.p1.3.m2.1.1.3">𝑚</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p1.3.m2.1c">\Pi_{m}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p1.3.m2.1d">roman_Π start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>. This is a space of dimension <math alttext="q^{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p1.4.m3.1"><semantics id="S5.p1.4.m3.1a"><msup id="S5.p1.4.m3.1.1" xref="S5.p1.4.m3.1.1.cmml"><mi id="S5.p1.4.m3.1.1.2" xref="S5.p1.4.m3.1.1.2.cmml">q</mi><mn id="S5.p1.4.m3.1.1.3" xref="S5.p1.4.m3.1.1.3.cmml">2</mn></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p1.4.m3.1b"><apply id="S5.p1.4.m3.1.1.cmml" xref="S5.p1.4.m3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p1.4.m3.1.1.1.cmml" xref="S5.p1.4.m3.1.1">superscript</csymbol><ci id="S5.p1.4.m3.1.1.2.cmml" xref="S5.p1.4.m3.1.1.2">𝑞</ci><cn id="S5.p1.4.m3.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.p1.4.m3.1.1.3">2</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p1.4.m3.1c">q^{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p1.4.m3.1d">italic_q start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>, spanned by the (non-orthogonal) basis</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_gather ltx_eqn_table" id="S6.EGx53"> <tbody id="S5.E57"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\displaystyle\left\{|\sigma_{1}\rangle_{1}\ket{\sigma_{1}}_{2}...\ket{\sigma_{% 1}}_{m}|\sigma_{2}\rangle_{m+1}\big{|}\sigma_{1},\sigma_{2}\in S_{t}\right\}" class="ltx_Math" display="block" id="S5.E57.m1.3"><semantics id="S5.E57.m1.3a"><mrow id="S5.E57.m1.3.3.1" xref="S5.E57.m1.3.3.2.cmml"><mo id="S5.E57.m1.3.3.1.2" xref="S5.E57.m1.3.3.2.cmml">{</mo><mrow id="S5.E57.m1.3.3.1.1" xref="S5.E57.m1.3.3.1.1.cmml"><mrow id="S5.E57.m1.3.3.1.1.4" xref="S5.E57.m1.3.3.1.1.4.cmml"><mrow id="S5.E57.m1.3.3.1.1.2.2" xref="S5.E57.m1.3.3.1.1.2.2.cmml"><msub id="S5.E57.m1.3.3.1.1.1.1.1" xref="S5.E57.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S5.E57.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.E57.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S5.E57.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S5.E57.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">|</mo><msub id="S5.E57.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.E57.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S5.E57.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.E57.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">σ</mi><mn id="S5.E57.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.E57.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S5.E57.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S5.E57.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⟩</mo></mrow><mn id="S5.E57.m1.3.3.1.1.1.1.1.3" xref="S5.E57.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S5.E57.m1.3.3.1.1.2.2.3" xref="S5.E57.m1.3.3.1.1.2.2.3.cmml">⁢</mo><msub id="S5.E57.m1.3.3.1.1.2.2.4" xref="S5.E57.m1.3.3.1.1.2.2.4.cmml"><mrow id="S5.E57.m1.1.1.3" xref="S5.E57.m1.1.1.2.cmml"><mo id="S5.E57.m1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S5.E57.m1.1.1.2.1.cmml">|</mo><msub id="S5.E57.m1.1.1.1.1" xref="S5.E57.m1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S5.E57.m1.1.1.1.1.2" xref="S5.E57.m1.1.1.1.1.2.cmml">σ</mi><mn id="S5.E57.m1.1.1.1.1.3" xref="S5.E57.m1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S5.E57.m1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S5.E57.m1.1.1.2.1.cmml">⟩</mo></mrow><mn id="S5.E57.m1.3.3.1.1.2.2.4.2" xref="S5.E57.m1.3.3.1.1.2.2.4.2.cmml">2</mn></msub><mo id="S5.E57.m1.3.3.1.1.2.2.3a" xref="S5.E57.m1.3.3.1.1.2.2.3.cmml">⁢</mo><mi id="S5.E57.m1.3.3.1.1.2.2.5" mathvariant="normal" xref="S5.E57.m1.3.3.1.1.2.2.5.cmml">…</mi><mo id="S5.E57.m1.3.3.1.1.2.2.3b" xref="S5.E57.m1.3.3.1.1.2.2.3.cmml">⁢</mo><msub id="S5.E57.m1.3.3.1.1.2.2.6" xref="S5.E57.m1.3.3.1.1.2.2.6.cmml"><mrow id="S5.E57.m1.2.2.3" xref="S5.E57.m1.2.2.2.cmml"><mo id="S5.E57.m1.2.2.3.1" stretchy="false" xref="S5.E57.m1.2.2.2.1.cmml">|</mo><msub id="S5.E57.m1.2.2.1.1" xref="S5.E57.m1.2.2.1.1.cmml"><mi id="S5.E57.m1.2.2.1.1.2" xref="S5.E57.m1.2.2.1.1.2.cmml">σ</mi><mn id="S5.E57.m1.2.2.1.1.3" xref="S5.E57.m1.2.2.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S5.E57.m1.2.2.3.2" stretchy="false" xref="S5.E57.m1.2.2.2.1.cmml">⟩</mo></mrow><mi id="S5.E57.m1.3.3.1.1.2.2.6.2" xref="S5.E57.m1.3.3.1.1.2.2.6.2.cmml">m</mi></msub><mo id="S5.E57.m1.3.3.1.1.2.2.3c" xref="S5.E57.m1.3.3.1.1.2.2.3.cmml">⁢</mo><msub id="S5.E57.m1.3.3.1.1.2.2.2" xref="S5.E57.m1.3.3.1.1.2.2.2.cmml"><mrow id="S5.E57.m1.3.3.1.1.2.2.2.1.1" xref="S5.E57.m1.3.3.1.1.2.2.2.1.2.cmml"><mo id="S5.E57.m1.3.3.1.1.2.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S5.E57.m1.3.3.1.1.2.2.2.1.2.1.cmml">|</mo><msub id="S5.E57.m1.3.3.1.1.2.2.2.1.1.1" xref="S5.E57.m1.3.3.1.1.2.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S5.E57.m1.3.3.1.1.2.2.2.1.1.1.2" xref="S5.E57.m1.3.3.1.1.2.2.2.1.1.1.2.cmml">σ</mi><mn id="S5.E57.m1.3.3.1.1.2.2.2.1.1.1.3" xref="S5.E57.m1.3.3.1.1.2.2.2.1.1.1.3.cmml">2</mn></msub><mo id="S5.E57.m1.3.3.1.1.2.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S5.E57.m1.3.3.1.1.2.2.2.1.2.1.cmml">⟩</mo></mrow><mrow id="S5.E57.m1.3.3.1.1.2.2.2.3" xref="S5.E57.m1.3.3.1.1.2.2.2.3.cmml"><mi id="S5.E57.m1.3.3.1.1.2.2.2.3.2" xref="S5.E57.m1.3.3.1.1.2.2.2.3.2.cmml">m</mi><mo id="S5.E57.m1.3.3.1.1.2.2.2.3.1" xref="S5.E57.m1.3.3.1.1.2.2.2.3.1.cmml">+</mo><mn id="S5.E57.m1.3.3.1.1.2.2.2.3.3" xref="S5.E57.m1.3.3.1.1.2.2.2.3.3.cmml">1</mn></mrow></msub></mrow><mo fence="false" id="S5.E57.m1.3.3.1.1.4.5" mathsize="120%" xref="S5.E57.m1.3.3.1.1.4.5.cmml">|</mo><mrow id="S5.E57.m1.3.3.1.1.4.4.2" xref="S5.E57.m1.3.3.1.1.4.4.3.cmml"><msub id="S5.E57.m1.3.3.1.1.3.3.1.1" xref="S5.E57.m1.3.3.1.1.3.3.1.1.cmml"><mi id="S5.E57.m1.3.3.1.1.3.3.1.1.2" xref="S5.E57.m1.3.3.1.1.3.3.1.1.2.cmml">σ</mi><mn id="S5.E57.m1.3.3.1.1.3.3.1.1.3" xref="S5.E57.m1.3.3.1.1.3.3.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S5.E57.m1.3.3.1.1.4.4.2.3" xref="S5.E57.m1.3.3.1.1.4.4.3.cmml">,</mo><msub id="S5.E57.m1.3.3.1.1.4.4.2.2" xref="S5.E57.m1.3.3.1.1.4.4.2.2.cmml"><mi id="S5.E57.m1.3.3.1.1.4.4.2.2.2" xref="S5.E57.m1.3.3.1.1.4.4.2.2.2.cmml">σ</mi><mn id="S5.E57.m1.3.3.1.1.4.4.2.2.3" xref="S5.E57.m1.3.3.1.1.4.4.2.2.3.cmml">2</mn></msub></mrow></mrow><mo id="S5.E57.m1.3.3.1.1.5" xref="S5.E57.m1.3.3.1.1.5.cmml">∈</mo><msub id="S5.E57.m1.3.3.1.1.6" xref="S5.E57.m1.3.3.1.1.6.cmml"><mi id="S5.E57.m1.3.3.1.1.6.2" xref="S5.E57.m1.3.3.1.1.6.2.cmml">S</mi><mi id="S5.E57.m1.3.3.1.1.6.3" xref="S5.E57.m1.3.3.1.1.6.3.cmml">t</mi></msub></mrow><mo id="S5.E57.m1.3.3.1.3" xref="S5.E57.m1.3.3.2.cmml">}</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.E57.m1.3b"><set id="S5.E57.m1.3.3.2.cmml" xref="S5.E57.m1.3.3.1"><apply id="S5.E57.m1.3.3.1.1.cmml" xref="S5.E57.m1.3.3.1.1"><in id="S5.E57.m1.3.3.1.1.5.cmml" xref="S5.E57.m1.3.3.1.1.5"></in><apply id="S5.E57.m1.3.3.1.1.4.cmml" xref="S5.E57.m1.3.3.1.1.4"><csymbol cd="latexml" id="S5.E57.m1.3.3.1.1.4.5.cmml" xref="S5.E57.m1.3.3.1.1.4.5">conditional</csymbol><apply id="S5.E57.m1.3.3.1.1.2.2.cmml" xref="S5.E57.m1.3.3.1.1.2.2"><times id="S5.E57.m1.3.3.1.1.2.2.3.cmml" xref="S5.E57.m1.3.3.1.1.2.2.3"></times><apply id="S5.E57.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.E57.m1.3.3.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E57.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.E57.m1.3.3.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="S5.E57.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.E57.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S5.E57.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.E57.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2">ket</csymbol><apply id="S5.E57.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.E57.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E57.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.E57.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.E57.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.E57.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝜎</ci><cn id="S5.E57.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.E57.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3">1</cn></apply></apply><cn id="S5.E57.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.E57.m1.3.3.1.1.1.1.1.3">1</cn></apply><apply id="S5.E57.m1.3.3.1.1.2.2.4.cmml" xref="S5.E57.m1.3.3.1.1.2.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E57.m1.3.3.1.1.2.2.4.1.cmml" xref="S5.E57.m1.3.3.1.1.2.2.4">subscript</csymbol><apply id="S5.E57.m1.1.1.2.cmml" xref="S5.E57.m1.1.1.3"><csymbol cd="latexml" id="S5.E57.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.E57.m1.1.1.3.1">ket</csymbol><apply id="S5.E57.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.E57.m1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E57.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.E57.m1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.E57.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.E57.m1.1.1.1.1.2">𝜎</ci><cn id="S5.E57.m1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.E57.m1.1.1.1.1.3">1</cn></apply></apply><cn id="S5.E57.m1.3.3.1.1.2.2.4.2.cmml" type="integer" xref="S5.E57.m1.3.3.1.1.2.2.4.2">2</cn></apply><ci id="S5.E57.m1.3.3.1.1.2.2.5.cmml" xref="S5.E57.m1.3.3.1.1.2.2.5">…</ci><apply id="S5.E57.m1.3.3.1.1.2.2.6.cmml" xref="S5.E57.m1.3.3.1.1.2.2.6"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E57.m1.3.3.1.1.2.2.6.1.cmml" xref="S5.E57.m1.3.3.1.1.2.2.6">subscript</csymbol><apply id="S5.E57.m1.2.2.2.cmml" xref="S5.E57.m1.2.2.3"><csymbol cd="latexml" id="S5.E57.m1.2.2.2.1.cmml" xref="S5.E57.m1.2.2.3.1">ket</csymbol><apply id="S5.E57.m1.2.2.1.1.cmml" xref="S5.E57.m1.2.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E57.m1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S5.E57.m1.2.2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.E57.m1.2.2.1.1.2.cmml" xref="S5.E57.m1.2.2.1.1.2">𝜎</ci><cn id="S5.E57.m1.2.2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.E57.m1.2.2.1.1.3">1</cn></apply></apply><ci id="S5.E57.m1.3.3.1.1.2.2.6.2.cmml" xref="S5.E57.m1.3.3.1.1.2.2.6.2">𝑚</ci></apply><apply id="S5.E57.m1.3.3.1.1.2.2.2.cmml" xref="S5.E57.m1.3.3.1.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E57.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S5.E57.m1.3.3.1.1.2.2.2">subscript</csymbol><apply id="S5.E57.m1.3.3.1.1.2.2.2.1.2.cmml" xref="S5.E57.m1.3.3.1.1.2.2.2.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S5.E57.m1.3.3.1.1.2.2.2.1.2.1.cmml" xref="S5.E57.m1.3.3.1.1.2.2.2.1.1.2">ket</csymbol><apply id="S5.E57.m1.3.3.1.1.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S5.E57.m1.3.3.1.1.2.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E57.m1.3.3.1.1.2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S5.E57.m1.3.3.1.1.2.2.2.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.E57.m1.3.3.1.1.2.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S5.E57.m1.3.3.1.1.2.2.2.1.1.1.2">𝜎</ci><cn id="S5.E57.m1.3.3.1.1.2.2.2.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.E57.m1.3.3.1.1.2.2.2.1.1.1.3">2</cn></apply></apply><apply id="S5.E57.m1.3.3.1.1.2.2.2.3.cmml" xref="S5.E57.m1.3.3.1.1.2.2.2.3"><plus id="S5.E57.m1.3.3.1.1.2.2.2.3.1.cmml" xref="S5.E57.m1.3.3.1.1.2.2.2.3.1"></plus><ci id="S5.E57.m1.3.3.1.1.2.2.2.3.2.cmml" xref="S5.E57.m1.3.3.1.1.2.2.2.3.2">𝑚</ci><cn id="S5.E57.m1.3.3.1.1.2.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.E57.m1.3.3.1.1.2.2.2.3.3">1</cn></apply></apply></apply><list id="S5.E57.m1.3.3.1.1.4.4.3.cmml" xref="S5.E57.m1.3.3.1.1.4.4.2"><apply id="S5.E57.m1.3.3.1.1.3.3.1.1.cmml" xref="S5.E57.m1.3.3.1.1.3.3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E57.m1.3.3.1.1.3.3.1.1.1.cmml" xref="S5.E57.m1.3.3.1.1.3.3.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.E57.m1.3.3.1.1.3.3.1.1.2.cmml" xref="S5.E57.m1.3.3.1.1.3.3.1.1.2">𝜎</ci><cn id="S5.E57.m1.3.3.1.1.3.3.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.E57.m1.3.3.1.1.3.3.1.1.3">1</cn></apply><apply id="S5.E57.m1.3.3.1.1.4.4.2.2.cmml" xref="S5.E57.m1.3.3.1.1.4.4.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E57.m1.3.3.1.1.4.4.2.2.1.cmml" xref="S5.E57.m1.3.3.1.1.4.4.2.2">subscript</csymbol><ci id="S5.E57.m1.3.3.1.1.4.4.2.2.2.cmml" xref="S5.E57.m1.3.3.1.1.4.4.2.2.2">𝜎</ci><cn id="S5.E57.m1.3.3.1.1.4.4.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.E57.m1.3.3.1.1.4.4.2.2.3">2</cn></apply></list></apply><apply id="S5.E57.m1.3.3.1.1.6.cmml" xref="S5.E57.m1.3.3.1.1.6"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E57.m1.3.3.1.1.6.1.cmml" xref="S5.E57.m1.3.3.1.1.6">subscript</csymbol><ci id="S5.E57.m1.3.3.1.1.6.2.cmml" xref="S5.E57.m1.3.3.1.1.6.2">𝑆</ci><ci id="S5.E57.m1.3.3.1.1.6.3.cmml" xref="S5.E57.m1.3.3.1.1.6.3">𝑡</ci></apply></apply></set></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.E57.m1.3c">\displaystyle\left\{|\sigma_{1}\rangle_{1}\ket{\sigma_{1}}_{2}...\ket{\sigma_{% 1}}_{m}|\sigma_{2}\rangle_{m+1}\big{|}\sigma_{1},\sigma_{2}\in S_{t}\right\}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.E57.m1.3d">{ | italic_σ start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ⟩ start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT | start_ARG italic_σ start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT end_ARG ⟩ start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT … | start_ARG italic_σ start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT end_ARG ⟩ start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT | italic_σ start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT ⟩ start_POSTSUBSCRIPT italic_m + 1 end_POSTSUBSCRIPT | italic_σ start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , italic_σ start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT ∈ italic_S start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT }</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(57)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S5.p1.7">The intermediate state <math alttext="G_{m}\Pi_{m}\ket{\psi}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p1.5.m1.1"><semantics id="S5.p1.5.m1.1a"><mrow id="S5.p1.5.m1.1.2" xref="S5.p1.5.m1.1.2.cmml"><msub id="S5.p1.5.m1.1.2.2" xref="S5.p1.5.m1.1.2.2.cmml"><mi id="S5.p1.5.m1.1.2.2.2" xref="S5.p1.5.m1.1.2.2.2.cmml">G</mi><mi id="S5.p1.5.m1.1.2.2.3" xref="S5.p1.5.m1.1.2.2.3.cmml">m</mi></msub><mo id="S5.p1.5.m1.1.2.1" xref="S5.p1.5.m1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S5.p1.5.m1.1.2.3" xref="S5.p1.5.m1.1.2.3.cmml"><mi id="S5.p1.5.m1.1.2.3.2" mathvariant="normal" xref="S5.p1.5.m1.1.2.3.2.cmml">Π</mi><mi id="S5.p1.5.m1.1.2.3.3" xref="S5.p1.5.m1.1.2.3.3.cmml">m</mi></msub><mo id="S5.p1.5.m1.1.2.1a" xref="S5.p1.5.m1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.p1.5.m1.1.1.3" xref="S5.p1.5.m1.1.1.2.cmml"><mo id="S5.p1.5.m1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S5.p1.5.m1.1.1.2.1.cmml">|</mo><mi id="S5.p1.5.m1.1.1.1.1" xref="S5.p1.5.m1.1.1.1.1.cmml">ψ</mi><mo id="S5.p1.5.m1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S5.p1.5.m1.1.1.2.1.cmml">⟩</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p1.5.m1.1b"><apply id="S5.p1.5.m1.1.2.cmml" xref="S5.p1.5.m1.1.2"><times id="S5.p1.5.m1.1.2.1.cmml" xref="S5.p1.5.m1.1.2.1"></times><apply id="S5.p1.5.m1.1.2.2.cmml" xref="S5.p1.5.m1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p1.5.m1.1.2.2.1.cmml" xref="S5.p1.5.m1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S5.p1.5.m1.1.2.2.2.cmml" xref="S5.p1.5.m1.1.2.2.2">𝐺</ci><ci id="S5.p1.5.m1.1.2.2.3.cmml" xref="S5.p1.5.m1.1.2.2.3">𝑚</ci></apply><apply id="S5.p1.5.m1.1.2.3.cmml" xref="S5.p1.5.m1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p1.5.m1.1.2.3.1.cmml" xref="S5.p1.5.m1.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="S5.p1.5.m1.1.2.3.2.cmml" xref="S5.p1.5.m1.1.2.3.2">Π</ci><ci id="S5.p1.5.m1.1.2.3.3.cmml" xref="S5.p1.5.m1.1.2.3.3">𝑚</ci></apply><apply id="S5.p1.5.m1.1.1.2.cmml" xref="S5.p1.5.m1.1.1.3"><csymbol cd="latexml" id="S5.p1.5.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.p1.5.m1.1.1.3.1">ket</csymbol><ci id="S5.p1.5.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.p1.5.m1.1.1.1.1">𝜓</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p1.5.m1.1c">G_{m}\Pi_{m}\ket{\psi}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p1.5.m1.1d">italic_G start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT roman_Π start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT | start_ARG italic_ψ end_ARG ⟩</annotation></semantics></math> lies in <math alttext="\operatorname{image}(G_{m}\Pi_{m})" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p1.6.m2.2"><semantics id="S5.p1.6.m2.2a"><mrow id="S5.p1.6.m2.2.2.1" xref="S5.p1.6.m2.2.2.2.cmml"><mi id="S5.p1.6.m2.1.1" xref="S5.p1.6.m2.1.1.cmml">image</mi><mo id="S5.p1.6.m2.2.2.1a" xref="S5.p1.6.m2.2.2.2.cmml">⁡</mo><mrow id="S5.p1.6.m2.2.2.1.1" xref="S5.p1.6.m2.2.2.2.cmml"><mo id="S5.p1.6.m2.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S5.p1.6.m2.2.2.2.cmml">(</mo><mrow id="S5.p1.6.m2.2.2.1.1.1" xref="S5.p1.6.m2.2.2.1.1.1.cmml"><msub id="S5.p1.6.m2.2.2.1.1.1.2" xref="S5.p1.6.m2.2.2.1.1.1.2.cmml"><mi id="S5.p1.6.m2.2.2.1.1.1.2.2" xref="S5.p1.6.m2.2.2.1.1.1.2.2.cmml">G</mi><mi id="S5.p1.6.m2.2.2.1.1.1.2.3" xref="S5.p1.6.m2.2.2.1.1.1.2.3.cmml">m</mi></msub><mo id="S5.p1.6.m2.2.2.1.1.1.1" xref="S5.p1.6.m2.2.2.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S5.p1.6.m2.2.2.1.1.1.3" xref="S5.p1.6.m2.2.2.1.1.1.3.cmml"><mi id="S5.p1.6.m2.2.2.1.1.1.3.2" mathvariant="normal" xref="S5.p1.6.m2.2.2.1.1.1.3.2.cmml">Π</mi><mi id="S5.p1.6.m2.2.2.1.1.1.3.3" xref="S5.p1.6.m2.2.2.1.1.1.3.3.cmml">m</mi></msub></mrow><mo id="S5.p1.6.m2.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S5.p1.6.m2.2.2.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p1.6.m2.2b"><apply id="S5.p1.6.m2.2.2.2.cmml" xref="S5.p1.6.m2.2.2.1"><ci id="S5.p1.6.m2.1.1.cmml" xref="S5.p1.6.m2.1.1">image</ci><apply id="S5.p1.6.m2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S5.p1.6.m2.2.2.1.1.1"><times id="S5.p1.6.m2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S5.p1.6.m2.2.2.1.1.1.1"></times><apply id="S5.p1.6.m2.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S5.p1.6.m2.2.2.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p1.6.m2.2.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.p1.6.m2.2.2.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S5.p1.6.m2.2.2.1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.p1.6.m2.2.2.1.1.1.2.2">𝐺</ci><ci id="S5.p1.6.m2.2.2.1.1.1.2.3.cmml" xref="S5.p1.6.m2.2.2.1.1.1.2.3">𝑚</ci></apply><apply id="S5.p1.6.m2.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S5.p1.6.m2.2.2.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p1.6.m2.2.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.p1.6.m2.2.2.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S5.p1.6.m2.2.2.1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.p1.6.m2.2.2.1.1.1.3.2">Π</ci><ci id="S5.p1.6.m2.2.2.1.1.1.3.3.cmml" xref="S5.p1.6.m2.2.2.1.1.1.3.3">𝑚</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p1.6.m2.2c">\operatorname{image}(G_{m}\Pi_{m})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p1.6.m2.2d">roman_image ( italic_G start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT roman_Π start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math>, which is spanned by states of the form <math alttext="\ket{\sigma_{1}}_{1}...\ket{\sigma_{1}}_{m-1}\ket{\sigma_{2}}_{m}\ket{\sigma_{% 2}}_{m+1}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p1.7.m3.4"><semantics id="S5.p1.7.m3.4a"><mrow id="S5.p1.7.m3.4.5" xref="S5.p1.7.m3.4.5.cmml"><msub id="S5.p1.7.m3.4.5.2" xref="S5.p1.7.m3.4.5.2.cmml"><mrow id="S5.p1.7.m3.1.1.3" xref="S5.p1.7.m3.1.1.2.cmml"><mo id="S5.p1.7.m3.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S5.p1.7.m3.1.1.2.1.cmml">|</mo><msub id="S5.p1.7.m3.1.1.1.1" xref="S5.p1.7.m3.1.1.1.1.cmml"><mi id="S5.p1.7.m3.1.1.1.1.2" xref="S5.p1.7.m3.1.1.1.1.2.cmml">σ</mi><mn id="S5.p1.7.m3.1.1.1.1.3" xref="S5.p1.7.m3.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S5.p1.7.m3.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S5.p1.7.m3.1.1.2.1.cmml">⟩</mo></mrow><mn id="S5.p1.7.m3.4.5.2.2" xref="S5.p1.7.m3.4.5.2.2.cmml">1</mn></msub><mo id="S5.p1.7.m3.4.5.1" xref="S5.p1.7.m3.4.5.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.p1.7.m3.4.5.3" mathvariant="normal" xref="S5.p1.7.m3.4.5.3.cmml">…</mi><mo id="S5.p1.7.m3.4.5.1a" xref="S5.p1.7.m3.4.5.1.cmml">⁢</mo><msub id="S5.p1.7.m3.4.5.4" xref="S5.p1.7.m3.4.5.4.cmml"><mrow id="S5.p1.7.m3.2.2.3" xref="S5.p1.7.m3.2.2.2.cmml"><mo id="S5.p1.7.m3.2.2.3.1" stretchy="false" xref="S5.p1.7.m3.2.2.2.1.cmml">|</mo><msub id="S5.p1.7.m3.2.2.1.1" xref="S5.p1.7.m3.2.2.1.1.cmml"><mi id="S5.p1.7.m3.2.2.1.1.2" xref="S5.p1.7.m3.2.2.1.1.2.cmml">σ</mi><mn id="S5.p1.7.m3.2.2.1.1.3" xref="S5.p1.7.m3.2.2.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S5.p1.7.m3.2.2.3.2" stretchy="false" xref="S5.p1.7.m3.2.2.2.1.cmml">⟩</mo></mrow><mrow id="S5.p1.7.m3.4.5.4.2" xref="S5.p1.7.m3.4.5.4.2.cmml"><mi id="S5.p1.7.m3.4.5.4.2.2" xref="S5.p1.7.m3.4.5.4.2.2.cmml">m</mi><mo id="S5.p1.7.m3.4.5.4.2.1" xref="S5.p1.7.m3.4.5.4.2.1.cmml">−</mo><mn id="S5.p1.7.m3.4.5.4.2.3" xref="S5.p1.7.m3.4.5.4.2.3.cmml">1</mn></mrow></msub><mo id="S5.p1.7.m3.4.5.1b" xref="S5.p1.7.m3.4.5.1.cmml">⁢</mo><msub id="S5.p1.7.m3.4.5.5" xref="S5.p1.7.m3.4.5.5.cmml"><mrow id="S5.p1.7.m3.3.3.3" xref="S5.p1.7.m3.3.3.2.cmml"><mo id="S5.p1.7.m3.3.3.3.1" stretchy="false" xref="S5.p1.7.m3.3.3.2.1.cmml">|</mo><msub id="S5.p1.7.m3.3.3.1.1" xref="S5.p1.7.m3.3.3.1.1.cmml"><mi id="S5.p1.7.m3.3.3.1.1.2" xref="S5.p1.7.m3.3.3.1.1.2.cmml">σ</mi><mn id="S5.p1.7.m3.3.3.1.1.3" xref="S5.p1.7.m3.3.3.1.1.3.cmml">2</mn></msub><mo id="S5.p1.7.m3.3.3.3.2" stretchy="false" xref="S5.p1.7.m3.3.3.2.1.cmml">⟩</mo></mrow><mi id="S5.p1.7.m3.4.5.5.2" xref="S5.p1.7.m3.4.5.5.2.cmml">m</mi></msub><mo id="S5.p1.7.m3.4.5.1c" xref="S5.p1.7.m3.4.5.1.cmml">⁢</mo><msub id="S5.p1.7.m3.4.5.6" xref="S5.p1.7.m3.4.5.6.cmml"><mrow id="S5.p1.7.m3.4.4.3" xref="S5.p1.7.m3.4.4.2.cmml"><mo id="S5.p1.7.m3.4.4.3.1" stretchy="false" xref="S5.p1.7.m3.4.4.2.1.cmml">|</mo><msub id="S5.p1.7.m3.4.4.1.1" xref="S5.p1.7.m3.4.4.1.1.cmml"><mi id="S5.p1.7.m3.4.4.1.1.2" xref="S5.p1.7.m3.4.4.1.1.2.cmml">σ</mi><mn id="S5.p1.7.m3.4.4.1.1.3" xref="S5.p1.7.m3.4.4.1.1.3.cmml">2</mn></msub><mo id="S5.p1.7.m3.4.4.3.2" stretchy="false" xref="S5.p1.7.m3.4.4.2.1.cmml">⟩</mo></mrow><mrow id="S5.p1.7.m3.4.5.6.2" xref="S5.p1.7.m3.4.5.6.2.cmml"><mi id="S5.p1.7.m3.4.5.6.2.2" xref="S5.p1.7.m3.4.5.6.2.2.cmml">m</mi><mo id="S5.p1.7.m3.4.5.6.2.1" xref="S5.p1.7.m3.4.5.6.2.1.cmml">+</mo><mn id="S5.p1.7.m3.4.5.6.2.3" xref="S5.p1.7.m3.4.5.6.2.3.cmml">1</mn></mrow></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p1.7.m3.4b"><apply id="S5.p1.7.m3.4.5.cmml" xref="S5.p1.7.m3.4.5"><times id="S5.p1.7.m3.4.5.1.cmml" xref="S5.p1.7.m3.4.5.1"></times><apply id="S5.p1.7.m3.4.5.2.cmml" xref="S5.p1.7.m3.4.5.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p1.7.m3.4.5.2.1.cmml" xref="S5.p1.7.m3.4.5.2">subscript</csymbol><apply id="S5.p1.7.m3.1.1.2.cmml" xref="S5.p1.7.m3.1.1.3"><csymbol cd="latexml" id="S5.p1.7.m3.1.1.2.1.cmml" xref="S5.p1.7.m3.1.1.3.1">ket</csymbol><apply id="S5.p1.7.m3.1.1.1.1.cmml" xref="S5.p1.7.m3.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p1.7.m3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.p1.7.m3.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.p1.7.m3.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.p1.7.m3.1.1.1.1.2">𝜎</ci><cn id="S5.p1.7.m3.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.p1.7.m3.1.1.1.1.3">1</cn></apply></apply><cn id="S5.p1.7.m3.4.5.2.2.cmml" type="integer" xref="S5.p1.7.m3.4.5.2.2">1</cn></apply><ci id="S5.p1.7.m3.4.5.3.cmml" xref="S5.p1.7.m3.4.5.3">…</ci><apply id="S5.p1.7.m3.4.5.4.cmml" xref="S5.p1.7.m3.4.5.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p1.7.m3.4.5.4.1.cmml" xref="S5.p1.7.m3.4.5.4">subscript</csymbol><apply id="S5.p1.7.m3.2.2.2.cmml" xref="S5.p1.7.m3.2.2.3"><csymbol cd="latexml" id="S5.p1.7.m3.2.2.2.1.cmml" xref="S5.p1.7.m3.2.2.3.1">ket</csymbol><apply id="S5.p1.7.m3.2.2.1.1.cmml" xref="S5.p1.7.m3.2.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p1.7.m3.2.2.1.1.1.cmml" xref="S5.p1.7.m3.2.2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.p1.7.m3.2.2.1.1.2.cmml" xref="S5.p1.7.m3.2.2.1.1.2">𝜎</ci><cn id="S5.p1.7.m3.2.2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.p1.7.m3.2.2.1.1.3">1</cn></apply></apply><apply id="S5.p1.7.m3.4.5.4.2.cmml" xref="S5.p1.7.m3.4.5.4.2"><minus id="S5.p1.7.m3.4.5.4.2.1.cmml" xref="S5.p1.7.m3.4.5.4.2.1"></minus><ci id="S5.p1.7.m3.4.5.4.2.2.cmml" xref="S5.p1.7.m3.4.5.4.2.2">𝑚</ci><cn id="S5.p1.7.m3.4.5.4.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.p1.7.m3.4.5.4.2.3">1</cn></apply></apply><apply id="S5.p1.7.m3.4.5.5.cmml" xref="S5.p1.7.m3.4.5.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p1.7.m3.4.5.5.1.cmml" xref="S5.p1.7.m3.4.5.5">subscript</csymbol><apply id="S5.p1.7.m3.3.3.2.cmml" xref="S5.p1.7.m3.3.3.3"><csymbol cd="latexml" id="S5.p1.7.m3.3.3.2.1.cmml" xref="S5.p1.7.m3.3.3.3.1">ket</csymbol><apply id="S5.p1.7.m3.3.3.1.1.cmml" xref="S5.p1.7.m3.3.3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p1.7.m3.3.3.1.1.1.cmml" xref="S5.p1.7.m3.3.3.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.p1.7.m3.3.3.1.1.2.cmml" xref="S5.p1.7.m3.3.3.1.1.2">𝜎</ci><cn id="S5.p1.7.m3.3.3.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.p1.7.m3.3.3.1.1.3">2</cn></apply></apply><ci id="S5.p1.7.m3.4.5.5.2.cmml" xref="S5.p1.7.m3.4.5.5.2">𝑚</ci></apply><apply id="S5.p1.7.m3.4.5.6.cmml" xref="S5.p1.7.m3.4.5.6"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p1.7.m3.4.5.6.1.cmml" xref="S5.p1.7.m3.4.5.6">subscript</csymbol><apply id="S5.p1.7.m3.4.4.2.cmml" xref="S5.p1.7.m3.4.4.3"><csymbol cd="latexml" id="S5.p1.7.m3.4.4.2.1.cmml" xref="S5.p1.7.m3.4.4.3.1">ket</csymbol><apply id="S5.p1.7.m3.4.4.1.1.cmml" xref="S5.p1.7.m3.4.4.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p1.7.m3.4.4.1.1.1.cmml" xref="S5.p1.7.m3.4.4.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.p1.7.m3.4.4.1.1.2.cmml" xref="S5.p1.7.m3.4.4.1.1.2">𝜎</ci><cn id="S5.p1.7.m3.4.4.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.p1.7.m3.4.4.1.1.3">2</cn></apply></apply><apply id="S5.p1.7.m3.4.5.6.2.cmml" xref="S5.p1.7.m3.4.5.6.2"><plus id="S5.p1.7.m3.4.5.6.2.1.cmml" xref="S5.p1.7.m3.4.5.6.2.1"></plus><ci id="S5.p1.7.m3.4.5.6.2.2.cmml" xref="S5.p1.7.m3.4.5.6.2.2">𝑚</ci><cn id="S5.p1.7.m3.4.5.6.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.p1.7.m3.4.5.6.2.3">1</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p1.7.m3.4c">\ket{\sigma_{1}}_{1}...\ket{\sigma_{1}}_{m-1}\ket{\sigma_{2}}_{m}\ket{\sigma_{% 2}}_{m+1}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p1.7.m3.4d">| start_ARG italic_σ start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT end_ARG ⟩ start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT … | start_ARG italic_σ start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT end_ARG ⟩ start_POSTSUBSCRIPT italic_m - 1 end_POSTSUBSCRIPT | start_ARG italic_σ start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT end_ARG ⟩ start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT | start_ARG italic_σ start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT end_ARG ⟩ start_POSTSUBSCRIPT italic_m + 1 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>. We will work in the span of the union of these two spaces</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_gather ltx_eqn_table" id="S6.EGx54"> <tbody id="S5.E58"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\displaystyle\operatorname{span}\left(\operatorname{image}[\Pi_{m}]\cup% \operatorname{image}[G_{m}\Pi_{m}]\right)=\left\{\ket{\sigma_{1}}_{1},...\ket{% \sigma_{1}}_{m-1}\ket{\sigma_{2}}_{m}\ket{\sigma_{3}}_{m+1}\big{|}\sigma_{1},% \sigma_{2},\sigma_{3}\in S_{t}\right\}" class="ltx_Math" display="block" id="S5.E58.m1.10"><semantics id="S5.E58.m1.10a"><mrow id="S5.E58.m1.10.10" xref="S5.E58.m1.10.10.cmml"><mrow id="S5.E58.m1.8.8.1.1" xref="S5.E58.m1.8.8.1.2.cmml"><mi id="S5.E58.m1.7.7" xref="S5.E58.m1.7.7.cmml">span</mi><mo id="S5.E58.m1.8.8.1.1a" xref="S5.E58.m1.8.8.1.2.cmml">⁡</mo><mrow id="S5.E58.m1.8.8.1.1.1" xref="S5.E58.m1.8.8.1.2.cmml"><mo id="S5.E58.m1.8.8.1.1.1.2" xref="S5.E58.m1.8.8.1.2.cmml">(</mo><mrow id="S5.E58.m1.8.8.1.1.1.1" xref="S5.E58.m1.8.8.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S5.E58.m1.8.8.1.1.1.1.1.1" xref="S5.E58.m1.8.8.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S5.E58.m1.5.5" xref="S5.E58.m1.5.5.cmml">image</mi><mo id="S5.E58.m1.8.8.1.1.1.1.1.1a" xref="S5.E58.m1.8.8.1.1.1.1.1.2.cmml">⁡</mo><mrow id="S5.E58.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.E58.m1.8.8.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S5.E58.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S5.E58.m1.8.8.1.1.1.1.1.2.cmml">[</mo><msub id="S5.E58.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.E58.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S5.E58.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.2" mathvariant="normal" xref="S5.E58.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">Π</mi><mi id="S5.E58.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.E58.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">m</mi></msub><mo id="S5.E58.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S5.E58.m1.8.8.1.1.1.1.1.2.cmml">]</mo></mrow></mrow><mo id="S5.E58.m1.8.8.1.1.1.1.3" xref="S5.E58.m1.8.8.1.1.1.1.3.cmml">∪</mo><mrow id="S5.E58.m1.8.8.1.1.1.1.2.1" xref="S5.E58.m1.8.8.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S5.E58.m1.6.6" xref="S5.E58.m1.6.6.cmml">image</mi><mo id="S5.E58.m1.8.8.1.1.1.1.2.1a" xref="S5.E58.m1.8.8.1.1.1.1.2.2.cmml">⁡</mo><mrow id="S5.E58.m1.8.8.1.1.1.1.2.1.1" xref="S5.E58.m1.8.8.1.1.1.1.2.2.cmml"><mo id="S5.E58.m1.8.8.1.1.1.1.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S5.E58.m1.8.8.1.1.1.1.2.2.cmml">[</mo><mrow id="S5.E58.m1.8.8.1.1.1.1.2.1.1.1" xref="S5.E58.m1.8.8.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml"><msub id="S5.E58.m1.8.8.1.1.1.1.2.1.1.1.2" xref="S5.E58.m1.8.8.1.1.1.1.2.1.1.1.2.cmml"><mi id="S5.E58.m1.8.8.1.1.1.1.2.1.1.1.2.2" xref="S5.E58.m1.8.8.1.1.1.1.2.1.1.1.2.2.cmml">G</mi><mi id="S5.E58.m1.8.8.1.1.1.1.2.1.1.1.2.3" xref="S5.E58.m1.8.8.1.1.1.1.2.1.1.1.2.3.cmml">m</mi></msub><mo id="S5.E58.m1.8.8.1.1.1.1.2.1.1.1.1" xref="S5.E58.m1.8.8.1.1.1.1.2.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S5.E58.m1.8.8.1.1.1.1.2.1.1.1.3" xref="S5.E58.m1.8.8.1.1.1.1.2.1.1.1.3.cmml"><mi id="S5.E58.m1.8.8.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2" mathvariant="normal" xref="S5.E58.m1.8.8.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2.cmml">Π</mi><mi id="S5.E58.m1.8.8.1.1.1.1.2.1.1.1.3.3" xref="S5.E58.m1.8.8.1.1.1.1.2.1.1.1.3.3.cmml">m</mi></msub></mrow><mo id="S5.E58.m1.8.8.1.1.1.1.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S5.E58.m1.8.8.1.1.1.1.2.2.cmml">]</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S5.E58.m1.8.8.1.1.1.3" xref="S5.E58.m1.8.8.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S5.E58.m1.10.10.4" xref="S5.E58.m1.10.10.4.cmml">=</mo><mrow id="S5.E58.m1.10.10.3.2" xref="S5.E58.m1.10.10.3.3.cmml"><mo id="S5.E58.m1.10.10.3.2.3" xref="S5.E58.m1.10.10.3.3.1.cmml">{</mo><mrow id="S5.E58.m1.9.9.2.1.1.2" xref="S5.E58.m1.9.9.2.1.1.3.cmml"><msub id="S5.E58.m1.9.9.2.1.1.1.1" xref="S5.E58.m1.9.9.2.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S5.E58.m1.1.1.3" xref="S5.E58.m1.1.1.2.cmml"><mo id="S5.E58.m1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S5.E58.m1.1.1.2.1.cmml">|</mo><msub id="S5.E58.m1.1.1.1.1" xref="S5.E58.m1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S5.E58.m1.1.1.1.1.2" 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xref="S5.E58.m1.10.10.3.2.2.2.2.2.3.cmml">2</mn></msub><mo id="S5.E58.m1.10.10.3.2.2.3.3.5" xref="S5.E58.m1.10.10.3.2.2.3.4.cmml">,</mo><msub id="S5.E58.m1.10.10.3.2.2.3.3.3" xref="S5.E58.m1.10.10.3.2.2.3.3.3.cmml"><mi id="S5.E58.m1.10.10.3.2.2.3.3.3.2" xref="S5.E58.m1.10.10.3.2.2.3.3.3.2.cmml">σ</mi><mn id="S5.E58.m1.10.10.3.2.2.3.3.3.3" xref="S5.E58.m1.10.10.3.2.2.3.3.3.3.cmml">3</mn></msub></mrow><mo id="S5.E58.m1.10.10.3.2.2.4" xref="S5.E58.m1.10.10.3.2.2.4.cmml">∈</mo><msub id="S5.E58.m1.10.10.3.2.2.5" xref="S5.E58.m1.10.10.3.2.2.5.cmml"><mi id="S5.E58.m1.10.10.3.2.2.5.2" xref="S5.E58.m1.10.10.3.2.2.5.2.cmml">S</mi><mi id="S5.E58.m1.10.10.3.2.2.5.3" xref="S5.E58.m1.10.10.3.2.2.5.3.cmml">t</mi></msub></mrow><mo id="S5.E58.m1.10.10.3.2.5" xref="S5.E58.m1.10.10.3.3.1.cmml">}</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.E58.m1.10b"><apply id="S5.E58.m1.10.10.cmml" xref="S5.E58.m1.10.10"><eq id="S5.E58.m1.10.10.4.cmml" xref="S5.E58.m1.10.10.4"></eq><apply 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xref="S5.E58.m1.8.8.1.1.1.1.2.1.1.1"><times id="S5.E58.m1.8.8.1.1.1.1.2.1.1.1.1.cmml" xref="S5.E58.m1.8.8.1.1.1.1.2.1.1.1.1"></times><apply id="S5.E58.m1.8.8.1.1.1.1.2.1.1.1.2.cmml" xref="S5.E58.m1.8.8.1.1.1.1.2.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E58.m1.8.8.1.1.1.1.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.E58.m1.8.8.1.1.1.1.2.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S5.E58.m1.8.8.1.1.1.1.2.1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.E58.m1.8.8.1.1.1.1.2.1.1.1.2.2">𝐺</ci><ci id="S5.E58.m1.8.8.1.1.1.1.2.1.1.1.2.3.cmml" xref="S5.E58.m1.8.8.1.1.1.1.2.1.1.1.2.3">𝑚</ci></apply><apply id="S5.E58.m1.8.8.1.1.1.1.2.1.1.1.3.cmml" xref="S5.E58.m1.8.8.1.1.1.1.2.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E58.m1.8.8.1.1.1.1.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.E58.m1.8.8.1.1.1.1.2.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S5.E58.m1.8.8.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.E58.m1.8.8.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2">Π</ci><ci id="S5.E58.m1.8.8.1.1.1.1.2.1.1.1.3.3.cmml" xref="S5.E58.m1.8.8.1.1.1.1.2.1.1.1.3.3">𝑚</ci></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="S5.E58.m1.10.10.3.3.cmml" xref="S5.E58.m1.10.10.3.2"><csymbol cd="latexml" id="S5.E58.m1.10.10.3.3.1.cmml" xref="S5.E58.m1.10.10.3.2.3">conditional-set</csymbol><list id="S5.E58.m1.9.9.2.1.1.3.cmml" xref="S5.E58.m1.9.9.2.1.1.2"><apply id="S5.E58.m1.9.9.2.1.1.1.1.cmml" xref="S5.E58.m1.9.9.2.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E58.m1.9.9.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.E58.m1.9.9.2.1.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="S5.E58.m1.1.1.2.cmml" xref="S5.E58.m1.1.1.3"><csymbol cd="latexml" id="S5.E58.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.E58.m1.1.1.3.1">ket</csymbol><apply id="S5.E58.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.E58.m1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E58.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.E58.m1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.E58.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.E58.m1.1.1.1.1.2">𝜎</ci><cn id="S5.E58.m1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.E58.m1.1.1.1.1.3">1</cn></apply></apply><cn id="S5.E58.m1.9.9.2.1.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S5.E58.m1.9.9.2.1.1.1.1.2">1</cn></apply><apply id="S5.E58.m1.9.9.2.1.1.2.2.cmml" xref="S5.E58.m1.9.9.2.1.1.2.2"><times id="S5.E58.m1.9.9.2.1.1.2.2.1.cmml" xref="S5.E58.m1.9.9.2.1.1.2.2.1"></times><ci id="S5.E58.m1.9.9.2.1.1.2.2.2.cmml" xref="S5.E58.m1.9.9.2.1.1.2.2.2">…</ci><apply id="S5.E58.m1.9.9.2.1.1.2.2.3.cmml" xref="S5.E58.m1.9.9.2.1.1.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E58.m1.9.9.2.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S5.E58.m1.9.9.2.1.1.2.2.3">subscript</csymbol><apply id="S5.E58.m1.2.2.2.cmml" xref="S5.E58.m1.2.2.3"><csymbol cd="latexml" id="S5.E58.m1.2.2.2.1.cmml" xref="S5.E58.m1.2.2.3.1">ket</csymbol><apply id="S5.E58.m1.2.2.1.1.cmml" xref="S5.E58.m1.2.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E58.m1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S5.E58.m1.2.2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.E58.m1.2.2.1.1.2.cmml" xref="S5.E58.m1.2.2.1.1.2">𝜎</ci><cn id="S5.E58.m1.2.2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.E58.m1.2.2.1.1.3">1</cn></apply></apply><apply id="S5.E58.m1.9.9.2.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S5.E58.m1.9.9.2.1.1.2.2.3.2"><minus id="S5.E58.m1.9.9.2.1.1.2.2.3.2.1.cmml" xref="S5.E58.m1.9.9.2.1.1.2.2.3.2.1"></minus><ci id="S5.E58.m1.9.9.2.1.1.2.2.3.2.2.cmml" xref="S5.E58.m1.9.9.2.1.1.2.2.3.2.2">𝑚</ci><cn id="S5.E58.m1.9.9.2.1.1.2.2.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.E58.m1.9.9.2.1.1.2.2.3.2.3">1</cn></apply></apply><apply id="S5.E58.m1.9.9.2.1.1.2.2.4.cmml" xref="S5.E58.m1.9.9.2.1.1.2.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E58.m1.9.9.2.1.1.2.2.4.1.cmml" xref="S5.E58.m1.9.9.2.1.1.2.2.4">subscript</csymbol><apply id="S5.E58.m1.3.3.2.cmml" xref="S5.E58.m1.3.3.3"><csymbol cd="latexml" id="S5.E58.m1.3.3.2.1.cmml" xref="S5.E58.m1.3.3.3.1">ket</csymbol><apply id="S5.E58.m1.3.3.1.1.cmml" xref="S5.E58.m1.3.3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E58.m1.3.3.1.1.1.cmml" xref="S5.E58.m1.3.3.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.E58.m1.3.3.1.1.2.cmml" xref="S5.E58.m1.3.3.1.1.2">𝜎</ci><cn id="S5.E58.m1.3.3.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.E58.m1.3.3.1.1.3">2</cn></apply></apply><ci id="S5.E58.m1.9.9.2.1.1.2.2.4.2.cmml" xref="S5.E58.m1.9.9.2.1.1.2.2.4.2">𝑚</ci></apply><apply id="S5.E58.m1.9.9.2.1.1.2.2.5.cmml" xref="S5.E58.m1.9.9.2.1.1.2.2.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E58.m1.9.9.2.1.1.2.2.5.1.cmml" xref="S5.E58.m1.9.9.2.1.1.2.2.5">subscript</csymbol><apply id="S5.E58.m1.4.4.2.cmml" xref="S5.E58.m1.4.4.3"><csymbol cd="latexml" id="S5.E58.m1.4.4.2.1.cmml" xref="S5.E58.m1.4.4.3.1">ket</csymbol><apply id="S5.E58.m1.4.4.1.1.cmml" xref="S5.E58.m1.4.4.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E58.m1.4.4.1.1.1.cmml" xref="S5.E58.m1.4.4.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.E58.m1.4.4.1.1.2.cmml" xref="S5.E58.m1.4.4.1.1.2">𝜎</ci><cn id="S5.E58.m1.4.4.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.E58.m1.4.4.1.1.3">3</cn></apply></apply><apply id="S5.E58.m1.9.9.2.1.1.2.2.5.2.cmml" xref="S5.E58.m1.9.9.2.1.1.2.2.5.2"><plus id="S5.E58.m1.9.9.2.1.1.2.2.5.2.1.cmml" xref="S5.E58.m1.9.9.2.1.1.2.2.5.2.1"></plus><ci id="S5.E58.m1.9.9.2.1.1.2.2.5.2.2.cmml" xref="S5.E58.m1.9.9.2.1.1.2.2.5.2.2">𝑚</ci><cn id="S5.E58.m1.9.9.2.1.1.2.2.5.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.E58.m1.9.9.2.1.1.2.2.5.2.3">1</cn></apply></apply></apply></list><apply id="S5.E58.m1.10.10.3.2.2.cmml" xref="S5.E58.m1.10.10.3.2.2"><in id="S5.E58.m1.10.10.3.2.2.4.cmml" xref="S5.E58.m1.10.10.3.2.2.4"></in><list id="S5.E58.m1.10.10.3.2.2.3.4.cmml" xref="S5.E58.m1.10.10.3.2.2.3.3"><apply id="S5.E58.m1.10.10.3.2.2.1.1.1.cmml" xref="S5.E58.m1.10.10.3.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E58.m1.10.10.3.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S5.E58.m1.10.10.3.2.2.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.E58.m1.10.10.3.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S5.E58.m1.10.10.3.2.2.1.1.1.2">𝜎</ci><cn id="S5.E58.m1.10.10.3.2.2.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.E58.m1.10.10.3.2.2.1.1.1.3">1</cn></apply><apply id="S5.E58.m1.10.10.3.2.2.2.2.2.cmml" xref="S5.E58.m1.10.10.3.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E58.m1.10.10.3.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S5.E58.m1.10.10.3.2.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S5.E58.m1.10.10.3.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S5.E58.m1.10.10.3.2.2.2.2.2.2">𝜎</ci><cn id="S5.E58.m1.10.10.3.2.2.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.E58.m1.10.10.3.2.2.2.2.2.3">2</cn></apply><apply id="S5.E58.m1.10.10.3.2.2.3.3.3.cmml" xref="S5.E58.m1.10.10.3.2.2.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E58.m1.10.10.3.2.2.3.3.3.1.cmml" xref="S5.E58.m1.10.10.3.2.2.3.3.3">subscript</csymbol><ci id="S5.E58.m1.10.10.3.2.2.3.3.3.2.cmml" xref="S5.E58.m1.10.10.3.2.2.3.3.3.2">𝜎</ci><cn id="S5.E58.m1.10.10.3.2.2.3.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.E58.m1.10.10.3.2.2.3.3.3.3">3</cn></apply></list><apply id="S5.E58.m1.10.10.3.2.2.5.cmml" xref="S5.E58.m1.10.10.3.2.2.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E58.m1.10.10.3.2.2.5.1.cmml" xref="S5.E58.m1.10.10.3.2.2.5">subscript</csymbol><ci id="S5.E58.m1.10.10.3.2.2.5.2.cmml" xref="S5.E58.m1.10.10.3.2.2.5.2">𝑆</ci><ci id="S5.E58.m1.10.10.3.2.2.5.3.cmml" xref="S5.E58.m1.10.10.3.2.2.5.3">𝑡</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.E58.m1.10c">\displaystyle\operatorname{span}\left(\operatorname{image}[\Pi_{m}]\cup% \operatorname{image}[G_{m}\Pi_{m}]\right)=\left\{\ket{\sigma_{1}}_{1},...\ket{% \sigma_{1}}_{m-1}\ket{\sigma_{2}}_{m}\ket{\sigma_{3}}_{m+1}\big{|}\sigma_{1},% \sigma_{2},\sigma_{3}\in S_{t}\right\}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.E58.m1.10d">roman_span ( roman_image [ roman_Π start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT ] ∪ roman_image [ italic_G start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT roman_Π start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT ] ) = { | start_ARG italic_σ start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT end_ARG ⟩ start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , … | start_ARG italic_σ start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT end_ARG ⟩ start_POSTSUBSCRIPT italic_m - 1 end_POSTSUBSCRIPT | start_ARG italic_σ start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT end_ARG ⟩ start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT | start_ARG italic_σ start_POSTSUBSCRIPT 3 end_POSTSUBSCRIPT end_ARG ⟩ start_POSTSUBSCRIPT italic_m + 1 end_POSTSUBSCRIPT | italic_σ start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , italic_σ start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT , italic_σ start_POSTSUBSCRIPT 3 end_POSTSUBSCRIPT ∈ italic_S start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT }</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(58)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S5.p1.8">This is an effective three-site basis.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S5.p2"> <p class="ltx_p" id="S5.p2.5">There is a natural isomorphism of the form <math alttext="\ket{\sigma,\sigma,...\sigma}\rightarrow\ket{\sigma}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p2.1.m1.2"><semantics id="S5.p2.1.m1.2a"><mrow id="S5.p2.1.m1.2.3" xref="S5.p2.1.m1.2.3.cmml"><mrow id="S5.p2.1.m1.1.1.3" xref="S5.p2.1.m1.1.1.2.cmml"><mo id="S5.p2.1.m1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S5.p2.1.m1.1.1.2.1.cmml">|</mo><mrow id="S5.p2.1.m1.1.1.1.1.3" xref="S5.p2.1.m1.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="S5.p2.1.m1.1.1.1.1.1" xref="S5.p2.1.m1.1.1.1.1.1.cmml">σ</mi><mo id="S5.p2.1.m1.1.1.1.1.3.2" xref="S5.p2.1.m1.1.1.1.1.4.cmml">,</mo><mi id="S5.p2.1.m1.1.1.1.1.2" xref="S5.p2.1.m1.1.1.1.1.2.cmml">σ</mi><mo id="S5.p2.1.m1.1.1.1.1.3.3" xref="S5.p2.1.m1.1.1.1.1.4.cmml">,</mo><mrow id="S5.p2.1.m1.1.1.1.1.3.1" xref="S5.p2.1.m1.1.1.1.1.3.1.cmml"><mi id="S5.p2.1.m1.1.1.1.1.3.1.2" mathvariant="normal" xref="S5.p2.1.m1.1.1.1.1.3.1.2.cmml">…</mi><mo id="S5.p2.1.m1.1.1.1.1.3.1.1" xref="S5.p2.1.m1.1.1.1.1.3.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.p2.1.m1.1.1.1.1.3.1.3" xref="S5.p2.1.m1.1.1.1.1.3.1.3.cmml">σ</mi></mrow></mrow><mo id="S5.p2.1.m1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S5.p2.1.m1.1.1.2.1.cmml">⟩</mo></mrow><mo id="S5.p2.1.m1.2.3.1" stretchy="false" xref="S5.p2.1.m1.2.3.1.cmml">→</mo><mrow id="S5.p2.1.m1.2.2.3" xref="S5.p2.1.m1.2.2.2.cmml"><mo id="S5.p2.1.m1.2.2.3.1" stretchy="false" xref="S5.p2.1.m1.2.2.2.1.cmml">|</mo><mi id="S5.p2.1.m1.2.2.1.1" xref="S5.p2.1.m1.2.2.1.1.cmml">σ</mi><mo id="S5.p2.1.m1.2.2.3.2" stretchy="false" xref="S5.p2.1.m1.2.2.2.1.cmml">⟩</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p2.1.m1.2b"><apply id="S5.p2.1.m1.2.3.cmml" xref="S5.p2.1.m1.2.3"><ci id="S5.p2.1.m1.2.3.1.cmml" xref="S5.p2.1.m1.2.3.1">→</ci><apply id="S5.p2.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S5.p2.1.m1.1.1.3"><csymbol cd="latexml" id="S5.p2.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.p2.1.m1.1.1.3.1">ket</csymbol><list id="S5.p2.1.m1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S5.p2.1.m1.1.1.1.1.3"><ci id="S5.p2.1.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.p2.1.m1.1.1.1.1.1">𝜎</ci><ci id="S5.p2.1.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.p2.1.m1.1.1.1.1.2">𝜎</ci><apply id="S5.p2.1.m1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.p2.1.m1.1.1.1.1.3.1"><times id="S5.p2.1.m1.1.1.1.1.3.1.1.cmml" xref="S5.p2.1.m1.1.1.1.1.3.1.1"></times><ci id="S5.p2.1.m1.1.1.1.1.3.1.2.cmml" xref="S5.p2.1.m1.1.1.1.1.3.1.2">…</ci><ci id="S5.p2.1.m1.1.1.1.1.3.1.3.cmml" xref="S5.p2.1.m1.1.1.1.1.3.1.3">𝜎</ci></apply></list></apply><apply id="S5.p2.1.m1.2.2.2.cmml" xref="S5.p2.1.m1.2.2.3"><csymbol cd="latexml" id="S5.p2.1.m1.2.2.2.1.cmml" xref="S5.p2.1.m1.2.2.3.1">ket</csymbol><ci id="S5.p2.1.m1.2.2.1.1.cmml" xref="S5.p2.1.m1.2.2.1.1">𝜎</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p2.1.m1.2c">\ket{\sigma,\sigma,...\sigma}\rightarrow\ket{\sigma}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p2.1.m1.2d">| start_ARG italic_σ , italic_σ , … italic_σ end_ARG ⟩ → | start_ARG italic_σ end_ARG ⟩</annotation></semantics></math> between the uniform permutation states on <math alttext="k" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p2.2.m2.1"><semantics id="S5.p2.2.m2.1a"><mi id="S5.p2.2.m2.1.1" xref="S5.p2.2.m2.1.1.cmml">k</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p2.2.m2.1b"><ci id="S5.p2.2.m2.1.1.cmml" xref="S5.p2.2.m2.1.1">𝑘</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p2.2.m2.1c">k</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p2.2.m2.1d">italic_k</annotation></semantics></math> sites and the permutation states on a single site. If the original <math alttext="k" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p2.3.m3.1"><semantics id="S5.p2.3.m3.1a"><mi id="S5.p2.3.m3.1.1" xref="S5.p2.3.m3.1.1.cmml">k</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p2.3.m3.1b"><ci id="S5.p2.3.m3.1.1.cmml" xref="S5.p2.3.m3.1.1">𝑘</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p2.3.m3.1c">k</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p2.3.m3.1d">italic_k</annotation></semantics></math> sites had local dimension <math alttext="q" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p2.4.m4.1"><semantics id="S5.p2.4.m4.1a"><mi id="S5.p2.4.m4.1.1" xref="S5.p2.4.m4.1.1.cmml">q</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p2.4.m4.1b"><ci id="S5.p2.4.m4.1.1.cmml" xref="S5.p2.4.m4.1.1">𝑞</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p2.4.m4.1c">q</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p2.4.m4.1d">italic_q</annotation></semantics></math> and the new site has physical dimension <math alttext="q^{k}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p2.5.m5.1"><semantics id="S5.p2.5.m5.1a"><msup id="S5.p2.5.m5.1.1" xref="S5.p2.5.m5.1.1.cmml"><mi id="S5.p2.5.m5.1.1.2" xref="S5.p2.5.m5.1.1.2.cmml">q</mi><mi id="S5.p2.5.m5.1.1.3" xref="S5.p2.5.m5.1.1.3.cmml">k</mi></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p2.5.m5.1b"><apply id="S5.p2.5.m5.1.1.cmml" xref="S5.p2.5.m5.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p2.5.m5.1.1.1.cmml" xref="S5.p2.5.m5.1.1">superscript</csymbol><ci id="S5.p2.5.m5.1.1.2.cmml" xref="S5.p2.5.m5.1.1.2">𝑞</ci><ci id="S5.p2.5.m5.1.1.3.cmml" xref="S5.p2.5.m5.1.1.3">𝑘</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p2.5.m5.1c">q^{k}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p2.5.m5.1d">italic_q start_POSTSUPERSCRIPT italic_k end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>, then this map is also an isometry. Applying this map to the basis of Equation <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#S5.E58" title="In V Structure of the 3-Site Operator ‣ Conditional 𝑡-independent spectral gap for random quantum circuits and implications for 𝑡-design depths"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">58</span></a>, we obtain an effective three-site basis</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_gather ltx_eqn_table" id="S6.EGx55"> <tbody id="S5.E59"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\displaystyle\left\{\ket{\sigma_{1},\sigma_{2},\sigma_{3}}\big{|}\sigma_{1},% \sigma_{2},\sigma_{3}\in S_{t}\right\}" class="ltx_Math" display="block" id="S5.E59.m1.2"><semantics id="S5.E59.m1.2a"><mrow id="S5.E59.m1.2.2.1" xref="S5.E59.m1.2.2.2.cmml"><mo id="S5.E59.m1.2.2.1.2" xref="S5.E59.m1.2.2.2.1.cmml">{</mo><mrow id="S5.E59.m1.1.1.3" xref="S5.E59.m1.1.1.2.cmml"><mo id="S5.E59.m1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S5.E59.m1.1.1.2.1.cmml">|</mo><mrow id="S5.E59.m1.1.1.1.1.3" xref="S5.E59.m1.1.1.1.1.4.cmml"><msub id="S5.E59.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.E59.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S5.E59.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.E59.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">σ</mi><mn id="S5.E59.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.E59.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S5.E59.m1.1.1.1.1.3.4" xref="S5.E59.m1.1.1.1.1.4.cmml">,</mo><msub id="S5.E59.m1.1.1.1.1.2.2" xref="S5.E59.m1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S5.E59.m1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S5.E59.m1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">σ</mi><mn id="S5.E59.m1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S5.E59.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">2</mn></msub><mo id="S5.E59.m1.1.1.1.1.3.5" xref="S5.E59.m1.1.1.1.1.4.cmml">,</mo><msub id="S5.E59.m1.1.1.1.1.3.3" xref="S5.E59.m1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S5.E59.m1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S5.E59.m1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">σ</mi><mn id="S5.E59.m1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S5.E59.m1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">3</mn></msub></mrow><mo id="S5.E59.m1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S5.E59.m1.1.1.2.1.cmml">⟩</mo></mrow><mo id="S5.E59.m1.2.2.1.3" lspace="0em" mathsize="120%" rspace="0em" xref="S5.E59.m1.2.2.2.1.cmml">|</mo><mrow id="S5.E59.m1.2.2.1.1" xref="S5.E59.m1.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S5.E59.m1.2.2.1.1.3.3" xref="S5.E59.m1.2.2.1.1.3.4.cmml"><msub id="S5.E59.m1.2.2.1.1.1.1.1" xref="S5.E59.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S5.E59.m1.2.2.1.1.1.1.1.2" xref="S5.E59.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml">σ</mi><mn id="S5.E59.m1.2.2.1.1.1.1.1.3" xref="S5.E59.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S5.E59.m1.2.2.1.1.3.3.4" xref="S5.E59.m1.2.2.1.1.3.4.cmml">,</mo><msub id="S5.E59.m1.2.2.1.1.2.2.2" xref="S5.E59.m1.2.2.1.1.2.2.2.cmml"><mi id="S5.E59.m1.2.2.1.1.2.2.2.2" xref="S5.E59.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.cmml">σ</mi><mn id="S5.E59.m1.2.2.1.1.2.2.2.3" xref="S5.E59.m1.2.2.1.1.2.2.2.3.cmml">2</mn></msub><mo id="S5.E59.m1.2.2.1.1.3.3.5" xref="S5.E59.m1.2.2.1.1.3.4.cmml">,</mo><msub id="S5.E59.m1.2.2.1.1.3.3.3" xref="S5.E59.m1.2.2.1.1.3.3.3.cmml"><mi id="S5.E59.m1.2.2.1.1.3.3.3.2" xref="S5.E59.m1.2.2.1.1.3.3.3.2.cmml">σ</mi><mn id="S5.E59.m1.2.2.1.1.3.3.3.3" xref="S5.E59.m1.2.2.1.1.3.3.3.3.cmml">3</mn></msub></mrow><mo id="S5.E59.m1.2.2.1.1.4" xref="S5.E59.m1.2.2.1.1.4.cmml">∈</mo><msub id="S5.E59.m1.2.2.1.1.5" xref="S5.E59.m1.2.2.1.1.5.cmml"><mi id="S5.E59.m1.2.2.1.1.5.2" xref="S5.E59.m1.2.2.1.1.5.2.cmml">S</mi><mi id="S5.E59.m1.2.2.1.1.5.3" xref="S5.E59.m1.2.2.1.1.5.3.cmml">t</mi></msub></mrow><mo id="S5.E59.m1.2.2.1.4" xref="S5.E59.m1.2.2.2.1.cmml">}</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.E59.m1.2b"><apply id="S5.E59.m1.2.2.2.cmml" xref="S5.E59.m1.2.2.1"><csymbol cd="latexml" id="S5.E59.m1.2.2.2.1.cmml" xref="S5.E59.m1.2.2.1.2">conditional-set</csymbol><apply id="S5.E59.m1.1.1.2.cmml" xref="S5.E59.m1.1.1.3"><csymbol cd="latexml" id="S5.E59.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.E59.m1.1.1.3.1">ket</csymbol><list id="S5.E59.m1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S5.E59.m1.1.1.1.1.3"><apply id="S5.E59.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.E59.m1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E59.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.E59.m1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.E59.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.E59.m1.1.1.1.1.1.1.2">𝜎</ci><cn id="S5.E59.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.E59.m1.1.1.1.1.1.1.3">1</cn></apply><apply id="S5.E59.m1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.E59.m1.1.1.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E59.m1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S5.E59.m1.1.1.1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S5.E59.m1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S5.E59.m1.1.1.1.1.2.2.2">𝜎</ci><cn id="S5.E59.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.E59.m1.1.1.1.1.2.2.3">2</cn></apply><apply id="S5.E59.m1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S5.E59.m1.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E59.m1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S5.E59.m1.1.1.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S5.E59.m1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S5.E59.m1.1.1.1.1.3.3.2">𝜎</ci><cn id="S5.E59.m1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.E59.m1.1.1.1.1.3.3.3">3</cn></apply></list></apply><apply id="S5.E59.m1.2.2.1.1.cmml" xref="S5.E59.m1.2.2.1.1"><in id="S5.E59.m1.2.2.1.1.4.cmml" xref="S5.E59.m1.2.2.1.1.4"></in><list id="S5.E59.m1.2.2.1.1.3.4.cmml" xref="S5.E59.m1.2.2.1.1.3.3"><apply id="S5.E59.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.E59.m1.2.2.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E59.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.E59.m1.2.2.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.E59.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.E59.m1.2.2.1.1.1.1.1.2">𝜎</ci><cn id="S5.E59.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.E59.m1.2.2.1.1.1.1.1.3">1</cn></apply><apply id="S5.E59.m1.2.2.1.1.2.2.2.cmml" xref="S5.E59.m1.2.2.1.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E59.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S5.E59.m1.2.2.1.1.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S5.E59.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S5.E59.m1.2.2.1.1.2.2.2.2">𝜎</ci><cn id="S5.E59.m1.2.2.1.1.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.E59.m1.2.2.1.1.2.2.2.3">2</cn></apply><apply id="S5.E59.m1.2.2.1.1.3.3.3.cmml" xref="S5.E59.m1.2.2.1.1.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E59.m1.2.2.1.1.3.3.3.1.cmml" xref="S5.E59.m1.2.2.1.1.3.3.3">subscript</csymbol><ci id="S5.E59.m1.2.2.1.1.3.3.3.2.cmml" xref="S5.E59.m1.2.2.1.1.3.3.3.2">𝜎</ci><cn id="S5.E59.m1.2.2.1.1.3.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.E59.m1.2.2.1.1.3.3.3.3">3</cn></apply></list><apply id="S5.E59.m1.2.2.1.1.5.cmml" xref="S5.E59.m1.2.2.1.1.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E59.m1.2.2.1.1.5.1.cmml" xref="S5.E59.m1.2.2.1.1.5">subscript</csymbol><ci id="S5.E59.m1.2.2.1.1.5.2.cmml" xref="S5.E59.m1.2.2.1.1.5.2">𝑆</ci><ci id="S5.E59.m1.2.2.1.1.5.3.cmml" xref="S5.E59.m1.2.2.1.1.5.3">𝑡</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.E59.m1.2c">\displaystyle\left\{\ket{\sigma_{1},\sigma_{2},\sigma_{3}}\big{|}\sigma_{1},% \sigma_{2},\sigma_{3}\in S_{t}\right\}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.E59.m1.2d">{ | start_ARG italic_σ start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , italic_σ start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT , italic_σ start_POSTSUBSCRIPT 3 end_POSTSUBSCRIPT end_ARG ⟩ | italic_σ start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , italic_σ start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT , italic_σ start_POSTSUBSCRIPT 3 end_POSTSUBSCRIPT ∈ italic_S start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT }</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(59)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S5.p2.15">where the first site has effective local dimension <math alttext="Q_{1}=q^{m}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p2.6.m1.1"><semantics id="S5.p2.6.m1.1a"><mrow id="S5.p2.6.m1.1.1" xref="S5.p2.6.m1.1.1.cmml"><msub id="S5.p2.6.m1.1.1.2" xref="S5.p2.6.m1.1.1.2.cmml"><mi id="S5.p2.6.m1.1.1.2.2" xref="S5.p2.6.m1.1.1.2.2.cmml">Q</mi><mn id="S5.p2.6.m1.1.1.2.3" xref="S5.p2.6.m1.1.1.2.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S5.p2.6.m1.1.1.1" xref="S5.p2.6.m1.1.1.1.cmml">=</mo><msup id="S5.p2.6.m1.1.1.3" xref="S5.p2.6.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S5.p2.6.m1.1.1.3.2" xref="S5.p2.6.m1.1.1.3.2.cmml">q</mi><mi id="S5.p2.6.m1.1.1.3.3" xref="S5.p2.6.m1.1.1.3.3.cmml">m</mi></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p2.6.m1.1b"><apply id="S5.p2.6.m1.1.1.cmml" xref="S5.p2.6.m1.1.1"><eq id="S5.p2.6.m1.1.1.1.cmml" xref="S5.p2.6.m1.1.1.1"></eq><apply id="S5.p2.6.m1.1.1.2.cmml" xref="S5.p2.6.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p2.6.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.p2.6.m1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S5.p2.6.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.p2.6.m1.1.1.2.2">𝑄</ci><cn id="S5.p2.6.m1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.p2.6.m1.1.1.2.3">1</cn></apply><apply id="S5.p2.6.m1.1.1.3.cmml" xref="S5.p2.6.m1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p2.6.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.p2.6.m1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S5.p2.6.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.p2.6.m1.1.1.3.2">𝑞</ci><ci id="S5.p2.6.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S5.p2.6.m1.1.1.3.3">𝑚</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p2.6.m1.1c">Q_{1}=q^{m}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p2.6.m1.1d">italic_Q start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT = italic_q start_POSTSUPERSCRIPT italic_m end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> and the second and third sites have <math alttext="Q_{2}=Q_{3}=q" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p2.7.m2.1"><semantics id="S5.p2.7.m2.1a"><mrow id="S5.p2.7.m2.1.1" xref="S5.p2.7.m2.1.1.cmml"><msub id="S5.p2.7.m2.1.1.2" xref="S5.p2.7.m2.1.1.2.cmml"><mi id="S5.p2.7.m2.1.1.2.2" xref="S5.p2.7.m2.1.1.2.2.cmml">Q</mi><mn id="S5.p2.7.m2.1.1.2.3" xref="S5.p2.7.m2.1.1.2.3.cmml">2</mn></msub><mo id="S5.p2.7.m2.1.1.3" xref="S5.p2.7.m2.1.1.3.cmml">=</mo><msub id="S5.p2.7.m2.1.1.4" xref="S5.p2.7.m2.1.1.4.cmml"><mi id="S5.p2.7.m2.1.1.4.2" xref="S5.p2.7.m2.1.1.4.2.cmml">Q</mi><mn id="S5.p2.7.m2.1.1.4.3" xref="S5.p2.7.m2.1.1.4.3.cmml">3</mn></msub><mo id="S5.p2.7.m2.1.1.5" xref="S5.p2.7.m2.1.1.5.cmml">=</mo><mi id="S5.p2.7.m2.1.1.6" xref="S5.p2.7.m2.1.1.6.cmml">q</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p2.7.m2.1b"><apply id="S5.p2.7.m2.1.1.cmml" xref="S5.p2.7.m2.1.1"><and id="S5.p2.7.m2.1.1a.cmml" xref="S5.p2.7.m2.1.1"></and><apply id="S5.p2.7.m2.1.1b.cmml" xref="S5.p2.7.m2.1.1"><eq id="S5.p2.7.m2.1.1.3.cmml" xref="S5.p2.7.m2.1.1.3"></eq><apply id="S5.p2.7.m2.1.1.2.cmml" xref="S5.p2.7.m2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p2.7.m2.1.1.2.1.cmml" xref="S5.p2.7.m2.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S5.p2.7.m2.1.1.2.2.cmml" xref="S5.p2.7.m2.1.1.2.2">𝑄</ci><cn id="S5.p2.7.m2.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.p2.7.m2.1.1.2.3">2</cn></apply><apply id="S5.p2.7.m2.1.1.4.cmml" xref="S5.p2.7.m2.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p2.7.m2.1.1.4.1.cmml" xref="S5.p2.7.m2.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="S5.p2.7.m2.1.1.4.2.cmml" xref="S5.p2.7.m2.1.1.4.2">𝑄</ci><cn id="S5.p2.7.m2.1.1.4.3.cmml" type="integer" xref="S5.p2.7.m2.1.1.4.3">3</cn></apply></apply><apply id="S5.p2.7.m2.1.1c.cmml" xref="S5.p2.7.m2.1.1"><eq id="S5.p2.7.m2.1.1.5.cmml" xref="S5.p2.7.m2.1.1.5"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#S5.p2.7.m2.1.1.4.cmml" id="S5.p2.7.m2.1.1d.cmml" xref="S5.p2.7.m2.1.1"></share><ci id="S5.p2.7.m2.1.1.6.cmml" xref="S5.p2.7.m2.1.1.6">𝑞</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p2.7.m2.1c">Q_{2}=Q_{3}=q</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p2.7.m2.1d">italic_Q start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT = italic_Q start_POSTSUBSCRIPT 3 end_POSTSUBSCRIPT = italic_q</annotation></semantics></math>. In this generalization, the projectors <math alttext="\Pi_{m}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p2.8.m3.1"><semantics id="S5.p2.8.m3.1a"><msub id="S5.p2.8.m3.1.1" xref="S5.p2.8.m3.1.1.cmml"><mi id="S5.p2.8.m3.1.1.2" mathvariant="normal" xref="S5.p2.8.m3.1.1.2.cmml">Π</mi><mi id="S5.p2.8.m3.1.1.3" xref="S5.p2.8.m3.1.1.3.cmml">m</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p2.8.m3.1b"><apply id="S5.p2.8.m3.1.1.cmml" xref="S5.p2.8.m3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p2.8.m3.1.1.1.cmml" xref="S5.p2.8.m3.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.p2.8.m3.1.1.2.cmml" xref="S5.p2.8.m3.1.1.2">Π</ci><ci id="S5.p2.8.m3.1.1.3.cmml" xref="S5.p2.8.m3.1.1.3">𝑚</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p2.8.m3.1c">\Pi_{m}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p2.8.m3.1d">roman_Π start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> and <math alttext="G_{m}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p2.9.m4.1"><semantics id="S5.p2.9.m4.1a"><msub id="S5.p2.9.m4.1.1" xref="S5.p2.9.m4.1.1.cmml"><mi id="S5.p2.9.m4.1.1.2" xref="S5.p2.9.m4.1.1.2.cmml">G</mi><mi id="S5.p2.9.m4.1.1.3" xref="S5.p2.9.m4.1.1.3.cmml">m</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p2.9.m4.1b"><apply id="S5.p2.9.m4.1.1.cmml" xref="S5.p2.9.m4.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p2.9.m4.1.1.1.cmml" xref="S5.p2.9.m4.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.p2.9.m4.1.1.2.cmml" xref="S5.p2.9.m4.1.1.2">𝐺</ci><ci id="S5.p2.9.m4.1.1.3.cmml" xref="S5.p2.9.m4.1.1.3">𝑚</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p2.9.m4.1c">G_{m}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p2.9.m4.1d">italic_G start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> have analogous definitions: <math alttext="\Pi_{m}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p2.10.m5.1"><semantics id="S5.p2.10.m5.1a"><msub id="S5.p2.10.m5.1.1" xref="S5.p2.10.m5.1.1.cmml"><mi id="S5.p2.10.m5.1.1.2" mathvariant="normal" xref="S5.p2.10.m5.1.1.2.cmml">Π</mi><mi id="S5.p2.10.m5.1.1.3" xref="S5.p2.10.m5.1.1.3.cmml">m</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p2.10.m5.1b"><apply id="S5.p2.10.m5.1.1.cmml" xref="S5.p2.10.m5.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p2.10.m5.1.1.1.cmml" xref="S5.p2.10.m5.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.p2.10.m5.1.1.2.cmml" xref="S5.p2.10.m5.1.1.2">Π</ci><ci id="S5.p2.10.m5.1.1.3.cmml" xref="S5.p2.10.m5.1.1.3">𝑚</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p2.10.m5.1c">\Pi_{m}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p2.10.m5.1d">roman_Π start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> is the uniform projector on sites <math alttext="1" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p2.11.m6.1"><semantics id="S5.p2.11.m6.1a"><mn id="S5.p2.11.m6.1.1" xref="S5.p2.11.m6.1.1.cmml">1</mn><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p2.11.m6.1b"><cn id="S5.p2.11.m6.1.1.cmml" type="integer" xref="S5.p2.11.m6.1.1">1</cn></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p2.11.m6.1c">1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p2.11.m6.1d">1</annotation></semantics></math> and <math alttext="2" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p2.12.m7.1"><semantics id="S5.p2.12.m7.1a"><mn id="S5.p2.12.m7.1.1" xref="S5.p2.12.m7.1.1.cmml">2</mn><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p2.12.m7.1b"><cn id="S5.p2.12.m7.1.1.cmml" type="integer" xref="S5.p2.12.m7.1.1">2</cn></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p2.12.m7.1c">2</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p2.12.m7.1d">2</annotation></semantics></math>, while <math alttext="G_{m}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p2.13.m8.1"><semantics id="S5.p2.13.m8.1a"><msub id="S5.p2.13.m8.1.1" xref="S5.p2.13.m8.1.1.cmml"><mi id="S5.p2.13.m8.1.1.2" xref="S5.p2.13.m8.1.1.2.cmml">G</mi><mi id="S5.p2.13.m8.1.1.3" xref="S5.p2.13.m8.1.1.3.cmml">m</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p2.13.m8.1b"><apply id="S5.p2.13.m8.1.1.cmml" xref="S5.p2.13.m8.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p2.13.m8.1.1.1.cmml" xref="S5.p2.13.m8.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.p2.13.m8.1.1.2.cmml" xref="S5.p2.13.m8.1.1.2">𝐺</ci><ci id="S5.p2.13.m8.1.1.3.cmml" xref="S5.p2.13.m8.1.1.3">𝑚</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p2.13.m8.1c">G_{m}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p2.13.m8.1d">italic_G start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> is the uniform projector on sites <math alttext="2" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p2.14.m9.1"><semantics id="S5.p2.14.m9.1a"><mn id="S5.p2.14.m9.1.1" xref="S5.p2.14.m9.1.1.cmml">2</mn><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p2.14.m9.1b"><cn id="S5.p2.14.m9.1.1.cmml" type="integer" xref="S5.p2.14.m9.1.1">2</cn></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p2.14.m9.1c">2</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p2.14.m9.1d">2</annotation></semantics></math> and <math alttext="3" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p2.15.m10.1"><semantics id="S5.p2.15.m10.1a"><mn id="S5.p2.15.m10.1.1" xref="S5.p2.15.m10.1.1.cmml">3</mn><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p2.15.m10.1b"><cn id="S5.p2.15.m10.1.1.cmml" type="integer" xref="S5.p2.15.m10.1.1">3</cn></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p2.15.m10.1c">3</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p2.15.m10.1d">3</annotation></semantics></math>.</p> </div> <section class="ltx_subsection" id="S5.SS1"> <h3 class="ltx_title ltx_title_subsection"> <span class="ltx_tag ltx_tag_subsection">V.1 </span>Factorization of <math alttext="K_{m}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS1.1.m1.1"><semantics id="S5.SS1.1.m1.1b"><msub id="S5.SS1.1.m1.1.1" xref="S5.SS1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S5.SS1.1.m1.1.1.2" xref="S5.SS1.1.m1.1.1.2.cmml">K</mi><mi id="S5.SS1.1.m1.1.1.3" xref="S5.SS1.1.m1.1.1.3.cmml">m</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS1.1.m1.1c"><apply id="S5.SS1.1.m1.1.1.cmml" xref="S5.SS1.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S5.SS1.1.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.SS1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S5.SS1.1.m1.1.1.2">𝐾</ci><ci id="S5.SS1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S5.SS1.1.m1.1.1.3">𝑚</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS1.1.m1.1d">K_{m}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS1.1.m1.1e">italic_K start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> </h3> <div class="ltx_para" id="S5.SS1.p1"> <p class="ltx_p" id="S5.SS1.p1.8">Let’s review the sequence of reductions we have passed through. We began by looking for the dominant eigenvalue of <math alttext="\Pi_{n}G_{n}\Pi_{n}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS1.p1.1.m1.1"><semantics id="S5.SS1.p1.1.m1.1a"><mrow id="S5.SS1.p1.1.m1.1.1" xref="S5.SS1.p1.1.m1.1.1.cmml"><msub id="S5.SS1.p1.1.m1.1.1.2" xref="S5.SS1.p1.1.m1.1.1.2.cmml"><mi id="S5.SS1.p1.1.m1.1.1.2.2" mathvariant="normal" xref="S5.SS1.p1.1.m1.1.1.2.2.cmml">Π</mi><mi id="S5.SS1.p1.1.m1.1.1.2.3" xref="S5.SS1.p1.1.m1.1.1.2.3.cmml">n</mi></msub><mo id="S5.SS1.p1.1.m1.1.1.1" xref="S5.SS1.p1.1.m1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S5.SS1.p1.1.m1.1.1.3" xref="S5.SS1.p1.1.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S5.SS1.p1.1.m1.1.1.3.2" xref="S5.SS1.p1.1.m1.1.1.3.2.cmml">G</mi><mi id="S5.SS1.p1.1.m1.1.1.3.3" xref="S5.SS1.p1.1.m1.1.1.3.3.cmml">n</mi></msub><mo id="S5.SS1.p1.1.m1.1.1.1a" xref="S5.SS1.p1.1.m1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S5.SS1.p1.1.m1.1.1.4" xref="S5.SS1.p1.1.m1.1.1.4.cmml"><mi id="S5.SS1.p1.1.m1.1.1.4.2" mathvariant="normal" xref="S5.SS1.p1.1.m1.1.1.4.2.cmml">Π</mi><mi id="S5.SS1.p1.1.m1.1.1.4.3" xref="S5.SS1.p1.1.m1.1.1.4.3.cmml">n</mi></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS1.p1.1.m1.1b"><apply id="S5.SS1.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S5.SS1.p1.1.m1.1.1"><times id="S5.SS1.p1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S5.SS1.p1.1.m1.1.1.1"></times><apply id="S5.SS1.p1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S5.SS1.p1.1.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS1.p1.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.SS1.p1.1.m1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S5.SS1.p1.1.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.SS1.p1.1.m1.1.1.2.2">Π</ci><ci id="S5.SS1.p1.1.m1.1.1.2.3.cmml" xref="S5.SS1.p1.1.m1.1.1.2.3">𝑛</ci></apply><apply id="S5.SS1.p1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S5.SS1.p1.1.m1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS1.p1.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.SS1.p1.1.m1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S5.SS1.p1.1.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.SS1.p1.1.m1.1.1.3.2">𝐺</ci><ci id="S5.SS1.p1.1.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S5.SS1.p1.1.m1.1.1.3.3">𝑛</ci></apply><apply id="S5.SS1.p1.1.m1.1.1.4.cmml" xref="S5.SS1.p1.1.m1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS1.p1.1.m1.1.1.4.1.cmml" xref="S5.SS1.p1.1.m1.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="S5.SS1.p1.1.m1.1.1.4.2.cmml" xref="S5.SS1.p1.1.m1.1.1.4.2">Π</ci><ci id="S5.SS1.p1.1.m1.1.1.4.3.cmml" xref="S5.SS1.p1.1.m1.1.1.4.3">𝑛</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS1.p1.1.m1.1c">\Pi_{n}G_{n}\Pi_{n}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS1.p1.1.m1.1d">roman_Π start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT italic_G start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT roman_Π start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> in <math alttext="\mathbb{C}^{2tqn}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS1.p1.2.m2.1"><semantics id="S5.SS1.p1.2.m2.1a"><msup id="S5.SS1.p1.2.m2.1.1" xref="S5.SS1.p1.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S5.SS1.p1.2.m2.1.1.2" xref="S5.SS1.p1.2.m2.1.1.2.cmml">ℂ</mi><mrow id="S5.SS1.p1.2.m2.1.1.3" xref="S5.SS1.p1.2.m2.1.1.3.cmml"><mn id="S5.SS1.p1.2.m2.1.1.3.2" xref="S5.SS1.p1.2.m2.1.1.3.2.cmml">2</mn><mo id="S5.SS1.p1.2.m2.1.1.3.1" xref="S5.SS1.p1.2.m2.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.SS1.p1.2.m2.1.1.3.3" xref="S5.SS1.p1.2.m2.1.1.3.3.cmml">t</mi><mo id="S5.SS1.p1.2.m2.1.1.3.1a" xref="S5.SS1.p1.2.m2.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.SS1.p1.2.m2.1.1.3.4" xref="S5.SS1.p1.2.m2.1.1.3.4.cmml">q</mi><mo id="S5.SS1.p1.2.m2.1.1.3.1b" xref="S5.SS1.p1.2.m2.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.SS1.p1.2.m2.1.1.3.5" xref="S5.SS1.p1.2.m2.1.1.3.5.cmml">n</mi></mrow></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS1.p1.2.m2.1b"><apply id="S5.SS1.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="S5.SS1.p1.2.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS1.p1.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S5.SS1.p1.2.m2.1.1">superscript</csymbol><ci id="S5.SS1.p1.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S5.SS1.p1.2.m2.1.1.2">ℂ</ci><apply id="S5.SS1.p1.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S5.SS1.p1.2.m2.1.1.3"><times id="S5.SS1.p1.2.m2.1.1.3.1.cmml" xref="S5.SS1.p1.2.m2.1.1.3.1"></times><cn id="S5.SS1.p1.2.m2.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S5.SS1.p1.2.m2.1.1.3.2">2</cn><ci id="S5.SS1.p1.2.m2.1.1.3.3.cmml" xref="S5.SS1.p1.2.m2.1.1.3.3">𝑡</ci><ci id="S5.SS1.p1.2.m2.1.1.3.4.cmml" xref="S5.SS1.p1.2.m2.1.1.3.4">𝑞</ci><ci id="S5.SS1.p1.2.m2.1.1.3.5.cmml" xref="S5.SS1.p1.2.m2.1.1.3.5">𝑛</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS1.p1.2.m2.1c">\mathbb{C}^{2tqn}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS1.p1.2.m2.1d">blackboard_C start_POSTSUPERSCRIPT 2 italic_t italic_q italic_n end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> for all <math alttext="n\leq N" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS1.p1.3.m3.1"><semantics id="S5.SS1.p1.3.m3.1a"><mrow id="S5.SS1.p1.3.m3.1.1" xref="S5.SS1.p1.3.m3.1.1.cmml"><mi id="S5.SS1.p1.3.m3.1.1.2" xref="S5.SS1.p1.3.m3.1.1.2.cmml">n</mi><mo id="S5.SS1.p1.3.m3.1.1.1" xref="S5.SS1.p1.3.m3.1.1.1.cmml">≤</mo><mi id="S5.SS1.p1.3.m3.1.1.3" xref="S5.SS1.p1.3.m3.1.1.3.cmml">N</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS1.p1.3.m3.1b"><apply id="S5.SS1.p1.3.m3.1.1.cmml" xref="S5.SS1.p1.3.m3.1.1"><leq id="S5.SS1.p1.3.m3.1.1.1.cmml" xref="S5.SS1.p1.3.m3.1.1.1"></leq><ci id="S5.SS1.p1.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S5.SS1.p1.3.m3.1.1.2">𝑛</ci><ci id="S5.SS1.p1.3.m3.1.1.3.cmml" xref="S5.SS1.p1.3.m3.1.1.3">𝑁</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS1.p1.3.m3.1c">n\leq N</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS1.p1.3.m3.1d">italic_n ≤ italic_N</annotation></semantics></math>. By averaging, we restricted our search space to <math alttext="\operatorname{span}\left(S_{t}^{\times n}\right)" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS1.p1.4.m4.2"><semantics id="S5.SS1.p1.4.m4.2a"><mrow id="S5.SS1.p1.4.m4.2.2.1" xref="S5.SS1.p1.4.m4.2.2.2.cmml"><mi id="S5.SS1.p1.4.m4.1.1" xref="S5.SS1.p1.4.m4.1.1.cmml">span</mi><mo id="S5.SS1.p1.4.m4.2.2.1a" xref="S5.SS1.p1.4.m4.2.2.2.cmml">⁡</mo><mrow id="S5.SS1.p1.4.m4.2.2.1.1" xref="S5.SS1.p1.4.m4.2.2.2.cmml"><mo id="S5.SS1.p1.4.m4.2.2.1.1.2" xref="S5.SS1.p1.4.m4.2.2.2.cmml">(</mo><msubsup id="S5.SS1.p1.4.m4.2.2.1.1.1" xref="S5.SS1.p1.4.m4.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S5.SS1.p1.4.m4.2.2.1.1.1.2.2" xref="S5.SS1.p1.4.m4.2.2.1.1.1.2.2.cmml">S</mi><mi id="S5.SS1.p1.4.m4.2.2.1.1.1.2.3" xref="S5.SS1.p1.4.m4.2.2.1.1.1.2.3.cmml">t</mi><mrow id="S5.SS1.p1.4.m4.2.2.1.1.1.3" xref="S5.SS1.p1.4.m4.2.2.1.1.1.3.cmml"><mi id="S5.SS1.p1.4.m4.2.2.1.1.1.3.2" xref="S5.SS1.p1.4.m4.2.2.1.1.1.3.2.cmml"></mi><mo id="S5.SS1.p1.4.m4.2.2.1.1.1.3.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S5.SS1.p1.4.m4.2.2.1.1.1.3.1.cmml">×</mo><mi id="S5.SS1.p1.4.m4.2.2.1.1.1.3.3" xref="S5.SS1.p1.4.m4.2.2.1.1.1.3.3.cmml">n</mi></mrow></msubsup><mo id="S5.SS1.p1.4.m4.2.2.1.1.3" xref="S5.SS1.p1.4.m4.2.2.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS1.p1.4.m4.2b"><apply id="S5.SS1.p1.4.m4.2.2.2.cmml" xref="S5.SS1.p1.4.m4.2.2.1"><ci id="S5.SS1.p1.4.m4.1.1.cmml" xref="S5.SS1.p1.4.m4.1.1">span</ci><apply id="S5.SS1.p1.4.m4.2.2.1.1.1.cmml" xref="S5.SS1.p1.4.m4.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS1.p1.4.m4.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S5.SS1.p1.4.m4.2.2.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S5.SS1.p1.4.m4.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S5.SS1.p1.4.m4.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS1.p1.4.m4.2.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.SS1.p1.4.m4.2.2.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.SS1.p1.4.m4.2.2.1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.SS1.p1.4.m4.2.2.1.1.1.2.2">𝑆</ci><ci id="S5.SS1.p1.4.m4.2.2.1.1.1.2.3.cmml" xref="S5.SS1.p1.4.m4.2.2.1.1.1.2.3">𝑡</ci></apply><apply id="S5.SS1.p1.4.m4.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S5.SS1.p1.4.m4.2.2.1.1.1.3"><times id="S5.SS1.p1.4.m4.2.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.SS1.p1.4.m4.2.2.1.1.1.3.1"></times><csymbol cd="latexml" id="S5.SS1.p1.4.m4.2.2.1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.SS1.p1.4.m4.2.2.1.1.1.3.2">absent</csymbol><ci id="S5.SS1.p1.4.m4.2.2.1.1.1.3.3.cmml" xref="S5.SS1.p1.4.m4.2.2.1.1.1.3.3">𝑛</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS1.p1.4.m4.2c">\operatorname{span}\left(S_{t}^{\times n}\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS1.p1.4.m4.2d">roman_span ( italic_S start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT × italic_n end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math>. By the argument above we have reduced it to <math alttext="\operatorname{span}\left(S_{t}^{\times 3}\right)" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS1.p1.5.m5.2"><semantics id="S5.SS1.p1.5.m5.2a"><mrow id="S5.SS1.p1.5.m5.2.2.1" xref="S5.SS1.p1.5.m5.2.2.2.cmml"><mi id="S5.SS1.p1.5.m5.1.1" xref="S5.SS1.p1.5.m5.1.1.cmml">span</mi><mo id="S5.SS1.p1.5.m5.2.2.1a" xref="S5.SS1.p1.5.m5.2.2.2.cmml">⁡</mo><mrow id="S5.SS1.p1.5.m5.2.2.1.1" xref="S5.SS1.p1.5.m5.2.2.2.cmml"><mo id="S5.SS1.p1.5.m5.2.2.1.1.2" xref="S5.SS1.p1.5.m5.2.2.2.cmml">(</mo><msubsup id="S5.SS1.p1.5.m5.2.2.1.1.1" xref="S5.SS1.p1.5.m5.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S5.SS1.p1.5.m5.2.2.1.1.1.2.2" xref="S5.SS1.p1.5.m5.2.2.1.1.1.2.2.cmml">S</mi><mi id="S5.SS1.p1.5.m5.2.2.1.1.1.2.3" xref="S5.SS1.p1.5.m5.2.2.1.1.1.2.3.cmml">t</mi><mrow id="S5.SS1.p1.5.m5.2.2.1.1.1.3" xref="S5.SS1.p1.5.m5.2.2.1.1.1.3.cmml"><mi id="S5.SS1.p1.5.m5.2.2.1.1.1.3.2" xref="S5.SS1.p1.5.m5.2.2.1.1.1.3.2.cmml"></mi><mo id="S5.SS1.p1.5.m5.2.2.1.1.1.3.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S5.SS1.p1.5.m5.2.2.1.1.1.3.1.cmml">×</mo><mn id="S5.SS1.p1.5.m5.2.2.1.1.1.3.3" xref="S5.SS1.p1.5.m5.2.2.1.1.1.3.3.cmml">3</mn></mrow></msubsup><mo id="S5.SS1.p1.5.m5.2.2.1.1.3" xref="S5.SS1.p1.5.m5.2.2.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS1.p1.5.m5.2b"><apply id="S5.SS1.p1.5.m5.2.2.2.cmml" xref="S5.SS1.p1.5.m5.2.2.1"><ci id="S5.SS1.p1.5.m5.1.1.cmml" xref="S5.SS1.p1.5.m5.1.1">span</ci><apply id="S5.SS1.p1.5.m5.2.2.1.1.1.cmml" xref="S5.SS1.p1.5.m5.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS1.p1.5.m5.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S5.SS1.p1.5.m5.2.2.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S5.SS1.p1.5.m5.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S5.SS1.p1.5.m5.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS1.p1.5.m5.2.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.SS1.p1.5.m5.2.2.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.SS1.p1.5.m5.2.2.1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.SS1.p1.5.m5.2.2.1.1.1.2.2">𝑆</ci><ci id="S5.SS1.p1.5.m5.2.2.1.1.1.2.3.cmml" xref="S5.SS1.p1.5.m5.2.2.1.1.1.2.3">𝑡</ci></apply><apply id="S5.SS1.p1.5.m5.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S5.SS1.p1.5.m5.2.2.1.1.1.3"><times id="S5.SS1.p1.5.m5.2.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.SS1.p1.5.m5.2.2.1.1.1.3.1"></times><csymbol cd="latexml" id="S5.SS1.p1.5.m5.2.2.1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.SS1.p1.5.m5.2.2.1.1.1.3.2">absent</csymbol><cn id="S5.SS1.p1.5.m5.2.2.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.SS1.p1.5.m5.2.2.1.1.1.3.3">3</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS1.p1.5.m5.2c">\operatorname{span}\left(S_{t}^{\times 3}\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS1.p1.5.m5.2d">roman_span ( italic_S start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT × 3 end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math>. By Corollary <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#Thmtheorem29" title="Corollary 29. ‣ IV.1 Deranged subspace ‣ IV Properties of the eigenspaces ‣ Conditional 𝑡-independent spectral gap for random quantum circuits and implications for 𝑡-design depths"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">29</span></a>, it furthermore suffices to check <math alttext="\operatorname{span}\left(\mathcal{D}_{3}^{(k)}\right)" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS1.p1.6.m6.3"><semantics id="S5.SS1.p1.6.m6.3a"><mrow id="S5.SS1.p1.6.m6.3.3.1" xref="S5.SS1.p1.6.m6.3.3.2.cmml"><mi id="S5.SS1.p1.6.m6.2.2" xref="S5.SS1.p1.6.m6.2.2.cmml">span</mi><mo id="S5.SS1.p1.6.m6.3.3.1a" xref="S5.SS1.p1.6.m6.3.3.2.cmml">⁡</mo><mrow id="S5.SS1.p1.6.m6.3.3.1.1" xref="S5.SS1.p1.6.m6.3.3.2.cmml"><mo id="S5.SS1.p1.6.m6.3.3.1.1.2" xref="S5.SS1.p1.6.m6.3.3.2.cmml">(</mo><msubsup id="S5.SS1.p1.6.m6.3.3.1.1.1" xref="S5.SS1.p1.6.m6.3.3.1.1.1.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S5.SS1.p1.6.m6.3.3.1.1.1.2.2" xref="S5.SS1.p1.6.m6.3.3.1.1.1.2.2.cmml">𝒟</mi><mn id="S5.SS1.p1.6.m6.3.3.1.1.1.2.3" xref="S5.SS1.p1.6.m6.3.3.1.1.1.2.3.cmml">3</mn><mrow id="S5.SS1.p1.6.m6.1.1.1.3" xref="S5.SS1.p1.6.m6.3.3.1.1.1.cmml"><mo id="S5.SS1.p1.6.m6.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S5.SS1.p1.6.m6.3.3.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S5.SS1.p1.6.m6.1.1.1.1" xref="S5.SS1.p1.6.m6.1.1.1.1.cmml">k</mi><mo id="S5.SS1.p1.6.m6.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S5.SS1.p1.6.m6.3.3.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></msubsup><mo id="S5.SS1.p1.6.m6.3.3.1.1.3" xref="S5.SS1.p1.6.m6.3.3.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS1.p1.6.m6.3b"><apply id="S5.SS1.p1.6.m6.3.3.2.cmml" xref="S5.SS1.p1.6.m6.3.3.1"><ci id="S5.SS1.p1.6.m6.2.2.cmml" xref="S5.SS1.p1.6.m6.2.2">span</ci><apply id="S5.SS1.p1.6.m6.3.3.1.1.1.cmml" xref="S5.SS1.p1.6.m6.3.3.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS1.p1.6.m6.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S5.SS1.p1.6.m6.3.3.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S5.SS1.p1.6.m6.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="S5.SS1.p1.6.m6.3.3.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS1.p1.6.m6.3.3.1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.SS1.p1.6.m6.3.3.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.SS1.p1.6.m6.3.3.1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.SS1.p1.6.m6.3.3.1.1.1.2.2">𝒟</ci><cn id="S5.SS1.p1.6.m6.3.3.1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.SS1.p1.6.m6.3.3.1.1.1.2.3">3</cn></apply><ci id="S5.SS1.p1.6.m6.1.1.1.1.cmml" xref="S5.SS1.p1.6.m6.1.1.1.1">𝑘</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS1.p1.6.m6.3c">\operatorname{span}\left(\mathcal{D}_{3}^{(k)}\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS1.p1.6.m6.3d">roman_span ( caligraphic_D start_POSTSUBSCRIPT 3 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_k ) end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math> for all <math alttext="k\leq t" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS1.p1.7.m7.1"><semantics id="S5.SS1.p1.7.m7.1a"><mrow id="S5.SS1.p1.7.m7.1.1" xref="S5.SS1.p1.7.m7.1.1.cmml"><mi id="S5.SS1.p1.7.m7.1.1.2" xref="S5.SS1.p1.7.m7.1.1.2.cmml">k</mi><mo id="S5.SS1.p1.7.m7.1.1.1" xref="S5.SS1.p1.7.m7.1.1.1.cmml">≤</mo><mi id="S5.SS1.p1.7.m7.1.1.3" xref="S5.SS1.p1.7.m7.1.1.3.cmml">t</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS1.p1.7.m7.1b"><apply id="S5.SS1.p1.7.m7.1.1.cmml" xref="S5.SS1.p1.7.m7.1.1"><leq id="S5.SS1.p1.7.m7.1.1.1.cmml" xref="S5.SS1.p1.7.m7.1.1.1"></leq><ci id="S5.SS1.p1.7.m7.1.1.2.cmml" xref="S5.SS1.p1.7.m7.1.1.2">𝑘</ci><ci id="S5.SS1.p1.7.m7.1.1.3.cmml" xref="S5.SS1.p1.7.m7.1.1.3">𝑡</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS1.p1.7.m7.1c">k\leq t</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS1.p1.7.m7.1d">italic_k ≤ italic_t</annotation></semantics></math>. And by Lemma <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#Thmtheorem21" title="Lemma 21. ‣ IV Properties of the eigenspaces ‣ Conditional 𝑡-independent spectral gap for random quantum circuits and implications for 𝑡-design depths"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">21</span></a>, it in fact suffices to check each isotypic component under the global left-action of <math alttext="S_{t}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS1.p1.8.m8.1"><semantics id="S5.SS1.p1.8.m8.1a"><msub id="S5.SS1.p1.8.m8.1.1" xref="S5.SS1.p1.8.m8.1.1.cmml"><mi id="S5.SS1.p1.8.m8.1.1.2" xref="S5.SS1.p1.8.m8.1.1.2.cmml">S</mi><mi id="S5.SS1.p1.8.m8.1.1.3" xref="S5.SS1.p1.8.m8.1.1.3.cmml">t</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS1.p1.8.m8.1b"><apply id="S5.SS1.p1.8.m8.1.1.cmml" xref="S5.SS1.p1.8.m8.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS1.p1.8.m8.1.1.1.cmml" xref="S5.SS1.p1.8.m8.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.SS1.p1.8.m8.1.1.2.cmml" xref="S5.SS1.p1.8.m8.1.1.2">𝑆</ci><ci id="S5.SS1.p1.8.m8.1.1.3.cmml" xref="S5.SS1.p1.8.m8.1.1.3">𝑡</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS1.p1.8.m8.1c">S_{t}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS1.p1.8.m8.1d">italic_S start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> separately. We will now introduce a convenient basis for this last space.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S5.SS1.p2"> <p class="ltx_p" id="S5.SS1.p2.4">Irreducible representations of <math alttext="S_{t}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS1.p2.1.m1.1"><semantics id="S5.SS1.p2.1.m1.1a"><msub id="S5.SS1.p2.1.m1.1.1" xref="S5.SS1.p2.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S5.SS1.p2.1.m1.1.1.2" xref="S5.SS1.p2.1.m1.1.1.2.cmml">S</mi><mi id="S5.SS1.p2.1.m1.1.1.3" xref="S5.SS1.p2.1.m1.1.1.3.cmml">t</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS1.p2.1.m1.1b"><apply id="S5.SS1.p2.1.m1.1.1.cmml" xref="S5.SS1.p2.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS1.p2.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S5.SS1.p2.1.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.SS1.p2.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S5.SS1.p2.1.m1.1.1.2">𝑆</ci><ci id="S5.SS1.p2.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S5.SS1.p2.1.m1.1.1.3">𝑡</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS1.p2.1.m1.1c">S_{t}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS1.p2.1.m1.1d">italic_S start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> are labeled by the partitions of <math alttext="t" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS1.p2.2.m2.1"><semantics id="S5.SS1.p2.2.m2.1a"><mi id="S5.SS1.p2.2.m2.1.1" xref="S5.SS1.p2.2.m2.1.1.cmml">t</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS1.p2.2.m2.1b"><ci id="S5.SS1.p2.2.m2.1.1.cmml" xref="S5.SS1.p2.2.m2.1.1">𝑡</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS1.p2.2.m2.1c">t</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS1.p2.2.m2.1d">italic_t</annotation></semantics></math>. For a particular partition <math alttext="\nu" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS1.p2.3.m3.1"><semantics id="S5.SS1.p2.3.m3.1a"><mi id="S5.SS1.p2.3.m3.1.1" xref="S5.SS1.p2.3.m3.1.1.cmml">ν</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS1.p2.3.m3.1b"><ci id="S5.SS1.p2.3.m3.1.1.cmml" xref="S5.SS1.p2.3.m3.1.1">𝜈</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS1.p2.3.m3.1c">\nu</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS1.p2.3.m3.1d">italic_ν</annotation></semantics></math>, let <math alttext="V_{\nu}:S_{t}\rightarrow\text{End}(\mathbb{R}^{d})" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS1.p2.4.m4.1"><semantics id="S5.SS1.p2.4.m4.1a"><mrow id="S5.SS1.p2.4.m4.1.1" xref="S5.SS1.p2.4.m4.1.1.cmml"><msub id="S5.SS1.p2.4.m4.1.1.3" xref="S5.SS1.p2.4.m4.1.1.3.cmml"><mi id="S5.SS1.p2.4.m4.1.1.3.2" xref="S5.SS1.p2.4.m4.1.1.3.2.cmml">V</mi><mi id="S5.SS1.p2.4.m4.1.1.3.3" xref="S5.SS1.p2.4.m4.1.1.3.3.cmml">ν</mi></msub><mo id="S5.SS1.p2.4.m4.1.1.2" lspace="0.278em" rspace="0.278em" xref="S5.SS1.p2.4.m4.1.1.2.cmml">:</mo><mrow id="S5.SS1.p2.4.m4.1.1.1" xref="S5.SS1.p2.4.m4.1.1.1.cmml"><msub id="S5.SS1.p2.4.m4.1.1.1.3" xref="S5.SS1.p2.4.m4.1.1.1.3.cmml"><mi id="S5.SS1.p2.4.m4.1.1.1.3.2" xref="S5.SS1.p2.4.m4.1.1.1.3.2.cmml">S</mi><mi id="S5.SS1.p2.4.m4.1.1.1.3.3" xref="S5.SS1.p2.4.m4.1.1.1.3.3.cmml">t</mi></msub><mo id="S5.SS1.p2.4.m4.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S5.SS1.p2.4.m4.1.1.1.2.cmml">→</mo><mrow id="S5.SS1.p2.4.m4.1.1.1.1" xref="S5.SS1.p2.4.m4.1.1.1.1.cmml"><mtext id="S5.SS1.p2.4.m4.1.1.1.1.3" xref="S5.SS1.p2.4.m4.1.1.1.1.3a.cmml">End</mtext><mo id="S5.SS1.p2.4.m4.1.1.1.1.2" xref="S5.SS1.p2.4.m4.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.SS1.p2.4.m4.1.1.1.1.1.1" xref="S5.SS1.p2.4.m4.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S5.SS1.p2.4.m4.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S5.SS1.p2.4.m4.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="S5.SS1.p2.4.m4.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.SS1.p2.4.m4.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S5.SS1.p2.4.m4.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.SS1.p2.4.m4.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">ℝ</mi><mi id="S5.SS1.p2.4.m4.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.SS1.p2.4.m4.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">d</mi></msup><mo id="S5.SS1.p2.4.m4.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S5.SS1.p2.4.m4.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS1.p2.4.m4.1b"><apply id="S5.SS1.p2.4.m4.1.1.cmml" xref="S5.SS1.p2.4.m4.1.1"><ci id="S5.SS1.p2.4.m4.1.1.2.cmml" xref="S5.SS1.p2.4.m4.1.1.2">:</ci><apply id="S5.SS1.p2.4.m4.1.1.3.cmml" xref="S5.SS1.p2.4.m4.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS1.p2.4.m4.1.1.3.1.cmml" xref="S5.SS1.p2.4.m4.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S5.SS1.p2.4.m4.1.1.3.2.cmml" xref="S5.SS1.p2.4.m4.1.1.3.2">𝑉</ci><ci id="S5.SS1.p2.4.m4.1.1.3.3.cmml" xref="S5.SS1.p2.4.m4.1.1.3.3">𝜈</ci></apply><apply id="S5.SS1.p2.4.m4.1.1.1.cmml" xref="S5.SS1.p2.4.m4.1.1.1"><ci id="S5.SS1.p2.4.m4.1.1.1.2.cmml" xref="S5.SS1.p2.4.m4.1.1.1.2">→</ci><apply id="S5.SS1.p2.4.m4.1.1.1.3.cmml" xref="S5.SS1.p2.4.m4.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS1.p2.4.m4.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.SS1.p2.4.m4.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S5.SS1.p2.4.m4.1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.SS1.p2.4.m4.1.1.1.3.2">𝑆</ci><ci id="S5.SS1.p2.4.m4.1.1.1.3.3.cmml" xref="S5.SS1.p2.4.m4.1.1.1.3.3">𝑡</ci></apply><apply id="S5.SS1.p2.4.m4.1.1.1.1.cmml" xref="S5.SS1.p2.4.m4.1.1.1.1"><times id="S5.SS1.p2.4.m4.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.SS1.p2.4.m4.1.1.1.1.2"></times><ci id="S5.SS1.p2.4.m4.1.1.1.1.3a.cmml" xref="S5.SS1.p2.4.m4.1.1.1.1.3"><mtext id="S5.SS1.p2.4.m4.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.SS1.p2.4.m4.1.1.1.1.3">End</mtext></ci><apply id="S5.SS1.p2.4.m4.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.SS1.p2.4.m4.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS1.p2.4.m4.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.SS1.p2.4.m4.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S5.SS1.p2.4.m4.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.SS1.p2.4.m4.1.1.1.1.1.1.1.2">ℝ</ci><ci id="S5.SS1.p2.4.m4.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.SS1.p2.4.m4.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑑</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS1.p2.4.m4.1c">V_{\nu}:S_{t}\rightarrow\text{End}(\mathbb{R}^{d})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS1.p2.4.m4.1d">italic_V start_POSTSUBSCRIPT italic_ν end_POSTSUBSCRIPT : italic_S start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT → End ( blackboard_R start_POSTSUPERSCRIPT italic_d end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math> be the corresponding irreducible representation in some basis.</p> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_lemma" id="Thmtheorem35"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmtheorem35.1.1.1">Lemma 35</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmtheorem35.2.2">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="Thmtheorem35.p1"> <p class="ltx_p" id="Thmtheorem35.p1.2"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmtheorem35.p1.2.2">Consider a global right action operator in an irreducible representation of <math alttext="S_{t}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem35.p1.1.1.m1.1"><semantics id="Thmtheorem35.p1.1.1.m1.1a"><msub id="Thmtheorem35.p1.1.1.m1.1.1" xref="Thmtheorem35.p1.1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="Thmtheorem35.p1.1.1.m1.1.1.2" xref="Thmtheorem35.p1.1.1.m1.1.1.2.cmml">S</mi><mi id="Thmtheorem35.p1.1.1.m1.1.1.3" xref="Thmtheorem35.p1.1.1.m1.1.1.3.cmml">t</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem35.p1.1.1.m1.1b"><apply id="Thmtheorem35.p1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem35.p1.1.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem35.p1.1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem35.p1.1.1.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="Thmtheorem35.p1.1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="Thmtheorem35.p1.1.1.m1.1.1.2">𝑆</ci><ci id="Thmtheorem35.p1.1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="Thmtheorem35.p1.1.1.m1.1.1.3">𝑡</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem35.p1.1.1.m1.1c">S_{t}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem35.p1.1.1.m1.1d">italic_S start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> indexed by a partition <math alttext="\nu" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem35.p1.2.2.m2.1"><semantics id="Thmtheorem35.p1.2.2.m2.1a"><mi id="Thmtheorem35.p1.2.2.m2.1.1" xref="Thmtheorem35.p1.2.2.m2.1.1.cmml">ν</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem35.p1.2.2.m2.1b"><ci id="Thmtheorem35.p1.2.2.m2.1.1.cmml" xref="Thmtheorem35.p1.2.2.m2.1.1">𝜈</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem35.p1.2.2.m2.1c">\nu</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem35.p1.2.2.m2.1d">italic_ν</annotation></semantics></math>:</span></p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_gather ltx_eqn_table" id="S6.EGx56"> <tbody id="S5.E60"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\displaystyle R_{\nu}^{ij}=\sum_{\rho\in S_{t}}V_{\nu}(\rho^{-1})^{ij}\rho_{R}" class="ltx_Math" display="block" id="S5.E60.m1.1"><semantics id="S5.E60.m1.1a"><mrow id="S5.E60.m1.1.1" xref="S5.E60.m1.1.1.cmml"><msubsup id="S5.E60.m1.1.1.3" xref="S5.E60.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S5.E60.m1.1.1.3.2.2" xref="S5.E60.m1.1.1.3.2.2.cmml">R</mi><mi id="S5.E60.m1.1.1.3.2.3" xref="S5.E60.m1.1.1.3.2.3.cmml">ν</mi><mrow id="S5.E60.m1.1.1.3.3" xref="S5.E60.m1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S5.E60.m1.1.1.3.3.2" xref="S5.E60.m1.1.1.3.3.2.cmml">i</mi><mo id="S5.E60.m1.1.1.3.3.1" xref="S5.E60.m1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.E60.m1.1.1.3.3.3" xref="S5.E60.m1.1.1.3.3.3.cmml">j</mi></mrow></msubsup><mo id="S5.E60.m1.1.1.2" rspace="0.111em" xref="S5.E60.m1.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S5.E60.m1.1.1.1" xref="S5.E60.m1.1.1.1.cmml"><munder id="S5.E60.m1.1.1.1.2" xref="S5.E60.m1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S5.E60.m1.1.1.1.2.2" movablelimits="false" xref="S5.E60.m1.1.1.1.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="S5.E60.m1.1.1.1.2.3" xref="S5.E60.m1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S5.E60.m1.1.1.1.2.3.2" xref="S5.E60.m1.1.1.1.2.3.2.cmml">ρ</mi><mo id="S5.E60.m1.1.1.1.2.3.1" xref="S5.E60.m1.1.1.1.2.3.1.cmml">∈</mo><msub id="S5.E60.m1.1.1.1.2.3.3" xref="S5.E60.m1.1.1.1.2.3.3.cmml"><mi id="S5.E60.m1.1.1.1.2.3.3.2" xref="S5.E60.m1.1.1.1.2.3.3.2.cmml">S</mi><mi id="S5.E60.m1.1.1.1.2.3.3.3" xref="S5.E60.m1.1.1.1.2.3.3.3.cmml">t</mi></msub></mrow></munder><mrow id="S5.E60.m1.1.1.1.1" xref="S5.E60.m1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S5.E60.m1.1.1.1.1.3" xref="S5.E60.m1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S5.E60.m1.1.1.1.1.3.2" xref="S5.E60.m1.1.1.1.1.3.2.cmml">V</mi><mi id="S5.E60.m1.1.1.1.1.3.3" xref="S5.E60.m1.1.1.1.1.3.3.cmml">ν</mi></msub><mo id="S5.E60.m1.1.1.1.1.2" xref="S5.E60.m1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msup id="S5.E60.m1.1.1.1.1.1" xref="S5.E60.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S5.E60.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.E60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S5.E60.m1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S5.E60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="S5.E60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.E60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S5.E60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.E60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">ρ</mi><mrow id="S5.E60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.E60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="S5.E60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3a" xref="S5.E60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">−</mo><mn id="S5.E60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S5.E60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="S5.E60.m1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S5.E60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S5.E60.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.E60.m1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S5.E60.m1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S5.E60.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">i</mi><mo id="S5.E60.m1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S5.E60.m1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.E60.m1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S5.E60.m1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">j</mi></mrow></msup><mo id="S5.E60.m1.1.1.1.1.2a" xref="S5.E60.m1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="S5.E60.m1.1.1.1.1.4" xref="S5.E60.m1.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="S5.E60.m1.1.1.1.1.4.2" xref="S5.E60.m1.1.1.1.1.4.2.cmml">ρ</mi><mi id="S5.E60.m1.1.1.1.1.4.3" xref="S5.E60.m1.1.1.1.1.4.3.cmml">R</mi></msub></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.E60.m1.1b"><apply id="S5.E60.m1.1.1.cmml" xref="S5.E60.m1.1.1"><eq id="S5.E60.m1.1.1.2.cmml" xref="S5.E60.m1.1.1.2"></eq><apply id="S5.E60.m1.1.1.3.cmml" xref="S5.E60.m1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E60.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.E60.m1.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="S5.E60.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.E60.m1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E60.m1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S5.E60.m1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S5.E60.m1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S5.E60.m1.1.1.3.2.2">𝑅</ci><ci id="S5.E60.m1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S5.E60.m1.1.1.3.2.3">𝜈</ci></apply><apply id="S5.E60.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S5.E60.m1.1.1.3.3"><times id="S5.E60.m1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S5.E60.m1.1.1.3.3.1"></times><ci id="S5.E60.m1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S5.E60.m1.1.1.3.3.2">𝑖</ci><ci id="S5.E60.m1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S5.E60.m1.1.1.3.3.3">𝑗</ci></apply></apply><apply id="S5.E60.m1.1.1.1.cmml" xref="S5.E60.m1.1.1.1"><apply id="S5.E60.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.E60.m1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E60.m1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.E60.m1.1.1.1.2">subscript</csymbol><sum id="S5.E60.m1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.E60.m1.1.1.1.2.2"></sum><apply id="S5.E60.m1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S5.E60.m1.1.1.1.2.3"><in id="S5.E60.m1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S5.E60.m1.1.1.1.2.3.1"></in><ci id="S5.E60.m1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S5.E60.m1.1.1.1.2.3.2">𝜌</ci><apply id="S5.E60.m1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S5.E60.m1.1.1.1.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E60.m1.1.1.1.2.3.3.1.cmml" xref="S5.E60.m1.1.1.1.2.3.3">subscript</csymbol><ci id="S5.E60.m1.1.1.1.2.3.3.2.cmml" xref="S5.E60.m1.1.1.1.2.3.3.2">𝑆</ci><ci id="S5.E60.m1.1.1.1.2.3.3.3.cmml" xref="S5.E60.m1.1.1.1.2.3.3.3">𝑡</ci></apply></apply></apply><apply id="S5.E60.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.E60.m1.1.1.1.1"><times id="S5.E60.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.E60.m1.1.1.1.1.2"></times><apply id="S5.E60.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.E60.m1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E60.m1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.E60.m1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S5.E60.m1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.E60.m1.1.1.1.1.3.2">𝑉</ci><ci id="S5.E60.m1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S5.E60.m1.1.1.1.1.3.3">𝜈</ci></apply><apply id="S5.E60.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.E60.m1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E60.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.E60.m1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S5.E60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.E60.m1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.E60.m1.1.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S5.E60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.E60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝜌</ci><apply id="S5.E60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.E60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><minus id="S5.E60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.E60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"></minus><cn id="S5.E60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S5.E60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">1</cn></apply></apply><apply id="S5.E60.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.E60.m1.1.1.1.1.1.3"><times id="S5.E60.m1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.E60.m1.1.1.1.1.1.3.1"></times><ci id="S5.E60.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.E60.m1.1.1.1.1.1.3.2">𝑖</ci><ci id="S5.E60.m1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S5.E60.m1.1.1.1.1.1.3.3">𝑗</ci></apply></apply><apply id="S5.E60.m1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S5.E60.m1.1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E60.m1.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="S5.E60.m1.1.1.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="S5.E60.m1.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="S5.E60.m1.1.1.1.1.4.2">𝜌</ci><ci id="S5.E60.m1.1.1.1.1.4.3.cmml" xref="S5.E60.m1.1.1.1.1.4.3">𝑅</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.E60.m1.1c">\displaystyle R_{\nu}^{ij}=\sum_{\rho\in S_{t}}V_{\nu}(\rho^{-1})^{ij}\rho_{R}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.E60.m1.1d">italic_R start_POSTSUBSCRIPT italic_ν end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_i italic_j end_POSTSUPERSCRIPT = ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_ρ ∈ italic_S start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT italic_V start_POSTSUBSCRIPT italic_ν end_POSTSUBSCRIPT ( italic_ρ start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_i italic_j end_POSTSUPERSCRIPT italic_ρ start_POSTSUBSCRIPT italic_R end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(60)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="Thmtheorem35.p1.4"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmtheorem35.p1.4.2">A basis for the isotypic component of <math alttext="\operatorname{image}(\Pi_{m})" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem35.p1.3.1.m1.2"><semantics id="Thmtheorem35.p1.3.1.m1.2a"><mrow id="Thmtheorem35.p1.3.1.m1.2.2.1" xref="Thmtheorem35.p1.3.1.m1.2.2.2.cmml"><mi id="Thmtheorem35.p1.3.1.m1.1.1" xref="Thmtheorem35.p1.3.1.m1.1.1.cmml">image</mi><mo id="Thmtheorem35.p1.3.1.m1.2.2.1a" xref="Thmtheorem35.p1.3.1.m1.2.2.2.cmml">⁡</mo><mrow id="Thmtheorem35.p1.3.1.m1.2.2.1.1" xref="Thmtheorem35.p1.3.1.m1.2.2.2.cmml"><mo id="Thmtheorem35.p1.3.1.m1.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="Thmtheorem35.p1.3.1.m1.2.2.2.cmml">(</mo><msub id="Thmtheorem35.p1.3.1.m1.2.2.1.1.1" xref="Thmtheorem35.p1.3.1.m1.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="Thmtheorem35.p1.3.1.m1.2.2.1.1.1.2" mathvariant="normal" xref="Thmtheorem35.p1.3.1.m1.2.2.1.1.1.2.cmml">Π</mi><mi id="Thmtheorem35.p1.3.1.m1.2.2.1.1.1.3" xref="Thmtheorem35.p1.3.1.m1.2.2.1.1.1.3.cmml">m</mi></msub><mo id="Thmtheorem35.p1.3.1.m1.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="Thmtheorem35.p1.3.1.m1.2.2.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem35.p1.3.1.m1.2b"><apply id="Thmtheorem35.p1.3.1.m1.2.2.2.cmml" xref="Thmtheorem35.p1.3.1.m1.2.2.1"><ci id="Thmtheorem35.p1.3.1.m1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem35.p1.3.1.m1.1.1">image</ci><apply id="Thmtheorem35.p1.3.1.m1.2.2.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem35.p1.3.1.m1.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem35.p1.3.1.m1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem35.p1.3.1.m1.2.2.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="Thmtheorem35.p1.3.1.m1.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="Thmtheorem35.p1.3.1.m1.2.2.1.1.1.2">Π</ci><ci id="Thmtheorem35.p1.3.1.m1.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="Thmtheorem35.p1.3.1.m1.2.2.1.1.1.3">𝑚</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem35.p1.3.1.m1.2c">\operatorname{image}(\Pi_{m})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem35.p1.3.1.m1.2d">roman_image ( roman_Π start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math> corresponding to <math alttext="\nu" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem35.p1.4.2.m2.1"><semantics id="Thmtheorem35.p1.4.2.m2.1a"><mi id="Thmtheorem35.p1.4.2.m2.1.1" xref="Thmtheorem35.p1.4.2.m2.1.1.cmml">ν</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem35.p1.4.2.m2.1b"><ci id="Thmtheorem35.p1.4.2.m2.1.1.cmml" xref="Thmtheorem35.p1.4.2.m2.1.1">𝜈</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem35.p1.4.2.m2.1c">\nu</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem35.p1.4.2.m2.1d">italic_ν</annotation></semantics></math> is given by</span></p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_gather ltx_eqn_table" id="S6.EGx57"> <tbody id="S5.E61"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\displaystyle\left\{\ket{e_{\nu}^{ij,\sigma}}=R_{\nu}^{ij}\ket{I,I,\sigma}% \bigg{|}\sigma\in S_{t},i,j\in\{1...d_{\nu}\}\right\}" class="ltx_Math" display="block" id="S5.E61.m1.5"><semantics id="S5.E61.m1.5a"><mrow id="S5.E61.m1.5.5.2" xref="S5.E61.m1.5.5.3.cmml"><mo id="S5.E61.m1.5.5.2.3" xref="S5.E61.m1.5.5.3.1.cmml">{</mo><mrow id="S5.E61.m1.4.4.1.1" xref="S5.E61.m1.4.4.1.1.cmml"><mrow id="S5.E61.m1.1.1.3" xref="S5.E61.m1.1.1.2.cmml"><mo id="S5.E61.m1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S5.E61.m1.1.1.2.1.cmml">|</mo><msubsup id="S5.E61.m1.1.1.1.1" xref="S5.E61.m1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S5.E61.m1.1.1.1.1.4.2" xref="S5.E61.m1.1.1.1.1.4.2.cmml">e</mi><mi id="S5.E61.m1.1.1.1.1.4.3" xref="S5.E61.m1.1.1.1.1.4.3.cmml">ν</mi><mrow id="S5.E61.m1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S5.E61.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mrow id="S5.E61.m1.1.1.1.1.2.2.2.1" xref="S5.E61.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml"><mi id="S5.E61.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.2" xref="S5.E61.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.2.cmml">i</mi><mo id="S5.E61.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1" xref="S5.E61.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.E61.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.3" xref="S5.E61.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.3.cmml">j</mi></mrow><mo id="S5.E61.m1.1.1.1.1.2.2.2.2" xref="S5.E61.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S5.E61.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.E61.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">σ</mi></mrow></msubsup><mo id="S5.E61.m1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S5.E61.m1.1.1.2.1.cmml">⟩</mo></mrow><mo id="S5.E61.m1.4.4.1.1.1" xref="S5.E61.m1.4.4.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S5.E61.m1.4.4.1.1.2" xref="S5.E61.m1.4.4.1.1.2.cmml"><msubsup id="S5.E61.m1.4.4.1.1.2.2" xref="S5.E61.m1.4.4.1.1.2.2.cmml"><mi id="S5.E61.m1.4.4.1.1.2.2.2.2" xref="S5.E61.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.cmml">R</mi><mi id="S5.E61.m1.4.4.1.1.2.2.2.3" xref="S5.E61.m1.4.4.1.1.2.2.2.3.cmml">ν</mi><mrow id="S5.E61.m1.4.4.1.1.2.2.3" xref="S5.E61.m1.4.4.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="S5.E61.m1.4.4.1.1.2.2.3.2" xref="S5.E61.m1.4.4.1.1.2.2.3.2.cmml">i</mi><mo id="S5.E61.m1.4.4.1.1.2.2.3.1" xref="S5.E61.m1.4.4.1.1.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.E61.m1.4.4.1.1.2.2.3.3" xref="S5.E61.m1.4.4.1.1.2.2.3.3.cmml">j</mi></mrow></msubsup><mo id="S5.E61.m1.4.4.1.1.2.1" xref="S5.E61.m1.4.4.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.E61.m1.2.2.3" xref="S5.E61.m1.2.2.2.cmml"><mo id="S5.E61.m1.2.2.3.1" stretchy="false" xref="S5.E61.m1.2.2.2.1.cmml">|</mo><mrow id="S5.E61.m1.2.2.1.1.5" xref="S5.E61.m1.2.2.1.1.4.cmml"><mi id="S5.E61.m1.2.2.1.1.1" xref="S5.E61.m1.2.2.1.1.1.cmml">I</mi><mo id="S5.E61.m1.2.2.1.1.5.1" xref="S5.E61.m1.2.2.1.1.4.cmml">,</mo><mi id="S5.E61.m1.2.2.1.1.2" xref="S5.E61.m1.2.2.1.1.2.cmml">I</mi><mo id="S5.E61.m1.2.2.1.1.5.2" xref="S5.E61.m1.2.2.1.1.4.cmml">,</mo><mi id="S5.E61.m1.2.2.1.1.3" xref="S5.E61.m1.2.2.1.1.3.cmml">σ</mi></mrow><mo id="S5.E61.m1.2.2.3.2" stretchy="false" xref="S5.E61.m1.2.2.2.1.cmml">⟩</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S5.E61.m1.5.5.2.4" lspace="0em" mathsize="210%" rspace="0em" xref="S5.E61.m1.5.5.3.1.cmml">|</mo><mrow id="S5.E61.m1.5.5.2.2.2" xref="S5.E61.m1.5.5.2.2.3.cmml"><mrow id="S5.E61.m1.5.5.2.2.1.1" xref="S5.E61.m1.5.5.2.2.1.1.cmml"><mi id="S5.E61.m1.5.5.2.2.1.1.3" xref="S5.E61.m1.5.5.2.2.1.1.3.cmml">σ</mi><mo id="S5.E61.m1.5.5.2.2.1.1.2" xref="S5.E61.m1.5.5.2.2.1.1.2.cmml">∈</mo><mrow id="S5.E61.m1.5.5.2.2.1.1.1.1" xref="S5.E61.m1.5.5.2.2.1.1.1.2.cmml"><msub id="S5.E61.m1.5.5.2.2.1.1.1.1.1" xref="S5.E61.m1.5.5.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S5.E61.m1.5.5.2.2.1.1.1.1.1.2" xref="S5.E61.m1.5.5.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml">S</mi><mi id="S5.E61.m1.5.5.2.2.1.1.1.1.1.3" xref="S5.E61.m1.5.5.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml">t</mi></msub><mo id="S5.E61.m1.5.5.2.2.1.1.1.1.2" xref="S5.E61.m1.5.5.2.2.1.1.1.2.cmml">,</mo><mi id="S5.E61.m1.3.3" xref="S5.E61.m1.3.3.cmml">i</mi></mrow></mrow><mo id="S5.E61.m1.5.5.2.2.2.3" xref="S5.E61.m1.5.5.2.2.3a.cmml">,</mo><mrow id="S5.E61.m1.5.5.2.2.2.2" xref="S5.E61.m1.5.5.2.2.2.2.cmml"><mi id="S5.E61.m1.5.5.2.2.2.2.3" xref="S5.E61.m1.5.5.2.2.2.2.3.cmml">j</mi><mo id="S5.E61.m1.5.5.2.2.2.2.2" xref="S5.E61.m1.5.5.2.2.2.2.2.cmml">∈</mo><mrow id="S5.E61.m1.5.5.2.2.2.2.1.1" xref="S5.E61.m1.5.5.2.2.2.2.1.2.cmml"><mo id="S5.E61.m1.5.5.2.2.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S5.E61.m1.5.5.2.2.2.2.1.2.cmml">{</mo><mrow id="S5.E61.m1.5.5.2.2.2.2.1.1.1" xref="S5.E61.m1.5.5.2.2.2.2.1.1.1.cmml"><mn id="S5.E61.m1.5.5.2.2.2.2.1.1.1.2" xref="S5.E61.m1.5.5.2.2.2.2.1.1.1.2.cmml">1</mn><mo id="S5.E61.m1.5.5.2.2.2.2.1.1.1.1" xref="S5.E61.m1.5.5.2.2.2.2.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.E61.m1.5.5.2.2.2.2.1.1.1.3" mathvariant="normal" xref="S5.E61.m1.5.5.2.2.2.2.1.1.1.3.cmml">…</mi><mo id="S5.E61.m1.5.5.2.2.2.2.1.1.1.1a" xref="S5.E61.m1.5.5.2.2.2.2.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S5.E61.m1.5.5.2.2.2.2.1.1.1.4" xref="S5.E61.m1.5.5.2.2.2.2.1.1.1.4.cmml"><mi id="S5.E61.m1.5.5.2.2.2.2.1.1.1.4.2" xref="S5.E61.m1.5.5.2.2.2.2.1.1.1.4.2.cmml">d</mi><mi id="S5.E61.m1.5.5.2.2.2.2.1.1.1.4.3" xref="S5.E61.m1.5.5.2.2.2.2.1.1.1.4.3.cmml">ν</mi></msub></mrow><mo id="S5.E61.m1.5.5.2.2.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S5.E61.m1.5.5.2.2.2.2.1.2.cmml">}</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S5.E61.m1.5.5.2.5" xref="S5.E61.m1.5.5.3.1.cmml">}</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.E61.m1.5b"><apply id="S5.E61.m1.5.5.3.cmml" xref="S5.E61.m1.5.5.2"><csymbol cd="latexml" id="S5.E61.m1.5.5.3.1.cmml" xref="S5.E61.m1.5.5.2.3">conditional-set</csymbol><apply id="S5.E61.m1.4.4.1.1.cmml" xref="S5.E61.m1.4.4.1.1"><eq id="S5.E61.m1.4.4.1.1.1.cmml" xref="S5.E61.m1.4.4.1.1.1"></eq><apply id="S5.E61.m1.1.1.2.cmml" xref="S5.E61.m1.1.1.3"><csymbol cd="latexml" id="S5.E61.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.E61.m1.1.1.3.1">ket</csymbol><apply id="S5.E61.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.E61.m1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E61.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.E61.m1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S5.E61.m1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S5.E61.m1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E61.m1.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="S5.E61.m1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.E61.m1.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="S5.E61.m1.1.1.1.1.4.2">𝑒</ci><ci id="S5.E61.m1.1.1.1.1.4.3.cmml" xref="S5.E61.m1.1.1.1.1.4.3">𝜈</ci></apply><list id="S5.E61.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S5.E61.m1.1.1.1.1.2.2.2"><apply id="S5.E61.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S5.E61.m1.1.1.1.1.2.2.2.1"><times id="S5.E61.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.cmml" xref="S5.E61.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1"></times><ci id="S5.E61.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.2.cmml" xref="S5.E61.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.2">𝑖</ci><ci id="S5.E61.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.3.cmml" xref="S5.E61.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.3">𝑗</ci></apply><ci id="S5.E61.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.E61.m1.1.1.1.1.1.1.1">𝜎</ci></list></apply></apply><apply id="S5.E61.m1.4.4.1.1.2.cmml" xref="S5.E61.m1.4.4.1.1.2"><times id="S5.E61.m1.4.4.1.1.2.1.cmml" xref="S5.E61.m1.4.4.1.1.2.1"></times><apply id="S5.E61.m1.4.4.1.1.2.2.cmml" xref="S5.E61.m1.4.4.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E61.m1.4.4.1.1.2.2.1.cmml" xref="S5.E61.m1.4.4.1.1.2.2">superscript</csymbol><apply id="S5.E61.m1.4.4.1.1.2.2.2.cmml" xref="S5.E61.m1.4.4.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E61.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S5.E61.m1.4.4.1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S5.E61.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S5.E61.m1.4.4.1.1.2.2.2.2">𝑅</ci><ci id="S5.E61.m1.4.4.1.1.2.2.2.3.cmml" xref="S5.E61.m1.4.4.1.1.2.2.2.3">𝜈</ci></apply><apply id="S5.E61.m1.4.4.1.1.2.2.3.cmml" xref="S5.E61.m1.4.4.1.1.2.2.3"><times id="S5.E61.m1.4.4.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S5.E61.m1.4.4.1.1.2.2.3.1"></times><ci id="S5.E61.m1.4.4.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S5.E61.m1.4.4.1.1.2.2.3.2">𝑖</ci><ci id="S5.E61.m1.4.4.1.1.2.2.3.3.cmml" xref="S5.E61.m1.4.4.1.1.2.2.3.3">𝑗</ci></apply></apply><apply id="S5.E61.m1.2.2.2.cmml" xref="S5.E61.m1.2.2.3"><csymbol cd="latexml" id="S5.E61.m1.2.2.2.1.cmml" xref="S5.E61.m1.2.2.3.1">ket</csymbol><list id="S5.E61.m1.2.2.1.1.4.cmml" xref="S5.E61.m1.2.2.1.1.5"><ci id="S5.E61.m1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S5.E61.m1.2.2.1.1.1">𝐼</ci><ci id="S5.E61.m1.2.2.1.1.2.cmml" xref="S5.E61.m1.2.2.1.1.2">𝐼</ci><ci id="S5.E61.m1.2.2.1.1.3.cmml" xref="S5.E61.m1.2.2.1.1.3">𝜎</ci></list></apply></apply></apply><apply id="S5.E61.m1.5.5.2.2.3.cmml" xref="S5.E61.m1.5.5.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E61.m1.5.5.2.2.3a.cmml" xref="S5.E61.m1.5.5.2.2.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S5.E61.m1.5.5.2.2.1.1.cmml" xref="S5.E61.m1.5.5.2.2.1.1"><in id="S5.E61.m1.5.5.2.2.1.1.2.cmml" xref="S5.E61.m1.5.5.2.2.1.1.2"></in><ci id="S5.E61.m1.5.5.2.2.1.1.3.cmml" xref="S5.E61.m1.5.5.2.2.1.1.3">𝜎</ci><list id="S5.E61.m1.5.5.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S5.E61.m1.5.5.2.2.1.1.1.1"><apply id="S5.E61.m1.5.5.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.E61.m1.5.5.2.2.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E61.m1.5.5.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.E61.m1.5.5.2.2.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.E61.m1.5.5.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.E61.m1.5.5.2.2.1.1.1.1.1.2">𝑆</ci><ci id="S5.E61.m1.5.5.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.E61.m1.5.5.2.2.1.1.1.1.1.3">𝑡</ci></apply><ci id="S5.E61.m1.3.3.cmml" xref="S5.E61.m1.3.3">𝑖</ci></list></apply><apply id="S5.E61.m1.5.5.2.2.2.2.cmml" xref="S5.E61.m1.5.5.2.2.2.2"><in id="S5.E61.m1.5.5.2.2.2.2.2.cmml" xref="S5.E61.m1.5.5.2.2.2.2.2"></in><ci id="S5.E61.m1.5.5.2.2.2.2.3.cmml" xref="S5.E61.m1.5.5.2.2.2.2.3">𝑗</ci><set id="S5.E61.m1.5.5.2.2.2.2.1.2.cmml" xref="S5.E61.m1.5.5.2.2.2.2.1.1"><apply id="S5.E61.m1.5.5.2.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S5.E61.m1.5.5.2.2.2.2.1.1.1"><times id="S5.E61.m1.5.5.2.2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S5.E61.m1.5.5.2.2.2.2.1.1.1.1"></times><cn id="S5.E61.m1.5.5.2.2.2.2.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S5.E61.m1.5.5.2.2.2.2.1.1.1.2">1</cn><ci id="S5.E61.m1.5.5.2.2.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S5.E61.m1.5.5.2.2.2.2.1.1.1.3">…</ci><apply id="S5.E61.m1.5.5.2.2.2.2.1.1.1.4.cmml" xref="S5.E61.m1.5.5.2.2.2.2.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E61.m1.5.5.2.2.2.2.1.1.1.4.1.cmml" xref="S5.E61.m1.5.5.2.2.2.2.1.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="S5.E61.m1.5.5.2.2.2.2.1.1.1.4.2.cmml" xref="S5.E61.m1.5.5.2.2.2.2.1.1.1.4.2">𝑑</ci><ci id="S5.E61.m1.5.5.2.2.2.2.1.1.1.4.3.cmml" xref="S5.E61.m1.5.5.2.2.2.2.1.1.1.4.3">𝜈</ci></apply></apply></set></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.E61.m1.5c">\displaystyle\left\{\ket{e_{\nu}^{ij,\sigma}}=R_{\nu}^{ij}\ket{I,I,\sigma}% \bigg{|}\sigma\in S_{t},i,j\in\{1...d_{\nu}\}\right\}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.E61.m1.5d">{ | start_ARG italic_e start_POSTSUBSCRIPT italic_ν end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_i italic_j , italic_σ end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG ⟩ = italic_R start_POSTSUBSCRIPT italic_ν end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_i italic_j end_POSTSUPERSCRIPT | start_ARG italic_I , italic_I , italic_σ end_ARG ⟩ | italic_σ ∈ italic_S start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT , italic_i , italic_j ∈ { 1 … italic_d start_POSTSUBSCRIPT italic_ν end_POSTSUBSCRIPT } }</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(61)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="Thmtheorem35.p1.7"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmtheorem35.p1.7.3">Furthermore, the subset of such states for which <math alttext="\sigma" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem35.p1.5.1.m1.1"><semantics id="Thmtheorem35.p1.5.1.m1.1a"><mi id="Thmtheorem35.p1.5.1.m1.1.1" xref="Thmtheorem35.p1.5.1.m1.1.1.cmml">σ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem35.p1.5.1.m1.1b"><ci id="Thmtheorem35.p1.5.1.m1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem35.p1.5.1.m1.1.1">𝜎</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem35.p1.5.1.m1.1c">\sigma</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem35.p1.5.1.m1.1d">italic_σ</annotation></semantics></math> is a complete derangement is a basis for the isotypic component of <math alttext="\operatorname{span}\left(\mathfrak{D}_{3}^{(t)}\right)\cap\operatorname{image}% (\Pi_{m})" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem35.p1.6.2.m2.5"><semantics id="Thmtheorem35.p1.6.2.m2.5a"><mrow id="Thmtheorem35.p1.6.2.m2.5.5" xref="Thmtheorem35.p1.6.2.m2.5.5.cmml"><mrow id="Thmtheorem35.p1.6.2.m2.4.4.1.1" xref="Thmtheorem35.p1.6.2.m2.4.4.1.2.cmml"><mi id="Thmtheorem35.p1.6.2.m2.2.2" xref="Thmtheorem35.p1.6.2.m2.2.2.cmml">span</mi><mo id="Thmtheorem35.p1.6.2.m2.4.4.1.1a" xref="Thmtheorem35.p1.6.2.m2.4.4.1.2.cmml">⁡</mo><mrow id="Thmtheorem35.p1.6.2.m2.4.4.1.1.1" xref="Thmtheorem35.p1.6.2.m2.4.4.1.2.cmml"><mo id="Thmtheorem35.p1.6.2.m2.4.4.1.1.1.2" xref="Thmtheorem35.p1.6.2.m2.4.4.1.2.cmml">(</mo><msubsup id="Thmtheorem35.p1.6.2.m2.4.4.1.1.1.1" xref="Thmtheorem35.p1.6.2.m2.4.4.1.1.1.1.cmml"><mi id="Thmtheorem35.p1.6.2.m2.4.4.1.1.1.1.2.2" xref="Thmtheorem35.p1.6.2.m2.4.4.1.1.1.1.2.2.cmml">𝔇</mi><mn id="Thmtheorem35.p1.6.2.m2.4.4.1.1.1.1.2.3" xref="Thmtheorem35.p1.6.2.m2.4.4.1.1.1.1.2.3.cmml">3</mn><mrow id="Thmtheorem35.p1.6.2.m2.1.1.1.3" xref="Thmtheorem35.p1.6.2.m2.4.4.1.1.1.1.cmml"><mo id="Thmtheorem35.p1.6.2.m2.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="Thmtheorem35.p1.6.2.m2.4.4.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="Thmtheorem35.p1.6.2.m2.1.1.1.1" xref="Thmtheorem35.p1.6.2.m2.1.1.1.1.cmml">t</mi><mo id="Thmtheorem35.p1.6.2.m2.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="Thmtheorem35.p1.6.2.m2.4.4.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></msubsup><mo id="Thmtheorem35.p1.6.2.m2.4.4.1.1.1.3" xref="Thmtheorem35.p1.6.2.m2.4.4.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="Thmtheorem35.p1.6.2.m2.5.5.3" xref="Thmtheorem35.p1.6.2.m2.5.5.3.cmml">∩</mo><mrow id="Thmtheorem35.p1.6.2.m2.5.5.2.1" xref="Thmtheorem35.p1.6.2.m2.5.5.2.2.cmml"><mi id="Thmtheorem35.p1.6.2.m2.3.3" xref="Thmtheorem35.p1.6.2.m2.3.3.cmml">image</mi><mo id="Thmtheorem35.p1.6.2.m2.5.5.2.1a" xref="Thmtheorem35.p1.6.2.m2.5.5.2.2.cmml">⁡</mo><mrow id="Thmtheorem35.p1.6.2.m2.5.5.2.1.1" xref="Thmtheorem35.p1.6.2.m2.5.5.2.2.cmml"><mo id="Thmtheorem35.p1.6.2.m2.5.5.2.1.1.2" stretchy="false" xref="Thmtheorem35.p1.6.2.m2.5.5.2.2.cmml">(</mo><msub id="Thmtheorem35.p1.6.2.m2.5.5.2.1.1.1" xref="Thmtheorem35.p1.6.2.m2.5.5.2.1.1.1.cmml"><mi id="Thmtheorem35.p1.6.2.m2.5.5.2.1.1.1.2" mathvariant="normal" xref="Thmtheorem35.p1.6.2.m2.5.5.2.1.1.1.2.cmml">Π</mi><mi id="Thmtheorem35.p1.6.2.m2.5.5.2.1.1.1.3" xref="Thmtheorem35.p1.6.2.m2.5.5.2.1.1.1.3.cmml">m</mi></msub><mo id="Thmtheorem35.p1.6.2.m2.5.5.2.1.1.3" stretchy="false" xref="Thmtheorem35.p1.6.2.m2.5.5.2.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem35.p1.6.2.m2.5b"><apply id="Thmtheorem35.p1.6.2.m2.5.5.cmml" xref="Thmtheorem35.p1.6.2.m2.5.5"><intersect id="Thmtheorem35.p1.6.2.m2.5.5.3.cmml" xref="Thmtheorem35.p1.6.2.m2.5.5.3"></intersect><apply id="Thmtheorem35.p1.6.2.m2.4.4.1.2.cmml" xref="Thmtheorem35.p1.6.2.m2.4.4.1.1"><ci id="Thmtheorem35.p1.6.2.m2.2.2.cmml" xref="Thmtheorem35.p1.6.2.m2.2.2">span</ci><apply id="Thmtheorem35.p1.6.2.m2.4.4.1.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem35.p1.6.2.m2.4.4.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem35.p1.6.2.m2.4.4.1.1.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem35.p1.6.2.m2.4.4.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="Thmtheorem35.p1.6.2.m2.4.4.1.1.1.1.2.cmml" xref="Thmtheorem35.p1.6.2.m2.4.4.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem35.p1.6.2.m2.4.4.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="Thmtheorem35.p1.6.2.m2.4.4.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="Thmtheorem35.p1.6.2.m2.4.4.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="Thmtheorem35.p1.6.2.m2.4.4.1.1.1.1.2.2">𝔇</ci><cn id="Thmtheorem35.p1.6.2.m2.4.4.1.1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="Thmtheorem35.p1.6.2.m2.4.4.1.1.1.1.2.3">3</cn></apply><ci id="Thmtheorem35.p1.6.2.m2.1.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem35.p1.6.2.m2.1.1.1.1">𝑡</ci></apply></apply><apply id="Thmtheorem35.p1.6.2.m2.5.5.2.2.cmml" xref="Thmtheorem35.p1.6.2.m2.5.5.2.1"><ci id="Thmtheorem35.p1.6.2.m2.3.3.cmml" xref="Thmtheorem35.p1.6.2.m2.3.3">image</ci><apply id="Thmtheorem35.p1.6.2.m2.5.5.2.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem35.p1.6.2.m2.5.5.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem35.p1.6.2.m2.5.5.2.1.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem35.p1.6.2.m2.5.5.2.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="Thmtheorem35.p1.6.2.m2.5.5.2.1.1.1.2.cmml" xref="Thmtheorem35.p1.6.2.m2.5.5.2.1.1.1.2">Π</ci><ci id="Thmtheorem35.p1.6.2.m2.5.5.2.1.1.1.3.cmml" xref="Thmtheorem35.p1.6.2.m2.5.5.2.1.1.1.3">𝑚</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem35.p1.6.2.m2.5c">\operatorname{span}\left(\mathfrak{D}_{3}^{(t)}\right)\cap\operatorname{image}% (\Pi_{m})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem35.p1.6.2.m2.5d">roman_span ( fraktur_D start_POSTSUBSCRIPT 3 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_t ) end_POSTSUPERSCRIPT ) ∩ roman_image ( roman_Π start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math> corresponding to <math alttext="\nu" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem35.p1.7.3.m3.1"><semantics id="Thmtheorem35.p1.7.3.m3.1a"><mi id="Thmtheorem35.p1.7.3.m3.1.1" xref="Thmtheorem35.p1.7.3.m3.1.1.cmml">ν</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem35.p1.7.3.m3.1b"><ci id="Thmtheorem35.p1.7.3.m3.1.1.cmml" xref="Thmtheorem35.p1.7.3.m3.1.1">𝜈</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem35.p1.7.3.m3.1c">\nu</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem35.p1.7.3.m3.1d">italic_ν</annotation></semantics></math>.</span></p> </div> </div> <div class="ltx_para" id="S5.SS1.p3"> <p class="ltx_p" id="S5.SS1.p3.4">Note that <math alttext="\ket{e_{\nu}^{ij,\sigma}}\in\operatorname{span}\left(\mathfrak{D}_{3}^{(t)}\right)" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS1.p3.1.m1.4"><semantics id="S5.SS1.p3.1.m1.4a"><mrow id="S5.SS1.p3.1.m1.4.4" xref="S5.SS1.p3.1.m1.4.4.cmml"><mrow id="S5.SS1.p3.1.m1.1.1.3" xref="S5.SS1.p3.1.m1.1.1.2.cmml"><mo id="S5.SS1.p3.1.m1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S5.SS1.p3.1.m1.1.1.2.1.cmml">|</mo><msubsup id="S5.SS1.p3.1.m1.1.1.1.1" xref="S5.SS1.p3.1.m1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S5.SS1.p3.1.m1.1.1.1.1.4.2" xref="S5.SS1.p3.1.m1.1.1.1.1.4.2.cmml">e</mi><mi id="S5.SS1.p3.1.m1.1.1.1.1.4.3" xref="S5.SS1.p3.1.m1.1.1.1.1.4.3.cmml">ν</mi><mrow id="S5.SS1.p3.1.m1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S5.SS1.p3.1.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mrow id="S5.SS1.p3.1.m1.1.1.1.1.2.2.2.1" xref="S5.SS1.p3.1.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml"><mi id="S5.SS1.p3.1.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.2" xref="S5.SS1.p3.1.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.2.cmml">i</mi><mo id="S5.SS1.p3.1.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1" xref="S5.SS1.p3.1.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.SS1.p3.1.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.3" xref="S5.SS1.p3.1.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.3.cmml">j</mi></mrow><mo id="S5.SS1.p3.1.m1.1.1.1.1.2.2.2.2" xref="S5.SS1.p3.1.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S5.SS1.p3.1.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.SS1.p3.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">σ</mi></mrow></msubsup><mo id="S5.SS1.p3.1.m1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S5.SS1.p3.1.m1.1.1.2.1.cmml">⟩</mo></mrow><mo id="S5.SS1.p3.1.m1.4.4.2" xref="S5.SS1.p3.1.m1.4.4.2.cmml">∈</mo><mrow id="S5.SS1.p3.1.m1.4.4.1.1" xref="S5.SS1.p3.1.m1.4.4.1.2.cmml"><mi id="S5.SS1.p3.1.m1.3.3" xref="S5.SS1.p3.1.m1.3.3.cmml">span</mi><mo id="S5.SS1.p3.1.m1.4.4.1.1a" xref="S5.SS1.p3.1.m1.4.4.1.2.cmml">⁡</mo><mrow id="S5.SS1.p3.1.m1.4.4.1.1.1" xref="S5.SS1.p3.1.m1.4.4.1.2.cmml"><mo id="S5.SS1.p3.1.m1.4.4.1.1.1.2" xref="S5.SS1.p3.1.m1.4.4.1.2.cmml">(</mo><msubsup id="S5.SS1.p3.1.m1.4.4.1.1.1.1" xref="S5.SS1.p3.1.m1.4.4.1.1.1.1.cmml"><mi id="S5.SS1.p3.1.m1.4.4.1.1.1.1.2.2" xref="S5.SS1.p3.1.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.cmml">𝔇</mi><mn id="S5.SS1.p3.1.m1.4.4.1.1.1.1.2.3" xref="S5.SS1.p3.1.m1.4.4.1.1.1.1.2.3.cmml">3</mn><mrow id="S5.SS1.p3.1.m1.2.2.1.3" xref="S5.SS1.p3.1.m1.4.4.1.1.1.1.cmml"><mo id="S5.SS1.p3.1.m1.2.2.1.3.1" stretchy="false" xref="S5.SS1.p3.1.m1.4.4.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S5.SS1.p3.1.m1.2.2.1.1" xref="S5.SS1.p3.1.m1.2.2.1.1.cmml">t</mi><mo id="S5.SS1.p3.1.m1.2.2.1.3.2" stretchy="false" xref="S5.SS1.p3.1.m1.4.4.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></msubsup><mo id="S5.SS1.p3.1.m1.4.4.1.1.1.3" xref="S5.SS1.p3.1.m1.4.4.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS1.p3.1.m1.4b"><apply id="S5.SS1.p3.1.m1.4.4.cmml" xref="S5.SS1.p3.1.m1.4.4"><in id="S5.SS1.p3.1.m1.4.4.2.cmml" xref="S5.SS1.p3.1.m1.4.4.2"></in><apply id="S5.SS1.p3.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S5.SS1.p3.1.m1.1.1.3"><csymbol cd="latexml" id="S5.SS1.p3.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.SS1.p3.1.m1.1.1.3.1">ket</csymbol><apply id="S5.SS1.p3.1.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.SS1.p3.1.m1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS1.p3.1.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.SS1.p3.1.m1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S5.SS1.p3.1.m1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S5.SS1.p3.1.m1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS1.p3.1.m1.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="S5.SS1.p3.1.m1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.SS1.p3.1.m1.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="S5.SS1.p3.1.m1.1.1.1.1.4.2">𝑒</ci><ci id="S5.SS1.p3.1.m1.1.1.1.1.4.3.cmml" xref="S5.SS1.p3.1.m1.1.1.1.1.4.3">𝜈</ci></apply><list id="S5.SS1.p3.1.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S5.SS1.p3.1.m1.1.1.1.1.2.2.2"><apply id="S5.SS1.p3.1.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S5.SS1.p3.1.m1.1.1.1.1.2.2.2.1"><times id="S5.SS1.p3.1.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.cmml" xref="S5.SS1.p3.1.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1"></times><ci id="S5.SS1.p3.1.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.2.cmml" xref="S5.SS1.p3.1.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.2">𝑖</ci><ci id="S5.SS1.p3.1.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.3.cmml" xref="S5.SS1.p3.1.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.3">𝑗</ci></apply><ci id="S5.SS1.p3.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.SS1.p3.1.m1.1.1.1.1.1.1.1">𝜎</ci></list></apply></apply><apply id="S5.SS1.p3.1.m1.4.4.1.2.cmml" xref="S5.SS1.p3.1.m1.4.4.1.1"><ci id="S5.SS1.p3.1.m1.3.3.cmml" xref="S5.SS1.p3.1.m1.3.3">span</ci><apply id="S5.SS1.p3.1.m1.4.4.1.1.1.1.cmml" xref="S5.SS1.p3.1.m1.4.4.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS1.p3.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.SS1.p3.1.m1.4.4.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S5.SS1.p3.1.m1.4.4.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.SS1.p3.1.m1.4.4.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS1.p3.1.m1.4.4.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.SS1.p3.1.m1.4.4.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.SS1.p3.1.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.SS1.p3.1.m1.4.4.1.1.1.1.2.2">𝔇</ci><cn id="S5.SS1.p3.1.m1.4.4.1.1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.SS1.p3.1.m1.4.4.1.1.1.1.2.3">3</cn></apply><ci id="S5.SS1.p3.1.m1.2.2.1.1.cmml" xref="S5.SS1.p3.1.m1.2.2.1.1">𝑡</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS1.p3.1.m1.4c">\ket{e_{\nu}^{ij,\sigma}}\in\operatorname{span}\left(\mathfrak{D}_{3}^{(t)}\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS1.p3.1.m1.4d">| start_ARG italic_e start_POSTSUBSCRIPT italic_ν end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_i italic_j , italic_σ end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG ⟩ ∈ roman_span ( fraktur_D start_POSTSUBSCRIPT 3 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_t ) end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math> if and only if <math alttext="\ket{I,I,\sigma}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS1.p3.2.m2.1"><semantics id="S5.SS1.p3.2.m2.1a"><mrow id="S5.SS1.p3.2.m2.1.1.3" xref="S5.SS1.p3.2.m2.1.1.2.cmml"><mo id="S5.SS1.p3.2.m2.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S5.SS1.p3.2.m2.1.1.2.1.cmml">|</mo><mrow id="S5.SS1.p3.2.m2.1.1.1.1.5" xref="S5.SS1.p3.2.m2.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="S5.SS1.p3.2.m2.1.1.1.1.1" xref="S5.SS1.p3.2.m2.1.1.1.1.1.cmml">I</mi><mo id="S5.SS1.p3.2.m2.1.1.1.1.5.1" xref="S5.SS1.p3.2.m2.1.1.1.1.4.cmml">,</mo><mi id="S5.SS1.p3.2.m2.1.1.1.1.2" xref="S5.SS1.p3.2.m2.1.1.1.1.2.cmml">I</mi><mo id="S5.SS1.p3.2.m2.1.1.1.1.5.2" xref="S5.SS1.p3.2.m2.1.1.1.1.4.cmml">,</mo><mi id="S5.SS1.p3.2.m2.1.1.1.1.3" xref="S5.SS1.p3.2.m2.1.1.1.1.3.cmml">σ</mi></mrow><mo id="S5.SS1.p3.2.m2.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S5.SS1.p3.2.m2.1.1.2.1.cmml">⟩</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS1.p3.2.m2.1b"><apply id="S5.SS1.p3.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S5.SS1.p3.2.m2.1.1.3"><csymbol cd="latexml" id="S5.SS1.p3.2.m2.1.1.2.1.cmml" xref="S5.SS1.p3.2.m2.1.1.3.1">ket</csymbol><list id="S5.SS1.p3.2.m2.1.1.1.1.4.cmml" xref="S5.SS1.p3.2.m2.1.1.1.1.5"><ci id="S5.SS1.p3.2.m2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.SS1.p3.2.m2.1.1.1.1.1">𝐼</ci><ci id="S5.SS1.p3.2.m2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.SS1.p3.2.m2.1.1.1.1.2">𝐼</ci><ci id="S5.SS1.p3.2.m2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.SS1.p3.2.m2.1.1.1.1.3">𝜎</ci></list></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS1.p3.2.m2.1c">\ket{I,I,\sigma}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS1.p3.2.m2.1d">| start_ARG italic_I , italic_I , italic_σ end_ARG ⟩</annotation></semantics></math> is a complete derangement. The fact that <math alttext="\ket{e_{\nu}^{ij,\sigma}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS1.p3.3.m3.1"><semantics id="S5.SS1.p3.3.m3.1a"><mrow id="S5.SS1.p3.3.m3.1.1.3" xref="S5.SS1.p3.3.m3.1.1.2.cmml"><mo id="S5.SS1.p3.3.m3.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S5.SS1.p3.3.m3.1.1.2.1.cmml">|</mo><msubsup id="S5.SS1.p3.3.m3.1.1.1.1" xref="S5.SS1.p3.3.m3.1.1.1.1.cmml"><mi id="S5.SS1.p3.3.m3.1.1.1.1.4.2" xref="S5.SS1.p3.3.m3.1.1.1.1.4.2.cmml">e</mi><mi id="S5.SS1.p3.3.m3.1.1.1.1.4.3" xref="S5.SS1.p3.3.m3.1.1.1.1.4.3.cmml">ν</mi><mrow id="S5.SS1.p3.3.m3.1.1.1.1.2.2.2" xref="S5.SS1.p3.3.m3.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mrow id="S5.SS1.p3.3.m3.1.1.1.1.2.2.2.1" xref="S5.SS1.p3.3.m3.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml"><mi id="S5.SS1.p3.3.m3.1.1.1.1.2.2.2.1.2" xref="S5.SS1.p3.3.m3.1.1.1.1.2.2.2.1.2.cmml">i</mi><mo id="S5.SS1.p3.3.m3.1.1.1.1.2.2.2.1.1" xref="S5.SS1.p3.3.m3.1.1.1.1.2.2.2.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.SS1.p3.3.m3.1.1.1.1.2.2.2.1.3" xref="S5.SS1.p3.3.m3.1.1.1.1.2.2.2.1.3.cmml">j</mi></mrow><mo id="S5.SS1.p3.3.m3.1.1.1.1.2.2.2.2" xref="S5.SS1.p3.3.m3.1.1.1.1.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S5.SS1.p3.3.m3.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.SS1.p3.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.cmml">σ</mi></mrow></msubsup><mo id="S5.SS1.p3.3.m3.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S5.SS1.p3.3.m3.1.1.2.1.cmml">⟩</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS1.p3.3.m3.1b"><apply id="S5.SS1.p3.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S5.SS1.p3.3.m3.1.1.3"><csymbol cd="latexml" id="S5.SS1.p3.3.m3.1.1.2.1.cmml" xref="S5.SS1.p3.3.m3.1.1.3.1">ket</csymbol><apply id="S5.SS1.p3.3.m3.1.1.1.1.cmml" xref="S5.SS1.p3.3.m3.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS1.p3.3.m3.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.SS1.p3.3.m3.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S5.SS1.p3.3.m3.1.1.1.1.4.cmml" xref="S5.SS1.p3.3.m3.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS1.p3.3.m3.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="S5.SS1.p3.3.m3.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.SS1.p3.3.m3.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="S5.SS1.p3.3.m3.1.1.1.1.4.2">𝑒</ci><ci id="S5.SS1.p3.3.m3.1.1.1.1.4.3.cmml" xref="S5.SS1.p3.3.m3.1.1.1.1.4.3">𝜈</ci></apply><list id="S5.SS1.p3.3.m3.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S5.SS1.p3.3.m3.1.1.1.1.2.2.2"><apply id="S5.SS1.p3.3.m3.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S5.SS1.p3.3.m3.1.1.1.1.2.2.2.1"><times id="S5.SS1.p3.3.m3.1.1.1.1.2.2.2.1.1.cmml" xref="S5.SS1.p3.3.m3.1.1.1.1.2.2.2.1.1"></times><ci id="S5.SS1.p3.3.m3.1.1.1.1.2.2.2.1.2.cmml" xref="S5.SS1.p3.3.m3.1.1.1.1.2.2.2.1.2">𝑖</ci><ci id="S5.SS1.p3.3.m3.1.1.1.1.2.2.2.1.3.cmml" xref="S5.SS1.p3.3.m3.1.1.1.1.2.2.2.1.3">𝑗</ci></apply><ci id="S5.SS1.p3.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.SS1.p3.3.m3.1.1.1.1.1.1.1">𝜎</ci></list></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS1.p3.3.m3.1c">\ket{e_{\nu}^{ij,\sigma}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS1.p3.3.m3.1d">| start_ARG italic_e start_POSTSUBSCRIPT italic_ν end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_i italic_j , italic_σ end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG ⟩</annotation></semantics></math> lies in the isotypic component corresponding to <math alttext="\nu" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS1.p3.4.m4.1"><semantics id="S5.SS1.p3.4.m4.1a"><mi id="S5.SS1.p3.4.m4.1.1" xref="S5.SS1.p3.4.m4.1.1.cmml">ν</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS1.p3.4.m4.1b"><ci id="S5.SS1.p3.4.m4.1.1.cmml" xref="S5.SS1.p3.4.m4.1.1">𝜈</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS1.p3.4.m4.1c">\nu</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS1.p3.4.m4.1d">italic_ν</annotation></semantics></math> follows from the Schur orthogonality relations, while the fact that they span the space follows from the form of the canonical idempotent</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_gather ltx_eqn_table" id="S6.EGx58"> <tbody id="S5.E62"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\displaystyle P_{\nu}=\frac{\chi_{\nu}(1)}{t!}\sum_{\tau}\chi_{\nu}(\tau^{-1})% \tau_{R}" class="ltx_Math" display="block" id="S5.E62.m1.2"><semantics id="S5.E62.m1.2a"><mrow id="S5.E62.m1.2.2" xref="S5.E62.m1.2.2.cmml"><msub id="S5.E62.m1.2.2.3" xref="S5.E62.m1.2.2.3.cmml"><mi id="S5.E62.m1.2.2.3.2" xref="S5.E62.m1.2.2.3.2.cmml">P</mi><mi id="S5.E62.m1.2.2.3.3" xref="S5.E62.m1.2.2.3.3.cmml">ν</mi></msub><mo id="S5.E62.m1.2.2.2" xref="S5.E62.m1.2.2.2.cmml">=</mo><mrow id="S5.E62.m1.2.2.1" xref="S5.E62.m1.2.2.1.cmml"><mfrac id="S5.E62.m1.1.1" xref="S5.E62.m1.1.1.cmml"><mrow id="S5.E62.m1.1.1.1" xref="S5.E62.m1.1.1.1.cmml"><msub id="S5.E62.m1.1.1.1.3" xref="S5.E62.m1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S5.E62.m1.1.1.1.3.2" xref="S5.E62.m1.1.1.1.3.2.cmml">χ</mi><mi id="S5.E62.m1.1.1.1.3.3" xref="S5.E62.m1.1.1.1.3.3.cmml">ν</mi></msub><mo id="S5.E62.m1.1.1.1.2" xref="S5.E62.m1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.E62.m1.1.1.1.4.2" xref="S5.E62.m1.1.1.1.cmml"><mo id="S5.E62.m1.1.1.1.4.2.1" stretchy="false" xref="S5.E62.m1.1.1.1.cmml">(</mo><mn id="S5.E62.m1.1.1.1.1" xref="S5.E62.m1.1.1.1.1.cmml">1</mn><mo id="S5.E62.m1.1.1.1.4.2.2" stretchy="false" xref="S5.E62.m1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mrow id="S5.E62.m1.1.1.3" xref="S5.E62.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S5.E62.m1.1.1.3.2" xref="S5.E62.m1.1.1.3.2.cmml">t</mi><mo id="S5.E62.m1.1.1.3.1" xref="S5.E62.m1.1.1.3.1.cmml">!</mo></mrow></mfrac><mo id="S5.E62.m1.2.2.1.2" xref="S5.E62.m1.2.2.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.E62.m1.2.2.1.1" xref="S5.E62.m1.2.2.1.1.cmml"><munder id="S5.E62.m1.2.2.1.1.2" xref="S5.E62.m1.2.2.1.1.2.cmml"><mo id="S5.E62.m1.2.2.1.1.2.2" movablelimits="false" xref="S5.E62.m1.2.2.1.1.2.2.cmml">∑</mo><mi id="S5.E62.m1.2.2.1.1.2.3" xref="S5.E62.m1.2.2.1.1.2.3.cmml">τ</mi></munder><mrow id="S5.E62.m1.2.2.1.1.1" xref="S5.E62.m1.2.2.1.1.1.cmml"><msub id="S5.E62.m1.2.2.1.1.1.3" xref="S5.E62.m1.2.2.1.1.1.3.cmml"><mi id="S5.E62.m1.2.2.1.1.1.3.2" xref="S5.E62.m1.2.2.1.1.1.3.2.cmml">χ</mi><mi id="S5.E62.m1.2.2.1.1.1.3.3" xref="S5.E62.m1.2.2.1.1.1.3.3.cmml">ν</mi></msub><mo id="S5.E62.m1.2.2.1.1.1.2" xref="S5.E62.m1.2.2.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.E62.m1.2.2.1.1.1.1.1" xref="S5.E62.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S5.E62.m1.2.2.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S5.E62.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="S5.E62.m1.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="S5.E62.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S5.E62.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.E62.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml">τ</mi><mrow id="S5.E62.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.E62.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="S5.E62.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3a" xref="S5.E62.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml">−</mo><mn id="S5.E62.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S5.E62.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="S5.E62.m1.2.2.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S5.E62.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S5.E62.m1.2.2.1.1.1.2a" xref="S5.E62.m1.2.2.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="S5.E62.m1.2.2.1.1.1.4" xref="S5.E62.m1.2.2.1.1.1.4.cmml"><mi id="S5.E62.m1.2.2.1.1.1.4.2" xref="S5.E62.m1.2.2.1.1.1.4.2.cmml">τ</mi><mi id="S5.E62.m1.2.2.1.1.1.4.3" xref="S5.E62.m1.2.2.1.1.1.4.3.cmml">R</mi></msub></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.E62.m1.2b"><apply id="S5.E62.m1.2.2.cmml" xref="S5.E62.m1.2.2"><eq id="S5.E62.m1.2.2.2.cmml" xref="S5.E62.m1.2.2.2"></eq><apply id="S5.E62.m1.2.2.3.cmml" xref="S5.E62.m1.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E62.m1.2.2.3.1.cmml" xref="S5.E62.m1.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S5.E62.m1.2.2.3.2.cmml" xref="S5.E62.m1.2.2.3.2">𝑃</ci><ci id="S5.E62.m1.2.2.3.3.cmml" xref="S5.E62.m1.2.2.3.3">𝜈</ci></apply><apply id="S5.E62.m1.2.2.1.cmml" xref="S5.E62.m1.2.2.1"><times id="S5.E62.m1.2.2.1.2.cmml" xref="S5.E62.m1.2.2.1.2"></times><apply id="S5.E62.m1.1.1.cmml" xref="S5.E62.m1.1.1"><divide id="S5.E62.m1.1.1.2.cmml" xref="S5.E62.m1.1.1"></divide><apply id="S5.E62.m1.1.1.1.cmml" xref="S5.E62.m1.1.1.1"><times id="S5.E62.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.E62.m1.1.1.1.2"></times><apply id="S5.E62.m1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.E62.m1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E62.m1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.E62.m1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S5.E62.m1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.E62.m1.1.1.1.3.2">𝜒</ci><ci id="S5.E62.m1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S5.E62.m1.1.1.1.3.3">𝜈</ci></apply><cn id="S5.E62.m1.1.1.1.1.cmml" type="integer" xref="S5.E62.m1.1.1.1.1">1</cn></apply><apply id="S5.E62.m1.1.1.3.cmml" xref="S5.E62.m1.1.1.3"><factorial id="S5.E62.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.E62.m1.1.1.3.1"></factorial><ci id="S5.E62.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.E62.m1.1.1.3.2">𝑡</ci></apply></apply><apply id="S5.E62.m1.2.2.1.1.cmml" xref="S5.E62.m1.2.2.1.1"><apply id="S5.E62.m1.2.2.1.1.2.cmml" xref="S5.E62.m1.2.2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E62.m1.2.2.1.1.2.1.cmml" xref="S5.E62.m1.2.2.1.1.2">subscript</csymbol><sum id="S5.E62.m1.2.2.1.1.2.2.cmml" xref="S5.E62.m1.2.2.1.1.2.2"></sum><ci id="S5.E62.m1.2.2.1.1.2.3.cmml" xref="S5.E62.m1.2.2.1.1.2.3">𝜏</ci></apply><apply id="S5.E62.m1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S5.E62.m1.2.2.1.1.1"><times id="S5.E62.m1.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S5.E62.m1.2.2.1.1.1.2"></times><apply id="S5.E62.m1.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S5.E62.m1.2.2.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E62.m1.2.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.E62.m1.2.2.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S5.E62.m1.2.2.1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.E62.m1.2.2.1.1.1.3.2">𝜒</ci><ci id="S5.E62.m1.2.2.1.1.1.3.3.cmml" xref="S5.E62.m1.2.2.1.1.1.3.3">𝜈</ci></apply><apply id="S5.E62.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.E62.m1.2.2.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E62.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.E62.m1.2.2.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S5.E62.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.E62.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2">𝜏</ci><apply id="S5.E62.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.E62.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3"><minus id="S5.E62.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.E62.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3"></minus><cn id="S5.E62.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S5.E62.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2">1</cn></apply></apply><apply id="S5.E62.m1.2.2.1.1.1.4.cmml" xref="S5.E62.m1.2.2.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E62.m1.2.2.1.1.1.4.1.cmml" xref="S5.E62.m1.2.2.1.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="S5.E62.m1.2.2.1.1.1.4.2.cmml" xref="S5.E62.m1.2.2.1.1.1.4.2">𝜏</ci><ci id="S5.E62.m1.2.2.1.1.1.4.3.cmml" xref="S5.E62.m1.2.2.1.1.1.4.3">𝑅</ci></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.E62.m1.2c">\displaystyle P_{\nu}=\frac{\chi_{\nu}(1)}{t!}\sum_{\tau}\chi_{\nu}(\tau^{-1})% \tau_{R}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.E62.m1.2d">italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_ν end_POSTSUBSCRIPT = divide start_ARG italic_χ start_POSTSUBSCRIPT italic_ν end_POSTSUBSCRIPT ( 1 ) end_ARG start_ARG italic_t ! end_ARG ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_τ end_POSTSUBSCRIPT italic_χ start_POSTSUBSCRIPT italic_ν end_POSTSUBSCRIPT ( italic_τ start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT ) italic_τ start_POSTSUBSCRIPT italic_R end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(62)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S5.SS1.p3.5">A full proof may be found in Appendix <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#A2.SS4" title="B.4 Proof of Lemma 35 ‣ Appendix B Assorted proofs ‣ Conditional 𝑡-independent spectral gap for random quantum circuits and implications for 𝑡-design depths"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">B.4</span></a>.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S5.SS1.p4"> <p class="ltx_p" id="S5.SS1.p4.1">Using this basis, we can obtain a convenient factorization of the gate operator.</p> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_lemma" id="Thmtheorem36"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmtheorem36.1.1.1">Lemma 36</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmtheorem36.2.2">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="Thmtheorem36.p1"> <p class="ltx_p" id="Thmtheorem36.p1.4"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmtheorem36.p1.4.1">In the basis defined by Lemma <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#Thmtheorem35" title="Lemma 35. ‣ V.1 Factorization of 𝐾_𝑚 ‣ V Structure of the 3-Site Operator ‣ Conditional 𝑡-independent spectral gap for random quantum circuits and implications for 𝑡-design depths"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">35</span></a>,</span></p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="S6.EGx59"> <tbody id="S5.E63"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle K_{m}\ket{e_{\nu}^{ij,\sigma}}=\sum_{k,\xi\in\mathbb{D}_{t}}M_{m% ,\xi,\sigma}^{\nu,kj}\ket{e_{\nu}^{ik,\xi}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.E63.m1.9"><semantics id="S5.E63.m1.9a"><mrow id="S5.E63.m1.9.10" xref="S5.E63.m1.9.10.cmml"><mrow id="S5.E63.m1.9.10.2" xref="S5.E63.m1.9.10.2.cmml"><msub id="S5.E63.m1.9.10.2.2" xref="S5.E63.m1.9.10.2.2.cmml"><mi id="S5.E63.m1.9.10.2.2.2" xref="S5.E63.m1.9.10.2.2.2.cmml">K</mi><mi id="S5.E63.m1.9.10.2.2.3" xref="S5.E63.m1.9.10.2.2.3.cmml">m</mi></msub><mo id="S5.E63.m1.9.10.2.1" xref="S5.E63.m1.9.10.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.E63.m1.1.1a.3" xref="S5.E63.m1.1.1a.2.cmml"><mo id="S5.E63.m1.1.1a.3.1" stretchy="false" xref="S5.E63.m1.1.1a.2.1.cmml">|</mo><msubsup id="S5.E63.m1.1.1.1.1" xref="S5.E63.m1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S5.E63.m1.1.1.1.1.4.2" xref="S5.E63.m1.1.1.1.1.4.2.cmml">e</mi><mi id="S5.E63.m1.1.1.1.1.4.3" xref="S5.E63.m1.1.1.1.1.4.3.cmml">ν</mi><mrow id="S5.E63.m1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S5.E63.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mrow id="S5.E63.m1.1.1.1.1.2.2.2.1" xref="S5.E63.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml"><mi id="S5.E63.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.2" xref="S5.E63.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.2.cmml">i</mi><mo id="S5.E63.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1" xref="S5.E63.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.E63.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.3" xref="S5.E63.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.3.cmml">j</mi></mrow><mo id="S5.E63.m1.1.1.1.1.2.2.2.2" xref="S5.E63.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S5.E63.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.E63.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">σ</mi></mrow></msubsup><mo id="S5.E63.m1.1.1a.3.2" stretchy="false" xref="S5.E63.m1.1.1a.2.1.cmml">⟩</mo></mrow></mrow><mo id="S5.E63.m1.9.10.1" xref="S5.E63.m1.9.10.1.cmml">=</mo><mrow id="S5.E63.m1.9.10.3" xref="S5.E63.m1.9.10.3.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S5.E63.m1.9.10.3.1" xref="S5.E63.m1.9.10.3.1.cmml"><munder id="S5.E63.m1.9.10.3.1a" xref="S5.E63.m1.9.10.3.1.cmml"><mo id="S5.E63.m1.9.10.3.1.2" movablelimits="false" xref="S5.E63.m1.9.10.3.1.2.cmml">∑</mo><mrow id="S5.E63.m1.4.4.2" 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xref="S5.E63.m1.2.2.1.1.4.2.cmml">e</mi><mi id="S5.E63.m1.2.2.1.1.4.3" xref="S5.E63.m1.2.2.1.1.4.3.cmml">ν</mi><mrow id="S5.E63.m1.2.2.1.1.2.2.2" xref="S5.E63.m1.2.2.1.1.2.2.3.cmml"><mrow id="S5.E63.m1.2.2.1.1.2.2.2.1" xref="S5.E63.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.cmml"><mi id="S5.E63.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.2" xref="S5.E63.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.2.cmml">i</mi><mo id="S5.E63.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1" xref="S5.E63.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.E63.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.3" xref="S5.E63.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.3.cmml">k</mi></mrow><mo id="S5.E63.m1.2.2.1.1.2.2.2.2" xref="S5.E63.m1.2.2.1.1.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S5.E63.m1.2.2.1.1.1.1.1" xref="S5.E63.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml">ξ</mi></mrow></msubsup><mo id="S5.E63.m1.2.2a.3.2" stretchy="false" xref="S5.E63.m1.2.2a.2.1.cmml">⟩</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.E63.m1.9b"><apply id="S5.E63.m1.9.10.cmml" xref="S5.E63.m1.9.10"><eq id="S5.E63.m1.9.10.1.cmml" xref="S5.E63.m1.9.10.1"></eq><apply id="S5.E63.m1.9.10.2.cmml" xref="S5.E63.m1.9.10.2"><times id="S5.E63.m1.9.10.2.1.cmml" xref="S5.E63.m1.9.10.2.1"></times><apply id="S5.E63.m1.9.10.2.2.cmml" xref="S5.E63.m1.9.10.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E63.m1.9.10.2.2.1.cmml" xref="S5.E63.m1.9.10.2.2">subscript</csymbol><ci id="S5.E63.m1.9.10.2.2.2.cmml" xref="S5.E63.m1.9.10.2.2.2">𝐾</ci><ci id="S5.E63.m1.9.10.2.2.3.cmml" xref="S5.E63.m1.9.10.2.2.3">𝑚</ci></apply><apply id="S5.E63.m1.1.1a.2.cmml" xref="S5.E63.m1.1.1a.3"><csymbol cd="latexml" id="S5.E63.m1.1.1a.2.1.cmml" xref="S5.E63.m1.1.1a.3.1">ket</csymbol><apply id="S5.E63.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.E63.m1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E63.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.E63.m1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S5.E63.m1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S5.E63.m1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E63.m1.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="S5.E63.m1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.E63.m1.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="S5.E63.m1.1.1.1.1.4.2">𝑒</ci><ci id="S5.E63.m1.1.1.1.1.4.3.cmml" xref="S5.E63.m1.1.1.1.1.4.3">𝜈</ci></apply><list id="S5.E63.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S5.E63.m1.1.1.1.1.2.2.2"><apply id="S5.E63.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S5.E63.m1.1.1.1.1.2.2.2.1"><times id="S5.E63.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.cmml" xref="S5.E63.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1"></times><ci id="S5.E63.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.2.cmml" xref="S5.E63.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.2">𝑖</ci><ci id="S5.E63.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.3.cmml" xref="S5.E63.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.3">𝑗</ci></apply><ci id="S5.E63.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.E63.m1.1.1.1.1.1.1.1">𝜎</ci></list></apply></apply></apply><apply id="S5.E63.m1.9.10.3.cmml" xref="S5.E63.m1.9.10.3"><apply id="S5.E63.m1.9.10.3.1.cmml" xref="S5.E63.m1.9.10.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E63.m1.9.10.3.1.1.cmml" xref="S5.E63.m1.9.10.3.1">subscript</csymbol><sum id="S5.E63.m1.9.10.3.1.2.cmml" xref="S5.E63.m1.9.10.3.1.2"></sum><apply id="S5.E63.m1.4.4.2.cmml" xref="S5.E63.m1.4.4.2"><in id="S5.E63.m1.4.4.2.3.cmml" xref="S5.E63.m1.4.4.2.3"></in><list id="S5.E63.m1.4.4.2.4.1.cmml" xref="S5.E63.m1.4.4.2.4.2"><ci id="S5.E63.m1.3.3.1.1.cmml" xref="S5.E63.m1.3.3.1.1">𝑘</ci><ci id="S5.E63.m1.4.4.2.2.cmml" xref="S5.E63.m1.4.4.2.2">𝜉</ci></list><apply id="S5.E63.m1.4.4.2.5.cmml" xref="S5.E63.m1.4.4.2.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E63.m1.4.4.2.5.1.cmml" xref="S5.E63.m1.4.4.2.5">subscript</csymbol><ci id="S5.E63.m1.4.4.2.5.2.cmml" xref="S5.E63.m1.4.4.2.5.2">𝔻</ci><ci id="S5.E63.m1.4.4.2.5.3.cmml" xref="S5.E63.m1.4.4.2.5.3">𝑡</ci></apply></apply></apply><apply id="S5.E63.m1.9.10.3.2.cmml" xref="S5.E63.m1.9.10.3.2"><times id="S5.E63.m1.9.10.3.2.1.cmml" xref="S5.E63.m1.9.10.3.2.1"></times><apply id="S5.E63.m1.9.10.3.2.2.cmml" xref="S5.E63.m1.9.10.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E63.m1.9.10.3.2.2.1.cmml" xref="S5.E63.m1.9.10.3.2.2">superscript</csymbol><apply id="S5.E63.m1.9.10.3.2.2.2.cmml" xref="S5.E63.m1.9.10.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E63.m1.9.10.3.2.2.2.1.cmml" xref="S5.E63.m1.9.10.3.2.2">subscript</csymbol><ci id="S5.E63.m1.9.10.3.2.2.2.2.cmml" xref="S5.E63.m1.9.10.3.2.2.2.2">𝑀</ci><list id="S5.E63.m1.7.7.3.4.cmml" xref="S5.E63.m1.7.7.3.5"><ci id="S5.E63.m1.5.5.1.1.cmml" xref="S5.E63.m1.5.5.1.1">𝑚</ci><ci id="S5.E63.m1.6.6.2.2.cmml" xref="S5.E63.m1.6.6.2.2">𝜉</ci><ci id="S5.E63.m1.7.7.3.3.cmml" xref="S5.E63.m1.7.7.3.3">𝜎</ci></list></apply><list id="S5.E63.m1.9.9.2.3.cmml" xref="S5.E63.m1.9.9.2.2"><ci id="S5.E63.m1.8.8.1.1.cmml" xref="S5.E63.m1.8.8.1.1">𝜈</ci><apply id="S5.E63.m1.9.9.2.2.1.cmml" xref="S5.E63.m1.9.9.2.2.1"><times id="S5.E63.m1.9.9.2.2.1.1.cmml" xref="S5.E63.m1.9.9.2.2.1.1"></times><ci id="S5.E63.m1.9.9.2.2.1.2.cmml" xref="S5.E63.m1.9.9.2.2.1.2">𝑘</ci><ci id="S5.E63.m1.9.9.2.2.1.3.cmml" xref="S5.E63.m1.9.9.2.2.1.3">𝑗</ci></apply></list></apply><apply id="S5.E63.m1.2.2a.2.cmml" xref="S5.E63.m1.2.2a.3"><csymbol cd="latexml" id="S5.E63.m1.2.2a.2.1.cmml" xref="S5.E63.m1.2.2a.3.1">ket</csymbol><apply id="S5.E63.m1.2.2.1.1.cmml" xref="S5.E63.m1.2.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E63.m1.2.2.1.1.3.cmml" xref="S5.E63.m1.2.2.1.1">superscript</csymbol><apply id="S5.E63.m1.2.2.1.1.4.cmml" xref="S5.E63.m1.2.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E63.m1.2.2.1.1.4.1.cmml" xref="S5.E63.m1.2.2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.E63.m1.2.2.1.1.4.2.cmml" xref="S5.E63.m1.2.2.1.1.4.2">𝑒</ci><ci id="S5.E63.m1.2.2.1.1.4.3.cmml" xref="S5.E63.m1.2.2.1.1.4.3">𝜈</ci></apply><list id="S5.E63.m1.2.2.1.1.2.2.3.cmml" xref="S5.E63.m1.2.2.1.1.2.2.2"><apply id="S5.E63.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S5.E63.m1.2.2.1.1.2.2.2.1"><times id="S5.E63.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.cmml" xref="S5.E63.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1"></times><ci id="S5.E63.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.2.cmml" xref="S5.E63.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.2">𝑖</ci><ci id="S5.E63.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.3.cmml" xref="S5.E63.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.3">𝑘</ci></apply><ci id="S5.E63.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.E63.m1.2.2.1.1.1.1.1">𝜉</ci></list></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.E63.m1.9c">\displaystyle K_{m}\ket{e_{\nu}^{ij,\sigma}}=\sum_{k,\xi\in\mathbb{D}_{t}}M_{m% ,\xi,\sigma}^{\nu,kj}\ket{e_{\nu}^{ik,\xi}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.E63.m1.9d">italic_K start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT | start_ARG italic_e start_POSTSUBSCRIPT italic_ν end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_i italic_j , italic_σ end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG ⟩ = ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_k , italic_ξ ∈ blackboard_D start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT italic_M start_POSTSUBSCRIPT italic_m , italic_ξ , italic_σ end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_ν , italic_k italic_j end_POSTSUPERSCRIPT | start_ARG italic_e start_POSTSUBSCRIPT italic_ν end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_i italic_k , italic_ξ end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG ⟩</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(63)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="Thmtheorem36.p1.3"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmtheorem36.p1.3.3">Note that <math alttext="\nu" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem36.p1.1.1.m1.1"><semantics id="Thmtheorem36.p1.1.1.m1.1a"><mi id="Thmtheorem36.p1.1.1.m1.1.1" xref="Thmtheorem36.p1.1.1.m1.1.1.cmml">ν</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem36.p1.1.1.m1.1b"><ci id="Thmtheorem36.p1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem36.p1.1.1.m1.1.1">𝜈</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem36.p1.1.1.m1.1c">\nu</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem36.p1.1.1.m1.1d">italic_ν</annotation></semantics></math>, <math alttext="i" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem36.p1.2.2.m2.1"><semantics id="Thmtheorem36.p1.2.2.m2.1a"><mi id="Thmtheorem36.p1.2.2.m2.1.1" xref="Thmtheorem36.p1.2.2.m2.1.1.cmml">i</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem36.p1.2.2.m2.1b"><ci id="Thmtheorem36.p1.2.2.m2.1.1.cmml" xref="Thmtheorem36.p1.2.2.m2.1.1">𝑖</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem36.p1.2.2.m2.1c">i</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem36.p1.2.2.m2.1d">italic_i</annotation></semantics></math>, and <math alttext="j" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem36.p1.3.3.m3.1"><semantics id="Thmtheorem36.p1.3.3.m3.1a"><mi id="Thmtheorem36.p1.3.3.m3.1.1" xref="Thmtheorem36.p1.3.3.m3.1.1.cmml">j</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem36.p1.3.3.m3.1b"><ci id="Thmtheorem36.p1.3.3.m3.1.1.cmml" xref="Thmtheorem36.p1.3.3.m3.1.1">𝑗</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem36.p1.3.3.m3.1c">j</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem36.p1.3.3.m3.1d">italic_j</annotation></semantics></math> indices are not implicitly summed over. Furthermore,</span></p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="S6.EGx60"> <tbody id="S5.E64"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle M^{\nu}_{m}=D_{\nu}^{-1}W(Q_{1}Q_{2})D(Q_{2})C(Q_{1})D_{\nu}W(Q_% {2}Q_{3})D(Q_{2})C(Q_{3})" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.E64.m1.6"><semantics id="S5.E64.m1.6a"><mrow id="S5.E64.m1.6.6" xref="S5.E64.m1.6.6.cmml"><msubsup id="S5.E64.m1.6.6.8" xref="S5.E64.m1.6.6.8.cmml"><mi id="S5.E64.m1.6.6.8.2.2" xref="S5.E64.m1.6.6.8.2.2.cmml">M</mi><mi id="S5.E64.m1.6.6.8.3" xref="S5.E64.m1.6.6.8.3.cmml">m</mi><mi id="S5.E64.m1.6.6.8.2.3" xref="S5.E64.m1.6.6.8.2.3.cmml">ν</mi></msubsup><mo id="S5.E64.m1.6.6.7" xref="S5.E64.m1.6.6.7.cmml">=</mo><mrow id="S5.E64.m1.6.6.6" xref="S5.E64.m1.6.6.6.cmml"><msubsup id="S5.E64.m1.6.6.6.8" xref="S5.E64.m1.6.6.6.8.cmml"><mi id="S5.E64.m1.6.6.6.8.2.2" xref="S5.E64.m1.6.6.6.8.2.2.cmml">D</mi><mi id="S5.E64.m1.6.6.6.8.2.3" xref="S5.E64.m1.6.6.6.8.2.3.cmml">ν</mi><mrow id="S5.E64.m1.6.6.6.8.3" xref="S5.E64.m1.6.6.6.8.3.cmml"><mo id="S5.E64.m1.6.6.6.8.3a" xref="S5.E64.m1.6.6.6.8.3.cmml">−</mo><mn id="S5.E64.m1.6.6.6.8.3.2" xref="S5.E64.m1.6.6.6.8.3.2.cmml">1</mn></mrow></msubsup><mo id="S5.E64.m1.6.6.6.7" xref="S5.E64.m1.6.6.6.7.cmml">⁢</mo><mi id="S5.E64.m1.6.6.6.9" xref="S5.E64.m1.6.6.6.9.cmml">W</mi><mo id="S5.E64.m1.6.6.6.7a" xref="S5.E64.m1.6.6.6.7.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.E64.m1.1.1.1.1.1" xref="S5.E64.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S5.E64.m1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S5.E64.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S5.E64.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.E64.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S5.E64.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.E64.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S5.E64.m1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S5.E64.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">Q</mi><mn id="S5.E64.m1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S5.E64.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S5.E64.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.E64.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S5.E64.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.E64.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S5.E64.m1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S5.E64.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">Q</mi><mn id="S5.E64.m1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S5.E64.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></msub></mrow><mo id="S5.E64.m1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S5.E64.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S5.E64.m1.6.6.6.7b" xref="S5.E64.m1.6.6.6.7.cmml">⁢</mo><mi id="S5.E64.m1.6.6.6.10" xref="S5.E64.m1.6.6.6.10.cmml">D</mi><mo id="S5.E64.m1.6.6.6.7c" xref="S5.E64.m1.6.6.6.7.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.E64.m1.2.2.2.2.1" xref="S5.E64.m1.2.2.2.2.1.1.cmml"><mo id="S5.E64.m1.2.2.2.2.1.2" stretchy="false" xref="S5.E64.m1.2.2.2.2.1.1.cmml">(</mo><msub id="S5.E64.m1.2.2.2.2.1.1" xref="S5.E64.m1.2.2.2.2.1.1.cmml"><mi id="S5.E64.m1.2.2.2.2.1.1.2" xref="S5.E64.m1.2.2.2.2.1.1.2.cmml">Q</mi><mn id="S5.E64.m1.2.2.2.2.1.1.3" xref="S5.E64.m1.2.2.2.2.1.1.3.cmml">2</mn></msub><mo id="S5.E64.m1.2.2.2.2.1.3" stretchy="false" xref="S5.E64.m1.2.2.2.2.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S5.E64.m1.6.6.6.7d" xref="S5.E64.m1.6.6.6.7.cmml">⁢</mo><mi id="S5.E64.m1.6.6.6.11" xref="S5.E64.m1.6.6.6.11.cmml">C</mi><mo id="S5.E64.m1.6.6.6.7e" xref="S5.E64.m1.6.6.6.7.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.E64.m1.3.3.3.3.1" xref="S5.E64.m1.3.3.3.3.1.1.cmml"><mo id="S5.E64.m1.3.3.3.3.1.2" stretchy="false" xref="S5.E64.m1.3.3.3.3.1.1.cmml">(</mo><msub id="S5.E64.m1.3.3.3.3.1.1" xref="S5.E64.m1.3.3.3.3.1.1.cmml"><mi id="S5.E64.m1.3.3.3.3.1.1.2" xref="S5.E64.m1.3.3.3.3.1.1.2.cmml">Q</mi><mn id="S5.E64.m1.3.3.3.3.1.1.3" xref="S5.E64.m1.3.3.3.3.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S5.E64.m1.3.3.3.3.1.3" stretchy="false" xref="S5.E64.m1.3.3.3.3.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S5.E64.m1.6.6.6.7f" xref="S5.E64.m1.6.6.6.7.cmml">⁢</mo><msub id="S5.E64.m1.6.6.6.12" xref="S5.E64.m1.6.6.6.12.cmml"><mi id="S5.E64.m1.6.6.6.12.2" xref="S5.E64.m1.6.6.6.12.2.cmml">D</mi><mi id="S5.E64.m1.6.6.6.12.3" xref="S5.E64.m1.6.6.6.12.3.cmml">ν</mi></msub><mo id="S5.E64.m1.6.6.6.7g" xref="S5.E64.m1.6.6.6.7.cmml">⁢</mo><mi id="S5.E64.m1.6.6.6.13" xref="S5.E64.m1.6.6.6.13.cmml">W</mi><mo id="S5.E64.m1.6.6.6.7h" xref="S5.E64.m1.6.6.6.7.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.E64.m1.4.4.4.4.1" xref="S5.E64.m1.4.4.4.4.1.1.cmml"><mo id="S5.E64.m1.4.4.4.4.1.2" stretchy="false" xref="S5.E64.m1.4.4.4.4.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S5.E64.m1.4.4.4.4.1.1" xref="S5.E64.m1.4.4.4.4.1.1.cmml"><msub id="S5.E64.m1.4.4.4.4.1.1.2" xref="S5.E64.m1.4.4.4.4.1.1.2.cmml"><mi id="S5.E64.m1.4.4.4.4.1.1.2.2" xref="S5.E64.m1.4.4.4.4.1.1.2.2.cmml">Q</mi><mn id="S5.E64.m1.4.4.4.4.1.1.2.3" xref="S5.E64.m1.4.4.4.4.1.1.2.3.cmml">2</mn></msub><mo id="S5.E64.m1.4.4.4.4.1.1.1" xref="S5.E64.m1.4.4.4.4.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S5.E64.m1.4.4.4.4.1.1.3" xref="S5.E64.m1.4.4.4.4.1.1.3.cmml"><mi id="S5.E64.m1.4.4.4.4.1.1.3.2" xref="S5.E64.m1.4.4.4.4.1.1.3.2.cmml">Q</mi><mn id="S5.E64.m1.4.4.4.4.1.1.3.3" xref="S5.E64.m1.4.4.4.4.1.1.3.3.cmml">3</mn></msub></mrow><mo id="S5.E64.m1.4.4.4.4.1.3" stretchy="false" xref="S5.E64.m1.4.4.4.4.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S5.E64.m1.6.6.6.7i" xref="S5.E64.m1.6.6.6.7.cmml">⁢</mo><mi id="S5.E64.m1.6.6.6.14" xref="S5.E64.m1.6.6.6.14.cmml">D</mi><mo id="S5.E64.m1.6.6.6.7j" xref="S5.E64.m1.6.6.6.7.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.E64.m1.5.5.5.5.1" xref="S5.E64.m1.5.5.5.5.1.1.cmml"><mo id="S5.E64.m1.5.5.5.5.1.2" stretchy="false" xref="S5.E64.m1.5.5.5.5.1.1.cmml">(</mo><msub id="S5.E64.m1.5.5.5.5.1.1" xref="S5.E64.m1.5.5.5.5.1.1.cmml"><mi id="S5.E64.m1.5.5.5.5.1.1.2" xref="S5.E64.m1.5.5.5.5.1.1.2.cmml">Q</mi><mn id="S5.E64.m1.5.5.5.5.1.1.3" xref="S5.E64.m1.5.5.5.5.1.1.3.cmml">2</mn></msub><mo id="S5.E64.m1.5.5.5.5.1.3" stretchy="false" xref="S5.E64.m1.5.5.5.5.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S5.E64.m1.6.6.6.7k" xref="S5.E64.m1.6.6.6.7.cmml">⁢</mo><mi id="S5.E64.m1.6.6.6.15" xref="S5.E64.m1.6.6.6.15.cmml">C</mi><mo id="S5.E64.m1.6.6.6.7l" xref="S5.E64.m1.6.6.6.7.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.E64.m1.6.6.6.6.1" xref="S5.E64.m1.6.6.6.6.1.1.cmml"><mo id="S5.E64.m1.6.6.6.6.1.2" stretchy="false" xref="S5.E64.m1.6.6.6.6.1.1.cmml">(</mo><msub id="S5.E64.m1.6.6.6.6.1.1" xref="S5.E64.m1.6.6.6.6.1.1.cmml"><mi id="S5.E64.m1.6.6.6.6.1.1.2" xref="S5.E64.m1.6.6.6.6.1.1.2.cmml">Q</mi><mn id="S5.E64.m1.6.6.6.6.1.1.3" xref="S5.E64.m1.6.6.6.6.1.1.3.cmml">3</mn></msub><mo id="S5.E64.m1.6.6.6.6.1.3" stretchy="false" xref="S5.E64.m1.6.6.6.6.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.E64.m1.6b"><apply id="S5.E64.m1.6.6.cmml" xref="S5.E64.m1.6.6"><eq id="S5.E64.m1.6.6.7.cmml" xref="S5.E64.m1.6.6.7"></eq><apply id="S5.E64.m1.6.6.8.cmml" xref="S5.E64.m1.6.6.8"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E64.m1.6.6.8.1.cmml" xref="S5.E64.m1.6.6.8">subscript</csymbol><apply id="S5.E64.m1.6.6.8.2.cmml" xref="S5.E64.m1.6.6.8"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E64.m1.6.6.8.2.1.cmml" xref="S5.E64.m1.6.6.8">superscript</csymbol><ci id="S5.E64.m1.6.6.8.2.2.cmml" xref="S5.E64.m1.6.6.8.2.2">𝑀</ci><ci id="S5.E64.m1.6.6.8.2.3.cmml" xref="S5.E64.m1.6.6.8.2.3">𝜈</ci></apply><ci id="S5.E64.m1.6.6.8.3.cmml" xref="S5.E64.m1.6.6.8.3">𝑚</ci></apply><apply id="S5.E64.m1.6.6.6.cmml" xref="S5.E64.m1.6.6.6"><times id="S5.E64.m1.6.6.6.7.cmml" xref="S5.E64.m1.6.6.6.7"></times><apply id="S5.E64.m1.6.6.6.8.cmml" xref="S5.E64.m1.6.6.6.8"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E64.m1.6.6.6.8.1.cmml" xref="S5.E64.m1.6.6.6.8">superscript</csymbol><apply id="S5.E64.m1.6.6.6.8.2.cmml" xref="S5.E64.m1.6.6.6.8"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E64.m1.6.6.6.8.2.1.cmml" xref="S5.E64.m1.6.6.6.8">subscript</csymbol><ci id="S5.E64.m1.6.6.6.8.2.2.cmml" xref="S5.E64.m1.6.6.6.8.2.2">𝐷</ci><ci id="S5.E64.m1.6.6.6.8.2.3.cmml" xref="S5.E64.m1.6.6.6.8.2.3">𝜈</ci></apply><apply id="S5.E64.m1.6.6.6.8.3.cmml" xref="S5.E64.m1.6.6.6.8.3"><minus id="S5.E64.m1.6.6.6.8.3.1.cmml" xref="S5.E64.m1.6.6.6.8.3"></minus><cn id="S5.E64.m1.6.6.6.8.3.2.cmml" type="integer" xref="S5.E64.m1.6.6.6.8.3.2">1</cn></apply></apply><ci id="S5.E64.m1.6.6.6.9.cmml" xref="S5.E64.m1.6.6.6.9">𝑊</ci><apply id="S5.E64.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.E64.m1.1.1.1.1.1"><times id="S5.E64.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.E64.m1.1.1.1.1.1.1.1"></times><apply id="S5.E64.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.E64.m1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E64.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.E64.m1.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S5.E64.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.E64.m1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝑄</ci><cn id="S5.E64.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.E64.m1.1.1.1.1.1.1.2.3">1</cn></apply><apply id="S5.E64.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.E64.m1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E64.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.E64.m1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S5.E64.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.E64.m1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑄</ci><cn id="S5.E64.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.E64.m1.1.1.1.1.1.1.3.3">2</cn></apply></apply><ci id="S5.E64.m1.6.6.6.10.cmml" xref="S5.E64.m1.6.6.6.10">𝐷</ci><apply id="S5.E64.m1.2.2.2.2.1.1.cmml" xref="S5.E64.m1.2.2.2.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E64.m1.2.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S5.E64.m1.2.2.2.2.1">subscript</csymbol><ci id="S5.E64.m1.2.2.2.2.1.1.2.cmml" xref="S5.E64.m1.2.2.2.2.1.1.2">𝑄</ci><cn id="S5.E64.m1.2.2.2.2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.E64.m1.2.2.2.2.1.1.3">2</cn></apply><ci id="S5.E64.m1.6.6.6.11.cmml" xref="S5.E64.m1.6.6.6.11">𝐶</ci><apply id="S5.E64.m1.3.3.3.3.1.1.cmml" xref="S5.E64.m1.3.3.3.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E64.m1.3.3.3.3.1.1.1.cmml" xref="S5.E64.m1.3.3.3.3.1">subscript</csymbol><ci id="S5.E64.m1.3.3.3.3.1.1.2.cmml" xref="S5.E64.m1.3.3.3.3.1.1.2">𝑄</ci><cn id="S5.E64.m1.3.3.3.3.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.E64.m1.3.3.3.3.1.1.3">1</cn></apply><apply id="S5.E64.m1.6.6.6.12.cmml" xref="S5.E64.m1.6.6.6.12"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E64.m1.6.6.6.12.1.cmml" xref="S5.E64.m1.6.6.6.12">subscript</csymbol><ci id="S5.E64.m1.6.6.6.12.2.cmml" xref="S5.E64.m1.6.6.6.12.2">𝐷</ci><ci id="S5.E64.m1.6.6.6.12.3.cmml" xref="S5.E64.m1.6.6.6.12.3">𝜈</ci></apply><ci id="S5.E64.m1.6.6.6.13.cmml" xref="S5.E64.m1.6.6.6.13">𝑊</ci><apply id="S5.E64.m1.4.4.4.4.1.1.cmml" xref="S5.E64.m1.4.4.4.4.1"><times id="S5.E64.m1.4.4.4.4.1.1.1.cmml" xref="S5.E64.m1.4.4.4.4.1.1.1"></times><apply id="S5.E64.m1.4.4.4.4.1.1.2.cmml" xref="S5.E64.m1.4.4.4.4.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E64.m1.4.4.4.4.1.1.2.1.cmml" xref="S5.E64.m1.4.4.4.4.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S5.E64.m1.4.4.4.4.1.1.2.2.cmml" xref="S5.E64.m1.4.4.4.4.1.1.2.2">𝑄</ci><cn id="S5.E64.m1.4.4.4.4.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.E64.m1.4.4.4.4.1.1.2.3">2</cn></apply><apply id="S5.E64.m1.4.4.4.4.1.1.3.cmml" xref="S5.E64.m1.4.4.4.4.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E64.m1.4.4.4.4.1.1.3.1.cmml" xref="S5.E64.m1.4.4.4.4.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S5.E64.m1.4.4.4.4.1.1.3.2.cmml" xref="S5.E64.m1.4.4.4.4.1.1.3.2">𝑄</ci><cn id="S5.E64.m1.4.4.4.4.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.E64.m1.4.4.4.4.1.1.3.3">3</cn></apply></apply><ci id="S5.E64.m1.6.6.6.14.cmml" xref="S5.E64.m1.6.6.6.14">𝐷</ci><apply id="S5.E64.m1.5.5.5.5.1.1.cmml" xref="S5.E64.m1.5.5.5.5.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E64.m1.5.5.5.5.1.1.1.cmml" xref="S5.E64.m1.5.5.5.5.1">subscript</csymbol><ci id="S5.E64.m1.5.5.5.5.1.1.2.cmml" xref="S5.E64.m1.5.5.5.5.1.1.2">𝑄</ci><cn id="S5.E64.m1.5.5.5.5.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.E64.m1.5.5.5.5.1.1.3">2</cn></apply><ci id="S5.E64.m1.6.6.6.15.cmml" xref="S5.E64.m1.6.6.6.15">𝐶</ci><apply id="S5.E64.m1.6.6.6.6.1.1.cmml" xref="S5.E64.m1.6.6.6.6.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E64.m1.6.6.6.6.1.1.1.cmml" xref="S5.E64.m1.6.6.6.6.1">subscript</csymbol><ci id="S5.E64.m1.6.6.6.6.1.1.2.cmml" xref="S5.E64.m1.6.6.6.6.1.1.2">𝑄</ci><cn id="S5.E64.m1.6.6.6.6.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.E64.m1.6.6.6.6.1.1.3">3</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.E64.m1.6c">\displaystyle M^{\nu}_{m}=D_{\nu}^{-1}W(Q_{1}Q_{2})D(Q_{2})C(Q_{1})D_{\nu}W(Q_% {2}Q_{3})D(Q_{2})C(Q_{3})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.E64.m1.6d">italic_M start_POSTSUPERSCRIPT italic_ν end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT = italic_D start_POSTSUBSCRIPT italic_ν end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT italic_W ( italic_Q start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT italic_Q start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT ) italic_D ( italic_Q start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT ) italic_C ( italic_Q start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ) italic_D start_POSTSUBSCRIPT italic_ν end_POSTSUBSCRIPT italic_W ( italic_Q start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT italic_Q start_POSTSUBSCRIPT 3 end_POSTSUBSCRIPT ) italic_D ( italic_Q start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT ) italic_C ( italic_Q start_POSTSUBSCRIPT 3 end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(64)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="Thmtheorem36.p1.5"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmtheorem36.p1.5.1">where</span></p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_gather ltx_eqn_table" id="S6.EGx61"> <tbody id="S5.E65"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\displaystyle Q_{1}=q^{m}" class="ltx_Math" display="block" id="S5.E65.m1.1"><semantics id="S5.E65.m1.1a"><mrow id="S5.E65.m1.1.1" xref="S5.E65.m1.1.1.cmml"><msub id="S5.E65.m1.1.1.2" xref="S5.E65.m1.1.1.2.cmml"><mi id="S5.E65.m1.1.1.2.2" xref="S5.E65.m1.1.1.2.2.cmml">Q</mi><mn id="S5.E65.m1.1.1.2.3" xref="S5.E65.m1.1.1.2.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S5.E65.m1.1.1.1" xref="S5.E65.m1.1.1.1.cmml">=</mo><msup id="S5.E65.m1.1.1.3" xref="S5.E65.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S5.E65.m1.1.1.3.2" xref="S5.E65.m1.1.1.3.2.cmml">q</mi><mi id="S5.E65.m1.1.1.3.3" xref="S5.E65.m1.1.1.3.3.cmml">m</mi></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.E65.m1.1b"><apply id="S5.E65.m1.1.1.cmml" xref="S5.E65.m1.1.1"><eq id="S5.E65.m1.1.1.1.cmml" xref="S5.E65.m1.1.1.1"></eq><apply id="S5.E65.m1.1.1.2.cmml" xref="S5.E65.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E65.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.E65.m1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S5.E65.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.E65.m1.1.1.2.2">𝑄</ci><cn id="S5.E65.m1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.E65.m1.1.1.2.3">1</cn></apply><apply id="S5.E65.m1.1.1.3.cmml" xref="S5.E65.m1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E65.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.E65.m1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S5.E65.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.E65.m1.1.1.3.2">𝑞</ci><ci id="S5.E65.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S5.E65.m1.1.1.3.3">𝑚</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.E65.m1.1c">\displaystyle Q_{1}=q^{m}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.E65.m1.1d">italic_Q start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT = italic_q start_POSTSUPERSCRIPT italic_m end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(65)</span></td> </tr></tbody> <tbody id="S5.E66"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\displaystyle Q_{2}=Q_{3}=q" class="ltx_Math" display="block" id="S5.E66.m1.1"><semantics id="S5.E66.m1.1a"><mrow id="S5.E66.m1.1.1" xref="S5.E66.m1.1.1.cmml"><msub id="S5.E66.m1.1.1.2" xref="S5.E66.m1.1.1.2.cmml"><mi id="S5.E66.m1.1.1.2.2" xref="S5.E66.m1.1.1.2.2.cmml">Q</mi><mn id="S5.E66.m1.1.1.2.3" xref="S5.E66.m1.1.1.2.3.cmml">2</mn></msub><mo id="S5.E66.m1.1.1.3" xref="S5.E66.m1.1.1.3.cmml">=</mo><msub id="S5.E66.m1.1.1.4" xref="S5.E66.m1.1.1.4.cmml"><mi id="S5.E66.m1.1.1.4.2" xref="S5.E66.m1.1.1.4.2.cmml">Q</mi><mn id="S5.E66.m1.1.1.4.3" xref="S5.E66.m1.1.1.4.3.cmml">3</mn></msub><mo id="S5.E66.m1.1.1.5" xref="S5.E66.m1.1.1.5.cmml">=</mo><mi id="S5.E66.m1.1.1.6" xref="S5.E66.m1.1.1.6.cmml">q</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.E66.m1.1b"><apply id="S5.E66.m1.1.1.cmml" xref="S5.E66.m1.1.1"><and id="S5.E66.m1.1.1a.cmml" xref="S5.E66.m1.1.1"></and><apply id="S5.E66.m1.1.1b.cmml" xref="S5.E66.m1.1.1"><eq id="S5.E66.m1.1.1.3.cmml" xref="S5.E66.m1.1.1.3"></eq><apply id="S5.E66.m1.1.1.2.cmml" xref="S5.E66.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E66.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.E66.m1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S5.E66.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.E66.m1.1.1.2.2">𝑄</ci><cn id="S5.E66.m1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.E66.m1.1.1.2.3">2</cn></apply><apply id="S5.E66.m1.1.1.4.cmml" xref="S5.E66.m1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E66.m1.1.1.4.1.cmml" xref="S5.E66.m1.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="S5.E66.m1.1.1.4.2.cmml" xref="S5.E66.m1.1.1.4.2">𝑄</ci><cn id="S5.E66.m1.1.1.4.3.cmml" type="integer" xref="S5.E66.m1.1.1.4.3">3</cn></apply></apply><apply id="S5.E66.m1.1.1c.cmml" xref="S5.E66.m1.1.1"><eq id="S5.E66.m1.1.1.5.cmml" xref="S5.E66.m1.1.1.5"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#S5.E66.m1.1.1.4.cmml" id="S5.E66.m1.1.1d.cmml" xref="S5.E66.m1.1.1"></share><ci id="S5.E66.m1.1.1.6.cmml" xref="S5.E66.m1.1.1.6">𝑞</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.E66.m1.1c">\displaystyle Q_{2}=Q_{3}=q</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.E66.m1.1d">italic_Q start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT = italic_Q start_POSTSUBSCRIPT 3 end_POSTSUBSCRIPT = italic_q</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(66)</span></td> </tr></tbody> <tbody id="S5.E67"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\displaystyle W(d)_{\sigma,\tau}^{ij}=\text{Wg}(\sigma^{-1}\tau,d)\delta_{ij}" class="ltx_Math" display="block" id="S5.E67.m1.5"><semantics id="S5.E67.m1.5a"><mrow id="S5.E67.m1.5.5" xref="S5.E67.m1.5.5.cmml"><mrow id="S5.E67.m1.5.5.3" xref="S5.E67.m1.5.5.3.cmml"><mi id="S5.E67.m1.5.5.3.2" xref="S5.E67.m1.5.5.3.2.cmml">W</mi><mo id="S5.E67.m1.5.5.3.1" xref="S5.E67.m1.5.5.3.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S5.E67.m1.5.5.3.3" xref="S5.E67.m1.5.5.3.3.cmml"><mrow id="S5.E67.m1.5.5.3.3.2.2.2" xref="S5.E67.m1.5.5.3.3.cmml"><mo id="S5.E67.m1.5.5.3.3.2.2.2.1" stretchy="false" xref="S5.E67.m1.5.5.3.3.cmml">(</mo><mi id="S5.E67.m1.3.3" xref="S5.E67.m1.3.3.cmml">d</mi><mo id="S5.E67.m1.5.5.3.3.2.2.2.2" stretchy="false" xref="S5.E67.m1.5.5.3.3.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S5.E67.m1.2.2.2.4" xref="S5.E67.m1.2.2.2.3.cmml"><mi id="S5.E67.m1.1.1.1.1" xref="S5.E67.m1.1.1.1.1.cmml">σ</mi><mo id="S5.E67.m1.2.2.2.4.1" xref="S5.E67.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S5.E67.m1.2.2.2.2" xref="S5.E67.m1.2.2.2.2.cmml">τ</mi></mrow><mrow id="S5.E67.m1.5.5.3.3.3" xref="S5.E67.m1.5.5.3.3.3.cmml"><mi id="S5.E67.m1.5.5.3.3.3.2" xref="S5.E67.m1.5.5.3.3.3.2.cmml">i</mi><mo id="S5.E67.m1.5.5.3.3.3.1" xref="S5.E67.m1.5.5.3.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.E67.m1.5.5.3.3.3.3" xref="S5.E67.m1.5.5.3.3.3.3.cmml">j</mi></mrow></msubsup></mrow><mo id="S5.E67.m1.5.5.2" xref="S5.E67.m1.5.5.2.cmml">=</mo><mrow id="S5.E67.m1.5.5.1" xref="S5.E67.m1.5.5.1.cmml"><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S5.E67.m1.5.5.1.3" xref="S5.E67.m1.5.5.1.3a.cmml">Wg</mtext><mo id="S5.E67.m1.5.5.1.2" xref="S5.E67.m1.5.5.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.E67.m1.5.5.1.1.1" xref="S5.E67.m1.5.5.1.1.2.cmml"><mo id="S5.E67.m1.5.5.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S5.E67.m1.5.5.1.1.2.cmml">(</mo><mrow id="S5.E67.m1.5.5.1.1.1.1" xref="S5.E67.m1.5.5.1.1.1.1.cmml"><msup id="S5.E67.m1.5.5.1.1.1.1.2" xref="S5.E67.m1.5.5.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S5.E67.m1.5.5.1.1.1.1.2.2" xref="S5.E67.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.cmml">σ</mi><mrow id="S5.E67.m1.5.5.1.1.1.1.2.3" xref="S5.E67.m1.5.5.1.1.1.1.2.3.cmml"><mo id="S5.E67.m1.5.5.1.1.1.1.2.3a" xref="S5.E67.m1.5.5.1.1.1.1.2.3.cmml">−</mo><mn id="S5.E67.m1.5.5.1.1.1.1.2.3.2" xref="S5.E67.m1.5.5.1.1.1.1.2.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="S5.E67.m1.5.5.1.1.1.1.1" xref="S5.E67.m1.5.5.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.E67.m1.5.5.1.1.1.1.3" xref="S5.E67.m1.5.5.1.1.1.1.3.cmml">τ</mi></mrow><mo id="S5.E67.m1.5.5.1.1.1.3" xref="S5.E67.m1.5.5.1.1.2.cmml">,</mo><mi id="S5.E67.m1.4.4" xref="S5.E67.m1.4.4.cmml">d</mi><mo id="S5.E67.m1.5.5.1.1.1.4" stretchy="false" xref="S5.E67.m1.5.5.1.1.2.cmml">)</mo></mrow><mo id="S5.E67.m1.5.5.1.2a" xref="S5.E67.m1.5.5.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="S5.E67.m1.5.5.1.4" xref="S5.E67.m1.5.5.1.4.cmml"><mi id="S5.E67.m1.5.5.1.4.2" xref="S5.E67.m1.5.5.1.4.2.cmml">δ</mi><mrow id="S5.E67.m1.5.5.1.4.3" xref="S5.E67.m1.5.5.1.4.3.cmml"><mi id="S5.E67.m1.5.5.1.4.3.2" xref="S5.E67.m1.5.5.1.4.3.2.cmml">i</mi><mo id="S5.E67.m1.5.5.1.4.3.1" xref="S5.E67.m1.5.5.1.4.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.E67.m1.5.5.1.4.3.3" xref="S5.E67.m1.5.5.1.4.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.E67.m1.5b"><apply id="S5.E67.m1.5.5.cmml" xref="S5.E67.m1.5.5"><eq id="S5.E67.m1.5.5.2.cmml" xref="S5.E67.m1.5.5.2"></eq><apply id="S5.E67.m1.5.5.3.cmml" xref="S5.E67.m1.5.5.3"><times id="S5.E67.m1.5.5.3.1.cmml" xref="S5.E67.m1.5.5.3.1"></times><ci id="S5.E67.m1.5.5.3.2.cmml" xref="S5.E67.m1.5.5.3.2">𝑊</ci><apply id="S5.E67.m1.5.5.3.3.cmml" xref="S5.E67.m1.5.5.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E67.m1.5.5.3.3.1.cmml" xref="S5.E67.m1.5.5.3.3">superscript</csymbol><apply id="S5.E67.m1.5.5.3.3.2.cmml" xref="S5.E67.m1.5.5.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E67.m1.5.5.3.3.2.1.cmml" xref="S5.E67.m1.5.5.3.3">subscript</csymbol><ci id="S5.E67.m1.3.3.cmml" xref="S5.E67.m1.3.3">𝑑</ci><list id="S5.E67.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S5.E67.m1.2.2.2.4"><ci id="S5.E67.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.E67.m1.1.1.1.1">𝜎</ci><ci id="S5.E67.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S5.E67.m1.2.2.2.2">𝜏</ci></list></apply><apply id="S5.E67.m1.5.5.3.3.3.cmml" xref="S5.E67.m1.5.5.3.3.3"><times id="S5.E67.m1.5.5.3.3.3.1.cmml" xref="S5.E67.m1.5.5.3.3.3.1"></times><ci id="S5.E67.m1.5.5.3.3.3.2.cmml" xref="S5.E67.m1.5.5.3.3.3.2">𝑖</ci><ci id="S5.E67.m1.5.5.3.3.3.3.cmml" xref="S5.E67.m1.5.5.3.3.3.3">𝑗</ci></apply></apply></apply><apply id="S5.E67.m1.5.5.1.cmml" 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start_POSTSUBSCRIPT italic_σ , italic_τ end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_i italic_j end_POSTSUPERSCRIPT = Wg ( italic_σ start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT italic_τ , italic_d ) italic_δ start_POSTSUBSCRIPT italic_i italic_j end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(67)</span></td> </tr></tbody> <tbody id="S5.E68"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\displaystyle D(d)_{\sigma,\tau}^{ij}=d^{-|\sigma|}\delta_{\sigma,\tau}\delta_% {ij}" class="ltx_Math" display="block" id="S5.E68.m1.6"><semantics id="S5.E68.m1.6a"><mrow id="S5.E68.m1.6.7" xref="S5.E68.m1.6.7.cmml"><mrow id="S5.E68.m1.6.7.2" xref="S5.E68.m1.6.7.2.cmml"><mi 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italic_j end_POSTSUPERSCRIPT = italic_d start_POSTSUPERSCRIPT - | italic_σ | end_POSTSUPERSCRIPT italic_δ start_POSTSUBSCRIPT italic_σ , italic_τ end_POSTSUBSCRIPT italic_δ start_POSTSUBSCRIPT italic_i italic_j end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(68)</span></td> </tr></tbody> <tbody id="S5.E69"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\displaystyle C(d)_{\sigma,\tau}^{ij}=d^{-|\sigma^{-1}\tau|}\delta_{ij}" class="ltx_Math" display="block" id="S5.E69.m1.4"><semantics id="S5.E69.m1.4a"><mrow id="S5.E69.m1.4.5" xref="S5.E69.m1.4.5.cmml"><mrow id="S5.E69.m1.4.5.2" xref="S5.E69.m1.4.5.2.cmml"><mi id="S5.E69.m1.4.5.2.2" 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ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\displaystyle D^{ij}_{\nu,\sigma,\tau}=V_{\nu}(\sigma)^{ij}\delta_{\sigma,\tau}" class="ltx_Math" display="block" id="S5.E70.m1.6"><semantics id="S5.E70.m1.6a"><mrow id="S5.E70.m1.6.7" xref="S5.E70.m1.6.7.cmml"><msubsup id="S5.E70.m1.6.7.2" xref="S5.E70.m1.6.7.2.cmml"><mi id="S5.E70.m1.6.7.2.2.2" xref="S5.E70.m1.6.7.2.2.2.cmml">D</mi><mrow id="S5.E70.m1.3.3.3.5" xref="S5.E70.m1.3.3.3.4.cmml"><mi id="S5.E70.m1.1.1.1.1" xref="S5.E70.m1.1.1.1.1.cmml">ν</mi><mo id="S5.E70.m1.3.3.3.5.1" xref="S5.E70.m1.3.3.3.4.cmml">,</mo><mi id="S5.E70.m1.2.2.2.2" xref="S5.E70.m1.2.2.2.2.cmml">σ</mi><mo id="S5.E70.m1.3.3.3.5.2" xref="S5.E70.m1.3.3.3.4.cmml">,</mo><mi id="S5.E70.m1.3.3.3.3" xref="S5.E70.m1.3.3.3.3.cmml">τ</mi></mrow><mrow id="S5.E70.m1.6.7.2.2.3" xref="S5.E70.m1.6.7.2.2.3.cmml"><mi id="S5.E70.m1.6.7.2.2.3.2" xref="S5.E70.m1.6.7.2.2.3.2.cmml">i</mi><mo id="S5.E70.m1.6.7.2.2.3.1" xref="S5.E70.m1.6.7.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.E70.m1.6.7.2.2.3.3" xref="S5.E70.m1.6.7.2.2.3.3.cmml">j</mi></mrow></msubsup><mo id="S5.E70.m1.6.7.1" xref="S5.E70.m1.6.7.1.cmml">=</mo><mrow id="S5.E70.m1.6.7.3" xref="S5.E70.m1.6.7.3.cmml"><msub id="S5.E70.m1.6.7.3.2" xref="S5.E70.m1.6.7.3.2.cmml"><mi id="S5.E70.m1.6.7.3.2.2" xref="S5.E70.m1.6.7.3.2.2.cmml">V</mi><mi id="S5.E70.m1.6.7.3.2.3" xref="S5.E70.m1.6.7.3.2.3.cmml">ν</mi></msub><mo id="S5.E70.m1.6.7.3.1" xref="S5.E70.m1.6.7.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="S5.E70.m1.6.7.3.3" xref="S5.E70.m1.6.7.3.3.cmml"><mrow id="S5.E70.m1.6.7.3.3.2.2" xref="S5.E70.m1.6.7.3.3.cmml"><mo id="S5.E70.m1.6.7.3.3.2.2.1" stretchy="false" xref="S5.E70.m1.6.7.3.3.cmml">(</mo><mi id="S5.E70.m1.6.6" xref="S5.E70.m1.6.6.cmml">σ</mi><mo id="S5.E70.m1.6.7.3.3.2.2.2" stretchy="false" xref="S5.E70.m1.6.7.3.3.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S5.E70.m1.6.7.3.3.3" xref="S5.E70.m1.6.7.3.3.3.cmml"><mi id="S5.E70.m1.6.7.3.3.3.2" xref="S5.E70.m1.6.7.3.3.3.2.cmml">i</mi><mo id="S5.E70.m1.6.7.3.3.3.1" xref="S5.E70.m1.6.7.3.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.E70.m1.6.7.3.3.3.3" xref="S5.E70.m1.6.7.3.3.3.3.cmml">j</mi></mrow></msup><mo id="S5.E70.m1.6.7.3.1a" xref="S5.E70.m1.6.7.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S5.E70.m1.6.7.3.4" xref="S5.E70.m1.6.7.3.4.cmml"><mi id="S5.E70.m1.6.7.3.4.2" xref="S5.E70.m1.6.7.3.4.2.cmml">δ</mi><mrow id="S5.E70.m1.5.5.2.4" xref="S5.E70.m1.5.5.2.3.cmml"><mi id="S5.E70.m1.4.4.1.1" xref="S5.E70.m1.4.4.1.1.cmml">σ</mi><mo id="S5.E70.m1.5.5.2.4.1" xref="S5.E70.m1.5.5.2.3.cmml">,</mo><mi id="S5.E70.m1.5.5.2.2" xref="S5.E70.m1.5.5.2.2.cmml">τ</mi></mrow></msub></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.E70.m1.6b"><apply id="S5.E70.m1.6.7.cmml" xref="S5.E70.m1.6.7"><eq id="S5.E70.m1.6.7.1.cmml" xref="S5.E70.m1.6.7.1"></eq><apply id="S5.E70.m1.6.7.2.cmml" xref="S5.E70.m1.6.7.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E70.m1.6.7.2.1.cmml" xref="S5.E70.m1.6.7.2">subscript</csymbol><apply id="S5.E70.m1.6.7.2.2.cmml" xref="S5.E70.m1.6.7.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E70.m1.6.7.2.2.1.cmml" xref="S5.E70.m1.6.7.2">superscript</csymbol><ci id="S5.E70.m1.6.7.2.2.2.cmml" xref="S5.E70.m1.6.7.2.2.2">𝐷</ci><apply id="S5.E70.m1.6.7.2.2.3.cmml" xref="S5.E70.m1.6.7.2.2.3"><times id="S5.E70.m1.6.7.2.2.3.1.cmml" xref="S5.E70.m1.6.7.2.2.3.1"></times><ci id="S5.E70.m1.6.7.2.2.3.2.cmml" xref="S5.E70.m1.6.7.2.2.3.2">𝑖</ci><ci id="S5.E70.m1.6.7.2.2.3.3.cmml" xref="S5.E70.m1.6.7.2.2.3.3">𝑗</ci></apply></apply><list id="S5.E70.m1.3.3.3.4.cmml" xref="S5.E70.m1.3.3.3.5"><ci id="S5.E70.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.E70.m1.1.1.1.1">𝜈</ci><ci id="S5.E70.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S5.E70.m1.2.2.2.2">𝜎</ci><ci id="S5.E70.m1.3.3.3.3.cmml" xref="S5.E70.m1.3.3.3.3">𝜏</ci></list></apply><apply id="S5.E70.m1.6.7.3.cmml" xref="S5.E70.m1.6.7.3"><times id="S5.E70.m1.6.7.3.1.cmml" xref="S5.E70.m1.6.7.3.1"></times><apply id="S5.E70.m1.6.7.3.2.cmml" xref="S5.E70.m1.6.7.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E70.m1.6.7.3.2.1.cmml" xref="S5.E70.m1.6.7.3.2">subscript</csymbol><ci id="S5.E70.m1.6.7.3.2.2.cmml" xref="S5.E70.m1.6.7.3.2.2">𝑉</ci><ci id="S5.E70.m1.6.7.3.2.3.cmml" xref="S5.E70.m1.6.7.3.2.3">𝜈</ci></apply><apply id="S5.E70.m1.6.7.3.3.cmml" xref="S5.E70.m1.6.7.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E70.m1.6.7.3.3.1.cmml" xref="S5.E70.m1.6.7.3.3">superscript</csymbol><ci id="S5.E70.m1.6.6.cmml" xref="S5.E70.m1.6.6">𝜎</ci><apply id="S5.E70.m1.6.7.3.3.3.cmml" xref="S5.E70.m1.6.7.3.3.3"><times id="S5.E70.m1.6.7.3.3.3.1.cmml" xref="S5.E70.m1.6.7.3.3.3.1"></times><ci id="S5.E70.m1.6.7.3.3.3.2.cmml" xref="S5.E70.m1.6.7.3.3.3.2">𝑖</ci><ci id="S5.E70.m1.6.7.3.3.3.3.cmml" xref="S5.E70.m1.6.7.3.3.3.3">𝑗</ci></apply></apply><apply id="S5.E70.m1.6.7.3.4.cmml" xref="S5.E70.m1.6.7.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E70.m1.6.7.3.4.1.cmml" xref="S5.E70.m1.6.7.3.4">subscript</csymbol><ci id="S5.E70.m1.6.7.3.4.2.cmml" xref="S5.E70.m1.6.7.3.4.2">𝛿</ci><list id="S5.E70.m1.5.5.2.3.cmml" xref="S5.E70.m1.5.5.2.4"><ci id="S5.E70.m1.4.4.1.1.cmml" xref="S5.E70.m1.4.4.1.1">𝜎</ci><ci id="S5.E70.m1.5.5.2.2.cmml" xref="S5.E70.m1.5.5.2.2">𝜏</ci></list></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.E70.m1.6c">\displaystyle D^{ij}_{\nu,\sigma,\tau}=V_{\nu}(\sigma)^{ij}\delta_{\sigma,\tau}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.E70.m1.6d">italic_D start_POSTSUPERSCRIPT italic_i italic_j end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_ν , italic_σ , italic_τ end_POSTSUBSCRIPT = italic_V start_POSTSUBSCRIPT italic_ν end_POSTSUBSCRIPT ( italic_σ ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_i italic_j end_POSTSUPERSCRIPT italic_δ start_POSTSUBSCRIPT italic_σ , italic_τ end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(70)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="Thmtheorem36.p1.6"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmtheorem36.p1.6.1">and the product above is matrix multiplication.</span></p> </div> </div> <div class="ltx_proof" id="S5.SS1.2"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_font_italic ltx_title_proof">Proof.</h6> <div class="ltx_para" id="S5.SS1.2.p1"> <p class="ltx_p" id="S5.SS1.2.p1.3">Consider the action of <math alttext="K_{m}=\Pi_{m}G_{m}\Pi_{m}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS1.2.p1.1.m1.1"><semantics id="S5.SS1.2.p1.1.m1.1a"><mrow id="S5.SS1.2.p1.1.m1.1.1" xref="S5.SS1.2.p1.1.m1.1.1.cmml"><msub id="S5.SS1.2.p1.1.m1.1.1.2" xref="S5.SS1.2.p1.1.m1.1.1.2.cmml"><mi id="S5.SS1.2.p1.1.m1.1.1.2.2" xref="S5.SS1.2.p1.1.m1.1.1.2.2.cmml">K</mi><mi id="S5.SS1.2.p1.1.m1.1.1.2.3" xref="S5.SS1.2.p1.1.m1.1.1.2.3.cmml">m</mi></msub><mo id="S5.SS1.2.p1.1.m1.1.1.1" xref="S5.SS1.2.p1.1.m1.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S5.SS1.2.p1.1.m1.1.1.3" xref="S5.SS1.2.p1.1.m1.1.1.3.cmml"><msub id="S5.SS1.2.p1.1.m1.1.1.3.2" xref="S5.SS1.2.p1.1.m1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S5.SS1.2.p1.1.m1.1.1.3.2.2" mathvariant="normal" xref="S5.SS1.2.p1.1.m1.1.1.3.2.2.cmml">Π</mi><mi id="S5.SS1.2.p1.1.m1.1.1.3.2.3" xref="S5.SS1.2.p1.1.m1.1.1.3.2.3.cmml">m</mi></msub><mo id="S5.SS1.2.p1.1.m1.1.1.3.1" xref="S5.SS1.2.p1.1.m1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S5.SS1.2.p1.1.m1.1.1.3.3" xref="S5.SS1.2.p1.1.m1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S5.SS1.2.p1.1.m1.1.1.3.3.2" xref="S5.SS1.2.p1.1.m1.1.1.3.3.2.cmml">G</mi><mi id="S5.SS1.2.p1.1.m1.1.1.3.3.3" xref="S5.SS1.2.p1.1.m1.1.1.3.3.3.cmml">m</mi></msub><mo id="S5.SS1.2.p1.1.m1.1.1.3.1a" xref="S5.SS1.2.p1.1.m1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S5.SS1.2.p1.1.m1.1.1.3.4" xref="S5.SS1.2.p1.1.m1.1.1.3.4.cmml"><mi id="S5.SS1.2.p1.1.m1.1.1.3.4.2" mathvariant="normal" xref="S5.SS1.2.p1.1.m1.1.1.3.4.2.cmml">Π</mi><mi id="S5.SS1.2.p1.1.m1.1.1.3.4.3" xref="S5.SS1.2.p1.1.m1.1.1.3.4.3.cmml">m</mi></msub></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS1.2.p1.1.m1.1b"><apply id="S5.SS1.2.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S5.SS1.2.p1.1.m1.1.1"><eq id="S5.SS1.2.p1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S5.SS1.2.p1.1.m1.1.1.1"></eq><apply id="S5.SS1.2.p1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S5.SS1.2.p1.1.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS1.2.p1.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.SS1.2.p1.1.m1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S5.SS1.2.p1.1.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.SS1.2.p1.1.m1.1.1.2.2">𝐾</ci><ci id="S5.SS1.2.p1.1.m1.1.1.2.3.cmml" xref="S5.SS1.2.p1.1.m1.1.1.2.3">𝑚</ci></apply><apply id="S5.SS1.2.p1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S5.SS1.2.p1.1.m1.1.1.3"><times id="S5.SS1.2.p1.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.SS1.2.p1.1.m1.1.1.3.1"></times><apply id="S5.SS1.2.p1.1.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.SS1.2.p1.1.m1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS1.2.p1.1.m1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S5.SS1.2.p1.1.m1.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S5.SS1.2.p1.1.m1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S5.SS1.2.p1.1.m1.1.1.3.2.2">Π</ci><ci id="S5.SS1.2.p1.1.m1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S5.SS1.2.p1.1.m1.1.1.3.2.3">𝑚</ci></apply><apply id="S5.SS1.2.p1.1.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S5.SS1.2.p1.1.m1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS1.2.p1.1.m1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S5.SS1.2.p1.1.m1.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S5.SS1.2.p1.1.m1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S5.SS1.2.p1.1.m1.1.1.3.3.2">𝐺</ci><ci id="S5.SS1.2.p1.1.m1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S5.SS1.2.p1.1.m1.1.1.3.3.3">𝑚</ci></apply><apply id="S5.SS1.2.p1.1.m1.1.1.3.4.cmml" xref="S5.SS1.2.p1.1.m1.1.1.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS1.2.p1.1.m1.1.1.3.4.1.cmml" xref="S5.SS1.2.p1.1.m1.1.1.3.4">subscript</csymbol><ci id="S5.SS1.2.p1.1.m1.1.1.3.4.2.cmml" xref="S5.SS1.2.p1.1.m1.1.1.3.4.2">Π</ci><ci id="S5.SS1.2.p1.1.m1.1.1.3.4.3.cmml" xref="S5.SS1.2.p1.1.m1.1.1.3.4.3">𝑚</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS1.2.p1.1.m1.1c">K_{m}=\Pi_{m}G_{m}\Pi_{m}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS1.2.p1.1.m1.1d">italic_K start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT = roman_Π start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT italic_G start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT roman_Π start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> on one of the basis states. Since <math alttext="\Pi_{m}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS1.2.p1.2.m2.1"><semantics id="S5.SS1.2.p1.2.m2.1a"><msub id="S5.SS1.2.p1.2.m2.1.1" xref="S5.SS1.2.p1.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S5.SS1.2.p1.2.m2.1.1.2" mathvariant="normal" xref="S5.SS1.2.p1.2.m2.1.1.2.cmml">Π</mi><mi id="S5.SS1.2.p1.2.m2.1.1.3" xref="S5.SS1.2.p1.2.m2.1.1.3.cmml">m</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS1.2.p1.2.m2.1b"><apply id="S5.SS1.2.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="S5.SS1.2.p1.2.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS1.2.p1.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S5.SS1.2.p1.2.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.SS1.2.p1.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S5.SS1.2.p1.2.m2.1.1.2">Π</ci><ci id="S5.SS1.2.p1.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S5.SS1.2.p1.2.m2.1.1.3">𝑚</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS1.2.p1.2.m2.1c">\Pi_{m}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS1.2.p1.2.m2.1d">roman_Π start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> and <math alttext="G_{m}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS1.2.p1.3.m3.1"><semantics id="S5.SS1.2.p1.3.m3.1a"><msub id="S5.SS1.2.p1.3.m3.1.1" xref="S5.SS1.2.p1.3.m3.1.1.cmml"><mi id="S5.SS1.2.p1.3.m3.1.1.2" xref="S5.SS1.2.p1.3.m3.1.1.2.cmml">G</mi><mi id="S5.SS1.2.p1.3.m3.1.1.3" xref="S5.SS1.2.p1.3.m3.1.1.3.cmml">m</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS1.2.p1.3.m3.1b"><apply id="S5.SS1.2.p1.3.m3.1.1.cmml" xref="S5.SS1.2.p1.3.m3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS1.2.p1.3.m3.1.1.1.cmml" xref="S5.SS1.2.p1.3.m3.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.SS1.2.p1.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S5.SS1.2.p1.3.m3.1.1.2">𝐺</ci><ci id="S5.SS1.2.p1.3.m3.1.1.3.cmml" xref="S5.SS1.2.p1.3.m3.1.1.3">𝑚</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS1.2.p1.3.m3.1c">G_{m}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS1.2.p1.3.m3.1d">italic_G start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> commute with right-action,</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_gather ltx_eqn_table" id="S6.EGx62"> <tbody id="S5.E71"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\displaystyle\Pi_{m}G_{m}\Pi_{m}\ket{e_{\nu}^{ij,\sigma}}=R_{\nu}^{ij}\Pi_{m}G% _{m}\Pi_{m}\ket{I,\sigma}" class="ltx_Math" display="block" id="S5.E71.m1.2"><semantics id="S5.E71.m1.2a"><mrow id="S5.E71.m1.2.3" xref="S5.E71.m1.2.3.cmml"><mrow id="S5.E71.m1.2.3.2" xref="S5.E71.m1.2.3.2.cmml"><msub id="S5.E71.m1.2.3.2.2" xref="S5.E71.m1.2.3.2.2.cmml"><mi id="S5.E71.m1.2.3.2.2.2" mathvariant="normal" xref="S5.E71.m1.2.3.2.2.2.cmml">Π</mi><mi id="S5.E71.m1.2.3.2.2.3" xref="S5.E71.m1.2.3.2.2.3.cmml">m</mi></msub><mo id="S5.E71.m1.2.3.2.1" xref="S5.E71.m1.2.3.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S5.E71.m1.2.3.2.3" xref="S5.E71.m1.2.3.2.3.cmml"><mi 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id="S5.E71.m1.2.2.1.1.2.cmml" xref="S5.E71.m1.2.2.1.1.2">𝜎</ci></list></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.E71.m1.2c">\displaystyle\Pi_{m}G_{m}\Pi_{m}\ket{e_{\nu}^{ij,\sigma}}=R_{\nu}^{ij}\Pi_{m}G% _{m}\Pi_{m}\ket{I,\sigma}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.E71.m1.2d">roman_Π start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT italic_G start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT roman_Π start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT | start_ARG italic_e start_POSTSUBSCRIPT italic_ν end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_i italic_j , italic_σ end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG ⟩ = italic_R start_POSTSUBSCRIPT italic_ν end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_i italic_j end_POSTSUPERSCRIPT roman_Π start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT italic_G start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT roman_Π start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT | start_ARG italic_I , italic_σ end_ARG ⟩</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(71)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S5.SS1.2.p1.4">We can compute</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="S6.EGx63"> <tbody id="S5.Ex28"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\Pi_{m}G_{m}\Pi_{m}\ket{I,I,\sigma}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.Ex28.m1.1"><semantics id="S5.Ex28.m1.1a"><mrow id="S5.Ex28.m1.1.2" xref="S5.Ex28.m1.1.2.cmml"><msub id="S5.Ex28.m1.1.2.2" xref="S5.Ex28.m1.1.2.2.cmml"><mi id="S5.Ex28.m1.1.2.2.2" mathvariant="normal" xref="S5.Ex28.m1.1.2.2.2.cmml">Π</mi><mi id="S5.Ex28.m1.1.2.2.3" xref="S5.Ex28.m1.1.2.2.3.cmml">m</mi></msub><mo id="S5.Ex28.m1.1.2.1" xref="S5.Ex28.m1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S5.Ex28.m1.1.2.3" xref="S5.Ex28.m1.1.2.3.cmml"><mi id="S5.Ex28.m1.1.2.3.2" xref="S5.Ex28.m1.1.2.3.2.cmml">G</mi><mi id="S5.Ex28.m1.1.2.3.3" xref="S5.Ex28.m1.1.2.3.3.cmml">m</mi></msub><mo id="S5.Ex28.m1.1.2.1a" xref="S5.Ex28.m1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S5.Ex28.m1.1.2.4" xref="S5.Ex28.m1.1.2.4.cmml"><mi id="S5.Ex28.m1.1.2.4.2" mathvariant="normal" xref="S5.Ex28.m1.1.2.4.2.cmml">Π</mi><mi id="S5.Ex28.m1.1.2.4.3" xref="S5.Ex28.m1.1.2.4.3.cmml">m</mi></msub><mo id="S5.Ex28.m1.1.2.1b" xref="S5.Ex28.m1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.Ex28.m1.1.1a.3" xref="S5.Ex28.m1.1.1a.2.cmml"><mo id="S5.Ex28.m1.1.1a.3.1" stretchy="false" xref="S5.Ex28.m1.1.1a.2.1.cmml">|</mo><mrow id="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.5" xref="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.1.cmml">I</mi><mo id="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.5.1" xref="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.4.cmml">,</mo><mi id="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.2.cmml">I</mi><mo id="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.5.2" xref="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.4.cmml">,</mo><mi id="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.3.cmml">σ</mi></mrow><mo id="S5.Ex28.m1.1.1a.3.2" stretchy="false" xref="S5.Ex28.m1.1.1a.2.1.cmml">⟩</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.Ex28.m1.1b"><apply id="S5.Ex28.m1.1.2.cmml" xref="S5.Ex28.m1.1.2"><times id="S5.Ex28.m1.1.2.1.cmml" xref="S5.Ex28.m1.1.2.1"></times><apply id="S5.Ex28.m1.1.2.2.cmml" xref="S5.Ex28.m1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex28.m1.1.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex28.m1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex28.m1.1.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex28.m1.1.2.2.2">Π</ci><ci id="S5.Ex28.m1.1.2.2.3.cmml" xref="S5.Ex28.m1.1.2.2.3">𝑚</ci></apply><apply id="S5.Ex28.m1.1.2.3.cmml" xref="S5.Ex28.m1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex28.m1.1.2.3.1.cmml" xref="S5.Ex28.m1.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex28.m1.1.2.3.2.cmml" xref="S5.Ex28.m1.1.2.3.2">𝐺</ci><ci id="S5.Ex28.m1.1.2.3.3.cmml" xref="S5.Ex28.m1.1.2.3.3">𝑚</ci></apply><apply id="S5.Ex28.m1.1.2.4.cmml" xref="S5.Ex28.m1.1.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex28.m1.1.2.4.1.cmml" xref="S5.Ex28.m1.1.2.4">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex28.m1.1.2.4.2.cmml" xref="S5.Ex28.m1.1.2.4.2">Π</ci><ci id="S5.Ex28.m1.1.2.4.3.cmml" xref="S5.Ex28.m1.1.2.4.3">𝑚</ci></apply><apply id="S5.Ex28.m1.1.1a.2.cmml" xref="S5.Ex28.m1.1.1a.3"><csymbol cd="latexml" id="S5.Ex28.m1.1.1a.2.1.cmml" xref="S5.Ex28.m1.1.1a.3.1">ket</csymbol><list id="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.5"><ci id="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.1">𝐼</ci><ci id="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.2">𝐼</ci><ci id="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.3">𝜎</ci></list></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.Ex28.m1.1c">\displaystyle\Pi_{m}G_{m}\Pi_{m}\ket{I,I,\sigma}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.Ex28.m1.1d">roman_Π start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT italic_G start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT roman_Π start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT | start_ARG italic_I , italic_I , italic_σ end_ARG ⟩</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=\Pi_{m}G_{m}\ket{I,I,\sigma}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.Ex28.m2.1"><semantics id="S5.Ex28.m2.1a"><mrow id="S5.Ex28.m2.1.2" xref="S5.Ex28.m2.1.2.cmml"><mi id="S5.Ex28.m2.1.2.2" xref="S5.Ex28.m2.1.2.2.cmml"></mi><mo id="S5.Ex28.m2.1.2.1" xref="S5.Ex28.m2.1.2.1.cmml">=</mo><mrow id="S5.Ex28.m2.1.2.3" xref="S5.Ex28.m2.1.2.3.cmml"><msub id="S5.Ex28.m2.1.2.3.2" xref="S5.Ex28.m2.1.2.3.2.cmml"><mi id="S5.Ex28.m2.1.2.3.2.2" mathvariant="normal" xref="S5.Ex28.m2.1.2.3.2.2.cmml">Π</mi><mi id="S5.Ex28.m2.1.2.3.2.3" xref="S5.Ex28.m2.1.2.3.2.3.cmml">m</mi></msub><mo id="S5.Ex28.m2.1.2.3.1" xref="S5.Ex28.m2.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S5.Ex28.m2.1.2.3.3" xref="S5.Ex28.m2.1.2.3.3.cmml"><mi id="S5.Ex28.m2.1.2.3.3.2" xref="S5.Ex28.m2.1.2.3.3.2.cmml">G</mi><mi id="S5.Ex28.m2.1.2.3.3.3" xref="S5.Ex28.m2.1.2.3.3.3.cmml">m</mi></msub><mo id="S5.Ex28.m2.1.2.3.1a" xref="S5.Ex28.m2.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.Ex28.m2.1.1a.3" xref="S5.Ex28.m2.1.1a.2.cmml"><mo id="S5.Ex28.m2.1.1a.3.1" stretchy="false" xref="S5.Ex28.m2.1.1a.2.1.cmml">|</mo><mrow id="S5.Ex28.m2.1.1.1.1.5" xref="S5.Ex28.m2.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="S5.Ex28.m2.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex28.m2.1.1.1.1.1.cmml">I</mi><mo id="S5.Ex28.m2.1.1.1.1.5.1" xref="S5.Ex28.m2.1.1.1.1.4.cmml">,</mo><mi id="S5.Ex28.m2.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex28.m2.1.1.1.1.2.cmml">I</mi><mo id="S5.Ex28.m2.1.1.1.1.5.2" xref="S5.Ex28.m2.1.1.1.1.4.cmml">,</mo><mi id="S5.Ex28.m2.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex28.m2.1.1.1.1.3.cmml">σ</mi></mrow><mo id="S5.Ex28.m2.1.1a.3.2" stretchy="false" xref="S5.Ex28.m2.1.1a.2.1.cmml">⟩</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.Ex28.m2.1b"><apply id="S5.Ex28.m2.1.2.cmml" xref="S5.Ex28.m2.1.2"><eq id="S5.Ex28.m2.1.2.1.cmml" xref="S5.Ex28.m2.1.2.1"></eq><csymbol cd="latexml" id="S5.Ex28.m2.1.2.2.cmml" xref="S5.Ex28.m2.1.2.2">absent</csymbol><apply id="S5.Ex28.m2.1.2.3.cmml" xref="S5.Ex28.m2.1.2.3"><times id="S5.Ex28.m2.1.2.3.1.cmml" xref="S5.Ex28.m2.1.2.3.1"></times><apply id="S5.Ex28.m2.1.2.3.2.cmml" xref="S5.Ex28.m2.1.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex28.m2.1.2.3.2.1.cmml" xref="S5.Ex28.m2.1.2.3.2">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex28.m2.1.2.3.2.2.cmml" xref="S5.Ex28.m2.1.2.3.2.2">Π</ci><ci id="S5.Ex28.m2.1.2.3.2.3.cmml" xref="S5.Ex28.m2.1.2.3.2.3">𝑚</ci></apply><apply id="S5.Ex28.m2.1.2.3.3.cmml" xref="S5.Ex28.m2.1.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex28.m2.1.2.3.3.1.cmml" xref="S5.Ex28.m2.1.2.3.3">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex28.m2.1.2.3.3.2.cmml" xref="S5.Ex28.m2.1.2.3.3.2">𝐺</ci><ci id="S5.Ex28.m2.1.2.3.3.3.cmml" xref="S5.Ex28.m2.1.2.3.3.3">𝑚</ci></apply><apply id="S5.Ex28.m2.1.1a.2.cmml" xref="S5.Ex28.m2.1.1a.3"><csymbol cd="latexml" id="S5.Ex28.m2.1.1a.2.1.cmml" xref="S5.Ex28.m2.1.1a.3.1">ket</csymbol><list id="S5.Ex28.m2.1.1.1.1.4.cmml" xref="S5.Ex28.m2.1.1.1.1.5"><ci id="S5.Ex28.m2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex28.m2.1.1.1.1.1">𝐼</ci><ci id="S5.Ex28.m2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex28.m2.1.1.1.1.2">𝐼</ci><ci id="S5.Ex28.m2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex28.m2.1.1.1.1.3">𝜎</ci></list></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.Ex28.m2.1c">\displaystyle=\Pi_{m}G_{m}\ket{I,I,\sigma}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.Ex28.m2.1d">= roman_Π start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT italic_G start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT | start_ARG italic_I , italic_I , italic_σ end_ARG ⟩</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="S5.Ex29"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=\Pi_{m}\sum_{\tau,\pi\in S_{d}st}\text{Wg}(\tau^{-1}\pi,Q_{2}Q_{% 3})Q_{2}^{-|\pi|}Q_{3}^{-|\sigma^{-1}\pi|}\ket{I,\tau,\tau}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.Ex29.m1.7"><semantics id="S5.Ex29.m1.7a"><mrow id="S5.Ex29.m1.7.7" xref="S5.Ex29.m1.7.7.cmml"><mi id="S5.Ex29.m1.7.7.4" xref="S5.Ex29.m1.7.7.4.cmml"></mi><mo id="S5.Ex29.m1.7.7.3" xref="S5.Ex29.m1.7.7.3.cmml">=</mo><mrow id="S5.Ex29.m1.7.7.2" xref="S5.Ex29.m1.7.7.2.cmml"><msub id="S5.Ex29.m1.7.7.2.4" xref="S5.Ex29.m1.7.7.2.4.cmml"><mi id="S5.Ex29.m1.7.7.2.4.2" mathvariant="normal" xref="S5.Ex29.m1.7.7.2.4.2.cmml">Π</mi><mi id="S5.Ex29.m1.7.7.2.4.3" xref="S5.Ex29.m1.7.7.2.4.3.cmml">m</mi></msub><mo id="S5.Ex29.m1.7.7.2.3" xref="S5.Ex29.m1.7.7.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.Ex29.m1.7.7.2.2" xref="S5.Ex29.m1.7.7.2.2.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S5.Ex29.m1.7.7.2.2.3" xref="S5.Ex29.m1.7.7.2.2.3.cmml"><munder id="S5.Ex29.m1.7.7.2.2.3a" xref="S5.Ex29.m1.7.7.2.2.3.cmml"><mo id="S5.Ex29.m1.7.7.2.2.3.2" movablelimits="false" xref="S5.Ex29.m1.7.7.2.2.3.2.cmml">∑</mo><mrow id="S5.Ex29.m1.3.3.2" xref="S5.Ex29.m1.3.3.2.cmml"><mrow id="S5.Ex29.m1.3.3.2.4.2" xref="S5.Ex29.m1.3.3.2.4.1.cmml"><mi id="S5.Ex29.m1.2.2.1.1" xref="S5.Ex29.m1.2.2.1.1.cmml">τ</mi><mo id="S5.Ex29.m1.3.3.2.4.2.1" xref="S5.Ex29.m1.3.3.2.4.1.cmml">,</mo><mi id="S5.Ex29.m1.3.3.2.2" xref="S5.Ex29.m1.3.3.2.2.cmml">π</mi></mrow><mo id="S5.Ex29.m1.3.3.2.3" xref="S5.Ex29.m1.3.3.2.3.cmml">∈</mo><mrow id="S5.Ex29.m1.3.3.2.5" xref="S5.Ex29.m1.3.3.2.5.cmml"><msub id="S5.Ex29.m1.3.3.2.5.2" xref="S5.Ex29.m1.3.3.2.5.2.cmml"><mi id="S5.Ex29.m1.3.3.2.5.2.2" xref="S5.Ex29.m1.3.3.2.5.2.2.cmml">S</mi><mi id="S5.Ex29.m1.3.3.2.5.2.3" xref="S5.Ex29.m1.3.3.2.5.2.3.cmml">d</mi></msub><mo id="S5.Ex29.m1.3.3.2.5.1" xref="S5.Ex29.m1.3.3.2.5.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex29.m1.3.3.2.5.3" xref="S5.Ex29.m1.3.3.2.5.3.cmml">s</mi><mo id="S5.Ex29.m1.3.3.2.5.1a" xref="S5.Ex29.m1.3.3.2.5.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex29.m1.3.3.2.5.4" xref="S5.Ex29.m1.3.3.2.5.4.cmml">t</mi></mrow></mrow></munder></mstyle><mrow id="S5.Ex29.m1.7.7.2.2.2" xref="S5.Ex29.m1.7.7.2.2.2.cmml"><mtext id="S5.Ex29.m1.7.7.2.2.2.4" xref="S5.Ex29.m1.7.7.2.2.2.4a.cmml">Wg</mtext><mo id="S5.Ex29.m1.7.7.2.2.2.3" xref="S5.Ex29.m1.7.7.2.2.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.Ex29.m1.7.7.2.2.2.2.2" xref="S5.Ex29.m1.7.7.2.2.2.2.3.cmml"><mo id="S5.Ex29.m1.7.7.2.2.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S5.Ex29.m1.7.7.2.2.2.2.3.cmml">(</mo><mrow id="S5.Ex29.m1.6.6.1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex29.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.cmml"><msup id="S5.Ex29.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex29.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S5.Ex29.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S5.Ex29.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">τ</mi><mrow id="S5.Ex29.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S5.Ex29.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mo id="S5.Ex29.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.3a" xref="S5.Ex29.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">−</mo><mn id="S5.Ex29.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S5.Ex29.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="S5.Ex29.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex29.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex29.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex29.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.cmml">π</mi></mrow><mo id="S5.Ex29.m1.7.7.2.2.2.2.2.4" xref="S5.Ex29.m1.7.7.2.2.2.2.3.cmml">,</mo><mrow id="S5.Ex29.m1.7.7.2.2.2.2.2.2" xref="S5.Ex29.m1.7.7.2.2.2.2.2.2.cmml"><msub id="S5.Ex29.m1.7.7.2.2.2.2.2.2.2" xref="S5.Ex29.m1.7.7.2.2.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="S5.Ex29.m1.7.7.2.2.2.2.2.2.2.2" xref="S5.Ex29.m1.7.7.2.2.2.2.2.2.2.2.cmml">Q</mi><mn id="S5.Ex29.m1.7.7.2.2.2.2.2.2.2.3" xref="S5.Ex29.m1.7.7.2.2.2.2.2.2.2.3.cmml">2</mn></msub><mo id="S5.Ex29.m1.7.7.2.2.2.2.2.2.1" xref="S5.Ex29.m1.7.7.2.2.2.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S5.Ex29.m1.7.7.2.2.2.2.2.2.3" xref="S5.Ex29.m1.7.7.2.2.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="S5.Ex29.m1.7.7.2.2.2.2.2.2.3.2" xref="S5.Ex29.m1.7.7.2.2.2.2.2.2.3.2.cmml">Q</mi><mn id="S5.Ex29.m1.7.7.2.2.2.2.2.2.3.3" xref="S5.Ex29.m1.7.7.2.2.2.2.2.2.3.3.cmml">3</mn></msub></mrow><mo id="S5.Ex29.m1.7.7.2.2.2.2.2.5" stretchy="false" xref="S5.Ex29.m1.7.7.2.2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow><mo id="S5.Ex29.m1.7.7.2.2.2.3a" xref="S5.Ex29.m1.7.7.2.2.2.3.cmml">⁢</mo><msubsup id="S5.Ex29.m1.7.7.2.2.2.5" xref="S5.Ex29.m1.7.7.2.2.2.5.cmml"><mi id="S5.Ex29.m1.7.7.2.2.2.5.2.2" xref="S5.Ex29.m1.7.7.2.2.2.5.2.2.cmml">Q</mi><mn id="S5.Ex29.m1.7.7.2.2.2.5.2.3" xref="S5.Ex29.m1.7.7.2.2.2.5.2.3.cmml">2</mn><mrow id="S5.Ex29.m1.4.4.1" xref="S5.Ex29.m1.4.4.1.cmml"><mo id="S5.Ex29.m1.4.4.1a" xref="S5.Ex29.m1.4.4.1.cmml">−</mo><mrow id="S5.Ex29.m1.4.4.1.3.2" xref="S5.Ex29.m1.4.4.1.3.1.cmml"><mo id="S5.Ex29.m1.4.4.1.3.2.1" stretchy="false" xref="S5.Ex29.m1.4.4.1.3.1.1.cmml">|</mo><mi id="S5.Ex29.m1.4.4.1.1" xref="S5.Ex29.m1.4.4.1.1.cmml">π</mi><mo id="S5.Ex29.m1.4.4.1.3.2.2" stretchy="false" xref="S5.Ex29.m1.4.4.1.3.1.1.cmml">|</mo></mrow></mrow></msubsup><mo id="S5.Ex29.m1.7.7.2.2.2.3b" xref="S5.Ex29.m1.7.7.2.2.2.3.cmml">⁢</mo><msubsup id="S5.Ex29.m1.7.7.2.2.2.6" xref="S5.Ex29.m1.7.7.2.2.2.6.cmml"><mi id="S5.Ex29.m1.7.7.2.2.2.6.2.2" xref="S5.Ex29.m1.7.7.2.2.2.6.2.2.cmml">Q</mi><mn id="S5.Ex29.m1.7.7.2.2.2.6.2.3" xref="S5.Ex29.m1.7.7.2.2.2.6.2.3.cmml">3</mn><mrow id="S5.Ex29.m1.5.5.1" xref="S5.Ex29.m1.5.5.1.cmml"><mo id="S5.Ex29.m1.5.5.1a" xref="S5.Ex29.m1.5.5.1.cmml">−</mo><mrow id="S5.Ex29.m1.5.5.1.1.1" xref="S5.Ex29.m1.5.5.1.1.2.cmml"><mo id="S5.Ex29.m1.5.5.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S5.Ex29.m1.5.5.1.1.2.1.cmml">|</mo><mrow id="S5.Ex29.m1.5.5.1.1.1.1" xref="S5.Ex29.m1.5.5.1.1.1.1.cmml"><msup id="S5.Ex29.m1.5.5.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex29.m1.5.5.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S5.Ex29.m1.5.5.1.1.1.1.2.2" xref="S5.Ex29.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.cmml">σ</mi><mrow id="S5.Ex29.m1.5.5.1.1.1.1.2.3" xref="S5.Ex29.m1.5.5.1.1.1.1.2.3.cmml"><mo id="S5.Ex29.m1.5.5.1.1.1.1.2.3a" xref="S5.Ex29.m1.5.5.1.1.1.1.2.3.cmml">−</mo><mn id="S5.Ex29.m1.5.5.1.1.1.1.2.3.2" xref="S5.Ex29.m1.5.5.1.1.1.1.2.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="S5.Ex29.m1.5.5.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex29.m1.5.5.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex29.m1.5.5.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex29.m1.5.5.1.1.1.1.3.cmml">π</mi></mrow><mo id="S5.Ex29.m1.5.5.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S5.Ex29.m1.5.5.1.1.2.1.cmml">|</mo></mrow></mrow></msubsup><mo id="S5.Ex29.m1.7.7.2.2.2.3c" xref="S5.Ex29.m1.7.7.2.2.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.Ex29.m1.1.1a.3" xref="S5.Ex29.m1.1.1a.2.cmml"><mo id="S5.Ex29.m1.1.1a.3.1" stretchy="false" xref="S5.Ex29.m1.1.1a.2.1.cmml">|</mo><mrow id="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.5" xref="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.1.cmml">I</mi><mo id="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.5.1" xref="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.4.cmml">,</mo><mi id="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.2.cmml">τ</mi><mo id="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.5.2" xref="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.4.cmml">,</mo><mi id="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.3.cmml">τ</mi></mrow><mo id="S5.Ex29.m1.1.1a.3.2" stretchy="false" xref="S5.Ex29.m1.1.1a.2.1.cmml">⟩</mo></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.Ex29.m1.7b"><apply id="S5.Ex29.m1.7.7.cmml" xref="S5.Ex29.m1.7.7"><eq id="S5.Ex29.m1.7.7.3.cmml" xref="S5.Ex29.m1.7.7.3"></eq><csymbol cd="latexml" id="S5.Ex29.m1.7.7.4.cmml" xref="S5.Ex29.m1.7.7.4">absent</csymbol><apply id="S5.Ex29.m1.7.7.2.cmml" xref="S5.Ex29.m1.7.7.2"><times id="S5.Ex29.m1.7.7.2.3.cmml" xref="S5.Ex29.m1.7.7.2.3"></times><apply id="S5.Ex29.m1.7.7.2.4.cmml" xref="S5.Ex29.m1.7.7.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex29.m1.7.7.2.4.1.cmml" xref="S5.Ex29.m1.7.7.2.4">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex29.m1.7.7.2.4.2.cmml" xref="S5.Ex29.m1.7.7.2.4.2">Π</ci><ci id="S5.Ex29.m1.7.7.2.4.3.cmml" xref="S5.Ex29.m1.7.7.2.4.3">𝑚</ci></apply><apply id="S5.Ex29.m1.7.7.2.2.cmml" xref="S5.Ex29.m1.7.7.2.2"><apply id="S5.Ex29.m1.7.7.2.2.3.cmml" xref="S5.Ex29.m1.7.7.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex29.m1.7.7.2.2.3.1.cmml" xref="S5.Ex29.m1.7.7.2.2.3">subscript</csymbol><sum id="S5.Ex29.m1.7.7.2.2.3.2.cmml" xref="S5.Ex29.m1.7.7.2.2.3.2"></sum><apply id="S5.Ex29.m1.3.3.2.cmml" xref="S5.Ex29.m1.3.3.2"><in id="S5.Ex29.m1.3.3.2.3.cmml" xref="S5.Ex29.m1.3.3.2.3"></in><list id="S5.Ex29.m1.3.3.2.4.1.cmml" xref="S5.Ex29.m1.3.3.2.4.2"><ci id="S5.Ex29.m1.2.2.1.1.cmml" xref="S5.Ex29.m1.2.2.1.1">𝜏</ci><ci id="S5.Ex29.m1.3.3.2.2.cmml" xref="S5.Ex29.m1.3.3.2.2">𝜋</ci></list><apply id="S5.Ex29.m1.3.3.2.5.cmml" xref="S5.Ex29.m1.3.3.2.5"><times id="S5.Ex29.m1.3.3.2.5.1.cmml" xref="S5.Ex29.m1.3.3.2.5.1"></times><apply id="S5.Ex29.m1.3.3.2.5.2.cmml" xref="S5.Ex29.m1.3.3.2.5.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex29.m1.3.3.2.5.2.1.cmml" xref="S5.Ex29.m1.3.3.2.5.2">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex29.m1.3.3.2.5.2.2.cmml" xref="S5.Ex29.m1.3.3.2.5.2.2">𝑆</ci><ci id="S5.Ex29.m1.3.3.2.5.2.3.cmml" xref="S5.Ex29.m1.3.3.2.5.2.3">𝑑</ci></apply><ci id="S5.Ex29.m1.3.3.2.5.3.cmml" xref="S5.Ex29.m1.3.3.2.5.3">𝑠</ci><ci id="S5.Ex29.m1.3.3.2.5.4.cmml" xref="S5.Ex29.m1.3.3.2.5.4">𝑡</ci></apply></apply></apply><apply id="S5.Ex29.m1.7.7.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex29.m1.7.7.2.2.2"><times id="S5.Ex29.m1.7.7.2.2.2.3.cmml" xref="S5.Ex29.m1.7.7.2.2.2.3"></times><ci id="S5.Ex29.m1.7.7.2.2.2.4a.cmml" xref="S5.Ex29.m1.7.7.2.2.2.4"><mtext id="S5.Ex29.m1.7.7.2.2.2.4.cmml" xref="S5.Ex29.m1.7.7.2.2.2.4">Wg</mtext></ci><interval closure="open" id="S5.Ex29.m1.7.7.2.2.2.2.3.cmml" xref="S5.Ex29.m1.7.7.2.2.2.2.2"><apply id="S5.Ex29.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex29.m1.6.6.1.1.1.1.1.1"><times id="S5.Ex29.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex29.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1"></times><apply id="S5.Ex29.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex29.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex29.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.Ex29.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S5.Ex29.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.Ex29.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.2">𝜏</ci><apply id="S5.Ex29.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S5.Ex29.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.3"><minus id="S5.Ex29.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S5.Ex29.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.3"></minus><cn id="S5.Ex29.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" type="integer" xref="S5.Ex29.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.3.2">1</cn></apply></apply><ci id="S5.Ex29.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex29.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3">𝜋</ci></apply><apply id="S5.Ex29.m1.7.7.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex29.m1.7.7.2.2.2.2.2.2"><times id="S5.Ex29.m1.7.7.2.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex29.m1.7.7.2.2.2.2.2.2.1"></times><apply id="S5.Ex29.m1.7.7.2.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex29.m1.7.7.2.2.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex29.m1.7.7.2.2.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex29.m1.7.7.2.2.2.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex29.m1.7.7.2.2.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex29.m1.7.7.2.2.2.2.2.2.2.2">𝑄</ci><cn id="S5.Ex29.m1.7.7.2.2.2.2.2.2.2.3.cmml" type="integer" 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xref="S5.Ex29.m1.7.7.2.2.2.5.2.3">2</cn></apply><apply id="S5.Ex29.m1.4.4.1.cmml" xref="S5.Ex29.m1.4.4.1"><minus id="S5.Ex29.m1.4.4.1.2.cmml" xref="S5.Ex29.m1.4.4.1"></minus><apply id="S5.Ex29.m1.4.4.1.3.1.cmml" xref="S5.Ex29.m1.4.4.1.3.2"><abs id="S5.Ex29.m1.4.4.1.3.1.1.cmml" xref="S5.Ex29.m1.4.4.1.3.2.1"></abs><ci id="S5.Ex29.m1.4.4.1.1.cmml" xref="S5.Ex29.m1.4.4.1.1">𝜋</ci></apply></apply></apply><apply id="S5.Ex29.m1.7.7.2.2.2.6.cmml" xref="S5.Ex29.m1.7.7.2.2.2.6"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex29.m1.7.7.2.2.2.6.1.cmml" xref="S5.Ex29.m1.7.7.2.2.2.6">superscript</csymbol><apply id="S5.Ex29.m1.7.7.2.2.2.6.2.cmml" xref="S5.Ex29.m1.7.7.2.2.2.6"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex29.m1.7.7.2.2.2.6.2.1.cmml" xref="S5.Ex29.m1.7.7.2.2.2.6">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex29.m1.7.7.2.2.2.6.2.2.cmml" xref="S5.Ex29.m1.7.7.2.2.2.6.2.2">𝑄</ci><cn id="S5.Ex29.m1.7.7.2.2.2.6.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex29.m1.7.7.2.2.2.6.2.3">3</cn></apply><apply id="S5.Ex29.m1.5.5.1.cmml" 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italic_t end_POSTSUBSCRIPT Wg ( italic_τ start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT italic_π , italic_Q start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT italic_Q start_POSTSUBSCRIPT 3 end_POSTSUBSCRIPT ) italic_Q start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT - | italic_π | end_POSTSUPERSCRIPT italic_Q start_POSTSUBSCRIPT 3 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT - | italic_σ start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT italic_π | end_POSTSUPERSCRIPT | start_ARG italic_I , italic_τ , italic_τ end_ARG ⟩</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S5.SS1.2.p1.5">Meanwhile,</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="S6.EGx64"> <tbody id="S5.Ex30"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\Pi_{m}\ket{I,\tau,\tau}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.Ex30.m1.1"><semantics id="S5.Ex30.m1.1a"><mrow id="S5.Ex30.m1.1.2" xref="S5.Ex30.m1.1.2.cmml"><msub id="S5.Ex30.m1.1.2.2" xref="S5.Ex30.m1.1.2.2.cmml"><mi id="S5.Ex30.m1.1.2.2.2" mathvariant="normal" xref="S5.Ex30.m1.1.2.2.2.cmml">Π</mi><mi id="S5.Ex30.m1.1.2.2.3" xref="S5.Ex30.m1.1.2.2.3.cmml">m</mi></msub><mo id="S5.Ex30.m1.1.2.1" xref="S5.Ex30.m1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.Ex30.m1.1.1a.3" xref="S5.Ex30.m1.1.1a.2.cmml"><mo id="S5.Ex30.m1.1.1a.3.1" stretchy="false" xref="S5.Ex30.m1.1.1a.2.1.cmml">|</mo><mrow id="S5.Ex30.m1.1.1.1.1.5" xref="S5.Ex30.m1.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="S5.Ex30.m1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex30.m1.1.1.1.1.1.cmml">I</mi><mo id="S5.Ex30.m1.1.1.1.1.5.1" xref="S5.Ex30.m1.1.1.1.1.4.cmml">,</mo><mi id="S5.Ex30.m1.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex30.m1.1.1.1.1.2.cmml">τ</mi><mo id="S5.Ex30.m1.1.1.1.1.5.2" xref="S5.Ex30.m1.1.1.1.1.4.cmml">,</mo><mi id="S5.Ex30.m1.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex30.m1.1.1.1.1.3.cmml">τ</mi></mrow><mo id="S5.Ex30.m1.1.1a.3.2" stretchy="false" xref="S5.Ex30.m1.1.1a.2.1.cmml">⟩</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.Ex30.m1.1b"><apply id="S5.Ex30.m1.1.2.cmml" xref="S5.Ex30.m1.1.2"><times id="S5.Ex30.m1.1.2.1.cmml" xref="S5.Ex30.m1.1.2.1"></times><apply id="S5.Ex30.m1.1.2.2.cmml" xref="S5.Ex30.m1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex30.m1.1.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex30.m1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex30.m1.1.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex30.m1.1.2.2.2">Π</ci><ci id="S5.Ex30.m1.1.2.2.3.cmml" xref="S5.Ex30.m1.1.2.2.3">𝑚</ci></apply><apply id="S5.Ex30.m1.1.1a.2.cmml" xref="S5.Ex30.m1.1.1a.3"><csymbol cd="latexml" id="S5.Ex30.m1.1.1a.2.1.cmml" xref="S5.Ex30.m1.1.1a.3.1">ket</csymbol><list id="S5.Ex30.m1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S5.Ex30.m1.1.1.1.1.5"><ci id="S5.Ex30.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex30.m1.1.1.1.1.1">𝐼</ci><ci id="S5.Ex30.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex30.m1.1.1.1.1.2">𝜏</ci><ci id="S5.Ex30.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex30.m1.1.1.1.1.3">𝜏</ci></list></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.Ex30.m1.1c">\displaystyle\Pi_{m}\ket{I,\tau,\tau}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.Ex30.m1.1d">roman_Π start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT | start_ARG italic_I , italic_τ , italic_τ end_ARG ⟩</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=\sum_{\xi,\omega\in S_{t}}\text{Wg}(\xi^{-1}\omega,Q_{1}Q_{2})Q_% {1}^{-|\omega|}Q_{2}^{-|\tau^{-1}\omega|}\ket{\xi,\xi,\tau}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.Ex30.m2.7"><semantics id="S5.Ex30.m2.7a"><mrow id="S5.Ex30.m2.7.7" xref="S5.Ex30.m2.7.7.cmml"><mi id="S5.Ex30.m2.7.7.4" xref="S5.Ex30.m2.7.7.4.cmml"></mi><mo id="S5.Ex30.m2.7.7.3" xref="S5.Ex30.m2.7.7.3.cmml">=</mo><mrow id="S5.Ex30.m2.7.7.2" xref="S5.Ex30.m2.7.7.2.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S5.Ex30.m2.7.7.2.3" xref="S5.Ex30.m2.7.7.2.3.cmml"><munder id="S5.Ex30.m2.7.7.2.3a" xref="S5.Ex30.m2.7.7.2.3.cmml"><mo id="S5.Ex30.m2.7.7.2.3.2" movablelimits="false" xref="S5.Ex30.m2.7.7.2.3.2.cmml">∑</mo><mrow id="S5.Ex30.m2.3.3.2" xref="S5.Ex30.m2.3.3.2.cmml"><mrow id="S5.Ex30.m2.3.3.2.4.2" xref="S5.Ex30.m2.3.3.2.4.1.cmml"><mi id="S5.Ex30.m2.2.2.1.1" xref="S5.Ex30.m2.2.2.1.1.cmml">ξ</mi><mo id="S5.Ex30.m2.3.3.2.4.2.1" xref="S5.Ex30.m2.3.3.2.4.1.cmml">,</mo><mi id="S5.Ex30.m2.3.3.2.2" xref="S5.Ex30.m2.3.3.2.2.cmml">ω</mi></mrow><mo id="S5.Ex30.m2.3.3.2.3" xref="S5.Ex30.m2.3.3.2.3.cmml">∈</mo><msub id="S5.Ex30.m2.3.3.2.5" xref="S5.Ex30.m2.3.3.2.5.cmml"><mi id="S5.Ex30.m2.3.3.2.5.2" xref="S5.Ex30.m2.3.3.2.5.2.cmml">S</mi><mi id="S5.Ex30.m2.3.3.2.5.3" xref="S5.Ex30.m2.3.3.2.5.3.cmml">t</mi></msub></mrow></munder></mstyle><mrow id="S5.Ex30.m2.7.7.2.2" xref="S5.Ex30.m2.7.7.2.2.cmml"><mtext id="S5.Ex30.m2.7.7.2.2.4" xref="S5.Ex30.m2.7.7.2.2.4a.cmml">Wg</mtext><mo id="S5.Ex30.m2.7.7.2.2.3" xref="S5.Ex30.m2.7.7.2.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.Ex30.m2.7.7.2.2.2.2" xref="S5.Ex30.m2.7.7.2.2.2.3.cmml"><mo id="S5.Ex30.m2.7.7.2.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S5.Ex30.m2.7.7.2.2.2.3.cmml">(</mo><mrow id="S5.Ex30.m2.6.6.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex30.m2.6.6.1.1.1.1.1.cmml"><msup id="S5.Ex30.m2.6.6.1.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex30.m2.6.6.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S5.Ex30.m2.6.6.1.1.1.1.1.2.2" xref="S5.Ex30.m2.6.6.1.1.1.1.1.2.2.cmml">ξ</mi><mrow id="S5.Ex30.m2.6.6.1.1.1.1.1.2.3" xref="S5.Ex30.m2.6.6.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mo id="S5.Ex30.m2.6.6.1.1.1.1.1.2.3a" xref="S5.Ex30.m2.6.6.1.1.1.1.1.2.3.cmml">−</mo><mn id="S5.Ex30.m2.6.6.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S5.Ex30.m2.6.6.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="S5.Ex30.m2.6.6.1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex30.m2.6.6.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex30.m2.6.6.1.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex30.m2.6.6.1.1.1.1.1.3.cmml">ω</mi></mrow><mo id="S5.Ex30.m2.7.7.2.2.2.2.4" xref="S5.Ex30.m2.7.7.2.2.2.3.cmml">,</mo><mrow id="S5.Ex30.m2.7.7.2.2.2.2.2" xref="S5.Ex30.m2.7.7.2.2.2.2.2.cmml"><msub id="S5.Ex30.m2.7.7.2.2.2.2.2.2" xref="S5.Ex30.m2.7.7.2.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="S5.Ex30.m2.7.7.2.2.2.2.2.2.2" xref="S5.Ex30.m2.7.7.2.2.2.2.2.2.2.cmml">Q</mi><mn id="S5.Ex30.m2.7.7.2.2.2.2.2.2.3" xref="S5.Ex30.m2.7.7.2.2.2.2.2.2.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S5.Ex30.m2.7.7.2.2.2.2.2.1" xref="S5.Ex30.m2.7.7.2.2.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S5.Ex30.m2.7.7.2.2.2.2.2.3" xref="S5.Ex30.m2.7.7.2.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="S5.Ex30.m2.7.7.2.2.2.2.2.3.2" xref="S5.Ex30.m2.7.7.2.2.2.2.2.3.2.cmml">Q</mi><mn id="S5.Ex30.m2.7.7.2.2.2.2.2.3.3" xref="S5.Ex30.m2.7.7.2.2.2.2.2.3.3.cmml">2</mn></msub></mrow><mo id="S5.Ex30.m2.7.7.2.2.2.2.5" stretchy="false" xref="S5.Ex30.m2.7.7.2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow><mo id="S5.Ex30.m2.7.7.2.2.3a" xref="S5.Ex30.m2.7.7.2.2.3.cmml">⁢</mo><msubsup id="S5.Ex30.m2.7.7.2.2.5" xref="S5.Ex30.m2.7.7.2.2.5.cmml"><mi id="S5.Ex30.m2.7.7.2.2.5.2.2" xref="S5.Ex30.m2.7.7.2.2.5.2.2.cmml">Q</mi><mn id="S5.Ex30.m2.7.7.2.2.5.2.3" xref="S5.Ex30.m2.7.7.2.2.5.2.3.cmml">1</mn><mrow id="S5.Ex30.m2.4.4.1" xref="S5.Ex30.m2.4.4.1.cmml"><mo id="S5.Ex30.m2.4.4.1a" xref="S5.Ex30.m2.4.4.1.cmml">−</mo><mrow id="S5.Ex30.m2.4.4.1.3.2" xref="S5.Ex30.m2.4.4.1.3.1.cmml"><mo id="S5.Ex30.m2.4.4.1.3.2.1" stretchy="false" xref="S5.Ex30.m2.4.4.1.3.1.1.cmml">|</mo><mi id="S5.Ex30.m2.4.4.1.1" xref="S5.Ex30.m2.4.4.1.1.cmml">ω</mi><mo id="S5.Ex30.m2.4.4.1.3.2.2" stretchy="false" xref="S5.Ex30.m2.4.4.1.3.1.1.cmml">|</mo></mrow></mrow></msubsup><mo id="S5.Ex30.m2.7.7.2.2.3b" xref="S5.Ex30.m2.7.7.2.2.3.cmml">⁢</mo><msubsup id="S5.Ex30.m2.7.7.2.2.6" xref="S5.Ex30.m2.7.7.2.2.6.cmml"><mi id="S5.Ex30.m2.7.7.2.2.6.2.2" xref="S5.Ex30.m2.7.7.2.2.6.2.2.cmml">Q</mi><mn id="S5.Ex30.m2.7.7.2.2.6.2.3" xref="S5.Ex30.m2.7.7.2.2.6.2.3.cmml">2</mn><mrow id="S5.Ex30.m2.5.5.1" xref="S5.Ex30.m2.5.5.1.cmml"><mo id="S5.Ex30.m2.5.5.1a" xref="S5.Ex30.m2.5.5.1.cmml">−</mo><mrow id="S5.Ex30.m2.5.5.1.1.1" xref="S5.Ex30.m2.5.5.1.1.2.cmml"><mo id="S5.Ex30.m2.5.5.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S5.Ex30.m2.5.5.1.1.2.1.cmml">|</mo><mrow id="S5.Ex30.m2.5.5.1.1.1.1" xref="S5.Ex30.m2.5.5.1.1.1.1.cmml"><msup id="S5.Ex30.m2.5.5.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex30.m2.5.5.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S5.Ex30.m2.5.5.1.1.1.1.2.2" xref="S5.Ex30.m2.5.5.1.1.1.1.2.2.cmml">τ</mi><mrow id="S5.Ex30.m2.5.5.1.1.1.1.2.3" xref="S5.Ex30.m2.5.5.1.1.1.1.2.3.cmml"><mo id="S5.Ex30.m2.5.5.1.1.1.1.2.3a" xref="S5.Ex30.m2.5.5.1.1.1.1.2.3.cmml">−</mo><mn id="S5.Ex30.m2.5.5.1.1.1.1.2.3.2" xref="S5.Ex30.m2.5.5.1.1.1.1.2.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="S5.Ex30.m2.5.5.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex30.m2.5.5.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex30.m2.5.5.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex30.m2.5.5.1.1.1.1.3.cmml">ω</mi></mrow><mo id="S5.Ex30.m2.5.5.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S5.Ex30.m2.5.5.1.1.2.1.cmml">|</mo></mrow></mrow></msubsup><mo id="S5.Ex30.m2.7.7.2.2.3c" xref="S5.Ex30.m2.7.7.2.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.Ex30.m2.1.1a.3" xref="S5.Ex30.m2.1.1a.2.cmml"><mo id="S5.Ex30.m2.1.1a.3.1" stretchy="false" 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⟩</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="S5.Ex31"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=\sum_{\xi,\omega\in S_{t}}\text{Wg}(\xi^{-1}\omega,Q_{1}Q_{2})Q_% {1}^{-|\omega|}Q_{2}^{-|\tau^{-1}\omega|}\xi_{R}\ket{I,I,\tau\xi^{-1}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.Ex31.m1.7"><semantics id="S5.Ex31.m1.7a"><mrow id="S5.Ex31.m1.7.7" xref="S5.Ex31.m1.7.7.cmml"><mi id="S5.Ex31.m1.7.7.4" xref="S5.Ex31.m1.7.7.4.cmml"></mi><mo id="S5.Ex31.m1.7.7.3" xref="S5.Ex31.m1.7.7.3.cmml">=</mo><mrow id="S5.Ex31.m1.7.7.2" xref="S5.Ex31.m1.7.7.2.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S5.Ex31.m1.7.7.2.3" xref="S5.Ex31.m1.7.7.2.3.cmml"><munder id="S5.Ex31.m1.7.7.2.3a" xref="S5.Ex31.m1.7.7.2.3.cmml"><mo id="S5.Ex31.m1.7.7.2.3.2" movablelimits="false" xref="S5.Ex31.m1.7.7.2.3.2.cmml">∑</mo><mrow id="S5.Ex31.m1.3.3.2" xref="S5.Ex31.m1.3.3.2.cmml"><mrow id="S5.Ex31.m1.3.3.2.4.2" xref="S5.Ex31.m1.3.3.2.4.1.cmml"><mi id="S5.Ex31.m1.2.2.1.1" xref="S5.Ex31.m1.2.2.1.1.cmml">ξ</mi><mo id="S5.Ex31.m1.3.3.2.4.2.1" xref="S5.Ex31.m1.3.3.2.4.1.cmml">,</mo><mi id="S5.Ex31.m1.3.3.2.2" xref="S5.Ex31.m1.3.3.2.2.cmml">ω</mi></mrow><mo id="S5.Ex31.m1.3.3.2.3" xref="S5.Ex31.m1.3.3.2.3.cmml">∈</mo><msub id="S5.Ex31.m1.3.3.2.5" xref="S5.Ex31.m1.3.3.2.5.cmml"><mi id="S5.Ex31.m1.3.3.2.5.2" xref="S5.Ex31.m1.3.3.2.5.2.cmml">S</mi><mi id="S5.Ex31.m1.3.3.2.5.3" xref="S5.Ex31.m1.3.3.2.5.3.cmml">t</mi></msub></mrow></munder></mstyle><mrow id="S5.Ex31.m1.7.7.2.2" xref="S5.Ex31.m1.7.7.2.2.cmml"><mtext id="S5.Ex31.m1.7.7.2.2.4" xref="S5.Ex31.m1.7.7.2.2.4a.cmml">Wg</mtext><mo id="S5.Ex31.m1.7.7.2.2.3" xref="S5.Ex31.m1.7.7.2.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.Ex31.m1.7.7.2.2.2.2" xref="S5.Ex31.m1.7.7.2.2.2.3.cmml"><mo id="S5.Ex31.m1.7.7.2.2.2.2.3" 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cd="ambiguous" id="S5.Ex31.m1.7.7.2.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex31.m1.7.7.2.2.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex31.m1.7.7.2.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex31.m1.7.7.2.2.2.2.2.2.2">𝑄</ci><cn id="S5.Ex31.m1.7.7.2.2.2.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex31.m1.7.7.2.2.2.2.2.2.3">1</cn></apply><apply id="S5.Ex31.m1.7.7.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S5.Ex31.m1.7.7.2.2.2.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex31.m1.7.7.2.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="S5.Ex31.m1.7.7.2.2.2.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex31.m1.7.7.2.2.2.2.2.3.2.cmml" xref="S5.Ex31.m1.7.7.2.2.2.2.2.3.2">𝑄</ci><cn id="S5.Ex31.m1.7.7.2.2.2.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex31.m1.7.7.2.2.2.2.2.3.3">2</cn></apply></apply></interval><apply id="S5.Ex31.m1.7.7.2.2.5.cmml" xref="S5.Ex31.m1.7.7.2.2.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex31.m1.7.7.2.2.5.1.cmml" xref="S5.Ex31.m1.7.7.2.2.5">superscript</csymbol><apply id="S5.Ex31.m1.7.7.2.2.5.2.cmml" xref="S5.Ex31.m1.7.7.2.2.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex31.m1.7.7.2.2.5.2.1.cmml" xref="S5.Ex31.m1.7.7.2.2.5">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex31.m1.7.7.2.2.5.2.2.cmml" xref="S5.Ex31.m1.7.7.2.2.5.2.2">𝑄</ci><cn id="S5.Ex31.m1.7.7.2.2.5.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex31.m1.7.7.2.2.5.2.3">1</cn></apply><apply id="S5.Ex31.m1.4.4.1.cmml" xref="S5.Ex31.m1.4.4.1"><minus id="S5.Ex31.m1.4.4.1.2.cmml" xref="S5.Ex31.m1.4.4.1"></minus><apply id="S5.Ex31.m1.4.4.1.3.1.cmml" xref="S5.Ex31.m1.4.4.1.3.2"><abs id="S5.Ex31.m1.4.4.1.3.1.1.cmml" xref="S5.Ex31.m1.4.4.1.3.2.1"></abs><ci id="S5.Ex31.m1.4.4.1.1.cmml" xref="S5.Ex31.m1.4.4.1.1">𝜔</ci></apply></apply></apply><apply id="S5.Ex31.m1.7.7.2.2.6.cmml" xref="S5.Ex31.m1.7.7.2.2.6"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex31.m1.7.7.2.2.6.1.cmml" xref="S5.Ex31.m1.7.7.2.2.6">superscript</csymbol><apply id="S5.Ex31.m1.7.7.2.2.6.2.cmml" xref="S5.Ex31.m1.7.7.2.2.6"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex31.m1.7.7.2.2.6.2.1.cmml" xref="S5.Ex31.m1.7.7.2.2.6">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex31.m1.7.7.2.2.6.2.2.cmml" xref="S5.Ex31.m1.7.7.2.2.6.2.2">𝑄</ci><cn id="S5.Ex31.m1.7.7.2.2.6.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex31.m1.7.7.2.2.6.2.3">2</cn></apply><apply id="S5.Ex31.m1.5.5.1.cmml" xref="S5.Ex31.m1.5.5.1"><minus id="S5.Ex31.m1.5.5.1.2.cmml" xref="S5.Ex31.m1.5.5.1"></minus><apply id="S5.Ex31.m1.5.5.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex31.m1.5.5.1.1.1"><abs id="S5.Ex31.m1.5.5.1.1.2.1.cmml" xref="S5.Ex31.m1.5.5.1.1.1.2"></abs><apply id="S5.Ex31.m1.5.5.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex31.m1.5.5.1.1.1.1"><times id="S5.Ex31.m1.5.5.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex31.m1.5.5.1.1.1.1.1"></times><apply id="S5.Ex31.m1.5.5.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex31.m1.5.5.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex31.m1.5.5.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.Ex31.m1.5.5.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S5.Ex31.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.Ex31.m1.5.5.1.1.1.1.2.2">𝜏</ci><apply id="S5.Ex31.m1.5.5.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S5.Ex31.m1.5.5.1.1.1.1.2.3"><minus id="S5.Ex31.m1.5.5.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S5.Ex31.m1.5.5.1.1.1.1.2.3"></minus><cn id="S5.Ex31.m1.5.5.1.1.1.1.2.3.2.cmml" type="integer" xref="S5.Ex31.m1.5.5.1.1.1.1.2.3.2">1</cn></apply></apply><ci id="S5.Ex31.m1.5.5.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex31.m1.5.5.1.1.1.1.3">𝜔</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="S5.Ex31.m1.7.7.2.2.7.cmml" xref="S5.Ex31.m1.7.7.2.2.7"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex31.m1.7.7.2.2.7.1.cmml" xref="S5.Ex31.m1.7.7.2.2.7">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex31.m1.7.7.2.2.7.2.cmml" xref="S5.Ex31.m1.7.7.2.2.7.2">𝜉</ci><ci id="S5.Ex31.m1.7.7.2.2.7.3.cmml" xref="S5.Ex31.m1.7.7.2.2.7.3">𝑅</ci></apply><apply id="S5.Ex31.m1.1.1a.2.cmml" xref="S5.Ex31.m1.1.1a.3"><csymbol cd="latexml" id="S5.Ex31.m1.1.1a.2.1.cmml" xref="S5.Ex31.m1.1.1a.3.1">ket</csymbol><list id="S5.Ex31.m1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S5.Ex31.m1.1.1.1.1.3"><ci id="S5.Ex31.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex31.m1.1.1.1.1.1">𝐼</ci><ci id="S5.Ex31.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex31.m1.1.1.1.1.2">𝐼</ci><apply id="S5.Ex31.m1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.Ex31.m1.1.1.1.1.3.1"><times id="S5.Ex31.m1.1.1.1.1.3.1.1.cmml" xref="S5.Ex31.m1.1.1.1.1.3.1.1"></times><ci id="S5.Ex31.m1.1.1.1.1.3.1.2.cmml" xref="S5.Ex31.m1.1.1.1.1.3.1.2">𝜏</ci><apply id="S5.Ex31.m1.1.1.1.1.3.1.3.cmml" xref="S5.Ex31.m1.1.1.1.1.3.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex31.m1.1.1.1.1.3.1.3.1.cmml" xref="S5.Ex31.m1.1.1.1.1.3.1.3">superscript</csymbol><ci id="S5.Ex31.m1.1.1.1.1.3.1.3.2.cmml" xref="S5.Ex31.m1.1.1.1.1.3.1.3.2">𝜉</ci><apply id="S5.Ex31.m1.1.1.1.1.3.1.3.3.cmml" xref="S5.Ex31.m1.1.1.1.1.3.1.3.3"><minus id="S5.Ex31.m1.1.1.1.1.3.1.3.3.1.cmml" xref="S5.Ex31.m1.1.1.1.1.3.1.3.3"></minus><cn id="S5.Ex31.m1.1.1.1.1.3.1.3.3.2.cmml" type="integer" xref="S5.Ex31.m1.1.1.1.1.3.1.3.3.2">1</cn></apply></apply></apply></list></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.Ex31.m1.7c">\displaystyle=\sum_{\xi,\omega\in S_{t}}\text{Wg}(\xi^{-1}\omega,Q_{1}Q_{2})Q_% {1}^{-|\omega|}Q_{2}^{-|\tau^{-1}\omega|}\xi_{R}\ket{I,I,\tau\xi^{-1}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.Ex31.m1.7d">= ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_ξ , italic_ω ∈ italic_S start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT Wg ( italic_ξ start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT italic_ω , italic_Q start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT italic_Q start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT ) italic_Q start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT - | italic_ω | end_POSTSUPERSCRIPT italic_Q start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT - | italic_τ start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT italic_ω | end_POSTSUPERSCRIPT italic_ξ start_POSTSUBSCRIPT italic_R end_POSTSUBSCRIPT | start_ARG italic_I , italic_I , italic_τ italic_ξ start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG ⟩</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S5.SS1.2.p1.6">Combining these, we see</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="S6.EGx65"> <tbody id="S5.Ex32"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle K_{m}\ket{I,I,\sigma}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.Ex32.m1.1"><semantics id="S5.Ex32.m1.1a"><mrow id="S5.Ex32.m1.1.2" xref="S5.Ex32.m1.1.2.cmml"><msub id="S5.Ex32.m1.1.2.2" xref="S5.Ex32.m1.1.2.2.cmml"><mi id="S5.Ex32.m1.1.2.2.2" xref="S5.Ex32.m1.1.2.2.2.cmml">K</mi><mi id="S5.Ex32.m1.1.2.2.3" xref="S5.Ex32.m1.1.2.2.3.cmml">m</mi></msub><mo id="S5.Ex32.m1.1.2.1" xref="S5.Ex32.m1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.Ex32.m1.1.1a.3" xref="S5.Ex32.m1.1.1a.2.cmml"><mo id="S5.Ex32.m1.1.1a.3.1" stretchy="false" xref="S5.Ex32.m1.1.1a.2.1.cmml">|</mo><mrow id="S5.Ex32.m1.1.1.1.1.5" xref="S5.Ex32.m1.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="S5.Ex32.m1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex32.m1.1.1.1.1.1.cmml">I</mi><mo id="S5.Ex32.m1.1.1.1.1.5.1" xref="S5.Ex32.m1.1.1.1.1.4.cmml">,</mo><mi id="S5.Ex32.m1.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex32.m1.1.1.1.1.2.cmml">I</mi><mo id="S5.Ex32.m1.1.1.1.1.5.2" xref="S5.Ex32.m1.1.1.1.1.4.cmml">,</mo><mi id="S5.Ex32.m1.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex32.m1.1.1.1.1.3.cmml">σ</mi></mrow><mo id="S5.Ex32.m1.1.1a.3.2" stretchy="false" xref="S5.Ex32.m1.1.1a.2.1.cmml">⟩</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.Ex32.m1.1b"><apply id="S5.Ex32.m1.1.2.cmml" xref="S5.Ex32.m1.1.2"><times id="S5.Ex32.m1.1.2.1.cmml" xref="S5.Ex32.m1.1.2.1"></times><apply id="S5.Ex32.m1.1.2.2.cmml" xref="S5.Ex32.m1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex32.m1.1.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex32.m1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex32.m1.1.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex32.m1.1.2.2.2">𝐾</ci><ci id="S5.Ex32.m1.1.2.2.3.cmml" xref="S5.Ex32.m1.1.2.2.3">𝑚</ci></apply><apply id="S5.Ex32.m1.1.1a.2.cmml" xref="S5.Ex32.m1.1.1a.3"><csymbol cd="latexml" id="S5.Ex32.m1.1.1a.2.1.cmml" xref="S5.Ex32.m1.1.1a.3.1">ket</csymbol><list id="S5.Ex32.m1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S5.Ex32.m1.1.1.1.1.5"><ci id="S5.Ex32.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex32.m1.1.1.1.1.1">𝐼</ci><ci id="S5.Ex32.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex32.m1.1.1.1.1.2">𝐼</ci><ci id="S5.Ex32.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex32.m1.1.1.1.1.3">𝜎</ci></list></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.Ex32.m1.1c">\displaystyle K_{m}\ket{I,I,\sigma}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.Ex32.m1.1d">italic_K start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT | start_ARG italic_I , italic_I , italic_σ end_ARG ⟩</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=\sum_{\xi,\omega,\tau,\pi}\text{Wg}(\xi^{-1}\omega,Q_{1}Q_{2})Q_% {1}^{-|\omega|}Q_{2}^{-|\tau^{-1}\omega|}\text{Wg}(\tau^{-1}\pi,Q_{2}Q_{3})Q_{% 2}^{-|\pi|}Q_{3}^{-|\sigma^{-1}\pi|}\xi_{R}\ket{I,I,\tau\xi^{-1}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.Ex32.m2.13"><semantics id="S5.Ex32.m2.13a"><mrow id="S5.Ex32.m2.13.13" xref="S5.Ex32.m2.13.13.cmml"><mi id="S5.Ex32.m2.13.13.6" xref="S5.Ex32.m2.13.13.6.cmml"></mi><mo id="S5.Ex32.m2.13.13.5" xref="S5.Ex32.m2.13.13.5.cmml">=</mo><mrow id="S5.Ex32.m2.13.13.4" xref="S5.Ex32.m2.13.13.4.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S5.Ex32.m2.13.13.4.5" xref="S5.Ex32.m2.13.13.4.5.cmml"><munder id="S5.Ex32.m2.13.13.4.5a" xref="S5.Ex32.m2.13.13.4.5.cmml"><mo id="S5.Ex32.m2.13.13.4.5.2" movablelimits="false" xref="S5.Ex32.m2.13.13.4.5.2.cmml">∑</mo><mrow id="S5.Ex32.m2.5.5.4.6" xref="S5.Ex32.m2.5.5.4.5.cmml"><mi id="S5.Ex32.m2.2.2.1.1" xref="S5.Ex32.m2.2.2.1.1.cmml">ξ</mi><mo id="S5.Ex32.m2.5.5.4.6.1" xref="S5.Ex32.m2.5.5.4.5.cmml">,</mo><mi id="S5.Ex32.m2.3.3.2.2" xref="S5.Ex32.m2.3.3.2.2.cmml">ω</mi><mo id="S5.Ex32.m2.5.5.4.6.2" xref="S5.Ex32.m2.5.5.4.5.cmml">,</mo><mi id="S5.Ex32.m2.4.4.3.3" xref="S5.Ex32.m2.4.4.3.3.cmml">τ</mi><mo id="S5.Ex32.m2.5.5.4.6.3" xref="S5.Ex32.m2.5.5.4.5.cmml">,</mo><mi id="S5.Ex32.m2.5.5.4.4" xref="S5.Ex32.m2.5.5.4.4.cmml">π</mi></mrow></munder></mstyle><mrow id="S5.Ex32.m2.13.13.4.4" xref="S5.Ex32.m2.13.13.4.4.cmml"><mtext id="S5.Ex32.m2.13.13.4.4.6" xref="S5.Ex32.m2.13.13.4.4.6a.cmml">Wg</mtext><mo id="S5.Ex32.m2.13.13.4.4.5" xref="S5.Ex32.m2.13.13.4.4.5.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.Ex32.m2.11.11.2.2.2.2" xref="S5.Ex32.m2.11.11.2.2.2.3.cmml"><mo id="S5.Ex32.m2.11.11.2.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S5.Ex32.m2.11.11.2.2.2.3.cmml">(</mo><mrow id="S5.Ex32.m2.10.10.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex32.m2.10.10.1.1.1.1.1.cmml"><msup id="S5.Ex32.m2.10.10.1.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex32.m2.10.10.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S5.Ex32.m2.10.10.1.1.1.1.1.2.2" xref="S5.Ex32.m2.10.10.1.1.1.1.1.2.2.cmml">ξ</mi><mrow id="S5.Ex32.m2.10.10.1.1.1.1.1.2.3" xref="S5.Ex32.m2.10.10.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mo id="S5.Ex32.m2.10.10.1.1.1.1.1.2.3a" xref="S5.Ex32.m2.10.10.1.1.1.1.1.2.3.cmml">−</mo><mn id="S5.Ex32.m2.10.10.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S5.Ex32.m2.10.10.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="S5.Ex32.m2.10.10.1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex32.m2.10.10.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex32.m2.10.10.1.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex32.m2.10.10.1.1.1.1.1.3.cmml">ω</mi></mrow><mo id="S5.Ex32.m2.11.11.2.2.2.2.4" xref="S5.Ex32.m2.11.11.2.2.2.3.cmml">,</mo><mrow id="S5.Ex32.m2.11.11.2.2.2.2.2" xref="S5.Ex32.m2.11.11.2.2.2.2.2.cmml"><msub id="S5.Ex32.m2.11.11.2.2.2.2.2.2" xref="S5.Ex32.m2.11.11.2.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="S5.Ex32.m2.11.11.2.2.2.2.2.2.2" xref="S5.Ex32.m2.11.11.2.2.2.2.2.2.2.cmml">Q</mi><mn id="S5.Ex32.m2.11.11.2.2.2.2.2.2.3" xref="S5.Ex32.m2.11.11.2.2.2.2.2.2.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S5.Ex32.m2.11.11.2.2.2.2.2.1" xref="S5.Ex32.m2.11.11.2.2.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S5.Ex32.m2.11.11.2.2.2.2.2.3" xref="S5.Ex32.m2.11.11.2.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="S5.Ex32.m2.11.11.2.2.2.2.2.3.2" xref="S5.Ex32.m2.11.11.2.2.2.2.2.3.2.cmml">Q</mi><mn id="S5.Ex32.m2.11.11.2.2.2.2.2.3.3" xref="S5.Ex32.m2.11.11.2.2.2.2.2.3.3.cmml">2</mn></msub></mrow><mo id="S5.Ex32.m2.11.11.2.2.2.2.5" stretchy="false" xref="S5.Ex32.m2.11.11.2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow><mo id="S5.Ex32.m2.13.13.4.4.5a" xref="S5.Ex32.m2.13.13.4.4.5.cmml">⁢</mo><msubsup id="S5.Ex32.m2.13.13.4.4.7" xref="S5.Ex32.m2.13.13.4.4.7.cmml"><mi id="S5.Ex32.m2.13.13.4.4.7.2.2" xref="S5.Ex32.m2.13.13.4.4.7.2.2.cmml">Q</mi><mn id="S5.Ex32.m2.13.13.4.4.7.2.3" xref="S5.Ex32.m2.13.13.4.4.7.2.3.cmml">1</mn><mrow id="S5.Ex32.m2.6.6.1" xref="S5.Ex32.m2.6.6.1.cmml"><mo id="S5.Ex32.m2.6.6.1a" xref="S5.Ex32.m2.6.6.1.cmml">−</mo><mrow id="S5.Ex32.m2.6.6.1.3.2" xref="S5.Ex32.m2.6.6.1.3.1.cmml"><mo id="S5.Ex32.m2.6.6.1.3.2.1" stretchy="false" xref="S5.Ex32.m2.6.6.1.3.1.1.cmml">|</mo><mi id="S5.Ex32.m2.6.6.1.1" xref="S5.Ex32.m2.6.6.1.1.cmml">ω</mi><mo id="S5.Ex32.m2.6.6.1.3.2.2" stretchy="false" xref="S5.Ex32.m2.6.6.1.3.1.1.cmml">|</mo></mrow></mrow></msubsup><mo id="S5.Ex32.m2.13.13.4.4.5b" xref="S5.Ex32.m2.13.13.4.4.5.cmml">⁢</mo><msubsup id="S5.Ex32.m2.13.13.4.4.8" xref="S5.Ex32.m2.13.13.4.4.8.cmml"><mi id="S5.Ex32.m2.13.13.4.4.8.2.2" xref="S5.Ex32.m2.13.13.4.4.8.2.2.cmml">Q</mi><mn id="S5.Ex32.m2.13.13.4.4.8.2.3" xref="S5.Ex32.m2.13.13.4.4.8.2.3.cmml">2</mn><mrow id="S5.Ex32.m2.7.7.1" xref="S5.Ex32.m2.7.7.1.cmml"><mo id="S5.Ex32.m2.7.7.1a" xref="S5.Ex32.m2.7.7.1.cmml">−</mo><mrow id="S5.Ex32.m2.7.7.1.1.1" xref="S5.Ex32.m2.7.7.1.1.2.cmml"><mo id="S5.Ex32.m2.7.7.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S5.Ex32.m2.7.7.1.1.2.1.cmml">|</mo><mrow id="S5.Ex32.m2.7.7.1.1.1.1" xref="S5.Ex32.m2.7.7.1.1.1.1.cmml"><msup id="S5.Ex32.m2.7.7.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex32.m2.7.7.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S5.Ex32.m2.7.7.1.1.1.1.2.2" xref="S5.Ex32.m2.7.7.1.1.1.1.2.2.cmml">τ</mi><mrow id="S5.Ex32.m2.7.7.1.1.1.1.2.3" xref="S5.Ex32.m2.7.7.1.1.1.1.2.3.cmml"><mo id="S5.Ex32.m2.7.7.1.1.1.1.2.3a" xref="S5.Ex32.m2.7.7.1.1.1.1.2.3.cmml">−</mo><mn id="S5.Ex32.m2.7.7.1.1.1.1.2.3.2" xref="S5.Ex32.m2.7.7.1.1.1.1.2.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="S5.Ex32.m2.7.7.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex32.m2.7.7.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex32.m2.7.7.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex32.m2.7.7.1.1.1.1.3.cmml">ω</mi></mrow><mo id="S5.Ex32.m2.7.7.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S5.Ex32.m2.7.7.1.1.2.1.cmml">|</mo></mrow></mrow></msubsup><mo id="S5.Ex32.m2.13.13.4.4.5c" xref="S5.Ex32.m2.13.13.4.4.5.cmml">⁢</mo><mtext id="S5.Ex32.m2.13.13.4.4.9" xref="S5.Ex32.m2.13.13.4.4.9a.cmml">Wg</mtext><mo id="S5.Ex32.m2.13.13.4.4.5d" xref="S5.Ex32.m2.13.13.4.4.5.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.Ex32.m2.13.13.4.4.4.2" xref="S5.Ex32.m2.13.13.4.4.4.3.cmml"><mo id="S5.Ex32.m2.13.13.4.4.4.2.3" stretchy="false" xref="S5.Ex32.m2.13.13.4.4.4.3.cmml">(</mo><mrow id="S5.Ex32.m2.12.12.3.3.3.1.1" xref="S5.Ex32.m2.12.12.3.3.3.1.1.cmml"><msup id="S5.Ex32.m2.12.12.3.3.3.1.1.2" xref="S5.Ex32.m2.12.12.3.3.3.1.1.2.cmml"><mi id="S5.Ex32.m2.12.12.3.3.3.1.1.2.2" xref="S5.Ex32.m2.12.12.3.3.3.1.1.2.2.cmml">τ</mi><mrow id="S5.Ex32.m2.12.12.3.3.3.1.1.2.3" xref="S5.Ex32.m2.12.12.3.3.3.1.1.2.3.cmml"><mo id="S5.Ex32.m2.12.12.3.3.3.1.1.2.3a" xref="S5.Ex32.m2.12.12.3.3.3.1.1.2.3.cmml">−</mo><mn id="S5.Ex32.m2.12.12.3.3.3.1.1.2.3.2" xref="S5.Ex32.m2.12.12.3.3.3.1.1.2.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="S5.Ex32.m2.12.12.3.3.3.1.1.1" xref="S5.Ex32.m2.12.12.3.3.3.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex32.m2.12.12.3.3.3.1.1.3" xref="S5.Ex32.m2.12.12.3.3.3.1.1.3.cmml">π</mi></mrow><mo id="S5.Ex32.m2.13.13.4.4.4.2.4" xref="S5.Ex32.m2.13.13.4.4.4.3.cmml">,</mo><mrow id="S5.Ex32.m2.13.13.4.4.4.2.2" xref="S5.Ex32.m2.13.13.4.4.4.2.2.cmml"><msub id="S5.Ex32.m2.13.13.4.4.4.2.2.2" xref="S5.Ex32.m2.13.13.4.4.4.2.2.2.cmml"><mi id="S5.Ex32.m2.13.13.4.4.4.2.2.2.2" xref="S5.Ex32.m2.13.13.4.4.4.2.2.2.2.cmml">Q</mi><mn id="S5.Ex32.m2.13.13.4.4.4.2.2.2.3" xref="S5.Ex32.m2.13.13.4.4.4.2.2.2.3.cmml">2</mn></msub><mo id="S5.Ex32.m2.13.13.4.4.4.2.2.1" xref="S5.Ex32.m2.13.13.4.4.4.2.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S5.Ex32.m2.13.13.4.4.4.2.2.3" xref="S5.Ex32.m2.13.13.4.4.4.2.2.3.cmml"><mi id="S5.Ex32.m2.13.13.4.4.4.2.2.3.2" xref="S5.Ex32.m2.13.13.4.4.4.2.2.3.2.cmml">Q</mi><mn id="S5.Ex32.m2.13.13.4.4.4.2.2.3.3" xref="S5.Ex32.m2.13.13.4.4.4.2.2.3.3.cmml">3</mn></msub></mrow><mo id="S5.Ex32.m2.13.13.4.4.4.2.5" stretchy="false" xref="S5.Ex32.m2.13.13.4.4.4.3.cmml">)</mo></mrow><mo id="S5.Ex32.m2.13.13.4.4.5e" xref="S5.Ex32.m2.13.13.4.4.5.cmml">⁢</mo><msubsup id="S5.Ex32.m2.13.13.4.4.10" xref="S5.Ex32.m2.13.13.4.4.10.cmml"><mi id="S5.Ex32.m2.13.13.4.4.10.2.2" xref="S5.Ex32.m2.13.13.4.4.10.2.2.cmml">Q</mi><mn id="S5.Ex32.m2.13.13.4.4.10.2.3" xref="S5.Ex32.m2.13.13.4.4.10.2.3.cmml">2</mn><mrow id="S5.Ex32.m2.8.8.1" xref="S5.Ex32.m2.8.8.1.cmml"><mo id="S5.Ex32.m2.8.8.1a" xref="S5.Ex32.m2.8.8.1.cmml">−</mo><mrow id="S5.Ex32.m2.8.8.1.3.2" xref="S5.Ex32.m2.8.8.1.3.1.cmml"><mo id="S5.Ex32.m2.8.8.1.3.2.1" stretchy="false" xref="S5.Ex32.m2.8.8.1.3.1.1.cmml">|</mo><mi id="S5.Ex32.m2.8.8.1.1" xref="S5.Ex32.m2.8.8.1.1.cmml">π</mi><mo id="S5.Ex32.m2.8.8.1.3.2.2" stretchy="false" xref="S5.Ex32.m2.8.8.1.3.1.1.cmml">|</mo></mrow></mrow></msubsup><mo id="S5.Ex32.m2.13.13.4.4.5f" xref="S5.Ex32.m2.13.13.4.4.5.cmml">⁢</mo><msubsup id="S5.Ex32.m2.13.13.4.4.11" xref="S5.Ex32.m2.13.13.4.4.11.cmml"><mi id="S5.Ex32.m2.13.13.4.4.11.2.2" xref="S5.Ex32.m2.13.13.4.4.11.2.2.cmml">Q</mi><mn id="S5.Ex32.m2.13.13.4.4.11.2.3" xref="S5.Ex32.m2.13.13.4.4.11.2.3.cmml">3</mn><mrow id="S5.Ex32.m2.9.9.1" xref="S5.Ex32.m2.9.9.1.cmml"><mo id="S5.Ex32.m2.9.9.1a" xref="S5.Ex32.m2.9.9.1.cmml">−</mo><mrow id="S5.Ex32.m2.9.9.1.1.1" xref="S5.Ex32.m2.9.9.1.1.2.cmml"><mo id="S5.Ex32.m2.9.9.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S5.Ex32.m2.9.9.1.1.2.1.cmml">|</mo><mrow id="S5.Ex32.m2.9.9.1.1.1.1" xref="S5.Ex32.m2.9.9.1.1.1.1.cmml"><msup id="S5.Ex32.m2.9.9.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex32.m2.9.9.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S5.Ex32.m2.9.9.1.1.1.1.2.2" xref="S5.Ex32.m2.9.9.1.1.1.1.2.2.cmml">σ</mi><mrow id="S5.Ex32.m2.9.9.1.1.1.1.2.3" xref="S5.Ex32.m2.9.9.1.1.1.1.2.3.cmml"><mo id="S5.Ex32.m2.9.9.1.1.1.1.2.3a" xref="S5.Ex32.m2.9.9.1.1.1.1.2.3.cmml">−</mo><mn id="S5.Ex32.m2.9.9.1.1.1.1.2.3.2" xref="S5.Ex32.m2.9.9.1.1.1.1.2.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="S5.Ex32.m2.9.9.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex32.m2.9.9.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex32.m2.9.9.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex32.m2.9.9.1.1.1.1.3.cmml">π</mi></mrow><mo id="S5.Ex32.m2.9.9.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S5.Ex32.m2.9.9.1.1.2.1.cmml">|</mo></mrow></mrow></msubsup><mo id="S5.Ex32.m2.13.13.4.4.5g" xref="S5.Ex32.m2.13.13.4.4.5.cmml">⁢</mo><msub id="S5.Ex32.m2.13.13.4.4.12" xref="S5.Ex32.m2.13.13.4.4.12.cmml"><mi id="S5.Ex32.m2.13.13.4.4.12.2" xref="S5.Ex32.m2.13.13.4.4.12.2.cmml">ξ</mi><mi id="S5.Ex32.m2.13.13.4.4.12.3" xref="S5.Ex32.m2.13.13.4.4.12.3.cmml">R</mi></msub><mo id="S5.Ex32.m2.13.13.4.4.5h" xref="S5.Ex32.m2.13.13.4.4.5.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.Ex32.m2.1.1a.3" xref="S5.Ex32.m2.1.1a.2.cmml"><mo id="S5.Ex32.m2.1.1a.3.1" stretchy="false" xref="S5.Ex32.m2.1.1a.2.1.cmml">|</mo><mrow id="S5.Ex32.m2.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex32.m2.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="S5.Ex32.m2.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex32.m2.1.1.1.1.1.cmml">I</mi><mo id="S5.Ex32.m2.1.1.1.1.3.2" xref="S5.Ex32.m2.1.1.1.1.4.cmml">,</mo><mi id="S5.Ex32.m2.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex32.m2.1.1.1.1.2.cmml">I</mi><mo id="S5.Ex32.m2.1.1.1.1.3.3" xref="S5.Ex32.m2.1.1.1.1.4.cmml">,</mo><mrow id="S5.Ex32.m2.1.1.1.1.3.1" xref="S5.Ex32.m2.1.1.1.1.3.1.cmml"><mi id="S5.Ex32.m2.1.1.1.1.3.1.2" xref="S5.Ex32.m2.1.1.1.1.3.1.2.cmml">τ</mi><mo id="S5.Ex32.m2.1.1.1.1.3.1.1" xref="S5.Ex32.m2.1.1.1.1.3.1.1.cmml">⁢</mo><msup id="S5.Ex32.m2.1.1.1.1.3.1.3" xref="S5.Ex32.m2.1.1.1.1.3.1.3.cmml"><mi id="S5.Ex32.m2.1.1.1.1.3.1.3.2" xref="S5.Ex32.m2.1.1.1.1.3.1.3.2.cmml">ξ</mi><mrow id="S5.Ex32.m2.1.1.1.1.3.1.3.3" xref="S5.Ex32.m2.1.1.1.1.3.1.3.3.cmml"><mo id="S5.Ex32.m2.1.1.1.1.3.1.3.3a" xref="S5.Ex32.m2.1.1.1.1.3.1.3.3.cmml">−</mo><mn id="S5.Ex32.m2.1.1.1.1.3.1.3.3.2" xref="S5.Ex32.m2.1.1.1.1.3.1.3.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup></mrow></mrow><mo id="S5.Ex32.m2.1.1a.3.2" stretchy="false" xref="S5.Ex32.m2.1.1a.2.1.cmml">⟩</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.Ex32.m2.13b"><apply id="S5.Ex32.m2.13.13.cmml" xref="S5.Ex32.m2.13.13"><eq id="S5.Ex32.m2.13.13.5.cmml" xref="S5.Ex32.m2.13.13.5"></eq><csymbol cd="latexml" id="S5.Ex32.m2.13.13.6.cmml" xref="S5.Ex32.m2.13.13.6">absent</csymbol><apply id="S5.Ex32.m2.13.13.4.cmml" xref="S5.Ex32.m2.13.13.4"><apply id="S5.Ex32.m2.13.13.4.5.cmml" xref="S5.Ex32.m2.13.13.4.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex32.m2.13.13.4.5.1.cmml" xref="S5.Ex32.m2.13.13.4.5">subscript</csymbol><sum id="S5.Ex32.m2.13.13.4.5.2.cmml" xref="S5.Ex32.m2.13.13.4.5.2"></sum><list id="S5.Ex32.m2.5.5.4.5.cmml" xref="S5.Ex32.m2.5.5.4.6"><ci id="S5.Ex32.m2.2.2.1.1.cmml" xref="S5.Ex32.m2.2.2.1.1">𝜉</ci><ci id="S5.Ex32.m2.3.3.2.2.cmml" xref="S5.Ex32.m2.3.3.2.2">𝜔</ci><ci id="S5.Ex32.m2.4.4.3.3.cmml" xref="S5.Ex32.m2.4.4.3.3">𝜏</ci><ci id="S5.Ex32.m2.5.5.4.4.cmml" xref="S5.Ex32.m2.5.5.4.4">𝜋</ci></list></apply><apply id="S5.Ex32.m2.13.13.4.4.cmml" xref="S5.Ex32.m2.13.13.4.4"><times id="S5.Ex32.m2.13.13.4.4.5.cmml" xref="S5.Ex32.m2.13.13.4.4.5"></times><ci id="S5.Ex32.m2.13.13.4.4.6a.cmml" xref="S5.Ex32.m2.13.13.4.4.6"><mtext id="S5.Ex32.m2.13.13.4.4.6.cmml" xref="S5.Ex32.m2.13.13.4.4.6">Wg</mtext></ci><interval closure="open" id="S5.Ex32.m2.11.11.2.2.2.3.cmml" xref="S5.Ex32.m2.11.11.2.2.2.2"><apply id="S5.Ex32.m2.10.10.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex32.m2.10.10.1.1.1.1.1"><times id="S5.Ex32.m2.10.10.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex32.m2.10.10.1.1.1.1.1.1"></times><apply id="S5.Ex32.m2.10.10.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex32.m2.10.10.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex32.m2.10.10.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.Ex32.m2.10.10.1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S5.Ex32.m2.10.10.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.Ex32.m2.10.10.1.1.1.1.1.2.2">𝜉</ci><apply id="S5.Ex32.m2.10.10.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S5.Ex32.m2.10.10.1.1.1.1.1.2.3"><minus id="S5.Ex32.m2.10.10.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S5.Ex32.m2.10.10.1.1.1.1.1.2.3"></minus><cn id="S5.Ex32.m2.10.10.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" type="integer" xref="S5.Ex32.m2.10.10.1.1.1.1.1.2.3.2">1</cn></apply></apply><ci id="S5.Ex32.m2.10.10.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex32.m2.10.10.1.1.1.1.1.3">𝜔</ci></apply><apply id="S5.Ex32.m2.11.11.2.2.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex32.m2.11.11.2.2.2.2.2"><times id="S5.Ex32.m2.11.11.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex32.m2.11.11.2.2.2.2.2.1"></times><apply id="S5.Ex32.m2.11.11.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex32.m2.11.11.2.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex32.m2.11.11.2.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex32.m2.11.11.2.2.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex32.m2.11.11.2.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex32.m2.11.11.2.2.2.2.2.2.2">𝑄</ci><cn id="S5.Ex32.m2.11.11.2.2.2.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex32.m2.11.11.2.2.2.2.2.2.3">1</cn></apply><apply id="S5.Ex32.m2.11.11.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S5.Ex32.m2.11.11.2.2.2.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex32.m2.11.11.2.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="S5.Ex32.m2.11.11.2.2.2.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex32.m2.11.11.2.2.2.2.2.3.2.cmml" xref="S5.Ex32.m2.11.11.2.2.2.2.2.3.2">𝑄</ci><cn id="S5.Ex32.m2.11.11.2.2.2.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex32.m2.11.11.2.2.2.2.2.3.3">2</cn></apply></apply></interval><apply id="S5.Ex32.m2.13.13.4.4.7.cmml" xref="S5.Ex32.m2.13.13.4.4.7"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex32.m2.13.13.4.4.7.1.cmml" xref="S5.Ex32.m2.13.13.4.4.7">superscript</csymbol><apply id="S5.Ex32.m2.13.13.4.4.7.2.cmml" xref="S5.Ex32.m2.13.13.4.4.7"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex32.m2.13.13.4.4.7.2.1.cmml" xref="S5.Ex32.m2.13.13.4.4.7">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex32.m2.13.13.4.4.7.2.2.cmml" xref="S5.Ex32.m2.13.13.4.4.7.2.2">𝑄</ci><cn id="S5.Ex32.m2.13.13.4.4.7.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex32.m2.13.13.4.4.7.2.3">1</cn></apply><apply id="S5.Ex32.m2.6.6.1.cmml" 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id="S5.Ex32.m2.7.7.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex32.m2.7.7.1.1.1"><abs id="S5.Ex32.m2.7.7.1.1.2.1.cmml" xref="S5.Ex32.m2.7.7.1.1.1.2"></abs><apply id="S5.Ex32.m2.7.7.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex32.m2.7.7.1.1.1.1"><times id="S5.Ex32.m2.7.7.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex32.m2.7.7.1.1.1.1.1"></times><apply id="S5.Ex32.m2.7.7.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex32.m2.7.7.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex32.m2.7.7.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.Ex32.m2.7.7.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S5.Ex32.m2.7.7.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.Ex32.m2.7.7.1.1.1.1.2.2">𝜏</ci><apply id="S5.Ex32.m2.7.7.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S5.Ex32.m2.7.7.1.1.1.1.2.3"><minus id="S5.Ex32.m2.7.7.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S5.Ex32.m2.7.7.1.1.1.1.2.3"></minus><cn id="S5.Ex32.m2.7.7.1.1.1.1.2.3.2.cmml" type="integer" xref="S5.Ex32.m2.7.7.1.1.1.1.2.3.2">1</cn></apply></apply><ci id="S5.Ex32.m2.7.7.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex32.m2.7.7.1.1.1.1.3">𝜔</ci></apply></apply></apply></apply><ci id="S5.Ex32.m2.13.13.4.4.9a.cmml" 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id="S5.Ex32.m2.12.12.3.3.3.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex32.m2.12.12.3.3.3.1.1.3">𝜋</ci></apply><apply id="S5.Ex32.m2.13.13.4.4.4.2.2.cmml" xref="S5.Ex32.m2.13.13.4.4.4.2.2"><times id="S5.Ex32.m2.13.13.4.4.4.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex32.m2.13.13.4.4.4.2.2.1"></times><apply id="S5.Ex32.m2.13.13.4.4.4.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex32.m2.13.13.4.4.4.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex32.m2.13.13.4.4.4.2.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex32.m2.13.13.4.4.4.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex32.m2.13.13.4.4.4.2.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex32.m2.13.13.4.4.4.2.2.2.2">𝑄</ci><cn id="S5.Ex32.m2.13.13.4.4.4.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex32.m2.13.13.4.4.4.2.2.2.3">2</cn></apply><apply id="S5.Ex32.m2.13.13.4.4.4.2.2.3.cmml" xref="S5.Ex32.m2.13.13.4.4.4.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex32.m2.13.13.4.4.4.2.2.3.1.cmml" xref="S5.Ex32.m2.13.13.4.4.4.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex32.m2.13.13.4.4.4.2.2.3.2.cmml" xref="S5.Ex32.m2.13.13.4.4.4.2.2.3.2">𝑄</ci><cn id="S5.Ex32.m2.13.13.4.4.4.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex32.m2.13.13.4.4.4.2.2.3.3">3</cn></apply></apply></interval><apply id="S5.Ex32.m2.13.13.4.4.10.cmml" xref="S5.Ex32.m2.13.13.4.4.10"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex32.m2.13.13.4.4.10.1.cmml" xref="S5.Ex32.m2.13.13.4.4.10">superscript</csymbol><apply id="S5.Ex32.m2.13.13.4.4.10.2.cmml" xref="S5.Ex32.m2.13.13.4.4.10"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex32.m2.13.13.4.4.10.2.1.cmml" xref="S5.Ex32.m2.13.13.4.4.10">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex32.m2.13.13.4.4.10.2.2.cmml" xref="S5.Ex32.m2.13.13.4.4.10.2.2">𝑄</ci><cn id="S5.Ex32.m2.13.13.4.4.10.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex32.m2.13.13.4.4.10.2.3">2</cn></apply><apply id="S5.Ex32.m2.8.8.1.cmml" xref="S5.Ex32.m2.8.8.1"><minus id="S5.Ex32.m2.8.8.1.2.cmml" xref="S5.Ex32.m2.8.8.1"></minus><apply id="S5.Ex32.m2.8.8.1.3.1.cmml" xref="S5.Ex32.m2.8.8.1.3.2"><abs id="S5.Ex32.m2.8.8.1.3.1.1.cmml" xref="S5.Ex32.m2.8.8.1.3.2.1"></abs><ci id="S5.Ex32.m2.8.8.1.1.cmml" 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xref="S5.Ex32.m2.13.13.4.4.12.3">𝑅</ci></apply><apply id="S5.Ex32.m2.1.1a.2.cmml" xref="S5.Ex32.m2.1.1a.3"><csymbol cd="latexml" id="S5.Ex32.m2.1.1a.2.1.cmml" xref="S5.Ex32.m2.1.1a.3.1">ket</csymbol><list id="S5.Ex32.m2.1.1.1.1.4.cmml" xref="S5.Ex32.m2.1.1.1.1.3"><ci id="S5.Ex32.m2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex32.m2.1.1.1.1.1">𝐼</ci><ci id="S5.Ex32.m2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex32.m2.1.1.1.1.2">𝐼</ci><apply id="S5.Ex32.m2.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.Ex32.m2.1.1.1.1.3.1"><times id="S5.Ex32.m2.1.1.1.1.3.1.1.cmml" xref="S5.Ex32.m2.1.1.1.1.3.1.1"></times><ci id="S5.Ex32.m2.1.1.1.1.3.1.2.cmml" xref="S5.Ex32.m2.1.1.1.1.3.1.2">𝜏</ci><apply id="S5.Ex32.m2.1.1.1.1.3.1.3.cmml" xref="S5.Ex32.m2.1.1.1.1.3.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex32.m2.1.1.1.1.3.1.3.1.cmml" xref="S5.Ex32.m2.1.1.1.1.3.1.3">superscript</csymbol><ci id="S5.Ex32.m2.1.1.1.1.3.1.3.2.cmml" xref="S5.Ex32.m2.1.1.1.1.3.1.3.2">𝜉</ci><apply id="S5.Ex32.m2.1.1.1.1.3.1.3.3.cmml" xref="S5.Ex32.m2.1.1.1.1.3.1.3.3"><minus id="S5.Ex32.m2.1.1.1.1.3.1.3.3.1.cmml" xref="S5.Ex32.m2.1.1.1.1.3.1.3.3"></minus><cn id="S5.Ex32.m2.1.1.1.1.3.1.3.3.2.cmml" type="integer" xref="S5.Ex32.m2.1.1.1.1.3.1.3.3.2">1</cn></apply></apply></apply></list></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.Ex32.m2.13c">\displaystyle=\sum_{\xi,\omega,\tau,\pi}\text{Wg}(\xi^{-1}\omega,Q_{1}Q_{2})Q_% {1}^{-|\omega|}Q_{2}^{-|\tau^{-1}\omega|}\text{Wg}(\tau^{-1}\pi,Q_{2}Q_{3})Q_{% 2}^{-|\pi|}Q_{3}^{-|\sigma^{-1}\pi|}\xi_{R}\ket{I,I,\tau\xi^{-1}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.Ex32.m2.13d">= ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_ξ , italic_ω , italic_τ , italic_π end_POSTSUBSCRIPT Wg ( italic_ξ start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT italic_ω , italic_Q start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT italic_Q start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT ) italic_Q start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT - | italic_ω | end_POSTSUPERSCRIPT italic_Q start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT - | italic_τ start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT italic_ω | end_POSTSUPERSCRIPT Wg ( italic_τ start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT italic_π , italic_Q start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT italic_Q start_POSTSUBSCRIPT 3 end_POSTSUBSCRIPT ) italic_Q start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT - | italic_π | end_POSTSUPERSCRIPT italic_Q start_POSTSUBSCRIPT 3 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT - | italic_σ start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT italic_π | end_POSTSUPERSCRIPT italic_ξ start_POSTSUBSCRIPT italic_R end_POSTSUBSCRIPT | start_ARG italic_I , italic_I , italic_τ italic_ξ start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG ⟩</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="S5.Ex33"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=\sum_{\xi,\omega,\tau,\pi}\text{Wg}(\tau^{-1}\xi\omega,Q_{1}Q_{2% })Q_{1}^{-|\omega|}Q_{2}^{-|\tau^{-1}\omega|}\text{Wg}(\tau^{-1}\pi,Q_{2}Q_{3}% )Q_{2}^{-|\pi|}Q_{3}^{-|\sigma^{-1}\pi|}(\xi^{-1}\tau)_{R}\ket{I,I,\xi}\quad(% \xi\rightarrow\xi^{-1}\tau)" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.Ex33.m1.11"><semantics id="S5.Ex33.m1.11a"><mrow id="S5.Ex33.m1.11.11" xref="S5.Ex33.m1.11.11.cmml"><mi id="S5.Ex33.m1.11.11.4" xref="S5.Ex33.m1.11.11.4.cmml"></mi><mo id="S5.Ex33.m1.11.11.3" xref="S5.Ex33.m1.11.11.3.cmml">=</mo><mrow id="S5.Ex33.m1.11.11.2.2" xref="S5.Ex33.m1.11.11.2.3.cmml"><mrow id="S5.Ex33.m1.10.10.1.1.1" xref="S5.Ex33.m1.10.10.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S5.Ex33.m1.10.10.1.1.1.6" xref="S5.Ex33.m1.10.10.1.1.1.6.cmml"><munder id="S5.Ex33.m1.10.10.1.1.1.6a" xref="S5.Ex33.m1.10.10.1.1.1.6.cmml"><mo id="S5.Ex33.m1.10.10.1.1.1.6.2" movablelimits="false" xref="S5.Ex33.m1.10.10.1.1.1.6.2.cmml">∑</mo><mrow id="S5.Ex33.m1.5.5.4.6" xref="S5.Ex33.m1.5.5.4.5.cmml"><mi id="S5.Ex33.m1.2.2.1.1" xref="S5.Ex33.m1.2.2.1.1.cmml">ξ</mi><mo id="S5.Ex33.m1.5.5.4.6.1" xref="S5.Ex33.m1.5.5.4.5.cmml">,</mo><mi id="S5.Ex33.m1.3.3.2.2" xref="S5.Ex33.m1.3.3.2.2.cmml">ω</mi><mo id="S5.Ex33.m1.5.5.4.6.2" xref="S5.Ex33.m1.5.5.4.5.cmml">,</mo><mi id="S5.Ex33.m1.4.4.3.3" xref="S5.Ex33.m1.4.4.3.3.cmml">τ</mi><mo id="S5.Ex33.m1.5.5.4.6.3" xref="S5.Ex33.m1.5.5.4.5.cmml">,</mo><mi id="S5.Ex33.m1.5.5.4.4" xref="S5.Ex33.m1.5.5.4.4.cmml">π</mi></mrow></munder></mstyle><mrow id="S5.Ex33.m1.10.10.1.1.1.5" xref="S5.Ex33.m1.10.10.1.1.1.5.cmml"><mtext id="S5.Ex33.m1.10.10.1.1.1.5.7" xref="S5.Ex33.m1.10.10.1.1.1.5.7a.cmml">Wg</mtext><mo id="S5.Ex33.m1.10.10.1.1.1.5.6" xref="S5.Ex33.m1.10.10.1.1.1.5.6.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.Ex33.m1.10.10.1.1.1.2.2.2" xref="S5.Ex33.m1.10.10.1.1.1.2.2.3.cmml"><mo id="S5.Ex33.m1.10.10.1.1.1.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S5.Ex33.m1.10.10.1.1.1.2.2.3.cmml">(</mo><mrow id="S5.Ex33.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex33.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msup id="S5.Ex33.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex33.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S5.Ex33.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S5.Ex33.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">τ</mi><mrow id="S5.Ex33.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S5.Ex33.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mo id="S5.Ex33.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.2.3a" xref="S5.Ex33.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">−</mo><mn id="S5.Ex33.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S5.Ex33.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="S5.Ex33.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex33.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex33.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex33.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">ξ</mi><mo id="S5.Ex33.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1a" xref="S5.Ex33.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex33.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.4" xref="S5.Ex33.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml">ω</mi></mrow><mo id="S5.Ex33.m1.10.10.1.1.1.2.2.2.4" xref="S5.Ex33.m1.10.10.1.1.1.2.2.3.cmml">,</mo><mrow id="S5.Ex33.m1.10.10.1.1.1.2.2.2.2" xref="S5.Ex33.m1.10.10.1.1.1.2.2.2.2.cmml"><msub id="S5.Ex33.m1.10.10.1.1.1.2.2.2.2.2" xref="S5.Ex33.m1.10.10.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="S5.Ex33.m1.10.10.1.1.1.2.2.2.2.2.2" xref="S5.Ex33.m1.10.10.1.1.1.2.2.2.2.2.2.cmml">Q</mi><mn id="S5.Ex33.m1.10.10.1.1.1.2.2.2.2.2.3" xref="S5.Ex33.m1.10.10.1.1.1.2.2.2.2.2.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S5.Ex33.m1.10.10.1.1.1.2.2.2.2.1" xref="S5.Ex33.m1.10.10.1.1.1.2.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S5.Ex33.m1.10.10.1.1.1.2.2.2.2.3" xref="S5.Ex33.m1.10.10.1.1.1.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="S5.Ex33.m1.10.10.1.1.1.2.2.2.2.3.2" xref="S5.Ex33.m1.10.10.1.1.1.2.2.2.2.3.2.cmml">Q</mi><mn id="S5.Ex33.m1.10.10.1.1.1.2.2.2.2.3.3" xref="S5.Ex33.m1.10.10.1.1.1.2.2.2.2.3.3.cmml">2</mn></msub></mrow><mo id="S5.Ex33.m1.10.10.1.1.1.2.2.2.5" stretchy="false" xref="S5.Ex33.m1.10.10.1.1.1.2.2.3.cmml">)</mo></mrow><mo id="S5.Ex33.m1.10.10.1.1.1.5.6a" xref="S5.Ex33.m1.10.10.1.1.1.5.6.cmml">⁢</mo><msubsup id="S5.Ex33.m1.10.10.1.1.1.5.8" xref="S5.Ex33.m1.10.10.1.1.1.5.8.cmml"><mi id="S5.Ex33.m1.10.10.1.1.1.5.8.2.2" xref="S5.Ex33.m1.10.10.1.1.1.5.8.2.2.cmml">Q</mi><mn id="S5.Ex33.m1.10.10.1.1.1.5.8.2.3" xref="S5.Ex33.m1.10.10.1.1.1.5.8.2.3.cmml">1</mn><mrow id="S5.Ex33.m1.6.6.1" xref="S5.Ex33.m1.6.6.1.cmml"><mo id="S5.Ex33.m1.6.6.1a" xref="S5.Ex33.m1.6.6.1.cmml">−</mo><mrow id="S5.Ex33.m1.6.6.1.3.2" xref="S5.Ex33.m1.6.6.1.3.1.cmml"><mo id="S5.Ex33.m1.6.6.1.3.2.1" stretchy="false" xref="S5.Ex33.m1.6.6.1.3.1.1.cmml">|</mo><mi id="S5.Ex33.m1.6.6.1.1" xref="S5.Ex33.m1.6.6.1.1.cmml">ω</mi><mo id="S5.Ex33.m1.6.6.1.3.2.2" stretchy="false" xref="S5.Ex33.m1.6.6.1.3.1.1.cmml">|</mo></mrow></mrow></msubsup><mo id="S5.Ex33.m1.10.10.1.1.1.5.6b" xref="S5.Ex33.m1.10.10.1.1.1.5.6.cmml">⁢</mo><msubsup id="S5.Ex33.m1.10.10.1.1.1.5.9" xref="S5.Ex33.m1.10.10.1.1.1.5.9.cmml"><mi id="S5.Ex33.m1.10.10.1.1.1.5.9.2.2" xref="S5.Ex33.m1.10.10.1.1.1.5.9.2.2.cmml">Q</mi><mn id="S5.Ex33.m1.10.10.1.1.1.5.9.2.3" xref="S5.Ex33.m1.10.10.1.1.1.5.9.2.3.cmml">2</mn><mrow id="S5.Ex33.m1.7.7.1" xref="S5.Ex33.m1.7.7.1.cmml"><mo id="S5.Ex33.m1.7.7.1a" xref="S5.Ex33.m1.7.7.1.cmml">−</mo><mrow id="S5.Ex33.m1.7.7.1.1.1" xref="S5.Ex33.m1.7.7.1.1.2.cmml"><mo id="S5.Ex33.m1.7.7.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S5.Ex33.m1.7.7.1.1.2.1.cmml">|</mo><mrow id="S5.Ex33.m1.7.7.1.1.1.1" xref="S5.Ex33.m1.7.7.1.1.1.1.cmml"><msup id="S5.Ex33.m1.7.7.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex33.m1.7.7.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S5.Ex33.m1.7.7.1.1.1.1.2.2" xref="S5.Ex33.m1.7.7.1.1.1.1.2.2.cmml">τ</mi><mrow id="S5.Ex33.m1.7.7.1.1.1.1.2.3" xref="S5.Ex33.m1.7.7.1.1.1.1.2.3.cmml"><mo id="S5.Ex33.m1.7.7.1.1.1.1.2.3a" xref="S5.Ex33.m1.7.7.1.1.1.1.2.3.cmml">−</mo><mn id="S5.Ex33.m1.7.7.1.1.1.1.2.3.2" xref="S5.Ex33.m1.7.7.1.1.1.1.2.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="S5.Ex33.m1.7.7.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex33.m1.7.7.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex33.m1.7.7.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex33.m1.7.7.1.1.1.1.3.cmml">ω</mi></mrow><mo id="S5.Ex33.m1.7.7.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S5.Ex33.m1.7.7.1.1.2.1.cmml">|</mo></mrow></mrow></msubsup><mo id="S5.Ex33.m1.10.10.1.1.1.5.6c" xref="S5.Ex33.m1.10.10.1.1.1.5.6.cmml">⁢</mo><mtext id="S5.Ex33.m1.10.10.1.1.1.5.10" xref="S5.Ex33.m1.10.10.1.1.1.5.10a.cmml">Wg</mtext><mo id="S5.Ex33.m1.10.10.1.1.1.5.6d" xref="S5.Ex33.m1.10.10.1.1.1.5.6.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.Ex33.m1.10.10.1.1.1.4.4.2" xref="S5.Ex33.m1.10.10.1.1.1.4.4.3.cmml"><mo id="S5.Ex33.m1.10.10.1.1.1.4.4.2.3" stretchy="false" xref="S5.Ex33.m1.10.10.1.1.1.4.4.3.cmml">(</mo><mrow id="S5.Ex33.m1.10.10.1.1.1.3.3.1.1" xref="S5.Ex33.m1.10.10.1.1.1.3.3.1.1.cmml"><msup id="S5.Ex33.m1.10.10.1.1.1.3.3.1.1.2" xref="S5.Ex33.m1.10.10.1.1.1.3.3.1.1.2.cmml"><mi id="S5.Ex33.m1.10.10.1.1.1.3.3.1.1.2.2" xref="S5.Ex33.m1.10.10.1.1.1.3.3.1.1.2.2.cmml">τ</mi><mrow id="S5.Ex33.m1.10.10.1.1.1.3.3.1.1.2.3" xref="S5.Ex33.m1.10.10.1.1.1.3.3.1.1.2.3.cmml"><mo id="S5.Ex33.m1.10.10.1.1.1.3.3.1.1.2.3a" xref="S5.Ex33.m1.10.10.1.1.1.3.3.1.1.2.3.cmml">−</mo><mn id="S5.Ex33.m1.10.10.1.1.1.3.3.1.1.2.3.2" xref="S5.Ex33.m1.10.10.1.1.1.3.3.1.1.2.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="S5.Ex33.m1.10.10.1.1.1.3.3.1.1.1" xref="S5.Ex33.m1.10.10.1.1.1.3.3.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex33.m1.10.10.1.1.1.3.3.1.1.3" xref="S5.Ex33.m1.10.10.1.1.1.3.3.1.1.3.cmml">π</mi></mrow><mo id="S5.Ex33.m1.10.10.1.1.1.4.4.2.4" xref="S5.Ex33.m1.10.10.1.1.1.4.4.3.cmml">,</mo><mrow id="S5.Ex33.m1.10.10.1.1.1.4.4.2.2" xref="S5.Ex33.m1.10.10.1.1.1.4.4.2.2.cmml"><msub id="S5.Ex33.m1.10.10.1.1.1.4.4.2.2.2" xref="S5.Ex33.m1.10.10.1.1.1.4.4.2.2.2.cmml"><mi id="S5.Ex33.m1.10.10.1.1.1.4.4.2.2.2.2" xref="S5.Ex33.m1.10.10.1.1.1.4.4.2.2.2.2.cmml">Q</mi><mn id="S5.Ex33.m1.10.10.1.1.1.4.4.2.2.2.3" xref="S5.Ex33.m1.10.10.1.1.1.4.4.2.2.2.3.cmml">2</mn></msub><mo id="S5.Ex33.m1.10.10.1.1.1.4.4.2.2.1" xref="S5.Ex33.m1.10.10.1.1.1.4.4.2.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S5.Ex33.m1.10.10.1.1.1.4.4.2.2.3" xref="S5.Ex33.m1.10.10.1.1.1.4.4.2.2.3.cmml"><mi id="S5.Ex33.m1.10.10.1.1.1.4.4.2.2.3.2" xref="S5.Ex33.m1.10.10.1.1.1.4.4.2.2.3.2.cmml">Q</mi><mn id="S5.Ex33.m1.10.10.1.1.1.4.4.2.2.3.3" xref="S5.Ex33.m1.10.10.1.1.1.4.4.2.2.3.3.cmml">3</mn></msub></mrow><mo id="S5.Ex33.m1.10.10.1.1.1.4.4.2.5" stretchy="false" xref="S5.Ex33.m1.10.10.1.1.1.4.4.3.cmml">)</mo></mrow><mo id="S5.Ex33.m1.10.10.1.1.1.5.6e" xref="S5.Ex33.m1.10.10.1.1.1.5.6.cmml">⁢</mo><msubsup id="S5.Ex33.m1.10.10.1.1.1.5.11" xref="S5.Ex33.m1.10.10.1.1.1.5.11.cmml"><mi id="S5.Ex33.m1.10.10.1.1.1.5.11.2.2" xref="S5.Ex33.m1.10.10.1.1.1.5.11.2.2.cmml">Q</mi><mn id="S5.Ex33.m1.10.10.1.1.1.5.11.2.3" xref="S5.Ex33.m1.10.10.1.1.1.5.11.2.3.cmml">2</mn><mrow id="S5.Ex33.m1.8.8.1" xref="S5.Ex33.m1.8.8.1.cmml"><mo id="S5.Ex33.m1.8.8.1a" xref="S5.Ex33.m1.8.8.1.cmml">−</mo><mrow id="S5.Ex33.m1.8.8.1.3.2" xref="S5.Ex33.m1.8.8.1.3.1.cmml"><mo id="S5.Ex33.m1.8.8.1.3.2.1" stretchy="false" xref="S5.Ex33.m1.8.8.1.3.1.1.cmml">|</mo><mi id="S5.Ex33.m1.8.8.1.1" xref="S5.Ex33.m1.8.8.1.1.cmml">π</mi><mo id="S5.Ex33.m1.8.8.1.3.2.2" stretchy="false" xref="S5.Ex33.m1.8.8.1.3.1.1.cmml">|</mo></mrow></mrow></msubsup><mo id="S5.Ex33.m1.10.10.1.1.1.5.6f" xref="S5.Ex33.m1.10.10.1.1.1.5.6.cmml">⁢</mo><msubsup id="S5.Ex33.m1.10.10.1.1.1.5.12" xref="S5.Ex33.m1.10.10.1.1.1.5.12.cmml"><mi id="S5.Ex33.m1.10.10.1.1.1.5.12.2.2" xref="S5.Ex33.m1.10.10.1.1.1.5.12.2.2.cmml">Q</mi><mn id="S5.Ex33.m1.10.10.1.1.1.5.12.2.3" xref="S5.Ex33.m1.10.10.1.1.1.5.12.2.3.cmml">3</mn><mrow id="S5.Ex33.m1.9.9.1" xref="S5.Ex33.m1.9.9.1.cmml"><mo id="S5.Ex33.m1.9.9.1a" xref="S5.Ex33.m1.9.9.1.cmml">−</mo><mrow id="S5.Ex33.m1.9.9.1.1.1" xref="S5.Ex33.m1.9.9.1.1.2.cmml"><mo id="S5.Ex33.m1.9.9.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S5.Ex33.m1.9.9.1.1.2.1.cmml">|</mo><mrow id="S5.Ex33.m1.9.9.1.1.1.1" xref="S5.Ex33.m1.9.9.1.1.1.1.cmml"><msup id="S5.Ex33.m1.9.9.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex33.m1.9.9.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S5.Ex33.m1.9.9.1.1.1.1.2.2" xref="S5.Ex33.m1.9.9.1.1.1.1.2.2.cmml">σ</mi><mrow id="S5.Ex33.m1.9.9.1.1.1.1.2.3" xref="S5.Ex33.m1.9.9.1.1.1.1.2.3.cmml"><mo id="S5.Ex33.m1.9.9.1.1.1.1.2.3a" xref="S5.Ex33.m1.9.9.1.1.1.1.2.3.cmml">−</mo><mn id="S5.Ex33.m1.9.9.1.1.1.1.2.3.2" xref="S5.Ex33.m1.9.9.1.1.1.1.2.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="S5.Ex33.m1.9.9.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex33.m1.9.9.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex33.m1.9.9.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex33.m1.9.9.1.1.1.1.3.cmml">π</mi></mrow><mo id="S5.Ex33.m1.9.9.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S5.Ex33.m1.9.9.1.1.2.1.cmml">|</mo></mrow></mrow></msubsup><mo id="S5.Ex33.m1.10.10.1.1.1.5.6g" xref="S5.Ex33.m1.10.10.1.1.1.5.6.cmml">⁢</mo><msub id="S5.Ex33.m1.10.10.1.1.1.5.5" xref="S5.Ex33.m1.10.10.1.1.1.5.5.cmml"><mrow id="S5.Ex33.m1.10.10.1.1.1.5.5.1.1" xref="S5.Ex33.m1.10.10.1.1.1.5.5.1.1.1.cmml"><mo id="S5.Ex33.m1.10.10.1.1.1.5.5.1.1.2" stretchy="false" xref="S5.Ex33.m1.10.10.1.1.1.5.5.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S5.Ex33.m1.10.10.1.1.1.5.5.1.1.1" xref="S5.Ex33.m1.10.10.1.1.1.5.5.1.1.1.cmml"><msup id="S5.Ex33.m1.10.10.1.1.1.5.5.1.1.1.2" xref="S5.Ex33.m1.10.10.1.1.1.5.5.1.1.1.2.cmml"><mi id="S5.Ex33.m1.10.10.1.1.1.5.5.1.1.1.2.2" xref="S5.Ex33.m1.10.10.1.1.1.5.5.1.1.1.2.2.cmml">ξ</mi><mrow id="S5.Ex33.m1.10.10.1.1.1.5.5.1.1.1.2.3" xref="S5.Ex33.m1.10.10.1.1.1.5.5.1.1.1.2.3.cmml"><mo id="S5.Ex33.m1.10.10.1.1.1.5.5.1.1.1.2.3a" xref="S5.Ex33.m1.10.10.1.1.1.5.5.1.1.1.2.3.cmml">−</mo><mn id="S5.Ex33.m1.10.10.1.1.1.5.5.1.1.1.2.3.2" xref="S5.Ex33.m1.10.10.1.1.1.5.5.1.1.1.2.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="S5.Ex33.m1.10.10.1.1.1.5.5.1.1.1.1" xref="S5.Ex33.m1.10.10.1.1.1.5.5.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex33.m1.10.10.1.1.1.5.5.1.1.1.3" xref="S5.Ex33.m1.10.10.1.1.1.5.5.1.1.1.3.cmml">τ</mi></mrow><mo id="S5.Ex33.m1.10.10.1.1.1.5.5.1.1.3" stretchy="false" xref="S5.Ex33.m1.10.10.1.1.1.5.5.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mi id="S5.Ex33.m1.10.10.1.1.1.5.5.3" xref="S5.Ex33.m1.10.10.1.1.1.5.5.3.cmml">R</mi></msub><mo id="S5.Ex33.m1.10.10.1.1.1.5.6h" xref="S5.Ex33.m1.10.10.1.1.1.5.6.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.Ex33.m1.1.1a.3" xref="S5.Ex33.m1.1.1a.2.cmml"><mo id="S5.Ex33.m1.1.1a.3.1" stretchy="false" xref="S5.Ex33.m1.1.1a.2.1.cmml">|</mo><mrow id="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.5" xref="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.1.cmml">I</mi><mo id="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.5.1" xref="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.4.cmml">,</mo><mi id="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.2.cmml">I</mi><mo id="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.5.2" xref="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.4.cmml">,</mo><mi id="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.3.cmml">ξ</mi></mrow><mo id="S5.Ex33.m1.1.1a.3.2" stretchy="false" xref="S5.Ex33.m1.1.1a.2.1.cmml">⟩</mo></mrow></mrow></mrow><mspace id="S5.Ex33.m1.11.11.2.2.3" width="1em" xref="S5.Ex33.m1.11.11.2.3.cmml"></mspace><mrow id="S5.Ex33.m1.11.11.2.2.2.1" xref="S5.Ex33.m1.11.11.2.2.2.1.1.cmml"><mo id="S5.Ex33.m1.11.11.2.2.2.1.2" stretchy="false" xref="S5.Ex33.m1.11.11.2.2.2.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S5.Ex33.m1.11.11.2.2.2.1.1" xref="S5.Ex33.m1.11.11.2.2.2.1.1.cmml"><mi id="S5.Ex33.m1.11.11.2.2.2.1.1.2" xref="S5.Ex33.m1.11.11.2.2.2.1.1.2.cmml">ξ</mi><mo id="S5.Ex33.m1.11.11.2.2.2.1.1.1" stretchy="false" xref="S5.Ex33.m1.11.11.2.2.2.1.1.1.cmml">→</mo><mrow id="S5.Ex33.m1.11.11.2.2.2.1.1.3" xref="S5.Ex33.m1.11.11.2.2.2.1.1.3.cmml"><msup id="S5.Ex33.m1.11.11.2.2.2.1.1.3.2" xref="S5.Ex33.m1.11.11.2.2.2.1.1.3.2.cmml"><mi id="S5.Ex33.m1.11.11.2.2.2.1.1.3.2.2" xref="S5.Ex33.m1.11.11.2.2.2.1.1.3.2.2.cmml">ξ</mi><mrow id="S5.Ex33.m1.11.11.2.2.2.1.1.3.2.3" xref="S5.Ex33.m1.11.11.2.2.2.1.1.3.2.3.cmml"><mo id="S5.Ex33.m1.11.11.2.2.2.1.1.3.2.3a" xref="S5.Ex33.m1.11.11.2.2.2.1.1.3.2.3.cmml">−</mo><mn id="S5.Ex33.m1.11.11.2.2.2.1.1.3.2.3.2" xref="S5.Ex33.m1.11.11.2.2.2.1.1.3.2.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="S5.Ex33.m1.11.11.2.2.2.1.1.3.1" xref="S5.Ex33.m1.11.11.2.2.2.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex33.m1.11.11.2.2.2.1.1.3.3" xref="S5.Ex33.m1.11.11.2.2.2.1.1.3.3.cmml">τ</mi></mrow></mrow><mo id="S5.Ex33.m1.11.11.2.2.2.1.3" stretchy="false" xref="S5.Ex33.m1.11.11.2.2.2.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.Ex33.m1.11b"><apply id="S5.Ex33.m1.11.11.cmml" xref="S5.Ex33.m1.11.11"><eq id="S5.Ex33.m1.11.11.3.cmml" xref="S5.Ex33.m1.11.11.3"></eq><csymbol cd="latexml" id="S5.Ex33.m1.11.11.4.cmml" xref="S5.Ex33.m1.11.11.4">absent</csymbol><list id="S5.Ex33.m1.11.11.2.3.cmml" xref="S5.Ex33.m1.11.11.2.2"><apply id="S5.Ex33.m1.10.10.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex33.m1.10.10.1.1.1"><apply id="S5.Ex33.m1.10.10.1.1.1.6.cmml" xref="S5.Ex33.m1.10.10.1.1.1.6"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex33.m1.10.10.1.1.1.6.1.cmml" xref="S5.Ex33.m1.10.10.1.1.1.6">subscript</csymbol><sum id="S5.Ex33.m1.10.10.1.1.1.6.2.cmml" xref="S5.Ex33.m1.10.10.1.1.1.6.2"></sum><list id="S5.Ex33.m1.5.5.4.5.cmml" xref="S5.Ex33.m1.5.5.4.6"><ci id="S5.Ex33.m1.2.2.1.1.cmml" xref="S5.Ex33.m1.2.2.1.1">𝜉</ci><ci id="S5.Ex33.m1.3.3.2.2.cmml" xref="S5.Ex33.m1.3.3.2.2">𝜔</ci><ci id="S5.Ex33.m1.4.4.3.3.cmml" xref="S5.Ex33.m1.4.4.3.3">𝜏</ci><ci id="S5.Ex33.m1.5.5.4.4.cmml" xref="S5.Ex33.m1.5.5.4.4">𝜋</ci></list></apply><apply id="S5.Ex33.m1.10.10.1.1.1.5.cmml" xref="S5.Ex33.m1.10.10.1.1.1.5"><times id="S5.Ex33.m1.10.10.1.1.1.5.6.cmml" xref="S5.Ex33.m1.10.10.1.1.1.5.6"></times><ci id="S5.Ex33.m1.10.10.1.1.1.5.7a.cmml" xref="S5.Ex33.m1.10.10.1.1.1.5.7"><mtext id="S5.Ex33.m1.10.10.1.1.1.5.7.cmml" xref="S5.Ex33.m1.10.10.1.1.1.5.7">Wg</mtext></ci><interval closure="open" id="S5.Ex33.m1.10.10.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S5.Ex33.m1.10.10.1.1.1.2.2.2"><apply id="S5.Ex33.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex33.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1"><times id="S5.Ex33.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex33.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1"></times><apply id="S5.Ex33.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex33.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex33.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.Ex33.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S5.Ex33.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.Ex33.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝜏</ci><apply id="S5.Ex33.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S5.Ex33.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.2.3"><minus id="S5.Ex33.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S5.Ex33.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.2.3"></minus><cn id="S5.Ex33.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" type="integer" xref="S5.Ex33.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2">1</cn></apply></apply><ci id="S5.Ex33.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex33.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.3">𝜉</ci><ci id="S5.Ex33.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S5.Ex33.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.4">𝜔</ci></apply><apply id="S5.Ex33.m1.10.10.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex33.m1.10.10.1.1.1.2.2.2.2"><times id="S5.Ex33.m1.10.10.1.1.1.2.2.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex33.m1.10.10.1.1.1.2.2.2.2.1"></times><apply id="S5.Ex33.m1.10.10.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex33.m1.10.10.1.1.1.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex33.m1.10.10.1.1.1.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex33.m1.10.10.1.1.1.2.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex33.m1.10.10.1.1.1.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex33.m1.10.10.1.1.1.2.2.2.2.2.2">𝑄</ci><cn id="S5.Ex33.m1.10.10.1.1.1.2.2.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex33.m1.10.10.1.1.1.2.2.2.2.2.3">1</cn></apply><apply id="S5.Ex33.m1.10.10.1.1.1.2.2.2.2.3.cmml" xref="S5.Ex33.m1.10.10.1.1.1.2.2.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex33.m1.10.10.1.1.1.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="S5.Ex33.m1.10.10.1.1.1.2.2.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex33.m1.10.10.1.1.1.2.2.2.2.3.2.cmml" xref="S5.Ex33.m1.10.10.1.1.1.2.2.2.2.3.2">𝑄</ci><cn id="S5.Ex33.m1.10.10.1.1.1.2.2.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex33.m1.10.10.1.1.1.2.2.2.2.3.3">2</cn></apply></apply></interval><apply id="S5.Ex33.m1.10.10.1.1.1.5.8.cmml" xref="S5.Ex33.m1.10.10.1.1.1.5.8"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex33.m1.10.10.1.1.1.5.8.1.cmml" xref="S5.Ex33.m1.10.10.1.1.1.5.8">superscript</csymbol><apply id="S5.Ex33.m1.10.10.1.1.1.5.8.2.cmml" xref="S5.Ex33.m1.10.10.1.1.1.5.8"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex33.m1.10.10.1.1.1.5.8.2.1.cmml" xref="S5.Ex33.m1.10.10.1.1.1.5.8">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex33.m1.10.10.1.1.1.5.8.2.2.cmml" xref="S5.Ex33.m1.10.10.1.1.1.5.8.2.2">𝑄</ci><cn id="S5.Ex33.m1.10.10.1.1.1.5.8.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex33.m1.10.10.1.1.1.5.8.2.3">1</cn></apply><apply id="S5.Ex33.m1.6.6.1.cmml" xref="S5.Ex33.m1.6.6.1"><minus id="S5.Ex33.m1.6.6.1.2.cmml" xref="S5.Ex33.m1.6.6.1"></minus><apply id="S5.Ex33.m1.6.6.1.3.1.cmml" xref="S5.Ex33.m1.6.6.1.3.2"><abs id="S5.Ex33.m1.6.6.1.3.1.1.cmml" xref="S5.Ex33.m1.6.6.1.3.2.1"></abs><ci id="S5.Ex33.m1.6.6.1.1.cmml" xref="S5.Ex33.m1.6.6.1.1">𝜔</ci></apply></apply></apply><apply id="S5.Ex33.m1.10.10.1.1.1.5.9.cmml" xref="S5.Ex33.m1.10.10.1.1.1.5.9"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex33.m1.10.10.1.1.1.5.9.1.cmml" xref="S5.Ex33.m1.10.10.1.1.1.5.9">superscript</csymbol><apply id="S5.Ex33.m1.10.10.1.1.1.5.9.2.cmml" xref="S5.Ex33.m1.10.10.1.1.1.5.9"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex33.m1.10.10.1.1.1.5.9.2.1.cmml" xref="S5.Ex33.m1.10.10.1.1.1.5.9">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex33.m1.10.10.1.1.1.5.9.2.2.cmml" xref="S5.Ex33.m1.10.10.1.1.1.5.9.2.2">𝑄</ci><cn id="S5.Ex33.m1.10.10.1.1.1.5.9.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex33.m1.10.10.1.1.1.5.9.2.3">2</cn></apply><apply id="S5.Ex33.m1.7.7.1.cmml" xref="S5.Ex33.m1.7.7.1"><minus id="S5.Ex33.m1.7.7.1.2.cmml" xref="S5.Ex33.m1.7.7.1"></minus><apply id="S5.Ex33.m1.7.7.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex33.m1.7.7.1.1.1"><abs id="S5.Ex33.m1.7.7.1.1.2.1.cmml" xref="S5.Ex33.m1.7.7.1.1.1.2"></abs><apply id="S5.Ex33.m1.7.7.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex33.m1.7.7.1.1.1.1"><times id="S5.Ex33.m1.7.7.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex33.m1.7.7.1.1.1.1.1"></times><apply id="S5.Ex33.m1.7.7.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex33.m1.7.7.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex33.m1.7.7.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.Ex33.m1.7.7.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S5.Ex33.m1.7.7.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.Ex33.m1.7.7.1.1.1.1.2.2">𝜏</ci><apply id="S5.Ex33.m1.7.7.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S5.Ex33.m1.7.7.1.1.1.1.2.3"><minus id="S5.Ex33.m1.7.7.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S5.Ex33.m1.7.7.1.1.1.1.2.3"></minus><cn id="S5.Ex33.m1.7.7.1.1.1.1.2.3.2.cmml" type="integer" xref="S5.Ex33.m1.7.7.1.1.1.1.2.3.2">1</cn></apply></apply><ci id="S5.Ex33.m1.7.7.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex33.m1.7.7.1.1.1.1.3">𝜔</ci></apply></apply></apply></apply><ci id="S5.Ex33.m1.10.10.1.1.1.5.10a.cmml" xref="S5.Ex33.m1.10.10.1.1.1.5.10"><mtext id="S5.Ex33.m1.10.10.1.1.1.5.10.cmml" xref="S5.Ex33.m1.10.10.1.1.1.5.10">Wg</mtext></ci><interval closure="open" id="S5.Ex33.m1.10.10.1.1.1.4.4.3.cmml" xref="S5.Ex33.m1.10.10.1.1.1.4.4.2"><apply id="S5.Ex33.m1.10.10.1.1.1.3.3.1.1.cmml" xref="S5.Ex33.m1.10.10.1.1.1.3.3.1.1"><times id="S5.Ex33.m1.10.10.1.1.1.3.3.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex33.m1.10.10.1.1.1.3.3.1.1.1"></times><apply id="S5.Ex33.m1.10.10.1.1.1.3.3.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex33.m1.10.10.1.1.1.3.3.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex33.m1.10.10.1.1.1.3.3.1.1.2.1.cmml" xref="S5.Ex33.m1.10.10.1.1.1.3.3.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S5.Ex33.m1.10.10.1.1.1.3.3.1.1.2.2.cmml" xref="S5.Ex33.m1.10.10.1.1.1.3.3.1.1.2.2">𝜏</ci><apply id="S5.Ex33.m1.10.10.1.1.1.3.3.1.1.2.3.cmml" xref="S5.Ex33.m1.10.10.1.1.1.3.3.1.1.2.3"><minus id="S5.Ex33.m1.10.10.1.1.1.3.3.1.1.2.3.1.cmml" xref="S5.Ex33.m1.10.10.1.1.1.3.3.1.1.2.3"></minus><cn id="S5.Ex33.m1.10.10.1.1.1.3.3.1.1.2.3.2.cmml" type="integer" xref="S5.Ex33.m1.10.10.1.1.1.3.3.1.1.2.3.2">1</cn></apply></apply><ci id="S5.Ex33.m1.10.10.1.1.1.3.3.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex33.m1.10.10.1.1.1.3.3.1.1.3">𝜋</ci></apply><apply id="S5.Ex33.m1.10.10.1.1.1.4.4.2.2.cmml" xref="S5.Ex33.m1.10.10.1.1.1.4.4.2.2"><times id="S5.Ex33.m1.10.10.1.1.1.4.4.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex33.m1.10.10.1.1.1.4.4.2.2.1"></times><apply id="S5.Ex33.m1.10.10.1.1.1.4.4.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex33.m1.10.10.1.1.1.4.4.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex33.m1.10.10.1.1.1.4.4.2.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex33.m1.10.10.1.1.1.4.4.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex33.m1.10.10.1.1.1.4.4.2.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex33.m1.10.10.1.1.1.4.4.2.2.2.2">𝑄</ci><cn id="S5.Ex33.m1.10.10.1.1.1.4.4.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex33.m1.10.10.1.1.1.4.4.2.2.2.3">2</cn></apply><apply id="S5.Ex33.m1.10.10.1.1.1.4.4.2.2.3.cmml" xref="S5.Ex33.m1.10.10.1.1.1.4.4.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex33.m1.10.10.1.1.1.4.4.2.2.3.1.cmml" xref="S5.Ex33.m1.10.10.1.1.1.4.4.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex33.m1.10.10.1.1.1.4.4.2.2.3.2.cmml" xref="S5.Ex33.m1.10.10.1.1.1.4.4.2.2.3.2">𝑄</ci><cn id="S5.Ex33.m1.10.10.1.1.1.4.4.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex33.m1.10.10.1.1.1.4.4.2.2.3.3">3</cn></apply></apply></interval><apply id="S5.Ex33.m1.10.10.1.1.1.5.11.cmml" xref="S5.Ex33.m1.10.10.1.1.1.5.11"><csymbol cd="ambiguous" 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id="S5.Ex33.m1.11d">= ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_ξ , italic_ω , italic_τ , italic_π end_POSTSUBSCRIPT Wg ( italic_τ start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT italic_ξ italic_ω , italic_Q start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT italic_Q start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT ) italic_Q start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT - | italic_ω | end_POSTSUPERSCRIPT italic_Q start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT - | italic_τ start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT italic_ω | end_POSTSUPERSCRIPT Wg ( italic_τ start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT italic_π , italic_Q start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT italic_Q start_POSTSUBSCRIPT 3 end_POSTSUBSCRIPT ) italic_Q start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT - | italic_π | end_POSTSUPERSCRIPT italic_Q start_POSTSUBSCRIPT 3 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT - | italic_σ start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT italic_π | end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_ξ start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT italic_τ ) start_POSTSUBSCRIPT italic_R end_POSTSUBSCRIPT | start_ARG italic_I , italic_I , italic_ξ end_ARG ⟩ ( italic_ξ → italic_ξ start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT italic_τ )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="S5.E72"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=\sum_{\xi,\omega,\tau,\pi}\text{Wg}(\xi\omega^{-1},Q_{1}Q_{2})Q_% {1}^{-|\omega^{-1}\tau|}Q_{2}^{-|\omega|}\text{Wg}(\tau^{-1}\pi,Q_{2}Q_{3})Q_{% 2}^{-|\pi|}Q_{3}^{-|\sigma^{-1}\pi|}(\xi^{-1}\tau)_{R}\ket{I,I,\xi}\quad(% \omega\rightarrow\omega^{-1}\tau)" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.E72.m1.11"><semantics id="S5.E72.m1.11a"><mrow id="S5.E72.m1.11.11" xref="S5.E72.m1.11.11.cmml"><mi 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xref="S5.E72.m1.5.5.4.4.cmml">π</mi></mrow></munder></mstyle><mrow id="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.5" xref="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.5.cmml"><mtext id="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.5.7" xref="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.5.7a.cmml">Wg</mtext><mo id="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.5.6" xref="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.5.6.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.2.2.2" xref="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.2.2.3.cmml"><mo id="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.2.2.3.cmml">(</mo><mrow id="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">ξ</mi><mo id="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msup id="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">ω</mi><mrow id="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mo id="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.3.3a" xref="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">−</mo><mn id="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup></mrow><mo id="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.2.2.2.4" xref="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.2.2.3.cmml">,</mo><mrow id="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.2.2.2.2" xref="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.2.2.2.2.cmml"><msub id="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.2.2.2.2.2" xref="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.2.2.2.2.2.2" xref="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.2.2.2.2.2.2.cmml">Q</mi><mn id="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.2.2.2.2.2.3" xref="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.2.2.2.2.2.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.2.2.2.2.1" xref="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.2.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.2.2.2.2.3" xref="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.2.2.2.2.3.2" xref="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.2.2.2.2.3.2.cmml">Q</mi><mn id="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.2.2.2.2.3.3" xref="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.2.2.2.2.3.3.cmml">2</mn></msub></mrow><mo id="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.2.2.2.5" stretchy="false" xref="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.2.2.3.cmml">)</mo></mrow><mo id="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.5.6a" xref="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.5.6.cmml">⁢</mo><msubsup id="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.5.8" xref="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.5.8.cmml"><mi id="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.5.8.2.2" xref="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.5.8.2.2.cmml">Q</mi><mn id="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.5.8.2.3" xref="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.5.8.2.3.cmml">1</mn><mrow id="S5.E72.m1.6.6.1" xref="S5.E72.m1.6.6.1.cmml"><mo id="S5.E72.m1.6.6.1a" xref="S5.E72.m1.6.6.1.cmml">−</mo><mrow id="S5.E72.m1.6.6.1.1.1" xref="S5.E72.m1.6.6.1.1.2.cmml"><mo id="S5.E72.m1.6.6.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S5.E72.m1.6.6.1.1.2.1.cmml">|</mo><mrow id="S5.E72.m1.6.6.1.1.1.1" xref="S5.E72.m1.6.6.1.1.1.1.cmml"><msup id="S5.E72.m1.6.6.1.1.1.1.2" xref="S5.E72.m1.6.6.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S5.E72.m1.6.6.1.1.1.1.2.2" xref="S5.E72.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.cmml">ω</mi><mrow id="S5.E72.m1.6.6.1.1.1.1.2.3" xref="S5.E72.m1.6.6.1.1.1.1.2.3.cmml"><mo id="S5.E72.m1.6.6.1.1.1.1.2.3a" xref="S5.E72.m1.6.6.1.1.1.1.2.3.cmml">−</mo><mn id="S5.E72.m1.6.6.1.1.1.1.2.3.2" xref="S5.E72.m1.6.6.1.1.1.1.2.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="S5.E72.m1.6.6.1.1.1.1.1" xref="S5.E72.m1.6.6.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.E72.m1.6.6.1.1.1.1.3" xref="S5.E72.m1.6.6.1.1.1.1.3.cmml">τ</mi></mrow><mo id="S5.E72.m1.6.6.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S5.E72.m1.6.6.1.1.2.1.cmml">|</mo></mrow></mrow></msubsup><mo id="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.5.6b" xref="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.5.6.cmml">⁢</mo><msubsup id="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.5.9" xref="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.5.9.cmml"><mi id="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.5.9.2.2" xref="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.5.9.2.2.cmml">Q</mi><mn id="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.5.9.2.3" xref="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.5.9.2.3.cmml">2</mn><mrow id="S5.E72.m1.7.7.1" xref="S5.E72.m1.7.7.1.cmml"><mo id="S5.E72.m1.7.7.1a" xref="S5.E72.m1.7.7.1.cmml">−</mo><mrow id="S5.E72.m1.7.7.1.3.2" xref="S5.E72.m1.7.7.1.3.1.cmml"><mo id="S5.E72.m1.7.7.1.3.2.1" stretchy="false" xref="S5.E72.m1.7.7.1.3.1.1.cmml">|</mo><mi id="S5.E72.m1.7.7.1.1" xref="S5.E72.m1.7.7.1.1.cmml">ω</mi><mo id="S5.E72.m1.7.7.1.3.2.2" stretchy="false" xref="S5.E72.m1.7.7.1.3.1.1.cmml">|</mo></mrow></mrow></msubsup><mo id="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.5.6c" xref="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.5.6.cmml">⁢</mo><mtext id="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.5.10" xref="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.5.10a.cmml">Wg</mtext><mo id="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.5.6d" xref="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.5.6.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.4.4.2" xref="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.4.4.3.cmml"><mo id="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.4.4.2.3" stretchy="false" xref="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.4.4.3.cmml">(</mo><mrow id="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.3.3.1.1" xref="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.3.3.1.1.cmml"><msup id="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.3.3.1.1.2" xref="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.3.3.1.1.2.cmml"><mi id="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.3.3.1.1.2.2" xref="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.3.3.1.1.2.2.cmml">τ</mi><mrow id="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.3.3.1.1.2.3" xref="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.3.3.1.1.2.3.cmml"><mo id="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.3.3.1.1.2.3a" xref="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.3.3.1.1.2.3.cmml">−</mo><mn id="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.3.3.1.1.2.3.2" xref="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.3.3.1.1.2.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.3.3.1.1.1" xref="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.3.3.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.3.3.1.1.3" xref="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.3.3.1.1.3.cmml">π</mi></mrow><mo id="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.4.4.2.4" xref="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.4.4.3.cmml">,</mo><mrow id="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.4.4.2.2" xref="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.4.4.2.2.cmml"><msub id="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.4.4.2.2.2" xref="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.4.4.2.2.2.cmml"><mi id="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.4.4.2.2.2.2" xref="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.4.4.2.2.2.2.cmml">Q</mi><mn id="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.4.4.2.2.2.3" xref="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.4.4.2.2.2.3.cmml">2</mn></msub><mo id="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.4.4.2.2.1" xref="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.4.4.2.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.4.4.2.2.3" xref="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.4.4.2.2.3.cmml"><mi id="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.4.4.2.2.3.2" xref="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.4.4.2.2.3.2.cmml">Q</mi><mn id="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.4.4.2.2.3.3" xref="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.4.4.2.2.3.3.cmml">3</mn></msub></mrow><mo id="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.4.4.2.5" stretchy="false" xref="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.4.4.3.cmml">)</mo></mrow><mo id="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.5.6e" xref="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.5.6.cmml">⁢</mo><msubsup id="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.5.11" xref="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.5.11.cmml"><mi id="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.5.11.2.2" xref="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.5.11.2.2.cmml">Q</mi><mn id="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.5.11.2.3" xref="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.5.11.2.3.cmml">2</mn><mrow id="S5.E72.m1.8.8.1" xref="S5.E72.m1.8.8.1.cmml"><mo id="S5.E72.m1.8.8.1a" xref="S5.E72.m1.8.8.1.cmml">−</mo><mrow id="S5.E72.m1.8.8.1.3.2" xref="S5.E72.m1.8.8.1.3.1.cmml"><mo id="S5.E72.m1.8.8.1.3.2.1" stretchy="false" xref="S5.E72.m1.8.8.1.3.1.1.cmml">|</mo><mi id="S5.E72.m1.8.8.1.1" xref="S5.E72.m1.8.8.1.1.cmml">π</mi><mo id="S5.E72.m1.8.8.1.3.2.2" stretchy="false" xref="S5.E72.m1.8.8.1.3.1.1.cmml">|</mo></mrow></mrow></msubsup><mo id="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.5.6f" xref="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.5.6.cmml">⁢</mo><msubsup id="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.5.12" xref="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.5.12.cmml"><mi id="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.5.12.2.2" xref="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.5.12.2.2.cmml">Q</mi><mn id="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.5.12.2.3" xref="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.5.12.2.3.cmml">3</mn><mrow id="S5.E72.m1.9.9.1" xref="S5.E72.m1.9.9.1.cmml"><mo id="S5.E72.m1.9.9.1a" xref="S5.E72.m1.9.9.1.cmml">−</mo><mrow id="S5.E72.m1.9.9.1.1.1" xref="S5.E72.m1.9.9.1.1.2.cmml"><mo id="S5.E72.m1.9.9.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S5.E72.m1.9.9.1.1.2.1.cmml">|</mo><mrow id="S5.E72.m1.9.9.1.1.1.1" xref="S5.E72.m1.9.9.1.1.1.1.cmml"><msup id="S5.E72.m1.9.9.1.1.1.1.2" xref="S5.E72.m1.9.9.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S5.E72.m1.9.9.1.1.1.1.2.2" xref="S5.E72.m1.9.9.1.1.1.1.2.2.cmml">σ</mi><mrow id="S5.E72.m1.9.9.1.1.1.1.2.3" xref="S5.E72.m1.9.9.1.1.1.1.2.3.cmml"><mo id="S5.E72.m1.9.9.1.1.1.1.2.3a" xref="S5.E72.m1.9.9.1.1.1.1.2.3.cmml">−</mo><mn id="S5.E72.m1.9.9.1.1.1.1.2.3.2" xref="S5.E72.m1.9.9.1.1.1.1.2.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="S5.E72.m1.9.9.1.1.1.1.1" xref="S5.E72.m1.9.9.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.E72.m1.9.9.1.1.1.1.3" xref="S5.E72.m1.9.9.1.1.1.1.3.cmml">π</mi></mrow><mo id="S5.E72.m1.9.9.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S5.E72.m1.9.9.1.1.2.1.cmml">|</mo></mrow></mrow></msubsup><mo id="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.5.6g" xref="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.5.6.cmml">⁢</mo><msub id="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.5.5" xref="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.5.5.cmml"><mrow id="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.5.5.1.1" xref="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.5.5.1.1.1.cmml"><mo id="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.5.5.1.1.2" stretchy="false" xref="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.5.5.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.5.5.1.1.1" xref="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.5.5.1.1.1.cmml"><msup id="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.5.5.1.1.1.2" xref="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.5.5.1.1.1.2.cmml"><mi id="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.5.5.1.1.1.2.2" xref="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.5.5.1.1.1.2.2.cmml">ξ</mi><mrow id="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.5.5.1.1.1.2.3" xref="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.5.5.1.1.1.2.3.cmml"><mo id="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.5.5.1.1.1.2.3a" xref="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.5.5.1.1.1.2.3.cmml">−</mo><mn id="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.5.5.1.1.1.2.3.2" xref="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.5.5.1.1.1.2.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.5.5.1.1.1.1" xref="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.5.5.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.5.5.1.1.1.3" xref="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.5.5.1.1.1.3.cmml">τ</mi></mrow><mo id="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.5.5.1.1.3" stretchy="false" xref="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.5.5.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mi id="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.5.5.3" xref="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.5.5.3.cmml">R</mi></msub><mo id="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.5.6h" xref="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.5.6.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.E72.m1.1.1a.3" xref="S5.E72.m1.1.1a.2.cmml"><mo id="S5.E72.m1.1.1a.3.1" stretchy="false" xref="S5.E72.m1.1.1a.2.1.cmml">|</mo><mrow id="S5.E72.m1.1.1.1.1.5" xref="S5.E72.m1.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="S5.E72.m1.1.1.1.1.1" xref="S5.E72.m1.1.1.1.1.1.cmml">I</mi><mo id="S5.E72.m1.1.1.1.1.5.1" xref="S5.E72.m1.1.1.1.1.4.cmml">,</mo><mi id="S5.E72.m1.1.1.1.1.2" xref="S5.E72.m1.1.1.1.1.2.cmml">I</mi><mo id="S5.E72.m1.1.1.1.1.5.2" xref="S5.E72.m1.1.1.1.1.4.cmml">,</mo><mi id="S5.E72.m1.1.1.1.1.3" xref="S5.E72.m1.1.1.1.1.3.cmml">ξ</mi></mrow><mo id="S5.E72.m1.1.1a.3.2" stretchy="false" xref="S5.E72.m1.1.1a.2.1.cmml">⟩</mo></mrow></mrow></mrow><mspace id="S5.E72.m1.11.11.2.2.3" width="1em" xref="S5.E72.m1.11.11.2.3.cmml"></mspace><mrow id="S5.E72.m1.11.11.2.2.2.1" xref="S5.E72.m1.11.11.2.2.2.1.1.cmml"><mo id="S5.E72.m1.11.11.2.2.2.1.2" stretchy="false" xref="S5.E72.m1.11.11.2.2.2.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S5.E72.m1.11.11.2.2.2.1.1" xref="S5.E72.m1.11.11.2.2.2.1.1.cmml"><mi id="S5.E72.m1.11.11.2.2.2.1.1.2" xref="S5.E72.m1.11.11.2.2.2.1.1.2.cmml">ω</mi><mo id="S5.E72.m1.11.11.2.2.2.1.1.1" stretchy="false" xref="S5.E72.m1.11.11.2.2.2.1.1.1.cmml">→</mo><mrow id="S5.E72.m1.11.11.2.2.2.1.1.3" xref="S5.E72.m1.11.11.2.2.2.1.1.3.cmml"><msup id="S5.E72.m1.11.11.2.2.2.1.1.3.2" xref="S5.E72.m1.11.11.2.2.2.1.1.3.2.cmml"><mi id="S5.E72.m1.11.11.2.2.2.1.1.3.2.2" xref="S5.E72.m1.11.11.2.2.2.1.1.3.2.2.cmml">ω</mi><mrow id="S5.E72.m1.11.11.2.2.2.1.1.3.2.3" xref="S5.E72.m1.11.11.2.2.2.1.1.3.2.3.cmml"><mo id="S5.E72.m1.11.11.2.2.2.1.1.3.2.3a" xref="S5.E72.m1.11.11.2.2.2.1.1.3.2.3.cmml">−</mo><mn id="S5.E72.m1.11.11.2.2.2.1.1.3.2.3.2" xref="S5.E72.m1.11.11.2.2.2.1.1.3.2.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="S5.E72.m1.11.11.2.2.2.1.1.3.1" xref="S5.E72.m1.11.11.2.2.2.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.E72.m1.11.11.2.2.2.1.1.3.3" xref="S5.E72.m1.11.11.2.2.2.1.1.3.3.cmml">τ</mi></mrow></mrow><mo id="S5.E72.m1.11.11.2.2.2.1.3" stretchy="false" xref="S5.E72.m1.11.11.2.2.2.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.E72.m1.11b"><apply id="S5.E72.m1.11.11.cmml" xref="S5.E72.m1.11.11"><eq id="S5.E72.m1.11.11.3.cmml" xref="S5.E72.m1.11.11.3"></eq><csymbol cd="latexml" id="S5.E72.m1.11.11.4.cmml" xref="S5.E72.m1.11.11.4">absent</csymbol><list id="S5.E72.m1.11.11.2.3.cmml" xref="S5.E72.m1.11.11.2.2"><apply id="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.cmml" xref="S5.E72.m1.10.10.1.1.1"><apply id="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.6.cmml" xref="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.6"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.6.1.cmml" xref="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.6">subscript</csymbol><sum id="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.6.2.cmml" xref="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.6.2"></sum><list id="S5.E72.m1.5.5.4.5.cmml" xref="S5.E72.m1.5.5.4.6"><ci id="S5.E72.m1.2.2.1.1.cmml" xref="S5.E72.m1.2.2.1.1">𝜉</ci><ci id="S5.E72.m1.3.3.2.2.cmml" xref="S5.E72.m1.3.3.2.2">𝜔</ci><ci id="S5.E72.m1.4.4.3.3.cmml" xref="S5.E72.m1.4.4.3.3">𝜏</ci><ci id="S5.E72.m1.5.5.4.4.cmml" xref="S5.E72.m1.5.5.4.4">𝜋</ci></list></apply><apply id="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.5.cmml" xref="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.5"><times id="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.5.6.cmml" xref="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.5.6"></times><ci id="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.5.7a.cmml" xref="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.5.7"><mtext id="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.5.7.cmml" xref="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.5.7">Wg</mtext></ci><interval closure="open" id="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.2.2.2"><apply id="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1"><times id="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1"></times><ci id="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.2">𝜉</ci><apply id="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝜔</ci><apply id="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.3.3"><minus id="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.3.3"></minus><cn id="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" type="integer" xref="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2">1</cn></apply></apply></apply><apply id="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.2.2.2.2"><times id="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.2.2.2.2.1.cmml" xref="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.2.2.2.2.1"></times><apply id="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.2.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.2.2.2.2.2.2">𝑄</ci><cn id="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.2.2.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.2.2.2.2.2.3">1</cn></apply><apply id="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.2.2.2.2.3.cmml" xref="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.2.2.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.2.2.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.2.2.2.2.3.2.cmml" xref="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.2.2.2.2.3.2">𝑄</ci><cn id="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.2.2.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.2.2.2.2.3.3">2</cn></apply></apply></interval><apply id="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.5.8.cmml" xref="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.5.8"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.5.8.1.cmml" xref="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.5.8">superscript</csymbol><apply id="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.5.8.2.cmml" xref="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.5.8"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.5.8.2.1.cmml" xref="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.5.8">subscript</csymbol><ci id="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.5.8.2.2.cmml" xref="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.5.8.2.2">𝑄</ci><cn id="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.5.8.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.5.8.2.3">1</cn></apply><apply id="S5.E72.m1.6.6.1.cmml" xref="S5.E72.m1.6.6.1"><minus id="S5.E72.m1.6.6.1.2.cmml" xref="S5.E72.m1.6.6.1"></minus><apply id="S5.E72.m1.6.6.1.1.2.cmml" xref="S5.E72.m1.6.6.1.1.1"><abs id="S5.E72.m1.6.6.1.1.2.1.cmml" xref="S5.E72.m1.6.6.1.1.1.2"></abs><apply id="S5.E72.m1.6.6.1.1.1.1.cmml" xref="S5.E72.m1.6.6.1.1.1.1"><times id="S5.E72.m1.6.6.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.E72.m1.6.6.1.1.1.1.1"></times><apply id="S5.E72.m1.6.6.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.E72.m1.6.6.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E72.m1.6.6.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.E72.m1.6.6.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S5.E72.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.E72.m1.6.6.1.1.1.1.2.2">𝜔</ci><apply id="S5.E72.m1.6.6.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S5.E72.m1.6.6.1.1.1.1.2.3"><minus id="S5.E72.m1.6.6.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S5.E72.m1.6.6.1.1.1.1.2.3"></minus><cn id="S5.E72.m1.6.6.1.1.1.1.2.3.2.cmml" type="integer" xref="S5.E72.m1.6.6.1.1.1.1.2.3.2">1</cn></apply></apply><ci id="S5.E72.m1.6.6.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.E72.m1.6.6.1.1.1.1.3">𝜏</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.5.9.cmml" xref="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.5.9"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.5.9.1.cmml" xref="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.5.9">superscript</csymbol><apply id="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.5.9.2.cmml" xref="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.5.9"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.5.9.2.1.cmml" xref="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.5.9">subscript</csymbol><ci id="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.5.9.2.2.cmml" xref="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.5.9.2.2">𝑄</ci><cn id="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.5.9.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.5.9.2.3">2</cn></apply><apply id="S5.E72.m1.7.7.1.cmml" xref="S5.E72.m1.7.7.1"><minus id="S5.E72.m1.7.7.1.2.cmml" xref="S5.E72.m1.7.7.1"></minus><apply id="S5.E72.m1.7.7.1.3.1.cmml" xref="S5.E72.m1.7.7.1.3.2"><abs id="S5.E72.m1.7.7.1.3.1.1.cmml" xref="S5.E72.m1.7.7.1.3.2.1"></abs><ci id="S5.E72.m1.7.7.1.1.cmml" xref="S5.E72.m1.7.7.1.1">𝜔</ci></apply></apply></apply><ci id="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.5.10a.cmml" xref="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.5.10"><mtext id="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.5.10.cmml" xref="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.5.10">Wg</mtext></ci><interval closure="open" id="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.4.4.3.cmml" xref="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.4.4.2"><apply id="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.3.3.1.1.cmml" xref="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.3.3.1.1"><times id="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.3.3.1.1.1.cmml" xref="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.3.3.1.1.1"></times><apply id="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.3.3.1.1.2.cmml" xref="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.3.3.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.3.3.1.1.2.1.cmml" xref="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.3.3.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.3.3.1.1.2.2.cmml" xref="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.3.3.1.1.2.2">𝜏</ci><apply id="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.3.3.1.1.2.3.cmml" xref="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.3.3.1.1.2.3"><minus id="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.3.3.1.1.2.3.1.cmml" xref="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.3.3.1.1.2.3"></minus><cn id="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.3.3.1.1.2.3.2.cmml" type="integer" xref="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.3.3.1.1.2.3.2">1</cn></apply></apply><ci id="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.3.3.1.1.3.cmml" xref="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.3.3.1.1.3">𝜋</ci></apply><apply id="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.4.4.2.2.cmml" xref="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.4.4.2.2"><times id="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.4.4.2.2.1.cmml" xref="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.4.4.2.2.1"></times><apply id="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.4.4.2.2.2.cmml" xref="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.4.4.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.4.4.2.2.2.1.cmml" xref="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.4.4.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.4.4.2.2.2.2.cmml" xref="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.4.4.2.2.2.2">𝑄</ci><cn id="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.4.4.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.4.4.2.2.2.3">2</cn></apply><apply id="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.4.4.2.2.3.cmml" xref="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.4.4.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.4.4.2.2.3.1.cmml" xref="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.4.4.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.4.4.2.2.3.2.cmml" xref="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.4.4.2.2.3.2">𝑄</ci><cn id="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.4.4.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.4.4.2.2.3.3">3</cn></apply></apply></interval><apply id="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.5.11.cmml" xref="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.5.11"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.5.11.1.cmml" xref="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.5.11">superscript</csymbol><apply id="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.5.11.2.cmml" xref="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.5.11"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.5.11.2.1.cmml" xref="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.5.11">subscript</csymbol><ci id="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.5.11.2.2.cmml" xref="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.5.11.2.2">𝑄</ci><cn id="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.5.11.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.5.11.2.3">2</cn></apply><apply id="S5.E72.m1.8.8.1.cmml" xref="S5.E72.m1.8.8.1"><minus id="S5.E72.m1.8.8.1.2.cmml" xref="S5.E72.m1.8.8.1"></minus><apply id="S5.E72.m1.8.8.1.3.1.cmml" xref="S5.E72.m1.8.8.1.3.2"><abs id="S5.E72.m1.8.8.1.3.1.1.cmml" xref="S5.E72.m1.8.8.1.3.2.1"></abs><ci id="S5.E72.m1.8.8.1.1.cmml" xref="S5.E72.m1.8.8.1.1">𝜋</ci></apply></apply></apply><apply id="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.5.12.cmml" xref="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.5.12"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.5.12.1.cmml" xref="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.5.12">superscript</csymbol><apply id="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.5.12.2.cmml" xref="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.5.12"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.5.12.2.1.cmml" xref="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.5.12">subscript</csymbol><ci id="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.5.12.2.2.cmml" xref="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.5.12.2.2">𝑄</ci><cn id="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.5.12.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.5.12.2.3">3</cn></apply><apply id="S5.E72.m1.9.9.1.cmml" xref="S5.E72.m1.9.9.1"><minus id="S5.E72.m1.9.9.1.2.cmml" xref="S5.E72.m1.9.9.1"></minus><apply id="S5.E72.m1.9.9.1.1.2.cmml" xref="S5.E72.m1.9.9.1.1.1"><abs id="S5.E72.m1.9.9.1.1.2.1.cmml" xref="S5.E72.m1.9.9.1.1.1.2"></abs><apply id="S5.E72.m1.9.9.1.1.1.1.cmml" xref="S5.E72.m1.9.9.1.1.1.1"><times id="S5.E72.m1.9.9.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.E72.m1.9.9.1.1.1.1.1"></times><apply id="S5.E72.m1.9.9.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.E72.m1.9.9.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E72.m1.9.9.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.E72.m1.9.9.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S5.E72.m1.9.9.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.E72.m1.9.9.1.1.1.1.2.2">𝜎</ci><apply id="S5.E72.m1.9.9.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S5.E72.m1.9.9.1.1.1.1.2.3"><minus id="S5.E72.m1.9.9.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S5.E72.m1.9.9.1.1.1.1.2.3"></minus><cn id="S5.E72.m1.9.9.1.1.1.1.2.3.2.cmml" type="integer" xref="S5.E72.m1.9.9.1.1.1.1.2.3.2">1</cn></apply></apply><ci id="S5.E72.m1.9.9.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.E72.m1.9.9.1.1.1.1.3">𝜋</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.5.5.cmml" xref="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.5.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.5.5.2.cmml" xref="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.5.5">subscript</csymbol><apply id="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.5.5.1.1.1.cmml" xref="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.5.5.1.1"><times id="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.5.5.1.1.1.1.cmml" xref="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.5.5.1.1.1.1"></times><apply id="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.5.5.1.1.1.2.cmml" xref="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.5.5.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.5.5.1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.5.5.1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.5.5.1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.5.5.1.1.1.2.2">𝜉</ci><apply id="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.5.5.1.1.1.2.3.cmml" xref="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.5.5.1.1.1.2.3"><minus id="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.5.5.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.5.5.1.1.1.2.3"></minus><cn id="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.5.5.1.1.1.2.3.2.cmml" type="integer" xref="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.5.5.1.1.1.2.3.2">1</cn></apply></apply><ci id="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.5.5.1.1.1.3.cmml" xref="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.5.5.1.1.1.3">𝜏</ci></apply><ci id="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.5.5.3.cmml" xref="S5.E72.m1.10.10.1.1.1.5.5.3">𝑅</ci></apply><apply id="S5.E72.m1.1.1a.2.cmml" xref="S5.E72.m1.1.1a.3"><csymbol cd="latexml" id="S5.E72.m1.1.1a.2.1.cmml" xref="S5.E72.m1.1.1a.3.1">ket</csymbol><list id="S5.E72.m1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S5.E72.m1.1.1.1.1.5"><ci id="S5.E72.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.E72.m1.1.1.1.1.1">𝐼</ci><ci id="S5.E72.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.E72.m1.1.1.1.1.2">𝐼</ci><ci id="S5.E72.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.E72.m1.1.1.1.1.3">𝜉</ci></list></apply></apply></apply><apply id="S5.E72.m1.11.11.2.2.2.1.1.cmml" xref="S5.E72.m1.11.11.2.2.2.1"><ci id="S5.E72.m1.11.11.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S5.E72.m1.11.11.2.2.2.1.1.1">→</ci><ci id="S5.E72.m1.11.11.2.2.2.1.1.2.cmml" xref="S5.E72.m1.11.11.2.2.2.1.1.2">𝜔</ci><apply id="S5.E72.m1.11.11.2.2.2.1.1.3.cmml" xref="S5.E72.m1.11.11.2.2.2.1.1.3"><times id="S5.E72.m1.11.11.2.2.2.1.1.3.1.cmml" xref="S5.E72.m1.11.11.2.2.2.1.1.3.1"></times><apply id="S5.E72.m1.11.11.2.2.2.1.1.3.2.cmml" xref="S5.E72.m1.11.11.2.2.2.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E72.m1.11.11.2.2.2.1.1.3.2.1.cmml" xref="S5.E72.m1.11.11.2.2.2.1.1.3.2">superscript</csymbol><ci id="S5.E72.m1.11.11.2.2.2.1.1.3.2.2.cmml" xref="S5.E72.m1.11.11.2.2.2.1.1.3.2.2">𝜔</ci><apply id="S5.E72.m1.11.11.2.2.2.1.1.3.2.3.cmml" xref="S5.E72.m1.11.11.2.2.2.1.1.3.2.3"><minus id="S5.E72.m1.11.11.2.2.2.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S5.E72.m1.11.11.2.2.2.1.1.3.2.3"></minus><cn id="S5.E72.m1.11.11.2.2.2.1.1.3.2.3.2.cmml" type="integer" xref="S5.E72.m1.11.11.2.2.2.1.1.3.2.3.2">1</cn></apply></apply><ci id="S5.E72.m1.11.11.2.2.2.1.1.3.3.cmml" xref="S5.E72.m1.11.11.2.2.2.1.1.3.3">𝜏</ci></apply></apply></list></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.E72.m1.11c">\displaystyle=\sum_{\xi,\omega,\tau,\pi}\text{Wg}(\xi\omega^{-1},Q_{1}Q_{2})Q_% {1}^{-|\omega^{-1}\tau|}Q_{2}^{-|\omega|}\text{Wg}(\tau^{-1}\pi,Q_{2}Q_{3})Q_{% 2}^{-|\pi|}Q_{3}^{-|\sigma^{-1}\pi|}(\xi^{-1}\tau)_{R}\ket{I,I,\xi}\quad(% \omega\rightarrow\omega^{-1}\tau)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.E72.m1.11d">= ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_ξ , italic_ω , italic_τ , italic_π end_POSTSUBSCRIPT Wg ( italic_ξ italic_ω start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT , italic_Q start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT italic_Q start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT ) italic_Q start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT - | italic_ω start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT italic_τ | end_POSTSUPERSCRIPT italic_Q start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT - | italic_ω | end_POSTSUPERSCRIPT Wg ( italic_τ start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT italic_π , italic_Q start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT italic_Q start_POSTSUBSCRIPT 3 end_POSTSUBSCRIPT ) italic_Q start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT - | italic_π | end_POSTSUPERSCRIPT italic_Q start_POSTSUBSCRIPT 3 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT - | italic_σ start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT italic_π | end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_ξ start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT italic_τ ) start_POSTSUBSCRIPT italic_R end_POSTSUBSCRIPT | start_ARG italic_I , italic_I , italic_ξ end_ARG ⟩ ( italic_ω → italic_ω start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT italic_τ )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(72)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S5.SS1.2.p1.7">In Lemma <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#Thmtheorem57" title="Lemma 57. ‣ B.4 Proof of Lemma 35 ‣ Appendix B Assorted proofs ‣ Conditional 𝑡-independent spectral gap for random quantum circuits and implications for 𝑡-design depths"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">57</span></a>, we will show</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="S6.EGx66"> <tbody id="S5.E73"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle R_{\nu}^{ij}\sigma_{R}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.E73.m1.1"><semantics id="S5.E73.m1.1a"><mrow id="S5.E73.m1.1.1" xref="S5.E73.m1.1.1.cmml"><msubsup id="S5.E73.m1.1.1.2" xref="S5.E73.m1.1.1.2.cmml"><mi id="S5.E73.m1.1.1.2.2.2" xref="S5.E73.m1.1.1.2.2.2.cmml">R</mi><mi id="S5.E73.m1.1.1.2.2.3" xref="S5.E73.m1.1.1.2.2.3.cmml">ν</mi><mrow id="S5.E73.m1.1.1.2.3" xref="S5.E73.m1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S5.E73.m1.1.1.2.3.2" xref="S5.E73.m1.1.1.2.3.2.cmml">i</mi><mo id="S5.E73.m1.1.1.2.3.1" xref="S5.E73.m1.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.E73.m1.1.1.2.3.3" xref="S5.E73.m1.1.1.2.3.3.cmml">j</mi></mrow></msubsup><mo id="S5.E73.m1.1.1.1" xref="S5.E73.m1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S5.E73.m1.1.1.3" xref="S5.E73.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S5.E73.m1.1.1.3.2" xref="S5.E73.m1.1.1.3.2.cmml">σ</mi><mi id="S5.E73.m1.1.1.3.3" xref="S5.E73.m1.1.1.3.3.cmml">R</mi></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.E73.m1.1b"><apply id="S5.E73.m1.1.1.cmml" xref="S5.E73.m1.1.1"><times id="S5.E73.m1.1.1.1.cmml" xref="S5.E73.m1.1.1.1"></times><apply id="S5.E73.m1.1.1.2.cmml" xref="S5.E73.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E73.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.E73.m1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="S5.E73.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.E73.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E73.m1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S5.E73.m1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S5.E73.m1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S5.E73.m1.1.1.2.2.2">𝑅</ci><ci id="S5.E73.m1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S5.E73.m1.1.1.2.2.3">𝜈</ci></apply><apply id="S5.E73.m1.1.1.2.3.cmml" xref="S5.E73.m1.1.1.2.3"><times id="S5.E73.m1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S5.E73.m1.1.1.2.3.1"></times><ci id="S5.E73.m1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S5.E73.m1.1.1.2.3.2">𝑖</ci><ci id="S5.E73.m1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S5.E73.m1.1.1.2.3.3">𝑗</ci></apply></apply><apply id="S5.E73.m1.1.1.3.cmml" xref="S5.E73.m1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E73.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.E73.m1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S5.E73.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.E73.m1.1.1.3.2">𝜎</ci><ci id="S5.E73.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S5.E73.m1.1.1.3.3">𝑅</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.E73.m1.1c">\displaystyle R_{\nu}^{ij}\sigma_{R}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.E73.m1.1d">italic_R start_POSTSUBSCRIPT italic_ν end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_i italic_j end_POSTSUPERSCRIPT italic_σ start_POSTSUBSCRIPT italic_R end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=\sum_{k}R_{\nu}^{ik}V_{\nu}(\sigma)^{kj}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.E73.m2.1"><semantics id="S5.E73.m2.1a"><mrow id="S5.E73.m2.1.2" xref="S5.E73.m2.1.2.cmml"><mi id="S5.E73.m2.1.2.2" xref="S5.E73.m2.1.2.2.cmml"></mi><mo id="S5.E73.m2.1.2.1" xref="S5.E73.m2.1.2.1.cmml">=</mo><mrow id="S5.E73.m2.1.2.3" xref="S5.E73.m2.1.2.3.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S5.E73.m2.1.2.3.1" xref="S5.E73.m2.1.2.3.1.cmml"><munder id="S5.E73.m2.1.2.3.1a" xref="S5.E73.m2.1.2.3.1.cmml"><mo id="S5.E73.m2.1.2.3.1.2" movablelimits="false" xref="S5.E73.m2.1.2.3.1.2.cmml">∑</mo><mi id="S5.E73.m2.1.2.3.1.3" xref="S5.E73.m2.1.2.3.1.3.cmml">k</mi></munder></mstyle><mrow id="S5.E73.m2.1.2.3.2" xref="S5.E73.m2.1.2.3.2.cmml"><msubsup id="S5.E73.m2.1.2.3.2.2" xref="S5.E73.m2.1.2.3.2.2.cmml"><mi id="S5.E73.m2.1.2.3.2.2.2.2" xref="S5.E73.m2.1.2.3.2.2.2.2.cmml">R</mi><mi id="S5.E73.m2.1.2.3.2.2.2.3" xref="S5.E73.m2.1.2.3.2.2.2.3.cmml">ν</mi><mrow id="S5.E73.m2.1.2.3.2.2.3" xref="S5.E73.m2.1.2.3.2.2.3.cmml"><mi id="S5.E73.m2.1.2.3.2.2.3.2" xref="S5.E73.m2.1.2.3.2.2.3.2.cmml">i</mi><mo id="S5.E73.m2.1.2.3.2.2.3.1" xref="S5.E73.m2.1.2.3.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.E73.m2.1.2.3.2.2.3.3" xref="S5.E73.m2.1.2.3.2.2.3.3.cmml">k</mi></mrow></msubsup><mo id="S5.E73.m2.1.2.3.2.1" xref="S5.E73.m2.1.2.3.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S5.E73.m2.1.2.3.2.3" xref="S5.E73.m2.1.2.3.2.3.cmml"><mi id="S5.E73.m2.1.2.3.2.3.2" xref="S5.E73.m2.1.2.3.2.3.2.cmml">V</mi><mi id="S5.E73.m2.1.2.3.2.3.3" xref="S5.E73.m2.1.2.3.2.3.3.cmml">ν</mi></msub><mo id="S5.E73.m2.1.2.3.2.1a" xref="S5.E73.m2.1.2.3.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="S5.E73.m2.1.2.3.2.4" xref="S5.E73.m2.1.2.3.2.4.cmml"><mrow id="S5.E73.m2.1.2.3.2.4.2.2" xref="S5.E73.m2.1.2.3.2.4.cmml"><mo id="S5.E73.m2.1.2.3.2.4.2.2.1" stretchy="false" xref="S5.E73.m2.1.2.3.2.4.cmml">(</mo><mi id="S5.E73.m2.1.1" xref="S5.E73.m2.1.1.cmml">σ</mi><mo id="S5.E73.m2.1.2.3.2.4.2.2.2" stretchy="false" xref="S5.E73.m2.1.2.3.2.4.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S5.E73.m2.1.2.3.2.4.3" xref="S5.E73.m2.1.2.3.2.4.3.cmml"><mi id="S5.E73.m2.1.2.3.2.4.3.2" xref="S5.E73.m2.1.2.3.2.4.3.2.cmml">k</mi><mo id="S5.E73.m2.1.2.3.2.4.3.1" xref="S5.E73.m2.1.2.3.2.4.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.E73.m2.1.2.3.2.4.3.3" xref="S5.E73.m2.1.2.3.2.4.3.3.cmml">j</mi></mrow></msup></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.E73.m2.1b"><apply id="S5.E73.m2.1.2.cmml" xref="S5.E73.m2.1.2"><eq id="S5.E73.m2.1.2.1.cmml" xref="S5.E73.m2.1.2.1"></eq><csymbol cd="latexml" id="S5.E73.m2.1.2.2.cmml" xref="S5.E73.m2.1.2.2">absent</csymbol><apply id="S5.E73.m2.1.2.3.cmml" xref="S5.E73.m2.1.2.3"><apply id="S5.E73.m2.1.2.3.1.cmml" xref="S5.E73.m2.1.2.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E73.m2.1.2.3.1.1.cmml" xref="S5.E73.m2.1.2.3.1">subscript</csymbol><sum id="S5.E73.m2.1.2.3.1.2.cmml" xref="S5.E73.m2.1.2.3.1.2"></sum><ci id="S5.E73.m2.1.2.3.1.3.cmml" xref="S5.E73.m2.1.2.3.1.3">𝑘</ci></apply><apply id="S5.E73.m2.1.2.3.2.cmml" xref="S5.E73.m2.1.2.3.2"><times id="S5.E73.m2.1.2.3.2.1.cmml" xref="S5.E73.m2.1.2.3.2.1"></times><apply id="S5.E73.m2.1.2.3.2.2.cmml" xref="S5.E73.m2.1.2.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E73.m2.1.2.3.2.2.1.cmml" xref="S5.E73.m2.1.2.3.2.2">superscript</csymbol><apply id="S5.E73.m2.1.2.3.2.2.2.cmml" xref="S5.E73.m2.1.2.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E73.m2.1.2.3.2.2.2.1.cmml" xref="S5.E73.m2.1.2.3.2.2">subscript</csymbol><ci id="S5.E73.m2.1.2.3.2.2.2.2.cmml" xref="S5.E73.m2.1.2.3.2.2.2.2">𝑅</ci><ci id="S5.E73.m2.1.2.3.2.2.2.3.cmml" xref="S5.E73.m2.1.2.3.2.2.2.3">𝜈</ci></apply><apply id="S5.E73.m2.1.2.3.2.2.3.cmml" xref="S5.E73.m2.1.2.3.2.2.3"><times id="S5.E73.m2.1.2.3.2.2.3.1.cmml" xref="S5.E73.m2.1.2.3.2.2.3.1"></times><ci id="S5.E73.m2.1.2.3.2.2.3.2.cmml" xref="S5.E73.m2.1.2.3.2.2.3.2">𝑖</ci><ci id="S5.E73.m2.1.2.3.2.2.3.3.cmml" xref="S5.E73.m2.1.2.3.2.2.3.3">𝑘</ci></apply></apply><apply id="S5.E73.m2.1.2.3.2.3.cmml" xref="S5.E73.m2.1.2.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E73.m2.1.2.3.2.3.1.cmml" xref="S5.E73.m2.1.2.3.2.3">subscript</csymbol><ci id="S5.E73.m2.1.2.3.2.3.2.cmml" xref="S5.E73.m2.1.2.3.2.3.2">𝑉</ci><ci id="S5.E73.m2.1.2.3.2.3.3.cmml" xref="S5.E73.m2.1.2.3.2.3.3">𝜈</ci></apply><apply id="S5.E73.m2.1.2.3.2.4.cmml" xref="S5.E73.m2.1.2.3.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E73.m2.1.2.3.2.4.1.cmml" xref="S5.E73.m2.1.2.3.2.4">superscript</csymbol><ci id="S5.E73.m2.1.1.cmml" xref="S5.E73.m2.1.1">𝜎</ci><apply id="S5.E73.m2.1.2.3.2.4.3.cmml" xref="S5.E73.m2.1.2.3.2.4.3"><times id="S5.E73.m2.1.2.3.2.4.3.1.cmml" xref="S5.E73.m2.1.2.3.2.4.3.1"></times><ci id="S5.E73.m2.1.2.3.2.4.3.2.cmml" xref="S5.E73.m2.1.2.3.2.4.3.2">𝑘</ci><ci id="S5.E73.m2.1.2.3.2.4.3.3.cmml" xref="S5.E73.m2.1.2.3.2.4.3.3">𝑗</ci></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.E73.m2.1c">\displaystyle=\sum_{k}R_{\nu}^{ik}V_{\nu}(\sigma)^{kj}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.E73.m2.1d">= ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT italic_R start_POSTSUBSCRIPT italic_ν end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_i italic_k end_POSTSUPERSCRIPT italic_V start_POSTSUBSCRIPT italic_ν end_POSTSUBSCRIPT ( italic_σ ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_k italic_j end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(73)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S5.SS1.2.p1.8">Applying this result,</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="S6.EGx67"> <tbody id="S5.Ex34"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle K_{m}\ket{e_{\nu}^{ij,\sigma}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.Ex34.m1.1"><semantics id="S5.Ex34.m1.1a"><mrow id="S5.Ex34.m1.1.2" xref="S5.Ex34.m1.1.2.cmml"><msub id="S5.Ex34.m1.1.2.2" xref="S5.Ex34.m1.1.2.2.cmml"><mi id="S5.Ex34.m1.1.2.2.2" xref="S5.Ex34.m1.1.2.2.2.cmml">K</mi><mi id="S5.Ex34.m1.1.2.2.3" xref="S5.Ex34.m1.1.2.2.3.cmml">m</mi></msub><mo id="S5.Ex34.m1.1.2.1" xref="S5.Ex34.m1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.Ex34.m1.1.1a.3" xref="S5.Ex34.m1.1.1a.2.cmml"><mo id="S5.Ex34.m1.1.1a.3.1" stretchy="false" xref="S5.Ex34.m1.1.1a.2.1.cmml">|</mo><msubsup id="S5.Ex34.m1.1.1.1.1" xref="S5.Ex34.m1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S5.Ex34.m1.1.1.1.1.4.2" xref="S5.Ex34.m1.1.1.1.1.4.2.cmml">e</mi><mi id="S5.Ex34.m1.1.1.1.1.4.3" xref="S5.Ex34.m1.1.1.1.1.4.3.cmml">ν</mi><mrow id="S5.Ex34.m1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S5.Ex34.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mrow id="S5.Ex34.m1.1.1.1.1.2.2.2.1" xref="S5.Ex34.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml"><mi id="S5.Ex34.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.2" xref="S5.Ex34.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.2.cmml">i</mi><mo id="S5.Ex34.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1" xref="S5.Ex34.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex34.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.3" xref="S5.Ex34.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.3.cmml">j</mi></mrow><mo id="S5.Ex34.m1.1.1.1.1.2.2.2.2" xref="S5.Ex34.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S5.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">σ</mi></mrow></msubsup><mo id="S5.Ex34.m1.1.1a.3.2" stretchy="false" xref="S5.Ex34.m1.1.1a.2.1.cmml">⟩</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.Ex34.m1.1b"><apply id="S5.Ex34.m1.1.2.cmml" xref="S5.Ex34.m1.1.2"><times id="S5.Ex34.m1.1.2.1.cmml" xref="S5.Ex34.m1.1.2.1"></times><apply id="S5.Ex34.m1.1.2.2.cmml" xref="S5.Ex34.m1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex34.m1.1.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex34.m1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex34.m1.1.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex34.m1.1.2.2.2">𝐾</ci><ci id="S5.Ex34.m1.1.2.2.3.cmml" xref="S5.Ex34.m1.1.2.2.3">𝑚</ci></apply><apply id="S5.Ex34.m1.1.1a.2.cmml" xref="S5.Ex34.m1.1.1a.3"><csymbol cd="latexml" id="S5.Ex34.m1.1.1a.2.1.cmml" xref="S5.Ex34.m1.1.1a.3.1">ket</csymbol><apply id="S5.Ex34.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex34.m1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex34.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex34.m1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S5.Ex34.m1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S5.Ex34.m1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex34.m1.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="S5.Ex34.m1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex34.m1.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="S5.Ex34.m1.1.1.1.1.4.2">𝑒</ci><ci id="S5.Ex34.m1.1.1.1.1.4.3.cmml" xref="S5.Ex34.m1.1.1.1.1.4.3">𝜈</ci></apply><list id="S5.Ex34.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S5.Ex34.m1.1.1.1.1.2.2.2"><apply id="S5.Ex34.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex34.m1.1.1.1.1.2.2.2.1"><times id="S5.Ex34.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.cmml" xref="S5.Ex34.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1"></times><ci id="S5.Ex34.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.2.cmml" xref="S5.Ex34.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.2">𝑖</ci><ci id="S5.Ex34.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.3.cmml" xref="S5.Ex34.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.3">𝑗</ci></apply><ci id="S5.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.1">𝜎</ci></list></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.Ex34.m1.1c">\displaystyle K_{m}\ket{e_{\nu}^{ij,\sigma}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.Ex34.m1.1d">italic_K start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT | start_ARG italic_e start_POSTSUBSCRIPT italic_ν end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_i italic_j , italic_σ end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG ⟩</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=R_{\nu}^{ij}K_{m}\ket{I,I,\sigma}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.Ex34.m2.1"><semantics id="S5.Ex34.m2.1a"><mrow id="S5.Ex34.m2.1.2" xref="S5.Ex34.m2.1.2.cmml"><mi id="S5.Ex34.m2.1.2.2" xref="S5.Ex34.m2.1.2.2.cmml"></mi><mo id="S5.Ex34.m2.1.2.1" xref="S5.Ex34.m2.1.2.1.cmml">=</mo><mrow id="S5.Ex34.m2.1.2.3" xref="S5.Ex34.m2.1.2.3.cmml"><msubsup id="S5.Ex34.m2.1.2.3.2" xref="S5.Ex34.m2.1.2.3.2.cmml"><mi id="S5.Ex34.m2.1.2.3.2.2.2" xref="S5.Ex34.m2.1.2.3.2.2.2.cmml">R</mi><mi id="S5.Ex34.m2.1.2.3.2.2.3" xref="S5.Ex34.m2.1.2.3.2.2.3.cmml">ν</mi><mrow id="S5.Ex34.m2.1.2.3.2.3" xref="S5.Ex34.m2.1.2.3.2.3.cmml"><mi id="S5.Ex34.m2.1.2.3.2.3.2" xref="S5.Ex34.m2.1.2.3.2.3.2.cmml">i</mi><mo id="S5.Ex34.m2.1.2.3.2.3.1" xref="S5.Ex34.m2.1.2.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex34.m2.1.2.3.2.3.3" xref="S5.Ex34.m2.1.2.3.2.3.3.cmml">j</mi></mrow></msubsup><mo id="S5.Ex34.m2.1.2.3.1" xref="S5.Ex34.m2.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S5.Ex34.m2.1.2.3.3" xref="S5.Ex34.m2.1.2.3.3.cmml"><mi id="S5.Ex34.m2.1.2.3.3.2" xref="S5.Ex34.m2.1.2.3.3.2.cmml">K</mi><mi id="S5.Ex34.m2.1.2.3.3.3" xref="S5.Ex34.m2.1.2.3.3.3.cmml">m</mi></msub><mo id="S5.Ex34.m2.1.2.3.1a" xref="S5.Ex34.m2.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.Ex34.m2.1.1a.3" xref="S5.Ex34.m2.1.1a.2.cmml"><mo id="S5.Ex34.m2.1.1a.3.1" stretchy="false" xref="S5.Ex34.m2.1.1a.2.1.cmml">|</mo><mrow id="S5.Ex34.m2.1.1.1.1.5" xref="S5.Ex34.m2.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="S5.Ex34.m2.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex34.m2.1.1.1.1.1.cmml">I</mi><mo id="S5.Ex34.m2.1.1.1.1.5.1" xref="S5.Ex34.m2.1.1.1.1.4.cmml">,</mo><mi id="S5.Ex34.m2.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex34.m2.1.1.1.1.2.cmml">I</mi><mo id="S5.Ex34.m2.1.1.1.1.5.2" xref="S5.Ex34.m2.1.1.1.1.4.cmml">,</mo><mi id="S5.Ex34.m2.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex34.m2.1.1.1.1.3.cmml">σ</mi></mrow><mo id="S5.Ex34.m2.1.1a.3.2" stretchy="false" xref="S5.Ex34.m2.1.1a.2.1.cmml">⟩</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.Ex34.m2.1b"><apply id="S5.Ex34.m2.1.2.cmml" xref="S5.Ex34.m2.1.2"><eq id="S5.Ex34.m2.1.2.1.cmml" xref="S5.Ex34.m2.1.2.1"></eq><csymbol cd="latexml" id="S5.Ex34.m2.1.2.2.cmml" xref="S5.Ex34.m2.1.2.2">absent</csymbol><apply id="S5.Ex34.m2.1.2.3.cmml" xref="S5.Ex34.m2.1.2.3"><times id="S5.Ex34.m2.1.2.3.1.cmml" xref="S5.Ex34.m2.1.2.3.1"></times><apply id="S5.Ex34.m2.1.2.3.2.cmml" xref="S5.Ex34.m2.1.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex34.m2.1.2.3.2.1.cmml" xref="S5.Ex34.m2.1.2.3.2">superscript</csymbol><apply id="S5.Ex34.m2.1.2.3.2.2.cmml" xref="S5.Ex34.m2.1.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex34.m2.1.2.3.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex34.m2.1.2.3.2">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex34.m2.1.2.3.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex34.m2.1.2.3.2.2.2">𝑅</ci><ci id="S5.Ex34.m2.1.2.3.2.2.3.cmml" xref="S5.Ex34.m2.1.2.3.2.2.3">𝜈</ci></apply><apply id="S5.Ex34.m2.1.2.3.2.3.cmml" xref="S5.Ex34.m2.1.2.3.2.3"><times id="S5.Ex34.m2.1.2.3.2.3.1.cmml" xref="S5.Ex34.m2.1.2.3.2.3.1"></times><ci id="S5.Ex34.m2.1.2.3.2.3.2.cmml" xref="S5.Ex34.m2.1.2.3.2.3.2">𝑖</ci><ci id="S5.Ex34.m2.1.2.3.2.3.3.cmml" xref="S5.Ex34.m2.1.2.3.2.3.3">𝑗</ci></apply></apply><apply id="S5.Ex34.m2.1.2.3.3.cmml" xref="S5.Ex34.m2.1.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex34.m2.1.2.3.3.1.cmml" xref="S5.Ex34.m2.1.2.3.3">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex34.m2.1.2.3.3.2.cmml" xref="S5.Ex34.m2.1.2.3.3.2">𝐾</ci><ci id="S5.Ex34.m2.1.2.3.3.3.cmml" xref="S5.Ex34.m2.1.2.3.3.3">𝑚</ci></apply><apply id="S5.Ex34.m2.1.1a.2.cmml" xref="S5.Ex34.m2.1.1a.3"><csymbol cd="latexml" id="S5.Ex34.m2.1.1a.2.1.cmml" xref="S5.Ex34.m2.1.1a.3.1">ket</csymbol><list id="S5.Ex34.m2.1.1.1.1.4.cmml" xref="S5.Ex34.m2.1.1.1.1.5"><ci id="S5.Ex34.m2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex34.m2.1.1.1.1.1">𝐼</ci><ci id="S5.Ex34.m2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex34.m2.1.1.1.1.2">𝐼</ci><ci id="S5.Ex34.m2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex34.m2.1.1.1.1.3">𝜎</ci></list></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.Ex34.m2.1c">\displaystyle=R_{\nu}^{ij}K_{m}\ket{I,I,\sigma}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.Ex34.m2.1d">= italic_R start_POSTSUBSCRIPT italic_ν end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_i italic_j end_POSTSUPERSCRIPT italic_K start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT | start_ARG italic_I , italic_I , italic_σ end_ARG ⟩</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="S5.Ex35"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=\sum_{\xi,\omega,\tau,\pi}\text{Wg}(\xi\omega^{-1},Q_{1}Q_{2})Q_% {1}^{-|\omega^{-1}\tau|}Q_{2}^{-|\omega|}\text{Wg}(\tau^{-1}\pi,Q_{2}Q_{3})Q_{% 2}^{-|\pi|}Q_{3}^{-|\sigma^{-1}\pi|}R_{\nu}^{ij}(\xi^{-1}\tau)_{R}\ket{I,I,\xi}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.Ex35.m1.14"><semantics id="S5.Ex35.m1.14a"><mrow id="S5.Ex35.m1.14.14" xref="S5.Ex35.m1.14.14.cmml"><mi id="S5.Ex35.m1.14.14.7" xref="S5.Ex35.m1.14.14.7.cmml"></mi><mo id="S5.Ex35.m1.14.14.6" xref="S5.Ex35.m1.14.14.6.cmml">=</mo><mrow id="S5.Ex35.m1.14.14.5" xref="S5.Ex35.m1.14.14.5.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S5.Ex35.m1.14.14.5.6" xref="S5.Ex35.m1.14.14.5.6.cmml"><munder id="S5.Ex35.m1.14.14.5.6a" xref="S5.Ex35.m1.14.14.5.6.cmml"><mo id="S5.Ex35.m1.14.14.5.6.2" movablelimits="false" xref="S5.Ex35.m1.14.14.5.6.2.cmml">∑</mo><mrow id="S5.Ex35.m1.5.5.4.6" xref="S5.Ex35.m1.5.5.4.5.cmml"><mi id="S5.Ex35.m1.2.2.1.1" xref="S5.Ex35.m1.2.2.1.1.cmml">ξ</mi><mo id="S5.Ex35.m1.5.5.4.6.1" xref="S5.Ex35.m1.5.5.4.5.cmml">,</mo><mi id="S5.Ex35.m1.3.3.2.2" xref="S5.Ex35.m1.3.3.2.2.cmml">ω</mi><mo id="S5.Ex35.m1.5.5.4.6.2" xref="S5.Ex35.m1.5.5.4.5.cmml">,</mo><mi id="S5.Ex35.m1.4.4.3.3" xref="S5.Ex35.m1.4.4.3.3.cmml">τ</mi><mo id="S5.Ex35.m1.5.5.4.6.3" xref="S5.Ex35.m1.5.5.4.5.cmml">,</mo><mi id="S5.Ex35.m1.5.5.4.4" xref="S5.Ex35.m1.5.5.4.4.cmml">π</mi></mrow></munder></mstyle><mrow id="S5.Ex35.m1.14.14.5.5" xref="S5.Ex35.m1.14.14.5.5.cmml"><mtext id="S5.Ex35.m1.14.14.5.5.7" xref="S5.Ex35.m1.14.14.5.5.7a.cmml">Wg</mtext><mo id="S5.Ex35.m1.14.14.5.5.6" xref="S5.Ex35.m1.14.14.5.5.6.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.Ex35.m1.11.11.2.2.2.2" xref="S5.Ex35.m1.11.11.2.2.2.3.cmml"><mo id="S5.Ex35.m1.11.11.2.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S5.Ex35.m1.11.11.2.2.2.3.cmml">(</mo><mrow id="S5.Ex35.m1.10.10.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex35.m1.10.10.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S5.Ex35.m1.10.10.1.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex35.m1.10.10.1.1.1.1.1.2.cmml">ξ</mi><mo id="S5.Ex35.m1.10.10.1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex35.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msup id="S5.Ex35.m1.10.10.1.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex35.m1.10.10.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S5.Ex35.m1.10.10.1.1.1.1.1.3.2" xref="S5.Ex35.m1.10.10.1.1.1.1.1.3.2.cmml">ω</mi><mrow id="S5.Ex35.m1.10.10.1.1.1.1.1.3.3" xref="S5.Ex35.m1.10.10.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mo id="S5.Ex35.m1.10.10.1.1.1.1.1.3.3a" xref="S5.Ex35.m1.10.10.1.1.1.1.1.3.3.cmml">−</mo><mn id="S5.Ex35.m1.10.10.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S5.Ex35.m1.10.10.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup></mrow><mo id="S5.Ex35.m1.11.11.2.2.2.2.4" xref="S5.Ex35.m1.11.11.2.2.2.3.cmml">,</mo><mrow id="S5.Ex35.m1.11.11.2.2.2.2.2" xref="S5.Ex35.m1.11.11.2.2.2.2.2.cmml"><msub id="S5.Ex35.m1.11.11.2.2.2.2.2.2" xref="S5.Ex35.m1.11.11.2.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="S5.Ex35.m1.11.11.2.2.2.2.2.2.2" xref="S5.Ex35.m1.11.11.2.2.2.2.2.2.2.cmml">Q</mi><mn id="S5.Ex35.m1.11.11.2.2.2.2.2.2.3" xref="S5.Ex35.m1.11.11.2.2.2.2.2.2.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S5.Ex35.m1.11.11.2.2.2.2.2.1" xref="S5.Ex35.m1.11.11.2.2.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S5.Ex35.m1.11.11.2.2.2.2.2.3" xref="S5.Ex35.m1.11.11.2.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="S5.Ex35.m1.11.11.2.2.2.2.2.3.2" xref="S5.Ex35.m1.11.11.2.2.2.2.2.3.2.cmml">Q</mi><mn id="S5.Ex35.m1.11.11.2.2.2.2.2.3.3" xref="S5.Ex35.m1.11.11.2.2.2.2.2.3.3.cmml">2</mn></msub></mrow><mo id="S5.Ex35.m1.11.11.2.2.2.2.5" stretchy="false" xref="S5.Ex35.m1.11.11.2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow><mo id="S5.Ex35.m1.14.14.5.5.6a" xref="S5.Ex35.m1.14.14.5.5.6.cmml">⁢</mo><msubsup id="S5.Ex35.m1.14.14.5.5.8" xref="S5.Ex35.m1.14.14.5.5.8.cmml"><mi id="S5.Ex35.m1.14.14.5.5.8.2.2" xref="S5.Ex35.m1.14.14.5.5.8.2.2.cmml">Q</mi><mn id="S5.Ex35.m1.14.14.5.5.8.2.3" xref="S5.Ex35.m1.14.14.5.5.8.2.3.cmml">1</mn><mrow id="S5.Ex35.m1.6.6.1" xref="S5.Ex35.m1.6.6.1.cmml"><mo id="S5.Ex35.m1.6.6.1a" xref="S5.Ex35.m1.6.6.1.cmml">−</mo><mrow id="S5.Ex35.m1.6.6.1.1.1" xref="S5.Ex35.m1.6.6.1.1.2.cmml"><mo id="S5.Ex35.m1.6.6.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S5.Ex35.m1.6.6.1.1.2.1.cmml">|</mo><mrow id="S5.Ex35.m1.6.6.1.1.1.1" xref="S5.Ex35.m1.6.6.1.1.1.1.cmml"><msup id="S5.Ex35.m1.6.6.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex35.m1.6.6.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S5.Ex35.m1.6.6.1.1.1.1.2.2" xref="S5.Ex35.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.cmml">ω</mi><mrow id="S5.Ex35.m1.6.6.1.1.1.1.2.3" xref="S5.Ex35.m1.6.6.1.1.1.1.2.3.cmml"><mo id="S5.Ex35.m1.6.6.1.1.1.1.2.3a" xref="S5.Ex35.m1.6.6.1.1.1.1.2.3.cmml">−</mo><mn id="S5.Ex35.m1.6.6.1.1.1.1.2.3.2" xref="S5.Ex35.m1.6.6.1.1.1.1.2.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="S5.Ex35.m1.6.6.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex35.m1.6.6.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex35.m1.6.6.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex35.m1.6.6.1.1.1.1.3.cmml">τ</mi></mrow><mo id="S5.Ex35.m1.6.6.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S5.Ex35.m1.6.6.1.1.2.1.cmml">|</mo></mrow></mrow></msubsup><mo id="S5.Ex35.m1.14.14.5.5.6b" xref="S5.Ex35.m1.14.14.5.5.6.cmml">⁢</mo><msubsup id="S5.Ex35.m1.14.14.5.5.9" xref="S5.Ex35.m1.14.14.5.5.9.cmml"><mi id="S5.Ex35.m1.14.14.5.5.9.2.2" xref="S5.Ex35.m1.14.14.5.5.9.2.2.cmml">Q</mi><mn id="S5.Ex35.m1.14.14.5.5.9.2.3" xref="S5.Ex35.m1.14.14.5.5.9.2.3.cmml">2</mn><mrow id="S5.Ex35.m1.7.7.1" xref="S5.Ex35.m1.7.7.1.cmml"><mo id="S5.Ex35.m1.7.7.1a" xref="S5.Ex35.m1.7.7.1.cmml">−</mo><mrow id="S5.Ex35.m1.7.7.1.3.2" xref="S5.Ex35.m1.7.7.1.3.1.cmml"><mo id="S5.Ex35.m1.7.7.1.3.2.1" stretchy="false" xref="S5.Ex35.m1.7.7.1.3.1.1.cmml">|</mo><mi id="S5.Ex35.m1.7.7.1.1" xref="S5.Ex35.m1.7.7.1.1.cmml">ω</mi><mo id="S5.Ex35.m1.7.7.1.3.2.2" stretchy="false" xref="S5.Ex35.m1.7.7.1.3.1.1.cmml">|</mo></mrow></mrow></msubsup><mo id="S5.Ex35.m1.14.14.5.5.6c" xref="S5.Ex35.m1.14.14.5.5.6.cmml">⁢</mo><mtext id="S5.Ex35.m1.14.14.5.5.10" xref="S5.Ex35.m1.14.14.5.5.10a.cmml">Wg</mtext><mo id="S5.Ex35.m1.14.14.5.5.6d" xref="S5.Ex35.m1.14.14.5.5.6.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.Ex35.m1.13.13.4.4.4.2" xref="S5.Ex35.m1.13.13.4.4.4.3.cmml"><mo id="S5.Ex35.m1.13.13.4.4.4.2.3" stretchy="false" xref="S5.Ex35.m1.13.13.4.4.4.3.cmml">(</mo><mrow id="S5.Ex35.m1.12.12.3.3.3.1.1" xref="S5.Ex35.m1.12.12.3.3.3.1.1.cmml"><msup id="S5.Ex35.m1.12.12.3.3.3.1.1.2" xref="S5.Ex35.m1.12.12.3.3.3.1.1.2.cmml"><mi id="S5.Ex35.m1.12.12.3.3.3.1.1.2.2" xref="S5.Ex35.m1.12.12.3.3.3.1.1.2.2.cmml">τ</mi><mrow id="S5.Ex35.m1.12.12.3.3.3.1.1.2.3" xref="S5.Ex35.m1.12.12.3.3.3.1.1.2.3.cmml"><mo id="S5.Ex35.m1.12.12.3.3.3.1.1.2.3a" xref="S5.Ex35.m1.12.12.3.3.3.1.1.2.3.cmml">−</mo><mn id="S5.Ex35.m1.12.12.3.3.3.1.1.2.3.2" xref="S5.Ex35.m1.12.12.3.3.3.1.1.2.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="S5.Ex35.m1.12.12.3.3.3.1.1.1" xref="S5.Ex35.m1.12.12.3.3.3.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex35.m1.12.12.3.3.3.1.1.3" xref="S5.Ex35.m1.12.12.3.3.3.1.1.3.cmml">π</mi></mrow><mo id="S5.Ex35.m1.13.13.4.4.4.2.4" xref="S5.Ex35.m1.13.13.4.4.4.3.cmml">,</mo><mrow id="S5.Ex35.m1.13.13.4.4.4.2.2" xref="S5.Ex35.m1.13.13.4.4.4.2.2.cmml"><msub id="S5.Ex35.m1.13.13.4.4.4.2.2.2" xref="S5.Ex35.m1.13.13.4.4.4.2.2.2.cmml"><mi id="S5.Ex35.m1.13.13.4.4.4.2.2.2.2" xref="S5.Ex35.m1.13.13.4.4.4.2.2.2.2.cmml">Q</mi><mn id="S5.Ex35.m1.13.13.4.4.4.2.2.2.3" xref="S5.Ex35.m1.13.13.4.4.4.2.2.2.3.cmml">2</mn></msub><mo id="S5.Ex35.m1.13.13.4.4.4.2.2.1" xref="S5.Ex35.m1.13.13.4.4.4.2.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S5.Ex35.m1.13.13.4.4.4.2.2.3" xref="S5.Ex35.m1.13.13.4.4.4.2.2.3.cmml"><mi id="S5.Ex35.m1.13.13.4.4.4.2.2.3.2" xref="S5.Ex35.m1.13.13.4.4.4.2.2.3.2.cmml">Q</mi><mn id="S5.Ex35.m1.13.13.4.4.4.2.2.3.3" xref="S5.Ex35.m1.13.13.4.4.4.2.2.3.3.cmml">3</mn></msub></mrow><mo id="S5.Ex35.m1.13.13.4.4.4.2.5" stretchy="false" xref="S5.Ex35.m1.13.13.4.4.4.3.cmml">)</mo></mrow><mo id="S5.Ex35.m1.14.14.5.5.6e" xref="S5.Ex35.m1.14.14.5.5.6.cmml">⁢</mo><msubsup id="S5.Ex35.m1.14.14.5.5.11" xref="S5.Ex35.m1.14.14.5.5.11.cmml"><mi id="S5.Ex35.m1.14.14.5.5.11.2.2" xref="S5.Ex35.m1.14.14.5.5.11.2.2.cmml">Q</mi><mn id="S5.Ex35.m1.14.14.5.5.11.2.3" xref="S5.Ex35.m1.14.14.5.5.11.2.3.cmml">2</mn><mrow id="S5.Ex35.m1.8.8.1" xref="S5.Ex35.m1.8.8.1.cmml"><mo id="S5.Ex35.m1.8.8.1a" xref="S5.Ex35.m1.8.8.1.cmml">−</mo><mrow id="S5.Ex35.m1.8.8.1.3.2" xref="S5.Ex35.m1.8.8.1.3.1.cmml"><mo id="S5.Ex35.m1.8.8.1.3.2.1" stretchy="false" xref="S5.Ex35.m1.8.8.1.3.1.1.cmml">|</mo><mi id="S5.Ex35.m1.8.8.1.1" xref="S5.Ex35.m1.8.8.1.1.cmml">π</mi><mo id="S5.Ex35.m1.8.8.1.3.2.2" stretchy="false" xref="S5.Ex35.m1.8.8.1.3.1.1.cmml">|</mo></mrow></mrow></msubsup><mo id="S5.Ex35.m1.14.14.5.5.6f" xref="S5.Ex35.m1.14.14.5.5.6.cmml">⁢</mo><msubsup id="S5.Ex35.m1.14.14.5.5.12" xref="S5.Ex35.m1.14.14.5.5.12.cmml"><mi id="S5.Ex35.m1.14.14.5.5.12.2.2" xref="S5.Ex35.m1.14.14.5.5.12.2.2.cmml">Q</mi><mn id="S5.Ex35.m1.14.14.5.5.12.2.3" xref="S5.Ex35.m1.14.14.5.5.12.2.3.cmml">3</mn><mrow id="S5.Ex35.m1.9.9.1" xref="S5.Ex35.m1.9.9.1.cmml"><mo id="S5.Ex35.m1.9.9.1a" xref="S5.Ex35.m1.9.9.1.cmml">−</mo><mrow id="S5.Ex35.m1.9.9.1.1.1" xref="S5.Ex35.m1.9.9.1.1.2.cmml"><mo id="S5.Ex35.m1.9.9.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S5.Ex35.m1.9.9.1.1.2.1.cmml">|</mo><mrow id="S5.Ex35.m1.9.9.1.1.1.1" xref="S5.Ex35.m1.9.9.1.1.1.1.cmml"><msup id="S5.Ex35.m1.9.9.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex35.m1.9.9.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S5.Ex35.m1.9.9.1.1.1.1.2.2" xref="S5.Ex35.m1.9.9.1.1.1.1.2.2.cmml">σ</mi><mrow id="S5.Ex35.m1.9.9.1.1.1.1.2.3" xref="S5.Ex35.m1.9.9.1.1.1.1.2.3.cmml"><mo id="S5.Ex35.m1.9.9.1.1.1.1.2.3a" xref="S5.Ex35.m1.9.9.1.1.1.1.2.3.cmml">−</mo><mn id="S5.Ex35.m1.9.9.1.1.1.1.2.3.2" xref="S5.Ex35.m1.9.9.1.1.1.1.2.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="S5.Ex35.m1.9.9.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex35.m1.9.9.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex35.m1.9.9.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex35.m1.9.9.1.1.1.1.3.cmml">π</mi></mrow><mo id="S5.Ex35.m1.9.9.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S5.Ex35.m1.9.9.1.1.2.1.cmml">|</mo></mrow></mrow></msubsup><mo id="S5.Ex35.m1.14.14.5.5.6g" xref="S5.Ex35.m1.14.14.5.5.6.cmml">⁢</mo><msubsup id="S5.Ex35.m1.14.14.5.5.13" xref="S5.Ex35.m1.14.14.5.5.13.cmml"><mi id="S5.Ex35.m1.14.14.5.5.13.2.2" xref="S5.Ex35.m1.14.14.5.5.13.2.2.cmml">R</mi><mi id="S5.Ex35.m1.14.14.5.5.13.2.3" xref="S5.Ex35.m1.14.14.5.5.13.2.3.cmml">ν</mi><mrow id="S5.Ex35.m1.14.14.5.5.13.3" xref="S5.Ex35.m1.14.14.5.5.13.3.cmml"><mi id="S5.Ex35.m1.14.14.5.5.13.3.2" xref="S5.Ex35.m1.14.14.5.5.13.3.2.cmml">i</mi><mo id="S5.Ex35.m1.14.14.5.5.13.3.1" xref="S5.Ex35.m1.14.14.5.5.13.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex35.m1.14.14.5.5.13.3.3" xref="S5.Ex35.m1.14.14.5.5.13.3.3.cmml">j</mi></mrow></msubsup><mo id="S5.Ex35.m1.14.14.5.5.6h" xref="S5.Ex35.m1.14.14.5.5.6.cmml">⁢</mo><msub id="S5.Ex35.m1.14.14.5.5.5" xref="S5.Ex35.m1.14.14.5.5.5.cmml"><mrow id="S5.Ex35.m1.14.14.5.5.5.1.1" xref="S5.Ex35.m1.14.14.5.5.5.1.1.1.cmml"><mo id="S5.Ex35.m1.14.14.5.5.5.1.1.2" stretchy="false" xref="S5.Ex35.m1.14.14.5.5.5.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S5.Ex35.m1.14.14.5.5.5.1.1.1" xref="S5.Ex35.m1.14.14.5.5.5.1.1.1.cmml"><msup id="S5.Ex35.m1.14.14.5.5.5.1.1.1.2" xref="S5.Ex35.m1.14.14.5.5.5.1.1.1.2.cmml"><mi id="S5.Ex35.m1.14.14.5.5.5.1.1.1.2.2" xref="S5.Ex35.m1.14.14.5.5.5.1.1.1.2.2.cmml">ξ</mi><mrow id="S5.Ex35.m1.14.14.5.5.5.1.1.1.2.3" xref="S5.Ex35.m1.14.14.5.5.5.1.1.1.2.3.cmml"><mo id="S5.Ex35.m1.14.14.5.5.5.1.1.1.2.3a" xref="S5.Ex35.m1.14.14.5.5.5.1.1.1.2.3.cmml">−</mo><mn id="S5.Ex35.m1.14.14.5.5.5.1.1.1.2.3.2" xref="S5.Ex35.m1.14.14.5.5.5.1.1.1.2.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="S5.Ex35.m1.14.14.5.5.5.1.1.1.1" xref="S5.Ex35.m1.14.14.5.5.5.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex35.m1.14.14.5.5.5.1.1.1.3" xref="S5.Ex35.m1.14.14.5.5.5.1.1.1.3.cmml">τ</mi></mrow><mo id="S5.Ex35.m1.14.14.5.5.5.1.1.3" stretchy="false" xref="S5.Ex35.m1.14.14.5.5.5.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mi id="S5.Ex35.m1.14.14.5.5.5.3" xref="S5.Ex35.m1.14.14.5.5.5.3.cmml">R</mi></msub><mo id="S5.Ex35.m1.14.14.5.5.6i" xref="S5.Ex35.m1.14.14.5.5.6.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.Ex35.m1.1.1a.3" xref="S5.Ex35.m1.1.1a.2.cmml"><mo id="S5.Ex35.m1.1.1a.3.1" stretchy="false" xref="S5.Ex35.m1.1.1a.2.1.cmml">|</mo><mrow id="S5.Ex35.m1.1.1.1.1.5" xref="S5.Ex35.m1.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="S5.Ex35.m1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex35.m1.1.1.1.1.1.cmml">I</mi><mo id="S5.Ex35.m1.1.1.1.1.5.1" xref="S5.Ex35.m1.1.1.1.1.4.cmml">,</mo><mi id="S5.Ex35.m1.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex35.m1.1.1.1.1.2.cmml">I</mi><mo id="S5.Ex35.m1.1.1.1.1.5.2" xref="S5.Ex35.m1.1.1.1.1.4.cmml">,</mo><mi id="S5.Ex35.m1.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex35.m1.1.1.1.1.3.cmml">ξ</mi></mrow><mo id="S5.Ex35.m1.1.1a.3.2" stretchy="false" xref="S5.Ex35.m1.1.1a.2.1.cmml">⟩</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.Ex35.m1.14b"><apply id="S5.Ex35.m1.14.14.cmml" xref="S5.Ex35.m1.14.14"><eq id="S5.Ex35.m1.14.14.6.cmml" xref="S5.Ex35.m1.14.14.6"></eq><csymbol cd="latexml" id="S5.Ex35.m1.14.14.7.cmml" xref="S5.Ex35.m1.14.14.7">absent</csymbol><apply id="S5.Ex35.m1.14.14.5.cmml" xref="S5.Ex35.m1.14.14.5"><apply id="S5.Ex35.m1.14.14.5.6.cmml" xref="S5.Ex35.m1.14.14.5.6"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex35.m1.14.14.5.6.1.cmml" xref="S5.Ex35.m1.14.14.5.6">subscript</csymbol><sum id="S5.Ex35.m1.14.14.5.6.2.cmml" xref="S5.Ex35.m1.14.14.5.6.2"></sum><list id="S5.Ex35.m1.5.5.4.5.cmml" xref="S5.Ex35.m1.5.5.4.6"><ci id="S5.Ex35.m1.2.2.1.1.cmml" xref="S5.Ex35.m1.2.2.1.1">𝜉</ci><ci id="S5.Ex35.m1.3.3.2.2.cmml" xref="S5.Ex35.m1.3.3.2.2">𝜔</ci><ci id="S5.Ex35.m1.4.4.3.3.cmml" xref="S5.Ex35.m1.4.4.3.3">𝜏</ci><ci id="S5.Ex35.m1.5.5.4.4.cmml" xref="S5.Ex35.m1.5.5.4.4">𝜋</ci></list></apply><apply id="S5.Ex35.m1.14.14.5.5.cmml" xref="S5.Ex35.m1.14.14.5.5"><times id="S5.Ex35.m1.14.14.5.5.6.cmml" xref="S5.Ex35.m1.14.14.5.5.6"></times><ci id="S5.Ex35.m1.14.14.5.5.7a.cmml" xref="S5.Ex35.m1.14.14.5.5.7"><mtext id="S5.Ex35.m1.14.14.5.5.7.cmml" xref="S5.Ex35.m1.14.14.5.5.7">Wg</mtext></ci><interval closure="open" id="S5.Ex35.m1.11.11.2.2.2.3.cmml" xref="S5.Ex35.m1.11.11.2.2.2.2"><apply id="S5.Ex35.m1.10.10.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex35.m1.10.10.1.1.1.1.1"><times id="S5.Ex35.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex35.m1.10.10.1.1.1.1.1.1"></times><ci id="S5.Ex35.m1.10.10.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex35.m1.10.10.1.1.1.1.1.2">𝜉</ci><apply id="S5.Ex35.m1.10.10.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex35.m1.10.10.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex35.m1.10.10.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.Ex35.m1.10.10.1.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S5.Ex35.m1.10.10.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.Ex35.m1.10.10.1.1.1.1.1.3.2">𝜔</ci><apply id="S5.Ex35.m1.10.10.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S5.Ex35.m1.10.10.1.1.1.1.1.3.3"><minus id="S5.Ex35.m1.10.10.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S5.Ex35.m1.10.10.1.1.1.1.1.3.3"></minus><cn id="S5.Ex35.m1.10.10.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" type="integer" xref="S5.Ex35.m1.10.10.1.1.1.1.1.3.3.2">1</cn></apply></apply></apply><apply id="S5.Ex35.m1.11.11.2.2.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex35.m1.11.11.2.2.2.2.2"><times id="S5.Ex35.m1.11.11.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex35.m1.11.11.2.2.2.2.2.1"></times><apply id="S5.Ex35.m1.11.11.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex35.m1.11.11.2.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex35.m1.11.11.2.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex35.m1.11.11.2.2.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex35.m1.11.11.2.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex35.m1.11.11.2.2.2.2.2.2.2">𝑄</ci><cn id="S5.Ex35.m1.11.11.2.2.2.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex35.m1.11.11.2.2.2.2.2.2.3">1</cn></apply><apply id="S5.Ex35.m1.11.11.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S5.Ex35.m1.11.11.2.2.2.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex35.m1.11.11.2.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="S5.Ex35.m1.11.11.2.2.2.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex35.m1.11.11.2.2.2.2.2.3.2.cmml" xref="S5.Ex35.m1.11.11.2.2.2.2.2.3.2">𝑄</ci><cn id="S5.Ex35.m1.11.11.2.2.2.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex35.m1.11.11.2.2.2.2.2.3.3">2</cn></apply></apply></interval><apply id="S5.Ex35.m1.14.14.5.5.8.cmml" xref="S5.Ex35.m1.14.14.5.5.8"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex35.m1.14.14.5.5.8.1.cmml" xref="S5.Ex35.m1.14.14.5.5.8">superscript</csymbol><apply id="S5.Ex35.m1.14.14.5.5.8.2.cmml" xref="S5.Ex35.m1.14.14.5.5.8"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex35.m1.14.14.5.5.8.2.1.cmml" xref="S5.Ex35.m1.14.14.5.5.8">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex35.m1.14.14.5.5.8.2.2.cmml" xref="S5.Ex35.m1.14.14.5.5.8.2.2">𝑄</ci><cn id="S5.Ex35.m1.14.14.5.5.8.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex35.m1.14.14.5.5.8.2.3">1</cn></apply><apply id="S5.Ex35.m1.6.6.1.cmml" xref="S5.Ex35.m1.6.6.1"><minus id="S5.Ex35.m1.6.6.1.2.cmml" xref="S5.Ex35.m1.6.6.1"></minus><apply id="S5.Ex35.m1.6.6.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex35.m1.6.6.1.1.1"><abs id="S5.Ex35.m1.6.6.1.1.2.1.cmml" xref="S5.Ex35.m1.6.6.1.1.1.2"></abs><apply id="S5.Ex35.m1.6.6.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex35.m1.6.6.1.1.1.1"><times id="S5.Ex35.m1.6.6.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex35.m1.6.6.1.1.1.1.1"></times><apply id="S5.Ex35.m1.6.6.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex35.m1.6.6.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex35.m1.6.6.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.Ex35.m1.6.6.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S5.Ex35.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.Ex35.m1.6.6.1.1.1.1.2.2">𝜔</ci><apply id="S5.Ex35.m1.6.6.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S5.Ex35.m1.6.6.1.1.1.1.2.3"><minus id="S5.Ex35.m1.6.6.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S5.Ex35.m1.6.6.1.1.1.1.2.3"></minus><cn id="S5.Ex35.m1.6.6.1.1.1.1.2.3.2.cmml" type="integer" xref="S5.Ex35.m1.6.6.1.1.1.1.2.3.2">1</cn></apply></apply><ci id="S5.Ex35.m1.6.6.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex35.m1.6.6.1.1.1.1.3">𝜏</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="S5.Ex35.m1.14.14.5.5.9.cmml" xref="S5.Ex35.m1.14.14.5.5.9"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex35.m1.14.14.5.5.9.1.cmml" xref="S5.Ex35.m1.14.14.5.5.9">superscript</csymbol><apply id="S5.Ex35.m1.14.14.5.5.9.2.cmml" 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italic_τ start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT italic_π , italic_Q start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT italic_Q start_POSTSUBSCRIPT 3 end_POSTSUBSCRIPT ) italic_Q start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT - | italic_π | end_POSTSUPERSCRIPT italic_Q start_POSTSUBSCRIPT 3 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT - | italic_σ start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT italic_π | end_POSTSUPERSCRIPT italic_R start_POSTSUBSCRIPT italic_ν end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_i italic_j end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_ξ start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT italic_τ ) start_POSTSUBSCRIPT italic_R end_POSTSUBSCRIPT | start_ARG italic_I , italic_I , italic_ξ end_ARG ⟩</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="S5.Ex36"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=\sum_{\xi,\omega,\tau,\pi}\text{Wg}(\xi\omega^{-1},Q_{1}Q_{2})Q_% {1}^{-|\omega^{-1}\tau|}Q_{2}^{-|\omega|}\text{Wg}(\tau^{-1}\pi,Q_{2}Q_{3})Q_{% 2}^{-|\pi|}Q_{3}^{-|\sigma^{-1}\pi|}\sum_{k}V_{\nu}(\xi^{-1}\tau)^{kj}R_{\nu}^% {ik}\ket{I,I,\xi}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.Ex36.m1.14"><semantics id="S5.Ex36.m1.14a"><mrow id="S5.Ex36.m1.14.14" xref="S5.Ex36.m1.14.14.cmml"><mi id="S5.Ex36.m1.14.14.7" xref="S5.Ex36.m1.14.14.7.cmml"></mi><mo id="S5.Ex36.m1.14.14.6" xref="S5.Ex36.m1.14.14.6.cmml">=</mo><mrow id="S5.Ex36.m1.14.14.5" xref="S5.Ex36.m1.14.14.5.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S5.Ex36.m1.14.14.5.6" xref="S5.Ex36.m1.14.14.5.6.cmml"><munder id="S5.Ex36.m1.14.14.5.6a" xref="S5.Ex36.m1.14.14.5.6.cmml"><mo id="S5.Ex36.m1.14.14.5.6.2" movablelimits="false" xref="S5.Ex36.m1.14.14.5.6.2.cmml">∑</mo><mrow id="S5.Ex36.m1.5.5.4.6" xref="S5.Ex36.m1.5.5.4.5.cmml"><mi id="S5.Ex36.m1.2.2.1.1" 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xref="S5.Ex36.m1.10.10.1.1.1.1.1.2.cmml">ξ</mi><mo id="S5.Ex36.m1.10.10.1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex36.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msup id="S5.Ex36.m1.10.10.1.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex36.m1.10.10.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S5.Ex36.m1.10.10.1.1.1.1.1.3.2" xref="S5.Ex36.m1.10.10.1.1.1.1.1.3.2.cmml">ω</mi><mrow id="S5.Ex36.m1.10.10.1.1.1.1.1.3.3" xref="S5.Ex36.m1.10.10.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mo id="S5.Ex36.m1.10.10.1.1.1.1.1.3.3a" xref="S5.Ex36.m1.10.10.1.1.1.1.1.3.3.cmml">−</mo><mn id="S5.Ex36.m1.10.10.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S5.Ex36.m1.10.10.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup></mrow><mo id="S5.Ex36.m1.11.11.2.2.2.2.4" xref="S5.Ex36.m1.11.11.2.2.2.3.cmml">,</mo><mrow id="S5.Ex36.m1.11.11.2.2.2.2.2" xref="S5.Ex36.m1.11.11.2.2.2.2.2.cmml"><msub id="S5.Ex36.m1.11.11.2.2.2.2.2.2" xref="S5.Ex36.m1.11.11.2.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="S5.Ex36.m1.11.11.2.2.2.2.2.2.2" xref="S5.Ex36.m1.11.11.2.2.2.2.2.2.2.cmml">Q</mi><mn id="S5.Ex36.m1.11.11.2.2.2.2.2.2.3" xref="S5.Ex36.m1.11.11.2.2.2.2.2.2.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S5.Ex36.m1.11.11.2.2.2.2.2.1" xref="S5.Ex36.m1.11.11.2.2.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S5.Ex36.m1.11.11.2.2.2.2.2.3" xref="S5.Ex36.m1.11.11.2.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="S5.Ex36.m1.11.11.2.2.2.2.2.3.2" xref="S5.Ex36.m1.11.11.2.2.2.2.2.3.2.cmml">Q</mi><mn id="S5.Ex36.m1.11.11.2.2.2.2.2.3.3" xref="S5.Ex36.m1.11.11.2.2.2.2.2.3.3.cmml">2</mn></msub></mrow><mo id="S5.Ex36.m1.11.11.2.2.2.2.5" stretchy="false" xref="S5.Ex36.m1.11.11.2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow><mo id="S5.Ex36.m1.14.14.5.5.6a" xref="S5.Ex36.m1.14.14.5.5.6.cmml">⁢</mo><msubsup id="S5.Ex36.m1.14.14.5.5.8" xref="S5.Ex36.m1.14.14.5.5.8.cmml"><mi id="S5.Ex36.m1.14.14.5.5.8.2.2" xref="S5.Ex36.m1.14.14.5.5.8.2.2.cmml">Q</mi><mn id="S5.Ex36.m1.14.14.5.5.8.2.3" xref="S5.Ex36.m1.14.14.5.5.8.2.3.cmml">1</mn><mrow id="S5.Ex36.m1.6.6.1" xref="S5.Ex36.m1.6.6.1.cmml"><mo id="S5.Ex36.m1.6.6.1a" xref="S5.Ex36.m1.6.6.1.cmml">−</mo><mrow id="S5.Ex36.m1.6.6.1.1.1" xref="S5.Ex36.m1.6.6.1.1.2.cmml"><mo id="S5.Ex36.m1.6.6.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S5.Ex36.m1.6.6.1.1.2.1.cmml">|</mo><mrow id="S5.Ex36.m1.6.6.1.1.1.1" xref="S5.Ex36.m1.6.6.1.1.1.1.cmml"><msup id="S5.Ex36.m1.6.6.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex36.m1.6.6.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S5.Ex36.m1.6.6.1.1.1.1.2.2" xref="S5.Ex36.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.cmml">ω</mi><mrow id="S5.Ex36.m1.6.6.1.1.1.1.2.3" xref="S5.Ex36.m1.6.6.1.1.1.1.2.3.cmml"><mo id="S5.Ex36.m1.6.6.1.1.1.1.2.3a" xref="S5.Ex36.m1.6.6.1.1.1.1.2.3.cmml">−</mo><mn id="S5.Ex36.m1.6.6.1.1.1.1.2.3.2" xref="S5.Ex36.m1.6.6.1.1.1.1.2.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="S5.Ex36.m1.6.6.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex36.m1.6.6.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex36.m1.6.6.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex36.m1.6.6.1.1.1.1.3.cmml">τ</mi></mrow><mo id="S5.Ex36.m1.6.6.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S5.Ex36.m1.6.6.1.1.2.1.cmml">|</mo></mrow></mrow></msubsup><mo id="S5.Ex36.m1.14.14.5.5.6b" xref="S5.Ex36.m1.14.14.5.5.6.cmml">⁢</mo><msubsup id="S5.Ex36.m1.14.14.5.5.9" xref="S5.Ex36.m1.14.14.5.5.9.cmml"><mi id="S5.Ex36.m1.14.14.5.5.9.2.2" xref="S5.Ex36.m1.14.14.5.5.9.2.2.cmml">Q</mi><mn id="S5.Ex36.m1.14.14.5.5.9.2.3" xref="S5.Ex36.m1.14.14.5.5.9.2.3.cmml">2</mn><mrow id="S5.Ex36.m1.7.7.1" xref="S5.Ex36.m1.7.7.1.cmml"><mo id="S5.Ex36.m1.7.7.1a" xref="S5.Ex36.m1.7.7.1.cmml">−</mo><mrow id="S5.Ex36.m1.7.7.1.3.2" xref="S5.Ex36.m1.7.7.1.3.1.cmml"><mo id="S5.Ex36.m1.7.7.1.3.2.1" stretchy="false" xref="S5.Ex36.m1.7.7.1.3.1.1.cmml">|</mo><mi id="S5.Ex36.m1.7.7.1.1" xref="S5.Ex36.m1.7.7.1.1.cmml">ω</mi><mo id="S5.Ex36.m1.7.7.1.3.2.2" stretchy="false" xref="S5.Ex36.m1.7.7.1.3.1.1.cmml">|</mo></mrow></mrow></msubsup><mo id="S5.Ex36.m1.14.14.5.5.6c" xref="S5.Ex36.m1.14.14.5.5.6.cmml">⁢</mo><mtext id="S5.Ex36.m1.14.14.5.5.10" xref="S5.Ex36.m1.14.14.5.5.10a.cmml">Wg</mtext><mo id="S5.Ex36.m1.14.14.5.5.6d" xref="S5.Ex36.m1.14.14.5.5.6.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.Ex36.m1.13.13.4.4.4.2" xref="S5.Ex36.m1.13.13.4.4.4.3.cmml"><mo id="S5.Ex36.m1.13.13.4.4.4.2.3" stretchy="false" xref="S5.Ex36.m1.13.13.4.4.4.3.cmml">(</mo><mrow id="S5.Ex36.m1.12.12.3.3.3.1.1" xref="S5.Ex36.m1.12.12.3.3.3.1.1.cmml"><msup id="S5.Ex36.m1.12.12.3.3.3.1.1.2" xref="S5.Ex36.m1.12.12.3.3.3.1.1.2.cmml"><mi id="S5.Ex36.m1.12.12.3.3.3.1.1.2.2" xref="S5.Ex36.m1.12.12.3.3.3.1.1.2.2.cmml">τ</mi><mrow id="S5.Ex36.m1.12.12.3.3.3.1.1.2.3" xref="S5.Ex36.m1.12.12.3.3.3.1.1.2.3.cmml"><mo id="S5.Ex36.m1.12.12.3.3.3.1.1.2.3a" xref="S5.Ex36.m1.12.12.3.3.3.1.1.2.3.cmml">−</mo><mn id="S5.Ex36.m1.12.12.3.3.3.1.1.2.3.2" xref="S5.Ex36.m1.12.12.3.3.3.1.1.2.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="S5.Ex36.m1.12.12.3.3.3.1.1.1" xref="S5.Ex36.m1.12.12.3.3.3.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex36.m1.12.12.3.3.3.1.1.3" xref="S5.Ex36.m1.12.12.3.3.3.1.1.3.cmml">π</mi></mrow><mo id="S5.Ex36.m1.13.13.4.4.4.2.4" xref="S5.Ex36.m1.13.13.4.4.4.3.cmml">,</mo><mrow id="S5.Ex36.m1.13.13.4.4.4.2.2" xref="S5.Ex36.m1.13.13.4.4.4.2.2.cmml"><msub id="S5.Ex36.m1.13.13.4.4.4.2.2.2" xref="S5.Ex36.m1.13.13.4.4.4.2.2.2.cmml"><mi id="S5.Ex36.m1.13.13.4.4.4.2.2.2.2" xref="S5.Ex36.m1.13.13.4.4.4.2.2.2.2.cmml">Q</mi><mn id="S5.Ex36.m1.13.13.4.4.4.2.2.2.3" xref="S5.Ex36.m1.13.13.4.4.4.2.2.2.3.cmml">2</mn></msub><mo id="S5.Ex36.m1.13.13.4.4.4.2.2.1" xref="S5.Ex36.m1.13.13.4.4.4.2.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S5.Ex36.m1.13.13.4.4.4.2.2.3" xref="S5.Ex36.m1.13.13.4.4.4.2.2.3.cmml"><mi id="S5.Ex36.m1.13.13.4.4.4.2.2.3.2" xref="S5.Ex36.m1.13.13.4.4.4.2.2.3.2.cmml">Q</mi><mn id="S5.Ex36.m1.13.13.4.4.4.2.2.3.3" xref="S5.Ex36.m1.13.13.4.4.4.2.2.3.3.cmml">3</mn></msub></mrow><mo id="S5.Ex36.m1.13.13.4.4.4.2.5" stretchy="false" xref="S5.Ex36.m1.13.13.4.4.4.3.cmml">)</mo></mrow><mo id="S5.Ex36.m1.14.14.5.5.6e" xref="S5.Ex36.m1.14.14.5.5.6.cmml">⁢</mo><msubsup id="S5.Ex36.m1.14.14.5.5.11" xref="S5.Ex36.m1.14.14.5.5.11.cmml"><mi id="S5.Ex36.m1.14.14.5.5.11.2.2" xref="S5.Ex36.m1.14.14.5.5.11.2.2.cmml">Q</mi><mn id="S5.Ex36.m1.14.14.5.5.11.2.3" xref="S5.Ex36.m1.14.14.5.5.11.2.3.cmml">2</mn><mrow id="S5.Ex36.m1.8.8.1" xref="S5.Ex36.m1.8.8.1.cmml"><mo id="S5.Ex36.m1.8.8.1a" xref="S5.Ex36.m1.8.8.1.cmml">−</mo><mrow id="S5.Ex36.m1.8.8.1.3.2" xref="S5.Ex36.m1.8.8.1.3.1.cmml"><mo id="S5.Ex36.m1.8.8.1.3.2.1" stretchy="false" xref="S5.Ex36.m1.8.8.1.3.1.1.cmml">|</mo><mi id="S5.Ex36.m1.8.8.1.1" xref="S5.Ex36.m1.8.8.1.1.cmml">π</mi><mo id="S5.Ex36.m1.8.8.1.3.2.2" stretchy="false" xref="S5.Ex36.m1.8.8.1.3.1.1.cmml">|</mo></mrow></mrow></msubsup><mo id="S5.Ex36.m1.14.14.5.5.6f" xref="S5.Ex36.m1.14.14.5.5.6.cmml">⁢</mo><msubsup id="S5.Ex36.m1.14.14.5.5.12" xref="S5.Ex36.m1.14.14.5.5.12.cmml"><mi id="S5.Ex36.m1.14.14.5.5.12.2.2" xref="S5.Ex36.m1.14.14.5.5.12.2.2.cmml">Q</mi><mn id="S5.Ex36.m1.14.14.5.5.12.2.3" xref="S5.Ex36.m1.14.14.5.5.12.2.3.cmml">3</mn><mrow id="S5.Ex36.m1.9.9.1" xref="S5.Ex36.m1.9.9.1.cmml"><mo id="S5.Ex36.m1.9.9.1a" xref="S5.Ex36.m1.9.9.1.cmml">−</mo><mrow id="S5.Ex36.m1.9.9.1.1.1" xref="S5.Ex36.m1.9.9.1.1.2.cmml"><mo id="S5.Ex36.m1.9.9.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S5.Ex36.m1.9.9.1.1.2.1.cmml">|</mo><mrow id="S5.Ex36.m1.9.9.1.1.1.1" xref="S5.Ex36.m1.9.9.1.1.1.1.cmml"><msup id="S5.Ex36.m1.9.9.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex36.m1.9.9.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S5.Ex36.m1.9.9.1.1.1.1.2.2" xref="S5.Ex36.m1.9.9.1.1.1.1.2.2.cmml">σ</mi><mrow id="S5.Ex36.m1.9.9.1.1.1.1.2.3" xref="S5.Ex36.m1.9.9.1.1.1.1.2.3.cmml"><mo id="S5.Ex36.m1.9.9.1.1.1.1.2.3a" xref="S5.Ex36.m1.9.9.1.1.1.1.2.3.cmml">−</mo><mn id="S5.Ex36.m1.9.9.1.1.1.1.2.3.2" xref="S5.Ex36.m1.9.9.1.1.1.1.2.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="S5.Ex36.m1.9.9.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex36.m1.9.9.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex36.m1.9.9.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex36.m1.9.9.1.1.1.1.3.cmml">π</mi></mrow><mo id="S5.Ex36.m1.9.9.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S5.Ex36.m1.9.9.1.1.2.1.cmml">|</mo></mrow></mrow></msubsup><mo id="S5.Ex36.m1.14.14.5.5.6g" xref="S5.Ex36.m1.14.14.5.5.6.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.Ex36.m1.14.14.5.5.5" xref="S5.Ex36.m1.14.14.5.5.5.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S5.Ex36.m1.14.14.5.5.5.2" xref="S5.Ex36.m1.14.14.5.5.5.2.cmml"><munder id="S5.Ex36.m1.14.14.5.5.5.2a" xref="S5.Ex36.m1.14.14.5.5.5.2.cmml"><mo id="S5.Ex36.m1.14.14.5.5.5.2.2" movablelimits="false" xref="S5.Ex36.m1.14.14.5.5.5.2.2.cmml">∑</mo><mi id="S5.Ex36.m1.14.14.5.5.5.2.3" xref="S5.Ex36.m1.14.14.5.5.5.2.3.cmml">k</mi></munder></mstyle><mrow id="S5.Ex36.m1.14.14.5.5.5.1" xref="S5.Ex36.m1.14.14.5.5.5.1.cmml"><msub id="S5.Ex36.m1.14.14.5.5.5.1.3" xref="S5.Ex36.m1.14.14.5.5.5.1.3.cmml"><mi id="S5.Ex36.m1.14.14.5.5.5.1.3.2" xref="S5.Ex36.m1.14.14.5.5.5.1.3.2.cmml">V</mi><mi id="S5.Ex36.m1.14.14.5.5.5.1.3.3" xref="S5.Ex36.m1.14.14.5.5.5.1.3.3.cmml">ν</mi></msub><mo id="S5.Ex36.m1.14.14.5.5.5.1.2" xref="S5.Ex36.m1.14.14.5.5.5.1.2.cmml">⁢</mo><msup id="S5.Ex36.m1.14.14.5.5.5.1.1" xref="S5.Ex36.m1.14.14.5.5.5.1.1.cmml"><mrow id="S5.Ex36.m1.14.14.5.5.5.1.1.1.1" xref="S5.Ex36.m1.14.14.5.5.5.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S5.Ex36.m1.14.14.5.5.5.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S5.Ex36.m1.14.14.5.5.5.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S5.Ex36.m1.14.14.5.5.5.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex36.m1.14.14.5.5.5.1.1.1.1.1.cmml"><msup id="S5.Ex36.m1.14.14.5.5.5.1.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex36.m1.14.14.5.5.5.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S5.Ex36.m1.14.14.5.5.5.1.1.1.1.1.2.2" xref="S5.Ex36.m1.14.14.5.5.5.1.1.1.1.1.2.2.cmml">ξ</mi><mrow id="S5.Ex36.m1.14.14.5.5.5.1.1.1.1.1.2.3" xref="S5.Ex36.m1.14.14.5.5.5.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mo id="S5.Ex36.m1.14.14.5.5.5.1.1.1.1.1.2.3a" xref="S5.Ex36.m1.14.14.5.5.5.1.1.1.1.1.2.3.cmml">−</mo><mn id="S5.Ex36.m1.14.14.5.5.5.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S5.Ex36.m1.14.14.5.5.5.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="S5.Ex36.m1.14.14.5.5.5.1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex36.m1.14.14.5.5.5.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex36.m1.14.14.5.5.5.1.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex36.m1.14.14.5.5.5.1.1.1.1.1.3.cmml">τ</mi></mrow><mo id="S5.Ex36.m1.14.14.5.5.5.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S5.Ex36.m1.14.14.5.5.5.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S5.Ex36.m1.14.14.5.5.5.1.1.3" xref="S5.Ex36.m1.14.14.5.5.5.1.1.3.cmml"><mi id="S5.Ex36.m1.14.14.5.5.5.1.1.3.2" xref="S5.Ex36.m1.14.14.5.5.5.1.1.3.2.cmml">k</mi><mo id="S5.Ex36.m1.14.14.5.5.5.1.1.3.1" xref="S5.Ex36.m1.14.14.5.5.5.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex36.m1.14.14.5.5.5.1.1.3.3" xref="S5.Ex36.m1.14.14.5.5.5.1.1.3.3.cmml">j</mi></mrow></msup><mo id="S5.Ex36.m1.14.14.5.5.5.1.2a" xref="S5.Ex36.m1.14.14.5.5.5.1.2.cmml">⁢</mo><msubsup id="S5.Ex36.m1.14.14.5.5.5.1.4" xref="S5.Ex36.m1.14.14.5.5.5.1.4.cmml"><mi id="S5.Ex36.m1.14.14.5.5.5.1.4.2.2" xref="S5.Ex36.m1.14.14.5.5.5.1.4.2.2.cmml">R</mi><mi id="S5.Ex36.m1.14.14.5.5.5.1.4.2.3" xref="S5.Ex36.m1.14.14.5.5.5.1.4.2.3.cmml">ν</mi><mrow id="S5.Ex36.m1.14.14.5.5.5.1.4.3" xref="S5.Ex36.m1.14.14.5.5.5.1.4.3.cmml"><mi id="S5.Ex36.m1.14.14.5.5.5.1.4.3.2" xref="S5.Ex36.m1.14.14.5.5.5.1.4.3.2.cmml">i</mi><mo id="S5.Ex36.m1.14.14.5.5.5.1.4.3.1" xref="S5.Ex36.m1.14.14.5.5.5.1.4.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex36.m1.14.14.5.5.5.1.4.3.3" xref="S5.Ex36.m1.14.14.5.5.5.1.4.3.3.cmml">k</mi></mrow></msubsup><mo id="S5.Ex36.m1.14.14.5.5.5.1.2b" xref="S5.Ex36.m1.14.14.5.5.5.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.Ex36.m1.1.1a.3" xref="S5.Ex36.m1.1.1a.2.cmml"><mo id="S5.Ex36.m1.1.1a.3.1" stretchy="false" xref="S5.Ex36.m1.1.1a.2.1.cmml">|</mo><mrow id="S5.Ex36.m1.1.1.1.1.5" xref="S5.Ex36.m1.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="S5.Ex36.m1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex36.m1.1.1.1.1.1.cmml">I</mi><mo id="S5.Ex36.m1.1.1.1.1.5.1" xref="S5.Ex36.m1.1.1.1.1.4.cmml">,</mo><mi id="S5.Ex36.m1.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex36.m1.1.1.1.1.2.cmml">I</mi><mo id="S5.Ex36.m1.1.1.1.1.5.2" xref="S5.Ex36.m1.1.1.1.1.4.cmml">,</mo><mi id="S5.Ex36.m1.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex36.m1.1.1.1.1.3.cmml">ξ</mi></mrow><mo id="S5.Ex36.m1.1.1a.3.2" stretchy="false" xref="S5.Ex36.m1.1.1a.2.1.cmml">⟩</mo></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.Ex36.m1.14b"><apply id="S5.Ex36.m1.14.14.cmml" xref="S5.Ex36.m1.14.14"><eq id="S5.Ex36.m1.14.14.6.cmml" xref="S5.Ex36.m1.14.14.6"></eq><csymbol cd="latexml" id="S5.Ex36.m1.14.14.7.cmml" xref="S5.Ex36.m1.14.14.7">absent</csymbol><apply id="S5.Ex36.m1.14.14.5.cmml" xref="S5.Ex36.m1.14.14.5"><apply id="S5.Ex36.m1.14.14.5.6.cmml" xref="S5.Ex36.m1.14.14.5.6"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex36.m1.14.14.5.6.1.cmml" xref="S5.Ex36.m1.14.14.5.6">subscript</csymbol><sum id="S5.Ex36.m1.14.14.5.6.2.cmml" xref="S5.Ex36.m1.14.14.5.6.2"></sum><list id="S5.Ex36.m1.5.5.4.5.cmml" xref="S5.Ex36.m1.5.5.4.6"><ci id="S5.Ex36.m1.2.2.1.1.cmml" xref="S5.Ex36.m1.2.2.1.1">𝜉</ci><ci id="S5.Ex36.m1.3.3.2.2.cmml" xref="S5.Ex36.m1.3.3.2.2">𝜔</ci><ci id="S5.Ex36.m1.4.4.3.3.cmml" xref="S5.Ex36.m1.4.4.3.3">𝜏</ci><ci id="S5.Ex36.m1.5.5.4.4.cmml" xref="S5.Ex36.m1.5.5.4.4">𝜋</ci></list></apply><apply id="S5.Ex36.m1.14.14.5.5.cmml" xref="S5.Ex36.m1.14.14.5.5"><times id="S5.Ex36.m1.14.14.5.5.6.cmml" xref="S5.Ex36.m1.14.14.5.5.6"></times><ci id="S5.Ex36.m1.14.14.5.5.7a.cmml" xref="S5.Ex36.m1.14.14.5.5.7"><mtext id="S5.Ex36.m1.14.14.5.5.7.cmml" xref="S5.Ex36.m1.14.14.5.5.7">Wg</mtext></ci><interval closure="open" id="S5.Ex36.m1.11.11.2.2.2.3.cmml" xref="S5.Ex36.m1.11.11.2.2.2.2"><apply id="S5.Ex36.m1.10.10.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex36.m1.10.10.1.1.1.1.1"><times id="S5.Ex36.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex36.m1.10.10.1.1.1.1.1.1"></times><ci id="S5.Ex36.m1.10.10.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex36.m1.10.10.1.1.1.1.1.2">𝜉</ci><apply id="S5.Ex36.m1.10.10.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex36.m1.10.10.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex36.m1.10.10.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.Ex36.m1.10.10.1.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S5.Ex36.m1.10.10.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.Ex36.m1.10.10.1.1.1.1.1.3.2">𝜔</ci><apply id="S5.Ex36.m1.10.10.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S5.Ex36.m1.10.10.1.1.1.1.1.3.3"><minus id="S5.Ex36.m1.10.10.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S5.Ex36.m1.10.10.1.1.1.1.1.3.3"></minus><cn id="S5.Ex36.m1.10.10.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" type="integer" 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start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT ) italic_Q start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT - | italic_ω start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT italic_τ | end_POSTSUPERSCRIPT italic_Q start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT - | italic_ω | end_POSTSUPERSCRIPT Wg ( italic_τ start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT italic_π , italic_Q start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT italic_Q start_POSTSUBSCRIPT 3 end_POSTSUBSCRIPT ) italic_Q start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT - | italic_π | end_POSTSUPERSCRIPT italic_Q start_POSTSUBSCRIPT 3 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT - | italic_σ start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT italic_π | end_POSTSUPERSCRIPT ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT italic_V start_POSTSUBSCRIPT italic_ν end_POSTSUBSCRIPT ( italic_ξ start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT italic_τ ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_k italic_j end_POSTSUPERSCRIPT italic_R start_POSTSUBSCRIPT italic_ν end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_i italic_k end_POSTSUPERSCRIPT | start_ARG italic_I , italic_I , italic_ξ end_ARG ⟩</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="S5.Ex37"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=\sum_{\xi,\omega,\tau,\pi}\text{Wg}(\xi\omega^{-1},Q_{1}Q_{2})Q_% {1}^{-|\omega^{-1}\tau|}Q_{2}^{-|\omega|}\text{Wg}(\tau^{-1}\pi,Q_{2}Q_{3})Q_{% 2}^{-|\pi|}Q_{3}^{-|\sigma^{-1}\pi|}\sum_{k,\ell}V_{\nu}(\xi^{-1})^{k\ell}V_{% \nu}(\tau)^{\ell j}R_{\nu}^{ik}\ket{I,I,\xi}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.Ex37.m1.17"><semantics id="S5.Ex37.m1.17a"><mrow id="S5.Ex37.m1.17.17" xref="S5.Ex37.m1.17.17.cmml"><mi id="S5.Ex37.m1.17.17.7" xref="S5.Ex37.m1.17.17.7.cmml"></mi><mo id="S5.Ex37.m1.17.17.6" xref="S5.Ex37.m1.17.17.6.cmml">=</mo><mrow id="S5.Ex37.m1.17.17.5" xref="S5.Ex37.m1.17.17.5.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S5.Ex37.m1.17.17.5.6" xref="S5.Ex37.m1.17.17.5.6.cmml"><munder id="S5.Ex37.m1.17.17.5.6a" xref="S5.Ex37.m1.17.17.5.6.cmml"><mo id="S5.Ex37.m1.17.17.5.6.2" movablelimits="false" xref="S5.Ex37.m1.17.17.5.6.2.cmml">∑</mo><mrow id="S5.Ex37.m1.5.5.4.6" xref="S5.Ex37.m1.5.5.4.5.cmml"><mi id="S5.Ex37.m1.2.2.1.1" xref="S5.Ex37.m1.2.2.1.1.cmml">ξ</mi><mo id="S5.Ex37.m1.5.5.4.6.1" xref="S5.Ex37.m1.5.5.4.5.cmml">,</mo><mi id="S5.Ex37.m1.3.3.2.2" xref="S5.Ex37.m1.3.3.2.2.cmml">ω</mi><mo id="S5.Ex37.m1.5.5.4.6.2" xref="S5.Ex37.m1.5.5.4.5.cmml">,</mo><mi id="S5.Ex37.m1.4.4.3.3" xref="S5.Ex37.m1.4.4.3.3.cmml">τ</mi><mo id="S5.Ex37.m1.5.5.4.6.3" xref="S5.Ex37.m1.5.5.4.5.cmml">,</mo><mi id="S5.Ex37.m1.5.5.4.4" xref="S5.Ex37.m1.5.5.4.4.cmml">π</mi></mrow></munder></mstyle><mrow id="S5.Ex37.m1.17.17.5.5" xref="S5.Ex37.m1.17.17.5.5.cmml"><mtext id="S5.Ex37.m1.17.17.5.5.7" xref="S5.Ex37.m1.17.17.5.5.7a.cmml">Wg</mtext><mo id="S5.Ex37.m1.17.17.5.5.6" xref="S5.Ex37.m1.17.17.5.5.6.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.Ex37.m1.14.14.2.2.2.2" xref="S5.Ex37.m1.14.14.2.2.2.3.cmml"><mo id="S5.Ex37.m1.14.14.2.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S5.Ex37.m1.14.14.2.2.2.3.cmml">(</mo><mrow id="S5.Ex37.m1.13.13.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex37.m1.13.13.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S5.Ex37.m1.13.13.1.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex37.m1.13.13.1.1.1.1.1.2.cmml">ξ</mi><mo id="S5.Ex37.m1.13.13.1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex37.m1.13.13.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msup id="S5.Ex37.m1.13.13.1.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex37.m1.13.13.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S5.Ex37.m1.13.13.1.1.1.1.1.3.2" xref="S5.Ex37.m1.13.13.1.1.1.1.1.3.2.cmml">ω</mi><mrow id="S5.Ex37.m1.13.13.1.1.1.1.1.3.3" xref="S5.Ex37.m1.13.13.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mo id="S5.Ex37.m1.13.13.1.1.1.1.1.3.3a" xref="S5.Ex37.m1.13.13.1.1.1.1.1.3.3.cmml">−</mo><mn id="S5.Ex37.m1.13.13.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S5.Ex37.m1.13.13.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup></mrow><mo id="S5.Ex37.m1.14.14.2.2.2.2.4" xref="S5.Ex37.m1.14.14.2.2.2.3.cmml">,</mo><mrow id="S5.Ex37.m1.14.14.2.2.2.2.2" xref="S5.Ex37.m1.14.14.2.2.2.2.2.cmml"><msub id="S5.Ex37.m1.14.14.2.2.2.2.2.2" xref="S5.Ex37.m1.14.14.2.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="S5.Ex37.m1.14.14.2.2.2.2.2.2.2" xref="S5.Ex37.m1.14.14.2.2.2.2.2.2.2.cmml">Q</mi><mn id="S5.Ex37.m1.14.14.2.2.2.2.2.2.3" xref="S5.Ex37.m1.14.14.2.2.2.2.2.2.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S5.Ex37.m1.14.14.2.2.2.2.2.1" xref="S5.Ex37.m1.14.14.2.2.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S5.Ex37.m1.14.14.2.2.2.2.2.3" xref="S5.Ex37.m1.14.14.2.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="S5.Ex37.m1.14.14.2.2.2.2.2.3.2" xref="S5.Ex37.m1.14.14.2.2.2.2.2.3.2.cmml">Q</mi><mn id="S5.Ex37.m1.14.14.2.2.2.2.2.3.3" xref="S5.Ex37.m1.14.14.2.2.2.2.2.3.3.cmml">2</mn></msub></mrow><mo id="S5.Ex37.m1.14.14.2.2.2.2.5" stretchy="false" xref="S5.Ex37.m1.14.14.2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow><mo id="S5.Ex37.m1.17.17.5.5.6a" 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xref="S5.Ex37.m1.6.6.1.1.1.1.2.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="S5.Ex37.m1.6.6.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex37.m1.6.6.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex37.m1.6.6.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex37.m1.6.6.1.1.1.1.3.cmml">τ</mi></mrow><mo id="S5.Ex37.m1.6.6.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S5.Ex37.m1.6.6.1.1.2.1.cmml">|</mo></mrow></mrow></msubsup><mo id="S5.Ex37.m1.17.17.5.5.6b" xref="S5.Ex37.m1.17.17.5.5.6.cmml">⁢</mo><msubsup id="S5.Ex37.m1.17.17.5.5.9" xref="S5.Ex37.m1.17.17.5.5.9.cmml"><mi id="S5.Ex37.m1.17.17.5.5.9.2.2" xref="S5.Ex37.m1.17.17.5.5.9.2.2.cmml">Q</mi><mn id="S5.Ex37.m1.17.17.5.5.9.2.3" xref="S5.Ex37.m1.17.17.5.5.9.2.3.cmml">2</mn><mrow id="S5.Ex37.m1.7.7.1" xref="S5.Ex37.m1.7.7.1.cmml"><mo id="S5.Ex37.m1.7.7.1a" xref="S5.Ex37.m1.7.7.1.cmml">−</mo><mrow id="S5.Ex37.m1.7.7.1.3.2" xref="S5.Ex37.m1.7.7.1.3.1.cmml"><mo id="S5.Ex37.m1.7.7.1.3.2.1" stretchy="false" xref="S5.Ex37.m1.7.7.1.3.1.1.cmml">|</mo><mi id="S5.Ex37.m1.7.7.1.1" xref="S5.Ex37.m1.7.7.1.1.cmml">ω</mi><mo id="S5.Ex37.m1.7.7.1.3.2.2" stretchy="false" xref="S5.Ex37.m1.7.7.1.3.1.1.cmml">|</mo></mrow></mrow></msubsup><mo id="S5.Ex37.m1.17.17.5.5.6c" xref="S5.Ex37.m1.17.17.5.5.6.cmml">⁢</mo><mtext id="S5.Ex37.m1.17.17.5.5.10" xref="S5.Ex37.m1.17.17.5.5.10a.cmml">Wg</mtext><mo id="S5.Ex37.m1.17.17.5.5.6d" xref="S5.Ex37.m1.17.17.5.5.6.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.Ex37.m1.16.16.4.4.4.2" xref="S5.Ex37.m1.16.16.4.4.4.3.cmml"><mo id="S5.Ex37.m1.16.16.4.4.4.2.3" stretchy="false" xref="S5.Ex37.m1.16.16.4.4.4.3.cmml">(</mo><mrow id="S5.Ex37.m1.15.15.3.3.3.1.1" xref="S5.Ex37.m1.15.15.3.3.3.1.1.cmml"><msup id="S5.Ex37.m1.15.15.3.3.3.1.1.2" xref="S5.Ex37.m1.15.15.3.3.3.1.1.2.cmml"><mi id="S5.Ex37.m1.15.15.3.3.3.1.1.2.2" xref="S5.Ex37.m1.15.15.3.3.3.1.1.2.2.cmml">τ</mi><mrow id="S5.Ex37.m1.15.15.3.3.3.1.1.2.3" xref="S5.Ex37.m1.15.15.3.3.3.1.1.2.3.cmml"><mo id="S5.Ex37.m1.15.15.3.3.3.1.1.2.3a" xref="S5.Ex37.m1.15.15.3.3.3.1.1.2.3.cmml">−</mo><mn id="S5.Ex37.m1.15.15.3.3.3.1.1.2.3.2" xref="S5.Ex37.m1.15.15.3.3.3.1.1.2.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="S5.Ex37.m1.15.15.3.3.3.1.1.1" xref="S5.Ex37.m1.15.15.3.3.3.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex37.m1.15.15.3.3.3.1.1.3" xref="S5.Ex37.m1.15.15.3.3.3.1.1.3.cmml">π</mi></mrow><mo id="S5.Ex37.m1.16.16.4.4.4.2.4" xref="S5.Ex37.m1.16.16.4.4.4.3.cmml">,</mo><mrow id="S5.Ex37.m1.16.16.4.4.4.2.2" xref="S5.Ex37.m1.16.16.4.4.4.2.2.cmml"><msub id="S5.Ex37.m1.16.16.4.4.4.2.2.2" xref="S5.Ex37.m1.16.16.4.4.4.2.2.2.cmml"><mi id="S5.Ex37.m1.16.16.4.4.4.2.2.2.2" xref="S5.Ex37.m1.16.16.4.4.4.2.2.2.2.cmml">Q</mi><mn id="S5.Ex37.m1.16.16.4.4.4.2.2.2.3" xref="S5.Ex37.m1.16.16.4.4.4.2.2.2.3.cmml">2</mn></msub><mo id="S5.Ex37.m1.16.16.4.4.4.2.2.1" xref="S5.Ex37.m1.16.16.4.4.4.2.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S5.Ex37.m1.16.16.4.4.4.2.2.3" xref="S5.Ex37.m1.16.16.4.4.4.2.2.3.cmml"><mi id="S5.Ex37.m1.16.16.4.4.4.2.2.3.2" xref="S5.Ex37.m1.16.16.4.4.4.2.2.3.2.cmml">Q</mi><mn id="S5.Ex37.m1.16.16.4.4.4.2.2.3.3" xref="S5.Ex37.m1.16.16.4.4.4.2.2.3.3.cmml">3</mn></msub></mrow><mo id="S5.Ex37.m1.16.16.4.4.4.2.5" stretchy="false" xref="S5.Ex37.m1.16.16.4.4.4.3.cmml">)</mo></mrow><mo id="S5.Ex37.m1.17.17.5.5.6e" xref="S5.Ex37.m1.17.17.5.5.6.cmml">⁢</mo><msubsup id="S5.Ex37.m1.17.17.5.5.11" xref="S5.Ex37.m1.17.17.5.5.11.cmml"><mi id="S5.Ex37.m1.17.17.5.5.11.2.2" xref="S5.Ex37.m1.17.17.5.5.11.2.2.cmml">Q</mi><mn id="S5.Ex37.m1.17.17.5.5.11.2.3" xref="S5.Ex37.m1.17.17.5.5.11.2.3.cmml">2</mn><mrow id="S5.Ex37.m1.8.8.1" xref="S5.Ex37.m1.8.8.1.cmml"><mo id="S5.Ex37.m1.8.8.1a" xref="S5.Ex37.m1.8.8.1.cmml">−</mo><mrow id="S5.Ex37.m1.8.8.1.3.2" xref="S5.Ex37.m1.8.8.1.3.1.cmml"><mo id="S5.Ex37.m1.8.8.1.3.2.1" stretchy="false" xref="S5.Ex37.m1.8.8.1.3.1.1.cmml">|</mo><mi id="S5.Ex37.m1.8.8.1.1" xref="S5.Ex37.m1.8.8.1.1.cmml">π</mi><mo id="S5.Ex37.m1.8.8.1.3.2.2" stretchy="false" xref="S5.Ex37.m1.8.8.1.3.1.1.cmml">|</mo></mrow></mrow></msubsup><mo id="S5.Ex37.m1.17.17.5.5.6f" xref="S5.Ex37.m1.17.17.5.5.6.cmml">⁢</mo><msubsup id="S5.Ex37.m1.17.17.5.5.12" xref="S5.Ex37.m1.17.17.5.5.12.cmml"><mi id="S5.Ex37.m1.17.17.5.5.12.2.2" xref="S5.Ex37.m1.17.17.5.5.12.2.2.cmml">Q</mi><mn id="S5.Ex37.m1.17.17.5.5.12.2.3" xref="S5.Ex37.m1.17.17.5.5.12.2.3.cmml">3</mn><mrow id="S5.Ex37.m1.9.9.1" xref="S5.Ex37.m1.9.9.1.cmml"><mo id="S5.Ex37.m1.9.9.1a" xref="S5.Ex37.m1.9.9.1.cmml">−</mo><mrow id="S5.Ex37.m1.9.9.1.1.1" xref="S5.Ex37.m1.9.9.1.1.2.cmml"><mo id="S5.Ex37.m1.9.9.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S5.Ex37.m1.9.9.1.1.2.1.cmml">|</mo><mrow id="S5.Ex37.m1.9.9.1.1.1.1" xref="S5.Ex37.m1.9.9.1.1.1.1.cmml"><msup id="S5.Ex37.m1.9.9.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex37.m1.9.9.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S5.Ex37.m1.9.9.1.1.1.1.2.2" xref="S5.Ex37.m1.9.9.1.1.1.1.2.2.cmml">σ</mi><mrow id="S5.Ex37.m1.9.9.1.1.1.1.2.3" xref="S5.Ex37.m1.9.9.1.1.1.1.2.3.cmml"><mo id="S5.Ex37.m1.9.9.1.1.1.1.2.3a" xref="S5.Ex37.m1.9.9.1.1.1.1.2.3.cmml">−</mo><mn id="S5.Ex37.m1.9.9.1.1.1.1.2.3.2" xref="S5.Ex37.m1.9.9.1.1.1.1.2.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="S5.Ex37.m1.9.9.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex37.m1.9.9.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex37.m1.9.9.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex37.m1.9.9.1.1.1.1.3.cmml">π</mi></mrow><mo id="S5.Ex37.m1.9.9.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S5.Ex37.m1.9.9.1.1.2.1.cmml">|</mo></mrow></mrow></msubsup><mo id="S5.Ex37.m1.17.17.5.5.6g" xref="S5.Ex37.m1.17.17.5.5.6.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.Ex37.m1.17.17.5.5.5" xref="S5.Ex37.m1.17.17.5.5.5.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S5.Ex37.m1.17.17.5.5.5.2" xref="S5.Ex37.m1.17.17.5.5.5.2.cmml"><munder id="S5.Ex37.m1.17.17.5.5.5.2a" xref="S5.Ex37.m1.17.17.5.5.5.2.cmml"><mo id="S5.Ex37.m1.17.17.5.5.5.2.2" movablelimits="false" xref="S5.Ex37.m1.17.17.5.5.5.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="S5.Ex37.m1.11.11.2.4" xref="S5.Ex37.m1.11.11.2.3.cmml"><mi id="S5.Ex37.m1.10.10.1.1" xref="S5.Ex37.m1.10.10.1.1.cmml">k</mi><mo id="S5.Ex37.m1.11.11.2.4.1" xref="S5.Ex37.m1.11.11.2.3.cmml">,</mo><mi id="S5.Ex37.m1.11.11.2.2" mathvariant="normal" xref="S5.Ex37.m1.11.11.2.2.cmml">ℓ</mi></mrow></munder></mstyle><mrow id="S5.Ex37.m1.17.17.5.5.5.1" xref="S5.Ex37.m1.17.17.5.5.5.1.cmml"><msub id="S5.Ex37.m1.17.17.5.5.5.1.3" xref="S5.Ex37.m1.17.17.5.5.5.1.3.cmml"><mi id="S5.Ex37.m1.17.17.5.5.5.1.3.2" xref="S5.Ex37.m1.17.17.5.5.5.1.3.2.cmml">V</mi><mi id="S5.Ex37.m1.17.17.5.5.5.1.3.3" xref="S5.Ex37.m1.17.17.5.5.5.1.3.3.cmml">ν</mi></msub><mo id="S5.Ex37.m1.17.17.5.5.5.1.2" xref="S5.Ex37.m1.17.17.5.5.5.1.2.cmml">⁢</mo><msup id="S5.Ex37.m1.17.17.5.5.5.1.1" xref="S5.Ex37.m1.17.17.5.5.5.1.1.cmml"><mrow id="S5.Ex37.m1.17.17.5.5.5.1.1.1.1" xref="S5.Ex37.m1.17.17.5.5.5.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S5.Ex37.m1.17.17.5.5.5.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S5.Ex37.m1.17.17.5.5.5.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="S5.Ex37.m1.17.17.5.5.5.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex37.m1.17.17.5.5.5.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S5.Ex37.m1.17.17.5.5.5.1.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex37.m1.17.17.5.5.5.1.1.1.1.1.2.cmml">ξ</mi><mrow id="S5.Ex37.m1.17.17.5.5.5.1.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex37.m1.17.17.5.5.5.1.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="S5.Ex37.m1.17.17.5.5.5.1.1.1.1.1.3a" xref="S5.Ex37.m1.17.17.5.5.5.1.1.1.1.1.3.cmml">−</mo><mn id="S5.Ex37.m1.17.17.5.5.5.1.1.1.1.1.3.2" xref="S5.Ex37.m1.17.17.5.5.5.1.1.1.1.1.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="S5.Ex37.m1.17.17.5.5.5.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S5.Ex37.m1.17.17.5.5.5.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S5.Ex37.m1.17.17.5.5.5.1.1.3" xref="S5.Ex37.m1.17.17.5.5.5.1.1.3.cmml"><mi id="S5.Ex37.m1.17.17.5.5.5.1.1.3.2" xref="S5.Ex37.m1.17.17.5.5.5.1.1.3.2.cmml">k</mi><mo id="S5.Ex37.m1.17.17.5.5.5.1.1.3.1" xref="S5.Ex37.m1.17.17.5.5.5.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex37.m1.17.17.5.5.5.1.1.3.3" mathvariant="normal" xref="S5.Ex37.m1.17.17.5.5.5.1.1.3.3.cmml">ℓ</mi></mrow></msup><mo id="S5.Ex37.m1.17.17.5.5.5.1.2a" xref="S5.Ex37.m1.17.17.5.5.5.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="S5.Ex37.m1.17.17.5.5.5.1.4" xref="S5.Ex37.m1.17.17.5.5.5.1.4.cmml"><mi id="S5.Ex37.m1.17.17.5.5.5.1.4.2" xref="S5.Ex37.m1.17.17.5.5.5.1.4.2.cmml">V</mi><mi id="S5.Ex37.m1.17.17.5.5.5.1.4.3" xref="S5.Ex37.m1.17.17.5.5.5.1.4.3.cmml">ν</mi></msub><mo id="S5.Ex37.m1.17.17.5.5.5.1.2b" xref="S5.Ex37.m1.17.17.5.5.5.1.2.cmml">⁢</mo><msup id="S5.Ex37.m1.17.17.5.5.5.1.5" xref="S5.Ex37.m1.17.17.5.5.5.1.5.cmml"><mrow id="S5.Ex37.m1.17.17.5.5.5.1.5.2.2" xref="S5.Ex37.m1.17.17.5.5.5.1.5.cmml"><mo id="S5.Ex37.m1.17.17.5.5.5.1.5.2.2.1" stretchy="false" xref="S5.Ex37.m1.17.17.5.5.5.1.5.cmml">(</mo><mi id="S5.Ex37.m1.12.12" xref="S5.Ex37.m1.12.12.cmml">τ</mi><mo id="S5.Ex37.m1.17.17.5.5.5.1.5.2.2.2" stretchy="false" xref="S5.Ex37.m1.17.17.5.5.5.1.5.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S5.Ex37.m1.17.17.5.5.5.1.5.3" xref="S5.Ex37.m1.17.17.5.5.5.1.5.3.cmml"><mi id="S5.Ex37.m1.17.17.5.5.5.1.5.3.2" mathvariant="normal" xref="S5.Ex37.m1.17.17.5.5.5.1.5.3.2.cmml">ℓ</mi><mo id="S5.Ex37.m1.17.17.5.5.5.1.5.3.1" xref="S5.Ex37.m1.17.17.5.5.5.1.5.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex37.m1.17.17.5.5.5.1.5.3.3" xref="S5.Ex37.m1.17.17.5.5.5.1.5.3.3.cmml">j</mi></mrow></msup><mo id="S5.Ex37.m1.17.17.5.5.5.1.2c" xref="S5.Ex37.m1.17.17.5.5.5.1.2.cmml">⁢</mo><msubsup id="S5.Ex37.m1.17.17.5.5.5.1.6" xref="S5.Ex37.m1.17.17.5.5.5.1.6.cmml"><mi id="S5.Ex37.m1.17.17.5.5.5.1.6.2.2" xref="S5.Ex37.m1.17.17.5.5.5.1.6.2.2.cmml">R</mi><mi id="S5.Ex37.m1.17.17.5.5.5.1.6.2.3" xref="S5.Ex37.m1.17.17.5.5.5.1.6.2.3.cmml">ν</mi><mrow id="S5.Ex37.m1.17.17.5.5.5.1.6.3" xref="S5.Ex37.m1.17.17.5.5.5.1.6.3.cmml"><mi id="S5.Ex37.m1.17.17.5.5.5.1.6.3.2" xref="S5.Ex37.m1.17.17.5.5.5.1.6.3.2.cmml">i</mi><mo id="S5.Ex37.m1.17.17.5.5.5.1.6.3.1" xref="S5.Ex37.m1.17.17.5.5.5.1.6.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex37.m1.17.17.5.5.5.1.6.3.3" xref="S5.Ex37.m1.17.17.5.5.5.1.6.3.3.cmml">k</mi></mrow></msubsup><mo id="S5.Ex37.m1.17.17.5.5.5.1.2d" xref="S5.Ex37.m1.17.17.5.5.5.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.Ex37.m1.1.1a.3" xref="S5.Ex37.m1.1.1a.2.cmml"><mo id="S5.Ex37.m1.1.1a.3.1" stretchy="false" xref="S5.Ex37.m1.1.1a.2.1.cmml">|</mo><mrow id="S5.Ex37.m1.1.1.1.1.5" xref="S5.Ex37.m1.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="S5.Ex37.m1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex37.m1.1.1.1.1.1.cmml">I</mi><mo id="S5.Ex37.m1.1.1.1.1.5.1" xref="S5.Ex37.m1.1.1.1.1.4.cmml">,</mo><mi id="S5.Ex37.m1.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex37.m1.1.1.1.1.2.cmml">I</mi><mo id="S5.Ex37.m1.1.1.1.1.5.2" xref="S5.Ex37.m1.1.1.1.1.4.cmml">,</mo><mi id="S5.Ex37.m1.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex37.m1.1.1.1.1.3.cmml">ξ</mi></mrow><mo id="S5.Ex37.m1.1.1a.3.2" stretchy="false" xref="S5.Ex37.m1.1.1a.2.1.cmml">⟩</mo></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.Ex37.m1.17b"><apply id="S5.Ex37.m1.17.17.cmml" xref="S5.Ex37.m1.17.17"><eq id="S5.Ex37.m1.17.17.6.cmml" xref="S5.Ex37.m1.17.17.6"></eq><csymbol cd="latexml" id="S5.Ex37.m1.17.17.7.cmml" xref="S5.Ex37.m1.17.17.7">absent</csymbol><apply id="S5.Ex37.m1.17.17.5.cmml" xref="S5.Ex37.m1.17.17.5"><apply id="S5.Ex37.m1.17.17.5.6.cmml" xref="S5.Ex37.m1.17.17.5.6"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex37.m1.17.17.5.6.1.cmml" xref="S5.Ex37.m1.17.17.5.6">subscript</csymbol><sum id="S5.Ex37.m1.17.17.5.6.2.cmml" xref="S5.Ex37.m1.17.17.5.6.2"></sum><list id="S5.Ex37.m1.5.5.4.5.cmml" xref="S5.Ex37.m1.5.5.4.6"><ci id="S5.Ex37.m1.2.2.1.1.cmml" xref="S5.Ex37.m1.2.2.1.1">𝜉</ci><ci id="S5.Ex37.m1.3.3.2.2.cmml" xref="S5.Ex37.m1.3.3.2.2">𝜔</ci><ci id="S5.Ex37.m1.4.4.3.3.cmml" xref="S5.Ex37.m1.4.4.3.3">𝜏</ci><ci id="S5.Ex37.m1.5.5.4.4.cmml" xref="S5.Ex37.m1.5.5.4.4">𝜋</ci></list></apply><apply id="S5.Ex37.m1.17.17.5.5.cmml" xref="S5.Ex37.m1.17.17.5.5"><times id="S5.Ex37.m1.17.17.5.5.6.cmml" xref="S5.Ex37.m1.17.17.5.5.6"></times><ci id="S5.Ex37.m1.17.17.5.5.7a.cmml" xref="S5.Ex37.m1.17.17.5.5.7"><mtext id="S5.Ex37.m1.17.17.5.5.7.cmml" xref="S5.Ex37.m1.17.17.5.5.7">Wg</mtext></ci><interval closure="open" id="S5.Ex37.m1.14.14.2.2.2.3.cmml" xref="S5.Ex37.m1.14.14.2.2.2.2"><apply id="S5.Ex37.m1.13.13.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex37.m1.13.13.1.1.1.1.1"><times id="S5.Ex37.m1.13.13.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex37.m1.13.13.1.1.1.1.1.1"></times><ci id="S5.Ex37.m1.13.13.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex37.m1.13.13.1.1.1.1.1.2">𝜉</ci><apply id="S5.Ex37.m1.13.13.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex37.m1.13.13.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex37.m1.13.13.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.Ex37.m1.13.13.1.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S5.Ex37.m1.13.13.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.Ex37.m1.13.13.1.1.1.1.1.3.2">𝜔</ci><apply id="S5.Ex37.m1.13.13.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S5.Ex37.m1.13.13.1.1.1.1.1.3.3"><minus id="S5.Ex37.m1.13.13.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S5.Ex37.m1.13.13.1.1.1.1.1.3.3"></minus><cn id="S5.Ex37.m1.13.13.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" type="integer" xref="S5.Ex37.m1.13.13.1.1.1.1.1.3.3.2">1</cn></apply></apply></apply><apply id="S5.Ex37.m1.14.14.2.2.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex37.m1.14.14.2.2.2.2.2"><times id="S5.Ex37.m1.14.14.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex37.m1.14.14.2.2.2.2.2.1"></times><apply id="S5.Ex37.m1.14.14.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex37.m1.14.14.2.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex37.m1.14.14.2.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex37.m1.14.14.2.2.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex37.m1.14.14.2.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex37.m1.14.14.2.2.2.2.2.2.2">𝑄</ci><cn id="S5.Ex37.m1.14.14.2.2.2.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex37.m1.14.14.2.2.2.2.2.2.3">1</cn></apply><apply id="S5.Ex37.m1.14.14.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S5.Ex37.m1.14.14.2.2.2.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex37.m1.14.14.2.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="S5.Ex37.m1.14.14.2.2.2.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex37.m1.14.14.2.2.2.2.2.3.2.cmml" xref="S5.Ex37.m1.14.14.2.2.2.2.2.3.2">𝑄</ci><cn id="S5.Ex37.m1.14.14.2.2.2.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex37.m1.14.14.2.2.2.2.2.3.3">2</cn></apply></apply></interval><apply id="S5.Ex37.m1.17.17.5.5.8.cmml" xref="S5.Ex37.m1.17.17.5.5.8"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex37.m1.17.17.5.5.8.1.cmml" xref="S5.Ex37.m1.17.17.5.5.8">superscript</csymbol><apply id="S5.Ex37.m1.17.17.5.5.8.2.cmml" xref="S5.Ex37.m1.17.17.5.5.8"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex37.m1.17.17.5.5.8.2.1.cmml" xref="S5.Ex37.m1.17.17.5.5.8">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex37.m1.17.17.5.5.8.2.2.cmml" xref="S5.Ex37.m1.17.17.5.5.8.2.2">𝑄</ci><cn id="S5.Ex37.m1.17.17.5.5.8.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex37.m1.17.17.5.5.8.2.3">1</cn></apply><apply id="S5.Ex37.m1.6.6.1.cmml" xref="S5.Ex37.m1.6.6.1"><minus id="S5.Ex37.m1.6.6.1.2.cmml" xref="S5.Ex37.m1.6.6.1"></minus><apply id="S5.Ex37.m1.6.6.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex37.m1.6.6.1.1.1"><abs id="S5.Ex37.m1.6.6.1.1.2.1.cmml" xref="S5.Ex37.m1.6.6.1.1.1.2"></abs><apply id="S5.Ex37.m1.6.6.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex37.m1.6.6.1.1.1.1"><times id="S5.Ex37.m1.6.6.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex37.m1.6.6.1.1.1.1.1"></times><apply id="S5.Ex37.m1.6.6.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex37.m1.6.6.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex37.m1.6.6.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.Ex37.m1.6.6.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S5.Ex37.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.cmml" 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id="S5.Ex37.m1.17c">\displaystyle=\sum_{\xi,\omega,\tau,\pi}\text{Wg}(\xi\omega^{-1},Q_{1}Q_{2})Q_% {1}^{-|\omega^{-1}\tau|}Q_{2}^{-|\omega|}\text{Wg}(\tau^{-1}\pi,Q_{2}Q_{3})Q_{% 2}^{-|\pi|}Q_{3}^{-|\sigma^{-1}\pi|}\sum_{k,\ell}V_{\nu}(\xi^{-1})^{k\ell}V_{% \nu}(\tau)^{\ell j}R_{\nu}^{ik}\ket{I,I,\xi}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.Ex37.m1.17d">= ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_ξ , italic_ω , italic_τ , italic_π end_POSTSUBSCRIPT Wg ( italic_ξ italic_ω start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT , italic_Q start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT italic_Q start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT ) italic_Q start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT - | italic_ω start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT italic_τ | end_POSTSUPERSCRIPT italic_Q start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT - | italic_ω | end_POSTSUPERSCRIPT Wg ( italic_τ start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT italic_π , italic_Q start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT italic_Q start_POSTSUBSCRIPT 3 end_POSTSUBSCRIPT ) italic_Q start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT - | italic_π | end_POSTSUPERSCRIPT italic_Q start_POSTSUBSCRIPT 3 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT - | italic_σ start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT italic_π | end_POSTSUPERSCRIPT ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_k , roman_ℓ end_POSTSUBSCRIPT italic_V start_POSTSUBSCRIPT italic_ν end_POSTSUBSCRIPT ( italic_ξ start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_k roman_ℓ end_POSTSUPERSCRIPT italic_V start_POSTSUBSCRIPT italic_ν end_POSTSUBSCRIPT ( italic_τ ) start_POSTSUPERSCRIPT roman_ℓ italic_j end_POSTSUPERSCRIPT italic_R start_POSTSUBSCRIPT italic_ν end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_i italic_k end_POSTSUPERSCRIPT | start_ARG italic_I , italic_I , italic_ξ end_ARG ⟩</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="S5.Ex38"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=\sum_{\xi,\omega,\tau,\pi,k,\ell}\left[(D_{\nu}^{-1})^{k\ell}_{% \xi\xi}W(Q_{1}Q_{2})^{\ell\ell}_{\xi\omega}D(Q_{2})^{\ell\ell}_{\omega\omega}C% (Q_{1})^{\ell\ell}_{\omega\tau}(D_{\nu})^{\ell j}_{\tau\tau}W(Q_{2}Q_{3})^{jj}% _{\tau\pi}D(Q_{2})^{jj}_{\pi\pi}C(Q_{3})^{jj}_{\pi\sigma}\right]R_{\nu}^{ik}% \ket{I,I,\xi}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.Ex38.m1.8"><semantics id="S5.Ex38.m1.8a"><mrow id="S5.Ex38.m1.8.8" xref="S5.Ex38.m1.8.8.cmml"><mi id="S5.Ex38.m1.8.8.3" xref="S5.Ex38.m1.8.8.3.cmml"></mi><mo id="S5.Ex38.m1.8.8.2" xref="S5.Ex38.m1.8.8.2.cmml">=</mo><mrow id="S5.Ex38.m1.8.8.1" xref="S5.Ex38.m1.8.8.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S5.Ex38.m1.8.8.1.2" xref="S5.Ex38.m1.8.8.1.2.cmml"><munder id="S5.Ex38.m1.8.8.1.2a" xref="S5.Ex38.m1.8.8.1.2.cmml"><mo id="S5.Ex38.m1.8.8.1.2.2" movablelimits="false" xref="S5.Ex38.m1.8.8.1.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="S5.Ex38.m1.7.7.6.8" xref="S5.Ex38.m1.7.7.6.7.cmml"><mi id="S5.Ex38.m1.2.2.1.1" xref="S5.Ex38.m1.2.2.1.1.cmml">ξ</mi><mo id="S5.Ex38.m1.7.7.6.8.1" xref="S5.Ex38.m1.7.7.6.7.cmml">,</mo><mi id="S5.Ex38.m1.3.3.2.2" xref="S5.Ex38.m1.3.3.2.2.cmml">ω</mi><mo id="S5.Ex38.m1.7.7.6.8.2" xref="S5.Ex38.m1.7.7.6.7.cmml">,</mo><mi id="S5.Ex38.m1.4.4.3.3" xref="S5.Ex38.m1.4.4.3.3.cmml">τ</mi><mo id="S5.Ex38.m1.7.7.6.8.3" xref="S5.Ex38.m1.7.7.6.7.cmml">,</mo><mi id="S5.Ex38.m1.5.5.4.4" xref="S5.Ex38.m1.5.5.4.4.cmml">π</mi><mo id="S5.Ex38.m1.7.7.6.8.4" xref="S5.Ex38.m1.7.7.6.7.cmml">,</mo><mi id="S5.Ex38.m1.6.6.5.5" xref="S5.Ex38.m1.6.6.5.5.cmml">k</mi><mo id="S5.Ex38.m1.7.7.6.8.5" xref="S5.Ex38.m1.7.7.6.7.cmml">,</mo><mi id="S5.Ex38.m1.7.7.6.6" mathvariant="normal" xref="S5.Ex38.m1.7.7.6.6.cmml">ℓ</mi></mrow></munder></mstyle><mrow id="S5.Ex38.m1.8.8.1.1" 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xref="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">−</mo><mn id="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">1</mn></mrow></msubsup><mo id="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">ξ</mi><mo id="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">ξ</mi></mrow><mrow id="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">k</mi><mo id="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.3" mathvariant="normal" xref="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">ℓ</mi></mrow></msubsup><mo id="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.9" xref="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.9.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.10" xref="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.10.cmml">W</mi><mo id="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.9a" xref="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.9.cmml">⁢</mo><msubsup id="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.2.cmml"><mrow id="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.2.1.1.1" xref="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1" xref="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.cmml"><msub id="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.2" xref="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.2.cmml">Q</mi><mn id="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.3" xref="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.3.2" xref="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.3.2.cmml">Q</mi><mn id="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.3.3" xref="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></msub></mrow><mo id="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.2.3" xref="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">ξ</mi><mo id="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.2.3.1" xref="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">ω</mi></mrow><mrow id="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.2.1.3" xref="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.2.1.3.cmml"><mi id="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.2.1.3.2" mathvariant="normal" xref="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.2.1.3.2.cmml">ℓ</mi><mo id="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.2.1.3.1" xref="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.2.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.2.1.3.3" mathvariant="normal" xref="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.2.1.3.3.cmml">ℓ</mi></mrow></msubsup><mo id="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.9b" xref="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.9.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.11" xref="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.11.cmml">D</mi><mo id="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.9c" xref="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.9.cmml">⁢</mo><msubsup id="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.3.cmml"><mrow id="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.3.1.1.1" xref="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.cmml"><mo id="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.3.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1" xref="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.cmml"><mi id="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2.cmml">Q</mi><mn id="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.3.cmml">2</mn></msub><mo id="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.3.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.3.3" xref="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">ω</mi><mo id="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.3.3.1" xref="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">ω</mi></mrow><mrow id="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.3.1.3" xref="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.3.1.3.cmml"><mi id="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.3.1.3.2" mathvariant="normal" xref="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.3.1.3.2.cmml">ℓ</mi><mo id="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.3.1.3.1" xref="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.3.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.3.1.3.3" mathvariant="normal" xref="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.3.1.3.3.cmml">ℓ</mi></mrow></msubsup><mo id="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.9d" xref="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.9.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.12" xref="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.12.cmml">C</mi><mo id="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.9e" xref="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.9.cmml">⁢</mo><msubsup id="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.4" xref="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.4.cmml"><mrow id="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.4.1.1.1" xref="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.4.1.1.1.1.cmml"><mo id="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.4.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.4.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.4.1.1.1.1" xref="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.4.1.1.1.1.cmml"><mi id="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.4.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.4.1.1.1.1.2.cmml">Q</mi><mn id="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.4.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.4.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.4.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.4.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.4.3" xref="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.4.3.cmml"><mi id="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.4.3.2" xref="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.4.3.2.cmml">ω</mi><mo id="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.4.3.1" xref="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.4.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.4.3.3" xref="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.4.3.3.cmml">τ</mi></mrow><mrow id="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.4.1.3" xref="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.4.1.3.cmml"><mi id="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.4.1.3.2" mathvariant="normal" xref="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.4.1.3.2.cmml">ℓ</mi><mo id="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.4.1.3.1" xref="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.4.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.4.1.3.3" mathvariant="normal" xref="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.4.1.3.3.cmml">ℓ</mi></mrow></msubsup><mo id="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.9f" xref="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.9.cmml">⁢</mo><msubsup id="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.5" xref="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.5.cmml"><mrow id="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.5.1.1.1" xref="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.5.1.1.1.1.cmml"><mo id="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.5.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.5.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.5.1.1.1.1" xref="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.5.1.1.1.1.cmml"><mi id="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.5.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.5.1.1.1.1.2.cmml">D</mi><mi id="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.5.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.5.1.1.1.1.3.cmml">ν</mi></msub><mo id="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.5.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.5.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.5.3" xref="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.5.3.cmml"><mi id="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.5.3.2" xref="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.5.3.2.cmml">τ</mi><mo id="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.5.3.1" xref="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.5.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.5.3.3" xref="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.5.3.3.cmml">τ</mi></mrow><mrow id="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.5.1.3" xref="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.5.1.3.cmml"><mi id="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.5.1.3.2" mathvariant="normal" xref="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.5.1.3.2.cmml">ℓ</mi><mo id="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.5.1.3.1" xref="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.5.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.5.1.3.3" xref="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.5.1.3.3.cmml">j</mi></mrow></msubsup><mo id="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.9g" xref="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.9.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.13" xref="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.13.cmml">W</mi><mo id="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.9h" xref="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.9.cmml">⁢</mo><msubsup id="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.6" xref="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.6.cmml"><mrow id="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.6.1.1.1" xref="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.6.1.1.1.1.cmml"><mo id="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.6.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.6.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.6.1.1.1.1" xref="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.6.1.1.1.1.cmml"><msub id="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.6.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.6.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.6.1.1.1.1.2.2" xref="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.6.1.1.1.1.2.2.cmml">Q</mi><mn id="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.6.1.1.1.1.2.3" xref="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.6.1.1.1.1.2.3.cmml">2</mn></msub><mo id="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.6.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.6.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.6.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.6.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.6.1.1.1.1.3.2" xref="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.6.1.1.1.1.3.2.cmml">Q</mi><mn id="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.6.1.1.1.1.3.3" xref="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.6.1.1.1.1.3.3.cmml">3</mn></msub></mrow><mo id="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.6.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.6.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.6.3" xref="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.6.3.cmml"><mi id="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.6.3.2" xref="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.6.3.2.cmml">τ</mi><mo id="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.6.3.1" xref="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.6.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.6.3.3" xref="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.6.3.3.cmml">π</mi></mrow><mrow id="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.6.1.3" xref="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.6.1.3.cmml"><mi id="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.6.1.3.2" xref="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.6.1.3.2.cmml">j</mi><mo id="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.6.1.3.1" xref="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.6.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.6.1.3.3" xref="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.6.1.3.3.cmml">j</mi></mrow></msubsup><mo id="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.9i" xref="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.9.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.14" xref="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.14.cmml">D</mi><mo id="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.9j" xref="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.9.cmml">⁢</mo><msubsup id="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.7" xref="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.7.cmml"><mrow id="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.7.1.1.1" xref="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.7.1.1.1.1.cmml"><mo id="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.7.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.7.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.7.1.1.1.1" xref="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.7.1.1.1.1.cmml"><mi id="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.7.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.7.1.1.1.1.2.cmml">Q</mi><mn id="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.7.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.7.1.1.1.1.3.cmml">2</mn></msub><mo id="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.7.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.7.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.7.3" xref="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.7.3.cmml"><mi id="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.7.3.2" xref="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.7.3.2.cmml">π</mi><mo id="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.7.3.1" xref="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.7.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.7.3.3" xref="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.7.3.3.cmml">π</mi></mrow><mrow id="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.7.1.3" xref="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.7.1.3.cmml"><mi id="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.7.1.3.2" xref="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.7.1.3.2.cmml">j</mi><mo id="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.7.1.3.1" xref="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.7.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.7.1.3.3" xref="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.7.1.3.3.cmml">j</mi></mrow></msubsup><mo id="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.9k" xref="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.9.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.15" xref="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.15.cmml">C</mi><mo id="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.9l" xref="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.9.cmml">⁢</mo><msubsup id="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.8" xref="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.8.cmml"><mrow id="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.8.1.1.1" xref="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.8.1.1.1.1.cmml"><mo id="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.8.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.8.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.8.1.1.1.1" xref="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.8.1.1.1.1.cmml"><mi id="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.8.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.8.1.1.1.1.2.cmml">Q</mi><mn id="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.8.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.8.1.1.1.1.3.cmml">3</mn></msub><mo id="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.8.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.8.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.8.3" xref="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.8.3.cmml"><mi id="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.8.3.2" xref="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.8.3.2.cmml">π</mi><mo id="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.8.3.1" xref="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.8.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.8.3.3" xref="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.8.3.3.cmml">σ</mi></mrow><mrow id="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.8.1.3" xref="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.8.1.3.cmml"><mi id="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.8.1.3.2" xref="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.8.1.3.2.cmml">j</mi><mo id="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.8.1.3.1" xref="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.8.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.8.1.3.3" xref="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.8.1.3.3.cmml">j</mi></mrow></msubsup></mrow><mo id="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.2.1.cmml">]</mo></mrow><mo id="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.2" xref="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.2.cmml">⁢</mo><msubsup id="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.3" xref="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.3.cmml"><mi id="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.3.2.2" xref="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.3.2.2.cmml">R</mi><mi id="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.3.2.3" xref="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.3.2.3.cmml">ν</mi><mrow id="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.3.3" xref="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.3.3.cmml"><mi id="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.3.3.2" xref="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.3.3.2.cmml">i</mi><mo id="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.3.3.1" xref="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.3.3.3" xref="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.3.3.3.cmml">k</mi></mrow></msubsup><mo id="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.2a" xref="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.Ex38.m1.1.1a.3" xref="S5.Ex38.m1.1.1a.2.cmml"><mo id="S5.Ex38.m1.1.1a.3.1" stretchy="false" xref="S5.Ex38.m1.1.1a.2.1.cmml">|</mo><mrow id="S5.Ex38.m1.1.1.1.1.5" xref="S5.Ex38.m1.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="S5.Ex38.m1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex38.m1.1.1.1.1.1.cmml">I</mi><mo id="S5.Ex38.m1.1.1.1.1.5.1" xref="S5.Ex38.m1.1.1.1.1.4.cmml">,</mo><mi id="S5.Ex38.m1.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex38.m1.1.1.1.1.2.cmml">I</mi><mo id="S5.Ex38.m1.1.1.1.1.5.2" xref="S5.Ex38.m1.1.1.1.1.4.cmml">,</mo><mi id="S5.Ex38.m1.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex38.m1.1.1.1.1.3.cmml">ξ</mi></mrow><mo id="S5.Ex38.m1.1.1a.3.2" stretchy="false" xref="S5.Ex38.m1.1.1a.2.1.cmml">⟩</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.Ex38.m1.8b"><apply id="S5.Ex38.m1.8.8.cmml" xref="S5.Ex38.m1.8.8"><eq id="S5.Ex38.m1.8.8.2.cmml" xref="S5.Ex38.m1.8.8.2"></eq><csymbol cd="latexml" id="S5.Ex38.m1.8.8.3.cmml" xref="S5.Ex38.m1.8.8.3">absent</csymbol><apply id="S5.Ex38.m1.8.8.1.cmml" xref="S5.Ex38.m1.8.8.1"><apply id="S5.Ex38.m1.8.8.1.2.cmml" xref="S5.Ex38.m1.8.8.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex38.m1.8.8.1.2.1.cmml" xref="S5.Ex38.m1.8.8.1.2">subscript</csymbol><sum id="S5.Ex38.m1.8.8.1.2.2.cmml" xref="S5.Ex38.m1.8.8.1.2.2"></sum><list id="S5.Ex38.m1.7.7.6.7.cmml" xref="S5.Ex38.m1.7.7.6.8"><ci id="S5.Ex38.m1.2.2.1.1.cmml" xref="S5.Ex38.m1.2.2.1.1">𝜉</ci><ci id="S5.Ex38.m1.3.3.2.2.cmml" xref="S5.Ex38.m1.3.3.2.2">𝜔</ci><ci id="S5.Ex38.m1.4.4.3.3.cmml" xref="S5.Ex38.m1.4.4.3.3">𝜏</ci><ci id="S5.Ex38.m1.5.5.4.4.cmml" xref="S5.Ex38.m1.5.5.4.4">𝜋</ci><ci id="S5.Ex38.m1.6.6.5.5.cmml" xref="S5.Ex38.m1.6.6.5.5">𝑘</ci><ci id="S5.Ex38.m1.7.7.6.6.cmml" xref="S5.Ex38.m1.7.7.6.6">ℓ</ci></list></apply><apply id="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.cmml" xref="S5.Ex38.m1.8.8.1.1"><times id="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.2"></times><apply id="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" 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id="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝐷</ci><ci id="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">𝜈</ci></apply><apply id="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><minus id="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"></minus><cn id="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">1</cn></apply></apply><apply id="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3"><times id="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><ci id="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑘</ci><ci id="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.3">ℓ</ci></apply></apply><apply id="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.3"><times id="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><ci id="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.3.2">𝜉</ci><ci id="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.3.3">𝜉</ci></apply></apply><ci id="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.10.cmml" xref="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.10">𝑊</ci><apply id="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><apply id="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.2.1.2.cmml" xref="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.cmml" 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id="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.3.3">2</cn></apply></apply><apply id="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.2.1.3.cmml" xref="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.2.1.3"><times id="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.2.1.3.1.cmml" xref="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.2.1.3.1"></times><ci id="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.2.1.3.2.cmml" xref="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.2.1.3.2">ℓ</ci><ci id="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.2.1.3.3.cmml" xref="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.2.1.3.3">ℓ</ci></apply></apply><apply id="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.2.3"><times id="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.2.3.1"></times><ci id="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.2.3.2">𝜉</ci><ci id="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.2.3.3">𝜔</ci></apply></apply><ci id="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.11.cmml" xref="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.11">𝐷</ci><apply id="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><apply id="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.3.1.2.cmml" xref="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.3.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.3.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2">𝑄</ci><cn id="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.3">2</cn></apply><apply id="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.3.1.3.cmml" xref="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.3.1.3"><times id="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.3.1.3.1.cmml" xref="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.3.1.3.1"></times><ci id="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.3.1.3.2.cmml" xref="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.3.1.3.2">ℓ</ci><ci id="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.3.1.3.3.cmml" xref="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.3.1.3.3">ℓ</ci></apply></apply><apply id="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.3.3"><times id="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.3.3.1"></times><ci id="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.3.3.2">𝜔</ci><ci id="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.3.3.3">𝜔</ci></apply></apply><ci id="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.12.cmml" xref="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.12">𝐶</ci><apply id="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.4">subscript</csymbol><apply id="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.4.1.2.cmml" xref="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.4">superscript</csymbol><apply id="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.4.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.4.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.4.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.4.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.4.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.4.1.1.1.1.2">𝑄</ci><cn id="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.4.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.4.1.1.1.1.3">1</cn></apply><apply id="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.4.1.3.cmml" xref="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.4.1.3"><times id="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.4.1.3.1.cmml" xref="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.4.1.3.1"></times><ci id="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.4.1.3.2.cmml" xref="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.4.1.3.2">ℓ</ci><ci id="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.4.1.3.3.cmml" xref="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.4.1.3.3">ℓ</ci></apply></apply><apply id="S5.Ex38.m1.8.8.1.1.1.1.1.4.3.cmml" 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italic_Q start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT italic_Q start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT roman_ℓ roman_ℓ end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_ξ italic_ω end_POSTSUBSCRIPT italic_D ( italic_Q start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT roman_ℓ roman_ℓ end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_ω italic_ω end_POSTSUBSCRIPT italic_C ( italic_Q start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT roman_ℓ roman_ℓ end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_ω italic_τ end_POSTSUBSCRIPT ( italic_D start_POSTSUBSCRIPT italic_ν end_POSTSUBSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT roman_ℓ italic_j end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_τ italic_τ end_POSTSUBSCRIPT italic_W ( italic_Q start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT italic_Q start_POSTSUBSCRIPT 3 end_POSTSUBSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_j italic_j end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_τ italic_π end_POSTSUBSCRIPT italic_D ( italic_Q start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_j italic_j end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_π italic_π end_POSTSUBSCRIPT italic_C ( italic_Q start_POSTSUBSCRIPT 3 end_POSTSUBSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_j italic_j end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_π italic_σ end_POSTSUBSCRIPT ] italic_R start_POSTSUBSCRIPT italic_ν end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_i italic_k end_POSTSUPERSCRIPT | start_ARG italic_I , italic_I , italic_ξ end_ARG ⟩</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="S5.E74"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=\sum_{k}M^{\nu,kj}_{m,\xi\sigma}\ket{e_{\nu}^{ik,\xi}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.E74.m1.5"><semantics id="S5.E74.m1.5a"><mrow id="S5.E74.m1.5.6" xref="S5.E74.m1.5.6.cmml"><mi id="S5.E74.m1.5.6.2" xref="S5.E74.m1.5.6.2.cmml"></mi><mo id="S5.E74.m1.5.6.1" xref="S5.E74.m1.5.6.1.cmml">=</mo><mrow id="S5.E74.m1.5.6.3" xref="S5.E74.m1.5.6.3.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S5.E74.m1.5.6.3.1" xref="S5.E74.m1.5.6.3.1.cmml"><munder id="S5.E74.m1.5.6.3.1a" xref="S5.E74.m1.5.6.3.1.cmml"><mo id="S5.E74.m1.5.6.3.1.2" movablelimits="false" xref="S5.E74.m1.5.6.3.1.2.cmml">∑</mo><mi id="S5.E74.m1.5.6.3.1.3" xref="S5.E74.m1.5.6.3.1.3.cmml">k</mi></munder></mstyle><mrow id="S5.E74.m1.5.6.3.2" xref="S5.E74.m1.5.6.3.2.cmml"><msubsup id="S5.E74.m1.5.6.3.2.2" xref="S5.E74.m1.5.6.3.2.2.cmml"><mi id="S5.E74.m1.5.6.3.2.2.2.2" xref="S5.E74.m1.5.6.3.2.2.2.2.cmml">M</mi><mrow id="S5.E74.m1.5.5.2.2" xref="S5.E74.m1.5.5.2.3.cmml"><mi id="S5.E74.m1.4.4.1.1" xref="S5.E74.m1.4.4.1.1.cmml">m</mi><mo id="S5.E74.m1.5.5.2.2.2" xref="S5.E74.m1.5.5.2.3.cmml">,</mo><mrow id="S5.E74.m1.5.5.2.2.1" xref="S5.E74.m1.5.5.2.2.1.cmml"><mi id="S5.E74.m1.5.5.2.2.1.2" xref="S5.E74.m1.5.5.2.2.1.2.cmml">ξ</mi><mo id="S5.E74.m1.5.5.2.2.1.1" xref="S5.E74.m1.5.5.2.2.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.E74.m1.5.5.2.2.1.3" xref="S5.E74.m1.5.5.2.2.1.3.cmml">σ</mi></mrow></mrow><mrow id="S5.E74.m1.3.3.2.2" xref="S5.E74.m1.3.3.2.3.cmml"><mi id="S5.E74.m1.2.2.1.1" xref="S5.E74.m1.2.2.1.1.cmml">ν</mi><mo id="S5.E74.m1.3.3.2.2.2" xref="S5.E74.m1.3.3.2.3.cmml">,</mo><mrow id="S5.E74.m1.3.3.2.2.1" xref="S5.E74.m1.3.3.2.2.1.cmml"><mi id="S5.E74.m1.3.3.2.2.1.2" xref="S5.E74.m1.3.3.2.2.1.2.cmml">k</mi><mo id="S5.E74.m1.3.3.2.2.1.1" xref="S5.E74.m1.3.3.2.2.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.E74.m1.3.3.2.2.1.3" xref="S5.E74.m1.3.3.2.2.1.3.cmml">j</mi></mrow></mrow></msubsup><mo id="S5.E74.m1.5.6.3.2.1" xref="S5.E74.m1.5.6.3.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.E74.m1.1.1a.3" xref="S5.E74.m1.1.1a.2.cmml"><mo id="S5.E74.m1.1.1a.3.1" stretchy="false" xref="S5.E74.m1.1.1a.2.1.cmml">|</mo><msubsup id="S5.E74.m1.1.1.1.1" xref="S5.E74.m1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S5.E74.m1.1.1.1.1.4.2" xref="S5.E74.m1.1.1.1.1.4.2.cmml">e</mi><mi id="S5.E74.m1.1.1.1.1.4.3" xref="S5.E74.m1.1.1.1.1.4.3.cmml">ν</mi><mrow id="S5.E74.m1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S5.E74.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mrow id="S5.E74.m1.1.1.1.1.2.2.2.1" xref="S5.E74.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml"><mi id="S5.E74.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.2" xref="S5.E74.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.2.cmml">i</mi><mo id="S5.E74.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1" xref="S5.E74.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.E74.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.3" xref="S5.E74.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.3.cmml">k</mi></mrow><mo id="S5.E74.m1.1.1.1.1.2.2.2.2" xref="S5.E74.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S5.E74.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.E74.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">ξ</mi></mrow></msubsup><mo id="S5.E74.m1.1.1a.3.2" stretchy="false" xref="S5.E74.m1.1.1a.2.1.cmml">⟩</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.E74.m1.5b"><apply id="S5.E74.m1.5.6.cmml" xref="S5.E74.m1.5.6"><eq id="S5.E74.m1.5.6.1.cmml" xref="S5.E74.m1.5.6.1"></eq><csymbol cd="latexml" id="S5.E74.m1.5.6.2.cmml" xref="S5.E74.m1.5.6.2">absent</csymbol><apply id="S5.E74.m1.5.6.3.cmml" xref="S5.E74.m1.5.6.3"><apply id="S5.E74.m1.5.6.3.1.cmml" xref="S5.E74.m1.5.6.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E74.m1.5.6.3.1.1.cmml" xref="S5.E74.m1.5.6.3.1">subscript</csymbol><sum id="S5.E74.m1.5.6.3.1.2.cmml" xref="S5.E74.m1.5.6.3.1.2"></sum><ci id="S5.E74.m1.5.6.3.1.3.cmml" xref="S5.E74.m1.5.6.3.1.3">𝑘</ci></apply><apply id="S5.E74.m1.5.6.3.2.cmml" xref="S5.E74.m1.5.6.3.2"><times id="S5.E74.m1.5.6.3.2.1.cmml" xref="S5.E74.m1.5.6.3.2.1"></times><apply id="S5.E74.m1.5.6.3.2.2.cmml" xref="S5.E74.m1.5.6.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E74.m1.5.6.3.2.2.1.cmml" xref="S5.E74.m1.5.6.3.2.2">subscript</csymbol><apply id="S5.E74.m1.5.6.3.2.2.2.cmml" xref="S5.E74.m1.5.6.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E74.m1.5.6.3.2.2.2.1.cmml" xref="S5.E74.m1.5.6.3.2.2">superscript</csymbol><ci id="S5.E74.m1.5.6.3.2.2.2.2.cmml" xref="S5.E74.m1.5.6.3.2.2.2.2">𝑀</ci><list id="S5.E74.m1.3.3.2.3.cmml" xref="S5.E74.m1.3.3.2.2"><ci id="S5.E74.m1.2.2.1.1.cmml" xref="S5.E74.m1.2.2.1.1">𝜈</ci><apply id="S5.E74.m1.3.3.2.2.1.cmml" xref="S5.E74.m1.3.3.2.2.1"><times id="S5.E74.m1.3.3.2.2.1.1.cmml" xref="S5.E74.m1.3.3.2.2.1.1"></times><ci id="S5.E74.m1.3.3.2.2.1.2.cmml" xref="S5.E74.m1.3.3.2.2.1.2">𝑘</ci><ci id="S5.E74.m1.3.3.2.2.1.3.cmml" xref="S5.E74.m1.3.3.2.2.1.3">𝑗</ci></apply></list></apply><list id="S5.E74.m1.5.5.2.3.cmml" xref="S5.E74.m1.5.5.2.2"><ci id="S5.E74.m1.4.4.1.1.cmml" xref="S5.E74.m1.4.4.1.1">𝑚</ci><apply id="S5.E74.m1.5.5.2.2.1.cmml" xref="S5.E74.m1.5.5.2.2.1"><times id="S5.E74.m1.5.5.2.2.1.1.cmml" xref="S5.E74.m1.5.5.2.2.1.1"></times><ci id="S5.E74.m1.5.5.2.2.1.2.cmml" xref="S5.E74.m1.5.5.2.2.1.2">𝜉</ci><ci id="S5.E74.m1.5.5.2.2.1.3.cmml" xref="S5.E74.m1.5.5.2.2.1.3">𝜎</ci></apply></list></apply><apply id="S5.E74.m1.1.1a.2.cmml" xref="S5.E74.m1.1.1a.3"><csymbol cd="latexml" id="S5.E74.m1.1.1a.2.1.cmml" xref="S5.E74.m1.1.1a.3.1">ket</csymbol><apply id="S5.E74.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.E74.m1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E74.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.E74.m1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S5.E74.m1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S5.E74.m1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E74.m1.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="S5.E74.m1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.E74.m1.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="S5.E74.m1.1.1.1.1.4.2">𝑒</ci><ci id="S5.E74.m1.1.1.1.1.4.3.cmml" xref="S5.E74.m1.1.1.1.1.4.3">𝜈</ci></apply><list id="S5.E74.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S5.E74.m1.1.1.1.1.2.2.2"><apply id="S5.E74.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S5.E74.m1.1.1.1.1.2.2.2.1"><times id="S5.E74.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.cmml" xref="S5.E74.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1"></times><ci id="S5.E74.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.2.cmml" xref="S5.E74.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.2">𝑖</ci><ci id="S5.E74.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.3.cmml" xref="S5.E74.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.3">𝑘</ci></apply><ci id="S5.E74.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.E74.m1.1.1.1.1.1.1.1">𝜉</ci></list></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.E74.m1.5c">\displaystyle=\sum_{k}M^{\nu,kj}_{m,\xi\sigma}\ket{e_{\nu}^{ik,\xi}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.E74.m1.5d">= ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT italic_M start_POSTSUPERSCRIPT italic_ν , italic_k italic_j end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_m , italic_ξ italic_σ end_POSTSUBSCRIPT | start_ARG italic_e start_POSTSUBSCRIPT italic_ν end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_i italic_k , italic_ξ end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG ⟩</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(74)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S5.SS1.2.p1.9">∎</p> </div> </div> <div class="ltx_para" id="S5.SS1.p5"> <p class="ltx_p" id="S5.SS1.p5.1">We can reduce the isotypical subspace even further by considering global left-action symmetries as well as global right-action. In Appendix <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#A5" title="Appendix E Irreps of generalized action ‣ Conditional 𝑡-independent spectral gap for random quantum circuits and implications for 𝑡-design depths"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">E</span></a>, we consider the nature of this reduced subspace as well as the form of the gate <math alttext="K_{m}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS1.p5.1.m1.1"><semantics id="S5.SS1.p5.1.m1.1a"><msub id="S5.SS1.p5.1.m1.1.1" xref="S5.SS1.p5.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S5.SS1.p5.1.m1.1.1.2" xref="S5.SS1.p5.1.m1.1.1.2.cmml">K</mi><mi id="S5.SS1.p5.1.m1.1.1.3" xref="S5.SS1.p5.1.m1.1.1.3.cmml">m</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS1.p5.1.m1.1b"><apply id="S5.SS1.p5.1.m1.1.1.cmml" xref="S5.SS1.p5.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS1.p5.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S5.SS1.p5.1.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.SS1.p5.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S5.SS1.p5.1.m1.1.1.2">𝐾</ci><ci id="S5.SS1.p5.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S5.SS1.p5.1.m1.1.1.3">𝑚</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS1.p5.1.m1.1c">K_{m}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS1.p5.1.m1.1d">italic_K start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> in this subspace. For now, it is sufficient to prove Theorem <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#Thmtheorem1" title="Theorem 1. ‣ I.2 Main results ‣ I Introduction ‣ Conditional 𝑡-independent spectral gap for random quantum circuits and implications for 𝑡-design depths"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">1</span></a> with just global right-action symmetries.</p> </div> </section> <section class="ltx_subsection" id="S5.SS2"> <h3 class="ltx_title ltx_title_subsection"> <span class="ltx_tag ltx_tag_subsection">V.2 </span>Computing <math alttext="\lambda" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS2.1.m1.1"><semantics id="S5.SS2.1.m1.1b"><mi id="S5.SS2.1.m1.1.1" xref="S5.SS2.1.m1.1.1.cmml">λ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS2.1.m1.1c"><ci id="S5.SS2.1.m1.1.1.cmml" xref="S5.SS2.1.m1.1.1">𝜆</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS2.1.m1.1d">\lambda</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS2.1.m1.1e">italic_λ</annotation></semantics></math> when <math alttext="t=2" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS2.2.m2.1"><semantics id="S5.SS2.2.m2.1b"><mrow id="S5.SS2.2.m2.1.1" xref="S5.SS2.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S5.SS2.2.m2.1.1.2" xref="S5.SS2.2.m2.1.1.2.cmml">t</mi><mo id="S5.SS2.2.m2.1.1.1" xref="S5.SS2.2.m2.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S5.SS2.2.m2.1.1.3" xref="S5.SS2.2.m2.1.1.3.cmml">2</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS2.2.m2.1c"><apply id="S5.SS2.2.m2.1.1.cmml" xref="S5.SS2.2.m2.1.1"><eq id="S5.SS2.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S5.SS2.2.m2.1.1.1"></eq><ci id="S5.SS2.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S5.SS2.2.m2.1.1.2">𝑡</ci><cn id="S5.SS2.2.m2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.SS2.2.m2.1.1.3">2</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS2.2.m2.1d">t=2</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS2.2.m2.1e">italic_t = 2</annotation></semantics></math> </h3> <div class="ltx_para" id="S5.SS2.p1"> <p class="ltx_p" id="S5.SS2.p1.2">We will begin by computing the subleading eigenvalue of <math alttext="K_{m}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS2.p1.1.m1.1"><semantics id="S5.SS2.p1.1.m1.1a"><msub id="S5.SS2.p1.1.m1.1.1" xref="S5.SS2.p1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S5.SS2.p1.1.m1.1.1.2" xref="S5.SS2.p1.1.m1.1.1.2.cmml">K</mi><mi id="S5.SS2.p1.1.m1.1.1.3" xref="S5.SS2.p1.1.m1.1.1.3.cmml">m</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS2.p1.1.m1.1b"><apply id="S5.SS2.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S5.SS2.p1.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS2.p1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S5.SS2.p1.1.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.SS2.p1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S5.SS2.p1.1.m1.1.1.2">𝐾</ci><ci id="S5.SS2.p1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S5.SS2.p1.1.m1.1.1.3">𝑚</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS2.p1.1.m1.1c">K_{m}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS2.p1.1.m1.1d">italic_K start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> in the special case <math alttext="t=2" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS2.p1.2.m2.1"><semantics id="S5.SS2.p1.2.m2.1a"><mrow id="S5.SS2.p1.2.m2.1.1" xref="S5.SS2.p1.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S5.SS2.p1.2.m2.1.1.2" xref="S5.SS2.p1.2.m2.1.1.2.cmml">t</mi><mo id="S5.SS2.p1.2.m2.1.1.1" xref="S5.SS2.p1.2.m2.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S5.SS2.p1.2.m2.1.1.3" xref="S5.SS2.p1.2.m2.1.1.3.cmml">2</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS2.p1.2.m2.1b"><apply id="S5.SS2.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="S5.SS2.p1.2.m2.1.1"><eq id="S5.SS2.p1.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S5.SS2.p1.2.m2.1.1.1"></eq><ci id="S5.SS2.p1.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S5.SS2.p1.2.m2.1.1.2">𝑡</ci><cn id="S5.SS2.p1.2.m2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.SS2.p1.2.m2.1.1.3">2</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS2.p1.2.m2.1c">t=2</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS2.p1.2.m2.1d">italic_t = 2</annotation></semantics></math>.</p> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_theorem" id="Thmtheorem37"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmtheorem37.1.1.1">Theorem 37</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmtheorem37.2.2">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="Thmtheorem37.p1"> <p class="ltx_p" id="Thmtheorem37.p1.1"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmtheorem37.p1.1.1">When <math alttext="t=2" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem37.p1.1.1.m1.1"><semantics id="Thmtheorem37.p1.1.1.m1.1a"><mrow id="Thmtheorem37.p1.1.1.m1.1.1" xref="Thmtheorem37.p1.1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="Thmtheorem37.p1.1.1.m1.1.1.2" xref="Thmtheorem37.p1.1.1.m1.1.1.2.cmml">t</mi><mo id="Thmtheorem37.p1.1.1.m1.1.1.1" xref="Thmtheorem37.p1.1.1.m1.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="Thmtheorem37.p1.1.1.m1.1.1.3" xref="Thmtheorem37.p1.1.1.m1.1.1.3.cmml">2</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem37.p1.1.1.m1.1b"><apply id="Thmtheorem37.p1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem37.p1.1.1.m1.1.1"><eq id="Thmtheorem37.p1.1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem37.p1.1.1.m1.1.1.1"></eq><ci id="Thmtheorem37.p1.1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="Thmtheorem37.p1.1.1.m1.1.1.2">𝑡</ci><cn id="Thmtheorem37.p1.1.1.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="Thmtheorem37.p1.1.1.m1.1.1.3">2</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem37.p1.1.1.m1.1c">t=2</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem37.p1.1.1.m1.1d">italic_t = 2</annotation></semantics></math>,</span></p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S5.Ex39"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\lambda_{m}=\frac{q^{2}(q^{2m}-1)}{(q^{2}+1)(q^{2m+2}-1)}\leq\frac{1}{1+q^{2}}" class="ltx_Math" display="block" id="S5.Ex39.m1.3"><semantics id="S5.Ex39.m1.3a"><mrow id="S5.Ex39.m1.3.4" xref="S5.Ex39.m1.3.4.cmml"><msub id="S5.Ex39.m1.3.4.2" xref="S5.Ex39.m1.3.4.2.cmml"><mi id="S5.Ex39.m1.3.4.2.2" xref="S5.Ex39.m1.3.4.2.2.cmml">λ</mi><mi id="S5.Ex39.m1.3.4.2.3" xref="S5.Ex39.m1.3.4.2.3.cmml">m</mi></msub><mo id="S5.Ex39.m1.3.4.3" xref="S5.Ex39.m1.3.4.3.cmml">=</mo><mfrac id="S5.Ex39.m1.3.3" xref="S5.Ex39.m1.3.3.cmml"><mrow id="S5.Ex39.m1.1.1.1" xref="S5.Ex39.m1.1.1.1.cmml"><msup id="S5.Ex39.m1.1.1.1.3" xref="S5.Ex39.m1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S5.Ex39.m1.1.1.1.3.2" xref="S5.Ex39.m1.1.1.1.3.2.cmml">q</mi><mn id="S5.Ex39.m1.1.1.1.3.3" xref="S5.Ex39.m1.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S5.Ex39.m1.1.1.1.2" xref="S5.Ex39.m1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.Ex39.m1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex39.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S5.Ex39.m1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S5.Ex39.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S5.Ex39.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex39.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msup id="S5.Ex39.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex39.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S5.Ex39.m1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S5.Ex39.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">q</mi><mrow id="S5.Ex39.m1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S5.Ex39.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mn id="S5.Ex39.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S5.Ex39.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">2</mn><mo id="S5.Ex39.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.1" xref="S5.Ex39.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex39.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="S5.Ex39.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">m</mi></mrow></msup><mo id="S5.Ex39.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex39.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mn id="S5.Ex39.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex39.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="S5.Ex39.m1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S5.Ex39.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mrow id="S5.Ex39.m1.3.3.3" xref="S5.Ex39.m1.3.3.3.cmml"><mrow id="S5.Ex39.m1.2.2.2.1.1" xref="S5.Ex39.m1.2.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="S5.Ex39.m1.2.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S5.Ex39.m1.2.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S5.Ex39.m1.2.2.2.1.1.1" xref="S5.Ex39.m1.2.2.2.1.1.1.cmml"><msup id="S5.Ex39.m1.2.2.2.1.1.1.2" xref="S5.Ex39.m1.2.2.2.1.1.1.2.cmml"><mi id="S5.Ex39.m1.2.2.2.1.1.1.2.2" xref="S5.Ex39.m1.2.2.2.1.1.1.2.2.cmml">q</mi><mn id="S5.Ex39.m1.2.2.2.1.1.1.2.3" xref="S5.Ex39.m1.2.2.2.1.1.1.2.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S5.Ex39.m1.2.2.2.1.1.1.1" xref="S5.Ex39.m1.2.2.2.1.1.1.1.cmml">+</mo><mn id="S5.Ex39.m1.2.2.2.1.1.1.3" xref="S5.Ex39.m1.2.2.2.1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="S5.Ex39.m1.2.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S5.Ex39.m1.2.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S5.Ex39.m1.3.3.3.3" xref="S5.Ex39.m1.3.3.3.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.Ex39.m1.3.3.3.2.1" xref="S5.Ex39.m1.3.3.3.2.1.1.cmml"><mo id="S5.Ex39.m1.3.3.3.2.1.2" stretchy="false" xref="S5.Ex39.m1.3.3.3.2.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S5.Ex39.m1.3.3.3.2.1.1" xref="S5.Ex39.m1.3.3.3.2.1.1.cmml"><msup id="S5.Ex39.m1.3.3.3.2.1.1.2" xref="S5.Ex39.m1.3.3.3.2.1.1.2.cmml"><mi id="S5.Ex39.m1.3.3.3.2.1.1.2.2" xref="S5.Ex39.m1.3.3.3.2.1.1.2.2.cmml">q</mi><mrow id="S5.Ex39.m1.3.3.3.2.1.1.2.3" xref="S5.Ex39.m1.3.3.3.2.1.1.2.3.cmml"><mrow id="S5.Ex39.m1.3.3.3.2.1.1.2.3.2" xref="S5.Ex39.m1.3.3.3.2.1.1.2.3.2.cmml"><mn id="S5.Ex39.m1.3.3.3.2.1.1.2.3.2.2" xref="S5.Ex39.m1.3.3.3.2.1.1.2.3.2.2.cmml">2</mn><mo id="S5.Ex39.m1.3.3.3.2.1.1.2.3.2.1" xref="S5.Ex39.m1.3.3.3.2.1.1.2.3.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex39.m1.3.3.3.2.1.1.2.3.2.3" xref="S5.Ex39.m1.3.3.3.2.1.1.2.3.2.3.cmml">m</mi></mrow><mo id="S5.Ex39.m1.3.3.3.2.1.1.2.3.1" xref="S5.Ex39.m1.3.3.3.2.1.1.2.3.1.cmml">+</mo><mn id="S5.Ex39.m1.3.3.3.2.1.1.2.3.3" xref="S5.Ex39.m1.3.3.3.2.1.1.2.3.3.cmml">2</mn></mrow></msup><mo id="S5.Ex39.m1.3.3.3.2.1.1.1" xref="S5.Ex39.m1.3.3.3.2.1.1.1.cmml">−</mo><mn id="S5.Ex39.m1.3.3.3.2.1.1.3" xref="S5.Ex39.m1.3.3.3.2.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="S5.Ex39.m1.3.3.3.2.1.3" stretchy="false" xref="S5.Ex39.m1.3.3.3.2.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mfrac><mo id="S5.Ex39.m1.3.4.4" xref="S5.Ex39.m1.3.4.4.cmml">≤</mo><mfrac id="S5.Ex39.m1.3.4.5" xref="S5.Ex39.m1.3.4.5.cmml"><mn id="S5.Ex39.m1.3.4.5.2" xref="S5.Ex39.m1.3.4.5.2.cmml">1</mn><mrow id="S5.Ex39.m1.3.4.5.3" xref="S5.Ex39.m1.3.4.5.3.cmml"><mn id="S5.Ex39.m1.3.4.5.3.2" xref="S5.Ex39.m1.3.4.5.3.2.cmml">1</mn><mo id="S5.Ex39.m1.3.4.5.3.1" xref="S5.Ex39.m1.3.4.5.3.1.cmml">+</mo><msup id="S5.Ex39.m1.3.4.5.3.3" xref="S5.Ex39.m1.3.4.5.3.3.cmml"><mi id="S5.Ex39.m1.3.4.5.3.3.2" xref="S5.Ex39.m1.3.4.5.3.3.2.cmml">q</mi><mn id="S5.Ex39.m1.3.4.5.3.3.3" xref="S5.Ex39.m1.3.4.5.3.3.3.cmml">2</mn></msup></mrow></mfrac></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.Ex39.m1.3b"><apply id="S5.Ex39.m1.3.4.cmml" xref="S5.Ex39.m1.3.4"><and id="S5.Ex39.m1.3.4a.cmml" xref="S5.Ex39.m1.3.4"></and><apply id="S5.Ex39.m1.3.4b.cmml" xref="S5.Ex39.m1.3.4"><eq id="S5.Ex39.m1.3.4.3.cmml" xref="S5.Ex39.m1.3.4.3"></eq><apply id="S5.Ex39.m1.3.4.2.cmml" xref="S5.Ex39.m1.3.4.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex39.m1.3.4.2.1.cmml" xref="S5.Ex39.m1.3.4.2">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex39.m1.3.4.2.2.cmml" xref="S5.Ex39.m1.3.4.2.2">𝜆</ci><ci id="S5.Ex39.m1.3.4.2.3.cmml" xref="S5.Ex39.m1.3.4.2.3">𝑚</ci></apply><apply id="S5.Ex39.m1.3.3.cmml" xref="S5.Ex39.m1.3.3"><divide id="S5.Ex39.m1.3.3.4.cmml" xref="S5.Ex39.m1.3.3"></divide><apply id="S5.Ex39.m1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex39.m1.1.1.1"><times id="S5.Ex39.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex39.m1.1.1.1.2"></times><apply id="S5.Ex39.m1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex39.m1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex39.m1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.Ex39.m1.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S5.Ex39.m1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.Ex39.m1.1.1.1.3.2">𝑞</ci><cn id="S5.Ex39.m1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex39.m1.1.1.1.3.3">2</cn></apply><apply id="S5.Ex39.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex39.m1.1.1.1.1.1"><minus id="S5.Ex39.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex39.m1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><apply id="S5.Ex39.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex39.m1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex39.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.Ex39.m1.1.1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S5.Ex39.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.Ex39.m1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝑞</ci><apply id="S5.Ex39.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S5.Ex39.m1.1.1.1.1.1.1.2.3"><times id="S5.Ex39.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S5.Ex39.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.1"></times><cn id="S5.Ex39.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" type="integer" xref="S5.Ex39.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2">2</cn><ci id="S5.Ex39.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S5.Ex39.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3">𝑚</ci></apply></apply><cn id="S5.Ex39.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex39.m1.1.1.1.1.1.1.3">1</cn></apply></apply><apply id="S5.Ex39.m1.3.3.3.cmml" xref="S5.Ex39.m1.3.3.3"><times id="S5.Ex39.m1.3.3.3.3.cmml" xref="S5.Ex39.m1.3.3.3.3"></times><apply id="S5.Ex39.m1.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex39.m1.2.2.2.1.1"><plus id="S5.Ex39.m1.2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex39.m1.2.2.2.1.1.1.1"></plus><apply id="S5.Ex39.m1.2.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex39.m1.2.2.2.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex39.m1.2.2.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.Ex39.m1.2.2.2.1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S5.Ex39.m1.2.2.2.1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.Ex39.m1.2.2.2.1.1.1.2.2">𝑞</ci><cn id="S5.Ex39.m1.2.2.2.1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex39.m1.2.2.2.1.1.1.2.3">2</cn></apply><cn id="S5.Ex39.m1.2.2.2.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex39.m1.2.2.2.1.1.1.3">1</cn></apply><apply id="S5.Ex39.m1.3.3.3.2.1.1.cmml" xref="S5.Ex39.m1.3.3.3.2.1"><minus id="S5.Ex39.m1.3.3.3.2.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex39.m1.3.3.3.2.1.1.1"></minus><apply id="S5.Ex39.m1.3.3.3.2.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex39.m1.3.3.3.2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex39.m1.3.3.3.2.1.1.2.1.cmml" xref="S5.Ex39.m1.3.3.3.2.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S5.Ex39.m1.3.3.3.2.1.1.2.2.cmml" xref="S5.Ex39.m1.3.3.3.2.1.1.2.2">𝑞</ci><apply id="S5.Ex39.m1.3.3.3.2.1.1.2.3.cmml" xref="S5.Ex39.m1.3.3.3.2.1.1.2.3"><plus id="S5.Ex39.m1.3.3.3.2.1.1.2.3.1.cmml" xref="S5.Ex39.m1.3.3.3.2.1.1.2.3.1"></plus><apply id="S5.Ex39.m1.3.3.3.2.1.1.2.3.2.cmml" xref="S5.Ex39.m1.3.3.3.2.1.1.2.3.2"><times id="S5.Ex39.m1.3.3.3.2.1.1.2.3.2.1.cmml" xref="S5.Ex39.m1.3.3.3.2.1.1.2.3.2.1"></times><cn id="S5.Ex39.m1.3.3.3.2.1.1.2.3.2.2.cmml" type="integer" xref="S5.Ex39.m1.3.3.3.2.1.1.2.3.2.2">2</cn><ci id="S5.Ex39.m1.3.3.3.2.1.1.2.3.2.3.cmml" xref="S5.Ex39.m1.3.3.3.2.1.1.2.3.2.3">𝑚</ci></apply><cn id="S5.Ex39.m1.3.3.3.2.1.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex39.m1.3.3.3.2.1.1.2.3.3">2</cn></apply></apply><cn id="S5.Ex39.m1.3.3.3.2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex39.m1.3.3.3.2.1.1.3">1</cn></apply></apply></apply></apply><apply id="S5.Ex39.m1.3.4c.cmml" xref="S5.Ex39.m1.3.4"><leq id="S5.Ex39.m1.3.4.4.cmml" xref="S5.Ex39.m1.3.4.4"></leq><share href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#S5.Ex39.m1.3.3.cmml" id="S5.Ex39.m1.3.4d.cmml" xref="S5.Ex39.m1.3.4"></share><apply id="S5.Ex39.m1.3.4.5.cmml" xref="S5.Ex39.m1.3.4.5"><divide id="S5.Ex39.m1.3.4.5.1.cmml" xref="S5.Ex39.m1.3.4.5"></divide><cn id="S5.Ex39.m1.3.4.5.2.cmml" type="integer" xref="S5.Ex39.m1.3.4.5.2">1</cn><apply id="S5.Ex39.m1.3.4.5.3.cmml" xref="S5.Ex39.m1.3.4.5.3"><plus id="S5.Ex39.m1.3.4.5.3.1.cmml" xref="S5.Ex39.m1.3.4.5.3.1"></plus><cn id="S5.Ex39.m1.3.4.5.3.2.cmml" type="integer" xref="S5.Ex39.m1.3.4.5.3.2">1</cn><apply id="S5.Ex39.m1.3.4.5.3.3.cmml" xref="S5.Ex39.m1.3.4.5.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex39.m1.3.4.5.3.3.1.cmml" xref="S5.Ex39.m1.3.4.5.3.3">superscript</csymbol><ci id="S5.Ex39.m1.3.4.5.3.3.2.cmml" xref="S5.Ex39.m1.3.4.5.3.3.2">𝑞</ci><cn id="S5.Ex39.m1.3.4.5.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex39.m1.3.4.5.3.3.3">2</cn></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.Ex39.m1.3c">\lambda_{m}=\frac{q^{2}(q^{2m}-1)}{(q^{2}+1)(q^{2m+2}-1)}\leq\frac{1}{1+q^{2}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.Ex39.m1.3d">italic_λ start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT = divide start_ARG italic_q start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_q start_POSTSUPERSCRIPT 2 italic_m end_POSTSUPERSCRIPT - 1 ) end_ARG start_ARG ( italic_q start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + 1 ) ( italic_q start_POSTSUPERSCRIPT 2 italic_m + 2 end_POSTSUPERSCRIPT - 1 ) end_ARG ≤ divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 1 + italic_q start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> </div> </div> <div class="ltx_proof" id="S5.SS2.7"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_font_italic ltx_title_proof">Proof.</h6> <div class="ltx_para" id="S5.SS2.3.p1"> <p class="ltx_p" id="S5.SS2.3.p1.8">The only partitions of <math alttext="2" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS2.3.p1.1.m1.1"><semantics id="S5.SS2.3.p1.1.m1.1a"><mn id="S5.SS2.3.p1.1.m1.1.1" xref="S5.SS2.3.p1.1.m1.1.1.cmml">2</mn><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS2.3.p1.1.m1.1b"><cn id="S5.SS2.3.p1.1.m1.1.1.cmml" type="integer" xref="S5.SS2.3.p1.1.m1.1.1">2</cn></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS2.3.p1.1.m1.1c">2</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS2.3.p1.1.m1.1d">2</annotation></semantics></math> are <math alttext="(1,1)" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS2.3.p1.2.m2.2"><semantics id="S5.SS2.3.p1.2.m2.2a"><mrow id="S5.SS2.3.p1.2.m2.2.3.2" xref="S5.SS2.3.p1.2.m2.2.3.1.cmml"><mo id="S5.SS2.3.p1.2.m2.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S5.SS2.3.p1.2.m2.2.3.1.cmml">(</mo><mn id="S5.SS2.3.p1.2.m2.1.1" xref="S5.SS2.3.p1.2.m2.1.1.cmml">1</mn><mo id="S5.SS2.3.p1.2.m2.2.3.2.2" xref="S5.SS2.3.p1.2.m2.2.3.1.cmml">,</mo><mn id="S5.SS2.3.p1.2.m2.2.2" xref="S5.SS2.3.p1.2.m2.2.2.cmml">1</mn><mo id="S5.SS2.3.p1.2.m2.2.3.2.3" stretchy="false" xref="S5.SS2.3.p1.2.m2.2.3.1.cmml">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS2.3.p1.2.m2.2b"><interval closure="open" id="S5.SS2.3.p1.2.m2.2.3.1.cmml" xref="S5.SS2.3.p1.2.m2.2.3.2"><cn id="S5.SS2.3.p1.2.m2.1.1.cmml" type="integer" xref="S5.SS2.3.p1.2.m2.1.1">1</cn><cn id="S5.SS2.3.p1.2.m2.2.2.cmml" type="integer" xref="S5.SS2.3.p1.2.m2.2.2">1</cn></interval></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS2.3.p1.2.m2.2c">(1,1)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS2.3.p1.2.m2.2d">( 1 , 1 )</annotation></semantics></math> and <math alttext="2" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS2.3.p1.3.m3.1"><semantics id="S5.SS2.3.p1.3.m3.1a"><mn id="S5.SS2.3.p1.3.m3.1.1" xref="S5.SS2.3.p1.3.m3.1.1.cmml">2</mn><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS2.3.p1.3.m3.1b"><cn id="S5.SS2.3.p1.3.m3.1.1.cmml" type="integer" xref="S5.SS2.3.p1.3.m3.1.1">2</cn></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS2.3.p1.3.m3.1c">2</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS2.3.p1.3.m3.1d">2</annotation></semantics></math>, corresponding to the alternating and trivial representations, respectively. Each is one-dimensional, so the sum over <math alttext="k" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS2.3.p1.4.m4.1"><semantics id="S5.SS2.3.p1.4.m4.1a"><mi id="S5.SS2.3.p1.4.m4.1.1" xref="S5.SS2.3.p1.4.m4.1.1.cmml">k</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS2.3.p1.4.m4.1b"><ci id="S5.SS2.3.p1.4.m4.1.1.cmml" xref="S5.SS2.3.p1.4.m4.1.1">𝑘</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS2.3.p1.4.m4.1c">k</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS2.3.p1.4.m4.1d">italic_k</annotation></semantics></math> in Equation <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#S5.E74" title="In Proof. ‣ V.1 Factorization of 𝐾_𝑚 ‣ V Structure of the 3-Site Operator ‣ Conditional 𝑡-independent spectral gap for random quantum circuits and implications for 𝑡-design depths"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">74</span></a> contains only the <math alttext="k=1" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS2.3.p1.5.m5.1"><semantics id="S5.SS2.3.p1.5.m5.1a"><mrow id="S5.SS2.3.p1.5.m5.1.1" xref="S5.SS2.3.p1.5.m5.1.1.cmml"><mi id="S5.SS2.3.p1.5.m5.1.1.2" xref="S5.SS2.3.p1.5.m5.1.1.2.cmml">k</mi><mo id="S5.SS2.3.p1.5.m5.1.1.1" xref="S5.SS2.3.p1.5.m5.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S5.SS2.3.p1.5.m5.1.1.3" xref="S5.SS2.3.p1.5.m5.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS2.3.p1.5.m5.1b"><apply id="S5.SS2.3.p1.5.m5.1.1.cmml" xref="S5.SS2.3.p1.5.m5.1.1"><eq id="S5.SS2.3.p1.5.m5.1.1.1.cmml" xref="S5.SS2.3.p1.5.m5.1.1.1"></eq><ci id="S5.SS2.3.p1.5.m5.1.1.2.cmml" xref="S5.SS2.3.p1.5.m5.1.1.2">𝑘</ci><cn id="S5.SS2.3.p1.5.m5.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.SS2.3.p1.5.m5.1.1.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS2.3.p1.5.m5.1c">k=1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS2.3.p1.5.m5.1d">italic_k = 1</annotation></semantics></math> term. The two elements of the group are identity and the <math alttext="(1,2)" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS2.3.p1.6.m6.2"><semantics id="S5.SS2.3.p1.6.m6.2a"><mrow id="S5.SS2.3.p1.6.m6.2.3.2" xref="S5.SS2.3.p1.6.m6.2.3.1.cmml"><mo id="S5.SS2.3.p1.6.m6.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S5.SS2.3.p1.6.m6.2.3.1.cmml">(</mo><mn id="S5.SS2.3.p1.6.m6.1.1" xref="S5.SS2.3.p1.6.m6.1.1.cmml">1</mn><mo id="S5.SS2.3.p1.6.m6.2.3.2.2" xref="S5.SS2.3.p1.6.m6.2.3.1.cmml">,</mo><mn id="S5.SS2.3.p1.6.m6.2.2" xref="S5.SS2.3.p1.6.m6.2.2.cmml">2</mn><mo id="S5.SS2.3.p1.6.m6.2.3.2.3" stretchy="false" xref="S5.SS2.3.p1.6.m6.2.3.1.cmml">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS2.3.p1.6.m6.2b"><interval closure="open" id="S5.SS2.3.p1.6.m6.2.3.1.cmml" xref="S5.SS2.3.p1.6.m6.2.3.2"><cn id="S5.SS2.3.p1.6.m6.1.1.cmml" type="integer" xref="S5.SS2.3.p1.6.m6.1.1">1</cn><cn id="S5.SS2.3.p1.6.m6.2.2.cmml" type="integer" xref="S5.SS2.3.p1.6.m6.2.2">2</cn></interval></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS2.3.p1.6.m6.2c">(1,2)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS2.3.p1.6.m6.2d">( 1 , 2 )</annotation></semantics></math> transposition. These are referred to below as <math alttext="I" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS2.3.p1.7.m7.1"><semantics id="S5.SS2.3.p1.7.m7.1a"><mi id="S5.SS2.3.p1.7.m7.1.1" xref="S5.SS2.3.p1.7.m7.1.1.cmml">I</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS2.3.p1.7.m7.1b"><ci id="S5.SS2.3.p1.7.m7.1.1.cmml" xref="S5.SS2.3.p1.7.m7.1.1">𝐼</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS2.3.p1.7.m7.1c">I</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS2.3.p1.7.m7.1d">italic_I</annotation></semantics></math> and <math alttext="S" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS2.3.p1.8.m8.1"><semantics id="S5.SS2.3.p1.8.m8.1a"><mi id="S5.SS2.3.p1.8.m8.1.1" xref="S5.SS2.3.p1.8.m8.1.1.cmml">S</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS2.3.p1.8.m8.1b"><ci id="S5.SS2.3.p1.8.m8.1.1.cmml" xref="S5.SS2.3.p1.8.m8.1.1">𝑆</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS2.3.p1.8.m8.1c">S</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS2.3.p1.8.m8.1d">italic_S</annotation></semantics></math>, respectively.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S5.SS2.4.p2"> <p class="ltx_p" id="S5.SS2.4.p2.1">In the trivial irrep, we have</p> </div> <div class="ltx_para" id="S5.SS2.5.p3"> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S5.Ex40"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="W(d)=\frac{1}{1-d^{-2}}\begin{bmatrix}1&-1/d\\ -1/d&1\end{bmatrix}" class="ltx_Math" display="block" id="S5.Ex40.m1.2"><semantics id="S5.Ex40.m1.2a"><mrow id="S5.Ex40.m1.2.3" xref="S5.Ex40.m1.2.3.cmml"><mrow id="S5.Ex40.m1.2.3.2" xref="S5.Ex40.m1.2.3.2.cmml"><mi id="S5.Ex40.m1.2.3.2.2" xref="S5.Ex40.m1.2.3.2.2.cmml">W</mi><mo id="S5.Ex40.m1.2.3.2.1" xref="S5.Ex40.m1.2.3.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.Ex40.m1.2.3.2.3.2" xref="S5.Ex40.m1.2.3.2.cmml"><mo id="S5.Ex40.m1.2.3.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S5.Ex40.m1.2.3.2.cmml">(</mo><mi id="S5.Ex40.m1.2.2" xref="S5.Ex40.m1.2.2.cmml">d</mi><mo id="S5.Ex40.m1.2.3.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S5.Ex40.m1.2.3.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S5.Ex40.m1.2.3.1" xref="S5.Ex40.m1.2.3.1.cmml">=</mo><mrow id="S5.Ex40.m1.2.3.3" xref="S5.Ex40.m1.2.3.3.cmml"><mfrac id="S5.Ex40.m1.2.3.3.2" xref="S5.Ex40.m1.2.3.3.2.cmml"><mn id="S5.Ex40.m1.2.3.3.2.2" xref="S5.Ex40.m1.2.3.3.2.2.cmml">1</mn><mrow id="S5.Ex40.m1.2.3.3.2.3" xref="S5.Ex40.m1.2.3.3.2.3.cmml"><mn id="S5.Ex40.m1.2.3.3.2.3.2" xref="S5.Ex40.m1.2.3.3.2.3.2.cmml">1</mn><mo id="S5.Ex40.m1.2.3.3.2.3.1" xref="S5.Ex40.m1.2.3.3.2.3.1.cmml">−</mo><msup id="S5.Ex40.m1.2.3.3.2.3.3" xref="S5.Ex40.m1.2.3.3.2.3.3.cmml"><mi id="S5.Ex40.m1.2.3.3.2.3.3.2" xref="S5.Ex40.m1.2.3.3.2.3.3.2.cmml">d</mi><mrow id="S5.Ex40.m1.2.3.3.2.3.3.3" xref="S5.Ex40.m1.2.3.3.2.3.3.3.cmml"><mo id="S5.Ex40.m1.2.3.3.2.3.3.3a" xref="S5.Ex40.m1.2.3.3.2.3.3.3.cmml">−</mo><mn id="S5.Ex40.m1.2.3.3.2.3.3.3.2" xref="S5.Ex40.m1.2.3.3.2.3.3.3.2.cmml">2</mn></mrow></msup></mrow></mfrac><mo id="S5.Ex40.m1.2.3.3.1" xref="S5.Ex40.m1.2.3.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.Ex40.m1.1.1.3" xref="S5.Ex40.m1.1.1.2.cmml"><mo id="S5.Ex40.m1.1.1.3.1" xref="S5.Ex40.m1.1.1.2.1.cmml">[</mo><mtable columnspacing="5pt" displaystyle="true" id="S5.Ex40.m1.1.1.1.1" rowspacing="0pt" xref="S5.Ex40.m1.1.1.1.1.cmml"><mtr id="S5.Ex40.m1.1.1.1.1a" xref="S5.Ex40.m1.1.1.1.1.cmml"><mtd id="S5.Ex40.m1.1.1.1.1b" xref="S5.Ex40.m1.1.1.1.1.cmml"><mn id="S5.Ex40.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex40.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">1</mn></mtd><mtd id="S5.Ex40.m1.1.1.1.1c" xref="S5.Ex40.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S5.Ex40.m1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S5.Ex40.m1.1.1.1.1.1.2.1.cmml"><mo id="S5.Ex40.m1.1.1.1.1.1.2.1a" xref="S5.Ex40.m1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">−</mo><mrow id="S5.Ex40.m1.1.1.1.1.1.2.1.2" xref="S5.Ex40.m1.1.1.1.1.1.2.1.2.cmml"><mn id="S5.Ex40.m1.1.1.1.1.1.2.1.2.2" xref="S5.Ex40.m1.1.1.1.1.1.2.1.2.2.cmml">1</mn><mo id="S5.Ex40.m1.1.1.1.1.1.2.1.2.1" xref="S5.Ex40.m1.1.1.1.1.1.2.1.2.1.cmml">/</mo><mi id="S5.Ex40.m1.1.1.1.1.1.2.1.2.3" xref="S5.Ex40.m1.1.1.1.1.1.2.1.2.3.cmml">d</mi></mrow></mrow></mtd></mtr><mtr id="S5.Ex40.m1.1.1.1.1d" xref="S5.Ex40.m1.1.1.1.1.cmml"><mtd id="S5.Ex40.m1.1.1.1.1e" xref="S5.Ex40.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S5.Ex40.m1.1.1.1.1.2.1.1" xref="S5.Ex40.m1.1.1.1.1.2.1.1.cmml"><mo id="S5.Ex40.m1.1.1.1.1.2.1.1a" xref="S5.Ex40.m1.1.1.1.1.2.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S5.Ex40.m1.1.1.1.1.2.1.1.2" xref="S5.Ex40.m1.1.1.1.1.2.1.1.2.cmml"><mn id="S5.Ex40.m1.1.1.1.1.2.1.1.2.2" xref="S5.Ex40.m1.1.1.1.1.2.1.1.2.2.cmml">1</mn><mo id="S5.Ex40.m1.1.1.1.1.2.1.1.2.1" xref="S5.Ex40.m1.1.1.1.1.2.1.1.2.1.cmml">/</mo><mi id="S5.Ex40.m1.1.1.1.1.2.1.1.2.3" xref="S5.Ex40.m1.1.1.1.1.2.1.1.2.3.cmml">d</mi></mrow></mrow></mtd><mtd id="S5.Ex40.m1.1.1.1.1f" xref="S5.Ex40.m1.1.1.1.1.cmml"><mn id="S5.Ex40.m1.1.1.1.1.2.2.1" xref="S5.Ex40.m1.1.1.1.1.2.2.1.cmml">1</mn></mtd></mtr></mtable><mo id="S5.Ex40.m1.1.1.3.2" xref="S5.Ex40.m1.1.1.2.1.cmml">]</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.Ex40.m1.2b"><apply id="S5.Ex40.m1.2.3.cmml" xref="S5.Ex40.m1.2.3"><eq id="S5.Ex40.m1.2.3.1.cmml" xref="S5.Ex40.m1.2.3.1"></eq><apply id="S5.Ex40.m1.2.3.2.cmml" xref="S5.Ex40.m1.2.3.2"><times id="S5.Ex40.m1.2.3.2.1.cmml" xref="S5.Ex40.m1.2.3.2.1"></times><ci id="S5.Ex40.m1.2.3.2.2.cmml" xref="S5.Ex40.m1.2.3.2.2">𝑊</ci><ci id="S5.Ex40.m1.2.2.cmml" xref="S5.Ex40.m1.2.2">𝑑</ci></apply><apply id="S5.Ex40.m1.2.3.3.cmml" xref="S5.Ex40.m1.2.3.3"><times id="S5.Ex40.m1.2.3.3.1.cmml" xref="S5.Ex40.m1.2.3.3.1"></times><apply id="S5.Ex40.m1.2.3.3.2.cmml" xref="S5.Ex40.m1.2.3.3.2"><divide id="S5.Ex40.m1.2.3.3.2.1.cmml" xref="S5.Ex40.m1.2.3.3.2"></divide><cn id="S5.Ex40.m1.2.3.3.2.2.cmml" type="integer" xref="S5.Ex40.m1.2.3.3.2.2">1</cn><apply id="S5.Ex40.m1.2.3.3.2.3.cmml" xref="S5.Ex40.m1.2.3.3.2.3"><minus id="S5.Ex40.m1.2.3.3.2.3.1.cmml" xref="S5.Ex40.m1.2.3.3.2.3.1"></minus><cn id="S5.Ex40.m1.2.3.3.2.3.2.cmml" type="integer" xref="S5.Ex40.m1.2.3.3.2.3.2">1</cn><apply id="S5.Ex40.m1.2.3.3.2.3.3.cmml" xref="S5.Ex40.m1.2.3.3.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex40.m1.2.3.3.2.3.3.1.cmml" xref="S5.Ex40.m1.2.3.3.2.3.3">superscript</csymbol><ci id="S5.Ex40.m1.2.3.3.2.3.3.2.cmml" xref="S5.Ex40.m1.2.3.3.2.3.3.2">𝑑</ci><apply id="S5.Ex40.m1.2.3.3.2.3.3.3.cmml" xref="S5.Ex40.m1.2.3.3.2.3.3.3"><minus id="S5.Ex40.m1.2.3.3.2.3.3.3.1.cmml" xref="S5.Ex40.m1.2.3.3.2.3.3.3"></minus><cn id="S5.Ex40.m1.2.3.3.2.3.3.3.2.cmml" type="integer" xref="S5.Ex40.m1.2.3.3.2.3.3.3.2">2</cn></apply></apply></apply></apply><apply id="S5.Ex40.m1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex40.m1.1.1.3"><csymbol cd="latexml" id="S5.Ex40.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.Ex40.m1.1.1.3.1">matrix</csymbol><matrix id="S5.Ex40.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex40.m1.1.1.1.1"><matrixrow id="S5.Ex40.m1.1.1.1.1a.cmml" xref="S5.Ex40.m1.1.1.1.1"><cn id="S5.Ex40.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" type="integer" xref="S5.Ex40.m1.1.1.1.1.1.1.1">1</cn><apply id="S5.Ex40.m1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.Ex40.m1.1.1.1.1.1.2.1"><minus id="S5.Ex40.m1.1.1.1.1.1.2.1.1.cmml" xref="S5.Ex40.m1.1.1.1.1.1.2.1"></minus><apply id="S5.Ex40.m1.1.1.1.1.1.2.1.2.cmml" xref="S5.Ex40.m1.1.1.1.1.1.2.1.2"><divide id="S5.Ex40.m1.1.1.1.1.1.2.1.2.1.cmml" xref="S5.Ex40.m1.1.1.1.1.1.2.1.2.1"></divide><cn id="S5.Ex40.m1.1.1.1.1.1.2.1.2.2.cmml" type="integer" xref="S5.Ex40.m1.1.1.1.1.1.2.1.2.2">1</cn><ci id="S5.Ex40.m1.1.1.1.1.1.2.1.2.3.cmml" xref="S5.Ex40.m1.1.1.1.1.1.2.1.2.3">𝑑</ci></apply></apply></matrixrow><matrixrow id="S5.Ex40.m1.1.1.1.1b.cmml" xref="S5.Ex40.m1.1.1.1.1"><apply id="S5.Ex40.m1.1.1.1.1.2.1.1.cmml" xref="S5.Ex40.m1.1.1.1.1.2.1.1"><minus id="S5.Ex40.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex40.m1.1.1.1.1.2.1.1"></minus><apply id="S5.Ex40.m1.1.1.1.1.2.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex40.m1.1.1.1.1.2.1.1.2"><divide id="S5.Ex40.m1.1.1.1.1.2.1.1.2.1.cmml" xref="S5.Ex40.m1.1.1.1.1.2.1.1.2.1"></divide><cn id="S5.Ex40.m1.1.1.1.1.2.1.1.2.2.cmml" type="integer" xref="S5.Ex40.m1.1.1.1.1.2.1.1.2.2">1</cn><ci id="S5.Ex40.m1.1.1.1.1.2.1.1.2.3.cmml" xref="S5.Ex40.m1.1.1.1.1.2.1.1.2.3">𝑑</ci></apply></apply><cn id="S5.Ex40.m1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" type="integer" xref="S5.Ex40.m1.1.1.1.1.2.2.1">1</cn></matrixrow></matrix></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.Ex40.m1.2c">W(d)=\frac{1}{1-d^{-2}}\begin{bmatrix}1&-1/d\\ -1/d&1\end{bmatrix}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.Ex40.m1.2d">italic_W ( italic_d ) = divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 1 - italic_d start_POSTSUPERSCRIPT - 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG [ start_ARG start_ROW start_CELL 1 end_CELL start_CELL - 1 / italic_d end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL - 1 / italic_d end_CELL start_CELL 1 end_CELL end_ROW end_ARG ]</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S5.Ex41"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="D(d)=\begin{bmatrix}1&0\\ 0&1/d\end{bmatrix}" class="ltx_Math" display="block" id="S5.Ex41.m1.2"><semantics id="S5.Ex41.m1.2a"><mrow id="S5.Ex41.m1.2.3" xref="S5.Ex41.m1.2.3.cmml"><mrow id="S5.Ex41.m1.2.3.2" xref="S5.Ex41.m1.2.3.2.cmml"><mi id="S5.Ex41.m1.2.3.2.2" xref="S5.Ex41.m1.2.3.2.2.cmml">D</mi><mo id="S5.Ex41.m1.2.3.2.1" xref="S5.Ex41.m1.2.3.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.Ex41.m1.2.3.2.3.2" xref="S5.Ex41.m1.2.3.2.cmml"><mo id="S5.Ex41.m1.2.3.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S5.Ex41.m1.2.3.2.cmml">(</mo><mi id="S5.Ex41.m1.2.2" xref="S5.Ex41.m1.2.2.cmml">d</mi><mo id="S5.Ex41.m1.2.3.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S5.Ex41.m1.2.3.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S5.Ex41.m1.2.3.1" xref="S5.Ex41.m1.2.3.1.cmml">=</mo><mrow id="S5.Ex41.m1.1.1.3" xref="S5.Ex41.m1.1.1.2.cmml"><mo id="S5.Ex41.m1.1.1.3.1" xref="S5.Ex41.m1.1.1.2.1.cmml">[</mo><mtable columnspacing="5pt" displaystyle="true" id="S5.Ex41.m1.1.1.1.1" rowspacing="0pt" xref="S5.Ex41.m1.1.1.1.1.cmml"><mtr id="S5.Ex41.m1.1.1.1.1a" xref="S5.Ex41.m1.1.1.1.1.cmml"><mtd id="S5.Ex41.m1.1.1.1.1b" xref="S5.Ex41.m1.1.1.1.1.cmml"><mn id="S5.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">1</mn></mtd><mtd id="S5.Ex41.m1.1.1.1.1c" xref="S5.Ex41.m1.1.1.1.1.cmml"><mn id="S5.Ex41.m1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S5.Ex41.m1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">0</mn></mtd></mtr><mtr id="S5.Ex41.m1.1.1.1.1d" xref="S5.Ex41.m1.1.1.1.1.cmml"><mtd id="S5.Ex41.m1.1.1.1.1e" xref="S5.Ex41.m1.1.1.1.1.cmml"><mn id="S5.Ex41.m1.1.1.1.1.2.1.1" xref="S5.Ex41.m1.1.1.1.1.2.1.1.cmml">0</mn></mtd><mtd id="S5.Ex41.m1.1.1.1.1f" xref="S5.Ex41.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S5.Ex41.m1.1.1.1.1.2.2.1" xref="S5.Ex41.m1.1.1.1.1.2.2.1.cmml"><mn id="S5.Ex41.m1.1.1.1.1.2.2.1.2" xref="S5.Ex41.m1.1.1.1.1.2.2.1.2.cmml">1</mn><mo id="S5.Ex41.m1.1.1.1.1.2.2.1.1" xref="S5.Ex41.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.cmml">/</mo><mi id="S5.Ex41.m1.1.1.1.1.2.2.1.3" xref="S5.Ex41.m1.1.1.1.1.2.2.1.3.cmml">d</mi></mrow></mtd></mtr></mtable><mo id="S5.Ex41.m1.1.1.3.2" xref="S5.Ex41.m1.1.1.2.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.Ex41.m1.2b"><apply id="S5.Ex41.m1.2.3.cmml" xref="S5.Ex41.m1.2.3"><eq id="S5.Ex41.m1.2.3.1.cmml" xref="S5.Ex41.m1.2.3.1"></eq><apply id="S5.Ex41.m1.2.3.2.cmml" xref="S5.Ex41.m1.2.3.2"><times id="S5.Ex41.m1.2.3.2.1.cmml" xref="S5.Ex41.m1.2.3.2.1"></times><ci id="S5.Ex41.m1.2.3.2.2.cmml" xref="S5.Ex41.m1.2.3.2.2">𝐷</ci><ci id="S5.Ex41.m1.2.2.cmml" xref="S5.Ex41.m1.2.2">𝑑</ci></apply><apply id="S5.Ex41.m1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex41.m1.1.1.3"><csymbol cd="latexml" id="S5.Ex41.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.Ex41.m1.1.1.3.1">matrix</csymbol><matrix id="S5.Ex41.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex41.m1.1.1.1.1"><matrixrow id="S5.Ex41.m1.1.1.1.1a.cmml" xref="S5.Ex41.m1.1.1.1.1"><cn id="S5.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" type="integer" xref="S5.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.1">1</cn><cn id="S5.Ex41.m1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" type="integer" xref="S5.Ex41.m1.1.1.1.1.1.2.1">0</cn></matrixrow><matrixrow id="S5.Ex41.m1.1.1.1.1b.cmml" xref="S5.Ex41.m1.1.1.1.1"><cn id="S5.Ex41.m1.1.1.1.1.2.1.1.cmml" type="integer" xref="S5.Ex41.m1.1.1.1.1.2.1.1">0</cn><apply id="S5.Ex41.m1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex41.m1.1.1.1.1.2.2.1"><divide id="S5.Ex41.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.cmml" xref="S5.Ex41.m1.1.1.1.1.2.2.1.1"></divide><cn id="S5.Ex41.m1.1.1.1.1.2.2.1.2.cmml" type="integer" xref="S5.Ex41.m1.1.1.1.1.2.2.1.2">1</cn><ci id="S5.Ex41.m1.1.1.1.1.2.2.1.3.cmml" xref="S5.Ex41.m1.1.1.1.1.2.2.1.3">𝑑</ci></apply></matrixrow></matrix></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.Ex41.m1.2c">D(d)=\begin{bmatrix}1&0\\ 0&1/d\end{bmatrix}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.Ex41.m1.2d">italic_D ( italic_d ) = [ start_ARG start_ROW start_CELL 1 end_CELL start_CELL 0 end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL 0 end_CELL start_CELL 1 / italic_d end_CELL end_ROW end_ARG ]</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S5.Ex42"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="C(d)=\begin{bmatrix}1&1/d\\ 1/d&1\end{bmatrix}" class="ltx_Math" display="block" id="S5.Ex42.m1.2"><semantics id="S5.Ex42.m1.2a"><mrow id="S5.Ex42.m1.2.3" xref="S5.Ex42.m1.2.3.cmml"><mrow id="S5.Ex42.m1.2.3.2" xref="S5.Ex42.m1.2.3.2.cmml"><mi id="S5.Ex42.m1.2.3.2.2" xref="S5.Ex42.m1.2.3.2.2.cmml">C</mi><mo id="S5.Ex42.m1.2.3.2.1" xref="S5.Ex42.m1.2.3.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.Ex42.m1.2.3.2.3.2" xref="S5.Ex42.m1.2.3.2.cmml"><mo id="S5.Ex42.m1.2.3.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S5.Ex42.m1.2.3.2.cmml">(</mo><mi id="S5.Ex42.m1.2.2" xref="S5.Ex42.m1.2.2.cmml">d</mi><mo id="S5.Ex42.m1.2.3.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S5.Ex42.m1.2.3.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S5.Ex42.m1.2.3.1" xref="S5.Ex42.m1.2.3.1.cmml">=</mo><mrow id="S5.Ex42.m1.1.1.3" xref="S5.Ex42.m1.1.1.2.cmml"><mo id="S5.Ex42.m1.1.1.3.1" xref="S5.Ex42.m1.1.1.2.1.cmml">[</mo><mtable columnspacing="5pt" displaystyle="true" id="S5.Ex42.m1.1.1.1.1" rowspacing="0pt" xref="S5.Ex42.m1.1.1.1.1.cmml"><mtr id="S5.Ex42.m1.1.1.1.1a" xref="S5.Ex42.m1.1.1.1.1.cmml"><mtd id="S5.Ex42.m1.1.1.1.1b" xref="S5.Ex42.m1.1.1.1.1.cmml"><mn id="S5.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">1</mn></mtd><mtd id="S5.Ex42.m1.1.1.1.1c" xref="S5.Ex42.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S5.Ex42.m1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S5.Ex42.m1.1.1.1.1.1.2.1.cmml"><mn id="S5.Ex42.m1.1.1.1.1.1.2.1.2" xref="S5.Ex42.m1.1.1.1.1.1.2.1.2.cmml">1</mn><mo id="S5.Ex42.m1.1.1.1.1.1.2.1.1" xref="S5.Ex42.m1.1.1.1.1.1.2.1.1.cmml">/</mo><mi id="S5.Ex42.m1.1.1.1.1.1.2.1.3" xref="S5.Ex42.m1.1.1.1.1.1.2.1.3.cmml">d</mi></mrow></mtd></mtr><mtr id="S5.Ex42.m1.1.1.1.1d" xref="S5.Ex42.m1.1.1.1.1.cmml"><mtd id="S5.Ex42.m1.1.1.1.1e" xref="S5.Ex42.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S5.Ex42.m1.1.1.1.1.2.1.1" xref="S5.Ex42.m1.1.1.1.1.2.1.1.cmml"><mn id="S5.Ex42.m1.1.1.1.1.2.1.1.2" xref="S5.Ex42.m1.1.1.1.1.2.1.1.2.cmml">1</mn><mo id="S5.Ex42.m1.1.1.1.1.2.1.1.1" xref="S5.Ex42.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml">/</mo><mi id="S5.Ex42.m1.1.1.1.1.2.1.1.3" xref="S5.Ex42.m1.1.1.1.1.2.1.1.3.cmml">d</mi></mrow></mtd><mtd id="S5.Ex42.m1.1.1.1.1f" xref="S5.Ex42.m1.1.1.1.1.cmml"><mn id="S5.Ex42.m1.1.1.1.1.2.2.1" xref="S5.Ex42.m1.1.1.1.1.2.2.1.cmml">1</mn></mtd></mtr></mtable><mo id="S5.Ex42.m1.1.1.3.2" xref="S5.Ex42.m1.1.1.2.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.Ex42.m1.2b"><apply id="S5.Ex42.m1.2.3.cmml" xref="S5.Ex42.m1.2.3"><eq id="S5.Ex42.m1.2.3.1.cmml" xref="S5.Ex42.m1.2.3.1"></eq><apply id="S5.Ex42.m1.2.3.2.cmml" xref="S5.Ex42.m1.2.3.2"><times id="S5.Ex42.m1.2.3.2.1.cmml" xref="S5.Ex42.m1.2.3.2.1"></times><ci id="S5.Ex42.m1.2.3.2.2.cmml" xref="S5.Ex42.m1.2.3.2.2">𝐶</ci><ci id="S5.Ex42.m1.2.2.cmml" xref="S5.Ex42.m1.2.2">𝑑</ci></apply><apply id="S5.Ex42.m1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex42.m1.1.1.3"><csymbol cd="latexml" id="S5.Ex42.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.Ex42.m1.1.1.3.1">matrix</csymbol><matrix id="S5.Ex42.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex42.m1.1.1.1.1"><matrixrow id="S5.Ex42.m1.1.1.1.1a.cmml" xref="S5.Ex42.m1.1.1.1.1"><cn id="S5.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" type="integer" xref="S5.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.1">1</cn><apply id="S5.Ex42.m1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.Ex42.m1.1.1.1.1.1.2.1"><divide id="S5.Ex42.m1.1.1.1.1.1.2.1.1.cmml" xref="S5.Ex42.m1.1.1.1.1.1.2.1.1"></divide><cn id="S5.Ex42.m1.1.1.1.1.1.2.1.2.cmml" type="integer" xref="S5.Ex42.m1.1.1.1.1.1.2.1.2">1</cn><ci id="S5.Ex42.m1.1.1.1.1.1.2.1.3.cmml" xref="S5.Ex42.m1.1.1.1.1.1.2.1.3">𝑑</ci></apply></matrixrow><matrixrow id="S5.Ex42.m1.1.1.1.1b.cmml" xref="S5.Ex42.m1.1.1.1.1"><apply id="S5.Ex42.m1.1.1.1.1.2.1.1.cmml" xref="S5.Ex42.m1.1.1.1.1.2.1.1"><divide id="S5.Ex42.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex42.m1.1.1.1.1.2.1.1.1"></divide><cn id="S5.Ex42.m1.1.1.1.1.2.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S5.Ex42.m1.1.1.1.1.2.1.1.2">1</cn><ci id="S5.Ex42.m1.1.1.1.1.2.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex42.m1.1.1.1.1.2.1.1.3">𝑑</ci></apply><cn id="S5.Ex42.m1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" type="integer" xref="S5.Ex42.m1.1.1.1.1.2.2.1">1</cn></matrixrow></matrix></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.Ex42.m1.2c">C(d)=\begin{bmatrix}1&1/d\\ 1/d&1\end{bmatrix}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.Ex42.m1.2d">italic_C ( italic_d ) = [ start_ARG start_ROW start_CELL 1 end_CELL start_CELL 1 / italic_d end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL 1 / italic_d end_CELL start_CELL 1 end_CELL end_ROW end_ARG ]</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S5.Ex43"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="D_{(2)}^{11}=\begin{bmatrix}1&0\\ 0&1\\ \end{bmatrix}" class="ltx_Math" display="block" id="S5.Ex43.m1.2"><semantics id="S5.Ex43.m1.2a"><mrow id="S5.Ex43.m1.2.3" xref="S5.Ex43.m1.2.3.cmml"><msubsup id="S5.Ex43.m1.2.3.2" xref="S5.Ex43.m1.2.3.2.cmml"><mi id="S5.Ex43.m1.2.3.2.2.2" xref="S5.Ex43.m1.2.3.2.2.2.cmml">D</mi><mrow id="S5.Ex43.m1.2.2.1.3" xref="S5.Ex43.m1.2.3.2.cmml"><mo id="S5.Ex43.m1.2.2.1.3.1" stretchy="false" xref="S5.Ex43.m1.2.3.2.cmml">(</mo><mn id="S5.Ex43.m1.2.2.1.1" xref="S5.Ex43.m1.2.2.1.1.cmml">2</mn><mo id="S5.Ex43.m1.2.2.1.3.2" stretchy="false" xref="S5.Ex43.m1.2.3.2.cmml">)</mo></mrow><mn id="S5.Ex43.m1.2.3.2.3" xref="S5.Ex43.m1.2.3.2.3.cmml">11</mn></msubsup><mo id="S5.Ex43.m1.2.3.1" xref="S5.Ex43.m1.2.3.1.cmml">=</mo><mrow id="S5.Ex43.m1.1.1.3" xref="S5.Ex43.m1.1.1.2.cmml"><mo id="S5.Ex43.m1.1.1.3.1" xref="S5.Ex43.m1.1.1.2.1.cmml">[</mo><mtable columnspacing="5pt" displaystyle="true" id="S5.Ex43.m1.1.1.1.1" rowspacing="0pt" xref="S5.Ex43.m1.1.1.1.1.cmml"><mtr id="S5.Ex43.m1.1.1.1.1a" xref="S5.Ex43.m1.1.1.1.1.cmml"><mtd id="S5.Ex43.m1.1.1.1.1b" xref="S5.Ex43.m1.1.1.1.1.cmml"><mn id="S5.Ex43.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex43.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">1</mn></mtd><mtd id="S5.Ex43.m1.1.1.1.1c" xref="S5.Ex43.m1.1.1.1.1.cmml"><mn id="S5.Ex43.m1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S5.Ex43.m1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">0</mn></mtd></mtr><mtr id="S5.Ex43.m1.1.1.1.1d" xref="S5.Ex43.m1.1.1.1.1.cmml"><mtd id="S5.Ex43.m1.1.1.1.1e" xref="S5.Ex43.m1.1.1.1.1.cmml"><mn id="S5.Ex43.m1.1.1.1.1.2.1.1" xref="S5.Ex43.m1.1.1.1.1.2.1.1.cmml">0</mn></mtd><mtd id="S5.Ex43.m1.1.1.1.1f" xref="S5.Ex43.m1.1.1.1.1.cmml"><mn id="S5.Ex43.m1.1.1.1.1.2.2.1" xref="S5.Ex43.m1.1.1.1.1.2.2.1.cmml">1</mn></mtd></mtr></mtable><mo id="S5.Ex43.m1.1.1.3.2" xref="S5.Ex43.m1.1.1.2.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.Ex43.m1.2b"><apply id="S5.Ex43.m1.2.3.cmml" xref="S5.Ex43.m1.2.3"><eq id="S5.Ex43.m1.2.3.1.cmml" xref="S5.Ex43.m1.2.3.1"></eq><apply id="S5.Ex43.m1.2.3.2.cmml" xref="S5.Ex43.m1.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex43.m1.2.3.2.1.cmml" xref="S5.Ex43.m1.2.3.2">superscript</csymbol><apply id="S5.Ex43.m1.2.3.2.2.cmml" xref="S5.Ex43.m1.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex43.m1.2.3.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex43.m1.2.3.2">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex43.m1.2.3.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex43.m1.2.3.2.2.2">𝐷</ci><cn id="S5.Ex43.m1.2.2.1.1.cmml" type="integer" xref="S5.Ex43.m1.2.2.1.1">2</cn></apply><cn id="S5.Ex43.m1.2.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex43.m1.2.3.2.3">11</cn></apply><apply id="S5.Ex43.m1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex43.m1.1.1.3"><csymbol cd="latexml" id="S5.Ex43.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.Ex43.m1.1.1.3.1">matrix</csymbol><matrix id="S5.Ex43.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex43.m1.1.1.1.1"><matrixrow id="S5.Ex43.m1.1.1.1.1a.cmml" xref="S5.Ex43.m1.1.1.1.1"><cn id="S5.Ex43.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" type="integer" xref="S5.Ex43.m1.1.1.1.1.1.1.1">1</cn><cn id="S5.Ex43.m1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" type="integer" xref="S5.Ex43.m1.1.1.1.1.1.2.1">0</cn></matrixrow><matrixrow id="S5.Ex43.m1.1.1.1.1b.cmml" xref="S5.Ex43.m1.1.1.1.1"><cn id="S5.Ex43.m1.1.1.1.1.2.1.1.cmml" type="integer" xref="S5.Ex43.m1.1.1.1.1.2.1.1">0</cn><cn id="S5.Ex43.m1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" type="integer" xref="S5.Ex43.m1.1.1.1.1.2.2.1">1</cn></matrixrow></matrix></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.Ex43.m1.2c">D_{(2)}^{11}=\begin{bmatrix}1&0\\ 0&1\\ \end{bmatrix}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.Ex43.m1.2d">italic_D start_POSTSUBSCRIPT ( 2 ) end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 11 end_POSTSUPERSCRIPT = [ start_ARG start_ROW start_CELL 1 end_CELL start_CELL 0 end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL 0 end_CELL start_CELL 1 end_CELL end_ROW end_ARG ]</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S5.SS2.5.p3.2">and</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="S6.EGx68"> <tbody id="S5.E75"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle M^{(2)}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.E75.m1.1"><semantics id="S5.E75.m1.1a"><msup id="S5.E75.m1.1.2" xref="S5.E75.m1.1.2.cmml"><mi id="S5.E75.m1.1.2.2" xref="S5.E75.m1.1.2.2.cmml">M</mi><mrow id="S5.E75.m1.1.1.1.3" xref="S5.E75.m1.1.2.cmml"><mo id="S5.E75.m1.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S5.E75.m1.1.2.cmml">(</mo><mn id="S5.E75.m1.1.1.1.1" xref="S5.E75.m1.1.1.1.1.cmml">2</mn><mo id="S5.E75.m1.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S5.E75.m1.1.2.cmml">)</mo></mrow></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.E75.m1.1b"><apply id="S5.E75.m1.1.2.cmml" xref="S5.E75.m1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E75.m1.1.2.1.cmml" xref="S5.E75.m1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S5.E75.m1.1.2.2.cmml" xref="S5.E75.m1.1.2.2">𝑀</ci><cn id="S5.E75.m1.1.1.1.1.cmml" type="integer" xref="S5.E75.m1.1.1.1.1">2</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.E75.m1.1c">\displaystyle M^{(2)}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.E75.m1.1d">italic_M start_POSTSUPERSCRIPT ( 2 ) end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=D_{(2)}^{-1}W(q^{m+1})D(q)C(q^{m})D_{(2)}W(q^{2})D(q)C(q)" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.E75.m2.8"><semantics id="S5.E75.m2.8a"><mrow id="S5.E75.m2.8.8" xref="S5.E75.m2.8.8.cmml"><mi id="S5.E75.m2.8.8.5" xref="S5.E75.m2.8.8.5.cmml"></mi><mo id="S5.E75.m2.8.8.4" xref="S5.E75.m2.8.8.4.cmml">=</mo><mrow 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id="S5.E75.m2.8b"><apply id="S5.E75.m2.8.8.cmml" xref="S5.E75.m2.8.8"><eq id="S5.E75.m2.8.8.4.cmml" xref="S5.E75.m2.8.8.4"></eq><csymbol cd="latexml" id="S5.E75.m2.8.8.5.cmml" xref="S5.E75.m2.8.8.5">absent</csymbol><apply id="S5.E75.m2.8.8.3.cmml" xref="S5.E75.m2.8.8.3"><times id="S5.E75.m2.8.8.3.4.cmml" xref="S5.E75.m2.8.8.3.4"></times><apply id="S5.E75.m2.8.8.3.5.cmml" xref="S5.E75.m2.8.8.3.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E75.m2.8.8.3.5.1.cmml" xref="S5.E75.m2.8.8.3.5">superscript</csymbol><apply id="S5.E75.m2.8.8.3.5.2.cmml" xref="S5.E75.m2.8.8.3.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E75.m2.8.8.3.5.2.1.cmml" xref="S5.E75.m2.8.8.3.5">subscript</csymbol><ci id="S5.E75.m2.8.8.3.5.2.2.cmml" xref="S5.E75.m2.8.8.3.5.2.2">𝐷</ci><cn id="S5.E75.m2.1.1.1.1.cmml" type="integer" xref="S5.E75.m2.1.1.1.1">2</cn></apply><apply id="S5.E75.m2.8.8.3.5.3.cmml" xref="S5.E75.m2.8.8.3.5.3"><minus id="S5.E75.m2.8.8.3.5.3.1.cmml" xref="S5.E75.m2.8.8.3.5.3"></minus><cn id="S5.E75.m2.8.8.3.5.3.2.cmml" 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xref="S5.E75.m2.8.8.3.12">𝐷</ci><ci id="S5.E75.m2.4.4.cmml" xref="S5.E75.m2.4.4">𝑞</ci><ci id="S5.E75.m2.8.8.3.14.cmml" xref="S5.E75.m2.8.8.3.14">𝐶</ci><ci id="S5.E75.m2.5.5.cmml" xref="S5.E75.m2.5.5">𝑞</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.E75.m2.8c">\displaystyle=D_{(2)}^{-1}W(q^{m+1})D(q)C(q^{m})D_{(2)}W(q^{2})D(q)C(q)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.E75.m2.8d">= italic_D start_POSTSUBSCRIPT ( 2 ) end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT italic_W ( italic_q start_POSTSUPERSCRIPT italic_m + 1 end_POSTSUPERSCRIPT ) italic_D ( italic_q ) italic_C ( italic_q start_POSTSUPERSCRIPT italic_m end_POSTSUPERSCRIPT ) italic_D start_POSTSUBSCRIPT ( 2 ) end_POSTSUBSCRIPT italic_W ( italic_q start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ) italic_D ( italic_q ) italic_C ( italic_q )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(75)</span></td> </tr></tbody> <tbody id="S5.E76"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=\begin{bmatrix}1&\frac{q(q^{m}+1)(q^{m+2}-1)}{(q^{2}+1)(q^{2m+2}% -1)}\\ 0&\frac{q^{2}(q^{2m}-1)}{(q^{2}+1)(q^{2m+2}-1)}\end{bmatrix}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.E76.m1.1"><semantics id="S5.E76.m1.1a"><mrow id="S5.E76.m1.1.2" xref="S5.E76.m1.1.2.cmml"><mi id="S5.E76.m1.1.2.2" xref="S5.E76.m1.1.2.2.cmml"></mi><mo id="S5.E76.m1.1.2.1" xref="S5.E76.m1.1.2.1.cmml">=</mo><mrow id="S5.E76.m1.1.1a.3" xref="S5.E76.m1.1.1a.2.cmml"><mo id="S5.E76.m1.1.1a.3.1" xref="S5.E76.m1.1.1a.2.1.cmml">[</mo><mtable columnspacing="5pt" id="S5.E76.m1.1.1.1.1" rowspacing="0pt" xref="S5.E76.m1.1.1.1.1.cmml"><mtr 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id="S5.E76.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.3.1.1.3" stretchy="false" xref="S5.E76.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.3.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S5.E76.m1.1.1.1.1.4.4.4.4.4.4.3" xref="S5.E76.m1.1.1.1.1.4.4.4.4.4.4.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.E76.m1.1.1.1.1.4.4.4.4.4.4.2.1" xref="S5.E76.m1.1.1.1.1.4.4.4.4.4.4.2.1.1.cmml"><mo id="S5.E76.m1.1.1.1.1.4.4.4.4.4.4.2.1.2" stretchy="false" xref="S5.E76.m1.1.1.1.1.4.4.4.4.4.4.2.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S5.E76.m1.1.1.1.1.4.4.4.4.4.4.2.1.1" xref="S5.E76.m1.1.1.1.1.4.4.4.4.4.4.2.1.1.cmml"><msup id="S5.E76.m1.1.1.1.1.4.4.4.4.4.4.2.1.1.2" xref="S5.E76.m1.1.1.1.1.4.4.4.4.4.4.2.1.1.2.cmml"><mi id="S5.E76.m1.1.1.1.1.4.4.4.4.4.4.2.1.1.2.2" xref="S5.E76.m1.1.1.1.1.4.4.4.4.4.4.2.1.1.2.2.cmml">q</mi><mrow id="S5.E76.m1.1.1.1.1.4.4.4.4.4.4.2.1.1.2.3" xref="S5.E76.m1.1.1.1.1.4.4.4.4.4.4.2.1.1.2.3.cmml"><mrow id="S5.E76.m1.1.1.1.1.4.4.4.4.4.4.2.1.1.2.3.2" xref="S5.E76.m1.1.1.1.1.4.4.4.4.4.4.2.1.1.2.3.2.cmml"><mn id="S5.E76.m1.1.1.1.1.4.4.4.4.4.4.2.1.1.2.3.2.2" xref="S5.E76.m1.1.1.1.1.4.4.4.4.4.4.2.1.1.2.3.2.2.cmml">2</mn><mo id="S5.E76.m1.1.1.1.1.4.4.4.4.4.4.2.1.1.2.3.2.1" xref="S5.E76.m1.1.1.1.1.4.4.4.4.4.4.2.1.1.2.3.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.E76.m1.1.1.1.1.4.4.4.4.4.4.2.1.1.2.3.2.3" xref="S5.E76.m1.1.1.1.1.4.4.4.4.4.4.2.1.1.2.3.2.3.cmml">m</mi></mrow><mo id="S5.E76.m1.1.1.1.1.4.4.4.4.4.4.2.1.1.2.3.1" xref="S5.E76.m1.1.1.1.1.4.4.4.4.4.4.2.1.1.2.3.1.cmml">+</mo><mn id="S5.E76.m1.1.1.1.1.4.4.4.4.4.4.2.1.1.2.3.3" xref="S5.E76.m1.1.1.1.1.4.4.4.4.4.4.2.1.1.2.3.3.cmml">2</mn></mrow></msup><mo id="S5.E76.m1.1.1.1.1.4.4.4.4.4.4.2.1.1.1" xref="S5.E76.m1.1.1.1.1.4.4.4.4.4.4.2.1.1.1.cmml">−</mo><mn id="S5.E76.m1.1.1.1.1.4.4.4.4.4.4.2.1.1.3" xref="S5.E76.m1.1.1.1.1.4.4.4.4.4.4.2.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="S5.E76.m1.1.1.1.1.4.4.4.4.4.4.2.1.3" stretchy="false" xref="S5.E76.m1.1.1.1.1.4.4.4.4.4.4.2.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mfrac></mtd></mtr><mtr id="S5.E76.m1.1.1.1.1d" xref="S5.E76.m1.1.1.1.1.cmml"><mtd id="S5.E76.m1.1.1.1.1e" 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id="S5.E76.m1.1.1.1.1.7.7.3.3.3.3.2.1.1.2.3.2.3.cmml" xref="S5.E76.m1.1.1.1.1.7.7.3.3.3.3.2.1.1.2.3.2.3">𝑚</ci></apply><cn id="S5.E76.m1.1.1.1.1.7.7.3.3.3.3.2.1.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.E76.m1.1.1.1.1.7.7.3.3.3.3.2.1.1.2.3.3">2</cn></apply></apply><cn id="S5.E76.m1.1.1.1.1.7.7.3.3.3.3.2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.E76.m1.1.1.1.1.7.7.3.3.3.3.2.1.1.3">1</cn></apply></apply></apply></matrixrow></matrix></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.E76.m1.1c">\displaystyle=\begin{bmatrix}1&\frac{q(q^{m}+1)(q^{m+2}-1)}{(q^{2}+1)(q^{2m+2}% -1)}\\ 0&\frac{q^{2}(q^{2m}-1)}{(q^{2}+1)(q^{2m+2}-1)}\end{bmatrix}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.E76.m1.1d">= [ start_ARG start_ROW start_CELL 1 end_CELL start_CELL divide start_ARG italic_q ( italic_q start_POSTSUPERSCRIPT italic_m end_POSTSUPERSCRIPT + 1 ) ( italic_q start_POSTSUPERSCRIPT italic_m + 2 end_POSTSUPERSCRIPT - 1 ) end_ARG start_ARG ( italic_q start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + 1 ) ( italic_q start_POSTSUPERSCRIPT 2 italic_m + 2 end_POSTSUPERSCRIPT - 1 ) end_ARG end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL 0 end_CELL start_CELL divide start_ARG italic_q start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_q start_POSTSUPERSCRIPT 2 italic_m end_POSTSUPERSCRIPT - 1 ) end_ARG start_ARG ( italic_q start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + 1 ) ( italic_q start_POSTSUPERSCRIPT 2 italic_m + 2 end_POSTSUPERSCRIPT - 1 ) end_ARG end_CELL end_ROW end_ARG ]</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(76)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S5.SS2.5.p3.1">Since this matrix is upper-triangular, its eigenvalues are the diagonal elements. The unit eigenvalue corresponds of course to the uniform <math alttext="\ket{II}+\ket{SS}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS2.5.p3.1.m1.2"><semantics id="S5.SS2.5.p3.1.m1.2a"><mrow id="S5.SS2.5.p3.1.m1.2.3" xref="S5.SS2.5.p3.1.m1.2.3.cmml"><mrow id="S5.SS2.5.p3.1.m1.1.1.3" xref="S5.SS2.5.p3.1.m1.1.1.2.cmml"><mo id="S5.SS2.5.p3.1.m1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S5.SS2.5.p3.1.m1.1.1.2.1.cmml">|</mo><mrow id="S5.SS2.5.p3.1.m1.1.1.1.1" xref="S5.SS2.5.p3.1.m1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S5.SS2.5.p3.1.m1.1.1.1.1.2" xref="S5.SS2.5.p3.1.m1.1.1.1.1.2.cmml">I</mi><mo id="S5.SS2.5.p3.1.m1.1.1.1.1.1" xref="S5.SS2.5.p3.1.m1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.SS2.5.p3.1.m1.1.1.1.1.3" xref="S5.SS2.5.p3.1.m1.1.1.1.1.3.cmml">I</mi></mrow><mo id="S5.SS2.5.p3.1.m1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S5.SS2.5.p3.1.m1.1.1.2.1.cmml">⟩</mo></mrow><mo id="S5.SS2.5.p3.1.m1.2.3.1" xref="S5.SS2.5.p3.1.m1.2.3.1.cmml">+</mo><mrow id="S5.SS2.5.p3.1.m1.2.2.3" xref="S5.SS2.5.p3.1.m1.2.2.2.cmml"><mo id="S5.SS2.5.p3.1.m1.2.2.3.1" stretchy="false" xref="S5.SS2.5.p3.1.m1.2.2.2.1.cmml">|</mo><mrow id="S5.SS2.5.p3.1.m1.2.2.1.1" xref="S5.SS2.5.p3.1.m1.2.2.1.1.cmml"><mi id="S5.SS2.5.p3.1.m1.2.2.1.1.2" xref="S5.SS2.5.p3.1.m1.2.2.1.1.2.cmml">S</mi><mo id="S5.SS2.5.p3.1.m1.2.2.1.1.1" xref="S5.SS2.5.p3.1.m1.2.2.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.SS2.5.p3.1.m1.2.2.1.1.3" xref="S5.SS2.5.p3.1.m1.2.2.1.1.3.cmml">S</mi></mrow><mo id="S5.SS2.5.p3.1.m1.2.2.3.2" stretchy="false" xref="S5.SS2.5.p3.1.m1.2.2.2.1.cmml">⟩</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS2.5.p3.1.m1.2b"><apply id="S5.SS2.5.p3.1.m1.2.3.cmml" xref="S5.SS2.5.p3.1.m1.2.3"><plus id="S5.SS2.5.p3.1.m1.2.3.1.cmml" xref="S5.SS2.5.p3.1.m1.2.3.1"></plus><apply id="S5.SS2.5.p3.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S5.SS2.5.p3.1.m1.1.1.3"><csymbol cd="latexml" id="S5.SS2.5.p3.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.SS2.5.p3.1.m1.1.1.3.1">ket</csymbol><apply id="S5.SS2.5.p3.1.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.SS2.5.p3.1.m1.1.1.1.1"><times id="S5.SS2.5.p3.1.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.SS2.5.p3.1.m1.1.1.1.1.1"></times><ci id="S5.SS2.5.p3.1.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.SS2.5.p3.1.m1.1.1.1.1.2">𝐼</ci><ci id="S5.SS2.5.p3.1.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.SS2.5.p3.1.m1.1.1.1.1.3">𝐼</ci></apply></apply><apply id="S5.SS2.5.p3.1.m1.2.2.2.cmml" xref="S5.SS2.5.p3.1.m1.2.2.3"><csymbol cd="latexml" id="S5.SS2.5.p3.1.m1.2.2.2.1.cmml" xref="S5.SS2.5.p3.1.m1.2.2.3.1">ket</csymbol><apply id="S5.SS2.5.p3.1.m1.2.2.1.1.cmml" xref="S5.SS2.5.p3.1.m1.2.2.1.1"><times id="S5.SS2.5.p3.1.m1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S5.SS2.5.p3.1.m1.2.2.1.1.1"></times><ci id="S5.SS2.5.p3.1.m1.2.2.1.1.2.cmml" xref="S5.SS2.5.p3.1.m1.2.2.1.1.2">𝑆</ci><ci id="S5.SS2.5.p3.1.m1.2.2.1.1.3.cmml" xref="S5.SS2.5.p3.1.m1.2.2.1.1.3">𝑆</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS2.5.p3.1.m1.2c">\ket{II}+\ket{SS}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS2.5.p3.1.m1.2d">| start_ARG italic_I italic_I end_ARG ⟩ + | start_ARG italic_S italic_S end_ARG ⟩</annotation></semantics></math> state. The second diagonal element, which corresponds to the deranged subspace, is the eigenvalue we are looking for.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S5.SS2.6.p4"> <p class="ltx_p" id="S5.SS2.6.p4.2">In the alternating case,</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S5.Ex44"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="D_{(1,1)}=\begin{bmatrix}1&0\\ 0&-1\\ \end{bmatrix}" class="ltx_Math" display="block" id="S5.Ex44.m1.3"><semantics id="S5.Ex44.m1.3a"><mrow id="S5.Ex44.m1.3.4" xref="S5.Ex44.m1.3.4.cmml"><msub id="S5.Ex44.m1.3.4.2" xref="S5.Ex44.m1.3.4.2.cmml"><mi id="S5.Ex44.m1.3.4.2.2" xref="S5.Ex44.m1.3.4.2.2.cmml">D</mi><mrow id="S5.Ex44.m1.3.3.2.4" xref="S5.Ex44.m1.3.3.2.3.cmml"><mo id="S5.Ex44.m1.3.3.2.4.1" stretchy="false" xref="S5.Ex44.m1.3.3.2.3.cmml">(</mo><mn id="S5.Ex44.m1.2.2.1.1" xref="S5.Ex44.m1.2.2.1.1.cmml">1</mn><mo id="S5.Ex44.m1.3.3.2.4.2" xref="S5.Ex44.m1.3.3.2.3.cmml">,</mo><mn id="S5.Ex44.m1.3.3.2.2" xref="S5.Ex44.m1.3.3.2.2.cmml">1</mn><mo id="S5.Ex44.m1.3.3.2.4.3" stretchy="false" xref="S5.Ex44.m1.3.3.2.3.cmml">)</mo></mrow></msub><mo id="S5.Ex44.m1.3.4.1" xref="S5.Ex44.m1.3.4.1.cmml">=</mo><mrow id="S5.Ex44.m1.1.1.3" xref="S5.Ex44.m1.1.1.2.cmml"><mo id="S5.Ex44.m1.1.1.3.1" xref="S5.Ex44.m1.1.1.2.1.cmml">[</mo><mtable columnspacing="5pt" displaystyle="true" id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1" rowspacing="0pt" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.cmml"><mtr id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1a" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.cmml"><mtd id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1b" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.cmml"><mn id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">1</mn></mtd><mtd id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1c" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.cmml"><mn id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">0</mn></mtd></mtr><mtr id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1d" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.cmml"><mtd id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1e" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.cmml"><mn id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.2.1.1" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.2.1.1.cmml">0</mn></mtd><mtd id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1f" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.2.2.1" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.2.2.1.cmml"><mo id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.2.2.1a" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.2.2.1.cmml">−</mo><mn id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.2.2.1.2" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.2.2.1.2.cmml">1</mn></mrow></mtd></mtr></mtable><mo id="S5.Ex44.m1.1.1.3.2" xref="S5.Ex44.m1.1.1.2.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.Ex44.m1.3b"><apply id="S5.Ex44.m1.3.4.cmml" xref="S5.Ex44.m1.3.4"><eq id="S5.Ex44.m1.3.4.1.cmml" xref="S5.Ex44.m1.3.4.1"></eq><apply id="S5.Ex44.m1.3.4.2.cmml" xref="S5.Ex44.m1.3.4.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex44.m1.3.4.2.1.cmml" xref="S5.Ex44.m1.3.4.2">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex44.m1.3.4.2.2.cmml" xref="S5.Ex44.m1.3.4.2.2">𝐷</ci><interval closure="open" id="S5.Ex44.m1.3.3.2.3.cmml" xref="S5.Ex44.m1.3.3.2.4"><cn id="S5.Ex44.m1.2.2.1.1.cmml" type="integer" xref="S5.Ex44.m1.2.2.1.1">1</cn><cn id="S5.Ex44.m1.3.3.2.2.cmml" type="integer" xref="S5.Ex44.m1.3.3.2.2">1</cn></interval></apply><apply id="S5.Ex44.m1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex44.m1.1.1.3"><csymbol cd="latexml" id="S5.Ex44.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.Ex44.m1.1.1.3.1">matrix</csymbol><matrix id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1"><matrixrow id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1a.cmml" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1"><cn id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" type="integer" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.1.1.1">1</cn><cn id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" type="integer" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.1.2.1">0</cn></matrixrow><matrixrow id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1b.cmml" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1"><cn id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.2.1.1.cmml" type="integer" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.2.1.1">0</cn><apply id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.2.2.1"><minus id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.cmml" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.2.2.1"></minus><cn id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.2.2.1.2.cmml" type="integer" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.2.2.1.2">1</cn></apply></matrixrow></matrix></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.Ex44.m1.3c">D_{(1,1)}=\begin{bmatrix}1&0\\ 0&-1\\ \end{bmatrix}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.Ex44.m1.3d">italic_D start_POSTSUBSCRIPT ( 1 , 1 ) end_POSTSUBSCRIPT = [ start_ARG start_ROW start_CELL 1 end_CELL start_CELL 0 end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL 0 end_CELL start_CELL - 1 end_CELL end_ROW end_ARG ]</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S5.SS2.6.p4.1">but because the minus sign appears twice, it cancels out and we find <math alttext="M^{(1,1)}=M^{(2)}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS2.6.p4.1.m1.3"><semantics id="S5.SS2.6.p4.1.m1.3a"><mrow id="S5.SS2.6.p4.1.m1.3.4" xref="S5.SS2.6.p4.1.m1.3.4.cmml"><msup id="S5.SS2.6.p4.1.m1.3.4.2" xref="S5.SS2.6.p4.1.m1.3.4.2.cmml"><mi id="S5.SS2.6.p4.1.m1.3.4.2.2" xref="S5.SS2.6.p4.1.m1.3.4.2.2.cmml">M</mi><mrow id="S5.SS2.6.p4.1.m1.2.2.2.4" xref="S5.SS2.6.p4.1.m1.2.2.2.3.cmml"><mo id="S5.SS2.6.p4.1.m1.2.2.2.4.1" stretchy="false" xref="S5.SS2.6.p4.1.m1.2.2.2.3.cmml">(</mo><mn id="S5.SS2.6.p4.1.m1.1.1.1.1" xref="S5.SS2.6.p4.1.m1.1.1.1.1.cmml">1</mn><mo id="S5.SS2.6.p4.1.m1.2.2.2.4.2" xref="S5.SS2.6.p4.1.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mn id="S5.SS2.6.p4.1.m1.2.2.2.2" xref="S5.SS2.6.p4.1.m1.2.2.2.2.cmml">1</mn><mo id="S5.SS2.6.p4.1.m1.2.2.2.4.3" stretchy="false" xref="S5.SS2.6.p4.1.m1.2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></msup><mo id="S5.SS2.6.p4.1.m1.3.4.1" xref="S5.SS2.6.p4.1.m1.3.4.1.cmml">=</mo><msup id="S5.SS2.6.p4.1.m1.3.4.3" xref="S5.SS2.6.p4.1.m1.3.4.3.cmml"><mi id="S5.SS2.6.p4.1.m1.3.4.3.2" xref="S5.SS2.6.p4.1.m1.3.4.3.2.cmml">M</mi><mrow id="S5.SS2.6.p4.1.m1.3.3.1.3" xref="S5.SS2.6.p4.1.m1.3.4.3.cmml"><mo id="S5.SS2.6.p4.1.m1.3.3.1.3.1" stretchy="false" xref="S5.SS2.6.p4.1.m1.3.4.3.cmml">(</mo><mn id="S5.SS2.6.p4.1.m1.3.3.1.1" xref="S5.SS2.6.p4.1.m1.3.3.1.1.cmml">2</mn><mo id="S5.SS2.6.p4.1.m1.3.3.1.3.2" stretchy="false" xref="S5.SS2.6.p4.1.m1.3.4.3.cmml">)</mo></mrow></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS2.6.p4.1.m1.3b"><apply id="S5.SS2.6.p4.1.m1.3.4.cmml" xref="S5.SS2.6.p4.1.m1.3.4"><eq id="S5.SS2.6.p4.1.m1.3.4.1.cmml" xref="S5.SS2.6.p4.1.m1.3.4.1"></eq><apply id="S5.SS2.6.p4.1.m1.3.4.2.cmml" xref="S5.SS2.6.p4.1.m1.3.4.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS2.6.p4.1.m1.3.4.2.1.cmml" xref="S5.SS2.6.p4.1.m1.3.4.2">superscript</csymbol><ci id="S5.SS2.6.p4.1.m1.3.4.2.2.cmml" xref="S5.SS2.6.p4.1.m1.3.4.2.2">𝑀</ci><interval closure="open" id="S5.SS2.6.p4.1.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S5.SS2.6.p4.1.m1.2.2.2.4"><cn id="S5.SS2.6.p4.1.m1.1.1.1.1.cmml" type="integer" xref="S5.SS2.6.p4.1.m1.1.1.1.1">1</cn><cn id="S5.SS2.6.p4.1.m1.2.2.2.2.cmml" type="integer" xref="S5.SS2.6.p4.1.m1.2.2.2.2">1</cn></interval></apply><apply id="S5.SS2.6.p4.1.m1.3.4.3.cmml" xref="S5.SS2.6.p4.1.m1.3.4.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS2.6.p4.1.m1.3.4.3.1.cmml" xref="S5.SS2.6.p4.1.m1.3.4.3">superscript</csymbol><ci id="S5.SS2.6.p4.1.m1.3.4.3.2.cmml" xref="S5.SS2.6.p4.1.m1.3.4.3.2">𝑀</ci><cn id="S5.SS2.6.p4.1.m1.3.3.1.1.cmml" type="integer" xref="S5.SS2.6.p4.1.m1.3.3.1.1">2</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS2.6.p4.1.m1.3c">M^{(1,1)}=M^{(2)}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS2.6.p4.1.m1.3d">italic_M start_POSTSUPERSCRIPT ( 1 , 1 ) end_POSTSUPERSCRIPT = italic_M start_POSTSUPERSCRIPT ( 2 ) end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S5.SS2.7.p5"> <p class="ltx_p" id="S5.SS2.7.p5.2">We may now compute</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="S6.EGx69"> <tbody id="S5.E77"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\sup_{m}\frac{q^{2}(q^{2m}-1)}{(q^{2}+1)(q^{2m+2}-1)}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.E77.m1.3"><semantics id="S5.E77.m1.3a"><mrow id="S5.E77.m1.3.4" xref="S5.E77.m1.3.4.cmml"><munder id="S5.E77.m1.3.4.1" xref="S5.E77.m1.3.4.1.cmml"><mo id="S5.E77.m1.3.4.1.2" movablelimits="false" xref="S5.E77.m1.3.4.1.2.cmml">sup</mo><mi id="S5.E77.m1.3.4.1.3" xref="S5.E77.m1.3.4.1.3.cmml">m</mi></munder><mstyle displaystyle="true" id="S5.E77.m1.3.3" xref="S5.E77.m1.3.3.cmml"><mfrac id="S5.E77.m1.3.3a" xref="S5.E77.m1.3.3.cmml"><mrow id="S5.E77.m1.1.1.1" xref="S5.E77.m1.1.1.1.cmml"><msup id="S5.E77.m1.1.1.1.3" xref="S5.E77.m1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S5.E77.m1.1.1.1.3.2" xref="S5.E77.m1.1.1.1.3.2.cmml">q</mi><mn id="S5.E77.m1.1.1.1.3.3" xref="S5.E77.m1.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S5.E77.m1.1.1.1.2" xref="S5.E77.m1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.E77.m1.1.1.1.1.1" xref="S5.E77.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S5.E77.m1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S5.E77.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S5.E77.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.E77.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msup id="S5.E77.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.E77.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S5.E77.m1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S5.E77.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">q</mi><mrow id="S5.E77.m1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S5.E77.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mn id="S5.E77.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S5.E77.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">2</mn><mo id="S5.E77.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.1" xref="S5.E77.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.E77.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="S5.E77.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">m</mi></mrow></msup><mo id="S5.E77.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.E77.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mn id="S5.E77.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.E77.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="S5.E77.m1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S5.E77.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mrow id="S5.E77.m1.3.3.3" xref="S5.E77.m1.3.3.3.cmml"><mrow id="S5.E77.m1.2.2.2.1.1" xref="S5.E77.m1.2.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="S5.E77.m1.2.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S5.E77.m1.2.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S5.E77.m1.2.2.2.1.1.1" xref="S5.E77.m1.2.2.2.1.1.1.cmml"><msup id="S5.E77.m1.2.2.2.1.1.1.2" xref="S5.E77.m1.2.2.2.1.1.1.2.cmml"><mi id="S5.E77.m1.2.2.2.1.1.1.2.2" xref="S5.E77.m1.2.2.2.1.1.1.2.2.cmml">q</mi><mn id="S5.E77.m1.2.2.2.1.1.1.2.3" xref="S5.E77.m1.2.2.2.1.1.1.2.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S5.E77.m1.2.2.2.1.1.1.1" xref="S5.E77.m1.2.2.2.1.1.1.1.cmml">+</mo><mn id="S5.E77.m1.2.2.2.1.1.1.3" xref="S5.E77.m1.2.2.2.1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="S5.E77.m1.2.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S5.E77.m1.2.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S5.E77.m1.3.3.3.3" xref="S5.E77.m1.3.3.3.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.E77.m1.3.3.3.2.1" xref="S5.E77.m1.3.3.3.2.1.1.cmml"><mo id="S5.E77.m1.3.3.3.2.1.2" stretchy="false" xref="S5.E77.m1.3.3.3.2.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S5.E77.m1.3.3.3.2.1.1" xref="S5.E77.m1.3.3.3.2.1.1.cmml"><msup id="S5.E77.m1.3.3.3.2.1.1.2" xref="S5.E77.m1.3.3.3.2.1.1.2.cmml"><mi id="S5.E77.m1.3.3.3.2.1.1.2.2" xref="S5.E77.m1.3.3.3.2.1.1.2.2.cmml">q</mi><mrow id="S5.E77.m1.3.3.3.2.1.1.2.3" xref="S5.E77.m1.3.3.3.2.1.1.2.3.cmml"><mrow id="S5.E77.m1.3.3.3.2.1.1.2.3.2" xref="S5.E77.m1.3.3.3.2.1.1.2.3.2.cmml"><mn id="S5.E77.m1.3.3.3.2.1.1.2.3.2.2" xref="S5.E77.m1.3.3.3.2.1.1.2.3.2.2.cmml">2</mn><mo id="S5.E77.m1.3.3.3.2.1.1.2.3.2.1" xref="S5.E77.m1.3.3.3.2.1.1.2.3.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.E77.m1.3.3.3.2.1.1.2.3.2.3" xref="S5.E77.m1.3.3.3.2.1.1.2.3.2.3.cmml">m</mi></mrow><mo id="S5.E77.m1.3.3.3.2.1.1.2.3.1" xref="S5.E77.m1.3.3.3.2.1.1.2.3.1.cmml">+</mo><mn id="S5.E77.m1.3.3.3.2.1.1.2.3.3" xref="S5.E77.m1.3.3.3.2.1.1.2.3.3.cmml">2</mn></mrow></msup><mo id="S5.E77.m1.3.3.3.2.1.1.1" xref="S5.E77.m1.3.3.3.2.1.1.1.cmml">−</mo><mn id="S5.E77.m1.3.3.3.2.1.1.3" xref="S5.E77.m1.3.3.3.2.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="S5.E77.m1.3.3.3.2.1.3" stretchy="false" xref="S5.E77.m1.3.3.3.2.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mfrac></mstyle></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.E77.m1.3b"><apply id="S5.E77.m1.3.4.cmml" xref="S5.E77.m1.3.4"><apply id="S5.E77.m1.3.4.1.cmml" xref="S5.E77.m1.3.4.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E77.m1.3.4.1.1.cmml" xref="S5.E77.m1.3.4.1">subscript</csymbol><csymbol cd="latexml" id="S5.E77.m1.3.4.1.2.cmml" xref="S5.E77.m1.3.4.1.2">supremum</csymbol><ci id="S5.E77.m1.3.4.1.3.cmml" xref="S5.E77.m1.3.4.1.3">𝑚</ci></apply><apply id="S5.E77.m1.3.3.cmml" xref="S5.E77.m1.3.3"><divide id="S5.E77.m1.3.3.4.cmml" xref="S5.E77.m1.3.3"></divide><apply id="S5.E77.m1.1.1.1.cmml" xref="S5.E77.m1.1.1.1"><times id="S5.E77.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.E77.m1.1.1.1.2"></times><apply id="S5.E77.m1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.E77.m1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E77.m1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.E77.m1.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S5.E77.m1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.E77.m1.1.1.1.3.2">𝑞</ci><cn id="S5.E77.m1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.E77.m1.1.1.1.3.3">2</cn></apply><apply id="S5.E77.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.E77.m1.1.1.1.1.1"><minus id="S5.E77.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.E77.m1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><apply id="S5.E77.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.E77.m1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E77.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.E77.m1.1.1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S5.E77.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.E77.m1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝑞</ci><apply id="S5.E77.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S5.E77.m1.1.1.1.1.1.1.2.3"><times id="S5.E77.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S5.E77.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.1"></times><cn id="S5.E77.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" type="integer" xref="S5.E77.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2">2</cn><ci id="S5.E77.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S5.E77.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3">𝑚</ci></apply></apply><cn id="S5.E77.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.E77.m1.1.1.1.1.1.1.3">1</cn></apply></apply><apply id="S5.E77.m1.3.3.3.cmml" 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displaystyle="true" id="S5.E77.m2.1.1.3.2" xref="S5.E77.m2.1.1.3.2.cmml"><mfrac id="S5.E77.m2.1.1.3.2a" xref="S5.E77.m2.1.1.3.2.cmml"><msup id="S5.E77.m2.1.1.3.2.2" xref="S5.E77.m2.1.1.3.2.2.cmml"><mi id="S5.E77.m2.1.1.3.2.2.2" xref="S5.E77.m2.1.1.3.2.2.2.cmml">q</mi><mn id="S5.E77.m2.1.1.3.2.2.3" xref="S5.E77.m2.1.1.3.2.2.3.cmml">2</mn></msup><mrow id="S5.E77.m2.1.1.3.2.3" xref="S5.E77.m2.1.1.3.2.3.cmml"><msup id="S5.E77.m2.1.1.3.2.3.2" xref="S5.E77.m2.1.1.3.2.3.2.cmml"><mi id="S5.E77.m2.1.1.3.2.3.2.2" xref="S5.E77.m2.1.1.3.2.3.2.2.cmml">q</mi><mn id="S5.E77.m2.1.1.3.2.3.2.3" xref="S5.E77.m2.1.1.3.2.3.2.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S5.E77.m2.1.1.3.2.3.1" xref="S5.E77.m2.1.1.3.2.3.1.cmml">+</mo><mn id="S5.E77.m2.1.1.3.2.3.3" xref="S5.E77.m2.1.1.3.2.3.3.cmml">1</mn></mrow></mfrac></mstyle><mo id="S5.E77.m2.1.1.3.1" lspace="0.167em" xref="S5.E77.m2.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.E77.m2.1.1.3.3" xref="S5.E77.m2.1.1.3.3.cmml"><munder id="S5.E77.m2.1.1.3.3.1" 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xref="S5.E78.m1.1.1.3.3.2.2.2.3.3.cmml">m</mi></mrow></msup><mo id="S5.E78.m1.1.1.3.3.2.2.1" xref="S5.E78.m1.1.1.3.3.2.2.1.cmml">−</mo><mn id="S5.E78.m1.1.1.3.3.2.2.3" xref="S5.E78.m1.1.1.3.3.2.2.3.cmml">1</mn></mrow><mrow id="S5.E78.m1.1.1.3.3.2.3" xref="S5.E78.m1.1.1.3.3.2.3.cmml"><msup id="S5.E78.m1.1.1.3.3.2.3.2" xref="S5.E78.m1.1.1.3.3.2.3.2.cmml"><mi id="S5.E78.m1.1.1.3.3.2.3.2.2" xref="S5.E78.m1.1.1.3.3.2.3.2.2.cmml">q</mi><mrow id="S5.E78.m1.1.1.3.3.2.3.2.3" xref="S5.E78.m1.1.1.3.3.2.3.2.3.cmml"><mrow id="S5.E78.m1.1.1.3.3.2.3.2.3.2" xref="S5.E78.m1.1.1.3.3.2.3.2.3.2.cmml"><mn id="S5.E78.m1.1.1.3.3.2.3.2.3.2.2" xref="S5.E78.m1.1.1.3.3.2.3.2.3.2.2.cmml">2</mn><mo id="S5.E78.m1.1.1.3.3.2.3.2.3.2.1" xref="S5.E78.m1.1.1.3.3.2.3.2.3.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.E78.m1.1.1.3.3.2.3.2.3.2.3" xref="S5.E78.m1.1.1.3.3.2.3.2.3.2.3.cmml">m</mi></mrow><mo id="S5.E78.m1.1.1.3.3.2.3.2.3.1" xref="S5.E78.m1.1.1.3.3.2.3.2.3.1.cmml">+</mo><mn id="S5.E78.m1.1.1.3.3.2.3.2.3.3" xref="S5.E78.m1.1.1.3.3.2.3.2.3.3.cmml">2</mn></mrow></msup><mo id="S5.E78.m1.1.1.3.3.2.3.1" xref="S5.E78.m1.1.1.3.3.2.3.1.cmml">−</mo><mn id="S5.E78.m1.1.1.3.3.2.3.3" xref="S5.E78.m1.1.1.3.3.2.3.3.cmml">1</mn></mrow></mfrac></mstyle></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.E78.m1.1b"><apply id="S5.E78.m1.1.1.cmml" xref="S5.E78.m1.1.1"><eq id="S5.E78.m1.1.1.1.cmml" xref="S5.E78.m1.1.1.1"></eq><csymbol cd="latexml" id="S5.E78.m1.1.1.2.cmml" xref="S5.E78.m1.1.1.2">absent</csymbol><apply id="S5.E78.m1.1.1.3.cmml" xref="S5.E78.m1.1.1.3"><times id="S5.E78.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.E78.m1.1.1.3.1"></times><apply id="S5.E78.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.E78.m1.1.1.3.2"><divide id="S5.E78.m1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S5.E78.m1.1.1.3.2"></divide><apply id="S5.E78.m1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S5.E78.m1.1.1.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E78.m1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S5.E78.m1.1.1.3.2.2">superscript</csymbol><ci id="S5.E78.m1.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S5.E78.m1.1.1.3.2.2.2">𝑞</ci><cn id="S5.E78.m1.1.1.3.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.E78.m1.1.1.3.2.2.3">2</cn></apply><apply id="S5.E78.m1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S5.E78.m1.1.1.3.2.3"><plus id="S5.E78.m1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S5.E78.m1.1.1.3.2.3.1"></plus><apply id="S5.E78.m1.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S5.E78.m1.1.1.3.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E78.m1.1.1.3.2.3.2.1.cmml" xref="S5.E78.m1.1.1.3.2.3.2">superscript</csymbol><ci id="S5.E78.m1.1.1.3.2.3.2.2.cmml" xref="S5.E78.m1.1.1.3.2.3.2.2">𝑞</ci><cn id="S5.E78.m1.1.1.3.2.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.E78.m1.1.1.3.2.3.2.3">2</cn></apply><cn id="S5.E78.m1.1.1.3.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.E78.m1.1.1.3.2.3.3">1</cn></apply></apply><apply id="S5.E78.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S5.E78.m1.1.1.3.3"><apply id="S5.E78.m1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S5.E78.m1.1.1.3.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E78.m1.1.1.3.3.1.1.cmml" xref="S5.E78.m1.1.1.3.3.1">subscript</csymbol><limit id="S5.E78.m1.1.1.3.3.1.2.cmml" xref="S5.E78.m1.1.1.3.3.1.2"></limit><apply id="S5.E78.m1.1.1.3.3.1.3.cmml" xref="S5.E78.m1.1.1.3.3.1.3"><ci id="S5.E78.m1.1.1.3.3.1.3.1.cmml" xref="S5.E78.m1.1.1.3.3.1.3.1">→</ci><ci id="S5.E78.m1.1.1.3.3.1.3.2.cmml" xref="S5.E78.m1.1.1.3.3.1.3.2">𝑚</ci><infinity id="S5.E78.m1.1.1.3.3.1.3.3.cmml" xref="S5.E78.m1.1.1.3.3.1.3.3"></infinity></apply></apply><apply id="S5.E78.m1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S5.E78.m1.1.1.3.3.2"><divide id="S5.E78.m1.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="S5.E78.m1.1.1.3.3.2"></divide><apply id="S5.E78.m1.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="S5.E78.m1.1.1.3.3.2.2"><minus id="S5.E78.m1.1.1.3.3.2.2.1.cmml" xref="S5.E78.m1.1.1.3.3.2.2.1"></minus><apply id="S5.E78.m1.1.1.3.3.2.2.2.cmml" xref="S5.E78.m1.1.1.3.3.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E78.m1.1.1.3.3.2.2.2.1.cmml" xref="S5.E78.m1.1.1.3.3.2.2.2">superscript</csymbol><ci id="S5.E78.m1.1.1.3.3.2.2.2.2.cmml" xref="S5.E78.m1.1.1.3.3.2.2.2.2">𝑞</ci><apply id="S5.E78.m1.1.1.3.3.2.2.2.3.cmml" xref="S5.E78.m1.1.1.3.3.2.2.2.3"><times id="S5.E78.m1.1.1.3.3.2.2.2.3.1.cmml" xref="S5.E78.m1.1.1.3.3.2.2.2.3.1"></times><cn id="S5.E78.m1.1.1.3.3.2.2.2.3.2.cmml" type="integer" xref="S5.E78.m1.1.1.3.3.2.2.2.3.2">2</cn><ci id="S5.E78.m1.1.1.3.3.2.2.2.3.3.cmml" xref="S5.E78.m1.1.1.3.3.2.2.2.3.3">𝑚</ci></apply></apply><cn id="S5.E78.m1.1.1.3.3.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.E78.m1.1.1.3.3.2.2.3">1</cn></apply><apply id="S5.E78.m1.1.1.3.3.2.3.cmml" xref="S5.E78.m1.1.1.3.3.2.3"><minus id="S5.E78.m1.1.1.3.3.2.3.1.cmml" xref="S5.E78.m1.1.1.3.3.2.3.1"></minus><apply id="S5.E78.m1.1.1.3.3.2.3.2.cmml" xref="S5.E78.m1.1.1.3.3.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E78.m1.1.1.3.3.2.3.2.1.cmml" xref="S5.E78.m1.1.1.3.3.2.3.2">superscript</csymbol><ci id="S5.E78.m1.1.1.3.3.2.3.2.2.cmml" xref="S5.E78.m1.1.1.3.3.2.3.2.2">𝑞</ci><apply id="S5.E78.m1.1.1.3.3.2.3.2.3.cmml" xref="S5.E78.m1.1.1.3.3.2.3.2.3"><plus id="S5.E78.m1.1.1.3.3.2.3.2.3.1.cmml" xref="S5.E78.m1.1.1.3.3.2.3.2.3.1"></plus><apply id="S5.E78.m1.1.1.3.3.2.3.2.3.2.cmml" xref="S5.E78.m1.1.1.3.3.2.3.2.3.2"><times id="S5.E78.m1.1.1.3.3.2.3.2.3.2.1.cmml" xref="S5.E78.m1.1.1.3.3.2.3.2.3.2.1"></times><cn id="S5.E78.m1.1.1.3.3.2.3.2.3.2.2.cmml" type="integer" xref="S5.E78.m1.1.1.3.3.2.3.2.3.2.2">2</cn><ci id="S5.E78.m1.1.1.3.3.2.3.2.3.2.3.cmml" xref="S5.E78.m1.1.1.3.3.2.3.2.3.2.3">𝑚</ci></apply><cn id="S5.E78.m1.1.1.3.3.2.3.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.E78.m1.1.1.3.3.2.3.2.3.3">2</cn></apply></apply><cn id="S5.E78.m1.1.1.3.3.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.E78.m1.1.1.3.3.2.3.3">1</cn></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.E78.m1.1c">\displaystyle=\frac{q^{2}}{q^{2}+1}\lim_{m\rightarrow\infty}\frac{q^{2m}-1}{q^% {2m+2}-1}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.E78.m1.1d">= divide start_ARG italic_q start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG italic_q start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + 1 end_ARG roman_lim start_POSTSUBSCRIPT italic_m → ∞ end_POSTSUBSCRIPT divide start_ARG italic_q start_POSTSUPERSCRIPT 2 italic_m end_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_ARG start_ARG italic_q start_POSTSUPERSCRIPT 2 italic_m + 2 end_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_ARG</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(78)</span></td> </tr></tbody> <tbody id="S5.E79"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=\frac{1}{q^{2}+1}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.E79.m1.1"><semantics id="S5.E79.m1.1a"><mrow id="S5.E79.m1.1.1" xref="S5.E79.m1.1.1.cmml"><mi id="S5.E79.m1.1.1.2" xref="S5.E79.m1.1.1.2.cmml"></mi><mo id="S5.E79.m1.1.1.1" xref="S5.E79.m1.1.1.1.cmml">=</mo><mstyle displaystyle="true" id="S5.E79.m1.1.1.3" xref="S5.E79.m1.1.1.3.cmml"><mfrac id="S5.E79.m1.1.1.3a" xref="S5.E79.m1.1.1.3.cmml"><mn id="S5.E79.m1.1.1.3.2" xref="S5.E79.m1.1.1.3.2.cmml">1</mn><mrow id="S5.E79.m1.1.1.3.3" xref="S5.E79.m1.1.1.3.3.cmml"><msup id="S5.E79.m1.1.1.3.3.2" xref="S5.E79.m1.1.1.3.3.2.cmml"><mi id="S5.E79.m1.1.1.3.3.2.2" xref="S5.E79.m1.1.1.3.3.2.2.cmml">q</mi><mn id="S5.E79.m1.1.1.3.3.2.3" xref="S5.E79.m1.1.1.3.3.2.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S5.E79.m1.1.1.3.3.1" xref="S5.E79.m1.1.1.3.3.1.cmml">+</mo><mn id="S5.E79.m1.1.1.3.3.3" xref="S5.E79.m1.1.1.3.3.3.cmml">1</mn></mrow></mfrac></mstyle></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.E79.m1.1b"><apply id="S5.E79.m1.1.1.cmml" xref="S5.E79.m1.1.1"><eq id="S5.E79.m1.1.1.1.cmml" xref="S5.E79.m1.1.1.1"></eq><csymbol cd="latexml" id="S5.E79.m1.1.1.2.cmml" xref="S5.E79.m1.1.1.2">absent</csymbol><apply id="S5.E79.m1.1.1.3.cmml" xref="S5.E79.m1.1.1.3"><divide id="S5.E79.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.E79.m1.1.1.3"></divide><cn id="S5.E79.m1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S5.E79.m1.1.1.3.2">1</cn><apply id="S5.E79.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S5.E79.m1.1.1.3.3"><plus id="S5.E79.m1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S5.E79.m1.1.1.3.3.1"></plus><apply id="S5.E79.m1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S5.E79.m1.1.1.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E79.m1.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="S5.E79.m1.1.1.3.3.2">superscript</csymbol><ci id="S5.E79.m1.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="S5.E79.m1.1.1.3.3.2.2">𝑞</ci><cn id="S5.E79.m1.1.1.3.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.E79.m1.1.1.3.3.2.3">2</cn></apply><cn id="S5.E79.m1.1.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.E79.m1.1.1.3.3.3">1</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.E79.m1.1c">\displaystyle=\frac{1}{q^{2}+1}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.E79.m1.1d">= divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_q start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + 1 end_ARG</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(79)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S5.SS2.7.p5.1">where in the second line we use the fact that <math alttext="q>1" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS2.7.p5.1.m1.1"><semantics id="S5.SS2.7.p5.1.m1.1a"><mrow id="S5.SS2.7.p5.1.m1.1.1" xref="S5.SS2.7.p5.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S5.SS2.7.p5.1.m1.1.1.2" xref="S5.SS2.7.p5.1.m1.1.1.2.cmml">q</mi><mo id="S5.SS2.7.p5.1.m1.1.1.1" xref="S5.SS2.7.p5.1.m1.1.1.1.cmml">></mo><mn id="S5.SS2.7.p5.1.m1.1.1.3" xref="S5.SS2.7.p5.1.m1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS2.7.p5.1.m1.1b"><apply id="S5.SS2.7.p5.1.m1.1.1.cmml" xref="S5.SS2.7.p5.1.m1.1.1"><gt id="S5.SS2.7.p5.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S5.SS2.7.p5.1.m1.1.1.1"></gt><ci id="S5.SS2.7.p5.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S5.SS2.7.p5.1.m1.1.1.2">𝑞</ci><cn id="S5.SS2.7.p5.1.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.SS2.7.p5.1.m1.1.1.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS2.7.p5.1.m1.1c">q>1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS2.7.p5.1.m1.1d">italic_q > 1</annotation></semantics></math>. ∎</p> </div> </div> </section> <section class="ltx_subsection" id="S5.SS3"> <h3 class="ltx_title ltx_title_subsection"> <span class="ltx_tag ltx_tag_subsection">V.3 </span>Computing <math alttext="\lambda" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS3.1.m1.1"><semantics id="S5.SS3.1.m1.1b"><mi id="S5.SS3.1.m1.1.1" xref="S5.SS3.1.m1.1.1.cmml">λ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS3.1.m1.1c"><ci id="S5.SS3.1.m1.1.1.cmml" xref="S5.SS3.1.m1.1.1">𝜆</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS3.1.m1.1d">\lambda</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS3.1.m1.1e">italic_λ</annotation></semantics></math> when <math alttext="t>2" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS3.2.m2.1"><semantics id="S5.SS3.2.m2.1b"><mrow id="S5.SS3.2.m2.1.1" xref="S5.SS3.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S5.SS3.2.m2.1.1.2" xref="S5.SS3.2.m2.1.1.2.cmml">t</mi><mo id="S5.SS3.2.m2.1.1.1" xref="S5.SS3.2.m2.1.1.1.cmml">></mo><mn id="S5.SS3.2.m2.1.1.3" xref="S5.SS3.2.m2.1.1.3.cmml">2</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS3.2.m2.1c"><apply id="S5.SS3.2.m2.1.1.cmml" xref="S5.SS3.2.m2.1.1"><gt id="S5.SS3.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S5.SS3.2.m2.1.1.1"></gt><ci id="S5.SS3.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S5.SS3.2.m2.1.1.2">𝑡</ci><cn id="S5.SS3.2.m2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.SS3.2.m2.1.1.3">2</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS3.2.m2.1d">t>2</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS3.2.m2.1e">italic_t > 2</annotation></semantics></math> </h3> <div class="ltx_para" id="S5.SS3.p1"> <p class="ltx_p" id="S5.SS3.p1.1">The remainder of this work is devoted to establishing the following fact.</p> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_theorem" id="Thmtheorem38"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmtheorem38.1.1.1">Theorem 38</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmtheorem38.2.2">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="Thmtheorem38.p1"> <p class="ltx_p" id="Thmtheorem38.p1.1"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmtheorem38.p1.1.1">When <math alttext="t\leq q" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem38.p1.1.1.m1.1"><semantics id="Thmtheorem38.p1.1.1.m1.1a"><mrow id="Thmtheorem38.p1.1.1.m1.1.1" xref="Thmtheorem38.p1.1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="Thmtheorem38.p1.1.1.m1.1.1.2" xref="Thmtheorem38.p1.1.1.m1.1.1.2.cmml">t</mi><mo id="Thmtheorem38.p1.1.1.m1.1.1.1" xref="Thmtheorem38.p1.1.1.m1.1.1.1.cmml">≤</mo><mi id="Thmtheorem38.p1.1.1.m1.1.1.3" xref="Thmtheorem38.p1.1.1.m1.1.1.3.cmml">q</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem38.p1.1.1.m1.1b"><apply id="Thmtheorem38.p1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem38.p1.1.1.m1.1.1"><leq id="Thmtheorem38.p1.1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem38.p1.1.1.m1.1.1.1"></leq><ci id="Thmtheorem38.p1.1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="Thmtheorem38.p1.1.1.m1.1.1.2">𝑡</ci><ci id="Thmtheorem38.p1.1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="Thmtheorem38.p1.1.1.m1.1.1.3">𝑞</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem38.p1.1.1.m1.1c">t\leq q</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem38.p1.1.1.m1.1d">italic_t ≤ italic_q</annotation></semantics></math>,</span></p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_gather ltx_eqn_table" id="S6.EGx70"> <tbody id="S5.E80"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\displaystyle||K_{m}||_{\infty}\leq\frac{1}{1+q^{2}}" class="ltx_Math" display="block" id="S5.E80.m1.1"><semantics id="S5.E80.m1.1a"><mrow id="S5.E80.m1.1.1" xref="S5.E80.m1.1.1.cmml"><msub id="S5.E80.m1.1.1.1" xref="S5.E80.m1.1.1.1.cmml"><mrow id="S5.E80.m1.1.1.1.1.1" xref="S5.E80.m1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S5.E80.m1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S5.E80.m1.1.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo><msub id="S5.E80.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.E80.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S5.E80.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.E80.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">K</mi><mi id="S5.E80.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.E80.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">m</mi></msub><mo id="S5.E80.m1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S5.E80.m1.1.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo></mrow><mi id="S5.E80.m1.1.1.1.3" mathvariant="normal" xref="S5.E80.m1.1.1.1.3.cmml">∞</mi></msub><mo id="S5.E80.m1.1.1.2" xref="S5.E80.m1.1.1.2.cmml">≤</mo><mfrac id="S5.E80.m1.1.1.3" xref="S5.E80.m1.1.1.3.cmml"><mn id="S5.E80.m1.1.1.3.2" xref="S5.E80.m1.1.1.3.2.cmml">1</mn><mrow id="S5.E80.m1.1.1.3.3" xref="S5.E80.m1.1.1.3.3.cmml"><mn id="S5.E80.m1.1.1.3.3.2" xref="S5.E80.m1.1.1.3.3.2.cmml">1</mn><mo id="S5.E80.m1.1.1.3.3.1" xref="S5.E80.m1.1.1.3.3.1.cmml">+</mo><msup id="S5.E80.m1.1.1.3.3.3" xref="S5.E80.m1.1.1.3.3.3.cmml"><mi id="S5.E80.m1.1.1.3.3.3.2" xref="S5.E80.m1.1.1.3.3.3.2.cmml">q</mi><mn id="S5.E80.m1.1.1.3.3.3.3" xref="S5.E80.m1.1.1.3.3.3.3.cmml">2</mn></msup></mrow></mfrac></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.E80.m1.1b"><apply id="S5.E80.m1.1.1.cmml" xref="S5.E80.m1.1.1"><leq id="S5.E80.m1.1.1.2.cmml" xref="S5.E80.m1.1.1.2"></leq><apply id="S5.E80.m1.1.1.1.cmml" xref="S5.E80.m1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E80.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.E80.m1.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="S5.E80.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.E80.m1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S5.E80.m1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.E80.m1.1.1.1.1.1.2">norm</csymbol><apply id="S5.E80.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.E80.m1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E80.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.E80.m1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.E80.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.E80.m1.1.1.1.1.1.1.2">𝐾</ci><ci id="S5.E80.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.E80.m1.1.1.1.1.1.1.3">𝑚</ci></apply></apply><infinity id="S5.E80.m1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.E80.m1.1.1.1.3"></infinity></apply><apply id="S5.E80.m1.1.1.3.cmml" xref="S5.E80.m1.1.1.3"><divide id="S5.E80.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.E80.m1.1.1.3"></divide><cn id="S5.E80.m1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S5.E80.m1.1.1.3.2">1</cn><apply id="S5.E80.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S5.E80.m1.1.1.3.3"><plus id="S5.E80.m1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S5.E80.m1.1.1.3.3.1"></plus><cn id="S5.E80.m1.1.1.3.3.2.cmml" type="integer" xref="S5.E80.m1.1.1.3.3.2">1</cn><apply id="S5.E80.m1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S5.E80.m1.1.1.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E80.m1.1.1.3.3.3.1.cmml" xref="S5.E80.m1.1.1.3.3.3">superscript</csymbol><ci id="S5.E80.m1.1.1.3.3.3.2.cmml" xref="S5.E80.m1.1.1.3.3.3.2">𝑞</ci><cn id="S5.E80.m1.1.1.3.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.E80.m1.1.1.3.3.3.3">2</cn></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.E80.m1.1c">\displaystyle||K_{m}||_{\infty}\leq\frac{1}{1+q^{2}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.E80.m1.1d">| | italic_K start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT | | start_POSTSUBSCRIPT ∞ end_POSTSUBSCRIPT ≤ divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 1 + italic_q start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(80)</span></td> </tr></tbody> </table> </div> </div> <div class="ltx_proof" id="S5.SS3.3"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_font_italic ltx_title_proof">Proof.</h6> <div class="ltx_para" id="S5.SS3.3.p1"> <p class="ltx_p" id="S5.SS3.3.p1.8">From Corollary <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#Thmtheorem29" title="Corollary 29. ‣ IV.1 Deranged subspace ‣ IV Properties of the eigenspaces ‣ Conditional 𝑡-independent spectral gap for random quantum circuits and implications for 𝑡-design depths"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">29</span></a>, it suffices to check the eigenvalues of <math alttext="K_{m}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS3.3.p1.1.m1.1"><semantics id="S5.SS3.3.p1.1.m1.1a"><msub id="S5.SS3.3.p1.1.m1.1.1" xref="S5.SS3.3.p1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S5.SS3.3.p1.1.m1.1.1.2" xref="S5.SS3.3.p1.1.m1.1.1.2.cmml">K</mi><mi id="S5.SS3.3.p1.1.m1.1.1.3" xref="S5.SS3.3.p1.1.m1.1.1.3.cmml">m</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS3.3.p1.1.m1.1b"><apply id="S5.SS3.3.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S5.SS3.3.p1.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS3.3.p1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S5.SS3.3.p1.1.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.SS3.3.p1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S5.SS3.3.p1.1.m1.1.1.2">𝐾</ci><ci id="S5.SS3.3.p1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S5.SS3.3.p1.1.m1.1.1.3">𝑚</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS3.3.p1.1.m1.1c">K_{m}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS3.3.p1.1.m1.1d">italic_K start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> in each deranged block separately. From Theorem <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#Thmtheorem37" title="Theorem 37. ‣ V.2 Computing 𝜆 when 𝑡=2 ‣ V Structure of the 3-Site Operator ‣ Conditional 𝑡-independent spectral gap for random quantum circuits and implications for 𝑡-design depths"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">37</span></a> (<math alttext="t=2" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS3.3.p1.2.m2.1"><semantics id="S5.SS3.3.p1.2.m2.1a"><mrow id="S5.SS3.3.p1.2.m2.1.1" xref="S5.SS3.3.p1.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S5.SS3.3.p1.2.m2.1.1.2" xref="S5.SS3.3.p1.2.m2.1.1.2.cmml">t</mi><mo id="S5.SS3.3.p1.2.m2.1.1.1" xref="S5.SS3.3.p1.2.m2.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S5.SS3.3.p1.2.m2.1.1.3" xref="S5.SS3.3.p1.2.m2.1.1.3.cmml">2</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS3.3.p1.2.m2.1b"><apply id="S5.SS3.3.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="S5.SS3.3.p1.2.m2.1.1"><eq id="S5.SS3.3.p1.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S5.SS3.3.p1.2.m2.1.1.1"></eq><ci id="S5.SS3.3.p1.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S5.SS3.3.p1.2.m2.1.1.2">𝑡</ci><cn id="S5.SS3.3.p1.2.m2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.SS3.3.p1.2.m2.1.1.3">2</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS3.3.p1.2.m2.1c">t=2</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS3.3.p1.2.m2.1d">italic_t = 2</annotation></semantics></math>) and Lemmas <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#Thmtheorem41" title="Lemma 41. ‣ VI Bounding the complete derangement block ‣ Conditional 𝑡-independent spectral gap for random quantum circuits and implications for 𝑡-design depths"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">41</span></a> (<math alttext="t\leq 6" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS3.3.p1.3.m3.1"><semantics id="S5.SS3.3.p1.3.m3.1a"><mrow id="S5.SS3.3.p1.3.m3.1.1" xref="S5.SS3.3.p1.3.m3.1.1.cmml"><mi id="S5.SS3.3.p1.3.m3.1.1.2" xref="S5.SS3.3.p1.3.m3.1.1.2.cmml">t</mi><mo id="S5.SS3.3.p1.3.m3.1.1.1" xref="S5.SS3.3.p1.3.m3.1.1.1.cmml">≤</mo><mn id="S5.SS3.3.p1.3.m3.1.1.3" xref="S5.SS3.3.p1.3.m3.1.1.3.cmml">6</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS3.3.p1.3.m3.1b"><apply id="S5.SS3.3.p1.3.m3.1.1.cmml" xref="S5.SS3.3.p1.3.m3.1.1"><leq id="S5.SS3.3.p1.3.m3.1.1.1.cmml" xref="S5.SS3.3.p1.3.m3.1.1.1"></leq><ci id="S5.SS3.3.p1.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S5.SS3.3.p1.3.m3.1.1.2">𝑡</ci><cn id="S5.SS3.3.p1.3.m3.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.SS3.3.p1.3.m3.1.1.3">6</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS3.3.p1.3.m3.1c">t\leq 6</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS3.3.p1.3.m3.1d">italic_t ≤ 6</annotation></semantics></math>), <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#Thmtheorem40" title="Lemma 40. ‣ VI Bounding the complete derangement block ‣ Conditional 𝑡-independent spectral gap for random quantum circuits and implications for 𝑡-design depths"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">40</span></a> (<math alttext="7\leq t\leq 28" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS3.3.p1.4.m4.1"><semantics id="S5.SS3.3.p1.4.m4.1a"><mrow id="S5.SS3.3.p1.4.m4.1.1" xref="S5.SS3.3.p1.4.m4.1.1.cmml"><mn id="S5.SS3.3.p1.4.m4.1.1.2" xref="S5.SS3.3.p1.4.m4.1.1.2.cmml">7</mn><mo id="S5.SS3.3.p1.4.m4.1.1.3" xref="S5.SS3.3.p1.4.m4.1.1.3.cmml">≤</mo><mi id="S5.SS3.3.p1.4.m4.1.1.4" xref="S5.SS3.3.p1.4.m4.1.1.4.cmml">t</mi><mo id="S5.SS3.3.p1.4.m4.1.1.5" xref="S5.SS3.3.p1.4.m4.1.1.5.cmml">≤</mo><mn id="S5.SS3.3.p1.4.m4.1.1.6" xref="S5.SS3.3.p1.4.m4.1.1.6.cmml">28</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS3.3.p1.4.m4.1b"><apply id="S5.SS3.3.p1.4.m4.1.1.cmml" xref="S5.SS3.3.p1.4.m4.1.1"><and id="S5.SS3.3.p1.4.m4.1.1a.cmml" xref="S5.SS3.3.p1.4.m4.1.1"></and><apply id="S5.SS3.3.p1.4.m4.1.1b.cmml" xref="S5.SS3.3.p1.4.m4.1.1"><leq id="S5.SS3.3.p1.4.m4.1.1.3.cmml" xref="S5.SS3.3.p1.4.m4.1.1.3"></leq><cn id="S5.SS3.3.p1.4.m4.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S5.SS3.3.p1.4.m4.1.1.2">7</cn><ci id="S5.SS3.3.p1.4.m4.1.1.4.cmml" xref="S5.SS3.3.p1.4.m4.1.1.4">𝑡</ci></apply><apply id="S5.SS3.3.p1.4.m4.1.1c.cmml" xref="S5.SS3.3.p1.4.m4.1.1"><leq id="S5.SS3.3.p1.4.m4.1.1.5.cmml" xref="S5.SS3.3.p1.4.m4.1.1.5"></leq><share href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#S5.SS3.3.p1.4.m4.1.1.4.cmml" id="S5.SS3.3.p1.4.m4.1.1d.cmml" xref="S5.SS3.3.p1.4.m4.1.1"></share><cn id="S5.SS3.3.p1.4.m4.1.1.6.cmml" type="integer" xref="S5.SS3.3.p1.4.m4.1.1.6">28</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS3.3.p1.4.m4.1c">7\leq t\leq 28</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS3.3.p1.4.m4.1d">7 ≤ italic_t ≤ 28</annotation></semantics></math>), and <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#Thmtheorem39" title="Lemma 39. ‣ VI Bounding the complete derangement block ‣ Conditional 𝑡-independent spectral gap for random quantum circuits and implications for 𝑡-design depths"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">39</span></a> (<math alttext="t>28" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS3.3.p1.5.m5.1"><semantics id="S5.SS3.3.p1.5.m5.1a"><mrow id="S5.SS3.3.p1.5.m5.1.1" xref="S5.SS3.3.p1.5.m5.1.1.cmml"><mi id="S5.SS3.3.p1.5.m5.1.1.2" xref="S5.SS3.3.p1.5.m5.1.1.2.cmml">t</mi><mo id="S5.SS3.3.p1.5.m5.1.1.1" xref="S5.SS3.3.p1.5.m5.1.1.1.cmml">></mo><mn id="S5.SS3.3.p1.5.m5.1.1.3" xref="S5.SS3.3.p1.5.m5.1.1.3.cmml">28</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS3.3.p1.5.m5.1b"><apply id="S5.SS3.3.p1.5.m5.1.1.cmml" xref="S5.SS3.3.p1.5.m5.1.1"><gt id="S5.SS3.3.p1.5.m5.1.1.1.cmml" xref="S5.SS3.3.p1.5.m5.1.1.1"></gt><ci id="S5.SS3.3.p1.5.m5.1.1.2.cmml" xref="S5.SS3.3.p1.5.m5.1.1.2">𝑡</ci><cn id="S5.SS3.3.p1.5.m5.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.SS3.3.p1.5.m5.1.1.3">28</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS3.3.p1.5.m5.1c">t>28</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS3.3.p1.5.m5.1d">italic_t > 28</annotation></semantics></math>), we will see there is no value of <math alttext="t" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS3.3.p1.6.m6.1"><semantics id="S5.SS3.3.p1.6.m6.1a"><mi id="S5.SS3.3.p1.6.m6.1.1" xref="S5.SS3.3.p1.6.m6.1.1.cmml">t</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS3.3.p1.6.m6.1b"><ci id="S5.SS3.3.p1.6.m6.1.1.cmml" xref="S5.SS3.3.p1.6.m6.1.1">𝑡</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS3.3.p1.6.m6.1c">t</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS3.3.p1.6.m6.1d">italic_t</annotation></semantics></math> for which the eigenvalue of <math alttext="K_{m}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS3.3.p1.7.m7.1"><semantics id="S5.SS3.3.p1.7.m7.1a"><msub id="S5.SS3.3.p1.7.m7.1.1" xref="S5.SS3.3.p1.7.m7.1.1.cmml"><mi id="S5.SS3.3.p1.7.m7.1.1.2" xref="S5.SS3.3.p1.7.m7.1.1.2.cmml">K</mi><mi id="S5.SS3.3.p1.7.m7.1.1.3" xref="S5.SS3.3.p1.7.m7.1.1.3.cmml">m</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS3.3.p1.7.m7.1b"><apply id="S5.SS3.3.p1.7.m7.1.1.cmml" xref="S5.SS3.3.p1.7.m7.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS3.3.p1.7.m7.1.1.1.cmml" xref="S5.SS3.3.p1.7.m7.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.SS3.3.p1.7.m7.1.1.2.cmml" xref="S5.SS3.3.p1.7.m7.1.1.2">𝐾</ci><ci id="S5.SS3.3.p1.7.m7.1.1.3.cmml" xref="S5.SS3.3.p1.7.m7.1.1.3">𝑚</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS3.3.p1.7.m7.1c">K_{m}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS3.3.p1.7.m7.1d">italic_K start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> in the deranged block exceeds <math alttext="\frac{1}{1+q^{2}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS3.3.p1.8.m8.1"><semantics id="S5.SS3.3.p1.8.m8.1a"><mfrac id="S5.SS3.3.p1.8.m8.1.1" xref="S5.SS3.3.p1.8.m8.1.1.cmml"><mn id="S5.SS3.3.p1.8.m8.1.1.2" xref="S5.SS3.3.p1.8.m8.1.1.2.cmml">1</mn><mrow id="S5.SS3.3.p1.8.m8.1.1.3" xref="S5.SS3.3.p1.8.m8.1.1.3.cmml"><mn id="S5.SS3.3.p1.8.m8.1.1.3.2" xref="S5.SS3.3.p1.8.m8.1.1.3.2.cmml">1</mn><mo id="S5.SS3.3.p1.8.m8.1.1.3.1" xref="S5.SS3.3.p1.8.m8.1.1.3.1.cmml">+</mo><msup id="S5.SS3.3.p1.8.m8.1.1.3.3" xref="S5.SS3.3.p1.8.m8.1.1.3.3.cmml"><mi id="S5.SS3.3.p1.8.m8.1.1.3.3.2" xref="S5.SS3.3.p1.8.m8.1.1.3.3.2.cmml">q</mi><mn id="S5.SS3.3.p1.8.m8.1.1.3.3.3" xref="S5.SS3.3.p1.8.m8.1.1.3.3.3.cmml">2</mn></msup></mrow></mfrac><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS3.3.p1.8.m8.1b"><apply id="S5.SS3.3.p1.8.m8.1.1.cmml" xref="S5.SS3.3.p1.8.m8.1.1"><divide id="S5.SS3.3.p1.8.m8.1.1.1.cmml" xref="S5.SS3.3.p1.8.m8.1.1"></divide><cn id="S5.SS3.3.p1.8.m8.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S5.SS3.3.p1.8.m8.1.1.2">1</cn><apply id="S5.SS3.3.p1.8.m8.1.1.3.cmml" xref="S5.SS3.3.p1.8.m8.1.1.3"><plus id="S5.SS3.3.p1.8.m8.1.1.3.1.cmml" xref="S5.SS3.3.p1.8.m8.1.1.3.1"></plus><cn id="S5.SS3.3.p1.8.m8.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S5.SS3.3.p1.8.m8.1.1.3.2">1</cn><apply id="S5.SS3.3.p1.8.m8.1.1.3.3.cmml" xref="S5.SS3.3.p1.8.m8.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS3.3.p1.8.m8.1.1.3.3.1.cmml" xref="S5.SS3.3.p1.8.m8.1.1.3.3">superscript</csymbol><ci id="S5.SS3.3.p1.8.m8.1.1.3.3.2.cmml" xref="S5.SS3.3.p1.8.m8.1.1.3.3.2">𝑞</ci><cn id="S5.SS3.3.p1.8.m8.1.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.SS3.3.p1.8.m8.1.1.3.3.3">2</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS3.3.p1.8.m8.1c">\frac{1}{1+q^{2}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS3.3.p1.8.m8.1d">divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 1 + italic_q start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG</annotation></semantics></math>. ∎</p> </div> </div> </section> </section> <section class="ltx_section" id="S6"> <h2 class="ltx_title ltx_title_section"> <span class="ltx_tag ltx_tag_section">VI </span>Bounding the complete derangement block</h2> <figure class="ltx_figure" id="S6.F4"><svg class="ltx_picture ltx_centering" height="160" id="S6.F4.pic1" overflow="visible" version="1.1" width="240"><g fill="#000000" stroke="#000000" stroke-width="0.4pt" transform="translate(0,160) matrix(1 0 0 -1 0 0) translate(-16.02,0) translate(0,160.28) matrix(1.0 0.0 0.0 1.0 16.02 -160.28)"><foreignobject height="160" overflow="visible" transform="matrix(1 0 0 -1 0 16.6)" width="240"><img alt="Refer to caption" class="ltx_graphics ltx_img_landscape" height="222" id="S6.F4.pic1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.g1" src="x5.png" width="332"/></foreignobject></g></svg> <figcaption class="ltx_caption ltx_centering"><span class="ltx_tag ltx_tag_figure">Figure 4: </span>Bounds on <math alttext="q^{2}||K_{m}||_{\mathfrak{D}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.F4.6.m1.1"><semantics id="S6.F4.6.m1.1b"><mrow id="S6.F4.6.m1.1.1" xref="S6.F4.6.m1.1.1.cmml"><msup id="S6.F4.6.m1.1.1.3" xref="S6.F4.6.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S6.F4.6.m1.1.1.3.2" xref="S6.F4.6.m1.1.1.3.2.cmml">q</mi><mn id="S6.F4.6.m1.1.1.3.3" xref="S6.F4.6.m1.1.1.3.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S6.F4.6.m1.1.1.2" xref="S6.F4.6.m1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="S6.F4.6.m1.1.1.1" xref="S6.F4.6.m1.1.1.1.cmml"><mrow id="S6.F4.6.m1.1.1.1.1.1" xref="S6.F4.6.m1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S6.F4.6.m1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S6.F4.6.m1.1.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo><msub id="S6.F4.6.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S6.F4.6.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S6.F4.6.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S6.F4.6.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">K</mi><mi id="S6.F4.6.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S6.F4.6.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">m</mi></msub><mo id="S6.F4.6.m1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S6.F4.6.m1.1.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo></mrow><mi id="S6.F4.6.m1.1.1.1.3" xref="S6.F4.6.m1.1.1.1.3.cmml">𝔇</mi></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.F4.6.m1.1c"><apply id="S6.F4.6.m1.1.1.cmml" xref="S6.F4.6.m1.1.1"><times id="S6.F4.6.m1.1.1.2.cmml" xref="S6.F4.6.m1.1.1.2"></times><apply id="S6.F4.6.m1.1.1.3.cmml" xref="S6.F4.6.m1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.F4.6.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S6.F4.6.m1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S6.F4.6.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S6.F4.6.m1.1.1.3.2">𝑞</ci><cn id="S6.F4.6.m1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S6.F4.6.m1.1.1.3.3">2</cn></apply><apply id="S6.F4.6.m1.1.1.1.cmml" xref="S6.F4.6.m1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.F4.6.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S6.F4.6.m1.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="S6.F4.6.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S6.F4.6.m1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S6.F4.6.m1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S6.F4.6.m1.1.1.1.1.1.2">norm</csymbol><apply id="S6.F4.6.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S6.F4.6.m1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.F4.6.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S6.F4.6.m1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S6.F4.6.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S6.F4.6.m1.1.1.1.1.1.1.2">𝐾</ci><ci id="S6.F4.6.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S6.F4.6.m1.1.1.1.1.1.1.3">𝑚</ci></apply></apply><ci id="S6.F4.6.m1.1.1.1.3.cmml" xref="S6.F4.6.m1.1.1.1.3">𝔇</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.F4.6.m1.1d">q^{2}||K_{m}||_{\mathfrak{D}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.F4.6.m1.1e">italic_q start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT | | italic_K start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT | | start_POSTSUBSCRIPT fraktur_D end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, that is, the largest eigenvalue of the complete derangement block scaled by <math alttext="q^{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.F4.7.m2.1"><semantics id="S6.F4.7.m2.1b"><msup id="S6.F4.7.m2.1.1" xref="S6.F4.7.m2.1.1.cmml"><mi id="S6.F4.7.m2.1.1.2" xref="S6.F4.7.m2.1.1.2.cmml">q</mi><mn id="S6.F4.7.m2.1.1.3" xref="S6.F4.7.m2.1.1.3.cmml">2</mn></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.F4.7.m2.1c"><apply id="S6.F4.7.m2.1.1.cmml" xref="S6.F4.7.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.F4.7.m2.1.1.1.cmml" xref="S6.F4.7.m2.1.1">superscript</csymbol><ci id="S6.F4.7.m2.1.1.2.cmml" xref="S6.F4.7.m2.1.1.2">𝑞</ci><cn id="S6.F4.7.m2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S6.F4.7.m2.1.1.3">2</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.F4.7.m2.1d">q^{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.F4.7.m2.1e">italic_q start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>, through Lemmas <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#Thmtheorem39" title="Lemma 39. ‣ VI Bounding the complete derangement block ‣ Conditional 𝑡-independent spectral gap for random quantum circuits and implications for 𝑡-design depths"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">39</span></a> (red line), <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#Thmtheorem40" title="Lemma 40. ‣ VI Bounding the complete derangement block ‣ Conditional 𝑡-independent spectral gap for random quantum circuits and implications for 𝑡-design depths"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">40</span></a> (blue line), and <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#Thmtheorem41" title="Lemma 41. ‣ VI Bounding the complete derangement block ‣ Conditional 𝑡-independent spectral gap for random quantum circuits and implications for 𝑡-design depths"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">41</span></a> (green line). For each <math alttext="t>2" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.F4.8.m3.1"><semantics id="S6.F4.8.m3.1b"><mrow id="S6.F4.8.m3.1.1" xref="S6.F4.8.m3.1.1.cmml"><mi id="S6.F4.8.m3.1.1.2" xref="S6.F4.8.m3.1.1.2.cmml">t</mi><mo id="S6.F4.8.m3.1.1.1" xref="S6.F4.8.m3.1.1.1.cmml">></mo><mn id="S6.F4.8.m3.1.1.3" xref="S6.F4.8.m3.1.1.3.cmml">2</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.F4.8.m3.1c"><apply id="S6.F4.8.m3.1.1.cmml" xref="S6.F4.8.m3.1.1"><gt id="S6.F4.8.m3.1.1.1.cmml" xref="S6.F4.8.m3.1.1.1"></gt><ci id="S6.F4.8.m3.1.1.2.cmml" xref="S6.F4.8.m3.1.1.2">𝑡</ci><cn id="S6.F4.8.m3.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S6.F4.8.m3.1.1.3">2</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.F4.8.m3.1d">t>2</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.F4.8.m3.1e">italic_t > 2</annotation></semantics></math>, at least one of our bounds implies <math alttext="||K_{m}||_{\mathfrak{D}}<\frac{4}{5}q^{2}\leq\frac{1}{q^{2}+1}" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.F4.9.m4.1"><semantics id="S6.F4.9.m4.1b"><mrow id="S6.F4.9.m4.1.1" xref="S6.F4.9.m4.1.1.cmml"><msub id="S6.F4.9.m4.1.1.1" xref="S6.F4.9.m4.1.1.1.cmml"><mrow id="S6.F4.9.m4.1.1.1.1.1" xref="S6.F4.9.m4.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S6.F4.9.m4.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S6.F4.9.m4.1.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo><msub id="S6.F4.9.m4.1.1.1.1.1.1" xref="S6.F4.9.m4.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S6.F4.9.m4.1.1.1.1.1.1.2" xref="S6.F4.9.m4.1.1.1.1.1.1.2.cmml">K</mi><mi id="S6.F4.9.m4.1.1.1.1.1.1.3" xref="S6.F4.9.m4.1.1.1.1.1.1.3.cmml">m</mi></msub><mo id="S6.F4.9.m4.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S6.F4.9.m4.1.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo></mrow><mi id="S6.F4.9.m4.1.1.1.3" xref="S6.F4.9.m4.1.1.1.3.cmml">𝔇</mi></msub><mo id="S6.F4.9.m4.1.1.3" xref="S6.F4.9.m4.1.1.3.cmml"><</mo><mrow id="S6.F4.9.m4.1.1.4" xref="S6.F4.9.m4.1.1.4.cmml"><mfrac id="S6.F4.9.m4.1.1.4.2" xref="S6.F4.9.m4.1.1.4.2.cmml"><mn id="S6.F4.9.m4.1.1.4.2.2" xref="S6.F4.9.m4.1.1.4.2.2.cmml">4</mn><mn id="S6.F4.9.m4.1.1.4.2.3" xref="S6.F4.9.m4.1.1.4.2.3.cmml">5</mn></mfrac><mo id="S6.F4.9.m4.1.1.4.1" xref="S6.F4.9.m4.1.1.4.1.cmml">⁢</mo><msup id="S6.F4.9.m4.1.1.4.3" xref="S6.F4.9.m4.1.1.4.3.cmml"><mi id="S6.F4.9.m4.1.1.4.3.2" xref="S6.F4.9.m4.1.1.4.3.2.cmml">q</mi><mn id="S6.F4.9.m4.1.1.4.3.3" xref="S6.F4.9.m4.1.1.4.3.3.cmml">2</mn></msup></mrow><mo id="S6.F4.9.m4.1.1.5" xref="S6.F4.9.m4.1.1.5.cmml">≤</mo><mfrac id="S6.F4.9.m4.1.1.6" xref="S6.F4.9.m4.1.1.6.cmml"><mn id="S6.F4.9.m4.1.1.6.2" xref="S6.F4.9.m4.1.1.6.2.cmml">1</mn><mrow id="S6.F4.9.m4.1.1.6.3" xref="S6.F4.9.m4.1.1.6.3.cmml"><msup id="S6.F4.9.m4.1.1.6.3.2" xref="S6.F4.9.m4.1.1.6.3.2.cmml"><mi id="S6.F4.9.m4.1.1.6.3.2.2" xref="S6.F4.9.m4.1.1.6.3.2.2.cmml">q</mi><mn id="S6.F4.9.m4.1.1.6.3.2.3" xref="S6.F4.9.m4.1.1.6.3.2.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S6.F4.9.m4.1.1.6.3.1" xref="S6.F4.9.m4.1.1.6.3.1.cmml">+</mo><mn id="S6.F4.9.m4.1.1.6.3.3" xref="S6.F4.9.m4.1.1.6.3.3.cmml">1</mn></mrow></mfrac></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.F4.9.m4.1c"><apply id="S6.F4.9.m4.1.1.cmml" xref="S6.F4.9.m4.1.1"><and id="S6.F4.9.m4.1.1a.cmml" xref="S6.F4.9.m4.1.1"></and><apply id="S6.F4.9.m4.1.1b.cmml" xref="S6.F4.9.m4.1.1"><lt id="S6.F4.9.m4.1.1.3.cmml" xref="S6.F4.9.m4.1.1.3"></lt><apply id="S6.F4.9.m4.1.1.1.cmml" xref="S6.F4.9.m4.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.F4.9.m4.1.1.1.2.cmml" xref="S6.F4.9.m4.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="S6.F4.9.m4.1.1.1.1.2.cmml" xref="S6.F4.9.m4.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S6.F4.9.m4.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S6.F4.9.m4.1.1.1.1.1.2">norm</csymbol><apply id="S6.F4.9.m4.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S6.F4.9.m4.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.F4.9.m4.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S6.F4.9.m4.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S6.F4.9.m4.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S6.F4.9.m4.1.1.1.1.1.1.2">𝐾</ci><ci id="S6.F4.9.m4.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S6.F4.9.m4.1.1.1.1.1.1.3">𝑚</ci></apply></apply><ci id="S6.F4.9.m4.1.1.1.3.cmml" xref="S6.F4.9.m4.1.1.1.3">𝔇</ci></apply><apply id="S6.F4.9.m4.1.1.4.cmml" xref="S6.F4.9.m4.1.1.4"><times id="S6.F4.9.m4.1.1.4.1.cmml" xref="S6.F4.9.m4.1.1.4.1"></times><apply id="S6.F4.9.m4.1.1.4.2.cmml" xref="S6.F4.9.m4.1.1.4.2"><divide id="S6.F4.9.m4.1.1.4.2.1.cmml" xref="S6.F4.9.m4.1.1.4.2"></divide><cn id="S6.F4.9.m4.1.1.4.2.2.cmml" type="integer" xref="S6.F4.9.m4.1.1.4.2.2">4</cn><cn id="S6.F4.9.m4.1.1.4.2.3.cmml" type="integer" xref="S6.F4.9.m4.1.1.4.2.3">5</cn></apply><apply id="S6.F4.9.m4.1.1.4.3.cmml" xref="S6.F4.9.m4.1.1.4.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.F4.9.m4.1.1.4.3.1.cmml" xref="S6.F4.9.m4.1.1.4.3">superscript</csymbol><ci id="S6.F4.9.m4.1.1.4.3.2.cmml" xref="S6.F4.9.m4.1.1.4.3.2">𝑞</ci><cn id="S6.F4.9.m4.1.1.4.3.3.cmml" type="integer" xref="S6.F4.9.m4.1.1.4.3.3">2</cn></apply></apply></apply><apply id="S6.F4.9.m4.1.1c.cmml" xref="S6.F4.9.m4.1.1"><leq id="S6.F4.9.m4.1.1.5.cmml" xref="S6.F4.9.m4.1.1.5"></leq><share href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#S6.F4.9.m4.1.1.4.cmml" id="S6.F4.9.m4.1.1d.cmml" xref="S6.F4.9.m4.1.1"></share><apply id="S6.F4.9.m4.1.1.6.cmml" xref="S6.F4.9.m4.1.1.6"><divide id="S6.F4.9.m4.1.1.6.1.cmml" xref="S6.F4.9.m4.1.1.6"></divide><cn id="S6.F4.9.m4.1.1.6.2.cmml" type="integer" xref="S6.F4.9.m4.1.1.6.2">1</cn><apply id="S6.F4.9.m4.1.1.6.3.cmml" xref="S6.F4.9.m4.1.1.6.3"><plus id="S6.F4.9.m4.1.1.6.3.1.cmml" xref="S6.F4.9.m4.1.1.6.3.1"></plus><apply id="S6.F4.9.m4.1.1.6.3.2.cmml" xref="S6.F4.9.m4.1.1.6.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.F4.9.m4.1.1.6.3.2.1.cmml" xref="S6.F4.9.m4.1.1.6.3.2">superscript</csymbol><ci id="S6.F4.9.m4.1.1.6.3.2.2.cmml" xref="S6.F4.9.m4.1.1.6.3.2.2">𝑞</ci><cn id="S6.F4.9.m4.1.1.6.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S6.F4.9.m4.1.1.6.3.2.3">2</cn></apply><cn id="S6.F4.9.m4.1.1.6.3.3.cmml" type="integer" xref="S6.F4.9.m4.1.1.6.3.3">1</cn></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.F4.9.m4.1d">||K_{m}||_{\mathfrak{D}}<\frac{4}{5}q^{2}\leq\frac{1}{q^{2}+1}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.F4.9.m4.1e">| | italic_K start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT | | start_POSTSUBSCRIPT fraktur_D end_POSTSUBSCRIPT < divide start_ARG 4 end_ARG start_ARG 5 end_ARG italic_q start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ≤ divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_q start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + 1 end_ARG</annotation></semantics></math>. It follows that the <math alttext="t=2" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.F4.10.m5.1"><semantics id="S6.F4.10.m5.1b"><mrow id="S6.F4.10.m5.1.1" xref="S6.F4.10.m5.1.1.cmml"><mi id="S6.F4.10.m5.1.1.2" xref="S6.F4.10.m5.1.1.2.cmml">t</mi><mo id="S6.F4.10.m5.1.1.1" xref="S6.F4.10.m5.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S6.F4.10.m5.1.1.3" xref="S6.F4.10.m5.1.1.3.cmml">2</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.F4.10.m5.1c"><apply id="S6.F4.10.m5.1.1.cmml" xref="S6.F4.10.m5.1.1"><eq id="S6.F4.10.m5.1.1.1.cmml" xref="S6.F4.10.m5.1.1.1"></eq><ci id="S6.F4.10.m5.1.1.2.cmml" xref="S6.F4.10.m5.1.1.2">𝑡</ci><cn id="S6.F4.10.m5.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S6.F4.10.m5.1.1.3">2</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.F4.10.m5.1d">t=2</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.F4.10.m5.1e">italic_t = 2</annotation></semantics></math> eigenvalue always dominates.</figcaption> </figure> <div class="ltx_para" id="S6.p1"> <p class="ltx_p" id="S6.p1.3">In this section we consider the case <math alttext="2<t\leq q" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.p1.1.m1.1"><semantics id="S6.p1.1.m1.1a"><mrow id="S6.p1.1.m1.1.1" xref="S6.p1.1.m1.1.1.cmml"><mn id="S6.p1.1.m1.1.1.2" xref="S6.p1.1.m1.1.1.2.cmml">2</mn><mo id="S6.p1.1.m1.1.1.3" xref="S6.p1.1.m1.1.1.3.cmml"><</mo><mi id="S6.p1.1.m1.1.1.4" xref="S6.p1.1.m1.1.1.4.cmml">t</mi><mo id="S6.p1.1.m1.1.1.5" xref="S6.p1.1.m1.1.1.5.cmml">≤</mo><mi id="S6.p1.1.m1.1.1.6" xref="S6.p1.1.m1.1.1.6.cmml">q</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.p1.1.m1.1b"><apply id="S6.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S6.p1.1.m1.1.1"><and id="S6.p1.1.m1.1.1a.cmml" xref="S6.p1.1.m1.1.1"></and><apply id="S6.p1.1.m1.1.1b.cmml" xref="S6.p1.1.m1.1.1"><lt id="S6.p1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S6.p1.1.m1.1.1.3"></lt><cn id="S6.p1.1.m1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S6.p1.1.m1.1.1.2">2</cn><ci id="S6.p1.1.m1.1.1.4.cmml" xref="S6.p1.1.m1.1.1.4">𝑡</ci></apply><apply id="S6.p1.1.m1.1.1c.cmml" xref="S6.p1.1.m1.1.1"><leq id="S6.p1.1.m1.1.1.5.cmml" xref="S6.p1.1.m1.1.1.5"></leq><share href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#S6.p1.1.m1.1.1.4.cmml" id="S6.p1.1.m1.1.1d.cmml" xref="S6.p1.1.m1.1.1"></share><ci id="S6.p1.1.m1.1.1.6.cmml" xref="S6.p1.1.m1.1.1.6">𝑞</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.p1.1.m1.1c">2<t\leq q</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.p1.1.m1.1d">2 < italic_t ≤ italic_q</annotation></semantics></math>. Our goal is to obtain bounds on the largest eigenvalue of <math alttext="K_{m}" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.p1.2.m2.1"><semantics id="S6.p1.2.m2.1a"><msub id="S6.p1.2.m2.1.1" xref="S6.p1.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S6.p1.2.m2.1.1.2" xref="S6.p1.2.m2.1.1.2.cmml">K</mi><mi id="S6.p1.2.m2.1.1.3" xref="S6.p1.2.m2.1.1.3.cmml">m</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.p1.2.m2.1b"><apply id="S6.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="S6.p1.2.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.p1.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S6.p1.2.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S6.p1.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S6.p1.2.m2.1.1.2">𝐾</ci><ci id="S6.p1.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S6.p1.2.m2.1.1.3">𝑚</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.p1.2.m2.1c">K_{m}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.p1.2.m2.1d">italic_K start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> in the completely deranged subspace. Let <math alttext="||\cdot||_{\mathfrak{D}}" class="ltx_math_unparsed" display="inline" id="S6.p1.3.m3.1"><semantics id="S6.p1.3.m3.1a"><mrow id="S6.p1.3.m3.1b"><mo fence="false" id="S6.p1.3.m3.1.1" rspace="0.167em" stretchy="false">|</mo><mo fence="false" id="S6.p1.3.m3.1.2" stretchy="false">|</mo><mo id="S6.p1.3.m3.1.3" lspace="0em" rspace="0em">⋅</mo><mo fence="false" id="S6.p1.3.m3.1.4" rspace="0.167em" stretchy="false">|</mo><msub id="S6.p1.3.m3.1.5"><mo fence="false" id="S6.p1.3.m3.1.5.2" stretchy="false">|</mo><mi id="S6.p1.3.m3.1.5.3">𝔇</mi></msub></mrow><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.p1.3.m3.1c">||\cdot||_{\mathfrak{D}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.p1.3.m3.1d">| | ⋅ | | start_POSTSUBSCRIPT fraktur_D end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> refer to the spectral norm of an operator’s restriction to the deranged subspace. There are several cases which must be handled independently.</p> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_lemma" id="Thmtheorem39"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmtheorem39.1.1.1">Lemma 39</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmtheorem39.2.2">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="Thmtheorem39.p1"> <p class="ltx_p" id="Thmtheorem39.p1.2"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmtheorem39.p1.2.2">When <math alttext="t\leq q" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem39.p1.1.1.m1.1"><semantics id="Thmtheorem39.p1.1.1.m1.1a"><mrow id="Thmtheorem39.p1.1.1.m1.1.1" xref="Thmtheorem39.p1.1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="Thmtheorem39.p1.1.1.m1.1.1.2" xref="Thmtheorem39.p1.1.1.m1.1.1.2.cmml">t</mi><mo id="Thmtheorem39.p1.1.1.m1.1.1.1" xref="Thmtheorem39.p1.1.1.m1.1.1.1.cmml">≤</mo><mi id="Thmtheorem39.p1.1.1.m1.1.1.3" xref="Thmtheorem39.p1.1.1.m1.1.1.3.cmml">q</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem39.p1.1.1.m1.1b"><apply id="Thmtheorem39.p1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem39.p1.1.1.m1.1.1"><leq id="Thmtheorem39.p1.1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem39.p1.1.1.m1.1.1.1"></leq><ci id="Thmtheorem39.p1.1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="Thmtheorem39.p1.1.1.m1.1.1.2">𝑡</ci><ci id="Thmtheorem39.p1.1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="Thmtheorem39.p1.1.1.m1.1.1.3">𝑞</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem39.p1.1.1.m1.1c">t\leq q</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem39.p1.1.1.m1.1d">italic_t ≤ italic_q</annotation></semantics></math> and <math alttext="t>28" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem39.p1.2.2.m2.1"><semantics id="Thmtheorem39.p1.2.2.m2.1a"><mrow id="Thmtheorem39.p1.2.2.m2.1.1" xref="Thmtheorem39.p1.2.2.m2.1.1.cmml"><mi id="Thmtheorem39.p1.2.2.m2.1.1.2" xref="Thmtheorem39.p1.2.2.m2.1.1.2.cmml">t</mi><mo id="Thmtheorem39.p1.2.2.m2.1.1.1" xref="Thmtheorem39.p1.2.2.m2.1.1.1.cmml">></mo><mn id="Thmtheorem39.p1.2.2.m2.1.1.3" xref="Thmtheorem39.p1.2.2.m2.1.1.3.cmml">28</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem39.p1.2.2.m2.1b"><apply id="Thmtheorem39.p1.2.2.m2.1.1.cmml" xref="Thmtheorem39.p1.2.2.m2.1.1"><gt id="Thmtheorem39.p1.2.2.m2.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem39.p1.2.2.m2.1.1.1"></gt><ci id="Thmtheorem39.p1.2.2.m2.1.1.2.cmml" xref="Thmtheorem39.p1.2.2.m2.1.1.2">𝑡</ci><cn id="Thmtheorem39.p1.2.2.m2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="Thmtheorem39.p1.2.2.m2.1.1.3">28</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem39.p1.2.2.m2.1c">t>28</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem39.p1.2.2.m2.1d">italic_t > 28</annotation></semantics></math>,</span></p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_gather ltx_eqn_table" id="S6.EGx71"> <tbody id="S6.E81"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\displaystyle||K_{m}||_{\mathfrak{D}}\leq\frac{t^{2}}{2}e^{\frac{1}{2t^{2}}+2}% \left[\left(\frac{1}{2}+\frac{3}{t}\right)^{t}+\left(\frac{4}{\sqrt{t}}\right)% ^{t}\right]\left(\frac{t}{q}\right)^{t-2}q^{-2}\leq\frac{1}{1+q^{2}}" class="ltx_Math" display="block" id="S6.E81.m1.4"><semantics id="S6.E81.m1.4a"><mrow id="S6.E81.m1.4.4" xref="S6.E81.m1.4.4.cmml"><msub id="S6.E81.m1.3.3.1" xref="S6.E81.m1.3.3.1.cmml"><mrow id="S6.E81.m1.3.3.1.1.1" xref="S6.E81.m1.3.3.1.1.2.cmml"><mo id="S6.E81.m1.3.3.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S6.E81.m1.3.3.1.1.2.1.cmml">‖</mo><msub id="S6.E81.m1.3.3.1.1.1.1" xref="S6.E81.m1.3.3.1.1.1.1.cmml"><mi id="S6.E81.m1.3.3.1.1.1.1.2" xref="S6.E81.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml">K</mi><mi id="S6.E81.m1.3.3.1.1.1.1.3" xref="S6.E81.m1.3.3.1.1.1.1.3.cmml">m</mi></msub><mo id="S6.E81.m1.3.3.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S6.E81.m1.3.3.1.1.2.1.cmml">‖</mo></mrow><mi id="S6.E81.m1.3.3.1.3" xref="S6.E81.m1.3.3.1.3.cmml">𝔇</mi></msub><mo id="S6.E81.m1.4.4.4" xref="S6.E81.m1.4.4.4.cmml">≤</mo><mrow id="S6.E81.m1.4.4.2" xref="S6.E81.m1.4.4.2.cmml"><mfrac id="S6.E81.m1.4.4.2.3" xref="S6.E81.m1.4.4.2.3.cmml"><msup id="S6.E81.m1.4.4.2.3.2" xref="S6.E81.m1.4.4.2.3.2.cmml"><mi id="S6.E81.m1.4.4.2.3.2.2" xref="S6.E81.m1.4.4.2.3.2.2.cmml">t</mi><mn id="S6.E81.m1.4.4.2.3.2.3" xref="S6.E81.m1.4.4.2.3.2.3.cmml">2</mn></msup><mn id="S6.E81.m1.4.4.2.3.3" xref="S6.E81.m1.4.4.2.3.3.cmml">2</mn></mfrac><mo id="S6.E81.m1.4.4.2.2" xref="S6.E81.m1.4.4.2.2.cmml">⁢</mo><msup id="S6.E81.m1.4.4.2.4" xref="S6.E81.m1.4.4.2.4.cmml"><mi id="S6.E81.m1.4.4.2.4.2" xref="S6.E81.m1.4.4.2.4.2.cmml">e</mi><mrow id="S6.E81.m1.4.4.2.4.3" xref="S6.E81.m1.4.4.2.4.3.cmml"><mfrac id="S6.E81.m1.4.4.2.4.3.2" xref="S6.E81.m1.4.4.2.4.3.2.cmml"><mn id="S6.E81.m1.4.4.2.4.3.2.2" xref="S6.E81.m1.4.4.2.4.3.2.2.cmml">1</mn><mrow id="S6.E81.m1.4.4.2.4.3.2.3" xref="S6.E81.m1.4.4.2.4.3.2.3.cmml"><mn id="S6.E81.m1.4.4.2.4.3.2.3.2" xref="S6.E81.m1.4.4.2.4.3.2.3.2.cmml">2</mn><mo id="S6.E81.m1.4.4.2.4.3.2.3.1" xref="S6.E81.m1.4.4.2.4.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="S6.E81.m1.4.4.2.4.3.2.3.3" xref="S6.E81.m1.4.4.2.4.3.2.3.3.cmml"><mi id="S6.E81.m1.4.4.2.4.3.2.3.3.2" xref="S6.E81.m1.4.4.2.4.3.2.3.3.2.cmml">t</mi><mn id="S6.E81.m1.4.4.2.4.3.2.3.3.3" xref="S6.E81.m1.4.4.2.4.3.2.3.3.3.cmml">2</mn></msup></mrow></mfrac><mo id="S6.E81.m1.4.4.2.4.3.1" xref="S6.E81.m1.4.4.2.4.3.1.cmml">+</mo><mn id="S6.E81.m1.4.4.2.4.3.3" xref="S6.E81.m1.4.4.2.4.3.3.cmml">2</mn></mrow></msup><mo id="S6.E81.m1.4.4.2.2a" xref="S6.E81.m1.4.4.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S6.E81.m1.4.4.2.1.1" xref="S6.E81.m1.4.4.2.1.2.cmml"><mo id="S6.E81.m1.4.4.2.1.1.2" xref="S6.E81.m1.4.4.2.1.2.1.cmml">[</mo><mrow id="S6.E81.m1.4.4.2.1.1.1" xref="S6.E81.m1.4.4.2.1.1.1.cmml"><msup id="S6.E81.m1.4.4.2.1.1.1.1" xref="S6.E81.m1.4.4.2.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S6.E81.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.1" xref="S6.E81.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S6.E81.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.1.2" xref="S6.E81.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S6.E81.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S6.E81.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mfrac id="S6.E81.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S6.E81.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mn id="S6.E81.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S6.E81.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">1</mn><mn id="S6.E81.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S6.E81.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">2</mn></mfrac><mo id="S6.E81.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S6.E81.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mfrac id="S6.E81.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S6.E81.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mn id="S6.E81.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S6.E81.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">3</mn><mi id="S6.E81.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S6.E81.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">t</mi></mfrac></mrow><mo id="S6.E81.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.1.3" xref="S6.E81.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mi id="S6.E81.m1.4.4.2.1.1.1.1.3" xref="S6.E81.m1.4.4.2.1.1.1.1.3.cmml">t</mi></msup><mo id="S6.E81.m1.4.4.2.1.1.1.2" xref="S6.E81.m1.4.4.2.1.1.1.2.cmml">+</mo><msup id="S6.E81.m1.4.4.2.1.1.1.3" xref="S6.E81.m1.4.4.2.1.1.1.3.cmml"><mrow id="S6.E81.m1.4.4.2.1.1.1.3.2.2" xref="S6.E81.m1.1.1.cmml"><mo id="S6.E81.m1.4.4.2.1.1.1.3.2.2.1" xref="S6.E81.m1.1.1.cmml">(</mo><mfrac id="S6.E81.m1.1.1" xref="S6.E81.m1.1.1.cmml"><mn id="S6.E81.m1.1.1.2" xref="S6.E81.m1.1.1.2.cmml">4</mn><msqrt id="S6.E81.m1.1.1.3" xref="S6.E81.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S6.E81.m1.1.1.3.2" xref="S6.E81.m1.1.1.3.2.cmml">t</mi></msqrt></mfrac><mo id="S6.E81.m1.4.4.2.1.1.1.3.2.2.2" xref="S6.E81.m1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mi id="S6.E81.m1.4.4.2.1.1.1.3.3" xref="S6.E81.m1.4.4.2.1.1.1.3.3.cmml">t</mi></msup></mrow><mo id="S6.E81.m1.4.4.2.1.1.3" xref="S6.E81.m1.4.4.2.1.2.1.cmml">]</mo></mrow><mo id="S6.E81.m1.4.4.2.2b" xref="S6.E81.m1.4.4.2.2.cmml">⁢</mo><msup id="S6.E81.m1.4.4.2.5" xref="S6.E81.m1.4.4.2.5.cmml"><mrow id="S6.E81.m1.4.4.2.5.2.2" xref="S6.E81.m1.2.2.cmml"><mo id="S6.E81.m1.4.4.2.5.2.2.1" xref="S6.E81.m1.2.2.cmml">(</mo><mfrac id="S6.E81.m1.2.2" xref="S6.E81.m1.2.2.cmml"><mi id="S6.E81.m1.2.2.2" xref="S6.E81.m1.2.2.2.cmml">t</mi><mi id="S6.E81.m1.2.2.3" xref="S6.E81.m1.2.2.3.cmml">q</mi></mfrac><mo id="S6.E81.m1.4.4.2.5.2.2.2" xref="S6.E81.m1.2.2.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S6.E81.m1.4.4.2.5.3" xref="S6.E81.m1.4.4.2.5.3.cmml"><mi id="S6.E81.m1.4.4.2.5.3.2" xref="S6.E81.m1.4.4.2.5.3.2.cmml">t</mi><mo id="S6.E81.m1.4.4.2.5.3.1" xref="S6.E81.m1.4.4.2.5.3.1.cmml">−</mo><mn id="S6.E81.m1.4.4.2.5.3.3" xref="S6.E81.m1.4.4.2.5.3.3.cmml">2</mn></mrow></msup><mo id="S6.E81.m1.4.4.2.2c" xref="S6.E81.m1.4.4.2.2.cmml">⁢</mo><msup id="S6.E81.m1.4.4.2.6" xref="S6.E81.m1.4.4.2.6.cmml"><mi id="S6.E81.m1.4.4.2.6.2" xref="S6.E81.m1.4.4.2.6.2.cmml">q</mi><mrow id="S6.E81.m1.4.4.2.6.3" xref="S6.E81.m1.4.4.2.6.3.cmml"><mo id="S6.E81.m1.4.4.2.6.3a" xref="S6.E81.m1.4.4.2.6.3.cmml">−</mo><mn id="S6.E81.m1.4.4.2.6.3.2" xref="S6.E81.m1.4.4.2.6.3.2.cmml">2</mn></mrow></msup></mrow><mo id="S6.E81.m1.4.4.5" xref="S6.E81.m1.4.4.5.cmml">≤</mo><mfrac id="S6.E81.m1.4.4.6" xref="S6.E81.m1.4.4.6.cmml"><mn id="S6.E81.m1.4.4.6.2" xref="S6.E81.m1.4.4.6.2.cmml">1</mn><mrow id="S6.E81.m1.4.4.6.3" xref="S6.E81.m1.4.4.6.3.cmml"><mn id="S6.E81.m1.4.4.6.3.2" xref="S6.E81.m1.4.4.6.3.2.cmml">1</mn><mo id="S6.E81.m1.4.4.6.3.1" xref="S6.E81.m1.4.4.6.3.1.cmml">+</mo><msup id="S6.E81.m1.4.4.6.3.3" xref="S6.E81.m1.4.4.6.3.3.cmml"><mi id="S6.E81.m1.4.4.6.3.3.2" xref="S6.E81.m1.4.4.6.3.3.2.cmml">q</mi><mn id="S6.E81.m1.4.4.6.3.3.3" xref="S6.E81.m1.4.4.6.3.3.3.cmml">2</mn></msup></mrow></mfrac></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.E81.m1.4b"><apply id="S6.E81.m1.4.4.cmml" xref="S6.E81.m1.4.4"><and id="S6.E81.m1.4.4a.cmml" xref="S6.E81.m1.4.4"></and><apply id="S6.E81.m1.4.4b.cmml" xref="S6.E81.m1.4.4"><leq id="S6.E81.m1.4.4.4.cmml" 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italic_t start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG 2 end_ARG italic_e start_POSTSUPERSCRIPT divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 italic_t start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG + 2 end_POSTSUPERSCRIPT [ ( divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 end_ARG + divide start_ARG 3 end_ARG start_ARG italic_t end_ARG ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_t end_POSTSUPERSCRIPT + ( divide start_ARG 4 end_ARG start_ARG square-root start_ARG italic_t end_ARG end_ARG ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_t end_POSTSUPERSCRIPT ] ( divide start_ARG italic_t end_ARG start_ARG italic_q end_ARG ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_t - 2 end_POSTSUPERSCRIPT italic_q start_POSTSUPERSCRIPT - 2 end_POSTSUPERSCRIPT ≤ divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 1 + italic_q start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(81)</span></td> </tr></tbody> </table> </div> </div> <div class="ltx_proof" id="S6.1"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_font_italic ltx_title_proof">Proof.</h6> <div class="ltx_para" id="S6.1.p1"> <p class="ltx_p" id="S6.1.p1.2">We have</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_gather ltx_eqn_table" id="S6.EGx72"> <tbody id="S6.E82"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\displaystyle||K_{m}||_{\mathfrak{D}}\leq\max_{\nu}||D_{\nu}^{-1}||\cdot||W(q^% {m+1})||\cdot||D(q)C(q^{m})P_{\mathfrak{D}}||\cdot||D_{\nu}||\cdot||W(q^{2})||% \cdot||D(q)C(q)P_{\mathfrak{D}}||" class="ltx_Math" display="block" id="S6.E82.m1.10"><semantics id="S6.E82.m1.10a"><mrow id="S6.E82.m1.10.10" xref="S6.E82.m1.10.10.cmml"><msub id="S6.E82.m1.4.4.1" xref="S6.E82.m1.4.4.1.cmml"><mrow id="S6.E82.m1.4.4.1.1.1" xref="S6.E82.m1.4.4.1.1.2.cmml"><mo id="S6.E82.m1.4.4.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S6.E82.m1.4.4.1.1.2.1.cmml">‖</mo><msub id="S6.E82.m1.4.4.1.1.1.1" xref="S6.E82.m1.4.4.1.1.1.1.cmml"><mi id="S6.E82.m1.4.4.1.1.1.1.2" xref="S6.E82.m1.4.4.1.1.1.1.2.cmml">K</mi><mi id="S6.E82.m1.4.4.1.1.1.1.3" xref="S6.E82.m1.4.4.1.1.1.1.3.cmml">m</mi></msub><mo id="S6.E82.m1.4.4.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S6.E82.m1.4.4.1.1.2.1.cmml">‖</mo></mrow><mi id="S6.E82.m1.4.4.1.3" xref="S6.E82.m1.4.4.1.3.cmml">𝔇</mi></msub><mo id="S6.E82.m1.10.10.8" xref="S6.E82.m1.10.10.8.cmml">≤</mo><mrow id="S6.E82.m1.10.10.7" xref="S6.E82.m1.10.10.7.cmml"><mrow id="S6.E82.m1.5.5.2.1" xref="S6.E82.m1.5.5.2.1.cmml"><munder id="S6.E82.m1.5.5.2.1.3" xref="S6.E82.m1.5.5.2.1.3.cmml"><mi id="S6.E82.m1.5.5.2.1.3.2" xref="S6.E82.m1.5.5.2.1.3.2.cmml">max</mi><mi id="S6.E82.m1.5.5.2.1.3.3" xref="S6.E82.m1.5.5.2.1.3.3.cmml">ν</mi></munder><mo id="S6.E82.m1.5.5.2.1.2" xref="S6.E82.m1.5.5.2.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S6.E82.m1.5.5.2.1.1.1" xref="S6.E82.m1.5.5.2.1.1.2.cmml"><mo id="S6.E82.m1.5.5.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S6.E82.m1.5.5.2.1.1.2.1.cmml">‖</mo><msubsup id="S6.E82.m1.5.5.2.1.1.1.1" xref="S6.E82.m1.5.5.2.1.1.1.1.cmml"><mi id="S6.E82.m1.5.5.2.1.1.1.1.2.2" xref="S6.E82.m1.5.5.2.1.1.1.1.2.2.cmml">D</mi><mi id="S6.E82.m1.5.5.2.1.1.1.1.2.3" xref="S6.E82.m1.5.5.2.1.1.1.1.2.3.cmml">ν</mi><mrow id="S6.E82.m1.5.5.2.1.1.1.1.3" xref="S6.E82.m1.5.5.2.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="S6.E82.m1.5.5.2.1.1.1.1.3a" xref="S6.E82.m1.5.5.2.1.1.1.1.3.cmml">−</mo><mn id="S6.E82.m1.5.5.2.1.1.1.1.3.2" xref="S6.E82.m1.5.5.2.1.1.1.1.3.2.cmml">1</mn></mrow></msubsup><mo id="S6.E82.m1.5.5.2.1.1.1.3" rspace="0.055em" stretchy="false" xref="S6.E82.m1.5.5.2.1.1.2.1.cmml">‖</mo></mrow></mrow><mo id="S6.E82.m1.10.10.7.7" rspace="0.222em" xref="S6.E82.m1.10.10.7.7.cmml">⋅</mo><mrow id="S6.E82.m1.6.6.3.2.1" xref="S6.E82.m1.6.6.3.2.2.cmml"><mo id="S6.E82.m1.6.6.3.2.1.2" stretchy="false" xref="S6.E82.m1.6.6.3.2.2.1.cmml">‖</mo><mrow id="S6.E82.m1.6.6.3.2.1.1" xref="S6.E82.m1.6.6.3.2.1.1.cmml"><mi id="S6.E82.m1.6.6.3.2.1.1.3" xref="S6.E82.m1.6.6.3.2.1.1.3.cmml">W</mi><mo id="S6.E82.m1.6.6.3.2.1.1.2" xref="S6.E82.m1.6.6.3.2.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S6.E82.m1.6.6.3.2.1.1.1.1" xref="S6.E82.m1.6.6.3.2.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S6.E82.m1.6.6.3.2.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S6.E82.m1.6.6.3.2.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="S6.E82.m1.6.6.3.2.1.1.1.1.1" xref="S6.E82.m1.6.6.3.2.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S6.E82.m1.6.6.3.2.1.1.1.1.1.2" xref="S6.E82.m1.6.6.3.2.1.1.1.1.1.2.cmml">q</mi><mrow id="S6.E82.m1.6.6.3.2.1.1.1.1.1.3" xref="S6.E82.m1.6.6.3.2.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S6.E82.m1.6.6.3.2.1.1.1.1.1.3.2" xref="S6.E82.m1.6.6.3.2.1.1.1.1.1.3.2.cmml">m</mi><mo id="S6.E82.m1.6.6.3.2.1.1.1.1.1.3.1" xref="S6.E82.m1.6.6.3.2.1.1.1.1.1.3.1.cmml">+</mo><mn id="S6.E82.m1.6.6.3.2.1.1.1.1.1.3.3" xref="S6.E82.m1.6.6.3.2.1.1.1.1.1.3.3.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="S6.E82.m1.6.6.3.2.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S6.E82.m1.6.6.3.2.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S6.E82.m1.6.6.3.2.1.3" rspace="0.055em" stretchy="false" xref="S6.E82.m1.6.6.3.2.2.1.cmml">‖</mo></mrow><mo id="S6.E82.m1.10.10.7.7a" rspace="0.222em" xref="S6.E82.m1.10.10.7.7.cmml">⋅</mo><mrow id="S6.E82.m1.7.7.4.3.1" xref="S6.E82.m1.7.7.4.3.2.cmml"><mo id="S6.E82.m1.7.7.4.3.1.2" stretchy="false" xref="S6.E82.m1.7.7.4.3.2.1.cmml">‖</mo><mrow id="S6.E82.m1.7.7.4.3.1.1" xref="S6.E82.m1.7.7.4.3.1.1.cmml"><mi id="S6.E82.m1.7.7.4.3.1.1.3" xref="S6.E82.m1.7.7.4.3.1.1.3.cmml">D</mi><mo id="S6.E82.m1.7.7.4.3.1.1.2" xref="S6.E82.m1.7.7.4.3.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S6.E82.m1.7.7.4.3.1.1.4.2" xref="S6.E82.m1.7.7.4.3.1.1.cmml"><mo id="S6.E82.m1.7.7.4.3.1.1.4.2.1" stretchy="false" xref="S6.E82.m1.7.7.4.3.1.1.cmml">(</mo><mi id="S6.E82.m1.1.1" xref="S6.E82.m1.1.1.cmml">q</mi><mo id="S6.E82.m1.7.7.4.3.1.1.4.2.2" stretchy="false" xref="S6.E82.m1.7.7.4.3.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S6.E82.m1.7.7.4.3.1.1.2a" xref="S6.E82.m1.7.7.4.3.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S6.E82.m1.7.7.4.3.1.1.5" xref="S6.E82.m1.7.7.4.3.1.1.5.cmml">C</mi><mo id="S6.E82.m1.7.7.4.3.1.1.2b" xref="S6.E82.m1.7.7.4.3.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S6.E82.m1.7.7.4.3.1.1.1.1" xref="S6.E82.m1.7.7.4.3.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S6.E82.m1.7.7.4.3.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S6.E82.m1.7.7.4.3.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="S6.E82.m1.7.7.4.3.1.1.1.1.1" xref="S6.E82.m1.7.7.4.3.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S6.E82.m1.7.7.4.3.1.1.1.1.1.2" xref="S6.E82.m1.7.7.4.3.1.1.1.1.1.2.cmml">q</mi><mi id="S6.E82.m1.7.7.4.3.1.1.1.1.1.3" xref="S6.E82.m1.7.7.4.3.1.1.1.1.1.3.cmml">m</mi></msup><mo id="S6.E82.m1.7.7.4.3.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S6.E82.m1.7.7.4.3.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S6.E82.m1.7.7.4.3.1.1.2c" xref="S6.E82.m1.7.7.4.3.1.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="S6.E82.m1.7.7.4.3.1.1.6" xref="S6.E82.m1.7.7.4.3.1.1.6.cmml"><mi id="S6.E82.m1.7.7.4.3.1.1.6.2" xref="S6.E82.m1.7.7.4.3.1.1.6.2.cmml">P</mi><mi id="S6.E82.m1.7.7.4.3.1.1.6.3" xref="S6.E82.m1.7.7.4.3.1.1.6.3.cmml">𝔇</mi></msub></mrow><mo id="S6.E82.m1.7.7.4.3.1.3" rspace="0.055em" stretchy="false" xref="S6.E82.m1.7.7.4.3.2.1.cmml">‖</mo></mrow><mo id="S6.E82.m1.10.10.7.7b" rspace="0.222em" xref="S6.E82.m1.10.10.7.7.cmml">⋅</mo><mrow id="S6.E82.m1.8.8.5.4.1" xref="S6.E82.m1.8.8.5.4.2.cmml"><mo id="S6.E82.m1.8.8.5.4.1.2" stretchy="false" xref="S6.E82.m1.8.8.5.4.2.1.cmml">‖</mo><msub id="S6.E82.m1.8.8.5.4.1.1" xref="S6.E82.m1.8.8.5.4.1.1.cmml"><mi id="S6.E82.m1.8.8.5.4.1.1.2" xref="S6.E82.m1.8.8.5.4.1.1.2.cmml">D</mi><mi id="S6.E82.m1.8.8.5.4.1.1.3" xref="S6.E82.m1.8.8.5.4.1.1.3.cmml">ν</mi></msub><mo id="S6.E82.m1.8.8.5.4.1.3" rspace="0.055em" stretchy="false" xref="S6.E82.m1.8.8.5.4.2.1.cmml">‖</mo></mrow><mo id="S6.E82.m1.10.10.7.7c" rspace="0.222em" xref="S6.E82.m1.10.10.7.7.cmml">⋅</mo><mrow id="S6.E82.m1.9.9.6.5.1" xref="S6.E82.m1.9.9.6.5.2.cmml"><mo id="S6.E82.m1.9.9.6.5.1.2" stretchy="false" xref="S6.E82.m1.9.9.6.5.2.1.cmml">‖</mo><mrow id="S6.E82.m1.9.9.6.5.1.1" xref="S6.E82.m1.9.9.6.5.1.1.cmml"><mi id="S6.E82.m1.9.9.6.5.1.1.3" xref="S6.E82.m1.9.9.6.5.1.1.3.cmml">W</mi><mo id="S6.E82.m1.9.9.6.5.1.1.2" xref="S6.E82.m1.9.9.6.5.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S6.E82.m1.9.9.6.5.1.1.1.1" xref="S6.E82.m1.9.9.6.5.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S6.E82.m1.9.9.6.5.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S6.E82.m1.9.9.6.5.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="S6.E82.m1.9.9.6.5.1.1.1.1.1" xref="S6.E82.m1.9.9.6.5.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S6.E82.m1.9.9.6.5.1.1.1.1.1.2" xref="S6.E82.m1.9.9.6.5.1.1.1.1.1.2.cmml">q</mi><mn id="S6.E82.m1.9.9.6.5.1.1.1.1.1.3" xref="S6.E82.m1.9.9.6.5.1.1.1.1.1.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S6.E82.m1.9.9.6.5.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S6.E82.m1.9.9.6.5.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S6.E82.m1.9.9.6.5.1.3" rspace="0.055em" stretchy="false" xref="S6.E82.m1.9.9.6.5.2.1.cmml">‖</mo></mrow><mo id="S6.E82.m1.10.10.7.7d" rspace="0.222em" xref="S6.E82.m1.10.10.7.7.cmml">⋅</mo><mrow id="S6.E82.m1.10.10.7.6.1" xref="S6.E82.m1.10.10.7.6.2.cmml"><mo id="S6.E82.m1.10.10.7.6.1.2" stretchy="false" xref="S6.E82.m1.10.10.7.6.2.1.cmml">‖</mo><mrow id="S6.E82.m1.10.10.7.6.1.1" xref="S6.E82.m1.10.10.7.6.1.1.cmml"><mi id="S6.E82.m1.10.10.7.6.1.1.2" xref="S6.E82.m1.10.10.7.6.1.1.2.cmml">D</mi><mo id="S6.E82.m1.10.10.7.6.1.1.1" xref="S6.E82.m1.10.10.7.6.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S6.E82.m1.10.10.7.6.1.1.3.2" xref="S6.E82.m1.10.10.7.6.1.1.cmml"><mo id="S6.E82.m1.10.10.7.6.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="S6.E82.m1.10.10.7.6.1.1.cmml">(</mo><mi id="S6.E82.m1.2.2" xref="S6.E82.m1.2.2.cmml">q</mi><mo id="S6.E82.m1.10.10.7.6.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="S6.E82.m1.10.10.7.6.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S6.E82.m1.10.10.7.6.1.1.1a" xref="S6.E82.m1.10.10.7.6.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S6.E82.m1.10.10.7.6.1.1.4" xref="S6.E82.m1.10.10.7.6.1.1.4.cmml">C</mi><mo id="S6.E82.m1.10.10.7.6.1.1.1b" xref="S6.E82.m1.10.10.7.6.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S6.E82.m1.10.10.7.6.1.1.5.2" xref="S6.E82.m1.10.10.7.6.1.1.cmml"><mo id="S6.E82.m1.10.10.7.6.1.1.5.2.1" stretchy="false" xref="S6.E82.m1.10.10.7.6.1.1.cmml">(</mo><mi id="S6.E82.m1.3.3" xref="S6.E82.m1.3.3.cmml">q</mi><mo id="S6.E82.m1.10.10.7.6.1.1.5.2.2" stretchy="false" xref="S6.E82.m1.10.10.7.6.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S6.E82.m1.10.10.7.6.1.1.1c" xref="S6.E82.m1.10.10.7.6.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S6.E82.m1.10.10.7.6.1.1.6" xref="S6.E82.m1.10.10.7.6.1.1.6.cmml"><mi id="S6.E82.m1.10.10.7.6.1.1.6.2" xref="S6.E82.m1.10.10.7.6.1.1.6.2.cmml">P</mi><mi id="S6.E82.m1.10.10.7.6.1.1.6.3" xref="S6.E82.m1.10.10.7.6.1.1.6.3.cmml">𝔇</mi></msub></mrow><mo id="S6.E82.m1.10.10.7.6.1.3" stretchy="false" xref="S6.E82.m1.10.10.7.6.2.1.cmml">‖</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.E82.m1.10b"><apply id="S6.E82.m1.10.10.cmml" xref="S6.E82.m1.10.10"><leq id="S6.E82.m1.10.10.8.cmml" 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id="S6.E82.m1.5.5.2.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S6.E82.m1.5.5.2.1.1.1.1.2.3">𝜈</ci></apply><apply id="S6.E82.m1.5.5.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S6.E82.m1.5.5.2.1.1.1.1.3"><minus id="S6.E82.m1.5.5.2.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S6.E82.m1.5.5.2.1.1.1.1.3"></minus><cn id="S6.E82.m1.5.5.2.1.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S6.E82.m1.5.5.2.1.1.1.1.3.2">1</cn></apply></apply></apply></apply><apply id="S6.E82.m1.6.6.3.2.2.cmml" xref="S6.E82.m1.6.6.3.2.1"><csymbol cd="latexml" id="S6.E82.m1.6.6.3.2.2.1.cmml" xref="S6.E82.m1.6.6.3.2.1.2">norm</csymbol><apply id="S6.E82.m1.6.6.3.2.1.1.cmml" xref="S6.E82.m1.6.6.3.2.1.1"><times id="S6.E82.m1.6.6.3.2.1.1.2.cmml" xref="S6.E82.m1.6.6.3.2.1.1.2"></times><ci id="S6.E82.m1.6.6.3.2.1.1.3.cmml" xref="S6.E82.m1.6.6.3.2.1.1.3">𝑊</ci><apply id="S6.E82.m1.6.6.3.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S6.E82.m1.6.6.3.2.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.E82.m1.6.6.3.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S6.E82.m1.6.6.3.2.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S6.E82.m1.6.6.3.2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S6.E82.m1.6.6.3.2.1.1.1.1.1.2">𝑞</ci><apply id="S6.E82.m1.6.6.3.2.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S6.E82.m1.6.6.3.2.1.1.1.1.1.3"><plus id="S6.E82.m1.6.6.3.2.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S6.E82.m1.6.6.3.2.1.1.1.1.1.3.1"></plus><ci id="S6.E82.m1.6.6.3.2.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S6.E82.m1.6.6.3.2.1.1.1.1.1.3.2">𝑚</ci><cn id="S6.E82.m1.6.6.3.2.1.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S6.E82.m1.6.6.3.2.1.1.1.1.1.3.3">1</cn></apply></apply></apply></apply><apply id="S6.E82.m1.7.7.4.3.2.cmml" xref="S6.E82.m1.7.7.4.3.1"><csymbol cd="latexml" id="S6.E82.m1.7.7.4.3.2.1.cmml" xref="S6.E82.m1.7.7.4.3.1.2">norm</csymbol><apply id="S6.E82.m1.7.7.4.3.1.1.cmml" xref="S6.E82.m1.7.7.4.3.1.1"><times id="S6.E82.m1.7.7.4.3.1.1.2.cmml" xref="S6.E82.m1.7.7.4.3.1.1.2"></times><ci id="S6.E82.m1.7.7.4.3.1.1.3.cmml" xref="S6.E82.m1.7.7.4.3.1.1.3">𝐷</ci><ci id="S6.E82.m1.1.1.cmml" xref="S6.E82.m1.1.1">𝑞</ci><ci id="S6.E82.m1.7.7.4.3.1.1.5.cmml" xref="S6.E82.m1.7.7.4.3.1.1.5">𝐶</ci><apply id="S6.E82.m1.7.7.4.3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S6.E82.m1.7.7.4.3.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.E82.m1.7.7.4.3.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S6.E82.m1.7.7.4.3.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S6.E82.m1.7.7.4.3.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S6.E82.m1.7.7.4.3.1.1.1.1.1.2">𝑞</ci><ci id="S6.E82.m1.7.7.4.3.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S6.E82.m1.7.7.4.3.1.1.1.1.1.3">𝑚</ci></apply><apply id="S6.E82.m1.7.7.4.3.1.1.6.cmml" xref="S6.E82.m1.7.7.4.3.1.1.6"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.E82.m1.7.7.4.3.1.1.6.1.cmml" xref="S6.E82.m1.7.7.4.3.1.1.6">subscript</csymbol><ci id="S6.E82.m1.7.7.4.3.1.1.6.2.cmml" xref="S6.E82.m1.7.7.4.3.1.1.6.2">𝑃</ci><ci id="S6.E82.m1.7.7.4.3.1.1.6.3.cmml" xref="S6.E82.m1.7.7.4.3.1.1.6.3">𝔇</ci></apply></apply></apply><apply id="S6.E82.m1.8.8.5.4.2.cmml" xref="S6.E82.m1.8.8.5.4.1"><csymbol cd="latexml" id="S6.E82.m1.8.8.5.4.2.1.cmml" xref="S6.E82.m1.8.8.5.4.1.2">norm</csymbol><apply id="S6.E82.m1.8.8.5.4.1.1.cmml" 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id="S6.E82.m1.9.9.6.5.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S6.E82.m1.9.9.6.5.1.1.1.1.1.3">2</cn></apply></apply></apply><apply id="S6.E82.m1.10.10.7.6.2.cmml" xref="S6.E82.m1.10.10.7.6.1"><csymbol cd="latexml" id="S6.E82.m1.10.10.7.6.2.1.cmml" xref="S6.E82.m1.10.10.7.6.1.2">norm</csymbol><apply id="S6.E82.m1.10.10.7.6.1.1.cmml" xref="S6.E82.m1.10.10.7.6.1.1"><times id="S6.E82.m1.10.10.7.6.1.1.1.cmml" xref="S6.E82.m1.10.10.7.6.1.1.1"></times><ci id="S6.E82.m1.10.10.7.6.1.1.2.cmml" xref="S6.E82.m1.10.10.7.6.1.1.2">𝐷</ci><ci id="S6.E82.m1.2.2.cmml" xref="S6.E82.m1.2.2">𝑞</ci><ci id="S6.E82.m1.10.10.7.6.1.1.4.cmml" xref="S6.E82.m1.10.10.7.6.1.1.4">𝐶</ci><ci id="S6.E82.m1.3.3.cmml" xref="S6.E82.m1.3.3">𝑞</ci><apply id="S6.E82.m1.10.10.7.6.1.1.6.cmml" xref="S6.E82.m1.10.10.7.6.1.1.6"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.E82.m1.10.10.7.6.1.1.6.1.cmml" xref="S6.E82.m1.10.10.7.6.1.1.6">subscript</csymbol><ci id="S6.E82.m1.10.10.7.6.1.1.6.2.cmml" xref="S6.E82.m1.10.10.7.6.1.1.6.2">𝑃</ci><ci id="S6.E82.m1.10.10.7.6.1.1.6.3.cmml" xref="S6.E82.m1.10.10.7.6.1.1.6.3">𝔇</ci></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.E82.m1.10c">\displaystyle||K_{m}||_{\mathfrak{D}}\leq\max_{\nu}||D_{\nu}^{-1}||\cdot||W(q^% {m+1})||\cdot||D(q)C(q^{m})P_{\mathfrak{D}}||\cdot||D_{\nu}||\cdot||W(q^{2})||% \cdot||D(q)C(q)P_{\mathfrak{D}}||</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.E82.m1.10d">| | italic_K start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT | | start_POSTSUBSCRIPT fraktur_D end_POSTSUBSCRIPT ≤ roman_max start_POSTSUBSCRIPT italic_ν end_POSTSUBSCRIPT | | italic_D start_POSTSUBSCRIPT italic_ν end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT | | ⋅ | | italic_W ( italic_q start_POSTSUPERSCRIPT italic_m + 1 end_POSTSUPERSCRIPT ) | | ⋅ | | italic_D ( italic_q ) italic_C ( italic_q start_POSTSUPERSCRIPT italic_m end_POSTSUPERSCRIPT ) italic_P start_POSTSUBSCRIPT fraktur_D end_POSTSUBSCRIPT | | ⋅ | | italic_D start_POSTSUBSCRIPT italic_ν end_POSTSUBSCRIPT | | ⋅ | | italic_W ( italic_q start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ) | | ⋅ | | italic_D ( italic_q ) italic_C ( italic_q ) italic_P start_POSTSUBSCRIPT fraktur_D end_POSTSUBSCRIPT | |</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(82)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S6.1.p1.1">We have <math alttext="||D_{\nu}||=||D_{\nu}^{-1}||=1" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.1.p1.1.m1.2"><semantics id="S6.1.p1.1.m1.2a"><mrow id="S6.1.p1.1.m1.2.2" xref="S6.1.p1.1.m1.2.2.cmml"><mrow id="S6.1.p1.1.m1.1.1.1.1" xref="S6.1.p1.1.m1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S6.1.p1.1.m1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S6.1.p1.1.m1.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo><msub id="S6.1.p1.1.m1.1.1.1.1.1" xref="S6.1.p1.1.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S6.1.p1.1.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S6.1.p1.1.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">D</mi><mi id="S6.1.p1.1.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S6.1.p1.1.m1.1.1.1.1.1.3.cmml">ν</mi></msub><mo id="S6.1.p1.1.m1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S6.1.p1.1.m1.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo></mrow><mo id="S6.1.p1.1.m1.2.2.4" xref="S6.1.p1.1.m1.2.2.4.cmml">=</mo><mrow id="S6.1.p1.1.m1.2.2.2.1" xref="S6.1.p1.1.m1.2.2.2.2.cmml"><mo id="S6.1.p1.1.m1.2.2.2.1.2" stretchy="false" xref="S6.1.p1.1.m1.2.2.2.2.1.cmml">‖</mo><msubsup id="S6.1.p1.1.m1.2.2.2.1.1" xref="S6.1.p1.1.m1.2.2.2.1.1.cmml"><mi id="S6.1.p1.1.m1.2.2.2.1.1.2.2" xref="S6.1.p1.1.m1.2.2.2.1.1.2.2.cmml">D</mi><mi id="S6.1.p1.1.m1.2.2.2.1.1.2.3" xref="S6.1.p1.1.m1.2.2.2.1.1.2.3.cmml">ν</mi><mrow id="S6.1.p1.1.m1.2.2.2.1.1.3" xref="S6.1.p1.1.m1.2.2.2.1.1.3.cmml"><mo id="S6.1.p1.1.m1.2.2.2.1.1.3a" xref="S6.1.p1.1.m1.2.2.2.1.1.3.cmml">−</mo><mn id="S6.1.p1.1.m1.2.2.2.1.1.3.2" xref="S6.1.p1.1.m1.2.2.2.1.1.3.2.cmml">1</mn></mrow></msubsup><mo id="S6.1.p1.1.m1.2.2.2.1.3" stretchy="false" xref="S6.1.p1.1.m1.2.2.2.2.1.cmml">‖</mo></mrow><mo id="S6.1.p1.1.m1.2.2.5" xref="S6.1.p1.1.m1.2.2.5.cmml">=</mo><mn id="S6.1.p1.1.m1.2.2.6" xref="S6.1.p1.1.m1.2.2.6.cmml">1</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.1.p1.1.m1.2b"><apply id="S6.1.p1.1.m1.2.2.cmml" xref="S6.1.p1.1.m1.2.2"><and id="S6.1.p1.1.m1.2.2a.cmml" xref="S6.1.p1.1.m1.2.2"></and><apply id="S6.1.p1.1.m1.2.2b.cmml" xref="S6.1.p1.1.m1.2.2"><eq id="S6.1.p1.1.m1.2.2.4.cmml" xref="S6.1.p1.1.m1.2.2.4"></eq><apply id="S6.1.p1.1.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S6.1.p1.1.m1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S6.1.p1.1.m1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S6.1.p1.1.m1.1.1.1.1.2">norm</csymbol><apply id="S6.1.p1.1.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S6.1.p1.1.m1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.1.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S6.1.p1.1.m1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S6.1.p1.1.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S6.1.p1.1.m1.1.1.1.1.1.2">𝐷</ci><ci id="S6.1.p1.1.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S6.1.p1.1.m1.1.1.1.1.1.3">𝜈</ci></apply></apply><apply id="S6.1.p1.1.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S6.1.p1.1.m1.2.2.2.1"><csymbol cd="latexml" id="S6.1.p1.1.m1.2.2.2.2.1.cmml" xref="S6.1.p1.1.m1.2.2.2.1.2">norm</csymbol><apply id="S6.1.p1.1.m1.2.2.2.1.1.cmml" xref="S6.1.p1.1.m1.2.2.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.1.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S6.1.p1.1.m1.2.2.2.1.1">superscript</csymbol><apply id="S6.1.p1.1.m1.2.2.2.1.1.2.cmml" xref="S6.1.p1.1.m1.2.2.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.1.p1.1.m1.2.2.2.1.1.2.1.cmml" xref="S6.1.p1.1.m1.2.2.2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S6.1.p1.1.m1.2.2.2.1.1.2.2.cmml" xref="S6.1.p1.1.m1.2.2.2.1.1.2.2">𝐷</ci><ci id="S6.1.p1.1.m1.2.2.2.1.1.2.3.cmml" xref="S6.1.p1.1.m1.2.2.2.1.1.2.3">𝜈</ci></apply><apply id="S6.1.p1.1.m1.2.2.2.1.1.3.cmml" xref="S6.1.p1.1.m1.2.2.2.1.1.3"><minus id="S6.1.p1.1.m1.2.2.2.1.1.3.1.cmml" xref="S6.1.p1.1.m1.2.2.2.1.1.3"></minus><cn id="S6.1.p1.1.m1.2.2.2.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S6.1.p1.1.m1.2.2.2.1.1.3.2">1</cn></apply></apply></apply></apply><apply id="S6.1.p1.1.m1.2.2c.cmml" xref="S6.1.p1.1.m1.2.2"><eq id="S6.1.p1.1.m1.2.2.5.cmml" xref="S6.1.p1.1.m1.2.2.5"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#S6.1.p1.1.m1.2.2.2.cmml" id="S6.1.p1.1.m1.2.2d.cmml" xref="S6.1.p1.1.m1.2.2"></share><cn id="S6.1.p1.1.m1.2.2.6.cmml" type="integer" xref="S6.1.p1.1.m1.2.2.6">1</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.1.p1.1.m1.2c">||D_{\nu}||=||D_{\nu}^{-1}||=1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.1.p1.1.m1.2d">| | italic_D start_POSTSUBSCRIPT italic_ν end_POSTSUBSCRIPT | | = | | italic_D start_POSTSUBSCRIPT italic_ν end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT | | = 1</annotation></semantics></math>, since the representations are unitary. Lemmas <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#Thmtheorem42" title="Lemma 42. ‣ VI.1 Bounds by factorization of 𝐾_𝑚 ‣ VI Bounding the complete derangement block ‣ Conditional 𝑡-independent spectral gap for random quantum circuits and implications for 𝑡-design depths"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">42</span></a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#Thmtheorem43" title="Lemma 43. ‣ VI.1 Bounds by factorization of 𝐾_𝑚 ‣ VI Bounding the complete derangement block ‣ Conditional 𝑡-independent spectral gap for random quantum circuits and implications for 𝑡-design depths"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">43</span></a>, and <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#Thmtheorem44" title="Lemma 44. ‣ VI.1 Bounds by factorization of 𝐾_𝑚 ‣ VI Bounding the complete derangement block ‣ Conditional 𝑡-independent spectral gap for random quantum circuits and implications for 𝑡-design depths"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">44</span></a> give bounds on the remaining terms. ∎</p> </div> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_lemma" id="Thmtheorem40"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmtheorem40.1.1.1">Lemma 40</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmtheorem40.2.2">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="Thmtheorem40.p1"> <p class="ltx_p" id="Thmtheorem40.p1.2"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmtheorem40.p1.2.2">When <math alttext="t\leq q" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem40.p1.1.1.m1.1"><semantics id="Thmtheorem40.p1.1.1.m1.1a"><mrow id="Thmtheorem40.p1.1.1.m1.1.1" xref="Thmtheorem40.p1.1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="Thmtheorem40.p1.1.1.m1.1.1.2" xref="Thmtheorem40.p1.1.1.m1.1.1.2.cmml">t</mi><mo id="Thmtheorem40.p1.1.1.m1.1.1.1" xref="Thmtheorem40.p1.1.1.m1.1.1.1.cmml">≤</mo><mi id="Thmtheorem40.p1.1.1.m1.1.1.3" xref="Thmtheorem40.p1.1.1.m1.1.1.3.cmml">q</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem40.p1.1.1.m1.1b"><apply id="Thmtheorem40.p1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem40.p1.1.1.m1.1.1"><leq id="Thmtheorem40.p1.1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem40.p1.1.1.m1.1.1.1"></leq><ci id="Thmtheorem40.p1.1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="Thmtheorem40.p1.1.1.m1.1.1.2">𝑡</ci><ci id="Thmtheorem40.p1.1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="Thmtheorem40.p1.1.1.m1.1.1.3">𝑞</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem40.p1.1.1.m1.1c">t\leq q</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem40.p1.1.1.m1.1d">italic_t ≤ italic_q</annotation></semantics></math> and <math alttext="7\leq t\leq 28" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem40.p1.2.2.m2.1"><semantics id="Thmtheorem40.p1.2.2.m2.1a"><mrow id="Thmtheorem40.p1.2.2.m2.1.1" xref="Thmtheorem40.p1.2.2.m2.1.1.cmml"><mn id="Thmtheorem40.p1.2.2.m2.1.1.2" xref="Thmtheorem40.p1.2.2.m2.1.1.2.cmml">7</mn><mo id="Thmtheorem40.p1.2.2.m2.1.1.3" xref="Thmtheorem40.p1.2.2.m2.1.1.3.cmml">≤</mo><mi id="Thmtheorem40.p1.2.2.m2.1.1.4" xref="Thmtheorem40.p1.2.2.m2.1.1.4.cmml">t</mi><mo id="Thmtheorem40.p1.2.2.m2.1.1.5" xref="Thmtheorem40.p1.2.2.m2.1.1.5.cmml">≤</mo><mn id="Thmtheorem40.p1.2.2.m2.1.1.6" xref="Thmtheorem40.p1.2.2.m2.1.1.6.cmml">28</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem40.p1.2.2.m2.1b"><apply id="Thmtheorem40.p1.2.2.m2.1.1.cmml" xref="Thmtheorem40.p1.2.2.m2.1.1"><and id="Thmtheorem40.p1.2.2.m2.1.1a.cmml" xref="Thmtheorem40.p1.2.2.m2.1.1"></and><apply id="Thmtheorem40.p1.2.2.m2.1.1b.cmml" xref="Thmtheorem40.p1.2.2.m2.1.1"><leq id="Thmtheorem40.p1.2.2.m2.1.1.3.cmml" xref="Thmtheorem40.p1.2.2.m2.1.1.3"></leq><cn id="Thmtheorem40.p1.2.2.m2.1.1.2.cmml" type="integer" xref="Thmtheorem40.p1.2.2.m2.1.1.2">7</cn><ci id="Thmtheorem40.p1.2.2.m2.1.1.4.cmml" xref="Thmtheorem40.p1.2.2.m2.1.1.4">𝑡</ci></apply><apply id="Thmtheorem40.p1.2.2.m2.1.1c.cmml" xref="Thmtheorem40.p1.2.2.m2.1.1"><leq id="Thmtheorem40.p1.2.2.m2.1.1.5.cmml" xref="Thmtheorem40.p1.2.2.m2.1.1.5"></leq><share href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#Thmtheorem40.p1.2.2.m2.1.1.4.cmml" id="Thmtheorem40.p1.2.2.m2.1.1d.cmml" xref="Thmtheorem40.p1.2.2.m2.1.1"></share><cn id="Thmtheorem40.p1.2.2.m2.1.1.6.cmml" type="integer" xref="Thmtheorem40.p1.2.2.m2.1.1.6">28</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem40.p1.2.2.m2.1c">7\leq t\leq 28</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem40.p1.2.2.m2.1d">7 ≤ italic_t ≤ 28</annotation></semantics></math>,</span></p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_gather ltx_eqn_table" id="S6.EGx73"> <tbody id="S6.E83"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\displaystyle||K_{m}||_{\mathfrak{D}}\leq\frac{0.367}{q^{2}}\left(\frac{t}{q}% \right)^{t-2}\leq\frac{1}{1+q^{2}}" class="ltx_Math" display="block" id="S6.E83.m1.2"><semantics id="S6.E83.m1.2a"><mrow id="S6.E83.m1.2.2" xref="S6.E83.m1.2.2.cmml"><msub id="S6.E83.m1.2.2.1" xref="S6.E83.m1.2.2.1.cmml"><mrow id="S6.E83.m1.2.2.1.1.1" xref="S6.E83.m1.2.2.1.1.2.cmml"><mo id="S6.E83.m1.2.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S6.E83.m1.2.2.1.1.2.1.cmml">‖</mo><msub id="S6.E83.m1.2.2.1.1.1.1" xref="S6.E83.m1.2.2.1.1.1.1.cmml"><mi id="S6.E83.m1.2.2.1.1.1.1.2" xref="S6.E83.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml">K</mi><mi id="S6.E83.m1.2.2.1.1.1.1.3" xref="S6.E83.m1.2.2.1.1.1.1.3.cmml">m</mi></msub><mo id="S6.E83.m1.2.2.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S6.E83.m1.2.2.1.1.2.1.cmml">‖</mo></mrow><mi id="S6.E83.m1.2.2.1.3" xref="S6.E83.m1.2.2.1.3.cmml">𝔇</mi></msub><mo id="S6.E83.m1.2.2.3" xref="S6.E83.m1.2.2.3.cmml">≤</mo><mrow id="S6.E83.m1.2.2.4" xref="S6.E83.m1.2.2.4.cmml"><mfrac id="S6.E83.m1.2.2.4.2" xref="S6.E83.m1.2.2.4.2.cmml"><mn id="S6.E83.m1.2.2.4.2.2" xref="S6.E83.m1.2.2.4.2.2.cmml">0.367</mn><msup id="S6.E83.m1.2.2.4.2.3" xref="S6.E83.m1.2.2.4.2.3.cmml"><mi id="S6.E83.m1.2.2.4.2.3.2" xref="S6.E83.m1.2.2.4.2.3.2.cmml">q</mi><mn id="S6.E83.m1.2.2.4.2.3.3" xref="S6.E83.m1.2.2.4.2.3.3.cmml">2</mn></msup></mfrac><mo id="S6.E83.m1.2.2.4.1" xref="S6.E83.m1.2.2.4.1.cmml">⁢</mo><msup id="S6.E83.m1.2.2.4.3" xref="S6.E83.m1.2.2.4.3.cmml"><mrow id="S6.E83.m1.2.2.4.3.2.2" xref="S6.E83.m1.1.1.cmml"><mo id="S6.E83.m1.2.2.4.3.2.2.1" xref="S6.E83.m1.1.1.cmml">(</mo><mfrac id="S6.E83.m1.1.1" xref="S6.E83.m1.1.1.cmml"><mi id="S6.E83.m1.1.1.2" xref="S6.E83.m1.1.1.2.cmml">t</mi><mi id="S6.E83.m1.1.1.3" xref="S6.E83.m1.1.1.3.cmml">q</mi></mfrac><mo id="S6.E83.m1.2.2.4.3.2.2.2" xref="S6.E83.m1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S6.E83.m1.2.2.4.3.3" xref="S6.E83.m1.2.2.4.3.3.cmml"><mi id="S6.E83.m1.2.2.4.3.3.2" xref="S6.E83.m1.2.2.4.3.3.2.cmml">t</mi><mo id="S6.E83.m1.2.2.4.3.3.1" xref="S6.E83.m1.2.2.4.3.3.1.cmml">−</mo><mn id="S6.E83.m1.2.2.4.3.3.3" xref="S6.E83.m1.2.2.4.3.3.3.cmml">2</mn></mrow></msup></mrow><mo id="S6.E83.m1.2.2.5" xref="S6.E83.m1.2.2.5.cmml">≤</mo><mfrac id="S6.E83.m1.2.2.6" xref="S6.E83.m1.2.2.6.cmml"><mn id="S6.E83.m1.2.2.6.2" xref="S6.E83.m1.2.2.6.2.cmml">1</mn><mrow id="S6.E83.m1.2.2.6.3" xref="S6.E83.m1.2.2.6.3.cmml"><mn id="S6.E83.m1.2.2.6.3.2" xref="S6.E83.m1.2.2.6.3.2.cmml">1</mn><mo id="S6.E83.m1.2.2.6.3.1" xref="S6.E83.m1.2.2.6.3.1.cmml">+</mo><msup id="S6.E83.m1.2.2.6.3.3" xref="S6.E83.m1.2.2.6.3.3.cmml"><mi id="S6.E83.m1.2.2.6.3.3.2" xref="S6.E83.m1.2.2.6.3.3.2.cmml">q</mi><mn id="S6.E83.m1.2.2.6.3.3.3" xref="S6.E83.m1.2.2.6.3.3.3.cmml">2</mn></msup></mrow></mfrac></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.E83.m1.2b"><apply id="S6.E83.m1.2.2.cmml" xref="S6.E83.m1.2.2"><and id="S6.E83.m1.2.2a.cmml" xref="S6.E83.m1.2.2"></and><apply id="S6.E83.m1.2.2b.cmml" xref="S6.E83.m1.2.2"><leq id="S6.E83.m1.2.2.3.cmml" xref="S6.E83.m1.2.2.3"></leq><apply id="S6.E83.m1.2.2.1.cmml" xref="S6.E83.m1.2.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.E83.m1.2.2.1.2.cmml" xref="S6.E83.m1.2.2.1">subscript</csymbol><apply id="S6.E83.m1.2.2.1.1.2.cmml" xref="S6.E83.m1.2.2.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S6.E83.m1.2.2.1.1.2.1.cmml" xref="S6.E83.m1.2.2.1.1.1.2">norm</csymbol><apply id="S6.E83.m1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S6.E83.m1.2.2.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.E83.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S6.E83.m1.2.2.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S6.E83.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S6.E83.m1.2.2.1.1.1.1.2">𝐾</ci><ci id="S6.E83.m1.2.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S6.E83.m1.2.2.1.1.1.1.3">𝑚</ci></apply></apply><ci id="S6.E83.m1.2.2.1.3.cmml" xref="S6.E83.m1.2.2.1.3">𝔇</ci></apply><apply id="S6.E83.m1.2.2.4.cmml" xref="S6.E83.m1.2.2.4"><times id="S6.E83.m1.2.2.4.1.cmml" xref="S6.E83.m1.2.2.4.1"></times><apply id="S6.E83.m1.2.2.4.2.cmml" xref="S6.E83.m1.2.2.4.2"><divide id="S6.E83.m1.2.2.4.2.1.cmml" xref="S6.E83.m1.2.2.4.2"></divide><cn id="S6.E83.m1.2.2.4.2.2.cmml" type="float" xref="S6.E83.m1.2.2.4.2.2">0.367</cn><apply id="S6.E83.m1.2.2.4.2.3.cmml" xref="S6.E83.m1.2.2.4.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.E83.m1.2.2.4.2.3.1.cmml" xref="S6.E83.m1.2.2.4.2.3">superscript</csymbol><ci id="S6.E83.m1.2.2.4.2.3.2.cmml" xref="S6.E83.m1.2.2.4.2.3.2">𝑞</ci><cn id="S6.E83.m1.2.2.4.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S6.E83.m1.2.2.4.2.3.3">2</cn></apply></apply><apply id="S6.E83.m1.2.2.4.3.cmml" xref="S6.E83.m1.2.2.4.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.E83.m1.2.2.4.3.1.cmml" xref="S6.E83.m1.2.2.4.3">superscript</csymbol><apply id="S6.E83.m1.1.1.cmml" xref="S6.E83.m1.2.2.4.3.2.2"><divide id="S6.E83.m1.1.1.1.cmml" xref="S6.E83.m1.2.2.4.3.2.2"></divide><ci id="S6.E83.m1.1.1.2.cmml" xref="S6.E83.m1.1.1.2">𝑡</ci><ci id="S6.E83.m1.1.1.3.cmml" xref="S6.E83.m1.1.1.3">𝑞</ci></apply><apply id="S6.E83.m1.2.2.4.3.3.cmml" xref="S6.E83.m1.2.2.4.3.3"><minus id="S6.E83.m1.2.2.4.3.3.1.cmml" xref="S6.E83.m1.2.2.4.3.3.1"></minus><ci id="S6.E83.m1.2.2.4.3.3.2.cmml" xref="S6.E83.m1.2.2.4.3.3.2">𝑡</ci><cn id="S6.E83.m1.2.2.4.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S6.E83.m1.2.2.4.3.3.3">2</cn></apply></apply></apply></apply><apply id="S6.E83.m1.2.2c.cmml" xref="S6.E83.m1.2.2"><leq id="S6.E83.m1.2.2.5.cmml" xref="S6.E83.m1.2.2.5"></leq><share href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#S6.E83.m1.2.2.4.cmml" id="S6.E83.m1.2.2d.cmml" xref="S6.E83.m1.2.2"></share><apply id="S6.E83.m1.2.2.6.cmml" xref="S6.E83.m1.2.2.6"><divide id="S6.E83.m1.2.2.6.1.cmml" xref="S6.E83.m1.2.2.6"></divide><cn id="S6.E83.m1.2.2.6.2.cmml" type="integer" xref="S6.E83.m1.2.2.6.2">1</cn><apply id="S6.E83.m1.2.2.6.3.cmml" xref="S6.E83.m1.2.2.6.3"><plus id="S6.E83.m1.2.2.6.3.1.cmml" xref="S6.E83.m1.2.2.6.3.1"></plus><cn id="S6.E83.m1.2.2.6.3.2.cmml" type="integer" xref="S6.E83.m1.2.2.6.3.2">1</cn><apply id="S6.E83.m1.2.2.6.3.3.cmml" xref="S6.E83.m1.2.2.6.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.E83.m1.2.2.6.3.3.1.cmml" xref="S6.E83.m1.2.2.6.3.3">superscript</csymbol><ci id="S6.E83.m1.2.2.6.3.3.2.cmml" xref="S6.E83.m1.2.2.6.3.3.2">𝑞</ci><cn id="S6.E83.m1.2.2.6.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S6.E83.m1.2.2.6.3.3.3">2</cn></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.E83.m1.2c">\displaystyle||K_{m}||_{\mathfrak{D}}\leq\frac{0.367}{q^{2}}\left(\frac{t}{q}% \right)^{t-2}\leq\frac{1}{1+q^{2}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.E83.m1.2d">| | italic_K start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT | | start_POSTSUBSCRIPT fraktur_D end_POSTSUBSCRIPT ≤ divide start_ARG 0.367 end_ARG start_ARG italic_q start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG ( divide start_ARG italic_t end_ARG start_ARG italic_q end_ARG ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_t - 2 end_POSTSUPERSCRIPT ≤ divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 1 + italic_q start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(83)</span></td> </tr></tbody> </table> </div> </div> <div class="ltx_proof" id="S6.2"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_font_italic ltx_title_proof">Proof.</h6> <div class="ltx_para" id="S6.2.p1"> <p class="ltx_p" id="S6.2.p1.1">This will follow from Lemmas <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#Thmtheorem42" title="Lemma 42. ‣ VI.1 Bounds by factorization of 𝐾_𝑚 ‣ VI Bounding the complete derangement block ‣ Conditional 𝑡-independent spectral gap for random quantum circuits and implications for 𝑡-design depths"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">42</span></a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#Thmtheorem43" title="Lemma 43. ‣ VI.1 Bounds by factorization of 𝐾_𝑚 ‣ VI Bounding the complete derangement block ‣ Conditional 𝑡-independent spectral gap for random quantum circuits and implications for 𝑡-design depths"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">43</span></a>, and <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#Thmtheorem45" title="Lemma 45. ‣ VI.1 Bounds by factorization of 𝐾_𝑚 ‣ VI Bounding the complete derangement block ‣ Conditional 𝑡-independent spectral gap for random quantum circuits and implications for 𝑡-design depths"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">45</span></a>. ∎</p> </div> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_lemma" id="Thmtheorem41"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmtheorem41.1.1.1">Lemma 41</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmtheorem41.2.2">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="Thmtheorem41.p1"> <p class="ltx_p" id="Thmtheorem41.p1.2"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmtheorem41.p1.2.2">When <math alttext="t\leq q" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem41.p1.1.1.m1.1"><semantics id="Thmtheorem41.p1.1.1.m1.1a"><mrow id="Thmtheorem41.p1.1.1.m1.1.1" xref="Thmtheorem41.p1.1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="Thmtheorem41.p1.1.1.m1.1.1.2" xref="Thmtheorem41.p1.1.1.m1.1.1.2.cmml">t</mi><mo id="Thmtheorem41.p1.1.1.m1.1.1.1" xref="Thmtheorem41.p1.1.1.m1.1.1.1.cmml">≤</mo><mi id="Thmtheorem41.p1.1.1.m1.1.1.3" xref="Thmtheorem41.p1.1.1.m1.1.1.3.cmml">q</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem41.p1.1.1.m1.1b"><apply id="Thmtheorem41.p1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem41.p1.1.1.m1.1.1"><leq id="Thmtheorem41.p1.1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem41.p1.1.1.m1.1.1.1"></leq><ci id="Thmtheorem41.p1.1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="Thmtheorem41.p1.1.1.m1.1.1.2">𝑡</ci><ci id="Thmtheorem41.p1.1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="Thmtheorem41.p1.1.1.m1.1.1.3">𝑞</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem41.p1.1.1.m1.1c">t\leq q</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem41.p1.1.1.m1.1d">italic_t ≤ italic_q</annotation></semantics></math> and <math alttext="2<t<7" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem41.p1.2.2.m2.1"><semantics id="Thmtheorem41.p1.2.2.m2.1a"><mrow id="Thmtheorem41.p1.2.2.m2.1.1" xref="Thmtheorem41.p1.2.2.m2.1.1.cmml"><mn id="Thmtheorem41.p1.2.2.m2.1.1.2" xref="Thmtheorem41.p1.2.2.m2.1.1.2.cmml">2</mn><mo id="Thmtheorem41.p1.2.2.m2.1.1.3" xref="Thmtheorem41.p1.2.2.m2.1.1.3.cmml"><</mo><mi id="Thmtheorem41.p1.2.2.m2.1.1.4" xref="Thmtheorem41.p1.2.2.m2.1.1.4.cmml">t</mi><mo id="Thmtheorem41.p1.2.2.m2.1.1.5" xref="Thmtheorem41.p1.2.2.m2.1.1.5.cmml"><</mo><mn id="Thmtheorem41.p1.2.2.m2.1.1.6" xref="Thmtheorem41.p1.2.2.m2.1.1.6.cmml">7</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem41.p1.2.2.m2.1b"><apply id="Thmtheorem41.p1.2.2.m2.1.1.cmml" xref="Thmtheorem41.p1.2.2.m2.1.1"><and id="Thmtheorem41.p1.2.2.m2.1.1a.cmml" xref="Thmtheorem41.p1.2.2.m2.1.1"></and><apply id="Thmtheorem41.p1.2.2.m2.1.1b.cmml" xref="Thmtheorem41.p1.2.2.m2.1.1"><lt id="Thmtheorem41.p1.2.2.m2.1.1.3.cmml" xref="Thmtheorem41.p1.2.2.m2.1.1.3"></lt><cn id="Thmtheorem41.p1.2.2.m2.1.1.2.cmml" type="integer" xref="Thmtheorem41.p1.2.2.m2.1.1.2">2</cn><ci id="Thmtheorem41.p1.2.2.m2.1.1.4.cmml" xref="Thmtheorem41.p1.2.2.m2.1.1.4">𝑡</ci></apply><apply id="Thmtheorem41.p1.2.2.m2.1.1c.cmml" xref="Thmtheorem41.p1.2.2.m2.1.1"><lt id="Thmtheorem41.p1.2.2.m2.1.1.5.cmml" xref="Thmtheorem41.p1.2.2.m2.1.1.5"></lt><share href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#Thmtheorem41.p1.2.2.m2.1.1.4.cmml" id="Thmtheorem41.p1.2.2.m2.1.1d.cmml" xref="Thmtheorem41.p1.2.2.m2.1.1"></share><cn id="Thmtheorem41.p1.2.2.m2.1.1.6.cmml" type="integer" xref="Thmtheorem41.p1.2.2.m2.1.1.6">7</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem41.p1.2.2.m2.1c">2<t<7</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem41.p1.2.2.m2.1d">2 < italic_t < 7</annotation></semantics></math>,</span></p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_gather ltx_eqn_table" id="S6.EGx74"> <tbody id="S6.E84"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\displaystyle||K_{m}||_{\mathfrak{D}}\leq\begin{cases}\frac{0.307}{q^{2}}\left% (\frac{t}{q}\right)^{2}&t=3\\ \frac{0.167}{q^{2}}\left(\frac{t}{q}\right)^{2}&t=4\\ \frac{8.27\times 10^{-3}}{q^{2}}\left(\frac{t}{q}\right)^{4}&t=5\\ \frac{2.48\times 10^{-3}}{q^{2}}\left(\frac{t}{q}\right)^{4}&t=6\end{cases}% \leq\frac{1}{1+q^{2}}" class="ltx_Math" display="block" id="S6.E84.m1.9"><semantics id="S6.E84.m1.9a"><mrow id="S6.E84.m1.9.9" xref="S6.E84.m1.9.9.cmml"><msub id="S6.E84.m1.9.9.1" xref="S6.E84.m1.9.9.1.cmml"><mrow id="S6.E84.m1.9.9.1.1.1" xref="S6.E84.m1.9.9.1.1.2.cmml"><mo id="S6.E84.m1.9.9.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S6.E84.m1.9.9.1.1.2.1.cmml">‖</mo><msub id="S6.E84.m1.9.9.1.1.1.1" xref="S6.E84.m1.9.9.1.1.1.1.cmml"><mi id="S6.E84.m1.9.9.1.1.1.1.2" xref="S6.E84.m1.9.9.1.1.1.1.2.cmml">K</mi><mi id="S6.E84.m1.9.9.1.1.1.1.3" xref="S6.E84.m1.9.9.1.1.1.1.3.cmml">m</mi></msub><mo id="S6.E84.m1.9.9.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S6.E84.m1.9.9.1.1.2.1.cmml">‖</mo></mrow><mi id="S6.E84.m1.9.9.1.3" xref="S6.E84.m1.9.9.1.3.cmml">𝔇</mi></msub><mo id="S6.E84.m1.9.9.3" xref="S6.E84.m1.9.9.3.cmml">≤</mo><mrow id="S6.E84.m1.8.8" xref="S6.E84.m1.9.9.4.1.cmml"><mo id="S6.E84.m1.8.8.9" xref="S6.E84.m1.9.9.4.1.1.cmml">{</mo><mtable columnspacing="5pt" displaystyle="true" id="S6.E84.m1.8.8.8" rowspacing="0pt" xref="S6.E84.m1.9.9.4.1.cmml"><mtr id="S6.E84.m1.8.8.8a" xref="S6.E84.m1.9.9.4.1.cmml"><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="S6.E84.m1.8.8.8b" xref="S6.E84.m1.9.9.4.1.cmml"><mrow id="S6.E84.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S6.E84.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="false" id="S6.E84.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S6.E84.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mfrac id="S6.E84.m1.1.1.1.1.1.1.3a" xref="S6.E84.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mn id="S6.E84.m1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S6.E84.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">0.307</mn><msup id="S6.E84.m1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S6.E84.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S6.E84.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S6.E84.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">q</mi><mn id="S6.E84.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S6.E84.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">2</mn></msup></mfrac></mstyle><mo id="S6.E84.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S6.E84.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msup id="S6.E84.m1.1.1.1.1.1.1.4" xref="S6.E84.m1.1.1.1.1.1.1.4.cmml"><mrow id="S6.E84.m1.1.1.1.1.1.1.4.2.2" xref="S6.E84.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S6.E84.m1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.1" xref="S6.E84.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mstyle displaystyle="false" id="S6.E84.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S6.E84.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mfrac id="S6.E84.m1.1.1.1.1.1.1.1a" xref="S6.E84.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S6.E84.m1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S6.E84.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">t</mi><mi id="S6.E84.m1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S6.E84.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">q</mi></mfrac></mstyle><mo id="S6.E84.m1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.2" xref="S6.E84.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mn id="S6.E84.m1.1.1.1.1.1.1.4.3" xref="S6.E84.m1.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml">2</mn></msup></mrow></mtd><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="S6.E84.m1.8.8.8c" xref="S6.E84.m1.9.9.4.1.cmml"><mrow id="S6.E84.m1.2.2.2.2.2.1" xref="S6.E84.m1.2.2.2.2.2.1.cmml"><mi id="S6.E84.m1.2.2.2.2.2.1.2" xref="S6.E84.m1.2.2.2.2.2.1.2.cmml">t</mi><mo id="S6.E84.m1.2.2.2.2.2.1.1" xref="S6.E84.m1.2.2.2.2.2.1.1.cmml">=</mo><mn id="S6.E84.m1.2.2.2.2.2.1.3" xref="S6.E84.m1.2.2.2.2.2.1.3.cmml">3</mn></mrow></mtd></mtr><mtr id="S6.E84.m1.8.8.8d" xref="S6.E84.m1.9.9.4.1.cmml"><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="S6.E84.m1.8.8.8e" xref="S6.E84.m1.9.9.4.1.cmml"><mrow id="S6.E84.m1.3.3.3.3.1.1" xref="S6.E84.m1.3.3.3.3.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="false" id="S6.E84.m1.3.3.3.3.1.1.3" xref="S6.E84.m1.3.3.3.3.1.1.3.cmml"><mfrac id="S6.E84.m1.3.3.3.3.1.1.3a" xref="S6.E84.m1.3.3.3.3.1.1.3.cmml"><mn id="S6.E84.m1.3.3.3.3.1.1.3.2" xref="S6.E84.m1.3.3.3.3.1.1.3.2.cmml">0.167</mn><msup id="S6.E84.m1.3.3.3.3.1.1.3.3" xref="S6.E84.m1.3.3.3.3.1.1.3.3.cmml"><mi id="S6.E84.m1.3.3.3.3.1.1.3.3.2" xref="S6.E84.m1.3.3.3.3.1.1.3.3.2.cmml">q</mi><mn id="S6.E84.m1.3.3.3.3.1.1.3.3.3" xref="S6.E84.m1.3.3.3.3.1.1.3.3.3.cmml">2</mn></msup></mfrac></mstyle><mo id="S6.E84.m1.3.3.3.3.1.1.2" xref="S6.E84.m1.3.3.3.3.1.1.2.cmml">⁢</mo><msup id="S6.E84.m1.3.3.3.3.1.1.4" xref="S6.E84.m1.3.3.3.3.1.1.4.cmml"><mrow id="S6.E84.m1.3.3.3.3.1.1.4.2.2" xref="S6.E84.m1.3.3.3.3.1.1.1.cmml"><mo id="S6.E84.m1.3.3.3.3.1.1.4.2.2.1" xref="S6.E84.m1.3.3.3.3.1.1.1.cmml">(</mo><mstyle displaystyle="false" id="S6.E84.m1.3.3.3.3.1.1.1" xref="S6.E84.m1.3.3.3.3.1.1.1.cmml"><mfrac id="S6.E84.m1.3.3.3.3.1.1.1a" xref="S6.E84.m1.3.3.3.3.1.1.1.cmml"><mi id="S6.E84.m1.3.3.3.3.1.1.1.2" xref="S6.E84.m1.3.3.3.3.1.1.1.2.cmml">t</mi><mi id="S6.E84.m1.3.3.3.3.1.1.1.3" xref="S6.E84.m1.3.3.3.3.1.1.1.3.cmml">q</mi></mfrac></mstyle><mo id="S6.E84.m1.3.3.3.3.1.1.4.2.2.2" xref="S6.E84.m1.3.3.3.3.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mn id="S6.E84.m1.3.3.3.3.1.1.4.3" xref="S6.E84.m1.3.3.3.3.1.1.4.3.cmml">2</mn></msup></mrow></mtd><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="S6.E84.m1.8.8.8f" xref="S6.E84.m1.9.9.4.1.cmml"><mrow id="S6.E84.m1.4.4.4.4.2.1" xref="S6.E84.m1.4.4.4.4.2.1.cmml"><mi id="S6.E84.m1.4.4.4.4.2.1.2" xref="S6.E84.m1.4.4.4.4.2.1.2.cmml">t</mi><mo id="S6.E84.m1.4.4.4.4.2.1.1" xref="S6.E84.m1.4.4.4.4.2.1.1.cmml">=</mo><mn id="S6.E84.m1.4.4.4.4.2.1.3" xref="S6.E84.m1.4.4.4.4.2.1.3.cmml">4</mn></mrow></mtd></mtr><mtr id="S6.E84.m1.8.8.8g" xref="S6.E84.m1.9.9.4.1.cmml"><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="S6.E84.m1.8.8.8h" xref="S6.E84.m1.9.9.4.1.cmml"><mrow id="S6.E84.m1.5.5.5.5.1.1" xref="S6.E84.m1.5.5.5.5.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="false" id="S6.E84.m1.5.5.5.5.1.1.3" xref="S6.E84.m1.5.5.5.5.1.1.3.cmml"><mfrac id="S6.E84.m1.5.5.5.5.1.1.3a" xref="S6.E84.m1.5.5.5.5.1.1.3.cmml"><mrow id="S6.E84.m1.5.5.5.5.1.1.3.2" xref="S6.E84.m1.5.5.5.5.1.1.3.2.cmml"><mn id="S6.E84.m1.5.5.5.5.1.1.3.2.2" xref="S6.E84.m1.5.5.5.5.1.1.3.2.2.cmml">8.27</mn><mo id="S6.E84.m1.5.5.5.5.1.1.3.2.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S6.E84.m1.5.5.5.5.1.1.3.2.1.cmml">×</mo><msup id="S6.E84.m1.5.5.5.5.1.1.3.2.3" xref="S6.E84.m1.5.5.5.5.1.1.3.2.3.cmml"><mn id="S6.E84.m1.5.5.5.5.1.1.3.2.3.2" xref="S6.E84.m1.5.5.5.5.1.1.3.2.3.2.cmml">10</mn><mrow id="S6.E84.m1.5.5.5.5.1.1.3.2.3.3" xref="S6.E84.m1.5.5.5.5.1.1.3.2.3.3.cmml"><mo id="S6.E84.m1.5.5.5.5.1.1.3.2.3.3a" xref="S6.E84.m1.5.5.5.5.1.1.3.2.3.3.cmml">−</mo><mn id="S6.E84.m1.5.5.5.5.1.1.3.2.3.3.2" xref="S6.E84.m1.5.5.5.5.1.1.3.2.3.3.2.cmml">3</mn></mrow></msup></mrow><msup id="S6.E84.m1.5.5.5.5.1.1.3.3" xref="S6.E84.m1.5.5.5.5.1.1.3.3.cmml"><mi id="S6.E84.m1.5.5.5.5.1.1.3.3.2" xref="S6.E84.m1.5.5.5.5.1.1.3.3.2.cmml">q</mi><mn id="S6.E84.m1.5.5.5.5.1.1.3.3.3" xref="S6.E84.m1.5.5.5.5.1.1.3.3.3.cmml">2</mn></msup></mfrac></mstyle><mo id="S6.E84.m1.5.5.5.5.1.1.2" xref="S6.E84.m1.5.5.5.5.1.1.2.cmml">⁢</mo><msup id="S6.E84.m1.5.5.5.5.1.1.4" xref="S6.E84.m1.5.5.5.5.1.1.4.cmml"><mrow id="S6.E84.m1.5.5.5.5.1.1.4.2.2" xref="S6.E84.m1.5.5.5.5.1.1.1.cmml"><mo id="S6.E84.m1.5.5.5.5.1.1.4.2.2.1" xref="S6.E84.m1.5.5.5.5.1.1.1.cmml">(</mo><mstyle displaystyle="false" id="S6.E84.m1.5.5.5.5.1.1.1" xref="S6.E84.m1.5.5.5.5.1.1.1.cmml"><mfrac id="S6.E84.m1.5.5.5.5.1.1.1a" xref="S6.E84.m1.5.5.5.5.1.1.1.cmml"><mi id="S6.E84.m1.5.5.5.5.1.1.1.2" xref="S6.E84.m1.5.5.5.5.1.1.1.2.cmml">t</mi><mi id="S6.E84.m1.5.5.5.5.1.1.1.3" xref="S6.E84.m1.5.5.5.5.1.1.1.3.cmml">q</mi></mfrac></mstyle><mo id="S6.E84.m1.5.5.5.5.1.1.4.2.2.2" xref="S6.E84.m1.5.5.5.5.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mn id="S6.E84.m1.5.5.5.5.1.1.4.3" xref="S6.E84.m1.5.5.5.5.1.1.4.3.cmml">4</mn></msup></mrow></mtd><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="S6.E84.m1.8.8.8i" xref="S6.E84.m1.9.9.4.1.cmml"><mrow id="S6.E84.m1.6.6.6.6.2.1" xref="S6.E84.m1.6.6.6.6.2.1.cmml"><mi id="S6.E84.m1.6.6.6.6.2.1.2" xref="S6.E84.m1.6.6.6.6.2.1.2.cmml">t</mi><mo id="S6.E84.m1.6.6.6.6.2.1.1" xref="S6.E84.m1.6.6.6.6.2.1.1.cmml">=</mo><mn id="S6.E84.m1.6.6.6.6.2.1.3" xref="S6.E84.m1.6.6.6.6.2.1.3.cmml">5</mn></mrow></mtd></mtr><mtr id="S6.E84.m1.8.8.8j" xref="S6.E84.m1.9.9.4.1.cmml"><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="S6.E84.m1.8.8.8k" xref="S6.E84.m1.9.9.4.1.cmml"><mrow id="S6.E84.m1.7.7.7.7.1.1" xref="S6.E84.m1.7.7.7.7.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="false" id="S6.E84.m1.7.7.7.7.1.1.3" xref="S6.E84.m1.7.7.7.7.1.1.3.cmml"><mfrac id="S6.E84.m1.7.7.7.7.1.1.3a" xref="S6.E84.m1.7.7.7.7.1.1.3.cmml"><mrow id="S6.E84.m1.7.7.7.7.1.1.3.2" xref="S6.E84.m1.7.7.7.7.1.1.3.2.cmml"><mn id="S6.E84.m1.7.7.7.7.1.1.3.2.2" xref="S6.E84.m1.7.7.7.7.1.1.3.2.2.cmml">2.48</mn><mo id="S6.E84.m1.7.7.7.7.1.1.3.2.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S6.E84.m1.7.7.7.7.1.1.3.2.1.cmml">×</mo><msup id="S6.E84.m1.7.7.7.7.1.1.3.2.3" xref="S6.E84.m1.7.7.7.7.1.1.3.2.3.cmml"><mn id="S6.E84.m1.7.7.7.7.1.1.3.2.3.2" xref="S6.E84.m1.7.7.7.7.1.1.3.2.3.2.cmml">10</mn><mrow id="S6.E84.m1.7.7.7.7.1.1.3.2.3.3" xref="S6.E84.m1.7.7.7.7.1.1.3.2.3.3.cmml"><mo id="S6.E84.m1.7.7.7.7.1.1.3.2.3.3a" xref="S6.E84.m1.7.7.7.7.1.1.3.2.3.3.cmml">−</mo><mn id="S6.E84.m1.7.7.7.7.1.1.3.2.3.3.2" xref="S6.E84.m1.7.7.7.7.1.1.3.2.3.3.2.cmml">3</mn></mrow></msup></mrow><msup id="S6.E84.m1.7.7.7.7.1.1.3.3" xref="S6.E84.m1.7.7.7.7.1.1.3.3.cmml"><mi id="S6.E84.m1.7.7.7.7.1.1.3.3.2" xref="S6.E84.m1.7.7.7.7.1.1.3.3.2.cmml">q</mi><mn id="S6.E84.m1.7.7.7.7.1.1.3.3.3" xref="S6.E84.m1.7.7.7.7.1.1.3.3.3.cmml">2</mn></msup></mfrac></mstyle><mo id="S6.E84.m1.7.7.7.7.1.1.2" xref="S6.E84.m1.7.7.7.7.1.1.2.cmml">⁢</mo><msup id="S6.E84.m1.7.7.7.7.1.1.4" xref="S6.E84.m1.7.7.7.7.1.1.4.cmml"><mrow id="S6.E84.m1.7.7.7.7.1.1.4.2.2" xref="S6.E84.m1.7.7.7.7.1.1.1.cmml"><mo id="S6.E84.m1.7.7.7.7.1.1.4.2.2.1" xref="S6.E84.m1.7.7.7.7.1.1.1.cmml">(</mo><mstyle displaystyle="false" id="S6.E84.m1.7.7.7.7.1.1.1" xref="S6.E84.m1.7.7.7.7.1.1.1.cmml"><mfrac id="S6.E84.m1.7.7.7.7.1.1.1a" xref="S6.E84.m1.7.7.7.7.1.1.1.cmml"><mi id="S6.E84.m1.7.7.7.7.1.1.1.2" xref="S6.E84.m1.7.7.7.7.1.1.1.2.cmml">t</mi><mi id="S6.E84.m1.7.7.7.7.1.1.1.3" xref="S6.E84.m1.7.7.7.7.1.1.1.3.cmml">q</mi></mfrac></mstyle><mo id="S6.E84.m1.7.7.7.7.1.1.4.2.2.2" xref="S6.E84.m1.7.7.7.7.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mn id="S6.E84.m1.7.7.7.7.1.1.4.3" xref="S6.E84.m1.7.7.7.7.1.1.4.3.cmml">4</mn></msup></mrow></mtd><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="S6.E84.m1.8.8.8l" xref="S6.E84.m1.9.9.4.1.cmml"><mrow id="S6.E84.m1.8.8.8.8.2.1" xref="S6.E84.m1.8.8.8.8.2.1.cmml"><mi id="S6.E84.m1.8.8.8.8.2.1.2" xref="S6.E84.m1.8.8.8.8.2.1.2.cmml">t</mi><mo id="S6.E84.m1.8.8.8.8.2.1.1" xref="S6.E84.m1.8.8.8.8.2.1.1.cmml">=</mo><mn id="S6.E84.m1.8.8.8.8.2.1.3" 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id="S6.E84.m1.7.7.7.7.1.1.3.2.3.3.2.cmml" type="integer" xref="S6.E84.m1.7.7.7.7.1.1.3.2.3.3.2">3</cn></apply></apply></apply><apply id="S6.E84.m1.7.7.7.7.1.1.3.3.cmml" xref="S6.E84.m1.7.7.7.7.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.E84.m1.7.7.7.7.1.1.3.3.1.cmml" xref="S6.E84.m1.7.7.7.7.1.1.3.3">superscript</csymbol><ci id="S6.E84.m1.7.7.7.7.1.1.3.3.2.cmml" xref="S6.E84.m1.7.7.7.7.1.1.3.3.2">𝑞</ci><cn id="S6.E84.m1.7.7.7.7.1.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S6.E84.m1.7.7.7.7.1.1.3.3.3">2</cn></apply></apply><apply id="S6.E84.m1.7.7.7.7.1.1.4.cmml" xref="S6.E84.m1.7.7.7.7.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.E84.m1.7.7.7.7.1.1.4.1.cmml" xref="S6.E84.m1.7.7.7.7.1.1.4">superscript</csymbol><apply id="S6.E84.m1.7.7.7.7.1.1.1.cmml" xref="S6.E84.m1.7.7.7.7.1.1.4.2.2"><divide id="S6.E84.m1.7.7.7.7.1.1.1.1.cmml" xref="S6.E84.m1.7.7.7.7.1.1.4.2.2"></divide><ci id="S6.E84.m1.7.7.7.7.1.1.1.2.cmml" xref="S6.E84.m1.7.7.7.7.1.1.1.2">𝑡</ci><ci id="S6.E84.m1.7.7.7.7.1.1.1.3.cmml" xref="S6.E84.m1.7.7.7.7.1.1.1.3">𝑞</ci></apply><cn id="S6.E84.m1.7.7.7.7.1.1.4.3.cmml" type="integer" xref="S6.E84.m1.7.7.7.7.1.1.4.3">4</cn></apply></apply><apply id="S6.E84.m1.8.8.8.8.2.1.cmml" xref="S6.E84.m1.8.8.8.8.2.1"><eq id="S6.E84.m1.8.8.8.8.2.1.1.cmml" xref="S6.E84.m1.8.8.8.8.2.1.1"></eq><ci id="S6.E84.m1.8.8.8.8.2.1.2.cmml" xref="S6.E84.m1.8.8.8.8.2.1.2">𝑡</ci><cn id="S6.E84.m1.8.8.8.8.2.1.3.cmml" type="integer" xref="S6.E84.m1.8.8.8.8.2.1.3">6</cn></apply></apply></apply><apply id="S6.E84.m1.9.9c.cmml" xref="S6.E84.m1.9.9"><leq id="S6.E84.m1.9.9.5.cmml" xref="S6.E84.m1.9.9.5"></leq><share href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#S6.E84.m1.9.9.4.cmml" id="S6.E84.m1.9.9d.cmml" xref="S6.E84.m1.9.9"></share><apply id="S6.E84.m1.9.9.6.cmml" xref="S6.E84.m1.9.9.6"><divide id="S6.E84.m1.9.9.6.1.cmml" xref="S6.E84.m1.9.9.6"></divide><cn id="S6.E84.m1.9.9.6.2.cmml" type="integer" xref="S6.E84.m1.9.9.6.2">1</cn><apply id="S6.E84.m1.9.9.6.3.cmml" xref="S6.E84.m1.9.9.6.3"><plus id="S6.E84.m1.9.9.6.3.1.cmml" xref="S6.E84.m1.9.9.6.3.1"></plus><cn id="S6.E84.m1.9.9.6.3.2.cmml" type="integer" xref="S6.E84.m1.9.9.6.3.2">1</cn><apply id="S6.E84.m1.9.9.6.3.3.cmml" xref="S6.E84.m1.9.9.6.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.E84.m1.9.9.6.3.3.1.cmml" xref="S6.E84.m1.9.9.6.3.3">superscript</csymbol><ci id="S6.E84.m1.9.9.6.3.3.2.cmml" xref="S6.E84.m1.9.9.6.3.3.2">𝑞</ci><cn id="S6.E84.m1.9.9.6.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S6.E84.m1.9.9.6.3.3.3">2</cn></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.E84.m1.9c">\displaystyle||K_{m}||_{\mathfrak{D}}\leq\begin{cases}\frac{0.307}{q^{2}}\left% (\frac{t}{q}\right)^{2}&t=3\\ \frac{0.167}{q^{2}}\left(\frac{t}{q}\right)^{2}&t=4\\ \frac{8.27\times 10^{-3}}{q^{2}}\left(\frac{t}{q}\right)^{4}&t=5\\ \frac{2.48\times 10^{-3}}{q^{2}}\left(\frac{t}{q}\right)^{4}&t=6\end{cases}% \leq\frac{1}{1+q^{2}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.E84.m1.9d">| | italic_K start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT | | start_POSTSUBSCRIPT fraktur_D end_POSTSUBSCRIPT ≤ { start_ROW start_CELL divide start_ARG 0.307 end_ARG start_ARG italic_q start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG ( divide start_ARG italic_t end_ARG start_ARG italic_q end_ARG ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_CELL start_CELL italic_t = 3 end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL divide start_ARG 0.167 end_ARG start_ARG italic_q start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG ( divide start_ARG italic_t end_ARG start_ARG italic_q end_ARG ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_CELL start_CELL italic_t = 4 end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL divide start_ARG 8.27 × 10 start_POSTSUPERSCRIPT - 3 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG italic_q start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG ( divide start_ARG italic_t end_ARG start_ARG italic_q end_ARG ) start_POSTSUPERSCRIPT 4 end_POSTSUPERSCRIPT end_CELL start_CELL italic_t = 5 end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL divide start_ARG 2.48 × 10 start_POSTSUPERSCRIPT - 3 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG italic_q start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG ( divide start_ARG italic_t end_ARG start_ARG italic_q end_ARG ) start_POSTSUPERSCRIPT 4 end_POSTSUPERSCRIPT end_CELL start_CELL italic_t = 6 end_CELL end_ROW ≤ divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 1 + italic_q start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(84)</span></td> </tr></tbody> </table> </div> </div> <div class="ltx_para" id="S6.p2"> <p class="ltx_p" id="S6.p2.6">A proof is found in Section <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#S6.SS2" title="VI.2 Bounds for 2<𝑡<7 and 𝑞≥𝑡 (Lemma 41) ‣ VI Bounding the complete derangement block ‣ Conditional 𝑡-independent spectral gap for random quantum circuits and implications for 𝑡-design depths"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">VI.2</span></a> - in short, we can obtain these bounds by diagonalizing the half-matrix <math alttext="W(Q_{1}Q_{2})D(Q_{2})C(Q_{1})" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.p2.1.m1.3"><semantics id="S6.p2.1.m1.3a"><mrow id="S6.p2.1.m1.3.3" xref="S6.p2.1.m1.3.3.cmml"><mi id="S6.p2.1.m1.3.3.5" xref="S6.p2.1.m1.3.3.5.cmml">W</mi><mo id="S6.p2.1.m1.3.3.4" xref="S6.p2.1.m1.3.3.4.cmml">⁢</mo><mrow id="S6.p2.1.m1.1.1.1.1" xref="S6.p2.1.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S6.p2.1.m1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S6.p2.1.m1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S6.p2.1.m1.1.1.1.1.1" xref="S6.p2.1.m1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S6.p2.1.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S6.p2.1.m1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S6.p2.1.m1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S6.p2.1.m1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">Q</mi><mn id="S6.p2.1.m1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S6.p2.1.m1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S6.p2.1.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S6.p2.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S6.p2.1.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S6.p2.1.m1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S6.p2.1.m1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S6.p2.1.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">Q</mi><mn id="S6.p2.1.m1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S6.p2.1.m1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></msub></mrow><mo id="S6.p2.1.m1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S6.p2.1.m1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S6.p2.1.m1.3.3.4a" xref="S6.p2.1.m1.3.3.4.cmml">⁢</mo><mi id="S6.p2.1.m1.3.3.6" xref="S6.p2.1.m1.3.3.6.cmml">D</mi><mo id="S6.p2.1.m1.3.3.4b" xref="S6.p2.1.m1.3.3.4.cmml">⁢</mo><mrow id="S6.p2.1.m1.2.2.2.1" xref="S6.p2.1.m1.2.2.2.1.1.cmml"><mo id="S6.p2.1.m1.2.2.2.1.2" stretchy="false" xref="S6.p2.1.m1.2.2.2.1.1.cmml">(</mo><msub id="S6.p2.1.m1.2.2.2.1.1" xref="S6.p2.1.m1.2.2.2.1.1.cmml"><mi id="S6.p2.1.m1.2.2.2.1.1.2" xref="S6.p2.1.m1.2.2.2.1.1.2.cmml">Q</mi><mn id="S6.p2.1.m1.2.2.2.1.1.3" xref="S6.p2.1.m1.2.2.2.1.1.3.cmml">2</mn></msub><mo id="S6.p2.1.m1.2.2.2.1.3" stretchy="false" xref="S6.p2.1.m1.2.2.2.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S6.p2.1.m1.3.3.4c" xref="S6.p2.1.m1.3.3.4.cmml">⁢</mo><mi id="S6.p2.1.m1.3.3.7" xref="S6.p2.1.m1.3.3.7.cmml">C</mi><mo id="S6.p2.1.m1.3.3.4d" xref="S6.p2.1.m1.3.3.4.cmml">⁢</mo><mrow id="S6.p2.1.m1.3.3.3.1" xref="S6.p2.1.m1.3.3.3.1.1.cmml"><mo id="S6.p2.1.m1.3.3.3.1.2" stretchy="false" xref="S6.p2.1.m1.3.3.3.1.1.cmml">(</mo><msub id="S6.p2.1.m1.3.3.3.1.1" xref="S6.p2.1.m1.3.3.3.1.1.cmml"><mi id="S6.p2.1.m1.3.3.3.1.1.2" xref="S6.p2.1.m1.3.3.3.1.1.2.cmml">Q</mi><mn id="S6.p2.1.m1.3.3.3.1.1.3" xref="S6.p2.1.m1.3.3.3.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S6.p2.1.m1.3.3.3.1.3" stretchy="false" xref="S6.p2.1.m1.3.3.3.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.p2.1.m1.3b"><apply id="S6.p2.1.m1.3.3.cmml" xref="S6.p2.1.m1.3.3"><times id="S6.p2.1.m1.3.3.4.cmml" xref="S6.p2.1.m1.3.3.4"></times><ci id="S6.p2.1.m1.3.3.5.cmml" xref="S6.p2.1.m1.3.3.5">𝑊</ci><apply id="S6.p2.1.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S6.p2.1.m1.1.1.1.1"><times id="S6.p2.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S6.p2.1.m1.1.1.1.1.1.1"></times><apply id="S6.p2.1.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S6.p2.1.m1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.p2.1.m1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S6.p2.1.m1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S6.p2.1.m1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S6.p2.1.m1.1.1.1.1.1.2.2">𝑄</ci><cn id="S6.p2.1.m1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S6.p2.1.m1.1.1.1.1.1.2.3">1</cn></apply><apply id="S6.p2.1.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S6.p2.1.m1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.p2.1.m1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S6.p2.1.m1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S6.p2.1.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S6.p2.1.m1.1.1.1.1.1.3.2">𝑄</ci><cn id="S6.p2.1.m1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S6.p2.1.m1.1.1.1.1.1.3.3">2</cn></apply></apply><ci id="S6.p2.1.m1.3.3.6.cmml" xref="S6.p2.1.m1.3.3.6">𝐷</ci><apply id="S6.p2.1.m1.2.2.2.1.1.cmml" xref="S6.p2.1.m1.2.2.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.p2.1.m1.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S6.p2.1.m1.2.2.2.1">subscript</csymbol><ci id="S6.p2.1.m1.2.2.2.1.1.2.cmml" xref="S6.p2.1.m1.2.2.2.1.1.2">𝑄</ci><cn id="S6.p2.1.m1.2.2.2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S6.p2.1.m1.2.2.2.1.1.3">2</cn></apply><ci id="S6.p2.1.m1.3.3.7.cmml" xref="S6.p2.1.m1.3.3.7">𝐶</ci><apply id="S6.p2.1.m1.3.3.3.1.1.cmml" xref="S6.p2.1.m1.3.3.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.p2.1.m1.3.3.3.1.1.1.cmml" xref="S6.p2.1.m1.3.3.3.1">subscript</csymbol><ci id="S6.p2.1.m1.3.3.3.1.1.2.cmml" xref="S6.p2.1.m1.3.3.3.1.1.2">𝑄</ci><cn id="S6.p2.1.m1.3.3.3.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S6.p2.1.m1.3.3.3.1.1.3">1</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.p2.1.m1.3c">W(Q_{1}Q_{2})D(Q_{2})C(Q_{1})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.p2.1.m1.3d">italic_W ( italic_Q start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT italic_Q start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT ) italic_D ( italic_Q start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT ) italic_C ( italic_Q start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math> directly, using Perron-Frobenius to replace matrix elements with more positive expressions that are largely independent of <math alttext="Q_{1},Q_{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.p2.2.m2.2"><semantics id="S6.p2.2.m2.2a"><mrow id="S6.p2.2.m2.2.2.2" xref="S6.p2.2.m2.2.2.3.cmml"><msub id="S6.p2.2.m2.1.1.1.1" xref="S6.p2.2.m2.1.1.1.1.cmml"><mi id="S6.p2.2.m2.1.1.1.1.2" xref="S6.p2.2.m2.1.1.1.1.2.cmml">Q</mi><mn id="S6.p2.2.m2.1.1.1.1.3" xref="S6.p2.2.m2.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S6.p2.2.m2.2.2.2.3" xref="S6.p2.2.m2.2.2.3.cmml">,</mo><msub id="S6.p2.2.m2.2.2.2.2" xref="S6.p2.2.m2.2.2.2.2.cmml"><mi id="S6.p2.2.m2.2.2.2.2.2" xref="S6.p2.2.m2.2.2.2.2.2.cmml">Q</mi><mn id="S6.p2.2.m2.2.2.2.2.3" xref="S6.p2.2.m2.2.2.2.2.3.cmml">2</mn></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.p2.2.m2.2b"><list id="S6.p2.2.m2.2.2.3.cmml" xref="S6.p2.2.m2.2.2.2"><apply id="S6.p2.2.m2.1.1.1.1.cmml" xref="S6.p2.2.m2.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.p2.2.m2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S6.p2.2.m2.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S6.p2.2.m2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S6.p2.2.m2.1.1.1.1.2">𝑄</ci><cn id="S6.p2.2.m2.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S6.p2.2.m2.1.1.1.1.3">1</cn></apply><apply id="S6.p2.2.m2.2.2.2.2.cmml" xref="S6.p2.2.m2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.p2.2.m2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S6.p2.2.m2.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S6.p2.2.m2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S6.p2.2.m2.2.2.2.2.2">𝑄</ci><cn id="S6.p2.2.m2.2.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S6.p2.2.m2.2.2.2.2.3">2</cn></apply></list></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.p2.2.m2.2c">Q_{1},Q_{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.p2.2.m2.2d">italic_Q start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , italic_Q start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>. The bounds of Lemmas <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#Thmtheorem39" title="Lemma 39. ‣ VI Bounding the complete derangement block ‣ Conditional 𝑡-independent spectral gap for random quantum circuits and implications for 𝑡-design depths"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">39</span></a> through <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#Thmtheorem41" title="Lemma 41. ‣ VI Bounding the complete derangement block ‣ Conditional 𝑡-independent spectral gap for random quantum circuits and implications for 𝑡-design depths"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">41</span></a> are illustrated in Fig. <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#S6.F4" title="Figure 4 ‣ VI Bounding the complete derangement block ‣ Conditional 𝑡-independent spectral gap for random quantum circuits and implications for 𝑡-design depths"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">4</span></a>, where <math alttext="||K_{m}||_{\mathfrak{D}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.p2.3.m3.1"><semantics id="S6.p2.3.m3.1a"><msub id="S6.p2.3.m3.1.1" xref="S6.p2.3.m3.1.1.cmml"><mrow id="S6.p2.3.m3.1.1.1.1" xref="S6.p2.3.m3.1.1.1.2.cmml"><mo id="S6.p2.3.m3.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S6.p2.3.m3.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo><msub id="S6.p2.3.m3.1.1.1.1.1" xref="S6.p2.3.m3.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S6.p2.3.m3.1.1.1.1.1.2" xref="S6.p2.3.m3.1.1.1.1.1.2.cmml">K</mi><mi id="S6.p2.3.m3.1.1.1.1.1.3" xref="S6.p2.3.m3.1.1.1.1.1.3.cmml">m</mi></msub><mo id="S6.p2.3.m3.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S6.p2.3.m3.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo></mrow><mi id="S6.p2.3.m3.1.1.3" xref="S6.p2.3.m3.1.1.3.cmml">𝔇</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.p2.3.m3.1b"><apply id="S6.p2.3.m3.1.1.cmml" xref="S6.p2.3.m3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.p2.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S6.p2.3.m3.1.1">subscript</csymbol><apply id="S6.p2.3.m3.1.1.1.2.cmml" xref="S6.p2.3.m3.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S6.p2.3.m3.1.1.1.2.1.cmml" xref="S6.p2.3.m3.1.1.1.1.2">norm</csymbol><apply id="S6.p2.3.m3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S6.p2.3.m3.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.p2.3.m3.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S6.p2.3.m3.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S6.p2.3.m3.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S6.p2.3.m3.1.1.1.1.1.2">𝐾</ci><ci id="S6.p2.3.m3.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S6.p2.3.m3.1.1.1.1.1.3">𝑚</ci></apply></apply><ci id="S6.p2.3.m3.1.1.3.cmml" xref="S6.p2.3.m3.1.1.3">𝔇</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.p2.3.m3.1c">||K_{m}||_{\mathfrak{D}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.p2.3.m3.1d">| | italic_K start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT | | start_POSTSUBSCRIPT fraktur_D end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> is compared to <math alttext="\frac{0.8}{q^{2}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.p2.4.m4.1"><semantics id="S6.p2.4.m4.1a"><mfrac id="S6.p2.4.m4.1.1" xref="S6.p2.4.m4.1.1.cmml"><mn id="S6.p2.4.m4.1.1.2" xref="S6.p2.4.m4.1.1.2.cmml">0.8</mn><msup id="S6.p2.4.m4.1.1.3" xref="S6.p2.4.m4.1.1.3.cmml"><mi id="S6.p2.4.m4.1.1.3.2" xref="S6.p2.4.m4.1.1.3.2.cmml">q</mi><mn id="S6.p2.4.m4.1.1.3.3" xref="S6.p2.4.m4.1.1.3.3.cmml">2</mn></msup></mfrac><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.p2.4.m4.1b"><apply id="S6.p2.4.m4.1.1.cmml" xref="S6.p2.4.m4.1.1"><divide id="S6.p2.4.m4.1.1.1.cmml" xref="S6.p2.4.m4.1.1"></divide><cn id="S6.p2.4.m4.1.1.2.cmml" type="float" xref="S6.p2.4.m4.1.1.2">0.8</cn><apply id="S6.p2.4.m4.1.1.3.cmml" xref="S6.p2.4.m4.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.p2.4.m4.1.1.3.1.cmml" xref="S6.p2.4.m4.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S6.p2.4.m4.1.1.3.2.cmml" xref="S6.p2.4.m4.1.1.3.2">𝑞</ci><cn id="S6.p2.4.m4.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S6.p2.4.m4.1.1.3.3">2</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.p2.4.m4.1c">\frac{0.8}{q^{2}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.p2.4.m4.1d">divide start_ARG 0.8 end_ARG start_ARG italic_q start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG</annotation></semantics></math>, which in turn is bounded by <math alttext="\frac{1}{1+q^{2}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.p2.5.m5.1"><semantics id="S6.p2.5.m5.1a"><mfrac id="S6.p2.5.m5.1.1" xref="S6.p2.5.m5.1.1.cmml"><mn id="S6.p2.5.m5.1.1.2" xref="S6.p2.5.m5.1.1.2.cmml">1</mn><mrow id="S6.p2.5.m5.1.1.3" xref="S6.p2.5.m5.1.1.3.cmml"><mn id="S6.p2.5.m5.1.1.3.2" xref="S6.p2.5.m5.1.1.3.2.cmml">1</mn><mo id="S6.p2.5.m5.1.1.3.1" xref="S6.p2.5.m5.1.1.3.1.cmml">+</mo><msup id="S6.p2.5.m5.1.1.3.3" xref="S6.p2.5.m5.1.1.3.3.cmml"><mi id="S6.p2.5.m5.1.1.3.3.2" xref="S6.p2.5.m5.1.1.3.3.2.cmml">q</mi><mn id="S6.p2.5.m5.1.1.3.3.3" xref="S6.p2.5.m5.1.1.3.3.3.cmml">2</mn></msup></mrow></mfrac><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.p2.5.m5.1b"><apply id="S6.p2.5.m5.1.1.cmml" xref="S6.p2.5.m5.1.1"><divide id="S6.p2.5.m5.1.1.1.cmml" xref="S6.p2.5.m5.1.1"></divide><cn id="S6.p2.5.m5.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S6.p2.5.m5.1.1.2">1</cn><apply id="S6.p2.5.m5.1.1.3.cmml" xref="S6.p2.5.m5.1.1.3"><plus id="S6.p2.5.m5.1.1.3.1.cmml" xref="S6.p2.5.m5.1.1.3.1"></plus><cn id="S6.p2.5.m5.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S6.p2.5.m5.1.1.3.2">1</cn><apply id="S6.p2.5.m5.1.1.3.3.cmml" xref="S6.p2.5.m5.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.p2.5.m5.1.1.3.3.1.cmml" xref="S6.p2.5.m5.1.1.3.3">superscript</csymbol><ci id="S6.p2.5.m5.1.1.3.3.2.cmml" xref="S6.p2.5.m5.1.1.3.3.2">𝑞</ci><cn id="S6.p2.5.m5.1.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S6.p2.5.m5.1.1.3.3.3">2</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.p2.5.m5.1c">\frac{1}{1+q^{2}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.p2.5.m5.1d">divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 1 + italic_q start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG</annotation></semantics></math> for all <math alttext="q\geq 2" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.p2.6.m6.1"><semantics id="S6.p2.6.m6.1a"><mrow id="S6.p2.6.m6.1.1" xref="S6.p2.6.m6.1.1.cmml"><mi id="S6.p2.6.m6.1.1.2" xref="S6.p2.6.m6.1.1.2.cmml">q</mi><mo id="S6.p2.6.m6.1.1.1" xref="S6.p2.6.m6.1.1.1.cmml">≥</mo><mn id="S6.p2.6.m6.1.1.3" xref="S6.p2.6.m6.1.1.3.cmml">2</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.p2.6.m6.1b"><apply id="S6.p2.6.m6.1.1.cmml" xref="S6.p2.6.m6.1.1"><geq id="S6.p2.6.m6.1.1.1.cmml" xref="S6.p2.6.m6.1.1.1"></geq><ci id="S6.p2.6.m6.1.1.2.cmml" xref="S6.p2.6.m6.1.1.2">𝑞</ci><cn id="S6.p2.6.m6.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S6.p2.6.m6.1.1.3">2</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.p2.6.m6.1c">q\geq 2</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.p2.6.m6.1d">italic_q ≥ 2</annotation></semantics></math>.</p> </div> <section class="ltx_subsection" id="S6.SS1"> <h3 class="ltx_title ltx_title_subsection"> <span class="ltx_tag ltx_tag_subsection">VI.1 </span>Bounds by factorization of <math alttext="K_{m}" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.SS1.1.m1.1"><semantics id="S6.SS1.1.m1.1b"><msub id="S6.SS1.1.m1.1.1" xref="S6.SS1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S6.SS1.1.m1.1.1.2" xref="S6.SS1.1.m1.1.1.2.cmml">K</mi><mi id="S6.SS1.1.m1.1.1.3" xref="S6.SS1.1.m1.1.1.3.cmml">m</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.SS1.1.m1.1c"><apply id="S6.SS1.1.m1.1.1.cmml" xref="S6.SS1.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.SS1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S6.SS1.1.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S6.SS1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S6.SS1.1.m1.1.1.2">𝐾</ci><ci id="S6.SS1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S6.SS1.1.m1.1.1.3">𝑚</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.SS1.1.m1.1d">K_{m}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.SS1.1.m1.1e">italic_K start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> </h3> <div class="ltx_para" id="S6.SS1.p1"> <p class="ltx_p" id="S6.SS1.p1.1">We saw in Lemma <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#Thmtheorem36" title="Lemma 36. ‣ V.1 Factorization of 𝐾_𝑚 ‣ V Structure of the 3-Site Operator ‣ Conditional 𝑡-independent spectral gap for random quantum circuits and implications for 𝑡-design depths"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">36</span></a> that <math alttext="K_{m}" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.SS1.p1.1.m1.1"><semantics id="S6.SS1.p1.1.m1.1a"><msub id="S6.SS1.p1.1.m1.1.1" xref="S6.SS1.p1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S6.SS1.p1.1.m1.1.1.2" xref="S6.SS1.p1.1.m1.1.1.2.cmml">K</mi><mi id="S6.SS1.p1.1.m1.1.1.3" xref="S6.SS1.p1.1.m1.1.1.3.cmml">m</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.SS1.p1.1.m1.1b"><apply id="S6.SS1.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S6.SS1.p1.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.SS1.p1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S6.SS1.p1.1.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S6.SS1.p1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S6.SS1.p1.1.m1.1.1.2">𝐾</ci><ci id="S6.SS1.p1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S6.SS1.p1.1.m1.1.1.3">𝑚</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.SS1.p1.1.m1.1c">K_{m}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.SS1.p1.1.m1.1d">italic_K start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> may be decomposed as a product of several operators. Here we will bound the norms of the terms in that product independently. The product of these norms of the terms then gives a bound on the norm of the product. We will work in terms of operator norm induced by the <span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S6.SS1.p1.1.1">basis norm</span></p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_gather ltx_eqn_table" id="S6.EGx75"> <tbody id="S6.E85"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\displaystyle\left|\left|\sum_{\sigma\in S_{t}}c_{\sigma}\ket{\sigma}\right|% \right|_{\text{basis}}^{2}\equiv\sum_{\sigma\in S_{t}}|c_{\sigma}|^{2}" class="ltx_Math" display="block" id="S6.E85.m1.3"><semantics id="S6.E85.m1.3a"><mrow id="S6.E85.m1.3.3" xref="S6.E85.m1.3.3.cmml"><msubsup id="S6.E85.m1.2.2.1" xref="S6.E85.m1.2.2.1.cmml"><mrow id="S6.E85.m1.2.2.1.1.1.1" xref="S6.E85.m1.2.2.1.1.1.2.cmml"><mo id="S6.E85.m1.2.2.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S6.E85.m1.2.2.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo><mrow id="S6.E85.m1.2.2.1.1.1.1.1" xref="S6.E85.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><munder id="S6.E85.m1.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="S6.E85.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S6.E85.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2" lspace="0em" movablelimits="false" xref="S6.E85.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml">∑</mo><mrow id="S6.E85.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3" xref="S6.E85.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S6.E85.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S6.E85.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">σ</mi><mo id="S6.E85.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S6.E85.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">∈</mo><msub id="S6.E85.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S6.E85.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S6.E85.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S6.E85.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">S</mi><mi id="S6.E85.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S6.E85.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">t</mi></msub></mrow></munder><mrow id="S6.E85.m1.2.2.1.1.1.1.1.2" xref="S6.E85.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml"><msub id="S6.E85.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2" xref="S6.E85.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S6.E85.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S6.E85.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">c</mi><mi id="S6.E85.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S6.E85.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">σ</mi></msub><mo id="S6.E85.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1" xref="S6.E85.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S6.E85.m1.1.1.3" xref="S6.E85.m1.1.1.2.cmml"><mo id="S6.E85.m1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S6.E85.m1.1.1.2.1.cmml">|</mo><mi id="S6.E85.m1.1.1.1.1" xref="S6.E85.m1.1.1.1.1.cmml">σ</mi><mo id="S6.E85.m1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S6.E85.m1.1.1.2.1.cmml">⟩</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S6.E85.m1.2.2.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S6.E85.m1.2.2.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo></mrow><mtext id="S6.E85.m1.2.2.1.1.3" xref="S6.E85.m1.2.2.1.1.3a.cmml">basis</mtext><mn id="S6.E85.m1.2.2.1.3" xref="S6.E85.m1.2.2.1.3.cmml">2</mn></msubsup><mo id="S6.E85.m1.3.3.3" rspace="0.111em" xref="S6.E85.m1.3.3.3.cmml">≡</mo><mrow id="S6.E85.m1.3.3.2" xref="S6.E85.m1.3.3.2.cmml"><munder id="S6.E85.m1.3.3.2.2" xref="S6.E85.m1.3.3.2.2.cmml"><mo id="S6.E85.m1.3.3.2.2.2" movablelimits="false" rspace="0em" xref="S6.E85.m1.3.3.2.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="S6.E85.m1.3.3.2.2.3" xref="S6.E85.m1.3.3.2.2.3.cmml"><mi id="S6.E85.m1.3.3.2.2.3.2" xref="S6.E85.m1.3.3.2.2.3.2.cmml">σ</mi><mo id="S6.E85.m1.3.3.2.2.3.1" xref="S6.E85.m1.3.3.2.2.3.1.cmml">∈</mo><msub id="S6.E85.m1.3.3.2.2.3.3" xref="S6.E85.m1.3.3.2.2.3.3.cmml"><mi id="S6.E85.m1.3.3.2.2.3.3.2" xref="S6.E85.m1.3.3.2.2.3.3.2.cmml">S</mi><mi id="S6.E85.m1.3.3.2.2.3.3.3" xref="S6.E85.m1.3.3.2.2.3.3.3.cmml">t</mi></msub></mrow></munder><msup id="S6.E85.m1.3.3.2.1" xref="S6.E85.m1.3.3.2.1.cmml"><mrow id="S6.E85.m1.3.3.2.1.1.1" xref="S6.E85.m1.3.3.2.1.1.2.cmml"><mo id="S6.E85.m1.3.3.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S6.E85.m1.3.3.2.1.1.2.1.cmml">|</mo><msub id="S6.E85.m1.3.3.2.1.1.1.1" xref="S6.E85.m1.3.3.2.1.1.1.1.cmml"><mi id="S6.E85.m1.3.3.2.1.1.1.1.2" xref="S6.E85.m1.3.3.2.1.1.1.1.2.cmml">c</mi><mi id="S6.E85.m1.3.3.2.1.1.1.1.3" xref="S6.E85.m1.3.3.2.1.1.1.1.3.cmml">σ</mi></msub><mo id="S6.E85.m1.3.3.2.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S6.E85.m1.3.3.2.1.1.2.1.cmml">|</mo></mrow><mn id="S6.E85.m1.3.3.2.1.3" xref="S6.E85.m1.3.3.2.1.3.cmml">2</mn></msup></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.E85.m1.3b"><apply id="S6.E85.m1.3.3.cmml" xref="S6.E85.m1.3.3"><equivalent id="S6.E85.m1.3.3.3.cmml" xref="S6.E85.m1.3.3.3"></equivalent><apply id="S6.E85.m1.2.2.1.cmml" xref="S6.E85.m1.2.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.E85.m1.2.2.1.2.cmml" xref="S6.E85.m1.2.2.1">superscript</csymbol><apply id="S6.E85.m1.2.2.1.1.cmml" xref="S6.E85.m1.2.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.E85.m1.2.2.1.1.2.cmml" xref="S6.E85.m1.2.2.1">subscript</csymbol><apply id="S6.E85.m1.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S6.E85.m1.2.2.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S6.E85.m1.2.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="S6.E85.m1.2.2.1.1.1.1.2">norm</csymbol><apply id="S6.E85.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S6.E85.m1.2.2.1.1.1.1.1"><apply id="S6.E85.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S6.E85.m1.2.2.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.E85.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S6.E85.m1.2.2.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><sum id="S6.E85.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S6.E85.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2"></sum><apply id="S6.E85.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S6.E85.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3"><in id="S6.E85.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S6.E85.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.1"></in><ci id="S6.E85.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S6.E85.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2">𝜎</ci><apply id="S6.E85.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S6.E85.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.E85.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S6.E85.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S6.E85.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S6.E85.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2">𝑆</ci><ci id="S6.E85.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S6.E85.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.3">𝑡</ci></apply></apply></apply><apply id="S6.E85.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S6.E85.m1.2.2.1.1.1.1.1.2"><times id="S6.E85.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S6.E85.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1"></times><apply id="S6.E85.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S6.E85.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.E85.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S6.E85.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S6.E85.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S6.E85.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2.2">𝑐</ci><ci id="S6.E85.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S6.E85.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2.3">𝜎</ci></apply><apply id="S6.E85.m1.1.1.2.cmml" xref="S6.E85.m1.1.1.3"><csymbol cd="latexml" id="S6.E85.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S6.E85.m1.1.1.3.1">ket</csymbol><ci id="S6.E85.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S6.E85.m1.1.1.1.1">𝜎</ci></apply></apply></apply></apply><ci id="S6.E85.m1.2.2.1.1.3a.cmml" xref="S6.E85.m1.2.2.1.1.3"><mtext id="S6.E85.m1.2.2.1.1.3.cmml" mathsize="70%" xref="S6.E85.m1.2.2.1.1.3">basis</mtext></ci></apply><cn id="S6.E85.m1.2.2.1.3.cmml" type="integer" xref="S6.E85.m1.2.2.1.3">2</cn></apply><apply id="S6.E85.m1.3.3.2.cmml" xref="S6.E85.m1.3.3.2"><apply id="S6.E85.m1.3.3.2.2.cmml" xref="S6.E85.m1.3.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.E85.m1.3.3.2.2.1.cmml" xref="S6.E85.m1.3.3.2.2">subscript</csymbol><sum id="S6.E85.m1.3.3.2.2.2.cmml" xref="S6.E85.m1.3.3.2.2.2"></sum><apply id="S6.E85.m1.3.3.2.2.3.cmml" xref="S6.E85.m1.3.3.2.2.3"><in id="S6.E85.m1.3.3.2.2.3.1.cmml" xref="S6.E85.m1.3.3.2.2.3.1"></in><ci id="S6.E85.m1.3.3.2.2.3.2.cmml" xref="S6.E85.m1.3.3.2.2.3.2">𝜎</ci><apply id="S6.E85.m1.3.3.2.2.3.3.cmml" xref="S6.E85.m1.3.3.2.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.E85.m1.3.3.2.2.3.3.1.cmml" xref="S6.E85.m1.3.3.2.2.3.3">subscript</csymbol><ci id="S6.E85.m1.3.3.2.2.3.3.2.cmml" xref="S6.E85.m1.3.3.2.2.3.3.2">𝑆</ci><ci id="S6.E85.m1.3.3.2.2.3.3.3.cmml" xref="S6.E85.m1.3.3.2.2.3.3.3">𝑡</ci></apply></apply></apply><apply id="S6.E85.m1.3.3.2.1.cmml" xref="S6.E85.m1.3.3.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.E85.m1.3.3.2.1.2.cmml" xref="S6.E85.m1.3.3.2.1">superscript</csymbol><apply id="S6.E85.m1.3.3.2.1.1.2.cmml" xref="S6.E85.m1.3.3.2.1.1.1"><abs id="S6.E85.m1.3.3.2.1.1.2.1.cmml" xref="S6.E85.m1.3.3.2.1.1.1.2"></abs><apply id="S6.E85.m1.3.3.2.1.1.1.1.cmml" xref="S6.E85.m1.3.3.2.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.E85.m1.3.3.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S6.E85.m1.3.3.2.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S6.E85.m1.3.3.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S6.E85.m1.3.3.2.1.1.1.1.2">𝑐</ci><ci id="S6.E85.m1.3.3.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S6.E85.m1.3.3.2.1.1.1.1.3">𝜎</ci></apply></apply><cn id="S6.E85.m1.3.3.2.1.3.cmml" type="integer" xref="S6.E85.m1.3.3.2.1.3">2</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.E85.m1.3c">\displaystyle\left|\left|\sum_{\sigma\in S_{t}}c_{\sigma}\ket{\sigma}\right|% \right|_{\text{basis}}^{2}\equiv\sum_{\sigma\in S_{t}}|c_{\sigma}|^{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.E85.m1.3d">| | ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_σ ∈ italic_S start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_σ end_POSTSUBSCRIPT | start_ARG italic_σ end_ARG ⟩ | | start_POSTSUBSCRIPT basis end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ≡ ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_σ ∈ italic_S start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT | italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_σ end_POSTSUBSCRIPT | start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(85)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S6.SS1.p1.2">Note that this norm is not equivalent to the norm inherited from the inner product on the original Hilbert space.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S6.SS1.p2"> <p class="ltx_p" id="S6.SS1.p2.1">The first term in the product is of the form <math alttext="W(Q_{1}Q_{2})" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.SS1.p2.1.m1.1"><semantics id="S6.SS1.p2.1.m1.1a"><mrow id="S6.SS1.p2.1.m1.1.1" xref="S6.SS1.p2.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S6.SS1.p2.1.m1.1.1.3" xref="S6.SS1.p2.1.m1.1.1.3.cmml">W</mi><mo id="S6.SS1.p2.1.m1.1.1.2" xref="S6.SS1.p2.1.m1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S6.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1" xref="S6.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S6.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S6.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S6.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.1" xref="S6.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S6.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S6.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S6.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S6.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">Q</mi><mn id="S6.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S6.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S6.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S6.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S6.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S6.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S6.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S6.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">Q</mi><mn id="S6.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S6.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></msub></mrow><mo id="S6.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S6.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.SS1.p2.1.m1.1b"><apply id="S6.SS1.p2.1.m1.1.1.cmml" xref="S6.SS1.p2.1.m1.1.1"><times id="S6.SS1.p2.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S6.SS1.p2.1.m1.1.1.2"></times><ci id="S6.SS1.p2.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S6.SS1.p2.1.m1.1.1.3">𝑊</ci><apply id="S6.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S6.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1"><times id="S6.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S6.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.1.1"></times><apply id="S6.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S6.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S6.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S6.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S6.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.1.2.2">𝑄</ci><cn id="S6.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S6.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.1.2.3">1</cn></apply><apply id="S6.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S6.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S6.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S6.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S6.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.1.3.2">𝑄</ci><cn id="S6.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S6.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.1.3.3">2</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.SS1.p2.1.m1.1c">W(Q_{1}Q_{2})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.SS1.p2.1.m1.1d">italic_W ( italic_Q start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT italic_Q start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math>.</p> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_lemma" id="Thmtheorem42"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmtheorem42.1.1.1">Lemma 42</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmtheorem42.2.2">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="Thmtheorem42.p1"> <p class="ltx_p" id="Thmtheorem42.p1.2"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmtheorem42.p1.2.2">For <math alttext="3\leq t\leq q" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem42.p1.1.1.m1.1"><semantics id="Thmtheorem42.p1.1.1.m1.1a"><mrow id="Thmtheorem42.p1.1.1.m1.1.1" xref="Thmtheorem42.p1.1.1.m1.1.1.cmml"><mn id="Thmtheorem42.p1.1.1.m1.1.1.2" xref="Thmtheorem42.p1.1.1.m1.1.1.2.cmml">3</mn><mo id="Thmtheorem42.p1.1.1.m1.1.1.3" xref="Thmtheorem42.p1.1.1.m1.1.1.3.cmml">≤</mo><mi id="Thmtheorem42.p1.1.1.m1.1.1.4" xref="Thmtheorem42.p1.1.1.m1.1.1.4.cmml">t</mi><mo id="Thmtheorem42.p1.1.1.m1.1.1.5" xref="Thmtheorem42.p1.1.1.m1.1.1.5.cmml">≤</mo><mi id="Thmtheorem42.p1.1.1.m1.1.1.6" xref="Thmtheorem42.p1.1.1.m1.1.1.6.cmml">q</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem42.p1.1.1.m1.1b"><apply id="Thmtheorem42.p1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem42.p1.1.1.m1.1.1"><and id="Thmtheorem42.p1.1.1.m1.1.1a.cmml" xref="Thmtheorem42.p1.1.1.m1.1.1"></and><apply id="Thmtheorem42.p1.1.1.m1.1.1b.cmml" xref="Thmtheorem42.p1.1.1.m1.1.1"><leq id="Thmtheorem42.p1.1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="Thmtheorem42.p1.1.1.m1.1.1.3"></leq><cn id="Thmtheorem42.p1.1.1.m1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="Thmtheorem42.p1.1.1.m1.1.1.2">3</cn><ci id="Thmtheorem42.p1.1.1.m1.1.1.4.cmml" xref="Thmtheorem42.p1.1.1.m1.1.1.4">𝑡</ci></apply><apply id="Thmtheorem42.p1.1.1.m1.1.1c.cmml" xref="Thmtheorem42.p1.1.1.m1.1.1"><leq id="Thmtheorem42.p1.1.1.m1.1.1.5.cmml" xref="Thmtheorem42.p1.1.1.m1.1.1.5"></leq><share href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#Thmtheorem42.p1.1.1.m1.1.1.4.cmml" id="Thmtheorem42.p1.1.1.m1.1.1d.cmml" xref="Thmtheorem42.p1.1.1.m1.1.1"></share><ci id="Thmtheorem42.p1.1.1.m1.1.1.6.cmml" xref="Thmtheorem42.p1.1.1.m1.1.1.6">𝑞</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem42.p1.1.1.m1.1c">3\leq t\leq q</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem42.p1.1.1.m1.1d">3 ≤ italic_t ≤ italic_q</annotation></semantics></math> and <math alttext="Q_{1},Q_{2}\geq q" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem42.p1.2.2.m2.2"><semantics id="Thmtheorem42.p1.2.2.m2.2a"><mrow id="Thmtheorem42.p1.2.2.m2.2.2" xref="Thmtheorem42.p1.2.2.m2.2.2.cmml"><mrow id="Thmtheorem42.p1.2.2.m2.2.2.2.2" xref="Thmtheorem42.p1.2.2.m2.2.2.2.3.cmml"><msub id="Thmtheorem42.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1" xref="Thmtheorem42.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="Thmtheorem42.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1.2" xref="Thmtheorem42.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1.2.cmml">Q</mi><mn id="Thmtheorem42.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1.3" xref="Thmtheorem42.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="Thmtheorem42.p1.2.2.m2.2.2.2.2.3" xref="Thmtheorem42.p1.2.2.m2.2.2.2.3.cmml">,</mo><msub id="Thmtheorem42.p1.2.2.m2.2.2.2.2.2" xref="Thmtheorem42.p1.2.2.m2.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="Thmtheorem42.p1.2.2.m2.2.2.2.2.2.2" xref="Thmtheorem42.p1.2.2.m2.2.2.2.2.2.2.cmml">Q</mi><mn id="Thmtheorem42.p1.2.2.m2.2.2.2.2.2.3" xref="Thmtheorem42.p1.2.2.m2.2.2.2.2.2.3.cmml">2</mn></msub></mrow><mo id="Thmtheorem42.p1.2.2.m2.2.2.3" xref="Thmtheorem42.p1.2.2.m2.2.2.3.cmml">≥</mo><mi id="Thmtheorem42.p1.2.2.m2.2.2.4" xref="Thmtheorem42.p1.2.2.m2.2.2.4.cmml">q</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem42.p1.2.2.m2.2b"><apply id="Thmtheorem42.p1.2.2.m2.2.2.cmml" xref="Thmtheorem42.p1.2.2.m2.2.2"><geq id="Thmtheorem42.p1.2.2.m2.2.2.3.cmml" xref="Thmtheorem42.p1.2.2.m2.2.2.3"></geq><list id="Thmtheorem42.p1.2.2.m2.2.2.2.3.cmml" xref="Thmtheorem42.p1.2.2.m2.2.2.2.2"><apply id="Thmtheorem42.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem42.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem42.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem42.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="Thmtheorem42.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="Thmtheorem42.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1.2">𝑄</ci><cn id="Thmtheorem42.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="Thmtheorem42.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1.3">1</cn></apply><apply id="Thmtheorem42.p1.2.2.m2.2.2.2.2.2.cmml" xref="Thmtheorem42.p1.2.2.m2.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem42.p1.2.2.m2.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="Thmtheorem42.p1.2.2.m2.2.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="Thmtheorem42.p1.2.2.m2.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="Thmtheorem42.p1.2.2.m2.2.2.2.2.2.2">𝑄</ci><cn id="Thmtheorem42.p1.2.2.m2.2.2.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="Thmtheorem42.p1.2.2.m2.2.2.2.2.2.3">2</cn></apply></list><ci id="Thmtheorem42.p1.2.2.m2.2.2.4.cmml" xref="Thmtheorem42.p1.2.2.m2.2.2.4">𝑞</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem42.p1.2.2.m2.2c">Q_{1},Q_{2}\geq q</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem42.p1.2.2.m2.2d">italic_Q start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , italic_Q start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT ≥ italic_q</annotation></semantics></math>,</span></p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_gather ltx_eqn_table" id="S6.EGx76"> <tbody id="S6.E86"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\displaystyle||W(Q_{1}Q_{2})||_{\text{basis}}\leq e" class="ltx_Math" display="block" id="S6.E86.m1.1"><semantics id="S6.E86.m1.1a"><mrow id="S6.E86.m1.1.1" xref="S6.E86.m1.1.1.cmml"><msub id="S6.E86.m1.1.1.1" xref="S6.E86.m1.1.1.1.cmml"><mrow id="S6.E86.m1.1.1.1.1.1" xref="S6.E86.m1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S6.E86.m1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S6.E86.m1.1.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo><mrow id="S6.E86.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S6.E86.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S6.E86.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S6.E86.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">W</mi><mo id="S6.E86.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S6.E86.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S6.E86.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S6.E86.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S6.E86.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S6.E86.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S6.E86.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S6.E86.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S6.E86.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S6.E86.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S6.E86.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S6.E86.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">Q</mi><mn id="S6.E86.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S6.E86.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S6.E86.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S6.E86.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S6.E86.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S6.E86.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S6.E86.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S6.E86.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">Q</mi><mn id="S6.E86.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S6.E86.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></msub></mrow><mo id="S6.E86.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S6.E86.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S6.E86.m1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S6.E86.m1.1.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo></mrow><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S6.E86.m1.1.1.1.3" xref="S6.E86.m1.1.1.1.3a.cmml">basis</mtext></msub><mo id="S6.E86.m1.1.1.2" xref="S6.E86.m1.1.1.2.cmml">≤</mo><mi id="S6.E86.m1.1.1.3" xref="S6.E86.m1.1.1.3.cmml">e</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.E86.m1.1b"><apply id="S6.E86.m1.1.1.cmml" xref="S6.E86.m1.1.1"><leq id="S6.E86.m1.1.1.2.cmml" xref="S6.E86.m1.1.1.2"></leq><apply id="S6.E86.m1.1.1.1.cmml" xref="S6.E86.m1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.E86.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S6.E86.m1.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="S6.E86.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S6.E86.m1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S6.E86.m1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S6.E86.m1.1.1.1.1.1.2">norm</csymbol><apply id="S6.E86.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S6.E86.m1.1.1.1.1.1.1"><times id="S6.E86.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S6.E86.m1.1.1.1.1.1.1.2"></times><ci id="S6.E86.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S6.E86.m1.1.1.1.1.1.1.3">𝑊</ci><apply id="S6.E86.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S6.E86.m1.1.1.1.1.1.1.1.1"><times id="S6.E86.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S6.E86.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></times><apply id="S6.E86.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S6.E86.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.E86.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S6.E86.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S6.E86.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S6.E86.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝑄</ci><cn id="S6.E86.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S6.E86.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">1</cn></apply><apply id="S6.E86.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S6.E86.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.E86.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S6.E86.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S6.E86.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S6.E86.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑄</ci><cn id="S6.E86.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S6.E86.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">2</cn></apply></apply></apply></apply><ci id="S6.E86.m1.1.1.1.3a.cmml" xref="S6.E86.m1.1.1.1.3"><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S6.E86.m1.1.1.1.3.cmml" mathsize="70%" xref="S6.E86.m1.1.1.1.3">basis</mtext></ci></apply><ci id="S6.E86.m1.1.1.3.cmml" xref="S6.E86.m1.1.1.3">𝑒</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.E86.m1.1c">\displaystyle||W(Q_{1}Q_{2})||_{\text{basis}}\leq e</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.E86.m1.1d">| | italic_W ( italic_Q start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT italic_Q start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT ) | | start_POSTSUBSCRIPT basis end_POSTSUBSCRIPT ≤ italic_e</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(86)</span></td> </tr></tbody> </table> </div> </div> <div class="ltx_para" id="S6.SS1.p3"> <p class="ltx_p" id="S6.SS1.p3.1">A proof may be found in Appendix <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#A2.SS5" title="B.5 Proof of bound on Weingarten function (Lemma 42) ‣ Appendix B Assorted proofs ‣ Conditional 𝑡-independent spectral gap for random quantum circuits and implications for 𝑡-design depths"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">B.5</span></a>. Note that this bound holds in either the deranged subspace or the whole space.</p> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_lemma" id="Thmtheorem43"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmtheorem43.1.1.1">Lemma 43</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmtheorem43.2.2">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="Thmtheorem43.p1"> <p class="ltx_p" id="Thmtheorem43.p1.2"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmtheorem43.p1.2.1">Define the derangement polynomial</span></p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_gather ltx_eqn_table" id="S6.EGx77"> <tbody id="S6.E87"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\displaystyle d_{t}(x)=\sum_{\sigma\in S_{t}^{(\mathfrak{D})}}\sum_{\tau\in S_% {t}}x^{|\sigma^{-1}\tau|+|\tau|}" class="ltx_Math" display="block" id="S6.E87.m1.4"><semantics id="S6.E87.m1.4a"><mrow id="S6.E87.m1.4.5" xref="S6.E87.m1.4.5.cmml"><mrow id="S6.E87.m1.4.5.2" xref="S6.E87.m1.4.5.2.cmml"><msub id="S6.E87.m1.4.5.2.2" xref="S6.E87.m1.4.5.2.2.cmml"><mi id="S6.E87.m1.4.5.2.2.2" xref="S6.E87.m1.4.5.2.2.2.cmml">d</mi><mi id="S6.E87.m1.4.5.2.2.3" xref="S6.E87.m1.4.5.2.2.3.cmml">t</mi></msub><mo id="S6.E87.m1.4.5.2.1" xref="S6.E87.m1.4.5.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S6.E87.m1.4.5.2.3.2" xref="S6.E87.m1.4.5.2.cmml"><mo id="S6.E87.m1.4.5.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S6.E87.m1.4.5.2.cmml">(</mo><mi id="S6.E87.m1.4.4" xref="S6.E87.m1.4.4.cmml">x</mi><mo id="S6.E87.m1.4.5.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S6.E87.m1.4.5.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S6.E87.m1.4.5.1" rspace="0.111em" xref="S6.E87.m1.4.5.1.cmml">=</mo><mrow id="S6.E87.m1.4.5.3" xref="S6.E87.m1.4.5.3.cmml"><munder id="S6.E87.m1.4.5.3.1" xref="S6.E87.m1.4.5.3.1.cmml"><mo id="S6.E87.m1.4.5.3.1.2" movablelimits="false" rspace="0em" xref="S6.E87.m1.4.5.3.1.2.cmml">∑</mo><mrow id="S6.E87.m1.1.1.1" xref="S6.E87.m1.1.1.1.cmml"><mi id="S6.E87.m1.1.1.1.3" xref="S6.E87.m1.1.1.1.3.cmml">σ</mi><mo id="S6.E87.m1.1.1.1.2" xref="S6.E87.m1.1.1.1.2.cmml">∈</mo><msubsup id="S6.E87.m1.1.1.1.4" xref="S6.E87.m1.1.1.1.4.cmml"><mi id="S6.E87.m1.1.1.1.4.2.2" xref="S6.E87.m1.1.1.1.4.2.2.cmml">S</mi><mi id="S6.E87.m1.1.1.1.4.2.3" xref="S6.E87.m1.1.1.1.4.2.3.cmml">t</mi><mrow id="S6.E87.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S6.E87.m1.1.1.1.4.cmml"><mo id="S6.E87.m1.1.1.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S6.E87.m1.1.1.1.4.cmml">(</mo><mi id="S6.E87.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S6.E87.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">𝔇</mi><mo id="S6.E87.m1.1.1.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S6.E87.m1.1.1.1.4.cmml">)</mo></mrow></msubsup></mrow></munder><mrow id="S6.E87.m1.4.5.3.2" xref="S6.E87.m1.4.5.3.2.cmml"><munder id="S6.E87.m1.4.5.3.2.1" xref="S6.E87.m1.4.5.3.2.1.cmml"><mo id="S6.E87.m1.4.5.3.2.1.2" movablelimits="false" xref="S6.E87.m1.4.5.3.2.1.2.cmml">∑</mo><mrow id="S6.E87.m1.4.5.3.2.1.3" xref="S6.E87.m1.4.5.3.2.1.3.cmml"><mi id="S6.E87.m1.4.5.3.2.1.3.2" xref="S6.E87.m1.4.5.3.2.1.3.2.cmml">τ</mi><mo id="S6.E87.m1.4.5.3.2.1.3.1" xref="S6.E87.m1.4.5.3.2.1.3.1.cmml">∈</mo><msub id="S6.E87.m1.4.5.3.2.1.3.3" xref="S6.E87.m1.4.5.3.2.1.3.3.cmml"><mi id="S6.E87.m1.4.5.3.2.1.3.3.2" xref="S6.E87.m1.4.5.3.2.1.3.3.2.cmml">S</mi><mi id="S6.E87.m1.4.5.3.2.1.3.3.3" xref="S6.E87.m1.4.5.3.2.1.3.3.3.cmml">t</mi></msub></mrow></munder><msup id="S6.E87.m1.4.5.3.2.2" xref="S6.E87.m1.4.5.3.2.2.cmml"><mi id="S6.E87.m1.4.5.3.2.2.2" xref="S6.E87.m1.4.5.3.2.2.2.cmml">x</mi><mrow id="S6.E87.m1.3.3.2" xref="S6.E87.m1.3.3.2.cmml"><mrow id="S6.E87.m1.3.3.2.2.1" xref="S6.E87.m1.3.3.2.2.2.cmml"><mo id="S6.E87.m1.3.3.2.2.1.2" stretchy="false" xref="S6.E87.m1.3.3.2.2.2.1.cmml">|</mo><mrow id="S6.E87.m1.3.3.2.2.1.1" xref="S6.E87.m1.3.3.2.2.1.1.cmml"><msup id="S6.E87.m1.3.3.2.2.1.1.2" xref="S6.E87.m1.3.3.2.2.1.1.2.cmml"><mi id="S6.E87.m1.3.3.2.2.1.1.2.2" xref="S6.E87.m1.3.3.2.2.1.1.2.2.cmml">σ</mi><mrow id="S6.E87.m1.3.3.2.2.1.1.2.3" xref="S6.E87.m1.3.3.2.2.1.1.2.3.cmml"><mo id="S6.E87.m1.3.3.2.2.1.1.2.3a" xref="S6.E87.m1.3.3.2.2.1.1.2.3.cmml">−</mo><mn id="S6.E87.m1.3.3.2.2.1.1.2.3.2" xref="S6.E87.m1.3.3.2.2.1.1.2.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="S6.E87.m1.3.3.2.2.1.1.1" xref="S6.E87.m1.3.3.2.2.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S6.E87.m1.3.3.2.2.1.1.3" xref="S6.E87.m1.3.3.2.2.1.1.3.cmml">τ</mi></mrow><mo id="S6.E87.m1.3.3.2.2.1.3" stretchy="false" xref="S6.E87.m1.3.3.2.2.2.1.cmml">|</mo></mrow><mo id="S6.E87.m1.3.3.2.3" xref="S6.E87.m1.3.3.2.3.cmml">+</mo><mrow id="S6.E87.m1.3.3.2.4.2" xref="S6.E87.m1.3.3.2.4.1.cmml"><mo id="S6.E87.m1.3.3.2.4.2.1" stretchy="false" xref="S6.E87.m1.3.3.2.4.1.1.cmml">|</mo><mi id="S6.E87.m1.2.2.1.1" xref="S6.E87.m1.2.2.1.1.cmml">τ</mi><mo id="S6.E87.m1.3.3.2.4.2.2" stretchy="false" xref="S6.E87.m1.3.3.2.4.1.1.cmml">|</mo></mrow></mrow></msup></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.E87.m1.4b"><apply id="S6.E87.m1.4.5.cmml" xref="S6.E87.m1.4.5"><eq id="S6.E87.m1.4.5.1.cmml" xref="S6.E87.m1.4.5.1"></eq><apply id="S6.E87.m1.4.5.2.cmml" xref="S6.E87.m1.4.5.2"><times id="S6.E87.m1.4.5.2.1.cmml" xref="S6.E87.m1.4.5.2.1"></times><apply id="S6.E87.m1.4.5.2.2.cmml" xref="S6.E87.m1.4.5.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.E87.m1.4.5.2.2.1.cmml" xref="S6.E87.m1.4.5.2.2">subscript</csymbol><ci id="S6.E87.m1.4.5.2.2.2.cmml" xref="S6.E87.m1.4.5.2.2.2">𝑑</ci><ci id="S6.E87.m1.4.5.2.2.3.cmml" xref="S6.E87.m1.4.5.2.2.3">𝑡</ci></apply><ci id="S6.E87.m1.4.4.cmml" xref="S6.E87.m1.4.4">𝑥</ci></apply><apply id="S6.E87.m1.4.5.3.cmml" xref="S6.E87.m1.4.5.3"><apply id="S6.E87.m1.4.5.3.1.cmml" xref="S6.E87.m1.4.5.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.E87.m1.4.5.3.1.1.cmml" xref="S6.E87.m1.4.5.3.1">subscript</csymbol><sum id="S6.E87.m1.4.5.3.1.2.cmml" xref="S6.E87.m1.4.5.3.1.2"></sum><apply id="S6.E87.m1.1.1.1.cmml" xref="S6.E87.m1.1.1.1"><in id="S6.E87.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S6.E87.m1.1.1.1.2"></in><ci id="S6.E87.m1.1.1.1.3.cmml" xref="S6.E87.m1.1.1.1.3">𝜎</ci><apply id="S6.E87.m1.1.1.1.4.cmml" xref="S6.E87.m1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.E87.m1.1.1.1.4.1.cmml" xref="S6.E87.m1.1.1.1.4">superscript</csymbol><apply id="S6.E87.m1.1.1.1.4.2.cmml" xref="S6.E87.m1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.E87.m1.1.1.1.4.2.1.cmml" xref="S6.E87.m1.1.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="S6.E87.m1.1.1.1.4.2.2.cmml" xref="S6.E87.m1.1.1.1.4.2.2">𝑆</ci><ci id="S6.E87.m1.1.1.1.4.2.3.cmml" xref="S6.E87.m1.1.1.1.4.2.3">𝑡</ci></apply><ci id="S6.E87.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S6.E87.m1.1.1.1.1.1.1">𝔇</ci></apply></apply></apply><apply id="S6.E87.m1.4.5.3.2.cmml" xref="S6.E87.m1.4.5.3.2"><apply id="S6.E87.m1.4.5.3.2.1.cmml" xref="S6.E87.m1.4.5.3.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.E87.m1.4.5.3.2.1.1.cmml" xref="S6.E87.m1.4.5.3.2.1">subscript</csymbol><sum id="S6.E87.m1.4.5.3.2.1.2.cmml" xref="S6.E87.m1.4.5.3.2.1.2"></sum><apply id="S6.E87.m1.4.5.3.2.1.3.cmml" xref="S6.E87.m1.4.5.3.2.1.3"><in id="S6.E87.m1.4.5.3.2.1.3.1.cmml" xref="S6.E87.m1.4.5.3.2.1.3.1"></in><ci id="S6.E87.m1.4.5.3.2.1.3.2.cmml" xref="S6.E87.m1.4.5.3.2.1.3.2">𝜏</ci><apply id="S6.E87.m1.4.5.3.2.1.3.3.cmml" xref="S6.E87.m1.4.5.3.2.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.E87.m1.4.5.3.2.1.3.3.1.cmml" xref="S6.E87.m1.4.5.3.2.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S6.E87.m1.4.5.3.2.1.3.3.2.cmml" xref="S6.E87.m1.4.5.3.2.1.3.3.2">𝑆</ci><ci id="S6.E87.m1.4.5.3.2.1.3.3.3.cmml" xref="S6.E87.m1.4.5.3.2.1.3.3.3">𝑡</ci></apply></apply></apply><apply id="S6.E87.m1.4.5.3.2.2.cmml" xref="S6.E87.m1.4.5.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.E87.m1.4.5.3.2.2.1.cmml" xref="S6.E87.m1.4.5.3.2.2">superscript</csymbol><ci id="S6.E87.m1.4.5.3.2.2.2.cmml" xref="S6.E87.m1.4.5.3.2.2.2">𝑥</ci><apply id="S6.E87.m1.3.3.2.cmml" xref="S6.E87.m1.3.3.2"><plus id="S6.E87.m1.3.3.2.3.cmml" xref="S6.E87.m1.3.3.2.3"></plus><apply id="S6.E87.m1.3.3.2.2.2.cmml" xref="S6.E87.m1.3.3.2.2.1"><abs id="S6.E87.m1.3.3.2.2.2.1.cmml" xref="S6.E87.m1.3.3.2.2.1.2"></abs><apply id="S6.E87.m1.3.3.2.2.1.1.cmml" xref="S6.E87.m1.3.3.2.2.1.1"><times id="S6.E87.m1.3.3.2.2.1.1.1.cmml" xref="S6.E87.m1.3.3.2.2.1.1.1"></times><apply id="S6.E87.m1.3.3.2.2.1.1.2.cmml" xref="S6.E87.m1.3.3.2.2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.E87.m1.3.3.2.2.1.1.2.1.cmml" xref="S6.E87.m1.3.3.2.2.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S6.E87.m1.3.3.2.2.1.1.2.2.cmml" xref="S6.E87.m1.3.3.2.2.1.1.2.2">𝜎</ci><apply id="S6.E87.m1.3.3.2.2.1.1.2.3.cmml" xref="S6.E87.m1.3.3.2.2.1.1.2.3"><minus id="S6.E87.m1.3.3.2.2.1.1.2.3.1.cmml" xref="S6.E87.m1.3.3.2.2.1.1.2.3"></minus><cn id="S6.E87.m1.3.3.2.2.1.1.2.3.2.cmml" type="integer" xref="S6.E87.m1.3.3.2.2.1.1.2.3.2">1</cn></apply></apply><ci id="S6.E87.m1.3.3.2.2.1.1.3.cmml" xref="S6.E87.m1.3.3.2.2.1.1.3">𝜏</ci></apply></apply><apply id="S6.E87.m1.3.3.2.4.1.cmml" xref="S6.E87.m1.3.3.2.4.2"><abs id="S6.E87.m1.3.3.2.4.1.1.cmml" xref="S6.E87.m1.3.3.2.4.2.1"></abs><ci id="S6.E87.m1.2.2.1.1.cmml" xref="S6.E87.m1.2.2.1.1">𝜏</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.E87.m1.4c">\displaystyle d_{t}(x)=\sum_{\sigma\in S_{t}^{(\mathfrak{D})}}\sum_{\tau\in S_% {t}}x^{|\sigma^{-1}\tau|+|\tau|}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.E87.m1.4d">italic_d start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( italic_x ) = ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_σ ∈ italic_S start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( fraktur_D ) end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_τ ∈ italic_S start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT italic_x start_POSTSUPERSCRIPT | italic_σ start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT italic_τ | + | italic_τ | end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(87)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="Thmtheorem43.p1.1"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmtheorem43.p1.1.1">Let <math alttext="Q_{1},Q_{2}\geq q" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem43.p1.1.1.m1.2"><semantics id="Thmtheorem43.p1.1.1.m1.2a"><mrow id="Thmtheorem43.p1.1.1.m1.2.2" xref="Thmtheorem43.p1.1.1.m1.2.2.cmml"><mrow id="Thmtheorem43.p1.1.1.m1.2.2.2.2" xref="Thmtheorem43.p1.1.1.m1.2.2.2.3.cmml"><msub id="Thmtheorem43.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1" xref="Thmtheorem43.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="Thmtheorem43.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.2" xref="Thmtheorem43.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">Q</mi><mn id="Thmtheorem43.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.3" xref="Thmtheorem43.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="Thmtheorem43.p1.1.1.m1.2.2.2.2.3" xref="Thmtheorem43.p1.1.1.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><msub id="Thmtheorem43.p1.1.1.m1.2.2.2.2.2" xref="Thmtheorem43.p1.1.1.m1.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="Thmtheorem43.p1.1.1.m1.2.2.2.2.2.2" xref="Thmtheorem43.p1.1.1.m1.2.2.2.2.2.2.cmml">Q</mi><mn id="Thmtheorem43.p1.1.1.m1.2.2.2.2.2.3" xref="Thmtheorem43.p1.1.1.m1.2.2.2.2.2.3.cmml">2</mn></msub></mrow><mo id="Thmtheorem43.p1.1.1.m1.2.2.3" xref="Thmtheorem43.p1.1.1.m1.2.2.3.cmml">≥</mo><mi id="Thmtheorem43.p1.1.1.m1.2.2.4" xref="Thmtheorem43.p1.1.1.m1.2.2.4.cmml">q</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem43.p1.1.1.m1.2b"><apply id="Thmtheorem43.p1.1.1.m1.2.2.cmml" xref="Thmtheorem43.p1.1.1.m1.2.2"><geq id="Thmtheorem43.p1.1.1.m1.2.2.3.cmml" xref="Thmtheorem43.p1.1.1.m1.2.2.3"></geq><list id="Thmtheorem43.p1.1.1.m1.2.2.2.3.cmml" xref="Thmtheorem43.p1.1.1.m1.2.2.2.2"><apply id="Thmtheorem43.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem43.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem43.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem43.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="Thmtheorem43.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="Thmtheorem43.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.2">𝑄</ci><cn id="Thmtheorem43.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="Thmtheorem43.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.3">1</cn></apply><apply id="Thmtheorem43.p1.1.1.m1.2.2.2.2.2.cmml" xref="Thmtheorem43.p1.1.1.m1.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem43.p1.1.1.m1.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="Thmtheorem43.p1.1.1.m1.2.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="Thmtheorem43.p1.1.1.m1.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="Thmtheorem43.p1.1.1.m1.2.2.2.2.2.2">𝑄</ci><cn id="Thmtheorem43.p1.1.1.m1.2.2.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="Thmtheorem43.p1.1.1.m1.2.2.2.2.2.3">2</cn></apply></list><ci id="Thmtheorem43.p1.1.1.m1.2.2.4.cmml" xref="Thmtheorem43.p1.1.1.m1.2.2.4">𝑞</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem43.p1.1.1.m1.2c">Q_{1},Q_{2}\geq q</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem43.p1.1.1.m1.2d">italic_Q start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , italic_Q start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT ≥ italic_q</annotation></semantics></math>. Then</span></p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_gather ltx_eqn_table" id="S6.EGx78"> <tbody id="S6.E88"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\displaystyle||D(Q_{2})C(Q_{1})||_{\mathfrak{D},\text{basis}}\leq\sqrt{d_{t}(q% ^{-2})}" class="ltx_Math" display="block" id="S6.E88.m1.4"><semantics id="S6.E88.m1.4a"><mrow id="S6.E88.m1.4.4" xref="S6.E88.m1.4.4.cmml"><msub id="S6.E88.m1.4.4.1" xref="S6.E88.m1.4.4.1.cmml"><mrow id="S6.E88.m1.4.4.1.1.1" xref="S6.E88.m1.4.4.1.1.2.cmml"><mo id="S6.E88.m1.4.4.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S6.E88.m1.4.4.1.1.2.1.cmml">‖</mo><mrow id="S6.E88.m1.4.4.1.1.1.1" xref="S6.E88.m1.4.4.1.1.1.1.cmml"><mi id="S6.E88.m1.4.4.1.1.1.1.4" xref="S6.E88.m1.4.4.1.1.1.1.4.cmml">D</mi><mo id="S6.E88.m1.4.4.1.1.1.1.3" xref="S6.E88.m1.4.4.1.1.1.1.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S6.E88.m1.4.4.1.1.1.1.1.1" xref="S6.E88.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S6.E88.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S6.E88.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S6.E88.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1" xref="S6.E88.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S6.E88.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S6.E88.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">Q</mi><mn id="S6.E88.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S6.E88.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">2</mn></msub><mo id="S6.E88.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S6.E88.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S6.E88.m1.4.4.1.1.1.1.3a" xref="S6.E88.m1.4.4.1.1.1.1.3.cmml">⁢</mo><mi id="S6.E88.m1.4.4.1.1.1.1.5" xref="S6.E88.m1.4.4.1.1.1.1.5.cmml">C</mi><mo id="S6.E88.m1.4.4.1.1.1.1.3b" xref="S6.E88.m1.4.4.1.1.1.1.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S6.E88.m1.4.4.1.1.1.1.2.1" xref="S6.E88.m1.4.4.1.1.1.1.2.1.1.cmml"><mo id="S6.E88.m1.4.4.1.1.1.1.2.1.2" stretchy="false" xref="S6.E88.m1.4.4.1.1.1.1.2.1.1.cmml">(</mo><msub id="S6.E88.m1.4.4.1.1.1.1.2.1.1" xref="S6.E88.m1.4.4.1.1.1.1.2.1.1.cmml"><mi id="S6.E88.m1.4.4.1.1.1.1.2.1.1.2" xref="S6.E88.m1.4.4.1.1.1.1.2.1.1.2.cmml">Q</mi><mn id="S6.E88.m1.4.4.1.1.1.1.2.1.1.3" xref="S6.E88.m1.4.4.1.1.1.1.2.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S6.E88.m1.4.4.1.1.1.1.2.1.3" stretchy="false" xref="S6.E88.m1.4.4.1.1.1.1.2.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S6.E88.m1.4.4.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S6.E88.m1.4.4.1.1.2.1.cmml">‖</mo></mrow><mrow id="S6.E88.m1.2.2.2.4" xref="S6.E88.m1.2.2.2.3.cmml"><mi id="S6.E88.m1.1.1.1.1" xref="S6.E88.m1.1.1.1.1.cmml">𝔇</mi><mo id="S6.E88.m1.2.2.2.4.1" xref="S6.E88.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S6.E88.m1.2.2.2.2" xref="S6.E88.m1.2.2.2.2a.cmml">basis</mtext></mrow></msub><mo id="S6.E88.m1.4.4.2" xref="S6.E88.m1.4.4.2.cmml">≤</mo><msqrt id="S6.E88.m1.3.3" xref="S6.E88.m1.3.3.cmml"><mrow id="S6.E88.m1.3.3.1" xref="S6.E88.m1.3.3.1.cmml"><msub id="S6.E88.m1.3.3.1.3" xref="S6.E88.m1.3.3.1.3.cmml"><mi id="S6.E88.m1.3.3.1.3.2" xref="S6.E88.m1.3.3.1.3.2.cmml">d</mi><mi id="S6.E88.m1.3.3.1.3.3" xref="S6.E88.m1.3.3.1.3.3.cmml">t</mi></msub><mo id="S6.E88.m1.3.3.1.2" xref="S6.E88.m1.3.3.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S6.E88.m1.3.3.1.1.1" xref="S6.E88.m1.3.3.1.1.1.1.cmml"><mo id="S6.E88.m1.3.3.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S6.E88.m1.3.3.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="S6.E88.m1.3.3.1.1.1.1" xref="S6.E88.m1.3.3.1.1.1.1.cmml"><mi id="S6.E88.m1.3.3.1.1.1.1.2" xref="S6.E88.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml">q</mi><mrow id="S6.E88.m1.3.3.1.1.1.1.3" xref="S6.E88.m1.3.3.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="S6.E88.m1.3.3.1.1.1.1.3a" xref="S6.E88.m1.3.3.1.1.1.1.3.cmml">−</mo><mn id="S6.E88.m1.3.3.1.1.1.1.3.2" xref="S6.E88.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.cmml">2</mn></mrow></msup><mo id="S6.E88.m1.3.3.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S6.E88.m1.3.3.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></msqrt></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.E88.m1.4b"><apply id="S6.E88.m1.4.4.cmml" xref="S6.E88.m1.4.4"><leq id="S6.E88.m1.4.4.2.cmml" xref="S6.E88.m1.4.4.2"></leq><apply id="S6.E88.m1.4.4.1.cmml" xref="S6.E88.m1.4.4.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.E88.m1.4.4.1.2.cmml" xref="S6.E88.m1.4.4.1">subscript</csymbol><apply id="S6.E88.m1.4.4.1.1.2.cmml" xref="S6.E88.m1.4.4.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S6.E88.m1.4.4.1.1.2.1.cmml" xref="S6.E88.m1.4.4.1.1.1.2">norm</csymbol><apply id="S6.E88.m1.4.4.1.1.1.1.cmml" xref="S6.E88.m1.4.4.1.1.1.1"><times id="S6.E88.m1.4.4.1.1.1.1.3.cmml" xref="S6.E88.m1.4.4.1.1.1.1.3"></times><ci id="S6.E88.m1.4.4.1.1.1.1.4.cmml" xref="S6.E88.m1.4.4.1.1.1.1.4">𝐷</ci><apply id="S6.E88.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S6.E88.m1.4.4.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.E88.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S6.E88.m1.4.4.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S6.E88.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S6.E88.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑄</ci><cn id="S6.E88.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S6.E88.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3">2</cn></apply><ci id="S6.E88.m1.4.4.1.1.1.1.5.cmml" xref="S6.E88.m1.4.4.1.1.1.1.5">𝐶</ci><apply id="S6.E88.m1.4.4.1.1.1.1.2.1.1.cmml" xref="S6.E88.m1.4.4.1.1.1.1.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.E88.m1.4.4.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml" xref="S6.E88.m1.4.4.1.1.1.1.2.1">subscript</csymbol><ci id="S6.E88.m1.4.4.1.1.1.1.2.1.1.2.cmml" xref="S6.E88.m1.4.4.1.1.1.1.2.1.1.2">𝑄</ci><cn id="S6.E88.m1.4.4.1.1.1.1.2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S6.E88.m1.4.4.1.1.1.1.2.1.1.3">1</cn></apply></apply></apply><list id="S6.E88.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S6.E88.m1.2.2.2.4"><ci id="S6.E88.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S6.E88.m1.1.1.1.1">𝔇</ci><ci id="S6.E88.m1.2.2.2.2a.cmml" xref="S6.E88.m1.2.2.2.2"><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S6.E88.m1.2.2.2.2.cmml" mathsize="70%" xref="S6.E88.m1.2.2.2.2">basis</mtext></ci></list></apply><apply id="S6.E88.m1.3.3.cmml" xref="S6.E88.m1.3.3"><root id="S6.E88.m1.3.3a.cmml" xref="S6.E88.m1.3.3"></root><apply id="S6.E88.m1.3.3.1.cmml" xref="S6.E88.m1.3.3.1"><times id="S6.E88.m1.3.3.1.2.cmml" xref="S6.E88.m1.3.3.1.2"></times><apply id="S6.E88.m1.3.3.1.3.cmml" xref="S6.E88.m1.3.3.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.E88.m1.3.3.1.3.1.cmml" xref="S6.E88.m1.3.3.1.3">subscript</csymbol><ci id="S6.E88.m1.3.3.1.3.2.cmml" xref="S6.E88.m1.3.3.1.3.2">𝑑</ci><ci id="S6.E88.m1.3.3.1.3.3.cmml" xref="S6.E88.m1.3.3.1.3.3">𝑡</ci></apply><apply id="S6.E88.m1.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S6.E88.m1.3.3.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.E88.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S6.E88.m1.3.3.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S6.E88.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml" xref="S6.E88.m1.3.3.1.1.1.1.2">𝑞</ci><apply id="S6.E88.m1.3.3.1.1.1.1.3.cmml" xref="S6.E88.m1.3.3.1.1.1.1.3"><minus id="S6.E88.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S6.E88.m1.3.3.1.1.1.1.3"></minus><cn id="S6.E88.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S6.E88.m1.3.3.1.1.1.1.3.2">2</cn></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.E88.m1.4c">\displaystyle||D(Q_{2})C(Q_{1})||_{\mathfrak{D},\text{basis}}\leq\sqrt{d_{t}(q% ^{-2})}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.E88.m1.4d">| | italic_D ( italic_Q start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT ) italic_C ( italic_Q start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ) | | start_POSTSUBSCRIPT fraktur_D , basis end_POSTSUBSCRIPT ≤ square-root start_ARG italic_d start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( italic_q start_POSTSUPERSCRIPT - 2 end_POSTSUPERSCRIPT ) end_ARG</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(88)</span></td> </tr></tbody> </table> </div> </div> <div class="ltx_para" id="S6.SS1.p4"> <p class="ltx_p" id="S6.SS1.p4.1">The proof involves using the Frobenius norm to upper-bound the operator norm of <math alttext="DC" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.SS1.p4.1.m1.1"><semantics id="S6.SS1.p4.1.m1.1a"><mrow id="S6.SS1.p4.1.m1.1.1" xref="S6.SS1.p4.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S6.SS1.p4.1.m1.1.1.2" xref="S6.SS1.p4.1.m1.1.1.2.cmml">D</mi><mo id="S6.SS1.p4.1.m1.1.1.1" xref="S6.SS1.p4.1.m1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S6.SS1.p4.1.m1.1.1.3" xref="S6.SS1.p4.1.m1.1.1.3.cmml">C</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.SS1.p4.1.m1.1b"><apply id="S6.SS1.p4.1.m1.1.1.cmml" xref="S6.SS1.p4.1.m1.1.1"><times id="S6.SS1.p4.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S6.SS1.p4.1.m1.1.1.1"></times><ci id="S6.SS1.p4.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S6.SS1.p4.1.m1.1.1.2">𝐷</ci><ci id="S6.SS1.p4.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S6.SS1.p4.1.m1.1.1.3">𝐶</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.SS1.p4.1.m1.1c">DC</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.SS1.p4.1.m1.1d">italic_D italic_C</annotation></semantics></math>. A formal proof may be found in Appendix <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#A4.SS1" title="D.1 Proof of Lemma 43 ‣ Appendix D Properties of the Derangement Polynomial ‣ Conditional 𝑡-independent spectral gap for random quantum circuits and implications for 𝑡-design depths"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">D.1</span></a>.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S6.SS1.p5"> <p class="ltx_p" id="S6.SS1.p5.1">To make use of this result, we establish the following pair of bounds on <math alttext="d_{t}" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.SS1.p5.1.m1.1"><semantics id="S6.SS1.p5.1.m1.1a"><msub id="S6.SS1.p5.1.m1.1.1" xref="S6.SS1.p5.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S6.SS1.p5.1.m1.1.1.2" xref="S6.SS1.p5.1.m1.1.1.2.cmml">d</mi><mi id="S6.SS1.p5.1.m1.1.1.3" xref="S6.SS1.p5.1.m1.1.1.3.cmml">t</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.SS1.p5.1.m1.1b"><apply id="S6.SS1.p5.1.m1.1.1.cmml" xref="S6.SS1.p5.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.SS1.p5.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S6.SS1.p5.1.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S6.SS1.p5.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S6.SS1.p5.1.m1.1.1.2">𝑑</ci><ci id="S6.SS1.p5.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S6.SS1.p5.1.m1.1.1.3">𝑡</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.SS1.p5.1.m1.1c">d_{t}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.SS1.p5.1.m1.1d">italic_d start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>.</p> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_lemma" id="Thmtheorem44"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmtheorem44.1.1.1">Lemma 44</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmtheorem44.2.2">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="Thmtheorem44.p1"> <p class="ltx_p" id="Thmtheorem44.p1.1"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmtheorem44.p1.1.1">When <math alttext="t\leq q" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem44.p1.1.1.m1.1"><semantics id="Thmtheorem44.p1.1.1.m1.1a"><mrow id="Thmtheorem44.p1.1.1.m1.1.1" xref="Thmtheorem44.p1.1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="Thmtheorem44.p1.1.1.m1.1.1.2" xref="Thmtheorem44.p1.1.1.m1.1.1.2.cmml">t</mi><mo id="Thmtheorem44.p1.1.1.m1.1.1.1" xref="Thmtheorem44.p1.1.1.m1.1.1.1.cmml">≤</mo><mi id="Thmtheorem44.p1.1.1.m1.1.1.3" xref="Thmtheorem44.p1.1.1.m1.1.1.3.cmml">q</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem44.p1.1.1.m1.1b"><apply id="Thmtheorem44.p1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem44.p1.1.1.m1.1.1"><leq id="Thmtheorem44.p1.1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem44.p1.1.1.m1.1.1.1"></leq><ci id="Thmtheorem44.p1.1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="Thmtheorem44.p1.1.1.m1.1.1.2">𝑡</ci><ci id="Thmtheorem44.p1.1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="Thmtheorem44.p1.1.1.m1.1.1.3">𝑞</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem44.p1.1.1.m1.1c">t\leq q</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem44.p1.1.1.m1.1d">italic_t ≤ italic_q</annotation></semantics></math>,</span></p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_gather ltx_eqn_table" id="S6.EGx79"> <tbody id="S6.E89"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\displaystyle d_{t}(q^{-2})\leq\frac{t^{2}}{2}e^{\frac{1}{2t^{2}}}\left[\left(% \frac{1}{2}+\frac{3}{t}\right)^{t}+\left(\frac{4}{\sqrt{t}}\right)^{t}\right]% \left(\frac{t}{q}\right)^{t-2}\frac{1}{q^{2}}" class="ltx_Math" display="block" id="S6.E89.m1.4"><semantics id="S6.E89.m1.4a"><mrow id="S6.E89.m1.4.4" xref="S6.E89.m1.4.4.cmml"><mrow id="S6.E89.m1.3.3.1" xref="S6.E89.m1.3.3.1.cmml"><msub id="S6.E89.m1.3.3.1.3" xref="S6.E89.m1.3.3.1.3.cmml"><mi id="S6.E89.m1.3.3.1.3.2" xref="S6.E89.m1.3.3.1.3.2.cmml">d</mi><mi id="S6.E89.m1.3.3.1.3.3" xref="S6.E89.m1.3.3.1.3.3.cmml">t</mi></msub><mo id="S6.E89.m1.3.3.1.2" xref="S6.E89.m1.3.3.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S6.E89.m1.3.3.1.1.1" xref="S6.E89.m1.3.3.1.1.1.1.cmml"><mo id="S6.E89.m1.3.3.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S6.E89.m1.3.3.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="S6.E89.m1.3.3.1.1.1.1" xref="S6.E89.m1.3.3.1.1.1.1.cmml"><mi id="S6.E89.m1.3.3.1.1.1.1.2" xref="S6.E89.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml">q</mi><mrow id="S6.E89.m1.3.3.1.1.1.1.3" xref="S6.E89.m1.3.3.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="S6.E89.m1.3.3.1.1.1.1.3a" xref="S6.E89.m1.3.3.1.1.1.1.3.cmml">−</mo><mn id="S6.E89.m1.3.3.1.1.1.1.3.2" xref="S6.E89.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.cmml">2</mn></mrow></msup><mo id="S6.E89.m1.3.3.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S6.E89.m1.3.3.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S6.E89.m1.4.4.3" xref="S6.E89.m1.4.4.3.cmml">≤</mo><mrow id="S6.E89.m1.4.4.2" xref="S6.E89.m1.4.4.2.cmml"><mfrac id="S6.E89.m1.4.4.2.3" xref="S6.E89.m1.4.4.2.3.cmml"><msup id="S6.E89.m1.4.4.2.3.2" xref="S6.E89.m1.4.4.2.3.2.cmml"><mi id="S6.E89.m1.4.4.2.3.2.2" xref="S6.E89.m1.4.4.2.3.2.2.cmml">t</mi><mn id="S6.E89.m1.4.4.2.3.2.3" xref="S6.E89.m1.4.4.2.3.2.3.cmml">2</mn></msup><mn id="S6.E89.m1.4.4.2.3.3" xref="S6.E89.m1.4.4.2.3.3.cmml">2</mn></mfrac><mo id="S6.E89.m1.4.4.2.2" xref="S6.E89.m1.4.4.2.2.cmml">⁢</mo><msup id="S6.E89.m1.4.4.2.4" xref="S6.E89.m1.4.4.2.4.cmml"><mi id="S6.E89.m1.4.4.2.4.2" xref="S6.E89.m1.4.4.2.4.2.cmml">e</mi><mfrac id="S6.E89.m1.4.4.2.4.3" xref="S6.E89.m1.4.4.2.4.3.cmml"><mn id="S6.E89.m1.4.4.2.4.3.2" xref="S6.E89.m1.4.4.2.4.3.2.cmml">1</mn><mrow id="S6.E89.m1.4.4.2.4.3.3" xref="S6.E89.m1.4.4.2.4.3.3.cmml"><mn id="S6.E89.m1.4.4.2.4.3.3.2" xref="S6.E89.m1.4.4.2.4.3.3.2.cmml">2</mn><mo id="S6.E89.m1.4.4.2.4.3.3.1" xref="S6.E89.m1.4.4.2.4.3.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="S6.E89.m1.4.4.2.4.3.3.3" xref="S6.E89.m1.4.4.2.4.3.3.3.cmml"><mi id="S6.E89.m1.4.4.2.4.3.3.3.2" xref="S6.E89.m1.4.4.2.4.3.3.3.2.cmml">t</mi><mn id="S6.E89.m1.4.4.2.4.3.3.3.3" xref="S6.E89.m1.4.4.2.4.3.3.3.3.cmml">2</mn></msup></mrow></mfrac></msup><mo id="S6.E89.m1.4.4.2.2a" xref="S6.E89.m1.4.4.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S6.E89.m1.4.4.2.1.1" xref="S6.E89.m1.4.4.2.1.2.cmml"><mo id="S6.E89.m1.4.4.2.1.1.2" xref="S6.E89.m1.4.4.2.1.2.1.cmml">[</mo><mrow id="S6.E89.m1.4.4.2.1.1.1" xref="S6.E89.m1.4.4.2.1.1.1.cmml"><msup id="S6.E89.m1.4.4.2.1.1.1.1" xref="S6.E89.m1.4.4.2.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S6.E89.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.1" xref="S6.E89.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S6.E89.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.1.2" xref="S6.E89.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S6.E89.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S6.E89.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mfrac id="S6.E89.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S6.E89.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mn id="S6.E89.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S6.E89.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">1</mn><mn id="S6.E89.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S6.E89.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">2</mn></mfrac><mo id="S6.E89.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S6.E89.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mfrac id="S6.E89.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S6.E89.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mn id="S6.E89.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S6.E89.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">3</mn><mi id="S6.E89.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S6.E89.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">t</mi></mfrac></mrow><mo id="S6.E89.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.1.3" xref="S6.E89.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mi id="S6.E89.m1.4.4.2.1.1.1.1.3" xref="S6.E89.m1.4.4.2.1.1.1.1.3.cmml">t</mi></msup><mo id="S6.E89.m1.4.4.2.1.1.1.2" xref="S6.E89.m1.4.4.2.1.1.1.2.cmml">+</mo><msup id="S6.E89.m1.4.4.2.1.1.1.3" xref="S6.E89.m1.4.4.2.1.1.1.3.cmml"><mrow id="S6.E89.m1.4.4.2.1.1.1.3.2.2" xref="S6.E89.m1.1.1.cmml"><mo id="S6.E89.m1.4.4.2.1.1.1.3.2.2.1" xref="S6.E89.m1.1.1.cmml">(</mo><mfrac id="S6.E89.m1.1.1" xref="S6.E89.m1.1.1.cmml"><mn id="S6.E89.m1.1.1.2" xref="S6.E89.m1.1.1.2.cmml">4</mn><msqrt id="S6.E89.m1.1.1.3" xref="S6.E89.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S6.E89.m1.1.1.3.2" xref="S6.E89.m1.1.1.3.2.cmml">t</mi></msqrt></mfrac><mo id="S6.E89.m1.4.4.2.1.1.1.3.2.2.2" xref="S6.E89.m1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mi id="S6.E89.m1.4.4.2.1.1.1.3.3" xref="S6.E89.m1.4.4.2.1.1.1.3.3.cmml">t</mi></msup></mrow><mo id="S6.E89.m1.4.4.2.1.1.3" xref="S6.E89.m1.4.4.2.1.2.1.cmml">]</mo></mrow><mo id="S6.E89.m1.4.4.2.2b" xref="S6.E89.m1.4.4.2.2.cmml">⁢</mo><msup id="S6.E89.m1.4.4.2.5" xref="S6.E89.m1.4.4.2.5.cmml"><mrow id="S6.E89.m1.4.4.2.5.2.2" xref="S6.E89.m1.2.2.cmml"><mo id="S6.E89.m1.4.4.2.5.2.2.1" xref="S6.E89.m1.2.2.cmml">(</mo><mfrac id="S6.E89.m1.2.2" xref="S6.E89.m1.2.2.cmml"><mi id="S6.E89.m1.2.2.2" xref="S6.E89.m1.2.2.2.cmml">t</mi><mi id="S6.E89.m1.2.2.3" xref="S6.E89.m1.2.2.3.cmml">q</mi></mfrac><mo id="S6.E89.m1.4.4.2.5.2.2.2" xref="S6.E89.m1.2.2.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S6.E89.m1.4.4.2.5.3" xref="S6.E89.m1.4.4.2.5.3.cmml"><mi id="S6.E89.m1.4.4.2.5.3.2" xref="S6.E89.m1.4.4.2.5.3.2.cmml">t</mi><mo id="S6.E89.m1.4.4.2.5.3.1" xref="S6.E89.m1.4.4.2.5.3.1.cmml">−</mo><mn id="S6.E89.m1.4.4.2.5.3.3" xref="S6.E89.m1.4.4.2.5.3.3.cmml">2</mn></mrow></msup><mo id="S6.E89.m1.4.4.2.2c" xref="S6.E89.m1.4.4.2.2.cmml">⁢</mo><mfrac id="S6.E89.m1.4.4.2.6" xref="S6.E89.m1.4.4.2.6.cmml"><mn id="S6.E89.m1.4.4.2.6.2" xref="S6.E89.m1.4.4.2.6.2.cmml">1</mn><msup id="S6.E89.m1.4.4.2.6.3" xref="S6.E89.m1.4.4.2.6.3.cmml"><mi id="S6.E89.m1.4.4.2.6.3.2" xref="S6.E89.m1.4.4.2.6.3.2.cmml">q</mi><mn id="S6.E89.m1.4.4.2.6.3.3" xref="S6.E89.m1.4.4.2.6.3.3.cmml">2</mn></msup></mfrac></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.E89.m1.4b"><apply id="S6.E89.m1.4.4.cmml" xref="S6.E89.m1.4.4"><leq id="S6.E89.m1.4.4.3.cmml" xref="S6.E89.m1.4.4.3"></leq><apply id="S6.E89.m1.3.3.1.cmml" xref="S6.E89.m1.3.3.1"><times id="S6.E89.m1.3.3.1.2.cmml" xref="S6.E89.m1.3.3.1.2"></times><apply id="S6.E89.m1.3.3.1.3.cmml" xref="S6.E89.m1.3.3.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.E89.m1.3.3.1.3.1.cmml" xref="S6.E89.m1.3.3.1.3">subscript</csymbol><ci id="S6.E89.m1.3.3.1.3.2.cmml" xref="S6.E89.m1.3.3.1.3.2">𝑑</ci><ci id="S6.E89.m1.3.3.1.3.3.cmml" xref="S6.E89.m1.3.3.1.3.3">𝑡</ci></apply><apply id="S6.E89.m1.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S6.E89.m1.3.3.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.E89.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S6.E89.m1.3.3.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S6.E89.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml" xref="S6.E89.m1.3.3.1.1.1.1.2">𝑞</ci><apply id="S6.E89.m1.3.3.1.1.1.1.3.cmml" xref="S6.E89.m1.3.3.1.1.1.1.3"><minus id="S6.E89.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S6.E89.m1.3.3.1.1.1.1.3"></minus><cn id="S6.E89.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S6.E89.m1.3.3.1.1.1.1.3.2">2</cn></apply></apply></apply><apply id="S6.E89.m1.4.4.2.cmml" xref="S6.E89.m1.4.4.2"><times id="S6.E89.m1.4.4.2.2.cmml" xref="S6.E89.m1.4.4.2.2"></times><apply id="S6.E89.m1.4.4.2.3.cmml" xref="S6.E89.m1.4.4.2.3"><divide id="S6.E89.m1.4.4.2.3.1.cmml" xref="S6.E89.m1.4.4.2.3"></divide><apply id="S6.E89.m1.4.4.2.3.2.cmml" xref="S6.E89.m1.4.4.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.E89.m1.4.4.2.3.2.1.cmml" xref="S6.E89.m1.4.4.2.3.2">superscript</csymbol><ci id="S6.E89.m1.4.4.2.3.2.2.cmml" xref="S6.E89.m1.4.4.2.3.2.2">𝑡</ci><cn id="S6.E89.m1.4.4.2.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S6.E89.m1.4.4.2.3.2.3">2</cn></apply><cn id="S6.E89.m1.4.4.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S6.E89.m1.4.4.2.3.3">2</cn></apply><apply id="S6.E89.m1.4.4.2.4.cmml" xref="S6.E89.m1.4.4.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.E89.m1.4.4.2.4.1.cmml" xref="S6.E89.m1.4.4.2.4">superscript</csymbol><ci id="S6.E89.m1.4.4.2.4.2.cmml" xref="S6.E89.m1.4.4.2.4.2">𝑒</ci><apply id="S6.E89.m1.4.4.2.4.3.cmml" xref="S6.E89.m1.4.4.2.4.3"><divide id="S6.E89.m1.4.4.2.4.3.1.cmml" xref="S6.E89.m1.4.4.2.4.3"></divide><cn id="S6.E89.m1.4.4.2.4.3.2.cmml" type="integer" xref="S6.E89.m1.4.4.2.4.3.2">1</cn><apply id="S6.E89.m1.4.4.2.4.3.3.cmml" xref="S6.E89.m1.4.4.2.4.3.3"><times id="S6.E89.m1.4.4.2.4.3.3.1.cmml" xref="S6.E89.m1.4.4.2.4.3.3.1"></times><cn id="S6.E89.m1.4.4.2.4.3.3.2.cmml" type="integer" xref="S6.E89.m1.4.4.2.4.3.3.2">2</cn><apply id="S6.E89.m1.4.4.2.4.3.3.3.cmml" xref="S6.E89.m1.4.4.2.4.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.E89.m1.4.4.2.4.3.3.3.1.cmml" xref="S6.E89.m1.4.4.2.4.3.3.3">superscript</csymbol><ci id="S6.E89.m1.4.4.2.4.3.3.3.2.cmml" xref="S6.E89.m1.4.4.2.4.3.3.3.2">𝑡</ci><cn id="S6.E89.m1.4.4.2.4.3.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S6.E89.m1.4.4.2.4.3.3.3.3">2</cn></apply></apply></apply></apply><apply id="S6.E89.m1.4.4.2.1.2.cmml" xref="S6.E89.m1.4.4.2.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S6.E89.m1.4.4.2.1.2.1.cmml" xref="S6.E89.m1.4.4.2.1.1.2">delimited-[]</csymbol><apply id="S6.E89.m1.4.4.2.1.1.1.cmml" xref="S6.E89.m1.4.4.2.1.1.1"><plus id="S6.E89.m1.4.4.2.1.1.1.2.cmml" xref="S6.E89.m1.4.4.2.1.1.1.2"></plus><apply id="S6.E89.m1.4.4.2.1.1.1.1.cmml" xref="S6.E89.m1.4.4.2.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.E89.m1.4.4.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S6.E89.m1.4.4.2.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S6.E89.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S6.E89.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.1"><plus id="S6.E89.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S6.E89.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.1"></plus><apply id="S6.E89.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S6.E89.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.2"><divide id="S6.E89.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S6.E89.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.2"></divide><cn id="S6.E89.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" type="integer" xref="S6.E89.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.2.2">1</cn><cn id="S6.E89.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S6.E89.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.2.3">2</cn></apply><apply id="S6.E89.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S6.E89.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.3"><divide id="S6.E89.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S6.E89.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.3"></divide><cn id="S6.E89.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S6.E89.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2">3</cn><ci id="S6.E89.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S6.E89.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑡</ci></apply></apply><ci id="S6.E89.m1.4.4.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S6.E89.m1.4.4.2.1.1.1.1.3">𝑡</ci></apply><apply id="S6.E89.m1.4.4.2.1.1.1.3.cmml" xref="S6.E89.m1.4.4.2.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.E89.m1.4.4.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="S6.E89.m1.4.4.2.1.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="S6.E89.m1.1.1.cmml" xref="S6.E89.m1.4.4.2.1.1.1.3.2.2"><divide id="S6.E89.m1.1.1.1.cmml" xref="S6.E89.m1.4.4.2.1.1.1.3.2.2"></divide><cn id="S6.E89.m1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S6.E89.m1.1.1.2">4</cn><apply id="S6.E89.m1.1.1.3.cmml" xref="S6.E89.m1.1.1.3"><root id="S6.E89.m1.1.1.3a.cmml" xref="S6.E89.m1.1.1.3"></root><ci id="S6.E89.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S6.E89.m1.1.1.3.2">𝑡</ci></apply></apply><ci id="S6.E89.m1.4.4.2.1.1.1.3.3.cmml" xref="S6.E89.m1.4.4.2.1.1.1.3.3">𝑡</ci></apply></apply></apply><apply id="S6.E89.m1.4.4.2.5.cmml" xref="S6.E89.m1.4.4.2.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.E89.m1.4.4.2.5.1.cmml" xref="S6.E89.m1.4.4.2.5">superscript</csymbol><apply id="S6.E89.m1.2.2.cmml" xref="S6.E89.m1.4.4.2.5.2.2"><divide id="S6.E89.m1.2.2.1.cmml" xref="S6.E89.m1.4.4.2.5.2.2"></divide><ci id="S6.E89.m1.2.2.2.cmml" xref="S6.E89.m1.2.2.2">𝑡</ci><ci id="S6.E89.m1.2.2.3.cmml" xref="S6.E89.m1.2.2.3">𝑞</ci></apply><apply id="S6.E89.m1.4.4.2.5.3.cmml" xref="S6.E89.m1.4.4.2.5.3"><minus id="S6.E89.m1.4.4.2.5.3.1.cmml" xref="S6.E89.m1.4.4.2.5.3.1"></minus><ci id="S6.E89.m1.4.4.2.5.3.2.cmml" xref="S6.E89.m1.4.4.2.5.3.2">𝑡</ci><cn id="S6.E89.m1.4.4.2.5.3.3.cmml" type="integer" xref="S6.E89.m1.4.4.2.5.3.3">2</cn></apply></apply><apply id="S6.E89.m1.4.4.2.6.cmml" xref="S6.E89.m1.4.4.2.6"><divide id="S6.E89.m1.4.4.2.6.1.cmml" xref="S6.E89.m1.4.4.2.6"></divide><cn id="S6.E89.m1.4.4.2.6.2.cmml" type="integer" xref="S6.E89.m1.4.4.2.6.2">1</cn><apply id="S6.E89.m1.4.4.2.6.3.cmml" xref="S6.E89.m1.4.4.2.6.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.E89.m1.4.4.2.6.3.1.cmml" xref="S6.E89.m1.4.4.2.6.3">superscript</csymbol><ci id="S6.E89.m1.4.4.2.6.3.2.cmml" xref="S6.E89.m1.4.4.2.6.3.2">𝑞</ci><cn id="S6.E89.m1.4.4.2.6.3.3.cmml" type="integer" xref="S6.E89.m1.4.4.2.6.3.3">2</cn></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.E89.m1.4c">\displaystyle d_{t}(q^{-2})\leq\frac{t^{2}}{2}e^{\frac{1}{2t^{2}}}\left[\left(% \frac{1}{2}+\frac{3}{t}\right)^{t}+\left(\frac{4}{\sqrt{t}}\right)^{t}\right]% \left(\frac{t}{q}\right)^{t-2}\frac{1}{q^{2}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.E89.m1.4d">italic_d start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( italic_q start_POSTSUPERSCRIPT - 2 end_POSTSUPERSCRIPT ) ≤ divide start_ARG italic_t start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG 2 end_ARG italic_e start_POSTSUPERSCRIPT divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 italic_t start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG end_POSTSUPERSCRIPT [ ( divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 end_ARG + divide start_ARG 3 end_ARG start_ARG italic_t end_ARG ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_t end_POSTSUPERSCRIPT + ( divide start_ARG 4 end_ARG start_ARG square-root start_ARG italic_t end_ARG end_ARG ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_t end_POSTSUPERSCRIPT ] ( divide start_ARG italic_t end_ARG start_ARG italic_q end_ARG ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_t - 2 end_POSTSUPERSCRIPT divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_q start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(89)</span></td> </tr></tbody> </table> </div> </div> <div class="ltx_para" id="S6.SS1.p6"> <p class="ltx_p" id="S6.SS1.p6.2">The proof of this lemma may be found in Appendix <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#A4.SS4" title="D.4 Analytic Bound on the Derangement Polynomial (Proof of Lemma 44) ‣ Appendix D Properties of the Derangement Polynomial ‣ Conditional 𝑡-independent spectral gap for random quantum circuits and implications for 𝑡-design depths"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">D.4</span></a>. This bound is adequate only for <math alttext="t\geq 28" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.SS1.p6.1.m1.1"><semantics id="S6.SS1.p6.1.m1.1a"><mrow id="S6.SS1.p6.1.m1.1.1" xref="S6.SS1.p6.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S6.SS1.p6.1.m1.1.1.2" xref="S6.SS1.p6.1.m1.1.1.2.cmml">t</mi><mo id="S6.SS1.p6.1.m1.1.1.1" xref="S6.SS1.p6.1.m1.1.1.1.cmml">≥</mo><mn id="S6.SS1.p6.1.m1.1.1.3" xref="S6.SS1.p6.1.m1.1.1.3.cmml">28</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.SS1.p6.1.m1.1b"><apply id="S6.SS1.p6.1.m1.1.1.cmml" xref="S6.SS1.p6.1.m1.1.1"><geq id="S6.SS1.p6.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S6.SS1.p6.1.m1.1.1.1"></geq><ci id="S6.SS1.p6.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S6.SS1.p6.1.m1.1.1.2">𝑡</ci><cn id="S6.SS1.p6.1.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S6.SS1.p6.1.m1.1.1.3">28</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.SS1.p6.1.m1.1c">t\geq 28</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.SS1.p6.1.m1.1d">italic_t ≥ 28</annotation></semantics></math>. For smaller <math alttext="t" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.SS1.p6.2.m2.1"><semantics id="S6.SS1.p6.2.m2.1a"><mi id="S6.SS1.p6.2.m2.1.1" xref="S6.SS1.p6.2.m2.1.1.cmml">t</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.SS1.p6.2.m2.1b"><ci id="S6.SS1.p6.2.m2.1.1.cmml" xref="S6.SS1.p6.2.m2.1.1">𝑡</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.SS1.p6.2.m2.1c">t</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.SS1.p6.2.m2.1d">italic_t</annotation></semantics></math>, we may evaluate the derangement polynomial numerically to obtain the following bound.</p> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_lemma" id="Thmtheorem45"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmtheorem45.1.1.1">Lemma 45</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmtheorem45.2.2">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="Thmtheorem45.p1"> <p class="ltx_p" id="Thmtheorem45.p1.2"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmtheorem45.p1.2.2">When <math alttext="7\leq t\leq 28" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem45.p1.1.1.m1.1"><semantics id="Thmtheorem45.p1.1.1.m1.1a"><mrow id="Thmtheorem45.p1.1.1.m1.1.1" xref="Thmtheorem45.p1.1.1.m1.1.1.cmml"><mn id="Thmtheorem45.p1.1.1.m1.1.1.2" xref="Thmtheorem45.p1.1.1.m1.1.1.2.cmml">7</mn><mo id="Thmtheorem45.p1.1.1.m1.1.1.3" xref="Thmtheorem45.p1.1.1.m1.1.1.3.cmml">≤</mo><mi id="Thmtheorem45.p1.1.1.m1.1.1.4" xref="Thmtheorem45.p1.1.1.m1.1.1.4.cmml">t</mi><mo id="Thmtheorem45.p1.1.1.m1.1.1.5" xref="Thmtheorem45.p1.1.1.m1.1.1.5.cmml">≤</mo><mn id="Thmtheorem45.p1.1.1.m1.1.1.6" xref="Thmtheorem45.p1.1.1.m1.1.1.6.cmml">28</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem45.p1.1.1.m1.1b"><apply id="Thmtheorem45.p1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem45.p1.1.1.m1.1.1"><and id="Thmtheorem45.p1.1.1.m1.1.1a.cmml" xref="Thmtheorem45.p1.1.1.m1.1.1"></and><apply id="Thmtheorem45.p1.1.1.m1.1.1b.cmml" xref="Thmtheorem45.p1.1.1.m1.1.1"><leq id="Thmtheorem45.p1.1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="Thmtheorem45.p1.1.1.m1.1.1.3"></leq><cn id="Thmtheorem45.p1.1.1.m1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="Thmtheorem45.p1.1.1.m1.1.1.2">7</cn><ci id="Thmtheorem45.p1.1.1.m1.1.1.4.cmml" xref="Thmtheorem45.p1.1.1.m1.1.1.4">𝑡</ci></apply><apply id="Thmtheorem45.p1.1.1.m1.1.1c.cmml" xref="Thmtheorem45.p1.1.1.m1.1.1"><leq id="Thmtheorem45.p1.1.1.m1.1.1.5.cmml" xref="Thmtheorem45.p1.1.1.m1.1.1.5"></leq><share href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#Thmtheorem45.p1.1.1.m1.1.1.4.cmml" id="Thmtheorem45.p1.1.1.m1.1.1d.cmml" xref="Thmtheorem45.p1.1.1.m1.1.1"></share><cn id="Thmtheorem45.p1.1.1.m1.1.1.6.cmml" type="integer" xref="Thmtheorem45.p1.1.1.m1.1.1.6">28</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem45.p1.1.1.m1.1c">7\leq t\leq 28</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem45.p1.1.1.m1.1d">7 ≤ italic_t ≤ 28</annotation></semantics></math> and <math alttext="q\geq t" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem45.p1.2.2.m2.1"><semantics id="Thmtheorem45.p1.2.2.m2.1a"><mrow id="Thmtheorem45.p1.2.2.m2.1.1" xref="Thmtheorem45.p1.2.2.m2.1.1.cmml"><mi id="Thmtheorem45.p1.2.2.m2.1.1.2" xref="Thmtheorem45.p1.2.2.m2.1.1.2.cmml">q</mi><mo id="Thmtheorem45.p1.2.2.m2.1.1.1" xref="Thmtheorem45.p1.2.2.m2.1.1.1.cmml">≥</mo><mi id="Thmtheorem45.p1.2.2.m2.1.1.3" xref="Thmtheorem45.p1.2.2.m2.1.1.3.cmml">t</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem45.p1.2.2.m2.1b"><apply id="Thmtheorem45.p1.2.2.m2.1.1.cmml" xref="Thmtheorem45.p1.2.2.m2.1.1"><geq id="Thmtheorem45.p1.2.2.m2.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem45.p1.2.2.m2.1.1.1"></geq><ci id="Thmtheorem45.p1.2.2.m2.1.1.2.cmml" xref="Thmtheorem45.p1.2.2.m2.1.1.2">𝑞</ci><ci id="Thmtheorem45.p1.2.2.m2.1.1.3.cmml" xref="Thmtheorem45.p1.2.2.m2.1.1.3">𝑡</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem45.p1.2.2.m2.1c">q\geq t</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem45.p1.2.2.m2.1d">italic_q ≥ italic_t</annotation></semantics></math>,</span></p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_gather ltx_eqn_table" id="S6.EGx80"> <tbody id="S6.E90"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\displaystyle d_{t}(q^{-2})\leq\frac{0.0496}{q^{2}}\left(\frac{t}{q}\right)^{t% -2}" class="ltx_Math" display="block" id="S6.E90.m1.2"><semantics id="S6.E90.m1.2a"><mrow id="S6.E90.m1.2.2" xref="S6.E90.m1.2.2.cmml"><mrow id="S6.E90.m1.2.2.1" xref="S6.E90.m1.2.2.1.cmml"><msub id="S6.E90.m1.2.2.1.3" xref="S6.E90.m1.2.2.1.3.cmml"><mi id="S6.E90.m1.2.2.1.3.2" xref="S6.E90.m1.2.2.1.3.2.cmml">d</mi><mi id="S6.E90.m1.2.2.1.3.3" xref="S6.E90.m1.2.2.1.3.3.cmml">t</mi></msub><mo id="S6.E90.m1.2.2.1.2" xref="S6.E90.m1.2.2.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S6.E90.m1.2.2.1.1.1" xref="S6.E90.m1.2.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="S6.E90.m1.2.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S6.E90.m1.2.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="S6.E90.m1.2.2.1.1.1.1" xref="S6.E90.m1.2.2.1.1.1.1.cmml"><mi id="S6.E90.m1.2.2.1.1.1.1.2" xref="S6.E90.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml">q</mi><mrow id="S6.E90.m1.2.2.1.1.1.1.3" xref="S6.E90.m1.2.2.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="S6.E90.m1.2.2.1.1.1.1.3a" xref="S6.E90.m1.2.2.1.1.1.1.3.cmml">−</mo><mn id="S6.E90.m1.2.2.1.1.1.1.3.2" xref="S6.E90.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.cmml">2</mn></mrow></msup><mo id="S6.E90.m1.2.2.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S6.E90.m1.2.2.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S6.E90.m1.2.2.2" xref="S6.E90.m1.2.2.2.cmml">≤</mo><mrow id="S6.E90.m1.2.2.3" xref="S6.E90.m1.2.2.3.cmml"><mfrac id="S6.E90.m1.2.2.3.2" xref="S6.E90.m1.2.2.3.2.cmml"><mn id="S6.E90.m1.2.2.3.2.2" xref="S6.E90.m1.2.2.3.2.2.cmml">0.0496</mn><msup id="S6.E90.m1.2.2.3.2.3" xref="S6.E90.m1.2.2.3.2.3.cmml"><mi id="S6.E90.m1.2.2.3.2.3.2" xref="S6.E90.m1.2.2.3.2.3.2.cmml">q</mi><mn id="S6.E90.m1.2.2.3.2.3.3" xref="S6.E90.m1.2.2.3.2.3.3.cmml">2</mn></msup></mfrac><mo id="S6.E90.m1.2.2.3.1" xref="S6.E90.m1.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="S6.E90.m1.2.2.3.3" xref="S6.E90.m1.2.2.3.3.cmml"><mrow id="S6.E90.m1.2.2.3.3.2.2" xref="S6.E90.m1.1.1.cmml"><mo id="S6.E90.m1.2.2.3.3.2.2.1" xref="S6.E90.m1.1.1.cmml">(</mo><mfrac id="S6.E90.m1.1.1" xref="S6.E90.m1.1.1.cmml"><mi id="S6.E90.m1.1.1.2" xref="S6.E90.m1.1.1.2.cmml">t</mi><mi id="S6.E90.m1.1.1.3" xref="S6.E90.m1.1.1.3.cmml">q</mi></mfrac><mo id="S6.E90.m1.2.2.3.3.2.2.2" xref="S6.E90.m1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S6.E90.m1.2.2.3.3.3" xref="S6.E90.m1.2.2.3.3.3.cmml"><mi id="S6.E90.m1.2.2.3.3.3.2" xref="S6.E90.m1.2.2.3.3.3.2.cmml">t</mi><mo id="S6.E90.m1.2.2.3.3.3.1" xref="S6.E90.m1.2.2.3.3.3.1.cmml">−</mo><mn id="S6.E90.m1.2.2.3.3.3.3" xref="S6.E90.m1.2.2.3.3.3.3.cmml">2</mn></mrow></msup></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.E90.m1.2b"><apply id="S6.E90.m1.2.2.cmml" xref="S6.E90.m1.2.2"><leq id="S6.E90.m1.2.2.2.cmml" xref="S6.E90.m1.2.2.2"></leq><apply id="S6.E90.m1.2.2.1.cmml" xref="S6.E90.m1.2.2.1"><times id="S6.E90.m1.2.2.1.2.cmml" xref="S6.E90.m1.2.2.1.2"></times><apply id="S6.E90.m1.2.2.1.3.cmml" xref="S6.E90.m1.2.2.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.E90.m1.2.2.1.3.1.cmml" xref="S6.E90.m1.2.2.1.3">subscript</csymbol><ci id="S6.E90.m1.2.2.1.3.2.cmml" xref="S6.E90.m1.2.2.1.3.2">𝑑</ci><ci id="S6.E90.m1.2.2.1.3.3.cmml" xref="S6.E90.m1.2.2.1.3.3">𝑡</ci></apply><apply id="S6.E90.m1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S6.E90.m1.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.E90.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S6.E90.m1.2.2.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S6.E90.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S6.E90.m1.2.2.1.1.1.1.2">𝑞</ci><apply id="S6.E90.m1.2.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S6.E90.m1.2.2.1.1.1.1.3"><minus id="S6.E90.m1.2.2.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S6.E90.m1.2.2.1.1.1.1.3"></minus><cn id="S6.E90.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S6.E90.m1.2.2.1.1.1.1.3.2">2</cn></apply></apply></apply><apply id="S6.E90.m1.2.2.3.cmml" xref="S6.E90.m1.2.2.3"><times id="S6.E90.m1.2.2.3.1.cmml" xref="S6.E90.m1.2.2.3.1"></times><apply id="S6.E90.m1.2.2.3.2.cmml" xref="S6.E90.m1.2.2.3.2"><divide id="S6.E90.m1.2.2.3.2.1.cmml" xref="S6.E90.m1.2.2.3.2"></divide><cn id="S6.E90.m1.2.2.3.2.2.cmml" type="float" xref="S6.E90.m1.2.2.3.2.2">0.0496</cn><apply id="S6.E90.m1.2.2.3.2.3.cmml" xref="S6.E90.m1.2.2.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.E90.m1.2.2.3.2.3.1.cmml" xref="S6.E90.m1.2.2.3.2.3">superscript</csymbol><ci id="S6.E90.m1.2.2.3.2.3.2.cmml" xref="S6.E90.m1.2.2.3.2.3.2">𝑞</ci><cn id="S6.E90.m1.2.2.3.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S6.E90.m1.2.2.3.2.3.3">2</cn></apply></apply><apply id="S6.E90.m1.2.2.3.3.cmml" xref="S6.E90.m1.2.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.E90.m1.2.2.3.3.1.cmml" xref="S6.E90.m1.2.2.3.3">superscript</csymbol><apply id="S6.E90.m1.1.1.cmml" xref="S6.E90.m1.2.2.3.3.2.2"><divide id="S6.E90.m1.1.1.1.cmml" xref="S6.E90.m1.2.2.3.3.2.2"></divide><ci id="S6.E90.m1.1.1.2.cmml" xref="S6.E90.m1.1.1.2">𝑡</ci><ci id="S6.E90.m1.1.1.3.cmml" xref="S6.E90.m1.1.1.3">𝑞</ci></apply><apply id="S6.E90.m1.2.2.3.3.3.cmml" xref="S6.E90.m1.2.2.3.3.3"><minus id="S6.E90.m1.2.2.3.3.3.1.cmml" xref="S6.E90.m1.2.2.3.3.3.1"></minus><ci id="S6.E90.m1.2.2.3.3.3.2.cmml" xref="S6.E90.m1.2.2.3.3.3.2">𝑡</ci><cn id="S6.E90.m1.2.2.3.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S6.E90.m1.2.2.3.3.3.3">2</cn></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.E90.m1.2c">\displaystyle d_{t}(q^{-2})\leq\frac{0.0496}{q^{2}}\left(\frac{t}{q}\right)^{t% -2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.E90.m1.2d">italic_d start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( italic_q start_POSTSUPERSCRIPT - 2 end_POSTSUPERSCRIPT ) ≤ divide start_ARG 0.0496 end_ARG start_ARG italic_q start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG ( divide start_ARG italic_t end_ARG start_ARG italic_q end_ARG ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_t - 2 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(90)</span></td> </tr></tbody> </table> </div> </div> <div class="ltx_para" id="S6.SS1.p7"> <p class="ltx_p" id="S6.SS1.p7.2">This lemma is proved in Appendix <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#A4.SS3" title="D.3 Numerical Bound on the Derangement Polynomial (Proof of Lemma 45) ‣ Appendix D Properties of the Derangement Polynomial ‣ Conditional 𝑡-independent spectral gap for random quantum circuits and implications for 𝑡-design depths"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">D.3</span></a>. This bound, in turn, is actually adequate only for <math alttext="t\geq 7" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.SS1.p7.1.m1.1"><semantics id="S6.SS1.p7.1.m1.1a"><mrow id="S6.SS1.p7.1.m1.1.1" xref="S6.SS1.p7.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S6.SS1.p7.1.m1.1.1.2" xref="S6.SS1.p7.1.m1.1.1.2.cmml">t</mi><mo id="S6.SS1.p7.1.m1.1.1.1" xref="S6.SS1.p7.1.m1.1.1.1.cmml">≥</mo><mn id="S6.SS1.p7.1.m1.1.1.3" xref="S6.SS1.p7.1.m1.1.1.3.cmml">7</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.SS1.p7.1.m1.1b"><apply id="S6.SS1.p7.1.m1.1.1.cmml" xref="S6.SS1.p7.1.m1.1.1"><geq id="S6.SS1.p7.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S6.SS1.p7.1.m1.1.1.1"></geq><ci id="S6.SS1.p7.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S6.SS1.p7.1.m1.1.1.2">𝑡</ci><cn id="S6.SS1.p7.1.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S6.SS1.p7.1.m1.1.1.3">7</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.SS1.p7.1.m1.1c">t\geq 7</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.SS1.p7.1.m1.1d">italic_t ≥ 7</annotation></semantics></math>. For <math alttext="t<7" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.SS1.p7.2.m2.1"><semantics id="S6.SS1.p7.2.m2.1a"><mrow id="S6.SS1.p7.2.m2.1.1" xref="S6.SS1.p7.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S6.SS1.p7.2.m2.1.1.2" xref="S6.SS1.p7.2.m2.1.1.2.cmml">t</mi><mo id="S6.SS1.p7.2.m2.1.1.1" xref="S6.SS1.p7.2.m2.1.1.1.cmml"><</mo><mn id="S6.SS1.p7.2.m2.1.1.3" xref="S6.SS1.p7.2.m2.1.1.3.cmml">7</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.SS1.p7.2.m2.1b"><apply id="S6.SS1.p7.2.m2.1.1.cmml" xref="S6.SS1.p7.2.m2.1.1"><lt id="S6.SS1.p7.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S6.SS1.p7.2.m2.1.1.1"></lt><ci id="S6.SS1.p7.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S6.SS1.p7.2.m2.1.1.2">𝑡</ci><cn id="S6.SS1.p7.2.m2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S6.SS1.p7.2.m2.1.1.3">7</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.SS1.p7.2.m2.1c">t<7</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.SS1.p7.2.m2.1d">italic_t < 7</annotation></semantics></math>, we will need to consider the whole product together instead of bounding it term-by-term.</p> </div> </section> <section class="ltx_subsection" id="S6.SS2"> <h3 class="ltx_title ltx_title_subsection"> <span class="ltx_tag ltx_tag_subsection">VI.2 </span>Bounds for <math alttext="2<t<7" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.SS2.1.m1.1"><semantics id="S6.SS2.1.m1.1b"><mrow id="S6.SS2.1.m1.1.1" xref="S6.SS2.1.m1.1.1.cmml"><mn id="S6.SS2.1.m1.1.1.2" xref="S6.SS2.1.m1.1.1.2.cmml">2</mn><mo id="S6.SS2.1.m1.1.1.3" xref="S6.SS2.1.m1.1.1.3.cmml"><</mo><mi id="S6.SS2.1.m1.1.1.4" xref="S6.SS2.1.m1.1.1.4.cmml">t</mi><mo id="S6.SS2.1.m1.1.1.5" xref="S6.SS2.1.m1.1.1.5.cmml"><</mo><mn id="S6.SS2.1.m1.1.1.6" xref="S6.SS2.1.m1.1.1.6.cmml">7</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.SS2.1.m1.1c"><apply id="S6.SS2.1.m1.1.1.cmml" xref="S6.SS2.1.m1.1.1"><and id="S6.SS2.1.m1.1.1a.cmml" xref="S6.SS2.1.m1.1.1"></and><apply id="S6.SS2.1.m1.1.1b.cmml" xref="S6.SS2.1.m1.1.1"><lt id="S6.SS2.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S6.SS2.1.m1.1.1.3"></lt><cn id="S6.SS2.1.m1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S6.SS2.1.m1.1.1.2">2</cn><ci id="S6.SS2.1.m1.1.1.4.cmml" xref="S6.SS2.1.m1.1.1.4">𝑡</ci></apply><apply id="S6.SS2.1.m1.1.1c.cmml" xref="S6.SS2.1.m1.1.1"><lt id="S6.SS2.1.m1.1.1.5.cmml" xref="S6.SS2.1.m1.1.1.5"></lt><share href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#S6.SS2.1.m1.1.1.4.cmml" id="S6.SS2.1.m1.1.1d.cmml" xref="S6.SS2.1.m1.1.1"></share><cn id="S6.SS2.1.m1.1.1.6.cmml" type="integer" xref="S6.SS2.1.m1.1.1.6">7</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.SS2.1.m1.1d">2<t<7</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.SS2.1.m1.1e">2 < italic_t < 7</annotation></semantics></math> and <math alttext="q\geq t" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.SS2.2.m2.1"><semantics id="S6.SS2.2.m2.1b"><mrow id="S6.SS2.2.m2.1.1" xref="S6.SS2.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S6.SS2.2.m2.1.1.2" xref="S6.SS2.2.m2.1.1.2.cmml">q</mi><mo id="S6.SS2.2.m2.1.1.1" xref="S6.SS2.2.m2.1.1.1.cmml">≥</mo><mi id="S6.SS2.2.m2.1.1.3" xref="S6.SS2.2.m2.1.1.3.cmml">t</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.SS2.2.m2.1c"><apply id="S6.SS2.2.m2.1.1.cmml" xref="S6.SS2.2.m2.1.1"><geq id="S6.SS2.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S6.SS2.2.m2.1.1.1"></geq><ci id="S6.SS2.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S6.SS2.2.m2.1.1.2">𝑞</ci><ci id="S6.SS2.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S6.SS2.2.m2.1.1.3">𝑡</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.SS2.2.m2.1d">q\geq t</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.SS2.2.m2.1e">italic_q ≥ italic_t</annotation></semantics></math> (Lemma <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#Thmtheorem41" title="Lemma 41. ‣ VI Bounding the complete derangement block ‣ Conditional 𝑡-independent spectral gap for random quantum circuits and implications for 𝑡-design depths"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">41</span></a>)</h3> <div class="ltx_para" id="S6.SS2.p1"> <p class="ltx_p" id="S6.SS2.p1.5">The above bounds cover the case <math alttext="7\leq t\leq q" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.SS2.p1.1.m1.1"><semantics id="S6.SS2.p1.1.m1.1a"><mrow id="S6.SS2.p1.1.m1.1.1" xref="S6.SS2.p1.1.m1.1.1.cmml"><mn id="S6.SS2.p1.1.m1.1.1.2" xref="S6.SS2.p1.1.m1.1.1.2.cmml">7</mn><mo id="S6.SS2.p1.1.m1.1.1.3" xref="S6.SS2.p1.1.m1.1.1.3.cmml">≤</mo><mi id="S6.SS2.p1.1.m1.1.1.4" xref="S6.SS2.p1.1.m1.1.1.4.cmml">t</mi><mo id="S6.SS2.p1.1.m1.1.1.5" xref="S6.SS2.p1.1.m1.1.1.5.cmml">≤</mo><mi id="S6.SS2.p1.1.m1.1.1.6" xref="S6.SS2.p1.1.m1.1.1.6.cmml">q</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.SS2.p1.1.m1.1b"><apply id="S6.SS2.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S6.SS2.p1.1.m1.1.1"><and id="S6.SS2.p1.1.m1.1.1a.cmml" xref="S6.SS2.p1.1.m1.1.1"></and><apply id="S6.SS2.p1.1.m1.1.1b.cmml" xref="S6.SS2.p1.1.m1.1.1"><leq id="S6.SS2.p1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S6.SS2.p1.1.m1.1.1.3"></leq><cn id="S6.SS2.p1.1.m1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S6.SS2.p1.1.m1.1.1.2">7</cn><ci id="S6.SS2.p1.1.m1.1.1.4.cmml" xref="S6.SS2.p1.1.m1.1.1.4">𝑡</ci></apply><apply id="S6.SS2.p1.1.m1.1.1c.cmml" xref="S6.SS2.p1.1.m1.1.1"><leq id="S6.SS2.p1.1.m1.1.1.5.cmml" xref="S6.SS2.p1.1.m1.1.1.5"></leq><share href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#S6.SS2.p1.1.m1.1.1.4.cmml" id="S6.SS2.p1.1.m1.1.1d.cmml" xref="S6.SS2.p1.1.m1.1.1"></share><ci id="S6.SS2.p1.1.m1.1.1.6.cmml" xref="S6.SS2.p1.1.m1.1.1.6">𝑞</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.SS2.p1.1.m1.1c">7\leq t\leq q</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.SS2.p1.1.m1.1d">7 ≤ italic_t ≤ italic_q</annotation></semantics></math>. It remains to prove Lemma <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#Thmtheorem41" title="Lemma 41. ‣ VI Bounding the complete derangement block ‣ Conditional 𝑡-independent spectral gap for random quantum circuits and implications for 𝑡-design depths"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">41</span></a>. Our goal is to bound the dominant eigenvalue of <math alttext="M_{\sigma,\tau}^{ij}" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.SS2.p1.2.m2.2"><semantics id="S6.SS2.p1.2.m2.2a"><msubsup id="S6.SS2.p1.2.m2.2.3" xref="S6.SS2.p1.2.m2.2.3.cmml"><mi id="S6.SS2.p1.2.m2.2.3.2.2" xref="S6.SS2.p1.2.m2.2.3.2.2.cmml">M</mi><mrow id="S6.SS2.p1.2.m2.2.2.2.4" xref="S6.SS2.p1.2.m2.2.2.2.3.cmml"><mi id="S6.SS2.p1.2.m2.1.1.1.1" xref="S6.SS2.p1.2.m2.1.1.1.1.cmml">σ</mi><mo id="S6.SS2.p1.2.m2.2.2.2.4.1" xref="S6.SS2.p1.2.m2.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S6.SS2.p1.2.m2.2.2.2.2" xref="S6.SS2.p1.2.m2.2.2.2.2.cmml">τ</mi></mrow><mrow id="S6.SS2.p1.2.m2.2.3.3" xref="S6.SS2.p1.2.m2.2.3.3.cmml"><mi id="S6.SS2.p1.2.m2.2.3.3.2" xref="S6.SS2.p1.2.m2.2.3.3.2.cmml">i</mi><mo id="S6.SS2.p1.2.m2.2.3.3.1" xref="S6.SS2.p1.2.m2.2.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S6.SS2.p1.2.m2.2.3.3.3" xref="S6.SS2.p1.2.m2.2.3.3.3.cmml">j</mi></mrow></msubsup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.SS2.p1.2.m2.2b"><apply id="S6.SS2.p1.2.m2.2.3.cmml" xref="S6.SS2.p1.2.m2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.SS2.p1.2.m2.2.3.1.cmml" xref="S6.SS2.p1.2.m2.2.3">superscript</csymbol><apply id="S6.SS2.p1.2.m2.2.3.2.cmml" xref="S6.SS2.p1.2.m2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.SS2.p1.2.m2.2.3.2.1.cmml" xref="S6.SS2.p1.2.m2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S6.SS2.p1.2.m2.2.3.2.2.cmml" xref="S6.SS2.p1.2.m2.2.3.2.2">𝑀</ci><list id="S6.SS2.p1.2.m2.2.2.2.3.cmml" xref="S6.SS2.p1.2.m2.2.2.2.4"><ci id="S6.SS2.p1.2.m2.1.1.1.1.cmml" xref="S6.SS2.p1.2.m2.1.1.1.1">𝜎</ci><ci id="S6.SS2.p1.2.m2.2.2.2.2.cmml" xref="S6.SS2.p1.2.m2.2.2.2.2">𝜏</ci></list></apply><apply id="S6.SS2.p1.2.m2.2.3.3.cmml" xref="S6.SS2.p1.2.m2.2.3.3"><times id="S6.SS2.p1.2.m2.2.3.3.1.cmml" xref="S6.SS2.p1.2.m2.2.3.3.1"></times><ci id="S6.SS2.p1.2.m2.2.3.3.2.cmml" xref="S6.SS2.p1.2.m2.2.3.3.2">𝑖</ci><ci id="S6.SS2.p1.2.m2.2.3.3.3.cmml" xref="S6.SS2.p1.2.m2.2.3.3.3">𝑗</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.SS2.p1.2.m2.2c">M_{\sigma,\tau}^{ij}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.SS2.p1.2.m2.2d">italic_M start_POSTSUBSCRIPT italic_σ , italic_τ end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_i italic_j end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>, as defined in Lemma <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#Thmtheorem36" title="Lemma 36. ‣ V.1 Factorization of 𝐾_𝑚 ‣ V Structure of the 3-Site Operator ‣ Conditional 𝑡-independent spectral gap for random quantum circuits and implications for 𝑡-design depths"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">36</span></a>. An upper bound on the dominant eigenvalue of <math alttext="M" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.SS2.p1.3.m3.1"><semantics id="S6.SS2.p1.3.m3.1a"><mi id="S6.SS2.p1.3.m3.1.1" xref="S6.SS2.p1.3.m3.1.1.cmml">M</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.SS2.p1.3.m3.1b"><ci id="S6.SS2.p1.3.m3.1.1.cmml" xref="S6.SS2.p1.3.m3.1.1">𝑀</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.SS2.p1.3.m3.1c">M</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.SS2.p1.3.m3.1d">italic_M</annotation></semantics></math> is given by the operator norm of <math alttext="M" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.SS2.p1.4.m4.1"><semantics id="S6.SS2.p1.4.m4.1a"><mi id="S6.SS2.p1.4.m4.1.1" xref="S6.SS2.p1.4.m4.1.1.cmml">M</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.SS2.p1.4.m4.1b"><ci id="S6.SS2.p1.4.m4.1.1.cmml" xref="S6.SS2.p1.4.m4.1.1">𝑀</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.SS2.p1.4.m4.1c">M</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.SS2.p1.4.m4.1d">italic_M</annotation></semantics></math> with respect to <span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S6.SS2.p1.5.1">any</span> vector norm. With respect to the basis norm, <math alttext="D_{\nu}" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.SS2.p1.5.m5.1"><semantics id="S6.SS2.p1.5.m5.1a"><msub id="S6.SS2.p1.5.m5.1.1" xref="S6.SS2.p1.5.m5.1.1.cmml"><mi id="S6.SS2.p1.5.m5.1.1.2" xref="S6.SS2.p1.5.m5.1.1.2.cmml">D</mi><mi id="S6.SS2.p1.5.m5.1.1.3" xref="S6.SS2.p1.5.m5.1.1.3.cmml">ν</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.SS2.p1.5.m5.1b"><apply id="S6.SS2.p1.5.m5.1.1.cmml" xref="S6.SS2.p1.5.m5.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.SS2.p1.5.m5.1.1.1.cmml" xref="S6.SS2.p1.5.m5.1.1">subscript</csymbol><ci id="S6.SS2.p1.5.m5.1.1.2.cmml" xref="S6.SS2.p1.5.m5.1.1.2">𝐷</ci><ci id="S6.SS2.p1.5.m5.1.1.3.cmml" xref="S6.SS2.p1.5.m5.1.1.3">𝜈</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.SS2.p1.5.m5.1c">D_{\nu}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.SS2.p1.5.m5.1d">italic_D start_POSTSUBSCRIPT italic_ν end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> is a unitary operator. It follows that</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_gather ltx_eqn_table" id="S6.EGx81"> <tbody id="S6.E91"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\displaystyle||M_{m}||_{\text{basis}}\leq||W(Q_{1}Q_{2})D(Q_{2})C(Q_{1})||_{% \text{basis}}||W(Q_{2}Q_{3})D(Q_{2})C(Q_{3})||_{\text{basis}}=||H(Q_{1},Q_{2})% ||_{\text{basis}}||H(Q_{3},Q_{2})||_{\text{basis}}" class="ltx_Math" display="block" id="S6.E91.m1.5"><semantics id="S6.E91.m1.5a"><mrow id="S6.E91.m1.5.5" xref="S6.E91.m1.5.5.cmml"><msub id="S6.E91.m1.1.1.1" xref="S6.E91.m1.1.1.1.cmml"><mrow id="S6.E91.m1.1.1.1.1.1" xref="S6.E91.m1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S6.E91.m1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S6.E91.m1.1.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo><msub id="S6.E91.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S6.E91.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S6.E91.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S6.E91.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">M</mi><mi id="S6.E91.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S6.E91.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">m</mi></msub><mo id="S6.E91.m1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S6.E91.m1.1.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo></mrow><mtext id="S6.E91.m1.1.1.1.3" xref="S6.E91.m1.1.1.1.3a.cmml">basis</mtext></msub><mo id="S6.E91.m1.5.5.7" xref="S6.E91.m1.5.5.7.cmml">≤</mo><mrow id="S6.E91.m1.3.3.3" xref="S6.E91.m1.3.3.3.cmml"><msub id="S6.E91.m1.2.2.2.1" xref="S6.E91.m1.2.2.2.1.cmml"><mrow id="S6.E91.m1.2.2.2.1.1.1" xref="S6.E91.m1.2.2.2.1.1.2.cmml"><mo id="S6.E91.m1.2.2.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S6.E91.m1.2.2.2.1.1.2.1.cmml">‖</mo><mrow id="S6.E91.m1.2.2.2.1.1.1.1" xref="S6.E91.m1.2.2.2.1.1.1.1.cmml"><mi id="S6.E91.m1.2.2.2.1.1.1.1.5" xref="S6.E91.m1.2.2.2.1.1.1.1.5.cmml">W</mi><mo id="S6.E91.m1.2.2.2.1.1.1.1.4" xref="S6.E91.m1.2.2.2.1.1.1.1.4.cmml">⁢</mo><mrow id="S6.E91.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="S6.E91.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S6.E91.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S6.E91.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S6.E91.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S6.E91.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S6.E91.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S6.E91.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S6.E91.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S6.E91.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">Q</mi><mn id="S6.E91.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S6.E91.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S6.E91.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S6.E91.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S6.E91.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S6.E91.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S6.E91.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S6.E91.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">Q</mi><mn id="S6.E91.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S6.E91.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></msub></mrow><mo id="S6.E91.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S6.E91.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S6.E91.m1.2.2.2.1.1.1.1.4a" xref="S6.E91.m1.2.2.2.1.1.1.1.4.cmml">⁢</mo><mi id="S6.E91.m1.2.2.2.1.1.1.1.6" xref="S6.E91.m1.2.2.2.1.1.1.1.6.cmml">D</mi><mo id="S6.E91.m1.2.2.2.1.1.1.1.4b" xref="S6.E91.m1.2.2.2.1.1.1.1.4.cmml">⁢</mo><mrow id="S6.E91.m1.2.2.2.1.1.1.1.2.1" xref="S6.E91.m1.2.2.2.1.1.1.1.2.1.1.cmml"><mo id="S6.E91.m1.2.2.2.1.1.1.1.2.1.2" stretchy="false" xref="S6.E91.m1.2.2.2.1.1.1.1.2.1.1.cmml">(</mo><msub id="S6.E91.m1.2.2.2.1.1.1.1.2.1.1" xref="S6.E91.m1.2.2.2.1.1.1.1.2.1.1.cmml"><mi id="S6.E91.m1.2.2.2.1.1.1.1.2.1.1.2" xref="S6.E91.m1.2.2.2.1.1.1.1.2.1.1.2.cmml">Q</mi><mn id="S6.E91.m1.2.2.2.1.1.1.1.2.1.1.3" xref="S6.E91.m1.2.2.2.1.1.1.1.2.1.1.3.cmml">2</mn></msub><mo id="S6.E91.m1.2.2.2.1.1.1.1.2.1.3" stretchy="false" xref="S6.E91.m1.2.2.2.1.1.1.1.2.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S6.E91.m1.2.2.2.1.1.1.1.4c" xref="S6.E91.m1.2.2.2.1.1.1.1.4.cmml">⁢</mo><mi id="S6.E91.m1.2.2.2.1.1.1.1.7" xref="S6.E91.m1.2.2.2.1.1.1.1.7.cmml">C</mi><mo id="S6.E91.m1.2.2.2.1.1.1.1.4d" xref="S6.E91.m1.2.2.2.1.1.1.1.4.cmml">⁢</mo><mrow id="S6.E91.m1.2.2.2.1.1.1.1.3.1" xref="S6.E91.m1.2.2.2.1.1.1.1.3.1.1.cmml"><mo id="S6.E91.m1.2.2.2.1.1.1.1.3.1.2" stretchy="false" xref="S6.E91.m1.2.2.2.1.1.1.1.3.1.1.cmml">(</mo><msub id="S6.E91.m1.2.2.2.1.1.1.1.3.1.1" xref="S6.E91.m1.2.2.2.1.1.1.1.3.1.1.cmml"><mi id="S6.E91.m1.2.2.2.1.1.1.1.3.1.1.2" xref="S6.E91.m1.2.2.2.1.1.1.1.3.1.1.2.cmml">Q</mi><mn id="S6.E91.m1.2.2.2.1.1.1.1.3.1.1.3" xref="S6.E91.m1.2.2.2.1.1.1.1.3.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S6.E91.m1.2.2.2.1.1.1.1.3.1.3" stretchy="false" xref="S6.E91.m1.2.2.2.1.1.1.1.3.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S6.E91.m1.2.2.2.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S6.E91.m1.2.2.2.1.1.2.1.cmml">‖</mo></mrow><mtext id="S6.E91.m1.2.2.2.1.3" xref="S6.E91.m1.2.2.2.1.3a.cmml">basis</mtext></msub><mo id="S6.E91.m1.3.3.3.3" xref="S6.E91.m1.3.3.3.3.cmml">⁢</mo><msub id="S6.E91.m1.3.3.3.2" xref="S6.E91.m1.3.3.3.2.cmml"><mrow id="S6.E91.m1.3.3.3.2.1.1" xref="S6.E91.m1.3.3.3.2.1.2.cmml"><mo id="S6.E91.m1.3.3.3.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S6.E91.m1.3.3.3.2.1.2.1.cmml">‖</mo><mrow id="S6.E91.m1.3.3.3.2.1.1.1" xref="S6.E91.m1.3.3.3.2.1.1.1.cmml"><mi id="S6.E91.m1.3.3.3.2.1.1.1.5" xref="S6.E91.m1.3.3.3.2.1.1.1.5.cmml">W</mi><mo id="S6.E91.m1.3.3.3.2.1.1.1.4" xref="S6.E91.m1.3.3.3.2.1.1.1.4.cmml">⁢</mo><mrow id="S6.E91.m1.3.3.3.2.1.1.1.1.1" xref="S6.E91.m1.3.3.3.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S6.E91.m1.3.3.3.2.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S6.E91.m1.3.3.3.2.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S6.E91.m1.3.3.3.2.1.1.1.1.1.1" xref="S6.E91.m1.3.3.3.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S6.E91.m1.3.3.3.2.1.1.1.1.1.1.2" xref="S6.E91.m1.3.3.3.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S6.E91.m1.3.3.3.2.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S6.E91.m1.3.3.3.2.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">Q</mi><mn id="S6.E91.m1.3.3.3.2.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S6.E91.m1.3.3.3.2.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">2</mn></msub><mo id="S6.E91.m1.3.3.3.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S6.E91.m1.3.3.3.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S6.E91.m1.3.3.3.2.1.1.1.1.1.1.3" xref="S6.E91.m1.3.3.3.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S6.E91.m1.3.3.3.2.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S6.E91.m1.3.3.3.2.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">Q</mi><mn id="S6.E91.m1.3.3.3.2.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S6.E91.m1.3.3.3.2.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">3</mn></msub></mrow><mo id="S6.E91.m1.3.3.3.2.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S6.E91.m1.3.3.3.2.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S6.E91.m1.3.3.3.2.1.1.1.4a" xref="S6.E91.m1.3.3.3.2.1.1.1.4.cmml">⁢</mo><mi id="S6.E91.m1.3.3.3.2.1.1.1.6" xref="S6.E91.m1.3.3.3.2.1.1.1.6.cmml">D</mi><mo id="S6.E91.m1.3.3.3.2.1.1.1.4b" xref="S6.E91.m1.3.3.3.2.1.1.1.4.cmml">⁢</mo><mrow id="S6.E91.m1.3.3.3.2.1.1.1.2.1" xref="S6.E91.m1.3.3.3.2.1.1.1.2.1.1.cmml"><mo id="S6.E91.m1.3.3.3.2.1.1.1.2.1.2" stretchy="false" xref="S6.E91.m1.3.3.3.2.1.1.1.2.1.1.cmml">(</mo><msub id="S6.E91.m1.3.3.3.2.1.1.1.2.1.1" xref="S6.E91.m1.3.3.3.2.1.1.1.2.1.1.cmml"><mi id="S6.E91.m1.3.3.3.2.1.1.1.2.1.1.2" xref="S6.E91.m1.3.3.3.2.1.1.1.2.1.1.2.cmml">Q</mi><mn id="S6.E91.m1.3.3.3.2.1.1.1.2.1.1.3" xref="S6.E91.m1.3.3.3.2.1.1.1.2.1.1.3.cmml">2</mn></msub><mo id="S6.E91.m1.3.3.3.2.1.1.1.2.1.3" stretchy="false" xref="S6.E91.m1.3.3.3.2.1.1.1.2.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S6.E91.m1.3.3.3.2.1.1.1.4c" xref="S6.E91.m1.3.3.3.2.1.1.1.4.cmml">⁢</mo><mi id="S6.E91.m1.3.3.3.2.1.1.1.7" xref="S6.E91.m1.3.3.3.2.1.1.1.7.cmml">C</mi><mo id="S6.E91.m1.3.3.3.2.1.1.1.4d" xref="S6.E91.m1.3.3.3.2.1.1.1.4.cmml">⁢</mo><mrow id="S6.E91.m1.3.3.3.2.1.1.1.3.1" xref="S6.E91.m1.3.3.3.2.1.1.1.3.1.1.cmml"><mo id="S6.E91.m1.3.3.3.2.1.1.1.3.1.2" stretchy="false" xref="S6.E91.m1.3.3.3.2.1.1.1.3.1.1.cmml">(</mo><msub id="S6.E91.m1.3.3.3.2.1.1.1.3.1.1" xref="S6.E91.m1.3.3.3.2.1.1.1.3.1.1.cmml"><mi id="S6.E91.m1.3.3.3.2.1.1.1.3.1.1.2" xref="S6.E91.m1.3.3.3.2.1.1.1.3.1.1.2.cmml">Q</mi><mn id="S6.E91.m1.3.3.3.2.1.1.1.3.1.1.3" xref="S6.E91.m1.3.3.3.2.1.1.1.3.1.1.3.cmml">3</mn></msub><mo id="S6.E91.m1.3.3.3.2.1.1.1.3.1.3" stretchy="false" xref="S6.E91.m1.3.3.3.2.1.1.1.3.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S6.E91.m1.3.3.3.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S6.E91.m1.3.3.3.2.1.2.1.cmml">‖</mo></mrow><mtext id="S6.E91.m1.3.3.3.2.3" xref="S6.E91.m1.3.3.3.2.3a.cmml">basis</mtext></msub></mrow><mo id="S6.E91.m1.5.5.8" xref="S6.E91.m1.5.5.8.cmml">=</mo><mrow id="S6.E91.m1.5.5.5" xref="S6.E91.m1.5.5.5.cmml"><msub id="S6.E91.m1.4.4.4.1" xref="S6.E91.m1.4.4.4.1.cmml"><mrow id="S6.E91.m1.4.4.4.1.1.1" xref="S6.E91.m1.4.4.4.1.1.2.cmml"><mo id="S6.E91.m1.4.4.4.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S6.E91.m1.4.4.4.1.1.2.1.cmml">‖</mo><mrow id="S6.E91.m1.4.4.4.1.1.1.1" xref="S6.E91.m1.4.4.4.1.1.1.1.cmml"><mi id="S6.E91.m1.4.4.4.1.1.1.1.4" xref="S6.E91.m1.4.4.4.1.1.1.1.4.cmml">H</mi><mo id="S6.E91.m1.4.4.4.1.1.1.1.3" xref="S6.E91.m1.4.4.4.1.1.1.1.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S6.E91.m1.4.4.4.1.1.1.1.2.2" xref="S6.E91.m1.4.4.4.1.1.1.1.2.3.cmml"><mo id="S6.E91.m1.4.4.4.1.1.1.1.2.2.3" stretchy="false" xref="S6.E91.m1.4.4.4.1.1.1.1.2.3.cmml">(</mo><msub id="S6.E91.m1.4.4.4.1.1.1.1.1.1.1" xref="S6.E91.m1.4.4.4.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S6.E91.m1.4.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S6.E91.m1.4.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">Q</mi><mn id="S6.E91.m1.4.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S6.E91.m1.4.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S6.E91.m1.4.4.4.1.1.1.1.2.2.4" xref="S6.E91.m1.4.4.4.1.1.1.1.2.3.cmml">,</mo><msub id="S6.E91.m1.4.4.4.1.1.1.1.2.2.2" xref="S6.E91.m1.4.4.4.1.1.1.1.2.2.2.cmml"><mi id="S6.E91.m1.4.4.4.1.1.1.1.2.2.2.2" xref="S6.E91.m1.4.4.4.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml">Q</mi><mn id="S6.E91.m1.4.4.4.1.1.1.1.2.2.2.3" xref="S6.E91.m1.4.4.4.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml">2</mn></msub><mo id="S6.E91.m1.4.4.4.1.1.1.1.2.2.5" stretchy="false" xref="S6.E91.m1.4.4.4.1.1.1.1.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S6.E91.m1.4.4.4.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S6.E91.m1.4.4.4.1.1.2.1.cmml">‖</mo></mrow><mtext id="S6.E91.m1.4.4.4.1.3" xref="S6.E91.m1.4.4.4.1.3a.cmml">basis</mtext></msub><mo id="S6.E91.m1.5.5.5.3" xref="S6.E91.m1.5.5.5.3.cmml">⁢</mo><msub id="S6.E91.m1.5.5.5.2" xref="S6.E91.m1.5.5.5.2.cmml"><mrow id="S6.E91.m1.5.5.5.2.1.1" xref="S6.E91.m1.5.5.5.2.1.2.cmml"><mo id="S6.E91.m1.5.5.5.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S6.E91.m1.5.5.5.2.1.2.1.cmml">‖</mo><mrow id="S6.E91.m1.5.5.5.2.1.1.1" xref="S6.E91.m1.5.5.5.2.1.1.1.cmml"><mi id="S6.E91.m1.5.5.5.2.1.1.1.4" xref="S6.E91.m1.5.5.5.2.1.1.1.4.cmml">H</mi><mo id="S6.E91.m1.5.5.5.2.1.1.1.3" xref="S6.E91.m1.5.5.5.2.1.1.1.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S6.E91.m1.5.5.5.2.1.1.1.2.2" xref="S6.E91.m1.5.5.5.2.1.1.1.2.3.cmml"><mo id="S6.E91.m1.5.5.5.2.1.1.1.2.2.3" stretchy="false" xref="S6.E91.m1.5.5.5.2.1.1.1.2.3.cmml">(</mo><msub id="S6.E91.m1.5.5.5.2.1.1.1.1.1.1" xref="S6.E91.m1.5.5.5.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S6.E91.m1.5.5.5.2.1.1.1.1.1.1.2" xref="S6.E91.m1.5.5.5.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml">Q</mi><mn id="S6.E91.m1.5.5.5.2.1.1.1.1.1.1.3" xref="S6.E91.m1.5.5.5.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml">3</mn></msub><mo id="S6.E91.m1.5.5.5.2.1.1.1.2.2.4" xref="S6.E91.m1.5.5.5.2.1.1.1.2.3.cmml">,</mo><msub id="S6.E91.m1.5.5.5.2.1.1.1.2.2.2" xref="S6.E91.m1.5.5.5.2.1.1.1.2.2.2.cmml"><mi id="S6.E91.m1.5.5.5.2.1.1.1.2.2.2.2" xref="S6.E91.m1.5.5.5.2.1.1.1.2.2.2.2.cmml">Q</mi><mn id="S6.E91.m1.5.5.5.2.1.1.1.2.2.2.3" xref="S6.E91.m1.5.5.5.2.1.1.1.2.2.2.3.cmml">2</mn></msub><mo id="S6.E91.m1.5.5.5.2.1.1.1.2.2.5" stretchy="false" xref="S6.E91.m1.5.5.5.2.1.1.1.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S6.E91.m1.5.5.5.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S6.E91.m1.5.5.5.2.1.2.1.cmml">‖</mo></mrow><mtext id="S6.E91.m1.5.5.5.2.3" xref="S6.E91.m1.5.5.5.2.3a.cmml">basis</mtext></msub></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.E91.m1.5b"><apply id="S6.E91.m1.5.5.cmml" xref="S6.E91.m1.5.5"><and id="S6.E91.m1.5.5a.cmml" xref="S6.E91.m1.5.5"></and><apply id="S6.E91.m1.5.5b.cmml" xref="S6.E91.m1.5.5"><leq id="S6.E91.m1.5.5.7.cmml" xref="S6.E91.m1.5.5.7"></leq><apply id="S6.E91.m1.1.1.1.cmml" xref="S6.E91.m1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.E91.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S6.E91.m1.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="S6.E91.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S6.E91.m1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S6.E91.m1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S6.E91.m1.1.1.1.1.1.2">norm</csymbol><apply id="S6.E91.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S6.E91.m1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.E91.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S6.E91.m1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S6.E91.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S6.E91.m1.1.1.1.1.1.1.2">𝑀</ci><ci id="S6.E91.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S6.E91.m1.1.1.1.1.1.1.3">𝑚</ci></apply></apply><ci id="S6.E91.m1.1.1.1.3a.cmml" xref="S6.E91.m1.1.1.1.3"><mtext id="S6.E91.m1.1.1.1.3.cmml" mathsize="70%" xref="S6.E91.m1.1.1.1.3">basis</mtext></ci></apply><apply id="S6.E91.m1.3.3.3.cmml" xref="S6.E91.m1.3.3.3"><times id="S6.E91.m1.3.3.3.3.cmml" xref="S6.E91.m1.3.3.3.3"></times><apply id="S6.E91.m1.2.2.2.1.cmml" xref="S6.E91.m1.2.2.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.E91.m1.2.2.2.1.2.cmml" xref="S6.E91.m1.2.2.2.1">subscript</csymbol><apply id="S6.E91.m1.2.2.2.1.1.2.cmml" xref="S6.E91.m1.2.2.2.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S6.E91.m1.2.2.2.1.1.2.1.cmml" xref="S6.E91.m1.2.2.2.1.1.1.2">norm</csymbol><apply id="S6.E91.m1.2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S6.E91.m1.2.2.2.1.1.1.1"><times id="S6.E91.m1.2.2.2.1.1.1.1.4.cmml" xref="S6.E91.m1.2.2.2.1.1.1.1.4"></times><ci id="S6.E91.m1.2.2.2.1.1.1.1.5.cmml" xref="S6.E91.m1.2.2.2.1.1.1.1.5">𝑊</ci><apply id="S6.E91.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S6.E91.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1"><times id="S6.E91.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S6.E91.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1"></times><apply id="S6.E91.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S6.E91.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.E91.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S6.E91.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S6.E91.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S6.E91.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝑄</ci><cn id="S6.E91.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S6.E91.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.3">1</cn></apply><apply id="S6.E91.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S6.E91.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.E91.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S6.E91.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S6.E91.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S6.E91.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑄</ci><cn id="S6.E91.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S6.E91.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3">2</cn></apply></apply><ci id="S6.E91.m1.2.2.2.1.1.1.1.6.cmml" xref="S6.E91.m1.2.2.2.1.1.1.1.6">𝐷</ci><apply id="S6.E91.m1.2.2.2.1.1.1.1.2.1.1.cmml" xref="S6.E91.m1.2.2.2.1.1.1.1.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.E91.m1.2.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml" xref="S6.E91.m1.2.2.2.1.1.1.1.2.1">subscript</csymbol><ci id="S6.E91.m1.2.2.2.1.1.1.1.2.1.1.2.cmml" xref="S6.E91.m1.2.2.2.1.1.1.1.2.1.1.2">𝑄</ci><cn id="S6.E91.m1.2.2.2.1.1.1.1.2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S6.E91.m1.2.2.2.1.1.1.1.2.1.1.3">2</cn></apply><ci id="S6.E91.m1.2.2.2.1.1.1.1.7.cmml" xref="S6.E91.m1.2.2.2.1.1.1.1.7">𝐶</ci><apply 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id="S6.E91.m1.3.3.3.2.1.1.1.4.cmml" xref="S6.E91.m1.3.3.3.2.1.1.1.4"></times><ci id="S6.E91.m1.3.3.3.2.1.1.1.5.cmml" xref="S6.E91.m1.3.3.3.2.1.1.1.5">𝑊</ci><apply id="S6.E91.m1.3.3.3.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S6.E91.m1.3.3.3.2.1.1.1.1.1"><times id="S6.E91.m1.3.3.3.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S6.E91.m1.3.3.3.2.1.1.1.1.1.1.1"></times><apply id="S6.E91.m1.3.3.3.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S6.E91.m1.3.3.3.2.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.E91.m1.3.3.3.2.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S6.E91.m1.3.3.3.2.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S6.E91.m1.3.3.3.2.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S6.E91.m1.3.3.3.2.1.1.1.1.1.1.2.2">𝑄</ci><cn id="S6.E91.m1.3.3.3.2.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S6.E91.m1.3.3.3.2.1.1.1.1.1.1.2.3">2</cn></apply><apply id="S6.E91.m1.3.3.3.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S6.E91.m1.3.3.3.2.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.E91.m1.3.3.3.2.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S6.E91.m1.3.3.3.2.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S6.E91.m1.3.3.3.2.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S6.E91.m1.3.3.3.2.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑄</ci><cn id="S6.E91.m1.3.3.3.2.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S6.E91.m1.3.3.3.2.1.1.1.1.1.1.3.3">3</cn></apply></apply><ci id="S6.E91.m1.3.3.3.2.1.1.1.6.cmml" xref="S6.E91.m1.3.3.3.2.1.1.1.6">𝐷</ci><apply id="S6.E91.m1.3.3.3.2.1.1.1.2.1.1.cmml" xref="S6.E91.m1.3.3.3.2.1.1.1.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.E91.m1.3.3.3.2.1.1.1.2.1.1.1.cmml" xref="S6.E91.m1.3.3.3.2.1.1.1.2.1">subscript</csymbol><ci id="S6.E91.m1.3.3.3.2.1.1.1.2.1.1.2.cmml" xref="S6.E91.m1.3.3.3.2.1.1.1.2.1.1.2">𝑄</ci><cn id="S6.E91.m1.3.3.3.2.1.1.1.2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S6.E91.m1.3.3.3.2.1.1.1.2.1.1.3">2</cn></apply><ci id="S6.E91.m1.3.3.3.2.1.1.1.7.cmml" xref="S6.E91.m1.3.3.3.2.1.1.1.7">𝐶</ci><apply id="S6.E91.m1.3.3.3.2.1.1.1.3.1.1.cmml" xref="S6.E91.m1.3.3.3.2.1.1.1.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.E91.m1.3.3.3.2.1.1.1.3.1.1.1.cmml" xref="S6.E91.m1.3.3.3.2.1.1.1.3.1">subscript</csymbol><ci id="S6.E91.m1.3.3.3.2.1.1.1.3.1.1.2.cmml" xref="S6.E91.m1.3.3.3.2.1.1.1.3.1.1.2">𝑄</ci><cn id="S6.E91.m1.3.3.3.2.1.1.1.3.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S6.E91.m1.3.3.3.2.1.1.1.3.1.1.3">3</cn></apply></apply></apply><ci id="S6.E91.m1.3.3.3.2.3a.cmml" xref="S6.E91.m1.3.3.3.2.3"><mtext id="S6.E91.m1.3.3.3.2.3.cmml" mathsize="70%" xref="S6.E91.m1.3.3.3.2.3">basis</mtext></ci></apply></apply></apply><apply id="S6.E91.m1.5.5c.cmml" xref="S6.E91.m1.5.5"><eq id="S6.E91.m1.5.5.8.cmml" xref="S6.E91.m1.5.5.8"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#S6.E91.m1.3.3.3.cmml" id="S6.E91.m1.5.5d.cmml" xref="S6.E91.m1.5.5"></share><apply id="S6.E91.m1.5.5.5.cmml" xref="S6.E91.m1.5.5.5"><times id="S6.E91.m1.5.5.5.3.cmml" xref="S6.E91.m1.5.5.5.3"></times><apply id="S6.E91.m1.4.4.4.1.cmml" xref="S6.E91.m1.4.4.4.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.E91.m1.4.4.4.1.2.cmml" xref="S6.E91.m1.4.4.4.1">subscript</csymbol><apply id="S6.E91.m1.4.4.4.1.1.2.cmml" xref="S6.E91.m1.4.4.4.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S6.E91.m1.4.4.4.1.1.2.1.cmml" xref="S6.E91.m1.4.4.4.1.1.1.2">norm</csymbol><apply id="S6.E91.m1.4.4.4.1.1.1.1.cmml" xref="S6.E91.m1.4.4.4.1.1.1.1"><times id="S6.E91.m1.4.4.4.1.1.1.1.3.cmml" xref="S6.E91.m1.4.4.4.1.1.1.1.3"></times><ci id="S6.E91.m1.4.4.4.1.1.1.1.4.cmml" xref="S6.E91.m1.4.4.4.1.1.1.1.4">𝐻</ci><interval closure="open" id="S6.E91.m1.4.4.4.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S6.E91.m1.4.4.4.1.1.1.1.2.2"><apply id="S6.E91.m1.4.4.4.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S6.E91.m1.4.4.4.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.E91.m1.4.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S6.E91.m1.4.4.4.1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S6.E91.m1.4.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S6.E91.m1.4.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑄</ci><cn id="S6.E91.m1.4.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S6.E91.m1.4.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3">1</cn></apply><apply id="S6.E91.m1.4.4.4.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S6.E91.m1.4.4.4.1.1.1.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.E91.m1.4.4.4.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S6.E91.m1.4.4.4.1.1.1.1.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S6.E91.m1.4.4.4.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S6.E91.m1.4.4.4.1.1.1.1.2.2.2.2">𝑄</ci><cn id="S6.E91.m1.4.4.4.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S6.E91.m1.4.4.4.1.1.1.1.2.2.2.3">2</cn></apply></interval></apply></apply><ci id="S6.E91.m1.4.4.4.1.3a.cmml" xref="S6.E91.m1.4.4.4.1.3"><mtext id="S6.E91.m1.4.4.4.1.3.cmml" mathsize="70%" xref="S6.E91.m1.4.4.4.1.3">basis</mtext></ci></apply><apply id="S6.E91.m1.5.5.5.2.cmml" xref="S6.E91.m1.5.5.5.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.E91.m1.5.5.5.2.2.cmml" xref="S6.E91.m1.5.5.5.2">subscript</csymbol><apply id="S6.E91.m1.5.5.5.2.1.2.cmml" xref="S6.E91.m1.5.5.5.2.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S6.E91.m1.5.5.5.2.1.2.1.cmml" xref="S6.E91.m1.5.5.5.2.1.1.2">norm</csymbol><apply id="S6.E91.m1.5.5.5.2.1.1.1.cmml" xref="S6.E91.m1.5.5.5.2.1.1.1"><times id="S6.E91.m1.5.5.5.2.1.1.1.3.cmml" xref="S6.E91.m1.5.5.5.2.1.1.1.3"></times><ci id="S6.E91.m1.5.5.5.2.1.1.1.4.cmml" 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id="S6.E91.m1.5.5.5.2.3a.cmml" xref="S6.E91.m1.5.5.5.2.3"><mtext id="S6.E91.m1.5.5.5.2.3.cmml" mathsize="70%" xref="S6.E91.m1.5.5.5.2.3">basis</mtext></ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.E91.m1.5c">\displaystyle||M_{m}||_{\text{basis}}\leq||W(Q_{1}Q_{2})D(Q_{2})C(Q_{1})||_{% \text{basis}}||W(Q_{2}Q_{3})D(Q_{2})C(Q_{3})||_{\text{basis}}=||H(Q_{1},Q_{2})% ||_{\text{basis}}||H(Q_{3},Q_{2})||_{\text{basis}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.E91.m1.5d">| | italic_M start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT | | start_POSTSUBSCRIPT basis end_POSTSUBSCRIPT ≤ | | italic_W ( italic_Q start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT italic_Q start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT ) italic_D ( italic_Q start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT ) italic_C ( italic_Q start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ) | | start_POSTSUBSCRIPT basis end_POSTSUBSCRIPT | | italic_W ( italic_Q start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT italic_Q start_POSTSUBSCRIPT 3 end_POSTSUBSCRIPT ) italic_D ( italic_Q start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT ) italic_C ( italic_Q start_POSTSUBSCRIPT 3 end_POSTSUBSCRIPT ) | | start_POSTSUBSCRIPT basis end_POSTSUBSCRIPT = | | italic_H ( italic_Q start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , italic_Q start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT ) | | start_POSTSUBSCRIPT basis end_POSTSUBSCRIPT | | italic_H ( italic_Q start_POSTSUBSCRIPT 3 end_POSTSUBSCRIPT , italic_Q start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT ) | | start_POSTSUBSCRIPT basis end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(91)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S6.SS2.p1.8">where we define the half-operator</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_gather ltx_eqn_table" id="S6.EGx82"> <tbody id="S6.E92"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\displaystyle H(Q_{1},Q_{2})=W(Q_{1}Q_{2})D(Q_{2})C(Q_{1})" class="ltx_Math" display="block" id="S6.E92.m1.5"><semantics id="S6.E92.m1.5a"><mrow id="S6.E92.m1.5.5" xref="S6.E92.m1.5.5.cmml"><mrow id="S6.E92.m1.2.2.2" xref="S6.E92.m1.2.2.2.cmml"><mi id="S6.E92.m1.2.2.2.4" xref="S6.E92.m1.2.2.2.4.cmml">H</mi><mo id="S6.E92.m1.2.2.2.3" xref="S6.E92.m1.2.2.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S6.E92.m1.2.2.2.2.2" xref="S6.E92.m1.2.2.2.2.3.cmml"><mo id="S6.E92.m1.2.2.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S6.E92.m1.2.2.2.2.3.cmml">(</mo><msub id="S6.E92.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S6.E92.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S6.E92.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S6.E92.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">Q</mi><mn id="S6.E92.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S6.E92.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S6.E92.m1.2.2.2.2.2.4" xref="S6.E92.m1.2.2.2.2.3.cmml">,</mo><msub id="S6.E92.m1.2.2.2.2.2.2" xref="S6.E92.m1.2.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="S6.E92.m1.2.2.2.2.2.2.2" xref="S6.E92.m1.2.2.2.2.2.2.2.cmml">Q</mi><mn id="S6.E92.m1.2.2.2.2.2.2.3" xref="S6.E92.m1.2.2.2.2.2.2.3.cmml">2</mn></msub><mo id="S6.E92.m1.2.2.2.2.2.5" stretchy="false" xref="S6.E92.m1.2.2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S6.E92.m1.5.5.6" xref="S6.E92.m1.5.5.6.cmml">=</mo><mrow id="S6.E92.m1.5.5.5" xref="S6.E92.m1.5.5.5.cmml"><mi id="S6.E92.m1.5.5.5.5" xref="S6.E92.m1.5.5.5.5.cmml">W</mi><mo id="S6.E92.m1.5.5.5.4" xref="S6.E92.m1.5.5.5.4.cmml">⁢</mo><mrow id="S6.E92.m1.3.3.3.1.1" xref="S6.E92.m1.3.3.3.1.1.1.cmml"><mo id="S6.E92.m1.3.3.3.1.1.2" stretchy="false" xref="S6.E92.m1.3.3.3.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S6.E92.m1.3.3.3.1.1.1" xref="S6.E92.m1.3.3.3.1.1.1.cmml"><msub id="S6.E92.m1.3.3.3.1.1.1.2" xref="S6.E92.m1.3.3.3.1.1.1.2.cmml"><mi id="S6.E92.m1.3.3.3.1.1.1.2.2" xref="S6.E92.m1.3.3.3.1.1.1.2.2.cmml">Q</mi><mn id="S6.E92.m1.3.3.3.1.1.1.2.3" xref="S6.E92.m1.3.3.3.1.1.1.2.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S6.E92.m1.3.3.3.1.1.1.1" xref="S6.E92.m1.3.3.3.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S6.E92.m1.3.3.3.1.1.1.3" xref="S6.E92.m1.3.3.3.1.1.1.3.cmml"><mi id="S6.E92.m1.3.3.3.1.1.1.3.2" xref="S6.E92.m1.3.3.3.1.1.1.3.2.cmml">Q</mi><mn id="S6.E92.m1.3.3.3.1.1.1.3.3" xref="S6.E92.m1.3.3.3.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></msub></mrow><mo id="S6.E92.m1.3.3.3.1.1.3" stretchy="false" xref="S6.E92.m1.3.3.3.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S6.E92.m1.5.5.5.4a" xref="S6.E92.m1.5.5.5.4.cmml">⁢</mo><mi id="S6.E92.m1.5.5.5.6" xref="S6.E92.m1.5.5.5.6.cmml">D</mi><mo id="S6.E92.m1.5.5.5.4b" xref="S6.E92.m1.5.5.5.4.cmml">⁢</mo><mrow id="S6.E92.m1.4.4.4.2.1" xref="S6.E92.m1.4.4.4.2.1.1.cmml"><mo id="S6.E92.m1.4.4.4.2.1.2" stretchy="false" xref="S6.E92.m1.4.4.4.2.1.1.cmml">(</mo><msub id="S6.E92.m1.4.4.4.2.1.1" xref="S6.E92.m1.4.4.4.2.1.1.cmml"><mi id="S6.E92.m1.4.4.4.2.1.1.2" xref="S6.E92.m1.4.4.4.2.1.1.2.cmml">Q</mi><mn id="S6.E92.m1.4.4.4.2.1.1.3" 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id="S6.E92.m1.2.2.2.cmml" xref="S6.E92.m1.2.2.2"><times id="S6.E92.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S6.E92.m1.2.2.2.3"></times><ci id="S6.E92.m1.2.2.2.4.cmml" xref="S6.E92.m1.2.2.2.4">𝐻</ci><interval closure="open" id="S6.E92.m1.2.2.2.2.3.cmml" xref="S6.E92.m1.2.2.2.2.2"><apply id="S6.E92.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S6.E92.m1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.E92.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S6.E92.m1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S6.E92.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S6.E92.m1.1.1.1.1.1.1.2">𝑄</ci><cn id="S6.E92.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S6.E92.m1.1.1.1.1.1.1.3">1</cn></apply><apply id="S6.E92.m1.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S6.E92.m1.2.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.E92.m1.2.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S6.E92.m1.2.2.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S6.E92.m1.2.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S6.E92.m1.2.2.2.2.2.2.2">𝑄</ci><cn id="S6.E92.m1.2.2.2.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S6.E92.m1.2.2.2.2.2.2.3">2</cn></apply></interval></apply><apply id="S6.E92.m1.5.5.5.cmml" xref="S6.E92.m1.5.5.5"><times id="S6.E92.m1.5.5.5.4.cmml" xref="S6.E92.m1.5.5.5.4"></times><ci id="S6.E92.m1.5.5.5.5.cmml" xref="S6.E92.m1.5.5.5.5">𝑊</ci><apply id="S6.E92.m1.3.3.3.1.1.1.cmml" xref="S6.E92.m1.3.3.3.1.1"><times id="S6.E92.m1.3.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S6.E92.m1.3.3.3.1.1.1.1"></times><apply id="S6.E92.m1.3.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="S6.E92.m1.3.3.3.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.E92.m1.3.3.3.1.1.1.2.1.cmml" xref="S6.E92.m1.3.3.3.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S6.E92.m1.3.3.3.1.1.1.2.2.cmml" xref="S6.E92.m1.3.3.3.1.1.1.2.2">𝑄</ci><cn id="S6.E92.m1.3.3.3.1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S6.E92.m1.3.3.3.1.1.1.2.3">1</cn></apply><apply id="S6.E92.m1.3.3.3.1.1.1.3.cmml" xref="S6.E92.m1.3.3.3.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.E92.m1.3.3.3.1.1.1.3.1.cmml" xref="S6.E92.m1.3.3.3.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S6.E92.m1.3.3.3.1.1.1.3.2.cmml" xref="S6.E92.m1.3.3.3.1.1.1.3.2">𝑄</ci><cn id="S6.E92.m1.3.3.3.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S6.E92.m1.3.3.3.1.1.1.3.3">2</cn></apply></apply><ci id="S6.E92.m1.5.5.5.6.cmml" xref="S6.E92.m1.5.5.5.6">𝐷</ci><apply id="S6.E92.m1.4.4.4.2.1.1.cmml" xref="S6.E92.m1.4.4.4.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.E92.m1.4.4.4.2.1.1.1.cmml" xref="S6.E92.m1.4.4.4.2.1">subscript</csymbol><ci id="S6.E92.m1.4.4.4.2.1.1.2.cmml" xref="S6.E92.m1.4.4.4.2.1.1.2">𝑄</ci><cn id="S6.E92.m1.4.4.4.2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S6.E92.m1.4.4.4.2.1.1.3">2</cn></apply><ci id="S6.E92.m1.5.5.5.7.cmml" xref="S6.E92.m1.5.5.5.7">𝐶</ci><apply id="S6.E92.m1.5.5.5.3.1.1.cmml" xref="S6.E92.m1.5.5.5.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.E92.m1.5.5.5.3.1.1.1.cmml" xref="S6.E92.m1.5.5.5.3.1">subscript</csymbol><ci id="S6.E92.m1.5.5.5.3.1.1.2.cmml" xref="S6.E92.m1.5.5.5.3.1.1.2">𝑄</ci><cn id="S6.E92.m1.5.5.5.3.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S6.E92.m1.5.5.5.3.1.1.3">1</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.E92.m1.5c">\displaystyle H(Q_{1},Q_{2})=W(Q_{1}Q_{2})D(Q_{2})C(Q_{1})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.E92.m1.5d">italic_H ( italic_Q start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , italic_Q start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT ) = italic_W ( italic_Q start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT italic_Q start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT ) italic_D ( italic_Q start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT ) italic_C ( italic_Q start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(92)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S6.SS2.p1.7">In order to bound this operator, consider the Weingarten function. There exist polynomials <math alttext="f_{t}" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.SS2.p1.6.m1.1"><semantics id="S6.SS2.p1.6.m1.1a"><msub id="S6.SS2.p1.6.m1.1.1" xref="S6.SS2.p1.6.m1.1.1.cmml"><mi id="S6.SS2.p1.6.m1.1.1.2" xref="S6.SS2.p1.6.m1.1.1.2.cmml">f</mi><mi id="S6.SS2.p1.6.m1.1.1.3" xref="S6.SS2.p1.6.m1.1.1.3.cmml">t</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.SS2.p1.6.m1.1b"><apply id="S6.SS2.p1.6.m1.1.1.cmml" xref="S6.SS2.p1.6.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.SS2.p1.6.m1.1.1.1.cmml" xref="S6.SS2.p1.6.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S6.SS2.p1.6.m1.1.1.2.cmml" xref="S6.SS2.p1.6.m1.1.1.2">𝑓</ci><ci id="S6.SS2.p1.6.m1.1.1.3.cmml" xref="S6.SS2.p1.6.m1.1.1.3">𝑡</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.SS2.p1.6.m1.1c">f_{t}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.SS2.p1.6.m1.1d">italic_f start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> and <math alttext="g_{\sigma^{-1}\tau}" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.SS2.p1.7.m2.1"><semantics id="S6.SS2.p1.7.m2.1a"><msub id="S6.SS2.p1.7.m2.1.1" xref="S6.SS2.p1.7.m2.1.1.cmml"><mi id="S6.SS2.p1.7.m2.1.1.2" xref="S6.SS2.p1.7.m2.1.1.2.cmml">g</mi><mrow id="S6.SS2.p1.7.m2.1.1.3" xref="S6.SS2.p1.7.m2.1.1.3.cmml"><msup id="S6.SS2.p1.7.m2.1.1.3.2" xref="S6.SS2.p1.7.m2.1.1.3.2.cmml"><mi id="S6.SS2.p1.7.m2.1.1.3.2.2" xref="S6.SS2.p1.7.m2.1.1.3.2.2.cmml">σ</mi><mrow id="S6.SS2.p1.7.m2.1.1.3.2.3" xref="S6.SS2.p1.7.m2.1.1.3.2.3.cmml"><mo id="S6.SS2.p1.7.m2.1.1.3.2.3a" xref="S6.SS2.p1.7.m2.1.1.3.2.3.cmml">−</mo><mn id="S6.SS2.p1.7.m2.1.1.3.2.3.2" xref="S6.SS2.p1.7.m2.1.1.3.2.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="S6.SS2.p1.7.m2.1.1.3.1" xref="S6.SS2.p1.7.m2.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S6.SS2.p1.7.m2.1.1.3.3" xref="S6.SS2.p1.7.m2.1.1.3.3.cmml">τ</mi></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.SS2.p1.7.m2.1b"><apply id="S6.SS2.p1.7.m2.1.1.cmml" xref="S6.SS2.p1.7.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.SS2.p1.7.m2.1.1.1.cmml" xref="S6.SS2.p1.7.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S6.SS2.p1.7.m2.1.1.2.cmml" xref="S6.SS2.p1.7.m2.1.1.2">𝑔</ci><apply id="S6.SS2.p1.7.m2.1.1.3.cmml" xref="S6.SS2.p1.7.m2.1.1.3"><times id="S6.SS2.p1.7.m2.1.1.3.1.cmml" xref="S6.SS2.p1.7.m2.1.1.3.1"></times><apply id="S6.SS2.p1.7.m2.1.1.3.2.cmml" xref="S6.SS2.p1.7.m2.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.SS2.p1.7.m2.1.1.3.2.1.cmml" xref="S6.SS2.p1.7.m2.1.1.3.2">superscript</csymbol><ci id="S6.SS2.p1.7.m2.1.1.3.2.2.cmml" xref="S6.SS2.p1.7.m2.1.1.3.2.2">𝜎</ci><apply id="S6.SS2.p1.7.m2.1.1.3.2.3.cmml" xref="S6.SS2.p1.7.m2.1.1.3.2.3"><minus id="S6.SS2.p1.7.m2.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S6.SS2.p1.7.m2.1.1.3.2.3"></minus><cn id="S6.SS2.p1.7.m2.1.1.3.2.3.2.cmml" type="integer" xref="S6.SS2.p1.7.m2.1.1.3.2.3.2">1</cn></apply></apply><ci id="S6.SS2.p1.7.m2.1.1.3.3.cmml" xref="S6.SS2.p1.7.m2.1.1.3.3">𝜏</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.SS2.p1.7.m2.1c">g_{\sigma^{-1}\tau}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.SS2.p1.7.m2.1d">italic_g start_POSTSUBSCRIPT italic_σ start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT italic_τ end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> such that</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_gather ltx_eqn_table" id="S6.EGx83"> <tbody id="S6.E93"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\displaystyle\text{Wg}\left(\sigma^{-1}\tau,d\right)=\frac{g_{\sigma^{-1}\tau}% (d^{-1})}{f_{t}(d^{-1})}" class="ltx_Math" display="block" id="S6.E93.m1.4"><semantics id="S6.E93.m1.4a"><mrow id="S6.E93.m1.4.4" xref="S6.E93.m1.4.4.cmml"><mrow id="S6.E93.m1.4.4.1" xref="S6.E93.m1.4.4.1.cmml"><mtext id="S6.E93.m1.4.4.1.3" xref="S6.E93.m1.4.4.1.3a.cmml">Wg</mtext><mo id="S6.E93.m1.4.4.1.2" xref="S6.E93.m1.4.4.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S6.E93.m1.4.4.1.1.1" xref="S6.E93.m1.4.4.1.1.2.cmml"><mo id="S6.E93.m1.4.4.1.1.1.2" xref="S6.E93.m1.4.4.1.1.2.cmml">(</mo><mrow id="S6.E93.m1.4.4.1.1.1.1" xref="S6.E93.m1.4.4.1.1.1.1.cmml"><msup id="S6.E93.m1.4.4.1.1.1.1.2" xref="S6.E93.m1.4.4.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S6.E93.m1.4.4.1.1.1.1.2.2" xref="S6.E93.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.cmml">σ</mi><mrow id="S6.E93.m1.4.4.1.1.1.1.2.3" xref="S6.E93.m1.4.4.1.1.1.1.2.3.cmml"><mo id="S6.E93.m1.4.4.1.1.1.1.2.3a" xref="S6.E93.m1.4.4.1.1.1.1.2.3.cmml">−</mo><mn id="S6.E93.m1.4.4.1.1.1.1.2.3.2" xref="S6.E93.m1.4.4.1.1.1.1.2.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="S6.E93.m1.4.4.1.1.1.1.1" xref="S6.E93.m1.4.4.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S6.E93.m1.4.4.1.1.1.1.3" xref="S6.E93.m1.4.4.1.1.1.1.3.cmml">τ</mi></mrow><mo id="S6.E93.m1.4.4.1.1.1.3" xref="S6.E93.m1.4.4.1.1.2.cmml">,</mo><mi id="S6.E93.m1.3.3" xref="S6.E93.m1.3.3.cmml">d</mi><mo id="S6.E93.m1.4.4.1.1.1.4" xref="S6.E93.m1.4.4.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S6.E93.m1.4.4.2" xref="S6.E93.m1.4.4.2.cmml">=</mo><mfrac id="S6.E93.m1.2.2" xref="S6.E93.m1.2.2.cmml"><mrow id="S6.E93.m1.1.1.1" xref="S6.E93.m1.1.1.1.cmml"><msub id="S6.E93.m1.1.1.1.3" xref="S6.E93.m1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S6.E93.m1.1.1.1.3.2" xref="S6.E93.m1.1.1.1.3.2.cmml">g</mi><mrow id="S6.E93.m1.1.1.1.3.3" xref="S6.E93.m1.1.1.1.3.3.cmml"><msup id="S6.E93.m1.1.1.1.3.3.2" xref="S6.E93.m1.1.1.1.3.3.2.cmml"><mi id="S6.E93.m1.1.1.1.3.3.2.2" xref="S6.E93.m1.1.1.1.3.3.2.2.cmml">σ</mi><mrow id="S6.E93.m1.1.1.1.3.3.2.3" xref="S6.E93.m1.1.1.1.3.3.2.3.cmml"><mo id="S6.E93.m1.1.1.1.3.3.2.3a" xref="S6.E93.m1.1.1.1.3.3.2.3.cmml">−</mo><mn id="S6.E93.m1.1.1.1.3.3.2.3.2" xref="S6.E93.m1.1.1.1.3.3.2.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="S6.E93.m1.1.1.1.3.3.1" xref="S6.E93.m1.1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S6.E93.m1.1.1.1.3.3.3" xref="S6.E93.m1.1.1.1.3.3.3.cmml">τ</mi></mrow></msub><mo id="S6.E93.m1.1.1.1.2" xref="S6.E93.m1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S6.E93.m1.1.1.1.1.1" xref="S6.E93.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S6.E93.m1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S6.E93.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="S6.E93.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S6.E93.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S6.E93.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S6.E93.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">d</mi><mrow id="S6.E93.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S6.E93.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="S6.E93.m1.1.1.1.1.1.1.3a" xref="S6.E93.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">−</mo><mn id="S6.E93.m1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S6.E93.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="S6.E93.m1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S6.E93.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mrow id="S6.E93.m1.2.2.2" xref="S6.E93.m1.2.2.2.cmml"><msub id="S6.E93.m1.2.2.2.3" xref="S6.E93.m1.2.2.2.3.cmml"><mi id="S6.E93.m1.2.2.2.3.2" xref="S6.E93.m1.2.2.2.3.2.cmml">f</mi><mi id="S6.E93.m1.2.2.2.3.3" xref="S6.E93.m1.2.2.2.3.3.cmml">t</mi></msub><mo id="S6.E93.m1.2.2.2.2" xref="S6.E93.m1.2.2.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S6.E93.m1.2.2.2.1.1" xref="S6.E93.m1.2.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="S6.E93.m1.2.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S6.E93.m1.2.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="S6.E93.m1.2.2.2.1.1.1" xref="S6.E93.m1.2.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S6.E93.m1.2.2.2.1.1.1.2" xref="S6.E93.m1.2.2.2.1.1.1.2.cmml">d</mi><mrow id="S6.E93.m1.2.2.2.1.1.1.3" xref="S6.E93.m1.2.2.2.1.1.1.3.cmml"><mo id="S6.E93.m1.2.2.2.1.1.1.3a" xref="S6.E93.m1.2.2.2.1.1.1.3.cmml">−</mo><mn id="S6.E93.m1.2.2.2.1.1.1.3.2" xref="S6.E93.m1.2.2.2.1.1.1.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="S6.E93.m1.2.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S6.E93.m1.2.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mfrac></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.E93.m1.4b"><apply id="S6.E93.m1.4.4.cmml" xref="S6.E93.m1.4.4"><eq id="S6.E93.m1.4.4.2.cmml" xref="S6.E93.m1.4.4.2"></eq><apply id="S6.E93.m1.4.4.1.cmml" xref="S6.E93.m1.4.4.1"><times id="S6.E93.m1.4.4.1.2.cmml" xref="S6.E93.m1.4.4.1.2"></times><ci id="S6.E93.m1.4.4.1.3a.cmml" xref="S6.E93.m1.4.4.1.3"><mtext id="S6.E93.m1.4.4.1.3.cmml" xref="S6.E93.m1.4.4.1.3">Wg</mtext></ci><interval closure="open" id="S6.E93.m1.4.4.1.1.2.cmml" xref="S6.E93.m1.4.4.1.1.1"><apply id="S6.E93.m1.4.4.1.1.1.1.cmml" xref="S6.E93.m1.4.4.1.1.1.1"><times id="S6.E93.m1.4.4.1.1.1.1.1.cmml" xref="S6.E93.m1.4.4.1.1.1.1.1"></times><apply id="S6.E93.m1.4.4.1.1.1.1.2.cmml" xref="S6.E93.m1.4.4.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.E93.m1.4.4.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S6.E93.m1.4.4.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S6.E93.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S6.E93.m1.4.4.1.1.1.1.2.2">𝜎</ci><apply id="S6.E93.m1.4.4.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S6.E93.m1.4.4.1.1.1.1.2.3"><minus id="S6.E93.m1.4.4.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S6.E93.m1.4.4.1.1.1.1.2.3"></minus><cn id="S6.E93.m1.4.4.1.1.1.1.2.3.2.cmml" type="integer" xref="S6.E93.m1.4.4.1.1.1.1.2.3.2">1</cn></apply></apply><ci id="S6.E93.m1.4.4.1.1.1.1.3.cmml" xref="S6.E93.m1.4.4.1.1.1.1.3">𝜏</ci></apply><ci id="S6.E93.m1.3.3.cmml" xref="S6.E93.m1.3.3">𝑑</ci></interval></apply><apply id="S6.E93.m1.2.2.cmml" xref="S6.E93.m1.2.2"><divide id="S6.E93.m1.2.2.3.cmml" xref="S6.E93.m1.2.2"></divide><apply id="S6.E93.m1.1.1.1.cmml" xref="S6.E93.m1.1.1.1"><times id="S6.E93.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S6.E93.m1.1.1.1.2"></times><apply id="S6.E93.m1.1.1.1.3.cmml" xref="S6.E93.m1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.E93.m1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S6.E93.m1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S6.E93.m1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S6.E93.m1.1.1.1.3.2">𝑔</ci><apply id="S6.E93.m1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S6.E93.m1.1.1.1.3.3"><times id="S6.E93.m1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S6.E93.m1.1.1.1.3.3.1"></times><apply id="S6.E93.m1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S6.E93.m1.1.1.1.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.E93.m1.1.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="S6.E93.m1.1.1.1.3.3.2">superscript</csymbol><ci id="S6.E93.m1.1.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="S6.E93.m1.1.1.1.3.3.2.2">𝜎</ci><apply id="S6.E93.m1.1.1.1.3.3.2.3.cmml" xref="S6.E93.m1.1.1.1.3.3.2.3"><minus id="S6.E93.m1.1.1.1.3.3.2.3.1.cmml" xref="S6.E93.m1.1.1.1.3.3.2.3"></minus><cn id="S6.E93.m1.1.1.1.3.3.2.3.2.cmml" type="integer" xref="S6.E93.m1.1.1.1.3.3.2.3.2">1</cn></apply></apply><ci id="S6.E93.m1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S6.E93.m1.1.1.1.3.3.3">𝜏</ci></apply></apply><apply id="S6.E93.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S6.E93.m1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.E93.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S6.E93.m1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S6.E93.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S6.E93.m1.1.1.1.1.1.1.2">𝑑</ci><apply id="S6.E93.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S6.E93.m1.1.1.1.1.1.1.3"><minus id="S6.E93.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S6.E93.m1.1.1.1.1.1.1.3"></minus><cn id="S6.E93.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S6.E93.m1.1.1.1.1.1.1.3.2">1</cn></apply></apply></apply><apply id="S6.E93.m1.2.2.2.cmml" xref="S6.E93.m1.2.2.2"><times id="S6.E93.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S6.E93.m1.2.2.2.2"></times><apply id="S6.E93.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S6.E93.m1.2.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.E93.m1.2.2.2.3.1.cmml" xref="S6.E93.m1.2.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S6.E93.m1.2.2.2.3.2.cmml" xref="S6.E93.m1.2.2.2.3.2">𝑓</ci><ci id="S6.E93.m1.2.2.2.3.3.cmml" xref="S6.E93.m1.2.2.2.3.3">𝑡</ci></apply><apply id="S6.E93.m1.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S6.E93.m1.2.2.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.E93.m1.2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S6.E93.m1.2.2.2.1.1">superscript</csymbol><ci id="S6.E93.m1.2.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S6.E93.m1.2.2.2.1.1.1.2">𝑑</ci><apply id="S6.E93.m1.2.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S6.E93.m1.2.2.2.1.1.1.3"><minus id="S6.E93.m1.2.2.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="S6.E93.m1.2.2.2.1.1.1.3"></minus><cn id="S6.E93.m1.2.2.2.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S6.E93.m1.2.2.2.1.1.1.3.2">1</cn></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.E93.m1.4c">\displaystyle\text{Wg}\left(\sigma^{-1}\tau,d\right)=\frac{g_{\sigma^{-1}\tau}% (d^{-1})}{f_{t}(d^{-1})}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.E93.m1.4d">Wg ( italic_σ start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT italic_τ , italic_d ) = divide start_ARG italic_g start_POSTSUBSCRIPT italic_σ start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT italic_τ end_POSTSUBSCRIPT ( italic_d start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT ) end_ARG start_ARG italic_f start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( italic_d start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT ) end_ARG</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(93)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S6.SS2.p1.9">In Appendix <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#A2.SS8" title="B.8 Proof of Lemma 46 ‣ Appendix B Assorted proofs ‣ Conditional 𝑡-independent spectral gap for random quantum circuits and implications for 𝑡-design depths"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">B.8</span></a>, we establish the following elementwise upper bound.</p> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_lemma" id="Thmtheorem46"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmtheorem46.1.1.1">Lemma 46</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmtheorem46.2.2">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="Thmtheorem46.p1"> <p class="ltx_p" id="Thmtheorem46.p1.2"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmtheorem46.p1.2.2">Let <math alttext="Q_{1},Q_{2}\geq q\geq t" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem46.p1.1.1.m1.2"><semantics id="Thmtheorem46.p1.1.1.m1.2a"><mrow id="Thmtheorem46.p1.1.1.m1.2.2" xref="Thmtheorem46.p1.1.1.m1.2.2.cmml"><mrow id="Thmtheorem46.p1.1.1.m1.2.2.2.2" xref="Thmtheorem46.p1.1.1.m1.2.2.2.3.cmml"><msub id="Thmtheorem46.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1" xref="Thmtheorem46.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="Thmtheorem46.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.2" xref="Thmtheorem46.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">Q</mi><mn id="Thmtheorem46.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.3" xref="Thmtheorem46.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="Thmtheorem46.p1.1.1.m1.2.2.2.2.3" xref="Thmtheorem46.p1.1.1.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><msub id="Thmtheorem46.p1.1.1.m1.2.2.2.2.2" xref="Thmtheorem46.p1.1.1.m1.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="Thmtheorem46.p1.1.1.m1.2.2.2.2.2.2" xref="Thmtheorem46.p1.1.1.m1.2.2.2.2.2.2.cmml">Q</mi><mn id="Thmtheorem46.p1.1.1.m1.2.2.2.2.2.3" xref="Thmtheorem46.p1.1.1.m1.2.2.2.2.2.3.cmml">2</mn></msub></mrow><mo id="Thmtheorem46.p1.1.1.m1.2.2.4" xref="Thmtheorem46.p1.1.1.m1.2.2.4.cmml">≥</mo><mi id="Thmtheorem46.p1.1.1.m1.2.2.5" xref="Thmtheorem46.p1.1.1.m1.2.2.5.cmml">q</mi><mo id="Thmtheorem46.p1.1.1.m1.2.2.6" xref="Thmtheorem46.p1.1.1.m1.2.2.6.cmml">≥</mo><mi id="Thmtheorem46.p1.1.1.m1.2.2.7" xref="Thmtheorem46.p1.1.1.m1.2.2.7.cmml">t</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem46.p1.1.1.m1.2b"><apply id="Thmtheorem46.p1.1.1.m1.2.2.cmml" xref="Thmtheorem46.p1.1.1.m1.2.2"><and id="Thmtheorem46.p1.1.1.m1.2.2a.cmml" xref="Thmtheorem46.p1.1.1.m1.2.2"></and><apply id="Thmtheorem46.p1.1.1.m1.2.2b.cmml" xref="Thmtheorem46.p1.1.1.m1.2.2"><geq id="Thmtheorem46.p1.1.1.m1.2.2.4.cmml" xref="Thmtheorem46.p1.1.1.m1.2.2.4"></geq><list id="Thmtheorem46.p1.1.1.m1.2.2.2.3.cmml" xref="Thmtheorem46.p1.1.1.m1.2.2.2.2"><apply id="Thmtheorem46.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem46.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem46.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem46.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="Thmtheorem46.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="Thmtheorem46.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.2">𝑄</ci><cn id="Thmtheorem46.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="Thmtheorem46.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.3">1</cn></apply><apply id="Thmtheorem46.p1.1.1.m1.2.2.2.2.2.cmml" xref="Thmtheorem46.p1.1.1.m1.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem46.p1.1.1.m1.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="Thmtheorem46.p1.1.1.m1.2.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="Thmtheorem46.p1.1.1.m1.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="Thmtheorem46.p1.1.1.m1.2.2.2.2.2.2">𝑄</ci><cn id="Thmtheorem46.p1.1.1.m1.2.2.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="Thmtheorem46.p1.1.1.m1.2.2.2.2.2.3">2</cn></apply></list><ci id="Thmtheorem46.p1.1.1.m1.2.2.5.cmml" xref="Thmtheorem46.p1.1.1.m1.2.2.5">𝑞</ci></apply><apply id="Thmtheorem46.p1.1.1.m1.2.2c.cmml" xref="Thmtheorem46.p1.1.1.m1.2.2"><geq id="Thmtheorem46.p1.1.1.m1.2.2.6.cmml" xref="Thmtheorem46.p1.1.1.m1.2.2.6"></geq><share href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#Thmtheorem46.p1.1.1.m1.2.2.5.cmml" id="Thmtheorem46.p1.1.1.m1.2.2d.cmml" xref="Thmtheorem46.p1.1.1.m1.2.2"></share><ci id="Thmtheorem46.p1.1.1.m1.2.2.7.cmml" xref="Thmtheorem46.p1.1.1.m1.2.2.7">𝑡</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem46.p1.1.1.m1.2c">Q_{1},Q_{2}\geq q\geq t</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem46.p1.1.1.m1.2d">italic_Q start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , italic_Q start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT ≥ italic_q ≥ italic_t</annotation></semantics></math>. Let <math alttext="f_{t},g_{\sigma^{-1}\tau}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem46.p1.2.2.m2.2"><semantics id="Thmtheorem46.p1.2.2.m2.2a"><mrow id="Thmtheorem46.p1.2.2.m2.2.2.2" xref="Thmtheorem46.p1.2.2.m2.2.2.3.cmml"><msub id="Thmtheorem46.p1.2.2.m2.1.1.1.1" xref="Thmtheorem46.p1.2.2.m2.1.1.1.1.cmml"><mi id="Thmtheorem46.p1.2.2.m2.1.1.1.1.2" xref="Thmtheorem46.p1.2.2.m2.1.1.1.1.2.cmml">f</mi><mi id="Thmtheorem46.p1.2.2.m2.1.1.1.1.3" xref="Thmtheorem46.p1.2.2.m2.1.1.1.1.3.cmml">t</mi></msub><mo id="Thmtheorem46.p1.2.2.m2.2.2.2.3" xref="Thmtheorem46.p1.2.2.m2.2.2.3.cmml">,</mo><msub id="Thmtheorem46.p1.2.2.m2.2.2.2.2" xref="Thmtheorem46.p1.2.2.m2.2.2.2.2.cmml"><mi id="Thmtheorem46.p1.2.2.m2.2.2.2.2.2" xref="Thmtheorem46.p1.2.2.m2.2.2.2.2.2.cmml">g</mi><mrow id="Thmtheorem46.p1.2.2.m2.2.2.2.2.3" xref="Thmtheorem46.p1.2.2.m2.2.2.2.2.3.cmml"><msup id="Thmtheorem46.p1.2.2.m2.2.2.2.2.3.2" xref="Thmtheorem46.p1.2.2.m2.2.2.2.2.3.2.cmml"><mi id="Thmtheorem46.p1.2.2.m2.2.2.2.2.3.2.2" xref="Thmtheorem46.p1.2.2.m2.2.2.2.2.3.2.2.cmml">σ</mi><mrow id="Thmtheorem46.p1.2.2.m2.2.2.2.2.3.2.3" xref="Thmtheorem46.p1.2.2.m2.2.2.2.2.3.2.3.cmml"><mo id="Thmtheorem46.p1.2.2.m2.2.2.2.2.3.2.3a" xref="Thmtheorem46.p1.2.2.m2.2.2.2.2.3.2.3.cmml">−</mo><mn id="Thmtheorem46.p1.2.2.m2.2.2.2.2.3.2.3.2" xref="Thmtheorem46.p1.2.2.m2.2.2.2.2.3.2.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="Thmtheorem46.p1.2.2.m2.2.2.2.2.3.1" xref="Thmtheorem46.p1.2.2.m2.2.2.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="Thmtheorem46.p1.2.2.m2.2.2.2.2.3.3" xref="Thmtheorem46.p1.2.2.m2.2.2.2.2.3.3.cmml">τ</mi></mrow></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem46.p1.2.2.m2.2b"><list id="Thmtheorem46.p1.2.2.m2.2.2.3.cmml" xref="Thmtheorem46.p1.2.2.m2.2.2.2"><apply id="Thmtheorem46.p1.2.2.m2.1.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem46.p1.2.2.m2.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem46.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem46.p1.2.2.m2.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="Thmtheorem46.p1.2.2.m2.1.1.1.1.2.cmml" xref="Thmtheorem46.p1.2.2.m2.1.1.1.1.2">𝑓</ci><ci id="Thmtheorem46.p1.2.2.m2.1.1.1.1.3.cmml" xref="Thmtheorem46.p1.2.2.m2.1.1.1.1.3">𝑡</ci></apply><apply id="Thmtheorem46.p1.2.2.m2.2.2.2.2.cmml" xref="Thmtheorem46.p1.2.2.m2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem46.p1.2.2.m2.2.2.2.2.1.cmml" xref="Thmtheorem46.p1.2.2.m2.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="Thmtheorem46.p1.2.2.m2.2.2.2.2.2.cmml" xref="Thmtheorem46.p1.2.2.m2.2.2.2.2.2">𝑔</ci><apply id="Thmtheorem46.p1.2.2.m2.2.2.2.2.3.cmml" xref="Thmtheorem46.p1.2.2.m2.2.2.2.2.3"><times id="Thmtheorem46.p1.2.2.m2.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="Thmtheorem46.p1.2.2.m2.2.2.2.2.3.1"></times><apply id="Thmtheorem46.p1.2.2.m2.2.2.2.2.3.2.cmml" xref="Thmtheorem46.p1.2.2.m2.2.2.2.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem46.p1.2.2.m2.2.2.2.2.3.2.1.cmml" xref="Thmtheorem46.p1.2.2.m2.2.2.2.2.3.2">superscript</csymbol><ci id="Thmtheorem46.p1.2.2.m2.2.2.2.2.3.2.2.cmml" xref="Thmtheorem46.p1.2.2.m2.2.2.2.2.3.2.2">𝜎</ci><apply id="Thmtheorem46.p1.2.2.m2.2.2.2.2.3.2.3.cmml" xref="Thmtheorem46.p1.2.2.m2.2.2.2.2.3.2.3"><minus id="Thmtheorem46.p1.2.2.m2.2.2.2.2.3.2.3.1.cmml" xref="Thmtheorem46.p1.2.2.m2.2.2.2.2.3.2.3"></minus><cn id="Thmtheorem46.p1.2.2.m2.2.2.2.2.3.2.3.2.cmml" type="integer" xref="Thmtheorem46.p1.2.2.m2.2.2.2.2.3.2.3.2">1</cn></apply></apply><ci id="Thmtheorem46.p1.2.2.m2.2.2.2.2.3.3.cmml" xref="Thmtheorem46.p1.2.2.m2.2.2.2.2.3.3">𝜏</ci></apply></apply></list></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem46.p1.2.2.m2.2c">f_{t},g_{\sigma^{-1}\tau}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem46.p1.2.2.m2.2d">italic_f start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT , italic_g start_POSTSUBSCRIPT italic_σ start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT italic_τ end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> be polynomials such that</span></p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_gather ltx_eqn_table" id="S6.EGx84"> <tbody id="S6.E94"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\displaystyle\text{Wg}\left(\sigma^{-1}\tau,d\right)=\frac{g_{\sigma^{-1}\tau}% (d^{-1})}{f_{t}(d^{-1})}" class="ltx_Math" display="block" id="S6.E94.m1.4"><semantics id="S6.E94.m1.4a"><mrow id="S6.E94.m1.4.4" xref="S6.E94.m1.4.4.cmml"><mrow id="S6.E94.m1.4.4.1" xref="S6.E94.m1.4.4.1.cmml"><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S6.E94.m1.4.4.1.3" xref="S6.E94.m1.4.4.1.3a.cmml">Wg</mtext><mo id="S6.E94.m1.4.4.1.2" xref="S6.E94.m1.4.4.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S6.E94.m1.4.4.1.1.1" xref="S6.E94.m1.4.4.1.1.2.cmml"><mo id="S6.E94.m1.4.4.1.1.1.2" xref="S6.E94.m1.4.4.1.1.2.cmml">(</mo><mrow id="S6.E94.m1.4.4.1.1.1.1" xref="S6.E94.m1.4.4.1.1.1.1.cmml"><msup id="S6.E94.m1.4.4.1.1.1.1.2" xref="S6.E94.m1.4.4.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S6.E94.m1.4.4.1.1.1.1.2.2" xref="S6.E94.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.cmml">σ</mi><mrow id="S6.E94.m1.4.4.1.1.1.1.2.3" xref="S6.E94.m1.4.4.1.1.1.1.2.3.cmml"><mo id="S6.E94.m1.4.4.1.1.1.1.2.3a" xref="S6.E94.m1.4.4.1.1.1.1.2.3.cmml">−</mo><mn id="S6.E94.m1.4.4.1.1.1.1.2.3.2" xref="S6.E94.m1.4.4.1.1.1.1.2.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="S6.E94.m1.4.4.1.1.1.1.1" xref="S6.E94.m1.4.4.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S6.E94.m1.4.4.1.1.1.1.3" xref="S6.E94.m1.4.4.1.1.1.1.3.cmml">τ</mi></mrow><mo id="S6.E94.m1.4.4.1.1.1.3" xref="S6.E94.m1.4.4.1.1.2.cmml">,</mo><mi id="S6.E94.m1.3.3" xref="S6.E94.m1.3.3.cmml">d</mi><mo id="S6.E94.m1.4.4.1.1.1.4" xref="S6.E94.m1.4.4.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S6.E94.m1.4.4.2" xref="S6.E94.m1.4.4.2.cmml">=</mo><mfrac id="S6.E94.m1.2.2" xref="S6.E94.m1.2.2.cmml"><mrow id="S6.E94.m1.1.1.1" xref="S6.E94.m1.1.1.1.cmml"><msub id="S6.E94.m1.1.1.1.3" xref="S6.E94.m1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S6.E94.m1.1.1.1.3.2" xref="S6.E94.m1.1.1.1.3.2.cmml">g</mi><mrow id="S6.E94.m1.1.1.1.3.3" xref="S6.E94.m1.1.1.1.3.3.cmml"><msup id="S6.E94.m1.1.1.1.3.3.2" xref="S6.E94.m1.1.1.1.3.3.2.cmml"><mi id="S6.E94.m1.1.1.1.3.3.2.2" xref="S6.E94.m1.1.1.1.3.3.2.2.cmml">σ</mi><mrow id="S6.E94.m1.1.1.1.3.3.2.3" xref="S6.E94.m1.1.1.1.3.3.2.3.cmml"><mo id="S6.E94.m1.1.1.1.3.3.2.3a" xref="S6.E94.m1.1.1.1.3.3.2.3.cmml">−</mo><mn id="S6.E94.m1.1.1.1.3.3.2.3.2" xref="S6.E94.m1.1.1.1.3.3.2.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="S6.E94.m1.1.1.1.3.3.1" xref="S6.E94.m1.1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S6.E94.m1.1.1.1.3.3.3" xref="S6.E94.m1.1.1.1.3.3.3.cmml">τ</mi></mrow></msub><mo id="S6.E94.m1.1.1.1.2" xref="S6.E94.m1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S6.E94.m1.1.1.1.1.1" xref="S6.E94.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S6.E94.m1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S6.E94.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="S6.E94.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S6.E94.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S6.E94.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S6.E94.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">d</mi><mrow id="S6.E94.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S6.E94.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="S6.E94.m1.1.1.1.1.1.1.3a" xref="S6.E94.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">−</mo><mn id="S6.E94.m1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S6.E94.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="S6.E94.m1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S6.E94.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mrow id="S6.E94.m1.2.2.2" xref="S6.E94.m1.2.2.2.cmml"><msub id="S6.E94.m1.2.2.2.3" xref="S6.E94.m1.2.2.2.3.cmml"><mi id="S6.E94.m1.2.2.2.3.2" xref="S6.E94.m1.2.2.2.3.2.cmml">f</mi><mi id="S6.E94.m1.2.2.2.3.3" xref="S6.E94.m1.2.2.2.3.3.cmml">t</mi></msub><mo id="S6.E94.m1.2.2.2.2" xref="S6.E94.m1.2.2.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S6.E94.m1.2.2.2.1.1" xref="S6.E94.m1.2.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="S6.E94.m1.2.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S6.E94.m1.2.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="S6.E94.m1.2.2.2.1.1.1" xref="S6.E94.m1.2.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S6.E94.m1.2.2.2.1.1.1.2" xref="S6.E94.m1.2.2.2.1.1.1.2.cmml">d</mi><mrow id="S6.E94.m1.2.2.2.1.1.1.3" xref="S6.E94.m1.2.2.2.1.1.1.3.cmml"><mo id="S6.E94.m1.2.2.2.1.1.1.3a" xref="S6.E94.m1.2.2.2.1.1.1.3.cmml">−</mo><mn id="S6.E94.m1.2.2.2.1.1.1.3.2" xref="S6.E94.m1.2.2.2.1.1.1.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="S6.E94.m1.2.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S6.E94.m1.2.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mfrac></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.E94.m1.4b"><apply id="S6.E94.m1.4.4.cmml" xref="S6.E94.m1.4.4"><eq id="S6.E94.m1.4.4.2.cmml" xref="S6.E94.m1.4.4.2"></eq><apply id="S6.E94.m1.4.4.1.cmml" xref="S6.E94.m1.4.4.1"><times id="S6.E94.m1.4.4.1.2.cmml" xref="S6.E94.m1.4.4.1.2"></times><ci id="S6.E94.m1.4.4.1.3a.cmml" xref="S6.E94.m1.4.4.1.3"><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S6.E94.m1.4.4.1.3.cmml" xref="S6.E94.m1.4.4.1.3">Wg</mtext></ci><interval closure="open" id="S6.E94.m1.4.4.1.1.2.cmml" xref="S6.E94.m1.4.4.1.1.1"><apply id="S6.E94.m1.4.4.1.1.1.1.cmml" xref="S6.E94.m1.4.4.1.1.1.1"><times id="S6.E94.m1.4.4.1.1.1.1.1.cmml" xref="S6.E94.m1.4.4.1.1.1.1.1"></times><apply id="S6.E94.m1.4.4.1.1.1.1.2.cmml" xref="S6.E94.m1.4.4.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.E94.m1.4.4.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S6.E94.m1.4.4.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S6.E94.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S6.E94.m1.4.4.1.1.1.1.2.2">𝜎</ci><apply id="S6.E94.m1.4.4.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S6.E94.m1.4.4.1.1.1.1.2.3"><minus id="S6.E94.m1.4.4.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S6.E94.m1.4.4.1.1.1.1.2.3"></minus><cn id="S6.E94.m1.4.4.1.1.1.1.2.3.2.cmml" type="integer" xref="S6.E94.m1.4.4.1.1.1.1.2.3.2">1</cn></apply></apply><ci id="S6.E94.m1.4.4.1.1.1.1.3.cmml" xref="S6.E94.m1.4.4.1.1.1.1.3">𝜏</ci></apply><ci id="S6.E94.m1.3.3.cmml" xref="S6.E94.m1.3.3">𝑑</ci></interval></apply><apply id="S6.E94.m1.2.2.cmml" xref="S6.E94.m1.2.2"><divide id="S6.E94.m1.2.2.3.cmml" xref="S6.E94.m1.2.2"></divide><apply id="S6.E94.m1.1.1.1.cmml" xref="S6.E94.m1.1.1.1"><times id="S6.E94.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S6.E94.m1.1.1.1.2"></times><apply id="S6.E94.m1.1.1.1.3.cmml" xref="S6.E94.m1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.E94.m1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S6.E94.m1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S6.E94.m1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S6.E94.m1.1.1.1.3.2">𝑔</ci><apply id="S6.E94.m1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S6.E94.m1.1.1.1.3.3"><times id="S6.E94.m1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S6.E94.m1.1.1.1.3.3.1"></times><apply id="S6.E94.m1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S6.E94.m1.1.1.1.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.E94.m1.1.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="S6.E94.m1.1.1.1.3.3.2">superscript</csymbol><ci id="S6.E94.m1.1.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="S6.E94.m1.1.1.1.3.3.2.2">𝜎</ci><apply id="S6.E94.m1.1.1.1.3.3.2.3.cmml" xref="S6.E94.m1.1.1.1.3.3.2.3"><minus id="S6.E94.m1.1.1.1.3.3.2.3.1.cmml" xref="S6.E94.m1.1.1.1.3.3.2.3"></minus><cn id="S6.E94.m1.1.1.1.3.3.2.3.2.cmml" type="integer" xref="S6.E94.m1.1.1.1.3.3.2.3.2">1</cn></apply></apply><ci id="S6.E94.m1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S6.E94.m1.1.1.1.3.3.3">𝜏</ci></apply></apply><apply id="S6.E94.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S6.E94.m1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.E94.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S6.E94.m1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S6.E94.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S6.E94.m1.1.1.1.1.1.1.2">𝑑</ci><apply id="S6.E94.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S6.E94.m1.1.1.1.1.1.1.3"><minus id="S6.E94.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S6.E94.m1.1.1.1.1.1.1.3"></minus><cn id="S6.E94.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S6.E94.m1.1.1.1.1.1.1.3.2">1</cn></apply></apply></apply><apply id="S6.E94.m1.2.2.2.cmml" xref="S6.E94.m1.2.2.2"><times id="S6.E94.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S6.E94.m1.2.2.2.2"></times><apply id="S6.E94.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S6.E94.m1.2.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.E94.m1.2.2.2.3.1.cmml" xref="S6.E94.m1.2.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S6.E94.m1.2.2.2.3.2.cmml" xref="S6.E94.m1.2.2.2.3.2">𝑓</ci><ci id="S6.E94.m1.2.2.2.3.3.cmml" xref="S6.E94.m1.2.2.2.3.3">𝑡</ci></apply><apply id="S6.E94.m1.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S6.E94.m1.2.2.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.E94.m1.2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S6.E94.m1.2.2.2.1.1">superscript</csymbol><ci id="S6.E94.m1.2.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S6.E94.m1.2.2.2.1.1.1.2">𝑑</ci><apply id="S6.E94.m1.2.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S6.E94.m1.2.2.2.1.1.1.3"><minus id="S6.E94.m1.2.2.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="S6.E94.m1.2.2.2.1.1.1.3"></minus><cn id="S6.E94.m1.2.2.2.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S6.E94.m1.2.2.2.1.1.1.3.2">1</cn></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.E94.m1.4c">\displaystyle\text{Wg}\left(\sigma^{-1}\tau,d\right)=\frac{g_{\sigma^{-1}\tau}% (d^{-1})}{f_{t}(d^{-1})}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.E94.m1.4d">Wg ( italic_σ start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT italic_τ , italic_d ) = divide start_ARG italic_g start_POSTSUBSCRIPT italic_σ start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT italic_τ end_POSTSUBSCRIPT ( italic_d start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT ) end_ARG start_ARG italic_f start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( italic_d start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT ) end_ARG</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(94)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="Thmtheorem46.p1.5"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmtheorem46.p1.5.1">Define the polynomial</span></p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_gather ltx_eqn_table" id="S6.EGx85"> <tbody id="S6.E95"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\displaystyle h_{\sigma\tau}(x,y)=\sum_{\rho\in S_{t}}x^{|\rho\sigma^{-1}|}y^{% |\rho|}g_{\rho^{-1}\tau}(xy)" class="ltx_Math" display="block" id="S6.E95.m1.5"><semantics id="S6.E95.m1.5a"><mrow id="S6.E95.m1.5.5" xref="S6.E95.m1.5.5.cmml"><mrow id="S6.E95.m1.5.5.3" xref="S6.E95.m1.5.5.3.cmml"><msub id="S6.E95.m1.5.5.3.2" xref="S6.E95.m1.5.5.3.2.cmml"><mi id="S6.E95.m1.5.5.3.2.2" xref="S6.E95.m1.5.5.3.2.2.cmml">h</mi><mrow id="S6.E95.m1.5.5.3.2.3" xref="S6.E95.m1.5.5.3.2.3.cmml"><mi id="S6.E95.m1.5.5.3.2.3.2" xref="S6.E95.m1.5.5.3.2.3.2.cmml">σ</mi><mo id="S6.E95.m1.5.5.3.2.3.1" xref="S6.E95.m1.5.5.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S6.E95.m1.5.5.3.2.3.3" xref="S6.E95.m1.5.5.3.2.3.3.cmml">τ</mi></mrow></msub><mo id="S6.E95.m1.5.5.3.1" xref="S6.E95.m1.5.5.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S6.E95.m1.5.5.3.3.2" xref="S6.E95.m1.5.5.3.3.1.cmml"><mo id="S6.E95.m1.5.5.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S6.E95.m1.5.5.3.3.1.cmml">(</mo><mi id="S6.E95.m1.3.3" xref="S6.E95.m1.3.3.cmml">x</mi><mo id="S6.E95.m1.5.5.3.3.2.2" xref="S6.E95.m1.5.5.3.3.1.cmml">,</mo><mi id="S6.E95.m1.4.4" xref="S6.E95.m1.4.4.cmml">y</mi><mo id="S6.E95.m1.5.5.3.3.2.3" stretchy="false" xref="S6.E95.m1.5.5.3.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S6.E95.m1.5.5.2" rspace="0.111em" xref="S6.E95.m1.5.5.2.cmml">=</mo><mrow id="S6.E95.m1.5.5.1" xref="S6.E95.m1.5.5.1.cmml"><munder id="S6.E95.m1.5.5.1.2" xref="S6.E95.m1.5.5.1.2.cmml"><mo id="S6.E95.m1.5.5.1.2.2" movablelimits="false" xref="S6.E95.m1.5.5.1.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="S6.E95.m1.5.5.1.2.3" xref="S6.E95.m1.5.5.1.2.3.cmml"><mi id="S6.E95.m1.5.5.1.2.3.2" xref="S6.E95.m1.5.5.1.2.3.2.cmml">ρ</mi><mo id="S6.E95.m1.5.5.1.2.3.1" xref="S6.E95.m1.5.5.1.2.3.1.cmml">∈</mo><msub id="S6.E95.m1.5.5.1.2.3.3" xref="S6.E95.m1.5.5.1.2.3.3.cmml"><mi id="S6.E95.m1.5.5.1.2.3.3.2" xref="S6.E95.m1.5.5.1.2.3.3.2.cmml">S</mi><mi id="S6.E95.m1.5.5.1.2.3.3.3" xref="S6.E95.m1.5.5.1.2.3.3.3.cmml">t</mi></msub></mrow></munder><mrow id="S6.E95.m1.5.5.1.1" xref="S6.E95.m1.5.5.1.1.cmml"><msup id="S6.E95.m1.5.5.1.1.3" xref="S6.E95.m1.5.5.1.1.3.cmml"><mi id="S6.E95.m1.5.5.1.1.3.2" xref="S6.E95.m1.5.5.1.1.3.2.cmml">x</mi><mrow id="S6.E95.m1.1.1.1.1" xref="S6.E95.m1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S6.E95.m1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S6.E95.m1.1.1.1.2.1.cmml">|</mo><mrow id="S6.E95.m1.1.1.1.1.1" xref="S6.E95.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S6.E95.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S6.E95.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">ρ</mi><mo id="S6.E95.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S6.E95.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msup id="S6.E95.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S6.E95.m1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S6.E95.m1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S6.E95.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">σ</mi><mrow id="S6.E95.m1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S6.E95.m1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mo id="S6.E95.m1.1.1.1.1.1.3.3a" xref="S6.E95.m1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">−</mo><mn id="S6.E95.m1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S6.E95.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup></mrow><mo id="S6.E95.m1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S6.E95.m1.1.1.1.2.1.cmml">|</mo></mrow></msup><mo id="S6.E95.m1.5.5.1.1.2" xref="S6.E95.m1.5.5.1.1.2.cmml">⁢</mo><msup id="S6.E95.m1.5.5.1.1.4" xref="S6.E95.m1.5.5.1.1.4.cmml"><mi id="S6.E95.m1.5.5.1.1.4.2" xref="S6.E95.m1.5.5.1.1.4.2.cmml">y</mi><mrow id="S6.E95.m1.2.2.1.3" xref="S6.E95.m1.2.2.1.2.cmml"><mo id="S6.E95.m1.2.2.1.3.1" stretchy="false" xref="S6.E95.m1.2.2.1.2.1.cmml">|</mo><mi id="S6.E95.m1.2.2.1.1" xref="S6.E95.m1.2.2.1.1.cmml">ρ</mi><mo id="S6.E95.m1.2.2.1.3.2" stretchy="false" xref="S6.E95.m1.2.2.1.2.1.cmml">|</mo></mrow></msup><mo id="S6.E95.m1.5.5.1.1.2a" xref="S6.E95.m1.5.5.1.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="S6.E95.m1.5.5.1.1.5" xref="S6.E95.m1.5.5.1.1.5.cmml"><mi id="S6.E95.m1.5.5.1.1.5.2" xref="S6.E95.m1.5.5.1.1.5.2.cmml">g</mi><mrow id="S6.E95.m1.5.5.1.1.5.3" xref="S6.E95.m1.5.5.1.1.5.3.cmml"><msup id="S6.E95.m1.5.5.1.1.5.3.2" xref="S6.E95.m1.5.5.1.1.5.3.2.cmml"><mi id="S6.E95.m1.5.5.1.1.5.3.2.2" xref="S6.E95.m1.5.5.1.1.5.3.2.2.cmml">ρ</mi><mrow id="S6.E95.m1.5.5.1.1.5.3.2.3" xref="S6.E95.m1.5.5.1.1.5.3.2.3.cmml"><mo id="S6.E95.m1.5.5.1.1.5.3.2.3a" xref="S6.E95.m1.5.5.1.1.5.3.2.3.cmml">−</mo><mn id="S6.E95.m1.5.5.1.1.5.3.2.3.2" xref="S6.E95.m1.5.5.1.1.5.3.2.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="S6.E95.m1.5.5.1.1.5.3.1" xref="S6.E95.m1.5.5.1.1.5.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S6.E95.m1.5.5.1.1.5.3.3" xref="S6.E95.m1.5.5.1.1.5.3.3.cmml">τ</mi></mrow></msub><mo id="S6.E95.m1.5.5.1.1.2b" xref="S6.E95.m1.5.5.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S6.E95.m1.5.5.1.1.1.1" xref="S6.E95.m1.5.5.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S6.E95.m1.5.5.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S6.E95.m1.5.5.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S6.E95.m1.5.5.1.1.1.1.1" xref="S6.E95.m1.5.5.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S6.E95.m1.5.5.1.1.1.1.1.2" xref="S6.E95.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.cmml">x</mi><mo id="S6.E95.m1.5.5.1.1.1.1.1.1" xref="S6.E95.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S6.E95.m1.5.5.1.1.1.1.1.3" xref="S6.E95.m1.5.5.1.1.1.1.1.3.cmml">y</mi></mrow><mo id="S6.E95.m1.5.5.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S6.E95.m1.5.5.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.E95.m1.5b"><apply id="S6.E95.m1.5.5.cmml" xref="S6.E95.m1.5.5"><eq id="S6.E95.m1.5.5.2.cmml" xref="S6.E95.m1.5.5.2"></eq><apply id="S6.E95.m1.5.5.3.cmml" xref="S6.E95.m1.5.5.3"><times id="S6.E95.m1.5.5.3.1.cmml" xref="S6.E95.m1.5.5.3.1"></times><apply id="S6.E95.m1.5.5.3.2.cmml" xref="S6.E95.m1.5.5.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.E95.m1.5.5.3.2.1.cmml" xref="S6.E95.m1.5.5.3.2">subscript</csymbol><ci id="S6.E95.m1.5.5.3.2.2.cmml" xref="S6.E95.m1.5.5.3.2.2">ℎ</ci><apply id="S6.E95.m1.5.5.3.2.3.cmml" xref="S6.E95.m1.5.5.3.2.3"><times id="S6.E95.m1.5.5.3.2.3.1.cmml" xref="S6.E95.m1.5.5.3.2.3.1"></times><ci id="S6.E95.m1.5.5.3.2.3.2.cmml" xref="S6.E95.m1.5.5.3.2.3.2">𝜎</ci><ci id="S6.E95.m1.5.5.3.2.3.3.cmml" xref="S6.E95.m1.5.5.3.2.3.3">𝜏</ci></apply></apply><interval closure="open" id="S6.E95.m1.5.5.3.3.1.cmml" xref="S6.E95.m1.5.5.3.3.2"><ci id="S6.E95.m1.3.3.cmml" xref="S6.E95.m1.3.3">𝑥</ci><ci id="S6.E95.m1.4.4.cmml" xref="S6.E95.m1.4.4">𝑦</ci></interval></apply><apply id="S6.E95.m1.5.5.1.cmml" xref="S6.E95.m1.5.5.1"><apply id="S6.E95.m1.5.5.1.2.cmml" xref="S6.E95.m1.5.5.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.E95.m1.5.5.1.2.1.cmml" xref="S6.E95.m1.5.5.1.2">subscript</csymbol><sum id="S6.E95.m1.5.5.1.2.2.cmml" xref="S6.E95.m1.5.5.1.2.2"></sum><apply id="S6.E95.m1.5.5.1.2.3.cmml" xref="S6.E95.m1.5.5.1.2.3"><in id="S6.E95.m1.5.5.1.2.3.1.cmml" xref="S6.E95.m1.5.5.1.2.3.1"></in><ci id="S6.E95.m1.5.5.1.2.3.2.cmml" xref="S6.E95.m1.5.5.1.2.3.2">𝜌</ci><apply id="S6.E95.m1.5.5.1.2.3.3.cmml" xref="S6.E95.m1.5.5.1.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.E95.m1.5.5.1.2.3.3.1.cmml" xref="S6.E95.m1.5.5.1.2.3.3">subscript</csymbol><ci id="S6.E95.m1.5.5.1.2.3.3.2.cmml" xref="S6.E95.m1.5.5.1.2.3.3.2">𝑆</ci><ci id="S6.E95.m1.5.5.1.2.3.3.3.cmml" xref="S6.E95.m1.5.5.1.2.3.3.3">𝑡</ci></apply></apply></apply><apply id="S6.E95.m1.5.5.1.1.cmml" xref="S6.E95.m1.5.5.1.1"><times id="S6.E95.m1.5.5.1.1.2.cmml" xref="S6.E95.m1.5.5.1.1.2"></times><apply id="S6.E95.m1.5.5.1.1.3.cmml" xref="S6.E95.m1.5.5.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.E95.m1.5.5.1.1.3.1.cmml" xref="S6.E95.m1.5.5.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S6.E95.m1.5.5.1.1.3.2.cmml" xref="S6.E95.m1.5.5.1.1.3.2">𝑥</ci><apply id="S6.E95.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S6.E95.m1.1.1.1.1"><abs id="S6.E95.m1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S6.E95.m1.1.1.1.1.2"></abs><apply id="S6.E95.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S6.E95.m1.1.1.1.1.1"><times id="S6.E95.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S6.E95.m1.1.1.1.1.1.1"></times><ci id="S6.E95.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S6.E95.m1.1.1.1.1.1.2">𝜌</ci><apply id="S6.E95.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S6.E95.m1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.E95.m1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S6.E95.m1.1.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S6.E95.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S6.E95.m1.1.1.1.1.1.3.2">𝜎</ci><apply id="S6.E95.m1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S6.E95.m1.1.1.1.1.1.3.3"><minus id="S6.E95.m1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S6.E95.m1.1.1.1.1.1.3.3"></minus><cn id="S6.E95.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" type="integer" xref="S6.E95.m1.1.1.1.1.1.3.3.2">1</cn></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="S6.E95.m1.5.5.1.1.4.cmml" xref="S6.E95.m1.5.5.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.E95.m1.5.5.1.1.4.1.cmml" xref="S6.E95.m1.5.5.1.1.4">superscript</csymbol><ci id="S6.E95.m1.5.5.1.1.4.2.cmml" xref="S6.E95.m1.5.5.1.1.4.2">𝑦</ci><apply id="S6.E95.m1.2.2.1.2.cmml" xref="S6.E95.m1.2.2.1.3"><abs id="S6.E95.m1.2.2.1.2.1.cmml" xref="S6.E95.m1.2.2.1.3.1"></abs><ci id="S6.E95.m1.2.2.1.1.cmml" xref="S6.E95.m1.2.2.1.1">𝜌</ci></apply></apply><apply id="S6.E95.m1.5.5.1.1.5.cmml" xref="S6.E95.m1.5.5.1.1.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.E95.m1.5.5.1.1.5.1.cmml" xref="S6.E95.m1.5.5.1.1.5">subscript</csymbol><ci id="S6.E95.m1.5.5.1.1.5.2.cmml" xref="S6.E95.m1.5.5.1.1.5.2">𝑔</ci><apply id="S6.E95.m1.5.5.1.1.5.3.cmml" xref="S6.E95.m1.5.5.1.1.5.3"><times id="S6.E95.m1.5.5.1.1.5.3.1.cmml" xref="S6.E95.m1.5.5.1.1.5.3.1"></times><apply id="S6.E95.m1.5.5.1.1.5.3.2.cmml" xref="S6.E95.m1.5.5.1.1.5.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.E95.m1.5.5.1.1.5.3.2.1.cmml" xref="S6.E95.m1.5.5.1.1.5.3.2">superscript</csymbol><ci id="S6.E95.m1.5.5.1.1.5.3.2.2.cmml" xref="S6.E95.m1.5.5.1.1.5.3.2.2">𝜌</ci><apply id="S6.E95.m1.5.5.1.1.5.3.2.3.cmml" xref="S6.E95.m1.5.5.1.1.5.3.2.3"><minus id="S6.E95.m1.5.5.1.1.5.3.2.3.1.cmml" xref="S6.E95.m1.5.5.1.1.5.3.2.3"></minus><cn id="S6.E95.m1.5.5.1.1.5.3.2.3.2.cmml" type="integer" xref="S6.E95.m1.5.5.1.1.5.3.2.3.2">1</cn></apply></apply><ci id="S6.E95.m1.5.5.1.1.5.3.3.cmml" xref="S6.E95.m1.5.5.1.1.5.3.3">𝜏</ci></apply></apply><apply id="S6.E95.m1.5.5.1.1.1.1.1.cmml" xref="S6.E95.m1.5.5.1.1.1.1"><times id="S6.E95.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S6.E95.m1.5.5.1.1.1.1.1.1"></times><ci id="S6.E95.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S6.E95.m1.5.5.1.1.1.1.1.2">𝑥</ci><ci id="S6.E95.m1.5.5.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S6.E95.m1.5.5.1.1.1.1.1.3">𝑦</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.E95.m1.5c">\displaystyle h_{\sigma\tau}(x,y)=\sum_{\rho\in S_{t}}x^{|\rho\sigma^{-1}|}y^{% |\rho|}g_{\rho^{-1}\tau}(xy)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.E95.m1.5d">italic_h start_POSTSUBSCRIPT italic_σ italic_τ end_POSTSUBSCRIPT ( italic_x , italic_y ) = ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_ρ ∈ italic_S start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT italic_x start_POSTSUPERSCRIPT | italic_ρ italic_σ start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT | end_POSTSUPERSCRIPT italic_y start_POSTSUPERSCRIPT | italic_ρ | end_POSTSUPERSCRIPT italic_g start_POSTSUBSCRIPT italic_ρ start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT italic_τ end_POSTSUBSCRIPT ( italic_x italic_y )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(95)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="Thmtheorem46.p1.3"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmtheorem46.p1.3.1">and let <math alttext="h_{\sigma\tau}^{(i,j)}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem46.p1.3.1.m1.2"><semantics id="Thmtheorem46.p1.3.1.m1.2a"><msubsup id="Thmtheorem46.p1.3.1.m1.2.3" xref="Thmtheorem46.p1.3.1.m1.2.3.cmml"><mi id="Thmtheorem46.p1.3.1.m1.2.3.2.2" xref="Thmtheorem46.p1.3.1.m1.2.3.2.2.cmml">h</mi><mrow id="Thmtheorem46.p1.3.1.m1.2.3.2.3" xref="Thmtheorem46.p1.3.1.m1.2.3.2.3.cmml"><mi id="Thmtheorem46.p1.3.1.m1.2.3.2.3.2" xref="Thmtheorem46.p1.3.1.m1.2.3.2.3.2.cmml">σ</mi><mo id="Thmtheorem46.p1.3.1.m1.2.3.2.3.1" xref="Thmtheorem46.p1.3.1.m1.2.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="Thmtheorem46.p1.3.1.m1.2.3.2.3.3" xref="Thmtheorem46.p1.3.1.m1.2.3.2.3.3.cmml">τ</mi></mrow><mrow id="Thmtheorem46.p1.3.1.m1.2.2.2.4" xref="Thmtheorem46.p1.3.1.m1.2.2.2.3.cmml"><mo id="Thmtheorem46.p1.3.1.m1.2.2.2.4.1" stretchy="false" xref="Thmtheorem46.p1.3.1.m1.2.2.2.3.cmml">(</mo><mi id="Thmtheorem46.p1.3.1.m1.1.1.1.1" xref="Thmtheorem46.p1.3.1.m1.1.1.1.1.cmml">i</mi><mo id="Thmtheorem46.p1.3.1.m1.2.2.2.4.2" xref="Thmtheorem46.p1.3.1.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="Thmtheorem46.p1.3.1.m1.2.2.2.2" xref="Thmtheorem46.p1.3.1.m1.2.2.2.2.cmml">j</mi><mo id="Thmtheorem46.p1.3.1.m1.2.2.2.4.3" stretchy="false" xref="Thmtheorem46.p1.3.1.m1.2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></msubsup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem46.p1.3.1.m1.2b"><apply id="Thmtheorem46.p1.3.1.m1.2.3.cmml" xref="Thmtheorem46.p1.3.1.m1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem46.p1.3.1.m1.2.3.1.cmml" xref="Thmtheorem46.p1.3.1.m1.2.3">superscript</csymbol><apply id="Thmtheorem46.p1.3.1.m1.2.3.2.cmml" xref="Thmtheorem46.p1.3.1.m1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem46.p1.3.1.m1.2.3.2.1.cmml" xref="Thmtheorem46.p1.3.1.m1.2.3">subscript</csymbol><ci id="Thmtheorem46.p1.3.1.m1.2.3.2.2.cmml" xref="Thmtheorem46.p1.3.1.m1.2.3.2.2">ℎ</ci><apply id="Thmtheorem46.p1.3.1.m1.2.3.2.3.cmml" xref="Thmtheorem46.p1.3.1.m1.2.3.2.3"><times id="Thmtheorem46.p1.3.1.m1.2.3.2.3.1.cmml" xref="Thmtheorem46.p1.3.1.m1.2.3.2.3.1"></times><ci id="Thmtheorem46.p1.3.1.m1.2.3.2.3.2.cmml" xref="Thmtheorem46.p1.3.1.m1.2.3.2.3.2">𝜎</ci><ci id="Thmtheorem46.p1.3.1.m1.2.3.2.3.3.cmml" xref="Thmtheorem46.p1.3.1.m1.2.3.2.3.3">𝜏</ci></apply></apply><interval closure="open" id="Thmtheorem46.p1.3.1.m1.2.2.2.3.cmml" xref="Thmtheorem46.p1.3.1.m1.2.2.2.4"><ci id="Thmtheorem46.p1.3.1.m1.1.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem46.p1.3.1.m1.1.1.1.1">𝑖</ci><ci id="Thmtheorem46.p1.3.1.m1.2.2.2.2.cmml" xref="Thmtheorem46.p1.3.1.m1.2.2.2.2">𝑗</ci></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem46.p1.3.1.m1.2c">h_{\sigma\tau}^{(i,j)}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem46.p1.3.1.m1.2d">italic_h start_POSTSUBSCRIPT italic_σ italic_τ end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_i , italic_j ) end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> be the corresponding coefficients. Define the matrix</span></p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_gather ltx_eqn_table" id="S6.EGx86"> <tbody id="S6.E96"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\displaystyle\overline{H}(t)_{\sigma\tau}=\frac{1}{f_{t}(t^{-2})}\sum_{i,j}% \left|h_{\sigma\tau}^{(ij)}\right|t^{-(i+j)}" class="ltx_Math" display="block" id="S6.E96.m1.7"><semantics id="S6.E96.m1.7a"><mrow id="S6.E96.m1.7.7" xref="S6.E96.m1.7.7.cmml"><mrow id="S6.E96.m1.7.7.3" xref="S6.E96.m1.7.7.3.cmml"><mover accent="true" id="S6.E96.m1.7.7.3.2" xref="S6.E96.m1.7.7.3.2.cmml"><mi id="S6.E96.m1.7.7.3.2.2" xref="S6.E96.m1.7.7.3.2.2.cmml">H</mi><mo id="S6.E96.m1.7.7.3.2.1" xref="S6.E96.m1.7.7.3.2.1.cmml">¯</mo></mover><mo id="S6.E96.m1.7.7.3.1" xref="S6.E96.m1.7.7.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S6.E96.m1.7.7.3.3" xref="S6.E96.m1.7.7.3.3.cmml"><mrow id="S6.E96.m1.7.7.3.3.2.2" xref="S6.E96.m1.7.7.3.3.cmml"><mo id="S6.E96.m1.7.7.3.3.2.2.1" stretchy="false" xref="S6.E96.m1.7.7.3.3.cmml">(</mo><mi id="S6.E96.m1.6.6" xref="S6.E96.m1.6.6.cmml">t</mi><mo id="S6.E96.m1.7.7.3.3.2.2.2" stretchy="false" xref="S6.E96.m1.7.7.3.3.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S6.E96.m1.7.7.3.3.3" xref="S6.E96.m1.7.7.3.3.3.cmml"><mi id="S6.E96.m1.7.7.3.3.3.2" xref="S6.E96.m1.7.7.3.3.3.2.cmml">σ</mi><mo id="S6.E96.m1.7.7.3.3.3.1" xref="S6.E96.m1.7.7.3.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S6.E96.m1.7.7.3.3.3.3" xref="S6.E96.m1.7.7.3.3.3.3.cmml">τ</mi></mrow></msub></mrow><mo id="S6.E96.m1.7.7.2" xref="S6.E96.m1.7.7.2.cmml">=</mo><mrow id="S6.E96.m1.7.7.1" xref="S6.E96.m1.7.7.1.cmml"><mfrac id="S6.E96.m1.1.1" xref="S6.E96.m1.1.1.cmml"><mn id="S6.E96.m1.1.1.3" xref="S6.E96.m1.1.1.3.cmml">1</mn><mrow id="S6.E96.m1.1.1.1" xref="S6.E96.m1.1.1.1.cmml"><msub id="S6.E96.m1.1.1.1.3" xref="S6.E96.m1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S6.E96.m1.1.1.1.3.2" xref="S6.E96.m1.1.1.1.3.2.cmml">f</mi><mi id="S6.E96.m1.1.1.1.3.3" xref="S6.E96.m1.1.1.1.3.3.cmml">t</mi></msub><mo id="S6.E96.m1.1.1.1.2" xref="S6.E96.m1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S6.E96.m1.1.1.1.1.1" xref="S6.E96.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S6.E96.m1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S6.E96.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="S6.E96.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S6.E96.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S6.E96.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S6.E96.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">t</mi><mrow id="S6.E96.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S6.E96.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="S6.E96.m1.1.1.1.1.1.1.3a" xref="S6.E96.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">−</mo><mn id="S6.E96.m1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S6.E96.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">2</mn></mrow></msup><mo id="S6.E96.m1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S6.E96.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mfrac><mo id="S6.E96.m1.7.7.1.2" xref="S6.E96.m1.7.7.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S6.E96.m1.7.7.1.1" xref="S6.E96.m1.7.7.1.1.cmml"><munder id="S6.E96.m1.7.7.1.1.2" xref="S6.E96.m1.7.7.1.1.2.cmml"><mo id="S6.E96.m1.7.7.1.1.2.2" movablelimits="false" rspace="0em" xref="S6.E96.m1.7.7.1.1.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="S6.E96.m1.3.3.2.4" xref="S6.E96.m1.3.3.2.3.cmml"><mi id="S6.E96.m1.2.2.1.1" xref="S6.E96.m1.2.2.1.1.cmml">i</mi><mo id="S6.E96.m1.3.3.2.4.1" xref="S6.E96.m1.3.3.2.3.cmml">,</mo><mi id="S6.E96.m1.3.3.2.2" xref="S6.E96.m1.3.3.2.2.cmml">j</mi></mrow></munder><mrow id="S6.E96.m1.7.7.1.1.1" xref="S6.E96.m1.7.7.1.1.1.cmml"><mrow id="S6.E96.m1.7.7.1.1.1.1.1" xref="S6.E96.m1.7.7.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S6.E96.m1.7.7.1.1.1.1.1.2" xref="S6.E96.m1.7.7.1.1.1.1.2.1.cmml">|</mo><msubsup id="S6.E96.m1.7.7.1.1.1.1.1.1" xref="S6.E96.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S6.E96.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S6.E96.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">h</mi><mrow id="S6.E96.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S6.E96.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S6.E96.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S6.E96.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">σ</mi><mo id="S6.E96.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.3.1" xref="S6.E96.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S6.E96.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="S6.E96.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">τ</mi></mrow><mrow id="S6.E96.m1.4.4.1.1" xref="S6.E96.m1.4.4.1.1.1.cmml"><mo id="S6.E96.m1.4.4.1.1.2" stretchy="false" xref="S6.E96.m1.4.4.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S6.E96.m1.4.4.1.1.1" xref="S6.E96.m1.4.4.1.1.1.cmml"><mi id="S6.E96.m1.4.4.1.1.1.2" xref="S6.E96.m1.4.4.1.1.1.2.cmml">i</mi><mo id="S6.E96.m1.4.4.1.1.1.1" xref="S6.E96.m1.4.4.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S6.E96.m1.4.4.1.1.1.3" xref="S6.E96.m1.4.4.1.1.1.3.cmml">j</mi></mrow><mo id="S6.E96.m1.4.4.1.1.3" stretchy="false" xref="S6.E96.m1.4.4.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></msubsup><mo id="S6.E96.m1.7.7.1.1.1.1.1.3" xref="S6.E96.m1.7.7.1.1.1.1.2.1.cmml">|</mo></mrow><mo id="S6.E96.m1.7.7.1.1.1.2" xref="S6.E96.m1.7.7.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msup id="S6.E96.m1.7.7.1.1.1.3" xref="S6.E96.m1.7.7.1.1.1.3.cmml"><mi id="S6.E96.m1.7.7.1.1.1.3.2" xref="S6.E96.m1.7.7.1.1.1.3.2.cmml">t</mi><mrow id="S6.E96.m1.5.5.1" xref="S6.E96.m1.5.5.1.cmml"><mo id="S6.E96.m1.5.5.1a" xref="S6.E96.m1.5.5.1.cmml">−</mo><mrow id="S6.E96.m1.5.5.1.1.1" xref="S6.E96.m1.5.5.1.1.1.1.cmml"><mo id="S6.E96.m1.5.5.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S6.E96.m1.5.5.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S6.E96.m1.5.5.1.1.1.1" xref="S6.E96.m1.5.5.1.1.1.1.cmml"><mi id="S6.E96.m1.5.5.1.1.1.1.2" xref="S6.E96.m1.5.5.1.1.1.1.2.cmml">i</mi><mo id="S6.E96.m1.5.5.1.1.1.1.1" xref="S6.E96.m1.5.5.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mi id="S6.E96.m1.5.5.1.1.1.1.3" xref="S6.E96.m1.5.5.1.1.1.1.3.cmml">j</mi></mrow><mo id="S6.E96.m1.5.5.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S6.E96.m1.5.5.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></msup></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.E96.m1.7b"><apply id="S6.E96.m1.7.7.cmml" xref="S6.E96.m1.7.7"><eq id="S6.E96.m1.7.7.2.cmml" xref="S6.E96.m1.7.7.2"></eq><apply id="S6.E96.m1.7.7.3.cmml" xref="S6.E96.m1.7.7.3"><times id="S6.E96.m1.7.7.3.1.cmml" xref="S6.E96.m1.7.7.3.1"></times><apply id="S6.E96.m1.7.7.3.2.cmml" 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id="S6.E96.m1.7.7.1.1.cmml" xref="S6.E96.m1.7.7.1.1"><apply id="S6.E96.m1.7.7.1.1.2.cmml" xref="S6.E96.m1.7.7.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.E96.m1.7.7.1.1.2.1.cmml" xref="S6.E96.m1.7.7.1.1.2">subscript</csymbol><sum id="S6.E96.m1.7.7.1.1.2.2.cmml" xref="S6.E96.m1.7.7.1.1.2.2"></sum><list id="S6.E96.m1.3.3.2.3.cmml" xref="S6.E96.m1.3.3.2.4"><ci id="S6.E96.m1.2.2.1.1.cmml" xref="S6.E96.m1.2.2.1.1">𝑖</ci><ci id="S6.E96.m1.3.3.2.2.cmml" xref="S6.E96.m1.3.3.2.2">𝑗</ci></list></apply><apply id="S6.E96.m1.7.7.1.1.1.cmml" xref="S6.E96.m1.7.7.1.1.1"><times id="S6.E96.m1.7.7.1.1.1.2.cmml" xref="S6.E96.m1.7.7.1.1.1.2"></times><apply id="S6.E96.m1.7.7.1.1.1.1.2.cmml" xref="S6.E96.m1.7.7.1.1.1.1.1"><abs id="S6.E96.m1.7.7.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S6.E96.m1.7.7.1.1.1.1.1.2"></abs><apply id="S6.E96.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S6.E96.m1.7.7.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.E96.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S6.E96.m1.7.7.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply 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xref="S6.E96.m1.7.7.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.E96.m1.7.7.1.1.1.3.1.cmml" xref="S6.E96.m1.7.7.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S6.E96.m1.7.7.1.1.1.3.2.cmml" xref="S6.E96.m1.7.7.1.1.1.3.2">𝑡</ci><apply id="S6.E96.m1.5.5.1.cmml" xref="S6.E96.m1.5.5.1"><minus id="S6.E96.m1.5.5.1.2.cmml" xref="S6.E96.m1.5.5.1"></minus><apply id="S6.E96.m1.5.5.1.1.1.1.cmml" xref="S6.E96.m1.5.5.1.1.1"><plus id="S6.E96.m1.5.5.1.1.1.1.1.cmml" xref="S6.E96.m1.5.5.1.1.1.1.1"></plus><ci id="S6.E96.m1.5.5.1.1.1.1.2.cmml" xref="S6.E96.m1.5.5.1.1.1.1.2">𝑖</ci><ci id="S6.E96.m1.5.5.1.1.1.1.3.cmml" xref="S6.E96.m1.5.5.1.1.1.1.3">𝑗</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.E96.m1.7c">\displaystyle\overline{H}(t)_{\sigma\tau}=\frac{1}{f_{t}(t^{-2})}\sum_{i,j}% \left|h_{\sigma\tau}^{(ij)}\right|t^{-(i+j)}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.E96.m1.7d">over¯ start_ARG italic_H end_ARG ( italic_t ) start_POSTSUBSCRIPT italic_σ italic_τ end_POSTSUBSCRIPT = divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_f start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t start_POSTSUPERSCRIPT - 2 end_POSTSUPERSCRIPT ) end_ARG ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_i , italic_j end_POSTSUBSCRIPT | italic_h start_POSTSUBSCRIPT italic_σ italic_τ end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_i italic_j ) end_POSTSUPERSCRIPT | italic_t start_POSTSUPERSCRIPT - ( italic_i + italic_j ) end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(96)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="Thmtheorem46.p1.4"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmtheorem46.p1.4.1">Then we may bound the matrix elements of <math alttext="H" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem46.p1.4.1.m1.1"><semantics id="Thmtheorem46.p1.4.1.m1.1a"><mi id="Thmtheorem46.p1.4.1.m1.1.1" xref="Thmtheorem46.p1.4.1.m1.1.1.cmml">H</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem46.p1.4.1.m1.1b"><ci id="Thmtheorem46.p1.4.1.m1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem46.p1.4.1.m1.1.1">𝐻</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem46.p1.4.1.m1.1c">H</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem46.p1.4.1.m1.1d">italic_H</annotation></semantics></math> by</span></p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_gather ltx_eqn_table" id="S6.EGx87"> <tbody id="S6.E97"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\displaystyle|H_{\sigma\tau}(Q_{1},Q_{2})|\leq\left(\frac{t}{q}\right)^{\left% \lceil\frac{t}{2}\right\rceil}\overline{H}(t)_{\sigma\tau}" class="ltx_Math" display="block" id="S6.E97.m1.4"><semantics id="S6.E97.m1.4a"><mrow id="S6.E97.m1.4.4" xref="S6.E97.m1.4.4.cmml"><mrow id="S6.E97.m1.4.4.1.1" xref="S6.E97.m1.4.4.1.2.cmml"><mo id="S6.E97.m1.4.4.1.1.2" stretchy="false" xref="S6.E97.m1.4.4.1.2.1.cmml">|</mo><mrow id="S6.E97.m1.4.4.1.1.1" xref="S6.E97.m1.4.4.1.1.1.cmml"><msub id="S6.E97.m1.4.4.1.1.1.4" xref="S6.E97.m1.4.4.1.1.1.4.cmml"><mi id="S6.E97.m1.4.4.1.1.1.4.2" xref="S6.E97.m1.4.4.1.1.1.4.2.cmml">H</mi><mrow id="S6.E97.m1.4.4.1.1.1.4.3" xref="S6.E97.m1.4.4.1.1.1.4.3.cmml"><mi id="S6.E97.m1.4.4.1.1.1.4.3.2" xref="S6.E97.m1.4.4.1.1.1.4.3.2.cmml">σ</mi><mo id="S6.E97.m1.4.4.1.1.1.4.3.1" xref="S6.E97.m1.4.4.1.1.1.4.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S6.E97.m1.4.4.1.1.1.4.3.3" xref="S6.E97.m1.4.4.1.1.1.4.3.3.cmml">τ</mi></mrow></msub><mo id="S6.E97.m1.4.4.1.1.1.3" xref="S6.E97.m1.4.4.1.1.1.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S6.E97.m1.4.4.1.1.1.2.2" xref="S6.E97.m1.4.4.1.1.1.2.3.cmml"><mo id="S6.E97.m1.4.4.1.1.1.2.2.3" stretchy="false" xref="S6.E97.m1.4.4.1.1.1.2.3.cmml">(</mo><msub id="S6.E97.m1.4.4.1.1.1.1.1.1" xref="S6.E97.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S6.E97.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2" xref="S6.E97.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.cmml">Q</mi><mn id="S6.E97.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3" xref="S6.E97.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S6.E97.m1.4.4.1.1.1.2.2.4" xref="S6.E97.m1.4.4.1.1.1.2.3.cmml">,</mo><msub id="S6.E97.m1.4.4.1.1.1.2.2.2" xref="S6.E97.m1.4.4.1.1.1.2.2.2.cmml"><mi id="S6.E97.m1.4.4.1.1.1.2.2.2.2" xref="S6.E97.m1.4.4.1.1.1.2.2.2.2.cmml">Q</mi><mn id="S6.E97.m1.4.4.1.1.1.2.2.2.3" xref="S6.E97.m1.4.4.1.1.1.2.2.2.3.cmml">2</mn></msub><mo id="S6.E97.m1.4.4.1.1.1.2.2.5" stretchy="false" xref="S6.E97.m1.4.4.1.1.1.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S6.E97.m1.4.4.1.1.3" stretchy="false" xref="S6.E97.m1.4.4.1.2.1.cmml">|</mo></mrow><mo id="S6.E97.m1.4.4.2" xref="S6.E97.m1.4.4.2.cmml">≤</mo><mrow id="S6.E97.m1.4.4.3" xref="S6.E97.m1.4.4.3.cmml"><msup id="S6.E97.m1.4.4.3.2" xref="S6.E97.m1.4.4.3.2.cmml"><mrow 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id="S6.E97.m1.4.4.3.3.1" xref="S6.E97.m1.4.4.3.3.1.cmml">¯</mo></mover><mo id="S6.E97.m1.4.4.3.1a" xref="S6.E97.m1.4.4.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S6.E97.m1.4.4.3.4" xref="S6.E97.m1.4.4.3.4.cmml"><mrow id="S6.E97.m1.4.4.3.4.2.2" xref="S6.E97.m1.4.4.3.4.cmml"><mo id="S6.E97.m1.4.4.3.4.2.2.1" stretchy="false" xref="S6.E97.m1.4.4.3.4.cmml">(</mo><mi id="S6.E97.m1.3.3" xref="S6.E97.m1.3.3.cmml">t</mi><mo id="S6.E97.m1.4.4.3.4.2.2.2" stretchy="false" xref="S6.E97.m1.4.4.3.4.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S6.E97.m1.4.4.3.4.3" xref="S6.E97.m1.4.4.3.4.3.cmml"><mi id="S6.E97.m1.4.4.3.4.3.2" xref="S6.E97.m1.4.4.3.4.3.2.cmml">σ</mi><mo id="S6.E97.m1.4.4.3.4.3.1" xref="S6.E97.m1.4.4.3.4.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S6.E97.m1.4.4.3.4.3.3" xref="S6.E97.m1.4.4.3.4.3.3.cmml">τ</mi></mrow></msub></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.E97.m1.4b"><apply id="S6.E97.m1.4.4.cmml" xref="S6.E97.m1.4.4"><leq id="S6.E97.m1.4.4.2.cmml" xref="S6.E97.m1.4.4.2"></leq><apply id="S6.E97.m1.4.4.1.2.cmml" xref="S6.E97.m1.4.4.1.1"><abs id="S6.E97.m1.4.4.1.2.1.cmml" xref="S6.E97.m1.4.4.1.1.2"></abs><apply id="S6.E97.m1.4.4.1.1.1.cmml" xref="S6.E97.m1.4.4.1.1.1"><times id="S6.E97.m1.4.4.1.1.1.3.cmml" xref="S6.E97.m1.4.4.1.1.1.3"></times><apply id="S6.E97.m1.4.4.1.1.1.4.cmml" xref="S6.E97.m1.4.4.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.E97.m1.4.4.1.1.1.4.1.cmml" xref="S6.E97.m1.4.4.1.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="S6.E97.m1.4.4.1.1.1.4.2.cmml" xref="S6.E97.m1.4.4.1.1.1.4.2">𝐻</ci><apply id="S6.E97.m1.4.4.1.1.1.4.3.cmml" xref="S6.E97.m1.4.4.1.1.1.4.3"><times id="S6.E97.m1.4.4.1.1.1.4.3.1.cmml" xref="S6.E97.m1.4.4.1.1.1.4.3.1"></times><ci id="S6.E97.m1.4.4.1.1.1.4.3.2.cmml" xref="S6.E97.m1.4.4.1.1.1.4.3.2">𝜎</ci><ci id="S6.E97.m1.4.4.1.1.1.4.3.3.cmml" xref="S6.E97.m1.4.4.1.1.1.4.3.3">𝜏</ci></apply></apply><interval closure="open" id="S6.E97.m1.4.4.1.1.1.2.3.cmml" xref="S6.E97.m1.4.4.1.1.1.2.2"><apply id="S6.E97.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S6.E97.m1.4.4.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.E97.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S6.E97.m1.4.4.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S6.E97.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S6.E97.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2">𝑄</ci><cn id="S6.E97.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S6.E97.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3">1</cn></apply><apply id="S6.E97.m1.4.4.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S6.E97.m1.4.4.1.1.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.E97.m1.4.4.1.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S6.E97.m1.4.4.1.1.1.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S6.E97.m1.4.4.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S6.E97.m1.4.4.1.1.1.2.2.2.2">𝑄</ci><cn id="S6.E97.m1.4.4.1.1.1.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S6.E97.m1.4.4.1.1.1.2.2.2.3">2</cn></apply></interval></apply></apply><apply id="S6.E97.m1.4.4.3.cmml" xref="S6.E97.m1.4.4.3"><times id="S6.E97.m1.4.4.3.1.cmml" xref="S6.E97.m1.4.4.3.1"></times><apply id="S6.E97.m1.4.4.3.2.cmml" xref="S6.E97.m1.4.4.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.E97.m1.4.4.3.2.1.cmml" xref="S6.E97.m1.4.4.3.2">superscript</csymbol><apply id="S6.E97.m1.2.2.cmml" xref="S6.E97.m1.4.4.3.2.2.2"><divide id="S6.E97.m1.2.2.1.cmml" xref="S6.E97.m1.4.4.3.2.2.2"></divide><ci id="S6.E97.m1.2.2.2.cmml" xref="S6.E97.m1.2.2.2">𝑡</ci><ci id="S6.E97.m1.2.2.3.cmml" xref="S6.E97.m1.2.2.3">𝑞</ci></apply><apply id="S6.E97.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S6.E97.m1.1.1.1.3"><ceiling id="S6.E97.m1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S6.E97.m1.1.1.1.3.1"></ceiling><apply id="S6.E97.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S6.E97.m1.1.1.1.1"><divide id="S6.E97.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S6.E97.m1.1.1.1.1"></divide><ci id="S6.E97.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S6.E97.m1.1.1.1.1.2">𝑡</ci><cn id="S6.E97.m1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S6.E97.m1.1.1.1.1.3">2</cn></apply></apply></apply><apply id="S6.E97.m1.4.4.3.3.cmml" xref="S6.E97.m1.4.4.3.3"><ci id="S6.E97.m1.4.4.3.3.1.cmml" xref="S6.E97.m1.4.4.3.3.1">¯</ci><ci id="S6.E97.m1.4.4.3.3.2.cmml" xref="S6.E97.m1.4.4.3.3.2">𝐻</ci></apply><apply id="S6.E97.m1.4.4.3.4.cmml" xref="S6.E97.m1.4.4.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.E97.m1.4.4.3.4.1.cmml" xref="S6.E97.m1.4.4.3.4">subscript</csymbol><ci id="S6.E97.m1.3.3.cmml" xref="S6.E97.m1.3.3">𝑡</ci><apply id="S6.E97.m1.4.4.3.4.3.cmml" xref="S6.E97.m1.4.4.3.4.3"><times id="S6.E97.m1.4.4.3.4.3.1.cmml" xref="S6.E97.m1.4.4.3.4.3.1"></times><ci id="S6.E97.m1.4.4.3.4.3.2.cmml" xref="S6.E97.m1.4.4.3.4.3.2">𝜎</ci><ci id="S6.E97.m1.4.4.3.4.3.3.cmml" xref="S6.E97.m1.4.4.3.4.3.3">𝜏</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.E97.m1.4c">\displaystyle|H_{\sigma\tau}(Q_{1},Q_{2})|\leq\left(\frac{t}{q}\right)^{\left% \lceil\frac{t}{2}\right\rceil}\overline{H}(t)_{\sigma\tau}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.E97.m1.4d">| italic_H start_POSTSUBSCRIPT italic_σ italic_τ end_POSTSUBSCRIPT ( italic_Q start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , italic_Q start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT ) | ≤ ( divide start_ARG italic_t end_ARG start_ARG italic_q end_ARG ) start_POSTSUPERSCRIPT ⌈ divide start_ARG italic_t end_ARG start_ARG 2 end_ARG ⌉ end_POSTSUPERSCRIPT over¯ start_ARG italic_H end_ARG ( italic_t ) start_POSTSUBSCRIPT italic_σ italic_τ end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(97)</span></td> </tr></tbody> </table> </div> </div> <div class="ltx_para" id="S6.SS2.p2"> <p class="ltx_p" id="S6.SS2.p2.5">For sufficiently small <math alttext="t" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.SS2.p2.1.m1.1"><semantics id="S6.SS2.p2.1.m1.1a"><mi id="S6.SS2.p2.1.m1.1.1" xref="S6.SS2.p2.1.m1.1.1.cmml">t</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.SS2.p2.1.m1.1b"><ci id="S6.SS2.p2.1.m1.1.1.cmml" xref="S6.SS2.p2.1.m1.1.1">𝑡</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.SS2.p2.1.m1.1c">t</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.SS2.p2.1.m1.1d">italic_t</annotation></semantics></math>, we can find the operator norm of <math alttext="\overline{H}" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.SS2.p2.2.m2.1"><semantics id="S6.SS2.p2.2.m2.1a"><mover accent="true" id="S6.SS2.p2.2.m2.1.1" xref="S6.SS2.p2.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S6.SS2.p2.2.m2.1.1.2" xref="S6.SS2.p2.2.m2.1.1.2.cmml">H</mi><mo id="S6.SS2.p2.2.m2.1.1.1" xref="S6.SS2.p2.2.m2.1.1.1.cmml">¯</mo></mover><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.SS2.p2.2.m2.1b"><apply id="S6.SS2.p2.2.m2.1.1.cmml" xref="S6.SS2.p2.2.m2.1.1"><ci id="S6.SS2.p2.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S6.SS2.p2.2.m2.1.1.1">¯</ci><ci id="S6.SS2.p2.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S6.SS2.p2.2.m2.1.1.2">𝐻</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.SS2.p2.2.m2.1c">\overline{H}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.SS2.p2.2.m2.1d">over¯ start_ARG italic_H end_ARG</annotation></semantics></math> numerically. By the Perron-Frobenius theorem, this gives us a bound on the operator norm of <math alttext="H" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.SS2.p2.3.m3.1"><semantics id="S6.SS2.p2.3.m3.1a"><mi id="S6.SS2.p2.3.m3.1.1" xref="S6.SS2.p2.3.m3.1.1.cmml">H</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.SS2.p2.3.m3.1b"><ci id="S6.SS2.p2.3.m3.1.1.cmml" xref="S6.SS2.p2.3.m3.1.1">𝐻</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.SS2.p2.3.m3.1c">H</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.SS2.p2.3.m3.1d">italic_H</annotation></semantics></math>. This bound will be of the form <math alttext="h(t)q^{-\left\lceil\frac{t}{2}\right\rceil}" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.SS2.p2.4.m4.2"><semantics id="S6.SS2.p2.4.m4.2a"><mrow id="S6.SS2.p2.4.m4.2.3" xref="S6.SS2.p2.4.m4.2.3.cmml"><mi id="S6.SS2.p2.4.m4.2.3.2" xref="S6.SS2.p2.4.m4.2.3.2.cmml">h</mi><mo id="S6.SS2.p2.4.m4.2.3.1" xref="S6.SS2.p2.4.m4.2.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S6.SS2.p2.4.m4.2.3.3.2" xref="S6.SS2.p2.4.m4.2.3.cmml"><mo id="S6.SS2.p2.4.m4.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S6.SS2.p2.4.m4.2.3.cmml">(</mo><mi id="S6.SS2.p2.4.m4.2.2" xref="S6.SS2.p2.4.m4.2.2.cmml">t</mi><mo id="S6.SS2.p2.4.m4.2.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S6.SS2.p2.4.m4.2.3.cmml">)</mo></mrow><mo id="S6.SS2.p2.4.m4.2.3.1a" xref="S6.SS2.p2.4.m4.2.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="S6.SS2.p2.4.m4.2.3.4" xref="S6.SS2.p2.4.m4.2.3.4.cmml"><mi id="S6.SS2.p2.4.m4.2.3.4.2" xref="S6.SS2.p2.4.m4.2.3.4.2.cmml">q</mi><mrow id="S6.SS2.p2.4.m4.1.1.1" xref="S6.SS2.p2.4.m4.1.1.1.cmml"><mo id="S6.SS2.p2.4.m4.1.1.1a" xref="S6.SS2.p2.4.m4.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S6.SS2.p2.4.m4.1.1.1.3.2" xref="S6.SS2.p2.4.m4.1.1.1.3.1.cmml"><mo id="S6.SS2.p2.4.m4.1.1.1.3.2.1" xref="S6.SS2.p2.4.m4.1.1.1.3.1.1.cmml">⌈</mo><mfrac id="S6.SS2.p2.4.m4.1.1.1.1" xref="S6.SS2.p2.4.m4.1.1.1.1.cmml"><mi id="S6.SS2.p2.4.m4.1.1.1.1.2" xref="S6.SS2.p2.4.m4.1.1.1.1.2.cmml">t</mi><mn id="S6.SS2.p2.4.m4.1.1.1.1.3" xref="S6.SS2.p2.4.m4.1.1.1.1.3.cmml">2</mn></mfrac><mo id="S6.SS2.p2.4.m4.1.1.1.3.2.2" xref="S6.SS2.p2.4.m4.1.1.1.3.1.1.cmml">⌉</mo></mrow></mrow></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.SS2.p2.4.m4.2b"><apply id="S6.SS2.p2.4.m4.2.3.cmml" xref="S6.SS2.p2.4.m4.2.3"><times id="S6.SS2.p2.4.m4.2.3.1.cmml" xref="S6.SS2.p2.4.m4.2.3.1"></times><ci id="S6.SS2.p2.4.m4.2.3.2.cmml" xref="S6.SS2.p2.4.m4.2.3.2">ℎ</ci><ci id="S6.SS2.p2.4.m4.2.2.cmml" xref="S6.SS2.p2.4.m4.2.2">𝑡</ci><apply id="S6.SS2.p2.4.m4.2.3.4.cmml" xref="S6.SS2.p2.4.m4.2.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.SS2.p2.4.m4.2.3.4.1.cmml" xref="S6.SS2.p2.4.m4.2.3.4">superscript</csymbol><ci id="S6.SS2.p2.4.m4.2.3.4.2.cmml" xref="S6.SS2.p2.4.m4.2.3.4.2">𝑞</ci><apply id="S6.SS2.p2.4.m4.1.1.1.cmml" xref="S6.SS2.p2.4.m4.1.1.1"><minus id="S6.SS2.p2.4.m4.1.1.1.2.cmml" xref="S6.SS2.p2.4.m4.1.1.1"></minus><apply id="S6.SS2.p2.4.m4.1.1.1.3.1.cmml" xref="S6.SS2.p2.4.m4.1.1.1.3.2"><ceiling id="S6.SS2.p2.4.m4.1.1.1.3.1.1.cmml" xref="S6.SS2.p2.4.m4.1.1.1.3.2.1"></ceiling><apply id="S6.SS2.p2.4.m4.1.1.1.1.cmml" xref="S6.SS2.p2.4.m4.1.1.1.1"><divide id="S6.SS2.p2.4.m4.1.1.1.1.1.cmml" xref="S6.SS2.p2.4.m4.1.1.1.1"></divide><ci id="S6.SS2.p2.4.m4.1.1.1.1.2.cmml" xref="S6.SS2.p2.4.m4.1.1.1.1.2">𝑡</ci><cn id="S6.SS2.p2.4.m4.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S6.SS2.p2.4.m4.1.1.1.1.3">2</cn></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.SS2.p2.4.m4.2c">h(t)q^{-\left\lceil\frac{t}{2}\right\rceil}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.SS2.p2.4.m4.2d">italic_h ( italic_t ) italic_q start_POSTSUPERSCRIPT - ⌈ divide start_ARG italic_t end_ARG start_ARG 2 end_ARG ⌉ end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>. The <math alttext="t=2" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.SS2.p2.5.m5.1"><semantics id="S6.SS2.p2.5.m5.1a"><mrow id="S6.SS2.p2.5.m5.1.1" xref="S6.SS2.p2.5.m5.1.1.cmml"><mi id="S6.SS2.p2.5.m5.1.1.2" xref="S6.SS2.p2.5.m5.1.1.2.cmml">t</mi><mo id="S6.SS2.p2.5.m5.1.1.1" xref="S6.SS2.p2.5.m5.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S6.SS2.p2.5.m5.1.1.3" xref="S6.SS2.p2.5.m5.1.1.3.cmml">2</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.SS2.p2.5.m5.1b"><apply id="S6.SS2.p2.5.m5.1.1.cmml" xref="S6.SS2.p2.5.m5.1.1"><eq id="S6.SS2.p2.5.m5.1.1.1.cmml" xref="S6.SS2.p2.5.m5.1.1.1"></eq><ci id="S6.SS2.p2.5.m5.1.1.2.cmml" xref="S6.SS2.p2.5.m5.1.1.2">𝑡</ci><cn id="S6.SS2.p2.5.m5.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S6.SS2.p2.5.m5.1.1.3">2</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.SS2.p2.5.m5.1c">t=2</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.SS2.p2.5.m5.1d">italic_t = 2</annotation></semantics></math> eigenvalue will dominate so long as</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_gather ltx_eqn_table" id="S6.EGx88"> <tbody id="S6.E98"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\displaystyle h^{2}(t)\leq\frac{t^{2\left\lceil\frac{t}{2}\right\rceil}}{1+t^{% 2}}" class="ltx_Math" display="block" id="S6.E98.m1.2"><semantics id="S6.E98.m1.2a"><mrow id="S6.E98.m1.2.3" xref="S6.E98.m1.2.3.cmml"><mrow id="S6.E98.m1.2.3.2" xref="S6.E98.m1.2.3.2.cmml"><msup id="S6.E98.m1.2.3.2.2" xref="S6.E98.m1.2.3.2.2.cmml"><mi id="S6.E98.m1.2.3.2.2.2" xref="S6.E98.m1.2.3.2.2.2.cmml">h</mi><mn id="S6.E98.m1.2.3.2.2.3" xref="S6.E98.m1.2.3.2.2.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S6.E98.m1.2.3.2.1" xref="S6.E98.m1.2.3.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S6.E98.m1.2.3.2.3.2" xref="S6.E98.m1.2.3.2.cmml"><mo id="S6.E98.m1.2.3.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S6.E98.m1.2.3.2.cmml">(</mo><mi id="S6.E98.m1.2.2" xref="S6.E98.m1.2.2.cmml">t</mi><mo id="S6.E98.m1.2.3.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S6.E98.m1.2.3.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S6.E98.m1.2.3.1" xref="S6.E98.m1.2.3.1.cmml">≤</mo><mfrac id="S6.E98.m1.1.1" xref="S6.E98.m1.1.1.cmml"><msup id="S6.E98.m1.1.1.1" xref="S6.E98.m1.1.1.1.cmml"><mi id="S6.E98.m1.1.1.1.3" xref="S6.E98.m1.1.1.1.3.cmml">t</mi><mrow id="S6.E98.m1.1.1.1.1.1" xref="S6.E98.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="S6.E98.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S6.E98.m1.1.1.1.1.1.3.cmml">2</mn><mo id="S6.E98.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S6.E98.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S6.E98.m1.1.1.1.1.1.4.2" xref="S6.E98.m1.1.1.1.1.1.4.1.cmml"><mo id="S6.E98.m1.1.1.1.1.1.4.2.1" xref="S6.E98.m1.1.1.1.1.1.4.1.1.cmml">⌈</mo><mfrac id="S6.E98.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S6.E98.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S6.E98.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S6.E98.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">t</mi><mn id="S6.E98.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S6.E98.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">2</mn></mfrac><mo id="S6.E98.m1.1.1.1.1.1.4.2.2" xref="S6.E98.m1.1.1.1.1.1.4.1.1.cmml">⌉</mo></mrow></mrow></msup><mrow id="S6.E98.m1.1.1.3" xref="S6.E98.m1.1.1.3.cmml"><mn id="S6.E98.m1.1.1.3.2" xref="S6.E98.m1.1.1.3.2.cmml">1</mn><mo id="S6.E98.m1.1.1.3.1" xref="S6.E98.m1.1.1.3.1.cmml">+</mo><msup id="S6.E98.m1.1.1.3.3" xref="S6.E98.m1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S6.E98.m1.1.1.3.3.2" xref="S6.E98.m1.1.1.3.3.2.cmml">t</mi><mn id="S6.E98.m1.1.1.3.3.3" xref="S6.E98.m1.1.1.3.3.3.cmml">2</mn></msup></mrow></mfrac></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.E98.m1.2b"><apply id="S6.E98.m1.2.3.cmml" xref="S6.E98.m1.2.3"><leq id="S6.E98.m1.2.3.1.cmml" xref="S6.E98.m1.2.3.1"></leq><apply id="S6.E98.m1.2.3.2.cmml" xref="S6.E98.m1.2.3.2"><times id="S6.E98.m1.2.3.2.1.cmml" xref="S6.E98.m1.2.3.2.1"></times><apply id="S6.E98.m1.2.3.2.2.cmml" xref="S6.E98.m1.2.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.E98.m1.2.3.2.2.1.cmml" xref="S6.E98.m1.2.3.2.2">superscript</csymbol><ci id="S6.E98.m1.2.3.2.2.2.cmml" xref="S6.E98.m1.2.3.2.2.2">ℎ</ci><cn id="S6.E98.m1.2.3.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S6.E98.m1.2.3.2.2.3">2</cn></apply><ci id="S6.E98.m1.2.2.cmml" xref="S6.E98.m1.2.2">𝑡</ci></apply><apply id="S6.E98.m1.1.1.cmml" xref="S6.E98.m1.1.1"><divide id="S6.E98.m1.1.1.2.cmml" xref="S6.E98.m1.1.1"></divide><apply id="S6.E98.m1.1.1.1.cmml" xref="S6.E98.m1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.E98.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S6.E98.m1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S6.E98.m1.1.1.1.3.cmml" xref="S6.E98.m1.1.1.1.3">𝑡</ci><apply id="S6.E98.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S6.E98.m1.1.1.1.1.1"><times id="S6.E98.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S6.E98.m1.1.1.1.1.1.2"></times><cn id="S6.E98.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S6.E98.m1.1.1.1.1.1.3">2</cn><apply id="S6.E98.m1.1.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="S6.E98.m1.1.1.1.1.1.4.2"><ceiling id="S6.E98.m1.1.1.1.1.1.4.1.1.cmml" xref="S6.E98.m1.1.1.1.1.1.4.2.1"></ceiling><apply id="S6.E98.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S6.E98.m1.1.1.1.1.1.1"><divide id="S6.E98.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S6.E98.m1.1.1.1.1.1.1"></divide><ci id="S6.E98.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S6.E98.m1.1.1.1.1.1.1.2">𝑡</ci><cn id="S6.E98.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S6.E98.m1.1.1.1.1.1.1.3">2</cn></apply></apply></apply></apply><apply id="S6.E98.m1.1.1.3.cmml" xref="S6.E98.m1.1.1.3"><plus id="S6.E98.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S6.E98.m1.1.1.3.1"></plus><cn id="S6.E98.m1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S6.E98.m1.1.1.3.2">1</cn><apply id="S6.E98.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S6.E98.m1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.E98.m1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S6.E98.m1.1.1.3.3">superscript</csymbol><ci id="S6.E98.m1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S6.E98.m1.1.1.3.3.2">𝑡</ci><cn id="S6.E98.m1.1.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S6.E98.m1.1.1.3.3.3">2</cn></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.E98.m1.2c">\displaystyle h^{2}(t)\leq\frac{t^{2\left\lceil\frac{t}{2}\right\rceil}}{1+t^{% 2}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.E98.m1.2d">italic_h start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_t ) ≤ divide start_ARG italic_t start_POSTSUPERSCRIPT 2 ⌈ divide start_ARG italic_t end_ARG start_ARG 2 end_ARG ⌉ end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG 1 + italic_t start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(98)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S6.SS2.p2.7">Numerical values of <math alttext="||\overline{H}(t)||_{\text{basis}}^{\mathfrak{D}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.SS2.p2.6.m1.2"><semantics id="S6.SS2.p2.6.m1.2a"><msubsup id="S6.SS2.p2.6.m1.2.2" xref="S6.SS2.p2.6.m1.2.2.cmml"><mrow id="S6.SS2.p2.6.m1.2.2.1.1.1" xref="S6.SS2.p2.6.m1.2.2.1.1.2.cmml"><mo id="S6.SS2.p2.6.m1.2.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S6.SS2.p2.6.m1.2.2.1.1.2.1.cmml">‖</mo><mrow id="S6.SS2.p2.6.m1.2.2.1.1.1.1" xref="S6.SS2.p2.6.m1.2.2.1.1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S6.SS2.p2.6.m1.2.2.1.1.1.1.2" xref="S6.SS2.p2.6.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S6.SS2.p2.6.m1.2.2.1.1.1.1.2.2" xref="S6.SS2.p2.6.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.cmml">H</mi><mo id="S6.SS2.p2.6.m1.2.2.1.1.1.1.2.1" xref="S6.SS2.p2.6.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.cmml">¯</mo></mover><mo id="S6.SS2.p2.6.m1.2.2.1.1.1.1.1" xref="S6.SS2.p2.6.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S6.SS2.p2.6.m1.2.2.1.1.1.1.3.2" xref="S6.SS2.p2.6.m1.2.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="S6.SS2.p2.6.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="S6.SS2.p2.6.m1.2.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S6.SS2.p2.6.m1.1.1" xref="S6.SS2.p2.6.m1.1.1.cmml">t</mi><mo id="S6.SS2.p2.6.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="S6.SS2.p2.6.m1.2.2.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S6.SS2.p2.6.m1.2.2.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S6.SS2.p2.6.m1.2.2.1.1.2.1.cmml">‖</mo></mrow><mtext id="S6.SS2.p2.6.m1.2.2.1.3" xref="S6.SS2.p2.6.m1.2.2.1.3a.cmml">basis</mtext><mi id="S6.SS2.p2.6.m1.2.2.3" xref="S6.SS2.p2.6.m1.2.2.3.cmml">𝔇</mi></msubsup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.SS2.p2.6.m1.2b"><apply id="S6.SS2.p2.6.m1.2.2.cmml" xref="S6.SS2.p2.6.m1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.SS2.p2.6.m1.2.2.2.cmml" xref="S6.SS2.p2.6.m1.2.2">superscript</csymbol><apply id="S6.SS2.p2.6.m1.2.2.1.cmml" xref="S6.SS2.p2.6.m1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.SS2.p2.6.m1.2.2.1.2.cmml" xref="S6.SS2.p2.6.m1.2.2">subscript</csymbol><apply id="S6.SS2.p2.6.m1.2.2.1.1.2.cmml" xref="S6.SS2.p2.6.m1.2.2.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S6.SS2.p2.6.m1.2.2.1.1.2.1.cmml" xref="S6.SS2.p2.6.m1.2.2.1.1.1.2">norm</csymbol><apply id="S6.SS2.p2.6.m1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S6.SS2.p2.6.m1.2.2.1.1.1.1"><times id="S6.SS2.p2.6.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S6.SS2.p2.6.m1.2.2.1.1.1.1.1"></times><apply id="S6.SS2.p2.6.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S6.SS2.p2.6.m1.2.2.1.1.1.1.2"><ci id="S6.SS2.p2.6.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S6.SS2.p2.6.m1.2.2.1.1.1.1.2.1">¯</ci><ci id="S6.SS2.p2.6.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S6.SS2.p2.6.m1.2.2.1.1.1.1.2.2">𝐻</ci></apply><ci id="S6.SS2.p2.6.m1.1.1.cmml" xref="S6.SS2.p2.6.m1.1.1">𝑡</ci></apply></apply><ci id="S6.SS2.p2.6.m1.2.2.1.3a.cmml" xref="S6.SS2.p2.6.m1.2.2.1.3"><mtext id="S6.SS2.p2.6.m1.2.2.1.3.cmml" mathsize="70%" xref="S6.SS2.p2.6.m1.2.2.1.3">basis</mtext></ci></apply><ci id="S6.SS2.p2.6.m1.2.2.3.cmml" xref="S6.SS2.p2.6.m1.2.2.3">𝔇</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.SS2.p2.6.m1.2c">||\overline{H}(t)||_{\text{basis}}^{\mathfrak{D}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.SS2.p2.6.m1.2d">| | over¯ start_ARG italic_H end_ARG ( italic_t ) | | start_POSTSUBSCRIPT basis end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT fraktur_D end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> are presented in Table <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#A3.T2" title="Table 2 ‣ C.1 Values of ‖𝐾_𝑚‖_𝔇 for 𝑡≤6,𝑡≤𝑞 ‣ Appendix C Numerical results ‣ Conditional 𝑡-independent spectral gap for random quantum circuits and implications for 𝑡-design depths"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">2</span></a>. We see that the bound is satisfied for all <math alttext="t\leq 6" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.SS2.p2.7.m2.1"><semantics id="S6.SS2.p2.7.m2.1a"><mrow id="S6.SS2.p2.7.m2.1.1" xref="S6.SS2.p2.7.m2.1.1.cmml"><mi id="S6.SS2.p2.7.m2.1.1.2" xref="S6.SS2.p2.7.m2.1.1.2.cmml">t</mi><mo id="S6.SS2.p2.7.m2.1.1.1" xref="S6.SS2.p2.7.m2.1.1.1.cmml">≤</mo><mn id="S6.SS2.p2.7.m2.1.1.3" xref="S6.SS2.p2.7.m2.1.1.3.cmml">6</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.SS2.p2.7.m2.1b"><apply id="S6.SS2.p2.7.m2.1.1.cmml" xref="S6.SS2.p2.7.m2.1.1"><leq id="S6.SS2.p2.7.m2.1.1.1.cmml" xref="S6.SS2.p2.7.m2.1.1.1"></leq><ci id="S6.SS2.p2.7.m2.1.1.2.cmml" xref="S6.SS2.p2.7.m2.1.1.2">𝑡</ci><cn id="S6.SS2.p2.7.m2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S6.SS2.p2.7.m2.1.1.3">6</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.SS2.p2.7.m2.1c">t\leq 6</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.SS2.p2.7.m2.1d">italic_t ≤ 6</annotation></semantics></math>.</p> </div> </section> </section> <section class="ltx_section" id="S7"> <h2 class="ltx_title ltx_title_section"> <span class="ltx_tag ltx_tag_section">VII </span>Conclusion</h2> <div class="ltx_para" id="S7.p1"> <p class="ltx_p" id="S7.p1.8">We have established a nearly-optimal <math alttext="t" class="ltx_Math" display="inline" id="S7.p1.1.m1.1"><semantics id="S7.p1.1.m1.1a"><mi id="S7.p1.1.m1.1.1" xref="S7.p1.1.m1.1.1.cmml">t</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.p1.1.m1.1b"><ci id="S7.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S7.p1.1.m1.1.1">𝑡</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.p1.1.m1.1c">t</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.p1.1.m1.1d">italic_t</annotation></semantics></math>-independent, <math alttext="N" class="ltx_Math" display="inline" id="S7.p1.2.m2.1"><semantics id="S7.p1.2.m2.1a"><mi id="S7.p1.2.m2.1.1" xref="S7.p1.2.m2.1.1.cmml">N</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.p1.2.m2.1b"><ci id="S7.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="S7.p1.2.m2.1.1">𝑁</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.p1.2.m2.1c">N</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.p1.2.m2.1d">italic_N</annotation></semantics></math>-independent lower bound on the spectral gap when <math alttext="t\leq q" class="ltx_Math" display="inline" id="S7.p1.3.m3.1"><semantics id="S7.p1.3.m3.1a"><mrow id="S7.p1.3.m3.1.1" xref="S7.p1.3.m3.1.1.cmml"><mi id="S7.p1.3.m3.1.1.2" xref="S7.p1.3.m3.1.1.2.cmml">t</mi><mo id="S7.p1.3.m3.1.1.1" xref="S7.p1.3.m3.1.1.1.cmml">≤</mo><mi id="S7.p1.3.m3.1.1.3" xref="S7.p1.3.m3.1.1.3.cmml">q</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.p1.3.m3.1b"><apply id="S7.p1.3.m3.1.1.cmml" xref="S7.p1.3.m3.1.1"><leq id="S7.p1.3.m3.1.1.1.cmml" xref="S7.p1.3.m3.1.1.1"></leq><ci id="S7.p1.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S7.p1.3.m3.1.1.2">𝑡</ci><ci id="S7.p1.3.m3.1.1.3.cmml" xref="S7.p1.3.m3.1.1.3">𝑞</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.p1.3.m3.1c">t\leq q</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.p1.3.m3.1d">italic_t ≤ italic_q</annotation></semantics></math>. This implies improvements to known bounds on approximate <math alttext="t" class="ltx_Math" display="inline" id="S7.p1.4.m4.1"><semantics id="S7.p1.4.m4.1a"><mi id="S7.p1.4.m4.1.1" xref="S7.p1.4.m4.1.1.cmml">t</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.p1.4.m4.1b"><ci id="S7.p1.4.m4.1.1.cmml" xref="S7.p1.4.m4.1.1">𝑡</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.p1.4.m4.1c">t</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.p1.4.m4.1d">italic_t</annotation></semantics></math>-design depths of various architectures, including the brickwork<cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#bib.bib9" title="">9</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#bib.bib10" title="">10</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#bib.bib11" title="">11</a>]</cite>, arbitrary well-connected architectures<cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#bib.bib14" title="">14</a>]</cite>, and specific rapidly-scrambling architectures<cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#bib.bib12" title="">12</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#bib.bib13" title="">13</a>]</cite>. Although the asymptotics of these results do not change, our improvements to the constant factors are often dramatic. The scaling with <math alttext="t" class="ltx_Math" display="inline" id="S7.p1.5.m5.1"><semantics id="S7.p1.5.m5.1a"><mi id="S7.p1.5.m5.1.1" xref="S7.p1.5.m5.1.1.cmml">t</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.p1.5.m5.1b"><ci id="S7.p1.5.m5.1.1.cmml" xref="S7.p1.5.m5.1.1">𝑡</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.p1.5.m5.1c">t</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.p1.5.m5.1d">italic_t</annotation></semantics></math> is also improved for the regime <math alttext="t\leq q<6t^{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="S7.p1.6.m6.1"><semantics id="S7.p1.6.m6.1a"><mrow id="S7.p1.6.m6.1.1" xref="S7.p1.6.m6.1.1.cmml"><mi id="S7.p1.6.m6.1.1.2" xref="S7.p1.6.m6.1.1.2.cmml">t</mi><mo id="S7.p1.6.m6.1.1.3" xref="S7.p1.6.m6.1.1.3.cmml">≤</mo><mi id="S7.p1.6.m6.1.1.4" xref="S7.p1.6.m6.1.1.4.cmml">q</mi><mo id="S7.p1.6.m6.1.1.5" xref="S7.p1.6.m6.1.1.5.cmml"><</mo><mrow id="S7.p1.6.m6.1.1.6" xref="S7.p1.6.m6.1.1.6.cmml"><mn id="S7.p1.6.m6.1.1.6.2" xref="S7.p1.6.m6.1.1.6.2.cmml">6</mn><mo id="S7.p1.6.m6.1.1.6.1" xref="S7.p1.6.m6.1.1.6.1.cmml">⁢</mo><msup id="S7.p1.6.m6.1.1.6.3" xref="S7.p1.6.m6.1.1.6.3.cmml"><mi id="S7.p1.6.m6.1.1.6.3.2" xref="S7.p1.6.m6.1.1.6.3.2.cmml">t</mi><mn id="S7.p1.6.m6.1.1.6.3.3" xref="S7.p1.6.m6.1.1.6.3.3.cmml">2</mn></msup></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.p1.6.m6.1b"><apply id="S7.p1.6.m6.1.1.cmml" xref="S7.p1.6.m6.1.1"><and id="S7.p1.6.m6.1.1a.cmml" xref="S7.p1.6.m6.1.1"></and><apply id="S7.p1.6.m6.1.1b.cmml" xref="S7.p1.6.m6.1.1"><leq id="S7.p1.6.m6.1.1.3.cmml" xref="S7.p1.6.m6.1.1.3"></leq><ci id="S7.p1.6.m6.1.1.2.cmml" xref="S7.p1.6.m6.1.1.2">𝑡</ci><ci id="S7.p1.6.m6.1.1.4.cmml" xref="S7.p1.6.m6.1.1.4">𝑞</ci></apply><apply id="S7.p1.6.m6.1.1c.cmml" xref="S7.p1.6.m6.1.1"><lt id="S7.p1.6.m6.1.1.5.cmml" xref="S7.p1.6.m6.1.1.5"></lt><share href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#S7.p1.6.m6.1.1.4.cmml" id="S7.p1.6.m6.1.1d.cmml" xref="S7.p1.6.m6.1.1"></share><apply id="S7.p1.6.m6.1.1.6.cmml" xref="S7.p1.6.m6.1.1.6"><times id="S7.p1.6.m6.1.1.6.1.cmml" xref="S7.p1.6.m6.1.1.6.1"></times><cn id="S7.p1.6.m6.1.1.6.2.cmml" type="integer" xref="S7.p1.6.m6.1.1.6.2">6</cn><apply id="S7.p1.6.m6.1.1.6.3.cmml" xref="S7.p1.6.m6.1.1.6.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.p1.6.m6.1.1.6.3.1.cmml" xref="S7.p1.6.m6.1.1.6.3">superscript</csymbol><ci id="S7.p1.6.m6.1.1.6.3.2.cmml" xref="S7.p1.6.m6.1.1.6.3.2">𝑡</ci><cn id="S7.p1.6.m6.1.1.6.3.3.cmml" type="integer" xref="S7.p1.6.m6.1.1.6.3.3">2</cn></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.p1.6.m6.1c">t\leq q<6t^{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.p1.6.m6.1d">italic_t ≤ italic_q < 6 italic_t start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> in which the bound of ref. <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_citep"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#bib.bib17" title="">17</a></cite> did not apply. We also show that the resulting bound on the 1D brickwork <math alttext="t" class="ltx_Math" display="inline" id="S7.p1.7.m7.1"><semantics id="S7.p1.7.m7.1a"><mi id="S7.p1.7.m7.1.1" xref="S7.p1.7.m7.1.1.cmml">t</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.p1.7.m7.1b"><ci id="S7.p1.7.m7.1.1.cmml" xref="S7.p1.7.m7.1.1">𝑡</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.p1.7.m7.1c">t</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.p1.7.m7.1d">italic_t</annotation></semantics></math>-design depth has nearly optimal small-<math alttext="\epsilon" class="ltx_Math" display="inline" id="S7.p1.8.m8.1"><semantics id="S7.p1.8.m8.1a"><mi id="S7.p1.8.m8.1.1" xref="S7.p1.8.m8.1.1.cmml">ϵ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.p1.8.m8.1b"><ci id="S7.p1.8.m8.1.1.cmml" xref="S7.p1.8.m8.1.1">italic-ϵ</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.p1.8.m8.1c">\epsilon</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.p1.8.m8.1d">italic_ϵ</annotation></semantics></math> behavior.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S7.p2"> <p class="ltx_p" id="S7.p2.16">Our first technical innovation is our strategy to relate the 1D staircase SEV to a sequence of 3-site operators. This differs from previously established methods, and we believe it has the potential to produce even stronger results with further work. As a primary example, we would like to extend our bound to the case <math alttext="t>q" class="ltx_Math" display="inline" id="S7.p2.1.m1.1"><semantics id="S7.p2.1.m1.1a"><mrow id="S7.p2.1.m1.1.1" xref="S7.p2.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S7.p2.1.m1.1.1.2" xref="S7.p2.1.m1.1.1.2.cmml">t</mi><mo id="S7.p2.1.m1.1.1.1" xref="S7.p2.1.m1.1.1.1.cmml">></mo><mi id="S7.p2.1.m1.1.1.3" xref="S7.p2.1.m1.1.1.3.cmml">q</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.p2.1.m1.1b"><apply id="S7.p2.1.m1.1.1.cmml" xref="S7.p2.1.m1.1.1"><gt id="S7.p2.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S7.p2.1.m1.1.1.1"></gt><ci id="S7.p2.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S7.p2.1.m1.1.1.2">𝑡</ci><ci id="S7.p2.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S7.p2.1.m1.1.1.3">𝑞</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.p2.1.m1.1c">t>q</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.p2.1.m1.1d">italic_t > italic_q</annotation></semantics></math>. From numerical evidence (see Appendix <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#A3.SS2" title="C.2 Values of ‖𝐾_𝑚‖_𝔇 for 𝑞<𝑡 (Proof of Theorem 5) ‣ Appendix C Numerical results ‣ Conditional 𝑡-independent spectral gap for random quantum circuits and implications for 𝑡-design depths"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">C.2</span></a>), it appears that the eigenvalues of <math alttext="K_{m}" class="ltx_Math" display="inline" id="S7.p2.2.m2.1"><semantics id="S7.p2.2.m2.1a"><msub id="S7.p2.2.m2.1.1" xref="S7.p2.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S7.p2.2.m2.1.1.2" xref="S7.p2.2.m2.1.1.2.cmml">K</mi><mi id="S7.p2.2.m2.1.1.3" xref="S7.p2.2.m2.1.1.3.cmml">m</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.p2.2.m2.1b"><apply id="S7.p2.2.m2.1.1.cmml" xref="S7.p2.2.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.p2.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S7.p2.2.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S7.p2.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S7.p2.2.m2.1.1.2">𝐾</ci><ci id="S7.p2.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S7.p2.2.m2.1.1.3">𝑚</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.p2.2.m2.1c">K_{m}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.p2.2.m2.1d">italic_K start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> remain bounded by <math alttext="\frac{1}{q^{2}+1}" class="ltx_Math" display="inline" id="S7.p2.3.m3.1"><semantics id="S7.p2.3.m3.1a"><mfrac id="S7.p2.3.m3.1.1" xref="S7.p2.3.m3.1.1.cmml"><mn id="S7.p2.3.m3.1.1.2" xref="S7.p2.3.m3.1.1.2.cmml">1</mn><mrow id="S7.p2.3.m3.1.1.3" xref="S7.p2.3.m3.1.1.3.cmml"><msup id="S7.p2.3.m3.1.1.3.2" xref="S7.p2.3.m3.1.1.3.2.cmml"><mi id="S7.p2.3.m3.1.1.3.2.2" xref="S7.p2.3.m3.1.1.3.2.2.cmml">q</mi><mn id="S7.p2.3.m3.1.1.3.2.3" xref="S7.p2.3.m3.1.1.3.2.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S7.p2.3.m3.1.1.3.1" xref="S7.p2.3.m3.1.1.3.1.cmml">+</mo><mn id="S7.p2.3.m3.1.1.3.3" xref="S7.p2.3.m3.1.1.3.3.cmml">1</mn></mrow></mfrac><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.p2.3.m3.1b"><apply id="S7.p2.3.m3.1.1.cmml" xref="S7.p2.3.m3.1.1"><divide id="S7.p2.3.m3.1.1.1.cmml" xref="S7.p2.3.m3.1.1"></divide><cn id="S7.p2.3.m3.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S7.p2.3.m3.1.1.2">1</cn><apply id="S7.p2.3.m3.1.1.3.cmml" xref="S7.p2.3.m3.1.1.3"><plus id="S7.p2.3.m3.1.1.3.1.cmml" xref="S7.p2.3.m3.1.1.3.1"></plus><apply id="S7.p2.3.m3.1.1.3.2.cmml" xref="S7.p2.3.m3.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.p2.3.m3.1.1.3.2.1.cmml" xref="S7.p2.3.m3.1.1.3.2">superscript</csymbol><ci id="S7.p2.3.m3.1.1.3.2.2.cmml" xref="S7.p2.3.m3.1.1.3.2.2">𝑞</ci><cn id="S7.p2.3.m3.1.1.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S7.p2.3.m3.1.1.3.2.3">2</cn></apply><cn id="S7.p2.3.m3.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S7.p2.3.m3.1.1.3.3">1</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.p2.3.m3.1c">\frac{1}{q^{2}+1}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.p2.3.m3.1d">divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_q start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + 1 end_ARG</annotation></semantics></math> even when <math alttext="t>q" class="ltx_Math" display="inline" id="S7.p2.4.m4.1"><semantics id="S7.p2.4.m4.1a"><mrow id="S7.p2.4.m4.1.1" xref="S7.p2.4.m4.1.1.cmml"><mi id="S7.p2.4.m4.1.1.2" xref="S7.p2.4.m4.1.1.2.cmml">t</mi><mo id="S7.p2.4.m4.1.1.1" xref="S7.p2.4.m4.1.1.1.cmml">></mo><mi id="S7.p2.4.m4.1.1.3" xref="S7.p2.4.m4.1.1.3.cmml">q</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.p2.4.m4.1b"><apply id="S7.p2.4.m4.1.1.cmml" xref="S7.p2.4.m4.1.1"><gt id="S7.p2.4.m4.1.1.1.cmml" xref="S7.p2.4.m4.1.1.1"></gt><ci id="S7.p2.4.m4.1.1.2.cmml" xref="S7.p2.4.m4.1.1.2">𝑡</ci><ci id="S7.p2.4.m4.1.1.3.cmml" xref="S7.p2.4.m4.1.1.3">𝑞</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.p2.4.m4.1c">t>q</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.p2.4.m4.1d">italic_t > italic_q</annotation></semantics></math>, with the sole exception of the case <math alttext="t=4" class="ltx_Math" display="inline" id="S7.p2.5.m5.1"><semantics id="S7.p2.5.m5.1a"><mrow id="S7.p2.5.m5.1.1" xref="S7.p2.5.m5.1.1.cmml"><mi id="S7.p2.5.m5.1.1.2" xref="S7.p2.5.m5.1.1.2.cmml">t</mi><mo id="S7.p2.5.m5.1.1.1" xref="S7.p2.5.m5.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S7.p2.5.m5.1.1.3" xref="S7.p2.5.m5.1.1.3.cmml">4</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.p2.5.m5.1b"><apply id="S7.p2.5.m5.1.1.cmml" xref="S7.p2.5.m5.1.1"><eq id="S7.p2.5.m5.1.1.1.cmml" xref="S7.p2.5.m5.1.1.1"></eq><ci id="S7.p2.5.m5.1.1.2.cmml" xref="S7.p2.5.m5.1.1.2">𝑡</ci><cn id="S7.p2.5.m5.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S7.p2.5.m5.1.1.3">4</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.p2.5.m5.1c">t=4</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.p2.5.m5.1d">italic_t = 4</annotation></semantics></math>, <math alttext="q=2" class="ltx_Math" display="inline" id="S7.p2.6.m6.1"><semantics id="S7.p2.6.m6.1a"><mrow id="S7.p2.6.m6.1.1" xref="S7.p2.6.m6.1.1.cmml"><mi id="S7.p2.6.m6.1.1.2" xref="S7.p2.6.m6.1.1.2.cmml">q</mi><mo id="S7.p2.6.m6.1.1.1" xref="S7.p2.6.m6.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S7.p2.6.m6.1.1.3" xref="S7.p2.6.m6.1.1.3.cmml">2</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.p2.6.m6.1b"><apply id="S7.p2.6.m6.1.1.cmml" xref="S7.p2.6.m6.1.1"><eq id="S7.p2.6.m6.1.1.1.cmml" xref="S7.p2.6.m6.1.1.1"></eq><ci id="S7.p2.6.m6.1.1.2.cmml" xref="S7.p2.6.m6.1.1.2">𝑞</ci><cn id="S7.p2.6.m6.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S7.p2.6.m6.1.1.3">2</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.p2.6.m6.1c">q=2</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.p2.6.m6.1d">italic_q = 2</annotation></semantics></math>, <math alttext="m=2" class="ltx_Math" display="inline" id="S7.p2.7.m7.1"><semantics id="S7.p2.7.m7.1a"><mrow id="S7.p2.7.m7.1.1" xref="S7.p2.7.m7.1.1.cmml"><mi id="S7.p2.7.m7.1.1.2" xref="S7.p2.7.m7.1.1.2.cmml">m</mi><mo id="S7.p2.7.m7.1.1.1" xref="S7.p2.7.m7.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S7.p2.7.m7.1.1.3" xref="S7.p2.7.m7.1.1.3.cmml">2</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.p2.7.m7.1b"><apply id="S7.p2.7.m7.1.1.cmml" xref="S7.p2.7.m7.1.1"><eq id="S7.p2.7.m7.1.1.1.cmml" xref="S7.p2.7.m7.1.1.1"></eq><ci id="S7.p2.7.m7.1.1.2.cmml" xref="S7.p2.7.m7.1.1.2">𝑚</ci><cn id="S7.p2.7.m7.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S7.p2.7.m7.1.1.3">2</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.p2.7.m7.1c">m=2</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.p2.7.m7.1d">italic_m = 2</annotation></semantics></math>. There are, roughly speaking, two obstacles to extending our proof to the <math alttext="t>q" class="ltx_Math" display="inline" id="S7.p2.8.m8.1"><semantics id="S7.p2.8.m8.1a"><mrow id="S7.p2.8.m8.1.1" xref="S7.p2.8.m8.1.1.cmml"><mi id="S7.p2.8.m8.1.1.2" xref="S7.p2.8.m8.1.1.2.cmml">t</mi><mo id="S7.p2.8.m8.1.1.1" xref="S7.p2.8.m8.1.1.1.cmml">></mo><mi id="S7.p2.8.m8.1.1.3" xref="S7.p2.8.m8.1.1.3.cmml">q</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.p2.8.m8.1b"><apply id="S7.p2.8.m8.1.1.cmml" xref="S7.p2.8.m8.1.1"><gt id="S7.p2.8.m8.1.1.1.cmml" xref="S7.p2.8.m8.1.1.1"></gt><ci id="S7.p2.8.m8.1.1.2.cmml" xref="S7.p2.8.m8.1.1.2">𝑡</ci><ci id="S7.p2.8.m8.1.1.3.cmml" xref="S7.p2.8.m8.1.1.3">𝑞</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.p2.8.m8.1c">t>q</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.p2.8.m8.1d">italic_t > italic_q</annotation></semantics></math> regime. The first is the degeneracy of the permutation basis at <math alttext="t>q" class="ltx_Math" display="inline" id="S7.p2.9.m9.1"><semantics id="S7.p2.9.m9.1a"><mrow id="S7.p2.9.m9.1.1" xref="S7.p2.9.m9.1.1.cmml"><mi id="S7.p2.9.m9.1.1.2" xref="S7.p2.9.m9.1.1.2.cmml">t</mi><mo id="S7.p2.9.m9.1.1.1" xref="S7.p2.9.m9.1.1.1.cmml">></mo><mi id="S7.p2.9.m9.1.1.3" xref="S7.p2.9.m9.1.1.3.cmml">q</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.p2.9.m9.1b"><apply id="S7.p2.9.m9.1.1.cmml" xref="S7.p2.9.m9.1.1"><gt id="S7.p2.9.m9.1.1.1.cmml" xref="S7.p2.9.m9.1.1.1"></gt><ci id="S7.p2.9.m9.1.1.2.cmml" xref="S7.p2.9.m9.1.1.2">𝑡</ci><ci id="S7.p2.9.m9.1.1.3.cmml" xref="S7.p2.9.m9.1.1.3">𝑞</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.p2.9.m9.1c">t>q</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.p2.9.m9.1d">italic_t > italic_q</annotation></semantics></math>. This is partially resolved by Theorem <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#Thmtheorem34" title="Theorem 34. ‣ IV.2 Co-deranged subspace ‣ IV Properties of the eigenspaces ‣ Conditional 𝑡-independent spectral gap for random quantum circuits and implications for 𝑡-design depths"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">34</span></a>, but the intersection space <math alttext="\mathcal{I}" class="ltx_Math" display="inline" id="S7.p2.10.m10.1"><semantics id="S7.p2.10.m10.1a"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S7.p2.10.m10.1.1" xref="S7.p2.10.m10.1.1.cmml">ℐ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.p2.10.m10.1b"><ci id="S7.p2.10.m10.1.1.cmml" xref="S7.p2.10.m10.1.1">ℐ</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.p2.10.m10.1c">\mathcal{I}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.p2.10.m10.1d">caligraphic_I</annotation></semantics></math> is difficult to work with. Second, we bound <math alttext="||K||" class="ltx_Math" display="inline" id="S7.p2.11.m11.1"><semantics id="S7.p2.11.m11.1a"><mrow id="S7.p2.11.m11.1.2.2" xref="S7.p2.11.m11.1.2.1.cmml"><mo id="S7.p2.11.m11.1.2.2.1" stretchy="false" xref="S7.p2.11.m11.1.2.1.1.cmml">‖</mo><mi id="S7.p2.11.m11.1.1" xref="S7.p2.11.m11.1.1.cmml">K</mi><mo id="S7.p2.11.m11.1.2.2.2" stretchy="false" xref="S7.p2.11.m11.1.2.1.1.cmml">‖</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.p2.11.m11.1b"><apply id="S7.p2.11.m11.1.2.1.cmml" xref="S7.p2.11.m11.1.2.2"><csymbol cd="latexml" id="S7.p2.11.m11.1.2.1.1.cmml" xref="S7.p2.11.m11.1.2.2.1">norm</csymbol><ci id="S7.p2.11.m11.1.1.cmml" xref="S7.p2.11.m11.1.1">𝐾</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.p2.11.m11.1c">||K||</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.p2.11.m11.1d">| | italic_K | |</annotation></semantics></math> by factorization in terms of <math alttext="||W||\cdot||DC||" class="ltx_Math" display="inline" id="S7.p2.12.m12.2"><semantics id="S7.p2.12.m12.2a"><mrow id="S7.p2.12.m12.2.2" xref="S7.p2.12.m12.2.2.cmml"><mrow id="S7.p2.12.m12.2.2.3.2" xref="S7.p2.12.m12.2.2.3.1.cmml"><mo id="S7.p2.12.m12.2.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S7.p2.12.m12.2.2.3.1.1.cmml">‖</mo><mi id="S7.p2.12.m12.1.1" xref="S7.p2.12.m12.1.1.cmml">W</mi><mo id="S7.p2.12.m12.2.2.3.2.2" rspace="0.055em" stretchy="false" xref="S7.p2.12.m12.2.2.3.1.1.cmml">‖</mo></mrow><mo id="S7.p2.12.m12.2.2.2" rspace="0.222em" xref="S7.p2.12.m12.2.2.2.cmml">⋅</mo><mrow id="S7.p2.12.m12.2.2.1.1" xref="S7.p2.12.m12.2.2.1.2.cmml"><mo id="S7.p2.12.m12.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S7.p2.12.m12.2.2.1.2.1.cmml">‖</mo><mrow id="S7.p2.12.m12.2.2.1.1.1" xref="S7.p2.12.m12.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S7.p2.12.m12.2.2.1.1.1.2" xref="S7.p2.12.m12.2.2.1.1.1.2.cmml">D</mi><mo id="S7.p2.12.m12.2.2.1.1.1.1" xref="S7.p2.12.m12.2.2.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S7.p2.12.m12.2.2.1.1.1.3" xref="S7.p2.12.m12.2.2.1.1.1.3.cmml">C</mi></mrow><mo id="S7.p2.12.m12.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S7.p2.12.m12.2.2.1.2.1.cmml">‖</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.p2.12.m12.2b"><apply id="S7.p2.12.m12.2.2.cmml" xref="S7.p2.12.m12.2.2"><ci id="S7.p2.12.m12.2.2.2.cmml" xref="S7.p2.12.m12.2.2.2">⋅</ci><apply id="S7.p2.12.m12.2.2.3.1.cmml" xref="S7.p2.12.m12.2.2.3.2"><csymbol cd="latexml" id="S7.p2.12.m12.2.2.3.1.1.cmml" xref="S7.p2.12.m12.2.2.3.2.1">norm</csymbol><ci id="S7.p2.12.m12.1.1.cmml" xref="S7.p2.12.m12.1.1">𝑊</ci></apply><apply id="S7.p2.12.m12.2.2.1.2.cmml" xref="S7.p2.12.m12.2.2.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S7.p2.12.m12.2.2.1.2.1.cmml" xref="S7.p2.12.m12.2.2.1.1.2">norm</csymbol><apply id="S7.p2.12.m12.2.2.1.1.1.cmml" xref="S7.p2.12.m12.2.2.1.1.1"><times id="S7.p2.12.m12.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S7.p2.12.m12.2.2.1.1.1.1"></times><ci id="S7.p2.12.m12.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S7.p2.12.m12.2.2.1.1.1.2">𝐷</ci><ci id="S7.p2.12.m12.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S7.p2.12.m12.2.2.1.1.1.3">𝐶</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.p2.12.m12.2c">||W||\cdot||DC||</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.p2.12.m12.2d">| | italic_W | | ⋅ | | italic_D italic_C | |</annotation></semantics></math>. But for <math alttext="t>q" class="ltx_Math" display="inline" id="S7.p2.13.m13.1"><semantics id="S7.p2.13.m13.1a"><mrow id="S7.p2.13.m13.1.1" xref="S7.p2.13.m13.1.1.cmml"><mi id="S7.p2.13.m13.1.1.2" xref="S7.p2.13.m13.1.1.2.cmml">t</mi><mo id="S7.p2.13.m13.1.1.1" xref="S7.p2.13.m13.1.1.1.cmml">></mo><mi id="S7.p2.13.m13.1.1.3" xref="S7.p2.13.m13.1.1.3.cmml">q</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.p2.13.m13.1b"><apply id="S7.p2.13.m13.1.1.cmml" xref="S7.p2.13.m13.1.1"><gt id="S7.p2.13.m13.1.1.1.cmml" xref="S7.p2.13.m13.1.1.1"></gt><ci id="S7.p2.13.m13.1.1.2.cmml" xref="S7.p2.13.m13.1.1.2">𝑡</ci><ci id="S7.p2.13.m13.1.1.3.cmml" xref="S7.p2.13.m13.1.1.3">𝑞</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.p2.13.m13.1c">t>q</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.p2.13.m13.1d">italic_t > italic_q</annotation></semantics></math> both <math alttext="||W||" class="ltx_Math" display="inline" id="S7.p2.14.m14.1"><semantics id="S7.p2.14.m14.1a"><mrow id="S7.p2.14.m14.1.2.2" xref="S7.p2.14.m14.1.2.1.cmml"><mo id="S7.p2.14.m14.1.2.2.1" stretchy="false" xref="S7.p2.14.m14.1.2.1.1.cmml">‖</mo><mi id="S7.p2.14.m14.1.1" xref="S7.p2.14.m14.1.1.cmml">W</mi><mo id="S7.p2.14.m14.1.2.2.2" stretchy="false" xref="S7.p2.14.m14.1.2.1.1.cmml">‖</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.p2.14.m14.1b"><apply id="S7.p2.14.m14.1.2.1.cmml" xref="S7.p2.14.m14.1.2.2"><csymbol cd="latexml" id="S7.p2.14.m14.1.2.1.1.cmml" xref="S7.p2.14.m14.1.2.2.1">norm</csymbol><ci id="S7.p2.14.m14.1.1.cmml" xref="S7.p2.14.m14.1.1">𝑊</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.p2.14.m14.1c">||W||</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.p2.14.m14.1d">| | italic_W | |</annotation></semantics></math> and <math alttext="||DC||" class="ltx_Math" display="inline" id="S7.p2.15.m15.1"><semantics id="S7.p2.15.m15.1a"><mrow id="S7.p2.15.m15.1.1.1" xref="S7.p2.15.m15.1.1.2.cmml"><mo id="S7.p2.15.m15.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S7.p2.15.m15.1.1.2.1.cmml">‖</mo><mrow id="S7.p2.15.m15.1.1.1.1" xref="S7.p2.15.m15.1.1.1.1.cmml"><mi id="S7.p2.15.m15.1.1.1.1.2" xref="S7.p2.15.m15.1.1.1.1.2.cmml">D</mi><mo id="S7.p2.15.m15.1.1.1.1.1" xref="S7.p2.15.m15.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S7.p2.15.m15.1.1.1.1.3" xref="S7.p2.15.m15.1.1.1.1.3.cmml">C</mi></mrow><mo id="S7.p2.15.m15.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S7.p2.15.m15.1.1.2.1.cmml">‖</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.p2.15.m15.1b"><apply id="S7.p2.15.m15.1.1.2.cmml" xref="S7.p2.15.m15.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S7.p2.15.m15.1.1.2.1.cmml" xref="S7.p2.15.m15.1.1.1.2">norm</csymbol><apply id="S7.p2.15.m15.1.1.1.1.cmml" xref="S7.p2.15.m15.1.1.1.1"><times id="S7.p2.15.m15.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.p2.15.m15.1.1.1.1.1"></times><ci id="S7.p2.15.m15.1.1.1.1.2.cmml" xref="S7.p2.15.m15.1.1.1.1.2">𝐷</ci><ci id="S7.p2.15.m15.1.1.1.1.3.cmml" xref="S7.p2.15.m15.1.1.1.1.3">𝐶</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.p2.15.m15.1c">||DC||</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.p2.15.m15.1d">| | italic_D italic_C | |</annotation></semantics></math> grow large even as <math alttext="||WDC||" class="ltx_Math" display="inline" id="S7.p2.16.m16.1"><semantics id="S7.p2.16.m16.1a"><mrow id="S7.p2.16.m16.1.1.1" xref="S7.p2.16.m16.1.1.2.cmml"><mo id="S7.p2.16.m16.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S7.p2.16.m16.1.1.2.1.cmml">‖</mo><mrow id="S7.p2.16.m16.1.1.1.1" xref="S7.p2.16.m16.1.1.1.1.cmml"><mi id="S7.p2.16.m16.1.1.1.1.2" xref="S7.p2.16.m16.1.1.1.1.2.cmml">W</mi><mo id="S7.p2.16.m16.1.1.1.1.1" xref="S7.p2.16.m16.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S7.p2.16.m16.1.1.1.1.3" xref="S7.p2.16.m16.1.1.1.1.3.cmml">D</mi><mo id="S7.p2.16.m16.1.1.1.1.1a" xref="S7.p2.16.m16.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S7.p2.16.m16.1.1.1.1.4" xref="S7.p2.16.m16.1.1.1.1.4.cmml">C</mi></mrow><mo id="S7.p2.16.m16.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S7.p2.16.m16.1.1.2.1.cmml">‖</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.p2.16.m16.1b"><apply id="S7.p2.16.m16.1.1.2.cmml" xref="S7.p2.16.m16.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S7.p2.16.m16.1.1.2.1.cmml" xref="S7.p2.16.m16.1.1.1.2">norm</csymbol><apply id="S7.p2.16.m16.1.1.1.1.cmml" xref="S7.p2.16.m16.1.1.1.1"><times id="S7.p2.16.m16.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.p2.16.m16.1.1.1.1.1"></times><ci id="S7.p2.16.m16.1.1.1.1.2.cmml" xref="S7.p2.16.m16.1.1.1.1.2">𝑊</ci><ci id="S7.p2.16.m16.1.1.1.1.3.cmml" xref="S7.p2.16.m16.1.1.1.1.3">𝐷</ci><ci id="S7.p2.16.m16.1.1.1.1.4.cmml" xref="S7.p2.16.m16.1.1.1.1.4">𝐶</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.p2.16.m16.1c">||WDC||</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.p2.16.m16.1d">| | italic_W italic_D italic_C | |</annotation></semantics></math> remains small, so bounds by factorization cannot succeed.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S7.p3"> <p class="ltx_p" id="S7.p3.1">We would also like to extend our bounds to the regime of non-integer <math alttext="q<t" class="ltx_Math" display="inline" id="S7.p3.1.m1.1"><semantics id="S7.p3.1.m1.1a"><mrow id="S7.p3.1.m1.1.1" xref="S7.p3.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S7.p3.1.m1.1.1.2" xref="S7.p3.1.m1.1.1.2.cmml">q</mi><mo id="S7.p3.1.m1.1.1.1" xref="S7.p3.1.m1.1.1.1.cmml"><</mo><mi id="S7.p3.1.m1.1.1.3" xref="S7.p3.1.m1.1.1.3.cmml">t</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.p3.1.m1.1b"><apply id="S7.p3.1.m1.1.1.cmml" xref="S7.p3.1.m1.1.1"><lt id="S7.p3.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S7.p3.1.m1.1.1.1"></lt><ci id="S7.p3.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S7.p3.1.m1.1.1.2">𝑞</ci><ci id="S7.p3.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S7.p3.1.m1.1.1.3">𝑡</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.p3.1.m1.1c">q<t</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.p3.1.m1.1d">italic_q < italic_t</annotation></semantics></math>. In this setting, the metric acquires negative eigenvalues, so additional techniques may be needed. Bounding these regions would allow us to extend the depth bounds on one-dimensional systems to all architectures through Ref. <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_citep"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#bib.bib14" title="">14</a></cite>.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S7.p4"> <p class="ltx_p" id="S7.p4.7">Recent works have shown that architectures very similar to the 1D brickwork form <math alttext="\epsilon" class="ltx_Math" display="inline" id="S7.p4.1.m1.1"><semantics id="S7.p4.1.m1.1a"><mi id="S7.p4.1.m1.1.1" xref="S7.p4.1.m1.1.1.cmml">ϵ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.p4.1.m1.1b"><ci id="S7.p4.1.m1.1.1.cmml" xref="S7.p4.1.m1.1.1">italic-ϵ</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.p4.1.m1.1c">\epsilon</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.p4.1.m1.1d">italic_ϵ</annotation></semantics></math>-approximate <math alttext="t" class="ltx_Math" display="inline" id="S7.p4.2.m2.1"><semantics id="S7.p4.2.m2.1a"><mi id="S7.p4.2.m2.1.1" xref="S7.p4.2.m2.1.1.cmml">t</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.p4.2.m2.1b"><ci id="S7.p4.2.m2.1.1.cmml" xref="S7.p4.2.m2.1.1">𝑡</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.p4.2.m2.1c">t</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.p4.2.m2.1d">italic_t</annotation></semantics></math>-designs in depth <math alttext="O(\log N)" class="ltx_Math" display="inline" id="S7.p4.3.m3.1"><semantics id="S7.p4.3.m3.1a"><mrow id="S7.p4.3.m3.1.1" xref="S7.p4.3.m3.1.1.cmml"><mi id="S7.p4.3.m3.1.1.3" xref="S7.p4.3.m3.1.1.3.cmml">O</mi><mo id="S7.p4.3.m3.1.1.2" xref="S7.p4.3.m3.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S7.p4.3.m3.1.1.1.1" xref="S7.p4.3.m3.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S7.p4.3.m3.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S7.p4.3.m3.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S7.p4.3.m3.1.1.1.1.1" xref="S7.p4.3.m3.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S7.p4.3.m3.1.1.1.1.1.1" xref="S7.p4.3.m3.1.1.1.1.1.1.cmml">log</mi><mo id="S7.p4.3.m3.1.1.1.1.1a" lspace="0.167em" xref="S7.p4.3.m3.1.1.1.1.1.cmml">⁡</mo><mi id="S7.p4.3.m3.1.1.1.1.1.2" xref="S7.p4.3.m3.1.1.1.1.1.2.cmml">N</mi></mrow><mo id="S7.p4.3.m3.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S7.p4.3.m3.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.p4.3.m3.1b"><apply id="S7.p4.3.m3.1.1.cmml" xref="S7.p4.3.m3.1.1"><times id="S7.p4.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S7.p4.3.m3.1.1.2"></times><ci id="S7.p4.3.m3.1.1.3.cmml" xref="S7.p4.3.m3.1.1.3">𝑂</ci><apply id="S7.p4.3.m3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.p4.3.m3.1.1.1.1"><log id="S7.p4.3.m3.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S7.p4.3.m3.1.1.1.1.1.1"></log><ci id="S7.p4.3.m3.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S7.p4.3.m3.1.1.1.1.1.2">𝑁</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.p4.3.m3.1c">O(\log N)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.p4.3.m3.1d">italic_O ( roman_log italic_N )</annotation></semantics></math>. However, a the best known scaling for the 1D brickwork itself remains <math alttext="O(N)" class="ltx_Math" display="inline" id="S7.p4.4.m4.1"><semantics id="S7.p4.4.m4.1a"><mrow id="S7.p4.4.m4.1.2" xref="S7.p4.4.m4.1.2.cmml"><mi id="S7.p4.4.m4.1.2.2" xref="S7.p4.4.m4.1.2.2.cmml">O</mi><mo id="S7.p4.4.m4.1.2.1" xref="S7.p4.4.m4.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S7.p4.4.m4.1.2.3.2" xref="S7.p4.4.m4.1.2.cmml"><mo id="S7.p4.4.m4.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S7.p4.4.m4.1.2.cmml">(</mo><mi id="S7.p4.4.m4.1.1" xref="S7.p4.4.m4.1.1.cmml">N</mi><mo id="S7.p4.4.m4.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S7.p4.4.m4.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.p4.4.m4.1b"><apply id="S7.p4.4.m4.1.2.cmml" xref="S7.p4.4.m4.1.2"><times id="S7.p4.4.m4.1.2.1.cmml" xref="S7.p4.4.m4.1.2.1"></times><ci id="S7.p4.4.m4.1.2.2.cmml" xref="S7.p4.4.m4.1.2.2">𝑂</ci><ci id="S7.p4.4.m4.1.1.cmml" xref="S7.p4.4.m4.1.1">𝑁</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.p4.4.m4.1c">O(N)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.p4.4.m4.1d">italic_O ( italic_N )</annotation></semantics></math>. In this work we use our reduction to <math alttext="3" class="ltx_Math" display="inline" id="S7.p4.5.m5.1"><semantics id="S7.p4.5.m5.1a"><mn id="S7.p4.5.m5.1.1" xref="S7.p4.5.m5.1.1.cmml">3</mn><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.p4.5.m5.1b"><cn id="S7.p4.5.m5.1.1.cmml" type="integer" xref="S7.p4.5.m5.1.1">3</cn></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.p4.5.m5.1c">3</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.p4.5.m5.1d">3</annotation></semantics></math>-site operators only to bound the spectral gap of the 1D brickwork, but the implied block-triangular structure may be helpful for other analyses of the behavior of the moment operator. The deranged-subspace and irreducible-representation structures of both the original brickwork and of the three-site operators could provide additional insight to this behavior as well. If these decompositions can be used to study the entire eigenspectrum, it could lead to a better understanding of the true <math alttext="N" class="ltx_Math" display="inline" id="S7.p4.6.m6.1"><semantics id="S7.p4.6.m6.1a"><mi id="S7.p4.6.m6.1.1" xref="S7.p4.6.m6.1.1.cmml">N</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.p4.6.m6.1b"><ci id="S7.p4.6.m6.1.1.cmml" xref="S7.p4.6.m6.1.1">𝑁</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.p4.6.m6.1c">N</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.p4.6.m6.1d">italic_N</annotation></semantics></math>-scaling of the 1D brickwork approximate <math alttext="t" class="ltx_Math" display="inline" id="S7.p4.7.m7.1"><semantics id="S7.p4.7.m7.1a"><mi id="S7.p4.7.m7.1.1" xref="S7.p4.7.m7.1.1.cmml">t</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.p4.7.m7.1b"><ci id="S7.p4.7.m7.1.1.cmml" xref="S7.p4.7.m7.1.1">𝑡</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.p4.7.m7.1c">t</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.p4.7.m7.1d">italic_t</annotation></semantics></math>-design depth.</p> </div> <div class="ltx_acknowledgements"> <h6 class="ltx_title ltx_title_acknowledgements">Acknowledgements.</h6> This material is based upon work supported by the U.S. Department of Energy, Office of Science, National Quantum Information Science Research Centers. </div> </section> <section class="ltx_bibliography" id="bib"> <h2 class="ltx_title ltx_title_bibliography">References</h2> <ul class="ltx_biblist"> <li class="ltx_bibitem" id="bib.bib1"> <span class="ltx_tag ltx_role_refnum ltx_tag_bibitem">[1]</span> <span class="ltx_bibblock"> Sergio Boixo, Sergei V. 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Isakov, Evan Jeffrey, Zhang Jiang, Dvir Kafri, Kostyantyn Kechedzhi, Julian Kelly, Paul V. Klimov, Sergey Knysh, Alexander Korotkov, Fedor Kostritsa, David Landhuis, Mike Lindmark, Erik Lucero, Dmitry Lyakh, Salvatore Mandrà, Jarrod R. McClean, Matthew McEwen, Anthony Megrant, Xiao Mi, Kristel Michielsen, Masoud Mohseni, Josh Mutus, Ofer Naaman, Matthew Neeley, Charles Neill, Murphy Yuezhen Niu, Eric Ostby, Andre Petukhov, John C. Platt, Chris Quintana, Eleanor G. Rieffel, Pedram Roushan, Nicholas C. Rubin, Daniel Sank, Kevin J. Satzinger, Vadim Smelyanskiy, Kevin J. Sung, Matthew D. Trevithick, Amit Vainsencher, Benjamin Villalonga, Theodore White, Z. Jamie Yao, Ping Yeh, Adam Zalcman, Hartmut Neven, and John M. Martinis. </span> <span class="ltx_bibblock">Quantum supremacy using a programmable superconducting processor. </span> <span class="ltx_bibblock"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="bib.bib2.1.1">Nature</span>, 574(7779):505–510, 2019. </span> </li> <li class="ltx_bibitem" id="bib.bib3"> <span class="ltx_tag ltx_role_refnum ltx_tag_bibitem">[3]</span> <span class="ltx_bibblock"> Ramis Movassagh. </span> <span class="ltx_bibblock">Quantum supremacy and random circuits. </span> <span class="ltx_bibblock">2019. </span> </li> <li class="ltx_bibitem" id="bib.bib4"> <span class="ltx_tag ltx_role_refnum ltx_tag_bibitem">[4]</span> <span class="ltx_bibblock"> Adam R. 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ltx_theorem_definition" id="Thmtheorem47"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmtheorem47.1.1.1">Definition 47</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmtheorem47.2.2">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="Thmtheorem47.p1"> <p class="ltx_p" id="Thmtheorem47.p1.6">An ensemble <math alttext="\varepsilon" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem47.p1.1.m1.1"><semantics id="Thmtheorem47.p1.1.m1.1a"><mi id="Thmtheorem47.p1.1.m1.1.1" xref="Thmtheorem47.p1.1.m1.1.1.cmml">ε</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem47.p1.1.m1.1b"><ci id="Thmtheorem47.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem47.p1.1.m1.1.1">𝜀</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem47.p1.1.m1.1c">\varepsilon</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem47.p1.1.m1.1d">italic_ε</annotation></semantics></math> of random quantum circuits is an additive-error <math alttext="\epsilon" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem47.p1.2.m2.1"><semantics id="Thmtheorem47.p1.2.m2.1a"><mi id="Thmtheorem47.p1.2.m2.1.1" xref="Thmtheorem47.p1.2.m2.1.1.cmml">ϵ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem47.p1.2.m2.1b"><ci id="Thmtheorem47.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="Thmtheorem47.p1.2.m2.1.1">italic-ϵ</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem47.p1.2.m2.1c">\epsilon</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem47.p1.2.m2.1d">italic_ϵ</annotation></semantics></math>-approximate <math alttext="t" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem47.p1.3.m3.1"><semantics id="Thmtheorem47.p1.3.m3.1a"><mi id="Thmtheorem47.p1.3.m3.1.1" xref="Thmtheorem47.p1.3.m3.1.1.cmml">t</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem47.p1.3.m3.1b"><ci id="Thmtheorem47.p1.3.m3.1.1.cmml" xref="Thmtheorem47.p1.3.m3.1.1">𝑡</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem47.p1.3.m3.1c">t</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem47.p1.3.m3.1d">italic_t</annotation></semantics></math>-design if the diamond norm distance between its <math alttext="t" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem47.p1.4.m4.1"><semantics id="Thmtheorem47.p1.4.m4.1a"><mi id="Thmtheorem47.p1.4.m4.1.1" xref="Thmtheorem47.p1.4.m4.1.1.cmml">t</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem47.p1.4.m4.1b"><ci id="Thmtheorem47.p1.4.m4.1.1.cmml" xref="Thmtheorem47.p1.4.m4.1.1">𝑡</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem47.p1.4.m4.1c">t</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem47.p1.4.m4.1d">italic_t</annotation></semantics></math>-fold channel and the global Haar ensemble’s <math alttext="t" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem47.p1.5.m5.1"><semantics id="Thmtheorem47.p1.5.m5.1a"><mi id="Thmtheorem47.p1.5.m5.1.1" xref="Thmtheorem47.p1.5.m5.1.1.cmml">t</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem47.p1.5.m5.1b"><ci id="Thmtheorem47.p1.5.m5.1.1.cmml" xref="Thmtheorem47.p1.5.m5.1.1">𝑡</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem47.p1.5.m5.1c">t</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem47.p1.5.m5.1d">italic_t</annotation></semantics></math>-fold channel is less than <math alttext="\epsilon" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem47.p1.6.m6.1"><semantics id="Thmtheorem47.p1.6.m6.1a"><mi id="Thmtheorem47.p1.6.m6.1.1" xref="Thmtheorem47.p1.6.m6.1.1.cmml">ϵ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem47.p1.6.m6.1b"><ci id="Thmtheorem47.p1.6.m6.1.1.cmml" xref="Thmtheorem47.p1.6.m6.1.1">italic-ϵ</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem47.p1.6.m6.1c">\epsilon</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem47.p1.6.m6.1d">italic_ϵ</annotation></semantics></math>:</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_gather ltx_eqn_table" id="S6.EGx89"> <tbody id="A1.E99"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\displaystyle||\Phi_{\varepsilon}^{(t)}-\Phi_{\text{Haar}}^{(t)}||_{\diamond}\leq\epsilon" class="ltx_Math" display="block" id="A1.E99.m1.3"><semantics id="A1.E99.m1.3a"><mrow id="A1.E99.m1.3.3" xref="A1.E99.m1.3.3.cmml"><msub id="A1.E99.m1.3.3.1" xref="A1.E99.m1.3.3.1.cmml"><mrow id="A1.E99.m1.3.3.1.1.1" xref="A1.E99.m1.3.3.1.1.2.cmml"><mo id="A1.E99.m1.3.3.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.E99.m1.3.3.1.1.2.1.cmml">‖</mo><mrow id="A1.E99.m1.3.3.1.1.1.1" xref="A1.E99.m1.3.3.1.1.1.1.cmml"><msubsup id="A1.E99.m1.3.3.1.1.1.1.2" xref="A1.E99.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="A1.E99.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.2" mathvariant="normal" xref="A1.E99.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.2.cmml">Φ</mi><mi id="A1.E99.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.3" xref="A1.E99.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.3.cmml">ε</mi><mrow id="A1.E99.m1.1.1.1.3" xref="A1.E99.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="A1.E99.m1.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="A1.E99.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml">(</mo><mi id="A1.E99.m1.1.1.1.1" xref="A1.E99.m1.1.1.1.1.cmml">t</mi><mo id="A1.E99.m1.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="A1.E99.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></msubsup><mo id="A1.E99.m1.3.3.1.1.1.1.1" xref="A1.E99.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><msubsup id="A1.E99.m1.3.3.1.1.1.1.3" xref="A1.E99.m1.3.3.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A1.E99.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.2" mathvariant="normal" xref="A1.E99.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.2.cmml">Φ</mi><mtext id="A1.E99.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.3" xref="A1.E99.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.3a.cmml">Haar</mtext><mrow id="A1.E99.m1.2.2.1.3" xref="A1.E99.m1.3.3.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="A1.E99.m1.2.2.1.3.1" stretchy="false" xref="A1.E99.m1.3.3.1.1.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="A1.E99.m1.2.2.1.1" xref="A1.E99.m1.2.2.1.1.cmml">t</mi><mo id="A1.E99.m1.2.2.1.3.2" stretchy="false" xref="A1.E99.m1.3.3.1.1.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></msubsup></mrow><mo id="A1.E99.m1.3.3.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.E99.m1.3.3.1.1.2.1.cmml">‖</mo></mrow><mo id="A1.E99.m1.3.3.1.3" xref="A1.E99.m1.3.3.1.3.cmml">⋄</mo></msub><mo id="A1.E99.m1.3.3.2" xref="A1.E99.m1.3.3.2.cmml">≤</mo><mi id="A1.E99.m1.3.3.3" xref="A1.E99.m1.3.3.3.cmml">ϵ</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.E99.m1.3b"><apply id="A1.E99.m1.3.3.cmml" xref="A1.E99.m1.3.3"><leq id="A1.E99.m1.3.3.2.cmml" xref="A1.E99.m1.3.3.2"></leq><apply id="A1.E99.m1.3.3.1.cmml" xref="A1.E99.m1.3.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E99.m1.3.3.1.2.cmml" xref="A1.E99.m1.3.3.1">subscript</csymbol><apply id="A1.E99.m1.3.3.1.1.2.cmml" xref="A1.E99.m1.3.3.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="A1.E99.m1.3.3.1.1.2.1.cmml" xref="A1.E99.m1.3.3.1.1.1.2">norm</csymbol><apply id="A1.E99.m1.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="A1.E99.m1.3.3.1.1.1.1"><minus id="A1.E99.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.E99.m1.3.3.1.1.1.1.1"></minus><apply id="A1.E99.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.E99.m1.3.3.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E99.m1.3.3.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.E99.m1.3.3.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="A1.E99.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.E99.m1.3.3.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E99.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="A1.E99.m1.3.3.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="A1.E99.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="A1.E99.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.2">Φ</ci><ci id="A1.E99.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="A1.E99.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.3">𝜀</ci></apply><ci id="A1.E99.m1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.E99.m1.1.1.1.1">𝑡</ci></apply><apply id="A1.E99.m1.3.3.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.E99.m1.3.3.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E99.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.E99.m1.3.3.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="A1.E99.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.E99.m1.3.3.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E99.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="A1.E99.m1.3.3.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A1.E99.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="A1.E99.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.2">Φ</ci><ci id="A1.E99.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.3a.cmml" xref="A1.E99.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.3"><mtext id="A1.E99.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.3.cmml" mathsize="70%" xref="A1.E99.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.3">Haar</mtext></ci></apply><ci id="A1.E99.m1.2.2.1.1.cmml" xref="A1.E99.m1.2.2.1.1">𝑡</ci></apply></apply></apply><ci id="A1.E99.m1.3.3.1.3.cmml" xref="A1.E99.m1.3.3.1.3">⋄</ci></apply><ci id="A1.E99.m1.3.3.3.cmml" xref="A1.E99.m1.3.3.3">italic-ϵ</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.E99.m1.3c">\displaystyle||\Phi_{\varepsilon}^{(t)}-\Phi_{\text{Haar}}^{(t)}||_{\diamond}\leq\epsilon</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.E99.m1.3d">| | roman_Φ start_POSTSUBSCRIPT italic_ε end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_t ) end_POSTSUPERSCRIPT - roman_Φ start_POSTSUBSCRIPT Haar end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_t ) end_POSTSUPERSCRIPT | | start_POSTSUBSCRIPT ⋄ end_POSTSUBSCRIPT ≤ italic_ϵ</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(99)</span></td> </tr></tbody> </table> </div> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_definition" id="Thmtheorem48"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmtheorem48.1.1.1">Definition 48</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmtheorem48.2.2">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="Thmtheorem48.p1"> <p class="ltx_p" id="Thmtheorem48.p1.3">The frame potential <math alttext="\mathcal{F}_{\varepsilon}^{(t)}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem48.p1.1.m1.1"><semantics id="Thmtheorem48.p1.1.m1.1a"><msubsup id="Thmtheorem48.p1.1.m1.1.2" xref="Thmtheorem48.p1.1.m1.1.2.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="Thmtheorem48.p1.1.m1.1.2.2.2" xref="Thmtheorem48.p1.1.m1.1.2.2.2.cmml">ℱ</mi><mi id="Thmtheorem48.p1.1.m1.1.2.2.3" xref="Thmtheorem48.p1.1.m1.1.2.2.3.cmml">ε</mi><mrow id="Thmtheorem48.p1.1.m1.1.1.1.3" xref="Thmtheorem48.p1.1.m1.1.2.cmml"><mo id="Thmtheorem48.p1.1.m1.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="Thmtheorem48.p1.1.m1.1.2.cmml">(</mo><mi id="Thmtheorem48.p1.1.m1.1.1.1.1" xref="Thmtheorem48.p1.1.m1.1.1.1.1.cmml">t</mi><mo id="Thmtheorem48.p1.1.m1.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="Thmtheorem48.p1.1.m1.1.2.cmml">)</mo></mrow></msubsup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem48.p1.1.m1.1b"><apply id="Thmtheorem48.p1.1.m1.1.2.cmml" xref="Thmtheorem48.p1.1.m1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem48.p1.1.m1.1.2.1.cmml" xref="Thmtheorem48.p1.1.m1.1.2">superscript</csymbol><apply id="Thmtheorem48.p1.1.m1.1.2.2.cmml" xref="Thmtheorem48.p1.1.m1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem48.p1.1.m1.1.2.2.1.cmml" xref="Thmtheorem48.p1.1.m1.1.2">subscript</csymbol><ci id="Thmtheorem48.p1.1.m1.1.2.2.2.cmml" xref="Thmtheorem48.p1.1.m1.1.2.2.2">ℱ</ci><ci id="Thmtheorem48.p1.1.m1.1.2.2.3.cmml" xref="Thmtheorem48.p1.1.m1.1.2.2.3">𝜀</ci></apply><ci id="Thmtheorem48.p1.1.m1.1.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem48.p1.1.m1.1.1.1.1">𝑡</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem48.p1.1.m1.1c">\mathcal{F}_{\varepsilon}^{(t)}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem48.p1.1.m1.1d">caligraphic_F start_POSTSUBSCRIPT italic_ε end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_t ) end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> of a random quantum circuit ensemble <math alttext="\varepsilon" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem48.p1.2.m2.1"><semantics id="Thmtheorem48.p1.2.m2.1a"><mi id="Thmtheorem48.p1.2.m2.1.1" xref="Thmtheorem48.p1.2.m2.1.1.cmml">ε</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem48.p1.2.m2.1b"><ci id="Thmtheorem48.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="Thmtheorem48.p1.2.m2.1.1">𝜀</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem48.p1.2.m2.1c">\varepsilon</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem48.p1.2.m2.1d">italic_ε</annotation></semantics></math> is a <math alttext="4t" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem48.p1.3.m3.1"><semantics id="Thmtheorem48.p1.3.m3.1a"><mrow id="Thmtheorem48.p1.3.m3.1.1" xref="Thmtheorem48.p1.3.m3.1.1.cmml"><mn id="Thmtheorem48.p1.3.m3.1.1.2" xref="Thmtheorem48.p1.3.m3.1.1.2.cmml">4</mn><mo id="Thmtheorem48.p1.3.m3.1.1.1" xref="Thmtheorem48.p1.3.m3.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="Thmtheorem48.p1.3.m3.1.1.3" xref="Thmtheorem48.p1.3.m3.1.1.3.cmml">t</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem48.p1.3.m3.1b"><apply id="Thmtheorem48.p1.3.m3.1.1.cmml" xref="Thmtheorem48.p1.3.m3.1.1"><times id="Thmtheorem48.p1.3.m3.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem48.p1.3.m3.1.1.1"></times><cn id="Thmtheorem48.p1.3.m3.1.1.2.cmml" type="integer" xref="Thmtheorem48.p1.3.m3.1.1.2">4</cn><ci id="Thmtheorem48.p1.3.m3.1.1.3.cmml" xref="Thmtheorem48.p1.3.m3.1.1.3">𝑡</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem48.p1.3.m3.1c">4t</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem48.p1.3.m3.1d">4 italic_t</annotation></semantics></math>-th moment of its unitaries:</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_gather ltx_eqn_table" id="S6.EGx90"> <tbody id="A1.E100"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\displaystyle\mathcal{F}_{\varepsilon}^{(t)}=\int_{\varepsilon^{\otimes 2}}|% \text{tr}(U_{\varepsilon}^{\dagger}V_{\varepsilon})|^{2t}\text{d}U_{% \varepsilon}\text{d}V_{\varepsilon}" class="ltx_Math" display="block" id="A1.E100.m1.2"><semantics id="A1.E100.m1.2a"><mrow id="A1.E100.m1.2.2" xref="A1.E100.m1.2.2.cmml"><msubsup id="A1.E100.m1.2.2.3" xref="A1.E100.m1.2.2.3.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="A1.E100.m1.2.2.3.2.2" xref="A1.E100.m1.2.2.3.2.2.cmml">ℱ</mi><mi id="A1.E100.m1.2.2.3.2.3" xref="A1.E100.m1.2.2.3.2.3.cmml">ε</mi><mrow id="A1.E100.m1.1.1.1.3" xref="A1.E100.m1.2.2.3.cmml"><mo id="A1.E100.m1.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="A1.E100.m1.2.2.3.cmml">(</mo><mi id="A1.E100.m1.1.1.1.1" xref="A1.E100.m1.1.1.1.1.cmml">t</mi><mo id="A1.E100.m1.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="A1.E100.m1.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></msubsup><mo id="A1.E100.m1.2.2.2" rspace="0.111em" xref="A1.E100.m1.2.2.2.cmml">=</mo><mrow id="A1.E100.m1.2.2.1" xref="A1.E100.m1.2.2.1.cmml"><msub id="A1.E100.m1.2.2.1.2" xref="A1.E100.m1.2.2.1.2.cmml"><mo id="A1.E100.m1.2.2.1.2.2" rspace="0em" xref="A1.E100.m1.2.2.1.2.2.cmml">∫</mo><msup id="A1.E100.m1.2.2.1.2.3" xref="A1.E100.m1.2.2.1.2.3.cmml"><mi id="A1.E100.m1.2.2.1.2.3.2" xref="A1.E100.m1.2.2.1.2.3.2.cmml">ε</mi><mrow id="A1.E100.m1.2.2.1.2.3.3" xref="A1.E100.m1.2.2.1.2.3.3.cmml"><mi id="A1.E100.m1.2.2.1.2.3.3.2" xref="A1.E100.m1.2.2.1.2.3.3.2.cmml"></mi><mo id="A1.E100.m1.2.2.1.2.3.3.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="A1.E100.m1.2.2.1.2.3.3.1.cmml">⊗</mo><mn id="A1.E100.m1.2.2.1.2.3.3.3" xref="A1.E100.m1.2.2.1.2.3.3.3.cmml">2</mn></mrow></msup></msub><mrow id="A1.E100.m1.2.2.1.1" xref="A1.E100.m1.2.2.1.1.cmml"><msup id="A1.E100.m1.2.2.1.1.1" xref="A1.E100.m1.2.2.1.1.1.cmml"><mrow id="A1.E100.m1.2.2.1.1.1.1.1" xref="A1.E100.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="A1.E100.m1.2.2.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.E100.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.cmml">|</mo><mrow id="A1.E100.m1.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="A1.E100.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mtext id="A1.E100.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.E100.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3a.cmml">tr</mtext><mo id="A1.E100.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.E100.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.E100.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.E100.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.E100.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.E100.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.E100.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.E100.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msubsup id="A1.E100.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.E100.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="A1.E100.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="A1.E100.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">U</mi><mi id="A1.E100.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="A1.E100.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">ε</mi><mo id="A1.E100.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="A1.E100.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">†</mo></msubsup><mo id="A1.E100.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.E100.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="A1.E100.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.E100.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A1.E100.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A1.E100.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">V</mi><mi id="A1.E100.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A1.E100.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">ε</mi></msub></mrow><mo id="A1.E100.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.E100.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A1.E100.m1.2.2.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.E100.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.cmml">|</mo></mrow><mrow id="A1.E100.m1.2.2.1.1.1.3" xref="A1.E100.m1.2.2.1.1.1.3.cmml"><mn id="A1.E100.m1.2.2.1.1.1.3.2" xref="A1.E100.m1.2.2.1.1.1.3.2.cmml">2</mn><mo id="A1.E100.m1.2.2.1.1.1.3.1" xref="A1.E100.m1.2.2.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.E100.m1.2.2.1.1.1.3.3" xref="A1.E100.m1.2.2.1.1.1.3.3.cmml">t</mi></mrow></msup><mo id="A1.E100.m1.2.2.1.1.2" xref="A1.E100.m1.2.2.1.1.2.cmml">⁢</mo><mtext id="A1.E100.m1.2.2.1.1.3" xref="A1.E100.m1.2.2.1.1.3a.cmml">d</mtext><mo id="A1.E100.m1.2.2.1.1.2a" xref="A1.E100.m1.2.2.1.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="A1.E100.m1.2.2.1.1.4" xref="A1.E100.m1.2.2.1.1.4.cmml"><mi id="A1.E100.m1.2.2.1.1.4.2" xref="A1.E100.m1.2.2.1.1.4.2.cmml">U</mi><mi id="A1.E100.m1.2.2.1.1.4.3" xref="A1.E100.m1.2.2.1.1.4.3.cmml">ε</mi></msub><mo id="A1.E100.m1.2.2.1.1.2b" xref="A1.E100.m1.2.2.1.1.2.cmml">⁢</mo><mtext id="A1.E100.m1.2.2.1.1.5" xref="A1.E100.m1.2.2.1.1.5a.cmml">d</mtext><mo id="A1.E100.m1.2.2.1.1.2c" xref="A1.E100.m1.2.2.1.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="A1.E100.m1.2.2.1.1.6" xref="A1.E100.m1.2.2.1.1.6.cmml"><mi id="A1.E100.m1.2.2.1.1.6.2" xref="A1.E100.m1.2.2.1.1.6.2.cmml">V</mi><mi id="A1.E100.m1.2.2.1.1.6.3" xref="A1.E100.m1.2.2.1.1.6.3.cmml">ε</mi></msub></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.E100.m1.2b"><apply id="A1.E100.m1.2.2.cmml" xref="A1.E100.m1.2.2"><eq id="A1.E100.m1.2.2.2.cmml" xref="A1.E100.m1.2.2.2"></eq><apply id="A1.E100.m1.2.2.3.cmml" xref="A1.E100.m1.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E100.m1.2.2.3.1.cmml" xref="A1.E100.m1.2.2.3">superscript</csymbol><apply id="A1.E100.m1.2.2.3.2.cmml" xref="A1.E100.m1.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E100.m1.2.2.3.2.1.cmml" xref="A1.E100.m1.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="A1.E100.m1.2.2.3.2.2.cmml" xref="A1.E100.m1.2.2.3.2.2">ℱ</ci><ci id="A1.E100.m1.2.2.3.2.3.cmml" xref="A1.E100.m1.2.2.3.2.3">𝜀</ci></apply><ci id="A1.E100.m1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.E100.m1.1.1.1.1">𝑡</ci></apply><apply id="A1.E100.m1.2.2.1.cmml" xref="A1.E100.m1.2.2.1"><apply id="A1.E100.m1.2.2.1.2.cmml" xref="A1.E100.m1.2.2.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E100.m1.2.2.1.2.1.cmml" xref="A1.E100.m1.2.2.1.2">subscript</csymbol><int id="A1.E100.m1.2.2.1.2.2.cmml" xref="A1.E100.m1.2.2.1.2.2"></int><apply id="A1.E100.m1.2.2.1.2.3.cmml" xref="A1.E100.m1.2.2.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E100.m1.2.2.1.2.3.1.cmml" xref="A1.E100.m1.2.2.1.2.3">superscript</csymbol><ci id="A1.E100.m1.2.2.1.2.3.2.cmml" xref="A1.E100.m1.2.2.1.2.3.2">𝜀</ci><apply id="A1.E100.m1.2.2.1.2.3.3.cmml" xref="A1.E100.m1.2.2.1.2.3.3"><csymbol cd="latexml" id="A1.E100.m1.2.2.1.2.3.3.1.cmml" xref="A1.E100.m1.2.2.1.2.3.3.1">tensor-product</csymbol><csymbol cd="latexml" id="A1.E100.m1.2.2.1.2.3.3.2.cmml" xref="A1.E100.m1.2.2.1.2.3.3.2">absent</csymbol><cn id="A1.E100.m1.2.2.1.2.3.3.3.cmml" type="integer" xref="A1.E100.m1.2.2.1.2.3.3.3">2</cn></apply></apply></apply><apply id="A1.E100.m1.2.2.1.1.cmml" xref="A1.E100.m1.2.2.1.1"><times id="A1.E100.m1.2.2.1.1.2.cmml" xref="A1.E100.m1.2.2.1.1.2"></times><apply id="A1.E100.m1.2.2.1.1.1.cmml" xref="A1.E100.m1.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E100.m1.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="A1.E100.m1.2.2.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="A1.E100.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.E100.m1.2.2.1.1.1.1.1"><abs id="A1.E100.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.E100.m1.2.2.1.1.1.1.1.2"></abs><apply id="A1.E100.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.E100.m1.2.2.1.1.1.1.1.1"><times id="A1.E100.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.E100.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2"></times><ci id="A1.E100.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3a.cmml" xref="A1.E100.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3"><mtext id="A1.E100.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.E100.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3">tr</mtext></ci><apply id="A1.E100.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.E100.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1"><times id="A1.E100.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.E100.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></times><apply id="A1.E100.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.E100.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E100.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.E100.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="A1.E100.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.E100.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E100.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="A1.E100.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="A1.E100.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="A1.E100.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2">𝑈</ci><ci id="A1.E100.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="A1.E100.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3">𝜀</ci></apply><ci id="A1.E100.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="A1.E100.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">†</ci></apply><apply id="A1.E100.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.E100.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E100.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.E100.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A1.E100.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.E100.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑉</ci><ci id="A1.E100.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A1.E100.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">𝜀</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="A1.E100.m1.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="A1.E100.m1.2.2.1.1.1.3"><times id="A1.E100.m1.2.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.E100.m1.2.2.1.1.1.3.1"></times><cn id="A1.E100.m1.2.2.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="A1.E100.m1.2.2.1.1.1.3.2">2</cn><ci id="A1.E100.m1.2.2.1.1.1.3.3.cmml" xref="A1.E100.m1.2.2.1.1.1.3.3">𝑡</ci></apply></apply><ci id="A1.E100.m1.2.2.1.1.3a.cmml" xref="A1.E100.m1.2.2.1.1.3"><mtext id="A1.E100.m1.2.2.1.1.3.cmml" xref="A1.E100.m1.2.2.1.1.3">d</mtext></ci><apply id="A1.E100.m1.2.2.1.1.4.cmml" xref="A1.E100.m1.2.2.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E100.m1.2.2.1.1.4.1.cmml" xref="A1.E100.m1.2.2.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="A1.E100.m1.2.2.1.1.4.2.cmml" xref="A1.E100.m1.2.2.1.1.4.2">𝑈</ci><ci id="A1.E100.m1.2.2.1.1.4.3.cmml" xref="A1.E100.m1.2.2.1.1.4.3">𝜀</ci></apply><ci id="A1.E100.m1.2.2.1.1.5a.cmml" xref="A1.E100.m1.2.2.1.1.5"><mtext id="A1.E100.m1.2.2.1.1.5.cmml" xref="A1.E100.m1.2.2.1.1.5">d</mtext></ci><apply id="A1.E100.m1.2.2.1.1.6.cmml" xref="A1.E100.m1.2.2.1.1.6"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E100.m1.2.2.1.1.6.1.cmml" xref="A1.E100.m1.2.2.1.1.6">subscript</csymbol><ci id="A1.E100.m1.2.2.1.1.6.2.cmml" xref="A1.E100.m1.2.2.1.1.6.2">𝑉</ci><ci id="A1.E100.m1.2.2.1.1.6.3.cmml" xref="A1.E100.m1.2.2.1.1.6.3">𝜀</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.E100.m1.2c">\displaystyle\mathcal{F}_{\varepsilon}^{(t)}=\int_{\varepsilon^{\otimes 2}}|% \text{tr}(U_{\varepsilon}^{\dagger}V_{\varepsilon})|^{2t}\text{d}U_{% \varepsilon}\text{d}V_{\varepsilon}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.E100.m1.2d">caligraphic_F start_POSTSUBSCRIPT italic_ε end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_t ) end_POSTSUPERSCRIPT = ∫ start_POSTSUBSCRIPT italic_ε start_POSTSUPERSCRIPT ⊗ 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT | tr ( italic_U start_POSTSUBSCRIPT italic_ε end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT † end_POSTSUPERSCRIPT italic_V start_POSTSUBSCRIPT italic_ε end_POSTSUBSCRIPT ) | start_POSTSUPERSCRIPT 2 italic_t end_POSTSUPERSCRIPT d italic_U start_POSTSUBSCRIPT italic_ε end_POSTSUBSCRIPT d italic_V start_POSTSUBSCRIPT italic_ε end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(100)</span></td> </tr></tbody> </table> </div> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_lemma" id="Thmtheorem49"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmtheorem49.1.1.1">Lemma 49</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmtheorem49.2.2">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="Thmtheorem49.p1"> <p class="ltx_p" id="Thmtheorem49.p1.1"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmtheorem49.p1.1.1">The diamond norm distance between two <math alttext="t" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem49.p1.1.1.m1.1"><semantics id="Thmtheorem49.p1.1.1.m1.1a"><mi id="Thmtheorem49.p1.1.1.m1.1.1" xref="Thmtheorem49.p1.1.1.m1.1.1.cmml">t</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem49.p1.1.1.m1.1b"><ci id="Thmtheorem49.p1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem49.p1.1.1.m1.1.1">𝑡</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem49.p1.1.1.m1.1c">t</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem49.p1.1.1.m1.1d">italic_t</annotation></semantics></math>-fold channels is bounded by the difference in their frame potentials:</span></p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_gather ltx_eqn_table" id="S6.EGx91"> <tbody id="A1.E101"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\displaystyle||\Phi_{\varepsilon}^{(t)}-\Phi_{\text{Haar}}^{(t)}||_{\diamond}^% {2}\leq q^{2Nt}\left(\mathcal{F}_{\varepsilon}^{(t)}-\mathcal{F}_{\text{Haar}}% ^{(t)}\right)" class="ltx_Math" display="block" id="A1.E101.m1.6"><semantics id="A1.E101.m1.6a"><mrow id="A1.E101.m1.6.6" xref="A1.E101.m1.6.6.cmml"><msubsup id="A1.E101.m1.5.5.1" xref="A1.E101.m1.5.5.1.cmml"><mrow id="A1.E101.m1.5.5.1.1.1.1" xref="A1.E101.m1.5.5.1.1.1.2.cmml"><mo id="A1.E101.m1.5.5.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.E101.m1.5.5.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo><mrow id="A1.E101.m1.5.5.1.1.1.1.1" xref="A1.E101.m1.5.5.1.1.1.1.1.cmml"><msubsup id="A1.E101.m1.5.5.1.1.1.1.1.2" xref="A1.E101.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="A1.E101.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.2.2" mathvariant="normal" xref="A1.E101.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">Φ</mi><mi id="A1.E101.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="A1.E101.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">ε</mi><mrow id="A1.E101.m1.1.1.1.3" xref="A1.E101.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="A1.E101.m1.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="A1.E101.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.cmml">(</mo><mi id="A1.E101.m1.1.1.1.1" xref="A1.E101.m1.1.1.1.1.cmml">t</mi><mo id="A1.E101.m1.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="A1.E101.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></msubsup><mo id="A1.E101.m1.5.5.1.1.1.1.1.1" xref="A1.E101.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><msubsup id="A1.E101.m1.5.5.1.1.1.1.1.3" xref="A1.E101.m1.5.5.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A1.E101.m1.5.5.1.1.1.1.1.3.2.2" mathvariant="normal" xref="A1.E101.m1.5.5.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">Φ</mi><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="A1.E101.m1.5.5.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="A1.E101.m1.5.5.1.1.1.1.1.3.2.3a.cmml">Haar</mtext><mrow id="A1.E101.m1.2.2.1.3" xref="A1.E101.m1.5.5.1.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="A1.E101.m1.2.2.1.3.1" stretchy="false" xref="A1.E101.m1.5.5.1.1.1.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="A1.E101.m1.2.2.1.1" xref="A1.E101.m1.2.2.1.1.cmml">t</mi><mo id="A1.E101.m1.2.2.1.3.2" stretchy="false" xref="A1.E101.m1.5.5.1.1.1.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></msubsup></mrow><mo id="A1.E101.m1.5.5.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.E101.m1.5.5.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo></mrow><mo id="A1.E101.m1.5.5.1.1.3" xref="A1.E101.m1.5.5.1.1.3.cmml">⋄</mo><mn id="A1.E101.m1.5.5.1.3" xref="A1.E101.m1.5.5.1.3.cmml">2</mn></msubsup><mo id="A1.E101.m1.6.6.3" xref="A1.E101.m1.6.6.3.cmml">≤</mo><mrow id="A1.E101.m1.6.6.2" xref="A1.E101.m1.6.6.2.cmml"><msup id="A1.E101.m1.6.6.2.3" xref="A1.E101.m1.6.6.2.3.cmml"><mi id="A1.E101.m1.6.6.2.3.2" xref="A1.E101.m1.6.6.2.3.2.cmml">q</mi><mrow id="A1.E101.m1.6.6.2.3.3" xref="A1.E101.m1.6.6.2.3.3.cmml"><mn id="A1.E101.m1.6.6.2.3.3.2" xref="A1.E101.m1.6.6.2.3.3.2.cmml">2</mn><mo id="A1.E101.m1.6.6.2.3.3.1" xref="A1.E101.m1.6.6.2.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.E101.m1.6.6.2.3.3.3" xref="A1.E101.m1.6.6.2.3.3.3.cmml">N</mi><mo id="A1.E101.m1.6.6.2.3.3.1a" xref="A1.E101.m1.6.6.2.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.E101.m1.6.6.2.3.3.4" xref="A1.E101.m1.6.6.2.3.3.4.cmml">t</mi></mrow></msup><mo id="A1.E101.m1.6.6.2.2" xref="A1.E101.m1.6.6.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.E101.m1.6.6.2.1.1" xref="A1.E101.m1.6.6.2.1.1.1.cmml"><mo id="A1.E101.m1.6.6.2.1.1.2" xref="A1.E101.m1.6.6.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.E101.m1.6.6.2.1.1.1" xref="A1.E101.m1.6.6.2.1.1.1.cmml"><msubsup id="A1.E101.m1.6.6.2.1.1.1.2" xref="A1.E101.m1.6.6.2.1.1.1.2.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="A1.E101.m1.6.6.2.1.1.1.2.2.2" xref="A1.E101.m1.6.6.2.1.1.1.2.2.2.cmml">ℱ</mi><mi id="A1.E101.m1.6.6.2.1.1.1.2.2.3" xref="A1.E101.m1.6.6.2.1.1.1.2.2.3.cmml">ε</mi><mrow id="A1.E101.m1.3.3.1.3" xref="A1.E101.m1.6.6.2.1.1.1.2.cmml"><mo id="A1.E101.m1.3.3.1.3.1" stretchy="false" xref="A1.E101.m1.6.6.2.1.1.1.2.cmml">(</mo><mi id="A1.E101.m1.3.3.1.1" xref="A1.E101.m1.3.3.1.1.cmml">t</mi><mo id="A1.E101.m1.3.3.1.3.2" stretchy="false" xref="A1.E101.m1.6.6.2.1.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></msubsup><mo id="A1.E101.m1.6.6.2.1.1.1.1" xref="A1.E101.m1.6.6.2.1.1.1.1.cmml">−</mo><msubsup id="A1.E101.m1.6.6.2.1.1.1.3" xref="A1.E101.m1.6.6.2.1.1.1.3.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="A1.E101.m1.6.6.2.1.1.1.3.2.2" xref="A1.E101.m1.6.6.2.1.1.1.3.2.2.cmml">ℱ</mi><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="A1.E101.m1.6.6.2.1.1.1.3.2.3" xref="A1.E101.m1.6.6.2.1.1.1.3.2.3a.cmml">Haar</mtext><mrow id="A1.E101.m1.4.4.1.3" xref="A1.E101.m1.6.6.2.1.1.1.3.cmml"><mo id="A1.E101.m1.4.4.1.3.1" stretchy="false" xref="A1.E101.m1.6.6.2.1.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="A1.E101.m1.4.4.1.1" xref="A1.E101.m1.4.4.1.1.cmml">t</mi><mo id="A1.E101.m1.4.4.1.3.2" stretchy="false" xref="A1.E101.m1.6.6.2.1.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></msubsup></mrow><mo id="A1.E101.m1.6.6.2.1.1.3" xref="A1.E101.m1.6.6.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.E101.m1.6b"><apply id="A1.E101.m1.6.6.cmml" xref="A1.E101.m1.6.6"><leq id="A1.E101.m1.6.6.3.cmml" xref="A1.E101.m1.6.6.3"></leq><apply id="A1.E101.m1.5.5.1.cmml" xref="A1.E101.m1.5.5.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E101.m1.5.5.1.2.cmml" xref="A1.E101.m1.5.5.1">superscript</csymbol><apply id="A1.E101.m1.5.5.1.1.cmml" xref="A1.E101.m1.5.5.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E101.m1.5.5.1.1.2.cmml" xref="A1.E101.m1.5.5.1">subscript</csymbol><apply id="A1.E101.m1.5.5.1.1.1.2.cmml" xref="A1.E101.m1.5.5.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="A1.E101.m1.5.5.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.E101.m1.5.5.1.1.1.1.2">norm</csymbol><apply id="A1.E101.m1.5.5.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.E101.m1.5.5.1.1.1.1.1"><minus id="A1.E101.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.E101.m1.5.5.1.1.1.1.1.1"></minus><apply id="A1.E101.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.E101.m1.5.5.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E101.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.E101.m1.5.5.1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="A1.E101.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.E101.m1.5.5.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E101.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="A1.E101.m1.5.5.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="A1.E101.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="A1.E101.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.2.2">Φ</ci><ci id="A1.E101.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="A1.E101.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.2.3">𝜀</ci></apply><ci id="A1.E101.m1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.E101.m1.1.1.1.1">𝑡</ci></apply><apply id="A1.E101.m1.5.5.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.E101.m1.5.5.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E101.m1.5.5.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.E101.m1.5.5.1.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="A1.E101.m1.5.5.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.E101.m1.5.5.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E101.m1.5.5.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="A1.E101.m1.5.5.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A1.E101.m1.5.5.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="A1.E101.m1.5.5.1.1.1.1.1.3.2.2">Φ</ci><ci id="A1.E101.m1.5.5.1.1.1.1.1.3.2.3a.cmml" xref="A1.E101.m1.5.5.1.1.1.1.1.3.2.3"><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="A1.E101.m1.5.5.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" mathsize="70%" xref="A1.E101.m1.5.5.1.1.1.1.1.3.2.3">Haar</mtext></ci></apply><ci id="A1.E101.m1.2.2.1.1.cmml" xref="A1.E101.m1.2.2.1.1">𝑡</ci></apply></apply></apply><ci id="A1.E101.m1.5.5.1.1.3.cmml" xref="A1.E101.m1.5.5.1.1.3">⋄</ci></apply><cn id="A1.E101.m1.5.5.1.3.cmml" type="integer" xref="A1.E101.m1.5.5.1.3">2</cn></apply><apply id="A1.E101.m1.6.6.2.cmml" xref="A1.E101.m1.6.6.2"><times id="A1.E101.m1.6.6.2.2.cmml" xref="A1.E101.m1.6.6.2.2"></times><apply id="A1.E101.m1.6.6.2.3.cmml" xref="A1.E101.m1.6.6.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E101.m1.6.6.2.3.1.cmml" xref="A1.E101.m1.6.6.2.3">superscript</csymbol><ci id="A1.E101.m1.6.6.2.3.2.cmml" xref="A1.E101.m1.6.6.2.3.2">𝑞</ci><apply id="A1.E101.m1.6.6.2.3.3.cmml" xref="A1.E101.m1.6.6.2.3.3"><times id="A1.E101.m1.6.6.2.3.3.1.cmml" xref="A1.E101.m1.6.6.2.3.3.1"></times><cn id="A1.E101.m1.6.6.2.3.3.2.cmml" type="integer" xref="A1.E101.m1.6.6.2.3.3.2">2</cn><ci id="A1.E101.m1.6.6.2.3.3.3.cmml" xref="A1.E101.m1.6.6.2.3.3.3">𝑁</ci><ci id="A1.E101.m1.6.6.2.3.3.4.cmml" xref="A1.E101.m1.6.6.2.3.3.4">𝑡</ci></apply></apply><apply id="A1.E101.m1.6.6.2.1.1.1.cmml" xref="A1.E101.m1.6.6.2.1.1"><minus id="A1.E101.m1.6.6.2.1.1.1.1.cmml" xref="A1.E101.m1.6.6.2.1.1.1.1"></minus><apply id="A1.E101.m1.6.6.2.1.1.1.2.cmml" xref="A1.E101.m1.6.6.2.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E101.m1.6.6.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.E101.m1.6.6.2.1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="A1.E101.m1.6.6.2.1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.E101.m1.6.6.2.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E101.m1.6.6.2.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="A1.E101.m1.6.6.2.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="A1.E101.m1.6.6.2.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="A1.E101.m1.6.6.2.1.1.1.2.2.2">ℱ</ci><ci id="A1.E101.m1.6.6.2.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="A1.E101.m1.6.6.2.1.1.1.2.2.3">𝜀</ci></apply><ci id="A1.E101.m1.3.3.1.1.cmml" xref="A1.E101.m1.3.3.1.1">𝑡</ci></apply><apply id="A1.E101.m1.6.6.2.1.1.1.3.cmml" xref="A1.E101.m1.6.6.2.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E101.m1.6.6.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.E101.m1.6.6.2.1.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="A1.E101.m1.6.6.2.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.E101.m1.6.6.2.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E101.m1.6.6.2.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="A1.E101.m1.6.6.2.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A1.E101.m1.6.6.2.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="A1.E101.m1.6.6.2.1.1.1.3.2.2">ℱ</ci><ci id="A1.E101.m1.6.6.2.1.1.1.3.2.3a.cmml" xref="A1.E101.m1.6.6.2.1.1.1.3.2.3"><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="A1.E101.m1.6.6.2.1.1.1.3.2.3.cmml" mathsize="70%" xref="A1.E101.m1.6.6.2.1.1.1.3.2.3">Haar</mtext></ci></apply><ci id="A1.E101.m1.4.4.1.1.cmml" xref="A1.E101.m1.4.4.1.1">𝑡</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.E101.m1.6c">\displaystyle||\Phi_{\varepsilon}^{(t)}-\Phi_{\text{Haar}}^{(t)}||_{\diamond}^% {2}\leq q^{2Nt}\left(\mathcal{F}_{\varepsilon}^{(t)}-\mathcal{F}_{\text{Haar}}% ^{(t)}\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.E101.m1.6d">| | roman_Φ start_POSTSUBSCRIPT italic_ε end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_t ) end_POSTSUPERSCRIPT - roman_Φ start_POSTSUBSCRIPT Haar end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_t ) end_POSTSUPERSCRIPT | | start_POSTSUBSCRIPT ⋄ end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ≤ italic_q start_POSTSUPERSCRIPT 2 italic_N italic_t end_POSTSUPERSCRIPT ( caligraphic_F start_POSTSUBSCRIPT italic_ε end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_t ) end_POSTSUPERSCRIPT - caligraphic_F start_POSTSUBSCRIPT Haar end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_t ) end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(101)</span></td> </tr></tbody> </table> </div> </div> <div class="ltx_para" id="A1.p2"> <p class="ltx_p" id="A1.p2.1">The frame potential is the Frobenius norm of the moment operator,</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_gather ltx_eqn_table" id="S6.EGx92"> <tbody id="A1.E102"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\displaystyle\mathcal{F}_{\varepsilon}^{(t)}=\text{tr}\left(\Phi_{\varepsilon}% ^{(t)\dagger}\Phi_{\varepsilon}^{(t)}\right)" class="ltx_Math" display="block" id="A1.E102.m1.6"><semantics id="A1.E102.m1.6a"><mrow id="A1.E102.m1.6.6" xref="A1.E102.m1.6.6.cmml"><msubsup id="A1.E102.m1.6.6.3" xref="A1.E102.m1.6.6.3.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="A1.E102.m1.6.6.3.2.2" xref="A1.E102.m1.6.6.3.2.2.cmml">ℱ</mi><mi id="A1.E102.m1.6.6.3.2.3" xref="A1.E102.m1.6.6.3.2.3.cmml">ε</mi><mrow id="A1.E102.m1.1.1.1.3" xref="A1.E102.m1.6.6.3.cmml"><mo id="A1.E102.m1.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="A1.E102.m1.6.6.3.cmml">(</mo><mi id="A1.E102.m1.1.1.1.1" xref="A1.E102.m1.1.1.1.1.cmml">t</mi><mo id="A1.E102.m1.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="A1.E102.m1.6.6.3.cmml">)</mo></mrow></msubsup><mo id="A1.E102.m1.6.6.2" xref="A1.E102.m1.6.6.2.cmml">=</mo><mrow id="A1.E102.m1.6.6.1" xref="A1.E102.m1.6.6.1.cmml"><mtext id="A1.E102.m1.6.6.1.3" xref="A1.E102.m1.6.6.1.3a.cmml">tr</mtext><mo id="A1.E102.m1.6.6.1.2" xref="A1.E102.m1.6.6.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.E102.m1.6.6.1.1.1" xref="A1.E102.m1.6.6.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.E102.m1.6.6.1.1.1.2" xref="A1.E102.m1.6.6.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.E102.m1.6.6.1.1.1.1" xref="A1.E102.m1.6.6.1.1.1.1.cmml"><msubsup id="A1.E102.m1.6.6.1.1.1.1.2" xref="A1.E102.m1.6.6.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="A1.E102.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.2" mathvariant="normal" xref="A1.E102.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.2.cmml">Φ</mi><mi id="A1.E102.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.3" xref="A1.E102.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.3.cmml">ε</mi><mrow id="A1.E102.m1.4.4.3.3" xref="A1.E102.m1.4.4.3.4.cmml"><mrow id="A1.E102.m1.4.4.3.3.1.2" xref="A1.E102.m1.4.4.3.4.cmml"><mo id="A1.E102.m1.4.4.3.3.1.2.1" stretchy="false" xref="A1.E102.m1.4.4.3.4.cmml">(</mo><mi id="A1.E102.m1.2.2.1.1" xref="A1.E102.m1.2.2.1.1.cmml">t</mi><mo id="A1.E102.m1.4.4.3.3.1.2.2" stretchy="false" xref="A1.E102.m1.4.4.3.4.cmml">)</mo></mrow><mo id="A1.E102.m1.4.4.3.3.2" lspace="0.222em" xref="A1.E102.m1.4.4.3.4.cmml">⁣</mo><mo id="A1.E102.m1.3.3.2.2" xref="A1.E102.m1.3.3.2.2.cmml">†</mo></mrow></msubsup><mo id="A1.E102.m1.6.6.1.1.1.1.1" xref="A1.E102.m1.6.6.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="A1.E102.m1.6.6.1.1.1.1.3" xref="A1.E102.m1.6.6.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A1.E102.m1.6.6.1.1.1.1.3.2.2" mathvariant="normal" xref="A1.E102.m1.6.6.1.1.1.1.3.2.2.cmml">Φ</mi><mi id="A1.E102.m1.6.6.1.1.1.1.3.2.3" xref="A1.E102.m1.6.6.1.1.1.1.3.2.3.cmml">ε</mi><mrow id="A1.E102.m1.5.5.1.3" xref="A1.E102.m1.6.6.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="A1.E102.m1.5.5.1.3.1" stretchy="false" xref="A1.E102.m1.6.6.1.1.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="A1.E102.m1.5.5.1.1" xref="A1.E102.m1.5.5.1.1.cmml">t</mi><mo id="A1.E102.m1.5.5.1.3.2" stretchy="false" xref="A1.E102.m1.6.6.1.1.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></msubsup></mrow><mo id="A1.E102.m1.6.6.1.1.1.3" xref="A1.E102.m1.6.6.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.E102.m1.6b"><apply id="A1.E102.m1.6.6.cmml" xref="A1.E102.m1.6.6"><eq id="A1.E102.m1.6.6.2.cmml" xref="A1.E102.m1.6.6.2"></eq><apply id="A1.E102.m1.6.6.3.cmml" xref="A1.E102.m1.6.6.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E102.m1.6.6.3.1.cmml" xref="A1.E102.m1.6.6.3">superscript</csymbol><apply id="A1.E102.m1.6.6.3.2.cmml" xref="A1.E102.m1.6.6.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E102.m1.6.6.3.2.1.cmml" xref="A1.E102.m1.6.6.3">subscript</csymbol><ci id="A1.E102.m1.6.6.3.2.2.cmml" xref="A1.E102.m1.6.6.3.2.2">ℱ</ci><ci id="A1.E102.m1.6.6.3.2.3.cmml" xref="A1.E102.m1.6.6.3.2.3">𝜀</ci></apply><ci id="A1.E102.m1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.E102.m1.1.1.1.1">𝑡</ci></apply><apply id="A1.E102.m1.6.6.1.cmml" xref="A1.E102.m1.6.6.1"><times id="A1.E102.m1.6.6.1.2.cmml" xref="A1.E102.m1.6.6.1.2"></times><ci id="A1.E102.m1.6.6.1.3a.cmml" xref="A1.E102.m1.6.6.1.3"><mtext id="A1.E102.m1.6.6.1.3.cmml" xref="A1.E102.m1.6.6.1.3">tr</mtext></ci><apply id="A1.E102.m1.6.6.1.1.1.1.cmml" xref="A1.E102.m1.6.6.1.1.1"><times id="A1.E102.m1.6.6.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.E102.m1.6.6.1.1.1.1.1"></times><apply id="A1.E102.m1.6.6.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.E102.m1.6.6.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E102.m1.6.6.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.E102.m1.6.6.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="A1.E102.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.E102.m1.6.6.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E102.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="A1.E102.m1.6.6.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="A1.E102.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="A1.E102.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.2">Φ</ci><ci id="A1.E102.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="A1.E102.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.3">𝜀</ci></apply><list id="A1.E102.m1.4.4.3.4.cmml" xref="A1.E102.m1.4.4.3.3"><ci id="A1.E102.m1.2.2.1.1.cmml" xref="A1.E102.m1.2.2.1.1">𝑡</ci><ci id="A1.E102.m1.3.3.2.2.cmml" xref="A1.E102.m1.3.3.2.2">†</ci></list></apply><apply id="A1.E102.m1.6.6.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.E102.m1.6.6.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E102.m1.6.6.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.E102.m1.6.6.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="A1.E102.m1.6.6.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.E102.m1.6.6.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E102.m1.6.6.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="A1.E102.m1.6.6.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A1.E102.m1.6.6.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="A1.E102.m1.6.6.1.1.1.1.3.2.2">Φ</ci><ci id="A1.E102.m1.6.6.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="A1.E102.m1.6.6.1.1.1.1.3.2.3">𝜀</ci></apply><ci id="A1.E102.m1.5.5.1.1.cmml" xref="A1.E102.m1.5.5.1.1">𝑡</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.E102.m1.6c">\displaystyle\mathcal{F}_{\varepsilon}^{(t)}=\text{tr}\left(\Phi_{\varepsilon}% ^{(t)\dagger}\Phi_{\varepsilon}^{(t)}\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.E102.m1.6d">caligraphic_F start_POSTSUBSCRIPT italic_ε end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_t ) end_POSTSUPERSCRIPT = tr ( roman_Φ start_POSTSUBSCRIPT italic_ε end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_t ) † end_POSTSUPERSCRIPT roman_Φ start_POSTSUBSCRIPT italic_ε end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_t ) end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(102)</span></td> </tr></tbody> </table> </div> <div class="ltx_para" id="A1.p3"> <p class="ltx_p" id="A1.p3.3">Let <math alttext="L_{O}" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.p3.1.m1.1"><semantics id="A1.p3.1.m1.1a"><msub id="A1.p3.1.m1.1.1" xref="A1.p3.1.m1.1.1.cmml"><mi id="A1.p3.1.m1.1.1.2" xref="A1.p3.1.m1.1.1.2.cmml">L</mi><mi id="A1.p3.1.m1.1.1.3" xref="A1.p3.1.m1.1.1.3.cmml">O</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.p3.1.m1.1b"><apply id="A1.p3.1.m1.1.1.cmml" xref="A1.p3.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.p3.1.m1.1.1.1.cmml" xref="A1.p3.1.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="A1.p3.1.m1.1.1.2.cmml" xref="A1.p3.1.m1.1.1.2">𝐿</ci><ci id="A1.p3.1.m1.1.1.3.cmml" xref="A1.p3.1.m1.1.1.3">𝑂</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.p3.1.m1.1c">L_{O}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.p3.1.m1.1d">italic_L start_POSTSUBSCRIPT italic_O end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> and <math alttext="L_{E}" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.p3.2.m2.1"><semantics id="A1.p3.2.m2.1a"><msub id="A1.p3.2.m2.1.1" xref="A1.p3.2.m2.1.1.cmml"><mi id="A1.p3.2.m2.1.1.2" xref="A1.p3.2.m2.1.1.2.cmml">L</mi><mi id="A1.p3.2.m2.1.1.3" xref="A1.p3.2.m2.1.1.3.cmml">E</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.p3.2.m2.1b"><apply id="A1.p3.2.m2.1.1.cmml" xref="A1.p3.2.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.p3.2.m2.1.1.1.cmml" xref="A1.p3.2.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="A1.p3.2.m2.1.1.2.cmml" xref="A1.p3.2.m2.1.1.2">𝐿</ci><ci id="A1.p3.2.m2.1.1.3.cmml" xref="A1.p3.2.m2.1.1.3">𝐸</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.p3.2.m2.1c">L_{E}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.p3.2.m2.1d">italic_L start_POSTSUBSCRIPT italic_E end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> refer to the “even” and “odd” layers of the 1D brickwork architecture, respectively. The transfer matrix associated with a single period of the architecture is then <math alttext="T_{1DB}=L_{O}L_{E}" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.p3.3.m3.1"><semantics id="A1.p3.3.m3.1a"><mrow id="A1.p3.3.m3.1.1" xref="A1.p3.3.m3.1.1.cmml"><msub id="A1.p3.3.m3.1.1.2" xref="A1.p3.3.m3.1.1.2.cmml"><mi id="A1.p3.3.m3.1.1.2.2" xref="A1.p3.3.m3.1.1.2.2.cmml">T</mi><mrow id="A1.p3.3.m3.1.1.2.3" xref="A1.p3.3.m3.1.1.2.3.cmml"><mn id="A1.p3.3.m3.1.1.2.3.2" xref="A1.p3.3.m3.1.1.2.3.2.cmml">1</mn><mo id="A1.p3.3.m3.1.1.2.3.1" xref="A1.p3.3.m3.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.p3.3.m3.1.1.2.3.3" xref="A1.p3.3.m3.1.1.2.3.3.cmml">D</mi><mo id="A1.p3.3.m3.1.1.2.3.1a" xref="A1.p3.3.m3.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.p3.3.m3.1.1.2.3.4" xref="A1.p3.3.m3.1.1.2.3.4.cmml">B</mi></mrow></msub><mo id="A1.p3.3.m3.1.1.1" xref="A1.p3.3.m3.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="A1.p3.3.m3.1.1.3" xref="A1.p3.3.m3.1.1.3.cmml"><msub id="A1.p3.3.m3.1.1.3.2" xref="A1.p3.3.m3.1.1.3.2.cmml"><mi id="A1.p3.3.m3.1.1.3.2.2" xref="A1.p3.3.m3.1.1.3.2.2.cmml">L</mi><mi id="A1.p3.3.m3.1.1.3.2.3" xref="A1.p3.3.m3.1.1.3.2.3.cmml">O</mi></msub><mo id="A1.p3.3.m3.1.1.3.1" xref="A1.p3.3.m3.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="A1.p3.3.m3.1.1.3.3" xref="A1.p3.3.m3.1.1.3.3.cmml"><mi id="A1.p3.3.m3.1.1.3.3.2" xref="A1.p3.3.m3.1.1.3.3.2.cmml">L</mi><mi id="A1.p3.3.m3.1.1.3.3.3" xref="A1.p3.3.m3.1.1.3.3.3.cmml">E</mi></msub></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.p3.3.m3.1b"><apply id="A1.p3.3.m3.1.1.cmml" xref="A1.p3.3.m3.1.1"><eq id="A1.p3.3.m3.1.1.1.cmml" xref="A1.p3.3.m3.1.1.1"></eq><apply id="A1.p3.3.m3.1.1.2.cmml" xref="A1.p3.3.m3.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.p3.3.m3.1.1.2.1.cmml" xref="A1.p3.3.m3.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="A1.p3.3.m3.1.1.2.2.cmml" xref="A1.p3.3.m3.1.1.2.2">𝑇</ci><apply id="A1.p3.3.m3.1.1.2.3.cmml" xref="A1.p3.3.m3.1.1.2.3"><times id="A1.p3.3.m3.1.1.2.3.1.cmml" xref="A1.p3.3.m3.1.1.2.3.1"></times><cn id="A1.p3.3.m3.1.1.2.3.2.cmml" type="integer" xref="A1.p3.3.m3.1.1.2.3.2">1</cn><ci id="A1.p3.3.m3.1.1.2.3.3.cmml" xref="A1.p3.3.m3.1.1.2.3.3">𝐷</ci><ci id="A1.p3.3.m3.1.1.2.3.4.cmml" xref="A1.p3.3.m3.1.1.2.3.4">𝐵</ci></apply></apply><apply id="A1.p3.3.m3.1.1.3.cmml" xref="A1.p3.3.m3.1.1.3"><times id="A1.p3.3.m3.1.1.3.1.cmml" xref="A1.p3.3.m3.1.1.3.1"></times><apply id="A1.p3.3.m3.1.1.3.2.cmml" xref="A1.p3.3.m3.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.p3.3.m3.1.1.3.2.1.cmml" xref="A1.p3.3.m3.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="A1.p3.3.m3.1.1.3.2.2.cmml" xref="A1.p3.3.m3.1.1.3.2.2">𝐿</ci><ci id="A1.p3.3.m3.1.1.3.2.3.cmml" xref="A1.p3.3.m3.1.1.3.2.3">𝑂</ci></apply><apply id="A1.p3.3.m3.1.1.3.3.cmml" xref="A1.p3.3.m3.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.p3.3.m3.1.1.3.3.1.cmml" xref="A1.p3.3.m3.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="A1.p3.3.m3.1.1.3.3.2.cmml" xref="A1.p3.3.m3.1.1.3.3.2">𝐿</ci><ci id="A1.p3.3.m3.1.1.3.3.3.cmml" xref="A1.p3.3.m3.1.1.3.3.3">𝐸</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.p3.3.m3.1c">T_{1DB}=L_{O}L_{E}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.p3.3.m3.1d">italic_T start_POSTSUBSCRIPT 1 italic_D italic_B end_POSTSUBSCRIPT = italic_L start_POSTSUBSCRIPT italic_O end_POSTSUBSCRIPT italic_L start_POSTSUBSCRIPT italic_E end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>.</p> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_lemma" id="Thmtheorem50"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmtheorem50.1.1.1">Lemma 50</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmtheorem50.2.2">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="Thmtheorem50.p1"> <p class="ltx_p" id="Thmtheorem50.p1.3"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmtheorem50.p1.3.3">Let <math alttext="\mathcal{F}_{\varepsilon}(\ell)" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem50.p1.1.1.m1.1"><semantics id="Thmtheorem50.p1.1.1.m1.1a"><mrow id="Thmtheorem50.p1.1.1.m1.1.2" xref="Thmtheorem50.p1.1.1.m1.1.2.cmml"><msub id="Thmtheorem50.p1.1.1.m1.1.2.2" xref="Thmtheorem50.p1.1.1.m1.1.2.2.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="Thmtheorem50.p1.1.1.m1.1.2.2.2" xref="Thmtheorem50.p1.1.1.m1.1.2.2.2.cmml">ℱ</mi><mi id="Thmtheorem50.p1.1.1.m1.1.2.2.3" xref="Thmtheorem50.p1.1.1.m1.1.2.2.3.cmml">ε</mi></msub><mo id="Thmtheorem50.p1.1.1.m1.1.2.1" xref="Thmtheorem50.p1.1.1.m1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="Thmtheorem50.p1.1.1.m1.1.2.3.2" xref="Thmtheorem50.p1.1.1.m1.1.2.cmml"><mo id="Thmtheorem50.p1.1.1.m1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="Thmtheorem50.p1.1.1.m1.1.2.cmml">(</mo><mi id="Thmtheorem50.p1.1.1.m1.1.1" mathvariant="normal" xref="Thmtheorem50.p1.1.1.m1.1.1.cmml">ℓ</mi><mo id="Thmtheorem50.p1.1.1.m1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="Thmtheorem50.p1.1.1.m1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem50.p1.1.1.m1.1b"><apply id="Thmtheorem50.p1.1.1.m1.1.2.cmml" xref="Thmtheorem50.p1.1.1.m1.1.2"><times id="Thmtheorem50.p1.1.1.m1.1.2.1.cmml" xref="Thmtheorem50.p1.1.1.m1.1.2.1"></times><apply id="Thmtheorem50.p1.1.1.m1.1.2.2.cmml" xref="Thmtheorem50.p1.1.1.m1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem50.p1.1.1.m1.1.2.2.1.cmml" xref="Thmtheorem50.p1.1.1.m1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="Thmtheorem50.p1.1.1.m1.1.2.2.2.cmml" xref="Thmtheorem50.p1.1.1.m1.1.2.2.2">ℱ</ci><ci id="Thmtheorem50.p1.1.1.m1.1.2.2.3.cmml" xref="Thmtheorem50.p1.1.1.m1.1.2.2.3">𝜀</ci></apply><ci id="Thmtheorem50.p1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem50.p1.1.1.m1.1.1">ℓ</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem50.p1.1.1.m1.1c">\mathcal{F}_{\varepsilon}(\ell)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem50.p1.1.1.m1.1d">caligraphic_F start_POSTSUBSCRIPT italic_ε end_POSTSUBSCRIPT ( roman_ℓ )</annotation></semantics></math> be the frame potential of the <math alttext="\ell" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem50.p1.2.2.m2.1"><semantics id="Thmtheorem50.p1.2.2.m2.1a"><mi id="Thmtheorem50.p1.2.2.m2.1.1" mathvariant="normal" xref="Thmtheorem50.p1.2.2.m2.1.1.cmml">ℓ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem50.p1.2.2.m2.1b"><ci id="Thmtheorem50.p1.2.2.m2.1.1.cmml" xref="Thmtheorem50.p1.2.2.m2.1.1">ℓ</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem50.p1.2.2.m2.1c">\ell</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem50.p1.2.2.m2.1d">roman_ℓ</annotation></semantics></math>-layer 1D brickwork architecture, <math alttext="\ell\geq 2" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem50.p1.3.3.m3.1"><semantics id="Thmtheorem50.p1.3.3.m3.1a"><mrow id="Thmtheorem50.p1.3.3.m3.1.1" xref="Thmtheorem50.p1.3.3.m3.1.1.cmml"><mi id="Thmtheorem50.p1.3.3.m3.1.1.2" mathvariant="normal" xref="Thmtheorem50.p1.3.3.m3.1.1.2.cmml">ℓ</mi><mo id="Thmtheorem50.p1.3.3.m3.1.1.1" xref="Thmtheorem50.p1.3.3.m3.1.1.1.cmml">≥</mo><mn id="Thmtheorem50.p1.3.3.m3.1.1.3" xref="Thmtheorem50.p1.3.3.m3.1.1.3.cmml">2</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem50.p1.3.3.m3.1b"><apply id="Thmtheorem50.p1.3.3.m3.1.1.cmml" xref="Thmtheorem50.p1.3.3.m3.1.1"><geq id="Thmtheorem50.p1.3.3.m3.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem50.p1.3.3.m3.1.1.1"></geq><ci id="Thmtheorem50.p1.3.3.m3.1.1.2.cmml" xref="Thmtheorem50.p1.3.3.m3.1.1.2">ℓ</ci><cn id="Thmtheorem50.p1.3.3.m3.1.1.3.cmml" type="integer" xref="Thmtheorem50.p1.3.3.m3.1.1.3">2</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem50.p1.3.3.m3.1c">\ell\geq 2</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem50.p1.3.3.m3.1d">roman_ℓ ≥ 2</annotation></semantics></math>. Then</span></p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="A1.Ex45"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\mathcal{F}_{\varepsilon}(\ell)=\text{tr}\left((L_{E}L_{O}L_{E})^{\ell-1}\right)" class="ltx_Math" display="block" id="A1.Ex45.m1.2"><semantics id="A1.Ex45.m1.2a"><mrow id="A1.Ex45.m1.2.2" xref="A1.Ex45.m1.2.2.cmml"><mrow id="A1.Ex45.m1.2.2.3" xref="A1.Ex45.m1.2.2.3.cmml"><msub id="A1.Ex45.m1.2.2.3.2" xref="A1.Ex45.m1.2.2.3.2.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="A1.Ex45.m1.2.2.3.2.2" xref="A1.Ex45.m1.2.2.3.2.2.cmml">ℱ</mi><mi id="A1.Ex45.m1.2.2.3.2.3" xref="A1.Ex45.m1.2.2.3.2.3.cmml">ε</mi></msub><mo id="A1.Ex45.m1.2.2.3.1" xref="A1.Ex45.m1.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex45.m1.2.2.3.3.2" xref="A1.Ex45.m1.2.2.3.cmml"><mo id="A1.Ex45.m1.2.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.Ex45.m1.2.2.3.cmml">(</mo><mi id="A1.Ex45.m1.1.1" mathvariant="normal" xref="A1.Ex45.m1.1.1.cmml">ℓ</mi><mo id="A1.Ex45.m1.2.2.3.3.2.2" stretchy="false" xref="A1.Ex45.m1.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A1.Ex45.m1.2.2.2" xref="A1.Ex45.m1.2.2.2.cmml">=</mo><mrow id="A1.Ex45.m1.2.2.1" xref="A1.Ex45.m1.2.2.1.cmml"><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="A1.Ex45.m1.2.2.1.3" xref="A1.Ex45.m1.2.2.1.3a.cmml">tr</mtext><mo id="A1.Ex45.m1.2.2.1.2" xref="A1.Ex45.m1.2.2.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex45.m1.2.2.1.1.1" xref="A1.Ex45.m1.2.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex45.m1.2.2.1.1.1.2" xref="A1.Ex45.m1.2.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="A1.Ex45.m1.2.2.1.1.1.1" xref="A1.Ex45.m1.2.2.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex45.m1.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex45.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex45.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.Ex45.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.Ex45.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex45.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="A1.Ex45.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex45.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="A1.Ex45.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="A1.Ex45.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">L</mi><mi id="A1.Ex45.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="A1.Ex45.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">E</mi></msub><mo id="A1.Ex45.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex45.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="A1.Ex45.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex45.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A1.Ex45.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex45.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">L</mi><mi id="A1.Ex45.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A1.Ex45.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">O</mi></msub><mo id="A1.Ex45.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1a" xref="A1.Ex45.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="A1.Ex45.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.4" xref="A1.Ex45.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="A1.Ex45.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.4.2" xref="A1.Ex45.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml">L</mi><mi id="A1.Ex45.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.4.3" xref="A1.Ex45.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml">E</mi></msub></mrow><mo id="A1.Ex45.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.Ex45.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="A1.Ex45.m1.2.2.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex45.m1.2.2.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A1.Ex45.m1.2.2.1.1.1.1.3.2" mathvariant="normal" xref="A1.Ex45.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.cmml">ℓ</mi><mo id="A1.Ex45.m1.2.2.1.1.1.1.3.1" xref="A1.Ex45.m1.2.2.1.1.1.1.3.1.cmml">−</mo><mn id="A1.Ex45.m1.2.2.1.1.1.1.3.3" xref="A1.Ex45.m1.2.2.1.1.1.1.3.3.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="A1.Ex45.m1.2.2.1.1.1.3" xref="A1.Ex45.m1.2.2.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.Ex45.m1.2b"><apply id="A1.Ex45.m1.2.2.cmml" xref="A1.Ex45.m1.2.2"><eq id="A1.Ex45.m1.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex45.m1.2.2.2"></eq><apply id="A1.Ex45.m1.2.2.3.cmml" xref="A1.Ex45.m1.2.2.3"><times id="A1.Ex45.m1.2.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex45.m1.2.2.3.1"></times><apply id="A1.Ex45.m1.2.2.3.2.cmml" xref="A1.Ex45.m1.2.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex45.m1.2.2.3.2.1.cmml" xref="A1.Ex45.m1.2.2.3.2">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex45.m1.2.2.3.2.2.cmml" 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end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> </div> </div> <div class="ltx_proof" id="A1.5"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_font_italic ltx_title_proof">Proof.</h6> <div class="ltx_para" id="A1.3.p1"> <p class="ltx_p" id="A1.3.p1.1">The first observation is that</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_gather ltx_eqn_table" id="S6.EGx93"> <tbody id="A1.E103"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\displaystyle\text{tr}\left((L_{E}L_{O}L_{E})^{\ell-1}\right)=\text{tr}\left((% L_{O}L_{E}^{2})^{\ell-1}\right)=\text{tr}\left((L_{O}L_{E})^{\ell-1}\right)" class="ltx_Math" display="block" id="A1.E103.m1.3"><semantics id="A1.E103.m1.3a"><mrow id="A1.E103.m1.3.3" xref="A1.E103.m1.3.3.cmml"><mrow id="A1.E103.m1.1.1.1" xref="A1.E103.m1.1.1.1.cmml"><mtext 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xref="A1.E103.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">−</mo><mn id="A1.E103.m1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A1.E103.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="A1.E103.m1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.E103.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A1.E103.m1.3.3.5" xref="A1.E103.m1.3.3.5.cmml">=</mo><mrow id="A1.E103.m1.2.2.2" xref="A1.E103.m1.2.2.2.cmml"><mtext id="A1.E103.m1.2.2.2.3" xref="A1.E103.m1.2.2.2.3a.cmml">tr</mtext><mo id="A1.E103.m1.2.2.2.2" xref="A1.E103.m1.2.2.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.E103.m1.2.2.2.1.1" xref="A1.E103.m1.2.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="A1.E103.m1.2.2.2.1.1.2" xref="A1.E103.m1.2.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="A1.E103.m1.2.2.2.1.1.1" xref="A1.E103.m1.2.2.2.1.1.1.cmml"><mrow id="A1.E103.m1.2.2.2.1.1.1.1.1" xref="A1.E103.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.E103.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.E103.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.E103.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="A1.E103.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="A1.E103.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2" 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xref="A1.E103.m1.3.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="A1.E103.m1.3.3.3.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.E103.m1.3.3.3.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="A1.E103.m1.3.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="A1.E103.m1.3.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">L</mi><mi id="A1.E103.m1.3.3.3.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="A1.E103.m1.3.3.3.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">O</mi></msub><mo id="A1.E103.m1.3.3.3.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.E103.m1.3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="A1.E103.m1.3.3.3.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.E103.m1.3.3.3.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A1.E103.m1.3.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A1.E103.m1.3.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">L</mi><mi id="A1.E103.m1.3.3.3.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A1.E103.m1.3.3.3.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">E</mi></msub></mrow><mo id="A1.E103.m1.3.3.3.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.E103.m1.3.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="A1.E103.m1.3.3.3.1.1.1.3" xref="A1.E103.m1.3.3.3.1.1.1.3.cmml"><mi id="A1.E103.m1.3.3.3.1.1.1.3.2" mathvariant="normal" xref="A1.E103.m1.3.3.3.1.1.1.3.2.cmml">ℓ</mi><mo id="A1.E103.m1.3.3.3.1.1.1.3.1" xref="A1.E103.m1.3.3.3.1.1.1.3.1.cmml">−</mo><mn id="A1.E103.m1.3.3.3.1.1.1.3.3" xref="A1.E103.m1.3.3.3.1.1.1.3.3.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="A1.E103.m1.3.3.3.1.1.3" xref="A1.E103.m1.3.3.3.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.E103.m1.3b"><apply id="A1.E103.m1.3.3.cmml" xref="A1.E103.m1.3.3"><and id="A1.E103.m1.3.3a.cmml" xref="A1.E103.m1.3.3"></and><apply id="A1.E103.m1.3.3b.cmml" xref="A1.E103.m1.3.3"><eq id="A1.E103.m1.3.3.5.cmml" xref="A1.E103.m1.3.3.5"></eq><apply id="A1.E103.m1.1.1.1.cmml" xref="A1.E103.m1.1.1.1"><times id="A1.E103.m1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.E103.m1.1.1.1.2"></times><ci id="A1.E103.m1.1.1.1.3a.cmml" xref="A1.E103.m1.1.1.1.3"><mtext id="A1.E103.m1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.E103.m1.1.1.1.3">tr</mtext></ci><apply id="A1.E103.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.E103.m1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E103.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" 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xref="A1.E103.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑂</ci></apply><apply id="A1.E103.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="A1.E103.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E103.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="A1.E103.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="A1.E103.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="A1.E103.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2">𝐿</ci><ci id="A1.E103.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml" xref="A1.E103.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3">𝐸</ci></apply></apply><apply id="A1.E103.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.E103.m1.1.1.1.1.1.1.3"><minus id="A1.E103.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.E103.m1.1.1.1.1.1.1.3.1"></minus><ci id="A1.E103.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.E103.m1.1.1.1.1.1.1.3.2">ℓ</ci><cn id="A1.E103.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="A1.E103.m1.1.1.1.1.1.1.3.3">1</cn></apply></apply></apply><apply id="A1.E103.m1.2.2.2.cmml" xref="A1.E103.m1.2.2.2"><times id="A1.E103.m1.2.2.2.2.cmml" xref="A1.E103.m1.2.2.2.2"></times><ci id="A1.E103.m1.2.2.2.3a.cmml" 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xref="A1.E103.m1.3.3.3.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E103.m1.3.3.3.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.E103.m1.3.3.3.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="A1.E103.m1.3.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.E103.m1.3.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2">𝐿</ci><ci id="A1.E103.m1.3.3.3.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="A1.E103.m1.3.3.3.1.1.1.1.1.1.2.3">𝑂</ci></apply><apply id="A1.E103.m1.3.3.3.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.E103.m1.3.3.3.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E103.m1.3.3.3.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.E103.m1.3.3.3.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A1.E103.m1.3.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.E103.m1.3.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2">𝐿</ci><ci id="A1.E103.m1.3.3.3.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A1.E103.m1.3.3.3.1.1.1.1.1.1.3.3">𝐸</ci></apply></apply><apply id="A1.E103.m1.3.3.3.1.1.1.3.cmml" xref="A1.E103.m1.3.3.3.1.1.1.3"><minus id="A1.E103.m1.3.3.3.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.E103.m1.3.3.3.1.1.1.3.1"></minus><ci id="A1.E103.m1.3.3.3.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.E103.m1.3.3.3.1.1.1.3.2">ℓ</ci><cn id="A1.E103.m1.3.3.3.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="A1.E103.m1.3.3.3.1.1.1.3.3">1</cn></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.E103.m1.3c">\displaystyle\text{tr}\left((L_{E}L_{O}L_{E})^{\ell-1}\right)=\text{tr}\left((% L_{O}L_{E}^{2})^{\ell-1}\right)=\text{tr}\left((L_{O}L_{E})^{\ell-1}\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.E103.m1.3d">tr ( ( italic_L start_POSTSUBSCRIPT italic_E end_POSTSUBSCRIPT italic_L start_POSTSUBSCRIPT italic_O end_POSTSUBSCRIPT italic_L start_POSTSUBSCRIPT italic_E end_POSTSUBSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT roman_ℓ - 1 end_POSTSUPERSCRIPT ) = tr ( ( italic_L start_POSTSUBSCRIPT italic_O end_POSTSUBSCRIPT italic_L start_POSTSUBSCRIPT italic_E end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT roman_ℓ - 1 end_POSTSUPERSCRIPT ) = tr ( ( italic_L start_POSTSUBSCRIPT italic_O end_POSTSUBSCRIPT italic_L start_POSTSUBSCRIPT italic_E end_POSTSUBSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT roman_ℓ - 1 end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(103)</span></td> </tr></tbody> </table> </div> <div class="ltx_para" id="A1.4.p2"> <p class="ltx_p" id="A1.4.p2.2">Next, suppose <math alttext="\ell" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.4.p2.1.m1.1"><semantics id="A1.4.p2.1.m1.1a"><mi id="A1.4.p2.1.m1.1.1" mathvariant="normal" xref="A1.4.p2.1.m1.1.1.cmml">ℓ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.4.p2.1.m1.1b"><ci id="A1.4.p2.1.m1.1.1.cmml" xref="A1.4.p2.1.m1.1.1">ℓ</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.4.p2.1.m1.1c">\ell</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.4.p2.1.m1.1d">roman_ℓ</annotation></semantics></math> is even. Then the moment operator is <math alttext="\Phi_{\epsilon}=(L_{O}L_{E})^{\ell/2}" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.4.p2.2.m2.1"><semantics id="A1.4.p2.2.m2.1a"><mrow id="A1.4.p2.2.m2.1.1" xref="A1.4.p2.2.m2.1.1.cmml"><msub id="A1.4.p2.2.m2.1.1.3" xref="A1.4.p2.2.m2.1.1.3.cmml"><mi id="A1.4.p2.2.m2.1.1.3.2" mathvariant="normal" xref="A1.4.p2.2.m2.1.1.3.2.cmml">Φ</mi><mi id="A1.4.p2.2.m2.1.1.3.3" xref="A1.4.p2.2.m2.1.1.3.3.cmml">ϵ</mi></msub><mo id="A1.4.p2.2.m2.1.1.2" xref="A1.4.p2.2.m2.1.1.2.cmml">=</mo><msup id="A1.4.p2.2.m2.1.1.1" xref="A1.4.p2.2.m2.1.1.1.cmml"><mrow id="A1.4.p2.2.m2.1.1.1.1.1" xref="A1.4.p2.2.m2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.4.p2.2.m2.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.4.p2.2.m2.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.4.p2.2.m2.1.1.1.1.1.1" xref="A1.4.p2.2.m2.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="A1.4.p2.2.m2.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.4.p2.2.m2.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="A1.4.p2.2.m2.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="A1.4.p2.2.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">L</mi><mi id="A1.4.p2.2.m2.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="A1.4.p2.2.m2.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">O</mi></msub><mo id="A1.4.p2.2.m2.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.4.p2.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="A1.4.p2.2.m2.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.4.p2.2.m2.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A1.4.p2.2.m2.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A1.4.p2.2.m2.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">L</mi><mi id="A1.4.p2.2.m2.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A1.4.p2.2.m2.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">E</mi></msub></mrow><mo id="A1.4.p2.2.m2.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.4.p2.2.m2.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="A1.4.p2.2.m2.1.1.1.3" xref="A1.4.p2.2.m2.1.1.1.3.cmml"><mi id="A1.4.p2.2.m2.1.1.1.3.2" mathvariant="normal" xref="A1.4.p2.2.m2.1.1.1.3.2.cmml">ℓ</mi><mo id="A1.4.p2.2.m2.1.1.1.3.1" xref="A1.4.p2.2.m2.1.1.1.3.1.cmml">/</mo><mn id="A1.4.p2.2.m2.1.1.1.3.3" xref="A1.4.p2.2.m2.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></mrow></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.4.p2.2.m2.1b"><apply id="A1.4.p2.2.m2.1.1.cmml" xref="A1.4.p2.2.m2.1.1"><eq id="A1.4.p2.2.m2.1.1.2.cmml" xref="A1.4.p2.2.m2.1.1.2"></eq><apply id="A1.4.p2.2.m2.1.1.3.cmml" xref="A1.4.p2.2.m2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.4.p2.2.m2.1.1.3.1.cmml" xref="A1.4.p2.2.m2.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A1.4.p2.2.m2.1.1.3.2.cmml" xref="A1.4.p2.2.m2.1.1.3.2">Φ</ci><ci id="A1.4.p2.2.m2.1.1.3.3.cmml" xref="A1.4.p2.2.m2.1.1.3.3">italic-ϵ</ci></apply><apply id="A1.4.p2.2.m2.1.1.1.cmml" xref="A1.4.p2.2.m2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.4.p2.2.m2.1.1.1.2.cmml" xref="A1.4.p2.2.m2.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="A1.4.p2.2.m2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.4.p2.2.m2.1.1.1.1.1"><times id="A1.4.p2.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.4.p2.2.m2.1.1.1.1.1.1.1"></times><apply id="A1.4.p2.2.m2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.4.p2.2.m2.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.4.p2.2.m2.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.4.p2.2.m2.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="A1.4.p2.2.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.4.p2.2.m2.1.1.1.1.1.1.2.2">𝐿</ci><ci id="A1.4.p2.2.m2.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="A1.4.p2.2.m2.1.1.1.1.1.1.2.3">𝑂</ci></apply><apply id="A1.4.p2.2.m2.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.4.p2.2.m2.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.4.p2.2.m2.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.4.p2.2.m2.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A1.4.p2.2.m2.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.4.p2.2.m2.1.1.1.1.1.1.3.2">𝐿</ci><ci id="A1.4.p2.2.m2.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A1.4.p2.2.m2.1.1.1.1.1.1.3.3">𝐸</ci></apply></apply><apply id="A1.4.p2.2.m2.1.1.1.3.cmml" xref="A1.4.p2.2.m2.1.1.1.3"><divide id="A1.4.p2.2.m2.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.4.p2.2.m2.1.1.1.3.1"></divide><ci id="A1.4.p2.2.m2.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.4.p2.2.m2.1.1.1.3.2">ℓ</ci><cn id="A1.4.p2.2.m2.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="A1.4.p2.2.m2.1.1.1.3.3">2</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.4.p2.2.m2.1c">\Phi_{\epsilon}=(L_{O}L_{E})^{\ell/2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.4.p2.2.m2.1d">roman_Φ start_POSTSUBSCRIPT italic_ϵ end_POSTSUBSCRIPT = ( italic_L start_POSTSUBSCRIPT italic_O end_POSTSUBSCRIPT italic_L start_POSTSUBSCRIPT italic_E end_POSTSUBSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT roman_ℓ / 2 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> and</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_gather ltx_eqn_table" id="S6.EGx94"> <tbody id="A1.E104"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\displaystyle\mathcal{F}_{\varepsilon}(\ell)=\text{tr}\left((L_{O}L_{E})^{\ell% /2}(L_{O}L_{E})^{\dagger\ell/2}\right)" class="ltx_Math" display="block" id="A1.E104.m1.2"><semantics id="A1.E104.m1.2a"><mrow id="A1.E104.m1.2.2" xref="A1.E104.m1.2.2.cmml"><mrow id="A1.E104.m1.2.2.3" xref="A1.E104.m1.2.2.3.cmml"><msub id="A1.E104.m1.2.2.3.2" xref="A1.E104.m1.2.2.3.2.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="A1.E104.m1.2.2.3.2.2" xref="A1.E104.m1.2.2.3.2.2.cmml">ℱ</mi><mi id="A1.E104.m1.2.2.3.2.3" xref="A1.E104.m1.2.2.3.2.3.cmml">ε</mi></msub><mo id="A1.E104.m1.2.2.3.1" xref="A1.E104.m1.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.E104.m1.2.2.3.3.2" xref="A1.E104.m1.2.2.3.cmml"><mo id="A1.E104.m1.2.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.E104.m1.2.2.3.cmml">(</mo><mi id="A1.E104.m1.1.1" mathvariant="normal" xref="A1.E104.m1.1.1.cmml">ℓ</mi><mo id="A1.E104.m1.2.2.3.3.2.2" stretchy="false" xref="A1.E104.m1.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A1.E104.m1.2.2.2" xref="A1.E104.m1.2.2.2.cmml">=</mo><mrow id="A1.E104.m1.2.2.1" xref="A1.E104.m1.2.2.1.cmml"><mtext id="A1.E104.m1.2.2.1.3" xref="A1.E104.m1.2.2.1.3a.cmml">tr</mtext><mo id="A1.E104.m1.2.2.1.2" xref="A1.E104.m1.2.2.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.E104.m1.2.2.1.1.1" xref="A1.E104.m1.2.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.E104.m1.2.2.1.1.1.2" xref="A1.E104.m1.2.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.E104.m1.2.2.1.1.1.1" xref="A1.E104.m1.2.2.1.1.1.1.cmml"><msup id="A1.E104.m1.2.2.1.1.1.1.1" xref="A1.E104.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A1.E104.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.E104.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.E104.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.E104.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.E104.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.E104.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="A1.E104.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.E104.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="A1.E104.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="A1.E104.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">L</mi><mi id="A1.E104.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="A1.E104.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">O</mi></msub><mo id="A1.E104.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.E104.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="A1.E104.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.E104.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A1.E104.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A1.E104.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">L</mi><mi id="A1.E104.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A1.E104.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">E</mi></msub></mrow><mo id="A1.E104.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.E104.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="A1.E104.m1.2.2.1.1.1.1.1.3" xref="A1.E104.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A1.E104.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.2" mathvariant="normal" xref="A1.E104.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.2.cmml">ℓ</mi><mo id="A1.E104.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.1" xref="A1.E104.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.1.cmml">/</mo><mn id="A1.E104.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.3" xref="A1.E104.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></mrow></msup><mo id="A1.E104.m1.2.2.1.1.1.1.3" xref="A1.E104.m1.2.2.1.1.1.1.3.cmml">⁢</mo><msup id="A1.E104.m1.2.2.1.1.1.1.2" xref="A1.E104.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml"><mrow id="A1.E104.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1" xref="A1.E104.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml"><mo id="A1.E104.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.E104.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.E104.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1" xref="A1.E104.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml"><msub id="A1.E104.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1.2" xref="A1.E104.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1.2.cmml"><mi id="A1.E104.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1.2.2" xref="A1.E104.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1.2.2.cmml">L</mi><mi id="A1.E104.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1.2.3" xref="A1.E104.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1.2.3.cmml">O</mi></msub><mo id="A1.E104.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1.1" xref="A1.E104.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="A1.E104.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1.3" xref="A1.E104.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1.3.cmml"><mi id="A1.E104.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2" xref="A1.E104.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2.cmml">L</mi><mi id="A1.E104.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1.3.3" xref="A1.E104.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1.3.3.cmml">E</mi></msub></mrow><mo id="A1.E104.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.E104.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="A1.E104.m1.2.2.1.1.1.1.2.3" xref="A1.E104.m1.2.2.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="A1.E104.m1.2.2.1.1.1.1.2.3.2" xref="A1.E104.m1.2.2.1.1.1.1.2.3.2.cmml"></mi><mo id="A1.E104.m1.2.2.1.1.1.1.2.3.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="A1.E104.m1.2.2.1.1.1.1.2.3.1.cmml">†</mo><mrow id="A1.E104.m1.2.2.1.1.1.1.2.3.3" xref="A1.E104.m1.2.2.1.1.1.1.2.3.3.cmml"><mi id="A1.E104.m1.2.2.1.1.1.1.2.3.3.2" mathvariant="normal" xref="A1.E104.m1.2.2.1.1.1.1.2.3.3.2.cmml">ℓ</mi><mo id="A1.E104.m1.2.2.1.1.1.1.2.3.3.1" xref="A1.E104.m1.2.2.1.1.1.1.2.3.3.1.cmml">/</mo><mn id="A1.E104.m1.2.2.1.1.1.1.2.3.3.3" xref="A1.E104.m1.2.2.1.1.1.1.2.3.3.3.cmml">2</mn></mrow></mrow></msup></mrow><mo id="A1.E104.m1.2.2.1.1.1.3" xref="A1.E104.m1.2.2.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.E104.m1.2b"><apply id="A1.E104.m1.2.2.cmml" xref="A1.E104.m1.2.2"><eq id="A1.E104.m1.2.2.2.cmml" xref="A1.E104.m1.2.2.2"></eq><apply id="A1.E104.m1.2.2.3.cmml" xref="A1.E104.m1.2.2.3"><times id="A1.E104.m1.2.2.3.1.cmml" xref="A1.E104.m1.2.2.3.1"></times><apply id="A1.E104.m1.2.2.3.2.cmml" xref="A1.E104.m1.2.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E104.m1.2.2.3.2.1.cmml" xref="A1.E104.m1.2.2.3.2">subscript</csymbol><ci id="A1.E104.m1.2.2.3.2.2.cmml" xref="A1.E104.m1.2.2.3.2.2">ℱ</ci><ci id="A1.E104.m1.2.2.3.2.3.cmml" xref="A1.E104.m1.2.2.3.2.3">𝜀</ci></apply><ci id="A1.E104.m1.1.1.cmml" xref="A1.E104.m1.1.1">ℓ</ci></apply><apply id="A1.E104.m1.2.2.1.cmml" xref="A1.E104.m1.2.2.1"><times id="A1.E104.m1.2.2.1.2.cmml" xref="A1.E104.m1.2.2.1.2"></times><ci id="A1.E104.m1.2.2.1.3a.cmml" xref="A1.E104.m1.2.2.1.3"><mtext id="A1.E104.m1.2.2.1.3.cmml" xref="A1.E104.m1.2.2.1.3">tr</mtext></ci><apply id="A1.E104.m1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="A1.E104.m1.2.2.1.1.1"><times id="A1.E104.m1.2.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.E104.m1.2.2.1.1.1.1.3"></times><apply id="A1.E104.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.E104.m1.2.2.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E104.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.E104.m1.2.2.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="A1.E104.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.E104.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1"><times id="A1.E104.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.E104.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></times><apply id="A1.E104.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.E104.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E104.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.E104.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="A1.E104.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.E104.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝐿</ci><ci id="A1.E104.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="A1.E104.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">𝑂</ci></apply><apply id="A1.E104.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.E104.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E104.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.E104.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A1.E104.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.E104.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝐿</ci><ci id="A1.E104.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A1.E104.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">𝐸</ci></apply></apply><apply id="A1.E104.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.E104.m1.2.2.1.1.1.1.1.3"><divide id="A1.E104.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.E104.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.1"></divide><ci id="A1.E104.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.E104.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.2">ℓ</ci><cn id="A1.E104.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="A1.E104.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.3">2</cn></apply></apply><apply id="A1.E104.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.E104.m1.2.2.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E104.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.E104.m1.2.2.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="A1.E104.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml" xref="A1.E104.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1"><times id="A1.E104.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1.1.cmml" xref="A1.E104.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1.1"></times><apply id="A1.E104.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1.2.cmml" xref="A1.E104.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E104.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.E104.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="A1.E104.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.E104.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1.2.2">𝐿</ci><ci id="A1.E104.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1.2.3.cmml" xref="A1.E104.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1.2.3">𝑂</ci></apply><apply id="A1.E104.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1.3.cmml" xref="A1.E104.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E104.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.E104.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A1.E104.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.E104.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2">𝐿</ci><ci id="A1.E104.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1.3.3.cmml" xref="A1.E104.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1.3.3">𝐸</ci></apply></apply><apply id="A1.E104.m1.2.2.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="A1.E104.m1.2.2.1.1.1.1.2.3"><ci id="A1.E104.m1.2.2.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="A1.E104.m1.2.2.1.1.1.1.2.3.1">†</ci><csymbol cd="latexml" id="A1.E104.m1.2.2.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="A1.E104.m1.2.2.1.1.1.1.2.3.2">absent</csymbol><apply id="A1.E104.m1.2.2.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="A1.E104.m1.2.2.1.1.1.1.2.3.3"><divide id="A1.E104.m1.2.2.1.1.1.1.2.3.3.1.cmml" xref="A1.E104.m1.2.2.1.1.1.1.2.3.3.1"></divide><ci id="A1.E104.m1.2.2.1.1.1.1.2.3.3.2.cmml" xref="A1.E104.m1.2.2.1.1.1.1.2.3.3.2">ℓ</ci><cn id="A1.E104.m1.2.2.1.1.1.1.2.3.3.3.cmml" type="integer" xref="A1.E104.m1.2.2.1.1.1.1.2.3.3.3">2</cn></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.E104.m1.2c">\displaystyle\mathcal{F}_{\varepsilon}(\ell)=\text{tr}\left((L_{O}L_{E})^{\ell% /2}(L_{O}L_{E})^{\dagger\ell/2}\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.E104.m1.2d">caligraphic_F start_POSTSUBSCRIPT italic_ε end_POSTSUBSCRIPT ( roman_ℓ ) = tr ( ( italic_L start_POSTSUBSCRIPT italic_O end_POSTSUBSCRIPT italic_L start_POSTSUBSCRIPT italic_E end_POSTSUBSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT roman_ℓ / 2 end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_L start_POSTSUBSCRIPT italic_O end_POSTSUBSCRIPT italic_L start_POSTSUBSCRIPT italic_E end_POSTSUBSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT † roman_ℓ / 2 end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(104)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="A1.4.p2.8">Now, <math alttext="L_{O}" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.4.p2.3.m1.1"><semantics id="A1.4.p2.3.m1.1a"><msub id="A1.4.p2.3.m1.1.1" xref="A1.4.p2.3.m1.1.1.cmml"><mi id="A1.4.p2.3.m1.1.1.2" xref="A1.4.p2.3.m1.1.1.2.cmml">L</mi><mi id="A1.4.p2.3.m1.1.1.3" xref="A1.4.p2.3.m1.1.1.3.cmml">O</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.4.p2.3.m1.1b"><apply id="A1.4.p2.3.m1.1.1.cmml" xref="A1.4.p2.3.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.4.p2.3.m1.1.1.1.cmml" xref="A1.4.p2.3.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="A1.4.p2.3.m1.1.1.2.cmml" xref="A1.4.p2.3.m1.1.1.2">𝐿</ci><ci id="A1.4.p2.3.m1.1.1.3.cmml" xref="A1.4.p2.3.m1.1.1.3">𝑂</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.4.p2.3.m1.1c">L_{O}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.4.p2.3.m1.1d">italic_L start_POSTSUBSCRIPT italic_O end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> is a tensor product of <math alttext="G" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.4.p2.4.m2.1"><semantics id="A1.4.p2.4.m2.1a"><mi id="A1.4.p2.4.m2.1.1" xref="A1.4.p2.4.m2.1.1.cmml">G</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.4.p2.4.m2.1b"><ci id="A1.4.p2.4.m2.1.1.cmml" xref="A1.4.p2.4.m2.1.1">𝐺</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.4.p2.4.m2.1c">G</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.4.p2.4.m2.1d">italic_G</annotation></semantics></math> operators, each of which is an orthogonal projection operator. It follows that <math alttext="L_{O}" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.4.p2.5.m3.1"><semantics id="A1.4.p2.5.m3.1a"><msub id="A1.4.p2.5.m3.1.1" xref="A1.4.p2.5.m3.1.1.cmml"><mi id="A1.4.p2.5.m3.1.1.2" xref="A1.4.p2.5.m3.1.1.2.cmml">L</mi><mi id="A1.4.p2.5.m3.1.1.3" xref="A1.4.p2.5.m3.1.1.3.cmml">O</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.4.p2.5.m3.1b"><apply id="A1.4.p2.5.m3.1.1.cmml" xref="A1.4.p2.5.m3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.4.p2.5.m3.1.1.1.cmml" xref="A1.4.p2.5.m3.1.1">subscript</csymbol><ci id="A1.4.p2.5.m3.1.1.2.cmml" xref="A1.4.p2.5.m3.1.1.2">𝐿</ci><ci id="A1.4.p2.5.m3.1.1.3.cmml" xref="A1.4.p2.5.m3.1.1.3">𝑂</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.4.p2.5.m3.1c">L_{O}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.4.p2.5.m3.1d">italic_L start_POSTSUBSCRIPT italic_O end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> is an orthogonal projection operator, which implies both <math alttext="L_{O}^{\dagger}=L_{O}" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.4.p2.6.m4.1"><semantics id="A1.4.p2.6.m4.1a"><mrow id="A1.4.p2.6.m4.1.1" xref="A1.4.p2.6.m4.1.1.cmml"><msubsup id="A1.4.p2.6.m4.1.1.2" xref="A1.4.p2.6.m4.1.1.2.cmml"><mi id="A1.4.p2.6.m4.1.1.2.2.2" xref="A1.4.p2.6.m4.1.1.2.2.2.cmml">L</mi><mi id="A1.4.p2.6.m4.1.1.2.2.3" xref="A1.4.p2.6.m4.1.1.2.2.3.cmml">O</mi><mo id="A1.4.p2.6.m4.1.1.2.3" xref="A1.4.p2.6.m4.1.1.2.3.cmml">†</mo></msubsup><mo id="A1.4.p2.6.m4.1.1.1" xref="A1.4.p2.6.m4.1.1.1.cmml">=</mo><msub id="A1.4.p2.6.m4.1.1.3" xref="A1.4.p2.6.m4.1.1.3.cmml"><mi id="A1.4.p2.6.m4.1.1.3.2" xref="A1.4.p2.6.m4.1.1.3.2.cmml">L</mi><mi id="A1.4.p2.6.m4.1.1.3.3" xref="A1.4.p2.6.m4.1.1.3.3.cmml">O</mi></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.4.p2.6.m4.1b"><apply id="A1.4.p2.6.m4.1.1.cmml" xref="A1.4.p2.6.m4.1.1"><eq id="A1.4.p2.6.m4.1.1.1.cmml" xref="A1.4.p2.6.m4.1.1.1"></eq><apply id="A1.4.p2.6.m4.1.1.2.cmml" xref="A1.4.p2.6.m4.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.4.p2.6.m4.1.1.2.1.cmml" xref="A1.4.p2.6.m4.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="A1.4.p2.6.m4.1.1.2.2.cmml" xref="A1.4.p2.6.m4.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.4.p2.6.m4.1.1.2.2.1.cmml" xref="A1.4.p2.6.m4.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="A1.4.p2.6.m4.1.1.2.2.2.cmml" xref="A1.4.p2.6.m4.1.1.2.2.2">𝐿</ci><ci id="A1.4.p2.6.m4.1.1.2.2.3.cmml" xref="A1.4.p2.6.m4.1.1.2.2.3">𝑂</ci></apply><ci id="A1.4.p2.6.m4.1.1.2.3.cmml" xref="A1.4.p2.6.m4.1.1.2.3">†</ci></apply><apply id="A1.4.p2.6.m4.1.1.3.cmml" xref="A1.4.p2.6.m4.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.4.p2.6.m4.1.1.3.1.cmml" xref="A1.4.p2.6.m4.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A1.4.p2.6.m4.1.1.3.2.cmml" xref="A1.4.p2.6.m4.1.1.3.2">𝐿</ci><ci id="A1.4.p2.6.m4.1.1.3.3.cmml" xref="A1.4.p2.6.m4.1.1.3.3">𝑂</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.4.p2.6.m4.1c">L_{O}^{\dagger}=L_{O}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.4.p2.6.m4.1d">italic_L start_POSTSUBSCRIPT italic_O end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT † end_POSTSUPERSCRIPT = italic_L start_POSTSUBSCRIPT italic_O end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> and <math alttext="L_{O}^{2}=L_{O}" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.4.p2.7.m5.1"><semantics id="A1.4.p2.7.m5.1a"><mrow id="A1.4.p2.7.m5.1.1" xref="A1.4.p2.7.m5.1.1.cmml"><msubsup id="A1.4.p2.7.m5.1.1.2" xref="A1.4.p2.7.m5.1.1.2.cmml"><mi id="A1.4.p2.7.m5.1.1.2.2.2" xref="A1.4.p2.7.m5.1.1.2.2.2.cmml">L</mi><mi id="A1.4.p2.7.m5.1.1.2.2.3" xref="A1.4.p2.7.m5.1.1.2.2.3.cmml">O</mi><mn id="A1.4.p2.7.m5.1.1.2.3" xref="A1.4.p2.7.m5.1.1.2.3.cmml">2</mn></msubsup><mo id="A1.4.p2.7.m5.1.1.1" xref="A1.4.p2.7.m5.1.1.1.cmml">=</mo><msub id="A1.4.p2.7.m5.1.1.3" xref="A1.4.p2.7.m5.1.1.3.cmml"><mi id="A1.4.p2.7.m5.1.1.3.2" xref="A1.4.p2.7.m5.1.1.3.2.cmml">L</mi><mi id="A1.4.p2.7.m5.1.1.3.3" xref="A1.4.p2.7.m5.1.1.3.3.cmml">O</mi></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.4.p2.7.m5.1b"><apply id="A1.4.p2.7.m5.1.1.cmml" xref="A1.4.p2.7.m5.1.1"><eq id="A1.4.p2.7.m5.1.1.1.cmml" xref="A1.4.p2.7.m5.1.1.1"></eq><apply id="A1.4.p2.7.m5.1.1.2.cmml" xref="A1.4.p2.7.m5.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.4.p2.7.m5.1.1.2.1.cmml" xref="A1.4.p2.7.m5.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="A1.4.p2.7.m5.1.1.2.2.cmml" xref="A1.4.p2.7.m5.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.4.p2.7.m5.1.1.2.2.1.cmml" xref="A1.4.p2.7.m5.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="A1.4.p2.7.m5.1.1.2.2.2.cmml" xref="A1.4.p2.7.m5.1.1.2.2.2">𝐿</ci><ci id="A1.4.p2.7.m5.1.1.2.2.3.cmml" xref="A1.4.p2.7.m5.1.1.2.2.3">𝑂</ci></apply><cn id="A1.4.p2.7.m5.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="A1.4.p2.7.m5.1.1.2.3">2</cn></apply><apply id="A1.4.p2.7.m5.1.1.3.cmml" xref="A1.4.p2.7.m5.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.4.p2.7.m5.1.1.3.1.cmml" xref="A1.4.p2.7.m5.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A1.4.p2.7.m5.1.1.3.2.cmml" xref="A1.4.p2.7.m5.1.1.3.2">𝐿</ci><ci id="A1.4.p2.7.m5.1.1.3.3.cmml" xref="A1.4.p2.7.m5.1.1.3.3">𝑂</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.4.p2.7.m5.1c">L_{O}^{2}=L_{O}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.4.p2.7.m5.1d">italic_L start_POSTSUBSCRIPT italic_O end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT = italic_L start_POSTSUBSCRIPT italic_O end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>. The same goes for <math alttext="L_{E}" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.4.p2.8.m6.1"><semantics id="A1.4.p2.8.m6.1a"><msub id="A1.4.p2.8.m6.1.1" xref="A1.4.p2.8.m6.1.1.cmml"><mi id="A1.4.p2.8.m6.1.1.2" xref="A1.4.p2.8.m6.1.1.2.cmml">L</mi><mi id="A1.4.p2.8.m6.1.1.3" xref="A1.4.p2.8.m6.1.1.3.cmml">E</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.4.p2.8.m6.1b"><apply id="A1.4.p2.8.m6.1.1.cmml" xref="A1.4.p2.8.m6.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.4.p2.8.m6.1.1.1.cmml" xref="A1.4.p2.8.m6.1.1">subscript</csymbol><ci id="A1.4.p2.8.m6.1.1.2.cmml" xref="A1.4.p2.8.m6.1.1.2">𝐿</ci><ci id="A1.4.p2.8.m6.1.1.3.cmml" xref="A1.4.p2.8.m6.1.1.3">𝐸</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.4.p2.8.m6.1c">L_{E}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.4.p2.8.m6.1d">italic_L start_POSTSUBSCRIPT italic_E end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>. Using these, we can see</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="S6.EGx95"> <tbody id="A1.E105"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\text{tr}\left(\Phi_{\epsilon}\Phi_{\epsilon}^{\dagger}\right)" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.E105.m1.1"><semantics id="A1.E105.m1.1a"><mrow id="A1.E105.m1.1.1" xref="A1.E105.m1.1.1.cmml"><mtext id="A1.E105.m1.1.1.3" xref="A1.E105.m1.1.1.3a.cmml">tr</mtext><mo id="A1.E105.m1.1.1.2" xref="A1.E105.m1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.E105.m1.1.1.1.1" xref="A1.E105.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.E105.m1.1.1.1.1.2" xref="A1.E105.m1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.E105.m1.1.1.1.1.1" xref="A1.E105.m1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="A1.E105.m1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.E105.m1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="A1.E105.m1.1.1.1.1.1.2.2" mathvariant="normal" xref="A1.E105.m1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">Φ</mi><mi id="A1.E105.m1.1.1.1.1.1.2.3" xref="A1.E105.m1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">ϵ</mi></msub><mo id="A1.E105.m1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.E105.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="A1.E105.m1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.E105.m1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A1.E105.m1.1.1.1.1.1.3.2.2" mathvariant="normal" xref="A1.E105.m1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">Φ</mi><mi id="A1.E105.m1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="A1.E105.m1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">ϵ</mi><mo id="A1.E105.m1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A1.E105.m1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">†</mo></msubsup></mrow><mo id="A1.E105.m1.1.1.1.1.3" xref="A1.E105.m1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.E105.m1.1b"><apply id="A1.E105.m1.1.1.cmml" xref="A1.E105.m1.1.1"><times id="A1.E105.m1.1.1.2.cmml" xref="A1.E105.m1.1.1.2"></times><ci id="A1.E105.m1.1.1.3a.cmml" xref="A1.E105.m1.1.1.3"><mtext id="A1.E105.m1.1.1.3.cmml" xref="A1.E105.m1.1.1.3">tr</mtext></ci><apply id="A1.E105.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.E105.m1.1.1.1.1"><times id="A1.E105.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.E105.m1.1.1.1.1.1.1"></times><apply id="A1.E105.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.E105.m1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E105.m1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.E105.m1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="A1.E105.m1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.E105.m1.1.1.1.1.1.2.2">Φ</ci><ci id="A1.E105.m1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="A1.E105.m1.1.1.1.1.1.2.3">italic-ϵ</ci></apply><apply id="A1.E105.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.E105.m1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E105.m1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.E105.m1.1.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="A1.E105.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.E105.m1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E105.m1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="A1.E105.m1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A1.E105.m1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="A1.E105.m1.1.1.1.1.1.3.2.2">Φ</ci><ci id="A1.E105.m1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="A1.E105.m1.1.1.1.1.1.3.2.3">italic-ϵ</ci></apply><ci id="A1.E105.m1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A1.E105.m1.1.1.1.1.1.3.3">†</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.E105.m1.1c">\displaystyle\text{tr}\left(\Phi_{\epsilon}\Phi_{\epsilon}^{\dagger}\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.E105.m1.1d">tr ( roman_Φ start_POSTSUBSCRIPT italic_ϵ end_POSTSUBSCRIPT roman_Φ start_POSTSUBSCRIPT italic_ϵ end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT † end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=\text{tr}\left((L_{O}L_{E})^{\frac{\ell}{2}}(L_{E}L_{O})^{\frac{% \ell}{2}}\right)" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.E105.m2.1"><semantics id="A1.E105.m2.1a"><mrow id="A1.E105.m2.1.1" xref="A1.E105.m2.1.1.cmml"><mi id="A1.E105.m2.1.1.3" xref="A1.E105.m2.1.1.3.cmml"></mi><mo id="A1.E105.m2.1.1.2" xref="A1.E105.m2.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="A1.E105.m2.1.1.1" xref="A1.E105.m2.1.1.1.cmml"><mtext id="A1.E105.m2.1.1.1.3" xref="A1.E105.m2.1.1.1.3a.cmml">tr</mtext><mo id="A1.E105.m2.1.1.1.2" xref="A1.E105.m2.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.E105.m2.1.1.1.1.1" xref="A1.E105.m2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.E105.m2.1.1.1.1.1.2" xref="A1.E105.m2.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.E105.m2.1.1.1.1.1.1" xref="A1.E105.m2.1.1.1.1.1.1.cmml"><msup id="A1.E105.m2.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.E105.m2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A1.E105.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.E105.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.E105.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.E105.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.E105.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.E105.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="A1.E105.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.E105.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="A1.E105.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="A1.E105.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">L</mi><mi id="A1.E105.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="A1.E105.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">O</mi></msub><mo id="A1.E105.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.E105.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="A1.E105.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.E105.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A1.E105.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A1.E105.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">L</mi><mi id="A1.E105.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A1.E105.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">E</mi></msub></mrow><mo id="A1.E105.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.E105.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mfrac id="A1.E105.m2.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.E105.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A1.E105.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.2" mathvariant="normal" xref="A1.E105.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">ℓ</mi><mn id="A1.E105.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A1.E105.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></mfrac></msup><mo id="A1.E105.m2.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.E105.m2.1.1.1.1.1.1.3.cmml">⁢</mo><msup id="A1.E105.m2.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.E105.m2.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mrow id="A1.E105.m2.1.1.1.1.1.1.2.1.1" xref="A1.E105.m2.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml"><mo id="A1.E105.m2.1.1.1.1.1.1.2.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.E105.m2.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.E105.m2.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1" xref="A1.E105.m2.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml"><msub id="A1.E105.m2.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2" xref="A1.E105.m2.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.cmml"><mi id="A1.E105.m2.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.2" xref="A1.E105.m2.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.2.cmml">L</mi><mi id="A1.E105.m2.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.3" xref="A1.E105.m2.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.3.cmml">E</mi></msub><mo id="A1.E105.m2.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1" xref="A1.E105.m2.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="A1.E105.m2.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3" xref="A1.E105.m2.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.cmml"><mi id="A1.E105.m2.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2" xref="A1.E105.m2.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2.cmml">L</mi><mi id="A1.E105.m2.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.3" xref="A1.E105.m2.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.3.cmml">O</mi></msub></mrow><mo id="A1.E105.m2.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.E105.m2.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mfrac id="A1.E105.m2.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="A1.E105.m2.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="A1.E105.m2.1.1.1.1.1.1.2.3.2" mathvariant="normal" xref="A1.E105.m2.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">ℓ</mi><mn id="A1.E105.m2.1.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="A1.E105.m2.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">2</mn></mfrac></msup></mrow><mo id="A1.E105.m2.1.1.1.1.1.3" xref="A1.E105.m2.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.E105.m2.1b"><apply id="A1.E105.m2.1.1.cmml" xref="A1.E105.m2.1.1"><eq id="A1.E105.m2.1.1.2.cmml" xref="A1.E105.m2.1.1.2"></eq><csymbol cd="latexml" id="A1.E105.m2.1.1.3.cmml" xref="A1.E105.m2.1.1.3">absent</csymbol><apply id="A1.E105.m2.1.1.1.cmml" xref="A1.E105.m2.1.1.1"><times id="A1.E105.m2.1.1.1.2.cmml" xref="A1.E105.m2.1.1.1.2"></times><ci id="A1.E105.m2.1.1.1.3a.cmml" xref="A1.E105.m2.1.1.1.3"><mtext id="A1.E105.m2.1.1.1.3.cmml" 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id="A1.E105.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.E105.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E105.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.E105.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A1.E105.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.E105.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝐿</ci><ci id="A1.E105.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A1.E105.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">𝐸</ci></apply></apply><apply id="A1.E105.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.E105.m2.1.1.1.1.1.1.1.3"><divide id="A1.E105.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.E105.m2.1.1.1.1.1.1.1.3"></divide><ci id="A1.E105.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.E105.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.2">ℓ</ci><cn id="A1.E105.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="A1.E105.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.3">2</cn></apply></apply><apply id="A1.E105.m2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.E105.m2.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E105.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.E105.m2.1.1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="A1.E105.m2.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml" xref="A1.E105.m2.1.1.1.1.1.1.2.1.1"><times id="A1.E105.m2.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.cmml" xref="A1.E105.m2.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1"></times><apply id="A1.E105.m2.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.cmml" xref="A1.E105.m2.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E105.m2.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.E105.m2.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="A1.E105.m2.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.E105.m2.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.2">𝐿</ci><ci id="A1.E105.m2.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.3.cmml" xref="A1.E105.m2.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.3">𝐸</ci></apply><apply id="A1.E105.m2.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.cmml" xref="A1.E105.m2.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E105.m2.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.E105.m2.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A1.E105.m2.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.E105.m2.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2">𝐿</ci><ci id="A1.E105.m2.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.3.cmml" xref="A1.E105.m2.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.3">𝑂</ci></apply></apply><apply id="A1.E105.m2.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="A1.E105.m2.1.1.1.1.1.1.2.3"><divide id="A1.E105.m2.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="A1.E105.m2.1.1.1.1.1.1.2.3"></divide><ci id="A1.E105.m2.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="A1.E105.m2.1.1.1.1.1.1.2.3.2">ℓ</ci><cn id="A1.E105.m2.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="A1.E105.m2.1.1.1.1.1.1.2.3.3">2</cn></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.E105.m2.1c">\displaystyle=\text{tr}\left((L_{O}L_{E})^{\frac{\ell}{2}}(L_{E}L_{O})^{\frac{% \ell}{2}}\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.E105.m2.1d">= tr ( ( italic_L start_POSTSUBSCRIPT italic_O end_POSTSUBSCRIPT italic_L start_POSTSUBSCRIPT italic_E end_POSTSUBSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT divide start_ARG roman_ℓ end_ARG start_ARG 2 end_ARG end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_L start_POSTSUBSCRIPT italic_E end_POSTSUBSCRIPT italic_L start_POSTSUBSCRIPT italic_O end_POSTSUBSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT divide start_ARG roman_ℓ end_ARG start_ARG 2 end_ARG end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(105)</span></td> </tr></tbody> <tbody id="A1.E106"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=\text{tr}\left((L_{O}L_{E})^{\frac{\ell}{2}}L_{E}(L_{O}L_{E})^{% \frac{\ell}{2}-1}L_{O}\right)" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.E106.m1.1"><semantics id="A1.E106.m1.1a"><mrow id="A1.E106.m1.1.1" xref="A1.E106.m1.1.1.cmml"><mi id="A1.E106.m1.1.1.3" xref="A1.E106.m1.1.1.3.cmml"></mi><mo id="A1.E106.m1.1.1.2" xref="A1.E106.m1.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="A1.E106.m1.1.1.1" xref="A1.E106.m1.1.1.1.cmml"><mtext id="A1.E106.m1.1.1.1.3" xref="A1.E106.m1.1.1.1.3a.cmml">tr</mtext><mo id="A1.E106.m1.1.1.1.2" xref="A1.E106.m1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.E106.m1.1.1.1.1.1" xref="A1.E106.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.E106.m1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.E106.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.E106.m1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.E106.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msup id="A1.E106.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.E106.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A1.E106.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.E106.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.E106.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.E106.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.E106.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.E106.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="A1.E106.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.E106.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="A1.E106.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="A1.E106.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">L</mi><mi id="A1.E106.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="A1.E106.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">O</mi></msub><mo id="A1.E106.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.E106.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="A1.E106.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.E106.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A1.E106.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A1.E106.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">L</mi><mi id="A1.E106.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A1.E106.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">E</mi></msub></mrow><mo id="A1.E106.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.E106.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mfrac id="A1.E106.m1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.E106.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A1.E106.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" mathvariant="normal" xref="A1.E106.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">ℓ</mi><mn id="A1.E106.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A1.E106.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></mfrac></msup><mo id="A1.E106.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.E106.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">⁢</mo><msub id="A1.E106.m1.1.1.1.1.1.1.4" xref="A1.E106.m1.1.1.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="A1.E106.m1.1.1.1.1.1.1.4.2" xref="A1.E106.m1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml">L</mi><mi id="A1.E106.m1.1.1.1.1.1.1.4.3" xref="A1.E106.m1.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml">E</mi></msub><mo id="A1.E106.m1.1.1.1.1.1.1.3a" xref="A1.E106.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">⁢</mo><msup id="A1.E106.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.E106.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mrow id="A1.E106.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1" xref="A1.E106.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml"><mo id="A1.E106.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.E106.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.E106.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1" xref="A1.E106.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml"><msub id="A1.E106.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2" xref="A1.E106.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.cmml"><mi id="A1.E106.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.2" xref="A1.E106.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.2.cmml">L</mi><mi id="A1.E106.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.3" xref="A1.E106.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.3.cmml">O</mi></msub><mo id="A1.E106.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1" xref="A1.E106.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="A1.E106.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3" xref="A1.E106.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.cmml"><mi id="A1.E106.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2" xref="A1.E106.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2.cmml">L</mi><mi id="A1.E106.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.3" xref="A1.E106.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.3.cmml">E</mi></msub></mrow><mo id="A1.E106.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.E106.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="A1.E106.m1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="A1.E106.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mfrac id="A1.E106.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="A1.E106.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml"><mi id="A1.E106.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2" mathvariant="normal" xref="A1.E106.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2.cmml">ℓ</mi><mn id="A1.E106.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3" xref="A1.E106.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.cmml">2</mn></mfrac><mo id="A1.E106.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.1" xref="A1.E106.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml">−</mo><mn id="A1.E106.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="A1.E106.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="A1.E106.m1.1.1.1.1.1.1.3b" xref="A1.E106.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">⁢</mo><msub id="A1.E106.m1.1.1.1.1.1.1.5" xref="A1.E106.m1.1.1.1.1.1.1.5.cmml"><mi id="A1.E106.m1.1.1.1.1.1.1.5.2" xref="A1.E106.m1.1.1.1.1.1.1.5.2.cmml">L</mi><mi id="A1.E106.m1.1.1.1.1.1.1.5.3" xref="A1.E106.m1.1.1.1.1.1.1.5.3.cmml">O</mi></msub></mrow><mo id="A1.E106.m1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.E106.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.E106.m1.1b"><apply id="A1.E106.m1.1.1.cmml" xref="A1.E106.m1.1.1"><eq id="A1.E106.m1.1.1.2.cmml" xref="A1.E106.m1.1.1.2"></eq><csymbol cd="latexml" id="A1.E106.m1.1.1.3.cmml" xref="A1.E106.m1.1.1.3">absent</csymbol><apply id="A1.E106.m1.1.1.1.cmml" xref="A1.E106.m1.1.1.1"><times id="A1.E106.m1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.E106.m1.1.1.1.2"></times><ci id="A1.E106.m1.1.1.1.3a.cmml" xref="A1.E106.m1.1.1.1.3"><mtext id="A1.E106.m1.1.1.1.3.cmml" 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id="A1.E106.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.E106.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E106.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.E106.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A1.E106.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.E106.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝐿</ci><ci id="A1.E106.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A1.E106.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">𝐸</ci></apply></apply><apply id="A1.E106.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.E106.m1.1.1.1.1.1.1.1.3"><divide id="A1.E106.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.E106.m1.1.1.1.1.1.1.1.3"></divide><ci id="A1.E106.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.E106.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">ℓ</ci><cn id="A1.E106.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="A1.E106.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">2</cn></apply></apply><apply id="A1.E106.m1.1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="A1.E106.m1.1.1.1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E106.m1.1.1.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="A1.E106.m1.1.1.1.1.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="A1.E106.m1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="A1.E106.m1.1.1.1.1.1.1.4.2">𝐿</ci><ci id="A1.E106.m1.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml" xref="A1.E106.m1.1.1.1.1.1.1.4.3">𝐸</ci></apply><apply id="A1.E106.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.E106.m1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E106.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.E106.m1.1.1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="A1.E106.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml" xref="A1.E106.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1"><times id="A1.E106.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.cmml" xref="A1.E106.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1"></times><apply id="A1.E106.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.cmml" xref="A1.E106.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E106.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.E106.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="A1.E106.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.E106.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.2">𝐿</ci><ci id="A1.E106.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.3.cmml" xref="A1.E106.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.3">𝑂</ci></apply><apply 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id="A1.E106.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="A1.E106.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3">1</cn></apply></apply><apply id="A1.E106.m1.1.1.1.1.1.1.5.cmml" xref="A1.E106.m1.1.1.1.1.1.1.5"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E106.m1.1.1.1.1.1.1.5.1.cmml" xref="A1.E106.m1.1.1.1.1.1.1.5">subscript</csymbol><ci id="A1.E106.m1.1.1.1.1.1.1.5.2.cmml" xref="A1.E106.m1.1.1.1.1.1.1.5.2">𝐿</ci><ci id="A1.E106.m1.1.1.1.1.1.1.5.3.cmml" xref="A1.E106.m1.1.1.1.1.1.1.5.3">𝑂</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.E106.m1.1c">\displaystyle=\text{tr}\left((L_{O}L_{E})^{\frac{\ell}{2}}L_{E}(L_{O}L_{E})^{% \frac{\ell}{2}-1}L_{O}\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.E106.m1.1d">= tr ( ( italic_L start_POSTSUBSCRIPT italic_O end_POSTSUBSCRIPT italic_L start_POSTSUBSCRIPT italic_E end_POSTSUBSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT divide start_ARG roman_ℓ end_ARG start_ARG 2 end_ARG end_POSTSUPERSCRIPT italic_L start_POSTSUBSCRIPT italic_E end_POSTSUBSCRIPT ( italic_L start_POSTSUBSCRIPT italic_O end_POSTSUBSCRIPT italic_L start_POSTSUBSCRIPT italic_E end_POSTSUBSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT divide start_ARG roman_ℓ end_ARG start_ARG 2 end_ARG - 1 end_POSTSUPERSCRIPT italic_L start_POSTSUBSCRIPT italic_O end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(106)</span></td> </tr></tbody> <tbody id="A1.E107"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=\text{tr}\left((L_{O}L_{E})^{\frac{\ell}{2}}(L_{O}L_{E})^{\frac{% \ell}{2}-1}\right)" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.E107.m1.1"><semantics id="A1.E107.m1.1a"><mrow id="A1.E107.m1.1.1" xref="A1.E107.m1.1.1.cmml"><mi id="A1.E107.m1.1.1.3" xref="A1.E107.m1.1.1.3.cmml"></mi><mo id="A1.E107.m1.1.1.2" xref="A1.E107.m1.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="A1.E107.m1.1.1.1" xref="A1.E107.m1.1.1.1.cmml"><mtext id="A1.E107.m1.1.1.1.3" xref="A1.E107.m1.1.1.1.3a.cmml">tr</mtext><mo id="A1.E107.m1.1.1.1.2" xref="A1.E107.m1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.E107.m1.1.1.1.1.1" xref="A1.E107.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.E107.m1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.E107.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.E107.m1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.E107.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msup id="A1.E107.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.E107.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A1.E107.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.E107.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.E107.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.E107.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.E107.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.E107.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="A1.E107.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.E107.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="A1.E107.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="A1.E107.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">L</mi><mi id="A1.E107.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="A1.E107.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">O</mi></msub><mo id="A1.E107.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.E107.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="A1.E107.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.E107.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A1.E107.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A1.E107.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">L</mi><mi id="A1.E107.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A1.E107.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">E</mi></msub></mrow><mo id="A1.E107.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.E107.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mfrac id="A1.E107.m1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.E107.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A1.E107.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" mathvariant="normal" xref="A1.E107.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">ℓ</mi><mn id="A1.E107.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A1.E107.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></mfrac></msup><mo id="A1.E107.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.E107.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">⁢</mo><msup id="A1.E107.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.E107.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mrow id="A1.E107.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1" xref="A1.E107.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml"><mo id="A1.E107.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.E107.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.E107.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1" xref="A1.E107.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml"><msub id="A1.E107.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2" xref="A1.E107.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.cmml"><mi id="A1.E107.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.2" xref="A1.E107.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.2.cmml">L</mi><mi id="A1.E107.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.3" xref="A1.E107.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.3.cmml">O</mi></msub><mo id="A1.E107.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1" xref="A1.E107.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="A1.E107.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3" xref="A1.E107.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.cmml"><mi id="A1.E107.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2" xref="A1.E107.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2.cmml">L</mi><mi id="A1.E107.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.3" xref="A1.E107.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.3.cmml">E</mi></msub></mrow><mo id="A1.E107.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.E107.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="A1.E107.m1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="A1.E107.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mfrac id="A1.E107.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="A1.E107.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml"><mi id="A1.E107.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2" mathvariant="normal" xref="A1.E107.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2.cmml">ℓ</mi><mn id="A1.E107.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3" xref="A1.E107.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.cmml">2</mn></mfrac><mo id="A1.E107.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.1" xref="A1.E107.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml">−</mo><mn id="A1.E107.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="A1.E107.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">1</mn></mrow></msup></mrow><mo id="A1.E107.m1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.E107.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.E107.m1.1b"><apply id="A1.E107.m1.1.1.cmml" xref="A1.E107.m1.1.1"><eq id="A1.E107.m1.1.1.2.cmml" xref="A1.E107.m1.1.1.2"></eq><csymbol cd="latexml" id="A1.E107.m1.1.1.3.cmml" xref="A1.E107.m1.1.1.3">absent</csymbol><apply id="A1.E107.m1.1.1.1.cmml" xref="A1.E107.m1.1.1.1"><times id="A1.E107.m1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.E107.m1.1.1.1.2"></times><ci id="A1.E107.m1.1.1.1.3a.cmml" xref="A1.E107.m1.1.1.1.3"><mtext id="A1.E107.m1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.E107.m1.1.1.1.3">tr</mtext></ci><apply id="A1.E107.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.E107.m1.1.1.1.1.1"><times id="A1.E107.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.E107.m1.1.1.1.1.1.1.3"></times><apply id="A1.E107.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.E107.m1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E107.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.E107.m1.1.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="A1.E107.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.E107.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><times id="A1.E107.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.E107.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></times><apply id="A1.E107.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.E107.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E107.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.E107.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="A1.E107.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.E107.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝐿</ci><ci id="A1.E107.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="A1.E107.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">𝑂</ci></apply><apply id="A1.E107.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.E107.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E107.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.E107.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A1.E107.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.E107.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝐿</ci><ci id="A1.E107.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A1.E107.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">𝐸</ci></apply></apply><apply id="A1.E107.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.E107.m1.1.1.1.1.1.1.1.3"><divide id="A1.E107.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.E107.m1.1.1.1.1.1.1.1.3"></divide><ci id="A1.E107.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.E107.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">ℓ</ci><cn id="A1.E107.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="A1.E107.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">2</cn></apply></apply><apply id="A1.E107.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.E107.m1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E107.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.E107.m1.1.1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="A1.E107.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml" xref="A1.E107.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1"><times id="A1.E107.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.cmml" xref="A1.E107.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1"></times><apply id="A1.E107.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.cmml" xref="A1.E107.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E107.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.E107.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="A1.E107.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.E107.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.2">𝐿</ci><ci id="A1.E107.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.3.cmml" xref="A1.E107.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.3">𝑂</ci></apply><apply id="A1.E107.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.cmml" xref="A1.E107.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E107.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.E107.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A1.E107.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.E107.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2">𝐿</ci><ci id="A1.E107.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.3.cmml" xref="A1.E107.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.3">𝐸</ci></apply></apply><apply id="A1.E107.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="A1.E107.m1.1.1.1.1.1.1.2.3"><minus id="A1.E107.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="A1.E107.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.1"></minus><apply id="A1.E107.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="A1.E107.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2"><divide id="A1.E107.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.1.cmml" xref="A1.E107.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2"></divide><ci id="A1.E107.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2.cmml" xref="A1.E107.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2">ℓ</ci><cn id="A1.E107.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.cmml" type="integer" xref="A1.E107.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3">2</cn></apply><cn id="A1.E107.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="A1.E107.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3">1</cn></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.E107.m1.1c">\displaystyle=\text{tr}\left((L_{O}L_{E})^{\frac{\ell}{2}}(L_{O}L_{E})^{\frac{% \ell}{2}-1}\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.E107.m1.1d">= tr ( ( italic_L start_POSTSUBSCRIPT italic_O end_POSTSUBSCRIPT italic_L start_POSTSUBSCRIPT italic_E end_POSTSUBSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT divide start_ARG roman_ℓ end_ARG start_ARG 2 end_ARG end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_L start_POSTSUBSCRIPT italic_O end_POSTSUBSCRIPT italic_L start_POSTSUBSCRIPT italic_E end_POSTSUBSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT divide start_ARG roman_ℓ end_ARG start_ARG 2 end_ARG - 1 end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(107)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="A1.4.p2.9">where in the third line we have used the cylic property of the trace and the fact that <math alttext="L_{O}L_{O}=L_{O}" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.4.p2.9.m1.1"><semantics id="A1.4.p2.9.m1.1a"><mrow id="A1.4.p2.9.m1.1.1" xref="A1.4.p2.9.m1.1.1.cmml"><mrow id="A1.4.p2.9.m1.1.1.2" xref="A1.4.p2.9.m1.1.1.2.cmml"><msub id="A1.4.p2.9.m1.1.1.2.2" xref="A1.4.p2.9.m1.1.1.2.2.cmml"><mi id="A1.4.p2.9.m1.1.1.2.2.2" xref="A1.4.p2.9.m1.1.1.2.2.2.cmml">L</mi><mi id="A1.4.p2.9.m1.1.1.2.2.3" xref="A1.4.p2.9.m1.1.1.2.2.3.cmml">O</mi></msub><mo id="A1.4.p2.9.m1.1.1.2.1" xref="A1.4.p2.9.m1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="A1.4.p2.9.m1.1.1.2.3" xref="A1.4.p2.9.m1.1.1.2.3.cmml"><mi id="A1.4.p2.9.m1.1.1.2.3.2" xref="A1.4.p2.9.m1.1.1.2.3.2.cmml">L</mi><mi id="A1.4.p2.9.m1.1.1.2.3.3" xref="A1.4.p2.9.m1.1.1.2.3.3.cmml">O</mi></msub></mrow><mo id="A1.4.p2.9.m1.1.1.1" xref="A1.4.p2.9.m1.1.1.1.cmml">=</mo><msub id="A1.4.p2.9.m1.1.1.3" xref="A1.4.p2.9.m1.1.1.3.cmml"><mi id="A1.4.p2.9.m1.1.1.3.2" xref="A1.4.p2.9.m1.1.1.3.2.cmml">L</mi><mi id="A1.4.p2.9.m1.1.1.3.3" xref="A1.4.p2.9.m1.1.1.3.3.cmml">O</mi></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.4.p2.9.m1.1b"><apply id="A1.4.p2.9.m1.1.1.cmml" xref="A1.4.p2.9.m1.1.1"><eq id="A1.4.p2.9.m1.1.1.1.cmml" xref="A1.4.p2.9.m1.1.1.1"></eq><apply id="A1.4.p2.9.m1.1.1.2.cmml" xref="A1.4.p2.9.m1.1.1.2"><times id="A1.4.p2.9.m1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.4.p2.9.m1.1.1.2.1"></times><apply id="A1.4.p2.9.m1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.4.p2.9.m1.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.4.p2.9.m1.1.1.2.2.1.cmml" xref="A1.4.p2.9.m1.1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="A1.4.p2.9.m1.1.1.2.2.2.cmml" xref="A1.4.p2.9.m1.1.1.2.2.2">𝐿</ci><ci id="A1.4.p2.9.m1.1.1.2.2.3.cmml" xref="A1.4.p2.9.m1.1.1.2.2.3">𝑂</ci></apply><apply id="A1.4.p2.9.m1.1.1.2.3.cmml" xref="A1.4.p2.9.m1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.4.p2.9.m1.1.1.2.3.1.cmml" xref="A1.4.p2.9.m1.1.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="A1.4.p2.9.m1.1.1.2.3.2.cmml" xref="A1.4.p2.9.m1.1.1.2.3.2">𝐿</ci><ci id="A1.4.p2.9.m1.1.1.2.3.3.cmml" xref="A1.4.p2.9.m1.1.1.2.3.3">𝑂</ci></apply></apply><apply id="A1.4.p2.9.m1.1.1.3.cmml" xref="A1.4.p2.9.m1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.4.p2.9.m1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.4.p2.9.m1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A1.4.p2.9.m1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.4.p2.9.m1.1.1.3.2">𝐿</ci><ci id="A1.4.p2.9.m1.1.1.3.3.cmml" xref="A1.4.p2.9.m1.1.1.3.3">𝑂</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.4.p2.9.m1.1c">L_{O}L_{O}=L_{O}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.4.p2.9.m1.1d">italic_L start_POSTSUBSCRIPT italic_O end_POSTSUBSCRIPT italic_L start_POSTSUBSCRIPT italic_O end_POSTSUBSCRIPT = italic_L start_POSTSUBSCRIPT italic_O end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>.</p> </div> <div class="ltx_para" id="A1.5.p3"> <p class="ltx_p" id="A1.5.p3.2">Now suppose <math alttext="\ell" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.5.p3.1.m1.1"><semantics id="A1.5.p3.1.m1.1a"><mi id="A1.5.p3.1.m1.1.1" mathvariant="normal" xref="A1.5.p3.1.m1.1.1.cmml">ℓ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.5.p3.1.m1.1b"><ci id="A1.5.p3.1.m1.1.1.cmml" xref="A1.5.p3.1.m1.1.1">ℓ</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.5.p3.1.m1.1c">\ell</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.5.p3.1.m1.1d">roman_ℓ</annotation></semantics></math> is odd. Then <math alttext="\Phi_{\epsilon}^{t}=T_{1DB}^{\frac{\ell-1}{2}}L_{O}" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.5.p3.2.m2.1"><semantics id="A1.5.p3.2.m2.1a"><mrow id="A1.5.p3.2.m2.1.1" xref="A1.5.p3.2.m2.1.1.cmml"><msubsup id="A1.5.p3.2.m2.1.1.2" xref="A1.5.p3.2.m2.1.1.2.cmml"><mi id="A1.5.p3.2.m2.1.1.2.2.2" mathvariant="normal" xref="A1.5.p3.2.m2.1.1.2.2.2.cmml">Φ</mi><mi id="A1.5.p3.2.m2.1.1.2.2.3" xref="A1.5.p3.2.m2.1.1.2.2.3.cmml">ϵ</mi><mi id="A1.5.p3.2.m2.1.1.2.3" xref="A1.5.p3.2.m2.1.1.2.3.cmml">t</mi></msubsup><mo id="A1.5.p3.2.m2.1.1.1" xref="A1.5.p3.2.m2.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="A1.5.p3.2.m2.1.1.3" xref="A1.5.p3.2.m2.1.1.3.cmml"><msubsup id="A1.5.p3.2.m2.1.1.3.2" xref="A1.5.p3.2.m2.1.1.3.2.cmml"><mi id="A1.5.p3.2.m2.1.1.3.2.2.2" xref="A1.5.p3.2.m2.1.1.3.2.2.2.cmml">T</mi><mrow id="A1.5.p3.2.m2.1.1.3.2.2.3" xref="A1.5.p3.2.m2.1.1.3.2.2.3.cmml"><mn id="A1.5.p3.2.m2.1.1.3.2.2.3.2" xref="A1.5.p3.2.m2.1.1.3.2.2.3.2.cmml">1</mn><mo id="A1.5.p3.2.m2.1.1.3.2.2.3.1" xref="A1.5.p3.2.m2.1.1.3.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.5.p3.2.m2.1.1.3.2.2.3.3" xref="A1.5.p3.2.m2.1.1.3.2.2.3.3.cmml">D</mi><mo id="A1.5.p3.2.m2.1.1.3.2.2.3.1a" xref="A1.5.p3.2.m2.1.1.3.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.5.p3.2.m2.1.1.3.2.2.3.4" xref="A1.5.p3.2.m2.1.1.3.2.2.3.4.cmml">B</mi></mrow><mfrac id="A1.5.p3.2.m2.1.1.3.2.3" xref="A1.5.p3.2.m2.1.1.3.2.3.cmml"><mrow id="A1.5.p3.2.m2.1.1.3.2.3.2" xref="A1.5.p3.2.m2.1.1.3.2.3.2.cmml"><mi id="A1.5.p3.2.m2.1.1.3.2.3.2.2" mathvariant="normal" xref="A1.5.p3.2.m2.1.1.3.2.3.2.2.cmml">ℓ</mi><mo id="A1.5.p3.2.m2.1.1.3.2.3.2.1" xref="A1.5.p3.2.m2.1.1.3.2.3.2.1.cmml">−</mo><mn id="A1.5.p3.2.m2.1.1.3.2.3.2.3" xref="A1.5.p3.2.m2.1.1.3.2.3.2.3.cmml">1</mn></mrow><mn id="A1.5.p3.2.m2.1.1.3.2.3.3" xref="A1.5.p3.2.m2.1.1.3.2.3.3.cmml">2</mn></mfrac></msubsup><mo id="A1.5.p3.2.m2.1.1.3.1" xref="A1.5.p3.2.m2.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="A1.5.p3.2.m2.1.1.3.3" xref="A1.5.p3.2.m2.1.1.3.3.cmml"><mi id="A1.5.p3.2.m2.1.1.3.3.2" xref="A1.5.p3.2.m2.1.1.3.3.2.cmml">L</mi><mi id="A1.5.p3.2.m2.1.1.3.3.3" xref="A1.5.p3.2.m2.1.1.3.3.3.cmml">O</mi></msub></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.5.p3.2.m2.1b"><apply id="A1.5.p3.2.m2.1.1.cmml" xref="A1.5.p3.2.m2.1.1"><eq id="A1.5.p3.2.m2.1.1.1.cmml" xref="A1.5.p3.2.m2.1.1.1"></eq><apply id="A1.5.p3.2.m2.1.1.2.cmml" xref="A1.5.p3.2.m2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.5.p3.2.m2.1.1.2.1.cmml" xref="A1.5.p3.2.m2.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="A1.5.p3.2.m2.1.1.2.2.cmml" xref="A1.5.p3.2.m2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.5.p3.2.m2.1.1.2.2.1.cmml" xref="A1.5.p3.2.m2.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="A1.5.p3.2.m2.1.1.2.2.2.cmml" xref="A1.5.p3.2.m2.1.1.2.2.2">Φ</ci><ci id="A1.5.p3.2.m2.1.1.2.2.3.cmml" xref="A1.5.p3.2.m2.1.1.2.2.3">italic-ϵ</ci></apply><ci id="A1.5.p3.2.m2.1.1.2.3.cmml" xref="A1.5.p3.2.m2.1.1.2.3">𝑡</ci></apply><apply id="A1.5.p3.2.m2.1.1.3.cmml" xref="A1.5.p3.2.m2.1.1.3"><times id="A1.5.p3.2.m2.1.1.3.1.cmml" xref="A1.5.p3.2.m2.1.1.3.1"></times><apply id="A1.5.p3.2.m2.1.1.3.2.cmml" xref="A1.5.p3.2.m2.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.5.p3.2.m2.1.1.3.2.1.cmml" xref="A1.5.p3.2.m2.1.1.3.2">superscript</csymbol><apply id="A1.5.p3.2.m2.1.1.3.2.2.cmml" xref="A1.5.p3.2.m2.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.5.p3.2.m2.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="A1.5.p3.2.m2.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="A1.5.p3.2.m2.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="A1.5.p3.2.m2.1.1.3.2.2.2">𝑇</ci><apply id="A1.5.p3.2.m2.1.1.3.2.2.3.cmml" xref="A1.5.p3.2.m2.1.1.3.2.2.3"><times id="A1.5.p3.2.m2.1.1.3.2.2.3.1.cmml" xref="A1.5.p3.2.m2.1.1.3.2.2.3.1"></times><cn id="A1.5.p3.2.m2.1.1.3.2.2.3.2.cmml" type="integer" xref="A1.5.p3.2.m2.1.1.3.2.2.3.2">1</cn><ci id="A1.5.p3.2.m2.1.1.3.2.2.3.3.cmml" xref="A1.5.p3.2.m2.1.1.3.2.2.3.3">𝐷</ci><ci id="A1.5.p3.2.m2.1.1.3.2.2.3.4.cmml" xref="A1.5.p3.2.m2.1.1.3.2.2.3.4">𝐵</ci></apply></apply><apply id="A1.5.p3.2.m2.1.1.3.2.3.cmml" xref="A1.5.p3.2.m2.1.1.3.2.3"><divide id="A1.5.p3.2.m2.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="A1.5.p3.2.m2.1.1.3.2.3"></divide><apply id="A1.5.p3.2.m2.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="A1.5.p3.2.m2.1.1.3.2.3.2"><minus id="A1.5.p3.2.m2.1.1.3.2.3.2.1.cmml" xref="A1.5.p3.2.m2.1.1.3.2.3.2.1"></minus><ci id="A1.5.p3.2.m2.1.1.3.2.3.2.2.cmml" xref="A1.5.p3.2.m2.1.1.3.2.3.2.2">ℓ</ci><cn id="A1.5.p3.2.m2.1.1.3.2.3.2.3.cmml" type="integer" xref="A1.5.p3.2.m2.1.1.3.2.3.2.3">1</cn></apply><cn id="A1.5.p3.2.m2.1.1.3.2.3.3.cmml" type="integer" xref="A1.5.p3.2.m2.1.1.3.2.3.3">2</cn></apply></apply><apply id="A1.5.p3.2.m2.1.1.3.3.cmml" xref="A1.5.p3.2.m2.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.5.p3.2.m2.1.1.3.3.1.cmml" xref="A1.5.p3.2.m2.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="A1.5.p3.2.m2.1.1.3.3.2.cmml" xref="A1.5.p3.2.m2.1.1.3.3.2">𝐿</ci><ci id="A1.5.p3.2.m2.1.1.3.3.3.cmml" xref="A1.5.p3.2.m2.1.1.3.3.3">𝑂</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.5.p3.2.m2.1c">\Phi_{\epsilon}^{t}=T_{1DB}^{\frac{\ell-1}{2}}L_{O}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.5.p3.2.m2.1d">roman_Φ start_POSTSUBSCRIPT italic_ϵ end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_t end_POSTSUPERSCRIPT = italic_T start_POSTSUBSCRIPT 1 italic_D italic_B end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT divide start_ARG roman_ℓ - 1 end_ARG start_ARG 2 end_ARG end_POSTSUPERSCRIPT italic_L start_POSTSUBSCRIPT italic_O end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, and we can compute</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="S6.EGx96"> <tbody id="A1.E108"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\text{tr}\left(\Phi_{\epsilon}\Phi_{\epsilon}^{\dagger}\right)" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.E108.m1.1"><semantics id="A1.E108.m1.1a"><mrow id="A1.E108.m1.1.1" xref="A1.E108.m1.1.1.cmml"><mtext id="A1.E108.m1.1.1.3" xref="A1.E108.m1.1.1.3a.cmml">tr</mtext><mo id="A1.E108.m1.1.1.2" xref="A1.E108.m1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.E108.m1.1.1.1.1" xref="A1.E108.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.E108.m1.1.1.1.1.2" xref="A1.E108.m1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.E108.m1.1.1.1.1.1" xref="A1.E108.m1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="A1.E108.m1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.E108.m1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="A1.E108.m1.1.1.1.1.1.2.2" mathvariant="normal" xref="A1.E108.m1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">Φ</mi><mi id="A1.E108.m1.1.1.1.1.1.2.3" xref="A1.E108.m1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">ϵ</mi></msub><mo id="A1.E108.m1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.E108.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="A1.E108.m1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.E108.m1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A1.E108.m1.1.1.1.1.1.3.2.2" mathvariant="normal" xref="A1.E108.m1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">Φ</mi><mi id="A1.E108.m1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="A1.E108.m1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">ϵ</mi><mo id="A1.E108.m1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A1.E108.m1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">†</mo></msubsup></mrow><mo id="A1.E108.m1.1.1.1.1.3" xref="A1.E108.m1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.E108.m1.1b"><apply id="A1.E108.m1.1.1.cmml" xref="A1.E108.m1.1.1"><times id="A1.E108.m1.1.1.2.cmml" xref="A1.E108.m1.1.1.2"></times><ci id="A1.E108.m1.1.1.3a.cmml" xref="A1.E108.m1.1.1.3"><mtext id="A1.E108.m1.1.1.3.cmml" xref="A1.E108.m1.1.1.3">tr</mtext></ci><apply id="A1.E108.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.E108.m1.1.1.1.1"><times id="A1.E108.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.E108.m1.1.1.1.1.1.1"></times><apply id="A1.E108.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.E108.m1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E108.m1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.E108.m1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="A1.E108.m1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.E108.m1.1.1.1.1.1.2.2">Φ</ci><ci id="A1.E108.m1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="A1.E108.m1.1.1.1.1.1.2.3">italic-ϵ</ci></apply><apply id="A1.E108.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.E108.m1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E108.m1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.E108.m1.1.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="A1.E108.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.E108.m1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E108.m1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="A1.E108.m1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A1.E108.m1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="A1.E108.m1.1.1.1.1.1.3.2.2">Φ</ci><ci id="A1.E108.m1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="A1.E108.m1.1.1.1.1.1.3.2.3">italic-ϵ</ci></apply><ci id="A1.E108.m1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A1.E108.m1.1.1.1.1.1.3.3">†</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.E108.m1.1c">\displaystyle\text{tr}\left(\Phi_{\epsilon}\Phi_{\epsilon}^{\dagger}\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.E108.m1.1d">tr ( roman_Φ start_POSTSUBSCRIPT italic_ϵ end_POSTSUBSCRIPT roman_Φ start_POSTSUBSCRIPT italic_ϵ end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT † end_POSTSUPERSCRIPT 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xref="A1.E108.m2.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.3.cmml">E</mi></msub><mo id="A1.E108.m2.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1" xref="A1.E108.m2.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="A1.E108.m2.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3" xref="A1.E108.m2.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.cmml"><mi id="A1.E108.m2.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2" xref="A1.E108.m2.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2.cmml">L</mi><mi id="A1.E108.m2.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.3" xref="A1.E108.m2.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.3.cmml">O</mi></msub></mrow><mo id="A1.E108.m2.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.E108.m2.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mfrac id="A1.E108.m2.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="A1.E108.m2.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mrow id="A1.E108.m2.1.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="A1.E108.m2.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml"><mi id="A1.E108.m2.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2" mathvariant="normal" xref="A1.E108.m2.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2.cmml">ℓ</mi><mo id="A1.E108.m2.1.1.1.1.1.1.2.3.2.1" xref="A1.E108.m2.1.1.1.1.1.1.2.3.2.1.cmml">−</mo><mn id="A1.E108.m2.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3" xref="A1.E108.m2.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.cmml">1</mn></mrow><mn id="A1.E108.m2.1.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="A1.E108.m2.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">2</mn></mfrac></msup></mrow><mo id="A1.E108.m2.1.1.1.1.1.3" xref="A1.E108.m2.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.E108.m2.1b"><apply id="A1.E108.m2.1.1.cmml" xref="A1.E108.m2.1.1"><eq id="A1.E108.m2.1.1.2.cmml" xref="A1.E108.m2.1.1.2"></eq><csymbol cd="latexml" id="A1.E108.m2.1.1.3.cmml" xref="A1.E108.m2.1.1.3">absent</csymbol><apply id="A1.E108.m2.1.1.1.cmml" xref="A1.E108.m2.1.1.1"><times id="A1.E108.m2.1.1.1.2.cmml" xref="A1.E108.m2.1.1.1.2"></times><ci id="A1.E108.m2.1.1.1.3a.cmml" xref="A1.E108.m2.1.1.1.3"><mtext id="A1.E108.m2.1.1.1.3.cmml" xref="A1.E108.m2.1.1.1.3">tr</mtext></ci><apply id="A1.E108.m2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.E108.m2.1.1.1.1.1"><times id="A1.E108.m2.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.E108.m2.1.1.1.1.1.1.3"></times><apply id="A1.E108.m2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.E108.m2.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E108.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.E108.m2.1.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="A1.E108.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.E108.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><times id="A1.E108.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.E108.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></times><apply id="A1.E108.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.E108.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E108.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.E108.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="A1.E108.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.E108.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝐿</ci><ci id="A1.E108.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="A1.E108.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">𝑂</ci></apply><apply id="A1.E108.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.E108.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E108.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.E108.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A1.E108.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.E108.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝐿</ci><ci id="A1.E108.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A1.E108.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">𝐸</ci></apply></apply><apply id="A1.E108.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.E108.m2.1.1.1.1.1.1.1.3"><divide id="A1.E108.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.E108.m2.1.1.1.1.1.1.1.3"></divide><apply id="A1.E108.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.E108.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.2"><minus id="A1.E108.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="A1.E108.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1"></minus><ci id="A1.E108.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="A1.E108.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2">ℓ</ci><cn id="A1.E108.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" type="integer" xref="A1.E108.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3">1</cn></apply><cn id="A1.E108.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="A1.E108.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.3">2</cn></apply></apply><apply id="A1.E108.m2.1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="A1.E108.m2.1.1.1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E108.m2.1.1.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="A1.E108.m2.1.1.1.1.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="A1.E108.m2.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="A1.E108.m2.1.1.1.1.1.1.4.2">𝐿</ci><ci id="A1.E108.m2.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml" xref="A1.E108.m2.1.1.1.1.1.1.4.3">𝑂</ci></apply><apply id="A1.E108.m2.1.1.1.1.1.1.5.cmml" xref="A1.E108.m2.1.1.1.1.1.1.5"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E108.m2.1.1.1.1.1.1.5.1.cmml" xref="A1.E108.m2.1.1.1.1.1.1.5">subscript</csymbol><ci id="A1.E108.m2.1.1.1.1.1.1.5.2.cmml" xref="A1.E108.m2.1.1.1.1.1.1.5.2">𝐿</ci><ci id="A1.E108.m2.1.1.1.1.1.1.5.3.cmml" xref="A1.E108.m2.1.1.1.1.1.1.5.3">𝑂</ci></apply><apply id="A1.E108.m2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.E108.m2.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E108.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.E108.m2.1.1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="A1.E108.m2.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml" xref="A1.E108.m2.1.1.1.1.1.1.2.1.1"><times id="A1.E108.m2.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.cmml" xref="A1.E108.m2.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1"></times><apply id="A1.E108.m2.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.cmml" xref="A1.E108.m2.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E108.m2.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.E108.m2.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="A1.E108.m2.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.E108.m2.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.2">𝐿</ci><ci id="A1.E108.m2.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.3.cmml" xref="A1.E108.m2.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.3">𝐸</ci></apply><apply id="A1.E108.m2.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.cmml" xref="A1.E108.m2.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E108.m2.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.E108.m2.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A1.E108.m2.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.E108.m2.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2">𝐿</ci><ci id="A1.E108.m2.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.3.cmml" xref="A1.E108.m2.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.3">𝑂</ci></apply></apply><apply id="A1.E108.m2.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="A1.E108.m2.1.1.1.1.1.1.2.3"><divide id="A1.E108.m2.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="A1.E108.m2.1.1.1.1.1.1.2.3"></divide><apply id="A1.E108.m2.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="A1.E108.m2.1.1.1.1.1.1.2.3.2"><minus id="A1.E108.m2.1.1.1.1.1.1.2.3.2.1.cmml" xref="A1.E108.m2.1.1.1.1.1.1.2.3.2.1"></minus><ci id="A1.E108.m2.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2.cmml" xref="A1.E108.m2.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2">ℓ</ci><cn id="A1.E108.m2.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.cmml" type="integer" xref="A1.E108.m2.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3">1</cn></apply><cn id="A1.E108.m2.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="A1.E108.m2.1.1.1.1.1.1.2.3.3">2</cn></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.E108.m2.1c">\displaystyle=\text{tr}\left((L_{O}L_{E})^{\frac{\ell-1}{2}}L_{O}L_{O}(L_{E}L_% {O})^{\frac{\ell-1}{2}}\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.E108.m2.1d">= tr ( ( italic_L start_POSTSUBSCRIPT italic_O end_POSTSUBSCRIPT italic_L start_POSTSUBSCRIPT italic_E end_POSTSUBSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT divide start_ARG roman_ℓ - 1 end_ARG start_ARG 2 end_ARG end_POSTSUPERSCRIPT italic_L start_POSTSUBSCRIPT italic_O end_POSTSUBSCRIPT italic_L start_POSTSUBSCRIPT italic_O end_POSTSUBSCRIPT ( italic_L start_POSTSUBSCRIPT italic_E end_POSTSUBSCRIPT italic_L start_POSTSUBSCRIPT italic_O end_POSTSUBSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT divide start_ARG roman_ℓ - 1 end_ARG start_ARG 2 end_ARG end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(108)</span></td> </tr></tbody> <tbody id="A1.E109"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=\text{tr}\left((L_{O}L_{E})^{\frac{\ell-1}{2}}L_{O}^{2}L_{E}(L_{% O}L_{E})^{\frac{\ell-1}{2}-1}L_{O}\right)" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.E109.m1.1"><semantics id="A1.E109.m1.1a"><mrow id="A1.E109.m1.1.1" xref="A1.E109.m1.1.1.cmml"><mi id="A1.E109.m1.1.1.3" xref="A1.E109.m1.1.1.3.cmml"></mi><mo id="A1.E109.m1.1.1.2" xref="A1.E109.m1.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="A1.E109.m1.1.1.1" xref="A1.E109.m1.1.1.1.cmml"><mtext id="A1.E109.m1.1.1.1.3" xref="A1.E109.m1.1.1.1.3a.cmml">tr</mtext><mo id="A1.E109.m1.1.1.1.2" xref="A1.E109.m1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.E109.m1.1.1.1.1.1" xref="A1.E109.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.E109.m1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.E109.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.E109.m1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.E109.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msup id="A1.E109.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.E109.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A1.E109.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.E109.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.E109.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.E109.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.E109.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" 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id="A1.E109.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" mathvariant="normal" xref="A1.E109.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">ℓ</mi><mo id="A1.E109.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1" xref="A1.E109.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml">−</mo><mn id="A1.E109.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="A1.E109.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">1</mn></mrow><mn id="A1.E109.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A1.E109.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></mfrac></msup><mo id="A1.E109.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.E109.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">⁢</mo><msubsup id="A1.E109.m1.1.1.1.1.1.1.4" xref="A1.E109.m1.1.1.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="A1.E109.m1.1.1.1.1.1.1.4.2.2" xref="A1.E109.m1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.cmml">L</mi><mi id="A1.E109.m1.1.1.1.1.1.1.4.2.3" xref="A1.E109.m1.1.1.1.1.1.1.4.2.3.cmml">O</mi><mn id="A1.E109.m1.1.1.1.1.1.1.4.3" xref="A1.E109.m1.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml">2</mn></msubsup><mo id="A1.E109.m1.1.1.1.1.1.1.3a" xref="A1.E109.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">⁢</mo><msub id="A1.E109.m1.1.1.1.1.1.1.5" xref="A1.E109.m1.1.1.1.1.1.1.5.cmml"><mi id="A1.E109.m1.1.1.1.1.1.1.5.2" xref="A1.E109.m1.1.1.1.1.1.1.5.2.cmml">L</mi><mi id="A1.E109.m1.1.1.1.1.1.1.5.3" xref="A1.E109.m1.1.1.1.1.1.1.5.3.cmml">E</mi></msub><mo id="A1.E109.m1.1.1.1.1.1.1.3b" xref="A1.E109.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">⁢</mo><msup id="A1.E109.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.E109.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mrow id="A1.E109.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1" xref="A1.E109.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml"><mo id="A1.E109.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.E109.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.E109.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1" xref="A1.E109.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml"><msub id="A1.E109.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2" xref="A1.E109.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.cmml"><mi id="A1.E109.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.2" xref="A1.E109.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.2.cmml">L</mi><mi id="A1.E109.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.3" xref="A1.E109.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.3.cmml">O</mi></msub><mo id="A1.E109.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1" xref="A1.E109.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="A1.E109.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3" xref="A1.E109.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.cmml"><mi id="A1.E109.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2" xref="A1.E109.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2.cmml">L</mi><mi id="A1.E109.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.3" xref="A1.E109.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.3.cmml">E</mi></msub></mrow><mo id="A1.E109.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.E109.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="A1.E109.m1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="A1.E109.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mfrac id="A1.E109.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="A1.E109.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml"><mrow id="A1.E109.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2" xref="A1.E109.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2.cmml"><mi id="A1.E109.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2.2" mathvariant="normal" xref="A1.E109.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2.2.cmml">ℓ</mi><mo id="A1.E109.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2.1" xref="A1.E109.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2.1.cmml">−</mo><mn id="A1.E109.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2.3" xref="A1.E109.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2.3.cmml">1</mn></mrow><mn id="A1.E109.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3" xref="A1.E109.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.cmml">2</mn></mfrac><mo id="A1.E109.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.1" xref="A1.E109.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml">−</mo><mn id="A1.E109.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="A1.E109.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="A1.E109.m1.1.1.1.1.1.1.3c" xref="A1.E109.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">⁢</mo><msub id="A1.E109.m1.1.1.1.1.1.1.6" xref="A1.E109.m1.1.1.1.1.1.1.6.cmml"><mi id="A1.E109.m1.1.1.1.1.1.1.6.2" xref="A1.E109.m1.1.1.1.1.1.1.6.2.cmml">L</mi><mi id="A1.E109.m1.1.1.1.1.1.1.6.3" xref="A1.E109.m1.1.1.1.1.1.1.6.3.cmml">O</mi></msub></mrow><mo id="A1.E109.m1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.E109.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.E109.m1.1b"><apply id="A1.E109.m1.1.1.cmml" xref="A1.E109.m1.1.1"><eq id="A1.E109.m1.1.1.2.cmml" xref="A1.E109.m1.1.1.2"></eq><csymbol cd="latexml" id="A1.E109.m1.1.1.3.cmml" xref="A1.E109.m1.1.1.3">absent</csymbol><apply id="A1.E109.m1.1.1.1.cmml" xref="A1.E109.m1.1.1.1"><times id="A1.E109.m1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.E109.m1.1.1.1.2"></times><ci id="A1.E109.m1.1.1.1.3a.cmml" xref="A1.E109.m1.1.1.1.3"><mtext id="A1.E109.m1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.E109.m1.1.1.1.3">tr</mtext></ci><apply id="A1.E109.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.E109.m1.1.1.1.1.1"><times id="A1.E109.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.E109.m1.1.1.1.1.1.1.3"></times><apply id="A1.E109.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.E109.m1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E109.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.E109.m1.1.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="A1.E109.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.E109.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><times id="A1.E109.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.E109.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></times><apply id="A1.E109.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.E109.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E109.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.E109.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="A1.E109.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" 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class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(109)</span></td> </tr></tbody> <tbody id="A1.E110"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=\text{tr}\left((L_{O}L_{E})^{\frac{\ell-1}{2}}(L_{O}L_{E})^{1}(L% _{O}L_{E})^{\frac{\ell-1}{2}-1}\right)" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.E110.m1.1"><semantics id="A1.E110.m1.1a"><mrow id="A1.E110.m1.1.1" xref="A1.E110.m1.1.1.cmml"><mi id="A1.E110.m1.1.1.3" xref="A1.E110.m1.1.1.3.cmml"></mi><mo id="A1.E110.m1.1.1.2" xref="A1.E110.m1.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="A1.E110.m1.1.1.1" xref="A1.E110.m1.1.1.1.cmml"><mtext id="A1.E110.m1.1.1.1.3" xref="A1.E110.m1.1.1.1.3a.cmml">tr</mtext><mo id="A1.E110.m1.1.1.1.2" xref="A1.E110.m1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.E110.m1.1.1.1.1.1" 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xref="A1.E110.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E110.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.E110.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A1.E110.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.E110.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝐿</ci><ci id="A1.E110.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A1.E110.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">𝐸</ci></apply></apply><apply id="A1.E110.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.E110.m1.1.1.1.1.1.1.1.3"><divide id="A1.E110.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.E110.m1.1.1.1.1.1.1.1.3"></divide><apply id="A1.E110.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.E110.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2"><minus id="A1.E110.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="A1.E110.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1"></minus><ci id="A1.E110.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="A1.E110.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2">ℓ</ci><cn id="A1.E110.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" type="integer" xref="A1.E110.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3">1</cn></apply><cn id="A1.E110.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="A1.E110.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">2</cn></apply></apply><apply id="A1.E110.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.E110.m1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E110.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.E110.m1.1.1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="A1.E110.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml" xref="A1.E110.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1"><times id="A1.E110.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.cmml" xref="A1.E110.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1"></times><apply id="A1.E110.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.cmml" xref="A1.E110.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E110.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.E110.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="A1.E110.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.E110.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.2">𝐿</ci><ci id="A1.E110.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.3.cmml" xref="A1.E110.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.3">𝑂</ci></apply><apply id="A1.E110.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.cmml" xref="A1.E110.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E110.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.E110.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A1.E110.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.E110.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2">𝐿</ci><ci id="A1.E110.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.3.cmml" xref="A1.E110.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.3">𝐸</ci></apply></apply><cn id="A1.E110.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="A1.E110.m1.1.1.1.1.1.1.2.3">1</cn></apply><apply id="A1.E110.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.E110.m1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E110.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.E110.m1.1.1.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="A1.E110.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.cmml" xref="A1.E110.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1"><times id="A1.E110.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.cmml" xref="A1.E110.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1"></times><apply id="A1.E110.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.2.cmml" xref="A1.E110.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E110.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.E110.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="A1.E110.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.E110.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.2.2">𝐿</ci><ci id="A1.E110.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.2.3.cmml" xref="A1.E110.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.2.3">𝑂</ci></apply><apply id="A1.E110.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.3.cmml" xref="A1.E110.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E110.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.E110.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A1.E110.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.E110.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.3.2">𝐿</ci><ci id="A1.E110.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.3.3.cmml" xref="A1.E110.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.3.3">𝐸</ci></apply></apply><apply id="A1.E110.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A1.E110.m1.1.1.1.1.1.1.3.3"><minus id="A1.E110.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="A1.E110.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1"></minus><apply id="A1.E110.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="A1.E110.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2"><divide id="A1.E110.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="A1.E110.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2"></divide><apply id="A1.E110.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="A1.E110.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2"><minus id="A1.E110.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.1.cmml" xref="A1.E110.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.1"></minus><ci id="A1.E110.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.2.cmml" xref="A1.E110.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.2">ℓ</ci><cn id="A1.E110.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.3.cmml" type="integer" xref="A1.E110.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.3">1</cn></apply><cn id="A1.E110.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.cmml" type="integer" xref="A1.E110.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3">2</cn></apply><cn id="A1.E110.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="A1.E110.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3">1</cn></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.E110.m1.1c">\displaystyle=\text{tr}\left((L_{O}L_{E})^{\frac{\ell-1}{2}}(L_{O}L_{E})^{1}(L% _{O}L_{E})^{\frac{\ell-1}{2}-1}\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.E110.m1.1d">= tr ( ( italic_L start_POSTSUBSCRIPT italic_O end_POSTSUBSCRIPT italic_L start_POSTSUBSCRIPT italic_E end_POSTSUBSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT divide start_ARG roman_ℓ - 1 end_ARG start_ARG 2 end_ARG end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_L start_POSTSUBSCRIPT italic_O end_POSTSUBSCRIPT italic_L start_POSTSUBSCRIPT italic_E end_POSTSUBSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT 1 end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_L start_POSTSUBSCRIPT italic_O end_POSTSUBSCRIPT italic_L start_POSTSUBSCRIPT italic_E end_POSTSUBSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT divide start_ARG roman_ℓ - 1 end_ARG start_ARG 2 end_ARG - 1 end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(110)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="A1.5.p3.3">where again the third line uses the cyclic property of the trace. ∎</p> </div> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_lemma" id="Thmtheorem51"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmtheorem51.1.1.1">Lemma 51</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmtheorem51.2.2">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="Thmtheorem51.p1"> <p class="ltx_p" id="Thmtheorem51.p1.2"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmtheorem51.p1.2.2">Let <math alttext="\lambda_{*}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem51.p1.1.1.m1.1"><semantics id="Thmtheorem51.p1.1.1.m1.1a"><msub id="Thmtheorem51.p1.1.1.m1.1.1" xref="Thmtheorem51.p1.1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="Thmtheorem51.p1.1.1.m1.1.1.2" xref="Thmtheorem51.p1.1.1.m1.1.1.2.cmml">λ</mi><mo id="Thmtheorem51.p1.1.1.m1.1.1.3" xref="Thmtheorem51.p1.1.1.m1.1.1.3.cmml">∗</mo></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem51.p1.1.1.m1.1b"><apply id="Thmtheorem51.p1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem51.p1.1.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem51.p1.1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem51.p1.1.1.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="Thmtheorem51.p1.1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="Thmtheorem51.p1.1.1.m1.1.1.2">𝜆</ci><times id="Thmtheorem51.p1.1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="Thmtheorem51.p1.1.1.m1.1.1.3"></times></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem51.p1.1.1.m1.1c">\lambda_{*}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem51.p1.1.1.m1.1d">italic_λ start_POSTSUBSCRIPT ∗ end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> be the magnitude of the largest non-unit eigenvalue of <math alttext="L_{E}L_{O}L_{E}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem51.p1.2.2.m2.1"><semantics id="Thmtheorem51.p1.2.2.m2.1a"><mrow id="Thmtheorem51.p1.2.2.m2.1.1" xref="Thmtheorem51.p1.2.2.m2.1.1.cmml"><msub id="Thmtheorem51.p1.2.2.m2.1.1.2" xref="Thmtheorem51.p1.2.2.m2.1.1.2.cmml"><mi id="Thmtheorem51.p1.2.2.m2.1.1.2.2" xref="Thmtheorem51.p1.2.2.m2.1.1.2.2.cmml">L</mi><mi id="Thmtheorem51.p1.2.2.m2.1.1.2.3" xref="Thmtheorem51.p1.2.2.m2.1.1.2.3.cmml">E</mi></msub><mo id="Thmtheorem51.p1.2.2.m2.1.1.1" xref="Thmtheorem51.p1.2.2.m2.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="Thmtheorem51.p1.2.2.m2.1.1.3" xref="Thmtheorem51.p1.2.2.m2.1.1.3.cmml"><mi id="Thmtheorem51.p1.2.2.m2.1.1.3.2" xref="Thmtheorem51.p1.2.2.m2.1.1.3.2.cmml">L</mi><mi id="Thmtheorem51.p1.2.2.m2.1.1.3.3" xref="Thmtheorem51.p1.2.2.m2.1.1.3.3.cmml">O</mi></msub><mo id="Thmtheorem51.p1.2.2.m2.1.1.1a" xref="Thmtheorem51.p1.2.2.m2.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="Thmtheorem51.p1.2.2.m2.1.1.4" xref="Thmtheorem51.p1.2.2.m2.1.1.4.cmml"><mi id="Thmtheorem51.p1.2.2.m2.1.1.4.2" xref="Thmtheorem51.p1.2.2.m2.1.1.4.2.cmml">L</mi><mi id="Thmtheorem51.p1.2.2.m2.1.1.4.3" xref="Thmtheorem51.p1.2.2.m2.1.1.4.3.cmml">E</mi></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem51.p1.2.2.m2.1b"><apply id="Thmtheorem51.p1.2.2.m2.1.1.cmml" xref="Thmtheorem51.p1.2.2.m2.1.1"><times id="Thmtheorem51.p1.2.2.m2.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem51.p1.2.2.m2.1.1.1"></times><apply id="Thmtheorem51.p1.2.2.m2.1.1.2.cmml" xref="Thmtheorem51.p1.2.2.m2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem51.p1.2.2.m2.1.1.2.1.cmml" xref="Thmtheorem51.p1.2.2.m2.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="Thmtheorem51.p1.2.2.m2.1.1.2.2.cmml" xref="Thmtheorem51.p1.2.2.m2.1.1.2.2">𝐿</ci><ci id="Thmtheorem51.p1.2.2.m2.1.1.2.3.cmml" xref="Thmtheorem51.p1.2.2.m2.1.1.2.3">𝐸</ci></apply><apply id="Thmtheorem51.p1.2.2.m2.1.1.3.cmml" xref="Thmtheorem51.p1.2.2.m2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem51.p1.2.2.m2.1.1.3.1.cmml" xref="Thmtheorem51.p1.2.2.m2.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="Thmtheorem51.p1.2.2.m2.1.1.3.2.cmml" xref="Thmtheorem51.p1.2.2.m2.1.1.3.2">𝐿</ci><ci id="Thmtheorem51.p1.2.2.m2.1.1.3.3.cmml" xref="Thmtheorem51.p1.2.2.m2.1.1.3.3">𝑂</ci></apply><apply id="Thmtheorem51.p1.2.2.m2.1.1.4.cmml" xref="Thmtheorem51.p1.2.2.m2.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem51.p1.2.2.m2.1.1.4.1.cmml" xref="Thmtheorem51.p1.2.2.m2.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="Thmtheorem51.p1.2.2.m2.1.1.4.2.cmml" xref="Thmtheorem51.p1.2.2.m2.1.1.4.2">𝐿</ci><ci id="Thmtheorem51.p1.2.2.m2.1.1.4.3.cmml" xref="Thmtheorem51.p1.2.2.m2.1.1.4.3">𝐸</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem51.p1.2.2.m2.1c">L_{E}L_{O}L_{E}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem51.p1.2.2.m2.1d">italic_L start_POSTSUBSCRIPT italic_E end_POSTSUBSCRIPT italic_L start_POSTSUBSCRIPT italic_O end_POSTSUBSCRIPT italic_L start_POSTSUBSCRIPT italic_E end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>. Then</span></p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_gather ltx_eqn_table" id="S6.EGx97"> <tbody id="A1.E111"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\displaystyle\mathcal{F}_{\varepsilon}(\ell)\leq\mathcal{F}_{\text{Haar}}+q^{2% Nt}\lambda_{*}^{\ell-1}" class="ltx_Math" display="block" id="A1.E111.m1.1"><semantics id="A1.E111.m1.1a"><mrow id="A1.E111.m1.1.2" xref="A1.E111.m1.1.2.cmml"><mrow id="A1.E111.m1.1.2.2" xref="A1.E111.m1.1.2.2.cmml"><msub id="A1.E111.m1.1.2.2.2" xref="A1.E111.m1.1.2.2.2.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="A1.E111.m1.1.2.2.2.2" xref="A1.E111.m1.1.2.2.2.2.cmml">ℱ</mi><mi id="A1.E111.m1.1.2.2.2.3" xref="A1.E111.m1.1.2.2.2.3.cmml">ε</mi></msub><mo id="A1.E111.m1.1.2.2.1" xref="A1.E111.m1.1.2.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.E111.m1.1.2.2.3.2" xref="A1.E111.m1.1.2.2.cmml"><mo id="A1.E111.m1.1.2.2.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.E111.m1.1.2.2.cmml">(</mo><mi id="A1.E111.m1.1.1" mathvariant="normal" xref="A1.E111.m1.1.1.cmml">ℓ</mi><mo id="A1.E111.m1.1.2.2.3.2.2" stretchy="false" xref="A1.E111.m1.1.2.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A1.E111.m1.1.2.1" xref="A1.E111.m1.1.2.1.cmml">≤</mo><mrow id="A1.E111.m1.1.2.3" xref="A1.E111.m1.1.2.3.cmml"><msub id="A1.E111.m1.1.2.3.2" xref="A1.E111.m1.1.2.3.2.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="A1.E111.m1.1.2.3.2.2" xref="A1.E111.m1.1.2.3.2.2.cmml">ℱ</mi><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="A1.E111.m1.1.2.3.2.3" xref="A1.E111.m1.1.2.3.2.3a.cmml">Haar</mtext></msub><mo id="A1.E111.m1.1.2.3.1" xref="A1.E111.m1.1.2.3.1.cmml">+</mo><mrow id="A1.E111.m1.1.2.3.3" xref="A1.E111.m1.1.2.3.3.cmml"><msup id="A1.E111.m1.1.2.3.3.2" xref="A1.E111.m1.1.2.3.3.2.cmml"><mi id="A1.E111.m1.1.2.3.3.2.2" xref="A1.E111.m1.1.2.3.3.2.2.cmml">q</mi><mrow id="A1.E111.m1.1.2.3.3.2.3" xref="A1.E111.m1.1.2.3.3.2.3.cmml"><mn id="A1.E111.m1.1.2.3.3.2.3.2" xref="A1.E111.m1.1.2.3.3.2.3.2.cmml">2</mn><mo id="A1.E111.m1.1.2.3.3.2.3.1" xref="A1.E111.m1.1.2.3.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.E111.m1.1.2.3.3.2.3.3" xref="A1.E111.m1.1.2.3.3.2.3.3.cmml">N</mi><mo id="A1.E111.m1.1.2.3.3.2.3.1a" xref="A1.E111.m1.1.2.3.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.E111.m1.1.2.3.3.2.3.4" xref="A1.E111.m1.1.2.3.3.2.3.4.cmml">t</mi></mrow></msup><mo id="A1.E111.m1.1.2.3.3.1" xref="A1.E111.m1.1.2.3.3.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="A1.E111.m1.1.2.3.3.3" xref="A1.E111.m1.1.2.3.3.3.cmml"><mi id="A1.E111.m1.1.2.3.3.3.2.2" xref="A1.E111.m1.1.2.3.3.3.2.2.cmml">λ</mi><mo id="A1.E111.m1.1.2.3.3.3.2.3" xref="A1.E111.m1.1.2.3.3.3.2.3.cmml">∗</mo><mrow id="A1.E111.m1.1.2.3.3.3.3" xref="A1.E111.m1.1.2.3.3.3.3.cmml"><mi id="A1.E111.m1.1.2.3.3.3.3.2" mathvariant="normal" xref="A1.E111.m1.1.2.3.3.3.3.2.cmml">ℓ</mi><mo id="A1.E111.m1.1.2.3.3.3.3.1" xref="A1.E111.m1.1.2.3.3.3.3.1.cmml">−</mo><mn id="A1.E111.m1.1.2.3.3.3.3.3" xref="A1.E111.m1.1.2.3.3.3.3.3.cmml">1</mn></mrow></msubsup></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.E111.m1.1b"><apply id="A1.E111.m1.1.2.cmml" xref="A1.E111.m1.1.2"><leq id="A1.E111.m1.1.2.1.cmml" xref="A1.E111.m1.1.2.1"></leq><apply id="A1.E111.m1.1.2.2.cmml" xref="A1.E111.m1.1.2.2"><times id="A1.E111.m1.1.2.2.1.cmml" xref="A1.E111.m1.1.2.2.1"></times><apply id="A1.E111.m1.1.2.2.2.cmml" xref="A1.E111.m1.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E111.m1.1.2.2.2.1.cmml" xref="A1.E111.m1.1.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="A1.E111.m1.1.2.2.2.2.cmml" xref="A1.E111.m1.1.2.2.2.2">ℱ</ci><ci id="A1.E111.m1.1.2.2.2.3.cmml" xref="A1.E111.m1.1.2.2.2.3">𝜀</ci></apply><ci id="A1.E111.m1.1.1.cmml" xref="A1.E111.m1.1.1">ℓ</ci></apply><apply id="A1.E111.m1.1.2.3.cmml" xref="A1.E111.m1.1.2.3"><plus id="A1.E111.m1.1.2.3.1.cmml" xref="A1.E111.m1.1.2.3.1"></plus><apply id="A1.E111.m1.1.2.3.2.cmml" xref="A1.E111.m1.1.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E111.m1.1.2.3.2.1.cmml" xref="A1.E111.m1.1.2.3.2">subscript</csymbol><ci id="A1.E111.m1.1.2.3.2.2.cmml" xref="A1.E111.m1.1.2.3.2.2">ℱ</ci><ci id="A1.E111.m1.1.2.3.2.3a.cmml" xref="A1.E111.m1.1.2.3.2.3"><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="A1.E111.m1.1.2.3.2.3.cmml" mathsize="70%" xref="A1.E111.m1.1.2.3.2.3">Haar</mtext></ci></apply><apply id="A1.E111.m1.1.2.3.3.cmml" xref="A1.E111.m1.1.2.3.3"><times id="A1.E111.m1.1.2.3.3.1.cmml" xref="A1.E111.m1.1.2.3.3.1"></times><apply id="A1.E111.m1.1.2.3.3.2.cmml" xref="A1.E111.m1.1.2.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E111.m1.1.2.3.3.2.1.cmml" xref="A1.E111.m1.1.2.3.3.2">superscript</csymbol><ci id="A1.E111.m1.1.2.3.3.2.2.cmml" xref="A1.E111.m1.1.2.3.3.2.2">𝑞</ci><apply id="A1.E111.m1.1.2.3.3.2.3.cmml" xref="A1.E111.m1.1.2.3.3.2.3"><times id="A1.E111.m1.1.2.3.3.2.3.1.cmml" xref="A1.E111.m1.1.2.3.3.2.3.1"></times><cn id="A1.E111.m1.1.2.3.3.2.3.2.cmml" type="integer" xref="A1.E111.m1.1.2.3.3.2.3.2">2</cn><ci id="A1.E111.m1.1.2.3.3.2.3.3.cmml" xref="A1.E111.m1.1.2.3.3.2.3.3">𝑁</ci><ci id="A1.E111.m1.1.2.3.3.2.3.4.cmml" xref="A1.E111.m1.1.2.3.3.2.3.4">𝑡</ci></apply></apply><apply id="A1.E111.m1.1.2.3.3.3.cmml" xref="A1.E111.m1.1.2.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E111.m1.1.2.3.3.3.1.cmml" xref="A1.E111.m1.1.2.3.3.3">superscript</csymbol><apply id="A1.E111.m1.1.2.3.3.3.2.cmml" xref="A1.E111.m1.1.2.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E111.m1.1.2.3.3.3.2.1.cmml" xref="A1.E111.m1.1.2.3.3.3">subscript</csymbol><ci id="A1.E111.m1.1.2.3.3.3.2.2.cmml" xref="A1.E111.m1.1.2.3.3.3.2.2">𝜆</ci><times id="A1.E111.m1.1.2.3.3.3.2.3.cmml" xref="A1.E111.m1.1.2.3.3.3.2.3"></times></apply><apply id="A1.E111.m1.1.2.3.3.3.3.cmml" xref="A1.E111.m1.1.2.3.3.3.3"><minus id="A1.E111.m1.1.2.3.3.3.3.1.cmml" xref="A1.E111.m1.1.2.3.3.3.3.1"></minus><ci id="A1.E111.m1.1.2.3.3.3.3.2.cmml" xref="A1.E111.m1.1.2.3.3.3.3.2">ℓ</ci><cn id="A1.E111.m1.1.2.3.3.3.3.3.cmml" type="integer" xref="A1.E111.m1.1.2.3.3.3.3.3">1</cn></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.E111.m1.1c">\displaystyle\mathcal{F}_{\varepsilon}(\ell)\leq\mathcal{F}_{\text{Haar}}+q^{2% Nt}\lambda_{*}^{\ell-1}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.E111.m1.1d">caligraphic_F start_POSTSUBSCRIPT italic_ε end_POSTSUBSCRIPT ( roman_ℓ ) ≤ caligraphic_F start_POSTSUBSCRIPT Haar end_POSTSUBSCRIPT + italic_q start_POSTSUPERSCRIPT 2 italic_N italic_t end_POSTSUPERSCRIPT italic_λ start_POSTSUBSCRIPT ∗ end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT roman_ℓ - 1 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(111)</span></td> </tr></tbody> </table> </div> </div> <div class="ltx_proof" id="A1.6"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_font_italic ltx_title_proof">Proof.</h6> <div class="ltx_para" id="A1.6.p1"> <p class="ltx_p" id="A1.6.p1.11">From Lemma <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#Thmtheorem50" title="Lemma 50. ‣ Appendix A Relationship between spectral gap and 𝑡-design depth ‣ Conditional 𝑡-independent spectral gap for random quantum circuits and implications for 𝑡-design depths"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">50</span></a>,</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_gather ltx_eqn_table" id="S6.EGx98"> <tbody id="A1.E112"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\displaystyle\mathcal{F}_{\varepsilon}(\ell)=\text{tr}\left((L_{E}L_{O}L_{E})^% {\ell-1}\right)" class="ltx_Math" display="block" id="A1.E112.m1.2"><semantics id="A1.E112.m1.2a"><mrow id="A1.E112.m1.2.2" xref="A1.E112.m1.2.2.cmml"><mrow id="A1.E112.m1.2.2.3" xref="A1.E112.m1.2.2.3.cmml"><msub id="A1.E112.m1.2.2.3.2" xref="A1.E112.m1.2.2.3.2.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="A1.E112.m1.2.2.3.2.2" xref="A1.E112.m1.2.2.3.2.2.cmml">ℱ</mi><mi id="A1.E112.m1.2.2.3.2.3" xref="A1.E112.m1.2.2.3.2.3.cmml">ε</mi></msub><mo id="A1.E112.m1.2.2.3.1" xref="A1.E112.m1.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.E112.m1.2.2.3.3.2" xref="A1.E112.m1.2.2.3.cmml"><mo id="A1.E112.m1.2.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.E112.m1.2.2.3.cmml">(</mo><mi id="A1.E112.m1.1.1" mathvariant="normal" xref="A1.E112.m1.1.1.cmml">ℓ</mi><mo id="A1.E112.m1.2.2.3.3.2.2" stretchy="false" xref="A1.E112.m1.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A1.E112.m1.2.2.2" xref="A1.E112.m1.2.2.2.cmml">=</mo><mrow id="A1.E112.m1.2.2.1" xref="A1.E112.m1.2.2.1.cmml"><mtext id="A1.E112.m1.2.2.1.3" xref="A1.E112.m1.2.2.1.3a.cmml">tr</mtext><mo id="A1.E112.m1.2.2.1.2" xref="A1.E112.m1.2.2.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.E112.m1.2.2.1.1.1" xref="A1.E112.m1.2.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.E112.m1.2.2.1.1.1.2" xref="A1.E112.m1.2.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="A1.E112.m1.2.2.1.1.1.1" xref="A1.E112.m1.2.2.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A1.E112.m1.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="A1.E112.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.E112.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.E112.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.E112.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.E112.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="A1.E112.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.E112.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="A1.E112.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="A1.E112.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">L</mi><mi id="A1.E112.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="A1.E112.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">E</mi></msub><mo id="A1.E112.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.E112.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="A1.E112.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.E112.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A1.E112.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A1.E112.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">L</mi><mi id="A1.E112.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A1.E112.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">O</mi></msub><mo id="A1.E112.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1a" xref="A1.E112.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="A1.E112.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.4" xref="A1.E112.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="A1.E112.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.4.2" xref="A1.E112.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml">L</mi><mi id="A1.E112.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.4.3" xref="A1.E112.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml">E</mi></msub></mrow><mo id="A1.E112.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.E112.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="A1.E112.m1.2.2.1.1.1.1.3" xref="A1.E112.m1.2.2.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A1.E112.m1.2.2.1.1.1.1.3.2" mathvariant="normal" xref="A1.E112.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.cmml">ℓ</mi><mo id="A1.E112.m1.2.2.1.1.1.1.3.1" xref="A1.E112.m1.2.2.1.1.1.1.3.1.cmml">−</mo><mn id="A1.E112.m1.2.2.1.1.1.1.3.3" xref="A1.E112.m1.2.2.1.1.1.1.3.3.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="A1.E112.m1.2.2.1.1.1.3" xref="A1.E112.m1.2.2.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.E112.m1.2b"><apply id="A1.E112.m1.2.2.cmml" xref="A1.E112.m1.2.2"><eq id="A1.E112.m1.2.2.2.cmml" xref="A1.E112.m1.2.2.2"></eq><apply id="A1.E112.m1.2.2.3.cmml" xref="A1.E112.m1.2.2.3"><times id="A1.E112.m1.2.2.3.1.cmml" xref="A1.E112.m1.2.2.3.1"></times><apply id="A1.E112.m1.2.2.3.2.cmml" xref="A1.E112.m1.2.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E112.m1.2.2.3.2.1.cmml" xref="A1.E112.m1.2.2.3.2">subscript</csymbol><ci id="A1.E112.m1.2.2.3.2.2.cmml" xref="A1.E112.m1.2.2.3.2.2">ℱ</ci><ci id="A1.E112.m1.2.2.3.2.3.cmml" xref="A1.E112.m1.2.2.3.2.3">𝜀</ci></apply><ci id="A1.E112.m1.1.1.cmml" xref="A1.E112.m1.1.1">ℓ</ci></apply><apply id="A1.E112.m1.2.2.1.cmml" xref="A1.E112.m1.2.2.1"><times id="A1.E112.m1.2.2.1.2.cmml" xref="A1.E112.m1.2.2.1.2"></times><ci id="A1.E112.m1.2.2.1.3a.cmml" xref="A1.E112.m1.2.2.1.3"><mtext id="A1.E112.m1.2.2.1.3.cmml" xref="A1.E112.m1.2.2.1.3">tr</mtext></ci><apply id="A1.E112.m1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="A1.E112.m1.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E112.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.E112.m1.2.2.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="A1.E112.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.E112.m1.2.2.1.1.1.1.1.1"><times id="A1.E112.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.E112.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1"></times><apply id="A1.E112.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.E112.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E112.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.E112.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="A1.E112.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.E112.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝐿</ci><ci id="A1.E112.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="A1.E112.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.3">𝐸</ci></apply><apply id="A1.E112.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.E112.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E112.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.E112.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A1.E112.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.E112.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝐿</ci><ci id="A1.E112.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A1.E112.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑂</ci></apply><apply id="A1.E112.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="A1.E112.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E112.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="A1.E112.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="A1.E112.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="A1.E112.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.4.2">𝐿</ci><ci id="A1.E112.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml" xref="A1.E112.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.4.3">𝐸</ci></apply></apply><apply id="A1.E112.m1.2.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.E112.m1.2.2.1.1.1.1.3"><minus id="A1.E112.m1.2.2.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.E112.m1.2.2.1.1.1.1.3.1"></minus><ci id="A1.E112.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.E112.m1.2.2.1.1.1.1.3.2">ℓ</ci><cn id="A1.E112.m1.2.2.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" 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id="A1.6.p1.1.m1.1"><semantics id="A1.6.p1.1.m1.1a"><msub id="A1.6.p1.1.m1.1.1" xref="A1.6.p1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="A1.6.p1.1.m1.1.1.2" xref="A1.6.p1.1.m1.1.1.2.cmml">L</mi><mi id="A1.6.p1.1.m1.1.1.3" xref="A1.6.p1.1.m1.1.1.3.cmml">E</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.6.p1.1.m1.1b"><apply id="A1.6.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="A1.6.p1.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.6.p1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="A1.6.p1.1.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="A1.6.p1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="A1.6.p1.1.m1.1.1.2">𝐿</ci><ci id="A1.6.p1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="A1.6.p1.1.m1.1.1.3">𝐸</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.6.p1.1.m1.1c">L_{E}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.6.p1.1.m1.1d">italic_L start_POSTSUBSCRIPT italic_E end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> and <math alttext="L_{O}" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.6.p1.2.m2.1"><semantics id="A1.6.p1.2.m2.1a"><msub id="A1.6.p1.2.m2.1.1" xref="A1.6.p1.2.m2.1.1.cmml"><mi id="A1.6.p1.2.m2.1.1.2" xref="A1.6.p1.2.m2.1.1.2.cmml">L</mi><mi id="A1.6.p1.2.m2.1.1.3" xref="A1.6.p1.2.m2.1.1.3.cmml">O</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.6.p1.2.m2.1b"><apply id="A1.6.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="A1.6.p1.2.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.6.p1.2.m2.1.1.1.cmml" xref="A1.6.p1.2.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="A1.6.p1.2.m2.1.1.2.cmml" xref="A1.6.p1.2.m2.1.1.2">𝐿</ci><ci id="A1.6.p1.2.m2.1.1.3.cmml" xref="A1.6.p1.2.m2.1.1.3">𝑂</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.6.p1.2.m2.1c">L_{O}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.6.p1.2.m2.1d">italic_L start_POSTSUBSCRIPT italic_O end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> are individually Hermitian, so is <math alttext="L_{E}L_{O}L_{E}" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.6.p1.3.m3.1"><semantics id="A1.6.p1.3.m3.1a"><mrow id="A1.6.p1.3.m3.1.1" xref="A1.6.p1.3.m3.1.1.cmml"><msub id="A1.6.p1.3.m3.1.1.2" xref="A1.6.p1.3.m3.1.1.2.cmml"><mi id="A1.6.p1.3.m3.1.1.2.2" xref="A1.6.p1.3.m3.1.1.2.2.cmml">L</mi><mi id="A1.6.p1.3.m3.1.1.2.3" xref="A1.6.p1.3.m3.1.1.2.3.cmml">E</mi></msub><mo id="A1.6.p1.3.m3.1.1.1" xref="A1.6.p1.3.m3.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="A1.6.p1.3.m3.1.1.3" xref="A1.6.p1.3.m3.1.1.3.cmml"><mi id="A1.6.p1.3.m3.1.1.3.2" xref="A1.6.p1.3.m3.1.1.3.2.cmml">L</mi><mi id="A1.6.p1.3.m3.1.1.3.3" xref="A1.6.p1.3.m3.1.1.3.3.cmml">O</mi></msub><mo id="A1.6.p1.3.m3.1.1.1a" xref="A1.6.p1.3.m3.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="A1.6.p1.3.m3.1.1.4" xref="A1.6.p1.3.m3.1.1.4.cmml"><mi id="A1.6.p1.3.m3.1.1.4.2" xref="A1.6.p1.3.m3.1.1.4.2.cmml">L</mi><mi id="A1.6.p1.3.m3.1.1.4.3" xref="A1.6.p1.3.m3.1.1.4.3.cmml">E</mi></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.6.p1.3.m3.1b"><apply id="A1.6.p1.3.m3.1.1.cmml" xref="A1.6.p1.3.m3.1.1"><times id="A1.6.p1.3.m3.1.1.1.cmml" xref="A1.6.p1.3.m3.1.1.1"></times><apply id="A1.6.p1.3.m3.1.1.2.cmml" xref="A1.6.p1.3.m3.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.6.p1.3.m3.1.1.2.1.cmml" xref="A1.6.p1.3.m3.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="A1.6.p1.3.m3.1.1.2.2.cmml" xref="A1.6.p1.3.m3.1.1.2.2">𝐿</ci><ci id="A1.6.p1.3.m3.1.1.2.3.cmml" xref="A1.6.p1.3.m3.1.1.2.3">𝐸</ci></apply><apply id="A1.6.p1.3.m3.1.1.3.cmml" xref="A1.6.p1.3.m3.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.6.p1.3.m3.1.1.3.1.cmml" xref="A1.6.p1.3.m3.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A1.6.p1.3.m3.1.1.3.2.cmml" xref="A1.6.p1.3.m3.1.1.3.2">𝐿</ci><ci id="A1.6.p1.3.m3.1.1.3.3.cmml" xref="A1.6.p1.3.m3.1.1.3.3">𝑂</ci></apply><apply id="A1.6.p1.3.m3.1.1.4.cmml" xref="A1.6.p1.3.m3.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.6.p1.3.m3.1.1.4.1.cmml" xref="A1.6.p1.3.m3.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="A1.6.p1.3.m3.1.1.4.2.cmml" xref="A1.6.p1.3.m3.1.1.4.2">𝐿</ci><ci id="A1.6.p1.3.m3.1.1.4.3.cmml" xref="A1.6.p1.3.m3.1.1.4.3">𝐸</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.6.p1.3.m3.1c">L_{E}L_{O}L_{E}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.6.p1.3.m3.1d">italic_L start_POSTSUBSCRIPT italic_E end_POSTSUBSCRIPT italic_L start_POSTSUBSCRIPT italic_O end_POSTSUBSCRIPT italic_L start_POSTSUBSCRIPT italic_E end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>. Therefore</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_gather ltx_eqn_table" id="S6.EGx99"> <tbody id="A1.E113"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\displaystyle\text{tr}\left((L_{E}L_{O}L_{E})^{\ell-1}\right)=\sum_{j}\lambda_% {j}^{\ell-1}" class="ltx_Math" display="block" id="A1.E113.m1.1"><semantics id="A1.E113.m1.1a"><mrow id="A1.E113.m1.1.1" xref="A1.E113.m1.1.1.cmml"><mrow id="A1.E113.m1.1.1.1" xref="A1.E113.m1.1.1.1.cmml"><mtext id="A1.E113.m1.1.1.1.3" xref="A1.E113.m1.1.1.1.3a.cmml">tr</mtext><mo id="A1.E113.m1.1.1.1.2" xref="A1.E113.m1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.E113.m1.1.1.1.1.1" xref="A1.E113.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.E113.m1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.E113.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="A1.E113.m1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.E113.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A1.E113.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.E113.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.E113.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.E113.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.E113.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.E113.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="A1.E113.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.E113.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="A1.E113.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="A1.E113.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">L</mi><mi id="A1.E113.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="A1.E113.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">E</mi></msub><mo id="A1.E113.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.E113.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="A1.E113.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.E113.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A1.E113.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A1.E113.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">L</mi><mi id="A1.E113.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A1.E113.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">O</mi></msub><mo id="A1.E113.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1a" xref="A1.E113.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="A1.E113.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4" xref="A1.E113.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="A1.E113.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2" xref="A1.E113.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml">L</mi><mi id="A1.E113.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3" xref="A1.E113.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml">E</mi></msub></mrow><mo id="A1.E113.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.E113.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="A1.E113.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.E113.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A1.E113.m1.1.1.1.1.1.1.3.2" mathvariant="normal" xref="A1.E113.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">ℓ</mi><mo id="A1.E113.m1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="A1.E113.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">−</mo><mn id="A1.E113.m1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A1.E113.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="A1.E113.m1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.E113.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A1.E113.m1.1.1.2" rspace="0.111em" xref="A1.E113.m1.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="A1.E113.m1.1.1.3" xref="A1.E113.m1.1.1.3.cmml"><munder id="A1.E113.m1.1.1.3.1" xref="A1.E113.m1.1.1.3.1.cmml"><mo id="A1.E113.m1.1.1.3.1.2" movablelimits="false" xref="A1.E113.m1.1.1.3.1.2.cmml">∑</mo><mi id="A1.E113.m1.1.1.3.1.3" xref="A1.E113.m1.1.1.3.1.3.cmml">j</mi></munder><msubsup id="A1.E113.m1.1.1.3.2" xref="A1.E113.m1.1.1.3.2.cmml"><mi id="A1.E113.m1.1.1.3.2.2.2" xref="A1.E113.m1.1.1.3.2.2.2.cmml">λ</mi><mi id="A1.E113.m1.1.1.3.2.2.3" xref="A1.E113.m1.1.1.3.2.2.3.cmml">j</mi><mrow id="A1.E113.m1.1.1.3.2.3" xref="A1.E113.m1.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="A1.E113.m1.1.1.3.2.3.2" mathvariant="normal" xref="A1.E113.m1.1.1.3.2.3.2.cmml">ℓ</mi><mo id="A1.E113.m1.1.1.3.2.3.1" xref="A1.E113.m1.1.1.3.2.3.1.cmml">−</mo><mn id="A1.E113.m1.1.1.3.2.3.3" xref="A1.E113.m1.1.1.3.2.3.3.cmml">1</mn></mrow></msubsup></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.E113.m1.1b"><apply id="A1.E113.m1.1.1.cmml" xref="A1.E113.m1.1.1"><eq id="A1.E113.m1.1.1.2.cmml" xref="A1.E113.m1.1.1.2"></eq><apply id="A1.E113.m1.1.1.1.cmml" xref="A1.E113.m1.1.1.1"><times id="A1.E113.m1.1.1.1.2.cmml" 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xref="A1.E113.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E113.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.E113.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A1.E113.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.E113.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝐿</ci><ci id="A1.E113.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A1.E113.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑂</ci></apply><apply id="A1.E113.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="A1.E113.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E113.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="A1.E113.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="A1.E113.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="A1.E113.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2">𝐿</ci><ci id="A1.E113.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml" xref="A1.E113.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3">𝐸</ci></apply></apply><apply id="A1.E113.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.E113.m1.1.1.1.1.1.1.3"><minus id="A1.E113.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.E113.m1.1.1.1.1.1.1.3.1"></minus><ci id="A1.E113.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.E113.m1.1.1.1.1.1.1.3.2">ℓ</ci><cn id="A1.E113.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="A1.E113.m1.1.1.1.1.1.1.3.3">1</cn></apply></apply></apply><apply id="A1.E113.m1.1.1.3.cmml" xref="A1.E113.m1.1.1.3"><apply id="A1.E113.m1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.E113.m1.1.1.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E113.m1.1.1.3.1.1.cmml" xref="A1.E113.m1.1.1.3.1">subscript</csymbol><sum id="A1.E113.m1.1.1.3.1.2.cmml" xref="A1.E113.m1.1.1.3.1.2"></sum><ci id="A1.E113.m1.1.1.3.1.3.cmml" xref="A1.E113.m1.1.1.3.1.3">𝑗</ci></apply><apply id="A1.E113.m1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.E113.m1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E113.m1.1.1.3.2.1.cmml" xref="A1.E113.m1.1.1.3.2">superscript</csymbol><apply id="A1.E113.m1.1.1.3.2.2.cmml" xref="A1.E113.m1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E113.m1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="A1.E113.m1.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="A1.E113.m1.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="A1.E113.m1.1.1.3.2.2.2">𝜆</ci><ci id="A1.E113.m1.1.1.3.2.2.3.cmml" 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1 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(113)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="A1.6.p1.10">where <math alttext="j" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.6.p1.4.m1.1"><semantics id="A1.6.p1.4.m1.1a"><mi id="A1.6.p1.4.m1.1.1" xref="A1.6.p1.4.m1.1.1.cmml">j</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.6.p1.4.m1.1b"><ci id="A1.6.p1.4.m1.1.1.cmml" xref="A1.6.p1.4.m1.1.1">𝑗</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.6.p1.4.m1.1c">j</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.6.p1.4.m1.1d">italic_j</annotation></semantics></math> runs over all eigenvalues of <math alttext="L_{E}L_{O}L_{E}" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.6.p1.5.m2.1"><semantics id="A1.6.p1.5.m2.1a"><mrow id="A1.6.p1.5.m2.1.1" xref="A1.6.p1.5.m2.1.1.cmml"><msub id="A1.6.p1.5.m2.1.1.2" xref="A1.6.p1.5.m2.1.1.2.cmml"><mi id="A1.6.p1.5.m2.1.1.2.2" xref="A1.6.p1.5.m2.1.1.2.2.cmml">L</mi><mi id="A1.6.p1.5.m2.1.1.2.3" xref="A1.6.p1.5.m2.1.1.2.3.cmml">E</mi></msub><mo id="A1.6.p1.5.m2.1.1.1" xref="A1.6.p1.5.m2.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="A1.6.p1.5.m2.1.1.3" xref="A1.6.p1.5.m2.1.1.3.cmml"><mi id="A1.6.p1.5.m2.1.1.3.2" xref="A1.6.p1.5.m2.1.1.3.2.cmml">L</mi><mi id="A1.6.p1.5.m2.1.1.3.3" xref="A1.6.p1.5.m2.1.1.3.3.cmml">O</mi></msub><mo id="A1.6.p1.5.m2.1.1.1a" xref="A1.6.p1.5.m2.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="A1.6.p1.5.m2.1.1.4" xref="A1.6.p1.5.m2.1.1.4.cmml"><mi id="A1.6.p1.5.m2.1.1.4.2" xref="A1.6.p1.5.m2.1.1.4.2.cmml">L</mi><mi id="A1.6.p1.5.m2.1.1.4.3" xref="A1.6.p1.5.m2.1.1.4.3.cmml">E</mi></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.6.p1.5.m2.1b"><apply id="A1.6.p1.5.m2.1.1.cmml" xref="A1.6.p1.5.m2.1.1"><times id="A1.6.p1.5.m2.1.1.1.cmml" xref="A1.6.p1.5.m2.1.1.1"></times><apply id="A1.6.p1.5.m2.1.1.2.cmml" xref="A1.6.p1.5.m2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.6.p1.5.m2.1.1.2.1.cmml" xref="A1.6.p1.5.m2.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="A1.6.p1.5.m2.1.1.2.2.cmml" xref="A1.6.p1.5.m2.1.1.2.2">𝐿</ci><ci id="A1.6.p1.5.m2.1.1.2.3.cmml" xref="A1.6.p1.5.m2.1.1.2.3">𝐸</ci></apply><apply id="A1.6.p1.5.m2.1.1.3.cmml" xref="A1.6.p1.5.m2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.6.p1.5.m2.1.1.3.1.cmml" xref="A1.6.p1.5.m2.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A1.6.p1.5.m2.1.1.3.2.cmml" xref="A1.6.p1.5.m2.1.1.3.2">𝐿</ci><ci id="A1.6.p1.5.m2.1.1.3.3.cmml" xref="A1.6.p1.5.m2.1.1.3.3">𝑂</ci></apply><apply id="A1.6.p1.5.m2.1.1.4.cmml" xref="A1.6.p1.5.m2.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.6.p1.5.m2.1.1.4.1.cmml" xref="A1.6.p1.5.m2.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="A1.6.p1.5.m2.1.1.4.2.cmml" xref="A1.6.p1.5.m2.1.1.4.2">𝐿</ci><ci id="A1.6.p1.5.m2.1.1.4.3.cmml" xref="A1.6.p1.5.m2.1.1.4.3">𝐸</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.6.p1.5.m2.1c">L_{E}L_{O}L_{E}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.6.p1.5.m2.1d">italic_L start_POSTSUBSCRIPT italic_E end_POSTSUBSCRIPT italic_L start_POSTSUBSCRIPT italic_O end_POSTSUBSCRIPT italic_L start_POSTSUBSCRIPT italic_E end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>. There are <math alttext="t!" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.6.p1.6.m3.1"><semantics id="A1.6.p1.6.m3.1a"><mrow id="A1.6.p1.6.m3.1.1" xref="A1.6.p1.6.m3.1.1.cmml"><mi id="A1.6.p1.6.m3.1.1.2" xref="A1.6.p1.6.m3.1.1.2.cmml">t</mi><mo id="A1.6.p1.6.m3.1.1.1" xref="A1.6.p1.6.m3.1.1.1.cmml">!</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.6.p1.6.m3.1b"><apply id="A1.6.p1.6.m3.1.1.cmml" xref="A1.6.p1.6.m3.1.1"><factorial id="A1.6.p1.6.m3.1.1.1.cmml" xref="A1.6.p1.6.m3.1.1.1"></factorial><ci id="A1.6.p1.6.m3.1.1.2.cmml" xref="A1.6.p1.6.m3.1.1.2">𝑡</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.6.p1.6.m3.1c">t!</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.6.p1.6.m3.1d">italic_t !</annotation></semantics></math> unit eigenvalues, which become <math alttext="\mathcal{F}_{\text{Haar}}" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.6.p1.7.m4.1"><semantics id="A1.6.p1.7.m4.1a"><msub id="A1.6.p1.7.m4.1.1" xref="A1.6.p1.7.m4.1.1.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="A1.6.p1.7.m4.1.1.2" xref="A1.6.p1.7.m4.1.1.2.cmml">ℱ</mi><mtext id="A1.6.p1.7.m4.1.1.3" xref="A1.6.p1.7.m4.1.1.3a.cmml">Haar</mtext></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.6.p1.7.m4.1b"><apply id="A1.6.p1.7.m4.1.1.cmml" xref="A1.6.p1.7.m4.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.6.p1.7.m4.1.1.1.cmml" xref="A1.6.p1.7.m4.1.1">subscript</csymbol><ci id="A1.6.p1.7.m4.1.1.2.cmml" xref="A1.6.p1.7.m4.1.1.2">ℱ</ci><ci id="A1.6.p1.7.m4.1.1.3a.cmml" xref="A1.6.p1.7.m4.1.1.3"><mtext id="A1.6.p1.7.m4.1.1.3.cmml" mathsize="70%" xref="A1.6.p1.7.m4.1.1.3">Haar</mtext></ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.6.p1.7.m4.1c">\mathcal{F}_{\text{Haar}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.6.p1.7.m4.1d">caligraphic_F start_POSTSUBSCRIPT Haar end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, and every other eigenvalue is bounded by <math alttext="\lambda_{*}" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.6.p1.8.m5.1"><semantics id="A1.6.p1.8.m5.1a"><msub id="A1.6.p1.8.m5.1.1" xref="A1.6.p1.8.m5.1.1.cmml"><mi id="A1.6.p1.8.m5.1.1.2" xref="A1.6.p1.8.m5.1.1.2.cmml">λ</mi><mo id="A1.6.p1.8.m5.1.1.3" xref="A1.6.p1.8.m5.1.1.3.cmml">∗</mo></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.6.p1.8.m5.1b"><apply id="A1.6.p1.8.m5.1.1.cmml" xref="A1.6.p1.8.m5.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.6.p1.8.m5.1.1.1.cmml" xref="A1.6.p1.8.m5.1.1">subscript</csymbol><ci id="A1.6.p1.8.m5.1.1.2.cmml" xref="A1.6.p1.8.m5.1.1.2">𝜆</ci><times id="A1.6.p1.8.m5.1.1.3.cmml" xref="A1.6.p1.8.m5.1.1.3"></times></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.6.p1.8.m5.1c">\lambda_{*}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.6.p1.8.m5.1d">italic_λ start_POSTSUBSCRIPT ∗ end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>. As the dimension of the system is <math alttext="q^{2Nt}" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.6.p1.9.m6.1"><semantics id="A1.6.p1.9.m6.1a"><msup id="A1.6.p1.9.m6.1.1" xref="A1.6.p1.9.m6.1.1.cmml"><mi id="A1.6.p1.9.m6.1.1.2" xref="A1.6.p1.9.m6.1.1.2.cmml">q</mi><mrow id="A1.6.p1.9.m6.1.1.3" xref="A1.6.p1.9.m6.1.1.3.cmml"><mn id="A1.6.p1.9.m6.1.1.3.2" xref="A1.6.p1.9.m6.1.1.3.2.cmml">2</mn><mo id="A1.6.p1.9.m6.1.1.3.1" xref="A1.6.p1.9.m6.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.6.p1.9.m6.1.1.3.3" xref="A1.6.p1.9.m6.1.1.3.3.cmml">N</mi><mo id="A1.6.p1.9.m6.1.1.3.1a" xref="A1.6.p1.9.m6.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.6.p1.9.m6.1.1.3.4" xref="A1.6.p1.9.m6.1.1.3.4.cmml">t</mi></mrow></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.6.p1.9.m6.1b"><apply id="A1.6.p1.9.m6.1.1.cmml" xref="A1.6.p1.9.m6.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.6.p1.9.m6.1.1.1.cmml" xref="A1.6.p1.9.m6.1.1">superscript</csymbol><ci id="A1.6.p1.9.m6.1.1.2.cmml" xref="A1.6.p1.9.m6.1.1.2">𝑞</ci><apply id="A1.6.p1.9.m6.1.1.3.cmml" xref="A1.6.p1.9.m6.1.1.3"><times id="A1.6.p1.9.m6.1.1.3.1.cmml" xref="A1.6.p1.9.m6.1.1.3.1"></times><cn id="A1.6.p1.9.m6.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="A1.6.p1.9.m6.1.1.3.2">2</cn><ci id="A1.6.p1.9.m6.1.1.3.3.cmml" xref="A1.6.p1.9.m6.1.1.3.3">𝑁</ci><ci id="A1.6.p1.9.m6.1.1.3.4.cmml" xref="A1.6.p1.9.m6.1.1.3.4">𝑡</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.6.p1.9.m6.1c">q^{2Nt}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.6.p1.9.m6.1d">italic_q start_POSTSUPERSCRIPT 2 italic_N italic_t end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>, there are <math alttext="q^{2Nt}" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.6.p1.10.m7.1"><semantics id="A1.6.p1.10.m7.1a"><msup id="A1.6.p1.10.m7.1.1" xref="A1.6.p1.10.m7.1.1.cmml"><mi id="A1.6.p1.10.m7.1.1.2" xref="A1.6.p1.10.m7.1.1.2.cmml">q</mi><mrow id="A1.6.p1.10.m7.1.1.3" xref="A1.6.p1.10.m7.1.1.3.cmml"><mn id="A1.6.p1.10.m7.1.1.3.2" xref="A1.6.p1.10.m7.1.1.3.2.cmml">2</mn><mo id="A1.6.p1.10.m7.1.1.3.1" xref="A1.6.p1.10.m7.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.6.p1.10.m7.1.1.3.3" xref="A1.6.p1.10.m7.1.1.3.3.cmml">N</mi><mo id="A1.6.p1.10.m7.1.1.3.1a" xref="A1.6.p1.10.m7.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.6.p1.10.m7.1.1.3.4" xref="A1.6.p1.10.m7.1.1.3.4.cmml">t</mi></mrow></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.6.p1.10.m7.1b"><apply id="A1.6.p1.10.m7.1.1.cmml" xref="A1.6.p1.10.m7.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.6.p1.10.m7.1.1.1.cmml" xref="A1.6.p1.10.m7.1.1">superscript</csymbol><ci id="A1.6.p1.10.m7.1.1.2.cmml" xref="A1.6.p1.10.m7.1.1.2">𝑞</ci><apply id="A1.6.p1.10.m7.1.1.3.cmml" xref="A1.6.p1.10.m7.1.1.3"><times id="A1.6.p1.10.m7.1.1.3.1.cmml" xref="A1.6.p1.10.m7.1.1.3.1"></times><cn id="A1.6.p1.10.m7.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="A1.6.p1.10.m7.1.1.3.2">2</cn><ci id="A1.6.p1.10.m7.1.1.3.3.cmml" xref="A1.6.p1.10.m7.1.1.3.3">𝑁</ci><ci id="A1.6.p1.10.m7.1.1.3.4.cmml" xref="A1.6.p1.10.m7.1.1.3.4">𝑡</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.6.p1.10.m7.1c">q^{2Nt}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.6.p1.10.m7.1d">italic_q start_POSTSUPERSCRIPT 2 italic_N italic_t end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> eigenvalues in total, so</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="S6.EGx100"> <tbody id="A1.Ex46"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\mathcal{F}_{\varepsilon}(\ell)" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.Ex46.m1.1"><semantics id="A1.Ex46.m1.1a"><mrow id="A1.Ex46.m1.1.2" xref="A1.Ex46.m1.1.2.cmml"><msub id="A1.Ex46.m1.1.2.2" xref="A1.Ex46.m1.1.2.2.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="A1.Ex46.m1.1.2.2.2" xref="A1.Ex46.m1.1.2.2.2.cmml">ℱ</mi><mi id="A1.Ex46.m1.1.2.2.3" xref="A1.Ex46.m1.1.2.2.3.cmml">ε</mi></msub><mo id="A1.Ex46.m1.1.2.1" xref="A1.Ex46.m1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex46.m1.1.2.3.2" xref="A1.Ex46.m1.1.2.cmml"><mo id="A1.Ex46.m1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.Ex46.m1.1.2.cmml">(</mo><mi id="A1.Ex46.m1.1.1" mathvariant="normal" xref="A1.Ex46.m1.1.1.cmml">ℓ</mi><mo id="A1.Ex46.m1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="A1.Ex46.m1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.Ex46.m1.1b"><apply id="A1.Ex46.m1.1.2.cmml" xref="A1.Ex46.m1.1.2"><times id="A1.Ex46.m1.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex46.m1.1.2.1"></times><apply id="A1.Ex46.m1.1.2.2.cmml" xref="A1.Ex46.m1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex46.m1.1.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex46.m1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex46.m1.1.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex46.m1.1.2.2.2">ℱ</ci><ci id="A1.Ex46.m1.1.2.2.3.cmml" xref="A1.Ex46.m1.1.2.2.3">𝜀</ci></apply><ci id="A1.Ex46.m1.1.1.cmml" xref="A1.Ex46.m1.1.1">ℓ</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.Ex46.m1.1c">\displaystyle\mathcal{F}_{\varepsilon}(\ell)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.Ex46.m1.1d">caligraphic_F start_POSTSUBSCRIPT italic_ε end_POSTSUBSCRIPT ( roman_ℓ )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\leq t!+(q^{2Nt}-t!)\lambda_{*}^{\ell-1}" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.Ex46.m2.1"><semantics id="A1.Ex46.m2.1a"><mrow id="A1.Ex46.m2.1.1" xref="A1.Ex46.m2.1.1.cmml"><mi id="A1.Ex46.m2.1.1.3" xref="A1.Ex46.m2.1.1.3.cmml"></mi><mo id="A1.Ex46.m2.1.1.2" xref="A1.Ex46.m2.1.1.2.cmml">≤</mo><mrow id="A1.Ex46.m2.1.1.1" xref="A1.Ex46.m2.1.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex46.m2.1.1.1.3" xref="A1.Ex46.m2.1.1.1.3.cmml"><mi id="A1.Ex46.m2.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex46.m2.1.1.1.3.2.cmml">t</mi><mo id="A1.Ex46.m2.1.1.1.3.1" xref="A1.Ex46.m2.1.1.1.3.1.cmml">!</mo></mrow><mo id="A1.Ex46.m2.1.1.1.2" xref="A1.Ex46.m2.1.1.1.2.cmml">+</mo><mrow id="A1.Ex46.m2.1.1.1.1" xref="A1.Ex46.m2.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex46.m2.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex46.m2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex46.m2.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.Ex46.m2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.Ex46.m2.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex46.m2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msup id="A1.Ex46.m2.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex46.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="A1.Ex46.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="A1.Ex46.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">q</mi><mrow id="A1.Ex46.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="A1.Ex46.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mn id="A1.Ex46.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="A1.Ex46.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">2</mn><mo id="A1.Ex46.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1" xref="A1.Ex46.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex46.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="A1.Ex46.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">N</mi><mo id="A1.Ex46.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1a" xref="A1.Ex46.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex46.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.3.4" xref="A1.Ex46.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.3.4.cmml">t</mi></mrow></msup><mo id="A1.Ex46.m2.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex46.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="A1.Ex46.m2.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex46.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A1.Ex46.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex46.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">t</mi><mo id="A1.Ex46.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="A1.Ex46.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">!</mo></mrow></mrow><mo id="A1.Ex46.m2.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.Ex46.m2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A1.Ex46.m2.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex46.m2.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msubsup id="A1.Ex46.m2.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex46.m2.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A1.Ex46.m2.1.1.1.1.3.2.2" xref="A1.Ex46.m2.1.1.1.1.3.2.2.cmml">λ</mi><mo id="A1.Ex46.m2.1.1.1.1.3.2.3" xref="A1.Ex46.m2.1.1.1.1.3.2.3.cmml">∗</mo><mrow id="A1.Ex46.m2.1.1.1.1.3.3" xref="A1.Ex46.m2.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="A1.Ex46.m2.1.1.1.1.3.3.2" mathvariant="normal" xref="A1.Ex46.m2.1.1.1.1.3.3.2.cmml">ℓ</mi><mo id="A1.Ex46.m2.1.1.1.1.3.3.1" xref="A1.Ex46.m2.1.1.1.1.3.3.1.cmml">−</mo><mn id="A1.Ex46.m2.1.1.1.1.3.3.3" xref="A1.Ex46.m2.1.1.1.1.3.3.3.cmml">1</mn></mrow></msubsup></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.Ex46.m2.1b"><apply id="A1.Ex46.m2.1.1.cmml" xref="A1.Ex46.m2.1.1"><leq id="A1.Ex46.m2.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex46.m2.1.1.2"></leq><csymbol cd="latexml" id="A1.Ex46.m2.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex46.m2.1.1.3">absent</csymbol><apply id="A1.Ex46.m2.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex46.m2.1.1.1"><plus id="A1.Ex46.m2.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex46.m2.1.1.1.2"></plus><apply id="A1.Ex46.m2.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex46.m2.1.1.1.3"><factorial id="A1.Ex46.m2.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.Ex46.m2.1.1.1.3.1"></factorial><ci id="A1.Ex46.m2.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.Ex46.m2.1.1.1.3.2">𝑡</ci></apply><apply id="A1.Ex46.m2.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex46.m2.1.1.1.1"><times id="A1.Ex46.m2.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex46.m2.1.1.1.1.2"></times><apply id="A1.Ex46.m2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex46.m2.1.1.1.1.1.1"><minus id="A1.Ex46.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" 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id="Thmtheorem52.1.1.1">Lemma 52</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmtheorem52.2.2">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="Thmtheorem52.p1"> <p class="ltx_p" id="Thmtheorem52.p1.2"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmtheorem52.p1.2.2">Let <math alttext="\lambda(\ell,N,q,t)" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem52.p1.1.1.m1.4"><semantics id="Thmtheorem52.p1.1.1.m1.4a"><mrow id="Thmtheorem52.p1.1.1.m1.4.5" xref="Thmtheorem52.p1.1.1.m1.4.5.cmml"><mi id="Thmtheorem52.p1.1.1.m1.4.5.2" xref="Thmtheorem52.p1.1.1.m1.4.5.2.cmml">λ</mi><mo id="Thmtheorem52.p1.1.1.m1.4.5.1" xref="Thmtheorem52.p1.1.1.m1.4.5.1.cmml">⁢</mo><mrow id="Thmtheorem52.p1.1.1.m1.4.5.3.2" xref="Thmtheorem52.p1.1.1.m1.4.5.3.1.cmml"><mo id="Thmtheorem52.p1.1.1.m1.4.5.3.2.1" stretchy="false" xref="Thmtheorem52.p1.1.1.m1.4.5.3.1.cmml">(</mo><mi id="Thmtheorem52.p1.1.1.m1.1.1" mathvariant="normal" xref="Thmtheorem52.p1.1.1.m1.1.1.cmml">ℓ</mi><mo id="Thmtheorem52.p1.1.1.m1.4.5.3.2.2" xref="Thmtheorem52.p1.1.1.m1.4.5.3.1.cmml">,</mo><mi id="Thmtheorem52.p1.1.1.m1.2.2" xref="Thmtheorem52.p1.1.1.m1.2.2.cmml">N</mi><mo id="Thmtheorem52.p1.1.1.m1.4.5.3.2.3" xref="Thmtheorem52.p1.1.1.m1.4.5.3.1.cmml">,</mo><mi id="Thmtheorem52.p1.1.1.m1.3.3" xref="Thmtheorem52.p1.1.1.m1.3.3.cmml">q</mi><mo id="Thmtheorem52.p1.1.1.m1.4.5.3.2.4" xref="Thmtheorem52.p1.1.1.m1.4.5.3.1.cmml">,</mo><mi id="Thmtheorem52.p1.1.1.m1.4.4" xref="Thmtheorem52.p1.1.1.m1.4.4.cmml">t</mi><mo id="Thmtheorem52.p1.1.1.m1.4.5.3.2.5" stretchy="false" xref="Thmtheorem52.p1.1.1.m1.4.5.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem52.p1.1.1.m1.4b"><apply id="Thmtheorem52.p1.1.1.m1.4.5.cmml" xref="Thmtheorem52.p1.1.1.m1.4.5"><times id="Thmtheorem52.p1.1.1.m1.4.5.1.cmml" xref="Thmtheorem52.p1.1.1.m1.4.5.1"></times><ci id="Thmtheorem52.p1.1.1.m1.4.5.2.cmml" xref="Thmtheorem52.p1.1.1.m1.4.5.2">𝜆</ci><vector id="Thmtheorem52.p1.1.1.m1.4.5.3.1.cmml" xref="Thmtheorem52.p1.1.1.m1.4.5.3.2"><ci id="Thmtheorem52.p1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem52.p1.1.1.m1.1.1">ℓ</ci><ci id="Thmtheorem52.p1.1.1.m1.2.2.cmml" xref="Thmtheorem52.p1.1.1.m1.2.2">𝑁</ci><ci id="Thmtheorem52.p1.1.1.m1.3.3.cmml" xref="Thmtheorem52.p1.1.1.m1.3.3">𝑞</ci><ci id="Thmtheorem52.p1.1.1.m1.4.4.cmml" xref="Thmtheorem52.p1.1.1.m1.4.4">𝑡</ci></vector></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem52.p1.1.1.m1.4c">\lambda(\ell,N,q,t)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem52.p1.1.1.m1.4d">italic_λ ( roman_ℓ , italic_N , italic_q , italic_t )</annotation></semantics></math> be the largest non-unit eigenvalue of the <math alttext="\ell" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem52.p1.2.2.m2.1"><semantics id="Thmtheorem52.p1.2.2.m2.1a"><mi id="Thmtheorem52.p1.2.2.m2.1.1" mathvariant="normal" xref="Thmtheorem52.p1.2.2.m2.1.1.cmml">ℓ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem52.p1.2.2.m2.1b"><ci id="Thmtheorem52.p1.2.2.m2.1.1.cmml" xref="Thmtheorem52.p1.2.2.m2.1.1">ℓ</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem52.p1.2.2.m2.1c">\ell</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem52.p1.2.2.m2.1d">roman_ℓ</annotation></semantics></math>-layer brickwork. Then</span></p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="A1.Ex47"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\lambda(\ell,N,q,t)=\lambda(2,N,q,t)^{\lfloor\ell/2\rfloor}" class="ltx_Math" display="block" id="A1.Ex47.m1.9"><semantics id="A1.Ex47.m1.9a"><mrow id="A1.Ex47.m1.9.10" xref="A1.Ex47.m1.9.10.cmml"><mrow id="A1.Ex47.m1.9.10.2" xref="A1.Ex47.m1.9.10.2.cmml"><mi id="A1.Ex47.m1.9.10.2.2" xref="A1.Ex47.m1.9.10.2.2.cmml">λ</mi><mo id="A1.Ex47.m1.9.10.2.1" xref="A1.Ex47.m1.9.10.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex47.m1.9.10.2.3.2" xref="A1.Ex47.m1.9.10.2.3.1.cmml"><mo id="A1.Ex47.m1.9.10.2.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.Ex47.m1.9.10.2.3.1.cmml">(</mo><mi id="A1.Ex47.m1.2.2" mathvariant="normal" xref="A1.Ex47.m1.2.2.cmml">ℓ</mi><mo id="A1.Ex47.m1.9.10.2.3.2.2" xref="A1.Ex47.m1.9.10.2.3.1.cmml">,</mo><mi id="A1.Ex47.m1.3.3" xref="A1.Ex47.m1.3.3.cmml">N</mi><mo id="A1.Ex47.m1.9.10.2.3.2.3" xref="A1.Ex47.m1.9.10.2.3.1.cmml">,</mo><mi id="A1.Ex47.m1.4.4" xref="A1.Ex47.m1.4.4.cmml">q</mi><mo id="A1.Ex47.m1.9.10.2.3.2.4" xref="A1.Ex47.m1.9.10.2.3.1.cmml">,</mo><mi id="A1.Ex47.m1.5.5" xref="A1.Ex47.m1.5.5.cmml">t</mi><mo id="A1.Ex47.m1.9.10.2.3.2.5" stretchy="false" xref="A1.Ex47.m1.9.10.2.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A1.Ex47.m1.9.10.1" xref="A1.Ex47.m1.9.10.1.cmml">=</mo><mrow id="A1.Ex47.m1.9.10.3" xref="A1.Ex47.m1.9.10.3.cmml"><mi id="A1.Ex47.m1.9.10.3.2" xref="A1.Ex47.m1.9.10.3.2.cmml">λ</mi><mo id="A1.Ex47.m1.9.10.3.1" xref="A1.Ex47.m1.9.10.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="A1.Ex47.m1.9.10.3.3" xref="A1.Ex47.m1.9.10.3.3.cmml"><mrow id="A1.Ex47.m1.9.10.3.3.2.2" xref="A1.Ex47.m1.9.10.3.3.2.1.cmml"><mo id="A1.Ex47.m1.9.10.3.3.2.2.1" stretchy="false" xref="A1.Ex47.m1.9.10.3.3.2.1.cmml">(</mo><mn id="A1.Ex47.m1.6.6" xref="A1.Ex47.m1.6.6.cmml">2</mn><mo id="A1.Ex47.m1.9.10.3.3.2.2.2" xref="A1.Ex47.m1.9.10.3.3.2.1.cmml">,</mo><mi id="A1.Ex47.m1.7.7" xref="A1.Ex47.m1.7.7.cmml">N</mi><mo id="A1.Ex47.m1.9.10.3.3.2.2.3" xref="A1.Ex47.m1.9.10.3.3.2.1.cmml">,</mo><mi id="A1.Ex47.m1.8.8" xref="A1.Ex47.m1.8.8.cmml">q</mi><mo id="A1.Ex47.m1.9.10.3.3.2.2.4" xref="A1.Ex47.m1.9.10.3.3.2.1.cmml">,</mo><mi id="A1.Ex47.m1.9.9" xref="A1.Ex47.m1.9.9.cmml">t</mi><mo id="A1.Ex47.m1.9.10.3.3.2.2.5" stretchy="false" xref="A1.Ex47.m1.9.10.3.3.2.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="A1.Ex47.m1.1.1.1.1" xref="A1.Ex47.m1.1.1.1.2.cmml"><mo id="A1.Ex47.m1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.Ex47.m1.1.1.1.2.1.cmml">⌊</mo><mrow id="A1.Ex47.m1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex47.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A1.Ex47.m1.1.1.1.1.1.2" mathvariant="normal" xref="A1.Ex47.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">ℓ</mi><mo id="A1.Ex47.m1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex47.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">/</mo><mn id="A1.Ex47.m1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex47.m1.1.1.1.1.1.3.cmml">2</mn></mrow><mo id="A1.Ex47.m1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.Ex47.m1.1.1.1.2.1.cmml">⌋</mo></mrow></msup></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.Ex47.m1.9b"><apply id="A1.Ex47.m1.9.10.cmml" xref="A1.Ex47.m1.9.10"><eq id="A1.Ex47.m1.9.10.1.cmml" xref="A1.Ex47.m1.9.10.1"></eq><apply id="A1.Ex47.m1.9.10.2.cmml" xref="A1.Ex47.m1.9.10.2"><times id="A1.Ex47.m1.9.10.2.1.cmml" xref="A1.Ex47.m1.9.10.2.1"></times><ci id="A1.Ex47.m1.9.10.2.2.cmml" xref="A1.Ex47.m1.9.10.2.2">𝜆</ci><vector id="A1.Ex47.m1.9.10.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex47.m1.9.10.2.3.2"><ci id="A1.Ex47.m1.2.2.cmml" xref="A1.Ex47.m1.2.2">ℓ</ci><ci id="A1.Ex47.m1.3.3.cmml" xref="A1.Ex47.m1.3.3">𝑁</ci><ci id="A1.Ex47.m1.4.4.cmml" xref="A1.Ex47.m1.4.4">𝑞</ci><ci id="A1.Ex47.m1.5.5.cmml" xref="A1.Ex47.m1.5.5">𝑡</ci></vector></apply><apply id="A1.Ex47.m1.9.10.3.cmml" xref="A1.Ex47.m1.9.10.3"><times id="A1.Ex47.m1.9.10.3.1.cmml" xref="A1.Ex47.m1.9.10.3.1"></times><ci id="A1.Ex47.m1.9.10.3.2.cmml" xref="A1.Ex47.m1.9.10.3.2">𝜆</ci><apply id="A1.Ex47.m1.9.10.3.3.cmml" xref="A1.Ex47.m1.9.10.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex47.m1.9.10.3.3.1.cmml" xref="A1.Ex47.m1.9.10.3.3">superscript</csymbol><vector id="A1.Ex47.m1.9.10.3.3.2.1.cmml" xref="A1.Ex47.m1.9.10.3.3.2.2"><cn id="A1.Ex47.m1.6.6.cmml" type="integer" xref="A1.Ex47.m1.6.6">2</cn><ci id="A1.Ex47.m1.7.7.cmml" xref="A1.Ex47.m1.7.7">𝑁</ci><ci id="A1.Ex47.m1.8.8.cmml" xref="A1.Ex47.m1.8.8">𝑞</ci><ci id="A1.Ex47.m1.9.9.cmml" xref="A1.Ex47.m1.9.9">𝑡</ci></vector><apply id="A1.Ex47.m1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex47.m1.1.1.1.1"><floor id="A1.Ex47.m1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex47.m1.1.1.1.1.2"></floor><apply id="A1.Ex47.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex47.m1.1.1.1.1.1"><divide id="A1.Ex47.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex47.m1.1.1.1.1.1.1"></divide><ci id="A1.Ex47.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex47.m1.1.1.1.1.1.2">ℓ</ci><cn id="A1.Ex47.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A1.Ex47.m1.1.1.1.1.1.3">2</cn></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.Ex47.m1.9c">\lambda(\ell,N,q,t)=\lambda(2,N,q,t)^{\lfloor\ell/2\rfloor}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.Ex47.m1.9d">italic_λ ( roman_ℓ , italic_N , italic_q , italic_t ) = italic_λ ( 2 , italic_N , italic_q , italic_t ) start_POSTSUPERSCRIPT ⌊ roman_ℓ / 2 ⌋ end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> </div> </div> <div class="ltx_proof" id="A1.7"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_font_italic ltx_title_proof">Proof.</h6> <div class="ltx_para" id="A1.7.p1"> <p class="ltx_p" id="A1.7.p1.9">Suppose first that <math alttext="\ell" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.7.p1.1.m1.1"><semantics id="A1.7.p1.1.m1.1a"><mi id="A1.7.p1.1.m1.1.1" mathvariant="normal" xref="A1.7.p1.1.m1.1.1.cmml">ℓ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.7.p1.1.m1.1b"><ci id="A1.7.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="A1.7.p1.1.m1.1.1">ℓ</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.7.p1.1.m1.1c">\ell</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.7.p1.1.m1.1d">roman_ℓ</annotation></semantics></math> is even. Then the <math alttext="\ell" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.7.p1.2.m2.1"><semantics id="A1.7.p1.2.m2.1a"><mi id="A1.7.p1.2.m2.1.1" mathvariant="normal" xref="A1.7.p1.2.m2.1.1.cmml">ℓ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.7.p1.2.m2.1b"><ci id="A1.7.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="A1.7.p1.2.m2.1.1">ℓ</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.7.p1.2.m2.1c">\ell</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.7.p1.2.m2.1d">roman_ℓ</annotation></semantics></math>-layer moment operator is the <math alttext="(\ell/2)" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.7.p1.3.m3.1"><semantics id="A1.7.p1.3.m3.1a"><mrow id="A1.7.p1.3.m3.1.1.1" xref="A1.7.p1.3.m3.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.7.p1.3.m3.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.7.p1.3.m3.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.7.p1.3.m3.1.1.1.1" xref="A1.7.p1.3.m3.1.1.1.1.cmml"><mi id="A1.7.p1.3.m3.1.1.1.1.2" mathvariant="normal" xref="A1.7.p1.3.m3.1.1.1.1.2.cmml">ℓ</mi><mo id="A1.7.p1.3.m3.1.1.1.1.1" xref="A1.7.p1.3.m3.1.1.1.1.1.cmml">/</mo><mn id="A1.7.p1.3.m3.1.1.1.1.3" xref="A1.7.p1.3.m3.1.1.1.1.3.cmml">2</mn></mrow><mo id="A1.7.p1.3.m3.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.7.p1.3.m3.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.7.p1.3.m3.1b"><apply id="A1.7.p1.3.m3.1.1.1.1.cmml" xref="A1.7.p1.3.m3.1.1.1"><divide id="A1.7.p1.3.m3.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.7.p1.3.m3.1.1.1.1.1"></divide><ci id="A1.7.p1.3.m3.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.7.p1.3.m3.1.1.1.1.2">ℓ</ci><cn id="A1.7.p1.3.m3.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A1.7.p1.3.m3.1.1.1.1.3">2</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.7.p1.3.m3.1c">(\ell/2)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.7.p1.3.m3.1d">( roman_ℓ / 2 )</annotation></semantics></math><sup class="ltx_sup" id="A1.7.p1.9.1">th</sup> power of the <math alttext="2" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.7.p1.4.m4.1"><semantics id="A1.7.p1.4.m4.1a"><mn id="A1.7.p1.4.m4.1.1" xref="A1.7.p1.4.m4.1.1.cmml">2</mn><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.7.p1.4.m4.1b"><cn id="A1.7.p1.4.m4.1.1.cmml" type="integer" xref="A1.7.p1.4.m4.1.1">2</cn></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.7.p1.4.m4.1c">2</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.7.p1.4.m4.1d">2</annotation></semantics></math>-layer moment operator. It follows that all of its eigenvalues are the same. <br class="ltx_break"/>Now suppose <math alttext="\ell" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.7.p1.5.m5.1"><semantics id="A1.7.p1.5.m5.1a"><mi id="A1.7.p1.5.m5.1.1" mathvariant="normal" xref="A1.7.p1.5.m5.1.1.cmml">ℓ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.7.p1.5.m5.1b"><ci id="A1.7.p1.5.m5.1.1.cmml" xref="A1.7.p1.5.m5.1.1">ℓ</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.7.p1.5.m5.1c">\ell</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.7.p1.5.m5.1d">roman_ℓ</annotation></semantics></math> is odd. Then we may cyclically permute the final <math alttext="L_{E}" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.7.p1.6.m6.1"><semantics id="A1.7.p1.6.m6.1a"><msub id="A1.7.p1.6.m6.1.1" xref="A1.7.p1.6.m6.1.1.cmml"><mi id="A1.7.p1.6.m6.1.1.2" xref="A1.7.p1.6.m6.1.1.2.cmml">L</mi><mi id="A1.7.p1.6.m6.1.1.3" xref="A1.7.p1.6.m6.1.1.3.cmml">E</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.7.p1.6.m6.1b"><apply id="A1.7.p1.6.m6.1.1.cmml" xref="A1.7.p1.6.m6.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.7.p1.6.m6.1.1.1.cmml" xref="A1.7.p1.6.m6.1.1">subscript</csymbol><ci id="A1.7.p1.6.m6.1.1.2.cmml" xref="A1.7.p1.6.m6.1.1.2">𝐿</ci><ci id="A1.7.p1.6.m6.1.1.3.cmml" xref="A1.7.p1.6.m6.1.1.3">𝐸</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.7.p1.6.m6.1c">L_{E}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.7.p1.6.m6.1d">italic_L start_POSTSUBSCRIPT italic_E end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> to the beginning, where it cancels against the initial <math alttext="L_{E}" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.7.p1.7.m7.1"><semantics id="A1.7.p1.7.m7.1a"><msub id="A1.7.p1.7.m7.1.1" xref="A1.7.p1.7.m7.1.1.cmml"><mi id="A1.7.p1.7.m7.1.1.2" xref="A1.7.p1.7.m7.1.1.2.cmml">L</mi><mi id="A1.7.p1.7.m7.1.1.3" xref="A1.7.p1.7.m7.1.1.3.cmml">E</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.7.p1.7.m7.1b"><apply id="A1.7.p1.7.m7.1.1.cmml" xref="A1.7.p1.7.m7.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.7.p1.7.m7.1.1.1.cmml" xref="A1.7.p1.7.m7.1.1">subscript</csymbol><ci id="A1.7.p1.7.m7.1.1.2.cmml" xref="A1.7.p1.7.m7.1.1.2">𝐿</ci><ci id="A1.7.p1.7.m7.1.1.3.cmml" xref="A1.7.p1.7.m7.1.1.3">𝐸</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.7.p1.7.m7.1c">L_{E}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.7.p1.7.m7.1d">italic_L start_POSTSUBSCRIPT italic_E end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> via <math alttext="L_{E}^{2}=L_{E}" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.7.p1.8.m8.1"><semantics id="A1.7.p1.8.m8.1a"><mrow id="A1.7.p1.8.m8.1.1" xref="A1.7.p1.8.m8.1.1.cmml"><msubsup id="A1.7.p1.8.m8.1.1.2" xref="A1.7.p1.8.m8.1.1.2.cmml"><mi id="A1.7.p1.8.m8.1.1.2.2.2" xref="A1.7.p1.8.m8.1.1.2.2.2.cmml">L</mi><mi id="A1.7.p1.8.m8.1.1.2.2.3" xref="A1.7.p1.8.m8.1.1.2.2.3.cmml">E</mi><mn id="A1.7.p1.8.m8.1.1.2.3" xref="A1.7.p1.8.m8.1.1.2.3.cmml">2</mn></msubsup><mo id="A1.7.p1.8.m8.1.1.1" xref="A1.7.p1.8.m8.1.1.1.cmml">=</mo><msub id="A1.7.p1.8.m8.1.1.3" xref="A1.7.p1.8.m8.1.1.3.cmml"><mi id="A1.7.p1.8.m8.1.1.3.2" xref="A1.7.p1.8.m8.1.1.3.2.cmml">L</mi><mi id="A1.7.p1.8.m8.1.1.3.3" xref="A1.7.p1.8.m8.1.1.3.3.cmml">E</mi></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.7.p1.8.m8.1b"><apply id="A1.7.p1.8.m8.1.1.cmml" xref="A1.7.p1.8.m8.1.1"><eq id="A1.7.p1.8.m8.1.1.1.cmml" xref="A1.7.p1.8.m8.1.1.1"></eq><apply id="A1.7.p1.8.m8.1.1.2.cmml" xref="A1.7.p1.8.m8.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.7.p1.8.m8.1.1.2.1.cmml" xref="A1.7.p1.8.m8.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="A1.7.p1.8.m8.1.1.2.2.cmml" xref="A1.7.p1.8.m8.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.7.p1.8.m8.1.1.2.2.1.cmml" xref="A1.7.p1.8.m8.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="A1.7.p1.8.m8.1.1.2.2.2.cmml" xref="A1.7.p1.8.m8.1.1.2.2.2">𝐿</ci><ci id="A1.7.p1.8.m8.1.1.2.2.3.cmml" xref="A1.7.p1.8.m8.1.1.2.2.3">𝐸</ci></apply><cn id="A1.7.p1.8.m8.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="A1.7.p1.8.m8.1.1.2.3">2</cn></apply><apply id="A1.7.p1.8.m8.1.1.3.cmml" xref="A1.7.p1.8.m8.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.7.p1.8.m8.1.1.3.1.cmml" xref="A1.7.p1.8.m8.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A1.7.p1.8.m8.1.1.3.2.cmml" xref="A1.7.p1.8.m8.1.1.3.2">𝐿</ci><ci id="A1.7.p1.8.m8.1.1.3.3.cmml" xref="A1.7.p1.8.m8.1.1.3.3">𝐸</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.7.p1.8.m8.1c">L_{E}^{2}=L_{E}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.7.p1.8.m8.1d">italic_L start_POSTSUBSCRIPT italic_E end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT = italic_L start_POSTSUBSCRIPT italic_E end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>. The spectrum is thus the same as that of the <math alttext="(\ell-1)" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.7.p1.9.m9.1"><semantics id="A1.7.p1.9.m9.1a"><mrow id="A1.7.p1.9.m9.1.1.1" xref="A1.7.p1.9.m9.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.7.p1.9.m9.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.7.p1.9.m9.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.7.p1.9.m9.1.1.1.1" xref="A1.7.p1.9.m9.1.1.1.1.cmml"><mi id="A1.7.p1.9.m9.1.1.1.1.2" mathvariant="normal" xref="A1.7.p1.9.m9.1.1.1.1.2.cmml">ℓ</mi><mo id="A1.7.p1.9.m9.1.1.1.1.1" xref="A1.7.p1.9.m9.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mn id="A1.7.p1.9.m9.1.1.1.1.3" xref="A1.7.p1.9.m9.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="A1.7.p1.9.m9.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.7.p1.9.m9.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.7.p1.9.m9.1b"><apply id="A1.7.p1.9.m9.1.1.1.1.cmml" xref="A1.7.p1.9.m9.1.1.1"><minus id="A1.7.p1.9.m9.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.7.p1.9.m9.1.1.1.1.1"></minus><ci id="A1.7.p1.9.m9.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.7.p1.9.m9.1.1.1.1.2">ℓ</ci><cn id="A1.7.p1.9.m9.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A1.7.p1.9.m9.1.1.1.1.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.7.p1.9.m9.1c">(\ell-1)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.7.p1.9.m9.1d">( roman_ℓ - 1 )</annotation></semantics></math>-layer moment operator. ∎</p> </div> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_lemma" id="Thmtheorem53"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmtheorem53.1.1.1">Lemma 53</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmtheorem53.2.2">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="Thmtheorem53.p1"> <p class="ltx_p" id="Thmtheorem53.p1.2"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmtheorem53.p1.2.2">The eigenspectra of <math alttext="L_{E}L_{O}L_{E}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem53.p1.1.1.m1.1"><semantics id="Thmtheorem53.p1.1.1.m1.1a"><mrow id="Thmtheorem53.p1.1.1.m1.1.1" xref="Thmtheorem53.p1.1.1.m1.1.1.cmml"><msub id="Thmtheorem53.p1.1.1.m1.1.1.2" xref="Thmtheorem53.p1.1.1.m1.1.1.2.cmml"><mi id="Thmtheorem53.p1.1.1.m1.1.1.2.2" xref="Thmtheorem53.p1.1.1.m1.1.1.2.2.cmml">L</mi><mi id="Thmtheorem53.p1.1.1.m1.1.1.2.3" xref="Thmtheorem53.p1.1.1.m1.1.1.2.3.cmml">E</mi></msub><mo id="Thmtheorem53.p1.1.1.m1.1.1.1" xref="Thmtheorem53.p1.1.1.m1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="Thmtheorem53.p1.1.1.m1.1.1.3" xref="Thmtheorem53.p1.1.1.m1.1.1.3.cmml"><mi id="Thmtheorem53.p1.1.1.m1.1.1.3.2" xref="Thmtheorem53.p1.1.1.m1.1.1.3.2.cmml">L</mi><mi id="Thmtheorem53.p1.1.1.m1.1.1.3.3" xref="Thmtheorem53.p1.1.1.m1.1.1.3.3.cmml">O</mi></msub><mo id="Thmtheorem53.p1.1.1.m1.1.1.1a" xref="Thmtheorem53.p1.1.1.m1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="Thmtheorem53.p1.1.1.m1.1.1.4" xref="Thmtheorem53.p1.1.1.m1.1.1.4.cmml"><mi id="Thmtheorem53.p1.1.1.m1.1.1.4.2" xref="Thmtheorem53.p1.1.1.m1.1.1.4.2.cmml">L</mi><mi id="Thmtheorem53.p1.1.1.m1.1.1.4.3" xref="Thmtheorem53.p1.1.1.m1.1.1.4.3.cmml">E</mi></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem53.p1.1.1.m1.1b"><apply id="Thmtheorem53.p1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem53.p1.1.1.m1.1.1"><times id="Thmtheorem53.p1.1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem53.p1.1.1.m1.1.1.1"></times><apply id="Thmtheorem53.p1.1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="Thmtheorem53.p1.1.1.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem53.p1.1.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="Thmtheorem53.p1.1.1.m1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="Thmtheorem53.p1.1.1.m1.1.1.2.2.cmml" xref="Thmtheorem53.p1.1.1.m1.1.1.2.2">𝐿</ci><ci id="Thmtheorem53.p1.1.1.m1.1.1.2.3.cmml" xref="Thmtheorem53.p1.1.1.m1.1.1.2.3">𝐸</ci></apply><apply id="Thmtheorem53.p1.1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="Thmtheorem53.p1.1.1.m1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem53.p1.1.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="Thmtheorem53.p1.1.1.m1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="Thmtheorem53.p1.1.1.m1.1.1.3.2.cmml" xref="Thmtheorem53.p1.1.1.m1.1.1.3.2">𝐿</ci><ci id="Thmtheorem53.p1.1.1.m1.1.1.3.3.cmml" xref="Thmtheorem53.p1.1.1.m1.1.1.3.3">𝑂</ci></apply><apply id="Thmtheorem53.p1.1.1.m1.1.1.4.cmml" xref="Thmtheorem53.p1.1.1.m1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem53.p1.1.1.m1.1.1.4.1.cmml" xref="Thmtheorem53.p1.1.1.m1.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="Thmtheorem53.p1.1.1.m1.1.1.4.2.cmml" xref="Thmtheorem53.p1.1.1.m1.1.1.4.2">𝐿</ci><ci id="Thmtheorem53.p1.1.1.m1.1.1.4.3.cmml" xref="Thmtheorem53.p1.1.1.m1.1.1.4.3">𝐸</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem53.p1.1.1.m1.1c">L_{E}L_{O}L_{E}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem53.p1.1.1.m1.1d">italic_L start_POSTSUBSCRIPT italic_E end_POSTSUBSCRIPT italic_L start_POSTSUBSCRIPT italic_O end_POSTSUBSCRIPT italic_L start_POSTSUBSCRIPT italic_E end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> and the staircase transfer matrix <math alttext="T_{\text{stair}}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem53.p1.2.2.m2.1"><semantics id="Thmtheorem53.p1.2.2.m2.1a"><msub id="Thmtheorem53.p1.2.2.m2.1.1" xref="Thmtheorem53.p1.2.2.m2.1.1.cmml"><mi id="Thmtheorem53.p1.2.2.m2.1.1.2" xref="Thmtheorem53.p1.2.2.m2.1.1.2.cmml">T</mi><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="Thmtheorem53.p1.2.2.m2.1.1.3" xref="Thmtheorem53.p1.2.2.m2.1.1.3a.cmml">stair</mtext></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem53.p1.2.2.m2.1b"><apply id="Thmtheorem53.p1.2.2.m2.1.1.cmml" xref="Thmtheorem53.p1.2.2.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem53.p1.2.2.m2.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem53.p1.2.2.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="Thmtheorem53.p1.2.2.m2.1.1.2.cmml" xref="Thmtheorem53.p1.2.2.m2.1.1.2">𝑇</ci><ci id="Thmtheorem53.p1.2.2.m2.1.1.3a.cmml" xref="Thmtheorem53.p1.2.2.m2.1.1.3"><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="Thmtheorem53.p1.2.2.m2.1.1.3.cmml" mathsize="70%" xref="Thmtheorem53.p1.2.2.m2.1.1.3">stair</mtext></ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem53.p1.2.2.m2.1c">T_{\text{stair}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem53.p1.2.2.m2.1d">italic_T start_POSTSUBSCRIPT stair end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> are the same.</span></p> </div> </div> <div class="ltx_proof" id="A1.8"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_font_italic ltx_title_proof">Proof.</h6> <div class="ltx_para" id="A1.8.p1"> <p class="ltx_p" id="A1.8.p1.6">The eigenvalues of a product of matrices are invariant under cyclic permutations, so the spectra of <math alttext="L_{E}L_{O}L_{E}" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.8.p1.1.m1.1"><semantics id="A1.8.p1.1.m1.1a"><mrow id="A1.8.p1.1.m1.1.1" xref="A1.8.p1.1.m1.1.1.cmml"><msub id="A1.8.p1.1.m1.1.1.2" xref="A1.8.p1.1.m1.1.1.2.cmml"><mi id="A1.8.p1.1.m1.1.1.2.2" xref="A1.8.p1.1.m1.1.1.2.2.cmml">L</mi><mi id="A1.8.p1.1.m1.1.1.2.3" xref="A1.8.p1.1.m1.1.1.2.3.cmml">E</mi></msub><mo id="A1.8.p1.1.m1.1.1.1" xref="A1.8.p1.1.m1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="A1.8.p1.1.m1.1.1.3" xref="A1.8.p1.1.m1.1.1.3.cmml"><mi id="A1.8.p1.1.m1.1.1.3.2" xref="A1.8.p1.1.m1.1.1.3.2.cmml">L</mi><mi id="A1.8.p1.1.m1.1.1.3.3" xref="A1.8.p1.1.m1.1.1.3.3.cmml">O</mi></msub><mo id="A1.8.p1.1.m1.1.1.1a" xref="A1.8.p1.1.m1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="A1.8.p1.1.m1.1.1.4" xref="A1.8.p1.1.m1.1.1.4.cmml"><mi id="A1.8.p1.1.m1.1.1.4.2" xref="A1.8.p1.1.m1.1.1.4.2.cmml">L</mi><mi id="A1.8.p1.1.m1.1.1.4.3" xref="A1.8.p1.1.m1.1.1.4.3.cmml">E</mi></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.8.p1.1.m1.1b"><apply id="A1.8.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="A1.8.p1.1.m1.1.1"><times id="A1.8.p1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="A1.8.p1.1.m1.1.1.1"></times><apply id="A1.8.p1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="A1.8.p1.1.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.8.p1.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.8.p1.1.m1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="A1.8.p1.1.m1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.8.p1.1.m1.1.1.2.2">𝐿</ci><ci id="A1.8.p1.1.m1.1.1.2.3.cmml" xref="A1.8.p1.1.m1.1.1.2.3">𝐸</ci></apply><apply id="A1.8.p1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="A1.8.p1.1.m1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.8.p1.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.8.p1.1.m1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A1.8.p1.1.m1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.8.p1.1.m1.1.1.3.2">𝐿</ci><ci id="A1.8.p1.1.m1.1.1.3.3.cmml" xref="A1.8.p1.1.m1.1.1.3.3">𝑂</ci></apply><apply id="A1.8.p1.1.m1.1.1.4.cmml" xref="A1.8.p1.1.m1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.8.p1.1.m1.1.1.4.1.cmml" xref="A1.8.p1.1.m1.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="A1.8.p1.1.m1.1.1.4.2.cmml" xref="A1.8.p1.1.m1.1.1.4.2">𝐿</ci><ci id="A1.8.p1.1.m1.1.1.4.3.cmml" xref="A1.8.p1.1.m1.1.1.4.3">𝐸</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.8.p1.1.m1.1c">L_{E}L_{O}L_{E}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.8.p1.1.m1.1d">italic_L start_POSTSUBSCRIPT italic_E end_POSTSUBSCRIPT italic_L start_POSTSUBSCRIPT italic_O end_POSTSUBSCRIPT italic_L start_POSTSUBSCRIPT italic_E end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> and <math alttext="L_{O}L_{E}^{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.8.p1.2.m2.1"><semantics id="A1.8.p1.2.m2.1a"><mrow id="A1.8.p1.2.m2.1.1" xref="A1.8.p1.2.m2.1.1.cmml"><msub id="A1.8.p1.2.m2.1.1.2" xref="A1.8.p1.2.m2.1.1.2.cmml"><mi id="A1.8.p1.2.m2.1.1.2.2" xref="A1.8.p1.2.m2.1.1.2.2.cmml">L</mi><mi id="A1.8.p1.2.m2.1.1.2.3" xref="A1.8.p1.2.m2.1.1.2.3.cmml">O</mi></msub><mo id="A1.8.p1.2.m2.1.1.1" xref="A1.8.p1.2.m2.1.1.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="A1.8.p1.2.m2.1.1.3" xref="A1.8.p1.2.m2.1.1.3.cmml"><mi id="A1.8.p1.2.m2.1.1.3.2.2" xref="A1.8.p1.2.m2.1.1.3.2.2.cmml">L</mi><mi id="A1.8.p1.2.m2.1.1.3.2.3" xref="A1.8.p1.2.m2.1.1.3.2.3.cmml">E</mi><mn id="A1.8.p1.2.m2.1.1.3.3" xref="A1.8.p1.2.m2.1.1.3.3.cmml">2</mn></msubsup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.8.p1.2.m2.1b"><apply id="A1.8.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="A1.8.p1.2.m2.1.1"><times id="A1.8.p1.2.m2.1.1.1.cmml" xref="A1.8.p1.2.m2.1.1.1"></times><apply id="A1.8.p1.2.m2.1.1.2.cmml" xref="A1.8.p1.2.m2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.8.p1.2.m2.1.1.2.1.cmml" xref="A1.8.p1.2.m2.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="A1.8.p1.2.m2.1.1.2.2.cmml" xref="A1.8.p1.2.m2.1.1.2.2">𝐿</ci><ci id="A1.8.p1.2.m2.1.1.2.3.cmml" xref="A1.8.p1.2.m2.1.1.2.3">𝑂</ci></apply><apply id="A1.8.p1.2.m2.1.1.3.cmml" xref="A1.8.p1.2.m2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.8.p1.2.m2.1.1.3.1.cmml" xref="A1.8.p1.2.m2.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="A1.8.p1.2.m2.1.1.3.2.cmml" xref="A1.8.p1.2.m2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.8.p1.2.m2.1.1.3.2.1.cmml" xref="A1.8.p1.2.m2.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A1.8.p1.2.m2.1.1.3.2.2.cmml" xref="A1.8.p1.2.m2.1.1.3.2.2">𝐿</ci><ci id="A1.8.p1.2.m2.1.1.3.2.3.cmml" xref="A1.8.p1.2.m2.1.1.3.2.3">𝐸</ci></apply><cn id="A1.8.p1.2.m2.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="A1.8.p1.2.m2.1.1.3.3">2</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.8.p1.2.m2.1c">L_{O}L_{E}^{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.8.p1.2.m2.1d">italic_L start_POSTSUBSCRIPT italic_O end_POSTSUBSCRIPT italic_L start_POSTSUBSCRIPT italic_E end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> are the same. But <math alttext="L_{E}^{2}=L_{E}" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.8.p1.3.m3.1"><semantics id="A1.8.p1.3.m3.1a"><mrow id="A1.8.p1.3.m3.1.1" xref="A1.8.p1.3.m3.1.1.cmml"><msubsup id="A1.8.p1.3.m3.1.1.2" xref="A1.8.p1.3.m3.1.1.2.cmml"><mi id="A1.8.p1.3.m3.1.1.2.2.2" xref="A1.8.p1.3.m3.1.1.2.2.2.cmml">L</mi><mi id="A1.8.p1.3.m3.1.1.2.2.3" xref="A1.8.p1.3.m3.1.1.2.2.3.cmml">E</mi><mn id="A1.8.p1.3.m3.1.1.2.3" xref="A1.8.p1.3.m3.1.1.2.3.cmml">2</mn></msubsup><mo id="A1.8.p1.3.m3.1.1.1" xref="A1.8.p1.3.m3.1.1.1.cmml">=</mo><msub id="A1.8.p1.3.m3.1.1.3" xref="A1.8.p1.3.m3.1.1.3.cmml"><mi id="A1.8.p1.3.m3.1.1.3.2" xref="A1.8.p1.3.m3.1.1.3.2.cmml">L</mi><mi id="A1.8.p1.3.m3.1.1.3.3" xref="A1.8.p1.3.m3.1.1.3.3.cmml">E</mi></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.8.p1.3.m3.1b"><apply id="A1.8.p1.3.m3.1.1.cmml" xref="A1.8.p1.3.m3.1.1"><eq id="A1.8.p1.3.m3.1.1.1.cmml" xref="A1.8.p1.3.m3.1.1.1"></eq><apply id="A1.8.p1.3.m3.1.1.2.cmml" xref="A1.8.p1.3.m3.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.8.p1.3.m3.1.1.2.1.cmml" xref="A1.8.p1.3.m3.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="A1.8.p1.3.m3.1.1.2.2.cmml" xref="A1.8.p1.3.m3.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.8.p1.3.m3.1.1.2.2.1.cmml" xref="A1.8.p1.3.m3.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="A1.8.p1.3.m3.1.1.2.2.2.cmml" xref="A1.8.p1.3.m3.1.1.2.2.2">𝐿</ci><ci id="A1.8.p1.3.m3.1.1.2.2.3.cmml" xref="A1.8.p1.3.m3.1.1.2.2.3">𝐸</ci></apply><cn id="A1.8.p1.3.m3.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="A1.8.p1.3.m3.1.1.2.3">2</cn></apply><apply id="A1.8.p1.3.m3.1.1.3.cmml" xref="A1.8.p1.3.m3.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.8.p1.3.m3.1.1.3.1.cmml" xref="A1.8.p1.3.m3.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A1.8.p1.3.m3.1.1.3.2.cmml" xref="A1.8.p1.3.m3.1.1.3.2">𝐿</ci><ci id="A1.8.p1.3.m3.1.1.3.3.cmml" xref="A1.8.p1.3.m3.1.1.3.3">𝐸</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.8.p1.3.m3.1c">L_{E}^{2}=L_{E}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.8.p1.3.m3.1d">italic_L start_POSTSUBSCRIPT italic_E end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT = italic_L start_POSTSUBSCRIPT italic_E end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, so the spectra of <math alttext="L_{E}L_{O}L_{E}" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.8.p1.4.m4.1"><semantics id="A1.8.p1.4.m4.1a"><mrow id="A1.8.p1.4.m4.1.1" xref="A1.8.p1.4.m4.1.1.cmml"><msub id="A1.8.p1.4.m4.1.1.2" xref="A1.8.p1.4.m4.1.1.2.cmml"><mi id="A1.8.p1.4.m4.1.1.2.2" xref="A1.8.p1.4.m4.1.1.2.2.cmml">L</mi><mi id="A1.8.p1.4.m4.1.1.2.3" xref="A1.8.p1.4.m4.1.1.2.3.cmml">E</mi></msub><mo id="A1.8.p1.4.m4.1.1.1" xref="A1.8.p1.4.m4.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="A1.8.p1.4.m4.1.1.3" xref="A1.8.p1.4.m4.1.1.3.cmml"><mi id="A1.8.p1.4.m4.1.1.3.2" xref="A1.8.p1.4.m4.1.1.3.2.cmml">L</mi><mi id="A1.8.p1.4.m4.1.1.3.3" xref="A1.8.p1.4.m4.1.1.3.3.cmml">O</mi></msub><mo id="A1.8.p1.4.m4.1.1.1a" xref="A1.8.p1.4.m4.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="A1.8.p1.4.m4.1.1.4" xref="A1.8.p1.4.m4.1.1.4.cmml"><mi id="A1.8.p1.4.m4.1.1.4.2" xref="A1.8.p1.4.m4.1.1.4.2.cmml">L</mi><mi id="A1.8.p1.4.m4.1.1.4.3" xref="A1.8.p1.4.m4.1.1.4.3.cmml">E</mi></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.8.p1.4.m4.1b"><apply id="A1.8.p1.4.m4.1.1.cmml" xref="A1.8.p1.4.m4.1.1"><times id="A1.8.p1.4.m4.1.1.1.cmml" xref="A1.8.p1.4.m4.1.1.1"></times><apply id="A1.8.p1.4.m4.1.1.2.cmml" xref="A1.8.p1.4.m4.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.8.p1.4.m4.1.1.2.1.cmml" xref="A1.8.p1.4.m4.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="A1.8.p1.4.m4.1.1.2.2.cmml" xref="A1.8.p1.4.m4.1.1.2.2">𝐿</ci><ci id="A1.8.p1.4.m4.1.1.2.3.cmml" xref="A1.8.p1.4.m4.1.1.2.3">𝐸</ci></apply><apply id="A1.8.p1.4.m4.1.1.3.cmml" xref="A1.8.p1.4.m4.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.8.p1.4.m4.1.1.3.1.cmml" xref="A1.8.p1.4.m4.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A1.8.p1.4.m4.1.1.3.2.cmml" xref="A1.8.p1.4.m4.1.1.3.2">𝐿</ci><ci id="A1.8.p1.4.m4.1.1.3.3.cmml" xref="A1.8.p1.4.m4.1.1.3.3">𝑂</ci></apply><apply id="A1.8.p1.4.m4.1.1.4.cmml" xref="A1.8.p1.4.m4.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.8.p1.4.m4.1.1.4.1.cmml" xref="A1.8.p1.4.m4.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="A1.8.p1.4.m4.1.1.4.2.cmml" xref="A1.8.p1.4.m4.1.1.4.2">𝐿</ci><ci id="A1.8.p1.4.m4.1.1.4.3.cmml" xref="A1.8.p1.4.m4.1.1.4.3">𝐸</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.8.p1.4.m4.1c">L_{E}L_{O}L_{E}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.8.p1.4.m4.1d">italic_L start_POSTSUBSCRIPT italic_E end_POSTSUBSCRIPT italic_L start_POSTSUBSCRIPT italic_O end_POSTSUBSCRIPT italic_L start_POSTSUBSCRIPT italic_E end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> and <math alttext="L_{O}L_{E}" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.8.p1.5.m5.1"><semantics id="A1.8.p1.5.m5.1a"><mrow id="A1.8.p1.5.m5.1.1" xref="A1.8.p1.5.m5.1.1.cmml"><msub id="A1.8.p1.5.m5.1.1.2" xref="A1.8.p1.5.m5.1.1.2.cmml"><mi id="A1.8.p1.5.m5.1.1.2.2" xref="A1.8.p1.5.m5.1.1.2.2.cmml">L</mi><mi id="A1.8.p1.5.m5.1.1.2.3" xref="A1.8.p1.5.m5.1.1.2.3.cmml">O</mi></msub><mo id="A1.8.p1.5.m5.1.1.1" xref="A1.8.p1.5.m5.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="A1.8.p1.5.m5.1.1.3" xref="A1.8.p1.5.m5.1.1.3.cmml"><mi id="A1.8.p1.5.m5.1.1.3.2" xref="A1.8.p1.5.m5.1.1.3.2.cmml">L</mi><mi id="A1.8.p1.5.m5.1.1.3.3" xref="A1.8.p1.5.m5.1.1.3.3.cmml">E</mi></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.8.p1.5.m5.1b"><apply id="A1.8.p1.5.m5.1.1.cmml" xref="A1.8.p1.5.m5.1.1"><times id="A1.8.p1.5.m5.1.1.1.cmml" xref="A1.8.p1.5.m5.1.1.1"></times><apply id="A1.8.p1.5.m5.1.1.2.cmml" xref="A1.8.p1.5.m5.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.8.p1.5.m5.1.1.2.1.cmml" xref="A1.8.p1.5.m5.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="A1.8.p1.5.m5.1.1.2.2.cmml" xref="A1.8.p1.5.m5.1.1.2.2">𝐿</ci><ci id="A1.8.p1.5.m5.1.1.2.3.cmml" xref="A1.8.p1.5.m5.1.1.2.3">𝑂</ci></apply><apply id="A1.8.p1.5.m5.1.1.3.cmml" xref="A1.8.p1.5.m5.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.8.p1.5.m5.1.1.3.1.cmml" xref="A1.8.p1.5.m5.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A1.8.p1.5.m5.1.1.3.2.cmml" xref="A1.8.p1.5.m5.1.1.3.2">𝐿</ci><ci id="A1.8.p1.5.m5.1.1.3.3.cmml" xref="A1.8.p1.5.m5.1.1.3.3">𝐸</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.8.p1.5.m5.1c">L_{O}L_{E}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.8.p1.5.m5.1d">italic_L start_POSTSUBSCRIPT italic_O end_POSTSUBSCRIPT italic_L start_POSTSUBSCRIPT italic_E end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> are the same. We complete the proof by noting that <math alttext="L_{E}L_{O}" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.8.p1.6.m6.1"><semantics id="A1.8.p1.6.m6.1a"><mrow id="A1.8.p1.6.m6.1.1" xref="A1.8.p1.6.m6.1.1.cmml"><msub id="A1.8.p1.6.m6.1.1.2" xref="A1.8.p1.6.m6.1.1.2.cmml"><mi id="A1.8.p1.6.m6.1.1.2.2" xref="A1.8.p1.6.m6.1.1.2.2.cmml">L</mi><mi id="A1.8.p1.6.m6.1.1.2.3" xref="A1.8.p1.6.m6.1.1.2.3.cmml">E</mi></msub><mo id="A1.8.p1.6.m6.1.1.1" xref="A1.8.p1.6.m6.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="A1.8.p1.6.m6.1.1.3" xref="A1.8.p1.6.m6.1.1.3.cmml"><mi id="A1.8.p1.6.m6.1.1.3.2" xref="A1.8.p1.6.m6.1.1.3.2.cmml">L</mi><mi id="A1.8.p1.6.m6.1.1.3.3" xref="A1.8.p1.6.m6.1.1.3.3.cmml">O</mi></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.8.p1.6.m6.1b"><apply id="A1.8.p1.6.m6.1.1.cmml" xref="A1.8.p1.6.m6.1.1"><times id="A1.8.p1.6.m6.1.1.1.cmml" xref="A1.8.p1.6.m6.1.1.1"></times><apply id="A1.8.p1.6.m6.1.1.2.cmml" xref="A1.8.p1.6.m6.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.8.p1.6.m6.1.1.2.1.cmml" xref="A1.8.p1.6.m6.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="A1.8.p1.6.m6.1.1.2.2.cmml" xref="A1.8.p1.6.m6.1.1.2.2">𝐿</ci><ci id="A1.8.p1.6.m6.1.1.2.3.cmml" xref="A1.8.p1.6.m6.1.1.2.3">𝐸</ci></apply><apply id="A1.8.p1.6.m6.1.1.3.cmml" xref="A1.8.p1.6.m6.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.8.p1.6.m6.1.1.3.1.cmml" xref="A1.8.p1.6.m6.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A1.8.p1.6.m6.1.1.3.2.cmml" xref="A1.8.p1.6.m6.1.1.3.2">𝐿</ci><ci id="A1.8.p1.6.m6.1.1.3.3.cmml" xref="A1.8.p1.6.m6.1.1.3.3">𝑂</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.8.p1.6.m6.1c">L_{E}L_{O}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.8.p1.6.m6.1d">italic_L start_POSTSUBSCRIPT italic_E end_POSTSUBSCRIPT italic_L start_POSTSUBSCRIPT italic_O end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> is related to the staircase transfer matrix by cyclic permutations of the individual gates. ∎</p> </div> </div> <section class="ltx_subsection" id="A1.SS1"> <h3 class="ltx_title ltx_title_subsection"> <span class="ltx_tag ltx_tag_subsection">A.1 </span>Obtaining the approximate <math alttext="t" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.SS1.1.m1.1"><semantics id="A1.SS1.1.m1.1b"><mi id="A1.SS1.1.m1.1.1" xref="A1.SS1.1.m1.1.1.cmml">t</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.SS1.1.m1.1c"><ci id="A1.SS1.1.m1.1.1.cmml" xref="A1.SS1.1.m1.1.1">𝑡</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.SS1.1.m1.1d">t</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.SS1.1.m1.1e">italic_t</annotation></semantics></math>-design depth from the spectral gap</h3> <div class="ltx_para" id="A1.SS1.p1"> <p class="ltx_p" id="A1.SS1.p1.1">In order to obtain a bound on the approximate <math alttext="t" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.SS1.p1.1.m1.1"><semantics id="A1.SS1.p1.1.m1.1a"><mi id="A1.SS1.p1.1.m1.1.1" xref="A1.SS1.p1.1.m1.1.1.cmml">t</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.SS1.p1.1.m1.1b"><ci id="A1.SS1.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="A1.SS1.p1.1.m1.1.1">𝑡</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.SS1.p1.1.m1.1c">t</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.SS1.p1.1.m1.1d">italic_t</annotation></semantics></math>-design depth from an eigenvalue gap in the transfer matrix, we use the following:</p> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_theorem" id="Thmtheorem54"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmtheorem54.1.1.1">Theorem 54</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmtheorem54.2.2">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="Thmtheorem54.p1"> <p class="ltx_p" id="Thmtheorem54.p1.4"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmtheorem54.p1.4.4">The <math alttext="N" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem54.p1.1.1.m1.1"><semantics id="Thmtheorem54.p1.1.1.m1.1a"><mi id="Thmtheorem54.p1.1.1.m1.1.1" xref="Thmtheorem54.p1.1.1.m1.1.1.cmml">N</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem54.p1.1.1.m1.1b"><ci id="Thmtheorem54.p1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem54.p1.1.1.m1.1.1">𝑁</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem54.p1.1.1.m1.1c">N</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem54.p1.1.1.m1.1d">italic_N</annotation></semantics></math>-site 1D brickwork architecture with local Hilbert space dimension <math alttext="q" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem54.p1.2.2.m2.1"><semantics id="Thmtheorem54.p1.2.2.m2.1a"><mi id="Thmtheorem54.p1.2.2.m2.1.1" xref="Thmtheorem54.p1.2.2.m2.1.1.cmml">q</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem54.p1.2.2.m2.1b"><ci id="Thmtheorem54.p1.2.2.m2.1.1.cmml" xref="Thmtheorem54.p1.2.2.m2.1.1">𝑞</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem54.p1.2.2.m2.1c">q</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem54.p1.2.2.m2.1d">italic_q</annotation></semantics></math> forms an additive-error <math alttext="\epsilon" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem54.p1.3.3.m3.1"><semantics id="Thmtheorem54.p1.3.3.m3.1a"><mi id="Thmtheorem54.p1.3.3.m3.1.1" xref="Thmtheorem54.p1.3.3.m3.1.1.cmml">ϵ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem54.p1.3.3.m3.1b"><ci id="Thmtheorem54.p1.3.3.m3.1.1.cmml" xref="Thmtheorem54.p1.3.3.m3.1.1">italic-ϵ</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem54.p1.3.3.m3.1c">\epsilon</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem54.p1.3.3.m3.1d">italic_ϵ</annotation></semantics></math>-approximate <math alttext="t" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem54.p1.4.4.m4.1"><semantics id="Thmtheorem54.p1.4.4.m4.1a"><mi id="Thmtheorem54.p1.4.4.m4.1.1" xref="Thmtheorem54.p1.4.4.m4.1.1.cmml">t</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem54.p1.4.4.m4.1b"><ci id="Thmtheorem54.p1.4.4.m4.1.1.cmml" xref="Thmtheorem54.p1.4.4.m4.1.1">𝑡</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem54.p1.4.4.m4.1c">t</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem54.p1.4.4.m4.1d">italic_t</annotation></semantics></math>-design after at most</span></p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_gather ltx_eqn_table" id="S6.EGx101"> <tbody id="A1.E115"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\displaystyle 1+\frac{2}{\log\frac{1}{\lambda_{\text{stair}}(N,q,t)}}\left(2Nt% \log q+\log\frac{1}{\epsilon}\right)" class="ltx_Math" display="block" id="A1.E115.m1.4"><semantics id="A1.E115.m1.4a"><mrow id="A1.E115.m1.4.4" xref="A1.E115.m1.4.4.cmml"><mn id="A1.E115.m1.4.4.3" xref="A1.E115.m1.4.4.3.cmml">1</mn><mo id="A1.E115.m1.4.4.2" xref="A1.E115.m1.4.4.2.cmml">+</mo><mrow id="A1.E115.m1.4.4.1" xref="A1.E115.m1.4.4.1.cmml"><mfrac id="A1.E115.m1.3.3" xref="A1.E115.m1.3.3.cmml"><mn id="A1.E115.m1.3.3.5" xref="A1.E115.m1.3.3.5.cmml">2</mn><mrow id="A1.E115.m1.3.3.3" xref="A1.E115.m1.3.3.3.cmml"><mi id="A1.E115.m1.3.3.3.4" xref="A1.E115.m1.3.3.3.4.cmml">log</mi><mo id="A1.E115.m1.3.3.3a" lspace="0.167em" xref="A1.E115.m1.3.3.3.cmml">⁡</mo><mfrac id="A1.E115.m1.3.3.3.3" xref="A1.E115.m1.3.3.3.3.cmml"><mn id="A1.E115.m1.3.3.3.3.5" xref="A1.E115.m1.3.3.3.3.5.cmml">1</mn><mrow id="A1.E115.m1.3.3.3.3.3" xref="A1.E115.m1.3.3.3.3.3.cmml"><msub id="A1.E115.m1.3.3.3.3.3.5" xref="A1.E115.m1.3.3.3.3.3.5.cmml"><mi id="A1.E115.m1.3.3.3.3.3.5.2" xref="A1.E115.m1.3.3.3.3.3.5.2.cmml">λ</mi><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="A1.E115.m1.3.3.3.3.3.5.3" xref="A1.E115.m1.3.3.3.3.3.5.3a.cmml">stair</mtext></msub><mo id="A1.E115.m1.3.3.3.3.3.4" xref="A1.E115.m1.3.3.3.3.3.4.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.E115.m1.3.3.3.3.3.6.2" xref="A1.E115.m1.3.3.3.3.3.6.1.cmml"><mo id="A1.E115.m1.3.3.3.3.3.6.2.1" stretchy="false" xref="A1.E115.m1.3.3.3.3.3.6.1.cmml">(</mo><mi id="A1.E115.m1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.E115.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">N</mi><mo id="A1.E115.m1.3.3.3.3.3.6.2.2" xref="A1.E115.m1.3.3.3.3.3.6.1.cmml">,</mo><mi id="A1.E115.m1.2.2.2.2.2.2" xref="A1.E115.m1.2.2.2.2.2.2.cmml">q</mi><mo id="A1.E115.m1.3.3.3.3.3.6.2.3" xref="A1.E115.m1.3.3.3.3.3.6.1.cmml">,</mo><mi id="A1.E115.m1.3.3.3.3.3.3" xref="A1.E115.m1.3.3.3.3.3.3.cmml">t</mi><mo id="A1.E115.m1.3.3.3.3.3.6.2.4" stretchy="false" xref="A1.E115.m1.3.3.3.3.3.6.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mfrac></mrow></mfrac><mo id="A1.E115.m1.4.4.1.2" xref="A1.E115.m1.4.4.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.E115.m1.4.4.1.1.1" xref="A1.E115.m1.4.4.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.E115.m1.4.4.1.1.1.2" xref="A1.E115.m1.4.4.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.E115.m1.4.4.1.1.1.1" xref="A1.E115.m1.4.4.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A1.E115.m1.4.4.1.1.1.1.2" xref="A1.E115.m1.4.4.1.1.1.1.2.cmml"><mn id="A1.E115.m1.4.4.1.1.1.1.2.2" xref="A1.E115.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.cmml">2</mn><mo id="A1.E115.m1.4.4.1.1.1.1.2.1" xref="A1.E115.m1.4.4.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.E115.m1.4.4.1.1.1.1.2.3" xref="A1.E115.m1.4.4.1.1.1.1.2.3.cmml">N</mi><mo id="A1.E115.m1.4.4.1.1.1.1.2.1a" xref="A1.E115.m1.4.4.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.E115.m1.4.4.1.1.1.1.2.4" xref="A1.E115.m1.4.4.1.1.1.1.2.4.cmml">t</mi><mo id="A1.E115.m1.4.4.1.1.1.1.2.1b" lspace="0.167em" xref="A1.E115.m1.4.4.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.E115.m1.4.4.1.1.1.1.2.5" xref="A1.E115.m1.4.4.1.1.1.1.2.5.cmml"><mi id="A1.E115.m1.4.4.1.1.1.1.2.5.1" xref="A1.E115.m1.4.4.1.1.1.1.2.5.1.cmml">log</mi><mo id="A1.E115.m1.4.4.1.1.1.1.2.5a" lspace="0.167em" xref="A1.E115.m1.4.4.1.1.1.1.2.5.cmml">⁡</mo><mi id="A1.E115.m1.4.4.1.1.1.1.2.5.2" xref="A1.E115.m1.4.4.1.1.1.1.2.5.2.cmml">q</mi></mrow></mrow><mo id="A1.E115.m1.4.4.1.1.1.1.1" xref="A1.E115.m1.4.4.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="A1.E115.m1.4.4.1.1.1.1.3" xref="A1.E115.m1.4.4.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A1.E115.m1.4.4.1.1.1.1.3.1" xref="A1.E115.m1.4.4.1.1.1.1.3.1.cmml">log</mi><mo id="A1.E115.m1.4.4.1.1.1.1.3a" lspace="0.167em" xref="A1.E115.m1.4.4.1.1.1.1.3.cmml">⁡</mo><mfrac id="A1.E115.m1.4.4.1.1.1.1.3.2" xref="A1.E115.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.cmml"><mn id="A1.E115.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.2" xref="A1.E115.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.2.cmml">1</mn><mi id="A1.E115.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.3" xref="A1.E115.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.3.cmml">ϵ</mi></mfrac></mrow></mrow><mo id="A1.E115.m1.4.4.1.1.1.3" xref="A1.E115.m1.4.4.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.E115.m1.4b"><apply id="A1.E115.m1.4.4.cmml" xref="A1.E115.m1.4.4"><plus id="A1.E115.m1.4.4.2.cmml" xref="A1.E115.m1.4.4.2"></plus><cn id="A1.E115.m1.4.4.3.cmml" type="integer" xref="A1.E115.m1.4.4.3">1</cn><apply id="A1.E115.m1.4.4.1.cmml" xref="A1.E115.m1.4.4.1"><times id="A1.E115.m1.4.4.1.2.cmml" xref="A1.E115.m1.4.4.1.2"></times><apply id="A1.E115.m1.3.3.cmml" xref="A1.E115.m1.3.3"><divide id="A1.E115.m1.3.3.4.cmml" xref="A1.E115.m1.3.3"></divide><cn id="A1.E115.m1.3.3.5.cmml" type="integer" xref="A1.E115.m1.3.3.5">2</cn><apply id="A1.E115.m1.3.3.3.cmml" xref="A1.E115.m1.3.3.3"><log id="A1.E115.m1.3.3.3.4.cmml" xref="A1.E115.m1.3.3.3.4"></log><apply id="A1.E115.m1.3.3.3.3.cmml" xref="A1.E115.m1.3.3.3.3"><divide id="A1.E115.m1.3.3.3.3.4.cmml" xref="A1.E115.m1.3.3.3.3"></divide><cn id="A1.E115.m1.3.3.3.3.5.cmml" type="integer" xref="A1.E115.m1.3.3.3.3.5">1</cn><apply id="A1.E115.m1.3.3.3.3.3.cmml" xref="A1.E115.m1.3.3.3.3.3"><times id="A1.E115.m1.3.3.3.3.3.4.cmml" xref="A1.E115.m1.3.3.3.3.3.4"></times><apply id="A1.E115.m1.3.3.3.3.3.5.cmml" xref="A1.E115.m1.3.3.3.3.3.5"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E115.m1.3.3.3.3.3.5.1.cmml" xref="A1.E115.m1.3.3.3.3.3.5">subscript</csymbol><ci id="A1.E115.m1.3.3.3.3.3.5.2.cmml" xref="A1.E115.m1.3.3.3.3.3.5.2">𝜆</ci><ci id="A1.E115.m1.3.3.3.3.3.5.3a.cmml" xref="A1.E115.m1.3.3.3.3.3.5.3"><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="A1.E115.m1.3.3.3.3.3.5.3.cmml" mathsize="50%" xref="A1.E115.m1.3.3.3.3.3.5.3">stair</mtext></ci></apply><vector id="A1.E115.m1.3.3.3.3.3.6.1.cmml" xref="A1.E115.m1.3.3.3.3.3.6.2"><ci id="A1.E115.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.E115.m1.1.1.1.1.1.1">𝑁</ci><ci id="A1.E115.m1.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="A1.E115.m1.2.2.2.2.2.2">𝑞</ci><ci id="A1.E115.m1.3.3.3.3.3.3.cmml" xref="A1.E115.m1.3.3.3.3.3.3">𝑡</ci></vector></apply></apply></apply></apply><apply id="A1.E115.m1.4.4.1.1.1.1.cmml" xref="A1.E115.m1.4.4.1.1.1"><plus id="A1.E115.m1.4.4.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.E115.m1.4.4.1.1.1.1.1"></plus><apply id="A1.E115.m1.4.4.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.E115.m1.4.4.1.1.1.1.2"><times id="A1.E115.m1.4.4.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.E115.m1.4.4.1.1.1.1.2.1"></times><cn id="A1.E115.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.cmml" type="integer" xref="A1.E115.m1.4.4.1.1.1.1.2.2">2</cn><ci id="A1.E115.m1.4.4.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="A1.E115.m1.4.4.1.1.1.1.2.3">𝑁</ci><ci id="A1.E115.m1.4.4.1.1.1.1.2.4.cmml" xref="A1.E115.m1.4.4.1.1.1.1.2.4">𝑡</ci><apply id="A1.E115.m1.4.4.1.1.1.1.2.5.cmml" xref="A1.E115.m1.4.4.1.1.1.1.2.5"><log id="A1.E115.m1.4.4.1.1.1.1.2.5.1.cmml" xref="A1.E115.m1.4.4.1.1.1.1.2.5.1"></log><ci id="A1.E115.m1.4.4.1.1.1.1.2.5.2.cmml" xref="A1.E115.m1.4.4.1.1.1.1.2.5.2">𝑞</ci></apply></apply><apply id="A1.E115.m1.4.4.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.E115.m1.4.4.1.1.1.1.3"><log id="A1.E115.m1.4.4.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.E115.m1.4.4.1.1.1.1.3.1"></log><apply id="A1.E115.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.E115.m1.4.4.1.1.1.1.3.2"><divide id="A1.E115.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="A1.E115.m1.4.4.1.1.1.1.3.2"></divide><cn id="A1.E115.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.2.cmml" type="integer" xref="A1.E115.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.2">1</cn><ci id="A1.E115.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="A1.E115.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.3">italic-ϵ</ci></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.E115.m1.4c">\displaystyle 1+\frac{2}{\log\frac{1}{\lambda_{\text{stair}}(N,q,t)}}\left(2Nt% \log q+\log\frac{1}{\epsilon}\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.E115.m1.4d">1 + divide start_ARG 2 end_ARG start_ARG roman_log divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_λ start_POSTSUBSCRIPT stair end_POSTSUBSCRIPT ( italic_N , italic_q , italic_t ) end_ARG end_ARG ( 2 italic_N italic_t roman_log italic_q + roman_log divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_ϵ end_ARG )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(115)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="Thmtheorem54.p1.6"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmtheorem54.p1.6.2">layers and a multiplicative-error<span class="ltx_note ltx_role_footnote" id="footnote5"><sup class="ltx_note_mark">5</sup><span class="ltx_note_outer"><span class="ltx_note_content"><sup class="ltx_note_mark">5</sup><span class="ltx_tag ltx_tag_note"><span class="ltx_text ltx_font_upright" id="footnote5.1.1.1">5</span></span><span class="ltx_text ltx_font_upright" id="footnote5.5">The multiplicative-error </span><math alttext="t" class="ltx_Math" display="inline" id="footnote5.m1.1"><semantics id="footnote5.m1.1b"><mi id="footnote5.m1.1.1" xref="footnote5.m1.1.1.cmml">t</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="footnote5.m1.1c"><ci id="footnote5.m1.1.1.cmml" xref="footnote5.m1.1.1">𝑡</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="footnote5.m1.1d">t</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="footnote5.m1.1e">italic_t</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_upright" id="footnote5.6">-design condition, as can be seen in ref. </span><cite class="ltx_cite ltx_citemacro_citep"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#bib.bib9" title="">9</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#bib.bib11" title="">11</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#bib.bib12" title="">12</a></cite><span class="ltx_text ltx_font_upright" id="footnote5.7">, requires </span><math alttext="(1-\epsilon)\Psi_{\text{Haar}}\preceq\Psi_{\varepsilon}\preceq(1+\epsilon)\Psi% _{\text{Haar}}" class="ltx_Math" display="inline" id="footnote5.m2.2"><semantics id="footnote5.m2.2b"><mrow id="footnote5.m2.2.2" xref="footnote5.m2.2.2.cmml"><mrow id="footnote5.m2.1.1.1" xref="footnote5.m2.1.1.1.cmml"><mrow id="footnote5.m2.1.1.1.1.1" xref="footnote5.m2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="footnote5.m2.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="footnote5.m2.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="footnote5.m2.1.1.1.1.1.1" xref="footnote5.m2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="footnote5.m2.1.1.1.1.1.1.2" xref="footnote5.m2.1.1.1.1.1.1.2.cmml">1</mn><mo id="footnote5.m2.1.1.1.1.1.1.1" xref="footnote5.m2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mi id="footnote5.m2.1.1.1.1.1.1.3" xref="footnote5.m2.1.1.1.1.1.1.3.cmml">ϵ</mi></mrow><mo id="footnote5.m2.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="footnote5.m2.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="footnote5.m2.1.1.1.2" xref="footnote5.m2.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="footnote5.m2.1.1.1.3" xref="footnote5.m2.1.1.1.3.cmml"><mi id="footnote5.m2.1.1.1.3.2" mathvariant="normal" xref="footnote5.m2.1.1.1.3.2.cmml">Ψ</mi><mtext id="footnote5.m2.1.1.1.3.3" xref="footnote5.m2.1.1.1.3.3a.cmml">Haar</mtext></msub></mrow><mo id="footnote5.m2.2.2.4" xref="footnote5.m2.2.2.4.cmml">⪯</mo><msub id="footnote5.m2.2.2.5" xref="footnote5.m2.2.2.5.cmml"><mi id="footnote5.m2.2.2.5.2" mathvariant="normal" xref="footnote5.m2.2.2.5.2.cmml">Ψ</mi><mi id="footnote5.m2.2.2.5.3" xref="footnote5.m2.2.2.5.3.cmml">ε</mi></msub><mo id="footnote5.m2.2.2.6" xref="footnote5.m2.2.2.6.cmml">⪯</mo><mrow id="footnote5.m2.2.2.2" xref="footnote5.m2.2.2.2.cmml"><mrow id="footnote5.m2.2.2.2.1.1" xref="footnote5.m2.2.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="footnote5.m2.2.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="footnote5.m2.2.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="footnote5.m2.2.2.2.1.1.1" xref="footnote5.m2.2.2.2.1.1.1.cmml"><mn id="footnote5.m2.2.2.2.1.1.1.2" xref="footnote5.m2.2.2.2.1.1.1.2.cmml">1</mn><mo id="footnote5.m2.2.2.2.1.1.1.1" xref="footnote5.m2.2.2.2.1.1.1.1.cmml">+</mo><mi id="footnote5.m2.2.2.2.1.1.1.3" xref="footnote5.m2.2.2.2.1.1.1.3.cmml">ϵ</mi></mrow><mo id="footnote5.m2.2.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="footnote5.m2.2.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="footnote5.m2.2.2.2.2" xref="footnote5.m2.2.2.2.2.cmml">⁢</mo><msub id="footnote5.m2.2.2.2.3" xref="footnote5.m2.2.2.2.3.cmml"><mi id="footnote5.m2.2.2.2.3.2" mathvariant="normal" xref="footnote5.m2.2.2.2.3.2.cmml">Ψ</mi><mtext id="footnote5.m2.2.2.2.3.3" xref="footnote5.m2.2.2.2.3.3a.cmml">Haar</mtext></msub></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="footnote5.m2.2c"><apply id="footnote5.m2.2.2.cmml" xref="footnote5.m2.2.2"><and id="footnote5.m2.2.2a.cmml" xref="footnote5.m2.2.2"></and><apply id="footnote5.m2.2.2b.cmml" xref="footnote5.m2.2.2"><csymbol cd="latexml" id="footnote5.m2.2.2.4.cmml" xref="footnote5.m2.2.2.4">precedes-or-equals</csymbol><apply id="footnote5.m2.1.1.1.cmml" xref="footnote5.m2.1.1.1"><times id="footnote5.m2.1.1.1.2.cmml" xref="footnote5.m2.1.1.1.2"></times><apply id="footnote5.m2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="footnote5.m2.1.1.1.1.1"><minus id="footnote5.m2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="footnote5.m2.1.1.1.1.1.1.1"></minus><cn id="footnote5.m2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="footnote5.m2.1.1.1.1.1.1.2">1</cn><ci id="footnote5.m2.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="footnote5.m2.1.1.1.1.1.1.3">italic-ϵ</ci></apply><apply id="footnote5.m2.1.1.1.3.cmml" xref="footnote5.m2.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="footnote5.m2.1.1.1.3.1.cmml" xref="footnote5.m2.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="footnote5.m2.1.1.1.3.2.cmml" xref="footnote5.m2.1.1.1.3.2">Ψ</ci><ci id="footnote5.m2.1.1.1.3.3a.cmml" xref="footnote5.m2.1.1.1.3.3"><mtext id="footnote5.m2.1.1.1.3.3.cmml" mathsize="70%" xref="footnote5.m2.1.1.1.3.3">Haar</mtext></ci></apply></apply><apply id="footnote5.m2.2.2.5.cmml" xref="footnote5.m2.2.2.5"><csymbol cd="ambiguous" id="footnote5.m2.2.2.5.1.cmml" xref="footnote5.m2.2.2.5">subscript</csymbol><ci id="footnote5.m2.2.2.5.2.cmml" xref="footnote5.m2.2.2.5.2">Ψ</ci><ci id="footnote5.m2.2.2.5.3.cmml" xref="footnote5.m2.2.2.5.3">𝜀</ci></apply></apply><apply id="footnote5.m2.2.2c.cmml" xref="footnote5.m2.2.2"><csymbol cd="latexml" id="footnote5.m2.2.2.6.cmml" xref="footnote5.m2.2.2.6">precedes-or-equals</csymbol><share href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#footnote5.m2.2.2.5.cmml" id="footnote5.m2.2.2d.cmml" xref="footnote5.m2.2.2"></share><apply id="footnote5.m2.2.2.2.cmml" xref="footnote5.m2.2.2.2"><times id="footnote5.m2.2.2.2.2.cmml" xref="footnote5.m2.2.2.2.2"></times><apply id="footnote5.m2.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="footnote5.m2.2.2.2.1.1"><plus id="footnote5.m2.2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="footnote5.m2.2.2.2.1.1.1.1"></plus><cn id="footnote5.m2.2.2.2.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="footnote5.m2.2.2.2.1.1.1.2">1</cn><ci id="footnote5.m2.2.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="footnote5.m2.2.2.2.1.1.1.3">italic-ϵ</ci></apply><apply id="footnote5.m2.2.2.2.3.cmml" xref="footnote5.m2.2.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="footnote5.m2.2.2.2.3.1.cmml" xref="footnote5.m2.2.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="footnote5.m2.2.2.2.3.2.cmml" xref="footnote5.m2.2.2.2.3.2">Ψ</ci><ci id="footnote5.m2.2.2.2.3.3a.cmml" xref="footnote5.m2.2.2.2.3.3"><mtext id="footnote5.m2.2.2.2.3.3.cmml" mathsize="70%" xref="footnote5.m2.2.2.2.3.3">Haar</mtext></ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="footnote5.m2.2d">(1-\epsilon)\Psi_{\text{Haar}}\preceq\Psi_{\varepsilon}\preceq(1+\epsilon)\Psi% _{\text{Haar}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="footnote5.m2.2e">( 1 - italic_ϵ ) roman_Ψ start_POSTSUBSCRIPT Haar end_POSTSUBSCRIPT ⪯ roman_Ψ start_POSTSUBSCRIPT italic_ε end_POSTSUBSCRIPT ⪯ ( 1 + italic_ϵ ) roman_Ψ start_POSTSUBSCRIPT Haar end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_upright" id="footnote5.8">, where </span><math alttext="\Psi_{\nu}" class="ltx_Math" display="inline" id="footnote5.m3.1"><semantics id="footnote5.m3.1b"><msub id="footnote5.m3.1.1" xref="footnote5.m3.1.1.cmml"><mi id="footnote5.m3.1.1.2" mathvariant="normal" xref="footnote5.m3.1.1.2.cmml">Ψ</mi><mi id="footnote5.m3.1.1.3" xref="footnote5.m3.1.1.3.cmml">ν</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="footnote5.m3.1c"><apply id="footnote5.m3.1.1.cmml" xref="footnote5.m3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="footnote5.m3.1.1.1.cmml" xref="footnote5.m3.1.1">subscript</csymbol><ci id="footnote5.m3.1.1.2.cmml" xref="footnote5.m3.1.1.2">Ψ</ci><ci id="footnote5.m3.1.1.3.cmml" xref="footnote5.m3.1.1.3">𝜈</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="footnote5.m3.1d">\Psi_{\nu}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="footnote5.m3.1e">roman_Ψ start_POSTSUBSCRIPT italic_ν end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_upright" id="footnote5.9"> is the operator formed by taking the Choi-Jamiolkowski isomorphism of </span><math alttext="\Phi_{\nu}" class="ltx_Math" display="inline" id="footnote5.m4.1"><semantics id="footnote5.m4.1b"><msub id="footnote5.m4.1.1" xref="footnote5.m4.1.1.cmml"><mi id="footnote5.m4.1.1.2" mathvariant="normal" xref="footnote5.m4.1.1.2.cmml">Φ</mi><mi id="footnote5.m4.1.1.3" xref="footnote5.m4.1.1.3.cmml">ν</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="footnote5.m4.1c"><apply id="footnote5.m4.1.1.cmml" xref="footnote5.m4.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="footnote5.m4.1.1.1.cmml" xref="footnote5.m4.1.1">subscript</csymbol><ci id="footnote5.m4.1.1.2.cmml" xref="footnote5.m4.1.1.2">Φ</ci><ci id="footnote5.m4.1.1.3.cmml" xref="footnote5.m4.1.1.3">𝜈</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="footnote5.m4.1d">\Phi_{\nu}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="footnote5.m4.1e">roman_Φ start_POSTSUBSCRIPT italic_ν end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_upright" id="footnote5.10">.</span></span></span></span> <math alttext="\epsilon" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem54.p1.5.1.m1.1"><semantics id="Thmtheorem54.p1.5.1.m1.1a"><mi id="Thmtheorem54.p1.5.1.m1.1.1" xref="Thmtheorem54.p1.5.1.m1.1.1.cmml">ϵ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem54.p1.5.1.m1.1b"><ci id="Thmtheorem54.p1.5.1.m1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem54.p1.5.1.m1.1.1">italic-ϵ</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem54.p1.5.1.m1.1c">\epsilon</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem54.p1.5.1.m1.1d">italic_ϵ</annotation></semantics></math>-approximate <math alttext="t" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem54.p1.6.2.m2.1"><semantics id="Thmtheorem54.p1.6.2.m2.1a"><mi id="Thmtheorem54.p1.6.2.m2.1.1" xref="Thmtheorem54.p1.6.2.m2.1.1.cmml">t</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem54.p1.6.2.m2.1b"><ci id="Thmtheorem54.p1.6.2.m2.1.1.cmml" xref="Thmtheorem54.p1.6.2.m2.1.1">𝑡</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem54.p1.6.2.m2.1c">t</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem54.p1.6.2.m2.1d">italic_t</annotation></semantics></math>-design after at most</span></p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_gather ltx_eqn_table" id="S6.EGx102"> <tbody id="A1.E116"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\displaystyle\ell\geq 2\left\lceil\frac{1}{2\log\frac{1}{\lambda_{\text{stair}% }(N,q,t)}}\left(2Nt\log q+\log\frac{1}{\epsilon}\right)\right\rceil" class="ltx_Math" display="block" id="A1.E116.m1.4"><semantics id="A1.E116.m1.4a"><mrow id="A1.E116.m1.4.4" xref="A1.E116.m1.4.4.cmml"><mi id="A1.E116.m1.4.4.3" mathvariant="normal" xref="A1.E116.m1.4.4.3.cmml">ℓ</mi><mo id="A1.E116.m1.4.4.2" xref="A1.E116.m1.4.4.2.cmml">≥</mo><mrow id="A1.E116.m1.4.4.1" xref="A1.E116.m1.4.4.1.cmml"><mn id="A1.E116.m1.4.4.1.3" xref="A1.E116.m1.4.4.1.3.cmml">2</mn><mo id="A1.E116.m1.4.4.1.2" xref="A1.E116.m1.4.4.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.E116.m1.4.4.1.1.1" xref="A1.E116.m1.4.4.1.1.2.cmml"><mo id="A1.E116.m1.4.4.1.1.1.2" xref="A1.E116.m1.4.4.1.1.2.1.cmml">⌈</mo><mrow id="A1.E116.m1.4.4.1.1.1.1" xref="A1.E116.m1.4.4.1.1.1.1.cmml"><mfrac id="A1.E116.m1.3.3" xref="A1.E116.m1.3.3.cmml"><mn id="A1.E116.m1.3.3.5" xref="A1.E116.m1.3.3.5.cmml">1</mn><mrow id="A1.E116.m1.3.3.3" xref="A1.E116.m1.3.3.3.cmml"><mn id="A1.E116.m1.3.3.3.5" xref="A1.E116.m1.3.3.3.5.cmml">2</mn><mo id="A1.E116.m1.3.3.3.4" lspace="0.167em" xref="A1.E116.m1.3.3.3.4.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.E116.m1.3.3.3.6" xref="A1.E116.m1.3.3.3.6.cmml"><mi id="A1.E116.m1.3.3.3.6.1" xref="A1.E116.m1.3.3.3.6.1.cmml">log</mi><mo id="A1.E116.m1.3.3.3.6a" lspace="0.167em" xref="A1.E116.m1.3.3.3.6.cmml">⁡</mo><mfrac id="A1.E116.m1.3.3.3.3" xref="A1.E116.m1.3.3.3.3.cmml"><mn id="A1.E116.m1.3.3.3.3.5" xref="A1.E116.m1.3.3.3.3.5.cmml">1</mn><mrow id="A1.E116.m1.3.3.3.3.3" xref="A1.E116.m1.3.3.3.3.3.cmml"><msub id="A1.E116.m1.3.3.3.3.3.5" xref="A1.E116.m1.3.3.3.3.3.5.cmml"><mi id="A1.E116.m1.3.3.3.3.3.5.2" xref="A1.E116.m1.3.3.3.3.3.5.2.cmml">λ</mi><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="A1.E116.m1.3.3.3.3.3.5.3" xref="A1.E116.m1.3.3.3.3.3.5.3a.cmml">stair</mtext></msub><mo id="A1.E116.m1.3.3.3.3.3.4" xref="A1.E116.m1.3.3.3.3.3.4.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.E116.m1.3.3.3.3.3.6.2" xref="A1.E116.m1.3.3.3.3.3.6.1.cmml"><mo id="A1.E116.m1.3.3.3.3.3.6.2.1" stretchy="false" xref="A1.E116.m1.3.3.3.3.3.6.1.cmml">(</mo><mi id="A1.E116.m1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.E116.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">N</mi><mo id="A1.E116.m1.3.3.3.3.3.6.2.2" xref="A1.E116.m1.3.3.3.3.3.6.1.cmml">,</mo><mi id="A1.E116.m1.2.2.2.2.2.2" xref="A1.E116.m1.2.2.2.2.2.2.cmml">q</mi><mo id="A1.E116.m1.3.3.3.3.3.6.2.3" xref="A1.E116.m1.3.3.3.3.3.6.1.cmml">,</mo><mi id="A1.E116.m1.3.3.3.3.3.3" xref="A1.E116.m1.3.3.3.3.3.3.cmml">t</mi><mo id="A1.E116.m1.3.3.3.3.3.6.2.4" stretchy="false" xref="A1.E116.m1.3.3.3.3.3.6.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mfrac></mrow></mrow></mfrac><mo id="A1.E116.m1.4.4.1.1.1.1.2" xref="A1.E116.m1.4.4.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.E116.m1.4.4.1.1.1.1.1.1" xref="A1.E116.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.E116.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.E116.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.E116.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.E116.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A1.E116.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.E116.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mn id="A1.E116.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="A1.E116.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">2</mn><mo id="A1.E116.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="A1.E116.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.E116.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="A1.E116.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">N</mi><mo id="A1.E116.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.1a" xref="A1.E116.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.E116.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.4" xref="A1.E116.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.4.cmml">t</mi><mo id="A1.E116.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.1b" lspace="0.167em" xref="A1.E116.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.E116.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.5" xref="A1.E116.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.5.cmml"><mi id="A1.E116.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.5.1" xref="A1.E116.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.5.1.cmml">log</mi><mo id="A1.E116.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.5a" lspace="0.167em" xref="A1.E116.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.5.cmml">⁡</mo><mi id="A1.E116.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.5.2" 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id="A1.E116.m1.3.3.3.3.3.5.3.cmml" mathsize="50%" xref="A1.E116.m1.3.3.3.3.3.5.3">stair</mtext></ci></apply><vector id="A1.E116.m1.3.3.3.3.3.6.1.cmml" xref="A1.E116.m1.3.3.3.3.3.6.2"><ci id="A1.E116.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.E116.m1.1.1.1.1.1.1">𝑁</ci><ci id="A1.E116.m1.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="A1.E116.m1.2.2.2.2.2.2">𝑞</ci><ci id="A1.E116.m1.3.3.3.3.3.3.cmml" xref="A1.E116.m1.3.3.3.3.3.3">𝑡</ci></vector></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="A1.E116.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.E116.m1.4.4.1.1.1.1.1.1"><plus id="A1.E116.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.E116.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1"></plus><apply id="A1.E116.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.E116.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2"><times id="A1.E116.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.E116.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.1"></times><cn id="A1.E116.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" type="integer" xref="A1.E116.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2">2</cn><ci id="A1.E116.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="A1.E116.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.3">𝑁</ci><ci id="A1.E116.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.4.cmml" xref="A1.E116.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.4">𝑡</ci><apply id="A1.E116.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.5.cmml" xref="A1.E116.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.5"><log id="A1.E116.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.5.1.cmml" xref="A1.E116.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.5.1"></log><ci id="A1.E116.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.5.2.cmml" xref="A1.E116.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.5.2">𝑞</ci></apply></apply><apply id="A1.E116.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.E116.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3"><log id="A1.E116.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.E116.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.1"></log><apply id="A1.E116.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.E116.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.2"><divide id="A1.E116.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="A1.E116.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.2"></divide><cn id="A1.E116.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" type="integer" xref="A1.E116.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2">1</cn><ci id="A1.E116.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="A1.E116.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3">italic-ϵ</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.E116.m1.4c">\displaystyle\ell\geq 2\left\lceil\frac{1}{2\log\frac{1}{\lambda_{\text{stair}% }(N,q,t)}}\left(2Nt\log q+\log\frac{1}{\epsilon}\right)\right\rceil</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.E116.m1.4d">roman_ℓ ≥ 2 ⌈ divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 roman_log divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_λ start_POSTSUBSCRIPT stair end_POSTSUBSCRIPT ( italic_N , italic_q , italic_t ) end_ARG end_ARG ( 2 italic_N italic_t roman_log italic_q + roman_log divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_ϵ end_ARG ) ⌉</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(116)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="Thmtheorem54.p1.8"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmtheorem54.p1.8.2">layers. Here <math alttext="\lambda_{\text{stair}}(N,q,t)" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem54.p1.7.1.m1.3"><semantics id="Thmtheorem54.p1.7.1.m1.3a"><mrow id="Thmtheorem54.p1.7.1.m1.3.4" xref="Thmtheorem54.p1.7.1.m1.3.4.cmml"><msub id="Thmtheorem54.p1.7.1.m1.3.4.2" xref="Thmtheorem54.p1.7.1.m1.3.4.2.cmml"><mi id="Thmtheorem54.p1.7.1.m1.3.4.2.2" xref="Thmtheorem54.p1.7.1.m1.3.4.2.2.cmml">λ</mi><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="Thmtheorem54.p1.7.1.m1.3.4.2.3" xref="Thmtheorem54.p1.7.1.m1.3.4.2.3a.cmml">stair</mtext></msub><mo id="Thmtheorem54.p1.7.1.m1.3.4.1" xref="Thmtheorem54.p1.7.1.m1.3.4.1.cmml">⁢</mo><mrow id="Thmtheorem54.p1.7.1.m1.3.4.3.2" xref="Thmtheorem54.p1.7.1.m1.3.4.3.1.cmml"><mo id="Thmtheorem54.p1.7.1.m1.3.4.3.2.1" stretchy="false" xref="Thmtheorem54.p1.7.1.m1.3.4.3.1.cmml">(</mo><mi id="Thmtheorem54.p1.7.1.m1.1.1" xref="Thmtheorem54.p1.7.1.m1.1.1.cmml">N</mi><mo id="Thmtheorem54.p1.7.1.m1.3.4.3.2.2" xref="Thmtheorem54.p1.7.1.m1.3.4.3.1.cmml">,</mo><mi id="Thmtheorem54.p1.7.1.m1.2.2" xref="Thmtheorem54.p1.7.1.m1.2.2.cmml">q</mi><mo id="Thmtheorem54.p1.7.1.m1.3.4.3.2.3" xref="Thmtheorem54.p1.7.1.m1.3.4.3.1.cmml">,</mo><mi id="Thmtheorem54.p1.7.1.m1.3.3" xref="Thmtheorem54.p1.7.1.m1.3.3.cmml">t</mi><mo id="Thmtheorem54.p1.7.1.m1.3.4.3.2.4" stretchy="false" xref="Thmtheorem54.p1.7.1.m1.3.4.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem54.p1.7.1.m1.3b"><apply id="Thmtheorem54.p1.7.1.m1.3.4.cmml" xref="Thmtheorem54.p1.7.1.m1.3.4"><times id="Thmtheorem54.p1.7.1.m1.3.4.1.cmml" xref="Thmtheorem54.p1.7.1.m1.3.4.1"></times><apply id="Thmtheorem54.p1.7.1.m1.3.4.2.cmml" xref="Thmtheorem54.p1.7.1.m1.3.4.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem54.p1.7.1.m1.3.4.2.1.cmml" xref="Thmtheorem54.p1.7.1.m1.3.4.2">subscript</csymbol><ci id="Thmtheorem54.p1.7.1.m1.3.4.2.2.cmml" xref="Thmtheorem54.p1.7.1.m1.3.4.2.2">𝜆</ci><ci id="Thmtheorem54.p1.7.1.m1.3.4.2.3a.cmml" xref="Thmtheorem54.p1.7.1.m1.3.4.2.3"><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="Thmtheorem54.p1.7.1.m1.3.4.2.3.cmml" mathsize="70%" xref="Thmtheorem54.p1.7.1.m1.3.4.2.3">stair</mtext></ci></apply><vector id="Thmtheorem54.p1.7.1.m1.3.4.3.1.cmml" xref="Thmtheorem54.p1.7.1.m1.3.4.3.2"><ci id="Thmtheorem54.p1.7.1.m1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem54.p1.7.1.m1.1.1">𝑁</ci><ci id="Thmtheorem54.p1.7.1.m1.2.2.cmml" xref="Thmtheorem54.p1.7.1.m1.2.2">𝑞</ci><ci id="Thmtheorem54.p1.7.1.m1.3.3.cmml" xref="Thmtheorem54.p1.7.1.m1.3.3">𝑡</ci></vector></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem54.p1.7.1.m1.3c">\lambda_{\text{stair}}(N,q,t)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem54.p1.7.1.m1.3d">italic_λ start_POSTSUBSCRIPT stair end_POSTSUBSCRIPT ( italic_N , italic_q , italic_t )</annotation></semantics></math> is the magnitude of the largest eigenvalue of <math alttext="T_{\text{stair}}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem54.p1.8.2.m2.1"><semantics id="Thmtheorem54.p1.8.2.m2.1a"><msub id="Thmtheorem54.p1.8.2.m2.1.1" xref="Thmtheorem54.p1.8.2.m2.1.1.cmml"><mi id="Thmtheorem54.p1.8.2.m2.1.1.2" xref="Thmtheorem54.p1.8.2.m2.1.1.2.cmml">T</mi><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="Thmtheorem54.p1.8.2.m2.1.1.3" xref="Thmtheorem54.p1.8.2.m2.1.1.3a.cmml">stair</mtext></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem54.p1.8.2.m2.1b"><apply id="Thmtheorem54.p1.8.2.m2.1.1.cmml" xref="Thmtheorem54.p1.8.2.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem54.p1.8.2.m2.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem54.p1.8.2.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="Thmtheorem54.p1.8.2.m2.1.1.2.cmml" xref="Thmtheorem54.p1.8.2.m2.1.1.2">𝑇</ci><ci id="Thmtheorem54.p1.8.2.m2.1.1.3a.cmml" xref="Thmtheorem54.p1.8.2.m2.1.1.3"><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="Thmtheorem54.p1.8.2.m2.1.1.3.cmml" mathsize="70%" xref="Thmtheorem54.p1.8.2.m2.1.1.3">stair</mtext></ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem54.p1.8.2.m2.1c">T_{\text{stair}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem54.p1.8.2.m2.1d">italic_T start_POSTSUBSCRIPT stair end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>.</span></p> </div> </div> <div class="ltx_proof" id="A1.SS1.3"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_font_italic ltx_title_proof">Proof.</h6> <div class="ltx_para" id="A1.SS1.2.p1"> <p class="ltx_p" id="A1.SS1.2.p1.3">We first prove the additive-error bound. Combining the bounds of Lemmas <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#Thmtheorem51" title="Lemma 51. ‣ Appendix A Relationship between spectral gap and 𝑡-design depth ‣ Conditional 𝑡-independent spectral gap for random quantum circuits and implications for 𝑡-design depths"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">51</span></a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#Thmtheorem53" title="Lemma 53. ‣ Appendix A Relationship between spectral gap and 𝑡-design depth ‣ Conditional 𝑡-independent spectral gap for random quantum circuits and implications for 𝑡-design depths"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">53</span></a>, and <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#Thmtheorem49" title="Lemma 49. ‣ Appendix A Relationship between spectral gap and 𝑡-design depth ‣ Conditional 𝑡-independent spectral gap for random quantum circuits and implications for 𝑡-design depths"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">49</span></a>, we see</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_gather ltx_eqn_table" id="S6.EGx103"> <tbody id="A1.E117"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\displaystyle||\Phi_{\varepsilon}-\Phi_{\text{Haar}}||_{\diamond}^{2}\leq q^{2% Nt}\left(q^{2Nt}|\lambda_{\text{stair}}|^{\ell-1}\right)" class="ltx_Math" display="block" id="A1.E117.m1.2"><semantics id="A1.E117.m1.2a"><mrow id="A1.E117.m1.2.2" xref="A1.E117.m1.2.2.cmml"><msubsup id="A1.E117.m1.1.1.1" xref="A1.E117.m1.1.1.1.cmml"><mrow id="A1.E117.m1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.E117.m1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="A1.E117.m1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.E117.m1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo><mrow id="A1.E117.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.E117.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="A1.E117.m1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.E117.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="A1.E117.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" mathvariant="normal" xref="A1.E117.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">Φ</mi><mi id="A1.E117.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="A1.E117.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">ε</mi></msub><mo id="A1.E117.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.E117.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><msub id="A1.E117.m1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.E117.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A1.E117.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" mathvariant="normal" xref="A1.E117.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">Φ</mi><mtext id="A1.E117.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A1.E117.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3a.cmml">Haar</mtext></msub></mrow><mo id="A1.E117.m1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.E117.m1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo></mrow><mo id="A1.E117.m1.1.1.1.1.3" xref="A1.E117.m1.1.1.1.1.3.cmml">⋄</mo><mn id="A1.E117.m1.1.1.1.3" xref="A1.E117.m1.1.1.1.3.cmml">2</mn></msubsup><mo id="A1.E117.m1.2.2.3" xref="A1.E117.m1.2.2.3.cmml">≤</mo><mrow id="A1.E117.m1.2.2.2" xref="A1.E117.m1.2.2.2.cmml"><msup id="A1.E117.m1.2.2.2.3" xref="A1.E117.m1.2.2.2.3.cmml"><mi id="A1.E117.m1.2.2.2.3.2" xref="A1.E117.m1.2.2.2.3.2.cmml">q</mi><mrow id="A1.E117.m1.2.2.2.3.3" xref="A1.E117.m1.2.2.2.3.3.cmml"><mn id="A1.E117.m1.2.2.2.3.3.2" xref="A1.E117.m1.2.2.2.3.3.2.cmml">2</mn><mo id="A1.E117.m1.2.2.2.3.3.1" xref="A1.E117.m1.2.2.2.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.E117.m1.2.2.2.3.3.3" xref="A1.E117.m1.2.2.2.3.3.3.cmml">N</mi><mo id="A1.E117.m1.2.2.2.3.3.1a" xref="A1.E117.m1.2.2.2.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.E117.m1.2.2.2.3.3.4" xref="A1.E117.m1.2.2.2.3.3.4.cmml">t</mi></mrow></msup><mo id="A1.E117.m1.2.2.2.2" xref="A1.E117.m1.2.2.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.E117.m1.2.2.2.1.1" xref="A1.E117.m1.2.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="A1.E117.m1.2.2.2.1.1.2" xref="A1.E117.m1.2.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.E117.m1.2.2.2.1.1.1" xref="A1.E117.m1.2.2.2.1.1.1.cmml"><msup id="A1.E117.m1.2.2.2.1.1.1.3" xref="A1.E117.m1.2.2.2.1.1.1.3.cmml"><mi id="A1.E117.m1.2.2.2.1.1.1.3.2" xref="A1.E117.m1.2.2.2.1.1.1.3.2.cmml">q</mi><mrow id="A1.E117.m1.2.2.2.1.1.1.3.3" xref="A1.E117.m1.2.2.2.1.1.1.3.3.cmml"><mn id="A1.E117.m1.2.2.2.1.1.1.3.3.2" xref="A1.E117.m1.2.2.2.1.1.1.3.3.2.cmml">2</mn><mo id="A1.E117.m1.2.2.2.1.1.1.3.3.1" xref="A1.E117.m1.2.2.2.1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.E117.m1.2.2.2.1.1.1.3.3.3" xref="A1.E117.m1.2.2.2.1.1.1.3.3.3.cmml">N</mi><mo id="A1.E117.m1.2.2.2.1.1.1.3.3.1a" xref="A1.E117.m1.2.2.2.1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.E117.m1.2.2.2.1.1.1.3.3.4" xref="A1.E117.m1.2.2.2.1.1.1.3.3.4.cmml">t</mi></mrow></msup><mo id="A1.E117.m1.2.2.2.1.1.1.2" xref="A1.E117.m1.2.2.2.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msup id="A1.E117.m1.2.2.2.1.1.1.1" xref="A1.E117.m1.2.2.2.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A1.E117.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="A1.E117.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="A1.E117.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.E117.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.2.1.cmml">|</mo><msub id="A1.E117.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.E117.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A1.E117.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.E117.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">λ</mi><mtext id="A1.E117.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.E117.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3a.cmml">stair</mtext></msub><mo id="A1.E117.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.E117.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.2.1.cmml">|</mo></mrow><mrow id="A1.E117.m1.2.2.2.1.1.1.1.3" xref="A1.E117.m1.2.2.2.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A1.E117.m1.2.2.2.1.1.1.1.3.2" mathvariant="normal" xref="A1.E117.m1.2.2.2.1.1.1.1.3.2.cmml">ℓ</mi><mo id="A1.E117.m1.2.2.2.1.1.1.1.3.1" xref="A1.E117.m1.2.2.2.1.1.1.1.3.1.cmml">−</mo><mn id="A1.E117.m1.2.2.2.1.1.1.1.3.3" xref="A1.E117.m1.2.2.2.1.1.1.1.3.3.cmml">1</mn></mrow></msup></mrow><mo id="A1.E117.m1.2.2.2.1.1.3" xref="A1.E117.m1.2.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.E117.m1.2b"><apply id="A1.E117.m1.2.2.cmml" xref="A1.E117.m1.2.2"><leq id="A1.E117.m1.2.2.3.cmml" xref="A1.E117.m1.2.2.3"></leq><apply id="A1.E117.m1.1.1.1.cmml" xref="A1.E117.m1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E117.m1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.E117.m1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="A1.E117.m1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.E117.m1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E117.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.E117.m1.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="A1.E117.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.E117.m1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="A1.E117.m1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.E117.m1.1.1.1.1.1.1.2">norm</csymbol><apply id="A1.E117.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.E117.m1.1.1.1.1.1.1.1"><minus id="A1.E117.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.E117.m1.1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><apply id="A1.E117.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.E117.m1.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E117.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.E117.m1.1.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="A1.E117.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.E117.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">Φ</ci><ci id="A1.E117.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="A1.E117.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">𝜀</ci></apply><apply id="A1.E117.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.E117.m1.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E117.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.E117.m1.1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A1.E117.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.E117.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">Φ</ci><ci id="A1.E117.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3a.cmml" xref="A1.E117.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3"><mtext id="A1.E117.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" mathsize="70%" xref="A1.E117.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">Haar</mtext></ci></apply></apply></apply><ci id="A1.E117.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.E117.m1.1.1.1.1.3">⋄</ci></apply><cn id="A1.E117.m1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A1.E117.m1.1.1.1.3">2</cn></apply><apply id="A1.E117.m1.2.2.2.cmml" xref="A1.E117.m1.2.2.2"><times id="A1.E117.m1.2.2.2.2.cmml" xref="A1.E117.m1.2.2.2.2"></times><apply id="A1.E117.m1.2.2.2.3.cmml" xref="A1.E117.m1.2.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E117.m1.2.2.2.3.1.cmml" xref="A1.E117.m1.2.2.2.3">superscript</csymbol><ci id="A1.E117.m1.2.2.2.3.2.cmml" xref="A1.E117.m1.2.2.2.3.2">𝑞</ci><apply id="A1.E117.m1.2.2.2.3.3.cmml" xref="A1.E117.m1.2.2.2.3.3"><times id="A1.E117.m1.2.2.2.3.3.1.cmml" xref="A1.E117.m1.2.2.2.3.3.1"></times><cn id="A1.E117.m1.2.2.2.3.3.2.cmml" type="integer" xref="A1.E117.m1.2.2.2.3.3.2">2</cn><ci id="A1.E117.m1.2.2.2.3.3.3.cmml" xref="A1.E117.m1.2.2.2.3.3.3">𝑁</ci><ci id="A1.E117.m1.2.2.2.3.3.4.cmml" xref="A1.E117.m1.2.2.2.3.3.4">𝑡</ci></apply></apply><apply id="A1.E117.m1.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="A1.E117.m1.2.2.2.1.1"><times id="A1.E117.m1.2.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="A1.E117.m1.2.2.2.1.1.1.2"></times><apply id="A1.E117.m1.2.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="A1.E117.m1.2.2.2.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E117.m1.2.2.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.E117.m1.2.2.2.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="A1.E117.m1.2.2.2.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.E117.m1.2.2.2.1.1.1.3.2">𝑞</ci><apply id="A1.E117.m1.2.2.2.1.1.1.3.3.cmml" xref="A1.E117.m1.2.2.2.1.1.1.3.3"><times id="A1.E117.m1.2.2.2.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="A1.E117.m1.2.2.2.1.1.1.3.3.1"></times><cn id="A1.E117.m1.2.2.2.1.1.1.3.3.2.cmml" type="integer" xref="A1.E117.m1.2.2.2.1.1.1.3.3.2">2</cn><ci id="A1.E117.m1.2.2.2.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="A1.E117.m1.2.2.2.1.1.1.3.3.3">𝑁</ci><ci id="A1.E117.m1.2.2.2.1.1.1.3.3.4.cmml" xref="A1.E117.m1.2.2.2.1.1.1.3.3.4">𝑡</ci></apply></apply><apply id="A1.E117.m1.2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="A1.E117.m1.2.2.2.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E117.m1.2.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.E117.m1.2.2.2.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="A1.E117.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.E117.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1"><abs id="A1.E117.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.E117.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2"></abs><apply id="A1.E117.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.E117.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E117.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.E117.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="A1.E117.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.E117.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2">𝜆</ci><ci id="A1.E117.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3a.cmml" xref="A1.E117.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3"><mtext id="A1.E117.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" mathsize="70%" xref="A1.E117.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3">stair</mtext></ci></apply></apply><apply id="A1.E117.m1.2.2.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.E117.m1.2.2.2.1.1.1.1.3"><minus id="A1.E117.m1.2.2.2.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.E117.m1.2.2.2.1.1.1.1.3.1"></minus><ci id="A1.E117.m1.2.2.2.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.E117.m1.2.2.2.1.1.1.1.3.2">ℓ</ci><cn id="A1.E117.m1.2.2.2.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="A1.E117.m1.2.2.2.1.1.1.1.3.3">1</cn></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.E117.m1.2c">\displaystyle||\Phi_{\varepsilon}-\Phi_{\text{Haar}}||_{\diamond}^{2}\leq q^{2% Nt}\left(q^{2Nt}|\lambda_{\text{stair}}|^{\ell-1}\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.E117.m1.2d">| | roman_Φ start_POSTSUBSCRIPT italic_ε end_POSTSUBSCRIPT - roman_Φ start_POSTSUBSCRIPT Haar end_POSTSUBSCRIPT | | start_POSTSUBSCRIPT ⋄ end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ≤ italic_q start_POSTSUPERSCRIPT 2 italic_N italic_t end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_q start_POSTSUPERSCRIPT 2 italic_N italic_t end_POSTSUPERSCRIPT | italic_λ start_POSTSUBSCRIPT stair end_POSTSUBSCRIPT | start_POSTSUPERSCRIPT roman_ℓ - 1 end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(117)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="A1.SS1.2.p1.1">The diamond-norm distance is guaranteed to be below <math alttext="\epsilon" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.SS1.2.p1.1.m1.1"><semantics id="A1.SS1.2.p1.1.m1.1a"><mi id="A1.SS1.2.p1.1.m1.1.1" xref="A1.SS1.2.p1.1.m1.1.1.cmml">ϵ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.SS1.2.p1.1.m1.1b"><ci id="A1.SS1.2.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="A1.SS1.2.p1.1.m1.1.1">italic-ϵ</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.SS1.2.p1.1.m1.1c">\epsilon</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.SS1.2.p1.1.m1.1d">italic_ϵ</annotation></semantics></math> so long as</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_gather ltx_eqn_table" id="S6.EGx104"> <tbody id="A1.E118"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\displaystyle\epsilon\geq q^{2Nt}\lambda_{\text{stair}}^{\frac{\ell-1}{2}}" class="ltx_Math" display="block" id="A1.E118.m1.1"><semantics id="A1.E118.m1.1a"><mrow id="A1.E118.m1.1.1" xref="A1.E118.m1.1.1.cmml"><mi id="A1.E118.m1.1.1.2" xref="A1.E118.m1.1.1.2.cmml">ϵ</mi><mo id="A1.E118.m1.1.1.1" xref="A1.E118.m1.1.1.1.cmml">≥</mo><mrow id="A1.E118.m1.1.1.3" xref="A1.E118.m1.1.1.3.cmml"><msup id="A1.E118.m1.1.1.3.2" xref="A1.E118.m1.1.1.3.2.cmml"><mi id="A1.E118.m1.1.1.3.2.2" xref="A1.E118.m1.1.1.3.2.2.cmml">q</mi><mrow id="A1.E118.m1.1.1.3.2.3" xref="A1.E118.m1.1.1.3.2.3.cmml"><mn id="A1.E118.m1.1.1.3.2.3.2" xref="A1.E118.m1.1.1.3.2.3.2.cmml">2</mn><mo id="A1.E118.m1.1.1.3.2.3.1" xref="A1.E118.m1.1.1.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.E118.m1.1.1.3.2.3.3" xref="A1.E118.m1.1.1.3.2.3.3.cmml">N</mi><mo id="A1.E118.m1.1.1.3.2.3.1a" xref="A1.E118.m1.1.1.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.E118.m1.1.1.3.2.3.4" xref="A1.E118.m1.1.1.3.2.3.4.cmml">t</mi></mrow></msup><mo id="A1.E118.m1.1.1.3.1" xref="A1.E118.m1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="A1.E118.m1.1.1.3.3" xref="A1.E118.m1.1.1.3.3.cmml"><mi id="A1.E118.m1.1.1.3.3.2.2" xref="A1.E118.m1.1.1.3.3.2.2.cmml">λ</mi><mtext id="A1.E118.m1.1.1.3.3.2.3" xref="A1.E118.m1.1.1.3.3.2.3a.cmml">stair</mtext><mfrac id="A1.E118.m1.1.1.3.3.3" xref="A1.E118.m1.1.1.3.3.3.cmml"><mrow id="A1.E118.m1.1.1.3.3.3.2" xref="A1.E118.m1.1.1.3.3.3.2.cmml"><mi id="A1.E118.m1.1.1.3.3.3.2.2" mathvariant="normal" xref="A1.E118.m1.1.1.3.3.3.2.2.cmml">ℓ</mi><mo id="A1.E118.m1.1.1.3.3.3.2.1" xref="A1.E118.m1.1.1.3.3.3.2.1.cmml">−</mo><mn id="A1.E118.m1.1.1.3.3.3.2.3" xref="A1.E118.m1.1.1.3.3.3.2.3.cmml">1</mn></mrow><mn id="A1.E118.m1.1.1.3.3.3.3" xref="A1.E118.m1.1.1.3.3.3.3.cmml">2</mn></mfrac></msubsup></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.E118.m1.1b"><apply id="A1.E118.m1.1.1.cmml" xref="A1.E118.m1.1.1"><geq id="A1.E118.m1.1.1.1.cmml" xref="A1.E118.m1.1.1.1"></geq><ci id="A1.E118.m1.1.1.2.cmml" xref="A1.E118.m1.1.1.2">italic-ϵ</ci><apply id="A1.E118.m1.1.1.3.cmml" xref="A1.E118.m1.1.1.3"><times id="A1.E118.m1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.E118.m1.1.1.3.1"></times><apply id="A1.E118.m1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.E118.m1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E118.m1.1.1.3.2.1.cmml" xref="A1.E118.m1.1.1.3.2">superscript</csymbol><ci id="A1.E118.m1.1.1.3.2.2.cmml" xref="A1.E118.m1.1.1.3.2.2">𝑞</ci><apply id="A1.E118.m1.1.1.3.2.3.cmml" xref="A1.E118.m1.1.1.3.2.3"><times id="A1.E118.m1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="A1.E118.m1.1.1.3.2.3.1"></times><cn id="A1.E118.m1.1.1.3.2.3.2.cmml" type="integer" xref="A1.E118.m1.1.1.3.2.3.2">2</cn><ci id="A1.E118.m1.1.1.3.2.3.3.cmml" xref="A1.E118.m1.1.1.3.2.3.3">𝑁</ci><ci id="A1.E118.m1.1.1.3.2.3.4.cmml" xref="A1.E118.m1.1.1.3.2.3.4">𝑡</ci></apply></apply><apply id="A1.E118.m1.1.1.3.3.cmml" xref="A1.E118.m1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E118.m1.1.1.3.3.1.cmml" xref="A1.E118.m1.1.1.3.3">superscript</csymbol><apply id="A1.E118.m1.1.1.3.3.2.cmml" xref="A1.E118.m1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E118.m1.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="A1.E118.m1.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="A1.E118.m1.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="A1.E118.m1.1.1.3.3.2.2">𝜆</ci><ci id="A1.E118.m1.1.1.3.3.2.3a.cmml" xref="A1.E118.m1.1.1.3.3.2.3"><mtext id="A1.E118.m1.1.1.3.3.2.3.cmml" mathsize="70%" xref="A1.E118.m1.1.1.3.3.2.3">stair</mtext></ci></apply><apply id="A1.E118.m1.1.1.3.3.3.cmml" xref="A1.E118.m1.1.1.3.3.3"><divide id="A1.E118.m1.1.1.3.3.3.1.cmml" xref="A1.E118.m1.1.1.3.3.3"></divide><apply 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class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(118)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="A1.SS1.2.p1.4">or equivalently</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_gather ltx_eqn_table" id="S6.EGx105"> <tbody id="A1.E119"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\displaystyle\log\frac{1}{\epsilon}\leq-2Nt\log q+\frac{\ell-1}{2}\log\frac{1}% {\lambda_{\text{stair}}}" class="ltx_Math" display="block" id="A1.E119.m1.1"><semantics id="A1.E119.m1.1a"><mrow id="A1.E119.m1.1.1" xref="A1.E119.m1.1.1.cmml"><mrow id="A1.E119.m1.1.1.2" xref="A1.E119.m1.1.1.2.cmml"><mi id="A1.E119.m1.1.1.2.1" xref="A1.E119.m1.1.1.2.1.cmml">log</mi><mo id="A1.E119.m1.1.1.2a" lspace="0.167em" xref="A1.E119.m1.1.1.2.cmml">⁡</mo><mfrac id="A1.E119.m1.1.1.2.2" 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xref="A1.E119.m1.1.1.3.2.2.5.cmml"><mi id="A1.E119.m1.1.1.3.2.2.5.1" xref="A1.E119.m1.1.1.3.2.2.5.1.cmml">log</mi><mo id="A1.E119.m1.1.1.3.2.2.5a" lspace="0.167em" xref="A1.E119.m1.1.1.3.2.2.5.cmml">⁡</mo><mi id="A1.E119.m1.1.1.3.2.2.5.2" xref="A1.E119.m1.1.1.3.2.2.5.2.cmml">q</mi></mrow></mrow></mrow><mo id="A1.E119.m1.1.1.3.1" xref="A1.E119.m1.1.1.3.1.cmml">+</mo><mrow id="A1.E119.m1.1.1.3.3" xref="A1.E119.m1.1.1.3.3.cmml"><mfrac id="A1.E119.m1.1.1.3.3.2" xref="A1.E119.m1.1.1.3.3.2.cmml"><mrow id="A1.E119.m1.1.1.3.3.2.2" xref="A1.E119.m1.1.1.3.3.2.2.cmml"><mi id="A1.E119.m1.1.1.3.3.2.2.2" mathvariant="normal" xref="A1.E119.m1.1.1.3.3.2.2.2.cmml">ℓ</mi><mo id="A1.E119.m1.1.1.3.3.2.2.1" xref="A1.E119.m1.1.1.3.3.2.2.1.cmml">−</mo><mn id="A1.E119.m1.1.1.3.3.2.2.3" xref="A1.E119.m1.1.1.3.3.2.2.3.cmml">1</mn></mrow><mn id="A1.E119.m1.1.1.3.3.2.3" xref="A1.E119.m1.1.1.3.3.2.3.cmml">2</mn></mfrac><mo id="A1.E119.m1.1.1.3.3.1" lspace="0.167em" xref="A1.E119.m1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.E119.m1.1.1.3.3.3" xref="A1.E119.m1.1.1.3.3.3.cmml"><mi id="A1.E119.m1.1.1.3.3.3.1" xref="A1.E119.m1.1.1.3.3.3.1.cmml">log</mi><mo id="A1.E119.m1.1.1.3.3.3a" lspace="0.167em" xref="A1.E119.m1.1.1.3.3.3.cmml">⁡</mo><mfrac id="A1.E119.m1.1.1.3.3.3.2" xref="A1.E119.m1.1.1.3.3.3.2.cmml"><mn id="A1.E119.m1.1.1.3.3.3.2.2" xref="A1.E119.m1.1.1.3.3.3.2.2.cmml">1</mn><msub id="A1.E119.m1.1.1.3.3.3.2.3" xref="A1.E119.m1.1.1.3.3.3.2.3.cmml"><mi id="A1.E119.m1.1.1.3.3.3.2.3.2" xref="A1.E119.m1.1.1.3.3.3.2.3.2.cmml">λ</mi><mtext id="A1.E119.m1.1.1.3.3.3.2.3.3" xref="A1.E119.m1.1.1.3.3.3.2.3.3a.cmml">stair</mtext></msub></mfrac></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.E119.m1.1b"><apply id="A1.E119.m1.1.1.cmml" xref="A1.E119.m1.1.1"><leq id="A1.E119.m1.1.1.1.cmml" xref="A1.E119.m1.1.1.1"></leq><apply id="A1.E119.m1.1.1.2.cmml" xref="A1.E119.m1.1.1.2"><log id="A1.E119.m1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.E119.m1.1.1.2.1"></log><apply id="A1.E119.m1.1.1.2.2.cmml" 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xref="A1.E119.m1.1.1.3.3.3.1"></log><apply id="A1.E119.m1.1.1.3.3.3.2.cmml" xref="A1.E119.m1.1.1.3.3.3.2"><divide id="A1.E119.m1.1.1.3.3.3.2.1.cmml" xref="A1.E119.m1.1.1.3.3.3.2"></divide><cn id="A1.E119.m1.1.1.3.3.3.2.2.cmml" type="integer" xref="A1.E119.m1.1.1.3.3.3.2.2">1</cn><apply id="A1.E119.m1.1.1.3.3.3.2.3.cmml" xref="A1.E119.m1.1.1.3.3.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E119.m1.1.1.3.3.3.2.3.1.cmml" xref="A1.E119.m1.1.1.3.3.3.2.3">subscript</csymbol><ci id="A1.E119.m1.1.1.3.3.3.2.3.2.cmml" xref="A1.E119.m1.1.1.3.3.3.2.3.2">𝜆</ci><ci id="A1.E119.m1.1.1.3.3.3.2.3.3a.cmml" xref="A1.E119.m1.1.1.3.3.3.2.3.3"><mtext id="A1.E119.m1.1.1.3.3.3.2.3.3.cmml" mathsize="70%" xref="A1.E119.m1.1.1.3.3.3.2.3.3">stair</mtext></ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.E119.m1.1c">\displaystyle\log\frac{1}{\epsilon}\leq-2Nt\log q+\frac{\ell-1}{2}\log\frac{1}% {\lambda_{\text{stair}}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.E119.m1.1d">roman_log divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_ϵ end_ARG ≤ - 2 italic_N italic_t roman_log italic_q + divide start_ARG roman_ℓ - 1 end_ARG start_ARG 2 end_ARG roman_log divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_λ start_POSTSUBSCRIPT stair end_POSTSUBSCRIPT end_ARG</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(119)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="A1.SS1.2.p1.2">Solving for <math alttext="\ell" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.SS1.2.p1.2.m1.1"><semantics id="A1.SS1.2.p1.2.m1.1a"><mi id="A1.SS1.2.p1.2.m1.1.1" mathvariant="normal" xref="A1.SS1.2.p1.2.m1.1.1.cmml">ℓ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.SS1.2.p1.2.m1.1b"><ci id="A1.SS1.2.p1.2.m1.1.1.cmml" xref="A1.SS1.2.p1.2.m1.1.1">ℓ</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.SS1.2.p1.2.m1.1c">\ell</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.SS1.2.p1.2.m1.1d">roman_ℓ</annotation></semantics></math> gives the desired result.</p> </div> <div class="ltx_para" id="A1.SS1.3.p2"> <p class="ltx_p" id="A1.SS1.3.p2.2">For the multiplicative-error bound, we can use Lemma 4 of ref. <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_citep"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#bib.bib9" title="">9</a></cite> to see that the 1D brickwork forms a multiplicative-error <math alttext="\epsilon" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.SS1.3.p2.1.m1.1"><semantics id="A1.SS1.3.p2.1.m1.1a"><mi id="A1.SS1.3.p2.1.m1.1.1" xref="A1.SS1.3.p2.1.m1.1.1.cmml">ϵ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.SS1.3.p2.1.m1.1b"><ci id="A1.SS1.3.p2.1.m1.1.1.cmml" xref="A1.SS1.3.p2.1.m1.1.1">italic-ϵ</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.SS1.3.p2.1.m1.1c">\epsilon</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.SS1.3.p2.1.m1.1d">italic_ϵ</annotation></semantics></math>-approximate <math alttext="t" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.SS1.3.p2.2.m2.1"><semantics id="A1.SS1.3.p2.2.m2.1a"><mi id="A1.SS1.3.p2.2.m2.1.1" xref="A1.SS1.3.p2.2.m2.1.1.cmml">t</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.SS1.3.p2.2.m2.1b"><ci id="A1.SS1.3.p2.2.m2.1.1.cmml" xref="A1.SS1.3.p2.2.m2.1.1">𝑡</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.SS1.3.p2.2.m2.1c">t</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.SS1.3.p2.2.m2.1d">italic_t</annotation></semantics></math>-design when</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_gather ltx_eqn_table" id="S6.EGx106"> <tbody id="A1.E120"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\displaystyle\epsilon\geq q^{2Nt}\lambda(\ell,N,q,t)" class="ltx_Math" display="block" id="A1.E120.m1.4"><semantics id="A1.E120.m1.4a"><mrow id="A1.E120.m1.4.5" xref="A1.E120.m1.4.5.cmml"><mi id="A1.E120.m1.4.5.2" xref="A1.E120.m1.4.5.2.cmml">ϵ</mi><mo id="A1.E120.m1.4.5.1" xref="A1.E120.m1.4.5.1.cmml">≥</mo><mrow id="A1.E120.m1.4.5.3" xref="A1.E120.m1.4.5.3.cmml"><msup id="A1.E120.m1.4.5.3.2" xref="A1.E120.m1.4.5.3.2.cmml"><mi id="A1.E120.m1.4.5.3.2.2" xref="A1.E120.m1.4.5.3.2.2.cmml">q</mi><mrow id="A1.E120.m1.4.5.3.2.3" xref="A1.E120.m1.4.5.3.2.3.cmml"><mn id="A1.E120.m1.4.5.3.2.3.2" xref="A1.E120.m1.4.5.3.2.3.2.cmml">2</mn><mo id="A1.E120.m1.4.5.3.2.3.1" xref="A1.E120.m1.4.5.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.E120.m1.4.5.3.2.3.3" xref="A1.E120.m1.4.5.3.2.3.3.cmml">N</mi><mo id="A1.E120.m1.4.5.3.2.3.1a" xref="A1.E120.m1.4.5.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.E120.m1.4.5.3.2.3.4" xref="A1.E120.m1.4.5.3.2.3.4.cmml">t</mi></mrow></msup><mo id="A1.E120.m1.4.5.3.1" xref="A1.E120.m1.4.5.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.E120.m1.4.5.3.3" xref="A1.E120.m1.4.5.3.3.cmml">λ</mi><mo id="A1.E120.m1.4.5.3.1a" xref="A1.E120.m1.4.5.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.E120.m1.4.5.3.4.2" xref="A1.E120.m1.4.5.3.4.1.cmml"><mo id="A1.E120.m1.4.5.3.4.2.1" stretchy="false" xref="A1.E120.m1.4.5.3.4.1.cmml">(</mo><mi id="A1.E120.m1.1.1" mathvariant="normal" xref="A1.E120.m1.1.1.cmml">ℓ</mi><mo id="A1.E120.m1.4.5.3.4.2.2" xref="A1.E120.m1.4.5.3.4.1.cmml">,</mo><mi id="A1.E120.m1.2.2" xref="A1.E120.m1.2.2.cmml">N</mi><mo id="A1.E120.m1.4.5.3.4.2.3" xref="A1.E120.m1.4.5.3.4.1.cmml">,</mo><mi id="A1.E120.m1.3.3" xref="A1.E120.m1.3.3.cmml">q</mi><mo id="A1.E120.m1.4.5.3.4.2.4" xref="A1.E120.m1.4.5.3.4.1.cmml">,</mo><mi id="A1.E120.m1.4.4" xref="A1.E120.m1.4.4.cmml">t</mi><mo id="A1.E120.m1.4.5.3.4.2.5" stretchy="false" xref="A1.E120.m1.4.5.3.4.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.E120.m1.4b"><apply id="A1.E120.m1.4.5.cmml" xref="A1.E120.m1.4.5"><geq id="A1.E120.m1.4.5.1.cmml" xref="A1.E120.m1.4.5.1"></geq><ci id="A1.E120.m1.4.5.2.cmml" xref="A1.E120.m1.4.5.2">italic-ϵ</ci><apply id="A1.E120.m1.4.5.3.cmml" xref="A1.E120.m1.4.5.3"><times id="A1.E120.m1.4.5.3.1.cmml" xref="A1.E120.m1.4.5.3.1"></times><apply id="A1.E120.m1.4.5.3.2.cmml" xref="A1.E120.m1.4.5.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E120.m1.4.5.3.2.1.cmml" xref="A1.E120.m1.4.5.3.2">superscript</csymbol><ci id="A1.E120.m1.4.5.3.2.2.cmml" xref="A1.E120.m1.4.5.3.2.2">𝑞</ci><apply id="A1.E120.m1.4.5.3.2.3.cmml" xref="A1.E120.m1.4.5.3.2.3"><times id="A1.E120.m1.4.5.3.2.3.1.cmml" xref="A1.E120.m1.4.5.3.2.3.1"></times><cn id="A1.E120.m1.4.5.3.2.3.2.cmml" type="integer" xref="A1.E120.m1.4.5.3.2.3.2">2</cn><ci id="A1.E120.m1.4.5.3.2.3.3.cmml" xref="A1.E120.m1.4.5.3.2.3.3">𝑁</ci><ci id="A1.E120.m1.4.5.3.2.3.4.cmml" xref="A1.E120.m1.4.5.3.2.3.4">𝑡</ci></apply></apply><ci id="A1.E120.m1.4.5.3.3.cmml" xref="A1.E120.m1.4.5.3.3">𝜆</ci><vector id="A1.E120.m1.4.5.3.4.1.cmml" xref="A1.E120.m1.4.5.3.4.2"><ci id="A1.E120.m1.1.1.cmml" xref="A1.E120.m1.1.1">ℓ</ci><ci id="A1.E120.m1.2.2.cmml" xref="A1.E120.m1.2.2">𝑁</ci><ci id="A1.E120.m1.3.3.cmml" xref="A1.E120.m1.3.3">𝑞</ci><ci id="A1.E120.m1.4.4.cmml" xref="A1.E120.m1.4.4">𝑡</ci></vector></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.E120.m1.4c">\displaystyle\epsilon\geq q^{2Nt}\lambda(\ell,N,q,t)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.E120.m1.4d">italic_ϵ ≥ italic_q start_POSTSUPERSCRIPT 2 italic_N italic_t end_POSTSUPERSCRIPT italic_λ ( roman_ℓ , italic_N , italic_q , italic_t )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(120)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="A1.SS1.3.p2.3">We then apply Lemmas <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#Thmtheorem52" title="Lemma 52. ‣ Appendix A Relationship between spectral gap and 𝑡-design depth ‣ Conditional 𝑡-independent spectral gap for random quantum circuits and implications for 𝑡-design depths"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">52</span></a> and <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#Thmtheorem53" title="Lemma 53. ‣ Appendix A Relationship between spectral gap and 𝑡-design depth ‣ Conditional 𝑡-independent spectral gap for random quantum circuits and implications for 𝑡-design depths"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">53</span></a> to write this as</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_gather ltx_eqn_table" id="S6.EGx107"> <tbody id="A1.E121"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\displaystyle\epsilon\geq q^{2Nt}\lambda_{\text{stair}}^{\lfloor\ell/2\rfloor}" class="ltx_Math" display="block" id="A1.E121.m1.1"><semantics id="A1.E121.m1.1a"><mrow id="A1.E121.m1.1.2" xref="A1.E121.m1.1.2.cmml"><mi id="A1.E121.m1.1.2.2" xref="A1.E121.m1.1.2.2.cmml">ϵ</mi><mo id="A1.E121.m1.1.2.1" xref="A1.E121.m1.1.2.1.cmml">≥</mo><mrow id="A1.E121.m1.1.2.3" xref="A1.E121.m1.1.2.3.cmml"><msup id="A1.E121.m1.1.2.3.2" xref="A1.E121.m1.1.2.3.2.cmml"><mi id="A1.E121.m1.1.2.3.2.2" xref="A1.E121.m1.1.2.3.2.2.cmml">q</mi><mrow id="A1.E121.m1.1.2.3.2.3" xref="A1.E121.m1.1.2.3.2.3.cmml"><mn id="A1.E121.m1.1.2.3.2.3.2" xref="A1.E121.m1.1.2.3.2.3.2.cmml">2</mn><mo id="A1.E121.m1.1.2.3.2.3.1" xref="A1.E121.m1.1.2.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.E121.m1.1.2.3.2.3.3" xref="A1.E121.m1.1.2.3.2.3.3.cmml">N</mi><mo id="A1.E121.m1.1.2.3.2.3.1a" xref="A1.E121.m1.1.2.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.E121.m1.1.2.3.2.3.4" xref="A1.E121.m1.1.2.3.2.3.4.cmml">t</mi></mrow></msup><mo id="A1.E121.m1.1.2.3.1" xref="A1.E121.m1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="A1.E121.m1.1.2.3.3" xref="A1.E121.m1.1.2.3.3.cmml"><mi id="A1.E121.m1.1.2.3.3.2.2" xref="A1.E121.m1.1.2.3.3.2.2.cmml">λ</mi><mtext id="A1.E121.m1.1.2.3.3.2.3" xref="A1.E121.m1.1.2.3.3.2.3a.cmml">stair</mtext><mrow id="A1.E121.m1.1.1.1.1" xref="A1.E121.m1.1.1.1.2.cmml"><mo id="A1.E121.m1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.E121.m1.1.1.1.2.1.cmml">⌊</mo><mrow id="A1.E121.m1.1.1.1.1.1" xref="A1.E121.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A1.E121.m1.1.1.1.1.1.2" mathvariant="normal" xref="A1.E121.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">ℓ</mi><mo id="A1.E121.m1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.E121.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">/</mo><mn id="A1.E121.m1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.E121.m1.1.1.1.1.1.3.cmml">2</mn></mrow><mo id="A1.E121.m1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.E121.m1.1.1.1.2.1.cmml">⌋</mo></mrow></msubsup></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.E121.m1.1b"><apply id="A1.E121.m1.1.2.cmml" xref="A1.E121.m1.1.2"><geq id="A1.E121.m1.1.2.1.cmml" xref="A1.E121.m1.1.2.1"></geq><ci id="A1.E121.m1.1.2.2.cmml" xref="A1.E121.m1.1.2.2">italic-ϵ</ci><apply id="A1.E121.m1.1.2.3.cmml" xref="A1.E121.m1.1.2.3"><times id="A1.E121.m1.1.2.3.1.cmml" xref="A1.E121.m1.1.2.3.1"></times><apply id="A1.E121.m1.1.2.3.2.cmml" xref="A1.E121.m1.1.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E121.m1.1.2.3.2.1.cmml" xref="A1.E121.m1.1.2.3.2">superscript</csymbol><ci id="A1.E121.m1.1.2.3.2.2.cmml" xref="A1.E121.m1.1.2.3.2.2">𝑞</ci><apply id="A1.E121.m1.1.2.3.2.3.cmml" xref="A1.E121.m1.1.2.3.2.3"><times id="A1.E121.m1.1.2.3.2.3.1.cmml" xref="A1.E121.m1.1.2.3.2.3.1"></times><cn id="A1.E121.m1.1.2.3.2.3.2.cmml" type="integer" xref="A1.E121.m1.1.2.3.2.3.2">2</cn><ci id="A1.E121.m1.1.2.3.2.3.3.cmml" xref="A1.E121.m1.1.2.3.2.3.3">𝑁</ci><ci id="A1.E121.m1.1.2.3.2.3.4.cmml" xref="A1.E121.m1.1.2.3.2.3.4">𝑡</ci></apply></apply><apply id="A1.E121.m1.1.2.3.3.cmml" xref="A1.E121.m1.1.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E121.m1.1.2.3.3.1.cmml" xref="A1.E121.m1.1.2.3.3">superscript</csymbol><apply id="A1.E121.m1.1.2.3.3.2.cmml" xref="A1.E121.m1.1.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E121.m1.1.2.3.3.2.1.cmml" xref="A1.E121.m1.1.2.3.3">subscript</csymbol><ci id="A1.E121.m1.1.2.3.3.2.2.cmml" xref="A1.E121.m1.1.2.3.3.2.2">𝜆</ci><ci id="A1.E121.m1.1.2.3.3.2.3a.cmml" xref="A1.E121.m1.1.2.3.3.2.3"><mtext id="A1.E121.m1.1.2.3.3.2.3.cmml" mathsize="70%" xref="A1.E121.m1.1.2.3.3.2.3">stair</mtext></ci></apply><apply id="A1.E121.m1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.E121.m1.1.1.1.1"><floor id="A1.E121.m1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.E121.m1.1.1.1.1.2"></floor><apply id="A1.E121.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.E121.m1.1.1.1.1.1"><divide id="A1.E121.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.E121.m1.1.1.1.1.1.1"></divide><ci id="A1.E121.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.E121.m1.1.1.1.1.1.2">ℓ</ci><cn id="A1.E121.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A1.E121.m1.1.1.1.1.1.3">2</cn></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.E121.m1.1c">\displaystyle\epsilon\geq q^{2Nt}\lambda_{\text{stair}}^{\lfloor\ell/2\rfloor}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.E121.m1.1d">italic_ϵ ≥ italic_q start_POSTSUPERSCRIPT 2 italic_N italic_t end_POSTSUPERSCRIPT italic_λ start_POSTSUBSCRIPT stair end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ⌊ roman_ℓ / 2 ⌋ end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(121)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="A1.SS1.3.p2.4">and rearrange to obtain</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_gather ltx_eqn_table" id="S6.EGx108"> <tbody id="A1.E122"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\displaystyle\ell\geq 2\left\lceil\frac{1}{2\log\frac{1}{\lambda_{\text{stair}% }}}\left(2Nt\log q+\log\frac{1}{\epsilon}\right)\right\rceil" class="ltx_Math" display="block" id="A1.E122.m1.1"><semantics id="A1.E122.m1.1a"><mrow id="A1.E122.m1.1.1" xref="A1.E122.m1.1.1.cmml"><mi id="A1.E122.m1.1.1.3" mathvariant="normal" xref="A1.E122.m1.1.1.3.cmml">ℓ</mi><mo id="A1.E122.m1.1.1.2" xref="A1.E122.m1.1.1.2.cmml">≥</mo><mrow id="A1.E122.m1.1.1.1" xref="A1.E122.m1.1.1.1.cmml"><mn id="A1.E122.m1.1.1.1.3" xref="A1.E122.m1.1.1.1.3.cmml">2</mn><mo id="A1.E122.m1.1.1.1.2" xref="A1.E122.m1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.E122.m1.1.1.1.1.1" xref="A1.E122.m1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="A1.E122.m1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.E122.m1.1.1.1.1.2.1.cmml">⌈</mo><mrow id="A1.E122.m1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.E122.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mfrac id="A1.E122.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.E122.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mn id="A1.E122.m1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A1.E122.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">1</mn><mrow id="A1.E122.m1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A1.E122.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mn id="A1.E122.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="A1.E122.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">2</mn><mo id="A1.E122.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1" lspace="0.167em" xref="A1.E122.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.E122.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="A1.E122.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml"><mi id="A1.E122.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.1" xref="A1.E122.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.1.cmml">log</mi><mo id="A1.E122.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3a" lspace="0.167em" xref="A1.E122.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">⁡</mo><mfrac id="A1.E122.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.2" xref="A1.E122.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.2.cmml"><mn id="A1.E122.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.2.2" xref="A1.E122.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.2.2.cmml">1</mn><msub id="A1.E122.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.2.3" xref="A1.E122.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.2.3.cmml"><mi id="A1.E122.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.2.3.2" xref="A1.E122.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.2.3.2.cmml">λ</mi><mtext id="A1.E122.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.2.3.3" xref="A1.E122.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.2.3.3a.cmml">stair</mtext></msub></mfrac></mrow></mrow></mfrac><mo id="A1.E122.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.E122.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.E122.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.E122.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.E122.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.E122.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.E122.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.E122.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A1.E122.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.E122.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mn id="A1.E122.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="A1.E122.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">2</mn><mo id="A1.E122.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="A1.E122.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.E122.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="A1.E122.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">N</mi><mo id="A1.E122.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1a" xref="A1.E122.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.E122.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.4" xref="A1.E122.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.4.cmml">t</mi><mo id="A1.E122.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1b" lspace="0.167em" xref="A1.E122.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.E122.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.5" xref="A1.E122.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.5.cmml"><mi id="A1.E122.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.5.1" xref="A1.E122.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.5.1.cmml">log</mi><mo id="A1.E122.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.5a" lspace="0.167em" xref="A1.E122.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.5.cmml">⁡</mo><mi id="A1.E122.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.5.2" xref="A1.E122.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.5.2.cmml">q</mi></mrow></mrow><mo id="A1.E122.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.E122.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="A1.E122.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.E122.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A1.E122.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="A1.E122.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">log</mi><mo id="A1.E122.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3a" lspace="0.167em" xref="A1.E122.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">⁡</mo><mfrac id="A1.E122.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A1.E122.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mn id="A1.E122.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="A1.E122.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">1</mn><mi id="A1.E122.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="A1.E122.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">ϵ</mi></mfrac></mrow></mrow><mo id="A1.E122.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.E122.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A1.E122.m1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.E122.m1.1.1.1.1.2.1.cmml">⌉</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.E122.m1.1b"><apply id="A1.E122.m1.1.1.cmml" xref="A1.E122.m1.1.1"><geq id="A1.E122.m1.1.1.2.cmml" xref="A1.E122.m1.1.1.2"></geq><ci id="A1.E122.m1.1.1.3.cmml" xref="A1.E122.m1.1.1.3">ℓ</ci><apply id="A1.E122.m1.1.1.1.cmml" xref="A1.E122.m1.1.1.1"><times id="A1.E122.m1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.E122.m1.1.1.1.2"></times><cn id="A1.E122.m1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A1.E122.m1.1.1.1.3">2</cn><apply id="A1.E122.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.E122.m1.1.1.1.1.1"><ceiling id="A1.E122.m1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.E122.m1.1.1.1.1.1.2"></ceiling><apply id="A1.E122.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.E122.m1.1.1.1.1.1.1"><times id="A1.E122.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.E122.m1.1.1.1.1.1.1.2"></times><apply id="A1.E122.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.E122.m1.1.1.1.1.1.1.3"><divide id="A1.E122.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.E122.m1.1.1.1.1.1.1.3"></divide><cn id="A1.E122.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="A1.E122.m1.1.1.1.1.1.1.3.2">1</cn><apply id="A1.E122.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A1.E122.m1.1.1.1.1.1.1.3.3"><times id="A1.E122.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="A1.E122.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1"></times><cn id="A1.E122.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" type="integer" xref="A1.E122.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2">2</cn><apply id="A1.E122.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="A1.E122.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3"><log id="A1.E122.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.1.cmml" xref="A1.E122.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.1"></log><apply id="A1.E122.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.2.cmml" xref="A1.E122.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.2"><divide id="A1.E122.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.2.1.cmml" xref="A1.E122.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.2"></divide><cn id="A1.E122.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.2.2.cmml" type="integer" xref="A1.E122.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.2.2">1</cn><apply id="A1.E122.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.2.3.cmml" xref="A1.E122.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E122.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.2.3.1.cmml" xref="A1.E122.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.2.3">subscript</csymbol><ci id="A1.E122.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.2.3.2.cmml" xref="A1.E122.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.2.3.2">𝜆</ci><ci id="A1.E122.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.2.3.3a.cmml" xref="A1.E122.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.2.3.3"><mtext id="A1.E122.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.2.3.3.cmml" mathsize="50%" xref="A1.E122.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.2.3.3">stair</mtext></ci></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="A1.E122.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.E122.m1.1.1.1.1.1.1.1.1"><plus id="A1.E122.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.E122.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></plus><apply id="A1.E122.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.E122.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><times id="A1.E122.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.E122.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1"></times><cn id="A1.E122.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" type="integer" xref="A1.E122.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">2</cn><ci id="A1.E122.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="A1.E122.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">𝑁</ci><ci id="A1.E122.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.4.cmml" xref="A1.E122.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.4">𝑡</ci><apply id="A1.E122.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.5.cmml" xref="A1.E122.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.5"><log id="A1.E122.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.5.1.cmml" xref="A1.E122.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.5.1"></log><ci id="A1.E122.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.5.2.cmml" xref="A1.E122.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.5.2">𝑞</ci></apply></apply><apply id="A1.E122.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.E122.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><log id="A1.E122.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.E122.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1"></log><apply id="A1.E122.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.E122.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2"><divide id="A1.E122.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="A1.E122.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2"></divide><cn id="A1.E122.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" type="integer" xref="A1.E122.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2">1</cn><ci id="A1.E122.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="A1.E122.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3">italic-ϵ</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.E122.m1.1c">\displaystyle\ell\geq 2\left\lceil\frac{1}{2\log\frac{1}{\lambda_{\text{stair}% }}}\left(2Nt\log q+\log\frac{1}{\epsilon}\right)\right\rceil</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.E122.m1.1d">roman_ℓ ≥ 2 ⌈ divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 roman_log divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_λ start_POSTSUBSCRIPT stair end_POSTSUBSCRIPT end_ARG end_ARG ( 2 italic_N italic_t roman_log italic_q + roman_log divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_ϵ end_ARG ) ⌉</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(122)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="A1.SS1.3.p2.5">∎</p> </div> </div> <div class="ltx_para" id="A1.SS1.p2"> <p class="ltx_p" id="A1.SS1.p2.2">Multiplicative error <math alttext="\epsilon" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.SS1.p2.1.m1.1"><semantics id="A1.SS1.p2.1.m1.1a"><mi id="A1.SS1.p2.1.m1.1.1" xref="A1.SS1.p2.1.m1.1.1.cmml">ϵ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.SS1.p2.1.m1.1b"><ci id="A1.SS1.p2.1.m1.1.1.cmml" xref="A1.SS1.p2.1.m1.1.1">italic-ϵ</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.SS1.p2.1.m1.1c">\epsilon</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.SS1.p2.1.m1.1d">italic_ϵ</annotation></semantics></math> implies additive error at most <math alttext="2\epsilon" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.SS1.p2.2.m2.1"><semantics id="A1.SS1.p2.2.m2.1a"><mrow id="A1.SS1.p2.2.m2.1.1" xref="A1.SS1.p2.2.m2.1.1.cmml"><mn id="A1.SS1.p2.2.m2.1.1.2" xref="A1.SS1.p2.2.m2.1.1.2.cmml">2</mn><mo id="A1.SS1.p2.2.m2.1.1.1" xref="A1.SS1.p2.2.m2.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.SS1.p2.2.m2.1.1.3" xref="A1.SS1.p2.2.m2.1.1.3.cmml">ϵ</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.SS1.p2.2.m2.1b"><apply id="A1.SS1.p2.2.m2.1.1.cmml" xref="A1.SS1.p2.2.m2.1.1"><times id="A1.SS1.p2.2.m2.1.1.1.cmml" xref="A1.SS1.p2.2.m2.1.1.1"></times><cn id="A1.SS1.p2.2.m2.1.1.2.cmml" type="integer" xref="A1.SS1.p2.2.m2.1.1.2">2</cn><ci id="A1.SS1.p2.2.m2.1.1.3.cmml" xref="A1.SS1.p2.2.m2.1.1.3">italic-ϵ</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.SS1.p2.2.m2.1c">2\epsilon</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.SS1.p2.2.m2.1d">2 italic_ϵ</annotation></semantics></math>, so the second bound may give a tighter additive-error bound for some parameter values.</p> </div> </section> <section class="ltx_subsection" id="A1.SS2"> <h3 class="ltx_title ltx_title_subsection"> <span class="ltx_tag ltx_tag_subsection">A.2 </span>Proof of Corollary <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#Thmtheorem4" title="Corollary 4. ‣ I.2 Main results ‣ I Introduction ‣ Conditional 𝑡-independent spectral gap for random quantum circuits and implications for 𝑡-design depths"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">4</span></a> </h3> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_corollary" id="Thmcorollaryx1"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmcorollaryx1.1.1.1">Corollary</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmcorollaryx1.2.2">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="Thmcorollaryx1.p1"> <p class="ltx_p" id="Thmcorollaryx1.p1.1"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmcorollaryx1.p1.1.1">(Restatement of Corollary <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#Thmtheorem4" title="Corollary 4. ‣ I.2 Main results ‣ I Introduction ‣ Conditional 𝑡-independent spectral gap for random quantum circuits and implications for 𝑡-design depths"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">4</span></a>) There exists a constant <math alttext="C(N,q,t)" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmcorollaryx1.p1.1.1.m1.3"><semantics id="Thmcorollaryx1.p1.1.1.m1.3a"><mrow id="Thmcorollaryx1.p1.1.1.m1.3.4" xref="Thmcorollaryx1.p1.1.1.m1.3.4.cmml"><mi id="Thmcorollaryx1.p1.1.1.m1.3.4.2" xref="Thmcorollaryx1.p1.1.1.m1.3.4.2.cmml">C</mi><mo id="Thmcorollaryx1.p1.1.1.m1.3.4.1" xref="Thmcorollaryx1.p1.1.1.m1.3.4.1.cmml">⁢</mo><mrow id="Thmcorollaryx1.p1.1.1.m1.3.4.3.2" xref="Thmcorollaryx1.p1.1.1.m1.3.4.3.1.cmml"><mo id="Thmcorollaryx1.p1.1.1.m1.3.4.3.2.1" stretchy="false" xref="Thmcorollaryx1.p1.1.1.m1.3.4.3.1.cmml">(</mo><mi id="Thmcorollaryx1.p1.1.1.m1.1.1" xref="Thmcorollaryx1.p1.1.1.m1.1.1.cmml">N</mi><mo id="Thmcorollaryx1.p1.1.1.m1.3.4.3.2.2" xref="Thmcorollaryx1.p1.1.1.m1.3.4.3.1.cmml">,</mo><mi id="Thmcorollaryx1.p1.1.1.m1.2.2" xref="Thmcorollaryx1.p1.1.1.m1.2.2.cmml">q</mi><mo id="Thmcorollaryx1.p1.1.1.m1.3.4.3.2.3" xref="Thmcorollaryx1.p1.1.1.m1.3.4.3.1.cmml">,</mo><mi id="Thmcorollaryx1.p1.1.1.m1.3.3" xref="Thmcorollaryx1.p1.1.1.m1.3.3.cmml">t</mi><mo id="Thmcorollaryx1.p1.1.1.m1.3.4.3.2.4" stretchy="false" xref="Thmcorollaryx1.p1.1.1.m1.3.4.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmcorollaryx1.p1.1.1.m1.3b"><apply id="Thmcorollaryx1.p1.1.1.m1.3.4.cmml" xref="Thmcorollaryx1.p1.1.1.m1.3.4"><times id="Thmcorollaryx1.p1.1.1.m1.3.4.1.cmml" xref="Thmcorollaryx1.p1.1.1.m1.3.4.1"></times><ci id="Thmcorollaryx1.p1.1.1.m1.3.4.2.cmml" xref="Thmcorollaryx1.p1.1.1.m1.3.4.2">𝐶</ci><vector id="Thmcorollaryx1.p1.1.1.m1.3.4.3.1.cmml" xref="Thmcorollaryx1.p1.1.1.m1.3.4.3.2"><ci id="Thmcorollaryx1.p1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="Thmcorollaryx1.p1.1.1.m1.1.1">𝑁</ci><ci id="Thmcorollaryx1.p1.1.1.m1.2.2.cmml" xref="Thmcorollaryx1.p1.1.1.m1.2.2">𝑞</ci><ci id="Thmcorollaryx1.p1.1.1.m1.3.3.cmml" xref="Thmcorollaryx1.p1.1.1.m1.3.3">𝑡</ci></vector></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmcorollaryx1.p1.1.1.m1.3c">C(N,q,t)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmcorollaryx1.p1.1.1.m1.3d">italic_C ( italic_N , italic_q , italic_t )</annotation></semantics></math> such that</span></p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="A1.Ex48"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\ell_{*}(N,q,t,\epsilon)=\left(C(N,q,t)+o_{\epsilon}(1)\right)\log\frac{1}{\epsilon}" class="ltx_Math" display="block" id="A1.Ex48.m1.9"><semantics id="A1.Ex48.m1.9a"><mrow id="A1.Ex48.m1.9.9" xref="A1.Ex48.m1.9.9.cmml"><mrow id="A1.Ex48.m1.9.9.3" xref="A1.Ex48.m1.9.9.3.cmml"><msub id="A1.Ex48.m1.9.9.3.2" xref="A1.Ex48.m1.9.9.3.2.cmml"><mi id="A1.Ex48.m1.9.9.3.2.2" mathvariant="normal" xref="A1.Ex48.m1.9.9.3.2.2.cmml">ℓ</mi><mo id="A1.Ex48.m1.9.9.3.2.3" xref="A1.Ex48.m1.9.9.3.2.3.cmml">∗</mo></msub><mo id="A1.Ex48.m1.9.9.3.1" xref="A1.Ex48.m1.9.9.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex48.m1.9.9.3.3.2" xref="A1.Ex48.m1.9.9.3.3.1.cmml"><mo id="A1.Ex48.m1.9.9.3.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.Ex48.m1.9.9.3.3.1.cmml">(</mo><mi id="A1.Ex48.m1.1.1" xref="A1.Ex48.m1.1.1.cmml">N</mi><mo id="A1.Ex48.m1.9.9.3.3.2.2" xref="A1.Ex48.m1.9.9.3.3.1.cmml">,</mo><mi id="A1.Ex48.m1.2.2" xref="A1.Ex48.m1.2.2.cmml">q</mi><mo id="A1.Ex48.m1.9.9.3.3.2.3" xref="A1.Ex48.m1.9.9.3.3.1.cmml">,</mo><mi id="A1.Ex48.m1.3.3" xref="A1.Ex48.m1.3.3.cmml">t</mi><mo id="A1.Ex48.m1.9.9.3.3.2.4" xref="A1.Ex48.m1.9.9.3.3.1.cmml">,</mo><mi id="A1.Ex48.m1.4.4" xref="A1.Ex48.m1.4.4.cmml">ϵ</mi><mo id="A1.Ex48.m1.9.9.3.3.2.5" stretchy="false" xref="A1.Ex48.m1.9.9.3.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A1.Ex48.m1.9.9.2" xref="A1.Ex48.m1.9.9.2.cmml">=</mo><mrow id="A1.Ex48.m1.9.9.1" xref="A1.Ex48.m1.9.9.1.cmml"><mrow id="A1.Ex48.m1.9.9.1.1.1" xref="A1.Ex48.m1.9.9.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex48.m1.9.9.1.1.1.2" xref="A1.Ex48.m1.9.9.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.Ex48.m1.9.9.1.1.1.1" xref="A1.Ex48.m1.9.9.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex48.m1.9.9.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex48.m1.9.9.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="A1.Ex48.m1.9.9.1.1.1.1.2.2" xref="A1.Ex48.m1.9.9.1.1.1.1.2.2.cmml">C</mi><mo id="A1.Ex48.m1.9.9.1.1.1.1.2.1" xref="A1.Ex48.m1.9.9.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex48.m1.9.9.1.1.1.1.2.3.2" xref="A1.Ex48.m1.9.9.1.1.1.1.2.3.1.cmml"><mo id="A1.Ex48.m1.9.9.1.1.1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.Ex48.m1.9.9.1.1.1.1.2.3.1.cmml">(</mo><mi id="A1.Ex48.m1.5.5" xref="A1.Ex48.m1.5.5.cmml">N</mi><mo id="A1.Ex48.m1.9.9.1.1.1.1.2.3.2.2" xref="A1.Ex48.m1.9.9.1.1.1.1.2.3.1.cmml">,</mo><mi id="A1.Ex48.m1.6.6" xref="A1.Ex48.m1.6.6.cmml">q</mi><mo id="A1.Ex48.m1.9.9.1.1.1.1.2.3.2.3" xref="A1.Ex48.m1.9.9.1.1.1.1.2.3.1.cmml">,</mo><mi id="A1.Ex48.m1.7.7" xref="A1.Ex48.m1.7.7.cmml">t</mi><mo id="A1.Ex48.m1.9.9.1.1.1.1.2.3.2.4" stretchy="false" xref="A1.Ex48.m1.9.9.1.1.1.1.2.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A1.Ex48.m1.9.9.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex48.m1.9.9.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="A1.Ex48.m1.9.9.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex48.m1.9.9.1.1.1.1.3.cmml"><msub id="A1.Ex48.m1.9.9.1.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex48.m1.9.9.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="A1.Ex48.m1.9.9.1.1.1.1.3.2.2" xref="A1.Ex48.m1.9.9.1.1.1.1.3.2.2.cmml">o</mi><mi id="A1.Ex48.m1.9.9.1.1.1.1.3.2.3" xref="A1.Ex48.m1.9.9.1.1.1.1.3.2.3.cmml">ϵ</mi></msub><mo id="A1.Ex48.m1.9.9.1.1.1.1.3.1" xref="A1.Ex48.m1.9.9.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex48.m1.9.9.1.1.1.1.3.3.2" xref="A1.Ex48.m1.9.9.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="A1.Ex48.m1.9.9.1.1.1.1.3.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.Ex48.m1.9.9.1.1.1.1.3.cmml">(</mo><mn id="A1.Ex48.m1.8.8" xref="A1.Ex48.m1.8.8.cmml">1</mn><mo id="A1.Ex48.m1.9.9.1.1.1.1.3.3.2.2" stretchy="false" xref="A1.Ex48.m1.9.9.1.1.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="A1.Ex48.m1.9.9.1.1.1.3" xref="A1.Ex48.m1.9.9.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A1.Ex48.m1.9.9.1.2" lspace="0.167em" xref="A1.Ex48.m1.9.9.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex48.m1.9.9.1.3" xref="A1.Ex48.m1.9.9.1.3.cmml"><mi id="A1.Ex48.m1.9.9.1.3.1" xref="A1.Ex48.m1.9.9.1.3.1.cmml">log</mi><mo id="A1.Ex48.m1.9.9.1.3a" lspace="0.167em" xref="A1.Ex48.m1.9.9.1.3.cmml">⁡</mo><mfrac id="A1.Ex48.m1.9.9.1.3.2" xref="A1.Ex48.m1.9.9.1.3.2.cmml"><mn id="A1.Ex48.m1.9.9.1.3.2.2" xref="A1.Ex48.m1.9.9.1.3.2.2.cmml">1</mn><mi id="A1.Ex48.m1.9.9.1.3.2.3" xref="A1.Ex48.m1.9.9.1.3.2.3.cmml">ϵ</mi></mfrac></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.Ex48.m1.9b"><apply id="A1.Ex48.m1.9.9.cmml" xref="A1.Ex48.m1.9.9"><eq id="A1.Ex48.m1.9.9.2.cmml" xref="A1.Ex48.m1.9.9.2"></eq><apply id="A1.Ex48.m1.9.9.3.cmml" xref="A1.Ex48.m1.9.9.3"><times id="A1.Ex48.m1.9.9.3.1.cmml" xref="A1.Ex48.m1.9.9.3.1"></times><apply id="A1.Ex48.m1.9.9.3.2.cmml" xref="A1.Ex48.m1.9.9.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex48.m1.9.9.3.2.1.cmml" xref="A1.Ex48.m1.9.9.3.2">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex48.m1.9.9.3.2.2.cmml" xref="A1.Ex48.m1.9.9.3.2.2">ℓ</ci><times id="A1.Ex48.m1.9.9.3.2.3.cmml" xref="A1.Ex48.m1.9.9.3.2.3"></times></apply><vector id="A1.Ex48.m1.9.9.3.3.1.cmml" xref="A1.Ex48.m1.9.9.3.3.2"><ci id="A1.Ex48.m1.1.1.cmml" xref="A1.Ex48.m1.1.1">𝑁</ci><ci id="A1.Ex48.m1.2.2.cmml" xref="A1.Ex48.m1.2.2">𝑞</ci><ci id="A1.Ex48.m1.3.3.cmml" xref="A1.Ex48.m1.3.3">𝑡</ci><ci id="A1.Ex48.m1.4.4.cmml" xref="A1.Ex48.m1.4.4">italic-ϵ</ci></vector></apply><apply id="A1.Ex48.m1.9.9.1.cmml" xref="A1.Ex48.m1.9.9.1"><times id="A1.Ex48.m1.9.9.1.2.cmml" xref="A1.Ex48.m1.9.9.1.2"></times><apply id="A1.Ex48.m1.9.9.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex48.m1.9.9.1.1.1"><plus id="A1.Ex48.m1.9.9.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex48.m1.9.9.1.1.1.1.1"></plus><apply id="A1.Ex48.m1.9.9.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex48.m1.9.9.1.1.1.1.2"><times id="A1.Ex48.m1.9.9.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex48.m1.9.9.1.1.1.1.2.1"></times><ci id="A1.Ex48.m1.9.9.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.Ex48.m1.9.9.1.1.1.1.2.2">𝐶</ci><vector id="A1.Ex48.m1.9.9.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex48.m1.9.9.1.1.1.1.2.3.2"><ci id="A1.Ex48.m1.5.5.cmml" xref="A1.Ex48.m1.5.5">𝑁</ci><ci id="A1.Ex48.m1.6.6.cmml" xref="A1.Ex48.m1.6.6">𝑞</ci><ci id="A1.Ex48.m1.7.7.cmml" xref="A1.Ex48.m1.7.7">𝑡</ci></vector></apply><apply id="A1.Ex48.m1.9.9.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex48.m1.9.9.1.1.1.1.3"><times id="A1.Ex48.m1.9.9.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.Ex48.m1.9.9.1.1.1.1.3.1"></times><apply id="A1.Ex48.m1.9.9.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.Ex48.m1.9.9.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex48.m1.9.9.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="A1.Ex48.m1.9.9.1.1.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex48.m1.9.9.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="A1.Ex48.m1.9.9.1.1.1.1.3.2.2">𝑜</ci><ci id="A1.Ex48.m1.9.9.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="A1.Ex48.m1.9.9.1.1.1.1.3.2.3">italic-ϵ</ci></apply><cn id="A1.Ex48.m1.8.8.cmml" type="integer" xref="A1.Ex48.m1.8.8">1</cn></apply></apply><apply id="A1.Ex48.m1.9.9.1.3.cmml" xref="A1.Ex48.m1.9.9.1.3"><log id="A1.Ex48.m1.9.9.1.3.1.cmml" xref="A1.Ex48.m1.9.9.1.3.1"></log><apply id="A1.Ex48.m1.9.9.1.3.2.cmml" xref="A1.Ex48.m1.9.9.1.3.2"><divide id="A1.Ex48.m1.9.9.1.3.2.1.cmml" xref="A1.Ex48.m1.9.9.1.3.2"></divide><cn id="A1.Ex48.m1.9.9.1.3.2.2.cmml" type="integer" xref="A1.Ex48.m1.9.9.1.3.2.2">1</cn><ci id="A1.Ex48.m1.9.9.1.3.2.3.cmml" xref="A1.Ex48.m1.9.9.1.3.2.3">italic-ϵ</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.Ex48.m1.9c">\ell_{*}(N,q,t,\epsilon)=\left(C(N,q,t)+o_{\epsilon}(1)\right)\log\frac{1}{\epsilon}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.Ex48.m1.9d">roman_ℓ start_POSTSUBSCRIPT ∗ end_POSTSUBSCRIPT ( italic_N , italic_q , italic_t , italic_ϵ ) = ( italic_C ( italic_N , italic_q , italic_t ) + italic_o start_POSTSUBSCRIPT italic_ϵ end_POSTSUBSCRIPT ( 1 ) ) roman_log divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_ϵ end_ARG</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="Thmcorollaryx1.p1.3"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmcorollaryx1.p1.3.2">as <math alttext="\epsilon\rightarrow 0" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmcorollaryx1.p1.2.1.m1.1"><semantics id="Thmcorollaryx1.p1.2.1.m1.1a"><mrow id="Thmcorollaryx1.p1.2.1.m1.1.1" xref="Thmcorollaryx1.p1.2.1.m1.1.1.cmml"><mi id="Thmcorollaryx1.p1.2.1.m1.1.1.2" xref="Thmcorollaryx1.p1.2.1.m1.1.1.2.cmml">ϵ</mi><mo id="Thmcorollaryx1.p1.2.1.m1.1.1.1" stretchy="false" xref="Thmcorollaryx1.p1.2.1.m1.1.1.1.cmml">→</mo><mn id="Thmcorollaryx1.p1.2.1.m1.1.1.3" xref="Thmcorollaryx1.p1.2.1.m1.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmcorollaryx1.p1.2.1.m1.1b"><apply id="Thmcorollaryx1.p1.2.1.m1.1.1.cmml" xref="Thmcorollaryx1.p1.2.1.m1.1.1"><ci id="Thmcorollaryx1.p1.2.1.m1.1.1.1.cmml" xref="Thmcorollaryx1.p1.2.1.m1.1.1.1">→</ci><ci id="Thmcorollaryx1.p1.2.1.m1.1.1.2.cmml" xref="Thmcorollaryx1.p1.2.1.m1.1.1.2">italic-ϵ</ci><cn id="Thmcorollaryx1.p1.2.1.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="Thmcorollaryx1.p1.2.1.m1.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmcorollaryx1.p1.2.1.m1.1c">\epsilon\rightarrow 0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmcorollaryx1.p1.2.1.m1.1d">italic_ϵ → 0</annotation></semantics></math>. If <math alttext="t\leq q" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmcorollaryx1.p1.3.2.m2.1"><semantics id="Thmcorollaryx1.p1.3.2.m2.1a"><mrow id="Thmcorollaryx1.p1.3.2.m2.1.1" xref="Thmcorollaryx1.p1.3.2.m2.1.1.cmml"><mi id="Thmcorollaryx1.p1.3.2.m2.1.1.2" xref="Thmcorollaryx1.p1.3.2.m2.1.1.2.cmml">t</mi><mo id="Thmcorollaryx1.p1.3.2.m2.1.1.1" xref="Thmcorollaryx1.p1.3.2.m2.1.1.1.cmml">≤</mo><mi id="Thmcorollaryx1.p1.3.2.m2.1.1.3" xref="Thmcorollaryx1.p1.3.2.m2.1.1.3.cmml">q</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmcorollaryx1.p1.3.2.m2.1b"><apply id="Thmcorollaryx1.p1.3.2.m2.1.1.cmml" xref="Thmcorollaryx1.p1.3.2.m2.1.1"><leq id="Thmcorollaryx1.p1.3.2.m2.1.1.1.cmml" xref="Thmcorollaryx1.p1.3.2.m2.1.1.1"></leq><ci id="Thmcorollaryx1.p1.3.2.m2.1.1.2.cmml" xref="Thmcorollaryx1.p1.3.2.m2.1.1.2">𝑡</ci><ci id="Thmcorollaryx1.p1.3.2.m2.1.1.3.cmml" xref="Thmcorollaryx1.p1.3.2.m2.1.1.3">𝑞</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmcorollaryx1.p1.3.2.m2.1c">t\leq q</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmcorollaryx1.p1.3.2.m2.1d">italic_t ≤ italic_q</annotation></semantics></math>, then</span></p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_gather ltx_eqn_table" id="S6.EGx109"> <tbody id="A1.E123"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\displaystyle\left[\log\frac{q^{2}+1}{2q}+\log\frac{1}{\cos\frac{\pi}{N}}% \right]^{-1}\leq C(N,q,t)\leq\left[\log\frac{q^{2}+1}{2q}+\log\frac{2}{1+\sqrt% {1+\frac{1}{q^{2}}}}\right]^{-1}" class="ltx_Math" display="block" id="A1.E123.m1.5"><semantics id="A1.E123.m1.5a"><mrow id="A1.E123.m1.5.5" xref="A1.E123.m1.5.5.cmml"><msup id="A1.E123.m1.4.4.1" xref="A1.E123.m1.4.4.1.cmml"><mrow id="A1.E123.m1.4.4.1.1.1" xref="A1.E123.m1.4.4.1.1.2.cmml"><mo id="A1.E123.m1.4.4.1.1.1.2" xref="A1.E123.m1.4.4.1.1.2.1.cmml">[</mo><mrow id="A1.E123.m1.4.4.1.1.1.1" xref="A1.E123.m1.4.4.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A1.E123.m1.4.4.1.1.1.1.2" xref="A1.E123.m1.4.4.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="A1.E123.m1.4.4.1.1.1.1.2.1" xref="A1.E123.m1.4.4.1.1.1.1.2.1.cmml">log</mi><mo id="A1.E123.m1.4.4.1.1.1.1.2a" lspace="0.167em" xref="A1.E123.m1.4.4.1.1.1.1.2.cmml">⁡</mo><mfrac id="A1.E123.m1.4.4.1.1.1.1.2.2" xref="A1.E123.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.cmml"><mrow id="A1.E123.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.2" xref="A1.E123.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.2.cmml"><msup id="A1.E123.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.2.2" xref="A1.E123.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml"><mi id="A1.E123.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.2.2.2" xref="A1.E123.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml">q</mi><mn id="A1.E123.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.2.2.3" xref="A1.E123.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.2.2.3.cmml">2</mn></msup><mo id="A1.E123.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.2.1" xref="A1.E123.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml">+</mo><mn id="A1.E123.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.2.3" xref="A1.E123.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml">1</mn></mrow><mrow id="A1.E123.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.3" xref="A1.E123.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mn id="A1.E123.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="A1.E123.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml">2</mn><mo id="A1.E123.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.3.1" xref="A1.E123.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.E123.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.3.3" xref="A1.E123.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml">q</mi></mrow></mfrac></mrow><mo id="A1.E123.m1.4.4.1.1.1.1.1" xref="A1.E123.m1.4.4.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="A1.E123.m1.4.4.1.1.1.1.3" xref="A1.E123.m1.4.4.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A1.E123.m1.4.4.1.1.1.1.3.1" xref="A1.E123.m1.4.4.1.1.1.1.3.1.cmml">log</mi><mo id="A1.E123.m1.4.4.1.1.1.1.3a" lspace="0.167em" xref="A1.E123.m1.4.4.1.1.1.1.3.cmml">⁡</mo><mfrac id="A1.E123.m1.4.4.1.1.1.1.3.2" xref="A1.E123.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.cmml"><mn id="A1.E123.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.2" xref="A1.E123.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.2.cmml">1</mn><mrow id="A1.E123.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.3" xref="A1.E123.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="A1.E123.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.3.1" xref="A1.E123.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml">cos</mi><mo id="A1.E123.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.3a" lspace="0.167em" xref="A1.E123.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.3.cmml">⁡</mo><mfrac id="A1.E123.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.3.2" xref="A1.E123.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml"><mi id="A1.E123.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.3.2.2" xref="A1.E123.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.3.2.2.cmml">π</mi><mi id="A1.E123.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.3.2.3" xref="A1.E123.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.3.2.3.cmml">N</mi></mfrac></mrow></mfrac></mrow></mrow><mo id="A1.E123.m1.4.4.1.1.1.3" xref="A1.E123.m1.4.4.1.1.2.1.cmml">]</mo></mrow><mrow id="A1.E123.m1.4.4.1.3" xref="A1.E123.m1.4.4.1.3.cmml"><mo id="A1.E123.m1.4.4.1.3a" xref="A1.E123.m1.4.4.1.3.cmml">−</mo><mn id="A1.E123.m1.4.4.1.3.2" xref="A1.E123.m1.4.4.1.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="A1.E123.m1.5.5.4" xref="A1.E123.m1.5.5.4.cmml">≤</mo><mrow id="A1.E123.m1.5.5.5" xref="A1.E123.m1.5.5.5.cmml"><mi id="A1.E123.m1.5.5.5.2" xref="A1.E123.m1.5.5.5.2.cmml">C</mi><mo id="A1.E123.m1.5.5.5.1" xref="A1.E123.m1.5.5.5.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.E123.m1.5.5.5.3.2" 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xref="A1.E123.m1.5.5.2.1.1.1.2.1.cmml">log</mi><mo id="A1.E123.m1.5.5.2.1.1.1.2a" lspace="0.167em" xref="A1.E123.m1.5.5.2.1.1.1.2.cmml">⁡</mo><mfrac id="A1.E123.m1.5.5.2.1.1.1.2.2" xref="A1.E123.m1.5.5.2.1.1.1.2.2.cmml"><mrow id="A1.E123.m1.5.5.2.1.1.1.2.2.2" xref="A1.E123.m1.5.5.2.1.1.1.2.2.2.cmml"><msup id="A1.E123.m1.5.5.2.1.1.1.2.2.2.2" xref="A1.E123.m1.5.5.2.1.1.1.2.2.2.2.cmml"><mi id="A1.E123.m1.5.5.2.1.1.1.2.2.2.2.2" xref="A1.E123.m1.5.5.2.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml">q</mi><mn id="A1.E123.m1.5.5.2.1.1.1.2.2.2.2.3" xref="A1.E123.m1.5.5.2.1.1.1.2.2.2.2.3.cmml">2</mn></msup><mo id="A1.E123.m1.5.5.2.1.1.1.2.2.2.1" xref="A1.E123.m1.5.5.2.1.1.1.2.2.2.1.cmml">+</mo><mn id="A1.E123.m1.5.5.2.1.1.1.2.2.2.3" xref="A1.E123.m1.5.5.2.1.1.1.2.2.2.3.cmml">1</mn></mrow><mrow id="A1.E123.m1.5.5.2.1.1.1.2.2.3" xref="A1.E123.m1.5.5.2.1.1.1.2.2.3.cmml"><mn id="A1.E123.m1.5.5.2.1.1.1.2.2.3.2" xref="A1.E123.m1.5.5.2.1.1.1.2.2.3.2.cmml">2</mn><mo id="A1.E123.m1.5.5.2.1.1.1.2.2.3.1" 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xref="A1.E123.m1.5.5.2.1.1.1.2.2.3.1"></times><cn id="A1.E123.m1.5.5.2.1.1.1.2.2.3.2.cmml" type="integer" xref="A1.E123.m1.5.5.2.1.1.1.2.2.3.2">2</cn><ci id="A1.E123.m1.5.5.2.1.1.1.2.2.3.3.cmml" xref="A1.E123.m1.5.5.2.1.1.1.2.2.3.3">𝑞</ci></apply></apply></apply><apply id="A1.E123.m1.5.5.2.1.1.1.3.cmml" xref="A1.E123.m1.5.5.2.1.1.1.3"><log id="A1.E123.m1.5.5.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.E123.m1.5.5.2.1.1.1.3.1"></log><apply id="A1.E123.m1.5.5.2.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.E123.m1.5.5.2.1.1.1.3.2"><divide id="A1.E123.m1.5.5.2.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="A1.E123.m1.5.5.2.1.1.1.3.2"></divide><cn id="A1.E123.m1.5.5.2.1.1.1.3.2.2.cmml" type="integer" xref="A1.E123.m1.5.5.2.1.1.1.3.2.2">2</cn><apply id="A1.E123.m1.5.5.2.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="A1.E123.m1.5.5.2.1.1.1.3.2.3"><plus id="A1.E123.m1.5.5.2.1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="A1.E123.m1.5.5.2.1.1.1.3.2.3.1"></plus><cn id="A1.E123.m1.5.5.2.1.1.1.3.2.3.2.cmml" type="integer" xref="A1.E123.m1.5.5.2.1.1.1.3.2.3.2">1</cn><apply id="A1.E123.m1.5.5.2.1.1.1.3.2.3.3.cmml" xref="A1.E123.m1.5.5.2.1.1.1.3.2.3.3"><root id="A1.E123.m1.5.5.2.1.1.1.3.2.3.3a.cmml" xref="A1.E123.m1.5.5.2.1.1.1.3.2.3.3"></root><apply id="A1.E123.m1.5.5.2.1.1.1.3.2.3.3.2.cmml" xref="A1.E123.m1.5.5.2.1.1.1.3.2.3.3.2"><plus id="A1.E123.m1.5.5.2.1.1.1.3.2.3.3.2.1.cmml" xref="A1.E123.m1.5.5.2.1.1.1.3.2.3.3.2.1"></plus><cn id="A1.E123.m1.5.5.2.1.1.1.3.2.3.3.2.2.cmml" type="integer" xref="A1.E123.m1.5.5.2.1.1.1.3.2.3.3.2.2">1</cn><apply id="A1.E123.m1.5.5.2.1.1.1.3.2.3.3.2.3.cmml" xref="A1.E123.m1.5.5.2.1.1.1.3.2.3.3.2.3"><divide id="A1.E123.m1.5.5.2.1.1.1.3.2.3.3.2.3.1.cmml" xref="A1.E123.m1.5.5.2.1.1.1.3.2.3.3.2.3"></divide><cn id="A1.E123.m1.5.5.2.1.1.1.3.2.3.3.2.3.2.cmml" type="integer" xref="A1.E123.m1.5.5.2.1.1.1.3.2.3.3.2.3.2">1</cn><apply id="A1.E123.m1.5.5.2.1.1.1.3.2.3.3.2.3.3.cmml" xref="A1.E123.m1.5.5.2.1.1.1.3.2.3.3.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E123.m1.5.5.2.1.1.1.3.2.3.3.2.3.3.1.cmml" xref="A1.E123.m1.5.5.2.1.1.1.3.2.3.3.2.3.3">superscript</csymbol><ci id="A1.E123.m1.5.5.2.1.1.1.3.2.3.3.2.3.3.2.cmml" xref="A1.E123.m1.5.5.2.1.1.1.3.2.3.3.2.3.3.2">𝑞</ci><cn id="A1.E123.m1.5.5.2.1.1.1.3.2.3.3.2.3.3.3.cmml" type="integer" xref="A1.E123.m1.5.5.2.1.1.1.3.2.3.3.2.3.3.3">2</cn></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="A1.E123.m1.5.5.2.3.cmml" xref="A1.E123.m1.5.5.2.3"><minus id="A1.E123.m1.5.5.2.3.1.cmml" xref="A1.E123.m1.5.5.2.3"></minus><cn id="A1.E123.m1.5.5.2.3.2.cmml" type="integer" xref="A1.E123.m1.5.5.2.3.2">1</cn></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.E123.m1.5c">\displaystyle\left[\log\frac{q^{2}+1}{2q}+\log\frac{1}{\cos\frac{\pi}{N}}% \right]^{-1}\leq C(N,q,t)\leq\left[\log\frac{q^{2}+1}{2q}+\log\frac{2}{1+\sqrt% {1+\frac{1}{q^{2}}}}\right]^{-1}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.E123.m1.5d">[ roman_log divide start_ARG italic_q start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + 1 end_ARG start_ARG 2 italic_q end_ARG + roman_log divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG roman_cos divide start_ARG italic_π end_ARG start_ARG italic_N end_ARG end_ARG ] start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT ≤ italic_C ( italic_N , italic_q , italic_t ) ≤ [ roman_log divide start_ARG italic_q start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + 1 end_ARG start_ARG 2 italic_q end_ARG + roman_log divide start_ARG 2 end_ARG start_ARG 1 + square-root start_ARG 1 + divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_q start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG end_ARG end_ARG ] start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(123)</span></td> </tr></tbody> </table> </div> </div> <div class="ltx_para" id="A1.SS2.p1"> <p class="ltx_p" id="A1.SS2.p1.5">We first note that the lower and upper bounds on <math alttext="C(N,q,t)" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.SS2.p1.1.m1.3"><semantics id="A1.SS2.p1.1.m1.3a"><mrow id="A1.SS2.p1.1.m1.3.4" xref="A1.SS2.p1.1.m1.3.4.cmml"><mi id="A1.SS2.p1.1.m1.3.4.2" xref="A1.SS2.p1.1.m1.3.4.2.cmml">C</mi><mo id="A1.SS2.p1.1.m1.3.4.1" xref="A1.SS2.p1.1.m1.3.4.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.SS2.p1.1.m1.3.4.3.2" xref="A1.SS2.p1.1.m1.3.4.3.1.cmml"><mo id="A1.SS2.p1.1.m1.3.4.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.SS2.p1.1.m1.3.4.3.1.cmml">(</mo><mi id="A1.SS2.p1.1.m1.1.1" xref="A1.SS2.p1.1.m1.1.1.cmml">N</mi><mo id="A1.SS2.p1.1.m1.3.4.3.2.2" xref="A1.SS2.p1.1.m1.3.4.3.1.cmml">,</mo><mi id="A1.SS2.p1.1.m1.2.2" xref="A1.SS2.p1.1.m1.2.2.cmml">q</mi><mo id="A1.SS2.p1.1.m1.3.4.3.2.3" xref="A1.SS2.p1.1.m1.3.4.3.1.cmml">,</mo><mi id="A1.SS2.p1.1.m1.3.3" xref="A1.SS2.p1.1.m1.3.3.cmml">t</mi><mo id="A1.SS2.p1.1.m1.3.4.3.2.4" stretchy="false" xref="A1.SS2.p1.1.m1.3.4.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.SS2.p1.1.m1.3b"><apply id="A1.SS2.p1.1.m1.3.4.cmml" xref="A1.SS2.p1.1.m1.3.4"><times id="A1.SS2.p1.1.m1.3.4.1.cmml" xref="A1.SS2.p1.1.m1.3.4.1"></times><ci id="A1.SS2.p1.1.m1.3.4.2.cmml" xref="A1.SS2.p1.1.m1.3.4.2">𝐶</ci><vector id="A1.SS2.p1.1.m1.3.4.3.1.cmml" xref="A1.SS2.p1.1.m1.3.4.3.2"><ci id="A1.SS2.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="A1.SS2.p1.1.m1.1.1">𝑁</ci><ci id="A1.SS2.p1.1.m1.2.2.cmml" xref="A1.SS2.p1.1.m1.2.2">𝑞</ci><ci id="A1.SS2.p1.1.m1.3.3.cmml" xref="A1.SS2.p1.1.m1.3.3">𝑡</ci></vector></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.SS2.p1.1.m1.3c">C(N,q,t)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.SS2.p1.1.m1.3d">italic_C ( italic_N , italic_q , italic_t )</annotation></semantics></math> in Equation <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#A1.E123" title="In Corollary. ‣ A.2 Proof of Corollary 4 ‣ Appendix A Relationship between spectral gap and 𝑡-design depth ‣ Conditional 𝑡-independent spectral gap for random quantum circuits and implications for 𝑡-design depths"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">123</span></a> are equal to <math alttext="\frac{2}{\log\left(\frac{1}{1-\Delta_{UB}}\right)}" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.SS2.p1.2.m2.2"><semantics id="A1.SS2.p1.2.m2.2a"><mfrac id="A1.SS2.p1.2.m2.2.2" xref="A1.SS2.p1.2.m2.2.2.cmml"><mn id="A1.SS2.p1.2.m2.2.2.4" xref="A1.SS2.p1.2.m2.2.2.4.cmml">2</mn><mrow id="A1.SS2.p1.2.m2.2.2.2.4" xref="A1.SS2.p1.2.m2.2.2.2.3.cmml"><mi id="A1.SS2.p1.2.m2.1.1.1.1" xref="A1.SS2.p1.2.m2.1.1.1.1.cmml">log</mi><mo id="A1.SS2.p1.2.m2.2.2.2.4a" xref="A1.SS2.p1.2.m2.2.2.2.3.cmml">⁡</mo><mrow id="A1.SS2.p1.2.m2.2.2.2.4.1" xref="A1.SS2.p1.2.m2.2.2.2.3.cmml"><mo id="A1.SS2.p1.2.m2.2.2.2.4.1.1" xref="A1.SS2.p1.2.m2.2.2.2.3.cmml">(</mo><mfrac id="A1.SS2.p1.2.m2.2.2.2.2" xref="A1.SS2.p1.2.m2.2.2.2.2.cmml"><mn id="A1.SS2.p1.2.m2.2.2.2.2.2" xref="A1.SS2.p1.2.m2.2.2.2.2.2.cmml">1</mn><mrow id="A1.SS2.p1.2.m2.2.2.2.2.3" xref="A1.SS2.p1.2.m2.2.2.2.2.3.cmml"><mn id="A1.SS2.p1.2.m2.2.2.2.2.3.2" xref="A1.SS2.p1.2.m2.2.2.2.2.3.2.cmml">1</mn><mo id="A1.SS2.p1.2.m2.2.2.2.2.3.1" xref="A1.SS2.p1.2.m2.2.2.2.2.3.1.cmml">−</mo><msub id="A1.SS2.p1.2.m2.2.2.2.2.3.3" xref="A1.SS2.p1.2.m2.2.2.2.2.3.3.cmml"><mi id="A1.SS2.p1.2.m2.2.2.2.2.3.3.2" mathvariant="normal" xref="A1.SS2.p1.2.m2.2.2.2.2.3.3.2.cmml">Δ</mi><mrow id="A1.SS2.p1.2.m2.2.2.2.2.3.3.3" xref="A1.SS2.p1.2.m2.2.2.2.2.3.3.3.cmml"><mi id="A1.SS2.p1.2.m2.2.2.2.2.3.3.3.2" xref="A1.SS2.p1.2.m2.2.2.2.2.3.3.3.2.cmml">U</mi><mo id="A1.SS2.p1.2.m2.2.2.2.2.3.3.3.1" xref="A1.SS2.p1.2.m2.2.2.2.2.3.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.SS2.p1.2.m2.2.2.2.2.3.3.3.3" xref="A1.SS2.p1.2.m2.2.2.2.2.3.3.3.3.cmml">B</mi></mrow></msub></mrow></mfrac><mo id="A1.SS2.p1.2.m2.2.2.2.4.1.2" xref="A1.SS2.p1.2.m2.2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mfrac><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.SS2.p1.2.m2.2b"><apply id="A1.SS2.p1.2.m2.2.2.cmml" xref="A1.SS2.p1.2.m2.2.2"><divide id="A1.SS2.p1.2.m2.2.2.3.cmml" xref="A1.SS2.p1.2.m2.2.2"></divide><cn id="A1.SS2.p1.2.m2.2.2.4.cmml" type="integer" xref="A1.SS2.p1.2.m2.2.2.4">2</cn><apply id="A1.SS2.p1.2.m2.2.2.2.3.cmml" xref="A1.SS2.p1.2.m2.2.2.2.4"><log id="A1.SS2.p1.2.m2.1.1.1.1.cmml" xref="A1.SS2.p1.2.m2.1.1.1.1"></log><apply id="A1.SS2.p1.2.m2.2.2.2.2.cmml" xref="A1.SS2.p1.2.m2.2.2.2.2"><divide id="A1.SS2.p1.2.m2.2.2.2.2.1.cmml" xref="A1.SS2.p1.2.m2.2.2.2.2"></divide><cn id="A1.SS2.p1.2.m2.2.2.2.2.2.cmml" type="integer" xref="A1.SS2.p1.2.m2.2.2.2.2.2">1</cn><apply id="A1.SS2.p1.2.m2.2.2.2.2.3.cmml" xref="A1.SS2.p1.2.m2.2.2.2.2.3"><minus id="A1.SS2.p1.2.m2.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="A1.SS2.p1.2.m2.2.2.2.2.3.1"></minus><cn id="A1.SS2.p1.2.m2.2.2.2.2.3.2.cmml" type="integer" xref="A1.SS2.p1.2.m2.2.2.2.2.3.2">1</cn><apply id="A1.SS2.p1.2.m2.2.2.2.2.3.3.cmml" xref="A1.SS2.p1.2.m2.2.2.2.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS2.p1.2.m2.2.2.2.2.3.3.1.cmml" xref="A1.SS2.p1.2.m2.2.2.2.2.3.3">subscript</csymbol><ci id="A1.SS2.p1.2.m2.2.2.2.2.3.3.2.cmml" xref="A1.SS2.p1.2.m2.2.2.2.2.3.3.2">Δ</ci><apply id="A1.SS2.p1.2.m2.2.2.2.2.3.3.3.cmml" xref="A1.SS2.p1.2.m2.2.2.2.2.3.3.3"><times id="A1.SS2.p1.2.m2.2.2.2.2.3.3.3.1.cmml" xref="A1.SS2.p1.2.m2.2.2.2.2.3.3.3.1"></times><ci id="A1.SS2.p1.2.m2.2.2.2.2.3.3.3.2.cmml" xref="A1.SS2.p1.2.m2.2.2.2.2.3.3.3.2">𝑈</ci><ci id="A1.SS2.p1.2.m2.2.2.2.2.3.3.3.3.cmml" xref="A1.SS2.p1.2.m2.2.2.2.2.3.3.3.3">𝐵</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.SS2.p1.2.m2.2c">\frac{2}{\log\left(\frac{1}{1-\Delta_{UB}}\right)}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.SS2.p1.2.m2.2d">divide start_ARG 2 end_ARG start_ARG roman_log ( divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 1 - roman_Δ start_POSTSUBSCRIPT italic_U italic_B end_POSTSUBSCRIPT end_ARG ) end_ARG</annotation></semantics></math> and <math alttext="\frac{2}{\log\left(\frac{1}{1-\Delta_{LB}}\right)}" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.SS2.p1.3.m3.2"><semantics id="A1.SS2.p1.3.m3.2a"><mfrac id="A1.SS2.p1.3.m3.2.2" xref="A1.SS2.p1.3.m3.2.2.cmml"><mn id="A1.SS2.p1.3.m3.2.2.4" xref="A1.SS2.p1.3.m3.2.2.4.cmml">2</mn><mrow id="A1.SS2.p1.3.m3.2.2.2.4" xref="A1.SS2.p1.3.m3.2.2.2.3.cmml"><mi id="A1.SS2.p1.3.m3.1.1.1.1" xref="A1.SS2.p1.3.m3.1.1.1.1.cmml">log</mi><mo id="A1.SS2.p1.3.m3.2.2.2.4a" xref="A1.SS2.p1.3.m3.2.2.2.3.cmml">⁡</mo><mrow id="A1.SS2.p1.3.m3.2.2.2.4.1" xref="A1.SS2.p1.3.m3.2.2.2.3.cmml"><mo id="A1.SS2.p1.3.m3.2.2.2.4.1.1" xref="A1.SS2.p1.3.m3.2.2.2.3.cmml">(</mo><mfrac id="A1.SS2.p1.3.m3.2.2.2.2" xref="A1.SS2.p1.3.m3.2.2.2.2.cmml"><mn id="A1.SS2.p1.3.m3.2.2.2.2.2" xref="A1.SS2.p1.3.m3.2.2.2.2.2.cmml">1</mn><mrow id="A1.SS2.p1.3.m3.2.2.2.2.3" xref="A1.SS2.p1.3.m3.2.2.2.2.3.cmml"><mn id="A1.SS2.p1.3.m3.2.2.2.2.3.2" xref="A1.SS2.p1.3.m3.2.2.2.2.3.2.cmml">1</mn><mo id="A1.SS2.p1.3.m3.2.2.2.2.3.1" xref="A1.SS2.p1.3.m3.2.2.2.2.3.1.cmml">−</mo><msub id="A1.SS2.p1.3.m3.2.2.2.2.3.3" xref="A1.SS2.p1.3.m3.2.2.2.2.3.3.cmml"><mi id="A1.SS2.p1.3.m3.2.2.2.2.3.3.2" mathvariant="normal" xref="A1.SS2.p1.3.m3.2.2.2.2.3.3.2.cmml">Δ</mi><mrow id="A1.SS2.p1.3.m3.2.2.2.2.3.3.3" xref="A1.SS2.p1.3.m3.2.2.2.2.3.3.3.cmml"><mi id="A1.SS2.p1.3.m3.2.2.2.2.3.3.3.2" xref="A1.SS2.p1.3.m3.2.2.2.2.3.3.3.2.cmml">L</mi><mo id="A1.SS2.p1.3.m3.2.2.2.2.3.3.3.1" xref="A1.SS2.p1.3.m3.2.2.2.2.3.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.SS2.p1.3.m3.2.2.2.2.3.3.3.3" xref="A1.SS2.p1.3.m3.2.2.2.2.3.3.3.3.cmml">B</mi></mrow></msub></mrow></mfrac><mo id="A1.SS2.p1.3.m3.2.2.2.4.1.2" xref="A1.SS2.p1.3.m3.2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mfrac><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.SS2.p1.3.m3.2b"><apply id="A1.SS2.p1.3.m3.2.2.cmml" xref="A1.SS2.p1.3.m3.2.2"><divide id="A1.SS2.p1.3.m3.2.2.3.cmml" xref="A1.SS2.p1.3.m3.2.2"></divide><cn id="A1.SS2.p1.3.m3.2.2.4.cmml" type="integer" xref="A1.SS2.p1.3.m3.2.2.4">2</cn><apply id="A1.SS2.p1.3.m3.2.2.2.3.cmml" xref="A1.SS2.p1.3.m3.2.2.2.4"><log id="A1.SS2.p1.3.m3.1.1.1.1.cmml" xref="A1.SS2.p1.3.m3.1.1.1.1"></log><apply id="A1.SS2.p1.3.m3.2.2.2.2.cmml" xref="A1.SS2.p1.3.m3.2.2.2.2"><divide id="A1.SS2.p1.3.m3.2.2.2.2.1.cmml" xref="A1.SS2.p1.3.m3.2.2.2.2"></divide><cn id="A1.SS2.p1.3.m3.2.2.2.2.2.cmml" type="integer" xref="A1.SS2.p1.3.m3.2.2.2.2.2">1</cn><apply id="A1.SS2.p1.3.m3.2.2.2.2.3.cmml" xref="A1.SS2.p1.3.m3.2.2.2.2.3"><minus id="A1.SS2.p1.3.m3.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="A1.SS2.p1.3.m3.2.2.2.2.3.1"></minus><cn id="A1.SS2.p1.3.m3.2.2.2.2.3.2.cmml" type="integer" xref="A1.SS2.p1.3.m3.2.2.2.2.3.2">1</cn><apply id="A1.SS2.p1.3.m3.2.2.2.2.3.3.cmml" xref="A1.SS2.p1.3.m3.2.2.2.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS2.p1.3.m3.2.2.2.2.3.3.1.cmml" xref="A1.SS2.p1.3.m3.2.2.2.2.3.3">subscript</csymbol><ci id="A1.SS2.p1.3.m3.2.2.2.2.3.3.2.cmml" xref="A1.SS2.p1.3.m3.2.2.2.2.3.3.2">Δ</ci><apply id="A1.SS2.p1.3.m3.2.2.2.2.3.3.3.cmml" xref="A1.SS2.p1.3.m3.2.2.2.2.3.3.3"><times id="A1.SS2.p1.3.m3.2.2.2.2.3.3.3.1.cmml" xref="A1.SS2.p1.3.m3.2.2.2.2.3.3.3.1"></times><ci id="A1.SS2.p1.3.m3.2.2.2.2.3.3.3.2.cmml" xref="A1.SS2.p1.3.m3.2.2.2.2.3.3.3.2">𝐿</ci><ci id="A1.SS2.p1.3.m3.2.2.2.2.3.3.3.3.cmml" xref="A1.SS2.p1.3.m3.2.2.2.2.3.3.3.3">𝐵</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.SS2.p1.3.m3.2c">\frac{2}{\log\left(\frac{1}{1-\Delta_{LB}}\right)}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.SS2.p1.3.m3.2d">divide start_ARG 2 end_ARG start_ARG roman_log ( divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 1 - roman_Δ start_POSTSUBSCRIPT italic_L italic_B end_POSTSUBSCRIPT end_ARG ) end_ARG</annotation></semantics></math> respectively, where <math alttext="\Delta_{UB}" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.SS2.p1.4.m4.1"><semantics id="A1.SS2.p1.4.m4.1a"><msub id="A1.SS2.p1.4.m4.1.1" xref="A1.SS2.p1.4.m4.1.1.cmml"><mi id="A1.SS2.p1.4.m4.1.1.2" mathvariant="normal" xref="A1.SS2.p1.4.m4.1.1.2.cmml">Δ</mi><mrow id="A1.SS2.p1.4.m4.1.1.3" xref="A1.SS2.p1.4.m4.1.1.3.cmml"><mi id="A1.SS2.p1.4.m4.1.1.3.2" xref="A1.SS2.p1.4.m4.1.1.3.2.cmml">U</mi><mo id="A1.SS2.p1.4.m4.1.1.3.1" xref="A1.SS2.p1.4.m4.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.SS2.p1.4.m4.1.1.3.3" xref="A1.SS2.p1.4.m4.1.1.3.3.cmml">B</mi></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.SS2.p1.4.m4.1b"><apply id="A1.SS2.p1.4.m4.1.1.cmml" xref="A1.SS2.p1.4.m4.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS2.p1.4.m4.1.1.1.cmml" xref="A1.SS2.p1.4.m4.1.1">subscript</csymbol><ci id="A1.SS2.p1.4.m4.1.1.2.cmml" xref="A1.SS2.p1.4.m4.1.1.2">Δ</ci><apply id="A1.SS2.p1.4.m4.1.1.3.cmml" xref="A1.SS2.p1.4.m4.1.1.3"><times id="A1.SS2.p1.4.m4.1.1.3.1.cmml" xref="A1.SS2.p1.4.m4.1.1.3.1"></times><ci id="A1.SS2.p1.4.m4.1.1.3.2.cmml" xref="A1.SS2.p1.4.m4.1.1.3.2">𝑈</ci><ci id="A1.SS2.p1.4.m4.1.1.3.3.cmml" xref="A1.SS2.p1.4.m4.1.1.3.3">𝐵</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.SS2.p1.4.m4.1c">\Delta_{UB}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.SS2.p1.4.m4.1d">roman_Δ start_POSTSUBSCRIPT italic_U italic_B end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> is the upper bound on the spectral gap from Theorem <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#Thmtheorem2" title="Theorem 2. ‣ I.2 Main results ‣ I Introduction ‣ Conditional 𝑡-independent spectral gap for random quantum circuits and implications for 𝑡-design depths"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">2</span></a> and <math alttext="\Delta_{LB}" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.SS2.p1.5.m5.1"><semantics id="A1.SS2.p1.5.m5.1a"><msub id="A1.SS2.p1.5.m5.1.1" xref="A1.SS2.p1.5.m5.1.1.cmml"><mi id="A1.SS2.p1.5.m5.1.1.2" mathvariant="normal" xref="A1.SS2.p1.5.m5.1.1.2.cmml">Δ</mi><mrow id="A1.SS2.p1.5.m5.1.1.3" xref="A1.SS2.p1.5.m5.1.1.3.cmml"><mi id="A1.SS2.p1.5.m5.1.1.3.2" xref="A1.SS2.p1.5.m5.1.1.3.2.cmml">L</mi><mo id="A1.SS2.p1.5.m5.1.1.3.1" xref="A1.SS2.p1.5.m5.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.SS2.p1.5.m5.1.1.3.3" xref="A1.SS2.p1.5.m5.1.1.3.3.cmml">B</mi></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.SS2.p1.5.m5.1b"><apply id="A1.SS2.p1.5.m5.1.1.cmml" xref="A1.SS2.p1.5.m5.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS2.p1.5.m5.1.1.1.cmml" xref="A1.SS2.p1.5.m5.1.1">subscript</csymbol><ci id="A1.SS2.p1.5.m5.1.1.2.cmml" xref="A1.SS2.p1.5.m5.1.1.2">Δ</ci><apply id="A1.SS2.p1.5.m5.1.1.3.cmml" xref="A1.SS2.p1.5.m5.1.1.3"><times id="A1.SS2.p1.5.m5.1.1.3.1.cmml" xref="A1.SS2.p1.5.m5.1.1.3.1"></times><ci id="A1.SS2.p1.5.m5.1.1.3.2.cmml" xref="A1.SS2.p1.5.m5.1.1.3.2">𝐿</ci><ci id="A1.SS2.p1.5.m5.1.1.3.3.cmml" xref="A1.SS2.p1.5.m5.1.1.3.3">𝐵</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.SS2.p1.5.m5.1c">\Delta_{LB}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.SS2.p1.5.m5.1d">roman_Δ start_POSTSUBSCRIPT italic_L italic_B end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> is the lower bound on the spectral gap from Theorem <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#Thmtheorem1" title="Theorem 1. ‣ I.2 Main results ‣ I Introduction ‣ Conditional 𝑡-independent spectral gap for random quantum circuits and implications for 𝑡-design depths"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">1</span></a>. Therefore, this corollary naturally follows from Theorems <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#Thmtheorem1" title="Theorem 1. ‣ I.2 Main results ‣ I Introduction ‣ Conditional 𝑡-independent spectral gap for random quantum circuits and implications for 𝑡-design depths"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">1</span></a> and <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#Thmtheorem2" title="Theorem 2. ‣ I.2 Main results ‣ I Introduction ‣ Conditional 𝑡-independent spectral gap for random quantum circuits and implications for 𝑡-design depths"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">2</span></a> once we prove the following lemma:</p> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_lemma" id="Thmtheorem55"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmtheorem55.1.1.1">Lemma 55</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmtheorem55.2.2">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="Thmtheorem55.p1"> <p class="ltx_p" id="Thmtheorem55.p1.5"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmtheorem55.p1.5.5">Suppose the 1D brickwork transfer matrix <math alttext="T_{1DB}=L_{O}L_{E}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem55.p1.1.1.m1.1"><semantics id="Thmtheorem55.p1.1.1.m1.1a"><mrow id="Thmtheorem55.p1.1.1.m1.1.1" xref="Thmtheorem55.p1.1.1.m1.1.1.cmml"><msub id="Thmtheorem55.p1.1.1.m1.1.1.2" xref="Thmtheorem55.p1.1.1.m1.1.1.2.cmml"><mi id="Thmtheorem55.p1.1.1.m1.1.1.2.2" xref="Thmtheorem55.p1.1.1.m1.1.1.2.2.cmml">T</mi><mrow id="Thmtheorem55.p1.1.1.m1.1.1.2.3" xref="Thmtheorem55.p1.1.1.m1.1.1.2.3.cmml"><mn id="Thmtheorem55.p1.1.1.m1.1.1.2.3.2" xref="Thmtheorem55.p1.1.1.m1.1.1.2.3.2.cmml">1</mn><mo id="Thmtheorem55.p1.1.1.m1.1.1.2.3.1" xref="Thmtheorem55.p1.1.1.m1.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="Thmtheorem55.p1.1.1.m1.1.1.2.3.3" xref="Thmtheorem55.p1.1.1.m1.1.1.2.3.3.cmml">D</mi><mo id="Thmtheorem55.p1.1.1.m1.1.1.2.3.1a" xref="Thmtheorem55.p1.1.1.m1.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="Thmtheorem55.p1.1.1.m1.1.1.2.3.4" xref="Thmtheorem55.p1.1.1.m1.1.1.2.3.4.cmml">B</mi></mrow></msub><mo id="Thmtheorem55.p1.1.1.m1.1.1.1" xref="Thmtheorem55.p1.1.1.m1.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="Thmtheorem55.p1.1.1.m1.1.1.3" xref="Thmtheorem55.p1.1.1.m1.1.1.3.cmml"><msub id="Thmtheorem55.p1.1.1.m1.1.1.3.2" xref="Thmtheorem55.p1.1.1.m1.1.1.3.2.cmml"><mi id="Thmtheorem55.p1.1.1.m1.1.1.3.2.2" xref="Thmtheorem55.p1.1.1.m1.1.1.3.2.2.cmml">L</mi><mi id="Thmtheorem55.p1.1.1.m1.1.1.3.2.3" xref="Thmtheorem55.p1.1.1.m1.1.1.3.2.3.cmml">O</mi></msub><mo id="Thmtheorem55.p1.1.1.m1.1.1.3.1" xref="Thmtheorem55.p1.1.1.m1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="Thmtheorem55.p1.1.1.m1.1.1.3.3" xref="Thmtheorem55.p1.1.1.m1.1.1.3.3.cmml"><mi id="Thmtheorem55.p1.1.1.m1.1.1.3.3.2" xref="Thmtheorem55.p1.1.1.m1.1.1.3.3.2.cmml">L</mi><mi id="Thmtheorem55.p1.1.1.m1.1.1.3.3.3" xref="Thmtheorem55.p1.1.1.m1.1.1.3.3.3.cmml">E</mi></msub></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem55.p1.1.1.m1.1b"><apply id="Thmtheorem55.p1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem55.p1.1.1.m1.1.1"><eq id="Thmtheorem55.p1.1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem55.p1.1.1.m1.1.1.1"></eq><apply id="Thmtheorem55.p1.1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="Thmtheorem55.p1.1.1.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem55.p1.1.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="Thmtheorem55.p1.1.1.m1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="Thmtheorem55.p1.1.1.m1.1.1.2.2.cmml" xref="Thmtheorem55.p1.1.1.m1.1.1.2.2">𝑇</ci><apply id="Thmtheorem55.p1.1.1.m1.1.1.2.3.cmml" xref="Thmtheorem55.p1.1.1.m1.1.1.2.3"><times id="Thmtheorem55.p1.1.1.m1.1.1.2.3.1.cmml" xref="Thmtheorem55.p1.1.1.m1.1.1.2.3.1"></times><cn id="Thmtheorem55.p1.1.1.m1.1.1.2.3.2.cmml" type="integer" xref="Thmtheorem55.p1.1.1.m1.1.1.2.3.2">1</cn><ci id="Thmtheorem55.p1.1.1.m1.1.1.2.3.3.cmml" xref="Thmtheorem55.p1.1.1.m1.1.1.2.3.3">𝐷</ci><ci id="Thmtheorem55.p1.1.1.m1.1.1.2.3.4.cmml" xref="Thmtheorem55.p1.1.1.m1.1.1.2.3.4">𝐵</ci></apply></apply><apply id="Thmtheorem55.p1.1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="Thmtheorem55.p1.1.1.m1.1.1.3"><times id="Thmtheorem55.p1.1.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="Thmtheorem55.p1.1.1.m1.1.1.3.1"></times><apply id="Thmtheorem55.p1.1.1.m1.1.1.3.2.cmml" xref="Thmtheorem55.p1.1.1.m1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem55.p1.1.1.m1.1.1.3.2.1.cmml" xref="Thmtheorem55.p1.1.1.m1.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="Thmtheorem55.p1.1.1.m1.1.1.3.2.2.cmml" xref="Thmtheorem55.p1.1.1.m1.1.1.3.2.2">𝐿</ci><ci id="Thmtheorem55.p1.1.1.m1.1.1.3.2.3.cmml" xref="Thmtheorem55.p1.1.1.m1.1.1.3.2.3">𝑂</ci></apply><apply id="Thmtheorem55.p1.1.1.m1.1.1.3.3.cmml" xref="Thmtheorem55.p1.1.1.m1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem55.p1.1.1.m1.1.1.3.3.1.cmml" xref="Thmtheorem55.p1.1.1.m1.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="Thmtheorem55.p1.1.1.m1.1.1.3.3.2.cmml" xref="Thmtheorem55.p1.1.1.m1.1.1.3.3.2">𝐿</ci><ci id="Thmtheorem55.p1.1.1.m1.1.1.3.3.3.cmml" xref="Thmtheorem55.p1.1.1.m1.1.1.3.3.3">𝐸</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem55.p1.1.1.m1.1c">T_{1DB}=L_{O}L_{E}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem55.p1.1.1.m1.1d">italic_T start_POSTSUBSCRIPT 1 italic_D italic_B end_POSTSUBSCRIPT = italic_L start_POSTSUBSCRIPT italic_O end_POSTSUBSCRIPT italic_L start_POSTSUBSCRIPT italic_E end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> has a spectral gap of <math alttext="\Delta" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem55.p1.2.2.m2.1"><semantics id="Thmtheorem55.p1.2.2.m2.1a"><mi id="Thmtheorem55.p1.2.2.m2.1.1" mathvariant="normal" xref="Thmtheorem55.p1.2.2.m2.1.1.cmml">Δ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem55.p1.2.2.m2.1b"><ci id="Thmtheorem55.p1.2.2.m2.1.1.cmml" xref="Thmtheorem55.p1.2.2.m2.1.1">Δ</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem55.p1.2.2.m2.1c">\Delta</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem55.p1.2.2.m2.1d">roman_Δ</annotation></semantics></math>. Then that brickwork reaches an <math alttext="\epsilon" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem55.p1.3.3.m3.1"><semantics id="Thmtheorem55.p1.3.3.m3.1a"><mi id="Thmtheorem55.p1.3.3.m3.1.1" xref="Thmtheorem55.p1.3.3.m3.1.1.cmml">ϵ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem55.p1.3.3.m3.1b"><ci id="Thmtheorem55.p1.3.3.m3.1.1.cmml" xref="Thmtheorem55.p1.3.3.m3.1.1">italic-ϵ</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem55.p1.3.3.m3.1c">\epsilon</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem55.p1.3.3.m3.1d">italic_ϵ</annotation></semantics></math>-approximate <math alttext="t" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem55.p1.4.4.m4.1"><semantics id="Thmtheorem55.p1.4.4.m4.1a"><mi id="Thmtheorem55.p1.4.4.m4.1.1" xref="Thmtheorem55.p1.4.4.m4.1.1.cmml">t</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem55.p1.4.4.m4.1b"><ci id="Thmtheorem55.p1.4.4.m4.1.1.cmml" xref="Thmtheorem55.p1.4.4.m4.1.1">𝑡</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem55.p1.4.4.m4.1c">t</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem55.p1.4.4.m4.1d">italic_t</annotation></semantics></math>-design at <math alttext="\ell_{*}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem55.p1.5.5.m5.1"><semantics id="Thmtheorem55.p1.5.5.m5.1a"><msub id="Thmtheorem55.p1.5.5.m5.1.1" xref="Thmtheorem55.p1.5.5.m5.1.1.cmml"><mi id="Thmtheorem55.p1.5.5.m5.1.1.2" mathvariant="normal" xref="Thmtheorem55.p1.5.5.m5.1.1.2.cmml">ℓ</mi><mo id="Thmtheorem55.p1.5.5.m5.1.1.3" xref="Thmtheorem55.p1.5.5.m5.1.1.3.cmml">∗</mo></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem55.p1.5.5.m5.1b"><apply id="Thmtheorem55.p1.5.5.m5.1.1.cmml" xref="Thmtheorem55.p1.5.5.m5.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem55.p1.5.5.m5.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem55.p1.5.5.m5.1.1">subscript</csymbol><ci id="Thmtheorem55.p1.5.5.m5.1.1.2.cmml" xref="Thmtheorem55.p1.5.5.m5.1.1.2">ℓ</ci><times id="Thmtheorem55.p1.5.5.m5.1.1.3.cmml" xref="Thmtheorem55.p1.5.5.m5.1.1.3"></times></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem55.p1.5.5.m5.1c">\ell_{*}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem55.p1.5.5.m5.1d">roman_ℓ start_POSTSUBSCRIPT ∗ end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> layers, where</span></p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_gather ltx_eqn_table" id="S6.EGx110"> <tbody id="A1.E124"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\displaystyle\ell_{*}=\left(C+o_{\epsilon}(1)\right)\log\frac{1}{\epsilon}" class="ltx_Math" display="block" id="A1.E124.m1.2"><semantics id="A1.E124.m1.2a"><mrow id="A1.E124.m1.2.2" xref="A1.E124.m1.2.2.cmml"><msub id="A1.E124.m1.2.2.3" xref="A1.E124.m1.2.2.3.cmml"><mi id="A1.E124.m1.2.2.3.2" mathvariant="normal" xref="A1.E124.m1.2.2.3.2.cmml">ℓ</mi><mo id="A1.E124.m1.2.2.3.3" xref="A1.E124.m1.2.2.3.3.cmml">∗</mo></msub><mo id="A1.E124.m1.2.2.2" xref="A1.E124.m1.2.2.2.cmml">=</mo><mrow id="A1.E124.m1.2.2.1" xref="A1.E124.m1.2.2.1.cmml"><mrow id="A1.E124.m1.2.2.1.1.1" xref="A1.E124.m1.2.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.E124.m1.2.2.1.1.1.2" xref="A1.E124.m1.2.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.E124.m1.2.2.1.1.1.1" xref="A1.E124.m1.2.2.1.1.1.1.cmml"><mi id="A1.E124.m1.2.2.1.1.1.1.2" xref="A1.E124.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml">C</mi><mo id="A1.E124.m1.2.2.1.1.1.1.1" xref="A1.E124.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="A1.E124.m1.2.2.1.1.1.1.3" xref="A1.E124.m1.2.2.1.1.1.1.3.cmml"><msub id="A1.E124.m1.2.2.1.1.1.1.3.2" xref="A1.E124.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="A1.E124.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.2" xref="A1.E124.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.2.cmml">o</mi><mi id="A1.E124.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.3" xref="A1.E124.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.3.cmml">ϵ</mi></msub><mo id="A1.E124.m1.2.2.1.1.1.1.3.1" xref="A1.E124.m1.2.2.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.E124.m1.2.2.1.1.1.1.3.3.2" xref="A1.E124.m1.2.2.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="A1.E124.m1.2.2.1.1.1.1.3.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.E124.m1.2.2.1.1.1.1.3.cmml">(</mo><mn id="A1.E124.m1.1.1" xref="A1.E124.m1.1.1.cmml">1</mn><mo id="A1.E124.m1.2.2.1.1.1.1.3.3.2.2" stretchy="false" xref="A1.E124.m1.2.2.1.1.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="A1.E124.m1.2.2.1.1.1.3" xref="A1.E124.m1.2.2.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A1.E124.m1.2.2.1.2" lspace="0.167em" xref="A1.E124.m1.2.2.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.E124.m1.2.2.1.3" xref="A1.E124.m1.2.2.1.3.cmml"><mi id="A1.E124.m1.2.2.1.3.1" xref="A1.E124.m1.2.2.1.3.1.cmml">log</mi><mo id="A1.E124.m1.2.2.1.3a" lspace="0.167em" xref="A1.E124.m1.2.2.1.3.cmml">⁡</mo><mfrac id="A1.E124.m1.2.2.1.3.2" xref="A1.E124.m1.2.2.1.3.2.cmml"><mn id="A1.E124.m1.2.2.1.3.2.2" xref="A1.E124.m1.2.2.1.3.2.2.cmml">1</mn><mi id="A1.E124.m1.2.2.1.3.2.3" xref="A1.E124.m1.2.2.1.3.2.3.cmml">ϵ</mi></mfrac></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.E124.m1.2b"><apply id="A1.E124.m1.2.2.cmml" xref="A1.E124.m1.2.2"><eq id="A1.E124.m1.2.2.2.cmml" xref="A1.E124.m1.2.2.2"></eq><apply id="A1.E124.m1.2.2.3.cmml" xref="A1.E124.m1.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E124.m1.2.2.3.1.cmml" xref="A1.E124.m1.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="A1.E124.m1.2.2.3.2.cmml" xref="A1.E124.m1.2.2.3.2">ℓ</ci><times id="A1.E124.m1.2.2.3.3.cmml" xref="A1.E124.m1.2.2.3.3"></times></apply><apply id="A1.E124.m1.2.2.1.cmml" xref="A1.E124.m1.2.2.1"><times id="A1.E124.m1.2.2.1.2.cmml" xref="A1.E124.m1.2.2.1.2"></times><apply id="A1.E124.m1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="A1.E124.m1.2.2.1.1.1"><plus id="A1.E124.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.E124.m1.2.2.1.1.1.1.1"></plus><ci id="A1.E124.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.E124.m1.2.2.1.1.1.1.2">𝐶</ci><apply id="A1.E124.m1.2.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.E124.m1.2.2.1.1.1.1.3"><times id="A1.E124.m1.2.2.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.E124.m1.2.2.1.1.1.1.3.1"></times><apply id="A1.E124.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.E124.m1.2.2.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E124.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="A1.E124.m1.2.2.1.1.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="A1.E124.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="A1.E124.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.2">𝑜</ci><ci id="A1.E124.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="A1.E124.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.3">italic-ϵ</ci></apply><cn id="A1.E124.m1.1.1.cmml" type="integer" xref="A1.E124.m1.1.1">1</cn></apply></apply><apply id="A1.E124.m1.2.2.1.3.cmml" xref="A1.E124.m1.2.2.1.3"><log id="A1.E124.m1.2.2.1.3.1.cmml" xref="A1.E124.m1.2.2.1.3.1"></log><apply id="A1.E124.m1.2.2.1.3.2.cmml" xref="A1.E124.m1.2.2.1.3.2"><divide id="A1.E124.m1.2.2.1.3.2.1.cmml" xref="A1.E124.m1.2.2.1.3.2"></divide><cn id="A1.E124.m1.2.2.1.3.2.2.cmml" type="integer" xref="A1.E124.m1.2.2.1.3.2.2">1</cn><ci id="A1.E124.m1.2.2.1.3.2.3.cmml" xref="A1.E124.m1.2.2.1.3.2.3">italic-ϵ</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.E124.m1.2c">\displaystyle\ell_{*}=\left(C+o_{\epsilon}(1)\right)\log\frac{1}{\epsilon}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.E124.m1.2d">roman_ℓ start_POSTSUBSCRIPT ∗ end_POSTSUBSCRIPT = ( italic_C + italic_o start_POSTSUBSCRIPT italic_ϵ end_POSTSUBSCRIPT ( 1 ) ) roman_log divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_ϵ end_ARG</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(124)</span></td> </tr></tbody> <tbody id="A1.E125"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\displaystyle C=\frac{2}{\log\left(\frac{1}{1-\Delta}\right)}." class="ltx_Math" display="block" id="A1.E125.m1.3"><semantics id="A1.E125.m1.3a"><mrow id="A1.E125.m1.3.3.1" xref="A1.E125.m1.3.3.1.1.cmml"><mrow id="A1.E125.m1.3.3.1.1" xref="A1.E125.m1.3.3.1.1.cmml"><mi id="A1.E125.m1.3.3.1.1.2" xref="A1.E125.m1.3.3.1.1.2.cmml">C</mi><mo id="A1.E125.m1.3.3.1.1.1" xref="A1.E125.m1.3.3.1.1.1.cmml">=</mo><mfrac id="A1.E125.m1.2.2" xref="A1.E125.m1.2.2.cmml"><mn id="A1.E125.m1.2.2.4" xref="A1.E125.m1.2.2.4.cmml">2</mn><mrow id="A1.E125.m1.2.2.2.4" xref="A1.E125.m1.2.2.2.3.cmml"><mi id="A1.E125.m1.1.1.1.1" xref="A1.E125.m1.1.1.1.1.cmml">log</mi><mo id="A1.E125.m1.2.2.2.4a" xref="A1.E125.m1.2.2.2.3.cmml">⁡</mo><mrow id="A1.E125.m1.2.2.2.4.1" xref="A1.E125.m1.2.2.2.3.cmml"><mo id="A1.E125.m1.2.2.2.4.1.1" xref="A1.E125.m1.2.2.2.3.cmml">(</mo><mfrac id="A1.E125.m1.2.2.2.2" xref="A1.E125.m1.2.2.2.2.cmml"><mn id="A1.E125.m1.2.2.2.2.2" xref="A1.E125.m1.2.2.2.2.2.cmml">1</mn><mrow id="A1.E125.m1.2.2.2.2.3" xref="A1.E125.m1.2.2.2.2.3.cmml"><mn id="A1.E125.m1.2.2.2.2.3.2" xref="A1.E125.m1.2.2.2.2.3.2.cmml">1</mn><mo id="A1.E125.m1.2.2.2.2.3.1" xref="A1.E125.m1.2.2.2.2.3.1.cmml">−</mo><mi id="A1.E125.m1.2.2.2.2.3.3" mathvariant="normal" xref="A1.E125.m1.2.2.2.2.3.3.cmml">Δ</mi></mrow></mfrac><mo id="A1.E125.m1.2.2.2.4.1.2" xref="A1.E125.m1.2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mfrac></mrow><mo id="A1.E125.m1.3.3.1.2" lspace="0em" xref="A1.E125.m1.3.3.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.E125.m1.3b"><apply id="A1.E125.m1.3.3.1.1.cmml" xref="A1.E125.m1.3.3.1"><eq id="A1.E125.m1.3.3.1.1.1.cmml" xref="A1.E125.m1.3.3.1.1.1"></eq><ci id="A1.E125.m1.3.3.1.1.2.cmml" xref="A1.E125.m1.3.3.1.1.2">𝐶</ci><apply id="A1.E125.m1.2.2.cmml" xref="A1.E125.m1.2.2"><divide id="A1.E125.m1.2.2.3.cmml" xref="A1.E125.m1.2.2"></divide><cn id="A1.E125.m1.2.2.4.cmml" type="integer" xref="A1.E125.m1.2.2.4">2</cn><apply id="A1.E125.m1.2.2.2.3.cmml" xref="A1.E125.m1.2.2.2.4"><log id="A1.E125.m1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.E125.m1.1.1.1.1"></log><apply id="A1.E125.m1.2.2.2.2.cmml" xref="A1.E125.m1.2.2.2.2"><divide id="A1.E125.m1.2.2.2.2.1.cmml" xref="A1.E125.m1.2.2.2.2"></divide><cn id="A1.E125.m1.2.2.2.2.2.cmml" type="integer" xref="A1.E125.m1.2.2.2.2.2">1</cn><apply id="A1.E125.m1.2.2.2.2.3.cmml" xref="A1.E125.m1.2.2.2.2.3"><minus id="A1.E125.m1.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="A1.E125.m1.2.2.2.2.3.1"></minus><cn id="A1.E125.m1.2.2.2.2.3.2.cmml" type="integer" xref="A1.E125.m1.2.2.2.2.3.2">1</cn><ci id="A1.E125.m1.2.2.2.2.3.3.cmml" xref="A1.E125.m1.2.2.2.2.3.3">Δ</ci></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.E125.m1.3c">\displaystyle C=\frac{2}{\log\left(\frac{1}{1-\Delta}\right)}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.E125.m1.3d">italic_C = divide start_ARG 2 end_ARG start_ARG roman_log ( divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 1 - roman_Δ end_ARG ) end_ARG .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(125)</span></td> </tr></tbody> </table> </div> </div> <div class="ltx_proof" id="A1.SS2.3"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_font_italic ltx_title_proof">Proof.</h6> <div class="ltx_para" id="A1.SS2.1.p1"> <p class="ltx_p" id="A1.SS2.1.p1.1">We will prove this lemma by providing equal upper and lower bounds for <math alttext="\ell_{*}" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.SS2.1.p1.1.m1.1"><semantics id="A1.SS2.1.p1.1.m1.1a"><msub id="A1.SS2.1.p1.1.m1.1.1" xref="A1.SS2.1.p1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="A1.SS2.1.p1.1.m1.1.1.2" mathvariant="normal" xref="A1.SS2.1.p1.1.m1.1.1.2.cmml">ℓ</mi><mo id="A1.SS2.1.p1.1.m1.1.1.3" xref="A1.SS2.1.p1.1.m1.1.1.3.cmml">∗</mo></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.SS2.1.p1.1.m1.1b"><apply id="A1.SS2.1.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="A1.SS2.1.p1.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS2.1.p1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="A1.SS2.1.p1.1.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="A1.SS2.1.p1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="A1.SS2.1.p1.1.m1.1.1.2">ℓ</ci><times id="A1.SS2.1.p1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="A1.SS2.1.p1.1.m1.1.1.3"></times></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.SS2.1.p1.1.m1.1c">\ell_{*}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.SS2.1.p1.1.m1.1d">roman_ℓ start_POSTSUBSCRIPT ∗ end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> in Equation <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#A1.E124" title="In Lemma 55. ‣ A.2 Proof of Corollary 4 ‣ Appendix A Relationship between spectral gap and 𝑡-design depth ‣ Conditional 𝑡-independent spectral gap for random quantum circuits and implications for 𝑡-design depths"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">124</span></a>.</p> </div> <div class="ltx_para" id="A1.SS2.2.p2"> <p class="ltx_p" id="A1.SS2.2.p2.7"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="A1.SS2.2.p2.7.1">Upper bound:</span> This proof follows similarly to the previous section. We have from Lemma <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#Thmtheorem49" title="Lemma 49. ‣ Appendix A Relationship between spectral gap and 𝑡-design depth ‣ Conditional 𝑡-independent spectral gap for random quantum circuits and implications for 𝑡-design depths"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">49</span></a> that</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_gather ltx_eqn_table" id="S6.EGx111"> <tbody id="A1.E126"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\displaystyle||\Phi_{\varepsilon}^{(t)}-\Phi_{\text{Haar}}^{(t)}||_{\diamond}^% {2}\leq q^{2Nt}\left(\mathcal{F}_{\varepsilon}^{(t)}-\mathcal{F}_{\text{Haar}}% ^{(t)}\right)," class="ltx_Math" display="block" id="A1.E126.m1.5"><semantics id="A1.E126.m1.5a"><mrow id="A1.E126.m1.5.5.1" xref="A1.E126.m1.5.5.1.1.cmml"><mrow id="A1.E126.m1.5.5.1.1" xref="A1.E126.m1.5.5.1.1.cmml"><msubsup id="A1.E126.m1.5.5.1.1.1" xref="A1.E126.m1.5.5.1.1.1.cmml"><mrow id="A1.E126.m1.5.5.1.1.1.1.1.1" xref="A1.E126.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="A1.E126.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.E126.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo><mrow id="A1.E126.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.E126.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msubsup id="A1.E126.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.E126.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="A1.E126.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" mathvariant="normal" xref="A1.E126.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">Φ</mi><mi id="A1.E126.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="A1.E126.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">ε</mi><mrow id="A1.E126.m1.1.1.1.3" xref="A1.E126.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="A1.E126.m1.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="A1.E126.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">(</mo><mi id="A1.E126.m1.1.1.1.1" xref="A1.E126.m1.1.1.1.1.cmml">t</mi><mo id="A1.E126.m1.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="A1.E126.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></msubsup><mo id="A1.E126.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.E126.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><msubsup id="A1.E126.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.E126.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A1.E126.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" mathvariant="normal" xref="A1.E126.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">Φ</mi><mtext id="A1.E126.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="A1.E126.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3a.cmml">Haar</mtext><mrow id="A1.E126.m1.2.2.1.3" xref="A1.E126.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="A1.E126.m1.2.2.1.3.1" stretchy="false" xref="A1.E126.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="A1.E126.m1.2.2.1.1" xref="A1.E126.m1.2.2.1.1.cmml">t</mi><mo id="A1.E126.m1.2.2.1.3.2" stretchy="false" xref="A1.E126.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></msubsup></mrow><mo id="A1.E126.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.E126.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo></mrow><mo id="A1.E126.m1.5.5.1.1.1.1.3" xref="A1.E126.m1.5.5.1.1.1.1.3.cmml">⋄</mo><mn id="A1.E126.m1.5.5.1.1.1.3" xref="A1.E126.m1.5.5.1.1.1.3.cmml">2</mn></msubsup><mo id="A1.E126.m1.5.5.1.1.3" xref="A1.E126.m1.5.5.1.1.3.cmml">≤</mo><mrow id="A1.E126.m1.5.5.1.1.2" xref="A1.E126.m1.5.5.1.1.2.cmml"><msup id="A1.E126.m1.5.5.1.1.2.3" xref="A1.E126.m1.5.5.1.1.2.3.cmml"><mi id="A1.E126.m1.5.5.1.1.2.3.2" xref="A1.E126.m1.5.5.1.1.2.3.2.cmml">q</mi><mrow id="A1.E126.m1.5.5.1.1.2.3.3" xref="A1.E126.m1.5.5.1.1.2.3.3.cmml"><mn id="A1.E126.m1.5.5.1.1.2.3.3.2" xref="A1.E126.m1.5.5.1.1.2.3.3.2.cmml">2</mn><mo id="A1.E126.m1.5.5.1.1.2.3.3.1" xref="A1.E126.m1.5.5.1.1.2.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.E126.m1.5.5.1.1.2.3.3.3" xref="A1.E126.m1.5.5.1.1.2.3.3.3.cmml">N</mi><mo id="A1.E126.m1.5.5.1.1.2.3.3.1a" xref="A1.E126.m1.5.5.1.1.2.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.E126.m1.5.5.1.1.2.3.3.4" xref="A1.E126.m1.5.5.1.1.2.3.3.4.cmml">t</mi></mrow></msup><mo id="A1.E126.m1.5.5.1.1.2.2" xref="A1.E126.m1.5.5.1.1.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.E126.m1.5.5.1.1.2.1.1" xref="A1.E126.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.cmml"><mo id="A1.E126.m1.5.5.1.1.2.1.1.2" xref="A1.E126.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.E126.m1.5.5.1.1.2.1.1.1" xref="A1.E126.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.cmml"><msubsup id="A1.E126.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.2" xref="A1.E126.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.2.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="A1.E126.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.2.2.2" xref="A1.E126.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.2.2.2.cmml">ℱ</mi><mi id="A1.E126.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.2.2.3" xref="A1.E126.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.2.2.3.cmml">ε</mi><mrow id="A1.E126.m1.3.3.1.3" xref="A1.E126.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.2.cmml"><mo id="A1.E126.m1.3.3.1.3.1" stretchy="false" xref="A1.E126.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.2.cmml">(</mo><mi id="A1.E126.m1.3.3.1.1" xref="A1.E126.m1.3.3.1.1.cmml">t</mi><mo id="A1.E126.m1.3.3.1.3.2" stretchy="false" xref="A1.E126.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></msubsup><mo id="A1.E126.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1" xref="A1.E126.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.cmml">−</mo><msubsup id="A1.E126.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.3" xref="A1.E126.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.3.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="A1.E126.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.3.2.2" xref="A1.E126.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.3.2.2.cmml">ℱ</mi><mtext id="A1.E126.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.3.2.3" xref="A1.E126.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.3.2.3a.cmml">Haar</mtext><mrow id="A1.E126.m1.4.4.1.3" xref="A1.E126.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.3.cmml"><mo id="A1.E126.m1.4.4.1.3.1" stretchy="false" xref="A1.E126.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="A1.E126.m1.4.4.1.1" xref="A1.E126.m1.4.4.1.1.cmml">t</mi><mo id="A1.E126.m1.4.4.1.3.2" stretchy="false" xref="A1.E126.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></msubsup></mrow><mo id="A1.E126.m1.5.5.1.1.2.1.1.3" xref="A1.E126.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="A1.E126.m1.5.5.1.2" xref="A1.E126.m1.5.5.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.E126.m1.5b"><apply id="A1.E126.m1.5.5.1.1.cmml" xref="A1.E126.m1.5.5.1"><leq id="A1.E126.m1.5.5.1.1.3.cmml" xref="A1.E126.m1.5.5.1.1.3"></leq><apply id="A1.E126.m1.5.5.1.1.1.cmml" xref="A1.E126.m1.5.5.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E126.m1.5.5.1.1.1.2.cmml" xref="A1.E126.m1.5.5.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="A1.E126.m1.5.5.1.1.1.1.cmml" xref="A1.E126.m1.5.5.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E126.m1.5.5.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.E126.m1.5.5.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="A1.E126.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.E126.m1.5.5.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="A1.E126.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.E126.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2">norm</csymbol><apply id="A1.E126.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.E126.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1"><minus id="A1.E126.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.E126.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><apply id="A1.E126.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.E126.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E126.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.E126.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="A1.E126.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.E126.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" 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id="A1.E126.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" mathsize="70%" xref="A1.E126.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3">Haar</mtext></ci></apply><ci id="A1.E126.m1.2.2.1.1.cmml" xref="A1.E126.m1.2.2.1.1">𝑡</ci></apply></apply></apply><ci id="A1.E126.m1.5.5.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.E126.m1.5.5.1.1.1.1.3">⋄</ci></apply><cn id="A1.E126.m1.5.5.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A1.E126.m1.5.5.1.1.1.3">2</cn></apply><apply id="A1.E126.m1.5.5.1.1.2.cmml" xref="A1.E126.m1.5.5.1.1.2"><times id="A1.E126.m1.5.5.1.1.2.2.cmml" xref="A1.E126.m1.5.5.1.1.2.2"></times><apply id="A1.E126.m1.5.5.1.1.2.3.cmml" xref="A1.E126.m1.5.5.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E126.m1.5.5.1.1.2.3.1.cmml" xref="A1.E126.m1.5.5.1.1.2.3">superscript</csymbol><ci id="A1.E126.m1.5.5.1.1.2.3.2.cmml" xref="A1.E126.m1.5.5.1.1.2.3.2">𝑞</ci><apply id="A1.E126.m1.5.5.1.1.2.3.3.cmml" xref="A1.E126.m1.5.5.1.1.2.3.3"><times id="A1.E126.m1.5.5.1.1.2.3.3.1.cmml" xref="A1.E126.m1.5.5.1.1.2.3.3.1"></times><cn id="A1.E126.m1.5.5.1.1.2.3.3.2.cmml" 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xref="A1.E126.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.2.2.3">𝜀</ci></apply><ci id="A1.E126.m1.3.3.1.1.cmml" xref="A1.E126.m1.3.3.1.1">𝑡</ci></apply><apply id="A1.E126.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.3.cmml" xref="A1.E126.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E126.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.E126.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="A1.E126.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.E126.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E126.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="A1.E126.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A1.E126.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="A1.E126.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.3.2.2">ℱ</ci><ci id="A1.E126.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.3.2.3a.cmml" xref="A1.E126.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.3.2.3"><mtext id="A1.E126.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.3.2.3.cmml" mathsize="70%" xref="A1.E126.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.3.2.3">Haar</mtext></ci></apply><ci id="A1.E126.m1.4.4.1.1.cmml" xref="A1.E126.m1.4.4.1.1">𝑡</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.E126.m1.5c">\displaystyle||\Phi_{\varepsilon}^{(t)}-\Phi_{\text{Haar}}^{(t)}||_{\diamond}^% {2}\leq q^{2Nt}\left(\mathcal{F}_{\varepsilon}^{(t)}-\mathcal{F}_{\text{Haar}}% ^{(t)}\right),</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.E126.m1.5d">| | roman_Φ start_POSTSUBSCRIPT italic_ε end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_t ) end_POSTSUPERSCRIPT - roman_Φ start_POSTSUBSCRIPT Haar end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_t ) end_POSTSUPERSCRIPT | | start_POSTSUBSCRIPT ⋄ end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ≤ italic_q start_POSTSUPERSCRIPT 2 italic_N italic_t end_POSTSUPERSCRIPT ( caligraphic_F start_POSTSUBSCRIPT italic_ε end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_t ) end_POSTSUPERSCRIPT - caligraphic_F start_POSTSUBSCRIPT Haar end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_t ) end_POSTSUPERSCRIPT ) ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(126)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="A1.SS2.2.p2.8">and from Lemma <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#Thmtheorem51" title="Lemma 51. ‣ Appendix A Relationship between spectral gap and 𝑡-design depth ‣ Conditional 𝑡-independent spectral gap for random quantum circuits and implications for 𝑡-design depths"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">51</span></a> that</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_gather ltx_eqn_table" id="S6.EGx112"> <tbody id="A1.E127"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\displaystyle\mathcal{F}_{\varepsilon}(\ell)\leq\mathcal{F}_{\text{Haar}}+q^{2% Nt}\lambda_{*}^{\ell-1}" class="ltx_Math" display="block" id="A1.E127.m1.1"><semantics id="A1.E127.m1.1a"><mrow id="A1.E127.m1.1.2" xref="A1.E127.m1.1.2.cmml"><mrow id="A1.E127.m1.1.2.2" xref="A1.E127.m1.1.2.2.cmml"><msub id="A1.E127.m1.1.2.2.2" xref="A1.E127.m1.1.2.2.2.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="A1.E127.m1.1.2.2.2.2" xref="A1.E127.m1.1.2.2.2.2.cmml">ℱ</mi><mi id="A1.E127.m1.1.2.2.2.3" xref="A1.E127.m1.1.2.2.2.3.cmml">ε</mi></msub><mo id="A1.E127.m1.1.2.2.1" xref="A1.E127.m1.1.2.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.E127.m1.1.2.2.3.2" xref="A1.E127.m1.1.2.2.cmml"><mo id="A1.E127.m1.1.2.2.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.E127.m1.1.2.2.cmml">(</mo><mi id="A1.E127.m1.1.1" mathvariant="normal" xref="A1.E127.m1.1.1.cmml">ℓ</mi><mo id="A1.E127.m1.1.2.2.3.2.2" stretchy="false" xref="A1.E127.m1.1.2.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A1.E127.m1.1.2.1" xref="A1.E127.m1.1.2.1.cmml">≤</mo><mrow id="A1.E127.m1.1.2.3" xref="A1.E127.m1.1.2.3.cmml"><msub id="A1.E127.m1.1.2.3.2" xref="A1.E127.m1.1.2.3.2.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="A1.E127.m1.1.2.3.2.2" xref="A1.E127.m1.1.2.3.2.2.cmml">ℱ</mi><mtext id="A1.E127.m1.1.2.3.2.3" xref="A1.E127.m1.1.2.3.2.3a.cmml">Haar</mtext></msub><mo id="A1.E127.m1.1.2.3.1" xref="A1.E127.m1.1.2.3.1.cmml">+</mo><mrow id="A1.E127.m1.1.2.3.3" xref="A1.E127.m1.1.2.3.3.cmml"><msup id="A1.E127.m1.1.2.3.3.2" xref="A1.E127.m1.1.2.3.3.2.cmml"><mi id="A1.E127.m1.1.2.3.3.2.2" xref="A1.E127.m1.1.2.3.3.2.2.cmml">q</mi><mrow id="A1.E127.m1.1.2.3.3.2.3" xref="A1.E127.m1.1.2.3.3.2.3.cmml"><mn id="A1.E127.m1.1.2.3.3.2.3.2" xref="A1.E127.m1.1.2.3.3.2.3.2.cmml">2</mn><mo id="A1.E127.m1.1.2.3.3.2.3.1" xref="A1.E127.m1.1.2.3.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.E127.m1.1.2.3.3.2.3.3" xref="A1.E127.m1.1.2.3.3.2.3.3.cmml">N</mi><mo id="A1.E127.m1.1.2.3.3.2.3.1a" xref="A1.E127.m1.1.2.3.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.E127.m1.1.2.3.3.2.3.4" xref="A1.E127.m1.1.2.3.3.2.3.4.cmml">t</mi></mrow></msup><mo id="A1.E127.m1.1.2.3.3.1" xref="A1.E127.m1.1.2.3.3.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="A1.E127.m1.1.2.3.3.3" 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xref="A1.E127.m1.1.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="A1.E127.m1.1.2.2.2.2.cmml" xref="A1.E127.m1.1.2.2.2.2">ℱ</ci><ci id="A1.E127.m1.1.2.2.2.3.cmml" xref="A1.E127.m1.1.2.2.2.3">𝜀</ci></apply><ci id="A1.E127.m1.1.1.cmml" xref="A1.E127.m1.1.1">ℓ</ci></apply><apply id="A1.E127.m1.1.2.3.cmml" xref="A1.E127.m1.1.2.3"><plus id="A1.E127.m1.1.2.3.1.cmml" xref="A1.E127.m1.1.2.3.1"></plus><apply id="A1.E127.m1.1.2.3.2.cmml" xref="A1.E127.m1.1.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E127.m1.1.2.3.2.1.cmml" xref="A1.E127.m1.1.2.3.2">subscript</csymbol><ci id="A1.E127.m1.1.2.3.2.2.cmml" xref="A1.E127.m1.1.2.3.2.2">ℱ</ci><ci id="A1.E127.m1.1.2.3.2.3a.cmml" xref="A1.E127.m1.1.2.3.2.3"><mtext id="A1.E127.m1.1.2.3.2.3.cmml" mathsize="70%" xref="A1.E127.m1.1.2.3.2.3">Haar</mtext></ci></apply><apply id="A1.E127.m1.1.2.3.3.cmml" xref="A1.E127.m1.1.2.3.3"><times id="A1.E127.m1.1.2.3.3.1.cmml" xref="A1.E127.m1.1.2.3.3.1"></times><apply id="A1.E127.m1.1.2.3.3.2.cmml" xref="A1.E127.m1.1.2.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E127.m1.1.2.3.3.2.1.cmml" xref="A1.E127.m1.1.2.3.3.2">superscript</csymbol><ci id="A1.E127.m1.1.2.3.3.2.2.cmml" xref="A1.E127.m1.1.2.3.3.2.2">𝑞</ci><apply id="A1.E127.m1.1.2.3.3.2.3.cmml" xref="A1.E127.m1.1.2.3.3.2.3"><times id="A1.E127.m1.1.2.3.3.2.3.1.cmml" xref="A1.E127.m1.1.2.3.3.2.3.1"></times><cn id="A1.E127.m1.1.2.3.3.2.3.2.cmml" type="integer" xref="A1.E127.m1.1.2.3.3.2.3.2">2</cn><ci id="A1.E127.m1.1.2.3.3.2.3.3.cmml" xref="A1.E127.m1.1.2.3.3.2.3.3">𝑁</ci><ci id="A1.E127.m1.1.2.3.3.2.3.4.cmml" xref="A1.E127.m1.1.2.3.3.2.3.4">𝑡</ci></apply></apply><apply id="A1.E127.m1.1.2.3.3.3.cmml" xref="A1.E127.m1.1.2.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E127.m1.1.2.3.3.3.1.cmml" xref="A1.E127.m1.1.2.3.3.3">superscript</csymbol><apply id="A1.E127.m1.1.2.3.3.3.2.cmml" xref="A1.E127.m1.1.2.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E127.m1.1.2.3.3.3.2.1.cmml" xref="A1.E127.m1.1.2.3.3.3">subscript</csymbol><ci id="A1.E127.m1.1.2.3.3.3.2.2.cmml" xref="A1.E127.m1.1.2.3.3.3.2.2">𝜆</ci><times id="A1.E127.m1.1.2.3.3.3.2.3.cmml" xref="A1.E127.m1.1.2.3.3.3.2.3"></times></apply><apply id="A1.E127.m1.1.2.3.3.3.3.cmml" xref="A1.E127.m1.1.2.3.3.3.3"><minus id="A1.E127.m1.1.2.3.3.3.3.1.cmml" xref="A1.E127.m1.1.2.3.3.3.3.1"></minus><ci id="A1.E127.m1.1.2.3.3.3.3.2.cmml" xref="A1.E127.m1.1.2.3.3.3.3.2">ℓ</ci><cn id="A1.E127.m1.1.2.3.3.3.3.3.cmml" type="integer" xref="A1.E127.m1.1.2.3.3.3.3.3">1</cn></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.E127.m1.1c">\displaystyle\mathcal{F}_{\varepsilon}(\ell)\leq\mathcal{F}_{\text{Haar}}+q^{2% Nt}\lambda_{*}^{\ell-1}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.E127.m1.1d">caligraphic_F start_POSTSUBSCRIPT italic_ε end_POSTSUBSCRIPT ( roman_ℓ ) ≤ caligraphic_F start_POSTSUBSCRIPT Haar end_POSTSUBSCRIPT + italic_q start_POSTSUPERSCRIPT 2 italic_N italic_t end_POSTSUPERSCRIPT italic_λ start_POSTSUBSCRIPT ∗ end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT roman_ℓ - 1 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(127)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="A1.SS2.2.p2.1">where <math alttext="\lambda_{*}=1-\Delta" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.SS2.2.p2.1.m1.1"><semantics id="A1.SS2.2.p2.1.m1.1a"><mrow id="A1.SS2.2.p2.1.m1.1.1" xref="A1.SS2.2.p2.1.m1.1.1.cmml"><msub id="A1.SS2.2.p2.1.m1.1.1.2" xref="A1.SS2.2.p2.1.m1.1.1.2.cmml"><mi id="A1.SS2.2.p2.1.m1.1.1.2.2" xref="A1.SS2.2.p2.1.m1.1.1.2.2.cmml">λ</mi><mo id="A1.SS2.2.p2.1.m1.1.1.2.3" xref="A1.SS2.2.p2.1.m1.1.1.2.3.cmml">∗</mo></msub><mo id="A1.SS2.2.p2.1.m1.1.1.1" xref="A1.SS2.2.p2.1.m1.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="A1.SS2.2.p2.1.m1.1.1.3" xref="A1.SS2.2.p2.1.m1.1.1.3.cmml"><mn id="A1.SS2.2.p2.1.m1.1.1.3.2" xref="A1.SS2.2.p2.1.m1.1.1.3.2.cmml">1</mn><mo id="A1.SS2.2.p2.1.m1.1.1.3.1" xref="A1.SS2.2.p2.1.m1.1.1.3.1.cmml">−</mo><mi id="A1.SS2.2.p2.1.m1.1.1.3.3" mathvariant="normal" xref="A1.SS2.2.p2.1.m1.1.1.3.3.cmml">Δ</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.SS2.2.p2.1.m1.1b"><apply id="A1.SS2.2.p2.1.m1.1.1.cmml" xref="A1.SS2.2.p2.1.m1.1.1"><eq id="A1.SS2.2.p2.1.m1.1.1.1.cmml" xref="A1.SS2.2.p2.1.m1.1.1.1"></eq><apply id="A1.SS2.2.p2.1.m1.1.1.2.cmml" xref="A1.SS2.2.p2.1.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS2.2.p2.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.SS2.2.p2.1.m1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="A1.SS2.2.p2.1.m1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.SS2.2.p2.1.m1.1.1.2.2">𝜆</ci><times id="A1.SS2.2.p2.1.m1.1.1.2.3.cmml" xref="A1.SS2.2.p2.1.m1.1.1.2.3"></times></apply><apply id="A1.SS2.2.p2.1.m1.1.1.3.cmml" xref="A1.SS2.2.p2.1.m1.1.1.3"><minus id="A1.SS2.2.p2.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.SS2.2.p2.1.m1.1.1.3.1"></minus><cn id="A1.SS2.2.p2.1.m1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="A1.SS2.2.p2.1.m1.1.1.3.2">1</cn><ci id="A1.SS2.2.p2.1.m1.1.1.3.3.cmml" xref="A1.SS2.2.p2.1.m1.1.1.3.3">Δ</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.SS2.2.p2.1.m1.1c">\lambda_{*}=1-\Delta</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.SS2.2.p2.1.m1.1d">italic_λ start_POSTSUBSCRIPT ∗ end_POSTSUBSCRIPT = 1 - roman_Δ</annotation></semantics></math>. Therefore</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_gather ltx_eqn_table" id="S6.EGx113"> <tbody id="A1.E128"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\displaystyle||\Phi_{\varepsilon}^{(t)}-\Phi_{\text{Haar}}^{(t)}||_{\diamond}% \leq q^{2Nt}(1-\Delta)^{\frac{\ell-1}{2}}." class="ltx_Math" display="block" id="A1.E128.m1.3"><semantics id="A1.E128.m1.3a"><mrow id="A1.E128.m1.3.3.1" xref="A1.E128.m1.3.3.1.1.cmml"><mrow id="A1.E128.m1.3.3.1.1" xref="A1.E128.m1.3.3.1.1.cmml"><msub id="A1.E128.m1.3.3.1.1.1" xref="A1.E128.m1.3.3.1.1.1.cmml"><mrow id="A1.E128.m1.3.3.1.1.1.1.1" xref="A1.E128.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="A1.E128.m1.3.3.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.E128.m1.3.3.1.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo><mrow id="A1.E128.m1.3.3.1.1.1.1.1.1" xref="A1.E128.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml"><msubsup id="A1.E128.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.E128.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="A1.E128.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.2" mathvariant="normal" xref="A1.E128.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">Φ</mi><mi id="A1.E128.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="A1.E128.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">ε</mi><mrow id="A1.E128.m1.1.1.1.3" xref="A1.E128.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="A1.E128.m1.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="A1.E128.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.cmml">(</mo><mi id="A1.E128.m1.1.1.1.1" xref="A1.E128.m1.1.1.1.1.cmml">t</mi><mo id="A1.E128.m1.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="A1.E128.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></msubsup><mo id="A1.E128.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.E128.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><msubsup id="A1.E128.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.E128.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A1.E128.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2.2" mathvariant="normal" xref="A1.E128.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">Φ</mi><mtext id="A1.E128.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="A1.E128.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2.3a.cmml">Haar</mtext><mrow id="A1.E128.m1.2.2.1.3" xref="A1.E128.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="A1.E128.m1.2.2.1.3.1" stretchy="false" xref="A1.E128.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="A1.E128.m1.2.2.1.1" xref="A1.E128.m1.2.2.1.1.cmml">t</mi><mo id="A1.E128.m1.2.2.1.3.2" stretchy="false" xref="A1.E128.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></msubsup></mrow><mo id="A1.E128.m1.3.3.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.E128.m1.3.3.1.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo></mrow><mo id="A1.E128.m1.3.3.1.1.1.3" xref="A1.E128.m1.3.3.1.1.1.3.cmml">⋄</mo></msub><mo id="A1.E128.m1.3.3.1.1.3" xref="A1.E128.m1.3.3.1.1.3.cmml">≤</mo><mrow id="A1.E128.m1.3.3.1.1.2" xref="A1.E128.m1.3.3.1.1.2.cmml"><msup id="A1.E128.m1.3.3.1.1.2.3" xref="A1.E128.m1.3.3.1.1.2.3.cmml"><mi id="A1.E128.m1.3.3.1.1.2.3.2" xref="A1.E128.m1.3.3.1.1.2.3.2.cmml">q</mi><mrow id="A1.E128.m1.3.3.1.1.2.3.3" xref="A1.E128.m1.3.3.1.1.2.3.3.cmml"><mn id="A1.E128.m1.3.3.1.1.2.3.3.2" xref="A1.E128.m1.3.3.1.1.2.3.3.2.cmml">2</mn><mo id="A1.E128.m1.3.3.1.1.2.3.3.1" xref="A1.E128.m1.3.3.1.1.2.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.E128.m1.3.3.1.1.2.3.3.3" xref="A1.E128.m1.3.3.1.1.2.3.3.3.cmml">N</mi><mo id="A1.E128.m1.3.3.1.1.2.3.3.1a" xref="A1.E128.m1.3.3.1.1.2.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.E128.m1.3.3.1.1.2.3.3.4" xref="A1.E128.m1.3.3.1.1.2.3.3.4.cmml">t</mi></mrow></msup><mo id="A1.E128.m1.3.3.1.1.2.2" xref="A1.E128.m1.3.3.1.1.2.2.cmml">⁢</mo><msup id="A1.E128.m1.3.3.1.1.2.1" xref="A1.E128.m1.3.3.1.1.2.1.cmml"><mrow id="A1.E128.m1.3.3.1.1.2.1.1.1" xref="A1.E128.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.E128.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.E128.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.E128.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1" xref="A1.E128.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.cmml"><mn id="A1.E128.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.2" xref="A1.E128.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.2.cmml">1</mn><mo id="A1.E128.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1" xref="A1.E128.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mi id="A1.E128.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.3" mathvariant="normal" xref="A1.E128.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.3.cmml">Δ</mi></mrow><mo id="A1.E128.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.E128.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mfrac id="A1.E128.m1.3.3.1.1.2.1.3" xref="A1.E128.m1.3.3.1.1.2.1.3.cmml"><mrow id="A1.E128.m1.3.3.1.1.2.1.3.2" xref="A1.E128.m1.3.3.1.1.2.1.3.2.cmml"><mi id="A1.E128.m1.3.3.1.1.2.1.3.2.2" mathvariant="normal" xref="A1.E128.m1.3.3.1.1.2.1.3.2.2.cmml">ℓ</mi><mo id="A1.E128.m1.3.3.1.1.2.1.3.2.1" xref="A1.E128.m1.3.3.1.1.2.1.3.2.1.cmml">−</mo><mn id="A1.E128.m1.3.3.1.1.2.1.3.2.3" xref="A1.E128.m1.3.3.1.1.2.1.3.2.3.cmml">1</mn></mrow><mn id="A1.E128.m1.3.3.1.1.2.1.3.3" xref="A1.E128.m1.3.3.1.1.2.1.3.3.cmml">2</mn></mfrac></msup></mrow></mrow><mo id="A1.E128.m1.3.3.1.2" lspace="0em" xref="A1.E128.m1.3.3.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.E128.m1.3b"><apply id="A1.E128.m1.3.3.1.1.cmml" xref="A1.E128.m1.3.3.1"><leq id="A1.E128.m1.3.3.1.1.3.cmml" xref="A1.E128.m1.3.3.1.1.3"></leq><apply id="A1.E128.m1.3.3.1.1.1.cmml" xref="A1.E128.m1.3.3.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E128.m1.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="A1.E128.m1.3.3.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="A1.E128.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.E128.m1.3.3.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="A1.E128.m1.3.3.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.E128.m1.3.3.1.1.1.1.1.2">norm</csymbol><apply id="A1.E128.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.E128.m1.3.3.1.1.1.1.1.1"><minus id="A1.E128.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.E128.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1"></minus><apply id="A1.E128.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.E128.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E128.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.E128.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="A1.E128.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.E128.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E128.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="A1.E128.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="A1.E128.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="A1.E128.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.2">Φ</ci><ci id="A1.E128.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="A1.E128.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.3">𝜀</ci></apply><ci id="A1.E128.m1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.E128.m1.1.1.1.1">𝑡</ci></apply><apply id="A1.E128.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.E128.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E128.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.E128.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="A1.E128.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.E128.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E128.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="A1.E128.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A1.E128.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="A1.E128.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2.2">Φ</ci><ci id="A1.E128.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2.3a.cmml" xref="A1.E128.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2.3"><mtext id="A1.E128.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" mathsize="70%" xref="A1.E128.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2.3">Haar</mtext></ci></apply><ci id="A1.E128.m1.2.2.1.1.cmml" xref="A1.E128.m1.2.2.1.1">𝑡</ci></apply></apply></apply><ci id="A1.E128.m1.3.3.1.1.1.3.cmml" xref="A1.E128.m1.3.3.1.1.1.3">⋄</ci></apply><apply id="A1.E128.m1.3.3.1.1.2.cmml" xref="A1.E128.m1.3.3.1.1.2"><times id="A1.E128.m1.3.3.1.1.2.2.cmml" xref="A1.E128.m1.3.3.1.1.2.2"></times><apply id="A1.E128.m1.3.3.1.1.2.3.cmml" xref="A1.E128.m1.3.3.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E128.m1.3.3.1.1.2.3.1.cmml" xref="A1.E128.m1.3.3.1.1.2.3">superscript</csymbol><ci id="A1.E128.m1.3.3.1.1.2.3.2.cmml" xref="A1.E128.m1.3.3.1.1.2.3.2">𝑞</ci><apply id="A1.E128.m1.3.3.1.1.2.3.3.cmml" xref="A1.E128.m1.3.3.1.1.2.3.3"><times id="A1.E128.m1.3.3.1.1.2.3.3.1.cmml" xref="A1.E128.m1.3.3.1.1.2.3.3.1"></times><cn id="A1.E128.m1.3.3.1.1.2.3.3.2.cmml" type="integer" xref="A1.E128.m1.3.3.1.1.2.3.3.2">2</cn><ci id="A1.E128.m1.3.3.1.1.2.3.3.3.cmml" xref="A1.E128.m1.3.3.1.1.2.3.3.3">𝑁</ci><ci id="A1.E128.m1.3.3.1.1.2.3.3.4.cmml" xref="A1.E128.m1.3.3.1.1.2.3.3.4">𝑡</ci></apply></apply><apply id="A1.E128.m1.3.3.1.1.2.1.cmml" xref="A1.E128.m1.3.3.1.1.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E128.m1.3.3.1.1.2.1.2.cmml" xref="A1.E128.m1.3.3.1.1.2.1">superscript</csymbol><apply id="A1.E128.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.cmml" xref="A1.E128.m1.3.3.1.1.2.1.1.1"><minus id="A1.E128.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.E128.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1"></minus><cn id="A1.E128.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="A1.E128.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.2">1</cn><ci id="A1.E128.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.E128.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.3">Δ</ci></apply><apply id="A1.E128.m1.3.3.1.1.2.1.3.cmml" xref="A1.E128.m1.3.3.1.1.2.1.3"><divide id="A1.E128.m1.3.3.1.1.2.1.3.1.cmml" xref="A1.E128.m1.3.3.1.1.2.1.3"></divide><apply id="A1.E128.m1.3.3.1.1.2.1.3.2.cmml" xref="A1.E128.m1.3.3.1.1.2.1.3.2"><minus id="A1.E128.m1.3.3.1.1.2.1.3.2.1.cmml" xref="A1.E128.m1.3.3.1.1.2.1.3.2.1"></minus><ci id="A1.E128.m1.3.3.1.1.2.1.3.2.2.cmml" xref="A1.E128.m1.3.3.1.1.2.1.3.2.2">ℓ</ci><cn id="A1.E128.m1.3.3.1.1.2.1.3.2.3.cmml" type="integer" xref="A1.E128.m1.3.3.1.1.2.1.3.2.3">1</cn></apply><cn id="A1.E128.m1.3.3.1.1.2.1.3.3.cmml" type="integer" xref="A1.E128.m1.3.3.1.1.2.1.3.3">2</cn></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.E128.m1.3c">\displaystyle||\Phi_{\varepsilon}^{(t)}-\Phi_{\text{Haar}}^{(t)}||_{\diamond}% \leq q^{2Nt}(1-\Delta)^{\frac{\ell-1}{2}}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.E128.m1.3d">| | roman_Φ start_POSTSUBSCRIPT italic_ε end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_t ) end_POSTSUPERSCRIPT - roman_Φ start_POSTSUBSCRIPT Haar end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_t ) end_POSTSUPERSCRIPT | | start_POSTSUBSCRIPT ⋄ end_POSTSUBSCRIPT ≤ italic_q start_POSTSUPERSCRIPT 2 italic_N italic_t end_POSTSUPERSCRIPT ( 1 - roman_Δ ) start_POSTSUPERSCRIPT divide start_ARG roman_ℓ - 1 end_ARG start_ARG 2 end_ARG end_POSTSUPERSCRIPT .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(128)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="A1.SS2.2.p2.5">Right before the <math alttext="\epsilon" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.SS2.2.p2.2.m1.1"><semantics id="A1.SS2.2.p2.2.m1.1a"><mi id="A1.SS2.2.p2.2.m1.1.1" xref="A1.SS2.2.p2.2.m1.1.1.cmml">ϵ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.SS2.2.p2.2.m1.1b"><ci id="A1.SS2.2.p2.2.m1.1.1.cmml" xref="A1.SS2.2.p2.2.m1.1.1">italic-ϵ</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.SS2.2.p2.2.m1.1c">\epsilon</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.SS2.2.p2.2.m1.1d">italic_ϵ</annotation></semantics></math>-approximate <math alttext="t" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.SS2.2.p2.3.m2.1"><semantics id="A1.SS2.2.p2.3.m2.1a"><mi id="A1.SS2.2.p2.3.m2.1.1" xref="A1.SS2.2.p2.3.m2.1.1.cmml">t</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.SS2.2.p2.3.m2.1b"><ci id="A1.SS2.2.p2.3.m2.1.1.cmml" xref="A1.SS2.2.p2.3.m2.1.1">𝑡</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.SS2.2.p2.3.m2.1c">t</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.SS2.2.p2.3.m2.1d">italic_t</annotation></semantics></math>-design depth (i.e. at depth <math alttext="\ell_{*}-1" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.SS2.2.p2.4.m3.1"><semantics id="A1.SS2.2.p2.4.m3.1a"><mrow id="A1.SS2.2.p2.4.m3.1.1" xref="A1.SS2.2.p2.4.m3.1.1.cmml"><msub id="A1.SS2.2.p2.4.m3.1.1.2" xref="A1.SS2.2.p2.4.m3.1.1.2.cmml"><mi id="A1.SS2.2.p2.4.m3.1.1.2.2" mathvariant="normal" xref="A1.SS2.2.p2.4.m3.1.1.2.2.cmml">ℓ</mi><mo id="A1.SS2.2.p2.4.m3.1.1.2.3" xref="A1.SS2.2.p2.4.m3.1.1.2.3.cmml">∗</mo></msub><mo id="A1.SS2.2.p2.4.m3.1.1.1" xref="A1.SS2.2.p2.4.m3.1.1.1.cmml">−</mo><mn id="A1.SS2.2.p2.4.m3.1.1.3" xref="A1.SS2.2.p2.4.m3.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.SS2.2.p2.4.m3.1b"><apply id="A1.SS2.2.p2.4.m3.1.1.cmml" xref="A1.SS2.2.p2.4.m3.1.1"><minus id="A1.SS2.2.p2.4.m3.1.1.1.cmml" xref="A1.SS2.2.p2.4.m3.1.1.1"></minus><apply id="A1.SS2.2.p2.4.m3.1.1.2.cmml" xref="A1.SS2.2.p2.4.m3.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS2.2.p2.4.m3.1.1.2.1.cmml" xref="A1.SS2.2.p2.4.m3.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="A1.SS2.2.p2.4.m3.1.1.2.2.cmml" xref="A1.SS2.2.p2.4.m3.1.1.2.2">ℓ</ci><times id="A1.SS2.2.p2.4.m3.1.1.2.3.cmml" xref="A1.SS2.2.p2.4.m3.1.1.2.3"></times></apply><cn id="A1.SS2.2.p2.4.m3.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A1.SS2.2.p2.4.m3.1.1.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.SS2.2.p2.4.m3.1c">\ell_{*}-1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.SS2.2.p2.4.m3.1d">roman_ℓ start_POSTSUBSCRIPT ∗ end_POSTSUBSCRIPT - 1</annotation></semantics></math>), the left-hand side is still greater than <math alttext="\epsilon" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.SS2.2.p2.5.m4.1"><semantics id="A1.SS2.2.p2.5.m4.1a"><mi id="A1.SS2.2.p2.5.m4.1.1" xref="A1.SS2.2.p2.5.m4.1.1.cmml">ϵ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.SS2.2.p2.5.m4.1b"><ci id="A1.SS2.2.p2.5.m4.1.1.cmml" xref="A1.SS2.2.p2.5.m4.1.1">italic-ϵ</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.SS2.2.p2.5.m4.1c">\epsilon</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.SS2.2.p2.5.m4.1d">italic_ϵ</annotation></semantics></math>, so</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_gather ltx_eqn_table" id="S6.EGx114"> <tbody id="A1.E129"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\displaystyle\epsilon\leq q^{2Nt}(1-\Delta)^{\frac{(\ell_{*}-1)-1}{2}}" class="ltx_Math" display="block" id="A1.E129.m1.2"><semantics id="A1.E129.m1.2a"><mrow id="A1.E129.m1.2.2" xref="A1.E129.m1.2.2.cmml"><mi id="A1.E129.m1.2.2.3" xref="A1.E129.m1.2.2.3.cmml">ϵ</mi><mo id="A1.E129.m1.2.2.2" xref="A1.E129.m1.2.2.2.cmml">≤</mo><mrow id="A1.E129.m1.2.2.1" xref="A1.E129.m1.2.2.1.cmml"><msup id="A1.E129.m1.2.2.1.3" xref="A1.E129.m1.2.2.1.3.cmml"><mi id="A1.E129.m1.2.2.1.3.2" xref="A1.E129.m1.2.2.1.3.2.cmml">q</mi><mrow id="A1.E129.m1.2.2.1.3.3" xref="A1.E129.m1.2.2.1.3.3.cmml"><mn id="A1.E129.m1.2.2.1.3.3.2" xref="A1.E129.m1.2.2.1.3.3.2.cmml">2</mn><mo id="A1.E129.m1.2.2.1.3.3.1" xref="A1.E129.m1.2.2.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.E129.m1.2.2.1.3.3.3" xref="A1.E129.m1.2.2.1.3.3.3.cmml">N</mi><mo id="A1.E129.m1.2.2.1.3.3.1a" xref="A1.E129.m1.2.2.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.E129.m1.2.2.1.3.3.4" xref="A1.E129.m1.2.2.1.3.3.4.cmml">t</mi></mrow></msup><mo id="A1.E129.m1.2.2.1.2" xref="A1.E129.m1.2.2.1.2.cmml">⁢</mo><msup id="A1.E129.m1.2.2.1.1" xref="A1.E129.m1.2.2.1.1.cmml"><mrow id="A1.E129.m1.2.2.1.1.1.1" 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ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(129)</span></td> </tr></tbody> <tbody id="A1.E130"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\displaystyle\log\frac{1}{\epsilon}\geq-2Nt\log q+\frac{\ell_{*}-2}{2}\log% \left(\frac{1}{1-\Delta}\right)" class="ltx_Math" display="block" id="A1.E130.m1.2"><semantics id="A1.E130.m1.2a"><mrow id="A1.E130.m1.2.3" xref="A1.E130.m1.2.3.cmml"><mrow id="A1.E130.m1.2.3.2" xref="A1.E130.m1.2.3.2.cmml"><mi id="A1.E130.m1.2.3.2.1" xref="A1.E130.m1.2.3.2.1.cmml">log</mi><mo id="A1.E130.m1.2.3.2a" lspace="0.167em" xref="A1.E130.m1.2.3.2.cmml">⁡</mo><mfrac id="A1.E130.m1.2.3.2.2" xref="A1.E130.m1.2.3.2.2.cmml"><mn id="A1.E130.m1.2.3.2.2.2" xref="A1.E130.m1.2.3.2.2.2.cmml">1</mn><mi id="A1.E130.m1.2.3.2.2.3" 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ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\displaystyle\ell_{*}\leq 2+\frac{2}{\log\left(\frac{1}{1-\Delta}\right)}\left% (2Nt\log q+\log\frac{1}{\epsilon}\right)" class="ltx_Math" display="block" id="A1.E131.m1.3"><semantics id="A1.E131.m1.3a"><mrow id="A1.E131.m1.3.3" xref="A1.E131.m1.3.3.cmml"><msub id="A1.E131.m1.3.3.3" xref="A1.E131.m1.3.3.3.cmml"><mi id="A1.E131.m1.3.3.3.2" mathvariant="normal" xref="A1.E131.m1.3.3.3.2.cmml">ℓ</mi><mo id="A1.E131.m1.3.3.3.3" xref="A1.E131.m1.3.3.3.3.cmml">∗</mo></msub><mo id="A1.E131.m1.3.3.2" xref="A1.E131.m1.3.3.2.cmml">≤</mo><mrow id="A1.E131.m1.3.3.1" xref="A1.E131.m1.3.3.1.cmml"><mn id="A1.E131.m1.3.3.1.3" xref="A1.E131.m1.3.3.1.3.cmml">2</mn><mo id="A1.E131.m1.3.3.1.2" xref="A1.E131.m1.3.3.1.2.cmml">+</mo><mrow id="A1.E131.m1.3.3.1.1" xref="A1.E131.m1.3.3.1.1.cmml"><mfrac id="A1.E131.m1.2.2" xref="A1.E131.m1.2.2.cmml"><mn id="A1.E131.m1.2.2.4" xref="A1.E131.m1.2.2.4.cmml">2</mn><mrow 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id="A1.E131.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.5a" lspace="0.167em" xref="A1.E131.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.5.cmml">⁡</mo><mi id="A1.E131.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.5.2" xref="A1.E131.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.5.2.cmml">q</mi></mrow></mrow><mo id="A1.E131.m1.3.3.1.1.1.1.1.1" xref="A1.E131.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="A1.E131.m1.3.3.1.1.1.1.1.3" xref="A1.E131.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A1.E131.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.1" xref="A1.E131.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.1.cmml">log</mi><mo id="A1.E131.m1.3.3.1.1.1.1.1.3a" lspace="0.167em" xref="A1.E131.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.cmml">⁡</mo><mfrac id="A1.E131.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2" xref="A1.E131.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mn id="A1.E131.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="A1.E131.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">1</mn><mi id="A1.E131.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="A1.E131.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">ϵ</mi></mfrac></mrow></mrow><mo id="A1.E131.m1.3.3.1.1.1.1.3" xref="A1.E131.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.E131.m1.3b"><apply id="A1.E131.m1.3.3.cmml" xref="A1.E131.m1.3.3"><leq id="A1.E131.m1.3.3.2.cmml" xref="A1.E131.m1.3.3.2"></leq><apply id="A1.E131.m1.3.3.3.cmml" xref="A1.E131.m1.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E131.m1.3.3.3.1.cmml" xref="A1.E131.m1.3.3.3">subscript</csymbol><ci id="A1.E131.m1.3.3.3.2.cmml" xref="A1.E131.m1.3.3.3.2">ℓ</ci><times id="A1.E131.m1.3.3.3.3.cmml" xref="A1.E131.m1.3.3.3.3"></times></apply><apply id="A1.E131.m1.3.3.1.cmml" xref="A1.E131.m1.3.3.1"><plus id="A1.E131.m1.3.3.1.2.cmml" xref="A1.E131.m1.3.3.1.2"></plus><cn id="A1.E131.m1.3.3.1.3.cmml" type="integer" xref="A1.E131.m1.3.3.1.3">2</cn><apply id="A1.E131.m1.3.3.1.1.cmml" xref="A1.E131.m1.3.3.1.1"><times id="A1.E131.m1.3.3.1.1.2.cmml" xref="A1.E131.m1.3.3.1.1.2"></times><apply id="A1.E131.m1.2.2.cmml" xref="A1.E131.m1.2.2"><divide id="A1.E131.m1.2.2.3.cmml" xref="A1.E131.m1.2.2"></divide><cn id="A1.E131.m1.2.2.4.cmml" type="integer" xref="A1.E131.m1.2.2.4">2</cn><apply id="A1.E131.m1.2.2.2.3.cmml" xref="A1.E131.m1.2.2.2.4"><log id="A1.E131.m1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.E131.m1.1.1.1.1"></log><apply id="A1.E131.m1.2.2.2.2.cmml" xref="A1.E131.m1.2.2.2.2"><divide id="A1.E131.m1.2.2.2.2.1.cmml" xref="A1.E131.m1.2.2.2.2"></divide><cn id="A1.E131.m1.2.2.2.2.2.cmml" type="integer" xref="A1.E131.m1.2.2.2.2.2">1</cn><apply id="A1.E131.m1.2.2.2.2.3.cmml" xref="A1.E131.m1.2.2.2.2.3"><minus id="A1.E131.m1.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="A1.E131.m1.2.2.2.2.3.1"></minus><cn id="A1.E131.m1.2.2.2.2.3.2.cmml" type="integer" xref="A1.E131.m1.2.2.2.2.3.2">1</cn><ci id="A1.E131.m1.2.2.2.2.3.3.cmml" xref="A1.E131.m1.2.2.2.2.3.3">Δ</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="A1.E131.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.E131.m1.3.3.1.1.1.1"><plus id="A1.E131.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.E131.m1.3.3.1.1.1.1.1.1"></plus><apply id="A1.E131.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.E131.m1.3.3.1.1.1.1.1.2"><times id="A1.E131.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.E131.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.1"></times><cn id="A1.E131.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2.cmml" type="integer" xref="A1.E131.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2">2</cn><ci id="A1.E131.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="A1.E131.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.3">𝑁</ci><ci id="A1.E131.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.4.cmml" xref="A1.E131.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.4">𝑡</ci><apply id="A1.E131.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.5.cmml" xref="A1.E131.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.5"><log id="A1.E131.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.5.1.cmml" xref="A1.E131.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.5.1"></log><ci id="A1.E131.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.5.2.cmml" xref="A1.E131.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.5.2">𝑞</ci></apply></apply><apply id="A1.E131.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.E131.m1.3.3.1.1.1.1.1.3"><log id="A1.E131.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.E131.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.1"></log><apply id="A1.E131.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.E131.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2"><divide id="A1.E131.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="A1.E131.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2"></divide><cn id="A1.E131.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" type="integer" xref="A1.E131.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2.2">1</cn><ci id="A1.E131.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="A1.E131.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2.3">italic-ϵ</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.E131.m1.3c">\displaystyle\ell_{*}\leq 2+\frac{2}{\log\left(\frac{1}{1-\Delta}\right)}\left% (2Nt\log q+\log\frac{1}{\epsilon}\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.E131.m1.3d">roman_ℓ start_POSTSUBSCRIPT ∗ end_POSTSUBSCRIPT ≤ 2 + divide start_ARG 2 end_ARG start_ARG roman_log ( divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 1 - roman_Δ end_ARG ) end_ARG ( 2 italic_N italic_t roman_log italic_q + roman_log divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_ϵ end_ARG )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(131)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="A1.SS2.2.p2.6">from which the upper bound version of Equation <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#A1.E124" title="In Lemma 55. ‣ A.2 Proof of Corollary 4 ‣ Appendix A Relationship between spectral gap and 𝑡-design depth ‣ Conditional 𝑡-independent spectral gap for random quantum circuits and implications for 𝑡-design depths"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">124</span></a> follows once we collate all lower-order terms into <math alttext="o_{\epsilon}(1)" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.SS2.2.p2.6.m1.1"><semantics id="A1.SS2.2.p2.6.m1.1a"><mrow id="A1.SS2.2.p2.6.m1.1.2" xref="A1.SS2.2.p2.6.m1.1.2.cmml"><msub id="A1.SS2.2.p2.6.m1.1.2.2" xref="A1.SS2.2.p2.6.m1.1.2.2.cmml"><mi id="A1.SS2.2.p2.6.m1.1.2.2.2" xref="A1.SS2.2.p2.6.m1.1.2.2.2.cmml">o</mi><mi id="A1.SS2.2.p2.6.m1.1.2.2.3" xref="A1.SS2.2.p2.6.m1.1.2.2.3.cmml">ϵ</mi></msub><mo id="A1.SS2.2.p2.6.m1.1.2.1" xref="A1.SS2.2.p2.6.m1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.SS2.2.p2.6.m1.1.2.3.2" xref="A1.SS2.2.p2.6.m1.1.2.cmml"><mo id="A1.SS2.2.p2.6.m1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.SS2.2.p2.6.m1.1.2.cmml">(</mo><mn id="A1.SS2.2.p2.6.m1.1.1" xref="A1.SS2.2.p2.6.m1.1.1.cmml">1</mn><mo id="A1.SS2.2.p2.6.m1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="A1.SS2.2.p2.6.m1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.SS2.2.p2.6.m1.1b"><apply id="A1.SS2.2.p2.6.m1.1.2.cmml" xref="A1.SS2.2.p2.6.m1.1.2"><times id="A1.SS2.2.p2.6.m1.1.2.1.cmml" xref="A1.SS2.2.p2.6.m1.1.2.1"></times><apply id="A1.SS2.2.p2.6.m1.1.2.2.cmml" xref="A1.SS2.2.p2.6.m1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS2.2.p2.6.m1.1.2.2.1.cmml" xref="A1.SS2.2.p2.6.m1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="A1.SS2.2.p2.6.m1.1.2.2.2.cmml" xref="A1.SS2.2.p2.6.m1.1.2.2.2">𝑜</ci><ci id="A1.SS2.2.p2.6.m1.1.2.2.3.cmml" xref="A1.SS2.2.p2.6.m1.1.2.2.3">italic-ϵ</ci></apply><cn id="A1.SS2.2.p2.6.m1.1.1.cmml" type="integer" xref="A1.SS2.2.p2.6.m1.1.1">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.SS2.2.p2.6.m1.1c">o_{\epsilon}(1)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.SS2.2.p2.6.m1.1d">italic_o start_POSTSUBSCRIPT italic_ϵ end_POSTSUBSCRIPT ( 1 )</annotation></semantics></math>.</p> </div> <div class="ltx_para" id="A1.SS2.3.p3"> <p class="ltx_p" id="A1.SS2.3.p3.9"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="A1.SS2.3.p3.9.1">Lower bound:</span> By definition of the diamond norm,</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_gather ltx_eqn_table" id="S6.EGx115"> <tbody id="A1.E132"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\displaystyle||\Phi_{\varepsilon}^{(t)}-\Phi_{\text{Haar}}^{(t)}||_{\diamond}% \geq\frac{||(\Phi_{\varepsilon}^{(t)}-\Phi_{\text{Haar}}^{(t)})\rho||_{1}}{||% \rho||_{1}}" class="ltx_Math" display="block" id="A1.E132.m1.7"><semantics id="A1.E132.m1.7a"><mrow id="A1.E132.m1.7.7" xref="A1.E132.m1.7.7.cmml"><msub id="A1.E132.m1.7.7.1" xref="A1.E132.m1.7.7.1.cmml"><mrow id="A1.E132.m1.7.7.1.1.1" xref="A1.E132.m1.7.7.1.1.2.cmml"><mo id="A1.E132.m1.7.7.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.E132.m1.7.7.1.1.2.1.cmml">‖</mo><mrow id="A1.E132.m1.7.7.1.1.1.1" xref="A1.E132.m1.7.7.1.1.1.1.cmml"><msubsup id="A1.E132.m1.7.7.1.1.1.1.2" xref="A1.E132.m1.7.7.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="A1.E132.m1.7.7.1.1.1.1.2.2.2" mathvariant="normal" xref="A1.E132.m1.7.7.1.1.1.1.2.2.2.cmml">Φ</mi><mi id="A1.E132.m1.7.7.1.1.1.1.2.2.3" xref="A1.E132.m1.7.7.1.1.1.1.2.2.3.cmml">ε</mi><mrow id="A1.E132.m1.1.1.1.3" xref="A1.E132.m1.7.7.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="A1.E132.m1.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="A1.E132.m1.7.7.1.1.1.1.2.cmml">(</mo><mi id="A1.E132.m1.1.1.1.1" xref="A1.E132.m1.1.1.1.1.cmml">t</mi><mo id="A1.E132.m1.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="A1.E132.m1.7.7.1.1.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></msubsup><mo id="A1.E132.m1.7.7.1.1.1.1.1" xref="A1.E132.m1.7.7.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><msubsup id="A1.E132.m1.7.7.1.1.1.1.3" xref="A1.E132.m1.7.7.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A1.E132.m1.7.7.1.1.1.1.3.2.2" mathvariant="normal" xref="A1.E132.m1.7.7.1.1.1.1.3.2.2.cmml">Φ</mi><mtext id="A1.E132.m1.7.7.1.1.1.1.3.2.3" xref="A1.E132.m1.7.7.1.1.1.1.3.2.3a.cmml">Haar</mtext><mrow id="A1.E132.m1.2.2.1.3" xref="A1.E132.m1.7.7.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="A1.E132.m1.2.2.1.3.1" stretchy="false" xref="A1.E132.m1.7.7.1.1.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="A1.E132.m1.2.2.1.1" xref="A1.E132.m1.2.2.1.1.cmml">t</mi><mo id="A1.E132.m1.2.2.1.3.2" stretchy="false" xref="A1.E132.m1.7.7.1.1.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></msubsup></mrow><mo id="A1.E132.m1.7.7.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.E132.m1.7.7.1.1.2.1.cmml">‖</mo></mrow><mo id="A1.E132.m1.7.7.1.3" xref="A1.E132.m1.7.7.1.3.cmml">⋄</mo></msub><mo id="A1.E132.m1.7.7.2" xref="A1.E132.m1.7.7.2.cmml">≥</mo><mfrac id="A1.E132.m1.6.6" xref="A1.E132.m1.6.6.cmml"><msub id="A1.E132.m1.5.5.3" xref="A1.E132.m1.5.5.3.cmml"><mrow id="A1.E132.m1.5.5.3.3.1" xref="A1.E132.m1.5.5.3.3.2.cmml"><mo id="A1.E132.m1.5.5.3.3.1.2" stretchy="false" xref="A1.E132.m1.5.5.3.3.2.1.cmml">‖</mo><mrow id="A1.E132.m1.5.5.3.3.1.1" xref="A1.E132.m1.5.5.3.3.1.1.cmml"><mrow id="A1.E132.m1.5.5.3.3.1.1.1.1" xref="A1.E132.m1.5.5.3.3.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.E132.m1.5.5.3.3.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.E132.m1.5.5.3.3.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.E132.m1.5.5.3.3.1.1.1.1.1" xref="A1.E132.m1.5.5.3.3.1.1.1.1.1.cmml"><msubsup id="A1.E132.m1.5.5.3.3.1.1.1.1.1.2" xref="A1.E132.m1.5.5.3.3.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="A1.E132.m1.5.5.3.3.1.1.1.1.1.2.2.2" mathvariant="normal" xref="A1.E132.m1.5.5.3.3.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">Φ</mi><mi id="A1.E132.m1.5.5.3.3.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="A1.E132.m1.5.5.3.3.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">ε</mi><mrow id="A1.E132.m1.3.3.1.1.1.3" xref="A1.E132.m1.5.5.3.3.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="A1.E132.m1.3.3.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="A1.E132.m1.5.5.3.3.1.1.1.1.1.2.cmml">(</mo><mi id="A1.E132.m1.3.3.1.1.1.1" xref="A1.E132.m1.3.3.1.1.1.1.cmml">t</mi><mo id="A1.E132.m1.3.3.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="A1.E132.m1.5.5.3.3.1.1.1.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></msubsup><mo id="A1.E132.m1.5.5.3.3.1.1.1.1.1.1" xref="A1.E132.m1.5.5.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><msubsup id="A1.E132.m1.5.5.3.3.1.1.1.1.1.3" xref="A1.E132.m1.5.5.3.3.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A1.E132.m1.5.5.3.3.1.1.1.1.1.3.2.2" mathvariant="normal" xref="A1.E132.m1.5.5.3.3.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">Φ</mi><mtext id="A1.E132.m1.5.5.3.3.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="A1.E132.m1.5.5.3.3.1.1.1.1.1.3.2.3a.cmml">Haar</mtext><mrow id="A1.E132.m1.4.4.2.2.1.3" xref="A1.E132.m1.5.5.3.3.1.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="A1.E132.m1.4.4.2.2.1.3.1" stretchy="false" xref="A1.E132.m1.5.5.3.3.1.1.1.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="A1.E132.m1.4.4.2.2.1.1" xref="A1.E132.m1.4.4.2.2.1.1.cmml">t</mi><mo id="A1.E132.m1.4.4.2.2.1.3.2" stretchy="false" xref="A1.E132.m1.5.5.3.3.1.1.1.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></msubsup></mrow><mo id="A1.E132.m1.5.5.3.3.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.E132.m1.5.5.3.3.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A1.E132.m1.5.5.3.3.1.1.2" xref="A1.E132.m1.5.5.3.3.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="A1.E132.m1.5.5.3.3.1.1.3" xref="A1.E132.m1.5.5.3.3.1.1.3.cmml">ρ</mi></mrow><mo id="A1.E132.m1.5.5.3.3.1.3" stretchy="false" xref="A1.E132.m1.5.5.3.3.2.1.cmml">‖</mo></mrow><mn id="A1.E132.m1.5.5.3.5" xref="A1.E132.m1.5.5.3.5.cmml">1</mn></msub><msub id="A1.E132.m1.6.6.4" xref="A1.E132.m1.6.6.4.cmml"><mrow id="A1.E132.m1.6.6.4.3.2" xref="A1.E132.m1.6.6.4.3.1.cmml"><mo id="A1.E132.m1.6.6.4.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.E132.m1.6.6.4.3.1.1.cmml">‖</mo><mi id="A1.E132.m1.6.6.4.1" xref="A1.E132.m1.6.6.4.1.cmml">ρ</mi><mo id="A1.E132.m1.6.6.4.3.2.2" stretchy="false" xref="A1.E132.m1.6.6.4.3.1.1.cmml">‖</mo></mrow><mn id="A1.E132.m1.6.6.4.4" xref="A1.E132.m1.6.6.4.4.cmml">1</mn></msub></mfrac></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.E132.m1.7b"><apply id="A1.E132.m1.7.7.cmml" xref="A1.E132.m1.7.7"><geq id="A1.E132.m1.7.7.2.cmml" xref="A1.E132.m1.7.7.2"></geq><apply id="A1.E132.m1.7.7.1.cmml" xref="A1.E132.m1.7.7.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E132.m1.7.7.1.2.cmml" xref="A1.E132.m1.7.7.1">subscript</csymbol><apply id="A1.E132.m1.7.7.1.1.2.cmml" xref="A1.E132.m1.7.7.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="A1.E132.m1.7.7.1.1.2.1.cmml" xref="A1.E132.m1.7.7.1.1.1.2">norm</csymbol><apply id="A1.E132.m1.7.7.1.1.1.1.cmml" xref="A1.E132.m1.7.7.1.1.1.1"><minus id="A1.E132.m1.7.7.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.E132.m1.7.7.1.1.1.1.1"></minus><apply id="A1.E132.m1.7.7.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.E132.m1.7.7.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E132.m1.7.7.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.E132.m1.7.7.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="A1.E132.m1.7.7.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.E132.m1.7.7.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E132.m1.7.7.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="A1.E132.m1.7.7.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="A1.E132.m1.7.7.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="A1.E132.m1.7.7.1.1.1.1.2.2.2">Φ</ci><ci id="A1.E132.m1.7.7.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="A1.E132.m1.7.7.1.1.1.1.2.2.3">𝜀</ci></apply><ci id="A1.E132.m1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.E132.m1.1.1.1.1">𝑡</ci></apply><apply id="A1.E132.m1.7.7.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.E132.m1.7.7.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E132.m1.7.7.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.E132.m1.7.7.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="A1.E132.m1.7.7.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.E132.m1.7.7.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E132.m1.7.7.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="A1.E132.m1.7.7.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A1.E132.m1.7.7.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="A1.E132.m1.7.7.1.1.1.1.3.2.2">Φ</ci><ci id="A1.E132.m1.7.7.1.1.1.1.3.2.3a.cmml" xref="A1.E132.m1.7.7.1.1.1.1.3.2.3"><mtext id="A1.E132.m1.7.7.1.1.1.1.3.2.3.cmml" mathsize="70%" xref="A1.E132.m1.7.7.1.1.1.1.3.2.3">Haar</mtext></ci></apply><ci id="A1.E132.m1.2.2.1.1.cmml" xref="A1.E132.m1.2.2.1.1">𝑡</ci></apply></apply></apply><ci id="A1.E132.m1.7.7.1.3.cmml" xref="A1.E132.m1.7.7.1.3">⋄</ci></apply><apply id="A1.E132.m1.6.6.cmml" xref="A1.E132.m1.6.6"><divide id="A1.E132.m1.6.6.5.cmml" xref="A1.E132.m1.6.6"></divide><apply id="A1.E132.m1.5.5.3.cmml" xref="A1.E132.m1.5.5.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E132.m1.5.5.3.4.cmml" xref="A1.E132.m1.5.5.3">subscript</csymbol><apply id="A1.E132.m1.5.5.3.3.2.cmml" xref="A1.E132.m1.5.5.3.3.1"><csymbol cd="latexml" id="A1.E132.m1.5.5.3.3.2.1.cmml" xref="A1.E132.m1.5.5.3.3.1.2">norm</csymbol><apply id="A1.E132.m1.5.5.3.3.1.1.cmml" xref="A1.E132.m1.5.5.3.3.1.1"><times id="A1.E132.m1.5.5.3.3.1.1.2.cmml" xref="A1.E132.m1.5.5.3.3.1.1.2"></times><apply id="A1.E132.m1.5.5.3.3.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.E132.m1.5.5.3.3.1.1.1.1"><minus id="A1.E132.m1.5.5.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.E132.m1.5.5.3.3.1.1.1.1.1.1"></minus><apply id="A1.E132.m1.5.5.3.3.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.E132.m1.5.5.3.3.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E132.m1.5.5.3.3.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.E132.m1.5.5.3.3.1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="A1.E132.m1.5.5.3.3.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.E132.m1.5.5.3.3.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E132.m1.5.5.3.3.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="A1.E132.m1.5.5.3.3.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="A1.E132.m1.5.5.3.3.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="A1.E132.m1.5.5.3.3.1.1.1.1.1.2.2.2">Φ</ci><ci id="A1.E132.m1.5.5.3.3.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="A1.E132.m1.5.5.3.3.1.1.1.1.1.2.2.3">𝜀</ci></apply><ci id="A1.E132.m1.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="A1.E132.m1.3.3.1.1.1.1">𝑡</ci></apply><apply id="A1.E132.m1.5.5.3.3.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.E132.m1.5.5.3.3.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E132.m1.5.5.3.3.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.E132.m1.5.5.3.3.1.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="A1.E132.m1.5.5.3.3.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.E132.m1.5.5.3.3.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E132.m1.5.5.3.3.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="A1.E132.m1.5.5.3.3.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A1.E132.m1.5.5.3.3.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="A1.E132.m1.5.5.3.3.1.1.1.1.1.3.2.2">Φ</ci><ci id="A1.E132.m1.5.5.3.3.1.1.1.1.1.3.2.3a.cmml" xref="A1.E132.m1.5.5.3.3.1.1.1.1.1.3.2.3"><mtext id="A1.E132.m1.5.5.3.3.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" mathsize="70%" xref="A1.E132.m1.5.5.3.3.1.1.1.1.1.3.2.3">Haar</mtext></ci></apply><ci id="A1.E132.m1.4.4.2.2.1.1.cmml" xref="A1.E132.m1.4.4.2.2.1.1">𝑡</ci></apply></apply><ci id="A1.E132.m1.5.5.3.3.1.1.3.cmml" xref="A1.E132.m1.5.5.3.3.1.1.3">𝜌</ci></apply></apply><cn id="A1.E132.m1.5.5.3.5.cmml" type="integer" xref="A1.E132.m1.5.5.3.5">1</cn></apply><apply id="A1.E132.m1.6.6.4.cmml" xref="A1.E132.m1.6.6.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E132.m1.6.6.4.2.cmml" xref="A1.E132.m1.6.6.4">subscript</csymbol><apply id="A1.E132.m1.6.6.4.3.1.cmml" xref="A1.E132.m1.6.6.4.3.2"><csymbol cd="latexml" id="A1.E132.m1.6.6.4.3.1.1.cmml" xref="A1.E132.m1.6.6.4.3.2.1">norm</csymbol><ci id="A1.E132.m1.6.6.4.1.cmml" xref="A1.E132.m1.6.6.4.1">𝜌</ci></apply><cn id="A1.E132.m1.6.6.4.4.cmml" type="integer" xref="A1.E132.m1.6.6.4.4">1</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.E132.m1.7c">\displaystyle||\Phi_{\varepsilon}^{(t)}-\Phi_{\text{Haar}}^{(t)}||_{\diamond}% \geq\frac{||(\Phi_{\varepsilon}^{(t)}-\Phi_{\text{Haar}}^{(t)})\rho||_{1}}{||% \rho||_{1}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.E132.m1.7d">| | roman_Φ start_POSTSUBSCRIPT italic_ε end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_t ) end_POSTSUPERSCRIPT - roman_Φ start_POSTSUBSCRIPT Haar end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_t ) end_POSTSUPERSCRIPT | | start_POSTSUBSCRIPT ⋄ end_POSTSUBSCRIPT ≥ divide start_ARG | | ( roman_Φ start_POSTSUBSCRIPT italic_ε end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_t ) end_POSTSUPERSCRIPT - roman_Φ start_POSTSUBSCRIPT Haar end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_t ) end_POSTSUPERSCRIPT ) italic_ρ | | start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT end_ARG start_ARG | | italic_ρ | | start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT end_ARG</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(132)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="A1.SS2.3.p3.4">for all operators <math alttext="\rho" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.SS2.3.p3.1.m1.1"><semantics id="A1.SS2.3.p3.1.m1.1a"><mi id="A1.SS2.3.p3.1.m1.1.1" xref="A1.SS2.3.p3.1.m1.1.1.cmml">ρ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.SS2.3.p3.1.m1.1b"><ci id="A1.SS2.3.p3.1.m1.1.1.cmml" xref="A1.SS2.3.p3.1.m1.1.1">𝜌</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.SS2.3.p3.1.m1.1c">\rho</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.SS2.3.p3.1.m1.1d">italic_ρ</annotation></semantics></math>. Suppose our 1D brickwork had an even number of layers, i.e. it consists of <math alttext="\frac{\ell}{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.SS2.3.p3.2.m2.1"><semantics id="A1.SS2.3.p3.2.m2.1a"><mfrac id="A1.SS2.3.p3.2.m2.1.1" xref="A1.SS2.3.p3.2.m2.1.1.cmml"><mi id="A1.SS2.3.p3.2.m2.1.1.2" mathvariant="normal" xref="A1.SS2.3.p3.2.m2.1.1.2.cmml">ℓ</mi><mn id="A1.SS2.3.p3.2.m2.1.1.3" xref="A1.SS2.3.p3.2.m2.1.1.3.cmml">2</mn></mfrac><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.SS2.3.p3.2.m2.1b"><apply id="A1.SS2.3.p3.2.m2.1.1.cmml" xref="A1.SS2.3.p3.2.m2.1.1"><divide id="A1.SS2.3.p3.2.m2.1.1.1.cmml" xref="A1.SS2.3.p3.2.m2.1.1"></divide><ci id="A1.SS2.3.p3.2.m2.1.1.2.cmml" xref="A1.SS2.3.p3.2.m2.1.1.2">ℓ</ci><cn id="A1.SS2.3.p3.2.m2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A1.SS2.3.p3.2.m2.1.1.3">2</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.SS2.3.p3.2.m2.1c">\frac{\ell}{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.SS2.3.p3.2.m2.1d">divide start_ARG roman_ℓ end_ARG start_ARG 2 end_ARG</annotation></semantics></math> copies of the transfer matrix <math alttext="T_{1DB}" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.SS2.3.p3.3.m3.1"><semantics id="A1.SS2.3.p3.3.m3.1a"><msub id="A1.SS2.3.p3.3.m3.1.1" xref="A1.SS2.3.p3.3.m3.1.1.cmml"><mi id="A1.SS2.3.p3.3.m3.1.1.2" xref="A1.SS2.3.p3.3.m3.1.1.2.cmml">T</mi><mrow id="A1.SS2.3.p3.3.m3.1.1.3" xref="A1.SS2.3.p3.3.m3.1.1.3.cmml"><mn id="A1.SS2.3.p3.3.m3.1.1.3.2" xref="A1.SS2.3.p3.3.m3.1.1.3.2.cmml">1</mn><mo id="A1.SS2.3.p3.3.m3.1.1.3.1" xref="A1.SS2.3.p3.3.m3.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.SS2.3.p3.3.m3.1.1.3.3" xref="A1.SS2.3.p3.3.m3.1.1.3.3.cmml">D</mi><mo id="A1.SS2.3.p3.3.m3.1.1.3.1a" xref="A1.SS2.3.p3.3.m3.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.SS2.3.p3.3.m3.1.1.3.4" xref="A1.SS2.3.p3.3.m3.1.1.3.4.cmml">B</mi></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.SS2.3.p3.3.m3.1b"><apply id="A1.SS2.3.p3.3.m3.1.1.cmml" xref="A1.SS2.3.p3.3.m3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS2.3.p3.3.m3.1.1.1.cmml" xref="A1.SS2.3.p3.3.m3.1.1">subscript</csymbol><ci id="A1.SS2.3.p3.3.m3.1.1.2.cmml" xref="A1.SS2.3.p3.3.m3.1.1.2">𝑇</ci><apply id="A1.SS2.3.p3.3.m3.1.1.3.cmml" xref="A1.SS2.3.p3.3.m3.1.1.3"><times id="A1.SS2.3.p3.3.m3.1.1.3.1.cmml" xref="A1.SS2.3.p3.3.m3.1.1.3.1"></times><cn id="A1.SS2.3.p3.3.m3.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="A1.SS2.3.p3.3.m3.1.1.3.2">1</cn><ci id="A1.SS2.3.p3.3.m3.1.1.3.3.cmml" xref="A1.SS2.3.p3.3.m3.1.1.3.3">𝐷</ci><ci id="A1.SS2.3.p3.3.m3.1.1.3.4.cmml" xref="A1.SS2.3.p3.3.m3.1.1.3.4">𝐵</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.SS2.3.p3.3.m3.1c">T_{1DB}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.SS2.3.p3.3.m3.1d">italic_T start_POSTSUBSCRIPT 1 italic_D italic_B end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>. Now consider the subleading eigenstate <math alttext="\rho_{*}" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.SS2.3.p3.4.m4.1"><semantics id="A1.SS2.3.p3.4.m4.1a"><msub id="A1.SS2.3.p3.4.m4.1.1" xref="A1.SS2.3.p3.4.m4.1.1.cmml"><mi id="A1.SS2.3.p3.4.m4.1.1.2" xref="A1.SS2.3.p3.4.m4.1.1.2.cmml">ρ</mi><mo id="A1.SS2.3.p3.4.m4.1.1.3" xref="A1.SS2.3.p3.4.m4.1.1.3.cmml">∗</mo></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.SS2.3.p3.4.m4.1b"><apply id="A1.SS2.3.p3.4.m4.1.1.cmml" xref="A1.SS2.3.p3.4.m4.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS2.3.p3.4.m4.1.1.1.cmml" xref="A1.SS2.3.p3.4.m4.1.1">subscript</csymbol><ci id="A1.SS2.3.p3.4.m4.1.1.2.cmml" xref="A1.SS2.3.p3.4.m4.1.1.2">𝜌</ci><times id="A1.SS2.3.p3.4.m4.1.1.3.cmml" xref="A1.SS2.3.p3.4.m4.1.1.3"></times></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.SS2.3.p3.4.m4.1c">\rho_{*}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.SS2.3.p3.4.m4.1d">italic_ρ start_POSTSUBSCRIPT ∗ end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> of the transfer matrix:</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_gather ltx_eqn_table" id="S6.EGx116"> <tbody id="A1.E133"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\displaystyle||T_{1DB}\rho_{*}||_{1}=\lambda_{*}||\rho_{*}||_{1}=(1-\Delta)||% \rho_{*}||_{1}" class="ltx_Math" display="block" id="A1.E133.m1.4"><semantics id="A1.E133.m1.4a"><mrow id="A1.E133.m1.4.4" xref="A1.E133.m1.4.4.cmml"><msub id="A1.E133.m1.1.1.1" xref="A1.E133.m1.1.1.1.cmml"><mrow id="A1.E133.m1.1.1.1.1.1" xref="A1.E133.m1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="A1.E133.m1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.E133.m1.1.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo><mrow id="A1.E133.m1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.E133.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="A1.E133.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.E133.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="A1.E133.m1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="A1.E133.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">T</mi><mrow id="A1.E133.m1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="A1.E133.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mn id="A1.E133.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="A1.E133.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">1</mn><mo id="A1.E133.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.1" xref="A1.E133.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.E133.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="A1.E133.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">D</mi><mo id="A1.E133.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.1a" xref="A1.E133.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.E133.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.4" xref="A1.E133.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.4.cmml">B</mi></mrow></msub><mo id="A1.E133.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.E133.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="A1.E133.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.E133.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A1.E133.m1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A1.E133.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">ρ</mi><mo id="A1.E133.m1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A1.E133.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">∗</mo></msub></mrow><mo id="A1.E133.m1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.E133.m1.1.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo></mrow><mn id="A1.E133.m1.1.1.1.3" xref="A1.E133.m1.1.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="A1.E133.m1.4.4.6" xref="A1.E133.m1.4.4.6.cmml">=</mo><mrow id="A1.E133.m1.2.2.2" xref="A1.E133.m1.2.2.2.cmml"><msub id="A1.E133.m1.2.2.2.3" xref="A1.E133.m1.2.2.2.3.cmml"><mi id="A1.E133.m1.2.2.2.3.2" xref="A1.E133.m1.2.2.2.3.2.cmml">λ</mi><mo id="A1.E133.m1.2.2.2.3.3" xref="A1.E133.m1.2.2.2.3.3.cmml">∗</mo></msub><mo id="A1.E133.m1.2.2.2.2" xref="A1.E133.m1.2.2.2.2.cmml">⁢</mo><msub id="A1.E133.m1.2.2.2.1" xref="A1.E133.m1.2.2.2.1.cmml"><mrow id="A1.E133.m1.2.2.2.1.1.1" xref="A1.E133.m1.2.2.2.1.1.2.cmml"><mo id="A1.E133.m1.2.2.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.E133.m1.2.2.2.1.1.2.1.cmml">‖</mo><msub id="A1.E133.m1.2.2.2.1.1.1.1" xref="A1.E133.m1.2.2.2.1.1.1.1.cmml"><mi id="A1.E133.m1.2.2.2.1.1.1.1.2" xref="A1.E133.m1.2.2.2.1.1.1.1.2.cmml">ρ</mi><mo id="A1.E133.m1.2.2.2.1.1.1.1.3" xref="A1.E133.m1.2.2.2.1.1.1.1.3.cmml">∗</mo></msub><mo id="A1.E133.m1.2.2.2.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.E133.m1.2.2.2.1.1.2.1.cmml">‖</mo></mrow><mn id="A1.E133.m1.2.2.2.1.3" xref="A1.E133.m1.2.2.2.1.3.cmml">1</mn></msub></mrow><mo id="A1.E133.m1.4.4.7" xref="A1.E133.m1.4.4.7.cmml">=</mo><mrow id="A1.E133.m1.4.4.4" xref="A1.E133.m1.4.4.4.cmml"><mrow id="A1.E133.m1.3.3.3.1.1" xref="A1.E133.m1.3.3.3.1.1.1.cmml"><mo id="A1.E133.m1.3.3.3.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.E133.m1.3.3.3.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.E133.m1.3.3.3.1.1.1" xref="A1.E133.m1.3.3.3.1.1.1.cmml"><mn id="A1.E133.m1.3.3.3.1.1.1.2" xref="A1.E133.m1.3.3.3.1.1.1.2.cmml">1</mn><mo id="A1.E133.m1.3.3.3.1.1.1.1" xref="A1.E133.m1.3.3.3.1.1.1.1.cmml">−</mo><mi id="A1.E133.m1.3.3.3.1.1.1.3" mathvariant="normal" xref="A1.E133.m1.3.3.3.1.1.1.3.cmml">Δ</mi></mrow><mo id="A1.E133.m1.3.3.3.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.E133.m1.3.3.3.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A1.E133.m1.4.4.4.3" xref="A1.E133.m1.4.4.4.3.cmml">⁢</mo><msub id="A1.E133.m1.4.4.4.2" xref="A1.E133.m1.4.4.4.2.cmml"><mrow id="A1.E133.m1.4.4.4.2.1.1" xref="A1.E133.m1.4.4.4.2.1.2.cmml"><mo id="A1.E133.m1.4.4.4.2.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.E133.m1.4.4.4.2.1.2.1.cmml">‖</mo><msub id="A1.E133.m1.4.4.4.2.1.1.1" xref="A1.E133.m1.4.4.4.2.1.1.1.cmml"><mi id="A1.E133.m1.4.4.4.2.1.1.1.2" xref="A1.E133.m1.4.4.4.2.1.1.1.2.cmml">ρ</mi><mo id="A1.E133.m1.4.4.4.2.1.1.1.3" xref="A1.E133.m1.4.4.4.2.1.1.1.3.cmml">∗</mo></msub><mo id="A1.E133.m1.4.4.4.2.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.E133.m1.4.4.4.2.1.2.1.cmml">‖</mo></mrow><mn id="A1.E133.m1.4.4.4.2.3" xref="A1.E133.m1.4.4.4.2.3.cmml">1</mn></msub></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.E133.m1.4b"><apply id="A1.E133.m1.4.4.cmml" xref="A1.E133.m1.4.4"><and id="A1.E133.m1.4.4a.cmml" xref="A1.E133.m1.4.4"></and><apply id="A1.E133.m1.4.4b.cmml" xref="A1.E133.m1.4.4"><eq id="A1.E133.m1.4.4.6.cmml" xref="A1.E133.m1.4.4.6"></eq><apply id="A1.E133.m1.1.1.1.cmml" xref="A1.E133.m1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E133.m1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.E133.m1.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="A1.E133.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.E133.m1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="A1.E133.m1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.E133.m1.1.1.1.1.1.2">norm</csymbol><apply id="A1.E133.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.E133.m1.1.1.1.1.1.1"><times id="A1.E133.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.E133.m1.1.1.1.1.1.1.1"></times><apply id="A1.E133.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.E133.m1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E133.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.E133.m1.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="A1.E133.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.E133.m1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝑇</ci><apply id="A1.E133.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="A1.E133.m1.1.1.1.1.1.1.2.3"><times id="A1.E133.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="A1.E133.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.1"></times><cn id="A1.E133.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" type="integer" xref="A1.E133.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2">1</cn><ci id="A1.E133.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="A1.E133.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3">𝐷</ci><ci id="A1.E133.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.4.cmml" xref="A1.E133.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.4">𝐵</ci></apply></apply><apply id="A1.E133.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.E133.m1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E133.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.E133.m1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A1.E133.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.E133.m1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝜌</ci><times id="A1.E133.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A1.E133.m1.1.1.1.1.1.1.3.3"></times></apply></apply></apply><cn id="A1.E133.m1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A1.E133.m1.1.1.1.3">1</cn></apply><apply id="A1.E133.m1.2.2.2.cmml" xref="A1.E133.m1.2.2.2"><times id="A1.E133.m1.2.2.2.2.cmml" xref="A1.E133.m1.2.2.2.2"></times><apply id="A1.E133.m1.2.2.2.3.cmml" xref="A1.E133.m1.2.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E133.m1.2.2.2.3.1.cmml" xref="A1.E133.m1.2.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="A1.E133.m1.2.2.2.3.2.cmml" xref="A1.E133.m1.2.2.2.3.2">𝜆</ci><times id="A1.E133.m1.2.2.2.3.3.cmml" xref="A1.E133.m1.2.2.2.3.3"></times></apply><apply id="A1.E133.m1.2.2.2.1.cmml" xref="A1.E133.m1.2.2.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E133.m1.2.2.2.1.2.cmml" xref="A1.E133.m1.2.2.2.1">subscript</csymbol><apply id="A1.E133.m1.2.2.2.1.1.2.cmml" xref="A1.E133.m1.2.2.2.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="A1.E133.m1.2.2.2.1.1.2.1.cmml" xref="A1.E133.m1.2.2.2.1.1.1.2">norm</csymbol><apply id="A1.E133.m1.2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="A1.E133.m1.2.2.2.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E133.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.E133.m1.2.2.2.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="A1.E133.m1.2.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.E133.m1.2.2.2.1.1.1.1.2">𝜌</ci><times id="A1.E133.m1.2.2.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.E133.m1.2.2.2.1.1.1.1.3"></times></apply></apply><cn id="A1.E133.m1.2.2.2.1.3.cmml" type="integer" xref="A1.E133.m1.2.2.2.1.3">1</cn></apply></apply></apply><apply id="A1.E133.m1.4.4c.cmml" xref="A1.E133.m1.4.4"><eq id="A1.E133.m1.4.4.7.cmml" xref="A1.E133.m1.4.4.7"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#A1.E133.m1.2.2.2.cmml" id="A1.E133.m1.4.4d.cmml" xref="A1.E133.m1.4.4"></share><apply id="A1.E133.m1.4.4.4.cmml" xref="A1.E133.m1.4.4.4"><times id="A1.E133.m1.4.4.4.3.cmml" xref="A1.E133.m1.4.4.4.3"></times><apply id="A1.E133.m1.3.3.3.1.1.1.cmml" xref="A1.E133.m1.3.3.3.1.1"><minus id="A1.E133.m1.3.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="A1.E133.m1.3.3.3.1.1.1.1"></minus><cn id="A1.E133.m1.3.3.3.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="A1.E133.m1.3.3.3.1.1.1.2">1</cn><ci id="A1.E133.m1.3.3.3.1.1.1.3.cmml" xref="A1.E133.m1.3.3.3.1.1.1.3">Δ</ci></apply><apply id="A1.E133.m1.4.4.4.2.cmml" xref="A1.E133.m1.4.4.4.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E133.m1.4.4.4.2.2.cmml" xref="A1.E133.m1.4.4.4.2">subscript</csymbol><apply id="A1.E133.m1.4.4.4.2.1.2.cmml" xref="A1.E133.m1.4.4.4.2.1.1"><csymbol cd="latexml" id="A1.E133.m1.4.4.4.2.1.2.1.cmml" xref="A1.E133.m1.4.4.4.2.1.1.2">norm</csymbol><apply id="A1.E133.m1.4.4.4.2.1.1.1.cmml" xref="A1.E133.m1.4.4.4.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E133.m1.4.4.4.2.1.1.1.1.cmml" xref="A1.E133.m1.4.4.4.2.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="A1.E133.m1.4.4.4.2.1.1.1.2.cmml" xref="A1.E133.m1.4.4.4.2.1.1.1.2">𝜌</ci><times id="A1.E133.m1.4.4.4.2.1.1.1.3.cmml" xref="A1.E133.m1.4.4.4.2.1.1.1.3"></times></apply></apply><cn id="A1.E133.m1.4.4.4.2.3.cmml" type="integer" xref="A1.E133.m1.4.4.4.2.3">1</cn></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.E133.m1.4c">\displaystyle||T_{1DB}\rho_{*}||_{1}=\lambda_{*}||\rho_{*}||_{1}=(1-\Delta)||% \rho_{*}||_{1}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.E133.m1.4d">| | italic_T start_POSTSUBSCRIPT 1 italic_D italic_B end_POSTSUBSCRIPT italic_ρ start_POSTSUBSCRIPT ∗ end_POSTSUBSCRIPT | | start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT = italic_λ start_POSTSUBSCRIPT ∗ end_POSTSUBSCRIPT | | italic_ρ start_POSTSUBSCRIPT ∗ end_POSTSUBSCRIPT | | start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT = ( 1 - roman_Δ ) | | italic_ρ start_POSTSUBSCRIPT ∗ end_POSTSUBSCRIPT | | start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(133)</span></td> </tr></tbody> <tbody id="A1.E134"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\displaystyle||\Phi_{\text{Haar}}^{(t)}\rho_{*}||_{1}=0" class="ltx_Math" display="block" id="A1.E134.m1.2"><semantics id="A1.E134.m1.2a"><mrow id="A1.E134.m1.2.2" xref="A1.E134.m1.2.2.cmml"><msub id="A1.E134.m1.2.2.1" xref="A1.E134.m1.2.2.1.cmml"><mrow id="A1.E134.m1.2.2.1.1.1" xref="A1.E134.m1.2.2.1.1.2.cmml"><mo id="A1.E134.m1.2.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.E134.m1.2.2.1.1.2.1.cmml">‖</mo><mrow id="A1.E134.m1.2.2.1.1.1.1" xref="A1.E134.m1.2.2.1.1.1.1.cmml"><msubsup id="A1.E134.m1.2.2.1.1.1.1.2" xref="A1.E134.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="A1.E134.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.2" mathvariant="normal" xref="A1.E134.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.2.cmml">Φ</mi><mtext id="A1.E134.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.3" xref="A1.E134.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.3a.cmml">Haar</mtext><mrow id="A1.E134.m1.1.1.1.3" xref="A1.E134.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="A1.E134.m1.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="A1.E134.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml">(</mo><mi id="A1.E134.m1.1.1.1.1" xref="A1.E134.m1.1.1.1.1.cmml">t</mi><mo id="A1.E134.m1.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="A1.E134.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></msubsup><mo id="A1.E134.m1.2.2.1.1.1.1.1" xref="A1.E134.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="A1.E134.m1.2.2.1.1.1.1.3" xref="A1.E134.m1.2.2.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A1.E134.m1.2.2.1.1.1.1.3.2" xref="A1.E134.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.cmml">ρ</mi><mo id="A1.E134.m1.2.2.1.1.1.1.3.3" xref="A1.E134.m1.2.2.1.1.1.1.3.3.cmml">∗</mo></msub></mrow><mo id="A1.E134.m1.2.2.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.E134.m1.2.2.1.1.2.1.cmml">‖</mo></mrow><mn id="A1.E134.m1.2.2.1.3" xref="A1.E134.m1.2.2.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="A1.E134.m1.2.2.2" xref="A1.E134.m1.2.2.2.cmml">=</mo><mn id="A1.E134.m1.2.2.3" xref="A1.E134.m1.2.2.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.E134.m1.2b"><apply id="A1.E134.m1.2.2.cmml" xref="A1.E134.m1.2.2"><eq id="A1.E134.m1.2.2.2.cmml" xref="A1.E134.m1.2.2.2"></eq><apply id="A1.E134.m1.2.2.1.cmml" xref="A1.E134.m1.2.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E134.m1.2.2.1.2.cmml" xref="A1.E134.m1.2.2.1">subscript</csymbol><apply id="A1.E134.m1.2.2.1.1.2.cmml" xref="A1.E134.m1.2.2.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="A1.E134.m1.2.2.1.1.2.1.cmml" xref="A1.E134.m1.2.2.1.1.1.2">norm</csymbol><apply id="A1.E134.m1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="A1.E134.m1.2.2.1.1.1.1"><times id="A1.E134.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.E134.m1.2.2.1.1.1.1.1"></times><apply id="A1.E134.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.E134.m1.2.2.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E134.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.E134.m1.2.2.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="A1.E134.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.E134.m1.2.2.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E134.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="A1.E134.m1.2.2.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="A1.E134.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="A1.E134.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.2">Φ</ci><ci id="A1.E134.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.3a.cmml" xref="A1.E134.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.3"><mtext id="A1.E134.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.3.cmml" mathsize="70%" xref="A1.E134.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.3">Haar</mtext></ci></apply><ci id="A1.E134.m1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.E134.m1.1.1.1.1">𝑡</ci></apply><apply id="A1.E134.m1.2.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.E134.m1.2.2.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E134.m1.2.2.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.E134.m1.2.2.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A1.E134.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.E134.m1.2.2.1.1.1.1.3.2">𝜌</ci><times id="A1.E134.m1.2.2.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A1.E134.m1.2.2.1.1.1.1.3.3"></times></apply></apply></apply><cn id="A1.E134.m1.2.2.1.3.cmml" type="integer" xref="A1.E134.m1.2.2.1.3">1</cn></apply><cn id="A1.E134.m1.2.2.3.cmml" type="integer" xref="A1.E134.m1.2.2.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.E134.m1.2c">\displaystyle||\Phi_{\text{Haar}}^{(t)}\rho_{*}||_{1}=0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.E134.m1.2d">| | roman_Φ start_POSTSUBSCRIPT Haar end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_t ) end_POSTSUPERSCRIPT italic_ρ start_POSTSUBSCRIPT ∗ end_POSTSUBSCRIPT | | start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT = 0</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(134)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="A1.SS2.3.p3.10">We therefore have</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_gather ltx_eqn_table" id="S6.EGx117"> <tbody id="A1.E135"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\displaystyle||\Phi_{\varepsilon}^{(t)}-\Phi_{\text{Haar}}^{(t)}||_{\diamond}% \geq(1-\Delta)^{\frac{\ell}{2}}." class="ltx_Math" display="block" id="A1.E135.m1.3"><semantics id="A1.E135.m1.3a"><mrow id="A1.E135.m1.3.3.1" xref="A1.E135.m1.3.3.1.1.cmml"><mrow id="A1.E135.m1.3.3.1.1" xref="A1.E135.m1.3.3.1.1.cmml"><msub id="A1.E135.m1.3.3.1.1.1" xref="A1.E135.m1.3.3.1.1.1.cmml"><mrow id="A1.E135.m1.3.3.1.1.1.1.1" xref="A1.E135.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="A1.E135.m1.3.3.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.E135.m1.3.3.1.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo><mrow id="A1.E135.m1.3.3.1.1.1.1.1.1" xref="A1.E135.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml"><msubsup id="A1.E135.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.E135.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="A1.E135.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.2" mathvariant="normal" xref="A1.E135.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">Φ</mi><mi id="A1.E135.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="A1.E135.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">ε</mi><mrow id="A1.E135.m1.1.1.1.3" xref="A1.E135.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="A1.E135.m1.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="A1.E135.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.cmml">(</mo><mi id="A1.E135.m1.1.1.1.1" xref="A1.E135.m1.1.1.1.1.cmml">t</mi><mo id="A1.E135.m1.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="A1.E135.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></msubsup><mo id="A1.E135.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.E135.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><msubsup id="A1.E135.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.E135.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A1.E135.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2.2" mathvariant="normal" xref="A1.E135.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">Φ</mi><mtext id="A1.E135.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="A1.E135.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2.3a.cmml">Haar</mtext><mrow id="A1.E135.m1.2.2.1.3" xref="A1.E135.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="A1.E135.m1.2.2.1.3.1" stretchy="false" xref="A1.E135.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="A1.E135.m1.2.2.1.1" xref="A1.E135.m1.2.2.1.1.cmml">t</mi><mo id="A1.E135.m1.2.2.1.3.2" stretchy="false" xref="A1.E135.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></msubsup></mrow><mo id="A1.E135.m1.3.3.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.E135.m1.3.3.1.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo></mrow><mo id="A1.E135.m1.3.3.1.1.1.3" xref="A1.E135.m1.3.3.1.1.1.3.cmml">⋄</mo></msub><mo id="A1.E135.m1.3.3.1.1.3" xref="A1.E135.m1.3.3.1.1.3.cmml">≥</mo><msup id="A1.E135.m1.3.3.1.1.2" xref="A1.E135.m1.3.3.1.1.2.cmml"><mrow id="A1.E135.m1.3.3.1.1.2.1.1" xref="A1.E135.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.cmml"><mo id="A1.E135.m1.3.3.1.1.2.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.E135.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.E135.m1.3.3.1.1.2.1.1.1" xref="A1.E135.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.cmml"><mn id="A1.E135.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.2" xref="A1.E135.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.2.cmml">1</mn><mo id="A1.E135.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1" xref="A1.E135.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.cmml">−</mo><mi id="A1.E135.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.3" mathvariant="normal" xref="A1.E135.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.3.cmml">Δ</mi></mrow><mo id="A1.E135.m1.3.3.1.1.2.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.E135.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mfrac id="A1.E135.m1.3.3.1.1.2.3" xref="A1.E135.m1.3.3.1.1.2.3.cmml"><mi id="A1.E135.m1.3.3.1.1.2.3.2" mathvariant="normal" xref="A1.E135.m1.3.3.1.1.2.3.2.cmml">ℓ</mi><mn id="A1.E135.m1.3.3.1.1.2.3.3" xref="A1.E135.m1.3.3.1.1.2.3.3.cmml">2</mn></mfrac></msup></mrow><mo id="A1.E135.m1.3.3.1.2" lspace="0em" xref="A1.E135.m1.3.3.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.E135.m1.3b"><apply id="A1.E135.m1.3.3.1.1.cmml" xref="A1.E135.m1.3.3.1"><geq id="A1.E135.m1.3.3.1.1.3.cmml" xref="A1.E135.m1.3.3.1.1.3"></geq><apply id="A1.E135.m1.3.3.1.1.1.cmml" xref="A1.E135.m1.3.3.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E135.m1.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="A1.E135.m1.3.3.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="A1.E135.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.E135.m1.3.3.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="A1.E135.m1.3.3.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.E135.m1.3.3.1.1.1.1.1.2">norm</csymbol><apply id="A1.E135.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.E135.m1.3.3.1.1.1.1.1.1"><minus id="A1.E135.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.E135.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1"></minus><apply id="A1.E135.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.E135.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E135.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.E135.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="A1.E135.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.E135.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E135.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="A1.E135.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="A1.E135.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="A1.E135.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.2">Φ</ci><ci id="A1.E135.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="A1.E135.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.3">𝜀</ci></apply><ci id="A1.E135.m1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.E135.m1.1.1.1.1">𝑡</ci></apply><apply id="A1.E135.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.E135.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E135.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.E135.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="A1.E135.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.E135.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E135.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="A1.E135.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A1.E135.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="A1.E135.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2.2">Φ</ci><ci id="A1.E135.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2.3a.cmml" xref="A1.E135.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2.3"><mtext id="A1.E135.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" mathsize="70%" xref="A1.E135.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2.3">Haar</mtext></ci></apply><ci id="A1.E135.m1.2.2.1.1.cmml" xref="A1.E135.m1.2.2.1.1">𝑡</ci></apply></apply></apply><ci id="A1.E135.m1.3.3.1.1.1.3.cmml" xref="A1.E135.m1.3.3.1.1.1.3">⋄</ci></apply><apply id="A1.E135.m1.3.3.1.1.2.cmml" xref="A1.E135.m1.3.3.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E135.m1.3.3.1.1.2.2.cmml" xref="A1.E135.m1.3.3.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="A1.E135.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.cmml" xref="A1.E135.m1.3.3.1.1.2.1.1"><minus id="A1.E135.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.cmml" xref="A1.E135.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1"></minus><cn id="A1.E135.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="A1.E135.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.2">1</cn><ci id="A1.E135.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.3.cmml" xref="A1.E135.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.3">Δ</ci></apply><apply id="A1.E135.m1.3.3.1.1.2.3.cmml" xref="A1.E135.m1.3.3.1.1.2.3"><divide id="A1.E135.m1.3.3.1.1.2.3.1.cmml" xref="A1.E135.m1.3.3.1.1.2.3"></divide><ci id="A1.E135.m1.3.3.1.1.2.3.2.cmml" xref="A1.E135.m1.3.3.1.1.2.3.2">ℓ</ci><cn id="A1.E135.m1.3.3.1.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="A1.E135.m1.3.3.1.1.2.3.3">2</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.E135.m1.3c">\displaystyle||\Phi_{\varepsilon}^{(t)}-\Phi_{\text{Haar}}^{(t)}||_{\diamond}% \geq(1-\Delta)^{\frac{\ell}{2}}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.E135.m1.3d">| | roman_Φ start_POSTSUBSCRIPT italic_ε end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_t ) end_POSTSUPERSCRIPT - roman_Φ start_POSTSUBSCRIPT Haar end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_t ) end_POSTSUPERSCRIPT | | start_POSTSUBSCRIPT ⋄ end_POSTSUBSCRIPT ≥ ( 1 - roman_Δ ) start_POSTSUPERSCRIPT divide start_ARG roman_ℓ end_ARG start_ARG 2 end_ARG end_POSTSUPERSCRIPT .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(135)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="A1.SS2.3.p3.8">At the <math alttext="\epsilon" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.SS2.3.p3.5.m1.1"><semantics id="A1.SS2.3.p3.5.m1.1a"><mi id="A1.SS2.3.p3.5.m1.1.1" xref="A1.SS2.3.p3.5.m1.1.1.cmml">ϵ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.SS2.3.p3.5.m1.1b"><ci id="A1.SS2.3.p3.5.m1.1.1.cmml" xref="A1.SS2.3.p3.5.m1.1.1">italic-ϵ</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.SS2.3.p3.5.m1.1c">\epsilon</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.SS2.3.p3.5.m1.1d">italic_ϵ</annotation></semantics></math>-approximate <math alttext="t" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.SS2.3.p3.6.m2.1"><semantics id="A1.SS2.3.p3.6.m2.1a"><mi id="A1.SS2.3.p3.6.m2.1.1" xref="A1.SS2.3.p3.6.m2.1.1.cmml">t</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.SS2.3.p3.6.m2.1b"><ci id="A1.SS2.3.p3.6.m2.1.1.cmml" xref="A1.SS2.3.p3.6.m2.1.1">𝑡</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.SS2.3.p3.6.m2.1c">t</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.SS2.3.p3.6.m2.1d">italic_t</annotation></semantics></math>-design depth <math alttext="\ell_{*}" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.SS2.3.p3.7.m3.1"><semantics id="A1.SS2.3.p3.7.m3.1a"><msub id="A1.SS2.3.p3.7.m3.1.1" xref="A1.SS2.3.p3.7.m3.1.1.cmml"><mi id="A1.SS2.3.p3.7.m3.1.1.2" mathvariant="normal" xref="A1.SS2.3.p3.7.m3.1.1.2.cmml">ℓ</mi><mo id="A1.SS2.3.p3.7.m3.1.1.3" xref="A1.SS2.3.p3.7.m3.1.1.3.cmml">∗</mo></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.SS2.3.p3.7.m3.1b"><apply id="A1.SS2.3.p3.7.m3.1.1.cmml" xref="A1.SS2.3.p3.7.m3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS2.3.p3.7.m3.1.1.1.cmml" xref="A1.SS2.3.p3.7.m3.1.1">subscript</csymbol><ci id="A1.SS2.3.p3.7.m3.1.1.2.cmml" xref="A1.SS2.3.p3.7.m3.1.1.2">ℓ</ci><times id="A1.SS2.3.p3.7.m3.1.1.3.cmml" xref="A1.SS2.3.p3.7.m3.1.1.3"></times></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.SS2.3.p3.7.m3.1c">\ell_{*}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.SS2.3.p3.7.m3.1d">roman_ℓ start_POSTSUBSCRIPT ∗ end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, the left-hand side is at most <math alttext="\epsilon" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.SS2.3.p3.8.m4.1"><semantics id="A1.SS2.3.p3.8.m4.1a"><mi id="A1.SS2.3.p3.8.m4.1.1" xref="A1.SS2.3.p3.8.m4.1.1.cmml">ϵ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.SS2.3.p3.8.m4.1b"><ci id="A1.SS2.3.p3.8.m4.1.1.cmml" xref="A1.SS2.3.p3.8.m4.1.1">italic-ϵ</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.SS2.3.p3.8.m4.1c">\epsilon</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.SS2.3.p3.8.m4.1d">italic_ϵ</annotation></semantics></math>, so</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_gather ltx_eqn_table" id="S6.EGx118"> <tbody id="A1.E136"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\displaystyle\epsilon\geq(1-\Delta)^{\frac{\ell_{*}}{2}}" class="ltx_Math" display="block" id="A1.E136.m1.1"><semantics id="A1.E136.m1.1a"><mrow id="A1.E136.m1.1.1" xref="A1.E136.m1.1.1.cmml"><mi id="A1.E136.m1.1.1.3" xref="A1.E136.m1.1.1.3.cmml">ϵ</mi><mo id="A1.E136.m1.1.1.2" xref="A1.E136.m1.1.1.2.cmml">≥</mo><msup id="A1.E136.m1.1.1.1" xref="A1.E136.m1.1.1.1.cmml"><mrow id="A1.E136.m1.1.1.1.1.1" xref="A1.E136.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.E136.m1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.E136.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.E136.m1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.E136.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="A1.E136.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.E136.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">1</mn><mo id="A1.E136.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.E136.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mi id="A1.E136.m1.1.1.1.1.1.1.3" mathvariant="normal" xref="A1.E136.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">Δ</mi></mrow><mo id="A1.E136.m1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.E136.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mfrac id="A1.E136.m1.1.1.1.3" xref="A1.E136.m1.1.1.1.3.cmml"><msub id="A1.E136.m1.1.1.1.3.2" xref="A1.E136.m1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="A1.E136.m1.1.1.1.3.2.2" mathvariant="normal" xref="A1.E136.m1.1.1.1.3.2.2.cmml">ℓ</mi><mo id="A1.E136.m1.1.1.1.3.2.3" xref="A1.E136.m1.1.1.1.3.2.3.cmml">∗</mo></msub><mn id="A1.E136.m1.1.1.1.3.3" xref="A1.E136.m1.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></mfrac></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.E136.m1.1b"><apply id="A1.E136.m1.1.1.cmml" xref="A1.E136.m1.1.1"><geq id="A1.E136.m1.1.1.2.cmml" xref="A1.E136.m1.1.1.2"></geq><ci id="A1.E136.m1.1.1.3.cmml" xref="A1.E136.m1.1.1.3">italic-ϵ</ci><apply id="A1.E136.m1.1.1.1.cmml" xref="A1.E136.m1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E136.m1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.E136.m1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="A1.E136.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.E136.m1.1.1.1.1.1"><minus id="A1.E136.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.E136.m1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><cn id="A1.E136.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="A1.E136.m1.1.1.1.1.1.1.2">1</cn><ci id="A1.E136.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.E136.m1.1.1.1.1.1.1.3">Δ</ci></apply><apply id="A1.E136.m1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.E136.m1.1.1.1.3"><divide id="A1.E136.m1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.E136.m1.1.1.1.3"></divide><apply id="A1.E136.m1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.E136.m1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E136.m1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="A1.E136.m1.1.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="A1.E136.m1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="A1.E136.m1.1.1.1.3.2.2">ℓ</ci><times id="A1.E136.m1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="A1.E136.m1.1.1.1.3.2.3"></times></apply><cn id="A1.E136.m1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="A1.E136.m1.1.1.1.3.3">2</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.E136.m1.1c">\displaystyle\epsilon\geq(1-\Delta)^{\frac{\ell_{*}}{2}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.E136.m1.1d">italic_ϵ ≥ ( 1 - roman_Δ ) start_POSTSUPERSCRIPT divide start_ARG roman_ℓ start_POSTSUBSCRIPT ∗ end_POSTSUBSCRIPT end_ARG start_ARG 2 end_ARG end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(136)</span></td> </tr></tbody> <tbody id="A1.E137"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\displaystyle\log\frac{1}{\epsilon}\leq\frac{\ell_{*}}{2}\log\left(\frac{1}{1-% \Delta}\right)" class="ltx_Math" display="block" id="A1.E137.m1.2"><semantics id="A1.E137.m1.2a"><mrow id="A1.E137.m1.2.3" xref="A1.E137.m1.2.3.cmml"><mrow id="A1.E137.m1.2.3.2" xref="A1.E137.m1.2.3.2.cmml"><mi id="A1.E137.m1.2.3.2.1" xref="A1.E137.m1.2.3.2.1.cmml">log</mi><mo id="A1.E137.m1.2.3.2a" lspace="0.167em" xref="A1.E137.m1.2.3.2.cmml">⁡</mo><mfrac id="A1.E137.m1.2.3.2.2" xref="A1.E137.m1.2.3.2.2.cmml"><mn id="A1.E137.m1.2.3.2.2.2" xref="A1.E137.m1.2.3.2.2.2.cmml">1</mn><mi id="A1.E137.m1.2.3.2.2.3" xref="A1.E137.m1.2.3.2.2.3.cmml">ϵ</mi></mfrac></mrow><mo id="A1.E137.m1.2.3.1" xref="A1.E137.m1.2.3.1.cmml">≤</mo><mrow id="A1.E137.m1.2.3.3" xref="A1.E137.m1.2.3.3.cmml"><mfrac id="A1.E137.m1.2.3.3.2" xref="A1.E137.m1.2.3.3.2.cmml"><msub id="A1.E137.m1.2.3.3.2.2" xref="A1.E137.m1.2.3.3.2.2.cmml"><mi id="A1.E137.m1.2.3.3.2.2.2" mathvariant="normal" xref="A1.E137.m1.2.3.3.2.2.2.cmml">ℓ</mi><mo id="A1.E137.m1.2.3.3.2.2.3" xref="A1.E137.m1.2.3.3.2.2.3.cmml">∗</mo></msub><mn id="A1.E137.m1.2.3.3.2.3" xref="A1.E137.m1.2.3.3.2.3.cmml">2</mn></mfrac><mo id="A1.E137.m1.2.3.3.1" lspace="0.167em" xref="A1.E137.m1.2.3.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.E137.m1.2.3.3.3.2" xref="A1.E137.m1.2.3.3.3.1.cmml"><mi id="A1.E137.m1.1.1" xref="A1.E137.m1.1.1.cmml">log</mi><mo id="A1.E137.m1.2.3.3.3.2a" xref="A1.E137.m1.2.3.3.3.1.cmml">⁡</mo><mrow id="A1.E137.m1.2.3.3.3.2.1" xref="A1.E137.m1.2.3.3.3.1.cmml"><mo id="A1.E137.m1.2.3.3.3.2.1.1" xref="A1.E137.m1.2.3.3.3.1.cmml">(</mo><mfrac id="A1.E137.m1.2.2" 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ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(137)</span></td> </tr></tbody> <tbody id="A1.E138"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\displaystyle\ell_{*}\geq\frac{2}{\log\left(\frac{1}{1-\Delta}\right)}\log% \frac{1}{\epsilon}" class="ltx_Math" display="block" id="A1.E138.m1.2"><semantics id="A1.E138.m1.2a"><mrow id="A1.E138.m1.2.3" xref="A1.E138.m1.2.3.cmml"><msub id="A1.E138.m1.2.3.2" xref="A1.E138.m1.2.3.2.cmml"><mi id="A1.E138.m1.2.3.2.2" mathvariant="normal" xref="A1.E138.m1.2.3.2.2.cmml">ℓ</mi><mo id="A1.E138.m1.2.3.2.3" xref="A1.E138.m1.2.3.2.3.cmml">∗</mo></msub><mo id="A1.E138.m1.2.3.1" xref="A1.E138.m1.2.3.1.cmml">≥</mo><mrow id="A1.E138.m1.2.3.3" xref="A1.E138.m1.2.3.3.cmml"><mfrac id="A1.E138.m1.2.2" 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xref="A1.E138.m1.2.3.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.E138.m1.2.3.3.2" xref="A1.E138.m1.2.3.3.2.cmml"><mi id="A1.E138.m1.2.3.3.2.1" xref="A1.E138.m1.2.3.3.2.1.cmml">log</mi><mo id="A1.E138.m1.2.3.3.2a" lspace="0.167em" xref="A1.E138.m1.2.3.3.2.cmml">⁡</mo><mfrac id="A1.E138.m1.2.3.3.2.2" xref="A1.E138.m1.2.3.3.2.2.cmml"><mn id="A1.E138.m1.2.3.3.2.2.2" xref="A1.E138.m1.2.3.3.2.2.2.cmml">1</mn><mi id="A1.E138.m1.2.3.3.2.2.3" xref="A1.E138.m1.2.3.3.2.2.3.cmml">ϵ</mi></mfrac></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.E138.m1.2b"><apply id="A1.E138.m1.2.3.cmml" xref="A1.E138.m1.2.3"><geq id="A1.E138.m1.2.3.1.cmml" xref="A1.E138.m1.2.3.1"></geq><apply id="A1.E138.m1.2.3.2.cmml" xref="A1.E138.m1.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E138.m1.2.3.2.1.cmml" xref="A1.E138.m1.2.3.2">subscript</csymbol><ci id="A1.E138.m1.2.3.2.2.cmml" xref="A1.E138.m1.2.3.2.2">ℓ</ci><times id="A1.E138.m1.2.3.2.3.cmml" xref="A1.E138.m1.2.3.2.3"></times></apply><apply id="A1.E138.m1.2.3.3.cmml" xref="A1.E138.m1.2.3.3"><times id="A1.E138.m1.2.3.3.1.cmml" xref="A1.E138.m1.2.3.3.1"></times><apply id="A1.E138.m1.2.2.cmml" xref="A1.E138.m1.2.2"><divide id="A1.E138.m1.2.2.3.cmml" xref="A1.E138.m1.2.2"></divide><cn id="A1.E138.m1.2.2.4.cmml" type="integer" xref="A1.E138.m1.2.2.4">2</cn><apply id="A1.E138.m1.2.2.2.3.cmml" xref="A1.E138.m1.2.2.2.4"><log id="A1.E138.m1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.E138.m1.1.1.1.1"></log><apply id="A1.E138.m1.2.2.2.2.cmml" xref="A1.E138.m1.2.2.2.2"><divide id="A1.E138.m1.2.2.2.2.1.cmml" xref="A1.E138.m1.2.2.2.2"></divide><cn id="A1.E138.m1.2.2.2.2.2.cmml" type="integer" xref="A1.E138.m1.2.2.2.2.2">1</cn><apply id="A1.E138.m1.2.2.2.2.3.cmml" xref="A1.E138.m1.2.2.2.2.3"><minus id="A1.E138.m1.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="A1.E138.m1.2.2.2.2.3.1"></minus><cn id="A1.E138.m1.2.2.2.2.3.2.cmml" type="integer" xref="A1.E138.m1.2.2.2.2.3.2">1</cn><ci id="A1.E138.m1.2.2.2.2.3.3.cmml" xref="A1.E138.m1.2.2.2.2.3.3">Δ</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="A1.E138.m1.2.3.3.2.cmml" xref="A1.E138.m1.2.3.3.2"><log id="A1.E138.m1.2.3.3.2.1.cmml" xref="A1.E138.m1.2.3.3.2.1"></log><apply id="A1.E138.m1.2.3.3.2.2.cmml" xref="A1.E138.m1.2.3.3.2.2"><divide id="A1.E138.m1.2.3.3.2.2.1.cmml" xref="A1.E138.m1.2.3.3.2.2"></divide><cn id="A1.E138.m1.2.3.3.2.2.2.cmml" type="integer" xref="A1.E138.m1.2.3.3.2.2.2">1</cn><ci id="A1.E138.m1.2.3.3.2.2.3.cmml" xref="A1.E138.m1.2.3.3.2.2.3">italic-ϵ</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.E138.m1.2c">\displaystyle\ell_{*}\geq\frac{2}{\log\left(\frac{1}{1-\Delta}\right)}\log% \frac{1}{\epsilon}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.E138.m1.2d">roman_ℓ start_POSTSUBSCRIPT ∗ end_POSTSUBSCRIPT ≥ divide start_ARG 2 end_ARG start_ARG roman_log ( divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 1 - roman_Δ end_ARG ) end_ARG roman_log divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_ϵ end_ARG</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(138)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="A1.SS2.3.p3.11">from which the lower bound version of Equation <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#A1.E124" title="In Lemma 55. ‣ A.2 Proof of Corollary 4 ‣ Appendix A Relationship between spectral gap and 𝑡-design depth ‣ Conditional 𝑡-independent spectral gap for random quantum circuits and implications for 𝑡-design depths"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">124</span></a> follows. ∎</p> </div> </div> </section> </section> <section class="ltx_appendix" id="A2"> <h2 class="ltx_title ltx_title_appendix"> <span class="ltx_tag ltx_tag_appendix">Appendix B </span>Assorted proofs</h2> <section class="ltx_subsection" id="A2.SS1"> <h3 class="ltx_title ltx_title_subsection"> <span class="ltx_tag ltx_tag_subsection">B.1 </span>Matrix bound from block decomposition (Theorem <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#Thmtheorem56" title="Theorem 56. ‣ B.1 Matrix bound from block decomposition (Theorem 56) ‣ Appendix B Assorted proofs ‣ Conditional 𝑡-independent spectral gap for random quantum circuits and implications for 𝑡-design depths"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">56</span></a>)</h3> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_theorem" id="Thmtheorem56"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmtheorem56.1.1.1">Theorem 56</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmtheorem56.2.2">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="Thmtheorem56.p1"> <p class="ltx_p" id="Thmtheorem56.p1.5"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmtheorem56.p1.5.5">Let <math alttext="P_{i}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem56.p1.1.1.m1.1"><semantics id="Thmtheorem56.p1.1.1.m1.1a"><msub id="Thmtheorem56.p1.1.1.m1.1.1" xref="Thmtheorem56.p1.1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="Thmtheorem56.p1.1.1.m1.1.1.2" xref="Thmtheorem56.p1.1.1.m1.1.1.2.cmml">P</mi><mi id="Thmtheorem56.p1.1.1.m1.1.1.3" xref="Thmtheorem56.p1.1.1.m1.1.1.3.cmml">i</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem56.p1.1.1.m1.1b"><apply id="Thmtheorem56.p1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem56.p1.1.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem56.p1.1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem56.p1.1.1.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="Thmtheorem56.p1.1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="Thmtheorem56.p1.1.1.m1.1.1.2">𝑃</ci><ci id="Thmtheorem56.p1.1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="Thmtheorem56.p1.1.1.m1.1.1.3">𝑖</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem56.p1.1.1.m1.1c">P_{i}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem56.p1.1.1.m1.1d">italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> be a complete orthogonal set of projection operators. Let <math alttext="T" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem56.p1.2.2.m2.1"><semantics id="Thmtheorem56.p1.2.2.m2.1a"><mi id="Thmtheorem56.p1.2.2.m2.1.1" xref="Thmtheorem56.p1.2.2.m2.1.1.cmml">T</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem56.p1.2.2.m2.1b"><ci id="Thmtheorem56.p1.2.2.m2.1.1.cmml" xref="Thmtheorem56.p1.2.2.m2.1.1">𝑇</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem56.p1.2.2.m2.1c">T</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem56.p1.2.2.m2.1d">italic_T</annotation></semantics></math> be a matrix. Define <math alttext="A_{ij}=||P_{i}TP_{j}||_{\infty}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem56.p1.3.3.m3.1"><semantics id="Thmtheorem56.p1.3.3.m3.1a"><mrow id="Thmtheorem56.p1.3.3.m3.1.1" xref="Thmtheorem56.p1.3.3.m3.1.1.cmml"><msub id="Thmtheorem56.p1.3.3.m3.1.1.3" xref="Thmtheorem56.p1.3.3.m3.1.1.3.cmml"><mi id="Thmtheorem56.p1.3.3.m3.1.1.3.2" xref="Thmtheorem56.p1.3.3.m3.1.1.3.2.cmml">A</mi><mrow id="Thmtheorem56.p1.3.3.m3.1.1.3.3" xref="Thmtheorem56.p1.3.3.m3.1.1.3.3.cmml"><mi id="Thmtheorem56.p1.3.3.m3.1.1.3.3.2" xref="Thmtheorem56.p1.3.3.m3.1.1.3.3.2.cmml">i</mi><mo id="Thmtheorem56.p1.3.3.m3.1.1.3.3.1" xref="Thmtheorem56.p1.3.3.m3.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="Thmtheorem56.p1.3.3.m3.1.1.3.3.3" xref="Thmtheorem56.p1.3.3.m3.1.1.3.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="Thmtheorem56.p1.3.3.m3.1.1.2" xref="Thmtheorem56.p1.3.3.m3.1.1.2.cmml">=</mo><msub id="Thmtheorem56.p1.3.3.m3.1.1.1" xref="Thmtheorem56.p1.3.3.m3.1.1.1.cmml"><mrow id="Thmtheorem56.p1.3.3.m3.1.1.1.1.1" xref="Thmtheorem56.p1.3.3.m3.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="Thmtheorem56.p1.3.3.m3.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="Thmtheorem56.p1.3.3.m3.1.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo><mrow id="Thmtheorem56.p1.3.3.m3.1.1.1.1.1.1" xref="Thmtheorem56.p1.3.3.m3.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="Thmtheorem56.p1.3.3.m3.1.1.1.1.1.1.2" xref="Thmtheorem56.p1.3.3.m3.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="Thmtheorem56.p1.3.3.m3.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="Thmtheorem56.p1.3.3.m3.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">P</mi><mi id="Thmtheorem56.p1.3.3.m3.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="Thmtheorem56.p1.3.3.m3.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">i</mi></msub><mo id="Thmtheorem56.p1.3.3.m3.1.1.1.1.1.1.1" xref="Thmtheorem56.p1.3.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="Thmtheorem56.p1.3.3.m3.1.1.1.1.1.1.3" xref="Thmtheorem56.p1.3.3.m3.1.1.1.1.1.1.3.cmml">T</mi><mo id="Thmtheorem56.p1.3.3.m3.1.1.1.1.1.1.1a" xref="Thmtheorem56.p1.3.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="Thmtheorem56.p1.3.3.m3.1.1.1.1.1.1.4" xref="Thmtheorem56.p1.3.3.m3.1.1.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="Thmtheorem56.p1.3.3.m3.1.1.1.1.1.1.4.2" xref="Thmtheorem56.p1.3.3.m3.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml">P</mi><mi id="Thmtheorem56.p1.3.3.m3.1.1.1.1.1.1.4.3" xref="Thmtheorem56.p1.3.3.m3.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml">j</mi></msub></mrow><mo id="Thmtheorem56.p1.3.3.m3.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="Thmtheorem56.p1.3.3.m3.1.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo></mrow><mi id="Thmtheorem56.p1.3.3.m3.1.1.1.3" mathvariant="normal" xref="Thmtheorem56.p1.3.3.m3.1.1.1.3.cmml">∞</mi></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem56.p1.3.3.m3.1b"><apply id="Thmtheorem56.p1.3.3.m3.1.1.cmml" xref="Thmtheorem56.p1.3.3.m3.1.1"><eq id="Thmtheorem56.p1.3.3.m3.1.1.2.cmml" xref="Thmtheorem56.p1.3.3.m3.1.1.2"></eq><apply id="Thmtheorem56.p1.3.3.m3.1.1.3.cmml" xref="Thmtheorem56.p1.3.3.m3.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem56.p1.3.3.m3.1.1.3.1.cmml" xref="Thmtheorem56.p1.3.3.m3.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="Thmtheorem56.p1.3.3.m3.1.1.3.2.cmml" xref="Thmtheorem56.p1.3.3.m3.1.1.3.2">𝐴</ci><apply id="Thmtheorem56.p1.3.3.m3.1.1.3.3.cmml" xref="Thmtheorem56.p1.3.3.m3.1.1.3.3"><times id="Thmtheorem56.p1.3.3.m3.1.1.3.3.1.cmml" xref="Thmtheorem56.p1.3.3.m3.1.1.3.3.1"></times><ci id="Thmtheorem56.p1.3.3.m3.1.1.3.3.2.cmml" xref="Thmtheorem56.p1.3.3.m3.1.1.3.3.2">𝑖</ci><ci id="Thmtheorem56.p1.3.3.m3.1.1.3.3.3.cmml" xref="Thmtheorem56.p1.3.3.m3.1.1.3.3.3">𝑗</ci></apply></apply><apply id="Thmtheorem56.p1.3.3.m3.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem56.p1.3.3.m3.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem56.p1.3.3.m3.1.1.1.2.cmml" xref="Thmtheorem56.p1.3.3.m3.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="Thmtheorem56.p1.3.3.m3.1.1.1.1.2.cmml" xref="Thmtheorem56.p1.3.3.m3.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="Thmtheorem56.p1.3.3.m3.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="Thmtheorem56.p1.3.3.m3.1.1.1.1.1.2">norm</csymbol><apply id="Thmtheorem56.p1.3.3.m3.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem56.p1.3.3.m3.1.1.1.1.1.1"><times id="Thmtheorem56.p1.3.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem56.p1.3.3.m3.1.1.1.1.1.1.1"></times><apply id="Thmtheorem56.p1.3.3.m3.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="Thmtheorem56.p1.3.3.m3.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem56.p1.3.3.m3.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="Thmtheorem56.p1.3.3.m3.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="Thmtheorem56.p1.3.3.m3.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="Thmtheorem56.p1.3.3.m3.1.1.1.1.1.1.2.2">𝑃</ci><ci id="Thmtheorem56.p1.3.3.m3.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="Thmtheorem56.p1.3.3.m3.1.1.1.1.1.1.2.3">𝑖</ci></apply><ci id="Thmtheorem56.p1.3.3.m3.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="Thmtheorem56.p1.3.3.m3.1.1.1.1.1.1.3">𝑇</ci><apply id="Thmtheorem56.p1.3.3.m3.1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="Thmtheorem56.p1.3.3.m3.1.1.1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem56.p1.3.3.m3.1.1.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="Thmtheorem56.p1.3.3.m3.1.1.1.1.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="Thmtheorem56.p1.3.3.m3.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="Thmtheorem56.p1.3.3.m3.1.1.1.1.1.1.4.2">𝑃</ci><ci id="Thmtheorem56.p1.3.3.m3.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml" xref="Thmtheorem56.p1.3.3.m3.1.1.1.1.1.1.4.3">𝑗</ci></apply></apply></apply><infinity id="Thmtheorem56.p1.3.3.m3.1.1.1.3.cmml" xref="Thmtheorem56.p1.3.3.m3.1.1.1.3"></infinity></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem56.p1.3.3.m3.1c">A_{ij}=||P_{i}TP_{j}||_{\infty}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem56.p1.3.3.m3.1d">italic_A start_POSTSUBSCRIPT italic_i italic_j end_POSTSUBSCRIPT = | | italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT italic_T italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT | | start_POSTSUBSCRIPT ∞ end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>. The largest eigenvalue of <math alttext="A" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem56.p1.4.4.m4.1"><semantics id="Thmtheorem56.p1.4.4.m4.1a"><mi id="Thmtheorem56.p1.4.4.m4.1.1" xref="Thmtheorem56.p1.4.4.m4.1.1.cmml">A</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem56.p1.4.4.m4.1b"><ci id="Thmtheorem56.p1.4.4.m4.1.1.cmml" xref="Thmtheorem56.p1.4.4.m4.1.1">𝐴</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem56.p1.4.4.m4.1c">A</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem56.p1.4.4.m4.1d">italic_A</annotation></semantics></math> gives an upper bound on the largest eigenvalue of <math alttext="T" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem56.p1.5.5.m5.1"><semantics id="Thmtheorem56.p1.5.5.m5.1a"><mi id="Thmtheorem56.p1.5.5.m5.1.1" xref="Thmtheorem56.p1.5.5.m5.1.1.cmml">T</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem56.p1.5.5.m5.1b"><ci id="Thmtheorem56.p1.5.5.m5.1.1.cmml" xref="Thmtheorem56.p1.5.5.m5.1.1">𝑇</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem56.p1.5.5.m5.1c">T</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem56.p1.5.5.m5.1d">italic_T</annotation></semantics></math>.</span></p> </div> </div> <div class="ltx_proof" id="A2.SS1.1"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_font_italic ltx_title_proof">Proof.</h6> <div class="ltx_para" id="A2.SS1.1.p1"> <p class="ltx_p" id="A2.SS1.1.p1.3">Let <math alttext="v" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.SS1.1.p1.1.m1.1"><semantics id="A2.SS1.1.p1.1.m1.1a"><mi id="A2.SS1.1.p1.1.m1.1.1" xref="A2.SS1.1.p1.1.m1.1.1.cmml">v</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.SS1.1.p1.1.m1.1b"><ci id="A2.SS1.1.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="A2.SS1.1.p1.1.m1.1.1">𝑣</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.SS1.1.p1.1.m1.1c">v</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.SS1.1.p1.1.m1.1d">italic_v</annotation></semantics></math> be an eigenvector of <math alttext="T" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.SS1.1.p1.2.m2.1"><semantics id="A2.SS1.1.p1.2.m2.1a"><mi id="A2.SS1.1.p1.2.m2.1.1" xref="A2.SS1.1.p1.2.m2.1.1.cmml">T</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.SS1.1.p1.2.m2.1b"><ci id="A2.SS1.1.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="A2.SS1.1.p1.2.m2.1.1">𝑇</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.SS1.1.p1.2.m2.1c">T</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.SS1.1.p1.2.m2.1d">italic_T</annotation></semantics></math> with eigenvalue <math alttext="c" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.SS1.1.p1.3.m3.1"><semantics id="A2.SS1.1.p1.3.m3.1a"><mi id="A2.SS1.1.p1.3.m3.1.1" xref="A2.SS1.1.p1.3.m3.1.1.cmml">c</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.SS1.1.p1.3.m3.1b"><ci id="A2.SS1.1.p1.3.m3.1.1.cmml" xref="A2.SS1.1.p1.3.m3.1.1">𝑐</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.SS1.1.p1.3.m3.1c">c</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.SS1.1.p1.3.m3.1d">italic_c</annotation></semantics></math>. Define</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="A2.Ex49"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="x_{i}=||P_{i}v||" class="ltx_Math" display="block" id="A2.Ex49.m1.1"><semantics id="A2.Ex49.m1.1a"><mrow id="A2.Ex49.m1.1.1" xref="A2.Ex49.m1.1.1.cmml"><msub id="A2.Ex49.m1.1.1.3" xref="A2.Ex49.m1.1.1.3.cmml"><mi id="A2.Ex49.m1.1.1.3.2" xref="A2.Ex49.m1.1.1.3.2.cmml">x</mi><mi id="A2.Ex49.m1.1.1.3.3" xref="A2.Ex49.m1.1.1.3.3.cmml">i</mi></msub><mo id="A2.Ex49.m1.1.1.2" xref="A2.Ex49.m1.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="A2.Ex49.m1.1.1.1.1" xref="A2.Ex49.m1.1.1.1.2.cmml"><mo id="A2.Ex49.m1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A2.Ex49.m1.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo><mrow id="A2.Ex49.m1.1.1.1.1.1" xref="A2.Ex49.m1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="A2.Ex49.m1.1.1.1.1.1.2" xref="A2.Ex49.m1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="A2.Ex49.m1.1.1.1.1.1.2.2" xref="A2.Ex49.m1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">P</mi><mi id="A2.Ex49.m1.1.1.1.1.1.2.3" xref="A2.Ex49.m1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">i</mi></msub><mo id="A2.Ex49.m1.1.1.1.1.1.1" xref="A2.Ex49.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="A2.Ex49.m1.1.1.1.1.1.3" xref="A2.Ex49.m1.1.1.1.1.1.3.cmml">v</mi></mrow><mo id="A2.Ex49.m1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A2.Ex49.m1.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.Ex49.m1.1b"><apply id="A2.Ex49.m1.1.1.cmml" xref="A2.Ex49.m1.1.1"><eq id="A2.Ex49.m1.1.1.2.cmml" xref="A2.Ex49.m1.1.1.2"></eq><apply id="A2.Ex49.m1.1.1.3.cmml" xref="A2.Ex49.m1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.Ex49.m1.1.1.3.1.cmml" xref="A2.Ex49.m1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A2.Ex49.m1.1.1.3.2.cmml" xref="A2.Ex49.m1.1.1.3.2">𝑥</ci><ci id="A2.Ex49.m1.1.1.3.3.cmml" xref="A2.Ex49.m1.1.1.3.3">𝑖</ci></apply><apply id="A2.Ex49.m1.1.1.1.2.cmml" xref="A2.Ex49.m1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="A2.Ex49.m1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A2.Ex49.m1.1.1.1.1.2">norm</csymbol><apply id="A2.Ex49.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A2.Ex49.m1.1.1.1.1.1"><times id="A2.Ex49.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A2.Ex49.m1.1.1.1.1.1.1"></times><apply id="A2.Ex49.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A2.Ex49.m1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.Ex49.m1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A2.Ex49.m1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="A2.Ex49.m1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A2.Ex49.m1.1.1.1.1.1.2.2">𝑃</ci><ci id="A2.Ex49.m1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="A2.Ex49.m1.1.1.1.1.1.2.3">𝑖</ci></apply><ci id="A2.Ex49.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A2.Ex49.m1.1.1.1.1.1.3">𝑣</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.Ex49.m1.1c">x_{i}=||P_{i}v||</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.Ex49.m1.1d">italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT = | | italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT italic_v | |</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="A2.Ex50"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="y_{i}=||P_{i}Tv||" class="ltx_Math" display="block" id="A2.Ex50.m1.1"><semantics id="A2.Ex50.m1.1a"><mrow id="A2.Ex50.m1.1.1" xref="A2.Ex50.m1.1.1.cmml"><msub id="A2.Ex50.m1.1.1.3" xref="A2.Ex50.m1.1.1.3.cmml"><mi id="A2.Ex50.m1.1.1.3.2" xref="A2.Ex50.m1.1.1.3.2.cmml">y</mi><mi id="A2.Ex50.m1.1.1.3.3" xref="A2.Ex50.m1.1.1.3.3.cmml">i</mi></msub><mo id="A2.Ex50.m1.1.1.2" xref="A2.Ex50.m1.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="A2.Ex50.m1.1.1.1.1" xref="A2.Ex50.m1.1.1.1.2.cmml"><mo id="A2.Ex50.m1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A2.Ex50.m1.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo><mrow id="A2.Ex50.m1.1.1.1.1.1" xref="A2.Ex50.m1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="A2.Ex50.m1.1.1.1.1.1.2" xref="A2.Ex50.m1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="A2.Ex50.m1.1.1.1.1.1.2.2" xref="A2.Ex50.m1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">P</mi><mi id="A2.Ex50.m1.1.1.1.1.1.2.3" xref="A2.Ex50.m1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">i</mi></msub><mo id="A2.Ex50.m1.1.1.1.1.1.1" xref="A2.Ex50.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="A2.Ex50.m1.1.1.1.1.1.3" xref="A2.Ex50.m1.1.1.1.1.1.3.cmml">T</mi><mo id="A2.Ex50.m1.1.1.1.1.1.1a" xref="A2.Ex50.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="A2.Ex50.m1.1.1.1.1.1.4" xref="A2.Ex50.m1.1.1.1.1.1.4.cmml">v</mi></mrow><mo id="A2.Ex50.m1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A2.Ex50.m1.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.Ex50.m1.1b"><apply id="A2.Ex50.m1.1.1.cmml" xref="A2.Ex50.m1.1.1"><eq id="A2.Ex50.m1.1.1.2.cmml" xref="A2.Ex50.m1.1.1.2"></eq><apply id="A2.Ex50.m1.1.1.3.cmml" xref="A2.Ex50.m1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.Ex50.m1.1.1.3.1.cmml" xref="A2.Ex50.m1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A2.Ex50.m1.1.1.3.2.cmml" xref="A2.Ex50.m1.1.1.3.2">𝑦</ci><ci id="A2.Ex50.m1.1.1.3.3.cmml" xref="A2.Ex50.m1.1.1.3.3">𝑖</ci></apply><apply id="A2.Ex50.m1.1.1.1.2.cmml" xref="A2.Ex50.m1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="A2.Ex50.m1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A2.Ex50.m1.1.1.1.1.2">norm</csymbol><apply id="A2.Ex50.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A2.Ex50.m1.1.1.1.1.1"><times id="A2.Ex50.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A2.Ex50.m1.1.1.1.1.1.1"></times><apply id="A2.Ex50.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A2.Ex50.m1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.Ex50.m1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A2.Ex50.m1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="A2.Ex50.m1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A2.Ex50.m1.1.1.1.1.1.2.2">𝑃</ci><ci id="A2.Ex50.m1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="A2.Ex50.m1.1.1.1.1.1.2.3">𝑖</ci></apply><ci id="A2.Ex50.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A2.Ex50.m1.1.1.1.1.1.3">𝑇</ci><ci id="A2.Ex50.m1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="A2.Ex50.m1.1.1.1.1.1.4">𝑣</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.Ex50.m1.1c">y_{i}=||P_{i}Tv||</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.Ex50.m1.1d">italic_y start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT = | | italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT italic_T italic_v | |</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="A2.Ex51"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="z_{i}=\sum_{j}A_{ij}x_{i}" class="ltx_Math" display="block" id="A2.Ex51.m1.1"><semantics id="A2.Ex51.m1.1a"><mrow id="A2.Ex51.m1.1.1" xref="A2.Ex51.m1.1.1.cmml"><msub id="A2.Ex51.m1.1.1.2" xref="A2.Ex51.m1.1.1.2.cmml"><mi id="A2.Ex51.m1.1.1.2.2" xref="A2.Ex51.m1.1.1.2.2.cmml">z</mi><mi id="A2.Ex51.m1.1.1.2.3" xref="A2.Ex51.m1.1.1.2.3.cmml">i</mi></msub><mo id="A2.Ex51.m1.1.1.1" rspace="0.111em" xref="A2.Ex51.m1.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="A2.Ex51.m1.1.1.3" xref="A2.Ex51.m1.1.1.3.cmml"><munder id="A2.Ex51.m1.1.1.3.1" xref="A2.Ex51.m1.1.1.3.1.cmml"><mo id="A2.Ex51.m1.1.1.3.1.2" movablelimits="false" xref="A2.Ex51.m1.1.1.3.1.2.cmml">∑</mo><mi id="A2.Ex51.m1.1.1.3.1.3" xref="A2.Ex51.m1.1.1.3.1.3.cmml">j</mi></munder><mrow id="A2.Ex51.m1.1.1.3.2" xref="A2.Ex51.m1.1.1.3.2.cmml"><msub id="A2.Ex51.m1.1.1.3.2.2" xref="A2.Ex51.m1.1.1.3.2.2.cmml"><mi id="A2.Ex51.m1.1.1.3.2.2.2" xref="A2.Ex51.m1.1.1.3.2.2.2.cmml">A</mi><mrow id="A2.Ex51.m1.1.1.3.2.2.3" xref="A2.Ex51.m1.1.1.3.2.2.3.cmml"><mi id="A2.Ex51.m1.1.1.3.2.2.3.2" xref="A2.Ex51.m1.1.1.3.2.2.3.2.cmml">i</mi><mo id="A2.Ex51.m1.1.1.3.2.2.3.1" xref="A2.Ex51.m1.1.1.3.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A2.Ex51.m1.1.1.3.2.2.3.3" xref="A2.Ex51.m1.1.1.3.2.2.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="A2.Ex51.m1.1.1.3.2.1" xref="A2.Ex51.m1.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="A2.Ex51.m1.1.1.3.2.3" xref="A2.Ex51.m1.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="A2.Ex51.m1.1.1.3.2.3.2" xref="A2.Ex51.m1.1.1.3.2.3.2.cmml">x</mi><mi id="A2.Ex51.m1.1.1.3.2.3.3" xref="A2.Ex51.m1.1.1.3.2.3.3.cmml">i</mi></msub></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.Ex51.m1.1b"><apply id="A2.Ex51.m1.1.1.cmml" xref="A2.Ex51.m1.1.1"><eq id="A2.Ex51.m1.1.1.1.cmml" xref="A2.Ex51.m1.1.1.1"></eq><apply id="A2.Ex51.m1.1.1.2.cmml" xref="A2.Ex51.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.Ex51.m1.1.1.2.1.cmml" xref="A2.Ex51.m1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="A2.Ex51.m1.1.1.2.2.cmml" xref="A2.Ex51.m1.1.1.2.2">𝑧</ci><ci id="A2.Ex51.m1.1.1.2.3.cmml" xref="A2.Ex51.m1.1.1.2.3">𝑖</ci></apply><apply id="A2.Ex51.m1.1.1.3.cmml" xref="A2.Ex51.m1.1.1.3"><apply id="A2.Ex51.m1.1.1.3.1.cmml" xref="A2.Ex51.m1.1.1.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.Ex51.m1.1.1.3.1.1.cmml" xref="A2.Ex51.m1.1.1.3.1">subscript</csymbol><sum id="A2.Ex51.m1.1.1.3.1.2.cmml" xref="A2.Ex51.m1.1.1.3.1.2"></sum><ci id="A2.Ex51.m1.1.1.3.1.3.cmml" xref="A2.Ex51.m1.1.1.3.1.3">𝑗</ci></apply><apply id="A2.Ex51.m1.1.1.3.2.cmml" xref="A2.Ex51.m1.1.1.3.2"><times id="A2.Ex51.m1.1.1.3.2.1.cmml" xref="A2.Ex51.m1.1.1.3.2.1"></times><apply id="A2.Ex51.m1.1.1.3.2.2.cmml" xref="A2.Ex51.m1.1.1.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.Ex51.m1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="A2.Ex51.m1.1.1.3.2.2">subscript</csymbol><ci id="A2.Ex51.m1.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="A2.Ex51.m1.1.1.3.2.2.2">𝐴</ci><apply id="A2.Ex51.m1.1.1.3.2.2.3.cmml" xref="A2.Ex51.m1.1.1.3.2.2.3"><times id="A2.Ex51.m1.1.1.3.2.2.3.1.cmml" xref="A2.Ex51.m1.1.1.3.2.2.3.1"></times><ci id="A2.Ex51.m1.1.1.3.2.2.3.2.cmml" xref="A2.Ex51.m1.1.1.3.2.2.3.2">𝑖</ci><ci id="A2.Ex51.m1.1.1.3.2.2.3.3.cmml" xref="A2.Ex51.m1.1.1.3.2.2.3.3">𝑗</ci></apply></apply><apply id="A2.Ex51.m1.1.1.3.2.3.cmml" xref="A2.Ex51.m1.1.1.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.Ex51.m1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="A2.Ex51.m1.1.1.3.2.3">subscript</csymbol><ci id="A2.Ex51.m1.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="A2.Ex51.m1.1.1.3.2.3.2">𝑥</ci><ci id="A2.Ex51.m1.1.1.3.2.3.3.cmml" xref="A2.Ex51.m1.1.1.3.2.3.3">𝑖</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.Ex51.m1.1c">z_{i}=\sum_{j}A_{ij}x_{i}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.Ex51.m1.1d">italic_z start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT = ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT italic_A start_POSTSUBSCRIPT italic_i italic_j end_POSTSUBSCRIPT italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="A2.SS1.1.p1.9">and let <math alttext="a" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.SS1.1.p1.4.m1.1"><semantics id="A2.SS1.1.p1.4.m1.1a"><mi id="A2.SS1.1.p1.4.m1.1.1" xref="A2.SS1.1.p1.4.m1.1.1.cmml">a</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.SS1.1.p1.4.m1.1b"><ci id="A2.SS1.1.p1.4.m1.1.1.cmml" xref="A2.SS1.1.p1.4.m1.1.1">𝑎</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.SS1.1.p1.4.m1.1c">a</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.SS1.1.p1.4.m1.1d">italic_a</annotation></semantics></math> be the largest eigenvalue of <math alttext="A" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.SS1.1.p1.5.m2.1"><semantics id="A2.SS1.1.p1.5.m2.1a"><mi id="A2.SS1.1.p1.5.m2.1.1" xref="A2.SS1.1.p1.5.m2.1.1.cmml">A</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.SS1.1.p1.5.m2.1b"><ci id="A2.SS1.1.p1.5.m2.1.1.cmml" xref="A2.SS1.1.p1.5.m2.1.1">𝐴</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.SS1.1.p1.5.m2.1c">A</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.SS1.1.p1.5.m2.1d">italic_A</annotation></semantics></math>. We must have <math alttext="y_{i}=cx_{i}" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.SS1.1.p1.6.m3.1"><semantics id="A2.SS1.1.p1.6.m3.1a"><mrow id="A2.SS1.1.p1.6.m3.1.1" xref="A2.SS1.1.p1.6.m3.1.1.cmml"><msub id="A2.SS1.1.p1.6.m3.1.1.2" xref="A2.SS1.1.p1.6.m3.1.1.2.cmml"><mi id="A2.SS1.1.p1.6.m3.1.1.2.2" xref="A2.SS1.1.p1.6.m3.1.1.2.2.cmml">y</mi><mi id="A2.SS1.1.p1.6.m3.1.1.2.3" xref="A2.SS1.1.p1.6.m3.1.1.2.3.cmml">i</mi></msub><mo id="A2.SS1.1.p1.6.m3.1.1.1" xref="A2.SS1.1.p1.6.m3.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="A2.SS1.1.p1.6.m3.1.1.3" xref="A2.SS1.1.p1.6.m3.1.1.3.cmml"><mi id="A2.SS1.1.p1.6.m3.1.1.3.2" xref="A2.SS1.1.p1.6.m3.1.1.3.2.cmml">c</mi><mo id="A2.SS1.1.p1.6.m3.1.1.3.1" xref="A2.SS1.1.p1.6.m3.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="A2.SS1.1.p1.6.m3.1.1.3.3" xref="A2.SS1.1.p1.6.m3.1.1.3.3.cmml"><mi id="A2.SS1.1.p1.6.m3.1.1.3.3.2" xref="A2.SS1.1.p1.6.m3.1.1.3.3.2.cmml">x</mi><mi id="A2.SS1.1.p1.6.m3.1.1.3.3.3" xref="A2.SS1.1.p1.6.m3.1.1.3.3.3.cmml">i</mi></msub></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.SS1.1.p1.6.m3.1b"><apply id="A2.SS1.1.p1.6.m3.1.1.cmml" xref="A2.SS1.1.p1.6.m3.1.1"><eq id="A2.SS1.1.p1.6.m3.1.1.1.cmml" xref="A2.SS1.1.p1.6.m3.1.1.1"></eq><apply id="A2.SS1.1.p1.6.m3.1.1.2.cmml" xref="A2.SS1.1.p1.6.m3.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.SS1.1.p1.6.m3.1.1.2.1.cmml" xref="A2.SS1.1.p1.6.m3.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="A2.SS1.1.p1.6.m3.1.1.2.2.cmml" xref="A2.SS1.1.p1.6.m3.1.1.2.2">𝑦</ci><ci id="A2.SS1.1.p1.6.m3.1.1.2.3.cmml" xref="A2.SS1.1.p1.6.m3.1.1.2.3">𝑖</ci></apply><apply id="A2.SS1.1.p1.6.m3.1.1.3.cmml" xref="A2.SS1.1.p1.6.m3.1.1.3"><times id="A2.SS1.1.p1.6.m3.1.1.3.1.cmml" xref="A2.SS1.1.p1.6.m3.1.1.3.1"></times><ci id="A2.SS1.1.p1.6.m3.1.1.3.2.cmml" xref="A2.SS1.1.p1.6.m3.1.1.3.2">𝑐</ci><apply id="A2.SS1.1.p1.6.m3.1.1.3.3.cmml" xref="A2.SS1.1.p1.6.m3.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.SS1.1.p1.6.m3.1.1.3.3.1.cmml" xref="A2.SS1.1.p1.6.m3.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="A2.SS1.1.p1.6.m3.1.1.3.3.2.cmml" xref="A2.SS1.1.p1.6.m3.1.1.3.3.2">𝑥</ci><ci id="A2.SS1.1.p1.6.m3.1.1.3.3.3.cmml" xref="A2.SS1.1.p1.6.m3.1.1.3.3.3">𝑖</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.SS1.1.p1.6.m3.1c">y_{i}=cx_{i}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.SS1.1.p1.6.m3.1d">italic_y start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT = italic_c italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>. By assumption <math alttext="y_{i}\leq z_{i}" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.SS1.1.p1.7.m4.1"><semantics id="A2.SS1.1.p1.7.m4.1a"><mrow id="A2.SS1.1.p1.7.m4.1.1" xref="A2.SS1.1.p1.7.m4.1.1.cmml"><msub id="A2.SS1.1.p1.7.m4.1.1.2" xref="A2.SS1.1.p1.7.m4.1.1.2.cmml"><mi id="A2.SS1.1.p1.7.m4.1.1.2.2" xref="A2.SS1.1.p1.7.m4.1.1.2.2.cmml">y</mi><mi id="A2.SS1.1.p1.7.m4.1.1.2.3" xref="A2.SS1.1.p1.7.m4.1.1.2.3.cmml">i</mi></msub><mo id="A2.SS1.1.p1.7.m4.1.1.1" xref="A2.SS1.1.p1.7.m4.1.1.1.cmml">≤</mo><msub id="A2.SS1.1.p1.7.m4.1.1.3" xref="A2.SS1.1.p1.7.m4.1.1.3.cmml"><mi id="A2.SS1.1.p1.7.m4.1.1.3.2" xref="A2.SS1.1.p1.7.m4.1.1.3.2.cmml">z</mi><mi id="A2.SS1.1.p1.7.m4.1.1.3.3" xref="A2.SS1.1.p1.7.m4.1.1.3.3.cmml">i</mi></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.SS1.1.p1.7.m4.1b"><apply id="A2.SS1.1.p1.7.m4.1.1.cmml" xref="A2.SS1.1.p1.7.m4.1.1"><leq id="A2.SS1.1.p1.7.m4.1.1.1.cmml" xref="A2.SS1.1.p1.7.m4.1.1.1"></leq><apply id="A2.SS1.1.p1.7.m4.1.1.2.cmml" xref="A2.SS1.1.p1.7.m4.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.SS1.1.p1.7.m4.1.1.2.1.cmml" xref="A2.SS1.1.p1.7.m4.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="A2.SS1.1.p1.7.m4.1.1.2.2.cmml" xref="A2.SS1.1.p1.7.m4.1.1.2.2">𝑦</ci><ci id="A2.SS1.1.p1.7.m4.1.1.2.3.cmml" xref="A2.SS1.1.p1.7.m4.1.1.2.3">𝑖</ci></apply><apply id="A2.SS1.1.p1.7.m4.1.1.3.cmml" xref="A2.SS1.1.p1.7.m4.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.SS1.1.p1.7.m4.1.1.3.1.cmml" xref="A2.SS1.1.p1.7.m4.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A2.SS1.1.p1.7.m4.1.1.3.2.cmml" xref="A2.SS1.1.p1.7.m4.1.1.3.2">𝑧</ci><ci id="A2.SS1.1.p1.7.m4.1.1.3.3.cmml" xref="A2.SS1.1.p1.7.m4.1.1.3.3">𝑖</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.SS1.1.p1.7.m4.1c">y_{i}\leq z_{i}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.SS1.1.p1.7.m4.1d">italic_y start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT ≤ italic_z start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, so <math alttext="c\leq\frac{z_{i}}{x_{i}}" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.SS1.1.p1.8.m5.1"><semantics id="A2.SS1.1.p1.8.m5.1a"><mrow id="A2.SS1.1.p1.8.m5.1.1" xref="A2.SS1.1.p1.8.m5.1.1.cmml"><mi id="A2.SS1.1.p1.8.m5.1.1.2" xref="A2.SS1.1.p1.8.m5.1.1.2.cmml">c</mi><mo id="A2.SS1.1.p1.8.m5.1.1.1" xref="A2.SS1.1.p1.8.m5.1.1.1.cmml">≤</mo><mfrac id="A2.SS1.1.p1.8.m5.1.1.3" xref="A2.SS1.1.p1.8.m5.1.1.3.cmml"><msub id="A2.SS1.1.p1.8.m5.1.1.3.2" xref="A2.SS1.1.p1.8.m5.1.1.3.2.cmml"><mi id="A2.SS1.1.p1.8.m5.1.1.3.2.2" xref="A2.SS1.1.p1.8.m5.1.1.3.2.2.cmml">z</mi><mi id="A2.SS1.1.p1.8.m5.1.1.3.2.3" xref="A2.SS1.1.p1.8.m5.1.1.3.2.3.cmml">i</mi></msub><msub id="A2.SS1.1.p1.8.m5.1.1.3.3" xref="A2.SS1.1.p1.8.m5.1.1.3.3.cmml"><mi id="A2.SS1.1.p1.8.m5.1.1.3.3.2" xref="A2.SS1.1.p1.8.m5.1.1.3.3.2.cmml">x</mi><mi id="A2.SS1.1.p1.8.m5.1.1.3.3.3" xref="A2.SS1.1.p1.8.m5.1.1.3.3.3.cmml">i</mi></msub></mfrac></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.SS1.1.p1.8.m5.1b"><apply id="A2.SS1.1.p1.8.m5.1.1.cmml" xref="A2.SS1.1.p1.8.m5.1.1"><leq id="A2.SS1.1.p1.8.m5.1.1.1.cmml" xref="A2.SS1.1.p1.8.m5.1.1.1"></leq><ci id="A2.SS1.1.p1.8.m5.1.1.2.cmml" xref="A2.SS1.1.p1.8.m5.1.1.2">𝑐</ci><apply id="A2.SS1.1.p1.8.m5.1.1.3.cmml" xref="A2.SS1.1.p1.8.m5.1.1.3"><divide id="A2.SS1.1.p1.8.m5.1.1.3.1.cmml" xref="A2.SS1.1.p1.8.m5.1.1.3"></divide><apply id="A2.SS1.1.p1.8.m5.1.1.3.2.cmml" xref="A2.SS1.1.p1.8.m5.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.SS1.1.p1.8.m5.1.1.3.2.1.cmml" xref="A2.SS1.1.p1.8.m5.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="A2.SS1.1.p1.8.m5.1.1.3.2.2.cmml" xref="A2.SS1.1.p1.8.m5.1.1.3.2.2">𝑧</ci><ci id="A2.SS1.1.p1.8.m5.1.1.3.2.3.cmml" xref="A2.SS1.1.p1.8.m5.1.1.3.2.3">𝑖</ci></apply><apply id="A2.SS1.1.p1.8.m5.1.1.3.3.cmml" xref="A2.SS1.1.p1.8.m5.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.SS1.1.p1.8.m5.1.1.3.3.1.cmml" xref="A2.SS1.1.p1.8.m5.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="A2.SS1.1.p1.8.m5.1.1.3.3.2.cmml" xref="A2.SS1.1.p1.8.m5.1.1.3.3.2">𝑥</ci><ci id="A2.SS1.1.p1.8.m5.1.1.3.3.3.cmml" xref="A2.SS1.1.p1.8.m5.1.1.3.3.3">𝑖</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.SS1.1.p1.8.m5.1c">c\leq\frac{z_{i}}{x_{i}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.SS1.1.p1.8.m5.1d">italic_c ≤ divide start_ARG italic_z start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT end_ARG start_ARG italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT end_ARG</annotation></semantics></math>. In fact, since this holds independently for every <math alttext="i" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.SS1.1.p1.9.m6.1"><semantics id="A2.SS1.1.p1.9.m6.1a"><mi id="A2.SS1.1.p1.9.m6.1.1" xref="A2.SS1.1.p1.9.m6.1.1.cmml">i</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.SS1.1.p1.9.m6.1b"><ci id="A2.SS1.1.p1.9.m6.1.1.cmml" xref="A2.SS1.1.p1.9.m6.1.1">𝑖</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.SS1.1.p1.9.m6.1c">i</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.SS1.1.p1.9.m6.1d">italic_i</annotation></semantics></math>,</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_gather ltx_eqn_table" id="S6.EGx119"> <tbody id="A2.E139"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\displaystyle c\leq\min_{i}\frac{z_{i}}{x_{i}}" class="ltx_Math" display="block" id="A2.E139.m1.1"><semantics id="A2.E139.m1.1a"><mrow id="A2.E139.m1.1.1" xref="A2.E139.m1.1.1.cmml"><mi id="A2.E139.m1.1.1.2" xref="A2.E139.m1.1.1.2.cmml">c</mi><mo id="A2.E139.m1.1.1.1" xref="A2.E139.m1.1.1.1.cmml">≤</mo><mrow id="A2.E139.m1.1.1.3" xref="A2.E139.m1.1.1.3.cmml"><munder id="A2.E139.m1.1.1.3.1" xref="A2.E139.m1.1.1.3.1.cmml"><mi id="A2.E139.m1.1.1.3.1.2" xref="A2.E139.m1.1.1.3.1.2.cmml">min</mi><mi id="A2.E139.m1.1.1.3.1.3" xref="A2.E139.m1.1.1.3.1.3.cmml">i</mi></munder><mo id="A2.E139.m1.1.1.3a" lspace="0.167em" xref="A2.E139.m1.1.1.3.cmml">⁡</mo><mfrac id="A2.E139.m1.1.1.3.2" xref="A2.E139.m1.1.1.3.2.cmml"><msub id="A2.E139.m1.1.1.3.2.2" xref="A2.E139.m1.1.1.3.2.2.cmml"><mi id="A2.E139.m1.1.1.3.2.2.2" xref="A2.E139.m1.1.1.3.2.2.2.cmml">z</mi><mi id="A2.E139.m1.1.1.3.2.2.3" xref="A2.E139.m1.1.1.3.2.2.3.cmml">i</mi></msub><msub id="A2.E139.m1.1.1.3.2.3" xref="A2.E139.m1.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="A2.E139.m1.1.1.3.2.3.2" xref="A2.E139.m1.1.1.3.2.3.2.cmml">x</mi><mi id="A2.E139.m1.1.1.3.2.3.3" xref="A2.E139.m1.1.1.3.2.3.3.cmml">i</mi></msub></mfrac></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.E139.m1.1b"><apply id="A2.E139.m1.1.1.cmml" xref="A2.E139.m1.1.1"><leq id="A2.E139.m1.1.1.1.cmml" xref="A2.E139.m1.1.1.1"></leq><ci id="A2.E139.m1.1.1.2.cmml" xref="A2.E139.m1.1.1.2">𝑐</ci><apply id="A2.E139.m1.1.1.3.cmml" xref="A2.E139.m1.1.1.3"><apply id="A2.E139.m1.1.1.3.1.cmml" xref="A2.E139.m1.1.1.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E139.m1.1.1.3.1.1.cmml" xref="A2.E139.m1.1.1.3.1">subscript</csymbol><min id="A2.E139.m1.1.1.3.1.2.cmml" xref="A2.E139.m1.1.1.3.1.2"></min><ci id="A2.E139.m1.1.1.3.1.3.cmml" xref="A2.E139.m1.1.1.3.1.3">𝑖</ci></apply><apply id="A2.E139.m1.1.1.3.2.cmml" xref="A2.E139.m1.1.1.3.2"><divide id="A2.E139.m1.1.1.3.2.1.cmml" xref="A2.E139.m1.1.1.3.2"></divide><apply id="A2.E139.m1.1.1.3.2.2.cmml" xref="A2.E139.m1.1.1.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E139.m1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="A2.E139.m1.1.1.3.2.2">subscript</csymbol><ci id="A2.E139.m1.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="A2.E139.m1.1.1.3.2.2.2">𝑧</ci><ci id="A2.E139.m1.1.1.3.2.2.3.cmml" xref="A2.E139.m1.1.1.3.2.2.3">𝑖</ci></apply><apply id="A2.E139.m1.1.1.3.2.3.cmml" xref="A2.E139.m1.1.1.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E139.m1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="A2.E139.m1.1.1.3.2.3">subscript</csymbol><ci id="A2.E139.m1.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="A2.E139.m1.1.1.3.2.3.2">𝑥</ci><ci id="A2.E139.m1.1.1.3.2.3.3.cmml" xref="A2.E139.m1.1.1.3.2.3.3">𝑖</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.E139.m1.1c">\displaystyle c\leq\min_{i}\frac{z_{i}}{x_{i}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.E139.m1.1d">italic_c ≤ roman_min start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT divide start_ARG italic_z start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT end_ARG start_ARG italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT end_ARG</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(139)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="A2.SS1.1.p1.24">We will now show that</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="A2.Ex52"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\min_{i}\frac{z_{i}}{x_{i}}\leq a" class="ltx_Math" display="block" id="A2.Ex52.m1.1"><semantics id="A2.Ex52.m1.1a"><mrow id="A2.Ex52.m1.1.1" xref="A2.Ex52.m1.1.1.cmml"><mrow id="A2.Ex52.m1.1.1.2" xref="A2.Ex52.m1.1.1.2.cmml"><munder id="A2.Ex52.m1.1.1.2.1" xref="A2.Ex52.m1.1.1.2.1.cmml"><mi id="A2.Ex52.m1.1.1.2.1.2" xref="A2.Ex52.m1.1.1.2.1.2.cmml">min</mi><mi id="A2.Ex52.m1.1.1.2.1.3" xref="A2.Ex52.m1.1.1.2.1.3.cmml">i</mi></munder><mo id="A2.Ex52.m1.1.1.2a" lspace="0.167em" xref="A2.Ex52.m1.1.1.2.cmml">⁡</mo><mfrac id="A2.Ex52.m1.1.1.2.2" xref="A2.Ex52.m1.1.1.2.2.cmml"><msub id="A2.Ex52.m1.1.1.2.2.2" xref="A2.Ex52.m1.1.1.2.2.2.cmml"><mi id="A2.Ex52.m1.1.1.2.2.2.2" xref="A2.Ex52.m1.1.1.2.2.2.2.cmml">z</mi><mi id="A2.Ex52.m1.1.1.2.2.2.3" xref="A2.Ex52.m1.1.1.2.2.2.3.cmml">i</mi></msub><msub id="A2.Ex52.m1.1.1.2.2.3" xref="A2.Ex52.m1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="A2.Ex52.m1.1.1.2.2.3.2" xref="A2.Ex52.m1.1.1.2.2.3.2.cmml">x</mi><mi id="A2.Ex52.m1.1.1.2.2.3.3" xref="A2.Ex52.m1.1.1.2.2.3.3.cmml">i</mi></msub></mfrac></mrow><mo id="A2.Ex52.m1.1.1.1" xref="A2.Ex52.m1.1.1.1.cmml">≤</mo><mi id="A2.Ex52.m1.1.1.3" xref="A2.Ex52.m1.1.1.3.cmml">a</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.Ex52.m1.1b"><apply id="A2.Ex52.m1.1.1.cmml" xref="A2.Ex52.m1.1.1"><leq id="A2.Ex52.m1.1.1.1.cmml" xref="A2.Ex52.m1.1.1.1"></leq><apply id="A2.Ex52.m1.1.1.2.cmml" xref="A2.Ex52.m1.1.1.2"><apply id="A2.Ex52.m1.1.1.2.1.cmml" xref="A2.Ex52.m1.1.1.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.Ex52.m1.1.1.2.1.1.cmml" xref="A2.Ex52.m1.1.1.2.1">subscript</csymbol><min id="A2.Ex52.m1.1.1.2.1.2.cmml" xref="A2.Ex52.m1.1.1.2.1.2"></min><ci id="A2.Ex52.m1.1.1.2.1.3.cmml" xref="A2.Ex52.m1.1.1.2.1.3">𝑖</ci></apply><apply id="A2.Ex52.m1.1.1.2.2.cmml" xref="A2.Ex52.m1.1.1.2.2"><divide id="A2.Ex52.m1.1.1.2.2.1.cmml" xref="A2.Ex52.m1.1.1.2.2"></divide><apply id="A2.Ex52.m1.1.1.2.2.2.cmml" xref="A2.Ex52.m1.1.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.Ex52.m1.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="A2.Ex52.m1.1.1.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="A2.Ex52.m1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="A2.Ex52.m1.1.1.2.2.2.2">𝑧</ci><ci id="A2.Ex52.m1.1.1.2.2.2.3.cmml" xref="A2.Ex52.m1.1.1.2.2.2.3">𝑖</ci></apply><apply id="A2.Ex52.m1.1.1.2.2.3.cmml" xref="A2.Ex52.m1.1.1.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.Ex52.m1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="A2.Ex52.m1.1.1.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="A2.Ex52.m1.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="A2.Ex52.m1.1.1.2.2.3.2">𝑥</ci><ci id="A2.Ex52.m1.1.1.2.2.3.3.cmml" xref="A2.Ex52.m1.1.1.2.2.3.3">𝑖</ci></apply></apply></apply><ci id="A2.Ex52.m1.1.1.3.cmml" xref="A2.Ex52.m1.1.1.3">𝑎</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.Ex52.m1.1c">\min_{i}\frac{z_{i}}{x_{i}}\leq a</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.Ex52.m1.1d">roman_min start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT divide start_ARG italic_z start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT end_ARG start_ARG italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT end_ARG ≤ italic_a</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="A2.SS1.1.p1.25">Define</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="A2.Ex53"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="f(\vec{x})=\min_{i}\frac{z_{i}}{x_{i}}" class="ltx_Math" display="block" id="A2.Ex53.m1.1"><semantics id="A2.Ex53.m1.1a"><mrow id="A2.Ex53.m1.1.2" xref="A2.Ex53.m1.1.2.cmml"><mrow id="A2.Ex53.m1.1.2.2" xref="A2.Ex53.m1.1.2.2.cmml"><mi id="A2.Ex53.m1.1.2.2.2" xref="A2.Ex53.m1.1.2.2.2.cmml">f</mi><mo id="A2.Ex53.m1.1.2.2.1" xref="A2.Ex53.m1.1.2.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A2.Ex53.m1.1.2.2.3.2" xref="A2.Ex53.m1.1.1.cmml"><mo id="A2.Ex53.m1.1.2.2.3.2.1" stretchy="false" xref="A2.Ex53.m1.1.1.cmml">(</mo><mover accent="true" id="A2.Ex53.m1.1.1" xref="A2.Ex53.m1.1.1.cmml"><mi id="A2.Ex53.m1.1.1.2" xref="A2.Ex53.m1.1.1.2.cmml">x</mi><mo id="A2.Ex53.m1.1.1.1" stretchy="false" xref="A2.Ex53.m1.1.1.1.cmml">→</mo></mover><mo id="A2.Ex53.m1.1.2.2.3.2.2" stretchy="false" xref="A2.Ex53.m1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A2.Ex53.m1.1.2.1" xref="A2.Ex53.m1.1.2.1.cmml">=</mo><mrow id="A2.Ex53.m1.1.2.3" xref="A2.Ex53.m1.1.2.3.cmml"><munder id="A2.Ex53.m1.1.2.3.1" xref="A2.Ex53.m1.1.2.3.1.cmml"><mi id="A2.Ex53.m1.1.2.3.1.2" xref="A2.Ex53.m1.1.2.3.1.2.cmml">min</mi><mi id="A2.Ex53.m1.1.2.3.1.3" xref="A2.Ex53.m1.1.2.3.1.3.cmml">i</mi></munder><mo id="A2.Ex53.m1.1.2.3a" lspace="0.167em" xref="A2.Ex53.m1.1.2.3.cmml">⁡</mo><mfrac id="A2.Ex53.m1.1.2.3.2" xref="A2.Ex53.m1.1.2.3.2.cmml"><msub id="A2.Ex53.m1.1.2.3.2.2" xref="A2.Ex53.m1.1.2.3.2.2.cmml"><mi id="A2.Ex53.m1.1.2.3.2.2.2" xref="A2.Ex53.m1.1.2.3.2.2.2.cmml">z</mi><mi id="A2.Ex53.m1.1.2.3.2.2.3" xref="A2.Ex53.m1.1.2.3.2.2.3.cmml">i</mi></msub><msub id="A2.Ex53.m1.1.2.3.2.3" xref="A2.Ex53.m1.1.2.3.2.3.cmml"><mi id="A2.Ex53.m1.1.2.3.2.3.2" xref="A2.Ex53.m1.1.2.3.2.3.2.cmml">x</mi><mi id="A2.Ex53.m1.1.2.3.2.3.3" xref="A2.Ex53.m1.1.2.3.2.3.3.cmml">i</mi></msub></mfrac></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.Ex53.m1.1b"><apply id="A2.Ex53.m1.1.2.cmml" xref="A2.Ex53.m1.1.2"><eq id="A2.Ex53.m1.1.2.1.cmml" xref="A2.Ex53.m1.1.2.1"></eq><apply id="A2.Ex53.m1.1.2.2.cmml" xref="A2.Ex53.m1.1.2.2"><times id="A2.Ex53.m1.1.2.2.1.cmml" xref="A2.Ex53.m1.1.2.2.1"></times><ci id="A2.Ex53.m1.1.2.2.2.cmml" xref="A2.Ex53.m1.1.2.2.2">𝑓</ci><apply id="A2.Ex53.m1.1.1.cmml" xref="A2.Ex53.m1.1.2.2.3.2"><ci id="A2.Ex53.m1.1.1.1.cmml" xref="A2.Ex53.m1.1.1.1">→</ci><ci id="A2.Ex53.m1.1.1.2.cmml" xref="A2.Ex53.m1.1.1.2">𝑥</ci></apply></apply><apply id="A2.Ex53.m1.1.2.3.cmml" xref="A2.Ex53.m1.1.2.3"><apply id="A2.Ex53.m1.1.2.3.1.cmml" xref="A2.Ex53.m1.1.2.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.Ex53.m1.1.2.3.1.1.cmml" xref="A2.Ex53.m1.1.2.3.1">subscript</csymbol><min id="A2.Ex53.m1.1.2.3.1.2.cmml" xref="A2.Ex53.m1.1.2.3.1.2"></min><ci id="A2.Ex53.m1.1.2.3.1.3.cmml" xref="A2.Ex53.m1.1.2.3.1.3">𝑖</ci></apply><apply id="A2.Ex53.m1.1.2.3.2.cmml" xref="A2.Ex53.m1.1.2.3.2"><divide id="A2.Ex53.m1.1.2.3.2.1.cmml" xref="A2.Ex53.m1.1.2.3.2"></divide><apply id="A2.Ex53.m1.1.2.3.2.2.cmml" xref="A2.Ex53.m1.1.2.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.Ex53.m1.1.2.3.2.2.1.cmml" xref="A2.Ex53.m1.1.2.3.2.2">subscript</csymbol><ci id="A2.Ex53.m1.1.2.3.2.2.2.cmml" xref="A2.Ex53.m1.1.2.3.2.2.2">𝑧</ci><ci id="A2.Ex53.m1.1.2.3.2.2.3.cmml" xref="A2.Ex53.m1.1.2.3.2.2.3">𝑖</ci></apply><apply id="A2.Ex53.m1.1.2.3.2.3.cmml" xref="A2.Ex53.m1.1.2.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.Ex53.m1.1.2.3.2.3.1.cmml" xref="A2.Ex53.m1.1.2.3.2.3">subscript</csymbol><ci id="A2.Ex53.m1.1.2.3.2.3.2.cmml" xref="A2.Ex53.m1.1.2.3.2.3.2">𝑥</ci><ci id="A2.Ex53.m1.1.2.3.2.3.3.cmml" xref="A2.Ex53.m1.1.2.3.2.3.3">𝑖</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.Ex53.m1.1c">f(\vec{x})=\min_{i}\frac{z_{i}}{x_{i}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.Ex53.m1.1d">italic_f ( over→ start_ARG italic_x end_ARG ) = roman_min start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT divide start_ARG italic_z start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT end_ARG start_ARG italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT end_ARG</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="A2.SS1.1.p1.10">We wish to show that <math alttext="\max_{\vec{u}}f(\vec{u})\leq a" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.SS1.1.p1.10.m1.1"><semantics id="A2.SS1.1.p1.10.m1.1a"><mrow id="A2.SS1.1.p1.10.m1.1.2" xref="A2.SS1.1.p1.10.m1.1.2.cmml"><mrow id="A2.SS1.1.p1.10.m1.1.2.2" xref="A2.SS1.1.p1.10.m1.1.2.2.cmml"><mrow id="A2.SS1.1.p1.10.m1.1.2.2.2" xref="A2.SS1.1.p1.10.m1.1.2.2.2.cmml"><msub id="A2.SS1.1.p1.10.m1.1.2.2.2.1" xref="A2.SS1.1.p1.10.m1.1.2.2.2.1.cmml"><mi id="A2.SS1.1.p1.10.m1.1.2.2.2.1.2" xref="A2.SS1.1.p1.10.m1.1.2.2.2.1.2.cmml">max</mi><mover accent="true" id="A2.SS1.1.p1.10.m1.1.2.2.2.1.3" xref="A2.SS1.1.p1.10.m1.1.2.2.2.1.3.cmml"><mi id="A2.SS1.1.p1.10.m1.1.2.2.2.1.3.2" xref="A2.SS1.1.p1.10.m1.1.2.2.2.1.3.2.cmml">u</mi><mo id="A2.SS1.1.p1.10.m1.1.2.2.2.1.3.1" stretchy="false" xref="A2.SS1.1.p1.10.m1.1.2.2.2.1.3.1.cmml">→</mo></mover></msub><mo id="A2.SS1.1.p1.10.m1.1.2.2.2a" lspace="0.167em" xref="A2.SS1.1.p1.10.m1.1.2.2.2.cmml">⁡</mo><mi id="A2.SS1.1.p1.10.m1.1.2.2.2.2" xref="A2.SS1.1.p1.10.m1.1.2.2.2.2.cmml">f</mi></mrow><mo id="A2.SS1.1.p1.10.m1.1.2.2.1" xref="A2.SS1.1.p1.10.m1.1.2.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A2.SS1.1.p1.10.m1.1.2.2.3.2" xref="A2.SS1.1.p1.10.m1.1.1.cmml"><mo id="A2.SS1.1.p1.10.m1.1.2.2.3.2.1" stretchy="false" xref="A2.SS1.1.p1.10.m1.1.1.cmml">(</mo><mover accent="true" id="A2.SS1.1.p1.10.m1.1.1" xref="A2.SS1.1.p1.10.m1.1.1.cmml"><mi id="A2.SS1.1.p1.10.m1.1.1.2" xref="A2.SS1.1.p1.10.m1.1.1.2.cmml">u</mi><mo id="A2.SS1.1.p1.10.m1.1.1.1" stretchy="false" xref="A2.SS1.1.p1.10.m1.1.1.1.cmml">→</mo></mover><mo id="A2.SS1.1.p1.10.m1.1.2.2.3.2.2" stretchy="false" xref="A2.SS1.1.p1.10.m1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A2.SS1.1.p1.10.m1.1.2.1" xref="A2.SS1.1.p1.10.m1.1.2.1.cmml">≤</mo><mi id="A2.SS1.1.p1.10.m1.1.2.3" xref="A2.SS1.1.p1.10.m1.1.2.3.cmml">a</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.SS1.1.p1.10.m1.1b"><apply id="A2.SS1.1.p1.10.m1.1.2.cmml" xref="A2.SS1.1.p1.10.m1.1.2"><leq id="A2.SS1.1.p1.10.m1.1.2.1.cmml" xref="A2.SS1.1.p1.10.m1.1.2.1"></leq><apply id="A2.SS1.1.p1.10.m1.1.2.2.cmml" xref="A2.SS1.1.p1.10.m1.1.2.2"><times id="A2.SS1.1.p1.10.m1.1.2.2.1.cmml" xref="A2.SS1.1.p1.10.m1.1.2.2.1"></times><apply id="A2.SS1.1.p1.10.m1.1.2.2.2.cmml" xref="A2.SS1.1.p1.10.m1.1.2.2.2"><apply id="A2.SS1.1.p1.10.m1.1.2.2.2.1.cmml" xref="A2.SS1.1.p1.10.m1.1.2.2.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.SS1.1.p1.10.m1.1.2.2.2.1.1.cmml" xref="A2.SS1.1.p1.10.m1.1.2.2.2.1">subscript</csymbol><max id="A2.SS1.1.p1.10.m1.1.2.2.2.1.2.cmml" xref="A2.SS1.1.p1.10.m1.1.2.2.2.1.2"></max><apply id="A2.SS1.1.p1.10.m1.1.2.2.2.1.3.cmml" xref="A2.SS1.1.p1.10.m1.1.2.2.2.1.3"><ci id="A2.SS1.1.p1.10.m1.1.2.2.2.1.3.1.cmml" xref="A2.SS1.1.p1.10.m1.1.2.2.2.1.3.1">→</ci><ci id="A2.SS1.1.p1.10.m1.1.2.2.2.1.3.2.cmml" xref="A2.SS1.1.p1.10.m1.1.2.2.2.1.3.2">𝑢</ci></apply></apply><ci id="A2.SS1.1.p1.10.m1.1.2.2.2.2.cmml" xref="A2.SS1.1.p1.10.m1.1.2.2.2.2">𝑓</ci></apply><apply id="A2.SS1.1.p1.10.m1.1.1.cmml" xref="A2.SS1.1.p1.10.m1.1.2.2.3.2"><ci id="A2.SS1.1.p1.10.m1.1.1.1.cmml" xref="A2.SS1.1.p1.10.m1.1.1.1">→</ci><ci id="A2.SS1.1.p1.10.m1.1.1.2.cmml" xref="A2.SS1.1.p1.10.m1.1.1.2">𝑢</ci></apply></apply><ci id="A2.SS1.1.p1.10.m1.1.2.3.cmml" xref="A2.SS1.1.p1.10.m1.1.2.3">𝑎</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.SS1.1.p1.10.m1.1c">\max_{\vec{u}}f(\vec{u})\leq a</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.SS1.1.p1.10.m1.1d">roman_max start_POSTSUBSCRIPT over→ start_ARG italic_u end_ARG end_POSTSUBSCRIPT italic_f ( over→ start_ARG italic_u end_ARG ) ≤ italic_a</annotation></semantics></math>. We can compute</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_gather ltx_eqn_table" id="S6.EGx120"> <tbody id="A2.E140"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\displaystyle\frac{\partial f(\vec{x})}{\partial x_{i}}=\begin{cases}\min_{j:% \frac{z_{j}}{x_{j}}=f(\vec{x})}A_{ij}&\frac{z_{i}}{x_{i}}>f(\vec{x})\\ -\frac{1}{x_{i}^{2}}\sum_{k\neq i}A_{ik}x_{k}&\frac{z_{i}}{x_{i}}=f(\vec{x})% \end{cases}" class="ltx_Math" display="block" id="A2.E140.m1.5"><semantics id="A2.E140.m1.5a"><mrow id="A2.E140.m1.5.6" xref="A2.E140.m1.5.6.cmml"><mfrac id="A2.E140.m1.5.5" xref="A2.E140.m1.5.5.cmml"><mrow id="A2.E140.m1.5.5.1" xref="A2.E140.m1.5.5.1.cmml"><mo id="A2.E140.m1.5.5.1.2" rspace="0em" xref="A2.E140.m1.5.5.1.2.cmml">∂</mo><mrow id="A2.E140.m1.5.5.1.3" xref="A2.E140.m1.5.5.1.3.cmml"><mi id="A2.E140.m1.5.5.1.3.2" xref="A2.E140.m1.5.5.1.3.2.cmml">f</mi><mo id="A2.E140.m1.5.5.1.3.1" xref="A2.E140.m1.5.5.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A2.E140.m1.5.5.1.3.3.2" xref="A2.E140.m1.5.5.1.1.cmml"><mo id="A2.E140.m1.5.5.1.3.3.2.1" stretchy="false" xref="A2.E140.m1.5.5.1.1.cmml">(</mo><mover accent="true" id="A2.E140.m1.5.5.1.1" xref="A2.E140.m1.5.5.1.1.cmml"><mi id="A2.E140.m1.5.5.1.1.2" xref="A2.E140.m1.5.5.1.1.2.cmml">x</mi><mo id="A2.E140.m1.5.5.1.1.1" stretchy="false" xref="A2.E140.m1.5.5.1.1.1.cmml">→</mo></mover><mo id="A2.E140.m1.5.5.1.3.3.2.2" stretchy="false" xref="A2.E140.m1.5.5.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mrow id="A2.E140.m1.5.5.3" xref="A2.E140.m1.5.5.3.cmml"><mo id="A2.E140.m1.5.5.3.1" rspace="0em" xref="A2.E140.m1.5.5.3.1.cmml">∂</mo><msub id="A2.E140.m1.5.5.3.2" xref="A2.E140.m1.5.5.3.2.cmml"><mi id="A2.E140.m1.5.5.3.2.2" xref="A2.E140.m1.5.5.3.2.2.cmml">x</mi><mi id="A2.E140.m1.5.5.3.2.3" xref="A2.E140.m1.5.5.3.2.3.cmml">i</mi></msub></mrow></mfrac><mo id="A2.E140.m1.5.6.1" xref="A2.E140.m1.5.6.1.cmml">=</mo><mrow id="A2.E140.m1.4.4" xref="A2.E140.m1.5.6.2.1.cmml"><mo id="A2.E140.m1.4.4.5" xref="A2.E140.m1.5.6.2.1.1.cmml">{</mo><mtable columnspacing="5pt" displaystyle="true" id="A2.E140.m1.4.4.4" rowspacing="0pt" xref="A2.E140.m1.5.6.2.1.cmml"><mtr id="A2.E140.m1.4.4.4a" xref="A2.E140.m1.5.6.2.1.cmml"><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="A2.E140.m1.4.4.4b" xref="A2.E140.m1.5.6.2.1.cmml"><mrow id="A2.E140.m1.1.1.1.1.1.1" xref="A2.E140.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="A2.E140.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A2.E140.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="A2.E140.m1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="A2.E140.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">min</mi><mrow id="A2.E140.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A2.E140.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A2.E140.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A2.E140.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">j</mi><mo id="A2.E140.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" lspace="0.278em" rspace="0.278em" xref="A2.E140.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">:</mo><mrow id="A2.E140.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4" xref="A2.E140.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml"><mfrac id="A2.E140.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2" xref="A2.E140.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml"><msub id="A2.E140.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2" xref="A2.E140.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.cmml"><mi id="A2.E140.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.2" xref="A2.E140.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.2.cmml">z</mi><mi id="A2.E140.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.3" xref="A2.E140.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.3.cmml">j</mi></msub><msub id="A2.E140.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.3" xref="A2.E140.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.3.cmml"><mi id="A2.E140.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.3.2" xref="A2.E140.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.3.2.cmml">x</mi><mi id="A2.E140.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.3.3" xref="A2.E140.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.3.3.cmml">j</mi></msub></mfrac><mo id="A2.E140.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.1" xref="A2.E140.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.1.cmml">=</mo><mrow id="A2.E140.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3" xref="A2.E140.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml"><mi id="A2.E140.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.2" xref="A2.E140.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.2.cmml">f</mi><mo id="A2.E140.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.1" xref="A2.E140.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A2.E140.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.3.2" xref="A2.E140.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A2.E140.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.3.2.1" stretchy="false" xref="A2.E140.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mover accent="true" id="A2.E140.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A2.E140.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A2.E140.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A2.E140.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">x</mi><mo id="A2.E140.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" stretchy="false" xref="A2.E140.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">→</mo></mover><mo id="A2.E140.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.3.2.2" stretchy="false" xref="A2.E140.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow></msub><mo id="A2.E140.m1.1.1.1.1.1.1a" lspace="0.167em" xref="A2.E140.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁡</mo><msub id="A2.E140.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A2.E140.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A2.E140.m1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A2.E140.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">A</mi><mrow id="A2.E140.m1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A2.E140.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="A2.E140.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="A2.E140.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">i</mi><mo id="A2.E140.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1" xref="A2.E140.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A2.E140.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="A2.E140.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub></mrow></mtd><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="A2.E140.m1.4.4.4c" xref="A2.E140.m1.5.6.2.1.cmml"><mrow id="A2.E140.m1.2.2.2.2.2.1" xref="A2.E140.m1.2.2.2.2.2.1.cmml"><mstyle displaystyle="false" id="A2.E140.m1.2.2.2.2.2.1.3" xref="A2.E140.m1.2.2.2.2.2.1.3.cmml"><mfrac id="A2.E140.m1.2.2.2.2.2.1.3a" xref="A2.E140.m1.2.2.2.2.2.1.3.cmml"><msub id="A2.E140.m1.2.2.2.2.2.1.3.2" xref="A2.E140.m1.2.2.2.2.2.1.3.2.cmml"><mi id="A2.E140.m1.2.2.2.2.2.1.3.2.2" xref="A2.E140.m1.2.2.2.2.2.1.3.2.2.cmml">z</mi><mi id="A2.E140.m1.2.2.2.2.2.1.3.2.3" xref="A2.E140.m1.2.2.2.2.2.1.3.2.3.cmml">i</mi></msub><msub id="A2.E140.m1.2.2.2.2.2.1.3.3" xref="A2.E140.m1.2.2.2.2.2.1.3.3.cmml"><mi id="A2.E140.m1.2.2.2.2.2.1.3.3.2" xref="A2.E140.m1.2.2.2.2.2.1.3.3.2.cmml">x</mi><mi id="A2.E140.m1.2.2.2.2.2.1.3.3.3" xref="A2.E140.m1.2.2.2.2.2.1.3.3.3.cmml">i</mi></msub></mfrac></mstyle><mo id="A2.E140.m1.2.2.2.2.2.1.2" xref="A2.E140.m1.2.2.2.2.2.1.2.cmml">></mo><mrow id="A2.E140.m1.2.2.2.2.2.1.4" xref="A2.E140.m1.2.2.2.2.2.1.4.cmml"><mi id="A2.E140.m1.2.2.2.2.2.1.4.2" xref="A2.E140.m1.2.2.2.2.2.1.4.2.cmml">f</mi><mo id="A2.E140.m1.2.2.2.2.2.1.4.1" xref="A2.E140.m1.2.2.2.2.2.1.4.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A2.E140.m1.2.2.2.2.2.1.4.3.2" xref="A2.E140.m1.2.2.2.2.2.1.1.cmml"><mo id="A2.E140.m1.2.2.2.2.2.1.4.3.2.1" stretchy="false" xref="A2.E140.m1.2.2.2.2.2.1.1.cmml">(</mo><mover accent="true" id="A2.E140.m1.2.2.2.2.2.1.1" xref="A2.E140.m1.2.2.2.2.2.1.1.cmml"><mi id="A2.E140.m1.2.2.2.2.2.1.1.2" xref="A2.E140.m1.2.2.2.2.2.1.1.2.cmml">x</mi><mo id="A2.E140.m1.2.2.2.2.2.1.1.1" stretchy="false" xref="A2.E140.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.cmml">→</mo></mover><mo id="A2.E140.m1.2.2.2.2.2.1.4.3.2.2" stretchy="false" xref="A2.E140.m1.2.2.2.2.2.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mtd></mtr><mtr id="A2.E140.m1.4.4.4d" xref="A2.E140.m1.5.6.2.1.cmml"><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="A2.E140.m1.4.4.4e" xref="A2.E140.m1.5.6.2.1.cmml"><mrow id="A2.E140.m1.3.3.3.3.1.1" xref="A2.E140.m1.3.3.3.3.1.1.cmml"><mo id="A2.E140.m1.3.3.3.3.1.1a" xref="A2.E140.m1.3.3.3.3.1.1.cmml">−</mo><mrow id="A2.E140.m1.3.3.3.3.1.1.2" xref="A2.E140.m1.3.3.3.3.1.1.2.cmml"><mstyle displaystyle="false" id="A2.E140.m1.3.3.3.3.1.1.2.2" xref="A2.E140.m1.3.3.3.3.1.1.2.2.cmml"><mfrac id="A2.E140.m1.3.3.3.3.1.1.2.2a" xref="A2.E140.m1.3.3.3.3.1.1.2.2.cmml"><mn id="A2.E140.m1.3.3.3.3.1.1.2.2.2" xref="A2.E140.m1.3.3.3.3.1.1.2.2.2.cmml">1</mn><msubsup id="A2.E140.m1.3.3.3.3.1.1.2.2.3" xref="A2.E140.m1.3.3.3.3.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="A2.E140.m1.3.3.3.3.1.1.2.2.3.2.2" xref="A2.E140.m1.3.3.3.3.1.1.2.2.3.2.2.cmml">x</mi><mi id="A2.E140.m1.3.3.3.3.1.1.2.2.3.2.3" xref="A2.E140.m1.3.3.3.3.1.1.2.2.3.2.3.cmml">i</mi><mn id="A2.E140.m1.3.3.3.3.1.1.2.2.3.3" xref="A2.E140.m1.3.3.3.3.1.1.2.2.3.3.cmml">2</mn></msubsup></mfrac></mstyle><mo id="A2.E140.m1.3.3.3.3.1.1.2.1" xref="A2.E140.m1.3.3.3.3.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A2.E140.m1.3.3.3.3.1.1.2.3" xref="A2.E140.m1.3.3.3.3.1.1.2.3.cmml"><mstyle displaystyle="false" id="A2.E140.m1.3.3.3.3.1.1.2.3.1" xref="A2.E140.m1.3.3.3.3.1.1.2.3.1.cmml"><msub id="A2.E140.m1.3.3.3.3.1.1.2.3.1a" xref="A2.E140.m1.3.3.3.3.1.1.2.3.1.cmml"><mo id="A2.E140.m1.3.3.3.3.1.1.2.3.1.2" xref="A2.E140.m1.3.3.3.3.1.1.2.3.1.2.cmml">∑</mo><mrow id="A2.E140.m1.3.3.3.3.1.1.2.3.1.3" xref="A2.E140.m1.3.3.3.3.1.1.2.3.1.3.cmml"><mi id="A2.E140.m1.3.3.3.3.1.1.2.3.1.3.2" xref="A2.E140.m1.3.3.3.3.1.1.2.3.1.3.2.cmml">k</mi><mo id="A2.E140.m1.3.3.3.3.1.1.2.3.1.3.1" xref="A2.E140.m1.3.3.3.3.1.1.2.3.1.3.1.cmml">≠</mo><mi id="A2.E140.m1.3.3.3.3.1.1.2.3.1.3.3" xref="A2.E140.m1.3.3.3.3.1.1.2.3.1.3.3.cmml">i</mi></mrow></msub></mstyle><mrow id="A2.E140.m1.3.3.3.3.1.1.2.3.2" xref="A2.E140.m1.3.3.3.3.1.1.2.3.2.cmml"><msub id="A2.E140.m1.3.3.3.3.1.1.2.3.2.2" xref="A2.E140.m1.3.3.3.3.1.1.2.3.2.2.cmml"><mi id="A2.E140.m1.3.3.3.3.1.1.2.3.2.2.2" xref="A2.E140.m1.3.3.3.3.1.1.2.3.2.2.2.cmml">A</mi><mrow id="A2.E140.m1.3.3.3.3.1.1.2.3.2.2.3" xref="A2.E140.m1.3.3.3.3.1.1.2.3.2.2.3.cmml"><mi id="A2.E140.m1.3.3.3.3.1.1.2.3.2.2.3.2" xref="A2.E140.m1.3.3.3.3.1.1.2.3.2.2.3.2.cmml">i</mi><mo id="A2.E140.m1.3.3.3.3.1.1.2.3.2.2.3.1" xref="A2.E140.m1.3.3.3.3.1.1.2.3.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A2.E140.m1.3.3.3.3.1.1.2.3.2.2.3.3" xref="A2.E140.m1.3.3.3.3.1.1.2.3.2.2.3.3.cmml">k</mi></mrow></msub><mo id="A2.E140.m1.3.3.3.3.1.1.2.3.2.1" xref="A2.E140.m1.3.3.3.3.1.1.2.3.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="A2.E140.m1.3.3.3.3.1.1.2.3.2.3" xref="A2.E140.m1.3.3.3.3.1.1.2.3.2.3.cmml"><mi id="A2.E140.m1.3.3.3.3.1.1.2.3.2.3.2" xref="A2.E140.m1.3.3.3.3.1.1.2.3.2.3.2.cmml">x</mi><mi id="A2.E140.m1.3.3.3.3.1.1.2.3.2.3.3" xref="A2.E140.m1.3.3.3.3.1.1.2.3.2.3.3.cmml">k</mi></msub></mrow></mrow></mrow></mrow></mtd><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="A2.E140.m1.4.4.4f" xref="A2.E140.m1.5.6.2.1.cmml"><mrow id="A2.E140.m1.4.4.4.4.2.1" xref="A2.E140.m1.4.4.4.4.2.1.cmml"><mstyle displaystyle="false" id="A2.E140.m1.4.4.4.4.2.1.3" xref="A2.E140.m1.4.4.4.4.2.1.3.cmml"><mfrac id="A2.E140.m1.4.4.4.4.2.1.3a" xref="A2.E140.m1.4.4.4.4.2.1.3.cmml"><msub id="A2.E140.m1.4.4.4.4.2.1.3.2" xref="A2.E140.m1.4.4.4.4.2.1.3.2.cmml"><mi id="A2.E140.m1.4.4.4.4.2.1.3.2.2" xref="A2.E140.m1.4.4.4.4.2.1.3.2.2.cmml">z</mi><mi id="A2.E140.m1.4.4.4.4.2.1.3.2.3" xref="A2.E140.m1.4.4.4.4.2.1.3.2.3.cmml">i</mi></msub><msub id="A2.E140.m1.4.4.4.4.2.1.3.3" xref="A2.E140.m1.4.4.4.4.2.1.3.3.cmml"><mi id="A2.E140.m1.4.4.4.4.2.1.3.3.2" xref="A2.E140.m1.4.4.4.4.2.1.3.3.2.cmml">x</mi><mi id="A2.E140.m1.4.4.4.4.2.1.3.3.3" xref="A2.E140.m1.4.4.4.4.2.1.3.3.3.cmml">i</mi></msub></mfrac></mstyle><mo id="A2.E140.m1.4.4.4.4.2.1.2" xref="A2.E140.m1.4.4.4.4.2.1.2.cmml">=</mo><mrow id="A2.E140.m1.4.4.4.4.2.1.4" xref="A2.E140.m1.4.4.4.4.2.1.4.cmml"><mi id="A2.E140.m1.4.4.4.4.2.1.4.2" xref="A2.E140.m1.4.4.4.4.2.1.4.2.cmml">f</mi><mo id="A2.E140.m1.4.4.4.4.2.1.4.1" xref="A2.E140.m1.4.4.4.4.2.1.4.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A2.E140.m1.4.4.4.4.2.1.4.3.2" xref="A2.E140.m1.4.4.4.4.2.1.1.cmml"><mo id="A2.E140.m1.4.4.4.4.2.1.4.3.2.1" stretchy="false" xref="A2.E140.m1.4.4.4.4.2.1.1.cmml">(</mo><mover accent="true" id="A2.E140.m1.4.4.4.4.2.1.1" xref="A2.E140.m1.4.4.4.4.2.1.1.cmml"><mi id="A2.E140.m1.4.4.4.4.2.1.1.2" xref="A2.E140.m1.4.4.4.4.2.1.1.2.cmml">x</mi><mo id="A2.E140.m1.4.4.4.4.2.1.1.1" stretchy="false" xref="A2.E140.m1.4.4.4.4.2.1.1.1.cmml">→</mo></mover><mo id="A2.E140.m1.4.4.4.4.2.1.4.3.2.2" stretchy="false" xref="A2.E140.m1.4.4.4.4.2.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mtd></mtr></mtable></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.E140.m1.5b"><apply id="A2.E140.m1.5.6.cmml" xref="A2.E140.m1.5.6"><eq id="A2.E140.m1.5.6.1.cmml" xref="A2.E140.m1.5.6.1"></eq><apply id="A2.E140.m1.5.5.cmml" xref="A2.E140.m1.5.5"><divide id="A2.E140.m1.5.5.2.cmml" xref="A2.E140.m1.5.5"></divide><apply id="A2.E140.m1.5.5.1.cmml" xref="A2.E140.m1.5.5.1"><partialdiff id="A2.E140.m1.5.5.1.2.cmml" xref="A2.E140.m1.5.5.1.2"></partialdiff><apply id="A2.E140.m1.5.5.1.3.cmml" xref="A2.E140.m1.5.5.1.3"><times id="A2.E140.m1.5.5.1.3.1.cmml" xref="A2.E140.m1.5.5.1.3.1"></times><ci id="A2.E140.m1.5.5.1.3.2.cmml" xref="A2.E140.m1.5.5.1.3.2">𝑓</ci><apply id="A2.E140.m1.5.5.1.1.cmml" xref="A2.E140.m1.5.5.1.3.3.2"><ci id="A2.E140.m1.5.5.1.1.1.cmml" xref="A2.E140.m1.5.5.1.1.1">→</ci><ci id="A2.E140.m1.5.5.1.1.2.cmml" xref="A2.E140.m1.5.5.1.1.2">𝑥</ci></apply></apply></apply><apply id="A2.E140.m1.5.5.3.cmml" xref="A2.E140.m1.5.5.3"><partialdiff id="A2.E140.m1.5.5.3.1.cmml" xref="A2.E140.m1.5.5.3.1"></partialdiff><apply id="A2.E140.m1.5.5.3.2.cmml" xref="A2.E140.m1.5.5.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E140.m1.5.5.3.2.1.cmml" xref="A2.E140.m1.5.5.3.2">subscript</csymbol><ci id="A2.E140.m1.5.5.3.2.2.cmml" xref="A2.E140.m1.5.5.3.2.2">𝑥</ci><ci id="A2.E140.m1.5.5.3.2.3.cmml" xref="A2.E140.m1.5.5.3.2.3">𝑖</ci></apply></apply></apply><apply id="A2.E140.m1.5.6.2.1.cmml" xref="A2.E140.m1.4.4"><csymbol cd="latexml" id="A2.E140.m1.5.6.2.1.1.cmml" xref="A2.E140.m1.4.4.5">cases</csymbol><apply id="A2.E140.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A2.E140.m1.1.1.1.1.1.1"><apply id="A2.E140.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A2.E140.m1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E140.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A2.E140.m1.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><min id="A2.E140.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A2.E140.m1.1.1.1.1.1.1.2.2"></min><apply id="A2.E140.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A2.E140.m1.1.1.1.1.1.1.1.1"><ci id="A2.E140.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A2.E140.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">:</ci><ci id="A2.E140.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A2.E140.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑗</ci><apply id="A2.E140.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="A2.E140.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4"><eq id="A2.E140.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="A2.E140.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.1"></eq><apply id="A2.E140.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="A2.E140.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2"><divide id="A2.E140.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.1.cmml" xref="A2.E140.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2"></divide><apply id="A2.E140.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.cmml" xref="A2.E140.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E140.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.1.cmml" xref="A2.E140.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2">subscript</csymbol><ci id="A2.E140.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.2.cmml" xref="A2.E140.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.2">𝑧</ci><ci id="A2.E140.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.3.cmml" xref="A2.E140.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.3">𝑗</ci></apply><apply id="A2.E140.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.3.cmml" xref="A2.E140.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E140.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.3.1.cmml" xref="A2.E140.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.3">subscript</csymbol><ci id="A2.E140.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.3.2.cmml" xref="A2.E140.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.3.2">𝑥</ci><ci id="A2.E140.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.3.3.cmml" xref="A2.E140.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.3.3">𝑗</ci></apply></apply><apply id="A2.E140.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml" xref="A2.E140.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3"><times id="A2.E140.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.1.cmml" xref="A2.E140.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.1"></times><ci id="A2.E140.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.2.cmml" xref="A2.E140.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.2">𝑓</ci><apply id="A2.E140.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A2.E140.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.3.2"><ci id="A2.E140.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A2.E140.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1">→</ci><ci id="A2.E140.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A2.E140.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑥</ci></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="A2.E140.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A2.E140.m1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E140.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A2.E140.m1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A2.E140.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A2.E140.m1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝐴</ci><apply id="A2.E140.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A2.E140.m1.1.1.1.1.1.1.3.3"><times id="A2.E140.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="A2.E140.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1"></times><ci id="A2.E140.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="A2.E140.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2">𝑖</ci><ci id="A2.E140.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="A2.E140.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3">𝑗</ci></apply></apply></apply><apply id="A2.E140.m1.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="A2.E140.m1.2.2.2.2.2.1"><gt id="A2.E140.m1.2.2.2.2.2.1.2.cmml" xref="A2.E140.m1.2.2.2.2.2.1.2"></gt><apply id="A2.E140.m1.2.2.2.2.2.1.3.cmml" xref="A2.E140.m1.2.2.2.2.2.1.3"><divide id="A2.E140.m1.2.2.2.2.2.1.3.1.cmml" xref="A2.E140.m1.2.2.2.2.2.1.3"></divide><apply id="A2.E140.m1.2.2.2.2.2.1.3.2.cmml" xref="A2.E140.m1.2.2.2.2.2.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E140.m1.2.2.2.2.2.1.3.2.1.cmml" xref="A2.E140.m1.2.2.2.2.2.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="A2.E140.m1.2.2.2.2.2.1.3.2.2.cmml" xref="A2.E140.m1.2.2.2.2.2.1.3.2.2">𝑧</ci><ci id="A2.E140.m1.2.2.2.2.2.1.3.2.3.cmml" xref="A2.E140.m1.2.2.2.2.2.1.3.2.3">𝑖</ci></apply><apply id="A2.E140.m1.2.2.2.2.2.1.3.3.cmml" xref="A2.E140.m1.2.2.2.2.2.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E140.m1.2.2.2.2.2.1.3.3.1.cmml" xref="A2.E140.m1.2.2.2.2.2.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="A2.E140.m1.2.2.2.2.2.1.3.3.2.cmml" xref="A2.E140.m1.2.2.2.2.2.1.3.3.2">𝑥</ci><ci id="A2.E140.m1.2.2.2.2.2.1.3.3.3.cmml" xref="A2.E140.m1.2.2.2.2.2.1.3.3.3">𝑖</ci></apply></apply><apply id="A2.E140.m1.2.2.2.2.2.1.4.cmml" xref="A2.E140.m1.2.2.2.2.2.1.4"><times id="A2.E140.m1.2.2.2.2.2.1.4.1.cmml" xref="A2.E140.m1.2.2.2.2.2.1.4.1"></times><ci id="A2.E140.m1.2.2.2.2.2.1.4.2.cmml" xref="A2.E140.m1.2.2.2.2.2.1.4.2">𝑓</ci><apply id="A2.E140.m1.2.2.2.2.2.1.1.cmml" xref="A2.E140.m1.2.2.2.2.2.1.4.3.2"><ci id="A2.E140.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="A2.E140.m1.2.2.2.2.2.1.1.1">→</ci><ci id="A2.E140.m1.2.2.2.2.2.1.1.2.cmml" xref="A2.E140.m1.2.2.2.2.2.1.1.2">𝑥</ci></apply></apply></apply><apply id="A2.E140.m1.3.3.3.3.1.1.cmml" xref="A2.E140.m1.3.3.3.3.1.1"><minus id="A2.E140.m1.3.3.3.3.1.1.1.cmml" xref="A2.E140.m1.3.3.3.3.1.1"></minus><apply id="A2.E140.m1.3.3.3.3.1.1.2.cmml" xref="A2.E140.m1.3.3.3.3.1.1.2"><times id="A2.E140.m1.3.3.3.3.1.1.2.1.cmml" xref="A2.E140.m1.3.3.3.3.1.1.2.1"></times><apply id="A2.E140.m1.3.3.3.3.1.1.2.2.cmml" xref="A2.E140.m1.3.3.3.3.1.1.2.2"><divide id="A2.E140.m1.3.3.3.3.1.1.2.2.1.cmml" xref="A2.E140.m1.3.3.3.3.1.1.2.2"></divide><cn id="A2.E140.m1.3.3.3.3.1.1.2.2.2.cmml" type="integer" xref="A2.E140.m1.3.3.3.3.1.1.2.2.2">1</cn><apply id="A2.E140.m1.3.3.3.3.1.1.2.2.3.cmml" xref="A2.E140.m1.3.3.3.3.1.1.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E140.m1.3.3.3.3.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="A2.E140.m1.3.3.3.3.1.1.2.2.3">superscript</csymbol><apply id="A2.E140.m1.3.3.3.3.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="A2.E140.m1.3.3.3.3.1.1.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E140.m1.3.3.3.3.1.1.2.2.3.2.1.cmml" xref="A2.E140.m1.3.3.3.3.1.1.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="A2.E140.m1.3.3.3.3.1.1.2.2.3.2.2.cmml" xref="A2.E140.m1.3.3.3.3.1.1.2.2.3.2.2">𝑥</ci><ci id="A2.E140.m1.3.3.3.3.1.1.2.2.3.2.3.cmml" xref="A2.E140.m1.3.3.3.3.1.1.2.2.3.2.3">𝑖</ci></apply><cn id="A2.E140.m1.3.3.3.3.1.1.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="A2.E140.m1.3.3.3.3.1.1.2.2.3.3">2</cn></apply></apply><apply id="A2.E140.m1.3.3.3.3.1.1.2.3.cmml" xref="A2.E140.m1.3.3.3.3.1.1.2.3"><apply id="A2.E140.m1.3.3.3.3.1.1.2.3.1.cmml" xref="A2.E140.m1.3.3.3.3.1.1.2.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E140.m1.3.3.3.3.1.1.2.3.1.1.cmml" xref="A2.E140.m1.3.3.3.3.1.1.2.3.1">subscript</csymbol><sum id="A2.E140.m1.3.3.3.3.1.1.2.3.1.2.cmml" xref="A2.E140.m1.3.3.3.3.1.1.2.3.1.2"></sum><apply id="A2.E140.m1.3.3.3.3.1.1.2.3.1.3.cmml" xref="A2.E140.m1.3.3.3.3.1.1.2.3.1.3"><neq id="A2.E140.m1.3.3.3.3.1.1.2.3.1.3.1.cmml" xref="A2.E140.m1.3.3.3.3.1.1.2.3.1.3.1"></neq><ci id="A2.E140.m1.3.3.3.3.1.1.2.3.1.3.2.cmml" xref="A2.E140.m1.3.3.3.3.1.1.2.3.1.3.2">𝑘</ci><ci id="A2.E140.m1.3.3.3.3.1.1.2.3.1.3.3.cmml" xref="A2.E140.m1.3.3.3.3.1.1.2.3.1.3.3">𝑖</ci></apply></apply><apply id="A2.E140.m1.3.3.3.3.1.1.2.3.2.cmml" xref="A2.E140.m1.3.3.3.3.1.1.2.3.2"><times id="A2.E140.m1.3.3.3.3.1.1.2.3.2.1.cmml" xref="A2.E140.m1.3.3.3.3.1.1.2.3.2.1"></times><apply id="A2.E140.m1.3.3.3.3.1.1.2.3.2.2.cmml" xref="A2.E140.m1.3.3.3.3.1.1.2.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E140.m1.3.3.3.3.1.1.2.3.2.2.1.cmml" xref="A2.E140.m1.3.3.3.3.1.1.2.3.2.2">subscript</csymbol><ci id="A2.E140.m1.3.3.3.3.1.1.2.3.2.2.2.cmml" xref="A2.E140.m1.3.3.3.3.1.1.2.3.2.2.2">𝐴</ci><apply id="A2.E140.m1.3.3.3.3.1.1.2.3.2.2.3.cmml" xref="A2.E140.m1.3.3.3.3.1.1.2.3.2.2.3"><times id="A2.E140.m1.3.3.3.3.1.1.2.3.2.2.3.1.cmml" xref="A2.E140.m1.3.3.3.3.1.1.2.3.2.2.3.1"></times><ci id="A2.E140.m1.3.3.3.3.1.1.2.3.2.2.3.2.cmml" xref="A2.E140.m1.3.3.3.3.1.1.2.3.2.2.3.2">𝑖</ci><ci id="A2.E140.m1.3.3.3.3.1.1.2.3.2.2.3.3.cmml" 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xref="A2.E140.m1.4.4.4.4.2.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="A2.E140.m1.4.4.4.4.2.1.3.2.2.cmml" xref="A2.E140.m1.4.4.4.4.2.1.3.2.2">𝑧</ci><ci id="A2.E140.m1.4.4.4.4.2.1.3.2.3.cmml" xref="A2.E140.m1.4.4.4.4.2.1.3.2.3">𝑖</ci></apply><apply id="A2.E140.m1.4.4.4.4.2.1.3.3.cmml" xref="A2.E140.m1.4.4.4.4.2.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E140.m1.4.4.4.4.2.1.3.3.1.cmml" xref="A2.E140.m1.4.4.4.4.2.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="A2.E140.m1.4.4.4.4.2.1.3.3.2.cmml" xref="A2.E140.m1.4.4.4.4.2.1.3.3.2">𝑥</ci><ci id="A2.E140.m1.4.4.4.4.2.1.3.3.3.cmml" xref="A2.E140.m1.4.4.4.4.2.1.3.3.3">𝑖</ci></apply></apply><apply id="A2.E140.m1.4.4.4.4.2.1.4.cmml" xref="A2.E140.m1.4.4.4.4.2.1.4"><times id="A2.E140.m1.4.4.4.4.2.1.4.1.cmml" xref="A2.E140.m1.4.4.4.4.2.1.4.1"></times><ci id="A2.E140.m1.4.4.4.4.2.1.4.2.cmml" xref="A2.E140.m1.4.4.4.4.2.1.4.2">𝑓</ci><apply id="A2.E140.m1.4.4.4.4.2.1.1.cmml" xref="A2.E140.m1.4.4.4.4.2.1.4.3.2"><ci id="A2.E140.m1.4.4.4.4.2.1.1.1.cmml" xref="A2.E140.m1.4.4.4.4.2.1.1.1">→</ci><ci id="A2.E140.m1.4.4.4.4.2.1.1.2.cmml" xref="A2.E140.m1.4.4.4.4.2.1.1.2">𝑥</ci></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.E140.m1.5c">\displaystyle\frac{\partial f(\vec{x})}{\partial x_{i}}=\begin{cases}\min_{j:% \frac{z_{j}}{x_{j}}=f(\vec{x})}A_{ij}&\frac{z_{i}}{x_{i}}>f(\vec{x})\\ -\frac{1}{x_{i}^{2}}\sum_{k\neq i}A_{ik}x_{k}&\frac{z_{i}}{x_{i}}=f(\vec{x})% \end{cases}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.E140.m1.5d">divide start_ARG ∂ italic_f ( over→ start_ARG italic_x end_ARG ) end_ARG start_ARG ∂ italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT end_ARG = { start_ROW start_CELL roman_min start_POSTSUBSCRIPT italic_j : divide start_ARG italic_z start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT end_ARG start_ARG italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT end_ARG = italic_f ( over→ start_ARG italic_x end_ARG ) end_POSTSUBSCRIPT italic_A start_POSTSUBSCRIPT italic_i italic_j end_POSTSUBSCRIPT end_CELL start_CELL divide start_ARG italic_z start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT end_ARG start_ARG italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT end_ARG > italic_f ( over→ start_ARG italic_x end_ARG ) end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL - divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_k ≠ italic_i end_POSTSUBSCRIPT italic_A start_POSTSUBSCRIPT italic_i italic_k end_POSTSUBSCRIPT italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT end_CELL start_CELL divide start_ARG italic_z start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT end_ARG start_ARG italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT end_ARG = italic_f ( over→ start_ARG italic_x end_ARG ) end_CELL end_ROW</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(140)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="A2.SS1.1.p1.23">(Note that this is only a subgradient, as <math alttext="f" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.SS1.1.p1.11.m1.1"><semantics id="A2.SS1.1.p1.11.m1.1a"><mi id="A2.SS1.1.p1.11.m1.1.1" xref="A2.SS1.1.p1.11.m1.1.1.cmml">f</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.SS1.1.p1.11.m1.1b"><ci id="A2.SS1.1.p1.11.m1.1.1.cmml" xref="A2.SS1.1.p1.11.m1.1.1">𝑓</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.SS1.1.p1.11.m1.1c">f</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.SS1.1.p1.11.m1.1d">italic_f</annotation></semantics></math> is not differentiable everywhere.) A maximum of <math alttext="f" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.SS1.1.p1.12.m2.1"><semantics id="A2.SS1.1.p1.12.m2.1a"><mi id="A2.SS1.1.p1.12.m2.1.1" xref="A2.SS1.1.p1.12.m2.1.1.cmml">f</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.SS1.1.p1.12.m2.1b"><ci id="A2.SS1.1.p1.12.m2.1.1.cmml" xref="A2.SS1.1.p1.12.m2.1.1">𝑓</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.SS1.1.p1.12.m2.1c">f</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.SS1.1.p1.12.m2.1d">italic_f</annotation></semantics></math> can occur only if every element of the subgradient is nonpositive. Since <math alttext="A_{ij}\geq 0" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.SS1.1.p1.13.m3.1"><semantics id="A2.SS1.1.p1.13.m3.1a"><mrow id="A2.SS1.1.p1.13.m3.1.1" xref="A2.SS1.1.p1.13.m3.1.1.cmml"><msub id="A2.SS1.1.p1.13.m3.1.1.2" xref="A2.SS1.1.p1.13.m3.1.1.2.cmml"><mi id="A2.SS1.1.p1.13.m3.1.1.2.2" xref="A2.SS1.1.p1.13.m3.1.1.2.2.cmml">A</mi><mrow id="A2.SS1.1.p1.13.m3.1.1.2.3" xref="A2.SS1.1.p1.13.m3.1.1.2.3.cmml"><mi id="A2.SS1.1.p1.13.m3.1.1.2.3.2" xref="A2.SS1.1.p1.13.m3.1.1.2.3.2.cmml">i</mi><mo id="A2.SS1.1.p1.13.m3.1.1.2.3.1" xref="A2.SS1.1.p1.13.m3.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A2.SS1.1.p1.13.m3.1.1.2.3.3" xref="A2.SS1.1.p1.13.m3.1.1.2.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="A2.SS1.1.p1.13.m3.1.1.1" xref="A2.SS1.1.p1.13.m3.1.1.1.cmml">≥</mo><mn id="A2.SS1.1.p1.13.m3.1.1.3" xref="A2.SS1.1.p1.13.m3.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.SS1.1.p1.13.m3.1b"><apply id="A2.SS1.1.p1.13.m3.1.1.cmml" xref="A2.SS1.1.p1.13.m3.1.1"><geq id="A2.SS1.1.p1.13.m3.1.1.1.cmml" xref="A2.SS1.1.p1.13.m3.1.1.1"></geq><apply id="A2.SS1.1.p1.13.m3.1.1.2.cmml" xref="A2.SS1.1.p1.13.m3.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.SS1.1.p1.13.m3.1.1.2.1.cmml" xref="A2.SS1.1.p1.13.m3.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="A2.SS1.1.p1.13.m3.1.1.2.2.cmml" xref="A2.SS1.1.p1.13.m3.1.1.2.2">𝐴</ci><apply id="A2.SS1.1.p1.13.m3.1.1.2.3.cmml" xref="A2.SS1.1.p1.13.m3.1.1.2.3"><times id="A2.SS1.1.p1.13.m3.1.1.2.3.1.cmml" xref="A2.SS1.1.p1.13.m3.1.1.2.3.1"></times><ci id="A2.SS1.1.p1.13.m3.1.1.2.3.2.cmml" xref="A2.SS1.1.p1.13.m3.1.1.2.3.2">𝑖</ci><ci id="A2.SS1.1.p1.13.m3.1.1.2.3.3.cmml" xref="A2.SS1.1.p1.13.m3.1.1.2.3.3">𝑗</ci></apply></apply><cn id="A2.SS1.1.p1.13.m3.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A2.SS1.1.p1.13.m3.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.SS1.1.p1.13.m3.1c">A_{ij}\geq 0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.SS1.1.p1.13.m3.1d">italic_A start_POSTSUBSCRIPT italic_i italic_j end_POSTSUBSCRIPT ≥ 0</annotation></semantics></math>, this happens only when <math alttext="\frac{z_{i}}{x_{i}}=f(\vec{x})" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.SS1.1.p1.14.m4.1"><semantics id="A2.SS1.1.p1.14.m4.1a"><mrow id="A2.SS1.1.p1.14.m4.1.2" xref="A2.SS1.1.p1.14.m4.1.2.cmml"><mfrac id="A2.SS1.1.p1.14.m4.1.2.2" xref="A2.SS1.1.p1.14.m4.1.2.2.cmml"><msub id="A2.SS1.1.p1.14.m4.1.2.2.2" xref="A2.SS1.1.p1.14.m4.1.2.2.2.cmml"><mi id="A2.SS1.1.p1.14.m4.1.2.2.2.2" xref="A2.SS1.1.p1.14.m4.1.2.2.2.2.cmml">z</mi><mi id="A2.SS1.1.p1.14.m4.1.2.2.2.3" xref="A2.SS1.1.p1.14.m4.1.2.2.2.3.cmml">i</mi></msub><msub id="A2.SS1.1.p1.14.m4.1.2.2.3" xref="A2.SS1.1.p1.14.m4.1.2.2.3.cmml"><mi id="A2.SS1.1.p1.14.m4.1.2.2.3.2" xref="A2.SS1.1.p1.14.m4.1.2.2.3.2.cmml">x</mi><mi id="A2.SS1.1.p1.14.m4.1.2.2.3.3" xref="A2.SS1.1.p1.14.m4.1.2.2.3.3.cmml">i</mi></msub></mfrac><mo id="A2.SS1.1.p1.14.m4.1.2.1" xref="A2.SS1.1.p1.14.m4.1.2.1.cmml">=</mo><mrow id="A2.SS1.1.p1.14.m4.1.2.3" xref="A2.SS1.1.p1.14.m4.1.2.3.cmml"><mi id="A2.SS1.1.p1.14.m4.1.2.3.2" xref="A2.SS1.1.p1.14.m4.1.2.3.2.cmml">f</mi><mo id="A2.SS1.1.p1.14.m4.1.2.3.1" xref="A2.SS1.1.p1.14.m4.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A2.SS1.1.p1.14.m4.1.2.3.3.2" xref="A2.SS1.1.p1.14.m4.1.1.cmml"><mo id="A2.SS1.1.p1.14.m4.1.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="A2.SS1.1.p1.14.m4.1.1.cmml">(</mo><mover accent="true" id="A2.SS1.1.p1.14.m4.1.1" xref="A2.SS1.1.p1.14.m4.1.1.cmml"><mi id="A2.SS1.1.p1.14.m4.1.1.2" xref="A2.SS1.1.p1.14.m4.1.1.2.cmml">x</mi><mo id="A2.SS1.1.p1.14.m4.1.1.1" stretchy="false" xref="A2.SS1.1.p1.14.m4.1.1.1.cmml">→</mo></mover><mo id="A2.SS1.1.p1.14.m4.1.2.3.3.2.2" stretchy="false" xref="A2.SS1.1.p1.14.m4.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.SS1.1.p1.14.m4.1b"><apply id="A2.SS1.1.p1.14.m4.1.2.cmml" xref="A2.SS1.1.p1.14.m4.1.2"><eq id="A2.SS1.1.p1.14.m4.1.2.1.cmml" xref="A2.SS1.1.p1.14.m4.1.2.1"></eq><apply id="A2.SS1.1.p1.14.m4.1.2.2.cmml" xref="A2.SS1.1.p1.14.m4.1.2.2"><divide id="A2.SS1.1.p1.14.m4.1.2.2.1.cmml" xref="A2.SS1.1.p1.14.m4.1.2.2"></divide><apply id="A2.SS1.1.p1.14.m4.1.2.2.2.cmml" xref="A2.SS1.1.p1.14.m4.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.SS1.1.p1.14.m4.1.2.2.2.1.cmml" xref="A2.SS1.1.p1.14.m4.1.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="A2.SS1.1.p1.14.m4.1.2.2.2.2.cmml" xref="A2.SS1.1.p1.14.m4.1.2.2.2.2">𝑧</ci><ci id="A2.SS1.1.p1.14.m4.1.2.2.2.3.cmml" xref="A2.SS1.1.p1.14.m4.1.2.2.2.3">𝑖</ci></apply><apply id="A2.SS1.1.p1.14.m4.1.2.2.3.cmml" xref="A2.SS1.1.p1.14.m4.1.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.SS1.1.p1.14.m4.1.2.2.3.1.cmml" xref="A2.SS1.1.p1.14.m4.1.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="A2.SS1.1.p1.14.m4.1.2.2.3.2.cmml" xref="A2.SS1.1.p1.14.m4.1.2.2.3.2">𝑥</ci><ci id="A2.SS1.1.p1.14.m4.1.2.2.3.3.cmml" xref="A2.SS1.1.p1.14.m4.1.2.2.3.3">𝑖</ci></apply></apply><apply id="A2.SS1.1.p1.14.m4.1.2.3.cmml" xref="A2.SS1.1.p1.14.m4.1.2.3"><times id="A2.SS1.1.p1.14.m4.1.2.3.1.cmml" xref="A2.SS1.1.p1.14.m4.1.2.3.1"></times><ci id="A2.SS1.1.p1.14.m4.1.2.3.2.cmml" xref="A2.SS1.1.p1.14.m4.1.2.3.2">𝑓</ci><apply id="A2.SS1.1.p1.14.m4.1.1.cmml" xref="A2.SS1.1.p1.14.m4.1.2.3.3.2"><ci id="A2.SS1.1.p1.14.m4.1.1.1.cmml" xref="A2.SS1.1.p1.14.m4.1.1.1">→</ci><ci id="A2.SS1.1.p1.14.m4.1.1.2.cmml" xref="A2.SS1.1.p1.14.m4.1.1.2">𝑥</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.SS1.1.p1.14.m4.1c">\frac{z_{i}}{x_{i}}=f(\vec{x})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.SS1.1.p1.14.m4.1d">divide start_ARG italic_z start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT end_ARG start_ARG italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT end_ARG = italic_f ( over→ start_ARG italic_x end_ARG )</annotation></semantics></math> for every <math alttext="i" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.SS1.1.p1.15.m5.1"><semantics id="A2.SS1.1.p1.15.m5.1a"><mi id="A2.SS1.1.p1.15.m5.1.1" xref="A2.SS1.1.p1.15.m5.1.1.cmml">i</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.SS1.1.p1.15.m5.1b"><ci id="A2.SS1.1.p1.15.m5.1.1.cmml" xref="A2.SS1.1.p1.15.m5.1.1">𝑖</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.SS1.1.p1.15.m5.1c">i</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.SS1.1.p1.15.m5.1d">italic_i</annotation></semantics></math>. In other words, <math alttext="f" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.SS1.1.p1.16.m6.1"><semantics id="A2.SS1.1.p1.16.m6.1a"><mi id="A2.SS1.1.p1.16.m6.1.1" xref="A2.SS1.1.p1.16.m6.1.1.cmml">f</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.SS1.1.p1.16.m6.1b"><ci id="A2.SS1.1.p1.16.m6.1.1.cmml" xref="A2.SS1.1.p1.16.m6.1.1">𝑓</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.SS1.1.p1.16.m6.1c">f</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.SS1.1.p1.16.m6.1d">italic_f</annotation></semantics></math> can be maximized only when <math alttext="A\vec{x}=f(\vec{x})\vec{x}" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.SS1.1.p1.17.m7.1"><semantics id="A2.SS1.1.p1.17.m7.1a"><mrow id="A2.SS1.1.p1.17.m7.1.2" xref="A2.SS1.1.p1.17.m7.1.2.cmml"><mrow id="A2.SS1.1.p1.17.m7.1.2.2" xref="A2.SS1.1.p1.17.m7.1.2.2.cmml"><mi id="A2.SS1.1.p1.17.m7.1.2.2.2" xref="A2.SS1.1.p1.17.m7.1.2.2.2.cmml">A</mi><mo id="A2.SS1.1.p1.17.m7.1.2.2.1" xref="A2.SS1.1.p1.17.m7.1.2.2.1.cmml">⁢</mo><mover accent="true" id="A2.SS1.1.p1.17.m7.1.2.2.3" xref="A2.SS1.1.p1.17.m7.1.2.2.3.cmml"><mi id="A2.SS1.1.p1.17.m7.1.2.2.3.2" xref="A2.SS1.1.p1.17.m7.1.2.2.3.2.cmml">x</mi><mo id="A2.SS1.1.p1.17.m7.1.2.2.3.1" stretchy="false" xref="A2.SS1.1.p1.17.m7.1.2.2.3.1.cmml">→</mo></mover></mrow><mo id="A2.SS1.1.p1.17.m7.1.2.1" xref="A2.SS1.1.p1.17.m7.1.2.1.cmml">=</mo><mrow id="A2.SS1.1.p1.17.m7.1.2.3" xref="A2.SS1.1.p1.17.m7.1.2.3.cmml"><mi id="A2.SS1.1.p1.17.m7.1.2.3.2" xref="A2.SS1.1.p1.17.m7.1.2.3.2.cmml">f</mi><mo id="A2.SS1.1.p1.17.m7.1.2.3.1" xref="A2.SS1.1.p1.17.m7.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A2.SS1.1.p1.17.m7.1.2.3.3.2" xref="A2.SS1.1.p1.17.m7.1.1.cmml"><mo id="A2.SS1.1.p1.17.m7.1.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="A2.SS1.1.p1.17.m7.1.1.cmml">(</mo><mover accent="true" id="A2.SS1.1.p1.17.m7.1.1" xref="A2.SS1.1.p1.17.m7.1.1.cmml"><mi id="A2.SS1.1.p1.17.m7.1.1.2" xref="A2.SS1.1.p1.17.m7.1.1.2.cmml">x</mi><mo id="A2.SS1.1.p1.17.m7.1.1.1" stretchy="false" xref="A2.SS1.1.p1.17.m7.1.1.1.cmml">→</mo></mover><mo id="A2.SS1.1.p1.17.m7.1.2.3.3.2.2" stretchy="false" xref="A2.SS1.1.p1.17.m7.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A2.SS1.1.p1.17.m7.1.2.3.1a" xref="A2.SS1.1.p1.17.m7.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mover accent="true" id="A2.SS1.1.p1.17.m7.1.2.3.4" xref="A2.SS1.1.p1.17.m7.1.2.3.4.cmml"><mi id="A2.SS1.1.p1.17.m7.1.2.3.4.2" xref="A2.SS1.1.p1.17.m7.1.2.3.4.2.cmml">x</mi><mo id="A2.SS1.1.p1.17.m7.1.2.3.4.1" stretchy="false" xref="A2.SS1.1.p1.17.m7.1.2.3.4.1.cmml">→</mo></mover></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.SS1.1.p1.17.m7.1b"><apply id="A2.SS1.1.p1.17.m7.1.2.cmml" xref="A2.SS1.1.p1.17.m7.1.2"><eq id="A2.SS1.1.p1.17.m7.1.2.1.cmml" xref="A2.SS1.1.p1.17.m7.1.2.1"></eq><apply id="A2.SS1.1.p1.17.m7.1.2.2.cmml" xref="A2.SS1.1.p1.17.m7.1.2.2"><times id="A2.SS1.1.p1.17.m7.1.2.2.1.cmml" xref="A2.SS1.1.p1.17.m7.1.2.2.1"></times><ci id="A2.SS1.1.p1.17.m7.1.2.2.2.cmml" xref="A2.SS1.1.p1.17.m7.1.2.2.2">𝐴</ci><apply id="A2.SS1.1.p1.17.m7.1.2.2.3.cmml" xref="A2.SS1.1.p1.17.m7.1.2.2.3"><ci id="A2.SS1.1.p1.17.m7.1.2.2.3.1.cmml" xref="A2.SS1.1.p1.17.m7.1.2.2.3.1">→</ci><ci id="A2.SS1.1.p1.17.m7.1.2.2.3.2.cmml" xref="A2.SS1.1.p1.17.m7.1.2.2.3.2">𝑥</ci></apply></apply><apply id="A2.SS1.1.p1.17.m7.1.2.3.cmml" xref="A2.SS1.1.p1.17.m7.1.2.3"><times id="A2.SS1.1.p1.17.m7.1.2.3.1.cmml" xref="A2.SS1.1.p1.17.m7.1.2.3.1"></times><ci id="A2.SS1.1.p1.17.m7.1.2.3.2.cmml" xref="A2.SS1.1.p1.17.m7.1.2.3.2">𝑓</ci><apply id="A2.SS1.1.p1.17.m7.1.1.cmml" xref="A2.SS1.1.p1.17.m7.1.2.3.3.2"><ci id="A2.SS1.1.p1.17.m7.1.1.1.cmml" xref="A2.SS1.1.p1.17.m7.1.1.1">→</ci><ci id="A2.SS1.1.p1.17.m7.1.1.2.cmml" xref="A2.SS1.1.p1.17.m7.1.1.2">𝑥</ci></apply><apply id="A2.SS1.1.p1.17.m7.1.2.3.4.cmml" xref="A2.SS1.1.p1.17.m7.1.2.3.4"><ci id="A2.SS1.1.p1.17.m7.1.2.3.4.1.cmml" xref="A2.SS1.1.p1.17.m7.1.2.3.4.1">→</ci><ci id="A2.SS1.1.p1.17.m7.1.2.3.4.2.cmml" xref="A2.SS1.1.p1.17.m7.1.2.3.4.2">𝑥</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.SS1.1.p1.17.m7.1c">A\vec{x}=f(\vec{x})\vec{x}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.SS1.1.p1.17.m7.1d">italic_A over→ start_ARG italic_x end_ARG = italic_f ( over→ start_ARG italic_x end_ARG ) over→ start_ARG italic_x end_ARG</annotation></semantics></math>, which implies that <math alttext="\vec{x}" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.SS1.1.p1.18.m8.1"><semantics id="A2.SS1.1.p1.18.m8.1a"><mover accent="true" id="A2.SS1.1.p1.18.m8.1.1" xref="A2.SS1.1.p1.18.m8.1.1.cmml"><mi id="A2.SS1.1.p1.18.m8.1.1.2" xref="A2.SS1.1.p1.18.m8.1.1.2.cmml">x</mi><mo id="A2.SS1.1.p1.18.m8.1.1.1" stretchy="false" xref="A2.SS1.1.p1.18.m8.1.1.1.cmml">→</mo></mover><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.SS1.1.p1.18.m8.1b"><apply id="A2.SS1.1.p1.18.m8.1.1.cmml" xref="A2.SS1.1.p1.18.m8.1.1"><ci id="A2.SS1.1.p1.18.m8.1.1.1.cmml" xref="A2.SS1.1.p1.18.m8.1.1.1">→</ci><ci id="A2.SS1.1.p1.18.m8.1.1.2.cmml" xref="A2.SS1.1.p1.18.m8.1.1.2">𝑥</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.SS1.1.p1.18.m8.1c">\vec{x}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.SS1.1.p1.18.m8.1d">over→ start_ARG italic_x end_ARG</annotation></semantics></math> is an eigenvector of <math alttext="A" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.SS1.1.p1.19.m9.1"><semantics id="A2.SS1.1.p1.19.m9.1a"><mi id="A2.SS1.1.p1.19.m9.1.1" xref="A2.SS1.1.p1.19.m9.1.1.cmml">A</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.SS1.1.p1.19.m9.1b"><ci id="A2.SS1.1.p1.19.m9.1.1.cmml" xref="A2.SS1.1.p1.19.m9.1.1">𝐴</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.SS1.1.p1.19.m9.1c">A</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.SS1.1.p1.19.m9.1d">italic_A</annotation></semantics></math> with eigenvalue <math alttext="f(\vec{x})" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.SS1.1.p1.20.m10.1"><semantics id="A2.SS1.1.p1.20.m10.1a"><mrow id="A2.SS1.1.p1.20.m10.1.2" xref="A2.SS1.1.p1.20.m10.1.2.cmml"><mi id="A2.SS1.1.p1.20.m10.1.2.2" xref="A2.SS1.1.p1.20.m10.1.2.2.cmml">f</mi><mo id="A2.SS1.1.p1.20.m10.1.2.1" xref="A2.SS1.1.p1.20.m10.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A2.SS1.1.p1.20.m10.1.2.3.2" xref="A2.SS1.1.p1.20.m10.1.1.cmml"><mo id="A2.SS1.1.p1.20.m10.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="A2.SS1.1.p1.20.m10.1.1.cmml">(</mo><mover accent="true" id="A2.SS1.1.p1.20.m10.1.1" xref="A2.SS1.1.p1.20.m10.1.1.cmml"><mi id="A2.SS1.1.p1.20.m10.1.1.2" xref="A2.SS1.1.p1.20.m10.1.1.2.cmml">x</mi><mo id="A2.SS1.1.p1.20.m10.1.1.1" stretchy="false" xref="A2.SS1.1.p1.20.m10.1.1.1.cmml">→</mo></mover><mo id="A2.SS1.1.p1.20.m10.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="A2.SS1.1.p1.20.m10.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.SS1.1.p1.20.m10.1b"><apply id="A2.SS1.1.p1.20.m10.1.2.cmml" xref="A2.SS1.1.p1.20.m10.1.2"><times id="A2.SS1.1.p1.20.m10.1.2.1.cmml" xref="A2.SS1.1.p1.20.m10.1.2.1"></times><ci id="A2.SS1.1.p1.20.m10.1.2.2.cmml" xref="A2.SS1.1.p1.20.m10.1.2.2">𝑓</ci><apply id="A2.SS1.1.p1.20.m10.1.1.cmml" xref="A2.SS1.1.p1.20.m10.1.2.3.2"><ci id="A2.SS1.1.p1.20.m10.1.1.1.cmml" xref="A2.SS1.1.p1.20.m10.1.1.1">→</ci><ci id="A2.SS1.1.p1.20.m10.1.1.2.cmml" xref="A2.SS1.1.p1.20.m10.1.1.2">𝑥</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.SS1.1.p1.20.m10.1c">f(\vec{x})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.SS1.1.p1.20.m10.1d">italic_f ( over→ start_ARG italic_x end_ARG )</annotation></semantics></math>. It follows that <math alttext="f(\vec{x})\leq a" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.SS1.1.p1.21.m11.1"><semantics id="A2.SS1.1.p1.21.m11.1a"><mrow id="A2.SS1.1.p1.21.m11.1.2" xref="A2.SS1.1.p1.21.m11.1.2.cmml"><mrow id="A2.SS1.1.p1.21.m11.1.2.2" xref="A2.SS1.1.p1.21.m11.1.2.2.cmml"><mi id="A2.SS1.1.p1.21.m11.1.2.2.2" xref="A2.SS1.1.p1.21.m11.1.2.2.2.cmml">f</mi><mo id="A2.SS1.1.p1.21.m11.1.2.2.1" xref="A2.SS1.1.p1.21.m11.1.2.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A2.SS1.1.p1.21.m11.1.2.2.3.2" xref="A2.SS1.1.p1.21.m11.1.1.cmml"><mo id="A2.SS1.1.p1.21.m11.1.2.2.3.2.1" stretchy="false" xref="A2.SS1.1.p1.21.m11.1.1.cmml">(</mo><mover accent="true" id="A2.SS1.1.p1.21.m11.1.1" xref="A2.SS1.1.p1.21.m11.1.1.cmml"><mi id="A2.SS1.1.p1.21.m11.1.1.2" xref="A2.SS1.1.p1.21.m11.1.1.2.cmml">x</mi><mo id="A2.SS1.1.p1.21.m11.1.1.1" stretchy="false" xref="A2.SS1.1.p1.21.m11.1.1.1.cmml">→</mo></mover><mo id="A2.SS1.1.p1.21.m11.1.2.2.3.2.2" stretchy="false" xref="A2.SS1.1.p1.21.m11.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A2.SS1.1.p1.21.m11.1.2.1" xref="A2.SS1.1.p1.21.m11.1.2.1.cmml">≤</mo><mi id="A2.SS1.1.p1.21.m11.1.2.3" xref="A2.SS1.1.p1.21.m11.1.2.3.cmml">a</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.SS1.1.p1.21.m11.1b"><apply id="A2.SS1.1.p1.21.m11.1.2.cmml" xref="A2.SS1.1.p1.21.m11.1.2"><leq id="A2.SS1.1.p1.21.m11.1.2.1.cmml" xref="A2.SS1.1.p1.21.m11.1.2.1"></leq><apply id="A2.SS1.1.p1.21.m11.1.2.2.cmml" xref="A2.SS1.1.p1.21.m11.1.2.2"><times id="A2.SS1.1.p1.21.m11.1.2.2.1.cmml" xref="A2.SS1.1.p1.21.m11.1.2.2.1"></times><ci id="A2.SS1.1.p1.21.m11.1.2.2.2.cmml" xref="A2.SS1.1.p1.21.m11.1.2.2.2">𝑓</ci><apply id="A2.SS1.1.p1.21.m11.1.1.cmml" xref="A2.SS1.1.p1.21.m11.1.2.2.3.2"><ci id="A2.SS1.1.p1.21.m11.1.1.1.cmml" xref="A2.SS1.1.p1.21.m11.1.1.1">→</ci><ci id="A2.SS1.1.p1.21.m11.1.1.2.cmml" xref="A2.SS1.1.p1.21.m11.1.1.2">𝑥</ci></apply></apply><ci id="A2.SS1.1.p1.21.m11.1.2.3.cmml" xref="A2.SS1.1.p1.21.m11.1.2.3">𝑎</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.SS1.1.p1.21.m11.1c">f(\vec{x})\leq a</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.SS1.1.p1.21.m11.1d">italic_f ( over→ start_ARG italic_x end_ARG ) ≤ italic_a</annotation></semantics></math>. We saw earlier that <math alttext="c\leq f(\vec{x})" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.SS1.1.p1.22.m12.1"><semantics id="A2.SS1.1.p1.22.m12.1a"><mrow id="A2.SS1.1.p1.22.m12.1.2" xref="A2.SS1.1.p1.22.m12.1.2.cmml"><mi id="A2.SS1.1.p1.22.m12.1.2.2" xref="A2.SS1.1.p1.22.m12.1.2.2.cmml">c</mi><mo id="A2.SS1.1.p1.22.m12.1.2.1" xref="A2.SS1.1.p1.22.m12.1.2.1.cmml">≤</mo><mrow id="A2.SS1.1.p1.22.m12.1.2.3" xref="A2.SS1.1.p1.22.m12.1.2.3.cmml"><mi id="A2.SS1.1.p1.22.m12.1.2.3.2" xref="A2.SS1.1.p1.22.m12.1.2.3.2.cmml">f</mi><mo id="A2.SS1.1.p1.22.m12.1.2.3.1" xref="A2.SS1.1.p1.22.m12.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A2.SS1.1.p1.22.m12.1.2.3.3.2" xref="A2.SS1.1.p1.22.m12.1.1.cmml"><mo id="A2.SS1.1.p1.22.m12.1.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="A2.SS1.1.p1.22.m12.1.1.cmml">(</mo><mover accent="true" id="A2.SS1.1.p1.22.m12.1.1" xref="A2.SS1.1.p1.22.m12.1.1.cmml"><mi id="A2.SS1.1.p1.22.m12.1.1.2" xref="A2.SS1.1.p1.22.m12.1.1.2.cmml">x</mi><mo id="A2.SS1.1.p1.22.m12.1.1.1" stretchy="false" xref="A2.SS1.1.p1.22.m12.1.1.1.cmml">→</mo></mover><mo id="A2.SS1.1.p1.22.m12.1.2.3.3.2.2" stretchy="false" xref="A2.SS1.1.p1.22.m12.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.SS1.1.p1.22.m12.1b"><apply id="A2.SS1.1.p1.22.m12.1.2.cmml" xref="A2.SS1.1.p1.22.m12.1.2"><leq id="A2.SS1.1.p1.22.m12.1.2.1.cmml" xref="A2.SS1.1.p1.22.m12.1.2.1"></leq><ci id="A2.SS1.1.p1.22.m12.1.2.2.cmml" xref="A2.SS1.1.p1.22.m12.1.2.2">𝑐</ci><apply id="A2.SS1.1.p1.22.m12.1.2.3.cmml" xref="A2.SS1.1.p1.22.m12.1.2.3"><times id="A2.SS1.1.p1.22.m12.1.2.3.1.cmml" xref="A2.SS1.1.p1.22.m12.1.2.3.1"></times><ci id="A2.SS1.1.p1.22.m12.1.2.3.2.cmml" xref="A2.SS1.1.p1.22.m12.1.2.3.2">𝑓</ci><apply id="A2.SS1.1.p1.22.m12.1.1.cmml" xref="A2.SS1.1.p1.22.m12.1.2.3.3.2"><ci id="A2.SS1.1.p1.22.m12.1.1.1.cmml" xref="A2.SS1.1.p1.22.m12.1.1.1">→</ci><ci id="A2.SS1.1.p1.22.m12.1.1.2.cmml" xref="A2.SS1.1.p1.22.m12.1.1.2">𝑥</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.SS1.1.p1.22.m12.1c">c\leq f(\vec{x})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.SS1.1.p1.22.m12.1d">italic_c ≤ italic_f ( over→ start_ARG italic_x end_ARG )</annotation></semantics></math>, from which we obtain <math alttext="c\leq a" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.SS1.1.p1.23.m13.1"><semantics id="A2.SS1.1.p1.23.m13.1a"><mrow id="A2.SS1.1.p1.23.m13.1.1" xref="A2.SS1.1.p1.23.m13.1.1.cmml"><mi id="A2.SS1.1.p1.23.m13.1.1.2" xref="A2.SS1.1.p1.23.m13.1.1.2.cmml">c</mi><mo id="A2.SS1.1.p1.23.m13.1.1.1" xref="A2.SS1.1.p1.23.m13.1.1.1.cmml">≤</mo><mi id="A2.SS1.1.p1.23.m13.1.1.3" xref="A2.SS1.1.p1.23.m13.1.1.3.cmml">a</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.SS1.1.p1.23.m13.1b"><apply id="A2.SS1.1.p1.23.m13.1.1.cmml" xref="A2.SS1.1.p1.23.m13.1.1"><leq id="A2.SS1.1.p1.23.m13.1.1.1.cmml" xref="A2.SS1.1.p1.23.m13.1.1.1"></leq><ci id="A2.SS1.1.p1.23.m13.1.1.2.cmml" xref="A2.SS1.1.p1.23.m13.1.1.2">𝑐</ci><ci id="A2.SS1.1.p1.23.m13.1.1.3.cmml" xref="A2.SS1.1.p1.23.m13.1.1.3">𝑎</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.SS1.1.p1.23.m13.1c">c\leq a</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.SS1.1.p1.23.m13.1d">italic_c ≤ italic_a</annotation></semantics></math>. ∎</p> </div> </div> </section> <section class="ltx_subsection" id="A2.SS2"> <h3 class="ltx_title ltx_title_subsection"> <span class="ltx_tag ltx_tag_subsection">B.2 </span>Proof of Lemma <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#Thmtheorem22" title="Lemma 22. ‣ IV Properties of the eigenspaces ‣ Conditional 𝑡-independent spectral gap for random quantum circuits and implications for 𝑡-design depths"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">22</span></a> </h3> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_lemma" id="Thmlemmax1"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmlemmax1.1.1.1">Lemma</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmlemmax1.2.2">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="Thmlemmax1.p1"> <p class="ltx_p" id="Thmlemmax1.p1.4"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmlemmax1.p1.4.4">(Restatement of Lemma <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#Thmtheorem22" title="Lemma 22. ‣ IV Properties of the eigenspaces ‣ Conditional 𝑡-independent spectral gap for random quantum circuits and implications for 𝑡-design depths"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">22</span></a>) Let <math alttext="k<t" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmlemmax1.p1.1.1.m1.1"><semantics id="Thmlemmax1.p1.1.1.m1.1a"><mrow id="Thmlemmax1.p1.1.1.m1.1.1" xref="Thmlemmax1.p1.1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="Thmlemmax1.p1.1.1.m1.1.1.2" xref="Thmlemmax1.p1.1.1.m1.1.1.2.cmml">k</mi><mo id="Thmlemmax1.p1.1.1.m1.1.1.1" xref="Thmlemmax1.p1.1.1.m1.1.1.1.cmml"><</mo><mi id="Thmlemmax1.p1.1.1.m1.1.1.3" xref="Thmlemmax1.p1.1.1.m1.1.1.3.cmml">t</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmlemmax1.p1.1.1.m1.1b"><apply id="Thmlemmax1.p1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="Thmlemmax1.p1.1.1.m1.1.1"><lt id="Thmlemmax1.p1.1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="Thmlemmax1.p1.1.1.m1.1.1.1"></lt><ci id="Thmlemmax1.p1.1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="Thmlemmax1.p1.1.1.m1.1.1.2">𝑘</ci><ci id="Thmlemmax1.p1.1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="Thmlemmax1.p1.1.1.m1.1.1.3">𝑡</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmlemmax1.p1.1.1.m1.1c">k<t</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmlemmax1.p1.1.1.m1.1d">italic_k < italic_t</annotation></semantics></math> and <math alttext="\vec{\sigma}\in S_{k}^{\times N}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmlemmax1.p1.2.2.m2.1"><semantics id="Thmlemmax1.p1.2.2.m2.1a"><mrow id="Thmlemmax1.p1.2.2.m2.1.1" xref="Thmlemmax1.p1.2.2.m2.1.1.cmml"><mover accent="true" id="Thmlemmax1.p1.2.2.m2.1.1.2" xref="Thmlemmax1.p1.2.2.m2.1.1.2.cmml"><mi id="Thmlemmax1.p1.2.2.m2.1.1.2.2" xref="Thmlemmax1.p1.2.2.m2.1.1.2.2.cmml">σ</mi><mo id="Thmlemmax1.p1.2.2.m2.1.1.2.1" stretchy="false" xref="Thmlemmax1.p1.2.2.m2.1.1.2.1.cmml">→</mo></mover><mo id="Thmlemmax1.p1.2.2.m2.1.1.1" xref="Thmlemmax1.p1.2.2.m2.1.1.1.cmml">∈</mo><msubsup id="Thmlemmax1.p1.2.2.m2.1.1.3" xref="Thmlemmax1.p1.2.2.m2.1.1.3.cmml"><mi id="Thmlemmax1.p1.2.2.m2.1.1.3.2.2" xref="Thmlemmax1.p1.2.2.m2.1.1.3.2.2.cmml">S</mi><mi id="Thmlemmax1.p1.2.2.m2.1.1.3.2.3" xref="Thmlemmax1.p1.2.2.m2.1.1.3.2.3.cmml">k</mi><mrow id="Thmlemmax1.p1.2.2.m2.1.1.3.3" xref="Thmlemmax1.p1.2.2.m2.1.1.3.3.cmml"><mi id="Thmlemmax1.p1.2.2.m2.1.1.3.3.2" xref="Thmlemmax1.p1.2.2.m2.1.1.3.3.2.cmml"></mi><mo id="Thmlemmax1.p1.2.2.m2.1.1.3.3.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="Thmlemmax1.p1.2.2.m2.1.1.3.3.1.cmml">×</mo><mi id="Thmlemmax1.p1.2.2.m2.1.1.3.3.3" xref="Thmlemmax1.p1.2.2.m2.1.1.3.3.3.cmml">N</mi></mrow></msubsup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmlemmax1.p1.2.2.m2.1b"><apply id="Thmlemmax1.p1.2.2.m2.1.1.cmml" xref="Thmlemmax1.p1.2.2.m2.1.1"><in id="Thmlemmax1.p1.2.2.m2.1.1.1.cmml" xref="Thmlemmax1.p1.2.2.m2.1.1.1"></in><apply id="Thmlemmax1.p1.2.2.m2.1.1.2.cmml" xref="Thmlemmax1.p1.2.2.m2.1.1.2"><ci id="Thmlemmax1.p1.2.2.m2.1.1.2.1.cmml" xref="Thmlemmax1.p1.2.2.m2.1.1.2.1">→</ci><ci id="Thmlemmax1.p1.2.2.m2.1.1.2.2.cmml" xref="Thmlemmax1.p1.2.2.m2.1.1.2.2">𝜎</ci></apply><apply id="Thmlemmax1.p1.2.2.m2.1.1.3.cmml" xref="Thmlemmax1.p1.2.2.m2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmlemmax1.p1.2.2.m2.1.1.3.1.cmml" xref="Thmlemmax1.p1.2.2.m2.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="Thmlemmax1.p1.2.2.m2.1.1.3.2.cmml" xref="Thmlemmax1.p1.2.2.m2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmlemmax1.p1.2.2.m2.1.1.3.2.1.cmml" xref="Thmlemmax1.p1.2.2.m2.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="Thmlemmax1.p1.2.2.m2.1.1.3.2.2.cmml" xref="Thmlemmax1.p1.2.2.m2.1.1.3.2.2">𝑆</ci><ci id="Thmlemmax1.p1.2.2.m2.1.1.3.2.3.cmml" xref="Thmlemmax1.p1.2.2.m2.1.1.3.2.3">𝑘</ci></apply><apply id="Thmlemmax1.p1.2.2.m2.1.1.3.3.cmml" xref="Thmlemmax1.p1.2.2.m2.1.1.3.3"><times id="Thmlemmax1.p1.2.2.m2.1.1.3.3.1.cmml" xref="Thmlemmax1.p1.2.2.m2.1.1.3.3.1"></times><csymbol cd="latexml" id="Thmlemmax1.p1.2.2.m2.1.1.3.3.2.cmml" xref="Thmlemmax1.p1.2.2.m2.1.1.3.3.2">absent</csymbol><ci id="Thmlemmax1.p1.2.2.m2.1.1.3.3.3.cmml" xref="Thmlemmax1.p1.2.2.m2.1.1.3.3.3">𝑁</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmlemmax1.p1.2.2.m2.1c">\vec{\sigma}\in S_{k}^{\times N}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmlemmax1.p1.2.2.m2.1d">over→ start_ARG italic_σ end_ARG ∈ italic_S start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT × italic_N end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>, where <math alttext="S_{k}^{\times N}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmlemmax1.p1.3.3.m3.1"><semantics id="Thmlemmax1.p1.3.3.m3.1a"><msubsup id="Thmlemmax1.p1.3.3.m3.1.1" xref="Thmlemmax1.p1.3.3.m3.1.1.cmml"><mi id="Thmlemmax1.p1.3.3.m3.1.1.2.2" xref="Thmlemmax1.p1.3.3.m3.1.1.2.2.cmml">S</mi><mi id="Thmlemmax1.p1.3.3.m3.1.1.2.3" xref="Thmlemmax1.p1.3.3.m3.1.1.2.3.cmml">k</mi><mrow id="Thmlemmax1.p1.3.3.m3.1.1.3" xref="Thmlemmax1.p1.3.3.m3.1.1.3.cmml"><mi id="Thmlemmax1.p1.3.3.m3.1.1.3.2" xref="Thmlemmax1.p1.3.3.m3.1.1.3.2.cmml"></mi><mo id="Thmlemmax1.p1.3.3.m3.1.1.3.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="Thmlemmax1.p1.3.3.m3.1.1.3.1.cmml">×</mo><mi id="Thmlemmax1.p1.3.3.m3.1.1.3.3" xref="Thmlemmax1.p1.3.3.m3.1.1.3.3.cmml">N</mi></mrow></msubsup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmlemmax1.p1.3.3.m3.1b"><apply id="Thmlemmax1.p1.3.3.m3.1.1.cmml" xref="Thmlemmax1.p1.3.3.m3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmlemmax1.p1.3.3.m3.1.1.1.cmml" xref="Thmlemmax1.p1.3.3.m3.1.1">superscript</csymbol><apply id="Thmlemmax1.p1.3.3.m3.1.1.2.cmml" xref="Thmlemmax1.p1.3.3.m3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmlemmax1.p1.3.3.m3.1.1.2.1.cmml" xref="Thmlemmax1.p1.3.3.m3.1.1">subscript</csymbol><ci id="Thmlemmax1.p1.3.3.m3.1.1.2.2.cmml" xref="Thmlemmax1.p1.3.3.m3.1.1.2.2">𝑆</ci><ci id="Thmlemmax1.p1.3.3.m3.1.1.2.3.cmml" xref="Thmlemmax1.p1.3.3.m3.1.1.2.3">𝑘</ci></apply><apply id="Thmlemmax1.p1.3.3.m3.1.1.3.cmml" xref="Thmlemmax1.p1.3.3.m3.1.1.3"><times id="Thmlemmax1.p1.3.3.m3.1.1.3.1.cmml" xref="Thmlemmax1.p1.3.3.m3.1.1.3.1"></times><csymbol cd="latexml" id="Thmlemmax1.p1.3.3.m3.1.1.3.2.cmml" xref="Thmlemmax1.p1.3.3.m3.1.1.3.2">absent</csymbol><ci id="Thmlemmax1.p1.3.3.m3.1.1.3.3.cmml" xref="Thmlemmax1.p1.3.3.m3.1.1.3.3">𝑁</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmlemmax1.p1.3.3.m3.1c">S_{k}^{\times N}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmlemmax1.p1.3.3.m3.1d">italic_S start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT × italic_N end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> is the set of tuples<math alttext="\{(\sigma_{1},\sigma_{2},...,\sigma_{N}):\sigma_{i}\in S_{k}\}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmlemmax1.p1.4.4.m4.3"><semantics id="Thmlemmax1.p1.4.4.m4.3a"><mrow id="Thmlemmax1.p1.4.4.m4.3.3.2" xref="Thmlemmax1.p1.4.4.m4.3.3.3.cmml"><mo id="Thmlemmax1.p1.4.4.m4.3.3.2.3" stretchy="false" xref="Thmlemmax1.p1.4.4.m4.3.3.3.1.cmml">{</mo><mrow id="Thmlemmax1.p1.4.4.m4.2.2.1.1.3" xref="Thmlemmax1.p1.4.4.m4.2.2.1.1.4.cmml"><mo id="Thmlemmax1.p1.4.4.m4.2.2.1.1.3.4" stretchy="false" xref="Thmlemmax1.p1.4.4.m4.2.2.1.1.4.cmml">(</mo><msub id="Thmlemmax1.p1.4.4.m4.2.2.1.1.1.1" xref="Thmlemmax1.p1.4.4.m4.2.2.1.1.1.1.cmml"><mi id="Thmlemmax1.p1.4.4.m4.2.2.1.1.1.1.2" xref="Thmlemmax1.p1.4.4.m4.2.2.1.1.1.1.2.cmml">σ</mi><mn id="Thmlemmax1.p1.4.4.m4.2.2.1.1.1.1.3" xref="Thmlemmax1.p1.4.4.m4.2.2.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="Thmlemmax1.p1.4.4.m4.2.2.1.1.3.5" xref="Thmlemmax1.p1.4.4.m4.2.2.1.1.4.cmml">,</mo><msub id="Thmlemmax1.p1.4.4.m4.2.2.1.1.2.2" xref="Thmlemmax1.p1.4.4.m4.2.2.1.1.2.2.cmml"><mi id="Thmlemmax1.p1.4.4.m4.2.2.1.1.2.2.2" xref="Thmlemmax1.p1.4.4.m4.2.2.1.1.2.2.2.cmml">σ</mi><mn id="Thmlemmax1.p1.4.4.m4.2.2.1.1.2.2.3" xref="Thmlemmax1.p1.4.4.m4.2.2.1.1.2.2.3.cmml">2</mn></msub><mo id="Thmlemmax1.p1.4.4.m4.2.2.1.1.3.6" xref="Thmlemmax1.p1.4.4.m4.2.2.1.1.4.cmml">,</mo><mi id="Thmlemmax1.p1.4.4.m4.1.1" mathvariant="normal" xref="Thmlemmax1.p1.4.4.m4.1.1.cmml">…</mi><mo id="Thmlemmax1.p1.4.4.m4.2.2.1.1.3.7" xref="Thmlemmax1.p1.4.4.m4.2.2.1.1.4.cmml">,</mo><msub id="Thmlemmax1.p1.4.4.m4.2.2.1.1.3.3" xref="Thmlemmax1.p1.4.4.m4.2.2.1.1.3.3.cmml"><mi id="Thmlemmax1.p1.4.4.m4.2.2.1.1.3.3.2" xref="Thmlemmax1.p1.4.4.m4.2.2.1.1.3.3.2.cmml">σ</mi><mi id="Thmlemmax1.p1.4.4.m4.2.2.1.1.3.3.3" xref="Thmlemmax1.p1.4.4.m4.2.2.1.1.3.3.3.cmml">N</mi></msub><mo id="Thmlemmax1.p1.4.4.m4.2.2.1.1.3.8" rspace="0.278em" stretchy="false" xref="Thmlemmax1.p1.4.4.m4.2.2.1.1.4.cmml">)</mo></mrow><mo id="Thmlemmax1.p1.4.4.m4.3.3.2.4" 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Suppose</span></p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_gather ltx_eqn_table" id="S6.EGx121"> <tbody id="A2.E141"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\displaystyle G^{(k)}\ket{\vec{\sigma}}^{(k)}=\sum_{\vec{\tau}\in S_{k}^{N}}c_% {\vec{\tau}}\ket{\vec{\tau}}^{(k)}" class="ltx_Math" display="block" id="A2.E141.m1.5"><semantics id="A2.E141.m1.5a"><mrow id="A2.E141.m1.5.6" xref="A2.E141.m1.5.6.cmml"><mrow id="A2.E141.m1.5.6.2" xref="A2.E141.m1.5.6.2.cmml"><msup id="A2.E141.m1.5.6.2.2" xref="A2.E141.m1.5.6.2.2.cmml"><mi id="A2.E141.m1.5.6.2.2.2" xref="A2.E141.m1.5.6.2.2.2.cmml">G</mi><mrow id="A2.E141.m1.3.3.1.3" xref="A2.E141.m1.5.6.2.2.cmml"><mo id="A2.E141.m1.3.3.1.3.1" stretchy="false" xref="A2.E141.m1.5.6.2.2.cmml">(</mo><mi id="A2.E141.m1.3.3.1.1" xref="A2.E141.m1.3.3.1.1.cmml">k</mi><mo id="A2.E141.m1.3.3.1.3.2" stretchy="false" 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xref="A2.E141.m1.5.6.3.1.2"></sum><apply id="A2.E141.m1.5.6.3.1.3.cmml" xref="A2.E141.m1.5.6.3.1.3"><in id="A2.E141.m1.5.6.3.1.3.1.cmml" xref="A2.E141.m1.5.6.3.1.3.1"></in><apply id="A2.E141.m1.5.6.3.1.3.2.cmml" xref="A2.E141.m1.5.6.3.1.3.2"><ci id="A2.E141.m1.5.6.3.1.3.2.1.cmml" xref="A2.E141.m1.5.6.3.1.3.2.1">→</ci><ci id="A2.E141.m1.5.6.3.1.3.2.2.cmml" xref="A2.E141.m1.5.6.3.1.3.2.2">𝜏</ci></apply><apply id="A2.E141.m1.5.6.3.1.3.3.cmml" xref="A2.E141.m1.5.6.3.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E141.m1.5.6.3.1.3.3.1.cmml" xref="A2.E141.m1.5.6.3.1.3.3">superscript</csymbol><apply id="A2.E141.m1.5.6.3.1.3.3.2.cmml" xref="A2.E141.m1.5.6.3.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E141.m1.5.6.3.1.3.3.2.1.cmml" xref="A2.E141.m1.5.6.3.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="A2.E141.m1.5.6.3.1.3.3.2.2.cmml" xref="A2.E141.m1.5.6.3.1.3.3.2.2">𝑆</ci><ci id="A2.E141.m1.5.6.3.1.3.3.2.3.cmml" xref="A2.E141.m1.5.6.3.1.3.3.2.3">𝑘</ci></apply><ci id="A2.E141.m1.5.6.3.1.3.3.3.cmml" xref="A2.E141.m1.5.6.3.1.3.3.3">𝑁</ci></apply></apply></apply><apply id="A2.E141.m1.5.6.3.2.cmml" xref="A2.E141.m1.5.6.3.2"><times id="A2.E141.m1.5.6.3.2.1.cmml" xref="A2.E141.m1.5.6.3.2.1"></times><apply id="A2.E141.m1.5.6.3.2.2.cmml" xref="A2.E141.m1.5.6.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E141.m1.5.6.3.2.2.1.cmml" xref="A2.E141.m1.5.6.3.2.2">subscript</csymbol><ci id="A2.E141.m1.5.6.3.2.2.2.cmml" xref="A2.E141.m1.5.6.3.2.2.2">𝑐</ci><apply id="A2.E141.m1.5.6.3.2.2.3.cmml" xref="A2.E141.m1.5.6.3.2.2.3"><ci id="A2.E141.m1.5.6.3.2.2.3.1.cmml" xref="A2.E141.m1.5.6.3.2.2.3.1">→</ci><ci id="A2.E141.m1.5.6.3.2.2.3.2.cmml" xref="A2.E141.m1.5.6.3.2.2.3.2">𝜏</ci></apply></apply><apply id="A2.E141.m1.5.6.3.2.3.cmml" xref="A2.E141.m1.5.6.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E141.m1.5.6.3.2.3.1.cmml" xref="A2.E141.m1.5.6.3.2.3">superscript</csymbol><apply id="A2.E141.m1.2.2.2.cmml" xref="A2.E141.m1.2.2.3"><csymbol cd="latexml" id="A2.E141.m1.2.2.2.1.cmml" 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start_POSTSUBSCRIPT over→ start_ARG italic_τ end_ARG end_POSTSUBSCRIPT | start_ARG over→ start_ARG italic_τ end_ARG end_ARG ⟩ start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_k ) end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(141)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="Thmlemmax1.p1.6"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmlemmax1.p1.6.1">Then</span></p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_gather ltx_eqn_table" id="S6.EGx122"> <tbody id="A2.E142"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\displaystyle G^{(t)}\ket{\vec{\sigma}}^{(t)}=\sum_{\vec{\tau}\in S_{k}^{N}}c_% {\vec{\tau}}\ket{\vec{\tau}}^{(t)}" class="ltx_Math" display="block" id="A2.E142.m1.5"><semantics id="A2.E142.m1.5a"><mrow id="A2.E142.m1.5.6" xref="A2.E142.m1.5.6.cmml"><mrow id="A2.E142.m1.5.6.2" xref="A2.E142.m1.5.6.2.cmml"><msup id="A2.E142.m1.5.6.2.2" xref="A2.E142.m1.5.6.2.2.cmml"><mi id="A2.E142.m1.5.6.2.2.2" xref="A2.E142.m1.5.6.2.2.2.cmml">G</mi><mrow id="A2.E142.m1.3.3.1.3" xref="A2.E142.m1.5.6.2.2.cmml"><mo id="A2.E142.m1.3.3.1.3.1" stretchy="false" xref="A2.E142.m1.5.6.2.2.cmml">(</mo><mi id="A2.E142.m1.3.3.1.1" xref="A2.E142.m1.3.3.1.1.cmml">t</mi><mo id="A2.E142.m1.3.3.1.3.2" stretchy="false" xref="A2.E142.m1.5.6.2.2.cmml">)</mo></mrow></msup><mo id="A2.E142.m1.5.6.2.1" xref="A2.E142.m1.5.6.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="A2.E142.m1.5.6.2.3" xref="A2.E142.m1.5.6.2.3.cmml"><mrow id="A2.E142.m1.1.1.3" xref="A2.E142.m1.1.1.2.cmml"><mo id="A2.E142.m1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="A2.E142.m1.1.1.2.1.cmml">|</mo><mover accent="true" id="A2.E142.m1.1.1.1.1" xref="A2.E142.m1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A2.E142.m1.1.1.1.1.2" xref="A2.E142.m1.1.1.1.1.2.cmml">σ</mi><mo id="A2.E142.m1.1.1.1.1.1" stretchy="false" xref="A2.E142.m1.1.1.1.1.1.cmml">→</mo></mover><mo id="A2.E142.m1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="A2.E142.m1.1.1.2.1.cmml">⟩</mo></mrow><mrow id="A2.E142.m1.4.4.1.3" xref="A2.E142.m1.5.6.2.3.cmml"><mo id="A2.E142.m1.4.4.1.3.1" stretchy="false" xref="A2.E142.m1.5.6.2.3.cmml">(</mo><mi id="A2.E142.m1.4.4.1.1" xref="A2.E142.m1.4.4.1.1.cmml">t</mi><mo id="A2.E142.m1.4.4.1.3.2" stretchy="false" xref="A2.E142.m1.5.6.2.3.cmml">)</mo></mrow></msup></mrow><mo id="A2.E142.m1.5.6.1" rspace="0.111em" xref="A2.E142.m1.5.6.1.cmml">=</mo><mrow id="A2.E142.m1.5.6.3" xref="A2.E142.m1.5.6.3.cmml"><munder id="A2.E142.m1.5.6.3.1" xref="A2.E142.m1.5.6.3.1.cmml"><mo id="A2.E142.m1.5.6.3.1.2" movablelimits="false" xref="A2.E142.m1.5.6.3.1.2.cmml">∑</mo><mrow id="A2.E142.m1.5.6.3.1.3" xref="A2.E142.m1.5.6.3.1.3.cmml"><mover accent="true" id="A2.E142.m1.5.6.3.1.3.2" xref="A2.E142.m1.5.6.3.1.3.2.cmml"><mi id="A2.E142.m1.5.6.3.1.3.2.2" xref="A2.E142.m1.5.6.3.1.3.2.2.cmml">τ</mi><mo id="A2.E142.m1.5.6.3.1.3.2.1" stretchy="false" xref="A2.E142.m1.5.6.3.1.3.2.1.cmml">→</mo></mover><mo id="A2.E142.m1.5.6.3.1.3.1" xref="A2.E142.m1.5.6.3.1.3.1.cmml">∈</mo><msubsup id="A2.E142.m1.5.6.3.1.3.3" xref="A2.E142.m1.5.6.3.1.3.3.cmml"><mi id="A2.E142.m1.5.6.3.1.3.3.2.2" xref="A2.E142.m1.5.6.3.1.3.3.2.2.cmml">S</mi><mi id="A2.E142.m1.5.6.3.1.3.3.2.3" xref="A2.E142.m1.5.6.3.1.3.3.2.3.cmml">k</mi><mi id="A2.E142.m1.5.6.3.1.3.3.3" xref="A2.E142.m1.5.6.3.1.3.3.3.cmml">N</mi></msubsup></mrow></munder><mrow id="A2.E142.m1.5.6.3.2" xref="A2.E142.m1.5.6.3.2.cmml"><msub id="A2.E142.m1.5.6.3.2.2" xref="A2.E142.m1.5.6.3.2.2.cmml"><mi id="A2.E142.m1.5.6.3.2.2.2" xref="A2.E142.m1.5.6.3.2.2.2.cmml">c</mi><mover accent="true" id="A2.E142.m1.5.6.3.2.2.3" xref="A2.E142.m1.5.6.3.2.2.3.cmml"><mi id="A2.E142.m1.5.6.3.2.2.3.2" xref="A2.E142.m1.5.6.3.2.2.3.2.cmml">τ</mi><mo id="A2.E142.m1.5.6.3.2.2.3.1" stretchy="false" xref="A2.E142.m1.5.6.3.2.2.3.1.cmml">→</mo></mover></msub><mo id="A2.E142.m1.5.6.3.2.1" xref="A2.E142.m1.5.6.3.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="A2.E142.m1.5.6.3.2.3" xref="A2.E142.m1.5.6.3.2.3.cmml"><mrow id="A2.E142.m1.2.2.3" xref="A2.E142.m1.2.2.2.cmml"><mo id="A2.E142.m1.2.2.3.1" stretchy="false" xref="A2.E142.m1.2.2.2.1.cmml">|</mo><mover accent="true" id="A2.E142.m1.2.2.1.1" xref="A2.E142.m1.2.2.1.1.cmml"><mi id="A2.E142.m1.2.2.1.1.2" xref="A2.E142.m1.2.2.1.1.2.cmml">τ</mi><mo id="A2.E142.m1.2.2.1.1.1" stretchy="false" xref="A2.E142.m1.2.2.1.1.1.cmml">→</mo></mover><mo id="A2.E142.m1.2.2.3.2" stretchy="false" xref="A2.E142.m1.2.2.2.1.cmml">⟩</mo></mrow><mrow id="A2.E142.m1.5.5.1.3" xref="A2.E142.m1.5.6.3.2.3.cmml"><mo id="A2.E142.m1.5.5.1.3.1" stretchy="false" xref="A2.E142.m1.5.6.3.2.3.cmml">(</mo><mi id="A2.E142.m1.5.5.1.1" xref="A2.E142.m1.5.5.1.1.cmml">t</mi><mo id="A2.E142.m1.5.5.1.3.2" stretchy="false" xref="A2.E142.m1.5.6.3.2.3.cmml">)</mo></mrow></msup></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.E142.m1.5b"><apply id="A2.E142.m1.5.6.cmml" xref="A2.E142.m1.5.6"><eq id="A2.E142.m1.5.6.1.cmml" xref="A2.E142.m1.5.6.1"></eq><apply id="A2.E142.m1.5.6.2.cmml" xref="A2.E142.m1.5.6.2"><times id="A2.E142.m1.5.6.2.1.cmml" xref="A2.E142.m1.5.6.2.1"></times><apply id="A2.E142.m1.5.6.2.2.cmml" xref="A2.E142.m1.5.6.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E142.m1.5.6.2.2.1.cmml" xref="A2.E142.m1.5.6.2.2">superscript</csymbol><ci id="A2.E142.m1.5.6.2.2.2.cmml" xref="A2.E142.m1.5.6.2.2.2">𝐺</ci><ci id="A2.E142.m1.3.3.1.1.cmml" xref="A2.E142.m1.3.3.1.1">𝑡</ci></apply><apply id="A2.E142.m1.5.6.2.3.cmml" xref="A2.E142.m1.5.6.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E142.m1.5.6.2.3.1.cmml" xref="A2.E142.m1.5.6.2.3">superscript</csymbol><apply id="A2.E142.m1.1.1.2.cmml" xref="A2.E142.m1.1.1.3"><csymbol cd="latexml" id="A2.E142.m1.1.1.2.1.cmml" xref="A2.E142.m1.1.1.3.1">ket</csymbol><apply id="A2.E142.m1.1.1.1.1.cmml" xref="A2.E142.m1.1.1.1.1"><ci id="A2.E142.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A2.E142.m1.1.1.1.1.1">→</ci><ci id="A2.E142.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A2.E142.m1.1.1.1.1.2">𝜎</ci></apply></apply><ci id="A2.E142.m1.4.4.1.1.cmml" xref="A2.E142.m1.4.4.1.1">𝑡</ci></apply></apply><apply id="A2.E142.m1.5.6.3.cmml" xref="A2.E142.m1.5.6.3"><apply id="A2.E142.m1.5.6.3.1.cmml" xref="A2.E142.m1.5.6.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E142.m1.5.6.3.1.1.cmml" xref="A2.E142.m1.5.6.3.1">subscript</csymbol><sum id="A2.E142.m1.5.6.3.1.2.cmml" xref="A2.E142.m1.5.6.3.1.2"></sum><apply id="A2.E142.m1.5.6.3.1.3.cmml" xref="A2.E142.m1.5.6.3.1.3"><in id="A2.E142.m1.5.6.3.1.3.1.cmml" xref="A2.E142.m1.5.6.3.1.3.1"></in><apply id="A2.E142.m1.5.6.3.1.3.2.cmml" xref="A2.E142.m1.5.6.3.1.3.2"><ci id="A2.E142.m1.5.6.3.1.3.2.1.cmml" xref="A2.E142.m1.5.6.3.1.3.2.1">→</ci><ci id="A2.E142.m1.5.6.3.1.3.2.2.cmml" xref="A2.E142.m1.5.6.3.1.3.2.2">𝜏</ci></apply><apply id="A2.E142.m1.5.6.3.1.3.3.cmml" xref="A2.E142.m1.5.6.3.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E142.m1.5.6.3.1.3.3.1.cmml" xref="A2.E142.m1.5.6.3.1.3.3">superscript</csymbol><apply id="A2.E142.m1.5.6.3.1.3.3.2.cmml" xref="A2.E142.m1.5.6.3.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E142.m1.5.6.3.1.3.3.2.1.cmml" xref="A2.E142.m1.5.6.3.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="A2.E142.m1.5.6.3.1.3.3.2.2.cmml" xref="A2.E142.m1.5.6.3.1.3.3.2.2">𝑆</ci><ci id="A2.E142.m1.5.6.3.1.3.3.2.3.cmml" xref="A2.E142.m1.5.6.3.1.3.3.2.3">𝑘</ci></apply><ci id="A2.E142.m1.5.6.3.1.3.3.3.cmml" xref="A2.E142.m1.5.6.3.1.3.3.3">𝑁</ci></apply></apply></apply><apply id="A2.E142.m1.5.6.3.2.cmml" xref="A2.E142.m1.5.6.3.2"><times id="A2.E142.m1.5.6.3.2.1.cmml" xref="A2.E142.m1.5.6.3.2.1"></times><apply id="A2.E142.m1.5.6.3.2.2.cmml" xref="A2.E142.m1.5.6.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E142.m1.5.6.3.2.2.1.cmml" xref="A2.E142.m1.5.6.3.2.2">subscript</csymbol><ci id="A2.E142.m1.5.6.3.2.2.2.cmml" xref="A2.E142.m1.5.6.3.2.2.2">𝑐</ci><apply id="A2.E142.m1.5.6.3.2.2.3.cmml" xref="A2.E142.m1.5.6.3.2.2.3"><ci id="A2.E142.m1.5.6.3.2.2.3.1.cmml" xref="A2.E142.m1.5.6.3.2.2.3.1">→</ci><ci id="A2.E142.m1.5.6.3.2.2.3.2.cmml" xref="A2.E142.m1.5.6.3.2.2.3.2">𝜏</ci></apply></apply><apply id="A2.E142.m1.5.6.3.2.3.cmml" xref="A2.E142.m1.5.6.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E142.m1.5.6.3.2.3.1.cmml" xref="A2.E142.m1.5.6.3.2.3">superscript</csymbol><apply id="A2.E142.m1.2.2.2.cmml" xref="A2.E142.m1.2.2.3"><csymbol cd="latexml" id="A2.E142.m1.2.2.2.1.cmml" xref="A2.E142.m1.2.2.3.1">ket</csymbol><apply id="A2.E142.m1.2.2.1.1.cmml" xref="A2.E142.m1.2.2.1.1"><ci id="A2.E142.m1.2.2.1.1.1.cmml" xref="A2.E142.m1.2.2.1.1.1">→</ci><ci id="A2.E142.m1.2.2.1.1.2.cmml" xref="A2.E142.m1.2.2.1.1.2">𝜏</ci></apply></apply><ci id="A2.E142.m1.5.5.1.1.cmml" xref="A2.E142.m1.5.5.1.1">𝑡</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.E142.m1.5c">\displaystyle G^{(t)}\ket{\vec{\sigma}}^{(t)}=\sum_{\vec{\tau}\in S_{k}^{N}}c_% {\vec{\tau}}\ket{\vec{\tau}}^{(t)}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.E142.m1.5d">italic_G start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_t ) end_POSTSUPERSCRIPT | start_ARG over→ start_ARG italic_σ end_ARG end_ARG ⟩ start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_t ) end_POSTSUPERSCRIPT = ∑ start_POSTSUBSCRIPT over→ start_ARG italic_τ end_ARG ∈ italic_S start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_N end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT italic_c start_POSTSUBSCRIPT over→ start_ARG italic_τ end_ARG end_POSTSUBSCRIPT | start_ARG over→ start_ARG italic_τ end_ARG end_ARG ⟩ start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_t ) end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(142)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="Thmlemmax1.p1.5"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmlemmax1.p1.5.1">where the coefficients <math alttext="c" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmlemmax1.p1.5.1.m1.1"><semantics id="Thmlemmax1.p1.5.1.m1.1a"><mi id="Thmlemmax1.p1.5.1.m1.1.1" xref="Thmlemmax1.p1.5.1.m1.1.1.cmml">c</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmlemmax1.p1.5.1.m1.1b"><ci id="Thmlemmax1.p1.5.1.m1.1.1.cmml" xref="Thmlemmax1.p1.5.1.m1.1.1">𝑐</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmlemmax1.p1.5.1.m1.1c">c</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmlemmax1.p1.5.1.m1.1d">italic_c</annotation></semantics></math> are the same.</span></p> </div> </div> <div class="ltx_proof" id="A2.SS2.1"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_font_italic ltx_title_proof">Proof.</h6> <div class="ltx_para" id="A2.SS2.1.p1"> <p class="ltx_p" id="A2.SS2.1.p1.6">Consider <math alttext="\sigma\in S_{k}" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.SS2.1.p1.1.m1.1"><semantics id="A2.SS2.1.p1.1.m1.1a"><mrow id="A2.SS2.1.p1.1.m1.1.1" xref="A2.SS2.1.p1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="A2.SS2.1.p1.1.m1.1.1.2" xref="A2.SS2.1.p1.1.m1.1.1.2.cmml">σ</mi><mo id="A2.SS2.1.p1.1.m1.1.1.1" xref="A2.SS2.1.p1.1.m1.1.1.1.cmml">∈</mo><msub id="A2.SS2.1.p1.1.m1.1.1.3" xref="A2.SS2.1.p1.1.m1.1.1.3.cmml"><mi id="A2.SS2.1.p1.1.m1.1.1.3.2" xref="A2.SS2.1.p1.1.m1.1.1.3.2.cmml">S</mi><mi id="A2.SS2.1.p1.1.m1.1.1.3.3" xref="A2.SS2.1.p1.1.m1.1.1.3.3.cmml">k</mi></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.SS2.1.p1.1.m1.1b"><apply id="A2.SS2.1.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="A2.SS2.1.p1.1.m1.1.1"><in id="A2.SS2.1.p1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="A2.SS2.1.p1.1.m1.1.1.1"></in><ci id="A2.SS2.1.p1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="A2.SS2.1.p1.1.m1.1.1.2">𝜎</ci><apply id="A2.SS2.1.p1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="A2.SS2.1.p1.1.m1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.SS2.1.p1.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="A2.SS2.1.p1.1.m1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A2.SS2.1.p1.1.m1.1.1.3.2.cmml" xref="A2.SS2.1.p1.1.m1.1.1.3.2">𝑆</ci><ci id="A2.SS2.1.p1.1.m1.1.1.3.3.cmml" xref="A2.SS2.1.p1.1.m1.1.1.3.3">𝑘</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.SS2.1.p1.1.m1.1c">\sigma\in S_{k}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.SS2.1.p1.1.m1.1d">italic_σ ∈ italic_S start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>. Partition a multi index <math alttext="\vec{i}\in\mathbb{Z}_{q}^{t}" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.SS2.1.p1.2.m2.1"><semantics id="A2.SS2.1.p1.2.m2.1a"><mrow id="A2.SS2.1.p1.2.m2.1.1" xref="A2.SS2.1.p1.2.m2.1.1.cmml"><mover accent="true" id="A2.SS2.1.p1.2.m2.1.1.2" xref="A2.SS2.1.p1.2.m2.1.1.2.cmml"><mi id="A2.SS2.1.p1.2.m2.1.1.2.2" xref="A2.SS2.1.p1.2.m2.1.1.2.2.cmml">i</mi><mo id="A2.SS2.1.p1.2.m2.1.1.2.1" stretchy="false" xref="A2.SS2.1.p1.2.m2.1.1.2.1.cmml">→</mo></mover><mo id="A2.SS2.1.p1.2.m2.1.1.1" xref="A2.SS2.1.p1.2.m2.1.1.1.cmml">∈</mo><msubsup id="A2.SS2.1.p1.2.m2.1.1.3" xref="A2.SS2.1.p1.2.m2.1.1.3.cmml"><mi id="A2.SS2.1.p1.2.m2.1.1.3.2.2" xref="A2.SS2.1.p1.2.m2.1.1.3.2.2.cmml">ℤ</mi><mi id="A2.SS2.1.p1.2.m2.1.1.3.2.3" xref="A2.SS2.1.p1.2.m2.1.1.3.2.3.cmml">q</mi><mi id="A2.SS2.1.p1.2.m2.1.1.3.3" xref="A2.SS2.1.p1.2.m2.1.1.3.3.cmml">t</mi></msubsup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.SS2.1.p1.2.m2.1b"><apply id="A2.SS2.1.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="A2.SS2.1.p1.2.m2.1.1"><in id="A2.SS2.1.p1.2.m2.1.1.1.cmml" xref="A2.SS2.1.p1.2.m2.1.1.1"></in><apply id="A2.SS2.1.p1.2.m2.1.1.2.cmml" xref="A2.SS2.1.p1.2.m2.1.1.2"><ci id="A2.SS2.1.p1.2.m2.1.1.2.1.cmml" xref="A2.SS2.1.p1.2.m2.1.1.2.1">→</ci><ci id="A2.SS2.1.p1.2.m2.1.1.2.2.cmml" xref="A2.SS2.1.p1.2.m2.1.1.2.2">𝑖</ci></apply><apply id="A2.SS2.1.p1.2.m2.1.1.3.cmml" xref="A2.SS2.1.p1.2.m2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.SS2.1.p1.2.m2.1.1.3.1.cmml" xref="A2.SS2.1.p1.2.m2.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="A2.SS2.1.p1.2.m2.1.1.3.2.cmml" xref="A2.SS2.1.p1.2.m2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.SS2.1.p1.2.m2.1.1.3.2.1.cmml" xref="A2.SS2.1.p1.2.m2.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A2.SS2.1.p1.2.m2.1.1.3.2.2.cmml" xref="A2.SS2.1.p1.2.m2.1.1.3.2.2">ℤ</ci><ci id="A2.SS2.1.p1.2.m2.1.1.3.2.3.cmml" xref="A2.SS2.1.p1.2.m2.1.1.3.2.3">𝑞</ci></apply><ci id="A2.SS2.1.p1.2.m2.1.1.3.3.cmml" xref="A2.SS2.1.p1.2.m2.1.1.3.3">𝑡</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.SS2.1.p1.2.m2.1c">\vec{i}\in\mathbb{Z}_{q}^{t}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.SS2.1.p1.2.m2.1d">over→ start_ARG italic_i end_ARG ∈ blackboard_Z start_POSTSUBSCRIPT italic_q end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_t end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> into its first <math alttext="k" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.SS2.1.p1.3.m3.1"><semantics id="A2.SS2.1.p1.3.m3.1a"><mi id="A2.SS2.1.p1.3.m3.1.1" xref="A2.SS2.1.p1.3.m3.1.1.cmml">k</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.SS2.1.p1.3.m3.1b"><ci id="A2.SS2.1.p1.3.m3.1.1.cmml" xref="A2.SS2.1.p1.3.m3.1.1">𝑘</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.SS2.1.p1.3.m3.1c">k</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.SS2.1.p1.3.m3.1d">italic_k</annotation></semantics></math> entries <math alttext="\vec{i}_{<k}" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.SS2.1.p1.4.m4.1"><semantics id="A2.SS2.1.p1.4.m4.1a"><msub id="A2.SS2.1.p1.4.m4.1.1" xref="A2.SS2.1.p1.4.m4.1.1.cmml"><mover accent="true" id="A2.SS2.1.p1.4.m4.1.1.2" xref="A2.SS2.1.p1.4.m4.1.1.2.cmml"><mi id="A2.SS2.1.p1.4.m4.1.1.2.2" xref="A2.SS2.1.p1.4.m4.1.1.2.2.cmml">i</mi><mo id="A2.SS2.1.p1.4.m4.1.1.2.1" stretchy="false" xref="A2.SS2.1.p1.4.m4.1.1.2.1.cmml">→</mo></mover><mrow id="A2.SS2.1.p1.4.m4.1.1.3" xref="A2.SS2.1.p1.4.m4.1.1.3.cmml"><mi id="A2.SS2.1.p1.4.m4.1.1.3.2" xref="A2.SS2.1.p1.4.m4.1.1.3.2.cmml"></mi><mo id="A2.SS2.1.p1.4.m4.1.1.3.1" xref="A2.SS2.1.p1.4.m4.1.1.3.1.cmml"><</mo><mi id="A2.SS2.1.p1.4.m4.1.1.3.3" xref="A2.SS2.1.p1.4.m4.1.1.3.3.cmml">k</mi></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.SS2.1.p1.4.m4.1b"><apply id="A2.SS2.1.p1.4.m4.1.1.cmml" xref="A2.SS2.1.p1.4.m4.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.SS2.1.p1.4.m4.1.1.1.cmml" xref="A2.SS2.1.p1.4.m4.1.1">subscript</csymbol><apply id="A2.SS2.1.p1.4.m4.1.1.2.cmml" xref="A2.SS2.1.p1.4.m4.1.1.2"><ci id="A2.SS2.1.p1.4.m4.1.1.2.1.cmml" xref="A2.SS2.1.p1.4.m4.1.1.2.1">→</ci><ci id="A2.SS2.1.p1.4.m4.1.1.2.2.cmml" xref="A2.SS2.1.p1.4.m4.1.1.2.2">𝑖</ci></apply><apply id="A2.SS2.1.p1.4.m4.1.1.3.cmml" xref="A2.SS2.1.p1.4.m4.1.1.3"><lt id="A2.SS2.1.p1.4.m4.1.1.3.1.cmml" xref="A2.SS2.1.p1.4.m4.1.1.3.1"></lt><csymbol cd="latexml" id="A2.SS2.1.p1.4.m4.1.1.3.2.cmml" xref="A2.SS2.1.p1.4.m4.1.1.3.2">absent</csymbol><ci id="A2.SS2.1.p1.4.m4.1.1.3.3.cmml" xref="A2.SS2.1.p1.4.m4.1.1.3.3">𝑘</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.SS2.1.p1.4.m4.1c">\vec{i}_{<k}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.SS2.1.p1.4.m4.1d">over→ start_ARG italic_i end_ARG start_POSTSUBSCRIPT < italic_k end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> and last <math alttext="t-k" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.SS2.1.p1.5.m5.1"><semantics id="A2.SS2.1.p1.5.m5.1a"><mrow id="A2.SS2.1.p1.5.m5.1.1" xref="A2.SS2.1.p1.5.m5.1.1.cmml"><mi id="A2.SS2.1.p1.5.m5.1.1.2" xref="A2.SS2.1.p1.5.m5.1.1.2.cmml">t</mi><mo id="A2.SS2.1.p1.5.m5.1.1.1" xref="A2.SS2.1.p1.5.m5.1.1.1.cmml">−</mo><mi id="A2.SS2.1.p1.5.m5.1.1.3" xref="A2.SS2.1.p1.5.m5.1.1.3.cmml">k</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.SS2.1.p1.5.m5.1b"><apply id="A2.SS2.1.p1.5.m5.1.1.cmml" xref="A2.SS2.1.p1.5.m5.1.1"><minus id="A2.SS2.1.p1.5.m5.1.1.1.cmml" xref="A2.SS2.1.p1.5.m5.1.1.1"></minus><ci id="A2.SS2.1.p1.5.m5.1.1.2.cmml" xref="A2.SS2.1.p1.5.m5.1.1.2">𝑡</ci><ci id="A2.SS2.1.p1.5.m5.1.1.3.cmml" xref="A2.SS2.1.p1.5.m5.1.1.3">𝑘</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.SS2.1.p1.5.m5.1c">t-k</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.SS2.1.p1.5.m5.1d">italic_t - italic_k</annotation></semantics></math> entries <math alttext="\vec{i}_{\geq k}" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.SS2.1.p1.6.m6.1"><semantics id="A2.SS2.1.p1.6.m6.1a"><msub id="A2.SS2.1.p1.6.m6.1.1" xref="A2.SS2.1.p1.6.m6.1.1.cmml"><mover accent="true" id="A2.SS2.1.p1.6.m6.1.1.2" xref="A2.SS2.1.p1.6.m6.1.1.2.cmml"><mi id="A2.SS2.1.p1.6.m6.1.1.2.2" xref="A2.SS2.1.p1.6.m6.1.1.2.2.cmml">i</mi><mo id="A2.SS2.1.p1.6.m6.1.1.2.1" stretchy="false" xref="A2.SS2.1.p1.6.m6.1.1.2.1.cmml">→</mo></mover><mrow id="A2.SS2.1.p1.6.m6.1.1.3" xref="A2.SS2.1.p1.6.m6.1.1.3.cmml"><mi id="A2.SS2.1.p1.6.m6.1.1.3.2" xref="A2.SS2.1.p1.6.m6.1.1.3.2.cmml"></mi><mo id="A2.SS2.1.p1.6.m6.1.1.3.1" xref="A2.SS2.1.p1.6.m6.1.1.3.1.cmml">≥</mo><mi id="A2.SS2.1.p1.6.m6.1.1.3.3" xref="A2.SS2.1.p1.6.m6.1.1.3.3.cmml">k</mi></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.SS2.1.p1.6.m6.1b"><apply id="A2.SS2.1.p1.6.m6.1.1.cmml" xref="A2.SS2.1.p1.6.m6.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.SS2.1.p1.6.m6.1.1.1.cmml" xref="A2.SS2.1.p1.6.m6.1.1">subscript</csymbol><apply id="A2.SS2.1.p1.6.m6.1.1.2.cmml" xref="A2.SS2.1.p1.6.m6.1.1.2"><ci id="A2.SS2.1.p1.6.m6.1.1.2.1.cmml" xref="A2.SS2.1.p1.6.m6.1.1.2.1">→</ci><ci id="A2.SS2.1.p1.6.m6.1.1.2.2.cmml" xref="A2.SS2.1.p1.6.m6.1.1.2.2">𝑖</ci></apply><apply id="A2.SS2.1.p1.6.m6.1.1.3.cmml" xref="A2.SS2.1.p1.6.m6.1.1.3"><geq id="A2.SS2.1.p1.6.m6.1.1.3.1.cmml" xref="A2.SS2.1.p1.6.m6.1.1.3.1"></geq><csymbol cd="latexml" id="A2.SS2.1.p1.6.m6.1.1.3.2.cmml" xref="A2.SS2.1.p1.6.m6.1.1.3.2">absent</csymbol><ci id="A2.SS2.1.p1.6.m6.1.1.3.3.cmml" xref="A2.SS2.1.p1.6.m6.1.1.3.3">𝑘</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.SS2.1.p1.6.m6.1c">\vec{i}_{\geq k}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.SS2.1.p1.6.m6.1d">over→ start_ARG italic_i end_ARG start_POSTSUBSCRIPT ≥ italic_k end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>. Then</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="S6.EGx123"> <tbody id="A2.E143"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\ket{\sigma}^{(t)}" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.E143.m1.2"><semantics id="A2.E143.m1.2a"><msup id="A2.E143.m1.2.3" xref="A2.E143.m1.2.3.cmml"><mrow id="A2.E143.m1.1.1a.3" xref="A2.E143.m1.1.1a.2.cmml"><mo id="A2.E143.m1.1.1a.3.1" stretchy="false" xref="A2.E143.m1.1.1a.2.1.cmml">|</mo><mi id="A2.E143.m1.1.1.1.1" xref="A2.E143.m1.1.1.1.1.cmml">σ</mi><mo id="A2.E143.m1.1.1a.3.2" stretchy="false" xref="A2.E143.m1.1.1a.2.1.cmml">⟩</mo></mrow><mrow id="A2.E143.m1.2.2.1.3" xref="A2.E143.m1.2.3.cmml"><mo id="A2.E143.m1.2.2.1.3.1" stretchy="false" xref="A2.E143.m1.2.3.cmml">(</mo><mi id="A2.E143.m1.2.2.1.1" xref="A2.E143.m1.2.2.1.1.cmml">t</mi><mo id="A2.E143.m1.2.2.1.3.2" stretchy="false" xref="A2.E143.m1.2.3.cmml">)</mo></mrow></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.E143.m1.2b"><apply id="A2.E143.m1.2.3.cmml" xref="A2.E143.m1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E143.m1.2.3.1.cmml" xref="A2.E143.m1.2.3">superscript</csymbol><apply id="A2.E143.m1.1.1a.2.cmml" xref="A2.E143.m1.1.1a.3"><csymbol cd="latexml" id="A2.E143.m1.1.1a.2.1.cmml" xref="A2.E143.m1.1.1a.3.1">ket</csymbol><ci id="A2.E143.m1.1.1.1.1.cmml" xref="A2.E143.m1.1.1.1.1">𝜎</ci></apply><ci id="A2.E143.m1.2.2.1.1.cmml" xref="A2.E143.m1.2.2.1.1">𝑡</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.E143.m1.2c">\displaystyle\ket{\sigma}^{(t)}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.E143.m1.2d">| start_ARG italic_σ end_ARG ⟩ start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_t ) end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=\frac{1}{\sqrt{q}^{t}}\sum_{\vec{i}\in\mathbb{Z}_{q}^{t}}\ket{% \vec{i}_{<k}}\otimes\ket{\vec{i}_{\geq k}}\otimes\ket{\sigma(\vec{i}_{<k})}% \otimes\ket{\vec{i}_{\geq k}}" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.E143.m2.4"><semantics id="A2.E143.m2.4a"><mrow id="A2.E143.m2.4.5" xref="A2.E143.m2.4.5.cmml"><mi id="A2.E143.m2.4.5.2" xref="A2.E143.m2.4.5.2.cmml"></mi><mo id="A2.E143.m2.4.5.1" xref="A2.E143.m2.4.5.1.cmml">=</mo><mrow id="A2.E143.m2.4.5.3" xref="A2.E143.m2.4.5.3.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A2.E143.m2.4.5.3.2" xref="A2.E143.m2.4.5.3.2.cmml"><mfrac id="A2.E143.m2.4.5.3.2a" xref="A2.E143.m2.4.5.3.2.cmml"><mn id="A2.E143.m2.4.5.3.2.2" xref="A2.E143.m2.4.5.3.2.2.cmml">1</mn><msup id="A2.E143.m2.4.5.3.2.3" xref="A2.E143.m2.4.5.3.2.3.cmml"><msqrt id="A2.E143.m2.4.5.3.2.3.2" xref="A2.E143.m2.4.5.3.2.3.2.cmml"><mi id="A2.E143.m2.4.5.3.2.3.2.2" xref="A2.E143.m2.4.5.3.2.3.2.2.cmml">q</mi></msqrt><mi id="A2.E143.m2.4.5.3.2.3.3" xref="A2.E143.m2.4.5.3.2.3.3.cmml">t</mi></msup></mfrac></mstyle><mo id="A2.E143.m2.4.5.3.1" xref="A2.E143.m2.4.5.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A2.E143.m2.4.5.3.3" xref="A2.E143.m2.4.5.3.3.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A2.E143.m2.4.5.3.3.1" xref="A2.E143.m2.4.5.3.3.1.cmml"><munder id="A2.E143.m2.4.5.3.3.1a" xref="A2.E143.m2.4.5.3.3.1.cmml"><mo id="A2.E143.m2.4.5.3.3.1.2" movablelimits="false" xref="A2.E143.m2.4.5.3.3.1.2.cmml">∑</mo><mrow id="A2.E143.m2.4.5.3.3.1.3" xref="A2.E143.m2.4.5.3.3.1.3.cmml"><mover accent="true" id="A2.E143.m2.4.5.3.3.1.3.2" xref="A2.E143.m2.4.5.3.3.1.3.2.cmml"><mi id="A2.E143.m2.4.5.3.3.1.3.2.2" xref="A2.E143.m2.4.5.3.3.1.3.2.2.cmml">i</mi><mo id="A2.E143.m2.4.5.3.3.1.3.2.1" stretchy="false" xref="A2.E143.m2.4.5.3.3.1.3.2.1.cmml">→</mo></mover><mo id="A2.E143.m2.4.5.3.3.1.3.1" xref="A2.E143.m2.4.5.3.3.1.3.1.cmml">∈</mo><msubsup id="A2.E143.m2.4.5.3.3.1.3.3" xref="A2.E143.m2.4.5.3.3.1.3.3.cmml"><mi id="A2.E143.m2.4.5.3.3.1.3.3.2.2" xref="A2.E143.m2.4.5.3.3.1.3.3.2.2.cmml">ℤ</mi><mi id="A2.E143.m2.4.5.3.3.1.3.3.2.3" xref="A2.E143.m2.4.5.3.3.1.3.3.2.3.cmml">q</mi><mi id="A2.E143.m2.4.5.3.3.1.3.3.3" xref="A2.E143.m2.4.5.3.3.1.3.3.3.cmml">t</mi></msubsup></mrow></munder></mstyle><mrow id="A2.E143.m2.4.5.3.3.2" xref="A2.E143.m2.4.5.3.3.2.cmml"><mrow id="A2.E143.m2.1.1a.3" xref="A2.E143.m2.1.1a.2.cmml"><mo id="A2.E143.m2.1.1a.3.1" stretchy="false" xref="A2.E143.m2.1.1a.2.1.cmml">|</mo><msub id="A2.E143.m2.1.1.1.1" xref="A2.E143.m2.1.1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="A2.E143.m2.1.1.1.1.2" xref="A2.E143.m2.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="A2.E143.m2.1.1.1.1.2.2" xref="A2.E143.m2.1.1.1.1.2.2.cmml">i</mi><mo id="A2.E143.m2.1.1.1.1.2.1" stretchy="false" xref="A2.E143.m2.1.1.1.1.2.1.cmml">→</mo></mover><mrow id="A2.E143.m2.1.1.1.1.3" xref="A2.E143.m2.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A2.E143.m2.1.1.1.1.3.2" xref="A2.E143.m2.1.1.1.1.3.2.cmml"></mi><mo id="A2.E143.m2.1.1.1.1.3.1" xref="A2.E143.m2.1.1.1.1.3.1.cmml"><</mo><mi id="A2.E143.m2.1.1.1.1.3.3" xref="A2.E143.m2.1.1.1.1.3.3.cmml">k</mi></mrow></msub><mo id="A2.E143.m2.1.1a.3.2" rspace="0.055em" stretchy="false" xref="A2.E143.m2.1.1a.2.1.cmml">⟩</mo></mrow><mo id="A2.E143.m2.4.5.3.3.2.1" rspace="0.222em" xref="A2.E143.m2.4.5.3.3.2.1.cmml">⊗</mo><mrow id="A2.E143.m2.2.2a.3" xref="A2.E143.m2.2.2a.2.cmml"><mo id="A2.E143.m2.2.2a.3.1" stretchy="false" xref="A2.E143.m2.2.2a.2.1.cmml">|</mo><msub id="A2.E143.m2.2.2.1.1" xref="A2.E143.m2.2.2.1.1.cmml"><mover accent="true" id="A2.E143.m2.2.2.1.1.2" xref="A2.E143.m2.2.2.1.1.2.cmml"><mi id="A2.E143.m2.2.2.1.1.2.2" xref="A2.E143.m2.2.2.1.1.2.2.cmml">i</mi><mo id="A2.E143.m2.2.2.1.1.2.1" stretchy="false" xref="A2.E143.m2.2.2.1.1.2.1.cmml">→</mo></mover><mrow id="A2.E143.m2.2.2.1.1.3" xref="A2.E143.m2.2.2.1.1.3.cmml"><mi id="A2.E143.m2.2.2.1.1.3.2" xref="A2.E143.m2.2.2.1.1.3.2.cmml"></mi><mo id="A2.E143.m2.2.2.1.1.3.1" xref="A2.E143.m2.2.2.1.1.3.1.cmml">≥</mo><mi id="A2.E143.m2.2.2.1.1.3.3" xref="A2.E143.m2.2.2.1.1.3.3.cmml">k</mi></mrow></msub><mo id="A2.E143.m2.2.2a.3.2" rspace="0.055em" stretchy="false" xref="A2.E143.m2.2.2a.2.1.cmml">⟩</mo></mrow><mo id="A2.E143.m2.4.5.3.3.2.1a" rspace="0.222em" xref="A2.E143.m2.4.5.3.3.2.1.cmml">⊗</mo><mrow id="A2.E143.m2.3.3a.3" xref="A2.E143.m2.3.3a.2.cmml"><mo id="A2.E143.m2.3.3a.3.1" stretchy="false" xref="A2.E143.m2.3.3a.2.1.cmml">|</mo><mrow id="A2.E143.m2.3.3.1.1" xref="A2.E143.m2.3.3.1.1.cmml"><mi id="A2.E143.m2.3.3.1.1.3" xref="A2.E143.m2.3.3.1.1.3.cmml">σ</mi><mo id="A2.E143.m2.3.3.1.1.2" xref="A2.E143.m2.3.3.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A2.E143.m2.3.3.1.1.1.1" xref="A2.E143.m2.3.3.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A2.E143.m2.3.3.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A2.E143.m2.3.3.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="A2.E143.m2.3.3.1.1.1.1.1" xref="A2.E143.m2.3.3.1.1.1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="A2.E143.m2.3.3.1.1.1.1.1.2" xref="A2.E143.m2.3.3.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="A2.E143.m2.3.3.1.1.1.1.1.2.2" xref="A2.E143.m2.3.3.1.1.1.1.1.2.2.cmml">i</mi><mo id="A2.E143.m2.3.3.1.1.1.1.1.2.1" stretchy="false" xref="A2.E143.m2.3.3.1.1.1.1.1.2.1.cmml">→</mo></mover><mrow id="A2.E143.m2.3.3.1.1.1.1.1.3" xref="A2.E143.m2.3.3.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A2.E143.m2.3.3.1.1.1.1.1.3.2" xref="A2.E143.m2.3.3.1.1.1.1.1.3.2.cmml"></mi><mo id="A2.E143.m2.3.3.1.1.1.1.1.3.1" xref="A2.E143.m2.3.3.1.1.1.1.1.3.1.cmml"><</mo><mi id="A2.E143.m2.3.3.1.1.1.1.1.3.3" xref="A2.E143.m2.3.3.1.1.1.1.1.3.3.cmml">k</mi></mrow></msub><mo id="A2.E143.m2.3.3.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A2.E143.m2.3.3.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A2.E143.m2.3.3a.3.2" rspace="0.055em" stretchy="false" xref="A2.E143.m2.3.3a.2.1.cmml">⟩</mo></mrow><mo id="A2.E143.m2.4.5.3.3.2.1b" rspace="0.222em" xref="A2.E143.m2.4.5.3.3.2.1.cmml">⊗</mo><mrow id="A2.E143.m2.4.4a.3" xref="A2.E143.m2.4.4a.2.cmml"><mo id="A2.E143.m2.4.4a.3.1" stretchy="false" xref="A2.E143.m2.4.4a.2.1.cmml">|</mo><msub id="A2.E143.m2.4.4.1.1" xref="A2.E143.m2.4.4.1.1.cmml"><mover accent="true" id="A2.E143.m2.4.4.1.1.2" xref="A2.E143.m2.4.4.1.1.2.cmml"><mi id="A2.E143.m2.4.4.1.1.2.2" xref="A2.E143.m2.4.4.1.1.2.2.cmml">i</mi><mo id="A2.E143.m2.4.4.1.1.2.1" stretchy="false" xref="A2.E143.m2.4.4.1.1.2.1.cmml">→</mo></mover><mrow id="A2.E143.m2.4.4.1.1.3" xref="A2.E143.m2.4.4.1.1.3.cmml"><mi id="A2.E143.m2.4.4.1.1.3.2" xref="A2.E143.m2.4.4.1.1.3.2.cmml"></mi><mo id="A2.E143.m2.4.4.1.1.3.1" xref="A2.E143.m2.4.4.1.1.3.1.cmml">≥</mo><mi id="A2.E143.m2.4.4.1.1.3.3" xref="A2.E143.m2.4.4.1.1.3.3.cmml">k</mi></mrow></msub><mo id="A2.E143.m2.4.4a.3.2" stretchy="false" xref="A2.E143.m2.4.4a.2.1.cmml">⟩</mo></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.E143.m2.4b"><apply id="A2.E143.m2.4.5.cmml" xref="A2.E143.m2.4.5"><eq id="A2.E143.m2.4.5.1.cmml" xref="A2.E143.m2.4.5.1"></eq><csymbol cd="latexml" id="A2.E143.m2.4.5.2.cmml" xref="A2.E143.m2.4.5.2">absent</csymbol><apply id="A2.E143.m2.4.5.3.cmml" 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italic_k end_POSTSUBSCRIPT end_ARG ⟩ ⊗ | start_ARG over→ start_ARG italic_i end_ARG start_POSTSUBSCRIPT ≥ italic_k end_POSTSUBSCRIPT end_ARG ⟩ ⊗ | start_ARG italic_σ ( over→ start_ARG italic_i end_ARG start_POSTSUBSCRIPT < italic_k end_POSTSUBSCRIPT ) end_ARG ⟩ ⊗ | start_ARG over→ start_ARG italic_i end_ARG start_POSTSUBSCRIPT ≥ italic_k end_POSTSUBSCRIPT end_ARG ⟩</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(143)</span></td> </tr></tbody> <tbody id="A2.E144"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=\left(\frac{1}{\sqrt{q}^{k}}\sum_{\vec{i}\in\mathbb{Z}_{q}^{k}}% \ket{\vec{i}}\otimes\ket{\sigma(\vec{i})}\right)\otimes\left(\frac{1}{\sqrt{q}% ^{t-k}}\sum_{\vec{i}\in\mathbb{Z}_{q}^{t-k}}\ket{\vec{i}}\otimes\ket{\vec{i}}\right)" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.E144.m1.6"><semantics id="A2.E144.m1.6a"><mrow id="A2.E144.m1.6.6" xref="A2.E144.m1.6.6.cmml"><mi id="A2.E144.m1.6.6.4" xref="A2.E144.m1.6.6.4.cmml"></mi><mo id="A2.E144.m1.6.6.3" xref="A2.E144.m1.6.6.3.cmml">=</mo><mrow id="A2.E144.m1.6.6.2" xref="A2.E144.m1.6.6.2.cmml"><mrow id="A2.E144.m1.5.5.1.1.1" xref="A2.E144.m1.5.5.1.1.1.1.cmml"><mo id="A2.E144.m1.5.5.1.1.1.2" xref="A2.E144.m1.5.5.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A2.E144.m1.5.5.1.1.1.1" xref="A2.E144.m1.5.5.1.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A2.E144.m1.5.5.1.1.1.1.2" xref="A2.E144.m1.5.5.1.1.1.1.2.cmml"><mfrac id="A2.E144.m1.5.5.1.1.1.1.2a" xref="A2.E144.m1.5.5.1.1.1.1.2.cmml"><mn id="A2.E144.m1.5.5.1.1.1.1.2.2" xref="A2.E144.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.cmml">1</mn><msup id="A2.E144.m1.5.5.1.1.1.1.2.3" xref="A2.E144.m1.5.5.1.1.1.1.2.3.cmml"><msqrt id="A2.E144.m1.5.5.1.1.1.1.2.3.2" xref="A2.E144.m1.5.5.1.1.1.1.2.3.2.cmml"><mi id="A2.E144.m1.5.5.1.1.1.1.2.3.2.2" xref="A2.E144.m1.5.5.1.1.1.1.2.3.2.2.cmml">q</mi></msqrt><mi id="A2.E144.m1.5.5.1.1.1.1.2.3.3" xref="A2.E144.m1.5.5.1.1.1.1.2.3.3.cmml">k</mi></msup></mfrac></mstyle><mo id="A2.E144.m1.5.5.1.1.1.1.1" xref="A2.E144.m1.5.5.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A2.E144.m1.5.5.1.1.1.1.3" xref="A2.E144.m1.5.5.1.1.1.1.3.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A2.E144.m1.5.5.1.1.1.1.3.1" xref="A2.E144.m1.5.5.1.1.1.1.3.1.cmml"><munder id="A2.E144.m1.5.5.1.1.1.1.3.1a" xref="A2.E144.m1.5.5.1.1.1.1.3.1.cmml"><mo id="A2.E144.m1.5.5.1.1.1.1.3.1.2" movablelimits="false" xref="A2.E144.m1.5.5.1.1.1.1.3.1.2.cmml">∑</mo><mrow id="A2.E144.m1.5.5.1.1.1.1.3.1.3" xref="A2.E144.m1.5.5.1.1.1.1.3.1.3.cmml"><mover accent="true" id="A2.E144.m1.5.5.1.1.1.1.3.1.3.2" xref="A2.E144.m1.5.5.1.1.1.1.3.1.3.2.cmml"><mi id="A2.E144.m1.5.5.1.1.1.1.3.1.3.2.2" xref="A2.E144.m1.5.5.1.1.1.1.3.1.3.2.2.cmml">i</mi><mo id="A2.E144.m1.5.5.1.1.1.1.3.1.3.2.1" stretchy="false" xref="A2.E144.m1.5.5.1.1.1.1.3.1.3.2.1.cmml">→</mo></mover><mo id="A2.E144.m1.5.5.1.1.1.1.3.1.3.1" xref="A2.E144.m1.5.5.1.1.1.1.3.1.3.1.cmml">∈</mo><msubsup id="A2.E144.m1.5.5.1.1.1.1.3.1.3.3" xref="A2.E144.m1.5.5.1.1.1.1.3.1.3.3.cmml"><mi id="A2.E144.m1.5.5.1.1.1.1.3.1.3.3.2.2" xref="A2.E144.m1.5.5.1.1.1.1.3.1.3.3.2.2.cmml">ℤ</mi><mi id="A2.E144.m1.5.5.1.1.1.1.3.1.3.3.2.3" xref="A2.E144.m1.5.5.1.1.1.1.3.1.3.3.2.3.cmml">q</mi><mi id="A2.E144.m1.5.5.1.1.1.1.3.1.3.3.3" xref="A2.E144.m1.5.5.1.1.1.1.3.1.3.3.3.cmml">k</mi></msubsup></mrow></munder></mstyle><mrow id="A2.E144.m1.5.5.1.1.1.1.3.2" xref="A2.E144.m1.5.5.1.1.1.1.3.2.cmml"><mrow id="A2.E144.m1.1.1a.3" xref="A2.E144.m1.1.1a.2.cmml"><mo id="A2.E144.m1.1.1a.3.1" stretchy="false" xref="A2.E144.m1.1.1a.2.1.cmml">|</mo><mover accent="true" id="A2.E144.m1.1.1.1.1" xref="A2.E144.m1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A2.E144.m1.1.1.1.1.2" 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id="A2.E144.m1.2.2.1.1.1.1" stretchy="false" xref="A2.E144.m1.2.2.1.1.1.1.cmml">→</mo></mover><mo id="A2.E144.m1.2.2.1.1.4.2.2" stretchy="false" xref="A2.E144.m1.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A2.E144.m1.2.2a.3.2" stretchy="false" xref="A2.E144.m1.2.2a.2.1.cmml">⟩</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="A2.E144.m1.5.5.1.1.1.3" rspace="0.055em" xref="A2.E144.m1.5.5.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A2.E144.m1.6.6.2.3" rspace="0.222em" xref="A2.E144.m1.6.6.2.3.cmml">⊗</mo><mrow id="A2.E144.m1.6.6.2.2.1" xref="A2.E144.m1.6.6.2.2.1.1.cmml"><mo id="A2.E144.m1.6.6.2.2.1.2" xref="A2.E144.m1.6.6.2.2.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A2.E144.m1.6.6.2.2.1.1" xref="A2.E144.m1.6.6.2.2.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A2.E144.m1.6.6.2.2.1.1.2" xref="A2.E144.m1.6.6.2.2.1.1.2.cmml"><mfrac id="A2.E144.m1.6.6.2.2.1.1.2a" xref="A2.E144.m1.6.6.2.2.1.1.2.cmml"><mn id="A2.E144.m1.6.6.2.2.1.1.2.2" xref="A2.E144.m1.6.6.2.2.1.1.2.2.cmml">1</mn><msup id="A2.E144.m1.6.6.2.2.1.1.2.3" xref="A2.E144.m1.6.6.2.2.1.1.2.3.cmml"><msqrt id="A2.E144.m1.6.6.2.2.1.1.2.3.2" xref="A2.E144.m1.6.6.2.2.1.1.2.3.2.cmml"><mi id="A2.E144.m1.6.6.2.2.1.1.2.3.2.2" xref="A2.E144.m1.6.6.2.2.1.1.2.3.2.2.cmml">q</mi></msqrt><mrow id="A2.E144.m1.6.6.2.2.1.1.2.3.3" xref="A2.E144.m1.6.6.2.2.1.1.2.3.3.cmml"><mi id="A2.E144.m1.6.6.2.2.1.1.2.3.3.2" xref="A2.E144.m1.6.6.2.2.1.1.2.3.3.2.cmml">t</mi><mo id="A2.E144.m1.6.6.2.2.1.1.2.3.3.1" xref="A2.E144.m1.6.6.2.2.1.1.2.3.3.1.cmml">−</mo><mi id="A2.E144.m1.6.6.2.2.1.1.2.3.3.3" xref="A2.E144.m1.6.6.2.2.1.1.2.3.3.3.cmml">k</mi></mrow></msup></mfrac></mstyle><mo id="A2.E144.m1.6.6.2.2.1.1.1" xref="A2.E144.m1.6.6.2.2.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A2.E144.m1.6.6.2.2.1.1.3" xref="A2.E144.m1.6.6.2.2.1.1.3.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A2.E144.m1.6.6.2.2.1.1.3.1" xref="A2.E144.m1.6.6.2.2.1.1.3.1.cmml"><munder id="A2.E144.m1.6.6.2.2.1.1.3.1a" xref="A2.E144.m1.6.6.2.2.1.1.3.1.cmml"><mo id="A2.E144.m1.6.6.2.2.1.1.3.1.2" movablelimits="false" 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id="A2.E144.m1.6.6.2.2.1.1.3.1.3.3.3.1" xref="A2.E144.m1.6.6.2.2.1.1.3.1.3.3.3.1.cmml">−</mo><mi id="A2.E144.m1.6.6.2.2.1.1.3.1.3.3.3.3" xref="A2.E144.m1.6.6.2.2.1.1.3.1.3.3.3.3.cmml">k</mi></mrow></msubsup></mrow></munder></mstyle><mrow id="A2.E144.m1.6.6.2.2.1.1.3.2" xref="A2.E144.m1.6.6.2.2.1.1.3.2.cmml"><mrow id="A2.E144.m1.3.3a.3" xref="A2.E144.m1.3.3a.2.cmml"><mo id="A2.E144.m1.3.3a.3.1" stretchy="false" xref="A2.E144.m1.3.3a.2.1.cmml">|</mo><mover accent="true" id="A2.E144.m1.3.3.1.1" xref="A2.E144.m1.3.3.1.1.cmml"><mi id="A2.E144.m1.3.3.1.1.2" xref="A2.E144.m1.3.3.1.1.2.cmml">i</mi><mo id="A2.E144.m1.3.3.1.1.1" stretchy="false" xref="A2.E144.m1.3.3.1.1.1.cmml">→</mo></mover><mo id="A2.E144.m1.3.3a.3.2" rspace="0.055em" stretchy="false" xref="A2.E144.m1.3.3a.2.1.cmml">⟩</mo></mrow><mo id="A2.E144.m1.6.6.2.2.1.1.3.2.1" rspace="0.222em" xref="A2.E144.m1.6.6.2.2.1.1.3.2.1.cmml">⊗</mo><mrow id="A2.E144.m1.4.4a.3" xref="A2.E144.m1.4.4a.2.cmml"><mo id="A2.E144.m1.4.4a.3.1" 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italic_k end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT | start_ARG over→ start_ARG italic_i end_ARG end_ARG ⟩ ⊗ | start_ARG over→ start_ARG italic_i end_ARG end_ARG ⟩ )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(144)</span></td> </tr></tbody> <tbody id="A2.E145"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=\ket{\sigma}^{(k)}\otimes\ket{I}^{(t-k)}" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.E145.m1.4"><semantics id="A2.E145.m1.4a"><mrow id="A2.E145.m1.4.5" xref="A2.E145.m1.4.5.cmml"><mi id="A2.E145.m1.4.5.2" xref="A2.E145.m1.4.5.2.cmml"></mi><mo id="A2.E145.m1.4.5.1" xref="A2.E145.m1.4.5.1.cmml">=</mo><mrow id="A2.E145.m1.4.5.3" xref="A2.E145.m1.4.5.3.cmml"><msup id="A2.E145.m1.4.5.3.2" xref="A2.E145.m1.4.5.3.2.cmml"><mrow id="A2.E145.m1.1.1a.3" xref="A2.E145.m1.1.1a.2.cmml"><mo id="A2.E145.m1.1.1a.3.1" stretchy="false" xref="A2.E145.m1.1.1a.2.1.cmml">|</mo><mi id="A2.E145.m1.1.1.1.1" xref="A2.E145.m1.1.1.1.1.cmml">σ</mi><mo id="A2.E145.m1.1.1a.3.2" rspace="0.055em" stretchy="false" xref="A2.E145.m1.1.1a.2.1.cmml">⟩</mo></mrow><mrow id="A2.E145.m1.3.3.1.3" xref="A2.E145.m1.4.5.3.2.cmml"><mo id="A2.E145.m1.3.3.1.3.1" stretchy="false" xref="A2.E145.m1.4.5.3.2.cmml">(</mo><mi id="A2.E145.m1.3.3.1.1" xref="A2.E145.m1.3.3.1.1.cmml">k</mi><mo id="A2.E145.m1.3.3.1.3.2" stretchy="false" xref="A2.E145.m1.4.5.3.2.cmml">)</mo></mrow></msup><mo id="A2.E145.m1.4.5.3.1" rspace="0.222em" xref="A2.E145.m1.4.5.3.1.cmml">⊗</mo><msup id="A2.E145.m1.4.5.3.3" xref="A2.E145.m1.4.5.3.3.cmml"><mrow id="A2.E145.m1.2.2a.3" xref="A2.E145.m1.2.2a.2.cmml"><mo id="A2.E145.m1.2.2a.3.1" stretchy="false" xref="A2.E145.m1.2.2a.2.1.cmml">|</mo><mi id="A2.E145.m1.2.2.1.1" xref="A2.E145.m1.2.2.1.1.cmml">I</mi><mo id="A2.E145.m1.2.2a.3.2" stretchy="false" xref="A2.E145.m1.2.2a.2.1.cmml">⟩</mo></mrow><mrow id="A2.E145.m1.4.4.1.1" xref="A2.E145.m1.4.4.1.1.1.cmml"><mo id="A2.E145.m1.4.4.1.1.2" stretchy="false" xref="A2.E145.m1.4.4.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A2.E145.m1.4.4.1.1.1" xref="A2.E145.m1.4.4.1.1.1.cmml"><mi id="A2.E145.m1.4.4.1.1.1.2" xref="A2.E145.m1.4.4.1.1.1.2.cmml">t</mi><mo id="A2.E145.m1.4.4.1.1.1.1" xref="A2.E145.m1.4.4.1.1.1.1.cmml">−</mo><mi id="A2.E145.m1.4.4.1.1.1.3" xref="A2.E145.m1.4.4.1.1.1.3.cmml">k</mi></mrow><mo id="A2.E145.m1.4.4.1.1.3" stretchy="false" xref="A2.E145.m1.4.4.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></msup></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.E145.m1.4b"><apply id="A2.E145.m1.4.5.cmml" xref="A2.E145.m1.4.5"><eq id="A2.E145.m1.4.5.1.cmml" xref="A2.E145.m1.4.5.1"></eq><csymbol cd="latexml" id="A2.E145.m1.4.5.2.cmml" xref="A2.E145.m1.4.5.2">absent</csymbol><apply id="A2.E145.m1.4.5.3.cmml" xref="A2.E145.m1.4.5.3"><csymbol cd="latexml" id="A2.E145.m1.4.5.3.1.cmml" xref="A2.E145.m1.4.5.3.1">tensor-product</csymbol><apply id="A2.E145.m1.4.5.3.2.cmml" xref="A2.E145.m1.4.5.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E145.m1.4.5.3.2.1.cmml" xref="A2.E145.m1.4.5.3.2">superscript</csymbol><apply id="A2.E145.m1.1.1a.2.cmml" xref="A2.E145.m1.1.1a.3"><csymbol cd="latexml" id="A2.E145.m1.1.1a.2.1.cmml" xref="A2.E145.m1.1.1a.3.1">ket</csymbol><ci id="A2.E145.m1.1.1.1.1.cmml" xref="A2.E145.m1.1.1.1.1">𝜎</ci></apply><ci id="A2.E145.m1.3.3.1.1.cmml" xref="A2.E145.m1.3.3.1.1">𝑘</ci></apply><apply id="A2.E145.m1.4.5.3.3.cmml" xref="A2.E145.m1.4.5.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E145.m1.4.5.3.3.1.cmml" xref="A2.E145.m1.4.5.3.3">superscript</csymbol><apply id="A2.E145.m1.2.2a.2.cmml" xref="A2.E145.m1.2.2a.3"><csymbol cd="latexml" id="A2.E145.m1.2.2a.2.1.cmml" xref="A2.E145.m1.2.2a.3.1">ket</csymbol><ci id="A2.E145.m1.2.2.1.1.cmml" xref="A2.E145.m1.2.2.1.1">𝐼</ci></apply><apply id="A2.E145.m1.4.4.1.1.1.cmml" xref="A2.E145.m1.4.4.1.1"><minus id="A2.E145.m1.4.4.1.1.1.1.cmml" xref="A2.E145.m1.4.4.1.1.1.1"></minus><ci id="A2.E145.m1.4.4.1.1.1.2.cmml" xref="A2.E145.m1.4.4.1.1.1.2">𝑡</ci><ci id="A2.E145.m1.4.4.1.1.1.3.cmml" xref="A2.E145.m1.4.4.1.1.1.3">𝑘</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.E145.m1.4c">\displaystyle=\ket{\sigma}^{(k)}\otimes\ket{I}^{(t-k)}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.E145.m1.4d">= | start_ARG italic_σ end_ARG ⟩ start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_k ) end_POSTSUPERSCRIPT ⊗ | start_ARG italic_I end_ARG ⟩ start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_t - italic_k ) end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(145)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="A2.SS2.1.p1.8">where the tensor product is again over copies. Let us now apply a random unitary to a pair of sites belonging to the basis element <math alttext="\ket{\sigma,\tau}^{(t)}" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.SS2.1.p1.7.m1.2"><semantics id="A2.SS2.1.p1.7.m1.2a"><msup id="A2.SS2.1.p1.7.m1.2.3" xref="A2.SS2.1.p1.7.m1.2.3.cmml"><mrow id="A2.SS2.1.p1.7.m1.1.1.3" xref="A2.SS2.1.p1.7.m1.1.1.2.cmml"><mo id="A2.SS2.1.p1.7.m1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="A2.SS2.1.p1.7.m1.1.1.2.1.cmml">|</mo><mrow id="A2.SS2.1.p1.7.m1.1.1.1.1.4" xref="A2.SS2.1.p1.7.m1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A2.SS2.1.p1.7.m1.1.1.1.1.1" xref="A2.SS2.1.p1.7.m1.1.1.1.1.1.cmml">σ</mi><mo id="A2.SS2.1.p1.7.m1.1.1.1.1.4.1" xref="A2.SS2.1.p1.7.m1.1.1.1.1.3.cmml">,</mo><mi id="A2.SS2.1.p1.7.m1.1.1.1.1.2" xref="A2.SS2.1.p1.7.m1.1.1.1.1.2.cmml">τ</mi></mrow><mo id="A2.SS2.1.p1.7.m1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="A2.SS2.1.p1.7.m1.1.1.2.1.cmml">⟩</mo></mrow><mrow id="A2.SS2.1.p1.7.m1.2.2.1.3" xref="A2.SS2.1.p1.7.m1.2.3.cmml"><mo id="A2.SS2.1.p1.7.m1.2.2.1.3.1" stretchy="false" xref="A2.SS2.1.p1.7.m1.2.3.cmml">(</mo><mi id="A2.SS2.1.p1.7.m1.2.2.1.1" xref="A2.SS2.1.p1.7.m1.2.2.1.1.cmml">t</mi><mo id="A2.SS2.1.p1.7.m1.2.2.1.3.2" stretchy="false" xref="A2.SS2.1.p1.7.m1.2.3.cmml">)</mo></mrow></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.SS2.1.p1.7.m1.2b"><apply id="A2.SS2.1.p1.7.m1.2.3.cmml" xref="A2.SS2.1.p1.7.m1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.SS2.1.p1.7.m1.2.3.1.cmml" xref="A2.SS2.1.p1.7.m1.2.3">superscript</csymbol><apply id="A2.SS2.1.p1.7.m1.1.1.2.cmml" xref="A2.SS2.1.p1.7.m1.1.1.3"><csymbol cd="latexml" id="A2.SS2.1.p1.7.m1.1.1.2.1.cmml" xref="A2.SS2.1.p1.7.m1.1.1.3.1">ket</csymbol><list id="A2.SS2.1.p1.7.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A2.SS2.1.p1.7.m1.1.1.1.1.4"><ci id="A2.SS2.1.p1.7.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A2.SS2.1.p1.7.m1.1.1.1.1.1">𝜎</ci><ci id="A2.SS2.1.p1.7.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A2.SS2.1.p1.7.m1.1.1.1.1.2">𝜏</ci></list></apply><ci id="A2.SS2.1.p1.7.m1.2.2.1.1.cmml" xref="A2.SS2.1.p1.7.m1.2.2.1.1">𝑡</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.SS2.1.p1.7.m1.2c">\ket{\sigma,\tau}^{(t)}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.SS2.1.p1.7.m1.2d">| start_ARG italic_σ , italic_τ end_ARG ⟩ start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_t ) end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> with <math alttext="\sigma,\tau\in S_{k}" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.SS2.1.p1.8.m2.2"><semantics id="A2.SS2.1.p1.8.m2.2a"><mrow id="A2.SS2.1.p1.8.m2.2.3" xref="A2.SS2.1.p1.8.m2.2.3.cmml"><mrow id="A2.SS2.1.p1.8.m2.2.3.2.2" xref="A2.SS2.1.p1.8.m2.2.3.2.1.cmml"><mi id="A2.SS2.1.p1.8.m2.1.1" xref="A2.SS2.1.p1.8.m2.1.1.cmml">σ</mi><mo id="A2.SS2.1.p1.8.m2.2.3.2.2.1" xref="A2.SS2.1.p1.8.m2.2.3.2.1.cmml">,</mo><mi id="A2.SS2.1.p1.8.m2.2.2" xref="A2.SS2.1.p1.8.m2.2.2.cmml">τ</mi></mrow><mo id="A2.SS2.1.p1.8.m2.2.3.1" xref="A2.SS2.1.p1.8.m2.2.3.1.cmml">∈</mo><msub id="A2.SS2.1.p1.8.m2.2.3.3" xref="A2.SS2.1.p1.8.m2.2.3.3.cmml"><mi id="A2.SS2.1.p1.8.m2.2.3.3.2" xref="A2.SS2.1.p1.8.m2.2.3.3.2.cmml">S</mi><mi id="A2.SS2.1.p1.8.m2.2.3.3.3" xref="A2.SS2.1.p1.8.m2.2.3.3.3.cmml">k</mi></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.SS2.1.p1.8.m2.2b"><apply id="A2.SS2.1.p1.8.m2.2.3.cmml" xref="A2.SS2.1.p1.8.m2.2.3"><in id="A2.SS2.1.p1.8.m2.2.3.1.cmml" xref="A2.SS2.1.p1.8.m2.2.3.1"></in><list id="A2.SS2.1.p1.8.m2.2.3.2.1.cmml" xref="A2.SS2.1.p1.8.m2.2.3.2.2"><ci id="A2.SS2.1.p1.8.m2.1.1.cmml" xref="A2.SS2.1.p1.8.m2.1.1">𝜎</ci><ci id="A2.SS2.1.p1.8.m2.2.2.cmml" xref="A2.SS2.1.p1.8.m2.2.2">𝜏</ci></list><apply id="A2.SS2.1.p1.8.m2.2.3.3.cmml" xref="A2.SS2.1.p1.8.m2.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.SS2.1.p1.8.m2.2.3.3.1.cmml" xref="A2.SS2.1.p1.8.m2.2.3.3">subscript</csymbol><ci id="A2.SS2.1.p1.8.m2.2.3.3.2.cmml" xref="A2.SS2.1.p1.8.m2.2.3.3.2">𝑆</ci><ci id="A2.SS2.1.p1.8.m2.2.3.3.3.cmml" xref="A2.SS2.1.p1.8.m2.2.3.3.3">𝑘</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.SS2.1.p1.8.m2.2c">\sigma,\tau\in S_{k}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.SS2.1.p1.8.m2.2d">italic_σ , italic_τ ∈ italic_S start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>. We obtain</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="S6.EGx124"> <tbody id="A2.E146"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle U^{\otimes t}\otimes U^{*\otimes t}\ket{\sigma,\tau}^{(t)}" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.E146.m1.4"><semantics id="A2.E146.m1.4a"><mrow id="A2.E146.m1.4.5" xref="A2.E146.m1.4.5.cmml"><mrow id="A2.E146.m1.4.5.2" xref="A2.E146.m1.4.5.2.cmml"><msup id="A2.E146.m1.4.5.2.2" xref="A2.E146.m1.4.5.2.2.cmml"><mi id="A2.E146.m1.4.5.2.2.2" xref="A2.E146.m1.4.5.2.2.2.cmml">U</mi><mrow id="A2.E146.m1.4.5.2.2.3" xref="A2.E146.m1.4.5.2.2.3.cmml"><mi id="A2.E146.m1.4.5.2.2.3.2" xref="A2.E146.m1.4.5.2.2.3.2.cmml"></mi><mo id="A2.E146.m1.4.5.2.2.3.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="A2.E146.m1.4.5.2.2.3.1.cmml">⊗</mo><mi id="A2.E146.m1.4.5.2.2.3.3" xref="A2.E146.m1.4.5.2.2.3.3.cmml">t</mi></mrow></msup><mo id="A2.E146.m1.4.5.2.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="A2.E146.m1.4.5.2.1.cmml">⊗</mo><msup id="A2.E146.m1.4.5.2.3" xref="A2.E146.m1.4.5.2.3.cmml"><mi id="A2.E146.m1.4.5.2.3.2" xref="A2.E146.m1.4.5.2.3.2.cmml">U</mi><mrow id="A2.E146.m1.3.3.2.2" xref="A2.E146.m1.3.3.2.3.cmml"><mo id="A2.E146.m1.2.2.1.1" xref="A2.E146.m1.2.2.1.1.cmml">∗</mo><mo id="A2.E146.m1.3.3.2.2.2" lspace="0.222em" xref="A2.E146.m1.3.3.2.3.cmml">⁣</mo><mrow id="A2.E146.m1.3.3.2.2.1" xref="A2.E146.m1.3.3.2.2.1.cmml"><mi id="A2.E146.m1.3.3.2.2.1.2" xref="A2.E146.m1.3.3.2.2.1.2.cmml"></mi><mo id="A2.E146.m1.3.3.2.2.1.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="A2.E146.m1.3.3.2.2.1.1.cmml">⊗</mo><mi id="A2.E146.m1.3.3.2.2.1.3" xref="A2.E146.m1.3.3.2.2.1.3.cmml">t</mi></mrow></mrow></msup></mrow><mo id="A2.E146.m1.4.5.1" xref="A2.E146.m1.4.5.1.cmml">⁢</mo><msup id="A2.E146.m1.4.5.3" xref="A2.E146.m1.4.5.3.cmml"><mrow id="A2.E146.m1.1.1a.3" xref="A2.E146.m1.1.1a.2.cmml"><mo id="A2.E146.m1.1.1a.3.1" stretchy="false" xref="A2.E146.m1.1.1a.2.1.cmml">|</mo><mrow id="A2.E146.m1.1.1.1.1.4" xref="A2.E146.m1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A2.E146.m1.1.1.1.1.1" xref="A2.E146.m1.1.1.1.1.1.cmml">σ</mi><mo id="A2.E146.m1.1.1.1.1.4.1" xref="A2.E146.m1.1.1.1.1.3.cmml">,</mo><mi id="A2.E146.m1.1.1.1.1.2" xref="A2.E146.m1.1.1.1.1.2.cmml">τ</mi></mrow><mo id="A2.E146.m1.1.1a.3.2" stretchy="false" xref="A2.E146.m1.1.1a.2.1.cmml">⟩</mo></mrow><mrow id="A2.E146.m1.4.4.1.3" xref="A2.E146.m1.4.5.3.cmml"><mo id="A2.E146.m1.4.4.1.3.1" stretchy="false" xref="A2.E146.m1.4.5.3.cmml">(</mo><mi id="A2.E146.m1.4.4.1.1" xref="A2.E146.m1.4.4.1.1.cmml">t</mi><mo id="A2.E146.m1.4.4.1.3.2" stretchy="false" xref="A2.E146.m1.4.5.3.cmml">)</mo></mrow></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.E146.m1.4b"><apply id="A2.E146.m1.4.5.cmml" xref="A2.E146.m1.4.5"><times id="A2.E146.m1.4.5.1.cmml" xref="A2.E146.m1.4.5.1"></times><apply 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lspace="0.222em" xref="A2.E146.m2.8.8.2.3.cmml">⁣</mo><mrow id="A2.E146.m2.8.8.2.2.1" xref="A2.E146.m2.8.8.2.2.1.cmml"><mi id="A2.E146.m2.8.8.2.2.1.3" xref="A2.E146.m2.8.8.2.2.1.3.cmml"></mi><mo id="A2.E146.m2.8.8.2.2.1.2" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="A2.E146.m2.8.8.2.2.1.2.cmml">⊗</mo><mrow id="A2.E146.m2.8.8.2.2.1.1.1" xref="A2.E146.m2.8.8.2.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="A2.E146.m2.8.8.2.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A2.E146.m2.8.8.2.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A2.E146.m2.8.8.2.2.1.1.1.1" xref="A2.E146.m2.8.8.2.2.1.1.1.1.cmml"><mi id="A2.E146.m2.8.8.2.2.1.1.1.1.2" xref="A2.E146.m2.8.8.2.2.1.1.1.1.2.cmml">t</mi><mo id="A2.E146.m2.8.8.2.2.1.1.1.1.1" xref="A2.E146.m2.8.8.2.2.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mi id="A2.E146.m2.8.8.2.2.1.1.1.1.3" xref="A2.E146.m2.8.8.2.2.1.1.1.1.3.cmml">k</mi></mrow><mo id="A2.E146.m2.8.8.2.2.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A2.E146.m2.8.8.2.2.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></msup></mrow><mo id="A2.E146.m2.11.11.2.2.2.1.3" stretchy="false" xref="A2.E146.m2.11.11.2.2.2.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A2.E146.m2.11.11.2.3" xref="A2.E146.m2.11.11.2.3.cmml">⁢</mo><msup id="A2.E146.m2.11.11.2.4" xref="A2.E146.m2.11.11.2.4.cmml"><mrow id="A2.E146.m2.2.2a.3" xref="A2.E146.m2.2.2a.2.cmml"><mo id="A2.E146.m2.2.2a.3.1" stretchy="false" xref="A2.E146.m2.2.2a.2.1.cmml">|</mo><mrow id="A2.E146.m2.2.2.1.1.4" xref="A2.E146.m2.2.2.1.1.3.cmml"><mi id="A2.E146.m2.2.2.1.1.1" xref="A2.E146.m2.2.2.1.1.1.cmml">I</mi><mo id="A2.E146.m2.2.2.1.1.4.1" xref="A2.E146.m2.2.2.1.1.3.cmml">,</mo><mi id="A2.E146.m2.2.2.1.1.2" xref="A2.E146.m2.2.2.1.1.2.cmml">I</mi></mrow><mo id="A2.E146.m2.2.2a.3.2" stretchy="false" xref="A2.E146.m2.2.2a.2.1.cmml">⟩</mo></mrow><mrow id="A2.E146.m2.9.9.1.1" xref="A2.E146.m2.9.9.1.1.1.cmml"><mo id="A2.E146.m2.9.9.1.1.2" stretchy="false" xref="A2.E146.m2.9.9.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A2.E146.m2.9.9.1.1.1" xref="A2.E146.m2.9.9.1.1.1.cmml"><mi id="A2.E146.m2.9.9.1.1.1.2" xref="A2.E146.m2.9.9.1.1.1.2.cmml">t</mi><mo id="A2.E146.m2.9.9.1.1.1.1" xref="A2.E146.m2.9.9.1.1.1.1.cmml">−</mo><mi id="A2.E146.m2.9.9.1.1.1.3" xref="A2.E146.m2.9.9.1.1.1.3.cmml">k</mi></mrow><mo id="A2.E146.m2.9.9.1.1.3" stretchy="false" xref="A2.E146.m2.9.9.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></msup></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.E146.m2.11b"><apply id="A2.E146.m2.11.11.cmml" xref="A2.E146.m2.11.11"><eq id="A2.E146.m2.11.11.3.cmml" xref="A2.E146.m2.11.11.3"></eq><csymbol cd="latexml" id="A2.E146.m2.11.11.4.cmml" xref="A2.E146.m2.11.11.4">absent</csymbol><apply id="A2.E146.m2.11.11.2.cmml" xref="A2.E146.m2.11.11.2"><times id="A2.E146.m2.11.11.2.3.cmml" xref="A2.E146.m2.11.11.2.3"></times><apply id="A2.E146.m2.11.11.2.2.cmml" xref="A2.E146.m2.11.11.2.2"><csymbol cd="latexml" id="A2.E146.m2.11.11.2.2.3.cmml" xref="A2.E146.m2.11.11.2.2.3">tensor-product</csymbol><apply id="A2.E146.m2.10.10.1.1.1.cmml" xref="A2.E146.m2.10.10.1.1.1"><times id="A2.E146.m2.10.10.1.1.1.2.cmml" 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id="A2.E146.m2.10.10.1.1.1.3.1.cmml" xref="A2.E146.m2.10.10.1.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="A2.E146.m2.1.1a.2.cmml" xref="A2.E146.m2.1.1a.3"><csymbol cd="latexml" id="A2.E146.m2.1.1a.2.1.cmml" xref="A2.E146.m2.1.1a.3.1">ket</csymbol><list id="A2.E146.m2.1.1.1.1.3.cmml" xref="A2.E146.m2.1.1.1.1.4"><ci id="A2.E146.m2.1.1.1.1.1.cmml" xref="A2.E146.m2.1.1.1.1.1">𝜎</ci><ci id="A2.E146.m2.1.1.1.1.2.cmml" xref="A2.E146.m2.1.1.1.1.2">𝜏</ci></list></apply><ci id="A2.E146.m2.5.5.1.1.cmml" xref="A2.E146.m2.5.5.1.1">𝑘</ci></apply></apply><apply id="A2.E146.m2.11.11.2.2.2.1.1.cmml" xref="A2.E146.m2.11.11.2.2.2.1"><csymbol cd="latexml" id="A2.E146.m2.11.11.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="A2.E146.m2.11.11.2.2.2.1.1.1">tensor-product</csymbol><apply id="A2.E146.m2.11.11.2.2.2.1.1.2.cmml" xref="A2.E146.m2.11.11.2.2.2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E146.m2.11.11.2.2.2.1.1.2.1.cmml" xref="A2.E146.m2.11.11.2.2.2.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="A2.E146.m2.11.11.2.2.2.1.1.2.2.cmml" 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id="A2.E146.m2.7.7.1.1.cmml" xref="A2.E146.m2.7.7.1.1"></times><apply id="A2.E146.m2.8.8.2.2.1.cmml" xref="A2.E146.m2.8.8.2.2.1"><csymbol cd="latexml" id="A2.E146.m2.8.8.2.2.1.2.cmml" xref="A2.E146.m2.8.8.2.2.1.2">tensor-product</csymbol><csymbol cd="latexml" id="A2.E146.m2.8.8.2.2.1.3.cmml" xref="A2.E146.m2.8.8.2.2.1.3">absent</csymbol><apply id="A2.E146.m2.8.8.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="A2.E146.m2.8.8.2.2.1.1.1"><minus id="A2.E146.m2.8.8.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="A2.E146.m2.8.8.2.2.1.1.1.1.1"></minus><ci id="A2.E146.m2.8.8.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="A2.E146.m2.8.8.2.2.1.1.1.1.2">𝑡</ci><ci id="A2.E146.m2.8.8.2.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="A2.E146.m2.8.8.2.2.1.1.1.1.3">𝑘</ci></apply></apply></list></apply></apply></apply><apply id="A2.E146.m2.11.11.2.4.cmml" xref="A2.E146.m2.11.11.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E146.m2.11.11.2.4.1.cmml" xref="A2.E146.m2.11.11.2.4">superscript</csymbol><apply id="A2.E146.m2.2.2a.2.cmml" xref="A2.E146.m2.2.2a.3"><csymbol cd="latexml" id="A2.E146.m2.2.2a.2.1.cmml" xref="A2.E146.m2.2.2a.3.1">ket</csymbol><list id="A2.E146.m2.2.2.1.1.3.cmml" xref="A2.E146.m2.2.2.1.1.4"><ci id="A2.E146.m2.2.2.1.1.1.cmml" xref="A2.E146.m2.2.2.1.1.1">𝐼</ci><ci id="A2.E146.m2.2.2.1.1.2.cmml" xref="A2.E146.m2.2.2.1.1.2">𝐼</ci></list></apply><apply id="A2.E146.m2.9.9.1.1.1.cmml" xref="A2.E146.m2.9.9.1.1"><minus id="A2.E146.m2.9.9.1.1.1.1.cmml" xref="A2.E146.m2.9.9.1.1.1.1"></minus><ci id="A2.E146.m2.9.9.1.1.1.2.cmml" xref="A2.E146.m2.9.9.1.1.1.2">𝑡</ci><ci id="A2.E146.m2.9.9.1.1.1.3.cmml" xref="A2.E146.m2.9.9.1.1.1.3">𝑘</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.E146.m2.11c">\displaystyle=(U^{\otimes k}\otimes U^{*\otimes k})\ket{\sigma,\tau}^{(k)}% \otimes(U^{\otimes(t-k)}\otimes U^{*\otimes(t-k)})\ket{I,I}^{(t-k)}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.E146.m2.11d">= ( italic_U start_POSTSUPERSCRIPT ⊗ italic_k end_POSTSUPERSCRIPT ⊗ italic_U start_POSTSUPERSCRIPT ∗ ⊗ italic_k end_POSTSUPERSCRIPT ) | start_ARG italic_σ , italic_τ end_ARG ⟩ start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_k ) end_POSTSUPERSCRIPT ⊗ ( italic_U start_POSTSUPERSCRIPT ⊗ ( italic_t - italic_k ) end_POSTSUPERSCRIPT ⊗ italic_U start_POSTSUPERSCRIPT ∗ ⊗ ( italic_t - italic_k ) end_POSTSUPERSCRIPT ) | start_ARG italic_I , italic_I end_ARG ⟩ start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_t - italic_k ) end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(146)</span></td> </tr></tbody> <tbody id="A2.E147"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=(U^{\otimes k}\otimes U^{*\otimes k})\ket{\sigma,\tau}^{(k)}% \otimes(U^{\otimes(t-k)}U^{\dagger\otimes(t-k)}\otimes I^{\otimes(t-k)})\ket{I% ,I}^{(t-k)}" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.E147.m1.12"><semantics id="A2.E147.m1.12a"><mrow id="A2.E147.m1.12.12" xref="A2.E147.m1.12.12.cmml"><mi id="A2.E147.m1.12.12.4" xref="A2.E147.m1.12.12.4.cmml"></mi><mo id="A2.E147.m1.12.12.3" xref="A2.E147.m1.12.12.3.cmml">=</mo><mrow id="A2.E147.m1.12.12.2" xref="A2.E147.m1.12.12.2.cmml"><mrow id="A2.E147.m1.12.12.2.2" xref="A2.E147.m1.12.12.2.2.cmml"><mrow id="A2.E147.m1.11.11.1.1.1" xref="A2.E147.m1.11.11.1.1.1.cmml"><mrow id="A2.E147.m1.11.11.1.1.1.1.1" xref="A2.E147.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A2.E147.m1.11.11.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A2.E147.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A2.E147.m1.11.11.1.1.1.1.1.1" xref="A2.E147.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.cmml"><msup id="A2.E147.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.2" xref="A2.E147.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="A2.E147.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.2.2" 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xref="A2.E148.m1.1.1a.2.cmml"><mo id="A2.E148.m1.1.1a.3.1" stretchy="false" xref="A2.E148.m1.1.1a.2.1.cmml">|</mo><mrow id="A2.E148.m1.1.1.1.1.4" xref="A2.E148.m1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A2.E148.m1.1.1.1.1.1" xref="A2.E148.m1.1.1.1.1.1.cmml">σ</mi><mo id="A2.E148.m1.1.1.1.1.4.1" xref="A2.E148.m1.1.1.1.1.3.cmml">,</mo><mi id="A2.E148.m1.1.1.1.1.2" xref="A2.E148.m1.1.1.1.1.2.cmml">τ</mi></mrow><mo id="A2.E148.m1.1.1a.3.2" rspace="0.055em" stretchy="false" xref="A2.E148.m1.1.1a.2.1.cmml">⟩</mo></mrow><mrow id="A2.E148.m1.5.5.1.3" xref="A2.E148.m1.7.7.1.1.3.cmml"><mo id="A2.E148.m1.5.5.1.3.1" stretchy="false" xref="A2.E148.m1.7.7.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="A2.E148.m1.5.5.1.1" xref="A2.E148.m1.5.5.1.1.cmml">k</mi><mo id="A2.E148.m1.5.5.1.3.2" stretchy="false" xref="A2.E148.m1.7.7.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></msup></mrow><mo id="A2.E148.m1.7.7.1.2" rspace="0.222em" xref="A2.E148.m1.7.7.1.2.cmml">⊗</mo><msup id="A2.E148.m1.7.7.1.3" xref="A2.E148.m1.7.7.1.3.cmml"><mrow id="A2.E148.m1.2.2a.3" 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xref="A2.E148.m1.6.6.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></msup></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.E148.m1.7b"><apply id="A2.E148.m1.7.7.cmml" xref="A2.E148.m1.7.7"><eq id="A2.E148.m1.7.7.2.cmml" xref="A2.E148.m1.7.7.2"></eq><csymbol cd="latexml" id="A2.E148.m1.7.7.3.cmml" xref="A2.E148.m1.7.7.3">absent</csymbol><apply id="A2.E148.m1.7.7.1.cmml" xref="A2.E148.m1.7.7.1"><csymbol cd="latexml" id="A2.E148.m1.7.7.1.2.cmml" xref="A2.E148.m1.7.7.1.2">tensor-product</csymbol><apply id="A2.E148.m1.7.7.1.1.cmml" xref="A2.E148.m1.7.7.1.1"><times id="A2.E148.m1.7.7.1.1.2.cmml" xref="A2.E148.m1.7.7.1.1.2"></times><apply id="A2.E148.m1.7.7.1.1.1.1.1.cmml" xref="A2.E148.m1.7.7.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="A2.E148.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A2.E148.m1.7.7.1.1.1.1.1.1">tensor-product</csymbol><apply id="A2.E148.m1.7.7.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A2.E148.m1.7.7.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E148.m1.7.7.1.1.1.1.1.2.1.cmml" 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id="A2.E148.m1.4.4.2.2.1.cmml" xref="A2.E148.m1.4.4.2.2.1"><csymbol cd="latexml" id="A2.E148.m1.4.4.2.2.1.1.cmml" xref="A2.E148.m1.4.4.2.2.1.1">tensor-product</csymbol><csymbol cd="latexml" id="A2.E148.m1.4.4.2.2.1.2.cmml" xref="A2.E148.m1.4.4.2.2.1.2">absent</csymbol><ci id="A2.E148.m1.4.4.2.2.1.3.cmml" xref="A2.E148.m1.4.4.2.2.1.3">𝑘</ci></apply></list></apply></apply><apply id="A2.E148.m1.7.7.1.1.3.cmml" xref="A2.E148.m1.7.7.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E148.m1.7.7.1.1.3.1.cmml" xref="A2.E148.m1.7.7.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="A2.E148.m1.1.1a.2.cmml" xref="A2.E148.m1.1.1a.3"><csymbol cd="latexml" id="A2.E148.m1.1.1a.2.1.cmml" xref="A2.E148.m1.1.1a.3.1">ket</csymbol><list id="A2.E148.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A2.E148.m1.1.1.1.1.4"><ci id="A2.E148.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A2.E148.m1.1.1.1.1.1">𝜎</ci><ci id="A2.E148.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A2.E148.m1.1.1.1.1.2">𝜏</ci></list></apply><ci id="A2.E148.m1.5.5.1.1.cmml" xref="A2.E148.m1.5.5.1.1">𝑘</ci></apply></apply><apply id="A2.E148.m1.7.7.1.3.cmml" xref="A2.E148.m1.7.7.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E148.m1.7.7.1.3.1.cmml" xref="A2.E148.m1.7.7.1.3">superscript</csymbol><apply id="A2.E148.m1.2.2a.2.cmml" xref="A2.E148.m1.2.2a.3"><csymbol cd="latexml" id="A2.E148.m1.2.2a.2.1.cmml" xref="A2.E148.m1.2.2a.3.1">ket</csymbol><list id="A2.E148.m1.2.2.1.1.3.cmml" xref="A2.E148.m1.2.2.1.1.4"><ci id="A2.E148.m1.2.2.1.1.1.cmml" xref="A2.E148.m1.2.2.1.1.1">𝐼</ci><ci id="A2.E148.m1.2.2.1.1.2.cmml" xref="A2.E148.m1.2.2.1.1.2">𝐼</ci></list></apply><apply id="A2.E148.m1.6.6.1.1.1.cmml" xref="A2.E148.m1.6.6.1.1"><minus id="A2.E148.m1.6.6.1.1.1.1.cmml" xref="A2.E148.m1.6.6.1.1.1.1"></minus><ci id="A2.E148.m1.6.6.1.1.1.2.cmml" xref="A2.E148.m1.6.6.1.1.1.2">𝑡</ci><ci id="A2.E148.m1.6.6.1.1.1.3.cmml" xref="A2.E148.m1.6.6.1.1.1.3">𝑘</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.E148.m1.7c">\displaystyle=(U^{\otimes k}\otimes U^{*\otimes k})\ket{\sigma,\tau}^{(k)}% \otimes\ket{I,I}^{(t-k)}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.E148.m1.7d">= ( italic_U start_POSTSUPERSCRIPT ⊗ italic_k end_POSTSUPERSCRIPT ⊗ italic_U start_POSTSUPERSCRIPT ∗ ⊗ italic_k end_POSTSUPERSCRIPT ) | start_ARG italic_σ , italic_τ end_ARG ⟩ start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_k ) end_POSTSUPERSCRIPT ⊗ | start_ARG italic_I , italic_I end_ARG ⟩ start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_t - italic_k ) end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(148)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="A2.SS2.1.p1.10">where in the second line we have used the transpose trick. Averaging over the Haar measure, we see that</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_gather ltx_eqn_table" id="S6.EGx125"> <tbody id="A2.E149"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\displaystyle G^{(t)}\ket{\sigma,\tau}^{(t)}=\left(G^{(k)}\ket{\sigma,\tau}^{(% k)}\right)\otimes\ket{I,I}^{(t-k)}" class="ltx_Math" display="block" id="A2.E149.m1.9"><semantics id="A2.E149.m1.9a"><mrow id="A2.E149.m1.9.9" xref="A2.E149.m1.9.9.cmml"><mrow id="A2.E149.m1.9.9.3" xref="A2.E149.m1.9.9.3.cmml"><msup id="A2.E149.m1.9.9.3.2" xref="A2.E149.m1.9.9.3.2.cmml"><mi id="A2.E149.m1.9.9.3.2.2" xref="A2.E149.m1.9.9.3.2.2.cmml">G</mi><mrow id="A2.E149.m1.4.4.1.3" xref="A2.E149.m1.9.9.3.2.cmml"><mo id="A2.E149.m1.4.4.1.3.1" stretchy="false" xref="A2.E149.m1.9.9.3.2.cmml">(</mo><mi id="A2.E149.m1.4.4.1.1" xref="A2.E149.m1.4.4.1.1.cmml">t</mi><mo id="A2.E149.m1.4.4.1.3.2" stretchy="false" xref="A2.E149.m1.9.9.3.2.cmml">)</mo></mrow></msup><mo id="A2.E149.m1.9.9.3.1" xref="A2.E149.m1.9.9.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="A2.E149.m1.9.9.3.3" xref="A2.E149.m1.9.9.3.3.cmml"><mrow id="A2.E149.m1.1.1.3" xref="A2.E149.m1.1.1.2.cmml"><mo id="A2.E149.m1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="A2.E149.m1.1.1.2.1.cmml">|</mo><mrow id="A2.E149.m1.1.1.1.1.4" xref="A2.E149.m1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A2.E149.m1.1.1.1.1.1" xref="A2.E149.m1.1.1.1.1.1.cmml">σ</mi><mo id="A2.E149.m1.1.1.1.1.4.1" xref="A2.E149.m1.1.1.1.1.3.cmml">,</mo><mi id="A2.E149.m1.1.1.1.1.2" xref="A2.E149.m1.1.1.1.1.2.cmml">τ</mi></mrow><mo id="A2.E149.m1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="A2.E149.m1.1.1.2.1.cmml">⟩</mo></mrow><mrow id="A2.E149.m1.5.5.1.3" xref="A2.E149.m1.9.9.3.3.cmml"><mo id="A2.E149.m1.5.5.1.3.1" stretchy="false" xref="A2.E149.m1.9.9.3.3.cmml">(</mo><mi id="A2.E149.m1.5.5.1.1" xref="A2.E149.m1.5.5.1.1.cmml">t</mi><mo id="A2.E149.m1.5.5.1.3.2" stretchy="false" xref="A2.E149.m1.9.9.3.3.cmml">)</mo></mrow></msup></mrow><mo id="A2.E149.m1.9.9.2" xref="A2.E149.m1.9.9.2.cmml">=</mo><mrow id="A2.E149.m1.9.9.1" xref="A2.E149.m1.9.9.1.cmml"><mrow id="A2.E149.m1.9.9.1.1.1" xref="A2.E149.m1.9.9.1.1.1.1.cmml"><mo id="A2.E149.m1.9.9.1.1.1.2" xref="A2.E149.m1.9.9.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A2.E149.m1.9.9.1.1.1.1" xref="A2.E149.m1.9.9.1.1.1.1.cmml"><msup id="A2.E149.m1.9.9.1.1.1.1.2" xref="A2.E149.m1.9.9.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="A2.E149.m1.9.9.1.1.1.1.2.2" xref="A2.E149.m1.9.9.1.1.1.1.2.2.cmml">G</mi><mrow id="A2.E149.m1.6.6.1.3" xref="A2.E149.m1.9.9.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="A2.E149.m1.6.6.1.3.1" stretchy="false" xref="A2.E149.m1.9.9.1.1.1.1.2.cmml">(</mo><mi id="A2.E149.m1.6.6.1.1" xref="A2.E149.m1.6.6.1.1.cmml">k</mi><mo id="A2.E149.m1.6.6.1.3.2" stretchy="false" xref="A2.E149.m1.9.9.1.1.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></msup><mo id="A2.E149.m1.9.9.1.1.1.1.1" xref="A2.E149.m1.9.9.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msup id="A2.E149.m1.9.9.1.1.1.1.3" xref="A2.E149.m1.9.9.1.1.1.1.3.cmml"><mrow id="A2.E149.m1.2.2.3" xref="A2.E149.m1.2.2.2.cmml"><mo id="A2.E149.m1.2.2.3.1" stretchy="false" xref="A2.E149.m1.2.2.2.1.cmml">|</mo><mrow id="A2.E149.m1.2.2.1.1.4" xref="A2.E149.m1.2.2.1.1.3.cmml"><mi id="A2.E149.m1.2.2.1.1.1" xref="A2.E149.m1.2.2.1.1.1.cmml">σ</mi><mo id="A2.E149.m1.2.2.1.1.4.1" xref="A2.E149.m1.2.2.1.1.3.cmml">,</mo><mi id="A2.E149.m1.2.2.1.1.2" xref="A2.E149.m1.2.2.1.1.2.cmml">τ</mi></mrow><mo id="A2.E149.m1.2.2.3.2" stretchy="false" xref="A2.E149.m1.2.2.2.1.cmml">⟩</mo></mrow><mrow id="A2.E149.m1.7.7.1.3" xref="A2.E149.m1.9.9.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="A2.E149.m1.7.7.1.3.1" stretchy="false" xref="A2.E149.m1.9.9.1.1.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="A2.E149.m1.7.7.1.1" xref="A2.E149.m1.7.7.1.1.cmml">k</mi><mo id="A2.E149.m1.7.7.1.3.2" stretchy="false" xref="A2.E149.m1.9.9.1.1.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></msup></mrow><mo id="A2.E149.m1.9.9.1.1.1.3" rspace="0.055em" xref="A2.E149.m1.9.9.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A2.E149.m1.9.9.1.2" rspace="0.222em" xref="A2.E149.m1.9.9.1.2.cmml">⊗</mo><msup id="A2.E149.m1.9.9.1.3" xref="A2.E149.m1.9.9.1.3.cmml"><mrow id="A2.E149.m1.3.3.3" xref="A2.E149.m1.3.3.2.cmml"><mo id="A2.E149.m1.3.3.3.1" stretchy="false" xref="A2.E149.m1.3.3.2.1.cmml">|</mo><mrow id="A2.E149.m1.3.3.1.1.4" xref="A2.E149.m1.3.3.1.1.3.cmml"><mi id="A2.E149.m1.3.3.1.1.1" xref="A2.E149.m1.3.3.1.1.1.cmml">I</mi><mo id="A2.E149.m1.3.3.1.1.4.1" xref="A2.E149.m1.3.3.1.1.3.cmml">,</mo><mi id="A2.E149.m1.3.3.1.1.2" xref="A2.E149.m1.3.3.1.1.2.cmml">I</mi></mrow><mo id="A2.E149.m1.3.3.3.2" stretchy="false" xref="A2.E149.m1.3.3.2.1.cmml">⟩</mo></mrow><mrow id="A2.E149.m1.8.8.1.1" xref="A2.E149.m1.8.8.1.1.1.cmml"><mo id="A2.E149.m1.8.8.1.1.2" stretchy="false" xref="A2.E149.m1.8.8.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A2.E149.m1.8.8.1.1.1" xref="A2.E149.m1.8.8.1.1.1.cmml"><mi id="A2.E149.m1.8.8.1.1.1.2" xref="A2.E149.m1.8.8.1.1.1.2.cmml">t</mi><mo id="A2.E149.m1.8.8.1.1.1.1" xref="A2.E149.m1.8.8.1.1.1.1.cmml">−</mo><mi id="A2.E149.m1.8.8.1.1.1.3" xref="A2.E149.m1.8.8.1.1.1.3.cmml">k</mi></mrow><mo id="A2.E149.m1.8.8.1.1.3" stretchy="false" xref="A2.E149.m1.8.8.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></msup></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.E149.m1.9b"><apply id="A2.E149.m1.9.9.cmml" xref="A2.E149.m1.9.9"><eq id="A2.E149.m1.9.9.2.cmml" xref="A2.E149.m1.9.9.2"></eq><apply id="A2.E149.m1.9.9.3.cmml" xref="A2.E149.m1.9.9.3"><times id="A2.E149.m1.9.9.3.1.cmml" xref="A2.E149.m1.9.9.3.1"></times><apply id="A2.E149.m1.9.9.3.2.cmml" xref="A2.E149.m1.9.9.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E149.m1.9.9.3.2.1.cmml" xref="A2.E149.m1.9.9.3.2">superscript</csymbol><ci id="A2.E149.m1.9.9.3.2.2.cmml" xref="A2.E149.m1.9.9.3.2.2">𝐺</ci><ci id="A2.E149.m1.4.4.1.1.cmml" xref="A2.E149.m1.4.4.1.1">𝑡</ci></apply><apply id="A2.E149.m1.9.9.3.3.cmml" xref="A2.E149.m1.9.9.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E149.m1.9.9.3.3.1.cmml" xref="A2.E149.m1.9.9.3.3">superscript</csymbol><apply id="A2.E149.m1.1.1.2.cmml" xref="A2.E149.m1.1.1.3"><csymbol cd="latexml" id="A2.E149.m1.1.1.2.1.cmml" xref="A2.E149.m1.1.1.3.1">ket</csymbol><list id="A2.E149.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A2.E149.m1.1.1.1.1.4"><ci id="A2.E149.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A2.E149.m1.1.1.1.1.1">𝜎</ci><ci id="A2.E149.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A2.E149.m1.1.1.1.1.2">𝜏</ci></list></apply><ci id="A2.E149.m1.5.5.1.1.cmml" xref="A2.E149.m1.5.5.1.1">𝑡</ci></apply></apply><apply id="A2.E149.m1.9.9.1.cmml" xref="A2.E149.m1.9.9.1"><csymbol cd="latexml" id="A2.E149.m1.9.9.1.2.cmml" xref="A2.E149.m1.9.9.1.2">tensor-product</csymbol><apply id="A2.E149.m1.9.9.1.1.1.1.cmml" xref="A2.E149.m1.9.9.1.1.1"><times id="A2.E149.m1.9.9.1.1.1.1.1.cmml" xref="A2.E149.m1.9.9.1.1.1.1.1"></times><apply id="A2.E149.m1.9.9.1.1.1.1.2.cmml" xref="A2.E149.m1.9.9.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E149.m1.9.9.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A2.E149.m1.9.9.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="A2.E149.m1.9.9.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A2.E149.m1.9.9.1.1.1.1.2.2">𝐺</ci><ci id="A2.E149.m1.6.6.1.1.cmml" xref="A2.E149.m1.6.6.1.1">𝑘</ci></apply><apply id="A2.E149.m1.9.9.1.1.1.1.3.cmml" xref="A2.E149.m1.9.9.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E149.m1.9.9.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A2.E149.m1.9.9.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="A2.E149.m1.2.2.2.cmml" xref="A2.E149.m1.2.2.3"><csymbol cd="latexml" id="A2.E149.m1.2.2.2.1.cmml" xref="A2.E149.m1.2.2.3.1">ket</csymbol><list id="A2.E149.m1.2.2.1.1.3.cmml" xref="A2.E149.m1.2.2.1.1.4"><ci id="A2.E149.m1.2.2.1.1.1.cmml" xref="A2.E149.m1.2.2.1.1.1">𝜎</ci><ci id="A2.E149.m1.2.2.1.1.2.cmml" xref="A2.E149.m1.2.2.1.1.2">𝜏</ci></list></apply><ci id="A2.E149.m1.7.7.1.1.cmml" xref="A2.E149.m1.7.7.1.1">𝑘</ci></apply></apply><apply id="A2.E149.m1.9.9.1.3.cmml" xref="A2.E149.m1.9.9.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E149.m1.9.9.1.3.1.cmml" xref="A2.E149.m1.9.9.1.3">superscript</csymbol><apply id="A2.E149.m1.3.3.2.cmml" xref="A2.E149.m1.3.3.3"><csymbol cd="latexml" id="A2.E149.m1.3.3.2.1.cmml" xref="A2.E149.m1.3.3.3.1">ket</csymbol><list id="A2.E149.m1.3.3.1.1.3.cmml" xref="A2.E149.m1.3.3.1.1.4"><ci id="A2.E149.m1.3.3.1.1.1.cmml" xref="A2.E149.m1.3.3.1.1.1">𝐼</ci><ci id="A2.E149.m1.3.3.1.1.2.cmml" xref="A2.E149.m1.3.3.1.1.2">𝐼</ci></list></apply><apply id="A2.E149.m1.8.8.1.1.1.cmml" xref="A2.E149.m1.8.8.1.1"><minus id="A2.E149.m1.8.8.1.1.1.1.cmml" xref="A2.E149.m1.8.8.1.1.1.1"></minus><ci id="A2.E149.m1.8.8.1.1.1.2.cmml" xref="A2.E149.m1.8.8.1.1.1.2">𝑡</ci><ci id="A2.E149.m1.8.8.1.1.1.3.cmml" xref="A2.E149.m1.8.8.1.1.1.3">𝑘</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.E149.m1.9c">\displaystyle G^{(t)}\ket{\sigma,\tau}^{(t)}=\left(G^{(k)}\ket{\sigma,\tau}^{(% k)}\right)\otimes\ket{I,I}^{(t-k)}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.E149.m1.9d">italic_G start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_t ) end_POSTSUPERSCRIPT | start_ARG italic_σ , italic_τ end_ARG ⟩ start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_t ) end_POSTSUPERSCRIPT = ( italic_G start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_k ) end_POSTSUPERSCRIPT | start_ARG italic_σ , italic_τ end_ARG ⟩ start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_k ) end_POSTSUPERSCRIPT ) ⊗ | start_ARG italic_I , italic_I end_ARG ⟩ start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_t - italic_k ) end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(149)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="A2.SS2.1.p1.9">The lemma above then follows from the linearity of <math alttext="G" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.SS2.1.p1.9.m1.1"><semantics id="A2.SS2.1.p1.9.m1.1a"><mi id="A2.SS2.1.p1.9.m1.1.1" xref="A2.SS2.1.p1.9.m1.1.1.cmml">G</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.SS2.1.p1.9.m1.1b"><ci id="A2.SS2.1.p1.9.m1.1.1.cmml" xref="A2.SS2.1.p1.9.m1.1.1">𝐺</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.SS2.1.p1.9.m1.1c">G</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.SS2.1.p1.9.m1.1d">italic_G</annotation></semantics></math>. ∎</p> </div> </div> </section> <section class="ltx_subsection" id="A2.SS3"> <h3 class="ltx_title ltx_title_subsection"> <span class="ltx_tag ltx_tag_subsection">B.3 </span>Proof of Lemma <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#Thmtheorem31" title="Lemma 31. ‣ IV.1 Deranged subspace ‣ IV Properties of the eigenspaces ‣ Conditional 𝑡-independent spectral gap for random quantum circuits and implications for 𝑡-design depths"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">31</span></a> </h3> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_lemma" id="Thmlemmax2"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmlemmax2.1.1.1">Lemma</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmlemmax2.2.2">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="Thmlemmax2.p1"> <p class="ltx_p" id="Thmlemmax2.p1.5"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmlemmax2.p1.5.5">(Restatement of Lemma <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#Thmtheorem31" title="Lemma 31. ‣ IV.1 Deranged subspace ‣ IV Properties of the eigenspaces ‣ Conditional 𝑡-independent spectral gap for random quantum circuits and implications for 𝑡-design depths"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">31</span></a>) The subspaces <math alttext="\operatorname{span}\left(\mathfrak{D}_{N}^{(t)}\right)" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmlemmax2.p1.1.1.m1.3"><semantics id="Thmlemmax2.p1.1.1.m1.3a"><mrow id="Thmlemmax2.p1.1.1.m1.3.3.1" xref="Thmlemmax2.p1.1.1.m1.3.3.2.cmml"><mi id="Thmlemmax2.p1.1.1.m1.2.2" xref="Thmlemmax2.p1.1.1.m1.2.2.cmml">span</mi><mo id="Thmlemmax2.p1.1.1.m1.3.3.1a" xref="Thmlemmax2.p1.1.1.m1.3.3.2.cmml">⁡</mo><mrow id="Thmlemmax2.p1.1.1.m1.3.3.1.1" xref="Thmlemmax2.p1.1.1.m1.3.3.2.cmml"><mo id="Thmlemmax2.p1.1.1.m1.3.3.1.1.2" xref="Thmlemmax2.p1.1.1.m1.3.3.2.cmml">(</mo><msubsup id="Thmlemmax2.p1.1.1.m1.3.3.1.1.1" xref="Thmlemmax2.p1.1.1.m1.3.3.1.1.1.cmml"><mi id="Thmlemmax2.p1.1.1.m1.3.3.1.1.1.2.2" xref="Thmlemmax2.p1.1.1.m1.3.3.1.1.1.2.2.cmml">𝔇</mi><mi id="Thmlemmax2.p1.1.1.m1.3.3.1.1.1.2.3" xref="Thmlemmax2.p1.1.1.m1.3.3.1.1.1.2.3.cmml">N</mi><mrow id="Thmlemmax2.p1.1.1.m1.1.1.1.3" xref="Thmlemmax2.p1.1.1.m1.3.3.1.1.1.cmml"><mo id="Thmlemmax2.p1.1.1.m1.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="Thmlemmax2.p1.1.1.m1.3.3.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="Thmlemmax2.p1.1.1.m1.1.1.1.1" xref="Thmlemmax2.p1.1.1.m1.1.1.1.1.cmml">t</mi><mo id="Thmlemmax2.p1.1.1.m1.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="Thmlemmax2.p1.1.1.m1.3.3.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></msubsup><mo id="Thmlemmax2.p1.1.1.m1.3.3.1.1.3" xref="Thmlemmax2.p1.1.1.m1.3.3.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmlemmax2.p1.1.1.m1.3b"><apply id="Thmlemmax2.p1.1.1.m1.3.3.2.cmml" xref="Thmlemmax2.p1.1.1.m1.3.3.1"><ci id="Thmlemmax2.p1.1.1.m1.2.2.cmml" xref="Thmlemmax2.p1.1.1.m1.2.2">span</ci><apply id="Thmlemmax2.p1.1.1.m1.3.3.1.1.1.cmml" xref="Thmlemmax2.p1.1.1.m1.3.3.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmlemmax2.p1.1.1.m1.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="Thmlemmax2.p1.1.1.m1.3.3.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="Thmlemmax2.p1.1.1.m1.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="Thmlemmax2.p1.1.1.m1.3.3.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmlemmax2.p1.1.1.m1.3.3.1.1.1.2.1.cmml" xref="Thmlemmax2.p1.1.1.m1.3.3.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="Thmlemmax2.p1.1.1.m1.3.3.1.1.1.2.2.cmml" xref="Thmlemmax2.p1.1.1.m1.3.3.1.1.1.2.2">𝔇</ci><ci id="Thmlemmax2.p1.1.1.m1.3.3.1.1.1.2.3.cmml" xref="Thmlemmax2.p1.1.1.m1.3.3.1.1.1.2.3">𝑁</ci></apply><ci id="Thmlemmax2.p1.1.1.m1.1.1.1.1.cmml" xref="Thmlemmax2.p1.1.1.m1.1.1.1.1">𝑡</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmlemmax2.p1.1.1.m1.3c">\operatorname{span}\left(\mathfrak{D}_{N}^{(t)}\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmlemmax2.p1.1.1.m1.3d">roman_span ( fraktur_D start_POSTSUBSCRIPT italic_N end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_t ) end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math>, <math alttext="\operatorname{span}\left(S_{t}^{2}\circ S_{t-1}^{\times N}\right)" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmlemmax2.p1.2.2.m2.2"><semantics id="Thmlemmax2.p1.2.2.m2.2a"><mrow id="Thmlemmax2.p1.2.2.m2.2.2.1" xref="Thmlemmax2.p1.2.2.m2.2.2.2.cmml"><mi id="Thmlemmax2.p1.2.2.m2.1.1" xref="Thmlemmax2.p1.2.2.m2.1.1.cmml">span</mi><mo id="Thmlemmax2.p1.2.2.m2.2.2.1a" xref="Thmlemmax2.p1.2.2.m2.2.2.2.cmml">⁡</mo><mrow id="Thmlemmax2.p1.2.2.m2.2.2.1.1" xref="Thmlemmax2.p1.2.2.m2.2.2.2.cmml"><mo id="Thmlemmax2.p1.2.2.m2.2.2.1.1.2" 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xref="Thmlemmax2.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.2.2.3.cmml">t</mi><mn id="Thmlemmax2.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.2.3" xref="Thmlemmax2.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.2.3.cmml">2</mn></msubsup><mo id="Thmlemmax2.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="Thmlemmax2.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.1.cmml">∘</mo><msubsup id="Thmlemmax2.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.3" xref="Thmlemmax2.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.3.cmml"><mi id="Thmlemmax2.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.3.2.2" xref="Thmlemmax2.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.3.2.2.cmml">S</mi><mrow id="Thmlemmax2.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.3.2.3" xref="Thmlemmax2.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="Thmlemmax2.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.3.2.3.2" xref="Thmlemmax2.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.3.2.3.2.cmml">t</mi><mo id="Thmlemmax2.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.3.2.3.1" xref="Thmlemmax2.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.3.2.3.1.cmml">−</mo><mn id="Thmlemmax2.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.3.2.3.3" xref="Thmlemmax2.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.3.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mrow id="Thmlemmax2.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.3.3" xref="Thmlemmax2.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="Thmlemmax2.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.3.3.2" xref="Thmlemmax2.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.3.3.2.cmml"></mi><mo id="Thmlemmax2.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.3.3.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="Thmlemmax2.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.3.3.1.cmml">×</mo><mi id="Thmlemmax2.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.3.3.3" xref="Thmlemmax2.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.3.3.3.cmml">N</mi></mrow></msubsup></mrow><mo id="Thmlemmax2.p1.3.3.m3.2.2.1.1.3" xref="Thmlemmax2.p1.3.3.m3.2.2.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmlemmax2.p1.3.3.m3.2b"><apply id="Thmlemmax2.p1.3.3.m3.2.2.2.cmml" xref="Thmlemmax2.p1.3.3.m3.2.2.1"><ci id="Thmlemmax2.p1.3.3.m3.1.1.cmml" xref="Thmlemmax2.p1.3.3.m3.1.1">span</ci><apply id="Thmlemmax2.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.cmml" xref="Thmlemmax2.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1"><compose id="Thmlemmax2.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="Thmlemmax2.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.1"></compose><apply id="Thmlemmax2.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="Thmlemmax2.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmlemmax2.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="Thmlemmax2.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="Thmlemmax2.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.2.2.cmml" xref="Thmlemmax2.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmlemmax2.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="Thmlemmax2.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="Thmlemmax2.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="Thmlemmax2.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.2.2.2">𝑆</ci><ci id="Thmlemmax2.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="Thmlemmax2.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.2.2.3">𝑡</ci></apply><cn id="Thmlemmax2.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="Thmlemmax2.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.2.3">2</cn></apply><apply id="Thmlemmax2.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="Thmlemmax2.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmlemmax2.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="Thmlemmax2.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="Thmlemmax2.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.3.2.cmml" xref="Thmlemmax2.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmlemmax2.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="Thmlemmax2.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="Thmlemmax2.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="Thmlemmax2.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.3.2.2">𝑆</ci><apply id="Thmlemmax2.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="Thmlemmax2.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.3.2.3"><minus id="Thmlemmax2.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="Thmlemmax2.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.3.2.3.1"></minus><ci id="Thmlemmax2.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="Thmlemmax2.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.3.2.3.2">𝑡</ci><cn id="Thmlemmax2.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.3.2.3.3.cmml" type="integer" xref="Thmlemmax2.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.3.2.3.3">1</cn></apply></apply><apply id="Thmlemmax2.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.3.3.cmml" xref="Thmlemmax2.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.3.3"><times id="Thmlemmax2.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="Thmlemmax2.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.3.3.1"></times><csymbol cd="latexml" id="Thmlemmax2.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="Thmlemmax2.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.3.3.2">absent</csymbol><ci id="Thmlemmax2.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="Thmlemmax2.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.3.3.3">𝑁</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmlemmax2.p1.3.3.m3.2c">\operatorname{span}\left(S_{t}^{2}\circ S_{t-1}^{\times N}\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmlemmax2.p1.3.3.m3.2d">roman_span ( italic_S start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ∘ italic_S start_POSTSUBSCRIPT italic_t - 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT × italic_N end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math> are each invariant under the global right-action <math alttext="\sigma_{R}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmlemmax2.p1.4.4.m4.1"><semantics id="Thmlemmax2.p1.4.4.m4.1a"><msub id="Thmlemmax2.p1.4.4.m4.1.1" xref="Thmlemmax2.p1.4.4.m4.1.1.cmml"><mi id="Thmlemmax2.p1.4.4.m4.1.1.2" xref="Thmlemmax2.p1.4.4.m4.1.1.2.cmml">σ</mi><mi id="Thmlemmax2.p1.4.4.m4.1.1.3" xref="Thmlemmax2.p1.4.4.m4.1.1.3.cmml">R</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmlemmax2.p1.4.4.m4.1b"><apply id="Thmlemmax2.p1.4.4.m4.1.1.cmml" xref="Thmlemmax2.p1.4.4.m4.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmlemmax2.p1.4.4.m4.1.1.1.cmml" xref="Thmlemmax2.p1.4.4.m4.1.1">subscript</csymbol><ci id="Thmlemmax2.p1.4.4.m4.1.1.2.cmml" xref="Thmlemmax2.p1.4.4.m4.1.1.2">𝜎</ci><ci id="Thmlemmax2.p1.4.4.m4.1.1.3.cmml" xref="Thmlemmax2.p1.4.4.m4.1.1.3">𝑅</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmlemmax2.p1.4.4.m4.1c">\sigma_{R}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmlemmax2.p1.4.4.m4.1d">italic_σ start_POSTSUBSCRIPT italic_R end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> of any <math alttext="\sigma\in S_{t}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmlemmax2.p1.5.5.m5.1"><semantics id="Thmlemmax2.p1.5.5.m5.1a"><mrow id="Thmlemmax2.p1.5.5.m5.1.1" xref="Thmlemmax2.p1.5.5.m5.1.1.cmml"><mi id="Thmlemmax2.p1.5.5.m5.1.1.2" xref="Thmlemmax2.p1.5.5.m5.1.1.2.cmml">σ</mi><mo id="Thmlemmax2.p1.5.5.m5.1.1.1" xref="Thmlemmax2.p1.5.5.m5.1.1.1.cmml">∈</mo><msub id="Thmlemmax2.p1.5.5.m5.1.1.3" xref="Thmlemmax2.p1.5.5.m5.1.1.3.cmml"><mi id="Thmlemmax2.p1.5.5.m5.1.1.3.2" xref="Thmlemmax2.p1.5.5.m5.1.1.3.2.cmml">S</mi><mi id="Thmlemmax2.p1.5.5.m5.1.1.3.3" xref="Thmlemmax2.p1.5.5.m5.1.1.3.3.cmml">t</mi></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmlemmax2.p1.5.5.m5.1b"><apply id="Thmlemmax2.p1.5.5.m5.1.1.cmml" xref="Thmlemmax2.p1.5.5.m5.1.1"><in id="Thmlemmax2.p1.5.5.m5.1.1.1.cmml" xref="Thmlemmax2.p1.5.5.m5.1.1.1"></in><ci id="Thmlemmax2.p1.5.5.m5.1.1.2.cmml" xref="Thmlemmax2.p1.5.5.m5.1.1.2">𝜎</ci><apply id="Thmlemmax2.p1.5.5.m5.1.1.3.cmml" xref="Thmlemmax2.p1.5.5.m5.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmlemmax2.p1.5.5.m5.1.1.3.1.cmml" xref="Thmlemmax2.p1.5.5.m5.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="Thmlemmax2.p1.5.5.m5.1.1.3.2.cmml" xref="Thmlemmax2.p1.5.5.m5.1.1.3.2">𝑆</ci><ci id="Thmlemmax2.p1.5.5.m5.1.1.3.3.cmml" xref="Thmlemmax2.p1.5.5.m5.1.1.3.3">𝑡</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmlemmax2.p1.5.5.m5.1c">\sigma\in S_{t}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmlemmax2.p1.5.5.m5.1d">italic_σ ∈ italic_S start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>.</span></p> </div> </div> <div class="ltx_proof" id="A2.SS3.3"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_font_italic ltx_title_proof">Proof.</h6> <div class="ltx_para" id="A2.SS3.1.p1"> <p class="ltx_p" id="A2.SS3.1.p1.3">We first show that the set of complete derangement states is invariant under left-action. Consider Definition <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#Thmtheorem27" title="Definition 27. ‣ IV.1 Deranged subspace ‣ IV Properties of the eigenspaces ‣ Conditional 𝑡-independent spectral gap for random quantum circuits and implications for 𝑡-design depths"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">27</span></a>. Under some left-action <math alttext="\tau_{L}" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.SS3.1.p1.1.m1.1"><semantics id="A2.SS3.1.p1.1.m1.1a"><msub id="A2.SS3.1.p1.1.m1.1.1" xref="A2.SS3.1.p1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="A2.SS3.1.p1.1.m1.1.1.2" xref="A2.SS3.1.p1.1.m1.1.1.2.cmml">τ</mi><mi id="A2.SS3.1.p1.1.m1.1.1.3" xref="A2.SS3.1.p1.1.m1.1.1.3.cmml">L</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.SS3.1.p1.1.m1.1b"><apply id="A2.SS3.1.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="A2.SS3.1.p1.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.SS3.1.p1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="A2.SS3.1.p1.1.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="A2.SS3.1.p1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="A2.SS3.1.p1.1.m1.1.1.2">𝜏</ci><ci id="A2.SS3.1.p1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="A2.SS3.1.p1.1.m1.1.1.3">𝐿</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.SS3.1.p1.1.m1.1c">\tau_{L}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.SS3.1.p1.1.m1.1d">italic_τ start_POSTSUBSCRIPT italic_L end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, we find <math alttext="\sigma_{1}^{-1}\sigma_{2}\rightarrow(\tau\sigma_{1})^{-1}(\tau\sigma_{2})=% \sigma_{1}^{-1}\sigma_{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.SS3.1.p1.2.m2.2"><semantics id="A2.SS3.1.p1.2.m2.2a"><mrow id="A2.SS3.1.p1.2.m2.2.2" xref="A2.SS3.1.p1.2.m2.2.2.cmml"><mrow id="A2.SS3.1.p1.2.m2.2.2.4" xref="A2.SS3.1.p1.2.m2.2.2.4.cmml"><msubsup id="A2.SS3.1.p1.2.m2.2.2.4.2" xref="A2.SS3.1.p1.2.m2.2.2.4.2.cmml"><mi id="A2.SS3.1.p1.2.m2.2.2.4.2.2.2" xref="A2.SS3.1.p1.2.m2.2.2.4.2.2.2.cmml">σ</mi><mn id="A2.SS3.1.p1.2.m2.2.2.4.2.2.3" xref="A2.SS3.1.p1.2.m2.2.2.4.2.2.3.cmml">1</mn><mrow id="A2.SS3.1.p1.2.m2.2.2.4.2.3" xref="A2.SS3.1.p1.2.m2.2.2.4.2.3.cmml"><mo id="A2.SS3.1.p1.2.m2.2.2.4.2.3a" xref="A2.SS3.1.p1.2.m2.2.2.4.2.3.cmml">−</mo><mn id="A2.SS3.1.p1.2.m2.2.2.4.2.3.2" xref="A2.SS3.1.p1.2.m2.2.2.4.2.3.2.cmml">1</mn></mrow></msubsup><mo id="A2.SS3.1.p1.2.m2.2.2.4.1" xref="A2.SS3.1.p1.2.m2.2.2.4.1.cmml">⁢</mo><msub id="A2.SS3.1.p1.2.m2.2.2.4.3" xref="A2.SS3.1.p1.2.m2.2.2.4.3.cmml"><mi id="A2.SS3.1.p1.2.m2.2.2.4.3.2" xref="A2.SS3.1.p1.2.m2.2.2.4.3.2.cmml">σ</mi><mn id="A2.SS3.1.p1.2.m2.2.2.4.3.3" xref="A2.SS3.1.p1.2.m2.2.2.4.3.3.cmml">2</mn></msub></mrow><mo id="A2.SS3.1.p1.2.m2.2.2.5" stretchy="false" xref="A2.SS3.1.p1.2.m2.2.2.5.cmml">→</mo><mrow id="A2.SS3.1.p1.2.m2.2.2.2" xref="A2.SS3.1.p1.2.m2.2.2.2.cmml"><msup id="A2.SS3.1.p1.2.m2.1.1.1.1" xref="A2.SS3.1.p1.2.m2.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A2.SS3.1.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1" xref="A2.SS3.1.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A2.SS3.1.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A2.SS3.1.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A2.SS3.1.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.1" xref="A2.SS3.1.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A2.SS3.1.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A2.SS3.1.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">τ</mi><mo id="A2.SS3.1.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A2.SS3.1.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="A2.SS3.1.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A2.SS3.1.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A2.SS3.1.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A2.SS3.1.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">σ</mi><mn id="A2.SS3.1.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A2.SS3.1.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">1</mn></msub></mrow><mo id="A2.SS3.1.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A2.SS3.1.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="A2.SS3.1.p1.2.m2.1.1.1.1.3" xref="A2.SS3.1.p1.2.m2.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="A2.SS3.1.p1.2.m2.1.1.1.1.3a" xref="A2.SS3.1.p1.2.m2.1.1.1.1.3.cmml">−</mo><mn id="A2.SS3.1.p1.2.m2.1.1.1.1.3.2" xref="A2.SS3.1.p1.2.m2.1.1.1.1.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="A2.SS3.1.p1.2.m2.2.2.2.3" xref="A2.SS3.1.p1.2.m2.2.2.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="A2.SS3.1.p1.2.m2.2.2.2.2.1" xref="A2.SS3.1.p1.2.m2.2.2.2.2.1.1.cmml"><mo id="A2.SS3.1.p1.2.m2.2.2.2.2.1.2" stretchy="false" xref="A2.SS3.1.p1.2.m2.2.2.2.2.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A2.SS3.1.p1.2.m2.2.2.2.2.1.1" xref="A2.SS3.1.p1.2.m2.2.2.2.2.1.1.cmml"><mi id="A2.SS3.1.p1.2.m2.2.2.2.2.1.1.2" xref="A2.SS3.1.p1.2.m2.2.2.2.2.1.1.2.cmml">τ</mi><mo id="A2.SS3.1.p1.2.m2.2.2.2.2.1.1.1" xref="A2.SS3.1.p1.2.m2.2.2.2.2.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="A2.SS3.1.p1.2.m2.2.2.2.2.1.1.3" xref="A2.SS3.1.p1.2.m2.2.2.2.2.1.1.3.cmml"><mi id="A2.SS3.1.p1.2.m2.2.2.2.2.1.1.3.2" xref="A2.SS3.1.p1.2.m2.2.2.2.2.1.1.3.2.cmml">σ</mi><mn id="A2.SS3.1.p1.2.m2.2.2.2.2.1.1.3.3" xref="A2.SS3.1.p1.2.m2.2.2.2.2.1.1.3.3.cmml">2</mn></msub></mrow><mo id="A2.SS3.1.p1.2.m2.2.2.2.2.1.3" stretchy="false" xref="A2.SS3.1.p1.2.m2.2.2.2.2.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A2.SS3.1.p1.2.m2.2.2.6" xref="A2.SS3.1.p1.2.m2.2.2.6.cmml">=</mo><mrow id="A2.SS3.1.p1.2.m2.2.2.7" xref="A2.SS3.1.p1.2.m2.2.2.7.cmml"><msubsup id="A2.SS3.1.p1.2.m2.2.2.7.2" xref="A2.SS3.1.p1.2.m2.2.2.7.2.cmml"><mi id="A2.SS3.1.p1.2.m2.2.2.7.2.2.2" xref="A2.SS3.1.p1.2.m2.2.2.7.2.2.2.cmml">σ</mi><mn id="A2.SS3.1.p1.2.m2.2.2.7.2.2.3" xref="A2.SS3.1.p1.2.m2.2.2.7.2.2.3.cmml">1</mn><mrow id="A2.SS3.1.p1.2.m2.2.2.7.2.3" xref="A2.SS3.1.p1.2.m2.2.2.7.2.3.cmml"><mo id="A2.SS3.1.p1.2.m2.2.2.7.2.3a" xref="A2.SS3.1.p1.2.m2.2.2.7.2.3.cmml">−</mo><mn id="A2.SS3.1.p1.2.m2.2.2.7.2.3.2" xref="A2.SS3.1.p1.2.m2.2.2.7.2.3.2.cmml">1</mn></mrow></msubsup><mo id="A2.SS3.1.p1.2.m2.2.2.7.1" xref="A2.SS3.1.p1.2.m2.2.2.7.1.cmml">⁢</mo><msub id="A2.SS3.1.p1.2.m2.2.2.7.3" xref="A2.SS3.1.p1.2.m2.2.2.7.3.cmml"><mi id="A2.SS3.1.p1.2.m2.2.2.7.3.2" xref="A2.SS3.1.p1.2.m2.2.2.7.3.2.cmml">σ</mi><mn id="A2.SS3.1.p1.2.m2.2.2.7.3.3" xref="A2.SS3.1.p1.2.m2.2.2.7.3.3.cmml">2</mn></msub></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.SS3.1.p1.2.m2.2b"><apply id="A2.SS3.1.p1.2.m2.2.2.cmml" xref="A2.SS3.1.p1.2.m2.2.2"><and id="A2.SS3.1.p1.2.m2.2.2a.cmml" xref="A2.SS3.1.p1.2.m2.2.2"></and><apply id="A2.SS3.1.p1.2.m2.2.2b.cmml" xref="A2.SS3.1.p1.2.m2.2.2"><ci id="A2.SS3.1.p1.2.m2.2.2.5.cmml" xref="A2.SS3.1.p1.2.m2.2.2.5">→</ci><apply id="A2.SS3.1.p1.2.m2.2.2.4.cmml" xref="A2.SS3.1.p1.2.m2.2.2.4"><times 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alttext="(\tau\sigma_{1})^{-1}(\tau\sigma_{2})...(\tau\sigma_{1})^{-1}(\tau\sigma_{N})" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.SS3.1.p1.3.m3.4"><semantics id="A2.SS3.1.p1.3.m3.4a"><mrow id="A2.SS3.1.p1.3.m3.4.4" xref="A2.SS3.1.p1.3.m3.4.4.cmml"><msup id="A2.SS3.1.p1.3.m3.1.1.1" xref="A2.SS3.1.p1.3.m3.1.1.1.cmml"><mrow id="A2.SS3.1.p1.3.m3.1.1.1.1.1" xref="A2.SS3.1.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A2.SS3.1.p1.3.m3.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A2.SS3.1.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A2.SS3.1.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1" xref="A2.SS3.1.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A2.SS3.1.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.2" xref="A2.SS3.1.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.2.cmml">τ</mi><mo id="A2.SS3.1.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.1" xref="A2.SS3.1.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="A2.SS3.1.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.3" xref="A2.SS3.1.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A2.SS3.1.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A2.SS3.1.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">σ</mi><mn id="A2.SS3.1.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A2.SS3.1.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">1</mn></msub></mrow><mo id="A2.SS3.1.p1.3.m3.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A2.SS3.1.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="A2.SS3.1.p1.3.m3.1.1.1.3" xref="A2.SS3.1.p1.3.m3.1.1.1.3.cmml"><mo id="A2.SS3.1.p1.3.m3.1.1.1.3a" xref="A2.SS3.1.p1.3.m3.1.1.1.3.cmml">−</mo><mn id="A2.SS3.1.p1.3.m3.1.1.1.3.2" xref="A2.SS3.1.p1.3.m3.1.1.1.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="A2.SS3.1.p1.3.m3.4.4.5" xref="A2.SS3.1.p1.3.m3.4.4.5.cmml">⁢</mo><mrow id="A2.SS3.1.p1.3.m3.2.2.2.1" xref="A2.SS3.1.p1.3.m3.2.2.2.1.1.cmml"><mo id="A2.SS3.1.p1.3.m3.2.2.2.1.2" stretchy="false" xref="A2.SS3.1.p1.3.m3.2.2.2.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A2.SS3.1.p1.3.m3.2.2.2.1.1" xref="A2.SS3.1.p1.3.m3.2.2.2.1.1.cmml"><mi id="A2.SS3.1.p1.3.m3.2.2.2.1.1.2" xref="A2.SS3.1.p1.3.m3.2.2.2.1.1.2.cmml">τ</mi><mo id="A2.SS3.1.p1.3.m3.2.2.2.1.1.1" xref="A2.SS3.1.p1.3.m3.2.2.2.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="A2.SS3.1.p1.3.m3.2.2.2.1.1.3" xref="A2.SS3.1.p1.3.m3.2.2.2.1.1.3.cmml"><mi id="A2.SS3.1.p1.3.m3.2.2.2.1.1.3.2" xref="A2.SS3.1.p1.3.m3.2.2.2.1.1.3.2.cmml">σ</mi><mn id="A2.SS3.1.p1.3.m3.2.2.2.1.1.3.3" xref="A2.SS3.1.p1.3.m3.2.2.2.1.1.3.3.cmml">2</mn></msub></mrow><mo id="A2.SS3.1.p1.3.m3.2.2.2.1.3" stretchy="false" xref="A2.SS3.1.p1.3.m3.2.2.2.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A2.SS3.1.p1.3.m3.4.4.5a" xref="A2.SS3.1.p1.3.m3.4.4.5.cmml">⁢</mo><mi id="A2.SS3.1.p1.3.m3.4.4.6" mathvariant="normal" xref="A2.SS3.1.p1.3.m3.4.4.6.cmml">…</mi><mo id="A2.SS3.1.p1.3.m3.4.4.5b" xref="A2.SS3.1.p1.3.m3.4.4.5.cmml">⁢</mo><msup id="A2.SS3.1.p1.3.m3.3.3.3" xref="A2.SS3.1.p1.3.m3.3.3.3.cmml"><mrow id="A2.SS3.1.p1.3.m3.3.3.3.1.1" xref="A2.SS3.1.p1.3.m3.3.3.3.1.1.1.cmml"><mo id="A2.SS3.1.p1.3.m3.3.3.3.1.1.2" stretchy="false" xref="A2.SS3.1.p1.3.m3.3.3.3.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A2.SS3.1.p1.3.m3.3.3.3.1.1.1" xref="A2.SS3.1.p1.3.m3.3.3.3.1.1.1.cmml"><mi id="A2.SS3.1.p1.3.m3.3.3.3.1.1.1.2" xref="A2.SS3.1.p1.3.m3.3.3.3.1.1.1.2.cmml">τ</mi><mo id="A2.SS3.1.p1.3.m3.3.3.3.1.1.1.1" xref="A2.SS3.1.p1.3.m3.3.3.3.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="A2.SS3.1.p1.3.m3.3.3.3.1.1.1.3" xref="A2.SS3.1.p1.3.m3.3.3.3.1.1.1.3.cmml"><mi id="A2.SS3.1.p1.3.m3.3.3.3.1.1.1.3.2" xref="A2.SS3.1.p1.3.m3.3.3.3.1.1.1.3.2.cmml">σ</mi><mn id="A2.SS3.1.p1.3.m3.3.3.3.1.1.1.3.3" xref="A2.SS3.1.p1.3.m3.3.3.3.1.1.1.3.3.cmml">1</mn></msub></mrow><mo id="A2.SS3.1.p1.3.m3.3.3.3.1.1.3" stretchy="false" xref="A2.SS3.1.p1.3.m3.3.3.3.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="A2.SS3.1.p1.3.m3.3.3.3.3" xref="A2.SS3.1.p1.3.m3.3.3.3.3.cmml"><mo id="A2.SS3.1.p1.3.m3.3.3.3.3a" xref="A2.SS3.1.p1.3.m3.3.3.3.3.cmml">−</mo><mn id="A2.SS3.1.p1.3.m3.3.3.3.3.2" xref="A2.SS3.1.p1.3.m3.3.3.3.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="A2.SS3.1.p1.3.m3.4.4.5c" xref="A2.SS3.1.p1.3.m3.4.4.5.cmml">⁢</mo><mrow id="A2.SS3.1.p1.3.m3.4.4.4.1" xref="A2.SS3.1.p1.3.m3.4.4.4.1.1.cmml"><mo id="A2.SS3.1.p1.3.m3.4.4.4.1.2" stretchy="false" xref="A2.SS3.1.p1.3.m3.4.4.4.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A2.SS3.1.p1.3.m3.4.4.4.1.1" 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id="A2.SS3.1.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A2.SS3.1.p1.3.m3.1.1.1.1.1"><times id="A2.SS3.1.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A2.SS3.1.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.1"></times><ci id="A2.SS3.1.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A2.SS3.1.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.2">𝜏</ci><apply id="A2.SS3.1.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A2.SS3.1.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.SS3.1.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A2.SS3.1.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A2.SS3.1.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A2.SS3.1.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.3.2">𝜎</ci><cn id="A2.SS3.1.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="A2.SS3.1.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.3.3">1</cn></apply></apply><apply id="A2.SS3.1.p1.3.m3.1.1.1.3.cmml" xref="A2.SS3.1.p1.3.m3.1.1.1.3"><minus id="A2.SS3.1.p1.3.m3.1.1.1.3.1.cmml" xref="A2.SS3.1.p1.3.m3.1.1.1.3"></minus><cn id="A2.SS3.1.p1.3.m3.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="A2.SS3.1.p1.3.m3.1.1.1.3.2">1</cn></apply></apply><apply id="A2.SS3.1.p1.3.m3.2.2.2.1.1.cmml" 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end_POSTSUBSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_τ italic_σ start_POSTSUBSCRIPT italic_N end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math> have no common fixed point if and only if the original set also had no common fixed point.</p> </div> <div class="ltx_para" id="A2.SS3.2.p2"> <p class="ltx_p" id="A2.SS3.2.p2.3">We now show the same under right-action. Under right-action, <math alttext="\sigma_{1}^{-1}\sigma_{2}\rightarrow\tau^{-1}\sigma_{1}^{-1}\sigma_{2}\tau" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.SS3.2.p2.1.m1.1"><semantics id="A2.SS3.2.p2.1.m1.1a"><mrow id="A2.SS3.2.p2.1.m1.1.1" xref="A2.SS3.2.p2.1.m1.1.1.cmml"><mrow id="A2.SS3.2.p2.1.m1.1.1.2" xref="A2.SS3.2.p2.1.m1.1.1.2.cmml"><msubsup id="A2.SS3.2.p2.1.m1.1.1.2.2" xref="A2.SS3.2.p2.1.m1.1.1.2.2.cmml"><mi id="A2.SS3.2.p2.1.m1.1.1.2.2.2.2" xref="A2.SS3.2.p2.1.m1.1.1.2.2.2.2.cmml">σ</mi><mn id="A2.SS3.2.p2.1.m1.1.1.2.2.2.3" xref="A2.SS3.2.p2.1.m1.1.1.2.2.2.3.cmml">1</mn><mrow id="A2.SS3.2.p2.1.m1.1.1.2.2.3" xref="A2.SS3.2.p2.1.m1.1.1.2.2.3.cmml"><mo id="A2.SS3.2.p2.1.m1.1.1.2.2.3a" xref="A2.SS3.2.p2.1.m1.1.1.2.2.3.cmml">−</mo><mn id="A2.SS3.2.p2.1.m1.1.1.2.2.3.2" xref="A2.SS3.2.p2.1.m1.1.1.2.2.3.2.cmml">1</mn></mrow></msubsup><mo id="A2.SS3.2.p2.1.m1.1.1.2.1" xref="A2.SS3.2.p2.1.m1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="A2.SS3.2.p2.1.m1.1.1.2.3" xref="A2.SS3.2.p2.1.m1.1.1.2.3.cmml"><mi id="A2.SS3.2.p2.1.m1.1.1.2.3.2" xref="A2.SS3.2.p2.1.m1.1.1.2.3.2.cmml">σ</mi><mn id="A2.SS3.2.p2.1.m1.1.1.2.3.3" xref="A2.SS3.2.p2.1.m1.1.1.2.3.3.cmml">2</mn></msub></mrow><mo id="A2.SS3.2.p2.1.m1.1.1.1" stretchy="false" xref="A2.SS3.2.p2.1.m1.1.1.1.cmml">→</mo><mrow id="A2.SS3.2.p2.1.m1.1.1.3" xref="A2.SS3.2.p2.1.m1.1.1.3.cmml"><msup id="A2.SS3.2.p2.1.m1.1.1.3.2" xref="A2.SS3.2.p2.1.m1.1.1.3.2.cmml"><mi id="A2.SS3.2.p2.1.m1.1.1.3.2.2" xref="A2.SS3.2.p2.1.m1.1.1.3.2.2.cmml">τ</mi><mrow id="A2.SS3.2.p2.1.m1.1.1.3.2.3" xref="A2.SS3.2.p2.1.m1.1.1.3.2.3.cmml"><mo id="A2.SS3.2.p2.1.m1.1.1.3.2.3a" xref="A2.SS3.2.p2.1.m1.1.1.3.2.3.cmml">−</mo><mn id="A2.SS3.2.p2.1.m1.1.1.3.2.3.2" xref="A2.SS3.2.p2.1.m1.1.1.3.2.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="A2.SS3.2.p2.1.m1.1.1.3.1" xref="A2.SS3.2.p2.1.m1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="A2.SS3.2.p2.1.m1.1.1.3.3" xref="A2.SS3.2.p2.1.m1.1.1.3.3.cmml"><mi id="A2.SS3.2.p2.1.m1.1.1.3.3.2.2" xref="A2.SS3.2.p2.1.m1.1.1.3.3.2.2.cmml">σ</mi><mn id="A2.SS3.2.p2.1.m1.1.1.3.3.2.3" xref="A2.SS3.2.p2.1.m1.1.1.3.3.2.3.cmml">1</mn><mrow id="A2.SS3.2.p2.1.m1.1.1.3.3.3" xref="A2.SS3.2.p2.1.m1.1.1.3.3.3.cmml"><mo id="A2.SS3.2.p2.1.m1.1.1.3.3.3a" xref="A2.SS3.2.p2.1.m1.1.1.3.3.3.cmml">−</mo><mn id="A2.SS3.2.p2.1.m1.1.1.3.3.3.2" xref="A2.SS3.2.p2.1.m1.1.1.3.3.3.2.cmml">1</mn></mrow></msubsup><mo id="A2.SS3.2.p2.1.m1.1.1.3.1a" xref="A2.SS3.2.p2.1.m1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="A2.SS3.2.p2.1.m1.1.1.3.4" xref="A2.SS3.2.p2.1.m1.1.1.3.4.cmml"><mi id="A2.SS3.2.p2.1.m1.1.1.3.4.2" xref="A2.SS3.2.p2.1.m1.1.1.3.4.2.cmml">σ</mi><mn id="A2.SS3.2.p2.1.m1.1.1.3.4.3" xref="A2.SS3.2.p2.1.m1.1.1.3.4.3.cmml">2</mn></msub><mo id="A2.SS3.2.p2.1.m1.1.1.3.1b" xref="A2.SS3.2.p2.1.m1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A2.SS3.2.p2.1.m1.1.1.3.5" xref="A2.SS3.2.p2.1.m1.1.1.3.5.cmml">τ</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.SS3.2.p2.1.m1.1b"><apply id="A2.SS3.2.p2.1.m1.1.1.cmml" xref="A2.SS3.2.p2.1.m1.1.1"><ci id="A2.SS3.2.p2.1.m1.1.1.1.cmml" xref="A2.SS3.2.p2.1.m1.1.1.1">→</ci><apply id="A2.SS3.2.p2.1.m1.1.1.2.cmml" xref="A2.SS3.2.p2.1.m1.1.1.2"><times id="A2.SS3.2.p2.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="A2.SS3.2.p2.1.m1.1.1.2.1"></times><apply id="A2.SS3.2.p2.1.m1.1.1.2.2.cmml" xref="A2.SS3.2.p2.1.m1.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.SS3.2.p2.1.m1.1.1.2.2.1.cmml" xref="A2.SS3.2.p2.1.m1.1.1.2.2">superscript</csymbol><apply id="A2.SS3.2.p2.1.m1.1.1.2.2.2.cmml" xref="A2.SS3.2.p2.1.m1.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.SS3.2.p2.1.m1.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="A2.SS3.2.p2.1.m1.1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="A2.SS3.2.p2.1.m1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="A2.SS3.2.p2.1.m1.1.1.2.2.2.2">𝜎</ci><cn id="A2.SS3.2.p2.1.m1.1.1.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="A2.SS3.2.p2.1.m1.1.1.2.2.2.3">1</cn></apply><apply id="A2.SS3.2.p2.1.m1.1.1.2.2.3.cmml" xref="A2.SS3.2.p2.1.m1.1.1.2.2.3"><minus id="A2.SS3.2.p2.1.m1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="A2.SS3.2.p2.1.m1.1.1.2.2.3"></minus><cn id="A2.SS3.2.p2.1.m1.1.1.2.2.3.2.cmml" type="integer" xref="A2.SS3.2.p2.1.m1.1.1.2.2.3.2">1</cn></apply></apply><apply id="A2.SS3.2.p2.1.m1.1.1.2.3.cmml" xref="A2.SS3.2.p2.1.m1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.SS3.2.p2.1.m1.1.1.2.3.1.cmml" xref="A2.SS3.2.p2.1.m1.1.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="A2.SS3.2.p2.1.m1.1.1.2.3.2.cmml" xref="A2.SS3.2.p2.1.m1.1.1.2.3.2">𝜎</ci><cn id="A2.SS3.2.p2.1.m1.1.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="A2.SS3.2.p2.1.m1.1.1.2.3.3">2</cn></apply></apply><apply id="A2.SS3.2.p2.1.m1.1.1.3.cmml" xref="A2.SS3.2.p2.1.m1.1.1.3"><times id="A2.SS3.2.p2.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="A2.SS3.2.p2.1.m1.1.1.3.1"></times><apply id="A2.SS3.2.p2.1.m1.1.1.3.2.cmml" xref="A2.SS3.2.p2.1.m1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.SS3.2.p2.1.m1.1.1.3.2.1.cmml" xref="A2.SS3.2.p2.1.m1.1.1.3.2">superscript</csymbol><ci id="A2.SS3.2.p2.1.m1.1.1.3.2.2.cmml" xref="A2.SS3.2.p2.1.m1.1.1.3.2.2">𝜏</ci><apply id="A2.SS3.2.p2.1.m1.1.1.3.2.3.cmml" xref="A2.SS3.2.p2.1.m1.1.1.3.2.3"><minus id="A2.SS3.2.p2.1.m1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="A2.SS3.2.p2.1.m1.1.1.3.2.3"></minus><cn id="A2.SS3.2.p2.1.m1.1.1.3.2.3.2.cmml" type="integer" xref="A2.SS3.2.p2.1.m1.1.1.3.2.3.2">1</cn></apply></apply><apply id="A2.SS3.2.p2.1.m1.1.1.3.3.cmml" xref="A2.SS3.2.p2.1.m1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.SS3.2.p2.1.m1.1.1.3.3.1.cmml" xref="A2.SS3.2.p2.1.m1.1.1.3.3">superscript</csymbol><apply id="A2.SS3.2.p2.1.m1.1.1.3.3.2.cmml" xref="A2.SS3.2.p2.1.m1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.SS3.2.p2.1.m1.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="A2.SS3.2.p2.1.m1.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="A2.SS3.2.p2.1.m1.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="A2.SS3.2.p2.1.m1.1.1.3.3.2.2">𝜎</ci><cn id="A2.SS3.2.p2.1.m1.1.1.3.3.2.3.cmml" type="integer" xref="A2.SS3.2.p2.1.m1.1.1.3.3.2.3">1</cn></apply><apply id="A2.SS3.2.p2.1.m1.1.1.3.3.3.cmml" xref="A2.SS3.2.p2.1.m1.1.1.3.3.3"><minus id="A2.SS3.2.p2.1.m1.1.1.3.3.3.1.cmml" xref="A2.SS3.2.p2.1.m1.1.1.3.3.3"></minus><cn id="A2.SS3.2.p2.1.m1.1.1.3.3.3.2.cmml" type="integer" xref="A2.SS3.2.p2.1.m1.1.1.3.3.3.2">1</cn></apply></apply><apply id="A2.SS3.2.p2.1.m1.1.1.3.4.cmml" xref="A2.SS3.2.p2.1.m1.1.1.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.SS3.2.p2.1.m1.1.1.3.4.1.cmml" xref="A2.SS3.2.p2.1.m1.1.1.3.4">subscript</csymbol><ci id="A2.SS3.2.p2.1.m1.1.1.3.4.2.cmml" xref="A2.SS3.2.p2.1.m1.1.1.3.4.2">𝜎</ci><cn id="A2.SS3.2.p2.1.m1.1.1.3.4.3.cmml" type="integer" xref="A2.SS3.2.p2.1.m1.1.1.3.4.3">2</cn></apply><ci id="A2.SS3.2.p2.1.m1.1.1.3.5.cmml" xref="A2.SS3.2.p2.1.m1.1.1.3.5">𝜏</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.SS3.2.p2.1.m1.1c">\sigma_{1}^{-1}\sigma_{2}\rightarrow\tau^{-1}\sigma_{1}^{-1}\sigma_{2}\tau</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.SS3.2.p2.1.m1.1d">italic_σ start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT italic_σ start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT → italic_τ start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT italic_σ start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT italic_σ start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT italic_τ</annotation></semantics></math>. If <math alttext="j" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.SS3.2.p2.2.m2.1"><semantics id="A2.SS3.2.p2.2.m2.1a"><mi id="A2.SS3.2.p2.2.m2.1.1" xref="A2.SS3.2.p2.2.m2.1.1.cmml">j</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.SS3.2.p2.2.m2.1b"><ci id="A2.SS3.2.p2.2.m2.1.1.cmml" xref="A2.SS3.2.p2.2.m2.1.1">𝑗</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.SS3.2.p2.2.m2.1c">j</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.SS3.2.p2.2.m2.1d">italic_j</annotation></semantics></math> is a fixed point of the former, then <math alttext="\tau(j)" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.SS3.2.p2.3.m3.1"><semantics id="A2.SS3.2.p2.3.m3.1a"><mrow id="A2.SS3.2.p2.3.m3.1.2" xref="A2.SS3.2.p2.3.m3.1.2.cmml"><mi id="A2.SS3.2.p2.3.m3.1.2.2" xref="A2.SS3.2.p2.3.m3.1.2.2.cmml">τ</mi><mo id="A2.SS3.2.p2.3.m3.1.2.1" xref="A2.SS3.2.p2.3.m3.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A2.SS3.2.p2.3.m3.1.2.3.2" xref="A2.SS3.2.p2.3.m3.1.2.cmml"><mo id="A2.SS3.2.p2.3.m3.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="A2.SS3.2.p2.3.m3.1.2.cmml">(</mo><mi id="A2.SS3.2.p2.3.m3.1.1" xref="A2.SS3.2.p2.3.m3.1.1.cmml">j</mi><mo id="A2.SS3.2.p2.3.m3.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="A2.SS3.2.p2.3.m3.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.SS3.2.p2.3.m3.1b"><apply id="A2.SS3.2.p2.3.m3.1.2.cmml" xref="A2.SS3.2.p2.3.m3.1.2"><times id="A2.SS3.2.p2.3.m3.1.2.1.cmml" xref="A2.SS3.2.p2.3.m3.1.2.1"></times><ci id="A2.SS3.2.p2.3.m3.1.2.2.cmml" xref="A2.SS3.2.p2.3.m3.1.2.2">𝜏</ci><ci id="A2.SS3.2.p2.3.m3.1.1.cmml" xref="A2.SS3.2.p2.3.m3.1.1">𝑗</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.SS3.2.p2.3.m3.1c">\tau(j)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.SS3.2.p2.3.m3.1d">italic_τ ( italic_j )</annotation></semantics></math> is a fixed point of the latter. It follows that the property of having a common fixed point is invariant under right-action. From this we see that the complete derangement subspace is invariant under both left- and right-action.</p> </div> <div class="ltx_para" id="A2.SS3.3.p3"> <p class="ltx_p" id="A2.SS3.3.p3.1">The invariance of <math alttext="\operatorname{span}\left(S_{t}^{2}\circ S_{t-1}^{\times N}\right)" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.SS3.3.p3.1.m1.2"><semantics id="A2.SS3.3.p3.1.m1.2a"><mrow id="A2.SS3.3.p3.1.m1.2.2.1" xref="A2.SS3.3.p3.1.m1.2.2.2.cmml"><mi id="A2.SS3.3.p3.1.m1.1.1" xref="A2.SS3.3.p3.1.m1.1.1.cmml">span</mi><mo id="A2.SS3.3.p3.1.m1.2.2.1a" xref="A2.SS3.3.p3.1.m1.2.2.2.cmml">⁡</mo><mrow id="A2.SS3.3.p3.1.m1.2.2.1.1" xref="A2.SS3.3.p3.1.m1.2.2.2.cmml"><mo id="A2.SS3.3.p3.1.m1.2.2.1.1.2" xref="A2.SS3.3.p3.1.m1.2.2.2.cmml">(</mo><mrow id="A2.SS3.3.p3.1.m1.2.2.1.1.1" xref="A2.SS3.3.p3.1.m1.2.2.1.1.1.cmml"><msubsup id="A2.SS3.3.p3.1.m1.2.2.1.1.1.2" xref="A2.SS3.3.p3.1.m1.2.2.1.1.1.2.cmml"><mi id="A2.SS3.3.p3.1.m1.2.2.1.1.1.2.2.2" xref="A2.SS3.3.p3.1.m1.2.2.1.1.1.2.2.2.cmml">S</mi><mi id="A2.SS3.3.p3.1.m1.2.2.1.1.1.2.2.3" xref="A2.SS3.3.p3.1.m1.2.2.1.1.1.2.2.3.cmml">t</mi><mn id="A2.SS3.3.p3.1.m1.2.2.1.1.1.2.3" xref="A2.SS3.3.p3.1.m1.2.2.1.1.1.2.3.cmml">2</mn></msubsup><mo id="A2.SS3.3.p3.1.m1.2.2.1.1.1.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="A2.SS3.3.p3.1.m1.2.2.1.1.1.1.cmml">∘</mo><msubsup id="A2.SS3.3.p3.1.m1.2.2.1.1.1.3" xref="A2.SS3.3.p3.1.m1.2.2.1.1.1.3.cmml"><mi id="A2.SS3.3.p3.1.m1.2.2.1.1.1.3.2.2" xref="A2.SS3.3.p3.1.m1.2.2.1.1.1.3.2.2.cmml">S</mi><mrow id="A2.SS3.3.p3.1.m1.2.2.1.1.1.3.2.3" xref="A2.SS3.3.p3.1.m1.2.2.1.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="A2.SS3.3.p3.1.m1.2.2.1.1.1.3.2.3.2" xref="A2.SS3.3.p3.1.m1.2.2.1.1.1.3.2.3.2.cmml">t</mi><mo id="A2.SS3.3.p3.1.m1.2.2.1.1.1.3.2.3.1" xref="A2.SS3.3.p3.1.m1.2.2.1.1.1.3.2.3.1.cmml">−</mo><mn id="A2.SS3.3.p3.1.m1.2.2.1.1.1.3.2.3.3" xref="A2.SS3.3.p3.1.m1.2.2.1.1.1.3.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mrow id="A2.SS3.3.p3.1.m1.2.2.1.1.1.3.3" xref="A2.SS3.3.p3.1.m1.2.2.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="A2.SS3.3.p3.1.m1.2.2.1.1.1.3.3.2" xref="A2.SS3.3.p3.1.m1.2.2.1.1.1.3.3.2.cmml"></mi><mo id="A2.SS3.3.p3.1.m1.2.2.1.1.1.3.3.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="A2.SS3.3.p3.1.m1.2.2.1.1.1.3.3.1.cmml">×</mo><mi id="A2.SS3.3.p3.1.m1.2.2.1.1.1.3.3.3" xref="A2.SS3.3.p3.1.m1.2.2.1.1.1.3.3.3.cmml">N</mi></mrow></msubsup></mrow><mo id="A2.SS3.3.p3.1.m1.2.2.1.1.3" xref="A2.SS3.3.p3.1.m1.2.2.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.SS3.3.p3.1.m1.2b"><apply id="A2.SS3.3.p3.1.m1.2.2.2.cmml" xref="A2.SS3.3.p3.1.m1.2.2.1"><ci id="A2.SS3.3.p3.1.m1.1.1.cmml" xref="A2.SS3.3.p3.1.m1.1.1">span</ci><apply id="A2.SS3.3.p3.1.m1.2.2.1.1.1.cmml" xref="A2.SS3.3.p3.1.m1.2.2.1.1.1"><compose id="A2.SS3.3.p3.1.m1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="A2.SS3.3.p3.1.m1.2.2.1.1.1.1"></compose><apply id="A2.SS3.3.p3.1.m1.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="A2.SS3.3.p3.1.m1.2.2.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.SS3.3.p3.1.m1.2.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="A2.SS3.3.p3.1.m1.2.2.1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="A2.SS3.3.p3.1.m1.2.2.1.1.1.2.2.cmml" xref="A2.SS3.3.p3.1.m1.2.2.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.SS3.3.p3.1.m1.2.2.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="A2.SS3.3.p3.1.m1.2.2.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="A2.SS3.3.p3.1.m1.2.2.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="A2.SS3.3.p3.1.m1.2.2.1.1.1.2.2.2">𝑆</ci><ci id="A2.SS3.3.p3.1.m1.2.2.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="A2.SS3.3.p3.1.m1.2.2.1.1.1.2.2.3">𝑡</ci></apply><cn id="A2.SS3.3.p3.1.m1.2.2.1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="A2.SS3.3.p3.1.m1.2.2.1.1.1.2.3">2</cn></apply><apply id="A2.SS3.3.p3.1.m1.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="A2.SS3.3.p3.1.m1.2.2.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.SS3.3.p3.1.m1.2.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="A2.SS3.3.p3.1.m1.2.2.1.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="A2.SS3.3.p3.1.m1.2.2.1.1.1.3.2.cmml" xref="A2.SS3.3.p3.1.m1.2.2.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.SS3.3.p3.1.m1.2.2.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="A2.SS3.3.p3.1.m1.2.2.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A2.SS3.3.p3.1.m1.2.2.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="A2.SS3.3.p3.1.m1.2.2.1.1.1.3.2.2">𝑆</ci><apply id="A2.SS3.3.p3.1.m1.2.2.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="A2.SS3.3.p3.1.m1.2.2.1.1.1.3.2.3"><minus id="A2.SS3.3.p3.1.m1.2.2.1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="A2.SS3.3.p3.1.m1.2.2.1.1.1.3.2.3.1"></minus><ci id="A2.SS3.3.p3.1.m1.2.2.1.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="A2.SS3.3.p3.1.m1.2.2.1.1.1.3.2.3.2">𝑡</ci><cn id="A2.SS3.3.p3.1.m1.2.2.1.1.1.3.2.3.3.cmml" type="integer" xref="A2.SS3.3.p3.1.m1.2.2.1.1.1.3.2.3.3">1</cn></apply></apply><apply id="A2.SS3.3.p3.1.m1.2.2.1.1.1.3.3.cmml" xref="A2.SS3.3.p3.1.m1.2.2.1.1.1.3.3"><times id="A2.SS3.3.p3.1.m1.2.2.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="A2.SS3.3.p3.1.m1.2.2.1.1.1.3.3.1"></times><csymbol cd="latexml" id="A2.SS3.3.p3.1.m1.2.2.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="A2.SS3.3.p3.1.m1.2.2.1.1.1.3.3.2">absent</csymbol><ci id="A2.SS3.3.p3.1.m1.2.2.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="A2.SS3.3.p3.1.m1.2.2.1.1.1.3.3.3">𝑁</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.SS3.3.p3.1.m1.2c">\operatorname{span}\left(S_{t}^{2}\circ S_{t-1}^{\times N}\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.SS3.3.p3.1.m1.2d">roman_span ( italic_S start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ∘ italic_S start_POSTSUBSCRIPT italic_t - 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT × italic_N end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math> is immediate from its definition. Because the representation is unitary, the orthogonal complement of any invariant subspace is also invariant. ∎</p> </div> </div> </section> <section class="ltx_subsection" id="A2.SS4"> <h3 class="ltx_title ltx_title_subsection"> <span class="ltx_tag ltx_tag_subsection">B.4 </span>Proof of Lemma <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#Thmtheorem35" title="Lemma 35. ‣ V.1 Factorization of 𝐾_𝑚 ‣ V Structure of the 3-Site Operator ‣ Conditional 𝑡-independent spectral gap for random quantum circuits and implications for 𝑡-design depths"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">35</span></a> </h3> <div class="ltx_para" id="A2.SS4.p1"> <p class="ltx_p" id="A2.SS4.p1.1">The projector to the isotypic component corresponding to <math alttext="\nu" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.SS4.p1.1.m1.1"><semantics id="A2.SS4.p1.1.m1.1a"><mi id="A2.SS4.p1.1.m1.1.1" xref="A2.SS4.p1.1.m1.1.1.cmml">ν</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.SS4.p1.1.m1.1b"><ci id="A2.SS4.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="A2.SS4.p1.1.m1.1.1">𝜈</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.SS4.p1.1.m1.1c">\nu</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.SS4.p1.1.m1.1d">italic_ν</annotation></semantics></math> is the <span class="ltx_text ltx_font_bold" id="A2.SS4.p1.1.1">canonical idempotent</span> given by</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_gather ltx_eqn_table" id="S6.EGx126"> <tbody id="A2.E150"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\displaystyle P_{\nu}=\frac{\chi_{\nu}(1)}{t!}\sum_{\tau}\chi_{\nu}(\tau^{-1})% \tau_{R}" class="ltx_Math" display="block" id="A2.E150.m1.2"><semantics id="A2.E150.m1.2a"><mrow id="A2.E150.m1.2.2" xref="A2.E150.m1.2.2.cmml"><msub id="A2.E150.m1.2.2.3" xref="A2.E150.m1.2.2.3.cmml"><mi id="A2.E150.m1.2.2.3.2" xref="A2.E150.m1.2.2.3.2.cmml">P</mi><mi id="A2.E150.m1.2.2.3.3" xref="A2.E150.m1.2.2.3.3.cmml">ν</mi></msub><mo id="A2.E150.m1.2.2.2" xref="A2.E150.m1.2.2.2.cmml">=</mo><mrow id="A2.E150.m1.2.2.1" xref="A2.E150.m1.2.2.1.cmml"><mfrac id="A2.E150.m1.1.1" xref="A2.E150.m1.1.1.cmml"><mrow id="A2.E150.m1.1.1.1" xref="A2.E150.m1.1.1.1.cmml"><msub id="A2.E150.m1.1.1.1.3" xref="A2.E150.m1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A2.E150.m1.1.1.1.3.2" xref="A2.E150.m1.1.1.1.3.2.cmml">χ</mi><mi id="A2.E150.m1.1.1.1.3.3" xref="A2.E150.m1.1.1.1.3.3.cmml">ν</mi></msub><mo id="A2.E150.m1.1.1.1.2" xref="A2.E150.m1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A2.E150.m1.1.1.1.4.2" xref="A2.E150.m1.1.1.1.cmml"><mo id="A2.E150.m1.1.1.1.4.2.1" stretchy="false" xref="A2.E150.m1.1.1.1.cmml">(</mo><mn id="A2.E150.m1.1.1.1.1" xref="A2.E150.m1.1.1.1.1.cmml">1</mn><mo id="A2.E150.m1.1.1.1.4.2.2" stretchy="false" xref="A2.E150.m1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mrow id="A2.E150.m1.1.1.3" xref="A2.E150.m1.1.1.3.cmml"><mi id="A2.E150.m1.1.1.3.2" xref="A2.E150.m1.1.1.3.2.cmml">t</mi><mo id="A2.E150.m1.1.1.3.1" xref="A2.E150.m1.1.1.3.1.cmml">!</mo></mrow></mfrac><mo id="A2.E150.m1.2.2.1.2" xref="A2.E150.m1.2.2.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A2.E150.m1.2.2.1.1" xref="A2.E150.m1.2.2.1.1.cmml"><munder id="A2.E150.m1.2.2.1.1.2" xref="A2.E150.m1.2.2.1.1.2.cmml"><mo id="A2.E150.m1.2.2.1.1.2.2" movablelimits="false" xref="A2.E150.m1.2.2.1.1.2.2.cmml">∑</mo><mi id="A2.E150.m1.2.2.1.1.2.3" xref="A2.E150.m1.2.2.1.1.2.3.cmml">τ</mi></munder><mrow id="A2.E150.m1.2.2.1.1.1" xref="A2.E150.m1.2.2.1.1.1.cmml"><msub id="A2.E150.m1.2.2.1.1.1.3" xref="A2.E150.m1.2.2.1.1.1.3.cmml"><mi id="A2.E150.m1.2.2.1.1.1.3.2" xref="A2.E150.m1.2.2.1.1.1.3.2.cmml">χ</mi><mi id="A2.E150.m1.2.2.1.1.1.3.3" xref="A2.E150.m1.2.2.1.1.1.3.3.cmml">ν</mi></msub><mo id="A2.E150.m1.2.2.1.1.1.2" xref="A2.E150.m1.2.2.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A2.E150.m1.2.2.1.1.1.1.1" xref="A2.E150.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A2.E150.m1.2.2.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A2.E150.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="A2.E150.m1.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="A2.E150.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A2.E150.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2" xref="A2.E150.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml">τ</mi><mrow id="A2.E150.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3" xref="A2.E150.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="A2.E150.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3a" xref="A2.E150.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml">−</mo><mn id="A2.E150.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A2.E150.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="A2.E150.m1.2.2.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A2.E150.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A2.E150.m1.2.2.1.1.1.2a" xref="A2.E150.m1.2.2.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="A2.E150.m1.2.2.1.1.1.4" xref="A2.E150.m1.2.2.1.1.1.4.cmml"><mi id="A2.E150.m1.2.2.1.1.1.4.2" xref="A2.E150.m1.2.2.1.1.1.4.2.cmml">τ</mi><mi id="A2.E150.m1.2.2.1.1.1.4.3" xref="A2.E150.m1.2.2.1.1.1.4.3.cmml">R</mi></msub></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.E150.m1.2b"><apply id="A2.E150.m1.2.2.cmml" xref="A2.E150.m1.2.2"><eq id="A2.E150.m1.2.2.2.cmml" xref="A2.E150.m1.2.2.2"></eq><apply id="A2.E150.m1.2.2.3.cmml" xref="A2.E150.m1.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E150.m1.2.2.3.1.cmml" xref="A2.E150.m1.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="A2.E150.m1.2.2.3.2.cmml" xref="A2.E150.m1.2.2.3.2">𝑃</ci><ci id="A2.E150.m1.2.2.3.3.cmml" xref="A2.E150.m1.2.2.3.3">𝜈</ci></apply><apply id="A2.E150.m1.2.2.1.cmml" xref="A2.E150.m1.2.2.1"><times id="A2.E150.m1.2.2.1.2.cmml" xref="A2.E150.m1.2.2.1.2"></times><apply id="A2.E150.m1.1.1.cmml" xref="A2.E150.m1.1.1"><divide id="A2.E150.m1.1.1.2.cmml" xref="A2.E150.m1.1.1"></divide><apply id="A2.E150.m1.1.1.1.cmml" xref="A2.E150.m1.1.1.1"><times id="A2.E150.m1.1.1.1.2.cmml" xref="A2.E150.m1.1.1.1.2"></times><apply id="A2.E150.m1.1.1.1.3.cmml" xref="A2.E150.m1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E150.m1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A2.E150.m1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A2.E150.m1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A2.E150.m1.1.1.1.3.2">𝜒</ci><ci id="A2.E150.m1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A2.E150.m1.1.1.1.3.3">𝜈</ci></apply><cn id="A2.E150.m1.1.1.1.1.cmml" type="integer" xref="A2.E150.m1.1.1.1.1">1</cn></apply><apply id="A2.E150.m1.1.1.3.cmml" xref="A2.E150.m1.1.1.3"><factorial id="A2.E150.m1.1.1.3.1.cmml" xref="A2.E150.m1.1.1.3.1"></factorial><ci id="A2.E150.m1.1.1.3.2.cmml" xref="A2.E150.m1.1.1.3.2">𝑡</ci></apply></apply><apply id="A2.E150.m1.2.2.1.1.cmml" xref="A2.E150.m1.2.2.1.1"><apply id="A2.E150.m1.2.2.1.1.2.cmml" xref="A2.E150.m1.2.2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E150.m1.2.2.1.1.2.1.cmml" xref="A2.E150.m1.2.2.1.1.2">subscript</csymbol><sum id="A2.E150.m1.2.2.1.1.2.2.cmml" xref="A2.E150.m1.2.2.1.1.2.2"></sum><ci id="A2.E150.m1.2.2.1.1.2.3.cmml" xref="A2.E150.m1.2.2.1.1.2.3">𝜏</ci></apply><apply id="A2.E150.m1.2.2.1.1.1.cmml" xref="A2.E150.m1.2.2.1.1.1"><times id="A2.E150.m1.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="A2.E150.m1.2.2.1.1.1.2"></times><apply id="A2.E150.m1.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="A2.E150.m1.2.2.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E150.m1.2.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="A2.E150.m1.2.2.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A2.E150.m1.2.2.1.1.1.3.2.cmml" xref="A2.E150.m1.2.2.1.1.1.3.2">𝜒</ci><ci id="A2.E150.m1.2.2.1.1.1.3.3.cmml" xref="A2.E150.m1.2.2.1.1.1.3.3">𝜈</ci></apply><apply id="A2.E150.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A2.E150.m1.2.2.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E150.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A2.E150.m1.2.2.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="A2.E150.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A2.E150.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2">𝜏</ci><apply id="A2.E150.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A2.E150.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3"><minus id="A2.E150.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A2.E150.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3"></minus><cn id="A2.E150.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="A2.E150.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2">1</cn></apply></apply><apply id="A2.E150.m1.2.2.1.1.1.4.cmml" xref="A2.E150.m1.2.2.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E150.m1.2.2.1.1.1.4.1.cmml" xref="A2.E150.m1.2.2.1.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="A2.E150.m1.2.2.1.1.1.4.2.cmml" xref="A2.E150.m1.2.2.1.1.1.4.2">𝜏</ci><ci id="A2.E150.m1.2.2.1.1.1.4.3.cmml" xref="A2.E150.m1.2.2.1.1.1.4.3">𝑅</ci></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.E150.m1.2c">\displaystyle P_{\nu}=\frac{\chi_{\nu}(1)}{t!}\sum_{\tau}\chi_{\nu}(\tau^{-1})% \tau_{R}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.E150.m1.2d">italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_ν end_POSTSUBSCRIPT = divide start_ARG italic_χ start_POSTSUBSCRIPT italic_ν end_POSTSUBSCRIPT ( 1 ) end_ARG start_ARG italic_t ! end_ARG ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_τ end_POSTSUBSCRIPT italic_χ start_POSTSUBSCRIPT italic_ν end_POSTSUBSCRIPT ( italic_τ start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT ) italic_τ start_POSTSUBSCRIPT italic_R end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(150)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="A2.SS4.p1.2">Recall also the operator</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_gather ltx_eqn_table" id="S6.EGx127"> <tbody id="A2.E151"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\displaystyle R_{\nu}^{ij}=\sum_{\rho\in S_{t}}V_{\nu}(\rho^{-1})^{ij}\rho_{R}" class="ltx_Math" display="block" id="A2.E151.m1.1"><semantics id="A2.E151.m1.1a"><mrow id="A2.E151.m1.1.1" xref="A2.E151.m1.1.1.cmml"><msubsup id="A2.E151.m1.1.1.3" xref="A2.E151.m1.1.1.3.cmml"><mi id="A2.E151.m1.1.1.3.2.2" xref="A2.E151.m1.1.1.3.2.2.cmml">R</mi><mi id="A2.E151.m1.1.1.3.2.3" xref="A2.E151.m1.1.1.3.2.3.cmml">ν</mi><mrow id="A2.E151.m1.1.1.3.3" xref="A2.E151.m1.1.1.3.3.cmml"><mi id="A2.E151.m1.1.1.3.3.2" xref="A2.E151.m1.1.1.3.3.2.cmml">i</mi><mo id="A2.E151.m1.1.1.3.3.1" xref="A2.E151.m1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A2.E151.m1.1.1.3.3.3" xref="A2.E151.m1.1.1.3.3.3.cmml">j</mi></mrow></msubsup><mo id="A2.E151.m1.1.1.2" rspace="0.111em" xref="A2.E151.m1.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="A2.E151.m1.1.1.1" xref="A2.E151.m1.1.1.1.cmml"><munder id="A2.E151.m1.1.1.1.2" xref="A2.E151.m1.1.1.1.2.cmml"><mo id="A2.E151.m1.1.1.1.2.2" movablelimits="false" xref="A2.E151.m1.1.1.1.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="A2.E151.m1.1.1.1.2.3" xref="A2.E151.m1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="A2.E151.m1.1.1.1.2.3.2" xref="A2.E151.m1.1.1.1.2.3.2.cmml">ρ</mi><mo id="A2.E151.m1.1.1.1.2.3.1" xref="A2.E151.m1.1.1.1.2.3.1.cmml">∈</mo><msub id="A2.E151.m1.1.1.1.2.3.3" xref="A2.E151.m1.1.1.1.2.3.3.cmml"><mi id="A2.E151.m1.1.1.1.2.3.3.2" xref="A2.E151.m1.1.1.1.2.3.3.2.cmml">S</mi><mi id="A2.E151.m1.1.1.1.2.3.3.3" xref="A2.E151.m1.1.1.1.2.3.3.3.cmml">t</mi></msub></mrow></munder><mrow id="A2.E151.m1.1.1.1.1" xref="A2.E151.m1.1.1.1.1.cmml"><msub id="A2.E151.m1.1.1.1.1.3" xref="A2.E151.m1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A2.E151.m1.1.1.1.1.3.2" xref="A2.E151.m1.1.1.1.1.3.2.cmml">V</mi><mi id="A2.E151.m1.1.1.1.1.3.3" xref="A2.E151.m1.1.1.1.1.3.3.cmml">ν</mi></msub><mo id="A2.E151.m1.1.1.1.1.2" xref="A2.E151.m1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msup id="A2.E151.m1.1.1.1.1.1" xref="A2.E151.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A2.E151.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A2.E151.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A2.E151.m1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A2.E151.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="A2.E151.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A2.E151.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A2.E151.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A2.E151.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">ρ</mi><mrow id="A2.E151.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A2.E151.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="A2.E151.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3a" xref="A2.E151.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">−</mo><mn id="A2.E151.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A2.E151.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="A2.E151.m1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A2.E151.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="A2.E151.m1.1.1.1.1.1.3" xref="A2.E151.m1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A2.E151.m1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A2.E151.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">i</mi><mo id="A2.E151.m1.1.1.1.1.1.3.1" xref="A2.E151.m1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A2.E151.m1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A2.E151.m1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">j</mi></mrow></msup><mo id="A2.E151.m1.1.1.1.1.2a" xref="A2.E151.m1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="A2.E151.m1.1.1.1.1.4" xref="A2.E151.m1.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="A2.E151.m1.1.1.1.1.4.2" xref="A2.E151.m1.1.1.1.1.4.2.cmml">ρ</mi><mi id="A2.E151.m1.1.1.1.1.4.3" xref="A2.E151.m1.1.1.1.1.4.3.cmml">R</mi></msub></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.E151.m1.1b"><apply id="A2.E151.m1.1.1.cmml" xref="A2.E151.m1.1.1"><eq id="A2.E151.m1.1.1.2.cmml" xref="A2.E151.m1.1.1.2"></eq><apply id="A2.E151.m1.1.1.3.cmml" xref="A2.E151.m1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E151.m1.1.1.3.1.cmml" xref="A2.E151.m1.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="A2.E151.m1.1.1.3.2.cmml" xref="A2.E151.m1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E151.m1.1.1.3.2.1.cmml" xref="A2.E151.m1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A2.E151.m1.1.1.3.2.2.cmml" xref="A2.E151.m1.1.1.3.2.2">𝑅</ci><ci id="A2.E151.m1.1.1.3.2.3.cmml" xref="A2.E151.m1.1.1.3.2.3">𝜈</ci></apply><apply id="A2.E151.m1.1.1.3.3.cmml" xref="A2.E151.m1.1.1.3.3"><times id="A2.E151.m1.1.1.3.3.1.cmml" xref="A2.E151.m1.1.1.3.3.1"></times><ci id="A2.E151.m1.1.1.3.3.2.cmml" xref="A2.E151.m1.1.1.3.3.2">𝑖</ci><ci id="A2.E151.m1.1.1.3.3.3.cmml" xref="A2.E151.m1.1.1.3.3.3">𝑗</ci></apply></apply><apply id="A2.E151.m1.1.1.1.cmml" xref="A2.E151.m1.1.1.1"><apply id="A2.E151.m1.1.1.1.2.cmml" xref="A2.E151.m1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E151.m1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A2.E151.m1.1.1.1.2">subscript</csymbol><sum id="A2.E151.m1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A2.E151.m1.1.1.1.2.2"></sum><apply id="A2.E151.m1.1.1.1.2.3.cmml" xref="A2.E151.m1.1.1.1.2.3"><in id="A2.E151.m1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="A2.E151.m1.1.1.1.2.3.1"></in><ci id="A2.E151.m1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="A2.E151.m1.1.1.1.2.3.2">𝜌</ci><apply id="A2.E151.m1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="A2.E151.m1.1.1.1.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E151.m1.1.1.1.2.3.3.1.cmml" xref="A2.E151.m1.1.1.1.2.3.3">subscript</csymbol><ci id="A2.E151.m1.1.1.1.2.3.3.2.cmml" xref="A2.E151.m1.1.1.1.2.3.3.2">𝑆</ci><ci id="A2.E151.m1.1.1.1.2.3.3.3.cmml" xref="A2.E151.m1.1.1.1.2.3.3.3">𝑡</ci></apply></apply></apply><apply id="A2.E151.m1.1.1.1.1.cmml" xref="A2.E151.m1.1.1.1.1"><times id="A2.E151.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A2.E151.m1.1.1.1.1.2"></times><apply id="A2.E151.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A2.E151.m1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E151.m1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A2.E151.m1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A2.E151.m1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A2.E151.m1.1.1.1.1.3.2">𝑉</ci><ci id="A2.E151.m1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A2.E151.m1.1.1.1.1.3.3">𝜈</ci></apply><apply id="A2.E151.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A2.E151.m1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E151.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A2.E151.m1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="A2.E151.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A2.E151.m1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E151.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A2.E151.m1.1.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="A2.E151.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A2.E151.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝜌</ci><apply id="A2.E151.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A2.E151.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><minus id="A2.E151.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A2.E151.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"></minus><cn id="A2.E151.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="A2.E151.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">1</cn></apply></apply><apply id="A2.E151.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A2.E151.m1.1.1.1.1.1.3"><times id="A2.E151.m1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A2.E151.m1.1.1.1.1.1.3.1"></times><ci id="A2.E151.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A2.E151.m1.1.1.1.1.1.3.2">𝑖</ci><ci id="A2.E151.m1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A2.E151.m1.1.1.1.1.1.3.3">𝑗</ci></apply></apply><apply id="A2.E151.m1.1.1.1.1.4.cmml" xref="A2.E151.m1.1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E151.m1.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="A2.E151.m1.1.1.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="A2.E151.m1.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="A2.E151.m1.1.1.1.1.4.2">𝜌</ci><ci id="A2.E151.m1.1.1.1.1.4.3.cmml" xref="A2.E151.m1.1.1.1.1.4.3">𝑅</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.E151.m1.1c">\displaystyle R_{\nu}^{ij}=\sum_{\rho\in S_{t}}V_{\nu}(\rho^{-1})^{ij}\rho_{R}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.E151.m1.1d">italic_R start_POSTSUBSCRIPT italic_ν end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_i italic_j end_POSTSUPERSCRIPT = ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_ρ ∈ italic_S start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT italic_V start_POSTSUBSCRIPT italic_ν end_POSTSUBSCRIPT ( italic_ρ start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_i italic_j end_POSTSUPERSCRIPT italic_ρ start_POSTSUBSCRIPT italic_R end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(151)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="A2.SS4.p1.3">We will first establish a few properties of these operators.</p> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_lemma" id="Thmtheorem57"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmtheorem57.1.1.1">Lemma 57</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmtheorem57.2.2">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="Thmtheorem57.p1"> <p class="ltx_p" id="Thmtheorem57.p1.1"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmtheorem57.p1.1.1">The operators <math alttext="R_{\nu}^{ij}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem57.p1.1.1.m1.1"><semantics id="Thmtheorem57.p1.1.1.m1.1a"><msubsup id="Thmtheorem57.p1.1.1.m1.1.1" xref="Thmtheorem57.p1.1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="Thmtheorem57.p1.1.1.m1.1.1.2.2" xref="Thmtheorem57.p1.1.1.m1.1.1.2.2.cmml">R</mi><mi id="Thmtheorem57.p1.1.1.m1.1.1.2.3" xref="Thmtheorem57.p1.1.1.m1.1.1.2.3.cmml">ν</mi><mrow id="Thmtheorem57.p1.1.1.m1.1.1.3" xref="Thmtheorem57.p1.1.1.m1.1.1.3.cmml"><mi id="Thmtheorem57.p1.1.1.m1.1.1.3.2" xref="Thmtheorem57.p1.1.1.m1.1.1.3.2.cmml">i</mi><mo id="Thmtheorem57.p1.1.1.m1.1.1.3.1" xref="Thmtheorem57.p1.1.1.m1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="Thmtheorem57.p1.1.1.m1.1.1.3.3" xref="Thmtheorem57.p1.1.1.m1.1.1.3.3.cmml">j</mi></mrow></msubsup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem57.p1.1.1.m1.1b"><apply id="Thmtheorem57.p1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem57.p1.1.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem57.p1.1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem57.p1.1.1.m1.1.1">superscript</csymbol><apply id="Thmtheorem57.p1.1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="Thmtheorem57.p1.1.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem57.p1.1.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="Thmtheorem57.p1.1.1.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="Thmtheorem57.p1.1.1.m1.1.1.2.2.cmml" xref="Thmtheorem57.p1.1.1.m1.1.1.2.2">𝑅</ci><ci id="Thmtheorem57.p1.1.1.m1.1.1.2.3.cmml" xref="Thmtheorem57.p1.1.1.m1.1.1.2.3">𝜈</ci></apply><apply id="Thmtheorem57.p1.1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="Thmtheorem57.p1.1.1.m1.1.1.3"><times id="Thmtheorem57.p1.1.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="Thmtheorem57.p1.1.1.m1.1.1.3.1"></times><ci id="Thmtheorem57.p1.1.1.m1.1.1.3.2.cmml" xref="Thmtheorem57.p1.1.1.m1.1.1.3.2">𝑖</ci><ci id="Thmtheorem57.p1.1.1.m1.1.1.3.3.cmml" xref="Thmtheorem57.p1.1.1.m1.1.1.3.3">𝑗</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem57.p1.1.1.m1.1c">R_{\nu}^{ij}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem57.p1.1.1.m1.1d">italic_R start_POSTSUBSCRIPT italic_ν end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_i italic_j end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> obey the following formulas:</span></p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="S6.EGx128"> <tbody id="A2.E152"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle R_{\nu}^{ij}\tau_{R}" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.E152.m1.1"><semantics id="A2.E152.m1.1a"><mrow id="A2.E152.m1.1.1" xref="A2.E152.m1.1.1.cmml"><msubsup id="A2.E152.m1.1.1.2" xref="A2.E152.m1.1.1.2.cmml"><mi id="A2.E152.m1.1.1.2.2.2" xref="A2.E152.m1.1.1.2.2.2.cmml">R</mi><mi id="A2.E152.m1.1.1.2.2.3" xref="A2.E152.m1.1.1.2.2.3.cmml">ν</mi><mrow id="A2.E152.m1.1.1.2.3" xref="A2.E152.m1.1.1.2.3.cmml"><mi id="A2.E152.m1.1.1.2.3.2" xref="A2.E152.m1.1.1.2.3.2.cmml">i</mi><mo id="A2.E152.m1.1.1.2.3.1" xref="A2.E152.m1.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A2.E152.m1.1.1.2.3.3" xref="A2.E152.m1.1.1.2.3.3.cmml">j</mi></mrow></msubsup><mo id="A2.E152.m1.1.1.1" xref="A2.E152.m1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="A2.E152.m1.1.1.3" xref="A2.E152.m1.1.1.3.cmml"><mi id="A2.E152.m1.1.1.3.2" xref="A2.E152.m1.1.1.3.2.cmml">τ</mi><mi id="A2.E152.m1.1.1.3.3" xref="A2.E152.m1.1.1.3.3.cmml">R</mi></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.E152.m1.1b"><apply id="A2.E152.m1.1.1.cmml" xref="A2.E152.m1.1.1"><times id="A2.E152.m1.1.1.1.cmml" xref="A2.E152.m1.1.1.1"></times><apply id="A2.E152.m1.1.1.2.cmml" xref="A2.E152.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E152.m1.1.1.2.1.cmml" xref="A2.E152.m1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="A2.E152.m1.1.1.2.2.cmml" xref="A2.E152.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E152.m1.1.1.2.2.1.cmml" xref="A2.E152.m1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="A2.E152.m1.1.1.2.2.2.cmml" xref="A2.E152.m1.1.1.2.2.2">𝑅</ci><ci id="A2.E152.m1.1.1.2.2.3.cmml" xref="A2.E152.m1.1.1.2.2.3">𝜈</ci></apply><apply id="A2.E152.m1.1.1.2.3.cmml" xref="A2.E152.m1.1.1.2.3"><times id="A2.E152.m1.1.1.2.3.1.cmml" xref="A2.E152.m1.1.1.2.3.1"></times><ci id="A2.E152.m1.1.1.2.3.2.cmml" xref="A2.E152.m1.1.1.2.3.2">𝑖</ci><ci id="A2.E152.m1.1.1.2.3.3.cmml" xref="A2.E152.m1.1.1.2.3.3">𝑗</ci></apply></apply><apply id="A2.E152.m1.1.1.3.cmml" xref="A2.E152.m1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E152.m1.1.1.3.1.cmml" xref="A2.E152.m1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A2.E152.m1.1.1.3.2.cmml" xref="A2.E152.m1.1.1.3.2">𝜏</ci><ci id="A2.E152.m1.1.1.3.3.cmml" xref="A2.E152.m1.1.1.3.3">𝑅</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.E152.m1.1c">\displaystyle R_{\nu}^{ij}\tau_{R}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.E152.m1.1d">italic_R start_POSTSUBSCRIPT italic_ν end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_i italic_j end_POSTSUPERSCRIPT italic_τ start_POSTSUBSCRIPT italic_R end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=\sum_{k}R_{\nu}^{ik}V_{\nu}(\tau)^{kj}" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.E152.m2.1"><semantics id="A2.E152.m2.1a"><mrow id="A2.E152.m2.1.2" xref="A2.E152.m2.1.2.cmml"><mi id="A2.E152.m2.1.2.2" xref="A2.E152.m2.1.2.2.cmml"></mi><mo id="A2.E152.m2.1.2.1" xref="A2.E152.m2.1.2.1.cmml">=</mo><mrow id="A2.E152.m2.1.2.3" xref="A2.E152.m2.1.2.3.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A2.E152.m2.1.2.3.1" xref="A2.E152.m2.1.2.3.1.cmml"><munder id="A2.E152.m2.1.2.3.1a" xref="A2.E152.m2.1.2.3.1.cmml"><mo id="A2.E152.m2.1.2.3.1.2" movablelimits="false" xref="A2.E152.m2.1.2.3.1.2.cmml">∑</mo><mi id="A2.E152.m2.1.2.3.1.3" xref="A2.E152.m2.1.2.3.1.3.cmml">k</mi></munder></mstyle><mrow id="A2.E152.m2.1.2.3.2" xref="A2.E152.m2.1.2.3.2.cmml"><msubsup id="A2.E152.m2.1.2.3.2.2" xref="A2.E152.m2.1.2.3.2.2.cmml"><mi id="A2.E152.m2.1.2.3.2.2.2.2" xref="A2.E152.m2.1.2.3.2.2.2.2.cmml">R</mi><mi id="A2.E152.m2.1.2.3.2.2.2.3" xref="A2.E152.m2.1.2.3.2.2.2.3.cmml">ν</mi><mrow id="A2.E152.m2.1.2.3.2.2.3" xref="A2.E152.m2.1.2.3.2.2.3.cmml"><mi id="A2.E152.m2.1.2.3.2.2.3.2" xref="A2.E152.m2.1.2.3.2.2.3.2.cmml">i</mi><mo id="A2.E152.m2.1.2.3.2.2.3.1" xref="A2.E152.m2.1.2.3.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A2.E152.m2.1.2.3.2.2.3.3" xref="A2.E152.m2.1.2.3.2.2.3.3.cmml">k</mi></mrow></msubsup><mo id="A2.E152.m2.1.2.3.2.1" xref="A2.E152.m2.1.2.3.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="A2.E152.m2.1.2.3.2.3" xref="A2.E152.m2.1.2.3.2.3.cmml"><mi id="A2.E152.m2.1.2.3.2.3.2" xref="A2.E152.m2.1.2.3.2.3.2.cmml">V</mi><mi id="A2.E152.m2.1.2.3.2.3.3" xref="A2.E152.m2.1.2.3.2.3.3.cmml">ν</mi></msub><mo id="A2.E152.m2.1.2.3.2.1a" xref="A2.E152.m2.1.2.3.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="A2.E152.m2.1.2.3.2.4" xref="A2.E152.m2.1.2.3.2.4.cmml"><mrow id="A2.E152.m2.1.2.3.2.4.2.2" xref="A2.E152.m2.1.2.3.2.4.cmml"><mo id="A2.E152.m2.1.2.3.2.4.2.2.1" stretchy="false" xref="A2.E152.m2.1.2.3.2.4.cmml">(</mo><mi id="A2.E152.m2.1.1" xref="A2.E152.m2.1.1.cmml">τ</mi><mo id="A2.E152.m2.1.2.3.2.4.2.2.2" stretchy="false" xref="A2.E152.m2.1.2.3.2.4.cmml">)</mo></mrow><mrow id="A2.E152.m2.1.2.3.2.4.3" xref="A2.E152.m2.1.2.3.2.4.3.cmml"><mi id="A2.E152.m2.1.2.3.2.4.3.2" xref="A2.E152.m2.1.2.3.2.4.3.2.cmml">k</mi><mo id="A2.E152.m2.1.2.3.2.4.3.1" xref="A2.E152.m2.1.2.3.2.4.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A2.E152.m2.1.2.3.2.4.3.3" xref="A2.E152.m2.1.2.3.2.4.3.3.cmml">j</mi></mrow></msup></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.E152.m2.1b"><apply id="A2.E152.m2.1.2.cmml" xref="A2.E152.m2.1.2"><eq id="A2.E152.m2.1.2.1.cmml" xref="A2.E152.m2.1.2.1"></eq><csymbol cd="latexml" id="A2.E152.m2.1.2.2.cmml" xref="A2.E152.m2.1.2.2">absent</csymbol><apply id="A2.E152.m2.1.2.3.cmml" xref="A2.E152.m2.1.2.3"><apply id="A2.E152.m2.1.2.3.1.cmml" xref="A2.E152.m2.1.2.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E152.m2.1.2.3.1.1.cmml" xref="A2.E152.m2.1.2.3.1">subscript</csymbol><sum id="A2.E152.m2.1.2.3.1.2.cmml" xref="A2.E152.m2.1.2.3.1.2"></sum><ci id="A2.E152.m2.1.2.3.1.3.cmml" xref="A2.E152.m2.1.2.3.1.3">𝑘</ci></apply><apply id="A2.E152.m2.1.2.3.2.cmml" xref="A2.E152.m2.1.2.3.2"><times id="A2.E152.m2.1.2.3.2.1.cmml" xref="A2.E152.m2.1.2.3.2.1"></times><apply id="A2.E152.m2.1.2.3.2.2.cmml" xref="A2.E152.m2.1.2.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E152.m2.1.2.3.2.2.1.cmml" xref="A2.E152.m2.1.2.3.2.2">superscript</csymbol><apply id="A2.E152.m2.1.2.3.2.2.2.cmml" xref="A2.E152.m2.1.2.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E152.m2.1.2.3.2.2.2.1.cmml" xref="A2.E152.m2.1.2.3.2.2">subscript</csymbol><ci id="A2.E152.m2.1.2.3.2.2.2.2.cmml" xref="A2.E152.m2.1.2.3.2.2.2.2">𝑅</ci><ci id="A2.E152.m2.1.2.3.2.2.2.3.cmml" xref="A2.E152.m2.1.2.3.2.2.2.3">𝜈</ci></apply><apply id="A2.E152.m2.1.2.3.2.2.3.cmml" xref="A2.E152.m2.1.2.3.2.2.3"><times id="A2.E152.m2.1.2.3.2.2.3.1.cmml" xref="A2.E152.m2.1.2.3.2.2.3.1"></times><ci id="A2.E152.m2.1.2.3.2.2.3.2.cmml" xref="A2.E152.m2.1.2.3.2.2.3.2">𝑖</ci><ci id="A2.E152.m2.1.2.3.2.2.3.3.cmml" xref="A2.E152.m2.1.2.3.2.2.3.3">𝑘</ci></apply></apply><apply id="A2.E152.m2.1.2.3.2.3.cmml" xref="A2.E152.m2.1.2.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E152.m2.1.2.3.2.3.1.cmml" xref="A2.E152.m2.1.2.3.2.3">subscript</csymbol><ci id="A2.E152.m2.1.2.3.2.3.2.cmml" xref="A2.E152.m2.1.2.3.2.3.2">𝑉</ci><ci id="A2.E152.m2.1.2.3.2.3.3.cmml" xref="A2.E152.m2.1.2.3.2.3.3">𝜈</ci></apply><apply id="A2.E152.m2.1.2.3.2.4.cmml" xref="A2.E152.m2.1.2.3.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E152.m2.1.2.3.2.4.1.cmml" xref="A2.E152.m2.1.2.3.2.4">superscript</csymbol><ci id="A2.E152.m2.1.1.cmml" xref="A2.E152.m2.1.1">𝜏</ci><apply id="A2.E152.m2.1.2.3.2.4.3.cmml" xref="A2.E152.m2.1.2.3.2.4.3"><times id="A2.E152.m2.1.2.3.2.4.3.1.cmml" xref="A2.E152.m2.1.2.3.2.4.3.1"></times><ci id="A2.E152.m2.1.2.3.2.4.3.2.cmml" xref="A2.E152.m2.1.2.3.2.4.3.2">𝑘</ci><ci id="A2.E152.m2.1.2.3.2.4.3.3.cmml" xref="A2.E152.m2.1.2.3.2.4.3.3">𝑗</ci></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.E152.m2.1c">\displaystyle=\sum_{k}R_{\nu}^{ik}V_{\nu}(\tau)^{kj}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.E152.m2.1d">= ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT italic_R start_POSTSUBSCRIPT italic_ν end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_i italic_k end_POSTSUPERSCRIPT italic_V start_POSTSUBSCRIPT italic_ν end_POSTSUBSCRIPT ( italic_τ ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_k italic_j end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(152)</span></td> </tr></tbody> <tbody id="A2.E153"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\tau_{R}R_{\nu}^{ij}" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.E153.m1.1"><semantics id="A2.E153.m1.1a"><mrow id="A2.E153.m1.1.1" xref="A2.E153.m1.1.1.cmml"><msub id="A2.E153.m1.1.1.2" xref="A2.E153.m1.1.1.2.cmml"><mi id="A2.E153.m1.1.1.2.2" xref="A2.E153.m1.1.1.2.2.cmml">τ</mi><mi id="A2.E153.m1.1.1.2.3" xref="A2.E153.m1.1.1.2.3.cmml">R</mi></msub><mo id="A2.E153.m1.1.1.1" xref="A2.E153.m1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="A2.E153.m1.1.1.3" xref="A2.E153.m1.1.1.3.cmml"><mi id="A2.E153.m1.1.1.3.2.2" xref="A2.E153.m1.1.1.3.2.2.cmml">R</mi><mi id="A2.E153.m1.1.1.3.2.3" xref="A2.E153.m1.1.1.3.2.3.cmml">ν</mi><mrow id="A2.E153.m1.1.1.3.3" xref="A2.E153.m1.1.1.3.3.cmml"><mi id="A2.E153.m1.1.1.3.3.2" xref="A2.E153.m1.1.1.3.3.2.cmml">i</mi><mo id="A2.E153.m1.1.1.3.3.1" xref="A2.E153.m1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A2.E153.m1.1.1.3.3.3" xref="A2.E153.m1.1.1.3.3.3.cmml">j</mi></mrow></msubsup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.E153.m1.1b"><apply id="A2.E153.m1.1.1.cmml" xref="A2.E153.m1.1.1"><times id="A2.E153.m1.1.1.1.cmml" xref="A2.E153.m1.1.1.1"></times><apply id="A2.E153.m1.1.1.2.cmml" xref="A2.E153.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E153.m1.1.1.2.1.cmml" xref="A2.E153.m1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="A2.E153.m1.1.1.2.2.cmml" xref="A2.E153.m1.1.1.2.2">𝜏</ci><ci id="A2.E153.m1.1.1.2.3.cmml" xref="A2.E153.m1.1.1.2.3">𝑅</ci></apply><apply id="A2.E153.m1.1.1.3.cmml" xref="A2.E153.m1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E153.m1.1.1.3.1.cmml" xref="A2.E153.m1.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="A2.E153.m1.1.1.3.2.cmml" xref="A2.E153.m1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E153.m1.1.1.3.2.1.cmml" xref="A2.E153.m1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A2.E153.m1.1.1.3.2.2.cmml" xref="A2.E153.m1.1.1.3.2.2">𝑅</ci><ci id="A2.E153.m1.1.1.3.2.3.cmml" xref="A2.E153.m1.1.1.3.2.3">𝜈</ci></apply><apply id="A2.E153.m1.1.1.3.3.cmml" xref="A2.E153.m1.1.1.3.3"><times 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cd="ambiguous" id="A2.E153.m2.1.2.3.2.4.2.1.cmml" xref="A2.E153.m2.1.2.3.2.4">subscript</csymbol><ci id="A2.E153.m2.1.2.3.2.4.2.2.cmml" xref="A2.E153.m2.1.2.3.2.4.2.2">𝑅</ci><ci id="A2.E153.m2.1.2.3.2.4.2.3.cmml" xref="A2.E153.m2.1.2.3.2.4.2.3">𝜈</ci></apply><apply id="A2.E153.m2.1.2.3.2.4.3.cmml" xref="A2.E153.m2.1.2.3.2.4.3"><times id="A2.E153.m2.1.2.3.2.4.3.1.cmml" xref="A2.E153.m2.1.2.3.2.4.3.1"></times><ci id="A2.E153.m2.1.2.3.2.4.3.2.cmml" xref="A2.E153.m2.1.2.3.2.4.3.2">𝑘</ci><ci id="A2.E153.m2.1.2.3.2.4.3.3.cmml" xref="A2.E153.m2.1.2.3.2.4.3.3">𝑗</ci></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.E153.m2.1c">\displaystyle=\sum_{k}V_{\nu}(\tau)^{ik}R_{\nu}^{kj}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.E153.m2.1d">= ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT italic_V start_POSTSUBSCRIPT italic_ν end_POSTSUBSCRIPT ( italic_τ ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_i italic_k end_POSTSUPERSCRIPT italic_R start_POSTSUBSCRIPT italic_ν end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_k italic_j end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(153)</span></td> </tr></tbody> <tbody id="A2.E154"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle R_{\mu}^{ij}R_{\nu}^{kl}" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.E154.m1.1"><semantics id="A2.E154.m1.1a"><mrow id="A2.E154.m1.1.1" xref="A2.E154.m1.1.1.cmml"><msubsup id="A2.E154.m1.1.1.2" xref="A2.E154.m1.1.1.2.cmml"><mi id="A2.E154.m1.1.1.2.2.2" xref="A2.E154.m1.1.1.2.2.2.cmml">R</mi><mi id="A2.E154.m1.1.1.2.2.3" xref="A2.E154.m1.1.1.2.2.3.cmml">μ</mi><mrow id="A2.E154.m1.1.1.2.3" xref="A2.E154.m1.1.1.2.3.cmml"><mi id="A2.E154.m1.1.1.2.3.2" xref="A2.E154.m1.1.1.2.3.2.cmml">i</mi><mo id="A2.E154.m1.1.1.2.3.1" xref="A2.E154.m1.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A2.E154.m1.1.1.2.3.3" xref="A2.E154.m1.1.1.2.3.3.cmml">j</mi></mrow></msubsup><mo id="A2.E154.m1.1.1.1" xref="A2.E154.m1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="A2.E154.m1.1.1.3" xref="A2.E154.m1.1.1.3.cmml"><mi id="A2.E154.m1.1.1.3.2.2" xref="A2.E154.m1.1.1.3.2.2.cmml">R</mi><mi id="A2.E154.m1.1.1.3.2.3" xref="A2.E154.m1.1.1.3.2.3.cmml">ν</mi><mrow id="A2.E154.m1.1.1.3.3" xref="A2.E154.m1.1.1.3.3.cmml"><mi id="A2.E154.m1.1.1.3.3.2" xref="A2.E154.m1.1.1.3.3.2.cmml">k</mi><mo id="A2.E154.m1.1.1.3.3.1" xref="A2.E154.m1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A2.E154.m1.1.1.3.3.3" xref="A2.E154.m1.1.1.3.3.3.cmml">l</mi></mrow></msubsup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.E154.m1.1b"><apply id="A2.E154.m1.1.1.cmml" xref="A2.E154.m1.1.1"><times id="A2.E154.m1.1.1.1.cmml" xref="A2.E154.m1.1.1.1"></times><apply id="A2.E154.m1.1.1.2.cmml" 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xref="A2.E154.m1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A2.E154.m1.1.1.3.2.2.cmml" xref="A2.E154.m1.1.1.3.2.2">𝑅</ci><ci id="A2.E154.m1.1.1.3.2.3.cmml" xref="A2.E154.m1.1.1.3.2.3">𝜈</ci></apply><apply id="A2.E154.m1.1.1.3.3.cmml" xref="A2.E154.m1.1.1.3.3"><times id="A2.E154.m1.1.1.3.3.1.cmml" xref="A2.E154.m1.1.1.3.3.1"></times><ci id="A2.E154.m1.1.1.3.3.2.cmml" xref="A2.E154.m1.1.1.3.3.2">𝑘</ci><ci id="A2.E154.m1.1.1.3.3.3.cmml" xref="A2.E154.m1.1.1.3.3.3">𝑙</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.E154.m1.1c">\displaystyle R_{\mu}^{ij}R_{\nu}^{kl}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.E154.m1.1d">italic_R start_POSTSUBSCRIPT italic_μ end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_i italic_j end_POSTSUPERSCRIPT italic_R start_POSTSUBSCRIPT italic_ν end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_k italic_l end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=\frac{t!}{\chi_{\nu}(1)}\delta_{\mu\nu}\delta_{ik}R_{\nu}^{jl}" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.E154.m2.1"><semantics id="A2.E154.m2.1a"><mrow id="A2.E154.m2.1.2" xref="A2.E154.m2.1.2.cmml"><mi id="A2.E154.m2.1.2.2" xref="A2.E154.m2.1.2.2.cmml"></mi><mo id="A2.E154.m2.1.2.1" xref="A2.E154.m2.1.2.1.cmml">=</mo><mrow id="A2.E154.m2.1.2.3" xref="A2.E154.m2.1.2.3.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A2.E154.m2.1.1" xref="A2.E154.m2.1.1.cmml"><mfrac id="A2.E154.m2.1.1a" xref="A2.E154.m2.1.1.cmml"><mrow id="A2.E154.m2.1.1.3" xref="A2.E154.m2.1.1.3.cmml"><mi id="A2.E154.m2.1.1.3.2" xref="A2.E154.m2.1.1.3.2.cmml">t</mi><mo id="A2.E154.m2.1.1.3.1" xref="A2.E154.m2.1.1.3.1.cmml">!</mo></mrow><mrow id="A2.E154.m2.1.1.1" xref="A2.E154.m2.1.1.1.cmml"><msub id="A2.E154.m2.1.1.1.3" xref="A2.E154.m2.1.1.1.3.cmml"><mi id="A2.E154.m2.1.1.1.3.2" xref="A2.E154.m2.1.1.1.3.2.cmml">χ</mi><mi id="A2.E154.m2.1.1.1.3.3" 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cd="ambiguous" id="A2.E154.m2.1.1.1.3.1.cmml" xref="A2.E154.m2.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A2.E154.m2.1.1.1.3.2.cmml" xref="A2.E154.m2.1.1.1.3.2">𝜒</ci><ci id="A2.E154.m2.1.1.1.3.3.cmml" xref="A2.E154.m2.1.1.1.3.3">𝜈</ci></apply><cn id="A2.E154.m2.1.1.1.1.cmml" type="integer" xref="A2.E154.m2.1.1.1.1">1</cn></apply></apply><apply id="A2.E154.m2.1.2.3.2.cmml" xref="A2.E154.m2.1.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E154.m2.1.2.3.2.1.cmml" xref="A2.E154.m2.1.2.3.2">subscript</csymbol><ci id="A2.E154.m2.1.2.3.2.2.cmml" xref="A2.E154.m2.1.2.3.2.2">𝛿</ci><apply id="A2.E154.m2.1.2.3.2.3.cmml" xref="A2.E154.m2.1.2.3.2.3"><times id="A2.E154.m2.1.2.3.2.3.1.cmml" xref="A2.E154.m2.1.2.3.2.3.1"></times><ci id="A2.E154.m2.1.2.3.2.3.2.cmml" xref="A2.E154.m2.1.2.3.2.3.2">𝜇</ci><ci id="A2.E154.m2.1.2.3.2.3.3.cmml" xref="A2.E154.m2.1.2.3.2.3.3">𝜈</ci></apply></apply><apply id="A2.E154.m2.1.2.3.3.cmml" xref="A2.E154.m2.1.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E154.m2.1.2.3.3.1.cmml" xref="A2.E154.m2.1.2.3.3">subscript</csymbol><ci id="A2.E154.m2.1.2.3.3.2.cmml" xref="A2.E154.m2.1.2.3.3.2">𝛿</ci><apply id="A2.E154.m2.1.2.3.3.3.cmml" xref="A2.E154.m2.1.2.3.3.3"><times id="A2.E154.m2.1.2.3.3.3.1.cmml" xref="A2.E154.m2.1.2.3.3.3.1"></times><ci id="A2.E154.m2.1.2.3.3.3.2.cmml" xref="A2.E154.m2.1.2.3.3.3.2">𝑖</ci><ci id="A2.E154.m2.1.2.3.3.3.3.cmml" xref="A2.E154.m2.1.2.3.3.3.3">𝑘</ci></apply></apply><apply id="A2.E154.m2.1.2.3.4.cmml" xref="A2.E154.m2.1.2.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E154.m2.1.2.3.4.1.cmml" xref="A2.E154.m2.1.2.3.4">superscript</csymbol><apply id="A2.E154.m2.1.2.3.4.2.cmml" xref="A2.E154.m2.1.2.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E154.m2.1.2.3.4.2.1.cmml" xref="A2.E154.m2.1.2.3.4">subscript</csymbol><ci id="A2.E154.m2.1.2.3.4.2.2.cmml" xref="A2.E154.m2.1.2.3.4.2.2">𝑅</ci><ci id="A2.E154.m2.1.2.3.4.2.3.cmml" xref="A2.E154.m2.1.2.3.4.2.3">𝜈</ci></apply><apply id="A2.E154.m2.1.2.3.4.3.cmml" xref="A2.E154.m2.1.2.3.4.3"><times id="A2.E154.m2.1.2.3.4.3.1.cmml" xref="A2.E154.m2.1.2.3.4.3.1"></times><ci id="A2.E154.m2.1.2.3.4.3.2.cmml" xref="A2.E154.m2.1.2.3.4.3.2">𝑗</ci><ci id="A2.E154.m2.1.2.3.4.3.3.cmml" xref="A2.E154.m2.1.2.3.4.3.3">𝑙</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.E154.m2.1c">\displaystyle=\frac{t!}{\chi_{\nu}(1)}\delta_{\mu\nu}\delta_{ik}R_{\nu}^{jl}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.E154.m2.1d">= divide start_ARG italic_t ! end_ARG start_ARG italic_χ start_POSTSUBSCRIPT italic_ν end_POSTSUBSCRIPT ( 1 ) end_ARG italic_δ start_POSTSUBSCRIPT italic_μ italic_ν end_POSTSUBSCRIPT italic_δ start_POSTSUBSCRIPT italic_i italic_k end_POSTSUBSCRIPT italic_R start_POSTSUBSCRIPT italic_ν end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_j italic_l end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(154)</span></td> </tr></tbody> <tbody id="A2.E155"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle P_{\mu}R_{\nu}^{ij}" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.E155.m1.1"><semantics id="A2.E155.m1.1a"><mrow id="A2.E155.m1.1.1" xref="A2.E155.m1.1.1.cmml"><msub id="A2.E155.m1.1.1.2" xref="A2.E155.m1.1.1.2.cmml"><mi id="A2.E155.m1.1.1.2.2" xref="A2.E155.m1.1.1.2.2.cmml">P</mi><mi id="A2.E155.m1.1.1.2.3" xref="A2.E155.m1.1.1.2.3.cmml">μ</mi></msub><mo id="A2.E155.m1.1.1.1" xref="A2.E155.m1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="A2.E155.m1.1.1.3" xref="A2.E155.m1.1.1.3.cmml"><mi id="A2.E155.m1.1.1.3.2.2" xref="A2.E155.m1.1.1.3.2.2.cmml">R</mi><mi id="A2.E155.m1.1.1.3.2.3" xref="A2.E155.m1.1.1.3.2.3.cmml">ν</mi><mrow id="A2.E155.m1.1.1.3.3" xref="A2.E155.m1.1.1.3.3.cmml"><mi id="A2.E155.m1.1.1.3.3.2" xref="A2.E155.m1.1.1.3.3.2.cmml">i</mi><mo id="A2.E155.m1.1.1.3.3.1" xref="A2.E155.m1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A2.E155.m1.1.1.3.3.3" xref="A2.E155.m1.1.1.3.3.3.cmml">j</mi></mrow></msubsup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.E155.m1.1b"><apply id="A2.E155.m1.1.1.cmml" xref="A2.E155.m1.1.1"><times id="A2.E155.m1.1.1.1.cmml" xref="A2.E155.m1.1.1.1"></times><apply id="A2.E155.m1.1.1.2.cmml" xref="A2.E155.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E155.m1.1.1.2.1.cmml" xref="A2.E155.m1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="A2.E155.m1.1.1.2.2.cmml" xref="A2.E155.m1.1.1.2.2">𝑃</ci><ci id="A2.E155.m1.1.1.2.3.cmml" xref="A2.E155.m1.1.1.2.3">𝜇</ci></apply><apply id="A2.E155.m1.1.1.3.cmml" xref="A2.E155.m1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E155.m1.1.1.3.1.cmml" xref="A2.E155.m1.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="A2.E155.m1.1.1.3.2.cmml" xref="A2.E155.m1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E155.m1.1.1.3.2.1.cmml" xref="A2.E155.m1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A2.E155.m1.1.1.3.2.2.cmml" xref="A2.E155.m1.1.1.3.2.2">𝑅</ci><ci id="A2.E155.m1.1.1.3.2.3.cmml" xref="A2.E155.m1.1.1.3.2.3">𝜈</ci></apply><apply id="A2.E155.m1.1.1.3.3.cmml" xref="A2.E155.m1.1.1.3.3"><times id="A2.E155.m1.1.1.3.3.1.cmml" xref="A2.E155.m1.1.1.3.3.1"></times><ci id="A2.E155.m1.1.1.3.3.2.cmml" xref="A2.E155.m1.1.1.3.3.2">𝑖</ci><ci id="A2.E155.m1.1.1.3.3.3.cmml" xref="A2.E155.m1.1.1.3.3.3">𝑗</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.E155.m1.1c">\displaystyle P_{\mu}R_{\nu}^{ij}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.E155.m1.1d">italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_μ end_POSTSUBSCRIPT italic_R start_POSTSUBSCRIPT italic_ν end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_i italic_j end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=\delta_{\mu\nu}R_{\nu}^{ij}" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.E155.m2.1"><semantics id="A2.E155.m2.1a"><mrow id="A2.E155.m2.1.1" xref="A2.E155.m2.1.1.cmml"><mi id="A2.E155.m2.1.1.2" xref="A2.E155.m2.1.1.2.cmml"></mi><mo id="A2.E155.m2.1.1.1" xref="A2.E155.m2.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="A2.E155.m2.1.1.3" xref="A2.E155.m2.1.1.3.cmml"><msub id="A2.E155.m2.1.1.3.2" xref="A2.E155.m2.1.1.3.2.cmml"><mi id="A2.E155.m2.1.1.3.2.2" xref="A2.E155.m2.1.1.3.2.2.cmml">δ</mi><mrow id="A2.E155.m2.1.1.3.2.3" xref="A2.E155.m2.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="A2.E155.m2.1.1.3.2.3.2" xref="A2.E155.m2.1.1.3.2.3.2.cmml">μ</mi><mo id="A2.E155.m2.1.1.3.2.3.1" xref="A2.E155.m2.1.1.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A2.E155.m2.1.1.3.2.3.3" xref="A2.E155.m2.1.1.3.2.3.3.cmml">ν</mi></mrow></msub><mo id="A2.E155.m2.1.1.3.1" xref="A2.E155.m2.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="A2.E155.m2.1.1.3.3" xref="A2.E155.m2.1.1.3.3.cmml"><mi id="A2.E155.m2.1.1.3.3.2.2" xref="A2.E155.m2.1.1.3.3.2.2.cmml">R</mi><mi id="A2.E155.m2.1.1.3.3.2.3" xref="A2.E155.m2.1.1.3.3.2.3.cmml">ν</mi><mrow id="A2.E155.m2.1.1.3.3.3" xref="A2.E155.m2.1.1.3.3.3.cmml"><mi id="A2.E155.m2.1.1.3.3.3.2" xref="A2.E155.m2.1.1.3.3.3.2.cmml">i</mi><mo id="A2.E155.m2.1.1.3.3.3.1" xref="A2.E155.m2.1.1.3.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A2.E155.m2.1.1.3.3.3.3" xref="A2.E155.m2.1.1.3.3.3.3.cmml">j</mi></mrow></msubsup></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.E155.m2.1b"><apply id="A2.E155.m2.1.1.cmml" xref="A2.E155.m2.1.1"><eq id="A2.E155.m2.1.1.1.cmml" xref="A2.E155.m2.1.1.1"></eq><csymbol cd="latexml" id="A2.E155.m2.1.1.2.cmml" xref="A2.E155.m2.1.1.2">absent</csymbol><apply id="A2.E155.m2.1.1.3.cmml" xref="A2.E155.m2.1.1.3"><times id="A2.E155.m2.1.1.3.1.cmml" xref="A2.E155.m2.1.1.3.1"></times><apply id="A2.E155.m2.1.1.3.2.cmml" xref="A2.E155.m2.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E155.m2.1.1.3.2.1.cmml" xref="A2.E155.m2.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="A2.E155.m2.1.1.3.2.2.cmml" xref="A2.E155.m2.1.1.3.2.2">𝛿</ci><apply id="A2.E155.m2.1.1.3.2.3.cmml" xref="A2.E155.m2.1.1.3.2.3"><times id="A2.E155.m2.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="A2.E155.m2.1.1.3.2.3.1"></times><ci id="A2.E155.m2.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="A2.E155.m2.1.1.3.2.3.2">𝜇</ci><ci id="A2.E155.m2.1.1.3.2.3.3.cmml" xref="A2.E155.m2.1.1.3.2.3.3">𝜈</ci></apply></apply><apply id="A2.E155.m2.1.1.3.3.cmml" xref="A2.E155.m2.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E155.m2.1.1.3.3.1.cmml" xref="A2.E155.m2.1.1.3.3">superscript</csymbol><apply id="A2.E155.m2.1.1.3.3.2.cmml" xref="A2.E155.m2.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E155.m2.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="A2.E155.m2.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="A2.E155.m2.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="A2.E155.m2.1.1.3.3.2.2">𝑅</ci><ci id="A2.E155.m2.1.1.3.3.2.3.cmml" xref="A2.E155.m2.1.1.3.3.2.3">𝜈</ci></apply><apply id="A2.E155.m2.1.1.3.3.3.cmml" xref="A2.E155.m2.1.1.3.3.3"><times id="A2.E155.m2.1.1.3.3.3.1.cmml" xref="A2.E155.m2.1.1.3.3.3.1"></times><ci id="A2.E155.m2.1.1.3.3.3.2.cmml" xref="A2.E155.m2.1.1.3.3.3.2">𝑖</ci><ci id="A2.E155.m2.1.1.3.3.3.3.cmml" xref="A2.E155.m2.1.1.3.3.3.3">𝑗</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.E155.m2.1c">\displaystyle=\delta_{\mu\nu}R_{\nu}^{ij}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.E155.m2.1d">= italic_δ start_POSTSUBSCRIPT italic_μ italic_ν end_POSTSUBSCRIPT italic_R start_POSTSUBSCRIPT italic_ν end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_i italic_j end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(155)</span></td> </tr></tbody> </table> </div> </div> <div class="ltx_proof" id="A2.SS4.2"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_font_italic ltx_title_proof">Proof.</h6> <div class="ltx_para" id="A2.SS4.1.p1"> <p class="ltx_p" id="A2.SS4.1.p1.1">We compute</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="S6.EGx129"> <tbody id="A2.Ex54"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle R_{\nu}^{ij}\tau_{R}" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.Ex54.m1.1"><semantics id="A2.Ex54.m1.1a"><mrow id="A2.Ex54.m1.1.1" xref="A2.Ex54.m1.1.1.cmml"><msubsup id="A2.Ex54.m1.1.1.2" xref="A2.Ex54.m1.1.1.2.cmml"><mi id="A2.Ex54.m1.1.1.2.2.2" xref="A2.Ex54.m1.1.1.2.2.2.cmml">R</mi><mi id="A2.Ex54.m1.1.1.2.2.3" xref="A2.Ex54.m1.1.1.2.2.3.cmml">ν</mi><mrow id="A2.Ex54.m1.1.1.2.3" xref="A2.Ex54.m1.1.1.2.3.cmml"><mi id="A2.Ex54.m1.1.1.2.3.2" xref="A2.Ex54.m1.1.1.2.3.2.cmml">i</mi><mo id="A2.Ex54.m1.1.1.2.3.1" xref="A2.Ex54.m1.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A2.Ex54.m1.1.1.2.3.3" xref="A2.Ex54.m1.1.1.2.3.3.cmml">j</mi></mrow></msubsup><mo id="A2.Ex54.m1.1.1.1" xref="A2.Ex54.m1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="A2.Ex54.m1.1.1.3" xref="A2.Ex54.m1.1.1.3.cmml"><mi id="A2.Ex54.m1.1.1.3.2" xref="A2.Ex54.m1.1.1.3.2.cmml">τ</mi><mi id="A2.Ex54.m1.1.1.3.3" xref="A2.Ex54.m1.1.1.3.3.cmml">R</mi></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.Ex54.m1.1b"><apply id="A2.Ex54.m1.1.1.cmml" xref="A2.Ex54.m1.1.1"><times id="A2.Ex54.m1.1.1.1.cmml" xref="A2.Ex54.m1.1.1.1"></times><apply id="A2.Ex54.m1.1.1.2.cmml" xref="A2.Ex54.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.Ex54.m1.1.1.2.1.cmml" xref="A2.Ex54.m1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="A2.Ex54.m1.1.1.2.2.cmml" xref="A2.Ex54.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.Ex54.m1.1.1.2.2.1.cmml" xref="A2.Ex54.m1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="A2.Ex54.m1.1.1.2.2.2.cmml" xref="A2.Ex54.m1.1.1.2.2.2">𝑅</ci><ci id="A2.Ex54.m1.1.1.2.2.3.cmml" xref="A2.Ex54.m1.1.1.2.2.3">𝜈</ci></apply><apply id="A2.Ex54.m1.1.1.2.3.cmml" xref="A2.Ex54.m1.1.1.2.3"><times id="A2.Ex54.m1.1.1.2.3.1.cmml" xref="A2.Ex54.m1.1.1.2.3.1"></times><ci id="A2.Ex54.m1.1.1.2.3.2.cmml" xref="A2.Ex54.m1.1.1.2.3.2">𝑖</ci><ci id="A2.Ex54.m1.1.1.2.3.3.cmml" xref="A2.Ex54.m1.1.1.2.3.3">𝑗</ci></apply></apply><apply id="A2.Ex54.m1.1.1.3.cmml" xref="A2.Ex54.m1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.Ex54.m1.1.1.3.1.cmml" xref="A2.Ex54.m1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A2.Ex54.m1.1.1.3.2.cmml" xref="A2.Ex54.m1.1.1.3.2">𝜏</ci><ci id="A2.Ex54.m1.1.1.3.3.cmml" xref="A2.Ex54.m1.1.1.3.3">𝑅</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.Ex54.m1.1c">\displaystyle R_{\nu}^{ij}\tau_{R}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.Ex54.m1.1d">italic_R start_POSTSUBSCRIPT italic_ν end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_i italic_j end_POSTSUPERSCRIPT italic_τ start_POSTSUBSCRIPT italic_R end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=\sum_{\rho\in S_{t}}V_{\nu}(\rho^{-1})^{ij}\rho_{R}\tau_{R}" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.Ex54.m2.1"><semantics id="A2.Ex54.m2.1a"><mrow id="A2.Ex54.m2.1.1" xref="A2.Ex54.m2.1.1.cmml"><mi id="A2.Ex54.m2.1.1.3" xref="A2.Ex54.m2.1.1.3.cmml"></mi><mo id="A2.Ex54.m2.1.1.2" xref="A2.Ex54.m2.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="A2.Ex54.m2.1.1.1" xref="A2.Ex54.m2.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A2.Ex54.m2.1.1.1.2" xref="A2.Ex54.m2.1.1.1.2.cmml"><munder id="A2.Ex54.m2.1.1.1.2a" xref="A2.Ex54.m2.1.1.1.2.cmml"><mo id="A2.Ex54.m2.1.1.1.2.2" movablelimits="false" xref="A2.Ex54.m2.1.1.1.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="A2.Ex54.m2.1.1.1.2.3" xref="A2.Ex54.m2.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="A2.Ex54.m2.1.1.1.2.3.2" xref="A2.Ex54.m2.1.1.1.2.3.2.cmml">ρ</mi><mo id="A2.Ex54.m2.1.1.1.2.3.1" xref="A2.Ex54.m2.1.1.1.2.3.1.cmml">∈</mo><msub id="A2.Ex54.m2.1.1.1.2.3.3" xref="A2.Ex54.m2.1.1.1.2.3.3.cmml"><mi id="A2.Ex54.m2.1.1.1.2.3.3.2" xref="A2.Ex54.m2.1.1.1.2.3.3.2.cmml">S</mi><mi id="A2.Ex54.m2.1.1.1.2.3.3.3" xref="A2.Ex54.m2.1.1.1.2.3.3.3.cmml">t</mi></msub></mrow></munder></mstyle><mrow id="A2.Ex54.m2.1.1.1.1" xref="A2.Ex54.m2.1.1.1.1.cmml"><msub id="A2.Ex54.m2.1.1.1.1.3" xref="A2.Ex54.m2.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A2.Ex54.m2.1.1.1.1.3.2" xref="A2.Ex54.m2.1.1.1.1.3.2.cmml">V</mi><mi id="A2.Ex54.m2.1.1.1.1.3.3" xref="A2.Ex54.m2.1.1.1.1.3.3.cmml">ν</mi></msub><mo id="A2.Ex54.m2.1.1.1.1.2" xref="A2.Ex54.m2.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msup id="A2.Ex54.m2.1.1.1.1.1" xref="A2.Ex54.m2.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A2.Ex54.m2.1.1.1.1.1.1.1" xref="A2.Ex54.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A2.Ex54.m2.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A2.Ex54.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="A2.Ex54.m2.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A2.Ex54.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A2.Ex54.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A2.Ex54.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">ρ</mi><mrow id="A2.Ex54.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A2.Ex54.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="A2.Ex54.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.3a" xref="A2.Ex54.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">−</mo><mn id="A2.Ex54.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A2.Ex54.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="A2.Ex54.m2.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A2.Ex54.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="A2.Ex54.m2.1.1.1.1.1.3" xref="A2.Ex54.m2.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A2.Ex54.m2.1.1.1.1.1.3.2" xref="A2.Ex54.m2.1.1.1.1.1.3.2.cmml">i</mi><mo id="A2.Ex54.m2.1.1.1.1.1.3.1" xref="A2.Ex54.m2.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A2.Ex54.m2.1.1.1.1.1.3.3" xref="A2.Ex54.m2.1.1.1.1.1.3.3.cmml">j</mi></mrow></msup><mo id="A2.Ex54.m2.1.1.1.1.2a" xref="A2.Ex54.m2.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="A2.Ex54.m2.1.1.1.1.4" xref="A2.Ex54.m2.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="A2.Ex54.m2.1.1.1.1.4.2" xref="A2.Ex54.m2.1.1.1.1.4.2.cmml">ρ</mi><mi id="A2.Ex54.m2.1.1.1.1.4.3" xref="A2.Ex54.m2.1.1.1.1.4.3.cmml">R</mi></msub><mo id="A2.Ex54.m2.1.1.1.1.2b" xref="A2.Ex54.m2.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="A2.Ex54.m2.1.1.1.1.5" xref="A2.Ex54.m2.1.1.1.1.5.cmml"><mi id="A2.Ex54.m2.1.1.1.1.5.2" xref="A2.Ex54.m2.1.1.1.1.5.2.cmml">τ</mi><mi id="A2.Ex54.m2.1.1.1.1.5.3" xref="A2.Ex54.m2.1.1.1.1.5.3.cmml">R</mi></msub></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.Ex54.m2.1b"><apply id="A2.Ex54.m2.1.1.cmml" xref="A2.Ex54.m2.1.1"><eq id="A2.Ex54.m2.1.1.2.cmml" xref="A2.Ex54.m2.1.1.2"></eq><csymbol cd="latexml" id="A2.Ex54.m2.1.1.3.cmml" xref="A2.Ex54.m2.1.1.3">absent</csymbol><apply id="A2.Ex54.m2.1.1.1.cmml" xref="A2.Ex54.m2.1.1.1"><apply id="A2.Ex54.m2.1.1.1.2.cmml" xref="A2.Ex54.m2.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.Ex54.m2.1.1.1.2.1.cmml" xref="A2.Ex54.m2.1.1.1.2">subscript</csymbol><sum id="A2.Ex54.m2.1.1.1.2.2.cmml" xref="A2.Ex54.m2.1.1.1.2.2"></sum><apply id="A2.Ex54.m2.1.1.1.2.3.cmml" xref="A2.Ex54.m2.1.1.1.2.3"><in id="A2.Ex54.m2.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="A2.Ex54.m2.1.1.1.2.3.1"></in><ci id="A2.Ex54.m2.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="A2.Ex54.m2.1.1.1.2.3.2">𝜌</ci><apply id="A2.Ex54.m2.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="A2.Ex54.m2.1.1.1.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.Ex54.m2.1.1.1.2.3.3.1.cmml" xref="A2.Ex54.m2.1.1.1.2.3.3">subscript</csymbol><ci id="A2.Ex54.m2.1.1.1.2.3.3.2.cmml" xref="A2.Ex54.m2.1.1.1.2.3.3.2">𝑆</ci><ci id="A2.Ex54.m2.1.1.1.2.3.3.3.cmml" xref="A2.Ex54.m2.1.1.1.2.3.3.3">𝑡</ci></apply></apply></apply><apply id="A2.Ex54.m2.1.1.1.1.cmml" xref="A2.Ex54.m2.1.1.1.1"><times id="A2.Ex54.m2.1.1.1.1.2.cmml" xref="A2.Ex54.m2.1.1.1.1.2"></times><apply id="A2.Ex54.m2.1.1.1.1.3.cmml" xref="A2.Ex54.m2.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.Ex54.m2.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A2.Ex54.m2.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A2.Ex54.m2.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A2.Ex54.m2.1.1.1.1.3.2">𝑉</ci><ci id="A2.Ex54.m2.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A2.Ex54.m2.1.1.1.1.3.3">𝜈</ci></apply><apply id="A2.Ex54.m2.1.1.1.1.1.cmml" xref="A2.Ex54.m2.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.Ex54.m2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A2.Ex54.m2.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="A2.Ex54.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A2.Ex54.m2.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.Ex54.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A2.Ex54.m2.1.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="A2.Ex54.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A2.Ex54.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝜌</ci><apply id="A2.Ex54.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A2.Ex54.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><minus id="A2.Ex54.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A2.Ex54.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.3"></minus><cn id="A2.Ex54.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="A2.Ex54.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">1</cn></apply></apply><apply id="A2.Ex54.m2.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A2.Ex54.m2.1.1.1.1.1.3"><times id="A2.Ex54.m2.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A2.Ex54.m2.1.1.1.1.1.3.1"></times><ci id="A2.Ex54.m2.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A2.Ex54.m2.1.1.1.1.1.3.2">𝑖</ci><ci id="A2.Ex54.m2.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A2.Ex54.m2.1.1.1.1.1.3.3">𝑗</ci></apply></apply><apply id="A2.Ex54.m2.1.1.1.1.4.cmml" xref="A2.Ex54.m2.1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.Ex54.m2.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="A2.Ex54.m2.1.1.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="A2.Ex54.m2.1.1.1.1.4.2.cmml" 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start_POSTSUBSCRIPT italic_R end_POSTSUBSCRIPT italic_τ start_POSTSUBSCRIPT italic_R end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="A2.Ex55"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=\sum_{\rho\in S_{t}}V_{\nu}(\rho^{-1})^{ij}(\tau\rho)_{R}" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.Ex55.m1.2"><semantics id="A2.Ex55.m1.2a"><mrow id="A2.Ex55.m1.2.2" xref="A2.Ex55.m1.2.2.cmml"><mi id="A2.Ex55.m1.2.2.4" xref="A2.Ex55.m1.2.2.4.cmml"></mi><mo id="A2.Ex55.m1.2.2.3" xref="A2.Ex55.m1.2.2.3.cmml">=</mo><mrow id="A2.Ex55.m1.2.2.2" xref="A2.Ex55.m1.2.2.2.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A2.Ex55.m1.2.2.2.3" xref="A2.Ex55.m1.2.2.2.3.cmml"><munder id="A2.Ex55.m1.2.2.2.3a" xref="A2.Ex55.m1.2.2.2.3.cmml"><mo id="A2.Ex55.m1.2.2.2.3.2" movablelimits="false" xref="A2.Ex55.m1.2.2.2.3.2.cmml">∑</mo><mrow id="A2.Ex55.m1.2.2.2.3.3" xref="A2.Ex55.m1.2.2.2.3.3.cmml"><mi id="A2.Ex55.m1.2.2.2.3.3.2" xref="A2.Ex55.m1.2.2.2.3.3.2.cmml">ρ</mi><mo id="A2.Ex55.m1.2.2.2.3.3.1" xref="A2.Ex55.m1.2.2.2.3.3.1.cmml">∈</mo><msub id="A2.Ex55.m1.2.2.2.3.3.3" xref="A2.Ex55.m1.2.2.2.3.3.3.cmml"><mi id="A2.Ex55.m1.2.2.2.3.3.3.2" xref="A2.Ex55.m1.2.2.2.3.3.3.2.cmml">S</mi><mi id="A2.Ex55.m1.2.2.2.3.3.3.3" xref="A2.Ex55.m1.2.2.2.3.3.3.3.cmml">t</mi></msub></mrow></munder></mstyle><mrow id="A2.Ex55.m1.2.2.2.2" xref="A2.Ex55.m1.2.2.2.2.cmml"><msub id="A2.Ex55.m1.2.2.2.2.4" xref="A2.Ex55.m1.2.2.2.2.4.cmml"><mi id="A2.Ex55.m1.2.2.2.2.4.2" xref="A2.Ex55.m1.2.2.2.2.4.2.cmml">V</mi><mi id="A2.Ex55.m1.2.2.2.2.4.3" xref="A2.Ex55.m1.2.2.2.2.4.3.cmml">ν</mi></msub><mo id="A2.Ex55.m1.2.2.2.2.3" xref="A2.Ex55.m1.2.2.2.2.3.cmml">⁢</mo><msup id="A2.Ex55.m1.1.1.1.1.1" xref="A2.Ex55.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A2.Ex55.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A2.Ex55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A2.Ex55.m1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A2.Ex55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="A2.Ex55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A2.Ex55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A2.Ex55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A2.Ex55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">ρ</mi><mrow id="A2.Ex55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A2.Ex55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="A2.Ex55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3a" xref="A2.Ex55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">−</mo><mn id="A2.Ex55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A2.Ex55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="A2.Ex55.m1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A2.Ex55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="A2.Ex55.m1.1.1.1.1.1.3" xref="A2.Ex55.m1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A2.Ex55.m1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A2.Ex55.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">i</mi><mo id="A2.Ex55.m1.1.1.1.1.1.3.1" xref="A2.Ex55.m1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A2.Ex55.m1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A2.Ex55.m1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">j</mi></mrow></msup><mo id="A2.Ex55.m1.2.2.2.2.3a" xref="A2.Ex55.m1.2.2.2.2.3.cmml">⁢</mo><msub id="A2.Ex55.m1.2.2.2.2.2" xref="A2.Ex55.m1.2.2.2.2.2.cmml"><mrow id="A2.Ex55.m1.2.2.2.2.2.1.1" xref="A2.Ex55.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="A2.Ex55.m1.2.2.2.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="A2.Ex55.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A2.Ex55.m1.2.2.2.2.2.1.1.1" xref="A2.Ex55.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="A2.Ex55.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.2" xref="A2.Ex55.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.2.cmml">τ</mi><mo id="A2.Ex55.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.1" xref="A2.Ex55.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="A2.Ex55.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.3" xref="A2.Ex55.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.3.cmml">ρ</mi></mrow><mo id="A2.Ex55.m1.2.2.2.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="A2.Ex55.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mi id="A2.Ex55.m1.2.2.2.2.2.3" xref="A2.Ex55.m1.2.2.2.2.2.3.cmml">R</mi></msub></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.Ex55.m1.2b"><apply id="A2.Ex55.m1.2.2.cmml" xref="A2.Ex55.m1.2.2"><eq id="A2.Ex55.m1.2.2.3.cmml" xref="A2.Ex55.m1.2.2.3"></eq><csymbol cd="latexml" id="A2.Ex55.m1.2.2.4.cmml" xref="A2.Ex55.m1.2.2.4">absent</csymbol><apply id="A2.Ex55.m1.2.2.2.cmml" xref="A2.Ex55.m1.2.2.2"><apply id="A2.Ex55.m1.2.2.2.3.cmml" xref="A2.Ex55.m1.2.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.Ex55.m1.2.2.2.3.1.cmml" xref="A2.Ex55.m1.2.2.2.3">subscript</csymbol><sum id="A2.Ex55.m1.2.2.2.3.2.cmml" xref="A2.Ex55.m1.2.2.2.3.2"></sum><apply id="A2.Ex55.m1.2.2.2.3.3.cmml" xref="A2.Ex55.m1.2.2.2.3.3"><in id="A2.Ex55.m1.2.2.2.3.3.1.cmml" xref="A2.Ex55.m1.2.2.2.3.3.1"></in><ci id="A2.Ex55.m1.2.2.2.3.3.2.cmml" xref="A2.Ex55.m1.2.2.2.3.3.2">𝜌</ci><apply id="A2.Ex55.m1.2.2.2.3.3.3.cmml" xref="A2.Ex55.m1.2.2.2.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.Ex55.m1.2.2.2.3.3.3.1.cmml" xref="A2.Ex55.m1.2.2.2.3.3.3">subscript</csymbol><ci id="A2.Ex55.m1.2.2.2.3.3.3.2.cmml" xref="A2.Ex55.m1.2.2.2.3.3.3.2">𝑆</ci><ci id="A2.Ex55.m1.2.2.2.3.3.3.3.cmml" xref="A2.Ex55.m1.2.2.2.3.3.3.3">𝑡</ci></apply></apply></apply><apply id="A2.Ex55.m1.2.2.2.2.cmml" xref="A2.Ex55.m1.2.2.2.2"><times id="A2.Ex55.m1.2.2.2.2.3.cmml" xref="A2.Ex55.m1.2.2.2.2.3"></times><apply id="A2.Ex55.m1.2.2.2.2.4.cmml" xref="A2.Ex55.m1.2.2.2.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.Ex55.m1.2.2.2.2.4.1.cmml" xref="A2.Ex55.m1.2.2.2.2.4">subscript</csymbol><ci id="A2.Ex55.m1.2.2.2.2.4.2.cmml" xref="A2.Ex55.m1.2.2.2.2.4.2">𝑉</ci><ci id="A2.Ex55.m1.2.2.2.2.4.3.cmml" xref="A2.Ex55.m1.2.2.2.2.4.3">𝜈</ci></apply><apply id="A2.Ex55.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A2.Ex55.m1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.Ex55.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A2.Ex55.m1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="A2.Ex55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A2.Ex55.m1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.Ex55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A2.Ex55.m1.1.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="A2.Ex55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A2.Ex55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝜌</ci><apply id="A2.Ex55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A2.Ex55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><minus id="A2.Ex55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A2.Ex55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"></minus><cn id="A2.Ex55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="A2.Ex55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">1</cn></apply></apply><apply id="A2.Ex55.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A2.Ex55.m1.1.1.1.1.1.3"><times id="A2.Ex55.m1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A2.Ex55.m1.1.1.1.1.1.3.1"></times><ci id="A2.Ex55.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A2.Ex55.m1.1.1.1.1.1.3.2">𝑖</ci><ci id="A2.Ex55.m1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A2.Ex55.m1.1.1.1.1.1.3.3">𝑗</ci></apply></apply><apply id="A2.Ex55.m1.2.2.2.2.2.cmml" xref="A2.Ex55.m1.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.Ex55.m1.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="A2.Ex55.m1.2.2.2.2.2">subscript</csymbol><apply id="A2.Ex55.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="A2.Ex55.m1.2.2.2.2.2.1.1"><times id="A2.Ex55.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="A2.Ex55.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.1"></times><ci id="A2.Ex55.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="A2.Ex55.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.2">𝜏</ci><ci id="A2.Ex55.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="A2.Ex55.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.3">𝜌</ci></apply><ci id="A2.Ex55.m1.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="A2.Ex55.m1.2.2.2.2.2.3">𝑅</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.Ex55.m1.2c">\displaystyle=\sum_{\rho\in S_{t}}V_{\nu}(\rho^{-1})^{ij}(\tau\rho)_{R}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.Ex55.m1.2d">= ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_ρ ∈ italic_S start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT italic_V start_POSTSUBSCRIPT italic_ν end_POSTSUBSCRIPT ( italic_ρ start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_i italic_j end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_τ italic_ρ ) start_POSTSUBSCRIPT italic_R end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="A2.Ex56"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=\sum_{\pi\in S_{t}}V_{\nu}(\pi^{-1}\tau)^{ij}\pi_{R}" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.Ex56.m1.1"><semantics id="A2.Ex56.m1.1a"><mrow id="A2.Ex56.m1.1.1" xref="A2.Ex56.m1.1.1.cmml"><mi id="A2.Ex56.m1.1.1.3" xref="A2.Ex56.m1.1.1.3.cmml"></mi><mo id="A2.Ex56.m1.1.1.2" xref="A2.Ex56.m1.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="A2.Ex56.m1.1.1.1" xref="A2.Ex56.m1.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A2.Ex56.m1.1.1.1.2" xref="A2.Ex56.m1.1.1.1.2.cmml"><munder id="A2.Ex56.m1.1.1.1.2a" xref="A2.Ex56.m1.1.1.1.2.cmml"><mo id="A2.Ex56.m1.1.1.1.2.2" movablelimits="false" xref="A2.Ex56.m1.1.1.1.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="A2.Ex56.m1.1.1.1.2.3" xref="A2.Ex56.m1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="A2.Ex56.m1.1.1.1.2.3.2" xref="A2.Ex56.m1.1.1.1.2.3.2.cmml">π</mi><mo id="A2.Ex56.m1.1.1.1.2.3.1" xref="A2.Ex56.m1.1.1.1.2.3.1.cmml">∈</mo><msub id="A2.Ex56.m1.1.1.1.2.3.3" xref="A2.Ex56.m1.1.1.1.2.3.3.cmml"><mi id="A2.Ex56.m1.1.1.1.2.3.3.2" xref="A2.Ex56.m1.1.1.1.2.3.3.2.cmml">S</mi><mi id="A2.Ex56.m1.1.1.1.2.3.3.3" xref="A2.Ex56.m1.1.1.1.2.3.3.3.cmml">t</mi></msub></mrow></munder></mstyle><mrow id="A2.Ex56.m1.1.1.1.1" xref="A2.Ex56.m1.1.1.1.1.cmml"><msub id="A2.Ex56.m1.1.1.1.1.3" xref="A2.Ex56.m1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A2.Ex56.m1.1.1.1.1.3.2" xref="A2.Ex56.m1.1.1.1.1.3.2.cmml">V</mi><mi id="A2.Ex56.m1.1.1.1.1.3.3" xref="A2.Ex56.m1.1.1.1.1.3.3.cmml">ν</mi></msub><mo id="A2.Ex56.m1.1.1.1.1.2" xref="A2.Ex56.m1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msup id="A2.Ex56.m1.1.1.1.1.1" xref="A2.Ex56.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A2.Ex56.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A2.Ex56.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A2.Ex56.m1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A2.Ex56.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A2.Ex56.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A2.Ex56.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msup id="A2.Ex56.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A2.Ex56.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="A2.Ex56.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="A2.Ex56.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">π</mi><mrow id="A2.Ex56.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="A2.Ex56.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mo id="A2.Ex56.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3a" xref="A2.Ex56.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">−</mo><mn id="A2.Ex56.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="A2.Ex56.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="A2.Ex56.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A2.Ex56.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="A2.Ex56.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A2.Ex56.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">τ</mi></mrow><mo id="A2.Ex56.m1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A2.Ex56.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="A2.Ex56.m1.1.1.1.1.1.3" xref="A2.Ex56.m1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A2.Ex56.m1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A2.Ex56.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">i</mi><mo id="A2.Ex56.m1.1.1.1.1.1.3.1" xref="A2.Ex56.m1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A2.Ex56.m1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A2.Ex56.m1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">j</mi></mrow></msup><mo id="A2.Ex56.m1.1.1.1.1.2a" xref="A2.Ex56.m1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="A2.Ex56.m1.1.1.1.1.4" xref="A2.Ex56.m1.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="A2.Ex56.m1.1.1.1.1.4.2" xref="A2.Ex56.m1.1.1.1.1.4.2.cmml">π</mi><mi id="A2.Ex56.m1.1.1.1.1.4.3" xref="A2.Ex56.m1.1.1.1.1.4.3.cmml">R</mi></msub></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.Ex56.m1.1b"><apply id="A2.Ex56.m1.1.1.cmml" xref="A2.Ex56.m1.1.1"><eq id="A2.Ex56.m1.1.1.2.cmml" xref="A2.Ex56.m1.1.1.2"></eq><csymbol cd="latexml" id="A2.Ex56.m1.1.1.3.cmml" xref="A2.Ex56.m1.1.1.3">absent</csymbol><apply id="A2.Ex56.m1.1.1.1.cmml" xref="A2.Ex56.m1.1.1.1"><apply id="A2.Ex56.m1.1.1.1.2.cmml" xref="A2.Ex56.m1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.Ex56.m1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A2.Ex56.m1.1.1.1.2">subscript</csymbol><sum id="A2.Ex56.m1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A2.Ex56.m1.1.1.1.2.2"></sum><apply id="A2.Ex56.m1.1.1.1.2.3.cmml" xref="A2.Ex56.m1.1.1.1.2.3"><in id="A2.Ex56.m1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="A2.Ex56.m1.1.1.1.2.3.1"></in><ci id="A2.Ex56.m1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="A2.Ex56.m1.1.1.1.2.3.2">𝜋</ci><apply id="A2.Ex56.m1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="A2.Ex56.m1.1.1.1.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.Ex56.m1.1.1.1.2.3.3.1.cmml" xref="A2.Ex56.m1.1.1.1.2.3.3">subscript</csymbol><ci id="A2.Ex56.m1.1.1.1.2.3.3.2.cmml" xref="A2.Ex56.m1.1.1.1.2.3.3.2">𝑆</ci><ci id="A2.Ex56.m1.1.1.1.2.3.3.3.cmml" xref="A2.Ex56.m1.1.1.1.2.3.3.3">𝑡</ci></apply></apply></apply><apply id="A2.Ex56.m1.1.1.1.1.cmml" xref="A2.Ex56.m1.1.1.1.1"><times id="A2.Ex56.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A2.Ex56.m1.1.1.1.1.2"></times><apply id="A2.Ex56.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A2.Ex56.m1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.Ex56.m1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A2.Ex56.m1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A2.Ex56.m1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A2.Ex56.m1.1.1.1.1.3.2">𝑉</ci><ci id="A2.Ex56.m1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A2.Ex56.m1.1.1.1.1.3.3">𝜈</ci></apply><apply id="A2.Ex56.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A2.Ex56.m1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.Ex56.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A2.Ex56.m1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="A2.Ex56.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A2.Ex56.m1.1.1.1.1.1.1.1"><times id="A2.Ex56.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A2.Ex56.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></times><apply id="A2.Ex56.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A2.Ex56.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.Ex56.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A2.Ex56.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="A2.Ex56.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A2.Ex56.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝜋</ci><apply id="A2.Ex56.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="A2.Ex56.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3"><minus id="A2.Ex56.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="A2.Ex56.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3"></minus><cn id="A2.Ex56.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" type="integer" xref="A2.Ex56.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2">1</cn></apply></apply><ci id="A2.Ex56.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A2.Ex56.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝜏</ci></apply><apply id="A2.Ex56.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A2.Ex56.m1.1.1.1.1.1.3"><times id="A2.Ex56.m1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A2.Ex56.m1.1.1.1.1.1.3.1"></times><ci id="A2.Ex56.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A2.Ex56.m1.1.1.1.1.1.3.2">𝑖</ci><ci id="A2.Ex56.m1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A2.Ex56.m1.1.1.1.1.1.3.3">𝑗</ci></apply></apply><apply id="A2.Ex56.m1.1.1.1.1.4.cmml" xref="A2.Ex56.m1.1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.Ex56.m1.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="A2.Ex56.m1.1.1.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="A2.Ex56.m1.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="A2.Ex56.m1.1.1.1.1.4.2">𝜋</ci><ci id="A2.Ex56.m1.1.1.1.1.4.3.cmml" xref="A2.Ex56.m1.1.1.1.1.4.3">𝑅</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.Ex56.m1.1c">\displaystyle=\sum_{\pi\in S_{t}}V_{\nu}(\pi^{-1}\tau)^{ij}\pi_{R}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.Ex56.m1.1d">= ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_π ∈ italic_S start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT italic_V start_POSTSUBSCRIPT italic_ν end_POSTSUBSCRIPT ( italic_π start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT italic_τ ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_i italic_j end_POSTSUPERSCRIPT italic_π start_POSTSUBSCRIPT italic_R end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="A2.Ex57"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=\sum_{\pi,k}V_{\nu}(\tau)^{kj}V_{\nu}(\pi^{-1}\tau)^{ik}\pi_{R}" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.Ex57.m1.4"><semantics id="A2.Ex57.m1.4a"><mrow id="A2.Ex57.m1.4.4" xref="A2.Ex57.m1.4.4.cmml"><mi id="A2.Ex57.m1.4.4.3" xref="A2.Ex57.m1.4.4.3.cmml"></mi><mo id="A2.Ex57.m1.4.4.2" xref="A2.Ex57.m1.4.4.2.cmml">=</mo><mrow id="A2.Ex57.m1.4.4.1" xref="A2.Ex57.m1.4.4.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A2.Ex57.m1.4.4.1.2" xref="A2.Ex57.m1.4.4.1.2.cmml"><munder id="A2.Ex57.m1.4.4.1.2a" xref="A2.Ex57.m1.4.4.1.2.cmml"><mo id="A2.Ex57.m1.4.4.1.2.2" movablelimits="false" xref="A2.Ex57.m1.4.4.1.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="A2.Ex57.m1.2.2.2.4" xref="A2.Ex57.m1.2.2.2.3.cmml"><mi id="A2.Ex57.m1.1.1.1.1" xref="A2.Ex57.m1.1.1.1.1.cmml">π</mi><mo id="A2.Ex57.m1.2.2.2.4.1" xref="A2.Ex57.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="A2.Ex57.m1.2.2.2.2" xref="A2.Ex57.m1.2.2.2.2.cmml">k</mi></mrow></munder></mstyle><mrow id="A2.Ex57.m1.4.4.1.1" xref="A2.Ex57.m1.4.4.1.1.cmml"><msub id="A2.Ex57.m1.4.4.1.1.3" xref="A2.Ex57.m1.4.4.1.1.3.cmml"><mi id="A2.Ex57.m1.4.4.1.1.3.2" xref="A2.Ex57.m1.4.4.1.1.3.2.cmml">V</mi><mi id="A2.Ex57.m1.4.4.1.1.3.3" xref="A2.Ex57.m1.4.4.1.1.3.3.cmml">ν</mi></msub><mo id="A2.Ex57.m1.4.4.1.1.2" xref="A2.Ex57.m1.4.4.1.1.2.cmml">⁢</mo><msup id="A2.Ex57.m1.4.4.1.1.4" xref="A2.Ex57.m1.4.4.1.1.4.cmml"><mrow id="A2.Ex57.m1.4.4.1.1.4.2.2" xref="A2.Ex57.m1.4.4.1.1.4.cmml"><mo 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id="A2.Ex57.m1.4.4.1.1.1.1.1" xref="A2.Ex57.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A2.Ex57.m1.4.4.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A2.Ex57.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A2.Ex57.m1.4.4.1.1.1.1.1.1" xref="A2.Ex57.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml"><msup id="A2.Ex57.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2" xref="A2.Ex57.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="A2.Ex57.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="A2.Ex57.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">π</mi><mrow id="A2.Ex57.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="A2.Ex57.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mo id="A2.Ex57.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.3a" xref="A2.Ex57.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">−</mo><mn id="A2.Ex57.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="A2.Ex57.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="A2.Ex57.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1" xref="A2.Ex57.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="A2.Ex57.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3" xref="A2.Ex57.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.cmml">τ</mi></mrow><mo id="A2.Ex57.m1.4.4.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A2.Ex57.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="A2.Ex57.m1.4.4.1.1.1.3" xref="A2.Ex57.m1.4.4.1.1.1.3.cmml"><mi id="A2.Ex57.m1.4.4.1.1.1.3.2" xref="A2.Ex57.m1.4.4.1.1.1.3.2.cmml">i</mi><mo id="A2.Ex57.m1.4.4.1.1.1.3.1" xref="A2.Ex57.m1.4.4.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A2.Ex57.m1.4.4.1.1.1.3.3" xref="A2.Ex57.m1.4.4.1.1.1.3.3.cmml">k</mi></mrow></msup><mo id="A2.Ex57.m1.4.4.1.1.2c" xref="A2.Ex57.m1.4.4.1.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="A2.Ex57.m1.4.4.1.1.6" xref="A2.Ex57.m1.4.4.1.1.6.cmml"><mi id="A2.Ex57.m1.4.4.1.1.6.2" xref="A2.Ex57.m1.4.4.1.1.6.2.cmml">π</mi><mi id="A2.Ex57.m1.4.4.1.1.6.3" xref="A2.Ex57.m1.4.4.1.1.6.3.cmml">R</mi></msub></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.Ex57.m1.4b"><apply id="A2.Ex57.m1.4.4.cmml" xref="A2.Ex57.m1.4.4"><eq id="A2.Ex57.m1.4.4.2.cmml" xref="A2.Ex57.m1.4.4.2"></eq><csymbol cd="latexml" id="A2.Ex57.m1.4.4.3.cmml" xref="A2.Ex57.m1.4.4.3">absent</csymbol><apply id="A2.Ex57.m1.4.4.1.cmml" xref="A2.Ex57.m1.4.4.1"><apply id="A2.Ex57.m1.4.4.1.2.cmml" 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id="A2.Ex57.m1.4.4.1.1.1.3.2.cmml" xref="A2.Ex57.m1.4.4.1.1.1.3.2">𝑖</ci><ci id="A2.Ex57.m1.4.4.1.1.1.3.3.cmml" xref="A2.Ex57.m1.4.4.1.1.1.3.3">𝑘</ci></apply></apply><apply id="A2.Ex57.m1.4.4.1.1.6.cmml" xref="A2.Ex57.m1.4.4.1.1.6"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.Ex57.m1.4.4.1.1.6.1.cmml" xref="A2.Ex57.m1.4.4.1.1.6">subscript</csymbol><ci id="A2.Ex57.m1.4.4.1.1.6.2.cmml" xref="A2.Ex57.m1.4.4.1.1.6.2">𝜋</ci><ci id="A2.Ex57.m1.4.4.1.1.6.3.cmml" xref="A2.Ex57.m1.4.4.1.1.6.3">𝑅</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.Ex57.m1.4c">\displaystyle=\sum_{\pi,k}V_{\nu}(\tau)^{kj}V_{\nu}(\pi^{-1}\tau)^{ik}\pi_{R}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.Ex57.m1.4d">= ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_π , italic_k end_POSTSUBSCRIPT italic_V start_POSTSUBSCRIPT italic_ν end_POSTSUBSCRIPT ( italic_τ ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_k italic_j end_POSTSUPERSCRIPT italic_V start_POSTSUBSCRIPT italic_ν end_POSTSUBSCRIPT ( italic_π start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT italic_τ ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_i italic_k end_POSTSUPERSCRIPT italic_π start_POSTSUBSCRIPT italic_R end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="A2.Ex58"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=\sum_{k}V_{\nu}(\tau)^{kj}R_{\nu}^{ik}" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.Ex58.m1.1"><semantics id="A2.Ex58.m1.1a"><mrow id="A2.Ex58.m1.1.2" xref="A2.Ex58.m1.1.2.cmml"><mi id="A2.Ex58.m1.1.2.2" xref="A2.Ex58.m1.1.2.2.cmml"></mi><mo id="A2.Ex58.m1.1.2.1" xref="A2.Ex58.m1.1.2.1.cmml">=</mo><mrow id="A2.Ex58.m1.1.2.3" xref="A2.Ex58.m1.1.2.3.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A2.Ex58.m1.1.2.3.1" xref="A2.Ex58.m1.1.2.3.1.cmml"><munder id="A2.Ex58.m1.1.2.3.1a" xref="A2.Ex58.m1.1.2.3.1.cmml"><mo id="A2.Ex58.m1.1.2.3.1.2" movablelimits="false" xref="A2.Ex58.m1.1.2.3.1.2.cmml">∑</mo><mi id="A2.Ex58.m1.1.2.3.1.3" xref="A2.Ex58.m1.1.2.3.1.3.cmml">k</mi></munder></mstyle><mrow id="A2.Ex58.m1.1.2.3.2" xref="A2.Ex58.m1.1.2.3.2.cmml"><msub id="A2.Ex58.m1.1.2.3.2.2" xref="A2.Ex58.m1.1.2.3.2.2.cmml"><mi id="A2.Ex58.m1.1.2.3.2.2.2" xref="A2.Ex58.m1.1.2.3.2.2.2.cmml">V</mi><mi id="A2.Ex58.m1.1.2.3.2.2.3" xref="A2.Ex58.m1.1.2.3.2.2.3.cmml">ν</mi></msub><mo id="A2.Ex58.m1.1.2.3.2.1" xref="A2.Ex58.m1.1.2.3.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="A2.Ex58.m1.1.2.3.2.3" xref="A2.Ex58.m1.1.2.3.2.3.cmml"><mrow id="A2.Ex58.m1.1.2.3.2.3.2.2" xref="A2.Ex58.m1.1.2.3.2.3.cmml"><mo id="A2.Ex58.m1.1.2.3.2.3.2.2.1" stretchy="false" xref="A2.Ex58.m1.1.2.3.2.3.cmml">(</mo><mi id="A2.Ex58.m1.1.1" xref="A2.Ex58.m1.1.1.cmml">τ</mi><mo id="A2.Ex58.m1.1.2.3.2.3.2.2.2" stretchy="false" xref="A2.Ex58.m1.1.2.3.2.3.cmml">)</mo></mrow><mrow id="A2.Ex58.m1.1.2.3.2.3.3" xref="A2.Ex58.m1.1.2.3.2.3.3.cmml"><mi id="A2.Ex58.m1.1.2.3.2.3.3.2" xref="A2.Ex58.m1.1.2.3.2.3.3.2.cmml">k</mi><mo id="A2.Ex58.m1.1.2.3.2.3.3.1" xref="A2.Ex58.m1.1.2.3.2.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A2.Ex58.m1.1.2.3.2.3.3.3" xref="A2.Ex58.m1.1.2.3.2.3.3.3.cmml">j</mi></mrow></msup><mo id="A2.Ex58.m1.1.2.3.2.1a" xref="A2.Ex58.m1.1.2.3.2.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="A2.Ex58.m1.1.2.3.2.4" xref="A2.Ex58.m1.1.2.3.2.4.cmml"><mi id="A2.Ex58.m1.1.2.3.2.4.2.2" xref="A2.Ex58.m1.1.2.3.2.4.2.2.cmml">R</mi><mi id="A2.Ex58.m1.1.2.3.2.4.2.3" xref="A2.Ex58.m1.1.2.3.2.4.2.3.cmml">ν</mi><mrow id="A2.Ex58.m1.1.2.3.2.4.3" xref="A2.Ex58.m1.1.2.3.2.4.3.cmml"><mi id="A2.Ex58.m1.1.2.3.2.4.3.2" xref="A2.Ex58.m1.1.2.3.2.4.3.2.cmml">i</mi><mo id="A2.Ex58.m1.1.2.3.2.4.3.1" xref="A2.Ex58.m1.1.2.3.2.4.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A2.Ex58.m1.1.2.3.2.4.3.3" xref="A2.Ex58.m1.1.2.3.2.4.3.3.cmml">k</mi></mrow></msubsup></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.Ex58.m1.1b"><apply id="A2.Ex58.m1.1.2.cmml" xref="A2.Ex58.m1.1.2"><eq id="A2.Ex58.m1.1.2.1.cmml" xref="A2.Ex58.m1.1.2.1"></eq><csymbol cd="latexml" id="A2.Ex58.m1.1.2.2.cmml" xref="A2.Ex58.m1.1.2.2">absent</csymbol><apply id="A2.Ex58.m1.1.2.3.cmml" xref="A2.Ex58.m1.1.2.3"><apply id="A2.Ex58.m1.1.2.3.1.cmml" xref="A2.Ex58.m1.1.2.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.Ex58.m1.1.2.3.1.1.cmml" xref="A2.Ex58.m1.1.2.3.1">subscript</csymbol><sum id="A2.Ex58.m1.1.2.3.1.2.cmml" xref="A2.Ex58.m1.1.2.3.1.2"></sum><ci id="A2.Ex58.m1.1.2.3.1.3.cmml" xref="A2.Ex58.m1.1.2.3.1.3">𝑘</ci></apply><apply id="A2.Ex58.m1.1.2.3.2.cmml" xref="A2.Ex58.m1.1.2.3.2"><times id="A2.Ex58.m1.1.2.3.2.1.cmml" xref="A2.Ex58.m1.1.2.3.2.1"></times><apply id="A2.Ex58.m1.1.2.3.2.2.cmml" xref="A2.Ex58.m1.1.2.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.Ex58.m1.1.2.3.2.2.1.cmml" xref="A2.Ex58.m1.1.2.3.2.2">subscript</csymbol><ci id="A2.Ex58.m1.1.2.3.2.2.2.cmml" xref="A2.Ex58.m1.1.2.3.2.2.2">𝑉</ci><ci id="A2.Ex58.m1.1.2.3.2.2.3.cmml" xref="A2.Ex58.m1.1.2.3.2.2.3">𝜈</ci></apply><apply id="A2.Ex58.m1.1.2.3.2.3.cmml" xref="A2.Ex58.m1.1.2.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.Ex58.m1.1.2.3.2.3.1.cmml" xref="A2.Ex58.m1.1.2.3.2.3">superscript</csymbol><ci id="A2.Ex58.m1.1.1.cmml" xref="A2.Ex58.m1.1.1">𝜏</ci><apply id="A2.Ex58.m1.1.2.3.2.3.3.cmml" xref="A2.Ex58.m1.1.2.3.2.3.3"><times id="A2.Ex58.m1.1.2.3.2.3.3.1.cmml" xref="A2.Ex58.m1.1.2.3.2.3.3.1"></times><ci id="A2.Ex58.m1.1.2.3.2.3.3.2.cmml" xref="A2.Ex58.m1.1.2.3.2.3.3.2">𝑘</ci><ci id="A2.Ex58.m1.1.2.3.2.3.3.3.cmml" xref="A2.Ex58.m1.1.2.3.2.3.3.3">𝑗</ci></apply></apply><apply id="A2.Ex58.m1.1.2.3.2.4.cmml" xref="A2.Ex58.m1.1.2.3.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.Ex58.m1.1.2.3.2.4.1.cmml" xref="A2.Ex58.m1.1.2.3.2.4">superscript</csymbol><apply id="A2.Ex58.m1.1.2.3.2.4.2.cmml" xref="A2.Ex58.m1.1.2.3.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.Ex58.m1.1.2.3.2.4.2.1.cmml" xref="A2.Ex58.m1.1.2.3.2.4">subscript</csymbol><ci id="A2.Ex58.m1.1.2.3.2.4.2.2.cmml" xref="A2.Ex58.m1.1.2.3.2.4.2.2">𝑅</ci><ci id="A2.Ex58.m1.1.2.3.2.4.2.3.cmml" xref="A2.Ex58.m1.1.2.3.2.4.2.3">𝜈</ci></apply><apply id="A2.Ex58.m1.1.2.3.2.4.3.cmml" xref="A2.Ex58.m1.1.2.3.2.4.3"><times id="A2.Ex58.m1.1.2.3.2.4.3.1.cmml" xref="A2.Ex58.m1.1.2.3.2.4.3.1"></times><ci id="A2.Ex58.m1.1.2.3.2.4.3.2.cmml" xref="A2.Ex58.m1.1.2.3.2.4.3.2">𝑖</ci><ci id="A2.Ex58.m1.1.2.3.2.4.3.3.cmml" xref="A2.Ex58.m1.1.2.3.2.4.3.3">𝑘</ci></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.Ex58.m1.1c">\displaystyle=\sum_{k}V_{\nu}(\tau)^{kj}R_{\nu}^{ik}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.Ex58.m1.1d">= ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT italic_V start_POSTSUBSCRIPT italic_ν end_POSTSUBSCRIPT ( italic_τ ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_k italic_j end_POSTSUPERSCRIPT italic_R start_POSTSUBSCRIPT italic_ν end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_i italic_k end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="A2.SS4.1.p1.2">Similarly</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="S6.EGx130"> <tbody id="A2.Ex59"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\tau_{R}R_{\nu}^{ij}" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.Ex59.m1.1"><semantics id="A2.Ex59.m1.1a"><mrow id="A2.Ex59.m1.1.1" xref="A2.Ex59.m1.1.1.cmml"><msub id="A2.Ex59.m1.1.1.2" xref="A2.Ex59.m1.1.1.2.cmml"><mi id="A2.Ex59.m1.1.1.2.2" xref="A2.Ex59.m1.1.1.2.2.cmml">τ</mi><mi id="A2.Ex59.m1.1.1.2.3" xref="A2.Ex59.m1.1.1.2.3.cmml">R</mi></msub><mo id="A2.Ex59.m1.1.1.1" xref="A2.Ex59.m1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="A2.Ex59.m1.1.1.3" xref="A2.Ex59.m1.1.1.3.cmml"><mi id="A2.Ex59.m1.1.1.3.2.2" xref="A2.Ex59.m1.1.1.3.2.2.cmml">R</mi><mi id="A2.Ex59.m1.1.1.3.2.3" xref="A2.Ex59.m1.1.1.3.2.3.cmml">ν</mi><mrow id="A2.Ex59.m1.1.1.3.3" xref="A2.Ex59.m1.1.1.3.3.cmml"><mi id="A2.Ex59.m1.1.1.3.3.2" xref="A2.Ex59.m1.1.1.3.3.2.cmml">i</mi><mo id="A2.Ex59.m1.1.1.3.3.1" xref="A2.Ex59.m1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A2.Ex59.m1.1.1.3.3.3" xref="A2.Ex59.m1.1.1.3.3.3.cmml">j</mi></mrow></msubsup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.Ex59.m1.1b"><apply id="A2.Ex59.m1.1.1.cmml" xref="A2.Ex59.m1.1.1"><times id="A2.Ex59.m1.1.1.1.cmml" xref="A2.Ex59.m1.1.1.1"></times><apply id="A2.Ex59.m1.1.1.2.cmml" xref="A2.Ex59.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.Ex59.m1.1.1.2.1.cmml" xref="A2.Ex59.m1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="A2.Ex59.m1.1.1.2.2.cmml" xref="A2.Ex59.m1.1.1.2.2">𝜏</ci><ci id="A2.Ex59.m1.1.1.2.3.cmml" xref="A2.Ex59.m1.1.1.2.3">𝑅</ci></apply><apply id="A2.Ex59.m1.1.1.3.cmml" xref="A2.Ex59.m1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.Ex59.m1.1.1.3.1.cmml" xref="A2.Ex59.m1.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="A2.Ex59.m1.1.1.3.2.cmml" xref="A2.Ex59.m1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.Ex59.m1.1.1.3.2.1.cmml" xref="A2.Ex59.m1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A2.Ex59.m1.1.1.3.2.2.cmml" xref="A2.Ex59.m1.1.1.3.2.2">𝑅</ci><ci id="A2.Ex59.m1.1.1.3.2.3.cmml" xref="A2.Ex59.m1.1.1.3.2.3">𝜈</ci></apply><apply id="A2.Ex59.m1.1.1.3.3.cmml" xref="A2.Ex59.m1.1.1.3.3"><times id="A2.Ex59.m1.1.1.3.3.1.cmml" xref="A2.Ex59.m1.1.1.3.3.1"></times><ci id="A2.Ex59.m1.1.1.3.3.2.cmml" xref="A2.Ex59.m1.1.1.3.3.2">𝑖</ci><ci id="A2.Ex59.m1.1.1.3.3.3.cmml" xref="A2.Ex59.m1.1.1.3.3.3">𝑗</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.Ex59.m1.1c">\displaystyle\tau_{R}R_{\nu}^{ij}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.Ex59.m1.1d">italic_τ start_POSTSUBSCRIPT italic_R end_POSTSUBSCRIPT italic_R start_POSTSUBSCRIPT italic_ν end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_i italic_j end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=\sum_{\rho\in S_{t}}V_{\nu}(\rho^{-1})^{ij}(\rho\tau)_{R}=\sum_{% \pi,k}V_{\nu}(\tau)^{ik}V_{\nu}(\pi^{-1}\tau)^{kj}\pi_{R}" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.Ex59.m2.6"><semantics id="A2.Ex59.m2.6a"><mrow id="A2.Ex59.m2.6.6" xref="A2.Ex59.m2.6.6.cmml"><mi id="A2.Ex59.m2.6.6.5" xref="A2.Ex59.m2.6.6.5.cmml"></mi><mo id="A2.Ex59.m2.6.6.6" xref="A2.Ex59.m2.6.6.6.cmml">=</mo><mrow id="A2.Ex59.m2.5.5.2" xref="A2.Ex59.m2.5.5.2.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A2.Ex59.m2.5.5.2.3" xref="A2.Ex59.m2.5.5.2.3.cmml"><munder id="A2.Ex59.m2.5.5.2.3a" xref="A2.Ex59.m2.5.5.2.3.cmml"><mo id="A2.Ex59.m2.5.5.2.3.2" movablelimits="false" xref="A2.Ex59.m2.5.5.2.3.2.cmml">∑</mo><mrow id="A2.Ex59.m2.5.5.2.3.3" xref="A2.Ex59.m2.5.5.2.3.3.cmml"><mi id="A2.Ex59.m2.5.5.2.3.3.2" xref="A2.Ex59.m2.5.5.2.3.3.2.cmml">ρ</mi><mo id="A2.Ex59.m2.5.5.2.3.3.1" xref="A2.Ex59.m2.5.5.2.3.3.1.cmml">∈</mo><msub id="A2.Ex59.m2.5.5.2.3.3.3" xref="A2.Ex59.m2.5.5.2.3.3.3.cmml"><mi id="A2.Ex59.m2.5.5.2.3.3.3.2" xref="A2.Ex59.m2.5.5.2.3.3.3.2.cmml">S</mi><mi id="A2.Ex59.m2.5.5.2.3.3.3.3" xref="A2.Ex59.m2.5.5.2.3.3.3.3.cmml">t</mi></msub></mrow></munder></mstyle><mrow id="A2.Ex59.m2.5.5.2.2" xref="A2.Ex59.m2.5.5.2.2.cmml"><msub id="A2.Ex59.m2.5.5.2.2.4" xref="A2.Ex59.m2.5.5.2.2.4.cmml"><mi id="A2.Ex59.m2.5.5.2.2.4.2" xref="A2.Ex59.m2.5.5.2.2.4.2.cmml">V</mi><mi id="A2.Ex59.m2.5.5.2.2.4.3" xref="A2.Ex59.m2.5.5.2.2.4.3.cmml">ν</mi></msub><mo id="A2.Ex59.m2.5.5.2.2.3" xref="A2.Ex59.m2.5.5.2.2.3.cmml">⁢</mo><msup id="A2.Ex59.m2.4.4.1.1.1" xref="A2.Ex59.m2.4.4.1.1.1.cmml"><mrow id="A2.Ex59.m2.4.4.1.1.1.1.1" xref="A2.Ex59.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A2.Ex59.m2.4.4.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A2.Ex59.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="A2.Ex59.m2.4.4.1.1.1.1.1.1" xref="A2.Ex59.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A2.Ex59.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.2" xref="A2.Ex59.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.2.cmml">ρ</mi><mrow id="A2.Ex59.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.3" xref="A2.Ex59.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="A2.Ex59.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.3a" xref="A2.Ex59.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.3.cmml">−</mo><mn id="A2.Ex59.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A2.Ex59.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="A2.Ex59.m2.4.4.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A2.Ex59.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="A2.Ex59.m2.4.4.1.1.1.3" xref="A2.Ex59.m2.4.4.1.1.1.3.cmml"><mi id="A2.Ex59.m2.4.4.1.1.1.3.2" xref="A2.Ex59.m2.4.4.1.1.1.3.2.cmml">i</mi><mo id="A2.Ex59.m2.4.4.1.1.1.3.1" xref="A2.Ex59.m2.4.4.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A2.Ex59.m2.4.4.1.1.1.3.3" xref="A2.Ex59.m2.4.4.1.1.1.3.3.cmml">j</mi></mrow></msup><mo id="A2.Ex59.m2.5.5.2.2.3a" xref="A2.Ex59.m2.5.5.2.2.3.cmml">⁢</mo><msub id="A2.Ex59.m2.5.5.2.2.2" xref="A2.Ex59.m2.5.5.2.2.2.cmml"><mrow id="A2.Ex59.m2.5.5.2.2.2.1.1" xref="A2.Ex59.m2.5.5.2.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="A2.Ex59.m2.5.5.2.2.2.1.1.2" stretchy="false" 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xref="A2.Ex59.m2.2.2.2.3.cmml"><mi id="A2.Ex59.m2.1.1.1.1" xref="A2.Ex59.m2.1.1.1.1.cmml">π</mi><mo id="A2.Ex59.m2.2.2.2.4.1" xref="A2.Ex59.m2.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="A2.Ex59.m2.2.2.2.2" xref="A2.Ex59.m2.2.2.2.2.cmml">k</mi></mrow></munder></mstyle><mrow id="A2.Ex59.m2.6.6.3.1" xref="A2.Ex59.m2.6.6.3.1.cmml"><msub id="A2.Ex59.m2.6.6.3.1.3" xref="A2.Ex59.m2.6.6.3.1.3.cmml"><mi id="A2.Ex59.m2.6.6.3.1.3.2" xref="A2.Ex59.m2.6.6.3.1.3.2.cmml">V</mi><mi id="A2.Ex59.m2.6.6.3.1.3.3" xref="A2.Ex59.m2.6.6.3.1.3.3.cmml">ν</mi></msub><mo id="A2.Ex59.m2.6.6.3.1.2" xref="A2.Ex59.m2.6.6.3.1.2.cmml">⁢</mo><msup id="A2.Ex59.m2.6.6.3.1.4" xref="A2.Ex59.m2.6.6.3.1.4.cmml"><mrow id="A2.Ex59.m2.6.6.3.1.4.2.2" xref="A2.Ex59.m2.6.6.3.1.4.cmml"><mo id="A2.Ex59.m2.6.6.3.1.4.2.2.1" stretchy="false" xref="A2.Ex59.m2.6.6.3.1.4.cmml">(</mo><mi id="A2.Ex59.m2.3.3" xref="A2.Ex59.m2.3.3.cmml">τ</mi><mo id="A2.Ex59.m2.6.6.3.1.4.2.2.2" stretchy="false" xref="A2.Ex59.m2.6.6.3.1.4.cmml">)</mo></mrow><mrow id="A2.Ex59.m2.6.6.3.1.4.3" xref="A2.Ex59.m2.6.6.3.1.4.3.cmml"><mi id="A2.Ex59.m2.6.6.3.1.4.3.2" xref="A2.Ex59.m2.6.6.3.1.4.3.2.cmml">i</mi><mo id="A2.Ex59.m2.6.6.3.1.4.3.1" xref="A2.Ex59.m2.6.6.3.1.4.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A2.Ex59.m2.6.6.3.1.4.3.3" xref="A2.Ex59.m2.6.6.3.1.4.3.3.cmml">k</mi></mrow></msup><mo id="A2.Ex59.m2.6.6.3.1.2a" xref="A2.Ex59.m2.6.6.3.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="A2.Ex59.m2.6.6.3.1.5" xref="A2.Ex59.m2.6.6.3.1.5.cmml"><mi id="A2.Ex59.m2.6.6.3.1.5.2" xref="A2.Ex59.m2.6.6.3.1.5.2.cmml">V</mi><mi id="A2.Ex59.m2.6.6.3.1.5.3" xref="A2.Ex59.m2.6.6.3.1.5.3.cmml">ν</mi></msub><mo id="A2.Ex59.m2.6.6.3.1.2b" xref="A2.Ex59.m2.6.6.3.1.2.cmml">⁢</mo><msup id="A2.Ex59.m2.6.6.3.1.1" xref="A2.Ex59.m2.6.6.3.1.1.cmml"><mrow id="A2.Ex59.m2.6.6.3.1.1.1.1" xref="A2.Ex59.m2.6.6.3.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A2.Ex59.m2.6.6.3.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A2.Ex59.m2.6.6.3.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A2.Ex59.m2.6.6.3.1.1.1.1.1" xref="A2.Ex59.m2.6.6.3.1.1.1.1.1.cmml"><msup id="A2.Ex59.m2.6.6.3.1.1.1.1.1.2" xref="A2.Ex59.m2.6.6.3.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="A2.Ex59.m2.6.6.3.1.1.1.1.1.2.2" xref="A2.Ex59.m2.6.6.3.1.1.1.1.1.2.2.cmml">π</mi><mrow id="A2.Ex59.m2.6.6.3.1.1.1.1.1.2.3" xref="A2.Ex59.m2.6.6.3.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mo id="A2.Ex59.m2.6.6.3.1.1.1.1.1.2.3a" xref="A2.Ex59.m2.6.6.3.1.1.1.1.1.2.3.cmml">−</mo><mn id="A2.Ex59.m2.6.6.3.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="A2.Ex59.m2.6.6.3.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="A2.Ex59.m2.6.6.3.1.1.1.1.1.1" xref="A2.Ex59.m2.6.6.3.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="A2.Ex59.m2.6.6.3.1.1.1.1.1.3" xref="A2.Ex59.m2.6.6.3.1.1.1.1.1.3.cmml">τ</mi></mrow><mo id="A2.Ex59.m2.6.6.3.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A2.Ex59.m2.6.6.3.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="A2.Ex59.m2.6.6.3.1.1.3" xref="A2.Ex59.m2.6.6.3.1.1.3.cmml"><mi id="A2.Ex59.m2.6.6.3.1.1.3.2" xref="A2.Ex59.m2.6.6.3.1.1.3.2.cmml">k</mi><mo id="A2.Ex59.m2.6.6.3.1.1.3.1" xref="A2.Ex59.m2.6.6.3.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A2.Ex59.m2.6.6.3.1.1.3.3" 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xref="A2.Ex59.m2.5.5.2.3.2"></sum><apply id="A2.Ex59.m2.5.5.2.3.3.cmml" xref="A2.Ex59.m2.5.5.2.3.3"><in id="A2.Ex59.m2.5.5.2.3.3.1.cmml" xref="A2.Ex59.m2.5.5.2.3.3.1"></in><ci id="A2.Ex59.m2.5.5.2.3.3.2.cmml" xref="A2.Ex59.m2.5.5.2.3.3.2">𝜌</ci><apply id="A2.Ex59.m2.5.5.2.3.3.3.cmml" xref="A2.Ex59.m2.5.5.2.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.Ex59.m2.5.5.2.3.3.3.1.cmml" xref="A2.Ex59.m2.5.5.2.3.3.3">subscript</csymbol><ci id="A2.Ex59.m2.5.5.2.3.3.3.2.cmml" xref="A2.Ex59.m2.5.5.2.3.3.3.2">𝑆</ci><ci id="A2.Ex59.m2.5.5.2.3.3.3.3.cmml" xref="A2.Ex59.m2.5.5.2.3.3.3.3">𝑡</ci></apply></apply></apply><apply id="A2.Ex59.m2.5.5.2.2.cmml" xref="A2.Ex59.m2.5.5.2.2"><times id="A2.Ex59.m2.5.5.2.2.3.cmml" xref="A2.Ex59.m2.5.5.2.2.3"></times><apply id="A2.Ex59.m2.5.5.2.2.4.cmml" xref="A2.Ex59.m2.5.5.2.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.Ex59.m2.5.5.2.2.4.1.cmml" xref="A2.Ex59.m2.5.5.2.2.4">subscript</csymbol><ci id="A2.Ex59.m2.5.5.2.2.4.2.cmml" xref="A2.Ex59.m2.5.5.2.2.4.2">𝑉</ci><ci id="A2.Ex59.m2.5.5.2.2.4.3.cmml" xref="A2.Ex59.m2.5.5.2.2.4.3">𝜈</ci></apply><apply id="A2.Ex59.m2.4.4.1.1.1.cmml" xref="A2.Ex59.m2.4.4.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.Ex59.m2.4.4.1.1.1.2.cmml" xref="A2.Ex59.m2.4.4.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="A2.Ex59.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A2.Ex59.m2.4.4.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.Ex59.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A2.Ex59.m2.4.4.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="A2.Ex59.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A2.Ex59.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.2">𝜌</ci><apply id="A2.Ex59.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A2.Ex59.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.3"><minus id="A2.Ex59.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A2.Ex59.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.3"></minus><cn id="A2.Ex59.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="A2.Ex59.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2">1</cn></apply></apply><apply id="A2.Ex59.m2.4.4.1.1.1.3.cmml" xref="A2.Ex59.m2.4.4.1.1.1.3"><times id="A2.Ex59.m2.4.4.1.1.1.3.1.cmml" xref="A2.Ex59.m2.4.4.1.1.1.3.1"></times><ci id="A2.Ex59.m2.4.4.1.1.1.3.2.cmml" xref="A2.Ex59.m2.4.4.1.1.1.3.2">𝑖</ci><ci id="A2.Ex59.m2.4.4.1.1.1.3.3.cmml" xref="A2.Ex59.m2.4.4.1.1.1.3.3">𝑗</ci></apply></apply><apply id="A2.Ex59.m2.5.5.2.2.2.cmml" xref="A2.Ex59.m2.5.5.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.Ex59.m2.5.5.2.2.2.2.cmml" xref="A2.Ex59.m2.5.5.2.2.2">subscript</csymbol><apply id="A2.Ex59.m2.5.5.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="A2.Ex59.m2.5.5.2.2.2.1.1"><times id="A2.Ex59.m2.5.5.2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="A2.Ex59.m2.5.5.2.2.2.1.1.1.1"></times><ci id="A2.Ex59.m2.5.5.2.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="A2.Ex59.m2.5.5.2.2.2.1.1.1.2">𝜌</ci><ci id="A2.Ex59.m2.5.5.2.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="A2.Ex59.m2.5.5.2.2.2.1.1.1.3">𝜏</ci></apply><ci id="A2.Ex59.m2.5.5.2.2.2.3.cmml" xref="A2.Ex59.m2.5.5.2.2.2.3">𝑅</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="A2.Ex59.m2.6.6c.cmml" xref="A2.Ex59.m2.6.6"><eq id="A2.Ex59.m2.6.6.7.cmml" xref="A2.Ex59.m2.6.6.7"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#A2.Ex59.m2.5.5.2.cmml" id="A2.Ex59.m2.6.6d.cmml" xref="A2.Ex59.m2.6.6"></share><apply id="A2.Ex59.m2.6.6.3.cmml" xref="A2.Ex59.m2.6.6.3"><apply id="A2.Ex59.m2.6.6.3.2.cmml" xref="A2.Ex59.m2.6.6.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.Ex59.m2.6.6.3.2.1.cmml" xref="A2.Ex59.m2.6.6.3.2">subscript</csymbol><sum id="A2.Ex59.m2.6.6.3.2.2.cmml" xref="A2.Ex59.m2.6.6.3.2.2"></sum><list id="A2.Ex59.m2.2.2.2.3.cmml" xref="A2.Ex59.m2.2.2.2.4"><ci id="A2.Ex59.m2.1.1.1.1.cmml" xref="A2.Ex59.m2.1.1.1.1">𝜋</ci><ci id="A2.Ex59.m2.2.2.2.2.cmml" xref="A2.Ex59.m2.2.2.2.2">𝑘</ci></list></apply><apply id="A2.Ex59.m2.6.6.3.1.cmml" xref="A2.Ex59.m2.6.6.3.1"><times id="A2.Ex59.m2.6.6.3.1.2.cmml" xref="A2.Ex59.m2.6.6.3.1.2"></times><apply id="A2.Ex59.m2.6.6.3.1.3.cmml" xref="A2.Ex59.m2.6.6.3.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.Ex59.m2.6.6.3.1.3.1.cmml" xref="A2.Ex59.m2.6.6.3.1.3">subscript</csymbol><ci id="A2.Ex59.m2.6.6.3.1.3.2.cmml" xref="A2.Ex59.m2.6.6.3.1.3.2">𝑉</ci><ci id="A2.Ex59.m2.6.6.3.1.3.3.cmml" xref="A2.Ex59.m2.6.6.3.1.3.3">𝜈</ci></apply><apply id="A2.Ex59.m2.6.6.3.1.4.cmml" xref="A2.Ex59.m2.6.6.3.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.Ex59.m2.6.6.3.1.4.1.cmml" xref="A2.Ex59.m2.6.6.3.1.4">superscript</csymbol><ci id="A2.Ex59.m2.3.3.cmml" xref="A2.Ex59.m2.3.3">𝜏</ci><apply id="A2.Ex59.m2.6.6.3.1.4.3.cmml" xref="A2.Ex59.m2.6.6.3.1.4.3"><times id="A2.Ex59.m2.6.6.3.1.4.3.1.cmml" xref="A2.Ex59.m2.6.6.3.1.4.3.1"></times><ci id="A2.Ex59.m2.6.6.3.1.4.3.2.cmml" xref="A2.Ex59.m2.6.6.3.1.4.3.2">𝑖</ci><ci id="A2.Ex59.m2.6.6.3.1.4.3.3.cmml" xref="A2.Ex59.m2.6.6.3.1.4.3.3">𝑘</ci></apply></apply><apply id="A2.Ex59.m2.6.6.3.1.5.cmml" xref="A2.Ex59.m2.6.6.3.1.5"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.Ex59.m2.6.6.3.1.5.1.cmml" xref="A2.Ex59.m2.6.6.3.1.5">subscript</csymbol><ci id="A2.Ex59.m2.6.6.3.1.5.2.cmml" xref="A2.Ex59.m2.6.6.3.1.5.2">𝑉</ci><ci id="A2.Ex59.m2.6.6.3.1.5.3.cmml" xref="A2.Ex59.m2.6.6.3.1.5.3">𝜈</ci></apply><apply id="A2.Ex59.m2.6.6.3.1.1.cmml" xref="A2.Ex59.m2.6.6.3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.Ex59.m2.6.6.3.1.1.2.cmml" xref="A2.Ex59.m2.6.6.3.1.1">superscript</csymbol><apply id="A2.Ex59.m2.6.6.3.1.1.1.1.1.cmml" xref="A2.Ex59.m2.6.6.3.1.1.1.1"><times id="A2.Ex59.m2.6.6.3.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A2.Ex59.m2.6.6.3.1.1.1.1.1.1"></times><apply id="A2.Ex59.m2.6.6.3.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A2.Ex59.m2.6.6.3.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.Ex59.m2.6.6.3.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A2.Ex59.m2.6.6.3.1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="A2.Ex59.m2.6.6.3.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A2.Ex59.m2.6.6.3.1.1.1.1.1.2.2">𝜋</ci><apply id="A2.Ex59.m2.6.6.3.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="A2.Ex59.m2.6.6.3.1.1.1.1.1.2.3"><minus id="A2.Ex59.m2.6.6.3.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="A2.Ex59.m2.6.6.3.1.1.1.1.1.2.3"></minus><cn id="A2.Ex59.m2.6.6.3.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" type="integer" xref="A2.Ex59.m2.6.6.3.1.1.1.1.1.2.3.2">1</cn></apply></apply><ci id="A2.Ex59.m2.6.6.3.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A2.Ex59.m2.6.6.3.1.1.1.1.1.3">𝜏</ci></apply><apply id="A2.Ex59.m2.6.6.3.1.1.3.cmml" xref="A2.Ex59.m2.6.6.3.1.1.3"><times id="A2.Ex59.m2.6.6.3.1.1.3.1.cmml" xref="A2.Ex59.m2.6.6.3.1.1.3.1"></times><ci id="A2.Ex59.m2.6.6.3.1.1.3.2.cmml" xref="A2.Ex59.m2.6.6.3.1.1.3.2">𝑘</ci><ci id="A2.Ex59.m2.6.6.3.1.1.3.3.cmml" xref="A2.Ex59.m2.6.6.3.1.1.3.3">𝑗</ci></apply></apply><apply id="A2.Ex59.m2.6.6.3.1.6.cmml" xref="A2.Ex59.m2.6.6.3.1.6"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.Ex59.m2.6.6.3.1.6.1.cmml" xref="A2.Ex59.m2.6.6.3.1.6">subscript</csymbol><ci id="A2.Ex59.m2.6.6.3.1.6.2.cmml" xref="A2.Ex59.m2.6.6.3.1.6.2">𝜋</ci><ci id="A2.Ex59.m2.6.6.3.1.6.3.cmml" xref="A2.Ex59.m2.6.6.3.1.6.3">𝑅</ci></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.Ex59.m2.6c">\displaystyle=\sum_{\rho\in S_{t}}V_{\nu}(\rho^{-1})^{ij}(\rho\tau)_{R}=\sum_{% \pi,k}V_{\nu}(\tau)^{ik}V_{\nu}(\pi^{-1}\tau)^{kj}\pi_{R}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.Ex59.m2.6d">= ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_ρ ∈ italic_S start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT italic_V start_POSTSUBSCRIPT italic_ν end_POSTSUBSCRIPT ( italic_ρ start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_i italic_j end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_ρ italic_τ ) start_POSTSUBSCRIPT italic_R end_POSTSUBSCRIPT = ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_π , italic_k end_POSTSUBSCRIPT italic_V start_POSTSUBSCRIPT italic_ν end_POSTSUBSCRIPT ( italic_τ ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_i italic_k end_POSTSUPERSCRIPT italic_V start_POSTSUBSCRIPT italic_ν end_POSTSUBSCRIPT ( italic_π start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT italic_τ ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_k italic_j end_POSTSUPERSCRIPT italic_π start_POSTSUBSCRIPT italic_R end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="A2.SS4.1.p1.3">Meanwhile</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="S6.EGx131"> <tbody id="A2.Ex60"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle R_{\nu}^{ij}R_{\mu}^{kl}" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.Ex60.m1.1"><semantics id="A2.Ex60.m1.1a"><mrow id="A2.Ex60.m1.1.1" xref="A2.Ex60.m1.1.1.cmml"><msubsup id="A2.Ex60.m1.1.1.2" xref="A2.Ex60.m1.1.1.2.cmml"><mi id="A2.Ex60.m1.1.1.2.2.2" xref="A2.Ex60.m1.1.1.2.2.2.cmml">R</mi><mi id="A2.Ex60.m1.1.1.2.2.3" xref="A2.Ex60.m1.1.1.2.2.3.cmml">ν</mi><mrow id="A2.Ex60.m1.1.1.2.3" xref="A2.Ex60.m1.1.1.2.3.cmml"><mi id="A2.Ex60.m1.1.1.2.3.2" xref="A2.Ex60.m1.1.1.2.3.2.cmml">i</mi><mo id="A2.Ex60.m1.1.1.2.3.1" xref="A2.Ex60.m1.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A2.Ex60.m1.1.1.2.3.3" xref="A2.Ex60.m1.1.1.2.3.3.cmml">j</mi></mrow></msubsup><mo id="A2.Ex60.m1.1.1.1" xref="A2.Ex60.m1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="A2.Ex60.m1.1.1.3" xref="A2.Ex60.m1.1.1.3.cmml"><mi id="A2.Ex60.m1.1.1.3.2.2" xref="A2.Ex60.m1.1.1.3.2.2.cmml">R</mi><mi id="A2.Ex60.m1.1.1.3.2.3" xref="A2.Ex60.m1.1.1.3.2.3.cmml">μ</mi><mrow id="A2.Ex60.m1.1.1.3.3" xref="A2.Ex60.m1.1.1.3.3.cmml"><mi id="A2.Ex60.m1.1.1.3.3.2" xref="A2.Ex60.m1.1.1.3.3.2.cmml">k</mi><mo id="A2.Ex60.m1.1.1.3.3.1" xref="A2.Ex60.m1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A2.Ex60.m1.1.1.3.3.3" xref="A2.Ex60.m1.1.1.3.3.3.cmml">l</mi></mrow></msubsup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.Ex60.m1.1b"><apply id="A2.Ex60.m1.1.1.cmml" xref="A2.Ex60.m1.1.1"><times id="A2.Ex60.m1.1.1.1.cmml" xref="A2.Ex60.m1.1.1.1"></times><apply id="A2.Ex60.m1.1.1.2.cmml" xref="A2.Ex60.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.Ex60.m1.1.1.2.1.cmml" xref="A2.Ex60.m1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="A2.Ex60.m1.1.1.2.2.cmml" xref="A2.Ex60.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.Ex60.m1.1.1.2.2.1.cmml" xref="A2.Ex60.m1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="A2.Ex60.m1.1.1.2.2.2.cmml" xref="A2.Ex60.m1.1.1.2.2.2">𝑅</ci><ci id="A2.Ex60.m1.1.1.2.2.3.cmml" xref="A2.Ex60.m1.1.1.2.2.3">𝜈</ci></apply><apply id="A2.Ex60.m1.1.1.2.3.cmml" xref="A2.Ex60.m1.1.1.2.3"><times id="A2.Ex60.m1.1.1.2.3.1.cmml" xref="A2.Ex60.m1.1.1.2.3.1"></times><ci id="A2.Ex60.m1.1.1.2.3.2.cmml" xref="A2.Ex60.m1.1.1.2.3.2">𝑖</ci><ci id="A2.Ex60.m1.1.1.2.3.3.cmml" xref="A2.Ex60.m1.1.1.2.3.3">𝑗</ci></apply></apply><apply id="A2.Ex60.m1.1.1.3.cmml" xref="A2.Ex60.m1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.Ex60.m1.1.1.3.1.cmml" xref="A2.Ex60.m1.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="A2.Ex60.m1.1.1.3.2.cmml" xref="A2.Ex60.m1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.Ex60.m1.1.1.3.2.1.cmml" xref="A2.Ex60.m1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A2.Ex60.m1.1.1.3.2.2.cmml" xref="A2.Ex60.m1.1.1.3.2.2">𝑅</ci><ci id="A2.Ex60.m1.1.1.3.2.3.cmml" xref="A2.Ex60.m1.1.1.3.2.3">𝜇</ci></apply><apply id="A2.Ex60.m1.1.1.3.3.cmml" xref="A2.Ex60.m1.1.1.3.3"><times id="A2.Ex60.m1.1.1.3.3.1.cmml" xref="A2.Ex60.m1.1.1.3.3.1"></times><ci id="A2.Ex60.m1.1.1.3.3.2.cmml" xref="A2.Ex60.m1.1.1.3.3.2">𝑘</ci><ci id="A2.Ex60.m1.1.1.3.3.3.cmml" xref="A2.Ex60.m1.1.1.3.3.3">𝑙</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.Ex60.m1.1c">\displaystyle R_{\nu}^{ij}R_{\mu}^{kl}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.Ex60.m1.1d">italic_R start_POSTSUBSCRIPT italic_ν end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_i italic_j end_POSTSUPERSCRIPT italic_R start_POSTSUBSCRIPT italic_μ end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_k italic_l end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=\sum_{\rho}V_{\nu}^{ij}(\rho)\rho_{R}R_{\mu}^{kl}" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.Ex60.m2.1"><semantics id="A2.Ex60.m2.1a"><mrow id="A2.Ex60.m2.1.2" xref="A2.Ex60.m2.1.2.cmml"><mi id="A2.Ex60.m2.1.2.2" xref="A2.Ex60.m2.1.2.2.cmml"></mi><mo id="A2.Ex60.m2.1.2.1" xref="A2.Ex60.m2.1.2.1.cmml">=</mo><mrow id="A2.Ex60.m2.1.2.3" xref="A2.Ex60.m2.1.2.3.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A2.Ex60.m2.1.2.3.1" xref="A2.Ex60.m2.1.2.3.1.cmml"><munder id="A2.Ex60.m2.1.2.3.1a" xref="A2.Ex60.m2.1.2.3.1.cmml"><mo id="A2.Ex60.m2.1.2.3.1.2" movablelimits="false" xref="A2.Ex60.m2.1.2.3.1.2.cmml">∑</mo><mi id="A2.Ex60.m2.1.2.3.1.3" xref="A2.Ex60.m2.1.2.3.1.3.cmml">ρ</mi></munder></mstyle><mrow id="A2.Ex60.m2.1.2.3.2" xref="A2.Ex60.m2.1.2.3.2.cmml"><msubsup id="A2.Ex60.m2.1.2.3.2.2" xref="A2.Ex60.m2.1.2.3.2.2.cmml"><mi id="A2.Ex60.m2.1.2.3.2.2.2.2" xref="A2.Ex60.m2.1.2.3.2.2.2.2.cmml">V</mi><mi id="A2.Ex60.m2.1.2.3.2.2.2.3" xref="A2.Ex60.m2.1.2.3.2.2.2.3.cmml">ν</mi><mrow id="A2.Ex60.m2.1.2.3.2.2.3" xref="A2.Ex60.m2.1.2.3.2.2.3.cmml"><mi id="A2.Ex60.m2.1.2.3.2.2.3.2" xref="A2.Ex60.m2.1.2.3.2.2.3.2.cmml">i</mi><mo id="A2.Ex60.m2.1.2.3.2.2.3.1" xref="A2.Ex60.m2.1.2.3.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A2.Ex60.m2.1.2.3.2.2.3.3" xref="A2.Ex60.m2.1.2.3.2.2.3.3.cmml">j</mi></mrow></msubsup><mo id="A2.Ex60.m2.1.2.3.2.1" xref="A2.Ex60.m2.1.2.3.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A2.Ex60.m2.1.2.3.2.3.2" xref="A2.Ex60.m2.1.2.3.2.cmml"><mo id="A2.Ex60.m2.1.2.3.2.3.2.1" stretchy="false" xref="A2.Ex60.m2.1.2.3.2.cmml">(</mo><mi id="A2.Ex60.m2.1.1" xref="A2.Ex60.m2.1.1.cmml">ρ</mi><mo id="A2.Ex60.m2.1.2.3.2.3.2.2" stretchy="false" xref="A2.Ex60.m2.1.2.3.2.cmml">)</mo></mrow><mo id="A2.Ex60.m2.1.2.3.2.1a" xref="A2.Ex60.m2.1.2.3.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="A2.Ex60.m2.1.2.3.2.4" xref="A2.Ex60.m2.1.2.3.2.4.cmml"><mi id="A2.Ex60.m2.1.2.3.2.4.2" xref="A2.Ex60.m2.1.2.3.2.4.2.cmml">ρ</mi><mi id="A2.Ex60.m2.1.2.3.2.4.3" xref="A2.Ex60.m2.1.2.3.2.4.3.cmml">R</mi></msub><mo id="A2.Ex60.m2.1.2.3.2.1b" xref="A2.Ex60.m2.1.2.3.2.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="A2.Ex60.m2.1.2.3.2.5" xref="A2.Ex60.m2.1.2.3.2.5.cmml"><mi id="A2.Ex60.m2.1.2.3.2.5.2.2" xref="A2.Ex60.m2.1.2.3.2.5.2.2.cmml">R</mi><mi id="A2.Ex60.m2.1.2.3.2.5.2.3" xref="A2.Ex60.m2.1.2.3.2.5.2.3.cmml">μ</mi><mrow id="A2.Ex60.m2.1.2.3.2.5.3" xref="A2.Ex60.m2.1.2.3.2.5.3.cmml"><mi id="A2.Ex60.m2.1.2.3.2.5.3.2" xref="A2.Ex60.m2.1.2.3.2.5.3.2.cmml">k</mi><mo id="A2.Ex60.m2.1.2.3.2.5.3.1" xref="A2.Ex60.m2.1.2.3.2.5.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A2.Ex60.m2.1.2.3.2.5.3.3" xref="A2.Ex60.m2.1.2.3.2.5.3.3.cmml">l</mi></mrow></msubsup></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.Ex60.m2.1b"><apply id="A2.Ex60.m2.1.2.cmml" xref="A2.Ex60.m2.1.2"><eq id="A2.Ex60.m2.1.2.1.cmml" xref="A2.Ex60.m2.1.2.1"></eq><csymbol cd="latexml" id="A2.Ex60.m2.1.2.2.cmml" xref="A2.Ex60.m2.1.2.2">absent</csymbol><apply id="A2.Ex60.m2.1.2.3.cmml" xref="A2.Ex60.m2.1.2.3"><apply id="A2.Ex60.m2.1.2.3.1.cmml" xref="A2.Ex60.m2.1.2.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.Ex60.m2.1.2.3.1.1.cmml" xref="A2.Ex60.m2.1.2.3.1">subscript</csymbol><sum id="A2.Ex60.m2.1.2.3.1.2.cmml" xref="A2.Ex60.m2.1.2.3.1.2"></sum><ci id="A2.Ex60.m2.1.2.3.1.3.cmml" xref="A2.Ex60.m2.1.2.3.1.3">𝜌</ci></apply><apply id="A2.Ex60.m2.1.2.3.2.cmml" xref="A2.Ex60.m2.1.2.3.2"><times id="A2.Ex60.m2.1.2.3.2.1.cmml" 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cd="ambiguous" id="A2.Ex60.m2.1.2.3.2.4.1.cmml" xref="A2.Ex60.m2.1.2.3.2.4">subscript</csymbol><ci id="A2.Ex60.m2.1.2.3.2.4.2.cmml" xref="A2.Ex60.m2.1.2.3.2.4.2">𝜌</ci><ci id="A2.Ex60.m2.1.2.3.2.4.3.cmml" xref="A2.Ex60.m2.1.2.3.2.4.3">𝑅</ci></apply><apply id="A2.Ex60.m2.1.2.3.2.5.cmml" xref="A2.Ex60.m2.1.2.3.2.5"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.Ex60.m2.1.2.3.2.5.1.cmml" xref="A2.Ex60.m2.1.2.3.2.5">superscript</csymbol><apply id="A2.Ex60.m2.1.2.3.2.5.2.cmml" xref="A2.Ex60.m2.1.2.3.2.5"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.Ex60.m2.1.2.3.2.5.2.1.cmml" xref="A2.Ex60.m2.1.2.3.2.5">subscript</csymbol><ci id="A2.Ex60.m2.1.2.3.2.5.2.2.cmml" xref="A2.Ex60.m2.1.2.3.2.5.2.2">𝑅</ci><ci id="A2.Ex60.m2.1.2.3.2.5.2.3.cmml" xref="A2.Ex60.m2.1.2.3.2.5.2.3">𝜇</ci></apply><apply id="A2.Ex60.m2.1.2.3.2.5.3.cmml" xref="A2.Ex60.m2.1.2.3.2.5.3"><times id="A2.Ex60.m2.1.2.3.2.5.3.1.cmml" xref="A2.Ex60.m2.1.2.3.2.5.3.1"></times><ci id="A2.Ex60.m2.1.2.3.2.5.3.2.cmml" xref="A2.Ex60.m2.1.2.3.2.5.3.2">𝑘</ci><ci id="A2.Ex60.m2.1.2.3.2.5.3.3.cmml" xref="A2.Ex60.m2.1.2.3.2.5.3.3">𝑙</ci></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.Ex60.m2.1c">\displaystyle=\sum_{\rho}V_{\nu}^{ij}(\rho)\rho_{R}R_{\mu}^{kl}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.Ex60.m2.1d">= ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_ρ end_POSTSUBSCRIPT italic_V start_POSTSUBSCRIPT italic_ν end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_i italic_j end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_ρ ) italic_ρ start_POSTSUBSCRIPT italic_R end_POSTSUBSCRIPT italic_R start_POSTSUBSCRIPT italic_μ end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_k italic_l end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="A2.Ex61"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=\sum_{\rho,n}V_{\nu}^{ij}(\rho)V_{\mu}(\rho)^{kn}R_{\mu}^{nl}" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.Ex61.m1.4"><semantics id="A2.Ex61.m1.4a"><mrow id="A2.Ex61.m1.4.5" xref="A2.Ex61.m1.4.5.cmml"><mi id="A2.Ex61.m1.4.5.2" xref="A2.Ex61.m1.4.5.2.cmml"></mi><mo id="A2.Ex61.m1.4.5.1" xref="A2.Ex61.m1.4.5.1.cmml">=</mo><mrow id="A2.Ex61.m1.4.5.3" xref="A2.Ex61.m1.4.5.3.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A2.Ex61.m1.4.5.3.1" xref="A2.Ex61.m1.4.5.3.1.cmml"><munder id="A2.Ex61.m1.4.5.3.1a" xref="A2.Ex61.m1.4.5.3.1.cmml"><mo id="A2.Ex61.m1.4.5.3.1.2" movablelimits="false" xref="A2.Ex61.m1.4.5.3.1.2.cmml">∑</mo><mrow id="A2.Ex61.m1.2.2.2.4" xref="A2.Ex61.m1.2.2.2.3.cmml"><mi id="A2.Ex61.m1.1.1.1.1" xref="A2.Ex61.m1.1.1.1.1.cmml">ρ</mi><mo id="A2.Ex61.m1.2.2.2.4.1" xref="A2.Ex61.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="A2.Ex61.m1.2.2.2.2" xref="A2.Ex61.m1.2.2.2.2.cmml">n</mi></mrow></munder></mstyle><mrow id="A2.Ex61.m1.4.5.3.2" 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xref="A2.Ex61.m1.4.5.3.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="A2.Ex61.m1.4.5.3.2.4" xref="A2.Ex61.m1.4.5.3.2.4.cmml"><mi id="A2.Ex61.m1.4.5.3.2.4.2" xref="A2.Ex61.m1.4.5.3.2.4.2.cmml">V</mi><mi id="A2.Ex61.m1.4.5.3.2.4.3" xref="A2.Ex61.m1.4.5.3.2.4.3.cmml">μ</mi></msub><mo id="A2.Ex61.m1.4.5.3.2.1b" xref="A2.Ex61.m1.4.5.3.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="A2.Ex61.m1.4.5.3.2.5" xref="A2.Ex61.m1.4.5.3.2.5.cmml"><mrow id="A2.Ex61.m1.4.5.3.2.5.2.2" xref="A2.Ex61.m1.4.5.3.2.5.cmml"><mo id="A2.Ex61.m1.4.5.3.2.5.2.2.1" stretchy="false" xref="A2.Ex61.m1.4.5.3.2.5.cmml">(</mo><mi id="A2.Ex61.m1.4.4" xref="A2.Ex61.m1.4.4.cmml">ρ</mi><mo id="A2.Ex61.m1.4.5.3.2.5.2.2.2" stretchy="false" xref="A2.Ex61.m1.4.5.3.2.5.cmml">)</mo></mrow><mrow id="A2.Ex61.m1.4.5.3.2.5.3" xref="A2.Ex61.m1.4.5.3.2.5.3.cmml"><mi id="A2.Ex61.m1.4.5.3.2.5.3.2" xref="A2.Ex61.m1.4.5.3.2.5.3.2.cmml">k</mi><mo id="A2.Ex61.m1.4.5.3.2.5.3.1" xref="A2.Ex61.m1.4.5.3.2.5.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A2.Ex61.m1.4.5.3.2.5.3.3" xref="A2.Ex61.m1.4.5.3.2.5.3.3.cmml">n</mi></mrow></msup><mo id="A2.Ex61.m1.4.5.3.2.1c" xref="A2.Ex61.m1.4.5.3.2.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="A2.Ex61.m1.4.5.3.2.6" xref="A2.Ex61.m1.4.5.3.2.6.cmml"><mi id="A2.Ex61.m1.4.5.3.2.6.2.2" xref="A2.Ex61.m1.4.5.3.2.6.2.2.cmml">R</mi><mi id="A2.Ex61.m1.4.5.3.2.6.2.3" xref="A2.Ex61.m1.4.5.3.2.6.2.3.cmml">μ</mi><mrow id="A2.Ex61.m1.4.5.3.2.6.3" xref="A2.Ex61.m1.4.5.3.2.6.3.cmml"><mi id="A2.Ex61.m1.4.5.3.2.6.3.2" xref="A2.Ex61.m1.4.5.3.2.6.3.2.cmml">n</mi><mo id="A2.Ex61.m1.4.5.3.2.6.3.1" xref="A2.Ex61.m1.4.5.3.2.6.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A2.Ex61.m1.4.5.3.2.6.3.3" xref="A2.Ex61.m1.4.5.3.2.6.3.3.cmml">l</mi></mrow></msubsup></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.Ex61.m1.4b"><apply id="A2.Ex61.m1.4.5.cmml" xref="A2.Ex61.m1.4.5"><eq id="A2.Ex61.m1.4.5.1.cmml" xref="A2.Ex61.m1.4.5.1"></eq><csymbol cd="latexml" id="A2.Ex61.m1.4.5.2.cmml" xref="A2.Ex61.m1.4.5.2">absent</csymbol><apply id="A2.Ex61.m1.4.5.3.cmml" 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xref="A2.Ex61.m1.4.5.3.2.2.2.2">𝑉</ci><ci id="A2.Ex61.m1.4.5.3.2.2.2.3.cmml" xref="A2.Ex61.m1.4.5.3.2.2.2.3">𝜈</ci></apply><apply id="A2.Ex61.m1.4.5.3.2.2.3.cmml" xref="A2.Ex61.m1.4.5.3.2.2.3"><times id="A2.Ex61.m1.4.5.3.2.2.3.1.cmml" xref="A2.Ex61.m1.4.5.3.2.2.3.1"></times><ci id="A2.Ex61.m1.4.5.3.2.2.3.2.cmml" xref="A2.Ex61.m1.4.5.3.2.2.3.2">𝑖</ci><ci id="A2.Ex61.m1.4.5.3.2.2.3.3.cmml" xref="A2.Ex61.m1.4.5.3.2.2.3.3">𝑗</ci></apply></apply><ci id="A2.Ex61.m1.3.3.cmml" xref="A2.Ex61.m1.3.3">𝜌</ci><apply id="A2.Ex61.m1.4.5.3.2.4.cmml" xref="A2.Ex61.m1.4.5.3.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.Ex61.m1.4.5.3.2.4.1.cmml" xref="A2.Ex61.m1.4.5.3.2.4">subscript</csymbol><ci id="A2.Ex61.m1.4.5.3.2.4.2.cmml" xref="A2.Ex61.m1.4.5.3.2.4.2">𝑉</ci><ci id="A2.Ex61.m1.4.5.3.2.4.3.cmml" xref="A2.Ex61.m1.4.5.3.2.4.3">𝜇</ci></apply><apply id="A2.Ex61.m1.4.5.3.2.5.cmml" xref="A2.Ex61.m1.4.5.3.2.5"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.Ex61.m1.4.5.3.2.5.1.cmml" xref="A2.Ex61.m1.4.5.3.2.5">superscript</csymbol><ci id="A2.Ex61.m1.4.4.cmml" xref="A2.Ex61.m1.4.4">𝜌</ci><apply id="A2.Ex61.m1.4.5.3.2.5.3.cmml" xref="A2.Ex61.m1.4.5.3.2.5.3"><times id="A2.Ex61.m1.4.5.3.2.5.3.1.cmml" xref="A2.Ex61.m1.4.5.3.2.5.3.1"></times><ci id="A2.Ex61.m1.4.5.3.2.5.3.2.cmml" xref="A2.Ex61.m1.4.5.3.2.5.3.2">𝑘</ci><ci id="A2.Ex61.m1.4.5.3.2.5.3.3.cmml" xref="A2.Ex61.m1.4.5.3.2.5.3.3">𝑛</ci></apply></apply><apply id="A2.Ex61.m1.4.5.3.2.6.cmml" xref="A2.Ex61.m1.4.5.3.2.6"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.Ex61.m1.4.5.3.2.6.1.cmml" xref="A2.Ex61.m1.4.5.3.2.6">superscript</csymbol><apply id="A2.Ex61.m1.4.5.3.2.6.2.cmml" xref="A2.Ex61.m1.4.5.3.2.6"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.Ex61.m1.4.5.3.2.6.2.1.cmml" xref="A2.Ex61.m1.4.5.3.2.6">subscript</csymbol><ci id="A2.Ex61.m1.4.5.3.2.6.2.2.cmml" xref="A2.Ex61.m1.4.5.3.2.6.2.2">𝑅</ci><ci id="A2.Ex61.m1.4.5.3.2.6.2.3.cmml" xref="A2.Ex61.m1.4.5.3.2.6.2.3">𝜇</ci></apply><apply id="A2.Ex61.m1.4.5.3.2.6.3.cmml" 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end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="A2.SS4.1.p1.4">The Schur Orthogonality relations tell us</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_gather ltx_eqn_table" id="S6.EGx132"> <tbody id="A2.E156"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\displaystyle\sum_{\rho}V_{\nu}^{ij}(\rho)V_{\mu}(\rho)^{kn}=\frac{t!}{\chi_{% \nu}(1)}\delta_{\mu\nu}\delta_{ik}\delta_{nj}" class="ltx_Math" display="block" id="A2.E156.m1.3"><semantics id="A2.E156.m1.3a"><mrow id="A2.E156.m1.3.4" xref="A2.E156.m1.3.4.cmml"><mrow id="A2.E156.m1.3.4.2" xref="A2.E156.m1.3.4.2.cmml"><munder id="A2.E156.m1.3.4.2.1" xref="A2.E156.m1.3.4.2.1.cmml"><mo id="A2.E156.m1.3.4.2.1.2" movablelimits="false" xref="A2.E156.m1.3.4.2.1.2.cmml">∑</mo><mi id="A2.E156.m1.3.4.2.1.3" xref="A2.E156.m1.3.4.2.1.3.cmml">ρ</mi></munder><mrow id="A2.E156.m1.3.4.2.2" xref="A2.E156.m1.3.4.2.2.cmml"><msubsup id="A2.E156.m1.3.4.2.2.2" xref="A2.E156.m1.3.4.2.2.2.cmml"><mi id="A2.E156.m1.3.4.2.2.2.2.2" xref="A2.E156.m1.3.4.2.2.2.2.2.cmml">V</mi><mi id="A2.E156.m1.3.4.2.2.2.2.3" xref="A2.E156.m1.3.4.2.2.2.2.3.cmml">ν</mi><mrow id="A2.E156.m1.3.4.2.2.2.3" xref="A2.E156.m1.3.4.2.2.2.3.cmml"><mi id="A2.E156.m1.3.4.2.2.2.3.2" xref="A2.E156.m1.3.4.2.2.2.3.2.cmml">i</mi><mo id="A2.E156.m1.3.4.2.2.2.3.1" xref="A2.E156.m1.3.4.2.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A2.E156.m1.3.4.2.2.2.3.3" xref="A2.E156.m1.3.4.2.2.2.3.3.cmml">j</mi></mrow></msubsup><mo id="A2.E156.m1.3.4.2.2.1" xref="A2.E156.m1.3.4.2.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A2.E156.m1.3.4.2.2.3.2" xref="A2.E156.m1.3.4.2.2.cmml"><mo id="A2.E156.m1.3.4.2.2.3.2.1" stretchy="false" xref="A2.E156.m1.3.4.2.2.cmml">(</mo><mi id="A2.E156.m1.2.2" xref="A2.E156.m1.2.2.cmml">ρ</mi><mo id="A2.E156.m1.3.4.2.2.3.2.2" stretchy="false" xref="A2.E156.m1.3.4.2.2.cmml">)</mo></mrow><mo id="A2.E156.m1.3.4.2.2.1a" xref="A2.E156.m1.3.4.2.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="A2.E156.m1.3.4.2.2.4" xref="A2.E156.m1.3.4.2.2.4.cmml"><mi id="A2.E156.m1.3.4.2.2.4.2" xref="A2.E156.m1.3.4.2.2.4.2.cmml">V</mi><mi id="A2.E156.m1.3.4.2.2.4.3" xref="A2.E156.m1.3.4.2.2.4.3.cmml">μ</mi></msub><mo id="A2.E156.m1.3.4.2.2.1b" xref="A2.E156.m1.3.4.2.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="A2.E156.m1.3.4.2.2.5" xref="A2.E156.m1.3.4.2.2.5.cmml"><mrow id="A2.E156.m1.3.4.2.2.5.2.2" xref="A2.E156.m1.3.4.2.2.5.cmml"><mo id="A2.E156.m1.3.4.2.2.5.2.2.1" stretchy="false" xref="A2.E156.m1.3.4.2.2.5.cmml">(</mo><mi id="A2.E156.m1.3.3" xref="A2.E156.m1.3.3.cmml">ρ</mi><mo id="A2.E156.m1.3.4.2.2.5.2.2.2" stretchy="false" xref="A2.E156.m1.3.4.2.2.5.cmml">)</mo></mrow><mrow id="A2.E156.m1.3.4.2.2.5.3" xref="A2.E156.m1.3.4.2.2.5.3.cmml"><mi id="A2.E156.m1.3.4.2.2.5.3.2" xref="A2.E156.m1.3.4.2.2.5.3.2.cmml">k</mi><mo id="A2.E156.m1.3.4.2.2.5.3.1" xref="A2.E156.m1.3.4.2.2.5.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A2.E156.m1.3.4.2.2.5.3.3" xref="A2.E156.m1.3.4.2.2.5.3.3.cmml">n</mi></mrow></msup></mrow></mrow><mo id="A2.E156.m1.3.4.1" xref="A2.E156.m1.3.4.1.cmml">=</mo><mrow id="A2.E156.m1.3.4.3" xref="A2.E156.m1.3.4.3.cmml"><mfrac id="A2.E156.m1.1.1" xref="A2.E156.m1.1.1.cmml"><mrow id="A2.E156.m1.1.1.3" xref="A2.E156.m1.1.1.3.cmml"><mi id="A2.E156.m1.1.1.3.2" xref="A2.E156.m1.1.1.3.2.cmml">t</mi><mo id="A2.E156.m1.1.1.3.1" xref="A2.E156.m1.1.1.3.1.cmml">!</mo></mrow><mrow id="A2.E156.m1.1.1.1" xref="A2.E156.m1.1.1.1.cmml"><msub id="A2.E156.m1.1.1.1.3" xref="A2.E156.m1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A2.E156.m1.1.1.1.3.2" xref="A2.E156.m1.1.1.1.3.2.cmml">χ</mi><mi id="A2.E156.m1.1.1.1.3.3" xref="A2.E156.m1.1.1.1.3.3.cmml">ν</mi></msub><mo id="A2.E156.m1.1.1.1.2" xref="A2.E156.m1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A2.E156.m1.1.1.1.4.2" xref="A2.E156.m1.1.1.1.cmml"><mo id="A2.E156.m1.1.1.1.4.2.1" stretchy="false" xref="A2.E156.m1.1.1.1.cmml">(</mo><mn id="A2.E156.m1.1.1.1.1" xref="A2.E156.m1.1.1.1.1.cmml">1</mn><mo id="A2.E156.m1.1.1.1.4.2.2" stretchy="false" xref="A2.E156.m1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mfrac><mo id="A2.E156.m1.3.4.3.1" xref="A2.E156.m1.3.4.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="A2.E156.m1.3.4.3.2" xref="A2.E156.m1.3.4.3.2.cmml"><mi id="A2.E156.m1.3.4.3.2.2" xref="A2.E156.m1.3.4.3.2.2.cmml">δ</mi><mrow id="A2.E156.m1.3.4.3.2.3" xref="A2.E156.m1.3.4.3.2.3.cmml"><mi id="A2.E156.m1.3.4.3.2.3.2" xref="A2.E156.m1.3.4.3.2.3.2.cmml">μ</mi><mo id="A2.E156.m1.3.4.3.2.3.1" xref="A2.E156.m1.3.4.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A2.E156.m1.3.4.3.2.3.3" xref="A2.E156.m1.3.4.3.2.3.3.cmml">ν</mi></mrow></msub><mo id="A2.E156.m1.3.4.3.1a" xref="A2.E156.m1.3.4.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="A2.E156.m1.3.4.3.3" xref="A2.E156.m1.3.4.3.3.cmml"><mi id="A2.E156.m1.3.4.3.3.2" xref="A2.E156.m1.3.4.3.3.2.cmml">δ</mi><mrow id="A2.E156.m1.3.4.3.3.3" xref="A2.E156.m1.3.4.3.3.3.cmml"><mi id="A2.E156.m1.3.4.3.3.3.2" xref="A2.E156.m1.3.4.3.3.3.2.cmml">i</mi><mo id="A2.E156.m1.3.4.3.3.3.1" xref="A2.E156.m1.3.4.3.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A2.E156.m1.3.4.3.3.3.3" xref="A2.E156.m1.3.4.3.3.3.3.cmml">k</mi></mrow></msub><mo id="A2.E156.m1.3.4.3.1b" xref="A2.E156.m1.3.4.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="A2.E156.m1.3.4.3.4" xref="A2.E156.m1.3.4.3.4.cmml"><mi id="A2.E156.m1.3.4.3.4.2" xref="A2.E156.m1.3.4.3.4.2.cmml">δ</mi><mrow id="A2.E156.m1.3.4.3.4.3" xref="A2.E156.m1.3.4.3.4.3.cmml"><mi id="A2.E156.m1.3.4.3.4.3.2" xref="A2.E156.m1.3.4.3.4.3.2.cmml">n</mi><mo id="A2.E156.m1.3.4.3.4.3.1" xref="A2.E156.m1.3.4.3.4.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A2.E156.m1.3.4.3.4.3.3" xref="A2.E156.m1.3.4.3.4.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.E156.m1.3b"><apply id="A2.E156.m1.3.4.cmml" xref="A2.E156.m1.3.4"><eq id="A2.E156.m1.3.4.1.cmml" xref="A2.E156.m1.3.4.1"></eq><apply id="A2.E156.m1.3.4.2.cmml" xref="A2.E156.m1.3.4.2"><apply id="A2.E156.m1.3.4.2.1.cmml" xref="A2.E156.m1.3.4.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E156.m1.3.4.2.1.1.cmml" xref="A2.E156.m1.3.4.2.1">subscript</csymbol><sum id="A2.E156.m1.3.4.2.1.2.cmml" xref="A2.E156.m1.3.4.2.1.2"></sum><ci id="A2.E156.m1.3.4.2.1.3.cmml" xref="A2.E156.m1.3.4.2.1.3">𝜌</ci></apply><apply id="A2.E156.m1.3.4.2.2.cmml" xref="A2.E156.m1.3.4.2.2"><times id="A2.E156.m1.3.4.2.2.1.cmml" xref="A2.E156.m1.3.4.2.2.1"></times><apply id="A2.E156.m1.3.4.2.2.2.cmml" xref="A2.E156.m1.3.4.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E156.m1.3.4.2.2.2.1.cmml" xref="A2.E156.m1.3.4.2.2.2">superscript</csymbol><apply id="A2.E156.m1.3.4.2.2.2.2.cmml" xref="A2.E156.m1.3.4.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E156.m1.3.4.2.2.2.2.1.cmml" xref="A2.E156.m1.3.4.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="A2.E156.m1.3.4.2.2.2.2.2.cmml" xref="A2.E156.m1.3.4.2.2.2.2.2">𝑉</ci><ci id="A2.E156.m1.3.4.2.2.2.2.3.cmml" xref="A2.E156.m1.3.4.2.2.2.2.3">𝜈</ci></apply><apply id="A2.E156.m1.3.4.2.2.2.3.cmml" xref="A2.E156.m1.3.4.2.2.2.3"><times id="A2.E156.m1.3.4.2.2.2.3.1.cmml" xref="A2.E156.m1.3.4.2.2.2.3.1"></times><ci id="A2.E156.m1.3.4.2.2.2.3.2.cmml" xref="A2.E156.m1.3.4.2.2.2.3.2">𝑖</ci><ci id="A2.E156.m1.3.4.2.2.2.3.3.cmml" xref="A2.E156.m1.3.4.2.2.2.3.3">𝑗</ci></apply></apply><ci id="A2.E156.m1.2.2.cmml" xref="A2.E156.m1.2.2">𝜌</ci><apply id="A2.E156.m1.3.4.2.2.4.cmml" xref="A2.E156.m1.3.4.2.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E156.m1.3.4.2.2.4.1.cmml" xref="A2.E156.m1.3.4.2.2.4">subscript</csymbol><ci id="A2.E156.m1.3.4.2.2.4.2.cmml" xref="A2.E156.m1.3.4.2.2.4.2">𝑉</ci><ci id="A2.E156.m1.3.4.2.2.4.3.cmml" xref="A2.E156.m1.3.4.2.2.4.3">𝜇</ci></apply><apply id="A2.E156.m1.3.4.2.2.5.cmml" xref="A2.E156.m1.3.4.2.2.5"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E156.m1.3.4.2.2.5.1.cmml" xref="A2.E156.m1.3.4.2.2.5">superscript</csymbol><ci id="A2.E156.m1.3.3.cmml" xref="A2.E156.m1.3.3">𝜌</ci><apply id="A2.E156.m1.3.4.2.2.5.3.cmml" xref="A2.E156.m1.3.4.2.2.5.3"><times id="A2.E156.m1.3.4.2.2.5.3.1.cmml" xref="A2.E156.m1.3.4.2.2.5.3.1"></times><ci id="A2.E156.m1.3.4.2.2.5.3.2.cmml" xref="A2.E156.m1.3.4.2.2.5.3.2">𝑘</ci><ci id="A2.E156.m1.3.4.2.2.5.3.3.cmml" xref="A2.E156.m1.3.4.2.2.5.3.3">𝑛</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="A2.E156.m1.3.4.3.cmml" xref="A2.E156.m1.3.4.3"><times id="A2.E156.m1.3.4.3.1.cmml" xref="A2.E156.m1.3.4.3.1"></times><apply id="A2.E156.m1.1.1.cmml" xref="A2.E156.m1.1.1"><divide id="A2.E156.m1.1.1.2.cmml" xref="A2.E156.m1.1.1"></divide><apply id="A2.E156.m1.1.1.3.cmml" xref="A2.E156.m1.1.1.3"><factorial id="A2.E156.m1.1.1.3.1.cmml" xref="A2.E156.m1.1.1.3.1"></factorial><ci id="A2.E156.m1.1.1.3.2.cmml" xref="A2.E156.m1.1.1.3.2">𝑡</ci></apply><apply id="A2.E156.m1.1.1.1.cmml" xref="A2.E156.m1.1.1.1"><times id="A2.E156.m1.1.1.1.2.cmml" xref="A2.E156.m1.1.1.1.2"></times><apply id="A2.E156.m1.1.1.1.3.cmml" xref="A2.E156.m1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E156.m1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A2.E156.m1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A2.E156.m1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A2.E156.m1.1.1.1.3.2">𝜒</ci><ci id="A2.E156.m1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A2.E156.m1.1.1.1.3.3">𝜈</ci></apply><cn id="A2.E156.m1.1.1.1.1.cmml" type="integer" xref="A2.E156.m1.1.1.1.1">1</cn></apply></apply><apply id="A2.E156.m1.3.4.3.2.cmml" xref="A2.E156.m1.3.4.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E156.m1.3.4.3.2.1.cmml" xref="A2.E156.m1.3.4.3.2">subscript</csymbol><ci id="A2.E156.m1.3.4.3.2.2.cmml" xref="A2.E156.m1.3.4.3.2.2">𝛿</ci><apply id="A2.E156.m1.3.4.3.2.3.cmml" xref="A2.E156.m1.3.4.3.2.3"><times id="A2.E156.m1.3.4.3.2.3.1.cmml" xref="A2.E156.m1.3.4.3.2.3.1"></times><ci id="A2.E156.m1.3.4.3.2.3.2.cmml" xref="A2.E156.m1.3.4.3.2.3.2">𝜇</ci><ci id="A2.E156.m1.3.4.3.2.3.3.cmml" xref="A2.E156.m1.3.4.3.2.3.3">𝜈</ci></apply></apply><apply id="A2.E156.m1.3.4.3.3.cmml" xref="A2.E156.m1.3.4.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E156.m1.3.4.3.3.1.cmml" xref="A2.E156.m1.3.4.3.3">subscript</csymbol><ci id="A2.E156.m1.3.4.3.3.2.cmml" xref="A2.E156.m1.3.4.3.3.2">𝛿</ci><apply id="A2.E156.m1.3.4.3.3.3.cmml" xref="A2.E156.m1.3.4.3.3.3"><times id="A2.E156.m1.3.4.3.3.3.1.cmml" xref="A2.E156.m1.3.4.3.3.3.1"></times><ci id="A2.E156.m1.3.4.3.3.3.2.cmml" xref="A2.E156.m1.3.4.3.3.3.2">𝑖</ci><ci id="A2.E156.m1.3.4.3.3.3.3.cmml" xref="A2.E156.m1.3.4.3.3.3.3">𝑘</ci></apply></apply><apply id="A2.E156.m1.3.4.3.4.cmml" xref="A2.E156.m1.3.4.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E156.m1.3.4.3.4.1.cmml" xref="A2.E156.m1.3.4.3.4">subscript</csymbol><ci id="A2.E156.m1.3.4.3.4.2.cmml" xref="A2.E156.m1.3.4.3.4.2">𝛿</ci><apply id="A2.E156.m1.3.4.3.4.3.cmml" xref="A2.E156.m1.3.4.3.4.3"><times id="A2.E156.m1.3.4.3.4.3.1.cmml" xref="A2.E156.m1.3.4.3.4.3.1"></times><ci id="A2.E156.m1.3.4.3.4.3.2.cmml" xref="A2.E156.m1.3.4.3.4.3.2">𝑛</ci><ci id="A2.E156.m1.3.4.3.4.3.3.cmml" xref="A2.E156.m1.3.4.3.4.3.3">𝑗</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.E156.m1.3c">\displaystyle\sum_{\rho}V_{\nu}^{ij}(\rho)V_{\mu}(\rho)^{kn}=\frac{t!}{\chi_{% \nu}(1)}\delta_{\mu\nu}\delta_{ik}\delta_{nj}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.E156.m1.3d">∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_ρ end_POSTSUBSCRIPT italic_V start_POSTSUBSCRIPT italic_ν end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_i italic_j end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_ρ ) italic_V start_POSTSUBSCRIPT italic_μ end_POSTSUBSCRIPT ( italic_ρ ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_k italic_n end_POSTSUPERSCRIPT = divide start_ARG italic_t ! end_ARG start_ARG italic_χ start_POSTSUBSCRIPT italic_ν end_POSTSUBSCRIPT ( 1 ) end_ARG italic_δ start_POSTSUBSCRIPT italic_μ italic_ν end_POSTSUBSCRIPT italic_δ start_POSTSUBSCRIPT italic_i italic_k end_POSTSUBSCRIPT italic_δ start_POSTSUBSCRIPT italic_n italic_j end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(156)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="A2.SS4.1.p1.5">Substituting this formula in allows us to do both sums and complete the proof of the third formula.</p> </div> <div class="ltx_para" id="A2.SS4.2.p2"> <p class="ltx_p" id="A2.SS4.2.p2.1">For the fourth formula,</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="S6.EGx133"> <tbody id="A2.Ex62"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle P_{\mu}R_{\nu}^{ij}" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.Ex62.m1.1"><semantics id="A2.Ex62.m1.1a"><mrow id="A2.Ex62.m1.1.1" xref="A2.Ex62.m1.1.1.cmml"><msub id="A2.Ex62.m1.1.1.2" xref="A2.Ex62.m1.1.1.2.cmml"><mi id="A2.Ex62.m1.1.1.2.2" xref="A2.Ex62.m1.1.1.2.2.cmml">P</mi><mi id="A2.Ex62.m1.1.1.2.3" xref="A2.Ex62.m1.1.1.2.3.cmml">μ</mi></msub><mo id="A2.Ex62.m1.1.1.1" xref="A2.Ex62.m1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="A2.Ex62.m1.1.1.3" xref="A2.Ex62.m1.1.1.3.cmml"><mi id="A2.Ex62.m1.1.1.3.2.2" xref="A2.Ex62.m1.1.1.3.2.2.cmml">R</mi><mi id="A2.Ex62.m1.1.1.3.2.3" xref="A2.Ex62.m1.1.1.3.2.3.cmml">ν</mi><mrow id="A2.Ex62.m1.1.1.3.3" xref="A2.Ex62.m1.1.1.3.3.cmml"><mi id="A2.Ex62.m1.1.1.3.3.2" xref="A2.Ex62.m1.1.1.3.3.2.cmml">i</mi><mo id="A2.Ex62.m1.1.1.3.3.1" xref="A2.Ex62.m1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A2.Ex62.m1.1.1.3.3.3" xref="A2.Ex62.m1.1.1.3.3.3.cmml">j</mi></mrow></msubsup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.Ex62.m1.1b"><apply id="A2.Ex62.m1.1.1.cmml" xref="A2.Ex62.m1.1.1"><times id="A2.Ex62.m1.1.1.1.cmml" xref="A2.Ex62.m1.1.1.1"></times><apply id="A2.Ex62.m1.1.1.2.cmml" xref="A2.Ex62.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.Ex62.m1.1.1.2.1.cmml" xref="A2.Ex62.m1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="A2.Ex62.m1.1.1.2.2.cmml" xref="A2.Ex62.m1.1.1.2.2">𝑃</ci><ci id="A2.Ex62.m1.1.1.2.3.cmml" xref="A2.Ex62.m1.1.1.2.3">𝜇</ci></apply><apply id="A2.Ex62.m1.1.1.3.cmml" xref="A2.Ex62.m1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.Ex62.m1.1.1.3.1.cmml" xref="A2.Ex62.m1.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="A2.Ex62.m1.1.1.3.2.cmml" xref="A2.Ex62.m1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.Ex62.m1.1.1.3.2.1.cmml" xref="A2.Ex62.m1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A2.Ex62.m1.1.1.3.2.2.cmml" xref="A2.Ex62.m1.1.1.3.2.2">𝑅</ci><ci id="A2.Ex62.m1.1.1.3.2.3.cmml" xref="A2.Ex62.m1.1.1.3.2.3">𝜈</ci></apply><apply id="A2.Ex62.m1.1.1.3.3.cmml" xref="A2.Ex62.m1.1.1.3.3"><times id="A2.Ex62.m1.1.1.3.3.1.cmml" xref="A2.Ex62.m1.1.1.3.3.1"></times><ci id="A2.Ex62.m1.1.1.3.3.2.cmml" xref="A2.Ex62.m1.1.1.3.3.2">𝑖</ci><ci id="A2.Ex62.m1.1.1.3.3.3.cmml" xref="A2.Ex62.m1.1.1.3.3.3">𝑗</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.Ex62.m1.1c">\displaystyle P_{\mu}R_{\nu}^{ij}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.Ex62.m1.1d">italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_μ end_POSTSUBSCRIPT italic_R start_POSTSUBSCRIPT italic_ν end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_i italic_j end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=\frac{\chi_{\mu}(1)}{t!}\left(\sum_{\tau\in S_{t}}\chi_{\mu}(% \tau^{-1})\tau_{R}\right)\left(\sum_{\rho\in S_{t}}V_{\nu}(\rho^{-1})^{ij}\rho% _{R}\right)" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.Ex62.m2.3"><semantics id="A2.Ex62.m2.3a"><mrow id="A2.Ex62.m2.3.3" xref="A2.Ex62.m2.3.3.cmml"><mi id="A2.Ex62.m2.3.3.4" xref="A2.Ex62.m2.3.3.4.cmml"></mi><mo id="A2.Ex62.m2.3.3.3" xref="A2.Ex62.m2.3.3.3.cmml">=</mo><mrow id="A2.Ex62.m2.3.3.2" xref="A2.Ex62.m2.3.3.2.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A2.Ex62.m2.1.1" xref="A2.Ex62.m2.1.1.cmml"><mfrac id="A2.Ex62.m2.1.1a" xref="A2.Ex62.m2.1.1.cmml"><mrow id="A2.Ex62.m2.1.1.1" xref="A2.Ex62.m2.1.1.1.cmml"><msub id="A2.Ex62.m2.1.1.1.3" xref="A2.Ex62.m2.1.1.1.3.cmml"><mi id="A2.Ex62.m2.1.1.1.3.2" xref="A2.Ex62.m2.1.1.1.3.2.cmml">χ</mi><mi id="A2.Ex62.m2.1.1.1.3.3" xref="A2.Ex62.m2.1.1.1.3.3.cmml">μ</mi></msub><mo id="A2.Ex62.m2.1.1.1.2" xref="A2.Ex62.m2.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A2.Ex62.m2.1.1.1.4.2" xref="A2.Ex62.m2.1.1.1.cmml"><mo id="A2.Ex62.m2.1.1.1.4.2.1" stretchy="false" xref="A2.Ex62.m2.1.1.1.cmml">(</mo><mn id="A2.Ex62.m2.1.1.1.1" xref="A2.Ex62.m2.1.1.1.1.cmml">1</mn><mo id="A2.Ex62.m2.1.1.1.4.2.2" stretchy="false" xref="A2.Ex62.m2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mrow id="A2.Ex62.m2.1.1.3" xref="A2.Ex62.m2.1.1.3.cmml"><mi id="A2.Ex62.m2.1.1.3.2" xref="A2.Ex62.m2.1.1.3.2.cmml">t</mi><mo id="A2.Ex62.m2.1.1.3.1" xref="A2.Ex62.m2.1.1.3.1.cmml">!</mo></mrow></mfrac></mstyle><mo id="A2.Ex62.m2.3.3.2.3" xref="A2.Ex62.m2.3.3.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="A2.Ex62.m2.2.2.1.1.1" xref="A2.Ex62.m2.2.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="A2.Ex62.m2.2.2.1.1.1.2" xref="A2.Ex62.m2.2.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A2.Ex62.m2.2.2.1.1.1.1" xref="A2.Ex62.m2.2.2.1.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A2.Ex62.m2.2.2.1.1.1.1.2" xref="A2.Ex62.m2.2.2.1.1.1.1.2.cmml"><munder id="A2.Ex62.m2.2.2.1.1.1.1.2a" xref="A2.Ex62.m2.2.2.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="A2.Ex62.m2.2.2.1.1.1.1.2.2" movablelimits="false" xref="A2.Ex62.m2.2.2.1.1.1.1.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="A2.Ex62.m2.2.2.1.1.1.1.2.3" xref="A2.Ex62.m2.2.2.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="A2.Ex62.m2.2.2.1.1.1.1.2.3.2" xref="A2.Ex62.m2.2.2.1.1.1.1.2.3.2.cmml">τ</mi><mo id="A2.Ex62.m2.2.2.1.1.1.1.2.3.1" xref="A2.Ex62.m2.2.2.1.1.1.1.2.3.1.cmml">∈</mo><msub id="A2.Ex62.m2.2.2.1.1.1.1.2.3.3" xref="A2.Ex62.m2.2.2.1.1.1.1.2.3.3.cmml"><mi id="A2.Ex62.m2.2.2.1.1.1.1.2.3.3.2" xref="A2.Ex62.m2.2.2.1.1.1.1.2.3.3.2.cmml">S</mi><mi id="A2.Ex62.m2.2.2.1.1.1.1.2.3.3.3" xref="A2.Ex62.m2.2.2.1.1.1.1.2.3.3.3.cmml">t</mi></msub></mrow></munder></mstyle><mrow id="A2.Ex62.m2.2.2.1.1.1.1.1" xref="A2.Ex62.m2.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="A2.Ex62.m2.2.2.1.1.1.1.1.3" xref="A2.Ex62.m2.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A2.Ex62.m2.2.2.1.1.1.1.1.3.2" xref="A2.Ex62.m2.2.2.1.1.1.1.1.3.2.cmml">χ</mi><mi id="A2.Ex62.m2.2.2.1.1.1.1.1.3.3" xref="A2.Ex62.m2.2.2.1.1.1.1.1.3.3.cmml">μ</mi></msub><mo id="A2.Ex62.m2.2.2.1.1.1.1.1.2" xref="A2.Ex62.m2.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A2.Ex62.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="A2.Ex62.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A2.Ex62.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A2.Ex62.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="A2.Ex62.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A2.Ex62.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A2.Ex62.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A2.Ex62.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">τ</mi><mrow id="A2.Ex62.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A2.Ex62.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="A2.Ex62.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3a" xref="A2.Ex62.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">−</mo><mn id="A2.Ex62.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A2.Ex62.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="A2.Ex62.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A2.Ex62.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A2.Ex62.m2.2.2.1.1.1.1.1.2a" xref="A2.Ex62.m2.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="A2.Ex62.m2.2.2.1.1.1.1.1.4" xref="A2.Ex62.m2.2.2.1.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="A2.Ex62.m2.2.2.1.1.1.1.1.4.2" xref="A2.Ex62.m2.2.2.1.1.1.1.1.4.2.cmml">τ</mi><mi id="A2.Ex62.m2.2.2.1.1.1.1.1.4.3" xref="A2.Ex62.m2.2.2.1.1.1.1.1.4.3.cmml">R</mi></msub></mrow></mrow><mo id="A2.Ex62.m2.2.2.1.1.1.3" xref="A2.Ex62.m2.2.2.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A2.Ex62.m2.3.3.2.3a" xref="A2.Ex62.m2.3.3.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="A2.Ex62.m2.3.3.2.2.1" xref="A2.Ex62.m2.3.3.2.2.1.1.cmml"><mo id="A2.Ex62.m2.3.3.2.2.1.2" xref="A2.Ex62.m2.3.3.2.2.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A2.Ex62.m2.3.3.2.2.1.1" xref="A2.Ex62.m2.3.3.2.2.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A2.Ex62.m2.3.3.2.2.1.1.2" xref="A2.Ex62.m2.3.3.2.2.1.1.2.cmml"><munder id="A2.Ex62.m2.3.3.2.2.1.1.2a" xref="A2.Ex62.m2.3.3.2.2.1.1.2.cmml"><mo id="A2.Ex62.m2.3.3.2.2.1.1.2.2" movablelimits="false" 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id="A2.Ex62.m2.3.3.2.2.1.1.1.1" xref="A2.Ex62.m2.3.3.2.2.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A2.Ex62.m2.3.3.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="A2.Ex62.m2.3.3.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A2.Ex62.m2.3.3.2.2.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A2.Ex62.m2.3.3.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="A2.Ex62.m2.3.3.2.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="A2.Ex62.m2.3.3.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A2.Ex62.m2.3.3.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A2.Ex62.m2.3.3.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">ρ</mi><mrow id="A2.Ex62.m2.3.3.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A2.Ex62.m2.3.3.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="A2.Ex62.m2.3.3.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3a" xref="A2.Ex62.m2.3.3.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">−</mo><mn id="A2.Ex62.m2.3.3.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A2.Ex62.m2.3.3.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="A2.Ex62.m2.3.3.2.2.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A2.Ex62.m2.3.3.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="A2.Ex62.m2.3.3.2.2.1.1.1.1.3" xref="A2.Ex62.m2.3.3.2.2.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A2.Ex62.m2.3.3.2.2.1.1.1.1.3.2" xref="A2.Ex62.m2.3.3.2.2.1.1.1.1.3.2.cmml">i</mi><mo id="A2.Ex62.m2.3.3.2.2.1.1.1.1.3.1" xref="A2.Ex62.m2.3.3.2.2.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A2.Ex62.m2.3.3.2.2.1.1.1.1.3.3" xref="A2.Ex62.m2.3.3.2.2.1.1.1.1.3.3.cmml">j</mi></mrow></msup><mo id="A2.Ex62.m2.3.3.2.2.1.1.1.2a" xref="A2.Ex62.m2.3.3.2.2.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="A2.Ex62.m2.3.3.2.2.1.1.1.4" xref="A2.Ex62.m2.3.3.2.2.1.1.1.4.cmml"><mi id="A2.Ex62.m2.3.3.2.2.1.1.1.4.2" xref="A2.Ex62.m2.3.3.2.2.1.1.1.4.2.cmml">ρ</mi><mi id="A2.Ex62.m2.3.3.2.2.1.1.1.4.3" xref="A2.Ex62.m2.3.3.2.2.1.1.1.4.3.cmml">R</mi></msub></mrow></mrow><mo id="A2.Ex62.m2.3.3.2.2.1.3" xref="A2.Ex62.m2.3.3.2.2.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.Ex62.m2.3b"><apply id="A2.Ex62.m2.3.3.cmml" xref="A2.Ex62.m2.3.3"><eq id="A2.Ex62.m2.3.3.3.cmml" xref="A2.Ex62.m2.3.3.3"></eq><csymbol cd="latexml" id="A2.Ex62.m2.3.3.4.cmml" xref="A2.Ex62.m2.3.3.4">absent</csymbol><apply id="A2.Ex62.m2.3.3.2.cmml" 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xref="A2.Ex62.m2.3.3.2.2.1.1.2.3.1"></in><ci id="A2.Ex62.m2.3.3.2.2.1.1.2.3.2.cmml" xref="A2.Ex62.m2.3.3.2.2.1.1.2.3.2">𝜌</ci><apply id="A2.Ex62.m2.3.3.2.2.1.1.2.3.3.cmml" xref="A2.Ex62.m2.3.3.2.2.1.1.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.Ex62.m2.3.3.2.2.1.1.2.3.3.1.cmml" xref="A2.Ex62.m2.3.3.2.2.1.1.2.3.3">subscript</csymbol><ci id="A2.Ex62.m2.3.3.2.2.1.1.2.3.3.2.cmml" xref="A2.Ex62.m2.3.3.2.2.1.1.2.3.3.2">𝑆</ci><ci id="A2.Ex62.m2.3.3.2.2.1.1.2.3.3.3.cmml" xref="A2.Ex62.m2.3.3.2.2.1.1.2.3.3.3">𝑡</ci></apply></apply></apply><apply id="A2.Ex62.m2.3.3.2.2.1.1.1.cmml" xref="A2.Ex62.m2.3.3.2.2.1.1.1"><times id="A2.Ex62.m2.3.3.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="A2.Ex62.m2.3.3.2.2.1.1.1.2"></times><apply id="A2.Ex62.m2.3.3.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="A2.Ex62.m2.3.3.2.2.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.Ex62.m2.3.3.2.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="A2.Ex62.m2.3.3.2.2.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A2.Ex62.m2.3.3.2.2.1.1.1.3.2.cmml" xref="A2.Ex62.m2.3.3.2.2.1.1.1.3.2">𝑉</ci><ci 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encoding="application/x-llamapun" id="A2.Ex62.m2.3d">= divide start_ARG italic_χ start_POSTSUBSCRIPT italic_μ end_POSTSUBSCRIPT ( 1 ) end_ARG start_ARG italic_t ! end_ARG ( ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_τ ∈ italic_S start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT italic_χ start_POSTSUBSCRIPT italic_μ end_POSTSUBSCRIPT ( italic_τ start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT ) italic_τ start_POSTSUBSCRIPT italic_R end_POSTSUBSCRIPT ) ( ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_ρ ∈ italic_S start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT italic_V start_POSTSUBSCRIPT italic_ν end_POSTSUBSCRIPT ( italic_ρ start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_i italic_j end_POSTSUPERSCRIPT italic_ρ start_POSTSUBSCRIPT italic_R end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="A2.Ex63"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=\frac{\chi_{\mu}(1)}{t!}\sum_{\tau,\rho}\chi_{\mu}(\tau^{-1})V_{% \nu}(\rho^{-1})^{ij}(\rho\tau)_{R}" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.Ex63.m1.6"><semantics id="A2.Ex63.m1.6a"><mrow id="A2.Ex63.m1.6.6" xref="A2.Ex63.m1.6.6.cmml"><mi id="A2.Ex63.m1.6.6.5" xref="A2.Ex63.m1.6.6.5.cmml"></mi><mo id="A2.Ex63.m1.6.6.4" xref="A2.Ex63.m1.6.6.4.cmml">=</mo><mrow id="A2.Ex63.m1.6.6.3" xref="A2.Ex63.m1.6.6.3.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A2.Ex63.m1.1.1" xref="A2.Ex63.m1.1.1.cmml"><mfrac id="A2.Ex63.m1.1.1a" xref="A2.Ex63.m1.1.1.cmml"><mrow id="A2.Ex63.m1.1.1.1" xref="A2.Ex63.m1.1.1.1.cmml"><msub id="A2.Ex63.m1.1.1.1.3" xref="A2.Ex63.m1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A2.Ex63.m1.1.1.1.3.2" xref="A2.Ex63.m1.1.1.1.3.2.cmml">χ</mi><mi id="A2.Ex63.m1.1.1.1.3.3" xref="A2.Ex63.m1.1.1.1.3.3.cmml">μ</mi></msub><mo id="A2.Ex63.m1.1.1.1.2" 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id="A2.Ex63.m1.2.2.1.1" xref="A2.Ex63.m1.2.2.1.1.cmml">τ</mi><mo id="A2.Ex63.m1.3.3.2.4.1" xref="A2.Ex63.m1.3.3.2.3.cmml">,</mo><mi id="A2.Ex63.m1.3.3.2.2" xref="A2.Ex63.m1.3.3.2.2.cmml">ρ</mi></mrow></munder></mstyle><mrow id="A2.Ex63.m1.6.6.3.3.3" xref="A2.Ex63.m1.6.6.3.3.3.cmml"><msub id="A2.Ex63.m1.6.6.3.3.3.5" xref="A2.Ex63.m1.6.6.3.3.3.5.cmml"><mi id="A2.Ex63.m1.6.6.3.3.3.5.2" xref="A2.Ex63.m1.6.6.3.3.3.5.2.cmml">χ</mi><mi id="A2.Ex63.m1.6.6.3.3.3.5.3" xref="A2.Ex63.m1.6.6.3.3.3.5.3.cmml">μ</mi></msub><mo id="A2.Ex63.m1.6.6.3.3.3.4" xref="A2.Ex63.m1.6.6.3.3.3.4.cmml">⁢</mo><mrow id="A2.Ex63.m1.4.4.1.1.1.1.1" xref="A2.Ex63.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A2.Ex63.m1.4.4.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A2.Ex63.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="A2.Ex63.m1.4.4.1.1.1.1.1.1" xref="A2.Ex63.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A2.Ex63.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2" xref="A2.Ex63.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.cmml">τ</mi><mrow id="A2.Ex63.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3" xref="A2.Ex63.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="A2.Ex63.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3a" xref="A2.Ex63.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.cmml">−</mo><mn id="A2.Ex63.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A2.Ex63.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="A2.Ex63.m1.4.4.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A2.Ex63.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A2.Ex63.m1.6.6.3.3.3.4a" xref="A2.Ex63.m1.6.6.3.3.3.4.cmml">⁢</mo><msub id="A2.Ex63.m1.6.6.3.3.3.6" xref="A2.Ex63.m1.6.6.3.3.3.6.cmml"><mi id="A2.Ex63.m1.6.6.3.3.3.6.2" xref="A2.Ex63.m1.6.6.3.3.3.6.2.cmml">V</mi><mi id="A2.Ex63.m1.6.6.3.3.3.6.3" xref="A2.Ex63.m1.6.6.3.3.3.6.3.cmml">ν</mi></msub><mo id="A2.Ex63.m1.6.6.3.3.3.4b" xref="A2.Ex63.m1.6.6.3.3.3.4.cmml">⁢</mo><msup id="A2.Ex63.m1.5.5.2.2.2.2" xref="A2.Ex63.m1.5.5.2.2.2.2.cmml"><mrow id="A2.Ex63.m1.5.5.2.2.2.2.1.1" xref="A2.Ex63.m1.5.5.2.2.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="A2.Ex63.m1.5.5.2.2.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="A2.Ex63.m1.5.5.2.2.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><msup 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xref="A2.Ex63.m1.6.6.3.3.3.3.cmml"><mrow id="A2.Ex63.m1.6.6.3.3.3.3.1.1" xref="A2.Ex63.m1.6.6.3.3.3.3.1.1.1.cmml"><mo id="A2.Ex63.m1.6.6.3.3.3.3.1.1.2" stretchy="false" xref="A2.Ex63.m1.6.6.3.3.3.3.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A2.Ex63.m1.6.6.3.3.3.3.1.1.1" xref="A2.Ex63.m1.6.6.3.3.3.3.1.1.1.cmml"><mi id="A2.Ex63.m1.6.6.3.3.3.3.1.1.1.2" xref="A2.Ex63.m1.6.6.3.3.3.3.1.1.1.2.cmml">ρ</mi><mo id="A2.Ex63.m1.6.6.3.3.3.3.1.1.1.1" xref="A2.Ex63.m1.6.6.3.3.3.3.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="A2.Ex63.m1.6.6.3.3.3.3.1.1.1.3" xref="A2.Ex63.m1.6.6.3.3.3.3.1.1.1.3.cmml">τ</mi></mrow><mo id="A2.Ex63.m1.6.6.3.3.3.3.1.1.3" stretchy="false" xref="A2.Ex63.m1.6.6.3.3.3.3.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mi id="A2.Ex63.m1.6.6.3.3.3.3.3" xref="A2.Ex63.m1.6.6.3.3.3.3.3.cmml">R</mi></msub></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.Ex63.m1.6b"><apply id="A2.Ex63.m1.6.6.cmml" xref="A2.Ex63.m1.6.6"><eq id="A2.Ex63.m1.6.6.4.cmml" xref="A2.Ex63.m1.6.6.4"></eq><csymbol cd="latexml" 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\nu}(\rho^{-1})^{ij}(\rho\tau)_{R}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.Ex63.m1.6d">= divide start_ARG italic_χ start_POSTSUBSCRIPT italic_μ end_POSTSUBSCRIPT ( 1 ) end_ARG start_ARG italic_t ! end_ARG ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_τ , italic_ρ end_POSTSUBSCRIPT italic_χ start_POSTSUBSCRIPT italic_μ end_POSTSUBSCRIPT ( italic_τ start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT ) italic_V start_POSTSUBSCRIPT italic_ν end_POSTSUBSCRIPT ( italic_ρ start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_i italic_j end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_ρ italic_τ ) start_POSTSUBSCRIPT italic_R end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="A2.Ex64"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=\frac{\chi_{\mu}(1)}{t!}\sum_{\tau,\pi}\chi_{\mu}(\tau^{-1})V_{% \nu}(\tau\pi^{-1})^{ij}\pi_{R}" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.Ex64.m1.5"><semantics id="A2.Ex64.m1.5a"><mrow id="A2.Ex64.m1.5.5" xref="A2.Ex64.m1.5.5.cmml"><mi id="A2.Ex64.m1.5.5.4" xref="A2.Ex64.m1.5.5.4.cmml"></mi><mo id="A2.Ex64.m1.5.5.3" xref="A2.Ex64.m1.5.5.3.cmml">=</mo><mrow id="A2.Ex64.m1.5.5.2" xref="A2.Ex64.m1.5.5.2.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A2.Ex64.m1.1.1" xref="A2.Ex64.m1.1.1.cmml"><mfrac id="A2.Ex64.m1.1.1a" xref="A2.Ex64.m1.1.1.cmml"><mrow id="A2.Ex64.m1.1.1.1" xref="A2.Ex64.m1.1.1.1.cmml"><msub id="A2.Ex64.m1.1.1.1.3" xref="A2.Ex64.m1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A2.Ex64.m1.1.1.1.3.2" xref="A2.Ex64.m1.1.1.1.3.2.cmml">χ</mi><mi id="A2.Ex64.m1.1.1.1.3.3" xref="A2.Ex64.m1.1.1.1.3.3.cmml">μ</mi></msub><mo id="A2.Ex64.m1.1.1.1.2" xref="A2.Ex64.m1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A2.Ex64.m1.1.1.1.4.2" xref="A2.Ex64.m1.1.1.1.cmml"><mo id="A2.Ex64.m1.1.1.1.4.2.1" stretchy="false" xref="A2.Ex64.m1.1.1.1.cmml">(</mo><mn id="A2.Ex64.m1.1.1.1.1" xref="A2.Ex64.m1.1.1.1.1.cmml">1</mn><mo id="A2.Ex64.m1.1.1.1.4.2.2" stretchy="false" xref="A2.Ex64.m1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mrow id="A2.Ex64.m1.1.1.3" xref="A2.Ex64.m1.1.1.3.cmml"><mi id="A2.Ex64.m1.1.1.3.2" xref="A2.Ex64.m1.1.1.3.2.cmml">t</mi><mo id="A2.Ex64.m1.1.1.3.1" xref="A2.Ex64.m1.1.1.3.1.cmml">!</mo></mrow></mfrac></mstyle><mo id="A2.Ex64.m1.5.5.2.3" xref="A2.Ex64.m1.5.5.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="A2.Ex64.m1.5.5.2.2" xref="A2.Ex64.m1.5.5.2.2.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A2.Ex64.m1.5.5.2.2.3" xref="A2.Ex64.m1.5.5.2.2.3.cmml"><munder id="A2.Ex64.m1.5.5.2.2.3a" xref="A2.Ex64.m1.5.5.2.2.3.cmml"><mo id="A2.Ex64.m1.5.5.2.2.3.2" movablelimits="false" xref="A2.Ex64.m1.5.5.2.2.3.2.cmml">∑</mo><mrow id="A2.Ex64.m1.3.3.2.4" xref="A2.Ex64.m1.3.3.2.3.cmml"><mi id="A2.Ex64.m1.2.2.1.1" xref="A2.Ex64.m1.2.2.1.1.cmml">τ</mi><mo id="A2.Ex64.m1.3.3.2.4.1" xref="A2.Ex64.m1.3.3.2.3.cmml">,</mo><mi id="A2.Ex64.m1.3.3.2.2" xref="A2.Ex64.m1.3.3.2.2.cmml">π</mi></mrow></munder></mstyle><mrow id="A2.Ex64.m1.5.5.2.2.2" xref="A2.Ex64.m1.5.5.2.2.2.cmml"><msub id="A2.Ex64.m1.5.5.2.2.2.4" xref="A2.Ex64.m1.5.5.2.2.2.4.cmml"><mi id="A2.Ex64.m1.5.5.2.2.2.4.2" xref="A2.Ex64.m1.5.5.2.2.2.4.2.cmml">χ</mi><mi id="A2.Ex64.m1.5.5.2.2.2.4.3" xref="A2.Ex64.m1.5.5.2.2.2.4.3.cmml">μ</mi></msub><mo id="A2.Ex64.m1.5.5.2.2.2.3" xref="A2.Ex64.m1.5.5.2.2.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="A2.Ex64.m1.4.4.1.1.1.1.1" xref="A2.Ex64.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A2.Ex64.m1.4.4.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A2.Ex64.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="A2.Ex64.m1.4.4.1.1.1.1.1.1" xref="A2.Ex64.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A2.Ex64.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2" xref="A2.Ex64.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.cmml">τ</mi><mrow id="A2.Ex64.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3" xref="A2.Ex64.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="A2.Ex64.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3a" xref="A2.Ex64.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.cmml">−</mo><mn id="A2.Ex64.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A2.Ex64.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="A2.Ex64.m1.4.4.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A2.Ex64.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A2.Ex64.m1.5.5.2.2.2.3a" xref="A2.Ex64.m1.5.5.2.2.2.3.cmml">⁢</mo><msub id="A2.Ex64.m1.5.5.2.2.2.5" xref="A2.Ex64.m1.5.5.2.2.2.5.cmml"><mi id="A2.Ex64.m1.5.5.2.2.2.5.2" xref="A2.Ex64.m1.5.5.2.2.2.5.2.cmml">V</mi><mi id="A2.Ex64.m1.5.5.2.2.2.5.3" xref="A2.Ex64.m1.5.5.2.2.2.5.3.cmml">ν</mi></msub><mo id="A2.Ex64.m1.5.5.2.2.2.3b" xref="A2.Ex64.m1.5.5.2.2.2.3.cmml">⁢</mo><msup id="A2.Ex64.m1.5.5.2.2.2.2" xref="A2.Ex64.m1.5.5.2.2.2.2.cmml"><mrow id="A2.Ex64.m1.5.5.2.2.2.2.1.1" xref="A2.Ex64.m1.5.5.2.2.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="A2.Ex64.m1.5.5.2.2.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="A2.Ex64.m1.5.5.2.2.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A2.Ex64.m1.5.5.2.2.2.2.1.1.1" xref="A2.Ex64.m1.5.5.2.2.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="A2.Ex64.m1.5.5.2.2.2.2.1.1.1.2" xref="A2.Ex64.m1.5.5.2.2.2.2.1.1.1.2.cmml">τ</mi><mo id="A2.Ex64.m1.5.5.2.2.2.2.1.1.1.1" xref="A2.Ex64.m1.5.5.2.2.2.2.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msup id="A2.Ex64.m1.5.5.2.2.2.2.1.1.1.3" xref="A2.Ex64.m1.5.5.2.2.2.2.1.1.1.3.cmml"><mi id="A2.Ex64.m1.5.5.2.2.2.2.1.1.1.3.2" xref="A2.Ex64.m1.5.5.2.2.2.2.1.1.1.3.2.cmml">π</mi><mrow id="A2.Ex64.m1.5.5.2.2.2.2.1.1.1.3.3" xref="A2.Ex64.m1.5.5.2.2.2.2.1.1.1.3.3.cmml"><mo id="A2.Ex64.m1.5.5.2.2.2.2.1.1.1.3.3a" xref="A2.Ex64.m1.5.5.2.2.2.2.1.1.1.3.3.cmml">−</mo><mn id="A2.Ex64.m1.5.5.2.2.2.2.1.1.1.3.3.2" xref="A2.Ex64.m1.5.5.2.2.2.2.1.1.1.3.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup></mrow><mo id="A2.Ex64.m1.5.5.2.2.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="A2.Ex64.m1.5.5.2.2.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="A2.Ex64.m1.5.5.2.2.2.2.3" xref="A2.Ex64.m1.5.5.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="A2.Ex64.m1.5.5.2.2.2.2.3.2" xref="A2.Ex64.m1.5.5.2.2.2.2.3.2.cmml">i</mi><mo id="A2.Ex64.m1.5.5.2.2.2.2.3.1" xref="A2.Ex64.m1.5.5.2.2.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A2.Ex64.m1.5.5.2.2.2.2.3.3" xref="A2.Ex64.m1.5.5.2.2.2.2.3.3.cmml">j</mi></mrow></msup><mo id="A2.Ex64.m1.5.5.2.2.2.3c" xref="A2.Ex64.m1.5.5.2.2.2.3.cmml">⁢</mo><msub id="A2.Ex64.m1.5.5.2.2.2.6" xref="A2.Ex64.m1.5.5.2.2.2.6.cmml"><mi id="A2.Ex64.m1.5.5.2.2.2.6.2" xref="A2.Ex64.m1.5.5.2.2.2.6.2.cmml">π</mi><mi id="A2.Ex64.m1.5.5.2.2.2.6.3" xref="A2.Ex64.m1.5.5.2.2.2.6.3.cmml">R</mi></msub></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.Ex64.m1.5b"><apply id="A2.Ex64.m1.5.5.cmml" xref="A2.Ex64.m1.5.5"><eq id="A2.Ex64.m1.5.5.3.cmml" xref="A2.Ex64.m1.5.5.3"></eq><csymbol cd="latexml" id="A2.Ex64.m1.5.5.4.cmml" xref="A2.Ex64.m1.5.5.4">absent</csymbol><apply id="A2.Ex64.m1.5.5.2.cmml" xref="A2.Ex64.m1.5.5.2"><times id="A2.Ex64.m1.5.5.2.3.cmml" xref="A2.Ex64.m1.5.5.2.3"></times><apply id="A2.Ex64.m1.1.1.cmml" xref="A2.Ex64.m1.1.1"><divide id="A2.Ex64.m1.1.1.2.cmml" xref="A2.Ex64.m1.1.1"></divide><apply id="A2.Ex64.m1.1.1.1.cmml" xref="A2.Ex64.m1.1.1.1"><times id="A2.Ex64.m1.1.1.1.2.cmml" 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xref="A2.Ex64.m1.5.5.2.2.2.2.3.3">𝑗</ci></apply></apply><apply id="A2.Ex64.m1.5.5.2.2.2.6.cmml" xref="A2.Ex64.m1.5.5.2.2.2.6"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.Ex64.m1.5.5.2.2.2.6.1.cmml" xref="A2.Ex64.m1.5.5.2.2.2.6">subscript</csymbol><ci id="A2.Ex64.m1.5.5.2.2.2.6.2.cmml" xref="A2.Ex64.m1.5.5.2.2.2.6.2">𝜋</ci><ci id="A2.Ex64.m1.5.5.2.2.2.6.3.cmml" xref="A2.Ex64.m1.5.5.2.2.2.6.3">𝑅</ci></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.Ex64.m1.5c">\displaystyle=\frac{\chi_{\mu}(1)}{t!}\sum_{\tau,\pi}\chi_{\mu}(\tau^{-1})V_{% \nu}(\tau\pi^{-1})^{ij}\pi_{R}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.Ex64.m1.5d">= divide start_ARG italic_χ start_POSTSUBSCRIPT italic_μ end_POSTSUBSCRIPT ( 1 ) end_ARG start_ARG italic_t ! end_ARG ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_τ , italic_π end_POSTSUBSCRIPT italic_χ start_POSTSUBSCRIPT italic_μ end_POSTSUBSCRIPT ( italic_τ start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT ) italic_V start_POSTSUBSCRIPT italic_ν end_POSTSUBSCRIPT ( italic_τ italic_π start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_i italic_j end_POSTSUPERSCRIPT italic_π start_POSTSUBSCRIPT italic_R end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="A2.Ex65"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=\frac{\chi_{\mu}(1)}{t!}\sum_{\tau,\pi,k,\ell}V_{\mu}(\tau^{-1})% ^{kk}V_{\nu}(\tau)^{i\ell}V_{\nu}(\pi^{-1})^{\ell j}\pi_{R}" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.Ex65.m1.8"><semantics id="A2.Ex65.m1.8a"><mrow id="A2.Ex65.m1.8.8" xref="A2.Ex65.m1.8.8.cmml"><mi id="A2.Ex65.m1.8.8.4" xref="A2.Ex65.m1.8.8.4.cmml"></mi><mo id="A2.Ex65.m1.8.8.3" xref="A2.Ex65.m1.8.8.3.cmml">=</mo><mrow id="A2.Ex65.m1.8.8.2" 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xref="A2.Ex65.m1.1.1.3.1.cmml">!</mo></mrow></mfrac></mstyle><mo id="A2.Ex65.m1.8.8.2.3" xref="A2.Ex65.m1.8.8.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="A2.Ex65.m1.8.8.2.2" xref="A2.Ex65.m1.8.8.2.2.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A2.Ex65.m1.8.8.2.2.3" xref="A2.Ex65.m1.8.8.2.2.3.cmml"><munder id="A2.Ex65.m1.8.8.2.2.3a" xref="A2.Ex65.m1.8.8.2.2.3.cmml"><mo id="A2.Ex65.m1.8.8.2.2.3.2" movablelimits="false" xref="A2.Ex65.m1.8.8.2.2.3.2.cmml">∑</mo><mrow id="A2.Ex65.m1.5.5.4.6" xref="A2.Ex65.m1.5.5.4.5.cmml"><mi id="A2.Ex65.m1.2.2.1.1" xref="A2.Ex65.m1.2.2.1.1.cmml">τ</mi><mo id="A2.Ex65.m1.5.5.4.6.1" xref="A2.Ex65.m1.5.5.4.5.cmml">,</mo><mi id="A2.Ex65.m1.3.3.2.2" xref="A2.Ex65.m1.3.3.2.2.cmml">π</mi><mo id="A2.Ex65.m1.5.5.4.6.2" xref="A2.Ex65.m1.5.5.4.5.cmml">,</mo><mi id="A2.Ex65.m1.4.4.3.3" xref="A2.Ex65.m1.4.4.3.3.cmml">k</mi><mo id="A2.Ex65.m1.5.5.4.6.3" xref="A2.Ex65.m1.5.5.4.5.cmml">,</mo><mi id="A2.Ex65.m1.5.5.4.4" mathvariant="normal" xref="A2.Ex65.m1.5.5.4.4.cmml">ℓ</mi></mrow></munder></mstyle><mrow id="A2.Ex65.m1.8.8.2.2.2" xref="A2.Ex65.m1.8.8.2.2.2.cmml"><msub id="A2.Ex65.m1.8.8.2.2.2.4" xref="A2.Ex65.m1.8.8.2.2.2.4.cmml"><mi id="A2.Ex65.m1.8.8.2.2.2.4.2" xref="A2.Ex65.m1.8.8.2.2.2.4.2.cmml">V</mi><mi id="A2.Ex65.m1.8.8.2.2.2.4.3" xref="A2.Ex65.m1.8.8.2.2.2.4.3.cmml">μ</mi></msub><mo id="A2.Ex65.m1.8.8.2.2.2.3" xref="A2.Ex65.m1.8.8.2.2.2.3.cmml">⁢</mo><msup id="A2.Ex65.m1.7.7.1.1.1.1" xref="A2.Ex65.m1.7.7.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A2.Ex65.m1.7.7.1.1.1.1.1.1" xref="A2.Ex65.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A2.Ex65.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A2.Ex65.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="A2.Ex65.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1" xref="A2.Ex65.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A2.Ex65.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A2.Ex65.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">τ</mi><mrow id="A2.Ex65.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A2.Ex65.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="A2.Ex65.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.3a" xref="A2.Ex65.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">−</mo><mn id="A2.Ex65.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A2.Ex65.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="A2.Ex65.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A2.Ex65.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="A2.Ex65.m1.7.7.1.1.1.1.3" xref="A2.Ex65.m1.7.7.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A2.Ex65.m1.7.7.1.1.1.1.3.2" xref="A2.Ex65.m1.7.7.1.1.1.1.3.2.cmml">k</mi><mo id="A2.Ex65.m1.7.7.1.1.1.1.3.1" xref="A2.Ex65.m1.7.7.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A2.Ex65.m1.7.7.1.1.1.1.3.3" xref="A2.Ex65.m1.7.7.1.1.1.1.3.3.cmml">k</mi></mrow></msup><mo id="A2.Ex65.m1.8.8.2.2.2.3a" xref="A2.Ex65.m1.8.8.2.2.2.3.cmml">⁢</mo><msub id="A2.Ex65.m1.8.8.2.2.2.5" xref="A2.Ex65.m1.8.8.2.2.2.5.cmml"><mi id="A2.Ex65.m1.8.8.2.2.2.5.2" xref="A2.Ex65.m1.8.8.2.2.2.5.2.cmml">V</mi><mi id="A2.Ex65.m1.8.8.2.2.2.5.3" xref="A2.Ex65.m1.8.8.2.2.2.5.3.cmml">ν</mi></msub><mo id="A2.Ex65.m1.8.8.2.2.2.3b" xref="A2.Ex65.m1.8.8.2.2.2.3.cmml">⁢</mo><msup id="A2.Ex65.m1.8.8.2.2.2.6" xref="A2.Ex65.m1.8.8.2.2.2.6.cmml"><mrow id="A2.Ex65.m1.8.8.2.2.2.6.2.2" xref="A2.Ex65.m1.8.8.2.2.2.6.cmml"><mo id="A2.Ex65.m1.8.8.2.2.2.6.2.2.1" stretchy="false" xref="A2.Ex65.m1.8.8.2.2.2.6.cmml">(</mo><mi id="A2.Ex65.m1.6.6" xref="A2.Ex65.m1.6.6.cmml">τ</mi><mo id="A2.Ex65.m1.8.8.2.2.2.6.2.2.2" stretchy="false" xref="A2.Ex65.m1.8.8.2.2.2.6.cmml">)</mo></mrow><mrow id="A2.Ex65.m1.8.8.2.2.2.6.3" xref="A2.Ex65.m1.8.8.2.2.2.6.3.cmml"><mi id="A2.Ex65.m1.8.8.2.2.2.6.3.2" xref="A2.Ex65.m1.8.8.2.2.2.6.3.2.cmml">i</mi><mo id="A2.Ex65.m1.8.8.2.2.2.6.3.1" xref="A2.Ex65.m1.8.8.2.2.2.6.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A2.Ex65.m1.8.8.2.2.2.6.3.3" mathvariant="normal" xref="A2.Ex65.m1.8.8.2.2.2.6.3.3.cmml">ℓ</mi></mrow></msup><mo id="A2.Ex65.m1.8.8.2.2.2.3c" xref="A2.Ex65.m1.8.8.2.2.2.3.cmml">⁢</mo><msub id="A2.Ex65.m1.8.8.2.2.2.7" xref="A2.Ex65.m1.8.8.2.2.2.7.cmml"><mi id="A2.Ex65.m1.8.8.2.2.2.7.2" xref="A2.Ex65.m1.8.8.2.2.2.7.2.cmml">V</mi><mi id="A2.Ex65.m1.8.8.2.2.2.7.3" xref="A2.Ex65.m1.8.8.2.2.2.7.3.cmml">ν</mi></msub><mo id="A2.Ex65.m1.8.8.2.2.2.3d" xref="A2.Ex65.m1.8.8.2.2.2.3.cmml">⁢</mo><msup id="A2.Ex65.m1.8.8.2.2.2.2" xref="A2.Ex65.m1.8.8.2.2.2.2.cmml"><mrow id="A2.Ex65.m1.8.8.2.2.2.2.1.1" xref="A2.Ex65.m1.8.8.2.2.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="A2.Ex65.m1.8.8.2.2.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="A2.Ex65.m1.8.8.2.2.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="A2.Ex65.m1.8.8.2.2.2.2.1.1.1" xref="A2.Ex65.m1.8.8.2.2.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="A2.Ex65.m1.8.8.2.2.2.2.1.1.1.2" xref="A2.Ex65.m1.8.8.2.2.2.2.1.1.1.2.cmml">π</mi><mrow id="A2.Ex65.m1.8.8.2.2.2.2.1.1.1.3" xref="A2.Ex65.m1.8.8.2.2.2.2.1.1.1.3.cmml"><mo id="A2.Ex65.m1.8.8.2.2.2.2.1.1.1.3a" xref="A2.Ex65.m1.8.8.2.2.2.2.1.1.1.3.cmml">−</mo><mn id="A2.Ex65.m1.8.8.2.2.2.2.1.1.1.3.2" xref="A2.Ex65.m1.8.8.2.2.2.2.1.1.1.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="A2.Ex65.m1.8.8.2.2.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="A2.Ex65.m1.8.8.2.2.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="A2.Ex65.m1.8.8.2.2.2.2.3" xref="A2.Ex65.m1.8.8.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="A2.Ex65.m1.8.8.2.2.2.2.3.2" mathvariant="normal" xref="A2.Ex65.m1.8.8.2.2.2.2.3.2.cmml">ℓ</mi><mo id="A2.Ex65.m1.8.8.2.2.2.2.3.1" xref="A2.Ex65.m1.8.8.2.2.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A2.Ex65.m1.8.8.2.2.2.2.3.3" xref="A2.Ex65.m1.8.8.2.2.2.2.3.3.cmml">j</mi></mrow></msup><mo id="A2.Ex65.m1.8.8.2.2.2.3e" xref="A2.Ex65.m1.8.8.2.2.2.3.cmml">⁢</mo><msub id="A2.Ex65.m1.8.8.2.2.2.8" xref="A2.Ex65.m1.8.8.2.2.2.8.cmml"><mi id="A2.Ex65.m1.8.8.2.2.2.8.2" xref="A2.Ex65.m1.8.8.2.2.2.8.2.cmml">π</mi><mi id="A2.Ex65.m1.8.8.2.2.2.8.3" xref="A2.Ex65.m1.8.8.2.2.2.8.3.cmml">R</mi></msub></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.Ex65.m1.8b"><apply id="A2.Ex65.m1.8.8.cmml" xref="A2.Ex65.m1.8.8"><eq id="A2.Ex65.m1.8.8.3.cmml" xref="A2.Ex65.m1.8.8.3"></eq><csymbol cd="latexml" id="A2.Ex65.m1.8.8.4.cmml" xref="A2.Ex65.m1.8.8.4">absent</csymbol><apply id="A2.Ex65.m1.8.8.2.cmml" xref="A2.Ex65.m1.8.8.2"><times id="A2.Ex65.m1.8.8.2.3.cmml" xref="A2.Ex65.m1.8.8.2.3"></times><apply id="A2.Ex65.m1.1.1.cmml" xref="A2.Ex65.m1.1.1"><divide id="A2.Ex65.m1.1.1.2.cmml" xref="A2.Ex65.m1.1.1"></divide><apply id="A2.Ex65.m1.1.1.1.cmml" xref="A2.Ex65.m1.1.1.1"><times id="A2.Ex65.m1.1.1.1.2.cmml" xref="A2.Ex65.m1.1.1.1.2"></times><apply id="A2.Ex65.m1.1.1.1.3.cmml" xref="A2.Ex65.m1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.Ex65.m1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A2.Ex65.m1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A2.Ex65.m1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A2.Ex65.m1.1.1.1.3.2">𝜒</ci><ci id="A2.Ex65.m1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A2.Ex65.m1.1.1.1.3.3">𝜇</ci></apply><cn id="A2.Ex65.m1.1.1.1.1.cmml" type="integer" xref="A2.Ex65.m1.1.1.1.1">1</cn></apply><apply id="A2.Ex65.m1.1.1.3.cmml" xref="A2.Ex65.m1.1.1.3"><factorial id="A2.Ex65.m1.1.1.3.1.cmml" xref="A2.Ex65.m1.1.1.3.1"></factorial><ci id="A2.Ex65.m1.1.1.3.2.cmml" xref="A2.Ex65.m1.1.1.3.2">𝑡</ci></apply></apply><apply id="A2.Ex65.m1.8.8.2.2.cmml" xref="A2.Ex65.m1.8.8.2.2"><apply 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encoding="application/x-tex" id="A2.Ex65.m1.8c">\displaystyle=\frac{\chi_{\mu}(1)}{t!}\sum_{\tau,\pi,k,\ell}V_{\mu}(\tau^{-1})% ^{kk}V_{\nu}(\tau)^{i\ell}V_{\nu}(\pi^{-1})^{\ell j}\pi_{R}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.Ex65.m1.8d">= divide start_ARG italic_χ start_POSTSUBSCRIPT italic_μ end_POSTSUBSCRIPT ( 1 ) end_ARG start_ARG italic_t ! end_ARG ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_τ , italic_π , italic_k , roman_ℓ end_POSTSUBSCRIPT italic_V start_POSTSUBSCRIPT italic_μ end_POSTSUBSCRIPT ( italic_τ start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_k italic_k end_POSTSUPERSCRIPT italic_V start_POSTSUBSCRIPT italic_ν end_POSTSUBSCRIPT ( italic_τ ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_i roman_ℓ end_POSTSUPERSCRIPT italic_V start_POSTSUBSCRIPT italic_ν end_POSTSUBSCRIPT ( italic_π start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT roman_ℓ italic_j end_POSTSUPERSCRIPT italic_π start_POSTSUBSCRIPT italic_R end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="A2.E157"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=\sum_{\pi,k,\ell}\delta_{\mu\nu}\delta_{ik}\delta_{\ell k}V_{\nu% }(\pi^{-1})^{\ell j}\pi_{R}" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.E157.m1.4"><semantics id="A2.E157.m1.4a"><mrow id="A2.E157.m1.4.4" xref="A2.E157.m1.4.4.cmml"><mi id="A2.E157.m1.4.4.3" xref="A2.E157.m1.4.4.3.cmml"></mi><mo id="A2.E157.m1.4.4.2" xref="A2.E157.m1.4.4.2.cmml">=</mo><mrow id="A2.E157.m1.4.4.1" xref="A2.E157.m1.4.4.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A2.E157.m1.4.4.1.2" xref="A2.E157.m1.4.4.1.2.cmml"><munder id="A2.E157.m1.4.4.1.2a" xref="A2.E157.m1.4.4.1.2.cmml"><mo id="A2.E157.m1.4.4.1.2.2" movablelimits="false" 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id="A2.E157.m1.4.4.1.1.2" xref="A2.E157.m1.4.4.1.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="A2.E157.m1.4.4.1.1.4" xref="A2.E157.m1.4.4.1.1.4.cmml"><mi id="A2.E157.m1.4.4.1.1.4.2" xref="A2.E157.m1.4.4.1.1.4.2.cmml">δ</mi><mrow id="A2.E157.m1.4.4.1.1.4.3" xref="A2.E157.m1.4.4.1.1.4.3.cmml"><mi id="A2.E157.m1.4.4.1.1.4.3.2" xref="A2.E157.m1.4.4.1.1.4.3.2.cmml">i</mi><mo id="A2.E157.m1.4.4.1.1.4.3.1" xref="A2.E157.m1.4.4.1.1.4.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A2.E157.m1.4.4.1.1.4.3.3" xref="A2.E157.m1.4.4.1.1.4.3.3.cmml">k</mi></mrow></msub><mo id="A2.E157.m1.4.4.1.1.2a" xref="A2.E157.m1.4.4.1.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="A2.E157.m1.4.4.1.1.5" xref="A2.E157.m1.4.4.1.1.5.cmml"><mi id="A2.E157.m1.4.4.1.1.5.2" xref="A2.E157.m1.4.4.1.1.5.2.cmml">δ</mi><mrow id="A2.E157.m1.4.4.1.1.5.3" xref="A2.E157.m1.4.4.1.1.5.3.cmml"><mi id="A2.E157.m1.4.4.1.1.5.3.2" mathvariant="normal" xref="A2.E157.m1.4.4.1.1.5.3.2.cmml">ℓ</mi><mo id="A2.E157.m1.4.4.1.1.5.3.1" xref="A2.E157.m1.4.4.1.1.5.3.1.cmml">⁢</mo><mi 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xref="A2.E157.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.cmml">−</mo><mn id="A2.E157.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A2.E157.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="A2.E157.m1.4.4.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A2.E157.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="A2.E157.m1.4.4.1.1.1.3" xref="A2.E157.m1.4.4.1.1.1.3.cmml"><mi id="A2.E157.m1.4.4.1.1.1.3.2" mathvariant="normal" xref="A2.E157.m1.4.4.1.1.1.3.2.cmml">ℓ</mi><mo id="A2.E157.m1.4.4.1.1.1.3.1" xref="A2.E157.m1.4.4.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A2.E157.m1.4.4.1.1.1.3.3" xref="A2.E157.m1.4.4.1.1.1.3.3.cmml">j</mi></mrow></msup><mo id="A2.E157.m1.4.4.1.1.2d" xref="A2.E157.m1.4.4.1.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="A2.E157.m1.4.4.1.1.7" xref="A2.E157.m1.4.4.1.1.7.cmml"><mi id="A2.E157.m1.4.4.1.1.7.2" xref="A2.E157.m1.4.4.1.1.7.2.cmml">π</mi><mi id="A2.E157.m1.4.4.1.1.7.3" xref="A2.E157.m1.4.4.1.1.7.3.cmml">R</mi></msub></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.E157.m1.4b"><apply id="A2.E157.m1.4.4.cmml" xref="A2.E157.m1.4.4"><eq id="A2.E157.m1.4.4.2.cmml" xref="A2.E157.m1.4.4.2"></eq><csymbol cd="latexml" id="A2.E157.m1.4.4.3.cmml" xref="A2.E157.m1.4.4.3">absent</csymbol><apply id="A2.E157.m1.4.4.1.cmml" xref="A2.E157.m1.4.4.1"><apply id="A2.E157.m1.4.4.1.2.cmml" xref="A2.E157.m1.4.4.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E157.m1.4.4.1.2.1.cmml" xref="A2.E157.m1.4.4.1.2">subscript</csymbol><sum id="A2.E157.m1.4.4.1.2.2.cmml" xref="A2.E157.m1.4.4.1.2.2"></sum><list id="A2.E157.m1.3.3.3.4.cmml" xref="A2.E157.m1.3.3.3.5"><ci id="A2.E157.m1.1.1.1.1.cmml" xref="A2.E157.m1.1.1.1.1">𝜋</ci><ci id="A2.E157.m1.2.2.2.2.cmml" xref="A2.E157.m1.2.2.2.2">𝑘</ci><ci id="A2.E157.m1.3.3.3.3.cmml" xref="A2.E157.m1.3.3.3.3">ℓ</ci></list></apply><apply id="A2.E157.m1.4.4.1.1.cmml" xref="A2.E157.m1.4.4.1.1"><times id="A2.E157.m1.4.4.1.1.2.cmml" xref="A2.E157.m1.4.4.1.1.2"></times><apply id="A2.E157.m1.4.4.1.1.3.cmml" xref="A2.E157.m1.4.4.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E157.m1.4.4.1.1.3.1.cmml" xref="A2.E157.m1.4.4.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A2.E157.m1.4.4.1.1.3.2.cmml" xref="A2.E157.m1.4.4.1.1.3.2">𝛿</ci><apply id="A2.E157.m1.4.4.1.1.3.3.cmml" xref="A2.E157.m1.4.4.1.1.3.3"><times id="A2.E157.m1.4.4.1.1.3.3.1.cmml" xref="A2.E157.m1.4.4.1.1.3.3.1"></times><ci id="A2.E157.m1.4.4.1.1.3.3.2.cmml" xref="A2.E157.m1.4.4.1.1.3.3.2">𝜇</ci><ci id="A2.E157.m1.4.4.1.1.3.3.3.cmml" xref="A2.E157.m1.4.4.1.1.3.3.3">𝜈</ci></apply></apply><apply id="A2.E157.m1.4.4.1.1.4.cmml" xref="A2.E157.m1.4.4.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E157.m1.4.4.1.1.4.1.cmml" xref="A2.E157.m1.4.4.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="A2.E157.m1.4.4.1.1.4.2.cmml" xref="A2.E157.m1.4.4.1.1.4.2">𝛿</ci><apply id="A2.E157.m1.4.4.1.1.4.3.cmml" xref="A2.E157.m1.4.4.1.1.4.3"><times id="A2.E157.m1.4.4.1.1.4.3.1.cmml" xref="A2.E157.m1.4.4.1.1.4.3.1"></times><ci id="A2.E157.m1.4.4.1.1.4.3.2.cmml" xref="A2.E157.m1.4.4.1.1.4.3.2">𝑖</ci><ci id="A2.E157.m1.4.4.1.1.4.3.3.cmml" xref="A2.E157.m1.4.4.1.1.4.3.3">𝑘</ci></apply></apply><apply id="A2.E157.m1.4.4.1.1.5.cmml" xref="A2.E157.m1.4.4.1.1.5"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E157.m1.4.4.1.1.5.1.cmml" xref="A2.E157.m1.4.4.1.1.5">subscript</csymbol><ci id="A2.E157.m1.4.4.1.1.5.2.cmml" xref="A2.E157.m1.4.4.1.1.5.2">𝛿</ci><apply id="A2.E157.m1.4.4.1.1.5.3.cmml" xref="A2.E157.m1.4.4.1.1.5.3"><times id="A2.E157.m1.4.4.1.1.5.3.1.cmml" xref="A2.E157.m1.4.4.1.1.5.3.1"></times><ci id="A2.E157.m1.4.4.1.1.5.3.2.cmml" xref="A2.E157.m1.4.4.1.1.5.3.2">ℓ</ci><ci id="A2.E157.m1.4.4.1.1.5.3.3.cmml" xref="A2.E157.m1.4.4.1.1.5.3.3">𝑘</ci></apply></apply><apply id="A2.E157.m1.4.4.1.1.6.cmml" xref="A2.E157.m1.4.4.1.1.6"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E157.m1.4.4.1.1.6.1.cmml" xref="A2.E157.m1.4.4.1.1.6">subscript</csymbol><ci id="A2.E157.m1.4.4.1.1.6.2.cmml" xref="A2.E157.m1.4.4.1.1.6.2">𝑉</ci><ci id="A2.E157.m1.4.4.1.1.6.3.cmml" xref="A2.E157.m1.4.4.1.1.6.3">𝜈</ci></apply><apply id="A2.E157.m1.4.4.1.1.1.cmml" xref="A2.E157.m1.4.4.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E157.m1.4.4.1.1.1.2.cmml" xref="A2.E157.m1.4.4.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="A2.E157.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A2.E157.m1.4.4.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E157.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A2.E157.m1.4.4.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="A2.E157.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A2.E157.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2">𝜋</ci><apply id="A2.E157.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A2.E157.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3"><minus id="A2.E157.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A2.E157.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3"></minus><cn id="A2.E157.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="A2.E157.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2">1</cn></apply></apply><apply id="A2.E157.m1.4.4.1.1.1.3.cmml" xref="A2.E157.m1.4.4.1.1.1.3"><times id="A2.E157.m1.4.4.1.1.1.3.1.cmml" xref="A2.E157.m1.4.4.1.1.1.3.1"></times><ci id="A2.E157.m1.4.4.1.1.1.3.2.cmml" xref="A2.E157.m1.4.4.1.1.1.3.2">ℓ</ci><ci id="A2.E157.m1.4.4.1.1.1.3.3.cmml" xref="A2.E157.m1.4.4.1.1.1.3.3">𝑗</ci></apply></apply><apply id="A2.E157.m1.4.4.1.1.7.cmml" xref="A2.E157.m1.4.4.1.1.7"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E157.m1.4.4.1.1.7.1.cmml" xref="A2.E157.m1.4.4.1.1.7">subscript</csymbol><ci id="A2.E157.m1.4.4.1.1.7.2.cmml" xref="A2.E157.m1.4.4.1.1.7.2">𝜋</ci><ci id="A2.E157.m1.4.4.1.1.7.3.cmml" xref="A2.E157.m1.4.4.1.1.7.3">𝑅</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.E157.m1.4c">\displaystyle=\sum_{\pi,k,\ell}\delta_{\mu\nu}\delta_{ik}\delta_{\ell k}V_{\nu% }(\pi^{-1})^{\ell j}\pi_{R}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.E157.m1.4d">= ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_π , italic_k , roman_ℓ end_POSTSUBSCRIPT italic_δ start_POSTSUBSCRIPT italic_μ italic_ν end_POSTSUBSCRIPT italic_δ start_POSTSUBSCRIPT italic_i italic_k end_POSTSUBSCRIPT italic_δ start_POSTSUBSCRIPT roman_ℓ italic_k end_POSTSUBSCRIPT italic_V start_POSTSUBSCRIPT italic_ν end_POSTSUBSCRIPT ( italic_π start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT roman_ℓ italic_j end_POSTSUPERSCRIPT italic_π start_POSTSUBSCRIPT italic_R end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(157)</span></td> </tr></tbody> <tbody id="A2.E158"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=\delta_{\mu\nu}\sum_{\rho}V_{\nu}(\rho^{-1})^{ij}\rho_{R}" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.E158.m1.1"><semantics id="A2.E158.m1.1a"><mrow id="A2.E158.m1.1.1" xref="A2.E158.m1.1.1.cmml"><mi id="A2.E158.m1.1.1.3" xref="A2.E158.m1.1.1.3.cmml"></mi><mo id="A2.E158.m1.1.1.2" xref="A2.E158.m1.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="A2.E158.m1.1.1.1" xref="A2.E158.m1.1.1.1.cmml"><msub id="A2.E158.m1.1.1.1.3" xref="A2.E158.m1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A2.E158.m1.1.1.1.3.2" xref="A2.E158.m1.1.1.1.3.2.cmml">δ</mi><mrow id="A2.E158.m1.1.1.1.3.3" xref="A2.E158.m1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="A2.E158.m1.1.1.1.3.3.2" xref="A2.E158.m1.1.1.1.3.3.2.cmml">μ</mi><mo id="A2.E158.m1.1.1.1.3.3.1" xref="A2.E158.m1.1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A2.E158.m1.1.1.1.3.3.3" xref="A2.E158.m1.1.1.1.3.3.3.cmml">ν</mi></mrow></msub><mo id="A2.E158.m1.1.1.1.2" xref="A2.E158.m1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A2.E158.m1.1.1.1.1" xref="A2.E158.m1.1.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A2.E158.m1.1.1.1.1.2" xref="A2.E158.m1.1.1.1.1.2.cmml"><munder id="A2.E158.m1.1.1.1.1.2a" xref="A2.E158.m1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="A2.E158.m1.1.1.1.1.2.2" movablelimits="false" xref="A2.E158.m1.1.1.1.1.2.2.cmml">∑</mo><mi id="A2.E158.m1.1.1.1.1.2.3" xref="A2.E158.m1.1.1.1.1.2.3.cmml">ρ</mi></munder></mstyle><mrow id="A2.E158.m1.1.1.1.1.1" xref="A2.E158.m1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="A2.E158.m1.1.1.1.1.1.3" xref="A2.E158.m1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A2.E158.m1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A2.E158.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">V</mi><mi id="A2.E158.m1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A2.E158.m1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">ν</mi></msub><mo id="A2.E158.m1.1.1.1.1.1.2" xref="A2.E158.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msup id="A2.E158.m1.1.1.1.1.1.1" xref="A2.E158.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A2.E158.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A2.E158.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A2.E158.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A2.E158.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="A2.E158.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A2.E158.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A2.E158.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A2.E158.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">ρ</mi><mrow id="A2.E158.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A2.E158.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="A2.E158.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3a" xref="A2.E158.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">−</mo><mn id="A2.E158.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A2.E158.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="A2.E158.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A2.E158.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="A2.E158.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A2.E158.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A2.E158.m1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A2.E158.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">i</mi><mo id="A2.E158.m1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="A2.E158.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A2.E158.m1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A2.E158.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">j</mi></mrow></msup><mo id="A2.E158.m1.1.1.1.1.1.2a" xref="A2.E158.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="A2.E158.m1.1.1.1.1.1.4" xref="A2.E158.m1.1.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="A2.E158.m1.1.1.1.1.1.4.2" xref="A2.E158.m1.1.1.1.1.1.4.2.cmml">ρ</mi><mi id="A2.E158.m1.1.1.1.1.1.4.3" xref="A2.E158.m1.1.1.1.1.1.4.3.cmml">R</mi></msub></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.E158.m1.1b"><apply id="A2.E158.m1.1.1.cmml" xref="A2.E158.m1.1.1"><eq id="A2.E158.m1.1.1.2.cmml" xref="A2.E158.m1.1.1.2"></eq><csymbol cd="latexml" id="A2.E158.m1.1.1.3.cmml" xref="A2.E158.m1.1.1.3">absent</csymbol><apply id="A2.E158.m1.1.1.1.cmml" xref="A2.E158.m1.1.1.1"><times id="A2.E158.m1.1.1.1.2.cmml" xref="A2.E158.m1.1.1.1.2"></times><apply id="A2.E158.m1.1.1.1.3.cmml" xref="A2.E158.m1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E158.m1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A2.E158.m1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A2.E158.m1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A2.E158.m1.1.1.1.3.2">𝛿</ci><apply id="A2.E158.m1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A2.E158.m1.1.1.1.3.3"><times id="A2.E158.m1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="A2.E158.m1.1.1.1.3.3.1"></times><ci id="A2.E158.m1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="A2.E158.m1.1.1.1.3.3.2">𝜇</ci><ci id="A2.E158.m1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="A2.E158.m1.1.1.1.3.3.3">𝜈</ci></apply></apply><apply id="A2.E158.m1.1.1.1.1.cmml" xref="A2.E158.m1.1.1.1.1"><apply id="A2.E158.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A2.E158.m1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E158.m1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A2.E158.m1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><sum id="A2.E158.m1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A2.E158.m1.1.1.1.1.2.2"></sum><ci id="A2.E158.m1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="A2.E158.m1.1.1.1.1.2.3">𝜌</ci></apply><apply id="A2.E158.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A2.E158.m1.1.1.1.1.1"><times id="A2.E158.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A2.E158.m1.1.1.1.1.1.2"></times><apply id="A2.E158.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A2.E158.m1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E158.m1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A2.E158.m1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A2.E158.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A2.E158.m1.1.1.1.1.1.3.2">𝑉</ci><ci id="A2.E158.m1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A2.E158.m1.1.1.1.1.1.3.3">𝜈</ci></apply><apply id="A2.E158.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A2.E158.m1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E158.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A2.E158.m1.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="A2.E158.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A2.E158.m1.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E158.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A2.E158.m1.1.1.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="A2.E158.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A2.E158.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝜌</ci><apply id="A2.E158.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A2.E158.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><minus id="A2.E158.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A2.E158.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"></minus><cn id="A2.E158.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="A2.E158.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">1</cn></apply></apply><apply id="A2.E158.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A2.E158.m1.1.1.1.1.1.1.3"><times id="A2.E158.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A2.E158.m1.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><ci id="A2.E158.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A2.E158.m1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑖</ci><ci id="A2.E158.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A2.E158.m1.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑗</ci></apply></apply><apply id="A2.E158.m1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="A2.E158.m1.1.1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E158.m1.1.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="A2.E158.m1.1.1.1.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="A2.E158.m1.1.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="A2.E158.m1.1.1.1.1.1.4.2">𝜌</ci><ci id="A2.E158.m1.1.1.1.1.1.4.3.cmml" xref="A2.E158.m1.1.1.1.1.1.4.3">𝑅</ci></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.E158.m1.1c">\displaystyle=\delta_{\mu\nu}\sum_{\rho}V_{\nu}(\rho^{-1})^{ij}\rho_{R}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.E158.m1.1d">= italic_δ start_POSTSUBSCRIPT italic_μ italic_ν end_POSTSUBSCRIPT ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_ρ end_POSTSUBSCRIPT italic_V start_POSTSUBSCRIPT italic_ν end_POSTSUBSCRIPT ( italic_ρ start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_i italic_j end_POSTSUPERSCRIPT italic_ρ start_POSTSUBSCRIPT italic_R end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(158)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="A2.SS4.2.p2.2">where we have used the Great Orthogonality Theorem on Line (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#A2.E157" title="In Proof. ‣ B.4 Proof of Lemma 35 ‣ Appendix B Assorted proofs ‣ Conditional 𝑡-independent spectral gap for random quantum circuits and implications for 𝑡-design depths"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">157</span></a>). ∎</p> </div> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_lemma" id="Thmlemmax3"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmlemmax3.1.1.1">Lemma</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmlemmax3.2.2">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="Thmlemmax3.p1"> <p class="ltx_p" id="Thmlemmax3.p1.2"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmlemmax3.p1.2.2">(Restatement of Lemma <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#Thmtheorem35" title="Lemma 35. ‣ V.1 Factorization of 𝐾_𝑚 ‣ V Structure of the 3-Site Operator ‣ Conditional 𝑡-independent spectral gap for random quantum circuits and implications for 𝑡-design depths"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">35</span></a>) A basis for the isotypic component of <math alttext="\operatorname{span}\left(\mathfrak{D}_{3}^{(t)}\right)" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmlemmax3.p1.1.1.m1.3"><semantics id="Thmlemmax3.p1.1.1.m1.3a"><mrow id="Thmlemmax3.p1.1.1.m1.3.3.1" xref="Thmlemmax3.p1.1.1.m1.3.3.2.cmml"><mi id="Thmlemmax3.p1.1.1.m1.2.2" xref="Thmlemmax3.p1.1.1.m1.2.2.cmml">span</mi><mo id="Thmlemmax3.p1.1.1.m1.3.3.1a" xref="Thmlemmax3.p1.1.1.m1.3.3.2.cmml">⁡</mo><mrow id="Thmlemmax3.p1.1.1.m1.3.3.1.1" xref="Thmlemmax3.p1.1.1.m1.3.3.2.cmml"><mo id="Thmlemmax3.p1.1.1.m1.3.3.1.1.2" xref="Thmlemmax3.p1.1.1.m1.3.3.2.cmml">(</mo><msubsup id="Thmlemmax3.p1.1.1.m1.3.3.1.1.1" xref="Thmlemmax3.p1.1.1.m1.3.3.1.1.1.cmml"><mi id="Thmlemmax3.p1.1.1.m1.3.3.1.1.1.2.2" xref="Thmlemmax3.p1.1.1.m1.3.3.1.1.1.2.2.cmml">𝔇</mi><mn id="Thmlemmax3.p1.1.1.m1.3.3.1.1.1.2.3" xref="Thmlemmax3.p1.1.1.m1.3.3.1.1.1.2.3.cmml">3</mn><mrow id="Thmlemmax3.p1.1.1.m1.1.1.1.3" xref="Thmlemmax3.p1.1.1.m1.3.3.1.1.1.cmml"><mo id="Thmlemmax3.p1.1.1.m1.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="Thmlemmax3.p1.1.1.m1.3.3.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="Thmlemmax3.p1.1.1.m1.1.1.1.1" xref="Thmlemmax3.p1.1.1.m1.1.1.1.1.cmml">t</mi><mo id="Thmlemmax3.p1.1.1.m1.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="Thmlemmax3.p1.1.1.m1.3.3.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></msubsup><mo id="Thmlemmax3.p1.1.1.m1.3.3.1.1.3" xref="Thmlemmax3.p1.1.1.m1.3.3.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmlemmax3.p1.1.1.m1.3b"><apply id="Thmlemmax3.p1.1.1.m1.3.3.2.cmml" xref="Thmlemmax3.p1.1.1.m1.3.3.1"><ci id="Thmlemmax3.p1.1.1.m1.2.2.cmml" xref="Thmlemmax3.p1.1.1.m1.2.2">span</ci><apply id="Thmlemmax3.p1.1.1.m1.3.3.1.1.1.cmml" xref="Thmlemmax3.p1.1.1.m1.3.3.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmlemmax3.p1.1.1.m1.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="Thmlemmax3.p1.1.1.m1.3.3.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="Thmlemmax3.p1.1.1.m1.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="Thmlemmax3.p1.1.1.m1.3.3.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmlemmax3.p1.1.1.m1.3.3.1.1.1.2.1.cmml" xref="Thmlemmax3.p1.1.1.m1.3.3.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="Thmlemmax3.p1.1.1.m1.3.3.1.1.1.2.2.cmml" xref="Thmlemmax3.p1.1.1.m1.3.3.1.1.1.2.2">𝔇</ci><cn id="Thmlemmax3.p1.1.1.m1.3.3.1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="Thmlemmax3.p1.1.1.m1.3.3.1.1.1.2.3">3</cn></apply><ci id="Thmlemmax3.p1.1.1.m1.1.1.1.1.cmml" xref="Thmlemmax3.p1.1.1.m1.1.1.1.1">𝑡</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmlemmax3.p1.1.1.m1.3c">\operatorname{span}\left(\mathfrak{D}_{3}^{(t)}\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmlemmax3.p1.1.1.m1.3d">roman_span ( fraktur_D start_POSTSUBSCRIPT 3 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_t ) end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math> corresponding to <math alttext="\nu" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmlemmax3.p1.2.2.m2.1"><semantics id="Thmlemmax3.p1.2.2.m2.1a"><mi id="Thmlemmax3.p1.2.2.m2.1.1" xref="Thmlemmax3.p1.2.2.m2.1.1.cmml">ν</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmlemmax3.p1.2.2.m2.1b"><ci id="Thmlemmax3.p1.2.2.m2.1.1.cmml" xref="Thmlemmax3.p1.2.2.m2.1.1">𝜈</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmlemmax3.p1.2.2.m2.1c">\nu</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmlemmax3.p1.2.2.m2.1d">italic_ν</annotation></semantics></math> is given by</span></p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_gather ltx_eqn_table" id="S6.EGx134"> <tbody id="A2.E159"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\displaystyle\left\{\ket{e_{\nu}^{ij,\sigma}}=R_{\nu}^{ij}\ket{I,\sigma}\bigg{% |}\sigma\in\mathbb{D}_{t},i,j\in\{1...d_{\nu}\}\right\}" class="ltx_Math" display="block" id="A2.E159.m1.5"><semantics id="A2.E159.m1.5a"><mrow id="A2.E159.m1.5.5.2" xref="A2.E159.m1.5.5.3.cmml"><mo id="A2.E159.m1.5.5.2.3" xref="A2.E159.m1.5.5.3.1.cmml">{</mo><mrow id="A2.E159.m1.4.4.1.1" xref="A2.E159.m1.4.4.1.1.cmml"><mrow id="A2.E159.m1.1.1.3" xref="A2.E159.m1.1.1.2.cmml"><mo id="A2.E159.m1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="A2.E159.m1.1.1.2.1.cmml">|</mo><msubsup id="A2.E159.m1.1.1.1.1" xref="A2.E159.m1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A2.E159.m1.1.1.1.1.4.2" xref="A2.E159.m1.1.1.1.1.4.2.cmml">e</mi><mi id="A2.E159.m1.1.1.1.1.4.3" xref="A2.E159.m1.1.1.1.1.4.3.cmml">ν</mi><mrow id="A2.E159.m1.1.1.1.1.2.2.2" xref="A2.E159.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mrow id="A2.E159.m1.1.1.1.1.2.2.2.1" xref="A2.E159.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml"><mi id="A2.E159.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.2" xref="A2.E159.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.2.cmml">i</mi><mo id="A2.E159.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1" xref="A2.E159.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="A2.E159.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.3" xref="A2.E159.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.3.cmml">j</mi></mrow><mo id="A2.E159.m1.1.1.1.1.2.2.2.2" xref="A2.E159.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="A2.E159.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A2.E159.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">σ</mi></mrow></msubsup><mo id="A2.E159.m1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="A2.E159.m1.1.1.2.1.cmml">⟩</mo></mrow><mo id="A2.E159.m1.4.4.1.1.1" xref="A2.E159.m1.4.4.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="A2.E159.m1.4.4.1.1.2" xref="A2.E159.m1.4.4.1.1.2.cmml"><msubsup id="A2.E159.m1.4.4.1.1.2.2" xref="A2.E159.m1.4.4.1.1.2.2.cmml"><mi id="A2.E159.m1.4.4.1.1.2.2.2.2" xref="A2.E159.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.cmml">R</mi><mi id="A2.E159.m1.4.4.1.1.2.2.2.3" xref="A2.E159.m1.4.4.1.1.2.2.2.3.cmml">ν</mi><mrow id="A2.E159.m1.4.4.1.1.2.2.3" xref="A2.E159.m1.4.4.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="A2.E159.m1.4.4.1.1.2.2.3.2" xref="A2.E159.m1.4.4.1.1.2.2.3.2.cmml">i</mi><mo id="A2.E159.m1.4.4.1.1.2.2.3.1" xref="A2.E159.m1.4.4.1.1.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A2.E159.m1.4.4.1.1.2.2.3.3" xref="A2.E159.m1.4.4.1.1.2.2.3.3.cmml">j</mi></mrow></msubsup><mo id="A2.E159.m1.4.4.1.1.2.1" xref="A2.E159.m1.4.4.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A2.E159.m1.2.2.3" xref="A2.E159.m1.2.2.2.cmml"><mo id="A2.E159.m1.2.2.3.1" stretchy="false" xref="A2.E159.m1.2.2.2.1.cmml">|</mo><mrow id="A2.E159.m1.2.2.1.1.4" xref="A2.E159.m1.2.2.1.1.3.cmml"><mi id="A2.E159.m1.2.2.1.1.1" xref="A2.E159.m1.2.2.1.1.1.cmml">I</mi><mo id="A2.E159.m1.2.2.1.1.4.1" xref="A2.E159.m1.2.2.1.1.3.cmml">,</mo><mi id="A2.E159.m1.2.2.1.1.2" xref="A2.E159.m1.2.2.1.1.2.cmml">σ</mi></mrow><mo id="A2.E159.m1.2.2.3.2" stretchy="false" xref="A2.E159.m1.2.2.2.1.cmml">⟩</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="A2.E159.m1.5.5.2.4" lspace="0em" mathsize="210%" rspace="0em" xref="A2.E159.m1.5.5.3.1.cmml">|</mo><mrow id="A2.E159.m1.5.5.2.2.2" xref="A2.E159.m1.5.5.2.2.3.cmml"><mrow id="A2.E159.m1.5.5.2.2.1.1" xref="A2.E159.m1.5.5.2.2.1.1.cmml"><mi id="A2.E159.m1.5.5.2.2.1.1.3" xref="A2.E159.m1.5.5.2.2.1.1.3.cmml">σ</mi><mo id="A2.E159.m1.5.5.2.2.1.1.2" xref="A2.E159.m1.5.5.2.2.1.1.2.cmml">∈</mo><mrow id="A2.E159.m1.5.5.2.2.1.1.1.1" xref="A2.E159.m1.5.5.2.2.1.1.1.2.cmml"><msub id="A2.E159.m1.5.5.2.2.1.1.1.1.1" xref="A2.E159.m1.5.5.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A2.E159.m1.5.5.2.2.1.1.1.1.1.2" xref="A2.E159.m1.5.5.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml">𝔻</mi><mi id="A2.E159.m1.5.5.2.2.1.1.1.1.1.3" xref="A2.E159.m1.5.5.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml">t</mi></msub><mo id="A2.E159.m1.5.5.2.2.1.1.1.1.2" xref="A2.E159.m1.5.5.2.2.1.1.1.2.cmml">,</mo><mi id="A2.E159.m1.3.3" xref="A2.E159.m1.3.3.cmml">i</mi></mrow></mrow><mo id="A2.E159.m1.5.5.2.2.2.3" xref="A2.E159.m1.5.5.2.2.3a.cmml">,</mo><mrow id="A2.E159.m1.5.5.2.2.2.2" xref="A2.E159.m1.5.5.2.2.2.2.cmml"><mi id="A2.E159.m1.5.5.2.2.2.2.3" xref="A2.E159.m1.5.5.2.2.2.2.3.cmml">j</mi><mo id="A2.E159.m1.5.5.2.2.2.2.2" xref="A2.E159.m1.5.5.2.2.2.2.2.cmml">∈</mo><mrow id="A2.E159.m1.5.5.2.2.2.2.1.1" xref="A2.E159.m1.5.5.2.2.2.2.1.2.cmml"><mo id="A2.E159.m1.5.5.2.2.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="A2.E159.m1.5.5.2.2.2.2.1.2.cmml">{</mo><mrow id="A2.E159.m1.5.5.2.2.2.2.1.1.1" xref="A2.E159.m1.5.5.2.2.2.2.1.1.1.cmml"><mn id="A2.E159.m1.5.5.2.2.2.2.1.1.1.2" xref="A2.E159.m1.5.5.2.2.2.2.1.1.1.2.cmml">1</mn><mo id="A2.E159.m1.5.5.2.2.2.2.1.1.1.1" xref="A2.E159.m1.5.5.2.2.2.2.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="A2.E159.m1.5.5.2.2.2.2.1.1.1.3" mathvariant="normal" xref="A2.E159.m1.5.5.2.2.2.2.1.1.1.3.cmml">…</mi><mo id="A2.E159.m1.5.5.2.2.2.2.1.1.1.1a" xref="A2.E159.m1.5.5.2.2.2.2.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="A2.E159.m1.5.5.2.2.2.2.1.1.1.4" xref="A2.E159.m1.5.5.2.2.2.2.1.1.1.4.cmml"><mi id="A2.E159.m1.5.5.2.2.2.2.1.1.1.4.2" xref="A2.E159.m1.5.5.2.2.2.2.1.1.1.4.2.cmml">d</mi><mi id="A2.E159.m1.5.5.2.2.2.2.1.1.1.4.3" xref="A2.E159.m1.5.5.2.2.2.2.1.1.1.4.3.cmml">ν</mi></msub></mrow><mo id="A2.E159.m1.5.5.2.2.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="A2.E159.m1.5.5.2.2.2.2.1.2.cmml">}</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="A2.E159.m1.5.5.2.5" xref="A2.E159.m1.5.5.3.1.cmml">}</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.E159.m1.5b"><apply id="A2.E159.m1.5.5.3.cmml" xref="A2.E159.m1.5.5.2"><csymbol cd="latexml" id="A2.E159.m1.5.5.3.1.cmml" xref="A2.E159.m1.5.5.2.3">conditional-set</csymbol><apply id="A2.E159.m1.4.4.1.1.cmml" xref="A2.E159.m1.4.4.1.1"><eq id="A2.E159.m1.4.4.1.1.1.cmml" xref="A2.E159.m1.4.4.1.1.1"></eq><apply id="A2.E159.m1.1.1.2.cmml" xref="A2.E159.m1.1.1.3"><csymbol cd="latexml" id="A2.E159.m1.1.1.2.1.cmml" xref="A2.E159.m1.1.1.3.1">ket</csymbol><apply id="A2.E159.m1.1.1.1.1.cmml" xref="A2.E159.m1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E159.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A2.E159.m1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="A2.E159.m1.1.1.1.1.4.cmml" xref="A2.E159.m1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E159.m1.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="A2.E159.m1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="A2.E159.m1.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="A2.E159.m1.1.1.1.1.4.2">𝑒</ci><ci id="A2.E159.m1.1.1.1.1.4.3.cmml" xref="A2.E159.m1.1.1.1.1.4.3">𝜈</ci></apply><list id="A2.E159.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="A2.E159.m1.1.1.1.1.2.2.2"><apply id="A2.E159.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="A2.E159.m1.1.1.1.1.2.2.2.1"><times id="A2.E159.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.cmml" xref="A2.E159.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1"></times><ci id="A2.E159.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.2.cmml" xref="A2.E159.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.2">𝑖</ci><ci id="A2.E159.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.3.cmml" xref="A2.E159.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.3">𝑗</ci></apply><ci id="A2.E159.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A2.E159.m1.1.1.1.1.1.1.1">𝜎</ci></list></apply></apply><apply id="A2.E159.m1.4.4.1.1.2.cmml" xref="A2.E159.m1.4.4.1.1.2"><times id="A2.E159.m1.4.4.1.1.2.1.cmml" xref="A2.E159.m1.4.4.1.1.2.1"></times><apply id="A2.E159.m1.4.4.1.1.2.2.cmml" xref="A2.E159.m1.4.4.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E159.m1.4.4.1.1.2.2.1.cmml" xref="A2.E159.m1.4.4.1.1.2.2">superscript</csymbol><apply id="A2.E159.m1.4.4.1.1.2.2.2.cmml" xref="A2.E159.m1.4.4.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E159.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="A2.E159.m1.4.4.1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="A2.E159.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="A2.E159.m1.4.4.1.1.2.2.2.2">𝑅</ci><ci id="A2.E159.m1.4.4.1.1.2.2.2.3.cmml" xref="A2.E159.m1.4.4.1.1.2.2.2.3">𝜈</ci></apply><apply id="A2.E159.m1.4.4.1.1.2.2.3.cmml" xref="A2.E159.m1.4.4.1.1.2.2.3"><times id="A2.E159.m1.4.4.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="A2.E159.m1.4.4.1.1.2.2.3.1"></times><ci id="A2.E159.m1.4.4.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="A2.E159.m1.4.4.1.1.2.2.3.2">𝑖</ci><ci id="A2.E159.m1.4.4.1.1.2.2.3.3.cmml" xref="A2.E159.m1.4.4.1.1.2.2.3.3">𝑗</ci></apply></apply><apply id="A2.E159.m1.2.2.2.cmml" xref="A2.E159.m1.2.2.3"><csymbol cd="latexml" id="A2.E159.m1.2.2.2.1.cmml" xref="A2.E159.m1.2.2.3.1">ket</csymbol><list id="A2.E159.m1.2.2.1.1.3.cmml" xref="A2.E159.m1.2.2.1.1.4"><ci id="A2.E159.m1.2.2.1.1.1.cmml" xref="A2.E159.m1.2.2.1.1.1">𝐼</ci><ci id="A2.E159.m1.2.2.1.1.2.cmml" xref="A2.E159.m1.2.2.1.1.2">𝜎</ci></list></apply></apply></apply><apply id="A2.E159.m1.5.5.2.2.3.cmml" xref="A2.E159.m1.5.5.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E159.m1.5.5.2.2.3a.cmml" xref="A2.E159.m1.5.5.2.2.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="A2.E159.m1.5.5.2.2.1.1.cmml" xref="A2.E159.m1.5.5.2.2.1.1"><in id="A2.E159.m1.5.5.2.2.1.1.2.cmml" xref="A2.E159.m1.5.5.2.2.1.1.2"></in><ci id="A2.E159.m1.5.5.2.2.1.1.3.cmml" xref="A2.E159.m1.5.5.2.2.1.1.3">𝜎</ci><list id="A2.E159.m1.5.5.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="A2.E159.m1.5.5.2.2.1.1.1.1"><apply id="A2.E159.m1.5.5.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="A2.E159.m1.5.5.2.2.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E159.m1.5.5.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A2.E159.m1.5.5.2.2.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="A2.E159.m1.5.5.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A2.E159.m1.5.5.2.2.1.1.1.1.1.2">𝔻</ci><ci id="A2.E159.m1.5.5.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A2.E159.m1.5.5.2.2.1.1.1.1.1.3">𝑡</ci></apply><ci id="A2.E159.m1.3.3.cmml" xref="A2.E159.m1.3.3">𝑖</ci></list></apply><apply id="A2.E159.m1.5.5.2.2.2.2.cmml" xref="A2.E159.m1.5.5.2.2.2.2"><in id="A2.E159.m1.5.5.2.2.2.2.2.cmml" xref="A2.E159.m1.5.5.2.2.2.2.2"></in><ci id="A2.E159.m1.5.5.2.2.2.2.3.cmml" xref="A2.E159.m1.5.5.2.2.2.2.3">𝑗</ci><set id="A2.E159.m1.5.5.2.2.2.2.1.2.cmml" xref="A2.E159.m1.5.5.2.2.2.2.1.1"><apply id="A2.E159.m1.5.5.2.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="A2.E159.m1.5.5.2.2.2.2.1.1.1"><times id="A2.E159.m1.5.5.2.2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="A2.E159.m1.5.5.2.2.2.2.1.1.1.1"></times><cn id="A2.E159.m1.5.5.2.2.2.2.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="A2.E159.m1.5.5.2.2.2.2.1.1.1.2">1</cn><ci id="A2.E159.m1.5.5.2.2.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="A2.E159.m1.5.5.2.2.2.2.1.1.1.3">…</ci><apply id="A2.E159.m1.5.5.2.2.2.2.1.1.1.4.cmml" xref="A2.E159.m1.5.5.2.2.2.2.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E159.m1.5.5.2.2.2.2.1.1.1.4.1.cmml" xref="A2.E159.m1.5.5.2.2.2.2.1.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="A2.E159.m1.5.5.2.2.2.2.1.1.1.4.2.cmml" xref="A2.E159.m1.5.5.2.2.2.2.1.1.1.4.2">𝑑</ci><ci id="A2.E159.m1.5.5.2.2.2.2.1.1.1.4.3.cmml" xref="A2.E159.m1.5.5.2.2.2.2.1.1.1.4.3">𝜈</ci></apply></apply></set></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.E159.m1.5c">\displaystyle\left\{\ket{e_{\nu}^{ij,\sigma}}=R_{\nu}^{ij}\ket{I,\sigma}\bigg{% |}\sigma\in\mathbb{D}_{t},i,j\in\{1...d_{\nu}\}\right\}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.E159.m1.5d">{ | start_ARG italic_e start_POSTSUBSCRIPT italic_ν end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_i italic_j , italic_σ end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG ⟩ = italic_R start_POSTSUBSCRIPT italic_ν end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_i italic_j end_POSTSUPERSCRIPT | start_ARG italic_I , italic_σ end_ARG ⟩ | italic_σ ∈ blackboard_D start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT , italic_i , italic_j ∈ { 1 … italic_d start_POSTSUBSCRIPT italic_ν end_POSTSUBSCRIPT } }</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(159)</span></td> </tr></tbody> </table> </div> </div> <div class="ltx_proof" id="A2.SS4.3"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_font_italic ltx_title_proof">Proof.</h6> <div class="ltx_para" id="A2.SS4.3.p1"> <p class="ltx_p" id="A2.SS4.3.p1.4">From the fourth property of Lemma <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#Thmtheorem57" title="Lemma 57. ‣ B.4 Proof of Lemma 35 ‣ Appendix B Assorted proofs ‣ Conditional 𝑡-independent spectral gap for random quantum circuits and implications for 𝑡-design depths"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">57</span></a>,</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_gather ltx_eqn_table" id="S6.EGx135"> <tbody id="A2.E160"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\displaystyle P_{\nu}R_{\nu}^{ij}\ket{I,\sigma}=R_{\nu}^{ij}\ket{I,\sigma}" class="ltx_Math" display="block" id="A2.E160.m1.2"><semantics id="A2.E160.m1.2a"><mrow id="A2.E160.m1.2.3" xref="A2.E160.m1.2.3.cmml"><mrow id="A2.E160.m1.2.3.2" xref="A2.E160.m1.2.3.2.cmml"><msub id="A2.E160.m1.2.3.2.2" xref="A2.E160.m1.2.3.2.2.cmml"><mi id="A2.E160.m1.2.3.2.2.2" xref="A2.E160.m1.2.3.2.2.2.cmml">P</mi><mi id="A2.E160.m1.2.3.2.2.3" xref="A2.E160.m1.2.3.2.2.3.cmml">ν</mi></msub><mo id="A2.E160.m1.2.3.2.1" xref="A2.E160.m1.2.3.2.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="A2.E160.m1.2.3.2.3" xref="A2.E160.m1.2.3.2.3.cmml"><mi id="A2.E160.m1.2.3.2.3.2.2" xref="A2.E160.m1.2.3.2.3.2.2.cmml">R</mi><mi id="A2.E160.m1.2.3.2.3.2.3" xref="A2.E160.m1.2.3.2.3.2.3.cmml">ν</mi><mrow id="A2.E160.m1.2.3.2.3.3" xref="A2.E160.m1.2.3.2.3.3.cmml"><mi id="A2.E160.m1.2.3.2.3.3.2" xref="A2.E160.m1.2.3.2.3.3.2.cmml">i</mi><mo id="A2.E160.m1.2.3.2.3.3.1" xref="A2.E160.m1.2.3.2.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A2.E160.m1.2.3.2.3.3.3" xref="A2.E160.m1.2.3.2.3.3.3.cmml">j</mi></mrow></msubsup><mo id="A2.E160.m1.2.3.2.1a" xref="A2.E160.m1.2.3.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A2.E160.m1.1.1.3" xref="A2.E160.m1.1.1.2.cmml"><mo id="A2.E160.m1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="A2.E160.m1.1.1.2.1.cmml">|</mo><mrow id="A2.E160.m1.1.1.1.1.4" xref="A2.E160.m1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A2.E160.m1.1.1.1.1.1" xref="A2.E160.m1.1.1.1.1.1.cmml">I</mi><mo id="A2.E160.m1.1.1.1.1.4.1" xref="A2.E160.m1.1.1.1.1.3.cmml">,</mo><mi id="A2.E160.m1.1.1.1.1.2" xref="A2.E160.m1.1.1.1.1.2.cmml">σ</mi></mrow><mo id="A2.E160.m1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="A2.E160.m1.1.1.2.1.cmml">⟩</mo></mrow></mrow><mo id="A2.E160.m1.2.3.1" xref="A2.E160.m1.2.3.1.cmml">=</mo><mrow id="A2.E160.m1.2.3.3" xref="A2.E160.m1.2.3.3.cmml"><msubsup id="A2.E160.m1.2.3.3.2" xref="A2.E160.m1.2.3.3.2.cmml"><mi id="A2.E160.m1.2.3.3.2.2.2" xref="A2.E160.m1.2.3.3.2.2.2.cmml">R</mi><mi id="A2.E160.m1.2.3.3.2.2.3" xref="A2.E160.m1.2.3.3.2.2.3.cmml">ν</mi><mrow id="A2.E160.m1.2.3.3.2.3" xref="A2.E160.m1.2.3.3.2.3.cmml"><mi id="A2.E160.m1.2.3.3.2.3.2" xref="A2.E160.m1.2.3.3.2.3.2.cmml">i</mi><mo id="A2.E160.m1.2.3.3.2.3.1" xref="A2.E160.m1.2.3.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A2.E160.m1.2.3.3.2.3.3" xref="A2.E160.m1.2.3.3.2.3.3.cmml">j</mi></mrow></msubsup><mo id="A2.E160.m1.2.3.3.1" xref="A2.E160.m1.2.3.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A2.E160.m1.2.2.3" xref="A2.E160.m1.2.2.2.cmml"><mo id="A2.E160.m1.2.2.3.1" stretchy="false" xref="A2.E160.m1.2.2.2.1.cmml">|</mo><mrow id="A2.E160.m1.2.2.1.1.4" xref="A2.E160.m1.2.2.1.1.3.cmml"><mi id="A2.E160.m1.2.2.1.1.1" xref="A2.E160.m1.2.2.1.1.1.cmml">I</mi><mo id="A2.E160.m1.2.2.1.1.4.1" xref="A2.E160.m1.2.2.1.1.3.cmml">,</mo><mi id="A2.E160.m1.2.2.1.1.2" xref="A2.E160.m1.2.2.1.1.2.cmml">σ</mi></mrow><mo id="A2.E160.m1.2.2.3.2" stretchy="false" xref="A2.E160.m1.2.2.2.1.cmml">⟩</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.E160.m1.2b"><apply id="A2.E160.m1.2.3.cmml" xref="A2.E160.m1.2.3"><eq id="A2.E160.m1.2.3.1.cmml" xref="A2.E160.m1.2.3.1"></eq><apply id="A2.E160.m1.2.3.2.cmml" xref="A2.E160.m1.2.3.2"><times id="A2.E160.m1.2.3.2.1.cmml" xref="A2.E160.m1.2.3.2.1"></times><apply id="A2.E160.m1.2.3.2.2.cmml" xref="A2.E160.m1.2.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E160.m1.2.3.2.2.1.cmml" xref="A2.E160.m1.2.3.2.2">subscript</csymbol><ci id="A2.E160.m1.2.3.2.2.2.cmml" xref="A2.E160.m1.2.3.2.2.2">𝑃</ci><ci id="A2.E160.m1.2.3.2.2.3.cmml" xref="A2.E160.m1.2.3.2.2.3">𝜈</ci></apply><apply id="A2.E160.m1.2.3.2.3.cmml" xref="A2.E160.m1.2.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E160.m1.2.3.2.3.1.cmml" xref="A2.E160.m1.2.3.2.3">superscript</csymbol><apply id="A2.E160.m1.2.3.2.3.2.cmml" xref="A2.E160.m1.2.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E160.m1.2.3.2.3.2.1.cmml" xref="A2.E160.m1.2.3.2.3">subscript</csymbol><ci id="A2.E160.m1.2.3.2.3.2.2.cmml" xref="A2.E160.m1.2.3.2.3.2.2">𝑅</ci><ci id="A2.E160.m1.2.3.2.3.2.3.cmml" xref="A2.E160.m1.2.3.2.3.2.3">𝜈</ci></apply><apply id="A2.E160.m1.2.3.2.3.3.cmml" xref="A2.E160.m1.2.3.2.3.3"><times id="A2.E160.m1.2.3.2.3.3.1.cmml" xref="A2.E160.m1.2.3.2.3.3.1"></times><ci id="A2.E160.m1.2.3.2.3.3.2.cmml" xref="A2.E160.m1.2.3.2.3.3.2">𝑖</ci><ci id="A2.E160.m1.2.3.2.3.3.3.cmml" xref="A2.E160.m1.2.3.2.3.3.3">𝑗</ci></apply></apply><apply id="A2.E160.m1.1.1.2.cmml" xref="A2.E160.m1.1.1.3"><csymbol cd="latexml" id="A2.E160.m1.1.1.2.1.cmml" xref="A2.E160.m1.1.1.3.1">ket</csymbol><list id="A2.E160.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A2.E160.m1.1.1.1.1.4"><ci id="A2.E160.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A2.E160.m1.1.1.1.1.1">𝐼</ci><ci id="A2.E160.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A2.E160.m1.1.1.1.1.2">𝜎</ci></list></apply></apply><apply id="A2.E160.m1.2.3.3.cmml" xref="A2.E160.m1.2.3.3"><times id="A2.E160.m1.2.3.3.1.cmml" xref="A2.E160.m1.2.3.3.1"></times><apply id="A2.E160.m1.2.3.3.2.cmml" xref="A2.E160.m1.2.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E160.m1.2.3.3.2.1.cmml" xref="A2.E160.m1.2.3.3.2">superscript</csymbol><apply id="A2.E160.m1.2.3.3.2.2.cmml" xref="A2.E160.m1.2.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E160.m1.2.3.3.2.2.1.cmml" xref="A2.E160.m1.2.3.3.2">subscript</csymbol><ci id="A2.E160.m1.2.3.3.2.2.2.cmml" xref="A2.E160.m1.2.3.3.2.2.2">𝑅</ci><ci id="A2.E160.m1.2.3.3.2.2.3.cmml" xref="A2.E160.m1.2.3.3.2.2.3">𝜈</ci></apply><apply id="A2.E160.m1.2.3.3.2.3.cmml" xref="A2.E160.m1.2.3.3.2.3"><times id="A2.E160.m1.2.3.3.2.3.1.cmml" xref="A2.E160.m1.2.3.3.2.3.1"></times><ci id="A2.E160.m1.2.3.3.2.3.2.cmml" xref="A2.E160.m1.2.3.3.2.3.2">𝑖</ci><ci id="A2.E160.m1.2.3.3.2.3.3.cmml" xref="A2.E160.m1.2.3.3.2.3.3">𝑗</ci></apply></apply><apply id="A2.E160.m1.2.2.2.cmml" xref="A2.E160.m1.2.2.3"><csymbol cd="latexml" id="A2.E160.m1.2.2.2.1.cmml" xref="A2.E160.m1.2.2.3.1">ket</csymbol><list id="A2.E160.m1.2.2.1.1.3.cmml" xref="A2.E160.m1.2.2.1.1.4"><ci id="A2.E160.m1.2.2.1.1.1.cmml" xref="A2.E160.m1.2.2.1.1.1">𝐼</ci><ci id="A2.E160.m1.2.2.1.1.2.cmml" xref="A2.E160.m1.2.2.1.1.2">𝜎</ci></list></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.E160.m1.2c">\displaystyle P_{\nu}R_{\nu}^{ij}\ket{I,\sigma}=R_{\nu}^{ij}\ket{I,\sigma}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.E160.m1.2d">italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_ν end_POSTSUBSCRIPT italic_R start_POSTSUBSCRIPT italic_ν end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_i italic_j end_POSTSUPERSCRIPT | start_ARG italic_I , italic_σ end_ARG ⟩ = italic_R start_POSTSUBSCRIPT italic_ν end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_i italic_j end_POSTSUPERSCRIPT | start_ARG italic_I , italic_σ end_ARG ⟩</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(160)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="A2.SS4.3.p1.5">and so the basis elements lie in the isotypic components. It remains to show that the basis is complete. Applying the canonical idempotent to an arbitrary state, we obtain</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="S6.EGx136"> <tbody id="A2.E161"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle P_{\nu}\ket{\pi,\rho}" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.E161.m1.1"><semantics id="A2.E161.m1.1a"><mrow id="A2.E161.m1.1.2" xref="A2.E161.m1.1.2.cmml"><msub id="A2.E161.m1.1.2.2" xref="A2.E161.m1.1.2.2.cmml"><mi id="A2.E161.m1.1.2.2.2" xref="A2.E161.m1.1.2.2.2.cmml">P</mi><mi id="A2.E161.m1.1.2.2.3" xref="A2.E161.m1.1.2.2.3.cmml">ν</mi></msub><mo id="A2.E161.m1.1.2.1" xref="A2.E161.m1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A2.E161.m1.1.1a.3" xref="A2.E161.m1.1.1a.2.cmml"><mo id="A2.E161.m1.1.1a.3.1" stretchy="false" xref="A2.E161.m1.1.1a.2.1.cmml">|</mo><mrow id="A2.E161.m1.1.1.1.1.4" xref="A2.E161.m1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A2.E161.m1.1.1.1.1.1" xref="A2.E161.m1.1.1.1.1.1.cmml">π</mi><mo id="A2.E161.m1.1.1.1.1.4.1" xref="A2.E161.m1.1.1.1.1.3.cmml">,</mo><mi id="A2.E161.m1.1.1.1.1.2" xref="A2.E161.m1.1.1.1.1.2.cmml">ρ</mi></mrow><mo id="A2.E161.m1.1.1a.3.2" stretchy="false" xref="A2.E161.m1.1.1a.2.1.cmml">⟩</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.E161.m1.1b"><apply id="A2.E161.m1.1.2.cmml" xref="A2.E161.m1.1.2"><times id="A2.E161.m1.1.2.1.cmml" xref="A2.E161.m1.1.2.1"></times><apply id="A2.E161.m1.1.2.2.cmml" xref="A2.E161.m1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E161.m1.1.2.2.1.cmml" xref="A2.E161.m1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="A2.E161.m1.1.2.2.2.cmml" xref="A2.E161.m1.1.2.2.2">𝑃</ci><ci id="A2.E161.m1.1.2.2.3.cmml" xref="A2.E161.m1.1.2.2.3">𝜈</ci></apply><apply id="A2.E161.m1.1.1a.2.cmml" xref="A2.E161.m1.1.1a.3"><csymbol cd="latexml" id="A2.E161.m1.1.1a.2.1.cmml" xref="A2.E161.m1.1.1a.3.1">ket</csymbol><list id="A2.E161.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A2.E161.m1.1.1.1.1.4"><ci id="A2.E161.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A2.E161.m1.1.1.1.1.1">𝜋</ci><ci id="A2.E161.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A2.E161.m1.1.1.1.1.2">𝜌</ci></list></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.E161.m1.1c">\displaystyle P_{\nu}\ket{\pi,\rho}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.E161.m1.1d">italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_ν end_POSTSUBSCRIPT | start_ARG italic_π , italic_ρ end_ARG ⟩</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=\frac{\chi_{\nu}(1)}{t!}\sum_{\tau}\chi_{\nu}(\tau^{-1})\ket{% \tau\pi,\tau\rho}" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.E161.m2.3"><semantics id="A2.E161.m2.3a"><mrow id="A2.E161.m2.3.3" xref="A2.E161.m2.3.3.cmml"><mi id="A2.E161.m2.3.3.3" xref="A2.E161.m2.3.3.3.cmml"></mi><mo id="A2.E161.m2.3.3.2" xref="A2.E161.m2.3.3.2.cmml">=</mo><mrow id="A2.E161.m2.3.3.1" xref="A2.E161.m2.3.3.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A2.E161.m2.2.2" xref="A2.E161.m2.2.2.cmml"><mfrac id="A2.E161.m2.2.2a" xref="A2.E161.m2.2.2.cmml"><mrow id="A2.E161.m2.2.2.1" xref="A2.E161.m2.2.2.1.cmml"><msub id="A2.E161.m2.2.2.1.3" xref="A2.E161.m2.2.2.1.3.cmml"><mi id="A2.E161.m2.2.2.1.3.2" xref="A2.E161.m2.2.2.1.3.2.cmml">χ</mi><mi id="A2.E161.m2.2.2.1.3.3" xref="A2.E161.m2.2.2.1.3.3.cmml">ν</mi></msub><mo id="A2.E161.m2.2.2.1.2" xref="A2.E161.m2.2.2.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A2.E161.m2.2.2.1.4.2" xref="A2.E161.m2.2.2.1.cmml"><mo id="A2.E161.m2.2.2.1.4.2.1" stretchy="false" xref="A2.E161.m2.2.2.1.cmml">(</mo><mn id="A2.E161.m2.2.2.1.1" xref="A2.E161.m2.2.2.1.1.cmml">1</mn><mo id="A2.E161.m2.2.2.1.4.2.2" stretchy="false" xref="A2.E161.m2.2.2.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mrow id="A2.E161.m2.2.2.3" xref="A2.E161.m2.2.2.3.cmml"><mi id="A2.E161.m2.2.2.3.2" xref="A2.E161.m2.2.2.3.2.cmml">t</mi><mo id="A2.E161.m2.2.2.3.1" xref="A2.E161.m2.2.2.3.1.cmml">!</mo></mrow></mfrac></mstyle><mo id="A2.E161.m2.3.3.1.2" xref="A2.E161.m2.3.3.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A2.E161.m2.3.3.1.1" xref="A2.E161.m2.3.3.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A2.E161.m2.3.3.1.1.2" xref="A2.E161.m2.3.3.1.1.2.cmml"><munder id="A2.E161.m2.3.3.1.1.2a" xref="A2.E161.m2.3.3.1.1.2.cmml"><mo id="A2.E161.m2.3.3.1.1.2.2" movablelimits="false" xref="A2.E161.m2.3.3.1.1.2.2.cmml">∑</mo><mi id="A2.E161.m2.3.3.1.1.2.3" xref="A2.E161.m2.3.3.1.1.2.3.cmml">τ</mi></munder></mstyle><mrow id="A2.E161.m2.3.3.1.1.1" xref="A2.E161.m2.3.3.1.1.1.cmml"><msub id="A2.E161.m2.3.3.1.1.1.3" xref="A2.E161.m2.3.3.1.1.1.3.cmml"><mi id="A2.E161.m2.3.3.1.1.1.3.2" xref="A2.E161.m2.3.3.1.1.1.3.2.cmml">χ</mi><mi id="A2.E161.m2.3.3.1.1.1.3.3" xref="A2.E161.m2.3.3.1.1.1.3.3.cmml">ν</mi></msub><mo id="A2.E161.m2.3.3.1.1.1.2" xref="A2.E161.m2.3.3.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A2.E161.m2.3.3.1.1.1.1.1" xref="A2.E161.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A2.E161.m2.3.3.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A2.E161.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup 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id="A2.E162.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1" xref="A2.E162.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msup id="A2.E162.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3" xref="A2.E162.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A2.E162.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A2.E162.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">τ</mi><mrow id="A2.E162.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A2.E162.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mo id="A2.E162.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.3a" xref="A2.E162.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">−</mo><mn id="A2.E162.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="A2.E162.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup></mrow><mo id="A2.E162.m1.3.3.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A2.E162.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A2.E162.m1.3.3.1.1.1.2a" xref="A2.E162.m1.3.3.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A2.E162.m1.1.1a.3" xref="A2.E162.m1.1.1a.2.cmml"><mo id="A2.E162.m1.1.1a.3.1" stretchy="false" xref="A2.E162.m1.1.1a.2.1.cmml">|</mo><mrow id="A2.E162.m1.1.1.1.1.2" xref="A2.E162.m1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A2.E162.m1.1.1.1.1.1" xref="A2.E162.m1.1.1.1.1.1.cmml">τ</mi><mo id="A2.E162.m1.1.1.1.1.2.2" xref="A2.E162.m1.1.1.1.1.3.cmml">,</mo><mrow id="A2.E162.m1.1.1.1.1.2.1" xref="A2.E162.m1.1.1.1.1.2.1.cmml"><mi id="A2.E162.m1.1.1.1.1.2.1.2" xref="A2.E162.m1.1.1.1.1.2.1.2.cmml">τ</mi><mo id="A2.E162.m1.1.1.1.1.2.1.1" xref="A2.E162.m1.1.1.1.1.2.1.1.cmml">⁢</mo><msup id="A2.E162.m1.1.1.1.1.2.1.3" xref="A2.E162.m1.1.1.1.1.2.1.3.cmml"><mi id="A2.E162.m1.1.1.1.1.2.1.3.2" xref="A2.E162.m1.1.1.1.1.2.1.3.2.cmml">π</mi><mrow id="A2.E162.m1.1.1.1.1.2.1.3.3" xref="A2.E162.m1.1.1.1.1.2.1.3.3.cmml"><mo id="A2.E162.m1.1.1.1.1.2.1.3.3a" xref="A2.E162.m1.1.1.1.1.2.1.3.3.cmml">−</mo><mn id="A2.E162.m1.1.1.1.1.2.1.3.3.2" xref="A2.E162.m1.1.1.1.1.2.1.3.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="A2.E162.m1.1.1.1.1.2.1.1a" xref="A2.E162.m1.1.1.1.1.2.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="A2.E162.m1.1.1.1.1.2.1.4" xref="A2.E162.m1.1.1.1.1.2.1.4.cmml">ρ</mi></mrow></mrow><mo id="A2.E162.m1.1.1a.3.2" stretchy="false" 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⟩</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(162)</span></td> </tr></tbody> <tbody id="A2.E163"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=\frac{\chi_{\nu}(1)}{t!}\sum_{\tau,i,j}V_{\nu}^{ij}(\tau^{-1})V_% {\nu}^{ji}(\pi)\ket{\tau,\tau\pi^{-1}\rho}" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.E163.m1.7"><semantics id="A2.E163.m1.7a"><mrow id="A2.E163.m1.7.7" xref="A2.E163.m1.7.7.cmml"><mi id="A2.E163.m1.7.7.3" xref="A2.E163.m1.7.7.3.cmml"></mi><mo id="A2.E163.m1.7.7.2" xref="A2.E163.m1.7.7.2.cmml">=</mo><mrow id="A2.E163.m1.7.7.1" xref="A2.E163.m1.7.7.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A2.E163.m1.2.2" 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id="A2.E163.m1.7.7.1.1" xref="A2.E163.m1.7.7.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A2.E163.m1.7.7.1.1.2" xref="A2.E163.m1.7.7.1.1.2.cmml"><munder id="A2.E163.m1.7.7.1.1.2a" xref="A2.E163.m1.7.7.1.1.2.cmml"><mo id="A2.E163.m1.7.7.1.1.2.2" movablelimits="false" xref="A2.E163.m1.7.7.1.1.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="A2.E163.m1.5.5.3.5" xref="A2.E163.m1.5.5.3.4.cmml"><mi id="A2.E163.m1.3.3.1.1" xref="A2.E163.m1.3.3.1.1.cmml">τ</mi><mo id="A2.E163.m1.5.5.3.5.1" xref="A2.E163.m1.5.5.3.4.cmml">,</mo><mi id="A2.E163.m1.4.4.2.2" xref="A2.E163.m1.4.4.2.2.cmml">i</mi><mo id="A2.E163.m1.5.5.3.5.2" xref="A2.E163.m1.5.5.3.4.cmml">,</mo><mi id="A2.E163.m1.5.5.3.3" xref="A2.E163.m1.5.5.3.3.cmml">j</mi></mrow></munder></mstyle><mrow id="A2.E163.m1.7.7.1.1.1" xref="A2.E163.m1.7.7.1.1.1.cmml"><msubsup id="A2.E163.m1.7.7.1.1.1.3" xref="A2.E163.m1.7.7.1.1.1.3.cmml"><mi id="A2.E163.m1.7.7.1.1.1.3.2.2" xref="A2.E163.m1.7.7.1.1.1.3.2.2.cmml">V</mi><mi id="A2.E163.m1.7.7.1.1.1.3.2.3" xref="A2.E163.m1.7.7.1.1.1.3.2.3.cmml">ν</mi><mrow id="A2.E163.m1.7.7.1.1.1.3.3" xref="A2.E163.m1.7.7.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="A2.E163.m1.7.7.1.1.1.3.3.2" xref="A2.E163.m1.7.7.1.1.1.3.3.2.cmml">i</mi><mo id="A2.E163.m1.7.7.1.1.1.3.3.1" xref="A2.E163.m1.7.7.1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A2.E163.m1.7.7.1.1.1.3.3.3" xref="A2.E163.m1.7.7.1.1.1.3.3.3.cmml">j</mi></mrow></msubsup><mo id="A2.E163.m1.7.7.1.1.1.2" xref="A2.E163.m1.7.7.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A2.E163.m1.7.7.1.1.1.1.1" xref="A2.E163.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A2.E163.m1.7.7.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A2.E163.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="A2.E163.m1.7.7.1.1.1.1.1.1" xref="A2.E163.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A2.E163.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2" xref="A2.E163.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.cmml">τ</mi><mrow id="A2.E163.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.3" xref="A2.E163.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="A2.E163.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.3a" xref="A2.E163.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.3.cmml">−</mo><mn id="A2.E163.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A2.E163.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="A2.E163.m1.7.7.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A2.E163.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A2.E163.m1.7.7.1.1.1.2a" xref="A2.E163.m1.7.7.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msubsup id="A2.E163.m1.7.7.1.1.1.4" xref="A2.E163.m1.7.7.1.1.1.4.cmml"><mi id="A2.E163.m1.7.7.1.1.1.4.2.2" xref="A2.E163.m1.7.7.1.1.1.4.2.2.cmml">V</mi><mi id="A2.E163.m1.7.7.1.1.1.4.2.3" xref="A2.E163.m1.7.7.1.1.1.4.2.3.cmml">ν</mi><mrow id="A2.E163.m1.7.7.1.1.1.4.3" xref="A2.E163.m1.7.7.1.1.1.4.3.cmml"><mi id="A2.E163.m1.7.7.1.1.1.4.3.2" xref="A2.E163.m1.7.7.1.1.1.4.3.2.cmml">j</mi><mo id="A2.E163.m1.7.7.1.1.1.4.3.1" xref="A2.E163.m1.7.7.1.1.1.4.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A2.E163.m1.7.7.1.1.1.4.3.3" xref="A2.E163.m1.7.7.1.1.1.4.3.3.cmml">i</mi></mrow></msubsup><mo id="A2.E163.m1.7.7.1.1.1.2b" xref="A2.E163.m1.7.7.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A2.E163.m1.7.7.1.1.1.5.2" xref="A2.E163.m1.7.7.1.1.1.cmml"><mo id="A2.E163.m1.7.7.1.1.1.5.2.1" stretchy="false" xref="A2.E163.m1.7.7.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="A2.E163.m1.6.6" xref="A2.E163.m1.6.6.cmml">π</mi><mo id="A2.E163.m1.7.7.1.1.1.5.2.2" stretchy="false" xref="A2.E163.m1.7.7.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A2.E163.m1.7.7.1.1.1.2c" xref="A2.E163.m1.7.7.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A2.E163.m1.1.1a.3" xref="A2.E163.m1.1.1a.2.cmml"><mo id="A2.E163.m1.1.1a.3.1" stretchy="false" xref="A2.E163.m1.1.1a.2.1.cmml">|</mo><mrow id="A2.E163.m1.1.1.1.1.2" xref="A2.E163.m1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A2.E163.m1.1.1.1.1.1" xref="A2.E163.m1.1.1.1.1.1.cmml">τ</mi><mo id="A2.E163.m1.1.1.1.1.2.2" xref="A2.E163.m1.1.1.1.1.3.cmml">,</mo><mrow id="A2.E163.m1.1.1.1.1.2.1" xref="A2.E163.m1.1.1.1.1.2.1.cmml"><mi id="A2.E163.m1.1.1.1.1.2.1.2" xref="A2.E163.m1.1.1.1.1.2.1.2.cmml">τ</mi><mo id="A2.E163.m1.1.1.1.1.2.1.1" xref="A2.E163.m1.1.1.1.1.2.1.1.cmml">⁢</mo><msup id="A2.E163.m1.1.1.1.1.2.1.3" xref="A2.E163.m1.1.1.1.1.2.1.3.cmml"><mi id="A2.E163.m1.1.1.1.1.2.1.3.2" xref="A2.E163.m1.1.1.1.1.2.1.3.2.cmml">π</mi><mrow id="A2.E163.m1.1.1.1.1.2.1.3.3" xref="A2.E163.m1.1.1.1.1.2.1.3.3.cmml"><mo id="A2.E163.m1.1.1.1.1.2.1.3.3a" xref="A2.E163.m1.1.1.1.1.2.1.3.3.cmml">−</mo><mn id="A2.E163.m1.1.1.1.1.2.1.3.3.2" xref="A2.E163.m1.1.1.1.1.2.1.3.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="A2.E163.m1.1.1.1.1.2.1.1a" xref="A2.E163.m1.1.1.1.1.2.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="A2.E163.m1.1.1.1.1.2.1.4" xref="A2.E163.m1.1.1.1.1.2.1.4.cmml">ρ</mi></mrow></mrow><mo id="A2.E163.m1.1.1a.3.2" stretchy="false" xref="A2.E163.m1.1.1a.2.1.cmml">⟩</mo></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.E163.m1.7b"><apply id="A2.E163.m1.7.7.cmml" xref="A2.E163.m1.7.7"><eq id="A2.E163.m1.7.7.2.cmml" xref="A2.E163.m1.7.7.2"></eq><csymbol cd="latexml" id="A2.E163.m1.7.7.3.cmml" xref="A2.E163.m1.7.7.3">absent</csymbol><apply id="A2.E163.m1.7.7.1.cmml" xref="A2.E163.m1.7.7.1"><times id="A2.E163.m1.7.7.1.2.cmml" xref="A2.E163.m1.7.7.1.2"></times><apply id="A2.E163.m1.2.2.cmml" xref="A2.E163.m1.2.2"><divide id="A2.E163.m1.2.2.2.cmml" xref="A2.E163.m1.2.2"></divide><apply id="A2.E163.m1.2.2.1.cmml" xref="A2.E163.m1.2.2.1"><times id="A2.E163.m1.2.2.1.2.cmml" xref="A2.E163.m1.2.2.1.2"></times><apply id="A2.E163.m1.2.2.1.3.cmml" xref="A2.E163.m1.2.2.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E163.m1.2.2.1.3.1.cmml" xref="A2.E163.m1.2.2.1.3">subscript</csymbol><ci id="A2.E163.m1.2.2.1.3.2.cmml" xref="A2.E163.m1.2.2.1.3.2">𝜒</ci><ci id="A2.E163.m1.2.2.1.3.3.cmml" xref="A2.E163.m1.2.2.1.3.3">𝜈</ci></apply><cn id="A2.E163.m1.2.2.1.1.cmml" type="integer" xref="A2.E163.m1.2.2.1.1">1</cn></apply><apply id="A2.E163.m1.2.2.3.cmml" xref="A2.E163.m1.2.2.3"><factorial id="A2.E163.m1.2.2.3.1.cmml" xref="A2.E163.m1.2.2.3.1"></factorial><ci id="A2.E163.m1.2.2.3.2.cmml" xref="A2.E163.m1.2.2.3.2">𝑡</ci></apply></apply><apply id="A2.E163.m1.7.7.1.1.cmml" xref="A2.E163.m1.7.7.1.1"><apply id="A2.E163.m1.7.7.1.1.2.cmml" xref="A2.E163.m1.7.7.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E163.m1.7.7.1.1.2.1.cmml" xref="A2.E163.m1.7.7.1.1.2">subscript</csymbol><sum id="A2.E163.m1.7.7.1.1.2.2.cmml" xref="A2.E163.m1.7.7.1.1.2.2"></sum><list id="A2.E163.m1.5.5.3.4.cmml" xref="A2.E163.m1.5.5.3.5"><ci id="A2.E163.m1.3.3.1.1.cmml" xref="A2.E163.m1.3.3.1.1">𝜏</ci><ci id="A2.E163.m1.4.4.2.2.cmml" xref="A2.E163.m1.4.4.2.2">𝑖</ci><ci id="A2.E163.m1.5.5.3.3.cmml" xref="A2.E163.m1.5.5.3.3">𝑗</ci></list></apply><apply id="A2.E163.m1.7.7.1.1.1.cmml" xref="A2.E163.m1.7.7.1.1.1"><times id="A2.E163.m1.7.7.1.1.1.2.cmml" xref="A2.E163.m1.7.7.1.1.1.2"></times><apply id="A2.E163.m1.7.7.1.1.1.3.cmml" xref="A2.E163.m1.7.7.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E163.m1.7.7.1.1.1.3.1.cmml" xref="A2.E163.m1.7.7.1.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="A2.E163.m1.7.7.1.1.1.3.2.cmml" xref="A2.E163.m1.7.7.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E163.m1.7.7.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="A2.E163.m1.7.7.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A2.E163.m1.7.7.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="A2.E163.m1.7.7.1.1.1.3.2.2">𝑉</ci><ci id="A2.E163.m1.7.7.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="A2.E163.m1.7.7.1.1.1.3.2.3">𝜈</ci></apply><apply id="A2.E163.m1.7.7.1.1.1.3.3.cmml" xref="A2.E163.m1.7.7.1.1.1.3.3"><times id="A2.E163.m1.7.7.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="A2.E163.m1.7.7.1.1.1.3.3.1"></times><ci id="A2.E163.m1.7.7.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="A2.E163.m1.7.7.1.1.1.3.3.2">𝑖</ci><ci id="A2.E163.m1.7.7.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="A2.E163.m1.7.7.1.1.1.3.3.3">𝑗</ci></apply></apply><apply id="A2.E163.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A2.E163.m1.7.7.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E163.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A2.E163.m1.7.7.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="A2.E163.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A2.E163.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2">𝜏</ci><apply id="A2.E163.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A2.E163.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.3"><minus id="A2.E163.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A2.E163.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.3"></minus><cn id="A2.E163.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" 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id="A2.E163.m1.1.1a.2.cmml" xref="A2.E163.m1.1.1a.3"><csymbol cd="latexml" id="A2.E163.m1.1.1a.2.1.cmml" xref="A2.E163.m1.1.1a.3.1">ket</csymbol><list id="A2.E163.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A2.E163.m1.1.1.1.1.2"><ci id="A2.E163.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A2.E163.m1.1.1.1.1.1">𝜏</ci><apply id="A2.E163.m1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A2.E163.m1.1.1.1.1.2.1"><times id="A2.E163.m1.1.1.1.1.2.1.1.cmml" xref="A2.E163.m1.1.1.1.1.2.1.1"></times><ci id="A2.E163.m1.1.1.1.1.2.1.2.cmml" xref="A2.E163.m1.1.1.1.1.2.1.2">𝜏</ci><apply id="A2.E163.m1.1.1.1.1.2.1.3.cmml" xref="A2.E163.m1.1.1.1.1.2.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E163.m1.1.1.1.1.2.1.3.1.cmml" xref="A2.E163.m1.1.1.1.1.2.1.3">superscript</csymbol><ci id="A2.E163.m1.1.1.1.1.2.1.3.2.cmml" xref="A2.E163.m1.1.1.1.1.2.1.3.2">𝜋</ci><apply id="A2.E163.m1.1.1.1.1.2.1.3.3.cmml" xref="A2.E163.m1.1.1.1.1.2.1.3.3"><minus id="A2.E163.m1.1.1.1.1.2.1.3.3.1.cmml" xref="A2.E163.m1.1.1.1.1.2.1.3.3"></minus><cn id="A2.E163.m1.1.1.1.1.2.1.3.3.2.cmml" type="integer" 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start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT italic_ρ end_ARG ⟩</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(163)</span></td> </tr></tbody> <tbody id="A2.E164"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=\frac{\chi_{\nu}(1)}{t!}\sum_{i,j}V_{\nu}^{ji}(\pi)\sum_{\tau}V_% {\nu}^{ij}(\tau^{-1})\ket{\tau,\tau\pi^{-1}\rho}" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.E164.m1.6"><semantics id="A2.E164.m1.6a"><mrow id="A2.E164.m1.6.6" xref="A2.E164.m1.6.6.cmml"><mi id="A2.E164.m1.6.6.3" xref="A2.E164.m1.6.6.3.cmml"></mi><mo id="A2.E164.m1.6.6.2" xref="A2.E164.m1.6.6.2.cmml">=</mo><mrow id="A2.E164.m1.6.6.1" 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xref="A2.E164.m1.2.2.3.1.cmml">!</mo></mrow></mfrac></mstyle><mo id="A2.E164.m1.6.6.1.2" xref="A2.E164.m1.6.6.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A2.E164.m1.6.6.1.1" xref="A2.E164.m1.6.6.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A2.E164.m1.6.6.1.1.2" xref="A2.E164.m1.6.6.1.1.2.cmml"><munder id="A2.E164.m1.6.6.1.1.2a" xref="A2.E164.m1.6.6.1.1.2.cmml"><mo id="A2.E164.m1.6.6.1.1.2.2" movablelimits="false" xref="A2.E164.m1.6.6.1.1.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="A2.E164.m1.4.4.2.4" xref="A2.E164.m1.4.4.2.3.cmml"><mi id="A2.E164.m1.3.3.1.1" xref="A2.E164.m1.3.3.1.1.cmml">i</mi><mo id="A2.E164.m1.4.4.2.4.1" xref="A2.E164.m1.4.4.2.3.cmml">,</mo><mi id="A2.E164.m1.4.4.2.2" xref="A2.E164.m1.4.4.2.2.cmml">j</mi></mrow></munder></mstyle><mrow id="A2.E164.m1.6.6.1.1.1" xref="A2.E164.m1.6.6.1.1.1.cmml"><msubsup id="A2.E164.m1.6.6.1.1.1.3" xref="A2.E164.m1.6.6.1.1.1.3.cmml"><mi id="A2.E164.m1.6.6.1.1.1.3.2.2" xref="A2.E164.m1.6.6.1.1.1.3.2.2.cmml">V</mi><mi id="A2.E164.m1.6.6.1.1.1.3.2.3" xref="A2.E164.m1.6.6.1.1.1.3.2.3.cmml">ν</mi><mrow id="A2.E164.m1.6.6.1.1.1.3.3" xref="A2.E164.m1.6.6.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="A2.E164.m1.6.6.1.1.1.3.3.2" xref="A2.E164.m1.6.6.1.1.1.3.3.2.cmml">j</mi><mo id="A2.E164.m1.6.6.1.1.1.3.3.1" xref="A2.E164.m1.6.6.1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A2.E164.m1.6.6.1.1.1.3.3.3" xref="A2.E164.m1.6.6.1.1.1.3.3.3.cmml">i</mi></mrow></msubsup><mo id="A2.E164.m1.6.6.1.1.1.2" xref="A2.E164.m1.6.6.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A2.E164.m1.6.6.1.1.1.4.2" xref="A2.E164.m1.6.6.1.1.1.cmml"><mo id="A2.E164.m1.6.6.1.1.1.4.2.1" stretchy="false" xref="A2.E164.m1.6.6.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="A2.E164.m1.5.5" xref="A2.E164.m1.5.5.cmml">π</mi><mo id="A2.E164.m1.6.6.1.1.1.4.2.2" stretchy="false" xref="A2.E164.m1.6.6.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A2.E164.m1.6.6.1.1.1.2a" xref="A2.E164.m1.6.6.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A2.E164.m1.6.6.1.1.1.1" xref="A2.E164.m1.6.6.1.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A2.E164.m1.6.6.1.1.1.1.2" xref="A2.E164.m1.6.6.1.1.1.1.2.cmml"><munder id="A2.E164.m1.6.6.1.1.1.1.2a" xref="A2.E164.m1.6.6.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="A2.E164.m1.6.6.1.1.1.1.2.2" movablelimits="false" xref="A2.E164.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.cmml">∑</mo><mi id="A2.E164.m1.6.6.1.1.1.1.2.3" xref="A2.E164.m1.6.6.1.1.1.1.2.3.cmml">τ</mi></munder></mstyle><mrow id="A2.E164.m1.6.6.1.1.1.1.1" xref="A2.E164.m1.6.6.1.1.1.1.1.cmml"><msubsup id="A2.E164.m1.6.6.1.1.1.1.1.3" xref="A2.E164.m1.6.6.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A2.E164.m1.6.6.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="A2.E164.m1.6.6.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">V</mi><mi id="A2.E164.m1.6.6.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="A2.E164.m1.6.6.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">ν</mi><mrow id="A2.E164.m1.6.6.1.1.1.1.1.3.3" xref="A2.E164.m1.6.6.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="A2.E164.m1.6.6.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="A2.E164.m1.6.6.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">i</mi><mo id="A2.E164.m1.6.6.1.1.1.1.1.3.3.1" xref="A2.E164.m1.6.6.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A2.E164.m1.6.6.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="A2.E164.m1.6.6.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">j</mi></mrow></msubsup><mo id="A2.E164.m1.6.6.1.1.1.1.1.2" xref="A2.E164.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A2.E164.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1" xref="A2.E164.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A2.E164.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A2.E164.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="A2.E164.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A2.E164.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A2.E164.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A2.E164.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">τ</mi><mrow id="A2.E164.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A2.E164.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="A2.E164.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3a" xref="A2.E164.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">−</mo><mn id="A2.E164.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A2.E164.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="A2.E164.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A2.E164.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A2.E164.m1.6.6.1.1.1.1.1.2a" xref="A2.E164.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A2.E164.m1.1.1a.3" xref="A2.E164.m1.1.1a.2.cmml"><mo id="A2.E164.m1.1.1a.3.1" stretchy="false" xref="A2.E164.m1.1.1a.2.1.cmml">|</mo><mrow id="A2.E164.m1.1.1.1.1.2" xref="A2.E164.m1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A2.E164.m1.1.1.1.1.1" xref="A2.E164.m1.1.1.1.1.1.cmml">τ</mi><mo id="A2.E164.m1.1.1.1.1.2.2" xref="A2.E164.m1.1.1.1.1.3.cmml">,</mo><mrow id="A2.E164.m1.1.1.1.1.2.1" xref="A2.E164.m1.1.1.1.1.2.1.cmml"><mi id="A2.E164.m1.1.1.1.1.2.1.2" xref="A2.E164.m1.1.1.1.1.2.1.2.cmml">τ</mi><mo id="A2.E164.m1.1.1.1.1.2.1.1" xref="A2.E164.m1.1.1.1.1.2.1.1.cmml">⁢</mo><msup id="A2.E164.m1.1.1.1.1.2.1.3" xref="A2.E164.m1.1.1.1.1.2.1.3.cmml"><mi id="A2.E164.m1.1.1.1.1.2.1.3.2" xref="A2.E164.m1.1.1.1.1.2.1.3.2.cmml">π</mi><mrow id="A2.E164.m1.1.1.1.1.2.1.3.3" xref="A2.E164.m1.1.1.1.1.2.1.3.3.cmml"><mo id="A2.E164.m1.1.1.1.1.2.1.3.3a" xref="A2.E164.m1.1.1.1.1.2.1.3.3.cmml">−</mo><mn id="A2.E164.m1.1.1.1.1.2.1.3.3.2" 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id="A2.E165.m1.5.6.3.2.2.3.2.1" stretchy="false" xref="A2.E165.m1.5.6.3.2.2.cmml">(</mo><mi id="A2.E165.m1.5.5" xref="A2.E165.m1.5.5.cmml">π</mi><mo id="A2.E165.m1.5.6.3.2.2.3.2.2" stretchy="false" xref="A2.E165.m1.5.6.3.2.2.cmml">)</mo></mrow><mo id="A2.E165.m1.5.6.3.2.2.1a" xref="A2.E165.m1.5.6.3.2.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A2.E165.m1.1.1a.3" xref="A2.E165.m1.1.1a.2.cmml"><mo id="A2.E165.m1.1.1a.3.1" stretchy="false" xref="A2.E165.m1.1.1a.2.1.cmml">|</mo><msubsup id="A2.E165.m1.1.1.1.1" xref="A2.E165.m1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A2.E165.m1.1.1.1.1.4.2" xref="A2.E165.m1.1.1.1.1.4.2.cmml">e</mi><mi id="A2.E165.m1.1.1.1.1.4.3" xref="A2.E165.m1.1.1.1.1.4.3.cmml">ν</mi><mrow id="A2.E165.m1.1.1.1.1.2.2.2" xref="A2.E165.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mrow id="A2.E165.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A2.E165.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A2.E165.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A2.E165.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">i</mi><mo id="A2.E165.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A2.E165.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="A2.E165.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A2.E165.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">j</mi></mrow><mo id="A2.E165.m1.1.1.1.1.2.2.2.3" xref="A2.E165.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">,</mo><mrow id="A2.E165.m1.1.1.1.1.2.2.2.2" xref="A2.E165.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml"><msup id="A2.E165.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2" xref="A2.E165.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="A2.E165.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2" xref="A2.E165.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.cmml">π</mi><mrow id="A2.E165.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3" xref="A2.E165.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3.cmml"><mo id="A2.E165.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3a" xref="A2.E165.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3.cmml">−</mo><mn id="A2.E165.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3.2" xref="A2.E165.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="A2.E165.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1" xref="A2.E165.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="A2.E165.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3" xref="A2.E165.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.cmml">ρ</mi></mrow></mrow></msubsup><mo id="A2.E165.m1.1.1a.3.2" stretchy="false" xref="A2.E165.m1.1.1a.2.1.cmml">⟩</mo></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.E165.m1.5b"><apply id="A2.E165.m1.5.6.cmml" xref="A2.E165.m1.5.6"><eq id="A2.E165.m1.5.6.1.cmml" xref="A2.E165.m1.5.6.1"></eq><csymbol cd="latexml" id="A2.E165.m1.5.6.2.cmml" xref="A2.E165.m1.5.6.2">absent</csymbol><apply id="A2.E165.m1.5.6.3.cmml" xref="A2.E165.m1.5.6.3"><times id="A2.E165.m1.5.6.3.1.cmml" xref="A2.E165.m1.5.6.3.1"></times><apply id="A2.E165.m1.2.2.cmml" xref="A2.E165.m1.2.2"><divide id="A2.E165.m1.2.2.2.cmml" xref="A2.E165.m1.2.2"></divide><apply id="A2.E165.m1.2.2.1.cmml" xref="A2.E165.m1.2.2.1"><times id="A2.E165.m1.2.2.1.2.cmml" xref="A2.E165.m1.2.2.1.2"></times><apply id="A2.E165.m1.2.2.1.3.cmml" xref="A2.E165.m1.2.2.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E165.m1.2.2.1.3.1.cmml" xref="A2.E165.m1.2.2.1.3">subscript</csymbol><ci id="A2.E165.m1.2.2.1.3.2.cmml" xref="A2.E165.m1.2.2.1.3.2">𝜒</ci><ci id="A2.E165.m1.2.2.1.3.3.cmml" xref="A2.E165.m1.2.2.1.3.3">𝜈</ci></apply><cn id="A2.E165.m1.2.2.1.1.cmml" type="integer" xref="A2.E165.m1.2.2.1.1">1</cn></apply><apply id="A2.E165.m1.2.2.3.cmml" xref="A2.E165.m1.2.2.3"><factorial id="A2.E165.m1.2.2.3.1.cmml" xref="A2.E165.m1.2.2.3.1"></factorial><ci id="A2.E165.m1.2.2.3.2.cmml" xref="A2.E165.m1.2.2.3.2">𝑡</ci></apply></apply><apply id="A2.E165.m1.5.6.3.2.cmml" xref="A2.E165.m1.5.6.3.2"><apply id="A2.E165.m1.5.6.3.2.1.cmml" xref="A2.E165.m1.5.6.3.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E165.m1.5.6.3.2.1.1.cmml" xref="A2.E165.m1.5.6.3.2.1">subscript</csymbol><sum id="A2.E165.m1.5.6.3.2.1.2.cmml" xref="A2.E165.m1.5.6.3.2.1.2"></sum><list id="A2.E165.m1.4.4.2.3.cmml" xref="A2.E165.m1.4.4.2.4"><ci id="A2.E165.m1.3.3.1.1.cmml" xref="A2.E165.m1.3.3.1.1">𝑖</ci><ci id="A2.E165.m1.4.4.2.2.cmml" xref="A2.E165.m1.4.4.2.2">𝑗</ci></list></apply><apply id="A2.E165.m1.5.6.3.2.2.cmml" xref="A2.E165.m1.5.6.3.2.2"><times id="A2.E165.m1.5.6.3.2.2.1.cmml" 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xref="A2.E165.m1.1.1a.3"><csymbol cd="latexml" id="A2.E165.m1.1.1a.2.1.cmml" xref="A2.E165.m1.1.1a.3.1">ket</csymbol><apply id="A2.E165.m1.1.1.1.1.cmml" xref="A2.E165.m1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E165.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A2.E165.m1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="A2.E165.m1.1.1.1.1.4.cmml" xref="A2.E165.m1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E165.m1.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="A2.E165.m1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="A2.E165.m1.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="A2.E165.m1.1.1.1.1.4.2">𝑒</ci><ci id="A2.E165.m1.1.1.1.1.4.3.cmml" xref="A2.E165.m1.1.1.1.1.4.3">𝜈</ci></apply><list id="A2.E165.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="A2.E165.m1.1.1.1.1.2.2.2"><apply id="A2.E165.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A2.E165.m1.1.1.1.1.1.1.1.1"><times id="A2.E165.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A2.E165.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></times><ci id="A2.E165.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A2.E165.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑖</ci><ci id="A2.E165.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" 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encoding="application/x-tex" id="A2.E165.m1.5c">\displaystyle=\frac{\chi_{\nu}(1)}{t!}\sum_{i,j}V_{\nu}^{ji}(\pi)\ket{e_{\nu}^% {ij,\pi^{-1}\rho}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.E165.m1.5d">= divide start_ARG italic_χ start_POSTSUBSCRIPT italic_ν end_POSTSUBSCRIPT ( 1 ) end_ARG start_ARG italic_t ! end_ARG ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_i , italic_j end_POSTSUBSCRIPT italic_V start_POSTSUBSCRIPT italic_ν end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_j italic_i end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_π ) | start_ARG italic_e start_POSTSUBSCRIPT italic_ν end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_i italic_j , italic_π start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT italic_ρ end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG ⟩</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(165)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="A2.SS4.3.p1.3">If the original state <math alttext="\ket{\pi,\rho}" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.SS4.3.p1.1.m1.1"><semantics id="A2.SS4.3.p1.1.m1.1a"><mrow id="A2.SS4.3.p1.1.m1.1.1.3" xref="A2.SS4.3.p1.1.m1.1.1.2.cmml"><mo id="A2.SS4.3.p1.1.m1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="A2.SS4.3.p1.1.m1.1.1.2.1.cmml">|</mo><mrow id="A2.SS4.3.p1.1.m1.1.1.1.1.4" xref="A2.SS4.3.p1.1.m1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A2.SS4.3.p1.1.m1.1.1.1.1.1" xref="A2.SS4.3.p1.1.m1.1.1.1.1.1.cmml">π</mi><mo id="A2.SS4.3.p1.1.m1.1.1.1.1.4.1" xref="A2.SS4.3.p1.1.m1.1.1.1.1.3.cmml">,</mo><mi id="A2.SS4.3.p1.1.m1.1.1.1.1.2" xref="A2.SS4.3.p1.1.m1.1.1.1.1.2.cmml">ρ</mi></mrow><mo id="A2.SS4.3.p1.1.m1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="A2.SS4.3.p1.1.m1.1.1.2.1.cmml">⟩</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.SS4.3.p1.1.m1.1b"><apply id="A2.SS4.3.p1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="A2.SS4.3.p1.1.m1.1.1.3"><csymbol cd="latexml" id="A2.SS4.3.p1.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="A2.SS4.3.p1.1.m1.1.1.3.1">ket</csymbol><list id="A2.SS4.3.p1.1.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A2.SS4.3.p1.1.m1.1.1.1.1.4"><ci id="A2.SS4.3.p1.1.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A2.SS4.3.p1.1.m1.1.1.1.1.1">𝜋</ci><ci id="A2.SS4.3.p1.1.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A2.SS4.3.p1.1.m1.1.1.1.1.2">𝜌</ci></list></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.SS4.3.p1.1.m1.1c">\ket{\pi,\rho}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.SS4.3.p1.1.m1.1d">| start_ARG italic_π , italic_ρ end_ARG ⟩</annotation></semantics></math> was completely deranged, then <math alttext="\pi^{-1}\rho" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.SS4.3.p1.2.m2.1"><semantics id="A2.SS4.3.p1.2.m2.1a"><mrow id="A2.SS4.3.p1.2.m2.1.1" xref="A2.SS4.3.p1.2.m2.1.1.cmml"><msup id="A2.SS4.3.p1.2.m2.1.1.2" xref="A2.SS4.3.p1.2.m2.1.1.2.cmml"><mi id="A2.SS4.3.p1.2.m2.1.1.2.2" xref="A2.SS4.3.p1.2.m2.1.1.2.2.cmml">π</mi><mrow id="A2.SS4.3.p1.2.m2.1.1.2.3" xref="A2.SS4.3.p1.2.m2.1.1.2.3.cmml"><mo id="A2.SS4.3.p1.2.m2.1.1.2.3a" xref="A2.SS4.3.p1.2.m2.1.1.2.3.cmml">−</mo><mn id="A2.SS4.3.p1.2.m2.1.1.2.3.2" xref="A2.SS4.3.p1.2.m2.1.1.2.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="A2.SS4.3.p1.2.m2.1.1.1" xref="A2.SS4.3.p1.2.m2.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="A2.SS4.3.p1.2.m2.1.1.3" xref="A2.SS4.3.p1.2.m2.1.1.3.cmml">ρ</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.SS4.3.p1.2.m2.1b"><apply id="A2.SS4.3.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="A2.SS4.3.p1.2.m2.1.1"><times id="A2.SS4.3.p1.2.m2.1.1.1.cmml" xref="A2.SS4.3.p1.2.m2.1.1.1"></times><apply id="A2.SS4.3.p1.2.m2.1.1.2.cmml" xref="A2.SS4.3.p1.2.m2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.SS4.3.p1.2.m2.1.1.2.1.cmml" xref="A2.SS4.3.p1.2.m2.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="A2.SS4.3.p1.2.m2.1.1.2.2.cmml" xref="A2.SS4.3.p1.2.m2.1.1.2.2">𝜋</ci><apply id="A2.SS4.3.p1.2.m2.1.1.2.3.cmml" xref="A2.SS4.3.p1.2.m2.1.1.2.3"><minus id="A2.SS4.3.p1.2.m2.1.1.2.3.1.cmml" xref="A2.SS4.3.p1.2.m2.1.1.2.3"></minus><cn id="A2.SS4.3.p1.2.m2.1.1.2.3.2.cmml" type="integer" xref="A2.SS4.3.p1.2.m2.1.1.2.3.2">1</cn></apply></apply><ci id="A2.SS4.3.p1.2.m2.1.1.3.cmml" xref="A2.SS4.3.p1.2.m2.1.1.3">𝜌</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.SS4.3.p1.2.m2.1c">\pi^{-1}\rho</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.SS4.3.p1.2.m2.1d">italic_π start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT italic_ρ</annotation></semantics></math> is a derangement. The basis is thus complete for any linear combination of completely deranged states that lies in the isotypic component corresponding to <math alttext="\nu" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.SS4.3.p1.3.m3.1"><semantics id="A2.SS4.3.p1.3.m3.1a"><mi id="A2.SS4.3.p1.3.m3.1.1" xref="A2.SS4.3.p1.3.m3.1.1.cmml">ν</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.SS4.3.p1.3.m3.1b"><ci id="A2.SS4.3.p1.3.m3.1.1.cmml" xref="A2.SS4.3.p1.3.m3.1.1">𝜈</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.SS4.3.p1.3.m3.1c">\nu</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.SS4.3.p1.3.m3.1d">italic_ν</annotation></semantics></math>. ∎</p> </div> </div> </section> <section class="ltx_subsection" id="A2.SS5"> <h3 class="ltx_title ltx_title_subsection"> <span class="ltx_tag ltx_tag_subsection">B.5 </span>Proof of bound on Weingarten function (Lemma <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#Thmtheorem42" title="Lemma 42. ‣ VI.1 Bounds by factorization of 𝐾_𝑚 ‣ VI Bounding the complete derangement block ‣ Conditional 𝑡-independent spectral gap for random quantum circuits and implications for 𝑡-design depths"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">42</span></a>)</h3> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_lemma" id="Thmlemmax4"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmlemmax4.1.1.1">Lemma</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmlemmax4.2.2">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="Thmlemmax4.p1"> <p class="ltx_p" id="Thmlemmax4.p1.2"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmlemmax4.p1.2.2">(Restatement of Lemma <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#Thmtheorem42" title="Lemma 42. ‣ VI.1 Bounds by factorization of 𝐾_𝑚 ‣ VI Bounding the complete derangement block ‣ Conditional 𝑡-independent spectral gap for random quantum circuits and implications for 𝑡-design depths"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">42</span></a>) For <math alttext="3\leq t\leq q" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmlemmax4.p1.1.1.m1.1"><semantics id="Thmlemmax4.p1.1.1.m1.1a"><mrow id="Thmlemmax4.p1.1.1.m1.1.1" xref="Thmlemmax4.p1.1.1.m1.1.1.cmml"><mn id="Thmlemmax4.p1.1.1.m1.1.1.2" xref="Thmlemmax4.p1.1.1.m1.1.1.2.cmml">3</mn><mo id="Thmlemmax4.p1.1.1.m1.1.1.3" xref="Thmlemmax4.p1.1.1.m1.1.1.3.cmml">≤</mo><mi id="Thmlemmax4.p1.1.1.m1.1.1.4" xref="Thmlemmax4.p1.1.1.m1.1.1.4.cmml">t</mi><mo id="Thmlemmax4.p1.1.1.m1.1.1.5" xref="Thmlemmax4.p1.1.1.m1.1.1.5.cmml">≤</mo><mi id="Thmlemmax4.p1.1.1.m1.1.1.6" xref="Thmlemmax4.p1.1.1.m1.1.1.6.cmml">q</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmlemmax4.p1.1.1.m1.1b"><apply id="Thmlemmax4.p1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="Thmlemmax4.p1.1.1.m1.1.1"><and id="Thmlemmax4.p1.1.1.m1.1.1a.cmml" xref="Thmlemmax4.p1.1.1.m1.1.1"></and><apply id="Thmlemmax4.p1.1.1.m1.1.1b.cmml" xref="Thmlemmax4.p1.1.1.m1.1.1"><leq id="Thmlemmax4.p1.1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="Thmlemmax4.p1.1.1.m1.1.1.3"></leq><cn id="Thmlemmax4.p1.1.1.m1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="Thmlemmax4.p1.1.1.m1.1.1.2">3</cn><ci id="Thmlemmax4.p1.1.1.m1.1.1.4.cmml" xref="Thmlemmax4.p1.1.1.m1.1.1.4">𝑡</ci></apply><apply id="Thmlemmax4.p1.1.1.m1.1.1c.cmml" xref="Thmlemmax4.p1.1.1.m1.1.1"><leq id="Thmlemmax4.p1.1.1.m1.1.1.5.cmml" xref="Thmlemmax4.p1.1.1.m1.1.1.5"></leq><share href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#Thmlemmax4.p1.1.1.m1.1.1.4.cmml" id="Thmlemmax4.p1.1.1.m1.1.1d.cmml" xref="Thmlemmax4.p1.1.1.m1.1.1"></share><ci id="Thmlemmax4.p1.1.1.m1.1.1.6.cmml" xref="Thmlemmax4.p1.1.1.m1.1.1.6">𝑞</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmlemmax4.p1.1.1.m1.1c">3\leq t\leq q</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmlemmax4.p1.1.1.m1.1d">3 ≤ italic_t ≤ italic_q</annotation></semantics></math> and <math alttext="d\geq q^{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmlemmax4.p1.2.2.m2.1"><semantics id="Thmlemmax4.p1.2.2.m2.1a"><mrow id="Thmlemmax4.p1.2.2.m2.1.1" xref="Thmlemmax4.p1.2.2.m2.1.1.cmml"><mi id="Thmlemmax4.p1.2.2.m2.1.1.2" xref="Thmlemmax4.p1.2.2.m2.1.1.2.cmml">d</mi><mo id="Thmlemmax4.p1.2.2.m2.1.1.1" xref="Thmlemmax4.p1.2.2.m2.1.1.1.cmml">≥</mo><msup id="Thmlemmax4.p1.2.2.m2.1.1.3" xref="Thmlemmax4.p1.2.2.m2.1.1.3.cmml"><mi id="Thmlemmax4.p1.2.2.m2.1.1.3.2" xref="Thmlemmax4.p1.2.2.m2.1.1.3.2.cmml">q</mi><mn id="Thmlemmax4.p1.2.2.m2.1.1.3.3" xref="Thmlemmax4.p1.2.2.m2.1.1.3.3.cmml">2</mn></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmlemmax4.p1.2.2.m2.1b"><apply id="Thmlemmax4.p1.2.2.m2.1.1.cmml" xref="Thmlemmax4.p1.2.2.m2.1.1"><geq id="Thmlemmax4.p1.2.2.m2.1.1.1.cmml" xref="Thmlemmax4.p1.2.2.m2.1.1.1"></geq><ci id="Thmlemmax4.p1.2.2.m2.1.1.2.cmml" xref="Thmlemmax4.p1.2.2.m2.1.1.2">𝑑</ci><apply id="Thmlemmax4.p1.2.2.m2.1.1.3.cmml" xref="Thmlemmax4.p1.2.2.m2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmlemmax4.p1.2.2.m2.1.1.3.1.cmml" xref="Thmlemmax4.p1.2.2.m2.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="Thmlemmax4.p1.2.2.m2.1.1.3.2.cmml" xref="Thmlemmax4.p1.2.2.m2.1.1.3.2">𝑞</ci><cn id="Thmlemmax4.p1.2.2.m2.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="Thmlemmax4.p1.2.2.m2.1.1.3.3">2</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmlemmax4.p1.2.2.m2.1c">d\geq q^{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmlemmax4.p1.2.2.m2.1d">italic_d ≥ italic_q start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>,</span></p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_gather ltx_eqn_table" id="S6.EGx137"> <tbody id="A2.E166"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\displaystyle||W(d)||_{\infty}\leq e" class="ltx_Math" display="block" id="A2.E166.m1.2"><semantics id="A2.E166.m1.2a"><mrow id="A2.E166.m1.2.2" xref="A2.E166.m1.2.2.cmml"><msub id="A2.E166.m1.2.2.1" xref="A2.E166.m1.2.2.1.cmml"><mrow id="A2.E166.m1.2.2.1.1.1" xref="A2.E166.m1.2.2.1.1.2.cmml"><mo id="A2.E166.m1.2.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A2.E166.m1.2.2.1.1.2.1.cmml">‖</mo><mrow id="A2.E166.m1.2.2.1.1.1.1" xref="A2.E166.m1.2.2.1.1.1.1.cmml"><mi id="A2.E166.m1.2.2.1.1.1.1.2" xref="A2.E166.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml">W</mi><mo id="A2.E166.m1.2.2.1.1.1.1.1" xref="A2.E166.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A2.E166.m1.2.2.1.1.1.1.3.2" xref="A2.E166.m1.2.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="A2.E166.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="A2.E166.m1.2.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="A2.E166.m1.1.1" xref="A2.E166.m1.1.1.cmml">d</mi><mo id="A2.E166.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="A2.E166.m1.2.2.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A2.E166.m1.2.2.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A2.E166.m1.2.2.1.1.2.1.cmml">‖</mo></mrow><mi id="A2.E166.m1.2.2.1.3" mathvariant="normal" xref="A2.E166.m1.2.2.1.3.cmml">∞</mi></msub><mo id="A2.E166.m1.2.2.2" xref="A2.E166.m1.2.2.2.cmml">≤</mo><mi id="A2.E166.m1.2.2.3" xref="A2.E166.m1.2.2.3.cmml">e</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.E166.m1.2b"><apply id="A2.E166.m1.2.2.cmml" xref="A2.E166.m1.2.2"><leq id="A2.E166.m1.2.2.2.cmml" xref="A2.E166.m1.2.2.2"></leq><apply id="A2.E166.m1.2.2.1.cmml" xref="A2.E166.m1.2.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E166.m1.2.2.1.2.cmml" xref="A2.E166.m1.2.2.1">subscript</csymbol><apply id="A2.E166.m1.2.2.1.1.2.cmml" xref="A2.E166.m1.2.2.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="A2.E166.m1.2.2.1.1.2.1.cmml" xref="A2.E166.m1.2.2.1.1.1.2">norm</csymbol><apply id="A2.E166.m1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="A2.E166.m1.2.2.1.1.1.1"><times id="A2.E166.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="A2.E166.m1.2.2.1.1.1.1.1"></times><ci id="A2.E166.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="A2.E166.m1.2.2.1.1.1.1.2">𝑊</ci><ci id="A2.E166.m1.1.1.cmml" xref="A2.E166.m1.1.1">𝑑</ci></apply></apply><infinity id="A2.E166.m1.2.2.1.3.cmml" xref="A2.E166.m1.2.2.1.3"></infinity></apply><ci id="A2.E166.m1.2.2.3.cmml" xref="A2.E166.m1.2.2.3">𝑒</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.E166.m1.2c">\displaystyle||W(d)||_{\infty}\leq e</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.E166.m1.2d">| | italic_W ( italic_d ) | | start_POSTSUBSCRIPT ∞ end_POSTSUBSCRIPT ≤ italic_e</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(166)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="Thmlemmax4.p1.3"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmlemmax4.p1.3.1">where the norm is the spectral norm with respect to either the permutation-basis inner product or the Hilbert space inner product.</span></p> </div> </div> <div class="ltx_proof" id="A2.SS5.1"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_font_italic ltx_title_proof">Proof.</h6> <div class="ltx_para" id="A2.SS5.1.p1"> <p class="ltx_p" id="A2.SS5.1.p1.2">The Weingarten matrix <math alttext="W(d)" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.SS5.1.p1.1.m1.1"><semantics id="A2.SS5.1.p1.1.m1.1a"><mrow id="A2.SS5.1.p1.1.m1.1.2" xref="A2.SS5.1.p1.1.m1.1.2.cmml"><mi id="A2.SS5.1.p1.1.m1.1.2.2" xref="A2.SS5.1.p1.1.m1.1.2.2.cmml">W</mi><mo id="A2.SS5.1.p1.1.m1.1.2.1" xref="A2.SS5.1.p1.1.m1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A2.SS5.1.p1.1.m1.1.2.3.2" xref="A2.SS5.1.p1.1.m1.1.2.cmml"><mo id="A2.SS5.1.p1.1.m1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="A2.SS5.1.p1.1.m1.1.2.cmml">(</mo><mi id="A2.SS5.1.p1.1.m1.1.1" xref="A2.SS5.1.p1.1.m1.1.1.cmml">d</mi><mo id="A2.SS5.1.p1.1.m1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="A2.SS5.1.p1.1.m1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.SS5.1.p1.1.m1.1b"><apply id="A2.SS5.1.p1.1.m1.1.2.cmml" xref="A2.SS5.1.p1.1.m1.1.2"><times id="A2.SS5.1.p1.1.m1.1.2.1.cmml" xref="A2.SS5.1.p1.1.m1.1.2.1"></times><ci id="A2.SS5.1.p1.1.m1.1.2.2.cmml" xref="A2.SS5.1.p1.1.m1.1.2.2">𝑊</ci><ci id="A2.SS5.1.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="A2.SS5.1.p1.1.m1.1.1">𝑑</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.SS5.1.p1.1.m1.1c">W(d)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.SS5.1.p1.1.m1.1d">italic_W ( italic_d )</annotation></semantics></math> has an established eigenvalue decomposition <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#bib.bib20" title="">20</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#bib.bib21" title="">21</a>]</cite>, from its <math alttext="\mathbb{C}[S_{t}]" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.SS5.1.p1.2.m2.1"><semantics id="A2.SS5.1.p1.2.m2.1a"><mrow id="A2.SS5.1.p1.2.m2.1.1" xref="A2.SS5.1.p1.2.m2.1.1.cmml"><mi id="A2.SS5.1.p1.2.m2.1.1.3" xref="A2.SS5.1.p1.2.m2.1.1.3.cmml">ℂ</mi><mo id="A2.SS5.1.p1.2.m2.1.1.2" xref="A2.SS5.1.p1.2.m2.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A2.SS5.1.p1.2.m2.1.1.1.1" xref="A2.SS5.1.p1.2.m2.1.1.1.2.cmml"><mo id="A2.SS5.1.p1.2.m2.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A2.SS5.1.p1.2.m2.1.1.1.2.1.cmml">[</mo><msub id="A2.SS5.1.p1.2.m2.1.1.1.1.1" xref="A2.SS5.1.p1.2.m2.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A2.SS5.1.p1.2.m2.1.1.1.1.1.2" xref="A2.SS5.1.p1.2.m2.1.1.1.1.1.2.cmml">S</mi><mi id="A2.SS5.1.p1.2.m2.1.1.1.1.1.3" xref="A2.SS5.1.p1.2.m2.1.1.1.1.1.3.cmml">t</mi></msub><mo id="A2.SS5.1.p1.2.m2.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A2.SS5.1.p1.2.m2.1.1.1.2.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.SS5.1.p1.2.m2.1b"><apply id="A2.SS5.1.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="A2.SS5.1.p1.2.m2.1.1"><times id="A2.SS5.1.p1.2.m2.1.1.2.cmml" xref="A2.SS5.1.p1.2.m2.1.1.2"></times><ci id="A2.SS5.1.p1.2.m2.1.1.3.cmml" xref="A2.SS5.1.p1.2.m2.1.1.3">ℂ</ci><apply id="A2.SS5.1.p1.2.m2.1.1.1.2.cmml" xref="A2.SS5.1.p1.2.m2.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="A2.SS5.1.p1.2.m2.1.1.1.2.1.cmml" xref="A2.SS5.1.p1.2.m2.1.1.1.1.2">delimited-[]</csymbol><apply id="A2.SS5.1.p1.2.m2.1.1.1.1.1.cmml" xref="A2.SS5.1.p1.2.m2.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.SS5.1.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A2.SS5.1.p1.2.m2.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="A2.SS5.1.p1.2.m2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A2.SS5.1.p1.2.m2.1.1.1.1.1.2">𝑆</ci><ci id="A2.SS5.1.p1.2.m2.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A2.SS5.1.p1.2.m2.1.1.1.1.1.3">𝑡</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.SS5.1.p1.2.m2.1c">\mathbb{C}[S_{t}]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.SS5.1.p1.2.m2.1d">blackboard_C [ italic_S start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ]</annotation></semantics></math> algebra representation:</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_gather ltx_eqn_table" id="S6.EGx138"> <tbody id="A2.E167"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\displaystyle W(d)=\sum_{\lambda}c_{\lambda}^{-1}(d)P_{\lambda}" class="ltx_Math" display="block" id="A2.E167.m1.2"><semantics id="A2.E167.m1.2a"><mrow id="A2.E167.m1.2.3" xref="A2.E167.m1.2.3.cmml"><mrow id="A2.E167.m1.2.3.2" xref="A2.E167.m1.2.3.2.cmml"><mi id="A2.E167.m1.2.3.2.2" xref="A2.E167.m1.2.3.2.2.cmml">W</mi><mo id="A2.E167.m1.2.3.2.1" xref="A2.E167.m1.2.3.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A2.E167.m1.2.3.2.3.2" xref="A2.E167.m1.2.3.2.cmml"><mo id="A2.E167.m1.2.3.2.3.2.1" stretchy="false" xref="A2.E167.m1.2.3.2.cmml">(</mo><mi id="A2.E167.m1.1.1" xref="A2.E167.m1.1.1.cmml">d</mi><mo id="A2.E167.m1.2.3.2.3.2.2" stretchy="false" xref="A2.E167.m1.2.3.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A2.E167.m1.2.3.1" rspace="0.111em" xref="A2.E167.m1.2.3.1.cmml">=</mo><mrow id="A2.E167.m1.2.3.3" xref="A2.E167.m1.2.3.3.cmml"><munder id="A2.E167.m1.2.3.3.1" xref="A2.E167.m1.2.3.3.1.cmml"><mo id="A2.E167.m1.2.3.3.1.2" movablelimits="false" xref="A2.E167.m1.2.3.3.1.2.cmml">∑</mo><mi id="A2.E167.m1.2.3.3.1.3" xref="A2.E167.m1.2.3.3.1.3.cmml">λ</mi></munder><mrow id="A2.E167.m1.2.3.3.2" xref="A2.E167.m1.2.3.3.2.cmml"><msubsup id="A2.E167.m1.2.3.3.2.2" xref="A2.E167.m1.2.3.3.2.2.cmml"><mi id="A2.E167.m1.2.3.3.2.2.2.2" xref="A2.E167.m1.2.3.3.2.2.2.2.cmml">c</mi><mi id="A2.E167.m1.2.3.3.2.2.2.3" xref="A2.E167.m1.2.3.3.2.2.2.3.cmml">λ</mi><mrow id="A2.E167.m1.2.3.3.2.2.3" xref="A2.E167.m1.2.3.3.2.2.3.cmml"><mo id="A2.E167.m1.2.3.3.2.2.3a" xref="A2.E167.m1.2.3.3.2.2.3.cmml">−</mo><mn id="A2.E167.m1.2.3.3.2.2.3.2" xref="A2.E167.m1.2.3.3.2.2.3.2.cmml">1</mn></mrow></msubsup><mo id="A2.E167.m1.2.3.3.2.1" xref="A2.E167.m1.2.3.3.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A2.E167.m1.2.3.3.2.3.2" xref="A2.E167.m1.2.3.3.2.cmml"><mo id="A2.E167.m1.2.3.3.2.3.2.1" stretchy="false" xref="A2.E167.m1.2.3.3.2.cmml">(</mo><mi id="A2.E167.m1.2.2" xref="A2.E167.m1.2.2.cmml">d</mi><mo id="A2.E167.m1.2.3.3.2.3.2.2" stretchy="false" xref="A2.E167.m1.2.3.3.2.cmml">)</mo></mrow><mo id="A2.E167.m1.2.3.3.2.1a" xref="A2.E167.m1.2.3.3.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="A2.E167.m1.2.3.3.2.4" xref="A2.E167.m1.2.3.3.2.4.cmml"><mi id="A2.E167.m1.2.3.3.2.4.2" xref="A2.E167.m1.2.3.3.2.4.2.cmml">P</mi><mi id="A2.E167.m1.2.3.3.2.4.3" xref="A2.E167.m1.2.3.3.2.4.3.cmml">λ</mi></msub></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.E167.m1.2b"><apply id="A2.E167.m1.2.3.cmml" xref="A2.E167.m1.2.3"><eq id="A2.E167.m1.2.3.1.cmml" xref="A2.E167.m1.2.3.1"></eq><apply id="A2.E167.m1.2.3.2.cmml" xref="A2.E167.m1.2.3.2"><times id="A2.E167.m1.2.3.2.1.cmml" xref="A2.E167.m1.2.3.2.1"></times><ci id="A2.E167.m1.2.3.2.2.cmml" xref="A2.E167.m1.2.3.2.2">𝑊</ci><ci id="A2.E167.m1.1.1.cmml" xref="A2.E167.m1.1.1">𝑑</ci></apply><apply id="A2.E167.m1.2.3.3.cmml" xref="A2.E167.m1.2.3.3"><apply id="A2.E167.m1.2.3.3.1.cmml" xref="A2.E167.m1.2.3.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E167.m1.2.3.3.1.1.cmml" xref="A2.E167.m1.2.3.3.1">subscript</csymbol><sum id="A2.E167.m1.2.3.3.1.2.cmml" xref="A2.E167.m1.2.3.3.1.2"></sum><ci id="A2.E167.m1.2.3.3.1.3.cmml" xref="A2.E167.m1.2.3.3.1.3">𝜆</ci></apply><apply id="A2.E167.m1.2.3.3.2.cmml" xref="A2.E167.m1.2.3.3.2"><times id="A2.E167.m1.2.3.3.2.1.cmml" xref="A2.E167.m1.2.3.3.2.1"></times><apply id="A2.E167.m1.2.3.3.2.2.cmml" xref="A2.E167.m1.2.3.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E167.m1.2.3.3.2.2.1.cmml" xref="A2.E167.m1.2.3.3.2.2">superscript</csymbol><apply id="A2.E167.m1.2.3.3.2.2.2.cmml" xref="A2.E167.m1.2.3.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E167.m1.2.3.3.2.2.2.1.cmml" xref="A2.E167.m1.2.3.3.2.2">subscript</csymbol><ci id="A2.E167.m1.2.3.3.2.2.2.2.cmml" xref="A2.E167.m1.2.3.3.2.2.2.2">𝑐</ci><ci id="A2.E167.m1.2.3.3.2.2.2.3.cmml" xref="A2.E167.m1.2.3.3.2.2.2.3">𝜆</ci></apply><apply id="A2.E167.m1.2.3.3.2.2.3.cmml" xref="A2.E167.m1.2.3.3.2.2.3"><minus id="A2.E167.m1.2.3.3.2.2.3.1.cmml" xref="A2.E167.m1.2.3.3.2.2.3"></minus><cn id="A2.E167.m1.2.3.3.2.2.3.2.cmml" type="integer" xref="A2.E167.m1.2.3.3.2.2.3.2">1</cn></apply></apply><ci id="A2.E167.m1.2.2.cmml" xref="A2.E167.m1.2.2">𝑑</ci><apply id="A2.E167.m1.2.3.3.2.4.cmml" xref="A2.E167.m1.2.3.3.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E167.m1.2.3.3.2.4.1.cmml" xref="A2.E167.m1.2.3.3.2.4">subscript</csymbol><ci id="A2.E167.m1.2.3.3.2.4.2.cmml" xref="A2.E167.m1.2.3.3.2.4.2">𝑃</ci><ci id="A2.E167.m1.2.3.3.2.4.3.cmml" xref="A2.E167.m1.2.3.3.2.4.3">𝜆</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.E167.m1.2c">\displaystyle W(d)=\sum_{\lambda}c_{\lambda}^{-1}(d)P_{\lambda}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.E167.m1.2d">italic_W ( italic_d ) = ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_λ end_POSTSUBSCRIPT italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_λ end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_d ) italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_λ end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(167)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="A2.SS5.1.p1.6">where <math alttext="\lambda" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.SS5.1.p1.3.m1.1"><semantics id="A2.SS5.1.p1.3.m1.1a"><mi id="A2.SS5.1.p1.3.m1.1.1" xref="A2.SS5.1.p1.3.m1.1.1.cmml">λ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.SS5.1.p1.3.m1.1b"><ci id="A2.SS5.1.p1.3.m1.1.1.cmml" xref="A2.SS5.1.p1.3.m1.1.1">𝜆</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.SS5.1.p1.3.m1.1c">\lambda</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.SS5.1.p1.3.m1.1d">italic_λ</annotation></semantics></math> are partitions <math alttext="\{\lambda_{1}...\lambda_{k}\}" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.SS5.1.p1.4.m2.1"><semantics id="A2.SS5.1.p1.4.m2.1a"><mrow id="A2.SS5.1.p1.4.m2.1.1.1" xref="A2.SS5.1.p1.4.m2.1.1.2.cmml"><mo id="A2.SS5.1.p1.4.m2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A2.SS5.1.p1.4.m2.1.1.2.cmml">{</mo><mrow id="A2.SS5.1.p1.4.m2.1.1.1.1" xref="A2.SS5.1.p1.4.m2.1.1.1.1.cmml"><msub id="A2.SS5.1.p1.4.m2.1.1.1.1.2" xref="A2.SS5.1.p1.4.m2.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="A2.SS5.1.p1.4.m2.1.1.1.1.2.2" xref="A2.SS5.1.p1.4.m2.1.1.1.1.2.2.cmml">λ</mi><mn id="A2.SS5.1.p1.4.m2.1.1.1.1.2.3" xref="A2.SS5.1.p1.4.m2.1.1.1.1.2.3.cmml">1</mn></msub><mo id="A2.SS5.1.p1.4.m2.1.1.1.1.1" xref="A2.SS5.1.p1.4.m2.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="A2.SS5.1.p1.4.m2.1.1.1.1.3" mathvariant="normal" xref="A2.SS5.1.p1.4.m2.1.1.1.1.3.cmml">…</mi><mo id="A2.SS5.1.p1.4.m2.1.1.1.1.1a" xref="A2.SS5.1.p1.4.m2.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="A2.SS5.1.p1.4.m2.1.1.1.1.4" xref="A2.SS5.1.p1.4.m2.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="A2.SS5.1.p1.4.m2.1.1.1.1.4.2" xref="A2.SS5.1.p1.4.m2.1.1.1.1.4.2.cmml">λ</mi><mi id="A2.SS5.1.p1.4.m2.1.1.1.1.4.3" xref="A2.SS5.1.p1.4.m2.1.1.1.1.4.3.cmml">k</mi></msub></mrow><mo id="A2.SS5.1.p1.4.m2.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A2.SS5.1.p1.4.m2.1.1.2.cmml">}</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.SS5.1.p1.4.m2.1b"><set id="A2.SS5.1.p1.4.m2.1.1.2.cmml" xref="A2.SS5.1.p1.4.m2.1.1.1"><apply id="A2.SS5.1.p1.4.m2.1.1.1.1.cmml" xref="A2.SS5.1.p1.4.m2.1.1.1.1"><times id="A2.SS5.1.p1.4.m2.1.1.1.1.1.cmml" xref="A2.SS5.1.p1.4.m2.1.1.1.1.1"></times><apply id="A2.SS5.1.p1.4.m2.1.1.1.1.2.cmml" xref="A2.SS5.1.p1.4.m2.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.SS5.1.p1.4.m2.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A2.SS5.1.p1.4.m2.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="A2.SS5.1.p1.4.m2.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A2.SS5.1.p1.4.m2.1.1.1.1.2.2">𝜆</ci><cn id="A2.SS5.1.p1.4.m2.1.1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="A2.SS5.1.p1.4.m2.1.1.1.1.2.3">1</cn></apply><ci id="A2.SS5.1.p1.4.m2.1.1.1.1.3.cmml" xref="A2.SS5.1.p1.4.m2.1.1.1.1.3">…</ci><apply id="A2.SS5.1.p1.4.m2.1.1.1.1.4.cmml" xref="A2.SS5.1.p1.4.m2.1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.SS5.1.p1.4.m2.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="A2.SS5.1.p1.4.m2.1.1.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="A2.SS5.1.p1.4.m2.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="A2.SS5.1.p1.4.m2.1.1.1.1.4.2">𝜆</ci><ci id="A2.SS5.1.p1.4.m2.1.1.1.1.4.3.cmml" xref="A2.SS5.1.p1.4.m2.1.1.1.1.4.3">𝑘</ci></apply></apply></set></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.SS5.1.p1.4.m2.1c">\{\lambda_{1}...\lambda_{k}\}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.SS5.1.p1.4.m2.1d">{ italic_λ start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT … italic_λ start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT }</annotation></semantics></math> of <math alttext="t" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.SS5.1.p1.5.m3.1"><semantics id="A2.SS5.1.p1.5.m3.1a"><mi id="A2.SS5.1.p1.5.m3.1.1" xref="A2.SS5.1.p1.5.m3.1.1.cmml">t</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.SS5.1.p1.5.m3.1b"><ci id="A2.SS5.1.p1.5.m3.1.1.cmml" xref="A2.SS5.1.p1.5.m3.1.1">𝑡</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.SS5.1.p1.5.m3.1c">t</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.SS5.1.p1.5.m3.1d">italic_t</annotation></semantics></math>, <math alttext="P_{\lambda}" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.SS5.1.p1.6.m4.1"><semantics id="A2.SS5.1.p1.6.m4.1a"><msub id="A2.SS5.1.p1.6.m4.1.1" xref="A2.SS5.1.p1.6.m4.1.1.cmml"><mi id="A2.SS5.1.p1.6.m4.1.1.2" xref="A2.SS5.1.p1.6.m4.1.1.2.cmml">P</mi><mi id="A2.SS5.1.p1.6.m4.1.1.3" xref="A2.SS5.1.p1.6.m4.1.1.3.cmml">λ</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.SS5.1.p1.6.m4.1b"><apply id="A2.SS5.1.p1.6.m4.1.1.cmml" xref="A2.SS5.1.p1.6.m4.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.SS5.1.p1.6.m4.1.1.1.cmml" xref="A2.SS5.1.p1.6.m4.1.1">subscript</csymbol><ci id="A2.SS5.1.p1.6.m4.1.1.2.cmml" xref="A2.SS5.1.p1.6.m4.1.1.2">𝑃</ci><ci id="A2.SS5.1.p1.6.m4.1.1.3.cmml" xref="A2.SS5.1.p1.6.m4.1.1.3">𝜆</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.SS5.1.p1.6.m4.1c">P_{\lambda}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.SS5.1.p1.6.m4.1d">italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_λ end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> are a set of complete orthogonal idempotents in the algebra, and</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_gather ltx_eqn_table" id="S6.EGx139"> <tbody id="A2.E168"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\displaystyle c_{\lambda}(d)=d^{-t}\prod_{i=1}^{k}\prod_{j=1}^{\lambda_{i}}(d+% j-i)" class="ltx_Math" display="block" id="A2.E168.m1.2"><semantics id="A2.E168.m1.2a"><mrow id="A2.E168.m1.2.2" xref="A2.E168.m1.2.2.cmml"><mrow id="A2.E168.m1.2.2.3" xref="A2.E168.m1.2.2.3.cmml"><msub id="A2.E168.m1.2.2.3.2" xref="A2.E168.m1.2.2.3.2.cmml"><mi id="A2.E168.m1.2.2.3.2.2" xref="A2.E168.m1.2.2.3.2.2.cmml">c</mi><mi id="A2.E168.m1.2.2.3.2.3" 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xref="A2.E168.m1.2.2.1.1.1.2.2.3.2.cmml">j</mi><mo id="A2.E168.m1.2.2.1.1.1.2.2.3.1" xref="A2.E168.m1.2.2.1.1.1.2.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="A2.E168.m1.2.2.1.1.1.2.2.3.3" xref="A2.E168.m1.2.2.1.1.1.2.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><msub id="A2.E168.m1.2.2.1.1.1.2.3" xref="A2.E168.m1.2.2.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="A2.E168.m1.2.2.1.1.1.2.3.2" xref="A2.E168.m1.2.2.1.1.1.2.3.2.cmml">λ</mi><mi id="A2.E168.m1.2.2.1.1.1.2.3.3" xref="A2.E168.m1.2.2.1.1.1.2.3.3.cmml">i</mi></msub></munderover><mrow id="A2.E168.m1.2.2.1.1.1.1.1" xref="A2.E168.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A2.E168.m1.2.2.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A2.E168.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A2.E168.m1.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="A2.E168.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A2.E168.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2" xref="A2.E168.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="A2.E168.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="A2.E168.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">d</mi><mo id="A2.E168.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="A2.E168.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">+</mo><mi 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xref="A2.E168.m1.2.2.3.2.3">𝜆</ci></apply><ci id="A2.E168.m1.1.1.cmml" xref="A2.E168.m1.1.1">𝑑</ci></apply><apply id="A2.E168.m1.2.2.1.cmml" xref="A2.E168.m1.2.2.1"><times id="A2.E168.m1.2.2.1.2.cmml" xref="A2.E168.m1.2.2.1.2"></times><apply id="A2.E168.m1.2.2.1.3.cmml" xref="A2.E168.m1.2.2.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E168.m1.2.2.1.3.1.cmml" xref="A2.E168.m1.2.2.1.3">superscript</csymbol><ci id="A2.E168.m1.2.2.1.3.2.cmml" xref="A2.E168.m1.2.2.1.3.2">𝑑</ci><apply id="A2.E168.m1.2.2.1.3.3.cmml" xref="A2.E168.m1.2.2.1.3.3"><minus id="A2.E168.m1.2.2.1.3.3.1.cmml" xref="A2.E168.m1.2.2.1.3.3"></minus><ci id="A2.E168.m1.2.2.1.3.3.2.cmml" xref="A2.E168.m1.2.2.1.3.3.2">𝑡</ci></apply></apply><apply id="A2.E168.m1.2.2.1.1.cmml" xref="A2.E168.m1.2.2.1.1"><apply id="A2.E168.m1.2.2.1.1.2.cmml" xref="A2.E168.m1.2.2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E168.m1.2.2.1.1.2.1.cmml" xref="A2.E168.m1.2.2.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="A2.E168.m1.2.2.1.1.2.2.cmml" xref="A2.E168.m1.2.2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E168.m1.2.2.1.1.2.2.1.cmml" xref="A2.E168.m1.2.2.1.1.2">subscript</csymbol><csymbol cd="latexml" id="A2.E168.m1.2.2.1.1.2.2.2.cmml" xref="A2.E168.m1.2.2.1.1.2.2.2">product</csymbol><apply id="A2.E168.m1.2.2.1.1.2.2.3.cmml" xref="A2.E168.m1.2.2.1.1.2.2.3"><eq id="A2.E168.m1.2.2.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="A2.E168.m1.2.2.1.1.2.2.3.1"></eq><ci id="A2.E168.m1.2.2.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="A2.E168.m1.2.2.1.1.2.2.3.2">𝑖</ci><cn id="A2.E168.m1.2.2.1.1.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="A2.E168.m1.2.2.1.1.2.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="A2.E168.m1.2.2.1.1.2.3.cmml" xref="A2.E168.m1.2.2.1.1.2.3">𝑘</ci></apply><apply id="A2.E168.m1.2.2.1.1.1.cmml" xref="A2.E168.m1.2.2.1.1.1"><apply id="A2.E168.m1.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="A2.E168.m1.2.2.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E168.m1.2.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="A2.E168.m1.2.2.1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="A2.E168.m1.2.2.1.1.1.2.2.cmml" xref="A2.E168.m1.2.2.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E168.m1.2.2.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="A2.E168.m1.2.2.1.1.1.2">subscript</csymbol><csymbol cd="latexml" id="A2.E168.m1.2.2.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="A2.E168.m1.2.2.1.1.1.2.2.2">product</csymbol><apply id="A2.E168.m1.2.2.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="A2.E168.m1.2.2.1.1.1.2.2.3"><eq id="A2.E168.m1.2.2.1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="A2.E168.m1.2.2.1.1.1.2.2.3.1"></eq><ci id="A2.E168.m1.2.2.1.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="A2.E168.m1.2.2.1.1.1.2.2.3.2">𝑗</ci><cn id="A2.E168.m1.2.2.1.1.1.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="A2.E168.m1.2.2.1.1.1.2.2.3.3">1</cn></apply></apply><apply id="A2.E168.m1.2.2.1.1.1.2.3.cmml" xref="A2.E168.m1.2.2.1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E168.m1.2.2.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="A2.E168.m1.2.2.1.1.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="A2.E168.m1.2.2.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="A2.E168.m1.2.2.1.1.1.2.3.2">𝜆</ci><ci id="A2.E168.m1.2.2.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="A2.E168.m1.2.2.1.1.1.2.3.3">𝑖</ci></apply></apply><apply id="A2.E168.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A2.E168.m1.2.2.1.1.1.1.1"><minus id="A2.E168.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A2.E168.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1"></minus><apply id="A2.E168.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A2.E168.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2"><plus id="A2.E168.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A2.E168.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.1"></plus><ci id="A2.E168.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A2.E168.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2">𝑑</ci><ci id="A2.E168.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="A2.E168.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3">𝑗</ci></apply><ci id="A2.E168.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A2.E168.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3">𝑖</ci></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.E168.m1.2c">\displaystyle c_{\lambda}(d)=d^{-t}\prod_{i=1}^{k}\prod_{j=1}^{\lambda_{i}}(d+% j-i)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.E168.m1.2d">italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_λ end_POSTSUBSCRIPT ( italic_d ) = italic_d start_POSTSUPERSCRIPT - italic_t end_POSTSUPERSCRIPT ∏ start_POSTSUBSCRIPT italic_i = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_k end_POSTSUPERSCRIPT ∏ start_POSTSUBSCRIPT italic_j = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_λ start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_d + italic_j - italic_i )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(168)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="A2.SS5.1.p1.12">Since the idempotents are orthogonal to each other, so are the eigenvectors of <math alttext="W" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.SS5.1.p1.7.m1.1"><semantics id="A2.SS5.1.p1.7.m1.1a"><mi id="A2.SS5.1.p1.7.m1.1.1" xref="A2.SS5.1.p1.7.m1.1.1.cmml">W</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.SS5.1.p1.7.m1.1b"><ci id="A2.SS5.1.p1.7.m1.1.1.cmml" xref="A2.SS5.1.p1.7.m1.1.1">𝑊</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.SS5.1.p1.7.m1.1c">W</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.SS5.1.p1.7.m1.1d">italic_W</annotation></semantics></math>, so the maximum norm of any unit vector passed through <math alttext="W" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.SS5.1.p1.8.m2.1"><semantics id="A2.SS5.1.p1.8.m2.1a"><mi id="A2.SS5.1.p1.8.m2.1.1" xref="A2.SS5.1.p1.8.m2.1.1.cmml">W</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.SS5.1.p1.8.m2.1b"><ci id="A2.SS5.1.p1.8.m2.1.1.cmml" xref="A2.SS5.1.p1.8.m2.1.1">𝑊</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.SS5.1.p1.8.m2.1c">W</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.SS5.1.p1.8.m2.1d">italic_W</annotation></semantics></math> is bounded by its largest eigenvalue, which corresponds to the partition that minimizes <math alttext="c_{\lambda}(Q)" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.SS5.1.p1.9.m3.1"><semantics id="A2.SS5.1.p1.9.m3.1a"><mrow id="A2.SS5.1.p1.9.m3.1.2" xref="A2.SS5.1.p1.9.m3.1.2.cmml"><msub id="A2.SS5.1.p1.9.m3.1.2.2" xref="A2.SS5.1.p1.9.m3.1.2.2.cmml"><mi id="A2.SS5.1.p1.9.m3.1.2.2.2" xref="A2.SS5.1.p1.9.m3.1.2.2.2.cmml">c</mi><mi id="A2.SS5.1.p1.9.m3.1.2.2.3" xref="A2.SS5.1.p1.9.m3.1.2.2.3.cmml">λ</mi></msub><mo id="A2.SS5.1.p1.9.m3.1.2.1" xref="A2.SS5.1.p1.9.m3.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A2.SS5.1.p1.9.m3.1.2.3.2" xref="A2.SS5.1.p1.9.m3.1.2.cmml"><mo id="A2.SS5.1.p1.9.m3.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="A2.SS5.1.p1.9.m3.1.2.cmml">(</mo><mi id="A2.SS5.1.p1.9.m3.1.1" xref="A2.SS5.1.p1.9.m3.1.1.cmml">Q</mi><mo id="A2.SS5.1.p1.9.m3.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="A2.SS5.1.p1.9.m3.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.SS5.1.p1.9.m3.1b"><apply id="A2.SS5.1.p1.9.m3.1.2.cmml" xref="A2.SS5.1.p1.9.m3.1.2"><times id="A2.SS5.1.p1.9.m3.1.2.1.cmml" xref="A2.SS5.1.p1.9.m3.1.2.1"></times><apply id="A2.SS5.1.p1.9.m3.1.2.2.cmml" xref="A2.SS5.1.p1.9.m3.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.SS5.1.p1.9.m3.1.2.2.1.cmml" xref="A2.SS5.1.p1.9.m3.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="A2.SS5.1.p1.9.m3.1.2.2.2.cmml" xref="A2.SS5.1.p1.9.m3.1.2.2.2">𝑐</ci><ci id="A2.SS5.1.p1.9.m3.1.2.2.3.cmml" xref="A2.SS5.1.p1.9.m3.1.2.2.3">𝜆</ci></apply><ci id="A2.SS5.1.p1.9.m3.1.1.cmml" xref="A2.SS5.1.p1.9.m3.1.1">𝑄</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.SS5.1.p1.9.m3.1c">c_{\lambda}(Q)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.SS5.1.p1.9.m3.1d">italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_λ end_POSTSUBSCRIPT ( italic_Q )</annotation></semantics></math> (keeping <math alttext="c_{\lambda}" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.SS5.1.p1.10.m4.1"><semantics id="A2.SS5.1.p1.10.m4.1a"><msub id="A2.SS5.1.p1.10.m4.1.1" xref="A2.SS5.1.p1.10.m4.1.1.cmml"><mi id="A2.SS5.1.p1.10.m4.1.1.2" xref="A2.SS5.1.p1.10.m4.1.1.2.cmml">c</mi><mi id="A2.SS5.1.p1.10.m4.1.1.3" xref="A2.SS5.1.p1.10.m4.1.1.3.cmml">λ</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.SS5.1.p1.10.m4.1b"><apply id="A2.SS5.1.p1.10.m4.1.1.cmml" xref="A2.SS5.1.p1.10.m4.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.SS5.1.p1.10.m4.1.1.1.cmml" xref="A2.SS5.1.p1.10.m4.1.1">subscript</csymbol><ci id="A2.SS5.1.p1.10.m4.1.1.2.cmml" xref="A2.SS5.1.p1.10.m4.1.1.2">𝑐</ci><ci id="A2.SS5.1.p1.10.m4.1.1.3.cmml" xref="A2.SS5.1.p1.10.m4.1.1.3">𝜆</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.SS5.1.p1.10.m4.1c">c_{\lambda}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.SS5.1.p1.10.m4.1d">italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_λ end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> nonzero, as the Weingarten function is a pseudo-inverse). For <math alttext="t\leq d" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.SS5.1.p1.11.m5.1"><semantics id="A2.SS5.1.p1.11.m5.1a"><mrow id="A2.SS5.1.p1.11.m5.1.1" xref="A2.SS5.1.p1.11.m5.1.1.cmml"><mi id="A2.SS5.1.p1.11.m5.1.1.2" xref="A2.SS5.1.p1.11.m5.1.1.2.cmml">t</mi><mo id="A2.SS5.1.p1.11.m5.1.1.1" xref="A2.SS5.1.p1.11.m5.1.1.1.cmml">≤</mo><mi id="A2.SS5.1.p1.11.m5.1.1.3" xref="A2.SS5.1.p1.11.m5.1.1.3.cmml">d</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.SS5.1.p1.11.m5.1b"><apply id="A2.SS5.1.p1.11.m5.1.1.cmml" xref="A2.SS5.1.p1.11.m5.1.1"><leq id="A2.SS5.1.p1.11.m5.1.1.1.cmml" xref="A2.SS5.1.p1.11.m5.1.1.1"></leq><ci id="A2.SS5.1.p1.11.m5.1.1.2.cmml" xref="A2.SS5.1.p1.11.m5.1.1.2">𝑡</ci><ci id="A2.SS5.1.p1.11.m5.1.1.3.cmml" xref="A2.SS5.1.p1.11.m5.1.1.3">𝑑</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.SS5.1.p1.11.m5.1c">t\leq d</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.SS5.1.p1.11.m5.1d">italic_t ≤ italic_d</annotation></semantics></math>, this would be the <math alttext="(1,1,1,...1)" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.SS5.1.p1.12.m6.4"><semantics id="A2.SS5.1.p1.12.m6.4a"><mrow id="A2.SS5.1.p1.12.m6.4.4.1" xref="A2.SS5.1.p1.12.m6.4.4.2.cmml"><mo id="A2.SS5.1.p1.12.m6.4.4.1.2" stretchy="false" xref="A2.SS5.1.p1.12.m6.4.4.2.cmml">(</mo><mn id="A2.SS5.1.p1.12.m6.1.1" xref="A2.SS5.1.p1.12.m6.1.1.cmml">1</mn><mo id="A2.SS5.1.p1.12.m6.4.4.1.3" xref="A2.SS5.1.p1.12.m6.4.4.2.cmml">,</mo><mn id="A2.SS5.1.p1.12.m6.2.2" xref="A2.SS5.1.p1.12.m6.2.2.cmml">1</mn><mo id="A2.SS5.1.p1.12.m6.4.4.1.4" xref="A2.SS5.1.p1.12.m6.4.4.2.cmml">,</mo><mn id="A2.SS5.1.p1.12.m6.3.3" xref="A2.SS5.1.p1.12.m6.3.3.cmml">1</mn><mo id="A2.SS5.1.p1.12.m6.4.4.1.5" xref="A2.SS5.1.p1.12.m6.4.4.2.cmml">,</mo><mrow id="A2.SS5.1.p1.12.m6.4.4.1.1" xref="A2.SS5.1.p1.12.m6.4.4.1.1.cmml"><mi id="A2.SS5.1.p1.12.m6.4.4.1.1.2" mathvariant="normal" xref="A2.SS5.1.p1.12.m6.4.4.1.1.2.cmml">…</mi><mo id="A2.SS5.1.p1.12.m6.4.4.1.1.1" xref="A2.SS5.1.p1.12.m6.4.4.1.1.1.cmml">⁢</mo><mn id="A2.SS5.1.p1.12.m6.4.4.1.1.3" xref="A2.SS5.1.p1.12.m6.4.4.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="A2.SS5.1.p1.12.m6.4.4.1.6" stretchy="false" xref="A2.SS5.1.p1.12.m6.4.4.2.cmml">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.SS5.1.p1.12.m6.4b"><vector id="A2.SS5.1.p1.12.m6.4.4.2.cmml" xref="A2.SS5.1.p1.12.m6.4.4.1"><cn id="A2.SS5.1.p1.12.m6.1.1.cmml" type="integer" xref="A2.SS5.1.p1.12.m6.1.1">1</cn><cn id="A2.SS5.1.p1.12.m6.2.2.cmml" type="integer" xref="A2.SS5.1.p1.12.m6.2.2">1</cn><cn id="A2.SS5.1.p1.12.m6.3.3.cmml" type="integer" xref="A2.SS5.1.p1.12.m6.3.3">1</cn><apply id="A2.SS5.1.p1.12.m6.4.4.1.1.cmml" xref="A2.SS5.1.p1.12.m6.4.4.1.1"><times id="A2.SS5.1.p1.12.m6.4.4.1.1.1.cmml" xref="A2.SS5.1.p1.12.m6.4.4.1.1.1"></times><ci id="A2.SS5.1.p1.12.m6.4.4.1.1.2.cmml" xref="A2.SS5.1.p1.12.m6.4.4.1.1.2">…</ci><cn id="A2.SS5.1.p1.12.m6.4.4.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A2.SS5.1.p1.12.m6.4.4.1.1.3">1</cn></apply></vector></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.SS5.1.p1.12.m6.4c">(1,1,1,...1)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.SS5.1.p1.12.m6.4d">( 1 , 1 , 1 , … 1 )</annotation></semantics></math> partition, with an eigenvalue of</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="S6.EGx140"> <tbody id="A2.Ex66"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle c_{1^{t}}(d)^{-1}" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.Ex66.m1.1"><semantics id="A2.Ex66.m1.1a"><mrow id="A2.Ex66.m1.1.2" xref="A2.Ex66.m1.1.2.cmml"><msub id="A2.Ex66.m1.1.2.2" xref="A2.Ex66.m1.1.2.2.cmml"><mi id="A2.Ex66.m1.1.2.2.2" xref="A2.Ex66.m1.1.2.2.2.cmml">c</mi><msup id="A2.Ex66.m1.1.2.2.3" xref="A2.Ex66.m1.1.2.2.3.cmml"><mn id="A2.Ex66.m1.1.2.2.3.2" xref="A2.Ex66.m1.1.2.2.3.2.cmml">1</mn><mi id="A2.Ex66.m1.1.2.2.3.3" xref="A2.Ex66.m1.1.2.2.3.3.cmml">t</mi></msup></msub><mo id="A2.Ex66.m1.1.2.1" xref="A2.Ex66.m1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="A2.Ex66.m1.1.2.3" xref="A2.Ex66.m1.1.2.3.cmml"><mrow id="A2.Ex66.m1.1.2.3.2.2" xref="A2.Ex66.m1.1.2.3.cmml"><mo id="A2.Ex66.m1.1.2.3.2.2.1" stretchy="false" xref="A2.Ex66.m1.1.2.3.cmml">(</mo><mi id="A2.Ex66.m1.1.1" xref="A2.Ex66.m1.1.1.cmml">d</mi><mo id="A2.Ex66.m1.1.2.3.2.2.2" stretchy="false" xref="A2.Ex66.m1.1.2.3.cmml">)</mo></mrow><mrow id="A2.Ex66.m1.1.2.3.3" xref="A2.Ex66.m1.1.2.3.3.cmml"><mo id="A2.Ex66.m1.1.2.3.3a" xref="A2.Ex66.m1.1.2.3.3.cmml">−</mo><mn id="A2.Ex66.m1.1.2.3.3.2" xref="A2.Ex66.m1.1.2.3.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.Ex66.m1.1b"><apply id="A2.Ex66.m1.1.2.cmml" xref="A2.Ex66.m1.1.2"><times id="A2.Ex66.m1.1.2.1.cmml" xref="A2.Ex66.m1.1.2.1"></times><apply id="A2.Ex66.m1.1.2.2.cmml" xref="A2.Ex66.m1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.Ex66.m1.1.2.2.1.cmml" xref="A2.Ex66.m1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="A2.Ex66.m1.1.2.2.2.cmml" xref="A2.Ex66.m1.1.2.2.2">𝑐</ci><apply id="A2.Ex66.m1.1.2.2.3.cmml" xref="A2.Ex66.m1.1.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.Ex66.m1.1.2.2.3.1.cmml" xref="A2.Ex66.m1.1.2.2.3">superscript</csymbol><cn id="A2.Ex66.m1.1.2.2.3.2.cmml" type="integer" xref="A2.Ex66.m1.1.2.2.3.2">1</cn><ci id="A2.Ex66.m1.1.2.2.3.3.cmml" xref="A2.Ex66.m1.1.2.2.3.3">𝑡</ci></apply></apply><apply id="A2.Ex66.m1.1.2.3.cmml" xref="A2.Ex66.m1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.Ex66.m1.1.2.3.1.cmml" xref="A2.Ex66.m1.1.2.3">superscript</csymbol><ci id="A2.Ex66.m1.1.1.cmml" xref="A2.Ex66.m1.1.1">𝑑</ci><apply id="A2.Ex66.m1.1.2.3.3.cmml" xref="A2.Ex66.m1.1.2.3.3"><minus id="A2.Ex66.m1.1.2.3.3.1.cmml" xref="A2.Ex66.m1.1.2.3.3"></minus><cn id="A2.Ex66.m1.1.2.3.3.2.cmml" type="integer" xref="A2.Ex66.m1.1.2.3.3.2">1</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.Ex66.m1.1c">\displaystyle c_{1^{t}}(d)^{-1}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.Ex66.m1.1d">italic_c start_POSTSUBSCRIPT 1 start_POSTSUPERSCRIPT italic_t end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT ( italic_d ) start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=\frac{d^{t}}{\prod_{i=1}^{t}[d-(i-1)]}" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.Ex66.m2.1"><semantics id="A2.Ex66.m2.1a"><mrow id="A2.Ex66.m2.1.2" xref="A2.Ex66.m2.1.2.cmml"><mi id="A2.Ex66.m2.1.2.2" xref="A2.Ex66.m2.1.2.2.cmml"></mi><mo id="A2.Ex66.m2.1.2.1" xref="A2.Ex66.m2.1.2.1.cmml">=</mo><mstyle displaystyle="true" id="A2.Ex66.m2.1.1" xref="A2.Ex66.m2.1.1.cmml"><mfrac id="A2.Ex66.m2.1.1a" xref="A2.Ex66.m2.1.1.cmml"><msup id="A2.Ex66.m2.1.1.3" xref="A2.Ex66.m2.1.1.3.cmml"><mi id="A2.Ex66.m2.1.1.3.2" xref="A2.Ex66.m2.1.1.3.2.cmml">d</mi><mi id="A2.Ex66.m2.1.1.3.3" xref="A2.Ex66.m2.1.1.3.3.cmml">t</mi></msup><mrow id="A2.Ex66.m2.1.1.1" xref="A2.Ex66.m2.1.1.1.cmml"><msubsup id="A2.Ex66.m2.1.1.1.2" xref="A2.Ex66.m2.1.1.1.2.cmml"><mo id="A2.Ex66.m2.1.1.1.2.2.2" xref="A2.Ex66.m2.1.1.1.2.2.2.cmml">∏</mo><mrow id="A2.Ex66.m2.1.1.1.2.2.3" xref="A2.Ex66.m2.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="A2.Ex66.m2.1.1.1.2.2.3.2" xref="A2.Ex66.m2.1.1.1.2.2.3.2.cmml">i</mi><mo id="A2.Ex66.m2.1.1.1.2.2.3.1" xref="A2.Ex66.m2.1.1.1.2.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="A2.Ex66.m2.1.1.1.2.2.3.3" xref="A2.Ex66.m2.1.1.1.2.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="A2.Ex66.m2.1.1.1.2.3" xref="A2.Ex66.m2.1.1.1.2.3.cmml">t</mi></msubsup><mrow id="A2.Ex66.m2.1.1.1.1.1" xref="A2.Ex66.m2.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="A2.Ex66.m2.1.1.1.1.1.2" lspace="0em" stretchy="false" xref="A2.Ex66.m2.1.1.1.1.2.1.cmml">[</mo><mrow id="A2.Ex66.m2.1.1.1.1.1.1" xref="A2.Ex66.m2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A2.Ex66.m2.1.1.1.1.1.1.3" xref="A2.Ex66.m2.1.1.1.1.1.1.3.cmml">d</mi><mo id="A2.Ex66.m2.1.1.1.1.1.1.2" xref="A2.Ex66.m2.1.1.1.1.1.1.2.cmml">−</mo><mrow id="A2.Ex66.m2.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A2.Ex66.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A2.Ex66.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A2.Ex66.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A2.Ex66.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A2.Ex66.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A2.Ex66.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A2.Ex66.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">i</mi><mo id="A2.Ex66.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A2.Ex66.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mn id="A2.Ex66.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A2.Ex66.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="A2.Ex66.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A2.Ex66.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A2.Ex66.m2.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A2.Ex66.m2.1.1.1.1.2.1.cmml">]</mo></mrow></mrow></mfrac></mstyle></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.Ex66.m2.1b"><apply id="A2.Ex66.m2.1.2.cmml" xref="A2.Ex66.m2.1.2"><eq id="A2.Ex66.m2.1.2.1.cmml" xref="A2.Ex66.m2.1.2.1"></eq><csymbol cd="latexml" id="A2.Ex66.m2.1.2.2.cmml" xref="A2.Ex66.m2.1.2.2">absent</csymbol><apply id="A2.Ex66.m2.1.1.cmml" xref="A2.Ex66.m2.1.1"><divide id="A2.Ex66.m2.1.1.2.cmml" xref="A2.Ex66.m2.1.1"></divide><apply id="A2.Ex66.m2.1.1.3.cmml" xref="A2.Ex66.m2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.Ex66.m2.1.1.3.1.cmml" xref="A2.Ex66.m2.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="A2.Ex66.m2.1.1.3.2.cmml" xref="A2.Ex66.m2.1.1.3.2">𝑑</ci><ci id="A2.Ex66.m2.1.1.3.3.cmml" xref="A2.Ex66.m2.1.1.3.3">𝑡</ci></apply><apply id="A2.Ex66.m2.1.1.1.cmml" xref="A2.Ex66.m2.1.1.1"><apply id="A2.Ex66.m2.1.1.1.2.cmml" xref="A2.Ex66.m2.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.Ex66.m2.1.1.1.2.1.cmml" xref="A2.Ex66.m2.1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="A2.Ex66.m2.1.1.1.2.2.cmml" xref="A2.Ex66.m2.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.Ex66.m2.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="A2.Ex66.m2.1.1.1.2">subscript</csymbol><csymbol cd="latexml" id="A2.Ex66.m2.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="A2.Ex66.m2.1.1.1.2.2.2">product</csymbol><apply id="A2.Ex66.m2.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="A2.Ex66.m2.1.1.1.2.2.3"><eq id="A2.Ex66.m2.1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="A2.Ex66.m2.1.1.1.2.2.3.1"></eq><ci id="A2.Ex66.m2.1.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="A2.Ex66.m2.1.1.1.2.2.3.2">𝑖</ci><cn id="A2.Ex66.m2.1.1.1.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="A2.Ex66.m2.1.1.1.2.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="A2.Ex66.m2.1.1.1.2.3.cmml" xref="A2.Ex66.m2.1.1.1.2.3">𝑡</ci></apply><apply id="A2.Ex66.m2.1.1.1.1.2.cmml" xref="A2.Ex66.m2.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="A2.Ex66.m2.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A2.Ex66.m2.1.1.1.1.1.2">delimited-[]</csymbol><apply id="A2.Ex66.m2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A2.Ex66.m2.1.1.1.1.1.1"><minus id="A2.Ex66.m2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A2.Ex66.m2.1.1.1.1.1.1.2"></minus><ci id="A2.Ex66.m2.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A2.Ex66.m2.1.1.1.1.1.1.3">𝑑</ci><apply id="A2.Ex66.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A2.Ex66.m2.1.1.1.1.1.1.1.1"><minus id="A2.Ex66.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A2.Ex66.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><ci id="A2.Ex66.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A2.Ex66.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑖</ci><cn id="A2.Ex66.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A2.Ex66.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">1</cn></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.Ex66.m2.1c">\displaystyle=\frac{d^{t}}{\prod_{i=1}^{t}[d-(i-1)]}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.Ex66.m2.1d">= divide start_ARG italic_d start_POSTSUPERSCRIPT italic_t end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG ∏ start_POSTSUBSCRIPT italic_i = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_t end_POSTSUPERSCRIPT [ italic_d - ( italic_i - 1 ) ] end_ARG</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="A2.Ex67"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=\frac{d^{t}(d-t)!}{d!}" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.Ex67.m1.1"><semantics id="A2.Ex67.m1.1a"><mrow id="A2.Ex67.m1.1.2" xref="A2.Ex67.m1.1.2.cmml"><mi id="A2.Ex67.m1.1.2.2" xref="A2.Ex67.m1.1.2.2.cmml"></mi><mo id="A2.Ex67.m1.1.2.1" xref="A2.Ex67.m1.1.2.1.cmml">=</mo><mstyle displaystyle="true" id="A2.Ex67.m1.1.1" xref="A2.Ex67.m1.1.1.cmml"><mfrac id="A2.Ex67.m1.1.1a" xref="A2.Ex67.m1.1.1.cmml"><mrow id="A2.Ex67.m1.1.1.1" xref="A2.Ex67.m1.1.1.1.cmml"><msup id="A2.Ex67.m1.1.1.1.3" xref="A2.Ex67.m1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A2.Ex67.m1.1.1.1.3.2" xref="A2.Ex67.m1.1.1.1.3.2.cmml">d</mi><mi id="A2.Ex67.m1.1.1.1.3.3" xref="A2.Ex67.m1.1.1.1.3.3.cmml">t</mi></msup><mo id="A2.Ex67.m1.1.1.1.2" xref="A2.Ex67.m1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A2.Ex67.m1.1.1.1.1" xref="A2.Ex67.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A2.Ex67.m1.1.1.1.1.1.1" xref="A2.Ex67.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A2.Ex67.m1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A2.Ex67.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A2.Ex67.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A2.Ex67.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A2.Ex67.m1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A2.Ex67.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">d</mi><mo id="A2.Ex67.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A2.Ex67.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mi id="A2.Ex67.m1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A2.Ex67.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">t</mi></mrow><mo id="A2.Ex67.m1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A2.Ex67.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A2.Ex67.m1.1.1.1.1.2" xref="A2.Ex67.m1.1.1.1.1.2.cmml">!</mo></mrow></mrow><mrow id="A2.Ex67.m1.1.1.3" xref="A2.Ex67.m1.1.1.3.cmml"><mi id="A2.Ex67.m1.1.1.3.2" xref="A2.Ex67.m1.1.1.3.2.cmml">d</mi><mo id="A2.Ex67.m1.1.1.3.1" xref="A2.Ex67.m1.1.1.3.1.cmml">!</mo></mrow></mfrac></mstyle></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.Ex67.m1.1b"><apply id="A2.Ex67.m1.1.2.cmml" xref="A2.Ex67.m1.1.2"><eq id="A2.Ex67.m1.1.2.1.cmml" xref="A2.Ex67.m1.1.2.1"></eq><csymbol cd="latexml" id="A2.Ex67.m1.1.2.2.cmml" xref="A2.Ex67.m1.1.2.2">absent</csymbol><apply id="A2.Ex67.m1.1.1.cmml" xref="A2.Ex67.m1.1.1"><divide id="A2.Ex67.m1.1.1.2.cmml" xref="A2.Ex67.m1.1.1"></divide><apply id="A2.Ex67.m1.1.1.1.cmml" xref="A2.Ex67.m1.1.1.1"><times id="A2.Ex67.m1.1.1.1.2.cmml" xref="A2.Ex67.m1.1.1.1.2"></times><apply id="A2.Ex67.m1.1.1.1.3.cmml" xref="A2.Ex67.m1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.Ex67.m1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A2.Ex67.m1.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="A2.Ex67.m1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A2.Ex67.m1.1.1.1.3.2">𝑑</ci><ci id="A2.Ex67.m1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A2.Ex67.m1.1.1.1.3.3">𝑡</ci></apply><apply id="A2.Ex67.m1.1.1.1.1.cmml" xref="A2.Ex67.m1.1.1.1.1"><factorial id="A2.Ex67.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A2.Ex67.m1.1.1.1.1.2"></factorial><apply id="A2.Ex67.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A2.Ex67.m1.1.1.1.1.1.1"><minus id="A2.Ex67.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A2.Ex67.m1.1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><ci id="A2.Ex67.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A2.Ex67.m1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑑</ci><ci id="A2.Ex67.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A2.Ex67.m1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑡</ci></apply></apply></apply><apply id="A2.Ex67.m1.1.1.3.cmml" xref="A2.Ex67.m1.1.1.3"><factorial id="A2.Ex67.m1.1.1.3.1.cmml" xref="A2.Ex67.m1.1.1.3.1"></factorial><ci id="A2.Ex67.m1.1.1.3.2.cmml" xref="A2.Ex67.m1.1.1.3.2">𝑑</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.Ex67.m1.1c">\displaystyle=\frac{d^{t}(d-t)!}{d!}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.Ex67.m1.1d">= divide start_ARG italic_d start_POSTSUPERSCRIPT italic_t end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_d - italic_t ) ! end_ARG start_ARG italic_d ! end_ARG</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="A2.SS5.1.p1.16">We now apply a version of Stirling’s approximation here:</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_gather ltx_eqn_table" id="S6.EGx141"> <tbody id="A2.E169"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\displaystyle\sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^{n}e^{\frac{1}{12n+1}}<n!<% \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^{n}e^{\frac{1}{12n}}" class="ltx_Math" display="block" id="A2.E169.m1.2"><semantics id="A2.E169.m1.2a"><mrow id="A2.E169.m1.2.3" xref="A2.E169.m1.2.3.cmml"><mrow id="A2.E169.m1.2.3.2" xref="A2.E169.m1.2.3.2.cmml"><msqrt id="A2.E169.m1.2.3.2.2" xref="A2.E169.m1.2.3.2.2.cmml"><mrow id="A2.E169.m1.2.3.2.2.2" xref="A2.E169.m1.2.3.2.2.2.cmml"><mn id="A2.E169.m1.2.3.2.2.2.2" xref="A2.E169.m1.2.3.2.2.2.2.cmml">2</mn><mo id="A2.E169.m1.2.3.2.2.2.1" xref="A2.E169.m1.2.3.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="A2.E169.m1.2.3.2.2.2.3" xref="A2.E169.m1.2.3.2.2.2.3.cmml">π</mi><mo id="A2.E169.m1.2.3.2.2.2.1a" xref="A2.E169.m1.2.3.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="A2.E169.m1.2.3.2.2.2.4" xref="A2.E169.m1.2.3.2.2.2.4.cmml">n</mi></mrow></msqrt><mo id="A2.E169.m1.2.3.2.1" xref="A2.E169.m1.2.3.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="A2.E169.m1.2.3.2.3" xref="A2.E169.m1.2.3.2.3.cmml"><mrow id="A2.E169.m1.2.3.2.3.2.2" xref="A2.E169.m1.1.1.cmml"><mo id="A2.E169.m1.2.3.2.3.2.2.1" xref="A2.E169.m1.1.1.cmml">(</mo><mfrac id="A2.E169.m1.1.1" xref="A2.E169.m1.1.1.cmml"><mi id="A2.E169.m1.1.1.2" xref="A2.E169.m1.1.1.2.cmml">n</mi><mi id="A2.E169.m1.1.1.3" xref="A2.E169.m1.1.1.3.cmml">e</mi></mfrac><mo id="A2.E169.m1.2.3.2.3.2.2.2" xref="A2.E169.m1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mi id="A2.E169.m1.2.3.2.3.3" xref="A2.E169.m1.2.3.2.3.3.cmml">n</mi></msup><mo id="A2.E169.m1.2.3.2.1a" xref="A2.E169.m1.2.3.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="A2.E169.m1.2.3.2.4" xref="A2.E169.m1.2.3.2.4.cmml"><mi id="A2.E169.m1.2.3.2.4.2" xref="A2.E169.m1.2.3.2.4.2.cmml">e</mi><mfrac id="A2.E169.m1.2.3.2.4.3" xref="A2.E169.m1.2.3.2.4.3.cmml"><mn id="A2.E169.m1.2.3.2.4.3.2" xref="A2.E169.m1.2.3.2.4.3.2.cmml">1</mn><mrow id="A2.E169.m1.2.3.2.4.3.3" xref="A2.E169.m1.2.3.2.4.3.3.cmml"><mrow id="A2.E169.m1.2.3.2.4.3.3.2" xref="A2.E169.m1.2.3.2.4.3.3.2.cmml"><mn id="A2.E169.m1.2.3.2.4.3.3.2.2" xref="A2.E169.m1.2.3.2.4.3.3.2.2.cmml">12</mn><mo id="A2.E169.m1.2.3.2.4.3.3.2.1" xref="A2.E169.m1.2.3.2.4.3.3.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="A2.E169.m1.2.3.2.4.3.3.2.3" xref="A2.E169.m1.2.3.2.4.3.3.2.3.cmml">n</mi></mrow><mo id="A2.E169.m1.2.3.2.4.3.3.1" xref="A2.E169.m1.2.3.2.4.3.3.1.cmml">+</mo><mn id="A2.E169.m1.2.3.2.4.3.3.3" xref="A2.E169.m1.2.3.2.4.3.3.3.cmml">1</mn></mrow></mfrac></msup></mrow><mo id="A2.E169.m1.2.3.3" xref="A2.E169.m1.2.3.3.cmml"><</mo><mrow id="A2.E169.m1.2.3.4" xref="A2.E169.m1.2.3.4.cmml"><mi id="A2.E169.m1.2.3.4.2" xref="A2.E169.m1.2.3.4.2.cmml">n</mi><mo id="A2.E169.m1.2.3.4.1" xref="A2.E169.m1.2.3.4.1.cmml">!</mo></mrow><mo id="A2.E169.m1.2.3.5" xref="A2.E169.m1.2.3.5.cmml"><</mo><mrow id="A2.E169.m1.2.3.6" xref="A2.E169.m1.2.3.6.cmml"><msqrt id="A2.E169.m1.2.3.6.2" 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id="A2.E169.m1.2.3.6.3.3" xref="A2.E169.m1.2.3.6.3.3.cmml">n</mi></msup><mo id="A2.E169.m1.2.3.6.1a" xref="A2.E169.m1.2.3.6.1.cmml">⁢</mo><msup id="A2.E169.m1.2.3.6.4" xref="A2.E169.m1.2.3.6.4.cmml"><mi id="A2.E169.m1.2.3.6.4.2" xref="A2.E169.m1.2.3.6.4.2.cmml">e</mi><mfrac id="A2.E169.m1.2.3.6.4.3" xref="A2.E169.m1.2.3.6.4.3.cmml"><mn id="A2.E169.m1.2.3.6.4.3.2" xref="A2.E169.m1.2.3.6.4.3.2.cmml">1</mn><mrow id="A2.E169.m1.2.3.6.4.3.3" xref="A2.E169.m1.2.3.6.4.3.3.cmml"><mn id="A2.E169.m1.2.3.6.4.3.3.2" xref="A2.E169.m1.2.3.6.4.3.3.2.cmml">12</mn><mo id="A2.E169.m1.2.3.6.4.3.3.1" xref="A2.E169.m1.2.3.6.4.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A2.E169.m1.2.3.6.4.3.3.3" xref="A2.E169.m1.2.3.6.4.3.3.3.cmml">n</mi></mrow></mfrac></msup></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.E169.m1.2b"><apply id="A2.E169.m1.2.3.cmml" xref="A2.E169.m1.2.3"><and id="A2.E169.m1.2.3a.cmml" xref="A2.E169.m1.2.3"></and><apply id="A2.E169.m1.2.3b.cmml" xref="A2.E169.m1.2.3"><lt id="A2.E169.m1.2.3.3.cmml" xref="A2.E169.m1.2.3.3"></lt><apply id="A2.E169.m1.2.3.2.cmml" xref="A2.E169.m1.2.3.2"><times id="A2.E169.m1.2.3.2.1.cmml" xref="A2.E169.m1.2.3.2.1"></times><apply id="A2.E169.m1.2.3.2.2.cmml" xref="A2.E169.m1.2.3.2.2"><root id="A2.E169.m1.2.3.2.2a.cmml" xref="A2.E169.m1.2.3.2.2"></root><apply id="A2.E169.m1.2.3.2.2.2.cmml" xref="A2.E169.m1.2.3.2.2.2"><times id="A2.E169.m1.2.3.2.2.2.1.cmml" xref="A2.E169.m1.2.3.2.2.2.1"></times><cn id="A2.E169.m1.2.3.2.2.2.2.cmml" type="integer" xref="A2.E169.m1.2.3.2.2.2.2">2</cn><ci id="A2.E169.m1.2.3.2.2.2.3.cmml" xref="A2.E169.m1.2.3.2.2.2.3">𝜋</ci><ci id="A2.E169.m1.2.3.2.2.2.4.cmml" xref="A2.E169.m1.2.3.2.2.2.4">𝑛</ci></apply></apply><apply id="A2.E169.m1.2.3.2.3.cmml" xref="A2.E169.m1.2.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E169.m1.2.3.2.3.1.cmml" xref="A2.E169.m1.2.3.2.3">superscript</csymbol><apply id="A2.E169.m1.1.1.cmml" xref="A2.E169.m1.2.3.2.3.2.2"><divide id="A2.E169.m1.1.1.1.cmml" 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ltx_align_right">(169)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="A2.SS5.1.p1.17">giving</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="S6.EGx142"> <tbody id="A2.Ex68"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle c_{1^{t}}(d)^{-1}" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.Ex68.m1.1"><semantics id="A2.Ex68.m1.1a"><mrow id="A2.Ex68.m1.1.2" xref="A2.Ex68.m1.1.2.cmml"><msub id="A2.Ex68.m1.1.2.2" xref="A2.Ex68.m1.1.2.2.cmml"><mi id="A2.Ex68.m1.1.2.2.2" xref="A2.Ex68.m1.1.2.2.2.cmml">c</mi><msup id="A2.Ex68.m1.1.2.2.3" xref="A2.Ex68.m1.1.2.2.3.cmml"><mn id="A2.Ex68.m1.1.2.2.3.2" xref="A2.Ex68.m1.1.2.2.3.2.cmml">1</mn><mi id="A2.Ex68.m1.1.2.2.3.3" xref="A2.Ex68.m1.1.2.2.3.3.cmml">t</mi></msup></msub><mo id="A2.Ex68.m1.1.2.1" xref="A2.Ex68.m1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="A2.Ex68.m1.1.2.3" 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displaystyle="true" id="A2.Ex68.m2.1.1" xref="A2.Ex68.m2.1.1.cmml"><mfrac id="A2.Ex68.m2.1.1a" xref="A2.Ex68.m2.1.1.cmml"><msup id="A2.Ex68.m2.1.1.1" xref="A2.Ex68.m2.1.1.1.cmml"><mrow id="A2.Ex68.m2.1.1.1.1.1" xref="A2.Ex68.m2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A2.Ex68.m2.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A2.Ex68.m2.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A2.Ex68.m2.1.1.1.1.1.1" xref="A2.Ex68.m2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A2.Ex68.m2.1.1.1.1.1.1.2" xref="A2.Ex68.m2.1.1.1.1.1.1.2.cmml">d</mi><mo id="A2.Ex68.m2.1.1.1.1.1.1.1" xref="A2.Ex68.m2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mi id="A2.Ex68.m2.1.1.1.1.1.1.3" xref="A2.Ex68.m2.1.1.1.1.1.1.3.cmml">t</mi></mrow><mo id="A2.Ex68.m2.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A2.Ex68.m2.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="A2.Ex68.m2.1.1.1.3" xref="A2.Ex68.m2.1.1.1.3.cmml"><mi id="A2.Ex68.m2.1.1.1.3.2" xref="A2.Ex68.m2.1.1.1.3.2.cmml">d</mi><mo id="A2.Ex68.m2.1.1.1.3.1" xref="A2.Ex68.m2.1.1.1.3.1.cmml">−</mo><mi id="A2.Ex68.m2.1.1.1.3.3" 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xref="A2.Ex68.m2.2.2.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A2.Ex68.m2.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="A2.Ex68.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A2.Ex68.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A2.Ex68.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A2.Ex68.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="A2.Ex68.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A2.Ex68.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A2.Ex68.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">d</mi><mo id="A2.Ex68.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A2.Ex68.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mi id="A2.Ex68.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A2.Ex68.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">t</mi></mrow><mo id="A2.Ex68.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A2.Ex68.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A2.Ex68.m2.2.2.1.1.1.2" xref="A2.Ex68.m2.2.2.1.1.1.2.cmml">+</mo><mn id="A2.Ex68.m2.2.2.1.1.1.3" xref="A2.Ex68.m2.2.2.1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow></mfrac><mo id="A2.Ex68.m2.2.2.1.2" xref="A2.Ex68.m2.2.2.1.2.cmml">−</mo><mfrac id="A2.Ex68.m2.2.2.1.3" xref="A2.Ex68.m2.2.2.1.3.cmml"><mn id="A2.Ex68.m2.2.2.1.3.2" xref="A2.Ex68.m2.2.2.1.3.2.cmml">1</mn><mrow id="A2.Ex68.m2.2.2.1.3.3" xref="A2.Ex68.m2.2.2.1.3.3.cmml"><mn id="A2.Ex68.m2.2.2.1.3.3.2" xref="A2.Ex68.m2.2.2.1.3.3.2.cmml">12</mn><mo id="A2.Ex68.m2.2.2.1.3.3.1" xref="A2.Ex68.m2.2.2.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A2.Ex68.m2.2.2.1.3.3.3" xref="A2.Ex68.m2.2.2.1.3.3.3.cmml">d</mi></mrow></mfrac></mrow></msup></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.Ex68.m2.2b"><apply id="A2.Ex68.m2.2.3.cmml" xref="A2.Ex68.m2.2.3"><leq id="A2.Ex68.m2.2.3.1.cmml" xref="A2.Ex68.m2.2.3.1"></leq><csymbol cd="latexml" id="A2.Ex68.m2.2.3.2.cmml" xref="A2.Ex68.m2.2.3.2">absent</csymbol><apply id="A2.Ex68.m2.2.3.3.cmml" xref="A2.Ex68.m2.2.3.3"><times id="A2.Ex68.m2.2.3.3.1.cmml" xref="A2.Ex68.m2.2.3.3.1"></times><apply id="A2.Ex68.m2.2.3.3.2.cmml" xref="A2.Ex68.m2.2.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.Ex68.m2.2.3.3.2.1.cmml" xref="A2.Ex68.m2.2.3.3.2">superscript</csymbol><ci id="A2.Ex68.m2.2.3.3.2.2.cmml" 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xref="A2.Ex70.m1.2.2.1.1.3.2.cmml"><mi id="A2.Ex70.m1.2.2.1.1.3.2.2" xref="A2.Ex70.m1.2.2.1.1.3.2.2.cmml">d</mi><mo id="A2.Ex70.m1.2.2.1.1.3.2.1" xref="A2.Ex70.m1.2.2.1.1.3.2.1.cmml">−</mo><mi id="A2.Ex70.m1.2.2.1.1.3.2.3" xref="A2.Ex70.m1.2.2.1.1.3.2.3.cmml">t</mi></mrow><mo id="A2.Ex70.m1.2.2.1.1.3.1" xref="A2.Ex70.m1.2.2.1.1.3.1.cmml">+</mo><mfrac id="A2.Ex70.m1.2.2.1.1.3.3" xref="A2.Ex70.m1.2.2.1.1.3.3.cmml"><mn id="A2.Ex70.m1.2.2.1.1.3.3.2" xref="A2.Ex70.m1.2.2.1.1.3.3.2.cmml">1</mn><mn id="A2.Ex70.m1.2.2.1.1.3.3.3" xref="A2.Ex70.m1.2.2.1.1.3.3.3.cmml">2</mn></mfrac></mrow></msup><mo id="A2.Ex70.m1.2.2.1.2a" xref="A2.Ex70.m1.2.2.1.2.cmml">⁢</mo><msup id="A2.Ex70.m1.2.2.1.4" xref="A2.Ex70.m1.2.2.1.4.cmml"><mi id="A2.Ex70.m1.2.2.1.4.2" xref="A2.Ex70.m1.2.2.1.4.2.cmml">e</mi><mfrac id="A2.Ex70.m1.1.1.1" xref="A2.Ex70.m1.1.1.1.cmml"><mrow id="A2.Ex70.m1.1.1.1.3" xref="A2.Ex70.m1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A2.Ex70.m1.1.1.1.3.2" xref="A2.Ex70.m1.1.1.1.3.2.cmml">t</mi><mo 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end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="A2.E170"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\leq e^{\frac{t^{2}}{d}-\frac{t}{2d}+\frac{t+1}{12(d-t)^{2}}}" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.E170.m1.1"><semantics id="A2.E170.m1.1a"><mrow id="A2.E170.m1.1.2" xref="A2.E170.m1.1.2.cmml"><mi id="A2.E170.m1.1.2.2" xref="A2.E170.m1.1.2.2.cmml"></mi><mo id="A2.E170.m1.1.2.1" xref="A2.E170.m1.1.2.1.cmml">≤</mo><msup id="A2.E170.m1.1.2.3" xref="A2.E170.m1.1.2.3.cmml"><mi id="A2.E170.m1.1.2.3.2" xref="A2.E170.m1.1.2.3.2.cmml">e</mi><mrow id="A2.E170.m1.1.1.1" xref="A2.E170.m1.1.1.1.cmml"><mrow id="A2.E170.m1.1.1.1.3" xref="A2.E170.m1.1.1.1.3.cmml"><mfrac id="A2.E170.m1.1.1.1.3.2" xref="A2.E170.m1.1.1.1.3.2.cmml"><msup id="A2.E170.m1.1.1.1.3.2.2" xref="A2.E170.m1.1.1.1.3.2.2.cmml"><mi id="A2.E170.m1.1.1.1.3.2.2.2" xref="A2.E170.m1.1.1.1.3.2.2.2.cmml">t</mi><mn id="A2.E170.m1.1.1.1.3.2.2.3" xref="A2.E170.m1.1.1.1.3.2.2.3.cmml">2</mn></msup><mi id="A2.E170.m1.1.1.1.3.2.3" xref="A2.E170.m1.1.1.1.3.2.3.cmml">d</mi></mfrac><mo id="A2.E170.m1.1.1.1.3.1" xref="A2.E170.m1.1.1.1.3.1.cmml">−</mo><mfrac id="A2.E170.m1.1.1.1.3.3" xref="A2.E170.m1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="A2.E170.m1.1.1.1.3.3.2" xref="A2.E170.m1.1.1.1.3.3.2.cmml">t</mi><mrow id="A2.E170.m1.1.1.1.3.3.3" xref="A2.E170.m1.1.1.1.3.3.3.cmml"><mn id="A2.E170.m1.1.1.1.3.3.3.2" xref="A2.E170.m1.1.1.1.3.3.3.2.cmml">2</mn><mo id="A2.E170.m1.1.1.1.3.3.3.1" xref="A2.E170.m1.1.1.1.3.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A2.E170.m1.1.1.1.3.3.3.3" xref="A2.E170.m1.1.1.1.3.3.3.3.cmml">d</mi></mrow></mfrac></mrow><mo id="A2.E170.m1.1.1.1.2" xref="A2.E170.m1.1.1.1.2.cmml">+</mo><mfrac id="A2.E170.m1.1.1.1.1" xref="A2.E170.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A2.E170.m1.1.1.1.1.3" xref="A2.E170.m1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A2.E170.m1.1.1.1.1.3.2" xref="A2.E170.m1.1.1.1.1.3.2.cmml">t</mi><mo id="A2.E170.m1.1.1.1.1.3.1" xref="A2.E170.m1.1.1.1.1.3.1.cmml">+</mo><mn id="A2.E170.m1.1.1.1.1.3.3" xref="A2.E170.m1.1.1.1.1.3.3.cmml">1</mn></mrow><mrow id="A2.E170.m1.1.1.1.1.1" xref="A2.E170.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="A2.E170.m1.1.1.1.1.1.3" xref="A2.E170.m1.1.1.1.1.1.3.cmml">12</mn><mo id="A2.E170.m1.1.1.1.1.1.2" xref="A2.E170.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msup id="A2.E170.m1.1.1.1.1.1.1" xref="A2.E170.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A2.E170.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A2.E170.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A2.E170.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A2.E170.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A2.E170.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A2.E170.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A2.E170.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A2.E170.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">d</mi><mo id="A2.E170.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A2.E170.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mi id="A2.E170.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A2.E170.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">t</mi></mrow><mo id="A2.E170.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A2.E170.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mn id="A2.E170.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A2.E170.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">2</mn></msup></mrow></mfrac></mrow></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.E170.m1.1b"><apply id="A2.E170.m1.1.2.cmml" xref="A2.E170.m1.1.2"><leq id="A2.E170.m1.1.2.1.cmml" xref="A2.E170.m1.1.2.1"></leq><csymbol cd="latexml" id="A2.E170.m1.1.2.2.cmml" xref="A2.E170.m1.1.2.2">absent</csymbol><apply id="A2.E170.m1.1.2.3.cmml" xref="A2.E170.m1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E170.m1.1.2.3.1.cmml" xref="A2.E170.m1.1.2.3">superscript</csymbol><ci id="A2.E170.m1.1.2.3.2.cmml" xref="A2.E170.m1.1.2.3.2">𝑒</ci><apply id="A2.E170.m1.1.1.1.cmml" xref="A2.E170.m1.1.1.1"><plus id="A2.E170.m1.1.1.1.2.cmml" xref="A2.E170.m1.1.1.1.2"></plus><apply id="A2.E170.m1.1.1.1.3.cmml" xref="A2.E170.m1.1.1.1.3"><minus id="A2.E170.m1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A2.E170.m1.1.1.1.3.1"></minus><apply id="A2.E170.m1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A2.E170.m1.1.1.1.3.2"><divide id="A2.E170.m1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="A2.E170.m1.1.1.1.3.2"></divide><apply id="A2.E170.m1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="A2.E170.m1.1.1.1.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E170.m1.1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="A2.E170.m1.1.1.1.3.2.2">superscript</csymbol><ci id="A2.E170.m1.1.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="A2.E170.m1.1.1.1.3.2.2.2">𝑡</ci><cn id="A2.E170.m1.1.1.1.3.2.2.3.cmml" type="integer" xref="A2.E170.m1.1.1.1.3.2.2.3">2</cn></apply><ci id="A2.E170.m1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="A2.E170.m1.1.1.1.3.2.3">𝑑</ci></apply><apply id="A2.E170.m1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A2.E170.m1.1.1.1.3.3"><divide id="A2.E170.m1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="A2.E170.m1.1.1.1.3.3"></divide><ci id="A2.E170.m1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="A2.E170.m1.1.1.1.3.3.2">𝑡</ci><apply id="A2.E170.m1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="A2.E170.m1.1.1.1.3.3.3"><times id="A2.E170.m1.1.1.1.3.3.3.1.cmml" xref="A2.E170.m1.1.1.1.3.3.3.1"></times><cn id="A2.E170.m1.1.1.1.3.3.3.2.cmml" type="integer" xref="A2.E170.m1.1.1.1.3.3.3.2">2</cn><ci id="A2.E170.m1.1.1.1.3.3.3.3.cmml" xref="A2.E170.m1.1.1.1.3.3.3.3">𝑑</ci></apply></apply></apply><apply id="A2.E170.m1.1.1.1.1.cmml" xref="A2.E170.m1.1.1.1.1"><divide id="A2.E170.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A2.E170.m1.1.1.1.1"></divide><apply id="A2.E170.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A2.E170.m1.1.1.1.1.3"><plus id="A2.E170.m1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A2.E170.m1.1.1.1.1.3.1"></plus><ci id="A2.E170.m1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A2.E170.m1.1.1.1.1.3.2">𝑡</ci><cn id="A2.E170.m1.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="A2.E170.m1.1.1.1.1.3.3">1</cn></apply><apply id="A2.E170.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A2.E170.m1.1.1.1.1.1"><times id="A2.E170.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A2.E170.m1.1.1.1.1.1.2"></times><cn id="A2.E170.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A2.E170.m1.1.1.1.1.1.3">12</cn><apply id="A2.E170.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A2.E170.m1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E170.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A2.E170.m1.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="A2.E170.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A2.E170.m1.1.1.1.1.1.1.1.1"><minus id="A2.E170.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A2.E170.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><ci id="A2.E170.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A2.E170.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑑</ci><ci id="A2.E170.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A2.E170.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑡</ci></apply><cn id="A2.E170.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A2.E170.m1.1.1.1.1.1.1.3">2</cn></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.E170.m1.1c">\displaystyle\leq e^{\frac{t^{2}}{d}-\frac{t}{2d}+\frac{t+1}{12(d-t)^{2}}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.E170.m1.1d">≤ italic_e start_POSTSUPERSCRIPT divide start_ARG italic_t start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG italic_d end_ARG - divide start_ARG italic_t end_ARG start_ARG 2 italic_d end_ARG + divide start_ARG italic_t + 1 end_ARG start_ARG 12 ( italic_d - italic_t ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(170)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="A2.SS5.1.p1.15">For <math alttext="t\leq\sqrt{d}" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.SS5.1.p1.13.m1.1"><semantics id="A2.SS5.1.p1.13.m1.1a"><mrow id="A2.SS5.1.p1.13.m1.1.1" xref="A2.SS5.1.p1.13.m1.1.1.cmml"><mi id="A2.SS5.1.p1.13.m1.1.1.2" xref="A2.SS5.1.p1.13.m1.1.1.2.cmml">t</mi><mo id="A2.SS5.1.p1.13.m1.1.1.1" xref="A2.SS5.1.p1.13.m1.1.1.1.cmml">≤</mo><msqrt id="A2.SS5.1.p1.13.m1.1.1.3" xref="A2.SS5.1.p1.13.m1.1.1.3.cmml"><mi id="A2.SS5.1.p1.13.m1.1.1.3.2" xref="A2.SS5.1.p1.13.m1.1.1.3.2.cmml">d</mi></msqrt></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.SS5.1.p1.13.m1.1b"><apply id="A2.SS5.1.p1.13.m1.1.1.cmml" xref="A2.SS5.1.p1.13.m1.1.1"><leq id="A2.SS5.1.p1.13.m1.1.1.1.cmml" xref="A2.SS5.1.p1.13.m1.1.1.1"></leq><ci id="A2.SS5.1.p1.13.m1.1.1.2.cmml" xref="A2.SS5.1.p1.13.m1.1.1.2">𝑡</ci><apply id="A2.SS5.1.p1.13.m1.1.1.3.cmml" xref="A2.SS5.1.p1.13.m1.1.1.3"><root id="A2.SS5.1.p1.13.m1.1.1.3a.cmml" xref="A2.SS5.1.p1.13.m1.1.1.3"></root><ci id="A2.SS5.1.p1.13.m1.1.1.3.2.cmml" xref="A2.SS5.1.p1.13.m1.1.1.3.2">𝑑</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.SS5.1.p1.13.m1.1c">t\leq\sqrt{d}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.SS5.1.p1.13.m1.1d">italic_t ≤ square-root start_ARG italic_d end_ARG</annotation></semantics></math>, this is at most <math alttext="e" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.SS5.1.p1.14.m2.1"><semantics id="A2.SS5.1.p1.14.m2.1a"><mi id="A2.SS5.1.p1.14.m2.1.1" xref="A2.SS5.1.p1.14.m2.1.1.cmml">e</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.SS5.1.p1.14.m2.1b"><ci id="A2.SS5.1.p1.14.m2.1.1.cmml" xref="A2.SS5.1.p1.14.m2.1.1">𝑒</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.SS5.1.p1.14.m2.1c">e</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.SS5.1.p1.14.m2.1d">italic_e</annotation></semantics></math>. Because <math alttext="W" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.SS5.1.p1.15.m3.1"><semantics id="A2.SS5.1.p1.15.m3.1a"><mi id="A2.SS5.1.p1.15.m3.1.1" xref="A2.SS5.1.p1.15.m3.1.1.cmml">W</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.SS5.1.p1.15.m3.1b"><ci id="A2.SS5.1.p1.15.m3.1.1.cmml" xref="A2.SS5.1.p1.15.m3.1.1">𝑊</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.SS5.1.p1.15.m3.1c">W</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.SS5.1.p1.15.m3.1d">italic_W</annotation></semantics></math> is Hermitian with respect to both the basis inner product and the Hilbert-space inner product, this bound on its largest eigenvalue implies a bound on its operator norm with respect to either inner product. ∎</p> </div> </div> </section> <section class="ltx_subsection" id="A2.SS6"> <h3 class="ltx_title ltx_title_subsection"> <span class="ltx_tag ltx_tag_subsection">B.6 </span>Proof of Lemma <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#Thmtheorem58" title="Lemma 58. ‣ B.6 Proof of Lemma 58 (Coset Decomposition) ‣ Appendix B Assorted proofs ‣ Conditional 𝑡-independent spectral gap for random quantum circuits and implications for 𝑡-design depths"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">58</span></a> (Coset Decomposition)</h3> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_lemma" id="Thmtheorem58"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmtheorem58.1.1.1">Lemma 58</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmtheorem58.2.2">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="Thmtheorem58.p1"> <p class="ltx_p" id="Thmtheorem58.p1.6"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmtheorem58.p1.6.6">For <math alttext="l\leq t" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem58.p1.1.1.m1.1"><semantics id="Thmtheorem58.p1.1.1.m1.1a"><mrow id="Thmtheorem58.p1.1.1.m1.1.1" xref="Thmtheorem58.p1.1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="Thmtheorem58.p1.1.1.m1.1.1.2" xref="Thmtheorem58.p1.1.1.m1.1.1.2.cmml">l</mi><mo id="Thmtheorem58.p1.1.1.m1.1.1.1" xref="Thmtheorem58.p1.1.1.m1.1.1.1.cmml">≤</mo><mi id="Thmtheorem58.p1.1.1.m1.1.1.3" xref="Thmtheorem58.p1.1.1.m1.1.1.3.cmml">t</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem58.p1.1.1.m1.1b"><apply id="Thmtheorem58.p1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem58.p1.1.1.m1.1.1"><leq id="Thmtheorem58.p1.1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem58.p1.1.1.m1.1.1.1"></leq><ci id="Thmtheorem58.p1.1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="Thmtheorem58.p1.1.1.m1.1.1.2">𝑙</ci><ci id="Thmtheorem58.p1.1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="Thmtheorem58.p1.1.1.m1.1.1.3">𝑡</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem58.p1.1.1.m1.1c">l\leq t</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem58.p1.1.1.m1.1d">italic_l ≤ italic_t</annotation></semantics></math>, each right coset of <math alttext="S_{l}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem58.p1.2.2.m2.1"><semantics id="Thmtheorem58.p1.2.2.m2.1a"><msub id="Thmtheorem58.p1.2.2.m2.1.1" xref="Thmtheorem58.p1.2.2.m2.1.1.cmml"><mi id="Thmtheorem58.p1.2.2.m2.1.1.2" xref="Thmtheorem58.p1.2.2.m2.1.1.2.cmml">S</mi><mi id="Thmtheorem58.p1.2.2.m2.1.1.3" xref="Thmtheorem58.p1.2.2.m2.1.1.3.cmml">l</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem58.p1.2.2.m2.1b"><apply id="Thmtheorem58.p1.2.2.m2.1.1.cmml" xref="Thmtheorem58.p1.2.2.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem58.p1.2.2.m2.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem58.p1.2.2.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="Thmtheorem58.p1.2.2.m2.1.1.2.cmml" xref="Thmtheorem58.p1.2.2.m2.1.1.2">𝑆</ci><ci id="Thmtheorem58.p1.2.2.m2.1.1.3.cmml" xref="Thmtheorem58.p1.2.2.m2.1.1.3">𝑙</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem58.p1.2.2.m2.1c">S_{l}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem58.p1.2.2.m2.1d">italic_S start_POSTSUBSCRIPT italic_l end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> in <math alttext="S_{t}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem58.p1.3.3.m3.1"><semantics id="Thmtheorem58.p1.3.3.m3.1a"><msub id="Thmtheorem58.p1.3.3.m3.1.1" xref="Thmtheorem58.p1.3.3.m3.1.1.cmml"><mi id="Thmtheorem58.p1.3.3.m3.1.1.2" xref="Thmtheorem58.p1.3.3.m3.1.1.2.cmml">S</mi><mi id="Thmtheorem58.p1.3.3.m3.1.1.3" xref="Thmtheorem58.p1.3.3.m3.1.1.3.cmml">t</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem58.p1.3.3.m3.1b"><apply id="Thmtheorem58.p1.3.3.m3.1.1.cmml" xref="Thmtheorem58.p1.3.3.m3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem58.p1.3.3.m3.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem58.p1.3.3.m3.1.1">subscript</csymbol><ci id="Thmtheorem58.p1.3.3.m3.1.1.2.cmml" xref="Thmtheorem58.p1.3.3.m3.1.1.2">𝑆</ci><ci id="Thmtheorem58.p1.3.3.m3.1.1.3.cmml" xref="Thmtheorem58.p1.3.3.m3.1.1.3">𝑡</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem58.p1.3.3.m3.1c">S_{t}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem58.p1.3.3.m3.1d">italic_S start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> has at least one permutation <math alttext="\rho" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem58.p1.4.4.m4.1"><semantics id="Thmtheorem58.p1.4.4.m4.1a"><mi id="Thmtheorem58.p1.4.4.m4.1.1" xref="Thmtheorem58.p1.4.4.m4.1.1.cmml">ρ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem58.p1.4.4.m4.1b"><ci id="Thmtheorem58.p1.4.4.m4.1.1.cmml" xref="Thmtheorem58.p1.4.4.m4.1.1">𝜌</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem58.p1.4.4.m4.1c">\rho</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem58.p1.4.4.m4.1d">italic_ρ</annotation></semantics></math> such that, for every permutation <math alttext="\pi=\lambda\rho" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem58.p1.5.5.m5.1"><semantics id="Thmtheorem58.p1.5.5.m5.1a"><mrow id="Thmtheorem58.p1.5.5.m5.1.1" xref="Thmtheorem58.p1.5.5.m5.1.1.cmml"><mi id="Thmtheorem58.p1.5.5.m5.1.1.2" xref="Thmtheorem58.p1.5.5.m5.1.1.2.cmml">π</mi><mo id="Thmtheorem58.p1.5.5.m5.1.1.1" xref="Thmtheorem58.p1.5.5.m5.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="Thmtheorem58.p1.5.5.m5.1.1.3" xref="Thmtheorem58.p1.5.5.m5.1.1.3.cmml"><mi id="Thmtheorem58.p1.5.5.m5.1.1.3.2" xref="Thmtheorem58.p1.5.5.m5.1.1.3.2.cmml">λ</mi><mo id="Thmtheorem58.p1.5.5.m5.1.1.3.1" xref="Thmtheorem58.p1.5.5.m5.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="Thmtheorem58.p1.5.5.m5.1.1.3.3" xref="Thmtheorem58.p1.5.5.m5.1.1.3.3.cmml">ρ</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem58.p1.5.5.m5.1b"><apply id="Thmtheorem58.p1.5.5.m5.1.1.cmml" xref="Thmtheorem58.p1.5.5.m5.1.1"><eq id="Thmtheorem58.p1.5.5.m5.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem58.p1.5.5.m5.1.1.1"></eq><ci id="Thmtheorem58.p1.5.5.m5.1.1.2.cmml" xref="Thmtheorem58.p1.5.5.m5.1.1.2">𝜋</ci><apply id="Thmtheorem58.p1.5.5.m5.1.1.3.cmml" xref="Thmtheorem58.p1.5.5.m5.1.1.3"><times id="Thmtheorem58.p1.5.5.m5.1.1.3.1.cmml" xref="Thmtheorem58.p1.5.5.m5.1.1.3.1"></times><ci id="Thmtheorem58.p1.5.5.m5.1.1.3.2.cmml" xref="Thmtheorem58.p1.5.5.m5.1.1.3.2">𝜆</ci><ci id="Thmtheorem58.p1.5.5.m5.1.1.3.3.cmml" xref="Thmtheorem58.p1.5.5.m5.1.1.3.3">𝜌</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem58.p1.5.5.m5.1c">\pi=\lambda\rho</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem58.p1.5.5.m5.1d">italic_π = italic_λ italic_ρ</annotation></semantics></math> in the coset <math alttext="S_{l}\rho" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem58.p1.6.6.m6.1"><semantics id="Thmtheorem58.p1.6.6.m6.1a"><mrow id="Thmtheorem58.p1.6.6.m6.1.1" xref="Thmtheorem58.p1.6.6.m6.1.1.cmml"><msub id="Thmtheorem58.p1.6.6.m6.1.1.2" xref="Thmtheorem58.p1.6.6.m6.1.1.2.cmml"><mi id="Thmtheorem58.p1.6.6.m6.1.1.2.2" xref="Thmtheorem58.p1.6.6.m6.1.1.2.2.cmml">S</mi><mi id="Thmtheorem58.p1.6.6.m6.1.1.2.3" xref="Thmtheorem58.p1.6.6.m6.1.1.2.3.cmml">l</mi></msub><mo id="Thmtheorem58.p1.6.6.m6.1.1.1" xref="Thmtheorem58.p1.6.6.m6.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="Thmtheorem58.p1.6.6.m6.1.1.3" xref="Thmtheorem58.p1.6.6.m6.1.1.3.cmml">ρ</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem58.p1.6.6.m6.1b"><apply id="Thmtheorem58.p1.6.6.m6.1.1.cmml" xref="Thmtheorem58.p1.6.6.m6.1.1"><times id="Thmtheorem58.p1.6.6.m6.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem58.p1.6.6.m6.1.1.1"></times><apply id="Thmtheorem58.p1.6.6.m6.1.1.2.cmml" xref="Thmtheorem58.p1.6.6.m6.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem58.p1.6.6.m6.1.1.2.1.cmml" xref="Thmtheorem58.p1.6.6.m6.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="Thmtheorem58.p1.6.6.m6.1.1.2.2.cmml" xref="Thmtheorem58.p1.6.6.m6.1.1.2.2">𝑆</ci><ci id="Thmtheorem58.p1.6.6.m6.1.1.2.3.cmml" xref="Thmtheorem58.p1.6.6.m6.1.1.2.3">𝑙</ci></apply><ci id="Thmtheorem58.p1.6.6.m6.1.1.3.cmml" xref="Thmtheorem58.p1.6.6.m6.1.1.3">𝜌</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem58.p1.6.6.m6.1c">S_{l}\rho</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem58.p1.6.6.m6.1d">italic_S start_POSTSUBSCRIPT italic_l end_POSTSUBSCRIPT italic_ρ</annotation></semantics></math>,</span></p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_gather ltx_eqn_table" id="S6.EGx143"> <tbody id="A2.E171"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\displaystyle|\pi|=|\rho|+|\lambda|" class="ltx_Math" display="block" id="A2.E171.m1.3"><semantics id="A2.E171.m1.3a"><mrow id="A2.E171.m1.3.4" xref="A2.E171.m1.3.4.cmml"><mrow id="A2.E171.m1.3.4.2.2" xref="A2.E171.m1.3.4.2.1.cmml"><mo id="A2.E171.m1.3.4.2.2.1" stretchy="false" xref="A2.E171.m1.3.4.2.1.1.cmml">|</mo><mi id="A2.E171.m1.1.1" xref="A2.E171.m1.1.1.cmml">π</mi><mo id="A2.E171.m1.3.4.2.2.2" stretchy="false" xref="A2.E171.m1.3.4.2.1.1.cmml">|</mo></mrow><mo id="A2.E171.m1.3.4.1" xref="A2.E171.m1.3.4.1.cmml">=</mo><mrow id="A2.E171.m1.3.4.3" xref="A2.E171.m1.3.4.3.cmml"><mrow id="A2.E171.m1.3.4.3.2.2" xref="A2.E171.m1.3.4.3.2.1.cmml"><mo id="A2.E171.m1.3.4.3.2.2.1" stretchy="false" xref="A2.E171.m1.3.4.3.2.1.1.cmml">|</mo><mi id="A2.E171.m1.2.2" xref="A2.E171.m1.2.2.cmml">ρ</mi><mo id="A2.E171.m1.3.4.3.2.2.2" stretchy="false" xref="A2.E171.m1.3.4.3.2.1.1.cmml">|</mo></mrow><mo id="A2.E171.m1.3.4.3.1" xref="A2.E171.m1.3.4.3.1.cmml">+</mo><mrow id="A2.E171.m1.3.4.3.3.2" xref="A2.E171.m1.3.4.3.3.1.cmml"><mo id="A2.E171.m1.3.4.3.3.2.1" stretchy="false" xref="A2.E171.m1.3.4.3.3.1.1.cmml">|</mo><mi id="A2.E171.m1.3.3" xref="A2.E171.m1.3.3.cmml">λ</mi><mo id="A2.E171.m1.3.4.3.3.2.2" stretchy="false" xref="A2.E171.m1.3.4.3.3.1.1.cmml">|</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.E171.m1.3b"><apply id="A2.E171.m1.3.4.cmml" xref="A2.E171.m1.3.4"><eq id="A2.E171.m1.3.4.1.cmml" xref="A2.E171.m1.3.4.1"></eq><apply id="A2.E171.m1.3.4.2.1.cmml" xref="A2.E171.m1.3.4.2.2"><abs id="A2.E171.m1.3.4.2.1.1.cmml" xref="A2.E171.m1.3.4.2.2.1"></abs><ci id="A2.E171.m1.1.1.cmml" xref="A2.E171.m1.1.1">𝜋</ci></apply><apply id="A2.E171.m1.3.4.3.cmml" xref="A2.E171.m1.3.4.3"><plus id="A2.E171.m1.3.4.3.1.cmml" xref="A2.E171.m1.3.4.3.1"></plus><apply id="A2.E171.m1.3.4.3.2.1.cmml" xref="A2.E171.m1.3.4.3.2.2"><abs id="A2.E171.m1.3.4.3.2.1.1.cmml" xref="A2.E171.m1.3.4.3.2.2.1"></abs><ci id="A2.E171.m1.2.2.cmml" xref="A2.E171.m1.2.2">𝜌</ci></apply><apply id="A2.E171.m1.3.4.3.3.1.cmml" xref="A2.E171.m1.3.4.3.3.2"><abs id="A2.E171.m1.3.4.3.3.1.1.cmml" xref="A2.E171.m1.3.4.3.3.2.1"></abs><ci id="A2.E171.m1.3.3.cmml" xref="A2.E171.m1.3.3">𝜆</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.E171.m1.3c">\displaystyle|\pi|=|\rho|+|\lambda|</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.E171.m1.3d">| italic_π | = | italic_ρ | + | italic_λ |</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(171)</span></td> </tr></tbody> </table> </div> </div> <div class="ltx_para" id="A2.SS6.p1"> <p class="ltx_p" id="A2.SS6.p1.4">We will call <math alttext="\rho" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.SS6.p1.1.m1.1"><semantics id="A2.SS6.p1.1.m1.1a"><mi id="A2.SS6.p1.1.m1.1.1" xref="A2.SS6.p1.1.m1.1.1.cmml">ρ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.SS6.p1.1.m1.1b"><ci id="A2.SS6.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="A2.SS6.p1.1.m1.1.1">𝜌</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.SS6.p1.1.m1.1c">\rho</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.SS6.p1.1.m1.1d">italic_ρ</annotation></semantics></math> the <span class="ltx_text ltx_font_italic" id="A2.SS6.p1.4.1">minimal representative</span> of the coset <math alttext="S_{l}\rho" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.SS6.p1.2.m2.1"><semantics id="A2.SS6.p1.2.m2.1a"><mrow id="A2.SS6.p1.2.m2.1.1" xref="A2.SS6.p1.2.m2.1.1.cmml"><msub id="A2.SS6.p1.2.m2.1.1.2" xref="A2.SS6.p1.2.m2.1.1.2.cmml"><mi id="A2.SS6.p1.2.m2.1.1.2.2" xref="A2.SS6.p1.2.m2.1.1.2.2.cmml">S</mi><mi id="A2.SS6.p1.2.m2.1.1.2.3" xref="A2.SS6.p1.2.m2.1.1.2.3.cmml">l</mi></msub><mo id="A2.SS6.p1.2.m2.1.1.1" xref="A2.SS6.p1.2.m2.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="A2.SS6.p1.2.m2.1.1.3" xref="A2.SS6.p1.2.m2.1.1.3.cmml">ρ</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.SS6.p1.2.m2.1b"><apply id="A2.SS6.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="A2.SS6.p1.2.m2.1.1"><times id="A2.SS6.p1.2.m2.1.1.1.cmml" xref="A2.SS6.p1.2.m2.1.1.1"></times><apply id="A2.SS6.p1.2.m2.1.1.2.cmml" xref="A2.SS6.p1.2.m2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.SS6.p1.2.m2.1.1.2.1.cmml" xref="A2.SS6.p1.2.m2.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="A2.SS6.p1.2.m2.1.1.2.2.cmml" xref="A2.SS6.p1.2.m2.1.1.2.2">𝑆</ci><ci id="A2.SS6.p1.2.m2.1.1.2.3.cmml" xref="A2.SS6.p1.2.m2.1.1.2.3">𝑙</ci></apply><ci id="A2.SS6.p1.2.m2.1.1.3.cmml" xref="A2.SS6.p1.2.m2.1.1.3">𝜌</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.SS6.p1.2.m2.1c">S_{l}\rho</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.SS6.p1.2.m2.1d">italic_S start_POSTSUBSCRIPT italic_l end_POSTSUBSCRIPT italic_ρ</annotation></semantics></math>, as no other element in <math alttext="S_{l}\rho" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.SS6.p1.3.m3.1"><semantics id="A2.SS6.p1.3.m3.1a"><mrow id="A2.SS6.p1.3.m3.1.1" xref="A2.SS6.p1.3.m3.1.1.cmml"><msub id="A2.SS6.p1.3.m3.1.1.2" xref="A2.SS6.p1.3.m3.1.1.2.cmml"><mi id="A2.SS6.p1.3.m3.1.1.2.2" xref="A2.SS6.p1.3.m3.1.1.2.2.cmml">S</mi><mi id="A2.SS6.p1.3.m3.1.1.2.3" xref="A2.SS6.p1.3.m3.1.1.2.3.cmml">l</mi></msub><mo id="A2.SS6.p1.3.m3.1.1.1" xref="A2.SS6.p1.3.m3.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="A2.SS6.p1.3.m3.1.1.3" xref="A2.SS6.p1.3.m3.1.1.3.cmml">ρ</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.SS6.p1.3.m3.1b"><apply id="A2.SS6.p1.3.m3.1.1.cmml" xref="A2.SS6.p1.3.m3.1.1"><times id="A2.SS6.p1.3.m3.1.1.1.cmml" xref="A2.SS6.p1.3.m3.1.1.1"></times><apply id="A2.SS6.p1.3.m3.1.1.2.cmml" xref="A2.SS6.p1.3.m3.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.SS6.p1.3.m3.1.1.2.1.cmml" xref="A2.SS6.p1.3.m3.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="A2.SS6.p1.3.m3.1.1.2.2.cmml" xref="A2.SS6.p1.3.m3.1.1.2.2">𝑆</ci><ci id="A2.SS6.p1.3.m3.1.1.2.3.cmml" xref="A2.SS6.p1.3.m3.1.1.2.3">𝑙</ci></apply><ci id="A2.SS6.p1.3.m3.1.1.3.cmml" xref="A2.SS6.p1.3.m3.1.1.3">𝜌</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.SS6.p1.3.m3.1c">S_{l}\rho</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.SS6.p1.3.m3.1d">italic_S start_POSTSUBSCRIPT italic_l end_POSTSUBSCRIPT italic_ρ</annotation></semantics></math> can have a smaller size than <math alttext="\rho" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.SS6.p1.4.m4.1"><semantics id="A2.SS6.p1.4.m4.1a"><mi id="A2.SS6.p1.4.m4.1.1" xref="A2.SS6.p1.4.m4.1.1.cmml">ρ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.SS6.p1.4.m4.1b"><ci id="A2.SS6.p1.4.m4.1.1.cmml" xref="A2.SS6.p1.4.m4.1.1">𝜌</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.SS6.p1.4.m4.1c">\rho</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.SS6.p1.4.m4.1d">italic_ρ</annotation></semantics></math>.</p> </div> <div class="ltx_proof" id="A2.SS6.3"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_font_italic ltx_title_proof">Proof.</h6> <div class="ltx_para" id="A2.SS6.1.p1"> <p class="ltx_p" id="A2.SS6.1.p1.1">We invoke the unique decomposition of each permutation <math alttext="\pi" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.SS6.1.p1.1.m1.1"><semantics id="A2.SS6.1.p1.1.m1.1a"><mi id="A2.SS6.1.p1.1.m1.1.1" xref="A2.SS6.1.p1.1.m1.1.1.cmml">π</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.SS6.1.p1.1.m1.1b"><ci id="A2.SS6.1.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="A2.SS6.1.p1.1.m1.1.1">𝜋</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.SS6.1.p1.1.m1.1c">\pi</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.SS6.1.p1.1.m1.1d">italic_π</annotation></semantics></math> into its Jucys-Murphy elements <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#bib.bib20" title="">20</a>]</cite>:</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_gather ltx_eqn_table" id="S6.EGx144"> <tbody id="A2.E172"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\displaystyle\pi=s_{a_{1}b_{1}}s_{a_{2}b_{2}}...s_{a_{k}b_{k}}" class="ltx_Math" display="block" id="A2.E172.m1.1"><semantics id="A2.E172.m1.1a"><mrow id="A2.E172.m1.1.1" xref="A2.E172.m1.1.1.cmml"><mi id="A2.E172.m1.1.1.2" 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xref="A2.E172.m1.1.1.3.3.cmml"><mi id="A2.E172.m1.1.1.3.3.2" xref="A2.E172.m1.1.1.3.3.2.cmml">s</mi><mrow id="A2.E172.m1.1.1.3.3.3" xref="A2.E172.m1.1.1.3.3.3.cmml"><msub id="A2.E172.m1.1.1.3.3.3.2" xref="A2.E172.m1.1.1.3.3.3.2.cmml"><mi id="A2.E172.m1.1.1.3.3.3.2.2" xref="A2.E172.m1.1.1.3.3.3.2.2.cmml">a</mi><mn id="A2.E172.m1.1.1.3.3.3.2.3" xref="A2.E172.m1.1.1.3.3.3.2.3.cmml">2</mn></msub><mo id="A2.E172.m1.1.1.3.3.3.1" xref="A2.E172.m1.1.1.3.3.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="A2.E172.m1.1.1.3.3.3.3" xref="A2.E172.m1.1.1.3.3.3.3.cmml"><mi id="A2.E172.m1.1.1.3.3.3.3.2" xref="A2.E172.m1.1.1.3.3.3.3.2.cmml">b</mi><mn id="A2.E172.m1.1.1.3.3.3.3.3" xref="A2.E172.m1.1.1.3.3.3.3.3.cmml">2</mn></msub></mrow></msub><mo id="A2.E172.m1.1.1.3.1a" xref="A2.E172.m1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A2.E172.m1.1.1.3.4" mathvariant="normal" xref="A2.E172.m1.1.1.3.4.cmml">…</mi><mo id="A2.E172.m1.1.1.3.1b" xref="A2.E172.m1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="A2.E172.m1.1.1.3.5" xref="A2.E172.m1.1.1.3.5.cmml"><mi 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id="A2.E172.m1.1.1.3.1.cmml" xref="A2.E172.m1.1.1.3.1"></times><apply id="A2.E172.m1.1.1.3.2.cmml" xref="A2.E172.m1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E172.m1.1.1.3.2.1.cmml" xref="A2.E172.m1.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="A2.E172.m1.1.1.3.2.2.cmml" xref="A2.E172.m1.1.1.3.2.2">𝑠</ci><apply id="A2.E172.m1.1.1.3.2.3.cmml" xref="A2.E172.m1.1.1.3.2.3"><times id="A2.E172.m1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="A2.E172.m1.1.1.3.2.3.1"></times><apply id="A2.E172.m1.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="A2.E172.m1.1.1.3.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E172.m1.1.1.3.2.3.2.1.cmml" xref="A2.E172.m1.1.1.3.2.3.2">subscript</csymbol><ci id="A2.E172.m1.1.1.3.2.3.2.2.cmml" xref="A2.E172.m1.1.1.3.2.3.2.2">𝑎</ci><cn id="A2.E172.m1.1.1.3.2.3.2.3.cmml" type="integer" xref="A2.E172.m1.1.1.3.2.3.2.3">1</cn></apply><apply id="A2.E172.m1.1.1.3.2.3.3.cmml" xref="A2.E172.m1.1.1.3.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E172.m1.1.1.3.2.3.3.1.cmml" xref="A2.E172.m1.1.1.3.2.3.3">subscript</csymbol><ci id="A2.E172.m1.1.1.3.2.3.3.2.cmml" xref="A2.E172.m1.1.1.3.2.3.3.2">𝑏</ci><cn id="A2.E172.m1.1.1.3.2.3.3.3.cmml" type="integer" xref="A2.E172.m1.1.1.3.2.3.3.3">1</cn></apply></apply></apply><apply id="A2.E172.m1.1.1.3.3.cmml" xref="A2.E172.m1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E172.m1.1.1.3.3.1.cmml" xref="A2.E172.m1.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="A2.E172.m1.1.1.3.3.2.cmml" xref="A2.E172.m1.1.1.3.3.2">𝑠</ci><apply id="A2.E172.m1.1.1.3.3.3.cmml" xref="A2.E172.m1.1.1.3.3.3"><times id="A2.E172.m1.1.1.3.3.3.1.cmml" xref="A2.E172.m1.1.1.3.3.3.1"></times><apply id="A2.E172.m1.1.1.3.3.3.2.cmml" xref="A2.E172.m1.1.1.3.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E172.m1.1.1.3.3.3.2.1.cmml" xref="A2.E172.m1.1.1.3.3.3.2">subscript</csymbol><ci id="A2.E172.m1.1.1.3.3.3.2.2.cmml" xref="A2.E172.m1.1.1.3.3.3.2.2">𝑎</ci><cn id="A2.E172.m1.1.1.3.3.3.2.3.cmml" type="integer" xref="A2.E172.m1.1.1.3.3.3.2.3">2</cn></apply><apply id="A2.E172.m1.1.1.3.3.3.3.cmml" xref="A2.E172.m1.1.1.3.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E172.m1.1.1.3.3.3.3.1.cmml" xref="A2.E172.m1.1.1.3.3.3.3">subscript</csymbol><ci id="A2.E172.m1.1.1.3.3.3.3.2.cmml" xref="A2.E172.m1.1.1.3.3.3.3.2">𝑏</ci><cn id="A2.E172.m1.1.1.3.3.3.3.3.cmml" type="integer" xref="A2.E172.m1.1.1.3.3.3.3.3">2</cn></apply></apply></apply><ci id="A2.E172.m1.1.1.3.4.cmml" xref="A2.E172.m1.1.1.3.4">…</ci><apply id="A2.E172.m1.1.1.3.5.cmml" xref="A2.E172.m1.1.1.3.5"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E172.m1.1.1.3.5.1.cmml" xref="A2.E172.m1.1.1.3.5">subscript</csymbol><ci id="A2.E172.m1.1.1.3.5.2.cmml" xref="A2.E172.m1.1.1.3.5.2">𝑠</ci><apply id="A2.E172.m1.1.1.3.5.3.cmml" xref="A2.E172.m1.1.1.3.5.3"><times id="A2.E172.m1.1.1.3.5.3.1.cmml" xref="A2.E172.m1.1.1.3.5.3.1"></times><apply id="A2.E172.m1.1.1.3.5.3.2.cmml" xref="A2.E172.m1.1.1.3.5.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E172.m1.1.1.3.5.3.2.1.cmml" xref="A2.E172.m1.1.1.3.5.3.2">subscript</csymbol><ci id="A2.E172.m1.1.1.3.5.3.2.2.cmml" xref="A2.E172.m1.1.1.3.5.3.2.2">𝑎</ci><ci id="A2.E172.m1.1.1.3.5.3.2.3.cmml" xref="A2.E172.m1.1.1.3.5.3.2.3">𝑘</ci></apply><apply id="A2.E172.m1.1.1.3.5.3.3.cmml" xref="A2.E172.m1.1.1.3.5.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E172.m1.1.1.3.5.3.3.1.cmml" xref="A2.E172.m1.1.1.3.5.3.3">subscript</csymbol><ci id="A2.E172.m1.1.1.3.5.3.3.2.cmml" xref="A2.E172.m1.1.1.3.5.3.3.2">𝑏</ci><ci id="A2.E172.m1.1.1.3.5.3.3.3.cmml" xref="A2.E172.m1.1.1.3.5.3.3.3">𝑘</ci></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.E172.m1.1c">\displaystyle\pi=s_{a_{1}b_{1}}s_{a_{2}b_{2}}...s_{a_{k}b_{k}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.E172.m1.1d">italic_π = italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_a start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT italic_b start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_a start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT italic_b start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT … italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_a start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT italic_b start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(172)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="A2.SS6.1.p1.9">where <math alttext="s_{ab}" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.SS6.1.p1.2.m1.1"><semantics id="A2.SS6.1.p1.2.m1.1a"><msub id="A2.SS6.1.p1.2.m1.1.1" xref="A2.SS6.1.p1.2.m1.1.1.cmml"><mi id="A2.SS6.1.p1.2.m1.1.1.2" xref="A2.SS6.1.p1.2.m1.1.1.2.cmml">s</mi><mrow id="A2.SS6.1.p1.2.m1.1.1.3" xref="A2.SS6.1.p1.2.m1.1.1.3.cmml"><mi id="A2.SS6.1.p1.2.m1.1.1.3.2" xref="A2.SS6.1.p1.2.m1.1.1.3.2.cmml">a</mi><mo id="A2.SS6.1.p1.2.m1.1.1.3.1" xref="A2.SS6.1.p1.2.m1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A2.SS6.1.p1.2.m1.1.1.3.3" xref="A2.SS6.1.p1.2.m1.1.1.3.3.cmml">b</mi></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.SS6.1.p1.2.m1.1b"><apply id="A2.SS6.1.p1.2.m1.1.1.cmml" xref="A2.SS6.1.p1.2.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.SS6.1.p1.2.m1.1.1.1.cmml" xref="A2.SS6.1.p1.2.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="A2.SS6.1.p1.2.m1.1.1.2.cmml" xref="A2.SS6.1.p1.2.m1.1.1.2">𝑠</ci><apply id="A2.SS6.1.p1.2.m1.1.1.3.cmml" xref="A2.SS6.1.p1.2.m1.1.1.3"><times id="A2.SS6.1.p1.2.m1.1.1.3.1.cmml" xref="A2.SS6.1.p1.2.m1.1.1.3.1"></times><ci id="A2.SS6.1.p1.2.m1.1.1.3.2.cmml" xref="A2.SS6.1.p1.2.m1.1.1.3.2">𝑎</ci><ci id="A2.SS6.1.p1.2.m1.1.1.3.3.cmml" xref="A2.SS6.1.p1.2.m1.1.1.3.3">𝑏</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.SS6.1.p1.2.m1.1c">s_{ab}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.SS6.1.p1.2.m1.1d">italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_a italic_b end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> is the transposition of elements <math alttext="a" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.SS6.1.p1.3.m2.1"><semantics id="A2.SS6.1.p1.3.m2.1a"><mi id="A2.SS6.1.p1.3.m2.1.1" xref="A2.SS6.1.p1.3.m2.1.1.cmml">a</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.SS6.1.p1.3.m2.1b"><ci id="A2.SS6.1.p1.3.m2.1.1.cmml" xref="A2.SS6.1.p1.3.m2.1.1">𝑎</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.SS6.1.p1.3.m2.1c">a</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.SS6.1.p1.3.m2.1d">italic_a</annotation></semantics></math> and <math alttext="b" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.SS6.1.p1.4.m3.1"><semantics id="A2.SS6.1.p1.4.m3.1a"><mi id="A2.SS6.1.p1.4.m3.1.1" xref="A2.SS6.1.p1.4.m3.1.1.cmml">b</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.SS6.1.p1.4.m3.1b"><ci id="A2.SS6.1.p1.4.m3.1.1.cmml" xref="A2.SS6.1.p1.4.m3.1.1">𝑏</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.SS6.1.p1.4.m3.1c">b</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.SS6.1.p1.4.m3.1d">italic_b</annotation></semantics></math>, <math alttext="a_{i}<b_{i}" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.SS6.1.p1.5.m4.1"><semantics id="A2.SS6.1.p1.5.m4.1a"><mrow id="A2.SS6.1.p1.5.m4.1.1" xref="A2.SS6.1.p1.5.m4.1.1.cmml"><msub id="A2.SS6.1.p1.5.m4.1.1.2" xref="A2.SS6.1.p1.5.m4.1.1.2.cmml"><mi id="A2.SS6.1.p1.5.m4.1.1.2.2" xref="A2.SS6.1.p1.5.m4.1.1.2.2.cmml">a</mi><mi id="A2.SS6.1.p1.5.m4.1.1.2.3" xref="A2.SS6.1.p1.5.m4.1.1.2.3.cmml">i</mi></msub><mo id="A2.SS6.1.p1.5.m4.1.1.1" xref="A2.SS6.1.p1.5.m4.1.1.1.cmml"><</mo><msub id="A2.SS6.1.p1.5.m4.1.1.3" xref="A2.SS6.1.p1.5.m4.1.1.3.cmml"><mi id="A2.SS6.1.p1.5.m4.1.1.3.2" xref="A2.SS6.1.p1.5.m4.1.1.3.2.cmml">b</mi><mi id="A2.SS6.1.p1.5.m4.1.1.3.3" xref="A2.SS6.1.p1.5.m4.1.1.3.3.cmml">i</mi></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.SS6.1.p1.5.m4.1b"><apply id="A2.SS6.1.p1.5.m4.1.1.cmml" xref="A2.SS6.1.p1.5.m4.1.1"><lt id="A2.SS6.1.p1.5.m4.1.1.1.cmml" xref="A2.SS6.1.p1.5.m4.1.1.1"></lt><apply id="A2.SS6.1.p1.5.m4.1.1.2.cmml" xref="A2.SS6.1.p1.5.m4.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.SS6.1.p1.5.m4.1.1.2.1.cmml" xref="A2.SS6.1.p1.5.m4.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="A2.SS6.1.p1.5.m4.1.1.2.2.cmml" xref="A2.SS6.1.p1.5.m4.1.1.2.2">𝑎</ci><ci id="A2.SS6.1.p1.5.m4.1.1.2.3.cmml" xref="A2.SS6.1.p1.5.m4.1.1.2.3">𝑖</ci></apply><apply id="A2.SS6.1.p1.5.m4.1.1.3.cmml" xref="A2.SS6.1.p1.5.m4.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.SS6.1.p1.5.m4.1.1.3.1.cmml" xref="A2.SS6.1.p1.5.m4.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A2.SS6.1.p1.5.m4.1.1.3.2.cmml" xref="A2.SS6.1.p1.5.m4.1.1.3.2">𝑏</ci><ci id="A2.SS6.1.p1.5.m4.1.1.3.3.cmml" xref="A2.SS6.1.p1.5.m4.1.1.3.3">𝑖</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.SS6.1.p1.5.m4.1c">a_{i}<b_{i}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.SS6.1.p1.5.m4.1d">italic_a start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT < italic_b start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> for all <math alttext="i" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.SS6.1.p1.6.m5.1"><semantics id="A2.SS6.1.p1.6.m5.1a"><mi id="A2.SS6.1.p1.6.m5.1.1" xref="A2.SS6.1.p1.6.m5.1.1.cmml">i</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.SS6.1.p1.6.m5.1b"><ci id="A2.SS6.1.p1.6.m5.1.1.cmml" xref="A2.SS6.1.p1.6.m5.1.1">𝑖</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.SS6.1.p1.6.m5.1c">i</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.SS6.1.p1.6.m5.1d">italic_i</annotation></semantics></math>, and <math alttext="b_{i}<b_{j}" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.SS6.1.p1.7.m6.1"><semantics id="A2.SS6.1.p1.7.m6.1a"><mrow id="A2.SS6.1.p1.7.m6.1.1" xref="A2.SS6.1.p1.7.m6.1.1.cmml"><msub id="A2.SS6.1.p1.7.m6.1.1.2" xref="A2.SS6.1.p1.7.m6.1.1.2.cmml"><mi id="A2.SS6.1.p1.7.m6.1.1.2.2" xref="A2.SS6.1.p1.7.m6.1.1.2.2.cmml">b</mi><mi id="A2.SS6.1.p1.7.m6.1.1.2.3" xref="A2.SS6.1.p1.7.m6.1.1.2.3.cmml">i</mi></msub><mo id="A2.SS6.1.p1.7.m6.1.1.1" xref="A2.SS6.1.p1.7.m6.1.1.1.cmml"><</mo><msub id="A2.SS6.1.p1.7.m6.1.1.3" xref="A2.SS6.1.p1.7.m6.1.1.3.cmml"><mi id="A2.SS6.1.p1.7.m6.1.1.3.2" xref="A2.SS6.1.p1.7.m6.1.1.3.2.cmml">b</mi><mi id="A2.SS6.1.p1.7.m6.1.1.3.3" xref="A2.SS6.1.p1.7.m6.1.1.3.3.cmml">j</mi></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.SS6.1.p1.7.m6.1b"><apply id="A2.SS6.1.p1.7.m6.1.1.cmml" xref="A2.SS6.1.p1.7.m6.1.1"><lt id="A2.SS6.1.p1.7.m6.1.1.1.cmml" xref="A2.SS6.1.p1.7.m6.1.1.1"></lt><apply id="A2.SS6.1.p1.7.m6.1.1.2.cmml" xref="A2.SS6.1.p1.7.m6.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.SS6.1.p1.7.m6.1.1.2.1.cmml" xref="A2.SS6.1.p1.7.m6.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="A2.SS6.1.p1.7.m6.1.1.2.2.cmml" xref="A2.SS6.1.p1.7.m6.1.1.2.2">𝑏</ci><ci id="A2.SS6.1.p1.7.m6.1.1.2.3.cmml" xref="A2.SS6.1.p1.7.m6.1.1.2.3">𝑖</ci></apply><apply id="A2.SS6.1.p1.7.m6.1.1.3.cmml" xref="A2.SS6.1.p1.7.m6.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.SS6.1.p1.7.m6.1.1.3.1.cmml" xref="A2.SS6.1.p1.7.m6.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A2.SS6.1.p1.7.m6.1.1.3.2.cmml" xref="A2.SS6.1.p1.7.m6.1.1.3.2">𝑏</ci><ci id="A2.SS6.1.p1.7.m6.1.1.3.3.cmml" xref="A2.SS6.1.p1.7.m6.1.1.3.3">𝑗</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.SS6.1.p1.7.m6.1c">b_{i}<b_{j}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.SS6.1.p1.7.m6.1d">italic_b start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT < italic_b start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> for all <math alttext="i<j" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.SS6.1.p1.8.m7.1"><semantics id="A2.SS6.1.p1.8.m7.1a"><mrow id="A2.SS6.1.p1.8.m7.1.1" xref="A2.SS6.1.p1.8.m7.1.1.cmml"><mi id="A2.SS6.1.p1.8.m7.1.1.2" xref="A2.SS6.1.p1.8.m7.1.1.2.cmml">i</mi><mo id="A2.SS6.1.p1.8.m7.1.1.1" xref="A2.SS6.1.p1.8.m7.1.1.1.cmml"><</mo><mi id="A2.SS6.1.p1.8.m7.1.1.3" xref="A2.SS6.1.p1.8.m7.1.1.3.cmml">j</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.SS6.1.p1.8.m7.1b"><apply id="A2.SS6.1.p1.8.m7.1.1.cmml" xref="A2.SS6.1.p1.8.m7.1.1"><lt id="A2.SS6.1.p1.8.m7.1.1.1.cmml" xref="A2.SS6.1.p1.8.m7.1.1.1"></lt><ci id="A2.SS6.1.p1.8.m7.1.1.2.cmml" xref="A2.SS6.1.p1.8.m7.1.1.2">𝑖</ci><ci id="A2.SS6.1.p1.8.m7.1.1.3.cmml" xref="A2.SS6.1.p1.8.m7.1.1.3">𝑗</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.SS6.1.p1.8.m7.1c">i<j</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.SS6.1.p1.8.m7.1d">italic_i < italic_j</annotation></semantics></math>. These conditions ensure that none of the transpositions cancel with each other, so <math alttext="k=|\pi|" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.SS6.1.p1.9.m8.1"><semantics id="A2.SS6.1.p1.9.m8.1a"><mrow id="A2.SS6.1.p1.9.m8.1.2" xref="A2.SS6.1.p1.9.m8.1.2.cmml"><mi id="A2.SS6.1.p1.9.m8.1.2.2" xref="A2.SS6.1.p1.9.m8.1.2.2.cmml">k</mi><mo id="A2.SS6.1.p1.9.m8.1.2.1" xref="A2.SS6.1.p1.9.m8.1.2.1.cmml">=</mo><mrow id="A2.SS6.1.p1.9.m8.1.2.3.2" xref="A2.SS6.1.p1.9.m8.1.2.3.1.cmml"><mo id="A2.SS6.1.p1.9.m8.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="A2.SS6.1.p1.9.m8.1.2.3.1.1.cmml">|</mo><mi id="A2.SS6.1.p1.9.m8.1.1" xref="A2.SS6.1.p1.9.m8.1.1.cmml">π</mi><mo id="A2.SS6.1.p1.9.m8.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="A2.SS6.1.p1.9.m8.1.2.3.1.1.cmml">|</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.SS6.1.p1.9.m8.1b"><apply id="A2.SS6.1.p1.9.m8.1.2.cmml" xref="A2.SS6.1.p1.9.m8.1.2"><eq id="A2.SS6.1.p1.9.m8.1.2.1.cmml" xref="A2.SS6.1.p1.9.m8.1.2.1"></eq><ci id="A2.SS6.1.p1.9.m8.1.2.2.cmml" xref="A2.SS6.1.p1.9.m8.1.2.2">𝑘</ci><apply id="A2.SS6.1.p1.9.m8.1.2.3.1.cmml" xref="A2.SS6.1.p1.9.m8.1.2.3.2"><abs id="A2.SS6.1.p1.9.m8.1.2.3.1.1.cmml" xref="A2.SS6.1.p1.9.m8.1.2.3.2.1"></abs><ci id="A2.SS6.1.p1.9.m8.1.1.cmml" xref="A2.SS6.1.p1.9.m8.1.1">𝜋</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.SS6.1.p1.9.m8.1c">k=|\pi|</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.SS6.1.p1.9.m8.1d">italic_k = | italic_π |</annotation></semantics></math>.</p> </div> <div class="ltx_para" id="A2.SS6.2.p2"> <p class="ltx_p" id="A2.SS6.2.p2.7">Now we take the Jucys-Murphy decomposition of <math alttext="\pi" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.SS6.2.p2.1.m1.1"><semantics id="A2.SS6.2.p2.1.m1.1a"><mi id="A2.SS6.2.p2.1.m1.1.1" xref="A2.SS6.2.p2.1.m1.1.1.cmml">π</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.SS6.2.p2.1.m1.1b"><ci id="A2.SS6.2.p2.1.m1.1.1.cmml" xref="A2.SS6.2.p2.1.m1.1.1">𝜋</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.SS6.2.p2.1.m1.1c">\pi</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.SS6.2.p2.1.m1.1d">italic_π</annotation></semantics></math>, and separate the transpositions <math alttext="s_{a_{i}b_{i}}" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.SS6.2.p2.2.m2.1"><semantics id="A2.SS6.2.p2.2.m2.1a"><msub id="A2.SS6.2.p2.2.m2.1.1" xref="A2.SS6.2.p2.2.m2.1.1.cmml"><mi id="A2.SS6.2.p2.2.m2.1.1.2" xref="A2.SS6.2.p2.2.m2.1.1.2.cmml">s</mi><mrow id="A2.SS6.2.p2.2.m2.1.1.3" xref="A2.SS6.2.p2.2.m2.1.1.3.cmml"><msub id="A2.SS6.2.p2.2.m2.1.1.3.2" xref="A2.SS6.2.p2.2.m2.1.1.3.2.cmml"><mi id="A2.SS6.2.p2.2.m2.1.1.3.2.2" xref="A2.SS6.2.p2.2.m2.1.1.3.2.2.cmml">a</mi><mi id="A2.SS6.2.p2.2.m2.1.1.3.2.3" xref="A2.SS6.2.p2.2.m2.1.1.3.2.3.cmml">i</mi></msub><mo id="A2.SS6.2.p2.2.m2.1.1.3.1" xref="A2.SS6.2.p2.2.m2.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="A2.SS6.2.p2.2.m2.1.1.3.3" xref="A2.SS6.2.p2.2.m2.1.1.3.3.cmml"><mi id="A2.SS6.2.p2.2.m2.1.1.3.3.2" xref="A2.SS6.2.p2.2.m2.1.1.3.3.2.cmml">b</mi><mi id="A2.SS6.2.p2.2.m2.1.1.3.3.3" xref="A2.SS6.2.p2.2.m2.1.1.3.3.3.cmml">i</mi></msub></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.SS6.2.p2.2.m2.1b"><apply id="A2.SS6.2.p2.2.m2.1.1.cmml" xref="A2.SS6.2.p2.2.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.SS6.2.p2.2.m2.1.1.1.cmml" xref="A2.SS6.2.p2.2.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="A2.SS6.2.p2.2.m2.1.1.2.cmml" xref="A2.SS6.2.p2.2.m2.1.1.2">𝑠</ci><apply id="A2.SS6.2.p2.2.m2.1.1.3.cmml" xref="A2.SS6.2.p2.2.m2.1.1.3"><times id="A2.SS6.2.p2.2.m2.1.1.3.1.cmml" xref="A2.SS6.2.p2.2.m2.1.1.3.1"></times><apply id="A2.SS6.2.p2.2.m2.1.1.3.2.cmml" xref="A2.SS6.2.p2.2.m2.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.SS6.2.p2.2.m2.1.1.3.2.1.cmml" xref="A2.SS6.2.p2.2.m2.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="A2.SS6.2.p2.2.m2.1.1.3.2.2.cmml" xref="A2.SS6.2.p2.2.m2.1.1.3.2.2">𝑎</ci><ci id="A2.SS6.2.p2.2.m2.1.1.3.2.3.cmml" xref="A2.SS6.2.p2.2.m2.1.1.3.2.3">𝑖</ci></apply><apply id="A2.SS6.2.p2.2.m2.1.1.3.3.cmml" xref="A2.SS6.2.p2.2.m2.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.SS6.2.p2.2.m2.1.1.3.3.1.cmml" xref="A2.SS6.2.p2.2.m2.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="A2.SS6.2.p2.2.m2.1.1.3.3.2.cmml" xref="A2.SS6.2.p2.2.m2.1.1.3.3.2">𝑏</ci><ci id="A2.SS6.2.p2.2.m2.1.1.3.3.3.cmml" xref="A2.SS6.2.p2.2.m2.1.1.3.3.3">𝑖</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.SS6.2.p2.2.m2.1c">s_{a_{i}b_{i}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.SS6.2.p2.2.m2.1d">italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_a start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT italic_b start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> with <math alttext="b_{i}\leq l" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.SS6.2.p2.3.m3.1"><semantics id="A2.SS6.2.p2.3.m3.1a"><mrow id="A2.SS6.2.p2.3.m3.1.1" xref="A2.SS6.2.p2.3.m3.1.1.cmml"><msub id="A2.SS6.2.p2.3.m3.1.1.2" xref="A2.SS6.2.p2.3.m3.1.1.2.cmml"><mi id="A2.SS6.2.p2.3.m3.1.1.2.2" xref="A2.SS6.2.p2.3.m3.1.1.2.2.cmml">b</mi><mi id="A2.SS6.2.p2.3.m3.1.1.2.3" xref="A2.SS6.2.p2.3.m3.1.1.2.3.cmml">i</mi></msub><mo id="A2.SS6.2.p2.3.m3.1.1.1" xref="A2.SS6.2.p2.3.m3.1.1.1.cmml">≤</mo><mi id="A2.SS6.2.p2.3.m3.1.1.3" xref="A2.SS6.2.p2.3.m3.1.1.3.cmml">l</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.SS6.2.p2.3.m3.1b"><apply id="A2.SS6.2.p2.3.m3.1.1.cmml" xref="A2.SS6.2.p2.3.m3.1.1"><leq id="A2.SS6.2.p2.3.m3.1.1.1.cmml" xref="A2.SS6.2.p2.3.m3.1.1.1"></leq><apply id="A2.SS6.2.p2.3.m3.1.1.2.cmml" xref="A2.SS6.2.p2.3.m3.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.SS6.2.p2.3.m3.1.1.2.1.cmml" xref="A2.SS6.2.p2.3.m3.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="A2.SS6.2.p2.3.m3.1.1.2.2.cmml" xref="A2.SS6.2.p2.3.m3.1.1.2.2">𝑏</ci><ci id="A2.SS6.2.p2.3.m3.1.1.2.3.cmml" xref="A2.SS6.2.p2.3.m3.1.1.2.3">𝑖</ci></apply><ci id="A2.SS6.2.p2.3.m3.1.1.3.cmml" xref="A2.SS6.2.p2.3.m3.1.1.3">𝑙</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.SS6.2.p2.3.m3.1c">b_{i}\leq l</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.SS6.2.p2.3.m3.1d">italic_b start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT ≤ italic_l</annotation></semantics></math> from the ones with <math alttext="b_{i}>l" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.SS6.2.p2.4.m4.1"><semantics id="A2.SS6.2.p2.4.m4.1a"><mrow id="A2.SS6.2.p2.4.m4.1.1" xref="A2.SS6.2.p2.4.m4.1.1.cmml"><msub id="A2.SS6.2.p2.4.m4.1.1.2" xref="A2.SS6.2.p2.4.m4.1.1.2.cmml"><mi id="A2.SS6.2.p2.4.m4.1.1.2.2" xref="A2.SS6.2.p2.4.m4.1.1.2.2.cmml">b</mi><mi id="A2.SS6.2.p2.4.m4.1.1.2.3" xref="A2.SS6.2.p2.4.m4.1.1.2.3.cmml">i</mi></msub><mo id="A2.SS6.2.p2.4.m4.1.1.1" xref="A2.SS6.2.p2.4.m4.1.1.1.cmml">></mo><mi id="A2.SS6.2.p2.4.m4.1.1.3" xref="A2.SS6.2.p2.4.m4.1.1.3.cmml">l</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.SS6.2.p2.4.m4.1b"><apply id="A2.SS6.2.p2.4.m4.1.1.cmml" xref="A2.SS6.2.p2.4.m4.1.1"><gt id="A2.SS6.2.p2.4.m4.1.1.1.cmml" xref="A2.SS6.2.p2.4.m4.1.1.1"></gt><apply id="A2.SS6.2.p2.4.m4.1.1.2.cmml" xref="A2.SS6.2.p2.4.m4.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.SS6.2.p2.4.m4.1.1.2.1.cmml" xref="A2.SS6.2.p2.4.m4.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="A2.SS6.2.p2.4.m4.1.1.2.2.cmml" xref="A2.SS6.2.p2.4.m4.1.1.2.2">𝑏</ci><ci id="A2.SS6.2.p2.4.m4.1.1.2.3.cmml" xref="A2.SS6.2.p2.4.m4.1.1.2.3">𝑖</ci></apply><ci id="A2.SS6.2.p2.4.m4.1.1.3.cmml" xref="A2.SS6.2.p2.4.m4.1.1.3">𝑙</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.SS6.2.p2.4.m4.1c">b_{i}>l</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.SS6.2.p2.4.m4.1d">italic_b start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT > italic_l</annotation></semantics></math>. Then, we see that the former product is the unique Jucys-Murphy decomposition of a permutation in <math alttext="S_{l}" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.SS6.2.p2.5.m5.1"><semantics id="A2.SS6.2.p2.5.m5.1a"><msub id="A2.SS6.2.p2.5.m5.1.1" xref="A2.SS6.2.p2.5.m5.1.1.cmml"><mi id="A2.SS6.2.p2.5.m5.1.1.2" xref="A2.SS6.2.p2.5.m5.1.1.2.cmml">S</mi><mi id="A2.SS6.2.p2.5.m5.1.1.3" xref="A2.SS6.2.p2.5.m5.1.1.3.cmml">l</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.SS6.2.p2.5.m5.1b"><apply id="A2.SS6.2.p2.5.m5.1.1.cmml" xref="A2.SS6.2.p2.5.m5.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.SS6.2.p2.5.m5.1.1.1.cmml" xref="A2.SS6.2.p2.5.m5.1.1">subscript</csymbol><ci id="A2.SS6.2.p2.5.m5.1.1.2.cmml" xref="A2.SS6.2.p2.5.m5.1.1.2">𝑆</ci><ci id="A2.SS6.2.p2.5.m5.1.1.3.cmml" xref="A2.SS6.2.p2.5.m5.1.1.3">𝑙</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.SS6.2.p2.5.m5.1c">S_{l}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.SS6.2.p2.5.m5.1d">italic_S start_POSTSUBSCRIPT italic_l end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>. We call that permutation <math alttext="\lambda" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.SS6.2.p2.6.m6.1"><semantics id="A2.SS6.2.p2.6.m6.1a"><mi id="A2.SS6.2.p2.6.m6.1.1" xref="A2.SS6.2.p2.6.m6.1.1.cmml">λ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.SS6.2.p2.6.m6.1b"><ci id="A2.SS6.2.p2.6.m6.1.1.cmml" xref="A2.SS6.2.p2.6.m6.1.1">𝜆</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.SS6.2.p2.6.m6.1c">\lambda</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.SS6.2.p2.6.m6.1d">italic_λ</annotation></semantics></math>. The latter product is the unique Jucys-Murphy decomposition of another permutation, which we identify as <math alttext="\rho" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.SS6.2.p2.7.m7.1"><semantics id="A2.SS6.2.p2.7.m7.1a"><mi id="A2.SS6.2.p2.7.m7.1.1" xref="A2.SS6.2.p2.7.m7.1.1.cmml">ρ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.SS6.2.p2.7.m7.1b"><ci id="A2.SS6.2.p2.7.m7.1.1.cmml" xref="A2.SS6.2.p2.7.m7.1.1">𝜌</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.SS6.2.p2.7.m7.1c">\rho</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.SS6.2.p2.7.m7.1d">italic_ρ</annotation></semantics></math>.</p> </div> <div class="ltx_para" id="A2.SS6.3.p3"> <p class="ltx_p" id="A2.SS6.3.p3.13">Now, for any other <math alttext="\lambda^{\prime}\in S_{l}" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.SS6.3.p3.1.m1.1"><semantics id="A2.SS6.3.p3.1.m1.1a"><mrow id="A2.SS6.3.p3.1.m1.1.1" xref="A2.SS6.3.p3.1.m1.1.1.cmml"><msup id="A2.SS6.3.p3.1.m1.1.1.2" xref="A2.SS6.3.p3.1.m1.1.1.2.cmml"><mi id="A2.SS6.3.p3.1.m1.1.1.2.2" xref="A2.SS6.3.p3.1.m1.1.1.2.2.cmml">λ</mi><mo id="A2.SS6.3.p3.1.m1.1.1.2.3" xref="A2.SS6.3.p3.1.m1.1.1.2.3.cmml">′</mo></msup><mo id="A2.SS6.3.p3.1.m1.1.1.1" xref="A2.SS6.3.p3.1.m1.1.1.1.cmml">∈</mo><msub id="A2.SS6.3.p3.1.m1.1.1.3" xref="A2.SS6.3.p3.1.m1.1.1.3.cmml"><mi id="A2.SS6.3.p3.1.m1.1.1.3.2" xref="A2.SS6.3.p3.1.m1.1.1.3.2.cmml">S</mi><mi id="A2.SS6.3.p3.1.m1.1.1.3.3" xref="A2.SS6.3.p3.1.m1.1.1.3.3.cmml">l</mi></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.SS6.3.p3.1.m1.1b"><apply id="A2.SS6.3.p3.1.m1.1.1.cmml" xref="A2.SS6.3.p3.1.m1.1.1"><in id="A2.SS6.3.p3.1.m1.1.1.1.cmml" xref="A2.SS6.3.p3.1.m1.1.1.1"></in><apply id="A2.SS6.3.p3.1.m1.1.1.2.cmml" xref="A2.SS6.3.p3.1.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.SS6.3.p3.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="A2.SS6.3.p3.1.m1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="A2.SS6.3.p3.1.m1.1.1.2.2.cmml" xref="A2.SS6.3.p3.1.m1.1.1.2.2">𝜆</ci><ci id="A2.SS6.3.p3.1.m1.1.1.2.3.cmml" xref="A2.SS6.3.p3.1.m1.1.1.2.3">′</ci></apply><apply id="A2.SS6.3.p3.1.m1.1.1.3.cmml" xref="A2.SS6.3.p3.1.m1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.SS6.3.p3.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="A2.SS6.3.p3.1.m1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A2.SS6.3.p3.1.m1.1.1.3.2.cmml" xref="A2.SS6.3.p3.1.m1.1.1.3.2">𝑆</ci><ci id="A2.SS6.3.p3.1.m1.1.1.3.3.cmml" xref="A2.SS6.3.p3.1.m1.1.1.3.3">𝑙</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.SS6.3.p3.1.m1.1c">\lambda^{\prime}\in S_{l}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.SS6.3.p3.1.m1.1d">italic_λ start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ∈ italic_S start_POSTSUBSCRIPT italic_l end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, we can obtain <math alttext="\pi^{\prime}=\lambda^{\prime}\rho" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.SS6.3.p3.2.m2.1"><semantics id="A2.SS6.3.p3.2.m2.1a"><mrow id="A2.SS6.3.p3.2.m2.1.1" xref="A2.SS6.3.p3.2.m2.1.1.cmml"><msup id="A2.SS6.3.p3.2.m2.1.1.2" xref="A2.SS6.3.p3.2.m2.1.1.2.cmml"><mi id="A2.SS6.3.p3.2.m2.1.1.2.2" xref="A2.SS6.3.p3.2.m2.1.1.2.2.cmml">π</mi><mo id="A2.SS6.3.p3.2.m2.1.1.2.3" xref="A2.SS6.3.p3.2.m2.1.1.2.3.cmml">′</mo></msup><mo id="A2.SS6.3.p3.2.m2.1.1.1" xref="A2.SS6.3.p3.2.m2.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="A2.SS6.3.p3.2.m2.1.1.3" xref="A2.SS6.3.p3.2.m2.1.1.3.cmml"><msup id="A2.SS6.3.p3.2.m2.1.1.3.2" xref="A2.SS6.3.p3.2.m2.1.1.3.2.cmml"><mi id="A2.SS6.3.p3.2.m2.1.1.3.2.2" xref="A2.SS6.3.p3.2.m2.1.1.3.2.2.cmml">λ</mi><mo id="A2.SS6.3.p3.2.m2.1.1.3.2.3" xref="A2.SS6.3.p3.2.m2.1.1.3.2.3.cmml">′</mo></msup><mo id="A2.SS6.3.p3.2.m2.1.1.3.1" xref="A2.SS6.3.p3.2.m2.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A2.SS6.3.p3.2.m2.1.1.3.3" xref="A2.SS6.3.p3.2.m2.1.1.3.3.cmml">ρ</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.SS6.3.p3.2.m2.1b"><apply id="A2.SS6.3.p3.2.m2.1.1.cmml" xref="A2.SS6.3.p3.2.m2.1.1"><eq id="A2.SS6.3.p3.2.m2.1.1.1.cmml" xref="A2.SS6.3.p3.2.m2.1.1.1"></eq><apply id="A2.SS6.3.p3.2.m2.1.1.2.cmml" xref="A2.SS6.3.p3.2.m2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.SS6.3.p3.2.m2.1.1.2.1.cmml" xref="A2.SS6.3.p3.2.m2.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="A2.SS6.3.p3.2.m2.1.1.2.2.cmml" xref="A2.SS6.3.p3.2.m2.1.1.2.2">𝜋</ci><ci id="A2.SS6.3.p3.2.m2.1.1.2.3.cmml" xref="A2.SS6.3.p3.2.m2.1.1.2.3">′</ci></apply><apply id="A2.SS6.3.p3.2.m2.1.1.3.cmml" xref="A2.SS6.3.p3.2.m2.1.1.3"><times id="A2.SS6.3.p3.2.m2.1.1.3.1.cmml" xref="A2.SS6.3.p3.2.m2.1.1.3.1"></times><apply id="A2.SS6.3.p3.2.m2.1.1.3.2.cmml" xref="A2.SS6.3.p3.2.m2.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.SS6.3.p3.2.m2.1.1.3.2.1.cmml" xref="A2.SS6.3.p3.2.m2.1.1.3.2">superscript</csymbol><ci id="A2.SS6.3.p3.2.m2.1.1.3.2.2.cmml" xref="A2.SS6.3.p3.2.m2.1.1.3.2.2">𝜆</ci><ci id="A2.SS6.3.p3.2.m2.1.1.3.2.3.cmml" xref="A2.SS6.3.p3.2.m2.1.1.3.2.3">′</ci></apply><ci id="A2.SS6.3.p3.2.m2.1.1.3.3.cmml" xref="A2.SS6.3.p3.2.m2.1.1.3.3">𝜌</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.SS6.3.p3.2.m2.1c">\pi^{\prime}=\lambda^{\prime}\rho</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.SS6.3.p3.2.m2.1d">italic_π start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT = italic_λ start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT italic_ρ</annotation></semantics></math> by replacing the terms corresponding to <math alttext="\lambda" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.SS6.3.p3.3.m3.1"><semantics id="A2.SS6.3.p3.3.m3.1a"><mi id="A2.SS6.3.p3.3.m3.1.1" xref="A2.SS6.3.p3.3.m3.1.1.cmml">λ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.SS6.3.p3.3.m3.1b"><ci id="A2.SS6.3.p3.3.m3.1.1.cmml" xref="A2.SS6.3.p3.3.m3.1.1">𝜆</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.SS6.3.p3.3.m3.1c">\lambda</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.SS6.3.p3.3.m3.1d">italic_λ</annotation></semantics></math> with the decomposition of <math alttext="\lambda^{\prime}" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.SS6.3.p3.4.m4.1"><semantics id="A2.SS6.3.p3.4.m4.1a"><msup id="A2.SS6.3.p3.4.m4.1.1" xref="A2.SS6.3.p3.4.m4.1.1.cmml"><mi id="A2.SS6.3.p3.4.m4.1.1.2" xref="A2.SS6.3.p3.4.m4.1.1.2.cmml">λ</mi><mo id="A2.SS6.3.p3.4.m4.1.1.3" xref="A2.SS6.3.p3.4.m4.1.1.3.cmml">′</mo></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.SS6.3.p3.4.m4.1b"><apply id="A2.SS6.3.p3.4.m4.1.1.cmml" xref="A2.SS6.3.p3.4.m4.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.SS6.3.p3.4.m4.1.1.1.cmml" xref="A2.SS6.3.p3.4.m4.1.1">superscript</csymbol><ci id="A2.SS6.3.p3.4.m4.1.1.2.cmml" xref="A2.SS6.3.p3.4.m4.1.1.2">𝜆</ci><ci id="A2.SS6.3.p3.4.m4.1.1.3.cmml" xref="A2.SS6.3.p3.4.m4.1.1.3">′</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.SS6.3.p3.4.m4.1c">\lambda^{\prime}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.SS6.3.p3.4.m4.1d">italic_λ start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>. This new product of transpositions does not violate the conditions of the unique Jucys-Murphy decomposition, so it must in fact be the unique Jucys-Murphy decomposition of <math alttext="\pi^{\prime}" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.SS6.3.p3.5.m5.1"><semantics id="A2.SS6.3.p3.5.m5.1a"><msup id="A2.SS6.3.p3.5.m5.1.1" xref="A2.SS6.3.p3.5.m5.1.1.cmml"><mi id="A2.SS6.3.p3.5.m5.1.1.2" xref="A2.SS6.3.p3.5.m5.1.1.2.cmml">π</mi><mo id="A2.SS6.3.p3.5.m5.1.1.3" xref="A2.SS6.3.p3.5.m5.1.1.3.cmml">′</mo></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.SS6.3.p3.5.m5.1b"><apply id="A2.SS6.3.p3.5.m5.1.1.cmml" xref="A2.SS6.3.p3.5.m5.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.SS6.3.p3.5.m5.1.1.1.cmml" xref="A2.SS6.3.p3.5.m5.1.1">superscript</csymbol><ci id="A2.SS6.3.p3.5.m5.1.1.2.cmml" xref="A2.SS6.3.p3.5.m5.1.1.2">𝜋</ci><ci id="A2.SS6.3.p3.5.m5.1.1.3.cmml" xref="A2.SS6.3.p3.5.m5.1.1.3">′</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.SS6.3.p3.5.m5.1c">\pi^{\prime}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.SS6.3.p3.5.m5.1d">italic_π start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>. Hence the decomposition of <math alttext="\pi^{\prime}" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.SS6.3.p3.6.m6.1"><semantics id="A2.SS6.3.p3.6.m6.1a"><msup id="A2.SS6.3.p3.6.m6.1.1" xref="A2.SS6.3.p3.6.m6.1.1.cmml"><mi id="A2.SS6.3.p3.6.m6.1.1.2" xref="A2.SS6.3.p3.6.m6.1.1.2.cmml">π</mi><mo id="A2.SS6.3.p3.6.m6.1.1.3" xref="A2.SS6.3.p3.6.m6.1.1.3.cmml">′</mo></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.SS6.3.p3.6.m6.1b"><apply id="A2.SS6.3.p3.6.m6.1.1.cmml" xref="A2.SS6.3.p3.6.m6.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.SS6.3.p3.6.m6.1.1.1.cmml" xref="A2.SS6.3.p3.6.m6.1.1">superscript</csymbol><ci id="A2.SS6.3.p3.6.m6.1.1.2.cmml" xref="A2.SS6.3.p3.6.m6.1.1.2">𝜋</ci><ci id="A2.SS6.3.p3.6.m6.1.1.3.cmml" xref="A2.SS6.3.p3.6.m6.1.1.3">′</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.SS6.3.p3.6.m6.1c">\pi^{\prime}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.SS6.3.p3.6.m6.1d">italic_π start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> is just the decompositions of <math alttext="\lambda^{\prime}" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.SS6.3.p3.7.m7.1"><semantics id="A2.SS6.3.p3.7.m7.1a"><msup id="A2.SS6.3.p3.7.m7.1.1" xref="A2.SS6.3.p3.7.m7.1.1.cmml"><mi id="A2.SS6.3.p3.7.m7.1.1.2" xref="A2.SS6.3.p3.7.m7.1.1.2.cmml">λ</mi><mo id="A2.SS6.3.p3.7.m7.1.1.3" xref="A2.SS6.3.p3.7.m7.1.1.3.cmml">′</mo></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.SS6.3.p3.7.m7.1b"><apply id="A2.SS6.3.p3.7.m7.1.1.cmml" xref="A2.SS6.3.p3.7.m7.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.SS6.3.p3.7.m7.1.1.1.cmml" xref="A2.SS6.3.p3.7.m7.1.1">superscript</csymbol><ci id="A2.SS6.3.p3.7.m7.1.1.2.cmml" xref="A2.SS6.3.p3.7.m7.1.1.2">𝜆</ci><ci id="A2.SS6.3.p3.7.m7.1.1.3.cmml" xref="A2.SS6.3.p3.7.m7.1.1.3">′</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.SS6.3.p3.7.m7.1c">\lambda^{\prime}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.SS6.3.p3.7.m7.1d">italic_λ start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> and <math alttext="\rho" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.SS6.3.p3.8.m8.1"><semantics id="A2.SS6.3.p3.8.m8.1a"><mi id="A2.SS6.3.p3.8.m8.1.1" xref="A2.SS6.3.p3.8.m8.1.1.cmml">ρ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.SS6.3.p3.8.m8.1b"><ci id="A2.SS6.3.p3.8.m8.1.1.cmml" xref="A2.SS6.3.p3.8.m8.1.1">𝜌</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.SS6.3.p3.8.m8.1c">\rho</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.SS6.3.p3.8.m8.1d">italic_ρ</annotation></semantics></math> put together, much like the original permutation <math alttext="\pi" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.SS6.3.p3.9.m9.1"><semantics id="A2.SS6.3.p3.9.m9.1a"><mi id="A2.SS6.3.p3.9.m9.1.1" xref="A2.SS6.3.p3.9.m9.1.1.cmml">π</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.SS6.3.p3.9.m9.1b"><ci id="A2.SS6.3.p3.9.m9.1.1.cmml" xref="A2.SS6.3.p3.9.m9.1.1">𝜋</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.SS6.3.p3.9.m9.1c">\pi</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.SS6.3.p3.9.m9.1d">italic_π</annotation></semantics></math>, so <math alttext="|\pi^{\prime}|=|\lambda^{\prime}|+|\rho|" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.SS6.3.p3.10.m10.3"><semantics id="A2.SS6.3.p3.10.m10.3a"><mrow id="A2.SS6.3.p3.10.m10.3.3" xref="A2.SS6.3.p3.10.m10.3.3.cmml"><mrow id="A2.SS6.3.p3.10.m10.2.2.1.1" xref="A2.SS6.3.p3.10.m10.2.2.1.2.cmml"><mo id="A2.SS6.3.p3.10.m10.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="A2.SS6.3.p3.10.m10.2.2.1.2.1.cmml">|</mo><msup id="A2.SS6.3.p3.10.m10.2.2.1.1.1" xref="A2.SS6.3.p3.10.m10.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="A2.SS6.3.p3.10.m10.2.2.1.1.1.2" xref="A2.SS6.3.p3.10.m10.2.2.1.1.1.2.cmml">π</mi><mo id="A2.SS6.3.p3.10.m10.2.2.1.1.1.3" xref="A2.SS6.3.p3.10.m10.2.2.1.1.1.3.cmml">′</mo></msup><mo id="A2.SS6.3.p3.10.m10.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="A2.SS6.3.p3.10.m10.2.2.1.2.1.cmml">|</mo></mrow><mo id="A2.SS6.3.p3.10.m10.3.3.3" xref="A2.SS6.3.p3.10.m10.3.3.3.cmml">=</mo><mrow id="A2.SS6.3.p3.10.m10.3.3.2" xref="A2.SS6.3.p3.10.m10.3.3.2.cmml"><mrow id="A2.SS6.3.p3.10.m10.3.3.2.1.1" xref="A2.SS6.3.p3.10.m10.3.3.2.1.2.cmml"><mo id="A2.SS6.3.p3.10.m10.3.3.2.1.1.2" stretchy="false" xref="A2.SS6.3.p3.10.m10.3.3.2.1.2.1.cmml">|</mo><msup id="A2.SS6.3.p3.10.m10.3.3.2.1.1.1" xref="A2.SS6.3.p3.10.m10.3.3.2.1.1.1.cmml"><mi id="A2.SS6.3.p3.10.m10.3.3.2.1.1.1.2" xref="A2.SS6.3.p3.10.m10.3.3.2.1.1.1.2.cmml">λ</mi><mo id="A2.SS6.3.p3.10.m10.3.3.2.1.1.1.3" xref="A2.SS6.3.p3.10.m10.3.3.2.1.1.1.3.cmml">′</mo></msup><mo id="A2.SS6.3.p3.10.m10.3.3.2.1.1.3" stretchy="false" xref="A2.SS6.3.p3.10.m10.3.3.2.1.2.1.cmml">|</mo></mrow><mo id="A2.SS6.3.p3.10.m10.3.3.2.2" xref="A2.SS6.3.p3.10.m10.3.3.2.2.cmml">+</mo><mrow id="A2.SS6.3.p3.10.m10.3.3.2.3.2" xref="A2.SS6.3.p3.10.m10.3.3.2.3.1.cmml"><mo id="A2.SS6.3.p3.10.m10.3.3.2.3.2.1" stretchy="false" xref="A2.SS6.3.p3.10.m10.3.3.2.3.1.1.cmml">|</mo><mi id="A2.SS6.3.p3.10.m10.1.1" xref="A2.SS6.3.p3.10.m10.1.1.cmml">ρ</mi><mo id="A2.SS6.3.p3.10.m10.3.3.2.3.2.2" stretchy="false" xref="A2.SS6.3.p3.10.m10.3.3.2.3.1.1.cmml">|</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.SS6.3.p3.10.m10.3b"><apply id="A2.SS6.3.p3.10.m10.3.3.cmml" xref="A2.SS6.3.p3.10.m10.3.3"><eq id="A2.SS6.3.p3.10.m10.3.3.3.cmml" xref="A2.SS6.3.p3.10.m10.3.3.3"></eq><apply id="A2.SS6.3.p3.10.m10.2.2.1.2.cmml" xref="A2.SS6.3.p3.10.m10.2.2.1.1"><abs id="A2.SS6.3.p3.10.m10.2.2.1.2.1.cmml" xref="A2.SS6.3.p3.10.m10.2.2.1.1.2"></abs><apply id="A2.SS6.3.p3.10.m10.2.2.1.1.1.cmml" xref="A2.SS6.3.p3.10.m10.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.SS6.3.p3.10.m10.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="A2.SS6.3.p3.10.m10.2.2.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="A2.SS6.3.p3.10.m10.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="A2.SS6.3.p3.10.m10.2.2.1.1.1.2">𝜋</ci><ci id="A2.SS6.3.p3.10.m10.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="A2.SS6.3.p3.10.m10.2.2.1.1.1.3">′</ci></apply></apply><apply id="A2.SS6.3.p3.10.m10.3.3.2.cmml" xref="A2.SS6.3.p3.10.m10.3.3.2"><plus id="A2.SS6.3.p3.10.m10.3.3.2.2.cmml" xref="A2.SS6.3.p3.10.m10.3.3.2.2"></plus><apply id="A2.SS6.3.p3.10.m10.3.3.2.1.2.cmml" xref="A2.SS6.3.p3.10.m10.3.3.2.1.1"><abs id="A2.SS6.3.p3.10.m10.3.3.2.1.2.1.cmml" xref="A2.SS6.3.p3.10.m10.3.3.2.1.1.2"></abs><apply id="A2.SS6.3.p3.10.m10.3.3.2.1.1.1.cmml" xref="A2.SS6.3.p3.10.m10.3.3.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.SS6.3.p3.10.m10.3.3.2.1.1.1.1.cmml" xref="A2.SS6.3.p3.10.m10.3.3.2.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="A2.SS6.3.p3.10.m10.3.3.2.1.1.1.2.cmml" xref="A2.SS6.3.p3.10.m10.3.3.2.1.1.1.2">𝜆</ci><ci id="A2.SS6.3.p3.10.m10.3.3.2.1.1.1.3.cmml" xref="A2.SS6.3.p3.10.m10.3.3.2.1.1.1.3">′</ci></apply></apply><apply id="A2.SS6.3.p3.10.m10.3.3.2.3.1.cmml" xref="A2.SS6.3.p3.10.m10.3.3.2.3.2"><abs id="A2.SS6.3.p3.10.m10.3.3.2.3.1.1.cmml" xref="A2.SS6.3.p3.10.m10.3.3.2.3.2.1"></abs><ci id="A2.SS6.3.p3.10.m10.1.1.cmml" xref="A2.SS6.3.p3.10.m10.1.1">𝜌</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.SS6.3.p3.10.m10.3c">|\pi^{\prime}|=|\lambda^{\prime}|+|\rho|</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.SS6.3.p3.10.m10.3d">| italic_π start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT | = | italic_λ start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT | + | italic_ρ |</annotation></semantics></math>, and this holds for all <math alttext="\lambda^{\prime}\in S_{l},\pi^{\prime}=\lambda^{\prime}\rho" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.SS6.3.p3.11.m11.2"><semantics id="A2.SS6.3.p3.11.m11.2a"><mrow id="A2.SS6.3.p3.11.m11.2.2.2" xref="A2.SS6.3.p3.11.m11.2.2.3.cmml"><mrow id="A2.SS6.3.p3.11.m11.1.1.1.1" xref="A2.SS6.3.p3.11.m11.1.1.1.1.cmml"><msup id="A2.SS6.3.p3.11.m11.1.1.1.1.2" xref="A2.SS6.3.p3.11.m11.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="A2.SS6.3.p3.11.m11.1.1.1.1.2.2" xref="A2.SS6.3.p3.11.m11.1.1.1.1.2.2.cmml">λ</mi><mo id="A2.SS6.3.p3.11.m11.1.1.1.1.2.3" xref="A2.SS6.3.p3.11.m11.1.1.1.1.2.3.cmml">′</mo></msup><mo id="A2.SS6.3.p3.11.m11.1.1.1.1.1" xref="A2.SS6.3.p3.11.m11.1.1.1.1.1.cmml">∈</mo><msub id="A2.SS6.3.p3.11.m11.1.1.1.1.3" xref="A2.SS6.3.p3.11.m11.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A2.SS6.3.p3.11.m11.1.1.1.1.3.2" xref="A2.SS6.3.p3.11.m11.1.1.1.1.3.2.cmml">S</mi><mi id="A2.SS6.3.p3.11.m11.1.1.1.1.3.3" xref="A2.SS6.3.p3.11.m11.1.1.1.1.3.3.cmml">l</mi></msub></mrow><mo id="A2.SS6.3.p3.11.m11.2.2.2.3" xref="A2.SS6.3.p3.11.m11.2.2.3a.cmml">,</mo><mrow id="A2.SS6.3.p3.11.m11.2.2.2.2" xref="A2.SS6.3.p3.11.m11.2.2.2.2.cmml"><msup id="A2.SS6.3.p3.11.m11.2.2.2.2.2" xref="A2.SS6.3.p3.11.m11.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="A2.SS6.3.p3.11.m11.2.2.2.2.2.2" xref="A2.SS6.3.p3.11.m11.2.2.2.2.2.2.cmml">π</mi><mo id="A2.SS6.3.p3.11.m11.2.2.2.2.2.3" xref="A2.SS6.3.p3.11.m11.2.2.2.2.2.3.cmml">′</mo></msup><mo id="A2.SS6.3.p3.11.m11.2.2.2.2.1" xref="A2.SS6.3.p3.11.m11.2.2.2.2.1.cmml">=</mo><mrow id="A2.SS6.3.p3.11.m11.2.2.2.2.3" xref="A2.SS6.3.p3.11.m11.2.2.2.2.3.cmml"><msup id="A2.SS6.3.p3.11.m11.2.2.2.2.3.2" xref="A2.SS6.3.p3.11.m11.2.2.2.2.3.2.cmml"><mi id="A2.SS6.3.p3.11.m11.2.2.2.2.3.2.2" xref="A2.SS6.3.p3.11.m11.2.2.2.2.3.2.2.cmml">λ</mi><mo id="A2.SS6.3.p3.11.m11.2.2.2.2.3.2.3" xref="A2.SS6.3.p3.11.m11.2.2.2.2.3.2.3.cmml">′</mo></msup><mo id="A2.SS6.3.p3.11.m11.2.2.2.2.3.1" xref="A2.SS6.3.p3.11.m11.2.2.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A2.SS6.3.p3.11.m11.2.2.2.2.3.3" xref="A2.SS6.3.p3.11.m11.2.2.2.2.3.3.cmml">ρ</mi></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.SS6.3.p3.11.m11.2b"><apply id="A2.SS6.3.p3.11.m11.2.2.3.cmml" xref="A2.SS6.3.p3.11.m11.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.SS6.3.p3.11.m11.2.2.3a.cmml" xref="A2.SS6.3.p3.11.m11.2.2.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="A2.SS6.3.p3.11.m11.1.1.1.1.cmml" xref="A2.SS6.3.p3.11.m11.1.1.1.1"><in id="A2.SS6.3.p3.11.m11.1.1.1.1.1.cmml" xref="A2.SS6.3.p3.11.m11.1.1.1.1.1"></in><apply id="A2.SS6.3.p3.11.m11.1.1.1.1.2.cmml" xref="A2.SS6.3.p3.11.m11.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.SS6.3.p3.11.m11.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A2.SS6.3.p3.11.m11.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="A2.SS6.3.p3.11.m11.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A2.SS6.3.p3.11.m11.1.1.1.1.2.2">𝜆</ci><ci id="A2.SS6.3.p3.11.m11.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="A2.SS6.3.p3.11.m11.1.1.1.1.2.3">′</ci></apply><apply id="A2.SS6.3.p3.11.m11.1.1.1.1.3.cmml" xref="A2.SS6.3.p3.11.m11.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.SS6.3.p3.11.m11.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A2.SS6.3.p3.11.m11.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A2.SS6.3.p3.11.m11.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A2.SS6.3.p3.11.m11.1.1.1.1.3.2">𝑆</ci><ci id="A2.SS6.3.p3.11.m11.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A2.SS6.3.p3.11.m11.1.1.1.1.3.3">𝑙</ci></apply></apply><apply id="A2.SS6.3.p3.11.m11.2.2.2.2.cmml" xref="A2.SS6.3.p3.11.m11.2.2.2.2"><eq id="A2.SS6.3.p3.11.m11.2.2.2.2.1.cmml" xref="A2.SS6.3.p3.11.m11.2.2.2.2.1"></eq><apply id="A2.SS6.3.p3.11.m11.2.2.2.2.2.cmml" xref="A2.SS6.3.p3.11.m11.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.SS6.3.p3.11.m11.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="A2.SS6.3.p3.11.m11.2.2.2.2.2">superscript</csymbol><ci id="A2.SS6.3.p3.11.m11.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="A2.SS6.3.p3.11.m11.2.2.2.2.2.2">𝜋</ci><ci id="A2.SS6.3.p3.11.m11.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="A2.SS6.3.p3.11.m11.2.2.2.2.2.3">′</ci></apply><apply id="A2.SS6.3.p3.11.m11.2.2.2.2.3.cmml" xref="A2.SS6.3.p3.11.m11.2.2.2.2.3"><times id="A2.SS6.3.p3.11.m11.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="A2.SS6.3.p3.11.m11.2.2.2.2.3.1"></times><apply id="A2.SS6.3.p3.11.m11.2.2.2.2.3.2.cmml" xref="A2.SS6.3.p3.11.m11.2.2.2.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.SS6.3.p3.11.m11.2.2.2.2.3.2.1.cmml" xref="A2.SS6.3.p3.11.m11.2.2.2.2.3.2">superscript</csymbol><ci id="A2.SS6.3.p3.11.m11.2.2.2.2.3.2.2.cmml" xref="A2.SS6.3.p3.11.m11.2.2.2.2.3.2.2">𝜆</ci><ci id="A2.SS6.3.p3.11.m11.2.2.2.2.3.2.3.cmml" xref="A2.SS6.3.p3.11.m11.2.2.2.2.3.2.3">′</ci></apply><ci id="A2.SS6.3.p3.11.m11.2.2.2.2.3.3.cmml" xref="A2.SS6.3.p3.11.m11.2.2.2.2.3.3">𝜌</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.SS6.3.p3.11.m11.2c">\lambda^{\prime}\in S_{l},\pi^{\prime}=\lambda^{\prime}\rho</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.SS6.3.p3.11.m11.2d">italic_λ start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ∈ italic_S start_POSTSUBSCRIPT italic_l end_POSTSUBSCRIPT , italic_π start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT = italic_λ start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT italic_ρ</annotation></semantics></math>. Therefore, <math alttext="\rho" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.SS6.3.p3.12.m12.1"><semantics id="A2.SS6.3.p3.12.m12.1a"><mi id="A2.SS6.3.p3.12.m12.1.1" xref="A2.SS6.3.p3.12.m12.1.1.cmml">ρ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.SS6.3.p3.12.m12.1b"><ci id="A2.SS6.3.p3.12.m12.1.1.cmml" xref="A2.SS6.3.p3.12.m12.1.1">𝜌</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.SS6.3.p3.12.m12.1c">\rho</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.SS6.3.p3.12.m12.1d">italic_ρ</annotation></semantics></math> is a minimal representative of <math alttext="\pi" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.SS6.3.p3.13.m13.1"><semantics id="A2.SS6.3.p3.13.m13.1a"><mi id="A2.SS6.3.p3.13.m13.1.1" xref="A2.SS6.3.p3.13.m13.1.1.cmml">π</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.SS6.3.p3.13.m13.1b"><ci id="A2.SS6.3.p3.13.m13.1.1.cmml" xref="A2.SS6.3.p3.13.m13.1.1">𝜋</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.SS6.3.p3.13.m13.1c">\pi</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.SS6.3.p3.13.m13.1d">italic_π</annotation></semantics></math>’s coset, and the Coset Decomposition Lemma follows. ∎</p> </div> </div> </section> <section class="ltx_subsection" id="A2.SS7"> <h3 class="ltx_title ltx_title_subsection"> <span class="ltx_tag ltx_tag_subsection">B.7 </span>Proof of Theorem <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#Thmtheorem26" title="Theorem 26. ‣ IV Properties of the eigenspaces ‣ Conditional 𝑡-independent spectral gap for random quantum circuits and implications for 𝑡-design depths"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">26</span></a> </h3> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_theorem" id="Thmtheoremx1"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmtheoremx1.1.1.1">Theorem</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmtheoremx1.2.2">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="Thmtheoremx1.p1"> <p class="ltx_p" id="Thmtheoremx1.p1.8"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmtheoremx1.p1.8.8">(Restatment of Theorem <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#Thmtheorem26" title="Theorem 26. ‣ IV Properties of the eigenspaces ‣ Conditional 𝑡-independent spectral gap for random quantum circuits and implications for 𝑡-design depths"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">26</span></a>) Let <math alttext="P" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheoremx1.p1.1.1.m1.1"><semantics id="Thmtheoremx1.p1.1.1.m1.1a"><mi id="Thmtheoremx1.p1.1.1.m1.1.1" xref="Thmtheoremx1.p1.1.1.m1.1.1.cmml">P</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheoremx1.p1.1.1.m1.1b"><ci id="Thmtheoremx1.p1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="Thmtheoremx1.p1.1.1.m1.1.1">𝑃</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheoremx1.p1.1.1.m1.1c">P</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheoremx1.p1.1.1.m1.1d">italic_P</annotation></semantics></math> be any projector (not necessarily orthogonal) onto <math alttext="\operatorname{span}(S_{t}^{2}\circ S_{k}^{\times N})" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheoremx1.p1.2.2.m2.2"><semantics id="Thmtheoremx1.p1.2.2.m2.2a"><mrow id="Thmtheoremx1.p1.2.2.m2.2.2.1" xref="Thmtheoremx1.p1.2.2.m2.2.2.2.cmml"><mi id="Thmtheoremx1.p1.2.2.m2.1.1" xref="Thmtheoremx1.p1.2.2.m2.1.1.cmml">span</mi><mo id="Thmtheoremx1.p1.2.2.m2.2.2.1a" xref="Thmtheoremx1.p1.2.2.m2.2.2.2.cmml">⁡</mo><mrow id="Thmtheoremx1.p1.2.2.m2.2.2.1.1" xref="Thmtheoremx1.p1.2.2.m2.2.2.2.cmml"><mo id="Thmtheoremx1.p1.2.2.m2.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="Thmtheoremx1.p1.2.2.m2.2.2.2.cmml">(</mo><mrow id="Thmtheoremx1.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1" xref="Thmtheoremx1.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.cmml"><msubsup id="Thmtheoremx1.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.2" xref="Thmtheoremx1.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.2.cmml"><mi id="Thmtheoremx1.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.2.2.2" xref="Thmtheoremx1.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.2.2.2.cmml">S</mi><mi id="Thmtheoremx1.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.2.2.3" xref="Thmtheoremx1.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.2.2.3.cmml">t</mi><mn id="Thmtheoremx1.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.2.3" xref="Thmtheoremx1.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.2.3.cmml">2</mn></msubsup><mo id="Thmtheoremx1.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="Thmtheoremx1.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.1.cmml">∘</mo><msubsup id="Thmtheoremx1.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.3" xref="Thmtheoremx1.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.3.cmml"><mi id="Thmtheoremx1.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.3.2.2" xref="Thmtheoremx1.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.3.2.2.cmml">S</mi><mi id="Thmtheoremx1.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.3.2.3" xref="Thmtheoremx1.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.3.2.3.cmml">k</mi><mrow id="Thmtheoremx1.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.3.3" xref="Thmtheoremx1.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="Thmtheoremx1.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.3.3.2" xref="Thmtheoremx1.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.3.3.2.cmml"></mi><mo id="Thmtheoremx1.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.3.3.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="Thmtheoremx1.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.3.3.1.cmml">×</mo><mi id="Thmtheoremx1.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.3.3.3" xref="Thmtheoremx1.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.3.3.3.cmml">N</mi></mrow></msubsup></mrow><mo id="Thmtheoremx1.p1.2.2.m2.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="Thmtheoremx1.p1.2.2.m2.2.2.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheoremx1.p1.2.2.m2.2b"><apply id="Thmtheoremx1.p1.2.2.m2.2.2.2.cmml" xref="Thmtheoremx1.p1.2.2.m2.2.2.1"><ci id="Thmtheoremx1.p1.2.2.m2.1.1.cmml" xref="Thmtheoremx1.p1.2.2.m2.1.1">span</ci><apply id="Thmtheoremx1.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.cmml" xref="Thmtheoremx1.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1"><compose id="Thmtheoremx1.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="Thmtheoremx1.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.1"></compose><apply id="Thmtheoremx1.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="Thmtheoremx1.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheoremx1.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="Thmtheoremx1.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="Thmtheoremx1.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.2.2.cmml" xref="Thmtheoremx1.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheoremx1.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="Thmtheoremx1.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="Thmtheoremx1.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="Thmtheoremx1.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.2.2.2">𝑆</ci><ci id="Thmtheoremx1.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="Thmtheoremx1.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.2.2.3">𝑡</ci></apply><cn id="Thmtheoremx1.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="Thmtheoremx1.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.2.3">2</cn></apply><apply id="Thmtheoremx1.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="Thmtheoremx1.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheoremx1.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="Thmtheoremx1.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="Thmtheoremx1.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.3.2.cmml" xref="Thmtheoremx1.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheoremx1.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="Thmtheoremx1.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="Thmtheoremx1.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="Thmtheoremx1.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.3.2.2">𝑆</ci><ci id="Thmtheoremx1.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="Thmtheoremx1.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.3.2.3">𝑘</ci></apply><apply id="Thmtheoremx1.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.3.3.cmml" xref="Thmtheoremx1.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.3.3"><times id="Thmtheoremx1.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="Thmtheoremx1.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.3.3.1"></times><csymbol cd="latexml" id="Thmtheoremx1.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="Thmtheoremx1.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.3.3.2">absent</csymbol><ci id="Thmtheoremx1.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="Thmtheoremx1.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.3.3.3">𝑁</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheoremx1.p1.2.2.m2.2c">\operatorname{span}(S_{t}^{2}\circ S_{k}^{\times N})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheoremx1.p1.2.2.m2.2d">roman_span ( italic_S start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ∘ italic_S start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT × italic_N end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math>. Then <math alttext="T^{(t)}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheoremx1.p1.3.3.m3.1"><semantics id="Thmtheoremx1.p1.3.3.m3.1a"><msup id="Thmtheoremx1.p1.3.3.m3.1.2" xref="Thmtheoremx1.p1.3.3.m3.1.2.cmml"><mi id="Thmtheoremx1.p1.3.3.m3.1.2.2" xref="Thmtheoremx1.p1.3.3.m3.1.2.2.cmml">T</mi><mrow id="Thmtheoremx1.p1.3.3.m3.1.1.1.3" xref="Thmtheoremx1.p1.3.3.m3.1.2.cmml"><mo id="Thmtheoremx1.p1.3.3.m3.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="Thmtheoremx1.p1.3.3.m3.1.2.cmml">(</mo><mi id="Thmtheoremx1.p1.3.3.m3.1.1.1.1" xref="Thmtheoremx1.p1.3.3.m3.1.1.1.1.cmml">t</mi><mo id="Thmtheoremx1.p1.3.3.m3.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="Thmtheoremx1.p1.3.3.m3.1.2.cmml">)</mo></mrow></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheoremx1.p1.3.3.m3.1b"><apply id="Thmtheoremx1.p1.3.3.m3.1.2.cmml" xref="Thmtheoremx1.p1.3.3.m3.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheoremx1.p1.3.3.m3.1.2.1.cmml" xref="Thmtheoremx1.p1.3.3.m3.1.2">superscript</csymbol><ci id="Thmtheoremx1.p1.3.3.m3.1.2.2.cmml" xref="Thmtheoremx1.p1.3.3.m3.1.2.2">𝑇</ci><ci id="Thmtheoremx1.p1.3.3.m3.1.1.1.1.cmml" xref="Thmtheoremx1.p1.3.3.m3.1.1.1.1">𝑡</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheoremx1.p1.3.3.m3.1c">T^{(t)}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheoremx1.p1.3.3.m3.1d">italic_T start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_t ) end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> has a block-triangular structure in <math alttext="P" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheoremx1.p1.4.4.m4.1"><semantics id="Thmtheoremx1.p1.4.4.m4.1a"><mi id="Thmtheoremx1.p1.4.4.m4.1.1" xref="Thmtheoremx1.p1.4.4.m4.1.1.cmml">P</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheoremx1.p1.4.4.m4.1b"><ci id="Thmtheoremx1.p1.4.4.m4.1.1.cmml" xref="Thmtheoremx1.p1.4.4.m4.1.1">𝑃</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheoremx1.p1.4.4.m4.1c">P</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheoremx1.p1.4.4.m4.1d">italic_P</annotation></semantics></math> and <math alttext="(I-P)" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheoremx1.p1.5.5.m5.1"><semantics id="Thmtheoremx1.p1.5.5.m5.1a"><mrow id="Thmtheoremx1.p1.5.5.m5.1.1.1" xref="Thmtheoremx1.p1.5.5.m5.1.1.1.1.cmml"><mo id="Thmtheoremx1.p1.5.5.m5.1.1.1.2" stretchy="false" xref="Thmtheoremx1.p1.5.5.m5.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="Thmtheoremx1.p1.5.5.m5.1.1.1.1" xref="Thmtheoremx1.p1.5.5.m5.1.1.1.1.cmml"><mi id="Thmtheoremx1.p1.5.5.m5.1.1.1.1.2" xref="Thmtheoremx1.p1.5.5.m5.1.1.1.1.2.cmml">I</mi><mo id="Thmtheoremx1.p1.5.5.m5.1.1.1.1.1" xref="Thmtheoremx1.p1.5.5.m5.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mi id="Thmtheoremx1.p1.5.5.m5.1.1.1.1.3" xref="Thmtheoremx1.p1.5.5.m5.1.1.1.1.3.cmml">P</mi></mrow><mo id="Thmtheoremx1.p1.5.5.m5.1.1.1.3" stretchy="false" xref="Thmtheoremx1.p1.5.5.m5.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheoremx1.p1.5.5.m5.1b"><apply id="Thmtheoremx1.p1.5.5.m5.1.1.1.1.cmml" xref="Thmtheoremx1.p1.5.5.m5.1.1.1"><minus id="Thmtheoremx1.p1.5.5.m5.1.1.1.1.1.cmml" xref="Thmtheoremx1.p1.5.5.m5.1.1.1.1.1"></minus><ci id="Thmtheoremx1.p1.5.5.m5.1.1.1.1.2.cmml" xref="Thmtheoremx1.p1.5.5.m5.1.1.1.1.2">𝐼</ci><ci id="Thmtheoremx1.p1.5.5.m5.1.1.1.1.3.cmml" xref="Thmtheoremx1.p1.5.5.m5.1.1.1.1.3">𝑃</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheoremx1.p1.5.5.m5.1c">(I-P)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheoremx1.p1.5.5.m5.1d">( italic_I - italic_P )</annotation></semantics></math> and the former block contains the same eigenvalues as <math alttext="T^{(k)}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheoremx1.p1.6.6.m6.1"><semantics id="Thmtheoremx1.p1.6.6.m6.1a"><msup id="Thmtheoremx1.p1.6.6.m6.1.2" xref="Thmtheoremx1.p1.6.6.m6.1.2.cmml"><mi id="Thmtheoremx1.p1.6.6.m6.1.2.2" xref="Thmtheoremx1.p1.6.6.m6.1.2.2.cmml">T</mi><mrow id="Thmtheoremx1.p1.6.6.m6.1.1.1.3" xref="Thmtheoremx1.p1.6.6.m6.1.2.cmml"><mo id="Thmtheoremx1.p1.6.6.m6.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="Thmtheoremx1.p1.6.6.m6.1.2.cmml">(</mo><mi id="Thmtheoremx1.p1.6.6.m6.1.1.1.1" xref="Thmtheoremx1.p1.6.6.m6.1.1.1.1.cmml">k</mi><mo id="Thmtheoremx1.p1.6.6.m6.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="Thmtheoremx1.p1.6.6.m6.1.2.cmml">)</mo></mrow></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheoremx1.p1.6.6.m6.1b"><apply id="Thmtheoremx1.p1.6.6.m6.1.2.cmml" xref="Thmtheoremx1.p1.6.6.m6.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheoremx1.p1.6.6.m6.1.2.1.cmml" xref="Thmtheoremx1.p1.6.6.m6.1.2">superscript</csymbol><ci id="Thmtheoremx1.p1.6.6.m6.1.2.2.cmml" xref="Thmtheoremx1.p1.6.6.m6.1.2.2">𝑇</ci><ci id="Thmtheoremx1.p1.6.6.m6.1.1.1.1.cmml" xref="Thmtheoremx1.p1.6.6.m6.1.1.1.1">𝑘</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheoremx1.p1.6.6.m6.1c">T^{(k)}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheoremx1.p1.6.6.m6.1d">italic_T start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_k ) end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>. More precisely, let <math alttext="\text{eig}^{*}(M)" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheoremx1.p1.7.7.m7.1"><semantics id="Thmtheoremx1.p1.7.7.m7.1a"><mrow id="Thmtheoremx1.p1.7.7.m7.1.2" xref="Thmtheoremx1.p1.7.7.m7.1.2.cmml"><msup id="Thmtheoremx1.p1.7.7.m7.1.2.2" xref="Thmtheoremx1.p1.7.7.m7.1.2.2.cmml"><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="Thmtheoremx1.p1.7.7.m7.1.2.2.2" xref="Thmtheoremx1.p1.7.7.m7.1.2.2.2a.cmml">eig</mtext><mo id="Thmtheoremx1.p1.7.7.m7.1.2.2.3" xref="Thmtheoremx1.p1.7.7.m7.1.2.2.3.cmml">∗</mo></msup><mo id="Thmtheoremx1.p1.7.7.m7.1.2.1" xref="Thmtheoremx1.p1.7.7.m7.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="Thmtheoremx1.p1.7.7.m7.1.2.3.2" xref="Thmtheoremx1.p1.7.7.m7.1.2.cmml"><mo id="Thmtheoremx1.p1.7.7.m7.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="Thmtheoremx1.p1.7.7.m7.1.2.cmml">(</mo><mi id="Thmtheoremx1.p1.7.7.m7.1.1" xref="Thmtheoremx1.p1.7.7.m7.1.1.cmml">M</mi><mo id="Thmtheoremx1.p1.7.7.m7.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="Thmtheoremx1.p1.7.7.m7.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheoremx1.p1.7.7.m7.1b"><apply id="Thmtheoremx1.p1.7.7.m7.1.2.cmml" xref="Thmtheoremx1.p1.7.7.m7.1.2"><times id="Thmtheoremx1.p1.7.7.m7.1.2.1.cmml" xref="Thmtheoremx1.p1.7.7.m7.1.2.1"></times><apply id="Thmtheoremx1.p1.7.7.m7.1.2.2.cmml" xref="Thmtheoremx1.p1.7.7.m7.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheoremx1.p1.7.7.m7.1.2.2.1.cmml" xref="Thmtheoremx1.p1.7.7.m7.1.2.2">superscript</csymbol><ci id="Thmtheoremx1.p1.7.7.m7.1.2.2.2a.cmml" xref="Thmtheoremx1.p1.7.7.m7.1.2.2.2"><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="Thmtheoremx1.p1.7.7.m7.1.2.2.2.cmml" xref="Thmtheoremx1.p1.7.7.m7.1.2.2.2">eig</mtext></ci><times id="Thmtheoremx1.p1.7.7.m7.1.2.2.3.cmml" xref="Thmtheoremx1.p1.7.7.m7.1.2.2.3"></times></apply><ci id="Thmtheoremx1.p1.7.7.m7.1.1.cmml" xref="Thmtheoremx1.p1.7.7.m7.1.1">𝑀</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheoremx1.p1.7.7.m7.1c">\text{eig}^{*}(M)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheoremx1.p1.7.7.m7.1d">eig start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_M )</annotation></semantics></math> denote the set of nonzero eigenvalues of <math alttext="M" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheoremx1.p1.8.8.m8.1"><semantics id="Thmtheoremx1.p1.8.8.m8.1a"><mi id="Thmtheoremx1.p1.8.8.m8.1.1" xref="Thmtheoremx1.p1.8.8.m8.1.1.cmml">M</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheoremx1.p1.8.8.m8.1b"><ci id="Thmtheoremx1.p1.8.8.m8.1.1.cmml" xref="Thmtheoremx1.p1.8.8.m8.1.1">𝑀</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheoremx1.p1.8.8.m8.1c">M</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheoremx1.p1.8.8.m8.1d">italic_M</annotation></semantics></math>. Then</span></p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_gather ltx_eqn_table" id="S6.EGx145"> <tbody id="A2.E173"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\displaystyle\text{eig}^{*}\left(T^{(k)}\right)=\text{eig}^{*}\left(PT^{(t)}P\right)" class="ltx_Math" display="block" id="A2.E173.m1.4"><semantics id="A2.E173.m1.4a"><mrow id="A2.E173.m1.4.4" xref="A2.E173.m1.4.4.cmml"><mrow id="A2.E173.m1.3.3.1" xref="A2.E173.m1.3.3.1.cmml"><msup id="A2.E173.m1.3.3.1.3" xref="A2.E173.m1.3.3.1.3.cmml"><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="A2.E173.m1.3.3.1.3.2" xref="A2.E173.m1.3.3.1.3.2a.cmml">eig</mtext><mo id="A2.E173.m1.3.3.1.3.3" xref="A2.E173.m1.3.3.1.3.3.cmml">∗</mo></msup><mo id="A2.E173.m1.3.3.1.2" xref="A2.E173.m1.3.3.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A2.E173.m1.3.3.1.1.1" xref="A2.E173.m1.3.3.1.1.1.1.cmml"><mo id="A2.E173.m1.3.3.1.1.1.2" xref="A2.E173.m1.3.3.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="A2.E173.m1.3.3.1.1.1.1" xref="A2.E173.m1.3.3.1.1.1.1.cmml"><mi id="A2.E173.m1.3.3.1.1.1.1.2" xref="A2.E173.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml">T</mi><mrow id="A2.E173.m1.1.1.1.3" xref="A2.E173.m1.3.3.1.1.1.1.cmml"><mo id="A2.E173.m1.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="A2.E173.m1.3.3.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="A2.E173.m1.1.1.1.1" xref="A2.E173.m1.1.1.1.1.cmml">k</mi><mo id="A2.E173.m1.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="A2.E173.m1.3.3.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></msup><mo id="A2.E173.m1.3.3.1.1.1.3" xref="A2.E173.m1.3.3.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A2.E173.m1.4.4.3" xref="A2.E173.m1.4.4.3.cmml">=</mo><mrow id="A2.E173.m1.4.4.2" xref="A2.E173.m1.4.4.2.cmml"><msup id="A2.E173.m1.4.4.2.3" xref="A2.E173.m1.4.4.2.3.cmml"><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="A2.E173.m1.4.4.2.3.2" xref="A2.E173.m1.4.4.2.3.2a.cmml">eig</mtext><mo id="A2.E173.m1.4.4.2.3.3" xref="A2.E173.m1.4.4.2.3.3.cmml">∗</mo></msup><mo id="A2.E173.m1.4.4.2.2" xref="A2.E173.m1.4.4.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A2.E173.m1.4.4.2.1.1" xref="A2.E173.m1.4.4.2.1.1.1.cmml"><mo id="A2.E173.m1.4.4.2.1.1.2" xref="A2.E173.m1.4.4.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A2.E173.m1.4.4.2.1.1.1" xref="A2.E173.m1.4.4.2.1.1.1.cmml"><mi id="A2.E173.m1.4.4.2.1.1.1.2" xref="A2.E173.m1.4.4.2.1.1.1.2.cmml">P</mi><mo id="A2.E173.m1.4.4.2.1.1.1.1" xref="A2.E173.m1.4.4.2.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msup id="A2.E173.m1.4.4.2.1.1.1.3" xref="A2.E173.m1.4.4.2.1.1.1.3.cmml"><mi id="A2.E173.m1.4.4.2.1.1.1.3.2" xref="A2.E173.m1.4.4.2.1.1.1.3.2.cmml">T</mi><mrow id="A2.E173.m1.2.2.1.3" xref="A2.E173.m1.4.4.2.1.1.1.3.cmml"><mo id="A2.E173.m1.2.2.1.3.1" stretchy="false" xref="A2.E173.m1.4.4.2.1.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="A2.E173.m1.2.2.1.1" xref="A2.E173.m1.2.2.1.1.cmml">t</mi><mo id="A2.E173.m1.2.2.1.3.2" stretchy="false" xref="A2.E173.m1.4.4.2.1.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></msup><mo id="A2.E173.m1.4.4.2.1.1.1.1a" xref="A2.E173.m1.4.4.2.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="A2.E173.m1.4.4.2.1.1.1.4" 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id="A2.E173.m1.4.4.2.1.1.1.3.cmml" xref="A2.E173.m1.4.4.2.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E173.m1.4.4.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="A2.E173.m1.4.4.2.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="A2.E173.m1.4.4.2.1.1.1.3.2.cmml" xref="A2.E173.m1.4.4.2.1.1.1.3.2">𝑇</ci><ci id="A2.E173.m1.2.2.1.1.cmml" xref="A2.E173.m1.2.2.1.1">𝑡</ci></apply><ci id="A2.E173.m1.4.4.2.1.1.1.4.cmml" xref="A2.E173.m1.4.4.2.1.1.1.4">𝑃</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.E173.m1.4c">\displaystyle\text{eig}^{*}\left(T^{(k)}\right)=\text{eig}^{*}\left(PT^{(t)}P\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.E173.m1.4d">eig start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_T start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_k ) end_POSTSUPERSCRIPT ) = eig start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_P italic_T start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_t ) end_POSTSUPERSCRIPT italic_P )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(173)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="Thmtheoremx1.p1.9"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmtheoremx1.p1.9.1">and</span></p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_gather ltx_eqn_table" id="S6.EGx146"> <tbody id="A2.E174"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\displaystyle\text{eig}^{*}\left(T^{(t)}\right)=\text{eig}^{*}\left((I-P)T^{(t% )}(I-P)\right)\cup\text{eig}^{*}\left(T^{(k)}\right)" class="ltx_Math" display="block" id="A2.E174.m1.6"><semantics id="A2.E174.m1.6a"><mrow id="A2.E174.m1.6.6" xref="A2.E174.m1.6.6.cmml"><mrow id="A2.E174.m1.4.4.1" xref="A2.E174.m1.4.4.1.cmml"><msup id="A2.E174.m1.4.4.1.3" xref="A2.E174.m1.4.4.1.3.cmml"><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="A2.E174.m1.4.4.1.3.2" xref="A2.E174.m1.4.4.1.3.2a.cmml">eig</mtext><mo id="A2.E174.m1.4.4.1.3.3" xref="A2.E174.m1.4.4.1.3.3.cmml">∗</mo></msup><mo id="A2.E174.m1.4.4.1.2" xref="A2.E174.m1.4.4.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A2.E174.m1.4.4.1.1.1" xref="A2.E174.m1.4.4.1.1.1.1.cmml"><mo id="A2.E174.m1.4.4.1.1.1.2" xref="A2.E174.m1.4.4.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="A2.E174.m1.4.4.1.1.1.1" xref="A2.E174.m1.4.4.1.1.1.1.cmml"><mi id="A2.E174.m1.4.4.1.1.1.1.2" xref="A2.E174.m1.4.4.1.1.1.1.2.cmml">T</mi><mrow id="A2.E174.m1.1.1.1.3" xref="A2.E174.m1.4.4.1.1.1.1.cmml"><mo id="A2.E174.m1.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="A2.E174.m1.4.4.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="A2.E174.m1.1.1.1.1" xref="A2.E174.m1.1.1.1.1.cmml">t</mi><mo id="A2.E174.m1.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="A2.E174.m1.4.4.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></msup><mo id="A2.E174.m1.4.4.1.1.1.3" xref="A2.E174.m1.4.4.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A2.E174.m1.6.6.4" 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id="A2.E174.m1.5.5.2.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A2.E174.m1.5.5.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">I</mi><mo id="A2.E174.m1.5.5.2.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A2.E174.m1.5.5.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mi id="A2.E174.m1.5.5.2.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A2.E174.m1.5.5.2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">P</mi></mrow><mo id="A2.E174.m1.5.5.2.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A2.E174.m1.5.5.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A2.E174.m1.5.5.2.1.1.1.1.3" xref="A2.E174.m1.5.5.2.1.1.1.1.3.cmml">⁢</mo><msup id="A2.E174.m1.5.5.2.1.1.1.1.4" xref="A2.E174.m1.5.5.2.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="A2.E174.m1.5.5.2.1.1.1.1.4.2" xref="A2.E174.m1.5.5.2.1.1.1.1.4.2.cmml">T</mi><mrow id="A2.E174.m1.2.2.1.3" xref="A2.E174.m1.5.5.2.1.1.1.1.4.cmml"><mo id="A2.E174.m1.2.2.1.3.1" stretchy="false" xref="A2.E174.m1.5.5.2.1.1.1.1.4.cmml">(</mo><mi id="A2.E174.m1.2.2.1.1" xref="A2.E174.m1.2.2.1.1.cmml">t</mi><mo id="A2.E174.m1.2.2.1.3.2" stretchy="false" xref="A2.E174.m1.5.5.2.1.1.1.1.4.cmml">)</mo></mrow></msup><mo id="A2.E174.m1.5.5.2.1.1.1.1.3a" xref="A2.E174.m1.5.5.2.1.1.1.1.3.cmml">⁢</mo><mrow id="A2.E174.m1.5.5.2.1.1.1.1.2.1" xref="A2.E174.m1.5.5.2.1.1.1.1.2.1.1.cmml"><mo id="A2.E174.m1.5.5.2.1.1.1.1.2.1.2" stretchy="false" xref="A2.E174.m1.5.5.2.1.1.1.1.2.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A2.E174.m1.5.5.2.1.1.1.1.2.1.1" xref="A2.E174.m1.5.5.2.1.1.1.1.2.1.1.cmml"><mi id="A2.E174.m1.5.5.2.1.1.1.1.2.1.1.2" xref="A2.E174.m1.5.5.2.1.1.1.1.2.1.1.2.cmml">I</mi><mo id="A2.E174.m1.5.5.2.1.1.1.1.2.1.1.1" xref="A2.E174.m1.5.5.2.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml">−</mo><mi id="A2.E174.m1.5.5.2.1.1.1.1.2.1.1.3" xref="A2.E174.m1.5.5.2.1.1.1.1.2.1.1.3.cmml">P</mi></mrow><mo id="A2.E174.m1.5.5.2.1.1.1.1.2.1.3" stretchy="false" xref="A2.E174.m1.5.5.2.1.1.1.1.2.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A2.E174.m1.5.5.2.1.1.1.3" xref="A2.E174.m1.5.5.2.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A2.E174.m1.6.6.3.3" xref="A2.E174.m1.6.6.3.3.cmml">∪</mo><mrow id="A2.E174.m1.6.6.3.2" xref="A2.E174.m1.6.6.3.2.cmml"><msup id="A2.E174.m1.6.6.3.2.3" xref="A2.E174.m1.6.6.3.2.3.cmml"><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="A2.E174.m1.6.6.3.2.3.2" xref="A2.E174.m1.6.6.3.2.3.2a.cmml">eig</mtext><mo id="A2.E174.m1.6.6.3.2.3.3" xref="A2.E174.m1.6.6.3.2.3.3.cmml">∗</mo></msup><mo id="A2.E174.m1.6.6.3.2.2" xref="A2.E174.m1.6.6.3.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A2.E174.m1.6.6.3.2.1.1" xref="A2.E174.m1.6.6.3.2.1.1.1.cmml"><mo id="A2.E174.m1.6.6.3.2.1.1.2" xref="A2.E174.m1.6.6.3.2.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="A2.E174.m1.6.6.3.2.1.1.1" xref="A2.E174.m1.6.6.3.2.1.1.1.cmml"><mi id="A2.E174.m1.6.6.3.2.1.1.1.2" xref="A2.E174.m1.6.6.3.2.1.1.1.2.cmml">T</mi><mrow id="A2.E174.m1.3.3.1.3" xref="A2.E174.m1.6.6.3.2.1.1.1.cmml"><mo id="A2.E174.m1.3.3.1.3.1" stretchy="false" xref="A2.E174.m1.6.6.3.2.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="A2.E174.m1.3.3.1.1" xref="A2.E174.m1.3.3.1.1.cmml">k</mi><mo id="A2.E174.m1.3.3.1.3.2" stretchy="false" xref="A2.E174.m1.6.6.3.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></msup><mo id="A2.E174.m1.6.6.3.2.1.1.3" xref="A2.E174.m1.6.6.3.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.E174.m1.6b"><apply id="A2.E174.m1.6.6.cmml" xref="A2.E174.m1.6.6"><eq id="A2.E174.m1.6.6.4.cmml" xref="A2.E174.m1.6.6.4"></eq><apply id="A2.E174.m1.4.4.1.cmml" xref="A2.E174.m1.4.4.1"><times id="A2.E174.m1.4.4.1.2.cmml" xref="A2.E174.m1.4.4.1.2"></times><apply id="A2.E174.m1.4.4.1.3.cmml" xref="A2.E174.m1.4.4.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E174.m1.4.4.1.3.1.cmml" xref="A2.E174.m1.4.4.1.3">superscript</csymbol><ci id="A2.E174.m1.4.4.1.3.2a.cmml" xref="A2.E174.m1.4.4.1.3.2"><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="A2.E174.m1.4.4.1.3.2.cmml" xref="A2.E174.m1.4.4.1.3.2">eig</mtext></ci><times id="A2.E174.m1.4.4.1.3.3.cmml" xref="A2.E174.m1.4.4.1.3.3"></times></apply><apply id="A2.E174.m1.4.4.1.1.1.1.cmml" xref="A2.E174.m1.4.4.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E174.m1.4.4.1.1.1.1.1.cmml" xref="A2.E174.m1.4.4.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="A2.E174.m1.4.4.1.1.1.1.2.cmml" xref="A2.E174.m1.4.4.1.1.1.1.2">𝑇</ci><ci id="A2.E174.m1.1.1.1.1.cmml" xref="A2.E174.m1.1.1.1.1">𝑡</ci></apply></apply><apply id="A2.E174.m1.6.6.3.cmml" xref="A2.E174.m1.6.6.3"><union id="A2.E174.m1.6.6.3.3.cmml" xref="A2.E174.m1.6.6.3.3"></union><apply id="A2.E174.m1.5.5.2.1.cmml" xref="A2.E174.m1.5.5.2.1"><times id="A2.E174.m1.5.5.2.1.2.cmml" xref="A2.E174.m1.5.5.2.1.2"></times><apply id="A2.E174.m1.5.5.2.1.3.cmml" xref="A2.E174.m1.5.5.2.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E174.m1.5.5.2.1.3.1.cmml" xref="A2.E174.m1.5.5.2.1.3">superscript</csymbol><ci id="A2.E174.m1.5.5.2.1.3.2a.cmml" xref="A2.E174.m1.5.5.2.1.3.2"><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="A2.E174.m1.5.5.2.1.3.2.cmml" xref="A2.E174.m1.5.5.2.1.3.2">eig</mtext></ci><times id="A2.E174.m1.5.5.2.1.3.3.cmml" xref="A2.E174.m1.5.5.2.1.3.3"></times></apply><apply id="A2.E174.m1.5.5.2.1.1.1.1.cmml" xref="A2.E174.m1.5.5.2.1.1.1"><times id="A2.E174.m1.5.5.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="A2.E174.m1.5.5.2.1.1.1.1.3"></times><apply id="A2.E174.m1.5.5.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A2.E174.m1.5.5.2.1.1.1.1.1.1"><minus id="A2.E174.m1.5.5.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A2.E174.m1.5.5.2.1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><ci id="A2.E174.m1.5.5.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A2.E174.m1.5.5.2.1.1.1.1.1.1.1.2">𝐼</ci><ci id="A2.E174.m1.5.5.2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A2.E174.m1.5.5.2.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑃</ci></apply><apply id="A2.E174.m1.5.5.2.1.1.1.1.4.cmml" xref="A2.E174.m1.5.5.2.1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E174.m1.5.5.2.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="A2.E174.m1.5.5.2.1.1.1.1.4">superscript</csymbol><ci id="A2.E174.m1.5.5.2.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="A2.E174.m1.5.5.2.1.1.1.1.4.2">𝑇</ci><ci id="A2.E174.m1.2.2.1.1.cmml" xref="A2.E174.m1.2.2.1.1">𝑡</ci></apply><apply id="A2.E174.m1.5.5.2.1.1.1.1.2.1.1.cmml" xref="A2.E174.m1.5.5.2.1.1.1.1.2.1"><minus id="A2.E174.m1.5.5.2.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml" xref="A2.E174.m1.5.5.2.1.1.1.1.2.1.1.1"></minus><ci id="A2.E174.m1.5.5.2.1.1.1.1.2.1.1.2.cmml" xref="A2.E174.m1.5.5.2.1.1.1.1.2.1.1.2">𝐼</ci><ci id="A2.E174.m1.5.5.2.1.1.1.1.2.1.1.3.cmml" xref="A2.E174.m1.5.5.2.1.1.1.1.2.1.1.3">𝑃</ci></apply></apply></apply><apply id="A2.E174.m1.6.6.3.2.cmml" xref="A2.E174.m1.6.6.3.2"><times id="A2.E174.m1.6.6.3.2.2.cmml" xref="A2.E174.m1.6.6.3.2.2"></times><apply id="A2.E174.m1.6.6.3.2.3.cmml" xref="A2.E174.m1.6.6.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E174.m1.6.6.3.2.3.1.cmml" xref="A2.E174.m1.6.6.3.2.3">superscript</csymbol><ci id="A2.E174.m1.6.6.3.2.3.2a.cmml" xref="A2.E174.m1.6.6.3.2.3.2"><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="A2.E174.m1.6.6.3.2.3.2.cmml" xref="A2.E174.m1.6.6.3.2.3.2">eig</mtext></ci><times id="A2.E174.m1.6.6.3.2.3.3.cmml" xref="A2.E174.m1.6.6.3.2.3.3"></times></apply><apply id="A2.E174.m1.6.6.3.2.1.1.1.cmml" xref="A2.E174.m1.6.6.3.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E174.m1.6.6.3.2.1.1.1.1.cmml" xref="A2.E174.m1.6.6.3.2.1.1">superscript</csymbol><ci id="A2.E174.m1.6.6.3.2.1.1.1.2.cmml" xref="A2.E174.m1.6.6.3.2.1.1.1.2">𝑇</ci><ci id="A2.E174.m1.3.3.1.1.cmml" xref="A2.E174.m1.3.3.1.1">𝑘</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.E174.m1.6c">\displaystyle\text{eig}^{*}\left(T^{(t)}\right)=\text{eig}^{*}\left((I-P)T^{(t% )}(I-P)\right)\cup\text{eig}^{*}\left(T^{(k)}\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.E174.m1.6d">eig start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_T start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_t ) end_POSTSUPERSCRIPT ) = eig start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT ( ( italic_I - italic_P ) italic_T start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_t ) end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_I - italic_P ) ) ∪ eig start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_T start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_k ) end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(174)</span></td> </tr></tbody> </table> </div> </div> <div class="ltx_proof" id="A2.SS7.4"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_font_italic ltx_title_proof">Proof.</h6> <div class="ltx_para" id="A2.SS7.1.p1"> <p class="ltx_p" id="A2.SS7.1.p1.3">We will first show that <math alttext="PT^{(t)}P" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.SS7.1.p1.1.m1.1"><semantics id="A2.SS7.1.p1.1.m1.1a"><mrow id="A2.SS7.1.p1.1.m1.1.2" xref="A2.SS7.1.p1.1.m1.1.2.cmml"><mi id="A2.SS7.1.p1.1.m1.1.2.2" xref="A2.SS7.1.p1.1.m1.1.2.2.cmml">P</mi><mo id="A2.SS7.1.p1.1.m1.1.2.1" xref="A2.SS7.1.p1.1.m1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="A2.SS7.1.p1.1.m1.1.2.3" xref="A2.SS7.1.p1.1.m1.1.2.3.cmml"><mi id="A2.SS7.1.p1.1.m1.1.2.3.2" xref="A2.SS7.1.p1.1.m1.1.2.3.2.cmml">T</mi><mrow id="A2.SS7.1.p1.1.m1.1.1.1.3" xref="A2.SS7.1.p1.1.m1.1.2.3.cmml"><mo id="A2.SS7.1.p1.1.m1.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="A2.SS7.1.p1.1.m1.1.2.3.cmml">(</mo><mi id="A2.SS7.1.p1.1.m1.1.1.1.1" xref="A2.SS7.1.p1.1.m1.1.1.1.1.cmml">t</mi><mo id="A2.SS7.1.p1.1.m1.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="A2.SS7.1.p1.1.m1.1.2.3.cmml">)</mo></mrow></msup><mo id="A2.SS7.1.p1.1.m1.1.2.1a" xref="A2.SS7.1.p1.1.m1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="A2.SS7.1.p1.1.m1.1.2.4" xref="A2.SS7.1.p1.1.m1.1.2.4.cmml">P</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.SS7.1.p1.1.m1.1b"><apply id="A2.SS7.1.p1.1.m1.1.2.cmml" xref="A2.SS7.1.p1.1.m1.1.2"><times id="A2.SS7.1.p1.1.m1.1.2.1.cmml" xref="A2.SS7.1.p1.1.m1.1.2.1"></times><ci id="A2.SS7.1.p1.1.m1.1.2.2.cmml" xref="A2.SS7.1.p1.1.m1.1.2.2">𝑃</ci><apply id="A2.SS7.1.p1.1.m1.1.2.3.cmml" xref="A2.SS7.1.p1.1.m1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.SS7.1.p1.1.m1.1.2.3.1.cmml" xref="A2.SS7.1.p1.1.m1.1.2.3">superscript</csymbol><ci id="A2.SS7.1.p1.1.m1.1.2.3.2.cmml" xref="A2.SS7.1.p1.1.m1.1.2.3.2">𝑇</ci><ci id="A2.SS7.1.p1.1.m1.1.1.1.1.cmml" xref="A2.SS7.1.p1.1.m1.1.1.1.1">𝑡</ci></apply><ci id="A2.SS7.1.p1.1.m1.1.2.4.cmml" xref="A2.SS7.1.p1.1.m1.1.2.4">𝑃</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.SS7.1.p1.1.m1.1c">PT^{(t)}P</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.SS7.1.p1.1.m1.1d">italic_P italic_T start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_t ) end_POSTSUPERSCRIPT italic_P</annotation></semantics></math> is essentially several copies of <math alttext="T^{(k)}" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.SS7.1.p1.2.m2.1"><semantics id="A2.SS7.1.p1.2.m2.1a"><msup id="A2.SS7.1.p1.2.m2.1.2" xref="A2.SS7.1.p1.2.m2.1.2.cmml"><mi id="A2.SS7.1.p1.2.m2.1.2.2" xref="A2.SS7.1.p1.2.m2.1.2.2.cmml">T</mi><mrow id="A2.SS7.1.p1.2.m2.1.1.1.3" xref="A2.SS7.1.p1.2.m2.1.2.cmml"><mo id="A2.SS7.1.p1.2.m2.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="A2.SS7.1.p1.2.m2.1.2.cmml">(</mo><mi id="A2.SS7.1.p1.2.m2.1.1.1.1" xref="A2.SS7.1.p1.2.m2.1.1.1.1.cmml">k</mi><mo id="A2.SS7.1.p1.2.m2.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="A2.SS7.1.p1.2.m2.1.2.cmml">)</mo></mrow></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.SS7.1.p1.2.m2.1b"><apply id="A2.SS7.1.p1.2.m2.1.2.cmml" xref="A2.SS7.1.p1.2.m2.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.SS7.1.p1.2.m2.1.2.1.cmml" xref="A2.SS7.1.p1.2.m2.1.2">superscript</csymbol><ci id="A2.SS7.1.p1.2.m2.1.2.2.cmml" xref="A2.SS7.1.p1.2.m2.1.2.2">𝑇</ci><ci id="A2.SS7.1.p1.2.m2.1.1.1.1.cmml" xref="A2.SS7.1.p1.2.m2.1.1.1.1">𝑘</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.SS7.1.p1.2.m2.1c">T^{(k)}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.SS7.1.p1.2.m2.1d">italic_T start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_k ) end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>. Afterwards, we will prove that <math alttext="T^{(t)}" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.SS7.1.p1.3.m3.1"><semantics id="A2.SS7.1.p1.3.m3.1a"><msup id="A2.SS7.1.p1.3.m3.1.2" xref="A2.SS7.1.p1.3.m3.1.2.cmml"><mi id="A2.SS7.1.p1.3.m3.1.2.2" xref="A2.SS7.1.p1.3.m3.1.2.2.cmml">T</mi><mrow id="A2.SS7.1.p1.3.m3.1.1.1.3" xref="A2.SS7.1.p1.3.m3.1.2.cmml"><mo id="A2.SS7.1.p1.3.m3.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="A2.SS7.1.p1.3.m3.1.2.cmml">(</mo><mi id="A2.SS7.1.p1.3.m3.1.1.1.1" xref="A2.SS7.1.p1.3.m3.1.1.1.1.cmml">t</mi><mo id="A2.SS7.1.p1.3.m3.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="A2.SS7.1.p1.3.m3.1.2.cmml">)</mo></mrow></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.SS7.1.p1.3.m3.1b"><apply id="A2.SS7.1.p1.3.m3.1.2.cmml" xref="A2.SS7.1.p1.3.m3.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.SS7.1.p1.3.m3.1.2.1.cmml" xref="A2.SS7.1.p1.3.m3.1.2">superscript</csymbol><ci id="A2.SS7.1.p1.3.m3.1.2.2.cmml" xref="A2.SS7.1.p1.3.m3.1.2.2">𝑇</ci><ci id="A2.SS7.1.p1.3.m3.1.1.1.1.cmml" xref="A2.SS7.1.p1.3.m3.1.1.1.1">𝑡</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.SS7.1.p1.3.m3.1c">T^{(t)}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.SS7.1.p1.3.m3.1d">italic_T start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_t ) end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> is block-triangular.</p> </div> <div class="ltx_para" id="A2.SS7.2.p2"> <p class="ltx_p" id="A2.SS7.2.p2.10">By Corollary <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#Thmtheorem23" title="Corollary 23. ‣ IV Properties of the eigenspaces ‣ Conditional 𝑡-independent spectral gap for random quantum circuits and implications for 𝑡-design depths"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">23</span></a>, <math alttext="\operatorname{span}S_{k}^{\times N}" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.SS7.2.p2.1.m1.1"><semantics id="A2.SS7.2.p2.1.m1.1a"><mrow id="A2.SS7.2.p2.1.m1.1.1" xref="A2.SS7.2.p2.1.m1.1.1.cmml"><mi id="A2.SS7.2.p2.1.m1.1.1.1" xref="A2.SS7.2.p2.1.m1.1.1.1.cmml">span</mi><mo id="A2.SS7.2.p2.1.m1.1.1a" lspace="0.167em" xref="A2.SS7.2.p2.1.m1.1.1.cmml">⁡</mo><msubsup id="A2.SS7.2.p2.1.m1.1.1.2" xref="A2.SS7.2.p2.1.m1.1.1.2.cmml"><mi id="A2.SS7.2.p2.1.m1.1.1.2.2.2" xref="A2.SS7.2.p2.1.m1.1.1.2.2.2.cmml">S</mi><mi id="A2.SS7.2.p2.1.m1.1.1.2.2.3" xref="A2.SS7.2.p2.1.m1.1.1.2.2.3.cmml">k</mi><mrow id="A2.SS7.2.p2.1.m1.1.1.2.3" xref="A2.SS7.2.p2.1.m1.1.1.2.3.cmml"><mi id="A2.SS7.2.p2.1.m1.1.1.2.3.2" xref="A2.SS7.2.p2.1.m1.1.1.2.3.2.cmml"></mi><mo id="A2.SS7.2.p2.1.m1.1.1.2.3.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="A2.SS7.2.p2.1.m1.1.1.2.3.1.cmml">×</mo><mi id="A2.SS7.2.p2.1.m1.1.1.2.3.3" xref="A2.SS7.2.p2.1.m1.1.1.2.3.3.cmml">N</mi></mrow></msubsup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.SS7.2.p2.1.m1.1b"><apply id="A2.SS7.2.p2.1.m1.1.1.cmml" xref="A2.SS7.2.p2.1.m1.1.1"><ci id="A2.SS7.2.p2.1.m1.1.1.1.cmml" xref="A2.SS7.2.p2.1.m1.1.1.1">span</ci><apply id="A2.SS7.2.p2.1.m1.1.1.2.cmml" xref="A2.SS7.2.p2.1.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.SS7.2.p2.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="A2.SS7.2.p2.1.m1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="A2.SS7.2.p2.1.m1.1.1.2.2.cmml" xref="A2.SS7.2.p2.1.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.SS7.2.p2.1.m1.1.1.2.2.1.cmml" xref="A2.SS7.2.p2.1.m1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="A2.SS7.2.p2.1.m1.1.1.2.2.2.cmml" xref="A2.SS7.2.p2.1.m1.1.1.2.2.2">𝑆</ci><ci id="A2.SS7.2.p2.1.m1.1.1.2.2.3.cmml" xref="A2.SS7.2.p2.1.m1.1.1.2.2.3">𝑘</ci></apply><apply id="A2.SS7.2.p2.1.m1.1.1.2.3.cmml" xref="A2.SS7.2.p2.1.m1.1.1.2.3"><times id="A2.SS7.2.p2.1.m1.1.1.2.3.1.cmml" xref="A2.SS7.2.p2.1.m1.1.1.2.3.1"></times><csymbol cd="latexml" id="A2.SS7.2.p2.1.m1.1.1.2.3.2.cmml" xref="A2.SS7.2.p2.1.m1.1.1.2.3.2">absent</csymbol><ci id="A2.SS7.2.p2.1.m1.1.1.2.3.3.cmml" xref="A2.SS7.2.p2.1.m1.1.1.2.3.3">𝑁</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.SS7.2.p2.1.m1.1c">\operatorname{span}S_{k}^{\times N}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.SS7.2.p2.1.m1.1d">roman_span italic_S start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT × italic_N end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> is an invariant subspace of <math alttext="T^{(t)}" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.SS7.2.p2.2.m2.1"><semantics id="A2.SS7.2.p2.2.m2.1a"><msup id="A2.SS7.2.p2.2.m2.1.2" xref="A2.SS7.2.p2.2.m2.1.2.cmml"><mi id="A2.SS7.2.p2.2.m2.1.2.2" xref="A2.SS7.2.p2.2.m2.1.2.2.cmml">T</mi><mrow id="A2.SS7.2.p2.2.m2.1.1.1.3" xref="A2.SS7.2.p2.2.m2.1.2.cmml"><mo id="A2.SS7.2.p2.2.m2.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="A2.SS7.2.p2.2.m2.1.2.cmml">(</mo><mi id="A2.SS7.2.p2.2.m2.1.1.1.1" xref="A2.SS7.2.p2.2.m2.1.1.1.1.cmml">t</mi><mo id="A2.SS7.2.p2.2.m2.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="A2.SS7.2.p2.2.m2.1.2.cmml">)</mo></mrow></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.SS7.2.p2.2.m2.1b"><apply id="A2.SS7.2.p2.2.m2.1.2.cmml" xref="A2.SS7.2.p2.2.m2.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.SS7.2.p2.2.m2.1.2.1.cmml" xref="A2.SS7.2.p2.2.m2.1.2">superscript</csymbol><ci id="A2.SS7.2.p2.2.m2.1.2.2.cmml" xref="A2.SS7.2.p2.2.m2.1.2.2">𝑇</ci><ci id="A2.SS7.2.p2.2.m2.1.1.1.1.cmml" xref="A2.SS7.2.p2.2.m2.1.1.1.1">𝑡</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.SS7.2.p2.2.m2.1c">T^{(t)}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.SS7.2.p2.2.m2.1d">italic_T start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_t ) end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>, so <math alttext="T^{(t)}" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.SS7.2.p2.3.m3.1"><semantics id="A2.SS7.2.p2.3.m3.1a"><msup id="A2.SS7.2.p2.3.m3.1.2" xref="A2.SS7.2.p2.3.m3.1.2.cmml"><mi id="A2.SS7.2.p2.3.m3.1.2.2" xref="A2.SS7.2.p2.3.m3.1.2.2.cmml">T</mi><mrow id="A2.SS7.2.p2.3.m3.1.1.1.3" xref="A2.SS7.2.p2.3.m3.1.2.cmml"><mo id="A2.SS7.2.p2.3.m3.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="A2.SS7.2.p2.3.m3.1.2.cmml">(</mo><mi id="A2.SS7.2.p2.3.m3.1.1.1.1" xref="A2.SS7.2.p2.3.m3.1.1.1.1.cmml">t</mi><mo id="A2.SS7.2.p2.3.m3.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="A2.SS7.2.p2.3.m3.1.2.cmml">)</mo></mrow></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.SS7.2.p2.3.m3.1b"><apply id="A2.SS7.2.p2.3.m3.1.2.cmml" xref="A2.SS7.2.p2.3.m3.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.SS7.2.p2.3.m3.1.2.1.cmml" xref="A2.SS7.2.p2.3.m3.1.2">superscript</csymbol><ci id="A2.SS7.2.p2.3.m3.1.2.2.cmml" xref="A2.SS7.2.p2.3.m3.1.2.2">𝑇</ci><ci id="A2.SS7.2.p2.3.m3.1.1.1.1.cmml" xref="A2.SS7.2.p2.3.m3.1.1.1.1">𝑡</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.SS7.2.p2.3.m3.1c">T^{(t)}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.SS7.2.p2.3.m3.1d">italic_T start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_t ) end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> may be diagonalized independently within it. By Lemma <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#Thmtheorem22" title="Lemma 22. ‣ IV Properties of the eigenspaces ‣ Conditional 𝑡-independent spectral gap for random quantum circuits and implications for 𝑡-design depths"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">22</span></a>, the restriction of <math alttext="T^{(t)}" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.SS7.2.p2.4.m4.1"><semantics id="A2.SS7.2.p2.4.m4.1a"><msup id="A2.SS7.2.p2.4.m4.1.2" xref="A2.SS7.2.p2.4.m4.1.2.cmml"><mi id="A2.SS7.2.p2.4.m4.1.2.2" xref="A2.SS7.2.p2.4.m4.1.2.2.cmml">T</mi><mrow id="A2.SS7.2.p2.4.m4.1.1.1.3" xref="A2.SS7.2.p2.4.m4.1.2.cmml"><mo id="A2.SS7.2.p2.4.m4.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="A2.SS7.2.p2.4.m4.1.2.cmml">(</mo><mi id="A2.SS7.2.p2.4.m4.1.1.1.1" xref="A2.SS7.2.p2.4.m4.1.1.1.1.cmml">t</mi><mo id="A2.SS7.2.p2.4.m4.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="A2.SS7.2.p2.4.m4.1.2.cmml">)</mo></mrow></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.SS7.2.p2.4.m4.1b"><apply id="A2.SS7.2.p2.4.m4.1.2.cmml" xref="A2.SS7.2.p2.4.m4.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.SS7.2.p2.4.m4.1.2.1.cmml" xref="A2.SS7.2.p2.4.m4.1.2">superscript</csymbol><ci id="A2.SS7.2.p2.4.m4.1.2.2.cmml" xref="A2.SS7.2.p2.4.m4.1.2.2">𝑇</ci><ci id="A2.SS7.2.p2.4.m4.1.1.1.1.cmml" xref="A2.SS7.2.p2.4.m4.1.1.1.1">𝑡</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.SS7.2.p2.4.m4.1c">T^{(t)}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.SS7.2.p2.4.m4.1d">italic_T start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_t ) end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> to this subspace is isomorphic to <math alttext="T^{(k)}" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.SS7.2.p2.5.m5.1"><semantics id="A2.SS7.2.p2.5.m5.1a"><msup id="A2.SS7.2.p2.5.m5.1.2" xref="A2.SS7.2.p2.5.m5.1.2.cmml"><mi id="A2.SS7.2.p2.5.m5.1.2.2" xref="A2.SS7.2.p2.5.m5.1.2.2.cmml">T</mi><mrow id="A2.SS7.2.p2.5.m5.1.1.1.3" xref="A2.SS7.2.p2.5.m5.1.2.cmml"><mo id="A2.SS7.2.p2.5.m5.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="A2.SS7.2.p2.5.m5.1.2.cmml">(</mo><mi id="A2.SS7.2.p2.5.m5.1.1.1.1" xref="A2.SS7.2.p2.5.m5.1.1.1.1.cmml">k</mi><mo id="A2.SS7.2.p2.5.m5.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="A2.SS7.2.p2.5.m5.1.2.cmml">)</mo></mrow></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.SS7.2.p2.5.m5.1b"><apply id="A2.SS7.2.p2.5.m5.1.2.cmml" xref="A2.SS7.2.p2.5.m5.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.SS7.2.p2.5.m5.1.2.1.cmml" xref="A2.SS7.2.p2.5.m5.1.2">superscript</csymbol><ci id="A2.SS7.2.p2.5.m5.1.2.2.cmml" xref="A2.SS7.2.p2.5.m5.1.2.2">𝑇</ci><ci id="A2.SS7.2.p2.5.m5.1.1.1.1.cmml" xref="A2.SS7.2.p2.5.m5.1.1.1.1">𝑘</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.SS7.2.p2.5.m5.1c">T^{(k)}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.SS7.2.p2.5.m5.1d">italic_T start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_k ) end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>, so its eigenvalues are exactly those of <math alttext="T^{(k)}" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.SS7.2.p2.6.m6.1"><semantics id="A2.SS7.2.p2.6.m6.1a"><msup id="A2.SS7.2.p2.6.m6.1.2" xref="A2.SS7.2.p2.6.m6.1.2.cmml"><mi id="A2.SS7.2.p2.6.m6.1.2.2" xref="A2.SS7.2.p2.6.m6.1.2.2.cmml">T</mi><mrow id="A2.SS7.2.p2.6.m6.1.1.1.3" xref="A2.SS7.2.p2.6.m6.1.2.cmml"><mo id="A2.SS7.2.p2.6.m6.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="A2.SS7.2.p2.6.m6.1.2.cmml">(</mo><mi id="A2.SS7.2.p2.6.m6.1.1.1.1" xref="A2.SS7.2.p2.6.m6.1.1.1.1.cmml">k</mi><mo id="A2.SS7.2.p2.6.m6.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="A2.SS7.2.p2.6.m6.1.2.cmml">)</mo></mrow></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.SS7.2.p2.6.m6.1b"><apply id="A2.SS7.2.p2.6.m6.1.2.cmml" xref="A2.SS7.2.p2.6.m6.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.SS7.2.p2.6.m6.1.2.1.cmml" xref="A2.SS7.2.p2.6.m6.1.2">superscript</csymbol><ci id="A2.SS7.2.p2.6.m6.1.2.2.cmml" xref="A2.SS7.2.p2.6.m6.1.2.2">𝑇</ci><ci id="A2.SS7.2.p2.6.m6.1.1.1.1.cmml" xref="A2.SS7.2.p2.6.m6.1.1.1.1">𝑘</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.SS7.2.p2.6.m6.1c">T^{(k)}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.SS7.2.p2.6.m6.1d">italic_T start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_k ) end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>. Furthermore, by symmetry the same applies to the restriction of <math alttext="T^{(t)}" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.SS7.2.p2.7.m7.1"><semantics id="A2.SS7.2.p2.7.m7.1a"><msup id="A2.SS7.2.p2.7.m7.1.2" xref="A2.SS7.2.p2.7.m7.1.2.cmml"><mi id="A2.SS7.2.p2.7.m7.1.2.2" xref="A2.SS7.2.p2.7.m7.1.2.2.cmml">T</mi><mrow id="A2.SS7.2.p2.7.m7.1.1.1.3" xref="A2.SS7.2.p2.7.m7.1.2.cmml"><mo id="A2.SS7.2.p2.7.m7.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="A2.SS7.2.p2.7.m7.1.2.cmml">(</mo><mi id="A2.SS7.2.p2.7.m7.1.1.1.1" xref="A2.SS7.2.p2.7.m7.1.1.1.1.cmml">t</mi><mo id="A2.SS7.2.p2.7.m7.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="A2.SS7.2.p2.7.m7.1.2.cmml">)</mo></mrow></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.SS7.2.p2.7.m7.1b"><apply id="A2.SS7.2.p2.7.m7.1.2.cmml" xref="A2.SS7.2.p2.7.m7.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.SS7.2.p2.7.m7.1.2.1.cmml" xref="A2.SS7.2.p2.7.m7.1.2">superscript</csymbol><ci id="A2.SS7.2.p2.7.m7.1.2.2.cmml" xref="A2.SS7.2.p2.7.m7.1.2.2">𝑇</ci><ci id="A2.SS7.2.p2.7.m7.1.1.1.1.cmml" xref="A2.SS7.2.p2.7.m7.1.1.1.1">𝑡</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.SS7.2.p2.7.m7.1c">T^{(t)}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.SS7.2.p2.7.m7.1d">italic_T start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_t ) end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> to <math alttext="\sigma_{L}\tau_{R}\operatorname{span}S_{k}^{\times N}" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.SS7.2.p2.8.m8.1"><semantics id="A2.SS7.2.p2.8.m8.1a"><mrow id="A2.SS7.2.p2.8.m8.1.1" xref="A2.SS7.2.p2.8.m8.1.1.cmml"><msub id="A2.SS7.2.p2.8.m8.1.1.2" xref="A2.SS7.2.p2.8.m8.1.1.2.cmml"><mi id="A2.SS7.2.p2.8.m8.1.1.2.2" xref="A2.SS7.2.p2.8.m8.1.1.2.2.cmml">σ</mi><mi id="A2.SS7.2.p2.8.m8.1.1.2.3" xref="A2.SS7.2.p2.8.m8.1.1.2.3.cmml">L</mi></msub><mo id="A2.SS7.2.p2.8.m8.1.1.1" xref="A2.SS7.2.p2.8.m8.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="A2.SS7.2.p2.8.m8.1.1.3" xref="A2.SS7.2.p2.8.m8.1.1.3.cmml"><mi id="A2.SS7.2.p2.8.m8.1.1.3.2" xref="A2.SS7.2.p2.8.m8.1.1.3.2.cmml">τ</mi><mi id="A2.SS7.2.p2.8.m8.1.1.3.3" xref="A2.SS7.2.p2.8.m8.1.1.3.3.cmml">R</mi></msub><mo id="A2.SS7.2.p2.8.m8.1.1.1a" lspace="0.167em" xref="A2.SS7.2.p2.8.m8.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A2.SS7.2.p2.8.m8.1.1.4" xref="A2.SS7.2.p2.8.m8.1.1.4.cmml"><mi id="A2.SS7.2.p2.8.m8.1.1.4.1" xref="A2.SS7.2.p2.8.m8.1.1.4.1.cmml">span</mi><mo id="A2.SS7.2.p2.8.m8.1.1.4a" lspace="0.167em" xref="A2.SS7.2.p2.8.m8.1.1.4.cmml">⁡</mo><msubsup id="A2.SS7.2.p2.8.m8.1.1.4.2" xref="A2.SS7.2.p2.8.m8.1.1.4.2.cmml"><mi id="A2.SS7.2.p2.8.m8.1.1.4.2.2.2" xref="A2.SS7.2.p2.8.m8.1.1.4.2.2.2.cmml">S</mi><mi id="A2.SS7.2.p2.8.m8.1.1.4.2.2.3" xref="A2.SS7.2.p2.8.m8.1.1.4.2.2.3.cmml">k</mi><mrow id="A2.SS7.2.p2.8.m8.1.1.4.2.3" xref="A2.SS7.2.p2.8.m8.1.1.4.2.3.cmml"><mi id="A2.SS7.2.p2.8.m8.1.1.4.2.3.2" xref="A2.SS7.2.p2.8.m8.1.1.4.2.3.2.cmml"></mi><mo id="A2.SS7.2.p2.8.m8.1.1.4.2.3.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="A2.SS7.2.p2.8.m8.1.1.4.2.3.1.cmml">×</mo><mi id="A2.SS7.2.p2.8.m8.1.1.4.2.3.3" xref="A2.SS7.2.p2.8.m8.1.1.4.2.3.3.cmml">N</mi></mrow></msubsup></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.SS7.2.p2.8.m8.1b"><apply id="A2.SS7.2.p2.8.m8.1.1.cmml" xref="A2.SS7.2.p2.8.m8.1.1"><times id="A2.SS7.2.p2.8.m8.1.1.1.cmml" xref="A2.SS7.2.p2.8.m8.1.1.1"></times><apply id="A2.SS7.2.p2.8.m8.1.1.2.cmml" xref="A2.SS7.2.p2.8.m8.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.SS7.2.p2.8.m8.1.1.2.1.cmml" xref="A2.SS7.2.p2.8.m8.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="A2.SS7.2.p2.8.m8.1.1.2.2.cmml" xref="A2.SS7.2.p2.8.m8.1.1.2.2">𝜎</ci><ci id="A2.SS7.2.p2.8.m8.1.1.2.3.cmml" xref="A2.SS7.2.p2.8.m8.1.1.2.3">𝐿</ci></apply><apply id="A2.SS7.2.p2.8.m8.1.1.3.cmml" xref="A2.SS7.2.p2.8.m8.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.SS7.2.p2.8.m8.1.1.3.1.cmml" xref="A2.SS7.2.p2.8.m8.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A2.SS7.2.p2.8.m8.1.1.3.2.cmml" xref="A2.SS7.2.p2.8.m8.1.1.3.2">𝜏</ci><ci id="A2.SS7.2.p2.8.m8.1.1.3.3.cmml" xref="A2.SS7.2.p2.8.m8.1.1.3.3">𝑅</ci></apply><apply id="A2.SS7.2.p2.8.m8.1.1.4.cmml" xref="A2.SS7.2.p2.8.m8.1.1.4"><ci id="A2.SS7.2.p2.8.m8.1.1.4.1.cmml" xref="A2.SS7.2.p2.8.m8.1.1.4.1">span</ci><apply id="A2.SS7.2.p2.8.m8.1.1.4.2.cmml" xref="A2.SS7.2.p2.8.m8.1.1.4.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.SS7.2.p2.8.m8.1.1.4.2.1.cmml" xref="A2.SS7.2.p2.8.m8.1.1.4.2">superscript</csymbol><apply id="A2.SS7.2.p2.8.m8.1.1.4.2.2.cmml" xref="A2.SS7.2.p2.8.m8.1.1.4.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.SS7.2.p2.8.m8.1.1.4.2.2.1.cmml" xref="A2.SS7.2.p2.8.m8.1.1.4.2">subscript</csymbol><ci id="A2.SS7.2.p2.8.m8.1.1.4.2.2.2.cmml" xref="A2.SS7.2.p2.8.m8.1.1.4.2.2.2">𝑆</ci><ci id="A2.SS7.2.p2.8.m8.1.1.4.2.2.3.cmml" xref="A2.SS7.2.p2.8.m8.1.1.4.2.2.3">𝑘</ci></apply><apply id="A2.SS7.2.p2.8.m8.1.1.4.2.3.cmml" xref="A2.SS7.2.p2.8.m8.1.1.4.2.3"><times id="A2.SS7.2.p2.8.m8.1.1.4.2.3.1.cmml" xref="A2.SS7.2.p2.8.m8.1.1.4.2.3.1"></times><csymbol cd="latexml" id="A2.SS7.2.p2.8.m8.1.1.4.2.3.2.cmml" xref="A2.SS7.2.p2.8.m8.1.1.4.2.3.2">absent</csymbol><ci id="A2.SS7.2.p2.8.m8.1.1.4.2.3.3.cmml" xref="A2.SS7.2.p2.8.m8.1.1.4.2.3.3">𝑁</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.SS7.2.p2.8.m8.1c">\sigma_{L}\tau_{R}\operatorname{span}S_{k}^{\times N}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.SS7.2.p2.8.m8.1d">italic_σ start_POSTSUBSCRIPT italic_L end_POSTSUBSCRIPT italic_τ start_POSTSUBSCRIPT italic_R end_POSTSUBSCRIPT roman_span italic_S start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT × italic_N end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> for any <math alttext="\sigma,\tau\in S_{t}" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.SS7.2.p2.9.m9.2"><semantics id="A2.SS7.2.p2.9.m9.2a"><mrow id="A2.SS7.2.p2.9.m9.2.3" xref="A2.SS7.2.p2.9.m9.2.3.cmml"><mrow id="A2.SS7.2.p2.9.m9.2.3.2.2" xref="A2.SS7.2.p2.9.m9.2.3.2.1.cmml"><mi id="A2.SS7.2.p2.9.m9.1.1" xref="A2.SS7.2.p2.9.m9.1.1.cmml">σ</mi><mo id="A2.SS7.2.p2.9.m9.2.3.2.2.1" xref="A2.SS7.2.p2.9.m9.2.3.2.1.cmml">,</mo><mi id="A2.SS7.2.p2.9.m9.2.2" xref="A2.SS7.2.p2.9.m9.2.2.cmml">τ</mi></mrow><mo id="A2.SS7.2.p2.9.m9.2.3.1" xref="A2.SS7.2.p2.9.m9.2.3.1.cmml">∈</mo><msub id="A2.SS7.2.p2.9.m9.2.3.3" xref="A2.SS7.2.p2.9.m9.2.3.3.cmml"><mi id="A2.SS7.2.p2.9.m9.2.3.3.2" xref="A2.SS7.2.p2.9.m9.2.3.3.2.cmml">S</mi><mi id="A2.SS7.2.p2.9.m9.2.3.3.3" xref="A2.SS7.2.p2.9.m9.2.3.3.3.cmml">t</mi></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.SS7.2.p2.9.m9.2b"><apply id="A2.SS7.2.p2.9.m9.2.3.cmml" xref="A2.SS7.2.p2.9.m9.2.3"><in id="A2.SS7.2.p2.9.m9.2.3.1.cmml" xref="A2.SS7.2.p2.9.m9.2.3.1"></in><list id="A2.SS7.2.p2.9.m9.2.3.2.1.cmml" xref="A2.SS7.2.p2.9.m9.2.3.2.2"><ci id="A2.SS7.2.p2.9.m9.1.1.cmml" xref="A2.SS7.2.p2.9.m9.1.1">𝜎</ci><ci id="A2.SS7.2.p2.9.m9.2.2.cmml" xref="A2.SS7.2.p2.9.m9.2.2">𝜏</ci></list><apply id="A2.SS7.2.p2.9.m9.2.3.3.cmml" xref="A2.SS7.2.p2.9.m9.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.SS7.2.p2.9.m9.2.3.3.1.cmml" xref="A2.SS7.2.p2.9.m9.2.3.3">subscript</csymbol><ci id="A2.SS7.2.p2.9.m9.2.3.3.2.cmml" xref="A2.SS7.2.p2.9.m9.2.3.3.2">𝑆</ci><ci id="A2.SS7.2.p2.9.m9.2.3.3.3.cmml" xref="A2.SS7.2.p2.9.m9.2.3.3.3">𝑡</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.SS7.2.p2.9.m9.2c">\sigma,\tau\in S_{t}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.SS7.2.p2.9.m9.2d">italic_σ , italic_τ ∈ italic_S start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>. Each of these subspaces thus contains a complete copy of the eigenvalues of <math alttext="T^{(k)}" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.SS7.2.p2.10.m10.1"><semantics id="A2.SS7.2.p2.10.m10.1a"><msup id="A2.SS7.2.p2.10.m10.1.2" xref="A2.SS7.2.p2.10.m10.1.2.cmml"><mi id="A2.SS7.2.p2.10.m10.1.2.2" xref="A2.SS7.2.p2.10.m10.1.2.2.cmml">T</mi><mrow id="A2.SS7.2.p2.10.m10.1.1.1.3" xref="A2.SS7.2.p2.10.m10.1.2.cmml"><mo id="A2.SS7.2.p2.10.m10.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="A2.SS7.2.p2.10.m10.1.2.cmml">(</mo><mi id="A2.SS7.2.p2.10.m10.1.1.1.1" xref="A2.SS7.2.p2.10.m10.1.1.1.1.cmml">k</mi><mo id="A2.SS7.2.p2.10.m10.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="A2.SS7.2.p2.10.m10.1.2.cmml">)</mo></mrow></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.SS7.2.p2.10.m10.1b"><apply id="A2.SS7.2.p2.10.m10.1.2.cmml" xref="A2.SS7.2.p2.10.m10.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.SS7.2.p2.10.m10.1.2.1.cmml" xref="A2.SS7.2.p2.10.m10.1.2">superscript</csymbol><ci id="A2.SS7.2.p2.10.m10.1.2.2.cmml" xref="A2.SS7.2.p2.10.m10.1.2.2">𝑇</ci><ci id="A2.SS7.2.p2.10.m10.1.1.1.1.cmml" xref="A2.SS7.2.p2.10.m10.1.1.1.1">𝑘</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.SS7.2.p2.10.m10.1c">T^{(k)}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.SS7.2.p2.10.m10.1d">italic_T start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_k ) end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>, together with a complete set of corresponding eigenvectors.</p> </div> <div class="ltx_para" id="A2.SS7.3.p3"> <p class="ltx_p" id="A2.SS7.3.p3.2">Now consider the combined span of all these subspaces. Since each subspace contains a complete set of eigenvectors, the combined span of the subspaces must be spanned by the union of these eigenvectors. In other words, <math alttext="\operatorname{span}S_{t}^{2}\circ S_{k}^{\times N}" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.SS7.3.p3.1.m1.1"><semantics id="A2.SS7.3.p3.1.m1.1a"><mrow id="A2.SS7.3.p3.1.m1.1.1" xref="A2.SS7.3.p3.1.m1.1.1.cmml"><mi id="A2.SS7.3.p3.1.m1.1.1.1" xref="A2.SS7.3.p3.1.m1.1.1.1.cmml">span</mi><mo id="A2.SS7.3.p3.1.m1.1.1a" lspace="0.167em" xref="A2.SS7.3.p3.1.m1.1.1.cmml">⁡</mo><mrow id="A2.SS7.3.p3.1.m1.1.1.2" xref="A2.SS7.3.p3.1.m1.1.1.2.cmml"><msubsup id="A2.SS7.3.p3.1.m1.1.1.2.2" xref="A2.SS7.3.p3.1.m1.1.1.2.2.cmml"><mi id="A2.SS7.3.p3.1.m1.1.1.2.2.2.2" xref="A2.SS7.3.p3.1.m1.1.1.2.2.2.2.cmml">S</mi><mi id="A2.SS7.3.p3.1.m1.1.1.2.2.2.3" xref="A2.SS7.3.p3.1.m1.1.1.2.2.2.3.cmml">t</mi><mn id="A2.SS7.3.p3.1.m1.1.1.2.2.3" xref="A2.SS7.3.p3.1.m1.1.1.2.2.3.cmml">2</mn></msubsup><mo id="A2.SS7.3.p3.1.m1.1.1.2.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="A2.SS7.3.p3.1.m1.1.1.2.1.cmml">∘</mo><msubsup id="A2.SS7.3.p3.1.m1.1.1.2.3" xref="A2.SS7.3.p3.1.m1.1.1.2.3.cmml"><mi id="A2.SS7.3.p3.1.m1.1.1.2.3.2.2" xref="A2.SS7.3.p3.1.m1.1.1.2.3.2.2.cmml">S</mi><mi id="A2.SS7.3.p3.1.m1.1.1.2.3.2.3" xref="A2.SS7.3.p3.1.m1.1.1.2.3.2.3.cmml">k</mi><mrow id="A2.SS7.3.p3.1.m1.1.1.2.3.3" xref="A2.SS7.3.p3.1.m1.1.1.2.3.3.cmml"><mi id="A2.SS7.3.p3.1.m1.1.1.2.3.3.2" xref="A2.SS7.3.p3.1.m1.1.1.2.3.3.2.cmml"></mi><mo id="A2.SS7.3.p3.1.m1.1.1.2.3.3.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="A2.SS7.3.p3.1.m1.1.1.2.3.3.1.cmml">×</mo><mi id="A2.SS7.3.p3.1.m1.1.1.2.3.3.3" xref="A2.SS7.3.p3.1.m1.1.1.2.3.3.3.cmml">N</mi></mrow></msubsup></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.SS7.3.p3.1.m1.1b"><apply id="A2.SS7.3.p3.1.m1.1.1.cmml" xref="A2.SS7.3.p3.1.m1.1.1"><ci id="A2.SS7.3.p3.1.m1.1.1.1.cmml" xref="A2.SS7.3.p3.1.m1.1.1.1">span</ci><apply id="A2.SS7.3.p3.1.m1.1.1.2.cmml" xref="A2.SS7.3.p3.1.m1.1.1.2"><compose id="A2.SS7.3.p3.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="A2.SS7.3.p3.1.m1.1.1.2.1"></compose><apply id="A2.SS7.3.p3.1.m1.1.1.2.2.cmml" xref="A2.SS7.3.p3.1.m1.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.SS7.3.p3.1.m1.1.1.2.2.1.cmml" xref="A2.SS7.3.p3.1.m1.1.1.2.2">superscript</csymbol><apply id="A2.SS7.3.p3.1.m1.1.1.2.2.2.cmml" xref="A2.SS7.3.p3.1.m1.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.SS7.3.p3.1.m1.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="A2.SS7.3.p3.1.m1.1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="A2.SS7.3.p3.1.m1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="A2.SS7.3.p3.1.m1.1.1.2.2.2.2">𝑆</ci><ci id="A2.SS7.3.p3.1.m1.1.1.2.2.2.3.cmml" xref="A2.SS7.3.p3.1.m1.1.1.2.2.2.3">𝑡</ci></apply><cn id="A2.SS7.3.p3.1.m1.1.1.2.2.3.cmml" type="integer" xref="A2.SS7.3.p3.1.m1.1.1.2.2.3">2</cn></apply><apply id="A2.SS7.3.p3.1.m1.1.1.2.3.cmml" xref="A2.SS7.3.p3.1.m1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.SS7.3.p3.1.m1.1.1.2.3.1.cmml" xref="A2.SS7.3.p3.1.m1.1.1.2.3">superscript</csymbol><apply id="A2.SS7.3.p3.1.m1.1.1.2.3.2.cmml" xref="A2.SS7.3.p3.1.m1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.SS7.3.p3.1.m1.1.1.2.3.2.1.cmml" xref="A2.SS7.3.p3.1.m1.1.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="A2.SS7.3.p3.1.m1.1.1.2.3.2.2.cmml" xref="A2.SS7.3.p3.1.m1.1.1.2.3.2.2">𝑆</ci><ci id="A2.SS7.3.p3.1.m1.1.1.2.3.2.3.cmml" xref="A2.SS7.3.p3.1.m1.1.1.2.3.2.3">𝑘</ci></apply><apply id="A2.SS7.3.p3.1.m1.1.1.2.3.3.cmml" xref="A2.SS7.3.p3.1.m1.1.1.2.3.3"><times id="A2.SS7.3.p3.1.m1.1.1.2.3.3.1.cmml" xref="A2.SS7.3.p3.1.m1.1.1.2.3.3.1"></times><csymbol cd="latexml" id="A2.SS7.3.p3.1.m1.1.1.2.3.3.2.cmml" xref="A2.SS7.3.p3.1.m1.1.1.2.3.3.2">absent</csymbol><ci id="A2.SS7.3.p3.1.m1.1.1.2.3.3.3.cmml" xref="A2.SS7.3.p3.1.m1.1.1.2.3.3.3">𝑁</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.SS7.3.p3.1.m1.1c">\operatorname{span}S_{t}^{2}\circ S_{k}^{\times N}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.SS7.3.p3.1.m1.1d">roman_span italic_S start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ∘ italic_S start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT × italic_N end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> is spanned by some set of eigenvectors whose eigenvalues are copies of the eigenvalues of <math alttext="T^{(k)}" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.SS7.3.p3.2.m2.1"><semantics id="A2.SS7.3.p3.2.m2.1a"><msup id="A2.SS7.3.p3.2.m2.1.2" xref="A2.SS7.3.p3.2.m2.1.2.cmml"><mi id="A2.SS7.3.p3.2.m2.1.2.2" xref="A2.SS7.3.p3.2.m2.1.2.2.cmml">T</mi><mrow id="A2.SS7.3.p3.2.m2.1.1.1.3" xref="A2.SS7.3.p3.2.m2.1.2.cmml"><mo id="A2.SS7.3.p3.2.m2.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="A2.SS7.3.p3.2.m2.1.2.cmml">(</mo><mi id="A2.SS7.3.p3.2.m2.1.1.1.1" xref="A2.SS7.3.p3.2.m2.1.1.1.1.cmml">k</mi><mo id="A2.SS7.3.p3.2.m2.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="A2.SS7.3.p3.2.m2.1.2.cmml">)</mo></mrow></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.SS7.3.p3.2.m2.1b"><apply id="A2.SS7.3.p3.2.m2.1.2.cmml" xref="A2.SS7.3.p3.2.m2.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.SS7.3.p3.2.m2.1.2.1.cmml" xref="A2.SS7.3.p3.2.m2.1.2">superscript</csymbol><ci id="A2.SS7.3.p3.2.m2.1.2.2.cmml" xref="A2.SS7.3.p3.2.m2.1.2.2">𝑇</ci><ci id="A2.SS7.3.p3.2.m2.1.1.1.1.cmml" xref="A2.SS7.3.p3.2.m2.1.1.1.1">𝑘</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.SS7.3.p3.2.m2.1c">T^{(k)}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.SS7.3.p3.2.m2.1d">italic_T start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_k ) end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>. This proves Equation <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#A2.E173" title="In Theorem. ‣ B.7 Proof of Theorem 26 ‣ Appendix B Assorted proofs ‣ Conditional 𝑡-independent spectral gap for random quantum circuits and implications for 𝑡-design depths"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">173</span></a>.</p> </div> <div class="ltx_para" id="A2.SS7.4.p4"> <p class="ltx_p" id="A2.SS7.4.p4.8">We now show that <math alttext="T" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.SS7.4.p4.1.m1.1"><semantics id="A2.SS7.4.p4.1.m1.1a"><mi id="A2.SS7.4.p4.1.m1.1.1" xref="A2.SS7.4.p4.1.m1.1.1.cmml">T</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.SS7.4.p4.1.m1.1b"><ci id="A2.SS7.4.p4.1.m1.1.1.cmml" xref="A2.SS7.4.p4.1.m1.1.1">𝑇</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.SS7.4.p4.1.m1.1c">T</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.SS7.4.p4.1.m1.1d">italic_T</annotation></semantics></math> has a block-triangular structure. Since <math alttext="\operatorname{span}\left(S_{t}^{2}\circ S_{k}^{\times N}\right)" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.SS7.4.p4.2.m2.2"><semantics id="A2.SS7.4.p4.2.m2.2a"><mrow id="A2.SS7.4.p4.2.m2.2.2.1" xref="A2.SS7.4.p4.2.m2.2.2.2.cmml"><mi id="A2.SS7.4.p4.2.m2.1.1" xref="A2.SS7.4.p4.2.m2.1.1.cmml">span</mi><mo id="A2.SS7.4.p4.2.m2.2.2.1a" xref="A2.SS7.4.p4.2.m2.2.2.2.cmml">⁡</mo><mrow id="A2.SS7.4.p4.2.m2.2.2.1.1" xref="A2.SS7.4.p4.2.m2.2.2.2.cmml"><mo id="A2.SS7.4.p4.2.m2.2.2.1.1.2" xref="A2.SS7.4.p4.2.m2.2.2.2.cmml">(</mo><mrow id="A2.SS7.4.p4.2.m2.2.2.1.1.1" xref="A2.SS7.4.p4.2.m2.2.2.1.1.1.cmml"><msubsup id="A2.SS7.4.p4.2.m2.2.2.1.1.1.2" xref="A2.SS7.4.p4.2.m2.2.2.1.1.1.2.cmml"><mi id="A2.SS7.4.p4.2.m2.2.2.1.1.1.2.2.2" xref="A2.SS7.4.p4.2.m2.2.2.1.1.1.2.2.2.cmml">S</mi><mi id="A2.SS7.4.p4.2.m2.2.2.1.1.1.2.2.3" xref="A2.SS7.4.p4.2.m2.2.2.1.1.1.2.2.3.cmml">t</mi><mn id="A2.SS7.4.p4.2.m2.2.2.1.1.1.2.3" xref="A2.SS7.4.p4.2.m2.2.2.1.1.1.2.3.cmml">2</mn></msubsup><mo id="A2.SS7.4.p4.2.m2.2.2.1.1.1.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="A2.SS7.4.p4.2.m2.2.2.1.1.1.1.cmml">∘</mo><msubsup id="A2.SS7.4.p4.2.m2.2.2.1.1.1.3" xref="A2.SS7.4.p4.2.m2.2.2.1.1.1.3.cmml"><mi id="A2.SS7.4.p4.2.m2.2.2.1.1.1.3.2.2" xref="A2.SS7.4.p4.2.m2.2.2.1.1.1.3.2.2.cmml">S</mi><mi id="A2.SS7.4.p4.2.m2.2.2.1.1.1.3.2.3" xref="A2.SS7.4.p4.2.m2.2.2.1.1.1.3.2.3.cmml">k</mi><mrow id="A2.SS7.4.p4.2.m2.2.2.1.1.1.3.3" xref="A2.SS7.4.p4.2.m2.2.2.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="A2.SS7.4.p4.2.m2.2.2.1.1.1.3.3.2" xref="A2.SS7.4.p4.2.m2.2.2.1.1.1.3.3.2.cmml"></mi><mo id="A2.SS7.4.p4.2.m2.2.2.1.1.1.3.3.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="A2.SS7.4.p4.2.m2.2.2.1.1.1.3.3.1.cmml">×</mo><mi id="A2.SS7.4.p4.2.m2.2.2.1.1.1.3.3.3" xref="A2.SS7.4.p4.2.m2.2.2.1.1.1.3.3.3.cmml">N</mi></mrow></msubsup></mrow><mo id="A2.SS7.4.p4.2.m2.2.2.1.1.3" xref="A2.SS7.4.p4.2.m2.2.2.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.SS7.4.p4.2.m2.2b"><apply id="A2.SS7.4.p4.2.m2.2.2.2.cmml" xref="A2.SS7.4.p4.2.m2.2.2.1"><ci id="A2.SS7.4.p4.2.m2.1.1.cmml" xref="A2.SS7.4.p4.2.m2.1.1">span</ci><apply id="A2.SS7.4.p4.2.m2.2.2.1.1.1.cmml" xref="A2.SS7.4.p4.2.m2.2.2.1.1.1"><compose id="A2.SS7.4.p4.2.m2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="A2.SS7.4.p4.2.m2.2.2.1.1.1.1"></compose><apply id="A2.SS7.4.p4.2.m2.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="A2.SS7.4.p4.2.m2.2.2.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.SS7.4.p4.2.m2.2.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="A2.SS7.4.p4.2.m2.2.2.1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="A2.SS7.4.p4.2.m2.2.2.1.1.1.2.2.cmml" xref="A2.SS7.4.p4.2.m2.2.2.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.SS7.4.p4.2.m2.2.2.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="A2.SS7.4.p4.2.m2.2.2.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="A2.SS7.4.p4.2.m2.2.2.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="A2.SS7.4.p4.2.m2.2.2.1.1.1.2.2.2">𝑆</ci><ci id="A2.SS7.4.p4.2.m2.2.2.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="A2.SS7.4.p4.2.m2.2.2.1.1.1.2.2.3">𝑡</ci></apply><cn id="A2.SS7.4.p4.2.m2.2.2.1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="A2.SS7.4.p4.2.m2.2.2.1.1.1.2.3">2</cn></apply><apply id="A2.SS7.4.p4.2.m2.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="A2.SS7.4.p4.2.m2.2.2.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.SS7.4.p4.2.m2.2.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="A2.SS7.4.p4.2.m2.2.2.1.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="A2.SS7.4.p4.2.m2.2.2.1.1.1.3.2.cmml" xref="A2.SS7.4.p4.2.m2.2.2.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.SS7.4.p4.2.m2.2.2.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="A2.SS7.4.p4.2.m2.2.2.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A2.SS7.4.p4.2.m2.2.2.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="A2.SS7.4.p4.2.m2.2.2.1.1.1.3.2.2">𝑆</ci><ci id="A2.SS7.4.p4.2.m2.2.2.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="A2.SS7.4.p4.2.m2.2.2.1.1.1.3.2.3">𝑘</ci></apply><apply id="A2.SS7.4.p4.2.m2.2.2.1.1.1.3.3.cmml" xref="A2.SS7.4.p4.2.m2.2.2.1.1.1.3.3"><times id="A2.SS7.4.p4.2.m2.2.2.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="A2.SS7.4.p4.2.m2.2.2.1.1.1.3.3.1"></times><csymbol cd="latexml" id="A2.SS7.4.p4.2.m2.2.2.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="A2.SS7.4.p4.2.m2.2.2.1.1.1.3.3.2">absent</csymbol><ci id="A2.SS7.4.p4.2.m2.2.2.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="A2.SS7.4.p4.2.m2.2.2.1.1.1.3.3.3">𝑁</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.SS7.4.p4.2.m2.2c">\operatorname{span}\left(S_{t}^{2}\circ S_{k}^{\times N}\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.SS7.4.p4.2.m2.2d">roman_span ( italic_S start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ∘ italic_S start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT × italic_N end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math> is an invariant subspace of each gate <math alttext="G_{i}" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.SS7.4.p4.3.m3.1"><semantics id="A2.SS7.4.p4.3.m3.1a"><msub id="A2.SS7.4.p4.3.m3.1.1" xref="A2.SS7.4.p4.3.m3.1.1.cmml"><mi id="A2.SS7.4.p4.3.m3.1.1.2" xref="A2.SS7.4.p4.3.m3.1.1.2.cmml">G</mi><mi id="A2.SS7.4.p4.3.m3.1.1.3" xref="A2.SS7.4.p4.3.m3.1.1.3.cmml">i</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.SS7.4.p4.3.m3.1b"><apply id="A2.SS7.4.p4.3.m3.1.1.cmml" xref="A2.SS7.4.p4.3.m3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.SS7.4.p4.3.m3.1.1.1.cmml" xref="A2.SS7.4.p4.3.m3.1.1">subscript</csymbol><ci id="A2.SS7.4.p4.3.m3.1.1.2.cmml" xref="A2.SS7.4.p4.3.m3.1.1.2">𝐺</ci><ci id="A2.SS7.4.p4.3.m3.1.1.3.cmml" xref="A2.SS7.4.p4.3.m3.1.1.3">𝑖</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.SS7.4.p4.3.m3.1c">G_{i}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.SS7.4.p4.3.m3.1d">italic_G start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, we see <math alttext="G_{i}P=PG_{i}P" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.SS7.4.p4.4.m4.1"><semantics id="A2.SS7.4.p4.4.m4.1a"><mrow id="A2.SS7.4.p4.4.m4.1.1" xref="A2.SS7.4.p4.4.m4.1.1.cmml"><mrow id="A2.SS7.4.p4.4.m4.1.1.2" xref="A2.SS7.4.p4.4.m4.1.1.2.cmml"><msub id="A2.SS7.4.p4.4.m4.1.1.2.2" xref="A2.SS7.4.p4.4.m4.1.1.2.2.cmml"><mi id="A2.SS7.4.p4.4.m4.1.1.2.2.2" xref="A2.SS7.4.p4.4.m4.1.1.2.2.2.cmml">G</mi><mi id="A2.SS7.4.p4.4.m4.1.1.2.2.3" xref="A2.SS7.4.p4.4.m4.1.1.2.2.3.cmml">i</mi></msub><mo id="A2.SS7.4.p4.4.m4.1.1.2.1" xref="A2.SS7.4.p4.4.m4.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="A2.SS7.4.p4.4.m4.1.1.2.3" xref="A2.SS7.4.p4.4.m4.1.1.2.3.cmml">P</mi></mrow><mo id="A2.SS7.4.p4.4.m4.1.1.1" xref="A2.SS7.4.p4.4.m4.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="A2.SS7.4.p4.4.m4.1.1.3" xref="A2.SS7.4.p4.4.m4.1.1.3.cmml"><mi id="A2.SS7.4.p4.4.m4.1.1.3.2" xref="A2.SS7.4.p4.4.m4.1.1.3.2.cmml">P</mi><mo id="A2.SS7.4.p4.4.m4.1.1.3.1" xref="A2.SS7.4.p4.4.m4.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="A2.SS7.4.p4.4.m4.1.1.3.3" xref="A2.SS7.4.p4.4.m4.1.1.3.3.cmml"><mi id="A2.SS7.4.p4.4.m4.1.1.3.3.2" xref="A2.SS7.4.p4.4.m4.1.1.3.3.2.cmml">G</mi><mi id="A2.SS7.4.p4.4.m4.1.1.3.3.3" xref="A2.SS7.4.p4.4.m4.1.1.3.3.3.cmml">i</mi></msub><mo id="A2.SS7.4.p4.4.m4.1.1.3.1a" xref="A2.SS7.4.p4.4.m4.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A2.SS7.4.p4.4.m4.1.1.3.4" xref="A2.SS7.4.p4.4.m4.1.1.3.4.cmml">P</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.SS7.4.p4.4.m4.1b"><apply id="A2.SS7.4.p4.4.m4.1.1.cmml" xref="A2.SS7.4.p4.4.m4.1.1"><eq id="A2.SS7.4.p4.4.m4.1.1.1.cmml" xref="A2.SS7.4.p4.4.m4.1.1.1"></eq><apply id="A2.SS7.4.p4.4.m4.1.1.2.cmml" xref="A2.SS7.4.p4.4.m4.1.1.2"><times id="A2.SS7.4.p4.4.m4.1.1.2.1.cmml" xref="A2.SS7.4.p4.4.m4.1.1.2.1"></times><apply id="A2.SS7.4.p4.4.m4.1.1.2.2.cmml" xref="A2.SS7.4.p4.4.m4.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.SS7.4.p4.4.m4.1.1.2.2.1.cmml" xref="A2.SS7.4.p4.4.m4.1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="A2.SS7.4.p4.4.m4.1.1.2.2.2.cmml" xref="A2.SS7.4.p4.4.m4.1.1.2.2.2">𝐺</ci><ci id="A2.SS7.4.p4.4.m4.1.1.2.2.3.cmml" xref="A2.SS7.4.p4.4.m4.1.1.2.2.3">𝑖</ci></apply><ci id="A2.SS7.4.p4.4.m4.1.1.2.3.cmml" xref="A2.SS7.4.p4.4.m4.1.1.2.3">𝑃</ci></apply><apply id="A2.SS7.4.p4.4.m4.1.1.3.cmml" xref="A2.SS7.4.p4.4.m4.1.1.3"><times id="A2.SS7.4.p4.4.m4.1.1.3.1.cmml" xref="A2.SS7.4.p4.4.m4.1.1.3.1"></times><ci id="A2.SS7.4.p4.4.m4.1.1.3.2.cmml" xref="A2.SS7.4.p4.4.m4.1.1.3.2">𝑃</ci><apply id="A2.SS7.4.p4.4.m4.1.1.3.3.cmml" xref="A2.SS7.4.p4.4.m4.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.SS7.4.p4.4.m4.1.1.3.3.1.cmml" xref="A2.SS7.4.p4.4.m4.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="A2.SS7.4.p4.4.m4.1.1.3.3.2.cmml" xref="A2.SS7.4.p4.4.m4.1.1.3.3.2">𝐺</ci><ci id="A2.SS7.4.p4.4.m4.1.1.3.3.3.cmml" xref="A2.SS7.4.p4.4.m4.1.1.3.3.3">𝑖</ci></apply><ci id="A2.SS7.4.p4.4.m4.1.1.3.4.cmml" xref="A2.SS7.4.p4.4.m4.1.1.3.4">𝑃</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.SS7.4.p4.4.m4.1c">G_{i}P=PG_{i}P</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.SS7.4.p4.4.m4.1d">italic_G start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT italic_P = italic_P italic_G start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT italic_P</annotation></semantics></math>. It follows that <math alttext="(I-P)G_{i}P=0" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.SS7.4.p4.5.m5.1"><semantics id="A2.SS7.4.p4.5.m5.1a"><mrow id="A2.SS7.4.p4.5.m5.1.1" xref="A2.SS7.4.p4.5.m5.1.1.cmml"><mrow id="A2.SS7.4.p4.5.m5.1.1.1" xref="A2.SS7.4.p4.5.m5.1.1.1.cmml"><mrow id="A2.SS7.4.p4.5.m5.1.1.1.1.1" xref="A2.SS7.4.p4.5.m5.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A2.SS7.4.p4.5.m5.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A2.SS7.4.p4.5.m5.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A2.SS7.4.p4.5.m5.1.1.1.1.1.1" xref="A2.SS7.4.p4.5.m5.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A2.SS7.4.p4.5.m5.1.1.1.1.1.1.2" xref="A2.SS7.4.p4.5.m5.1.1.1.1.1.1.2.cmml">I</mi><mo id="A2.SS7.4.p4.5.m5.1.1.1.1.1.1.1" xref="A2.SS7.4.p4.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mi id="A2.SS7.4.p4.5.m5.1.1.1.1.1.1.3" xref="A2.SS7.4.p4.5.m5.1.1.1.1.1.1.3.cmml">P</mi></mrow><mo id="A2.SS7.4.p4.5.m5.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A2.SS7.4.p4.5.m5.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A2.SS7.4.p4.5.m5.1.1.1.2" xref="A2.SS7.4.p4.5.m5.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="A2.SS7.4.p4.5.m5.1.1.1.3" xref="A2.SS7.4.p4.5.m5.1.1.1.3.cmml"><mi id="A2.SS7.4.p4.5.m5.1.1.1.3.2" xref="A2.SS7.4.p4.5.m5.1.1.1.3.2.cmml">G</mi><mi id="A2.SS7.4.p4.5.m5.1.1.1.3.3" xref="A2.SS7.4.p4.5.m5.1.1.1.3.3.cmml">i</mi></msub><mo id="A2.SS7.4.p4.5.m5.1.1.1.2a" xref="A2.SS7.4.p4.5.m5.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="A2.SS7.4.p4.5.m5.1.1.1.4" xref="A2.SS7.4.p4.5.m5.1.1.1.4.cmml">P</mi></mrow><mo id="A2.SS7.4.p4.5.m5.1.1.2" xref="A2.SS7.4.p4.5.m5.1.1.2.cmml">=</mo><mn id="A2.SS7.4.p4.5.m5.1.1.3" xref="A2.SS7.4.p4.5.m5.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.SS7.4.p4.5.m5.1b"><apply id="A2.SS7.4.p4.5.m5.1.1.cmml" xref="A2.SS7.4.p4.5.m5.1.1"><eq id="A2.SS7.4.p4.5.m5.1.1.2.cmml" xref="A2.SS7.4.p4.5.m5.1.1.2"></eq><apply id="A2.SS7.4.p4.5.m5.1.1.1.cmml" xref="A2.SS7.4.p4.5.m5.1.1.1"><times id="A2.SS7.4.p4.5.m5.1.1.1.2.cmml" xref="A2.SS7.4.p4.5.m5.1.1.1.2"></times><apply id="A2.SS7.4.p4.5.m5.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A2.SS7.4.p4.5.m5.1.1.1.1.1"><minus id="A2.SS7.4.p4.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A2.SS7.4.p4.5.m5.1.1.1.1.1.1.1"></minus><ci id="A2.SS7.4.p4.5.m5.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A2.SS7.4.p4.5.m5.1.1.1.1.1.1.2">𝐼</ci><ci id="A2.SS7.4.p4.5.m5.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A2.SS7.4.p4.5.m5.1.1.1.1.1.1.3">𝑃</ci></apply><apply id="A2.SS7.4.p4.5.m5.1.1.1.3.cmml" xref="A2.SS7.4.p4.5.m5.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.SS7.4.p4.5.m5.1.1.1.3.1.cmml" xref="A2.SS7.4.p4.5.m5.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A2.SS7.4.p4.5.m5.1.1.1.3.2.cmml" xref="A2.SS7.4.p4.5.m5.1.1.1.3.2">𝐺</ci><ci id="A2.SS7.4.p4.5.m5.1.1.1.3.3.cmml" xref="A2.SS7.4.p4.5.m5.1.1.1.3.3">𝑖</ci></apply><ci id="A2.SS7.4.p4.5.m5.1.1.1.4.cmml" xref="A2.SS7.4.p4.5.m5.1.1.1.4">𝑃</ci></apply><cn id="A2.SS7.4.p4.5.m5.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A2.SS7.4.p4.5.m5.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.SS7.4.p4.5.m5.1c">(I-P)G_{i}P=0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.SS7.4.p4.5.m5.1d">( italic_I - italic_P ) italic_G start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT italic_P = 0</annotation></semantics></math>, i.e. each gate is block-triangular. Since each gate is block-triangular, a product of the gates is also block-triangular. The eigenvalues of a block-triangular matrix are exactly those of the diagonal blocks. In other words, for any projector <math alttext="P" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.SS7.4.p4.6.m6.1"><semantics id="A2.SS7.4.p4.6.m6.1a"><mi id="A2.SS7.4.p4.6.m6.1.1" xref="A2.SS7.4.p4.6.m6.1.1.cmml">P</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.SS7.4.p4.6.m6.1b"><ci id="A2.SS7.4.p4.6.m6.1.1.cmml" xref="A2.SS7.4.p4.6.m6.1.1">𝑃</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.SS7.4.p4.6.m6.1c">P</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.SS7.4.p4.6.m6.1d">italic_P</annotation></semantics></math> and matrix <math alttext="M" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.SS7.4.p4.7.m7.1"><semantics id="A2.SS7.4.p4.7.m7.1a"><mi id="A2.SS7.4.p4.7.m7.1.1" xref="A2.SS7.4.p4.7.m7.1.1.cmml">M</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.SS7.4.p4.7.m7.1b"><ci id="A2.SS7.4.p4.7.m7.1.1.cmml" xref="A2.SS7.4.p4.7.m7.1.1">𝑀</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.SS7.4.p4.7.m7.1c">M</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.SS7.4.p4.7.m7.1d">italic_M</annotation></semantics></math> such that <math alttext="(I-P)MP=0" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.SS7.4.p4.8.m8.1"><semantics id="A2.SS7.4.p4.8.m8.1a"><mrow id="A2.SS7.4.p4.8.m8.1.1" xref="A2.SS7.4.p4.8.m8.1.1.cmml"><mrow id="A2.SS7.4.p4.8.m8.1.1.1" xref="A2.SS7.4.p4.8.m8.1.1.1.cmml"><mrow id="A2.SS7.4.p4.8.m8.1.1.1.1.1" xref="A2.SS7.4.p4.8.m8.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A2.SS7.4.p4.8.m8.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A2.SS7.4.p4.8.m8.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A2.SS7.4.p4.8.m8.1.1.1.1.1.1" xref="A2.SS7.4.p4.8.m8.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A2.SS7.4.p4.8.m8.1.1.1.1.1.1.2" xref="A2.SS7.4.p4.8.m8.1.1.1.1.1.1.2.cmml">I</mi><mo id="A2.SS7.4.p4.8.m8.1.1.1.1.1.1.1" xref="A2.SS7.4.p4.8.m8.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mi id="A2.SS7.4.p4.8.m8.1.1.1.1.1.1.3" xref="A2.SS7.4.p4.8.m8.1.1.1.1.1.1.3.cmml">P</mi></mrow><mo id="A2.SS7.4.p4.8.m8.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A2.SS7.4.p4.8.m8.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A2.SS7.4.p4.8.m8.1.1.1.2" xref="A2.SS7.4.p4.8.m8.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="A2.SS7.4.p4.8.m8.1.1.1.3" xref="A2.SS7.4.p4.8.m8.1.1.1.3.cmml">M</mi><mo id="A2.SS7.4.p4.8.m8.1.1.1.2a" xref="A2.SS7.4.p4.8.m8.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="A2.SS7.4.p4.8.m8.1.1.1.4" xref="A2.SS7.4.p4.8.m8.1.1.1.4.cmml">P</mi></mrow><mo id="A2.SS7.4.p4.8.m8.1.1.2" xref="A2.SS7.4.p4.8.m8.1.1.2.cmml">=</mo><mn id="A2.SS7.4.p4.8.m8.1.1.3" xref="A2.SS7.4.p4.8.m8.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.SS7.4.p4.8.m8.1b"><apply id="A2.SS7.4.p4.8.m8.1.1.cmml" xref="A2.SS7.4.p4.8.m8.1.1"><eq id="A2.SS7.4.p4.8.m8.1.1.2.cmml" xref="A2.SS7.4.p4.8.m8.1.1.2"></eq><apply id="A2.SS7.4.p4.8.m8.1.1.1.cmml" xref="A2.SS7.4.p4.8.m8.1.1.1"><times id="A2.SS7.4.p4.8.m8.1.1.1.2.cmml" xref="A2.SS7.4.p4.8.m8.1.1.1.2"></times><apply id="A2.SS7.4.p4.8.m8.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A2.SS7.4.p4.8.m8.1.1.1.1.1"><minus id="A2.SS7.4.p4.8.m8.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A2.SS7.4.p4.8.m8.1.1.1.1.1.1.1"></minus><ci id="A2.SS7.4.p4.8.m8.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A2.SS7.4.p4.8.m8.1.1.1.1.1.1.2">𝐼</ci><ci id="A2.SS7.4.p4.8.m8.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A2.SS7.4.p4.8.m8.1.1.1.1.1.1.3">𝑃</ci></apply><ci id="A2.SS7.4.p4.8.m8.1.1.1.3.cmml" xref="A2.SS7.4.p4.8.m8.1.1.1.3">𝑀</ci><ci id="A2.SS7.4.p4.8.m8.1.1.1.4.cmml" xref="A2.SS7.4.p4.8.m8.1.1.1.4">𝑃</ci></apply><cn id="A2.SS7.4.p4.8.m8.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A2.SS7.4.p4.8.m8.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.SS7.4.p4.8.m8.1c">(I-P)MP=0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.SS7.4.p4.8.m8.1d">( italic_I - italic_P ) italic_M italic_P = 0</annotation></semantics></math>, we have</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_gather ltx_eqn_table" id="S6.EGx147"> <tbody id="A2.E175"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\displaystyle\text{eig}^{*}\left(M\right)=\text{eig}^{*}\left((I-P)M(I-P)% \right)\cup\text{eig}^{*}\left(PMP\right)" class="ltx_Math" display="block" id="A2.E175.m1.3"><semantics id="A2.E175.m1.3a"><mrow id="A2.E175.m1.3.3" xref="A2.E175.m1.3.3.cmml"><mrow id="A2.E175.m1.3.3.4" xref="A2.E175.m1.3.3.4.cmml"><msup id="A2.E175.m1.3.3.4.2" xref="A2.E175.m1.3.3.4.2.cmml"><mtext id="A2.E175.m1.3.3.4.2.2" xref="A2.E175.m1.3.3.4.2.2a.cmml">eig</mtext><mo id="A2.E175.m1.3.3.4.2.3" xref="A2.E175.m1.3.3.4.2.3.cmml">∗</mo></msup><mo id="A2.E175.m1.3.3.4.1" xref="A2.E175.m1.3.3.4.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A2.E175.m1.3.3.4.3.2" xref="A2.E175.m1.3.3.4.cmml"><mo id="A2.E175.m1.3.3.4.3.2.1" xref="A2.E175.m1.3.3.4.cmml">(</mo><mi id="A2.E175.m1.1.1" xref="A2.E175.m1.1.1.cmml">M</mi><mo id="A2.E175.m1.3.3.4.3.2.2" xref="A2.E175.m1.3.3.4.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A2.E175.m1.3.3.3" xref="A2.E175.m1.3.3.3.cmml">=</mo><mrow id="A2.E175.m1.3.3.2" xref="A2.E175.m1.3.3.2.cmml"><mrow id="A2.E175.m1.2.2.1.1" xref="A2.E175.m1.2.2.1.1.cmml"><msup id="A2.E175.m1.2.2.1.1.3" xref="A2.E175.m1.2.2.1.1.3.cmml"><mtext id="A2.E175.m1.2.2.1.1.3.2" xref="A2.E175.m1.2.2.1.1.3.2a.cmml">eig</mtext><mo id="A2.E175.m1.2.2.1.1.3.3" xref="A2.E175.m1.2.2.1.1.3.3.cmml">∗</mo></msup><mo id="A2.E175.m1.2.2.1.1.2" xref="A2.E175.m1.2.2.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A2.E175.m1.2.2.1.1.1.1" xref="A2.E175.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A2.E175.m1.2.2.1.1.1.1.2" xref="A2.E175.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A2.E175.m1.2.2.1.1.1.1.1" xref="A2.E175.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A2.E175.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="A2.E175.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A2.E175.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A2.E175.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A2.E175.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A2.E175.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A2.E175.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A2.E175.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">I</mi><mo id="A2.E175.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A2.E175.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mi id="A2.E175.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A2.E175.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">P</mi></mrow><mo id="A2.E175.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A2.E175.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A2.E175.m1.2.2.1.1.1.1.1.3" xref="A2.E175.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml">⁢</mo><mi id="A2.E175.m1.2.2.1.1.1.1.1.4" xref="A2.E175.m1.2.2.1.1.1.1.1.4.cmml">M</mi><mo id="A2.E175.m1.2.2.1.1.1.1.1.3a" xref="A2.E175.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml">⁢</mo><mrow id="A2.E175.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1" xref="A2.E175.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.1.cmml"><mo id="A2.E175.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.2" stretchy="false" xref="A2.E175.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A2.E175.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.1" xref="A2.E175.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.1.cmml"><mi id="A2.E175.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.1.2" xref="A2.E175.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.1.2.cmml">I</mi><mo id="A2.E175.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.1.1" xref="A2.E175.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml">−</mo><mi id="A2.E175.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.1.3" xref="A2.E175.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.1.3.cmml">P</mi></mrow><mo id="A2.E175.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.3" stretchy="false" xref="A2.E175.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A2.E175.m1.2.2.1.1.1.1.3" xref="A2.E175.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A2.E175.m1.3.3.2.3" xref="A2.E175.m1.3.3.2.3.cmml">∪</mo><mrow id="A2.E175.m1.3.3.2.2" xref="A2.E175.m1.3.3.2.2.cmml"><msup id="A2.E175.m1.3.3.2.2.3" xref="A2.E175.m1.3.3.2.2.3.cmml"><mtext id="A2.E175.m1.3.3.2.2.3.2" xref="A2.E175.m1.3.3.2.2.3.2a.cmml">eig</mtext><mo id="A2.E175.m1.3.3.2.2.3.3" xref="A2.E175.m1.3.3.2.2.3.3.cmml">∗</mo></msup><mo id="A2.E175.m1.3.3.2.2.2" xref="A2.E175.m1.3.3.2.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A2.E175.m1.3.3.2.2.1.1" xref="A2.E175.m1.3.3.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="A2.E175.m1.3.3.2.2.1.1.2" xref="A2.E175.m1.3.3.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A2.E175.m1.3.3.2.2.1.1.1" xref="A2.E175.m1.3.3.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="A2.E175.m1.3.3.2.2.1.1.1.2" xref="A2.E175.m1.3.3.2.2.1.1.1.2.cmml">P</mi><mo id="A2.E175.m1.3.3.2.2.1.1.1.1" xref="A2.E175.m1.3.3.2.2.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="A2.E175.m1.3.3.2.2.1.1.1.3" xref="A2.E175.m1.3.3.2.2.1.1.1.3.cmml">M</mi><mo id="A2.E175.m1.3.3.2.2.1.1.1.1a" xref="A2.E175.m1.3.3.2.2.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="A2.E175.m1.3.3.2.2.1.1.1.4" xref="A2.E175.m1.3.3.2.2.1.1.1.4.cmml">P</mi></mrow><mo id="A2.E175.m1.3.3.2.2.1.1.3" xref="A2.E175.m1.3.3.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.E175.m1.3b"><apply id="A2.E175.m1.3.3.cmml" xref="A2.E175.m1.3.3"><eq id="A2.E175.m1.3.3.3.cmml" xref="A2.E175.m1.3.3.3"></eq><apply id="A2.E175.m1.3.3.4.cmml" xref="A2.E175.m1.3.3.4"><times id="A2.E175.m1.3.3.4.1.cmml" xref="A2.E175.m1.3.3.4.1"></times><apply id="A2.E175.m1.3.3.4.2.cmml" xref="A2.E175.m1.3.3.4.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E175.m1.3.3.4.2.1.cmml" xref="A2.E175.m1.3.3.4.2">superscript</csymbol><ci id="A2.E175.m1.3.3.4.2.2a.cmml" xref="A2.E175.m1.3.3.4.2.2"><mtext id="A2.E175.m1.3.3.4.2.2.cmml" xref="A2.E175.m1.3.3.4.2.2">eig</mtext></ci><times id="A2.E175.m1.3.3.4.2.3.cmml" xref="A2.E175.m1.3.3.4.2.3"></times></apply><ci id="A2.E175.m1.1.1.cmml" xref="A2.E175.m1.1.1">𝑀</ci></apply><apply id="A2.E175.m1.3.3.2.cmml" xref="A2.E175.m1.3.3.2"><union id="A2.E175.m1.3.3.2.3.cmml" xref="A2.E175.m1.3.3.2.3"></union><apply id="A2.E175.m1.2.2.1.1.cmml" xref="A2.E175.m1.2.2.1.1"><times id="A2.E175.m1.2.2.1.1.2.cmml" xref="A2.E175.m1.2.2.1.1.2"></times><apply id="A2.E175.m1.2.2.1.1.3.cmml" xref="A2.E175.m1.2.2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E175.m1.2.2.1.1.3.1.cmml" xref="A2.E175.m1.2.2.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="A2.E175.m1.2.2.1.1.3.2a.cmml" xref="A2.E175.m1.2.2.1.1.3.2"><mtext id="A2.E175.m1.2.2.1.1.3.2.cmml" xref="A2.E175.m1.2.2.1.1.3.2">eig</mtext></ci><times id="A2.E175.m1.2.2.1.1.3.3.cmml" xref="A2.E175.m1.2.2.1.1.3.3"></times></apply><apply id="A2.E175.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="A2.E175.m1.2.2.1.1.1.1"><times id="A2.E175.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A2.E175.m1.2.2.1.1.1.1.1.3"></times><apply id="A2.E175.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A2.E175.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1"><minus id="A2.E175.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A2.E175.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><ci id="A2.E175.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A2.E175.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝐼</ci><ci id="A2.E175.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A2.E175.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑃</ci></apply><ci id="A2.E175.m1.2.2.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="A2.E175.m1.2.2.1.1.1.1.1.4">𝑀</ci><apply id="A2.E175.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.1.cmml" xref="A2.E175.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1"><minus id="A2.E175.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml" xref="A2.E175.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.1.1"></minus><ci id="A2.E175.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.1.2.cmml" xref="A2.E175.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.1.2">𝐼</ci><ci id="A2.E175.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.1.3.cmml" xref="A2.E175.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.1.3">𝑃</ci></apply></apply></apply><apply id="A2.E175.m1.3.3.2.2.cmml" xref="A2.E175.m1.3.3.2.2"><times id="A2.E175.m1.3.3.2.2.2.cmml" xref="A2.E175.m1.3.3.2.2.2"></times><apply id="A2.E175.m1.3.3.2.2.3.cmml" xref="A2.E175.m1.3.3.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E175.m1.3.3.2.2.3.1.cmml" xref="A2.E175.m1.3.3.2.2.3">superscript</csymbol><ci id="A2.E175.m1.3.3.2.2.3.2a.cmml" xref="A2.E175.m1.3.3.2.2.3.2"><mtext id="A2.E175.m1.3.3.2.2.3.2.cmml" xref="A2.E175.m1.3.3.2.2.3.2">eig</mtext></ci><times id="A2.E175.m1.3.3.2.2.3.3.cmml" xref="A2.E175.m1.3.3.2.2.3.3"></times></apply><apply id="A2.E175.m1.3.3.2.2.1.1.1.cmml" xref="A2.E175.m1.3.3.2.2.1.1"><times id="A2.E175.m1.3.3.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="A2.E175.m1.3.3.2.2.1.1.1.1"></times><ci id="A2.E175.m1.3.3.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="A2.E175.m1.3.3.2.2.1.1.1.2">𝑃</ci><ci id="A2.E175.m1.3.3.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="A2.E175.m1.3.3.2.2.1.1.1.3">𝑀</ci><ci id="A2.E175.m1.3.3.2.2.1.1.1.4.cmml" xref="A2.E175.m1.3.3.2.2.1.1.1.4">𝑃</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.E175.m1.3c">\displaystyle\text{eig}^{*}\left(M\right)=\text{eig}^{*}\left((I-P)M(I-P)% \right)\cup\text{eig}^{*}\left(PMP\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.E175.m1.3d">eig start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_M ) = eig start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT ( ( italic_I - italic_P ) italic_M ( italic_I - italic_P ) ) ∪ eig start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_P italic_M italic_P )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(175)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="A2.SS7.4.p4.9">Combining this with Equation <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#A2.E173" title="In Theorem. ‣ B.7 Proof of Theorem 26 ‣ Appendix B Assorted proofs ‣ Conditional 𝑡-independent spectral gap for random quantum circuits and implications for 𝑡-design depths"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">173</span></a> proves Equation <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#A2.E174" title="In Theorem. ‣ B.7 Proof of Theorem 26 ‣ Appendix B Assorted proofs ‣ Conditional 𝑡-independent spectral gap for random quantum circuits and implications for 𝑡-design depths"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">174</span></a>. ∎</p> </div> </div> </section> <section class="ltx_subsection" id="A2.SS8"> <h3 class="ltx_title ltx_title_subsection"> <span class="ltx_tag ltx_tag_subsection">B.8 </span>Proof of Lemma <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#Thmtheorem46" title="Lemma 46. ‣ VI.2 Bounds for 2<𝑡<7 and 𝑞≥𝑡 (Lemma 41) ‣ VI Bounding the complete derangement block ‣ Conditional 𝑡-independent spectral gap for random quantum circuits and implications for 𝑡-design depths"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">46</span></a> </h3> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_lemma" id="Thmlemmax5"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmlemmax5.1.1.1">Lemma</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmlemmax5.2.2">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="Thmlemmax5.p1"> <p class="ltx_p" id="Thmlemmax5.p1.2"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmlemmax5.p1.2.2">(Restatement of Lemma <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#Thmtheorem46" title="Lemma 46. ‣ VI.2 Bounds for 2<𝑡<7 and 𝑞≥𝑡 (Lemma 41) ‣ VI Bounding the complete derangement block ‣ Conditional 𝑡-independent spectral gap for random quantum circuits and implications for 𝑡-design depths"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">46</span></a>) Let <math alttext="Q_{1},Q_{2}\geq q\geq t" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmlemmax5.p1.1.1.m1.2"><semantics id="Thmlemmax5.p1.1.1.m1.2a"><mrow id="Thmlemmax5.p1.1.1.m1.2.2" xref="Thmlemmax5.p1.1.1.m1.2.2.cmml"><mrow id="Thmlemmax5.p1.1.1.m1.2.2.2.2" xref="Thmlemmax5.p1.1.1.m1.2.2.2.3.cmml"><msub id="Thmlemmax5.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1" xref="Thmlemmax5.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="Thmlemmax5.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.2" xref="Thmlemmax5.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">Q</mi><mn id="Thmlemmax5.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.3" xref="Thmlemmax5.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="Thmlemmax5.p1.1.1.m1.2.2.2.2.3" xref="Thmlemmax5.p1.1.1.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><msub id="Thmlemmax5.p1.1.1.m1.2.2.2.2.2" xref="Thmlemmax5.p1.1.1.m1.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="Thmlemmax5.p1.1.1.m1.2.2.2.2.2.2" xref="Thmlemmax5.p1.1.1.m1.2.2.2.2.2.2.cmml">Q</mi><mn id="Thmlemmax5.p1.1.1.m1.2.2.2.2.2.3" xref="Thmlemmax5.p1.1.1.m1.2.2.2.2.2.3.cmml">2</mn></msub></mrow><mo id="Thmlemmax5.p1.1.1.m1.2.2.4" xref="Thmlemmax5.p1.1.1.m1.2.2.4.cmml">≥</mo><mi id="Thmlemmax5.p1.1.1.m1.2.2.5" xref="Thmlemmax5.p1.1.1.m1.2.2.5.cmml">q</mi><mo id="Thmlemmax5.p1.1.1.m1.2.2.6" xref="Thmlemmax5.p1.1.1.m1.2.2.6.cmml">≥</mo><mi id="Thmlemmax5.p1.1.1.m1.2.2.7" xref="Thmlemmax5.p1.1.1.m1.2.2.7.cmml">t</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmlemmax5.p1.1.1.m1.2b"><apply id="Thmlemmax5.p1.1.1.m1.2.2.cmml" xref="Thmlemmax5.p1.1.1.m1.2.2"><and id="Thmlemmax5.p1.1.1.m1.2.2a.cmml" xref="Thmlemmax5.p1.1.1.m1.2.2"></and><apply id="Thmlemmax5.p1.1.1.m1.2.2b.cmml" xref="Thmlemmax5.p1.1.1.m1.2.2"><geq id="Thmlemmax5.p1.1.1.m1.2.2.4.cmml" xref="Thmlemmax5.p1.1.1.m1.2.2.4"></geq><list id="Thmlemmax5.p1.1.1.m1.2.2.2.3.cmml" xref="Thmlemmax5.p1.1.1.m1.2.2.2.2"><apply id="Thmlemmax5.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="Thmlemmax5.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmlemmax5.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="Thmlemmax5.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="Thmlemmax5.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="Thmlemmax5.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.2">𝑄</ci><cn id="Thmlemmax5.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="Thmlemmax5.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.3">1</cn></apply><apply id="Thmlemmax5.p1.1.1.m1.2.2.2.2.2.cmml" xref="Thmlemmax5.p1.1.1.m1.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmlemmax5.p1.1.1.m1.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="Thmlemmax5.p1.1.1.m1.2.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="Thmlemmax5.p1.1.1.m1.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="Thmlemmax5.p1.1.1.m1.2.2.2.2.2.2">𝑄</ci><cn id="Thmlemmax5.p1.1.1.m1.2.2.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="Thmlemmax5.p1.1.1.m1.2.2.2.2.2.3">2</cn></apply></list><ci id="Thmlemmax5.p1.1.1.m1.2.2.5.cmml" xref="Thmlemmax5.p1.1.1.m1.2.2.5">𝑞</ci></apply><apply id="Thmlemmax5.p1.1.1.m1.2.2c.cmml" xref="Thmlemmax5.p1.1.1.m1.2.2"><geq id="Thmlemmax5.p1.1.1.m1.2.2.6.cmml" xref="Thmlemmax5.p1.1.1.m1.2.2.6"></geq><share href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#Thmlemmax5.p1.1.1.m1.2.2.5.cmml" id="Thmlemmax5.p1.1.1.m1.2.2d.cmml" xref="Thmlemmax5.p1.1.1.m1.2.2"></share><ci id="Thmlemmax5.p1.1.1.m1.2.2.7.cmml" xref="Thmlemmax5.p1.1.1.m1.2.2.7">𝑡</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmlemmax5.p1.1.1.m1.2c">Q_{1},Q_{2}\geq q\geq t</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmlemmax5.p1.1.1.m1.2d">italic_Q start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , italic_Q start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT ≥ italic_q ≥ italic_t</annotation></semantics></math>. Let <math alttext="f_{t},g_{\sigma^{-1}\tau}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmlemmax5.p1.2.2.m2.2"><semantics id="Thmlemmax5.p1.2.2.m2.2a"><mrow id="Thmlemmax5.p1.2.2.m2.2.2.2" xref="Thmlemmax5.p1.2.2.m2.2.2.3.cmml"><msub id="Thmlemmax5.p1.2.2.m2.1.1.1.1" xref="Thmlemmax5.p1.2.2.m2.1.1.1.1.cmml"><mi id="Thmlemmax5.p1.2.2.m2.1.1.1.1.2" xref="Thmlemmax5.p1.2.2.m2.1.1.1.1.2.cmml">f</mi><mi id="Thmlemmax5.p1.2.2.m2.1.1.1.1.3" xref="Thmlemmax5.p1.2.2.m2.1.1.1.1.3.cmml">t</mi></msub><mo id="Thmlemmax5.p1.2.2.m2.2.2.2.3" xref="Thmlemmax5.p1.2.2.m2.2.2.3.cmml">,</mo><msub id="Thmlemmax5.p1.2.2.m2.2.2.2.2" xref="Thmlemmax5.p1.2.2.m2.2.2.2.2.cmml"><mi id="Thmlemmax5.p1.2.2.m2.2.2.2.2.2" xref="Thmlemmax5.p1.2.2.m2.2.2.2.2.2.cmml">g</mi><mrow id="Thmlemmax5.p1.2.2.m2.2.2.2.2.3" xref="Thmlemmax5.p1.2.2.m2.2.2.2.2.3.cmml"><msup id="Thmlemmax5.p1.2.2.m2.2.2.2.2.3.2" xref="Thmlemmax5.p1.2.2.m2.2.2.2.2.3.2.cmml"><mi id="Thmlemmax5.p1.2.2.m2.2.2.2.2.3.2.2" xref="Thmlemmax5.p1.2.2.m2.2.2.2.2.3.2.2.cmml">σ</mi><mrow id="Thmlemmax5.p1.2.2.m2.2.2.2.2.3.2.3" xref="Thmlemmax5.p1.2.2.m2.2.2.2.2.3.2.3.cmml"><mo id="Thmlemmax5.p1.2.2.m2.2.2.2.2.3.2.3a" xref="Thmlemmax5.p1.2.2.m2.2.2.2.2.3.2.3.cmml">−</mo><mn id="Thmlemmax5.p1.2.2.m2.2.2.2.2.3.2.3.2" xref="Thmlemmax5.p1.2.2.m2.2.2.2.2.3.2.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="Thmlemmax5.p1.2.2.m2.2.2.2.2.3.1" xref="Thmlemmax5.p1.2.2.m2.2.2.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="Thmlemmax5.p1.2.2.m2.2.2.2.2.3.3" xref="Thmlemmax5.p1.2.2.m2.2.2.2.2.3.3.cmml">τ</mi></mrow></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmlemmax5.p1.2.2.m2.2b"><list id="Thmlemmax5.p1.2.2.m2.2.2.3.cmml" xref="Thmlemmax5.p1.2.2.m2.2.2.2"><apply id="Thmlemmax5.p1.2.2.m2.1.1.1.1.cmml" xref="Thmlemmax5.p1.2.2.m2.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmlemmax5.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1.cmml" xref="Thmlemmax5.p1.2.2.m2.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="Thmlemmax5.p1.2.2.m2.1.1.1.1.2.cmml" xref="Thmlemmax5.p1.2.2.m2.1.1.1.1.2">𝑓</ci><ci id="Thmlemmax5.p1.2.2.m2.1.1.1.1.3.cmml" xref="Thmlemmax5.p1.2.2.m2.1.1.1.1.3">𝑡</ci></apply><apply id="Thmlemmax5.p1.2.2.m2.2.2.2.2.cmml" xref="Thmlemmax5.p1.2.2.m2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmlemmax5.p1.2.2.m2.2.2.2.2.1.cmml" xref="Thmlemmax5.p1.2.2.m2.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="Thmlemmax5.p1.2.2.m2.2.2.2.2.2.cmml" xref="Thmlemmax5.p1.2.2.m2.2.2.2.2.2">𝑔</ci><apply id="Thmlemmax5.p1.2.2.m2.2.2.2.2.3.cmml" xref="Thmlemmax5.p1.2.2.m2.2.2.2.2.3"><times id="Thmlemmax5.p1.2.2.m2.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="Thmlemmax5.p1.2.2.m2.2.2.2.2.3.1"></times><apply id="Thmlemmax5.p1.2.2.m2.2.2.2.2.3.2.cmml" xref="Thmlemmax5.p1.2.2.m2.2.2.2.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmlemmax5.p1.2.2.m2.2.2.2.2.3.2.1.cmml" xref="Thmlemmax5.p1.2.2.m2.2.2.2.2.3.2">superscript</csymbol><ci id="Thmlemmax5.p1.2.2.m2.2.2.2.2.3.2.2.cmml" xref="Thmlemmax5.p1.2.2.m2.2.2.2.2.3.2.2">𝜎</ci><apply id="Thmlemmax5.p1.2.2.m2.2.2.2.2.3.2.3.cmml" xref="Thmlemmax5.p1.2.2.m2.2.2.2.2.3.2.3"><minus id="Thmlemmax5.p1.2.2.m2.2.2.2.2.3.2.3.1.cmml" xref="Thmlemmax5.p1.2.2.m2.2.2.2.2.3.2.3"></minus><cn id="Thmlemmax5.p1.2.2.m2.2.2.2.2.3.2.3.2.cmml" type="integer" xref="Thmlemmax5.p1.2.2.m2.2.2.2.2.3.2.3.2">1</cn></apply></apply><ci id="Thmlemmax5.p1.2.2.m2.2.2.2.2.3.3.cmml" xref="Thmlemmax5.p1.2.2.m2.2.2.2.2.3.3">𝜏</ci></apply></apply></list></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmlemmax5.p1.2.2.m2.2c">f_{t},g_{\sigma^{-1}\tau}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmlemmax5.p1.2.2.m2.2d">italic_f start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT , italic_g start_POSTSUBSCRIPT italic_σ start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT italic_τ end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> be polynomials such that</span></p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_gather ltx_eqn_table" id="S6.EGx148"> <tbody id="A2.E176"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\displaystyle\text{Wg}\left(\sigma^{-1}\tau,d\right)=\frac{g_{\sigma^{-1}\tau}% (d^{-1})}{f_{t}(d^{-1})}" class="ltx_Math" display="block" id="A2.E176.m1.4"><semantics id="A2.E176.m1.4a"><mrow id="A2.E176.m1.4.4" xref="A2.E176.m1.4.4.cmml"><mrow id="A2.E176.m1.4.4.1" xref="A2.E176.m1.4.4.1.cmml"><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="A2.E176.m1.4.4.1.3" xref="A2.E176.m1.4.4.1.3a.cmml">Wg</mtext><mo id="A2.E176.m1.4.4.1.2" xref="A2.E176.m1.4.4.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A2.E176.m1.4.4.1.1.1" xref="A2.E176.m1.4.4.1.1.2.cmml"><mo id="A2.E176.m1.4.4.1.1.1.2" xref="A2.E176.m1.4.4.1.1.2.cmml">(</mo><mrow id="A2.E176.m1.4.4.1.1.1.1" xref="A2.E176.m1.4.4.1.1.1.1.cmml"><msup id="A2.E176.m1.4.4.1.1.1.1.2" xref="A2.E176.m1.4.4.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="A2.E176.m1.4.4.1.1.1.1.2.2" xref="A2.E176.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.cmml">σ</mi><mrow id="A2.E176.m1.4.4.1.1.1.1.2.3" xref="A2.E176.m1.4.4.1.1.1.1.2.3.cmml"><mo id="A2.E176.m1.4.4.1.1.1.1.2.3a" xref="A2.E176.m1.4.4.1.1.1.1.2.3.cmml">−</mo><mn id="A2.E176.m1.4.4.1.1.1.1.2.3.2" xref="A2.E176.m1.4.4.1.1.1.1.2.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="A2.E176.m1.4.4.1.1.1.1.1" xref="A2.E176.m1.4.4.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="A2.E176.m1.4.4.1.1.1.1.3" xref="A2.E176.m1.4.4.1.1.1.1.3.cmml">τ</mi></mrow><mo id="A2.E176.m1.4.4.1.1.1.3" xref="A2.E176.m1.4.4.1.1.2.cmml">,</mo><mi id="A2.E176.m1.3.3" xref="A2.E176.m1.3.3.cmml">d</mi><mo id="A2.E176.m1.4.4.1.1.1.4" xref="A2.E176.m1.4.4.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A2.E176.m1.4.4.2" xref="A2.E176.m1.4.4.2.cmml">=</mo><mfrac id="A2.E176.m1.2.2" xref="A2.E176.m1.2.2.cmml"><mrow id="A2.E176.m1.1.1.1" xref="A2.E176.m1.1.1.1.cmml"><msub id="A2.E176.m1.1.1.1.3" xref="A2.E176.m1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A2.E176.m1.1.1.1.3.2" xref="A2.E176.m1.1.1.1.3.2.cmml">g</mi><mrow id="A2.E176.m1.1.1.1.3.3" xref="A2.E176.m1.1.1.1.3.3.cmml"><msup id="A2.E176.m1.1.1.1.3.3.2" xref="A2.E176.m1.1.1.1.3.3.2.cmml"><mi id="A2.E176.m1.1.1.1.3.3.2.2" xref="A2.E176.m1.1.1.1.3.3.2.2.cmml">σ</mi><mrow id="A2.E176.m1.1.1.1.3.3.2.3" xref="A2.E176.m1.1.1.1.3.3.2.3.cmml"><mo id="A2.E176.m1.1.1.1.3.3.2.3a" xref="A2.E176.m1.1.1.1.3.3.2.3.cmml">−</mo><mn id="A2.E176.m1.1.1.1.3.3.2.3.2" xref="A2.E176.m1.1.1.1.3.3.2.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="A2.E176.m1.1.1.1.3.3.1" xref="A2.E176.m1.1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A2.E176.m1.1.1.1.3.3.3" xref="A2.E176.m1.1.1.1.3.3.3.cmml">τ</mi></mrow></msub><mo id="A2.E176.m1.1.1.1.2" xref="A2.E176.m1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A2.E176.m1.1.1.1.1.1" xref="A2.E176.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A2.E176.m1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A2.E176.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="A2.E176.m1.1.1.1.1.1.1" xref="A2.E176.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A2.E176.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A2.E176.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">d</mi><mrow id="A2.E176.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A2.E176.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="A2.E176.m1.1.1.1.1.1.1.3a" xref="A2.E176.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">−</mo><mn id="A2.E176.m1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A2.E176.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="A2.E176.m1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A2.E176.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mrow id="A2.E176.m1.2.2.2" xref="A2.E176.m1.2.2.2.cmml"><msub id="A2.E176.m1.2.2.2.3" xref="A2.E176.m1.2.2.2.3.cmml"><mi id="A2.E176.m1.2.2.2.3.2" xref="A2.E176.m1.2.2.2.3.2.cmml">f</mi><mi id="A2.E176.m1.2.2.2.3.3" xref="A2.E176.m1.2.2.2.3.3.cmml">t</mi></msub><mo id="A2.E176.m1.2.2.2.2" xref="A2.E176.m1.2.2.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A2.E176.m1.2.2.2.1.1" xref="A2.E176.m1.2.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="A2.E176.m1.2.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="A2.E176.m1.2.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="A2.E176.m1.2.2.2.1.1.1" xref="A2.E176.m1.2.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="A2.E176.m1.2.2.2.1.1.1.2" xref="A2.E176.m1.2.2.2.1.1.1.2.cmml">d</mi><mrow id="A2.E176.m1.2.2.2.1.1.1.3" xref="A2.E176.m1.2.2.2.1.1.1.3.cmml"><mo id="A2.E176.m1.2.2.2.1.1.1.3a" xref="A2.E176.m1.2.2.2.1.1.1.3.cmml">−</mo><mn id="A2.E176.m1.2.2.2.1.1.1.3.2" xref="A2.E176.m1.2.2.2.1.1.1.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="A2.E176.m1.2.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="A2.E176.m1.2.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mfrac></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.E176.m1.4b"><apply id="A2.E176.m1.4.4.cmml" xref="A2.E176.m1.4.4"><eq id="A2.E176.m1.4.4.2.cmml" xref="A2.E176.m1.4.4.2"></eq><apply id="A2.E176.m1.4.4.1.cmml" xref="A2.E176.m1.4.4.1"><times id="A2.E176.m1.4.4.1.2.cmml" xref="A2.E176.m1.4.4.1.2"></times><ci id="A2.E176.m1.4.4.1.3a.cmml" xref="A2.E176.m1.4.4.1.3"><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="A2.E176.m1.4.4.1.3.cmml" xref="A2.E176.m1.4.4.1.3">Wg</mtext></ci><interval closure="open" id="A2.E176.m1.4.4.1.1.2.cmml" xref="A2.E176.m1.4.4.1.1.1"><apply id="A2.E176.m1.4.4.1.1.1.1.cmml" xref="A2.E176.m1.4.4.1.1.1.1"><times id="A2.E176.m1.4.4.1.1.1.1.1.cmml" xref="A2.E176.m1.4.4.1.1.1.1.1"></times><apply id="A2.E176.m1.4.4.1.1.1.1.2.cmml" xref="A2.E176.m1.4.4.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E176.m1.4.4.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A2.E176.m1.4.4.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="A2.E176.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A2.E176.m1.4.4.1.1.1.1.2.2">𝜎</ci><apply id="A2.E176.m1.4.4.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="A2.E176.m1.4.4.1.1.1.1.2.3"><minus id="A2.E176.m1.4.4.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="A2.E176.m1.4.4.1.1.1.1.2.3"></minus><cn id="A2.E176.m1.4.4.1.1.1.1.2.3.2.cmml" type="integer" xref="A2.E176.m1.4.4.1.1.1.1.2.3.2">1</cn></apply></apply><ci id="A2.E176.m1.4.4.1.1.1.1.3.cmml" xref="A2.E176.m1.4.4.1.1.1.1.3">𝜏</ci></apply><ci id="A2.E176.m1.3.3.cmml" xref="A2.E176.m1.3.3">𝑑</ci></interval></apply><apply id="A2.E176.m1.2.2.cmml" xref="A2.E176.m1.2.2"><divide id="A2.E176.m1.2.2.3.cmml" xref="A2.E176.m1.2.2"></divide><apply id="A2.E176.m1.1.1.1.cmml" xref="A2.E176.m1.1.1.1"><times id="A2.E176.m1.1.1.1.2.cmml" xref="A2.E176.m1.1.1.1.2"></times><apply id="A2.E176.m1.1.1.1.3.cmml" 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start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT ) end_ARG start_ARG italic_f start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( italic_d start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT ) end_ARG</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(176)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="Thmlemmax5.p1.5"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmlemmax5.p1.5.1">Define the polynomial</span></p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_gather ltx_eqn_table" id="S6.EGx149"> <tbody id="A2.E177"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\displaystyle h_{\sigma\tau}(x,y)=\sum_{\rho\in S_{t}}x^{|\rho\sigma^{-1}|}y^{% |\rho|}g_{\rho^{-1}\tau}(xy)" class="ltx_Math" display="block" id="A2.E177.m1.5"><semantics id="A2.E177.m1.5a"><mrow id="A2.E177.m1.5.5" xref="A2.E177.m1.5.5.cmml"><mrow id="A2.E177.m1.5.5.3" xref="A2.E177.m1.5.5.3.cmml"><msub id="A2.E177.m1.5.5.3.2" xref="A2.E177.m1.5.5.3.2.cmml"><mi id="A2.E177.m1.5.5.3.2.2" xref="A2.E177.m1.5.5.3.2.2.cmml">h</mi><mrow id="A2.E177.m1.5.5.3.2.3" xref="A2.E177.m1.5.5.3.2.3.cmml"><mi id="A2.E177.m1.5.5.3.2.3.2" xref="A2.E177.m1.5.5.3.2.3.2.cmml">σ</mi><mo id="A2.E177.m1.5.5.3.2.3.1" xref="A2.E177.m1.5.5.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A2.E177.m1.5.5.3.2.3.3" xref="A2.E177.m1.5.5.3.2.3.3.cmml">τ</mi></mrow></msub><mo id="A2.E177.m1.5.5.3.1" xref="A2.E177.m1.5.5.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A2.E177.m1.5.5.3.3.2" xref="A2.E177.m1.5.5.3.3.1.cmml"><mo id="A2.E177.m1.5.5.3.3.2.1" stretchy="false" xref="A2.E177.m1.5.5.3.3.1.cmml">(</mo><mi id="A2.E177.m1.3.3" xref="A2.E177.m1.3.3.cmml">x</mi><mo id="A2.E177.m1.5.5.3.3.2.2" xref="A2.E177.m1.5.5.3.3.1.cmml">,</mo><mi id="A2.E177.m1.4.4" 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id="A2.E177.m1.5.5.1.1.5.3.2.3a" xref="A2.E177.m1.5.5.1.1.5.3.2.3.cmml">−</mo><mn id="A2.E177.m1.5.5.1.1.5.3.2.3.2" xref="A2.E177.m1.5.5.1.1.5.3.2.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="A2.E177.m1.5.5.1.1.5.3.1" xref="A2.E177.m1.5.5.1.1.5.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A2.E177.m1.5.5.1.1.5.3.3" xref="A2.E177.m1.5.5.1.1.5.3.3.cmml">τ</mi></mrow></msub><mo id="A2.E177.m1.5.5.1.1.2b" xref="A2.E177.m1.5.5.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A2.E177.m1.5.5.1.1.1.1" xref="A2.E177.m1.5.5.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A2.E177.m1.5.5.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A2.E177.m1.5.5.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A2.E177.m1.5.5.1.1.1.1.1" xref="A2.E177.m1.5.5.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A2.E177.m1.5.5.1.1.1.1.1.2" xref="A2.E177.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.cmml">x</mi><mo id="A2.E177.m1.5.5.1.1.1.1.1.1" xref="A2.E177.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="A2.E177.m1.5.5.1.1.1.1.1.3" xref="A2.E177.m1.5.5.1.1.1.1.1.3.cmml">y</mi></mrow><mo id="A2.E177.m1.5.5.1.1.1.1.3" stretchy="false" 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id="A2.E177.m1.3.3.cmml" xref="A2.E177.m1.3.3">𝑥</ci><ci id="A2.E177.m1.4.4.cmml" xref="A2.E177.m1.4.4">𝑦</ci></interval></apply><apply id="A2.E177.m1.5.5.1.cmml" xref="A2.E177.m1.5.5.1"><apply id="A2.E177.m1.5.5.1.2.cmml" xref="A2.E177.m1.5.5.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E177.m1.5.5.1.2.1.cmml" xref="A2.E177.m1.5.5.1.2">subscript</csymbol><sum id="A2.E177.m1.5.5.1.2.2.cmml" xref="A2.E177.m1.5.5.1.2.2"></sum><apply id="A2.E177.m1.5.5.1.2.3.cmml" xref="A2.E177.m1.5.5.1.2.3"><in id="A2.E177.m1.5.5.1.2.3.1.cmml" xref="A2.E177.m1.5.5.1.2.3.1"></in><ci id="A2.E177.m1.5.5.1.2.3.2.cmml" xref="A2.E177.m1.5.5.1.2.3.2">𝜌</ci><apply id="A2.E177.m1.5.5.1.2.3.3.cmml" xref="A2.E177.m1.5.5.1.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E177.m1.5.5.1.2.3.3.1.cmml" xref="A2.E177.m1.5.5.1.2.3.3">subscript</csymbol><ci id="A2.E177.m1.5.5.1.2.3.3.2.cmml" xref="A2.E177.m1.5.5.1.2.3.3.2">𝑆</ci><ci id="A2.E177.m1.5.5.1.2.3.3.3.cmml" xref="A2.E177.m1.5.5.1.2.3.3.3">𝑡</ci></apply></apply></apply><apply 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id="A2.E177.m1.5.5.1.1.5.3.cmml" xref="A2.E177.m1.5.5.1.1.5.3"><times id="A2.E177.m1.5.5.1.1.5.3.1.cmml" xref="A2.E177.m1.5.5.1.1.5.3.1"></times><apply id="A2.E177.m1.5.5.1.1.5.3.2.cmml" xref="A2.E177.m1.5.5.1.1.5.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E177.m1.5.5.1.1.5.3.2.1.cmml" xref="A2.E177.m1.5.5.1.1.5.3.2">superscript</csymbol><ci id="A2.E177.m1.5.5.1.1.5.3.2.2.cmml" xref="A2.E177.m1.5.5.1.1.5.3.2.2">𝜌</ci><apply id="A2.E177.m1.5.5.1.1.5.3.2.3.cmml" xref="A2.E177.m1.5.5.1.1.5.3.2.3"><minus id="A2.E177.m1.5.5.1.1.5.3.2.3.1.cmml" xref="A2.E177.m1.5.5.1.1.5.3.2.3"></minus><cn id="A2.E177.m1.5.5.1.1.5.3.2.3.2.cmml" type="integer" xref="A2.E177.m1.5.5.1.1.5.3.2.3.2">1</cn></apply></apply><ci id="A2.E177.m1.5.5.1.1.5.3.3.cmml" xref="A2.E177.m1.5.5.1.1.5.3.3">𝜏</ci></apply></apply><apply id="A2.E177.m1.5.5.1.1.1.1.1.cmml" xref="A2.E177.m1.5.5.1.1.1.1"><times id="A2.E177.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A2.E177.m1.5.5.1.1.1.1.1.1"></times><ci id="A2.E177.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A2.E177.m1.5.5.1.1.1.1.1.2">𝑥</ci><ci id="A2.E177.m1.5.5.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A2.E177.m1.5.5.1.1.1.1.1.3">𝑦</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.E177.m1.5c">\displaystyle h_{\sigma\tau}(x,y)=\sum_{\rho\in S_{t}}x^{|\rho\sigma^{-1}|}y^{% |\rho|}g_{\rho^{-1}\tau}(xy)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.E177.m1.5d">italic_h start_POSTSUBSCRIPT italic_σ italic_τ end_POSTSUBSCRIPT ( italic_x , italic_y ) = ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_ρ ∈ italic_S start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT italic_x start_POSTSUPERSCRIPT | italic_ρ italic_σ start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT | end_POSTSUPERSCRIPT italic_y start_POSTSUPERSCRIPT | italic_ρ | end_POSTSUPERSCRIPT italic_g start_POSTSUBSCRIPT italic_ρ start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT italic_τ end_POSTSUBSCRIPT ( italic_x italic_y )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(177)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="Thmlemmax5.p1.3"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmlemmax5.p1.3.1">and let <math alttext="h_{\sigma\tau}^{(i,j)}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmlemmax5.p1.3.1.m1.2"><semantics id="Thmlemmax5.p1.3.1.m1.2a"><msubsup id="Thmlemmax5.p1.3.1.m1.2.3" xref="Thmlemmax5.p1.3.1.m1.2.3.cmml"><mi id="Thmlemmax5.p1.3.1.m1.2.3.2.2" xref="Thmlemmax5.p1.3.1.m1.2.3.2.2.cmml">h</mi><mrow id="Thmlemmax5.p1.3.1.m1.2.3.2.3" xref="Thmlemmax5.p1.3.1.m1.2.3.2.3.cmml"><mi id="Thmlemmax5.p1.3.1.m1.2.3.2.3.2" xref="Thmlemmax5.p1.3.1.m1.2.3.2.3.2.cmml">σ</mi><mo id="Thmlemmax5.p1.3.1.m1.2.3.2.3.1" xref="Thmlemmax5.p1.3.1.m1.2.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="Thmlemmax5.p1.3.1.m1.2.3.2.3.3" xref="Thmlemmax5.p1.3.1.m1.2.3.2.3.3.cmml">τ</mi></mrow><mrow id="Thmlemmax5.p1.3.1.m1.2.2.2.4" xref="Thmlemmax5.p1.3.1.m1.2.2.2.3.cmml"><mo id="Thmlemmax5.p1.3.1.m1.2.2.2.4.1" stretchy="false" xref="Thmlemmax5.p1.3.1.m1.2.2.2.3.cmml">(</mo><mi id="Thmlemmax5.p1.3.1.m1.1.1.1.1" xref="Thmlemmax5.p1.3.1.m1.1.1.1.1.cmml">i</mi><mo id="Thmlemmax5.p1.3.1.m1.2.2.2.4.2" xref="Thmlemmax5.p1.3.1.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="Thmlemmax5.p1.3.1.m1.2.2.2.2" xref="Thmlemmax5.p1.3.1.m1.2.2.2.2.cmml">j</mi><mo id="Thmlemmax5.p1.3.1.m1.2.2.2.4.3" stretchy="false" xref="Thmlemmax5.p1.3.1.m1.2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></msubsup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmlemmax5.p1.3.1.m1.2b"><apply id="Thmlemmax5.p1.3.1.m1.2.3.cmml" xref="Thmlemmax5.p1.3.1.m1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmlemmax5.p1.3.1.m1.2.3.1.cmml" xref="Thmlemmax5.p1.3.1.m1.2.3">superscript</csymbol><apply id="Thmlemmax5.p1.3.1.m1.2.3.2.cmml" xref="Thmlemmax5.p1.3.1.m1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmlemmax5.p1.3.1.m1.2.3.2.1.cmml" xref="Thmlemmax5.p1.3.1.m1.2.3">subscript</csymbol><ci id="Thmlemmax5.p1.3.1.m1.2.3.2.2.cmml" xref="Thmlemmax5.p1.3.1.m1.2.3.2.2">ℎ</ci><apply id="Thmlemmax5.p1.3.1.m1.2.3.2.3.cmml" xref="Thmlemmax5.p1.3.1.m1.2.3.2.3"><times id="Thmlemmax5.p1.3.1.m1.2.3.2.3.1.cmml" xref="Thmlemmax5.p1.3.1.m1.2.3.2.3.1"></times><ci id="Thmlemmax5.p1.3.1.m1.2.3.2.3.2.cmml" xref="Thmlemmax5.p1.3.1.m1.2.3.2.3.2">𝜎</ci><ci id="Thmlemmax5.p1.3.1.m1.2.3.2.3.3.cmml" xref="Thmlemmax5.p1.3.1.m1.2.3.2.3.3">𝜏</ci></apply></apply><interval closure="open" id="Thmlemmax5.p1.3.1.m1.2.2.2.3.cmml" xref="Thmlemmax5.p1.3.1.m1.2.2.2.4"><ci id="Thmlemmax5.p1.3.1.m1.1.1.1.1.cmml" xref="Thmlemmax5.p1.3.1.m1.1.1.1.1">𝑖</ci><ci id="Thmlemmax5.p1.3.1.m1.2.2.2.2.cmml" xref="Thmlemmax5.p1.3.1.m1.2.2.2.2">𝑗</ci></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmlemmax5.p1.3.1.m1.2c">h_{\sigma\tau}^{(i,j)}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmlemmax5.p1.3.1.m1.2d">italic_h start_POSTSUBSCRIPT italic_σ italic_τ end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_i , italic_j ) end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> be the corresponding coefficients. Define the matrix</span></p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_gather ltx_eqn_table" id="S6.EGx150"> <tbody id="A2.E178"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\displaystyle\overline{H}(t)_{\sigma\tau}=\frac{1}{f_{t}(t^{-2})}\sum_{i,j}% \left|h_{\sigma\tau}^{(ij)}\right|t^{-(i+j)}" class="ltx_Math" display="block" id="A2.E178.m1.7"><semantics id="A2.E178.m1.7a"><mrow id="A2.E178.m1.7.7" xref="A2.E178.m1.7.7.cmml"><mrow id="A2.E178.m1.7.7.3" xref="A2.E178.m1.7.7.3.cmml"><mover accent="true" id="A2.E178.m1.7.7.3.2" xref="A2.E178.m1.7.7.3.2.cmml"><mi id="A2.E178.m1.7.7.3.2.2" xref="A2.E178.m1.7.7.3.2.2.cmml">H</mi><mo id="A2.E178.m1.7.7.3.2.1" xref="A2.E178.m1.7.7.3.2.1.cmml">¯</mo></mover><mo id="A2.E178.m1.7.7.3.1" xref="A2.E178.m1.7.7.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="A2.E178.m1.7.7.3.3" xref="A2.E178.m1.7.7.3.3.cmml"><mrow id="A2.E178.m1.7.7.3.3.2.2" xref="A2.E178.m1.7.7.3.3.cmml"><mo id="A2.E178.m1.7.7.3.3.2.2.1" stretchy="false" xref="A2.E178.m1.7.7.3.3.cmml">(</mo><mi id="A2.E178.m1.6.6" xref="A2.E178.m1.6.6.cmml">t</mi><mo id="A2.E178.m1.7.7.3.3.2.2.2" stretchy="false" xref="A2.E178.m1.7.7.3.3.cmml">)</mo></mrow><mrow id="A2.E178.m1.7.7.3.3.3" xref="A2.E178.m1.7.7.3.3.3.cmml"><mi id="A2.E178.m1.7.7.3.3.3.2" xref="A2.E178.m1.7.7.3.3.3.2.cmml">σ</mi><mo id="A2.E178.m1.7.7.3.3.3.1" xref="A2.E178.m1.7.7.3.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A2.E178.m1.7.7.3.3.3.3" xref="A2.E178.m1.7.7.3.3.3.3.cmml">τ</mi></mrow></msub></mrow><mo id="A2.E178.m1.7.7.2" xref="A2.E178.m1.7.7.2.cmml">=</mo><mrow id="A2.E178.m1.7.7.1" xref="A2.E178.m1.7.7.1.cmml"><mfrac id="A2.E178.m1.1.1" xref="A2.E178.m1.1.1.cmml"><mn id="A2.E178.m1.1.1.3" xref="A2.E178.m1.1.1.3.cmml">1</mn><mrow id="A2.E178.m1.1.1.1" xref="A2.E178.m1.1.1.1.cmml"><msub id="A2.E178.m1.1.1.1.3" xref="A2.E178.m1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A2.E178.m1.1.1.1.3.2" xref="A2.E178.m1.1.1.1.3.2.cmml">f</mi><mi id="A2.E178.m1.1.1.1.3.3" xref="A2.E178.m1.1.1.1.3.3.cmml">t</mi></msub><mo id="A2.E178.m1.1.1.1.2" xref="A2.E178.m1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A2.E178.m1.1.1.1.1.1" xref="A2.E178.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A2.E178.m1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A2.E178.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="A2.E178.m1.1.1.1.1.1.1" xref="A2.E178.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A2.E178.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A2.E178.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">t</mi><mrow id="A2.E178.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A2.E178.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="A2.E178.m1.1.1.1.1.1.1.3a" xref="A2.E178.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">−</mo><mn id="A2.E178.m1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A2.E178.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">2</mn></mrow></msup><mo id="A2.E178.m1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A2.E178.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mfrac><mo id="A2.E178.m1.7.7.1.2" xref="A2.E178.m1.7.7.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A2.E178.m1.7.7.1.1" xref="A2.E178.m1.7.7.1.1.cmml"><munder id="A2.E178.m1.7.7.1.1.2" xref="A2.E178.m1.7.7.1.1.2.cmml"><mo id="A2.E178.m1.7.7.1.1.2.2" movablelimits="false" rspace="0em" xref="A2.E178.m1.7.7.1.1.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="A2.E178.m1.3.3.2.4" xref="A2.E178.m1.3.3.2.3.cmml"><mi id="A2.E178.m1.2.2.1.1" xref="A2.E178.m1.2.2.1.1.cmml">i</mi><mo id="A2.E178.m1.3.3.2.4.1" xref="A2.E178.m1.3.3.2.3.cmml">,</mo><mi id="A2.E178.m1.3.3.2.2" xref="A2.E178.m1.3.3.2.2.cmml">j</mi></mrow></munder><mrow id="A2.E178.m1.7.7.1.1.1" xref="A2.E178.m1.7.7.1.1.1.cmml"><mrow id="A2.E178.m1.7.7.1.1.1.1.1" xref="A2.E178.m1.7.7.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="A2.E178.m1.7.7.1.1.1.1.1.2" xref="A2.E178.m1.7.7.1.1.1.1.2.1.cmml">|</mo><msubsup id="A2.E178.m1.7.7.1.1.1.1.1.1" xref="A2.E178.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A2.E178.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="A2.E178.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">h</mi><mrow id="A2.E178.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="A2.E178.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="A2.E178.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="A2.E178.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">σ</mi><mo id="A2.E178.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.3.1" xref="A2.E178.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A2.E178.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="A2.E178.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">τ</mi></mrow><mrow id="A2.E178.m1.4.4.1.1" xref="A2.E178.m1.4.4.1.1.1.cmml"><mo id="A2.E178.m1.4.4.1.1.2" stretchy="false" xref="A2.E178.m1.4.4.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A2.E178.m1.4.4.1.1.1" xref="A2.E178.m1.4.4.1.1.1.cmml"><mi id="A2.E178.m1.4.4.1.1.1.2" xref="A2.E178.m1.4.4.1.1.1.2.cmml">i</mi><mo id="A2.E178.m1.4.4.1.1.1.1" xref="A2.E178.m1.4.4.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="A2.E178.m1.4.4.1.1.1.3" xref="A2.E178.m1.4.4.1.1.1.3.cmml">j</mi></mrow><mo id="A2.E178.m1.4.4.1.1.3" stretchy="false" xref="A2.E178.m1.4.4.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></msubsup><mo id="A2.E178.m1.7.7.1.1.1.1.1.3" xref="A2.E178.m1.7.7.1.1.1.1.2.1.cmml">|</mo></mrow><mo id="A2.E178.m1.7.7.1.1.1.2" xref="A2.E178.m1.7.7.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msup id="A2.E178.m1.7.7.1.1.1.3" xref="A2.E178.m1.7.7.1.1.1.3.cmml"><mi id="A2.E178.m1.7.7.1.1.1.3.2" xref="A2.E178.m1.7.7.1.1.1.3.2.cmml">t</mi><mrow id="A2.E178.m1.5.5.1" xref="A2.E178.m1.5.5.1.cmml"><mo id="A2.E178.m1.5.5.1a" xref="A2.E178.m1.5.5.1.cmml">−</mo><mrow id="A2.E178.m1.5.5.1.1.1" xref="A2.E178.m1.5.5.1.1.1.1.cmml"><mo id="A2.E178.m1.5.5.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A2.E178.m1.5.5.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A2.E178.m1.5.5.1.1.1.1" xref="A2.E178.m1.5.5.1.1.1.1.cmml"><mi id="A2.E178.m1.5.5.1.1.1.1.2" xref="A2.E178.m1.5.5.1.1.1.1.2.cmml">i</mi><mo id="A2.E178.m1.5.5.1.1.1.1.1" xref="A2.E178.m1.5.5.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mi id="A2.E178.m1.5.5.1.1.1.1.3" xref="A2.E178.m1.5.5.1.1.1.1.3.cmml">j</mi></mrow><mo id="A2.E178.m1.5.5.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A2.E178.m1.5.5.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></msup></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.E178.m1.7b"><apply id="A2.E178.m1.7.7.cmml" xref="A2.E178.m1.7.7"><eq id="A2.E178.m1.7.7.2.cmml" xref="A2.E178.m1.7.7.2"></eq><apply id="A2.E178.m1.7.7.3.cmml" xref="A2.E178.m1.7.7.3"><times id="A2.E178.m1.7.7.3.1.cmml" xref="A2.E178.m1.7.7.3.1"></times><apply id="A2.E178.m1.7.7.3.2.cmml" xref="A2.E178.m1.7.7.3.2"><ci id="A2.E178.m1.7.7.3.2.1.cmml" xref="A2.E178.m1.7.7.3.2.1">¯</ci><ci id="A2.E178.m1.7.7.3.2.2.cmml" xref="A2.E178.m1.7.7.3.2.2">𝐻</ci></apply><apply id="A2.E178.m1.7.7.3.3.cmml" xref="A2.E178.m1.7.7.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E178.m1.7.7.3.3.1.cmml" xref="A2.E178.m1.7.7.3.3">subscript</csymbol><ci id="A2.E178.m1.6.6.cmml" xref="A2.E178.m1.6.6">𝑡</ci><apply id="A2.E178.m1.7.7.3.3.3.cmml" xref="A2.E178.m1.7.7.3.3.3"><times id="A2.E178.m1.7.7.3.3.3.1.cmml" xref="A2.E178.m1.7.7.3.3.3.1"></times><ci id="A2.E178.m1.7.7.3.3.3.2.cmml" xref="A2.E178.m1.7.7.3.3.3.2">𝜎</ci><ci id="A2.E178.m1.7.7.3.3.3.3.cmml" xref="A2.E178.m1.7.7.3.3.3.3">𝜏</ci></apply></apply></apply><apply id="A2.E178.m1.7.7.1.cmml" xref="A2.E178.m1.7.7.1"><times id="A2.E178.m1.7.7.1.2.cmml" xref="A2.E178.m1.7.7.1.2"></times><apply id="A2.E178.m1.1.1.cmml" xref="A2.E178.m1.1.1"><divide id="A2.E178.m1.1.1.2.cmml" xref="A2.E178.m1.1.1"></divide><cn id="A2.E178.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A2.E178.m1.1.1.3">1</cn><apply id="A2.E178.m1.1.1.1.cmml" xref="A2.E178.m1.1.1.1"><times id="A2.E178.m1.1.1.1.2.cmml" xref="A2.E178.m1.1.1.1.2"></times><apply id="A2.E178.m1.1.1.1.3.cmml" xref="A2.E178.m1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E178.m1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A2.E178.m1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A2.E178.m1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A2.E178.m1.1.1.1.3.2">𝑓</ci><ci id="A2.E178.m1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A2.E178.m1.1.1.1.3.3">𝑡</ci></apply><apply id="A2.E178.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A2.E178.m1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E178.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A2.E178.m1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="A2.E178.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A2.E178.m1.1.1.1.1.1.1.2">𝑡</ci><apply id="A2.E178.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A2.E178.m1.1.1.1.1.1.1.3"><minus id="A2.E178.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A2.E178.m1.1.1.1.1.1.1.3"></minus><cn id="A2.E178.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="A2.E178.m1.1.1.1.1.1.1.3.2">2</cn></apply></apply></apply></apply><apply id="A2.E178.m1.7.7.1.1.cmml" xref="A2.E178.m1.7.7.1.1"><apply id="A2.E178.m1.7.7.1.1.2.cmml" xref="A2.E178.m1.7.7.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E178.m1.7.7.1.1.2.1.cmml" xref="A2.E178.m1.7.7.1.1.2">subscript</csymbol><sum id="A2.E178.m1.7.7.1.1.2.2.cmml" xref="A2.E178.m1.7.7.1.1.2.2"></sum><list id="A2.E178.m1.3.3.2.3.cmml" xref="A2.E178.m1.3.3.2.4"><ci id="A2.E178.m1.2.2.1.1.cmml" xref="A2.E178.m1.2.2.1.1">𝑖</ci><ci id="A2.E178.m1.3.3.2.2.cmml" xref="A2.E178.m1.3.3.2.2">𝑗</ci></list></apply><apply id="A2.E178.m1.7.7.1.1.1.cmml" xref="A2.E178.m1.7.7.1.1.1"><times id="A2.E178.m1.7.7.1.1.1.2.cmml" xref="A2.E178.m1.7.7.1.1.1.2"></times><apply id="A2.E178.m1.7.7.1.1.1.1.2.cmml" xref="A2.E178.m1.7.7.1.1.1.1.1"><abs id="A2.E178.m1.7.7.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A2.E178.m1.7.7.1.1.1.1.1.2"></abs><apply id="A2.E178.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A2.E178.m1.7.7.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E178.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A2.E178.m1.7.7.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="A2.E178.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A2.E178.m1.7.7.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E178.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A2.E178.m1.7.7.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="A2.E178.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A2.E178.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.2">ℎ</ci><apply id="A2.E178.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="A2.E178.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.3"><times id="A2.E178.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="A2.E178.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.3.1"></times><ci id="A2.E178.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="A2.E178.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.3.2">𝜎</ci><ci id="A2.E178.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="A2.E178.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.3.3">𝜏</ci></apply></apply><apply id="A2.E178.m1.4.4.1.1.1.cmml" xref="A2.E178.m1.4.4.1.1"><times id="A2.E178.m1.4.4.1.1.1.1.cmml" xref="A2.E178.m1.4.4.1.1.1.1"></times><ci id="A2.E178.m1.4.4.1.1.1.2.cmml" xref="A2.E178.m1.4.4.1.1.1.2">𝑖</ci><ci id="A2.E178.m1.4.4.1.1.1.3.cmml" xref="A2.E178.m1.4.4.1.1.1.3">𝑗</ci></apply></apply></apply><apply id="A2.E178.m1.7.7.1.1.1.3.cmml" xref="A2.E178.m1.7.7.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E178.m1.7.7.1.1.1.3.1.cmml" xref="A2.E178.m1.7.7.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="A2.E178.m1.7.7.1.1.1.3.2.cmml" xref="A2.E178.m1.7.7.1.1.1.3.2">𝑡</ci><apply id="A2.E178.m1.5.5.1.cmml" xref="A2.E178.m1.5.5.1"><minus id="A2.E178.m1.5.5.1.2.cmml" xref="A2.E178.m1.5.5.1"></minus><apply id="A2.E178.m1.5.5.1.1.1.1.cmml" xref="A2.E178.m1.5.5.1.1.1"><plus id="A2.E178.m1.5.5.1.1.1.1.1.cmml" xref="A2.E178.m1.5.5.1.1.1.1.1"></plus><ci id="A2.E178.m1.5.5.1.1.1.1.2.cmml" xref="A2.E178.m1.5.5.1.1.1.1.2">𝑖</ci><ci id="A2.E178.m1.5.5.1.1.1.1.3.cmml" xref="A2.E178.m1.5.5.1.1.1.1.3">𝑗</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.E178.m1.7c">\displaystyle\overline{H}(t)_{\sigma\tau}=\frac{1}{f_{t}(t^{-2})}\sum_{i,j}% \left|h_{\sigma\tau}^{(ij)}\right|t^{-(i+j)}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.E178.m1.7d">over¯ start_ARG italic_H end_ARG ( italic_t ) start_POSTSUBSCRIPT italic_σ italic_τ end_POSTSUBSCRIPT = divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_f start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t start_POSTSUPERSCRIPT - 2 end_POSTSUPERSCRIPT ) end_ARG ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_i , italic_j end_POSTSUBSCRIPT | italic_h start_POSTSUBSCRIPT italic_σ italic_τ end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_i italic_j ) end_POSTSUPERSCRIPT | italic_t start_POSTSUPERSCRIPT - ( italic_i + italic_j ) end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(178)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="Thmlemmax5.p1.4"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmlemmax5.p1.4.1">Then we may bound the matrix elements of <math alttext="H" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmlemmax5.p1.4.1.m1.1"><semantics id="Thmlemmax5.p1.4.1.m1.1a"><mi id="Thmlemmax5.p1.4.1.m1.1.1" xref="Thmlemmax5.p1.4.1.m1.1.1.cmml">H</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmlemmax5.p1.4.1.m1.1b"><ci id="Thmlemmax5.p1.4.1.m1.1.1.cmml" xref="Thmlemmax5.p1.4.1.m1.1.1">𝐻</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmlemmax5.p1.4.1.m1.1c">H</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmlemmax5.p1.4.1.m1.1d">italic_H</annotation></semantics></math> by</span></p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_gather ltx_eqn_table" id="S6.EGx151"> <tbody id="A2.E179"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\displaystyle|H_{\sigma\tau}(Q_{1},Q_{2})|\leq\left(\frac{t}{q}\right)^{\left% \lceil\frac{t}{2}\right\rceil}\overline{H}(t)_{\sigma\tau}" class="ltx_Math" display="block" id="A2.E179.m1.4"><semantics id="A2.E179.m1.4a"><mrow id="A2.E179.m1.4.4" xref="A2.E179.m1.4.4.cmml"><mrow id="A2.E179.m1.4.4.1.1" xref="A2.E179.m1.4.4.1.2.cmml"><mo id="A2.E179.m1.4.4.1.1.2" stretchy="false" xref="A2.E179.m1.4.4.1.2.1.cmml">|</mo><mrow id="A2.E179.m1.4.4.1.1.1" xref="A2.E179.m1.4.4.1.1.1.cmml"><msub id="A2.E179.m1.4.4.1.1.1.4" xref="A2.E179.m1.4.4.1.1.1.4.cmml"><mi id="A2.E179.m1.4.4.1.1.1.4.2" xref="A2.E179.m1.4.4.1.1.1.4.2.cmml">H</mi><mrow id="A2.E179.m1.4.4.1.1.1.4.3" xref="A2.E179.m1.4.4.1.1.1.4.3.cmml"><mi id="A2.E179.m1.4.4.1.1.1.4.3.2" xref="A2.E179.m1.4.4.1.1.1.4.3.2.cmml">σ</mi><mo id="A2.E179.m1.4.4.1.1.1.4.3.1" xref="A2.E179.m1.4.4.1.1.1.4.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A2.E179.m1.4.4.1.1.1.4.3.3" xref="A2.E179.m1.4.4.1.1.1.4.3.3.cmml">τ</mi></mrow></msub><mo id="A2.E179.m1.4.4.1.1.1.3" xref="A2.E179.m1.4.4.1.1.1.3.cmml">⁢</mo><mrow id="A2.E179.m1.4.4.1.1.1.2.2" xref="A2.E179.m1.4.4.1.1.1.2.3.cmml"><mo id="A2.E179.m1.4.4.1.1.1.2.2.3" stretchy="false" xref="A2.E179.m1.4.4.1.1.1.2.3.cmml">(</mo><msub id="A2.E179.m1.4.4.1.1.1.1.1.1" xref="A2.E179.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A2.E179.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2" xref="A2.E179.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.cmml">Q</mi><mn id="A2.E179.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3" xref="A2.E179.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="A2.E179.m1.4.4.1.1.1.2.2.4" xref="A2.E179.m1.4.4.1.1.1.2.3.cmml">,</mo><msub id="A2.E179.m1.4.4.1.1.1.2.2.2" xref="A2.E179.m1.4.4.1.1.1.2.2.2.cmml"><mi id="A2.E179.m1.4.4.1.1.1.2.2.2.2" xref="A2.E179.m1.4.4.1.1.1.2.2.2.2.cmml">Q</mi><mn id="A2.E179.m1.4.4.1.1.1.2.2.2.3" xref="A2.E179.m1.4.4.1.1.1.2.2.2.3.cmml">2</mn></msub><mo id="A2.E179.m1.4.4.1.1.1.2.2.5" stretchy="false" xref="A2.E179.m1.4.4.1.1.1.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A2.E179.m1.4.4.1.1.3" stretchy="false" xref="A2.E179.m1.4.4.1.2.1.cmml">|</mo></mrow><mo id="A2.E179.m1.4.4.2" xref="A2.E179.m1.4.4.2.cmml">≤</mo><mrow id="A2.E179.m1.4.4.3" xref="A2.E179.m1.4.4.3.cmml"><msup id="A2.E179.m1.4.4.3.2" xref="A2.E179.m1.4.4.3.2.cmml"><mrow id="A2.E179.m1.4.4.3.2.2.2" xref="A2.E179.m1.2.2.cmml"><mo id="A2.E179.m1.4.4.3.2.2.2.1" xref="A2.E179.m1.2.2.cmml">(</mo><mfrac id="A2.E179.m1.2.2" xref="A2.E179.m1.2.2.cmml"><mi id="A2.E179.m1.2.2.2" xref="A2.E179.m1.2.2.2.cmml">t</mi><mi id="A2.E179.m1.2.2.3" xref="A2.E179.m1.2.2.3.cmml">q</mi></mfrac><mo id="A2.E179.m1.4.4.3.2.2.2.2" xref="A2.E179.m1.2.2.cmml">)</mo></mrow><mrow id="A2.E179.m1.1.1.1.3" xref="A2.E179.m1.1.1.1.2.cmml"><mo id="A2.E179.m1.1.1.1.3.1" xref="A2.E179.m1.1.1.1.2.1.cmml">⌈</mo><mfrac id="A2.E179.m1.1.1.1.1" xref="A2.E179.m1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A2.E179.m1.1.1.1.1.2" xref="A2.E179.m1.1.1.1.1.2.cmml">t</mi><mn id="A2.E179.m1.1.1.1.1.3" xref="A2.E179.m1.1.1.1.1.3.cmml">2</mn></mfrac><mo id="A2.E179.m1.1.1.1.3.2" xref="A2.E179.m1.1.1.1.2.1.cmml">⌉</mo></mrow></msup><mo id="A2.E179.m1.4.4.3.1" xref="A2.E179.m1.4.4.3.1.cmml">⁢</mo><mover accent="true" id="A2.E179.m1.4.4.3.3" xref="A2.E179.m1.4.4.3.3.cmml"><mi id="A2.E179.m1.4.4.3.3.2" xref="A2.E179.m1.4.4.3.3.2.cmml">H</mi><mo id="A2.E179.m1.4.4.3.3.1" xref="A2.E179.m1.4.4.3.3.1.cmml">¯</mo></mover><mo id="A2.E179.m1.4.4.3.1a" xref="A2.E179.m1.4.4.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="A2.E179.m1.4.4.3.4" xref="A2.E179.m1.4.4.3.4.cmml"><mrow id="A2.E179.m1.4.4.3.4.2.2" xref="A2.E179.m1.4.4.3.4.cmml"><mo id="A2.E179.m1.4.4.3.4.2.2.1" stretchy="false" xref="A2.E179.m1.4.4.3.4.cmml">(</mo><mi id="A2.E179.m1.3.3" xref="A2.E179.m1.3.3.cmml">t</mi><mo id="A2.E179.m1.4.4.3.4.2.2.2" stretchy="false" xref="A2.E179.m1.4.4.3.4.cmml">)</mo></mrow><mrow id="A2.E179.m1.4.4.3.4.3" xref="A2.E179.m1.4.4.3.4.3.cmml"><mi id="A2.E179.m1.4.4.3.4.3.2" xref="A2.E179.m1.4.4.3.4.3.2.cmml">σ</mi><mo id="A2.E179.m1.4.4.3.4.3.1" xref="A2.E179.m1.4.4.3.4.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A2.E179.m1.4.4.3.4.3.3" xref="A2.E179.m1.4.4.3.4.3.3.cmml">τ</mi></mrow></msub></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.E179.m1.4b"><apply id="A2.E179.m1.4.4.cmml" xref="A2.E179.m1.4.4"><leq id="A2.E179.m1.4.4.2.cmml" xref="A2.E179.m1.4.4.2"></leq><apply id="A2.E179.m1.4.4.1.2.cmml" xref="A2.E179.m1.4.4.1.1"><abs id="A2.E179.m1.4.4.1.2.1.cmml" xref="A2.E179.m1.4.4.1.1.2"></abs><apply id="A2.E179.m1.4.4.1.1.1.cmml" xref="A2.E179.m1.4.4.1.1.1"><times id="A2.E179.m1.4.4.1.1.1.3.cmml" xref="A2.E179.m1.4.4.1.1.1.3"></times><apply id="A2.E179.m1.4.4.1.1.1.4.cmml" xref="A2.E179.m1.4.4.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E179.m1.4.4.1.1.1.4.1.cmml" xref="A2.E179.m1.4.4.1.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="A2.E179.m1.4.4.1.1.1.4.2.cmml" xref="A2.E179.m1.4.4.1.1.1.4.2">𝐻</ci><apply id="A2.E179.m1.4.4.1.1.1.4.3.cmml" xref="A2.E179.m1.4.4.1.1.1.4.3"><times id="A2.E179.m1.4.4.1.1.1.4.3.1.cmml" xref="A2.E179.m1.4.4.1.1.1.4.3.1"></times><ci id="A2.E179.m1.4.4.1.1.1.4.3.2.cmml" xref="A2.E179.m1.4.4.1.1.1.4.3.2">𝜎</ci><ci id="A2.E179.m1.4.4.1.1.1.4.3.3.cmml" xref="A2.E179.m1.4.4.1.1.1.4.3.3">𝜏</ci></apply></apply><interval closure="open" id="A2.E179.m1.4.4.1.1.1.2.3.cmml" xref="A2.E179.m1.4.4.1.1.1.2.2"><apply id="A2.E179.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A2.E179.m1.4.4.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E179.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A2.E179.m1.4.4.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="A2.E179.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A2.E179.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2">𝑄</ci><cn id="A2.E179.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A2.E179.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3">1</cn></apply><apply id="A2.E179.m1.4.4.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="A2.E179.m1.4.4.1.1.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E179.m1.4.4.1.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="A2.E179.m1.4.4.1.1.1.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="A2.E179.m1.4.4.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="A2.E179.m1.4.4.1.1.1.2.2.2.2">𝑄</ci><cn id="A2.E179.m1.4.4.1.1.1.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="A2.E179.m1.4.4.1.1.1.2.2.2.3">2</cn></apply></interval></apply></apply><apply id="A2.E179.m1.4.4.3.cmml" xref="A2.E179.m1.4.4.3"><times id="A2.E179.m1.4.4.3.1.cmml" xref="A2.E179.m1.4.4.3.1"></times><apply id="A2.E179.m1.4.4.3.2.cmml" xref="A2.E179.m1.4.4.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E179.m1.4.4.3.2.1.cmml" xref="A2.E179.m1.4.4.3.2">superscript</csymbol><apply id="A2.E179.m1.2.2.cmml" xref="A2.E179.m1.4.4.3.2.2.2"><divide id="A2.E179.m1.2.2.1.cmml" xref="A2.E179.m1.4.4.3.2.2.2"></divide><ci id="A2.E179.m1.2.2.2.cmml" xref="A2.E179.m1.2.2.2">𝑡</ci><ci id="A2.E179.m1.2.2.3.cmml" xref="A2.E179.m1.2.2.3">𝑞</ci></apply><apply id="A2.E179.m1.1.1.1.2.cmml" xref="A2.E179.m1.1.1.1.3"><ceiling id="A2.E179.m1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A2.E179.m1.1.1.1.3.1"></ceiling><apply id="A2.E179.m1.1.1.1.1.cmml" xref="A2.E179.m1.1.1.1.1"><divide id="A2.E179.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A2.E179.m1.1.1.1.1"></divide><ci id="A2.E179.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A2.E179.m1.1.1.1.1.2">𝑡</ci><cn id="A2.E179.m1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A2.E179.m1.1.1.1.1.3">2</cn></apply></apply></apply><apply id="A2.E179.m1.4.4.3.3.cmml" xref="A2.E179.m1.4.4.3.3"><ci id="A2.E179.m1.4.4.3.3.1.cmml" xref="A2.E179.m1.4.4.3.3.1">¯</ci><ci id="A2.E179.m1.4.4.3.3.2.cmml" xref="A2.E179.m1.4.4.3.3.2">𝐻</ci></apply><apply id="A2.E179.m1.4.4.3.4.cmml" xref="A2.E179.m1.4.4.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E179.m1.4.4.3.4.1.cmml" xref="A2.E179.m1.4.4.3.4">subscript</csymbol><ci id="A2.E179.m1.3.3.cmml" xref="A2.E179.m1.3.3">𝑡</ci><apply id="A2.E179.m1.4.4.3.4.3.cmml" xref="A2.E179.m1.4.4.3.4.3"><times id="A2.E179.m1.4.4.3.4.3.1.cmml" xref="A2.E179.m1.4.4.3.4.3.1"></times><ci id="A2.E179.m1.4.4.3.4.3.2.cmml" xref="A2.E179.m1.4.4.3.4.3.2">𝜎</ci><ci id="A2.E179.m1.4.4.3.4.3.3.cmml" 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ltx_tag_equation ltx_align_right">(179)</span></td> </tr></tbody> </table> </div> </div> <div class="ltx_proof" id="A2.SS8.2"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_font_italic ltx_title_proof">Proof.</h6> <div class="ltx_para" id="A2.SS8.1.p1"> <p class="ltx_p" id="A2.SS8.1.p1.14">We have</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="S6.EGx152"> <tbody id="A2.E180"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle H_{\sigma\tau}(Q_{1},Q_{2})" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.E180.m1.2"><semantics id="A2.E180.m1.2a"><mrow id="A2.E180.m1.2.2" xref="A2.E180.m1.2.2.cmml"><msub id="A2.E180.m1.2.2.4" xref="A2.E180.m1.2.2.4.cmml"><mi id="A2.E180.m1.2.2.4.2" xref="A2.E180.m1.2.2.4.2.cmml">H</mi><mrow id="A2.E180.m1.2.2.4.3" xref="A2.E180.m1.2.2.4.3.cmml"><mi id="A2.E180.m1.2.2.4.3.2" xref="A2.E180.m1.2.2.4.3.2.cmml">σ</mi><mo id="A2.E180.m1.2.2.4.3.1" xref="A2.E180.m1.2.2.4.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A2.E180.m1.2.2.4.3.3" xref="A2.E180.m1.2.2.4.3.3.cmml">τ</mi></mrow></msub><mo id="A2.E180.m1.2.2.3" xref="A2.E180.m1.2.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="A2.E180.m1.2.2.2.2" xref="A2.E180.m1.2.2.2.3.cmml"><mo id="A2.E180.m1.2.2.2.2.3" stretchy="false" xref="A2.E180.m1.2.2.2.3.cmml">(</mo><msub id="A2.E180.m1.1.1.1.1.1" xref="A2.E180.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A2.E180.m1.1.1.1.1.1.2" xref="A2.E180.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">Q</mi><mn id="A2.E180.m1.1.1.1.1.1.3" xref="A2.E180.m1.1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="A2.E180.m1.2.2.2.2.4" xref="A2.E180.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><msub id="A2.E180.m1.2.2.2.2.2" xref="A2.E180.m1.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="A2.E180.m1.2.2.2.2.2.2" xref="A2.E180.m1.2.2.2.2.2.2.cmml">Q</mi><mn id="A2.E180.m1.2.2.2.2.2.3" xref="A2.E180.m1.2.2.2.2.2.3.cmml">2</mn></msub><mo id="A2.E180.m1.2.2.2.2.5" stretchy="false" xref="A2.E180.m1.2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.E180.m1.2b"><apply id="A2.E180.m1.2.2.cmml" xref="A2.E180.m1.2.2"><times id="A2.E180.m1.2.2.3.cmml" xref="A2.E180.m1.2.2.3"></times><apply id="A2.E180.m1.2.2.4.cmml" xref="A2.E180.m1.2.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E180.m1.2.2.4.1.cmml" xref="A2.E180.m1.2.2.4">subscript</csymbol><ci id="A2.E180.m1.2.2.4.2.cmml" xref="A2.E180.m1.2.2.4.2">𝐻</ci><apply id="A2.E180.m1.2.2.4.3.cmml" xref="A2.E180.m1.2.2.4.3"><times id="A2.E180.m1.2.2.4.3.1.cmml" xref="A2.E180.m1.2.2.4.3.1"></times><ci id="A2.E180.m1.2.2.4.3.2.cmml" xref="A2.E180.m1.2.2.4.3.2">𝜎</ci><ci id="A2.E180.m1.2.2.4.3.3.cmml" xref="A2.E180.m1.2.2.4.3.3">𝜏</ci></apply></apply><interval closure="open" id="A2.E180.m1.2.2.2.3.cmml" xref="A2.E180.m1.2.2.2.2"><apply id="A2.E180.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A2.E180.m1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E180.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A2.E180.m1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="A2.E180.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A2.E180.m1.1.1.1.1.1.2">𝑄</ci><cn id="A2.E180.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A2.E180.m1.1.1.1.1.1.3">1</cn></apply><apply id="A2.E180.m1.2.2.2.2.2.cmml" xref="A2.E180.m1.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E180.m1.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="A2.E180.m1.2.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="A2.E180.m1.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="A2.E180.m1.2.2.2.2.2.2">𝑄</ci><cn id="A2.E180.m1.2.2.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="A2.E180.m1.2.2.2.2.2.3">2</cn></apply></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.E180.m1.2c">\displaystyle H_{\sigma\tau}(Q_{1},Q_{2})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.E180.m1.2d">italic_H start_POSTSUBSCRIPT italic_σ italic_τ end_POSTSUBSCRIPT ( italic_Q start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , italic_Q start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=\left[W(Q_{1}Q_{2})D(Q_{2})C(Q_{1})\right]_{\sigma\tau}" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.E180.m2.1"><semantics id="A2.E180.m2.1a"><mrow id="A2.E180.m2.1.1" xref="A2.E180.m2.1.1.cmml"><mi id="A2.E180.m2.1.1.3" xref="A2.E180.m2.1.1.3.cmml"></mi><mo id="A2.E180.m2.1.1.2" xref="A2.E180.m2.1.1.2.cmml">=</mo><msub id="A2.E180.m2.1.1.1" xref="A2.E180.m2.1.1.1.cmml"><mrow id="A2.E180.m2.1.1.1.1.1" xref="A2.E180.m2.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="A2.E180.m2.1.1.1.1.1.2" xref="A2.E180.m2.1.1.1.1.2.1.cmml">[</mo><mrow id="A2.E180.m2.1.1.1.1.1.1" xref="A2.E180.m2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A2.E180.m2.1.1.1.1.1.1.5" xref="A2.E180.m2.1.1.1.1.1.1.5.cmml">W</mi><mo id="A2.E180.m2.1.1.1.1.1.1.4" xref="A2.E180.m2.1.1.1.1.1.1.4.cmml">⁢</mo><mrow id="A2.E180.m2.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A2.E180.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A2.E180.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A2.E180.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A2.E180.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A2.E180.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="A2.E180.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A2.E180.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="A2.E180.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="A2.E180.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">Q</mi><mn id="A2.E180.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="A2.E180.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">1</mn></msub><mo id="A2.E180.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A2.E180.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="A2.E180.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A2.E180.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A2.E180.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A2.E180.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">Q</mi><mn id="A2.E180.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A2.E180.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></msub></mrow><mo id="A2.E180.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A2.E180.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A2.E180.m2.1.1.1.1.1.1.4a" xref="A2.E180.m2.1.1.1.1.1.1.4.cmml">⁢</mo><mi id="A2.E180.m2.1.1.1.1.1.1.6" xref="A2.E180.m2.1.1.1.1.1.1.6.cmml">D</mi><mo id="A2.E180.m2.1.1.1.1.1.1.4b" xref="A2.E180.m2.1.1.1.1.1.1.4.cmml">⁢</mo><mrow id="A2.E180.m2.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="A2.E180.m2.1.1.1.1.1.1.2.1.1.cmml"><mo id="A2.E180.m2.1.1.1.1.1.1.2.1.2" stretchy="false" xref="A2.E180.m2.1.1.1.1.1.1.2.1.1.cmml">(</mo><msub id="A2.E180.m2.1.1.1.1.1.1.2.1.1" xref="A2.E180.m2.1.1.1.1.1.1.2.1.1.cmml"><mi id="A2.E180.m2.1.1.1.1.1.1.2.1.1.2" xref="A2.E180.m2.1.1.1.1.1.1.2.1.1.2.cmml">Q</mi><mn id="A2.E180.m2.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3" xref="A2.E180.m2.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.cmml">2</mn></msub><mo id="A2.E180.m2.1.1.1.1.1.1.2.1.3" stretchy="false" xref="A2.E180.m2.1.1.1.1.1.1.2.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A2.E180.m2.1.1.1.1.1.1.4c" xref="A2.E180.m2.1.1.1.1.1.1.4.cmml">⁢</mo><mi id="A2.E180.m2.1.1.1.1.1.1.7" xref="A2.E180.m2.1.1.1.1.1.1.7.cmml">C</mi><mo id="A2.E180.m2.1.1.1.1.1.1.4d" xref="A2.E180.m2.1.1.1.1.1.1.4.cmml">⁢</mo><mrow id="A2.E180.m2.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="A2.E180.m2.1.1.1.1.1.1.3.1.1.cmml"><mo id="A2.E180.m2.1.1.1.1.1.1.3.1.2" stretchy="false" xref="A2.E180.m2.1.1.1.1.1.1.3.1.1.cmml">(</mo><msub id="A2.E180.m2.1.1.1.1.1.1.3.1.1" 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id="A2.E180.m2.1.1.1.cmml" xref="A2.E180.m2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E180.m2.1.1.1.2.cmml" xref="A2.E180.m2.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="A2.E180.m2.1.1.1.1.2.cmml" xref="A2.E180.m2.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="A2.E180.m2.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A2.E180.m2.1.1.1.1.1.2">delimited-[]</csymbol><apply id="A2.E180.m2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A2.E180.m2.1.1.1.1.1.1"><times id="A2.E180.m2.1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="A2.E180.m2.1.1.1.1.1.1.4"></times><ci id="A2.E180.m2.1.1.1.1.1.1.5.cmml" xref="A2.E180.m2.1.1.1.1.1.1.5">𝑊</ci><apply id="A2.E180.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A2.E180.m2.1.1.1.1.1.1.1.1"><times id="A2.E180.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A2.E180.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></times><apply id="A2.E180.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A2.E180.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E180.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A2.E180.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="A2.E180.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A2.E180.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝑄</ci><cn id="A2.E180.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="A2.E180.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">1</cn></apply><apply id="A2.E180.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A2.E180.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E180.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A2.E180.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A2.E180.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A2.E180.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑄</ci><cn id="A2.E180.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="A2.E180.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">2</cn></apply></apply><ci id="A2.E180.m2.1.1.1.1.1.1.6.cmml" xref="A2.E180.m2.1.1.1.1.1.1.6">𝐷</ci><apply id="A2.E180.m2.1.1.1.1.1.1.2.1.1.cmml" xref="A2.E180.m2.1.1.1.1.1.1.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E180.m2.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml" xref="A2.E180.m2.1.1.1.1.1.1.2.1">subscript</csymbol><ci id="A2.E180.m2.1.1.1.1.1.1.2.1.1.2.cmml" xref="A2.E180.m2.1.1.1.1.1.1.2.1.1.2">𝑄</ci><cn id="A2.E180.m2.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A2.E180.m2.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3">2</cn></apply><ci id="A2.E180.m2.1.1.1.1.1.1.7.cmml" xref="A2.E180.m2.1.1.1.1.1.1.7">𝐶</ci><apply id="A2.E180.m2.1.1.1.1.1.1.3.1.1.cmml" xref="A2.E180.m2.1.1.1.1.1.1.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E180.m2.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.cmml" xref="A2.E180.m2.1.1.1.1.1.1.3.1">subscript</csymbol><ci id="A2.E180.m2.1.1.1.1.1.1.3.1.1.2.cmml" xref="A2.E180.m2.1.1.1.1.1.1.3.1.1.2">𝑄</ci><cn id="A2.E180.m2.1.1.1.1.1.1.3.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A2.E180.m2.1.1.1.1.1.1.3.1.1.3">1</cn></apply></apply></apply><apply id="A2.E180.m2.1.1.1.3.cmml" xref="A2.E180.m2.1.1.1.3"><times id="A2.E180.m2.1.1.1.3.1.cmml" xref="A2.E180.m2.1.1.1.3.1"></times><ci id="A2.E180.m2.1.1.1.3.2.cmml" xref="A2.E180.m2.1.1.1.3.2">𝜎</ci><ci id="A2.E180.m2.1.1.1.3.3.cmml" xref="A2.E180.m2.1.1.1.3.3">𝜏</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.E180.m2.1c">\displaystyle=\left[W(Q_{1}Q_{2})D(Q_{2})C(Q_{1})\right]_{\sigma\tau}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.E180.m2.1d">= [ italic_W ( italic_Q start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT italic_Q start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT ) italic_D ( italic_Q start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT ) italic_C ( italic_Q start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ) ] start_POSTSUBSCRIPT italic_σ italic_τ end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(180)</span></td> </tr></tbody> <tbody id="A2.E181"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=\sum_{\rho\in S_{t}}Q_{1}^{-|\rho\sigma^{-1}|}Q_{2}^{-|\rho|}% \text{Wg}(\rho^{-1}\tau,Q_{1}Q_{2})" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.E181.m1.4"><semantics id="A2.E181.m1.4a"><mrow id="A2.E181.m1.4.4" xref="A2.E181.m1.4.4.cmml"><mi id="A2.E181.m1.4.4.4" xref="A2.E181.m1.4.4.4.cmml"></mi><mo id="A2.E181.m1.4.4.3" xref="A2.E181.m1.4.4.3.cmml">=</mo><mrow id="A2.E181.m1.4.4.2" xref="A2.E181.m1.4.4.2.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A2.E181.m1.4.4.2.3" xref="A2.E181.m1.4.4.2.3.cmml"><munder id="A2.E181.m1.4.4.2.3a" xref="A2.E181.m1.4.4.2.3.cmml"><mo id="A2.E181.m1.4.4.2.3.2" movablelimits="false" xref="A2.E181.m1.4.4.2.3.2.cmml">∑</mo><mrow id="A2.E181.m1.4.4.2.3.3" xref="A2.E181.m1.4.4.2.3.3.cmml"><mi id="A2.E181.m1.4.4.2.3.3.2" xref="A2.E181.m1.4.4.2.3.3.2.cmml">ρ</mi><mo id="A2.E181.m1.4.4.2.3.3.1" xref="A2.E181.m1.4.4.2.3.3.1.cmml">∈</mo><msub id="A2.E181.m1.4.4.2.3.3.3" xref="A2.E181.m1.4.4.2.3.3.3.cmml"><mi id="A2.E181.m1.4.4.2.3.3.3.2" xref="A2.E181.m1.4.4.2.3.3.3.2.cmml">S</mi><mi id="A2.E181.m1.4.4.2.3.3.3.3" xref="A2.E181.m1.4.4.2.3.3.3.3.cmml">t</mi></msub></mrow></munder></mstyle><mrow id="A2.E181.m1.4.4.2.2" xref="A2.E181.m1.4.4.2.2.cmml"><msubsup id="A2.E181.m1.4.4.2.2.4" xref="A2.E181.m1.4.4.2.2.4.cmml"><mi id="A2.E181.m1.4.4.2.2.4.2.2" xref="A2.E181.m1.4.4.2.2.4.2.2.cmml">Q</mi><mn id="A2.E181.m1.4.4.2.2.4.2.3" xref="A2.E181.m1.4.4.2.2.4.2.3.cmml">1</mn><mrow id="A2.E181.m1.1.1.1" xref="A2.E181.m1.1.1.1.cmml"><mo id="A2.E181.m1.1.1.1a" xref="A2.E181.m1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="A2.E181.m1.1.1.1.1.1" xref="A2.E181.m1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="A2.E181.m1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A2.E181.m1.1.1.1.1.2.1.cmml">|</mo><mrow id="A2.E181.m1.1.1.1.1.1.1" xref="A2.E181.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A2.E181.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A2.E181.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">ρ</mi><mo id="A2.E181.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A2.E181.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msup id="A2.E181.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A2.E181.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A2.E181.m1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A2.E181.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">σ</mi><mrow id="A2.E181.m1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A2.E181.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mo id="A2.E181.m1.1.1.1.1.1.1.3.3a" xref="A2.E181.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">−</mo><mn id="A2.E181.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="A2.E181.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup></mrow><mo id="A2.E181.m1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A2.E181.m1.1.1.1.1.2.1.cmml">|</mo></mrow></mrow></msubsup><mo id="A2.E181.m1.4.4.2.2.3" xref="A2.E181.m1.4.4.2.2.3.cmml">⁢</mo><msubsup id="A2.E181.m1.4.4.2.2.5" xref="A2.E181.m1.4.4.2.2.5.cmml"><mi id="A2.E181.m1.4.4.2.2.5.2.2" xref="A2.E181.m1.4.4.2.2.5.2.2.cmml">Q</mi><mn id="A2.E181.m1.4.4.2.2.5.2.3" xref="A2.E181.m1.4.4.2.2.5.2.3.cmml">2</mn><mrow id="A2.E181.m1.2.2.1" xref="A2.E181.m1.2.2.1.cmml"><mo id="A2.E181.m1.2.2.1a" xref="A2.E181.m1.2.2.1.cmml">−</mo><mrow id="A2.E181.m1.2.2.1.3.2" xref="A2.E181.m1.2.2.1.3.1.cmml"><mo id="A2.E181.m1.2.2.1.3.2.1" stretchy="false" xref="A2.E181.m1.2.2.1.3.1.1.cmml">|</mo><mi id="A2.E181.m1.2.2.1.1" xref="A2.E181.m1.2.2.1.1.cmml">ρ</mi><mo id="A2.E181.m1.2.2.1.3.2.2" stretchy="false" xref="A2.E181.m1.2.2.1.3.1.1.cmml">|</mo></mrow></mrow></msubsup><mo id="A2.E181.m1.4.4.2.2.3a" xref="A2.E181.m1.4.4.2.2.3.cmml">⁢</mo><mtext id="A2.E181.m1.4.4.2.2.6" xref="A2.E181.m1.4.4.2.2.6a.cmml">Wg</mtext><mo id="A2.E181.m1.4.4.2.2.3b" xref="A2.E181.m1.4.4.2.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="A2.E181.m1.4.4.2.2.2.2" xref="A2.E181.m1.4.4.2.2.2.3.cmml"><mo id="A2.E181.m1.4.4.2.2.2.2.3" stretchy="false" xref="A2.E181.m1.4.4.2.2.2.3.cmml">(</mo><mrow id="A2.E181.m1.3.3.1.1.1.1.1" xref="A2.E181.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml"><msup id="A2.E181.m1.3.3.1.1.1.1.1.2" xref="A2.E181.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="A2.E181.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2" xref="A2.E181.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2.cmml">ρ</mi><mrow id="A2.E181.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.3" xref="A2.E181.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mo id="A2.E181.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.3a" xref="A2.E181.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.3.cmml">−</mo><mn id="A2.E181.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="A2.E181.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="A2.E181.m1.3.3.1.1.1.1.1.1" xref="A2.E181.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="A2.E181.m1.3.3.1.1.1.1.1.3" xref="A2.E181.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.cmml">τ</mi></mrow><mo id="A2.E181.m1.4.4.2.2.2.2.4" xref="A2.E181.m1.4.4.2.2.2.3.cmml">,</mo><mrow id="A2.E181.m1.4.4.2.2.2.2.2" xref="A2.E181.m1.4.4.2.2.2.2.2.cmml"><msub id="A2.E181.m1.4.4.2.2.2.2.2.2" xref="A2.E181.m1.4.4.2.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="A2.E181.m1.4.4.2.2.2.2.2.2.2" xref="A2.E181.m1.4.4.2.2.2.2.2.2.2.cmml">Q</mi><mn id="A2.E181.m1.4.4.2.2.2.2.2.2.3" xref="A2.E181.m1.4.4.2.2.2.2.2.2.3.cmml">1</mn></msub><mo id="A2.E181.m1.4.4.2.2.2.2.2.1" xref="A2.E181.m1.4.4.2.2.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="A2.E181.m1.4.4.2.2.2.2.2.3" xref="A2.E181.m1.4.4.2.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="A2.E181.m1.4.4.2.2.2.2.2.3.2" xref="A2.E181.m1.4.4.2.2.2.2.2.3.2.cmml">Q</mi><mn id="A2.E181.m1.4.4.2.2.2.2.2.3.3" xref="A2.E181.m1.4.4.2.2.2.2.2.3.3.cmml">2</mn></msub></mrow><mo id="A2.E181.m1.4.4.2.2.2.2.5" stretchy="false" xref="A2.E181.m1.4.4.2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.E181.m1.4b"><apply id="A2.E181.m1.4.4.cmml" xref="A2.E181.m1.4.4"><eq id="A2.E181.m1.4.4.3.cmml" xref="A2.E181.m1.4.4.3"></eq><csymbol cd="latexml" id="A2.E181.m1.4.4.4.cmml" xref="A2.E181.m1.4.4.4">absent</csymbol><apply id="A2.E181.m1.4.4.2.cmml" xref="A2.E181.m1.4.4.2"><apply id="A2.E181.m1.4.4.2.3.cmml" xref="A2.E181.m1.4.4.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E181.m1.4.4.2.3.1.cmml" xref="A2.E181.m1.4.4.2.3">subscript</csymbol><sum id="A2.E181.m1.4.4.2.3.2.cmml" xref="A2.E181.m1.4.4.2.3.2"></sum><apply id="A2.E181.m1.4.4.2.3.3.cmml" xref="A2.E181.m1.4.4.2.3.3"><in id="A2.E181.m1.4.4.2.3.3.1.cmml" xref="A2.E181.m1.4.4.2.3.3.1"></in><ci id="A2.E181.m1.4.4.2.3.3.2.cmml" xref="A2.E181.m1.4.4.2.3.3.2">𝜌</ci><apply id="A2.E181.m1.4.4.2.3.3.3.cmml" xref="A2.E181.m1.4.4.2.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E181.m1.4.4.2.3.3.3.1.cmml" xref="A2.E181.m1.4.4.2.3.3.3">subscript</csymbol><ci id="A2.E181.m1.4.4.2.3.3.3.2.cmml" xref="A2.E181.m1.4.4.2.3.3.3.2">𝑆</ci><ci id="A2.E181.m1.4.4.2.3.3.3.3.cmml" xref="A2.E181.m1.4.4.2.3.3.3.3">𝑡</ci></apply></apply></apply><apply id="A2.E181.m1.4.4.2.2.cmml" xref="A2.E181.m1.4.4.2.2"><times id="A2.E181.m1.4.4.2.2.3.cmml" xref="A2.E181.m1.4.4.2.2.3"></times><apply id="A2.E181.m1.4.4.2.2.4.cmml" xref="A2.E181.m1.4.4.2.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E181.m1.4.4.2.2.4.1.cmml" xref="A2.E181.m1.4.4.2.2.4">superscript</csymbol><apply id="A2.E181.m1.4.4.2.2.4.2.cmml" xref="A2.E181.m1.4.4.2.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E181.m1.4.4.2.2.4.2.1.cmml" xref="A2.E181.m1.4.4.2.2.4">subscript</csymbol><ci id="A2.E181.m1.4.4.2.2.4.2.2.cmml" xref="A2.E181.m1.4.4.2.2.4.2.2">𝑄</ci><cn id="A2.E181.m1.4.4.2.2.4.2.3.cmml" type="integer" xref="A2.E181.m1.4.4.2.2.4.2.3">1</cn></apply><apply id="A2.E181.m1.1.1.1.cmml" xref="A2.E181.m1.1.1.1"><minus id="A2.E181.m1.1.1.1.2.cmml" xref="A2.E181.m1.1.1.1"></minus><apply id="A2.E181.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A2.E181.m1.1.1.1.1.1"><abs id="A2.E181.m1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A2.E181.m1.1.1.1.1.1.2"></abs><apply id="A2.E181.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A2.E181.m1.1.1.1.1.1.1"><times id="A2.E181.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A2.E181.m1.1.1.1.1.1.1.1"></times><ci id="A2.E181.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A2.E181.m1.1.1.1.1.1.1.2">𝜌</ci><apply id="A2.E181.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A2.E181.m1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E181.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A2.E181.m1.1.1.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="A2.E181.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A2.E181.m1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝜎</ci><apply id="A2.E181.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A2.E181.m1.1.1.1.1.1.1.3.3"><minus id="A2.E181.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="A2.E181.m1.1.1.1.1.1.1.3.3"></minus><cn id="A2.E181.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" type="integer" xref="A2.E181.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2">1</cn></apply></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="A2.E181.m1.4.4.2.2.5.cmml" xref="A2.E181.m1.4.4.2.2.5"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E181.m1.4.4.2.2.5.1.cmml" xref="A2.E181.m1.4.4.2.2.5">superscript</csymbol><apply id="A2.E181.m1.4.4.2.2.5.2.cmml" xref="A2.E181.m1.4.4.2.2.5"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E181.m1.4.4.2.2.5.2.1.cmml" xref="A2.E181.m1.4.4.2.2.5">subscript</csymbol><ci id="A2.E181.m1.4.4.2.2.5.2.2.cmml" xref="A2.E181.m1.4.4.2.2.5.2.2">𝑄</ci><cn id="A2.E181.m1.4.4.2.2.5.2.3.cmml" type="integer" xref="A2.E181.m1.4.4.2.2.5.2.3">2</cn></apply><apply id="A2.E181.m1.2.2.1.cmml" xref="A2.E181.m1.2.2.1"><minus id="A2.E181.m1.2.2.1.2.cmml" xref="A2.E181.m1.2.2.1"></minus><apply id="A2.E181.m1.2.2.1.3.1.cmml" xref="A2.E181.m1.2.2.1.3.2"><abs id="A2.E181.m1.2.2.1.3.1.1.cmml" xref="A2.E181.m1.2.2.1.3.2.1"></abs><ci id="A2.E181.m1.2.2.1.1.cmml" xref="A2.E181.m1.2.2.1.1">𝜌</ci></apply></apply></apply><ci id="A2.E181.m1.4.4.2.2.6a.cmml" xref="A2.E181.m1.4.4.2.2.6"><mtext id="A2.E181.m1.4.4.2.2.6.cmml" xref="A2.E181.m1.4.4.2.2.6">Wg</mtext></ci><interval closure="open" id="A2.E181.m1.4.4.2.2.2.3.cmml" xref="A2.E181.m1.4.4.2.2.2.2"><apply id="A2.E181.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml" xref="A2.E181.m1.3.3.1.1.1.1.1"><times id="A2.E181.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A2.E181.m1.3.3.1.1.1.1.1.1"></times><apply id="A2.E181.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A2.E181.m1.3.3.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E181.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A2.E181.m1.3.3.1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="A2.E181.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A2.E181.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2">𝜌</ci><apply id="A2.E181.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="A2.E181.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.3"><minus id="A2.E181.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="A2.E181.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.3"></minus><cn id="A2.E181.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" type="integer" xref="A2.E181.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.3.2">1</cn></apply></apply><ci id="A2.E181.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A2.E181.m1.3.3.1.1.1.1.1.3">𝜏</ci></apply><apply id="A2.E181.m1.4.4.2.2.2.2.2.cmml" xref="A2.E181.m1.4.4.2.2.2.2.2"><times id="A2.E181.m1.4.4.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="A2.E181.m1.4.4.2.2.2.2.2.1"></times><apply id="A2.E181.m1.4.4.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="A2.E181.m1.4.4.2.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E181.m1.4.4.2.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="A2.E181.m1.4.4.2.2.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="A2.E181.m1.4.4.2.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="A2.E181.m1.4.4.2.2.2.2.2.2.2">𝑄</ci><cn id="A2.E181.m1.4.4.2.2.2.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="A2.E181.m1.4.4.2.2.2.2.2.2.3">1</cn></apply><apply id="A2.E181.m1.4.4.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="A2.E181.m1.4.4.2.2.2.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E181.m1.4.4.2.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="A2.E181.m1.4.4.2.2.2.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="A2.E181.m1.4.4.2.2.2.2.2.3.2.cmml" xref="A2.E181.m1.4.4.2.2.2.2.2.3.2">𝑄</ci><cn id="A2.E181.m1.4.4.2.2.2.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="A2.E181.m1.4.4.2.2.2.2.2.3.3">2</cn></apply></apply></interval></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.E181.m1.4c">\displaystyle=\sum_{\rho\in S_{t}}Q_{1}^{-|\rho\sigma^{-1}|}Q_{2}^{-|\rho|}% \text{Wg}(\rho^{-1}\tau,Q_{1}Q_{2})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.E181.m1.4d">= ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_ρ ∈ italic_S start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT italic_Q start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT - | italic_ρ italic_σ start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT | end_POSTSUPERSCRIPT italic_Q start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT - | italic_ρ | end_POSTSUPERSCRIPT Wg ( italic_ρ start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT italic_τ , italic_Q start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT italic_Q start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(181)</span></td> </tr></tbody> <tbody id="A2.E182"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=\frac{1}{f_{t}((Q_{1}Q_{2})^{-1})}\sum_{\rho\in S_{t}}Q_{1}^{-|% \rho\sigma^{-1}|}Q_{2}^{-|\rho|}g_{\rho^{-1}\tau}((Q_{1}Q_{2})^{-1})" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.E182.m1.4"><semantics id="A2.E182.m1.4a"><mrow id="A2.E182.m1.4.4" xref="A2.E182.m1.4.4.cmml"><mi id="A2.E182.m1.4.4.3" xref="A2.E182.m1.4.4.3.cmml"></mi><mo id="A2.E182.m1.4.4.2" xref="A2.E182.m1.4.4.2.cmml">=</mo><mrow id="A2.E182.m1.4.4.1" xref="A2.E182.m1.4.4.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A2.E182.m1.1.1" xref="A2.E182.m1.1.1.cmml"><mfrac id="A2.E182.m1.1.1a" xref="A2.E182.m1.1.1.cmml"><mn id="A2.E182.m1.1.1.3" xref="A2.E182.m1.1.1.3.cmml">1</mn><mrow id="A2.E182.m1.1.1.1" xref="A2.E182.m1.1.1.1.cmml"><msub id="A2.E182.m1.1.1.1.3" xref="A2.E182.m1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A2.E182.m1.1.1.1.3.2" xref="A2.E182.m1.1.1.1.3.2.cmml">f</mi><mi id="A2.E182.m1.1.1.1.3.3" xref="A2.E182.m1.1.1.1.3.3.cmml">t</mi></msub><mo id="A2.E182.m1.1.1.1.2" xref="A2.E182.m1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A2.E182.m1.1.1.1.1.1" xref="A2.E182.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A2.E182.m1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A2.E182.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="A2.E182.m1.1.1.1.1.1.1" xref="A2.E182.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A2.E182.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A2.E182.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A2.E182.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A2.E182.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A2.E182.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A2.E182.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="A2.E182.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A2.E182.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="A2.E182.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="A2.E182.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">Q</mi><mn id="A2.E182.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="A2.E182.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">1</mn></msub><mo id="A2.E182.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A2.E182.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="A2.E182.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A2.E182.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A2.E182.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A2.E182.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">Q</mi><mn id="A2.E182.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A2.E182.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></msub></mrow><mo id="A2.E182.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A2.E182.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="A2.E182.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A2.E182.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="A2.E182.m1.1.1.1.1.1.1.3a" xref="A2.E182.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">−</mo><mn id="A2.E182.m1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A2.E182.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="A2.E182.m1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A2.E182.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mfrac></mstyle><mo id="A2.E182.m1.4.4.1.2" xref="A2.E182.m1.4.4.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A2.E182.m1.4.4.1.1" xref="A2.E182.m1.4.4.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A2.E182.m1.4.4.1.1.2" xref="A2.E182.m1.4.4.1.1.2.cmml"><munder id="A2.E182.m1.4.4.1.1.2a" xref="A2.E182.m1.4.4.1.1.2.cmml"><mo id="A2.E182.m1.4.4.1.1.2.2" movablelimits="false" xref="A2.E182.m1.4.4.1.1.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="A2.E182.m1.4.4.1.1.2.3" xref="A2.E182.m1.4.4.1.1.2.3.cmml"><mi id="A2.E182.m1.4.4.1.1.2.3.2" xref="A2.E182.m1.4.4.1.1.2.3.2.cmml">ρ</mi><mo id="A2.E182.m1.4.4.1.1.2.3.1" xref="A2.E182.m1.4.4.1.1.2.3.1.cmml">∈</mo><msub id="A2.E182.m1.4.4.1.1.2.3.3" xref="A2.E182.m1.4.4.1.1.2.3.3.cmml"><mi id="A2.E182.m1.4.4.1.1.2.3.3.2" xref="A2.E182.m1.4.4.1.1.2.3.3.2.cmml">S</mi><mi id="A2.E182.m1.4.4.1.1.2.3.3.3" xref="A2.E182.m1.4.4.1.1.2.3.3.3.cmml">t</mi></msub></mrow></munder></mstyle><mrow id="A2.E182.m1.4.4.1.1.1" xref="A2.E182.m1.4.4.1.1.1.cmml"><msubsup id="A2.E182.m1.4.4.1.1.1.3" xref="A2.E182.m1.4.4.1.1.1.3.cmml"><mi id="A2.E182.m1.4.4.1.1.1.3.2.2" xref="A2.E182.m1.4.4.1.1.1.3.2.2.cmml">Q</mi><mn id="A2.E182.m1.4.4.1.1.1.3.2.3" xref="A2.E182.m1.4.4.1.1.1.3.2.3.cmml">1</mn><mrow id="A2.E182.m1.2.2.1" xref="A2.E182.m1.2.2.1.cmml"><mo id="A2.E182.m1.2.2.1a" xref="A2.E182.m1.2.2.1.cmml">−</mo><mrow id="A2.E182.m1.2.2.1.1.1" xref="A2.E182.m1.2.2.1.1.2.cmml"><mo id="A2.E182.m1.2.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A2.E182.m1.2.2.1.1.2.1.cmml">|</mo><mrow id="A2.E182.m1.2.2.1.1.1.1" xref="A2.E182.m1.2.2.1.1.1.1.cmml"><mi id="A2.E182.m1.2.2.1.1.1.1.2" xref="A2.E182.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml">ρ</mi><mo id="A2.E182.m1.2.2.1.1.1.1.1" xref="A2.E182.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msup id="A2.E182.m1.2.2.1.1.1.1.3" xref="A2.E182.m1.2.2.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A2.E182.m1.2.2.1.1.1.1.3.2" xref="A2.E182.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.cmml">σ</mi><mrow id="A2.E182.m1.2.2.1.1.1.1.3.3" xref="A2.E182.m1.2.2.1.1.1.1.3.3.cmml"><mo id="A2.E182.m1.2.2.1.1.1.1.3.3a" xref="A2.E182.m1.2.2.1.1.1.1.3.3.cmml">−</mo><mn id="A2.E182.m1.2.2.1.1.1.1.3.3.2" xref="A2.E182.m1.2.2.1.1.1.1.3.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup></mrow><mo id="A2.E182.m1.2.2.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A2.E182.m1.2.2.1.1.2.1.cmml">|</mo></mrow></mrow></msubsup><mo id="A2.E182.m1.4.4.1.1.1.2" xref="A2.E182.m1.4.4.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msubsup id="A2.E182.m1.4.4.1.1.1.4" xref="A2.E182.m1.4.4.1.1.1.4.cmml"><mi id="A2.E182.m1.4.4.1.1.1.4.2.2" xref="A2.E182.m1.4.4.1.1.1.4.2.2.cmml">Q</mi><mn id="A2.E182.m1.4.4.1.1.1.4.2.3" xref="A2.E182.m1.4.4.1.1.1.4.2.3.cmml">2</mn><mrow id="A2.E182.m1.3.3.1" xref="A2.E182.m1.3.3.1.cmml"><mo id="A2.E182.m1.3.3.1a" xref="A2.E182.m1.3.3.1.cmml">−</mo><mrow id="A2.E182.m1.3.3.1.3.2" xref="A2.E182.m1.3.3.1.3.1.cmml"><mo id="A2.E182.m1.3.3.1.3.2.1" stretchy="false" xref="A2.E182.m1.3.3.1.3.1.1.cmml">|</mo><mi id="A2.E182.m1.3.3.1.1" xref="A2.E182.m1.3.3.1.1.cmml">ρ</mi><mo id="A2.E182.m1.3.3.1.3.2.2" stretchy="false" xref="A2.E182.m1.3.3.1.3.1.1.cmml">|</mo></mrow></mrow></msubsup><mo id="A2.E182.m1.4.4.1.1.1.2a" xref="A2.E182.m1.4.4.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="A2.E182.m1.4.4.1.1.1.5" xref="A2.E182.m1.4.4.1.1.1.5.cmml"><mi id="A2.E182.m1.4.4.1.1.1.5.2" xref="A2.E182.m1.4.4.1.1.1.5.2.cmml">g</mi><mrow id="A2.E182.m1.4.4.1.1.1.5.3" xref="A2.E182.m1.4.4.1.1.1.5.3.cmml"><msup id="A2.E182.m1.4.4.1.1.1.5.3.2" xref="A2.E182.m1.4.4.1.1.1.5.3.2.cmml"><mi id="A2.E182.m1.4.4.1.1.1.5.3.2.2" xref="A2.E182.m1.4.4.1.1.1.5.3.2.2.cmml">ρ</mi><mrow id="A2.E182.m1.4.4.1.1.1.5.3.2.3" xref="A2.E182.m1.4.4.1.1.1.5.3.2.3.cmml"><mo id="A2.E182.m1.4.4.1.1.1.5.3.2.3a" xref="A2.E182.m1.4.4.1.1.1.5.3.2.3.cmml">−</mo><mn id="A2.E182.m1.4.4.1.1.1.5.3.2.3.2" xref="A2.E182.m1.4.4.1.1.1.5.3.2.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="A2.E182.m1.4.4.1.1.1.5.3.1" xref="A2.E182.m1.4.4.1.1.1.5.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A2.E182.m1.4.4.1.1.1.5.3.3" xref="A2.E182.m1.4.4.1.1.1.5.3.3.cmml">τ</mi></mrow></msub><mo id="A2.E182.m1.4.4.1.1.1.2b" xref="A2.E182.m1.4.4.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A2.E182.m1.4.4.1.1.1.1.1" xref="A2.E182.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A2.E182.m1.4.4.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A2.E182.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="A2.E182.m1.4.4.1.1.1.1.1.1" xref="A2.E182.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A2.E182.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A2.E182.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A2.E182.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A2.E182.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A2.E182.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A2.E182.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="A2.E182.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A2.E182.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="A2.E182.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="A2.E182.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">Q</mi><mn id="A2.E182.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="A2.E182.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">1</mn></msub><mo id="A2.E182.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A2.E182.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="A2.E182.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A2.E182.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A2.E182.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A2.E182.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">Q</mi><mn id="A2.E182.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A2.E182.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></msub></mrow><mo id="A2.E182.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A2.E182.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="A2.E182.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3" xref="A2.E182.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="A2.E182.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3a" xref="A2.E182.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.cmml">−</mo><mn id="A2.E182.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A2.E182.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="A2.E182.m1.4.4.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A2.E182.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.E182.m1.4b"><apply id="A2.E182.m1.4.4.cmml" xref="A2.E182.m1.4.4"><eq id="A2.E182.m1.4.4.2.cmml" xref="A2.E182.m1.4.4.2"></eq><csymbol cd="latexml" id="A2.E182.m1.4.4.3.cmml" xref="A2.E182.m1.4.4.3">absent</csymbol><apply id="A2.E182.m1.4.4.1.cmml" xref="A2.E182.m1.4.4.1"><times id="A2.E182.m1.4.4.1.2.cmml" xref="A2.E182.m1.4.4.1.2"></times><apply id="A2.E182.m1.1.1.cmml" xref="A2.E182.m1.1.1"><divide id="A2.E182.m1.1.1.2.cmml" xref="A2.E182.m1.1.1"></divide><cn id="A2.E182.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A2.E182.m1.1.1.3">1</cn><apply id="A2.E182.m1.1.1.1.cmml" xref="A2.E182.m1.1.1.1"><times id="A2.E182.m1.1.1.1.2.cmml" xref="A2.E182.m1.1.1.1.2"></times><apply id="A2.E182.m1.1.1.1.3.cmml" xref="A2.E182.m1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E182.m1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A2.E182.m1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A2.E182.m1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A2.E182.m1.1.1.1.3.2">𝑓</ci><ci id="A2.E182.m1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A2.E182.m1.1.1.1.3.3">𝑡</ci></apply><apply id="A2.E182.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A2.E182.m1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E182.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A2.E182.m1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="A2.E182.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A2.E182.m1.1.1.1.1.1.1.1.1"><times id="A2.E182.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A2.E182.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></times><apply id="A2.E182.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A2.E182.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E182.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A2.E182.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="A2.E182.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A2.E182.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝑄</ci><cn id="A2.E182.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="A2.E182.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">1</cn></apply><apply id="A2.E182.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A2.E182.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E182.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A2.E182.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A2.E182.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A2.E182.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑄</ci><cn id="A2.E182.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="A2.E182.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">2</cn></apply></apply><apply id="A2.E182.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A2.E182.m1.1.1.1.1.1.1.3"><minus id="A2.E182.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A2.E182.m1.1.1.1.1.1.1.3"></minus><cn id="A2.E182.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="A2.E182.m1.1.1.1.1.1.1.3.2">1</cn></apply></apply></apply></apply><apply id="A2.E182.m1.4.4.1.1.cmml" xref="A2.E182.m1.4.4.1.1"><apply id="A2.E182.m1.4.4.1.1.2.cmml" xref="A2.E182.m1.4.4.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E182.m1.4.4.1.1.2.1.cmml" xref="A2.E182.m1.4.4.1.1.2">subscript</csymbol><sum id="A2.E182.m1.4.4.1.1.2.2.cmml" xref="A2.E182.m1.4.4.1.1.2.2"></sum><apply id="A2.E182.m1.4.4.1.1.2.3.cmml" xref="A2.E182.m1.4.4.1.1.2.3"><in id="A2.E182.m1.4.4.1.1.2.3.1.cmml" xref="A2.E182.m1.4.4.1.1.2.3.1"></in><ci id="A2.E182.m1.4.4.1.1.2.3.2.cmml" xref="A2.E182.m1.4.4.1.1.2.3.2">𝜌</ci><apply id="A2.E182.m1.4.4.1.1.2.3.3.cmml" xref="A2.E182.m1.4.4.1.1.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E182.m1.4.4.1.1.2.3.3.1.cmml" xref="A2.E182.m1.4.4.1.1.2.3.3">subscript</csymbol><ci id="A2.E182.m1.4.4.1.1.2.3.3.2.cmml" xref="A2.E182.m1.4.4.1.1.2.3.3.2">𝑆</ci><ci id="A2.E182.m1.4.4.1.1.2.3.3.3.cmml" xref="A2.E182.m1.4.4.1.1.2.3.3.3">𝑡</ci></apply></apply></apply><apply id="A2.E182.m1.4.4.1.1.1.cmml" xref="A2.E182.m1.4.4.1.1.1"><times id="A2.E182.m1.4.4.1.1.1.2.cmml" xref="A2.E182.m1.4.4.1.1.1.2"></times><apply id="A2.E182.m1.4.4.1.1.1.3.cmml" xref="A2.E182.m1.4.4.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E182.m1.4.4.1.1.1.3.1.cmml" xref="A2.E182.m1.4.4.1.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="A2.E182.m1.4.4.1.1.1.3.2.cmml" xref="A2.E182.m1.4.4.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E182.m1.4.4.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="A2.E182.m1.4.4.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A2.E182.m1.4.4.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="A2.E182.m1.4.4.1.1.1.3.2.2">𝑄</ci><cn id="A2.E182.m1.4.4.1.1.1.3.2.3.cmml" type="integer" xref="A2.E182.m1.4.4.1.1.1.3.2.3">1</cn></apply><apply id="A2.E182.m1.2.2.1.cmml" xref="A2.E182.m1.2.2.1"><minus id="A2.E182.m1.2.2.1.2.cmml" xref="A2.E182.m1.2.2.1"></minus><apply id="A2.E182.m1.2.2.1.1.2.cmml" xref="A2.E182.m1.2.2.1.1.1"><abs id="A2.E182.m1.2.2.1.1.2.1.cmml" xref="A2.E182.m1.2.2.1.1.1.2"></abs><apply id="A2.E182.m1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="A2.E182.m1.2.2.1.1.1.1"><times id="A2.E182.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="A2.E182.m1.2.2.1.1.1.1.1"></times><ci id="A2.E182.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="A2.E182.m1.2.2.1.1.1.1.2">𝜌</ci><apply id="A2.E182.m1.2.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="A2.E182.m1.2.2.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E182.m1.2.2.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A2.E182.m1.2.2.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="A2.E182.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A2.E182.m1.2.2.1.1.1.1.3.2">𝜎</ci><apply id="A2.E182.m1.2.2.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A2.E182.m1.2.2.1.1.1.1.3.3"><minus id="A2.E182.m1.2.2.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="A2.E182.m1.2.2.1.1.1.1.3.3"></minus><cn id="A2.E182.m1.2.2.1.1.1.1.3.3.2.cmml" type="integer" xref="A2.E182.m1.2.2.1.1.1.1.3.3.2">1</cn></apply></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="A2.E182.m1.4.4.1.1.1.4.cmml" xref="A2.E182.m1.4.4.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E182.m1.4.4.1.1.1.4.1.cmml" xref="A2.E182.m1.4.4.1.1.1.4">superscript</csymbol><apply id="A2.E182.m1.4.4.1.1.1.4.2.cmml" xref="A2.E182.m1.4.4.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E182.m1.4.4.1.1.1.4.2.1.cmml" xref="A2.E182.m1.4.4.1.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="A2.E182.m1.4.4.1.1.1.4.2.2.cmml" xref="A2.E182.m1.4.4.1.1.1.4.2.2">𝑄</ci><cn id="A2.E182.m1.4.4.1.1.1.4.2.3.cmml" type="integer" xref="A2.E182.m1.4.4.1.1.1.4.2.3">2</cn></apply><apply id="A2.E182.m1.3.3.1.cmml" xref="A2.E182.m1.3.3.1"><minus id="A2.E182.m1.3.3.1.2.cmml" xref="A2.E182.m1.3.3.1"></minus><apply id="A2.E182.m1.3.3.1.3.1.cmml" xref="A2.E182.m1.3.3.1.3.2"><abs id="A2.E182.m1.3.3.1.3.1.1.cmml" xref="A2.E182.m1.3.3.1.3.2.1"></abs><ci id="A2.E182.m1.3.3.1.1.cmml" xref="A2.E182.m1.3.3.1.1">𝜌</ci></apply></apply></apply><apply id="A2.E182.m1.4.4.1.1.1.5.cmml" xref="A2.E182.m1.4.4.1.1.1.5"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E182.m1.4.4.1.1.1.5.1.cmml" xref="A2.E182.m1.4.4.1.1.1.5">subscript</csymbol><ci id="A2.E182.m1.4.4.1.1.1.5.2.cmml" xref="A2.E182.m1.4.4.1.1.1.5.2">𝑔</ci><apply id="A2.E182.m1.4.4.1.1.1.5.3.cmml" xref="A2.E182.m1.4.4.1.1.1.5.3"><times id="A2.E182.m1.4.4.1.1.1.5.3.1.cmml" xref="A2.E182.m1.4.4.1.1.1.5.3.1"></times><apply id="A2.E182.m1.4.4.1.1.1.5.3.2.cmml" xref="A2.E182.m1.4.4.1.1.1.5.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E182.m1.4.4.1.1.1.5.3.2.1.cmml" xref="A2.E182.m1.4.4.1.1.1.5.3.2">superscript</csymbol><ci id="A2.E182.m1.4.4.1.1.1.5.3.2.2.cmml" xref="A2.E182.m1.4.4.1.1.1.5.3.2.2">𝜌</ci><apply id="A2.E182.m1.4.4.1.1.1.5.3.2.3.cmml" xref="A2.E182.m1.4.4.1.1.1.5.3.2.3"><minus id="A2.E182.m1.4.4.1.1.1.5.3.2.3.1.cmml" xref="A2.E182.m1.4.4.1.1.1.5.3.2.3"></minus><cn id="A2.E182.m1.4.4.1.1.1.5.3.2.3.2.cmml" type="integer" xref="A2.E182.m1.4.4.1.1.1.5.3.2.3.2">1</cn></apply></apply><ci id="A2.E182.m1.4.4.1.1.1.5.3.3.cmml" xref="A2.E182.m1.4.4.1.1.1.5.3.3">𝜏</ci></apply></apply><apply id="A2.E182.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A2.E182.m1.4.4.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E182.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A2.E182.m1.4.4.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="A2.E182.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A2.E182.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1"><times id="A2.E182.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A2.E182.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></times><apply id="A2.E182.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A2.E182.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E182.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A2.E182.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="A2.E182.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A2.E182.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝑄</ci><cn id="A2.E182.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="A2.E182.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">1</cn></apply><apply id="A2.E182.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A2.E182.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E182.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A2.E182.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A2.E182.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A2.E182.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑄</ci><cn id="A2.E182.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="A2.E182.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">2</cn></apply></apply><apply id="A2.E182.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A2.E182.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3"><minus id="A2.E182.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A2.E182.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3"></minus><cn id="A2.E182.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="A2.E182.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2">1</cn></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.E182.m1.4c">\displaystyle=\frac{1}{f_{t}((Q_{1}Q_{2})^{-1})}\sum_{\rho\in S_{t}}Q_{1}^{-|% \rho\sigma^{-1}|}Q_{2}^{-|\rho|}g_{\rho^{-1}\tau}((Q_{1}Q_{2})^{-1})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.E182.m1.4d">= divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_f start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( ( italic_Q start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT italic_Q start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT ) end_ARG ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_ρ ∈ italic_S start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT italic_Q start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT - | italic_ρ italic_σ start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT | end_POSTSUPERSCRIPT italic_Q start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT - | italic_ρ | end_POSTSUPERSCRIPT italic_g start_POSTSUBSCRIPT italic_ρ start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT italic_τ end_POSTSUBSCRIPT ( ( italic_Q start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT italic_Q start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(182)</span></td> </tr></tbody> <tbody id="A2.E183"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=\frac{1}{f_{t}\big{(}(Q_{1}Q_{2})^{-1}\big{)}}\sum_{\rho\in S_{t% }}x^{|\rho\sigma^{-1}|}y^{|\rho|}g_{\rho^{-1}\tau}(xy)\big{|}_{x=Q_{1}^{-1},y=% Q_{2}^{-1}}" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.E183.m1.6"><semantics id="A2.E183.m1.6a"><mrow id="A2.E183.m1.6.6" xref="A2.E183.m1.6.6.cmml"><mi id="A2.E183.m1.6.6.3" xref="A2.E183.m1.6.6.3.cmml"></mi><mo id="A2.E183.m1.6.6.2" xref="A2.E183.m1.6.6.2.cmml">=</mo><msub id="A2.E183.m1.6.6.1.1" xref="A2.E183.m1.6.6.1.2.cmml"><mrow id="A2.E183.m1.6.6.1.1.1" xref="A2.E183.m1.6.6.1.2.cmml"><mrow id="A2.E183.m1.6.6.1.1.1.1" xref="A2.E183.m1.6.6.1.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A2.E183.m1.1.1" xref="A2.E183.m1.1.1.cmml"><mfrac id="A2.E183.m1.1.1a" xref="A2.E183.m1.1.1.cmml"><mn id="A2.E183.m1.1.1.3" xref="A2.E183.m1.1.1.3.cmml">1</mn><mrow id="A2.E183.m1.1.1.1" xref="A2.E183.m1.1.1.1.cmml"><msub id="A2.E183.m1.1.1.1.3" xref="A2.E183.m1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A2.E183.m1.1.1.1.3.2" xref="A2.E183.m1.1.1.1.3.2.cmml">f</mi><mi id="A2.E183.m1.1.1.1.3.3" xref="A2.E183.m1.1.1.1.3.3.cmml">t</mi></msub><mo id="A2.E183.m1.1.1.1.2" xref="A2.E183.m1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A2.E183.m1.1.1.1.1.1" xref="A2.E183.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A2.E183.m1.1.1.1.1.1.2" maxsize="120%" minsize="120%" xref="A2.E183.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="A2.E183.m1.1.1.1.1.1.1" xref="A2.E183.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A2.E183.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A2.E183.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A2.E183.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A2.E183.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A2.E183.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A2.E183.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="A2.E183.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A2.E183.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="A2.E183.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="A2.E183.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">Q</mi><mn id="A2.E183.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="A2.E183.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">1</mn></msub><mo id="A2.E183.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A2.E183.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="A2.E183.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A2.E183.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A2.E183.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A2.E183.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">Q</mi><mn id="A2.E183.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A2.E183.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></msub></mrow><mo id="A2.E183.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A2.E183.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="A2.E183.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A2.E183.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="A2.E183.m1.1.1.1.1.1.1.3a" xref="A2.E183.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">−</mo><mn id="A2.E183.m1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A2.E183.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="A2.E183.m1.1.1.1.1.1.3" maxsize="120%" minsize="120%" xref="A2.E183.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mfrac></mstyle><mo id="A2.E183.m1.6.6.1.1.1.1.2" xref="A2.E183.m1.6.6.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A2.E183.m1.6.6.1.1.1.1.1" xref="A2.E183.m1.6.6.1.1.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A2.E183.m1.6.6.1.1.1.1.1.2" xref="A2.E183.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.cmml"><munder id="A2.E183.m1.6.6.1.1.1.1.1.2a" xref="A2.E183.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="A2.E183.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.2" movablelimits="false" xref="A2.E183.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="A2.E183.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.3" xref="A2.E183.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="A2.E183.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="A2.E183.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">ρ</mi><mo id="A2.E183.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.3.1" xref="A2.E183.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml">∈</mo><msub id="A2.E183.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="A2.E183.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml"><mi id="A2.E183.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.3.3.2" xref="A2.E183.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.3.3.2.cmml">S</mi><mi id="A2.E183.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.3.3.3" xref="A2.E183.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.3.3.3.cmml">t</mi></msub></mrow></munder></mstyle><mrow id="A2.E183.m1.6.6.1.1.1.1.1.1" xref="A2.E183.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.cmml"><msup id="A2.E183.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3" xref="A2.E183.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A2.E183.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A2.E183.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">x</mi><mrow id="A2.E183.m1.2.2.1.1" xref="A2.E183.m1.2.2.1.2.cmml"><mo id="A2.E183.m1.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="A2.E183.m1.2.2.1.2.1.cmml">|</mo><mrow id="A2.E183.m1.2.2.1.1.1" xref="A2.E183.m1.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="A2.E183.m1.2.2.1.1.1.2" xref="A2.E183.m1.2.2.1.1.1.2.cmml">ρ</mi><mo id="A2.E183.m1.2.2.1.1.1.1" xref="A2.E183.m1.2.2.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msup id="A2.E183.m1.2.2.1.1.1.3" xref="A2.E183.m1.2.2.1.1.1.3.cmml"><mi id="A2.E183.m1.2.2.1.1.1.3.2" xref="A2.E183.m1.2.2.1.1.1.3.2.cmml">σ</mi><mrow id="A2.E183.m1.2.2.1.1.1.3.3" xref="A2.E183.m1.2.2.1.1.1.3.3.cmml"><mo id="A2.E183.m1.2.2.1.1.1.3.3a" xref="A2.E183.m1.2.2.1.1.1.3.3.cmml">−</mo><mn id="A2.E183.m1.2.2.1.1.1.3.3.2" xref="A2.E183.m1.2.2.1.1.1.3.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup></mrow><mo id="A2.E183.m1.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="A2.E183.m1.2.2.1.2.1.cmml">|</mo></mrow></msup><mo id="A2.E183.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2" xref="A2.E183.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msup id="A2.E183.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.4" xref="A2.E183.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="A2.E183.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.4.2" xref="A2.E183.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml">y</mi><mrow id="A2.E183.m1.3.3.1.3" xref="A2.E183.m1.3.3.1.2.cmml"><mo id="A2.E183.m1.3.3.1.3.1" stretchy="false" xref="A2.E183.m1.3.3.1.2.1.cmml">|</mo><mi id="A2.E183.m1.3.3.1.1" xref="A2.E183.m1.3.3.1.1.cmml">ρ</mi><mo id="A2.E183.m1.3.3.1.3.2" stretchy="false" xref="A2.E183.m1.3.3.1.2.1.cmml">|</mo></mrow></msup><mo id="A2.E183.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2a" xref="A2.E183.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="A2.E183.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.5" xref="A2.E183.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.5.cmml"><mi id="A2.E183.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.5.2" xref="A2.E183.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.5.2.cmml">g</mi><mrow id="A2.E183.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.5.3" xref="A2.E183.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.5.3.cmml"><msup id="A2.E183.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.5.3.2" xref="A2.E183.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.5.3.2.cmml"><mi id="A2.E183.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.5.3.2.2" xref="A2.E183.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.5.3.2.2.cmml">ρ</mi><mrow id="A2.E183.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.5.3.2.3" xref="A2.E183.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.5.3.2.3.cmml"><mo id="A2.E183.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.5.3.2.3a" xref="A2.E183.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.5.3.2.3.cmml">−</mo><mn id="A2.E183.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.5.3.2.3.2" xref="A2.E183.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.5.3.2.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="A2.E183.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.5.3.1" xref="A2.E183.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.5.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A2.E183.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.5.3.3" xref="A2.E183.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.5.3.3.cmml">τ</mi></mrow></msub><mo id="A2.E183.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2b" xref="A2.E183.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A2.E183.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A2.E183.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A2.E183.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A2.E183.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A2.E183.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A2.E183.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A2.E183.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A2.E183.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">x</mi><mo id="A2.E183.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A2.E183.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="A2.E183.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A2.E183.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">y</mi></mrow><mo id="A2.E183.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A2.E183.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="A2.E183.m1.6.6.1.1.1.2" maxsize="120%" minsize="120%" 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xref="A2.E183.m1.5.5.2.2.2.2.cmml">y</mi><mo id="A2.E183.m1.5.5.2.2.2.1" xref="A2.E183.m1.5.5.2.2.2.1.cmml">=</mo><msubsup id="A2.E183.m1.5.5.2.2.2.3" xref="A2.E183.m1.5.5.2.2.2.3.cmml"><mi id="A2.E183.m1.5.5.2.2.2.3.2.2" xref="A2.E183.m1.5.5.2.2.2.3.2.2.cmml">Q</mi><mn id="A2.E183.m1.5.5.2.2.2.3.2.3" xref="A2.E183.m1.5.5.2.2.2.3.2.3.cmml">2</mn><mrow id="A2.E183.m1.5.5.2.2.2.3.3" xref="A2.E183.m1.5.5.2.2.2.3.3.cmml"><mo id="A2.E183.m1.5.5.2.2.2.3.3a" xref="A2.E183.m1.5.5.2.2.2.3.3.cmml">−</mo><mn id="A2.E183.m1.5.5.2.2.2.3.3.2" xref="A2.E183.m1.5.5.2.2.2.3.3.2.cmml">1</mn></mrow></msubsup></mrow></mrow></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.E183.m1.6b"><apply id="A2.E183.m1.6.6.cmml" xref="A2.E183.m1.6.6"><eq id="A2.E183.m1.6.6.2.cmml" xref="A2.E183.m1.6.6.2"></eq><csymbol cd="latexml" id="A2.E183.m1.6.6.3.cmml" xref="A2.E183.m1.6.6.3">absent</csymbol><apply id="A2.E183.m1.6.6.1.2.cmml" xref="A2.E183.m1.6.6.1.1"><csymbol cd="latexml" id="A2.E183.m1.6.6.1.2.1.cmml" xref="A2.E183.m1.6.6.1.1.1.2">evaluated-at</csymbol><apply id="A2.E183.m1.6.6.1.1.1.1.cmml" xref="A2.E183.m1.6.6.1.1.1.1"><times id="A2.E183.m1.6.6.1.1.1.1.2.cmml" xref="A2.E183.m1.6.6.1.1.1.1.2"></times><apply id="A2.E183.m1.1.1.cmml" xref="A2.E183.m1.1.1"><divide id="A2.E183.m1.1.1.2.cmml" xref="A2.E183.m1.1.1"></divide><cn id="A2.E183.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A2.E183.m1.1.1.3">1</cn><apply id="A2.E183.m1.1.1.1.cmml" xref="A2.E183.m1.1.1.1"><times id="A2.E183.m1.1.1.1.2.cmml" xref="A2.E183.m1.1.1.1.2"></times><apply id="A2.E183.m1.1.1.1.3.cmml" xref="A2.E183.m1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E183.m1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A2.E183.m1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A2.E183.m1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A2.E183.m1.1.1.1.3.2">𝑓</ci><ci id="A2.E183.m1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A2.E183.m1.1.1.1.3.3">𝑡</ci></apply><apply id="A2.E183.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A2.E183.m1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E183.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A2.E183.m1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="A2.E183.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A2.E183.m1.1.1.1.1.1.1.1.1"><times id="A2.E183.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A2.E183.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></times><apply id="A2.E183.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A2.E183.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E183.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A2.E183.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="A2.E183.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A2.E183.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝑄</ci><cn id="A2.E183.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="A2.E183.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">1</cn></apply><apply id="A2.E183.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A2.E183.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E183.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A2.E183.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A2.E183.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A2.E183.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑄</ci><cn id="A2.E183.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="A2.E183.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">2</cn></apply></apply><apply id="A2.E183.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A2.E183.m1.1.1.1.1.1.1.3"><minus id="A2.E183.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A2.E183.m1.1.1.1.1.1.1.3"></minus><cn id="A2.E183.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="A2.E183.m1.1.1.1.1.1.1.3.2">1</cn></apply></apply></apply></apply><apply id="A2.E183.m1.6.6.1.1.1.1.1.cmml" xref="A2.E183.m1.6.6.1.1.1.1.1"><apply id="A2.E183.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A2.E183.m1.6.6.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E183.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A2.E183.m1.6.6.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><sum id="A2.E183.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A2.E183.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.2"></sum><apply id="A2.E183.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="A2.E183.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.3"><in id="A2.E183.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="A2.E183.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.3.1"></in><ci id="A2.E183.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="A2.E183.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.3.2">𝜌</ci><apply id="A2.E183.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="A2.E183.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E183.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.3.3.1.cmml" xref="A2.E183.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.3.3">subscript</csymbol><ci id="A2.E183.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.3.3.2.cmml" xref="A2.E183.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.3.3.2">𝑆</ci><ci id="A2.E183.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.3.3.3.cmml" xref="A2.E183.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.3.3.3">𝑡</ci></apply></apply></apply><apply id="A2.E183.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A2.E183.m1.6.6.1.1.1.1.1.1"><times id="A2.E183.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A2.E183.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2"></times><apply id="A2.E183.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A2.E183.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E183.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A2.E183.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="A2.E183.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A2.E183.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑥</ci><apply id="A2.E183.m1.2.2.1.2.cmml" xref="A2.E183.m1.2.2.1.1"><abs id="A2.E183.m1.2.2.1.2.1.cmml" xref="A2.E183.m1.2.2.1.1.2"></abs><apply id="A2.E183.m1.2.2.1.1.1.cmml" xref="A2.E183.m1.2.2.1.1.1"><times id="A2.E183.m1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="A2.E183.m1.2.2.1.1.1.1"></times><ci id="A2.E183.m1.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="A2.E183.m1.2.2.1.1.1.2">𝜌</ci><apply id="A2.E183.m1.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="A2.E183.m1.2.2.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E183.m1.2.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="A2.E183.m1.2.2.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="A2.E183.m1.2.2.1.1.1.3.2.cmml" xref="A2.E183.m1.2.2.1.1.1.3.2">𝜎</ci><apply id="A2.E183.m1.2.2.1.1.1.3.3.cmml" xref="A2.E183.m1.2.2.1.1.1.3.3"><minus id="A2.E183.m1.2.2.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="A2.E183.m1.2.2.1.1.1.3.3"></minus><cn id="A2.E183.m1.2.2.1.1.1.3.3.2.cmml" type="integer" xref="A2.E183.m1.2.2.1.1.1.3.3.2">1</cn></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="A2.E183.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="A2.E183.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E183.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="A2.E183.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.4">superscript</csymbol><ci id="A2.E183.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="A2.E183.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.4.2">𝑦</ci><apply id="A2.E183.m1.3.3.1.2.cmml" xref="A2.E183.m1.3.3.1.3"><abs id="A2.E183.m1.3.3.1.2.1.cmml" xref="A2.E183.m1.3.3.1.3.1"></abs><ci id="A2.E183.m1.3.3.1.1.cmml" xref="A2.E183.m1.3.3.1.1">𝜌</ci></apply></apply><apply id="A2.E183.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.5.cmml" xref="A2.E183.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.5"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E183.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.5.1.cmml" xref="A2.E183.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.5">subscript</csymbol><ci id="A2.E183.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.5.2.cmml" xref="A2.E183.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.5.2">𝑔</ci><apply id="A2.E183.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.5.3.cmml" xref="A2.E183.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.5.3"><times id="A2.E183.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.5.3.1.cmml" xref="A2.E183.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.5.3.1"></times><apply id="A2.E183.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.5.3.2.cmml" xref="A2.E183.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.5.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E183.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.5.3.2.1.cmml" xref="A2.E183.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.5.3.2">superscript</csymbol><ci id="A2.E183.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.5.3.2.2.cmml" xref="A2.E183.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.5.3.2.2">𝜌</ci><apply id="A2.E183.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.5.3.2.3.cmml" xref="A2.E183.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.5.3.2.3"><minus id="A2.E183.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.5.3.2.3.1.cmml" xref="A2.E183.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.5.3.2.3"></minus><cn id="A2.E183.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.5.3.2.3.2.cmml" type="integer" xref="A2.E183.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.5.3.2.3.2">1</cn></apply></apply><ci id="A2.E183.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.5.3.3.cmml" xref="A2.E183.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.5.3.3">𝜏</ci></apply></apply><apply id="A2.E183.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A2.E183.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1"><times id="A2.E183.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A2.E183.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></times><ci id="A2.E183.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A2.E183.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑥</ci><ci id="A2.E183.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A2.E183.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑦</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="A2.E183.m1.5.5.2.3.cmml" xref="A2.E183.m1.5.5.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E183.m1.5.5.2.3a.cmml" xref="A2.E183.m1.5.5.2.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="A2.E183.m1.4.4.1.1.1.cmml" xref="A2.E183.m1.4.4.1.1.1"><eq id="A2.E183.m1.4.4.1.1.1.1.cmml" xref="A2.E183.m1.4.4.1.1.1.1"></eq><ci id="A2.E183.m1.4.4.1.1.1.2.cmml" xref="A2.E183.m1.4.4.1.1.1.2">𝑥</ci><apply id="A2.E183.m1.4.4.1.1.1.3.cmml" xref="A2.E183.m1.4.4.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E183.m1.4.4.1.1.1.3.1.cmml" xref="A2.E183.m1.4.4.1.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="A2.E183.m1.4.4.1.1.1.3.2.cmml" xref="A2.E183.m1.4.4.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E183.m1.4.4.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="A2.E183.m1.4.4.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A2.E183.m1.4.4.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="A2.E183.m1.4.4.1.1.1.3.2.2">𝑄</ci><cn id="A2.E183.m1.4.4.1.1.1.3.2.3.cmml" type="integer" xref="A2.E183.m1.4.4.1.1.1.3.2.3">1</cn></apply><apply id="A2.E183.m1.4.4.1.1.1.3.3.cmml" xref="A2.E183.m1.4.4.1.1.1.3.3"><minus id="A2.E183.m1.4.4.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="A2.E183.m1.4.4.1.1.1.3.3"></minus><cn id="A2.E183.m1.4.4.1.1.1.3.3.2.cmml" type="integer" xref="A2.E183.m1.4.4.1.1.1.3.3.2">1</cn></apply></apply></apply><apply id="A2.E183.m1.5.5.2.2.2.cmml" xref="A2.E183.m1.5.5.2.2.2"><eq id="A2.E183.m1.5.5.2.2.2.1.cmml" xref="A2.E183.m1.5.5.2.2.2.1"></eq><ci id="A2.E183.m1.5.5.2.2.2.2.cmml" xref="A2.E183.m1.5.5.2.2.2.2">𝑦</ci><apply id="A2.E183.m1.5.5.2.2.2.3.cmml" xref="A2.E183.m1.5.5.2.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E183.m1.5.5.2.2.2.3.1.cmml" xref="A2.E183.m1.5.5.2.2.2.3">superscript</csymbol><apply id="A2.E183.m1.5.5.2.2.2.3.2.cmml" xref="A2.E183.m1.5.5.2.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E183.m1.5.5.2.2.2.3.2.1.cmml" xref="A2.E183.m1.5.5.2.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="A2.E183.m1.5.5.2.2.2.3.2.2.cmml" xref="A2.E183.m1.5.5.2.2.2.3.2.2">𝑄</ci><cn id="A2.E183.m1.5.5.2.2.2.3.2.3.cmml" type="integer" xref="A2.E183.m1.5.5.2.2.2.3.2.3">2</cn></apply><apply id="A2.E183.m1.5.5.2.2.2.3.3.cmml" xref="A2.E183.m1.5.5.2.2.2.3.3"><minus id="A2.E183.m1.5.5.2.2.2.3.3.1.cmml" xref="A2.E183.m1.5.5.2.2.2.3.3"></minus><cn id="A2.E183.m1.5.5.2.2.2.3.3.2.cmml" type="integer" xref="A2.E183.m1.5.5.2.2.2.3.3.2">1</cn></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.E183.m1.6c">\displaystyle=\frac{1}{f_{t}\big{(}(Q_{1}Q_{2})^{-1}\big{)}}\sum_{\rho\in S_{t% }}x^{|\rho\sigma^{-1}|}y^{|\rho|}g_{\rho^{-1}\tau}(xy)\big{|}_{x=Q_{1}^{-1},y=% Q_{2}^{-1}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.E183.m1.6d">= divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_f start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( ( italic_Q start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT italic_Q start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT ) end_ARG ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_ρ ∈ italic_S start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT italic_x start_POSTSUPERSCRIPT | italic_ρ italic_σ start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT | end_POSTSUPERSCRIPT italic_y start_POSTSUPERSCRIPT | italic_ρ | end_POSTSUPERSCRIPT italic_g start_POSTSUBSCRIPT italic_ρ start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT italic_τ end_POSTSUBSCRIPT ( italic_x italic_y ) | start_POSTSUBSCRIPT italic_x = italic_Q start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT , italic_y = italic_Q start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(183)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="A2.SS8.1.p1.4">The whole sum in the last line is a single polynomial over <math alttext="x" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.SS8.1.p1.1.m1.1"><semantics id="A2.SS8.1.p1.1.m1.1a"><mi id="A2.SS8.1.p1.1.m1.1.1" xref="A2.SS8.1.p1.1.m1.1.1.cmml">x</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.SS8.1.p1.1.m1.1b"><ci id="A2.SS8.1.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="A2.SS8.1.p1.1.m1.1.1">𝑥</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.SS8.1.p1.1.m1.1c">x</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.SS8.1.p1.1.m1.1d">italic_x</annotation></semantics></math> and <math alttext="y" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.SS8.1.p1.2.m2.1"><semantics id="A2.SS8.1.p1.2.m2.1a"><mi id="A2.SS8.1.p1.2.m2.1.1" xref="A2.SS8.1.p1.2.m2.1.1.cmml">y</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.SS8.1.p1.2.m2.1b"><ci id="A2.SS8.1.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="A2.SS8.1.p1.2.m2.1.1">𝑦</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.SS8.1.p1.2.m2.1c">y</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.SS8.1.p1.2.m2.1d">italic_y</annotation></semantics></math>, with <math alttext="t^{-1}\geq x,y>0" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.SS8.1.p1.3.m3.2"><semantics id="A2.SS8.1.p1.3.m3.2a"><mrow id="A2.SS8.1.p1.3.m3.2.2.2" xref="A2.SS8.1.p1.3.m3.2.2.3.cmml"><mrow id="A2.SS8.1.p1.3.m3.1.1.1.1" xref="A2.SS8.1.p1.3.m3.1.1.1.1.cmml"><msup id="A2.SS8.1.p1.3.m3.1.1.1.1.2" xref="A2.SS8.1.p1.3.m3.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="A2.SS8.1.p1.3.m3.1.1.1.1.2.2" xref="A2.SS8.1.p1.3.m3.1.1.1.1.2.2.cmml">t</mi><mrow id="A2.SS8.1.p1.3.m3.1.1.1.1.2.3" xref="A2.SS8.1.p1.3.m3.1.1.1.1.2.3.cmml"><mo id="A2.SS8.1.p1.3.m3.1.1.1.1.2.3a" xref="A2.SS8.1.p1.3.m3.1.1.1.1.2.3.cmml">−</mo><mn id="A2.SS8.1.p1.3.m3.1.1.1.1.2.3.2" xref="A2.SS8.1.p1.3.m3.1.1.1.1.2.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="A2.SS8.1.p1.3.m3.1.1.1.1.1" xref="A2.SS8.1.p1.3.m3.1.1.1.1.1.cmml">≥</mo><mi id="A2.SS8.1.p1.3.m3.1.1.1.1.3" xref="A2.SS8.1.p1.3.m3.1.1.1.1.3.cmml">x</mi></mrow><mo id="A2.SS8.1.p1.3.m3.2.2.2.3" xref="A2.SS8.1.p1.3.m3.2.2.3a.cmml">,</mo><mrow id="A2.SS8.1.p1.3.m3.2.2.2.2" xref="A2.SS8.1.p1.3.m3.2.2.2.2.cmml"><mi id="A2.SS8.1.p1.3.m3.2.2.2.2.2" xref="A2.SS8.1.p1.3.m3.2.2.2.2.2.cmml">y</mi><mo id="A2.SS8.1.p1.3.m3.2.2.2.2.1" xref="A2.SS8.1.p1.3.m3.2.2.2.2.1.cmml">></mo><mn id="A2.SS8.1.p1.3.m3.2.2.2.2.3" xref="A2.SS8.1.p1.3.m3.2.2.2.2.3.cmml">0</mn></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.SS8.1.p1.3.m3.2b"><apply id="A2.SS8.1.p1.3.m3.2.2.3.cmml" xref="A2.SS8.1.p1.3.m3.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.SS8.1.p1.3.m3.2.2.3a.cmml" xref="A2.SS8.1.p1.3.m3.2.2.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="A2.SS8.1.p1.3.m3.1.1.1.1.cmml" xref="A2.SS8.1.p1.3.m3.1.1.1.1"><geq id="A2.SS8.1.p1.3.m3.1.1.1.1.1.cmml" xref="A2.SS8.1.p1.3.m3.1.1.1.1.1"></geq><apply id="A2.SS8.1.p1.3.m3.1.1.1.1.2.cmml" xref="A2.SS8.1.p1.3.m3.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.SS8.1.p1.3.m3.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A2.SS8.1.p1.3.m3.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="A2.SS8.1.p1.3.m3.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A2.SS8.1.p1.3.m3.1.1.1.1.2.2">𝑡</ci><apply id="A2.SS8.1.p1.3.m3.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="A2.SS8.1.p1.3.m3.1.1.1.1.2.3"><minus id="A2.SS8.1.p1.3.m3.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="A2.SS8.1.p1.3.m3.1.1.1.1.2.3"></minus><cn id="A2.SS8.1.p1.3.m3.1.1.1.1.2.3.2.cmml" type="integer" xref="A2.SS8.1.p1.3.m3.1.1.1.1.2.3.2">1</cn></apply></apply><ci id="A2.SS8.1.p1.3.m3.1.1.1.1.3.cmml" xref="A2.SS8.1.p1.3.m3.1.1.1.1.3">𝑥</ci></apply><apply id="A2.SS8.1.p1.3.m3.2.2.2.2.cmml" xref="A2.SS8.1.p1.3.m3.2.2.2.2"><gt id="A2.SS8.1.p1.3.m3.2.2.2.2.1.cmml" xref="A2.SS8.1.p1.3.m3.2.2.2.2.1"></gt><ci id="A2.SS8.1.p1.3.m3.2.2.2.2.2.cmml" xref="A2.SS8.1.p1.3.m3.2.2.2.2.2">𝑦</ci><cn id="A2.SS8.1.p1.3.m3.2.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="A2.SS8.1.p1.3.m3.2.2.2.2.3">0</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.SS8.1.p1.3.m3.2c">t^{-1}\geq x,y>0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.SS8.1.p1.3.m3.2d">italic_t start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT ≥ italic_x , italic_y > 0</annotation></semantics></math>. We may thus define coefficients <math alttext="h_{\sigma\tau}^{(ij)}" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.SS8.1.p1.4.m4.1"><semantics id="A2.SS8.1.p1.4.m4.1a"><msubsup id="A2.SS8.1.p1.4.m4.1.2" xref="A2.SS8.1.p1.4.m4.1.2.cmml"><mi id="A2.SS8.1.p1.4.m4.1.2.2.2" xref="A2.SS8.1.p1.4.m4.1.2.2.2.cmml">h</mi><mrow id="A2.SS8.1.p1.4.m4.1.2.2.3" xref="A2.SS8.1.p1.4.m4.1.2.2.3.cmml"><mi id="A2.SS8.1.p1.4.m4.1.2.2.3.2" xref="A2.SS8.1.p1.4.m4.1.2.2.3.2.cmml">σ</mi><mo id="A2.SS8.1.p1.4.m4.1.2.2.3.1" xref="A2.SS8.1.p1.4.m4.1.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A2.SS8.1.p1.4.m4.1.2.2.3.3" xref="A2.SS8.1.p1.4.m4.1.2.2.3.3.cmml">τ</mi></mrow><mrow id="A2.SS8.1.p1.4.m4.1.1.1.1" xref="A2.SS8.1.p1.4.m4.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A2.SS8.1.p1.4.m4.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A2.SS8.1.p1.4.m4.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A2.SS8.1.p1.4.m4.1.1.1.1.1" xref="A2.SS8.1.p1.4.m4.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A2.SS8.1.p1.4.m4.1.1.1.1.1.2" xref="A2.SS8.1.p1.4.m4.1.1.1.1.1.2.cmml">i</mi><mo id="A2.SS8.1.p1.4.m4.1.1.1.1.1.1" xref="A2.SS8.1.p1.4.m4.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="A2.SS8.1.p1.4.m4.1.1.1.1.1.3" xref="A2.SS8.1.p1.4.m4.1.1.1.1.1.3.cmml">j</mi></mrow><mo id="A2.SS8.1.p1.4.m4.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A2.SS8.1.p1.4.m4.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></msubsup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.SS8.1.p1.4.m4.1b"><apply id="A2.SS8.1.p1.4.m4.1.2.cmml" xref="A2.SS8.1.p1.4.m4.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.SS8.1.p1.4.m4.1.2.1.cmml" xref="A2.SS8.1.p1.4.m4.1.2">superscript</csymbol><apply id="A2.SS8.1.p1.4.m4.1.2.2.cmml" xref="A2.SS8.1.p1.4.m4.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.SS8.1.p1.4.m4.1.2.2.1.cmml" xref="A2.SS8.1.p1.4.m4.1.2">subscript</csymbol><ci id="A2.SS8.1.p1.4.m4.1.2.2.2.cmml" xref="A2.SS8.1.p1.4.m4.1.2.2.2">ℎ</ci><apply id="A2.SS8.1.p1.4.m4.1.2.2.3.cmml" xref="A2.SS8.1.p1.4.m4.1.2.2.3"><times id="A2.SS8.1.p1.4.m4.1.2.2.3.1.cmml" xref="A2.SS8.1.p1.4.m4.1.2.2.3.1"></times><ci id="A2.SS8.1.p1.4.m4.1.2.2.3.2.cmml" xref="A2.SS8.1.p1.4.m4.1.2.2.3.2">𝜎</ci><ci id="A2.SS8.1.p1.4.m4.1.2.2.3.3.cmml" xref="A2.SS8.1.p1.4.m4.1.2.2.3.3">𝜏</ci></apply></apply><apply id="A2.SS8.1.p1.4.m4.1.1.1.1.1.cmml" xref="A2.SS8.1.p1.4.m4.1.1.1.1"><times id="A2.SS8.1.p1.4.m4.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A2.SS8.1.p1.4.m4.1.1.1.1.1.1"></times><ci id="A2.SS8.1.p1.4.m4.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A2.SS8.1.p1.4.m4.1.1.1.1.1.2">𝑖</ci><ci id="A2.SS8.1.p1.4.m4.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A2.SS8.1.p1.4.m4.1.1.1.1.1.3">𝑗</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.SS8.1.p1.4.m4.1c">h_{\sigma\tau}^{(ij)}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.SS8.1.p1.4.m4.1d">italic_h start_POSTSUBSCRIPT italic_σ italic_τ end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_i italic_j ) end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> such that</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_gather ltx_eqn_table" id="S6.EGx153"> <tbody id="A2.E184"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\displaystyle\sum_{\rho\in S_{t}}x^{|\rho\sigma^{-1}|}y^{|\rho|}g_{\rho^{-1}% \tau}(xy)=\sum_{ij}h_{\sigma\tau}^{(ij)}x^{i}y^{j}" class="ltx_Math" display="block" id="A2.E184.m1.4"><semantics id="A2.E184.m1.4a"><mrow id="A2.E184.m1.4.4" xref="A2.E184.m1.4.4.cmml"><mrow id="A2.E184.m1.4.4.1" xref="A2.E184.m1.4.4.1.cmml"><munder id="A2.E184.m1.4.4.1.2" xref="A2.E184.m1.4.4.1.2.cmml"><mo id="A2.E184.m1.4.4.1.2.2" movablelimits="false" xref="A2.E184.m1.4.4.1.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="A2.E184.m1.4.4.1.2.3" xref="A2.E184.m1.4.4.1.2.3.cmml"><mi id="A2.E184.m1.4.4.1.2.3.2" xref="A2.E184.m1.4.4.1.2.3.2.cmml">ρ</mi><mo id="A2.E184.m1.4.4.1.2.3.1" xref="A2.E184.m1.4.4.1.2.3.1.cmml">∈</mo><msub id="A2.E184.m1.4.4.1.2.3.3" xref="A2.E184.m1.4.4.1.2.3.3.cmml"><mi id="A2.E184.m1.4.4.1.2.3.3.2" xref="A2.E184.m1.4.4.1.2.3.3.2.cmml">S</mi><mi id="A2.E184.m1.4.4.1.2.3.3.3" xref="A2.E184.m1.4.4.1.2.3.3.3.cmml">t</mi></msub></mrow></munder><mrow id="A2.E184.m1.4.4.1.1" xref="A2.E184.m1.4.4.1.1.cmml"><msup id="A2.E184.m1.4.4.1.1.3" xref="A2.E184.m1.4.4.1.1.3.cmml"><mi id="A2.E184.m1.4.4.1.1.3.2" xref="A2.E184.m1.4.4.1.1.3.2.cmml">x</mi><mrow id="A2.E184.m1.1.1.1.1" xref="A2.E184.m1.1.1.1.2.cmml"><mo id="A2.E184.m1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A2.E184.m1.1.1.1.2.1.cmml">|</mo><mrow id="A2.E184.m1.1.1.1.1.1" xref="A2.E184.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A2.E184.m1.1.1.1.1.1.2" xref="A2.E184.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">ρ</mi><mo id="A2.E184.m1.1.1.1.1.1.1" xref="A2.E184.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msup id="A2.E184.m1.1.1.1.1.1.3" xref="A2.E184.m1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A2.E184.m1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A2.E184.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">σ</mi><mrow id="A2.E184.m1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A2.E184.m1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mo id="A2.E184.m1.1.1.1.1.1.3.3a" xref="A2.E184.m1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">−</mo><mn id="A2.E184.m1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="A2.E184.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup></mrow><mo id="A2.E184.m1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A2.E184.m1.1.1.1.2.1.cmml">|</mo></mrow></msup><mo id="A2.E184.m1.4.4.1.1.2" xref="A2.E184.m1.4.4.1.1.2.cmml">⁢</mo><msup id="A2.E184.m1.4.4.1.1.4" xref="A2.E184.m1.4.4.1.1.4.cmml"><mi id="A2.E184.m1.4.4.1.1.4.2" xref="A2.E184.m1.4.4.1.1.4.2.cmml">y</mi><mrow id="A2.E184.m1.2.2.1.3" xref="A2.E184.m1.2.2.1.2.cmml"><mo id="A2.E184.m1.2.2.1.3.1" stretchy="false" xref="A2.E184.m1.2.2.1.2.1.cmml">|</mo><mi id="A2.E184.m1.2.2.1.1" xref="A2.E184.m1.2.2.1.1.cmml">ρ</mi><mo id="A2.E184.m1.2.2.1.3.2" stretchy="false" xref="A2.E184.m1.2.2.1.2.1.cmml">|</mo></mrow></msup><mo id="A2.E184.m1.4.4.1.1.2a" xref="A2.E184.m1.4.4.1.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="A2.E184.m1.4.4.1.1.5" xref="A2.E184.m1.4.4.1.1.5.cmml"><mi id="A2.E184.m1.4.4.1.1.5.2" xref="A2.E184.m1.4.4.1.1.5.2.cmml">g</mi><mrow id="A2.E184.m1.4.4.1.1.5.3" xref="A2.E184.m1.4.4.1.1.5.3.cmml"><msup id="A2.E184.m1.4.4.1.1.5.3.2" xref="A2.E184.m1.4.4.1.1.5.3.2.cmml"><mi id="A2.E184.m1.4.4.1.1.5.3.2.2" xref="A2.E184.m1.4.4.1.1.5.3.2.2.cmml">ρ</mi><mrow id="A2.E184.m1.4.4.1.1.5.3.2.3" xref="A2.E184.m1.4.4.1.1.5.3.2.3.cmml"><mo id="A2.E184.m1.4.4.1.1.5.3.2.3a" xref="A2.E184.m1.4.4.1.1.5.3.2.3.cmml">−</mo><mn id="A2.E184.m1.4.4.1.1.5.3.2.3.2" xref="A2.E184.m1.4.4.1.1.5.3.2.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="A2.E184.m1.4.4.1.1.5.3.1" xref="A2.E184.m1.4.4.1.1.5.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A2.E184.m1.4.4.1.1.5.3.3" xref="A2.E184.m1.4.4.1.1.5.3.3.cmml">τ</mi></mrow></msub><mo id="A2.E184.m1.4.4.1.1.2b" xref="A2.E184.m1.4.4.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A2.E184.m1.4.4.1.1.1.1" xref="A2.E184.m1.4.4.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A2.E184.m1.4.4.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A2.E184.m1.4.4.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A2.E184.m1.4.4.1.1.1.1.1" xref="A2.E184.m1.4.4.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A2.E184.m1.4.4.1.1.1.1.1.2" xref="A2.E184.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.cmml">x</mi><mo id="A2.E184.m1.4.4.1.1.1.1.1.1" xref="A2.E184.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="A2.E184.m1.4.4.1.1.1.1.1.3" xref="A2.E184.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.cmml">y</mi></mrow><mo id="A2.E184.m1.4.4.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A2.E184.m1.4.4.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="A2.E184.m1.4.4.2" rspace="0.111em" xref="A2.E184.m1.4.4.2.cmml">=</mo><mrow id="A2.E184.m1.4.4.3" xref="A2.E184.m1.4.4.3.cmml"><munder id="A2.E184.m1.4.4.3.1" xref="A2.E184.m1.4.4.3.1.cmml"><mo id="A2.E184.m1.4.4.3.1.2" movablelimits="false" xref="A2.E184.m1.4.4.3.1.2.cmml">∑</mo><mrow id="A2.E184.m1.4.4.3.1.3" xref="A2.E184.m1.4.4.3.1.3.cmml"><mi id="A2.E184.m1.4.4.3.1.3.2" xref="A2.E184.m1.4.4.3.1.3.2.cmml">i</mi><mo id="A2.E184.m1.4.4.3.1.3.1" xref="A2.E184.m1.4.4.3.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A2.E184.m1.4.4.3.1.3.3" xref="A2.E184.m1.4.4.3.1.3.3.cmml">j</mi></mrow></munder><mrow id="A2.E184.m1.4.4.3.2" xref="A2.E184.m1.4.4.3.2.cmml"><msubsup id="A2.E184.m1.4.4.3.2.2" xref="A2.E184.m1.4.4.3.2.2.cmml"><mi id="A2.E184.m1.4.4.3.2.2.2.2" xref="A2.E184.m1.4.4.3.2.2.2.2.cmml">h</mi><mrow id="A2.E184.m1.4.4.3.2.2.2.3" xref="A2.E184.m1.4.4.3.2.2.2.3.cmml"><mi id="A2.E184.m1.4.4.3.2.2.2.3.2" xref="A2.E184.m1.4.4.3.2.2.2.3.2.cmml">σ</mi><mo id="A2.E184.m1.4.4.3.2.2.2.3.1" xref="A2.E184.m1.4.4.3.2.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A2.E184.m1.4.4.3.2.2.2.3.3" xref="A2.E184.m1.4.4.3.2.2.2.3.3.cmml">τ</mi></mrow><mrow id="A2.E184.m1.3.3.1.1" xref="A2.E184.m1.3.3.1.1.1.cmml"><mo id="A2.E184.m1.3.3.1.1.2" stretchy="false" xref="A2.E184.m1.3.3.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A2.E184.m1.3.3.1.1.1" xref="A2.E184.m1.3.3.1.1.1.cmml"><mi id="A2.E184.m1.3.3.1.1.1.2" xref="A2.E184.m1.3.3.1.1.1.2.cmml">i</mi><mo id="A2.E184.m1.3.3.1.1.1.1" xref="A2.E184.m1.3.3.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="A2.E184.m1.3.3.1.1.1.3" xref="A2.E184.m1.3.3.1.1.1.3.cmml">j</mi></mrow><mo id="A2.E184.m1.3.3.1.1.3" stretchy="false" xref="A2.E184.m1.3.3.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></msubsup><mo id="A2.E184.m1.4.4.3.2.1" xref="A2.E184.m1.4.4.3.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="A2.E184.m1.4.4.3.2.3" xref="A2.E184.m1.4.4.3.2.3.cmml"><mi id="A2.E184.m1.4.4.3.2.3.2" xref="A2.E184.m1.4.4.3.2.3.2.cmml">x</mi><mi id="A2.E184.m1.4.4.3.2.3.3" xref="A2.E184.m1.4.4.3.2.3.3.cmml">i</mi></msup><mo id="A2.E184.m1.4.4.3.2.1a" xref="A2.E184.m1.4.4.3.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="A2.E184.m1.4.4.3.2.4" xref="A2.E184.m1.4.4.3.2.4.cmml"><mi id="A2.E184.m1.4.4.3.2.4.2" xref="A2.E184.m1.4.4.3.2.4.2.cmml">y</mi><mi id="A2.E184.m1.4.4.3.2.4.3" xref="A2.E184.m1.4.4.3.2.4.3.cmml">j</mi></msup></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.E184.m1.4b"><apply id="A2.E184.m1.4.4.cmml" xref="A2.E184.m1.4.4"><eq id="A2.E184.m1.4.4.2.cmml" xref="A2.E184.m1.4.4.2"></eq><apply id="A2.E184.m1.4.4.1.cmml" xref="A2.E184.m1.4.4.1"><apply id="A2.E184.m1.4.4.1.2.cmml" xref="A2.E184.m1.4.4.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E184.m1.4.4.1.2.1.cmml" xref="A2.E184.m1.4.4.1.2">subscript</csymbol><sum id="A2.E184.m1.4.4.1.2.2.cmml" xref="A2.E184.m1.4.4.1.2.2"></sum><apply id="A2.E184.m1.4.4.1.2.3.cmml" xref="A2.E184.m1.4.4.1.2.3"><in id="A2.E184.m1.4.4.1.2.3.1.cmml" xref="A2.E184.m1.4.4.1.2.3.1"></in><ci id="A2.E184.m1.4.4.1.2.3.2.cmml" xref="A2.E184.m1.4.4.1.2.3.2">𝜌</ci><apply id="A2.E184.m1.4.4.1.2.3.3.cmml" xref="A2.E184.m1.4.4.1.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E184.m1.4.4.1.2.3.3.1.cmml" xref="A2.E184.m1.4.4.1.2.3.3">subscript</csymbol><ci id="A2.E184.m1.4.4.1.2.3.3.2.cmml" xref="A2.E184.m1.4.4.1.2.3.3.2">𝑆</ci><ci id="A2.E184.m1.4.4.1.2.3.3.3.cmml" xref="A2.E184.m1.4.4.1.2.3.3.3">𝑡</ci></apply></apply></apply><apply id="A2.E184.m1.4.4.1.1.cmml" xref="A2.E184.m1.4.4.1.1"><times id="A2.E184.m1.4.4.1.1.2.cmml" xref="A2.E184.m1.4.4.1.1.2"></times><apply id="A2.E184.m1.4.4.1.1.3.cmml" xref="A2.E184.m1.4.4.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E184.m1.4.4.1.1.3.1.cmml" xref="A2.E184.m1.4.4.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="A2.E184.m1.4.4.1.1.3.2.cmml" xref="A2.E184.m1.4.4.1.1.3.2">𝑥</ci><apply id="A2.E184.m1.1.1.1.2.cmml" xref="A2.E184.m1.1.1.1.1"><abs id="A2.E184.m1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A2.E184.m1.1.1.1.1.2"></abs><apply id="A2.E184.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A2.E184.m1.1.1.1.1.1"><times id="A2.E184.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A2.E184.m1.1.1.1.1.1.1"></times><ci id="A2.E184.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A2.E184.m1.1.1.1.1.1.2">𝜌</ci><apply id="A2.E184.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A2.E184.m1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E184.m1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A2.E184.m1.1.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="A2.E184.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A2.E184.m1.1.1.1.1.1.3.2">𝜎</ci><apply id="A2.E184.m1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A2.E184.m1.1.1.1.1.1.3.3"><minus id="A2.E184.m1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="A2.E184.m1.1.1.1.1.1.3.3"></minus><cn id="A2.E184.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" type="integer" xref="A2.E184.m1.1.1.1.1.1.3.3.2">1</cn></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="A2.E184.m1.4.4.1.1.4.cmml" xref="A2.E184.m1.4.4.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E184.m1.4.4.1.1.4.1.cmml" xref="A2.E184.m1.4.4.1.1.4">superscript</csymbol><ci id="A2.E184.m1.4.4.1.1.4.2.cmml" xref="A2.E184.m1.4.4.1.1.4.2">𝑦</ci><apply id="A2.E184.m1.2.2.1.2.cmml" xref="A2.E184.m1.2.2.1.3"><abs id="A2.E184.m1.2.2.1.2.1.cmml" xref="A2.E184.m1.2.2.1.3.1"></abs><ci id="A2.E184.m1.2.2.1.1.cmml" xref="A2.E184.m1.2.2.1.1">𝜌</ci></apply></apply><apply id="A2.E184.m1.4.4.1.1.5.cmml" xref="A2.E184.m1.4.4.1.1.5"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E184.m1.4.4.1.1.5.1.cmml" xref="A2.E184.m1.4.4.1.1.5">subscript</csymbol><ci id="A2.E184.m1.4.4.1.1.5.2.cmml" xref="A2.E184.m1.4.4.1.1.5.2">𝑔</ci><apply id="A2.E184.m1.4.4.1.1.5.3.cmml" xref="A2.E184.m1.4.4.1.1.5.3"><times id="A2.E184.m1.4.4.1.1.5.3.1.cmml" xref="A2.E184.m1.4.4.1.1.5.3.1"></times><apply id="A2.E184.m1.4.4.1.1.5.3.2.cmml" xref="A2.E184.m1.4.4.1.1.5.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E184.m1.4.4.1.1.5.3.2.1.cmml" xref="A2.E184.m1.4.4.1.1.5.3.2">superscript</csymbol><ci id="A2.E184.m1.4.4.1.1.5.3.2.2.cmml" xref="A2.E184.m1.4.4.1.1.5.3.2.2">𝜌</ci><apply id="A2.E184.m1.4.4.1.1.5.3.2.3.cmml" xref="A2.E184.m1.4.4.1.1.5.3.2.3"><minus id="A2.E184.m1.4.4.1.1.5.3.2.3.1.cmml" xref="A2.E184.m1.4.4.1.1.5.3.2.3"></minus><cn id="A2.E184.m1.4.4.1.1.5.3.2.3.2.cmml" type="integer" xref="A2.E184.m1.4.4.1.1.5.3.2.3.2">1</cn></apply></apply><ci id="A2.E184.m1.4.4.1.1.5.3.3.cmml" xref="A2.E184.m1.4.4.1.1.5.3.3">𝜏</ci></apply></apply><apply id="A2.E184.m1.4.4.1.1.1.1.1.cmml" xref="A2.E184.m1.4.4.1.1.1.1"><times id="A2.E184.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A2.E184.m1.4.4.1.1.1.1.1.1"></times><ci id="A2.E184.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A2.E184.m1.4.4.1.1.1.1.1.2">𝑥</ci><ci id="A2.E184.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A2.E184.m1.4.4.1.1.1.1.1.3">𝑦</ci></apply></apply></apply><apply id="A2.E184.m1.4.4.3.cmml" xref="A2.E184.m1.4.4.3"><apply id="A2.E184.m1.4.4.3.1.cmml" xref="A2.E184.m1.4.4.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E184.m1.4.4.3.1.1.cmml" xref="A2.E184.m1.4.4.3.1">subscript</csymbol><sum id="A2.E184.m1.4.4.3.1.2.cmml" xref="A2.E184.m1.4.4.3.1.2"></sum><apply id="A2.E184.m1.4.4.3.1.3.cmml" xref="A2.E184.m1.4.4.3.1.3"><times id="A2.E184.m1.4.4.3.1.3.1.cmml" xref="A2.E184.m1.4.4.3.1.3.1"></times><ci id="A2.E184.m1.4.4.3.1.3.2.cmml" xref="A2.E184.m1.4.4.3.1.3.2">𝑖</ci><ci id="A2.E184.m1.4.4.3.1.3.3.cmml" xref="A2.E184.m1.4.4.3.1.3.3">𝑗</ci></apply></apply><apply id="A2.E184.m1.4.4.3.2.cmml" xref="A2.E184.m1.4.4.3.2"><times id="A2.E184.m1.4.4.3.2.1.cmml" xref="A2.E184.m1.4.4.3.2.1"></times><apply id="A2.E184.m1.4.4.3.2.2.cmml" xref="A2.E184.m1.4.4.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E184.m1.4.4.3.2.2.1.cmml" xref="A2.E184.m1.4.4.3.2.2">superscript</csymbol><apply id="A2.E184.m1.4.4.3.2.2.2.cmml" xref="A2.E184.m1.4.4.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E184.m1.4.4.3.2.2.2.1.cmml" xref="A2.E184.m1.4.4.3.2.2">subscript</csymbol><ci id="A2.E184.m1.4.4.3.2.2.2.2.cmml" xref="A2.E184.m1.4.4.3.2.2.2.2">ℎ</ci><apply id="A2.E184.m1.4.4.3.2.2.2.3.cmml" xref="A2.E184.m1.4.4.3.2.2.2.3"><times id="A2.E184.m1.4.4.3.2.2.2.3.1.cmml" xref="A2.E184.m1.4.4.3.2.2.2.3.1"></times><ci id="A2.E184.m1.4.4.3.2.2.2.3.2.cmml" xref="A2.E184.m1.4.4.3.2.2.2.3.2">𝜎</ci><ci id="A2.E184.m1.4.4.3.2.2.2.3.3.cmml" xref="A2.E184.m1.4.4.3.2.2.2.3.3">𝜏</ci></apply></apply><apply id="A2.E184.m1.3.3.1.1.1.cmml" xref="A2.E184.m1.3.3.1.1"><times id="A2.E184.m1.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="A2.E184.m1.3.3.1.1.1.1"></times><ci id="A2.E184.m1.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="A2.E184.m1.3.3.1.1.1.2">𝑖</ci><ci id="A2.E184.m1.3.3.1.1.1.3.cmml" xref="A2.E184.m1.3.3.1.1.1.3">𝑗</ci></apply></apply><apply id="A2.E184.m1.4.4.3.2.3.cmml" xref="A2.E184.m1.4.4.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E184.m1.4.4.3.2.3.1.cmml" xref="A2.E184.m1.4.4.3.2.3">superscript</csymbol><ci id="A2.E184.m1.4.4.3.2.3.2.cmml" xref="A2.E184.m1.4.4.3.2.3.2">𝑥</ci><ci id="A2.E184.m1.4.4.3.2.3.3.cmml" xref="A2.E184.m1.4.4.3.2.3.3">𝑖</ci></apply><apply id="A2.E184.m1.4.4.3.2.4.cmml" xref="A2.E184.m1.4.4.3.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E184.m1.4.4.3.2.4.1.cmml" xref="A2.E184.m1.4.4.3.2.4">superscript</csymbol><ci id="A2.E184.m1.4.4.3.2.4.2.cmml" xref="A2.E184.m1.4.4.3.2.4.2">𝑦</ci><ci id="A2.E184.m1.4.4.3.2.4.3.cmml" xref="A2.E184.m1.4.4.3.2.4.3">𝑗</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.E184.m1.4c">\displaystyle\sum_{\rho\in S_{t}}x^{|\rho\sigma^{-1}|}y^{|\rho|}g_{\rho^{-1}% \tau}(xy)=\sum_{ij}h_{\sigma\tau}^{(ij)}x^{i}y^{j}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.E184.m1.4d">∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_ρ ∈ italic_S start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT italic_x start_POSTSUPERSCRIPT | italic_ρ italic_σ start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT | end_POSTSUPERSCRIPT italic_y start_POSTSUPERSCRIPT | italic_ρ | end_POSTSUPERSCRIPT italic_g start_POSTSUBSCRIPT italic_ρ start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT italic_τ end_POSTSUBSCRIPT ( italic_x italic_y ) = ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_i italic_j end_POSTSUBSCRIPT italic_h start_POSTSUBSCRIPT italic_σ italic_τ end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_i italic_j ) end_POSTSUPERSCRIPT italic_x start_POSTSUPERSCRIPT italic_i end_POSTSUPERSCRIPT italic_y start_POSTSUPERSCRIPT italic_j end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(184)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="A2.SS8.1.p1.15">This polynomial is upper-bounded by the polynomial obtained by taking absolute values of its coefficients, so we see</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="S6.EGx154"> <tbody id="A2.E185"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle H_{\sigma\tau}(Q_{1},Q_{2})" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.E185.m1.2"><semantics id="A2.E185.m1.2a"><mrow id="A2.E185.m1.2.2" xref="A2.E185.m1.2.2.cmml"><msub id="A2.E185.m1.2.2.4" xref="A2.E185.m1.2.2.4.cmml"><mi id="A2.E185.m1.2.2.4.2" xref="A2.E185.m1.2.2.4.2.cmml">H</mi><mrow id="A2.E185.m1.2.2.4.3" xref="A2.E185.m1.2.2.4.3.cmml"><mi id="A2.E185.m1.2.2.4.3.2" xref="A2.E185.m1.2.2.4.3.2.cmml">σ</mi><mo id="A2.E185.m1.2.2.4.3.1" xref="A2.E185.m1.2.2.4.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A2.E185.m1.2.2.4.3.3" xref="A2.E185.m1.2.2.4.3.3.cmml">τ</mi></mrow></msub><mo id="A2.E185.m1.2.2.3" xref="A2.E185.m1.2.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="A2.E185.m1.2.2.2.2" xref="A2.E185.m1.2.2.2.3.cmml"><mo id="A2.E185.m1.2.2.2.2.3" stretchy="false" xref="A2.E185.m1.2.2.2.3.cmml">(</mo><msub id="A2.E185.m1.1.1.1.1.1" xref="A2.E185.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A2.E185.m1.1.1.1.1.1.2" xref="A2.E185.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">Q</mi><mn id="A2.E185.m1.1.1.1.1.1.3" xref="A2.E185.m1.1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="A2.E185.m1.2.2.2.2.4" xref="A2.E185.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><msub id="A2.E185.m1.2.2.2.2.2" xref="A2.E185.m1.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="A2.E185.m1.2.2.2.2.2.2" xref="A2.E185.m1.2.2.2.2.2.2.cmml">Q</mi><mn id="A2.E185.m1.2.2.2.2.2.3" xref="A2.E185.m1.2.2.2.2.2.3.cmml">2</mn></msub><mo id="A2.E185.m1.2.2.2.2.5" stretchy="false" xref="A2.E185.m1.2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.E185.m1.2b"><apply id="A2.E185.m1.2.2.cmml" xref="A2.E185.m1.2.2"><times id="A2.E185.m1.2.2.3.cmml" xref="A2.E185.m1.2.2.3"></times><apply id="A2.E185.m1.2.2.4.cmml" xref="A2.E185.m1.2.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E185.m1.2.2.4.1.cmml" xref="A2.E185.m1.2.2.4">subscript</csymbol><ci id="A2.E185.m1.2.2.4.2.cmml" xref="A2.E185.m1.2.2.4.2">𝐻</ci><apply id="A2.E185.m1.2.2.4.3.cmml" xref="A2.E185.m1.2.2.4.3"><times id="A2.E185.m1.2.2.4.3.1.cmml" xref="A2.E185.m1.2.2.4.3.1"></times><ci id="A2.E185.m1.2.2.4.3.2.cmml" xref="A2.E185.m1.2.2.4.3.2">𝜎</ci><ci id="A2.E185.m1.2.2.4.3.3.cmml" xref="A2.E185.m1.2.2.4.3.3">𝜏</ci></apply></apply><interval closure="open" id="A2.E185.m1.2.2.2.3.cmml" xref="A2.E185.m1.2.2.2.2"><apply id="A2.E185.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A2.E185.m1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E185.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A2.E185.m1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="A2.E185.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A2.E185.m1.1.1.1.1.1.2">𝑄</ci><cn id="A2.E185.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A2.E185.m1.1.1.1.1.1.3">1</cn></apply><apply id="A2.E185.m1.2.2.2.2.2.cmml" xref="A2.E185.m1.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E185.m1.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="A2.E185.m1.2.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="A2.E185.m1.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="A2.E185.m1.2.2.2.2.2.2">𝑄</ci><cn id="A2.E185.m1.2.2.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="A2.E185.m1.2.2.2.2.2.3">2</cn></apply></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.E185.m1.2c">\displaystyle H_{\sigma\tau}(Q_{1},Q_{2})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.E185.m1.2d">italic_H start_POSTSUBSCRIPT italic_σ italic_τ end_POSTSUBSCRIPT ( italic_Q start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , italic_Q start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=\frac{1}{f_{t}\big{(}(Q_{1}Q_{2})^{-1}\big{)}}\sum_{ij}h_{\sigma% \tau}^{(ij)}x^{i}y^{j}\big{|}_{x=Q_{1}^{-1},y=Q_{2}^{-1}}" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.E185.m2.5"><semantics id="A2.E185.m2.5a"><mrow id="A2.E185.m2.5.5" xref="A2.E185.m2.5.5.cmml"><mi id="A2.E185.m2.5.5.3" xref="A2.E185.m2.5.5.3.cmml"></mi><mo id="A2.E185.m2.5.5.2" xref="A2.E185.m2.5.5.2.cmml">=</mo><msub id="A2.E185.m2.5.5.1.1" xref="A2.E185.m2.5.5.1.2.cmml"><mrow id="A2.E185.m2.5.5.1.1.1" xref="A2.E185.m2.5.5.1.2.cmml"><mrow id="A2.E185.m2.5.5.1.1.1.1" xref="A2.E185.m2.5.5.1.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A2.E185.m2.1.1" xref="A2.E185.m2.1.1.cmml"><mfrac id="A2.E185.m2.1.1a" xref="A2.E185.m2.1.1.cmml"><mn id="A2.E185.m2.1.1.3" xref="A2.E185.m2.1.1.3.cmml">1</mn><mrow id="A2.E185.m2.1.1.1" xref="A2.E185.m2.1.1.1.cmml"><msub id="A2.E185.m2.1.1.1.3" xref="A2.E185.m2.1.1.1.3.cmml"><mi id="A2.E185.m2.1.1.1.3.2" xref="A2.E185.m2.1.1.1.3.2.cmml">f</mi><mi id="A2.E185.m2.1.1.1.3.3" xref="A2.E185.m2.1.1.1.3.3.cmml">t</mi></msub><mo id="A2.E185.m2.1.1.1.2" xref="A2.E185.m2.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A2.E185.m2.1.1.1.1.1" xref="A2.E185.m2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A2.E185.m2.1.1.1.1.1.2" maxsize="120%" minsize="120%" xref="A2.E185.m2.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="A2.E185.m2.1.1.1.1.1.1" xref="A2.E185.m2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A2.E185.m2.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A2.E185.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A2.E185.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A2.E185.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A2.E185.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A2.E185.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="A2.E185.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A2.E185.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="A2.E185.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="A2.E185.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">Q</mi><mn id="A2.E185.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="A2.E185.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">1</mn></msub><mo id="A2.E185.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A2.E185.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="A2.E185.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A2.E185.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A2.E185.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A2.E185.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">Q</mi><mn id="A2.E185.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A2.E185.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></msub></mrow><mo id="A2.E185.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A2.E185.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="A2.E185.m2.1.1.1.1.1.1.3" xref="A2.E185.m2.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="A2.E185.m2.1.1.1.1.1.1.3a" xref="A2.E185.m2.1.1.1.1.1.1.3.cmml">−</mo><mn id="A2.E185.m2.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A2.E185.m2.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="A2.E185.m2.1.1.1.1.1.3" maxsize="120%" minsize="120%" xref="A2.E185.m2.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mfrac></mstyle><mo id="A2.E185.m2.5.5.1.1.1.1.1" xref="A2.E185.m2.5.5.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A2.E185.m2.5.5.1.1.1.1.2" xref="A2.E185.m2.5.5.1.1.1.1.2.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A2.E185.m2.5.5.1.1.1.1.2.1" xref="A2.E185.m2.5.5.1.1.1.1.2.1.cmml"><munder id="A2.E185.m2.5.5.1.1.1.1.2.1a" xref="A2.E185.m2.5.5.1.1.1.1.2.1.cmml"><mo id="A2.E185.m2.5.5.1.1.1.1.2.1.2" movablelimits="false" xref="A2.E185.m2.5.5.1.1.1.1.2.1.2.cmml">∑</mo><mrow id="A2.E185.m2.5.5.1.1.1.1.2.1.3" xref="A2.E185.m2.5.5.1.1.1.1.2.1.3.cmml"><mi id="A2.E185.m2.5.5.1.1.1.1.2.1.3.2" xref="A2.E185.m2.5.5.1.1.1.1.2.1.3.2.cmml">i</mi><mo id="A2.E185.m2.5.5.1.1.1.1.2.1.3.1" xref="A2.E185.m2.5.5.1.1.1.1.2.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A2.E185.m2.5.5.1.1.1.1.2.1.3.3" xref="A2.E185.m2.5.5.1.1.1.1.2.1.3.3.cmml">j</mi></mrow></munder></mstyle><mrow id="A2.E185.m2.5.5.1.1.1.1.2.2" xref="A2.E185.m2.5.5.1.1.1.1.2.2.cmml"><msubsup id="A2.E185.m2.5.5.1.1.1.1.2.2.2" xref="A2.E185.m2.5.5.1.1.1.1.2.2.2.cmml"><mi id="A2.E185.m2.5.5.1.1.1.1.2.2.2.2.2" xref="A2.E185.m2.5.5.1.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml">h</mi><mrow id="A2.E185.m2.5.5.1.1.1.1.2.2.2.2.3" xref="A2.E185.m2.5.5.1.1.1.1.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="A2.E185.m2.5.5.1.1.1.1.2.2.2.2.3.2" xref="A2.E185.m2.5.5.1.1.1.1.2.2.2.2.3.2.cmml">σ</mi><mo id="A2.E185.m2.5.5.1.1.1.1.2.2.2.2.3.1" xref="A2.E185.m2.5.5.1.1.1.1.2.2.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A2.E185.m2.5.5.1.1.1.1.2.2.2.2.3.3" xref="A2.E185.m2.5.5.1.1.1.1.2.2.2.2.3.3.cmml">τ</mi></mrow><mrow id="A2.E185.m2.2.2.1.1" xref="A2.E185.m2.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="A2.E185.m2.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="A2.E185.m2.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A2.E185.m2.2.2.1.1.1" xref="A2.E185.m2.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="A2.E185.m2.2.2.1.1.1.2" xref="A2.E185.m2.2.2.1.1.1.2.cmml">i</mi><mo id="A2.E185.m2.2.2.1.1.1.1" xref="A2.E185.m2.2.2.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="A2.E185.m2.2.2.1.1.1.3" xref="A2.E185.m2.2.2.1.1.1.3.cmml">j</mi></mrow><mo id="A2.E185.m2.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="A2.E185.m2.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></msubsup><mo id="A2.E185.m2.5.5.1.1.1.1.2.2.1" xref="A2.E185.m2.5.5.1.1.1.1.2.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="A2.E185.m2.5.5.1.1.1.1.2.2.3" xref="A2.E185.m2.5.5.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="A2.E185.m2.5.5.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="A2.E185.m2.5.5.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml">x</mi><mi id="A2.E185.m2.5.5.1.1.1.1.2.2.3.3" xref="A2.E185.m2.5.5.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml">i</mi></msup><mo id="A2.E185.m2.5.5.1.1.1.1.2.2.1a" xref="A2.E185.m2.5.5.1.1.1.1.2.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="A2.E185.m2.5.5.1.1.1.1.2.2.4" xref="A2.E185.m2.5.5.1.1.1.1.2.2.4.cmml"><mi id="A2.E185.m2.5.5.1.1.1.1.2.2.4.2" xref="A2.E185.m2.5.5.1.1.1.1.2.2.4.2.cmml">y</mi><mi id="A2.E185.m2.5.5.1.1.1.1.2.2.4.3" 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ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(185)</span></td> </tr></tbody> <tbody id="A2.E186"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\leq\frac{1}{f_{t}\big{(}(Q_{1}Q_{2})^{-1}\big{)}}\sum_{ij}\left|% h_{\sigma\tau}^{(ij)}\right|x^{i}y^{j}\big{|}_{x=Q_{1}^{-1},y=Q_{2}^{-1}}" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.E186.m1.5"><semantics id="A2.E186.m1.5a"><mrow id="A2.E186.m1.5.5" xref="A2.E186.m1.5.5.cmml"><mi id="A2.E186.m1.5.5.3" xref="A2.E186.m1.5.5.3.cmml"></mi><mo id="A2.E186.m1.5.5.2" xref="A2.E186.m1.5.5.2.cmml">≤</mo><msub id="A2.E186.m1.5.5.1.1" xref="A2.E186.m1.5.5.1.2.cmml"><mrow id="A2.E186.m1.5.5.1.1.1" xref="A2.E186.m1.5.5.1.2.cmml"><mrow id="A2.E186.m1.5.5.1.1.1.1" xref="A2.E186.m1.5.5.1.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" 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id="A2.E186.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2a" xref="A2.E186.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msup id="A2.E186.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.4" xref="A2.E186.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="A2.E186.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.4.2" xref="A2.E186.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml">y</mi><mi id="A2.E186.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.4.3" xref="A2.E186.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml">j</mi></msup></mrow></mrow></mrow><mo id="A2.E186.m1.5.5.1.1.1.2" maxsize="120%" minsize="120%" xref="A2.E186.m1.5.5.1.2.1.cmml">|</mo></mrow><mrow id="A2.E186.m1.4.4.2.2" xref="A2.E186.m1.4.4.2.3.cmml"><mrow id="A2.E186.m1.3.3.1.1.1" xref="A2.E186.m1.3.3.1.1.1.cmml"><mi id="A2.E186.m1.3.3.1.1.1.2" xref="A2.E186.m1.3.3.1.1.1.2.cmml">x</mi><mo id="A2.E186.m1.3.3.1.1.1.1" xref="A2.E186.m1.3.3.1.1.1.1.cmml">=</mo><msubsup id="A2.E186.m1.3.3.1.1.1.3" xref="A2.E186.m1.3.3.1.1.1.3.cmml"><mi id="A2.E186.m1.3.3.1.1.1.3.2.2" xref="A2.E186.m1.3.3.1.1.1.3.2.2.cmml">Q</mi><mn id="A2.E186.m1.3.3.1.1.1.3.2.3" xref="A2.E186.m1.3.3.1.1.1.3.2.3.cmml">1</mn><mrow 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id="A2.E186.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="A2.E186.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">1</cn></apply><apply id="A2.E186.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A2.E186.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E186.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A2.E186.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A2.E186.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A2.E186.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑄</ci><cn id="A2.E186.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="A2.E186.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">2</cn></apply></apply><apply id="A2.E186.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A2.E186.m1.1.1.1.1.1.1.3"><minus id="A2.E186.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A2.E186.m1.1.1.1.1.1.1.3"></minus><cn id="A2.E186.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="A2.E186.m1.1.1.1.1.1.1.3.2">1</cn></apply></apply></apply></apply><apply id="A2.E186.m1.5.5.1.1.1.1.1.cmml" xref="A2.E186.m1.5.5.1.1.1.1.1"><apply id="A2.E186.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A2.E186.m1.5.5.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E186.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A2.E186.m1.5.5.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><sum id="A2.E186.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A2.E186.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.2"></sum><apply id="A2.E186.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="A2.E186.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.3"><times id="A2.E186.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="A2.E186.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.3.1"></times><ci id="A2.E186.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="A2.E186.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.3.2">𝑖</ci><ci id="A2.E186.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="A2.E186.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.3.3">𝑗</ci></apply></apply><apply id="A2.E186.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A2.E186.m1.5.5.1.1.1.1.1.1"><times id="A2.E186.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A2.E186.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2"></times><apply id="A2.E186.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A2.E186.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1"><abs id="A2.E186.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A2.E186.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.2"></abs><apply id="A2.E186.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A2.E186.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E186.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A2.E186.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="A2.E186.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A2.E186.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E186.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A2.E186.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="A2.E186.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A2.E186.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">ℎ</ci><apply id="A2.E186.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="A2.E186.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3"><times id="A2.E186.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="A2.E186.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1"></times><ci id="A2.E186.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="A2.E186.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2">𝜎</ci><ci id="A2.E186.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="A2.E186.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3">𝜏</ci></apply></apply><apply id="A2.E186.m1.2.2.1.1.1.cmml" xref="A2.E186.m1.2.2.1.1"><times id="A2.E186.m1.2.2.1.1.1.1.cmml" 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id="A2.E186.m1.4.4.2.2.2.3.2.3.cmml" type="integer" xref="A2.E186.m1.4.4.2.2.2.3.2.3">2</cn></apply><apply id="A2.E186.m1.4.4.2.2.2.3.3.cmml" xref="A2.E186.m1.4.4.2.2.2.3.3"><minus id="A2.E186.m1.4.4.2.2.2.3.3.1.cmml" xref="A2.E186.m1.4.4.2.2.2.3.3"></minus><cn id="A2.E186.m1.4.4.2.2.2.3.3.2.cmml" type="integer" xref="A2.E186.m1.4.4.2.2.2.3.3.2">1</cn></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.E186.m1.5c">\displaystyle\leq\frac{1}{f_{t}\big{(}(Q_{1}Q_{2})^{-1}\big{)}}\sum_{ij}\left|% h_{\sigma\tau}^{(ij)}\right|x^{i}y^{j}\big{|}_{x=Q_{1}^{-1},y=Q_{2}^{-1}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.E186.m1.5d">≤ divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_f start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( ( italic_Q start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT italic_Q start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT ) end_ARG ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_i italic_j end_POSTSUBSCRIPT | italic_h start_POSTSUBSCRIPT italic_σ italic_τ end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_i italic_j ) end_POSTSUPERSCRIPT | italic_x start_POSTSUPERSCRIPT italic_i end_POSTSUPERSCRIPT italic_y start_POSTSUPERSCRIPT italic_j end_POSTSUPERSCRIPT | start_POSTSUBSCRIPT italic_x = italic_Q start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT , italic_y = italic_Q start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(186)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="A2.SS8.1.p1.7">Furthermore, <math alttext="x,y\leq q^{-1}" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.SS8.1.p1.5.m1.2"><semantics id="A2.SS8.1.p1.5.m1.2a"><mrow id="A2.SS8.1.p1.5.m1.2.3" xref="A2.SS8.1.p1.5.m1.2.3.cmml"><mrow id="A2.SS8.1.p1.5.m1.2.3.2.2" xref="A2.SS8.1.p1.5.m1.2.3.2.1.cmml"><mi id="A2.SS8.1.p1.5.m1.1.1" xref="A2.SS8.1.p1.5.m1.1.1.cmml">x</mi><mo id="A2.SS8.1.p1.5.m1.2.3.2.2.1" xref="A2.SS8.1.p1.5.m1.2.3.2.1.cmml">,</mo><mi id="A2.SS8.1.p1.5.m1.2.2" xref="A2.SS8.1.p1.5.m1.2.2.cmml">y</mi></mrow><mo id="A2.SS8.1.p1.5.m1.2.3.1" xref="A2.SS8.1.p1.5.m1.2.3.1.cmml">≤</mo><msup id="A2.SS8.1.p1.5.m1.2.3.3" xref="A2.SS8.1.p1.5.m1.2.3.3.cmml"><mi id="A2.SS8.1.p1.5.m1.2.3.3.2" xref="A2.SS8.1.p1.5.m1.2.3.3.2.cmml">q</mi><mrow id="A2.SS8.1.p1.5.m1.2.3.3.3" xref="A2.SS8.1.p1.5.m1.2.3.3.3.cmml"><mo id="A2.SS8.1.p1.5.m1.2.3.3.3a" xref="A2.SS8.1.p1.5.m1.2.3.3.3.cmml">−</mo><mn id="A2.SS8.1.p1.5.m1.2.3.3.3.2" xref="A2.SS8.1.p1.5.m1.2.3.3.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.SS8.1.p1.5.m1.2b"><apply id="A2.SS8.1.p1.5.m1.2.3.cmml" xref="A2.SS8.1.p1.5.m1.2.3"><leq id="A2.SS8.1.p1.5.m1.2.3.1.cmml" xref="A2.SS8.1.p1.5.m1.2.3.1"></leq><list id="A2.SS8.1.p1.5.m1.2.3.2.1.cmml" xref="A2.SS8.1.p1.5.m1.2.3.2.2"><ci id="A2.SS8.1.p1.5.m1.1.1.cmml" xref="A2.SS8.1.p1.5.m1.1.1">𝑥</ci><ci id="A2.SS8.1.p1.5.m1.2.2.cmml" xref="A2.SS8.1.p1.5.m1.2.2">𝑦</ci></list><apply id="A2.SS8.1.p1.5.m1.2.3.3.cmml" xref="A2.SS8.1.p1.5.m1.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.SS8.1.p1.5.m1.2.3.3.1.cmml" xref="A2.SS8.1.p1.5.m1.2.3.3">superscript</csymbol><ci id="A2.SS8.1.p1.5.m1.2.3.3.2.cmml" xref="A2.SS8.1.p1.5.m1.2.3.3.2">𝑞</ci><apply id="A2.SS8.1.p1.5.m1.2.3.3.3.cmml" xref="A2.SS8.1.p1.5.m1.2.3.3.3"><minus id="A2.SS8.1.p1.5.m1.2.3.3.3.1.cmml" xref="A2.SS8.1.p1.5.m1.2.3.3.3"></minus><cn id="A2.SS8.1.p1.5.m1.2.3.3.3.2.cmml" type="integer" xref="A2.SS8.1.p1.5.m1.2.3.3.3.2">1</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.SS8.1.p1.5.m1.2c">x,y\leq q^{-1}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.SS8.1.p1.5.m1.2d">italic_x , italic_y ≤ italic_q start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> and each term of the final polynomial is an increasing function of <math alttext="x" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.SS8.1.p1.6.m2.1"><semantics id="A2.SS8.1.p1.6.m2.1a"><mi id="A2.SS8.1.p1.6.m2.1.1" xref="A2.SS8.1.p1.6.m2.1.1.cmml">x</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.SS8.1.p1.6.m2.1b"><ci id="A2.SS8.1.p1.6.m2.1.1.cmml" xref="A2.SS8.1.p1.6.m2.1.1">𝑥</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.SS8.1.p1.6.m2.1c">x</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.SS8.1.p1.6.m2.1d">italic_x</annotation></semantics></math> and <math alttext="y" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.SS8.1.p1.7.m3.1"><semantics id="A2.SS8.1.p1.7.m3.1a"><mi id="A2.SS8.1.p1.7.m3.1.1" xref="A2.SS8.1.p1.7.m3.1.1.cmml">y</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.SS8.1.p1.7.m3.1b"><ci id="A2.SS8.1.p1.7.m3.1.1.cmml" xref="A2.SS8.1.p1.7.m3.1.1">𝑦</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.SS8.1.p1.7.m3.1c">y</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.SS8.1.p1.7.m3.1d">italic_y</annotation></semantics></math>, so we have</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="S6.EGx155"> <tbody id="A2.E187"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle H_{\sigma\tau}(Q_{1},Q_{2})" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.E187.m1.2"><semantics id="A2.E187.m1.2a"><mrow id="A2.E187.m1.2.2" xref="A2.E187.m1.2.2.cmml"><msub id="A2.E187.m1.2.2.4" xref="A2.E187.m1.2.2.4.cmml"><mi id="A2.E187.m1.2.2.4.2" xref="A2.E187.m1.2.2.4.2.cmml">H</mi><mrow id="A2.E187.m1.2.2.4.3" xref="A2.E187.m1.2.2.4.3.cmml"><mi id="A2.E187.m1.2.2.4.3.2" xref="A2.E187.m1.2.2.4.3.2.cmml">σ</mi><mo id="A2.E187.m1.2.2.4.3.1" xref="A2.E187.m1.2.2.4.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A2.E187.m1.2.2.4.3.3" xref="A2.E187.m1.2.2.4.3.3.cmml">τ</mi></mrow></msub><mo id="A2.E187.m1.2.2.3" xref="A2.E187.m1.2.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="A2.E187.m1.2.2.2.2" xref="A2.E187.m1.2.2.2.3.cmml"><mo id="A2.E187.m1.2.2.2.2.3" stretchy="false" xref="A2.E187.m1.2.2.2.3.cmml">(</mo><msub id="A2.E187.m1.1.1.1.1.1" xref="A2.E187.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A2.E187.m1.1.1.1.1.1.2" xref="A2.E187.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">Q</mi><mn id="A2.E187.m1.1.1.1.1.1.3" xref="A2.E187.m1.1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="A2.E187.m1.2.2.2.2.4" xref="A2.E187.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><msub id="A2.E187.m1.2.2.2.2.2" xref="A2.E187.m1.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="A2.E187.m1.2.2.2.2.2.2" xref="A2.E187.m1.2.2.2.2.2.2.cmml">Q</mi><mn id="A2.E187.m1.2.2.2.2.2.3" xref="A2.E187.m1.2.2.2.2.2.3.cmml">2</mn></msub><mo id="A2.E187.m1.2.2.2.2.5" stretchy="false" xref="A2.E187.m1.2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.E187.m1.2b"><apply id="A2.E187.m1.2.2.cmml" xref="A2.E187.m1.2.2"><times id="A2.E187.m1.2.2.3.cmml" xref="A2.E187.m1.2.2.3"></times><apply id="A2.E187.m1.2.2.4.cmml" xref="A2.E187.m1.2.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E187.m1.2.2.4.1.cmml" xref="A2.E187.m1.2.2.4">subscript</csymbol><ci id="A2.E187.m1.2.2.4.2.cmml" xref="A2.E187.m1.2.2.4.2">𝐻</ci><apply id="A2.E187.m1.2.2.4.3.cmml" xref="A2.E187.m1.2.2.4.3"><times id="A2.E187.m1.2.2.4.3.1.cmml" xref="A2.E187.m1.2.2.4.3.1"></times><ci id="A2.E187.m1.2.2.4.3.2.cmml" xref="A2.E187.m1.2.2.4.3.2">𝜎</ci><ci id="A2.E187.m1.2.2.4.3.3.cmml" xref="A2.E187.m1.2.2.4.3.3">𝜏</ci></apply></apply><interval closure="open" id="A2.E187.m1.2.2.2.3.cmml" xref="A2.E187.m1.2.2.2.2"><apply id="A2.E187.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A2.E187.m1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E187.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A2.E187.m1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="A2.E187.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A2.E187.m1.1.1.1.1.1.2">𝑄</ci><cn id="A2.E187.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A2.E187.m1.1.1.1.1.1.3">1</cn></apply><apply id="A2.E187.m1.2.2.2.2.2.cmml" xref="A2.E187.m1.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E187.m1.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="A2.E187.m1.2.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="A2.E187.m1.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="A2.E187.m1.2.2.2.2.2.2">𝑄</ci><cn id="A2.E187.m1.2.2.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="A2.E187.m1.2.2.2.2.2.3">2</cn></apply></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.E187.m1.2c">\displaystyle H_{\sigma\tau}(Q_{1},Q_{2})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.E187.m1.2d">italic_H start_POSTSUBSCRIPT italic_σ italic_τ end_POSTSUBSCRIPT ( italic_Q start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , italic_Q start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\leq\frac{1}{f_{t}\big{(}(Q_{1}Q_{2})^{-1}\big{)}}\sum_{ij}\left|% h_{\sigma\tau}^{(ij)}\right|q^{-(i+j)}" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.E187.m2.4"><semantics id="A2.E187.m2.4a"><mrow id="A2.E187.m2.4.4" xref="A2.E187.m2.4.4.cmml"><mi id="A2.E187.m2.4.4.3" xref="A2.E187.m2.4.4.3.cmml"></mi><mo id="A2.E187.m2.4.4.2" xref="A2.E187.m2.4.4.2.cmml">≤</mo><mrow id="A2.E187.m2.4.4.1" xref="A2.E187.m2.4.4.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A2.E187.m2.1.1" xref="A2.E187.m2.1.1.cmml"><mfrac id="A2.E187.m2.1.1a" xref="A2.E187.m2.1.1.cmml"><mn id="A2.E187.m2.1.1.3" xref="A2.E187.m2.1.1.3.cmml">1</mn><mrow id="A2.E187.m2.1.1.1" xref="A2.E187.m2.1.1.1.cmml"><msub id="A2.E187.m2.1.1.1.3" xref="A2.E187.m2.1.1.1.3.cmml"><mi id="A2.E187.m2.1.1.1.3.2" xref="A2.E187.m2.1.1.1.3.2.cmml">f</mi><mi id="A2.E187.m2.1.1.1.3.3" xref="A2.E187.m2.1.1.1.3.3.cmml">t</mi></msub><mo id="A2.E187.m2.1.1.1.2" xref="A2.E187.m2.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A2.E187.m2.1.1.1.1.1" xref="A2.E187.m2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A2.E187.m2.1.1.1.1.1.2" maxsize="120%" minsize="120%" xref="A2.E187.m2.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="A2.E187.m2.1.1.1.1.1.1" xref="A2.E187.m2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A2.E187.m2.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A2.E187.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A2.E187.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A2.E187.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A2.E187.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A2.E187.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="A2.E187.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A2.E187.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="A2.E187.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="A2.E187.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">Q</mi><mn id="A2.E187.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="A2.E187.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">1</mn></msub><mo id="A2.E187.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A2.E187.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="A2.E187.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A2.E187.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A2.E187.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A2.E187.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">Q</mi><mn id="A2.E187.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A2.E187.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></msub></mrow><mo id="A2.E187.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A2.E187.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="A2.E187.m2.1.1.1.1.1.1.3" xref="A2.E187.m2.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="A2.E187.m2.1.1.1.1.1.1.3a" xref="A2.E187.m2.1.1.1.1.1.1.3.cmml">−</mo><mn id="A2.E187.m2.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A2.E187.m2.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="A2.E187.m2.1.1.1.1.1.3" maxsize="120%" minsize="120%" xref="A2.E187.m2.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mfrac></mstyle><mo id="A2.E187.m2.4.4.1.2" xref="A2.E187.m2.4.4.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A2.E187.m2.4.4.1.1" xref="A2.E187.m2.4.4.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A2.E187.m2.4.4.1.1.2" xref="A2.E187.m2.4.4.1.1.2.cmml"><munder id="A2.E187.m2.4.4.1.1.2a" xref="A2.E187.m2.4.4.1.1.2.cmml"><mo id="A2.E187.m2.4.4.1.1.2.2" movablelimits="false" xref="A2.E187.m2.4.4.1.1.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="A2.E187.m2.4.4.1.1.2.3" xref="A2.E187.m2.4.4.1.1.2.3.cmml"><mi id="A2.E187.m2.4.4.1.1.2.3.2" xref="A2.E187.m2.4.4.1.1.2.3.2.cmml">i</mi><mo id="A2.E187.m2.4.4.1.1.2.3.1" xref="A2.E187.m2.4.4.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A2.E187.m2.4.4.1.1.2.3.3" xref="A2.E187.m2.4.4.1.1.2.3.3.cmml">j</mi></mrow></munder></mstyle><mrow id="A2.E187.m2.4.4.1.1.1" xref="A2.E187.m2.4.4.1.1.1.cmml"><mrow id="A2.E187.m2.4.4.1.1.1.1.1" xref="A2.E187.m2.4.4.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="A2.E187.m2.4.4.1.1.1.1.1.2" xref="A2.E187.m2.4.4.1.1.1.1.2.1.cmml">|</mo><msubsup id="A2.E187.m2.4.4.1.1.1.1.1.1" xref="A2.E187.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A2.E187.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="A2.E187.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">h</mi><mrow id="A2.E187.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="A2.E187.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="A2.E187.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="A2.E187.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">σ</mi><mo id="A2.E187.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.2.3.1" xref="A2.E187.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A2.E187.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="A2.E187.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">τ</mi></mrow><mrow id="A2.E187.m2.2.2.1.1" xref="A2.E187.m2.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="A2.E187.m2.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="A2.E187.m2.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A2.E187.m2.2.2.1.1.1" xref="A2.E187.m2.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="A2.E187.m2.2.2.1.1.1.2" xref="A2.E187.m2.2.2.1.1.1.2.cmml">i</mi><mo id="A2.E187.m2.2.2.1.1.1.1" xref="A2.E187.m2.2.2.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="A2.E187.m2.2.2.1.1.1.3" xref="A2.E187.m2.2.2.1.1.1.3.cmml">j</mi></mrow><mo id="A2.E187.m2.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="A2.E187.m2.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></msubsup><mo id="A2.E187.m2.4.4.1.1.1.1.1.3" xref="A2.E187.m2.4.4.1.1.1.1.2.1.cmml">|</mo></mrow><mo id="A2.E187.m2.4.4.1.1.1.2" xref="A2.E187.m2.4.4.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msup id="A2.E187.m2.4.4.1.1.1.3" xref="A2.E187.m2.4.4.1.1.1.3.cmml"><mi id="A2.E187.m2.4.4.1.1.1.3.2" xref="A2.E187.m2.4.4.1.1.1.3.2.cmml">q</mi><mrow id="A2.E187.m2.3.3.1" xref="A2.E187.m2.3.3.1.cmml"><mo id="A2.E187.m2.3.3.1a" 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ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(187)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="A2.SS8.1.p1.13">We will now show <math alttext="h_{ij}=0" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.SS8.1.p1.8.m1.1"><semantics id="A2.SS8.1.p1.8.m1.1a"><mrow id="A2.SS8.1.p1.8.m1.1.1" xref="A2.SS8.1.p1.8.m1.1.1.cmml"><msub id="A2.SS8.1.p1.8.m1.1.1.2" xref="A2.SS8.1.p1.8.m1.1.1.2.cmml"><mi id="A2.SS8.1.p1.8.m1.1.1.2.2" xref="A2.SS8.1.p1.8.m1.1.1.2.2.cmml">h</mi><mrow id="A2.SS8.1.p1.8.m1.1.1.2.3" xref="A2.SS8.1.p1.8.m1.1.1.2.3.cmml"><mi id="A2.SS8.1.p1.8.m1.1.1.2.3.2" xref="A2.SS8.1.p1.8.m1.1.1.2.3.2.cmml">i</mi><mo id="A2.SS8.1.p1.8.m1.1.1.2.3.1" xref="A2.SS8.1.p1.8.m1.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A2.SS8.1.p1.8.m1.1.1.2.3.3" xref="A2.SS8.1.p1.8.m1.1.1.2.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="A2.SS8.1.p1.8.m1.1.1.1" xref="A2.SS8.1.p1.8.m1.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="A2.SS8.1.p1.8.m1.1.1.3" xref="A2.SS8.1.p1.8.m1.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.SS8.1.p1.8.m1.1b"><apply id="A2.SS8.1.p1.8.m1.1.1.cmml" xref="A2.SS8.1.p1.8.m1.1.1"><eq id="A2.SS8.1.p1.8.m1.1.1.1.cmml" xref="A2.SS8.1.p1.8.m1.1.1.1"></eq><apply id="A2.SS8.1.p1.8.m1.1.1.2.cmml" xref="A2.SS8.1.p1.8.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.SS8.1.p1.8.m1.1.1.2.1.cmml" xref="A2.SS8.1.p1.8.m1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="A2.SS8.1.p1.8.m1.1.1.2.2.cmml" xref="A2.SS8.1.p1.8.m1.1.1.2.2">ℎ</ci><apply id="A2.SS8.1.p1.8.m1.1.1.2.3.cmml" xref="A2.SS8.1.p1.8.m1.1.1.2.3"><times id="A2.SS8.1.p1.8.m1.1.1.2.3.1.cmml" xref="A2.SS8.1.p1.8.m1.1.1.2.3.1"></times><ci id="A2.SS8.1.p1.8.m1.1.1.2.3.2.cmml" xref="A2.SS8.1.p1.8.m1.1.1.2.3.2">𝑖</ci><ci id="A2.SS8.1.p1.8.m1.1.1.2.3.3.cmml" xref="A2.SS8.1.p1.8.m1.1.1.2.3.3">𝑗</ci></apply></apply><cn id="A2.SS8.1.p1.8.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A2.SS8.1.p1.8.m1.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.SS8.1.p1.8.m1.1c">h_{ij}=0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.SS8.1.p1.8.m1.1d">italic_h start_POSTSUBSCRIPT italic_i italic_j end_POSTSUBSCRIPT = 0</annotation></semantics></math> unless <math alttext="i+j\geq\lceil\frac{t}{2}\rceil" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.SS8.1.p1.9.m2.1"><semantics id="A2.SS8.1.p1.9.m2.1a"><mrow id="A2.SS8.1.p1.9.m2.1.2" xref="A2.SS8.1.p1.9.m2.1.2.cmml"><mrow id="A2.SS8.1.p1.9.m2.1.2.2" xref="A2.SS8.1.p1.9.m2.1.2.2.cmml"><mi id="A2.SS8.1.p1.9.m2.1.2.2.2" xref="A2.SS8.1.p1.9.m2.1.2.2.2.cmml">i</mi><mo id="A2.SS8.1.p1.9.m2.1.2.2.1" xref="A2.SS8.1.p1.9.m2.1.2.2.1.cmml">+</mo><mi id="A2.SS8.1.p1.9.m2.1.2.2.3" xref="A2.SS8.1.p1.9.m2.1.2.2.3.cmml">j</mi></mrow><mo id="A2.SS8.1.p1.9.m2.1.2.1" xref="A2.SS8.1.p1.9.m2.1.2.1.cmml">≥</mo><mrow id="A2.SS8.1.p1.9.m2.1.2.3.2" xref="A2.SS8.1.p1.9.m2.1.2.3.1.cmml"><mo id="A2.SS8.1.p1.9.m2.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="A2.SS8.1.p1.9.m2.1.2.3.1.1.cmml">⌈</mo><mfrac id="A2.SS8.1.p1.9.m2.1.1" xref="A2.SS8.1.p1.9.m2.1.1.cmml"><mi id="A2.SS8.1.p1.9.m2.1.1.2" xref="A2.SS8.1.p1.9.m2.1.1.2.cmml">t</mi><mn id="A2.SS8.1.p1.9.m2.1.1.3" xref="A2.SS8.1.p1.9.m2.1.1.3.cmml">2</mn></mfrac><mo id="A2.SS8.1.p1.9.m2.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="A2.SS8.1.p1.9.m2.1.2.3.1.1.cmml">⌉</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.SS8.1.p1.9.m2.1b"><apply id="A2.SS8.1.p1.9.m2.1.2.cmml" xref="A2.SS8.1.p1.9.m2.1.2"><geq id="A2.SS8.1.p1.9.m2.1.2.1.cmml" xref="A2.SS8.1.p1.9.m2.1.2.1"></geq><apply id="A2.SS8.1.p1.9.m2.1.2.2.cmml" xref="A2.SS8.1.p1.9.m2.1.2.2"><plus id="A2.SS8.1.p1.9.m2.1.2.2.1.cmml" xref="A2.SS8.1.p1.9.m2.1.2.2.1"></plus><ci id="A2.SS8.1.p1.9.m2.1.2.2.2.cmml" xref="A2.SS8.1.p1.9.m2.1.2.2.2">𝑖</ci><ci id="A2.SS8.1.p1.9.m2.1.2.2.3.cmml" xref="A2.SS8.1.p1.9.m2.1.2.2.3">𝑗</ci></apply><apply id="A2.SS8.1.p1.9.m2.1.2.3.1.cmml" xref="A2.SS8.1.p1.9.m2.1.2.3.2"><ceiling id="A2.SS8.1.p1.9.m2.1.2.3.1.1.cmml" xref="A2.SS8.1.p1.9.m2.1.2.3.2.1"></ceiling><apply id="A2.SS8.1.p1.9.m2.1.1.cmml" xref="A2.SS8.1.p1.9.m2.1.1"><divide id="A2.SS8.1.p1.9.m2.1.1.1.cmml" xref="A2.SS8.1.p1.9.m2.1.1"></divide><ci id="A2.SS8.1.p1.9.m2.1.1.2.cmml" xref="A2.SS8.1.p1.9.m2.1.1.2">𝑡</ci><cn id="A2.SS8.1.p1.9.m2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A2.SS8.1.p1.9.m2.1.1.3">2</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.SS8.1.p1.9.m2.1c">i+j\geq\lceil\frac{t}{2}\rceil</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.SS8.1.p1.9.m2.1d">italic_i + italic_j ≥ ⌈ divide start_ARG italic_t end_ARG start_ARG 2 end_ARG ⌉</annotation></semantics></math>. Notice that in Equation <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#A2.E183" title="In Proof. ‣ B.8 Proof of Lemma 46 ‣ Appendix B Assorted proofs ‣ Conditional 𝑡-independent spectral gap for random quantum circuits and implications for 𝑡-design depths"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">183</span></a> we are interested in the case in which <math alttext="\sigma" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.SS8.1.p1.10.m3.1"><semantics id="A2.SS8.1.p1.10.m3.1a"><mi id="A2.SS8.1.p1.10.m3.1.1" xref="A2.SS8.1.p1.10.m3.1.1.cmml">σ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.SS8.1.p1.10.m3.1b"><ci id="A2.SS8.1.p1.10.m3.1.1.cmml" xref="A2.SS8.1.p1.10.m3.1.1">𝜎</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.SS8.1.p1.10.m3.1c">\sigma</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.SS8.1.p1.10.m3.1d">italic_σ</annotation></semantics></math> is a derangement, so <math alttext="|\sigma|\geq\lceil\frac{t}{2}\rceil" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.SS8.1.p1.11.m4.2"><semantics id="A2.SS8.1.p1.11.m4.2a"><mrow id="A2.SS8.1.p1.11.m4.2.3" xref="A2.SS8.1.p1.11.m4.2.3.cmml"><mrow id="A2.SS8.1.p1.11.m4.2.3.2.2" xref="A2.SS8.1.p1.11.m4.2.3.2.1.cmml"><mo id="A2.SS8.1.p1.11.m4.2.3.2.2.1" stretchy="false" xref="A2.SS8.1.p1.11.m4.2.3.2.1.1.cmml">|</mo><mi id="A2.SS8.1.p1.11.m4.1.1" xref="A2.SS8.1.p1.11.m4.1.1.cmml">σ</mi><mo id="A2.SS8.1.p1.11.m4.2.3.2.2.2" stretchy="false" xref="A2.SS8.1.p1.11.m4.2.3.2.1.1.cmml">|</mo></mrow><mo id="A2.SS8.1.p1.11.m4.2.3.1" xref="A2.SS8.1.p1.11.m4.2.3.1.cmml">≥</mo><mrow id="A2.SS8.1.p1.11.m4.2.3.3.2" xref="A2.SS8.1.p1.11.m4.2.3.3.1.cmml"><mo id="A2.SS8.1.p1.11.m4.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="A2.SS8.1.p1.11.m4.2.3.3.1.1.cmml">⌈</mo><mfrac id="A2.SS8.1.p1.11.m4.2.2" xref="A2.SS8.1.p1.11.m4.2.2.cmml"><mi id="A2.SS8.1.p1.11.m4.2.2.2" xref="A2.SS8.1.p1.11.m4.2.2.2.cmml">t</mi><mn id="A2.SS8.1.p1.11.m4.2.2.3" xref="A2.SS8.1.p1.11.m4.2.2.3.cmml">2</mn></mfrac><mo id="A2.SS8.1.p1.11.m4.2.3.3.2.2" stretchy="false" xref="A2.SS8.1.p1.11.m4.2.3.3.1.1.cmml">⌉</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.SS8.1.p1.11.m4.2b"><apply id="A2.SS8.1.p1.11.m4.2.3.cmml" xref="A2.SS8.1.p1.11.m4.2.3"><geq id="A2.SS8.1.p1.11.m4.2.3.1.cmml" xref="A2.SS8.1.p1.11.m4.2.3.1"></geq><apply id="A2.SS8.1.p1.11.m4.2.3.2.1.cmml" xref="A2.SS8.1.p1.11.m4.2.3.2.2"><abs id="A2.SS8.1.p1.11.m4.2.3.2.1.1.cmml" xref="A2.SS8.1.p1.11.m4.2.3.2.2.1"></abs><ci id="A2.SS8.1.p1.11.m4.1.1.cmml" xref="A2.SS8.1.p1.11.m4.1.1">𝜎</ci></apply><apply id="A2.SS8.1.p1.11.m4.2.3.3.1.cmml" xref="A2.SS8.1.p1.11.m4.2.3.3.2"><ceiling id="A2.SS8.1.p1.11.m4.2.3.3.1.1.cmml" xref="A2.SS8.1.p1.11.m4.2.3.3.2.1"></ceiling><apply id="A2.SS8.1.p1.11.m4.2.2.cmml" xref="A2.SS8.1.p1.11.m4.2.2"><divide id="A2.SS8.1.p1.11.m4.2.2.1.cmml" xref="A2.SS8.1.p1.11.m4.2.2"></divide><ci id="A2.SS8.1.p1.11.m4.2.2.2.cmml" xref="A2.SS8.1.p1.11.m4.2.2.2">𝑡</ci><cn id="A2.SS8.1.p1.11.m4.2.2.3.cmml" type="integer" xref="A2.SS8.1.p1.11.m4.2.2.3">2</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.SS8.1.p1.11.m4.2c">|\sigma|\geq\lceil\frac{t}{2}\rceil</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.SS8.1.p1.11.m4.2d">| italic_σ | ≥ ⌈ divide start_ARG italic_t end_ARG start_ARG 2 end_ARG ⌉</annotation></semantics></math>. But <math alttext="|\rho\sigma^{-1}|+|\rho|\geq|\sigma|" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.SS8.1.p1.12.m5.3"><semantics id="A2.SS8.1.p1.12.m5.3a"><mrow id="A2.SS8.1.p1.12.m5.3.3" xref="A2.SS8.1.p1.12.m5.3.3.cmml"><mrow id="A2.SS8.1.p1.12.m5.3.3.1" xref="A2.SS8.1.p1.12.m5.3.3.1.cmml"><mrow id="A2.SS8.1.p1.12.m5.3.3.1.1.1" xref="A2.SS8.1.p1.12.m5.3.3.1.1.2.cmml"><mo id="A2.SS8.1.p1.12.m5.3.3.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A2.SS8.1.p1.12.m5.3.3.1.1.2.1.cmml">|</mo><mrow id="A2.SS8.1.p1.12.m5.3.3.1.1.1.1" xref="A2.SS8.1.p1.12.m5.3.3.1.1.1.1.cmml"><mi id="A2.SS8.1.p1.12.m5.3.3.1.1.1.1.2" xref="A2.SS8.1.p1.12.m5.3.3.1.1.1.1.2.cmml">ρ</mi><mo id="A2.SS8.1.p1.12.m5.3.3.1.1.1.1.1" xref="A2.SS8.1.p1.12.m5.3.3.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msup id="A2.SS8.1.p1.12.m5.3.3.1.1.1.1.3" xref="A2.SS8.1.p1.12.m5.3.3.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A2.SS8.1.p1.12.m5.3.3.1.1.1.1.3.2" xref="A2.SS8.1.p1.12.m5.3.3.1.1.1.1.3.2.cmml">σ</mi><mrow id="A2.SS8.1.p1.12.m5.3.3.1.1.1.1.3.3" xref="A2.SS8.1.p1.12.m5.3.3.1.1.1.1.3.3.cmml"><mo id="A2.SS8.1.p1.12.m5.3.3.1.1.1.1.3.3a" xref="A2.SS8.1.p1.12.m5.3.3.1.1.1.1.3.3.cmml">−</mo><mn id="A2.SS8.1.p1.12.m5.3.3.1.1.1.1.3.3.2" xref="A2.SS8.1.p1.12.m5.3.3.1.1.1.1.3.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup></mrow><mo id="A2.SS8.1.p1.12.m5.3.3.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A2.SS8.1.p1.12.m5.3.3.1.1.2.1.cmml">|</mo></mrow><mo id="A2.SS8.1.p1.12.m5.3.3.1.2" xref="A2.SS8.1.p1.12.m5.3.3.1.2.cmml">+</mo><mrow id="A2.SS8.1.p1.12.m5.3.3.1.3.2" xref="A2.SS8.1.p1.12.m5.3.3.1.3.1.cmml"><mo id="A2.SS8.1.p1.12.m5.3.3.1.3.2.1" stretchy="false" xref="A2.SS8.1.p1.12.m5.3.3.1.3.1.1.cmml">|</mo><mi id="A2.SS8.1.p1.12.m5.1.1" xref="A2.SS8.1.p1.12.m5.1.1.cmml">ρ</mi><mo id="A2.SS8.1.p1.12.m5.3.3.1.3.2.2" stretchy="false" xref="A2.SS8.1.p1.12.m5.3.3.1.3.1.1.cmml">|</mo></mrow></mrow><mo id="A2.SS8.1.p1.12.m5.3.3.2" xref="A2.SS8.1.p1.12.m5.3.3.2.cmml">≥</mo><mrow id="A2.SS8.1.p1.12.m5.3.3.3.2" xref="A2.SS8.1.p1.12.m5.3.3.3.1.cmml"><mo id="A2.SS8.1.p1.12.m5.3.3.3.2.1" stretchy="false" xref="A2.SS8.1.p1.12.m5.3.3.3.1.1.cmml">|</mo><mi id="A2.SS8.1.p1.12.m5.2.2" xref="A2.SS8.1.p1.12.m5.2.2.cmml">σ</mi><mo id="A2.SS8.1.p1.12.m5.3.3.3.2.2" stretchy="false" xref="A2.SS8.1.p1.12.m5.3.3.3.1.1.cmml">|</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.SS8.1.p1.12.m5.3b"><apply id="A2.SS8.1.p1.12.m5.3.3.cmml" xref="A2.SS8.1.p1.12.m5.3.3"><geq id="A2.SS8.1.p1.12.m5.3.3.2.cmml" xref="A2.SS8.1.p1.12.m5.3.3.2"></geq><apply id="A2.SS8.1.p1.12.m5.3.3.1.cmml" xref="A2.SS8.1.p1.12.m5.3.3.1"><plus id="A2.SS8.1.p1.12.m5.3.3.1.2.cmml" xref="A2.SS8.1.p1.12.m5.3.3.1.2"></plus><apply id="A2.SS8.1.p1.12.m5.3.3.1.1.2.cmml" xref="A2.SS8.1.p1.12.m5.3.3.1.1.1"><abs id="A2.SS8.1.p1.12.m5.3.3.1.1.2.1.cmml" xref="A2.SS8.1.p1.12.m5.3.3.1.1.1.2"></abs><apply id="A2.SS8.1.p1.12.m5.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="A2.SS8.1.p1.12.m5.3.3.1.1.1.1"><times id="A2.SS8.1.p1.12.m5.3.3.1.1.1.1.1.cmml" xref="A2.SS8.1.p1.12.m5.3.3.1.1.1.1.1"></times><ci id="A2.SS8.1.p1.12.m5.3.3.1.1.1.1.2.cmml" xref="A2.SS8.1.p1.12.m5.3.3.1.1.1.1.2">𝜌</ci><apply id="A2.SS8.1.p1.12.m5.3.3.1.1.1.1.3.cmml" xref="A2.SS8.1.p1.12.m5.3.3.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.SS8.1.p1.12.m5.3.3.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A2.SS8.1.p1.12.m5.3.3.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="A2.SS8.1.p1.12.m5.3.3.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A2.SS8.1.p1.12.m5.3.3.1.1.1.1.3.2">𝜎</ci><apply id="A2.SS8.1.p1.12.m5.3.3.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A2.SS8.1.p1.12.m5.3.3.1.1.1.1.3.3"><minus id="A2.SS8.1.p1.12.m5.3.3.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="A2.SS8.1.p1.12.m5.3.3.1.1.1.1.3.3"></minus><cn id="A2.SS8.1.p1.12.m5.3.3.1.1.1.1.3.3.2.cmml" type="integer" xref="A2.SS8.1.p1.12.m5.3.3.1.1.1.1.3.3.2">1</cn></apply></apply></apply></apply><apply id="A2.SS8.1.p1.12.m5.3.3.1.3.1.cmml" xref="A2.SS8.1.p1.12.m5.3.3.1.3.2"><abs id="A2.SS8.1.p1.12.m5.3.3.1.3.1.1.cmml" xref="A2.SS8.1.p1.12.m5.3.3.1.3.2.1"></abs><ci id="A2.SS8.1.p1.12.m5.1.1.cmml" xref="A2.SS8.1.p1.12.m5.1.1">𝜌</ci></apply></apply><apply id="A2.SS8.1.p1.12.m5.3.3.3.1.cmml" xref="A2.SS8.1.p1.12.m5.3.3.3.2"><abs id="A2.SS8.1.p1.12.m5.3.3.3.1.1.cmml" xref="A2.SS8.1.p1.12.m5.3.3.3.2.1"></abs><ci id="A2.SS8.1.p1.12.m5.2.2.cmml" xref="A2.SS8.1.p1.12.m5.2.2">𝜎</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.SS8.1.p1.12.m5.3c">|\rho\sigma^{-1}|+|\rho|\geq|\sigma|</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.SS8.1.p1.12.m5.3d">| italic_ρ italic_σ start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT | + | italic_ρ | ≥ | italic_σ |</annotation></semantics></math>, so every term in the polynomial of Equation <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#A2.E184" title="In Proof. ‣ B.8 Proof of Lemma 46 ‣ Appendix B Assorted proofs ‣ Conditional 𝑡-independent spectral gap for random quantum circuits and implications for 𝑡-design depths"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">184</span></a> has total degree at least <math alttext="\lceil\frac{t}{2}\rceil" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.SS8.1.p1.13.m6.1"><semantics id="A2.SS8.1.p1.13.m6.1a"><mrow id="A2.SS8.1.p1.13.m6.1.2.2" xref="A2.SS8.1.p1.13.m6.1.2.1.cmml"><mo id="A2.SS8.1.p1.13.m6.1.2.2.1" stretchy="false" xref="A2.SS8.1.p1.13.m6.1.2.1.1.cmml">⌈</mo><mfrac id="A2.SS8.1.p1.13.m6.1.1" xref="A2.SS8.1.p1.13.m6.1.1.cmml"><mi id="A2.SS8.1.p1.13.m6.1.1.2" xref="A2.SS8.1.p1.13.m6.1.1.2.cmml">t</mi><mn id="A2.SS8.1.p1.13.m6.1.1.3" xref="A2.SS8.1.p1.13.m6.1.1.3.cmml">2</mn></mfrac><mo id="A2.SS8.1.p1.13.m6.1.2.2.2" stretchy="false" xref="A2.SS8.1.p1.13.m6.1.2.1.1.cmml">⌉</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.SS8.1.p1.13.m6.1b"><apply id="A2.SS8.1.p1.13.m6.1.2.1.cmml" xref="A2.SS8.1.p1.13.m6.1.2.2"><ceiling id="A2.SS8.1.p1.13.m6.1.2.1.1.cmml" xref="A2.SS8.1.p1.13.m6.1.2.2.1"></ceiling><apply id="A2.SS8.1.p1.13.m6.1.1.cmml" xref="A2.SS8.1.p1.13.m6.1.1"><divide id="A2.SS8.1.p1.13.m6.1.1.1.cmml" xref="A2.SS8.1.p1.13.m6.1.1"></divide><ci id="A2.SS8.1.p1.13.m6.1.1.2.cmml" xref="A2.SS8.1.p1.13.m6.1.1.2">𝑡</ci><cn id="A2.SS8.1.p1.13.m6.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A2.SS8.1.p1.13.m6.1.1.3">2</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.SS8.1.p1.13.m6.1c">\lceil\frac{t}{2}\rceil</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.SS8.1.p1.13.m6.1d">⌈ divide start_ARG italic_t end_ARG start_ARG 2 end_ARG ⌉</annotation></semantics></math>.</p> </div> <div class="ltx_para" id="A2.SS8.2.p2"> <p class="ltx_p" id="A2.SS8.2.p2.3">From this it follows that <math alttext="\left|h_{\sigma\tau}^{(ij)}\right|q^{-(i+j)-\lceil\frac{t}{2}\rceil}" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.SS8.2.p2.1.m1.4"><semantics id="A2.SS8.2.p2.1.m1.4a"><mrow id="A2.SS8.2.p2.1.m1.4.4" xref="A2.SS8.2.p2.1.m1.4.4.cmml"><mrow id="A2.SS8.2.p2.1.m1.4.4.1.1" xref="A2.SS8.2.p2.1.m1.4.4.1.2.cmml"><mo id="A2.SS8.2.p2.1.m1.4.4.1.1.2" xref="A2.SS8.2.p2.1.m1.4.4.1.2.1.cmml">|</mo><msubsup id="A2.SS8.2.p2.1.m1.4.4.1.1.1" xref="A2.SS8.2.p2.1.m1.4.4.1.1.1.cmml"><mi id="A2.SS8.2.p2.1.m1.4.4.1.1.1.2.2" xref="A2.SS8.2.p2.1.m1.4.4.1.1.1.2.2.cmml">h</mi><mrow id="A2.SS8.2.p2.1.m1.4.4.1.1.1.2.3" xref="A2.SS8.2.p2.1.m1.4.4.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="A2.SS8.2.p2.1.m1.4.4.1.1.1.2.3.2" xref="A2.SS8.2.p2.1.m1.4.4.1.1.1.2.3.2.cmml">σ</mi><mo id="A2.SS8.2.p2.1.m1.4.4.1.1.1.2.3.1" xref="A2.SS8.2.p2.1.m1.4.4.1.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A2.SS8.2.p2.1.m1.4.4.1.1.1.2.3.3" xref="A2.SS8.2.p2.1.m1.4.4.1.1.1.2.3.3.cmml">τ</mi></mrow><mrow id="A2.SS8.2.p2.1.m1.1.1.1.1" xref="A2.SS8.2.p2.1.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A2.SS8.2.p2.1.m1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A2.SS8.2.p2.1.m1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A2.SS8.2.p2.1.m1.1.1.1.1.1" xref="A2.SS8.2.p2.1.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A2.SS8.2.p2.1.m1.1.1.1.1.1.2" xref="A2.SS8.2.p2.1.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">i</mi><mo id="A2.SS8.2.p2.1.m1.1.1.1.1.1.1" xref="A2.SS8.2.p2.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="A2.SS8.2.p2.1.m1.1.1.1.1.1.3" xref="A2.SS8.2.p2.1.m1.1.1.1.1.1.3.cmml">j</mi></mrow><mo id="A2.SS8.2.p2.1.m1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A2.SS8.2.p2.1.m1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></msubsup><mo id="A2.SS8.2.p2.1.m1.4.4.1.1.3" xref="A2.SS8.2.p2.1.m1.4.4.1.2.1.cmml">|</mo></mrow><mo id="A2.SS8.2.p2.1.m1.4.4.2" xref="A2.SS8.2.p2.1.m1.4.4.2.cmml">⁢</mo><msup id="A2.SS8.2.p2.1.m1.4.4.3" xref="A2.SS8.2.p2.1.m1.4.4.3.cmml"><mi id="A2.SS8.2.p2.1.m1.4.4.3.2" xref="A2.SS8.2.p2.1.m1.4.4.3.2.cmml">q</mi><mrow id="A2.SS8.2.p2.1.m1.3.3.2" xref="A2.SS8.2.p2.1.m1.3.3.2.cmml"><mrow id="A2.SS8.2.p2.1.m1.3.3.2.2" xref="A2.SS8.2.p2.1.m1.3.3.2.2.cmml"><mo id="A2.SS8.2.p2.1.m1.3.3.2.2a" xref="A2.SS8.2.p2.1.m1.3.3.2.2.cmml">−</mo><mrow id="A2.SS8.2.p2.1.m1.3.3.2.2.1.1" xref="A2.SS8.2.p2.1.m1.3.3.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="A2.SS8.2.p2.1.m1.3.3.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="A2.SS8.2.p2.1.m1.3.3.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A2.SS8.2.p2.1.m1.3.3.2.2.1.1.1" xref="A2.SS8.2.p2.1.m1.3.3.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="A2.SS8.2.p2.1.m1.3.3.2.2.1.1.1.2" xref="A2.SS8.2.p2.1.m1.3.3.2.2.1.1.1.2.cmml">i</mi><mo id="A2.SS8.2.p2.1.m1.3.3.2.2.1.1.1.1" xref="A2.SS8.2.p2.1.m1.3.3.2.2.1.1.1.1.cmml">+</mo><mi id="A2.SS8.2.p2.1.m1.3.3.2.2.1.1.1.3" xref="A2.SS8.2.p2.1.m1.3.3.2.2.1.1.1.3.cmml">j</mi></mrow><mo id="A2.SS8.2.p2.1.m1.3.3.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="A2.SS8.2.p2.1.m1.3.3.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A2.SS8.2.p2.1.m1.3.3.2.3" xref="A2.SS8.2.p2.1.m1.3.3.2.3.cmml">−</mo><mrow id="A2.SS8.2.p2.1.m1.3.3.2.4.2" xref="A2.SS8.2.p2.1.m1.3.3.2.4.1.cmml"><mo id="A2.SS8.2.p2.1.m1.3.3.2.4.2.1" stretchy="false" xref="A2.SS8.2.p2.1.m1.3.3.2.4.1.1.cmml">⌈</mo><mfrac id="A2.SS8.2.p2.1.m1.2.2.1.1" xref="A2.SS8.2.p2.1.m1.2.2.1.1.cmml"><mi id="A2.SS8.2.p2.1.m1.2.2.1.1.2" xref="A2.SS8.2.p2.1.m1.2.2.1.1.2.cmml">t</mi><mn id="A2.SS8.2.p2.1.m1.2.2.1.1.3" xref="A2.SS8.2.p2.1.m1.2.2.1.1.3.cmml">2</mn></mfrac><mo id="A2.SS8.2.p2.1.m1.3.3.2.4.2.2" stretchy="false" xref="A2.SS8.2.p2.1.m1.3.3.2.4.1.1.cmml">⌉</mo></mrow></mrow></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.SS8.2.p2.1.m1.4b"><apply id="A2.SS8.2.p2.1.m1.4.4.cmml" xref="A2.SS8.2.p2.1.m1.4.4"><times id="A2.SS8.2.p2.1.m1.4.4.2.cmml" xref="A2.SS8.2.p2.1.m1.4.4.2"></times><apply id="A2.SS8.2.p2.1.m1.4.4.1.2.cmml" xref="A2.SS8.2.p2.1.m1.4.4.1.1"><abs id="A2.SS8.2.p2.1.m1.4.4.1.2.1.cmml" xref="A2.SS8.2.p2.1.m1.4.4.1.1.2"></abs><apply id="A2.SS8.2.p2.1.m1.4.4.1.1.1.cmml" xref="A2.SS8.2.p2.1.m1.4.4.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.SS8.2.p2.1.m1.4.4.1.1.1.1.cmml" xref="A2.SS8.2.p2.1.m1.4.4.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="A2.SS8.2.p2.1.m1.4.4.1.1.1.2.cmml" xref="A2.SS8.2.p2.1.m1.4.4.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.SS8.2.p2.1.m1.4.4.1.1.1.2.1.cmml" xref="A2.SS8.2.p2.1.m1.4.4.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="A2.SS8.2.p2.1.m1.4.4.1.1.1.2.2.cmml" xref="A2.SS8.2.p2.1.m1.4.4.1.1.1.2.2">ℎ</ci><apply id="A2.SS8.2.p2.1.m1.4.4.1.1.1.2.3.cmml" xref="A2.SS8.2.p2.1.m1.4.4.1.1.1.2.3"><times id="A2.SS8.2.p2.1.m1.4.4.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="A2.SS8.2.p2.1.m1.4.4.1.1.1.2.3.1"></times><ci id="A2.SS8.2.p2.1.m1.4.4.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="A2.SS8.2.p2.1.m1.4.4.1.1.1.2.3.2">𝜎</ci><ci id="A2.SS8.2.p2.1.m1.4.4.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="A2.SS8.2.p2.1.m1.4.4.1.1.1.2.3.3">𝜏</ci></apply></apply><apply id="A2.SS8.2.p2.1.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A2.SS8.2.p2.1.m1.1.1.1.1"><times id="A2.SS8.2.p2.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A2.SS8.2.p2.1.m1.1.1.1.1.1.1"></times><ci id="A2.SS8.2.p2.1.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A2.SS8.2.p2.1.m1.1.1.1.1.1.2">𝑖</ci><ci id="A2.SS8.2.p2.1.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A2.SS8.2.p2.1.m1.1.1.1.1.1.3">𝑗</ci></apply></apply></apply><apply id="A2.SS8.2.p2.1.m1.4.4.3.cmml" xref="A2.SS8.2.p2.1.m1.4.4.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.SS8.2.p2.1.m1.4.4.3.1.cmml" xref="A2.SS8.2.p2.1.m1.4.4.3">superscript</csymbol><ci id="A2.SS8.2.p2.1.m1.4.4.3.2.cmml" xref="A2.SS8.2.p2.1.m1.4.4.3.2">𝑞</ci><apply id="A2.SS8.2.p2.1.m1.3.3.2.cmml" xref="A2.SS8.2.p2.1.m1.3.3.2"><minus id="A2.SS8.2.p2.1.m1.3.3.2.3.cmml" xref="A2.SS8.2.p2.1.m1.3.3.2.3"></minus><apply id="A2.SS8.2.p2.1.m1.3.3.2.2.cmml" xref="A2.SS8.2.p2.1.m1.3.3.2.2"><minus id="A2.SS8.2.p2.1.m1.3.3.2.2.2.cmml" xref="A2.SS8.2.p2.1.m1.3.3.2.2"></minus><apply id="A2.SS8.2.p2.1.m1.3.3.2.2.1.1.1.cmml" xref="A2.SS8.2.p2.1.m1.3.3.2.2.1.1"><plus id="A2.SS8.2.p2.1.m1.3.3.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="A2.SS8.2.p2.1.m1.3.3.2.2.1.1.1.1"></plus><ci id="A2.SS8.2.p2.1.m1.3.3.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="A2.SS8.2.p2.1.m1.3.3.2.2.1.1.1.2">𝑖</ci><ci id="A2.SS8.2.p2.1.m1.3.3.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="A2.SS8.2.p2.1.m1.3.3.2.2.1.1.1.3">𝑗</ci></apply></apply><apply id="A2.SS8.2.p2.1.m1.3.3.2.4.1.cmml" xref="A2.SS8.2.p2.1.m1.3.3.2.4.2"><ceiling id="A2.SS8.2.p2.1.m1.3.3.2.4.1.1.cmml" xref="A2.SS8.2.p2.1.m1.3.3.2.4.2.1"></ceiling><apply id="A2.SS8.2.p2.1.m1.2.2.1.1.cmml" xref="A2.SS8.2.p2.1.m1.2.2.1.1"><divide id="A2.SS8.2.p2.1.m1.2.2.1.1.1.cmml" xref="A2.SS8.2.p2.1.m1.2.2.1.1"></divide><ci id="A2.SS8.2.p2.1.m1.2.2.1.1.2.cmml" xref="A2.SS8.2.p2.1.m1.2.2.1.1.2">𝑡</ci><cn id="A2.SS8.2.p2.1.m1.2.2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A2.SS8.2.p2.1.m1.2.2.1.1.3">2</cn></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.SS8.2.p2.1.m1.4c">\left|h_{\sigma\tau}^{(ij)}\right|q^{-(i+j)-\lceil\frac{t}{2}\rceil}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.SS8.2.p2.1.m1.4d">| italic_h start_POSTSUBSCRIPT italic_σ italic_τ end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_i italic_j ) end_POSTSUPERSCRIPT | italic_q start_POSTSUPERSCRIPT - ( italic_i + italic_j ) - ⌈ divide start_ARG italic_t end_ARG start_ARG 2 end_ARG ⌉ end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> is always a decreasing function of <math alttext="q" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.SS8.2.p2.2.m2.1"><semantics id="A2.SS8.2.p2.2.m2.1a"><mi id="A2.SS8.2.p2.2.m2.1.1" xref="A2.SS8.2.p2.2.m2.1.1.cmml">q</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.SS8.2.p2.2.m2.1b"><ci id="A2.SS8.2.p2.2.m2.1.1.cmml" xref="A2.SS8.2.p2.2.m2.1.1">𝑞</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.SS8.2.p2.2.m2.1c">q</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.SS8.2.p2.2.m2.1d">italic_q</annotation></semantics></math>. Using the fact that <math alttext="q\leq t" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.SS8.2.p2.3.m3.1"><semantics id="A2.SS8.2.p2.3.m3.1a"><mrow id="A2.SS8.2.p2.3.m3.1.1" xref="A2.SS8.2.p2.3.m3.1.1.cmml"><mi id="A2.SS8.2.p2.3.m3.1.1.2" xref="A2.SS8.2.p2.3.m3.1.1.2.cmml">q</mi><mo id="A2.SS8.2.p2.3.m3.1.1.1" xref="A2.SS8.2.p2.3.m3.1.1.1.cmml">≤</mo><mi id="A2.SS8.2.p2.3.m3.1.1.3" xref="A2.SS8.2.p2.3.m3.1.1.3.cmml">t</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.SS8.2.p2.3.m3.1b"><apply id="A2.SS8.2.p2.3.m3.1.1.cmml" xref="A2.SS8.2.p2.3.m3.1.1"><leq id="A2.SS8.2.p2.3.m3.1.1.1.cmml" xref="A2.SS8.2.p2.3.m3.1.1.1"></leq><ci id="A2.SS8.2.p2.3.m3.1.1.2.cmml" xref="A2.SS8.2.p2.3.m3.1.1.2">𝑞</ci><ci id="A2.SS8.2.p2.3.m3.1.1.3.cmml" xref="A2.SS8.2.p2.3.m3.1.1.3">𝑡</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.SS8.2.p2.3.m3.1c">q\leq t</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.SS8.2.p2.3.m3.1d">italic_q ≤ italic_t</annotation></semantics></math>, we find</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="S6.EGx156"> <tbody id="A2.E188"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\left|h_{\sigma\tau}^{(ij)}\right|q^{-(i+j)}" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.E188.m1.3"><semantics id="A2.E188.m1.3a"><mrow id="A2.E188.m1.3.3" xref="A2.E188.m1.3.3.cmml"><mrow id="A2.E188.m1.3.3.1.1" xref="A2.E188.m1.3.3.1.2.cmml"><mo id="A2.E188.m1.3.3.1.1.2" xref="A2.E188.m1.3.3.1.2.1.cmml">|</mo><msubsup id="A2.E188.m1.3.3.1.1.1" xref="A2.E188.m1.3.3.1.1.1.cmml"><mi id="A2.E188.m1.3.3.1.1.1.2.2" xref="A2.E188.m1.3.3.1.1.1.2.2.cmml">h</mi><mrow id="A2.E188.m1.3.3.1.1.1.2.3" xref="A2.E188.m1.3.3.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="A2.E188.m1.3.3.1.1.1.2.3.2" xref="A2.E188.m1.3.3.1.1.1.2.3.2.cmml">σ</mi><mo id="A2.E188.m1.3.3.1.1.1.2.3.1" xref="A2.E188.m1.3.3.1.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A2.E188.m1.3.3.1.1.1.2.3.3" xref="A2.E188.m1.3.3.1.1.1.2.3.3.cmml">τ</mi></mrow><mrow id="A2.E188.m1.1.1.1.1" xref="A2.E188.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A2.E188.m1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A2.E188.m1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A2.E188.m1.1.1.1.1.1" xref="A2.E188.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A2.E188.m1.1.1.1.1.1.2" xref="A2.E188.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">i</mi><mo id="A2.E188.m1.1.1.1.1.1.1" xref="A2.E188.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="A2.E188.m1.1.1.1.1.1.3" xref="A2.E188.m1.1.1.1.1.1.3.cmml">j</mi></mrow><mo id="A2.E188.m1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A2.E188.m1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></msubsup><mo id="A2.E188.m1.3.3.1.1.3" xref="A2.E188.m1.3.3.1.2.1.cmml">|</mo></mrow><mo id="A2.E188.m1.3.3.2" xref="A2.E188.m1.3.3.2.cmml">⁢</mo><msup id="A2.E188.m1.3.3.3" xref="A2.E188.m1.3.3.3.cmml"><mi id="A2.E188.m1.3.3.3.2" xref="A2.E188.m1.3.3.3.2.cmml">q</mi><mrow id="A2.E188.m1.2.2.1" xref="A2.E188.m1.2.2.1.cmml"><mo id="A2.E188.m1.2.2.1a" xref="A2.E188.m1.2.2.1.cmml">−</mo><mrow id="A2.E188.m1.2.2.1.1.1" xref="A2.E188.m1.2.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="A2.E188.m1.2.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A2.E188.m1.2.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A2.E188.m1.2.2.1.1.1.1" xref="A2.E188.m1.2.2.1.1.1.1.cmml"><mi id="A2.E188.m1.2.2.1.1.1.1.2" xref="A2.E188.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml">i</mi><mo id="A2.E188.m1.2.2.1.1.1.1.1" xref="A2.E188.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mi id="A2.E188.m1.2.2.1.1.1.1.3" xref="A2.E188.m1.2.2.1.1.1.1.3.cmml">j</mi></mrow><mo id="A2.E188.m1.2.2.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A2.E188.m1.2.2.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.E188.m1.3b"><apply id="A2.E188.m1.3.3.cmml" xref="A2.E188.m1.3.3"><times id="A2.E188.m1.3.3.2.cmml" xref="A2.E188.m1.3.3.2"></times><apply id="A2.E188.m1.3.3.1.2.cmml" xref="A2.E188.m1.3.3.1.1"><abs id="A2.E188.m1.3.3.1.2.1.cmml" xref="A2.E188.m1.3.3.1.1.2"></abs><apply id="A2.E188.m1.3.3.1.1.1.cmml" xref="A2.E188.m1.3.3.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E188.m1.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="A2.E188.m1.3.3.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="A2.E188.m1.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="A2.E188.m1.3.3.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E188.m1.3.3.1.1.1.2.1.cmml" xref="A2.E188.m1.3.3.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="A2.E188.m1.3.3.1.1.1.2.2.cmml" xref="A2.E188.m1.3.3.1.1.1.2.2">ℎ</ci><apply id="A2.E188.m1.3.3.1.1.1.2.3.cmml" xref="A2.E188.m1.3.3.1.1.1.2.3"><times id="A2.E188.m1.3.3.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="A2.E188.m1.3.3.1.1.1.2.3.1"></times><ci id="A2.E188.m1.3.3.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="A2.E188.m1.3.3.1.1.1.2.3.2">𝜎</ci><ci id="A2.E188.m1.3.3.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="A2.E188.m1.3.3.1.1.1.2.3.3">𝜏</ci></apply></apply><apply id="A2.E188.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A2.E188.m1.1.1.1.1"><times id="A2.E188.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A2.E188.m1.1.1.1.1.1.1"></times><ci id="A2.E188.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A2.E188.m1.1.1.1.1.1.2">𝑖</ci><ci id="A2.E188.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A2.E188.m1.1.1.1.1.1.3">𝑗</ci></apply></apply></apply><apply id="A2.E188.m1.3.3.3.cmml" xref="A2.E188.m1.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E188.m1.3.3.3.1.cmml" xref="A2.E188.m1.3.3.3">superscript</csymbol><ci id="A2.E188.m1.3.3.3.2.cmml" xref="A2.E188.m1.3.3.3.2">𝑞</ci><apply id="A2.E188.m1.2.2.1.cmml" xref="A2.E188.m1.2.2.1"><minus id="A2.E188.m1.2.2.1.2.cmml" xref="A2.E188.m1.2.2.1"></minus><apply id="A2.E188.m1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="A2.E188.m1.2.2.1.1.1"><plus id="A2.E188.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="A2.E188.m1.2.2.1.1.1.1.1"></plus><ci id="A2.E188.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="A2.E188.m1.2.2.1.1.1.1.2">𝑖</ci><ci id="A2.E188.m1.2.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="A2.E188.m1.2.2.1.1.1.1.3">𝑗</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.E188.m1.3c">\displaystyle\left|h_{\sigma\tau}^{(ij)}\right|q^{-(i+j)}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.E188.m1.3d">| italic_h start_POSTSUBSCRIPT italic_σ italic_τ end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_i italic_j ) end_POSTSUPERSCRIPT | italic_q start_POSTSUPERSCRIPT - ( italic_i + italic_j ) end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=\left(\frac{t}{q}\right)^{\lceil\frac{t}{2}\rceil}\left|h_{% \sigma\tau}^{(ij)}\right|q^{-(i+j)+\lceil\frac{t}{2}\rceil}\,t^{-\lceil\frac{t% }{2}\rceil}" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.E188.m2.7"><semantics id="A2.E188.m2.7a"><mrow id="A2.E188.m2.7.7" xref="A2.E188.m2.7.7.cmml"><mi id="A2.E188.m2.7.7.3" xref="A2.E188.m2.7.7.3.cmml"></mi><mo id="A2.E188.m2.7.7.2" xref="A2.E188.m2.7.7.2.cmml">=</mo><mrow id="A2.E188.m2.7.7.1" xref="A2.E188.m2.7.7.1.cmml"><msup id="A2.E188.m2.7.7.1.3" xref="A2.E188.m2.7.7.1.3.cmml"><mrow id="A2.E188.m2.7.7.1.3.2.2" xref="A2.E188.m2.6.6.cmml"><mo id="A2.E188.m2.7.7.1.3.2.2.1" xref="A2.E188.m2.6.6.cmml">(</mo><mstyle displaystyle="true" id="A2.E188.m2.6.6" xref="A2.E188.m2.6.6.cmml"><mfrac id="A2.E188.m2.6.6a" xref="A2.E188.m2.6.6.cmml"><mi id="A2.E188.m2.6.6.2" xref="A2.E188.m2.6.6.2.cmml">t</mi><mi id="A2.E188.m2.6.6.3" xref="A2.E188.m2.6.6.3.cmml">q</mi></mfrac></mstyle><mo id="A2.E188.m2.7.7.1.3.2.2.2" xref="A2.E188.m2.6.6.cmml">)</mo></mrow><mrow id="A2.E188.m2.1.1.1.3" xref="A2.E188.m2.1.1.1.2.cmml"><mo id="A2.E188.m2.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="A2.E188.m2.1.1.1.2.1.cmml">⌈</mo><mfrac id="A2.E188.m2.1.1.1.1" xref="A2.E188.m2.1.1.1.1.cmml"><mi id="A2.E188.m2.1.1.1.1.2" xref="A2.E188.m2.1.1.1.1.2.cmml">t</mi><mn id="A2.E188.m2.1.1.1.1.3" xref="A2.E188.m2.1.1.1.1.3.cmml">2</mn></mfrac><mo id="A2.E188.m2.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="A2.E188.m2.1.1.1.2.1.cmml">⌉</mo></mrow></msup><mo id="A2.E188.m2.7.7.1.2" xref="A2.E188.m2.7.7.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A2.E188.m2.7.7.1.1.1" xref="A2.E188.m2.7.7.1.1.2.cmml"><mo id="A2.E188.m2.7.7.1.1.1.2" xref="A2.E188.m2.7.7.1.1.2.1.cmml">|</mo><msubsup id="A2.E188.m2.7.7.1.1.1.1" xref="A2.E188.m2.7.7.1.1.1.1.cmml"><mi id="A2.E188.m2.7.7.1.1.1.1.2.2" xref="A2.E188.m2.7.7.1.1.1.1.2.2.cmml">h</mi><mrow id="A2.E188.m2.7.7.1.1.1.1.2.3" xref="A2.E188.m2.7.7.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="A2.E188.m2.7.7.1.1.1.1.2.3.2" xref="A2.E188.m2.7.7.1.1.1.1.2.3.2.cmml">σ</mi><mo id="A2.E188.m2.7.7.1.1.1.1.2.3.1" xref="A2.E188.m2.7.7.1.1.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A2.E188.m2.7.7.1.1.1.1.2.3.3" xref="A2.E188.m2.7.7.1.1.1.1.2.3.3.cmml">τ</mi></mrow><mrow id="A2.E188.m2.2.2.1.1" xref="A2.E188.m2.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="A2.E188.m2.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="A2.E188.m2.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A2.E188.m2.2.2.1.1.1" xref="A2.E188.m2.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="A2.E188.m2.2.2.1.1.1.2" xref="A2.E188.m2.2.2.1.1.1.2.cmml">i</mi><mo id="A2.E188.m2.2.2.1.1.1.1" xref="A2.E188.m2.2.2.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="A2.E188.m2.2.2.1.1.1.3" xref="A2.E188.m2.2.2.1.1.1.3.cmml">j</mi></mrow><mo id="A2.E188.m2.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="A2.E188.m2.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></msubsup><mo id="A2.E188.m2.7.7.1.1.1.3" xref="A2.E188.m2.7.7.1.1.2.1.cmml">|</mo></mrow><mo id="A2.E188.m2.7.7.1.2a" xref="A2.E188.m2.7.7.1.2.cmml">⁢</mo><msup id="A2.E188.m2.7.7.1.4" xref="A2.E188.m2.7.7.1.4.cmml"><mi id="A2.E188.m2.7.7.1.4.2" xref="A2.E188.m2.7.7.1.4.2.cmml">q</mi><mrow id="A2.E188.m2.4.4.2" xref="A2.E188.m2.4.4.2.cmml"><mrow id="A2.E188.m2.4.4.2.2" xref="A2.E188.m2.4.4.2.2.cmml"><mo id="A2.E188.m2.4.4.2.2a" xref="A2.E188.m2.4.4.2.2.cmml">−</mo><mrow id="A2.E188.m2.4.4.2.2.1.1" xref="A2.E188.m2.4.4.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="A2.E188.m2.4.4.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="A2.E188.m2.4.4.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A2.E188.m2.4.4.2.2.1.1.1" xref="A2.E188.m2.4.4.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="A2.E188.m2.4.4.2.2.1.1.1.2" xref="A2.E188.m2.4.4.2.2.1.1.1.2.cmml">i</mi><mo id="A2.E188.m2.4.4.2.2.1.1.1.1" xref="A2.E188.m2.4.4.2.2.1.1.1.1.cmml">+</mo><mi id="A2.E188.m2.4.4.2.2.1.1.1.3" xref="A2.E188.m2.4.4.2.2.1.1.1.3.cmml">j</mi></mrow><mo id="A2.E188.m2.4.4.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="A2.E188.m2.4.4.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A2.E188.m2.4.4.2.3" xref="A2.E188.m2.4.4.2.3.cmml">+</mo><mrow id="A2.E188.m2.4.4.2.4.2" xref="A2.E188.m2.4.4.2.4.1.cmml"><mo id="A2.E188.m2.4.4.2.4.2.1" stretchy="false" xref="A2.E188.m2.4.4.2.4.1.1.cmml">⌈</mo><mfrac id="A2.E188.m2.3.3.1.1" xref="A2.E188.m2.3.3.1.1.cmml"><mi id="A2.E188.m2.3.3.1.1.2" xref="A2.E188.m2.3.3.1.1.2.cmml">t</mi><mn id="A2.E188.m2.3.3.1.1.3" xref="A2.E188.m2.3.3.1.1.3.cmml">2</mn></mfrac><mo id="A2.E188.m2.4.4.2.4.2.2" stretchy="false" xref="A2.E188.m2.4.4.2.4.1.1.cmml">⌉</mo></mrow></mrow></msup><mo id="A2.E188.m2.7.7.1.2b" xref="A2.E188.m2.7.7.1.2.cmml">⁢</mo><msup id="A2.E188.m2.7.7.1.5" xref="A2.E188.m2.7.7.1.5.cmml"><mi id="A2.E188.m2.7.7.1.5.2" xref="A2.E188.m2.7.7.1.5.2.cmml">t</mi><mrow id="A2.E188.m2.5.5.1" xref="A2.E188.m2.5.5.1.cmml"><mo id="A2.E188.m2.5.5.1a" 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end_ARG ⌉ end_POSTSUPERSCRIPT italic_t start_POSTSUPERSCRIPT - ⌈ divide start_ARG italic_t end_ARG start_ARG 2 end_ARG ⌉ end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(188)</span></td> </tr></tbody> <tbody id="A2.E189"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\leq\left(\frac{t}{q}\right)^{\lceil\frac{t}{2}\rceil}\left|h_{% \sigma\tau}^{(ij)}\right|t^{-(i+j)+\lceil\frac{t}{2}\rceil-\lceil\frac{t}{2}\rceil}" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.E189.m1.7"><semantics id="A2.E189.m1.7a"><mrow id="A2.E189.m1.7.7" xref="A2.E189.m1.7.7.cmml"><mi id="A2.E189.m1.7.7.3" xref="A2.E189.m1.7.7.3.cmml"></mi><mo id="A2.E189.m1.7.7.2" xref="A2.E189.m1.7.7.2.cmml">≤</mo><mrow id="A2.E189.m1.7.7.1" xref="A2.E189.m1.7.7.1.cmml"><msup id="A2.E189.m1.7.7.1.3" xref="A2.E189.m1.7.7.1.3.cmml"><mrow id="A2.E189.m1.7.7.1.3.2.2" xref="A2.E189.m1.6.6.cmml"><mo id="A2.E189.m1.7.7.1.3.2.2.1" xref="A2.E189.m1.6.6.cmml">(</mo><mstyle displaystyle="true" id="A2.E189.m1.6.6" xref="A2.E189.m1.6.6.cmml"><mfrac id="A2.E189.m1.6.6a" xref="A2.E189.m1.6.6.cmml"><mi id="A2.E189.m1.6.6.2" xref="A2.E189.m1.6.6.2.cmml">t</mi><mi id="A2.E189.m1.6.6.3" xref="A2.E189.m1.6.6.3.cmml">q</mi></mfrac></mstyle><mo id="A2.E189.m1.7.7.1.3.2.2.2" xref="A2.E189.m1.6.6.cmml">)</mo></mrow><mrow id="A2.E189.m1.1.1.1.3" xref="A2.E189.m1.1.1.1.2.cmml"><mo id="A2.E189.m1.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="A2.E189.m1.1.1.1.2.1.cmml">⌈</mo><mfrac id="A2.E189.m1.1.1.1.1" xref="A2.E189.m1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A2.E189.m1.1.1.1.1.2" xref="A2.E189.m1.1.1.1.1.2.cmml">t</mi><mn id="A2.E189.m1.1.1.1.1.3" xref="A2.E189.m1.1.1.1.1.3.cmml">2</mn></mfrac><mo id="A2.E189.m1.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="A2.E189.m1.1.1.1.2.1.cmml">⌉</mo></mrow></msup><mo id="A2.E189.m1.7.7.1.2" xref="A2.E189.m1.7.7.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A2.E189.m1.7.7.1.1.1" xref="A2.E189.m1.7.7.1.1.2.cmml"><mo id="A2.E189.m1.7.7.1.1.1.2" xref="A2.E189.m1.7.7.1.1.2.1.cmml">|</mo><msubsup id="A2.E189.m1.7.7.1.1.1.1" xref="A2.E189.m1.7.7.1.1.1.1.cmml"><mi id="A2.E189.m1.7.7.1.1.1.1.2.2" xref="A2.E189.m1.7.7.1.1.1.1.2.2.cmml">h</mi><mrow id="A2.E189.m1.7.7.1.1.1.1.2.3" xref="A2.E189.m1.7.7.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="A2.E189.m1.7.7.1.1.1.1.2.3.2" xref="A2.E189.m1.7.7.1.1.1.1.2.3.2.cmml">σ</mi><mo id="A2.E189.m1.7.7.1.1.1.1.2.3.1" xref="A2.E189.m1.7.7.1.1.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A2.E189.m1.7.7.1.1.1.1.2.3.3" xref="A2.E189.m1.7.7.1.1.1.1.2.3.3.cmml">τ</mi></mrow><mrow id="A2.E189.m1.2.2.1.1" xref="A2.E189.m1.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="A2.E189.m1.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="A2.E189.m1.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A2.E189.m1.2.2.1.1.1" xref="A2.E189.m1.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="A2.E189.m1.2.2.1.1.1.2" xref="A2.E189.m1.2.2.1.1.1.2.cmml">i</mi><mo id="A2.E189.m1.2.2.1.1.1.1" xref="A2.E189.m1.2.2.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="A2.E189.m1.2.2.1.1.1.3" xref="A2.E189.m1.2.2.1.1.1.3.cmml">j</mi></mrow><mo id="A2.E189.m1.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="A2.E189.m1.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></msubsup><mo id="A2.E189.m1.7.7.1.1.1.3" xref="A2.E189.m1.7.7.1.1.2.1.cmml">|</mo></mrow><mo id="A2.E189.m1.7.7.1.2a" xref="A2.E189.m1.7.7.1.2.cmml">⁢</mo><msup id="A2.E189.m1.7.7.1.4" xref="A2.E189.m1.7.7.1.4.cmml"><mi id="A2.E189.m1.7.7.1.4.2" xref="A2.E189.m1.7.7.1.4.2.cmml">t</mi><mrow id="A2.E189.m1.5.5.3" xref="A2.E189.m1.5.5.3.cmml"><mrow id="A2.E189.m1.5.5.3.3" xref="A2.E189.m1.5.5.3.3.cmml"><mrow id="A2.E189.m1.5.5.3.3.1" xref="A2.E189.m1.5.5.3.3.1.cmml"><mo id="A2.E189.m1.5.5.3.3.1a" xref="A2.E189.m1.5.5.3.3.1.cmml">−</mo><mrow id="A2.E189.m1.5.5.3.3.1.1.1" xref="A2.E189.m1.5.5.3.3.1.1.1.1.cmml"><mo id="A2.E189.m1.5.5.3.3.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A2.E189.m1.5.5.3.3.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A2.E189.m1.5.5.3.3.1.1.1.1" xref="A2.E189.m1.5.5.3.3.1.1.1.1.cmml"><mi id="A2.E189.m1.5.5.3.3.1.1.1.1.2" xref="A2.E189.m1.5.5.3.3.1.1.1.1.2.cmml">i</mi><mo id="A2.E189.m1.5.5.3.3.1.1.1.1.1" xref="A2.E189.m1.5.5.3.3.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mi id="A2.E189.m1.5.5.3.3.1.1.1.1.3" xref="A2.E189.m1.5.5.3.3.1.1.1.1.3.cmml">j</mi></mrow><mo id="A2.E189.m1.5.5.3.3.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A2.E189.m1.5.5.3.3.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A2.E189.m1.5.5.3.3.2" xref="A2.E189.m1.5.5.3.3.2.cmml">+</mo><mrow id="A2.E189.m1.5.5.3.3.3.2" xref="A2.E189.m1.5.5.3.3.3.1.cmml"><mo id="A2.E189.m1.5.5.3.3.3.2.1" stretchy="false" xref="A2.E189.m1.5.5.3.3.3.1.1.cmml">⌈</mo><mfrac id="A2.E189.m1.3.3.1.1" xref="A2.E189.m1.3.3.1.1.cmml"><mi id="A2.E189.m1.3.3.1.1.2" xref="A2.E189.m1.3.3.1.1.2.cmml">t</mi><mn id="A2.E189.m1.3.3.1.1.3" xref="A2.E189.m1.3.3.1.1.3.cmml">2</mn></mfrac><mo id="A2.E189.m1.5.5.3.3.3.2.2" stretchy="false" xref="A2.E189.m1.5.5.3.3.3.1.1.cmml">⌉</mo></mrow></mrow><mo id="A2.E189.m1.5.5.3.4" xref="A2.E189.m1.5.5.3.4.cmml">−</mo><mrow id="A2.E189.m1.5.5.3.5.2" xref="A2.E189.m1.5.5.3.5.1.cmml"><mo id="A2.E189.m1.5.5.3.5.2.1" stretchy="false" xref="A2.E189.m1.5.5.3.5.1.1.cmml">⌈</mo><mfrac id="A2.E189.m1.4.4.2.2" xref="A2.E189.m1.4.4.2.2.cmml"><mi id="A2.E189.m1.4.4.2.2.2" xref="A2.E189.m1.4.4.2.2.2.cmml">t</mi><mn id="A2.E189.m1.4.4.2.2.3" xref="A2.E189.m1.4.4.2.2.3.cmml">2</mn></mfrac><mo id="A2.E189.m1.5.5.3.5.2.2" stretchy="false" xref="A2.E189.m1.5.5.3.5.1.1.cmml">⌉</mo></mrow></mrow></msup></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.E189.m1.7b"><apply id="A2.E189.m1.7.7.cmml" xref="A2.E189.m1.7.7"><leq id="A2.E189.m1.7.7.2.cmml" xref="A2.E189.m1.7.7.2"></leq><csymbol cd="latexml" id="A2.E189.m1.7.7.3.cmml" xref="A2.E189.m1.7.7.3">absent</csymbol><apply id="A2.E189.m1.7.7.1.cmml" xref="A2.E189.m1.7.7.1"><times 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id="A2.E189.m1.4.4.2.2.2.cmml" xref="A2.E189.m1.4.4.2.2.2">𝑡</ci><cn id="A2.E189.m1.4.4.2.2.3.cmml" type="integer" xref="A2.E189.m1.4.4.2.2.3">2</cn></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.E189.m1.7c">\displaystyle\leq\left(\frac{t}{q}\right)^{\lceil\frac{t}{2}\rceil}\left|h_{% \sigma\tau}^{(ij)}\right|t^{-(i+j)+\lceil\frac{t}{2}\rceil-\lceil\frac{t}{2}\rceil}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.E189.m1.7d">≤ ( divide start_ARG italic_t end_ARG start_ARG italic_q end_ARG ) start_POSTSUPERSCRIPT ⌈ divide start_ARG italic_t end_ARG start_ARG 2 end_ARG ⌉ end_POSTSUPERSCRIPT | italic_h start_POSTSUBSCRIPT italic_σ italic_τ end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_i italic_j ) end_POSTSUPERSCRIPT | italic_t start_POSTSUPERSCRIPT - ( italic_i + italic_j ) + ⌈ divide start_ARG italic_t end_ARG start_ARG 2 end_ARG ⌉ - ⌈ divide start_ARG italic_t end_ARG start_ARG 2 end_ARG ⌉ end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(189)</span></td> </tr></tbody> <tbody id="A2.E190"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\leq\left(\frac{t}{q}\right)^{\lceil\frac{t}{2}\rceil}\left|h_{% \sigma\tau}^{(ij)}\right|t^{-(i+j)}" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.E190.m1.5"><semantics id="A2.E190.m1.5a"><mrow id="A2.E190.m1.5.5" xref="A2.E190.m1.5.5.cmml"><mi id="A2.E190.m1.5.5.3" xref="A2.E190.m1.5.5.3.cmml"></mi><mo id="A2.E190.m1.5.5.2" xref="A2.E190.m1.5.5.2.cmml">≤</mo><mrow id="A2.E190.m1.5.5.1" xref="A2.E190.m1.5.5.1.cmml"><msup id="A2.E190.m1.5.5.1.3" 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xref="A2.E190.m1.5.5.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A2.E190.m1.5.5.1.1.1" xref="A2.E190.m1.5.5.1.1.2.cmml"><mo id="A2.E190.m1.5.5.1.1.1.2" xref="A2.E190.m1.5.5.1.1.2.1.cmml">|</mo><msubsup id="A2.E190.m1.5.5.1.1.1.1" xref="A2.E190.m1.5.5.1.1.1.1.cmml"><mi id="A2.E190.m1.5.5.1.1.1.1.2.2" xref="A2.E190.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.cmml">h</mi><mrow id="A2.E190.m1.5.5.1.1.1.1.2.3" xref="A2.E190.m1.5.5.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="A2.E190.m1.5.5.1.1.1.1.2.3.2" xref="A2.E190.m1.5.5.1.1.1.1.2.3.2.cmml">σ</mi><mo id="A2.E190.m1.5.5.1.1.1.1.2.3.1" xref="A2.E190.m1.5.5.1.1.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A2.E190.m1.5.5.1.1.1.1.2.3.3" xref="A2.E190.m1.5.5.1.1.1.1.2.3.3.cmml">τ</mi></mrow><mrow id="A2.E190.m1.2.2.1.1" xref="A2.E190.m1.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="A2.E190.m1.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="A2.E190.m1.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A2.E190.m1.2.2.1.1.1" xref="A2.E190.m1.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="A2.E190.m1.2.2.1.1.1.2" xref="A2.E190.m1.2.2.1.1.1.2.cmml">i</mi><mo id="A2.E190.m1.2.2.1.1.1.1" xref="A2.E190.m1.2.2.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="A2.E190.m1.2.2.1.1.1.3" xref="A2.E190.m1.2.2.1.1.1.3.cmml">j</mi></mrow><mo id="A2.E190.m1.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="A2.E190.m1.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></msubsup><mo id="A2.E190.m1.5.5.1.1.1.3" xref="A2.E190.m1.5.5.1.1.2.1.cmml">|</mo></mrow><mo id="A2.E190.m1.5.5.1.2a" xref="A2.E190.m1.5.5.1.2.cmml">⁢</mo><msup id="A2.E190.m1.5.5.1.4" xref="A2.E190.m1.5.5.1.4.cmml"><mi id="A2.E190.m1.5.5.1.4.2" xref="A2.E190.m1.5.5.1.4.2.cmml">t</mi><mrow id="A2.E190.m1.3.3.1" xref="A2.E190.m1.3.3.1.cmml"><mo id="A2.E190.m1.3.3.1a" xref="A2.E190.m1.3.3.1.cmml">−</mo><mrow id="A2.E190.m1.3.3.1.1.1" xref="A2.E190.m1.3.3.1.1.1.1.cmml"><mo id="A2.E190.m1.3.3.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A2.E190.m1.3.3.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A2.E190.m1.3.3.1.1.1.1" xref="A2.E190.m1.3.3.1.1.1.1.cmml"><mi id="A2.E190.m1.3.3.1.1.1.1.2" xref="A2.E190.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml">i</mi><mo id="A2.E190.m1.3.3.1.1.1.1.1" 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id="A2.E190.m1.5.5.1.4.2.cmml" xref="A2.E190.m1.5.5.1.4.2">𝑡</ci><apply id="A2.E190.m1.3.3.1.cmml" xref="A2.E190.m1.3.3.1"><minus id="A2.E190.m1.3.3.1.2.cmml" xref="A2.E190.m1.3.3.1"></minus><apply id="A2.E190.m1.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="A2.E190.m1.3.3.1.1.1"><plus id="A2.E190.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml" xref="A2.E190.m1.3.3.1.1.1.1.1"></plus><ci id="A2.E190.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml" xref="A2.E190.m1.3.3.1.1.1.1.2">𝑖</ci><ci id="A2.E190.m1.3.3.1.1.1.1.3.cmml" xref="A2.E190.m1.3.3.1.1.1.1.3">𝑗</ci></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.E190.m1.5c">\displaystyle\leq\left(\frac{t}{q}\right)^{\lceil\frac{t}{2}\rceil}\left|h_{% \sigma\tau}^{(ij)}\right|t^{-(i+j)}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.E190.m1.5d">≤ ( divide start_ARG italic_t end_ARG start_ARG italic_q end_ARG ) start_POSTSUPERSCRIPT ⌈ divide start_ARG italic_t end_ARG start_ARG 2 end_ARG ⌉ end_POSTSUPERSCRIPT | italic_h start_POSTSUBSCRIPT italic_σ italic_τ end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_i italic_j ) end_POSTSUPERSCRIPT | italic_t start_POSTSUPERSCRIPT - ( italic_i + italic_j ) end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(190)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="A2.SS8.2.p2.9">Substituting, we see</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_gather ltx_eqn_table" id="S6.EGx157"> <tbody id="A2.E191"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\displaystyle H_{\sigma\tau}(Q_{1},Q_{2})\leq\left(\frac{t}{q}\right)^{\lceil% \frac{t}{2}\rceil}\overline{H}(t)_{\sigma\tau}" class="ltx_Math" display="block" id="A2.E191.m1.5"><semantics id="A2.E191.m1.5a"><mrow id="A2.E191.m1.5.5" xref="A2.E191.m1.5.5.cmml"><mrow id="A2.E191.m1.5.5.2" xref="A2.E191.m1.5.5.2.cmml"><msub id="A2.E191.m1.5.5.2.4" xref="A2.E191.m1.5.5.2.4.cmml"><mi id="A2.E191.m1.5.5.2.4.2" xref="A2.E191.m1.5.5.2.4.2.cmml">H</mi><mrow id="A2.E191.m1.5.5.2.4.3" xref="A2.E191.m1.5.5.2.4.3.cmml"><mi id="A2.E191.m1.5.5.2.4.3.2" xref="A2.E191.m1.5.5.2.4.3.2.cmml">σ</mi><mo id="A2.E191.m1.5.5.2.4.3.1" xref="A2.E191.m1.5.5.2.4.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A2.E191.m1.5.5.2.4.3.3" xref="A2.E191.m1.5.5.2.4.3.3.cmml">τ</mi></mrow></msub><mo id="A2.E191.m1.5.5.2.3" xref="A2.E191.m1.5.5.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="A2.E191.m1.5.5.2.2.2" xref="A2.E191.m1.5.5.2.2.3.cmml"><mo id="A2.E191.m1.5.5.2.2.2.3" stretchy="false" xref="A2.E191.m1.5.5.2.2.3.cmml">(</mo><msub id="A2.E191.m1.4.4.1.1.1.1" xref="A2.E191.m1.4.4.1.1.1.1.cmml"><mi id="A2.E191.m1.4.4.1.1.1.1.2" xref="A2.E191.m1.4.4.1.1.1.1.2.cmml">Q</mi><mn id="A2.E191.m1.4.4.1.1.1.1.3" xref="A2.E191.m1.4.4.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="A2.E191.m1.5.5.2.2.2.4" xref="A2.E191.m1.5.5.2.2.3.cmml">,</mo><msub id="A2.E191.m1.5.5.2.2.2.2" xref="A2.E191.m1.5.5.2.2.2.2.cmml"><mi id="A2.E191.m1.5.5.2.2.2.2.2" xref="A2.E191.m1.5.5.2.2.2.2.2.cmml">Q</mi><mn id="A2.E191.m1.5.5.2.2.2.2.3" xref="A2.E191.m1.5.5.2.2.2.2.3.cmml">2</mn></msub><mo id="A2.E191.m1.5.5.2.2.2.5" stretchy="false" xref="A2.E191.m1.5.5.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A2.E191.m1.5.5.3" xref="A2.E191.m1.5.5.3.cmml">≤</mo><mrow id="A2.E191.m1.5.5.4" xref="A2.E191.m1.5.5.4.cmml"><msup id="A2.E191.m1.5.5.4.2" xref="A2.E191.m1.5.5.4.2.cmml"><mrow id="A2.E191.m1.5.5.4.2.2.2" xref="A2.E191.m1.2.2.cmml"><mo id="A2.E191.m1.5.5.4.2.2.2.1" xref="A2.E191.m1.2.2.cmml">(</mo><mfrac id="A2.E191.m1.2.2" xref="A2.E191.m1.2.2.cmml"><mi id="A2.E191.m1.2.2.2" xref="A2.E191.m1.2.2.2.cmml">t</mi><mi id="A2.E191.m1.2.2.3" xref="A2.E191.m1.2.2.3.cmml">q</mi></mfrac><mo id="A2.E191.m1.5.5.4.2.2.2.2" xref="A2.E191.m1.2.2.cmml">)</mo></mrow><mrow id="A2.E191.m1.1.1.1.3" xref="A2.E191.m1.1.1.1.2.cmml"><mo id="A2.E191.m1.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="A2.E191.m1.1.1.1.2.1.cmml">⌈</mo><mfrac id="A2.E191.m1.1.1.1.1" xref="A2.E191.m1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A2.E191.m1.1.1.1.1.2" xref="A2.E191.m1.1.1.1.1.2.cmml">t</mi><mn id="A2.E191.m1.1.1.1.1.3" xref="A2.E191.m1.1.1.1.1.3.cmml">2</mn></mfrac><mo id="A2.E191.m1.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="A2.E191.m1.1.1.1.2.1.cmml">⌉</mo></mrow></msup><mo id="A2.E191.m1.5.5.4.1" xref="A2.E191.m1.5.5.4.1.cmml">⁢</mo><mover accent="true" id="A2.E191.m1.5.5.4.3" xref="A2.E191.m1.5.5.4.3.cmml"><mi id="A2.E191.m1.5.5.4.3.2" xref="A2.E191.m1.5.5.4.3.2.cmml">H</mi><mo id="A2.E191.m1.5.5.4.3.1" xref="A2.E191.m1.5.5.4.3.1.cmml">¯</mo></mover><mo id="A2.E191.m1.5.5.4.1a" xref="A2.E191.m1.5.5.4.1.cmml">⁢</mo><msub id="A2.E191.m1.5.5.4.4" xref="A2.E191.m1.5.5.4.4.cmml"><mrow id="A2.E191.m1.5.5.4.4.2.2" xref="A2.E191.m1.5.5.4.4.cmml"><mo id="A2.E191.m1.5.5.4.4.2.2.1" stretchy="false" xref="A2.E191.m1.5.5.4.4.cmml">(</mo><mi 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id="A2.E191.m1.5c">\displaystyle H_{\sigma\tau}(Q_{1},Q_{2})\leq\left(\frac{t}{q}\right)^{\lceil% \frac{t}{2}\rceil}\overline{H}(t)_{\sigma\tau}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.E191.m1.5d">italic_H start_POSTSUBSCRIPT italic_σ italic_τ end_POSTSUBSCRIPT ( italic_Q start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , italic_Q start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT ) ≤ ( divide start_ARG italic_t end_ARG start_ARG italic_q end_ARG ) start_POSTSUPERSCRIPT ⌈ divide start_ARG italic_t end_ARG start_ARG 2 end_ARG ⌉ end_POSTSUPERSCRIPT over¯ start_ARG italic_H end_ARG ( italic_t ) start_POSTSUBSCRIPT italic_σ italic_τ end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(191)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="A2.SS8.2.p2.10">where</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_gather ltx_eqn_table" id="S6.EGx158"> <tbody id="A2.E192"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\displaystyle\overline{H}(t)_{\sigma\tau}=\frac{1}{f_{t}((Q_{1}Q_{2})^{-1})}% \sum_{i,j}\left|h_{\sigma\tau}^{(ij)}\right|t^{-(i+j)}" class="ltx_Math" display="block" id="A2.E192.m1.7"><semantics id="A2.E192.m1.7a"><mrow id="A2.E192.m1.7.7" xref="A2.E192.m1.7.7.cmml"><mrow id="A2.E192.m1.7.7.3" xref="A2.E192.m1.7.7.3.cmml"><mover accent="true" id="A2.E192.m1.7.7.3.2" xref="A2.E192.m1.7.7.3.2.cmml"><mi id="A2.E192.m1.7.7.3.2.2" xref="A2.E192.m1.7.7.3.2.2.cmml">H</mi><mo id="A2.E192.m1.7.7.3.2.1" xref="A2.E192.m1.7.7.3.2.1.cmml">¯</mo></mover><mo id="A2.E192.m1.7.7.3.1" xref="A2.E192.m1.7.7.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="A2.E192.m1.7.7.3.3" xref="A2.E192.m1.7.7.3.3.cmml"><mrow id="A2.E192.m1.7.7.3.3.2.2" xref="A2.E192.m1.7.7.3.3.cmml"><mo 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xref="A2.E192.m1.1.1.1.3.3.cmml">t</mi></msub><mo id="A2.E192.m1.1.1.1.2" xref="A2.E192.m1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A2.E192.m1.1.1.1.1.1" xref="A2.E192.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A2.E192.m1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A2.E192.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="A2.E192.m1.1.1.1.1.1.1" xref="A2.E192.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A2.E192.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A2.E192.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A2.E192.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A2.E192.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A2.E192.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A2.E192.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="A2.E192.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A2.E192.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="A2.E192.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="A2.E192.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">Q</mi><mn id="A2.E192.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="A2.E192.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">1</mn></msub><mo id="A2.E192.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A2.E192.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="A2.E192.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A2.E192.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A2.E192.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A2.E192.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">Q</mi><mn id="A2.E192.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A2.E192.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></msub></mrow><mo id="A2.E192.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A2.E192.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="A2.E192.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A2.E192.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="A2.E192.m1.1.1.1.1.1.1.3a" xref="A2.E192.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">−</mo><mn id="A2.E192.m1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A2.E192.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="A2.E192.m1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A2.E192.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mfrac><mo id="A2.E192.m1.7.7.1.2" xref="A2.E192.m1.7.7.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A2.E192.m1.7.7.1.1" xref="A2.E192.m1.7.7.1.1.cmml"><munder id="A2.E192.m1.7.7.1.1.2" xref="A2.E192.m1.7.7.1.1.2.cmml"><mo id="A2.E192.m1.7.7.1.1.2.2" movablelimits="false" rspace="0em" xref="A2.E192.m1.7.7.1.1.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="A2.E192.m1.3.3.2.4" xref="A2.E192.m1.3.3.2.3.cmml"><mi id="A2.E192.m1.2.2.1.1" xref="A2.E192.m1.2.2.1.1.cmml">i</mi><mo id="A2.E192.m1.3.3.2.4.1" xref="A2.E192.m1.3.3.2.3.cmml">,</mo><mi id="A2.E192.m1.3.3.2.2" xref="A2.E192.m1.3.3.2.2.cmml">j</mi></mrow></munder><mrow id="A2.E192.m1.7.7.1.1.1" xref="A2.E192.m1.7.7.1.1.1.cmml"><mrow id="A2.E192.m1.7.7.1.1.1.1.1" xref="A2.E192.m1.7.7.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="A2.E192.m1.7.7.1.1.1.1.1.2" xref="A2.E192.m1.7.7.1.1.1.1.2.1.cmml">|</mo><msubsup id="A2.E192.m1.7.7.1.1.1.1.1.1" xref="A2.E192.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A2.E192.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="A2.E192.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">h</mi><mrow id="A2.E192.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="A2.E192.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="A2.E192.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="A2.E192.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">σ</mi><mo id="A2.E192.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.3.1" xref="A2.E192.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A2.E192.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="A2.E192.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">τ</mi></mrow><mrow id="A2.E192.m1.4.4.1.1" xref="A2.E192.m1.4.4.1.1.1.cmml"><mo id="A2.E192.m1.4.4.1.1.2" stretchy="false" xref="A2.E192.m1.4.4.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A2.E192.m1.4.4.1.1.1" xref="A2.E192.m1.4.4.1.1.1.cmml"><mi id="A2.E192.m1.4.4.1.1.1.2" xref="A2.E192.m1.4.4.1.1.1.2.cmml">i</mi><mo id="A2.E192.m1.4.4.1.1.1.1" xref="A2.E192.m1.4.4.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="A2.E192.m1.4.4.1.1.1.3" xref="A2.E192.m1.4.4.1.1.1.3.cmml">j</mi></mrow><mo id="A2.E192.m1.4.4.1.1.3" stretchy="false" xref="A2.E192.m1.4.4.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></msubsup><mo id="A2.E192.m1.7.7.1.1.1.1.1.3" xref="A2.E192.m1.7.7.1.1.1.1.2.1.cmml">|</mo></mrow><mo id="A2.E192.m1.7.7.1.1.1.2" xref="A2.E192.m1.7.7.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msup id="A2.E192.m1.7.7.1.1.1.3" xref="A2.E192.m1.7.7.1.1.1.3.cmml"><mi id="A2.E192.m1.7.7.1.1.1.3.2" xref="A2.E192.m1.7.7.1.1.1.3.2.cmml">t</mi><mrow id="A2.E192.m1.5.5.1" xref="A2.E192.m1.5.5.1.cmml"><mo id="A2.E192.m1.5.5.1a" xref="A2.E192.m1.5.5.1.cmml">−</mo><mrow id="A2.E192.m1.5.5.1.1.1" xref="A2.E192.m1.5.5.1.1.1.1.cmml"><mo id="A2.E192.m1.5.5.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A2.E192.m1.5.5.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A2.E192.m1.5.5.1.1.1.1" xref="A2.E192.m1.5.5.1.1.1.1.cmml"><mi id="A2.E192.m1.5.5.1.1.1.1.2" xref="A2.E192.m1.5.5.1.1.1.1.2.cmml">i</mi><mo id="A2.E192.m1.5.5.1.1.1.1.1" xref="A2.E192.m1.5.5.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mi id="A2.E192.m1.5.5.1.1.1.1.3" xref="A2.E192.m1.5.5.1.1.1.1.3.cmml">j</mi></mrow><mo id="A2.E192.m1.5.5.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A2.E192.m1.5.5.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></msup></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.E192.m1.7b"><apply id="A2.E192.m1.7.7.cmml" xref="A2.E192.m1.7.7"><eq id="A2.E192.m1.7.7.2.cmml" xref="A2.E192.m1.7.7.2"></eq><apply id="A2.E192.m1.7.7.3.cmml" xref="A2.E192.m1.7.7.3"><times id="A2.E192.m1.7.7.3.1.cmml" 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id="A2.E192.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A2.E192.m1.7.7.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="A2.E192.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A2.E192.m1.7.7.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E192.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A2.E192.m1.7.7.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="A2.E192.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A2.E192.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.2">ℎ</ci><apply id="A2.E192.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="A2.E192.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.3"><times id="A2.E192.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="A2.E192.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.3.1"></times><ci id="A2.E192.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="A2.E192.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.3.2">𝜎</ci><ci id="A2.E192.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="A2.E192.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.3.3">𝜏</ci></apply></apply><apply id="A2.E192.m1.4.4.1.1.1.cmml" xref="A2.E192.m1.4.4.1.1"><times id="A2.E192.m1.4.4.1.1.1.1.cmml" xref="A2.E192.m1.4.4.1.1.1.1"></times><ci id="A2.E192.m1.4.4.1.1.1.2.cmml" xref="A2.E192.m1.4.4.1.1.1.2">𝑖</ci><ci id="A2.E192.m1.4.4.1.1.1.3.cmml" xref="A2.E192.m1.4.4.1.1.1.3">𝑗</ci></apply></apply></apply><apply id="A2.E192.m1.7.7.1.1.1.3.cmml" xref="A2.E192.m1.7.7.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E192.m1.7.7.1.1.1.3.1.cmml" xref="A2.E192.m1.7.7.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="A2.E192.m1.7.7.1.1.1.3.2.cmml" xref="A2.E192.m1.7.7.1.1.1.3.2">𝑡</ci><apply id="A2.E192.m1.5.5.1.cmml" xref="A2.E192.m1.5.5.1"><minus id="A2.E192.m1.5.5.1.2.cmml" xref="A2.E192.m1.5.5.1"></minus><apply id="A2.E192.m1.5.5.1.1.1.1.cmml" xref="A2.E192.m1.5.5.1.1.1"><plus id="A2.E192.m1.5.5.1.1.1.1.1.cmml" xref="A2.E192.m1.5.5.1.1.1.1.1"></plus><ci id="A2.E192.m1.5.5.1.1.1.1.2.cmml" xref="A2.E192.m1.5.5.1.1.1.1.2">𝑖</ci><ci id="A2.E192.m1.5.5.1.1.1.1.3.cmml" xref="A2.E192.m1.5.5.1.1.1.1.3">𝑗</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.E192.m1.7c">\displaystyle\overline{H}(t)_{\sigma\tau}=\frac{1}{f_{t}((Q_{1}Q_{2})^{-1})}% \sum_{i,j}\left|h_{\sigma\tau}^{(ij)}\right|t^{-(i+j)}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.E192.m1.7d">over¯ start_ARG italic_H end_ARG ( italic_t ) start_POSTSUBSCRIPT italic_σ italic_τ end_POSTSUBSCRIPT = divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_f start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( ( italic_Q start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT italic_Q start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT ) end_ARG ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_i , italic_j end_POSTSUBSCRIPT | italic_h start_POSTSUBSCRIPT italic_σ italic_τ end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_i italic_j ) end_POSTSUPERSCRIPT | italic_t start_POSTSUPERSCRIPT - ( italic_i + italic_j ) end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(192)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="A2.SS8.2.p2.8">Finally, <math alttext="f(z)" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.SS8.2.p2.4.m1.1"><semantics id="A2.SS8.2.p2.4.m1.1a"><mrow id="A2.SS8.2.p2.4.m1.1.2" xref="A2.SS8.2.p2.4.m1.1.2.cmml"><mi id="A2.SS8.2.p2.4.m1.1.2.2" xref="A2.SS8.2.p2.4.m1.1.2.2.cmml">f</mi><mo id="A2.SS8.2.p2.4.m1.1.2.1" xref="A2.SS8.2.p2.4.m1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A2.SS8.2.p2.4.m1.1.2.3.2" xref="A2.SS8.2.p2.4.m1.1.2.cmml"><mo id="A2.SS8.2.p2.4.m1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="A2.SS8.2.p2.4.m1.1.2.cmml">(</mo><mi id="A2.SS8.2.p2.4.m1.1.1" xref="A2.SS8.2.p2.4.m1.1.1.cmml">z</mi><mo id="A2.SS8.2.p2.4.m1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="A2.SS8.2.p2.4.m1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.SS8.2.p2.4.m1.1b"><apply id="A2.SS8.2.p2.4.m1.1.2.cmml" xref="A2.SS8.2.p2.4.m1.1.2"><times id="A2.SS8.2.p2.4.m1.1.2.1.cmml" xref="A2.SS8.2.p2.4.m1.1.2.1"></times><ci id="A2.SS8.2.p2.4.m1.1.2.2.cmml" xref="A2.SS8.2.p2.4.m1.1.2.2">𝑓</ci><ci id="A2.SS8.2.p2.4.m1.1.1.cmml" xref="A2.SS8.2.p2.4.m1.1.1">𝑧</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.SS8.2.p2.4.m1.1c">f(z)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.SS8.2.p2.4.m1.1d">italic_f ( italic_z )</annotation></semantics></math> is monotonically decreasing in <math alttext="z" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.SS8.2.p2.5.m2.1"><semantics id="A2.SS8.2.p2.5.m2.1a"><mi id="A2.SS8.2.p2.5.m2.1.1" xref="A2.SS8.2.p2.5.m2.1.1.cmml">z</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.SS8.2.p2.5.m2.1b"><ci id="A2.SS8.2.p2.5.m2.1.1.cmml" xref="A2.SS8.2.p2.5.m2.1.1">𝑧</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.SS8.2.p2.5.m2.1c">z</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.SS8.2.p2.5.m2.1d">italic_z</annotation></semantics></math> for all positive <math alttext="z" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.SS8.2.p2.6.m3.1"><semantics id="A2.SS8.2.p2.6.m3.1a"><mi id="A2.SS8.2.p2.6.m3.1.1" xref="A2.SS8.2.p2.6.m3.1.1.cmml">z</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.SS8.2.p2.6.m3.1b"><ci id="A2.SS8.2.p2.6.m3.1.1.cmml" xref="A2.SS8.2.p2.6.m3.1.1">𝑧</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.SS8.2.p2.6.m3.1c">z</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.SS8.2.p2.6.m3.1d">italic_z</annotation></semantics></math>. Therefore, for all <math alttext="Q_{1},Q_{2}\geq t" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.SS8.2.p2.7.m4.2"><semantics id="A2.SS8.2.p2.7.m4.2a"><mrow id="A2.SS8.2.p2.7.m4.2.2" xref="A2.SS8.2.p2.7.m4.2.2.cmml"><mrow id="A2.SS8.2.p2.7.m4.2.2.2.2" xref="A2.SS8.2.p2.7.m4.2.2.2.3.cmml"><msub id="A2.SS8.2.p2.7.m4.1.1.1.1.1" xref="A2.SS8.2.p2.7.m4.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A2.SS8.2.p2.7.m4.1.1.1.1.1.2" xref="A2.SS8.2.p2.7.m4.1.1.1.1.1.2.cmml">Q</mi><mn id="A2.SS8.2.p2.7.m4.1.1.1.1.1.3" xref="A2.SS8.2.p2.7.m4.1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="A2.SS8.2.p2.7.m4.2.2.2.2.3" xref="A2.SS8.2.p2.7.m4.2.2.2.3.cmml">,</mo><msub id="A2.SS8.2.p2.7.m4.2.2.2.2.2" xref="A2.SS8.2.p2.7.m4.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="A2.SS8.2.p2.7.m4.2.2.2.2.2.2" xref="A2.SS8.2.p2.7.m4.2.2.2.2.2.2.cmml">Q</mi><mn id="A2.SS8.2.p2.7.m4.2.2.2.2.2.3" xref="A2.SS8.2.p2.7.m4.2.2.2.2.2.3.cmml">2</mn></msub></mrow><mo id="A2.SS8.2.p2.7.m4.2.2.3" xref="A2.SS8.2.p2.7.m4.2.2.3.cmml">≥</mo><mi id="A2.SS8.2.p2.7.m4.2.2.4" xref="A2.SS8.2.p2.7.m4.2.2.4.cmml">t</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.SS8.2.p2.7.m4.2b"><apply id="A2.SS8.2.p2.7.m4.2.2.cmml" xref="A2.SS8.2.p2.7.m4.2.2"><geq id="A2.SS8.2.p2.7.m4.2.2.3.cmml" xref="A2.SS8.2.p2.7.m4.2.2.3"></geq><list id="A2.SS8.2.p2.7.m4.2.2.2.3.cmml" xref="A2.SS8.2.p2.7.m4.2.2.2.2"><apply id="A2.SS8.2.p2.7.m4.1.1.1.1.1.cmml" xref="A2.SS8.2.p2.7.m4.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.SS8.2.p2.7.m4.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A2.SS8.2.p2.7.m4.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="A2.SS8.2.p2.7.m4.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A2.SS8.2.p2.7.m4.1.1.1.1.1.2">𝑄</ci><cn id="A2.SS8.2.p2.7.m4.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A2.SS8.2.p2.7.m4.1.1.1.1.1.3">1</cn></apply><apply id="A2.SS8.2.p2.7.m4.2.2.2.2.2.cmml" xref="A2.SS8.2.p2.7.m4.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.SS8.2.p2.7.m4.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="A2.SS8.2.p2.7.m4.2.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="A2.SS8.2.p2.7.m4.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="A2.SS8.2.p2.7.m4.2.2.2.2.2.2">𝑄</ci><cn id="A2.SS8.2.p2.7.m4.2.2.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="A2.SS8.2.p2.7.m4.2.2.2.2.2.3">2</cn></apply></list><ci id="A2.SS8.2.p2.7.m4.2.2.4.cmml" xref="A2.SS8.2.p2.7.m4.2.2.4">𝑡</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.SS8.2.p2.7.m4.2c">Q_{1},Q_{2}\geq t</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.SS8.2.p2.7.m4.2d">italic_Q start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , italic_Q start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT ≥ italic_t</annotation></semantics></math>, <math alttext="f_{t}((Q_{1}Q_{2})^{-1})\geq f_{t}(t^{-2})" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.SS8.2.p2.8.m5.2"><semantics id="A2.SS8.2.p2.8.m5.2a"><mrow id="A2.SS8.2.p2.8.m5.2.2" xref="A2.SS8.2.p2.8.m5.2.2.cmml"><mrow id="A2.SS8.2.p2.8.m5.1.1.1" xref="A2.SS8.2.p2.8.m5.1.1.1.cmml"><msub id="A2.SS8.2.p2.8.m5.1.1.1.3" xref="A2.SS8.2.p2.8.m5.1.1.1.3.cmml"><mi id="A2.SS8.2.p2.8.m5.1.1.1.3.2" xref="A2.SS8.2.p2.8.m5.1.1.1.3.2.cmml">f</mi><mi id="A2.SS8.2.p2.8.m5.1.1.1.3.3" xref="A2.SS8.2.p2.8.m5.1.1.1.3.3.cmml">t</mi></msub><mo id="A2.SS8.2.p2.8.m5.1.1.1.2" xref="A2.SS8.2.p2.8.m5.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A2.SS8.2.p2.8.m5.1.1.1.1.1" xref="A2.SS8.2.p2.8.m5.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A2.SS8.2.p2.8.m5.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A2.SS8.2.p2.8.m5.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="A2.SS8.2.p2.8.m5.1.1.1.1.1.1" xref="A2.SS8.2.p2.8.m5.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A2.SS8.2.p2.8.m5.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A2.SS8.2.p2.8.m5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A2.SS8.2.p2.8.m5.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A2.SS8.2.p2.8.m5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A2.SS8.2.p2.8.m5.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A2.SS8.2.p2.8.m5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="A2.SS8.2.p2.8.m5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A2.SS8.2.p2.8.m5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="A2.SS8.2.p2.8.m5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="A2.SS8.2.p2.8.m5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">Q</mi><mn id="A2.SS8.2.p2.8.m5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="A2.SS8.2.p2.8.m5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">1</mn></msub><mo id="A2.SS8.2.p2.8.m5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A2.SS8.2.p2.8.m5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="A2.SS8.2.p2.8.m5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A2.SS8.2.p2.8.m5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A2.SS8.2.p2.8.m5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A2.SS8.2.p2.8.m5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">Q</mi><mn id="A2.SS8.2.p2.8.m5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A2.SS8.2.p2.8.m5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></msub></mrow><mo id="A2.SS8.2.p2.8.m5.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A2.SS8.2.p2.8.m5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="A2.SS8.2.p2.8.m5.1.1.1.1.1.1.3" xref="A2.SS8.2.p2.8.m5.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="A2.SS8.2.p2.8.m5.1.1.1.1.1.1.3a" xref="A2.SS8.2.p2.8.m5.1.1.1.1.1.1.3.cmml">−</mo><mn id="A2.SS8.2.p2.8.m5.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A2.SS8.2.p2.8.m5.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="A2.SS8.2.p2.8.m5.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A2.SS8.2.p2.8.m5.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A2.SS8.2.p2.8.m5.2.2.3" xref="A2.SS8.2.p2.8.m5.2.2.3.cmml">≥</mo><mrow id="A2.SS8.2.p2.8.m5.2.2.2" xref="A2.SS8.2.p2.8.m5.2.2.2.cmml"><msub id="A2.SS8.2.p2.8.m5.2.2.2.3" xref="A2.SS8.2.p2.8.m5.2.2.2.3.cmml"><mi id="A2.SS8.2.p2.8.m5.2.2.2.3.2" xref="A2.SS8.2.p2.8.m5.2.2.2.3.2.cmml">f</mi><mi id="A2.SS8.2.p2.8.m5.2.2.2.3.3" xref="A2.SS8.2.p2.8.m5.2.2.2.3.3.cmml">t</mi></msub><mo id="A2.SS8.2.p2.8.m5.2.2.2.2" xref="A2.SS8.2.p2.8.m5.2.2.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A2.SS8.2.p2.8.m5.2.2.2.1.1" xref="A2.SS8.2.p2.8.m5.2.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="A2.SS8.2.p2.8.m5.2.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="A2.SS8.2.p2.8.m5.2.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="A2.SS8.2.p2.8.m5.2.2.2.1.1.1" xref="A2.SS8.2.p2.8.m5.2.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="A2.SS8.2.p2.8.m5.2.2.2.1.1.1.2" xref="A2.SS8.2.p2.8.m5.2.2.2.1.1.1.2.cmml">t</mi><mrow id="A2.SS8.2.p2.8.m5.2.2.2.1.1.1.3" xref="A2.SS8.2.p2.8.m5.2.2.2.1.1.1.3.cmml"><mo id="A2.SS8.2.p2.8.m5.2.2.2.1.1.1.3a" xref="A2.SS8.2.p2.8.m5.2.2.2.1.1.1.3.cmml">−</mo><mn id="A2.SS8.2.p2.8.m5.2.2.2.1.1.1.3.2" xref="A2.SS8.2.p2.8.m5.2.2.2.1.1.1.3.2.cmml">2</mn></mrow></msup><mo id="A2.SS8.2.p2.8.m5.2.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="A2.SS8.2.p2.8.m5.2.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.SS8.2.p2.8.m5.2b"><apply id="A2.SS8.2.p2.8.m5.2.2.cmml" xref="A2.SS8.2.p2.8.m5.2.2"><geq id="A2.SS8.2.p2.8.m5.2.2.3.cmml" xref="A2.SS8.2.p2.8.m5.2.2.3"></geq><apply id="A2.SS8.2.p2.8.m5.1.1.1.cmml" xref="A2.SS8.2.p2.8.m5.1.1.1"><times id="A2.SS8.2.p2.8.m5.1.1.1.2.cmml" xref="A2.SS8.2.p2.8.m5.1.1.1.2"></times><apply id="A2.SS8.2.p2.8.m5.1.1.1.3.cmml" xref="A2.SS8.2.p2.8.m5.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.SS8.2.p2.8.m5.1.1.1.3.1.cmml" xref="A2.SS8.2.p2.8.m5.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A2.SS8.2.p2.8.m5.1.1.1.3.2.cmml" xref="A2.SS8.2.p2.8.m5.1.1.1.3.2">𝑓</ci><ci id="A2.SS8.2.p2.8.m5.1.1.1.3.3.cmml" xref="A2.SS8.2.p2.8.m5.1.1.1.3.3">𝑡</ci></apply><apply id="A2.SS8.2.p2.8.m5.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A2.SS8.2.p2.8.m5.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.SS8.2.p2.8.m5.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A2.SS8.2.p2.8.m5.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="A2.SS8.2.p2.8.m5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A2.SS8.2.p2.8.m5.1.1.1.1.1.1.1.1"><times id="A2.SS8.2.p2.8.m5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A2.SS8.2.p2.8.m5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></times><apply id="A2.SS8.2.p2.8.m5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A2.SS8.2.p2.8.m5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.SS8.2.p2.8.m5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A2.SS8.2.p2.8.m5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="A2.SS8.2.p2.8.m5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A2.SS8.2.p2.8.m5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝑄</ci><cn id="A2.SS8.2.p2.8.m5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="A2.SS8.2.p2.8.m5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">1</cn></apply><apply id="A2.SS8.2.p2.8.m5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A2.SS8.2.p2.8.m5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.SS8.2.p2.8.m5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A2.SS8.2.p2.8.m5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A2.SS8.2.p2.8.m5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A2.SS8.2.p2.8.m5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑄</ci><cn id="A2.SS8.2.p2.8.m5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="A2.SS8.2.p2.8.m5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">2</cn></apply></apply><apply id="A2.SS8.2.p2.8.m5.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A2.SS8.2.p2.8.m5.1.1.1.1.1.1.3"><minus id="A2.SS8.2.p2.8.m5.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A2.SS8.2.p2.8.m5.1.1.1.1.1.1.3"></minus><cn id="A2.SS8.2.p2.8.m5.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="A2.SS8.2.p2.8.m5.1.1.1.1.1.1.3.2">1</cn></apply></apply></apply><apply id="A2.SS8.2.p2.8.m5.2.2.2.cmml" xref="A2.SS8.2.p2.8.m5.2.2.2"><times id="A2.SS8.2.p2.8.m5.2.2.2.2.cmml" xref="A2.SS8.2.p2.8.m5.2.2.2.2"></times><apply id="A2.SS8.2.p2.8.m5.2.2.2.3.cmml" xref="A2.SS8.2.p2.8.m5.2.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.SS8.2.p2.8.m5.2.2.2.3.1.cmml" xref="A2.SS8.2.p2.8.m5.2.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="A2.SS8.2.p2.8.m5.2.2.2.3.2.cmml" xref="A2.SS8.2.p2.8.m5.2.2.2.3.2">𝑓</ci><ci id="A2.SS8.2.p2.8.m5.2.2.2.3.3.cmml" xref="A2.SS8.2.p2.8.m5.2.2.2.3.3">𝑡</ci></apply><apply id="A2.SS8.2.p2.8.m5.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="A2.SS8.2.p2.8.m5.2.2.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.SS8.2.p2.8.m5.2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="A2.SS8.2.p2.8.m5.2.2.2.1.1">superscript</csymbol><ci id="A2.SS8.2.p2.8.m5.2.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="A2.SS8.2.p2.8.m5.2.2.2.1.1.1.2">𝑡</ci><apply id="A2.SS8.2.p2.8.m5.2.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="A2.SS8.2.p2.8.m5.2.2.2.1.1.1.3"><minus id="A2.SS8.2.p2.8.m5.2.2.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="A2.SS8.2.p2.8.m5.2.2.2.1.1.1.3"></minus><cn id="A2.SS8.2.p2.8.m5.2.2.2.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="A2.SS8.2.p2.8.m5.2.2.2.1.1.1.3.2">2</cn></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.SS8.2.p2.8.m5.2c">f_{t}((Q_{1}Q_{2})^{-1})\geq f_{t}(t^{-2})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.SS8.2.p2.8.m5.2d">italic_f start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( ( italic_Q start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT italic_Q start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT ) ≥ italic_f start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t start_POSTSUPERSCRIPT - 2 end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math>. ∎</p> </div> </div> </section> <section class="ltx_subsection" id="A2.SS9"> <h3 class="ltx_title ltx_title_subsection"> <span class="ltx_tag ltx_tag_subsection">B.9 </span>Proof of Theorem <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#Thmtheorem34" title="Theorem 34. ‣ IV.2 Co-deranged subspace ‣ IV Properties of the eigenspaces ‣ Conditional 𝑡-independent spectral gap for random quantum circuits and implications for 𝑡-design depths"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">34</span></a> </h3> <div class="ltx_para" id="A2.SS9.p1"> <p class="ltx_p" id="A2.SS9.p1.2">We are interested in understanding the orthogonal complement of non-deranged subspace in the case <math alttext="q<t" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.SS9.p1.1.m1.1"><semantics id="A2.SS9.p1.1.m1.1a"><mrow id="A2.SS9.p1.1.m1.1.1" xref="A2.SS9.p1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="A2.SS9.p1.1.m1.1.1.2" xref="A2.SS9.p1.1.m1.1.1.2.cmml">q</mi><mo id="A2.SS9.p1.1.m1.1.1.1" xref="A2.SS9.p1.1.m1.1.1.1.cmml"><</mo><mi id="A2.SS9.p1.1.m1.1.1.3" xref="A2.SS9.p1.1.m1.1.1.3.cmml">t</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.SS9.p1.1.m1.1b"><apply id="A2.SS9.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="A2.SS9.p1.1.m1.1.1"><lt id="A2.SS9.p1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="A2.SS9.p1.1.m1.1.1.1"></lt><ci id="A2.SS9.p1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="A2.SS9.p1.1.m1.1.1.2">𝑞</ci><ci id="A2.SS9.p1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="A2.SS9.p1.1.m1.1.1.3">𝑡</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.SS9.p1.1.m1.1c">q<t</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.SS9.p1.1.m1.1d">italic_q < italic_t</annotation></semantics></math>. We will work in terms of the embedding <math alttext="E:\mathbb{C}^{t!^{N}}\rightarrow\mathcal{H}_{q}^{2t}" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.SS9.p1.2.m2.1"><semantics id="A2.SS9.p1.2.m2.1a"><mrow id="A2.SS9.p1.2.m2.1.1" xref="A2.SS9.p1.2.m2.1.1.cmml"><mi id="A2.SS9.p1.2.m2.1.1.2" xref="A2.SS9.p1.2.m2.1.1.2.cmml">E</mi><mo id="A2.SS9.p1.2.m2.1.1.1" lspace="0.278em" rspace="0.278em" xref="A2.SS9.p1.2.m2.1.1.1.cmml">:</mo><mrow id="A2.SS9.p1.2.m2.1.1.3" xref="A2.SS9.p1.2.m2.1.1.3.cmml"><msup id="A2.SS9.p1.2.m2.1.1.3.2" xref="A2.SS9.p1.2.m2.1.1.3.2.cmml"><mi id="A2.SS9.p1.2.m2.1.1.3.2.2" xref="A2.SS9.p1.2.m2.1.1.3.2.2.cmml">ℂ</mi><msup id="A2.SS9.p1.2.m2.1.1.3.2.3" xref="A2.SS9.p1.2.m2.1.1.3.2.3.cmml"><mrow id="A2.SS9.p1.2.m2.1.1.3.2.3.2" xref="A2.SS9.p1.2.m2.1.1.3.2.3.2.cmml"><mi id="A2.SS9.p1.2.m2.1.1.3.2.3.2.2" xref="A2.SS9.p1.2.m2.1.1.3.2.3.2.2.cmml">t</mi><mo id="A2.SS9.p1.2.m2.1.1.3.2.3.2.1" xref="A2.SS9.p1.2.m2.1.1.3.2.3.2.1.cmml">!</mo></mrow><mi id="A2.SS9.p1.2.m2.1.1.3.2.3.3" xref="A2.SS9.p1.2.m2.1.1.3.2.3.3.cmml">N</mi></msup></msup><mo id="A2.SS9.p1.2.m2.1.1.3.1" stretchy="false" xref="A2.SS9.p1.2.m2.1.1.3.1.cmml">→</mo><msubsup id="A2.SS9.p1.2.m2.1.1.3.3" xref="A2.SS9.p1.2.m2.1.1.3.3.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="A2.SS9.p1.2.m2.1.1.3.3.2.2" xref="A2.SS9.p1.2.m2.1.1.3.3.2.2.cmml">ℋ</mi><mi id="A2.SS9.p1.2.m2.1.1.3.3.2.3" xref="A2.SS9.p1.2.m2.1.1.3.3.2.3.cmml">q</mi><mrow id="A2.SS9.p1.2.m2.1.1.3.3.3" xref="A2.SS9.p1.2.m2.1.1.3.3.3.cmml"><mn id="A2.SS9.p1.2.m2.1.1.3.3.3.2" xref="A2.SS9.p1.2.m2.1.1.3.3.3.2.cmml">2</mn><mo id="A2.SS9.p1.2.m2.1.1.3.3.3.1" xref="A2.SS9.p1.2.m2.1.1.3.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A2.SS9.p1.2.m2.1.1.3.3.3.3" xref="A2.SS9.p1.2.m2.1.1.3.3.3.3.cmml">t</mi></mrow></msubsup></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.SS9.p1.2.m2.1b"><apply id="A2.SS9.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="A2.SS9.p1.2.m2.1.1"><ci id="A2.SS9.p1.2.m2.1.1.1.cmml" xref="A2.SS9.p1.2.m2.1.1.1">:</ci><ci id="A2.SS9.p1.2.m2.1.1.2.cmml" xref="A2.SS9.p1.2.m2.1.1.2">𝐸</ci><apply id="A2.SS9.p1.2.m2.1.1.3.cmml" xref="A2.SS9.p1.2.m2.1.1.3"><ci id="A2.SS9.p1.2.m2.1.1.3.1.cmml" xref="A2.SS9.p1.2.m2.1.1.3.1">→</ci><apply id="A2.SS9.p1.2.m2.1.1.3.2.cmml" xref="A2.SS9.p1.2.m2.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.SS9.p1.2.m2.1.1.3.2.1.cmml" xref="A2.SS9.p1.2.m2.1.1.3.2">superscript</csymbol><ci id="A2.SS9.p1.2.m2.1.1.3.2.2.cmml" xref="A2.SS9.p1.2.m2.1.1.3.2.2">ℂ</ci><apply id="A2.SS9.p1.2.m2.1.1.3.2.3.cmml" xref="A2.SS9.p1.2.m2.1.1.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.SS9.p1.2.m2.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="A2.SS9.p1.2.m2.1.1.3.2.3">superscript</csymbol><apply id="A2.SS9.p1.2.m2.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="A2.SS9.p1.2.m2.1.1.3.2.3.2"><factorial id="A2.SS9.p1.2.m2.1.1.3.2.3.2.1.cmml" xref="A2.SS9.p1.2.m2.1.1.3.2.3.2.1"></factorial><ci id="A2.SS9.p1.2.m2.1.1.3.2.3.2.2.cmml" xref="A2.SS9.p1.2.m2.1.1.3.2.3.2.2">𝑡</ci></apply><ci id="A2.SS9.p1.2.m2.1.1.3.2.3.3.cmml" xref="A2.SS9.p1.2.m2.1.1.3.2.3.3">𝑁</ci></apply></apply><apply id="A2.SS9.p1.2.m2.1.1.3.3.cmml" xref="A2.SS9.p1.2.m2.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.SS9.p1.2.m2.1.1.3.3.1.cmml" xref="A2.SS9.p1.2.m2.1.1.3.3">superscript</csymbol><apply id="A2.SS9.p1.2.m2.1.1.3.3.2.cmml" xref="A2.SS9.p1.2.m2.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.SS9.p1.2.m2.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="A2.SS9.p1.2.m2.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="A2.SS9.p1.2.m2.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="A2.SS9.p1.2.m2.1.1.3.3.2.2">ℋ</ci><ci id="A2.SS9.p1.2.m2.1.1.3.3.2.3.cmml" xref="A2.SS9.p1.2.m2.1.1.3.3.2.3">𝑞</ci></apply><apply id="A2.SS9.p1.2.m2.1.1.3.3.3.cmml" xref="A2.SS9.p1.2.m2.1.1.3.3.3"><times id="A2.SS9.p1.2.m2.1.1.3.3.3.1.cmml" xref="A2.SS9.p1.2.m2.1.1.3.3.3.1"></times><cn id="A2.SS9.p1.2.m2.1.1.3.3.3.2.cmml" type="integer" xref="A2.SS9.p1.2.m2.1.1.3.3.3.2">2</cn><ci id="A2.SS9.p1.2.m2.1.1.3.3.3.3.cmml" xref="A2.SS9.p1.2.m2.1.1.3.3.3.3">𝑡</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.SS9.p1.2.m2.1c">E:\mathbb{C}^{t!^{N}}\rightarrow\mathcal{H}_{q}^{2t}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.SS9.p1.2.m2.1d">italic_E : blackboard_C start_POSTSUPERSCRIPT italic_t ! start_POSTSUPERSCRIPT italic_N end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT → caligraphic_H start_POSTSUBSCRIPT italic_q end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 italic_t end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> given by</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_gather ltx_eqn_table" id="S6.EGx159"> <tbody id="A2.E193"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\displaystyle E(\mathbf{v})=\sum_{\vec{\sigma}\in S_{t}^{N}}v_{\vec{\sigma}}% \ket{\widetilde{\sigma_{1},\dots\sigma_{N}}}\equiv\ket{\mathbf{v}}" class="ltx_Math" display="block" id="A2.E193.m1.3"><semantics id="A2.E193.m1.3a"><mrow id="A2.E193.m1.3.4" xref="A2.E193.m1.3.4.cmml"><mrow id="A2.E193.m1.3.4.2" xref="A2.E193.m1.3.4.2.cmml"><mi id="A2.E193.m1.3.4.2.2" xref="A2.E193.m1.3.4.2.2.cmml">E</mi><mo id="A2.E193.m1.3.4.2.1" xref="A2.E193.m1.3.4.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A2.E193.m1.3.4.2.3.2" xref="A2.E193.m1.3.4.2.cmml"><mo id="A2.E193.m1.3.4.2.3.2.1" stretchy="false" xref="A2.E193.m1.3.4.2.cmml">(</mo><mi id="A2.E193.m1.3.3" xref="A2.E193.m1.3.3.cmml">𝐯</mi><mo id="A2.E193.m1.3.4.2.3.2.2" stretchy="false" xref="A2.E193.m1.3.4.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A2.E193.m1.3.4.3" rspace="0.111em" xref="A2.E193.m1.3.4.3.cmml">=</mo><mrow id="A2.E193.m1.3.4.4" xref="A2.E193.m1.3.4.4.cmml"><munder id="A2.E193.m1.3.4.4.1" xref="A2.E193.m1.3.4.4.1.cmml"><mo id="A2.E193.m1.3.4.4.1.2" movablelimits="false" xref="A2.E193.m1.3.4.4.1.2.cmml">∑</mo><mrow id="A2.E193.m1.3.4.4.1.3" xref="A2.E193.m1.3.4.4.1.3.cmml"><mover accent="true" id="A2.E193.m1.3.4.4.1.3.2" xref="A2.E193.m1.3.4.4.1.3.2.cmml"><mi id="A2.E193.m1.3.4.4.1.3.2.2" xref="A2.E193.m1.3.4.4.1.3.2.2.cmml">σ</mi><mo id="A2.E193.m1.3.4.4.1.3.2.1" stretchy="false" xref="A2.E193.m1.3.4.4.1.3.2.1.cmml">→</mo></mover><mo id="A2.E193.m1.3.4.4.1.3.1" xref="A2.E193.m1.3.4.4.1.3.1.cmml">∈</mo><msubsup id="A2.E193.m1.3.4.4.1.3.3" xref="A2.E193.m1.3.4.4.1.3.3.cmml"><mi id="A2.E193.m1.3.4.4.1.3.3.2.2" xref="A2.E193.m1.3.4.4.1.3.3.2.2.cmml">S</mi><mi id="A2.E193.m1.3.4.4.1.3.3.2.3" xref="A2.E193.m1.3.4.4.1.3.3.2.3.cmml">t</mi><mi id="A2.E193.m1.3.4.4.1.3.3.3" xref="A2.E193.m1.3.4.4.1.3.3.3.cmml">N</mi></msubsup></mrow></munder><mrow id="A2.E193.m1.3.4.4.2" xref="A2.E193.m1.3.4.4.2.cmml"><msub id="A2.E193.m1.3.4.4.2.2" xref="A2.E193.m1.3.4.4.2.2.cmml"><mi id="A2.E193.m1.3.4.4.2.2.2" xref="A2.E193.m1.3.4.4.2.2.2.cmml">v</mi><mover accent="true" id="A2.E193.m1.3.4.4.2.2.3" xref="A2.E193.m1.3.4.4.2.2.3.cmml"><mi id="A2.E193.m1.3.4.4.2.2.3.2" xref="A2.E193.m1.3.4.4.2.2.3.2.cmml">σ</mi><mo id="A2.E193.m1.3.4.4.2.2.3.1" stretchy="false" xref="A2.E193.m1.3.4.4.2.2.3.1.cmml">→</mo></mover></msub><mo id="A2.E193.m1.3.4.4.2.1" xref="A2.E193.m1.3.4.4.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A2.E193.m1.1.1.3" xref="A2.E193.m1.1.1.2.cmml"><mo id="A2.E193.m1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="A2.E193.m1.1.1.2.1.cmml">|</mo><mover accent="true" id="A2.E193.m1.1.1.1.1" xref="A2.E193.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A2.E193.m1.1.1.1.1.2.2.2" xref="A2.E193.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><msub id="A2.E193.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A2.E193.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A2.E193.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A2.E193.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">σ</mi><mn id="A2.E193.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A2.E193.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="A2.E193.m1.1.1.1.1.2.2.2.3" xref="A2.E193.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">,</mo><mrow id="A2.E193.m1.1.1.1.1.2.2.2.2" xref="A2.E193.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml"><mi id="A2.E193.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2" mathvariant="normal" xref="A2.E193.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml">…</mi><mo id="A2.E193.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1" xref="A2.E193.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="A2.E193.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3" xref="A2.E193.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="A2.E193.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.2" xref="A2.E193.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.2.cmml">σ</mi><mi id="A2.E193.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.3" xref="A2.E193.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.3.cmml">N</mi></msub></mrow></mrow><mo id="A2.E193.m1.1.1.1.1.3" xref="A2.E193.m1.1.1.1.1.3.cmml">~</mo></mover><mo id="A2.E193.m1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="A2.E193.m1.1.1.2.1.cmml">⟩</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="A2.E193.m1.3.4.5" xref="A2.E193.m1.3.4.5.cmml">≡</mo><mrow id="A2.E193.m1.2.2.3" xref="A2.E193.m1.2.2.2.cmml"><mo id="A2.E193.m1.2.2.3.1" stretchy="false" xref="A2.E193.m1.2.2.2.1.cmml">|</mo><mi id="A2.E193.m1.2.2.1.1" xref="A2.E193.m1.2.2.1.1.cmml">𝐯</mi><mo id="A2.E193.m1.2.2.3.2" stretchy="false" xref="A2.E193.m1.2.2.2.1.cmml">⟩</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.E193.m1.3b"><apply id="A2.E193.m1.3.4.cmml" xref="A2.E193.m1.3.4"><and id="A2.E193.m1.3.4a.cmml" xref="A2.E193.m1.3.4"></and><apply id="A2.E193.m1.3.4b.cmml" xref="A2.E193.m1.3.4"><eq id="A2.E193.m1.3.4.3.cmml" xref="A2.E193.m1.3.4.3"></eq><apply id="A2.E193.m1.3.4.2.cmml" xref="A2.E193.m1.3.4.2"><times id="A2.E193.m1.3.4.2.1.cmml" xref="A2.E193.m1.3.4.2.1"></times><ci id="A2.E193.m1.3.4.2.2.cmml" xref="A2.E193.m1.3.4.2.2">𝐸</ci><ci id="A2.E193.m1.3.3.cmml" xref="A2.E193.m1.3.3">𝐯</ci></apply><apply id="A2.E193.m1.3.4.4.cmml" xref="A2.E193.m1.3.4.4"><apply id="A2.E193.m1.3.4.4.1.cmml" xref="A2.E193.m1.3.4.4.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E193.m1.3.4.4.1.1.cmml" xref="A2.E193.m1.3.4.4.1">subscript</csymbol><sum id="A2.E193.m1.3.4.4.1.2.cmml" xref="A2.E193.m1.3.4.4.1.2"></sum><apply id="A2.E193.m1.3.4.4.1.3.cmml" xref="A2.E193.m1.3.4.4.1.3"><in id="A2.E193.m1.3.4.4.1.3.1.cmml" xref="A2.E193.m1.3.4.4.1.3.1"></in><apply id="A2.E193.m1.3.4.4.1.3.2.cmml" xref="A2.E193.m1.3.4.4.1.3.2"><ci id="A2.E193.m1.3.4.4.1.3.2.1.cmml" xref="A2.E193.m1.3.4.4.1.3.2.1">→</ci><ci id="A2.E193.m1.3.4.4.1.3.2.2.cmml" xref="A2.E193.m1.3.4.4.1.3.2.2">𝜎</ci></apply><apply id="A2.E193.m1.3.4.4.1.3.3.cmml" xref="A2.E193.m1.3.4.4.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E193.m1.3.4.4.1.3.3.1.cmml" xref="A2.E193.m1.3.4.4.1.3.3">superscript</csymbol><apply id="A2.E193.m1.3.4.4.1.3.3.2.cmml" xref="A2.E193.m1.3.4.4.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E193.m1.3.4.4.1.3.3.2.1.cmml" xref="A2.E193.m1.3.4.4.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="A2.E193.m1.3.4.4.1.3.3.2.2.cmml" xref="A2.E193.m1.3.4.4.1.3.3.2.2">𝑆</ci><ci id="A2.E193.m1.3.4.4.1.3.3.2.3.cmml" xref="A2.E193.m1.3.4.4.1.3.3.2.3">𝑡</ci></apply><ci id="A2.E193.m1.3.4.4.1.3.3.3.cmml" xref="A2.E193.m1.3.4.4.1.3.3.3">𝑁</ci></apply></apply></apply><apply id="A2.E193.m1.3.4.4.2.cmml" xref="A2.E193.m1.3.4.4.2"><times id="A2.E193.m1.3.4.4.2.1.cmml" xref="A2.E193.m1.3.4.4.2.1"></times><apply id="A2.E193.m1.3.4.4.2.2.cmml" xref="A2.E193.m1.3.4.4.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E193.m1.3.4.4.2.2.1.cmml" xref="A2.E193.m1.3.4.4.2.2">subscript</csymbol><ci id="A2.E193.m1.3.4.4.2.2.2.cmml" xref="A2.E193.m1.3.4.4.2.2.2">𝑣</ci><apply id="A2.E193.m1.3.4.4.2.2.3.cmml" xref="A2.E193.m1.3.4.4.2.2.3"><ci id="A2.E193.m1.3.4.4.2.2.3.1.cmml" xref="A2.E193.m1.3.4.4.2.2.3.1">→</ci><ci id="A2.E193.m1.3.4.4.2.2.3.2.cmml" xref="A2.E193.m1.3.4.4.2.2.3.2">𝜎</ci></apply></apply><apply id="A2.E193.m1.1.1.2.cmml" xref="A2.E193.m1.1.1.3"><csymbol cd="latexml" id="A2.E193.m1.1.1.2.1.cmml" xref="A2.E193.m1.1.1.3.1">ket</csymbol><apply id="A2.E193.m1.1.1.1.1.cmml" xref="A2.E193.m1.1.1.1.1"><ci id="A2.E193.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A2.E193.m1.1.1.1.1.3">~</ci><list id="A2.E193.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="A2.E193.m1.1.1.1.1.2.2.2"><apply id="A2.E193.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A2.E193.m1.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E193.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A2.E193.m1.1.1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="A2.E193.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A2.E193.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝜎</ci><cn id="A2.E193.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A2.E193.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">1</cn></apply><apply id="A2.E193.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="A2.E193.m1.1.1.1.1.2.2.2.2"><times id="A2.E193.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.cmml" xref="A2.E193.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1"></times><ci id="A2.E193.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml" xref="A2.E193.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2">…</ci><apply id="A2.E193.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.cmml" xref="A2.E193.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E193.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="A2.E193.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="A2.E193.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.2.cmml" xref="A2.E193.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.2">𝜎</ci><ci id="A2.E193.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.3.cmml" xref="A2.E193.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.3">𝑁</ci></apply></apply></list></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="A2.E193.m1.3.4c.cmml" xref="A2.E193.m1.3.4"><equivalent id="A2.E193.m1.3.4.5.cmml" xref="A2.E193.m1.3.4.5"></equivalent><share href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#A2.E193.m1.3.4.4.cmml" id="A2.E193.m1.3.4d.cmml" xref="A2.E193.m1.3.4"></share><apply id="A2.E193.m1.2.2.2.cmml" xref="A2.E193.m1.2.2.3"><csymbol cd="latexml" id="A2.E193.m1.2.2.2.1.cmml" xref="A2.E193.m1.2.2.3.1">ket</csymbol><ci id="A2.E193.m1.2.2.1.1.cmml" xref="A2.E193.m1.2.2.1.1">𝐯</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.E193.m1.3c">\displaystyle E(\mathbf{v})=\sum_{\vec{\sigma}\in S_{t}^{N}}v_{\vec{\sigma}}% \ket{\widetilde{\sigma_{1},\dots\sigma_{N}}}\equiv\ket{\mathbf{v}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.E193.m1.3d">italic_E ( bold_v ) = ∑ start_POSTSUBSCRIPT over→ start_ARG italic_σ end_ARG ∈ italic_S start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_N end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT italic_v start_POSTSUBSCRIPT over→ start_ARG italic_σ end_ARG end_POSTSUBSCRIPT | start_ARG over~ start_ARG italic_σ start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , … italic_σ start_POSTSUBSCRIPT italic_N end_POSTSUBSCRIPT end_ARG end_ARG ⟩ ≡ | start_ARG bold_v end_ARG ⟩</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(193)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="A2.SS9.p1.3">We will begin with some helpful properties of the operator</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_gather ltx_eqn_table" id="S6.EGx160"> <tbody id="A2.E194"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\displaystyle X_{\sigma\tau}(q,t)=\braket{\sigma}{\widetilde{\tau}}" class="ltx_Math" display="block" id="A2.E194.m1.4"><semantics id="A2.E194.m1.4a"><mrow id="A2.E194.m1.4.5" xref="A2.E194.m1.4.5.cmml"><mrow id="A2.E194.m1.4.5.2" xref="A2.E194.m1.4.5.2.cmml"><msub id="A2.E194.m1.4.5.2.2" xref="A2.E194.m1.4.5.2.2.cmml"><mi id="A2.E194.m1.4.5.2.2.2" xref="A2.E194.m1.4.5.2.2.2.cmml">X</mi><mrow id="A2.E194.m1.4.5.2.2.3" xref="A2.E194.m1.4.5.2.2.3.cmml"><mi id="A2.E194.m1.4.5.2.2.3.2" xref="A2.E194.m1.4.5.2.2.3.2.cmml">σ</mi><mo id="A2.E194.m1.4.5.2.2.3.1" xref="A2.E194.m1.4.5.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A2.E194.m1.4.5.2.2.3.3" xref="A2.E194.m1.4.5.2.2.3.3.cmml">τ</mi></mrow></msub><mo id="A2.E194.m1.4.5.2.1" xref="A2.E194.m1.4.5.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A2.E194.m1.4.5.2.3.2" xref="A2.E194.m1.4.5.2.3.1.cmml"><mo id="A2.E194.m1.4.5.2.3.2.1" stretchy="false" xref="A2.E194.m1.4.5.2.3.1.cmml">(</mo><mi id="A2.E194.m1.3.3" xref="A2.E194.m1.3.3.cmml">q</mi><mo id="A2.E194.m1.4.5.2.3.2.2" xref="A2.E194.m1.4.5.2.3.1.cmml">,</mo><mi id="A2.E194.m1.4.4" xref="A2.E194.m1.4.4.cmml">t</mi><mo id="A2.E194.m1.4.5.2.3.2.3" stretchy="false" xref="A2.E194.m1.4.5.2.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A2.E194.m1.4.5.1" xref="A2.E194.m1.4.5.1.cmml">=</mo><mrow id="A2.E194.m1.2.2.4" xref="A2.E194.m1.2.2.3.cmml"><mo id="A2.E194.m1.2.2.4.1" stretchy="false" xref="A2.E194.m1.2.2.3.1.cmml">⟨</mo><mi id="A2.E194.m1.1.1.1.1" xref="A2.E194.m1.1.1.1.1.cmml">σ</mi><mo id="A2.E194.m1.2.2.4.2" lspace="0.170em" rspace="0.170em" xref="A2.E194.m1.2.2.3.1.cmml">|</mo><mover accent="true" id="A2.E194.m1.2.2.2.2" xref="A2.E194.m1.2.2.2.2.cmml"><mi id="A2.E194.m1.2.2.2.2.2" xref="A2.E194.m1.2.2.2.2.2.cmml">τ</mi><mo id="A2.E194.m1.2.2.2.2.1" xref="A2.E194.m1.2.2.2.2.1.cmml">~</mo></mover><mo id="A2.E194.m1.2.2.4.3" stretchy="false" xref="A2.E194.m1.2.2.3.1.cmml">⟩</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.E194.m1.4b"><apply id="A2.E194.m1.4.5.cmml" xref="A2.E194.m1.4.5"><eq id="A2.E194.m1.4.5.1.cmml" xref="A2.E194.m1.4.5.1"></eq><apply id="A2.E194.m1.4.5.2.cmml" xref="A2.E194.m1.4.5.2"><times id="A2.E194.m1.4.5.2.1.cmml" xref="A2.E194.m1.4.5.2.1"></times><apply id="A2.E194.m1.4.5.2.2.cmml" xref="A2.E194.m1.4.5.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E194.m1.4.5.2.2.1.cmml" xref="A2.E194.m1.4.5.2.2">subscript</csymbol><ci id="A2.E194.m1.4.5.2.2.2.cmml" xref="A2.E194.m1.4.5.2.2.2">𝑋</ci><apply id="A2.E194.m1.4.5.2.2.3.cmml" xref="A2.E194.m1.4.5.2.2.3"><times id="A2.E194.m1.4.5.2.2.3.1.cmml" xref="A2.E194.m1.4.5.2.2.3.1"></times><ci id="A2.E194.m1.4.5.2.2.3.2.cmml" xref="A2.E194.m1.4.5.2.2.3.2">𝜎</ci><ci id="A2.E194.m1.4.5.2.2.3.3.cmml" xref="A2.E194.m1.4.5.2.2.3.3">𝜏</ci></apply></apply><interval closure="open" id="A2.E194.m1.4.5.2.3.1.cmml" xref="A2.E194.m1.4.5.2.3.2"><ci id="A2.E194.m1.3.3.cmml" xref="A2.E194.m1.3.3">𝑞</ci><ci id="A2.E194.m1.4.4.cmml" xref="A2.E194.m1.4.4">𝑡</ci></interval></apply><apply id="A2.E194.m1.2.2.3.cmml" xref="A2.E194.m1.2.2.4"><csymbol cd="latexml" id="A2.E194.m1.2.2.3.1.cmml" xref="A2.E194.m1.2.2.4.1">inner-product</csymbol><ci id="A2.E194.m1.1.1.1.1.cmml" xref="A2.E194.m1.1.1.1.1">𝜎</ci><apply id="A2.E194.m1.2.2.2.2.cmml" xref="A2.E194.m1.2.2.2.2"><ci id="A2.E194.m1.2.2.2.2.1.cmml" xref="A2.E194.m1.2.2.2.2.1">~</ci><ci id="A2.E194.m1.2.2.2.2.2.cmml" xref="A2.E194.m1.2.2.2.2.2">𝜏</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.E194.m1.4c">\displaystyle X_{\sigma\tau}(q,t)=\braket{\sigma}{\widetilde{\tau}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.E194.m1.4d">italic_X start_POSTSUBSCRIPT italic_σ italic_τ end_POSTSUBSCRIPT ( italic_q , italic_t ) = ⟨ start_ARG italic_σ end_ARG | start_ARG over~ start_ARG italic_τ end_ARG end_ARG ⟩</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(194)</span></td> </tr></tbody> </table> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_lemma" id="Thmtheorem59"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmtheorem59.1.1.1">Lemma 59</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmtheorem59.2.2">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="Thmtheorem59.p1"> <p class="ltx_p" id="Thmtheorem59.p1.1"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmtheorem59.p1.1.1">The matrix <math alttext="X(q,t)" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem59.p1.1.1.m1.2"><semantics id="Thmtheorem59.p1.1.1.m1.2a"><mrow id="Thmtheorem59.p1.1.1.m1.2.3" xref="Thmtheorem59.p1.1.1.m1.2.3.cmml"><mi id="Thmtheorem59.p1.1.1.m1.2.3.2" xref="Thmtheorem59.p1.1.1.m1.2.3.2.cmml">X</mi><mo id="Thmtheorem59.p1.1.1.m1.2.3.1" xref="Thmtheorem59.p1.1.1.m1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="Thmtheorem59.p1.1.1.m1.2.3.3.2" xref="Thmtheorem59.p1.1.1.m1.2.3.3.1.cmml"><mo id="Thmtheorem59.p1.1.1.m1.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="Thmtheorem59.p1.1.1.m1.2.3.3.1.cmml">(</mo><mi id="Thmtheorem59.p1.1.1.m1.1.1" xref="Thmtheorem59.p1.1.1.m1.1.1.cmml">q</mi><mo id="Thmtheorem59.p1.1.1.m1.2.3.3.2.2" xref="Thmtheorem59.p1.1.1.m1.2.3.3.1.cmml">,</mo><mi id="Thmtheorem59.p1.1.1.m1.2.2" xref="Thmtheorem59.p1.1.1.m1.2.2.cmml">t</mi><mo id="Thmtheorem59.p1.1.1.m1.2.3.3.2.3" stretchy="false" xref="Thmtheorem59.p1.1.1.m1.2.3.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem59.p1.1.1.m1.2b"><apply id="Thmtheorem59.p1.1.1.m1.2.3.cmml" xref="Thmtheorem59.p1.1.1.m1.2.3"><times id="Thmtheorem59.p1.1.1.m1.2.3.1.cmml" xref="Thmtheorem59.p1.1.1.m1.2.3.1"></times><ci id="Thmtheorem59.p1.1.1.m1.2.3.2.cmml" xref="Thmtheorem59.p1.1.1.m1.2.3.2">𝑋</ci><interval closure="open" id="Thmtheorem59.p1.1.1.m1.2.3.3.1.cmml" xref="Thmtheorem59.p1.1.1.m1.2.3.3.2"><ci id="Thmtheorem59.p1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem59.p1.1.1.m1.1.1">𝑞</ci><ci id="Thmtheorem59.p1.1.1.m1.2.2.cmml" xref="Thmtheorem59.p1.1.1.m1.2.2">𝑡</ci></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem59.p1.1.1.m1.2c">X(q,t)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem59.p1.1.1.m1.2d">italic_X ( italic_q , italic_t )</annotation></semantics></math> has the following properties:</span></p> <ol class="ltx_enumerate" id="A2.I1"> <li class="ltx_item" id="A2.I1.i1" style="list-style-type:none;"> <span class="ltx_tag ltx_tag_item">1.</span> <div class="ltx_para" id="A2.I1.i1.p1"> <p class="ltx_p" id="A2.I1.i1.p1.1"><math alttext="X" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.I1.i1.p1.1.m1.1"><semantics id="A2.I1.i1.p1.1.m1.1a"><mi id="A2.I1.i1.p1.1.m1.1.1" xref="A2.I1.i1.p1.1.m1.1.1.cmml">X</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.I1.i1.p1.1.m1.1b"><ci id="A2.I1.i1.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="A2.I1.i1.p1.1.m1.1.1">𝑋</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.I1.i1.p1.1.m1.1c">X</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.I1.i1.p1.1.m1.1d">italic_X</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="A2.I1.i1.p1.1.1"> is a projection.</span></p> </div> </li> <li class="ltx_item" id="A2.I1.i2" style="list-style-type:none;"> <span class="ltx_tag ltx_tag_item">2.</span> <div class="ltx_para" id="A2.I1.i2.p1"> <p class="ltx_p" id="A2.I1.i2.p1.1"><math alttext="\ket{X\mathbf{v}}=\ket{\mathbf{v}}" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.I1.i2.p1.1.m1.2"><semantics id="A2.I1.i2.p1.1.m1.2a"><mrow id="A2.I1.i2.p1.1.m1.2.3" xref="A2.I1.i2.p1.1.m1.2.3.cmml"><mrow id="A2.I1.i2.p1.1.m1.1.1.3" xref="A2.I1.i2.p1.1.m1.1.1.2.cmml"><mo id="A2.I1.i2.p1.1.m1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="A2.I1.i2.p1.1.m1.1.1.2.1.cmml">|</mo><mrow id="A2.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.1" xref="A2.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A2.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.2" xref="A2.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.2.cmml">X</mi><mo id="A2.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1" xref="A2.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="A2.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.3" xref="A2.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.3.cmml">𝐯</mi></mrow><mo id="A2.I1.i2.p1.1.m1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="A2.I1.i2.p1.1.m1.1.1.2.1.cmml">⟩</mo></mrow><mo id="A2.I1.i2.p1.1.m1.2.3.1" xref="A2.I1.i2.p1.1.m1.2.3.1.cmml">=</mo><mrow id="A2.I1.i2.p1.1.m1.2.2.3" xref="A2.I1.i2.p1.1.m1.2.2.2.cmml"><mo id="A2.I1.i2.p1.1.m1.2.2.3.1" stretchy="false" xref="A2.I1.i2.p1.1.m1.2.2.2.1.cmml">|</mo><mi id="A2.I1.i2.p1.1.m1.2.2.1.1" xref="A2.I1.i2.p1.1.m1.2.2.1.1.cmml">𝐯</mi><mo id="A2.I1.i2.p1.1.m1.2.2.3.2" stretchy="false" xref="A2.I1.i2.p1.1.m1.2.2.2.1.cmml">⟩</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.I1.i2.p1.1.m1.2b"><apply id="A2.I1.i2.p1.1.m1.2.3.cmml" xref="A2.I1.i2.p1.1.m1.2.3"><eq id="A2.I1.i2.p1.1.m1.2.3.1.cmml" xref="A2.I1.i2.p1.1.m1.2.3.1"></eq><apply id="A2.I1.i2.p1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="A2.I1.i2.p1.1.m1.1.1.3"><csymbol cd="latexml" id="A2.I1.i2.p1.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="A2.I1.i2.p1.1.m1.1.1.3.1">ket</csymbol><apply id="A2.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.cmml" xref="A2.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.1"><times id="A2.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A2.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1"></times><ci id="A2.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A2.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.2">𝑋</ci><ci id="A2.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A2.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.3">𝐯</ci></apply></apply><apply id="A2.I1.i2.p1.1.m1.2.2.2.cmml" xref="A2.I1.i2.p1.1.m1.2.2.3"><csymbol cd="latexml" id="A2.I1.i2.p1.1.m1.2.2.2.1.cmml" xref="A2.I1.i2.p1.1.m1.2.2.3.1">ket</csymbol><ci id="A2.I1.i2.p1.1.m1.2.2.1.1.cmml" xref="A2.I1.i2.p1.1.m1.2.2.1.1">𝐯</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.I1.i2.p1.1.m1.2c">\ket{X\mathbf{v}}=\ket{\mathbf{v}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.I1.i2.p1.1.m1.2d">| start_ARG italic_X bold_v end_ARG ⟩ = | start_ARG bold_v end_ARG ⟩</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="A2.I1.i2.p1.1.1"></span></p> </div> </li> <li class="ltx_item" id="A2.I1.i3" style="list-style-type:none;"> <span class="ltx_tag ltx_tag_item">3.</span> <div class="ltx_para" id="A2.I1.i3.p1"> <p class="ltx_p" id="A2.I1.i3.p1.2"><math alttext="\ket{\mathbf{v}}=\ket{0}" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.I1.i3.p1.1.m1.2"><semantics id="A2.I1.i3.p1.1.m1.2a"><mrow id="A2.I1.i3.p1.1.m1.2.3" xref="A2.I1.i3.p1.1.m1.2.3.cmml"><mrow id="A2.I1.i3.p1.1.m1.1.1.3" xref="A2.I1.i3.p1.1.m1.1.1.2.cmml"><mo id="A2.I1.i3.p1.1.m1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="A2.I1.i3.p1.1.m1.1.1.2.1.cmml">|</mo><mi id="A2.I1.i3.p1.1.m1.1.1.1.1" xref="A2.I1.i3.p1.1.m1.1.1.1.1.cmml">𝐯</mi><mo id="A2.I1.i3.p1.1.m1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="A2.I1.i3.p1.1.m1.1.1.2.1.cmml">⟩</mo></mrow><mo id="A2.I1.i3.p1.1.m1.2.3.1" xref="A2.I1.i3.p1.1.m1.2.3.1.cmml">=</mo><mrow id="A2.I1.i3.p1.1.m1.2.2.3" xref="A2.I1.i3.p1.1.m1.2.2.2.cmml"><mo id="A2.I1.i3.p1.1.m1.2.2.3.1" stretchy="false" xref="A2.I1.i3.p1.1.m1.2.2.2.1.cmml">|</mo><mn id="A2.I1.i3.p1.1.m1.2.2.1.1" xref="A2.I1.i3.p1.1.m1.2.2.1.1.cmml">0</mn><mo id="A2.I1.i3.p1.1.m1.2.2.3.2" stretchy="false" xref="A2.I1.i3.p1.1.m1.2.2.2.1.cmml">⟩</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.I1.i3.p1.1.m1.2b"><apply id="A2.I1.i3.p1.1.m1.2.3.cmml" xref="A2.I1.i3.p1.1.m1.2.3"><eq id="A2.I1.i3.p1.1.m1.2.3.1.cmml" xref="A2.I1.i3.p1.1.m1.2.3.1"></eq><apply id="A2.I1.i3.p1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="A2.I1.i3.p1.1.m1.1.1.3"><csymbol cd="latexml" id="A2.I1.i3.p1.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="A2.I1.i3.p1.1.m1.1.1.3.1">ket</csymbol><ci id="A2.I1.i3.p1.1.m1.1.1.1.1.cmml" xref="A2.I1.i3.p1.1.m1.1.1.1.1">𝐯</ci></apply><apply id="A2.I1.i3.p1.1.m1.2.2.2.cmml" xref="A2.I1.i3.p1.1.m1.2.2.3"><csymbol cd="latexml" id="A2.I1.i3.p1.1.m1.2.2.2.1.cmml" xref="A2.I1.i3.p1.1.m1.2.2.3.1">ket</csymbol><cn id="A2.I1.i3.p1.1.m1.2.2.1.1.cmml" type="integer" xref="A2.I1.i3.p1.1.m1.2.2.1.1">0</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.I1.i3.p1.1.m1.2c">\ket{\mathbf{v}}=\ket{0}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.I1.i3.p1.1.m1.2d">| start_ARG bold_v end_ARG ⟩ = | start_ARG 0 end_ARG ⟩</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="A2.I1.i3.p1.2.1"> if and only if </span><math alttext="X\mathbf{v}=\mathbf{0}" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.I1.i3.p1.2.m2.1"><semantics id="A2.I1.i3.p1.2.m2.1a"><mrow id="A2.I1.i3.p1.2.m2.1.1" xref="A2.I1.i3.p1.2.m2.1.1.cmml"><mrow id="A2.I1.i3.p1.2.m2.1.1.2" xref="A2.I1.i3.p1.2.m2.1.1.2.cmml"><mi id="A2.I1.i3.p1.2.m2.1.1.2.2" xref="A2.I1.i3.p1.2.m2.1.1.2.2.cmml">X</mi><mo id="A2.I1.i3.p1.2.m2.1.1.2.1" xref="A2.I1.i3.p1.2.m2.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="A2.I1.i3.p1.2.m2.1.1.2.3" xref="A2.I1.i3.p1.2.m2.1.1.2.3.cmml">𝐯</mi></mrow><mo id="A2.I1.i3.p1.2.m2.1.1.1" xref="A2.I1.i3.p1.2.m2.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="A2.I1.i3.p1.2.m2.1.1.3" xref="A2.I1.i3.p1.2.m2.1.1.3.cmml">𝟎</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.I1.i3.p1.2.m2.1b"><apply id="A2.I1.i3.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="A2.I1.i3.p1.2.m2.1.1"><eq id="A2.I1.i3.p1.2.m2.1.1.1.cmml" xref="A2.I1.i3.p1.2.m2.1.1.1"></eq><apply id="A2.I1.i3.p1.2.m2.1.1.2.cmml" xref="A2.I1.i3.p1.2.m2.1.1.2"><times id="A2.I1.i3.p1.2.m2.1.1.2.1.cmml" xref="A2.I1.i3.p1.2.m2.1.1.2.1"></times><ci id="A2.I1.i3.p1.2.m2.1.1.2.2.cmml" xref="A2.I1.i3.p1.2.m2.1.1.2.2">𝑋</ci><ci id="A2.I1.i3.p1.2.m2.1.1.2.3.cmml" xref="A2.I1.i3.p1.2.m2.1.1.2.3">𝐯</ci></apply><cn id="A2.I1.i3.p1.2.m2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A2.I1.i3.p1.2.m2.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.I1.i3.p1.2.m2.1c">X\mathbf{v}=\mathbf{0}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.I1.i3.p1.2.m2.1d">italic_X bold_v = bold_0</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="A2.I1.i3.p1.2.2"></span></p> </div> </li> <li class="ltx_item" id="A2.I1.i4" style="list-style-type:none;"> <span class="ltx_tag ltx_tag_item">4.</span> <div class="ltx_para" id="A2.I1.i4.p1"> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="A2.Ex71"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="X=\sum_{\nu\vdash t:|\nu|\leq q}P_{\nu}" class="ltx_Math" display="block" id="A2.Ex71.m1.1"><semantics id="A2.Ex71.m1.1a"><mrow id="A2.Ex71.m1.1.2" xref="A2.Ex71.m1.1.2.cmml"><mi id="A2.Ex71.m1.1.2.2" xref="A2.Ex71.m1.1.2.2.cmml">X</mi><mo id="A2.Ex71.m1.1.2.1" rspace="0.111em" xref="A2.Ex71.m1.1.2.1.cmml">=</mo><mrow id="A2.Ex71.m1.1.2.3" xref="A2.Ex71.m1.1.2.3.cmml"><munder id="A2.Ex71.m1.1.2.3.1" xref="A2.Ex71.m1.1.2.3.1.cmml"><mo id="A2.Ex71.m1.1.2.3.1.2" movablelimits="false" xref="A2.Ex71.m1.1.2.3.1.2.cmml">∑</mo><mrow id="A2.Ex71.m1.1.1.1" xref="A2.Ex71.m1.1.1.1.cmml"><mi id="A2.Ex71.m1.1.1.1.3" xref="A2.Ex71.m1.1.1.1.3.cmml">ν</mi><mo id="A2.Ex71.m1.1.1.1.4" xref="A2.Ex71.m1.1.1.1.4.cmml">⊢</mo><mi id="A2.Ex71.m1.1.1.1.5" xref="A2.Ex71.m1.1.1.1.5.cmml">t</mi><mo id="A2.Ex71.m1.1.1.1.6" lspace="0.278em" rspace="0.278em" xref="A2.Ex71.m1.1.1.1.6.cmml">:</mo><mrow id="A2.Ex71.m1.1.1.1.7" xref="A2.Ex71.m1.1.1.1.7.cmml"><mrow id="A2.Ex71.m1.1.1.1.7.2.2" xref="A2.Ex71.m1.1.1.1.7.2.1.cmml"><mo id="A2.Ex71.m1.1.1.1.7.2.2.1" stretchy="false" xref="A2.Ex71.m1.1.1.1.7.2.1.1.cmml">|</mo><mi id="A2.Ex71.m1.1.1.1.1" xref="A2.Ex71.m1.1.1.1.1.cmml">ν</mi><mo id="A2.Ex71.m1.1.1.1.7.2.2.2" stretchy="false" xref="A2.Ex71.m1.1.1.1.7.2.1.1.cmml">|</mo></mrow><mo id="A2.Ex71.m1.1.1.1.7.1" xref="A2.Ex71.m1.1.1.1.7.1.cmml">≤</mo><mi id="A2.Ex71.m1.1.1.1.7.3" xref="A2.Ex71.m1.1.1.1.7.3.cmml">q</mi></mrow></mrow></munder><msub id="A2.Ex71.m1.1.2.3.2" xref="A2.Ex71.m1.1.2.3.2.cmml"><mi id="A2.Ex71.m1.1.2.3.2.2" xref="A2.Ex71.m1.1.2.3.2.2.cmml">P</mi><mi id="A2.Ex71.m1.1.2.3.2.3" xref="A2.Ex71.m1.1.2.3.2.3.cmml">ν</mi></msub></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.Ex71.m1.1b"><apply id="A2.Ex71.m1.1.2.cmml" xref="A2.Ex71.m1.1.2"><eq id="A2.Ex71.m1.1.2.1.cmml" xref="A2.Ex71.m1.1.2.1"></eq><ci id="A2.Ex71.m1.1.2.2.cmml" xref="A2.Ex71.m1.1.2.2">𝑋</ci><apply id="A2.Ex71.m1.1.2.3.cmml" xref="A2.Ex71.m1.1.2.3"><apply id="A2.Ex71.m1.1.2.3.1.cmml" xref="A2.Ex71.m1.1.2.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.Ex71.m1.1.2.3.1.1.cmml" xref="A2.Ex71.m1.1.2.3.1">subscript</csymbol><sum id="A2.Ex71.m1.1.2.3.1.2.cmml" xref="A2.Ex71.m1.1.2.3.1.2"></sum><apply id="A2.Ex71.m1.1.1.1.cmml" xref="A2.Ex71.m1.1.1.1"><and id="A2.Ex71.m1.1.1.1a.cmml" xref="A2.Ex71.m1.1.1.1"></and><apply id="A2.Ex71.m1.1.1.1b.cmml" xref="A2.Ex71.m1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="A2.Ex71.m1.1.1.1.4.cmml" xref="A2.Ex71.m1.1.1.1.4">proves</csymbol><ci id="A2.Ex71.m1.1.1.1.3.cmml" xref="A2.Ex71.m1.1.1.1.3">𝜈</ci><ci id="A2.Ex71.m1.1.1.1.5.cmml" xref="A2.Ex71.m1.1.1.1.5">𝑡</ci></apply><apply id="A2.Ex71.m1.1.1.1c.cmml" xref="A2.Ex71.m1.1.1.1"><ci id="A2.Ex71.m1.1.1.1.6.cmml" xref="A2.Ex71.m1.1.1.1.6">:</ci><share href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#A2.Ex71.m1.1.1.1.5.cmml" id="A2.Ex71.m1.1.1.1d.cmml" xref="A2.Ex71.m1.1.1.1"></share><apply id="A2.Ex71.m1.1.1.1.7.cmml" xref="A2.Ex71.m1.1.1.1.7"><leq id="A2.Ex71.m1.1.1.1.7.1.cmml" xref="A2.Ex71.m1.1.1.1.7.1"></leq><apply id="A2.Ex71.m1.1.1.1.7.2.1.cmml" xref="A2.Ex71.m1.1.1.1.7.2.2"><abs id="A2.Ex71.m1.1.1.1.7.2.1.1.cmml" xref="A2.Ex71.m1.1.1.1.7.2.2.1"></abs><ci id="A2.Ex71.m1.1.1.1.1.cmml" xref="A2.Ex71.m1.1.1.1.1">𝜈</ci></apply><ci id="A2.Ex71.m1.1.1.1.7.3.cmml" xref="A2.Ex71.m1.1.1.1.7.3">𝑞</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="A2.Ex71.m1.1.2.3.2.cmml" xref="A2.Ex71.m1.1.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.Ex71.m1.1.2.3.2.1.cmml" xref="A2.Ex71.m1.1.2.3.2">subscript</csymbol><ci id="A2.Ex71.m1.1.2.3.2.2.cmml" xref="A2.Ex71.m1.1.2.3.2.2">𝑃</ci><ci id="A2.Ex71.m1.1.2.3.2.3.cmml" xref="A2.Ex71.m1.1.2.3.2.3">𝜈</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.Ex71.m1.1c">X=\sum_{\nu\vdash t:|\nu|\leq q}P_{\nu}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.Ex71.m1.1d">italic_X = ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_ν ⊢ italic_t : | italic_ν | ≤ italic_q end_POSTSUBSCRIPT italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_ν end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="A2.I1.i4.p1.1"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="A2.I1.i4.p1.1.1">where </span><math alttext="P_{\nu}" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.I1.i4.p1.1.m1.1"><semantics id="A2.I1.i4.p1.1.m1.1a"><msub id="A2.I1.i4.p1.1.m1.1.1" xref="A2.I1.i4.p1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="A2.I1.i4.p1.1.m1.1.1.2" xref="A2.I1.i4.p1.1.m1.1.1.2.cmml">P</mi><mi id="A2.I1.i4.p1.1.m1.1.1.3" xref="A2.I1.i4.p1.1.m1.1.1.3.cmml">ν</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.I1.i4.p1.1.m1.1b"><apply id="A2.I1.i4.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="A2.I1.i4.p1.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.I1.i4.p1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="A2.I1.i4.p1.1.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="A2.I1.i4.p1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="A2.I1.i4.p1.1.m1.1.1.2">𝑃</ci><ci id="A2.I1.i4.p1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="A2.I1.i4.p1.1.m1.1.1.3">𝜈</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.I1.i4.p1.1.m1.1c">P_{\nu}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.I1.i4.p1.1.m1.1d">italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_ν end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="A2.I1.i4.p1.1.2"> is the canonical idempotent with elements</span></p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="A2.Ex72"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="P_{\nu,\sigma\tau}=\frac{\chi_{\nu}(1)}{t!}\sum_{\rho}\chi_{\nu}(\rho^{-1})% \delta_{\sigma,\rho\circ\tau}" class="ltx_Math" display="block" id="A2.Ex72.m1.6"><semantics id="A2.Ex72.m1.6a"><mrow id="A2.Ex72.m1.6.6" xref="A2.Ex72.m1.6.6.cmml"><msub id="A2.Ex72.m1.6.6.3" xref="A2.Ex72.m1.6.6.3.cmml"><mi id="A2.Ex72.m1.6.6.3.2" xref="A2.Ex72.m1.6.6.3.2.cmml">P</mi><mrow id="A2.Ex72.m1.2.2.2.2" xref="A2.Ex72.m1.2.2.2.3.cmml"><mi id="A2.Ex72.m1.1.1.1.1" xref="A2.Ex72.m1.1.1.1.1.cmml">ν</mi><mo id="A2.Ex72.m1.2.2.2.2.2" xref="A2.Ex72.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mrow id="A2.Ex72.m1.2.2.2.2.1" xref="A2.Ex72.m1.2.2.2.2.1.cmml"><mi id="A2.Ex72.m1.2.2.2.2.1.2" xref="A2.Ex72.m1.2.2.2.2.1.2.cmml">σ</mi><mo id="A2.Ex72.m1.2.2.2.2.1.1" xref="A2.Ex72.m1.2.2.2.2.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="A2.Ex72.m1.2.2.2.2.1.3" xref="A2.Ex72.m1.2.2.2.2.1.3.cmml">τ</mi></mrow></mrow></msub><mo id="A2.Ex72.m1.6.6.2" xref="A2.Ex72.m1.6.6.2.cmml">=</mo><mrow id="A2.Ex72.m1.6.6.1" xref="A2.Ex72.m1.6.6.1.cmml"><mfrac id="A2.Ex72.m1.3.3" xref="A2.Ex72.m1.3.3.cmml"><mrow id="A2.Ex72.m1.3.3.1" xref="A2.Ex72.m1.3.3.1.cmml"><msub id="A2.Ex72.m1.3.3.1.3" xref="A2.Ex72.m1.3.3.1.3.cmml"><mi id="A2.Ex72.m1.3.3.1.3.2" xref="A2.Ex72.m1.3.3.1.3.2.cmml">χ</mi><mi id="A2.Ex72.m1.3.3.1.3.3" xref="A2.Ex72.m1.3.3.1.3.3.cmml">ν</mi></msub><mo id="A2.Ex72.m1.3.3.1.2" xref="A2.Ex72.m1.3.3.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A2.Ex72.m1.3.3.1.4.2" xref="A2.Ex72.m1.3.3.1.cmml"><mo id="A2.Ex72.m1.3.3.1.4.2.1" stretchy="false" xref="A2.Ex72.m1.3.3.1.cmml">(</mo><mn id="A2.Ex72.m1.3.3.1.1" xref="A2.Ex72.m1.3.3.1.1.cmml">1</mn><mo id="A2.Ex72.m1.3.3.1.4.2.2" stretchy="false" xref="A2.Ex72.m1.3.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mrow id="A2.Ex72.m1.3.3.3" xref="A2.Ex72.m1.3.3.3.cmml"><mi id="A2.Ex72.m1.3.3.3.2" xref="A2.Ex72.m1.3.3.3.2.cmml">t</mi><mo id="A2.Ex72.m1.3.3.3.1" xref="A2.Ex72.m1.3.3.3.1.cmml">!</mo></mrow></mfrac><mo id="A2.Ex72.m1.6.6.1.2" xref="A2.Ex72.m1.6.6.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A2.Ex72.m1.6.6.1.1" xref="A2.Ex72.m1.6.6.1.1.cmml"><munder id="A2.Ex72.m1.6.6.1.1.2" xref="A2.Ex72.m1.6.6.1.1.2.cmml"><mo id="A2.Ex72.m1.6.6.1.1.2.2" movablelimits="false" xref="A2.Ex72.m1.6.6.1.1.2.2.cmml">∑</mo><mi id="A2.Ex72.m1.6.6.1.1.2.3" xref="A2.Ex72.m1.6.6.1.1.2.3.cmml">ρ</mi></munder><mrow id="A2.Ex72.m1.6.6.1.1.1" xref="A2.Ex72.m1.6.6.1.1.1.cmml"><msub id="A2.Ex72.m1.6.6.1.1.1.3" xref="A2.Ex72.m1.6.6.1.1.1.3.cmml"><mi id="A2.Ex72.m1.6.6.1.1.1.3.2" xref="A2.Ex72.m1.6.6.1.1.1.3.2.cmml">χ</mi><mi id="A2.Ex72.m1.6.6.1.1.1.3.3" xref="A2.Ex72.m1.6.6.1.1.1.3.3.cmml">ν</mi></msub><mo id="A2.Ex72.m1.6.6.1.1.1.2" xref="A2.Ex72.m1.6.6.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A2.Ex72.m1.6.6.1.1.1.1.1" xref="A2.Ex72.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A2.Ex72.m1.6.6.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A2.Ex72.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="A2.Ex72.m1.6.6.1.1.1.1.1.1" xref="A2.Ex72.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A2.Ex72.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2" xref="A2.Ex72.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.cmml">ρ</mi><mrow id="A2.Ex72.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3" xref="A2.Ex72.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="A2.Ex72.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3a" xref="A2.Ex72.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.cmml">−</mo><mn id="A2.Ex72.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A2.Ex72.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="A2.Ex72.m1.6.6.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A2.Ex72.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A2.Ex72.m1.6.6.1.1.1.2a" xref="A2.Ex72.m1.6.6.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="A2.Ex72.m1.6.6.1.1.1.4" xref="A2.Ex72.m1.6.6.1.1.1.4.cmml"><mi id="A2.Ex72.m1.6.6.1.1.1.4.2" xref="A2.Ex72.m1.6.6.1.1.1.4.2.cmml">δ</mi><mrow id="A2.Ex72.m1.5.5.2.2" xref="A2.Ex72.m1.5.5.2.3.cmml"><mi id="A2.Ex72.m1.4.4.1.1" xref="A2.Ex72.m1.4.4.1.1.cmml">σ</mi><mo id="A2.Ex72.m1.5.5.2.2.2" xref="A2.Ex72.m1.5.5.2.3.cmml">,</mo><mrow id="A2.Ex72.m1.5.5.2.2.1" xref="A2.Ex72.m1.5.5.2.2.1.cmml"><mi id="A2.Ex72.m1.5.5.2.2.1.2" xref="A2.Ex72.m1.5.5.2.2.1.2.cmml">ρ</mi><mo id="A2.Ex72.m1.5.5.2.2.1.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="A2.Ex72.m1.5.5.2.2.1.1.cmml">∘</mo><mi id="A2.Ex72.m1.5.5.2.2.1.3" xref="A2.Ex72.m1.5.5.2.2.1.3.cmml">τ</mi></mrow></mrow></msub></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.Ex72.m1.6b"><apply id="A2.Ex72.m1.6.6.cmml" xref="A2.Ex72.m1.6.6"><eq id="A2.Ex72.m1.6.6.2.cmml" xref="A2.Ex72.m1.6.6.2"></eq><apply id="A2.Ex72.m1.6.6.3.cmml" xref="A2.Ex72.m1.6.6.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.Ex72.m1.6.6.3.1.cmml" xref="A2.Ex72.m1.6.6.3">subscript</csymbol><ci id="A2.Ex72.m1.6.6.3.2.cmml" xref="A2.Ex72.m1.6.6.3.2">𝑃</ci><list id="A2.Ex72.m1.2.2.2.3.cmml" xref="A2.Ex72.m1.2.2.2.2"><ci id="A2.Ex72.m1.1.1.1.1.cmml" xref="A2.Ex72.m1.1.1.1.1">𝜈</ci><apply id="A2.Ex72.m1.2.2.2.2.1.cmml" xref="A2.Ex72.m1.2.2.2.2.1"><times id="A2.Ex72.m1.2.2.2.2.1.1.cmml" xref="A2.Ex72.m1.2.2.2.2.1.1"></times><ci id="A2.Ex72.m1.2.2.2.2.1.2.cmml" xref="A2.Ex72.m1.2.2.2.2.1.2">𝜎</ci><ci id="A2.Ex72.m1.2.2.2.2.1.3.cmml" xref="A2.Ex72.m1.2.2.2.2.1.3">𝜏</ci></apply></list></apply><apply id="A2.Ex72.m1.6.6.1.cmml" xref="A2.Ex72.m1.6.6.1"><times id="A2.Ex72.m1.6.6.1.2.cmml" xref="A2.Ex72.m1.6.6.1.2"></times><apply id="A2.Ex72.m1.3.3.cmml" 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id="A2.Ex72.m1.6.6.1.1.2.1.cmml" xref="A2.Ex72.m1.6.6.1.1.2">subscript</csymbol><sum id="A2.Ex72.m1.6.6.1.1.2.2.cmml" xref="A2.Ex72.m1.6.6.1.1.2.2"></sum><ci id="A2.Ex72.m1.6.6.1.1.2.3.cmml" xref="A2.Ex72.m1.6.6.1.1.2.3">𝜌</ci></apply><apply id="A2.Ex72.m1.6.6.1.1.1.cmml" xref="A2.Ex72.m1.6.6.1.1.1"><times id="A2.Ex72.m1.6.6.1.1.1.2.cmml" xref="A2.Ex72.m1.6.6.1.1.1.2"></times><apply id="A2.Ex72.m1.6.6.1.1.1.3.cmml" xref="A2.Ex72.m1.6.6.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.Ex72.m1.6.6.1.1.1.3.1.cmml" xref="A2.Ex72.m1.6.6.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A2.Ex72.m1.6.6.1.1.1.3.2.cmml" xref="A2.Ex72.m1.6.6.1.1.1.3.2">𝜒</ci><ci id="A2.Ex72.m1.6.6.1.1.1.3.3.cmml" xref="A2.Ex72.m1.6.6.1.1.1.3.3">𝜈</ci></apply><apply id="A2.Ex72.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A2.Ex72.m1.6.6.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.Ex72.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A2.Ex72.m1.6.6.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="A2.Ex72.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A2.Ex72.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2">𝜌</ci><apply id="A2.Ex72.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A2.Ex72.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3"><minus id="A2.Ex72.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A2.Ex72.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3"></minus><cn id="A2.Ex72.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="A2.Ex72.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.2">1</cn></apply></apply><apply id="A2.Ex72.m1.6.6.1.1.1.4.cmml" xref="A2.Ex72.m1.6.6.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.Ex72.m1.6.6.1.1.1.4.1.cmml" xref="A2.Ex72.m1.6.6.1.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="A2.Ex72.m1.6.6.1.1.1.4.2.cmml" xref="A2.Ex72.m1.6.6.1.1.1.4.2">𝛿</ci><list id="A2.Ex72.m1.5.5.2.3.cmml" xref="A2.Ex72.m1.5.5.2.2"><ci id="A2.Ex72.m1.4.4.1.1.cmml" xref="A2.Ex72.m1.4.4.1.1">𝜎</ci><apply id="A2.Ex72.m1.5.5.2.2.1.cmml" xref="A2.Ex72.m1.5.5.2.2.1"><compose id="A2.Ex72.m1.5.5.2.2.1.1.cmml" xref="A2.Ex72.m1.5.5.2.2.1.1"></compose><ci id="A2.Ex72.m1.5.5.2.2.1.2.cmml" xref="A2.Ex72.m1.5.5.2.2.1.2">𝜌</ci><ci id="A2.Ex72.m1.5.5.2.2.1.3.cmml" xref="A2.Ex72.m1.5.5.2.2.1.3">𝜏</ci></apply></list></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.Ex72.m1.6c">P_{\nu,\sigma\tau}=\frac{\chi_{\nu}(1)}{t!}\sum_{\rho}\chi_{\nu}(\rho^{-1})% \delta_{\sigma,\rho\circ\tau}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.Ex72.m1.6d">italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_ν , italic_σ italic_τ end_POSTSUBSCRIPT = divide start_ARG italic_χ start_POSTSUBSCRIPT italic_ν end_POSTSUBSCRIPT ( 1 ) end_ARG start_ARG italic_t ! end_ARG ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_ρ end_POSTSUBSCRIPT italic_χ start_POSTSUBSCRIPT italic_ν end_POSTSUBSCRIPT ( italic_ρ start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT ) italic_δ start_POSTSUBSCRIPT italic_σ , italic_ρ ∘ italic_τ end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> </div> </li> </ol> </div> </div> <div class="ltx_proof" id="A2.SS9.3"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_font_italic ltx_title_proof">Proof.</h6> <div class="ltx_para" id="A2.SS9.1.p1"> <p class="ltx_p" id="A2.SS9.1.p1.4">We first prove claim (4).</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="S6.EGx161"> <tbody id="A2.E195"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle X_{\sigma\tau}" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.E195.m1.1"><semantics id="A2.E195.m1.1a"><msub id="A2.E195.m1.1.1" xref="A2.E195.m1.1.1.cmml"><mi id="A2.E195.m1.1.1.2" xref="A2.E195.m1.1.1.2.cmml">X</mi><mrow id="A2.E195.m1.1.1.3" xref="A2.E195.m1.1.1.3.cmml"><mi id="A2.E195.m1.1.1.3.2" xref="A2.E195.m1.1.1.3.2.cmml">σ</mi><mo id="A2.E195.m1.1.1.3.1" xref="A2.E195.m1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A2.E195.m1.1.1.3.3" xref="A2.E195.m1.1.1.3.3.cmml">τ</mi></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.E195.m1.1b"><apply id="A2.E195.m1.1.1.cmml" xref="A2.E195.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E195.m1.1.1.1.cmml" xref="A2.E195.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="A2.E195.m1.1.1.2.cmml" xref="A2.E195.m1.1.1.2">𝑋</ci><apply id="A2.E195.m1.1.1.3.cmml" xref="A2.E195.m1.1.1.3"><times id="A2.E195.m1.1.1.3.1.cmml" xref="A2.E195.m1.1.1.3.1"></times><ci id="A2.E195.m1.1.1.3.2.cmml" xref="A2.E195.m1.1.1.3.2">𝜎</ci><ci id="A2.E195.m1.1.1.3.3.cmml" xref="A2.E195.m1.1.1.3.3">𝜏</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.E195.m1.1c">\displaystyle X_{\sigma\tau}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.E195.m1.1d">italic_X start_POSTSUBSCRIPT italic_σ italic_τ end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=\braket{\sigma}{\widetilde{\tau}}=\sum_{\rho}q^{-|\sigma\rho^{-1% }|}\text{Wg}(\tau\rho^{-1},q)" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.E195.m2.5"><semantics id="A2.E195.m2.5a"><mrow id="A2.E195.m2.5.5" xref="A2.E195.m2.5.5.cmml"><mi id="A2.E195.m2.5.5.3" xref="A2.E195.m2.5.5.3.cmml"></mi><mo id="A2.E195.m2.5.5.4" xref="A2.E195.m2.5.5.4.cmml">=</mo><mrow id="A2.E195.m2.2.2a.4" xref="A2.E195.m2.2.2a.3.cmml"><mo id="A2.E195.m2.2.2a.4.1" stretchy="false" xref="A2.E195.m2.2.2a.3.1.cmml">⟨</mo><mi id="A2.E195.m2.1.1.1.1" xref="A2.E195.m2.1.1.1.1.cmml">σ</mi><mo id="A2.E195.m2.2.2a.4.2" lspace="0.170em" rspace="0.170em" xref="A2.E195.m2.2.2a.3.1.cmml">|</mo><mover accent="true" id="A2.E195.m2.2.2.2.2" xref="A2.E195.m2.2.2.2.2.cmml"><mi id="A2.E195.m2.2.2.2.2.2" xref="A2.E195.m2.2.2.2.2.2.cmml">τ</mi><mo id="A2.E195.m2.2.2.2.2.1" xref="A2.E195.m2.2.2.2.2.1.cmml">~</mo></mover><mo id="A2.E195.m2.2.2a.4.3" stretchy="false" xref="A2.E195.m2.2.2a.3.1.cmml">⟩</mo></mrow><mo id="A2.E195.m2.5.5.5" xref="A2.E195.m2.5.5.5.cmml">=</mo><mrow id="A2.E195.m2.5.5.1" xref="A2.E195.m2.5.5.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A2.E195.m2.5.5.1.2" xref="A2.E195.m2.5.5.1.2.cmml"><munder id="A2.E195.m2.5.5.1.2a" xref="A2.E195.m2.5.5.1.2.cmml"><mo id="A2.E195.m2.5.5.1.2.2" movablelimits="false" xref="A2.E195.m2.5.5.1.2.2.cmml">∑</mo><mi id="A2.E195.m2.5.5.1.2.3" xref="A2.E195.m2.5.5.1.2.3.cmml">ρ</mi></munder></mstyle><mrow id="A2.E195.m2.5.5.1.1" xref="A2.E195.m2.5.5.1.1.cmml"><msup id="A2.E195.m2.5.5.1.1.3" xref="A2.E195.m2.5.5.1.1.3.cmml"><mi id="A2.E195.m2.5.5.1.1.3.2" xref="A2.E195.m2.5.5.1.1.3.2.cmml">q</mi><mrow id="A2.E195.m2.3.3.1" xref="A2.E195.m2.3.3.1.cmml"><mo id="A2.E195.m2.3.3.1a" xref="A2.E195.m2.3.3.1.cmml">−</mo><mrow id="A2.E195.m2.3.3.1.1.1" xref="A2.E195.m2.3.3.1.1.2.cmml"><mo id="A2.E195.m2.3.3.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A2.E195.m2.3.3.1.1.2.1.cmml">|</mo><mrow id="A2.E195.m2.3.3.1.1.1.1" xref="A2.E195.m2.3.3.1.1.1.1.cmml"><mi id="A2.E195.m2.3.3.1.1.1.1.2" xref="A2.E195.m2.3.3.1.1.1.1.2.cmml">σ</mi><mo id="A2.E195.m2.3.3.1.1.1.1.1" xref="A2.E195.m2.3.3.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msup 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encoding="application/x-tex" id="A2.E195.m2.5c">\displaystyle=\braket{\sigma}{\widetilde{\tau}}=\sum_{\rho}q^{-|\sigma\rho^{-1% }|}\text{Wg}(\tau\rho^{-1},q)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.E195.m2.5d">= ⟨ start_ARG italic_σ end_ARG | start_ARG over~ start_ARG italic_τ end_ARG end_ARG ⟩ = ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_ρ end_POSTSUBSCRIPT italic_q start_POSTSUPERSCRIPT - | italic_σ italic_ρ start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT | end_POSTSUPERSCRIPT Wg ( italic_τ italic_ρ start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT , italic_q )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(195)</span></td> </tr></tbody> <tbody id="A2.E196"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=\sum_{\rho\in S_{t},\lambda\vdash t:|\lambda|\leq q,\nu\vdash t:% |\nu|\leq q}c_{\lambda}(q)P_{\lambda,\sigma\rho}c^{-1}_{\nu}(q)P_{\nu,\rho\tau}" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.E196.m1.12"><semantics id="A2.E196.m1.12a"><mrow id="A2.E196.m1.12.13" xref="A2.E196.m1.12.13.cmml"><mi id="A2.E196.m1.12.13.2" xref="A2.E196.m1.12.13.2.cmml"></mi><mo id="A2.E196.m1.12.13.1" xref="A2.E196.m1.12.13.1.cmml">=</mo><mrow id="A2.E196.m1.12.13.3" xref="A2.E196.m1.12.13.3.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A2.E196.m1.12.13.3.1" xref="A2.E196.m1.12.13.3.1.cmml"><munder id="A2.E196.m1.12.13.3.1a" xref="A2.E196.m1.12.13.3.1.cmml"><mo id="A2.E196.m1.12.13.3.1.2" movablelimits="false" xref="A2.E196.m1.12.13.3.1.2.cmml">∑</mo><mrow id="A2.E196.m1.6.6.6" xref="A2.E196.m1.6.6.6.cmml"><mrow id="A2.E196.m1.6.6.6.6" xref="A2.E196.m1.6.6.6.6.cmml"><mi id="A2.E196.m1.6.6.6.6.3" xref="A2.E196.m1.6.6.6.6.3.cmml">ρ</mi><mo id="A2.E196.m1.6.6.6.6.2" xref="A2.E196.m1.6.6.6.6.2.cmml">∈</mo><mrow id="A2.E196.m1.6.6.6.6.1.1" xref="A2.E196.m1.6.6.6.6.1.2.cmml"><msub id="A2.E196.m1.6.6.6.6.1.1.1" xref="A2.E196.m1.6.6.6.6.1.1.1.cmml"><mi id="A2.E196.m1.6.6.6.6.1.1.1.2" xref="A2.E196.m1.6.6.6.6.1.1.1.2.cmml">S</mi><mi id="A2.E196.m1.6.6.6.6.1.1.1.3" xref="A2.E196.m1.6.6.6.6.1.1.1.3.cmml">t</mi></msub><mo id="A2.E196.m1.6.6.6.6.1.1.2" xref="A2.E196.m1.6.6.6.6.1.2.cmml">,</mo><mi id="A2.E196.m1.1.1.1.1" xref="A2.E196.m1.1.1.1.1.cmml">λ</mi></mrow></mrow><mo id="A2.E196.m1.6.6.6.8" xref="A2.E196.m1.6.6.6.8.cmml">⊢</mo><mi id="A2.E196.m1.6.6.6.9" xref="A2.E196.m1.6.6.6.9.cmml">t</mi><mo id="A2.E196.m1.6.6.6.10" lspace="0.278em" rspace="0.278em" xref="A2.E196.m1.6.6.6.10.cmml">:</mo><mrow id="A2.E196.m1.6.6.6.11" xref="A2.E196.m1.6.6.6.11.cmml"><mrow id="A2.E196.m1.6.6.6.11.2.2" xref="A2.E196.m1.6.6.6.11.2.1.cmml"><mo id="A2.E196.m1.6.6.6.11.2.2.1" stretchy="false" xref="A2.E196.m1.6.6.6.11.2.1.1.cmml">|</mo><mi id="A2.E196.m1.2.2.2.2" xref="A2.E196.m1.2.2.2.2.cmml">λ</mi><mo id="A2.E196.m1.6.6.6.11.2.2.2" stretchy="false" xref="A2.E196.m1.6.6.6.11.2.1.1.cmml">|</mo></mrow><mo id="A2.E196.m1.6.6.6.11.1" xref="A2.E196.m1.6.6.6.11.1.cmml">≤</mo><mrow id="A2.E196.m1.6.6.6.11.3.2" xref="A2.E196.m1.6.6.6.11.3.1.cmml"><mi id="A2.E196.m1.3.3.3.3" xref="A2.E196.m1.3.3.3.3.cmml">q</mi><mo id="A2.E196.m1.6.6.6.11.3.2.1" xref="A2.E196.m1.6.6.6.11.3.1.cmml">,</mo><mi id="A2.E196.m1.4.4.4.4" xref="A2.E196.m1.4.4.4.4.cmml">ν</mi></mrow></mrow><mo id="A2.E196.m1.6.6.6.12" xref="A2.E196.m1.6.6.6.12.cmml">⊢</mo><mi id="A2.E196.m1.6.6.6.13" xref="A2.E196.m1.6.6.6.13.cmml">t</mi><mo id="A2.E196.m1.6.6.6.14" lspace="0.278em" rspace="0.278em" xref="A2.E196.m1.6.6.6.14.cmml">:</mo><mrow id="A2.E196.m1.6.6.6.15" xref="A2.E196.m1.6.6.6.15.cmml"><mrow id="A2.E196.m1.6.6.6.15.2.2" xref="A2.E196.m1.6.6.6.15.2.1.cmml"><mo id="A2.E196.m1.6.6.6.15.2.2.1" stretchy="false" xref="A2.E196.m1.6.6.6.15.2.1.1.cmml">|</mo><mi id="A2.E196.m1.5.5.5.5" xref="A2.E196.m1.5.5.5.5.cmml">ν</mi><mo id="A2.E196.m1.6.6.6.15.2.2.2" stretchy="false" xref="A2.E196.m1.6.6.6.15.2.1.1.cmml">|</mo></mrow><mo id="A2.E196.m1.6.6.6.15.1" xref="A2.E196.m1.6.6.6.15.1.cmml">≤</mo><mi id="A2.E196.m1.6.6.6.15.3" xref="A2.E196.m1.6.6.6.15.3.cmml">q</mi></mrow></mrow></munder></mstyle><mrow id="A2.E196.m1.12.13.3.2" xref="A2.E196.m1.12.13.3.2.cmml"><msub id="A2.E196.m1.12.13.3.2.2" xref="A2.E196.m1.12.13.3.2.2.cmml"><mi id="A2.E196.m1.12.13.3.2.2.2" xref="A2.E196.m1.12.13.3.2.2.2.cmml">c</mi><mi id="A2.E196.m1.12.13.3.2.2.3" xref="A2.E196.m1.12.13.3.2.2.3.cmml">λ</mi></msub><mo id="A2.E196.m1.12.13.3.2.1" xref="A2.E196.m1.12.13.3.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A2.E196.m1.12.13.3.2.3.2" xref="A2.E196.m1.12.13.3.2.cmml"><mo id="A2.E196.m1.12.13.3.2.3.2.1" stretchy="false" xref="A2.E196.m1.12.13.3.2.cmml">(</mo><mi id="A2.E196.m1.11.11" xref="A2.E196.m1.11.11.cmml">q</mi><mo id="A2.E196.m1.12.13.3.2.3.2.2" stretchy="false" xref="A2.E196.m1.12.13.3.2.cmml">)</mo></mrow><mo id="A2.E196.m1.12.13.3.2.1a" xref="A2.E196.m1.12.13.3.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="A2.E196.m1.12.13.3.2.4" xref="A2.E196.m1.12.13.3.2.4.cmml"><mi id="A2.E196.m1.12.13.3.2.4.2" xref="A2.E196.m1.12.13.3.2.4.2.cmml">P</mi><mrow id="A2.E196.m1.8.8.2.2" xref="A2.E196.m1.8.8.2.3.cmml"><mi id="A2.E196.m1.7.7.1.1" xref="A2.E196.m1.7.7.1.1.cmml">λ</mi><mo id="A2.E196.m1.8.8.2.2.2" xref="A2.E196.m1.8.8.2.3.cmml">,</mo><mrow id="A2.E196.m1.8.8.2.2.1" xref="A2.E196.m1.8.8.2.2.1.cmml"><mi id="A2.E196.m1.8.8.2.2.1.2" xref="A2.E196.m1.8.8.2.2.1.2.cmml">σ</mi><mo id="A2.E196.m1.8.8.2.2.1.1" xref="A2.E196.m1.8.8.2.2.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="A2.E196.m1.8.8.2.2.1.3" xref="A2.E196.m1.8.8.2.2.1.3.cmml">ρ</mi></mrow></mrow></msub><mo id="A2.E196.m1.12.13.3.2.1b" xref="A2.E196.m1.12.13.3.2.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="A2.E196.m1.12.13.3.2.5" xref="A2.E196.m1.12.13.3.2.5.cmml"><mi id="A2.E196.m1.12.13.3.2.5.2.2" xref="A2.E196.m1.12.13.3.2.5.2.2.cmml">c</mi><mi id="A2.E196.m1.12.13.3.2.5.3" xref="A2.E196.m1.12.13.3.2.5.3.cmml">ν</mi><mrow id="A2.E196.m1.12.13.3.2.5.2.3" xref="A2.E196.m1.12.13.3.2.5.2.3.cmml"><mo id="A2.E196.m1.12.13.3.2.5.2.3a" xref="A2.E196.m1.12.13.3.2.5.2.3.cmml">−</mo><mn id="A2.E196.m1.12.13.3.2.5.2.3.2" xref="A2.E196.m1.12.13.3.2.5.2.3.2.cmml">1</mn></mrow></msubsup><mo id="A2.E196.m1.12.13.3.2.1c" xref="A2.E196.m1.12.13.3.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A2.E196.m1.12.13.3.2.6.2" xref="A2.E196.m1.12.13.3.2.cmml"><mo id="A2.E196.m1.12.13.3.2.6.2.1" stretchy="false" xref="A2.E196.m1.12.13.3.2.cmml">(</mo><mi id="A2.E196.m1.12.12" xref="A2.E196.m1.12.12.cmml">q</mi><mo id="A2.E196.m1.12.13.3.2.6.2.2" stretchy="false" xref="A2.E196.m1.12.13.3.2.cmml">)</mo></mrow><mo id="A2.E196.m1.12.13.3.2.1d" xref="A2.E196.m1.12.13.3.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="A2.E196.m1.12.13.3.2.7" xref="A2.E196.m1.12.13.3.2.7.cmml"><mi id="A2.E196.m1.12.13.3.2.7.2" xref="A2.E196.m1.12.13.3.2.7.2.cmml">P</mi><mrow id="A2.E196.m1.10.10.2.2" xref="A2.E196.m1.10.10.2.3.cmml"><mi id="A2.E196.m1.9.9.1.1" xref="A2.E196.m1.9.9.1.1.cmml">ν</mi><mo id="A2.E196.m1.10.10.2.2.2" xref="A2.E196.m1.10.10.2.3.cmml">,</mo><mrow id="A2.E196.m1.10.10.2.2.1" xref="A2.E196.m1.10.10.2.2.1.cmml"><mi id="A2.E196.m1.10.10.2.2.1.2" xref="A2.E196.m1.10.10.2.2.1.2.cmml">ρ</mi><mo id="A2.E196.m1.10.10.2.2.1.1" xref="A2.E196.m1.10.10.2.2.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="A2.E196.m1.10.10.2.2.1.3" xref="A2.E196.m1.10.10.2.2.1.3.cmml">τ</mi></mrow></mrow></msub></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.E196.m1.12b"><apply id="A2.E196.m1.12.13.cmml" xref="A2.E196.m1.12.13"><eq id="A2.E196.m1.12.13.1.cmml" xref="A2.E196.m1.12.13.1"></eq><csymbol cd="latexml" id="A2.E196.m1.12.13.2.cmml" xref="A2.E196.m1.12.13.2">absent</csymbol><apply id="A2.E196.m1.12.13.3.cmml" xref="A2.E196.m1.12.13.3"><apply id="A2.E196.m1.12.13.3.1.cmml" xref="A2.E196.m1.12.13.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E196.m1.12.13.3.1.1.cmml" xref="A2.E196.m1.12.13.3.1">subscript</csymbol><sum id="A2.E196.m1.12.13.3.1.2.cmml" xref="A2.E196.m1.12.13.3.1.2"></sum><apply id="A2.E196.m1.6.6.6.cmml" xref="A2.E196.m1.6.6.6"><and id="A2.E196.m1.6.6.6a.cmml" xref="A2.E196.m1.6.6.6"></and><apply id="A2.E196.m1.6.6.6b.cmml" xref="A2.E196.m1.6.6.6"><csymbol cd="latexml" id="A2.E196.m1.6.6.6.8.cmml" xref="A2.E196.m1.6.6.6.8">proves</csymbol><apply id="A2.E196.m1.6.6.6.6.cmml" xref="A2.E196.m1.6.6.6.6"><in id="A2.E196.m1.6.6.6.6.2.cmml" xref="A2.E196.m1.6.6.6.6.2"></in><ci id="A2.E196.m1.6.6.6.6.3.cmml" xref="A2.E196.m1.6.6.6.6.3">𝜌</ci><list id="A2.E196.m1.6.6.6.6.1.2.cmml" xref="A2.E196.m1.6.6.6.6.1.1"><apply id="A2.E196.m1.6.6.6.6.1.1.1.cmml" xref="A2.E196.m1.6.6.6.6.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E196.m1.6.6.6.6.1.1.1.1.cmml" xref="A2.E196.m1.6.6.6.6.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="A2.E196.m1.6.6.6.6.1.1.1.2.cmml" xref="A2.E196.m1.6.6.6.6.1.1.1.2">𝑆</ci><ci id="A2.E196.m1.6.6.6.6.1.1.1.3.cmml" xref="A2.E196.m1.6.6.6.6.1.1.1.3">𝑡</ci></apply><ci id="A2.E196.m1.1.1.1.1.cmml" xref="A2.E196.m1.1.1.1.1">𝜆</ci></list></apply><ci id="A2.E196.m1.6.6.6.9.cmml" xref="A2.E196.m1.6.6.6.9">𝑡</ci></apply><apply id="A2.E196.m1.6.6.6c.cmml" xref="A2.E196.m1.6.6.6"><ci id="A2.E196.m1.6.6.6.10.cmml" xref="A2.E196.m1.6.6.6.10">:</ci><share href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#A2.E196.m1.6.6.6.9.cmml" id="A2.E196.m1.6.6.6d.cmml" xref="A2.E196.m1.6.6.6"></share><apply id="A2.E196.m1.6.6.6.11.cmml" xref="A2.E196.m1.6.6.6.11"><leq id="A2.E196.m1.6.6.6.11.1.cmml" xref="A2.E196.m1.6.6.6.11.1"></leq><apply id="A2.E196.m1.6.6.6.11.2.1.cmml" xref="A2.E196.m1.6.6.6.11.2.2"><abs id="A2.E196.m1.6.6.6.11.2.1.1.cmml" xref="A2.E196.m1.6.6.6.11.2.2.1"></abs><ci id="A2.E196.m1.2.2.2.2.cmml" xref="A2.E196.m1.2.2.2.2">𝜆</ci></apply><list id="A2.E196.m1.6.6.6.11.3.1.cmml" xref="A2.E196.m1.6.6.6.11.3.2"><ci id="A2.E196.m1.3.3.3.3.cmml" xref="A2.E196.m1.3.3.3.3">𝑞</ci><ci id="A2.E196.m1.4.4.4.4.cmml" xref="A2.E196.m1.4.4.4.4">𝜈</ci></list></apply></apply><apply id="A2.E196.m1.6.6.6e.cmml" xref="A2.E196.m1.6.6.6"><csymbol cd="latexml" id="A2.E196.m1.6.6.6.12.cmml" xref="A2.E196.m1.6.6.6.12">proves</csymbol><share href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#A2.E196.m1.6.6.6.11.cmml" id="A2.E196.m1.6.6.6f.cmml" xref="A2.E196.m1.6.6.6"></share><ci id="A2.E196.m1.6.6.6.13.cmml" xref="A2.E196.m1.6.6.6.13">𝑡</ci></apply><apply id="A2.E196.m1.6.6.6g.cmml" xref="A2.E196.m1.6.6.6"><ci id="A2.E196.m1.6.6.6.14.cmml" xref="A2.E196.m1.6.6.6.14">:</ci><share href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#A2.E196.m1.6.6.6.13.cmml" id="A2.E196.m1.6.6.6h.cmml" xref="A2.E196.m1.6.6.6"></share><apply id="A2.E196.m1.6.6.6.15.cmml" xref="A2.E196.m1.6.6.6.15"><leq id="A2.E196.m1.6.6.6.15.1.cmml" xref="A2.E196.m1.6.6.6.15.1"></leq><apply id="A2.E196.m1.6.6.6.15.2.1.cmml" xref="A2.E196.m1.6.6.6.15.2.2"><abs id="A2.E196.m1.6.6.6.15.2.1.1.cmml" xref="A2.E196.m1.6.6.6.15.2.2.1"></abs><ci id="A2.E196.m1.5.5.5.5.cmml" xref="A2.E196.m1.5.5.5.5">𝜈</ci></apply><ci id="A2.E196.m1.6.6.6.15.3.cmml" xref="A2.E196.m1.6.6.6.15.3">𝑞</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="A2.E196.m1.12.13.3.2.cmml" xref="A2.E196.m1.12.13.3.2"><times id="A2.E196.m1.12.13.3.2.1.cmml" xref="A2.E196.m1.12.13.3.2.1"></times><apply id="A2.E196.m1.12.13.3.2.2.cmml" xref="A2.E196.m1.12.13.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E196.m1.12.13.3.2.2.1.cmml" xref="A2.E196.m1.12.13.3.2.2">subscript</csymbol><ci id="A2.E196.m1.12.13.3.2.2.2.cmml" xref="A2.E196.m1.12.13.3.2.2.2">𝑐</ci><ci id="A2.E196.m1.12.13.3.2.2.3.cmml" xref="A2.E196.m1.12.13.3.2.2.3">𝜆</ci></apply><ci id="A2.E196.m1.11.11.cmml" xref="A2.E196.m1.11.11">𝑞</ci><apply id="A2.E196.m1.12.13.3.2.4.cmml" xref="A2.E196.m1.12.13.3.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E196.m1.12.13.3.2.4.1.cmml" xref="A2.E196.m1.12.13.3.2.4">subscript</csymbol><ci id="A2.E196.m1.12.13.3.2.4.2.cmml" xref="A2.E196.m1.12.13.3.2.4.2">𝑃</ci><list id="A2.E196.m1.8.8.2.3.cmml" xref="A2.E196.m1.8.8.2.2"><ci id="A2.E196.m1.7.7.1.1.cmml" xref="A2.E196.m1.7.7.1.1">𝜆</ci><apply id="A2.E196.m1.8.8.2.2.1.cmml" xref="A2.E196.m1.8.8.2.2.1"><times id="A2.E196.m1.8.8.2.2.1.1.cmml" xref="A2.E196.m1.8.8.2.2.1.1"></times><ci id="A2.E196.m1.8.8.2.2.1.2.cmml" xref="A2.E196.m1.8.8.2.2.1.2">𝜎</ci><ci id="A2.E196.m1.8.8.2.2.1.3.cmml" xref="A2.E196.m1.8.8.2.2.1.3">𝜌</ci></apply></list></apply><apply id="A2.E196.m1.12.13.3.2.5.cmml" xref="A2.E196.m1.12.13.3.2.5"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E196.m1.12.13.3.2.5.1.cmml" xref="A2.E196.m1.12.13.3.2.5">subscript</csymbol><apply id="A2.E196.m1.12.13.3.2.5.2.cmml" xref="A2.E196.m1.12.13.3.2.5"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E196.m1.12.13.3.2.5.2.1.cmml" xref="A2.E196.m1.12.13.3.2.5">superscript</csymbol><ci id="A2.E196.m1.12.13.3.2.5.2.2.cmml" xref="A2.E196.m1.12.13.3.2.5.2.2">𝑐</ci><apply id="A2.E196.m1.12.13.3.2.5.2.3.cmml" xref="A2.E196.m1.12.13.3.2.5.2.3"><minus id="A2.E196.m1.12.13.3.2.5.2.3.1.cmml" xref="A2.E196.m1.12.13.3.2.5.2.3"></minus><cn id="A2.E196.m1.12.13.3.2.5.2.3.2.cmml" type="integer" xref="A2.E196.m1.12.13.3.2.5.2.3.2">1</cn></apply></apply><ci id="A2.E196.m1.12.13.3.2.5.3.cmml" xref="A2.E196.m1.12.13.3.2.5.3">𝜈</ci></apply><ci id="A2.E196.m1.12.12.cmml" xref="A2.E196.m1.12.12">𝑞</ci><apply id="A2.E196.m1.12.13.3.2.7.cmml" xref="A2.E196.m1.12.13.3.2.7"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E196.m1.12.13.3.2.7.1.cmml" xref="A2.E196.m1.12.13.3.2.7">subscript</csymbol><ci id="A2.E196.m1.12.13.3.2.7.2.cmml" xref="A2.E196.m1.12.13.3.2.7.2">𝑃</ci><list id="A2.E196.m1.10.10.2.3.cmml" xref="A2.E196.m1.10.10.2.2"><ci id="A2.E196.m1.9.9.1.1.cmml" xref="A2.E196.m1.9.9.1.1">𝜈</ci><apply id="A2.E196.m1.10.10.2.2.1.cmml" xref="A2.E196.m1.10.10.2.2.1"><times id="A2.E196.m1.10.10.2.2.1.1.cmml" xref="A2.E196.m1.10.10.2.2.1.1"></times><ci id="A2.E196.m1.10.10.2.2.1.2.cmml" xref="A2.E196.m1.10.10.2.2.1.2">𝜌</ci><ci id="A2.E196.m1.10.10.2.2.1.3.cmml" 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class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(196)</span></td> </tr></tbody> <tbody id="A2.E197"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=\sum_{\lambda\vdash t:|\lambda|\leq q,\nu\vdash t:|\nu|\leq q}c_% {\lambda}(q)c^{-1}_{\nu}(q)\delta_{\lambda\nu}P_{\nu,\sigma\tau}" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.E197.m1.8"><semantics id="A2.E197.m1.8a"><mrow id="A2.E197.m1.8.9" xref="A2.E197.m1.8.9.cmml"><mi id="A2.E197.m1.8.9.2" xref="A2.E197.m1.8.9.2.cmml"></mi><mo id="A2.E197.m1.8.9.1" xref="A2.E197.m1.8.9.1.cmml">=</mo><mrow id="A2.E197.m1.8.9.3" xref="A2.E197.m1.8.9.3.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A2.E197.m1.8.9.3.1" xref="A2.E197.m1.8.9.3.1.cmml"><munder id="A2.E197.m1.8.9.3.1a" xref="A2.E197.m1.8.9.3.1.cmml"><mo id="A2.E197.m1.8.9.3.1.2" movablelimits="false" xref="A2.E197.m1.8.9.3.1.2.cmml">∑</mo><mrow id="A2.E197.m1.4.4.4" xref="A2.E197.m1.4.4.4.cmml"><mi id="A2.E197.m1.4.4.4.6" xref="A2.E197.m1.4.4.4.6.cmml">λ</mi><mo id="A2.E197.m1.4.4.4.7" xref="A2.E197.m1.4.4.4.7.cmml">⊢</mo><mi id="A2.E197.m1.4.4.4.8" xref="A2.E197.m1.4.4.4.8.cmml">t</mi><mo id="A2.E197.m1.4.4.4.9" lspace="0.278em" rspace="0.278em" xref="A2.E197.m1.4.4.4.9.cmml">:</mo><mrow id="A2.E197.m1.4.4.4.10" xref="A2.E197.m1.4.4.4.10.cmml"><mrow id="A2.E197.m1.4.4.4.10.2.2" xref="A2.E197.m1.4.4.4.10.2.1.cmml"><mo id="A2.E197.m1.4.4.4.10.2.2.1" stretchy="false" xref="A2.E197.m1.4.4.4.10.2.1.1.cmml">|</mo><mi id="A2.E197.m1.1.1.1.1" xref="A2.E197.m1.1.1.1.1.cmml">λ</mi><mo id="A2.E197.m1.4.4.4.10.2.2.2" stretchy="false" xref="A2.E197.m1.4.4.4.10.2.1.1.cmml">|</mo></mrow><mo id="A2.E197.m1.4.4.4.10.1" xref="A2.E197.m1.4.4.4.10.1.cmml">≤</mo><mrow id="A2.E197.m1.4.4.4.10.3.2" xref="A2.E197.m1.4.4.4.10.3.1.cmml"><mi id="A2.E197.m1.2.2.2.2" xref="A2.E197.m1.2.2.2.2.cmml">q</mi><mo id="A2.E197.m1.4.4.4.10.3.2.1" xref="A2.E197.m1.4.4.4.10.3.1.cmml">,</mo><mi id="A2.E197.m1.3.3.3.3" xref="A2.E197.m1.3.3.3.3.cmml">ν</mi></mrow></mrow><mo id="A2.E197.m1.4.4.4.11" xref="A2.E197.m1.4.4.4.11.cmml">⊢</mo><mi id="A2.E197.m1.4.4.4.12" xref="A2.E197.m1.4.4.4.12.cmml">t</mi><mo id="A2.E197.m1.4.4.4.13" lspace="0.278em" rspace="0.278em" xref="A2.E197.m1.4.4.4.13.cmml">:</mo><mrow id="A2.E197.m1.4.4.4.14" xref="A2.E197.m1.4.4.4.14.cmml"><mrow id="A2.E197.m1.4.4.4.14.2.2" xref="A2.E197.m1.4.4.4.14.2.1.cmml"><mo id="A2.E197.m1.4.4.4.14.2.2.1" stretchy="false" xref="A2.E197.m1.4.4.4.14.2.1.1.cmml">|</mo><mi id="A2.E197.m1.4.4.4.4" xref="A2.E197.m1.4.4.4.4.cmml">ν</mi><mo id="A2.E197.m1.4.4.4.14.2.2.2" stretchy="false" xref="A2.E197.m1.4.4.4.14.2.1.1.cmml">|</mo></mrow><mo id="A2.E197.m1.4.4.4.14.1" xref="A2.E197.m1.4.4.4.14.1.cmml">≤</mo><mi id="A2.E197.m1.4.4.4.14.3" xref="A2.E197.m1.4.4.4.14.3.cmml">q</mi></mrow></mrow></munder></mstyle><mrow id="A2.E197.m1.8.9.3.2" xref="A2.E197.m1.8.9.3.2.cmml"><msub id="A2.E197.m1.8.9.3.2.2" xref="A2.E197.m1.8.9.3.2.2.cmml"><mi id="A2.E197.m1.8.9.3.2.2.2" xref="A2.E197.m1.8.9.3.2.2.2.cmml">c</mi><mi id="A2.E197.m1.8.9.3.2.2.3" xref="A2.E197.m1.8.9.3.2.2.3.cmml">λ</mi></msub><mo id="A2.E197.m1.8.9.3.2.1" xref="A2.E197.m1.8.9.3.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A2.E197.m1.8.9.3.2.3.2" xref="A2.E197.m1.8.9.3.2.cmml"><mo id="A2.E197.m1.8.9.3.2.3.2.1" stretchy="false" xref="A2.E197.m1.8.9.3.2.cmml">(</mo><mi id="A2.E197.m1.7.7" xref="A2.E197.m1.7.7.cmml">q</mi><mo id="A2.E197.m1.8.9.3.2.3.2.2" stretchy="false" xref="A2.E197.m1.8.9.3.2.cmml">)</mo></mrow><mo id="A2.E197.m1.8.9.3.2.1a" xref="A2.E197.m1.8.9.3.2.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="A2.E197.m1.8.9.3.2.4" xref="A2.E197.m1.8.9.3.2.4.cmml"><mi id="A2.E197.m1.8.9.3.2.4.2.2" xref="A2.E197.m1.8.9.3.2.4.2.2.cmml">c</mi><mi id="A2.E197.m1.8.9.3.2.4.3" xref="A2.E197.m1.8.9.3.2.4.3.cmml">ν</mi><mrow id="A2.E197.m1.8.9.3.2.4.2.3" xref="A2.E197.m1.8.9.3.2.4.2.3.cmml"><mo id="A2.E197.m1.8.9.3.2.4.2.3a" xref="A2.E197.m1.8.9.3.2.4.2.3.cmml">−</mo><mn id="A2.E197.m1.8.9.3.2.4.2.3.2" xref="A2.E197.m1.8.9.3.2.4.2.3.2.cmml">1</mn></mrow></msubsup><mo id="A2.E197.m1.8.9.3.2.1b" xref="A2.E197.m1.8.9.3.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A2.E197.m1.8.9.3.2.5.2" xref="A2.E197.m1.8.9.3.2.cmml"><mo id="A2.E197.m1.8.9.3.2.5.2.1" stretchy="false" xref="A2.E197.m1.8.9.3.2.cmml">(</mo><mi id="A2.E197.m1.8.8" xref="A2.E197.m1.8.8.cmml">q</mi><mo id="A2.E197.m1.8.9.3.2.5.2.2" stretchy="false" xref="A2.E197.m1.8.9.3.2.cmml">)</mo></mrow><mo id="A2.E197.m1.8.9.3.2.1c" xref="A2.E197.m1.8.9.3.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="A2.E197.m1.8.9.3.2.6" xref="A2.E197.m1.8.9.3.2.6.cmml"><mi id="A2.E197.m1.8.9.3.2.6.2" xref="A2.E197.m1.8.9.3.2.6.2.cmml">δ</mi><mrow id="A2.E197.m1.8.9.3.2.6.3" xref="A2.E197.m1.8.9.3.2.6.3.cmml"><mi id="A2.E197.m1.8.9.3.2.6.3.2" xref="A2.E197.m1.8.9.3.2.6.3.2.cmml">λ</mi><mo id="A2.E197.m1.8.9.3.2.6.3.1" xref="A2.E197.m1.8.9.3.2.6.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A2.E197.m1.8.9.3.2.6.3.3" xref="A2.E197.m1.8.9.3.2.6.3.3.cmml">ν</mi></mrow></msub><mo id="A2.E197.m1.8.9.3.2.1d" xref="A2.E197.m1.8.9.3.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="A2.E197.m1.8.9.3.2.7" xref="A2.E197.m1.8.9.3.2.7.cmml"><mi id="A2.E197.m1.8.9.3.2.7.2" xref="A2.E197.m1.8.9.3.2.7.2.cmml">P</mi><mrow id="A2.E197.m1.6.6.2.2" xref="A2.E197.m1.6.6.2.3.cmml"><mi id="A2.E197.m1.5.5.1.1" xref="A2.E197.m1.5.5.1.1.cmml">ν</mi><mo id="A2.E197.m1.6.6.2.2.2" xref="A2.E197.m1.6.6.2.3.cmml">,</mo><mrow id="A2.E197.m1.6.6.2.2.1" xref="A2.E197.m1.6.6.2.2.1.cmml"><mi id="A2.E197.m1.6.6.2.2.1.2" xref="A2.E197.m1.6.6.2.2.1.2.cmml">σ</mi><mo id="A2.E197.m1.6.6.2.2.1.1" xref="A2.E197.m1.6.6.2.2.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="A2.E197.m1.6.6.2.2.1.3" xref="A2.E197.m1.6.6.2.2.1.3.cmml">τ</mi></mrow></mrow></msub></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.E197.m1.8b"><apply id="A2.E197.m1.8.9.cmml" xref="A2.E197.m1.8.9"><eq id="A2.E197.m1.8.9.1.cmml" xref="A2.E197.m1.8.9.1"></eq><csymbol cd="latexml" id="A2.E197.m1.8.9.2.cmml" xref="A2.E197.m1.8.9.2">absent</csymbol><apply id="A2.E197.m1.8.9.3.cmml" xref="A2.E197.m1.8.9.3"><apply id="A2.E197.m1.8.9.3.1.cmml" xref="A2.E197.m1.8.9.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E197.m1.8.9.3.1.1.cmml" xref="A2.E197.m1.8.9.3.1">subscript</csymbol><sum id="A2.E197.m1.8.9.3.1.2.cmml" xref="A2.E197.m1.8.9.3.1.2"></sum><apply id="A2.E197.m1.4.4.4.cmml" xref="A2.E197.m1.4.4.4"><and id="A2.E197.m1.4.4.4a.cmml" xref="A2.E197.m1.4.4.4"></and><apply id="A2.E197.m1.4.4.4b.cmml" xref="A2.E197.m1.4.4.4"><csymbol cd="latexml" id="A2.E197.m1.4.4.4.7.cmml" xref="A2.E197.m1.4.4.4.7">proves</csymbol><ci id="A2.E197.m1.4.4.4.6.cmml" xref="A2.E197.m1.4.4.4.6">𝜆</ci><ci id="A2.E197.m1.4.4.4.8.cmml" xref="A2.E197.m1.4.4.4.8">𝑡</ci></apply><apply id="A2.E197.m1.4.4.4c.cmml" xref="A2.E197.m1.4.4.4"><ci id="A2.E197.m1.4.4.4.9.cmml" xref="A2.E197.m1.4.4.4.9">:</ci><share href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#A2.E197.m1.4.4.4.8.cmml" id="A2.E197.m1.4.4.4d.cmml" xref="A2.E197.m1.4.4.4"></share><apply id="A2.E197.m1.4.4.4.10.cmml" xref="A2.E197.m1.4.4.4.10"><leq id="A2.E197.m1.4.4.4.10.1.cmml" xref="A2.E197.m1.4.4.4.10.1"></leq><apply id="A2.E197.m1.4.4.4.10.2.1.cmml" xref="A2.E197.m1.4.4.4.10.2.2"><abs id="A2.E197.m1.4.4.4.10.2.1.1.cmml" xref="A2.E197.m1.4.4.4.10.2.2.1"></abs><ci id="A2.E197.m1.1.1.1.1.cmml" xref="A2.E197.m1.1.1.1.1">𝜆</ci></apply><list id="A2.E197.m1.4.4.4.10.3.1.cmml" xref="A2.E197.m1.4.4.4.10.3.2"><ci id="A2.E197.m1.2.2.2.2.cmml" xref="A2.E197.m1.2.2.2.2">𝑞</ci><ci id="A2.E197.m1.3.3.3.3.cmml" xref="A2.E197.m1.3.3.3.3">𝜈</ci></list></apply></apply><apply id="A2.E197.m1.4.4.4e.cmml" xref="A2.E197.m1.4.4.4"><csymbol cd="latexml" id="A2.E197.m1.4.4.4.11.cmml" xref="A2.E197.m1.4.4.4.11">proves</csymbol><share href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#A2.E197.m1.4.4.4.10.cmml" id="A2.E197.m1.4.4.4f.cmml" xref="A2.E197.m1.4.4.4"></share><ci id="A2.E197.m1.4.4.4.12.cmml" xref="A2.E197.m1.4.4.4.12">𝑡</ci></apply><apply id="A2.E197.m1.4.4.4g.cmml" xref="A2.E197.m1.4.4.4"><ci id="A2.E197.m1.4.4.4.13.cmml" xref="A2.E197.m1.4.4.4.13">:</ci><share href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#A2.E197.m1.4.4.4.12.cmml" id="A2.E197.m1.4.4.4h.cmml" xref="A2.E197.m1.4.4.4"></share><apply id="A2.E197.m1.4.4.4.14.cmml" xref="A2.E197.m1.4.4.4.14"><leq id="A2.E197.m1.4.4.4.14.1.cmml" xref="A2.E197.m1.4.4.4.14.1"></leq><apply id="A2.E197.m1.4.4.4.14.2.1.cmml" xref="A2.E197.m1.4.4.4.14.2.2"><abs id="A2.E197.m1.4.4.4.14.2.1.1.cmml" xref="A2.E197.m1.4.4.4.14.2.2.1"></abs><ci id="A2.E197.m1.4.4.4.4.cmml" xref="A2.E197.m1.4.4.4.4">𝜈</ci></apply><ci id="A2.E197.m1.4.4.4.14.3.cmml" xref="A2.E197.m1.4.4.4.14.3">𝑞</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="A2.E197.m1.8.9.3.2.cmml" xref="A2.E197.m1.8.9.3.2"><times id="A2.E197.m1.8.9.3.2.1.cmml" xref="A2.E197.m1.8.9.3.2.1"></times><apply id="A2.E197.m1.8.9.3.2.2.cmml" xref="A2.E197.m1.8.9.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E197.m1.8.9.3.2.2.1.cmml" xref="A2.E197.m1.8.9.3.2.2">subscript</csymbol><ci id="A2.E197.m1.8.9.3.2.2.2.cmml" xref="A2.E197.m1.8.9.3.2.2.2">𝑐</ci><ci id="A2.E197.m1.8.9.3.2.2.3.cmml" xref="A2.E197.m1.8.9.3.2.2.3">𝜆</ci></apply><ci id="A2.E197.m1.7.7.cmml" xref="A2.E197.m1.7.7">𝑞</ci><apply id="A2.E197.m1.8.9.3.2.4.cmml" xref="A2.E197.m1.8.9.3.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E197.m1.8.9.3.2.4.1.cmml" xref="A2.E197.m1.8.9.3.2.4">subscript</csymbol><apply id="A2.E197.m1.8.9.3.2.4.2.cmml" xref="A2.E197.m1.8.9.3.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E197.m1.8.9.3.2.4.2.1.cmml" xref="A2.E197.m1.8.9.3.2.4">superscript</csymbol><ci id="A2.E197.m1.8.9.3.2.4.2.2.cmml" xref="A2.E197.m1.8.9.3.2.4.2.2">𝑐</ci><apply id="A2.E197.m1.8.9.3.2.4.2.3.cmml" xref="A2.E197.m1.8.9.3.2.4.2.3"><minus id="A2.E197.m1.8.9.3.2.4.2.3.1.cmml" xref="A2.E197.m1.8.9.3.2.4.2.3"></minus><cn id="A2.E197.m1.8.9.3.2.4.2.3.2.cmml" type="integer" xref="A2.E197.m1.8.9.3.2.4.2.3.2">1</cn></apply></apply><ci id="A2.E197.m1.8.9.3.2.4.3.cmml" xref="A2.E197.m1.8.9.3.2.4.3">𝜈</ci></apply><ci id="A2.E197.m1.8.8.cmml" xref="A2.E197.m1.8.8">𝑞</ci><apply id="A2.E197.m1.8.9.3.2.6.cmml" xref="A2.E197.m1.8.9.3.2.6"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E197.m1.8.9.3.2.6.1.cmml" xref="A2.E197.m1.8.9.3.2.6">subscript</csymbol><ci id="A2.E197.m1.8.9.3.2.6.2.cmml" xref="A2.E197.m1.8.9.3.2.6.2">𝛿</ci><apply id="A2.E197.m1.8.9.3.2.6.3.cmml" xref="A2.E197.m1.8.9.3.2.6.3"><times id="A2.E197.m1.8.9.3.2.6.3.1.cmml" xref="A2.E197.m1.8.9.3.2.6.3.1"></times><ci id="A2.E197.m1.8.9.3.2.6.3.2.cmml" xref="A2.E197.m1.8.9.3.2.6.3.2">𝜆</ci><ci id="A2.E197.m1.8.9.3.2.6.3.3.cmml" xref="A2.E197.m1.8.9.3.2.6.3.3">𝜈</ci></apply></apply><apply id="A2.E197.m1.8.9.3.2.7.cmml" xref="A2.E197.m1.8.9.3.2.7"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E197.m1.8.9.3.2.7.1.cmml" xref="A2.E197.m1.8.9.3.2.7">subscript</csymbol><ci id="A2.E197.m1.8.9.3.2.7.2.cmml" xref="A2.E197.m1.8.9.3.2.7.2">𝑃</ci><list id="A2.E197.m1.6.6.2.3.cmml" xref="A2.E197.m1.6.6.2.2"><ci id="A2.E197.m1.5.5.1.1.cmml" xref="A2.E197.m1.5.5.1.1">𝜈</ci><apply id="A2.E197.m1.6.6.2.2.1.cmml" xref="A2.E197.m1.6.6.2.2.1"><times id="A2.E197.m1.6.6.2.2.1.1.cmml" xref="A2.E197.m1.6.6.2.2.1.1"></times><ci id="A2.E197.m1.6.6.2.2.1.2.cmml" xref="A2.E197.m1.6.6.2.2.1.2">𝜎</ci><ci id="A2.E197.m1.6.6.2.2.1.3.cmml" xref="A2.E197.m1.6.6.2.2.1.3">𝜏</ci></apply></list></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.E197.m1.8c">\displaystyle=\sum_{\lambda\vdash t:|\lambda|\leq q,\nu\vdash t:|\nu|\leq q}c_% {\lambda}(q)c^{-1}_{\nu}(q)\delta_{\lambda\nu}P_{\nu,\sigma\tau}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.E197.m1.8d">= ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_λ ⊢ italic_t : | italic_λ | ≤ italic_q , italic_ν ⊢ italic_t : | italic_ν | ≤ italic_q end_POSTSUBSCRIPT italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_λ end_POSTSUBSCRIPT ( italic_q ) italic_c start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_ν end_POSTSUBSCRIPT ( italic_q ) italic_δ start_POSTSUBSCRIPT italic_λ italic_ν end_POSTSUBSCRIPT italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_ν , italic_σ italic_τ end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(197)</span></td> </tr></tbody> <tbody id="A2.E198"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=\sum_{\nu\vdash t:|\nu|\leq q}P_{\nu,\sigma\tau}" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.E198.m1.3"><semantics id="A2.E198.m1.3a"><mrow id="A2.E198.m1.3.4" xref="A2.E198.m1.3.4.cmml"><mi id="A2.E198.m1.3.4.2" xref="A2.E198.m1.3.4.2.cmml"></mi><mo id="A2.E198.m1.3.4.1" xref="A2.E198.m1.3.4.1.cmml">=</mo><mrow id="A2.E198.m1.3.4.3" xref="A2.E198.m1.3.4.3.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A2.E198.m1.3.4.3.1" xref="A2.E198.m1.3.4.3.1.cmml"><munder id="A2.E198.m1.3.4.3.1a" xref="A2.E198.m1.3.4.3.1.cmml"><mo id="A2.E198.m1.3.4.3.1.2" movablelimits="false" xref="A2.E198.m1.3.4.3.1.2.cmml">∑</mo><mrow id="A2.E198.m1.1.1.1" xref="A2.E198.m1.1.1.1.cmml"><mi id="A2.E198.m1.1.1.1.3" xref="A2.E198.m1.1.1.1.3.cmml">ν</mi><mo id="A2.E198.m1.1.1.1.4" xref="A2.E198.m1.1.1.1.4.cmml">⊢</mo><mi id="A2.E198.m1.1.1.1.5" xref="A2.E198.m1.1.1.1.5.cmml">t</mi><mo id="A2.E198.m1.1.1.1.6" lspace="0.278em" rspace="0.278em" xref="A2.E198.m1.1.1.1.6.cmml">:</mo><mrow id="A2.E198.m1.1.1.1.7" xref="A2.E198.m1.1.1.1.7.cmml"><mrow id="A2.E198.m1.1.1.1.7.2.2" xref="A2.E198.m1.1.1.1.7.2.1.cmml"><mo id="A2.E198.m1.1.1.1.7.2.2.1" stretchy="false" xref="A2.E198.m1.1.1.1.7.2.1.1.cmml">|</mo><mi id="A2.E198.m1.1.1.1.1" xref="A2.E198.m1.1.1.1.1.cmml">ν</mi><mo id="A2.E198.m1.1.1.1.7.2.2.2" stretchy="false" xref="A2.E198.m1.1.1.1.7.2.1.1.cmml">|</mo></mrow><mo id="A2.E198.m1.1.1.1.7.1" xref="A2.E198.m1.1.1.1.7.1.cmml">≤</mo><mi id="A2.E198.m1.1.1.1.7.3" xref="A2.E198.m1.1.1.1.7.3.cmml">q</mi></mrow></mrow></munder></mstyle><msub id="A2.E198.m1.3.4.3.2" xref="A2.E198.m1.3.4.3.2.cmml"><mi id="A2.E198.m1.3.4.3.2.2" xref="A2.E198.m1.3.4.3.2.2.cmml">P</mi><mrow id="A2.E198.m1.3.3.2.2" xref="A2.E198.m1.3.3.2.3.cmml"><mi id="A2.E198.m1.2.2.1.1" xref="A2.E198.m1.2.2.1.1.cmml">ν</mi><mo id="A2.E198.m1.3.3.2.2.2" xref="A2.E198.m1.3.3.2.3.cmml">,</mo><mrow id="A2.E198.m1.3.3.2.2.1" xref="A2.E198.m1.3.3.2.2.1.cmml"><mi id="A2.E198.m1.3.3.2.2.1.2" xref="A2.E198.m1.3.3.2.2.1.2.cmml">σ</mi><mo id="A2.E198.m1.3.3.2.2.1.1" xref="A2.E198.m1.3.3.2.2.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="A2.E198.m1.3.3.2.2.1.3" xref="A2.E198.m1.3.3.2.2.1.3.cmml">τ</mi></mrow></mrow></msub></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.E198.m1.3b"><apply id="A2.E198.m1.3.4.cmml" xref="A2.E198.m1.3.4"><eq id="A2.E198.m1.3.4.1.cmml" xref="A2.E198.m1.3.4.1"></eq><csymbol cd="latexml" id="A2.E198.m1.3.4.2.cmml" xref="A2.E198.m1.3.4.2">absent</csymbol><apply id="A2.E198.m1.3.4.3.cmml" xref="A2.E198.m1.3.4.3"><apply id="A2.E198.m1.3.4.3.1.cmml" xref="A2.E198.m1.3.4.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E198.m1.3.4.3.1.1.cmml" xref="A2.E198.m1.3.4.3.1">subscript</csymbol><sum id="A2.E198.m1.3.4.3.1.2.cmml" xref="A2.E198.m1.3.4.3.1.2"></sum><apply id="A2.E198.m1.1.1.1.cmml" xref="A2.E198.m1.1.1.1"><and id="A2.E198.m1.1.1.1a.cmml" xref="A2.E198.m1.1.1.1"></and><apply id="A2.E198.m1.1.1.1b.cmml" xref="A2.E198.m1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="A2.E198.m1.1.1.1.4.cmml" xref="A2.E198.m1.1.1.1.4">proves</csymbol><ci id="A2.E198.m1.1.1.1.3.cmml" xref="A2.E198.m1.1.1.1.3">𝜈</ci><ci id="A2.E198.m1.1.1.1.5.cmml" xref="A2.E198.m1.1.1.1.5">𝑡</ci></apply><apply id="A2.E198.m1.1.1.1c.cmml" xref="A2.E198.m1.1.1.1"><ci id="A2.E198.m1.1.1.1.6.cmml" xref="A2.E198.m1.1.1.1.6">:</ci><share href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#A2.E198.m1.1.1.1.5.cmml" id="A2.E198.m1.1.1.1d.cmml" xref="A2.E198.m1.1.1.1"></share><apply id="A2.E198.m1.1.1.1.7.cmml" xref="A2.E198.m1.1.1.1.7"><leq id="A2.E198.m1.1.1.1.7.1.cmml" xref="A2.E198.m1.1.1.1.7.1"></leq><apply id="A2.E198.m1.1.1.1.7.2.1.cmml" xref="A2.E198.m1.1.1.1.7.2.2"><abs id="A2.E198.m1.1.1.1.7.2.1.1.cmml" xref="A2.E198.m1.1.1.1.7.2.2.1"></abs><ci id="A2.E198.m1.1.1.1.1.cmml" xref="A2.E198.m1.1.1.1.1">𝜈</ci></apply><ci id="A2.E198.m1.1.1.1.7.3.cmml" xref="A2.E198.m1.1.1.1.7.3">𝑞</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="A2.E198.m1.3.4.3.2.cmml" xref="A2.E198.m1.3.4.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E198.m1.3.4.3.2.1.cmml" xref="A2.E198.m1.3.4.3.2">subscript</csymbol><ci id="A2.E198.m1.3.4.3.2.2.cmml" xref="A2.E198.m1.3.4.3.2.2">𝑃</ci><list id="A2.E198.m1.3.3.2.3.cmml" xref="A2.E198.m1.3.3.2.2"><ci id="A2.E198.m1.2.2.1.1.cmml" xref="A2.E198.m1.2.2.1.1">𝜈</ci><apply id="A2.E198.m1.3.3.2.2.1.cmml" xref="A2.E198.m1.3.3.2.2.1"><times id="A2.E198.m1.3.3.2.2.1.1.cmml" xref="A2.E198.m1.3.3.2.2.1.1"></times><ci id="A2.E198.m1.3.3.2.2.1.2.cmml" xref="A2.E198.m1.3.3.2.2.1.2">𝜎</ci><ci id="A2.E198.m1.3.3.2.2.1.3.cmml" xref="A2.E198.m1.3.3.2.2.1.3">𝜏</ci></apply></list></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.E198.m1.3c">\displaystyle=\sum_{\nu\vdash t:|\nu|\leq q}P_{\nu,\sigma\tau}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.E198.m1.3d">= ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_ν ⊢ italic_t : | italic_ν | ≤ italic_q end_POSTSUBSCRIPT italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_ν , italic_σ italic_τ end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(198)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="A2.SS9.1.p1.3">Claim (1) follows immediately from this and the fact that the <math alttext="P_{\nu}" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.SS9.1.p1.1.m1.1"><semantics id="A2.SS9.1.p1.1.m1.1a"><msub id="A2.SS9.1.p1.1.m1.1.1" xref="A2.SS9.1.p1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="A2.SS9.1.p1.1.m1.1.1.2" xref="A2.SS9.1.p1.1.m1.1.1.2.cmml">P</mi><mi id="A2.SS9.1.p1.1.m1.1.1.3" xref="A2.SS9.1.p1.1.m1.1.1.3.cmml">ν</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.SS9.1.p1.1.m1.1b"><apply id="A2.SS9.1.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="A2.SS9.1.p1.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.SS9.1.p1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="A2.SS9.1.p1.1.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="A2.SS9.1.p1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="A2.SS9.1.p1.1.m1.1.1.2">𝑃</ci><ci id="A2.SS9.1.p1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="A2.SS9.1.p1.1.m1.1.1.3">𝜈</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.SS9.1.p1.1.m1.1c">P_{\nu}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.SS9.1.p1.1.m1.1d">italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_ν end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> give an orthogonal decomposition of the space into irreducible representations. Furthermore we see that <math alttext="X" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.SS9.1.p1.2.m2.1"><semantics id="A2.SS9.1.p1.2.m2.1a"><mi id="A2.SS9.1.p1.2.m2.1.1" xref="A2.SS9.1.p1.2.m2.1.1.cmml">X</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.SS9.1.p1.2.m2.1b"><ci id="A2.SS9.1.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="A2.SS9.1.p1.2.m2.1.1">𝑋</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.SS9.1.p1.2.m2.1c">X</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.SS9.1.p1.2.m2.1d">italic_X</annotation></semantics></math> is orthogonal with respect to the basis metric <math alttext="\delta_{\sigma\tau}" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.SS9.1.p1.3.m3.1"><semantics id="A2.SS9.1.p1.3.m3.1a"><msub id="A2.SS9.1.p1.3.m3.1.1" xref="A2.SS9.1.p1.3.m3.1.1.cmml"><mi id="A2.SS9.1.p1.3.m3.1.1.2" xref="A2.SS9.1.p1.3.m3.1.1.2.cmml">δ</mi><mrow id="A2.SS9.1.p1.3.m3.1.1.3" xref="A2.SS9.1.p1.3.m3.1.1.3.cmml"><mi id="A2.SS9.1.p1.3.m3.1.1.3.2" xref="A2.SS9.1.p1.3.m3.1.1.3.2.cmml">σ</mi><mo id="A2.SS9.1.p1.3.m3.1.1.3.1" xref="A2.SS9.1.p1.3.m3.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A2.SS9.1.p1.3.m3.1.1.3.3" xref="A2.SS9.1.p1.3.m3.1.1.3.3.cmml">τ</mi></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.SS9.1.p1.3.m3.1b"><apply id="A2.SS9.1.p1.3.m3.1.1.cmml" xref="A2.SS9.1.p1.3.m3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.SS9.1.p1.3.m3.1.1.1.cmml" xref="A2.SS9.1.p1.3.m3.1.1">subscript</csymbol><ci id="A2.SS9.1.p1.3.m3.1.1.2.cmml" xref="A2.SS9.1.p1.3.m3.1.1.2">𝛿</ci><apply id="A2.SS9.1.p1.3.m3.1.1.3.cmml" xref="A2.SS9.1.p1.3.m3.1.1.3"><times id="A2.SS9.1.p1.3.m3.1.1.3.1.cmml" xref="A2.SS9.1.p1.3.m3.1.1.3.1"></times><ci id="A2.SS9.1.p1.3.m3.1.1.3.2.cmml" xref="A2.SS9.1.p1.3.m3.1.1.3.2">𝜎</ci><ci id="A2.SS9.1.p1.3.m3.1.1.3.3.cmml" xref="A2.SS9.1.p1.3.m3.1.1.3.3">𝜏</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.SS9.1.p1.3.m3.1c">\delta_{\sigma\tau}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.SS9.1.p1.3.m3.1d">italic_δ start_POSTSUBSCRIPT italic_σ italic_τ end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>.</p> </div> <div class="ltx_para" id="A2.SS9.2.p2"> <p class="ltx_p" id="A2.SS9.2.p2.3">For claim (2), we compute</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="S6.EGx162"> <tbody id="A2.E199"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\braket{\sigma}{\mathbf{v}}" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.E199.m1.2"><semantics id="A2.E199.m1.2a"><mrow id="A2.E199.m1.2.2a.4" xref="A2.E199.m1.2.2a.3.cmml"><mo id="A2.E199.m1.2.2a.4.1" stretchy="false" xref="A2.E199.m1.2.2a.3.1.cmml">⟨</mo><mi id="A2.E199.m1.1.1.1.1" xref="A2.E199.m1.1.1.1.1.cmml">σ</mi><mo id="A2.E199.m1.2.2a.4.2" lspace="0.170em" rspace="0.170em" xref="A2.E199.m1.2.2a.3.1.cmml">|</mo><mi id="A2.E199.m1.2.2.2.2" xref="A2.E199.m1.2.2.2.2.cmml">𝐯</mi><mo id="A2.E199.m1.2.2a.4.3" stretchy="false" xref="A2.E199.m1.2.2a.3.1.cmml">⟩</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.E199.m1.2b"><apply id="A2.E199.m1.2.2a.3.cmml" xref="A2.E199.m1.2.2a.4"><csymbol cd="latexml" id="A2.E199.m1.2.2a.3.1.cmml" xref="A2.E199.m1.2.2a.4.1">inner-product</csymbol><ci id="A2.E199.m1.1.1.1.1.cmml" xref="A2.E199.m1.1.1.1.1">𝜎</ci><ci id="A2.E199.m1.2.2.2.2.cmml" xref="A2.E199.m1.2.2.2.2">𝐯</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.E199.m1.2c">\displaystyle\braket{\sigma}{\mathbf{v}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.E199.m1.2d">⟨ start_ARG italic_σ end_ARG | start_ARG bold_v end_ARG ⟩</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=\sum_{\tau}\braket{\sigma}{\widetilde{\tau}}v_{\tau}=\sum_{\tau}% X_{\sigma\tau}v_{\tau}=(X\mathbf{v})_{\sigma}" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.E199.m2.3"><semantics id="A2.E199.m2.3a"><mrow id="A2.E199.m2.3.3" xref="A2.E199.m2.3.3.cmml"><mi id="A2.E199.m2.3.3.3" xref="A2.E199.m2.3.3.3.cmml"></mi><mo id="A2.E199.m2.3.3.4" xref="A2.E199.m2.3.3.4.cmml">=</mo><mrow id="A2.E199.m2.3.3.5" xref="A2.E199.m2.3.3.5.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A2.E199.m2.3.3.5.1" xref="A2.E199.m2.3.3.5.1.cmml"><munder id="A2.E199.m2.3.3.5.1a" xref="A2.E199.m2.3.3.5.1.cmml"><mo id="A2.E199.m2.3.3.5.1.2" movablelimits="false" xref="A2.E199.m2.3.3.5.1.2.cmml">∑</mo><mi id="A2.E199.m2.3.3.5.1.3" xref="A2.E199.m2.3.3.5.1.3.cmml">τ</mi></munder></mstyle><mrow id="A2.E199.m2.3.3.5.2" xref="A2.E199.m2.3.3.5.2.cmml"><mrow id="A2.E199.m2.2.2a.4" xref="A2.E199.m2.2.2a.3.cmml"><mo id="A2.E199.m2.2.2a.4.1" stretchy="false" xref="A2.E199.m2.2.2a.3.1.cmml">⟨</mo><mi id="A2.E199.m2.1.1.1.1" xref="A2.E199.m2.1.1.1.1.cmml">σ</mi><mo id="A2.E199.m2.2.2a.4.2" lspace="0.170em" rspace="0.170em" xref="A2.E199.m2.2.2a.3.1.cmml">|</mo><mover accent="true" id="A2.E199.m2.2.2.2.2" xref="A2.E199.m2.2.2.2.2.cmml"><mi id="A2.E199.m2.2.2.2.2.2" xref="A2.E199.m2.2.2.2.2.2.cmml">τ</mi><mo id="A2.E199.m2.2.2.2.2.1" xref="A2.E199.m2.2.2.2.2.1.cmml">~</mo></mover><mo id="A2.E199.m2.2.2a.4.3" stretchy="false" xref="A2.E199.m2.2.2a.3.1.cmml">⟩</mo></mrow><mo id="A2.E199.m2.3.3.5.2.1" xref="A2.E199.m2.3.3.5.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="A2.E199.m2.3.3.5.2.2" xref="A2.E199.m2.3.3.5.2.2.cmml"><mi id="A2.E199.m2.3.3.5.2.2.2" xref="A2.E199.m2.3.3.5.2.2.2.cmml">v</mi><mi id="A2.E199.m2.3.3.5.2.2.3" xref="A2.E199.m2.3.3.5.2.2.3.cmml">τ</mi></msub></mrow></mrow><mo id="A2.E199.m2.3.3.6" xref="A2.E199.m2.3.3.6.cmml">=</mo><mrow id="A2.E199.m2.3.3.7" xref="A2.E199.m2.3.3.7.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A2.E199.m2.3.3.7.1" xref="A2.E199.m2.3.3.7.1.cmml"><munder id="A2.E199.m2.3.3.7.1a" xref="A2.E199.m2.3.3.7.1.cmml"><mo id="A2.E199.m2.3.3.7.1.2" movablelimits="false" xref="A2.E199.m2.3.3.7.1.2.cmml">∑</mo><mi id="A2.E199.m2.3.3.7.1.3" xref="A2.E199.m2.3.3.7.1.3.cmml">τ</mi></munder></mstyle><mrow id="A2.E199.m2.3.3.7.2" xref="A2.E199.m2.3.3.7.2.cmml"><msub id="A2.E199.m2.3.3.7.2.2" xref="A2.E199.m2.3.3.7.2.2.cmml"><mi id="A2.E199.m2.3.3.7.2.2.2" xref="A2.E199.m2.3.3.7.2.2.2.cmml">X</mi><mrow id="A2.E199.m2.3.3.7.2.2.3" xref="A2.E199.m2.3.3.7.2.2.3.cmml"><mi id="A2.E199.m2.3.3.7.2.2.3.2" xref="A2.E199.m2.3.3.7.2.2.3.2.cmml">σ</mi><mo id="A2.E199.m2.3.3.7.2.2.3.1" xref="A2.E199.m2.3.3.7.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A2.E199.m2.3.3.7.2.2.3.3" xref="A2.E199.m2.3.3.7.2.2.3.3.cmml">τ</mi></mrow></msub><mo id="A2.E199.m2.3.3.7.2.1" xref="A2.E199.m2.3.3.7.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="A2.E199.m2.3.3.7.2.3" xref="A2.E199.m2.3.3.7.2.3.cmml"><mi id="A2.E199.m2.3.3.7.2.3.2" xref="A2.E199.m2.3.3.7.2.3.2.cmml">v</mi><mi id="A2.E199.m2.3.3.7.2.3.3" xref="A2.E199.m2.3.3.7.2.3.3.cmml">τ</mi></msub></mrow></mrow><mo id="A2.E199.m2.3.3.8" xref="A2.E199.m2.3.3.8.cmml">=</mo><msub id="A2.E199.m2.3.3.1" xref="A2.E199.m2.3.3.1.cmml"><mrow id="A2.E199.m2.3.3.1.1.1" xref="A2.E199.m2.3.3.1.1.1.1.cmml"><mo id="A2.E199.m2.3.3.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A2.E199.m2.3.3.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A2.E199.m2.3.3.1.1.1.1" xref="A2.E199.m2.3.3.1.1.1.1.cmml"><mi id="A2.E199.m2.3.3.1.1.1.1.2" xref="A2.E199.m2.3.3.1.1.1.1.2.cmml">X</mi><mo id="A2.E199.m2.3.3.1.1.1.1.1" xref="A2.E199.m2.3.3.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="A2.E199.m2.3.3.1.1.1.1.3" xref="A2.E199.m2.3.3.1.1.1.1.3.cmml">𝐯</mi></mrow><mo id="A2.E199.m2.3.3.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A2.E199.m2.3.3.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mi id="A2.E199.m2.3.3.1.3" xref="A2.E199.m2.3.3.1.3.cmml">σ</mi></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.E199.m2.3b"><apply id="A2.E199.m2.3.3.cmml" xref="A2.E199.m2.3.3"><and id="A2.E199.m2.3.3a.cmml" xref="A2.E199.m2.3.3"></and><apply id="A2.E199.m2.3.3b.cmml" xref="A2.E199.m2.3.3"><eq id="A2.E199.m2.3.3.4.cmml" xref="A2.E199.m2.3.3.4"></eq><csymbol cd="latexml" id="A2.E199.m2.3.3.3.cmml" xref="A2.E199.m2.3.3.3">absent</csymbol><apply id="A2.E199.m2.3.3.5.cmml" xref="A2.E199.m2.3.3.5"><apply id="A2.E199.m2.3.3.5.1.cmml" xref="A2.E199.m2.3.3.5.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E199.m2.3.3.5.1.1.cmml" xref="A2.E199.m2.3.3.5.1">subscript</csymbol><sum id="A2.E199.m2.3.3.5.1.2.cmml" xref="A2.E199.m2.3.3.5.1.2"></sum><ci id="A2.E199.m2.3.3.5.1.3.cmml" xref="A2.E199.m2.3.3.5.1.3">𝜏</ci></apply><apply id="A2.E199.m2.3.3.5.2.cmml" xref="A2.E199.m2.3.3.5.2"><times id="A2.E199.m2.3.3.5.2.1.cmml" xref="A2.E199.m2.3.3.5.2.1"></times><apply id="A2.E199.m2.2.2a.3.cmml" xref="A2.E199.m2.2.2a.4"><csymbol cd="latexml" id="A2.E199.m2.2.2a.3.1.cmml" xref="A2.E199.m2.2.2a.4.1">inner-product</csymbol><ci id="A2.E199.m2.1.1.1.1.cmml" xref="A2.E199.m2.1.1.1.1">𝜎</ci><apply id="A2.E199.m2.2.2.2.2.cmml" xref="A2.E199.m2.2.2.2.2"><ci id="A2.E199.m2.2.2.2.2.1.cmml" xref="A2.E199.m2.2.2.2.2.1">~</ci><ci id="A2.E199.m2.2.2.2.2.2.cmml" xref="A2.E199.m2.2.2.2.2.2">𝜏</ci></apply></apply><apply id="A2.E199.m2.3.3.5.2.2.cmml" xref="A2.E199.m2.3.3.5.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E199.m2.3.3.5.2.2.1.cmml" xref="A2.E199.m2.3.3.5.2.2">subscript</csymbol><ci id="A2.E199.m2.3.3.5.2.2.2.cmml" xref="A2.E199.m2.3.3.5.2.2.2">𝑣</ci><ci id="A2.E199.m2.3.3.5.2.2.3.cmml" xref="A2.E199.m2.3.3.5.2.2.3">𝜏</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="A2.E199.m2.3.3c.cmml" xref="A2.E199.m2.3.3"><eq id="A2.E199.m2.3.3.6.cmml" xref="A2.E199.m2.3.3.6"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#A2.E199.m2.3.3.5.cmml" id="A2.E199.m2.3.3d.cmml" xref="A2.E199.m2.3.3"></share><apply id="A2.E199.m2.3.3.7.cmml" xref="A2.E199.m2.3.3.7"><apply id="A2.E199.m2.3.3.7.1.cmml" xref="A2.E199.m2.3.3.7.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E199.m2.3.3.7.1.1.cmml" xref="A2.E199.m2.3.3.7.1">subscript</csymbol><sum id="A2.E199.m2.3.3.7.1.2.cmml" xref="A2.E199.m2.3.3.7.1.2"></sum><ci id="A2.E199.m2.3.3.7.1.3.cmml" xref="A2.E199.m2.3.3.7.1.3">𝜏</ci></apply><apply id="A2.E199.m2.3.3.7.2.cmml" xref="A2.E199.m2.3.3.7.2"><times id="A2.E199.m2.3.3.7.2.1.cmml" xref="A2.E199.m2.3.3.7.2.1"></times><apply id="A2.E199.m2.3.3.7.2.2.cmml" xref="A2.E199.m2.3.3.7.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E199.m2.3.3.7.2.2.1.cmml" xref="A2.E199.m2.3.3.7.2.2">subscript</csymbol><ci id="A2.E199.m2.3.3.7.2.2.2.cmml" xref="A2.E199.m2.3.3.7.2.2.2">𝑋</ci><apply id="A2.E199.m2.3.3.7.2.2.3.cmml" xref="A2.E199.m2.3.3.7.2.2.3"><times id="A2.E199.m2.3.3.7.2.2.3.1.cmml" xref="A2.E199.m2.3.3.7.2.2.3.1"></times><ci id="A2.E199.m2.3.3.7.2.2.3.2.cmml" xref="A2.E199.m2.3.3.7.2.2.3.2">𝜎</ci><ci id="A2.E199.m2.3.3.7.2.2.3.3.cmml" xref="A2.E199.m2.3.3.7.2.2.3.3">𝜏</ci></apply></apply><apply id="A2.E199.m2.3.3.7.2.3.cmml" xref="A2.E199.m2.3.3.7.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E199.m2.3.3.7.2.3.1.cmml" xref="A2.E199.m2.3.3.7.2.3">subscript</csymbol><ci id="A2.E199.m2.3.3.7.2.3.2.cmml" xref="A2.E199.m2.3.3.7.2.3.2">𝑣</ci><ci id="A2.E199.m2.3.3.7.2.3.3.cmml" xref="A2.E199.m2.3.3.7.2.3.3">𝜏</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="A2.E199.m2.3.3e.cmml" xref="A2.E199.m2.3.3"><eq id="A2.E199.m2.3.3.8.cmml" xref="A2.E199.m2.3.3.8"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#A2.E199.m2.3.3.7.cmml" id="A2.E199.m2.3.3f.cmml" xref="A2.E199.m2.3.3"></share><apply id="A2.E199.m2.3.3.1.cmml" xref="A2.E199.m2.3.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E199.m2.3.3.1.2.cmml" xref="A2.E199.m2.3.3.1">subscript</csymbol><apply id="A2.E199.m2.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="A2.E199.m2.3.3.1.1.1"><times id="A2.E199.m2.3.3.1.1.1.1.1.cmml" xref="A2.E199.m2.3.3.1.1.1.1.1"></times><ci id="A2.E199.m2.3.3.1.1.1.1.2.cmml" xref="A2.E199.m2.3.3.1.1.1.1.2">𝑋</ci><ci id="A2.E199.m2.3.3.1.1.1.1.3.cmml" xref="A2.E199.m2.3.3.1.1.1.1.3">𝐯</ci></apply><ci id="A2.E199.m2.3.3.1.3.cmml" xref="A2.E199.m2.3.3.1.3">𝜎</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.E199.m2.3c">\displaystyle=\sum_{\tau}\braket{\sigma}{\widetilde{\tau}}v_{\tau}=\sum_{\tau}% X_{\sigma\tau}v_{\tau}=(X\mathbf{v})_{\sigma}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.E199.m2.3d">= ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_τ end_POSTSUBSCRIPT ⟨ start_ARG italic_σ end_ARG | start_ARG over~ start_ARG italic_τ end_ARG end_ARG ⟩ italic_v start_POSTSUBSCRIPT italic_τ end_POSTSUBSCRIPT = ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_τ end_POSTSUBSCRIPT italic_X start_POSTSUBSCRIPT italic_σ italic_τ end_POSTSUBSCRIPT italic_v start_POSTSUBSCRIPT italic_τ end_POSTSUBSCRIPT = ( italic_X bold_v ) start_POSTSUBSCRIPT italic_σ end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(199)</span></td> </tr></tbody> <tbody id="A2.E200"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=(X^{2}\mathbf{v})_{\sigma}" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.E200.m1.1"><semantics id="A2.E200.m1.1a"><mrow id="A2.E200.m1.1.1" xref="A2.E200.m1.1.1.cmml"><mi id="A2.E200.m1.1.1.3" xref="A2.E200.m1.1.1.3.cmml"></mi><mo id="A2.E200.m1.1.1.2" xref="A2.E200.m1.1.1.2.cmml">=</mo><msub id="A2.E200.m1.1.1.1" xref="A2.E200.m1.1.1.1.cmml"><mrow id="A2.E200.m1.1.1.1.1.1" xref="A2.E200.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A2.E200.m1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A2.E200.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A2.E200.m1.1.1.1.1.1.1" xref="A2.E200.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msup id="A2.E200.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A2.E200.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="A2.E200.m1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="A2.E200.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">X</mi><mn id="A2.E200.m1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="A2.E200.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">2</mn></msup><mo id="A2.E200.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A2.E200.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="A2.E200.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A2.E200.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">𝐯</mi></mrow><mo id="A2.E200.m1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A2.E200.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mi id="A2.E200.m1.1.1.1.3" xref="A2.E200.m1.1.1.1.3.cmml">σ</mi></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.E200.m1.1b"><apply id="A2.E200.m1.1.1.cmml" xref="A2.E200.m1.1.1"><eq id="A2.E200.m1.1.1.2.cmml" xref="A2.E200.m1.1.1.2"></eq><csymbol cd="latexml" id="A2.E200.m1.1.1.3.cmml" xref="A2.E200.m1.1.1.3">absent</csymbol><apply id="A2.E200.m1.1.1.1.cmml" xref="A2.E200.m1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E200.m1.1.1.1.2.cmml" xref="A2.E200.m1.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="A2.E200.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A2.E200.m1.1.1.1.1.1"><times id="A2.E200.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A2.E200.m1.1.1.1.1.1.1.1"></times><apply id="A2.E200.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A2.E200.m1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E200.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A2.E200.m1.1.1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="A2.E200.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A2.E200.m1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝑋</ci><cn id="A2.E200.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="A2.E200.m1.1.1.1.1.1.1.2.3">2</cn></apply><ci id="A2.E200.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A2.E200.m1.1.1.1.1.1.1.3">𝐯</ci></apply><ci id="A2.E200.m1.1.1.1.3.cmml" xref="A2.E200.m1.1.1.1.3">𝜎</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.E200.m1.1c">\displaystyle=(X^{2}\mathbf{v})_{\sigma}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.E200.m1.1d">= ( italic_X start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT bold_v ) start_POSTSUBSCRIPT italic_σ end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(200)</span></td> </tr></tbody> <tbody id="A2.E201"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=\braket{\sigma}{X\mathbf{v}}" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.E201.m1.2"><semantics id="A2.E201.m1.2a"><mrow id="A2.E201.m1.2.3" xref="A2.E201.m1.2.3.cmml"><mi id="A2.E201.m1.2.3.2" xref="A2.E201.m1.2.3.2.cmml"></mi><mo id="A2.E201.m1.2.3.1" xref="A2.E201.m1.2.3.1.cmml">=</mo><mrow id="A2.E201.m1.2.2a.4" xref="A2.E201.m1.2.2a.3.cmml"><mo id="A2.E201.m1.2.2a.4.1" stretchy="false" xref="A2.E201.m1.2.2a.3.1.cmml">⟨</mo><mi id="A2.E201.m1.1.1.1.1" xref="A2.E201.m1.1.1.1.1.cmml">σ</mi><mo id="A2.E201.m1.2.2a.4.2" lspace="0.170em" rspace="0.170em" xref="A2.E201.m1.2.2a.3.1.cmml">|</mo><mrow id="A2.E201.m1.2.2.2.2" xref="A2.E201.m1.2.2.2.2.cmml"><mi id="A2.E201.m1.2.2.2.2.2" xref="A2.E201.m1.2.2.2.2.2.cmml">X</mi><mo id="A2.E201.m1.2.2.2.2.1" xref="A2.E201.m1.2.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="A2.E201.m1.2.2.2.2.3" xref="A2.E201.m1.2.2.2.2.3.cmml">𝐯</mi></mrow><mo id="A2.E201.m1.2.2a.4.3" stretchy="false" xref="A2.E201.m1.2.2a.3.1.cmml">⟩</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.E201.m1.2b"><apply id="A2.E201.m1.2.3.cmml" xref="A2.E201.m1.2.3"><eq id="A2.E201.m1.2.3.1.cmml" xref="A2.E201.m1.2.3.1"></eq><csymbol cd="latexml" id="A2.E201.m1.2.3.2.cmml" xref="A2.E201.m1.2.3.2">absent</csymbol><apply id="A2.E201.m1.2.2a.3.cmml" xref="A2.E201.m1.2.2a.4"><csymbol cd="latexml" id="A2.E201.m1.2.2a.3.1.cmml" xref="A2.E201.m1.2.2a.4.1">inner-product</csymbol><ci id="A2.E201.m1.1.1.1.1.cmml" xref="A2.E201.m1.1.1.1.1">𝜎</ci><apply id="A2.E201.m1.2.2.2.2.cmml" xref="A2.E201.m1.2.2.2.2"><times id="A2.E201.m1.2.2.2.2.1.cmml" xref="A2.E201.m1.2.2.2.2.1"></times><ci id="A2.E201.m1.2.2.2.2.2.cmml" xref="A2.E201.m1.2.2.2.2.2">𝑋</ci><ci id="A2.E201.m1.2.2.2.2.3.cmml" xref="A2.E201.m1.2.2.2.2.3">𝐯</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.E201.m1.2c">\displaystyle=\braket{\sigma}{X\mathbf{v}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.E201.m1.2d">= ⟨ start_ARG italic_σ end_ARG | start_ARG italic_X bold_v end_ARG ⟩</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(201)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="A2.SS9.2.p2.2">where in the second line we have used claim (1) to see that <math alttext="X=X^{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.SS9.2.p2.1.m1.1"><semantics id="A2.SS9.2.p2.1.m1.1a"><mrow id="A2.SS9.2.p2.1.m1.1.1" xref="A2.SS9.2.p2.1.m1.1.1.cmml"><mi id="A2.SS9.2.p2.1.m1.1.1.2" xref="A2.SS9.2.p2.1.m1.1.1.2.cmml">X</mi><mo id="A2.SS9.2.p2.1.m1.1.1.1" xref="A2.SS9.2.p2.1.m1.1.1.1.cmml">=</mo><msup id="A2.SS9.2.p2.1.m1.1.1.3" xref="A2.SS9.2.p2.1.m1.1.1.3.cmml"><mi id="A2.SS9.2.p2.1.m1.1.1.3.2" xref="A2.SS9.2.p2.1.m1.1.1.3.2.cmml">X</mi><mn id="A2.SS9.2.p2.1.m1.1.1.3.3" xref="A2.SS9.2.p2.1.m1.1.1.3.3.cmml">2</mn></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.SS9.2.p2.1.m1.1b"><apply id="A2.SS9.2.p2.1.m1.1.1.cmml" xref="A2.SS9.2.p2.1.m1.1.1"><eq id="A2.SS9.2.p2.1.m1.1.1.1.cmml" xref="A2.SS9.2.p2.1.m1.1.1.1"></eq><ci id="A2.SS9.2.p2.1.m1.1.1.2.cmml" xref="A2.SS9.2.p2.1.m1.1.1.2">𝑋</ci><apply id="A2.SS9.2.p2.1.m1.1.1.3.cmml" xref="A2.SS9.2.p2.1.m1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.SS9.2.p2.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="A2.SS9.2.p2.1.m1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="A2.SS9.2.p2.1.m1.1.1.3.2.cmml" xref="A2.SS9.2.p2.1.m1.1.1.3.2">𝑋</ci><cn id="A2.SS9.2.p2.1.m1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="A2.SS9.2.p2.1.m1.1.1.3.3">2</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.SS9.2.p2.1.m1.1c">X=X^{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.SS9.2.p2.1.m1.1d">italic_X = italic_X start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>. Since the states <math alttext="\ket{\sigma}" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.SS9.2.p2.2.m2.1"><semantics id="A2.SS9.2.p2.2.m2.1a"><mrow id="A2.SS9.2.p2.2.m2.1.1.3" xref="A2.SS9.2.p2.2.m2.1.1.2.cmml"><mo id="A2.SS9.2.p2.2.m2.1.1.3.1" stretchy="false" xref="A2.SS9.2.p2.2.m2.1.1.2.1.cmml">|</mo><mi id="A2.SS9.2.p2.2.m2.1.1.1.1" xref="A2.SS9.2.p2.2.m2.1.1.1.1.cmml">σ</mi><mo id="A2.SS9.2.p2.2.m2.1.1.3.2" stretchy="false" xref="A2.SS9.2.p2.2.m2.1.1.2.1.cmml">⟩</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.SS9.2.p2.2.m2.1b"><apply id="A2.SS9.2.p2.2.m2.1.1.2.cmml" xref="A2.SS9.2.p2.2.m2.1.1.3"><csymbol cd="latexml" id="A2.SS9.2.p2.2.m2.1.1.2.1.cmml" xref="A2.SS9.2.p2.2.m2.1.1.3.1">ket</csymbol><ci id="A2.SS9.2.p2.2.m2.1.1.1.1.cmml" xref="A2.SS9.2.p2.2.m2.1.1.1.1">𝜎</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.SS9.2.p2.2.m2.1c">\ket{\sigma}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.SS9.2.p2.2.m2.1d">| start_ARG italic_σ end_ARG ⟩</annotation></semantics></math> span the space, this implies claim (2).</p> </div> <div class="ltx_para" id="A2.SS9.3.p3"> <p class="ltx_p" id="A2.SS9.3.p3.6">For claim (3), one direction follows from claim (2). To show the other, we will prove that <math alttext="X\mathbf{v}\neq\mathbf{0}\implies\ket{\mathbf{v}}\neq\ket{0}" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.SS9.3.p3.1.m1.2"><semantics id="A2.SS9.3.p3.1.m1.2a"><mrow id="A2.SS9.3.p3.1.m1.2.3" xref="A2.SS9.3.p3.1.m1.2.3.cmml"><mrow id="A2.SS9.3.p3.1.m1.2.3.2" xref="A2.SS9.3.p3.1.m1.2.3.2.cmml"><mi id="A2.SS9.3.p3.1.m1.2.3.2.2" xref="A2.SS9.3.p3.1.m1.2.3.2.2.cmml">X</mi><mo id="A2.SS9.3.p3.1.m1.2.3.2.1" xref="A2.SS9.3.p3.1.m1.2.3.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="A2.SS9.3.p3.1.m1.2.3.2.3" xref="A2.SS9.3.p3.1.m1.2.3.2.3.cmml">𝐯</mi></mrow><mo id="A2.SS9.3.p3.1.m1.2.3.3" xref="A2.SS9.3.p3.1.m1.2.3.3.cmml">≠</mo><mn id="A2.SS9.3.p3.1.m1.2.3.4" xref="A2.SS9.3.p3.1.m1.2.3.4.cmml">𝟎</mn><mo id="A2.SS9.3.p3.1.m1.2.3.5" stretchy="false" xref="A2.SS9.3.p3.1.m1.2.3.5.cmml">⟹</mo><mrow id="A2.SS9.3.p3.1.m1.1.1.3" xref="A2.SS9.3.p3.1.m1.1.1.2.cmml"><mo id="A2.SS9.3.p3.1.m1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="A2.SS9.3.p3.1.m1.1.1.2.1.cmml">|</mo><mi id="A2.SS9.3.p3.1.m1.1.1.1.1" xref="A2.SS9.3.p3.1.m1.1.1.1.1.cmml">𝐯</mi><mo id="A2.SS9.3.p3.1.m1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="A2.SS9.3.p3.1.m1.1.1.2.1.cmml">⟩</mo></mrow><mo id="A2.SS9.3.p3.1.m1.2.3.6" xref="A2.SS9.3.p3.1.m1.2.3.6.cmml">≠</mo><mrow id="A2.SS9.3.p3.1.m1.2.2.3" xref="A2.SS9.3.p3.1.m1.2.2.2.cmml"><mo id="A2.SS9.3.p3.1.m1.2.2.3.1" stretchy="false" xref="A2.SS9.3.p3.1.m1.2.2.2.1.cmml">|</mo><mn id="A2.SS9.3.p3.1.m1.2.2.1.1" xref="A2.SS9.3.p3.1.m1.2.2.1.1.cmml">0</mn><mo id="A2.SS9.3.p3.1.m1.2.2.3.2" stretchy="false" xref="A2.SS9.3.p3.1.m1.2.2.2.1.cmml">⟩</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.SS9.3.p3.1.m1.2b"><apply id="A2.SS9.3.p3.1.m1.2.3.cmml" xref="A2.SS9.3.p3.1.m1.2.3"><and id="A2.SS9.3.p3.1.m1.2.3a.cmml" xref="A2.SS9.3.p3.1.m1.2.3"></and><apply id="A2.SS9.3.p3.1.m1.2.3b.cmml" xref="A2.SS9.3.p3.1.m1.2.3"><neq id="A2.SS9.3.p3.1.m1.2.3.3.cmml" xref="A2.SS9.3.p3.1.m1.2.3.3"></neq><apply id="A2.SS9.3.p3.1.m1.2.3.2.cmml" xref="A2.SS9.3.p3.1.m1.2.3.2"><times id="A2.SS9.3.p3.1.m1.2.3.2.1.cmml" xref="A2.SS9.3.p3.1.m1.2.3.2.1"></times><ci id="A2.SS9.3.p3.1.m1.2.3.2.2.cmml" xref="A2.SS9.3.p3.1.m1.2.3.2.2">𝑋</ci><ci id="A2.SS9.3.p3.1.m1.2.3.2.3.cmml" xref="A2.SS9.3.p3.1.m1.2.3.2.3">𝐯</ci></apply><cn id="A2.SS9.3.p3.1.m1.2.3.4.cmml" type="integer" xref="A2.SS9.3.p3.1.m1.2.3.4">0</cn></apply><apply id="A2.SS9.3.p3.1.m1.2.3c.cmml" xref="A2.SS9.3.p3.1.m1.2.3"><implies id="A2.SS9.3.p3.1.m1.2.3.5.cmml" xref="A2.SS9.3.p3.1.m1.2.3.5"></implies><share href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#A2.SS9.3.p3.1.m1.2.3.4.cmml" id="A2.SS9.3.p3.1.m1.2.3d.cmml" xref="A2.SS9.3.p3.1.m1.2.3"></share><apply id="A2.SS9.3.p3.1.m1.1.1.2.cmml" xref="A2.SS9.3.p3.1.m1.1.1.3"><csymbol cd="latexml" id="A2.SS9.3.p3.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="A2.SS9.3.p3.1.m1.1.1.3.1">ket</csymbol><ci id="A2.SS9.3.p3.1.m1.1.1.1.1.cmml" xref="A2.SS9.3.p3.1.m1.1.1.1.1">𝐯</ci></apply></apply><apply id="A2.SS9.3.p3.1.m1.2.3e.cmml" xref="A2.SS9.3.p3.1.m1.2.3"><neq id="A2.SS9.3.p3.1.m1.2.3.6.cmml" xref="A2.SS9.3.p3.1.m1.2.3.6"></neq><share href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#A2.SS9.3.p3.1.m1.1.1.cmml" id="A2.SS9.3.p3.1.m1.2.3f.cmml" xref="A2.SS9.3.p3.1.m1.2.3"></share><apply id="A2.SS9.3.p3.1.m1.2.2.2.cmml" xref="A2.SS9.3.p3.1.m1.2.2.3"><csymbol cd="latexml" id="A2.SS9.3.p3.1.m1.2.2.2.1.cmml" xref="A2.SS9.3.p3.1.m1.2.2.3.1">ket</csymbol><cn id="A2.SS9.3.p3.1.m1.2.2.1.1.cmml" type="integer" xref="A2.SS9.3.p3.1.m1.2.2.1.1">0</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.SS9.3.p3.1.m1.2c">X\mathbf{v}\neq\mathbf{0}\implies\ket{\mathbf{v}}\neq\ket{0}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.SS9.3.p3.1.m1.2d">italic_X bold_v ≠ bold_0 ⟹ | start_ARG bold_v end_ARG ⟩ ≠ | start_ARG 0 end_ARG ⟩</annotation></semantics></math>. If <math alttext="X\mathbf{v}\neq 0" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.SS9.3.p3.2.m2.1"><semantics id="A2.SS9.3.p3.2.m2.1a"><mrow id="A2.SS9.3.p3.2.m2.1.1" xref="A2.SS9.3.p3.2.m2.1.1.cmml"><mrow id="A2.SS9.3.p3.2.m2.1.1.2" xref="A2.SS9.3.p3.2.m2.1.1.2.cmml"><mi id="A2.SS9.3.p3.2.m2.1.1.2.2" xref="A2.SS9.3.p3.2.m2.1.1.2.2.cmml">X</mi><mo id="A2.SS9.3.p3.2.m2.1.1.2.1" xref="A2.SS9.3.p3.2.m2.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="A2.SS9.3.p3.2.m2.1.1.2.3" xref="A2.SS9.3.p3.2.m2.1.1.2.3.cmml">𝐯</mi></mrow><mo id="A2.SS9.3.p3.2.m2.1.1.1" xref="A2.SS9.3.p3.2.m2.1.1.1.cmml">≠</mo><mn id="A2.SS9.3.p3.2.m2.1.1.3" xref="A2.SS9.3.p3.2.m2.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.SS9.3.p3.2.m2.1b"><apply id="A2.SS9.3.p3.2.m2.1.1.cmml" xref="A2.SS9.3.p3.2.m2.1.1"><neq id="A2.SS9.3.p3.2.m2.1.1.1.cmml" xref="A2.SS9.3.p3.2.m2.1.1.1"></neq><apply id="A2.SS9.3.p3.2.m2.1.1.2.cmml" xref="A2.SS9.3.p3.2.m2.1.1.2"><times id="A2.SS9.3.p3.2.m2.1.1.2.1.cmml" xref="A2.SS9.3.p3.2.m2.1.1.2.1"></times><ci id="A2.SS9.3.p3.2.m2.1.1.2.2.cmml" xref="A2.SS9.3.p3.2.m2.1.1.2.2">𝑋</ci><ci id="A2.SS9.3.p3.2.m2.1.1.2.3.cmml" xref="A2.SS9.3.p3.2.m2.1.1.2.3">𝐯</ci></apply><cn id="A2.SS9.3.p3.2.m2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A2.SS9.3.p3.2.m2.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.SS9.3.p3.2.m2.1c">X\mathbf{v}\neq 0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.SS9.3.p3.2.m2.1d">italic_X bold_v ≠ 0</annotation></semantics></math> then there exists at least one <math alttext="\sigma" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.SS9.3.p3.3.m3.1"><semantics id="A2.SS9.3.p3.3.m3.1a"><mi id="A2.SS9.3.p3.3.m3.1.1" xref="A2.SS9.3.p3.3.m3.1.1.cmml">σ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.SS9.3.p3.3.m3.1b"><ci id="A2.SS9.3.p3.3.m3.1.1.cmml" xref="A2.SS9.3.p3.3.m3.1.1">𝜎</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.SS9.3.p3.3.m3.1c">\sigma</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.SS9.3.p3.3.m3.1d">italic_σ</annotation></semantics></math> such that <math alttext="\left(X\mathbf{v}\right)_{\sigma}\neq 0" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.SS9.3.p3.4.m4.1"><semantics id="A2.SS9.3.p3.4.m4.1a"><mrow id="A2.SS9.3.p3.4.m4.1.1" xref="A2.SS9.3.p3.4.m4.1.1.cmml"><msub id="A2.SS9.3.p3.4.m4.1.1.1" xref="A2.SS9.3.p3.4.m4.1.1.1.cmml"><mrow id="A2.SS9.3.p3.4.m4.1.1.1.1.1" xref="A2.SS9.3.p3.4.m4.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A2.SS9.3.p3.4.m4.1.1.1.1.1.2" xref="A2.SS9.3.p3.4.m4.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A2.SS9.3.p3.4.m4.1.1.1.1.1.1" xref="A2.SS9.3.p3.4.m4.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A2.SS9.3.p3.4.m4.1.1.1.1.1.1.2" xref="A2.SS9.3.p3.4.m4.1.1.1.1.1.1.2.cmml">X</mi><mo id="A2.SS9.3.p3.4.m4.1.1.1.1.1.1.1" xref="A2.SS9.3.p3.4.m4.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="A2.SS9.3.p3.4.m4.1.1.1.1.1.1.3" xref="A2.SS9.3.p3.4.m4.1.1.1.1.1.1.3.cmml">𝐯</mi></mrow><mo id="A2.SS9.3.p3.4.m4.1.1.1.1.1.3" xref="A2.SS9.3.p3.4.m4.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mi id="A2.SS9.3.p3.4.m4.1.1.1.3" xref="A2.SS9.3.p3.4.m4.1.1.1.3.cmml">σ</mi></msub><mo id="A2.SS9.3.p3.4.m4.1.1.2" xref="A2.SS9.3.p3.4.m4.1.1.2.cmml">≠</mo><mn id="A2.SS9.3.p3.4.m4.1.1.3" xref="A2.SS9.3.p3.4.m4.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.SS9.3.p3.4.m4.1b"><apply id="A2.SS9.3.p3.4.m4.1.1.cmml" xref="A2.SS9.3.p3.4.m4.1.1"><neq id="A2.SS9.3.p3.4.m4.1.1.2.cmml" xref="A2.SS9.3.p3.4.m4.1.1.2"></neq><apply id="A2.SS9.3.p3.4.m4.1.1.1.cmml" xref="A2.SS9.3.p3.4.m4.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.SS9.3.p3.4.m4.1.1.1.2.cmml" xref="A2.SS9.3.p3.4.m4.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="A2.SS9.3.p3.4.m4.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A2.SS9.3.p3.4.m4.1.1.1.1.1"><times id="A2.SS9.3.p3.4.m4.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A2.SS9.3.p3.4.m4.1.1.1.1.1.1.1"></times><ci id="A2.SS9.3.p3.4.m4.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A2.SS9.3.p3.4.m4.1.1.1.1.1.1.2">𝑋</ci><ci id="A2.SS9.3.p3.4.m4.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A2.SS9.3.p3.4.m4.1.1.1.1.1.1.3">𝐯</ci></apply><ci id="A2.SS9.3.p3.4.m4.1.1.1.3.cmml" xref="A2.SS9.3.p3.4.m4.1.1.1.3">𝜎</ci></apply><cn id="A2.SS9.3.p3.4.m4.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A2.SS9.3.p3.4.m4.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.SS9.3.p3.4.m4.1c">\left(X\mathbf{v}\right)_{\sigma}\neq 0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.SS9.3.p3.4.m4.1d">( italic_X bold_v ) start_POSTSUBSCRIPT italic_σ end_POSTSUBSCRIPT ≠ 0</annotation></semantics></math>. Then <math alttext="\braket{\sigma}{\mathbf{v}}=\left(X\mathbf{v}\right)_{\sigma}\neq 0" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.SS9.3.p3.5.m5.3"><semantics id="A2.SS9.3.p3.5.m5.3a"><mrow id="A2.SS9.3.p3.5.m5.3.3" xref="A2.SS9.3.p3.5.m5.3.3.cmml"><mrow id="A2.SS9.3.p3.5.m5.2.2.4" xref="A2.SS9.3.p3.5.m5.2.2.3.cmml"><mo id="A2.SS9.3.p3.5.m5.2.2.4.1" stretchy="false" xref="A2.SS9.3.p3.5.m5.2.2.3.1.cmml">⟨</mo><mi id="A2.SS9.3.p3.5.m5.1.1.1.1" xref="A2.SS9.3.p3.5.m5.1.1.1.1.cmml">σ</mi><mo id="A2.SS9.3.p3.5.m5.2.2.4.2" lspace="0.170em" rspace="0.170em" xref="A2.SS9.3.p3.5.m5.2.2.3.1.cmml">|</mo><mi id="A2.SS9.3.p3.5.m5.2.2.2.2" xref="A2.SS9.3.p3.5.m5.2.2.2.2.cmml">𝐯</mi><mo id="A2.SS9.3.p3.5.m5.2.2.4.3" stretchy="false" xref="A2.SS9.3.p3.5.m5.2.2.3.1.cmml">⟩</mo></mrow><mo id="A2.SS9.3.p3.5.m5.3.3.3" xref="A2.SS9.3.p3.5.m5.3.3.3.cmml">=</mo><msub id="A2.SS9.3.p3.5.m5.3.3.1" xref="A2.SS9.3.p3.5.m5.3.3.1.cmml"><mrow id="A2.SS9.3.p3.5.m5.3.3.1.1.1" xref="A2.SS9.3.p3.5.m5.3.3.1.1.1.1.cmml"><mo id="A2.SS9.3.p3.5.m5.3.3.1.1.1.2" xref="A2.SS9.3.p3.5.m5.3.3.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A2.SS9.3.p3.5.m5.3.3.1.1.1.1" xref="A2.SS9.3.p3.5.m5.3.3.1.1.1.1.cmml"><mi id="A2.SS9.3.p3.5.m5.3.3.1.1.1.1.2" xref="A2.SS9.3.p3.5.m5.3.3.1.1.1.1.2.cmml">X</mi><mo id="A2.SS9.3.p3.5.m5.3.3.1.1.1.1.1" xref="A2.SS9.3.p3.5.m5.3.3.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="A2.SS9.3.p3.5.m5.3.3.1.1.1.1.3" xref="A2.SS9.3.p3.5.m5.3.3.1.1.1.1.3.cmml">𝐯</mi></mrow><mo id="A2.SS9.3.p3.5.m5.3.3.1.1.1.3" xref="A2.SS9.3.p3.5.m5.3.3.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mi id="A2.SS9.3.p3.5.m5.3.3.1.3" xref="A2.SS9.3.p3.5.m5.3.3.1.3.cmml">σ</mi></msub><mo id="A2.SS9.3.p3.5.m5.3.3.4" xref="A2.SS9.3.p3.5.m5.3.3.4.cmml">≠</mo><mn id="A2.SS9.3.p3.5.m5.3.3.5" xref="A2.SS9.3.p3.5.m5.3.3.5.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.SS9.3.p3.5.m5.3b"><apply id="A2.SS9.3.p3.5.m5.3.3.cmml" xref="A2.SS9.3.p3.5.m5.3.3"><and id="A2.SS9.3.p3.5.m5.3.3a.cmml" xref="A2.SS9.3.p3.5.m5.3.3"></and><apply id="A2.SS9.3.p3.5.m5.3.3b.cmml" xref="A2.SS9.3.p3.5.m5.3.3"><eq id="A2.SS9.3.p3.5.m5.3.3.3.cmml" xref="A2.SS9.3.p3.5.m5.3.3.3"></eq><apply id="A2.SS9.3.p3.5.m5.2.2.3.cmml" xref="A2.SS9.3.p3.5.m5.2.2.4"><csymbol cd="latexml" id="A2.SS9.3.p3.5.m5.2.2.3.1.cmml" xref="A2.SS9.3.p3.5.m5.2.2.4.1">inner-product</csymbol><ci id="A2.SS9.3.p3.5.m5.1.1.1.1.cmml" xref="A2.SS9.3.p3.5.m5.1.1.1.1">𝜎</ci><ci id="A2.SS9.3.p3.5.m5.2.2.2.2.cmml" xref="A2.SS9.3.p3.5.m5.2.2.2.2">𝐯</ci></apply><apply id="A2.SS9.3.p3.5.m5.3.3.1.cmml" xref="A2.SS9.3.p3.5.m5.3.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.SS9.3.p3.5.m5.3.3.1.2.cmml" xref="A2.SS9.3.p3.5.m5.3.3.1">subscript</csymbol><apply id="A2.SS9.3.p3.5.m5.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="A2.SS9.3.p3.5.m5.3.3.1.1.1"><times id="A2.SS9.3.p3.5.m5.3.3.1.1.1.1.1.cmml" xref="A2.SS9.3.p3.5.m5.3.3.1.1.1.1.1"></times><ci id="A2.SS9.3.p3.5.m5.3.3.1.1.1.1.2.cmml" xref="A2.SS9.3.p3.5.m5.3.3.1.1.1.1.2">𝑋</ci><ci id="A2.SS9.3.p3.5.m5.3.3.1.1.1.1.3.cmml" xref="A2.SS9.3.p3.5.m5.3.3.1.1.1.1.3">𝐯</ci></apply><ci id="A2.SS9.3.p3.5.m5.3.3.1.3.cmml" xref="A2.SS9.3.p3.5.m5.3.3.1.3">𝜎</ci></apply></apply><apply id="A2.SS9.3.p3.5.m5.3.3c.cmml" xref="A2.SS9.3.p3.5.m5.3.3"><neq id="A2.SS9.3.p3.5.m5.3.3.4.cmml" xref="A2.SS9.3.p3.5.m5.3.3.4"></neq><share href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#A2.SS9.3.p3.5.m5.3.3.1.cmml" id="A2.SS9.3.p3.5.m5.3.3d.cmml" xref="A2.SS9.3.p3.5.m5.3.3"></share><cn id="A2.SS9.3.p3.5.m5.3.3.5.cmml" type="integer" xref="A2.SS9.3.p3.5.m5.3.3.5">0</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.SS9.3.p3.5.m5.3c">\braket{\sigma}{\mathbf{v}}=\left(X\mathbf{v}\right)_{\sigma}\neq 0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.SS9.3.p3.5.m5.3d">⟨ start_ARG italic_σ end_ARG | start_ARG bold_v end_ARG ⟩ = ( italic_X bold_v ) start_POSTSUBSCRIPT italic_σ end_POSTSUBSCRIPT ≠ 0</annotation></semantics></math>, which implies that <math alttext="\ket{\mathbf{v}}" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.SS9.3.p3.6.m6.1"><semantics id="A2.SS9.3.p3.6.m6.1a"><mrow id="A2.SS9.3.p3.6.m6.1.1.3" xref="A2.SS9.3.p3.6.m6.1.1.2.cmml"><mo id="A2.SS9.3.p3.6.m6.1.1.3.1" stretchy="false" xref="A2.SS9.3.p3.6.m6.1.1.2.1.cmml">|</mo><mi id="A2.SS9.3.p3.6.m6.1.1.1.1" xref="A2.SS9.3.p3.6.m6.1.1.1.1.cmml">𝐯</mi><mo id="A2.SS9.3.p3.6.m6.1.1.3.2" stretchy="false" xref="A2.SS9.3.p3.6.m6.1.1.2.1.cmml">⟩</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.SS9.3.p3.6.m6.1b"><apply id="A2.SS9.3.p3.6.m6.1.1.2.cmml" xref="A2.SS9.3.p3.6.m6.1.1.3"><csymbol cd="latexml" id="A2.SS9.3.p3.6.m6.1.1.2.1.cmml" xref="A2.SS9.3.p3.6.m6.1.1.3.1">ket</csymbol><ci id="A2.SS9.3.p3.6.m6.1.1.1.1.cmml" xref="A2.SS9.3.p3.6.m6.1.1.1.1">𝐯</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.SS9.3.p3.6.m6.1c">\ket{\mathbf{v}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.SS9.3.p3.6.m6.1d">| start_ARG bold_v end_ARG ⟩</annotation></semantics></math> must be nonzero. ∎</p> </div> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_theorem" id="Thmtheoremx2"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmtheoremx2.1.1.1">Theorem</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmtheoremx2.2.2">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="Thmtheoremx2.p1"> <p class="ltx_p" id="Thmtheoremx2.p1.1"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmtheoremx2.p1.1.1">(Restatement of Theorem <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#Thmtheorem34" title="Theorem 34. ‣ IV.2 Co-deranged subspace ‣ IV Properties of the eigenspaces ‣ Conditional 𝑡-independent spectral gap for random quantum circuits and implications for 𝑡-design depths"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">34</span></a>) Define the intersection space to be the intersection of <math alttext="\operatorname{image}(X(\vec{q},t))" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheoremx2.p1.1.1.m1.4"><semantics id="Thmtheoremx2.p1.1.1.m1.4a"><mrow id="Thmtheoremx2.p1.1.1.m1.4.4.1" xref="Thmtheoremx2.p1.1.1.m1.4.4.2.cmml"><mi id="Thmtheoremx2.p1.1.1.m1.3.3" xref="Thmtheoremx2.p1.1.1.m1.3.3.cmml">image</mi><mo id="Thmtheoremx2.p1.1.1.m1.4.4.1a" xref="Thmtheoremx2.p1.1.1.m1.4.4.2.cmml">⁡</mo><mrow id="Thmtheoremx2.p1.1.1.m1.4.4.1.1" xref="Thmtheoremx2.p1.1.1.m1.4.4.2.cmml"><mo id="Thmtheoremx2.p1.1.1.m1.4.4.1.1.2" stretchy="false" xref="Thmtheoremx2.p1.1.1.m1.4.4.2.cmml">(</mo><mrow id="Thmtheoremx2.p1.1.1.m1.4.4.1.1.1" xref="Thmtheoremx2.p1.1.1.m1.4.4.1.1.1.cmml"><mi id="Thmtheoremx2.p1.1.1.m1.4.4.1.1.1.2" xref="Thmtheoremx2.p1.1.1.m1.4.4.1.1.1.2.cmml">X</mi><mo id="Thmtheoremx2.p1.1.1.m1.4.4.1.1.1.1" xref="Thmtheoremx2.p1.1.1.m1.4.4.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="Thmtheoremx2.p1.1.1.m1.4.4.1.1.1.3.2" xref="Thmtheoremx2.p1.1.1.m1.4.4.1.1.1.3.1.cmml"><mo id="Thmtheoremx2.p1.1.1.m1.4.4.1.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="Thmtheoremx2.p1.1.1.m1.4.4.1.1.1.3.1.cmml">(</mo><mover accent="true" id="Thmtheoremx2.p1.1.1.m1.1.1" xref="Thmtheoremx2.p1.1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="Thmtheoremx2.p1.1.1.m1.1.1.2" xref="Thmtheoremx2.p1.1.1.m1.1.1.2.cmml">q</mi><mo id="Thmtheoremx2.p1.1.1.m1.1.1.1" stretchy="false" xref="Thmtheoremx2.p1.1.1.m1.1.1.1.cmml">→</mo></mover><mo id="Thmtheoremx2.p1.1.1.m1.4.4.1.1.1.3.2.2" xref="Thmtheoremx2.p1.1.1.m1.4.4.1.1.1.3.1.cmml">,</mo><mi id="Thmtheoremx2.p1.1.1.m1.2.2" xref="Thmtheoremx2.p1.1.1.m1.2.2.cmml">t</mi><mo id="Thmtheoremx2.p1.1.1.m1.4.4.1.1.1.3.2.3" stretchy="false" xref="Thmtheoremx2.p1.1.1.m1.4.4.1.1.1.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="Thmtheoremx2.p1.1.1.m1.4.4.1.1.3" stretchy="false" xref="Thmtheoremx2.p1.1.1.m1.4.4.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheoremx2.p1.1.1.m1.4b"><apply id="Thmtheoremx2.p1.1.1.m1.4.4.2.cmml" xref="Thmtheoremx2.p1.1.1.m1.4.4.1"><ci id="Thmtheoremx2.p1.1.1.m1.3.3.cmml" xref="Thmtheoremx2.p1.1.1.m1.3.3">image</ci><apply id="Thmtheoremx2.p1.1.1.m1.4.4.1.1.1.cmml" xref="Thmtheoremx2.p1.1.1.m1.4.4.1.1.1"><times id="Thmtheoremx2.p1.1.1.m1.4.4.1.1.1.1.cmml" xref="Thmtheoremx2.p1.1.1.m1.4.4.1.1.1.1"></times><ci id="Thmtheoremx2.p1.1.1.m1.4.4.1.1.1.2.cmml" xref="Thmtheoremx2.p1.1.1.m1.4.4.1.1.1.2">𝑋</ci><interval closure="open" id="Thmtheoremx2.p1.1.1.m1.4.4.1.1.1.3.1.cmml" xref="Thmtheoremx2.p1.1.1.m1.4.4.1.1.1.3.2"><apply id="Thmtheoremx2.p1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="Thmtheoremx2.p1.1.1.m1.1.1"><ci id="Thmtheoremx2.p1.1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="Thmtheoremx2.p1.1.1.m1.1.1.1">→</ci><ci id="Thmtheoremx2.p1.1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="Thmtheoremx2.p1.1.1.m1.1.1.2">𝑞</ci></apply><ci id="Thmtheoremx2.p1.1.1.m1.2.2.cmml" xref="Thmtheoremx2.p1.1.1.m1.2.2">𝑡</ci></interval></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheoremx2.p1.1.1.m1.4c">\operatorname{image}(X(\vec{q},t))</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheoremx2.p1.1.1.m1.4d">roman_image ( italic_X ( over→ start_ARG italic_q end_ARG , italic_t ) )</annotation></semantics></math> with the preimage of the coderanged subspace,</span></p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_gather ltx_eqn_table" id="S6.EGx163"> <tbody id="A2.E202"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\displaystyle\mathcal{I}=\left\{\mathbf{v}\in\mathbb{C}^{t!^{N}}:\left(v_{\vec% {\sigma}}=0\forall\vec{\sigma}\in S_{t}^{2}\circ S_{t-1}^{\times N}\right)% \wedge\left(\mathbf{v}\in\operatorname{image}(X(\vec{q},t))\right)\right\}" class="ltx_Math" display="block" id="A2.E202.m1.5"><semantics id="A2.E202.m1.5a"><mrow id="A2.E202.m1.5.5" xref="A2.E202.m1.5.5.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="A2.E202.m1.5.5.4" xref="A2.E202.m1.5.5.4.cmml">ℐ</mi><mo id="A2.E202.m1.5.5.3" xref="A2.E202.m1.5.5.3.cmml">=</mo><mrow id="A2.E202.m1.5.5.2.2" xref="A2.E202.m1.5.5.2.3.cmml"><mo id="A2.E202.m1.5.5.2.2.3" xref="A2.E202.m1.5.5.2.3.1.cmml">{</mo><mrow id="A2.E202.m1.4.4.1.1.1" xref="A2.E202.m1.4.4.1.1.1.cmml"><mi id="A2.E202.m1.4.4.1.1.1.2" xref="A2.E202.m1.4.4.1.1.1.2.cmml">𝐯</mi><mo id="A2.E202.m1.4.4.1.1.1.1" xref="A2.E202.m1.4.4.1.1.1.1.cmml">∈</mo><msup id="A2.E202.m1.4.4.1.1.1.3" xref="A2.E202.m1.4.4.1.1.1.3.cmml"><mi id="A2.E202.m1.4.4.1.1.1.3.2" xref="A2.E202.m1.4.4.1.1.1.3.2.cmml">ℂ</mi><msup id="A2.E202.m1.4.4.1.1.1.3.3" xref="A2.E202.m1.4.4.1.1.1.3.3.cmml"><mrow id="A2.E202.m1.4.4.1.1.1.3.3.2" xref="A2.E202.m1.4.4.1.1.1.3.3.2.cmml"><mi id="A2.E202.m1.4.4.1.1.1.3.3.2.2" xref="A2.E202.m1.4.4.1.1.1.3.3.2.2.cmml">t</mi><mo id="A2.E202.m1.4.4.1.1.1.3.3.2.1" xref="A2.E202.m1.4.4.1.1.1.3.3.2.1.cmml">!</mo></mrow><mi id="A2.E202.m1.4.4.1.1.1.3.3.3" xref="A2.E202.m1.4.4.1.1.1.3.3.3.cmml">N</mi></msup></msup></mrow><mo id="A2.E202.m1.5.5.2.2.4" lspace="0.278em" rspace="0.278em" xref="A2.E202.m1.5.5.2.3.1.cmml">:</mo><mrow id="A2.E202.m1.5.5.2.2.2" xref="A2.E202.m1.5.5.2.2.2.cmml"><mrow id="A2.E202.m1.5.5.2.2.2.1.1" xref="A2.E202.m1.5.5.2.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="A2.E202.m1.5.5.2.2.2.1.1.2" xref="A2.E202.m1.5.5.2.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A2.E202.m1.5.5.2.2.2.1.1.1" xref="A2.E202.m1.5.5.2.2.2.1.1.1.cmml"><msub id="A2.E202.m1.5.5.2.2.2.1.1.1.2" xref="A2.E202.m1.5.5.2.2.2.1.1.1.2.cmml"><mi id="A2.E202.m1.5.5.2.2.2.1.1.1.2.2" xref="A2.E202.m1.5.5.2.2.2.1.1.1.2.2.cmml">v</mi><mover accent="true" id="A2.E202.m1.5.5.2.2.2.1.1.1.2.3" xref="A2.E202.m1.5.5.2.2.2.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="A2.E202.m1.5.5.2.2.2.1.1.1.2.3.2" xref="A2.E202.m1.5.5.2.2.2.1.1.1.2.3.2.cmml">σ</mi><mo id="A2.E202.m1.5.5.2.2.2.1.1.1.2.3.1" stretchy="false" xref="A2.E202.m1.5.5.2.2.2.1.1.1.2.3.1.cmml">→</mo></mover></msub><mo id="A2.E202.m1.5.5.2.2.2.1.1.1.3" xref="A2.E202.m1.5.5.2.2.2.1.1.1.3.cmml">=</mo><mrow id="A2.E202.m1.5.5.2.2.2.1.1.1.4" xref="A2.E202.m1.5.5.2.2.2.1.1.1.4.cmml"><mn id="A2.E202.m1.5.5.2.2.2.1.1.1.4.2" xref="A2.E202.m1.5.5.2.2.2.1.1.1.4.2.cmml">0</mn><mo id="A2.E202.m1.5.5.2.2.2.1.1.1.4.1" lspace="0.167em" xref="A2.E202.m1.5.5.2.2.2.1.1.1.4.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A2.E202.m1.5.5.2.2.2.1.1.1.4.3" xref="A2.E202.m1.5.5.2.2.2.1.1.1.4.3.cmml"><mo id="A2.E202.m1.5.5.2.2.2.1.1.1.4.3.1" rspace="0.167em" xref="A2.E202.m1.5.5.2.2.2.1.1.1.4.3.1.cmml">∀</mo><mover accent="true" id="A2.E202.m1.5.5.2.2.2.1.1.1.4.3.2" xref="A2.E202.m1.5.5.2.2.2.1.1.1.4.3.2.cmml"><mi id="A2.E202.m1.5.5.2.2.2.1.1.1.4.3.2.2" xref="A2.E202.m1.5.5.2.2.2.1.1.1.4.3.2.2.cmml">σ</mi><mo id="A2.E202.m1.5.5.2.2.2.1.1.1.4.3.2.1" stretchy="false" xref="A2.E202.m1.5.5.2.2.2.1.1.1.4.3.2.1.cmml">→</mo></mover></mrow></mrow><mo id="A2.E202.m1.5.5.2.2.2.1.1.1.5" xref="A2.E202.m1.5.5.2.2.2.1.1.1.5.cmml">∈</mo><mrow id="A2.E202.m1.5.5.2.2.2.1.1.1.6" xref="A2.E202.m1.5.5.2.2.2.1.1.1.6.cmml"><msubsup id="A2.E202.m1.5.5.2.2.2.1.1.1.6.2" xref="A2.E202.m1.5.5.2.2.2.1.1.1.6.2.cmml"><mi id="A2.E202.m1.5.5.2.2.2.1.1.1.6.2.2.2" xref="A2.E202.m1.5.5.2.2.2.1.1.1.6.2.2.2.cmml">S</mi><mi id="A2.E202.m1.5.5.2.2.2.1.1.1.6.2.2.3" xref="A2.E202.m1.5.5.2.2.2.1.1.1.6.2.2.3.cmml">t</mi><mn id="A2.E202.m1.5.5.2.2.2.1.1.1.6.2.3" xref="A2.E202.m1.5.5.2.2.2.1.1.1.6.2.3.cmml">2</mn></msubsup><mo id="A2.E202.m1.5.5.2.2.2.1.1.1.6.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="A2.E202.m1.5.5.2.2.2.1.1.1.6.1.cmml">∘</mo><msubsup id="A2.E202.m1.5.5.2.2.2.1.1.1.6.3" xref="A2.E202.m1.5.5.2.2.2.1.1.1.6.3.cmml"><mi id="A2.E202.m1.5.5.2.2.2.1.1.1.6.3.2.2" xref="A2.E202.m1.5.5.2.2.2.1.1.1.6.3.2.2.cmml">S</mi><mrow id="A2.E202.m1.5.5.2.2.2.1.1.1.6.3.2.3" xref="A2.E202.m1.5.5.2.2.2.1.1.1.6.3.2.3.cmml"><mi id="A2.E202.m1.5.5.2.2.2.1.1.1.6.3.2.3.2" xref="A2.E202.m1.5.5.2.2.2.1.1.1.6.3.2.3.2.cmml">t</mi><mo id="A2.E202.m1.5.5.2.2.2.1.1.1.6.3.2.3.1" xref="A2.E202.m1.5.5.2.2.2.1.1.1.6.3.2.3.1.cmml">−</mo><mn id="A2.E202.m1.5.5.2.2.2.1.1.1.6.3.2.3.3" xref="A2.E202.m1.5.5.2.2.2.1.1.1.6.3.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mrow id="A2.E202.m1.5.5.2.2.2.1.1.1.6.3.3" xref="A2.E202.m1.5.5.2.2.2.1.1.1.6.3.3.cmml"><mi id="A2.E202.m1.5.5.2.2.2.1.1.1.6.3.3.2" xref="A2.E202.m1.5.5.2.2.2.1.1.1.6.3.3.2.cmml"></mi><mo id="A2.E202.m1.5.5.2.2.2.1.1.1.6.3.3.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="A2.E202.m1.5.5.2.2.2.1.1.1.6.3.3.1.cmml">×</mo><mi id="A2.E202.m1.5.5.2.2.2.1.1.1.6.3.3.3" xref="A2.E202.m1.5.5.2.2.2.1.1.1.6.3.3.3.cmml">N</mi></mrow></msubsup></mrow></mrow><mo id="A2.E202.m1.5.5.2.2.2.1.1.3" xref="A2.E202.m1.5.5.2.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A2.E202.m1.5.5.2.2.2.3" xref="A2.E202.m1.5.5.2.2.2.3.cmml">∧</mo><mrow id="A2.E202.m1.5.5.2.2.2.2.1" xref="A2.E202.m1.5.5.2.2.2.2.1.1.cmml"><mo id="A2.E202.m1.5.5.2.2.2.2.1.2" xref="A2.E202.m1.5.5.2.2.2.2.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A2.E202.m1.5.5.2.2.2.2.1.1" xref="A2.E202.m1.5.5.2.2.2.2.1.1.cmml"><mi id="A2.E202.m1.5.5.2.2.2.2.1.1.3" xref="A2.E202.m1.5.5.2.2.2.2.1.1.3.cmml">𝐯</mi><mo id="A2.E202.m1.5.5.2.2.2.2.1.1.2" xref="A2.E202.m1.5.5.2.2.2.2.1.1.2.cmml">∈</mo><mrow id="A2.E202.m1.5.5.2.2.2.2.1.1.1.1" xref="A2.E202.m1.5.5.2.2.2.2.1.1.1.2.cmml"><mi id="A2.E202.m1.3.3" xref="A2.E202.m1.3.3.cmml">image</mi><mo id="A2.E202.m1.5.5.2.2.2.2.1.1.1.1a" xref="A2.E202.m1.5.5.2.2.2.2.1.1.1.2.cmml">⁡</mo><mrow id="A2.E202.m1.5.5.2.2.2.2.1.1.1.1.1" xref="A2.E202.m1.5.5.2.2.2.2.1.1.1.2.cmml"><mo id="A2.E202.m1.5.5.2.2.2.2.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A2.E202.m1.5.5.2.2.2.2.1.1.1.2.cmml">(</mo><mrow id="A2.E202.m1.5.5.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="A2.E202.m1.5.5.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A2.E202.m1.5.5.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2" xref="A2.E202.m1.5.5.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml">X</mi><mo id="A2.E202.m1.5.5.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="A2.E202.m1.5.5.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A2.E202.m1.5.5.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A2.E202.m1.5.5.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml"><mo id="A2.E202.m1.5.5.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="A2.E202.m1.5.5.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">(</mo><mover accent="true" id="A2.E202.m1.1.1" xref="A2.E202.m1.1.1.cmml"><mi id="A2.E202.m1.1.1.2" xref="A2.E202.m1.1.1.2.cmml">q</mi><mo id="A2.E202.m1.1.1.1" stretchy="false" xref="A2.E202.m1.1.1.1.cmml">→</mo></mover><mo id="A2.E202.m1.5.5.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="A2.E202.m1.5.5.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">,</mo><mi id="A2.E202.m1.2.2" xref="A2.E202.m1.2.2.cmml">t</mi><mo id="A2.E202.m1.5.5.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.3" stretchy="false" xref="A2.E202.m1.5.5.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A2.E202.m1.5.5.2.2.2.2.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A2.E202.m1.5.5.2.2.2.2.1.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="A2.E202.m1.5.5.2.2.2.2.1.3" xref="A2.E202.m1.5.5.2.2.2.2.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A2.E202.m1.5.5.2.2.5" xref="A2.E202.m1.5.5.2.3.1.cmml">}</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.E202.m1.5b"><apply id="A2.E202.m1.5.5.cmml" 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id="A2.E202.m1.4.4.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="A2.E202.m1.4.4.1.1.1.3.3.2"><factorial id="A2.E202.m1.4.4.1.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="A2.E202.m1.4.4.1.1.1.3.3.2.1"></factorial><ci id="A2.E202.m1.4.4.1.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="A2.E202.m1.4.4.1.1.1.3.3.2.2">𝑡</ci></apply><ci id="A2.E202.m1.4.4.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="A2.E202.m1.4.4.1.1.1.3.3.3">𝑁</ci></apply></apply></apply><apply id="A2.E202.m1.5.5.2.2.2.cmml" xref="A2.E202.m1.5.5.2.2.2"><and id="A2.E202.m1.5.5.2.2.2.3.cmml" xref="A2.E202.m1.5.5.2.2.2.3"></and><apply id="A2.E202.m1.5.5.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="A2.E202.m1.5.5.2.2.2.1.1"><and id="A2.E202.m1.5.5.2.2.2.1.1.1a.cmml" xref="A2.E202.m1.5.5.2.2.2.1.1"></and><apply id="A2.E202.m1.5.5.2.2.2.1.1.1b.cmml" xref="A2.E202.m1.5.5.2.2.2.1.1"><eq id="A2.E202.m1.5.5.2.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="A2.E202.m1.5.5.2.2.2.1.1.1.3"></eq><apply id="A2.E202.m1.5.5.2.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="A2.E202.m1.5.5.2.2.2.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E202.m1.5.5.2.2.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="A2.E202.m1.5.5.2.2.2.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="A2.E202.m1.5.5.2.2.2.1.1.1.2.2.cmml" xref="A2.E202.m1.5.5.2.2.2.1.1.1.2.2">𝑣</ci><apply id="A2.E202.m1.5.5.2.2.2.1.1.1.2.3.cmml" xref="A2.E202.m1.5.5.2.2.2.1.1.1.2.3"><ci id="A2.E202.m1.5.5.2.2.2.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="A2.E202.m1.5.5.2.2.2.1.1.1.2.3.1">→</ci><ci id="A2.E202.m1.5.5.2.2.2.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="A2.E202.m1.5.5.2.2.2.1.1.1.2.3.2">𝜎</ci></apply></apply><apply id="A2.E202.m1.5.5.2.2.2.1.1.1.4.cmml" xref="A2.E202.m1.5.5.2.2.2.1.1.1.4"><times id="A2.E202.m1.5.5.2.2.2.1.1.1.4.1.cmml" xref="A2.E202.m1.5.5.2.2.2.1.1.1.4.1"></times><cn id="A2.E202.m1.5.5.2.2.2.1.1.1.4.2.cmml" type="integer" xref="A2.E202.m1.5.5.2.2.2.1.1.1.4.2">0</cn><apply id="A2.E202.m1.5.5.2.2.2.1.1.1.4.3.cmml" xref="A2.E202.m1.5.5.2.2.2.1.1.1.4.3"><csymbol cd="latexml" id="A2.E202.m1.5.5.2.2.2.1.1.1.4.3.1.cmml" xref="A2.E202.m1.5.5.2.2.2.1.1.1.4.3.1">for-all</csymbol><apply id="A2.E202.m1.5.5.2.2.2.1.1.1.4.3.2.cmml" xref="A2.E202.m1.5.5.2.2.2.1.1.1.4.3.2"><ci id="A2.E202.m1.5.5.2.2.2.1.1.1.4.3.2.1.cmml" xref="A2.E202.m1.5.5.2.2.2.1.1.1.4.3.2.1">→</ci><ci id="A2.E202.m1.5.5.2.2.2.1.1.1.4.3.2.2.cmml" xref="A2.E202.m1.5.5.2.2.2.1.1.1.4.3.2.2">𝜎</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="A2.E202.m1.5.5.2.2.2.1.1.1c.cmml" xref="A2.E202.m1.5.5.2.2.2.1.1"><in id="A2.E202.m1.5.5.2.2.2.1.1.1.5.cmml" xref="A2.E202.m1.5.5.2.2.2.1.1.1.5"></in><share href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#A2.E202.m1.5.5.2.2.2.1.1.1.4.cmml" id="A2.E202.m1.5.5.2.2.2.1.1.1d.cmml" xref="A2.E202.m1.5.5.2.2.2.1.1"></share><apply id="A2.E202.m1.5.5.2.2.2.1.1.1.6.cmml" xref="A2.E202.m1.5.5.2.2.2.1.1.1.6"><compose id="A2.E202.m1.5.5.2.2.2.1.1.1.6.1.cmml" xref="A2.E202.m1.5.5.2.2.2.1.1.1.6.1"></compose><apply id="A2.E202.m1.5.5.2.2.2.1.1.1.6.2.cmml" xref="A2.E202.m1.5.5.2.2.2.1.1.1.6.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E202.m1.5.5.2.2.2.1.1.1.6.2.1.cmml" xref="A2.E202.m1.5.5.2.2.2.1.1.1.6.2">superscript</csymbol><apply id="A2.E202.m1.5.5.2.2.2.1.1.1.6.2.2.cmml" xref="A2.E202.m1.5.5.2.2.2.1.1.1.6.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E202.m1.5.5.2.2.2.1.1.1.6.2.2.1.cmml" xref="A2.E202.m1.5.5.2.2.2.1.1.1.6.2">subscript</csymbol><ci id="A2.E202.m1.5.5.2.2.2.1.1.1.6.2.2.2.cmml" xref="A2.E202.m1.5.5.2.2.2.1.1.1.6.2.2.2">𝑆</ci><ci id="A2.E202.m1.5.5.2.2.2.1.1.1.6.2.2.3.cmml" xref="A2.E202.m1.5.5.2.2.2.1.1.1.6.2.2.3">𝑡</ci></apply><cn id="A2.E202.m1.5.5.2.2.2.1.1.1.6.2.3.cmml" type="integer" xref="A2.E202.m1.5.5.2.2.2.1.1.1.6.2.3">2</cn></apply><apply id="A2.E202.m1.5.5.2.2.2.1.1.1.6.3.cmml" xref="A2.E202.m1.5.5.2.2.2.1.1.1.6.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E202.m1.5.5.2.2.2.1.1.1.6.3.1.cmml" xref="A2.E202.m1.5.5.2.2.2.1.1.1.6.3">superscript</csymbol><apply id="A2.E202.m1.5.5.2.2.2.1.1.1.6.3.2.cmml" xref="A2.E202.m1.5.5.2.2.2.1.1.1.6.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E202.m1.5.5.2.2.2.1.1.1.6.3.2.1.cmml" xref="A2.E202.m1.5.5.2.2.2.1.1.1.6.3">subscript</csymbol><ci id="A2.E202.m1.5.5.2.2.2.1.1.1.6.3.2.2.cmml" xref="A2.E202.m1.5.5.2.2.2.1.1.1.6.3.2.2">𝑆</ci><apply id="A2.E202.m1.5.5.2.2.2.1.1.1.6.3.2.3.cmml" xref="A2.E202.m1.5.5.2.2.2.1.1.1.6.3.2.3"><minus id="A2.E202.m1.5.5.2.2.2.1.1.1.6.3.2.3.1.cmml" xref="A2.E202.m1.5.5.2.2.2.1.1.1.6.3.2.3.1"></minus><ci id="A2.E202.m1.5.5.2.2.2.1.1.1.6.3.2.3.2.cmml" xref="A2.E202.m1.5.5.2.2.2.1.1.1.6.3.2.3.2">𝑡</ci><cn id="A2.E202.m1.5.5.2.2.2.1.1.1.6.3.2.3.3.cmml" type="integer" xref="A2.E202.m1.5.5.2.2.2.1.1.1.6.3.2.3.3">1</cn></apply></apply><apply id="A2.E202.m1.5.5.2.2.2.1.1.1.6.3.3.cmml" xref="A2.E202.m1.5.5.2.2.2.1.1.1.6.3.3"><times id="A2.E202.m1.5.5.2.2.2.1.1.1.6.3.3.1.cmml" xref="A2.E202.m1.5.5.2.2.2.1.1.1.6.3.3.1"></times><csymbol cd="latexml" id="A2.E202.m1.5.5.2.2.2.1.1.1.6.3.3.2.cmml" xref="A2.E202.m1.5.5.2.2.2.1.1.1.6.3.3.2">absent</csymbol><ci id="A2.E202.m1.5.5.2.2.2.1.1.1.6.3.3.3.cmml" xref="A2.E202.m1.5.5.2.2.2.1.1.1.6.3.3.3">𝑁</ci></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="A2.E202.m1.5.5.2.2.2.2.1.1.cmml" xref="A2.E202.m1.5.5.2.2.2.2.1"><in id="A2.E202.m1.5.5.2.2.2.2.1.1.2.cmml" xref="A2.E202.m1.5.5.2.2.2.2.1.1.2"></in><ci id="A2.E202.m1.5.5.2.2.2.2.1.1.3.cmml" xref="A2.E202.m1.5.5.2.2.2.2.1.1.3">𝐯</ci><apply id="A2.E202.m1.5.5.2.2.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="A2.E202.m1.5.5.2.2.2.2.1.1.1.1"><ci id="A2.E202.m1.3.3.cmml" xref="A2.E202.m1.3.3">image</ci><apply id="A2.E202.m1.5.5.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A2.E202.m1.5.5.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1"><times id="A2.E202.m1.5.5.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A2.E202.m1.5.5.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1"></times><ci id="A2.E202.m1.5.5.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A2.E202.m1.5.5.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2">𝑋</ci><interval closure="open" id="A2.E202.m1.5.5.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A2.E202.m1.5.5.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2"><apply id="A2.E202.m1.1.1.cmml" xref="A2.E202.m1.1.1"><ci id="A2.E202.m1.1.1.1.cmml" xref="A2.E202.m1.1.1.1">→</ci><ci id="A2.E202.m1.1.1.2.cmml" xref="A2.E202.m1.1.1.2">𝑞</ci></apply><ci id="A2.E202.m1.2.2.cmml" xref="A2.E202.m1.2.2">𝑡</ci></interval></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.E202.m1.5c">\displaystyle\mathcal{I}=\left\{\mathbf{v}\in\mathbb{C}^{t!^{N}}:\left(v_{\vec% {\sigma}}=0\forall\vec{\sigma}\in S_{t}^{2}\circ S_{t-1}^{\times N}\right)% \wedge\left(\mathbf{v}\in\operatorname{image}(X(\vec{q},t))\right)\right\}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.E202.m1.5d">caligraphic_I = { bold_v ∈ blackboard_C start_POSTSUPERSCRIPT italic_t ! start_POSTSUPERSCRIPT italic_N end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT : ( italic_v start_POSTSUBSCRIPT over→ start_ARG italic_σ end_ARG end_POSTSUBSCRIPT = 0 ∀ over→ start_ARG italic_σ end_ARG ∈ italic_S start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ∘ italic_S start_POSTSUBSCRIPT italic_t - 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT × italic_N end_POSTSUPERSCRIPT ) ∧ ( bold_v ∈ roman_image ( italic_X ( over→ start_ARG italic_q end_ARG , italic_t ) ) ) }</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(202)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="Thmtheoremx2.p1.4"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmtheoremx2.p1.4.3">The restriction of the embedding <math alttext="E" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheoremx2.p1.2.1.m1.1"><semantics id="Thmtheoremx2.p1.2.1.m1.1a"><mi id="Thmtheoremx2.p1.2.1.m1.1.1" xref="Thmtheoremx2.p1.2.1.m1.1.1.cmml">E</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheoremx2.p1.2.1.m1.1b"><ci id="Thmtheoremx2.p1.2.1.m1.1.1.cmml" xref="Thmtheoremx2.p1.2.1.m1.1.1">𝐸</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheoremx2.p1.2.1.m1.1c">E</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheoremx2.p1.2.1.m1.1d">italic_E</annotation></semantics></math> to <math alttext="\mathcal{I}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheoremx2.p1.3.2.m2.1"><semantics id="Thmtheoremx2.p1.3.2.m2.1a"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="Thmtheoremx2.p1.3.2.m2.1.1" xref="Thmtheoremx2.p1.3.2.m2.1.1.cmml">ℐ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheoremx2.p1.3.2.m2.1b"><ci id="Thmtheoremx2.p1.3.2.m2.1.1.cmml" xref="Thmtheoremx2.p1.3.2.m2.1.1">ℐ</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheoremx2.p1.3.2.m2.1c">\mathcal{I}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheoremx2.p1.3.2.m2.1d">caligraphic_I</annotation></semantics></math> is a vector-space isomorphism between <math alttext="\mathcal{I}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheoremx2.p1.4.3.m3.1"><semantics id="Thmtheoremx2.p1.4.3.m3.1a"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="Thmtheoremx2.p1.4.3.m3.1.1" xref="Thmtheoremx2.p1.4.3.m3.1.1.cmml">ℐ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheoremx2.p1.4.3.m3.1b"><ci id="Thmtheoremx2.p1.4.3.m3.1.1.cmml" xref="Thmtheoremx2.p1.4.3.m3.1.1">ℐ</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheoremx2.p1.4.3.m3.1c">\mathcal{I}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheoremx2.p1.4.3.m3.1d">caligraphic_I</annotation></semantics></math> and the orthogonal complement of the non-deranged subspace.</span></p> </div> </div> <div class="ltx_proof" id="A2.SS9.6"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_font_italic ltx_title_proof">Proof.</h6> <div class="ltx_para" id="A2.SS9.4.p1"> <p class="ltx_p" id="A2.SS9.4.p1.6">Let <math alttext="E\left(\mathcal{I}\right)" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.SS9.4.p1.1.m1.1"><semantics id="A2.SS9.4.p1.1.m1.1a"><mrow id="A2.SS9.4.p1.1.m1.1.2" xref="A2.SS9.4.p1.1.m1.1.2.cmml"><mi id="A2.SS9.4.p1.1.m1.1.2.2" xref="A2.SS9.4.p1.1.m1.1.2.2.cmml">E</mi><mo id="A2.SS9.4.p1.1.m1.1.2.1" xref="A2.SS9.4.p1.1.m1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A2.SS9.4.p1.1.m1.1.2.3.2" xref="A2.SS9.4.p1.1.m1.1.2.cmml"><mo id="A2.SS9.4.p1.1.m1.1.2.3.2.1" xref="A2.SS9.4.p1.1.m1.1.2.cmml">(</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="A2.SS9.4.p1.1.m1.1.1" xref="A2.SS9.4.p1.1.m1.1.1.cmml">ℐ</mi><mo id="A2.SS9.4.p1.1.m1.1.2.3.2.2" xref="A2.SS9.4.p1.1.m1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.SS9.4.p1.1.m1.1b"><apply id="A2.SS9.4.p1.1.m1.1.2.cmml" xref="A2.SS9.4.p1.1.m1.1.2"><times id="A2.SS9.4.p1.1.m1.1.2.1.cmml" xref="A2.SS9.4.p1.1.m1.1.2.1"></times><ci id="A2.SS9.4.p1.1.m1.1.2.2.cmml" xref="A2.SS9.4.p1.1.m1.1.2.2">𝐸</ci><ci id="A2.SS9.4.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="A2.SS9.4.p1.1.m1.1.1">ℐ</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.SS9.4.p1.1.m1.1c">E\left(\mathcal{I}\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.SS9.4.p1.1.m1.1d">italic_E ( caligraphic_I )</annotation></semantics></math> be the image of <math alttext="\mathcal{I}" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.SS9.4.p1.2.m2.1"><semantics id="A2.SS9.4.p1.2.m2.1a"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="A2.SS9.4.p1.2.m2.1.1" xref="A2.SS9.4.p1.2.m2.1.1.cmml">ℐ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.SS9.4.p1.2.m2.1b"><ci id="A2.SS9.4.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="A2.SS9.4.p1.2.m2.1.1">ℐ</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.SS9.4.p1.2.m2.1c">\mathcal{I}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.SS9.4.p1.2.m2.1d">caligraphic_I</annotation></semantics></math> under <math alttext="E" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.SS9.4.p1.3.m3.1"><semantics id="A2.SS9.4.p1.3.m3.1a"><mi id="A2.SS9.4.p1.3.m3.1.1" xref="A2.SS9.4.p1.3.m3.1.1.cmml">E</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.SS9.4.p1.3.m3.1b"><ci id="A2.SS9.4.p1.3.m3.1.1.cmml" xref="A2.SS9.4.p1.3.m3.1.1">𝐸</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.SS9.4.p1.3.m3.1c">E</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.SS9.4.p1.3.m3.1d">italic_E</annotation></semantics></math>. We first show that every element of <math alttext="E\left(\mathcal{I}\right)" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.SS9.4.p1.4.m4.1"><semantics id="A2.SS9.4.p1.4.m4.1a"><mrow id="A2.SS9.4.p1.4.m4.1.2" xref="A2.SS9.4.p1.4.m4.1.2.cmml"><mi id="A2.SS9.4.p1.4.m4.1.2.2" xref="A2.SS9.4.p1.4.m4.1.2.2.cmml">E</mi><mo id="A2.SS9.4.p1.4.m4.1.2.1" xref="A2.SS9.4.p1.4.m4.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A2.SS9.4.p1.4.m4.1.2.3.2" xref="A2.SS9.4.p1.4.m4.1.2.cmml"><mo id="A2.SS9.4.p1.4.m4.1.2.3.2.1" xref="A2.SS9.4.p1.4.m4.1.2.cmml">(</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="A2.SS9.4.p1.4.m4.1.1" xref="A2.SS9.4.p1.4.m4.1.1.cmml">ℐ</mi><mo id="A2.SS9.4.p1.4.m4.1.2.3.2.2" xref="A2.SS9.4.p1.4.m4.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.SS9.4.p1.4.m4.1b"><apply id="A2.SS9.4.p1.4.m4.1.2.cmml" xref="A2.SS9.4.p1.4.m4.1.2"><times id="A2.SS9.4.p1.4.m4.1.2.1.cmml" xref="A2.SS9.4.p1.4.m4.1.2.1"></times><ci id="A2.SS9.4.p1.4.m4.1.2.2.cmml" xref="A2.SS9.4.p1.4.m4.1.2.2">𝐸</ci><ci id="A2.SS9.4.p1.4.m4.1.1.cmml" xref="A2.SS9.4.p1.4.m4.1.1">ℐ</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.SS9.4.p1.4.m4.1c">E\left(\mathcal{I}\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.SS9.4.p1.4.m4.1d">italic_E ( caligraphic_I )</annotation></semantics></math> is orthogonal to the non-deranged subspace. From Lemma <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#Thmtheorem59" title="Lemma 59. ‣ B.9 Proof of Theorem 34 ‣ Appendix B Assorted proofs ‣ Conditional 𝑡-independent spectral gap for random quantum circuits and implications for 𝑡-design depths"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">59</span></a>.1 we see <math alttext="\mathbf{v}\in\operatorname{image}(X)" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.SS9.4.p1.5.m5.2"><semantics id="A2.SS9.4.p1.5.m5.2a"><mrow id="A2.SS9.4.p1.5.m5.2.3" xref="A2.SS9.4.p1.5.m5.2.3.cmml"><mi id="A2.SS9.4.p1.5.m5.2.3.2" xref="A2.SS9.4.p1.5.m5.2.3.2.cmml">𝐯</mi><mo id="A2.SS9.4.p1.5.m5.2.3.1" xref="A2.SS9.4.p1.5.m5.2.3.1.cmml">∈</mo><mrow id="A2.SS9.4.p1.5.m5.2.3.3.2" xref="A2.SS9.4.p1.5.m5.2.3.3.1.cmml"><mi id="A2.SS9.4.p1.5.m5.1.1" xref="A2.SS9.4.p1.5.m5.1.1.cmml">image</mi><mo id="A2.SS9.4.p1.5.m5.2.3.3.2a" xref="A2.SS9.4.p1.5.m5.2.3.3.1.cmml">⁡</mo><mrow id="A2.SS9.4.p1.5.m5.2.3.3.2.1" xref="A2.SS9.4.p1.5.m5.2.3.3.1.cmml"><mo id="A2.SS9.4.p1.5.m5.2.3.3.2.1.1" stretchy="false" xref="A2.SS9.4.p1.5.m5.2.3.3.1.cmml">(</mo><mi id="A2.SS9.4.p1.5.m5.2.2" xref="A2.SS9.4.p1.5.m5.2.2.cmml">X</mi><mo id="A2.SS9.4.p1.5.m5.2.3.3.2.1.2" stretchy="false" xref="A2.SS9.4.p1.5.m5.2.3.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.SS9.4.p1.5.m5.2b"><apply id="A2.SS9.4.p1.5.m5.2.3.cmml" xref="A2.SS9.4.p1.5.m5.2.3"><in id="A2.SS9.4.p1.5.m5.2.3.1.cmml" xref="A2.SS9.4.p1.5.m5.2.3.1"></in><ci id="A2.SS9.4.p1.5.m5.2.3.2.cmml" xref="A2.SS9.4.p1.5.m5.2.3.2">𝐯</ci><apply id="A2.SS9.4.p1.5.m5.2.3.3.1.cmml" xref="A2.SS9.4.p1.5.m5.2.3.3.2"><ci id="A2.SS9.4.p1.5.m5.1.1.cmml" xref="A2.SS9.4.p1.5.m5.1.1">image</ci><ci id="A2.SS9.4.p1.5.m5.2.2.cmml" xref="A2.SS9.4.p1.5.m5.2.2">𝑋</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.SS9.4.p1.5.m5.2c">\mathbf{v}\in\operatorname{image}(X)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.SS9.4.p1.5.m5.2d">bold_v ∈ roman_image ( italic_X )</annotation></semantics></math> implies <math alttext="X\mathbf{v}=\mathbf{v}" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.SS9.4.p1.6.m6.1"><semantics id="A2.SS9.4.p1.6.m6.1a"><mrow id="A2.SS9.4.p1.6.m6.1.1" xref="A2.SS9.4.p1.6.m6.1.1.cmml"><mrow id="A2.SS9.4.p1.6.m6.1.1.2" xref="A2.SS9.4.p1.6.m6.1.1.2.cmml"><mi id="A2.SS9.4.p1.6.m6.1.1.2.2" xref="A2.SS9.4.p1.6.m6.1.1.2.2.cmml">X</mi><mo id="A2.SS9.4.p1.6.m6.1.1.2.1" xref="A2.SS9.4.p1.6.m6.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="A2.SS9.4.p1.6.m6.1.1.2.3" xref="A2.SS9.4.p1.6.m6.1.1.2.3.cmml">𝐯</mi></mrow><mo id="A2.SS9.4.p1.6.m6.1.1.1" xref="A2.SS9.4.p1.6.m6.1.1.1.cmml">=</mo><mi id="A2.SS9.4.p1.6.m6.1.1.3" xref="A2.SS9.4.p1.6.m6.1.1.3.cmml">𝐯</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.SS9.4.p1.6.m6.1b"><apply id="A2.SS9.4.p1.6.m6.1.1.cmml" xref="A2.SS9.4.p1.6.m6.1.1"><eq id="A2.SS9.4.p1.6.m6.1.1.1.cmml" xref="A2.SS9.4.p1.6.m6.1.1.1"></eq><apply id="A2.SS9.4.p1.6.m6.1.1.2.cmml" xref="A2.SS9.4.p1.6.m6.1.1.2"><times id="A2.SS9.4.p1.6.m6.1.1.2.1.cmml" xref="A2.SS9.4.p1.6.m6.1.1.2.1"></times><ci id="A2.SS9.4.p1.6.m6.1.1.2.2.cmml" xref="A2.SS9.4.p1.6.m6.1.1.2.2">𝑋</ci><ci id="A2.SS9.4.p1.6.m6.1.1.2.3.cmml" xref="A2.SS9.4.p1.6.m6.1.1.2.3">𝐯</ci></apply><ci id="A2.SS9.4.p1.6.m6.1.1.3.cmml" xref="A2.SS9.4.p1.6.m6.1.1.3">𝐯</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.SS9.4.p1.6.m6.1c">X\mathbf{v}=\mathbf{v}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.SS9.4.p1.6.m6.1d">italic_X bold_v = bold_v</annotation></semantics></math>, so we can compute</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_gather ltx_eqn_table" id="S6.EGx164"> <tbody id="A2.E203"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\displaystyle\braket{\vec{\sigma}}{\mathbf{v}}=\sum_{\vec{\tau}}v_{\vec{\tau}}% \braket{\vec{\sigma}}{\widetilde{\vec{\tau}}}=\sum_{\vec{\tau}}X_{\vec{\sigma}% \vec{\tau}}v_{\vec{\tau}}=v_{\vec{\sigma}}=0" class="ltx_Math" display="block" id="A2.E203.m1.4"><semantics id="A2.E203.m1.4a"><mrow id="A2.E203.m1.4.5" xref="A2.E203.m1.4.5.cmml"><mrow id="A2.E203.m1.2.2.4" xref="A2.E203.m1.2.2.3.cmml"><mo id="A2.E203.m1.2.2.4.1" stretchy="false" xref="A2.E203.m1.2.2.3.1.cmml">⟨</mo><mover accent="true" id="A2.E203.m1.1.1.1.1" xref="A2.E203.m1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A2.E203.m1.1.1.1.1.2" xref="A2.E203.m1.1.1.1.1.2.cmml">σ</mi><mo id="A2.E203.m1.1.1.1.1.1" stretchy="false" xref="A2.E203.m1.1.1.1.1.1.cmml">→</mo></mover><mo id="A2.E203.m1.2.2.4.2" lspace="0em" rspace="0.170em" xref="A2.E203.m1.2.2.3.1.cmml">|</mo><mi id="A2.E203.m1.2.2.2.2" xref="A2.E203.m1.2.2.2.2.cmml">𝐯</mi><mo id="A2.E203.m1.2.2.4.3" stretchy="false" xref="A2.E203.m1.2.2.3.1.cmml">⟩</mo></mrow><mo id="A2.E203.m1.4.5.2" rspace="0.111em" xref="A2.E203.m1.4.5.2.cmml">=</mo><mrow id="A2.E203.m1.4.5.3" xref="A2.E203.m1.4.5.3.cmml"><munder id="A2.E203.m1.4.5.3.1" xref="A2.E203.m1.4.5.3.1.cmml"><mo id="A2.E203.m1.4.5.3.1.2" movablelimits="false" xref="A2.E203.m1.4.5.3.1.2.cmml">∑</mo><mover accent="true" id="A2.E203.m1.4.5.3.1.3" xref="A2.E203.m1.4.5.3.1.3.cmml"><mi id="A2.E203.m1.4.5.3.1.3.2" xref="A2.E203.m1.4.5.3.1.3.2.cmml">τ</mi><mo id="A2.E203.m1.4.5.3.1.3.1" stretchy="false" xref="A2.E203.m1.4.5.3.1.3.1.cmml">→</mo></mover></munder><mrow id="A2.E203.m1.4.5.3.2" xref="A2.E203.m1.4.5.3.2.cmml"><msub id="A2.E203.m1.4.5.3.2.2" xref="A2.E203.m1.4.5.3.2.2.cmml"><mi id="A2.E203.m1.4.5.3.2.2.2" xref="A2.E203.m1.4.5.3.2.2.2.cmml">v</mi><mover accent="true" id="A2.E203.m1.4.5.3.2.2.3" xref="A2.E203.m1.4.5.3.2.2.3.cmml"><mi id="A2.E203.m1.4.5.3.2.2.3.2" xref="A2.E203.m1.4.5.3.2.2.3.2.cmml">τ</mi><mo id="A2.E203.m1.4.5.3.2.2.3.1" stretchy="false" xref="A2.E203.m1.4.5.3.2.2.3.1.cmml">→</mo></mover></msub><mo id="A2.E203.m1.4.5.3.2.1" xref="A2.E203.m1.4.5.3.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A2.E203.m1.4.4.4" xref="A2.E203.m1.4.4.3.cmml"><mo id="A2.E203.m1.4.4.4.1" stretchy="false" xref="A2.E203.m1.4.4.3.1.cmml">⟨</mo><mover accent="true" id="A2.E203.m1.3.3.1.1" xref="A2.E203.m1.3.3.1.1.cmml"><mi id="A2.E203.m1.3.3.1.1.2" xref="A2.E203.m1.3.3.1.1.2.cmml">σ</mi><mo id="A2.E203.m1.3.3.1.1.1" stretchy="false" xref="A2.E203.m1.3.3.1.1.1.cmml">→</mo></mover><mo id="A2.E203.m1.4.4.4.2" lspace="0em" rspace="0.170em" xref="A2.E203.m1.4.4.3.1.cmml">|</mo><mover accent="true" id="A2.E203.m1.4.4.2.2" xref="A2.E203.m1.4.4.2.2.cmml"><mover accent="true" id="A2.E203.m1.4.4.2.2.2" xref="A2.E203.m1.4.4.2.2.2.cmml"><mi id="A2.E203.m1.4.4.2.2.2.2" xref="A2.E203.m1.4.4.2.2.2.2.cmml">τ</mi><mo id="A2.E203.m1.4.4.2.2.2.1" stretchy="false" xref="A2.E203.m1.4.4.2.2.2.1.cmml">→</mo></mover><mo id="A2.E203.m1.4.4.2.2.1" xref="A2.E203.m1.4.4.2.2.1.cmml">~</mo></mover><mo id="A2.E203.m1.4.4.4.3" stretchy="false" xref="A2.E203.m1.4.4.3.1.cmml">⟩</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="A2.E203.m1.4.5.4" rspace="0.111em" xref="A2.E203.m1.4.5.4.cmml">=</mo><mrow id="A2.E203.m1.4.5.5" xref="A2.E203.m1.4.5.5.cmml"><munder id="A2.E203.m1.4.5.5.1" xref="A2.E203.m1.4.5.5.1.cmml"><mo id="A2.E203.m1.4.5.5.1.2" movablelimits="false" xref="A2.E203.m1.4.5.5.1.2.cmml">∑</mo><mover accent="true" id="A2.E203.m1.4.5.5.1.3" xref="A2.E203.m1.4.5.5.1.3.cmml"><mi id="A2.E203.m1.4.5.5.1.3.2" xref="A2.E203.m1.4.5.5.1.3.2.cmml">τ</mi><mo id="A2.E203.m1.4.5.5.1.3.1" stretchy="false" xref="A2.E203.m1.4.5.5.1.3.1.cmml">→</mo></mover></munder><mrow id="A2.E203.m1.4.5.5.2" xref="A2.E203.m1.4.5.5.2.cmml"><msub id="A2.E203.m1.4.5.5.2.2" xref="A2.E203.m1.4.5.5.2.2.cmml"><mi id="A2.E203.m1.4.5.5.2.2.2" xref="A2.E203.m1.4.5.5.2.2.2.cmml">X</mi><mrow id="A2.E203.m1.4.5.5.2.2.3" xref="A2.E203.m1.4.5.5.2.2.3.cmml"><mover accent="true" id="A2.E203.m1.4.5.5.2.2.3.2" xref="A2.E203.m1.4.5.5.2.2.3.2.cmml"><mi id="A2.E203.m1.4.5.5.2.2.3.2.2" xref="A2.E203.m1.4.5.5.2.2.3.2.2.cmml">σ</mi><mo id="A2.E203.m1.4.5.5.2.2.3.2.1" stretchy="false" xref="A2.E203.m1.4.5.5.2.2.3.2.1.cmml">→</mo></mover><mo id="A2.E203.m1.4.5.5.2.2.3.1" xref="A2.E203.m1.4.5.5.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mover accent="true" id="A2.E203.m1.4.5.5.2.2.3.3" xref="A2.E203.m1.4.5.5.2.2.3.3.cmml"><mi id="A2.E203.m1.4.5.5.2.2.3.3.2" xref="A2.E203.m1.4.5.5.2.2.3.3.2.cmml">τ</mi><mo id="A2.E203.m1.4.5.5.2.2.3.3.1" stretchy="false" xref="A2.E203.m1.4.5.5.2.2.3.3.1.cmml">→</mo></mover></mrow></msub><mo id="A2.E203.m1.4.5.5.2.1" xref="A2.E203.m1.4.5.5.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="A2.E203.m1.4.5.5.2.3" xref="A2.E203.m1.4.5.5.2.3.cmml"><mi id="A2.E203.m1.4.5.5.2.3.2" xref="A2.E203.m1.4.5.5.2.3.2.cmml">v</mi><mover accent="true" id="A2.E203.m1.4.5.5.2.3.3" xref="A2.E203.m1.4.5.5.2.3.3.cmml"><mi id="A2.E203.m1.4.5.5.2.3.3.2" xref="A2.E203.m1.4.5.5.2.3.3.2.cmml">τ</mi><mo id="A2.E203.m1.4.5.5.2.3.3.1" stretchy="false" xref="A2.E203.m1.4.5.5.2.3.3.1.cmml">→</mo></mover></msub></mrow></mrow><mo id="A2.E203.m1.4.5.6" xref="A2.E203.m1.4.5.6.cmml">=</mo><msub id="A2.E203.m1.4.5.7" xref="A2.E203.m1.4.5.7.cmml"><mi id="A2.E203.m1.4.5.7.2" xref="A2.E203.m1.4.5.7.2.cmml">v</mi><mover accent="true" id="A2.E203.m1.4.5.7.3" xref="A2.E203.m1.4.5.7.3.cmml"><mi id="A2.E203.m1.4.5.7.3.2" xref="A2.E203.m1.4.5.7.3.2.cmml">σ</mi><mo id="A2.E203.m1.4.5.7.3.1" stretchy="false" xref="A2.E203.m1.4.5.7.3.1.cmml">→</mo></mover></msub><mo id="A2.E203.m1.4.5.8" xref="A2.E203.m1.4.5.8.cmml">=</mo><mn id="A2.E203.m1.4.5.9" xref="A2.E203.m1.4.5.9.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.E203.m1.4b"><apply id="A2.E203.m1.4.5.cmml" xref="A2.E203.m1.4.5"><and id="A2.E203.m1.4.5a.cmml" xref="A2.E203.m1.4.5"></and><apply id="A2.E203.m1.4.5b.cmml" xref="A2.E203.m1.4.5"><eq id="A2.E203.m1.4.5.2.cmml" xref="A2.E203.m1.4.5.2"></eq><apply id="A2.E203.m1.2.2.3.cmml" xref="A2.E203.m1.2.2.4"><csymbol cd="latexml" id="A2.E203.m1.2.2.3.1.cmml" xref="A2.E203.m1.2.2.4.1">inner-product</csymbol><apply id="A2.E203.m1.1.1.1.1.cmml" xref="A2.E203.m1.1.1.1.1"><ci id="A2.E203.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A2.E203.m1.1.1.1.1.1">→</ci><ci id="A2.E203.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A2.E203.m1.1.1.1.1.2">𝜎</ci></apply><ci id="A2.E203.m1.2.2.2.2.cmml" xref="A2.E203.m1.2.2.2.2">𝐯</ci></apply><apply id="A2.E203.m1.4.5.3.cmml" xref="A2.E203.m1.4.5.3"><apply id="A2.E203.m1.4.5.3.1.cmml" xref="A2.E203.m1.4.5.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E203.m1.4.5.3.1.1.cmml" xref="A2.E203.m1.4.5.3.1">subscript</csymbol><sum id="A2.E203.m1.4.5.3.1.2.cmml" xref="A2.E203.m1.4.5.3.1.2"></sum><apply id="A2.E203.m1.4.5.3.1.3.cmml" xref="A2.E203.m1.4.5.3.1.3"><ci id="A2.E203.m1.4.5.3.1.3.1.cmml" xref="A2.E203.m1.4.5.3.1.3.1">→</ci><ci id="A2.E203.m1.4.5.3.1.3.2.cmml" xref="A2.E203.m1.4.5.3.1.3.2">𝜏</ci></apply></apply><apply id="A2.E203.m1.4.5.3.2.cmml" xref="A2.E203.m1.4.5.3.2"><times id="A2.E203.m1.4.5.3.2.1.cmml" xref="A2.E203.m1.4.5.3.2.1"></times><apply id="A2.E203.m1.4.5.3.2.2.cmml" xref="A2.E203.m1.4.5.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E203.m1.4.5.3.2.2.1.cmml" xref="A2.E203.m1.4.5.3.2.2">subscript</csymbol><ci id="A2.E203.m1.4.5.3.2.2.2.cmml" xref="A2.E203.m1.4.5.3.2.2.2">𝑣</ci><apply id="A2.E203.m1.4.5.3.2.2.3.cmml" xref="A2.E203.m1.4.5.3.2.2.3"><ci id="A2.E203.m1.4.5.3.2.2.3.1.cmml" xref="A2.E203.m1.4.5.3.2.2.3.1">→</ci><ci id="A2.E203.m1.4.5.3.2.2.3.2.cmml" xref="A2.E203.m1.4.5.3.2.2.3.2">𝜏</ci></apply></apply><apply id="A2.E203.m1.4.4.3.cmml" xref="A2.E203.m1.4.4.4"><csymbol cd="latexml" id="A2.E203.m1.4.4.3.1.cmml" xref="A2.E203.m1.4.4.4.1">inner-product</csymbol><apply id="A2.E203.m1.3.3.1.1.cmml" xref="A2.E203.m1.3.3.1.1"><ci id="A2.E203.m1.3.3.1.1.1.cmml" xref="A2.E203.m1.3.3.1.1.1">→</ci><ci id="A2.E203.m1.3.3.1.1.2.cmml" xref="A2.E203.m1.3.3.1.1.2">𝜎</ci></apply><apply id="A2.E203.m1.4.4.2.2.cmml" xref="A2.E203.m1.4.4.2.2"><ci id="A2.E203.m1.4.4.2.2.1.cmml" xref="A2.E203.m1.4.4.2.2.1">~</ci><apply id="A2.E203.m1.4.4.2.2.2.cmml" xref="A2.E203.m1.4.4.2.2.2"><ci id="A2.E203.m1.4.4.2.2.2.1.cmml" xref="A2.E203.m1.4.4.2.2.2.1">→</ci><ci id="A2.E203.m1.4.4.2.2.2.2.cmml" xref="A2.E203.m1.4.4.2.2.2.2">𝜏</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="A2.E203.m1.4.5c.cmml" xref="A2.E203.m1.4.5"><eq id="A2.E203.m1.4.5.4.cmml" xref="A2.E203.m1.4.5.4"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#A2.E203.m1.4.5.3.cmml" id="A2.E203.m1.4.5d.cmml" xref="A2.E203.m1.4.5"></share><apply id="A2.E203.m1.4.5.5.cmml" xref="A2.E203.m1.4.5.5"><apply id="A2.E203.m1.4.5.5.1.cmml" xref="A2.E203.m1.4.5.5.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E203.m1.4.5.5.1.1.cmml" xref="A2.E203.m1.4.5.5.1">subscript</csymbol><sum id="A2.E203.m1.4.5.5.1.2.cmml" xref="A2.E203.m1.4.5.5.1.2"></sum><apply id="A2.E203.m1.4.5.5.1.3.cmml" xref="A2.E203.m1.4.5.5.1.3"><ci id="A2.E203.m1.4.5.5.1.3.1.cmml" xref="A2.E203.m1.4.5.5.1.3.1">→</ci><ci id="A2.E203.m1.4.5.5.1.3.2.cmml" xref="A2.E203.m1.4.5.5.1.3.2">𝜏</ci></apply></apply><apply id="A2.E203.m1.4.5.5.2.cmml" xref="A2.E203.m1.4.5.5.2"><times id="A2.E203.m1.4.5.5.2.1.cmml" xref="A2.E203.m1.4.5.5.2.1"></times><apply id="A2.E203.m1.4.5.5.2.2.cmml" xref="A2.E203.m1.4.5.5.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E203.m1.4.5.5.2.2.1.cmml" xref="A2.E203.m1.4.5.5.2.2">subscript</csymbol><ci id="A2.E203.m1.4.5.5.2.2.2.cmml" xref="A2.E203.m1.4.5.5.2.2.2">𝑋</ci><apply id="A2.E203.m1.4.5.5.2.2.3.cmml" xref="A2.E203.m1.4.5.5.2.2.3"><times id="A2.E203.m1.4.5.5.2.2.3.1.cmml" xref="A2.E203.m1.4.5.5.2.2.3.1"></times><apply id="A2.E203.m1.4.5.5.2.2.3.2.cmml" xref="A2.E203.m1.4.5.5.2.2.3.2"><ci id="A2.E203.m1.4.5.5.2.2.3.2.1.cmml" xref="A2.E203.m1.4.5.5.2.2.3.2.1">→</ci><ci id="A2.E203.m1.4.5.5.2.2.3.2.2.cmml" xref="A2.E203.m1.4.5.5.2.2.3.2.2">𝜎</ci></apply><apply id="A2.E203.m1.4.5.5.2.2.3.3.cmml" xref="A2.E203.m1.4.5.5.2.2.3.3"><ci id="A2.E203.m1.4.5.5.2.2.3.3.1.cmml" xref="A2.E203.m1.4.5.5.2.2.3.3.1">→</ci><ci id="A2.E203.m1.4.5.5.2.2.3.3.2.cmml" xref="A2.E203.m1.4.5.5.2.2.3.3.2">𝜏</ci></apply></apply></apply><apply id="A2.E203.m1.4.5.5.2.3.cmml" xref="A2.E203.m1.4.5.5.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E203.m1.4.5.5.2.3.1.cmml" xref="A2.E203.m1.4.5.5.2.3">subscript</csymbol><ci id="A2.E203.m1.4.5.5.2.3.2.cmml" xref="A2.E203.m1.4.5.5.2.3.2">𝑣</ci><apply id="A2.E203.m1.4.5.5.2.3.3.cmml" xref="A2.E203.m1.4.5.5.2.3.3"><ci id="A2.E203.m1.4.5.5.2.3.3.1.cmml" xref="A2.E203.m1.4.5.5.2.3.3.1">→</ci><ci id="A2.E203.m1.4.5.5.2.3.3.2.cmml" xref="A2.E203.m1.4.5.5.2.3.3.2">𝜏</ci></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="A2.E203.m1.4.5e.cmml" xref="A2.E203.m1.4.5"><eq id="A2.E203.m1.4.5.6.cmml" xref="A2.E203.m1.4.5.6"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#A2.E203.m1.4.5.5.cmml" id="A2.E203.m1.4.5f.cmml" xref="A2.E203.m1.4.5"></share><apply id="A2.E203.m1.4.5.7.cmml" xref="A2.E203.m1.4.5.7"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E203.m1.4.5.7.1.cmml" xref="A2.E203.m1.4.5.7">subscript</csymbol><ci id="A2.E203.m1.4.5.7.2.cmml" xref="A2.E203.m1.4.5.7.2">𝑣</ci><apply id="A2.E203.m1.4.5.7.3.cmml" xref="A2.E203.m1.4.5.7.3"><ci id="A2.E203.m1.4.5.7.3.1.cmml" xref="A2.E203.m1.4.5.7.3.1">→</ci><ci id="A2.E203.m1.4.5.7.3.2.cmml" xref="A2.E203.m1.4.5.7.3.2">𝜎</ci></apply></apply></apply><apply id="A2.E203.m1.4.5g.cmml" xref="A2.E203.m1.4.5"><eq id="A2.E203.m1.4.5.8.cmml" xref="A2.E203.m1.4.5.8"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#A2.E203.m1.4.5.7.cmml" id="A2.E203.m1.4.5h.cmml" xref="A2.E203.m1.4.5"></share><cn id="A2.E203.m1.4.5.9.cmml" type="integer" xref="A2.E203.m1.4.5.9">0</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.E203.m1.4c">\displaystyle\braket{\vec{\sigma}}{\mathbf{v}}=\sum_{\vec{\tau}}v_{\vec{\tau}}% \braket{\vec{\sigma}}{\widetilde{\vec{\tau}}}=\sum_{\vec{\tau}}X_{\vec{\sigma}% \vec{\tau}}v_{\vec{\tau}}=v_{\vec{\sigma}}=0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.E203.m1.4d">⟨ start_ARG over→ start_ARG italic_σ end_ARG end_ARG | start_ARG bold_v end_ARG ⟩ = ∑ start_POSTSUBSCRIPT over→ start_ARG italic_τ end_ARG end_POSTSUBSCRIPT italic_v start_POSTSUBSCRIPT over→ start_ARG italic_τ end_ARG end_POSTSUBSCRIPT ⟨ start_ARG over→ start_ARG italic_σ end_ARG end_ARG | start_ARG over~ start_ARG over→ start_ARG italic_τ end_ARG end_ARG end_ARG ⟩ = ∑ start_POSTSUBSCRIPT over→ start_ARG italic_τ end_ARG end_POSTSUBSCRIPT italic_X start_POSTSUBSCRIPT over→ start_ARG italic_σ end_ARG over→ start_ARG italic_τ end_ARG end_POSTSUBSCRIPT italic_v start_POSTSUBSCRIPT over→ start_ARG italic_τ end_ARG end_POSTSUBSCRIPT = italic_v start_POSTSUBSCRIPT over→ start_ARG italic_σ end_ARG end_POSTSUBSCRIPT = 0</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(203)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="A2.SS9.4.p1.7">This establishes that <math alttext="E\left(\mathcal{I}\right)" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.SS9.4.p1.7.m1.1"><semantics id="A2.SS9.4.p1.7.m1.1a"><mrow id="A2.SS9.4.p1.7.m1.1.2" xref="A2.SS9.4.p1.7.m1.1.2.cmml"><mi id="A2.SS9.4.p1.7.m1.1.2.2" xref="A2.SS9.4.p1.7.m1.1.2.2.cmml">E</mi><mo id="A2.SS9.4.p1.7.m1.1.2.1" xref="A2.SS9.4.p1.7.m1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A2.SS9.4.p1.7.m1.1.2.3.2" xref="A2.SS9.4.p1.7.m1.1.2.cmml"><mo id="A2.SS9.4.p1.7.m1.1.2.3.2.1" xref="A2.SS9.4.p1.7.m1.1.2.cmml">(</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="A2.SS9.4.p1.7.m1.1.1" xref="A2.SS9.4.p1.7.m1.1.1.cmml">ℐ</mi><mo id="A2.SS9.4.p1.7.m1.1.2.3.2.2" xref="A2.SS9.4.p1.7.m1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.SS9.4.p1.7.m1.1b"><apply id="A2.SS9.4.p1.7.m1.1.2.cmml" xref="A2.SS9.4.p1.7.m1.1.2"><times id="A2.SS9.4.p1.7.m1.1.2.1.cmml" xref="A2.SS9.4.p1.7.m1.1.2.1"></times><ci id="A2.SS9.4.p1.7.m1.1.2.2.cmml" xref="A2.SS9.4.p1.7.m1.1.2.2">𝐸</ci><ci id="A2.SS9.4.p1.7.m1.1.1.cmml" xref="A2.SS9.4.p1.7.m1.1.1">ℐ</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.SS9.4.p1.7.m1.1c">E\left(\mathcal{I}\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.SS9.4.p1.7.m1.1d">italic_E ( caligraphic_I )</annotation></semantics></math> is contained in the orthogonal complement of the non-deranged subspace.</p> </div> <div class="ltx_para" id="A2.SS9.5.p2"> <p class="ltx_p" id="A2.SS9.5.p2.14">We now show that any vector orthogonal to the non-deranged subspace is represented by an element of <math alttext="\mathcal{I}" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.SS9.5.p2.1.m1.1"><semantics id="A2.SS9.5.p2.1.m1.1a"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="A2.SS9.5.p2.1.m1.1.1" xref="A2.SS9.5.p2.1.m1.1.1.cmml">ℐ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.SS9.5.p2.1.m1.1b"><ci id="A2.SS9.5.p2.1.m1.1.1.cmml" xref="A2.SS9.5.p2.1.m1.1.1">ℐ</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.SS9.5.p2.1.m1.1c">\mathcal{I}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.SS9.5.p2.1.m1.1d">caligraphic_I</annotation></semantics></math>. Consider <math alttext="\mathbf{v}\in\mathbb{C}^{t!^{N}}" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.SS9.5.p2.2.m2.1"><semantics id="A2.SS9.5.p2.2.m2.1a"><mrow id="A2.SS9.5.p2.2.m2.1.1" xref="A2.SS9.5.p2.2.m2.1.1.cmml"><mi id="A2.SS9.5.p2.2.m2.1.1.2" xref="A2.SS9.5.p2.2.m2.1.1.2.cmml">𝐯</mi><mo id="A2.SS9.5.p2.2.m2.1.1.1" xref="A2.SS9.5.p2.2.m2.1.1.1.cmml">∈</mo><msup id="A2.SS9.5.p2.2.m2.1.1.3" xref="A2.SS9.5.p2.2.m2.1.1.3.cmml"><mi id="A2.SS9.5.p2.2.m2.1.1.3.2" xref="A2.SS9.5.p2.2.m2.1.1.3.2.cmml">ℂ</mi><msup id="A2.SS9.5.p2.2.m2.1.1.3.3" xref="A2.SS9.5.p2.2.m2.1.1.3.3.cmml"><mrow id="A2.SS9.5.p2.2.m2.1.1.3.3.2" xref="A2.SS9.5.p2.2.m2.1.1.3.3.2.cmml"><mi id="A2.SS9.5.p2.2.m2.1.1.3.3.2.2" xref="A2.SS9.5.p2.2.m2.1.1.3.3.2.2.cmml">t</mi><mo id="A2.SS9.5.p2.2.m2.1.1.3.3.2.1" xref="A2.SS9.5.p2.2.m2.1.1.3.3.2.1.cmml">!</mo></mrow><mi id="A2.SS9.5.p2.2.m2.1.1.3.3.3" xref="A2.SS9.5.p2.2.m2.1.1.3.3.3.cmml">N</mi></msup></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.SS9.5.p2.2.m2.1b"><apply id="A2.SS9.5.p2.2.m2.1.1.cmml" xref="A2.SS9.5.p2.2.m2.1.1"><in id="A2.SS9.5.p2.2.m2.1.1.1.cmml" xref="A2.SS9.5.p2.2.m2.1.1.1"></in><ci id="A2.SS9.5.p2.2.m2.1.1.2.cmml" xref="A2.SS9.5.p2.2.m2.1.1.2">𝐯</ci><apply id="A2.SS9.5.p2.2.m2.1.1.3.cmml" xref="A2.SS9.5.p2.2.m2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.SS9.5.p2.2.m2.1.1.3.1.cmml" xref="A2.SS9.5.p2.2.m2.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="A2.SS9.5.p2.2.m2.1.1.3.2.cmml" xref="A2.SS9.5.p2.2.m2.1.1.3.2">ℂ</ci><apply id="A2.SS9.5.p2.2.m2.1.1.3.3.cmml" xref="A2.SS9.5.p2.2.m2.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.SS9.5.p2.2.m2.1.1.3.3.1.cmml" xref="A2.SS9.5.p2.2.m2.1.1.3.3">superscript</csymbol><apply id="A2.SS9.5.p2.2.m2.1.1.3.3.2.cmml" xref="A2.SS9.5.p2.2.m2.1.1.3.3.2"><factorial id="A2.SS9.5.p2.2.m2.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="A2.SS9.5.p2.2.m2.1.1.3.3.2.1"></factorial><ci id="A2.SS9.5.p2.2.m2.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="A2.SS9.5.p2.2.m2.1.1.3.3.2.2">𝑡</ci></apply><ci id="A2.SS9.5.p2.2.m2.1.1.3.3.3.cmml" xref="A2.SS9.5.p2.2.m2.1.1.3.3.3">𝑁</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.SS9.5.p2.2.m2.1c">\mathbf{v}\in\mathbb{C}^{t!^{N}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.SS9.5.p2.2.m2.1d">bold_v ∈ blackboard_C start_POSTSUPERSCRIPT italic_t ! start_POSTSUPERSCRIPT italic_N end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> such that <math alttext="\braket{\vec{\sigma}}{\mathbf{v}}=0" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.SS9.5.p2.3.m3.2"><semantics id="A2.SS9.5.p2.3.m3.2a"><mrow id="A2.SS9.5.p2.3.m3.2.3" xref="A2.SS9.5.p2.3.m3.2.3.cmml"><mrow id="A2.SS9.5.p2.3.m3.2.2.4" xref="A2.SS9.5.p2.3.m3.2.2.3.cmml"><mo id="A2.SS9.5.p2.3.m3.2.2.4.1" stretchy="false" xref="A2.SS9.5.p2.3.m3.2.2.3.1.cmml">⟨</mo><mover accent="true" id="A2.SS9.5.p2.3.m3.1.1.1.1" xref="A2.SS9.5.p2.3.m3.1.1.1.1.cmml"><mi id="A2.SS9.5.p2.3.m3.1.1.1.1.2" xref="A2.SS9.5.p2.3.m3.1.1.1.1.2.cmml">σ</mi><mo id="A2.SS9.5.p2.3.m3.1.1.1.1.1" stretchy="false" xref="A2.SS9.5.p2.3.m3.1.1.1.1.1.cmml">→</mo></mover><mo id="A2.SS9.5.p2.3.m3.2.2.4.2" lspace="0em" rspace="0.170em" xref="A2.SS9.5.p2.3.m3.2.2.3.1.cmml">|</mo><mi id="A2.SS9.5.p2.3.m3.2.2.2.2" xref="A2.SS9.5.p2.3.m3.2.2.2.2.cmml">𝐯</mi><mo id="A2.SS9.5.p2.3.m3.2.2.4.3" stretchy="false" xref="A2.SS9.5.p2.3.m3.2.2.3.1.cmml">⟩</mo></mrow><mo id="A2.SS9.5.p2.3.m3.2.3.1" xref="A2.SS9.5.p2.3.m3.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="A2.SS9.5.p2.3.m3.2.3.2" xref="A2.SS9.5.p2.3.m3.2.3.2.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.SS9.5.p2.3.m3.2b"><apply id="A2.SS9.5.p2.3.m3.2.3.cmml" xref="A2.SS9.5.p2.3.m3.2.3"><eq id="A2.SS9.5.p2.3.m3.2.3.1.cmml" xref="A2.SS9.5.p2.3.m3.2.3.1"></eq><apply id="A2.SS9.5.p2.3.m3.2.2.3.cmml" xref="A2.SS9.5.p2.3.m3.2.2.4"><csymbol cd="latexml" id="A2.SS9.5.p2.3.m3.2.2.3.1.cmml" xref="A2.SS9.5.p2.3.m3.2.2.4.1">inner-product</csymbol><apply id="A2.SS9.5.p2.3.m3.1.1.1.1.cmml" xref="A2.SS9.5.p2.3.m3.1.1.1.1"><ci id="A2.SS9.5.p2.3.m3.1.1.1.1.1.cmml" xref="A2.SS9.5.p2.3.m3.1.1.1.1.1">→</ci><ci id="A2.SS9.5.p2.3.m3.1.1.1.1.2.cmml" xref="A2.SS9.5.p2.3.m3.1.1.1.1.2">𝜎</ci></apply><ci id="A2.SS9.5.p2.3.m3.2.2.2.2.cmml" xref="A2.SS9.5.p2.3.m3.2.2.2.2">𝐯</ci></apply><cn id="A2.SS9.5.p2.3.m3.2.3.2.cmml" type="integer" xref="A2.SS9.5.p2.3.m3.2.3.2">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.SS9.5.p2.3.m3.2c">\braket{\vec{\sigma}}{\mathbf{v}}=0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.SS9.5.p2.3.m3.2d">⟨ start_ARG over→ start_ARG italic_σ end_ARG end_ARG | start_ARG bold_v end_ARG ⟩ = 0</annotation></semantics></math> for every <math alttext="\vec{\sigma}\in S_{t}^{2}\circ S_{t-1}^{\times N}" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.SS9.5.p2.4.m4.1"><semantics id="A2.SS9.5.p2.4.m4.1a"><mrow id="A2.SS9.5.p2.4.m4.1.1" xref="A2.SS9.5.p2.4.m4.1.1.cmml"><mover accent="true" id="A2.SS9.5.p2.4.m4.1.1.2" xref="A2.SS9.5.p2.4.m4.1.1.2.cmml"><mi id="A2.SS9.5.p2.4.m4.1.1.2.2" xref="A2.SS9.5.p2.4.m4.1.1.2.2.cmml">σ</mi><mo id="A2.SS9.5.p2.4.m4.1.1.2.1" stretchy="false" xref="A2.SS9.5.p2.4.m4.1.1.2.1.cmml">→</mo></mover><mo id="A2.SS9.5.p2.4.m4.1.1.1" xref="A2.SS9.5.p2.4.m4.1.1.1.cmml">∈</mo><mrow id="A2.SS9.5.p2.4.m4.1.1.3" xref="A2.SS9.5.p2.4.m4.1.1.3.cmml"><msubsup id="A2.SS9.5.p2.4.m4.1.1.3.2" xref="A2.SS9.5.p2.4.m4.1.1.3.2.cmml"><mi id="A2.SS9.5.p2.4.m4.1.1.3.2.2.2" xref="A2.SS9.5.p2.4.m4.1.1.3.2.2.2.cmml">S</mi><mi id="A2.SS9.5.p2.4.m4.1.1.3.2.2.3" xref="A2.SS9.5.p2.4.m4.1.1.3.2.2.3.cmml">t</mi><mn id="A2.SS9.5.p2.4.m4.1.1.3.2.3" xref="A2.SS9.5.p2.4.m4.1.1.3.2.3.cmml">2</mn></msubsup><mo id="A2.SS9.5.p2.4.m4.1.1.3.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="A2.SS9.5.p2.4.m4.1.1.3.1.cmml">∘</mo><msubsup id="A2.SS9.5.p2.4.m4.1.1.3.3" xref="A2.SS9.5.p2.4.m4.1.1.3.3.cmml"><mi id="A2.SS9.5.p2.4.m4.1.1.3.3.2.2" xref="A2.SS9.5.p2.4.m4.1.1.3.3.2.2.cmml">S</mi><mrow id="A2.SS9.5.p2.4.m4.1.1.3.3.2.3" xref="A2.SS9.5.p2.4.m4.1.1.3.3.2.3.cmml"><mi id="A2.SS9.5.p2.4.m4.1.1.3.3.2.3.2" xref="A2.SS9.5.p2.4.m4.1.1.3.3.2.3.2.cmml">t</mi><mo id="A2.SS9.5.p2.4.m4.1.1.3.3.2.3.1" xref="A2.SS9.5.p2.4.m4.1.1.3.3.2.3.1.cmml">−</mo><mn id="A2.SS9.5.p2.4.m4.1.1.3.3.2.3.3" xref="A2.SS9.5.p2.4.m4.1.1.3.3.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mrow id="A2.SS9.5.p2.4.m4.1.1.3.3.3" xref="A2.SS9.5.p2.4.m4.1.1.3.3.3.cmml"><mi id="A2.SS9.5.p2.4.m4.1.1.3.3.3.2" xref="A2.SS9.5.p2.4.m4.1.1.3.3.3.2.cmml"></mi><mo id="A2.SS9.5.p2.4.m4.1.1.3.3.3.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="A2.SS9.5.p2.4.m4.1.1.3.3.3.1.cmml">×</mo><mi id="A2.SS9.5.p2.4.m4.1.1.3.3.3.3" xref="A2.SS9.5.p2.4.m4.1.1.3.3.3.3.cmml">N</mi></mrow></msubsup></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.SS9.5.p2.4.m4.1b"><apply id="A2.SS9.5.p2.4.m4.1.1.cmml" xref="A2.SS9.5.p2.4.m4.1.1"><in id="A2.SS9.5.p2.4.m4.1.1.1.cmml" xref="A2.SS9.5.p2.4.m4.1.1.1"></in><apply id="A2.SS9.5.p2.4.m4.1.1.2.cmml" xref="A2.SS9.5.p2.4.m4.1.1.2"><ci id="A2.SS9.5.p2.4.m4.1.1.2.1.cmml" xref="A2.SS9.5.p2.4.m4.1.1.2.1">→</ci><ci id="A2.SS9.5.p2.4.m4.1.1.2.2.cmml" xref="A2.SS9.5.p2.4.m4.1.1.2.2">𝜎</ci></apply><apply id="A2.SS9.5.p2.4.m4.1.1.3.cmml" xref="A2.SS9.5.p2.4.m4.1.1.3"><compose id="A2.SS9.5.p2.4.m4.1.1.3.1.cmml" xref="A2.SS9.5.p2.4.m4.1.1.3.1"></compose><apply id="A2.SS9.5.p2.4.m4.1.1.3.2.cmml" xref="A2.SS9.5.p2.4.m4.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.SS9.5.p2.4.m4.1.1.3.2.1.cmml" xref="A2.SS9.5.p2.4.m4.1.1.3.2">superscript</csymbol><apply id="A2.SS9.5.p2.4.m4.1.1.3.2.2.cmml" xref="A2.SS9.5.p2.4.m4.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.SS9.5.p2.4.m4.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="A2.SS9.5.p2.4.m4.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="A2.SS9.5.p2.4.m4.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="A2.SS9.5.p2.4.m4.1.1.3.2.2.2">𝑆</ci><ci id="A2.SS9.5.p2.4.m4.1.1.3.2.2.3.cmml" xref="A2.SS9.5.p2.4.m4.1.1.3.2.2.3">𝑡</ci></apply><cn id="A2.SS9.5.p2.4.m4.1.1.3.2.3.cmml" type="integer" xref="A2.SS9.5.p2.4.m4.1.1.3.2.3">2</cn></apply><apply id="A2.SS9.5.p2.4.m4.1.1.3.3.cmml" xref="A2.SS9.5.p2.4.m4.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.SS9.5.p2.4.m4.1.1.3.3.1.cmml" xref="A2.SS9.5.p2.4.m4.1.1.3.3">superscript</csymbol><apply id="A2.SS9.5.p2.4.m4.1.1.3.3.2.cmml" xref="A2.SS9.5.p2.4.m4.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.SS9.5.p2.4.m4.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="A2.SS9.5.p2.4.m4.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="A2.SS9.5.p2.4.m4.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="A2.SS9.5.p2.4.m4.1.1.3.3.2.2">𝑆</ci><apply id="A2.SS9.5.p2.4.m4.1.1.3.3.2.3.cmml" xref="A2.SS9.5.p2.4.m4.1.1.3.3.2.3"><minus id="A2.SS9.5.p2.4.m4.1.1.3.3.2.3.1.cmml" xref="A2.SS9.5.p2.4.m4.1.1.3.3.2.3.1"></minus><ci id="A2.SS9.5.p2.4.m4.1.1.3.3.2.3.2.cmml" xref="A2.SS9.5.p2.4.m4.1.1.3.3.2.3.2">𝑡</ci><cn id="A2.SS9.5.p2.4.m4.1.1.3.3.2.3.3.cmml" type="integer" xref="A2.SS9.5.p2.4.m4.1.1.3.3.2.3.3">1</cn></apply></apply><apply id="A2.SS9.5.p2.4.m4.1.1.3.3.3.cmml" xref="A2.SS9.5.p2.4.m4.1.1.3.3.3"><times id="A2.SS9.5.p2.4.m4.1.1.3.3.3.1.cmml" xref="A2.SS9.5.p2.4.m4.1.1.3.3.3.1"></times><csymbol cd="latexml" id="A2.SS9.5.p2.4.m4.1.1.3.3.3.2.cmml" xref="A2.SS9.5.p2.4.m4.1.1.3.3.3.2">absent</csymbol><ci id="A2.SS9.5.p2.4.m4.1.1.3.3.3.3.cmml" xref="A2.SS9.5.p2.4.m4.1.1.3.3.3.3">𝑁</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.SS9.5.p2.4.m4.1c">\vec{\sigma}\in S_{t}^{2}\circ S_{t-1}^{\times N}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.SS9.5.p2.4.m4.1d">over→ start_ARG italic_σ end_ARG ∈ italic_S start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ∘ italic_S start_POSTSUBSCRIPT italic_t - 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT × italic_N end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>. Define <math alttext="\mathbf{u}=X\mathbf{v}" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.SS9.5.p2.5.m5.1"><semantics id="A2.SS9.5.p2.5.m5.1a"><mrow id="A2.SS9.5.p2.5.m5.1.1" xref="A2.SS9.5.p2.5.m5.1.1.cmml"><mi id="A2.SS9.5.p2.5.m5.1.1.2" xref="A2.SS9.5.p2.5.m5.1.1.2.cmml">𝐮</mi><mo id="A2.SS9.5.p2.5.m5.1.1.1" xref="A2.SS9.5.p2.5.m5.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="A2.SS9.5.p2.5.m5.1.1.3" xref="A2.SS9.5.p2.5.m5.1.1.3.cmml"><mi id="A2.SS9.5.p2.5.m5.1.1.3.2" xref="A2.SS9.5.p2.5.m5.1.1.3.2.cmml">X</mi><mo id="A2.SS9.5.p2.5.m5.1.1.3.1" xref="A2.SS9.5.p2.5.m5.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A2.SS9.5.p2.5.m5.1.1.3.3" xref="A2.SS9.5.p2.5.m5.1.1.3.3.cmml">𝐯</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.SS9.5.p2.5.m5.1b"><apply id="A2.SS9.5.p2.5.m5.1.1.cmml" xref="A2.SS9.5.p2.5.m5.1.1"><eq id="A2.SS9.5.p2.5.m5.1.1.1.cmml" xref="A2.SS9.5.p2.5.m5.1.1.1"></eq><ci id="A2.SS9.5.p2.5.m5.1.1.2.cmml" xref="A2.SS9.5.p2.5.m5.1.1.2">𝐮</ci><apply id="A2.SS9.5.p2.5.m5.1.1.3.cmml" xref="A2.SS9.5.p2.5.m5.1.1.3"><times id="A2.SS9.5.p2.5.m5.1.1.3.1.cmml" xref="A2.SS9.5.p2.5.m5.1.1.3.1"></times><ci id="A2.SS9.5.p2.5.m5.1.1.3.2.cmml" xref="A2.SS9.5.p2.5.m5.1.1.3.2">𝑋</ci><ci id="A2.SS9.5.p2.5.m5.1.1.3.3.cmml" xref="A2.SS9.5.p2.5.m5.1.1.3.3">𝐯</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.SS9.5.p2.5.m5.1c">\mathbf{u}=X\mathbf{v}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.SS9.5.p2.5.m5.1d">bold_u = italic_X bold_v</annotation></semantics></math>. From Lemma <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#Thmtheorem59" title="Lemma 59. ‣ B.9 Proof of Theorem 34 ‣ Appendix B Assorted proofs ‣ Conditional 𝑡-independent spectral gap for random quantum circuits and implications for 𝑡-design depths"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">59</span></a>.2 we have <math alttext="\ket{\mathbf{u}}=\ket{\mathbf{v}}" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.SS9.5.p2.6.m6.2"><semantics id="A2.SS9.5.p2.6.m6.2a"><mrow id="A2.SS9.5.p2.6.m6.2.3" xref="A2.SS9.5.p2.6.m6.2.3.cmml"><mrow id="A2.SS9.5.p2.6.m6.1.1.3" xref="A2.SS9.5.p2.6.m6.1.1.2.cmml"><mo id="A2.SS9.5.p2.6.m6.1.1.3.1" stretchy="false" xref="A2.SS9.5.p2.6.m6.1.1.2.1.cmml">|</mo><mi id="A2.SS9.5.p2.6.m6.1.1.1.1" xref="A2.SS9.5.p2.6.m6.1.1.1.1.cmml">𝐮</mi><mo id="A2.SS9.5.p2.6.m6.1.1.3.2" stretchy="false" xref="A2.SS9.5.p2.6.m6.1.1.2.1.cmml">⟩</mo></mrow><mo id="A2.SS9.5.p2.6.m6.2.3.1" xref="A2.SS9.5.p2.6.m6.2.3.1.cmml">=</mo><mrow id="A2.SS9.5.p2.6.m6.2.2.3" xref="A2.SS9.5.p2.6.m6.2.2.2.cmml"><mo id="A2.SS9.5.p2.6.m6.2.2.3.1" stretchy="false" xref="A2.SS9.5.p2.6.m6.2.2.2.1.cmml">|</mo><mi id="A2.SS9.5.p2.6.m6.2.2.1.1" xref="A2.SS9.5.p2.6.m6.2.2.1.1.cmml">𝐯</mi><mo id="A2.SS9.5.p2.6.m6.2.2.3.2" stretchy="false" xref="A2.SS9.5.p2.6.m6.2.2.2.1.cmml">⟩</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.SS9.5.p2.6.m6.2b"><apply id="A2.SS9.5.p2.6.m6.2.3.cmml" xref="A2.SS9.5.p2.6.m6.2.3"><eq id="A2.SS9.5.p2.6.m6.2.3.1.cmml" xref="A2.SS9.5.p2.6.m6.2.3.1"></eq><apply id="A2.SS9.5.p2.6.m6.1.1.2.cmml" xref="A2.SS9.5.p2.6.m6.1.1.3"><csymbol cd="latexml" id="A2.SS9.5.p2.6.m6.1.1.2.1.cmml" xref="A2.SS9.5.p2.6.m6.1.1.3.1">ket</csymbol><ci id="A2.SS9.5.p2.6.m6.1.1.1.1.cmml" xref="A2.SS9.5.p2.6.m6.1.1.1.1">𝐮</ci></apply><apply id="A2.SS9.5.p2.6.m6.2.2.2.cmml" xref="A2.SS9.5.p2.6.m6.2.2.3"><csymbol cd="latexml" id="A2.SS9.5.p2.6.m6.2.2.2.1.cmml" xref="A2.SS9.5.p2.6.m6.2.2.3.1">ket</csymbol><ci id="A2.SS9.5.p2.6.m6.2.2.1.1.cmml" xref="A2.SS9.5.p2.6.m6.2.2.1.1">𝐯</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.SS9.5.p2.6.m6.2c">\ket{\mathbf{u}}=\ket{\mathbf{v}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.SS9.5.p2.6.m6.2d">| start_ARG bold_u end_ARG ⟩ = | start_ARG bold_v end_ARG ⟩</annotation></semantics></math>, so we see <math alttext="\braket{\vec{\sigma}}{\mathbf{u}}=0" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.SS9.5.p2.7.m7.2"><semantics id="A2.SS9.5.p2.7.m7.2a"><mrow id="A2.SS9.5.p2.7.m7.2.3" xref="A2.SS9.5.p2.7.m7.2.3.cmml"><mrow id="A2.SS9.5.p2.7.m7.2.2.4" xref="A2.SS9.5.p2.7.m7.2.2.3.cmml"><mo id="A2.SS9.5.p2.7.m7.2.2.4.1" stretchy="false" xref="A2.SS9.5.p2.7.m7.2.2.3.1.cmml">⟨</mo><mover accent="true" id="A2.SS9.5.p2.7.m7.1.1.1.1" xref="A2.SS9.5.p2.7.m7.1.1.1.1.cmml"><mi id="A2.SS9.5.p2.7.m7.1.1.1.1.2" xref="A2.SS9.5.p2.7.m7.1.1.1.1.2.cmml">σ</mi><mo id="A2.SS9.5.p2.7.m7.1.1.1.1.1" stretchy="false" xref="A2.SS9.5.p2.7.m7.1.1.1.1.1.cmml">→</mo></mover><mo id="A2.SS9.5.p2.7.m7.2.2.4.2" lspace="0em" rspace="0.170em" xref="A2.SS9.5.p2.7.m7.2.2.3.1.cmml">|</mo><mi id="A2.SS9.5.p2.7.m7.2.2.2.2" xref="A2.SS9.5.p2.7.m7.2.2.2.2.cmml">𝐮</mi><mo id="A2.SS9.5.p2.7.m7.2.2.4.3" stretchy="false" xref="A2.SS9.5.p2.7.m7.2.2.3.1.cmml">⟩</mo></mrow><mo id="A2.SS9.5.p2.7.m7.2.3.1" xref="A2.SS9.5.p2.7.m7.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="A2.SS9.5.p2.7.m7.2.3.2" xref="A2.SS9.5.p2.7.m7.2.3.2.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.SS9.5.p2.7.m7.2b"><apply id="A2.SS9.5.p2.7.m7.2.3.cmml" xref="A2.SS9.5.p2.7.m7.2.3"><eq id="A2.SS9.5.p2.7.m7.2.3.1.cmml" xref="A2.SS9.5.p2.7.m7.2.3.1"></eq><apply id="A2.SS9.5.p2.7.m7.2.2.3.cmml" xref="A2.SS9.5.p2.7.m7.2.2.4"><csymbol cd="latexml" id="A2.SS9.5.p2.7.m7.2.2.3.1.cmml" xref="A2.SS9.5.p2.7.m7.2.2.4.1">inner-product</csymbol><apply id="A2.SS9.5.p2.7.m7.1.1.1.1.cmml" xref="A2.SS9.5.p2.7.m7.1.1.1.1"><ci id="A2.SS9.5.p2.7.m7.1.1.1.1.1.cmml" xref="A2.SS9.5.p2.7.m7.1.1.1.1.1">→</ci><ci id="A2.SS9.5.p2.7.m7.1.1.1.1.2.cmml" xref="A2.SS9.5.p2.7.m7.1.1.1.1.2">𝜎</ci></apply><ci id="A2.SS9.5.p2.7.m7.2.2.2.2.cmml" xref="A2.SS9.5.p2.7.m7.2.2.2.2">𝐮</ci></apply><cn id="A2.SS9.5.p2.7.m7.2.3.2.cmml" type="integer" xref="A2.SS9.5.p2.7.m7.2.3.2">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.SS9.5.p2.7.m7.2c">\braket{\vec{\sigma}}{\mathbf{u}}=0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.SS9.5.p2.7.m7.2d">⟨ start_ARG over→ start_ARG italic_σ end_ARG end_ARG | start_ARG bold_u end_ARG ⟩ = 0</annotation></semantics></math> for every <math alttext="\vec{\sigma}\in S_{t}^{2}\circ S_{t-1}^{\times N}" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.SS9.5.p2.8.m8.1"><semantics id="A2.SS9.5.p2.8.m8.1a"><mrow id="A2.SS9.5.p2.8.m8.1.1" xref="A2.SS9.5.p2.8.m8.1.1.cmml"><mover accent="true" id="A2.SS9.5.p2.8.m8.1.1.2" xref="A2.SS9.5.p2.8.m8.1.1.2.cmml"><mi id="A2.SS9.5.p2.8.m8.1.1.2.2" xref="A2.SS9.5.p2.8.m8.1.1.2.2.cmml">σ</mi><mo id="A2.SS9.5.p2.8.m8.1.1.2.1" stretchy="false" xref="A2.SS9.5.p2.8.m8.1.1.2.1.cmml">→</mo></mover><mo id="A2.SS9.5.p2.8.m8.1.1.1" xref="A2.SS9.5.p2.8.m8.1.1.1.cmml">∈</mo><mrow id="A2.SS9.5.p2.8.m8.1.1.3" xref="A2.SS9.5.p2.8.m8.1.1.3.cmml"><msubsup id="A2.SS9.5.p2.8.m8.1.1.3.2" xref="A2.SS9.5.p2.8.m8.1.1.3.2.cmml"><mi id="A2.SS9.5.p2.8.m8.1.1.3.2.2.2" xref="A2.SS9.5.p2.8.m8.1.1.3.2.2.2.cmml">S</mi><mi id="A2.SS9.5.p2.8.m8.1.1.3.2.2.3" xref="A2.SS9.5.p2.8.m8.1.1.3.2.2.3.cmml">t</mi><mn id="A2.SS9.5.p2.8.m8.1.1.3.2.3" xref="A2.SS9.5.p2.8.m8.1.1.3.2.3.cmml">2</mn></msubsup><mo id="A2.SS9.5.p2.8.m8.1.1.3.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="A2.SS9.5.p2.8.m8.1.1.3.1.cmml">∘</mo><msubsup id="A2.SS9.5.p2.8.m8.1.1.3.3" xref="A2.SS9.5.p2.8.m8.1.1.3.3.cmml"><mi id="A2.SS9.5.p2.8.m8.1.1.3.3.2.2" xref="A2.SS9.5.p2.8.m8.1.1.3.3.2.2.cmml">S</mi><mrow id="A2.SS9.5.p2.8.m8.1.1.3.3.2.3" xref="A2.SS9.5.p2.8.m8.1.1.3.3.2.3.cmml"><mi id="A2.SS9.5.p2.8.m8.1.1.3.3.2.3.2" xref="A2.SS9.5.p2.8.m8.1.1.3.3.2.3.2.cmml">t</mi><mo id="A2.SS9.5.p2.8.m8.1.1.3.3.2.3.1" xref="A2.SS9.5.p2.8.m8.1.1.3.3.2.3.1.cmml">−</mo><mn id="A2.SS9.5.p2.8.m8.1.1.3.3.2.3.3" xref="A2.SS9.5.p2.8.m8.1.1.3.3.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mrow id="A2.SS9.5.p2.8.m8.1.1.3.3.3" xref="A2.SS9.5.p2.8.m8.1.1.3.3.3.cmml"><mi id="A2.SS9.5.p2.8.m8.1.1.3.3.3.2" xref="A2.SS9.5.p2.8.m8.1.1.3.3.3.2.cmml"></mi><mo id="A2.SS9.5.p2.8.m8.1.1.3.3.3.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="A2.SS9.5.p2.8.m8.1.1.3.3.3.1.cmml">×</mo><mi id="A2.SS9.5.p2.8.m8.1.1.3.3.3.3" xref="A2.SS9.5.p2.8.m8.1.1.3.3.3.3.cmml">N</mi></mrow></msubsup></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.SS9.5.p2.8.m8.1b"><apply id="A2.SS9.5.p2.8.m8.1.1.cmml" xref="A2.SS9.5.p2.8.m8.1.1"><in id="A2.SS9.5.p2.8.m8.1.1.1.cmml" xref="A2.SS9.5.p2.8.m8.1.1.1"></in><apply id="A2.SS9.5.p2.8.m8.1.1.2.cmml" xref="A2.SS9.5.p2.8.m8.1.1.2"><ci id="A2.SS9.5.p2.8.m8.1.1.2.1.cmml" xref="A2.SS9.5.p2.8.m8.1.1.2.1">→</ci><ci id="A2.SS9.5.p2.8.m8.1.1.2.2.cmml" xref="A2.SS9.5.p2.8.m8.1.1.2.2">𝜎</ci></apply><apply id="A2.SS9.5.p2.8.m8.1.1.3.cmml" xref="A2.SS9.5.p2.8.m8.1.1.3"><compose id="A2.SS9.5.p2.8.m8.1.1.3.1.cmml" xref="A2.SS9.5.p2.8.m8.1.1.3.1"></compose><apply id="A2.SS9.5.p2.8.m8.1.1.3.2.cmml" xref="A2.SS9.5.p2.8.m8.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.SS9.5.p2.8.m8.1.1.3.2.1.cmml" xref="A2.SS9.5.p2.8.m8.1.1.3.2">superscript</csymbol><apply id="A2.SS9.5.p2.8.m8.1.1.3.2.2.cmml" xref="A2.SS9.5.p2.8.m8.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.SS9.5.p2.8.m8.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="A2.SS9.5.p2.8.m8.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="A2.SS9.5.p2.8.m8.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="A2.SS9.5.p2.8.m8.1.1.3.2.2.2">𝑆</ci><ci id="A2.SS9.5.p2.8.m8.1.1.3.2.2.3.cmml" xref="A2.SS9.5.p2.8.m8.1.1.3.2.2.3">𝑡</ci></apply><cn id="A2.SS9.5.p2.8.m8.1.1.3.2.3.cmml" type="integer" xref="A2.SS9.5.p2.8.m8.1.1.3.2.3">2</cn></apply><apply id="A2.SS9.5.p2.8.m8.1.1.3.3.cmml" xref="A2.SS9.5.p2.8.m8.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.SS9.5.p2.8.m8.1.1.3.3.1.cmml" xref="A2.SS9.5.p2.8.m8.1.1.3.3">superscript</csymbol><apply id="A2.SS9.5.p2.8.m8.1.1.3.3.2.cmml" xref="A2.SS9.5.p2.8.m8.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.SS9.5.p2.8.m8.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="A2.SS9.5.p2.8.m8.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="A2.SS9.5.p2.8.m8.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="A2.SS9.5.p2.8.m8.1.1.3.3.2.2">𝑆</ci><apply id="A2.SS9.5.p2.8.m8.1.1.3.3.2.3.cmml" xref="A2.SS9.5.p2.8.m8.1.1.3.3.2.3"><minus id="A2.SS9.5.p2.8.m8.1.1.3.3.2.3.1.cmml" xref="A2.SS9.5.p2.8.m8.1.1.3.3.2.3.1"></minus><ci id="A2.SS9.5.p2.8.m8.1.1.3.3.2.3.2.cmml" xref="A2.SS9.5.p2.8.m8.1.1.3.3.2.3.2">𝑡</ci><cn id="A2.SS9.5.p2.8.m8.1.1.3.3.2.3.3.cmml" type="integer" xref="A2.SS9.5.p2.8.m8.1.1.3.3.2.3.3">1</cn></apply></apply><apply id="A2.SS9.5.p2.8.m8.1.1.3.3.3.cmml" xref="A2.SS9.5.p2.8.m8.1.1.3.3.3"><times id="A2.SS9.5.p2.8.m8.1.1.3.3.3.1.cmml" xref="A2.SS9.5.p2.8.m8.1.1.3.3.3.1"></times><csymbol cd="latexml" id="A2.SS9.5.p2.8.m8.1.1.3.3.3.2.cmml" xref="A2.SS9.5.p2.8.m8.1.1.3.3.3.2">absent</csymbol><ci id="A2.SS9.5.p2.8.m8.1.1.3.3.3.3.cmml" xref="A2.SS9.5.p2.8.m8.1.1.3.3.3.3">𝑁</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.SS9.5.p2.8.m8.1c">\vec{\sigma}\in S_{t}^{2}\circ S_{t-1}^{\times N}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.SS9.5.p2.8.m8.1d">over→ start_ARG italic_σ end_ARG ∈ italic_S start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ∘ italic_S start_POSTSUBSCRIPT italic_t - 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT × italic_N end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>. But from Lemma <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#Thmtheorem59" title="Lemma 59. ‣ B.9 Proof of Theorem 34 ‣ Appendix B Assorted proofs ‣ Conditional 𝑡-independent spectral gap for random quantum circuits and implications for 𝑡-design depths"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">59</span></a>.1 we have <math alttext="X\mathbf{u}=\mathbf{u}" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.SS9.5.p2.9.m9.1"><semantics id="A2.SS9.5.p2.9.m9.1a"><mrow id="A2.SS9.5.p2.9.m9.1.1" xref="A2.SS9.5.p2.9.m9.1.1.cmml"><mrow id="A2.SS9.5.p2.9.m9.1.1.2" xref="A2.SS9.5.p2.9.m9.1.1.2.cmml"><mi id="A2.SS9.5.p2.9.m9.1.1.2.2" xref="A2.SS9.5.p2.9.m9.1.1.2.2.cmml">X</mi><mo id="A2.SS9.5.p2.9.m9.1.1.2.1" xref="A2.SS9.5.p2.9.m9.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="A2.SS9.5.p2.9.m9.1.1.2.3" xref="A2.SS9.5.p2.9.m9.1.1.2.3.cmml">𝐮</mi></mrow><mo id="A2.SS9.5.p2.9.m9.1.1.1" xref="A2.SS9.5.p2.9.m9.1.1.1.cmml">=</mo><mi id="A2.SS9.5.p2.9.m9.1.1.3" xref="A2.SS9.5.p2.9.m9.1.1.3.cmml">𝐮</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.SS9.5.p2.9.m9.1b"><apply id="A2.SS9.5.p2.9.m9.1.1.cmml" xref="A2.SS9.5.p2.9.m9.1.1"><eq id="A2.SS9.5.p2.9.m9.1.1.1.cmml" xref="A2.SS9.5.p2.9.m9.1.1.1"></eq><apply id="A2.SS9.5.p2.9.m9.1.1.2.cmml" xref="A2.SS9.5.p2.9.m9.1.1.2"><times id="A2.SS9.5.p2.9.m9.1.1.2.1.cmml" xref="A2.SS9.5.p2.9.m9.1.1.2.1"></times><ci id="A2.SS9.5.p2.9.m9.1.1.2.2.cmml" xref="A2.SS9.5.p2.9.m9.1.1.2.2">𝑋</ci><ci id="A2.SS9.5.p2.9.m9.1.1.2.3.cmml" xref="A2.SS9.5.p2.9.m9.1.1.2.3">𝐮</ci></apply><ci id="A2.SS9.5.p2.9.m9.1.1.3.cmml" xref="A2.SS9.5.p2.9.m9.1.1.3">𝐮</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.SS9.5.p2.9.m9.1c">X\mathbf{u}=\mathbf{u}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.SS9.5.p2.9.m9.1d">italic_X bold_u = bold_u</annotation></semantics></math>, so <math alttext="\braket{\vec{\sigma}}{\mathbf{u}}=u_{\vec{\sigma}}" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.SS9.5.p2.10.m10.2"><semantics id="A2.SS9.5.p2.10.m10.2a"><mrow id="A2.SS9.5.p2.10.m10.2.3" xref="A2.SS9.5.p2.10.m10.2.3.cmml"><mrow id="A2.SS9.5.p2.10.m10.2.2.4" xref="A2.SS9.5.p2.10.m10.2.2.3.cmml"><mo id="A2.SS9.5.p2.10.m10.2.2.4.1" stretchy="false" xref="A2.SS9.5.p2.10.m10.2.2.3.1.cmml">⟨</mo><mover accent="true" id="A2.SS9.5.p2.10.m10.1.1.1.1" xref="A2.SS9.5.p2.10.m10.1.1.1.1.cmml"><mi id="A2.SS9.5.p2.10.m10.1.1.1.1.2" xref="A2.SS9.5.p2.10.m10.1.1.1.1.2.cmml">σ</mi><mo id="A2.SS9.5.p2.10.m10.1.1.1.1.1" stretchy="false" xref="A2.SS9.5.p2.10.m10.1.1.1.1.1.cmml">→</mo></mover><mo id="A2.SS9.5.p2.10.m10.2.2.4.2" lspace="0em" rspace="0.170em" xref="A2.SS9.5.p2.10.m10.2.2.3.1.cmml">|</mo><mi id="A2.SS9.5.p2.10.m10.2.2.2.2" xref="A2.SS9.5.p2.10.m10.2.2.2.2.cmml">𝐮</mi><mo id="A2.SS9.5.p2.10.m10.2.2.4.3" stretchy="false" xref="A2.SS9.5.p2.10.m10.2.2.3.1.cmml">⟩</mo></mrow><mo id="A2.SS9.5.p2.10.m10.2.3.1" xref="A2.SS9.5.p2.10.m10.2.3.1.cmml">=</mo><msub id="A2.SS9.5.p2.10.m10.2.3.2" xref="A2.SS9.5.p2.10.m10.2.3.2.cmml"><mi id="A2.SS9.5.p2.10.m10.2.3.2.2" xref="A2.SS9.5.p2.10.m10.2.3.2.2.cmml">u</mi><mover accent="true" id="A2.SS9.5.p2.10.m10.2.3.2.3" xref="A2.SS9.5.p2.10.m10.2.3.2.3.cmml"><mi id="A2.SS9.5.p2.10.m10.2.3.2.3.2" xref="A2.SS9.5.p2.10.m10.2.3.2.3.2.cmml">σ</mi><mo id="A2.SS9.5.p2.10.m10.2.3.2.3.1" stretchy="false" xref="A2.SS9.5.p2.10.m10.2.3.2.3.1.cmml">→</mo></mover></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.SS9.5.p2.10.m10.2b"><apply id="A2.SS9.5.p2.10.m10.2.3.cmml" xref="A2.SS9.5.p2.10.m10.2.3"><eq id="A2.SS9.5.p2.10.m10.2.3.1.cmml" xref="A2.SS9.5.p2.10.m10.2.3.1"></eq><apply id="A2.SS9.5.p2.10.m10.2.2.3.cmml" xref="A2.SS9.5.p2.10.m10.2.2.4"><csymbol cd="latexml" id="A2.SS9.5.p2.10.m10.2.2.3.1.cmml" xref="A2.SS9.5.p2.10.m10.2.2.4.1">inner-product</csymbol><apply id="A2.SS9.5.p2.10.m10.1.1.1.1.cmml" xref="A2.SS9.5.p2.10.m10.1.1.1.1"><ci id="A2.SS9.5.p2.10.m10.1.1.1.1.1.cmml" xref="A2.SS9.5.p2.10.m10.1.1.1.1.1">→</ci><ci id="A2.SS9.5.p2.10.m10.1.1.1.1.2.cmml" xref="A2.SS9.5.p2.10.m10.1.1.1.1.2">𝜎</ci></apply><ci id="A2.SS9.5.p2.10.m10.2.2.2.2.cmml" xref="A2.SS9.5.p2.10.m10.2.2.2.2">𝐮</ci></apply><apply id="A2.SS9.5.p2.10.m10.2.3.2.cmml" xref="A2.SS9.5.p2.10.m10.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.SS9.5.p2.10.m10.2.3.2.1.cmml" xref="A2.SS9.5.p2.10.m10.2.3.2">subscript</csymbol><ci id="A2.SS9.5.p2.10.m10.2.3.2.2.cmml" xref="A2.SS9.5.p2.10.m10.2.3.2.2">𝑢</ci><apply id="A2.SS9.5.p2.10.m10.2.3.2.3.cmml" xref="A2.SS9.5.p2.10.m10.2.3.2.3"><ci id="A2.SS9.5.p2.10.m10.2.3.2.3.1.cmml" xref="A2.SS9.5.p2.10.m10.2.3.2.3.1">→</ci><ci id="A2.SS9.5.p2.10.m10.2.3.2.3.2.cmml" xref="A2.SS9.5.p2.10.m10.2.3.2.3.2">𝜎</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.SS9.5.p2.10.m10.2c">\braket{\vec{\sigma}}{\mathbf{u}}=u_{\vec{\sigma}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.SS9.5.p2.10.m10.2d">⟨ start_ARG over→ start_ARG italic_σ end_ARG end_ARG | start_ARG bold_u end_ARG ⟩ = italic_u start_POSTSUBSCRIPT over→ start_ARG italic_σ end_ARG end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>. We thus see that <math alttext="u_{\vec{\sigma}}=0" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.SS9.5.p2.11.m11.1"><semantics id="A2.SS9.5.p2.11.m11.1a"><mrow id="A2.SS9.5.p2.11.m11.1.1" xref="A2.SS9.5.p2.11.m11.1.1.cmml"><msub id="A2.SS9.5.p2.11.m11.1.1.2" xref="A2.SS9.5.p2.11.m11.1.1.2.cmml"><mi id="A2.SS9.5.p2.11.m11.1.1.2.2" xref="A2.SS9.5.p2.11.m11.1.1.2.2.cmml">u</mi><mover accent="true" id="A2.SS9.5.p2.11.m11.1.1.2.3" xref="A2.SS9.5.p2.11.m11.1.1.2.3.cmml"><mi id="A2.SS9.5.p2.11.m11.1.1.2.3.2" xref="A2.SS9.5.p2.11.m11.1.1.2.3.2.cmml">σ</mi><mo id="A2.SS9.5.p2.11.m11.1.1.2.3.1" stretchy="false" xref="A2.SS9.5.p2.11.m11.1.1.2.3.1.cmml">→</mo></mover></msub><mo id="A2.SS9.5.p2.11.m11.1.1.1" xref="A2.SS9.5.p2.11.m11.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="A2.SS9.5.p2.11.m11.1.1.3" xref="A2.SS9.5.p2.11.m11.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.SS9.5.p2.11.m11.1b"><apply id="A2.SS9.5.p2.11.m11.1.1.cmml" xref="A2.SS9.5.p2.11.m11.1.1"><eq id="A2.SS9.5.p2.11.m11.1.1.1.cmml" xref="A2.SS9.5.p2.11.m11.1.1.1"></eq><apply id="A2.SS9.5.p2.11.m11.1.1.2.cmml" xref="A2.SS9.5.p2.11.m11.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.SS9.5.p2.11.m11.1.1.2.1.cmml" xref="A2.SS9.5.p2.11.m11.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="A2.SS9.5.p2.11.m11.1.1.2.2.cmml" xref="A2.SS9.5.p2.11.m11.1.1.2.2">𝑢</ci><apply id="A2.SS9.5.p2.11.m11.1.1.2.3.cmml" xref="A2.SS9.5.p2.11.m11.1.1.2.3"><ci id="A2.SS9.5.p2.11.m11.1.1.2.3.1.cmml" xref="A2.SS9.5.p2.11.m11.1.1.2.3.1">→</ci><ci id="A2.SS9.5.p2.11.m11.1.1.2.3.2.cmml" xref="A2.SS9.5.p2.11.m11.1.1.2.3.2">𝜎</ci></apply></apply><cn id="A2.SS9.5.p2.11.m11.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A2.SS9.5.p2.11.m11.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.SS9.5.p2.11.m11.1c">u_{\vec{\sigma}}=0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.SS9.5.p2.11.m11.1d">italic_u start_POSTSUBSCRIPT over→ start_ARG italic_σ end_ARG end_POSTSUBSCRIPT = 0</annotation></semantics></math> for all <math alttext="\vec{\sigma}\in S_{t}^{2}\circ S_{t-1}^{\times N}" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.SS9.5.p2.12.m12.1"><semantics id="A2.SS9.5.p2.12.m12.1a"><mrow id="A2.SS9.5.p2.12.m12.1.1" xref="A2.SS9.5.p2.12.m12.1.1.cmml"><mover accent="true" id="A2.SS9.5.p2.12.m12.1.1.2" xref="A2.SS9.5.p2.12.m12.1.1.2.cmml"><mi id="A2.SS9.5.p2.12.m12.1.1.2.2" xref="A2.SS9.5.p2.12.m12.1.1.2.2.cmml">σ</mi><mo id="A2.SS9.5.p2.12.m12.1.1.2.1" stretchy="false" xref="A2.SS9.5.p2.12.m12.1.1.2.1.cmml">→</mo></mover><mo id="A2.SS9.5.p2.12.m12.1.1.1" xref="A2.SS9.5.p2.12.m12.1.1.1.cmml">∈</mo><mrow id="A2.SS9.5.p2.12.m12.1.1.3" xref="A2.SS9.5.p2.12.m12.1.1.3.cmml"><msubsup id="A2.SS9.5.p2.12.m12.1.1.3.2" xref="A2.SS9.5.p2.12.m12.1.1.3.2.cmml"><mi id="A2.SS9.5.p2.12.m12.1.1.3.2.2.2" xref="A2.SS9.5.p2.12.m12.1.1.3.2.2.2.cmml">S</mi><mi id="A2.SS9.5.p2.12.m12.1.1.3.2.2.3" xref="A2.SS9.5.p2.12.m12.1.1.3.2.2.3.cmml">t</mi><mn id="A2.SS9.5.p2.12.m12.1.1.3.2.3" xref="A2.SS9.5.p2.12.m12.1.1.3.2.3.cmml">2</mn></msubsup><mo id="A2.SS9.5.p2.12.m12.1.1.3.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="A2.SS9.5.p2.12.m12.1.1.3.1.cmml">∘</mo><msubsup id="A2.SS9.5.p2.12.m12.1.1.3.3" xref="A2.SS9.5.p2.12.m12.1.1.3.3.cmml"><mi id="A2.SS9.5.p2.12.m12.1.1.3.3.2.2" xref="A2.SS9.5.p2.12.m12.1.1.3.3.2.2.cmml">S</mi><mrow id="A2.SS9.5.p2.12.m12.1.1.3.3.2.3" xref="A2.SS9.5.p2.12.m12.1.1.3.3.2.3.cmml"><mi id="A2.SS9.5.p2.12.m12.1.1.3.3.2.3.2" xref="A2.SS9.5.p2.12.m12.1.1.3.3.2.3.2.cmml">t</mi><mo id="A2.SS9.5.p2.12.m12.1.1.3.3.2.3.1" xref="A2.SS9.5.p2.12.m12.1.1.3.3.2.3.1.cmml">−</mo><mn id="A2.SS9.5.p2.12.m12.1.1.3.3.2.3.3" xref="A2.SS9.5.p2.12.m12.1.1.3.3.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mrow id="A2.SS9.5.p2.12.m12.1.1.3.3.3" xref="A2.SS9.5.p2.12.m12.1.1.3.3.3.cmml"><mi id="A2.SS9.5.p2.12.m12.1.1.3.3.3.2" xref="A2.SS9.5.p2.12.m12.1.1.3.3.3.2.cmml"></mi><mo id="A2.SS9.5.p2.12.m12.1.1.3.3.3.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="A2.SS9.5.p2.12.m12.1.1.3.3.3.1.cmml">×</mo><mi id="A2.SS9.5.p2.12.m12.1.1.3.3.3.3" xref="A2.SS9.5.p2.12.m12.1.1.3.3.3.3.cmml">N</mi></mrow></msubsup></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.SS9.5.p2.12.m12.1b"><apply id="A2.SS9.5.p2.12.m12.1.1.cmml" xref="A2.SS9.5.p2.12.m12.1.1"><in id="A2.SS9.5.p2.12.m12.1.1.1.cmml" xref="A2.SS9.5.p2.12.m12.1.1.1"></in><apply id="A2.SS9.5.p2.12.m12.1.1.2.cmml" xref="A2.SS9.5.p2.12.m12.1.1.2"><ci id="A2.SS9.5.p2.12.m12.1.1.2.1.cmml" xref="A2.SS9.5.p2.12.m12.1.1.2.1">→</ci><ci id="A2.SS9.5.p2.12.m12.1.1.2.2.cmml" xref="A2.SS9.5.p2.12.m12.1.1.2.2">𝜎</ci></apply><apply id="A2.SS9.5.p2.12.m12.1.1.3.cmml" xref="A2.SS9.5.p2.12.m12.1.1.3"><compose id="A2.SS9.5.p2.12.m12.1.1.3.1.cmml" xref="A2.SS9.5.p2.12.m12.1.1.3.1"></compose><apply id="A2.SS9.5.p2.12.m12.1.1.3.2.cmml" xref="A2.SS9.5.p2.12.m12.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.SS9.5.p2.12.m12.1.1.3.2.1.cmml" xref="A2.SS9.5.p2.12.m12.1.1.3.2">superscript</csymbol><apply id="A2.SS9.5.p2.12.m12.1.1.3.2.2.cmml" xref="A2.SS9.5.p2.12.m12.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.SS9.5.p2.12.m12.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="A2.SS9.5.p2.12.m12.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="A2.SS9.5.p2.12.m12.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="A2.SS9.5.p2.12.m12.1.1.3.2.2.2">𝑆</ci><ci id="A2.SS9.5.p2.12.m12.1.1.3.2.2.3.cmml" xref="A2.SS9.5.p2.12.m12.1.1.3.2.2.3">𝑡</ci></apply><cn id="A2.SS9.5.p2.12.m12.1.1.3.2.3.cmml" type="integer" xref="A2.SS9.5.p2.12.m12.1.1.3.2.3">2</cn></apply><apply id="A2.SS9.5.p2.12.m12.1.1.3.3.cmml" xref="A2.SS9.5.p2.12.m12.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.SS9.5.p2.12.m12.1.1.3.3.1.cmml" xref="A2.SS9.5.p2.12.m12.1.1.3.3">superscript</csymbol><apply id="A2.SS9.5.p2.12.m12.1.1.3.3.2.cmml" xref="A2.SS9.5.p2.12.m12.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.SS9.5.p2.12.m12.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="A2.SS9.5.p2.12.m12.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="A2.SS9.5.p2.12.m12.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="A2.SS9.5.p2.12.m12.1.1.3.3.2.2">𝑆</ci><apply id="A2.SS9.5.p2.12.m12.1.1.3.3.2.3.cmml" xref="A2.SS9.5.p2.12.m12.1.1.3.3.2.3"><minus id="A2.SS9.5.p2.12.m12.1.1.3.3.2.3.1.cmml" xref="A2.SS9.5.p2.12.m12.1.1.3.3.2.3.1"></minus><ci id="A2.SS9.5.p2.12.m12.1.1.3.3.2.3.2.cmml" xref="A2.SS9.5.p2.12.m12.1.1.3.3.2.3.2">𝑡</ci><cn id="A2.SS9.5.p2.12.m12.1.1.3.3.2.3.3.cmml" type="integer" xref="A2.SS9.5.p2.12.m12.1.1.3.3.2.3.3">1</cn></apply></apply><apply id="A2.SS9.5.p2.12.m12.1.1.3.3.3.cmml" xref="A2.SS9.5.p2.12.m12.1.1.3.3.3"><times id="A2.SS9.5.p2.12.m12.1.1.3.3.3.1.cmml" xref="A2.SS9.5.p2.12.m12.1.1.3.3.3.1"></times><csymbol cd="latexml" id="A2.SS9.5.p2.12.m12.1.1.3.3.3.2.cmml" xref="A2.SS9.5.p2.12.m12.1.1.3.3.3.2">absent</csymbol><ci id="A2.SS9.5.p2.12.m12.1.1.3.3.3.3.cmml" xref="A2.SS9.5.p2.12.m12.1.1.3.3.3.3">𝑁</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.SS9.5.p2.12.m12.1c">\vec{\sigma}\in S_{t}^{2}\circ S_{t-1}^{\times N}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.SS9.5.p2.12.m12.1d">over→ start_ARG italic_σ end_ARG ∈ italic_S start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ∘ italic_S start_POSTSUBSCRIPT italic_t - 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT × italic_N end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>, and so <math alttext="\mathbf{u}\in\mathcal{I}" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.SS9.5.p2.13.m13.1"><semantics id="A2.SS9.5.p2.13.m13.1a"><mrow id="A2.SS9.5.p2.13.m13.1.1" xref="A2.SS9.5.p2.13.m13.1.1.cmml"><mi id="A2.SS9.5.p2.13.m13.1.1.2" xref="A2.SS9.5.p2.13.m13.1.1.2.cmml">𝐮</mi><mo id="A2.SS9.5.p2.13.m13.1.1.1" xref="A2.SS9.5.p2.13.m13.1.1.1.cmml">∈</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="A2.SS9.5.p2.13.m13.1.1.3" xref="A2.SS9.5.p2.13.m13.1.1.3.cmml">ℐ</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.SS9.5.p2.13.m13.1b"><apply id="A2.SS9.5.p2.13.m13.1.1.cmml" xref="A2.SS9.5.p2.13.m13.1.1"><in id="A2.SS9.5.p2.13.m13.1.1.1.cmml" xref="A2.SS9.5.p2.13.m13.1.1.1"></in><ci id="A2.SS9.5.p2.13.m13.1.1.2.cmml" xref="A2.SS9.5.p2.13.m13.1.1.2">𝐮</ci><ci id="A2.SS9.5.p2.13.m13.1.1.3.cmml" xref="A2.SS9.5.p2.13.m13.1.1.3">ℐ</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.SS9.5.p2.13.m13.1c">\mathbf{u}\in\mathcal{I}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.SS9.5.p2.13.m13.1d">bold_u ∈ caligraphic_I</annotation></semantics></math>. This implies that the orthogonal complement of the non-deranged subspace is contained in <math alttext="E\left(\mathcal{I}\right)" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.SS9.5.p2.14.m14.1"><semantics id="A2.SS9.5.p2.14.m14.1a"><mrow id="A2.SS9.5.p2.14.m14.1.2" xref="A2.SS9.5.p2.14.m14.1.2.cmml"><mi id="A2.SS9.5.p2.14.m14.1.2.2" xref="A2.SS9.5.p2.14.m14.1.2.2.cmml">E</mi><mo id="A2.SS9.5.p2.14.m14.1.2.1" xref="A2.SS9.5.p2.14.m14.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A2.SS9.5.p2.14.m14.1.2.3.2" xref="A2.SS9.5.p2.14.m14.1.2.cmml"><mo id="A2.SS9.5.p2.14.m14.1.2.3.2.1" xref="A2.SS9.5.p2.14.m14.1.2.cmml">(</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="A2.SS9.5.p2.14.m14.1.1" xref="A2.SS9.5.p2.14.m14.1.1.cmml">ℐ</mi><mo id="A2.SS9.5.p2.14.m14.1.2.3.2.2" xref="A2.SS9.5.p2.14.m14.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.SS9.5.p2.14.m14.1b"><apply id="A2.SS9.5.p2.14.m14.1.2.cmml" xref="A2.SS9.5.p2.14.m14.1.2"><times id="A2.SS9.5.p2.14.m14.1.2.1.cmml" xref="A2.SS9.5.p2.14.m14.1.2.1"></times><ci id="A2.SS9.5.p2.14.m14.1.2.2.cmml" xref="A2.SS9.5.p2.14.m14.1.2.2">𝐸</ci><ci id="A2.SS9.5.p2.14.m14.1.1.cmml" xref="A2.SS9.5.p2.14.m14.1.1">ℐ</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.SS9.5.p2.14.m14.1c">E\left(\mathcal{I}\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.SS9.5.p2.14.m14.1d">italic_E ( caligraphic_I )</annotation></semantics></math>.</p> </div> <div class="ltx_para" id="A2.SS9.6.p3"> <p class="ltx_p" id="A2.SS9.6.p3.6">We have shown that <math alttext="E\left(\mathcal{I}\right)" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.SS9.6.p3.1.m1.1"><semantics id="A2.SS9.6.p3.1.m1.1a"><mrow id="A2.SS9.6.p3.1.m1.1.2" xref="A2.SS9.6.p3.1.m1.1.2.cmml"><mi id="A2.SS9.6.p3.1.m1.1.2.2" xref="A2.SS9.6.p3.1.m1.1.2.2.cmml">E</mi><mo id="A2.SS9.6.p3.1.m1.1.2.1" xref="A2.SS9.6.p3.1.m1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A2.SS9.6.p3.1.m1.1.2.3.2" xref="A2.SS9.6.p3.1.m1.1.2.cmml"><mo id="A2.SS9.6.p3.1.m1.1.2.3.2.1" xref="A2.SS9.6.p3.1.m1.1.2.cmml">(</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="A2.SS9.6.p3.1.m1.1.1" xref="A2.SS9.6.p3.1.m1.1.1.cmml">ℐ</mi><mo id="A2.SS9.6.p3.1.m1.1.2.3.2.2" xref="A2.SS9.6.p3.1.m1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.SS9.6.p3.1.m1.1b"><apply id="A2.SS9.6.p3.1.m1.1.2.cmml" xref="A2.SS9.6.p3.1.m1.1.2"><times id="A2.SS9.6.p3.1.m1.1.2.1.cmml" xref="A2.SS9.6.p3.1.m1.1.2.1"></times><ci id="A2.SS9.6.p3.1.m1.1.2.2.cmml" xref="A2.SS9.6.p3.1.m1.1.2.2">𝐸</ci><ci id="A2.SS9.6.p3.1.m1.1.1.cmml" xref="A2.SS9.6.p3.1.m1.1.1">ℐ</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.SS9.6.p3.1.m1.1c">E\left(\mathcal{I}\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.SS9.6.p3.1.m1.1d">italic_E ( caligraphic_I )</annotation></semantics></math> is exactly the orthogonal complement of the non-deranged subspace. We now show that the embedding is an isomorphism. It suffices to show that its kernel is trivial. From Lemma <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#Thmtheorem59" title="Lemma 59. ‣ B.9 Proof of Theorem 34 ‣ Appendix B Assorted proofs ‣ Conditional 𝑡-independent spectral gap for random quantum circuits and implications for 𝑡-design depths"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">59</span></a>.3 we see that <math alttext="\ket{\mathbf{v}}=\ket{0}\implies X\mathbf{v}=\mathbf{0}" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.SS9.6.p3.2.m2.2"><semantics id="A2.SS9.6.p3.2.m2.2a"><mrow id="A2.SS9.6.p3.2.m2.2.3" xref="A2.SS9.6.p3.2.m2.2.3.cmml"><mrow id="A2.SS9.6.p3.2.m2.1.1.3" xref="A2.SS9.6.p3.2.m2.1.1.2.cmml"><mo id="A2.SS9.6.p3.2.m2.1.1.3.1" stretchy="false" xref="A2.SS9.6.p3.2.m2.1.1.2.1.cmml">|</mo><mi id="A2.SS9.6.p3.2.m2.1.1.1.1" xref="A2.SS9.6.p3.2.m2.1.1.1.1.cmml">𝐯</mi><mo id="A2.SS9.6.p3.2.m2.1.1.3.2" stretchy="false" xref="A2.SS9.6.p3.2.m2.1.1.2.1.cmml">⟩</mo></mrow><mo id="A2.SS9.6.p3.2.m2.2.3.2" xref="A2.SS9.6.p3.2.m2.2.3.2.cmml">=</mo><mrow id="A2.SS9.6.p3.2.m2.2.2.3" xref="A2.SS9.6.p3.2.m2.2.2.2.cmml"><mo id="A2.SS9.6.p3.2.m2.2.2.3.1" stretchy="false" xref="A2.SS9.6.p3.2.m2.2.2.2.1.cmml">|</mo><mn id="A2.SS9.6.p3.2.m2.2.2.1.1" xref="A2.SS9.6.p3.2.m2.2.2.1.1.cmml">0</mn><mo id="A2.SS9.6.p3.2.m2.2.2.3.2" stretchy="false" xref="A2.SS9.6.p3.2.m2.2.2.2.1.cmml">⟩</mo></mrow><mo id="A2.SS9.6.p3.2.m2.2.3.3" stretchy="false" xref="A2.SS9.6.p3.2.m2.2.3.3.cmml">⟹</mo><mrow id="A2.SS9.6.p3.2.m2.2.3.4" xref="A2.SS9.6.p3.2.m2.2.3.4.cmml"><mi id="A2.SS9.6.p3.2.m2.2.3.4.2" xref="A2.SS9.6.p3.2.m2.2.3.4.2.cmml">X</mi><mo id="A2.SS9.6.p3.2.m2.2.3.4.1" xref="A2.SS9.6.p3.2.m2.2.3.4.1.cmml">⁢</mo><mi id="A2.SS9.6.p3.2.m2.2.3.4.3" xref="A2.SS9.6.p3.2.m2.2.3.4.3.cmml">𝐯</mi></mrow><mo id="A2.SS9.6.p3.2.m2.2.3.5" xref="A2.SS9.6.p3.2.m2.2.3.5.cmml">=</mo><mn id="A2.SS9.6.p3.2.m2.2.3.6" xref="A2.SS9.6.p3.2.m2.2.3.6.cmml">𝟎</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.SS9.6.p3.2.m2.2b"><apply id="A2.SS9.6.p3.2.m2.2.3.cmml" xref="A2.SS9.6.p3.2.m2.2.3"><and id="A2.SS9.6.p3.2.m2.2.3a.cmml" xref="A2.SS9.6.p3.2.m2.2.3"></and><apply id="A2.SS9.6.p3.2.m2.2.3b.cmml" xref="A2.SS9.6.p3.2.m2.2.3"><eq id="A2.SS9.6.p3.2.m2.2.3.2.cmml" xref="A2.SS9.6.p3.2.m2.2.3.2"></eq><apply id="A2.SS9.6.p3.2.m2.1.1.2.cmml" xref="A2.SS9.6.p3.2.m2.1.1.3"><csymbol cd="latexml" id="A2.SS9.6.p3.2.m2.1.1.2.1.cmml" xref="A2.SS9.6.p3.2.m2.1.1.3.1">ket</csymbol><ci id="A2.SS9.6.p3.2.m2.1.1.1.1.cmml" xref="A2.SS9.6.p3.2.m2.1.1.1.1">𝐯</ci></apply><apply id="A2.SS9.6.p3.2.m2.2.2.2.cmml" xref="A2.SS9.6.p3.2.m2.2.2.3"><csymbol cd="latexml" id="A2.SS9.6.p3.2.m2.2.2.2.1.cmml" xref="A2.SS9.6.p3.2.m2.2.2.3.1">ket</csymbol><cn id="A2.SS9.6.p3.2.m2.2.2.1.1.cmml" type="integer" xref="A2.SS9.6.p3.2.m2.2.2.1.1">0</cn></apply></apply><apply id="A2.SS9.6.p3.2.m2.2.3c.cmml" xref="A2.SS9.6.p3.2.m2.2.3"><implies id="A2.SS9.6.p3.2.m2.2.3.3.cmml" xref="A2.SS9.6.p3.2.m2.2.3.3"></implies><share href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#A2.SS9.6.p3.2.m2.2.2.cmml" id="A2.SS9.6.p3.2.m2.2.3d.cmml" xref="A2.SS9.6.p3.2.m2.2.3"></share><apply id="A2.SS9.6.p3.2.m2.2.3.4.cmml" xref="A2.SS9.6.p3.2.m2.2.3.4"><times id="A2.SS9.6.p3.2.m2.2.3.4.1.cmml" xref="A2.SS9.6.p3.2.m2.2.3.4.1"></times><ci id="A2.SS9.6.p3.2.m2.2.3.4.2.cmml" xref="A2.SS9.6.p3.2.m2.2.3.4.2">𝑋</ci><ci id="A2.SS9.6.p3.2.m2.2.3.4.3.cmml" xref="A2.SS9.6.p3.2.m2.2.3.4.3">𝐯</ci></apply></apply><apply id="A2.SS9.6.p3.2.m2.2.3e.cmml" xref="A2.SS9.6.p3.2.m2.2.3"><eq id="A2.SS9.6.p3.2.m2.2.3.5.cmml" xref="A2.SS9.6.p3.2.m2.2.3.5"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#A2.SS9.6.p3.2.m2.2.3.4.cmml" id="A2.SS9.6.p3.2.m2.2.3f.cmml" xref="A2.SS9.6.p3.2.m2.2.3"></share><cn id="A2.SS9.6.p3.2.m2.2.3.6.cmml" type="integer" xref="A2.SS9.6.p3.2.m2.2.3.6">0</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.SS9.6.p3.2.m2.2c">\ket{\mathbf{v}}=\ket{0}\implies X\mathbf{v}=\mathbf{0}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.SS9.6.p3.2.m2.2d">| start_ARG bold_v end_ARG ⟩ = | start_ARG 0 end_ARG ⟩ ⟹ italic_X bold_v = bold_0</annotation></semantics></math>. It follows that if <math alttext="\ket{\mathbf{v}}=\ket{0}" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.SS9.6.p3.3.m3.2"><semantics id="A2.SS9.6.p3.3.m3.2a"><mrow id="A2.SS9.6.p3.3.m3.2.3" xref="A2.SS9.6.p3.3.m3.2.3.cmml"><mrow id="A2.SS9.6.p3.3.m3.1.1.3" xref="A2.SS9.6.p3.3.m3.1.1.2.cmml"><mo id="A2.SS9.6.p3.3.m3.1.1.3.1" stretchy="false" xref="A2.SS9.6.p3.3.m3.1.1.2.1.cmml">|</mo><mi id="A2.SS9.6.p3.3.m3.1.1.1.1" xref="A2.SS9.6.p3.3.m3.1.1.1.1.cmml">𝐯</mi><mo id="A2.SS9.6.p3.3.m3.1.1.3.2" stretchy="false" xref="A2.SS9.6.p3.3.m3.1.1.2.1.cmml">⟩</mo></mrow><mo id="A2.SS9.6.p3.3.m3.2.3.1" xref="A2.SS9.6.p3.3.m3.2.3.1.cmml">=</mo><mrow id="A2.SS9.6.p3.3.m3.2.2.3" xref="A2.SS9.6.p3.3.m3.2.2.2.cmml"><mo id="A2.SS9.6.p3.3.m3.2.2.3.1" stretchy="false" xref="A2.SS9.6.p3.3.m3.2.2.2.1.cmml">|</mo><mn id="A2.SS9.6.p3.3.m3.2.2.1.1" xref="A2.SS9.6.p3.3.m3.2.2.1.1.cmml">0</mn><mo id="A2.SS9.6.p3.3.m3.2.2.3.2" stretchy="false" xref="A2.SS9.6.p3.3.m3.2.2.2.1.cmml">⟩</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.SS9.6.p3.3.m3.2b"><apply id="A2.SS9.6.p3.3.m3.2.3.cmml" xref="A2.SS9.6.p3.3.m3.2.3"><eq id="A2.SS9.6.p3.3.m3.2.3.1.cmml" xref="A2.SS9.6.p3.3.m3.2.3.1"></eq><apply id="A2.SS9.6.p3.3.m3.1.1.2.cmml" xref="A2.SS9.6.p3.3.m3.1.1.3"><csymbol cd="latexml" id="A2.SS9.6.p3.3.m3.1.1.2.1.cmml" xref="A2.SS9.6.p3.3.m3.1.1.3.1">ket</csymbol><ci id="A2.SS9.6.p3.3.m3.1.1.1.1.cmml" xref="A2.SS9.6.p3.3.m3.1.1.1.1">𝐯</ci></apply><apply id="A2.SS9.6.p3.3.m3.2.2.2.cmml" xref="A2.SS9.6.p3.3.m3.2.2.3"><csymbol cd="latexml" id="A2.SS9.6.p3.3.m3.2.2.2.1.cmml" xref="A2.SS9.6.p3.3.m3.2.2.3.1">ket</csymbol><cn id="A2.SS9.6.p3.3.m3.2.2.1.1.cmml" type="integer" xref="A2.SS9.6.p3.3.m3.2.2.1.1">0</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.SS9.6.p3.3.m3.2c">\ket{\mathbf{v}}=\ket{0}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.SS9.6.p3.3.m3.2d">| start_ARG bold_v end_ARG ⟩ = | start_ARG 0 end_ARG ⟩</annotation></semantics></math> and <math alttext="\mathbf{v}\neq\mathbf{0}" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.SS9.6.p3.4.m4.1"><semantics id="A2.SS9.6.p3.4.m4.1a"><mrow id="A2.SS9.6.p3.4.m4.1.1" xref="A2.SS9.6.p3.4.m4.1.1.cmml"><mi id="A2.SS9.6.p3.4.m4.1.1.2" xref="A2.SS9.6.p3.4.m4.1.1.2.cmml">𝐯</mi><mo id="A2.SS9.6.p3.4.m4.1.1.1" xref="A2.SS9.6.p3.4.m4.1.1.1.cmml">≠</mo><mn id="A2.SS9.6.p3.4.m4.1.1.3" xref="A2.SS9.6.p3.4.m4.1.1.3.cmml">𝟎</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.SS9.6.p3.4.m4.1b"><apply id="A2.SS9.6.p3.4.m4.1.1.cmml" xref="A2.SS9.6.p3.4.m4.1.1"><neq id="A2.SS9.6.p3.4.m4.1.1.1.cmml" xref="A2.SS9.6.p3.4.m4.1.1.1"></neq><ci id="A2.SS9.6.p3.4.m4.1.1.2.cmml" xref="A2.SS9.6.p3.4.m4.1.1.2">𝐯</ci><cn id="A2.SS9.6.p3.4.m4.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A2.SS9.6.p3.4.m4.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.SS9.6.p3.4.m4.1c">\mathbf{v}\neq\mathbf{0}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.SS9.6.p3.4.m4.1d">bold_v ≠ bold_0</annotation></semantics></math>, then <math alttext="\mathbf{v}\notin\mathcal{I}" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.SS9.6.p3.5.m5.1"><semantics id="A2.SS9.6.p3.5.m5.1a"><mrow id="A2.SS9.6.p3.5.m5.1.1" xref="A2.SS9.6.p3.5.m5.1.1.cmml"><mi id="A2.SS9.6.p3.5.m5.1.1.2" xref="A2.SS9.6.p3.5.m5.1.1.2.cmml">𝐯</mi><mo id="A2.SS9.6.p3.5.m5.1.1.1" xref="A2.SS9.6.p3.5.m5.1.1.1.cmml">∉</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="A2.SS9.6.p3.5.m5.1.1.3" xref="A2.SS9.6.p3.5.m5.1.1.3.cmml">ℐ</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.SS9.6.p3.5.m5.1b"><apply id="A2.SS9.6.p3.5.m5.1.1.cmml" xref="A2.SS9.6.p3.5.m5.1.1"><notin id="A2.SS9.6.p3.5.m5.1.1.1.cmml" xref="A2.SS9.6.p3.5.m5.1.1.1"></notin><ci id="A2.SS9.6.p3.5.m5.1.1.2.cmml" xref="A2.SS9.6.p3.5.m5.1.1.2">𝐯</ci><ci id="A2.SS9.6.p3.5.m5.1.1.3.cmml" xref="A2.SS9.6.p3.5.m5.1.1.3">ℐ</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.SS9.6.p3.5.m5.1c">\mathbf{v}\notin\mathcal{I}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.SS9.6.p3.5.m5.1d">bold_v ∉ caligraphic_I</annotation></semantics></math>. The kernel of the embedding is thus trivial when we restrict to <math alttext="\mathcal{I}" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.SS9.6.p3.6.m6.1"><semantics id="A2.SS9.6.p3.6.m6.1a"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="A2.SS9.6.p3.6.m6.1.1" xref="A2.SS9.6.p3.6.m6.1.1.cmml">ℐ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.SS9.6.p3.6.m6.1b"><ci id="A2.SS9.6.p3.6.m6.1.1.cmml" xref="A2.SS9.6.p3.6.m6.1.1">ℐ</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.SS9.6.p3.6.m6.1c">\mathcal{I}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.SS9.6.p3.6.m6.1d">caligraphic_I</annotation></semantics></math>, so it is an isomorphism. ∎</p> </div> </div> </section> </section> <section class="ltx_appendix" id="A3"> <h2 class="ltx_title ltx_title_appendix"> <span class="ltx_tag ltx_tag_appendix">Appendix C </span>Numerical results</h2> <section class="ltx_subsection" id="A3.SS1"> <h3 class="ltx_title ltx_title_subsection"> <span class="ltx_tag ltx_tag_subsection">C.1 </span>Values of <math alttext="||K_{m}||_{\mathfrak{D}}" class="ltx_Math" display="inline" id="A3.SS1.1.m1.1"><semantics id="A3.SS1.1.m1.1b"><msub id="A3.SS1.1.m1.1.1" xref="A3.SS1.1.m1.1.1.cmml"><mrow id="A3.SS1.1.m1.1.1.1.1" xref="A3.SS1.1.m1.1.1.1.2.cmml"><mo id="A3.SS1.1.m1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A3.SS1.1.m1.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo><msub id="A3.SS1.1.m1.1.1.1.1.1" xref="A3.SS1.1.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A3.SS1.1.m1.1.1.1.1.1.2" xref="A3.SS1.1.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">K</mi><mi id="A3.SS1.1.m1.1.1.1.1.1.3" xref="A3.SS1.1.m1.1.1.1.1.1.3.cmml">m</mi></msub><mo id="A3.SS1.1.m1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A3.SS1.1.m1.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo></mrow><mi id="A3.SS1.1.m1.1.1.3" xref="A3.SS1.1.m1.1.1.3.cmml">𝔇</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A3.SS1.1.m1.1c"><apply id="A3.SS1.1.m1.1.1.cmml" xref="A3.SS1.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.SS1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="A3.SS1.1.m1.1.1">subscript</csymbol><apply id="A3.SS1.1.m1.1.1.1.2.cmml" xref="A3.SS1.1.m1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="A3.SS1.1.m1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A3.SS1.1.m1.1.1.1.1.2">norm</csymbol><apply id="A3.SS1.1.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A3.SS1.1.m1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.SS1.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A3.SS1.1.m1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="A3.SS1.1.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A3.SS1.1.m1.1.1.1.1.1.2">𝐾</ci><ci id="A3.SS1.1.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A3.SS1.1.m1.1.1.1.1.1.3">𝑚</ci></apply></apply><ci id="A3.SS1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="A3.SS1.1.m1.1.1.3">𝔇</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A3.SS1.1.m1.1d">||K_{m}||_{\mathfrak{D}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A3.SS1.1.m1.1e">| | italic_K start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT | | start_POSTSUBSCRIPT fraktur_D end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> for <math alttext="t\leq 6,t\leq q" class="ltx_Math" display="inline" id="A3.SS1.2.m2.2"><semantics id="A3.SS1.2.m2.2b"><mrow id="A3.SS1.2.m2.2.2.2" xref="A3.SS1.2.m2.2.2.3.cmml"><mrow id="A3.SS1.2.m2.1.1.1.1" xref="A3.SS1.2.m2.1.1.1.1.cmml"><mi id="A3.SS1.2.m2.1.1.1.1.2" xref="A3.SS1.2.m2.1.1.1.1.2.cmml">t</mi><mo id="A3.SS1.2.m2.1.1.1.1.1" xref="A3.SS1.2.m2.1.1.1.1.1.cmml">≤</mo><mn id="A3.SS1.2.m2.1.1.1.1.3" xref="A3.SS1.2.m2.1.1.1.1.3.cmml">6</mn></mrow><mo id="A3.SS1.2.m2.2.2.2.3" xref="A3.SS1.2.m2.2.2.3a.cmml">,</mo><mrow id="A3.SS1.2.m2.2.2.2.2" xref="A3.SS1.2.m2.2.2.2.2.cmml"><mi id="A3.SS1.2.m2.2.2.2.2.2" xref="A3.SS1.2.m2.2.2.2.2.2.cmml">t</mi><mo id="A3.SS1.2.m2.2.2.2.2.1" xref="A3.SS1.2.m2.2.2.2.2.1.cmml">≤</mo><mi id="A3.SS1.2.m2.2.2.2.2.3" xref="A3.SS1.2.m2.2.2.2.2.3.cmml">q</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A3.SS1.2.m2.2c"><apply id="A3.SS1.2.m2.2.2.3.cmml" xref="A3.SS1.2.m2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.SS1.2.m2.2.2.3a.cmml" xref="A3.SS1.2.m2.2.2.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="A3.SS1.2.m2.1.1.1.1.cmml" xref="A3.SS1.2.m2.1.1.1.1"><leq id="A3.SS1.2.m2.1.1.1.1.1.cmml" xref="A3.SS1.2.m2.1.1.1.1.1"></leq><ci id="A3.SS1.2.m2.1.1.1.1.2.cmml" xref="A3.SS1.2.m2.1.1.1.1.2">𝑡</ci><cn id="A3.SS1.2.m2.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A3.SS1.2.m2.1.1.1.1.3">6</cn></apply><apply id="A3.SS1.2.m2.2.2.2.2.cmml" xref="A3.SS1.2.m2.2.2.2.2"><leq id="A3.SS1.2.m2.2.2.2.2.1.cmml" xref="A3.SS1.2.m2.2.2.2.2.1"></leq><ci id="A3.SS1.2.m2.2.2.2.2.2.cmml" xref="A3.SS1.2.m2.2.2.2.2.2">𝑡</ci><ci id="A3.SS1.2.m2.2.2.2.2.3.cmml" xref="A3.SS1.2.m2.2.2.2.2.3">𝑞</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A3.SS1.2.m2.2d">t\leq 6,t\leq q</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A3.SS1.2.m2.2e">italic_t ≤ 6 , italic_t ≤ italic_q</annotation></semantics></math> </h3> <div class="ltx_para" id="A3.SS1.p1"> <p class="ltx_p" id="A3.SS1.p1.13">Let’s return to the half product in the complete derangement block:</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_gather ltx_eqn_table" id="S6.EGx165"> <tbody id="A3.E204"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\displaystyle H_{\sigma\tau}=\left[W(Q_{1}Q_{2})D(Q_{2})C(Q_{1})\right]_{% \sigma\tau}=\sum_{\rho\in S_{t}}Q_{1}^{-|\rho\sigma^{-1}|}Q_{2}^{-|\rho|}\text% {Wg}(\rho^{-1}\tau,Q_{1}Q_{2})" class="ltx_Math" display="block" id="A3.E204.m1.5"><semantics id="A3.E204.m1.5a"><mrow id="A3.E204.m1.5.5" xref="A3.E204.m1.5.5.cmml"><msub id="A3.E204.m1.5.5.5" xref="A3.E204.m1.5.5.5.cmml"><mi id="A3.E204.m1.5.5.5.2" xref="A3.E204.m1.5.5.5.2.cmml">H</mi><mrow id="A3.E204.m1.5.5.5.3" xref="A3.E204.m1.5.5.5.3.cmml"><mi id="A3.E204.m1.5.5.5.3.2" xref="A3.E204.m1.5.5.5.3.2.cmml">σ</mi><mo id="A3.E204.m1.5.5.5.3.1" xref="A3.E204.m1.5.5.5.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A3.E204.m1.5.5.5.3.3" xref="A3.E204.m1.5.5.5.3.3.cmml">τ</mi></mrow></msub><mo id="A3.E204.m1.5.5.6" xref="A3.E204.m1.5.5.6.cmml">=</mo><msub id="A3.E204.m1.3.3.1" xref="A3.E204.m1.3.3.1.cmml"><mrow id="A3.E204.m1.3.3.1.1.1" xref="A3.E204.m1.3.3.1.1.2.cmml"><mo id="A3.E204.m1.3.3.1.1.1.2" xref="A3.E204.m1.3.3.1.1.2.1.cmml">[</mo><mrow id="A3.E204.m1.3.3.1.1.1.1" xref="A3.E204.m1.3.3.1.1.1.1.cmml"><mi id="A3.E204.m1.3.3.1.1.1.1.5" xref="A3.E204.m1.3.3.1.1.1.1.5.cmml">W</mi><mo id="A3.E204.m1.3.3.1.1.1.1.4" xref="A3.E204.m1.3.3.1.1.1.1.4.cmml">⁢</mo><mrow id="A3.E204.m1.3.3.1.1.1.1.1.1" xref="A3.E204.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A3.E204.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A3.E204.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A3.E204.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1" xref="A3.E204.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="A3.E204.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A3.E204.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="A3.E204.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="A3.E204.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">Q</mi><mn id="A3.E204.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="A3.E204.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">1</mn></msub><mo id="A3.E204.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A3.E204.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="A3.E204.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A3.E204.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A3.E204.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A3.E204.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">Q</mi><mn id="A3.E204.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A3.E204.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></msub></mrow><mo id="A3.E204.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A3.E204.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A3.E204.m1.3.3.1.1.1.1.4a" xref="A3.E204.m1.3.3.1.1.1.1.4.cmml">⁢</mo><mi id="A3.E204.m1.3.3.1.1.1.1.6" xref="A3.E204.m1.3.3.1.1.1.1.6.cmml">D</mi><mo id="A3.E204.m1.3.3.1.1.1.1.4b" xref="A3.E204.m1.3.3.1.1.1.1.4.cmml">⁢</mo><mrow id="A3.E204.m1.3.3.1.1.1.1.2.1" xref="A3.E204.m1.3.3.1.1.1.1.2.1.1.cmml"><mo id="A3.E204.m1.3.3.1.1.1.1.2.1.2" stretchy="false" xref="A3.E204.m1.3.3.1.1.1.1.2.1.1.cmml">(</mo><msub id="A3.E204.m1.3.3.1.1.1.1.2.1.1" xref="A3.E204.m1.3.3.1.1.1.1.2.1.1.cmml"><mi id="A3.E204.m1.3.3.1.1.1.1.2.1.1.2" xref="A3.E204.m1.3.3.1.1.1.1.2.1.1.2.cmml">Q</mi><mn id="A3.E204.m1.3.3.1.1.1.1.2.1.1.3" xref="A3.E204.m1.3.3.1.1.1.1.2.1.1.3.cmml">2</mn></msub><mo id="A3.E204.m1.3.3.1.1.1.1.2.1.3" stretchy="false" xref="A3.E204.m1.3.3.1.1.1.1.2.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A3.E204.m1.3.3.1.1.1.1.4c" xref="A3.E204.m1.3.3.1.1.1.1.4.cmml">⁢</mo><mi id="A3.E204.m1.3.3.1.1.1.1.7" xref="A3.E204.m1.3.3.1.1.1.1.7.cmml">C</mi><mo id="A3.E204.m1.3.3.1.1.1.1.4d" xref="A3.E204.m1.3.3.1.1.1.1.4.cmml">⁢</mo><mrow id="A3.E204.m1.3.3.1.1.1.1.3.1" xref="A3.E204.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.cmml"><mo id="A3.E204.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.2" stretchy="false" xref="A3.E204.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.cmml">(</mo><msub id="A3.E204.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1" xref="A3.E204.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.cmml"><mi id="A3.E204.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.2" xref="A3.E204.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.2.cmml">Q</mi><mn id="A3.E204.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.3" xref="A3.E204.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="A3.E204.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.3" stretchy="false" xref="A3.E204.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A3.E204.m1.3.3.1.1.1.3" xref="A3.E204.m1.3.3.1.1.2.1.cmml">]</mo></mrow><mrow id="A3.E204.m1.3.3.1.3" xref="A3.E204.m1.3.3.1.3.cmml"><mi id="A3.E204.m1.3.3.1.3.2" xref="A3.E204.m1.3.3.1.3.2.cmml">σ</mi><mo id="A3.E204.m1.3.3.1.3.1" xref="A3.E204.m1.3.3.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A3.E204.m1.3.3.1.3.3" xref="A3.E204.m1.3.3.1.3.3.cmml">τ</mi></mrow></msub><mo id="A3.E204.m1.5.5.7" rspace="0.111em" xref="A3.E204.m1.5.5.7.cmml">=</mo><mrow id="A3.E204.m1.5.5.3" xref="A3.E204.m1.5.5.3.cmml"><munder id="A3.E204.m1.5.5.3.3" xref="A3.E204.m1.5.5.3.3.cmml"><mo id="A3.E204.m1.5.5.3.3.2" movablelimits="false" xref="A3.E204.m1.5.5.3.3.2.cmml">∑</mo><mrow id="A3.E204.m1.5.5.3.3.3" xref="A3.E204.m1.5.5.3.3.3.cmml"><mi id="A3.E204.m1.5.5.3.3.3.2" xref="A3.E204.m1.5.5.3.3.3.2.cmml">ρ</mi><mo id="A3.E204.m1.5.5.3.3.3.1" xref="A3.E204.m1.5.5.3.3.3.1.cmml">∈</mo><msub id="A3.E204.m1.5.5.3.3.3.3" xref="A3.E204.m1.5.5.3.3.3.3.cmml"><mi id="A3.E204.m1.5.5.3.3.3.3.2" xref="A3.E204.m1.5.5.3.3.3.3.2.cmml">S</mi><mi id="A3.E204.m1.5.5.3.3.3.3.3" xref="A3.E204.m1.5.5.3.3.3.3.3.cmml">t</mi></msub></mrow></munder><mrow id="A3.E204.m1.5.5.3.2" xref="A3.E204.m1.5.5.3.2.cmml"><msubsup id="A3.E204.m1.5.5.3.2.4" xref="A3.E204.m1.5.5.3.2.4.cmml"><mi id="A3.E204.m1.5.5.3.2.4.2.2" xref="A3.E204.m1.5.5.3.2.4.2.2.cmml">Q</mi><mn id="A3.E204.m1.5.5.3.2.4.2.3" xref="A3.E204.m1.5.5.3.2.4.2.3.cmml">1</mn><mrow id="A3.E204.m1.1.1.1" xref="A3.E204.m1.1.1.1.cmml"><mo id="A3.E204.m1.1.1.1a" xref="A3.E204.m1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="A3.E204.m1.1.1.1.1.1" xref="A3.E204.m1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="A3.E204.m1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A3.E204.m1.1.1.1.1.2.1.cmml">|</mo><mrow id="A3.E204.m1.1.1.1.1.1.1" xref="A3.E204.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A3.E204.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A3.E204.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">ρ</mi><mo id="A3.E204.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A3.E204.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msup id="A3.E204.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A3.E204.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A3.E204.m1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A3.E204.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">σ</mi><mrow id="A3.E204.m1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A3.E204.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mo id="A3.E204.m1.1.1.1.1.1.1.3.3a" xref="A3.E204.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">−</mo><mn id="A3.E204.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="A3.E204.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup></mrow><mo id="A3.E204.m1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A3.E204.m1.1.1.1.1.2.1.cmml">|</mo></mrow></mrow></msubsup><mo id="A3.E204.m1.5.5.3.2.3" xref="A3.E204.m1.5.5.3.2.3.cmml">⁢</mo><msubsup id="A3.E204.m1.5.5.3.2.5" xref="A3.E204.m1.5.5.3.2.5.cmml"><mi id="A3.E204.m1.5.5.3.2.5.2.2" xref="A3.E204.m1.5.5.3.2.5.2.2.cmml">Q</mi><mn id="A3.E204.m1.5.5.3.2.5.2.3" xref="A3.E204.m1.5.5.3.2.5.2.3.cmml">2</mn><mrow id="A3.E204.m1.2.2.1" xref="A3.E204.m1.2.2.1.cmml"><mo id="A3.E204.m1.2.2.1a" xref="A3.E204.m1.2.2.1.cmml">−</mo><mrow id="A3.E204.m1.2.2.1.3.2" xref="A3.E204.m1.2.2.1.3.1.cmml"><mo id="A3.E204.m1.2.2.1.3.2.1" stretchy="false" xref="A3.E204.m1.2.2.1.3.1.1.cmml">|</mo><mi id="A3.E204.m1.2.2.1.1" xref="A3.E204.m1.2.2.1.1.cmml">ρ</mi><mo id="A3.E204.m1.2.2.1.3.2.2" stretchy="false" xref="A3.E204.m1.2.2.1.3.1.1.cmml">|</mo></mrow></mrow></msubsup><mo id="A3.E204.m1.5.5.3.2.3a" xref="A3.E204.m1.5.5.3.2.3.cmml">⁢</mo><mtext id="A3.E204.m1.5.5.3.2.6" xref="A3.E204.m1.5.5.3.2.6a.cmml">Wg</mtext><mo id="A3.E204.m1.5.5.3.2.3b" xref="A3.E204.m1.5.5.3.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="A3.E204.m1.5.5.3.2.2.2" xref="A3.E204.m1.5.5.3.2.2.3.cmml"><mo id="A3.E204.m1.5.5.3.2.2.2.3" stretchy="false" xref="A3.E204.m1.5.5.3.2.2.3.cmml">(</mo><mrow id="A3.E204.m1.4.4.2.1.1.1.1" xref="A3.E204.m1.4.4.2.1.1.1.1.cmml"><msup id="A3.E204.m1.4.4.2.1.1.1.1.2" xref="A3.E204.m1.4.4.2.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="A3.E204.m1.4.4.2.1.1.1.1.2.2" xref="A3.E204.m1.4.4.2.1.1.1.1.2.2.cmml">ρ</mi><mrow id="A3.E204.m1.4.4.2.1.1.1.1.2.3" xref="A3.E204.m1.4.4.2.1.1.1.1.2.3.cmml"><mo id="A3.E204.m1.4.4.2.1.1.1.1.2.3a" xref="A3.E204.m1.4.4.2.1.1.1.1.2.3.cmml">−</mo><mn id="A3.E204.m1.4.4.2.1.1.1.1.2.3.2" xref="A3.E204.m1.4.4.2.1.1.1.1.2.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="A3.E204.m1.4.4.2.1.1.1.1.1" xref="A3.E204.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="A3.E204.m1.4.4.2.1.1.1.1.3" xref="A3.E204.m1.4.4.2.1.1.1.1.3.cmml">τ</mi></mrow><mo id="A3.E204.m1.5.5.3.2.2.2.4" xref="A3.E204.m1.5.5.3.2.2.3.cmml">,</mo><mrow id="A3.E204.m1.5.5.3.2.2.2.2" xref="A3.E204.m1.5.5.3.2.2.2.2.cmml"><msub id="A3.E204.m1.5.5.3.2.2.2.2.2" xref="A3.E204.m1.5.5.3.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="A3.E204.m1.5.5.3.2.2.2.2.2.2" xref="A3.E204.m1.5.5.3.2.2.2.2.2.2.cmml">Q</mi><mn id="A3.E204.m1.5.5.3.2.2.2.2.2.3" xref="A3.E204.m1.5.5.3.2.2.2.2.2.3.cmml">1</mn></msub><mo id="A3.E204.m1.5.5.3.2.2.2.2.1" xref="A3.E204.m1.5.5.3.2.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="A3.E204.m1.5.5.3.2.2.2.2.3" xref="A3.E204.m1.5.5.3.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="A3.E204.m1.5.5.3.2.2.2.2.3.2" xref="A3.E204.m1.5.5.3.2.2.2.2.3.2.cmml">Q</mi><mn id="A3.E204.m1.5.5.3.2.2.2.2.3.3" xref="A3.E204.m1.5.5.3.2.2.2.2.3.3.cmml">2</mn></msub></mrow><mo id="A3.E204.m1.5.5.3.2.2.2.5" stretchy="false" xref="A3.E204.m1.5.5.3.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A3.E204.m1.5b"><apply id="A3.E204.m1.5.5.cmml" xref="A3.E204.m1.5.5"><and id="A3.E204.m1.5.5a.cmml" xref="A3.E204.m1.5.5"></and><apply id="A3.E204.m1.5.5b.cmml" xref="A3.E204.m1.5.5"><eq id="A3.E204.m1.5.5.6.cmml" xref="A3.E204.m1.5.5.6"></eq><apply id="A3.E204.m1.5.5.5.cmml" xref="A3.E204.m1.5.5.5"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.E204.m1.5.5.5.1.cmml" xref="A3.E204.m1.5.5.5">subscript</csymbol><ci id="A3.E204.m1.5.5.5.2.cmml" xref="A3.E204.m1.5.5.5.2">𝐻</ci><apply id="A3.E204.m1.5.5.5.3.cmml" xref="A3.E204.m1.5.5.5.3"><times id="A3.E204.m1.5.5.5.3.1.cmml" xref="A3.E204.m1.5.5.5.3.1"></times><ci id="A3.E204.m1.5.5.5.3.2.cmml" xref="A3.E204.m1.5.5.5.3.2">𝜎</ci><ci id="A3.E204.m1.5.5.5.3.3.cmml" xref="A3.E204.m1.5.5.5.3.3">𝜏</ci></apply></apply><apply id="A3.E204.m1.3.3.1.cmml" xref="A3.E204.m1.3.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.E204.m1.3.3.1.2.cmml" xref="A3.E204.m1.3.3.1">subscript</csymbol><apply id="A3.E204.m1.3.3.1.1.2.cmml" xref="A3.E204.m1.3.3.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="A3.E204.m1.3.3.1.1.2.1.cmml" xref="A3.E204.m1.3.3.1.1.1.2">delimited-[]</csymbol><apply id="A3.E204.m1.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="A3.E204.m1.3.3.1.1.1.1"><times id="A3.E204.m1.3.3.1.1.1.1.4.cmml" xref="A3.E204.m1.3.3.1.1.1.1.4"></times><ci id="A3.E204.m1.3.3.1.1.1.1.5.cmml" xref="A3.E204.m1.3.3.1.1.1.1.5">𝑊</ci><apply id="A3.E204.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A3.E204.m1.3.3.1.1.1.1.1.1"><times id="A3.E204.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A3.E204.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1"></times><apply id="A3.E204.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A3.E204.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.E204.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A3.E204.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="A3.E204.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A3.E204.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝑄</ci><cn id="A3.E204.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="A3.E204.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.3">1</cn></apply><apply id="A3.E204.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A3.E204.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.E204.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A3.E204.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A3.E204.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A3.E204.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑄</ci><cn id="A3.E204.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="A3.E204.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.3">2</cn></apply></apply><ci id="A3.E204.m1.3.3.1.1.1.1.6.cmml" xref="A3.E204.m1.3.3.1.1.1.1.6">𝐷</ci><apply id="A3.E204.m1.3.3.1.1.1.1.2.1.1.cmml" xref="A3.E204.m1.3.3.1.1.1.1.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.E204.m1.3.3.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml" xref="A3.E204.m1.3.3.1.1.1.1.2.1">subscript</csymbol><ci id="A3.E204.m1.3.3.1.1.1.1.2.1.1.2.cmml" xref="A3.E204.m1.3.3.1.1.1.1.2.1.1.2">𝑄</ci><cn id="A3.E204.m1.3.3.1.1.1.1.2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A3.E204.m1.3.3.1.1.1.1.2.1.1.3">2</cn></apply><ci id="A3.E204.m1.3.3.1.1.1.1.7.cmml" xref="A3.E204.m1.3.3.1.1.1.1.7">𝐶</ci><apply id="A3.E204.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.cmml" xref="A3.E204.m1.3.3.1.1.1.1.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.E204.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.1.cmml" xref="A3.E204.m1.3.3.1.1.1.1.3.1">subscript</csymbol><ci id="A3.E204.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.2.cmml" xref="A3.E204.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.2">𝑄</ci><cn id="A3.E204.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A3.E204.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.3">1</cn></apply></apply></apply><apply id="A3.E204.m1.3.3.1.3.cmml" xref="A3.E204.m1.3.3.1.3"><times id="A3.E204.m1.3.3.1.3.1.cmml" xref="A3.E204.m1.3.3.1.3.1"></times><ci id="A3.E204.m1.3.3.1.3.2.cmml" xref="A3.E204.m1.3.3.1.3.2">𝜎</ci><ci id="A3.E204.m1.3.3.1.3.3.cmml" xref="A3.E204.m1.3.3.1.3.3">𝜏</ci></apply></apply></apply><apply id="A3.E204.m1.5.5c.cmml" xref="A3.E204.m1.5.5"><eq id="A3.E204.m1.5.5.7.cmml" xref="A3.E204.m1.5.5.7"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#A3.E204.m1.3.3.1.cmml" id="A3.E204.m1.5.5d.cmml" xref="A3.E204.m1.5.5"></share><apply id="A3.E204.m1.5.5.3.cmml" xref="A3.E204.m1.5.5.3"><apply id="A3.E204.m1.5.5.3.3.cmml" xref="A3.E204.m1.5.5.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.E204.m1.5.5.3.3.1.cmml" xref="A3.E204.m1.5.5.3.3">subscript</csymbol><sum id="A3.E204.m1.5.5.3.3.2.cmml" xref="A3.E204.m1.5.5.3.3.2"></sum><apply id="A3.E204.m1.5.5.3.3.3.cmml" xref="A3.E204.m1.5.5.3.3.3"><in id="A3.E204.m1.5.5.3.3.3.1.cmml" xref="A3.E204.m1.5.5.3.3.3.1"></in><ci id="A3.E204.m1.5.5.3.3.3.2.cmml" xref="A3.E204.m1.5.5.3.3.3.2">𝜌</ci><apply id="A3.E204.m1.5.5.3.3.3.3.cmml" xref="A3.E204.m1.5.5.3.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.E204.m1.5.5.3.3.3.3.1.cmml" xref="A3.E204.m1.5.5.3.3.3.3">subscript</csymbol><ci id="A3.E204.m1.5.5.3.3.3.3.2.cmml" xref="A3.E204.m1.5.5.3.3.3.3.2">𝑆</ci><ci id="A3.E204.m1.5.5.3.3.3.3.3.cmml" xref="A3.E204.m1.5.5.3.3.3.3.3">𝑡</ci></apply></apply></apply><apply id="A3.E204.m1.5.5.3.2.cmml" xref="A3.E204.m1.5.5.3.2"><times id="A3.E204.m1.5.5.3.2.3.cmml" xref="A3.E204.m1.5.5.3.2.3"></times><apply id="A3.E204.m1.5.5.3.2.4.cmml" xref="A3.E204.m1.5.5.3.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.E204.m1.5.5.3.2.4.1.cmml" xref="A3.E204.m1.5.5.3.2.4">superscript</csymbol><apply id="A3.E204.m1.5.5.3.2.4.2.cmml" xref="A3.E204.m1.5.5.3.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.E204.m1.5.5.3.2.4.2.1.cmml" xref="A3.E204.m1.5.5.3.2.4">subscript</csymbol><ci id="A3.E204.m1.5.5.3.2.4.2.2.cmml" xref="A3.E204.m1.5.5.3.2.4.2.2">𝑄</ci><cn id="A3.E204.m1.5.5.3.2.4.2.3.cmml" type="integer" xref="A3.E204.m1.5.5.3.2.4.2.3">1</cn></apply><apply id="A3.E204.m1.1.1.1.cmml" xref="A3.E204.m1.1.1.1"><minus id="A3.E204.m1.1.1.1.2.cmml" xref="A3.E204.m1.1.1.1"></minus><apply id="A3.E204.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A3.E204.m1.1.1.1.1.1"><abs id="A3.E204.m1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A3.E204.m1.1.1.1.1.1.2"></abs><apply id="A3.E204.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A3.E204.m1.1.1.1.1.1.1"><times id="A3.E204.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A3.E204.m1.1.1.1.1.1.1.1"></times><ci id="A3.E204.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A3.E204.m1.1.1.1.1.1.1.2">𝜌</ci><apply id="A3.E204.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A3.E204.m1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.E204.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A3.E204.m1.1.1.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="A3.E204.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A3.E204.m1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝜎</ci><apply id="A3.E204.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A3.E204.m1.1.1.1.1.1.1.3.3"><minus id="A3.E204.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="A3.E204.m1.1.1.1.1.1.1.3.3"></minus><cn id="A3.E204.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" type="integer" xref="A3.E204.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2">1</cn></apply></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="A3.E204.m1.5.5.3.2.5.cmml" xref="A3.E204.m1.5.5.3.2.5"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.E204.m1.5.5.3.2.5.1.cmml" xref="A3.E204.m1.5.5.3.2.5">superscript</csymbol><apply id="A3.E204.m1.5.5.3.2.5.2.cmml" xref="A3.E204.m1.5.5.3.2.5"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.E204.m1.5.5.3.2.5.2.1.cmml" xref="A3.E204.m1.5.5.3.2.5">subscript</csymbol><ci id="A3.E204.m1.5.5.3.2.5.2.2.cmml" xref="A3.E204.m1.5.5.3.2.5.2.2">𝑄</ci><cn id="A3.E204.m1.5.5.3.2.5.2.3.cmml" type="integer" xref="A3.E204.m1.5.5.3.2.5.2.3">2</cn></apply><apply id="A3.E204.m1.2.2.1.cmml" xref="A3.E204.m1.2.2.1"><minus id="A3.E204.m1.2.2.1.2.cmml" xref="A3.E204.m1.2.2.1"></minus><apply id="A3.E204.m1.2.2.1.3.1.cmml" xref="A3.E204.m1.2.2.1.3.2"><abs id="A3.E204.m1.2.2.1.3.1.1.cmml" xref="A3.E204.m1.2.2.1.3.2.1"></abs><ci id="A3.E204.m1.2.2.1.1.cmml" xref="A3.E204.m1.2.2.1.1">𝜌</ci></apply></apply></apply><ci id="A3.E204.m1.5.5.3.2.6a.cmml" xref="A3.E204.m1.5.5.3.2.6"><mtext id="A3.E204.m1.5.5.3.2.6.cmml" xref="A3.E204.m1.5.5.3.2.6">Wg</mtext></ci><interval closure="open" id="A3.E204.m1.5.5.3.2.2.3.cmml" xref="A3.E204.m1.5.5.3.2.2.2"><apply id="A3.E204.m1.4.4.2.1.1.1.1.cmml" xref="A3.E204.m1.4.4.2.1.1.1.1"><times id="A3.E204.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="A3.E204.m1.4.4.2.1.1.1.1.1"></times><apply id="A3.E204.m1.4.4.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="A3.E204.m1.4.4.2.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.E204.m1.4.4.2.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A3.E204.m1.4.4.2.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="A3.E204.m1.4.4.2.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A3.E204.m1.4.4.2.1.1.1.1.2.2">𝜌</ci><apply id="A3.E204.m1.4.4.2.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="A3.E204.m1.4.4.2.1.1.1.1.2.3"><minus id="A3.E204.m1.4.4.2.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="A3.E204.m1.4.4.2.1.1.1.1.2.3"></minus><cn id="A3.E204.m1.4.4.2.1.1.1.1.2.3.2.cmml" type="integer" xref="A3.E204.m1.4.4.2.1.1.1.1.2.3.2">1</cn></apply></apply><ci id="A3.E204.m1.4.4.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="A3.E204.m1.4.4.2.1.1.1.1.3">𝜏</ci></apply><apply id="A3.E204.m1.5.5.3.2.2.2.2.cmml" xref="A3.E204.m1.5.5.3.2.2.2.2"><times id="A3.E204.m1.5.5.3.2.2.2.2.1.cmml" xref="A3.E204.m1.5.5.3.2.2.2.2.1"></times><apply id="A3.E204.m1.5.5.3.2.2.2.2.2.cmml" xref="A3.E204.m1.5.5.3.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.E204.m1.5.5.3.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="A3.E204.m1.5.5.3.2.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="A3.E204.m1.5.5.3.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="A3.E204.m1.5.5.3.2.2.2.2.2.2">𝑄</ci><cn id="A3.E204.m1.5.5.3.2.2.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="A3.E204.m1.5.5.3.2.2.2.2.2.3">1</cn></apply><apply id="A3.E204.m1.5.5.3.2.2.2.2.3.cmml" xref="A3.E204.m1.5.5.3.2.2.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.E204.m1.5.5.3.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="A3.E204.m1.5.5.3.2.2.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="A3.E204.m1.5.5.3.2.2.2.2.3.2.cmml" xref="A3.E204.m1.5.5.3.2.2.2.2.3.2">𝑄</ci><cn id="A3.E204.m1.5.5.3.2.2.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="A3.E204.m1.5.5.3.2.2.2.2.3.3">2</cn></apply></apply></interval></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A3.E204.m1.5c">\displaystyle H_{\sigma\tau}=\left[W(Q_{1}Q_{2})D(Q_{2})C(Q_{1})\right]_{% \sigma\tau}=\sum_{\rho\in S_{t}}Q_{1}^{-|\rho\sigma^{-1}|}Q_{2}^{-|\rho|}\text% {Wg}(\rho^{-1}\tau,Q_{1}Q_{2})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A3.E204.m1.5d">italic_H start_POSTSUBSCRIPT italic_σ italic_τ end_POSTSUBSCRIPT = [ italic_W ( italic_Q start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT italic_Q start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT ) italic_D ( italic_Q start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT ) italic_C ( italic_Q start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ) ] start_POSTSUBSCRIPT italic_σ italic_τ end_POSTSUBSCRIPT = ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_ρ ∈ italic_S start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT italic_Q start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT - | italic_ρ italic_σ start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT | end_POSTSUPERSCRIPT italic_Q start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT - | italic_ρ | end_POSTSUPERSCRIPT Wg ( italic_ρ start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT italic_τ , italic_Q start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT italic_Q start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(204)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="A3.SS1.p1.14">From Lemma <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#Thmtheorem46" title="Lemma 46. ‣ VI.2 Bounds for 2<𝑡<7 and 𝑞≥𝑡 (Lemma 41) ‣ VI Bounding the complete derangement block ‣ Conditional 𝑡-independent spectral gap for random quantum circuits and implications for 𝑡-design depths"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">46</span></a>, there is an elementwise bound of</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_gather ltx_eqn_table" id="S6.EGx166"> <tbody id="A3.E205"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\displaystyle H_{\sigma\tau}\leq\frac{1}{f_{t}(t^{-2})}\left(\frac{t}{q}\right% )^{\lceil\frac{t}{2}\rceil}\sum_{i,j}\left|h_{\sigma\tau}^{(ij)}\right|t^{-(i+% j)}" class="ltx_Math" display="block" id="A3.E205.m1.8"><semantics id="A3.E205.m1.8a"><mrow id="A3.E205.m1.8.8" xref="A3.E205.m1.8.8.cmml"><msub id="A3.E205.m1.8.8.3" xref="A3.E205.m1.8.8.3.cmml"><mi id="A3.E205.m1.8.8.3.2" xref="A3.E205.m1.8.8.3.2.cmml">H</mi><mrow id="A3.E205.m1.8.8.3.3" xref="A3.E205.m1.8.8.3.3.cmml"><mi id="A3.E205.m1.8.8.3.3.2" xref="A3.E205.m1.8.8.3.3.2.cmml">σ</mi><mo id="A3.E205.m1.8.8.3.3.1" xref="A3.E205.m1.8.8.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A3.E205.m1.8.8.3.3.3" xref="A3.E205.m1.8.8.3.3.3.cmml">τ</mi></mrow></msub><mo id="A3.E205.m1.8.8.2" xref="A3.E205.m1.8.8.2.cmml">≤</mo><mrow id="A3.E205.m1.8.8.1" xref="A3.E205.m1.8.8.1.cmml"><mfrac id="A3.E205.m1.1.1" xref="A3.E205.m1.1.1.cmml"><mn id="A3.E205.m1.1.1.3" xref="A3.E205.m1.1.1.3.cmml">1</mn><mrow id="A3.E205.m1.1.1.1" xref="A3.E205.m1.1.1.1.cmml"><msub id="A3.E205.m1.1.1.1.3" xref="A3.E205.m1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A3.E205.m1.1.1.1.3.2" xref="A3.E205.m1.1.1.1.3.2.cmml">f</mi><mi id="A3.E205.m1.1.1.1.3.3" xref="A3.E205.m1.1.1.1.3.3.cmml">t</mi></msub><mo id="A3.E205.m1.1.1.1.2" xref="A3.E205.m1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A3.E205.m1.1.1.1.1.1" xref="A3.E205.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A3.E205.m1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A3.E205.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="A3.E205.m1.1.1.1.1.1.1" xref="A3.E205.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A3.E205.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A3.E205.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">t</mi><mrow id="A3.E205.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A3.E205.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="A3.E205.m1.1.1.1.1.1.1.3a" xref="A3.E205.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">−</mo><mn id="A3.E205.m1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A3.E205.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">2</mn></mrow></msup><mo id="A3.E205.m1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A3.E205.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mfrac><mo id="A3.E205.m1.8.8.1.2" xref="A3.E205.m1.8.8.1.2.cmml">⁢</mo><msup id="A3.E205.m1.8.8.1.3" xref="A3.E205.m1.8.8.1.3.cmml"><mrow id="A3.E205.m1.8.8.1.3.2.2" xref="A3.E205.m1.7.7.cmml"><mo id="A3.E205.m1.8.8.1.3.2.2.1" xref="A3.E205.m1.7.7.cmml">(</mo><mfrac id="A3.E205.m1.7.7" xref="A3.E205.m1.7.7.cmml"><mi id="A3.E205.m1.7.7.2" xref="A3.E205.m1.7.7.2.cmml">t</mi><mi id="A3.E205.m1.7.7.3" xref="A3.E205.m1.7.7.3.cmml">q</mi></mfrac><mo id="A3.E205.m1.8.8.1.3.2.2.2" xref="A3.E205.m1.7.7.cmml">)</mo></mrow><mrow id="A3.E205.m1.2.2.1.3" xref="A3.E205.m1.2.2.1.2.cmml"><mo id="A3.E205.m1.2.2.1.3.1" stretchy="false" xref="A3.E205.m1.2.2.1.2.1.cmml">⌈</mo><mfrac id="A3.E205.m1.2.2.1.1" xref="A3.E205.m1.2.2.1.1.cmml"><mi id="A3.E205.m1.2.2.1.1.2" xref="A3.E205.m1.2.2.1.1.2.cmml">t</mi><mn id="A3.E205.m1.2.2.1.1.3" xref="A3.E205.m1.2.2.1.1.3.cmml">2</mn></mfrac><mo id="A3.E205.m1.2.2.1.3.2" stretchy="false" xref="A3.E205.m1.2.2.1.2.1.cmml">⌉</mo></mrow></msup><mo id="A3.E205.m1.8.8.1.2a" xref="A3.E205.m1.8.8.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A3.E205.m1.8.8.1.1" xref="A3.E205.m1.8.8.1.1.cmml"><munder id="A3.E205.m1.8.8.1.1.2" xref="A3.E205.m1.8.8.1.1.2.cmml"><mo id="A3.E205.m1.8.8.1.1.2.2" movablelimits="false" rspace="0em" xref="A3.E205.m1.8.8.1.1.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="A3.E205.m1.4.4.2.4" xref="A3.E205.m1.4.4.2.3.cmml"><mi id="A3.E205.m1.3.3.1.1" xref="A3.E205.m1.3.3.1.1.cmml">i</mi><mo id="A3.E205.m1.4.4.2.4.1" xref="A3.E205.m1.4.4.2.3.cmml">,</mo><mi id="A3.E205.m1.4.4.2.2" xref="A3.E205.m1.4.4.2.2.cmml">j</mi></mrow></munder><mrow id="A3.E205.m1.8.8.1.1.1" xref="A3.E205.m1.8.8.1.1.1.cmml"><mrow id="A3.E205.m1.8.8.1.1.1.1.1" xref="A3.E205.m1.8.8.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="A3.E205.m1.8.8.1.1.1.1.1.2" xref="A3.E205.m1.8.8.1.1.1.1.2.1.cmml">|</mo><msubsup id="A3.E205.m1.8.8.1.1.1.1.1.1" xref="A3.E205.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A3.E205.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="A3.E205.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">h</mi><mrow id="A3.E205.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="A3.E205.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="A3.E205.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="A3.E205.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">σ</mi><mo id="A3.E205.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.2.3.1" xref="A3.E205.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A3.E205.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="A3.E205.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">τ</mi></mrow><mrow id="A3.E205.m1.5.5.1.1" xref="A3.E205.m1.5.5.1.1.1.cmml"><mo id="A3.E205.m1.5.5.1.1.2" stretchy="false" xref="A3.E205.m1.5.5.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A3.E205.m1.5.5.1.1.1" xref="A3.E205.m1.5.5.1.1.1.cmml"><mi id="A3.E205.m1.5.5.1.1.1.2" xref="A3.E205.m1.5.5.1.1.1.2.cmml">i</mi><mo id="A3.E205.m1.5.5.1.1.1.1" xref="A3.E205.m1.5.5.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="A3.E205.m1.5.5.1.1.1.3" xref="A3.E205.m1.5.5.1.1.1.3.cmml">j</mi></mrow><mo id="A3.E205.m1.5.5.1.1.3" stretchy="false" xref="A3.E205.m1.5.5.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></msubsup><mo id="A3.E205.m1.8.8.1.1.1.1.1.3" xref="A3.E205.m1.8.8.1.1.1.1.2.1.cmml">|</mo></mrow><mo id="A3.E205.m1.8.8.1.1.1.2" xref="A3.E205.m1.8.8.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msup id="A3.E205.m1.8.8.1.1.1.3" xref="A3.E205.m1.8.8.1.1.1.3.cmml"><mi id="A3.E205.m1.8.8.1.1.1.3.2" xref="A3.E205.m1.8.8.1.1.1.3.2.cmml">t</mi><mrow id="A3.E205.m1.6.6.1" xref="A3.E205.m1.6.6.1.cmml"><mo id="A3.E205.m1.6.6.1a" xref="A3.E205.m1.6.6.1.cmml">−</mo><mrow id="A3.E205.m1.6.6.1.1.1" xref="A3.E205.m1.6.6.1.1.1.1.cmml"><mo id="A3.E205.m1.6.6.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A3.E205.m1.6.6.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A3.E205.m1.6.6.1.1.1.1" xref="A3.E205.m1.6.6.1.1.1.1.cmml"><mi id="A3.E205.m1.6.6.1.1.1.1.2" xref="A3.E205.m1.6.6.1.1.1.1.2.cmml">i</mi><mo id="A3.E205.m1.6.6.1.1.1.1.1" xref="A3.E205.m1.6.6.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mi id="A3.E205.m1.6.6.1.1.1.1.3" xref="A3.E205.m1.6.6.1.1.1.1.3.cmml">j</mi></mrow><mo id="A3.E205.m1.6.6.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A3.E205.m1.6.6.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></msup></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A3.E205.m1.8b"><apply id="A3.E205.m1.8.8.cmml" xref="A3.E205.m1.8.8"><leq id="A3.E205.m1.8.8.2.cmml" xref="A3.E205.m1.8.8.2"></leq><apply id="A3.E205.m1.8.8.3.cmml" xref="A3.E205.m1.8.8.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.E205.m1.8.8.3.1.cmml" xref="A3.E205.m1.8.8.3">subscript</csymbol><ci id="A3.E205.m1.8.8.3.2.cmml" xref="A3.E205.m1.8.8.3.2">𝐻</ci><apply id="A3.E205.m1.8.8.3.3.cmml" xref="A3.E205.m1.8.8.3.3"><times id="A3.E205.m1.8.8.3.3.1.cmml" xref="A3.E205.m1.8.8.3.3.1"></times><ci id="A3.E205.m1.8.8.3.3.2.cmml" xref="A3.E205.m1.8.8.3.3.2">𝜎</ci><ci id="A3.E205.m1.8.8.3.3.3.cmml" xref="A3.E205.m1.8.8.3.3.3">𝜏</ci></apply></apply><apply id="A3.E205.m1.8.8.1.cmml" xref="A3.E205.m1.8.8.1"><times id="A3.E205.m1.8.8.1.2.cmml" xref="A3.E205.m1.8.8.1.2"></times><apply id="A3.E205.m1.1.1.cmml" xref="A3.E205.m1.1.1"><divide id="A3.E205.m1.1.1.2.cmml" xref="A3.E205.m1.1.1"></divide><cn id="A3.E205.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A3.E205.m1.1.1.3">1</cn><apply id="A3.E205.m1.1.1.1.cmml" xref="A3.E205.m1.1.1.1"><times id="A3.E205.m1.1.1.1.2.cmml" xref="A3.E205.m1.1.1.1.2"></times><apply id="A3.E205.m1.1.1.1.3.cmml" xref="A3.E205.m1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.E205.m1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A3.E205.m1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A3.E205.m1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A3.E205.m1.1.1.1.3.2">𝑓</ci><ci id="A3.E205.m1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A3.E205.m1.1.1.1.3.3">𝑡</ci></apply><apply id="A3.E205.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A3.E205.m1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.E205.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A3.E205.m1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="A3.E205.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A3.E205.m1.1.1.1.1.1.1.2">𝑡</ci><apply id="A3.E205.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A3.E205.m1.1.1.1.1.1.1.3"><minus id="A3.E205.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A3.E205.m1.1.1.1.1.1.1.3"></minus><cn id="A3.E205.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="A3.E205.m1.1.1.1.1.1.1.3.2">2</cn></apply></apply></apply></apply><apply id="A3.E205.m1.8.8.1.3.cmml" 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id="A3.E205.m1.8.8.1.1.2.1.cmml" xref="A3.E205.m1.8.8.1.1.2">subscript</csymbol><sum id="A3.E205.m1.8.8.1.1.2.2.cmml" xref="A3.E205.m1.8.8.1.1.2.2"></sum><list id="A3.E205.m1.4.4.2.3.cmml" xref="A3.E205.m1.4.4.2.4"><ci id="A3.E205.m1.3.3.1.1.cmml" xref="A3.E205.m1.3.3.1.1">𝑖</ci><ci id="A3.E205.m1.4.4.2.2.cmml" xref="A3.E205.m1.4.4.2.2">𝑗</ci></list></apply><apply id="A3.E205.m1.8.8.1.1.1.cmml" xref="A3.E205.m1.8.8.1.1.1"><times id="A3.E205.m1.8.8.1.1.1.2.cmml" xref="A3.E205.m1.8.8.1.1.1.2"></times><apply id="A3.E205.m1.8.8.1.1.1.1.2.cmml" xref="A3.E205.m1.8.8.1.1.1.1.1"><abs id="A3.E205.m1.8.8.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A3.E205.m1.8.8.1.1.1.1.1.2"></abs><apply id="A3.E205.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A3.E205.m1.8.8.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.E205.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A3.E205.m1.8.8.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="A3.E205.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A3.E205.m1.8.8.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.E205.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A3.E205.m1.8.8.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="A3.E205.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A3.E205.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.2.2">ℎ</ci><apply id="A3.E205.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="A3.E205.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.2.3"><times id="A3.E205.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="A3.E205.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.2.3.1"></times><ci id="A3.E205.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="A3.E205.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.2.3.2">𝜎</ci><ci id="A3.E205.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="A3.E205.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.2.3.3">𝜏</ci></apply></apply><apply id="A3.E205.m1.5.5.1.1.1.cmml" xref="A3.E205.m1.5.5.1.1"><times id="A3.E205.m1.5.5.1.1.1.1.cmml" xref="A3.E205.m1.5.5.1.1.1.1"></times><ci id="A3.E205.m1.5.5.1.1.1.2.cmml" xref="A3.E205.m1.5.5.1.1.1.2">𝑖</ci><ci id="A3.E205.m1.5.5.1.1.1.3.cmml" xref="A3.E205.m1.5.5.1.1.1.3">𝑗</ci></apply></apply></apply><apply id="A3.E205.m1.8.8.1.1.1.3.cmml" xref="A3.E205.m1.8.8.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.E205.m1.8.8.1.1.1.3.1.cmml" 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divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_f start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t start_POSTSUPERSCRIPT - 2 end_POSTSUPERSCRIPT ) end_ARG ( divide start_ARG italic_t end_ARG start_ARG italic_q end_ARG ) start_POSTSUPERSCRIPT ⌈ divide start_ARG italic_t end_ARG start_ARG 2 end_ARG ⌉ end_POSTSUPERSCRIPT ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_i , italic_j end_POSTSUBSCRIPT | italic_h start_POSTSUBSCRIPT italic_σ italic_τ end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_i italic_j ) end_POSTSUPERSCRIPT | italic_t start_POSTSUPERSCRIPT - ( italic_i + italic_j ) end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(205)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="A3.SS1.p1.5">Where <math alttext="h_{\sigma\tau}" class="ltx_Math" display="inline" id="A3.SS1.p1.1.m1.1"><semantics id="A3.SS1.p1.1.m1.1a"><msub id="A3.SS1.p1.1.m1.1.1" xref="A3.SS1.p1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="A3.SS1.p1.1.m1.1.1.2" xref="A3.SS1.p1.1.m1.1.1.2.cmml">h</mi><mrow id="A3.SS1.p1.1.m1.1.1.3" xref="A3.SS1.p1.1.m1.1.1.3.cmml"><mi id="A3.SS1.p1.1.m1.1.1.3.2" xref="A3.SS1.p1.1.m1.1.1.3.2.cmml">σ</mi><mo id="A3.SS1.p1.1.m1.1.1.3.1" xref="A3.SS1.p1.1.m1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A3.SS1.p1.1.m1.1.1.3.3" xref="A3.SS1.p1.1.m1.1.1.3.3.cmml">τ</mi></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A3.SS1.p1.1.m1.1b"><apply id="A3.SS1.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="A3.SS1.p1.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.SS1.p1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="A3.SS1.p1.1.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="A3.SS1.p1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="A3.SS1.p1.1.m1.1.1.2">ℎ</ci><apply id="A3.SS1.p1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="A3.SS1.p1.1.m1.1.1.3"><times id="A3.SS1.p1.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="A3.SS1.p1.1.m1.1.1.3.1"></times><ci id="A3.SS1.p1.1.m1.1.1.3.2.cmml" xref="A3.SS1.p1.1.m1.1.1.3.2">𝜎</ci><ci id="A3.SS1.p1.1.m1.1.1.3.3.cmml" xref="A3.SS1.p1.1.m1.1.1.3.3">𝜏</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A3.SS1.p1.1.m1.1c">h_{\sigma\tau}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A3.SS1.p1.1.m1.1d">italic_h start_POSTSUBSCRIPT italic_σ italic_τ end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> was a polynomial dependent on the Weingarten numerator <math alttext="g_{\sigma^{-1}\tau}(z)" class="ltx_Math" display="inline" id="A3.SS1.p1.2.m2.1"><semantics id="A3.SS1.p1.2.m2.1a"><mrow id="A3.SS1.p1.2.m2.1.2" xref="A3.SS1.p1.2.m2.1.2.cmml"><msub id="A3.SS1.p1.2.m2.1.2.2" xref="A3.SS1.p1.2.m2.1.2.2.cmml"><mi id="A3.SS1.p1.2.m2.1.2.2.2" xref="A3.SS1.p1.2.m2.1.2.2.2.cmml">g</mi><mrow id="A3.SS1.p1.2.m2.1.2.2.3" xref="A3.SS1.p1.2.m2.1.2.2.3.cmml"><msup id="A3.SS1.p1.2.m2.1.2.2.3.2" xref="A3.SS1.p1.2.m2.1.2.2.3.2.cmml"><mi id="A3.SS1.p1.2.m2.1.2.2.3.2.2" xref="A3.SS1.p1.2.m2.1.2.2.3.2.2.cmml">σ</mi><mrow id="A3.SS1.p1.2.m2.1.2.2.3.2.3" xref="A3.SS1.p1.2.m2.1.2.2.3.2.3.cmml"><mo id="A3.SS1.p1.2.m2.1.2.2.3.2.3a" xref="A3.SS1.p1.2.m2.1.2.2.3.2.3.cmml">−</mo><mn id="A3.SS1.p1.2.m2.1.2.2.3.2.3.2" xref="A3.SS1.p1.2.m2.1.2.2.3.2.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="A3.SS1.p1.2.m2.1.2.2.3.1" xref="A3.SS1.p1.2.m2.1.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A3.SS1.p1.2.m2.1.2.2.3.3" xref="A3.SS1.p1.2.m2.1.2.2.3.3.cmml">τ</mi></mrow></msub><mo id="A3.SS1.p1.2.m2.1.2.1" xref="A3.SS1.p1.2.m2.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A3.SS1.p1.2.m2.1.2.3.2" xref="A3.SS1.p1.2.m2.1.2.cmml"><mo id="A3.SS1.p1.2.m2.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="A3.SS1.p1.2.m2.1.2.cmml">(</mo><mi id="A3.SS1.p1.2.m2.1.1" xref="A3.SS1.p1.2.m2.1.1.cmml">z</mi><mo id="A3.SS1.p1.2.m2.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="A3.SS1.p1.2.m2.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A3.SS1.p1.2.m2.1b"><apply id="A3.SS1.p1.2.m2.1.2.cmml" xref="A3.SS1.p1.2.m2.1.2"><times id="A3.SS1.p1.2.m2.1.2.1.cmml" xref="A3.SS1.p1.2.m2.1.2.1"></times><apply id="A3.SS1.p1.2.m2.1.2.2.cmml" xref="A3.SS1.p1.2.m2.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.SS1.p1.2.m2.1.2.2.1.cmml" xref="A3.SS1.p1.2.m2.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="A3.SS1.p1.2.m2.1.2.2.2.cmml" xref="A3.SS1.p1.2.m2.1.2.2.2">𝑔</ci><apply id="A3.SS1.p1.2.m2.1.2.2.3.cmml" xref="A3.SS1.p1.2.m2.1.2.2.3"><times id="A3.SS1.p1.2.m2.1.2.2.3.1.cmml" xref="A3.SS1.p1.2.m2.1.2.2.3.1"></times><apply id="A3.SS1.p1.2.m2.1.2.2.3.2.cmml" xref="A3.SS1.p1.2.m2.1.2.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.SS1.p1.2.m2.1.2.2.3.2.1.cmml" xref="A3.SS1.p1.2.m2.1.2.2.3.2">superscript</csymbol><ci id="A3.SS1.p1.2.m2.1.2.2.3.2.2.cmml" xref="A3.SS1.p1.2.m2.1.2.2.3.2.2">𝜎</ci><apply id="A3.SS1.p1.2.m2.1.2.2.3.2.3.cmml" xref="A3.SS1.p1.2.m2.1.2.2.3.2.3"><minus id="A3.SS1.p1.2.m2.1.2.2.3.2.3.1.cmml" xref="A3.SS1.p1.2.m2.1.2.2.3.2.3"></minus><cn id="A3.SS1.p1.2.m2.1.2.2.3.2.3.2.cmml" type="integer" xref="A3.SS1.p1.2.m2.1.2.2.3.2.3.2">1</cn></apply></apply><ci id="A3.SS1.p1.2.m2.1.2.2.3.3.cmml" xref="A3.SS1.p1.2.m2.1.2.2.3.3">𝜏</ci></apply></apply><ci id="A3.SS1.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="A3.SS1.p1.2.m2.1.1">𝑧</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A3.SS1.p1.2.m2.1c">g_{\sigma^{-1}\tau}(z)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A3.SS1.p1.2.m2.1d">italic_g start_POSTSUBSCRIPT italic_σ start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT italic_τ end_POSTSUBSCRIPT ( italic_z )</annotation></semantics></math>, while <math alttext="f_{t}(z)" class="ltx_Math" display="inline" id="A3.SS1.p1.3.m3.1"><semantics id="A3.SS1.p1.3.m3.1a"><mrow id="A3.SS1.p1.3.m3.1.2" xref="A3.SS1.p1.3.m3.1.2.cmml"><msub id="A3.SS1.p1.3.m3.1.2.2" xref="A3.SS1.p1.3.m3.1.2.2.cmml"><mi id="A3.SS1.p1.3.m3.1.2.2.2" xref="A3.SS1.p1.3.m3.1.2.2.2.cmml">f</mi><mi id="A3.SS1.p1.3.m3.1.2.2.3" xref="A3.SS1.p1.3.m3.1.2.2.3.cmml">t</mi></msub><mo id="A3.SS1.p1.3.m3.1.2.1" xref="A3.SS1.p1.3.m3.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A3.SS1.p1.3.m3.1.2.3.2" xref="A3.SS1.p1.3.m3.1.2.cmml"><mo id="A3.SS1.p1.3.m3.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="A3.SS1.p1.3.m3.1.2.cmml">(</mo><mi id="A3.SS1.p1.3.m3.1.1" xref="A3.SS1.p1.3.m3.1.1.cmml">z</mi><mo id="A3.SS1.p1.3.m3.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="A3.SS1.p1.3.m3.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A3.SS1.p1.3.m3.1b"><apply id="A3.SS1.p1.3.m3.1.2.cmml" xref="A3.SS1.p1.3.m3.1.2"><times id="A3.SS1.p1.3.m3.1.2.1.cmml" xref="A3.SS1.p1.3.m3.1.2.1"></times><apply id="A3.SS1.p1.3.m3.1.2.2.cmml" xref="A3.SS1.p1.3.m3.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.SS1.p1.3.m3.1.2.2.1.cmml" xref="A3.SS1.p1.3.m3.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="A3.SS1.p1.3.m3.1.2.2.2.cmml" xref="A3.SS1.p1.3.m3.1.2.2.2">𝑓</ci><ci id="A3.SS1.p1.3.m3.1.2.2.3.cmml" xref="A3.SS1.p1.3.m3.1.2.2.3">𝑡</ci></apply><ci id="A3.SS1.p1.3.m3.1.1.cmml" xref="A3.SS1.p1.3.m3.1.1">𝑧</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A3.SS1.p1.3.m3.1c">f_{t}(z)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A3.SS1.p1.3.m3.1d">italic_f start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( italic_z )</annotation></semantics></math> was the Weingarten denominator. We can choose a specific set of numerators <math alttext="g_{\sigma^{-1}\tau}(z)" class="ltx_Math" display="inline" id="A3.SS1.p1.4.m4.1"><semantics id="A3.SS1.p1.4.m4.1a"><mrow id="A3.SS1.p1.4.m4.1.2" xref="A3.SS1.p1.4.m4.1.2.cmml"><msub id="A3.SS1.p1.4.m4.1.2.2" xref="A3.SS1.p1.4.m4.1.2.2.cmml"><mi id="A3.SS1.p1.4.m4.1.2.2.2" xref="A3.SS1.p1.4.m4.1.2.2.2.cmml">g</mi><mrow id="A3.SS1.p1.4.m4.1.2.2.3" xref="A3.SS1.p1.4.m4.1.2.2.3.cmml"><msup id="A3.SS1.p1.4.m4.1.2.2.3.2" xref="A3.SS1.p1.4.m4.1.2.2.3.2.cmml"><mi id="A3.SS1.p1.4.m4.1.2.2.3.2.2" xref="A3.SS1.p1.4.m4.1.2.2.3.2.2.cmml">σ</mi><mrow id="A3.SS1.p1.4.m4.1.2.2.3.2.3" xref="A3.SS1.p1.4.m4.1.2.2.3.2.3.cmml"><mo id="A3.SS1.p1.4.m4.1.2.2.3.2.3a" xref="A3.SS1.p1.4.m4.1.2.2.3.2.3.cmml">−</mo><mn id="A3.SS1.p1.4.m4.1.2.2.3.2.3.2" xref="A3.SS1.p1.4.m4.1.2.2.3.2.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="A3.SS1.p1.4.m4.1.2.2.3.1" xref="A3.SS1.p1.4.m4.1.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A3.SS1.p1.4.m4.1.2.2.3.3" xref="A3.SS1.p1.4.m4.1.2.2.3.3.cmml">τ</mi></mrow></msub><mo id="A3.SS1.p1.4.m4.1.2.1" xref="A3.SS1.p1.4.m4.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A3.SS1.p1.4.m4.1.2.3.2" xref="A3.SS1.p1.4.m4.1.2.cmml"><mo id="A3.SS1.p1.4.m4.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="A3.SS1.p1.4.m4.1.2.cmml">(</mo><mi id="A3.SS1.p1.4.m4.1.1" xref="A3.SS1.p1.4.m4.1.1.cmml">z</mi><mo id="A3.SS1.p1.4.m4.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="A3.SS1.p1.4.m4.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A3.SS1.p1.4.m4.1b"><apply id="A3.SS1.p1.4.m4.1.2.cmml" xref="A3.SS1.p1.4.m4.1.2"><times id="A3.SS1.p1.4.m4.1.2.1.cmml" xref="A3.SS1.p1.4.m4.1.2.1"></times><apply id="A3.SS1.p1.4.m4.1.2.2.cmml" xref="A3.SS1.p1.4.m4.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.SS1.p1.4.m4.1.2.2.1.cmml" xref="A3.SS1.p1.4.m4.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="A3.SS1.p1.4.m4.1.2.2.2.cmml" xref="A3.SS1.p1.4.m4.1.2.2.2">𝑔</ci><apply id="A3.SS1.p1.4.m4.1.2.2.3.cmml" xref="A3.SS1.p1.4.m4.1.2.2.3"><times id="A3.SS1.p1.4.m4.1.2.2.3.1.cmml" xref="A3.SS1.p1.4.m4.1.2.2.3.1"></times><apply id="A3.SS1.p1.4.m4.1.2.2.3.2.cmml" xref="A3.SS1.p1.4.m4.1.2.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.SS1.p1.4.m4.1.2.2.3.2.1.cmml" xref="A3.SS1.p1.4.m4.1.2.2.3.2">superscript</csymbol><ci id="A3.SS1.p1.4.m4.1.2.2.3.2.2.cmml" xref="A3.SS1.p1.4.m4.1.2.2.3.2.2">𝜎</ci><apply id="A3.SS1.p1.4.m4.1.2.2.3.2.3.cmml" xref="A3.SS1.p1.4.m4.1.2.2.3.2.3"><minus id="A3.SS1.p1.4.m4.1.2.2.3.2.3.1.cmml" xref="A3.SS1.p1.4.m4.1.2.2.3.2.3"></minus><cn id="A3.SS1.p1.4.m4.1.2.2.3.2.3.2.cmml" type="integer" xref="A3.SS1.p1.4.m4.1.2.2.3.2.3.2">1</cn></apply></apply><ci id="A3.SS1.p1.4.m4.1.2.2.3.3.cmml" xref="A3.SS1.p1.4.m4.1.2.2.3.3">𝜏</ci></apply></apply><ci id="A3.SS1.p1.4.m4.1.1.cmml" xref="A3.SS1.p1.4.m4.1.1">𝑧</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A3.SS1.p1.4.m4.1c">g_{\sigma^{-1}\tau}(z)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A3.SS1.p1.4.m4.1d">italic_g start_POSTSUBSCRIPT italic_σ start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT italic_τ end_POSTSUBSCRIPT ( italic_z )</annotation></semantics></math> and denominators <math alttext="f_{t}(z)" class="ltx_Math" display="inline" id="A3.SS1.p1.5.m5.1"><semantics id="A3.SS1.p1.5.m5.1a"><mrow id="A3.SS1.p1.5.m5.1.2" xref="A3.SS1.p1.5.m5.1.2.cmml"><msub id="A3.SS1.p1.5.m5.1.2.2" xref="A3.SS1.p1.5.m5.1.2.2.cmml"><mi id="A3.SS1.p1.5.m5.1.2.2.2" xref="A3.SS1.p1.5.m5.1.2.2.2.cmml">f</mi><mi id="A3.SS1.p1.5.m5.1.2.2.3" xref="A3.SS1.p1.5.m5.1.2.2.3.cmml">t</mi></msub><mo id="A3.SS1.p1.5.m5.1.2.1" xref="A3.SS1.p1.5.m5.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A3.SS1.p1.5.m5.1.2.3.2" xref="A3.SS1.p1.5.m5.1.2.cmml"><mo id="A3.SS1.p1.5.m5.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="A3.SS1.p1.5.m5.1.2.cmml">(</mo><mi id="A3.SS1.p1.5.m5.1.1" xref="A3.SS1.p1.5.m5.1.1.cmml">z</mi><mo id="A3.SS1.p1.5.m5.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="A3.SS1.p1.5.m5.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A3.SS1.p1.5.m5.1b"><apply id="A3.SS1.p1.5.m5.1.2.cmml" xref="A3.SS1.p1.5.m5.1.2"><times id="A3.SS1.p1.5.m5.1.2.1.cmml" xref="A3.SS1.p1.5.m5.1.2.1"></times><apply id="A3.SS1.p1.5.m5.1.2.2.cmml" xref="A3.SS1.p1.5.m5.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.SS1.p1.5.m5.1.2.2.1.cmml" xref="A3.SS1.p1.5.m5.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="A3.SS1.p1.5.m5.1.2.2.2.cmml" xref="A3.SS1.p1.5.m5.1.2.2.2">𝑓</ci><ci id="A3.SS1.p1.5.m5.1.2.2.3.cmml" xref="A3.SS1.p1.5.m5.1.2.2.3">𝑡</ci></apply><ci id="A3.SS1.p1.5.m5.1.1.cmml" xref="A3.SS1.p1.5.m5.1.1">𝑧</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A3.SS1.p1.5.m5.1c">f_{t}(z)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A3.SS1.p1.5.m5.1d">italic_f start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( italic_z )</annotation></semantics></math>, such that<span class="ltx_note ltx_role_footnote" id="footnote6"><sup class="ltx_note_mark">6</sup><span class="ltx_note_outer"><span class="ltx_note_content"><sup class="ltx_note_mark">6</sup><span class="ltx_tag ltx_tag_note">6</span>For general <math alttext="t" class="ltx_Math" display="inline" id="footnote6.m1.1"><semantics id="footnote6.m1.1b"><mi id="footnote6.m1.1.1" xref="footnote6.m1.1.1.cmml">t</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="footnote6.m1.1c"><ci id="footnote6.m1.1.1.cmml" xref="footnote6.m1.1.1">𝑡</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="footnote6.m1.1d">t</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="footnote6.m1.1e">italic_t</annotation></semantics></math>, we can define <math alttext="f_{t}(z)" class="ltx_Math" display="inline" id="footnote6.m2.1"><semantics id="footnote6.m2.1b"><mrow id="footnote6.m2.1.2" xref="footnote6.m2.1.2.cmml"><msub id="footnote6.m2.1.2.2" xref="footnote6.m2.1.2.2.cmml"><mi id="footnote6.m2.1.2.2.2" xref="footnote6.m2.1.2.2.2.cmml">f</mi><mi id="footnote6.m2.1.2.2.3" xref="footnote6.m2.1.2.2.3.cmml">t</mi></msub><mo id="footnote6.m2.1.2.1" xref="footnote6.m2.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="footnote6.m2.1.2.3.2" xref="footnote6.m2.1.2.cmml"><mo id="footnote6.m2.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="footnote6.m2.1.2.cmml">(</mo><mi id="footnote6.m2.1.1" xref="footnote6.m2.1.1.cmml">z</mi><mo id="footnote6.m2.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="footnote6.m2.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="footnote6.m2.1c"><apply id="footnote6.m2.1.2.cmml" xref="footnote6.m2.1.2"><times id="footnote6.m2.1.2.1.cmml" xref="footnote6.m2.1.2.1"></times><apply id="footnote6.m2.1.2.2.cmml" xref="footnote6.m2.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="footnote6.m2.1.2.2.1.cmml" xref="footnote6.m2.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="footnote6.m2.1.2.2.2.cmml" xref="footnote6.m2.1.2.2.2">𝑓</ci><ci id="footnote6.m2.1.2.2.3.cmml" xref="footnote6.m2.1.2.2.3">𝑡</ci></apply><ci id="footnote6.m2.1.1.cmml" xref="footnote6.m2.1.1">𝑧</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="footnote6.m2.1d">f_{t}(z)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="footnote6.m2.1e">italic_f start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( italic_z )</annotation></semantics></math> as the inverse of the least common multiple of <math alttext="z^{t}c_{\lambda}(z^{-1})" class="ltx_Math" display="inline" id="footnote6.m3.1"><semantics id="footnote6.m3.1b"><mrow id="footnote6.m3.1.1" xref="footnote6.m3.1.1.cmml"><msup id="footnote6.m3.1.1.3" xref="footnote6.m3.1.1.3.cmml"><mi id="footnote6.m3.1.1.3.2" xref="footnote6.m3.1.1.3.2.cmml">z</mi><mi id="footnote6.m3.1.1.3.3" xref="footnote6.m3.1.1.3.3.cmml">t</mi></msup><mo id="footnote6.m3.1.1.2" xref="footnote6.m3.1.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="footnote6.m3.1.1.4" xref="footnote6.m3.1.1.4.cmml"><mi id="footnote6.m3.1.1.4.2" xref="footnote6.m3.1.1.4.2.cmml">c</mi><mi id="footnote6.m3.1.1.4.3" xref="footnote6.m3.1.1.4.3.cmml">λ</mi></msub><mo id="footnote6.m3.1.1.2b" xref="footnote6.m3.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="footnote6.m3.1.1.1.1" xref="footnote6.m3.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="footnote6.m3.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="footnote6.m3.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="footnote6.m3.1.1.1.1.1" xref="footnote6.m3.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="footnote6.m3.1.1.1.1.1.2" xref="footnote6.m3.1.1.1.1.1.2.cmml">z</mi><mrow id="footnote6.m3.1.1.1.1.1.3" xref="footnote6.m3.1.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="footnote6.m3.1.1.1.1.1.3b" xref="footnote6.m3.1.1.1.1.1.3.cmml">−</mo><mn id="footnote6.m3.1.1.1.1.1.3.2" xref="footnote6.m3.1.1.1.1.1.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="footnote6.m3.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="footnote6.m3.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="footnote6.m3.1c"><apply id="footnote6.m3.1.1.cmml" xref="footnote6.m3.1.1"><times id="footnote6.m3.1.1.2.cmml" xref="footnote6.m3.1.1.2"></times><apply id="footnote6.m3.1.1.3.cmml" xref="footnote6.m3.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="footnote6.m3.1.1.3.1.cmml" xref="footnote6.m3.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="footnote6.m3.1.1.3.2.cmml" xref="footnote6.m3.1.1.3.2">𝑧</ci><ci id="footnote6.m3.1.1.3.3.cmml" xref="footnote6.m3.1.1.3.3">𝑡</ci></apply><apply id="footnote6.m3.1.1.4.cmml" xref="footnote6.m3.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="footnote6.m3.1.1.4.1.cmml" xref="footnote6.m3.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="footnote6.m3.1.1.4.2.cmml" xref="footnote6.m3.1.1.4.2">𝑐</ci><ci id="footnote6.m3.1.1.4.3.cmml" xref="footnote6.m3.1.1.4.3">𝜆</ci></apply><apply id="footnote6.m3.1.1.1.1.1.cmml" xref="footnote6.m3.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="footnote6.m3.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="footnote6.m3.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="footnote6.m3.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="footnote6.m3.1.1.1.1.1.2">𝑧</ci><apply id="footnote6.m3.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="footnote6.m3.1.1.1.1.1.3"><minus id="footnote6.m3.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="footnote6.m3.1.1.1.1.1.3"></minus><cn id="footnote6.m3.1.1.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="footnote6.m3.1.1.1.1.1.3.2">1</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="footnote6.m3.1d">z^{t}c_{\lambda}(z^{-1})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="footnote6.m3.1e">italic_z start_POSTSUPERSCRIPT italic_t end_POSTSUPERSCRIPT italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_λ end_POSTSUBSCRIPT ( italic_z start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math> for all partitions <math alttext="\lambda" class="ltx_Math" display="inline" id="footnote6.m4.1"><semantics id="footnote6.m4.1b"><mi id="footnote6.m4.1.1" xref="footnote6.m4.1.1.cmml">λ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="footnote6.m4.1c"><ci id="footnote6.m4.1.1.cmml" xref="footnote6.m4.1.1">𝜆</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="footnote6.m4.1d">\lambda</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="footnote6.m4.1e">italic_λ</annotation></semantics></math> of <math alttext="t" class="ltx_Math" display="inline" id="footnote6.m5.1"><semantics id="footnote6.m5.1b"><mi id="footnote6.m5.1.1" xref="footnote6.m5.1.1.cmml">t</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="footnote6.m5.1c"><ci id="footnote6.m5.1.1.cmml" xref="footnote6.m5.1.1">𝑡</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="footnote6.m5.1d">t</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="footnote6.m5.1e">italic_t</annotation></semantics></math>, where <math alttext="c_{\lambda}(q)" class="ltx_Math" display="inline" id="footnote6.m6.1"><semantics id="footnote6.m6.1b"><mrow id="footnote6.m6.1.2" xref="footnote6.m6.1.2.cmml"><msub id="footnote6.m6.1.2.2" xref="footnote6.m6.1.2.2.cmml"><mi id="footnote6.m6.1.2.2.2" xref="footnote6.m6.1.2.2.2.cmml">c</mi><mi id="footnote6.m6.1.2.2.3" xref="footnote6.m6.1.2.2.3.cmml">λ</mi></msub><mo id="footnote6.m6.1.2.1" xref="footnote6.m6.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="footnote6.m6.1.2.3.2" xref="footnote6.m6.1.2.cmml"><mo id="footnote6.m6.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="footnote6.m6.1.2.cmml">(</mo><mi id="footnote6.m6.1.1" xref="footnote6.m6.1.1.cmml">q</mi><mo id="footnote6.m6.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="footnote6.m6.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="footnote6.m6.1c"><apply id="footnote6.m6.1.2.cmml" xref="footnote6.m6.1.2"><times id="footnote6.m6.1.2.1.cmml" xref="footnote6.m6.1.2.1"></times><apply id="footnote6.m6.1.2.2.cmml" xref="footnote6.m6.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="footnote6.m6.1.2.2.1.cmml" xref="footnote6.m6.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="footnote6.m6.1.2.2.2.cmml" xref="footnote6.m6.1.2.2.2">𝑐</ci><ci id="footnote6.m6.1.2.2.3.cmml" xref="footnote6.m6.1.2.2.3">𝜆</ci></apply><ci id="footnote6.m6.1.1.cmml" xref="footnote6.m6.1.1">𝑞</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="footnote6.m6.1d">c_{\lambda}(q)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="footnote6.m6.1e">italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_λ end_POSTSUBSCRIPT ( italic_q )</annotation></semantics></math> is the eigenvalue of the cycle matrix <math alttext="C(q)" class="ltx_Math" display="inline" id="footnote6.m7.1"><semantics id="footnote6.m7.1b"><mrow id="footnote6.m7.1.2" xref="footnote6.m7.1.2.cmml"><mi id="footnote6.m7.1.2.2" xref="footnote6.m7.1.2.2.cmml">C</mi><mo id="footnote6.m7.1.2.1" xref="footnote6.m7.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="footnote6.m7.1.2.3.2" xref="footnote6.m7.1.2.cmml"><mo id="footnote6.m7.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="footnote6.m7.1.2.cmml">(</mo><mi id="footnote6.m7.1.1" xref="footnote6.m7.1.1.cmml">q</mi><mo id="footnote6.m7.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="footnote6.m7.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="footnote6.m7.1c"><apply id="footnote6.m7.1.2.cmml" xref="footnote6.m7.1.2"><times id="footnote6.m7.1.2.1.cmml" xref="footnote6.m7.1.2.1"></times><ci id="footnote6.m7.1.2.2.cmml" xref="footnote6.m7.1.2.2">𝐶</ci><ci id="footnote6.m7.1.1.cmml" xref="footnote6.m7.1.1">𝑞</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="footnote6.m7.1d">C(q)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="footnote6.m7.1e">italic_C ( italic_q )</annotation></semantics></math> corresponding to partition <math alttext="\lambda" class="ltx_Math" display="inline" id="footnote6.m8.1"><semantics id="footnote6.m8.1b"><mi id="footnote6.m8.1.1" xref="footnote6.m8.1.1.cmml">λ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="footnote6.m8.1c"><ci id="footnote6.m8.1.1.cmml" xref="footnote6.m8.1.1">𝜆</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="footnote6.m8.1d">\lambda</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="footnote6.m8.1e">italic_λ</annotation></semantics></math>.</span></span></span></p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_gather ltx_eqn_table" id="S6.EGx167"> <tbody id="A3.E206"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\displaystyle f_{t}(z)=\prod_{i=1}^{t-1}\left(1-i^{2}z^{2}\right)\begin{cases}% 1&t\leq 5\\ (1-z^{2})&t=6\end{cases}." class="ltx_Math" display="block" id="A3.E206.m1.6"><semantics id="A3.E206.m1.6a"><mrow id="A3.E206.m1.6.6.1" xref="A3.E206.m1.6.6.1.1.cmml"><mrow id="A3.E206.m1.6.6.1.1" xref="A3.E206.m1.6.6.1.1.cmml"><mrow id="A3.E206.m1.6.6.1.1.3" xref="A3.E206.m1.6.6.1.1.3.cmml"><msub id="A3.E206.m1.6.6.1.1.3.2" xref="A3.E206.m1.6.6.1.1.3.2.cmml"><mi id="A3.E206.m1.6.6.1.1.3.2.2" xref="A3.E206.m1.6.6.1.1.3.2.2.cmml">f</mi><mi id="A3.E206.m1.6.6.1.1.3.2.3" xref="A3.E206.m1.6.6.1.1.3.2.3.cmml">t</mi></msub><mo id="A3.E206.m1.6.6.1.1.3.1" xref="A3.E206.m1.6.6.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A3.E206.m1.6.6.1.1.3.3.2" xref="A3.E206.m1.6.6.1.1.3.cmml"><mo id="A3.E206.m1.6.6.1.1.3.3.2.1" stretchy="false" xref="A3.E206.m1.6.6.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="A3.E206.m1.5.5" xref="A3.E206.m1.5.5.cmml">z</mi><mo id="A3.E206.m1.6.6.1.1.3.3.2.2" stretchy="false" xref="A3.E206.m1.6.6.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A3.E206.m1.6.6.1.1.2" rspace="0.111em" xref="A3.E206.m1.6.6.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="A3.E206.m1.6.6.1.1.1" xref="A3.E206.m1.6.6.1.1.1.cmml"><munderover id="A3.E206.m1.6.6.1.1.1.2" xref="A3.E206.m1.6.6.1.1.1.2.cmml"><mo id="A3.E206.m1.6.6.1.1.1.2.2.2" movablelimits="false" rspace="0em" xref="A3.E206.m1.6.6.1.1.1.2.2.2.cmml">∏</mo><mrow id="A3.E206.m1.6.6.1.1.1.2.2.3" xref="A3.E206.m1.6.6.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="A3.E206.m1.6.6.1.1.1.2.2.3.2" xref="A3.E206.m1.6.6.1.1.1.2.2.3.2.cmml">i</mi><mo id="A3.E206.m1.6.6.1.1.1.2.2.3.1" xref="A3.E206.m1.6.6.1.1.1.2.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="A3.E206.m1.6.6.1.1.1.2.2.3.3" xref="A3.E206.m1.6.6.1.1.1.2.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mrow id="A3.E206.m1.6.6.1.1.1.2.3" xref="A3.E206.m1.6.6.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="A3.E206.m1.6.6.1.1.1.2.3.2" xref="A3.E206.m1.6.6.1.1.1.2.3.2.cmml">t</mi><mo id="A3.E206.m1.6.6.1.1.1.2.3.1" xref="A3.E206.m1.6.6.1.1.1.2.3.1.cmml">−</mo><mn id="A3.E206.m1.6.6.1.1.1.2.3.3" xref="A3.E206.m1.6.6.1.1.1.2.3.3.cmml">1</mn></mrow></munderover><mrow id="A3.E206.m1.6.6.1.1.1.1" xref="A3.E206.m1.6.6.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A3.E206.m1.6.6.1.1.1.1.1.1" xref="A3.E206.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A3.E206.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2" xref="A3.E206.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A3.E206.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1" xref="A3.E206.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="A3.E206.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A3.E206.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">1</mn><mo id="A3.E206.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A3.E206.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="A3.E206.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A3.E206.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><msup id="A3.E206.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A3.E206.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="A3.E206.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="A3.E206.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">i</mi><mn id="A3.E206.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="A3.E206.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">2</mn></msup><mo id="A3.E206.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="A3.E206.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="A3.E206.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A3.E206.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="A3.E206.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="A3.E206.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">z</mi><mn id="A3.E206.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="A3.E206.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">2</mn></msup></mrow></mrow><mo id="A3.E206.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3" xref="A3.E206.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A3.E206.m1.6.6.1.1.1.1.2" xref="A3.E206.m1.6.6.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A3.E206.m1.4.4" xref="A3.E206.m1.6.6.1.1.1.1.3.1.cmml"><mo id="A3.E206.m1.4.4.5" xref="A3.E206.m1.6.6.1.1.1.1.3.1.1.cmml">{</mo><mtable columnspacing="5pt" displaystyle="true" id="A3.E206.m1.4.4.4" rowspacing="0pt" xref="A3.E206.m1.6.6.1.1.1.1.3.1.cmml"><mtr id="A3.E206.m1.4.4.4a" xref="A3.E206.m1.6.6.1.1.1.1.3.1.cmml"><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="A3.E206.m1.4.4.4b" xref="A3.E206.m1.6.6.1.1.1.1.3.1.cmml"><mn id="A3.E206.m1.1.1.1.1.1.1" xref="A3.E206.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">1</mn></mtd><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="A3.E206.m1.4.4.4c" xref="A3.E206.m1.6.6.1.1.1.1.3.1.cmml"><mrow id="A3.E206.m1.2.2.2.2.2.1" xref="A3.E206.m1.2.2.2.2.2.1.cmml"><mi id="A3.E206.m1.2.2.2.2.2.1.2" xref="A3.E206.m1.2.2.2.2.2.1.2.cmml">t</mi><mo id="A3.E206.m1.2.2.2.2.2.1.1" xref="A3.E206.m1.2.2.2.2.2.1.1.cmml">≤</mo><mn id="A3.E206.m1.2.2.2.2.2.1.3" xref="A3.E206.m1.2.2.2.2.2.1.3.cmml">5</mn></mrow></mtd></mtr><mtr id="A3.E206.m1.4.4.4d" xref="A3.E206.m1.6.6.1.1.1.1.3.1.cmml"><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="A3.E206.m1.4.4.4e" xref="A3.E206.m1.6.6.1.1.1.1.3.1.cmml"><mrow id="A3.E206.m1.3.3.3.3.1.1.1" xref="A3.E206.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.cmml"><mo id="A3.E206.m1.3.3.3.3.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A3.E206.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A3.E206.m1.3.3.3.3.1.1.1.1" xref="A3.E206.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.cmml"><mn id="A3.E206.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.2" xref="A3.E206.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.2.cmml">1</mn><mo id="A3.E206.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.1" xref="A3.E206.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><msup id="A3.E206.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.3" xref="A3.E206.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A3.E206.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.3.2" xref="A3.E206.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.3.2.cmml">z</mi><mn id="A3.E206.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.3.3" xref="A3.E206.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></msup></mrow><mo id="A3.E206.m1.3.3.3.3.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A3.E206.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mtd><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="A3.E206.m1.4.4.4f" xref="A3.E206.m1.6.6.1.1.1.1.3.1.cmml"><mrow id="A3.E206.m1.4.4.4.4.2.1" xref="A3.E206.m1.4.4.4.4.2.1.cmml"><mi id="A3.E206.m1.4.4.4.4.2.1.2" xref="A3.E206.m1.4.4.4.4.2.1.2.cmml">t</mi><mo id="A3.E206.m1.4.4.4.4.2.1.1" xref="A3.E206.m1.4.4.4.4.2.1.1.cmml">=</mo><mn id="A3.E206.m1.4.4.4.4.2.1.3" 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start_CELL 1 end_CELL start_CELL italic_t ≤ 5 end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL ( 1 - italic_z start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ) end_CELL start_CELL italic_t = 6 end_CELL end_ROW .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(206)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="A3.SS1.p1.12">Under this choice of <math alttext="f_{t}(z)" class="ltx_Math" display="inline" id="A3.SS1.p1.6.m1.1"><semantics id="A3.SS1.p1.6.m1.1a"><mrow id="A3.SS1.p1.6.m1.1.2" xref="A3.SS1.p1.6.m1.1.2.cmml"><msub id="A3.SS1.p1.6.m1.1.2.2" xref="A3.SS1.p1.6.m1.1.2.2.cmml"><mi id="A3.SS1.p1.6.m1.1.2.2.2" xref="A3.SS1.p1.6.m1.1.2.2.2.cmml">f</mi><mi id="A3.SS1.p1.6.m1.1.2.2.3" xref="A3.SS1.p1.6.m1.1.2.2.3.cmml">t</mi></msub><mo id="A3.SS1.p1.6.m1.1.2.1" xref="A3.SS1.p1.6.m1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow 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id="A3.SS1.p1.6.m1.1c">f_{t}(z)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A3.SS1.p1.6.m1.1d">italic_f start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( italic_z )</annotation></semantics></math>, the Weingarten numerators <math alttext="g_{c}(z)" class="ltx_Math" display="inline" id="A3.SS1.p1.7.m2.1"><semantics id="A3.SS1.p1.7.m2.1a"><mrow id="A3.SS1.p1.7.m2.1.2" xref="A3.SS1.p1.7.m2.1.2.cmml"><msub id="A3.SS1.p1.7.m2.1.2.2" xref="A3.SS1.p1.7.m2.1.2.2.cmml"><mi id="A3.SS1.p1.7.m2.1.2.2.2" xref="A3.SS1.p1.7.m2.1.2.2.2.cmml">g</mi><mi id="A3.SS1.p1.7.m2.1.2.2.3" xref="A3.SS1.p1.7.m2.1.2.2.3.cmml">c</mi></msub><mo id="A3.SS1.p1.7.m2.1.2.1" xref="A3.SS1.p1.7.m2.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A3.SS1.p1.7.m2.1.2.3.2" xref="A3.SS1.p1.7.m2.1.2.cmml"><mo id="A3.SS1.p1.7.m2.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="A3.SS1.p1.7.m2.1.2.cmml">(</mo><mi id="A3.SS1.p1.7.m2.1.1" xref="A3.SS1.p1.7.m2.1.1.cmml">z</mi><mo id="A3.SS1.p1.7.m2.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="A3.SS1.p1.7.m2.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A3.SS1.p1.7.m2.1b"><apply id="A3.SS1.p1.7.m2.1.2.cmml" xref="A3.SS1.p1.7.m2.1.2"><times id="A3.SS1.p1.7.m2.1.2.1.cmml" xref="A3.SS1.p1.7.m2.1.2.1"></times><apply id="A3.SS1.p1.7.m2.1.2.2.cmml" xref="A3.SS1.p1.7.m2.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.SS1.p1.7.m2.1.2.2.1.cmml" xref="A3.SS1.p1.7.m2.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="A3.SS1.p1.7.m2.1.2.2.2.cmml" xref="A3.SS1.p1.7.m2.1.2.2.2">𝑔</ci><ci id="A3.SS1.p1.7.m2.1.2.2.3.cmml" xref="A3.SS1.p1.7.m2.1.2.2.3">𝑐</ci></apply><ci id="A3.SS1.p1.7.m2.1.1.cmml" xref="A3.SS1.p1.7.m2.1.1">𝑧</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A3.SS1.p1.7.m2.1c">g_{c}(z)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A3.SS1.p1.7.m2.1d">italic_g start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT ( italic_z )</annotation></semantics></math> (where <math alttext="c" class="ltx_Math" display="inline" id="A3.SS1.p1.8.m3.1"><semantics id="A3.SS1.p1.8.m3.1a"><mi id="A3.SS1.p1.8.m3.1.1" xref="A3.SS1.p1.8.m3.1.1.cmml">c</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A3.SS1.p1.8.m3.1b"><ci id="A3.SS1.p1.8.m3.1.1.cmml" xref="A3.SS1.p1.8.m3.1.1">𝑐</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A3.SS1.p1.8.m3.1c">c</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A3.SS1.p1.8.m3.1d">italic_c</annotation></semantics></math> is the conjugacy class of <math alttext="\sigma^{-1}\tau" class="ltx_Math" display="inline" id="A3.SS1.p1.9.m4.1"><semantics id="A3.SS1.p1.9.m4.1a"><mrow id="A3.SS1.p1.9.m4.1.1" xref="A3.SS1.p1.9.m4.1.1.cmml"><msup id="A3.SS1.p1.9.m4.1.1.2" xref="A3.SS1.p1.9.m4.1.1.2.cmml"><mi id="A3.SS1.p1.9.m4.1.1.2.2" xref="A3.SS1.p1.9.m4.1.1.2.2.cmml">σ</mi><mrow id="A3.SS1.p1.9.m4.1.1.2.3" xref="A3.SS1.p1.9.m4.1.1.2.3.cmml"><mo id="A3.SS1.p1.9.m4.1.1.2.3a" xref="A3.SS1.p1.9.m4.1.1.2.3.cmml">−</mo><mn id="A3.SS1.p1.9.m4.1.1.2.3.2" xref="A3.SS1.p1.9.m4.1.1.2.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="A3.SS1.p1.9.m4.1.1.1" xref="A3.SS1.p1.9.m4.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="A3.SS1.p1.9.m4.1.1.3" xref="A3.SS1.p1.9.m4.1.1.3.cmml">τ</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A3.SS1.p1.9.m4.1b"><apply id="A3.SS1.p1.9.m4.1.1.cmml" xref="A3.SS1.p1.9.m4.1.1"><times id="A3.SS1.p1.9.m4.1.1.1.cmml" xref="A3.SS1.p1.9.m4.1.1.1"></times><apply id="A3.SS1.p1.9.m4.1.1.2.cmml" xref="A3.SS1.p1.9.m4.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.SS1.p1.9.m4.1.1.2.1.cmml" xref="A3.SS1.p1.9.m4.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="A3.SS1.p1.9.m4.1.1.2.2.cmml" xref="A3.SS1.p1.9.m4.1.1.2.2">𝜎</ci><apply id="A3.SS1.p1.9.m4.1.1.2.3.cmml" xref="A3.SS1.p1.9.m4.1.1.2.3"><minus id="A3.SS1.p1.9.m4.1.1.2.3.1.cmml" xref="A3.SS1.p1.9.m4.1.1.2.3"></minus><cn id="A3.SS1.p1.9.m4.1.1.2.3.2.cmml" type="integer" xref="A3.SS1.p1.9.m4.1.1.2.3.2">1</cn></apply></apply><ci id="A3.SS1.p1.9.m4.1.1.3.cmml" xref="A3.SS1.p1.9.m4.1.1.3">𝜏</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A3.SS1.p1.9.m4.1c">\sigma^{-1}\tau</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A3.SS1.p1.9.m4.1d">italic_σ start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT italic_τ</annotation></semantics></math>, as that is the only thing that <math alttext="g" class="ltx_Math" display="inline" id="A3.SS1.p1.10.m5.1"><semantics id="A3.SS1.p1.10.m5.1a"><mi id="A3.SS1.p1.10.m5.1.1" xref="A3.SS1.p1.10.m5.1.1.cmml">g</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A3.SS1.p1.10.m5.1b"><ci id="A3.SS1.p1.10.m5.1.1.cmml" xref="A3.SS1.p1.10.m5.1.1">𝑔</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A3.SS1.p1.10.m5.1c">g</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A3.SS1.p1.10.m5.1d">italic_g</annotation></semantics></math> depends on) is given by Table <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#A3.T1" title="Table 1 ‣ C.1 Values of ‖𝐾_𝑚‖_𝔇 for 𝑡≤6,𝑡≤𝑞 ‣ Appendix C Numerical results ‣ Conditional 𝑡-independent spectral gap for random quantum circuits and implications for 𝑡-design depths"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">1</span></a> for each choice of conjugacy class <math alttext="c" class="ltx_Math" display="inline" id="A3.SS1.p1.11.m6.1"><semantics id="A3.SS1.p1.11.m6.1a"><mi id="A3.SS1.p1.11.m6.1.1" xref="A3.SS1.p1.11.m6.1.1.cmml">c</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A3.SS1.p1.11.m6.1b"><ci id="A3.SS1.p1.11.m6.1.1.cmml" xref="A3.SS1.p1.11.m6.1.1">𝑐</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A3.SS1.p1.11.m6.1c">c</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A3.SS1.p1.11.m6.1d">italic_c</annotation></semantics></math>, while the values of <math alttext="f_{t}(t^{-2})" class="ltx_Math" display="inline" id="A3.SS1.p1.12.m7.1"><semantics id="A3.SS1.p1.12.m7.1a"><mrow id="A3.SS1.p1.12.m7.1.1" xref="A3.SS1.p1.12.m7.1.1.cmml"><msub id="A3.SS1.p1.12.m7.1.1.3" xref="A3.SS1.p1.12.m7.1.1.3.cmml"><mi id="A3.SS1.p1.12.m7.1.1.3.2" xref="A3.SS1.p1.12.m7.1.1.3.2.cmml">f</mi><mi id="A3.SS1.p1.12.m7.1.1.3.3" xref="A3.SS1.p1.12.m7.1.1.3.3.cmml">t</mi></msub><mo id="A3.SS1.p1.12.m7.1.1.2" xref="A3.SS1.p1.12.m7.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A3.SS1.p1.12.m7.1.1.1.1" xref="A3.SS1.p1.12.m7.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A3.SS1.p1.12.m7.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A3.SS1.p1.12.m7.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="A3.SS1.p1.12.m7.1.1.1.1.1" xref="A3.SS1.p1.12.m7.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A3.SS1.p1.12.m7.1.1.1.1.1.2" xref="A3.SS1.p1.12.m7.1.1.1.1.1.2.cmml">t</mi><mrow id="A3.SS1.p1.12.m7.1.1.1.1.1.3" xref="A3.SS1.p1.12.m7.1.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="A3.SS1.p1.12.m7.1.1.1.1.1.3a" xref="A3.SS1.p1.12.m7.1.1.1.1.1.3.cmml">−</mo><mn id="A3.SS1.p1.12.m7.1.1.1.1.1.3.2" xref="A3.SS1.p1.12.m7.1.1.1.1.1.3.2.cmml">2</mn></mrow></msup><mo id="A3.SS1.p1.12.m7.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A3.SS1.p1.12.m7.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A3.SS1.p1.12.m7.1b"><apply id="A3.SS1.p1.12.m7.1.1.cmml" xref="A3.SS1.p1.12.m7.1.1"><times id="A3.SS1.p1.12.m7.1.1.2.cmml" xref="A3.SS1.p1.12.m7.1.1.2"></times><apply id="A3.SS1.p1.12.m7.1.1.3.cmml" xref="A3.SS1.p1.12.m7.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.SS1.p1.12.m7.1.1.3.1.cmml" xref="A3.SS1.p1.12.m7.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A3.SS1.p1.12.m7.1.1.3.2.cmml" xref="A3.SS1.p1.12.m7.1.1.3.2">𝑓</ci><ci id="A3.SS1.p1.12.m7.1.1.3.3.cmml" xref="A3.SS1.p1.12.m7.1.1.3.3">𝑡</ci></apply><apply id="A3.SS1.p1.12.m7.1.1.1.1.1.cmml" xref="A3.SS1.p1.12.m7.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.SS1.p1.12.m7.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A3.SS1.p1.12.m7.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="A3.SS1.p1.12.m7.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A3.SS1.p1.12.m7.1.1.1.1.1.2">𝑡</ci><apply id="A3.SS1.p1.12.m7.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A3.SS1.p1.12.m7.1.1.1.1.1.3"><minus id="A3.SS1.p1.12.m7.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A3.SS1.p1.12.m7.1.1.1.1.1.3"></minus><cn id="A3.SS1.p1.12.m7.1.1.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="A3.SS1.p1.12.m7.1.1.1.1.1.3.2">2</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A3.SS1.p1.12.m7.1c">f_{t}(t^{-2})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A3.SS1.p1.12.m7.1d">italic_f start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t start_POSTSUPERSCRIPT - 2 end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math> are in Table <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#A3.T2" title="Table 2 ‣ C.1 Values of ‖𝐾_𝑚‖_𝔇 for 𝑡≤6,𝑡≤𝑞 ‣ Appendix C Numerical results ‣ Conditional 𝑡-independent spectral gap for random quantum circuits and implications for 𝑡-design depths"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">2</span></a>.</p> </div> <figure class="ltx_table" id="A3.T1"> <table class="ltx_tabular ltx_guessed_headers ltx_align_middle" id="A3.T1.35"> <tbody class="ltx_tbody"> <tr class="ltx_tr" id="A3.T1.1.1"> <th class="ltx_td ltx_align_center ltx_th ltx_th_row ltx_border_l ltx_border_rr ltx_border_t" id="A3.T1.1.1.1"><math alttext="c,t=3" class="ltx_Math" display="inline" id="A3.T1.1.1.1.m1.2"><semantics id="A3.T1.1.1.1.m1.2a"><mrow id="A3.T1.1.1.1.m1.2.3" xref="A3.T1.1.1.1.m1.2.3.cmml"><mrow id="A3.T1.1.1.1.m1.2.3.2.2" xref="A3.T1.1.1.1.m1.2.3.2.1.cmml"><mi id="A3.T1.1.1.1.m1.1.1" xref="A3.T1.1.1.1.m1.1.1.cmml">c</mi><mo id="A3.T1.1.1.1.m1.2.3.2.2.1" xref="A3.T1.1.1.1.m1.2.3.2.1.cmml">,</mo><mi id="A3.T1.1.1.1.m1.2.2" xref="A3.T1.1.1.1.m1.2.2.cmml">t</mi></mrow><mo id="A3.T1.1.1.1.m1.2.3.1" xref="A3.T1.1.1.1.m1.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="A3.T1.1.1.1.m1.2.3.3" xref="A3.T1.1.1.1.m1.2.3.3.cmml">3</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A3.T1.1.1.1.m1.2b"><apply id="A3.T1.1.1.1.m1.2.3.cmml" xref="A3.T1.1.1.1.m1.2.3"><eq id="A3.T1.1.1.1.m1.2.3.1.cmml" xref="A3.T1.1.1.1.m1.2.3.1"></eq><list id="A3.T1.1.1.1.m1.2.3.2.1.cmml" xref="A3.T1.1.1.1.m1.2.3.2.2"><ci id="A3.T1.1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="A3.T1.1.1.1.m1.1.1">𝑐</ci><ci id="A3.T1.1.1.1.m1.2.2.cmml" xref="A3.T1.1.1.1.m1.2.2">𝑡</ci></list><cn id="A3.T1.1.1.1.m1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="A3.T1.1.1.1.m1.2.3.3">3</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A3.T1.1.1.1.m1.2c">c,t=3</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A3.T1.1.1.1.m1.2d">italic_c , italic_t = 3</annotation></semantics></math></th> <td class="ltx_td ltx_align_justify ltx_align_top ltx_border_r ltx_border_t" id="A3.T1.1.1.2"> <span class="ltx_inline-block ltx_align_top" id="A3.T1.1.1.2.1"> <span class="ltx_p" id="A3.T1.1.1.2.1.1" style="width:71.1pt;">111</span> </span> </td> <td class="ltx_td ltx_align_justify ltx_align_top ltx_border_r ltx_border_t" id="A3.T1.1.1.3"> <span class="ltx_inline-block ltx_align_top" id="A3.T1.1.1.3.1"> <span class="ltx_p" id="A3.T1.1.1.3.1.1" style="width:62.6pt;">21</span> </span> </td> <td class="ltx_td ltx_align_justify ltx_align_top ltx_border_r ltx_border_t" id="A3.T1.1.1.4"> <span class="ltx_inline-block ltx_align_top" id="A3.T1.1.1.4.1"> <span class="ltx_p" id="A3.T1.1.1.4.1.1" style="width:62.6pt;">3</span> </span> </td> <td class="ltx_td ltx_align_top ltx_border_r ltx_border_t" id="A3.T1.1.1.5"></td> <td class="ltx_td ltx_align_top ltx_border_r ltx_border_t" id="A3.T1.1.1.6"></td> <td class="ltx_td ltx_align_top ltx_border_r ltx_border_t" id="A3.T1.1.1.7"></td> <td class="ltx_td ltx_align_top ltx_border_r ltx_border_t" id="A3.T1.1.1.8"></td> </tr> <tr class="ltx_tr" id="A3.T1.5.5"> <th class="ltx_td ltx_align_center ltx_th ltx_th_row ltx_border_l ltx_border_rr ltx_border_t" id="A3.T1.2.2.1"><math alttext="g_{c}(z)" class="ltx_Math" display="inline" id="A3.T1.2.2.1.m1.1"><semantics id="A3.T1.2.2.1.m1.1a"><mrow id="A3.T1.2.2.1.m1.1.2" xref="A3.T1.2.2.1.m1.1.2.cmml"><msub id="A3.T1.2.2.1.m1.1.2.2" xref="A3.T1.2.2.1.m1.1.2.2.cmml"><mi id="A3.T1.2.2.1.m1.1.2.2.2" xref="A3.T1.2.2.1.m1.1.2.2.2.cmml">g</mi><mi id="A3.T1.2.2.1.m1.1.2.2.3" xref="A3.T1.2.2.1.m1.1.2.2.3.cmml">c</mi></msub><mo id="A3.T1.2.2.1.m1.1.2.1" xref="A3.T1.2.2.1.m1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A3.T1.2.2.1.m1.1.2.3.2" xref="A3.T1.2.2.1.m1.1.2.cmml"><mo id="A3.T1.2.2.1.m1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="A3.T1.2.2.1.m1.1.2.cmml">(</mo><mi id="A3.T1.2.2.1.m1.1.1" xref="A3.T1.2.2.1.m1.1.1.cmml">z</mi><mo id="A3.T1.2.2.1.m1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="A3.T1.2.2.1.m1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A3.T1.2.2.1.m1.1b"><apply id="A3.T1.2.2.1.m1.1.2.cmml" xref="A3.T1.2.2.1.m1.1.2"><times id="A3.T1.2.2.1.m1.1.2.1.cmml" xref="A3.T1.2.2.1.m1.1.2.1"></times><apply id="A3.T1.2.2.1.m1.1.2.2.cmml" xref="A3.T1.2.2.1.m1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.T1.2.2.1.m1.1.2.2.1.cmml" xref="A3.T1.2.2.1.m1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="A3.T1.2.2.1.m1.1.2.2.2.cmml" xref="A3.T1.2.2.1.m1.1.2.2.2">𝑔</ci><ci id="A3.T1.2.2.1.m1.1.2.2.3.cmml" xref="A3.T1.2.2.1.m1.1.2.2.3">𝑐</ci></apply><ci id="A3.T1.2.2.1.m1.1.1.cmml" xref="A3.T1.2.2.1.m1.1.1">𝑧</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A3.T1.2.2.1.m1.1c">g_{c}(z)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A3.T1.2.2.1.m1.1d">italic_g start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT ( italic_z )</annotation></semantics></math></th> <td class="ltx_td ltx_align_justify ltx_align_top ltx_border_r ltx_border_t" id="A3.T1.3.3.2"> <span class="ltx_inline-block ltx_align_top" id="A3.T1.3.3.2.1"> <span class="ltx_p" id="A3.T1.3.3.2.1.1" style="width:71.1pt;"><math alttext="1-2z^{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="A3.T1.3.3.2.1.1.m1.1"><semantics id="A3.T1.3.3.2.1.1.m1.1a"><mrow id="A3.T1.3.3.2.1.1.m1.1.1" xref="A3.T1.3.3.2.1.1.m1.1.1.cmml"><mn id="A3.T1.3.3.2.1.1.m1.1.1.2" xref="A3.T1.3.3.2.1.1.m1.1.1.2.cmml">1</mn><mo id="A3.T1.3.3.2.1.1.m1.1.1.1" xref="A3.T1.3.3.2.1.1.m1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="A3.T1.3.3.2.1.1.m1.1.1.3" xref="A3.T1.3.3.2.1.1.m1.1.1.3.cmml"><mn id="A3.T1.3.3.2.1.1.m1.1.1.3.2" xref="A3.T1.3.3.2.1.1.m1.1.1.3.2.cmml">2</mn><mo id="A3.T1.3.3.2.1.1.m1.1.1.3.1" xref="A3.T1.3.3.2.1.1.m1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="A3.T1.3.3.2.1.1.m1.1.1.3.3" xref="A3.T1.3.3.2.1.1.m1.1.1.3.3.cmml"><mi id="A3.T1.3.3.2.1.1.m1.1.1.3.3.2" xref="A3.T1.3.3.2.1.1.m1.1.1.3.3.2.cmml">z</mi><mn id="A3.T1.3.3.2.1.1.m1.1.1.3.3.3" xref="A3.T1.3.3.2.1.1.m1.1.1.3.3.3.cmml">2</mn></msup></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A3.T1.3.3.2.1.1.m1.1b"><apply id="A3.T1.3.3.2.1.1.m1.1.1.cmml" xref="A3.T1.3.3.2.1.1.m1.1.1"><minus id="A3.T1.3.3.2.1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="A3.T1.3.3.2.1.1.m1.1.1.1"></minus><cn id="A3.T1.3.3.2.1.1.m1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="A3.T1.3.3.2.1.1.m1.1.1.2">1</cn><apply id="A3.T1.3.3.2.1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="A3.T1.3.3.2.1.1.m1.1.1.3"><times id="A3.T1.3.3.2.1.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="A3.T1.3.3.2.1.1.m1.1.1.3.1"></times><cn id="A3.T1.3.3.2.1.1.m1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="A3.T1.3.3.2.1.1.m1.1.1.3.2">2</cn><apply id="A3.T1.3.3.2.1.1.m1.1.1.3.3.cmml" xref="A3.T1.3.3.2.1.1.m1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.T1.3.3.2.1.1.m1.1.1.3.3.1.cmml" xref="A3.T1.3.3.2.1.1.m1.1.1.3.3">superscript</csymbol><ci id="A3.T1.3.3.2.1.1.m1.1.1.3.3.2.cmml" xref="A3.T1.3.3.2.1.1.m1.1.1.3.3.2">𝑧</ci><cn id="A3.T1.3.3.2.1.1.m1.1.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="A3.T1.3.3.2.1.1.m1.1.1.3.3.3">2</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A3.T1.3.3.2.1.1.m1.1c">1-2z^{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A3.T1.3.3.2.1.1.m1.1d">1 - 2 italic_z start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math></span> </span> </td> <td class="ltx_td ltx_align_justify ltx_align_top ltx_border_r ltx_border_t" id="A3.T1.4.4.3"> <span class="ltx_inline-block ltx_align_top" id="A3.T1.4.4.3.1"> <span class="ltx_p" id="A3.T1.4.4.3.1.1" style="width:62.6pt;"><math alttext="-z" class="ltx_Math" display="inline" id="A3.T1.4.4.3.1.1.m1.1"><semantics id="A3.T1.4.4.3.1.1.m1.1a"><mrow id="A3.T1.4.4.3.1.1.m1.1.1" xref="A3.T1.4.4.3.1.1.m1.1.1.cmml"><mo id="A3.T1.4.4.3.1.1.m1.1.1a" xref="A3.T1.4.4.3.1.1.m1.1.1.cmml">−</mo><mi id="A3.T1.4.4.3.1.1.m1.1.1.2" xref="A3.T1.4.4.3.1.1.m1.1.1.2.cmml">z</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A3.T1.4.4.3.1.1.m1.1b"><apply id="A3.T1.4.4.3.1.1.m1.1.1.cmml" xref="A3.T1.4.4.3.1.1.m1.1.1"><minus id="A3.T1.4.4.3.1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="A3.T1.4.4.3.1.1.m1.1.1"></minus><ci id="A3.T1.4.4.3.1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="A3.T1.4.4.3.1.1.m1.1.1.2">𝑧</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A3.T1.4.4.3.1.1.m1.1c">-z</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A3.T1.4.4.3.1.1.m1.1d">- italic_z</annotation></semantics></math></span> </span> </td> <td class="ltx_td ltx_align_justify ltx_align_top ltx_border_r ltx_border_t" id="A3.T1.5.5.4"> <span class="ltx_inline-block ltx_align_top" id="A3.T1.5.5.4.1"> <span class="ltx_p" id="A3.T1.5.5.4.1.1" style="width:62.6pt;"><math alttext="2z^{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="A3.T1.5.5.4.1.1.m1.1"><semantics id="A3.T1.5.5.4.1.1.m1.1a"><mrow id="A3.T1.5.5.4.1.1.m1.1.1" xref="A3.T1.5.5.4.1.1.m1.1.1.cmml"><mn id="A3.T1.5.5.4.1.1.m1.1.1.2" xref="A3.T1.5.5.4.1.1.m1.1.1.2.cmml">2</mn><mo id="A3.T1.5.5.4.1.1.m1.1.1.1" xref="A3.T1.5.5.4.1.1.m1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msup id="A3.T1.5.5.4.1.1.m1.1.1.3" xref="A3.T1.5.5.4.1.1.m1.1.1.3.cmml"><mi id="A3.T1.5.5.4.1.1.m1.1.1.3.2" xref="A3.T1.5.5.4.1.1.m1.1.1.3.2.cmml">z</mi><mn id="A3.T1.5.5.4.1.1.m1.1.1.3.3" xref="A3.T1.5.5.4.1.1.m1.1.1.3.3.cmml">2</mn></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A3.T1.5.5.4.1.1.m1.1b"><apply id="A3.T1.5.5.4.1.1.m1.1.1.cmml" xref="A3.T1.5.5.4.1.1.m1.1.1"><times id="A3.T1.5.5.4.1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="A3.T1.5.5.4.1.1.m1.1.1.1"></times><cn id="A3.T1.5.5.4.1.1.m1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="A3.T1.5.5.4.1.1.m1.1.1.2">2</cn><apply id="A3.T1.5.5.4.1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="A3.T1.5.5.4.1.1.m1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.T1.5.5.4.1.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="A3.T1.5.5.4.1.1.m1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="A3.T1.5.5.4.1.1.m1.1.1.3.2.cmml" xref="A3.T1.5.5.4.1.1.m1.1.1.3.2">𝑧</ci><cn id="A3.T1.5.5.4.1.1.m1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="A3.T1.5.5.4.1.1.m1.1.1.3.3">2</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A3.T1.5.5.4.1.1.m1.1c">2z^{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A3.T1.5.5.4.1.1.m1.1d">2 italic_z start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math></span> </span> </td> <td class="ltx_td ltx_align_top ltx_border_r ltx_border_t" id="A3.T1.5.5.5"></td> <td class="ltx_td ltx_align_top ltx_border_r ltx_border_t" id="A3.T1.5.5.6"></td> <td class="ltx_td ltx_align_top ltx_border_r ltx_border_t" id="A3.T1.5.5.7"></td> <td class="ltx_td ltx_align_top ltx_border_r ltx_border_t" id="A3.T1.5.5.8"></td> </tr> <tr class="ltx_tr" id="A3.T1.6.6"> <th class="ltx_td ltx_align_center ltx_th ltx_th_row ltx_border_l ltx_border_rr ltx_border_tt" id="A3.T1.6.6.1"><math alttext="c,t=4" class="ltx_Math" display="inline" id="A3.T1.6.6.1.m1.2"><semantics id="A3.T1.6.6.1.m1.2a"><mrow id="A3.T1.6.6.1.m1.2.3" xref="A3.T1.6.6.1.m1.2.3.cmml"><mrow id="A3.T1.6.6.1.m1.2.3.2.2" xref="A3.T1.6.6.1.m1.2.3.2.1.cmml"><mi id="A3.T1.6.6.1.m1.1.1" xref="A3.T1.6.6.1.m1.1.1.cmml">c</mi><mo id="A3.T1.6.6.1.m1.2.3.2.2.1" xref="A3.T1.6.6.1.m1.2.3.2.1.cmml">,</mo><mi id="A3.T1.6.6.1.m1.2.2" xref="A3.T1.6.6.1.m1.2.2.cmml">t</mi></mrow><mo id="A3.T1.6.6.1.m1.2.3.1" xref="A3.T1.6.6.1.m1.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="A3.T1.6.6.1.m1.2.3.3" xref="A3.T1.6.6.1.m1.2.3.3.cmml">4</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A3.T1.6.6.1.m1.2b"><apply id="A3.T1.6.6.1.m1.2.3.cmml" xref="A3.T1.6.6.1.m1.2.3"><eq id="A3.T1.6.6.1.m1.2.3.1.cmml" xref="A3.T1.6.6.1.m1.2.3.1"></eq><list id="A3.T1.6.6.1.m1.2.3.2.1.cmml" xref="A3.T1.6.6.1.m1.2.3.2.2"><ci id="A3.T1.6.6.1.m1.1.1.cmml" xref="A3.T1.6.6.1.m1.1.1">𝑐</ci><ci id="A3.T1.6.6.1.m1.2.2.cmml" xref="A3.T1.6.6.1.m1.2.2">𝑡</ci></list><cn id="A3.T1.6.6.1.m1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="A3.T1.6.6.1.m1.2.3.3">4</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A3.T1.6.6.1.m1.2c">c,t=4</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A3.T1.6.6.1.m1.2d">italic_c , italic_t = 4</annotation></semantics></math></th> <td class="ltx_td ltx_align_justify ltx_align_top ltx_border_r ltx_border_tt" id="A3.T1.6.6.2"> <span class="ltx_inline-block ltx_align_top" id="A3.T1.6.6.2.1"> <span class="ltx_p" id="A3.T1.6.6.2.1.1" style="width:71.1pt;">1111</span> </span> </td> <td class="ltx_td ltx_align_justify ltx_align_top ltx_border_r ltx_border_tt" id="A3.T1.6.6.3"> <span class="ltx_inline-block ltx_align_top" id="A3.T1.6.6.3.1"> <span class="ltx_p" id="A3.T1.6.6.3.1.1" style="width:62.6pt;">211</span> </span> </td> <td class="ltx_td ltx_align_justify ltx_align_top ltx_border_r ltx_border_tt" id="A3.T1.6.6.4"> <span class="ltx_inline-block ltx_align_top" id="A3.T1.6.6.4.1"> <span class="ltx_p" id="A3.T1.6.6.4.1.1" style="width:62.6pt;">31</span> </span> </td> <td class="ltx_td ltx_align_justify ltx_align_top ltx_border_r ltx_border_tt" id="A3.T1.6.6.5"> <span class="ltx_inline-block ltx_align_top" id="A3.T1.6.6.5.1"> <span class="ltx_p" id="A3.T1.6.6.5.1.1" style="width:62.6pt;">22</span> </span> </td> <td class="ltx_td ltx_align_justify ltx_align_top ltx_border_r ltx_border_tt" id="A3.T1.6.6.6"> <span class="ltx_inline-block ltx_align_top" id="A3.T1.6.6.6.1"> <span class="ltx_p" id="A3.T1.6.6.6.1.1" style="width:62.6pt;">4</span> </span> </td> <td class="ltx_td ltx_align_top ltx_border_r ltx_border_tt" id="A3.T1.6.6.7"></td> <td class="ltx_td ltx_align_top ltx_border_r ltx_border_tt" id="A3.T1.6.6.8"></td> </tr> <tr class="ltx_tr" id="A3.T1.12.12"> <th class="ltx_td ltx_align_center ltx_th ltx_th_row ltx_border_l ltx_border_rr ltx_border_t" id="A3.T1.7.7.1"><math alttext="g_{c}(z)" class="ltx_Math" display="inline" id="A3.T1.7.7.1.m1.1"><semantics id="A3.T1.7.7.1.m1.1a"><mrow id="A3.T1.7.7.1.m1.1.2" xref="A3.T1.7.7.1.m1.1.2.cmml"><msub id="A3.T1.7.7.1.m1.1.2.2" xref="A3.T1.7.7.1.m1.1.2.2.cmml"><mi id="A3.T1.7.7.1.m1.1.2.2.2" xref="A3.T1.7.7.1.m1.1.2.2.2.cmml">g</mi><mi id="A3.T1.7.7.1.m1.1.2.2.3" xref="A3.T1.7.7.1.m1.1.2.2.3.cmml">c</mi></msub><mo id="A3.T1.7.7.1.m1.1.2.1" xref="A3.T1.7.7.1.m1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A3.T1.7.7.1.m1.1.2.3.2" xref="A3.T1.7.7.1.m1.1.2.cmml"><mo id="A3.T1.7.7.1.m1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="A3.T1.7.7.1.m1.1.2.cmml">(</mo><mi id="A3.T1.7.7.1.m1.1.1" xref="A3.T1.7.7.1.m1.1.1.cmml">z</mi><mo id="A3.T1.7.7.1.m1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="A3.T1.7.7.1.m1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A3.T1.7.7.1.m1.1b"><apply id="A3.T1.7.7.1.m1.1.2.cmml" xref="A3.T1.7.7.1.m1.1.2"><times id="A3.T1.7.7.1.m1.1.2.1.cmml" xref="A3.T1.7.7.1.m1.1.2.1"></times><apply id="A3.T1.7.7.1.m1.1.2.2.cmml" xref="A3.T1.7.7.1.m1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.T1.7.7.1.m1.1.2.2.1.cmml" xref="A3.T1.7.7.1.m1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="A3.T1.7.7.1.m1.1.2.2.2.cmml" xref="A3.T1.7.7.1.m1.1.2.2.2">𝑔</ci><ci id="A3.T1.7.7.1.m1.1.2.2.3.cmml" xref="A3.T1.7.7.1.m1.1.2.2.3">𝑐</ci></apply><ci id="A3.T1.7.7.1.m1.1.1.cmml" xref="A3.T1.7.7.1.m1.1.1">𝑧</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A3.T1.7.7.1.m1.1c">g_{c}(z)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A3.T1.7.7.1.m1.1d">italic_g start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT ( italic_z )</annotation></semantics></math></th> <td class="ltx_td ltx_align_justify ltx_align_top ltx_border_r ltx_border_t" id="A3.T1.8.8.2"> <span class="ltx_inline-block ltx_align_top" id="A3.T1.8.8.2.1"> <span class="ltx_p" id="A3.T1.8.8.2.1.1" style="width:71.1pt;"><math alttext="1-8z^{2}+6z^{4}" class="ltx_Math" display="inline" id="A3.T1.8.8.2.1.1.m1.1"><semantics id="A3.T1.8.8.2.1.1.m1.1a"><mrow id="A3.T1.8.8.2.1.1.m1.1.1" xref="A3.T1.8.8.2.1.1.m1.1.1.cmml"><mrow id="A3.T1.8.8.2.1.1.m1.1.1.2" xref="A3.T1.8.8.2.1.1.m1.1.1.2.cmml"><mn id="A3.T1.8.8.2.1.1.m1.1.1.2.2" xref="A3.T1.8.8.2.1.1.m1.1.1.2.2.cmml">1</mn><mo id="A3.T1.8.8.2.1.1.m1.1.1.2.1" xref="A3.T1.8.8.2.1.1.m1.1.1.2.1.cmml">−</mo><mrow id="A3.T1.8.8.2.1.1.m1.1.1.2.3" xref="A3.T1.8.8.2.1.1.m1.1.1.2.3.cmml"><mn id="A3.T1.8.8.2.1.1.m1.1.1.2.3.2" xref="A3.T1.8.8.2.1.1.m1.1.1.2.3.2.cmml">8</mn><mo id="A3.T1.8.8.2.1.1.m1.1.1.2.3.1" xref="A3.T1.8.8.2.1.1.m1.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="A3.T1.8.8.2.1.1.m1.1.1.2.3.3" xref="A3.T1.8.8.2.1.1.m1.1.1.2.3.3.cmml"><mi id="A3.T1.8.8.2.1.1.m1.1.1.2.3.3.2" xref="A3.T1.8.8.2.1.1.m1.1.1.2.3.3.2.cmml">z</mi><mn id="A3.T1.8.8.2.1.1.m1.1.1.2.3.3.3" xref="A3.T1.8.8.2.1.1.m1.1.1.2.3.3.3.cmml">2</mn></msup></mrow></mrow><mo id="A3.T1.8.8.2.1.1.m1.1.1.1" 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alttext="-z+4z^{3}" class="ltx_Math" display="inline" id="A3.T1.9.9.3.1.1.m1.1"><semantics id="A3.T1.9.9.3.1.1.m1.1a"><mrow id="A3.T1.9.9.3.1.1.m1.1.1" xref="A3.T1.9.9.3.1.1.m1.1.1.cmml"><mrow id="A3.T1.9.9.3.1.1.m1.1.1.2" xref="A3.T1.9.9.3.1.1.m1.1.1.2.cmml"><mo id="A3.T1.9.9.3.1.1.m1.1.1.2a" xref="A3.T1.9.9.3.1.1.m1.1.1.2.cmml">−</mo><mi id="A3.T1.9.9.3.1.1.m1.1.1.2.2" xref="A3.T1.9.9.3.1.1.m1.1.1.2.2.cmml">z</mi></mrow><mo id="A3.T1.9.9.3.1.1.m1.1.1.1" xref="A3.T1.9.9.3.1.1.m1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="A3.T1.9.9.3.1.1.m1.1.1.3" xref="A3.T1.9.9.3.1.1.m1.1.1.3.cmml"><mn id="A3.T1.9.9.3.1.1.m1.1.1.3.2" xref="A3.T1.9.9.3.1.1.m1.1.1.3.2.cmml">4</mn><mo id="A3.T1.9.9.3.1.1.m1.1.1.3.1" xref="A3.T1.9.9.3.1.1.m1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="A3.T1.9.9.3.1.1.m1.1.1.3.3" xref="A3.T1.9.9.3.1.1.m1.1.1.3.3.cmml"><mi id="A3.T1.9.9.3.1.1.m1.1.1.3.3.2" xref="A3.T1.9.9.3.1.1.m1.1.1.3.3.2.cmml">z</mi><mn id="A3.T1.9.9.3.1.1.m1.1.1.3.3.3" 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xref="A3.T1.10.10.4.1.1.m1.1.1.2.3.3">2</cn></apply></apply><apply id="A3.T1.10.10.4.1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="A3.T1.10.10.4.1.1.m1.1.1.3"><times id="A3.T1.10.10.4.1.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="A3.T1.10.10.4.1.1.m1.1.1.3.1"></times><cn id="A3.T1.10.10.4.1.1.m1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="A3.T1.10.10.4.1.1.m1.1.1.3.2">3</cn><apply id="A3.T1.10.10.4.1.1.m1.1.1.3.3.cmml" xref="A3.T1.10.10.4.1.1.m1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.T1.10.10.4.1.1.m1.1.1.3.3.1.cmml" xref="A3.T1.10.10.4.1.1.m1.1.1.3.3">superscript</csymbol><ci id="A3.T1.10.10.4.1.1.m1.1.1.3.3.2.cmml" xref="A3.T1.10.10.4.1.1.m1.1.1.3.3.2">𝑧</ci><cn id="A3.T1.10.10.4.1.1.m1.1.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="A3.T1.10.10.4.1.1.m1.1.1.3.3.3">4</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A3.T1.10.10.4.1.1.m1.1c">2z^{2}-3z^{4}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A3.T1.10.10.4.1.1.m1.1d">2 italic_z start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT - 3 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xref="A3.T1.12.12.6.1.1.m1.1.1.2.3.2.cmml">z</mi><mn id="A3.T1.12.12.6.1.1.m1.1.1.2.3.3" xref="A3.T1.12.12.6.1.1.m1.1.1.2.3.3.cmml">3</mn></msup></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A3.T1.12.12.6.1.1.m1.1b"><apply id="A3.T1.12.12.6.1.1.m1.1.1.cmml" xref="A3.T1.12.12.6.1.1.m1.1.1"><minus id="A3.T1.12.12.6.1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="A3.T1.12.12.6.1.1.m1.1.1"></minus><apply id="A3.T1.12.12.6.1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="A3.T1.12.12.6.1.1.m1.1.1.2"><times id="A3.T1.12.12.6.1.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="A3.T1.12.12.6.1.1.m1.1.1.2.1"></times><cn id="A3.T1.12.12.6.1.1.m1.1.1.2.2.cmml" type="integer" xref="A3.T1.12.12.6.1.1.m1.1.1.2.2">5</cn><apply id="A3.T1.12.12.6.1.1.m1.1.1.2.3.cmml" xref="A3.T1.12.12.6.1.1.m1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.T1.12.12.6.1.1.m1.1.1.2.3.1.cmml" xref="A3.T1.12.12.6.1.1.m1.1.1.2.3">superscript</csymbol><ci id="A3.T1.12.12.6.1.1.m1.1.1.2.3.2.cmml" xref="A3.T1.12.12.6.1.1.m1.1.1.2.3.2">𝑧</ci><cn id="A3.T1.12.12.6.1.1.m1.1.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="A3.T1.12.12.6.1.1.m1.1.1.2.3.3">3</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A3.T1.12.12.6.1.1.m1.1c">-5z^{3}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A3.T1.12.12.6.1.1.m1.1d">- 5 italic_z start_POSTSUPERSCRIPT 3 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math></span> </span> </td> <td class="ltx_td ltx_align_top ltx_border_r ltx_border_t" id="A3.T1.12.12.7"></td> <td class="ltx_td ltx_align_top ltx_border_r ltx_border_t" id="A3.T1.12.12.8"></td> </tr> <tr class="ltx_tr" id="A3.T1.13.13"> <th class="ltx_td ltx_align_center ltx_th ltx_th_row ltx_border_l ltx_border_rr ltx_border_tt" id="A3.T1.13.13.1"><math alttext="c,t=5" class="ltx_Math" display="inline" id="A3.T1.13.13.1.m1.2"><semantics id="A3.T1.13.13.1.m1.2a"><mrow id="A3.T1.13.13.1.m1.2.3" xref="A3.T1.13.13.1.m1.2.3.cmml"><mrow id="A3.T1.13.13.1.m1.2.3.2.2" xref="A3.T1.13.13.1.m1.2.3.2.1.cmml"><mi id="A3.T1.13.13.1.m1.1.1" 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encoding="application/x-llamapun" id="A3.T1.13.13.1.m1.2d">italic_c , italic_t = 5</annotation></semantics></math></th> <td class="ltx_td ltx_align_justify ltx_align_top ltx_border_r ltx_border_tt" id="A3.T1.13.13.2"> <span class="ltx_inline-block ltx_align_top" id="A3.T1.13.13.2.1"> <span class="ltx_p" id="A3.T1.13.13.2.1.1" style="width:71.1pt;">11111</span> </span> </td> <td class="ltx_td ltx_align_justify ltx_align_top ltx_border_r ltx_border_tt" id="A3.T1.13.13.3"> <span class="ltx_inline-block ltx_align_top" id="A3.T1.13.13.3.1"> <span class="ltx_p" id="A3.T1.13.13.3.1.1" style="width:62.6pt;">2111</span> </span> </td> <td class="ltx_td ltx_align_justify ltx_align_top ltx_border_r ltx_border_tt" id="A3.T1.13.13.4"> <span class="ltx_inline-block ltx_align_top" id="A3.T1.13.13.4.1"> <span class="ltx_p" id="A3.T1.13.13.4.1.1" style="width:62.6pt;">311</span> </span> </td> <td class="ltx_td ltx_align_justify ltx_align_top ltx_border_r ltx_border_tt" id="A3.T1.13.13.5"> <span class="ltx_inline-block ltx_align_top" id="A3.T1.13.13.5.1"> <span class="ltx_p" id="A3.T1.13.13.5.1.1" style="width:62.6pt;">221</span> </span> </td> <td class="ltx_td ltx_align_justify ltx_align_top ltx_border_r ltx_border_tt" id="A3.T1.13.13.6"> <span class="ltx_inline-block ltx_align_top" id="A3.T1.13.13.6.1"> <span class="ltx_p" id="A3.T1.13.13.6.1.1" style="width:62.6pt;">41</span> </span> </td> <td class="ltx_td ltx_align_justify ltx_align_top ltx_border_r ltx_border_tt" id="A3.T1.13.13.7"> <span class="ltx_inline-block ltx_align_top" id="A3.T1.13.13.7.1"> <span class="ltx_p" id="A3.T1.13.13.7.1.1" style="width:62.6pt;">32</span> </span> </td> <td class="ltx_td ltx_align_justify ltx_align_top ltx_border_r ltx_border_tt" id="A3.T1.13.13.8"> <span class="ltx_inline-block ltx_align_top" id="A3.T1.13.13.8.1"> <span class="ltx_p" id="A3.T1.13.13.8.1.1" style="width:62.6pt;">5</span> </span> </td> </tr> <tr class="ltx_tr" id="A3.T1.21.21"> <th class="ltx_td ltx_align_center ltx_th ltx_th_row ltx_border_l ltx_border_rr ltx_border_t" id="A3.T1.14.14.1"><math alttext="g_{c}(z)" class="ltx_Math" display="inline" id="A3.T1.14.14.1.m1.1"><semantics id="A3.T1.14.14.1.m1.1a"><mrow id="A3.T1.14.14.1.m1.1.2" xref="A3.T1.14.14.1.m1.1.2.cmml"><msub id="A3.T1.14.14.1.m1.1.2.2" xref="A3.T1.14.14.1.m1.1.2.2.cmml"><mi id="A3.T1.14.14.1.m1.1.2.2.2" xref="A3.T1.14.14.1.m1.1.2.2.2.cmml">g</mi><mi id="A3.T1.14.14.1.m1.1.2.2.3" xref="A3.T1.14.14.1.m1.1.2.2.3.cmml">c</mi></msub><mo id="A3.T1.14.14.1.m1.1.2.1" xref="A3.T1.14.14.1.m1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A3.T1.14.14.1.m1.1.2.3.2" xref="A3.T1.14.14.1.m1.1.2.cmml"><mo id="A3.T1.14.14.1.m1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="A3.T1.14.14.1.m1.1.2.cmml">(</mo><mi id="A3.T1.14.14.1.m1.1.1" xref="A3.T1.14.14.1.m1.1.1.cmml">z</mi><mo id="A3.T1.14.14.1.m1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="A3.T1.14.14.1.m1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A3.T1.14.14.1.m1.1b"><apply id="A3.T1.14.14.1.m1.1.2.cmml" xref="A3.T1.14.14.1.m1.1.2"><times id="A3.T1.14.14.1.m1.1.2.1.cmml" xref="A3.T1.14.14.1.m1.1.2.1"></times><apply id="A3.T1.14.14.1.m1.1.2.2.cmml" xref="A3.T1.14.14.1.m1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.T1.14.14.1.m1.1.2.2.1.cmml" xref="A3.T1.14.14.1.m1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="A3.T1.14.14.1.m1.1.2.2.2.cmml" xref="A3.T1.14.14.1.m1.1.2.2.2">𝑔</ci><ci id="A3.T1.14.14.1.m1.1.2.2.3.cmml" xref="A3.T1.14.14.1.m1.1.2.2.3">𝑐</ci></apply><ci id="A3.T1.14.14.1.m1.1.1.cmml" xref="A3.T1.14.14.1.m1.1.1">𝑧</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A3.T1.14.14.1.m1.1c">g_{c}(z)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A3.T1.14.14.1.m1.1d">italic_g start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT ( italic_z )</annotation></semantics></math></th> <td class="ltx_td ltx_align_justify ltx_align_top ltx_border_r ltx_border_t" id="A3.T1.15.15.2"> <span class="ltx_inline-block ltx_align_top" id="A3.T1.15.15.2.1"> <span class="ltx_p" id="A3.T1.15.15.2.1.1" style="width:71.1pt;"><math alttext="1-20z^{2}+78z^{4}" class="ltx_Math" display="inline" id="A3.T1.15.15.2.1.1.m1.1"><semantics id="A3.T1.15.15.2.1.1.m1.1a"><mrow id="A3.T1.15.15.2.1.1.m1.1.1" xref="A3.T1.15.15.2.1.1.m1.1.1.cmml"><mrow id="A3.T1.15.15.2.1.1.m1.1.1.2" xref="A3.T1.15.15.2.1.1.m1.1.1.2.cmml"><mn id="A3.T1.15.15.2.1.1.m1.1.1.2.2" xref="A3.T1.15.15.2.1.1.m1.1.1.2.2.cmml">1</mn><mo id="A3.T1.15.15.2.1.1.m1.1.1.2.1" xref="A3.T1.15.15.2.1.1.m1.1.1.2.1.cmml">−</mo><mrow id="A3.T1.15.15.2.1.1.m1.1.1.2.3" xref="A3.T1.15.15.2.1.1.m1.1.1.2.3.cmml"><mn id="A3.T1.15.15.2.1.1.m1.1.1.2.3.2" xref="A3.T1.15.15.2.1.1.m1.1.1.2.3.2.cmml">20</mn><mo id="A3.T1.15.15.2.1.1.m1.1.1.2.3.1" xref="A3.T1.15.15.2.1.1.m1.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="A3.T1.15.15.2.1.1.m1.1.1.2.3.3" xref="A3.T1.15.15.2.1.1.m1.1.1.2.3.3.cmml"><mi id="A3.T1.15.15.2.1.1.m1.1.1.2.3.3.2" xref="A3.T1.15.15.2.1.1.m1.1.1.2.3.3.2.cmml">z</mi><mn id="A3.T1.15.15.2.1.1.m1.1.1.2.3.3.3" xref="A3.T1.15.15.2.1.1.m1.1.1.2.3.3.3.cmml">2</mn></msup></mrow></mrow><mo id="A3.T1.15.15.2.1.1.m1.1.1.1" xref="A3.T1.15.15.2.1.1.m1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="A3.T1.15.15.2.1.1.m1.1.1.3" xref="A3.T1.15.15.2.1.1.m1.1.1.3.cmml"><mn id="A3.T1.15.15.2.1.1.m1.1.1.3.2" xref="A3.T1.15.15.2.1.1.m1.1.1.3.2.cmml">78</mn><mo id="A3.T1.15.15.2.1.1.m1.1.1.3.1" xref="A3.T1.15.15.2.1.1.m1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="A3.T1.15.15.2.1.1.m1.1.1.3.3" xref="A3.T1.15.15.2.1.1.m1.1.1.3.3.cmml"><mi id="A3.T1.15.15.2.1.1.m1.1.1.3.3.2" xref="A3.T1.15.15.2.1.1.m1.1.1.3.3.2.cmml">z</mi><mn id="A3.T1.15.15.2.1.1.m1.1.1.3.3.3" xref="A3.T1.15.15.2.1.1.m1.1.1.3.3.3.cmml">4</mn></msup></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A3.T1.15.15.2.1.1.m1.1b"><apply id="A3.T1.15.15.2.1.1.m1.1.1.cmml" xref="A3.T1.15.15.2.1.1.m1.1.1"><plus id="A3.T1.15.15.2.1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="A3.T1.15.15.2.1.1.m1.1.1.1"></plus><apply id="A3.T1.15.15.2.1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="A3.T1.15.15.2.1.1.m1.1.1.2"><minus id="A3.T1.15.15.2.1.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="A3.T1.15.15.2.1.1.m1.1.1.2.1"></minus><cn id="A3.T1.15.15.2.1.1.m1.1.1.2.2.cmml" type="integer" xref="A3.T1.15.15.2.1.1.m1.1.1.2.2">1</cn><apply id="A3.T1.15.15.2.1.1.m1.1.1.2.3.cmml" xref="A3.T1.15.15.2.1.1.m1.1.1.2.3"><times id="A3.T1.15.15.2.1.1.m1.1.1.2.3.1.cmml" xref="A3.T1.15.15.2.1.1.m1.1.1.2.3.1"></times><cn id="A3.T1.15.15.2.1.1.m1.1.1.2.3.2.cmml" type="integer" xref="A3.T1.15.15.2.1.1.m1.1.1.2.3.2">20</cn><apply id="A3.T1.15.15.2.1.1.m1.1.1.2.3.3.cmml" xref="A3.T1.15.15.2.1.1.m1.1.1.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.T1.15.15.2.1.1.m1.1.1.2.3.3.1.cmml" xref="A3.T1.15.15.2.1.1.m1.1.1.2.3.3">superscript</csymbol><ci id="A3.T1.15.15.2.1.1.m1.1.1.2.3.3.2.cmml" xref="A3.T1.15.15.2.1.1.m1.1.1.2.3.3.2">𝑧</ci><cn id="A3.T1.15.15.2.1.1.m1.1.1.2.3.3.3.cmml" type="integer" xref="A3.T1.15.15.2.1.1.m1.1.1.2.3.3.3">2</cn></apply></apply></apply><apply id="A3.T1.15.15.2.1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="A3.T1.15.15.2.1.1.m1.1.1.3"><times id="A3.T1.15.15.2.1.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="A3.T1.15.15.2.1.1.m1.1.1.3.1"></times><cn id="A3.T1.15.15.2.1.1.m1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="A3.T1.15.15.2.1.1.m1.1.1.3.2">78</cn><apply id="A3.T1.15.15.2.1.1.m1.1.1.3.3.cmml" xref="A3.T1.15.15.2.1.1.m1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.T1.15.15.2.1.1.m1.1.1.3.3.1.cmml" xref="A3.T1.15.15.2.1.1.m1.1.1.3.3">superscript</csymbol><ci id="A3.T1.15.15.2.1.1.m1.1.1.3.3.2.cmml" xref="A3.T1.15.15.2.1.1.m1.1.1.3.3.2">𝑧</ci><cn id="A3.T1.15.15.2.1.1.m1.1.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="A3.T1.15.15.2.1.1.m1.1.1.3.3.3">4</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A3.T1.15.15.2.1.1.m1.1c">1-20z^{2}+78z^{4}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A3.T1.15.15.2.1.1.m1.1d">1 - 20 italic_z start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + 78 italic_z start_POSTSUPERSCRIPT 4 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math></span> </span> </td> <td class="ltx_td ltx_align_justify ltx_align_top ltx_border_r ltx_border_t" id="A3.T1.16.16.3"> <span class="ltx_inline-block ltx_align_top" id="A3.T1.16.16.3.1"> <span class="ltx_p" id="A3.T1.16.16.3.1.1" style="width:62.6pt;"><math alttext="-z+14z^{3}-42z^{5}" class="ltx_Math" display="inline" id="A3.T1.16.16.3.1.1.m1.1"><semantics id="A3.T1.16.16.3.1.1.m1.1a"><mrow id="A3.T1.16.16.3.1.1.m1.1.1" xref="A3.T1.16.16.3.1.1.m1.1.1.cmml"><mrow id="A3.T1.16.16.3.1.1.m1.1.1.2" xref="A3.T1.16.16.3.1.1.m1.1.1.2.cmml"><mrow id="A3.T1.16.16.3.1.1.m1.1.1.2.2" xref="A3.T1.16.16.3.1.1.m1.1.1.2.2.cmml"><mo id="A3.T1.16.16.3.1.1.m1.1.1.2.2a" xref="A3.T1.16.16.3.1.1.m1.1.1.2.2.cmml">−</mo><mi id="A3.T1.16.16.3.1.1.m1.1.1.2.2.2" xref="A3.T1.16.16.3.1.1.m1.1.1.2.2.2.cmml">z</mi></mrow><mo id="A3.T1.16.16.3.1.1.m1.1.1.2.1" xref="A3.T1.16.16.3.1.1.m1.1.1.2.1.cmml">+</mo><mrow id="A3.T1.16.16.3.1.1.m1.1.1.2.3" xref="A3.T1.16.16.3.1.1.m1.1.1.2.3.cmml"><mn id="A3.T1.16.16.3.1.1.m1.1.1.2.3.2" xref="A3.T1.16.16.3.1.1.m1.1.1.2.3.2.cmml">14</mn><mo id="A3.T1.16.16.3.1.1.m1.1.1.2.3.1" xref="A3.T1.16.16.3.1.1.m1.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="A3.T1.16.16.3.1.1.m1.1.1.2.3.3" xref="A3.T1.16.16.3.1.1.m1.1.1.2.3.3.cmml"><mi id="A3.T1.16.16.3.1.1.m1.1.1.2.3.3.2" xref="A3.T1.16.16.3.1.1.m1.1.1.2.3.3.2.cmml">z</mi><mn id="A3.T1.16.16.3.1.1.m1.1.1.2.3.3.3" xref="A3.T1.16.16.3.1.1.m1.1.1.2.3.3.3.cmml">3</mn></msup></mrow></mrow><mo id="A3.T1.16.16.3.1.1.m1.1.1.1" xref="A3.T1.16.16.3.1.1.m1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="A3.T1.16.16.3.1.1.m1.1.1.3" xref="A3.T1.16.16.3.1.1.m1.1.1.3.cmml"><mn id="A3.T1.16.16.3.1.1.m1.1.1.3.2" xref="A3.T1.16.16.3.1.1.m1.1.1.3.2.cmml">42</mn><mo id="A3.T1.16.16.3.1.1.m1.1.1.3.1" xref="A3.T1.16.16.3.1.1.m1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="A3.T1.16.16.3.1.1.m1.1.1.3.3" xref="A3.T1.16.16.3.1.1.m1.1.1.3.3.cmml"><mi id="A3.T1.16.16.3.1.1.m1.1.1.3.3.2" xref="A3.T1.16.16.3.1.1.m1.1.1.3.3.2.cmml">z</mi><mn id="A3.T1.16.16.3.1.1.m1.1.1.3.3.3" xref="A3.T1.16.16.3.1.1.m1.1.1.3.3.3.cmml">5</mn></msup></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A3.T1.16.16.3.1.1.m1.1b"><apply id="A3.T1.16.16.3.1.1.m1.1.1.cmml" xref="A3.T1.16.16.3.1.1.m1.1.1"><minus id="A3.T1.16.16.3.1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="A3.T1.16.16.3.1.1.m1.1.1.1"></minus><apply id="A3.T1.16.16.3.1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="A3.T1.16.16.3.1.1.m1.1.1.2"><plus id="A3.T1.16.16.3.1.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="A3.T1.16.16.3.1.1.m1.1.1.2.1"></plus><apply id="A3.T1.16.16.3.1.1.m1.1.1.2.2.cmml" xref="A3.T1.16.16.3.1.1.m1.1.1.2.2"><minus id="A3.T1.16.16.3.1.1.m1.1.1.2.2.1.cmml" xref="A3.T1.16.16.3.1.1.m1.1.1.2.2"></minus><ci id="A3.T1.16.16.3.1.1.m1.1.1.2.2.2.cmml" xref="A3.T1.16.16.3.1.1.m1.1.1.2.2.2">𝑧</ci></apply><apply id="A3.T1.16.16.3.1.1.m1.1.1.2.3.cmml" xref="A3.T1.16.16.3.1.1.m1.1.1.2.3"><times id="A3.T1.16.16.3.1.1.m1.1.1.2.3.1.cmml" xref="A3.T1.16.16.3.1.1.m1.1.1.2.3.1"></times><cn id="A3.T1.16.16.3.1.1.m1.1.1.2.3.2.cmml" type="integer" xref="A3.T1.16.16.3.1.1.m1.1.1.2.3.2">14</cn><apply id="A3.T1.16.16.3.1.1.m1.1.1.2.3.3.cmml" xref="A3.T1.16.16.3.1.1.m1.1.1.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.T1.16.16.3.1.1.m1.1.1.2.3.3.1.cmml" xref="A3.T1.16.16.3.1.1.m1.1.1.2.3.3">superscript</csymbol><ci id="A3.T1.16.16.3.1.1.m1.1.1.2.3.3.2.cmml" xref="A3.T1.16.16.3.1.1.m1.1.1.2.3.3.2">𝑧</ci><cn id="A3.T1.16.16.3.1.1.m1.1.1.2.3.3.3.cmml" type="integer" xref="A3.T1.16.16.3.1.1.m1.1.1.2.3.3.3">3</cn></apply></apply></apply><apply id="A3.T1.16.16.3.1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="A3.T1.16.16.3.1.1.m1.1.1.3"><times id="A3.T1.16.16.3.1.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="A3.T1.16.16.3.1.1.m1.1.1.3.1"></times><cn id="A3.T1.16.16.3.1.1.m1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="A3.T1.16.16.3.1.1.m1.1.1.3.2">42</cn><apply id="A3.T1.16.16.3.1.1.m1.1.1.3.3.cmml" xref="A3.T1.16.16.3.1.1.m1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.T1.16.16.3.1.1.m1.1.1.3.3.1.cmml" xref="A3.T1.16.16.3.1.1.m1.1.1.3.3">superscript</csymbol><ci id="A3.T1.16.16.3.1.1.m1.1.1.3.3.2.cmml" xref="A3.T1.16.16.3.1.1.m1.1.1.3.3.2">𝑧</ci><cn id="A3.T1.16.16.3.1.1.m1.1.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="A3.T1.16.16.3.1.1.m1.1.1.3.3.3">5</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A3.T1.16.16.3.1.1.m1.1c">-z+14z^{3}-42z^{5}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A3.T1.16.16.3.1.1.m1.1d">- italic_z + 14 italic_z start_POSTSUPERSCRIPT 3 end_POSTSUPERSCRIPT - 42 italic_z start_POSTSUPERSCRIPT 5 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math></span> </span> </td> <td class="ltx_td ltx_align_justify ltx_align_top ltx_border_r ltx_border_t" id="A3.T1.17.17.4"> <span class="ltx_inline-block ltx_align_top" id="A3.T1.17.17.4.1"> <span class="ltx_p" id="A3.T1.17.17.4.1.1" style="width:62.6pt;"><math alttext="2z^{2}-18z^{4}" class="ltx_Math" display="inline" id="A3.T1.17.17.4.1.1.m1.1"><semantics id="A3.T1.17.17.4.1.1.m1.1a"><mrow id="A3.T1.17.17.4.1.1.m1.1.1" xref="A3.T1.17.17.4.1.1.m1.1.1.cmml"><mrow 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xref="A3.T1.17.17.4.1.1.m1.1.1.3.3.2.cmml">z</mi><mn id="A3.T1.17.17.4.1.1.m1.1.1.3.3.3" xref="A3.T1.17.17.4.1.1.m1.1.1.3.3.3.cmml">4</mn></msup></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A3.T1.17.17.4.1.1.m1.1b"><apply id="A3.T1.17.17.4.1.1.m1.1.1.cmml" xref="A3.T1.17.17.4.1.1.m1.1.1"><minus id="A3.T1.17.17.4.1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="A3.T1.17.17.4.1.1.m1.1.1.1"></minus><apply id="A3.T1.17.17.4.1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="A3.T1.17.17.4.1.1.m1.1.1.2"><times id="A3.T1.17.17.4.1.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="A3.T1.17.17.4.1.1.m1.1.1.2.1"></times><cn id="A3.T1.17.17.4.1.1.m1.1.1.2.2.cmml" type="integer" xref="A3.T1.17.17.4.1.1.m1.1.1.2.2">2</cn><apply id="A3.T1.17.17.4.1.1.m1.1.1.2.3.cmml" xref="A3.T1.17.17.4.1.1.m1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.T1.17.17.4.1.1.m1.1.1.2.3.1.cmml" xref="A3.T1.17.17.4.1.1.m1.1.1.2.3">superscript</csymbol><ci id="A3.T1.17.17.4.1.1.m1.1.1.2.3.2.cmml" xref="A3.T1.17.17.4.1.1.m1.1.1.2.3.2">𝑧</ci><cn id="A3.T1.17.17.4.1.1.m1.1.1.2.3.3.cmml" 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id="A3.T1.18.18.5.1.1.m1.1.1.3.2" xref="A3.T1.18.18.5.1.1.m1.1.1.3.2.cmml">2</mn><mo id="A3.T1.18.18.5.1.1.m1.1.1.3.1" xref="A3.T1.18.18.5.1.1.m1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="A3.T1.18.18.5.1.1.m1.1.1.3.3" xref="A3.T1.18.18.5.1.1.m1.1.1.3.3.cmml"><mi id="A3.T1.18.18.5.1.1.m1.1.1.3.3.2" xref="A3.T1.18.18.5.1.1.m1.1.1.3.3.2.cmml">z</mi><mn id="A3.T1.18.18.5.1.1.m1.1.1.3.3.3" xref="A3.T1.18.18.5.1.1.m1.1.1.3.3.3.cmml">4</mn></msup></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A3.T1.18.18.5.1.1.m1.1b"><apply id="A3.T1.18.18.5.1.1.m1.1.1.cmml" xref="A3.T1.18.18.5.1.1.m1.1.1"><minus id="A3.T1.18.18.5.1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="A3.T1.18.18.5.1.1.m1.1.1.1"></minus><apply id="A3.T1.18.18.5.1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="A3.T1.18.18.5.1.1.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.T1.18.18.5.1.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="A3.T1.18.18.5.1.1.m1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="A3.T1.18.18.5.1.1.m1.1.1.2.2.cmml" xref="A3.T1.18.18.5.1.1.m1.1.1.2.2">𝑧</ci><cn id="A3.T1.18.18.5.1.1.m1.1.1.2.3.cmml" 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</tr> <tr class="ltx_tr" id="A3.T1.22.22"> <th class="ltx_td ltx_align_center ltx_th ltx_th_row ltx_border_l ltx_border_rr ltx_border_tt" id="A3.T1.22.22.1"><math alttext="c,t=6" class="ltx_Math" display="inline" id="A3.T1.22.22.1.m1.2"><semantics id="A3.T1.22.22.1.m1.2a"><mrow id="A3.T1.22.22.1.m1.2.3" xref="A3.T1.22.22.1.m1.2.3.cmml"><mrow id="A3.T1.22.22.1.m1.2.3.2.2" xref="A3.T1.22.22.1.m1.2.3.2.1.cmml"><mi id="A3.T1.22.22.1.m1.1.1" xref="A3.T1.22.22.1.m1.1.1.cmml">c</mi><mo id="A3.T1.22.22.1.m1.2.3.2.2.1" xref="A3.T1.22.22.1.m1.2.3.2.1.cmml">,</mo><mi id="A3.T1.22.22.1.m1.2.2" xref="A3.T1.22.22.1.m1.2.2.cmml">t</mi></mrow><mo id="A3.T1.22.22.1.m1.2.3.1" xref="A3.T1.22.22.1.m1.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="A3.T1.22.22.1.m1.2.3.3" xref="A3.T1.22.22.1.m1.2.3.3.cmml">6</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A3.T1.22.22.1.m1.2b"><apply id="A3.T1.22.22.1.m1.2.3.cmml" xref="A3.T1.22.22.1.m1.2.3"><eq id="A3.T1.22.22.1.m1.2.3.1.cmml" xref="A3.T1.22.22.1.m1.2.3.1"></eq><list id="A3.T1.22.22.1.m1.2.3.2.1.cmml" xref="A3.T1.22.22.1.m1.2.3.2.2"><ci id="A3.T1.22.22.1.m1.1.1.cmml" xref="A3.T1.22.22.1.m1.1.1">𝑐</ci><ci id="A3.T1.22.22.1.m1.2.2.cmml" xref="A3.T1.22.22.1.m1.2.2">𝑡</ci></list><cn id="A3.T1.22.22.1.m1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="A3.T1.22.22.1.m1.2.3.3">6</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A3.T1.22.22.1.m1.2c">c,t=6</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A3.T1.22.22.1.m1.2d">italic_c , italic_t = 6</annotation></semantics></math></th> <td class="ltx_td ltx_align_justify ltx_align_top ltx_border_r ltx_border_tt" id="A3.T1.22.22.2"> <span class="ltx_inline-block ltx_align_top" id="A3.T1.22.22.2.1"> <span class="ltx_p" id="A3.T1.22.22.2.1.1" style="width:71.1pt;">111111</span> </span> </td> <td class="ltx_td ltx_align_justify ltx_align_top ltx_border_r ltx_border_tt" id="A3.T1.22.22.3"> <span class="ltx_inline-block ltx_align_top" id="A3.T1.22.22.3.1"> <span class="ltx_p" id="A3.T1.22.22.3.1.1" style="width:62.6pt;">21111</span> </span> </td> <td class="ltx_td ltx_align_justify ltx_align_top ltx_border_r ltx_border_tt" id="A3.T1.22.22.4"> <span class="ltx_inline-block ltx_align_top" id="A3.T1.22.22.4.1"> <span class="ltx_p" id="A3.T1.22.22.4.1.1" style="width:62.6pt;">3111</span> </span> </td> <td class="ltx_td ltx_align_justify ltx_align_top ltx_border_r ltx_border_tt" id="A3.T1.22.22.5"> <span class="ltx_inline-block ltx_align_top" id="A3.T1.22.22.5.1"> <span class="ltx_p" id="A3.T1.22.22.5.1.1" style="width:62.6pt;">2211</span> </span> </td> <td class="ltx_td ltx_align_justify ltx_align_top ltx_border_r ltx_border_tt" id="A3.T1.22.22.6"> <span class="ltx_inline-block ltx_align_top" id="A3.T1.22.22.6.1"> <span class="ltx_p" id="A3.T1.22.22.6.1.1" style="width:62.6pt;">411</span> </span> </td> <td class="ltx_td ltx_align_justify ltx_align_top ltx_border_r ltx_border_tt" id="A3.T1.22.22.7"> <span class="ltx_inline-block ltx_align_top" id="A3.T1.22.22.7.1"> <span class="ltx_p" id="A3.T1.22.22.7.1.1" style="width:62.6pt;">321</span> </span> </td> <td class="ltx_td ltx_align_justify ltx_align_top ltx_border_r ltx_border_tt" id="A3.T1.22.22.8"> <span class="ltx_inline-block ltx_align_top" id="A3.T1.22.22.8.1"> <span class="ltx_p" id="A3.T1.22.22.8.1.1" style="width:62.6pt;">51</span> </span> </td> </tr> <tr class="ltx_tr" id="A3.T1.30.30"> <th class="ltx_td ltx_align_center ltx_th ltx_th_row ltx_border_l ltx_border_rr ltx_border_t" id="A3.T1.23.23.1"><math alttext="g_{c}(z)" class="ltx_Math" display="inline" id="A3.T1.23.23.1.m1.1"><semantics id="A3.T1.23.23.1.m1.1a"><mrow id="A3.T1.23.23.1.m1.1.2" xref="A3.T1.23.23.1.m1.1.2.cmml"><msub id="A3.T1.23.23.1.m1.1.2.2" xref="A3.T1.23.23.1.m1.1.2.2.cmml"><mi id="A3.T1.23.23.1.m1.1.2.2.2" xref="A3.T1.23.23.1.m1.1.2.2.2.cmml">g</mi><mi id="A3.T1.23.23.1.m1.1.2.2.3" xref="A3.T1.23.23.1.m1.1.2.2.3.cmml">c</mi></msub><mo id="A3.T1.23.23.1.m1.1.2.1" 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xref="A3.T1.24.24.2.1.1.m1.1.1.2.2.2.cmml"><mn id="A3.T1.24.24.2.1.1.m1.1.1.2.2.2.2" xref="A3.T1.24.24.2.1.1.m1.1.1.2.2.2.2.cmml">1</mn><mo id="A3.T1.24.24.2.1.1.m1.1.1.2.2.2.1" xref="A3.T1.24.24.2.1.1.m1.1.1.2.2.2.1.cmml">−</mo><mrow id="A3.T1.24.24.2.1.1.m1.1.1.2.2.2.3" xref="A3.T1.24.24.2.1.1.m1.1.1.2.2.2.3.cmml"><mn id="A3.T1.24.24.2.1.1.m1.1.1.2.2.2.3.2" xref="A3.T1.24.24.2.1.1.m1.1.1.2.2.2.3.2.cmml">41</mn><mo id="A3.T1.24.24.2.1.1.m1.1.1.2.2.2.3.1" xref="A3.T1.24.24.2.1.1.m1.1.1.2.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="A3.T1.24.24.2.1.1.m1.1.1.2.2.2.3.3" xref="A3.T1.24.24.2.1.1.m1.1.1.2.2.2.3.3.cmml"><mi id="A3.T1.24.24.2.1.1.m1.1.1.2.2.2.3.3.2" xref="A3.T1.24.24.2.1.1.m1.1.1.2.2.2.3.3.2.cmml">z</mi><mn id="A3.T1.24.24.2.1.1.m1.1.1.2.2.2.3.3.3" xref="A3.T1.24.24.2.1.1.m1.1.1.2.2.2.3.3.3.cmml">2</mn></msup></mrow></mrow><mo id="A3.T1.24.24.2.1.1.m1.1.1.2.2.1" xref="A3.T1.24.24.2.1.1.m1.1.1.2.2.1.cmml">+</mo><mrow id="A3.T1.24.24.2.1.1.m1.1.1.2.2.3" xref="A3.T1.24.24.2.1.1.m1.1.1.2.2.3.cmml"><mn id="A3.T1.24.24.2.1.1.m1.1.1.2.2.3.2" xref="A3.T1.24.24.2.1.1.m1.1.1.2.2.3.2.cmml">458</mn><mo id="A3.T1.24.24.2.1.1.m1.1.1.2.2.3.1" xref="A3.T1.24.24.2.1.1.m1.1.1.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="A3.T1.24.24.2.1.1.m1.1.1.2.2.3.3" xref="A3.T1.24.24.2.1.1.m1.1.1.2.2.3.3.cmml"><mi id="A3.T1.24.24.2.1.1.m1.1.1.2.2.3.3.2" xref="A3.T1.24.24.2.1.1.m1.1.1.2.2.3.3.2.cmml">z</mi><mn id="A3.T1.24.24.2.1.1.m1.1.1.2.2.3.3.3" xref="A3.T1.24.24.2.1.1.m1.1.1.2.2.3.3.3.cmml">4</mn></msup></mrow></mrow><mo id="A3.T1.24.24.2.1.1.m1.1.1.2.1" xref="A3.T1.24.24.2.1.1.m1.1.1.2.1.cmml">−</mo><mrow id="A3.T1.24.24.2.1.1.m1.1.1.2.3" xref="A3.T1.24.24.2.1.1.m1.1.1.2.3.cmml"><mn id="A3.T1.24.24.2.1.1.m1.1.1.2.3.2" xref="A3.T1.24.24.2.1.1.m1.1.1.2.3.2.cmml">1258</mn><mo id="A3.T1.24.24.2.1.1.m1.1.1.2.3.1" xref="A3.T1.24.24.2.1.1.m1.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="A3.T1.24.24.2.1.1.m1.1.1.2.3.3" xref="A3.T1.24.24.2.1.1.m1.1.1.2.3.3.cmml"><mi 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class="ltx_inline-block ltx_align_top" id="A3.T1.35.36.1.5.1"> <span class="ltx_p" id="A3.T1.35.36.1.5.1.1" style="width:62.6pt;">6</span> </span> </td> <td class="ltx_td ltx_align_top ltx_border_r ltx_border_t" id="A3.T1.35.36.1.6"></td> <td class="ltx_td ltx_align_top ltx_border_r ltx_border_t" id="A3.T1.35.36.1.7"></td> <td class="ltx_td ltx_align_top ltx_border_r ltx_border_t" id="A3.T1.35.36.1.8"></td> </tr> <tr class="ltx_tr" id="A3.T1.35.35"> <th class="ltx_td ltx_align_center ltx_th ltx_th_row ltx_border_b ltx_border_l ltx_border_rr ltx_border_t" id="A3.T1.31.31.1"><math alttext="g_{c}(z)" class="ltx_Math" display="inline" id="A3.T1.31.31.1.m1.1"><semantics id="A3.T1.31.31.1.m1.1a"><mrow id="A3.T1.31.31.1.m1.1.2" xref="A3.T1.31.31.1.m1.1.2.cmml"><msub id="A3.T1.31.31.1.m1.1.2.2" xref="A3.T1.31.31.1.m1.1.2.2.cmml"><mi id="A3.T1.31.31.1.m1.1.2.2.2" xref="A3.T1.31.31.1.m1.1.2.2.2.cmml">g</mi><mi id="A3.T1.31.31.1.m1.1.2.2.3" xref="A3.T1.31.31.1.m1.1.2.2.3.cmml">c</mi></msub><mo 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class="ltx_inline-block ltx_align_top" id="A3.T1.34.34.4.1"> <span class="ltx_p" id="A3.T1.34.34.4.1.1" style="width:62.6pt;"><math alttext="4z^{4}+116z^{6}-360z^{8}" class="ltx_Math" display="inline" id="A3.T1.34.34.4.1.1.m1.1"><semantics id="A3.T1.34.34.4.1.1.m1.1a"><mrow id="A3.T1.34.34.4.1.1.m1.1.1" xref="A3.T1.34.34.4.1.1.m1.1.1.cmml"><mrow id="A3.T1.34.34.4.1.1.m1.1.1.2" xref="A3.T1.34.34.4.1.1.m1.1.1.2.cmml"><mrow id="A3.T1.34.34.4.1.1.m1.1.1.2.2" xref="A3.T1.34.34.4.1.1.m1.1.1.2.2.cmml"><mn id="A3.T1.34.34.4.1.1.m1.1.1.2.2.2" xref="A3.T1.34.34.4.1.1.m1.1.1.2.2.2.cmml">4</mn><mo id="A3.T1.34.34.4.1.1.m1.1.1.2.2.1" xref="A3.T1.34.34.4.1.1.m1.1.1.2.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="A3.T1.34.34.4.1.1.m1.1.1.2.2.3" xref="A3.T1.34.34.4.1.1.m1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="A3.T1.34.34.4.1.1.m1.1.1.2.2.3.2" xref="A3.T1.34.34.4.1.1.m1.1.1.2.2.3.2.cmml">z</mi><mn id="A3.T1.34.34.4.1.1.m1.1.1.2.2.3.3" xref="A3.T1.34.34.4.1.1.m1.1.1.2.2.3.3.cmml">4</mn></msup></mrow><mo id="A3.T1.34.34.4.1.1.m1.1.1.2.1" 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xref="A3.T1.34.34.4.1.1.m1.1.1.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.T1.34.34.4.1.1.m1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="A3.T1.34.34.4.1.1.m1.1.1.2.2.3">superscript</csymbol><ci id="A3.T1.34.34.4.1.1.m1.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="A3.T1.34.34.4.1.1.m1.1.1.2.2.3.2">𝑧</ci><cn id="A3.T1.34.34.4.1.1.m1.1.1.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="A3.T1.34.34.4.1.1.m1.1.1.2.2.3.3">4</cn></apply></apply><apply id="A3.T1.34.34.4.1.1.m1.1.1.2.3.cmml" xref="A3.T1.34.34.4.1.1.m1.1.1.2.3"><times id="A3.T1.34.34.4.1.1.m1.1.1.2.3.1.cmml" xref="A3.T1.34.34.4.1.1.m1.1.1.2.3.1"></times><cn id="A3.T1.34.34.4.1.1.m1.1.1.2.3.2.cmml" type="integer" xref="A3.T1.34.34.4.1.1.m1.1.1.2.3.2">116</cn><apply id="A3.T1.34.34.4.1.1.m1.1.1.2.3.3.cmml" xref="A3.T1.34.34.4.1.1.m1.1.1.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.T1.34.34.4.1.1.m1.1.1.2.3.3.1.cmml" xref="A3.T1.34.34.4.1.1.m1.1.1.2.3.3">superscript</csymbol><ci id="A3.T1.34.34.4.1.1.m1.1.1.2.3.3.2.cmml" xref="A3.T1.34.34.4.1.1.m1.1.1.2.3.3.2">𝑧</ci><cn id="A3.T1.34.34.4.1.1.m1.1.1.2.3.3.3.cmml" type="integer" xref="A3.T1.34.34.4.1.1.m1.1.1.2.3.3.3">6</cn></apply></apply></apply><apply id="A3.T1.34.34.4.1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="A3.T1.34.34.4.1.1.m1.1.1.3"><times id="A3.T1.34.34.4.1.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="A3.T1.34.34.4.1.1.m1.1.1.3.1"></times><cn id="A3.T1.34.34.4.1.1.m1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="A3.T1.34.34.4.1.1.m1.1.1.3.2">360</cn><apply id="A3.T1.34.34.4.1.1.m1.1.1.3.3.cmml" xref="A3.T1.34.34.4.1.1.m1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.T1.34.34.4.1.1.m1.1.1.3.3.1.cmml" xref="A3.T1.34.34.4.1.1.m1.1.1.3.3">superscript</csymbol><ci id="A3.T1.34.34.4.1.1.m1.1.1.3.3.2.cmml" xref="A3.T1.34.34.4.1.1.m1.1.1.3.3.2">𝑧</ci><cn id="A3.T1.34.34.4.1.1.m1.1.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="A3.T1.34.34.4.1.1.m1.1.1.3.3.3">8</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A3.T1.34.34.4.1.1.m1.1c">4z^{4}+116z^{6}-360z^{8}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A3.T1.34.34.4.1.1.m1.1d">4 italic_z start_POSTSUPERSCRIPT 4 end_POSTSUPERSCRIPT + 116 italic_z start_POSTSUPERSCRIPT 6 end_POSTSUPERSCRIPT - 360 italic_z start_POSTSUPERSCRIPT 8 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math></span> </span> </td> <td class="ltx_td ltx_align_justify ltx_align_top ltx_border_b ltx_border_r ltx_border_t" id="A3.T1.35.35.5"> <span class="ltx_inline-block ltx_align_top" id="A3.T1.35.35.5.1"> <span class="ltx_p" id="A3.T1.35.35.5.1.1" style="width:62.6pt;"><math alttext="42z^{5}" class="ltx_Math" display="inline" id="A3.T1.35.35.5.1.1.m1.1"><semantics id="A3.T1.35.35.5.1.1.m1.1a"><mrow id="A3.T1.35.35.5.1.1.m1.1.1" xref="A3.T1.35.35.5.1.1.m1.1.1.cmml"><mn id="A3.T1.35.35.5.1.1.m1.1.1.2" xref="A3.T1.35.35.5.1.1.m1.1.1.2.cmml">42</mn><mo id="A3.T1.35.35.5.1.1.m1.1.1.1" xref="A3.T1.35.35.5.1.1.m1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msup id="A3.T1.35.35.5.1.1.m1.1.1.3" xref="A3.T1.35.35.5.1.1.m1.1.1.3.cmml"><mi id="A3.T1.35.35.5.1.1.m1.1.1.3.2" 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encoding="application/x-llamapun" id="A3.T1.35.35.5.1.1.m1.1d">42 italic_z start_POSTSUPERSCRIPT 5 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math></span> </span> </td> <td class="ltx_td ltx_align_top ltx_border_b ltx_border_r ltx_border_t" id="A3.T1.35.35.6"></td> <td class="ltx_td ltx_align_top ltx_border_b ltx_border_r ltx_border_t" id="A3.T1.35.35.7"></td> <td class="ltx_td ltx_align_top ltx_border_b ltx_border_r ltx_border_t" id="A3.T1.35.35.8"></td> </tr> </tbody> </table> <figcaption class="ltx_caption"><span class="ltx_tag ltx_tag_table">Table 1: </span>Values of the Weingarten numerator <math alttext="g_{c}(z)" class="ltx_Math" display="inline" id="A3.T1.38.m1.1"><semantics id="A3.T1.38.m1.1b"><mrow id="A3.T1.38.m1.1.2" xref="A3.T1.38.m1.1.2.cmml"><msub id="A3.T1.38.m1.1.2.2" xref="A3.T1.38.m1.1.2.2.cmml"><mi id="A3.T1.38.m1.1.2.2.2" xref="A3.T1.38.m1.1.2.2.2.cmml">g</mi><mi id="A3.T1.38.m1.1.2.2.3" xref="A3.T1.38.m1.1.2.2.3.cmml">c</mi></msub><mo id="A3.T1.38.m1.1.2.1" xref="A3.T1.38.m1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A3.T1.38.m1.1.2.3.2" xref="A3.T1.38.m1.1.2.cmml"><mo id="A3.T1.38.m1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="A3.T1.38.m1.1.2.cmml">(</mo><mi id="A3.T1.38.m1.1.1" xref="A3.T1.38.m1.1.1.cmml">z</mi><mo id="A3.T1.38.m1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="A3.T1.38.m1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A3.T1.38.m1.1c"><apply id="A3.T1.38.m1.1.2.cmml" xref="A3.T1.38.m1.1.2"><times id="A3.T1.38.m1.1.2.1.cmml" xref="A3.T1.38.m1.1.2.1"></times><apply id="A3.T1.38.m1.1.2.2.cmml" xref="A3.T1.38.m1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.T1.38.m1.1.2.2.1.cmml" xref="A3.T1.38.m1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="A3.T1.38.m1.1.2.2.2.cmml" xref="A3.T1.38.m1.1.2.2.2">𝑔</ci><ci id="A3.T1.38.m1.1.2.2.3.cmml" xref="A3.T1.38.m1.1.2.2.3">𝑐</ci></apply><ci id="A3.T1.38.m1.1.1.cmml" xref="A3.T1.38.m1.1.1">𝑧</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A3.T1.38.m1.1d">g_{c}(z)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A3.T1.38.m1.1e">italic_g start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT ( italic_z )</annotation></semantics></math> for <math alttext="t\leq 6" class="ltx_Math" display="inline" id="A3.T1.39.m2.1"><semantics id="A3.T1.39.m2.1b"><mrow id="A3.T1.39.m2.1.1" xref="A3.T1.39.m2.1.1.cmml"><mi id="A3.T1.39.m2.1.1.2" xref="A3.T1.39.m2.1.1.2.cmml">t</mi><mo id="A3.T1.39.m2.1.1.1" xref="A3.T1.39.m2.1.1.1.cmml">≤</mo><mn id="A3.T1.39.m2.1.1.3" xref="A3.T1.39.m2.1.1.3.cmml">6</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A3.T1.39.m2.1c"><apply id="A3.T1.39.m2.1.1.cmml" xref="A3.T1.39.m2.1.1"><leq id="A3.T1.39.m2.1.1.1.cmml" xref="A3.T1.39.m2.1.1.1"></leq><ci id="A3.T1.39.m2.1.1.2.cmml" xref="A3.T1.39.m2.1.1.2">𝑡</ci><cn id="A3.T1.39.m2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A3.T1.39.m2.1.1.3">6</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A3.T1.39.m2.1d">t\leq 6</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A3.T1.39.m2.1e">italic_t ≤ 6</annotation></semantics></math>.</figcaption> </figure> <figure class="ltx_table" id="A3.T2"> <table class="ltx_tabular ltx_guessed_headers ltx_align_middle" id="A3.T2.13"> <thead class="ltx_thead"> <tr class="ltx_tr" id="A3.T2.3.3"> <th class="ltx_td ltx_align_center ltx_th ltx_th_column ltx_th_row ltx_border_l ltx_border_rr ltx_border_t" id="A3.T2.3.3.4">t</th> <th class="ltx_td ltx_align_center ltx_th ltx_th_column ltx_th_row ltx_border_rr ltx_border_t" id="A3.T2.1.1.1"><math alttext="f_{t}(t^{-2})" class="ltx_Math" display="inline" id="A3.T2.1.1.1.m1.1"><semantics id="A3.T2.1.1.1.m1.1a"><mrow id="A3.T2.1.1.1.m1.1.1" xref="A3.T2.1.1.1.m1.1.1.cmml"><msub id="A3.T2.1.1.1.m1.1.1.3" xref="A3.T2.1.1.1.m1.1.1.3.cmml"><mi id="A3.T2.1.1.1.m1.1.1.3.2" xref="A3.T2.1.1.1.m1.1.1.3.2.cmml">f</mi><mi id="A3.T2.1.1.1.m1.1.1.3.3" xref="A3.T2.1.1.1.m1.1.1.3.3.cmml">t</mi></msub><mo id="A3.T2.1.1.1.m1.1.1.2" xref="A3.T2.1.1.1.m1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A3.T2.1.1.1.m1.1.1.1.1" xref="A3.T2.1.1.1.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A3.T2.1.1.1.m1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A3.T2.1.1.1.m1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="A3.T2.1.1.1.m1.1.1.1.1.1" xref="A3.T2.1.1.1.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A3.T2.1.1.1.m1.1.1.1.1.1.2" xref="A3.T2.1.1.1.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">t</mi><mrow id="A3.T2.1.1.1.m1.1.1.1.1.1.3" xref="A3.T2.1.1.1.m1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="A3.T2.1.1.1.m1.1.1.1.1.1.3a" xref="A3.T2.1.1.1.m1.1.1.1.1.1.3.cmml">−</mo><mn id="A3.T2.1.1.1.m1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A3.T2.1.1.1.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">2</mn></mrow></msup><mo id="A3.T2.1.1.1.m1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A3.T2.1.1.1.m1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A3.T2.1.1.1.m1.1b"><apply id="A3.T2.1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="A3.T2.1.1.1.m1.1.1"><times id="A3.T2.1.1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="A3.T2.1.1.1.m1.1.1.2"></times><apply id="A3.T2.1.1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="A3.T2.1.1.1.m1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.T2.1.1.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="A3.T2.1.1.1.m1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A3.T2.1.1.1.m1.1.1.3.2.cmml" xref="A3.T2.1.1.1.m1.1.1.3.2">𝑓</ci><ci id="A3.T2.1.1.1.m1.1.1.3.3.cmml" xref="A3.T2.1.1.1.m1.1.1.3.3">𝑡</ci></apply><apply id="A3.T2.1.1.1.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A3.T2.1.1.1.m1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.T2.1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A3.T2.1.1.1.m1.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="A3.T2.1.1.1.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A3.T2.1.1.1.m1.1.1.1.1.1.2">𝑡</ci><apply id="A3.T2.1.1.1.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A3.T2.1.1.1.m1.1.1.1.1.1.3"><minus id="A3.T2.1.1.1.m1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A3.T2.1.1.1.m1.1.1.1.1.1.3"></minus><cn id="A3.T2.1.1.1.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="A3.T2.1.1.1.m1.1.1.1.1.1.3.2">2</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A3.T2.1.1.1.m1.1c">f_{t}(t^{-2})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A3.T2.1.1.1.m1.1d">italic_f start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t start_POSTSUPERSCRIPT - 2 end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math></th> <th class="ltx_td ltx_align_center ltx_th ltx_th_column ltx_border_r ltx_border_t" id="A3.T2.2.2.2"><math alttext="||H(t)||_{\mathfrak{D}}\leq" class="ltx_Math" display="inline" id="A3.T2.2.2.2.m1.2"><semantics id="A3.T2.2.2.2.m1.2a"><mrow id="A3.T2.2.2.2.m1.2.2" xref="A3.T2.2.2.2.m1.2.2.cmml"><msub id="A3.T2.2.2.2.m1.2.2.1" xref="A3.T2.2.2.2.m1.2.2.1.cmml"><mrow id="A3.T2.2.2.2.m1.2.2.1.1.1" xref="A3.T2.2.2.2.m1.2.2.1.1.2.cmml"><mo id="A3.T2.2.2.2.m1.2.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A3.T2.2.2.2.m1.2.2.1.1.2.1.cmml">‖</mo><mrow id="A3.T2.2.2.2.m1.2.2.1.1.1.1" xref="A3.T2.2.2.2.m1.2.2.1.1.1.1.cmml"><mi id="A3.T2.2.2.2.m1.2.2.1.1.1.1.2" xref="A3.T2.2.2.2.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml">H</mi><mo id="A3.T2.2.2.2.m1.2.2.1.1.1.1.1" xref="A3.T2.2.2.2.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A3.T2.2.2.2.m1.2.2.1.1.1.1.3.2" xref="A3.T2.2.2.2.m1.2.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="A3.T2.2.2.2.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="A3.T2.2.2.2.m1.2.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="A3.T2.2.2.2.m1.1.1" xref="A3.T2.2.2.2.m1.1.1.cmml">t</mi><mo id="A3.T2.2.2.2.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="A3.T2.2.2.2.m1.2.2.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A3.T2.2.2.2.m1.2.2.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A3.T2.2.2.2.m1.2.2.1.1.2.1.cmml">‖</mo></mrow><mi id="A3.T2.2.2.2.m1.2.2.1.3" xref="A3.T2.2.2.2.m1.2.2.1.3.cmml">𝔇</mi></msub><mo id="A3.T2.2.2.2.m1.2.2.2" xref="A3.T2.2.2.2.m1.2.2.2.cmml">≤</mo><mi id="A3.T2.2.2.2.m1.2.2.3" xref="A3.T2.2.2.2.m1.2.2.3.cmml"></mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A3.T2.2.2.2.m1.2b"><apply id="A3.T2.2.2.2.m1.2.2.cmml" xref="A3.T2.2.2.2.m1.2.2"><leq id="A3.T2.2.2.2.m1.2.2.2.cmml" xref="A3.T2.2.2.2.m1.2.2.2"></leq><apply id="A3.T2.2.2.2.m1.2.2.1.cmml" xref="A3.T2.2.2.2.m1.2.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.T2.2.2.2.m1.2.2.1.2.cmml" xref="A3.T2.2.2.2.m1.2.2.1">subscript</csymbol><apply id="A3.T2.2.2.2.m1.2.2.1.1.2.cmml" xref="A3.T2.2.2.2.m1.2.2.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="A3.T2.2.2.2.m1.2.2.1.1.2.1.cmml" xref="A3.T2.2.2.2.m1.2.2.1.1.1.2">norm</csymbol><apply id="A3.T2.2.2.2.m1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="A3.T2.2.2.2.m1.2.2.1.1.1.1"><times id="A3.T2.2.2.2.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="A3.T2.2.2.2.m1.2.2.1.1.1.1.1"></times><ci id="A3.T2.2.2.2.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="A3.T2.2.2.2.m1.2.2.1.1.1.1.2">𝐻</ci><ci id="A3.T2.2.2.2.m1.1.1.cmml" xref="A3.T2.2.2.2.m1.1.1">𝑡</ci></apply></apply><ci id="A3.T2.2.2.2.m1.2.2.1.3.cmml" xref="A3.T2.2.2.2.m1.2.2.1.3">𝔇</ci></apply><csymbol cd="latexml" id="A3.T2.2.2.2.m1.2.2.3.cmml" xref="A3.T2.2.2.2.m1.2.2.3">absent</csymbol></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A3.T2.2.2.2.m1.2c">||H(t)||_{\mathfrak{D}}\leq</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A3.T2.2.2.2.m1.2d">| | italic_H ( italic_t ) | | start_POSTSUBSCRIPT fraktur_D end_POSTSUBSCRIPT ≤</annotation></semantics></math></th> <th class="ltx_td ltx_align_center ltx_th ltx_th_column ltx_border_r ltx_border_t" id="A3.T2.3.3.3"><math alttext="||K_{m}||_{\mathfrak{D}}\leq" class="ltx_Math" display="inline" id="A3.T2.3.3.3.m1.1"><semantics id="A3.T2.3.3.3.m1.1a"><mrow id="A3.T2.3.3.3.m1.1.1" xref="A3.T2.3.3.3.m1.1.1.cmml"><msub id="A3.T2.3.3.3.m1.1.1.1" xref="A3.T2.3.3.3.m1.1.1.1.cmml"><mrow id="A3.T2.3.3.3.m1.1.1.1.1.1" xref="A3.T2.3.3.3.m1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="A3.T2.3.3.3.m1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A3.T2.3.3.3.m1.1.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo><msub id="A3.T2.3.3.3.m1.1.1.1.1.1.1" xref="A3.T2.3.3.3.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A3.T2.3.3.3.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A3.T2.3.3.3.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">K</mi><mi id="A3.T2.3.3.3.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A3.T2.3.3.3.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">m</mi></msub><mo id="A3.T2.3.3.3.m1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A3.T2.3.3.3.m1.1.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo></mrow><mi id="A3.T2.3.3.3.m1.1.1.1.3" xref="A3.T2.3.3.3.m1.1.1.1.3.cmml">𝔇</mi></msub><mo id="A3.T2.3.3.3.m1.1.1.2" xref="A3.T2.3.3.3.m1.1.1.2.cmml">≤</mo><mi id="A3.T2.3.3.3.m1.1.1.3" xref="A3.T2.3.3.3.m1.1.1.3.cmml"></mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A3.T2.3.3.3.m1.1b"><apply id="A3.T2.3.3.3.m1.1.1.cmml" xref="A3.T2.3.3.3.m1.1.1"><leq id="A3.T2.3.3.3.m1.1.1.2.cmml" xref="A3.T2.3.3.3.m1.1.1.2"></leq><apply id="A3.T2.3.3.3.m1.1.1.1.cmml" xref="A3.T2.3.3.3.m1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.T2.3.3.3.m1.1.1.1.2.cmml" xref="A3.T2.3.3.3.m1.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="A3.T2.3.3.3.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A3.T2.3.3.3.m1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="A3.T2.3.3.3.m1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A3.T2.3.3.3.m1.1.1.1.1.1.2">norm</csymbol><apply id="A3.T2.3.3.3.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A3.T2.3.3.3.m1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.T2.3.3.3.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A3.T2.3.3.3.m1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="A3.T2.3.3.3.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A3.T2.3.3.3.m1.1.1.1.1.1.1.2">𝐾</ci><ci id="A3.T2.3.3.3.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A3.T2.3.3.3.m1.1.1.1.1.1.1.3">𝑚</ci></apply></apply><ci id="A3.T2.3.3.3.m1.1.1.1.3.cmml" xref="A3.T2.3.3.3.m1.1.1.1.3">𝔇</ci></apply><csymbol cd="latexml" id="A3.T2.3.3.3.m1.1.1.3.cmml" xref="A3.T2.3.3.3.m1.1.1.3">absent</csymbol></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A3.T2.3.3.3.m1.1c">||K_{m}||_{\mathfrak{D}}\leq</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A3.T2.3.3.3.m1.1d">| | italic_K start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT | | start_POSTSUBSCRIPT fraktur_D end_POSTSUBSCRIPT ≤</annotation></semantics></math></th> </tr> </thead> <tbody class="ltx_tbody"> <tr class="ltx_tr" id="A3.T2.5.5"> <th class="ltx_td ltx_align_center ltx_th ltx_th_row ltx_border_l ltx_border_rr ltx_border_t" id="A3.T2.5.5.3">2</th> <th class="ltx_td ltx_align_center ltx_th ltx_th_row ltx_border_rr ltx_border_t" id="A3.T2.5.5.4">0.9375</th> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_r ltx_border_t" id="A3.T2.4.4.1"><math alttext="\frac{q}{q^{2}+1}" class="ltx_Math" display="inline" id="A3.T2.4.4.1.m1.1"><semantics id="A3.T2.4.4.1.m1.1a"><mfrac id="A3.T2.4.4.1.m1.1.1" xref="A3.T2.4.4.1.m1.1.1.cmml"><mi id="A3.T2.4.4.1.m1.1.1.2" xref="A3.T2.4.4.1.m1.1.1.2.cmml">q</mi><mrow id="A3.T2.4.4.1.m1.1.1.3" xref="A3.T2.4.4.1.m1.1.1.3.cmml"><msup id="A3.T2.4.4.1.m1.1.1.3.2" xref="A3.T2.4.4.1.m1.1.1.3.2.cmml"><mi id="A3.T2.4.4.1.m1.1.1.3.2.2" xref="A3.T2.4.4.1.m1.1.1.3.2.2.cmml">q</mi><mn id="A3.T2.4.4.1.m1.1.1.3.2.3" xref="A3.T2.4.4.1.m1.1.1.3.2.3.cmml">2</mn></msup><mo id="A3.T2.4.4.1.m1.1.1.3.1" xref="A3.T2.4.4.1.m1.1.1.3.1.cmml">+</mo><mn id="A3.T2.4.4.1.m1.1.1.3.3" xref="A3.T2.4.4.1.m1.1.1.3.3.cmml">1</mn></mrow></mfrac><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A3.T2.4.4.1.m1.1b"><apply id="A3.T2.4.4.1.m1.1.1.cmml" xref="A3.T2.4.4.1.m1.1.1"><divide id="A3.T2.4.4.1.m1.1.1.1.cmml" xref="A3.T2.4.4.1.m1.1.1"></divide><ci id="A3.T2.4.4.1.m1.1.1.2.cmml" xref="A3.T2.4.4.1.m1.1.1.2">𝑞</ci><apply 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id="A3.T2.5.5.2"><math alttext="\frac{1}{q^{2}+1}" class="ltx_Math" display="inline" id="A3.T2.5.5.2.m1.1"><semantics id="A3.T2.5.5.2.m1.1a"><mfrac id="A3.T2.5.5.2.m1.1.1" xref="A3.T2.5.5.2.m1.1.1.cmml"><mn id="A3.T2.5.5.2.m1.1.1.2" xref="A3.T2.5.5.2.m1.1.1.2.cmml">1</mn><mrow id="A3.T2.5.5.2.m1.1.1.3" xref="A3.T2.5.5.2.m1.1.1.3.cmml"><msup id="A3.T2.5.5.2.m1.1.1.3.2" xref="A3.T2.5.5.2.m1.1.1.3.2.cmml"><mi id="A3.T2.5.5.2.m1.1.1.3.2.2" xref="A3.T2.5.5.2.m1.1.1.3.2.2.cmml">q</mi><mn id="A3.T2.5.5.2.m1.1.1.3.2.3" xref="A3.T2.5.5.2.m1.1.1.3.2.3.cmml">2</mn></msup><mo id="A3.T2.5.5.2.m1.1.1.3.1" xref="A3.T2.5.5.2.m1.1.1.3.1.cmml">+</mo><mn id="A3.T2.5.5.2.m1.1.1.3.3" xref="A3.T2.5.5.2.m1.1.1.3.3.cmml">1</mn></mrow></mfrac><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A3.T2.5.5.2.m1.1b"><apply id="A3.T2.5.5.2.m1.1.1.cmml" xref="A3.T2.5.5.2.m1.1.1"><divide id="A3.T2.5.5.2.m1.1.1.1.cmml" xref="A3.T2.5.5.2.m1.1.1"></divide><cn id="A3.T2.5.5.2.m1.1.1.2.cmml" type="integer" 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alttext="0.1018\left(\frac{t}{q}\right)^{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="A3.T2.8.8.1.m1.1"><semantics id="A3.T2.8.8.1.m1.1a"><mrow id="A3.T2.8.8.1.m1.1.2" xref="A3.T2.8.8.1.m1.1.2.cmml"><mn id="A3.T2.8.8.1.m1.1.2.2" xref="A3.T2.8.8.1.m1.1.2.2.cmml">0.1018</mn><mo id="A3.T2.8.8.1.m1.1.2.1" xref="A3.T2.8.8.1.m1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="A3.T2.8.8.1.m1.1.2.3" xref="A3.T2.8.8.1.m1.1.2.3.cmml"><mrow id="A3.T2.8.8.1.m1.1.2.3.2.2" xref="A3.T2.8.8.1.m1.1.1.cmml"><mo id="A3.T2.8.8.1.m1.1.2.3.2.2.1" xref="A3.T2.8.8.1.m1.1.1.cmml">(</mo><mfrac id="A3.T2.8.8.1.m1.1.1" xref="A3.T2.8.8.1.m1.1.1.cmml"><mi id="A3.T2.8.8.1.m1.1.1.2" xref="A3.T2.8.8.1.m1.1.1.2.cmml">t</mi><mi id="A3.T2.8.8.1.m1.1.1.3" xref="A3.T2.8.8.1.m1.1.1.3.cmml">q</mi></mfrac><mo id="A3.T2.8.8.1.m1.1.2.3.2.2.2" xref="A3.T2.8.8.1.m1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mn id="A3.T2.8.8.1.m1.1.2.3.3" xref="A3.T2.8.8.1.m1.1.2.3.3.cmml">2</mn></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A3.T2.8.8.1.m1.1b"><apply 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class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_r ltx_border_t" id="A3.T2.11.11.2"><math alttext="\frac{8.27\times 10^{-3}}{q^{2}}\left(\frac{t}{q}\right)^{4}" class="ltx_Math" display="inline" id="A3.T2.11.11.2.m1.1"><semantics id="A3.T2.11.11.2.m1.1a"><mrow id="A3.T2.11.11.2.m1.1.2" xref="A3.T2.11.11.2.m1.1.2.cmml"><mfrac id="A3.T2.11.11.2.m1.1.2.2" xref="A3.T2.11.11.2.m1.1.2.2.cmml"><mrow id="A3.T2.11.11.2.m1.1.2.2.2" xref="A3.T2.11.11.2.m1.1.2.2.2.cmml"><mn id="A3.T2.11.11.2.m1.1.2.2.2.2" xref="A3.T2.11.11.2.m1.1.2.2.2.2.cmml">8.27</mn><mo id="A3.T2.11.11.2.m1.1.2.2.2.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="A3.T2.11.11.2.m1.1.2.2.2.1.cmml">×</mo><msup id="A3.T2.11.11.2.m1.1.2.2.2.3" xref="A3.T2.11.11.2.m1.1.2.2.2.3.cmml"><mn id="A3.T2.11.11.2.m1.1.2.2.2.3.2" xref="A3.T2.11.11.2.m1.1.2.2.2.3.2.cmml">10</mn><mrow id="A3.T2.11.11.2.m1.1.2.2.2.3.3" xref="A3.T2.11.11.2.m1.1.2.2.2.3.3.cmml"><mo id="A3.T2.11.11.2.m1.1.2.2.2.3.3a" xref="A3.T2.11.11.2.m1.1.2.2.2.3.3.cmml">−</mo><mn 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xref="A3.T2.11.11.2.m1.1.2.3.2.2"></divide><ci id="A3.T2.11.11.2.m1.1.1.2.cmml" xref="A3.T2.11.11.2.m1.1.1.2">𝑡</ci><ci id="A3.T2.11.11.2.m1.1.1.3.cmml" xref="A3.T2.11.11.2.m1.1.1.3">𝑞</ci></apply><cn id="A3.T2.11.11.2.m1.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="A3.T2.11.11.2.m1.1.2.3.3">4</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A3.T2.11.11.2.m1.1c">\frac{8.27\times 10^{-3}}{q^{2}}\left(\frac{t}{q}\right)^{4}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A3.T2.11.11.2.m1.1d">divide start_ARG 8.27 × 10 start_POSTSUPERSCRIPT - 3 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG italic_q start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG ( divide start_ARG italic_t end_ARG start_ARG italic_q end_ARG ) start_POSTSUPERSCRIPT 4 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math></td> </tr> <tr class="ltx_tr" id="A3.T2.13.13"> <th class="ltx_td ltx_align_center ltx_th ltx_th_row ltx_border_b ltx_border_l ltx_border_rr ltx_border_t" id="A3.T2.13.13.3">6</th> <th class="ltx_td ltx_align_center ltx_th ltx_th_row ltx_border_b ltx_border_rr ltx_border_t" id="A3.T2.13.13.4">0.9581</th> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_b ltx_border_r ltx_border_t" id="A3.T2.12.12.1"><math alttext="8.297\times 10^{-3}\left(\frac{t}{q}\right)^{3}" class="ltx_Math" display="inline" id="A3.T2.12.12.1.m1.1"><semantics id="A3.T2.12.12.1.m1.1a"><mrow id="A3.T2.12.12.1.m1.1.2" xref="A3.T2.12.12.1.m1.1.2.cmml"><mrow id="A3.T2.12.12.1.m1.1.2.2" xref="A3.T2.12.12.1.m1.1.2.2.cmml"><mn id="A3.T2.12.12.1.m1.1.2.2.2" xref="A3.T2.12.12.1.m1.1.2.2.2.cmml">8.297</mn><mo id="A3.T2.12.12.1.m1.1.2.2.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="A3.T2.12.12.1.m1.1.2.2.1.cmml">×</mo><msup id="A3.T2.12.12.1.m1.1.2.2.3" xref="A3.T2.12.12.1.m1.1.2.2.3.cmml"><mn id="A3.T2.12.12.1.m1.1.2.2.3.2" xref="A3.T2.12.12.1.m1.1.2.2.3.2.cmml">10</mn><mrow id="A3.T2.12.12.1.m1.1.2.2.3.3" xref="A3.T2.12.12.1.m1.1.2.2.3.3.cmml"><mo id="A3.T2.12.12.1.m1.1.2.2.3.3a" xref="A3.T2.12.12.1.m1.1.2.2.3.3.cmml">−</mo><mn id="A3.T2.12.12.1.m1.1.2.2.3.3.2" xref="A3.T2.12.12.1.m1.1.2.2.3.3.2.cmml">3</mn></mrow></msup></mrow><mo id="A3.T2.12.12.1.m1.1.2.1" xref="A3.T2.12.12.1.m1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="A3.T2.12.12.1.m1.1.2.3" xref="A3.T2.12.12.1.m1.1.2.3.cmml"><mrow id="A3.T2.12.12.1.m1.1.2.3.2.2" xref="A3.T2.12.12.1.m1.1.1.cmml"><mo id="A3.T2.12.12.1.m1.1.2.3.2.2.1" xref="A3.T2.12.12.1.m1.1.1.cmml">(</mo><mfrac id="A3.T2.12.12.1.m1.1.1" xref="A3.T2.12.12.1.m1.1.1.cmml"><mi id="A3.T2.12.12.1.m1.1.1.2" xref="A3.T2.12.12.1.m1.1.1.2.cmml">t</mi><mi id="A3.T2.12.12.1.m1.1.1.3" xref="A3.T2.12.12.1.m1.1.1.3.cmml">q</mi></mfrac><mo id="A3.T2.12.12.1.m1.1.2.3.2.2.2" xref="A3.T2.12.12.1.m1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mn id="A3.T2.12.12.1.m1.1.2.3.3" xref="A3.T2.12.12.1.m1.1.2.3.3.cmml">3</mn></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A3.T2.12.12.1.m1.1b"><apply id="A3.T2.12.12.1.m1.1.2.cmml" xref="A3.T2.12.12.1.m1.1.2"><times id="A3.T2.12.12.1.m1.1.2.1.cmml" xref="A3.T2.12.12.1.m1.1.2.1"></times><apply id="A3.T2.12.12.1.m1.1.2.2.cmml" xref="A3.T2.12.12.1.m1.1.2.2"><times id="A3.T2.12.12.1.m1.1.2.2.1.cmml" xref="A3.T2.12.12.1.m1.1.2.2.1"></times><cn id="A3.T2.12.12.1.m1.1.2.2.2.cmml" type="float" xref="A3.T2.12.12.1.m1.1.2.2.2">8.297</cn><apply id="A3.T2.12.12.1.m1.1.2.2.3.cmml" xref="A3.T2.12.12.1.m1.1.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.T2.12.12.1.m1.1.2.2.3.1.cmml" xref="A3.T2.12.12.1.m1.1.2.2.3">superscript</csymbol><cn id="A3.T2.12.12.1.m1.1.2.2.3.2.cmml" type="integer" xref="A3.T2.12.12.1.m1.1.2.2.3.2">10</cn><apply id="A3.T2.12.12.1.m1.1.2.2.3.3.cmml" xref="A3.T2.12.12.1.m1.1.2.2.3.3"><minus id="A3.T2.12.12.1.m1.1.2.2.3.3.1.cmml" xref="A3.T2.12.12.1.m1.1.2.2.3.3"></minus><cn id="A3.T2.12.12.1.m1.1.2.2.3.3.2.cmml" type="integer" xref="A3.T2.12.12.1.m1.1.2.2.3.3.2">3</cn></apply></apply></apply><apply id="A3.T2.12.12.1.m1.1.2.3.cmml" xref="A3.T2.12.12.1.m1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.T2.12.12.1.m1.1.2.3.1.cmml" xref="A3.T2.12.12.1.m1.1.2.3">superscript</csymbol><apply id="A3.T2.12.12.1.m1.1.1.cmml" xref="A3.T2.12.12.1.m1.1.2.3.2.2"><divide id="A3.T2.12.12.1.m1.1.1.1.cmml" xref="A3.T2.12.12.1.m1.1.2.3.2.2"></divide><ci id="A3.T2.12.12.1.m1.1.1.2.cmml" xref="A3.T2.12.12.1.m1.1.1.2">𝑡</ci><ci id="A3.T2.12.12.1.m1.1.1.3.cmml" xref="A3.T2.12.12.1.m1.1.1.3">𝑞</ci></apply><cn id="A3.T2.12.12.1.m1.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="A3.T2.12.12.1.m1.1.2.3.3">3</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A3.T2.12.12.1.m1.1c">8.297\times 10^{-3}\left(\frac{t}{q}\right)^{3}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A3.T2.12.12.1.m1.1d">8.297 × 10 start_POSTSUPERSCRIPT - 3 end_POSTSUPERSCRIPT ( divide start_ARG italic_t end_ARG start_ARG italic_q end_ARG ) start_POSTSUPERSCRIPT 3 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_b ltx_border_r ltx_border_t" id="A3.T2.13.13.2"><math alttext="\frac{2.48\times 10^{-3}}{q^{2}}\left(\frac{t}{q}\right)^{4}" class="ltx_Math" display="inline" id="A3.T2.13.13.2.m1.1"><semantics id="A3.T2.13.13.2.m1.1a"><mrow id="A3.T2.13.13.2.m1.1.2" xref="A3.T2.13.13.2.m1.1.2.cmml"><mfrac id="A3.T2.13.13.2.m1.1.2.2" xref="A3.T2.13.13.2.m1.1.2.2.cmml"><mrow id="A3.T2.13.13.2.m1.1.2.2.2" xref="A3.T2.13.13.2.m1.1.2.2.2.cmml"><mn id="A3.T2.13.13.2.m1.1.2.2.2.2" xref="A3.T2.13.13.2.m1.1.2.2.2.2.cmml">2.48</mn><mo id="A3.T2.13.13.2.m1.1.2.2.2.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="A3.T2.13.13.2.m1.1.2.2.2.1.cmml">×</mo><msup id="A3.T2.13.13.2.m1.1.2.2.2.3" xref="A3.T2.13.13.2.m1.1.2.2.2.3.cmml"><mn id="A3.T2.13.13.2.m1.1.2.2.2.3.2" xref="A3.T2.13.13.2.m1.1.2.2.2.3.2.cmml">10</mn><mrow id="A3.T2.13.13.2.m1.1.2.2.2.3.3" xref="A3.T2.13.13.2.m1.1.2.2.2.3.3.cmml"><mo id="A3.T2.13.13.2.m1.1.2.2.2.3.3a" xref="A3.T2.13.13.2.m1.1.2.2.2.3.3.cmml">−</mo><mn id="A3.T2.13.13.2.m1.1.2.2.2.3.3.2" xref="A3.T2.13.13.2.m1.1.2.2.2.3.3.2.cmml">3</mn></mrow></msup></mrow><msup id="A3.T2.13.13.2.m1.1.2.2.3" xref="A3.T2.13.13.2.m1.1.2.2.3.cmml"><mi id="A3.T2.13.13.2.m1.1.2.2.3.2" xref="A3.T2.13.13.2.m1.1.2.2.3.2.cmml">q</mi><mn id="A3.T2.13.13.2.m1.1.2.2.3.3" xref="A3.T2.13.13.2.m1.1.2.2.3.3.cmml">2</mn></msup></mfrac><mo id="A3.T2.13.13.2.m1.1.2.1" xref="A3.T2.13.13.2.m1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="A3.T2.13.13.2.m1.1.2.3" xref="A3.T2.13.13.2.m1.1.2.3.cmml"><mrow id="A3.T2.13.13.2.m1.1.2.3.2.2" xref="A3.T2.13.13.2.m1.1.1.cmml"><mo id="A3.T2.13.13.2.m1.1.2.3.2.2.1" xref="A3.T2.13.13.2.m1.1.1.cmml">(</mo><mfrac id="A3.T2.13.13.2.m1.1.1" xref="A3.T2.13.13.2.m1.1.1.cmml"><mi id="A3.T2.13.13.2.m1.1.1.2" xref="A3.T2.13.13.2.m1.1.1.2.cmml">t</mi><mi id="A3.T2.13.13.2.m1.1.1.3" xref="A3.T2.13.13.2.m1.1.1.3.cmml">q</mi></mfrac><mo id="A3.T2.13.13.2.m1.1.2.3.2.2.2" xref="A3.T2.13.13.2.m1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mn id="A3.T2.13.13.2.m1.1.2.3.3" xref="A3.T2.13.13.2.m1.1.2.3.3.cmml">4</mn></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A3.T2.13.13.2.m1.1b"><apply id="A3.T2.13.13.2.m1.1.2.cmml" xref="A3.T2.13.13.2.m1.1.2"><times id="A3.T2.13.13.2.m1.1.2.1.cmml" xref="A3.T2.13.13.2.m1.1.2.1"></times><apply id="A3.T2.13.13.2.m1.1.2.2.cmml" xref="A3.T2.13.13.2.m1.1.2.2"><divide id="A3.T2.13.13.2.m1.1.2.2.1.cmml" xref="A3.T2.13.13.2.m1.1.2.2"></divide><apply id="A3.T2.13.13.2.m1.1.2.2.2.cmml" xref="A3.T2.13.13.2.m1.1.2.2.2"><times id="A3.T2.13.13.2.m1.1.2.2.2.1.cmml" xref="A3.T2.13.13.2.m1.1.2.2.2.1"></times><cn id="A3.T2.13.13.2.m1.1.2.2.2.2.cmml" type="float" xref="A3.T2.13.13.2.m1.1.2.2.2.2">2.48</cn><apply id="A3.T2.13.13.2.m1.1.2.2.2.3.cmml" xref="A3.T2.13.13.2.m1.1.2.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.T2.13.13.2.m1.1.2.2.2.3.1.cmml" xref="A3.T2.13.13.2.m1.1.2.2.2.3">superscript</csymbol><cn id="A3.T2.13.13.2.m1.1.2.2.2.3.2.cmml" type="integer" xref="A3.T2.13.13.2.m1.1.2.2.2.3.2">10</cn><apply id="A3.T2.13.13.2.m1.1.2.2.2.3.3.cmml" xref="A3.T2.13.13.2.m1.1.2.2.2.3.3"><minus id="A3.T2.13.13.2.m1.1.2.2.2.3.3.1.cmml" xref="A3.T2.13.13.2.m1.1.2.2.2.3.3"></minus><cn id="A3.T2.13.13.2.m1.1.2.2.2.3.3.2.cmml" type="integer" xref="A3.T2.13.13.2.m1.1.2.2.2.3.3.2">3</cn></apply></apply></apply><apply id="A3.T2.13.13.2.m1.1.2.2.3.cmml" xref="A3.T2.13.13.2.m1.1.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.T2.13.13.2.m1.1.2.2.3.1.cmml" xref="A3.T2.13.13.2.m1.1.2.2.3">superscript</csymbol><ci id="A3.T2.13.13.2.m1.1.2.2.3.2.cmml" xref="A3.T2.13.13.2.m1.1.2.2.3.2">𝑞</ci><cn id="A3.T2.13.13.2.m1.1.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="A3.T2.13.13.2.m1.1.2.2.3.3">2</cn></apply></apply><apply id="A3.T2.13.13.2.m1.1.2.3.cmml" xref="A3.T2.13.13.2.m1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.T2.13.13.2.m1.1.2.3.1.cmml" xref="A3.T2.13.13.2.m1.1.2.3">superscript</csymbol><apply id="A3.T2.13.13.2.m1.1.1.cmml" xref="A3.T2.13.13.2.m1.1.2.3.2.2"><divide id="A3.T2.13.13.2.m1.1.1.1.cmml" xref="A3.T2.13.13.2.m1.1.2.3.2.2"></divide><ci id="A3.T2.13.13.2.m1.1.1.2.cmml" xref="A3.T2.13.13.2.m1.1.1.2">𝑡</ci><ci id="A3.T2.13.13.2.m1.1.1.3.cmml" xref="A3.T2.13.13.2.m1.1.1.3">𝑞</ci></apply><cn id="A3.T2.13.13.2.m1.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="A3.T2.13.13.2.m1.1.2.3.3">4</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A3.T2.13.13.2.m1.1c">\frac{2.48\times 10^{-3}}{q^{2}}\left(\frac{t}{q}\right)^{4}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A3.T2.13.13.2.m1.1d">divide start_ARG 2.48 × 10 start_POSTSUPERSCRIPT - 3 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG italic_q start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG ( divide start_ARG italic_t end_ARG start_ARG italic_q end_ARG ) start_POSTSUPERSCRIPT 4 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math></td> </tr> </tbody> </table> <figcaption class="ltx_caption"><span class="ltx_tag ltx_tag_table">Table 2: </span>Values of the Weingarten denominator <math alttext="f_{t}(t^{-2})" class="ltx_Math" display="inline" id="A3.T2.18.m1.1"><semantics id="A3.T2.18.m1.1b"><mrow id="A3.T2.18.m1.1.1" xref="A3.T2.18.m1.1.1.cmml"><msub id="A3.T2.18.m1.1.1.3" xref="A3.T2.18.m1.1.1.3.cmml"><mi id="A3.T2.18.m1.1.1.3.2" xref="A3.T2.18.m1.1.1.3.2.cmml">f</mi><mi id="A3.T2.18.m1.1.1.3.3" xref="A3.T2.18.m1.1.1.3.3.cmml">t</mi></msub><mo id="A3.T2.18.m1.1.1.2" xref="A3.T2.18.m1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A3.T2.18.m1.1.1.1.1" xref="A3.T2.18.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A3.T2.18.m1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A3.T2.18.m1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="A3.T2.18.m1.1.1.1.1.1" xref="A3.T2.18.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A3.T2.18.m1.1.1.1.1.1.2" xref="A3.T2.18.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">t</mi><mrow id="A3.T2.18.m1.1.1.1.1.1.3" xref="A3.T2.18.m1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="A3.T2.18.m1.1.1.1.1.1.3b" xref="A3.T2.18.m1.1.1.1.1.1.3.cmml">−</mo><mn id="A3.T2.18.m1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A3.T2.18.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">2</mn></mrow></msup><mo id="A3.T2.18.m1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A3.T2.18.m1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A3.T2.18.m1.1c"><apply id="A3.T2.18.m1.1.1.cmml" xref="A3.T2.18.m1.1.1"><times id="A3.T2.18.m1.1.1.2.cmml" xref="A3.T2.18.m1.1.1.2"></times><apply id="A3.T2.18.m1.1.1.3.cmml" xref="A3.T2.18.m1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.T2.18.m1.1.1.3.1.cmml" xref="A3.T2.18.m1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A3.T2.18.m1.1.1.3.2.cmml" xref="A3.T2.18.m1.1.1.3.2">𝑓</ci><ci id="A3.T2.18.m1.1.1.3.3.cmml" xref="A3.T2.18.m1.1.1.3.3">𝑡</ci></apply><apply id="A3.T2.18.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A3.T2.18.m1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.T2.18.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A3.T2.18.m1.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="A3.T2.18.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A3.T2.18.m1.1.1.1.1.1.2">𝑡</ci><apply id="A3.T2.18.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A3.T2.18.m1.1.1.1.1.1.3"><minus id="A3.T2.18.m1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A3.T2.18.m1.1.1.1.1.1.3"></minus><cn id="A3.T2.18.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="A3.T2.18.m1.1.1.1.1.1.3.2">2</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A3.T2.18.m1.1d">f_{t}(t^{-2})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A3.T2.18.m1.1e">italic_f start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t start_POSTSUPERSCRIPT - 2 end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math> for <math alttext="t\leq 6" class="ltx_Math" display="inline" id="A3.T2.19.m2.1"><semantics id="A3.T2.19.m2.1b"><mrow id="A3.T2.19.m2.1.1" xref="A3.T2.19.m2.1.1.cmml"><mi id="A3.T2.19.m2.1.1.2" xref="A3.T2.19.m2.1.1.2.cmml">t</mi><mo id="A3.T2.19.m2.1.1.1" xref="A3.T2.19.m2.1.1.1.cmml">≤</mo><mn id="A3.T2.19.m2.1.1.3" xref="A3.T2.19.m2.1.1.3.cmml">6</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A3.T2.19.m2.1c"><apply id="A3.T2.19.m2.1.1.cmml" xref="A3.T2.19.m2.1.1"><leq id="A3.T2.19.m2.1.1.1.cmml" xref="A3.T2.19.m2.1.1.1"></leq><ci id="A3.T2.19.m2.1.1.2.cmml" xref="A3.T2.19.m2.1.1.2">𝑡</ci><cn id="A3.T2.19.m2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A3.T2.19.m2.1.1.3">6</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A3.T2.19.m2.1d">t\leq 6</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A3.T2.19.m2.1e">italic_t ≤ 6</annotation></semantics></math>, as well as bounds on the singular values of <math alttext="H" class="ltx_Math" display="inline" id="A3.T2.20.m3.1"><semantics id="A3.T2.20.m3.1b"><mi id="A3.T2.20.m3.1.1" xref="A3.T2.20.m3.1.1.cmml">H</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A3.T2.20.m3.1c"><ci id="A3.T2.20.m3.1.1.cmml" xref="A3.T2.20.m3.1.1">𝐻</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A3.T2.20.m3.1d">H</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A3.T2.20.m3.1e">italic_H</annotation></semantics></math> and <math alttext="K_{m}" class="ltx_Math" display="inline" id="A3.T2.21.m4.1"><semantics id="A3.T2.21.m4.1b"><msub id="A3.T2.21.m4.1.1" xref="A3.T2.21.m4.1.1.cmml"><mi id="A3.T2.21.m4.1.1.2" xref="A3.T2.21.m4.1.1.2.cmml">K</mi><mi id="A3.T2.21.m4.1.1.3" xref="A3.T2.21.m4.1.1.3.cmml">m</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A3.T2.21.m4.1c"><apply id="A3.T2.21.m4.1.1.cmml" xref="A3.T2.21.m4.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.T2.21.m4.1.1.1.cmml" xref="A3.T2.21.m4.1.1">subscript</csymbol><ci id="A3.T2.21.m4.1.1.2.cmml" xref="A3.T2.21.m4.1.1.2">𝐾</ci><ci id="A3.T2.21.m4.1.1.3.cmml" xref="A3.T2.21.m4.1.1.3">𝑚</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A3.T2.21.m4.1d">K_{m}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A3.T2.21.m4.1e">italic_K start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>.</figcaption> </figure> <div class="ltx_para" id="A3.SS1.p2"> <p class="ltx_p" id="A3.SS1.p2.9">Using these reductions, we obtain the bounds on the singular values of <math alttext="H" class="ltx_Math" display="inline" id="A3.SS1.p2.1.m1.1"><semantics id="A3.SS1.p2.1.m1.1a"><mi id="A3.SS1.p2.1.m1.1.1" xref="A3.SS1.p2.1.m1.1.1.cmml">H</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A3.SS1.p2.1.m1.1b"><ci id="A3.SS1.p2.1.m1.1.1.cmml" xref="A3.SS1.p2.1.m1.1.1">𝐻</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A3.SS1.p2.1.m1.1c">H</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A3.SS1.p2.1.m1.1d">italic_H</annotation></semantics></math> and <math alttext="K_{m}" class="ltx_Math" display="inline" id="A3.SS1.p2.2.m2.1"><semantics id="A3.SS1.p2.2.m2.1a"><msub id="A3.SS1.p2.2.m2.1.1" xref="A3.SS1.p2.2.m2.1.1.cmml"><mi id="A3.SS1.p2.2.m2.1.1.2" xref="A3.SS1.p2.2.m2.1.1.2.cmml">K</mi><mi id="A3.SS1.p2.2.m2.1.1.3" xref="A3.SS1.p2.2.m2.1.1.3.cmml">m</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A3.SS1.p2.2.m2.1b"><apply id="A3.SS1.p2.2.m2.1.1.cmml" xref="A3.SS1.p2.2.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.SS1.p2.2.m2.1.1.1.cmml" xref="A3.SS1.p2.2.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="A3.SS1.p2.2.m2.1.1.2.cmml" xref="A3.SS1.p2.2.m2.1.1.2">𝐾</ci><ci id="A3.SS1.p2.2.m2.1.1.3.cmml" xref="A3.SS1.p2.2.m2.1.1.3">𝑚</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A3.SS1.p2.2.m2.1c">K_{m}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A3.SS1.p2.2.m2.1d">italic_K start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> as shown in Table <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#A3.T2" title="Table 2 ‣ C.1 Values of ‖𝐾_𝑚‖_𝔇 for 𝑡≤6,𝑡≤𝑞 ‣ Appendix C Numerical results ‣ Conditional 𝑡-independent spectral gap for random quantum circuits and implications for 𝑡-design depths"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">2</span></a>. All of these are less than <math alttext="\frac{1}{q^{2}+1}" class="ltx_Math" display="inline" id="A3.SS1.p2.3.m3.1"><semantics id="A3.SS1.p2.3.m3.1a"><mfrac id="A3.SS1.p2.3.m3.1.1" xref="A3.SS1.p2.3.m3.1.1.cmml"><mn id="A3.SS1.p2.3.m3.1.1.2" xref="A3.SS1.p2.3.m3.1.1.2.cmml">1</mn><mrow id="A3.SS1.p2.3.m3.1.1.3" xref="A3.SS1.p2.3.m3.1.1.3.cmml"><msup id="A3.SS1.p2.3.m3.1.1.3.2" xref="A3.SS1.p2.3.m3.1.1.3.2.cmml"><mi id="A3.SS1.p2.3.m3.1.1.3.2.2" xref="A3.SS1.p2.3.m3.1.1.3.2.2.cmml">q</mi><mn id="A3.SS1.p2.3.m3.1.1.3.2.3" xref="A3.SS1.p2.3.m3.1.1.3.2.3.cmml">2</mn></msup><mo id="A3.SS1.p2.3.m3.1.1.3.1" xref="A3.SS1.p2.3.m3.1.1.3.1.cmml">+</mo><mn id="A3.SS1.p2.3.m3.1.1.3.3" xref="A3.SS1.p2.3.m3.1.1.3.3.cmml">1</mn></mrow></mfrac><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A3.SS1.p2.3.m3.1b"><apply id="A3.SS1.p2.3.m3.1.1.cmml" xref="A3.SS1.p2.3.m3.1.1"><divide id="A3.SS1.p2.3.m3.1.1.1.cmml" xref="A3.SS1.p2.3.m3.1.1"></divide><cn id="A3.SS1.p2.3.m3.1.1.2.cmml" type="integer" xref="A3.SS1.p2.3.m3.1.1.2">1</cn><apply id="A3.SS1.p2.3.m3.1.1.3.cmml" xref="A3.SS1.p2.3.m3.1.1.3"><plus id="A3.SS1.p2.3.m3.1.1.3.1.cmml" xref="A3.SS1.p2.3.m3.1.1.3.1"></plus><apply id="A3.SS1.p2.3.m3.1.1.3.2.cmml" xref="A3.SS1.p2.3.m3.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.SS1.p2.3.m3.1.1.3.2.1.cmml" xref="A3.SS1.p2.3.m3.1.1.3.2">superscript</csymbol><ci id="A3.SS1.p2.3.m3.1.1.3.2.2.cmml" xref="A3.SS1.p2.3.m3.1.1.3.2.2">𝑞</ci><cn id="A3.SS1.p2.3.m3.1.1.3.2.3.cmml" type="integer" xref="A3.SS1.p2.3.m3.1.1.3.2.3">2</cn></apply><cn id="A3.SS1.p2.3.m3.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="A3.SS1.p2.3.m3.1.1.3.3">1</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A3.SS1.p2.3.m3.1c">\frac{1}{q^{2}+1}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A3.SS1.p2.3.m3.1d">divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_q start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + 1 end_ARG</annotation></semantics></math>, which is lower bounded by <math alttext="\frac{0.8}{q^{2}}" class="ltx_Math" display="inline" id="A3.SS1.p2.4.m4.1"><semantics id="A3.SS1.p2.4.m4.1a"><mfrac id="A3.SS1.p2.4.m4.1.1" xref="A3.SS1.p2.4.m4.1.1.cmml"><mn id="A3.SS1.p2.4.m4.1.1.2" xref="A3.SS1.p2.4.m4.1.1.2.cmml">0.8</mn><msup id="A3.SS1.p2.4.m4.1.1.3" xref="A3.SS1.p2.4.m4.1.1.3.cmml"><mi id="A3.SS1.p2.4.m4.1.1.3.2" xref="A3.SS1.p2.4.m4.1.1.3.2.cmml">q</mi><mn id="A3.SS1.p2.4.m4.1.1.3.3" xref="A3.SS1.p2.4.m4.1.1.3.3.cmml">2</mn></msup></mfrac><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A3.SS1.p2.4.m4.1b"><apply id="A3.SS1.p2.4.m4.1.1.cmml" xref="A3.SS1.p2.4.m4.1.1"><divide id="A3.SS1.p2.4.m4.1.1.1.cmml" xref="A3.SS1.p2.4.m4.1.1"></divide><cn id="A3.SS1.p2.4.m4.1.1.2.cmml" type="float" xref="A3.SS1.p2.4.m4.1.1.2">0.8</cn><apply id="A3.SS1.p2.4.m4.1.1.3.cmml" xref="A3.SS1.p2.4.m4.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.SS1.p2.4.m4.1.1.3.1.cmml" xref="A3.SS1.p2.4.m4.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="A3.SS1.p2.4.m4.1.1.3.2.cmml" xref="A3.SS1.p2.4.m4.1.1.3.2">𝑞</ci><cn id="A3.SS1.p2.4.m4.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="A3.SS1.p2.4.m4.1.1.3.3">2</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A3.SS1.p2.4.m4.1c">\frac{0.8}{q^{2}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A3.SS1.p2.4.m4.1d">divide start_ARG 0.8 end_ARG start_ARG italic_q start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG</annotation></semantics></math> for all <math alttext="2\leq t\leq 6,t\leq q" class="ltx_Math" display="inline" id="A3.SS1.p2.5.m5.2"><semantics id="A3.SS1.p2.5.m5.2a"><mrow id="A3.SS1.p2.5.m5.2.2.2" xref="A3.SS1.p2.5.m5.2.2.3.cmml"><mrow id="A3.SS1.p2.5.m5.1.1.1.1" xref="A3.SS1.p2.5.m5.1.1.1.1.cmml"><mn id="A3.SS1.p2.5.m5.1.1.1.1.2" xref="A3.SS1.p2.5.m5.1.1.1.1.2.cmml">2</mn><mo id="A3.SS1.p2.5.m5.1.1.1.1.3" xref="A3.SS1.p2.5.m5.1.1.1.1.3.cmml">≤</mo><mi id="A3.SS1.p2.5.m5.1.1.1.1.4" xref="A3.SS1.p2.5.m5.1.1.1.1.4.cmml">t</mi><mo id="A3.SS1.p2.5.m5.1.1.1.1.5" xref="A3.SS1.p2.5.m5.1.1.1.1.5.cmml">≤</mo><mn id="A3.SS1.p2.5.m5.1.1.1.1.6" xref="A3.SS1.p2.5.m5.1.1.1.1.6.cmml">6</mn></mrow><mo id="A3.SS1.p2.5.m5.2.2.2.3" xref="A3.SS1.p2.5.m5.2.2.3a.cmml">,</mo><mrow id="A3.SS1.p2.5.m5.2.2.2.2" xref="A3.SS1.p2.5.m5.2.2.2.2.cmml"><mi id="A3.SS1.p2.5.m5.2.2.2.2.2" xref="A3.SS1.p2.5.m5.2.2.2.2.2.cmml">t</mi><mo id="A3.SS1.p2.5.m5.2.2.2.2.1" xref="A3.SS1.p2.5.m5.2.2.2.2.1.cmml">≤</mo><mi id="A3.SS1.p2.5.m5.2.2.2.2.3" xref="A3.SS1.p2.5.m5.2.2.2.2.3.cmml">q</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A3.SS1.p2.5.m5.2b"><apply id="A3.SS1.p2.5.m5.2.2.3.cmml" xref="A3.SS1.p2.5.m5.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.SS1.p2.5.m5.2.2.3a.cmml" xref="A3.SS1.p2.5.m5.2.2.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="A3.SS1.p2.5.m5.1.1.1.1.cmml" xref="A3.SS1.p2.5.m5.1.1.1.1"><and id="A3.SS1.p2.5.m5.1.1.1.1a.cmml" xref="A3.SS1.p2.5.m5.1.1.1.1"></and><apply id="A3.SS1.p2.5.m5.1.1.1.1b.cmml" xref="A3.SS1.p2.5.m5.1.1.1.1"><leq id="A3.SS1.p2.5.m5.1.1.1.1.3.cmml" xref="A3.SS1.p2.5.m5.1.1.1.1.3"></leq><cn id="A3.SS1.p2.5.m5.1.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="A3.SS1.p2.5.m5.1.1.1.1.2">2</cn><ci id="A3.SS1.p2.5.m5.1.1.1.1.4.cmml" xref="A3.SS1.p2.5.m5.1.1.1.1.4">𝑡</ci></apply><apply id="A3.SS1.p2.5.m5.1.1.1.1c.cmml" xref="A3.SS1.p2.5.m5.1.1.1.1"><leq id="A3.SS1.p2.5.m5.1.1.1.1.5.cmml" xref="A3.SS1.p2.5.m5.1.1.1.1.5"></leq><share href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#A3.SS1.p2.5.m5.1.1.1.1.4.cmml" id="A3.SS1.p2.5.m5.1.1.1.1d.cmml" xref="A3.SS1.p2.5.m5.1.1.1.1"></share><cn id="A3.SS1.p2.5.m5.1.1.1.1.6.cmml" type="integer" xref="A3.SS1.p2.5.m5.1.1.1.1.6">6</cn></apply></apply><apply id="A3.SS1.p2.5.m5.2.2.2.2.cmml" xref="A3.SS1.p2.5.m5.2.2.2.2"><leq id="A3.SS1.p2.5.m5.2.2.2.2.1.cmml" xref="A3.SS1.p2.5.m5.2.2.2.2.1"></leq><ci id="A3.SS1.p2.5.m5.2.2.2.2.2.cmml" xref="A3.SS1.p2.5.m5.2.2.2.2.2">𝑡</ci><ci id="A3.SS1.p2.5.m5.2.2.2.2.3.cmml" xref="A3.SS1.p2.5.m5.2.2.2.2.3">𝑞</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A3.SS1.p2.5.m5.2c">2\leq t\leq 6,t\leq q</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A3.SS1.p2.5.m5.2d">2 ≤ italic_t ≤ 6 , italic_t ≤ italic_q</annotation></semantics></math>. Therefore, the subleading singular value bound of <math alttext="K_{m}" class="ltx_Math" display="inline" id="A3.SS1.p2.6.m6.1"><semantics id="A3.SS1.p2.6.m6.1a"><msub id="A3.SS1.p2.6.m6.1.1" xref="A3.SS1.p2.6.m6.1.1.cmml"><mi id="A3.SS1.p2.6.m6.1.1.2" xref="A3.SS1.p2.6.m6.1.1.2.cmml">K</mi><mi id="A3.SS1.p2.6.m6.1.1.3" xref="A3.SS1.p2.6.m6.1.1.3.cmml">m</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A3.SS1.p2.6.m6.1b"><apply id="A3.SS1.p2.6.m6.1.1.cmml" xref="A3.SS1.p2.6.m6.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.SS1.p2.6.m6.1.1.1.cmml" xref="A3.SS1.p2.6.m6.1.1">subscript</csymbol><ci id="A3.SS1.p2.6.m6.1.1.2.cmml" xref="A3.SS1.p2.6.m6.1.1.2">𝐾</ci><ci id="A3.SS1.p2.6.m6.1.1.3.cmml" xref="A3.SS1.p2.6.m6.1.1.3">𝑚</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A3.SS1.p2.6.m6.1c">K_{m}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A3.SS1.p2.6.m6.1d">italic_K start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> is bounded by <math alttext="\frac{1}{q^{2}+1}" class="ltx_Math" display="inline" id="A3.SS1.p2.7.m7.1"><semantics id="A3.SS1.p2.7.m7.1a"><mfrac id="A3.SS1.p2.7.m7.1.1" xref="A3.SS1.p2.7.m7.1.1.cmml"><mn id="A3.SS1.p2.7.m7.1.1.2" xref="A3.SS1.p2.7.m7.1.1.2.cmml">1</mn><mrow id="A3.SS1.p2.7.m7.1.1.3" xref="A3.SS1.p2.7.m7.1.1.3.cmml"><msup id="A3.SS1.p2.7.m7.1.1.3.2" xref="A3.SS1.p2.7.m7.1.1.3.2.cmml"><mi id="A3.SS1.p2.7.m7.1.1.3.2.2" xref="A3.SS1.p2.7.m7.1.1.3.2.2.cmml">q</mi><mn id="A3.SS1.p2.7.m7.1.1.3.2.3" xref="A3.SS1.p2.7.m7.1.1.3.2.3.cmml">2</mn></msup><mo id="A3.SS1.p2.7.m7.1.1.3.1" xref="A3.SS1.p2.7.m7.1.1.3.1.cmml">+</mo><mn id="A3.SS1.p2.7.m7.1.1.3.3" xref="A3.SS1.p2.7.m7.1.1.3.3.cmml">1</mn></mrow></mfrac><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A3.SS1.p2.7.m7.1b"><apply id="A3.SS1.p2.7.m7.1.1.cmml" xref="A3.SS1.p2.7.m7.1.1"><divide id="A3.SS1.p2.7.m7.1.1.1.cmml" xref="A3.SS1.p2.7.m7.1.1"></divide><cn id="A3.SS1.p2.7.m7.1.1.2.cmml" type="integer" xref="A3.SS1.p2.7.m7.1.1.2">1</cn><apply id="A3.SS1.p2.7.m7.1.1.3.cmml" xref="A3.SS1.p2.7.m7.1.1.3"><plus id="A3.SS1.p2.7.m7.1.1.3.1.cmml" xref="A3.SS1.p2.7.m7.1.1.3.1"></plus><apply id="A3.SS1.p2.7.m7.1.1.3.2.cmml" xref="A3.SS1.p2.7.m7.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.SS1.p2.7.m7.1.1.3.2.1.cmml" xref="A3.SS1.p2.7.m7.1.1.3.2">superscript</csymbol><ci id="A3.SS1.p2.7.m7.1.1.3.2.2.cmml" xref="A3.SS1.p2.7.m7.1.1.3.2.2">𝑞</ci><cn id="A3.SS1.p2.7.m7.1.1.3.2.3.cmml" type="integer" xref="A3.SS1.p2.7.m7.1.1.3.2.3">2</cn></apply><cn id="A3.SS1.p2.7.m7.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="A3.SS1.p2.7.m7.1.1.3.3">1</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A3.SS1.p2.7.m7.1c">\frac{1}{q^{2}+1}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A3.SS1.p2.7.m7.1d">divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_q start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + 1 end_ARG</annotation></semantics></math> for all <math alttext="2\leq t\leq 6" class="ltx_Math" display="inline" id="A3.SS1.p2.8.m8.1"><semantics id="A3.SS1.p2.8.m8.1a"><mrow id="A3.SS1.p2.8.m8.1.1" xref="A3.SS1.p2.8.m8.1.1.cmml"><mn id="A3.SS1.p2.8.m8.1.1.2" xref="A3.SS1.p2.8.m8.1.1.2.cmml">2</mn><mo id="A3.SS1.p2.8.m8.1.1.3" xref="A3.SS1.p2.8.m8.1.1.3.cmml">≤</mo><mi id="A3.SS1.p2.8.m8.1.1.4" xref="A3.SS1.p2.8.m8.1.1.4.cmml">t</mi><mo id="A3.SS1.p2.8.m8.1.1.5" xref="A3.SS1.p2.8.m8.1.1.5.cmml">≤</mo><mn id="A3.SS1.p2.8.m8.1.1.6" xref="A3.SS1.p2.8.m8.1.1.6.cmml">6</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A3.SS1.p2.8.m8.1b"><apply id="A3.SS1.p2.8.m8.1.1.cmml" xref="A3.SS1.p2.8.m8.1.1"><and id="A3.SS1.p2.8.m8.1.1a.cmml" xref="A3.SS1.p2.8.m8.1.1"></and><apply id="A3.SS1.p2.8.m8.1.1b.cmml" xref="A3.SS1.p2.8.m8.1.1"><leq id="A3.SS1.p2.8.m8.1.1.3.cmml" xref="A3.SS1.p2.8.m8.1.1.3"></leq><cn id="A3.SS1.p2.8.m8.1.1.2.cmml" type="integer" xref="A3.SS1.p2.8.m8.1.1.2">2</cn><ci id="A3.SS1.p2.8.m8.1.1.4.cmml" xref="A3.SS1.p2.8.m8.1.1.4">𝑡</ci></apply><apply id="A3.SS1.p2.8.m8.1.1c.cmml" xref="A3.SS1.p2.8.m8.1.1"><leq id="A3.SS1.p2.8.m8.1.1.5.cmml" xref="A3.SS1.p2.8.m8.1.1.5"></leq><share href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#A3.SS1.p2.8.m8.1.1.4.cmml" id="A3.SS1.p2.8.m8.1.1d.cmml" xref="A3.SS1.p2.8.m8.1.1"></share><cn id="A3.SS1.p2.8.m8.1.1.6.cmml" type="integer" xref="A3.SS1.p2.8.m8.1.1.6">6</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A3.SS1.p2.8.m8.1c">2\leq t\leq 6</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A3.SS1.p2.8.m8.1d">2 ≤ italic_t ≤ 6</annotation></semantics></math>, <math alttext="t\leq q" class="ltx_Math" display="inline" id="A3.SS1.p2.9.m9.1"><semantics id="A3.SS1.p2.9.m9.1a"><mrow id="A3.SS1.p2.9.m9.1.1" xref="A3.SS1.p2.9.m9.1.1.cmml"><mi id="A3.SS1.p2.9.m9.1.1.2" xref="A3.SS1.p2.9.m9.1.1.2.cmml">t</mi><mo id="A3.SS1.p2.9.m9.1.1.1" xref="A3.SS1.p2.9.m9.1.1.1.cmml">≤</mo><mi id="A3.SS1.p2.9.m9.1.1.3" xref="A3.SS1.p2.9.m9.1.1.3.cmml">q</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A3.SS1.p2.9.m9.1b"><apply id="A3.SS1.p2.9.m9.1.1.cmml" xref="A3.SS1.p2.9.m9.1.1"><leq id="A3.SS1.p2.9.m9.1.1.1.cmml" xref="A3.SS1.p2.9.m9.1.1.1"></leq><ci id="A3.SS1.p2.9.m9.1.1.2.cmml" xref="A3.SS1.p2.9.m9.1.1.2">𝑡</ci><ci id="A3.SS1.p2.9.m9.1.1.3.cmml" xref="A3.SS1.p2.9.m9.1.1.3">𝑞</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A3.SS1.p2.9.m9.1c">t\leq q</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A3.SS1.p2.9.m9.1d">italic_t ≤ italic_q</annotation></semantics></math>, proving Lemma <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#Thmtheorem41" title="Lemma 41. ‣ VI Bounding the complete derangement block ‣ Conditional 𝑡-independent spectral gap for random quantum circuits and implications for 𝑡-design depths"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">41</span></a>.</p> </div> </section> <section class="ltx_subsection" id="A3.SS2"> <h3 class="ltx_title ltx_title_subsection"> <span class="ltx_tag ltx_tag_subsection">C.2 </span>Values of <math alttext="||K_{m}||_{\mathfrak{D}}" class="ltx_Math" display="inline" id="A3.SS2.1.m1.1"><semantics id="A3.SS2.1.m1.1b"><msub id="A3.SS2.1.m1.1.1" xref="A3.SS2.1.m1.1.1.cmml"><mrow id="A3.SS2.1.m1.1.1.1.1" xref="A3.SS2.1.m1.1.1.1.2.cmml"><mo id="A3.SS2.1.m1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A3.SS2.1.m1.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo><msub id="A3.SS2.1.m1.1.1.1.1.1" xref="A3.SS2.1.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A3.SS2.1.m1.1.1.1.1.1.2" xref="A3.SS2.1.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">K</mi><mi id="A3.SS2.1.m1.1.1.1.1.1.3" xref="A3.SS2.1.m1.1.1.1.1.1.3.cmml">m</mi></msub><mo id="A3.SS2.1.m1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A3.SS2.1.m1.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo></mrow><mi id="A3.SS2.1.m1.1.1.3" xref="A3.SS2.1.m1.1.1.3.cmml">𝔇</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A3.SS2.1.m1.1c"><apply id="A3.SS2.1.m1.1.1.cmml" xref="A3.SS2.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.SS2.1.m1.1.1.2.cmml" xref="A3.SS2.1.m1.1.1">subscript</csymbol><apply id="A3.SS2.1.m1.1.1.1.2.cmml" xref="A3.SS2.1.m1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="A3.SS2.1.m1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A3.SS2.1.m1.1.1.1.1.2">norm</csymbol><apply id="A3.SS2.1.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A3.SS2.1.m1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.SS2.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A3.SS2.1.m1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="A3.SS2.1.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A3.SS2.1.m1.1.1.1.1.1.2">𝐾</ci><ci id="A3.SS2.1.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A3.SS2.1.m1.1.1.1.1.1.3">𝑚</ci></apply></apply><ci id="A3.SS2.1.m1.1.1.3.cmml" xref="A3.SS2.1.m1.1.1.3">𝔇</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A3.SS2.1.m1.1d">||K_{m}||_{\mathfrak{D}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A3.SS2.1.m1.1e">| | italic_K start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT | | start_POSTSUBSCRIPT fraktur_D end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> for <math alttext="q<t" class="ltx_Math" display="inline" id="A3.SS2.2.m2.1"><semantics id="A3.SS2.2.m2.1b"><mrow id="A3.SS2.2.m2.1.1" xref="A3.SS2.2.m2.1.1.cmml"><mi id="A3.SS2.2.m2.1.1.2" xref="A3.SS2.2.m2.1.1.2.cmml">q</mi><mo id="A3.SS2.2.m2.1.1.1" xref="A3.SS2.2.m2.1.1.1.cmml"><</mo><mi id="A3.SS2.2.m2.1.1.3" xref="A3.SS2.2.m2.1.1.3.cmml">t</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A3.SS2.2.m2.1c"><apply id="A3.SS2.2.m2.1.1.cmml" xref="A3.SS2.2.m2.1.1"><lt id="A3.SS2.2.m2.1.1.1.cmml" xref="A3.SS2.2.m2.1.1.1"></lt><ci id="A3.SS2.2.m2.1.1.2.cmml" xref="A3.SS2.2.m2.1.1.2">𝑞</ci><ci id="A3.SS2.2.m2.1.1.3.cmml" xref="A3.SS2.2.m2.1.1.3">𝑡</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A3.SS2.2.m2.1d">q<t</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A3.SS2.2.m2.1e">italic_q < italic_t</annotation></semantics></math> (Proof of Theorem <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#Thmtheorem5" title="Theorem 5. ‣ I.2 Main results ‣ I Introduction ‣ Conditional 𝑡-independent spectral gap for random quantum circuits and implications for 𝑡-design depths"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">5</span></a>)</h3> <div class="ltx_para" id="A3.SS2.p1"> <p class="ltx_p" id="A3.SS2.p1.3">In order to prove Theorem <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#Thmtheorem5" title="Theorem 5. ‣ I.2 Main results ‣ I Introduction ‣ Conditional 𝑡-independent spectral gap for random quantum circuits and implications for 𝑡-design depths"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">5</span></a>, we must calculate <math alttext="||K_{m}||_{\mathfrak{D}}" class="ltx_Math" display="inline" id="A3.SS2.p1.1.m1.1"><semantics id="A3.SS2.p1.1.m1.1a"><msub id="A3.SS2.p1.1.m1.1.1" xref="A3.SS2.p1.1.m1.1.1.cmml"><mrow id="A3.SS2.p1.1.m1.1.1.1.1" xref="A3.SS2.p1.1.m1.1.1.1.2.cmml"><mo id="A3.SS2.p1.1.m1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A3.SS2.p1.1.m1.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo><msub id="A3.SS2.p1.1.m1.1.1.1.1.1" xref="A3.SS2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A3.SS2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.2" xref="A3.SS2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">K</mi><mi id="A3.SS2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.3" xref="A3.SS2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.3.cmml">m</mi></msub><mo id="A3.SS2.p1.1.m1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A3.SS2.p1.1.m1.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo></mrow><mi id="A3.SS2.p1.1.m1.1.1.3" xref="A3.SS2.p1.1.m1.1.1.3.cmml">𝔇</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A3.SS2.p1.1.m1.1b"><apply id="A3.SS2.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="A3.SS2.p1.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.SS2.p1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="A3.SS2.p1.1.m1.1.1">subscript</csymbol><apply id="A3.SS2.p1.1.m1.1.1.1.2.cmml" xref="A3.SS2.p1.1.m1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="A3.SS2.p1.1.m1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A3.SS2.p1.1.m1.1.1.1.1.2">norm</csymbol><apply id="A3.SS2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A3.SS2.p1.1.m1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.SS2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A3.SS2.p1.1.m1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="A3.SS2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A3.SS2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.2">𝐾</ci><ci id="A3.SS2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A3.SS2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.3">𝑚</ci></apply></apply><ci id="A3.SS2.p1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="A3.SS2.p1.1.m1.1.1.3">𝔇</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A3.SS2.p1.1.m1.1c">||K_{m}||_{\mathfrak{D}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A3.SS2.p1.1.m1.1d">| | italic_K start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT | | start_POSTSUBSCRIPT fraktur_D end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> for every <math alttext="q<t\leq 6" class="ltx_Math" display="inline" id="A3.SS2.p1.2.m2.1"><semantics id="A3.SS2.p1.2.m2.1a"><mrow id="A3.SS2.p1.2.m2.1.1" xref="A3.SS2.p1.2.m2.1.1.cmml"><mi id="A3.SS2.p1.2.m2.1.1.2" xref="A3.SS2.p1.2.m2.1.1.2.cmml">q</mi><mo id="A3.SS2.p1.2.m2.1.1.3" xref="A3.SS2.p1.2.m2.1.1.3.cmml"><</mo><mi id="A3.SS2.p1.2.m2.1.1.4" xref="A3.SS2.p1.2.m2.1.1.4.cmml">t</mi><mo id="A3.SS2.p1.2.m2.1.1.5" xref="A3.SS2.p1.2.m2.1.1.5.cmml">≤</mo><mn id="A3.SS2.p1.2.m2.1.1.6" xref="A3.SS2.p1.2.m2.1.1.6.cmml">6</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A3.SS2.p1.2.m2.1b"><apply id="A3.SS2.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="A3.SS2.p1.2.m2.1.1"><and id="A3.SS2.p1.2.m2.1.1a.cmml" xref="A3.SS2.p1.2.m2.1.1"></and><apply id="A3.SS2.p1.2.m2.1.1b.cmml" xref="A3.SS2.p1.2.m2.1.1"><lt id="A3.SS2.p1.2.m2.1.1.3.cmml" xref="A3.SS2.p1.2.m2.1.1.3"></lt><ci id="A3.SS2.p1.2.m2.1.1.2.cmml" xref="A3.SS2.p1.2.m2.1.1.2">𝑞</ci><ci id="A3.SS2.p1.2.m2.1.1.4.cmml" xref="A3.SS2.p1.2.m2.1.1.4">𝑡</ci></apply><apply id="A3.SS2.p1.2.m2.1.1c.cmml" xref="A3.SS2.p1.2.m2.1.1"><leq id="A3.SS2.p1.2.m2.1.1.5.cmml" xref="A3.SS2.p1.2.m2.1.1.5"></leq><share href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#A3.SS2.p1.2.m2.1.1.4.cmml" id="A3.SS2.p1.2.m2.1.1d.cmml" xref="A3.SS2.p1.2.m2.1.1"></share><cn id="A3.SS2.p1.2.m2.1.1.6.cmml" type="integer" xref="A3.SS2.p1.2.m2.1.1.6">6</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A3.SS2.p1.2.m2.1c">q<t\leq 6</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A3.SS2.p1.2.m2.1d">italic_q < italic_t ≤ 6</annotation></semantics></math> and <math alttext="m\leq 1000" class="ltx_Math" display="inline" id="A3.SS2.p1.3.m3.1"><semantics id="A3.SS2.p1.3.m3.1a"><mrow id="A3.SS2.p1.3.m3.1.1" xref="A3.SS2.p1.3.m3.1.1.cmml"><mi id="A3.SS2.p1.3.m3.1.1.2" xref="A3.SS2.p1.3.m3.1.1.2.cmml">m</mi><mo id="A3.SS2.p1.3.m3.1.1.1" xref="A3.SS2.p1.3.m3.1.1.1.cmml">≤</mo><mn id="A3.SS2.p1.3.m3.1.1.3" xref="A3.SS2.p1.3.m3.1.1.3.cmml">1000</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A3.SS2.p1.3.m3.1b"><apply id="A3.SS2.p1.3.m3.1.1.cmml" xref="A3.SS2.p1.3.m3.1.1"><leq id="A3.SS2.p1.3.m3.1.1.1.cmml" xref="A3.SS2.p1.3.m3.1.1.1"></leq><ci id="A3.SS2.p1.3.m3.1.1.2.cmml" xref="A3.SS2.p1.3.m3.1.1.2">𝑚</ci><cn id="A3.SS2.p1.3.m3.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A3.SS2.p1.3.m3.1.1.3">1000</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A3.SS2.p1.3.m3.1c">m\leq 1000</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A3.SS2.p1.3.m3.1d">italic_m ≤ 1000</annotation></semantics></math>. Our numerics use a variant of the Lanczos algorithm. Results are presented in Figure <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#A3.F5" title="Figure 5 ‣ C.2 Values of ‖𝐾_𝑚‖_𝔇 for 𝑞<𝑡 (Proof of Theorem 5) ‣ Appendix C Numerical results ‣ Conditional 𝑡-independent spectral gap for random quantum circuits and implications for 𝑡-design depths"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">5</span></a>.</p> </div> <figure class="ltx_figure" id="A3.F5"><svg class="ltx_picture ltx_centering" height="225.03" id="A3.F5.pic1" overflow="visible" version="1.1" width="498.69"><g fill="#000000" stroke="#000000" stroke-width="0.4pt" transform="translate(0,225.03) matrix(1 0 0 -1 0 0) translate(19.41,0) translate(0,225.31)"><g fill="#000000" stroke="#000000" transform="matrix(1.0 0.0 0.0 1.0 0.28 -190.28)"><foreignobject height="190" overflow="visible" transform="matrix(1 0 0 -1 0 16.6)" width="479"><img alt="Refer to caption" class="ltx_graphics ltx_img_landscape" height="190" id="A3.F5.pic1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.g1" src="extracted/6014056/plots/numerical_eigvals.png" width="479"/></foreignobject></g><g fill="#000000" stroke="#000000" transform="matrix(1.0 0.0 0.0 1.0 280.48 -220.7)"><foreignobject height="7.15" overflow="visible" transform="matrix(1 0 0 -1 0 16.6)" width="14.58"><math alttext="m" class="ltx_Math" display="inline" id="A3.F5.pic1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1"><semantics id="A3.F5.pic1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1a"><mi id="A3.F5.pic1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1" mathsize="120%" xref="A3.F5.pic1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml">m</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A3.F5.pic1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1b"><ci id="A3.F5.pic1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="A3.F5.pic1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1">𝑚</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A3.F5.pic1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1c">m</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A3.F5.pic1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1d">italic_m</annotation></semantics></math></foreignobject></g><g fill="#000000" stroke="#000000" transform="matrix(1.0 0.0 0.0 1.0 -14.8 -110.91)"><foreignobject height="11.53" overflow="visible" transform="matrix(1 0 0 -1 0 16.6)" width="9.69"><math alttext="\lambda" class="ltx_Math" display="inline" id="A3.F5.pic1.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1"><semantics id="A3.F5.pic1.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1a"><mi id="A3.F5.pic1.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1" mathsize="120%" xref="A3.F5.pic1.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml">λ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A3.F5.pic1.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1b"><ci id="A3.F5.pic1.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="A3.F5.pic1.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1">𝜆</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A3.F5.pic1.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1c">\lambda</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A3.F5.pic1.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1d">italic_λ</annotation></semantics></math></foreignobject></g></g></svg> <figcaption class="ltx_caption ltx_centering"><span class="ltx_tag ltx_tag_figure">Figure 5: </span>Largest eigenvalues in the deranged subspace for <math alttext="q=2" class="ltx_Math" display="inline" id="A3.F5.4.m1.1"><semantics id="A3.F5.4.m1.1b"><mrow id="A3.F5.4.m1.1.1" xref="A3.F5.4.m1.1.1.cmml"><mi id="A3.F5.4.m1.1.1.2" xref="A3.F5.4.m1.1.1.2.cmml">q</mi><mo id="A3.F5.4.m1.1.1.1" xref="A3.F5.4.m1.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="A3.F5.4.m1.1.1.3" xref="A3.F5.4.m1.1.1.3.cmml">2</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A3.F5.4.m1.1c"><apply id="A3.F5.4.m1.1.1.cmml" xref="A3.F5.4.m1.1.1"><eq id="A3.F5.4.m1.1.1.1.cmml" xref="A3.F5.4.m1.1.1.1"></eq><ci id="A3.F5.4.m1.1.1.2.cmml" xref="A3.F5.4.m1.1.1.2">𝑞</ci><cn id="A3.F5.4.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A3.F5.4.m1.1.1.3">2</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A3.F5.4.m1.1d">q=2</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A3.F5.4.m1.1e">italic_q = 2</annotation></semantics></math> and various values of <math alttext="t" class="ltx_Math" display="inline" id="A3.F5.5.m2.1"><semantics id="A3.F5.5.m2.1b"><mi id="A3.F5.5.m2.1.1" xref="A3.F5.5.m2.1.1.cmml">t</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A3.F5.5.m2.1c"><ci id="A3.F5.5.m2.1.1.cmml" xref="A3.F5.5.m2.1.1">𝑡</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A3.F5.5.m2.1d">t</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A3.F5.5.m2.1e">italic_t</annotation></semantics></math>. Each curve remains essentially flat out to at least <math alttext="m=1000" class="ltx_Math" display="inline" id="A3.F5.6.m3.1"><semantics id="A3.F5.6.m3.1b"><mrow id="A3.F5.6.m3.1.1" xref="A3.F5.6.m3.1.1.cmml"><mi id="A3.F5.6.m3.1.1.2" xref="A3.F5.6.m3.1.1.2.cmml">m</mi><mo id="A3.F5.6.m3.1.1.1" xref="A3.F5.6.m3.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="A3.F5.6.m3.1.1.3" xref="A3.F5.6.m3.1.1.3.cmml">1000</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A3.F5.6.m3.1c"><apply id="A3.F5.6.m3.1.1.cmml" xref="A3.F5.6.m3.1.1"><eq id="A3.F5.6.m3.1.1.1.cmml" xref="A3.F5.6.m3.1.1.1"></eq><ci id="A3.F5.6.m3.1.1.2.cmml" xref="A3.F5.6.m3.1.1.2">𝑚</ci><cn id="A3.F5.6.m3.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A3.F5.6.m3.1.1.3">1000</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A3.F5.6.m3.1d">m=1000</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A3.F5.6.m3.1e">italic_m = 1000</annotation></semantics></math> (not shown).</figcaption> </figure> <div class="ltx_para" id="A3.SS2.p2"> <p class="ltx_p" id="A3.SS2.p2.2">Our computational basis states <math alttext="\mathbf{e}_{\sigma}" class="ltx_Math" display="inline" id="A3.SS2.p2.1.m1.1"><semantics id="A3.SS2.p2.1.m1.1a"><msub id="A3.SS2.p2.1.m1.1.1" xref="A3.SS2.p2.1.m1.1.1.cmml"><mi id="A3.SS2.p2.1.m1.1.1.2" xref="A3.SS2.p2.1.m1.1.1.2.cmml">𝐞</mi><mi id="A3.SS2.p2.1.m1.1.1.3" xref="A3.SS2.p2.1.m1.1.1.3.cmml">σ</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A3.SS2.p2.1.m1.1b"><apply id="A3.SS2.p2.1.m1.1.1.cmml" xref="A3.SS2.p2.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.SS2.p2.1.m1.1.1.1.cmml" xref="A3.SS2.p2.1.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="A3.SS2.p2.1.m1.1.1.2.cmml" xref="A3.SS2.p2.1.m1.1.1.2">𝐞</ci><ci id="A3.SS2.p2.1.m1.1.1.3.cmml" xref="A3.SS2.p2.1.m1.1.1.3">𝜎</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A3.SS2.p2.1.m1.1c">\mathbf{e}_{\sigma}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A3.SS2.p2.1.m1.1d">bold_e start_POSTSUBSCRIPT italic_σ end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> are related to the physical Hilbert space by the embedding <math alttext="E" class="ltx_Math" display="inline" id="A3.SS2.p2.2.m2.1"><semantics id="A3.SS2.p2.2.m2.1a"><mi id="A3.SS2.p2.2.m2.1.1" xref="A3.SS2.p2.2.m2.1.1.cmml">E</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A3.SS2.p2.2.m2.1b"><ci id="A3.SS2.p2.2.m2.1.1.cmml" xref="A3.SS2.p2.2.m2.1.1">𝐸</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A3.SS2.p2.2.m2.1c">E</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A3.SS2.p2.2.m2.1d">italic_E</annotation></semantics></math> described in the previous section. This embedding is an isometry under the metric</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_gather ltx_eqn_table" id="S6.EGx168"> <tbody id="A3.E207"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\displaystyle\langle\mathbf{e}_{\sigma},\mathbf{e}_{\tau}\rangle=\text{Wg}(% \tau\sigma^{-1},d)" class="ltx_Math" display="block" id="A3.E207.m1.4"><semantics id="A3.E207.m1.4a"><mrow id="A3.E207.m1.4.4" xref="A3.E207.m1.4.4.cmml"><mrow id="A3.E207.m1.3.3.2.2" xref="A3.E207.m1.3.3.2.3.cmml"><mo id="A3.E207.m1.3.3.2.2.3" stretchy="false" xref="A3.E207.m1.3.3.2.3.cmml">⟨</mo><msub id="A3.E207.m1.2.2.1.1.1" xref="A3.E207.m1.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="A3.E207.m1.2.2.1.1.1.2" xref="A3.E207.m1.2.2.1.1.1.2.cmml">𝐞</mi><mi id="A3.E207.m1.2.2.1.1.1.3" xref="A3.E207.m1.2.2.1.1.1.3.cmml">σ</mi></msub><mo id="A3.E207.m1.3.3.2.2.4" xref="A3.E207.m1.3.3.2.3.cmml">,</mo><msub id="A3.E207.m1.3.3.2.2.2" xref="A3.E207.m1.3.3.2.2.2.cmml"><mi id="A3.E207.m1.3.3.2.2.2.2" xref="A3.E207.m1.3.3.2.2.2.2.cmml">𝐞</mi><mi id="A3.E207.m1.3.3.2.2.2.3" xref="A3.E207.m1.3.3.2.2.2.3.cmml">τ</mi></msub><mo id="A3.E207.m1.3.3.2.2.5" stretchy="false" xref="A3.E207.m1.3.3.2.3.cmml">⟩</mo></mrow><mo id="A3.E207.m1.4.4.4" xref="A3.E207.m1.4.4.4.cmml">=</mo><mrow id="A3.E207.m1.4.4.3" xref="A3.E207.m1.4.4.3.cmml"><mtext id="A3.E207.m1.4.4.3.3" xref="A3.E207.m1.4.4.3.3a.cmml">Wg</mtext><mo id="A3.E207.m1.4.4.3.2" xref="A3.E207.m1.4.4.3.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A3.E207.m1.4.4.3.1.1" xref="A3.E207.m1.4.4.3.1.2.cmml"><mo id="A3.E207.m1.4.4.3.1.1.2" stretchy="false" xref="A3.E207.m1.4.4.3.1.2.cmml">(</mo><mrow id="A3.E207.m1.4.4.3.1.1.1" xref="A3.E207.m1.4.4.3.1.1.1.cmml"><mi id="A3.E207.m1.4.4.3.1.1.1.2" xref="A3.E207.m1.4.4.3.1.1.1.2.cmml">τ</mi><mo id="A3.E207.m1.4.4.3.1.1.1.1" xref="A3.E207.m1.4.4.3.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msup id="A3.E207.m1.4.4.3.1.1.1.3" xref="A3.E207.m1.4.4.3.1.1.1.3.cmml"><mi id="A3.E207.m1.4.4.3.1.1.1.3.2" xref="A3.E207.m1.4.4.3.1.1.1.3.2.cmml">σ</mi><mrow id="A3.E207.m1.4.4.3.1.1.1.3.3" xref="A3.E207.m1.4.4.3.1.1.1.3.3.cmml"><mo id="A3.E207.m1.4.4.3.1.1.1.3.3a" xref="A3.E207.m1.4.4.3.1.1.1.3.3.cmml">−</mo><mn id="A3.E207.m1.4.4.3.1.1.1.3.3.2" xref="A3.E207.m1.4.4.3.1.1.1.3.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup></mrow><mo id="A3.E207.m1.4.4.3.1.1.3" xref="A3.E207.m1.4.4.3.1.2.cmml">,</mo><mi id="A3.E207.m1.1.1" xref="A3.E207.m1.1.1.cmml">d</mi><mo id="A3.E207.m1.4.4.3.1.1.4" stretchy="false" xref="A3.E207.m1.4.4.3.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A3.E207.m1.4b"><apply id="A3.E207.m1.4.4.cmml" xref="A3.E207.m1.4.4"><eq id="A3.E207.m1.4.4.4.cmml" xref="A3.E207.m1.4.4.4"></eq><list id="A3.E207.m1.3.3.2.3.cmml" xref="A3.E207.m1.3.3.2.2"><apply id="A3.E207.m1.2.2.1.1.1.cmml" xref="A3.E207.m1.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.E207.m1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="A3.E207.m1.2.2.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="A3.E207.m1.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="A3.E207.m1.2.2.1.1.1.2">𝐞</ci><ci id="A3.E207.m1.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="A3.E207.m1.2.2.1.1.1.3">𝜎</ci></apply><apply id="A3.E207.m1.3.3.2.2.2.cmml" xref="A3.E207.m1.3.3.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.E207.m1.3.3.2.2.2.1.cmml" xref="A3.E207.m1.3.3.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="A3.E207.m1.3.3.2.2.2.2.cmml" xref="A3.E207.m1.3.3.2.2.2.2">𝐞</ci><ci id="A3.E207.m1.3.3.2.2.2.3.cmml" xref="A3.E207.m1.3.3.2.2.2.3">𝜏</ci></apply></list><apply id="A3.E207.m1.4.4.3.cmml" xref="A3.E207.m1.4.4.3"><times id="A3.E207.m1.4.4.3.2.cmml" xref="A3.E207.m1.4.4.3.2"></times><ci id="A3.E207.m1.4.4.3.3a.cmml" xref="A3.E207.m1.4.4.3.3"><mtext id="A3.E207.m1.4.4.3.3.cmml" xref="A3.E207.m1.4.4.3.3">Wg</mtext></ci><interval closure="open" id="A3.E207.m1.4.4.3.1.2.cmml" xref="A3.E207.m1.4.4.3.1.1"><apply id="A3.E207.m1.4.4.3.1.1.1.cmml" xref="A3.E207.m1.4.4.3.1.1.1"><times id="A3.E207.m1.4.4.3.1.1.1.1.cmml" xref="A3.E207.m1.4.4.3.1.1.1.1"></times><ci id="A3.E207.m1.4.4.3.1.1.1.2.cmml" xref="A3.E207.m1.4.4.3.1.1.1.2">𝜏</ci><apply id="A3.E207.m1.4.4.3.1.1.1.3.cmml" xref="A3.E207.m1.4.4.3.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.E207.m1.4.4.3.1.1.1.3.1.cmml" xref="A3.E207.m1.4.4.3.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="A3.E207.m1.4.4.3.1.1.1.3.2.cmml" xref="A3.E207.m1.4.4.3.1.1.1.3.2">𝜎</ci><apply id="A3.E207.m1.4.4.3.1.1.1.3.3.cmml" xref="A3.E207.m1.4.4.3.1.1.1.3.3"><minus id="A3.E207.m1.4.4.3.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="A3.E207.m1.4.4.3.1.1.1.3.3"></minus><cn id="A3.E207.m1.4.4.3.1.1.1.3.3.2.cmml" type="integer" xref="A3.E207.m1.4.4.3.1.1.1.3.3.2">1</cn></apply></apply></apply><ci id="A3.E207.m1.1.1.cmml" xref="A3.E207.m1.1.1">𝑑</ci></interval></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A3.E207.m1.4c">\displaystyle\langle\mathbf{e}_{\sigma},\mathbf{e}_{\tau}\rangle=\text{Wg}(% \tau\sigma^{-1},d)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A3.E207.m1.4d">⟨ bold_e start_POSTSUBSCRIPT italic_σ end_POSTSUBSCRIPT , bold_e start_POSTSUBSCRIPT italic_τ end_POSTSUBSCRIPT ⟩ = Wg ( italic_τ italic_σ start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT , italic_d )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(207)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="A3.SS2.p2.3">Since the metric is degenerate, <math alttext="E^{\dagger}" class="ltx_Math" display="inline" id="A3.SS2.p2.3.m1.1"><semantics id="A3.SS2.p2.3.m1.1a"><msup id="A3.SS2.p2.3.m1.1.1" xref="A3.SS2.p2.3.m1.1.1.cmml"><mi id="A3.SS2.p2.3.m1.1.1.2" xref="A3.SS2.p2.3.m1.1.1.2.cmml">E</mi><mo id="A3.SS2.p2.3.m1.1.1.3" xref="A3.SS2.p2.3.m1.1.1.3.cmml">†</mo></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A3.SS2.p2.3.m1.1b"><apply id="A3.SS2.p2.3.m1.1.1.cmml" xref="A3.SS2.p2.3.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.SS2.p2.3.m1.1.1.1.cmml" xref="A3.SS2.p2.3.m1.1.1">superscript</csymbol><ci id="A3.SS2.p2.3.m1.1.1.2.cmml" xref="A3.SS2.p2.3.m1.1.1.2">𝐸</ci><ci id="A3.SS2.p2.3.m1.1.1.3.cmml" xref="A3.SS2.p2.3.m1.1.1.3">†</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A3.SS2.p2.3.m1.1c">E^{\dagger}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A3.SS2.p2.3.m1.1d">italic_E start_POSTSUPERSCRIPT † end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> is not uniquely defined. However, if we define</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="A3.E208"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="X_{m}=\sum_{\sigma_{i},\tau_{i},\alpha,\beta}\Bigg{[}\delta_{\sigma_{1}\sigma_% {2}}\text{Wg}(\sigma_{1}\alpha^{-1},q^{m+1})q^{-m|\alpha^{-1}\tau_{1}|}q^{-|% \alpha^{-1}\sigma_{3}|}\\ \times\text{Wg}(\sigma_{3}\beta^{-1},q^{2})q^{-|\beta^{-1}\tau_{2}|}q^{-|\beta% ^{-1}\tau_{3}|}\mathbf{e}_{\tau_{1}\tau_{2}\tau_{3}}\mathbf{e}_{\sigma_{1}% \sigma_{2}\sigma_{3}}^{T}\Bigg{]}" class="ltx_Math" display="block" id="A3.E208.m1.44"><semantics id="A3.E208.m1.44a"><mtable displaystyle="true" id="A3.E208.m1.43.43" rowspacing="0pt" xref="A3.E208.m1.44.44.1.cmml"><mtr id="A3.E208.m1.43.43a" xref="A3.E208.m1.44.44.1.cmml"><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="A3.E208.m1.43.43b" xref="A3.E208.m1.44.44.1.cmml"><mrow id="A3.E208.m1.22.22.22.22.22" xref="A3.E208.m1.44.44.1.cmml"><msub id="A3.E208.m1.22.22.22.22.22.23" xref="A3.E208.m1.44.44.1.cmml"><mi id="A3.E208.m1.1.1.1.1.1.1" xref="A3.E208.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">X</mi><mi id="A3.E208.m1.2.2.2.2.2.2.1" xref="A3.E208.m1.2.2.2.2.2.2.1.cmml">m</mi></msub><mo id="A3.E208.m1.3.3.3.3.3.3" rspace="0.111em" xref="A3.E208.m1.3.3.3.3.3.3.cmml">=</mo><munder id="A3.E208.m1.22.22.22.22.22.24" xref="A3.E208.m1.44.44.1.cmml"><mo id="A3.E208.m1.4.4.4.4.4.4" movablelimits="false" rspace="0em" xref="A3.E208.m1.4.4.4.4.4.4.cmml">∑</mo><mrow id="A3.E208.m1.5.5.5.5.5.5.1.4" xref="A3.E208.m1.5.5.5.5.5.5.1.5.cmml"><msub id="A3.E208.m1.5.5.5.5.5.5.1.3.1" xref="A3.E208.m1.5.5.5.5.5.5.1.3.1.cmml"><mi id="A3.E208.m1.5.5.5.5.5.5.1.3.1.2" xref="A3.E208.m1.5.5.5.5.5.5.1.3.1.2.cmml">σ</mi><mi id="A3.E208.m1.5.5.5.5.5.5.1.3.1.3" xref="A3.E208.m1.5.5.5.5.5.5.1.3.1.3.cmml">i</mi></msub><mo id="A3.E208.m1.5.5.5.5.5.5.1.4.3" xref="A3.E208.m1.5.5.5.5.5.5.1.5.cmml">,</mo><msub id="A3.E208.m1.5.5.5.5.5.5.1.4.2" xref="A3.E208.m1.5.5.5.5.5.5.1.4.2.cmml"><mi id="A3.E208.m1.5.5.5.5.5.5.1.4.2.2" xref="A3.E208.m1.5.5.5.5.5.5.1.4.2.2.cmml">τ</mi><mi id="A3.E208.m1.5.5.5.5.5.5.1.4.2.3" xref="A3.E208.m1.5.5.5.5.5.5.1.4.2.3.cmml">i</mi></msub><mo id="A3.E208.m1.5.5.5.5.5.5.1.4.4" xref="A3.E208.m1.5.5.5.5.5.5.1.5.cmml">,</mo><mi id="A3.E208.m1.5.5.5.5.5.5.1.1" xref="A3.E208.m1.5.5.5.5.5.5.1.1.cmml">α</mi><mo id="A3.E208.m1.5.5.5.5.5.5.1.4.5" xref="A3.E208.m1.5.5.5.5.5.5.1.5.cmml">,</mo><mi id="A3.E208.m1.5.5.5.5.5.5.1.2" xref="A3.E208.m1.5.5.5.5.5.5.1.2.cmml">β</mi></mrow></munder><mrow id="A3.E208.m1.22.22.22.22.22.25" xref="A3.E208.m1.44.44.1.cmml"><mo id="A3.E208.m1.6.6.6.6.6.6" maxsize="260%" minsize="260%" xref="A3.E208.m1.44.44.1.cmml">[</mo><msub id="A3.E208.m1.22.22.22.22.22.25.1" xref="A3.E208.m1.44.44.1.cmml"><mi id="A3.E208.m1.7.7.7.7.7.7" xref="A3.E208.m1.7.7.7.7.7.7.cmml">δ</mi><mrow id="A3.E208.m1.8.8.8.8.8.8.1" xref="A3.E208.m1.8.8.8.8.8.8.1.cmml"><msub id="A3.E208.m1.8.8.8.8.8.8.1.2" xref="A3.E208.m1.8.8.8.8.8.8.1.2.cmml"><mi id="A3.E208.m1.8.8.8.8.8.8.1.2.2" xref="A3.E208.m1.8.8.8.8.8.8.1.2.2.cmml">σ</mi><mn id="A3.E208.m1.8.8.8.8.8.8.1.2.3" xref="A3.E208.m1.8.8.8.8.8.8.1.2.3.cmml">1</mn></msub><mo id="A3.E208.m1.8.8.8.8.8.8.1.1" xref="A3.E208.m1.8.8.8.8.8.8.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="A3.E208.m1.8.8.8.8.8.8.1.3" xref="A3.E208.m1.8.8.8.8.8.8.1.3.cmml"><mi id="A3.E208.m1.8.8.8.8.8.8.1.3.2" xref="A3.E208.m1.8.8.8.8.8.8.1.3.2.cmml">σ</mi><mn id="A3.E208.m1.8.8.8.8.8.8.1.3.3" xref="A3.E208.m1.8.8.8.8.8.8.1.3.3.cmml">2</mn></msub></mrow></msub><mtext id="A3.E208.m1.9.9.9.9.9.9" xref="A3.E208.m1.9.9.9.9.9.9a.cmml">Wg</mtext><mrow id="A3.E208.m1.22.22.22.22.22.25.2" xref="A3.E208.m1.44.44.1.cmml"><mo id="A3.E208.m1.10.10.10.10.10.10" stretchy="false" xref="A3.E208.m1.44.44.1.cmml">(</mo><msub id="A3.E208.m1.22.22.22.22.22.25.2.1" xref="A3.E208.m1.44.44.1.cmml"><mi id="A3.E208.m1.11.11.11.11.11.11" xref="A3.E208.m1.11.11.11.11.11.11.cmml">σ</mi><mn id="A3.E208.m1.12.12.12.12.12.12.1" xref="A3.E208.m1.12.12.12.12.12.12.1.cmml">1</mn></msub><msup id="A3.E208.m1.22.22.22.22.22.25.2.2" xref="A3.E208.m1.44.44.1.cmml"><mi id="A3.E208.m1.13.13.13.13.13.13" xref="A3.E208.m1.13.13.13.13.13.13.cmml">α</mi><mrow id="A3.E208.m1.14.14.14.14.14.14.1" xref="A3.E208.m1.14.14.14.14.14.14.1.cmml"><mo id="A3.E208.m1.14.14.14.14.14.14.1a" xref="A3.E208.m1.14.14.14.14.14.14.1.cmml">−</mo><mn id="A3.E208.m1.14.14.14.14.14.14.1.2" xref="A3.E208.m1.14.14.14.14.14.14.1.2.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="A3.E208.m1.15.15.15.15.15.15" xref="A3.E208.m1.44.44.1.cmml">,</mo><msup id="A3.E208.m1.22.22.22.22.22.25.2.3" xref="A3.E208.m1.44.44.1.cmml"><mi id="A3.E208.m1.16.16.16.16.16.16" xref="A3.E208.m1.16.16.16.16.16.16.cmml">q</mi><mrow id="A3.E208.m1.17.17.17.17.17.17.1" xref="A3.E208.m1.17.17.17.17.17.17.1.cmml"><mi id="A3.E208.m1.17.17.17.17.17.17.1.2" xref="A3.E208.m1.17.17.17.17.17.17.1.2.cmml">m</mi><mo id="A3.E208.m1.17.17.17.17.17.17.1.1" xref="A3.E208.m1.17.17.17.17.17.17.1.1.cmml">+</mo><mn id="A3.E208.m1.17.17.17.17.17.17.1.3" xref="A3.E208.m1.17.17.17.17.17.17.1.3.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="A3.E208.m1.18.18.18.18.18.18" stretchy="false" xref="A3.E208.m1.44.44.1.cmml">)</mo></mrow><msup id="A3.E208.m1.22.22.22.22.22.25.3" xref="A3.E208.m1.44.44.1.cmml"><mi id="A3.E208.m1.19.19.19.19.19.19" xref="A3.E208.m1.19.19.19.19.19.19.cmml">q</mi><mrow id="A3.E208.m1.20.20.20.20.20.20.1" xref="A3.E208.m1.20.20.20.20.20.20.1.cmml"><mo id="A3.E208.m1.20.20.20.20.20.20.1a" xref="A3.E208.m1.20.20.20.20.20.20.1.cmml">−</mo><mrow id="A3.E208.m1.20.20.20.20.20.20.1.1" xref="A3.E208.m1.20.20.20.20.20.20.1.1.cmml"><mi id="A3.E208.m1.20.20.20.20.20.20.1.1.3" xref="A3.E208.m1.20.20.20.20.20.20.1.1.3.cmml">m</mi><mo id="A3.E208.m1.20.20.20.20.20.20.1.1.2" xref="A3.E208.m1.20.20.20.20.20.20.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A3.E208.m1.20.20.20.20.20.20.1.1.1.1" xref="A3.E208.m1.20.20.20.20.20.20.1.1.1.2.cmml"><mo id="A3.E208.m1.20.20.20.20.20.20.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A3.E208.m1.20.20.20.20.20.20.1.1.1.2.1.cmml">|</mo><mrow id="A3.E208.m1.20.20.20.20.20.20.1.1.1.1.1" xref="A3.E208.m1.20.20.20.20.20.20.1.1.1.1.1.cmml"><msup id="A3.E208.m1.20.20.20.20.20.20.1.1.1.1.1.2" xref="A3.E208.m1.20.20.20.20.20.20.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="A3.E208.m1.20.20.20.20.20.20.1.1.1.1.1.2.2" xref="A3.E208.m1.20.20.20.20.20.20.1.1.1.1.1.2.2.cmml">α</mi><mrow id="A3.E208.m1.20.20.20.20.20.20.1.1.1.1.1.2.3" xref="A3.E208.m1.20.20.20.20.20.20.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mo id="A3.E208.m1.20.20.20.20.20.20.1.1.1.1.1.2.3a" xref="A3.E208.m1.20.20.20.20.20.20.1.1.1.1.1.2.3.cmml">−</mo><mn id="A3.E208.m1.20.20.20.20.20.20.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="A3.E208.m1.20.20.20.20.20.20.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="A3.E208.m1.20.20.20.20.20.20.1.1.1.1.1.1" xref="A3.E208.m1.20.20.20.20.20.20.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="A3.E208.m1.20.20.20.20.20.20.1.1.1.1.1.3" xref="A3.E208.m1.20.20.20.20.20.20.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A3.E208.m1.20.20.20.20.20.20.1.1.1.1.1.3.2" xref="A3.E208.m1.20.20.20.20.20.20.1.1.1.1.1.3.2.cmml">τ</mi><mn id="A3.E208.m1.20.20.20.20.20.20.1.1.1.1.1.3.3" xref="A3.E208.m1.20.20.20.20.20.20.1.1.1.1.1.3.3.cmml">1</mn></msub></mrow><mo id="A3.E208.m1.20.20.20.20.20.20.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A3.E208.m1.20.20.20.20.20.20.1.1.1.2.1.cmml">|</mo></mrow></mrow></mrow></msup><msup id="A3.E208.m1.22.22.22.22.22.25.4" xref="A3.E208.m1.44.44.1.cmml"><mi id="A3.E208.m1.21.21.21.21.21.21" xref="A3.E208.m1.21.21.21.21.21.21.cmml">q</mi><mrow id="A3.E208.m1.22.22.22.22.22.22.1" xref="A3.E208.m1.22.22.22.22.22.22.1.cmml"><mo id="A3.E208.m1.22.22.22.22.22.22.1a" xref="A3.E208.m1.22.22.22.22.22.22.1.cmml">−</mo><mrow id="A3.E208.m1.22.22.22.22.22.22.1.1.1" xref="A3.E208.m1.22.22.22.22.22.22.1.1.2.cmml"><mo id="A3.E208.m1.22.22.22.22.22.22.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A3.E208.m1.22.22.22.22.22.22.1.1.2.1.cmml">|</mo><mrow id="A3.E208.m1.22.22.22.22.22.22.1.1.1.1" xref="A3.E208.m1.22.22.22.22.22.22.1.1.1.1.cmml"><msup id="A3.E208.m1.22.22.22.22.22.22.1.1.1.1.2" xref="A3.E208.m1.22.22.22.22.22.22.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="A3.E208.m1.22.22.22.22.22.22.1.1.1.1.2.2" xref="A3.E208.m1.22.22.22.22.22.22.1.1.1.1.2.2.cmml">α</mi><mrow id="A3.E208.m1.22.22.22.22.22.22.1.1.1.1.2.3" xref="A3.E208.m1.22.22.22.22.22.22.1.1.1.1.2.3.cmml"><mo id="A3.E208.m1.22.22.22.22.22.22.1.1.1.1.2.3a" xref="A3.E208.m1.22.22.22.22.22.22.1.1.1.1.2.3.cmml">−</mo><mn id="A3.E208.m1.22.22.22.22.22.22.1.1.1.1.2.3.2" xref="A3.E208.m1.22.22.22.22.22.22.1.1.1.1.2.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="A3.E208.m1.22.22.22.22.22.22.1.1.1.1.1" xref="A3.E208.m1.22.22.22.22.22.22.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="A3.E208.m1.22.22.22.22.22.22.1.1.1.1.3" xref="A3.E208.m1.22.22.22.22.22.22.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A3.E208.m1.22.22.22.22.22.22.1.1.1.1.3.2" xref="A3.E208.m1.22.22.22.22.22.22.1.1.1.1.3.2.cmml">σ</mi><mn id="A3.E208.m1.22.22.22.22.22.22.1.1.1.1.3.3" xref="A3.E208.m1.22.22.22.22.22.22.1.1.1.1.3.3.cmml">3</mn></msub></mrow><mo id="A3.E208.m1.22.22.22.22.22.22.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A3.E208.m1.22.22.22.22.22.22.1.1.2.1.cmml">|</mo></mrow></mrow></msup></mrow></mrow></mtd></mtr><mtr id="A3.E208.m1.43.43c" xref="A3.E208.m1.44.44.1.cmml"><mtd class="ltx_align_right" columnalign="right" id="A3.E208.m1.43.43d" xref="A3.E208.m1.44.44.1.cmml"><mrow id="A3.E208.m1.43.43.43.21.21" xref="A3.E208.m1.44.44.1.cmml"><mo id="A3.E208.m1.23.23.23.1.1.1" rspace="0.222em" xref="A3.E208.m1.23.23.23.1.1.1.cmml">×</mo><mtext id="A3.E208.m1.24.24.24.2.2.2" xref="A3.E208.m1.24.24.24.2.2.2a.cmml">Wg</mtext><mrow id="A3.E208.m1.43.43.43.21.21.22" xref="A3.E208.m1.44.44.1.cmml"><mo id="A3.E208.m1.25.25.25.3.3.3" stretchy="false" xref="A3.E208.m1.44.44.1.cmml">(</mo><msub id="A3.E208.m1.43.43.43.21.21.22.1" xref="A3.E208.m1.44.44.1.cmml"><mi id="A3.E208.m1.26.26.26.4.4.4" xref="A3.E208.m1.26.26.26.4.4.4.cmml">σ</mi><mn id="A3.E208.m1.27.27.27.5.5.5.1" xref="A3.E208.m1.27.27.27.5.5.5.1.cmml">3</mn></msub><msup id="A3.E208.m1.43.43.43.21.21.22.2" xref="A3.E208.m1.44.44.1.cmml"><mi id="A3.E208.m1.28.28.28.6.6.6" xref="A3.E208.m1.28.28.28.6.6.6.cmml">β</mi><mrow id="A3.E208.m1.29.29.29.7.7.7.1" xref="A3.E208.m1.29.29.29.7.7.7.1.cmml"><mo id="A3.E208.m1.29.29.29.7.7.7.1a" xref="A3.E208.m1.29.29.29.7.7.7.1.cmml">−</mo><mn id="A3.E208.m1.29.29.29.7.7.7.1.2" xref="A3.E208.m1.29.29.29.7.7.7.1.2.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="A3.E208.m1.30.30.30.8.8.8" xref="A3.E208.m1.44.44.1.cmml">,</mo><msup id="A3.E208.m1.43.43.43.21.21.22.3" xref="A3.E208.m1.44.44.1.cmml"><mi id="A3.E208.m1.31.31.31.9.9.9" xref="A3.E208.m1.31.31.31.9.9.9.cmml">q</mi><mn id="A3.E208.m1.32.32.32.10.10.10.1" xref="A3.E208.m1.32.32.32.10.10.10.1.cmml">2</mn></msup><mo id="A3.E208.m1.33.33.33.11.11.11" stretchy="false" xref="A3.E208.m1.44.44.1.cmml">)</mo></mrow><msup id="A3.E208.m1.43.43.43.21.21.23" xref="A3.E208.m1.44.44.1.cmml"><mi id="A3.E208.m1.34.34.34.12.12.12" xref="A3.E208.m1.34.34.34.12.12.12.cmml">q</mi><mrow id="A3.E208.m1.35.35.35.13.13.13.1" xref="A3.E208.m1.35.35.35.13.13.13.1.cmml"><mo id="A3.E208.m1.35.35.35.13.13.13.1a" xref="A3.E208.m1.35.35.35.13.13.13.1.cmml">−</mo><mrow id="A3.E208.m1.35.35.35.13.13.13.1.1.1" xref="A3.E208.m1.35.35.35.13.13.13.1.1.2.cmml"><mo id="A3.E208.m1.35.35.35.13.13.13.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A3.E208.m1.35.35.35.13.13.13.1.1.2.1.cmml">|</mo><mrow id="A3.E208.m1.35.35.35.13.13.13.1.1.1.1" xref="A3.E208.m1.35.35.35.13.13.13.1.1.1.1.cmml"><msup id="A3.E208.m1.35.35.35.13.13.13.1.1.1.1.2" xref="A3.E208.m1.35.35.35.13.13.13.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="A3.E208.m1.35.35.35.13.13.13.1.1.1.1.2.2" xref="A3.E208.m1.35.35.35.13.13.13.1.1.1.1.2.2.cmml">β</mi><mrow id="A3.E208.m1.35.35.35.13.13.13.1.1.1.1.2.3" xref="A3.E208.m1.35.35.35.13.13.13.1.1.1.1.2.3.cmml"><mo id="A3.E208.m1.35.35.35.13.13.13.1.1.1.1.2.3a" xref="A3.E208.m1.35.35.35.13.13.13.1.1.1.1.2.3.cmml">−</mo><mn id="A3.E208.m1.35.35.35.13.13.13.1.1.1.1.2.3.2" xref="A3.E208.m1.35.35.35.13.13.13.1.1.1.1.2.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="A3.E208.m1.35.35.35.13.13.13.1.1.1.1.1" xref="A3.E208.m1.35.35.35.13.13.13.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="A3.E208.m1.35.35.35.13.13.13.1.1.1.1.3" xref="A3.E208.m1.35.35.35.13.13.13.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A3.E208.m1.35.35.35.13.13.13.1.1.1.1.3.2" xref="A3.E208.m1.35.35.35.13.13.13.1.1.1.1.3.2.cmml">τ</mi><mn id="A3.E208.m1.35.35.35.13.13.13.1.1.1.1.3.3" xref="A3.E208.m1.35.35.35.13.13.13.1.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></msub></mrow><mo id="A3.E208.m1.35.35.35.13.13.13.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A3.E208.m1.35.35.35.13.13.13.1.1.2.1.cmml">|</mo></mrow></mrow></msup><msup id="A3.E208.m1.43.43.43.21.21.24" xref="A3.E208.m1.44.44.1.cmml"><mi id="A3.E208.m1.36.36.36.14.14.14" xref="A3.E208.m1.36.36.36.14.14.14.cmml">q</mi><mrow id="A3.E208.m1.37.37.37.15.15.15.1" xref="A3.E208.m1.37.37.37.15.15.15.1.cmml"><mo id="A3.E208.m1.37.37.37.15.15.15.1a" xref="A3.E208.m1.37.37.37.15.15.15.1.cmml">−</mo><mrow id="A3.E208.m1.37.37.37.15.15.15.1.1.1" xref="A3.E208.m1.37.37.37.15.15.15.1.1.2.cmml"><mo id="A3.E208.m1.37.37.37.15.15.15.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A3.E208.m1.37.37.37.15.15.15.1.1.2.1.cmml">|</mo><mrow id="A3.E208.m1.37.37.37.15.15.15.1.1.1.1" xref="A3.E208.m1.37.37.37.15.15.15.1.1.1.1.cmml"><msup id="A3.E208.m1.37.37.37.15.15.15.1.1.1.1.2" xref="A3.E208.m1.37.37.37.15.15.15.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="A3.E208.m1.37.37.37.15.15.15.1.1.1.1.2.2" xref="A3.E208.m1.37.37.37.15.15.15.1.1.1.1.2.2.cmml">β</mi><mrow id="A3.E208.m1.37.37.37.15.15.15.1.1.1.1.2.3" xref="A3.E208.m1.37.37.37.15.15.15.1.1.1.1.2.3.cmml"><mo id="A3.E208.m1.37.37.37.15.15.15.1.1.1.1.2.3a" xref="A3.E208.m1.37.37.37.15.15.15.1.1.1.1.2.3.cmml">−</mo><mn id="A3.E208.m1.37.37.37.15.15.15.1.1.1.1.2.3.2" xref="A3.E208.m1.37.37.37.15.15.15.1.1.1.1.2.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="A3.E208.m1.37.37.37.15.15.15.1.1.1.1.1" xref="A3.E208.m1.37.37.37.15.15.15.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="A3.E208.m1.37.37.37.15.15.15.1.1.1.1.3" xref="A3.E208.m1.37.37.37.15.15.15.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A3.E208.m1.37.37.37.15.15.15.1.1.1.1.3.2" xref="A3.E208.m1.37.37.37.15.15.15.1.1.1.1.3.2.cmml">τ</mi><mn id="A3.E208.m1.37.37.37.15.15.15.1.1.1.1.3.3" xref="A3.E208.m1.37.37.37.15.15.15.1.1.1.1.3.3.cmml">3</mn></msub></mrow><mo id="A3.E208.m1.37.37.37.15.15.15.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A3.E208.m1.37.37.37.15.15.15.1.1.2.1.cmml">|</mo></mrow></mrow></msup><msub id="A3.E208.m1.43.43.43.21.21.25" xref="A3.E208.m1.44.44.1.cmml"><mi id="A3.E208.m1.38.38.38.16.16.16" xref="A3.E208.m1.38.38.38.16.16.16.cmml">𝐞</mi><mrow id="A3.E208.m1.39.39.39.17.17.17.1" xref="A3.E208.m1.39.39.39.17.17.17.1.cmml"><msub id="A3.E208.m1.39.39.39.17.17.17.1.2" xref="A3.E208.m1.39.39.39.17.17.17.1.2.cmml"><mi id="A3.E208.m1.39.39.39.17.17.17.1.2.2" xref="A3.E208.m1.39.39.39.17.17.17.1.2.2.cmml">τ</mi><mn id="A3.E208.m1.39.39.39.17.17.17.1.2.3" xref="A3.E208.m1.39.39.39.17.17.17.1.2.3.cmml">1</mn></msub><mo id="A3.E208.m1.39.39.39.17.17.17.1.1" xref="A3.E208.m1.39.39.39.17.17.17.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="A3.E208.m1.39.39.39.17.17.17.1.3" xref="A3.E208.m1.39.39.39.17.17.17.1.3.cmml"><mi id="A3.E208.m1.39.39.39.17.17.17.1.3.2" xref="A3.E208.m1.39.39.39.17.17.17.1.3.2.cmml">τ</mi><mn id="A3.E208.m1.39.39.39.17.17.17.1.3.3" xref="A3.E208.m1.39.39.39.17.17.17.1.3.3.cmml">2</mn></msub><mo id="A3.E208.m1.39.39.39.17.17.17.1.1a" xref="A3.E208.m1.39.39.39.17.17.17.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="A3.E208.m1.39.39.39.17.17.17.1.4" xref="A3.E208.m1.39.39.39.17.17.17.1.4.cmml"><mi id="A3.E208.m1.39.39.39.17.17.17.1.4.2" xref="A3.E208.m1.39.39.39.17.17.17.1.4.2.cmml">τ</mi><mn id="A3.E208.m1.39.39.39.17.17.17.1.4.3" xref="A3.E208.m1.39.39.39.17.17.17.1.4.3.cmml">3</mn></msub></mrow></msub><msubsup id="A3.E208.m1.43.43.43.21.21.26" xref="A3.E208.m1.44.44.1.cmml"><mi id="A3.E208.m1.40.40.40.18.18.18" xref="A3.E208.m1.40.40.40.18.18.18.cmml">𝐞</mi><mrow id="A3.E208.m1.41.41.41.19.19.19.1" xref="A3.E208.m1.41.41.41.19.19.19.1.cmml"><msub id="A3.E208.m1.41.41.41.19.19.19.1.2" xref="A3.E208.m1.41.41.41.19.19.19.1.2.cmml"><mi id="A3.E208.m1.41.41.41.19.19.19.1.2.2" xref="A3.E208.m1.41.41.41.19.19.19.1.2.2.cmml">σ</mi><mn id="A3.E208.m1.41.41.41.19.19.19.1.2.3" xref="A3.E208.m1.41.41.41.19.19.19.1.2.3.cmml">1</mn></msub><mo id="A3.E208.m1.41.41.41.19.19.19.1.1" xref="A3.E208.m1.41.41.41.19.19.19.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="A3.E208.m1.41.41.41.19.19.19.1.3" xref="A3.E208.m1.41.41.41.19.19.19.1.3.cmml"><mi id="A3.E208.m1.41.41.41.19.19.19.1.3.2" xref="A3.E208.m1.41.41.41.19.19.19.1.3.2.cmml">σ</mi><mn id="A3.E208.m1.41.41.41.19.19.19.1.3.3" xref="A3.E208.m1.41.41.41.19.19.19.1.3.3.cmml">2</mn></msub><mo id="A3.E208.m1.41.41.41.19.19.19.1.1a" xref="A3.E208.m1.41.41.41.19.19.19.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="A3.E208.m1.41.41.41.19.19.19.1.4" xref="A3.E208.m1.41.41.41.19.19.19.1.4.cmml"><mi id="A3.E208.m1.41.41.41.19.19.19.1.4.2" xref="A3.E208.m1.41.41.41.19.19.19.1.4.2.cmml">σ</mi><mn id="A3.E208.m1.41.41.41.19.19.19.1.4.3" xref="A3.E208.m1.41.41.41.19.19.19.1.4.3.cmml">3</mn></msub></mrow><mi id="A3.E208.m1.42.42.42.20.20.20.1" xref="A3.E208.m1.42.42.42.20.20.20.1.cmml">T</mi></msubsup><mo id="A3.E208.m1.43.43.43.21.21.21" maxsize="260%" minsize="260%" xref="A3.E208.m1.44.44.1.cmml">]</mo></mrow></mtd></mtr></mtable><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A3.E208.m1.44b"><apply id="A3.E208.m1.44.44.1.cmml" xref="A3.E208.m1.43.43"><eq id="A3.E208.m1.3.3.3.3.3.3.cmml" xref="A3.E208.m1.3.3.3.3.3.3"></eq><apply id="A3.E208.m1.44.44.1.3.cmml" xref="A3.E208.m1.43.43"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.E208.m1.44.44.1.3.1.cmml" xref="A3.E208.m1.43.43">subscript</csymbol><ci id="A3.E208.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A3.E208.m1.1.1.1.1.1.1">𝑋</ci><ci id="A3.E208.m1.2.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="A3.E208.m1.2.2.2.2.2.2.1">𝑚</ci></apply><apply id="A3.E208.m1.44.44.1.1.cmml" xref="A3.E208.m1.43.43"><apply id="A3.E208.m1.44.44.1.1.2.cmml" xref="A3.E208.m1.43.43"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.E208.m1.44.44.1.1.2.1.cmml" xref="A3.E208.m1.43.43">subscript</csymbol><sum id="A3.E208.m1.4.4.4.4.4.4.cmml" xref="A3.E208.m1.4.4.4.4.4.4"></sum><list id="A3.E208.m1.5.5.5.5.5.5.1.5.cmml" xref="A3.E208.m1.5.5.5.5.5.5.1.4"><apply id="A3.E208.m1.5.5.5.5.5.5.1.3.1.cmml" xref="A3.E208.m1.5.5.5.5.5.5.1.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.E208.m1.5.5.5.5.5.5.1.3.1.1.cmml" xref="A3.E208.m1.5.5.5.5.5.5.1.3.1">subscript</csymbol><ci id="A3.E208.m1.5.5.5.5.5.5.1.3.1.2.cmml" xref="A3.E208.m1.5.5.5.5.5.5.1.3.1.2">𝜎</ci><ci id="A3.E208.m1.5.5.5.5.5.5.1.3.1.3.cmml" xref="A3.E208.m1.5.5.5.5.5.5.1.3.1.3">𝑖</ci></apply><apply id="A3.E208.m1.5.5.5.5.5.5.1.4.2.cmml" xref="A3.E208.m1.5.5.5.5.5.5.1.4.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.E208.m1.5.5.5.5.5.5.1.4.2.1.cmml" xref="A3.E208.m1.5.5.5.5.5.5.1.4.2">subscript</csymbol><ci id="A3.E208.m1.5.5.5.5.5.5.1.4.2.2.cmml" xref="A3.E208.m1.5.5.5.5.5.5.1.4.2.2">𝜏</ci><ci id="A3.E208.m1.5.5.5.5.5.5.1.4.2.3.cmml" xref="A3.E208.m1.5.5.5.5.5.5.1.4.2.3">𝑖</ci></apply><ci id="A3.E208.m1.5.5.5.5.5.5.1.1.cmml" xref="A3.E208.m1.5.5.5.5.5.5.1.1">𝛼</ci><ci id="A3.E208.m1.5.5.5.5.5.5.1.2.cmml" xref="A3.E208.m1.5.5.5.5.5.5.1.2">𝛽</ci></list></apply><apply id="A3.E208.m1.44.44.1.1.1.2.cmml" xref="A3.E208.m1.43.43"><csymbol cd="latexml" id="A3.E208.m1.44.44.1.1.1.2.1.cmml" xref="A3.E208.m1.43.43">delimited-[]</csymbol><apply id="A3.E208.m1.44.44.1.1.1.1.1.cmml" xref="A3.E208.m1.43.43"><times id="A3.E208.m1.44.44.1.1.1.1.1.5.cmml" xref="A3.E208.m1.43.43"></times><apply id="A3.E208.m1.44.44.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A3.E208.m1.43.43"><times id="A3.E208.m1.23.23.23.1.1.1.cmml" xref="A3.E208.m1.23.23.23.1.1.1"></times><apply 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id="A3.E208.m1.11.11.11.11.11.11.cmml" xref="A3.E208.m1.11.11.11.11.11.11">𝜎</ci><cn id="A3.E208.m1.12.12.12.12.12.12.1.cmml" type="integer" xref="A3.E208.m1.12.12.12.12.12.12.1">1</cn></apply><apply id="A3.E208.m1.44.44.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A3.E208.m1.43.43"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.E208.m1.44.44.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A3.E208.m1.43.43">superscript</csymbol><ci id="A3.E208.m1.13.13.13.13.13.13.cmml" xref="A3.E208.m1.13.13.13.13.13.13">𝛼</ci><apply id="A3.E208.m1.14.14.14.14.14.14.1.cmml" xref="A3.E208.m1.14.14.14.14.14.14.1"><minus id="A3.E208.m1.14.14.14.14.14.14.1.1.cmml" xref="A3.E208.m1.14.14.14.14.14.14.1"></minus><cn id="A3.E208.m1.14.14.14.14.14.14.1.2.cmml" type="integer" xref="A3.E208.m1.14.14.14.14.14.14.1.2">1</cn></apply></apply></apply><apply id="A3.E208.m1.44.44.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml" xref="A3.E208.m1.43.43"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.E208.m1.44.44.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="A3.E208.m1.43.43">superscript</csymbol><ci 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xref="A3.E208.m1.20.20.20.20.20.20.1.1.1.1.1.2.2">𝛼</ci><apply id="A3.E208.m1.20.20.20.20.20.20.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="A3.E208.m1.20.20.20.20.20.20.1.1.1.1.1.2.3"><minus id="A3.E208.m1.20.20.20.20.20.20.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="A3.E208.m1.20.20.20.20.20.20.1.1.1.1.1.2.3"></minus><cn id="A3.E208.m1.20.20.20.20.20.20.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" type="integer" xref="A3.E208.m1.20.20.20.20.20.20.1.1.1.1.1.2.3.2">1</cn></apply></apply><apply id="A3.E208.m1.20.20.20.20.20.20.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A3.E208.m1.20.20.20.20.20.20.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.E208.m1.20.20.20.20.20.20.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A3.E208.m1.20.20.20.20.20.20.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A3.E208.m1.20.20.20.20.20.20.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A3.E208.m1.20.20.20.20.20.20.1.1.1.1.1.3.2">𝜏</ci><cn id="A3.E208.m1.20.20.20.20.20.20.1.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="A3.E208.m1.20.20.20.20.20.20.1.1.1.1.1.3.3">1</cn></apply></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="A3.E208.m1.44.44.1.1.1.1.1.2.2.7.cmml" xref="A3.E208.m1.43.43"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.E208.m1.44.44.1.1.1.1.1.2.2.7.1.cmml" xref="A3.E208.m1.43.43">superscript</csymbol><ci id="A3.E208.m1.21.21.21.21.21.21.cmml" xref="A3.E208.m1.21.21.21.21.21.21">𝑞</ci><apply id="A3.E208.m1.22.22.22.22.22.22.1.cmml" xref="A3.E208.m1.22.22.22.22.22.22.1"><minus id="A3.E208.m1.22.22.22.22.22.22.1.2.cmml" xref="A3.E208.m1.22.22.22.22.22.22.1"></minus><apply id="A3.E208.m1.22.22.22.22.22.22.1.1.2.cmml" xref="A3.E208.m1.22.22.22.22.22.22.1.1.1"><abs id="A3.E208.m1.22.22.22.22.22.22.1.1.2.1.cmml" xref="A3.E208.m1.22.22.22.22.22.22.1.1.1.2"></abs><apply id="A3.E208.m1.22.22.22.22.22.22.1.1.1.1.cmml" xref="A3.E208.m1.22.22.22.22.22.22.1.1.1.1"><times id="A3.E208.m1.22.22.22.22.22.22.1.1.1.1.1.cmml" xref="A3.E208.m1.22.22.22.22.22.22.1.1.1.1.1"></times><apply id="A3.E208.m1.22.22.22.22.22.22.1.1.1.1.2.cmml" xref="A3.E208.m1.22.22.22.22.22.22.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.E208.m1.22.22.22.22.22.22.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A3.E208.m1.22.22.22.22.22.22.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="A3.E208.m1.22.22.22.22.22.22.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A3.E208.m1.22.22.22.22.22.22.1.1.1.1.2.2">𝛼</ci><apply id="A3.E208.m1.22.22.22.22.22.22.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="A3.E208.m1.22.22.22.22.22.22.1.1.1.1.2.3"><minus id="A3.E208.m1.22.22.22.22.22.22.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="A3.E208.m1.22.22.22.22.22.22.1.1.1.1.2.3"></minus><cn id="A3.E208.m1.22.22.22.22.22.22.1.1.1.1.2.3.2.cmml" type="integer" xref="A3.E208.m1.22.22.22.22.22.22.1.1.1.1.2.3.2">1</cn></apply></apply><apply id="A3.E208.m1.22.22.22.22.22.22.1.1.1.1.3.cmml" xref="A3.E208.m1.22.22.22.22.22.22.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.E208.m1.22.22.22.22.22.22.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A3.E208.m1.22.22.22.22.22.22.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A3.E208.m1.22.22.22.22.22.22.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A3.E208.m1.22.22.22.22.22.22.1.1.1.1.3.2">𝜎</ci><cn id="A3.E208.m1.22.22.22.22.22.22.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="A3.E208.m1.22.22.22.22.22.22.1.1.1.1.3.3">3</cn></apply></apply></apply></apply></apply></apply><ci id="A3.E208.m1.24.24.24.2.2.2a.cmml" xref="A3.E208.m1.24.24.24.2.2.2"><mtext id="A3.E208.m1.24.24.24.2.2.2.cmml" xref="A3.E208.m1.24.24.24.2.2.2">Wg</mtext></ci></apply><interval closure="open" id="A3.E208.m1.44.44.1.1.1.1.1.4.3.cmml" xref="A3.E208.m1.43.43"><apply id="A3.E208.m1.44.44.1.1.1.1.1.3.1.1.cmml" xref="A3.E208.m1.43.43"><times id="A3.E208.m1.44.44.1.1.1.1.1.3.1.1.1.cmml" xref="A3.E208.m1.43.43"></times><apply id="A3.E208.m1.44.44.1.1.1.1.1.3.1.1.2.cmml" xref="A3.E208.m1.43.43"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.E208.m1.44.44.1.1.1.1.1.3.1.1.2.1.cmml" xref="A3.E208.m1.43.43">subscript</csymbol><ci id="A3.E208.m1.26.26.26.4.4.4.cmml" xref="A3.E208.m1.26.26.26.4.4.4">𝜎</ci><cn id="A3.E208.m1.27.27.27.5.5.5.1.cmml" type="integer" xref="A3.E208.m1.27.27.27.5.5.5.1">3</cn></apply><apply id="A3.E208.m1.44.44.1.1.1.1.1.3.1.1.3.cmml" xref="A3.E208.m1.43.43"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.E208.m1.44.44.1.1.1.1.1.3.1.1.3.1.cmml" xref="A3.E208.m1.43.43">superscript</csymbol><ci id="A3.E208.m1.28.28.28.6.6.6.cmml" xref="A3.E208.m1.28.28.28.6.6.6">𝛽</ci><apply id="A3.E208.m1.29.29.29.7.7.7.1.cmml" xref="A3.E208.m1.29.29.29.7.7.7.1"><minus id="A3.E208.m1.29.29.29.7.7.7.1.1.cmml" xref="A3.E208.m1.29.29.29.7.7.7.1"></minus><cn id="A3.E208.m1.29.29.29.7.7.7.1.2.cmml" type="integer" xref="A3.E208.m1.29.29.29.7.7.7.1.2">1</cn></apply></apply></apply><apply id="A3.E208.m1.44.44.1.1.1.1.1.4.2.2.cmml" xref="A3.E208.m1.43.43"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.E208.m1.44.44.1.1.1.1.1.4.2.2.1.cmml" xref="A3.E208.m1.43.43">superscript</csymbol><ci id="A3.E208.m1.31.31.31.9.9.9.cmml" xref="A3.E208.m1.31.31.31.9.9.9">𝑞</ci><cn id="A3.E208.m1.32.32.32.10.10.10.1.cmml" type="integer" xref="A3.E208.m1.32.32.32.10.10.10.1">2</cn></apply></interval><apply id="A3.E208.m1.44.44.1.1.1.1.1.6.cmml" xref="A3.E208.m1.43.43"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.E208.m1.44.44.1.1.1.1.1.6.1.cmml" xref="A3.E208.m1.43.43">superscript</csymbol><ci id="A3.E208.m1.34.34.34.12.12.12.cmml" xref="A3.E208.m1.34.34.34.12.12.12">𝑞</ci><apply id="A3.E208.m1.35.35.35.13.13.13.1.cmml" xref="A3.E208.m1.35.35.35.13.13.13.1"><minus id="A3.E208.m1.35.35.35.13.13.13.1.2.cmml" xref="A3.E208.m1.35.35.35.13.13.13.1"></minus><apply id="A3.E208.m1.35.35.35.13.13.13.1.1.2.cmml" xref="A3.E208.m1.35.35.35.13.13.13.1.1.1"><abs id="A3.E208.m1.35.35.35.13.13.13.1.1.2.1.cmml" xref="A3.E208.m1.35.35.35.13.13.13.1.1.1.2"></abs><apply id="A3.E208.m1.35.35.35.13.13.13.1.1.1.1.cmml" xref="A3.E208.m1.35.35.35.13.13.13.1.1.1.1"><times id="A3.E208.m1.35.35.35.13.13.13.1.1.1.1.1.cmml" xref="A3.E208.m1.35.35.35.13.13.13.1.1.1.1.1"></times><apply id="A3.E208.m1.35.35.35.13.13.13.1.1.1.1.2.cmml" xref="A3.E208.m1.35.35.35.13.13.13.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.E208.m1.35.35.35.13.13.13.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A3.E208.m1.35.35.35.13.13.13.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="A3.E208.m1.35.35.35.13.13.13.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A3.E208.m1.35.35.35.13.13.13.1.1.1.1.2.2">𝛽</ci><apply id="A3.E208.m1.35.35.35.13.13.13.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="A3.E208.m1.35.35.35.13.13.13.1.1.1.1.2.3"><minus id="A3.E208.m1.35.35.35.13.13.13.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="A3.E208.m1.35.35.35.13.13.13.1.1.1.1.2.3"></minus><cn id="A3.E208.m1.35.35.35.13.13.13.1.1.1.1.2.3.2.cmml" type="integer" xref="A3.E208.m1.35.35.35.13.13.13.1.1.1.1.2.3.2">1</cn></apply></apply><apply id="A3.E208.m1.35.35.35.13.13.13.1.1.1.1.3.cmml" xref="A3.E208.m1.35.35.35.13.13.13.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.E208.m1.35.35.35.13.13.13.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A3.E208.m1.35.35.35.13.13.13.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A3.E208.m1.35.35.35.13.13.13.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A3.E208.m1.35.35.35.13.13.13.1.1.1.1.3.2">𝜏</ci><cn id="A3.E208.m1.35.35.35.13.13.13.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="A3.E208.m1.35.35.35.13.13.13.1.1.1.1.3.3">2</cn></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="A3.E208.m1.44.44.1.1.1.1.1.7.cmml" xref="A3.E208.m1.43.43"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.E208.m1.44.44.1.1.1.1.1.7.1.cmml" xref="A3.E208.m1.43.43">superscript</csymbol><ci id="A3.E208.m1.36.36.36.14.14.14.cmml" xref="A3.E208.m1.36.36.36.14.14.14">𝑞</ci><apply id="A3.E208.m1.37.37.37.15.15.15.1.cmml" xref="A3.E208.m1.37.37.37.15.15.15.1"><minus id="A3.E208.m1.37.37.37.15.15.15.1.2.cmml" xref="A3.E208.m1.37.37.37.15.15.15.1"></minus><apply id="A3.E208.m1.37.37.37.15.15.15.1.1.2.cmml" xref="A3.E208.m1.37.37.37.15.15.15.1.1.1"><abs id="A3.E208.m1.37.37.37.15.15.15.1.1.2.1.cmml" xref="A3.E208.m1.37.37.37.15.15.15.1.1.1.2"></abs><apply id="A3.E208.m1.37.37.37.15.15.15.1.1.1.1.cmml" xref="A3.E208.m1.37.37.37.15.15.15.1.1.1.1"><times id="A3.E208.m1.37.37.37.15.15.15.1.1.1.1.1.cmml" xref="A3.E208.m1.37.37.37.15.15.15.1.1.1.1.1"></times><apply id="A3.E208.m1.37.37.37.15.15.15.1.1.1.1.2.cmml" xref="A3.E208.m1.37.37.37.15.15.15.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.E208.m1.37.37.37.15.15.15.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A3.E208.m1.37.37.37.15.15.15.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="A3.E208.m1.37.37.37.15.15.15.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A3.E208.m1.37.37.37.15.15.15.1.1.1.1.2.2">𝛽</ci><apply id="A3.E208.m1.37.37.37.15.15.15.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="A3.E208.m1.37.37.37.15.15.15.1.1.1.1.2.3"><minus id="A3.E208.m1.37.37.37.15.15.15.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="A3.E208.m1.37.37.37.15.15.15.1.1.1.1.2.3"></minus><cn id="A3.E208.m1.37.37.37.15.15.15.1.1.1.1.2.3.2.cmml" type="integer" xref="A3.E208.m1.37.37.37.15.15.15.1.1.1.1.2.3.2">1</cn></apply></apply><apply id="A3.E208.m1.37.37.37.15.15.15.1.1.1.1.3.cmml" xref="A3.E208.m1.37.37.37.15.15.15.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.E208.m1.37.37.37.15.15.15.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A3.E208.m1.37.37.37.15.15.15.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A3.E208.m1.37.37.37.15.15.15.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A3.E208.m1.37.37.37.15.15.15.1.1.1.1.3.2">𝜏</ci><cn id="A3.E208.m1.37.37.37.15.15.15.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="A3.E208.m1.37.37.37.15.15.15.1.1.1.1.3.3">3</cn></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="A3.E208.m1.44.44.1.1.1.1.1.8.cmml" xref="A3.E208.m1.43.43"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.E208.m1.44.44.1.1.1.1.1.8.1.cmml" xref="A3.E208.m1.43.43">subscript</csymbol><ci id="A3.E208.m1.38.38.38.16.16.16.cmml" xref="A3.E208.m1.38.38.38.16.16.16">𝐞</ci><apply id="A3.E208.m1.39.39.39.17.17.17.1.cmml" xref="A3.E208.m1.39.39.39.17.17.17.1"><times id="A3.E208.m1.39.39.39.17.17.17.1.1.cmml" xref="A3.E208.m1.39.39.39.17.17.17.1.1"></times><apply id="A3.E208.m1.39.39.39.17.17.17.1.2.cmml" xref="A3.E208.m1.39.39.39.17.17.17.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.E208.m1.39.39.39.17.17.17.1.2.1.cmml" xref="A3.E208.m1.39.39.39.17.17.17.1.2">subscript</csymbol><ci id="A3.E208.m1.39.39.39.17.17.17.1.2.2.cmml" xref="A3.E208.m1.39.39.39.17.17.17.1.2.2">𝜏</ci><cn id="A3.E208.m1.39.39.39.17.17.17.1.2.3.cmml" type="integer" xref="A3.E208.m1.39.39.39.17.17.17.1.2.3">1</cn></apply><apply id="A3.E208.m1.39.39.39.17.17.17.1.3.cmml" xref="A3.E208.m1.39.39.39.17.17.17.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.E208.m1.39.39.39.17.17.17.1.3.1.cmml" xref="A3.E208.m1.39.39.39.17.17.17.1.3">subscript</csymbol><ci id="A3.E208.m1.39.39.39.17.17.17.1.3.2.cmml" xref="A3.E208.m1.39.39.39.17.17.17.1.3.2">𝜏</ci><cn id="A3.E208.m1.39.39.39.17.17.17.1.3.3.cmml" type="integer" xref="A3.E208.m1.39.39.39.17.17.17.1.3.3">2</cn></apply><apply id="A3.E208.m1.39.39.39.17.17.17.1.4.cmml" xref="A3.E208.m1.39.39.39.17.17.17.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.E208.m1.39.39.39.17.17.17.1.4.1.cmml" xref="A3.E208.m1.39.39.39.17.17.17.1.4">subscript</csymbol><ci id="A3.E208.m1.39.39.39.17.17.17.1.4.2.cmml" xref="A3.E208.m1.39.39.39.17.17.17.1.4.2">𝜏</ci><cn id="A3.E208.m1.39.39.39.17.17.17.1.4.3.cmml" type="integer" xref="A3.E208.m1.39.39.39.17.17.17.1.4.3">3</cn></apply></apply></apply><apply id="A3.E208.m1.44.44.1.1.1.1.1.9.cmml" xref="A3.E208.m1.43.43"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.E208.m1.44.44.1.1.1.1.1.9.1.cmml" xref="A3.E208.m1.43.43">superscript</csymbol><apply id="A3.E208.m1.44.44.1.1.1.1.1.9.2.cmml" xref="A3.E208.m1.43.43"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.E208.m1.44.44.1.1.1.1.1.9.2.1.cmml" xref="A3.E208.m1.43.43">subscript</csymbol><ci id="A3.E208.m1.40.40.40.18.18.18.cmml" xref="A3.E208.m1.40.40.40.18.18.18">𝐞</ci><apply id="A3.E208.m1.41.41.41.19.19.19.1.cmml" xref="A3.E208.m1.41.41.41.19.19.19.1"><times id="A3.E208.m1.41.41.41.19.19.19.1.1.cmml" xref="A3.E208.m1.41.41.41.19.19.19.1.1"></times><apply id="A3.E208.m1.41.41.41.19.19.19.1.2.cmml" xref="A3.E208.m1.41.41.41.19.19.19.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.E208.m1.41.41.41.19.19.19.1.2.1.cmml" xref="A3.E208.m1.41.41.41.19.19.19.1.2">subscript</csymbol><ci id="A3.E208.m1.41.41.41.19.19.19.1.2.2.cmml" xref="A3.E208.m1.41.41.41.19.19.19.1.2.2">𝜎</ci><cn id="A3.E208.m1.41.41.41.19.19.19.1.2.3.cmml" type="integer" xref="A3.E208.m1.41.41.41.19.19.19.1.2.3">1</cn></apply><apply id="A3.E208.m1.41.41.41.19.19.19.1.3.cmml" xref="A3.E208.m1.41.41.41.19.19.19.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.E208.m1.41.41.41.19.19.19.1.3.1.cmml" xref="A3.E208.m1.41.41.41.19.19.19.1.3">subscript</csymbol><ci id="A3.E208.m1.41.41.41.19.19.19.1.3.2.cmml" xref="A3.E208.m1.41.41.41.19.19.19.1.3.2">𝜎</ci><cn id="A3.E208.m1.41.41.41.19.19.19.1.3.3.cmml" type="integer" xref="A3.E208.m1.41.41.41.19.19.19.1.3.3">2</cn></apply><apply id="A3.E208.m1.41.41.41.19.19.19.1.4.cmml" xref="A3.E208.m1.41.41.41.19.19.19.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.E208.m1.41.41.41.19.19.19.1.4.1.cmml" xref="A3.E208.m1.41.41.41.19.19.19.1.4">subscript</csymbol><ci id="A3.E208.m1.41.41.41.19.19.19.1.4.2.cmml" xref="A3.E208.m1.41.41.41.19.19.19.1.4.2">𝜎</ci><cn id="A3.E208.m1.41.41.41.19.19.19.1.4.3.cmml" type="integer" xref="A3.E208.m1.41.41.41.19.19.19.1.4.3">3</cn></apply></apply></apply><ci id="A3.E208.m1.42.42.42.20.20.20.1.cmml" xref="A3.E208.m1.42.42.42.20.20.20.1">𝑇</ci></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A3.E208.m1.44c">X_{m}=\sum_{\sigma_{i},\tau_{i},\alpha,\beta}\Bigg{[}\delta_{\sigma_{1}\sigma_% {2}}\text{Wg}(\sigma_{1}\alpha^{-1},q^{m+1})q^{-m|\alpha^{-1}\tau_{1}|}q^{-|% \alpha^{-1}\sigma_{3}|}\\ \times\text{Wg}(\sigma_{3}\beta^{-1},q^{2})q^{-|\beta^{-1}\tau_{2}|}q^{-|\beta% ^{-1}\tau_{3}|}\mathbf{e}_{\tau_{1}\tau_{2}\tau_{3}}\mathbf{e}_{\sigma_{1}% \sigma_{2}\sigma_{3}}^{T}\Bigg{]}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A3.E208.m1.44d">start_ROW start_CELL italic_X start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT = ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_σ start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT , italic_τ start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT , italic_α , italic_β end_POSTSUBSCRIPT [ italic_δ start_POSTSUBSCRIPT italic_σ start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT italic_σ start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT Wg ( italic_σ start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT italic_α start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT , italic_q start_POSTSUPERSCRIPT italic_m + 1 end_POSTSUPERSCRIPT ) italic_q start_POSTSUPERSCRIPT - italic_m | italic_α start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT italic_τ start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT | end_POSTSUPERSCRIPT italic_q start_POSTSUPERSCRIPT - | italic_α start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT italic_σ start_POSTSUBSCRIPT 3 end_POSTSUBSCRIPT | end_POSTSUPERSCRIPT end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL × Wg ( italic_σ start_POSTSUBSCRIPT 3 end_POSTSUBSCRIPT italic_β start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT , italic_q start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ) italic_q start_POSTSUPERSCRIPT - | italic_β start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT italic_τ start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT | end_POSTSUPERSCRIPT italic_q start_POSTSUPERSCRIPT - | italic_β start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT italic_τ start_POSTSUBSCRIPT 3 end_POSTSUBSCRIPT | end_POSTSUPERSCRIPT bold_e start_POSTSUBSCRIPT italic_τ start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT italic_τ start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT italic_τ start_POSTSUBSCRIPT 3 end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT bold_e start_POSTSUBSCRIPT italic_σ start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT italic_σ start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT italic_σ start_POSTSUBSCRIPT 3 end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT ] end_CELL end_ROW</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(208)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="A3.SS2.p2.5">then we have</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_gather ltx_eqn_table" id="S6.EGx169"> <tbody id="A3.E209"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\displaystyle\Pi_{m+1}G_{m}=EX_{m}E^{\dagger}" class="ltx_Math" display="block" id="A3.E209.m1.1"><semantics id="A3.E209.m1.1a"><mrow id="A3.E209.m1.1.1" xref="A3.E209.m1.1.1.cmml"><mrow id="A3.E209.m1.1.1.2" xref="A3.E209.m1.1.1.2.cmml"><msub id="A3.E209.m1.1.1.2.2" xref="A3.E209.m1.1.1.2.2.cmml"><mi id="A3.E209.m1.1.1.2.2.2" mathvariant="normal" xref="A3.E209.m1.1.1.2.2.2.cmml">Π</mi><mrow id="A3.E209.m1.1.1.2.2.3" xref="A3.E209.m1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="A3.E209.m1.1.1.2.2.3.2" xref="A3.E209.m1.1.1.2.2.3.2.cmml">m</mi><mo id="A3.E209.m1.1.1.2.2.3.1" xref="A3.E209.m1.1.1.2.2.3.1.cmml">+</mo><mn id="A3.E209.m1.1.1.2.2.3.3" xref="A3.E209.m1.1.1.2.2.3.3.cmml">1</mn></mrow></msub><mo id="A3.E209.m1.1.1.2.1" xref="A3.E209.m1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="A3.E209.m1.1.1.2.3" xref="A3.E209.m1.1.1.2.3.cmml"><mi id="A3.E209.m1.1.1.2.3.2" xref="A3.E209.m1.1.1.2.3.2.cmml">G</mi><mi id="A3.E209.m1.1.1.2.3.3" xref="A3.E209.m1.1.1.2.3.3.cmml">m</mi></msub></mrow><mo id="A3.E209.m1.1.1.1" xref="A3.E209.m1.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="A3.E209.m1.1.1.3" xref="A3.E209.m1.1.1.3.cmml"><mi id="A3.E209.m1.1.1.3.2" xref="A3.E209.m1.1.1.3.2.cmml">E</mi><mo id="A3.E209.m1.1.1.3.1" xref="A3.E209.m1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="A3.E209.m1.1.1.3.3" xref="A3.E209.m1.1.1.3.3.cmml"><mi id="A3.E209.m1.1.1.3.3.2" xref="A3.E209.m1.1.1.3.3.2.cmml">X</mi><mi id="A3.E209.m1.1.1.3.3.3" xref="A3.E209.m1.1.1.3.3.3.cmml">m</mi></msub><mo id="A3.E209.m1.1.1.3.1a" xref="A3.E209.m1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="A3.E209.m1.1.1.3.4" xref="A3.E209.m1.1.1.3.4.cmml"><mi id="A3.E209.m1.1.1.3.4.2" xref="A3.E209.m1.1.1.3.4.2.cmml">E</mi><mo id="A3.E209.m1.1.1.3.4.3" xref="A3.E209.m1.1.1.3.4.3.cmml">†</mo></msup></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A3.E209.m1.1b"><apply id="A3.E209.m1.1.1.cmml" xref="A3.E209.m1.1.1"><eq id="A3.E209.m1.1.1.1.cmml" xref="A3.E209.m1.1.1.1"></eq><apply id="A3.E209.m1.1.1.2.cmml" xref="A3.E209.m1.1.1.2"><times id="A3.E209.m1.1.1.2.1.cmml" xref="A3.E209.m1.1.1.2.1"></times><apply id="A3.E209.m1.1.1.2.2.cmml" xref="A3.E209.m1.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.E209.m1.1.1.2.2.1.cmml" xref="A3.E209.m1.1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="A3.E209.m1.1.1.2.2.2.cmml" xref="A3.E209.m1.1.1.2.2.2">Π</ci><apply id="A3.E209.m1.1.1.2.2.3.cmml" xref="A3.E209.m1.1.1.2.2.3"><plus id="A3.E209.m1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="A3.E209.m1.1.1.2.2.3.1"></plus><ci id="A3.E209.m1.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="A3.E209.m1.1.1.2.2.3.2">𝑚</ci><cn id="A3.E209.m1.1.1.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="A3.E209.m1.1.1.2.2.3.3">1</cn></apply></apply><apply id="A3.E209.m1.1.1.2.3.cmml" xref="A3.E209.m1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.E209.m1.1.1.2.3.1.cmml" xref="A3.E209.m1.1.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="A3.E209.m1.1.1.2.3.2.cmml" xref="A3.E209.m1.1.1.2.3.2">𝐺</ci><ci id="A3.E209.m1.1.1.2.3.3.cmml" xref="A3.E209.m1.1.1.2.3.3">𝑚</ci></apply></apply><apply id="A3.E209.m1.1.1.3.cmml" xref="A3.E209.m1.1.1.3"><times id="A3.E209.m1.1.1.3.1.cmml" xref="A3.E209.m1.1.1.3.1"></times><ci id="A3.E209.m1.1.1.3.2.cmml" xref="A3.E209.m1.1.1.3.2">𝐸</ci><apply id="A3.E209.m1.1.1.3.3.cmml" xref="A3.E209.m1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.E209.m1.1.1.3.3.1.cmml" xref="A3.E209.m1.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="A3.E209.m1.1.1.3.3.2.cmml" xref="A3.E209.m1.1.1.3.3.2">𝑋</ci><ci id="A3.E209.m1.1.1.3.3.3.cmml" xref="A3.E209.m1.1.1.3.3.3">𝑚</ci></apply><apply id="A3.E209.m1.1.1.3.4.cmml" xref="A3.E209.m1.1.1.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.E209.m1.1.1.3.4.1.cmml" xref="A3.E209.m1.1.1.3.4">superscript</csymbol><ci id="A3.E209.m1.1.1.3.4.2.cmml" xref="A3.E209.m1.1.1.3.4.2">𝐸</ci><ci id="A3.E209.m1.1.1.3.4.3.cmml" xref="A3.E209.m1.1.1.3.4.3">†</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A3.E209.m1.1c">\displaystyle\Pi_{m+1}G_{m}=EX_{m}E^{\dagger}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A3.E209.m1.1d">roman_Π start_POSTSUBSCRIPT italic_m + 1 end_POSTSUBSCRIPT italic_G start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT = italic_E italic_X start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT italic_E start_POSTSUPERSCRIPT † end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(209)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="A3.SS2.p2.4">for any choice of adjoint <math alttext="E^{\dagger}" class="ltx_Math" display="inline" id="A3.SS2.p2.4.m1.1"><semantics id="A3.SS2.p2.4.m1.1a"><msup id="A3.SS2.p2.4.m1.1.1" xref="A3.SS2.p2.4.m1.1.1.cmml"><mi id="A3.SS2.p2.4.m1.1.1.2" xref="A3.SS2.p2.4.m1.1.1.2.cmml">E</mi><mo id="A3.SS2.p2.4.m1.1.1.3" xref="A3.SS2.p2.4.m1.1.1.3.cmml">†</mo></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A3.SS2.p2.4.m1.1b"><apply id="A3.SS2.p2.4.m1.1.1.cmml" xref="A3.SS2.p2.4.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.SS2.p2.4.m1.1.1.1.cmml" xref="A3.SS2.p2.4.m1.1.1">superscript</csymbol><ci id="A3.SS2.p2.4.m1.1.1.2.cmml" xref="A3.SS2.p2.4.m1.1.1.2">𝐸</ci><ci id="A3.SS2.p2.4.m1.1.1.3.cmml" xref="A3.SS2.p2.4.m1.1.1.3">†</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A3.SS2.p2.4.m1.1c">E^{\dagger}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A3.SS2.p2.4.m1.1d">italic_E start_POSTSUPERSCRIPT † end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>.</p> </div> <div class="ltx_para" id="A3.SS2.p3"> <p class="ltx_p" id="A3.SS2.p3.1">We may cyclically permute the leading <math alttext="\delta_{\sigma_{1}\sigma_{2}}" class="ltx_Math" display="inline" id="A3.SS2.p3.1.m1.1"><semantics id="A3.SS2.p3.1.m1.1a"><msub id="A3.SS2.p3.1.m1.1.1" xref="A3.SS2.p3.1.m1.1.1.cmml"><mi id="A3.SS2.p3.1.m1.1.1.2" xref="A3.SS2.p3.1.m1.1.1.2.cmml">δ</mi><mrow id="A3.SS2.p3.1.m1.1.1.3" xref="A3.SS2.p3.1.m1.1.1.3.cmml"><msub id="A3.SS2.p3.1.m1.1.1.3.2" xref="A3.SS2.p3.1.m1.1.1.3.2.cmml"><mi id="A3.SS2.p3.1.m1.1.1.3.2.2" xref="A3.SS2.p3.1.m1.1.1.3.2.2.cmml">σ</mi><mn id="A3.SS2.p3.1.m1.1.1.3.2.3" xref="A3.SS2.p3.1.m1.1.1.3.2.3.cmml">1</mn></msub><mo id="A3.SS2.p3.1.m1.1.1.3.1" xref="A3.SS2.p3.1.m1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="A3.SS2.p3.1.m1.1.1.3.3" xref="A3.SS2.p3.1.m1.1.1.3.3.cmml"><mi id="A3.SS2.p3.1.m1.1.1.3.3.2" xref="A3.SS2.p3.1.m1.1.1.3.3.2.cmml">σ</mi><mn id="A3.SS2.p3.1.m1.1.1.3.3.3" xref="A3.SS2.p3.1.m1.1.1.3.3.3.cmml">2</mn></msub></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A3.SS2.p3.1.m1.1b"><apply id="A3.SS2.p3.1.m1.1.1.cmml" xref="A3.SS2.p3.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.SS2.p3.1.m1.1.1.1.cmml" xref="A3.SS2.p3.1.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="A3.SS2.p3.1.m1.1.1.2.cmml" xref="A3.SS2.p3.1.m1.1.1.2">𝛿</ci><apply id="A3.SS2.p3.1.m1.1.1.3.cmml" xref="A3.SS2.p3.1.m1.1.1.3"><times id="A3.SS2.p3.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="A3.SS2.p3.1.m1.1.1.3.1"></times><apply id="A3.SS2.p3.1.m1.1.1.3.2.cmml" xref="A3.SS2.p3.1.m1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.SS2.p3.1.m1.1.1.3.2.1.cmml" xref="A3.SS2.p3.1.m1.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="A3.SS2.p3.1.m1.1.1.3.2.2.cmml" xref="A3.SS2.p3.1.m1.1.1.3.2.2">𝜎</ci><cn id="A3.SS2.p3.1.m1.1.1.3.2.3.cmml" type="integer" xref="A3.SS2.p3.1.m1.1.1.3.2.3">1</cn></apply><apply id="A3.SS2.p3.1.m1.1.1.3.3.cmml" xref="A3.SS2.p3.1.m1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.SS2.p3.1.m1.1.1.3.3.1.cmml" xref="A3.SS2.p3.1.m1.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="A3.SS2.p3.1.m1.1.1.3.3.2.cmml" xref="A3.SS2.p3.1.m1.1.1.3.3.2">𝜎</ci><cn id="A3.SS2.p3.1.m1.1.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="A3.SS2.p3.1.m1.1.1.3.3.3">2</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A3.SS2.p3.1.m1.1c">\delta_{\sigma_{1}\sigma_{2}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A3.SS2.p3.1.m1.1d">italic_δ start_POSTSUBSCRIPT italic_σ start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT italic_σ start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> operation to obtain a new operator with the same spectrum</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_gather ltx_eqn_table" id="S6.EGx170"> <tbody id="A3.E210"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\displaystyle O_{m}=\sum_{\sigma,\tau,\pi,\rho}\left(\sum_{\alpha,\beta}\text{% Wg}(\sigma\alpha^{-1},q^{m+1})q^{-m|\alpha\pi|}q^{-|\alpha\tau|}\text{Wg}(\tau% \beta^{-1},q^{2})q^{-|\beta\pi|}q^{-|\beta\rho|}\right)\mathbf{e}_{\pi\rho}% \mathbf{e}_{\sigma\tau}^{T}" class="ltx_Math" display="block" id="A3.E210.m1.11"><semantics id="A3.E210.m1.11a"><mrow id="A3.E210.m1.11.11" xref="A3.E210.m1.11.11.cmml"><msub id="A3.E210.m1.11.11.3" xref="A3.E210.m1.11.11.3.cmml"><mi id="A3.E210.m1.11.11.3.2" xref="A3.E210.m1.11.11.3.2.cmml">O</mi><mi id="A3.E210.m1.11.11.3.3" xref="A3.E210.m1.11.11.3.3.cmml">m</mi></msub><mo id="A3.E210.m1.11.11.2" rspace="0.111em" xref="A3.E210.m1.11.11.2.cmml">=</mo><mrow id="A3.E210.m1.11.11.1" xref="A3.E210.m1.11.11.1.cmml"><munder id="A3.E210.m1.11.11.1.2" xref="A3.E210.m1.11.11.1.2.cmml"><mo id="A3.E210.m1.11.11.1.2.2" movablelimits="false" rspace="0em" xref="A3.E210.m1.11.11.1.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="A3.E210.m1.4.4.4.6" xref="A3.E210.m1.4.4.4.5.cmml"><mi id="A3.E210.m1.1.1.1.1" xref="A3.E210.m1.1.1.1.1.cmml">σ</mi><mo id="A3.E210.m1.4.4.4.6.1" xref="A3.E210.m1.4.4.4.5.cmml">,</mo><mi id="A3.E210.m1.2.2.2.2" xref="A3.E210.m1.2.2.2.2.cmml">τ</mi><mo id="A3.E210.m1.4.4.4.6.2" xref="A3.E210.m1.4.4.4.5.cmml">,</mo><mi id="A3.E210.m1.3.3.3.3" xref="A3.E210.m1.3.3.3.3.cmml">π</mi><mo id="A3.E210.m1.4.4.4.6.3" xref="A3.E210.m1.4.4.4.5.cmml">,</mo><mi id="A3.E210.m1.4.4.4.4" xref="A3.E210.m1.4.4.4.4.cmml">ρ</mi></mrow></munder><mrow id="A3.E210.m1.11.11.1.1" xref="A3.E210.m1.11.11.1.1.cmml"><mrow id="A3.E210.m1.11.11.1.1.1.1" xref="A3.E210.m1.11.11.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A3.E210.m1.11.11.1.1.1.1.2" xref="A3.E210.m1.11.11.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A3.E210.m1.11.11.1.1.1.1.1" xref="A3.E210.m1.11.11.1.1.1.1.1.cmml"><munder id="A3.E210.m1.11.11.1.1.1.1.1.5" xref="A3.E210.m1.11.11.1.1.1.1.1.5.cmml"><mo id="A3.E210.m1.11.11.1.1.1.1.1.5.2" lspace="0em" movablelimits="false" xref="A3.E210.m1.11.11.1.1.1.1.1.5.2.cmml">∑</mo><mrow id="A3.E210.m1.6.6.2.4" xref="A3.E210.m1.6.6.2.3.cmml"><mi id="A3.E210.m1.5.5.1.1" xref="A3.E210.m1.5.5.1.1.cmml">α</mi><mo id="A3.E210.m1.6.6.2.4.1" xref="A3.E210.m1.6.6.2.3.cmml">,</mo><mi id="A3.E210.m1.6.6.2.2" xref="A3.E210.m1.6.6.2.2.cmml">β</mi></mrow></munder><mrow id="A3.E210.m1.11.11.1.1.1.1.1.4" xref="A3.E210.m1.11.11.1.1.1.1.1.4.cmml"><mtext id="A3.E210.m1.11.11.1.1.1.1.1.4.6" xref="A3.E210.m1.11.11.1.1.1.1.1.4.6a.cmml">Wg</mtext><mo id="A3.E210.m1.11.11.1.1.1.1.1.4.5" xref="A3.E210.m1.11.11.1.1.1.1.1.4.5.cmml">⁢</mo><mrow id="A3.E210.m1.11.11.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="A3.E210.m1.11.11.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mo id="A3.E210.m1.11.11.1.1.1.1.1.2.2.2.3" stretchy="false" xref="A3.E210.m1.11.11.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">(</mo><mrow id="A3.E210.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A3.E210.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A3.E210.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A3.E210.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">σ</mi><mo id="A3.E210.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A3.E210.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msup id="A3.E210.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A3.E210.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A3.E210.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A3.E210.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">α</mi><mrow id="A3.E210.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A3.E210.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mo id="A3.E210.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3a" xref="A3.E210.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">−</mo><mn id="A3.E210.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="A3.E210.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup></mrow><mo id="A3.E210.m1.11.11.1.1.1.1.1.2.2.2.4" xref="A3.E210.m1.11.11.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">,</mo><msup id="A3.E210.m1.11.11.1.1.1.1.1.2.2.2.2" xref="A3.E210.m1.11.11.1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml"><mi id="A3.E210.m1.11.11.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2" xref="A3.E210.m1.11.11.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml">q</mi><mrow id="A3.E210.m1.11.11.1.1.1.1.1.2.2.2.2.3" xref="A3.E210.m1.11.11.1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="A3.E210.m1.11.11.1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.2" xref="A3.E210.m1.11.11.1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.2.cmml">m</mi><mo id="A3.E210.m1.11.11.1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.1" xref="A3.E210.m1.11.11.1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.1.cmml">+</mo><mn id="A3.E210.m1.11.11.1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.3" xref="A3.E210.m1.11.11.1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.3.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="A3.E210.m1.11.11.1.1.1.1.1.2.2.2.5" stretchy="false" xref="A3.E210.m1.11.11.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">)</mo></mrow><mo id="A3.E210.m1.11.11.1.1.1.1.1.4.5a" xref="A3.E210.m1.11.11.1.1.1.1.1.4.5.cmml">⁢</mo><msup id="A3.E210.m1.11.11.1.1.1.1.1.4.7" xref="A3.E210.m1.11.11.1.1.1.1.1.4.7.cmml"><mi id="A3.E210.m1.11.11.1.1.1.1.1.4.7.2" xref="A3.E210.m1.11.11.1.1.1.1.1.4.7.2.cmml">q</mi><mrow id="A3.E210.m1.7.7.1" xref="A3.E210.m1.7.7.1.cmml"><mo id="A3.E210.m1.7.7.1a" xref="A3.E210.m1.7.7.1.cmml">−</mo><mrow id="A3.E210.m1.7.7.1.1" xref="A3.E210.m1.7.7.1.1.cmml"><mi id="A3.E210.m1.7.7.1.1.3" xref="A3.E210.m1.7.7.1.1.3.cmml">m</mi><mo id="A3.E210.m1.7.7.1.1.2" xref="A3.E210.m1.7.7.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A3.E210.m1.7.7.1.1.1.1" xref="A3.E210.m1.7.7.1.1.1.2.cmml"><mo id="A3.E210.m1.7.7.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A3.E210.m1.7.7.1.1.1.2.1.cmml">|</mo><mrow id="A3.E210.m1.7.7.1.1.1.1.1" xref="A3.E210.m1.7.7.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A3.E210.m1.7.7.1.1.1.1.1.2" xref="A3.E210.m1.7.7.1.1.1.1.1.2.cmml">α</mi><mo id="A3.E210.m1.7.7.1.1.1.1.1.1" xref="A3.E210.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="A3.E210.m1.7.7.1.1.1.1.1.3" xref="A3.E210.m1.7.7.1.1.1.1.1.3.cmml">π</mi></mrow><mo id="A3.E210.m1.7.7.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A3.E210.m1.7.7.1.1.1.2.1.cmml">|</mo></mrow></mrow></mrow></msup><mo id="A3.E210.m1.11.11.1.1.1.1.1.4.5b" xref="A3.E210.m1.11.11.1.1.1.1.1.4.5.cmml">⁢</mo><msup id="A3.E210.m1.11.11.1.1.1.1.1.4.8" xref="A3.E210.m1.11.11.1.1.1.1.1.4.8.cmml"><mi id="A3.E210.m1.11.11.1.1.1.1.1.4.8.2" xref="A3.E210.m1.11.11.1.1.1.1.1.4.8.2.cmml">q</mi><mrow id="A3.E210.m1.8.8.1" xref="A3.E210.m1.8.8.1.cmml"><mo id="A3.E210.m1.8.8.1a" xref="A3.E210.m1.8.8.1.cmml">−</mo><mrow id="A3.E210.m1.8.8.1.1.1" xref="A3.E210.m1.8.8.1.1.2.cmml"><mo id="A3.E210.m1.8.8.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A3.E210.m1.8.8.1.1.2.1.cmml">|</mo><mrow id="A3.E210.m1.8.8.1.1.1.1" xref="A3.E210.m1.8.8.1.1.1.1.cmml"><mi id="A3.E210.m1.8.8.1.1.1.1.2" xref="A3.E210.m1.8.8.1.1.1.1.2.cmml">α</mi><mo id="A3.E210.m1.8.8.1.1.1.1.1" xref="A3.E210.m1.8.8.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="A3.E210.m1.8.8.1.1.1.1.3" xref="A3.E210.m1.8.8.1.1.1.1.3.cmml">τ</mi></mrow><mo id="A3.E210.m1.8.8.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A3.E210.m1.8.8.1.1.2.1.cmml">|</mo></mrow></mrow></msup><mo id="A3.E210.m1.11.11.1.1.1.1.1.4.5c" xref="A3.E210.m1.11.11.1.1.1.1.1.4.5.cmml">⁢</mo><mtext id="A3.E210.m1.11.11.1.1.1.1.1.4.9" xref="A3.E210.m1.11.11.1.1.1.1.1.4.9a.cmml">Wg</mtext><mo id="A3.E210.m1.11.11.1.1.1.1.1.4.5d" xref="A3.E210.m1.11.11.1.1.1.1.1.4.5.cmml">⁢</mo><mrow id="A3.E210.m1.11.11.1.1.1.1.1.4.4.2" xref="A3.E210.m1.11.11.1.1.1.1.1.4.4.3.cmml"><mo id="A3.E210.m1.11.11.1.1.1.1.1.4.4.2.3" stretchy="false" xref="A3.E210.m1.11.11.1.1.1.1.1.4.4.3.cmml">(</mo><mrow id="A3.E210.m1.11.11.1.1.1.1.1.3.3.1.1" xref="A3.E210.m1.11.11.1.1.1.1.1.3.3.1.1.cmml"><mi id="A3.E210.m1.11.11.1.1.1.1.1.3.3.1.1.2" xref="A3.E210.m1.11.11.1.1.1.1.1.3.3.1.1.2.cmml">τ</mi><mo id="A3.E210.m1.11.11.1.1.1.1.1.3.3.1.1.1" xref="A3.E210.m1.11.11.1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.cmml">⁢</mo><msup id="A3.E210.m1.11.11.1.1.1.1.1.3.3.1.1.3" xref="A3.E210.m1.11.11.1.1.1.1.1.3.3.1.1.3.cmml"><mi id="A3.E210.m1.11.11.1.1.1.1.1.3.3.1.1.3.2" xref="A3.E210.m1.11.11.1.1.1.1.1.3.3.1.1.3.2.cmml">β</mi><mrow id="A3.E210.m1.11.11.1.1.1.1.1.3.3.1.1.3.3" xref="A3.E210.m1.11.11.1.1.1.1.1.3.3.1.1.3.3.cmml"><mo id="A3.E210.m1.11.11.1.1.1.1.1.3.3.1.1.3.3a" xref="A3.E210.m1.11.11.1.1.1.1.1.3.3.1.1.3.3.cmml">−</mo><mn id="A3.E210.m1.11.11.1.1.1.1.1.3.3.1.1.3.3.2" xref="A3.E210.m1.11.11.1.1.1.1.1.3.3.1.1.3.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup></mrow><mo id="A3.E210.m1.11.11.1.1.1.1.1.4.4.2.4" xref="A3.E210.m1.11.11.1.1.1.1.1.4.4.3.cmml">,</mo><msup id="A3.E210.m1.11.11.1.1.1.1.1.4.4.2.2" xref="A3.E210.m1.11.11.1.1.1.1.1.4.4.2.2.cmml"><mi id="A3.E210.m1.11.11.1.1.1.1.1.4.4.2.2.2" xref="A3.E210.m1.11.11.1.1.1.1.1.4.4.2.2.2.cmml">q</mi><mn id="A3.E210.m1.11.11.1.1.1.1.1.4.4.2.2.3" xref="A3.E210.m1.11.11.1.1.1.1.1.4.4.2.2.3.cmml">2</mn></msup><mo id="A3.E210.m1.11.11.1.1.1.1.1.4.4.2.5" stretchy="false" xref="A3.E210.m1.11.11.1.1.1.1.1.4.4.3.cmml">)</mo></mrow><mo id="A3.E210.m1.11.11.1.1.1.1.1.4.5e" xref="A3.E210.m1.11.11.1.1.1.1.1.4.5.cmml">⁢</mo><msup id="A3.E210.m1.11.11.1.1.1.1.1.4.10" xref="A3.E210.m1.11.11.1.1.1.1.1.4.10.cmml"><mi id="A3.E210.m1.11.11.1.1.1.1.1.4.10.2" xref="A3.E210.m1.11.11.1.1.1.1.1.4.10.2.cmml">q</mi><mrow id="A3.E210.m1.9.9.1" xref="A3.E210.m1.9.9.1.cmml"><mo id="A3.E210.m1.9.9.1a" xref="A3.E210.m1.9.9.1.cmml">−</mo><mrow id="A3.E210.m1.9.9.1.1.1" xref="A3.E210.m1.9.9.1.1.2.cmml"><mo id="A3.E210.m1.9.9.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A3.E210.m1.9.9.1.1.2.1.cmml">|</mo><mrow id="A3.E210.m1.9.9.1.1.1.1" xref="A3.E210.m1.9.9.1.1.1.1.cmml"><mi id="A3.E210.m1.9.9.1.1.1.1.2" xref="A3.E210.m1.9.9.1.1.1.1.2.cmml">β</mi><mo id="A3.E210.m1.9.9.1.1.1.1.1" xref="A3.E210.m1.9.9.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="A3.E210.m1.9.9.1.1.1.1.3" xref="A3.E210.m1.9.9.1.1.1.1.3.cmml">π</mi></mrow><mo id="A3.E210.m1.9.9.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A3.E210.m1.9.9.1.1.2.1.cmml">|</mo></mrow></mrow></msup><mo id="A3.E210.m1.11.11.1.1.1.1.1.4.5f" xref="A3.E210.m1.11.11.1.1.1.1.1.4.5.cmml">⁢</mo><msup id="A3.E210.m1.11.11.1.1.1.1.1.4.11" xref="A3.E210.m1.11.11.1.1.1.1.1.4.11.cmml"><mi id="A3.E210.m1.11.11.1.1.1.1.1.4.11.2" xref="A3.E210.m1.11.11.1.1.1.1.1.4.11.2.cmml">q</mi><mrow id="A3.E210.m1.10.10.1" xref="A3.E210.m1.10.10.1.cmml"><mo id="A3.E210.m1.10.10.1a" xref="A3.E210.m1.10.10.1.cmml">−</mo><mrow id="A3.E210.m1.10.10.1.1.1" xref="A3.E210.m1.10.10.1.1.2.cmml"><mo id="A3.E210.m1.10.10.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A3.E210.m1.10.10.1.1.2.1.cmml">|</mo><mrow id="A3.E210.m1.10.10.1.1.1.1" xref="A3.E210.m1.10.10.1.1.1.1.cmml"><mi id="A3.E210.m1.10.10.1.1.1.1.2" xref="A3.E210.m1.10.10.1.1.1.1.2.cmml">β</mi><mo id="A3.E210.m1.10.10.1.1.1.1.1" xref="A3.E210.m1.10.10.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="A3.E210.m1.10.10.1.1.1.1.3" xref="A3.E210.m1.10.10.1.1.1.1.3.cmml">ρ</mi></mrow><mo id="A3.E210.m1.10.10.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A3.E210.m1.10.10.1.1.2.1.cmml">|</mo></mrow></mrow></msup></mrow></mrow><mo id="A3.E210.m1.11.11.1.1.1.1.3" xref="A3.E210.m1.11.11.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A3.E210.m1.11.11.1.1.2" xref="A3.E210.m1.11.11.1.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="A3.E210.m1.11.11.1.1.3" xref="A3.E210.m1.11.11.1.1.3.cmml"><mi id="A3.E210.m1.11.11.1.1.3.2" xref="A3.E210.m1.11.11.1.1.3.2.cmml">𝐞</mi><mrow id="A3.E210.m1.11.11.1.1.3.3" xref="A3.E210.m1.11.11.1.1.3.3.cmml"><mi id="A3.E210.m1.11.11.1.1.3.3.2" xref="A3.E210.m1.11.11.1.1.3.3.2.cmml">π</mi><mo id="A3.E210.m1.11.11.1.1.3.3.1" xref="A3.E210.m1.11.11.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A3.E210.m1.11.11.1.1.3.3.3" xref="A3.E210.m1.11.11.1.1.3.3.3.cmml">ρ</mi></mrow></msub><mo id="A3.E210.m1.11.11.1.1.2a" xref="A3.E210.m1.11.11.1.1.2.cmml">⁢</mo><msubsup id="A3.E210.m1.11.11.1.1.4" xref="A3.E210.m1.11.11.1.1.4.cmml"><mi id="A3.E210.m1.11.11.1.1.4.2.2" xref="A3.E210.m1.11.11.1.1.4.2.2.cmml">𝐞</mi><mrow id="A3.E210.m1.11.11.1.1.4.2.3" xref="A3.E210.m1.11.11.1.1.4.2.3.cmml"><mi id="A3.E210.m1.11.11.1.1.4.2.3.2" xref="A3.E210.m1.11.11.1.1.4.2.3.2.cmml">σ</mi><mo id="A3.E210.m1.11.11.1.1.4.2.3.1" xref="A3.E210.m1.11.11.1.1.4.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A3.E210.m1.11.11.1.1.4.2.3.3" xref="A3.E210.m1.11.11.1.1.4.2.3.3.cmml">τ</mi></mrow><mi id="A3.E210.m1.11.11.1.1.4.3" xref="A3.E210.m1.11.11.1.1.4.3.cmml">T</mi></msubsup></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A3.E210.m1.11b"><apply id="A3.E210.m1.11.11.cmml" xref="A3.E210.m1.11.11"><eq id="A3.E210.m1.11.11.2.cmml" xref="A3.E210.m1.11.11.2"></eq><apply id="A3.E210.m1.11.11.3.cmml" xref="A3.E210.m1.11.11.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.E210.m1.11.11.3.1.cmml" xref="A3.E210.m1.11.11.3">subscript</csymbol><ci id="A3.E210.m1.11.11.3.2.cmml" xref="A3.E210.m1.11.11.3.2">𝑂</ci><ci id="A3.E210.m1.11.11.3.3.cmml" xref="A3.E210.m1.11.11.3.3">𝑚</ci></apply><apply id="A3.E210.m1.11.11.1.cmml" xref="A3.E210.m1.11.11.1"><apply id="A3.E210.m1.11.11.1.2.cmml" xref="A3.E210.m1.11.11.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.E210.m1.11.11.1.2.1.cmml" xref="A3.E210.m1.11.11.1.2">subscript</csymbol><sum id="A3.E210.m1.11.11.1.2.2.cmml" xref="A3.E210.m1.11.11.1.2.2"></sum><list id="A3.E210.m1.4.4.4.5.cmml" xref="A3.E210.m1.4.4.4.6"><ci id="A3.E210.m1.1.1.1.1.cmml" xref="A3.E210.m1.1.1.1.1">𝜎</ci><ci id="A3.E210.m1.2.2.2.2.cmml" xref="A3.E210.m1.2.2.2.2">𝜏</ci><ci id="A3.E210.m1.3.3.3.3.cmml" xref="A3.E210.m1.3.3.3.3">𝜋</ci><ci id="A3.E210.m1.4.4.4.4.cmml" xref="A3.E210.m1.4.4.4.4">𝜌</ci></list></apply><apply id="A3.E210.m1.11.11.1.1.cmml" xref="A3.E210.m1.11.11.1.1"><times id="A3.E210.m1.11.11.1.1.2.cmml" xref="A3.E210.m1.11.11.1.1.2"></times><apply id="A3.E210.m1.11.11.1.1.1.1.1.cmml" xref="A3.E210.m1.11.11.1.1.1.1"><apply id="A3.E210.m1.11.11.1.1.1.1.1.5.cmml" xref="A3.E210.m1.11.11.1.1.1.1.1.5"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.E210.m1.11.11.1.1.1.1.1.5.1.cmml" xref="A3.E210.m1.11.11.1.1.1.1.1.5">subscript</csymbol><sum id="A3.E210.m1.11.11.1.1.1.1.1.5.2.cmml" xref="A3.E210.m1.11.11.1.1.1.1.1.5.2"></sum><list id="A3.E210.m1.6.6.2.3.cmml" xref="A3.E210.m1.6.6.2.4"><ci id="A3.E210.m1.5.5.1.1.cmml" xref="A3.E210.m1.5.5.1.1">𝛼</ci><ci id="A3.E210.m1.6.6.2.2.cmml" xref="A3.E210.m1.6.6.2.2">𝛽</ci></list></apply><apply id="A3.E210.m1.11.11.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="A3.E210.m1.11.11.1.1.1.1.1.4"><times id="A3.E210.m1.11.11.1.1.1.1.1.4.5.cmml" xref="A3.E210.m1.11.11.1.1.1.1.1.4.5"></times><ci id="A3.E210.m1.11.11.1.1.1.1.1.4.6a.cmml" xref="A3.E210.m1.11.11.1.1.1.1.1.4.6"><mtext id="A3.E210.m1.11.11.1.1.1.1.1.4.6.cmml" xref="A3.E210.m1.11.11.1.1.1.1.1.4.6">Wg</mtext></ci><interval closure="open" id="A3.E210.m1.11.11.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="A3.E210.m1.11.11.1.1.1.1.1.2.2.2"><apply id="A3.E210.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A3.E210.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><times id="A3.E210.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A3.E210.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></times><ci id="A3.E210.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A3.E210.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝜎</ci><apply id="A3.E210.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A3.E210.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.E210.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A3.E210.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="A3.E210.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A3.E210.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝛼</ci><apply id="A3.E210.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A3.E210.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3"><minus id="A3.E210.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="A3.E210.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3"></minus><cn id="A3.E210.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" type="integer" xref="A3.E210.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2">1</cn></apply></apply></apply><apply id="A3.E210.m1.11.11.1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="A3.E210.m1.11.11.1.1.1.1.1.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.E210.m1.11.11.1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.cmml" xref="A3.E210.m1.11.11.1.1.1.1.1.2.2.2.2">superscript</csymbol><ci id="A3.E210.m1.11.11.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml" xref="A3.E210.m1.11.11.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2">𝑞</ci><apply id="A3.E210.m1.11.11.1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.cmml" xref="A3.E210.m1.11.11.1.1.1.1.1.2.2.2.2.3"><plus id="A3.E210.m1.11.11.1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="A3.E210.m1.11.11.1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.1"></plus><ci id="A3.E210.m1.11.11.1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.2.cmml" xref="A3.E210.m1.11.11.1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.2">𝑚</ci><cn id="A3.E210.m1.11.11.1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="A3.E210.m1.11.11.1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.3">1</cn></apply></apply></interval><apply id="A3.E210.m1.11.11.1.1.1.1.1.4.7.cmml" xref="A3.E210.m1.11.11.1.1.1.1.1.4.7"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.E210.m1.11.11.1.1.1.1.1.4.7.1.cmml" xref="A3.E210.m1.11.11.1.1.1.1.1.4.7">superscript</csymbol><ci id="A3.E210.m1.11.11.1.1.1.1.1.4.7.2.cmml" xref="A3.E210.m1.11.11.1.1.1.1.1.4.7.2">𝑞</ci><apply id="A3.E210.m1.7.7.1.cmml" xref="A3.E210.m1.7.7.1"><minus id="A3.E210.m1.7.7.1.2.cmml" xref="A3.E210.m1.7.7.1"></minus><apply id="A3.E210.m1.7.7.1.1.cmml" xref="A3.E210.m1.7.7.1.1"><times id="A3.E210.m1.7.7.1.1.2.cmml" xref="A3.E210.m1.7.7.1.1.2"></times><ci id="A3.E210.m1.7.7.1.1.3.cmml" xref="A3.E210.m1.7.7.1.1.3">𝑚</ci><apply id="A3.E210.m1.7.7.1.1.1.2.cmml" xref="A3.E210.m1.7.7.1.1.1.1"><abs id="A3.E210.m1.7.7.1.1.1.2.1.cmml" xref="A3.E210.m1.7.7.1.1.1.1.2"></abs><apply id="A3.E210.m1.7.7.1.1.1.1.1.cmml" xref="A3.E210.m1.7.7.1.1.1.1.1"><times id="A3.E210.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A3.E210.m1.7.7.1.1.1.1.1.1"></times><ci id="A3.E210.m1.7.7.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A3.E210.m1.7.7.1.1.1.1.1.2">𝛼</ci><ci id="A3.E210.m1.7.7.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A3.E210.m1.7.7.1.1.1.1.1.3">𝜋</ci></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="A3.E210.m1.11.11.1.1.1.1.1.4.8.cmml" xref="A3.E210.m1.11.11.1.1.1.1.1.4.8"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.E210.m1.11.11.1.1.1.1.1.4.8.1.cmml" xref="A3.E210.m1.11.11.1.1.1.1.1.4.8">superscript</csymbol><ci id="A3.E210.m1.11.11.1.1.1.1.1.4.8.2.cmml" xref="A3.E210.m1.11.11.1.1.1.1.1.4.8.2">𝑞</ci><apply id="A3.E210.m1.8.8.1.cmml" xref="A3.E210.m1.8.8.1"><minus id="A3.E210.m1.8.8.1.2.cmml" xref="A3.E210.m1.8.8.1"></minus><apply id="A3.E210.m1.8.8.1.1.2.cmml" xref="A3.E210.m1.8.8.1.1.1"><abs id="A3.E210.m1.8.8.1.1.2.1.cmml" xref="A3.E210.m1.8.8.1.1.1.2"></abs><apply id="A3.E210.m1.8.8.1.1.1.1.cmml" xref="A3.E210.m1.8.8.1.1.1.1"><times id="A3.E210.m1.8.8.1.1.1.1.1.cmml" xref="A3.E210.m1.8.8.1.1.1.1.1"></times><ci id="A3.E210.m1.8.8.1.1.1.1.2.cmml" xref="A3.E210.m1.8.8.1.1.1.1.2">𝛼</ci><ci id="A3.E210.m1.8.8.1.1.1.1.3.cmml" xref="A3.E210.m1.8.8.1.1.1.1.3">𝜏</ci></apply></apply></apply></apply><ci id="A3.E210.m1.11.11.1.1.1.1.1.4.9a.cmml" xref="A3.E210.m1.11.11.1.1.1.1.1.4.9"><mtext id="A3.E210.m1.11.11.1.1.1.1.1.4.9.cmml" xref="A3.E210.m1.11.11.1.1.1.1.1.4.9">Wg</mtext></ci><interval closure="open" id="A3.E210.m1.11.11.1.1.1.1.1.4.4.3.cmml" xref="A3.E210.m1.11.11.1.1.1.1.1.4.4.2"><apply id="A3.E210.m1.11.11.1.1.1.1.1.3.3.1.1.cmml" xref="A3.E210.m1.11.11.1.1.1.1.1.3.3.1.1"><times id="A3.E210.m1.11.11.1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.cmml" xref="A3.E210.m1.11.11.1.1.1.1.1.3.3.1.1.1"></times><ci id="A3.E210.m1.11.11.1.1.1.1.1.3.3.1.1.2.cmml" xref="A3.E210.m1.11.11.1.1.1.1.1.3.3.1.1.2">𝜏</ci><apply id="A3.E210.m1.11.11.1.1.1.1.1.3.3.1.1.3.cmml" xref="A3.E210.m1.11.11.1.1.1.1.1.3.3.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.E210.m1.11.11.1.1.1.1.1.3.3.1.1.3.1.cmml" xref="A3.E210.m1.11.11.1.1.1.1.1.3.3.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="A3.E210.m1.11.11.1.1.1.1.1.3.3.1.1.3.2.cmml" xref="A3.E210.m1.11.11.1.1.1.1.1.3.3.1.1.3.2">𝛽</ci><apply id="A3.E210.m1.11.11.1.1.1.1.1.3.3.1.1.3.3.cmml" xref="A3.E210.m1.11.11.1.1.1.1.1.3.3.1.1.3.3"><minus id="A3.E210.m1.11.11.1.1.1.1.1.3.3.1.1.3.3.1.cmml" xref="A3.E210.m1.11.11.1.1.1.1.1.3.3.1.1.3.3"></minus><cn id="A3.E210.m1.11.11.1.1.1.1.1.3.3.1.1.3.3.2.cmml" type="integer" xref="A3.E210.m1.11.11.1.1.1.1.1.3.3.1.1.3.3.2">1</cn></apply></apply></apply><apply id="A3.E210.m1.11.11.1.1.1.1.1.4.4.2.2.cmml" xref="A3.E210.m1.11.11.1.1.1.1.1.4.4.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.E210.m1.11.11.1.1.1.1.1.4.4.2.2.1.cmml" xref="A3.E210.m1.11.11.1.1.1.1.1.4.4.2.2">superscript</csymbol><ci id="A3.E210.m1.11.11.1.1.1.1.1.4.4.2.2.2.cmml" xref="A3.E210.m1.11.11.1.1.1.1.1.4.4.2.2.2">𝑞</ci><cn id="A3.E210.m1.11.11.1.1.1.1.1.4.4.2.2.3.cmml" type="integer" xref="A3.E210.m1.11.11.1.1.1.1.1.4.4.2.2.3">2</cn></apply></interval><apply id="A3.E210.m1.11.11.1.1.1.1.1.4.10.cmml" xref="A3.E210.m1.11.11.1.1.1.1.1.4.10"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.E210.m1.11.11.1.1.1.1.1.4.10.1.cmml" xref="A3.E210.m1.11.11.1.1.1.1.1.4.10">superscript</csymbol><ci id="A3.E210.m1.11.11.1.1.1.1.1.4.10.2.cmml" xref="A3.E210.m1.11.11.1.1.1.1.1.4.10.2">𝑞</ci><apply id="A3.E210.m1.9.9.1.cmml" xref="A3.E210.m1.9.9.1"><minus id="A3.E210.m1.9.9.1.2.cmml" xref="A3.E210.m1.9.9.1"></minus><apply id="A3.E210.m1.9.9.1.1.2.cmml" xref="A3.E210.m1.9.9.1.1.1"><abs id="A3.E210.m1.9.9.1.1.2.1.cmml" xref="A3.E210.m1.9.9.1.1.1.2"></abs><apply id="A3.E210.m1.9.9.1.1.1.1.cmml" xref="A3.E210.m1.9.9.1.1.1.1"><times id="A3.E210.m1.9.9.1.1.1.1.1.cmml" xref="A3.E210.m1.9.9.1.1.1.1.1"></times><ci id="A3.E210.m1.9.9.1.1.1.1.2.cmml" xref="A3.E210.m1.9.9.1.1.1.1.2">𝛽</ci><ci id="A3.E210.m1.9.9.1.1.1.1.3.cmml" xref="A3.E210.m1.9.9.1.1.1.1.3">𝜋</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="A3.E210.m1.11.11.1.1.1.1.1.4.11.cmml" xref="A3.E210.m1.11.11.1.1.1.1.1.4.11"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.E210.m1.11.11.1.1.1.1.1.4.11.1.cmml" xref="A3.E210.m1.11.11.1.1.1.1.1.4.11">superscript</csymbol><ci id="A3.E210.m1.11.11.1.1.1.1.1.4.11.2.cmml" xref="A3.E210.m1.11.11.1.1.1.1.1.4.11.2">𝑞</ci><apply id="A3.E210.m1.10.10.1.cmml" xref="A3.E210.m1.10.10.1"><minus id="A3.E210.m1.10.10.1.2.cmml" xref="A3.E210.m1.10.10.1"></minus><apply id="A3.E210.m1.10.10.1.1.2.cmml" xref="A3.E210.m1.10.10.1.1.1"><abs id="A3.E210.m1.10.10.1.1.2.1.cmml" xref="A3.E210.m1.10.10.1.1.1.2"></abs><apply id="A3.E210.m1.10.10.1.1.1.1.cmml" xref="A3.E210.m1.10.10.1.1.1.1"><times id="A3.E210.m1.10.10.1.1.1.1.1.cmml" xref="A3.E210.m1.10.10.1.1.1.1.1"></times><ci id="A3.E210.m1.10.10.1.1.1.1.2.cmml" xref="A3.E210.m1.10.10.1.1.1.1.2">𝛽</ci><ci id="A3.E210.m1.10.10.1.1.1.1.3.cmml" xref="A3.E210.m1.10.10.1.1.1.1.3">𝜌</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="A3.E210.m1.11.11.1.1.3.cmml" xref="A3.E210.m1.11.11.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.E210.m1.11.11.1.1.3.1.cmml" xref="A3.E210.m1.11.11.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A3.E210.m1.11.11.1.1.3.2.cmml" xref="A3.E210.m1.11.11.1.1.3.2">𝐞</ci><apply id="A3.E210.m1.11.11.1.1.3.3.cmml" xref="A3.E210.m1.11.11.1.1.3.3"><times id="A3.E210.m1.11.11.1.1.3.3.1.cmml" xref="A3.E210.m1.11.11.1.1.3.3.1"></times><ci id="A3.E210.m1.11.11.1.1.3.3.2.cmml" xref="A3.E210.m1.11.11.1.1.3.3.2">𝜋</ci><ci id="A3.E210.m1.11.11.1.1.3.3.3.cmml" xref="A3.E210.m1.11.11.1.1.3.3.3">𝜌</ci></apply></apply><apply id="A3.E210.m1.11.11.1.1.4.cmml" xref="A3.E210.m1.11.11.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.E210.m1.11.11.1.1.4.1.cmml" xref="A3.E210.m1.11.11.1.1.4">superscript</csymbol><apply id="A3.E210.m1.11.11.1.1.4.2.cmml" xref="A3.E210.m1.11.11.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.E210.m1.11.11.1.1.4.2.1.cmml" xref="A3.E210.m1.11.11.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="A3.E210.m1.11.11.1.1.4.2.2.cmml" xref="A3.E210.m1.11.11.1.1.4.2.2">𝐞</ci><apply id="A3.E210.m1.11.11.1.1.4.2.3.cmml" xref="A3.E210.m1.11.11.1.1.4.2.3"><times id="A3.E210.m1.11.11.1.1.4.2.3.1.cmml" xref="A3.E210.m1.11.11.1.1.4.2.3.1"></times><ci id="A3.E210.m1.11.11.1.1.4.2.3.2.cmml" xref="A3.E210.m1.11.11.1.1.4.2.3.2">𝜎</ci><ci id="A3.E210.m1.11.11.1.1.4.2.3.3.cmml" xref="A3.E210.m1.11.11.1.1.4.2.3.3">𝜏</ci></apply></apply><ci id="A3.E210.m1.11.11.1.1.4.3.cmml" xref="A3.E210.m1.11.11.1.1.4.3">𝑇</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A3.E210.m1.11c">\displaystyle O_{m}=\sum_{\sigma,\tau,\pi,\rho}\left(\sum_{\alpha,\beta}\text{% Wg}(\sigma\alpha^{-1},q^{m+1})q^{-m|\alpha\pi|}q^{-|\alpha\tau|}\text{Wg}(\tau% \beta^{-1},q^{2})q^{-|\beta\pi|}q^{-|\beta\rho|}\right)\mathbf{e}_{\pi\rho}% \mathbf{e}_{\sigma\tau}^{T}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A3.E210.m1.11d">italic_O start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT = ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_σ , italic_τ , italic_π , italic_ρ end_POSTSUBSCRIPT ( ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_α , italic_β end_POSTSUBSCRIPT Wg ( italic_σ italic_α start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT , italic_q start_POSTSUPERSCRIPT italic_m + 1 end_POSTSUPERSCRIPT ) italic_q start_POSTSUPERSCRIPT - italic_m | italic_α italic_π | end_POSTSUPERSCRIPT italic_q start_POSTSUPERSCRIPT - | italic_α italic_τ | end_POSTSUPERSCRIPT Wg ( italic_τ italic_β start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT , italic_q start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ) italic_q start_POSTSUPERSCRIPT - | italic_β italic_π | end_POSTSUPERSCRIPT italic_q start_POSTSUPERSCRIPT - | italic_β italic_ρ | end_POSTSUPERSCRIPT ) bold_e start_POSTSUBSCRIPT italic_π italic_ρ end_POSTSUBSCRIPT bold_e start_POSTSUBSCRIPT italic_σ italic_τ end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(210)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="A3.SS2.p3.2">This operator is now Hermitian with respect to the inherited metric.</p> </div> <div class="ltx_para" id="A3.SS2.p4"> <p class="ltx_p" id="A3.SS2.p4.4">To find new eigenvalues, we wish to restrict our search to the intersection space <math alttext="\mathcal{I}" class="ltx_Math" display="inline" id="A3.SS2.p4.1.m1.1"><semantics id="A3.SS2.p4.1.m1.1a"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="A3.SS2.p4.1.m1.1.1" xref="A3.SS2.p4.1.m1.1.1.cmml">ℐ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A3.SS2.p4.1.m1.1b"><ci id="A3.SS2.p4.1.m1.1.1.cmml" xref="A3.SS2.p4.1.m1.1.1">ℐ</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A3.SS2.p4.1.m1.1c">\mathcal{I}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A3.SS2.p4.1.m1.1d">caligraphic_I</annotation></semantics></math> described in Theorem <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#Thmtheorem34" title="Theorem 34. ‣ IV.2 Co-deranged subspace ‣ IV Properties of the eigenspaces ‣ Conditional 𝑡-independent spectral gap for random quantum circuits and implications for 𝑡-design depths"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">34</span></a>. This subspace is invariant under <math alttext="O_{m}" class="ltx_Math" display="inline" id="A3.SS2.p4.2.m2.1"><semantics id="A3.SS2.p4.2.m2.1a"><msub id="A3.SS2.p4.2.m2.1.1" xref="A3.SS2.p4.2.m2.1.1.cmml"><mi id="A3.SS2.p4.2.m2.1.1.2" xref="A3.SS2.p4.2.m2.1.1.2.cmml">O</mi><mi id="A3.SS2.p4.2.m2.1.1.3" xref="A3.SS2.p4.2.m2.1.1.3.cmml">m</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A3.SS2.p4.2.m2.1b"><apply id="A3.SS2.p4.2.m2.1.1.cmml" xref="A3.SS2.p4.2.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.SS2.p4.2.m2.1.1.1.cmml" xref="A3.SS2.p4.2.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="A3.SS2.p4.2.m2.1.1.2.cmml" xref="A3.SS2.p4.2.m2.1.1.2">𝑂</ci><ci id="A3.SS2.p4.2.m2.1.1.3.cmml" xref="A3.SS2.p4.2.m2.1.1.3">𝑚</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A3.SS2.p4.2.m2.1c">O_{m}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A3.SS2.p4.2.m2.1d">italic_O start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, so in principle it suffices to begin our Lanczos iterations with an initial vector in <math alttext="\mathcal{I}" class="ltx_Math" display="inline" id="A3.SS2.p4.3.m3.1"><semantics id="A3.SS2.p4.3.m3.1a"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="A3.SS2.p4.3.m3.1.1" xref="A3.SS2.p4.3.m3.1.1.cmml">ℐ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A3.SS2.p4.3.m3.1b"><ci id="A3.SS2.p4.3.m3.1.1.cmml" xref="A3.SS2.p4.3.m3.1.1">ℐ</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A3.SS2.p4.3.m3.1c">\mathcal{I}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A3.SS2.p4.3.m3.1d">caligraphic_I</annotation></semantics></math>. However, numerical instability makes the invariance only approximate, so at each iteration of the algorithm we must ensure that our vectors are constrained to <math alttext="\mathcal{I}" class="ltx_Math" display="inline" id="A3.SS2.p4.4.m4.1"><semantics id="A3.SS2.p4.4.m4.1a"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="A3.SS2.p4.4.m4.1.1" xref="A3.SS2.p4.4.m4.1.1.cmml">ℐ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A3.SS2.p4.4.m4.1b"><ci id="A3.SS2.p4.4.m4.1.1.cmml" xref="A3.SS2.p4.4.m4.1.1">ℐ</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A3.SS2.p4.4.m4.1c">\mathcal{I}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A3.SS2.p4.4.m4.1d">caligraphic_I</annotation></semantics></math>.</p> </div> <div class="ltx_para" id="A3.SS2.p5"> <p class="ltx_p" id="A3.SS2.p5.6">We first find a starting point. Beginning with a random (normalized) vector, we use the implicitly restarted Lanczos method to find an eigenvector of <math alttext="X|_{\operatorname{span}\mathfrak{D}_{2}}" class="ltx_Math" display="inline" id="A3.SS2.p5.1.m1.2"><semantics id="A3.SS2.p5.1.m1.2a"><msub id="A3.SS2.p5.1.m1.2.3.2" xref="A3.SS2.p5.1.m1.2.3.1.cmml"><mrow id="A3.SS2.p5.1.m1.2.3.2.2" xref="A3.SS2.p5.1.m1.2.3.1.cmml"><mi id="A3.SS2.p5.1.m1.1.1" xref="A3.SS2.p5.1.m1.1.1.cmml">X</mi><mo id="A3.SS2.p5.1.m1.2.3.2.2.1" stretchy="false" xref="A3.SS2.p5.1.m1.2.3.1.1.cmml">|</mo></mrow><mrow id="A3.SS2.p5.1.m1.2.2.1" xref="A3.SS2.p5.1.m1.2.2.1.cmml"><mi id="A3.SS2.p5.1.m1.2.2.1.1" xref="A3.SS2.p5.1.m1.2.2.1.1.cmml">span</mi><mo id="A3.SS2.p5.1.m1.2.2.1a" lspace="0.167em" xref="A3.SS2.p5.1.m1.2.2.1.cmml">⁡</mo><msub id="A3.SS2.p5.1.m1.2.2.1.2" xref="A3.SS2.p5.1.m1.2.2.1.2.cmml"><mi id="A3.SS2.p5.1.m1.2.2.1.2.2" xref="A3.SS2.p5.1.m1.2.2.1.2.2.cmml">𝔇</mi><mn id="A3.SS2.p5.1.m1.2.2.1.2.3" xref="A3.SS2.p5.1.m1.2.2.1.2.3.cmml">2</mn></msub></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A3.SS2.p5.1.m1.2b"><apply id="A3.SS2.p5.1.m1.2.3.1.cmml" xref="A3.SS2.p5.1.m1.2.3.2"><csymbol cd="latexml" id="A3.SS2.p5.1.m1.2.3.1.1.cmml" xref="A3.SS2.p5.1.m1.2.3.2.2.1">evaluated-at</csymbol><ci id="A3.SS2.p5.1.m1.1.1.cmml" xref="A3.SS2.p5.1.m1.1.1">𝑋</ci><apply id="A3.SS2.p5.1.m1.2.2.1.cmml" xref="A3.SS2.p5.1.m1.2.2.1"><ci id="A3.SS2.p5.1.m1.2.2.1.1.cmml" xref="A3.SS2.p5.1.m1.2.2.1.1">span</ci><apply id="A3.SS2.p5.1.m1.2.2.1.2.cmml" xref="A3.SS2.p5.1.m1.2.2.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.SS2.p5.1.m1.2.2.1.2.1.cmml" xref="A3.SS2.p5.1.m1.2.2.1.2">subscript</csymbol><ci id="A3.SS2.p5.1.m1.2.2.1.2.2.cmml" xref="A3.SS2.p5.1.m1.2.2.1.2.2">𝔇</ci><cn id="A3.SS2.p5.1.m1.2.2.1.2.3.cmml" type="integer" xref="A3.SS2.p5.1.m1.2.2.1.2.3">2</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A3.SS2.p5.1.m1.2c">X|_{\operatorname{span}\mathfrak{D}_{2}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A3.SS2.p5.1.m1.2d">italic_X | start_POSTSUBSCRIPT roman_span fraktur_D start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> with the largest eigenvalue. The corresponding eigenvalue will be <math alttext="1" class="ltx_Math" display="inline" id="A3.SS2.p5.2.m2.1"><semantics id="A3.SS2.p5.2.m2.1a"><mn id="A3.SS2.p5.2.m2.1.1" xref="A3.SS2.p5.2.m2.1.1.cmml">1</mn><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A3.SS2.p5.2.m2.1b"><cn id="A3.SS2.p5.2.m2.1.1.cmml" type="integer" xref="A3.SS2.p5.2.m2.1.1">1</cn></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A3.SS2.p5.2.m2.1c">1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A3.SS2.p5.2.m2.1d">1</annotation></semantics></math> so long as <math alttext="\mathcal{I}" class="ltx_Math" display="inline" id="A3.SS2.p5.3.m3.1"><semantics id="A3.SS2.p5.3.m3.1a"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="A3.SS2.p5.3.m3.1.1" xref="A3.SS2.p5.3.m3.1.1.cmml">ℐ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A3.SS2.p5.3.m3.1b"><ci id="A3.SS2.p5.3.m3.1.1.cmml" xref="A3.SS2.p5.3.m3.1.1">ℐ</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A3.SS2.p5.3.m3.1c">\mathcal{I}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A3.SS2.p5.3.m3.1d">caligraphic_I</annotation></semantics></math> is nontrivial. We then run the usual Lanczos algorithm to find large eigenvalues of <math alttext="O_{m}" class="ltx_Math" display="inline" id="A3.SS2.p5.4.m4.1"><semantics id="A3.SS2.p5.4.m4.1a"><msub id="A3.SS2.p5.4.m4.1.1" xref="A3.SS2.p5.4.m4.1.1.cmml"><mi id="A3.SS2.p5.4.m4.1.1.2" xref="A3.SS2.p5.4.m4.1.1.2.cmml">O</mi><mi id="A3.SS2.p5.4.m4.1.1.3" xref="A3.SS2.p5.4.m4.1.1.3.cmml">m</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A3.SS2.p5.4.m4.1b"><apply id="A3.SS2.p5.4.m4.1.1.cmml" xref="A3.SS2.p5.4.m4.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.SS2.p5.4.m4.1.1.1.cmml" xref="A3.SS2.p5.4.m4.1.1">subscript</csymbol><ci id="A3.SS2.p5.4.m4.1.1.2.cmml" xref="A3.SS2.p5.4.m4.1.1.2">𝑂</ci><ci id="A3.SS2.p5.4.m4.1.1.3.cmml" xref="A3.SS2.p5.4.m4.1.1.3">𝑚</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A3.SS2.p5.4.m4.1c">O_{m}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A3.SS2.p5.4.m4.1d">italic_O start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>. At each step of the iteration we ensure that the vector remains (nearly) invariant under <math alttext="X" class="ltx_Math" display="inline" id="A3.SS2.p5.5.m5.1"><semantics id="A3.SS2.p5.5.m5.1a"><mi id="A3.SS2.p5.5.m5.1.1" xref="A3.SS2.p5.5.m5.1.1.cmml">X</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A3.SS2.p5.5.m5.1b"><ci id="A3.SS2.p5.5.m5.1.1.cmml" xref="A3.SS2.p5.5.m5.1.1">𝑋</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A3.SS2.p5.5.m5.1c">X</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A3.SS2.p5.5.m5.1d">italic_X</annotation></semantics></math> by repeated applications of <math alttext="X" class="ltx_Math" display="inline" id="A3.SS2.p5.6.m6.1"><semantics id="A3.SS2.p5.6.m6.1a"><mi id="A3.SS2.p5.6.m6.1.1" xref="A3.SS2.p5.6.m6.1.1.cmml">X</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A3.SS2.p5.6.m6.1b"><ci id="A3.SS2.p5.6.m6.1.1.cmml" xref="A3.SS2.p5.6.m6.1.1">𝑋</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A3.SS2.p5.6.m6.1c">X</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A3.SS2.p5.6.m6.1d">italic_X</annotation></semantics></math>. The size of the subspace is increased iteratively until the change in the largest eigenvalue found is sufficiently small.</p> </div> </section> </section> <section class="ltx_appendix" id="A4"> <h2 class="ltx_title ltx_title_appendix"> <span class="ltx_tag ltx_tag_appendix">Appendix D </span>Properties of the Derangement Polynomial</h2> <section class="ltx_subsection" id="A4.SS1"> <h3 class="ltx_title ltx_title_subsection"> <span class="ltx_tag ltx_tag_subsection">D.1 </span>Proof of Lemma <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#Thmtheorem43" title="Lemma 43. ‣ VI.1 Bounds by factorization of 𝐾_𝑚 ‣ VI Bounding the complete derangement block ‣ Conditional 𝑡-independent spectral gap for random quantum circuits and implications for 𝑡-design depths"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">43</span></a> </h3> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_lemma" id="Thmlemmax6"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmlemmax6.1.1.1">Lemma</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmlemmax6.2.2">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="Thmlemmax6.p1"> <p class="ltx_p" id="Thmlemmax6.p1.2"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmlemmax6.p1.2.1">(Restatement of Lemma <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#Thmtheorem43" title="Lemma 43. ‣ VI.1 Bounds by factorization of 𝐾_𝑚 ‣ VI Bounding the complete derangement block ‣ Conditional 𝑡-independent spectral gap for random quantum circuits and implications for 𝑡-design depths"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">43</span></a>) Define the derangement polynomial</span></p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_gather ltx_eqn_table" id="S6.EGx171"> <tbody id="A4.E211"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\displaystyle d_{t}(x)=\sum_{\sigma\in S_{t}^{(\mathfrak{D})}}\sum_{\tau\in S_% {t}}x^{|\sigma^{-1}\tau|+|\tau|}" class="ltx_Math" display="block" id="A4.E211.m1.4"><semantics id="A4.E211.m1.4a"><mrow id="A4.E211.m1.4.5" xref="A4.E211.m1.4.5.cmml"><mrow id="A4.E211.m1.4.5.2" xref="A4.E211.m1.4.5.2.cmml"><msub id="A4.E211.m1.4.5.2.2" xref="A4.E211.m1.4.5.2.2.cmml"><mi id="A4.E211.m1.4.5.2.2.2" xref="A4.E211.m1.4.5.2.2.2.cmml">d</mi><mi id="A4.E211.m1.4.5.2.2.3" xref="A4.E211.m1.4.5.2.2.3.cmml">t</mi></msub><mo id="A4.E211.m1.4.5.2.1" xref="A4.E211.m1.4.5.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A4.E211.m1.4.5.2.3.2" xref="A4.E211.m1.4.5.2.cmml"><mo id="A4.E211.m1.4.5.2.3.2.1" stretchy="false" xref="A4.E211.m1.4.5.2.cmml">(</mo><mi id="A4.E211.m1.4.4" xref="A4.E211.m1.4.4.cmml">x</mi><mo id="A4.E211.m1.4.5.2.3.2.2" stretchy="false" xref="A4.E211.m1.4.5.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A4.E211.m1.4.5.1" rspace="0.111em" xref="A4.E211.m1.4.5.1.cmml">=</mo><mrow id="A4.E211.m1.4.5.3" xref="A4.E211.m1.4.5.3.cmml"><munder id="A4.E211.m1.4.5.3.1" xref="A4.E211.m1.4.5.3.1.cmml"><mo id="A4.E211.m1.4.5.3.1.2" movablelimits="false" rspace="0em" xref="A4.E211.m1.4.5.3.1.2.cmml">∑</mo><mrow id="A4.E211.m1.1.1.1" xref="A4.E211.m1.1.1.1.cmml"><mi id="A4.E211.m1.1.1.1.3" xref="A4.E211.m1.1.1.1.3.cmml">σ</mi><mo id="A4.E211.m1.1.1.1.2" xref="A4.E211.m1.1.1.1.2.cmml">∈</mo><msubsup id="A4.E211.m1.1.1.1.4" xref="A4.E211.m1.1.1.1.4.cmml"><mi id="A4.E211.m1.1.1.1.4.2.2" xref="A4.E211.m1.1.1.1.4.2.2.cmml">S</mi><mi id="A4.E211.m1.1.1.1.4.2.3" xref="A4.E211.m1.1.1.1.4.2.3.cmml">t</mi><mrow id="A4.E211.m1.1.1.1.1.1.3" xref="A4.E211.m1.1.1.1.4.cmml"><mo id="A4.E211.m1.1.1.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="A4.E211.m1.1.1.1.4.cmml">(</mo><mi id="A4.E211.m1.1.1.1.1.1.1" xref="A4.E211.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">𝔇</mi><mo id="A4.E211.m1.1.1.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="A4.E211.m1.1.1.1.4.cmml">)</mo></mrow></msubsup></mrow></munder><mrow id="A4.E211.m1.4.5.3.2" xref="A4.E211.m1.4.5.3.2.cmml"><munder id="A4.E211.m1.4.5.3.2.1" xref="A4.E211.m1.4.5.3.2.1.cmml"><mo id="A4.E211.m1.4.5.3.2.1.2" movablelimits="false" xref="A4.E211.m1.4.5.3.2.1.2.cmml">∑</mo><mrow id="A4.E211.m1.4.5.3.2.1.3" xref="A4.E211.m1.4.5.3.2.1.3.cmml"><mi id="A4.E211.m1.4.5.3.2.1.3.2" xref="A4.E211.m1.4.5.3.2.1.3.2.cmml">τ</mi><mo id="A4.E211.m1.4.5.3.2.1.3.1" xref="A4.E211.m1.4.5.3.2.1.3.1.cmml">∈</mo><msub id="A4.E211.m1.4.5.3.2.1.3.3" xref="A4.E211.m1.4.5.3.2.1.3.3.cmml"><mi id="A4.E211.m1.4.5.3.2.1.3.3.2" xref="A4.E211.m1.4.5.3.2.1.3.3.2.cmml">S</mi><mi id="A4.E211.m1.4.5.3.2.1.3.3.3" xref="A4.E211.m1.4.5.3.2.1.3.3.3.cmml">t</mi></msub></mrow></munder><msup id="A4.E211.m1.4.5.3.2.2" xref="A4.E211.m1.4.5.3.2.2.cmml"><mi id="A4.E211.m1.4.5.3.2.2.2" xref="A4.E211.m1.4.5.3.2.2.2.cmml">x</mi><mrow id="A4.E211.m1.3.3.2" xref="A4.E211.m1.3.3.2.cmml"><mrow id="A4.E211.m1.3.3.2.2.1" xref="A4.E211.m1.3.3.2.2.2.cmml"><mo id="A4.E211.m1.3.3.2.2.1.2" stretchy="false" xref="A4.E211.m1.3.3.2.2.2.1.cmml">|</mo><mrow id="A4.E211.m1.3.3.2.2.1.1" xref="A4.E211.m1.3.3.2.2.1.1.cmml"><msup id="A4.E211.m1.3.3.2.2.1.1.2" xref="A4.E211.m1.3.3.2.2.1.1.2.cmml"><mi id="A4.E211.m1.3.3.2.2.1.1.2.2" xref="A4.E211.m1.3.3.2.2.1.1.2.2.cmml">σ</mi><mrow id="A4.E211.m1.3.3.2.2.1.1.2.3" xref="A4.E211.m1.3.3.2.2.1.1.2.3.cmml"><mo id="A4.E211.m1.3.3.2.2.1.1.2.3a" xref="A4.E211.m1.3.3.2.2.1.1.2.3.cmml">−</mo><mn id="A4.E211.m1.3.3.2.2.1.1.2.3.2" xref="A4.E211.m1.3.3.2.2.1.1.2.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="A4.E211.m1.3.3.2.2.1.1.1" xref="A4.E211.m1.3.3.2.2.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="A4.E211.m1.3.3.2.2.1.1.3" xref="A4.E211.m1.3.3.2.2.1.1.3.cmml">τ</mi></mrow><mo id="A4.E211.m1.3.3.2.2.1.3" stretchy="false" xref="A4.E211.m1.3.3.2.2.2.1.cmml">|</mo></mrow><mo id="A4.E211.m1.3.3.2.3" xref="A4.E211.m1.3.3.2.3.cmml">+</mo><mrow id="A4.E211.m1.3.3.2.4.2" xref="A4.E211.m1.3.3.2.4.1.cmml"><mo id="A4.E211.m1.3.3.2.4.2.1" stretchy="false" xref="A4.E211.m1.3.3.2.4.1.1.cmml">|</mo><mi id="A4.E211.m1.2.2.1.1" xref="A4.E211.m1.2.2.1.1.cmml">τ</mi><mo id="A4.E211.m1.3.3.2.4.2.2" stretchy="false" xref="A4.E211.m1.3.3.2.4.1.1.cmml">|</mo></mrow></mrow></msup></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A4.E211.m1.4b"><apply id="A4.E211.m1.4.5.cmml" xref="A4.E211.m1.4.5"><eq id="A4.E211.m1.4.5.1.cmml" xref="A4.E211.m1.4.5.1"></eq><apply id="A4.E211.m1.4.5.2.cmml" xref="A4.E211.m1.4.5.2"><times id="A4.E211.m1.4.5.2.1.cmml" xref="A4.E211.m1.4.5.2.1"></times><apply id="A4.E211.m1.4.5.2.2.cmml" xref="A4.E211.m1.4.5.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.E211.m1.4.5.2.2.1.cmml" xref="A4.E211.m1.4.5.2.2">subscript</csymbol><ci id="A4.E211.m1.4.5.2.2.2.cmml" xref="A4.E211.m1.4.5.2.2.2">𝑑</ci><ci id="A4.E211.m1.4.5.2.2.3.cmml" xref="A4.E211.m1.4.5.2.2.3">𝑡</ci></apply><ci id="A4.E211.m1.4.4.cmml" xref="A4.E211.m1.4.4">𝑥</ci></apply><apply id="A4.E211.m1.4.5.3.cmml" xref="A4.E211.m1.4.5.3"><apply id="A4.E211.m1.4.5.3.1.cmml" xref="A4.E211.m1.4.5.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.E211.m1.4.5.3.1.1.cmml" xref="A4.E211.m1.4.5.3.1">subscript</csymbol><sum id="A4.E211.m1.4.5.3.1.2.cmml" xref="A4.E211.m1.4.5.3.1.2"></sum><apply id="A4.E211.m1.1.1.1.cmml" xref="A4.E211.m1.1.1.1"><in id="A4.E211.m1.1.1.1.2.cmml" xref="A4.E211.m1.1.1.1.2"></in><ci id="A4.E211.m1.1.1.1.3.cmml" xref="A4.E211.m1.1.1.1.3">𝜎</ci><apply id="A4.E211.m1.1.1.1.4.cmml" xref="A4.E211.m1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.E211.m1.1.1.1.4.1.cmml" xref="A4.E211.m1.1.1.1.4">superscript</csymbol><apply id="A4.E211.m1.1.1.1.4.2.cmml" xref="A4.E211.m1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.E211.m1.1.1.1.4.2.1.cmml" xref="A4.E211.m1.1.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="A4.E211.m1.1.1.1.4.2.2.cmml" xref="A4.E211.m1.1.1.1.4.2.2">𝑆</ci><ci id="A4.E211.m1.1.1.1.4.2.3.cmml" xref="A4.E211.m1.1.1.1.4.2.3">𝑡</ci></apply><ci id="A4.E211.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A4.E211.m1.1.1.1.1.1.1">𝔇</ci></apply></apply></apply><apply id="A4.E211.m1.4.5.3.2.cmml" xref="A4.E211.m1.4.5.3.2"><apply id="A4.E211.m1.4.5.3.2.1.cmml" xref="A4.E211.m1.4.5.3.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.E211.m1.4.5.3.2.1.1.cmml" xref="A4.E211.m1.4.5.3.2.1">subscript</csymbol><sum id="A4.E211.m1.4.5.3.2.1.2.cmml" xref="A4.E211.m1.4.5.3.2.1.2"></sum><apply id="A4.E211.m1.4.5.3.2.1.3.cmml" xref="A4.E211.m1.4.5.3.2.1.3"><in id="A4.E211.m1.4.5.3.2.1.3.1.cmml" xref="A4.E211.m1.4.5.3.2.1.3.1"></in><ci id="A4.E211.m1.4.5.3.2.1.3.2.cmml" xref="A4.E211.m1.4.5.3.2.1.3.2">𝜏</ci><apply id="A4.E211.m1.4.5.3.2.1.3.3.cmml" xref="A4.E211.m1.4.5.3.2.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.E211.m1.4.5.3.2.1.3.3.1.cmml" xref="A4.E211.m1.4.5.3.2.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="A4.E211.m1.4.5.3.2.1.3.3.2.cmml" xref="A4.E211.m1.4.5.3.2.1.3.3.2">𝑆</ci><ci id="A4.E211.m1.4.5.3.2.1.3.3.3.cmml" xref="A4.E211.m1.4.5.3.2.1.3.3.3">𝑡</ci></apply></apply></apply><apply id="A4.E211.m1.4.5.3.2.2.cmml" xref="A4.E211.m1.4.5.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.E211.m1.4.5.3.2.2.1.cmml" xref="A4.E211.m1.4.5.3.2.2">superscript</csymbol><ci id="A4.E211.m1.4.5.3.2.2.2.cmml" xref="A4.E211.m1.4.5.3.2.2.2">𝑥</ci><apply id="A4.E211.m1.3.3.2.cmml" xref="A4.E211.m1.3.3.2"><plus id="A4.E211.m1.3.3.2.3.cmml" xref="A4.E211.m1.3.3.2.3"></plus><apply id="A4.E211.m1.3.3.2.2.2.cmml" xref="A4.E211.m1.3.3.2.2.1"><abs id="A4.E211.m1.3.3.2.2.2.1.cmml" xref="A4.E211.m1.3.3.2.2.1.2"></abs><apply id="A4.E211.m1.3.3.2.2.1.1.cmml" xref="A4.E211.m1.3.3.2.2.1.1"><times id="A4.E211.m1.3.3.2.2.1.1.1.cmml" xref="A4.E211.m1.3.3.2.2.1.1.1"></times><apply id="A4.E211.m1.3.3.2.2.1.1.2.cmml" xref="A4.E211.m1.3.3.2.2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.E211.m1.3.3.2.2.1.1.2.1.cmml" xref="A4.E211.m1.3.3.2.2.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="A4.E211.m1.3.3.2.2.1.1.2.2.cmml" xref="A4.E211.m1.3.3.2.2.1.1.2.2">𝜎</ci><apply id="A4.E211.m1.3.3.2.2.1.1.2.3.cmml" xref="A4.E211.m1.3.3.2.2.1.1.2.3"><minus id="A4.E211.m1.3.3.2.2.1.1.2.3.1.cmml" xref="A4.E211.m1.3.3.2.2.1.1.2.3"></minus><cn id="A4.E211.m1.3.3.2.2.1.1.2.3.2.cmml" type="integer" xref="A4.E211.m1.3.3.2.2.1.1.2.3.2">1</cn></apply></apply><ci id="A4.E211.m1.3.3.2.2.1.1.3.cmml" xref="A4.E211.m1.3.3.2.2.1.1.3">𝜏</ci></apply></apply><apply id="A4.E211.m1.3.3.2.4.1.cmml" xref="A4.E211.m1.3.3.2.4.2"><abs id="A4.E211.m1.3.3.2.4.1.1.cmml" xref="A4.E211.m1.3.3.2.4.2.1"></abs><ci id="A4.E211.m1.2.2.1.1.cmml" xref="A4.E211.m1.2.2.1.1">𝜏</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A4.E211.m1.4c">\displaystyle d_{t}(x)=\sum_{\sigma\in S_{t}^{(\mathfrak{D})}}\sum_{\tau\in S_% {t}}x^{|\sigma^{-1}\tau|+|\tau|}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A4.E211.m1.4d">italic_d start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( italic_x ) = ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_σ ∈ italic_S start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( fraktur_D ) end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_τ ∈ italic_S start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT italic_x start_POSTSUPERSCRIPT | italic_σ start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT italic_τ | + | italic_τ | end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(211)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="Thmlemmax6.p1.1"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmlemmax6.p1.1.1">Let <math alttext="Q_{1},Q_{2}\geq q" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmlemmax6.p1.1.1.m1.2"><semantics id="Thmlemmax6.p1.1.1.m1.2a"><mrow id="Thmlemmax6.p1.1.1.m1.2.2" xref="Thmlemmax6.p1.1.1.m1.2.2.cmml"><mrow id="Thmlemmax6.p1.1.1.m1.2.2.2.2" xref="Thmlemmax6.p1.1.1.m1.2.2.2.3.cmml"><msub id="Thmlemmax6.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1" xref="Thmlemmax6.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="Thmlemmax6.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.2" xref="Thmlemmax6.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">Q</mi><mn id="Thmlemmax6.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.3" xref="Thmlemmax6.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="Thmlemmax6.p1.1.1.m1.2.2.2.2.3" xref="Thmlemmax6.p1.1.1.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><msub id="Thmlemmax6.p1.1.1.m1.2.2.2.2.2" xref="Thmlemmax6.p1.1.1.m1.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="Thmlemmax6.p1.1.1.m1.2.2.2.2.2.2" xref="Thmlemmax6.p1.1.1.m1.2.2.2.2.2.2.cmml">Q</mi><mn id="Thmlemmax6.p1.1.1.m1.2.2.2.2.2.3" xref="Thmlemmax6.p1.1.1.m1.2.2.2.2.2.3.cmml">2</mn></msub></mrow><mo id="Thmlemmax6.p1.1.1.m1.2.2.3" xref="Thmlemmax6.p1.1.1.m1.2.2.3.cmml">≥</mo><mi id="Thmlemmax6.p1.1.1.m1.2.2.4" xref="Thmlemmax6.p1.1.1.m1.2.2.4.cmml">q</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmlemmax6.p1.1.1.m1.2b"><apply id="Thmlemmax6.p1.1.1.m1.2.2.cmml" xref="Thmlemmax6.p1.1.1.m1.2.2"><geq id="Thmlemmax6.p1.1.1.m1.2.2.3.cmml" xref="Thmlemmax6.p1.1.1.m1.2.2.3"></geq><list id="Thmlemmax6.p1.1.1.m1.2.2.2.3.cmml" xref="Thmlemmax6.p1.1.1.m1.2.2.2.2"><apply id="Thmlemmax6.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="Thmlemmax6.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmlemmax6.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="Thmlemmax6.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="Thmlemmax6.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="Thmlemmax6.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.2">𝑄</ci><cn id="Thmlemmax6.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="Thmlemmax6.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.3">1</cn></apply><apply id="Thmlemmax6.p1.1.1.m1.2.2.2.2.2.cmml" xref="Thmlemmax6.p1.1.1.m1.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmlemmax6.p1.1.1.m1.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="Thmlemmax6.p1.1.1.m1.2.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="Thmlemmax6.p1.1.1.m1.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="Thmlemmax6.p1.1.1.m1.2.2.2.2.2.2">𝑄</ci><cn id="Thmlemmax6.p1.1.1.m1.2.2.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="Thmlemmax6.p1.1.1.m1.2.2.2.2.2.3">2</cn></apply></list><ci id="Thmlemmax6.p1.1.1.m1.2.2.4.cmml" xref="Thmlemmax6.p1.1.1.m1.2.2.4">𝑞</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmlemmax6.p1.1.1.m1.2c">Q_{1},Q_{2}\geq q</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmlemmax6.p1.1.1.m1.2d">italic_Q start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , italic_Q start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT ≥ italic_q</annotation></semantics></math>. Then</span></p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_gather ltx_eqn_table" id="S6.EGx172"> <tbody id="A4.E212"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\displaystyle||D(Q_{2})C(Q_{1})||_{\mathfrak{D},\text{basis}}\leq\sqrt{d_{t}(q% ^{-2})}" class="ltx_Math" display="block" id="A4.E212.m1.4"><semantics id="A4.E212.m1.4a"><mrow id="A4.E212.m1.4.4" xref="A4.E212.m1.4.4.cmml"><msub id="A4.E212.m1.4.4.1" xref="A4.E212.m1.4.4.1.cmml"><mrow id="A4.E212.m1.4.4.1.1.1" xref="A4.E212.m1.4.4.1.1.2.cmml"><mo id="A4.E212.m1.4.4.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A4.E212.m1.4.4.1.1.2.1.cmml">‖</mo><mrow id="A4.E212.m1.4.4.1.1.1.1" xref="A4.E212.m1.4.4.1.1.1.1.cmml"><mi id="A4.E212.m1.4.4.1.1.1.1.4" xref="A4.E212.m1.4.4.1.1.1.1.4.cmml">D</mi><mo id="A4.E212.m1.4.4.1.1.1.1.3" xref="A4.E212.m1.4.4.1.1.1.1.3.cmml">⁢</mo><mrow id="A4.E212.m1.4.4.1.1.1.1.1.1" xref="A4.E212.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A4.E212.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A4.E212.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="A4.E212.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1" xref="A4.E212.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A4.E212.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A4.E212.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">Q</mi><mn id="A4.E212.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A4.E212.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">2</mn></msub><mo id="A4.E212.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A4.E212.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A4.E212.m1.4.4.1.1.1.1.3a" xref="A4.E212.m1.4.4.1.1.1.1.3.cmml">⁢</mo><mi id="A4.E212.m1.4.4.1.1.1.1.5" xref="A4.E212.m1.4.4.1.1.1.1.5.cmml">C</mi><mo id="A4.E212.m1.4.4.1.1.1.1.3b" xref="A4.E212.m1.4.4.1.1.1.1.3.cmml">⁢</mo><mrow id="A4.E212.m1.4.4.1.1.1.1.2.1" xref="A4.E212.m1.4.4.1.1.1.1.2.1.1.cmml"><mo id="A4.E212.m1.4.4.1.1.1.1.2.1.2" stretchy="false" xref="A4.E212.m1.4.4.1.1.1.1.2.1.1.cmml">(</mo><msub id="A4.E212.m1.4.4.1.1.1.1.2.1.1" xref="A4.E212.m1.4.4.1.1.1.1.2.1.1.cmml"><mi id="A4.E212.m1.4.4.1.1.1.1.2.1.1.2" xref="A4.E212.m1.4.4.1.1.1.1.2.1.1.2.cmml">Q</mi><mn id="A4.E212.m1.4.4.1.1.1.1.2.1.1.3" xref="A4.E212.m1.4.4.1.1.1.1.2.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="A4.E212.m1.4.4.1.1.1.1.2.1.3" stretchy="false" xref="A4.E212.m1.4.4.1.1.1.1.2.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A4.E212.m1.4.4.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A4.E212.m1.4.4.1.1.2.1.cmml">‖</mo></mrow><mrow id="A4.E212.m1.2.2.2.4" xref="A4.E212.m1.2.2.2.3.cmml"><mi id="A4.E212.m1.1.1.1.1" xref="A4.E212.m1.1.1.1.1.cmml">𝔇</mi><mo id="A4.E212.m1.2.2.2.4.1" xref="A4.E212.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="A4.E212.m1.2.2.2.2" xref="A4.E212.m1.2.2.2.2a.cmml">basis</mtext></mrow></msub><mo id="A4.E212.m1.4.4.2" xref="A4.E212.m1.4.4.2.cmml">≤</mo><msqrt id="A4.E212.m1.3.3" xref="A4.E212.m1.3.3.cmml"><mrow id="A4.E212.m1.3.3.1" xref="A4.E212.m1.3.3.1.cmml"><msub id="A4.E212.m1.3.3.1.3" xref="A4.E212.m1.3.3.1.3.cmml"><mi id="A4.E212.m1.3.3.1.3.2" xref="A4.E212.m1.3.3.1.3.2.cmml">d</mi><mi id="A4.E212.m1.3.3.1.3.3" xref="A4.E212.m1.3.3.1.3.3.cmml">t</mi></msub><mo id="A4.E212.m1.3.3.1.2" xref="A4.E212.m1.3.3.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A4.E212.m1.3.3.1.1.1" xref="A4.E212.m1.3.3.1.1.1.1.cmml"><mo id="A4.E212.m1.3.3.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A4.E212.m1.3.3.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="A4.E212.m1.3.3.1.1.1.1" xref="A4.E212.m1.3.3.1.1.1.1.cmml"><mi id="A4.E212.m1.3.3.1.1.1.1.2" xref="A4.E212.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml">q</mi><mrow id="A4.E212.m1.3.3.1.1.1.1.3" xref="A4.E212.m1.3.3.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="A4.E212.m1.3.3.1.1.1.1.3a" xref="A4.E212.m1.3.3.1.1.1.1.3.cmml">−</mo><mn id="A4.E212.m1.3.3.1.1.1.1.3.2" xref="A4.E212.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.cmml">2</mn></mrow></msup><mo id="A4.E212.m1.3.3.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A4.E212.m1.3.3.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></msqrt></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A4.E212.m1.4b"><apply id="A4.E212.m1.4.4.cmml" xref="A4.E212.m1.4.4"><leq id="A4.E212.m1.4.4.2.cmml" xref="A4.E212.m1.4.4.2"></leq><apply id="A4.E212.m1.4.4.1.cmml" xref="A4.E212.m1.4.4.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.E212.m1.4.4.1.2.cmml" xref="A4.E212.m1.4.4.1">subscript</csymbol><apply id="A4.E212.m1.4.4.1.1.2.cmml" xref="A4.E212.m1.4.4.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="A4.E212.m1.4.4.1.1.2.1.cmml" xref="A4.E212.m1.4.4.1.1.1.2">norm</csymbol><apply id="A4.E212.m1.4.4.1.1.1.1.cmml" xref="A4.E212.m1.4.4.1.1.1.1"><times id="A4.E212.m1.4.4.1.1.1.1.3.cmml" xref="A4.E212.m1.4.4.1.1.1.1.3"></times><ci id="A4.E212.m1.4.4.1.1.1.1.4.cmml" xref="A4.E212.m1.4.4.1.1.1.1.4">𝐷</ci><apply id="A4.E212.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A4.E212.m1.4.4.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.E212.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A4.E212.m1.4.4.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="A4.E212.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A4.E212.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑄</ci><cn id="A4.E212.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A4.E212.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3">2</cn></apply><ci id="A4.E212.m1.4.4.1.1.1.1.5.cmml" xref="A4.E212.m1.4.4.1.1.1.1.5">𝐶</ci><apply id="A4.E212.m1.4.4.1.1.1.1.2.1.1.cmml" xref="A4.E212.m1.4.4.1.1.1.1.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.E212.m1.4.4.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml" xref="A4.E212.m1.4.4.1.1.1.1.2.1">subscript</csymbol><ci id="A4.E212.m1.4.4.1.1.1.1.2.1.1.2.cmml" xref="A4.E212.m1.4.4.1.1.1.1.2.1.1.2">𝑄</ci><cn id="A4.E212.m1.4.4.1.1.1.1.2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A4.E212.m1.4.4.1.1.1.1.2.1.1.3">1</cn></apply></apply></apply><list id="A4.E212.m1.2.2.2.3.cmml" xref="A4.E212.m1.2.2.2.4"><ci id="A4.E212.m1.1.1.1.1.cmml" xref="A4.E212.m1.1.1.1.1">𝔇</ci><ci id="A4.E212.m1.2.2.2.2a.cmml" xref="A4.E212.m1.2.2.2.2"><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="A4.E212.m1.2.2.2.2.cmml" mathsize="70%" xref="A4.E212.m1.2.2.2.2">basis</mtext></ci></list></apply><apply id="A4.E212.m1.3.3.cmml" xref="A4.E212.m1.3.3"><root id="A4.E212.m1.3.3a.cmml" xref="A4.E212.m1.3.3"></root><apply id="A4.E212.m1.3.3.1.cmml" xref="A4.E212.m1.3.3.1"><times id="A4.E212.m1.3.3.1.2.cmml" xref="A4.E212.m1.3.3.1.2"></times><apply id="A4.E212.m1.3.3.1.3.cmml" xref="A4.E212.m1.3.3.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.E212.m1.3.3.1.3.1.cmml" xref="A4.E212.m1.3.3.1.3">subscript</csymbol><ci id="A4.E212.m1.3.3.1.3.2.cmml" xref="A4.E212.m1.3.3.1.3.2">𝑑</ci><ci id="A4.E212.m1.3.3.1.3.3.cmml" xref="A4.E212.m1.3.3.1.3.3">𝑡</ci></apply><apply id="A4.E212.m1.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="A4.E212.m1.3.3.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.E212.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml" xref="A4.E212.m1.3.3.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="A4.E212.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml" xref="A4.E212.m1.3.3.1.1.1.1.2">𝑞</ci><apply id="A4.E212.m1.3.3.1.1.1.1.3.cmml" xref="A4.E212.m1.3.3.1.1.1.1.3"><minus id="A4.E212.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A4.E212.m1.3.3.1.1.1.1.3"></minus><cn id="A4.E212.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="A4.E212.m1.3.3.1.1.1.1.3.2">2</cn></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A4.E212.m1.4c">\displaystyle||D(Q_{2})C(Q_{1})||_{\mathfrak{D},\text{basis}}\leq\sqrt{d_{t}(q% ^{-2})}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A4.E212.m1.4d">| | italic_D ( italic_Q start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT ) italic_C ( italic_Q start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ) | | start_POSTSUBSCRIPT fraktur_D , basis end_POSTSUBSCRIPT ≤ square-root start_ARG italic_d start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( italic_q start_POSTSUPERSCRIPT - 2 end_POSTSUPERSCRIPT ) end_ARG</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(212)</span></td> </tr></tbody> </table> </div> </div> <div class="ltx_proof" id="A4.SS1.1"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_font_italic ltx_title_proof">Proof.</h6> <div class="ltx_para" id="A4.SS1.1.p1"> <p class="ltx_p" id="A4.SS1.1.p1.1">We can compute</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_gather ltx_eqn_table" id="S6.EGx173"> <tbody id="A4.E213"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\displaystyle(D(Q_{2})C(Q_{1}))_{\sigma,\tau}=\sum_{\rho\in S_{t}}\delta_{\tau% \rho}Q_{2}^{-|\tau|}Q_{1}^{-|\sigma^{-1}\rho|}=Q_{2}^{-|\tau|}Q_{1}^{-|\sigma^% {-1}\tau|}" class="ltx_Math" display="block" id="A4.E213.m1.7"><semantics id="A4.E213.m1.7a"><mrow id="A4.E213.m1.7.7" xref="A4.E213.m1.7.7.cmml"><msub id="A4.E213.m1.7.7.1" xref="A4.E213.m1.7.7.1.cmml"><mrow id="A4.E213.m1.7.7.1.1.1" xref="A4.E213.m1.7.7.1.1.1.1.cmml"><mo id="A4.E213.m1.7.7.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A4.E213.m1.7.7.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A4.E213.m1.7.7.1.1.1.1" xref="A4.E213.m1.7.7.1.1.1.1.cmml"><mi id="A4.E213.m1.7.7.1.1.1.1.4" xref="A4.E213.m1.7.7.1.1.1.1.4.cmml">D</mi><mo id="A4.E213.m1.7.7.1.1.1.1.3" xref="A4.E213.m1.7.7.1.1.1.1.3.cmml">⁢</mo><mrow id="A4.E213.m1.7.7.1.1.1.1.1.1" xref="A4.E213.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A4.E213.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A4.E213.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="A4.E213.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1" xref="A4.E213.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A4.E213.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A4.E213.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">Q</mi><mn id="A4.E213.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A4.E213.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">2</mn></msub><mo id="A4.E213.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A4.E213.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A4.E213.m1.7.7.1.1.1.1.3a" xref="A4.E213.m1.7.7.1.1.1.1.3.cmml">⁢</mo><mi id="A4.E213.m1.7.7.1.1.1.1.5" xref="A4.E213.m1.7.7.1.1.1.1.5.cmml">C</mi><mo id="A4.E213.m1.7.7.1.1.1.1.3b" xref="A4.E213.m1.7.7.1.1.1.1.3.cmml">⁢</mo><mrow id="A4.E213.m1.7.7.1.1.1.1.2.1" xref="A4.E213.m1.7.7.1.1.1.1.2.1.1.cmml"><mo id="A4.E213.m1.7.7.1.1.1.1.2.1.2" stretchy="false" xref="A4.E213.m1.7.7.1.1.1.1.2.1.1.cmml">(</mo><msub id="A4.E213.m1.7.7.1.1.1.1.2.1.1" xref="A4.E213.m1.7.7.1.1.1.1.2.1.1.cmml"><mi id="A4.E213.m1.7.7.1.1.1.1.2.1.1.2" xref="A4.E213.m1.7.7.1.1.1.1.2.1.1.2.cmml">Q</mi><mn id="A4.E213.m1.7.7.1.1.1.1.2.1.1.3" xref="A4.E213.m1.7.7.1.1.1.1.2.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="A4.E213.m1.7.7.1.1.1.1.2.1.3" stretchy="false" xref="A4.E213.m1.7.7.1.1.1.1.2.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A4.E213.m1.7.7.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A4.E213.m1.7.7.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="A4.E213.m1.2.2.2.4" xref="A4.E213.m1.2.2.2.3.cmml"><mi id="A4.E213.m1.1.1.1.1" xref="A4.E213.m1.1.1.1.1.cmml">σ</mi><mo id="A4.E213.m1.2.2.2.4.1" xref="A4.E213.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="A4.E213.m1.2.2.2.2" xref="A4.E213.m1.2.2.2.2.cmml">τ</mi></mrow></msub><mo id="A4.E213.m1.7.7.3" rspace="0.111em" xref="A4.E213.m1.7.7.3.cmml">=</mo><mrow id="A4.E213.m1.7.7.4" xref="A4.E213.m1.7.7.4.cmml"><munder id="A4.E213.m1.7.7.4.1" xref="A4.E213.m1.7.7.4.1.cmml"><mo id="A4.E213.m1.7.7.4.1.2" movablelimits="false" xref="A4.E213.m1.7.7.4.1.2.cmml">∑</mo><mrow id="A4.E213.m1.7.7.4.1.3" xref="A4.E213.m1.7.7.4.1.3.cmml"><mi id="A4.E213.m1.7.7.4.1.3.2" xref="A4.E213.m1.7.7.4.1.3.2.cmml">ρ</mi><mo id="A4.E213.m1.7.7.4.1.3.1" xref="A4.E213.m1.7.7.4.1.3.1.cmml">∈</mo><msub id="A4.E213.m1.7.7.4.1.3.3" xref="A4.E213.m1.7.7.4.1.3.3.cmml"><mi id="A4.E213.m1.7.7.4.1.3.3.2" xref="A4.E213.m1.7.7.4.1.3.3.2.cmml">S</mi><mi id="A4.E213.m1.7.7.4.1.3.3.3" xref="A4.E213.m1.7.7.4.1.3.3.3.cmml">t</mi></msub></mrow></munder><mrow id="A4.E213.m1.7.7.4.2" xref="A4.E213.m1.7.7.4.2.cmml"><msub id="A4.E213.m1.7.7.4.2.2" xref="A4.E213.m1.7.7.4.2.2.cmml"><mi id="A4.E213.m1.7.7.4.2.2.2" xref="A4.E213.m1.7.7.4.2.2.2.cmml">δ</mi><mrow id="A4.E213.m1.7.7.4.2.2.3" xref="A4.E213.m1.7.7.4.2.2.3.cmml"><mi 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id="A4.E213.m1.7.7.4.2.1a" xref="A4.E213.m1.7.7.4.2.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="A4.E213.m1.7.7.4.2.4" xref="A4.E213.m1.7.7.4.2.4.cmml"><mi id="A4.E213.m1.7.7.4.2.4.2.2" xref="A4.E213.m1.7.7.4.2.4.2.2.cmml">Q</mi><mn id="A4.E213.m1.7.7.4.2.4.2.3" xref="A4.E213.m1.7.7.4.2.4.2.3.cmml">1</mn><mrow id="A4.E213.m1.4.4.1" xref="A4.E213.m1.4.4.1.cmml"><mo id="A4.E213.m1.4.4.1a" xref="A4.E213.m1.4.4.1.cmml">−</mo><mrow id="A4.E213.m1.4.4.1.1.1" xref="A4.E213.m1.4.4.1.1.2.cmml"><mo id="A4.E213.m1.4.4.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A4.E213.m1.4.4.1.1.2.1.cmml">|</mo><mrow id="A4.E213.m1.4.4.1.1.1.1" xref="A4.E213.m1.4.4.1.1.1.1.cmml"><msup id="A4.E213.m1.4.4.1.1.1.1.2" xref="A4.E213.m1.4.4.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="A4.E213.m1.4.4.1.1.1.1.2.2" xref="A4.E213.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.cmml">σ</mi><mrow id="A4.E213.m1.4.4.1.1.1.1.2.3" xref="A4.E213.m1.4.4.1.1.1.1.2.3.cmml"><mo id="A4.E213.m1.4.4.1.1.1.1.2.3a" xref="A4.E213.m1.4.4.1.1.1.1.2.3.cmml">−</mo><mn id="A4.E213.m1.4.4.1.1.1.1.2.3.2" xref="A4.E213.m1.4.4.1.1.1.1.2.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="A4.E213.m1.4.4.1.1.1.1.1" xref="A4.E213.m1.4.4.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="A4.E213.m1.4.4.1.1.1.1.3" xref="A4.E213.m1.4.4.1.1.1.1.3.cmml">ρ</mi></mrow><mo id="A4.E213.m1.4.4.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A4.E213.m1.4.4.1.1.2.1.cmml">|</mo></mrow></mrow></msubsup></mrow></mrow><mo id="A4.E213.m1.7.7.5" xref="A4.E213.m1.7.7.5.cmml">=</mo><mrow id="A4.E213.m1.7.7.6" xref="A4.E213.m1.7.7.6.cmml"><msubsup id="A4.E213.m1.7.7.6.2" xref="A4.E213.m1.7.7.6.2.cmml"><mi id="A4.E213.m1.7.7.6.2.2.2" xref="A4.E213.m1.7.7.6.2.2.2.cmml">Q</mi><mn id="A4.E213.m1.7.7.6.2.2.3" xref="A4.E213.m1.7.7.6.2.2.3.cmml">2</mn><mrow id="A4.E213.m1.5.5.1" xref="A4.E213.m1.5.5.1.cmml"><mo id="A4.E213.m1.5.5.1a" xref="A4.E213.m1.5.5.1.cmml">−</mo><mrow id="A4.E213.m1.5.5.1.3.2" xref="A4.E213.m1.5.5.1.3.1.cmml"><mo id="A4.E213.m1.5.5.1.3.2.1" stretchy="false" xref="A4.E213.m1.5.5.1.3.1.1.cmml">|</mo><mi id="A4.E213.m1.5.5.1.1" xref="A4.E213.m1.5.5.1.1.cmml">τ</mi><mo id="A4.E213.m1.5.5.1.3.2.2" stretchy="false" xref="A4.E213.m1.5.5.1.3.1.1.cmml">|</mo></mrow></mrow></msubsup><mo id="A4.E213.m1.7.7.6.1" xref="A4.E213.m1.7.7.6.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="A4.E213.m1.7.7.6.3" xref="A4.E213.m1.7.7.6.3.cmml"><mi id="A4.E213.m1.7.7.6.3.2.2" xref="A4.E213.m1.7.7.6.3.2.2.cmml">Q</mi><mn id="A4.E213.m1.7.7.6.3.2.3" xref="A4.E213.m1.7.7.6.3.2.3.cmml">1</mn><mrow id="A4.E213.m1.6.6.1" xref="A4.E213.m1.6.6.1.cmml"><mo id="A4.E213.m1.6.6.1a" xref="A4.E213.m1.6.6.1.cmml">−</mo><mrow id="A4.E213.m1.6.6.1.1.1" xref="A4.E213.m1.6.6.1.1.2.cmml"><mo id="A4.E213.m1.6.6.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A4.E213.m1.6.6.1.1.2.1.cmml">|</mo><mrow id="A4.E213.m1.6.6.1.1.1.1" xref="A4.E213.m1.6.6.1.1.1.1.cmml"><msup id="A4.E213.m1.6.6.1.1.1.1.2" xref="A4.E213.m1.6.6.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="A4.E213.m1.6.6.1.1.1.1.2.2" xref="A4.E213.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.cmml">σ</mi><mrow id="A4.E213.m1.6.6.1.1.1.1.2.3" xref="A4.E213.m1.6.6.1.1.1.1.2.3.cmml"><mo id="A4.E213.m1.6.6.1.1.1.1.2.3a" xref="A4.E213.m1.6.6.1.1.1.1.2.3.cmml">−</mo><mn id="A4.E213.m1.6.6.1.1.1.1.2.3.2" xref="A4.E213.m1.6.6.1.1.1.1.2.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="A4.E213.m1.6.6.1.1.1.1.1" xref="A4.E213.m1.6.6.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="A4.E213.m1.6.6.1.1.1.1.3" xref="A4.E213.m1.6.6.1.1.1.1.3.cmml">τ</mi></mrow><mo id="A4.E213.m1.6.6.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A4.E213.m1.6.6.1.1.2.1.cmml">|</mo></mrow></mrow></msubsup></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A4.E213.m1.7b"><apply id="A4.E213.m1.7.7.cmml" xref="A4.E213.m1.7.7"><and id="A4.E213.m1.7.7a.cmml" xref="A4.E213.m1.7.7"></and><apply id="A4.E213.m1.7.7b.cmml" xref="A4.E213.m1.7.7"><eq id="A4.E213.m1.7.7.3.cmml" xref="A4.E213.m1.7.7.3"></eq><apply id="A4.E213.m1.7.7.1.cmml" xref="A4.E213.m1.7.7.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.E213.m1.7.7.1.2.cmml" xref="A4.E213.m1.7.7.1">subscript</csymbol><apply id="A4.E213.m1.7.7.1.1.1.1.cmml" xref="A4.E213.m1.7.7.1.1.1"><times id="A4.E213.m1.7.7.1.1.1.1.3.cmml" xref="A4.E213.m1.7.7.1.1.1.1.3"></times><ci id="A4.E213.m1.7.7.1.1.1.1.4.cmml" xref="A4.E213.m1.7.7.1.1.1.1.4">𝐷</ci><apply id="A4.E213.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A4.E213.m1.7.7.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.E213.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A4.E213.m1.7.7.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="A4.E213.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A4.E213.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑄</ci><cn id="A4.E213.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A4.E213.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.3">2</cn></apply><ci id="A4.E213.m1.7.7.1.1.1.1.5.cmml" xref="A4.E213.m1.7.7.1.1.1.1.5">𝐶</ci><apply id="A4.E213.m1.7.7.1.1.1.1.2.1.1.cmml" xref="A4.E213.m1.7.7.1.1.1.1.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.E213.m1.7.7.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml" xref="A4.E213.m1.7.7.1.1.1.1.2.1">subscript</csymbol><ci id="A4.E213.m1.7.7.1.1.1.1.2.1.1.2.cmml" xref="A4.E213.m1.7.7.1.1.1.1.2.1.1.2">𝑄</ci><cn id="A4.E213.m1.7.7.1.1.1.1.2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A4.E213.m1.7.7.1.1.1.1.2.1.1.3">1</cn></apply></apply><list id="A4.E213.m1.2.2.2.3.cmml" xref="A4.E213.m1.2.2.2.4"><ci id="A4.E213.m1.1.1.1.1.cmml" xref="A4.E213.m1.1.1.1.1">𝜎</ci><ci id="A4.E213.m1.2.2.2.2.cmml" xref="A4.E213.m1.2.2.2.2">𝜏</ci></list></apply><apply id="A4.E213.m1.7.7.4.cmml" xref="A4.E213.m1.7.7.4"><apply id="A4.E213.m1.7.7.4.1.cmml" xref="A4.E213.m1.7.7.4.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.E213.m1.7.7.4.1.1.cmml" xref="A4.E213.m1.7.7.4.1">subscript</csymbol><sum id="A4.E213.m1.7.7.4.1.2.cmml" xref="A4.E213.m1.7.7.4.1.2"></sum><apply id="A4.E213.m1.7.7.4.1.3.cmml" xref="A4.E213.m1.7.7.4.1.3"><in id="A4.E213.m1.7.7.4.1.3.1.cmml" xref="A4.E213.m1.7.7.4.1.3.1"></in><ci id="A4.E213.m1.7.7.4.1.3.2.cmml" xref="A4.E213.m1.7.7.4.1.3.2">𝜌</ci><apply id="A4.E213.m1.7.7.4.1.3.3.cmml" xref="A4.E213.m1.7.7.4.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.E213.m1.7.7.4.1.3.3.1.cmml" xref="A4.E213.m1.7.7.4.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="A4.E213.m1.7.7.4.1.3.3.2.cmml" xref="A4.E213.m1.7.7.4.1.3.3.2">𝑆</ci><ci id="A4.E213.m1.7.7.4.1.3.3.3.cmml" xref="A4.E213.m1.7.7.4.1.3.3.3">𝑡</ci></apply></apply></apply><apply id="A4.E213.m1.7.7.4.2.cmml" xref="A4.E213.m1.7.7.4.2"><times id="A4.E213.m1.7.7.4.2.1.cmml" xref="A4.E213.m1.7.7.4.2.1"></times><apply id="A4.E213.m1.7.7.4.2.2.cmml" xref="A4.E213.m1.7.7.4.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.E213.m1.7.7.4.2.2.1.cmml" xref="A4.E213.m1.7.7.4.2.2">subscript</csymbol><ci id="A4.E213.m1.7.7.4.2.2.2.cmml" xref="A4.E213.m1.7.7.4.2.2.2">𝛿</ci><apply id="A4.E213.m1.7.7.4.2.2.3.cmml" xref="A4.E213.m1.7.7.4.2.2.3"><times id="A4.E213.m1.7.7.4.2.2.3.1.cmml" xref="A4.E213.m1.7.7.4.2.2.3.1"></times><ci id="A4.E213.m1.7.7.4.2.2.3.2.cmml" xref="A4.E213.m1.7.7.4.2.2.3.2">𝜏</ci><ci id="A4.E213.m1.7.7.4.2.2.3.3.cmml" xref="A4.E213.m1.7.7.4.2.2.3.3">𝜌</ci></apply></apply><apply id="A4.E213.m1.7.7.4.2.3.cmml" xref="A4.E213.m1.7.7.4.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.E213.m1.7.7.4.2.3.1.cmml" 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id="A4.E213.m1.6.6.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="A4.E213.m1.6.6.1.1.1.1.2.3"></minus><cn id="A4.E213.m1.6.6.1.1.1.1.2.3.2.cmml" type="integer" xref="A4.E213.m1.6.6.1.1.1.1.2.3.2">1</cn></apply></apply><ci id="A4.E213.m1.6.6.1.1.1.1.3.cmml" xref="A4.E213.m1.6.6.1.1.1.1.3">𝜏</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A4.E213.m1.7c">\displaystyle(D(Q_{2})C(Q_{1}))_{\sigma,\tau}=\sum_{\rho\in S_{t}}\delta_{\tau% \rho}Q_{2}^{-|\tau|}Q_{1}^{-|\sigma^{-1}\rho|}=Q_{2}^{-|\tau|}Q_{1}^{-|\sigma^% {-1}\tau|}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A4.E213.m1.7d">( italic_D ( italic_Q start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT ) italic_C ( italic_Q start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ) ) start_POSTSUBSCRIPT italic_σ , italic_τ end_POSTSUBSCRIPT = ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_ρ ∈ italic_S start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT italic_δ start_POSTSUBSCRIPT italic_τ italic_ρ end_POSTSUBSCRIPT italic_Q start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT - | italic_τ | end_POSTSUPERSCRIPT italic_Q start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT - | italic_σ start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT italic_ρ | end_POSTSUPERSCRIPT = italic_Q start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT - | italic_τ | end_POSTSUPERSCRIPT italic_Q start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT - | italic_σ start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT italic_τ | end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(213)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="A4.SS1.1.p1.2">The spectral norm of a matrix is upper-bounded by its Frobenius norm, so</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="S6.EGx174"> <tbody id="A4.E214"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle||D(Q_{2})C(Q_{1})||_{2}^{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="A4.E214.m1.1"><semantics id="A4.E214.m1.1a"><msubsup id="A4.E214.m1.1.1" xref="A4.E214.m1.1.1.cmml"><mrow id="A4.E214.m1.1.1.1.1.1" xref="A4.E214.m1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="A4.E214.m1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A4.E214.m1.1.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo><mrow id="A4.E214.m1.1.1.1.1.1.1" xref="A4.E214.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A4.E214.m1.1.1.1.1.1.1.4" xref="A4.E214.m1.1.1.1.1.1.1.4.cmml">D</mi><mo id="A4.E214.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A4.E214.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">⁢</mo><mrow id="A4.E214.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A4.E214.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A4.E214.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A4.E214.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="A4.E214.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A4.E214.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A4.E214.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A4.E214.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">Q</mi><mn id="A4.E214.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A4.E214.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">2</mn></msub><mo id="A4.E214.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A4.E214.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A4.E214.m1.1.1.1.1.1.1.3a" xref="A4.E214.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">⁢</mo><mi id="A4.E214.m1.1.1.1.1.1.1.5" xref="A4.E214.m1.1.1.1.1.1.1.5.cmml">C</mi><mo id="A4.E214.m1.1.1.1.1.1.1.3b" xref="A4.E214.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">⁢</mo><mrow id="A4.E214.m1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="A4.E214.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.cmml"><mo id="A4.E214.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.2" stretchy="false" xref="A4.E214.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.cmml">(</mo><msub id="A4.E214.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1" xref="A4.E214.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.cmml"><mi id="A4.E214.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.2" xref="A4.E214.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.2.cmml">Q</mi><mn id="A4.E214.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3" xref="A4.E214.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="A4.E214.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.3" stretchy="false" xref="A4.E214.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A4.E214.m1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A4.E214.m1.1.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo></mrow><mn id="A4.E214.m1.1.1.1.3" xref="A4.E214.m1.1.1.1.3.cmml">2</mn><mn id="A4.E214.m1.1.1.3" xref="A4.E214.m1.1.1.3.cmml">2</mn></msubsup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A4.E214.m1.1b"><apply id="A4.E214.m1.1.1.cmml" xref="A4.E214.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.E214.m1.1.1.2.cmml" xref="A4.E214.m1.1.1">superscript</csymbol><apply id="A4.E214.m1.1.1.1.cmml" xref="A4.E214.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.E214.m1.1.1.1.2.cmml" xref="A4.E214.m1.1.1">subscript</csymbol><apply id="A4.E214.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A4.E214.m1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="A4.E214.m1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A4.E214.m1.1.1.1.1.1.2">norm</csymbol><apply id="A4.E214.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A4.E214.m1.1.1.1.1.1.1"><times id="A4.E214.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A4.E214.m1.1.1.1.1.1.1.3"></times><ci id="A4.E214.m1.1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="A4.E214.m1.1.1.1.1.1.1.4">𝐷</ci><apply id="A4.E214.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A4.E214.m1.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.E214.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A4.E214.m1.1.1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="A4.E214.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A4.E214.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑄</ci><cn id="A4.E214.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A4.E214.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">2</cn></apply><ci id="A4.E214.m1.1.1.1.1.1.1.5.cmml" xref="A4.E214.m1.1.1.1.1.1.1.5">𝐶</ci><apply id="A4.E214.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.cmml" xref="A4.E214.m1.1.1.1.1.1.1.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.E214.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml" xref="A4.E214.m1.1.1.1.1.1.1.2.1">subscript</csymbol><ci id="A4.E214.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.2.cmml" xref="A4.E214.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.2">𝑄</ci><cn id="A4.E214.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A4.E214.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3">1</cn></apply></apply></apply><cn id="A4.E214.m1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A4.E214.m1.1.1.1.3">2</cn></apply><cn id="A4.E214.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A4.E214.m1.1.1.3">2</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A4.E214.m1.1c">\displaystyle||D(Q_{2})C(Q_{1})||_{2}^{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A4.E214.m1.1d">| | italic_D ( italic_Q start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT ) italic_C ( italic_Q start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ) | | start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\leq\sum_{\sigma\in D_{t}}\sum_{\tau\in S_{t}}\left(Q_{2}^{-|\tau% |}Q_{1}^{-|\sigma^{-1}\tau|}\right)^{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="A4.E214.m2.3"><semantics id="A4.E214.m2.3a"><mrow id="A4.E214.m2.3.3" xref="A4.E214.m2.3.3.cmml"><mi id="A4.E214.m2.3.3.3" xref="A4.E214.m2.3.3.3.cmml"></mi><mo id="A4.E214.m2.3.3.2" xref="A4.E214.m2.3.3.2.cmml">≤</mo><mrow id="A4.E214.m2.3.3.1" xref="A4.E214.m2.3.3.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A4.E214.m2.3.3.1.2" xref="A4.E214.m2.3.3.1.2.cmml"><munder id="A4.E214.m2.3.3.1.2a" xref="A4.E214.m2.3.3.1.2.cmml"><mo id="A4.E214.m2.3.3.1.2.2" movablelimits="false" xref="A4.E214.m2.3.3.1.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="A4.E214.m2.3.3.1.2.3" xref="A4.E214.m2.3.3.1.2.3.cmml"><mi id="A4.E214.m2.3.3.1.2.3.2" xref="A4.E214.m2.3.3.1.2.3.2.cmml">σ</mi><mo id="A4.E214.m2.3.3.1.2.3.1" xref="A4.E214.m2.3.3.1.2.3.1.cmml">∈</mo><msub id="A4.E214.m2.3.3.1.2.3.3" xref="A4.E214.m2.3.3.1.2.3.3.cmml"><mi id="A4.E214.m2.3.3.1.2.3.3.2" xref="A4.E214.m2.3.3.1.2.3.3.2.cmml">D</mi><mi id="A4.E214.m2.3.3.1.2.3.3.3" xref="A4.E214.m2.3.3.1.2.3.3.3.cmml">t</mi></msub></mrow></munder></mstyle><mrow id="A4.E214.m2.3.3.1.1" xref="A4.E214.m2.3.3.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A4.E214.m2.3.3.1.1.2" xref="A4.E214.m2.3.3.1.1.2.cmml"><munder id="A4.E214.m2.3.3.1.1.2a" xref="A4.E214.m2.3.3.1.1.2.cmml"><mo id="A4.E214.m2.3.3.1.1.2.2" movablelimits="false" xref="A4.E214.m2.3.3.1.1.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="A4.E214.m2.3.3.1.1.2.3" xref="A4.E214.m2.3.3.1.1.2.3.cmml"><mi id="A4.E214.m2.3.3.1.1.2.3.2" xref="A4.E214.m2.3.3.1.1.2.3.2.cmml">τ</mi><mo id="A4.E214.m2.3.3.1.1.2.3.1" xref="A4.E214.m2.3.3.1.1.2.3.1.cmml">∈</mo><msub id="A4.E214.m2.3.3.1.1.2.3.3" xref="A4.E214.m2.3.3.1.1.2.3.3.cmml"><mi id="A4.E214.m2.3.3.1.1.2.3.3.2" xref="A4.E214.m2.3.3.1.1.2.3.3.2.cmml">S</mi><mi id="A4.E214.m2.3.3.1.1.2.3.3.3" xref="A4.E214.m2.3.3.1.1.2.3.3.3.cmml">t</mi></msub></mrow></munder></mstyle><msup id="A4.E214.m2.3.3.1.1.1" xref="A4.E214.m2.3.3.1.1.1.cmml"><mrow id="A4.E214.m2.3.3.1.1.1.1.1" xref="A4.E214.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A4.E214.m2.3.3.1.1.1.1.1.2" xref="A4.E214.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A4.E214.m2.3.3.1.1.1.1.1.1" xref="A4.E214.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml"><msubsup id="A4.E214.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.2" xref="A4.E214.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="A4.E214.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="A4.E214.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">Q</mi><mn id="A4.E214.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="A4.E214.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">2</mn><mrow id="A4.E214.m2.1.1.1" xref="A4.E214.m2.1.1.1.cmml"><mo id="A4.E214.m2.1.1.1a" xref="A4.E214.m2.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="A4.E214.m2.1.1.1.3.2" xref="A4.E214.m2.1.1.1.3.1.cmml"><mo id="A4.E214.m2.1.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="A4.E214.m2.1.1.1.3.1.1.cmml">|</mo><mi id="A4.E214.m2.1.1.1.1" xref="A4.E214.m2.1.1.1.1.cmml">τ</mi><mo id="A4.E214.m2.1.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="A4.E214.m2.1.1.1.3.1.1.cmml">|</mo></mrow></mrow></msubsup><mo id="A4.E214.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1" xref="A4.E214.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="A4.E214.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.3" xref="A4.E214.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A4.E214.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="A4.E214.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">Q</mi><mn id="A4.E214.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="A4.E214.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">1</mn><mrow id="A4.E214.m2.2.2.1" xref="A4.E214.m2.2.2.1.cmml"><mo id="A4.E214.m2.2.2.1a" xref="A4.E214.m2.2.2.1.cmml">−</mo><mrow id="A4.E214.m2.2.2.1.1.1" xref="A4.E214.m2.2.2.1.1.2.cmml"><mo id="A4.E214.m2.2.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A4.E214.m2.2.2.1.1.2.1.cmml">|</mo><mrow id="A4.E214.m2.2.2.1.1.1.1" xref="A4.E214.m2.2.2.1.1.1.1.cmml"><msup id="A4.E214.m2.2.2.1.1.1.1.2" xref="A4.E214.m2.2.2.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="A4.E214.m2.2.2.1.1.1.1.2.2" xref="A4.E214.m2.2.2.1.1.1.1.2.2.cmml">σ</mi><mrow id="A4.E214.m2.2.2.1.1.1.1.2.3" xref="A4.E214.m2.2.2.1.1.1.1.2.3.cmml"><mo id="A4.E214.m2.2.2.1.1.1.1.2.3a" xref="A4.E214.m2.2.2.1.1.1.1.2.3.cmml">−</mo><mn id="A4.E214.m2.2.2.1.1.1.1.2.3.2" xref="A4.E214.m2.2.2.1.1.1.1.2.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="A4.E214.m2.2.2.1.1.1.1.1" xref="A4.E214.m2.2.2.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi 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xref="A4.E214.m2.3.3.1.2.3"><in id="A4.E214.m2.3.3.1.2.3.1.cmml" xref="A4.E214.m2.3.3.1.2.3.1"></in><ci id="A4.E214.m2.3.3.1.2.3.2.cmml" xref="A4.E214.m2.3.3.1.2.3.2">𝜎</ci><apply id="A4.E214.m2.3.3.1.2.3.3.cmml" xref="A4.E214.m2.3.3.1.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.E214.m2.3.3.1.2.3.3.1.cmml" xref="A4.E214.m2.3.3.1.2.3.3">subscript</csymbol><ci id="A4.E214.m2.3.3.1.2.3.3.2.cmml" xref="A4.E214.m2.3.3.1.2.3.3.2">𝐷</ci><ci id="A4.E214.m2.3.3.1.2.3.3.3.cmml" xref="A4.E214.m2.3.3.1.2.3.3.3">𝑡</ci></apply></apply></apply><apply id="A4.E214.m2.3.3.1.1.cmml" xref="A4.E214.m2.3.3.1.1"><apply id="A4.E214.m2.3.3.1.1.2.cmml" xref="A4.E214.m2.3.3.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.E214.m2.3.3.1.1.2.1.cmml" xref="A4.E214.m2.3.3.1.1.2">subscript</csymbol><sum id="A4.E214.m2.3.3.1.1.2.2.cmml" xref="A4.E214.m2.3.3.1.1.2.2"></sum><apply id="A4.E214.m2.3.3.1.1.2.3.cmml" xref="A4.E214.m2.3.3.1.1.2.3"><in id="A4.E214.m2.3.3.1.1.2.3.1.cmml" xref="A4.E214.m2.3.3.1.1.2.3.1"></in><ci id="A4.E214.m2.3.3.1.1.2.3.2.cmml" xref="A4.E214.m2.3.3.1.1.2.3.2">𝜏</ci><apply id="A4.E214.m2.3.3.1.1.2.3.3.cmml" xref="A4.E214.m2.3.3.1.1.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.E214.m2.3.3.1.1.2.3.3.1.cmml" xref="A4.E214.m2.3.3.1.1.2.3.3">subscript</csymbol><ci id="A4.E214.m2.3.3.1.1.2.3.3.2.cmml" xref="A4.E214.m2.3.3.1.1.2.3.3.2">𝑆</ci><ci id="A4.E214.m2.3.3.1.1.2.3.3.3.cmml" xref="A4.E214.m2.3.3.1.1.2.3.3.3">𝑡</ci></apply></apply></apply><apply id="A4.E214.m2.3.3.1.1.1.cmml" xref="A4.E214.m2.3.3.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.E214.m2.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="A4.E214.m2.3.3.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="A4.E214.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A4.E214.m2.3.3.1.1.1.1.1"><times id="A4.E214.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A4.E214.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1"></times><apply id="A4.E214.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A4.E214.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.E214.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A4.E214.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="A4.E214.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A4.E214.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.E214.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="A4.E214.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="A4.E214.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="A4.E214.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.2">𝑄</ci><cn id="A4.E214.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" type="integer" xref="A4.E214.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.3">2</cn></apply><apply id="A4.E214.m2.1.1.1.cmml" xref="A4.E214.m2.1.1.1"><minus id="A4.E214.m2.1.1.1.2.cmml" xref="A4.E214.m2.1.1.1"></minus><apply id="A4.E214.m2.1.1.1.3.1.cmml" xref="A4.E214.m2.1.1.1.3.2"><abs id="A4.E214.m2.1.1.1.3.1.1.cmml" xref="A4.E214.m2.1.1.1.3.2.1"></abs><ci id="A4.E214.m2.1.1.1.1.cmml" xref="A4.E214.m2.1.1.1.1">𝜏</ci></apply></apply></apply><apply id="A4.E214.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A4.E214.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.E214.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A4.E214.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="A4.E214.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A4.E214.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.E214.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="A4.E214.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A4.E214.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="A4.E214.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2.2">𝑄</ci><cn id="A4.E214.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" type="integer" xref="A4.E214.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2.3">1</cn></apply><apply id="A4.E214.m2.2.2.1.cmml" xref="A4.E214.m2.2.2.1"><minus id="A4.E214.m2.2.2.1.2.cmml" xref="A4.E214.m2.2.2.1"></minus><apply id="A4.E214.m2.2.2.1.1.2.cmml" xref="A4.E214.m2.2.2.1.1.1"><abs id="A4.E214.m2.2.2.1.1.2.1.cmml" xref="A4.E214.m2.2.2.1.1.1.2"></abs><apply id="A4.E214.m2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="A4.E214.m2.2.2.1.1.1.1"><times id="A4.E214.m2.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="A4.E214.m2.2.2.1.1.1.1.1"></times><apply id="A4.E214.m2.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="A4.E214.m2.2.2.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.E214.m2.2.2.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A4.E214.m2.2.2.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="A4.E214.m2.2.2.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A4.E214.m2.2.2.1.1.1.1.2.2">𝜎</ci><apply id="A4.E214.m2.2.2.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="A4.E214.m2.2.2.1.1.1.1.2.3"><minus id="A4.E214.m2.2.2.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="A4.E214.m2.2.2.1.1.1.1.2.3"></minus><cn id="A4.E214.m2.2.2.1.1.1.1.2.3.2.cmml" type="integer" xref="A4.E214.m2.2.2.1.1.1.1.2.3.2">1</cn></apply></apply><ci id="A4.E214.m2.2.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="A4.E214.m2.2.2.1.1.1.1.3">𝜏</ci></apply></apply></apply></apply></apply><cn id="A4.E214.m2.3.3.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A4.E214.m2.3.3.1.1.1.3">2</cn></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A4.E214.m2.3c">\displaystyle\leq\sum_{\sigma\in D_{t}}\sum_{\tau\in S_{t}}\left(Q_{2}^{-|\tau% |}Q_{1}^{-|\sigma^{-1}\tau|}\right)^{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A4.E214.m2.3d">≤ ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_σ ∈ italic_D start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_τ ∈ italic_S start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT ( italic_Q start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT - | italic_τ | end_POSTSUPERSCRIPT italic_Q start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT - | italic_σ start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT italic_τ | end_POSTSUPERSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(214)</span></td> </tr></tbody> <tbody id="A4.E215"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\leq\sum_{\sigma\in D_{t}}\sum_{\tau\in S_{t}}Q^{-2(|\tau|+|% \sigma^{-1}\tau|)}" class="ltx_Math" display="inline" id="A4.E215.m1.2"><semantics id="A4.E215.m1.2a"><mrow id="A4.E215.m1.2.3" xref="A4.E215.m1.2.3.cmml"><mi id="A4.E215.m1.2.3.2" xref="A4.E215.m1.2.3.2.cmml"></mi><mo id="A4.E215.m1.2.3.1" xref="A4.E215.m1.2.3.1.cmml">≤</mo><mrow id="A4.E215.m1.2.3.3" xref="A4.E215.m1.2.3.3.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A4.E215.m1.2.3.3.1" xref="A4.E215.m1.2.3.3.1.cmml"><munder id="A4.E215.m1.2.3.3.1a" xref="A4.E215.m1.2.3.3.1.cmml"><mo id="A4.E215.m1.2.3.3.1.2" movablelimits="false" xref="A4.E215.m1.2.3.3.1.2.cmml">∑</mo><mrow id="A4.E215.m1.2.3.3.1.3" xref="A4.E215.m1.2.3.3.1.3.cmml"><mi id="A4.E215.m1.2.3.3.1.3.2" xref="A4.E215.m1.2.3.3.1.3.2.cmml">σ</mi><mo id="A4.E215.m1.2.3.3.1.3.1" xref="A4.E215.m1.2.3.3.1.3.1.cmml">∈</mo><msub id="A4.E215.m1.2.3.3.1.3.3" xref="A4.E215.m1.2.3.3.1.3.3.cmml"><mi id="A4.E215.m1.2.3.3.1.3.3.2" xref="A4.E215.m1.2.3.3.1.3.3.2.cmml">D</mi><mi id="A4.E215.m1.2.3.3.1.3.3.3" xref="A4.E215.m1.2.3.3.1.3.3.3.cmml">t</mi></msub></mrow></munder></mstyle><mrow id="A4.E215.m1.2.3.3.2" xref="A4.E215.m1.2.3.3.2.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A4.E215.m1.2.3.3.2.1" xref="A4.E215.m1.2.3.3.2.1.cmml"><munder id="A4.E215.m1.2.3.3.2.1a" xref="A4.E215.m1.2.3.3.2.1.cmml"><mo id="A4.E215.m1.2.3.3.2.1.2" movablelimits="false" xref="A4.E215.m1.2.3.3.2.1.2.cmml">∑</mo><mrow id="A4.E215.m1.2.3.3.2.1.3" xref="A4.E215.m1.2.3.3.2.1.3.cmml"><mi id="A4.E215.m1.2.3.3.2.1.3.2" xref="A4.E215.m1.2.3.3.2.1.3.2.cmml">τ</mi><mo id="A4.E215.m1.2.3.3.2.1.3.1" xref="A4.E215.m1.2.3.3.2.1.3.1.cmml">∈</mo><msub id="A4.E215.m1.2.3.3.2.1.3.3" xref="A4.E215.m1.2.3.3.2.1.3.3.cmml"><mi id="A4.E215.m1.2.3.3.2.1.3.3.2" xref="A4.E215.m1.2.3.3.2.1.3.3.2.cmml">S</mi><mi id="A4.E215.m1.2.3.3.2.1.3.3.3" xref="A4.E215.m1.2.3.3.2.1.3.3.3.cmml">t</mi></msub></mrow></munder></mstyle><msup id="A4.E215.m1.2.3.3.2.2" xref="A4.E215.m1.2.3.3.2.2.cmml"><mi id="A4.E215.m1.2.3.3.2.2.2" xref="A4.E215.m1.2.3.3.2.2.2.cmml">Q</mi><mrow id="A4.E215.m1.2.2.2" xref="A4.E215.m1.2.2.2.cmml"><mo id="A4.E215.m1.2.2.2a" xref="A4.E215.m1.2.2.2.cmml">−</mo><mrow id="A4.E215.m1.2.2.2.2" xref="A4.E215.m1.2.2.2.2.cmml"><mn id="A4.E215.m1.2.2.2.2.3" xref="A4.E215.m1.2.2.2.2.3.cmml">2</mn><mo id="A4.E215.m1.2.2.2.2.2" xref="A4.E215.m1.2.2.2.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A4.E215.m1.2.2.2.2.1.1" xref="A4.E215.m1.2.2.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="A4.E215.m1.2.2.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="A4.E215.m1.2.2.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A4.E215.m1.2.2.2.2.1.1.1" xref="A4.E215.m1.2.2.2.2.1.1.1.cmml"><mrow id="A4.E215.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.2" xref="A4.E215.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.1.cmml"><mo id="A4.E215.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="A4.E215.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.1.1.cmml">|</mo><mi id="A4.E215.m1.1.1.1.1" xref="A4.E215.m1.1.1.1.1.cmml">τ</mi><mo id="A4.E215.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="A4.E215.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.1.1.cmml">|</mo></mrow><mo id="A4.E215.m1.2.2.2.2.1.1.1.2" xref="A4.E215.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.cmml">+</mo><mrow id="A4.E215.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1" xref="A4.E215.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="A4.E215.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A4.E215.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.2.1.cmml">|</mo><mrow id="A4.E215.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="A4.E215.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><msup id="A4.E215.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2" xref="A4.E215.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="A4.E215.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="A4.E215.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">σ</mi><mrow id="A4.E215.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="A4.E215.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mo id="A4.E215.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3a" xref="A4.E215.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">−</mo><mn id="A4.E215.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="A4.E215.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="A4.E215.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="A4.E215.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="A4.E215.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3" xref="A4.E215.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml">τ</mi></mrow><mo id="A4.E215.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A4.E215.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.2.1.cmml">|</mo></mrow></mrow><mo id="A4.E215.m1.2.2.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="A4.E215.m1.2.2.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></msup></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A4.E215.m1.2b"><apply id="A4.E215.m1.2.3.cmml" xref="A4.E215.m1.2.3"><leq id="A4.E215.m1.2.3.1.cmml" xref="A4.E215.m1.2.3.1"></leq><csymbol cd="latexml" id="A4.E215.m1.2.3.2.cmml" xref="A4.E215.m1.2.3.2">absent</csymbol><apply id="A4.E215.m1.2.3.3.cmml" xref="A4.E215.m1.2.3.3"><apply id="A4.E215.m1.2.3.3.1.cmml" xref="A4.E215.m1.2.3.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.E215.m1.2.3.3.1.1.cmml" xref="A4.E215.m1.2.3.3.1">subscript</csymbol><sum id="A4.E215.m1.2.3.3.1.2.cmml" xref="A4.E215.m1.2.3.3.1.2"></sum><apply id="A4.E215.m1.2.3.3.1.3.cmml" xref="A4.E215.m1.2.3.3.1.3"><in id="A4.E215.m1.2.3.3.1.3.1.cmml" xref="A4.E215.m1.2.3.3.1.3.1"></in><ci id="A4.E215.m1.2.3.3.1.3.2.cmml" xref="A4.E215.m1.2.3.3.1.3.2">𝜎</ci><apply id="A4.E215.m1.2.3.3.1.3.3.cmml" xref="A4.E215.m1.2.3.3.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.E215.m1.2.3.3.1.3.3.1.cmml" xref="A4.E215.m1.2.3.3.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="A4.E215.m1.2.3.3.1.3.3.2.cmml" xref="A4.E215.m1.2.3.3.1.3.3.2">𝐷</ci><ci id="A4.E215.m1.2.3.3.1.3.3.3.cmml" xref="A4.E215.m1.2.3.3.1.3.3.3">𝑡</ci></apply></apply></apply><apply id="A4.E215.m1.2.3.3.2.cmml" xref="A4.E215.m1.2.3.3.2"><apply id="A4.E215.m1.2.3.3.2.1.cmml" xref="A4.E215.m1.2.3.3.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.E215.m1.2.3.3.2.1.1.cmml" xref="A4.E215.m1.2.3.3.2.1">subscript</csymbol><sum id="A4.E215.m1.2.3.3.2.1.2.cmml" xref="A4.E215.m1.2.3.3.2.1.2"></sum><apply id="A4.E215.m1.2.3.3.2.1.3.cmml" xref="A4.E215.m1.2.3.3.2.1.3"><in id="A4.E215.m1.2.3.3.2.1.3.1.cmml" xref="A4.E215.m1.2.3.3.2.1.3.1"></in><ci id="A4.E215.m1.2.3.3.2.1.3.2.cmml" xref="A4.E215.m1.2.3.3.2.1.3.2">𝜏</ci><apply id="A4.E215.m1.2.3.3.2.1.3.3.cmml" xref="A4.E215.m1.2.3.3.2.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.E215.m1.2.3.3.2.1.3.3.1.cmml" xref="A4.E215.m1.2.3.3.2.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="A4.E215.m1.2.3.3.2.1.3.3.2.cmml" xref="A4.E215.m1.2.3.3.2.1.3.3.2">𝑆</ci><ci id="A4.E215.m1.2.3.3.2.1.3.3.3.cmml" xref="A4.E215.m1.2.3.3.2.1.3.3.3">𝑡</ci></apply></apply></apply><apply id="A4.E215.m1.2.3.3.2.2.cmml" xref="A4.E215.m1.2.3.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.E215.m1.2.3.3.2.2.1.cmml" xref="A4.E215.m1.2.3.3.2.2">superscript</csymbol><ci id="A4.E215.m1.2.3.3.2.2.2.cmml" xref="A4.E215.m1.2.3.3.2.2.2">𝑄</ci><apply id="A4.E215.m1.2.2.2.cmml" xref="A4.E215.m1.2.2.2"><minus id="A4.E215.m1.2.2.2.3.cmml" xref="A4.E215.m1.2.2.2"></minus><apply id="A4.E215.m1.2.2.2.2.cmml" xref="A4.E215.m1.2.2.2.2"><times id="A4.E215.m1.2.2.2.2.2.cmml" xref="A4.E215.m1.2.2.2.2.2"></times><cn id="A4.E215.m1.2.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="A4.E215.m1.2.2.2.2.3">2</cn><apply id="A4.E215.m1.2.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="A4.E215.m1.2.2.2.2.1.1"><plus id="A4.E215.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="A4.E215.m1.2.2.2.2.1.1.1.2"></plus><apply id="A4.E215.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="A4.E215.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.2"><abs id="A4.E215.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.1.1.cmml" xref="A4.E215.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.2.1"></abs><ci id="A4.E215.m1.1.1.1.1.cmml" xref="A4.E215.m1.1.1.1.1">𝜏</ci></apply><apply id="A4.E215.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="A4.E215.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1"><abs id="A4.E215.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A4.E215.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.2"></abs><apply id="A4.E215.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A4.E215.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1"><times id="A4.E215.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A4.E215.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1"></times><apply id="A4.E215.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A4.E215.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.E215.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A4.E215.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="A4.E215.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A4.E215.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2">𝜎</ci><apply id="A4.E215.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="A4.E215.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3"><minus id="A4.E215.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="A4.E215.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3"></minus><cn id="A4.E215.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" type="integer" xref="A4.E215.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3.2">1</cn></apply></apply><ci id="A4.E215.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A4.E215.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3">𝜏</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A4.E215.m1.2c">\displaystyle\leq\sum_{\sigma\in D_{t}}\sum_{\tau\in S_{t}}Q^{-2(|\tau|+|% \sigma^{-1}\tau|)}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A4.E215.m1.2d">≤ ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_σ ∈ italic_D start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_τ ∈ italic_S start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT italic_Q start_POSTSUPERSCRIPT - 2 ( | italic_τ | + | italic_σ start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT italic_τ | ) end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(215)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="A4.SS1.1.p1.3">∎</p> </div> </div> </section> <section class="ltx_subsection" id="A4.SS2"> <h3 class="ltx_title ltx_title_subsection"> <span class="ltx_tag ltx_tag_subsection">D.2 </span>Product and Matrix Forms</h3> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_lemma" id="Thmtheorem60"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmtheorem60.1.1.1">Lemma 60</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmtheorem60.2.2">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="Thmtheorem60.p1"> <p class="ltx_p" id="Thmtheorem60.p1.1"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmtheorem60.p1.1.1">The derangement polynomial can be expressed as the following sum:</span></p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_gather ltx_eqn_table" id="S6.EGx175"> <tbody id="A4.E216"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\displaystyle d_{t}(x)=(-1)^{t}\sum_{k=0}^{t}(-1)^{k}\binom{t}{k}\prod_{\ell=k% +1}^{t}\big{(}1+(\ell-1)x^{2}\big{)}\prod_{\ell=1}^{k}\big{(}1+(\ell-1)x\big{)% }^{2}" class="ltx_Math" display="block" id="A4.E216.m1.7"><semantics id="A4.E216.m1.7a"><mrow id="A4.E216.m1.7.7" xref="A4.E216.m1.7.7.cmml"><mrow id="A4.E216.m1.7.7.6" xref="A4.E216.m1.7.7.6.cmml"><msub id="A4.E216.m1.7.7.6.2" xref="A4.E216.m1.7.7.6.2.cmml"><mi id="A4.E216.m1.7.7.6.2.2" xref="A4.E216.m1.7.7.6.2.2.cmml">d</mi><mi id="A4.E216.m1.7.7.6.2.3" xref="A4.E216.m1.7.7.6.2.3.cmml">t</mi></msub><mo id="A4.E216.m1.7.7.6.1" xref="A4.E216.m1.7.7.6.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A4.E216.m1.7.7.6.3.2" xref="A4.E216.m1.7.7.6.cmml"><mo id="A4.E216.m1.7.7.6.3.2.1" stretchy="false" xref="A4.E216.m1.7.7.6.cmml">(</mo><mi id="A4.E216.m1.3.3" xref="A4.E216.m1.3.3.cmml">x</mi><mo id="A4.E216.m1.7.7.6.3.2.2" stretchy="false" xref="A4.E216.m1.7.7.6.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A4.E216.m1.7.7.5" xref="A4.E216.m1.7.7.5.cmml">=</mo><mrow id="A4.E216.m1.7.7.4" xref="A4.E216.m1.7.7.4.cmml"><msup id="A4.E216.m1.4.4.1.1" xref="A4.E216.m1.4.4.1.1.cmml"><mrow id="A4.E216.m1.4.4.1.1.1.1" xref="A4.E216.m1.4.4.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A4.E216.m1.4.4.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A4.E216.m1.4.4.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A4.E216.m1.4.4.1.1.1.1.1" xref="A4.E216.m1.4.4.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A4.E216.m1.4.4.1.1.1.1.1a" xref="A4.E216.m1.4.4.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mn id="A4.E216.m1.4.4.1.1.1.1.1.2" xref="A4.E216.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.cmml">1</mn></mrow><mo id="A4.E216.m1.4.4.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A4.E216.m1.4.4.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mi id="A4.E216.m1.4.4.1.1.3" xref="A4.E216.m1.4.4.1.1.3.cmml">t</mi></msup><mo id="A4.E216.m1.7.7.4.5" xref="A4.E216.m1.7.7.4.5.cmml">⁢</mo><mrow id="A4.E216.m1.7.7.4.4" xref="A4.E216.m1.7.7.4.4.cmml"><munderover id="A4.E216.m1.7.7.4.4.4" xref="A4.E216.m1.7.7.4.4.4.cmml"><mo id="A4.E216.m1.7.7.4.4.4.2.2" movablelimits="false" rspace="0em" xref="A4.E216.m1.7.7.4.4.4.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="A4.E216.m1.7.7.4.4.4.2.3" xref="A4.E216.m1.7.7.4.4.4.2.3.cmml"><mi id="A4.E216.m1.7.7.4.4.4.2.3.2" xref="A4.E216.m1.7.7.4.4.4.2.3.2.cmml">k</mi><mo id="A4.E216.m1.7.7.4.4.4.2.3.1" xref="A4.E216.m1.7.7.4.4.4.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="A4.E216.m1.7.7.4.4.4.2.3.3" xref="A4.E216.m1.7.7.4.4.4.2.3.3.cmml">0</mn></mrow><mi id="A4.E216.m1.7.7.4.4.4.3" xref="A4.E216.m1.7.7.4.4.4.3.cmml">t</mi></munderover><mrow id="A4.E216.m1.7.7.4.4.3" xref="A4.E216.m1.7.7.4.4.3.cmml"><msup id="A4.E216.m1.5.5.2.2.1.1" xref="A4.E216.m1.5.5.2.2.1.1.cmml"><mrow id="A4.E216.m1.5.5.2.2.1.1.1.1" xref="A4.E216.m1.5.5.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A4.E216.m1.5.5.2.2.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A4.E216.m1.5.5.2.2.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A4.E216.m1.5.5.2.2.1.1.1.1.1" xref="A4.E216.m1.5.5.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A4.E216.m1.5.5.2.2.1.1.1.1.1a" xref="A4.E216.m1.5.5.2.2.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mn id="A4.E216.m1.5.5.2.2.1.1.1.1.1.2" xref="A4.E216.m1.5.5.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml">1</mn></mrow><mo id="A4.E216.m1.5.5.2.2.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A4.E216.m1.5.5.2.2.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mi id="A4.E216.m1.5.5.2.2.1.1.3" xref="A4.E216.m1.5.5.2.2.1.1.3.cmml">k</mi></msup><mo id="A4.E216.m1.7.7.4.4.3.4" xref="A4.E216.m1.7.7.4.4.3.4.cmml">⁢</mo><mrow id="A4.E216.m1.2.2.4" xref="A4.E216.m1.2.2.3.cmml"><mo id="A4.E216.m1.2.2.4.1" xref="A4.E216.m1.2.2.3.1.cmml">(</mo><mfrac id="A4.E216.m1.2.2.2.2" linethickness="0pt" xref="A4.E216.m1.2.2.3.cmml"><mi id="A4.E216.m1.1.1.1.1.1.1" xref="A4.E216.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">t</mi><mi id="A4.E216.m1.2.2.2.2.2.1" xref="A4.E216.m1.2.2.2.2.2.1.cmml">k</mi></mfrac><mo id="A4.E216.m1.2.2.4.2" xref="A4.E216.m1.2.2.3.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A4.E216.m1.7.7.4.4.3.4a" xref="A4.E216.m1.7.7.4.4.3.4.cmml">⁢</mo><mrow id="A4.E216.m1.7.7.4.4.3.3" xref="A4.E216.m1.7.7.4.4.3.3.cmml"><munderover id="A4.E216.m1.7.7.4.4.3.3.3" xref="A4.E216.m1.7.7.4.4.3.3.3.cmml"><mo id="A4.E216.m1.7.7.4.4.3.3.3.2.2" movablelimits="false" rspace="0em" xref="A4.E216.m1.7.7.4.4.3.3.3.2.2.cmml">∏</mo><mrow id="A4.E216.m1.7.7.4.4.3.3.3.2.3" xref="A4.E216.m1.7.7.4.4.3.3.3.2.3.cmml"><mi id="A4.E216.m1.7.7.4.4.3.3.3.2.3.2" mathvariant="normal" xref="A4.E216.m1.7.7.4.4.3.3.3.2.3.2.cmml">ℓ</mi><mo id="A4.E216.m1.7.7.4.4.3.3.3.2.3.1" xref="A4.E216.m1.7.7.4.4.3.3.3.2.3.1.cmml">=</mo><mrow id="A4.E216.m1.7.7.4.4.3.3.3.2.3.3" xref="A4.E216.m1.7.7.4.4.3.3.3.2.3.3.cmml"><mi id="A4.E216.m1.7.7.4.4.3.3.3.2.3.3.2" xref="A4.E216.m1.7.7.4.4.3.3.3.2.3.3.2.cmml">k</mi><mo id="A4.E216.m1.7.7.4.4.3.3.3.2.3.3.1" xref="A4.E216.m1.7.7.4.4.3.3.3.2.3.3.1.cmml">+</mo><mn id="A4.E216.m1.7.7.4.4.3.3.3.2.3.3.3" xref="A4.E216.m1.7.7.4.4.3.3.3.2.3.3.3.cmml">1</mn></mrow></mrow><mi id="A4.E216.m1.7.7.4.4.3.3.3.3" xref="A4.E216.m1.7.7.4.4.3.3.3.3.cmml">t</mi></munderover><mrow id="A4.E216.m1.7.7.4.4.3.3.2" xref="A4.E216.m1.7.7.4.4.3.3.2.cmml"><mrow id="A4.E216.m1.6.6.3.3.2.2.1.1.1" xref="A4.E216.m1.6.6.3.3.2.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="A4.E216.m1.6.6.3.3.2.2.1.1.1.2" maxsize="120%" minsize="120%" xref="A4.E216.m1.6.6.3.3.2.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A4.E216.m1.6.6.3.3.2.2.1.1.1.1" xref="A4.E216.m1.6.6.3.3.2.2.1.1.1.1.cmml"><mn id="A4.E216.m1.6.6.3.3.2.2.1.1.1.1.3" xref="A4.E216.m1.6.6.3.3.2.2.1.1.1.1.3.cmml">1</mn><mo id="A4.E216.m1.6.6.3.3.2.2.1.1.1.1.2" xref="A4.E216.m1.6.6.3.3.2.2.1.1.1.1.2.cmml">+</mo><mrow id="A4.E216.m1.6.6.3.3.2.2.1.1.1.1.1" xref="A4.E216.m1.6.6.3.3.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A4.E216.m1.6.6.3.3.2.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="A4.E216.m1.6.6.3.3.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A4.E216.m1.6.6.3.3.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A4.E216.m1.6.6.3.3.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A4.E216.m1.6.6.3.3.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A4.E216.m1.6.6.3.3.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A4.E216.m1.6.6.3.3.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2" mathvariant="normal" xref="A4.E216.m1.6.6.3.3.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">ℓ</mi><mo id="A4.E216.m1.6.6.3.3.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A4.E216.m1.6.6.3.3.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mn id="A4.E216.m1.6.6.3.3.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A4.E216.m1.6.6.3.3.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="A4.E216.m1.6.6.3.3.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A4.E216.m1.6.6.3.3.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A4.E216.m1.6.6.3.3.2.2.1.1.1.1.1.2" xref="A4.E216.m1.6.6.3.3.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msup id="A4.E216.m1.6.6.3.3.2.2.1.1.1.1.1.3" xref="A4.E216.m1.6.6.3.3.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A4.E216.m1.6.6.3.3.2.2.1.1.1.1.1.3.2" xref="A4.E216.m1.6.6.3.3.2.2.1.1.1.1.1.3.2.cmml">x</mi><mn id="A4.E216.m1.6.6.3.3.2.2.1.1.1.1.1.3.3" xref="A4.E216.m1.6.6.3.3.2.2.1.1.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></msup></mrow></mrow><mo id="A4.E216.m1.6.6.3.3.2.2.1.1.1.3" maxsize="120%" minsize="120%" xref="A4.E216.m1.6.6.3.3.2.2.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A4.E216.m1.7.7.4.4.3.3.2.3" xref="A4.E216.m1.7.7.4.4.3.3.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="A4.E216.m1.7.7.4.4.3.3.2.2" xref="A4.E216.m1.7.7.4.4.3.3.2.2.cmml"><munderover id="A4.E216.m1.7.7.4.4.3.3.2.2.2" xref="A4.E216.m1.7.7.4.4.3.3.2.2.2.cmml"><mo id="A4.E216.m1.7.7.4.4.3.3.2.2.2.2.2" movablelimits="false" rspace="0em" xref="A4.E216.m1.7.7.4.4.3.3.2.2.2.2.2.cmml">∏</mo><mrow id="A4.E216.m1.7.7.4.4.3.3.2.2.2.2.3" xref="A4.E216.m1.7.7.4.4.3.3.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="A4.E216.m1.7.7.4.4.3.3.2.2.2.2.3.2" mathvariant="normal" xref="A4.E216.m1.7.7.4.4.3.3.2.2.2.2.3.2.cmml">ℓ</mi><mo id="A4.E216.m1.7.7.4.4.3.3.2.2.2.2.3.1" xref="A4.E216.m1.7.7.4.4.3.3.2.2.2.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="A4.E216.m1.7.7.4.4.3.3.2.2.2.2.3.3" xref="A4.E216.m1.7.7.4.4.3.3.2.2.2.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="A4.E216.m1.7.7.4.4.3.3.2.2.2.3" xref="A4.E216.m1.7.7.4.4.3.3.2.2.2.3.cmml">k</mi></munderover><msup id="A4.E216.m1.7.7.4.4.3.3.2.2.1" xref="A4.E216.m1.7.7.4.4.3.3.2.2.1.cmml"><mrow id="A4.E216.m1.7.7.4.4.3.3.2.2.1.1.1" xref="A4.E216.m1.7.7.4.4.3.3.2.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="A4.E216.m1.7.7.4.4.3.3.2.2.1.1.1.2" maxsize="120%" minsize="120%" xref="A4.E216.m1.7.7.4.4.3.3.2.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A4.E216.m1.7.7.4.4.3.3.2.2.1.1.1.1" xref="A4.E216.m1.7.7.4.4.3.3.2.2.1.1.1.1.cmml"><mn id="A4.E216.m1.7.7.4.4.3.3.2.2.1.1.1.1.3" xref="A4.E216.m1.7.7.4.4.3.3.2.2.1.1.1.1.3.cmml">1</mn><mo id="A4.E216.m1.7.7.4.4.3.3.2.2.1.1.1.1.2" xref="A4.E216.m1.7.7.4.4.3.3.2.2.1.1.1.1.2.cmml">+</mo><mrow id="A4.E216.m1.7.7.4.4.3.3.2.2.1.1.1.1.1" xref="A4.E216.m1.7.7.4.4.3.3.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A4.E216.m1.7.7.4.4.3.3.2.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="A4.E216.m1.7.7.4.4.3.3.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A4.E216.m1.7.7.4.4.3.3.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A4.E216.m1.7.7.4.4.3.3.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A4.E216.m1.7.7.4.4.3.3.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A4.E216.m1.7.7.4.4.3.3.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A4.E216.m1.7.7.4.4.3.3.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2" mathvariant="normal" xref="A4.E216.m1.7.7.4.4.3.3.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">ℓ</mi><mo id="A4.E216.m1.7.7.4.4.3.3.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A4.E216.m1.7.7.4.4.3.3.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mn id="A4.E216.m1.7.7.4.4.3.3.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A4.E216.m1.7.7.4.4.3.3.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="A4.E216.m1.7.7.4.4.3.3.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A4.E216.m1.7.7.4.4.3.3.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A4.E216.m1.7.7.4.4.3.3.2.2.1.1.1.1.1.2" xref="A4.E216.m1.7.7.4.4.3.3.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="A4.E216.m1.7.7.4.4.3.3.2.2.1.1.1.1.1.3" xref="A4.E216.m1.7.7.4.4.3.3.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml">x</mi></mrow></mrow><mo id="A4.E216.m1.7.7.4.4.3.3.2.2.1.1.1.3" maxsize="120%" minsize="120%" xref="A4.E216.m1.7.7.4.4.3.3.2.2.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mn id="A4.E216.m1.7.7.4.4.3.3.2.2.1.3" xref="A4.E216.m1.7.7.4.4.3.3.2.2.1.3.cmml">2</mn></msup></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A4.E216.m1.7b"><apply id="A4.E216.m1.7.7.cmml" xref="A4.E216.m1.7.7"><eq id="A4.E216.m1.7.7.5.cmml" xref="A4.E216.m1.7.7.5"></eq><apply id="A4.E216.m1.7.7.6.cmml" xref="A4.E216.m1.7.7.6"><times id="A4.E216.m1.7.7.6.1.cmml" xref="A4.E216.m1.7.7.6.1"></times><apply id="A4.E216.m1.7.7.6.2.cmml" xref="A4.E216.m1.7.7.6.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.E216.m1.7.7.6.2.1.cmml" xref="A4.E216.m1.7.7.6.2">subscript</csymbol><ci id="A4.E216.m1.7.7.6.2.2.cmml" xref="A4.E216.m1.7.7.6.2.2">𝑑</ci><ci id="A4.E216.m1.7.7.6.2.3.cmml" xref="A4.E216.m1.7.7.6.2.3">𝑡</ci></apply><ci id="A4.E216.m1.3.3.cmml" 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id="A4.E216.m1.5.5.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A4.E216.m1.5.5.2.2.1.1.1.1"></minus><cn id="A4.E216.m1.5.5.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="A4.E216.m1.5.5.2.2.1.1.1.1.1.2">1</cn></apply><ci id="A4.E216.m1.5.5.2.2.1.1.3.cmml" xref="A4.E216.m1.5.5.2.2.1.1.3">𝑘</ci></apply><apply id="A4.E216.m1.2.2.3.cmml" xref="A4.E216.m1.2.2.4"><csymbol cd="latexml" id="A4.E216.m1.2.2.3.1.cmml" xref="A4.E216.m1.2.2.4.1">binomial</csymbol><ci id="A4.E216.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A4.E216.m1.1.1.1.1.1.1">𝑡</ci><ci id="A4.E216.m1.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="A4.E216.m1.2.2.2.2.2.1">𝑘</ci></apply><apply id="A4.E216.m1.7.7.4.4.3.3.cmml" xref="A4.E216.m1.7.7.4.4.3.3"><apply id="A4.E216.m1.7.7.4.4.3.3.3.cmml" xref="A4.E216.m1.7.7.4.4.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.E216.m1.7.7.4.4.3.3.3.1.cmml" xref="A4.E216.m1.7.7.4.4.3.3.3">superscript</csymbol><apply id="A4.E216.m1.7.7.4.4.3.3.3.2.cmml" xref="A4.E216.m1.7.7.4.4.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.E216.m1.7.7.4.4.3.3.3.2.1.cmml" xref="A4.E216.m1.7.7.4.4.3.3.3">subscript</csymbol><csymbol cd="latexml" id="A4.E216.m1.7.7.4.4.3.3.3.2.2.cmml" xref="A4.E216.m1.7.7.4.4.3.3.3.2.2">product</csymbol><apply id="A4.E216.m1.7.7.4.4.3.3.3.2.3.cmml" xref="A4.E216.m1.7.7.4.4.3.3.3.2.3"><eq id="A4.E216.m1.7.7.4.4.3.3.3.2.3.1.cmml" xref="A4.E216.m1.7.7.4.4.3.3.3.2.3.1"></eq><ci id="A4.E216.m1.7.7.4.4.3.3.3.2.3.2.cmml" xref="A4.E216.m1.7.7.4.4.3.3.3.2.3.2">ℓ</ci><apply id="A4.E216.m1.7.7.4.4.3.3.3.2.3.3.cmml" xref="A4.E216.m1.7.7.4.4.3.3.3.2.3.3"><plus id="A4.E216.m1.7.7.4.4.3.3.3.2.3.3.1.cmml" xref="A4.E216.m1.7.7.4.4.3.3.3.2.3.3.1"></plus><ci id="A4.E216.m1.7.7.4.4.3.3.3.2.3.3.2.cmml" xref="A4.E216.m1.7.7.4.4.3.3.3.2.3.3.2">𝑘</ci><cn id="A4.E216.m1.7.7.4.4.3.3.3.2.3.3.3.cmml" type="integer" xref="A4.E216.m1.7.7.4.4.3.3.3.2.3.3.3">1</cn></apply></apply></apply><ci id="A4.E216.m1.7.7.4.4.3.3.3.3.cmml" xref="A4.E216.m1.7.7.4.4.3.3.3.3">𝑡</ci></apply><apply id="A4.E216.m1.7.7.4.4.3.3.2.cmml" xref="A4.E216.m1.7.7.4.4.3.3.2"><times 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xref="A4.E216.m1.6.6.3.3.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3">1</cn></apply><apply id="A4.E216.m1.6.6.3.3.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A4.E216.m1.6.6.3.3.2.2.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.E216.m1.6.6.3.3.2.2.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A4.E216.m1.6.6.3.3.2.2.1.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="A4.E216.m1.6.6.3.3.2.2.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A4.E216.m1.6.6.3.3.2.2.1.1.1.1.1.3.2">𝑥</ci><cn id="A4.E216.m1.6.6.3.3.2.2.1.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="A4.E216.m1.6.6.3.3.2.2.1.1.1.1.1.3.3">2</cn></apply></apply></apply><apply id="A4.E216.m1.7.7.4.4.3.3.2.2.cmml" xref="A4.E216.m1.7.7.4.4.3.3.2.2"><apply id="A4.E216.m1.7.7.4.4.3.3.2.2.2.cmml" xref="A4.E216.m1.7.7.4.4.3.3.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.E216.m1.7.7.4.4.3.3.2.2.2.1.cmml" xref="A4.E216.m1.7.7.4.4.3.3.2.2.2">superscript</csymbol><apply id="A4.E216.m1.7.7.4.4.3.3.2.2.2.2.cmml" xref="A4.E216.m1.7.7.4.4.3.3.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.E216.m1.7.7.4.4.3.3.2.2.2.2.1.cmml" 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id="A4.E216.m1.7.7.4.4.3.3.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="A4.E216.m1.7.7.4.4.3.3.2.2.1.1.1.1.2"></plus><cn id="A4.E216.m1.7.7.4.4.3.3.2.2.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A4.E216.m1.7.7.4.4.3.3.2.2.1.1.1.1.3">1</cn><apply id="A4.E216.m1.7.7.4.4.3.3.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="A4.E216.m1.7.7.4.4.3.3.2.2.1.1.1.1.1"><times id="A4.E216.m1.7.7.4.4.3.3.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A4.E216.m1.7.7.4.4.3.3.2.2.1.1.1.1.1.2"></times><apply id="A4.E216.m1.7.7.4.4.3.3.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A4.E216.m1.7.7.4.4.3.3.2.2.1.1.1.1.1.1.1"><minus id="A4.E216.m1.7.7.4.4.3.3.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A4.E216.m1.7.7.4.4.3.3.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><ci id="A4.E216.m1.7.7.4.4.3.3.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A4.E216.m1.7.7.4.4.3.3.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2">ℓ</ci><cn id="A4.E216.m1.7.7.4.4.3.3.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A4.E216.m1.7.7.4.4.3.3.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3">1</cn></apply><ci id="A4.E216.m1.7.7.4.4.3.3.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A4.E216.m1.7.7.4.4.3.3.2.2.1.1.1.1.1.3">𝑥</ci></apply></apply><cn id="A4.E216.m1.7.7.4.4.3.3.2.2.1.3.cmml" type="integer" xref="A4.E216.m1.7.7.4.4.3.3.2.2.1.3">2</cn></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A4.E216.m1.7c">\displaystyle d_{t}(x)=(-1)^{t}\sum_{k=0}^{t}(-1)^{k}\binom{t}{k}\prod_{\ell=k% +1}^{t}\big{(}1+(\ell-1)x^{2}\big{)}\prod_{\ell=1}^{k}\big{(}1+(\ell-1)x\big{)% }^{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A4.E216.m1.7d">italic_d start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( italic_x ) = ( - 1 ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_t end_POSTSUPERSCRIPT ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_k = 0 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_t end_POSTSUPERSCRIPT ( - 1 ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_k end_POSTSUPERSCRIPT ( FRACOP start_ARG italic_t end_ARG start_ARG italic_k end_ARG ) ∏ start_POSTSUBSCRIPT roman_ℓ = italic_k + 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_t end_POSTSUPERSCRIPT ( 1 + ( roman_ℓ - 1 ) italic_x start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ) ∏ start_POSTSUBSCRIPT roman_ℓ = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_k end_POSTSUPERSCRIPT ( 1 + ( roman_ℓ - 1 ) italic_x ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(216)</span></td> </tr></tbody> </table> </div> </div> <div class="ltx_proof" id="A4.SS2.1"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_font_italic ltx_title_proof">Proof.</h6> <div class="ltx_para" id="A4.SS2.1.p1"> <p class="ltx_p" id="A4.SS2.1.p1.15">We start with the original expression of the derangement polynomial:</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_gather ltx_eqn_table" id="S6.EGx176"> <tbody id="A4.E217"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\displaystyle d_{t}(x)=\sum_{\sigma\in S_{t}^{(\mathfrak{D})}}\sum_{\tau\in S_% {t}}x^{|\sigma^{-1}\tau|+|\tau|}" class="ltx_Math" display="block" id="A4.E217.m1.4"><semantics id="A4.E217.m1.4a"><mrow id="A4.E217.m1.4.5" xref="A4.E217.m1.4.5.cmml"><mrow id="A4.E217.m1.4.5.2" xref="A4.E217.m1.4.5.2.cmml"><msub id="A4.E217.m1.4.5.2.2" xref="A4.E217.m1.4.5.2.2.cmml"><mi id="A4.E217.m1.4.5.2.2.2" xref="A4.E217.m1.4.5.2.2.2.cmml">d</mi><mi id="A4.E217.m1.4.5.2.2.3" xref="A4.E217.m1.4.5.2.2.3.cmml">t</mi></msub><mo id="A4.E217.m1.4.5.2.1" xref="A4.E217.m1.4.5.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A4.E217.m1.4.5.2.3.2" xref="A4.E217.m1.4.5.2.cmml"><mo id="A4.E217.m1.4.5.2.3.2.1" stretchy="false" xref="A4.E217.m1.4.5.2.cmml">(</mo><mi id="A4.E217.m1.4.4" xref="A4.E217.m1.4.4.cmml">x</mi><mo id="A4.E217.m1.4.5.2.3.2.2" stretchy="false" xref="A4.E217.m1.4.5.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A4.E217.m1.4.5.1" rspace="0.111em" xref="A4.E217.m1.4.5.1.cmml">=</mo><mrow id="A4.E217.m1.4.5.3" xref="A4.E217.m1.4.5.3.cmml"><munder id="A4.E217.m1.4.5.3.1" xref="A4.E217.m1.4.5.3.1.cmml"><mo id="A4.E217.m1.4.5.3.1.2" movablelimits="false" rspace="0em" xref="A4.E217.m1.4.5.3.1.2.cmml">∑</mo><mrow id="A4.E217.m1.1.1.1" xref="A4.E217.m1.1.1.1.cmml"><mi id="A4.E217.m1.1.1.1.3" xref="A4.E217.m1.1.1.1.3.cmml">σ</mi><mo id="A4.E217.m1.1.1.1.2" xref="A4.E217.m1.1.1.1.2.cmml">∈</mo><msubsup id="A4.E217.m1.1.1.1.4" xref="A4.E217.m1.1.1.1.4.cmml"><mi id="A4.E217.m1.1.1.1.4.2.2" xref="A4.E217.m1.1.1.1.4.2.2.cmml">S</mi><mi id="A4.E217.m1.1.1.1.4.2.3" xref="A4.E217.m1.1.1.1.4.2.3.cmml">t</mi><mrow id="A4.E217.m1.1.1.1.1.1.3" xref="A4.E217.m1.1.1.1.4.cmml"><mo id="A4.E217.m1.1.1.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="A4.E217.m1.1.1.1.4.cmml">(</mo><mi id="A4.E217.m1.1.1.1.1.1.1" xref="A4.E217.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">𝔇</mi><mo id="A4.E217.m1.1.1.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="A4.E217.m1.1.1.1.4.cmml">)</mo></mrow></msubsup></mrow></munder><mrow id="A4.E217.m1.4.5.3.2" xref="A4.E217.m1.4.5.3.2.cmml"><munder id="A4.E217.m1.4.5.3.2.1" xref="A4.E217.m1.4.5.3.2.1.cmml"><mo id="A4.E217.m1.4.5.3.2.1.2" movablelimits="false" xref="A4.E217.m1.4.5.3.2.1.2.cmml">∑</mo><mrow id="A4.E217.m1.4.5.3.2.1.3" xref="A4.E217.m1.4.5.3.2.1.3.cmml"><mi id="A4.E217.m1.4.5.3.2.1.3.2" xref="A4.E217.m1.4.5.3.2.1.3.2.cmml">τ</mi><mo id="A4.E217.m1.4.5.3.2.1.3.1" xref="A4.E217.m1.4.5.3.2.1.3.1.cmml">∈</mo><msub id="A4.E217.m1.4.5.3.2.1.3.3" xref="A4.E217.m1.4.5.3.2.1.3.3.cmml"><mi id="A4.E217.m1.4.5.3.2.1.3.3.2" xref="A4.E217.m1.4.5.3.2.1.3.3.2.cmml">S</mi><mi id="A4.E217.m1.4.5.3.2.1.3.3.3" xref="A4.E217.m1.4.5.3.2.1.3.3.3.cmml">t</mi></msub></mrow></munder><msup id="A4.E217.m1.4.5.3.2.2" xref="A4.E217.m1.4.5.3.2.2.cmml"><mi id="A4.E217.m1.4.5.3.2.2.2" xref="A4.E217.m1.4.5.3.2.2.2.cmml">x</mi><mrow id="A4.E217.m1.3.3.2" xref="A4.E217.m1.3.3.2.cmml"><mrow id="A4.E217.m1.3.3.2.2.1" 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id="A4.E217.m1.3.3.2.4.2.1" stretchy="false" xref="A4.E217.m1.3.3.2.4.1.1.cmml">|</mo><mi id="A4.E217.m1.2.2.1.1" xref="A4.E217.m1.2.2.1.1.cmml">τ</mi><mo id="A4.E217.m1.3.3.2.4.2.2" stretchy="false" xref="A4.E217.m1.3.3.2.4.1.1.cmml">|</mo></mrow></mrow></msup></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A4.E217.m1.4b"><apply id="A4.E217.m1.4.5.cmml" xref="A4.E217.m1.4.5"><eq id="A4.E217.m1.4.5.1.cmml" xref="A4.E217.m1.4.5.1"></eq><apply id="A4.E217.m1.4.5.2.cmml" xref="A4.E217.m1.4.5.2"><times id="A4.E217.m1.4.5.2.1.cmml" xref="A4.E217.m1.4.5.2.1"></times><apply id="A4.E217.m1.4.5.2.2.cmml" xref="A4.E217.m1.4.5.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.E217.m1.4.5.2.2.1.cmml" xref="A4.E217.m1.4.5.2.2">subscript</csymbol><ci id="A4.E217.m1.4.5.2.2.2.cmml" xref="A4.E217.m1.4.5.2.2.2">𝑑</ci><ci id="A4.E217.m1.4.5.2.2.3.cmml" xref="A4.E217.m1.4.5.2.2.3">𝑡</ci></apply><ci id="A4.E217.m1.4.4.cmml" xref="A4.E217.m1.4.4">𝑥</ci></apply><apply id="A4.E217.m1.4.5.3.cmml" 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id="A4.E217.m1.3.3.2.2.1.1.2.3.1.cmml" xref="A4.E217.m1.3.3.2.2.1.1.2.3"></minus><cn id="A4.E217.m1.3.3.2.2.1.1.2.3.2.cmml" type="integer" xref="A4.E217.m1.3.3.2.2.1.1.2.3.2">1</cn></apply></apply><ci id="A4.E217.m1.3.3.2.2.1.1.3.cmml" xref="A4.E217.m1.3.3.2.2.1.1.3">𝜏</ci></apply></apply><apply id="A4.E217.m1.3.3.2.4.1.cmml" xref="A4.E217.m1.3.3.2.4.2"><abs id="A4.E217.m1.3.3.2.4.1.1.cmml" xref="A4.E217.m1.3.3.2.4.2.1"></abs><ci id="A4.E217.m1.2.2.1.1.cmml" xref="A4.E217.m1.2.2.1.1">𝜏</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A4.E217.m1.4c">\displaystyle d_{t}(x)=\sum_{\sigma\in S_{t}^{(\mathfrak{D})}}\sum_{\tau\in S_% {t}}x^{|\sigma^{-1}\tau|+|\tau|}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A4.E217.m1.4d">italic_d start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( italic_x ) = ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_σ ∈ italic_S start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( fraktur_D ) end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_τ ∈ italic_S start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT italic_x start_POSTSUPERSCRIPT | italic_σ start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT italic_τ | + | italic_τ | end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(217)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="A4.SS2.1.p1.16">We consider the more general sum</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_gather ltx_eqn_table" id="S6.EGx177"> <tbody id="A4.E218"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\displaystyle c_{t}(x)\equiv\sum_{\tau\in S_{t}}x^{|\tau|}" class="ltx_Math" display="block" id="A4.E218.m1.2"><semantics id="A4.E218.m1.2a"><mrow id="A4.E218.m1.2.3" xref="A4.E218.m1.2.3.cmml"><mrow id="A4.E218.m1.2.3.2" xref="A4.E218.m1.2.3.2.cmml"><msub id="A4.E218.m1.2.3.2.2" xref="A4.E218.m1.2.3.2.2.cmml"><mi id="A4.E218.m1.2.3.2.2.2" xref="A4.E218.m1.2.3.2.2.2.cmml">c</mi><mi id="A4.E218.m1.2.3.2.2.3" xref="A4.E218.m1.2.3.2.2.3.cmml">t</mi></msub><mo id="A4.E218.m1.2.3.2.1" xref="A4.E218.m1.2.3.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A4.E218.m1.2.3.2.3.2" xref="A4.E218.m1.2.3.2.cmml"><mo id="A4.E218.m1.2.3.2.3.2.1" stretchy="false" xref="A4.E218.m1.2.3.2.cmml">(</mo><mi id="A4.E218.m1.2.2" xref="A4.E218.m1.2.2.cmml">x</mi><mo id="A4.E218.m1.2.3.2.3.2.2" stretchy="false" xref="A4.E218.m1.2.3.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A4.E218.m1.2.3.1" rspace="0.111em" xref="A4.E218.m1.2.3.1.cmml">≡</mo><mrow id="A4.E218.m1.2.3.3" xref="A4.E218.m1.2.3.3.cmml"><munder id="A4.E218.m1.2.3.3.1" xref="A4.E218.m1.2.3.3.1.cmml"><mo id="A4.E218.m1.2.3.3.1.2" movablelimits="false" 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xref="A4.E218.m1.2.3.3.1.3"><in id="A4.E218.m1.2.3.3.1.3.1.cmml" xref="A4.E218.m1.2.3.3.1.3.1"></in><ci id="A4.E218.m1.2.3.3.1.3.2.cmml" xref="A4.E218.m1.2.3.3.1.3.2">𝜏</ci><apply id="A4.E218.m1.2.3.3.1.3.3.cmml" xref="A4.E218.m1.2.3.3.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.E218.m1.2.3.3.1.3.3.1.cmml" xref="A4.E218.m1.2.3.3.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="A4.E218.m1.2.3.3.1.3.3.2.cmml" xref="A4.E218.m1.2.3.3.1.3.3.2">𝑆</ci><ci id="A4.E218.m1.2.3.3.1.3.3.3.cmml" xref="A4.E218.m1.2.3.3.1.3.3.3">𝑡</ci></apply></apply></apply><apply id="A4.E218.m1.2.3.3.2.cmml" xref="A4.E218.m1.2.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.E218.m1.2.3.3.2.1.cmml" xref="A4.E218.m1.2.3.3.2">superscript</csymbol><ci id="A4.E218.m1.2.3.3.2.2.cmml" xref="A4.E218.m1.2.3.3.2.2">𝑥</ci><apply id="A4.E218.m1.1.1.1.2.cmml" xref="A4.E218.m1.1.1.1.3"><abs id="A4.E218.m1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A4.E218.m1.1.1.1.3.1"></abs><ci id="A4.E218.m1.1.1.1.1.cmml" 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c_{t}(x)^{2}=\sum_{\sigma\in S_{t}}\sum_{\tau\in S_{t}}x^{|% \sigma^{-1}\tau|+|\tau|}" class="ltx_Math" display="block" id="A4.E219.m1.3"><semantics id="A4.E219.m1.3a"><mrow id="A4.E219.m1.3.4" xref="A4.E219.m1.3.4.cmml"><mrow id="A4.E219.m1.3.4.2" xref="A4.E219.m1.3.4.2.cmml"><msub id="A4.E219.m1.3.4.2.2" xref="A4.E219.m1.3.4.2.2.cmml"><mi id="A4.E219.m1.3.4.2.2.2" xref="A4.E219.m1.3.4.2.2.2.cmml">c</mi><mi id="A4.E219.m1.3.4.2.2.3" xref="A4.E219.m1.3.4.2.2.3.cmml">t</mi></msub><mo id="A4.E219.m1.3.4.2.1" xref="A4.E219.m1.3.4.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="A4.E219.m1.3.4.2.3" xref="A4.E219.m1.3.4.2.3.cmml"><mrow id="A4.E219.m1.3.4.2.3.2.2" xref="A4.E219.m1.3.4.2.3.cmml"><mo id="A4.E219.m1.3.4.2.3.2.2.1" stretchy="false" xref="A4.E219.m1.3.4.2.3.cmml">(</mo><mi id="A4.E219.m1.3.3" xref="A4.E219.m1.3.3.cmml">x</mi><mo id="A4.E219.m1.3.4.2.3.2.2.2" stretchy="false" xref="A4.E219.m1.3.4.2.3.cmml">)</mo></mrow><mn id="A4.E219.m1.3.4.2.3.3" 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xref="A4.E219.m1.3.4.2.3.3">2</cn></apply></apply><apply id="A4.E219.m1.3.4.3.cmml" xref="A4.E219.m1.3.4.3"><apply id="A4.E219.m1.3.4.3.1.cmml" xref="A4.E219.m1.3.4.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.E219.m1.3.4.3.1.1.cmml" xref="A4.E219.m1.3.4.3.1">subscript</csymbol><sum id="A4.E219.m1.3.4.3.1.2.cmml" xref="A4.E219.m1.3.4.3.1.2"></sum><apply id="A4.E219.m1.3.4.3.1.3.cmml" xref="A4.E219.m1.3.4.3.1.3"><in id="A4.E219.m1.3.4.3.1.3.1.cmml" xref="A4.E219.m1.3.4.3.1.3.1"></in><ci id="A4.E219.m1.3.4.3.1.3.2.cmml" xref="A4.E219.m1.3.4.3.1.3.2">𝜎</ci><apply id="A4.E219.m1.3.4.3.1.3.3.cmml" xref="A4.E219.m1.3.4.3.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.E219.m1.3.4.3.1.3.3.1.cmml" xref="A4.E219.m1.3.4.3.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="A4.E219.m1.3.4.3.1.3.3.2.cmml" xref="A4.E219.m1.3.4.3.1.3.3.2">𝑆</ci><ci id="A4.E219.m1.3.4.3.1.3.3.3.cmml" xref="A4.E219.m1.3.4.3.1.3.3.3">𝑡</ci></apply></apply></apply><apply id="A4.E219.m1.3.4.3.2.cmml" xref="A4.E219.m1.3.4.3.2"><apply id="A4.E219.m1.3.4.3.2.1.cmml" xref="A4.E219.m1.3.4.3.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.E219.m1.3.4.3.2.1.1.cmml" xref="A4.E219.m1.3.4.3.2.1">subscript</csymbol><sum id="A4.E219.m1.3.4.3.2.1.2.cmml" xref="A4.E219.m1.3.4.3.2.1.2"></sum><apply id="A4.E219.m1.3.4.3.2.1.3.cmml" xref="A4.E219.m1.3.4.3.2.1.3"><in id="A4.E219.m1.3.4.3.2.1.3.1.cmml" xref="A4.E219.m1.3.4.3.2.1.3.1"></in><ci id="A4.E219.m1.3.4.3.2.1.3.2.cmml" xref="A4.E219.m1.3.4.3.2.1.3.2">𝜏</ci><apply id="A4.E219.m1.3.4.3.2.1.3.3.cmml" xref="A4.E219.m1.3.4.3.2.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.E219.m1.3.4.3.2.1.3.3.1.cmml" xref="A4.E219.m1.3.4.3.2.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="A4.E219.m1.3.4.3.2.1.3.3.2.cmml" xref="A4.E219.m1.3.4.3.2.1.3.3.2">𝑆</ci><ci id="A4.E219.m1.3.4.3.2.1.3.3.3.cmml" xref="A4.E219.m1.3.4.3.2.1.3.3.3">𝑡</ci></apply></apply></apply><apply id="A4.E219.m1.3.4.3.2.2.cmml" xref="A4.E219.m1.3.4.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.E219.m1.3.4.3.2.2.1.cmml" xref="A4.E219.m1.3.4.3.2.2">superscript</csymbol><ci id="A4.E219.m1.3.4.3.2.2.2.cmml" xref="A4.E219.m1.3.4.3.2.2.2">𝑥</ci><apply id="A4.E219.m1.2.2.2.cmml" xref="A4.E219.m1.2.2.2"><plus id="A4.E219.m1.2.2.2.3.cmml" xref="A4.E219.m1.2.2.2.3"></plus><apply id="A4.E219.m1.2.2.2.2.2.cmml" xref="A4.E219.m1.2.2.2.2.1"><abs id="A4.E219.m1.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="A4.E219.m1.2.2.2.2.1.2"></abs><apply id="A4.E219.m1.2.2.2.2.1.1.cmml" xref="A4.E219.m1.2.2.2.2.1.1"><times id="A4.E219.m1.2.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="A4.E219.m1.2.2.2.2.1.1.1"></times><apply id="A4.E219.m1.2.2.2.2.1.1.2.cmml" xref="A4.E219.m1.2.2.2.2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.E219.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.cmml" xref="A4.E219.m1.2.2.2.2.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="A4.E219.m1.2.2.2.2.1.1.2.2.cmml" xref="A4.E219.m1.2.2.2.2.1.1.2.2">𝜎</ci><apply id="A4.E219.m1.2.2.2.2.1.1.2.3.cmml" xref="A4.E219.m1.2.2.2.2.1.1.2.3"><minus id="A4.E219.m1.2.2.2.2.1.1.2.3.1.cmml" xref="A4.E219.m1.2.2.2.2.1.1.2.3"></minus><cn id="A4.E219.m1.2.2.2.2.1.1.2.3.2.cmml" type="integer" xref="A4.E219.m1.2.2.2.2.1.1.2.3.2">1</cn></apply></apply><ci id="A4.E219.m1.2.2.2.2.1.1.3.cmml" xref="A4.E219.m1.2.2.2.2.1.1.3">𝜏</ci></apply></apply><apply id="A4.E219.m1.2.2.2.4.1.cmml" xref="A4.E219.m1.2.2.2.4.2"><abs id="A4.E219.m1.2.2.2.4.1.1.cmml" xref="A4.E219.m1.2.2.2.4.2.1"></abs><ci id="A4.E219.m1.1.1.1.1.cmml" xref="A4.E219.m1.1.1.1.1">𝜏</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A4.E219.m1.3c">\displaystyle c_{t}(x)^{2}=\sum_{\sigma\in S_{t}}\sum_{\tau\in S_{t}}x^{|% \sigma^{-1}\tau|+|\tau|}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A4.E219.m1.3d">italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( italic_x ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT = ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_σ ∈ italic_S start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_τ ∈ italic_S start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT italic_x start_POSTSUPERSCRIPT | italic_σ start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT italic_τ | + | italic_τ | end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(219)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="A4.SS2.1.p1.5">Since the term in the sum is invariant upon simultaneous conjugation of <math alttext="\sigma" class="ltx_Math" display="inline" id="A4.SS2.1.p1.1.m1.1"><semantics id="A4.SS2.1.p1.1.m1.1a"><mi id="A4.SS2.1.p1.1.m1.1.1" xref="A4.SS2.1.p1.1.m1.1.1.cmml">σ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A4.SS2.1.p1.1.m1.1b"><ci id="A4.SS2.1.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="A4.SS2.1.p1.1.m1.1.1">𝜎</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A4.SS2.1.p1.1.m1.1c">\sigma</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A4.SS2.1.p1.1.m1.1d">italic_σ</annotation></semantics></math> and <math alttext="\tau" class="ltx_Math" display="inline" id="A4.SS2.1.p1.2.m2.1"><semantics id="A4.SS2.1.p1.2.m2.1a"><mi id="A4.SS2.1.p1.2.m2.1.1" xref="A4.SS2.1.p1.2.m2.1.1.cmml">τ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A4.SS2.1.p1.2.m2.1b"><ci id="A4.SS2.1.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="A4.SS2.1.p1.2.m2.1.1">𝜏</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A4.SS2.1.p1.2.m2.1c">\tau</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A4.SS2.1.p1.2.m2.1d">italic_τ</annotation></semantics></math>, <math alttext="\sum_{\tau\in S_{t}}x^{|\sigma^{-1}\tau|+|\tau|}" class="ltx_Math" display="inline" id="A4.SS2.1.p1.3.m3.2"><semantics id="A4.SS2.1.p1.3.m3.2a"><mrow id="A4.SS2.1.p1.3.m3.2.3" xref="A4.SS2.1.p1.3.m3.2.3.cmml"><msub id="A4.SS2.1.p1.3.m3.2.3.1" xref="A4.SS2.1.p1.3.m3.2.3.1.cmml"><mo id="A4.SS2.1.p1.3.m3.2.3.1.2" xref="A4.SS2.1.p1.3.m3.2.3.1.2.cmml">∑</mo><mrow id="A4.SS2.1.p1.3.m3.2.3.1.3" xref="A4.SS2.1.p1.3.m3.2.3.1.3.cmml"><mi id="A4.SS2.1.p1.3.m3.2.3.1.3.2" xref="A4.SS2.1.p1.3.m3.2.3.1.3.2.cmml">τ</mi><mo id="A4.SS2.1.p1.3.m3.2.3.1.3.1" xref="A4.SS2.1.p1.3.m3.2.3.1.3.1.cmml">∈</mo><msub id="A4.SS2.1.p1.3.m3.2.3.1.3.3" xref="A4.SS2.1.p1.3.m3.2.3.1.3.3.cmml"><mi id="A4.SS2.1.p1.3.m3.2.3.1.3.3.2" xref="A4.SS2.1.p1.3.m3.2.3.1.3.3.2.cmml">S</mi><mi id="A4.SS2.1.p1.3.m3.2.3.1.3.3.3" xref="A4.SS2.1.p1.3.m3.2.3.1.3.3.3.cmml">t</mi></msub></mrow></msub><msup id="A4.SS2.1.p1.3.m3.2.3.2" xref="A4.SS2.1.p1.3.m3.2.3.2.cmml"><mi id="A4.SS2.1.p1.3.m3.2.3.2.2" xref="A4.SS2.1.p1.3.m3.2.3.2.2.cmml">x</mi><mrow id="A4.SS2.1.p1.3.m3.2.2.2" xref="A4.SS2.1.p1.3.m3.2.2.2.cmml"><mrow id="A4.SS2.1.p1.3.m3.2.2.2.2.1" xref="A4.SS2.1.p1.3.m3.2.2.2.2.2.cmml"><mo id="A4.SS2.1.p1.3.m3.2.2.2.2.1.2" stretchy="false" xref="A4.SS2.1.p1.3.m3.2.2.2.2.2.1.cmml">|</mo><mrow id="A4.SS2.1.p1.3.m3.2.2.2.2.1.1" xref="A4.SS2.1.p1.3.m3.2.2.2.2.1.1.cmml"><msup id="A4.SS2.1.p1.3.m3.2.2.2.2.1.1.2" xref="A4.SS2.1.p1.3.m3.2.2.2.2.1.1.2.cmml"><mi id="A4.SS2.1.p1.3.m3.2.2.2.2.1.1.2.2" xref="A4.SS2.1.p1.3.m3.2.2.2.2.1.1.2.2.cmml">σ</mi><mrow id="A4.SS2.1.p1.3.m3.2.2.2.2.1.1.2.3" xref="A4.SS2.1.p1.3.m3.2.2.2.2.1.1.2.3.cmml"><mo id="A4.SS2.1.p1.3.m3.2.2.2.2.1.1.2.3a" xref="A4.SS2.1.p1.3.m3.2.2.2.2.1.1.2.3.cmml">−</mo><mn id="A4.SS2.1.p1.3.m3.2.2.2.2.1.1.2.3.2" xref="A4.SS2.1.p1.3.m3.2.2.2.2.1.1.2.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="A4.SS2.1.p1.3.m3.2.2.2.2.1.1.1" xref="A4.SS2.1.p1.3.m3.2.2.2.2.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="A4.SS2.1.p1.3.m3.2.2.2.2.1.1.3" xref="A4.SS2.1.p1.3.m3.2.2.2.2.1.1.3.cmml">τ</mi></mrow><mo id="A4.SS2.1.p1.3.m3.2.2.2.2.1.3" stretchy="false" xref="A4.SS2.1.p1.3.m3.2.2.2.2.2.1.cmml">|</mo></mrow><mo id="A4.SS2.1.p1.3.m3.2.2.2.3" xref="A4.SS2.1.p1.3.m3.2.2.2.3.cmml">+</mo><mrow id="A4.SS2.1.p1.3.m3.2.2.2.4.2" xref="A4.SS2.1.p1.3.m3.2.2.2.4.1.cmml"><mo id="A4.SS2.1.p1.3.m3.2.2.2.4.2.1" stretchy="false" xref="A4.SS2.1.p1.3.m3.2.2.2.4.1.1.cmml">|</mo><mi id="A4.SS2.1.p1.3.m3.1.1.1.1" xref="A4.SS2.1.p1.3.m3.1.1.1.1.cmml">τ</mi><mo id="A4.SS2.1.p1.3.m3.2.2.2.4.2.2" stretchy="false" xref="A4.SS2.1.p1.3.m3.2.2.2.4.1.1.cmml">|</mo></mrow></mrow></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A4.SS2.1.p1.3.m3.2b"><apply id="A4.SS2.1.p1.3.m3.2.3.cmml" xref="A4.SS2.1.p1.3.m3.2.3"><apply id="A4.SS2.1.p1.3.m3.2.3.1.cmml" xref="A4.SS2.1.p1.3.m3.2.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.SS2.1.p1.3.m3.2.3.1.1.cmml" xref="A4.SS2.1.p1.3.m3.2.3.1">subscript</csymbol><sum id="A4.SS2.1.p1.3.m3.2.3.1.2.cmml" xref="A4.SS2.1.p1.3.m3.2.3.1.2"></sum><apply id="A4.SS2.1.p1.3.m3.2.3.1.3.cmml" xref="A4.SS2.1.p1.3.m3.2.3.1.3"><in id="A4.SS2.1.p1.3.m3.2.3.1.3.1.cmml" xref="A4.SS2.1.p1.3.m3.2.3.1.3.1"></in><ci id="A4.SS2.1.p1.3.m3.2.3.1.3.2.cmml" xref="A4.SS2.1.p1.3.m3.2.3.1.3.2">𝜏</ci><apply id="A4.SS2.1.p1.3.m3.2.3.1.3.3.cmml" xref="A4.SS2.1.p1.3.m3.2.3.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.SS2.1.p1.3.m3.2.3.1.3.3.1.cmml" xref="A4.SS2.1.p1.3.m3.2.3.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="A4.SS2.1.p1.3.m3.2.3.1.3.3.2.cmml" xref="A4.SS2.1.p1.3.m3.2.3.1.3.3.2">𝑆</ci><ci id="A4.SS2.1.p1.3.m3.2.3.1.3.3.3.cmml" xref="A4.SS2.1.p1.3.m3.2.3.1.3.3.3">𝑡</ci></apply></apply></apply><apply id="A4.SS2.1.p1.3.m3.2.3.2.cmml" xref="A4.SS2.1.p1.3.m3.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.SS2.1.p1.3.m3.2.3.2.1.cmml" xref="A4.SS2.1.p1.3.m3.2.3.2">superscript</csymbol><ci id="A4.SS2.1.p1.3.m3.2.3.2.2.cmml" xref="A4.SS2.1.p1.3.m3.2.3.2.2">𝑥</ci><apply id="A4.SS2.1.p1.3.m3.2.2.2.cmml" xref="A4.SS2.1.p1.3.m3.2.2.2"><plus id="A4.SS2.1.p1.3.m3.2.2.2.3.cmml" xref="A4.SS2.1.p1.3.m3.2.2.2.3"></plus><apply id="A4.SS2.1.p1.3.m3.2.2.2.2.2.cmml" xref="A4.SS2.1.p1.3.m3.2.2.2.2.1"><abs id="A4.SS2.1.p1.3.m3.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="A4.SS2.1.p1.3.m3.2.2.2.2.1.2"></abs><apply id="A4.SS2.1.p1.3.m3.2.2.2.2.1.1.cmml" xref="A4.SS2.1.p1.3.m3.2.2.2.2.1.1"><times id="A4.SS2.1.p1.3.m3.2.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="A4.SS2.1.p1.3.m3.2.2.2.2.1.1.1"></times><apply id="A4.SS2.1.p1.3.m3.2.2.2.2.1.1.2.cmml" xref="A4.SS2.1.p1.3.m3.2.2.2.2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.SS2.1.p1.3.m3.2.2.2.2.1.1.2.1.cmml" xref="A4.SS2.1.p1.3.m3.2.2.2.2.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="A4.SS2.1.p1.3.m3.2.2.2.2.1.1.2.2.cmml" xref="A4.SS2.1.p1.3.m3.2.2.2.2.1.1.2.2">𝜎</ci><apply id="A4.SS2.1.p1.3.m3.2.2.2.2.1.1.2.3.cmml" xref="A4.SS2.1.p1.3.m3.2.2.2.2.1.1.2.3"><minus id="A4.SS2.1.p1.3.m3.2.2.2.2.1.1.2.3.1.cmml" xref="A4.SS2.1.p1.3.m3.2.2.2.2.1.1.2.3"></minus><cn id="A4.SS2.1.p1.3.m3.2.2.2.2.1.1.2.3.2.cmml" type="integer" xref="A4.SS2.1.p1.3.m3.2.2.2.2.1.1.2.3.2">1</cn></apply></apply><ci id="A4.SS2.1.p1.3.m3.2.2.2.2.1.1.3.cmml" xref="A4.SS2.1.p1.3.m3.2.2.2.2.1.1.3">𝜏</ci></apply></apply><apply id="A4.SS2.1.p1.3.m3.2.2.2.4.1.cmml" xref="A4.SS2.1.p1.3.m3.2.2.2.4.2"><abs id="A4.SS2.1.p1.3.m3.2.2.2.4.1.1.cmml" xref="A4.SS2.1.p1.3.m3.2.2.2.4.2.1"></abs><ci id="A4.SS2.1.p1.3.m3.1.1.1.1.cmml" xref="A4.SS2.1.p1.3.m3.1.1.1.1">𝜏</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A4.SS2.1.p1.3.m3.2c">\sum_{\tau\in S_{t}}x^{|\sigma^{-1}\tau|+|\tau|}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A4.SS2.1.p1.3.m3.2d">∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_τ ∈ italic_S start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT italic_x start_POSTSUPERSCRIPT | italic_σ start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT italic_τ | + | italic_τ | end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> only depends on the conjugacy class of <math alttext="\sigma" class="ltx_Math" display="inline" id="A4.SS2.1.p1.4.m4.1"><semantics id="A4.SS2.1.p1.4.m4.1a"><mi id="A4.SS2.1.p1.4.m4.1.1" xref="A4.SS2.1.p1.4.m4.1.1.cmml">σ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A4.SS2.1.p1.4.m4.1b"><ci id="A4.SS2.1.p1.4.m4.1.1.cmml" xref="A4.SS2.1.p1.4.m4.1.1">𝜎</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A4.SS2.1.p1.4.m4.1c">\sigma</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A4.SS2.1.p1.4.m4.1d">italic_σ</annotation></semantics></math>. Therefore, we can separate the sum over derangements <math alttext="D_{k}" class="ltx_Math" display="inline" id="A4.SS2.1.p1.5.m5.1"><semantics id="A4.SS2.1.p1.5.m5.1a"><msub id="A4.SS2.1.p1.5.m5.1.1" xref="A4.SS2.1.p1.5.m5.1.1.cmml"><mi id="A4.SS2.1.p1.5.m5.1.1.2" xref="A4.SS2.1.p1.5.m5.1.1.2.cmml">D</mi><mi id="A4.SS2.1.p1.5.m5.1.1.3" xref="A4.SS2.1.p1.5.m5.1.1.3.cmml">k</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A4.SS2.1.p1.5.m5.1b"><apply id="A4.SS2.1.p1.5.m5.1.1.cmml" xref="A4.SS2.1.p1.5.m5.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.SS2.1.p1.5.m5.1.1.1.cmml" xref="A4.SS2.1.p1.5.m5.1.1">subscript</csymbol><ci id="A4.SS2.1.p1.5.m5.1.1.2.cmml" xref="A4.SS2.1.p1.5.m5.1.1.2">𝐷</ci><ci id="A4.SS2.1.p1.5.m5.1.1.3.cmml" xref="A4.SS2.1.p1.5.m5.1.1.3">𝑘</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A4.SS2.1.p1.5.m5.1c">D_{k}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A4.SS2.1.p1.5.m5.1d">italic_D start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>:</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="S6.EGx178"> <tbody id="A4.Ex73"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle c_{t}(x)^{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="A4.Ex73.m1.1"><semantics id="A4.Ex73.m1.1a"><mrow id="A4.Ex73.m1.1.2" xref="A4.Ex73.m1.1.2.cmml"><msub id="A4.Ex73.m1.1.2.2" xref="A4.Ex73.m1.1.2.2.cmml"><mi id="A4.Ex73.m1.1.2.2.2" xref="A4.Ex73.m1.1.2.2.2.cmml">c</mi><mi id="A4.Ex73.m1.1.2.2.3" xref="A4.Ex73.m1.1.2.2.3.cmml">t</mi></msub><mo id="A4.Ex73.m1.1.2.1" xref="A4.Ex73.m1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="A4.Ex73.m1.1.2.3" xref="A4.Ex73.m1.1.2.3.cmml"><mrow id="A4.Ex73.m1.1.2.3.2.2" xref="A4.Ex73.m1.1.2.3.cmml"><mo id="A4.Ex73.m1.1.2.3.2.2.1" stretchy="false" xref="A4.Ex73.m1.1.2.3.cmml">(</mo><mi id="A4.Ex73.m1.1.1" xref="A4.Ex73.m1.1.1.cmml">x</mi><mo id="A4.Ex73.m1.1.2.3.2.2.2" stretchy="false" xref="A4.Ex73.m1.1.2.3.cmml">)</mo></mrow><mn id="A4.Ex73.m1.1.2.3.3" xref="A4.Ex73.m1.1.2.3.3.cmml">2</mn></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A4.Ex73.m1.1b"><apply id="A4.Ex73.m1.1.2.cmml" xref="A4.Ex73.m1.1.2"><times id="A4.Ex73.m1.1.2.1.cmml" xref="A4.Ex73.m1.1.2.1"></times><apply id="A4.Ex73.m1.1.2.2.cmml" xref="A4.Ex73.m1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.Ex73.m1.1.2.2.1.cmml" xref="A4.Ex73.m1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="A4.Ex73.m1.1.2.2.2.cmml" xref="A4.Ex73.m1.1.2.2.2">𝑐</ci><ci id="A4.Ex73.m1.1.2.2.3.cmml" xref="A4.Ex73.m1.1.2.2.3">𝑡</ci></apply><apply id="A4.Ex73.m1.1.2.3.cmml" xref="A4.Ex73.m1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.Ex73.m1.1.2.3.1.cmml" xref="A4.Ex73.m1.1.2.3">superscript</csymbol><ci id="A4.Ex73.m1.1.1.cmml" xref="A4.Ex73.m1.1.1">𝑥</ci><cn id="A4.Ex73.m1.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="A4.Ex73.m1.1.2.3.3">2</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A4.Ex73.m1.1c">\displaystyle c_{t}(x)^{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A4.Ex73.m1.1d">italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( italic_x ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=\sum_{k=0}^{t}\binom{t}{k}\sum_{\sigma\in D_{k}}\sum_{\tau\in S_% {t}}x^{|\sigma^{-1}\tau|+|\tau|}" class="ltx_Math" display="inline" id="A4.Ex73.m2.4"><semantics id="A4.Ex73.m2.4a"><mrow id="A4.Ex73.m2.4.5" xref="A4.Ex73.m2.4.5.cmml"><mi id="A4.Ex73.m2.4.5.2" xref="A4.Ex73.m2.4.5.2.cmml"></mi><mo id="A4.Ex73.m2.4.5.1" xref="A4.Ex73.m2.4.5.1.cmml">=</mo><mrow id="A4.Ex73.m2.4.5.3" xref="A4.Ex73.m2.4.5.3.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A4.Ex73.m2.4.5.3.1" xref="A4.Ex73.m2.4.5.3.1.cmml"><munderover id="A4.Ex73.m2.4.5.3.1a" xref="A4.Ex73.m2.4.5.3.1.cmml"><mo id="A4.Ex73.m2.4.5.3.1.2.2" movablelimits="false" xref="A4.Ex73.m2.4.5.3.1.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="A4.Ex73.m2.4.5.3.1.2.3" xref="A4.Ex73.m2.4.5.3.1.2.3.cmml"><mi id="A4.Ex73.m2.4.5.3.1.2.3.2" xref="A4.Ex73.m2.4.5.3.1.2.3.2.cmml">k</mi><mo id="A4.Ex73.m2.4.5.3.1.2.3.1" xref="A4.Ex73.m2.4.5.3.1.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="A4.Ex73.m2.4.5.3.1.2.3.3" xref="A4.Ex73.m2.4.5.3.1.2.3.3.cmml">0</mn></mrow><mi id="A4.Ex73.m2.4.5.3.1.3" xref="A4.Ex73.m2.4.5.3.1.3.cmml">t</mi></munderover></mstyle><mrow id="A4.Ex73.m2.4.5.3.2" xref="A4.Ex73.m2.4.5.3.2.cmml"><mrow id="A4.Ex73.m2.2.2a.4" xref="A4.Ex73.m2.2.2a.3.cmml"><mo id="A4.Ex73.m2.2.2a.4.1" xref="A4.Ex73.m2.2.2a.3.1.cmml">(</mo><mstyle displaystyle="true" id="A4.Ex73.m2.2.2.2.2a" xref="A4.Ex73.m2.2.2a.3.cmml"><mfrac id="A4.Ex73.m2.2.2.2.2aa" linethickness="0pt" xref="A4.Ex73.m2.2.2a.3.cmml"><mi id="A4.Ex73.m2.1.1.1.1.1.1" xref="A4.Ex73.m2.1.1.1.1.1.1.cmml">t</mi><mi id="A4.Ex73.m2.2.2.2.2.2.1" xref="A4.Ex73.m2.2.2.2.2.2.1.cmml">k</mi></mfrac></mstyle><mo id="A4.Ex73.m2.2.2a.4.2" xref="A4.Ex73.m2.2.2a.3.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A4.Ex73.m2.4.5.3.2.1" xref="A4.Ex73.m2.4.5.3.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A4.Ex73.m2.4.5.3.2.2" xref="A4.Ex73.m2.4.5.3.2.2.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A4.Ex73.m2.4.5.3.2.2.1" xref="A4.Ex73.m2.4.5.3.2.2.1.cmml"><munder id="A4.Ex73.m2.4.5.3.2.2.1a" xref="A4.Ex73.m2.4.5.3.2.2.1.cmml"><mo id="A4.Ex73.m2.4.5.3.2.2.1.2" movablelimits="false" xref="A4.Ex73.m2.4.5.3.2.2.1.2.cmml">∑</mo><mrow id="A4.Ex73.m2.4.5.3.2.2.1.3" xref="A4.Ex73.m2.4.5.3.2.2.1.3.cmml"><mi id="A4.Ex73.m2.4.5.3.2.2.1.3.2" xref="A4.Ex73.m2.4.5.3.2.2.1.3.2.cmml">σ</mi><mo id="A4.Ex73.m2.4.5.3.2.2.1.3.1" xref="A4.Ex73.m2.4.5.3.2.2.1.3.1.cmml">∈</mo><msub id="A4.Ex73.m2.4.5.3.2.2.1.3.3" xref="A4.Ex73.m2.4.5.3.2.2.1.3.3.cmml"><mi id="A4.Ex73.m2.4.5.3.2.2.1.3.3.2" xref="A4.Ex73.m2.4.5.3.2.2.1.3.3.2.cmml">D</mi><mi id="A4.Ex73.m2.4.5.3.2.2.1.3.3.3" xref="A4.Ex73.m2.4.5.3.2.2.1.3.3.3.cmml">k</mi></msub></mrow></munder></mstyle><mrow id="A4.Ex73.m2.4.5.3.2.2.2" xref="A4.Ex73.m2.4.5.3.2.2.2.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A4.Ex73.m2.4.5.3.2.2.2.1" xref="A4.Ex73.m2.4.5.3.2.2.2.1.cmml"><munder id="A4.Ex73.m2.4.5.3.2.2.2.1a" xref="A4.Ex73.m2.4.5.3.2.2.2.1.cmml"><mo id="A4.Ex73.m2.4.5.3.2.2.2.1.2" movablelimits="false" xref="A4.Ex73.m2.4.5.3.2.2.2.1.2.cmml">∑</mo><mrow id="A4.Ex73.m2.4.5.3.2.2.2.1.3" xref="A4.Ex73.m2.4.5.3.2.2.2.1.3.cmml"><mi id="A4.Ex73.m2.4.5.3.2.2.2.1.3.2" xref="A4.Ex73.m2.4.5.3.2.2.2.1.3.2.cmml">τ</mi><mo id="A4.Ex73.m2.4.5.3.2.2.2.1.3.1" xref="A4.Ex73.m2.4.5.3.2.2.2.1.3.1.cmml">∈</mo><msub id="A4.Ex73.m2.4.5.3.2.2.2.1.3.3" xref="A4.Ex73.m2.4.5.3.2.2.2.1.3.3.cmml"><mi id="A4.Ex73.m2.4.5.3.2.2.2.1.3.3.2" xref="A4.Ex73.m2.4.5.3.2.2.2.1.3.3.2.cmml">S</mi><mi id="A4.Ex73.m2.4.5.3.2.2.2.1.3.3.3" xref="A4.Ex73.m2.4.5.3.2.2.2.1.3.3.3.cmml">t</mi></msub></mrow></munder></mstyle><msup id="A4.Ex73.m2.4.5.3.2.2.2.2" xref="A4.Ex73.m2.4.5.3.2.2.2.2.cmml"><mi id="A4.Ex73.m2.4.5.3.2.2.2.2.2" xref="A4.Ex73.m2.4.5.3.2.2.2.2.2.cmml">x</mi><mrow id="A4.Ex73.m2.4.4.2" xref="A4.Ex73.m2.4.4.2.cmml"><mrow id="A4.Ex73.m2.4.4.2.2.1" xref="A4.Ex73.m2.4.4.2.2.2.cmml"><mo id="A4.Ex73.m2.4.4.2.2.1.2" stretchy="false" xref="A4.Ex73.m2.4.4.2.2.2.1.cmml">|</mo><mrow id="A4.Ex73.m2.4.4.2.2.1.1" xref="A4.Ex73.m2.4.4.2.2.1.1.cmml"><msup id="A4.Ex73.m2.4.4.2.2.1.1.2" xref="A4.Ex73.m2.4.4.2.2.1.1.2.cmml"><mi id="A4.Ex73.m2.4.4.2.2.1.1.2.2" xref="A4.Ex73.m2.4.4.2.2.1.1.2.2.cmml">σ</mi><mrow id="A4.Ex73.m2.4.4.2.2.1.1.2.3" xref="A4.Ex73.m2.4.4.2.2.1.1.2.3.cmml"><mo id="A4.Ex73.m2.4.4.2.2.1.1.2.3a" xref="A4.Ex73.m2.4.4.2.2.1.1.2.3.cmml">−</mo><mn id="A4.Ex73.m2.4.4.2.2.1.1.2.3.2" xref="A4.Ex73.m2.4.4.2.2.1.1.2.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="A4.Ex73.m2.4.4.2.2.1.1.1" xref="A4.Ex73.m2.4.4.2.2.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="A4.Ex73.m2.4.4.2.2.1.1.3" xref="A4.Ex73.m2.4.4.2.2.1.1.3.cmml">τ</mi></mrow><mo id="A4.Ex73.m2.4.4.2.2.1.3" stretchy="false" xref="A4.Ex73.m2.4.4.2.2.2.1.cmml">|</mo></mrow><mo id="A4.Ex73.m2.4.4.2.3" xref="A4.Ex73.m2.4.4.2.3.cmml">+</mo><mrow id="A4.Ex73.m2.4.4.2.4.2" xref="A4.Ex73.m2.4.4.2.4.1.cmml"><mo id="A4.Ex73.m2.4.4.2.4.2.1" stretchy="false" xref="A4.Ex73.m2.4.4.2.4.1.1.cmml">|</mo><mi id="A4.Ex73.m2.3.3.1.1" xref="A4.Ex73.m2.3.3.1.1.cmml">τ</mi><mo id="A4.Ex73.m2.4.4.2.4.2.2" stretchy="false" xref="A4.Ex73.m2.4.4.2.4.1.1.cmml">|</mo></mrow></mrow></msup></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A4.Ex73.m2.4b"><apply id="A4.Ex73.m2.4.5.cmml" xref="A4.Ex73.m2.4.5"><eq id="A4.Ex73.m2.4.5.1.cmml" xref="A4.Ex73.m2.4.5.1"></eq><csymbol cd="latexml" id="A4.Ex73.m2.4.5.2.cmml" xref="A4.Ex73.m2.4.5.2">absent</csymbol><apply id="A4.Ex73.m2.4.5.3.cmml" xref="A4.Ex73.m2.4.5.3"><apply id="A4.Ex73.m2.4.5.3.1.cmml" xref="A4.Ex73.m2.4.5.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.Ex73.m2.4.5.3.1.1.cmml" xref="A4.Ex73.m2.4.5.3.1">superscript</csymbol><apply id="A4.Ex73.m2.4.5.3.1.2.cmml" xref="A4.Ex73.m2.4.5.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.Ex73.m2.4.5.3.1.2.1.cmml" xref="A4.Ex73.m2.4.5.3.1">subscript</csymbol><sum id="A4.Ex73.m2.4.5.3.1.2.2.cmml" xref="A4.Ex73.m2.4.5.3.1.2.2"></sum><apply id="A4.Ex73.m2.4.5.3.1.2.3.cmml" xref="A4.Ex73.m2.4.5.3.1.2.3"><eq id="A4.Ex73.m2.4.5.3.1.2.3.1.cmml" xref="A4.Ex73.m2.4.5.3.1.2.3.1"></eq><ci id="A4.Ex73.m2.4.5.3.1.2.3.2.cmml" xref="A4.Ex73.m2.4.5.3.1.2.3.2">𝑘</ci><cn id="A4.Ex73.m2.4.5.3.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="A4.Ex73.m2.4.5.3.1.2.3.3">0</cn></apply></apply><ci id="A4.Ex73.m2.4.5.3.1.3.cmml" xref="A4.Ex73.m2.4.5.3.1.3">𝑡</ci></apply><apply id="A4.Ex73.m2.4.5.3.2.cmml" xref="A4.Ex73.m2.4.5.3.2"><times id="A4.Ex73.m2.4.5.3.2.1.cmml" xref="A4.Ex73.m2.4.5.3.2.1"></times><apply id="A4.Ex73.m2.2.2a.3.cmml" xref="A4.Ex73.m2.2.2a.4"><csymbol cd="latexml" id="A4.Ex73.m2.2.2a.3.1.cmml" xref="A4.Ex73.m2.2.2a.4.1">binomial</csymbol><ci id="A4.Ex73.m2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A4.Ex73.m2.1.1.1.1.1.1">𝑡</ci><ci id="A4.Ex73.m2.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="A4.Ex73.m2.2.2.2.2.2.1">𝑘</ci></apply><apply id="A4.Ex73.m2.4.5.3.2.2.cmml" xref="A4.Ex73.m2.4.5.3.2.2"><apply id="A4.Ex73.m2.4.5.3.2.2.1.cmml" xref="A4.Ex73.m2.4.5.3.2.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.Ex73.m2.4.5.3.2.2.1.1.cmml" xref="A4.Ex73.m2.4.5.3.2.2.1">subscript</csymbol><sum id="A4.Ex73.m2.4.5.3.2.2.1.2.cmml" xref="A4.Ex73.m2.4.5.3.2.2.1.2"></sum><apply id="A4.Ex73.m2.4.5.3.2.2.1.3.cmml" xref="A4.Ex73.m2.4.5.3.2.2.1.3"><in id="A4.Ex73.m2.4.5.3.2.2.1.3.1.cmml" xref="A4.Ex73.m2.4.5.3.2.2.1.3.1"></in><ci id="A4.Ex73.m2.4.5.3.2.2.1.3.2.cmml" xref="A4.Ex73.m2.4.5.3.2.2.1.3.2">𝜎</ci><apply id="A4.Ex73.m2.4.5.3.2.2.1.3.3.cmml" xref="A4.Ex73.m2.4.5.3.2.2.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.Ex73.m2.4.5.3.2.2.1.3.3.1.cmml" xref="A4.Ex73.m2.4.5.3.2.2.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="A4.Ex73.m2.4.5.3.2.2.1.3.3.2.cmml" xref="A4.Ex73.m2.4.5.3.2.2.1.3.3.2">𝐷</ci><ci id="A4.Ex73.m2.4.5.3.2.2.1.3.3.3.cmml" xref="A4.Ex73.m2.4.5.3.2.2.1.3.3.3">𝑘</ci></apply></apply></apply><apply id="A4.Ex73.m2.4.5.3.2.2.2.cmml" xref="A4.Ex73.m2.4.5.3.2.2.2"><apply id="A4.Ex73.m2.4.5.3.2.2.2.1.cmml" xref="A4.Ex73.m2.4.5.3.2.2.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.Ex73.m2.4.5.3.2.2.2.1.1.cmml" xref="A4.Ex73.m2.4.5.3.2.2.2.1">subscript</csymbol><sum id="A4.Ex73.m2.4.5.3.2.2.2.1.2.cmml" xref="A4.Ex73.m2.4.5.3.2.2.2.1.2"></sum><apply id="A4.Ex73.m2.4.5.3.2.2.2.1.3.cmml" xref="A4.Ex73.m2.4.5.3.2.2.2.1.3"><in id="A4.Ex73.m2.4.5.3.2.2.2.1.3.1.cmml" xref="A4.Ex73.m2.4.5.3.2.2.2.1.3.1"></in><ci id="A4.Ex73.m2.4.5.3.2.2.2.1.3.2.cmml" xref="A4.Ex73.m2.4.5.3.2.2.2.1.3.2">𝜏</ci><apply id="A4.Ex73.m2.4.5.3.2.2.2.1.3.3.cmml" xref="A4.Ex73.m2.4.5.3.2.2.2.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.Ex73.m2.4.5.3.2.2.2.1.3.3.1.cmml" xref="A4.Ex73.m2.4.5.3.2.2.2.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="A4.Ex73.m2.4.5.3.2.2.2.1.3.3.2.cmml" xref="A4.Ex73.m2.4.5.3.2.2.2.1.3.3.2">𝑆</ci><ci id="A4.Ex73.m2.4.5.3.2.2.2.1.3.3.3.cmml" xref="A4.Ex73.m2.4.5.3.2.2.2.1.3.3.3">𝑡</ci></apply></apply></apply><apply id="A4.Ex73.m2.4.5.3.2.2.2.2.cmml" xref="A4.Ex73.m2.4.5.3.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.Ex73.m2.4.5.3.2.2.2.2.1.cmml" xref="A4.Ex73.m2.4.5.3.2.2.2.2">superscript</csymbol><ci id="A4.Ex73.m2.4.5.3.2.2.2.2.2.cmml" xref="A4.Ex73.m2.4.5.3.2.2.2.2.2">𝑥</ci><apply id="A4.Ex73.m2.4.4.2.cmml" xref="A4.Ex73.m2.4.4.2"><plus id="A4.Ex73.m2.4.4.2.3.cmml" xref="A4.Ex73.m2.4.4.2.3"></plus><apply id="A4.Ex73.m2.4.4.2.2.2.cmml" xref="A4.Ex73.m2.4.4.2.2.1"><abs id="A4.Ex73.m2.4.4.2.2.2.1.cmml" xref="A4.Ex73.m2.4.4.2.2.1.2"></abs><apply id="A4.Ex73.m2.4.4.2.2.1.1.cmml" xref="A4.Ex73.m2.4.4.2.2.1.1"><times id="A4.Ex73.m2.4.4.2.2.1.1.1.cmml" xref="A4.Ex73.m2.4.4.2.2.1.1.1"></times><apply id="A4.Ex73.m2.4.4.2.2.1.1.2.cmml" xref="A4.Ex73.m2.4.4.2.2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.Ex73.m2.4.4.2.2.1.1.2.1.cmml" xref="A4.Ex73.m2.4.4.2.2.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="A4.Ex73.m2.4.4.2.2.1.1.2.2.cmml" xref="A4.Ex73.m2.4.4.2.2.1.1.2.2">𝜎</ci><apply id="A4.Ex73.m2.4.4.2.2.1.1.2.3.cmml" xref="A4.Ex73.m2.4.4.2.2.1.1.2.3"><minus id="A4.Ex73.m2.4.4.2.2.1.1.2.3.1.cmml" xref="A4.Ex73.m2.4.4.2.2.1.1.2.3"></minus><cn id="A4.Ex73.m2.4.4.2.2.1.1.2.3.2.cmml" type="integer" xref="A4.Ex73.m2.4.4.2.2.1.1.2.3.2">1</cn></apply></apply><ci id="A4.Ex73.m2.4.4.2.2.1.1.3.cmml" xref="A4.Ex73.m2.4.4.2.2.1.1.3">𝜏</ci></apply></apply><apply id="A4.Ex73.m2.4.4.2.4.1.cmml" xref="A4.Ex73.m2.4.4.2.4.2"><abs id="A4.Ex73.m2.4.4.2.4.1.1.cmml" xref="A4.Ex73.m2.4.4.2.4.2.1"></abs><ci id="A4.Ex73.m2.3.3.1.1.cmml" xref="A4.Ex73.m2.3.3.1.1">𝜏</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A4.Ex73.m2.4c">\displaystyle=\sum_{k=0}^{t}\binom{t}{k}\sum_{\sigma\in D_{k}}\sum_{\tau\in S_% {t}}x^{|\sigma^{-1}\tau|+|\tau|}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A4.Ex73.m2.4d">= ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_k = 0 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_t end_POSTSUPERSCRIPT ( FRACOP start_ARG italic_t end_ARG start_ARG italic_k end_ARG ) ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_σ ∈ italic_D start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_τ ∈ italic_S start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT italic_x start_POSTSUPERSCRIPT | italic_σ start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT italic_τ | + | italic_τ | end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="A4.SS2.1.p1.10">For <math alttext="\sigma\in D_{k}" class="ltx_Math" display="inline" id="A4.SS2.1.p1.6.m1.1"><semantics id="A4.SS2.1.p1.6.m1.1a"><mrow id="A4.SS2.1.p1.6.m1.1.1" xref="A4.SS2.1.p1.6.m1.1.1.cmml"><mi id="A4.SS2.1.p1.6.m1.1.1.2" xref="A4.SS2.1.p1.6.m1.1.1.2.cmml">σ</mi><mo id="A4.SS2.1.p1.6.m1.1.1.1" xref="A4.SS2.1.p1.6.m1.1.1.1.cmml">∈</mo><msub id="A4.SS2.1.p1.6.m1.1.1.3" xref="A4.SS2.1.p1.6.m1.1.1.3.cmml"><mi id="A4.SS2.1.p1.6.m1.1.1.3.2" xref="A4.SS2.1.p1.6.m1.1.1.3.2.cmml">D</mi><mi id="A4.SS2.1.p1.6.m1.1.1.3.3" xref="A4.SS2.1.p1.6.m1.1.1.3.3.cmml">k</mi></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A4.SS2.1.p1.6.m1.1b"><apply id="A4.SS2.1.p1.6.m1.1.1.cmml" xref="A4.SS2.1.p1.6.m1.1.1"><in id="A4.SS2.1.p1.6.m1.1.1.1.cmml" xref="A4.SS2.1.p1.6.m1.1.1.1"></in><ci id="A4.SS2.1.p1.6.m1.1.1.2.cmml" xref="A4.SS2.1.p1.6.m1.1.1.2">𝜎</ci><apply id="A4.SS2.1.p1.6.m1.1.1.3.cmml" xref="A4.SS2.1.p1.6.m1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.SS2.1.p1.6.m1.1.1.3.1.cmml" xref="A4.SS2.1.p1.6.m1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A4.SS2.1.p1.6.m1.1.1.3.2.cmml" xref="A4.SS2.1.p1.6.m1.1.1.3.2">𝐷</ci><ci id="A4.SS2.1.p1.6.m1.1.1.3.3.cmml" xref="A4.SS2.1.p1.6.m1.1.1.3.3">𝑘</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A4.SS2.1.p1.6.m1.1c">\sigma\in D_{k}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A4.SS2.1.p1.6.m1.1d">italic_σ ∈ italic_D start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, <math alttext="\tau\in S_{t}" class="ltx_Math" display="inline" id="A4.SS2.1.p1.7.m2.1"><semantics id="A4.SS2.1.p1.7.m2.1a"><mrow id="A4.SS2.1.p1.7.m2.1.1" xref="A4.SS2.1.p1.7.m2.1.1.cmml"><mi id="A4.SS2.1.p1.7.m2.1.1.2" xref="A4.SS2.1.p1.7.m2.1.1.2.cmml">τ</mi><mo id="A4.SS2.1.p1.7.m2.1.1.1" xref="A4.SS2.1.p1.7.m2.1.1.1.cmml">∈</mo><msub id="A4.SS2.1.p1.7.m2.1.1.3" xref="A4.SS2.1.p1.7.m2.1.1.3.cmml"><mi id="A4.SS2.1.p1.7.m2.1.1.3.2" xref="A4.SS2.1.p1.7.m2.1.1.3.2.cmml">S</mi><mi id="A4.SS2.1.p1.7.m2.1.1.3.3" xref="A4.SS2.1.p1.7.m2.1.1.3.3.cmml">t</mi></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A4.SS2.1.p1.7.m2.1b"><apply id="A4.SS2.1.p1.7.m2.1.1.cmml" xref="A4.SS2.1.p1.7.m2.1.1"><in id="A4.SS2.1.p1.7.m2.1.1.1.cmml" xref="A4.SS2.1.p1.7.m2.1.1.1"></in><ci id="A4.SS2.1.p1.7.m2.1.1.2.cmml" xref="A4.SS2.1.p1.7.m2.1.1.2">𝜏</ci><apply id="A4.SS2.1.p1.7.m2.1.1.3.cmml" xref="A4.SS2.1.p1.7.m2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.SS2.1.p1.7.m2.1.1.3.1.cmml" xref="A4.SS2.1.p1.7.m2.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A4.SS2.1.p1.7.m2.1.1.3.2.cmml" xref="A4.SS2.1.p1.7.m2.1.1.3.2">𝑆</ci><ci id="A4.SS2.1.p1.7.m2.1.1.3.3.cmml" xref="A4.SS2.1.p1.7.m2.1.1.3.3">𝑡</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A4.SS2.1.p1.7.m2.1c">\tau\in S_{t}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A4.SS2.1.p1.7.m2.1d">italic_τ ∈ italic_S start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, we can use Lemma <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#Thmtheorem58" title="Lemma 58. ‣ B.6 Proof of Lemma 58 (Coset Decomposition) ‣ Appendix B Assorted proofs ‣ Conditional 𝑡-independent spectral gap for random quantum circuits and implications for 𝑡-design depths"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">58</span></a> to split <math alttext="\tau=\rho\pi" class="ltx_Math" display="inline" id="A4.SS2.1.p1.8.m3.1"><semantics id="A4.SS2.1.p1.8.m3.1a"><mrow id="A4.SS2.1.p1.8.m3.1.1" xref="A4.SS2.1.p1.8.m3.1.1.cmml"><mi id="A4.SS2.1.p1.8.m3.1.1.2" xref="A4.SS2.1.p1.8.m3.1.1.2.cmml">τ</mi><mo id="A4.SS2.1.p1.8.m3.1.1.1" xref="A4.SS2.1.p1.8.m3.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="A4.SS2.1.p1.8.m3.1.1.3" xref="A4.SS2.1.p1.8.m3.1.1.3.cmml"><mi id="A4.SS2.1.p1.8.m3.1.1.3.2" xref="A4.SS2.1.p1.8.m3.1.1.3.2.cmml">ρ</mi><mo id="A4.SS2.1.p1.8.m3.1.1.3.1" xref="A4.SS2.1.p1.8.m3.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A4.SS2.1.p1.8.m3.1.1.3.3" xref="A4.SS2.1.p1.8.m3.1.1.3.3.cmml">π</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A4.SS2.1.p1.8.m3.1b"><apply id="A4.SS2.1.p1.8.m3.1.1.cmml" xref="A4.SS2.1.p1.8.m3.1.1"><eq id="A4.SS2.1.p1.8.m3.1.1.1.cmml" xref="A4.SS2.1.p1.8.m3.1.1.1"></eq><ci id="A4.SS2.1.p1.8.m3.1.1.2.cmml" xref="A4.SS2.1.p1.8.m3.1.1.2">𝜏</ci><apply id="A4.SS2.1.p1.8.m3.1.1.3.cmml" xref="A4.SS2.1.p1.8.m3.1.1.3"><times id="A4.SS2.1.p1.8.m3.1.1.3.1.cmml" xref="A4.SS2.1.p1.8.m3.1.1.3.1"></times><ci id="A4.SS2.1.p1.8.m3.1.1.3.2.cmml" xref="A4.SS2.1.p1.8.m3.1.1.3.2">𝜌</ci><ci id="A4.SS2.1.p1.8.m3.1.1.3.3.cmml" xref="A4.SS2.1.p1.8.m3.1.1.3.3">𝜋</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A4.SS2.1.p1.8.m3.1c">\tau=\rho\pi</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A4.SS2.1.p1.8.m3.1d">italic_τ = italic_ρ italic_π</annotation></semantics></math>, <math alttext="\rho\in S_{k}" class="ltx_Math" display="inline" id="A4.SS2.1.p1.9.m4.1"><semantics id="A4.SS2.1.p1.9.m4.1a"><mrow id="A4.SS2.1.p1.9.m4.1.1" xref="A4.SS2.1.p1.9.m4.1.1.cmml"><mi id="A4.SS2.1.p1.9.m4.1.1.2" xref="A4.SS2.1.p1.9.m4.1.1.2.cmml">ρ</mi><mo id="A4.SS2.1.p1.9.m4.1.1.1" xref="A4.SS2.1.p1.9.m4.1.1.1.cmml">∈</mo><msub id="A4.SS2.1.p1.9.m4.1.1.3" xref="A4.SS2.1.p1.9.m4.1.1.3.cmml"><mi id="A4.SS2.1.p1.9.m4.1.1.3.2" xref="A4.SS2.1.p1.9.m4.1.1.3.2.cmml">S</mi><mi id="A4.SS2.1.p1.9.m4.1.1.3.3" xref="A4.SS2.1.p1.9.m4.1.1.3.3.cmml">k</mi></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A4.SS2.1.p1.9.m4.1b"><apply id="A4.SS2.1.p1.9.m4.1.1.cmml" xref="A4.SS2.1.p1.9.m4.1.1"><in id="A4.SS2.1.p1.9.m4.1.1.1.cmml" xref="A4.SS2.1.p1.9.m4.1.1.1"></in><ci id="A4.SS2.1.p1.9.m4.1.1.2.cmml" xref="A4.SS2.1.p1.9.m4.1.1.2">𝜌</ci><apply id="A4.SS2.1.p1.9.m4.1.1.3.cmml" xref="A4.SS2.1.p1.9.m4.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.SS2.1.p1.9.m4.1.1.3.1.cmml" xref="A4.SS2.1.p1.9.m4.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A4.SS2.1.p1.9.m4.1.1.3.2.cmml" xref="A4.SS2.1.p1.9.m4.1.1.3.2">𝑆</ci><ci id="A4.SS2.1.p1.9.m4.1.1.3.3.cmml" xref="A4.SS2.1.p1.9.m4.1.1.3.3">𝑘</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A4.SS2.1.p1.9.m4.1c">\rho\in S_{k}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A4.SS2.1.p1.9.m4.1d">italic_ρ ∈ italic_S start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> with <math alttext="\pi" class="ltx_Math" display="inline" id="A4.SS2.1.p1.10.m5.1"><semantics id="A4.SS2.1.p1.10.m5.1a"><mi id="A4.SS2.1.p1.10.m5.1.1" xref="A4.SS2.1.p1.10.m5.1.1.cmml">π</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A4.SS2.1.p1.10.m5.1b"><ci id="A4.SS2.1.p1.10.m5.1.1.cmml" xref="A4.SS2.1.p1.10.m5.1.1">𝜋</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A4.SS2.1.p1.10.m5.1c">\pi</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A4.SS2.1.p1.10.m5.1d">italic_π</annotation></semantics></math> being a minimal representative, and get</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="S6.EGx179"> <tbody id="A4.Ex74"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle c_{t}(x)^{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="A4.Ex74.m1.1"><semantics id="A4.Ex74.m1.1a"><mrow id="A4.Ex74.m1.1.2" xref="A4.Ex74.m1.1.2.cmml"><msub id="A4.Ex74.m1.1.2.2" xref="A4.Ex74.m1.1.2.2.cmml"><mi id="A4.Ex74.m1.1.2.2.2" xref="A4.Ex74.m1.1.2.2.2.cmml">c</mi><mi id="A4.Ex74.m1.1.2.2.3" xref="A4.Ex74.m1.1.2.2.3.cmml">t</mi></msub><mo id="A4.Ex74.m1.1.2.1" xref="A4.Ex74.m1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="A4.Ex74.m1.1.2.3" xref="A4.Ex74.m1.1.2.3.cmml"><mrow id="A4.Ex74.m1.1.2.3.2.2" xref="A4.Ex74.m1.1.2.3.cmml"><mo id="A4.Ex74.m1.1.2.3.2.2.1" stretchy="false" xref="A4.Ex74.m1.1.2.3.cmml">(</mo><mi id="A4.Ex74.m1.1.1" xref="A4.Ex74.m1.1.1.cmml">x</mi><mo id="A4.Ex74.m1.1.2.3.2.2.2" stretchy="false" xref="A4.Ex74.m1.1.2.3.cmml">)</mo></mrow><mn id="A4.Ex74.m1.1.2.3.3" xref="A4.Ex74.m1.1.2.3.3.cmml">2</mn></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A4.Ex74.m1.1b"><apply id="A4.Ex74.m1.1.2.cmml" xref="A4.Ex74.m1.1.2"><times id="A4.Ex74.m1.1.2.1.cmml" xref="A4.Ex74.m1.1.2.1"></times><apply id="A4.Ex74.m1.1.2.2.cmml" xref="A4.Ex74.m1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.Ex74.m1.1.2.2.1.cmml" xref="A4.Ex74.m1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="A4.Ex74.m1.1.2.2.2.cmml" xref="A4.Ex74.m1.1.2.2.2">𝑐</ci><ci id="A4.Ex74.m1.1.2.2.3.cmml" xref="A4.Ex74.m1.1.2.2.3">𝑡</ci></apply><apply id="A4.Ex74.m1.1.2.3.cmml" xref="A4.Ex74.m1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.Ex74.m1.1.2.3.1.cmml" xref="A4.Ex74.m1.1.2.3">superscript</csymbol><ci id="A4.Ex74.m1.1.1.cmml" xref="A4.Ex74.m1.1.1">𝑥</ci><cn id="A4.Ex74.m1.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="A4.Ex74.m1.1.2.3.3">2</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A4.Ex74.m1.1c">\displaystyle c_{t}(x)^{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A4.Ex74.m1.1d">italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( italic_x ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=\sum_{k=0}^{t}\binom{t}{k}\sum_{\pi\in S_{t}:S_{k}}x^{2|\pi|}% \sum_{\sigma\in D_{k}}\sum_{\tau\in S_{k}}x^{|\sigma^{-1}\rho|+|\rho|}" class="ltx_Math" display="inline" id="A4.Ex74.m2.5"><semantics id="A4.Ex74.m2.5a"><mrow id="A4.Ex74.m2.5.6" xref="A4.Ex74.m2.5.6.cmml"><mi id="A4.Ex74.m2.5.6.2" xref="A4.Ex74.m2.5.6.2.cmml"></mi><mo id="A4.Ex74.m2.5.6.1" xref="A4.Ex74.m2.5.6.1.cmml">=</mo><mrow id="A4.Ex74.m2.5.6.3" xref="A4.Ex74.m2.5.6.3.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A4.Ex74.m2.5.6.3.1" xref="A4.Ex74.m2.5.6.3.1.cmml"><munderover id="A4.Ex74.m2.5.6.3.1a" xref="A4.Ex74.m2.5.6.3.1.cmml"><mo id="A4.Ex74.m2.5.6.3.1.2.2" movablelimits="false" xref="A4.Ex74.m2.5.6.3.1.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="A4.Ex74.m2.5.6.3.1.2.3" xref="A4.Ex74.m2.5.6.3.1.2.3.cmml"><mi id="A4.Ex74.m2.5.6.3.1.2.3.2" xref="A4.Ex74.m2.5.6.3.1.2.3.2.cmml">k</mi><mo id="A4.Ex74.m2.5.6.3.1.2.3.1" xref="A4.Ex74.m2.5.6.3.1.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="A4.Ex74.m2.5.6.3.1.2.3.3" xref="A4.Ex74.m2.5.6.3.1.2.3.3.cmml">0</mn></mrow><mi id="A4.Ex74.m2.5.6.3.1.3" xref="A4.Ex74.m2.5.6.3.1.3.cmml">t</mi></munderover></mstyle><mrow id="A4.Ex74.m2.5.6.3.2" xref="A4.Ex74.m2.5.6.3.2.cmml"><mrow id="A4.Ex74.m2.2.2a.4" xref="A4.Ex74.m2.2.2a.3.cmml"><mo id="A4.Ex74.m2.2.2a.4.1" xref="A4.Ex74.m2.2.2a.3.1.cmml">(</mo><mstyle displaystyle="true" id="A4.Ex74.m2.2.2.2.2a" xref="A4.Ex74.m2.2.2a.3.cmml"><mfrac id="A4.Ex74.m2.2.2.2.2aa" linethickness="0pt" xref="A4.Ex74.m2.2.2a.3.cmml"><mi id="A4.Ex74.m2.1.1.1.1.1.1" xref="A4.Ex74.m2.1.1.1.1.1.1.cmml">t</mi><mi id="A4.Ex74.m2.2.2.2.2.2.1" xref="A4.Ex74.m2.2.2.2.2.2.1.cmml">k</mi></mfrac></mstyle><mo id="A4.Ex74.m2.2.2a.4.2" xref="A4.Ex74.m2.2.2a.3.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A4.Ex74.m2.5.6.3.2.1" xref="A4.Ex74.m2.5.6.3.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A4.Ex74.m2.5.6.3.2.2" xref="A4.Ex74.m2.5.6.3.2.2.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A4.Ex74.m2.5.6.3.2.2.1" xref="A4.Ex74.m2.5.6.3.2.2.1.cmml"><munder id="A4.Ex74.m2.5.6.3.2.2.1a" xref="A4.Ex74.m2.5.6.3.2.2.1.cmml"><mo id="A4.Ex74.m2.5.6.3.2.2.1.2" movablelimits="false" xref="A4.Ex74.m2.5.6.3.2.2.1.2.cmml">∑</mo><mrow id="A4.Ex74.m2.5.6.3.2.2.1.3" xref="A4.Ex74.m2.5.6.3.2.2.1.3.cmml"><mrow id="A4.Ex74.m2.5.6.3.2.2.1.3.2" xref="A4.Ex74.m2.5.6.3.2.2.1.3.2.cmml"><mi id="A4.Ex74.m2.5.6.3.2.2.1.3.2.2" xref="A4.Ex74.m2.5.6.3.2.2.1.3.2.2.cmml">π</mi><mo id="A4.Ex74.m2.5.6.3.2.2.1.3.2.1" xref="A4.Ex74.m2.5.6.3.2.2.1.3.2.1.cmml">∈</mo><msub id="A4.Ex74.m2.5.6.3.2.2.1.3.2.3" xref="A4.Ex74.m2.5.6.3.2.2.1.3.2.3.cmml"><mi id="A4.Ex74.m2.5.6.3.2.2.1.3.2.3.2" xref="A4.Ex74.m2.5.6.3.2.2.1.3.2.3.2.cmml">S</mi><mi id="A4.Ex74.m2.5.6.3.2.2.1.3.2.3.3" xref="A4.Ex74.m2.5.6.3.2.2.1.3.2.3.3.cmml">t</mi></msub></mrow><mo id="A4.Ex74.m2.5.6.3.2.2.1.3.1" lspace="0.278em" rspace="0.278em" xref="A4.Ex74.m2.5.6.3.2.2.1.3.1.cmml">:</mo><msub id="A4.Ex74.m2.5.6.3.2.2.1.3.3" xref="A4.Ex74.m2.5.6.3.2.2.1.3.3.cmml"><mi id="A4.Ex74.m2.5.6.3.2.2.1.3.3.2" xref="A4.Ex74.m2.5.6.3.2.2.1.3.3.2.cmml">S</mi><mi id="A4.Ex74.m2.5.6.3.2.2.1.3.3.3" xref="A4.Ex74.m2.5.6.3.2.2.1.3.3.3.cmml">k</mi></msub></mrow></munder></mstyle><mrow id="A4.Ex74.m2.5.6.3.2.2.2" xref="A4.Ex74.m2.5.6.3.2.2.2.cmml"><msup id="A4.Ex74.m2.5.6.3.2.2.2.2" xref="A4.Ex74.m2.5.6.3.2.2.2.2.cmml"><mi id="A4.Ex74.m2.5.6.3.2.2.2.2.2" xref="A4.Ex74.m2.5.6.3.2.2.2.2.2.cmml">x</mi><mrow id="A4.Ex74.m2.3.3.1" xref="A4.Ex74.m2.3.3.1.cmml"><mn id="A4.Ex74.m2.3.3.1.3" xref="A4.Ex74.m2.3.3.1.3.cmml">2</mn><mo id="A4.Ex74.m2.3.3.1.2" xref="A4.Ex74.m2.3.3.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A4.Ex74.m2.3.3.1.4.2" xref="A4.Ex74.m2.3.3.1.4.1.cmml"><mo id="A4.Ex74.m2.3.3.1.4.2.1" stretchy="false" xref="A4.Ex74.m2.3.3.1.4.1.1.cmml">|</mo><mi id="A4.Ex74.m2.3.3.1.1" xref="A4.Ex74.m2.3.3.1.1.cmml">π</mi><mo id="A4.Ex74.m2.3.3.1.4.2.2" stretchy="false" xref="A4.Ex74.m2.3.3.1.4.1.1.cmml">|</mo></mrow></mrow></msup><mo id="A4.Ex74.m2.5.6.3.2.2.2.1" xref="A4.Ex74.m2.5.6.3.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A4.Ex74.m2.5.6.3.2.2.2.3" xref="A4.Ex74.m2.5.6.3.2.2.2.3.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A4.Ex74.m2.5.6.3.2.2.2.3.1" xref="A4.Ex74.m2.5.6.3.2.2.2.3.1.cmml"><munder id="A4.Ex74.m2.5.6.3.2.2.2.3.1a" xref="A4.Ex74.m2.5.6.3.2.2.2.3.1.cmml"><mo id="A4.Ex74.m2.5.6.3.2.2.2.3.1.2" movablelimits="false" xref="A4.Ex74.m2.5.6.3.2.2.2.3.1.2.cmml">∑</mo><mrow id="A4.Ex74.m2.5.6.3.2.2.2.3.1.3" xref="A4.Ex74.m2.5.6.3.2.2.2.3.1.3.cmml"><mi id="A4.Ex74.m2.5.6.3.2.2.2.3.1.3.2" xref="A4.Ex74.m2.5.6.3.2.2.2.3.1.3.2.cmml">σ</mi><mo id="A4.Ex74.m2.5.6.3.2.2.2.3.1.3.1" xref="A4.Ex74.m2.5.6.3.2.2.2.3.1.3.1.cmml">∈</mo><msub id="A4.Ex74.m2.5.6.3.2.2.2.3.1.3.3" xref="A4.Ex74.m2.5.6.3.2.2.2.3.1.3.3.cmml"><mi id="A4.Ex74.m2.5.6.3.2.2.2.3.1.3.3.2" xref="A4.Ex74.m2.5.6.3.2.2.2.3.1.3.3.2.cmml">D</mi><mi id="A4.Ex74.m2.5.6.3.2.2.2.3.1.3.3.3" xref="A4.Ex74.m2.5.6.3.2.2.2.3.1.3.3.3.cmml">k</mi></msub></mrow></munder></mstyle><mrow id="A4.Ex74.m2.5.6.3.2.2.2.3.2" xref="A4.Ex74.m2.5.6.3.2.2.2.3.2.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A4.Ex74.m2.5.6.3.2.2.2.3.2.1" xref="A4.Ex74.m2.5.6.3.2.2.2.3.2.1.cmml"><munder id="A4.Ex74.m2.5.6.3.2.2.2.3.2.1a" xref="A4.Ex74.m2.5.6.3.2.2.2.3.2.1.cmml"><mo id="A4.Ex74.m2.5.6.3.2.2.2.3.2.1.2" movablelimits="false" xref="A4.Ex74.m2.5.6.3.2.2.2.3.2.1.2.cmml">∑</mo><mrow id="A4.Ex74.m2.5.6.3.2.2.2.3.2.1.3" xref="A4.Ex74.m2.5.6.3.2.2.2.3.2.1.3.cmml"><mi id="A4.Ex74.m2.5.6.3.2.2.2.3.2.1.3.2" xref="A4.Ex74.m2.5.6.3.2.2.2.3.2.1.3.2.cmml">τ</mi><mo id="A4.Ex74.m2.5.6.3.2.2.2.3.2.1.3.1" xref="A4.Ex74.m2.5.6.3.2.2.2.3.2.1.3.1.cmml">∈</mo><msub id="A4.Ex74.m2.5.6.3.2.2.2.3.2.1.3.3" xref="A4.Ex74.m2.5.6.3.2.2.2.3.2.1.3.3.cmml"><mi id="A4.Ex74.m2.5.6.3.2.2.2.3.2.1.3.3.2" xref="A4.Ex74.m2.5.6.3.2.2.2.3.2.1.3.3.2.cmml">S</mi><mi id="A4.Ex74.m2.5.6.3.2.2.2.3.2.1.3.3.3" xref="A4.Ex74.m2.5.6.3.2.2.2.3.2.1.3.3.3.cmml">k</mi></msub></mrow></munder></mstyle><msup id="A4.Ex74.m2.5.6.3.2.2.2.3.2.2" xref="A4.Ex74.m2.5.6.3.2.2.2.3.2.2.cmml"><mi id="A4.Ex74.m2.5.6.3.2.2.2.3.2.2.2" xref="A4.Ex74.m2.5.6.3.2.2.2.3.2.2.2.cmml">x</mi><mrow id="A4.Ex74.m2.5.5.2" xref="A4.Ex74.m2.5.5.2.cmml"><mrow id="A4.Ex74.m2.5.5.2.2.1" xref="A4.Ex74.m2.5.5.2.2.2.cmml"><mo id="A4.Ex74.m2.5.5.2.2.1.2" stretchy="false" xref="A4.Ex74.m2.5.5.2.2.2.1.cmml">|</mo><mrow id="A4.Ex74.m2.5.5.2.2.1.1" xref="A4.Ex74.m2.5.5.2.2.1.1.cmml"><msup id="A4.Ex74.m2.5.5.2.2.1.1.2" xref="A4.Ex74.m2.5.5.2.2.1.1.2.cmml"><mi id="A4.Ex74.m2.5.5.2.2.1.1.2.2" xref="A4.Ex74.m2.5.5.2.2.1.1.2.2.cmml">σ</mi><mrow id="A4.Ex74.m2.5.5.2.2.1.1.2.3" xref="A4.Ex74.m2.5.5.2.2.1.1.2.3.cmml"><mo id="A4.Ex74.m2.5.5.2.2.1.1.2.3a" xref="A4.Ex74.m2.5.5.2.2.1.1.2.3.cmml">−</mo><mn id="A4.Ex74.m2.5.5.2.2.1.1.2.3.2" xref="A4.Ex74.m2.5.5.2.2.1.1.2.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="A4.Ex74.m2.5.5.2.2.1.1.1" xref="A4.Ex74.m2.5.5.2.2.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="A4.Ex74.m2.5.5.2.2.1.1.3" xref="A4.Ex74.m2.5.5.2.2.1.1.3.cmml">ρ</mi></mrow><mo id="A4.Ex74.m2.5.5.2.2.1.3" stretchy="false" xref="A4.Ex74.m2.5.5.2.2.2.1.cmml">|</mo></mrow><mo id="A4.Ex74.m2.5.5.2.3" xref="A4.Ex74.m2.5.5.2.3.cmml">+</mo><mrow id="A4.Ex74.m2.5.5.2.4.2" xref="A4.Ex74.m2.5.5.2.4.1.cmml"><mo id="A4.Ex74.m2.5.5.2.4.2.1" stretchy="false" xref="A4.Ex74.m2.5.5.2.4.1.1.cmml">|</mo><mi id="A4.Ex74.m2.4.4.1.1" xref="A4.Ex74.m2.4.4.1.1.cmml">ρ</mi><mo id="A4.Ex74.m2.5.5.2.4.2.2" stretchy="false" xref="A4.Ex74.m2.5.5.2.4.1.1.cmml">|</mo></mrow></mrow></msup></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A4.Ex74.m2.5b"><apply id="A4.Ex74.m2.5.6.cmml" xref="A4.Ex74.m2.5.6"><eq id="A4.Ex74.m2.5.6.1.cmml" xref="A4.Ex74.m2.5.6.1"></eq><csymbol cd="latexml" id="A4.Ex74.m2.5.6.2.cmml" xref="A4.Ex74.m2.5.6.2">absent</csymbol><apply id="A4.Ex74.m2.5.6.3.cmml" xref="A4.Ex74.m2.5.6.3"><apply id="A4.Ex74.m2.5.6.3.1.cmml" xref="A4.Ex74.m2.5.6.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.Ex74.m2.5.6.3.1.1.cmml" xref="A4.Ex74.m2.5.6.3.1">superscript</csymbol><apply 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start_POSTSUPERSCRIPT 2 | italic_π | end_POSTSUPERSCRIPT ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_σ ∈ italic_D start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_τ ∈ italic_S start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT italic_x start_POSTSUPERSCRIPT | italic_σ start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT italic_ρ | + | italic_ρ | end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="A4.E220"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=\sum_{k=0}^{t}\binom{t}{k}d_{k}(x)\sum_{\pi\in S_{t}:S_{k}}x^{2|% \pi|}" class="ltx_Math" display="inline" id="A4.E220.m1.4"><semantics id="A4.E220.m1.4a"><mrow id="A4.E220.m1.4.5" xref="A4.E220.m1.4.5.cmml"><mi id="A4.E220.m1.4.5.2" 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displaystyle="true" id="A4.E220.m1.2.2.2.2a" xref="A4.E220.m1.2.2a.3.cmml"><mfrac id="A4.E220.m1.2.2.2.2aa" linethickness="0pt" xref="A4.E220.m1.2.2a.3.cmml"><mi id="A4.E220.m1.1.1.1.1.1.1" xref="A4.E220.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">t</mi><mi id="A4.E220.m1.2.2.2.2.2.1" xref="A4.E220.m1.2.2.2.2.2.1.cmml">k</mi></mfrac></mstyle><mo id="A4.E220.m1.2.2a.4.2" xref="A4.E220.m1.2.2a.3.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A4.E220.m1.4.5.3.2.1" xref="A4.E220.m1.4.5.3.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="A4.E220.m1.4.5.3.2.2" xref="A4.E220.m1.4.5.3.2.2.cmml"><mi id="A4.E220.m1.4.5.3.2.2.2" xref="A4.E220.m1.4.5.3.2.2.2.cmml">d</mi><mi id="A4.E220.m1.4.5.3.2.2.3" xref="A4.E220.m1.4.5.3.2.2.3.cmml">k</mi></msub><mo id="A4.E220.m1.4.5.3.2.1a" xref="A4.E220.m1.4.5.3.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A4.E220.m1.4.5.3.2.3.2" xref="A4.E220.m1.4.5.3.2.cmml"><mo id="A4.E220.m1.4.5.3.2.3.2.1" stretchy="false" xref="A4.E220.m1.4.5.3.2.cmml">(</mo><mi id="A4.E220.m1.4.4" xref="A4.E220.m1.4.4.cmml">x</mi><mo id="A4.E220.m1.4.5.3.2.3.2.2" stretchy="false" xref="A4.E220.m1.4.5.3.2.cmml">)</mo></mrow><mo id="A4.E220.m1.4.5.3.2.1b" xref="A4.E220.m1.4.5.3.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A4.E220.m1.4.5.3.2.4" xref="A4.E220.m1.4.5.3.2.4.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A4.E220.m1.4.5.3.2.4.1" xref="A4.E220.m1.4.5.3.2.4.1.cmml"><munder id="A4.E220.m1.4.5.3.2.4.1a" xref="A4.E220.m1.4.5.3.2.4.1.cmml"><mo id="A4.E220.m1.4.5.3.2.4.1.2" movablelimits="false" xref="A4.E220.m1.4.5.3.2.4.1.2.cmml">∑</mo><mrow id="A4.E220.m1.4.5.3.2.4.1.3" xref="A4.E220.m1.4.5.3.2.4.1.3.cmml"><mrow id="A4.E220.m1.4.5.3.2.4.1.3.2" xref="A4.E220.m1.4.5.3.2.4.1.3.2.cmml"><mi id="A4.E220.m1.4.5.3.2.4.1.3.2.2" xref="A4.E220.m1.4.5.3.2.4.1.3.2.2.cmml">π</mi><mo id="A4.E220.m1.4.5.3.2.4.1.3.2.1" xref="A4.E220.m1.4.5.3.2.4.1.3.2.1.cmml">∈</mo><msub id="A4.E220.m1.4.5.3.2.4.1.3.2.3" xref="A4.E220.m1.4.5.3.2.4.1.3.2.3.cmml"><mi id="A4.E220.m1.4.5.3.2.4.1.3.2.3.2" xref="A4.E220.m1.4.5.3.2.4.1.3.2.3.2.cmml">S</mi><mi id="A4.E220.m1.4.5.3.2.4.1.3.2.3.3" xref="A4.E220.m1.4.5.3.2.4.1.3.2.3.3.cmml">t</mi></msub></mrow><mo id="A4.E220.m1.4.5.3.2.4.1.3.1" lspace="0.278em" rspace="0.278em" xref="A4.E220.m1.4.5.3.2.4.1.3.1.cmml">:</mo><msub id="A4.E220.m1.4.5.3.2.4.1.3.3" xref="A4.E220.m1.4.5.3.2.4.1.3.3.cmml"><mi id="A4.E220.m1.4.5.3.2.4.1.3.3.2" xref="A4.E220.m1.4.5.3.2.4.1.3.3.2.cmml">S</mi><mi id="A4.E220.m1.4.5.3.2.4.1.3.3.3" xref="A4.E220.m1.4.5.3.2.4.1.3.3.3.cmml">k</mi></msub></mrow></munder></mstyle><msup id="A4.E220.m1.4.5.3.2.4.2" xref="A4.E220.m1.4.5.3.2.4.2.cmml"><mi id="A4.E220.m1.4.5.3.2.4.2.2" xref="A4.E220.m1.4.5.3.2.4.2.2.cmml">x</mi><mrow id="A4.E220.m1.3.3.1" xref="A4.E220.m1.3.3.1.cmml"><mn id="A4.E220.m1.3.3.1.3" xref="A4.E220.m1.3.3.1.3.cmml">2</mn><mo id="A4.E220.m1.3.3.1.2" xref="A4.E220.m1.3.3.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A4.E220.m1.3.3.1.4.2" xref="A4.E220.m1.3.3.1.4.1.cmml"><mo id="A4.E220.m1.3.3.1.4.2.1" stretchy="false" xref="A4.E220.m1.3.3.1.4.1.1.cmml">|</mo><mi id="A4.E220.m1.3.3.1.1" 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cd="ambiguous" id="A4.E220.m1.4.5.3.2.4.1.3.2.3.1.cmml" xref="A4.E220.m1.4.5.3.2.4.1.3.2.3">subscript</csymbol><ci id="A4.E220.m1.4.5.3.2.4.1.3.2.3.2.cmml" xref="A4.E220.m1.4.5.3.2.4.1.3.2.3.2">𝑆</ci><ci id="A4.E220.m1.4.5.3.2.4.1.3.2.3.3.cmml" xref="A4.E220.m1.4.5.3.2.4.1.3.2.3.3">𝑡</ci></apply></apply><apply id="A4.E220.m1.4.5.3.2.4.1.3.3.cmml" xref="A4.E220.m1.4.5.3.2.4.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.E220.m1.4.5.3.2.4.1.3.3.1.cmml" xref="A4.E220.m1.4.5.3.2.4.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="A4.E220.m1.4.5.3.2.4.1.3.3.2.cmml" xref="A4.E220.m1.4.5.3.2.4.1.3.3.2">𝑆</ci><ci id="A4.E220.m1.4.5.3.2.4.1.3.3.3.cmml" xref="A4.E220.m1.4.5.3.2.4.1.3.3.3">𝑘</ci></apply></apply></apply><apply id="A4.E220.m1.4.5.3.2.4.2.cmml" xref="A4.E220.m1.4.5.3.2.4.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.E220.m1.4.5.3.2.4.2.1.cmml" xref="A4.E220.m1.4.5.3.2.4.2">superscript</csymbol><ci id="A4.E220.m1.4.5.3.2.4.2.2.cmml" xref="A4.E220.m1.4.5.3.2.4.2.2">𝑥</ci><apply id="A4.E220.m1.3.3.1.cmml" xref="A4.E220.m1.3.3.1"><times id="A4.E220.m1.3.3.1.2.cmml" xref="A4.E220.m1.3.3.1.2"></times><cn id="A4.E220.m1.3.3.1.3.cmml" type="integer" xref="A4.E220.m1.3.3.1.3">2</cn><apply id="A4.E220.m1.3.3.1.4.1.cmml" xref="A4.E220.m1.3.3.1.4.2"><abs id="A4.E220.m1.3.3.1.4.1.1.cmml" xref="A4.E220.m1.3.3.1.4.2.1"></abs><ci id="A4.E220.m1.3.3.1.1.cmml" xref="A4.E220.m1.3.3.1.1">𝜋</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A4.E220.m1.4c">\displaystyle=\sum_{k=0}^{t}\binom{t}{k}d_{k}(x)\sum_{\pi\in S_{t}:S_{k}}x^{2|% \pi|}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A4.E220.m1.4d">= ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_k = 0 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_t end_POSTSUPERSCRIPT ( FRACOP start_ARG italic_t end_ARG start_ARG italic_k end_ARG ) italic_d start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ( italic_x ) ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_π ∈ italic_S start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT : italic_S start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT italic_x start_POSTSUPERSCRIPT 2 | italic_π | end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(220)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="A4.SS2.1.p1.11">Moreover, for any specific <math alttext="k" class="ltx_Math" display="inline" id="A4.SS2.1.p1.11.m1.1"><semantics id="A4.SS2.1.p1.11.m1.1a"><mi id="A4.SS2.1.p1.11.m1.1.1" xref="A4.SS2.1.p1.11.m1.1.1.cmml">k</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A4.SS2.1.p1.11.m1.1b"><ci id="A4.SS2.1.p1.11.m1.1.1.cmml" xref="A4.SS2.1.p1.11.m1.1.1">𝑘</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A4.SS2.1.p1.11.m1.1c">k</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A4.SS2.1.p1.11.m1.1d">italic_k</annotation></semantics></math>,</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_gather ltx_eqn_table" id="S6.EGx180"> <tbody id="A4.E221"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\displaystyle c_{t}(x^{2})=\sum_{\tau\in S_{t}}x^{2|\tau|}=\sum_{\pi\in S_{t}:% S_{k}}x^{2|\pi|}\sum_{\rho\in S_{k}}x^{2|\rho|}" class="ltx_Math" display="block" id="A4.E221.m1.4"><semantics id="A4.E221.m1.4a"><mrow id="A4.E221.m1.4.4" xref="A4.E221.m1.4.4.cmml"><mrow id="A4.E221.m1.4.4.1" xref="A4.E221.m1.4.4.1.cmml"><msub id="A4.E221.m1.4.4.1.3" xref="A4.E221.m1.4.4.1.3.cmml"><mi id="A4.E221.m1.4.4.1.3.2" xref="A4.E221.m1.4.4.1.3.2.cmml">c</mi><mi id="A4.E221.m1.4.4.1.3.3" xref="A4.E221.m1.4.4.1.3.3.cmml">t</mi></msub><mo id="A4.E221.m1.4.4.1.2" xref="A4.E221.m1.4.4.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A4.E221.m1.4.4.1.1.1" xref="A4.E221.m1.4.4.1.1.1.1.cmml"><mo 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id="A4.E221.m1.4.4.6.2.3.1.2" movablelimits="false" xref="A4.E221.m1.4.4.6.2.3.1.2.cmml">∑</mo><mrow id="A4.E221.m1.4.4.6.2.3.1.3" xref="A4.E221.m1.4.4.6.2.3.1.3.cmml"><mi id="A4.E221.m1.4.4.6.2.3.1.3.2" xref="A4.E221.m1.4.4.6.2.3.1.3.2.cmml">ρ</mi><mo id="A4.E221.m1.4.4.6.2.3.1.3.1" xref="A4.E221.m1.4.4.6.2.3.1.3.1.cmml">∈</mo><msub id="A4.E221.m1.4.4.6.2.3.1.3.3" xref="A4.E221.m1.4.4.6.2.3.1.3.3.cmml"><mi id="A4.E221.m1.4.4.6.2.3.1.3.3.2" xref="A4.E221.m1.4.4.6.2.3.1.3.3.2.cmml">S</mi><mi id="A4.E221.m1.4.4.6.2.3.1.3.3.3" xref="A4.E221.m1.4.4.6.2.3.1.3.3.3.cmml">k</mi></msub></mrow></munder><msup id="A4.E221.m1.4.4.6.2.3.2" xref="A4.E221.m1.4.4.6.2.3.2.cmml"><mi id="A4.E221.m1.4.4.6.2.3.2.2" xref="A4.E221.m1.4.4.6.2.3.2.2.cmml">x</mi><mrow id="A4.E221.m1.3.3.1" xref="A4.E221.m1.3.3.1.cmml"><mn id="A4.E221.m1.3.3.1.3" xref="A4.E221.m1.3.3.1.3.cmml">2</mn><mo id="A4.E221.m1.3.3.1.2" xref="A4.E221.m1.3.3.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A4.E221.m1.3.3.1.4.2" 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id="A4.E221.m1.4.4.1.3.3.cmml" xref="A4.E221.m1.4.4.1.3.3">𝑡</ci></apply><apply id="A4.E221.m1.4.4.1.1.1.1.cmml" xref="A4.E221.m1.4.4.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.E221.m1.4.4.1.1.1.1.1.cmml" xref="A4.E221.m1.4.4.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="A4.E221.m1.4.4.1.1.1.1.2.cmml" xref="A4.E221.m1.4.4.1.1.1.1.2">𝑥</ci><cn id="A4.E221.m1.4.4.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A4.E221.m1.4.4.1.1.1.1.3">2</cn></apply></apply><apply id="A4.E221.m1.4.4.4.cmml" xref="A4.E221.m1.4.4.4"><apply id="A4.E221.m1.4.4.4.1.cmml" xref="A4.E221.m1.4.4.4.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.E221.m1.4.4.4.1.1.cmml" xref="A4.E221.m1.4.4.4.1">subscript</csymbol><sum id="A4.E221.m1.4.4.4.1.2.cmml" xref="A4.E221.m1.4.4.4.1.2"></sum><apply id="A4.E221.m1.4.4.4.1.3.cmml" xref="A4.E221.m1.4.4.4.1.3"><in id="A4.E221.m1.4.4.4.1.3.1.cmml" xref="A4.E221.m1.4.4.4.1.3.1"></in><ci id="A4.E221.m1.4.4.4.1.3.2.cmml" xref="A4.E221.m1.4.4.4.1.3.2">𝜏</ci><apply id="A4.E221.m1.4.4.4.1.3.3.cmml" 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id="A4.E221.m1.4.4.6.1.3.2.3.cmml" xref="A4.E221.m1.4.4.6.1.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.E221.m1.4.4.6.1.3.2.3.1.cmml" xref="A4.E221.m1.4.4.6.1.3.2.3">subscript</csymbol><ci id="A4.E221.m1.4.4.6.1.3.2.3.2.cmml" xref="A4.E221.m1.4.4.6.1.3.2.3.2">𝑆</ci><ci id="A4.E221.m1.4.4.6.1.3.2.3.3.cmml" xref="A4.E221.m1.4.4.6.1.3.2.3.3">𝑡</ci></apply></apply><apply id="A4.E221.m1.4.4.6.1.3.3.cmml" xref="A4.E221.m1.4.4.6.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.E221.m1.4.4.6.1.3.3.1.cmml" xref="A4.E221.m1.4.4.6.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="A4.E221.m1.4.4.6.1.3.3.2.cmml" xref="A4.E221.m1.4.4.6.1.3.3.2">𝑆</ci><ci id="A4.E221.m1.4.4.6.1.3.3.3.cmml" xref="A4.E221.m1.4.4.6.1.3.3.3">𝑘</ci></apply></apply></apply><apply id="A4.E221.m1.4.4.6.2.cmml" xref="A4.E221.m1.4.4.6.2"><times id="A4.E221.m1.4.4.6.2.1.cmml" xref="A4.E221.m1.4.4.6.2.1"></times><apply id="A4.E221.m1.4.4.6.2.2.cmml" xref="A4.E221.m1.4.4.6.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.E221.m1.4.4.6.2.2.1.cmml" xref="A4.E221.m1.4.4.6.2.2">superscript</csymbol><ci id="A4.E221.m1.4.4.6.2.2.2.cmml" xref="A4.E221.m1.4.4.6.2.2.2">𝑥</ci><apply id="A4.E221.m1.2.2.1.cmml" xref="A4.E221.m1.2.2.1"><times id="A4.E221.m1.2.2.1.2.cmml" xref="A4.E221.m1.2.2.1.2"></times><cn id="A4.E221.m1.2.2.1.3.cmml" type="integer" xref="A4.E221.m1.2.2.1.3">2</cn><apply id="A4.E221.m1.2.2.1.4.1.cmml" xref="A4.E221.m1.2.2.1.4.2"><abs id="A4.E221.m1.2.2.1.4.1.1.cmml" xref="A4.E221.m1.2.2.1.4.2.1"></abs><ci id="A4.E221.m1.2.2.1.1.cmml" xref="A4.E221.m1.2.2.1.1">𝜋</ci></apply></apply></apply><apply id="A4.E221.m1.4.4.6.2.3.cmml" xref="A4.E221.m1.4.4.6.2.3"><apply id="A4.E221.m1.4.4.6.2.3.1.cmml" xref="A4.E221.m1.4.4.6.2.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.E221.m1.4.4.6.2.3.1.1.cmml" xref="A4.E221.m1.4.4.6.2.3.1">subscript</csymbol><sum id="A4.E221.m1.4.4.6.2.3.1.2.cmml" xref="A4.E221.m1.4.4.6.2.3.1.2"></sum><apply id="A4.E221.m1.4.4.6.2.3.1.3.cmml" xref="A4.E221.m1.4.4.6.2.3.1.3"><in id="A4.E221.m1.4.4.6.2.3.1.3.1.cmml" xref="A4.E221.m1.4.4.6.2.3.1.3.1"></in><ci id="A4.E221.m1.4.4.6.2.3.1.3.2.cmml" xref="A4.E221.m1.4.4.6.2.3.1.3.2">𝜌</ci><apply id="A4.E221.m1.4.4.6.2.3.1.3.3.cmml" xref="A4.E221.m1.4.4.6.2.3.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.E221.m1.4.4.6.2.3.1.3.3.1.cmml" xref="A4.E221.m1.4.4.6.2.3.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="A4.E221.m1.4.4.6.2.3.1.3.3.2.cmml" xref="A4.E221.m1.4.4.6.2.3.1.3.3.2">𝑆</ci><ci id="A4.E221.m1.4.4.6.2.3.1.3.3.3.cmml" xref="A4.E221.m1.4.4.6.2.3.1.3.3.3">𝑘</ci></apply></apply></apply><apply id="A4.E221.m1.4.4.6.2.3.2.cmml" xref="A4.E221.m1.4.4.6.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.E221.m1.4.4.6.2.3.2.1.cmml" xref="A4.E221.m1.4.4.6.2.3.2">superscript</csymbol><ci id="A4.E221.m1.4.4.6.2.3.2.2.cmml" xref="A4.E221.m1.4.4.6.2.3.2.2">𝑥</ci><apply id="A4.E221.m1.3.3.1.cmml" xref="A4.E221.m1.3.3.1"><times id="A4.E221.m1.3.3.1.2.cmml" xref="A4.E221.m1.3.3.1.2"></times><cn id="A4.E221.m1.3.3.1.3.cmml" type="integer" xref="A4.E221.m1.3.3.1.3">2</cn><apply id="A4.E221.m1.3.3.1.4.1.cmml" xref="A4.E221.m1.3.3.1.4.2"><abs id="A4.E221.m1.3.3.1.4.1.1.cmml" xref="A4.E221.m1.3.3.1.4.2.1"></abs><ci id="A4.E221.m1.3.3.1.1.cmml" xref="A4.E221.m1.3.3.1.1">𝜌</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A4.E221.m1.4c">\displaystyle c_{t}(x^{2})=\sum_{\tau\in S_{t}}x^{2|\tau|}=\sum_{\pi\in S_{t}:% S_{k}}x^{2|\pi|}\sum_{\rho\in S_{k}}x^{2|\rho|}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A4.E221.m1.4d">italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( italic_x start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ) = ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_τ ∈ italic_S start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT italic_x start_POSTSUPERSCRIPT 2 | italic_τ | end_POSTSUPERSCRIPT = ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_π ∈ italic_S start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT : italic_S start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT italic_x start_POSTSUPERSCRIPT 2 | italic_π | end_POSTSUPERSCRIPT ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_ρ ∈ italic_S start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT italic_x start_POSTSUPERSCRIPT 2 | italic_ρ | end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(221)</span></td> </tr></tbody> <tbody id="A4.E222"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\displaystyle\sum_{\pi\in S_{t}:S_{k}}x^{2|\pi|}=\frac{c_{t}(x^{2})}{c_{k}(x^{% 2})}" class="ltx_Math" display="block" id="A4.E222.m1.3"><semantics id="A4.E222.m1.3a"><mrow id="A4.E222.m1.3.4" xref="A4.E222.m1.3.4.cmml"><mrow id="A4.E222.m1.3.4.2" xref="A4.E222.m1.3.4.2.cmml"><munder id="A4.E222.m1.3.4.2.1" xref="A4.E222.m1.3.4.2.1.cmml"><mo id="A4.E222.m1.3.4.2.1.2" movablelimits="false" xref="A4.E222.m1.3.4.2.1.2.cmml">∑</mo><mrow id="A4.E222.m1.3.4.2.1.3" xref="A4.E222.m1.3.4.2.1.3.cmml"><mrow id="A4.E222.m1.3.4.2.1.3.2" xref="A4.E222.m1.3.4.2.1.3.2.cmml"><mi id="A4.E222.m1.3.4.2.1.3.2.2" xref="A4.E222.m1.3.4.2.1.3.2.2.cmml">π</mi><mo id="A4.E222.m1.3.4.2.1.3.2.1" xref="A4.E222.m1.3.4.2.1.3.2.1.cmml">∈</mo><msub id="A4.E222.m1.3.4.2.1.3.2.3" xref="A4.E222.m1.3.4.2.1.3.2.3.cmml"><mi id="A4.E222.m1.3.4.2.1.3.2.3.2" xref="A4.E222.m1.3.4.2.1.3.2.3.2.cmml">S</mi><mi id="A4.E222.m1.3.4.2.1.3.2.3.3" xref="A4.E222.m1.3.4.2.1.3.2.3.3.cmml">t</mi></msub></mrow><mo id="A4.E222.m1.3.4.2.1.3.1" lspace="0.278em" rspace="0.278em" xref="A4.E222.m1.3.4.2.1.3.1.cmml">:</mo><msub id="A4.E222.m1.3.4.2.1.3.3" xref="A4.E222.m1.3.4.2.1.3.3.cmml"><mi id="A4.E222.m1.3.4.2.1.3.3.2" xref="A4.E222.m1.3.4.2.1.3.3.2.cmml">S</mi><mi id="A4.E222.m1.3.4.2.1.3.3.3" xref="A4.E222.m1.3.4.2.1.3.3.3.cmml">k</mi></msub></mrow></munder><msup id="A4.E222.m1.3.4.2.2" xref="A4.E222.m1.3.4.2.2.cmml"><mi id="A4.E222.m1.3.4.2.2.2" xref="A4.E222.m1.3.4.2.2.2.cmml">x</mi><mrow id="A4.E222.m1.1.1.1" xref="A4.E222.m1.1.1.1.cmml"><mn id="A4.E222.m1.1.1.1.3" xref="A4.E222.m1.1.1.1.3.cmml">2</mn><mo id="A4.E222.m1.1.1.1.2" xref="A4.E222.m1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A4.E222.m1.1.1.1.4.2" xref="A4.E222.m1.1.1.1.4.1.cmml"><mo id="A4.E222.m1.1.1.1.4.2.1" stretchy="false" xref="A4.E222.m1.1.1.1.4.1.1.cmml">|</mo><mi id="A4.E222.m1.1.1.1.1" xref="A4.E222.m1.1.1.1.1.cmml">π</mi><mo id="A4.E222.m1.1.1.1.4.2.2" stretchy="false" xref="A4.E222.m1.1.1.1.4.1.1.cmml">|</mo></mrow></mrow></msup></mrow><mo id="A4.E222.m1.3.4.1" xref="A4.E222.m1.3.4.1.cmml">=</mo><mfrac id="A4.E222.m1.3.3" xref="A4.E222.m1.3.3.cmml"><mrow id="A4.E222.m1.2.2.1" xref="A4.E222.m1.2.2.1.cmml"><msub id="A4.E222.m1.2.2.1.3" xref="A4.E222.m1.2.2.1.3.cmml"><mi id="A4.E222.m1.2.2.1.3.2" 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xref="A4.E222.m1.3.4.2.1.2"></sum><apply id="A4.E222.m1.3.4.2.1.3.cmml" xref="A4.E222.m1.3.4.2.1.3"><ci id="A4.E222.m1.3.4.2.1.3.1.cmml" xref="A4.E222.m1.3.4.2.1.3.1">:</ci><apply id="A4.E222.m1.3.4.2.1.3.2.cmml" xref="A4.E222.m1.3.4.2.1.3.2"><in id="A4.E222.m1.3.4.2.1.3.2.1.cmml" xref="A4.E222.m1.3.4.2.1.3.2.1"></in><ci id="A4.E222.m1.3.4.2.1.3.2.2.cmml" xref="A4.E222.m1.3.4.2.1.3.2.2">𝜋</ci><apply id="A4.E222.m1.3.4.2.1.3.2.3.cmml" xref="A4.E222.m1.3.4.2.1.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.E222.m1.3.4.2.1.3.2.3.1.cmml" xref="A4.E222.m1.3.4.2.1.3.2.3">subscript</csymbol><ci id="A4.E222.m1.3.4.2.1.3.2.3.2.cmml" xref="A4.E222.m1.3.4.2.1.3.2.3.2">𝑆</ci><ci id="A4.E222.m1.3.4.2.1.3.2.3.3.cmml" xref="A4.E222.m1.3.4.2.1.3.2.3.3">𝑡</ci></apply></apply><apply id="A4.E222.m1.3.4.2.1.3.3.cmml" xref="A4.E222.m1.3.4.2.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.E222.m1.3.4.2.1.3.3.1.cmml" xref="A4.E222.m1.3.4.2.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="A4.E222.m1.3.4.2.1.3.3.2.cmml" xref="A4.E222.m1.3.4.2.1.3.3.2">𝑆</ci><ci id="A4.E222.m1.3.4.2.1.3.3.3.cmml" xref="A4.E222.m1.3.4.2.1.3.3.3">𝑘</ci></apply></apply></apply><apply id="A4.E222.m1.3.4.2.2.cmml" xref="A4.E222.m1.3.4.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.E222.m1.3.4.2.2.1.cmml" xref="A4.E222.m1.3.4.2.2">superscript</csymbol><ci id="A4.E222.m1.3.4.2.2.2.cmml" xref="A4.E222.m1.3.4.2.2.2">𝑥</ci><apply id="A4.E222.m1.1.1.1.cmml" xref="A4.E222.m1.1.1.1"><times id="A4.E222.m1.1.1.1.2.cmml" xref="A4.E222.m1.1.1.1.2"></times><cn id="A4.E222.m1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A4.E222.m1.1.1.1.3">2</cn><apply id="A4.E222.m1.1.1.1.4.1.cmml" xref="A4.E222.m1.1.1.1.4.2"><abs id="A4.E222.m1.1.1.1.4.1.1.cmml" xref="A4.E222.m1.1.1.1.4.2.1"></abs><ci id="A4.E222.m1.1.1.1.1.cmml" xref="A4.E222.m1.1.1.1.1">𝜋</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="A4.E222.m1.3.3.cmml" xref="A4.E222.m1.3.3"><divide id="A4.E222.m1.3.3.3.cmml" xref="A4.E222.m1.3.3"></divide><apply id="A4.E222.m1.2.2.1.cmml" 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id="A4.E222.m1.3.3.2.3.1.cmml" xref="A4.E222.m1.3.3.2.3">subscript</csymbol><ci id="A4.E222.m1.3.3.2.3.2.cmml" xref="A4.E222.m1.3.3.2.3.2">𝑐</ci><ci id="A4.E222.m1.3.3.2.3.3.cmml" xref="A4.E222.m1.3.3.2.3.3">𝑘</ci></apply><apply id="A4.E222.m1.3.3.2.1.1.1.cmml" xref="A4.E222.m1.3.3.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.E222.m1.3.3.2.1.1.1.1.cmml" xref="A4.E222.m1.3.3.2.1.1">superscript</csymbol><ci id="A4.E222.m1.3.3.2.1.1.1.2.cmml" xref="A4.E222.m1.3.3.2.1.1.1.2">𝑥</ci><cn id="A4.E222.m1.3.3.2.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A4.E222.m1.3.3.2.1.1.1.3">2</cn></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A4.E222.m1.3c">\displaystyle\sum_{\pi\in S_{t}:S_{k}}x^{2|\pi|}=\frac{c_{t}(x^{2})}{c_{k}(x^{% 2})}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A4.E222.m1.3d">∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_π ∈ italic_S start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT : italic_S start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT italic_x start_POSTSUPERSCRIPT 2 | italic_π | end_POSTSUPERSCRIPT = divide start_ARG italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( italic_x start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ) end_ARG start_ARG italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ( italic_x start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ) end_ARG</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(222)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="A4.SS2.1.p1.17">So</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_gather ltx_eqn_table" id="S6.EGx181"> <tbody id="A4.E223"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\displaystyle c_{t}(x)^{2}=\sum_{k=0}^{t}\binom{t}{k}\frac{c_{t}(x^{2})}{c_{k}% (x^{2})}d_{k}(x)" class="ltx_Math" display="block" id="A4.E223.m1.6"><semantics id="A4.E223.m1.6a"><mrow id="A4.E223.m1.6.7" xref="A4.E223.m1.6.7.cmml"><mrow id="A4.E223.m1.6.7.2" xref="A4.E223.m1.6.7.2.cmml"><msub id="A4.E223.m1.6.7.2.2" xref="A4.E223.m1.6.7.2.2.cmml"><mi id="A4.E223.m1.6.7.2.2.2" xref="A4.E223.m1.6.7.2.2.2.cmml">c</mi><mi id="A4.E223.m1.6.7.2.2.3" xref="A4.E223.m1.6.7.2.2.3.cmml">t</mi></msub><mo id="A4.E223.m1.6.7.2.1" xref="A4.E223.m1.6.7.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="A4.E223.m1.6.7.2.3" xref="A4.E223.m1.6.7.2.3.cmml"><mrow id="A4.E223.m1.6.7.2.3.2.2" xref="A4.E223.m1.6.7.2.3.cmml"><mo id="A4.E223.m1.6.7.2.3.2.2.1" stretchy="false" xref="A4.E223.m1.6.7.2.3.cmml">(</mo><mi id="A4.E223.m1.5.5" xref="A4.E223.m1.5.5.cmml">x</mi><mo id="A4.E223.m1.6.7.2.3.2.2.2" stretchy="false" xref="A4.E223.m1.6.7.2.3.cmml">)</mo></mrow><mn id="A4.E223.m1.6.7.2.3.3" xref="A4.E223.m1.6.7.2.3.3.cmml">2</mn></msup></mrow><mo id="A4.E223.m1.6.7.1" rspace="0.111em" xref="A4.E223.m1.6.7.1.cmml">=</mo><mrow id="A4.E223.m1.6.7.3" xref="A4.E223.m1.6.7.3.cmml"><munderover id="A4.E223.m1.6.7.3.1" xref="A4.E223.m1.6.7.3.1.cmml"><mo id="A4.E223.m1.6.7.3.1.2.2" movablelimits="false" rspace="0em" xref="A4.E223.m1.6.7.3.1.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="A4.E223.m1.6.7.3.1.2.3" xref="A4.E223.m1.6.7.3.1.2.3.cmml"><mi id="A4.E223.m1.6.7.3.1.2.3.2" xref="A4.E223.m1.6.7.3.1.2.3.2.cmml">k</mi><mo id="A4.E223.m1.6.7.3.1.2.3.1" xref="A4.E223.m1.6.7.3.1.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="A4.E223.m1.6.7.3.1.2.3.3" xref="A4.E223.m1.6.7.3.1.2.3.3.cmml">0</mn></mrow><mi id="A4.E223.m1.6.7.3.1.3" xref="A4.E223.m1.6.7.3.1.3.cmml">t</mi></munderover><mrow id="A4.E223.m1.6.7.3.2" xref="A4.E223.m1.6.7.3.2.cmml"><mrow id="A4.E223.m1.2.2.4" xref="A4.E223.m1.2.2.3.cmml"><mo id="A4.E223.m1.2.2.4.1" xref="A4.E223.m1.2.2.3.1.cmml">(</mo><mfrac id="A4.E223.m1.2.2.2.2" linethickness="0pt" xref="A4.E223.m1.2.2.3.cmml"><mi id="A4.E223.m1.1.1.1.1.1.1" 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end_POSTSUBSCRIPT ( italic_x )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(223)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="A4.SS2.1.p1.13">A system of linear equations from <math alttext="d_{k}(x)" class="ltx_Math" display="inline" id="A4.SS2.1.p1.12.m1.1"><semantics id="A4.SS2.1.p1.12.m1.1a"><mrow id="A4.SS2.1.p1.12.m1.1.2" xref="A4.SS2.1.p1.12.m1.1.2.cmml"><msub id="A4.SS2.1.p1.12.m1.1.2.2" xref="A4.SS2.1.p1.12.m1.1.2.2.cmml"><mi id="A4.SS2.1.p1.12.m1.1.2.2.2" xref="A4.SS2.1.p1.12.m1.1.2.2.2.cmml">d</mi><mi id="A4.SS2.1.p1.12.m1.1.2.2.3" xref="A4.SS2.1.p1.12.m1.1.2.2.3.cmml">k</mi></msub><mo id="A4.SS2.1.p1.12.m1.1.2.1" xref="A4.SS2.1.p1.12.m1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A4.SS2.1.p1.12.m1.1.2.3.2" xref="A4.SS2.1.p1.12.m1.1.2.cmml"><mo id="A4.SS2.1.p1.12.m1.1.2.3.2.1" stretchy="false" 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encoding="application/x-llamapun" id="A4.SS2.1.p1.12.m1.1d">italic_d start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ( italic_x )</annotation></semantics></math> to <math alttext="c_{k}(x)^{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="A4.SS2.1.p1.13.m2.1"><semantics id="A4.SS2.1.p1.13.m2.1a"><mrow id="A4.SS2.1.p1.13.m2.1.2" xref="A4.SS2.1.p1.13.m2.1.2.cmml"><msub id="A4.SS2.1.p1.13.m2.1.2.2" xref="A4.SS2.1.p1.13.m2.1.2.2.cmml"><mi id="A4.SS2.1.p1.13.m2.1.2.2.2" xref="A4.SS2.1.p1.13.m2.1.2.2.2.cmml">c</mi><mi id="A4.SS2.1.p1.13.m2.1.2.2.3" xref="A4.SS2.1.p1.13.m2.1.2.2.3.cmml">k</mi></msub><mo id="A4.SS2.1.p1.13.m2.1.2.1" xref="A4.SS2.1.p1.13.m2.1.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="A4.SS2.1.p1.13.m2.1.2.3" xref="A4.SS2.1.p1.13.m2.1.2.3.cmml"><mrow id="A4.SS2.1.p1.13.m2.1.2.3.2.2" xref="A4.SS2.1.p1.13.m2.1.2.3.cmml"><mo id="A4.SS2.1.p1.13.m2.1.2.3.2.2.1" stretchy="false" xref="A4.SS2.1.p1.13.m2.1.2.3.cmml">(</mo><mi id="A4.SS2.1.p1.13.m2.1.1" xref="A4.SS2.1.p1.13.m2.1.1.cmml">x</mi><mo 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xref="A4.SS2.1.p1.13.m2.1.1">𝑥</ci><cn id="A4.SS2.1.p1.13.m2.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="A4.SS2.1.p1.13.m2.1.2.3.3">2</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A4.SS2.1.p1.13.m2.1c">c_{k}(x)^{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A4.SS2.1.p1.13.m2.1d">italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ( italic_x ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> which we can invert as</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_gather ltx_eqn_table" id="S6.EGx182"> <tbody id="A4.E224"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\displaystyle d_{t}(x)=\sum_{k=0}^{t}(-1)^{t-k}\binom{t}{k}\frac{c_{t}(x^{2})}% {c_{k}(x^{2})}c_{k}(x)^{2}" class="ltx_Math" display="block" id="A4.E224.m1.7"><semantics id="A4.E224.m1.7a"><mrow id="A4.E224.m1.7.7" 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cd="ambiguous" id="A4.E224.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml" xref="A4.E224.m1.3.3.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="A4.E224.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml" xref="A4.E224.m1.3.3.1.1.1.1.2">𝑥</ci><cn id="A4.E224.m1.3.3.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A4.E224.m1.3.3.1.1.1.1.3">2</cn></apply></apply><apply id="A4.E224.m1.4.4.2.cmml" xref="A4.E224.m1.4.4.2"><times id="A4.E224.m1.4.4.2.2.cmml" xref="A4.E224.m1.4.4.2.2"></times><apply id="A4.E224.m1.4.4.2.3.cmml" xref="A4.E224.m1.4.4.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.E224.m1.4.4.2.3.1.cmml" xref="A4.E224.m1.4.4.2.3">subscript</csymbol><ci id="A4.E224.m1.4.4.2.3.2.cmml" xref="A4.E224.m1.4.4.2.3.2">𝑐</ci><ci id="A4.E224.m1.4.4.2.3.3.cmml" xref="A4.E224.m1.4.4.2.3.3">𝑘</ci></apply><apply id="A4.E224.m1.4.4.2.1.1.1.cmml" xref="A4.E224.m1.4.4.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.E224.m1.4.4.2.1.1.1.1.cmml" xref="A4.E224.m1.4.4.2.1.1">superscript</csymbol><ci id="A4.E224.m1.4.4.2.1.1.1.2.cmml" xref="A4.E224.m1.4.4.2.1.1.1.2">𝑥</ci><cn id="A4.E224.m1.4.4.2.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A4.E224.m1.4.4.2.1.1.1.3">2</cn></apply></apply></apply><apply id="A4.E224.m1.7.7.1.1.3.cmml" xref="A4.E224.m1.7.7.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.E224.m1.7.7.1.1.3.1.cmml" xref="A4.E224.m1.7.7.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A4.E224.m1.7.7.1.1.3.2.cmml" xref="A4.E224.m1.7.7.1.1.3.2">𝑐</ci><ci id="A4.E224.m1.7.7.1.1.3.3.cmml" xref="A4.E224.m1.7.7.1.1.3.3">𝑘</ci></apply><apply id="A4.E224.m1.7.7.1.1.4.cmml" xref="A4.E224.m1.7.7.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.E224.m1.7.7.1.1.4.1.cmml" xref="A4.E224.m1.7.7.1.1.4">superscript</csymbol><ci id="A4.E224.m1.6.6.cmml" xref="A4.E224.m1.6.6">𝑥</ci><cn id="A4.E224.m1.7.7.1.1.4.3.cmml" type="integer" xref="A4.E224.m1.7.7.1.1.4.3">2</cn></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A4.E224.m1.7c">\displaystyle d_{t}(x)=\sum_{k=0}^{t}(-1)^{t-k}\binom{t}{k}\frac{c_{t}(x^{2})}% {c_{k}(x^{2})}c_{k}(x)^{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A4.E224.m1.7d">italic_d start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( italic_x ) = ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_k = 0 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_t end_POSTSUPERSCRIPT ( - 1 ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_t - italic_k end_POSTSUPERSCRIPT ( FRACOP start_ARG italic_t end_ARG start_ARG italic_k end_ARG ) divide start_ARG italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( italic_x start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ) end_ARG start_ARG italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ( italic_x start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ) end_ARG italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ( italic_x ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(224)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="A4.SS2.1.p1.14">From the Jucys-Murphy decomposition of permutations in <math alttext="S_{k}" class="ltx_Math" display="inline" id="A4.SS2.1.p1.14.m1.1"><semantics id="A4.SS2.1.p1.14.m1.1a"><msub id="A4.SS2.1.p1.14.m1.1.1" xref="A4.SS2.1.p1.14.m1.1.1.cmml"><mi id="A4.SS2.1.p1.14.m1.1.1.2" xref="A4.SS2.1.p1.14.m1.1.1.2.cmml">S</mi><mi id="A4.SS2.1.p1.14.m1.1.1.3" xref="A4.SS2.1.p1.14.m1.1.1.3.cmml">k</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A4.SS2.1.p1.14.m1.1b"><apply id="A4.SS2.1.p1.14.m1.1.1.cmml" xref="A4.SS2.1.p1.14.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.SS2.1.p1.14.m1.1.1.1.cmml" xref="A4.SS2.1.p1.14.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="A4.SS2.1.p1.14.m1.1.1.2.cmml" xref="A4.SS2.1.p1.14.m1.1.1.2">𝑆</ci><ci id="A4.SS2.1.p1.14.m1.1.1.3.cmml" xref="A4.SS2.1.p1.14.m1.1.1.3">𝑘</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A4.SS2.1.p1.14.m1.1c">S_{k}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A4.SS2.1.p1.14.m1.1d">italic_S start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>,</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_gather ltx_eqn_table" id="S6.EGx183"> <tbody id="A4.E225"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\displaystyle c_{k}(x)=\sum_{\sigma\in S_{k}}x^{|\sigma|}=\prod_{\ell=1}^{t}% \big{(}1+(\ell-1)x\big{)}" class="ltx_Math" display="block" id="A4.E225.m1.3"><semantics id="A4.E225.m1.3a"><mrow id="A4.E225.m1.3.3" xref="A4.E225.m1.3.3.cmml"><mrow id="A4.E225.m1.3.3.3" xref="A4.E225.m1.3.3.3.cmml"><msub id="A4.E225.m1.3.3.3.2" xref="A4.E225.m1.3.3.3.2.cmml"><mi id="A4.E225.m1.3.3.3.2.2" xref="A4.E225.m1.3.3.3.2.2.cmml">c</mi><mi id="A4.E225.m1.3.3.3.2.3" xref="A4.E225.m1.3.3.3.2.3.cmml">k</mi></msub><mo id="A4.E225.m1.3.3.3.1" xref="A4.E225.m1.3.3.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A4.E225.m1.3.3.3.3.2" xref="A4.E225.m1.3.3.3.cmml"><mo id="A4.E225.m1.3.3.3.3.2.1" stretchy="false" xref="A4.E225.m1.3.3.3.cmml">(</mo><mi id="A4.E225.m1.2.2" xref="A4.E225.m1.2.2.cmml">x</mi><mo id="A4.E225.m1.3.3.3.3.2.2" stretchy="false" xref="A4.E225.m1.3.3.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A4.E225.m1.3.3.4" rspace="0.111em" xref="A4.E225.m1.3.3.4.cmml">=</mo><mrow id="A4.E225.m1.3.3.5" xref="A4.E225.m1.3.3.5.cmml"><munder id="A4.E225.m1.3.3.5.1" xref="A4.E225.m1.3.3.5.1.cmml"><mo id="A4.E225.m1.3.3.5.1.2" movablelimits="false" xref="A4.E225.m1.3.3.5.1.2.cmml">∑</mo><mrow id="A4.E225.m1.3.3.5.1.3" xref="A4.E225.m1.3.3.5.1.3.cmml"><mi id="A4.E225.m1.3.3.5.1.3.2" xref="A4.E225.m1.3.3.5.1.3.2.cmml">σ</mi><mo id="A4.E225.m1.3.3.5.1.3.1" xref="A4.E225.m1.3.3.5.1.3.1.cmml">∈</mo><msub id="A4.E225.m1.3.3.5.1.3.3" xref="A4.E225.m1.3.3.5.1.3.3.cmml"><mi id="A4.E225.m1.3.3.5.1.3.3.2" xref="A4.E225.m1.3.3.5.1.3.3.2.cmml">S</mi><mi id="A4.E225.m1.3.3.5.1.3.3.3" xref="A4.E225.m1.3.3.5.1.3.3.3.cmml">k</mi></msub></mrow></munder><msup id="A4.E225.m1.3.3.5.2" xref="A4.E225.m1.3.3.5.2.cmml"><mi id="A4.E225.m1.3.3.5.2.2" xref="A4.E225.m1.3.3.5.2.2.cmml">x</mi><mrow id="A4.E225.m1.1.1.1.3" xref="A4.E225.m1.1.1.1.2.cmml"><mo id="A4.E225.m1.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="A4.E225.m1.1.1.1.2.1.cmml">|</mo><mi id="A4.E225.m1.1.1.1.1" xref="A4.E225.m1.1.1.1.1.cmml">σ</mi><mo id="A4.E225.m1.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="A4.E225.m1.1.1.1.2.1.cmml">|</mo></mrow></msup></mrow><mo id="A4.E225.m1.3.3.6" rspace="0.111em" xref="A4.E225.m1.3.3.6.cmml">=</mo><mrow id="A4.E225.m1.3.3.1" xref="A4.E225.m1.3.3.1.cmml"><munderover id="A4.E225.m1.3.3.1.2" xref="A4.E225.m1.3.3.1.2.cmml"><mo id="A4.E225.m1.3.3.1.2.2.2" movablelimits="false" rspace="0em" xref="A4.E225.m1.3.3.1.2.2.2.cmml">∏</mo><mrow id="A4.E225.m1.3.3.1.2.2.3" xref="A4.E225.m1.3.3.1.2.2.3.cmml"><mi id="A4.E225.m1.3.3.1.2.2.3.2" mathvariant="normal" xref="A4.E225.m1.3.3.1.2.2.3.2.cmml">ℓ</mi><mo id="A4.E225.m1.3.3.1.2.2.3.1" xref="A4.E225.m1.3.3.1.2.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="A4.E225.m1.3.3.1.2.2.3.3" xref="A4.E225.m1.3.3.1.2.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="A4.E225.m1.3.3.1.2.3" xref="A4.E225.m1.3.3.1.2.3.cmml">t</mi></munderover><mrow id="A4.E225.m1.3.3.1.1.1" xref="A4.E225.m1.3.3.1.1.1.1.cmml"><mo id="A4.E225.m1.3.3.1.1.1.2" maxsize="120%" minsize="120%" xref="A4.E225.m1.3.3.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A4.E225.m1.3.3.1.1.1.1" xref="A4.E225.m1.3.3.1.1.1.1.cmml"><mn id="A4.E225.m1.3.3.1.1.1.1.3" xref="A4.E225.m1.3.3.1.1.1.1.3.cmml">1</mn><mo id="A4.E225.m1.3.3.1.1.1.1.2" xref="A4.E225.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml">+</mo><mrow id="A4.E225.m1.3.3.1.1.1.1.1" xref="A4.E225.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A4.E225.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1" xref="A4.E225.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A4.E225.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A4.E225.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A4.E225.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A4.E225.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A4.E225.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2" mathvariant="normal" xref="A4.E225.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">ℓ</mi><mo id="A4.E225.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A4.E225.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mn id="A4.E225.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A4.E225.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="A4.E225.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A4.E225.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A4.E225.m1.3.3.1.1.1.1.1.2" xref="A4.E225.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="A4.E225.m1.3.3.1.1.1.1.1.3" xref="A4.E225.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.cmml">x</mi></mrow></mrow><mo id="A4.E225.m1.3.3.1.1.1.3" maxsize="120%" minsize="120%" xref="A4.E225.m1.3.3.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A4.E225.m1.3b"><apply id="A4.E225.m1.3.3.cmml" xref="A4.E225.m1.3.3"><and id="A4.E225.m1.3.3a.cmml" xref="A4.E225.m1.3.3"></and><apply id="A4.E225.m1.3.3b.cmml" xref="A4.E225.m1.3.3"><eq id="A4.E225.m1.3.3.4.cmml" xref="A4.E225.m1.3.3.4"></eq><apply id="A4.E225.m1.3.3.3.cmml" xref="A4.E225.m1.3.3.3"><times id="A4.E225.m1.3.3.3.1.cmml" xref="A4.E225.m1.3.3.3.1"></times><apply id="A4.E225.m1.3.3.3.2.cmml" xref="A4.E225.m1.3.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.E225.m1.3.3.3.2.1.cmml" xref="A4.E225.m1.3.3.3.2">subscript</csymbol><ci id="A4.E225.m1.3.3.3.2.2.cmml" xref="A4.E225.m1.3.3.3.2.2">𝑐</ci><ci id="A4.E225.m1.3.3.3.2.3.cmml" xref="A4.E225.m1.3.3.3.2.3">𝑘</ci></apply><ci id="A4.E225.m1.2.2.cmml" xref="A4.E225.m1.2.2">𝑥</ci></apply><apply id="A4.E225.m1.3.3.5.cmml" xref="A4.E225.m1.3.3.5"><apply id="A4.E225.m1.3.3.5.1.cmml" xref="A4.E225.m1.3.3.5.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.E225.m1.3.3.5.1.1.cmml" xref="A4.E225.m1.3.3.5.1">subscript</csymbol><sum id="A4.E225.m1.3.3.5.1.2.cmml" xref="A4.E225.m1.3.3.5.1.2"></sum><apply id="A4.E225.m1.3.3.5.1.3.cmml" xref="A4.E225.m1.3.3.5.1.3"><in id="A4.E225.m1.3.3.5.1.3.1.cmml" xref="A4.E225.m1.3.3.5.1.3.1"></in><ci id="A4.E225.m1.3.3.5.1.3.2.cmml" xref="A4.E225.m1.3.3.5.1.3.2">𝜎</ci><apply id="A4.E225.m1.3.3.5.1.3.3.cmml" xref="A4.E225.m1.3.3.5.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.E225.m1.3.3.5.1.3.3.1.cmml" xref="A4.E225.m1.3.3.5.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="A4.E225.m1.3.3.5.1.3.3.2.cmml" xref="A4.E225.m1.3.3.5.1.3.3.2">𝑆</ci><ci id="A4.E225.m1.3.3.5.1.3.3.3.cmml" xref="A4.E225.m1.3.3.5.1.3.3.3">𝑘</ci></apply></apply></apply><apply id="A4.E225.m1.3.3.5.2.cmml" xref="A4.E225.m1.3.3.5.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.E225.m1.3.3.5.2.1.cmml" xref="A4.E225.m1.3.3.5.2">superscript</csymbol><ci id="A4.E225.m1.3.3.5.2.2.cmml" xref="A4.E225.m1.3.3.5.2.2">𝑥</ci><apply id="A4.E225.m1.1.1.1.2.cmml" xref="A4.E225.m1.1.1.1.3"><abs id="A4.E225.m1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A4.E225.m1.1.1.1.3.1"></abs><ci id="A4.E225.m1.1.1.1.1.cmml" xref="A4.E225.m1.1.1.1.1">𝜎</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="A4.E225.m1.3.3c.cmml" xref="A4.E225.m1.3.3"><eq id="A4.E225.m1.3.3.6.cmml" xref="A4.E225.m1.3.3.6"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#A4.E225.m1.3.3.5.cmml" id="A4.E225.m1.3.3d.cmml" xref="A4.E225.m1.3.3"></share><apply id="A4.E225.m1.3.3.1.cmml" xref="A4.E225.m1.3.3.1"><apply id="A4.E225.m1.3.3.1.2.cmml" xref="A4.E225.m1.3.3.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.E225.m1.3.3.1.2.1.cmml" xref="A4.E225.m1.3.3.1.2">superscript</csymbol><apply id="A4.E225.m1.3.3.1.2.2.cmml" xref="A4.E225.m1.3.3.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.E225.m1.3.3.1.2.2.1.cmml" xref="A4.E225.m1.3.3.1.2">subscript</csymbol><csymbol cd="latexml" id="A4.E225.m1.3.3.1.2.2.2.cmml" xref="A4.E225.m1.3.3.1.2.2.2">product</csymbol><apply id="A4.E225.m1.3.3.1.2.2.3.cmml" xref="A4.E225.m1.3.3.1.2.2.3"><eq id="A4.E225.m1.3.3.1.2.2.3.1.cmml" xref="A4.E225.m1.3.3.1.2.2.3.1"></eq><ci id="A4.E225.m1.3.3.1.2.2.3.2.cmml" xref="A4.E225.m1.3.3.1.2.2.3.2">ℓ</ci><cn id="A4.E225.m1.3.3.1.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="A4.E225.m1.3.3.1.2.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="A4.E225.m1.3.3.1.2.3.cmml" xref="A4.E225.m1.3.3.1.2.3">𝑡</ci></apply><apply id="A4.E225.m1.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="A4.E225.m1.3.3.1.1.1"><plus id="A4.E225.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml" xref="A4.E225.m1.3.3.1.1.1.1.2"></plus><cn id="A4.E225.m1.3.3.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A4.E225.m1.3.3.1.1.1.1.3">1</cn><apply id="A4.E225.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml" xref="A4.E225.m1.3.3.1.1.1.1.1"><times id="A4.E225.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A4.E225.m1.3.3.1.1.1.1.1.2"></times><apply id="A4.E225.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A4.E225.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1"><minus id="A4.E225.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A4.E225.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><ci id="A4.E225.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A4.E225.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2">ℓ</ci><cn id="A4.E225.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A4.E225.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3">1</cn></apply><ci id="A4.E225.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A4.E225.m1.3.3.1.1.1.1.1.3">𝑥</ci></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A4.E225.m1.3c">\displaystyle c_{k}(x)=\sum_{\sigma\in S_{k}}x^{|\sigma|}=\prod_{\ell=1}^{t}% \big{(}1+(\ell-1)x\big{)}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A4.E225.m1.3d">italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ( italic_x ) = ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_σ ∈ italic_S start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT italic_x start_POSTSUPERSCRIPT | italic_σ | end_POSTSUPERSCRIPT = ∏ start_POSTSUBSCRIPT roman_ℓ = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_t end_POSTSUPERSCRIPT ( 1 + ( roman_ℓ - 1 ) italic_x )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(225)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="A4.SS2.1.p1.18">So we can also write</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_gather ltx_eqn_table" id="S6.EGx184"> <tbody id="A4.E226"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\displaystyle d_{t}(x)=(-1)^{t}\sum_{k=0}^{t}(-1)^{k}\binom{t}{k}\prod_{\ell=k% +1}^{t}\big{(}1+(\ell-1)x^{2}\big{)}\prod_{\ell=1}^{k}\big{(}1+(\ell-1)x\big{)% }^{2}" class="ltx_Math" display="block" id="A4.E226.m1.7"><semantics id="A4.E226.m1.7a"><mrow id="A4.E226.m1.7.7" xref="A4.E226.m1.7.7.cmml"><mrow id="A4.E226.m1.7.7.6" xref="A4.E226.m1.7.7.6.cmml"><msub id="A4.E226.m1.7.7.6.2" xref="A4.E226.m1.7.7.6.2.cmml"><mi id="A4.E226.m1.7.7.6.2.2" xref="A4.E226.m1.7.7.6.2.2.cmml">d</mi><mi id="A4.E226.m1.7.7.6.2.3" xref="A4.E226.m1.7.7.6.2.3.cmml">t</mi></msub><mo id="A4.E226.m1.7.7.6.1" xref="A4.E226.m1.7.7.6.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A4.E226.m1.7.7.6.3.2" xref="A4.E226.m1.7.7.6.cmml"><mo id="A4.E226.m1.7.7.6.3.2.1" stretchy="false" xref="A4.E226.m1.7.7.6.cmml">(</mo><mi id="A4.E226.m1.3.3" xref="A4.E226.m1.3.3.cmml">x</mi><mo id="A4.E226.m1.7.7.6.3.2.2" stretchy="false" xref="A4.E226.m1.7.7.6.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A4.E226.m1.7.7.5" xref="A4.E226.m1.7.7.5.cmml">=</mo><mrow id="A4.E226.m1.7.7.4" xref="A4.E226.m1.7.7.4.cmml"><msup id="A4.E226.m1.4.4.1.1" xref="A4.E226.m1.4.4.1.1.cmml"><mrow id="A4.E226.m1.4.4.1.1.1.1" xref="A4.E226.m1.4.4.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A4.E226.m1.4.4.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A4.E226.m1.4.4.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A4.E226.m1.4.4.1.1.1.1.1" xref="A4.E226.m1.4.4.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A4.E226.m1.4.4.1.1.1.1.1a" xref="A4.E226.m1.4.4.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mn id="A4.E226.m1.4.4.1.1.1.1.1.2" xref="A4.E226.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.cmml">1</mn></mrow><mo id="A4.E226.m1.4.4.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A4.E226.m1.4.4.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mi id="A4.E226.m1.4.4.1.1.3" xref="A4.E226.m1.4.4.1.1.3.cmml">t</mi></msup><mo id="A4.E226.m1.7.7.4.5" xref="A4.E226.m1.7.7.4.5.cmml">⁢</mo><mrow id="A4.E226.m1.7.7.4.4" xref="A4.E226.m1.7.7.4.4.cmml"><munderover id="A4.E226.m1.7.7.4.4.4" xref="A4.E226.m1.7.7.4.4.4.cmml"><mo id="A4.E226.m1.7.7.4.4.4.2.2" movablelimits="false" rspace="0em" xref="A4.E226.m1.7.7.4.4.4.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="A4.E226.m1.7.7.4.4.4.2.3" xref="A4.E226.m1.7.7.4.4.4.2.3.cmml"><mi id="A4.E226.m1.7.7.4.4.4.2.3.2" xref="A4.E226.m1.7.7.4.4.4.2.3.2.cmml">k</mi><mo id="A4.E226.m1.7.7.4.4.4.2.3.1" xref="A4.E226.m1.7.7.4.4.4.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="A4.E226.m1.7.7.4.4.4.2.3.3" xref="A4.E226.m1.7.7.4.4.4.2.3.3.cmml">0</mn></mrow><mi id="A4.E226.m1.7.7.4.4.4.3" xref="A4.E226.m1.7.7.4.4.4.3.cmml">t</mi></munderover><mrow id="A4.E226.m1.7.7.4.4.3" xref="A4.E226.m1.7.7.4.4.3.cmml"><msup id="A4.E226.m1.5.5.2.2.1.1" xref="A4.E226.m1.5.5.2.2.1.1.cmml"><mrow id="A4.E226.m1.5.5.2.2.1.1.1.1" xref="A4.E226.m1.5.5.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A4.E226.m1.5.5.2.2.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A4.E226.m1.5.5.2.2.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A4.E226.m1.5.5.2.2.1.1.1.1.1" xref="A4.E226.m1.5.5.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A4.E226.m1.5.5.2.2.1.1.1.1.1a" xref="A4.E226.m1.5.5.2.2.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mn id="A4.E226.m1.5.5.2.2.1.1.1.1.1.2" xref="A4.E226.m1.5.5.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml">1</mn></mrow><mo id="A4.E226.m1.5.5.2.2.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A4.E226.m1.5.5.2.2.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mi id="A4.E226.m1.5.5.2.2.1.1.3" xref="A4.E226.m1.5.5.2.2.1.1.3.cmml">k</mi></msup><mo id="A4.E226.m1.7.7.4.4.3.4" xref="A4.E226.m1.7.7.4.4.3.4.cmml">⁢</mo><mrow id="A4.E226.m1.2.2.4" xref="A4.E226.m1.2.2.3.cmml"><mo id="A4.E226.m1.2.2.4.1" xref="A4.E226.m1.2.2.3.1.cmml">(</mo><mfrac id="A4.E226.m1.2.2.2.2" linethickness="0pt" xref="A4.E226.m1.2.2.3.cmml"><mi id="A4.E226.m1.1.1.1.1.1.1" xref="A4.E226.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">t</mi><mi id="A4.E226.m1.2.2.2.2.2.1" xref="A4.E226.m1.2.2.2.2.2.1.cmml">k</mi></mfrac><mo id="A4.E226.m1.2.2.4.2" xref="A4.E226.m1.2.2.3.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A4.E226.m1.7.7.4.4.3.4a" xref="A4.E226.m1.7.7.4.4.3.4.cmml">⁢</mo><mrow id="A4.E226.m1.7.7.4.4.3.3" xref="A4.E226.m1.7.7.4.4.3.3.cmml"><munderover id="A4.E226.m1.7.7.4.4.3.3.3" xref="A4.E226.m1.7.7.4.4.3.3.3.cmml"><mo id="A4.E226.m1.7.7.4.4.3.3.3.2.2" movablelimits="false" rspace="0em" xref="A4.E226.m1.7.7.4.4.3.3.3.2.2.cmml">∏</mo><mrow id="A4.E226.m1.7.7.4.4.3.3.3.2.3" xref="A4.E226.m1.7.7.4.4.3.3.3.2.3.cmml"><mi id="A4.E226.m1.7.7.4.4.3.3.3.2.3.2" mathvariant="normal" xref="A4.E226.m1.7.7.4.4.3.3.3.2.3.2.cmml">ℓ</mi><mo id="A4.E226.m1.7.7.4.4.3.3.3.2.3.1" xref="A4.E226.m1.7.7.4.4.3.3.3.2.3.1.cmml">=</mo><mrow id="A4.E226.m1.7.7.4.4.3.3.3.2.3.3" xref="A4.E226.m1.7.7.4.4.3.3.3.2.3.3.cmml"><mi id="A4.E226.m1.7.7.4.4.3.3.3.2.3.3.2" xref="A4.E226.m1.7.7.4.4.3.3.3.2.3.3.2.cmml">k</mi><mo id="A4.E226.m1.7.7.4.4.3.3.3.2.3.3.1" xref="A4.E226.m1.7.7.4.4.3.3.3.2.3.3.1.cmml">+</mo><mn id="A4.E226.m1.7.7.4.4.3.3.3.2.3.3.3" xref="A4.E226.m1.7.7.4.4.3.3.3.2.3.3.3.cmml">1</mn></mrow></mrow><mi id="A4.E226.m1.7.7.4.4.3.3.3.3" xref="A4.E226.m1.7.7.4.4.3.3.3.3.cmml">t</mi></munderover><mrow id="A4.E226.m1.7.7.4.4.3.3.2" xref="A4.E226.m1.7.7.4.4.3.3.2.cmml"><mrow id="A4.E226.m1.6.6.3.3.2.2.1.1.1" xref="A4.E226.m1.6.6.3.3.2.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="A4.E226.m1.6.6.3.3.2.2.1.1.1.2" maxsize="120%" minsize="120%" xref="A4.E226.m1.6.6.3.3.2.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A4.E226.m1.6.6.3.3.2.2.1.1.1.1" xref="A4.E226.m1.6.6.3.3.2.2.1.1.1.1.cmml"><mn id="A4.E226.m1.6.6.3.3.2.2.1.1.1.1.3" xref="A4.E226.m1.6.6.3.3.2.2.1.1.1.1.3.cmml">1</mn><mo id="A4.E226.m1.6.6.3.3.2.2.1.1.1.1.2" xref="A4.E226.m1.6.6.3.3.2.2.1.1.1.1.2.cmml">+</mo><mrow id="A4.E226.m1.6.6.3.3.2.2.1.1.1.1.1" xref="A4.E226.m1.6.6.3.3.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A4.E226.m1.6.6.3.3.2.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="A4.E226.m1.6.6.3.3.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A4.E226.m1.6.6.3.3.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A4.E226.m1.6.6.3.3.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A4.E226.m1.6.6.3.3.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A4.E226.m1.6.6.3.3.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A4.E226.m1.6.6.3.3.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2" mathvariant="normal" xref="A4.E226.m1.6.6.3.3.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">ℓ</mi><mo id="A4.E226.m1.6.6.3.3.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A4.E226.m1.6.6.3.3.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mn id="A4.E226.m1.6.6.3.3.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A4.E226.m1.6.6.3.3.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="A4.E226.m1.6.6.3.3.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A4.E226.m1.6.6.3.3.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A4.E226.m1.6.6.3.3.2.2.1.1.1.1.1.2" xref="A4.E226.m1.6.6.3.3.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msup id="A4.E226.m1.6.6.3.3.2.2.1.1.1.1.1.3" xref="A4.E226.m1.6.6.3.3.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A4.E226.m1.6.6.3.3.2.2.1.1.1.1.1.3.2" xref="A4.E226.m1.6.6.3.3.2.2.1.1.1.1.1.3.2.cmml">x</mi><mn id="A4.E226.m1.6.6.3.3.2.2.1.1.1.1.1.3.3" xref="A4.E226.m1.6.6.3.3.2.2.1.1.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></msup></mrow></mrow><mo id="A4.E226.m1.6.6.3.3.2.2.1.1.1.3" maxsize="120%" minsize="120%" xref="A4.E226.m1.6.6.3.3.2.2.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A4.E226.m1.7.7.4.4.3.3.2.3" xref="A4.E226.m1.7.7.4.4.3.3.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="A4.E226.m1.7.7.4.4.3.3.2.2" xref="A4.E226.m1.7.7.4.4.3.3.2.2.cmml"><munderover id="A4.E226.m1.7.7.4.4.3.3.2.2.2" xref="A4.E226.m1.7.7.4.4.3.3.2.2.2.cmml"><mo id="A4.E226.m1.7.7.4.4.3.3.2.2.2.2.2" movablelimits="false" rspace="0em" xref="A4.E226.m1.7.7.4.4.3.3.2.2.2.2.2.cmml">∏</mo><mrow id="A4.E226.m1.7.7.4.4.3.3.2.2.2.2.3" xref="A4.E226.m1.7.7.4.4.3.3.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="A4.E226.m1.7.7.4.4.3.3.2.2.2.2.3.2" mathvariant="normal" xref="A4.E226.m1.7.7.4.4.3.3.2.2.2.2.3.2.cmml">ℓ</mi><mo id="A4.E226.m1.7.7.4.4.3.3.2.2.2.2.3.1" xref="A4.E226.m1.7.7.4.4.3.3.2.2.2.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="A4.E226.m1.7.7.4.4.3.3.2.2.2.2.3.3" xref="A4.E226.m1.7.7.4.4.3.3.2.2.2.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="A4.E226.m1.7.7.4.4.3.3.2.2.2.3" xref="A4.E226.m1.7.7.4.4.3.3.2.2.2.3.cmml">k</mi></munderover><msup id="A4.E226.m1.7.7.4.4.3.3.2.2.1" xref="A4.E226.m1.7.7.4.4.3.3.2.2.1.cmml"><mrow id="A4.E226.m1.7.7.4.4.3.3.2.2.1.1.1" xref="A4.E226.m1.7.7.4.4.3.3.2.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="A4.E226.m1.7.7.4.4.3.3.2.2.1.1.1.2" maxsize="120%" minsize="120%" xref="A4.E226.m1.7.7.4.4.3.3.2.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A4.E226.m1.7.7.4.4.3.3.2.2.1.1.1.1" xref="A4.E226.m1.7.7.4.4.3.3.2.2.1.1.1.1.cmml"><mn id="A4.E226.m1.7.7.4.4.3.3.2.2.1.1.1.1.3" xref="A4.E226.m1.7.7.4.4.3.3.2.2.1.1.1.1.3.cmml">1</mn><mo id="A4.E226.m1.7.7.4.4.3.3.2.2.1.1.1.1.2" xref="A4.E226.m1.7.7.4.4.3.3.2.2.1.1.1.1.2.cmml">+</mo><mrow id="A4.E226.m1.7.7.4.4.3.3.2.2.1.1.1.1.1" xref="A4.E226.m1.7.7.4.4.3.3.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A4.E226.m1.7.7.4.4.3.3.2.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="A4.E226.m1.7.7.4.4.3.3.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A4.E226.m1.7.7.4.4.3.3.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A4.E226.m1.7.7.4.4.3.3.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A4.E226.m1.7.7.4.4.3.3.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A4.E226.m1.7.7.4.4.3.3.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A4.E226.m1.7.7.4.4.3.3.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2" mathvariant="normal" xref="A4.E226.m1.7.7.4.4.3.3.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">ℓ</mi><mo id="A4.E226.m1.7.7.4.4.3.3.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A4.E226.m1.7.7.4.4.3.3.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mn id="A4.E226.m1.7.7.4.4.3.3.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A4.E226.m1.7.7.4.4.3.3.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="A4.E226.m1.7.7.4.4.3.3.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A4.E226.m1.7.7.4.4.3.3.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A4.E226.m1.7.7.4.4.3.3.2.2.1.1.1.1.1.2" xref="A4.E226.m1.7.7.4.4.3.3.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="A4.E226.m1.7.7.4.4.3.3.2.2.1.1.1.1.1.3" xref="A4.E226.m1.7.7.4.4.3.3.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml">x</mi></mrow></mrow><mo id="A4.E226.m1.7.7.4.4.3.3.2.2.1.1.1.3" maxsize="120%" minsize="120%" xref="A4.E226.m1.7.7.4.4.3.3.2.2.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mn id="A4.E226.m1.7.7.4.4.3.3.2.2.1.3" xref="A4.E226.m1.7.7.4.4.3.3.2.2.1.3.cmml">2</mn></msup></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A4.E226.m1.7b"><apply id="A4.E226.m1.7.7.cmml" xref="A4.E226.m1.7.7"><eq id="A4.E226.m1.7.7.5.cmml" xref="A4.E226.m1.7.7.5"></eq><apply id="A4.E226.m1.7.7.6.cmml" xref="A4.E226.m1.7.7.6"><times id="A4.E226.m1.7.7.6.1.cmml" xref="A4.E226.m1.7.7.6.1"></times><apply id="A4.E226.m1.7.7.6.2.cmml" xref="A4.E226.m1.7.7.6.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.E226.m1.7.7.6.2.1.cmml" xref="A4.E226.m1.7.7.6.2">subscript</csymbol><ci id="A4.E226.m1.7.7.6.2.2.cmml" xref="A4.E226.m1.7.7.6.2.2">𝑑</ci><ci id="A4.E226.m1.7.7.6.2.3.cmml" xref="A4.E226.m1.7.7.6.2.3">𝑡</ci></apply><ci id="A4.E226.m1.3.3.cmml" xref="A4.E226.m1.3.3">𝑥</ci></apply><apply id="A4.E226.m1.7.7.4.cmml" xref="A4.E226.m1.7.7.4"><times id="A4.E226.m1.7.7.4.5.cmml" xref="A4.E226.m1.7.7.4.5"></times><apply id="A4.E226.m1.4.4.1.1.cmml" xref="A4.E226.m1.4.4.1.1"><csymbol cd="ambiguous" 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xref="A4.E226.m1.5.5.2.2.1.1.3">𝑘</ci></apply><apply id="A4.E226.m1.2.2.3.cmml" xref="A4.E226.m1.2.2.4"><csymbol cd="latexml" id="A4.E226.m1.2.2.3.1.cmml" xref="A4.E226.m1.2.2.4.1">binomial</csymbol><ci id="A4.E226.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A4.E226.m1.1.1.1.1.1.1">𝑡</ci><ci id="A4.E226.m1.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="A4.E226.m1.2.2.2.2.2.1">𝑘</ci></apply><apply id="A4.E226.m1.7.7.4.4.3.3.cmml" xref="A4.E226.m1.7.7.4.4.3.3"><apply id="A4.E226.m1.7.7.4.4.3.3.3.cmml" xref="A4.E226.m1.7.7.4.4.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.E226.m1.7.7.4.4.3.3.3.1.cmml" xref="A4.E226.m1.7.7.4.4.3.3.3">superscript</csymbol><apply id="A4.E226.m1.7.7.4.4.3.3.3.2.cmml" xref="A4.E226.m1.7.7.4.4.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.E226.m1.7.7.4.4.3.3.3.2.1.cmml" xref="A4.E226.m1.7.7.4.4.3.3.3">subscript</csymbol><csymbol cd="latexml" id="A4.E226.m1.7.7.4.4.3.3.3.2.2.cmml" xref="A4.E226.m1.7.7.4.4.3.3.3.2.2">product</csymbol><apply id="A4.E226.m1.7.7.4.4.3.3.3.2.3.cmml" xref="A4.E226.m1.7.7.4.4.3.3.3.2.3"><eq id="A4.E226.m1.7.7.4.4.3.3.3.2.3.1.cmml" xref="A4.E226.m1.7.7.4.4.3.3.3.2.3.1"></eq><ci id="A4.E226.m1.7.7.4.4.3.3.3.2.3.2.cmml" xref="A4.E226.m1.7.7.4.4.3.3.3.2.3.2">ℓ</ci><apply id="A4.E226.m1.7.7.4.4.3.3.3.2.3.3.cmml" xref="A4.E226.m1.7.7.4.4.3.3.3.2.3.3"><plus id="A4.E226.m1.7.7.4.4.3.3.3.2.3.3.1.cmml" xref="A4.E226.m1.7.7.4.4.3.3.3.2.3.3.1"></plus><ci id="A4.E226.m1.7.7.4.4.3.3.3.2.3.3.2.cmml" xref="A4.E226.m1.7.7.4.4.3.3.3.2.3.3.2">𝑘</ci><cn id="A4.E226.m1.7.7.4.4.3.3.3.2.3.3.3.cmml" type="integer" xref="A4.E226.m1.7.7.4.4.3.3.3.2.3.3.3">1</cn></apply></apply></apply><ci id="A4.E226.m1.7.7.4.4.3.3.3.3.cmml" xref="A4.E226.m1.7.7.4.4.3.3.3.3">𝑡</ci></apply><apply id="A4.E226.m1.7.7.4.4.3.3.2.cmml" xref="A4.E226.m1.7.7.4.4.3.3.2"><times id="A4.E226.m1.7.7.4.4.3.3.2.3.cmml" xref="A4.E226.m1.7.7.4.4.3.3.2.3"></times><apply id="A4.E226.m1.6.6.3.3.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="A4.E226.m1.6.6.3.3.2.2.1.1.1"><plus id="A4.E226.m1.6.6.3.3.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="A4.E226.m1.6.6.3.3.2.2.1.1.1.1.2"></plus><cn id="A4.E226.m1.6.6.3.3.2.2.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A4.E226.m1.6.6.3.3.2.2.1.1.1.1.3">1</cn><apply id="A4.E226.m1.6.6.3.3.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="A4.E226.m1.6.6.3.3.2.2.1.1.1.1.1"><times id="A4.E226.m1.6.6.3.3.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A4.E226.m1.6.6.3.3.2.2.1.1.1.1.1.2"></times><apply id="A4.E226.m1.6.6.3.3.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A4.E226.m1.6.6.3.3.2.2.1.1.1.1.1.1.1"><minus id="A4.E226.m1.6.6.3.3.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A4.E226.m1.6.6.3.3.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><ci id="A4.E226.m1.6.6.3.3.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A4.E226.m1.6.6.3.3.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2">ℓ</ci><cn id="A4.E226.m1.6.6.3.3.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A4.E226.m1.6.6.3.3.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3">1</cn></apply><apply id="A4.E226.m1.6.6.3.3.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A4.E226.m1.6.6.3.3.2.2.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.E226.m1.6.6.3.3.2.2.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A4.E226.m1.6.6.3.3.2.2.1.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="A4.E226.m1.6.6.3.3.2.2.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A4.E226.m1.6.6.3.3.2.2.1.1.1.1.1.3.2">𝑥</ci><cn id="A4.E226.m1.6.6.3.3.2.2.1.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="A4.E226.m1.6.6.3.3.2.2.1.1.1.1.1.3.3">2</cn></apply></apply></apply><apply id="A4.E226.m1.7.7.4.4.3.3.2.2.cmml" xref="A4.E226.m1.7.7.4.4.3.3.2.2"><apply id="A4.E226.m1.7.7.4.4.3.3.2.2.2.cmml" xref="A4.E226.m1.7.7.4.4.3.3.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.E226.m1.7.7.4.4.3.3.2.2.2.1.cmml" xref="A4.E226.m1.7.7.4.4.3.3.2.2.2">superscript</csymbol><apply id="A4.E226.m1.7.7.4.4.3.3.2.2.2.2.cmml" xref="A4.E226.m1.7.7.4.4.3.3.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.E226.m1.7.7.4.4.3.3.2.2.2.2.1.cmml" xref="A4.E226.m1.7.7.4.4.3.3.2.2.2">subscript</csymbol><csymbol cd="latexml" id="A4.E226.m1.7.7.4.4.3.3.2.2.2.2.2.cmml" xref="A4.E226.m1.7.7.4.4.3.3.2.2.2.2.2">product</csymbol><apply id="A4.E226.m1.7.7.4.4.3.3.2.2.2.2.3.cmml" xref="A4.E226.m1.7.7.4.4.3.3.2.2.2.2.3"><eq id="A4.E226.m1.7.7.4.4.3.3.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="A4.E226.m1.7.7.4.4.3.3.2.2.2.2.3.1"></eq><ci id="A4.E226.m1.7.7.4.4.3.3.2.2.2.2.3.2.cmml" xref="A4.E226.m1.7.7.4.4.3.3.2.2.2.2.3.2">ℓ</ci><cn id="A4.E226.m1.7.7.4.4.3.3.2.2.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="A4.E226.m1.7.7.4.4.3.3.2.2.2.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="A4.E226.m1.7.7.4.4.3.3.2.2.2.3.cmml" xref="A4.E226.m1.7.7.4.4.3.3.2.2.2.3">𝑘</ci></apply><apply id="A4.E226.m1.7.7.4.4.3.3.2.2.1.cmml" xref="A4.E226.m1.7.7.4.4.3.3.2.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.E226.m1.7.7.4.4.3.3.2.2.1.2.cmml" xref="A4.E226.m1.7.7.4.4.3.3.2.2.1">superscript</csymbol><apply id="A4.E226.m1.7.7.4.4.3.3.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="A4.E226.m1.7.7.4.4.3.3.2.2.1.1.1"><plus id="A4.E226.m1.7.7.4.4.3.3.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="A4.E226.m1.7.7.4.4.3.3.2.2.1.1.1.1.2"></plus><cn id="A4.E226.m1.7.7.4.4.3.3.2.2.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A4.E226.m1.7.7.4.4.3.3.2.2.1.1.1.1.3">1</cn><apply id="A4.E226.m1.7.7.4.4.3.3.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="A4.E226.m1.7.7.4.4.3.3.2.2.1.1.1.1.1"><times id="A4.E226.m1.7.7.4.4.3.3.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A4.E226.m1.7.7.4.4.3.3.2.2.1.1.1.1.1.2"></times><apply id="A4.E226.m1.7.7.4.4.3.3.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A4.E226.m1.7.7.4.4.3.3.2.2.1.1.1.1.1.1.1"><minus id="A4.E226.m1.7.7.4.4.3.3.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A4.E226.m1.7.7.4.4.3.3.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><ci id="A4.E226.m1.7.7.4.4.3.3.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A4.E226.m1.7.7.4.4.3.3.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2">ℓ</ci><cn id="A4.E226.m1.7.7.4.4.3.3.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A4.E226.m1.7.7.4.4.3.3.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3">1</cn></apply><ci id="A4.E226.m1.7.7.4.4.3.3.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A4.E226.m1.7.7.4.4.3.3.2.2.1.1.1.1.1.3">𝑥</ci></apply></apply><cn id="A4.E226.m1.7.7.4.4.3.3.2.2.1.3.cmml" type="integer" xref="A4.E226.m1.7.7.4.4.3.3.2.2.1.3">2</cn></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A4.E226.m1.7c">\displaystyle d_{t}(x)=(-1)^{t}\sum_{k=0}^{t}(-1)^{k}\binom{t}{k}\prod_{\ell=k% +1}^{t}\big{(}1+(\ell-1)x^{2}\big{)}\prod_{\ell=1}^{k}\big{(}1+(\ell-1)x\big{)% }^{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A4.E226.m1.7d">italic_d start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( italic_x ) = ( - 1 ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_t end_POSTSUPERSCRIPT ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_k = 0 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_t end_POSTSUPERSCRIPT ( - 1 ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_k end_POSTSUPERSCRIPT ( FRACOP start_ARG italic_t end_ARG start_ARG italic_k end_ARG ) ∏ start_POSTSUBSCRIPT roman_ℓ = italic_k + 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_t end_POSTSUPERSCRIPT ( 1 + ( roman_ℓ - 1 ) italic_x start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ) ∏ start_POSTSUBSCRIPT roman_ℓ = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_k end_POSTSUPERSCRIPT ( 1 + ( roman_ℓ - 1 ) italic_x ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(226)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="A4.SS2.1.p1.19">∎</p> </div> </div> </section> <section class="ltx_subsection" id="A4.SS3"> <h3 class="ltx_title ltx_title_subsection"> <span class="ltx_tag ltx_tag_subsection">D.3 </span>Numerical Bound on the Derangement Polynomial (Proof of Lemma <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#Thmtheorem45" title="Lemma 45. ‣ VI.1 Bounds by factorization of 𝐾_𝑚 ‣ VI Bounding the complete derangement block ‣ Conditional 𝑡-independent spectral gap for random quantum circuits and implications for 𝑡-design depths"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">45</span></a>)</h3> <div class="ltx_para" id="A4.SS3.p1"> <p class="ltx_p" id="A4.SS3.p1.5">Using Eq. <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#A4.E226" title="In Proof. ‣ D.2 Product and Matrix Forms ‣ Appendix D Properties of the Derangement Polynomial ‣ Conditional 𝑡-independent spectral gap for random quantum circuits and implications for 𝑡-design depths"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">226</span></a>, we can obtain an exact form of <math alttext="d_{t}(x)" class="ltx_Math" display="inline" id="A4.SS3.p1.1.m1.1"><semantics id="A4.SS3.p1.1.m1.1a"><mrow id="A4.SS3.p1.1.m1.1.2" xref="A4.SS3.p1.1.m1.1.2.cmml"><msub id="A4.SS3.p1.1.m1.1.2.2" xref="A4.SS3.p1.1.m1.1.2.2.cmml"><mi id="A4.SS3.p1.1.m1.1.2.2.2" xref="A4.SS3.p1.1.m1.1.2.2.2.cmml">d</mi><mi id="A4.SS3.p1.1.m1.1.2.2.3" xref="A4.SS3.p1.1.m1.1.2.2.3.cmml">t</mi></msub><mo id="A4.SS3.p1.1.m1.1.2.1" xref="A4.SS3.p1.1.m1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A4.SS3.p1.1.m1.1.2.3.2" xref="A4.SS3.p1.1.m1.1.2.cmml"><mo id="A4.SS3.p1.1.m1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="A4.SS3.p1.1.m1.1.2.cmml">(</mo><mi id="A4.SS3.p1.1.m1.1.1" xref="A4.SS3.p1.1.m1.1.1.cmml">x</mi><mo id="A4.SS3.p1.1.m1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="A4.SS3.p1.1.m1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A4.SS3.p1.1.m1.1b"><apply id="A4.SS3.p1.1.m1.1.2.cmml" xref="A4.SS3.p1.1.m1.1.2"><times id="A4.SS3.p1.1.m1.1.2.1.cmml" xref="A4.SS3.p1.1.m1.1.2.1"></times><apply id="A4.SS3.p1.1.m1.1.2.2.cmml" xref="A4.SS3.p1.1.m1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.SS3.p1.1.m1.1.2.2.1.cmml" xref="A4.SS3.p1.1.m1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="A4.SS3.p1.1.m1.1.2.2.2.cmml" xref="A4.SS3.p1.1.m1.1.2.2.2">𝑑</ci><ci id="A4.SS3.p1.1.m1.1.2.2.3.cmml" xref="A4.SS3.p1.1.m1.1.2.2.3">𝑡</ci></apply><ci id="A4.SS3.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="A4.SS3.p1.1.m1.1.1">𝑥</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A4.SS3.p1.1.m1.1c">d_{t}(x)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A4.SS3.p1.1.m1.1d">italic_d start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( italic_x )</annotation></semantics></math> for very large <math alttext="t" class="ltx_Math" display="inline" id="A4.SS3.p1.2.m2.1"><semantics id="A4.SS3.p1.2.m2.1a"><mi id="A4.SS3.p1.2.m2.1.1" xref="A4.SS3.p1.2.m2.1.1.cmml">t</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A4.SS3.p1.2.m2.1b"><ci id="A4.SS3.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="A4.SS3.p1.2.m2.1.1">𝑡</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A4.SS3.p1.2.m2.1c">t</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A4.SS3.p1.2.m2.1d">italic_t</annotation></semantics></math> values in a time that is only polynomial in <math alttext="t" class="ltx_Math" display="inline" id="A4.SS3.p1.3.m3.1"><semantics id="A4.SS3.p1.3.m3.1a"><mi id="A4.SS3.p1.3.m3.1.1" xref="A4.SS3.p1.3.m3.1.1.cmml">t</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A4.SS3.p1.3.m3.1b"><ci id="A4.SS3.p1.3.m3.1.1.cmml" xref="A4.SS3.p1.3.m3.1.1">𝑡</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A4.SS3.p1.3.m3.1c">t</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A4.SS3.p1.3.m3.1d">italic_t</annotation></semantics></math>. This in turn lets us bound <math alttext="d_{t}(x)" class="ltx_Math" display="inline" id="A4.SS3.p1.4.m4.1"><semantics id="A4.SS3.p1.4.m4.1a"><mrow id="A4.SS3.p1.4.m4.1.2" xref="A4.SS3.p1.4.m4.1.2.cmml"><msub id="A4.SS3.p1.4.m4.1.2.2" xref="A4.SS3.p1.4.m4.1.2.2.cmml"><mi id="A4.SS3.p1.4.m4.1.2.2.2" xref="A4.SS3.p1.4.m4.1.2.2.2.cmml">d</mi><mi id="A4.SS3.p1.4.m4.1.2.2.3" xref="A4.SS3.p1.4.m4.1.2.2.3.cmml">t</mi></msub><mo id="A4.SS3.p1.4.m4.1.2.1" xref="A4.SS3.p1.4.m4.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A4.SS3.p1.4.m4.1.2.3.2" xref="A4.SS3.p1.4.m4.1.2.cmml"><mo id="A4.SS3.p1.4.m4.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="A4.SS3.p1.4.m4.1.2.cmml">(</mo><mi id="A4.SS3.p1.4.m4.1.1" xref="A4.SS3.p1.4.m4.1.1.cmml">x</mi><mo id="A4.SS3.p1.4.m4.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="A4.SS3.p1.4.m4.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A4.SS3.p1.4.m4.1b"><apply id="A4.SS3.p1.4.m4.1.2.cmml" xref="A4.SS3.p1.4.m4.1.2"><times id="A4.SS3.p1.4.m4.1.2.1.cmml" xref="A4.SS3.p1.4.m4.1.2.1"></times><apply id="A4.SS3.p1.4.m4.1.2.2.cmml" xref="A4.SS3.p1.4.m4.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.SS3.p1.4.m4.1.2.2.1.cmml" xref="A4.SS3.p1.4.m4.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="A4.SS3.p1.4.m4.1.2.2.2.cmml" xref="A4.SS3.p1.4.m4.1.2.2.2">𝑑</ci><ci id="A4.SS3.p1.4.m4.1.2.2.3.cmml" xref="A4.SS3.p1.4.m4.1.2.2.3">𝑡</ci></apply><ci id="A4.SS3.p1.4.m4.1.1.cmml" xref="A4.SS3.p1.4.m4.1.1">𝑥</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A4.SS3.p1.4.m4.1c">d_{t}(x)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A4.SS3.p1.4.m4.1d">italic_d start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( italic_x )</annotation></semantics></math> for these <math alttext="t" class="ltx_Math" display="inline" id="A4.SS3.p1.5.m5.1"><semantics id="A4.SS3.p1.5.m5.1a"><mi id="A4.SS3.p1.5.m5.1.1" xref="A4.SS3.p1.5.m5.1.1.cmml">t</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A4.SS3.p1.5.m5.1b"><ci id="A4.SS3.p1.5.m5.1.1.cmml" xref="A4.SS3.p1.5.m5.1.1">𝑡</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A4.SS3.p1.5.m5.1c">t</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A4.SS3.p1.5.m5.1d">italic_t</annotation></semantics></math> values, which allows us to prove Lemma <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#Thmtheorem45" title="Lemma 45. ‣ VI.1 Bounds by factorization of 𝐾_𝑚 ‣ VI Bounding the complete derangement block ‣ Conditional 𝑡-independent spectral gap for random quantum circuits and implications for 𝑡-design depths"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">45</span></a>.</p> </div> <div class="ltx_para" id="A4.SS3.p2"> <p class="ltx_p" id="A4.SS3.p2.6">The minimal degree of <math alttext="d_{t}(x)" class="ltx_Math" display="inline" id="A4.SS3.p2.1.m1.1"><semantics id="A4.SS3.p2.1.m1.1a"><mrow id="A4.SS3.p2.1.m1.1.2" xref="A4.SS3.p2.1.m1.1.2.cmml"><msub id="A4.SS3.p2.1.m1.1.2.2" xref="A4.SS3.p2.1.m1.1.2.2.cmml"><mi id="A4.SS3.p2.1.m1.1.2.2.2" xref="A4.SS3.p2.1.m1.1.2.2.2.cmml">d</mi><mi id="A4.SS3.p2.1.m1.1.2.2.3" xref="A4.SS3.p2.1.m1.1.2.2.3.cmml">t</mi></msub><mo id="A4.SS3.p2.1.m1.1.2.1" xref="A4.SS3.p2.1.m1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A4.SS3.p2.1.m1.1.2.3.2" xref="A4.SS3.p2.1.m1.1.2.cmml"><mo id="A4.SS3.p2.1.m1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="A4.SS3.p2.1.m1.1.2.cmml">(</mo><mi id="A4.SS3.p2.1.m1.1.1" xref="A4.SS3.p2.1.m1.1.1.cmml">x</mi><mo id="A4.SS3.p2.1.m1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="A4.SS3.p2.1.m1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A4.SS3.p2.1.m1.1b"><apply id="A4.SS3.p2.1.m1.1.2.cmml" xref="A4.SS3.p2.1.m1.1.2"><times id="A4.SS3.p2.1.m1.1.2.1.cmml" xref="A4.SS3.p2.1.m1.1.2.1"></times><apply id="A4.SS3.p2.1.m1.1.2.2.cmml" xref="A4.SS3.p2.1.m1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.SS3.p2.1.m1.1.2.2.1.cmml" xref="A4.SS3.p2.1.m1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="A4.SS3.p2.1.m1.1.2.2.2.cmml" xref="A4.SS3.p2.1.m1.1.2.2.2">𝑑</ci><ci id="A4.SS3.p2.1.m1.1.2.2.3.cmml" xref="A4.SS3.p2.1.m1.1.2.2.3">𝑡</ci></apply><ci id="A4.SS3.p2.1.m1.1.1.cmml" xref="A4.SS3.p2.1.m1.1.1">𝑥</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A4.SS3.p2.1.m1.1c">d_{t}(x)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A4.SS3.p2.1.m1.1d">italic_d start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( italic_x )</annotation></semantics></math> must be smallest transposition cost of any derangement <math alttext="\sigma\in S_{t}^{(\mathfrak{D})}" class="ltx_Math" display="inline" id="A4.SS3.p2.2.m2.1"><semantics id="A4.SS3.p2.2.m2.1a"><mrow id="A4.SS3.p2.2.m2.1.2" xref="A4.SS3.p2.2.m2.1.2.cmml"><mi id="A4.SS3.p2.2.m2.1.2.2" xref="A4.SS3.p2.2.m2.1.2.2.cmml">σ</mi><mo id="A4.SS3.p2.2.m2.1.2.1" xref="A4.SS3.p2.2.m2.1.2.1.cmml">∈</mo><msubsup id="A4.SS3.p2.2.m2.1.2.3" xref="A4.SS3.p2.2.m2.1.2.3.cmml"><mi id="A4.SS3.p2.2.m2.1.2.3.2.2" xref="A4.SS3.p2.2.m2.1.2.3.2.2.cmml">S</mi><mi id="A4.SS3.p2.2.m2.1.2.3.2.3" xref="A4.SS3.p2.2.m2.1.2.3.2.3.cmml">t</mi><mrow id="A4.SS3.p2.2.m2.1.1.1.3" xref="A4.SS3.p2.2.m2.1.2.3.cmml"><mo id="A4.SS3.p2.2.m2.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="A4.SS3.p2.2.m2.1.2.3.cmml">(</mo><mi id="A4.SS3.p2.2.m2.1.1.1.1" xref="A4.SS3.p2.2.m2.1.1.1.1.cmml">𝔇</mi><mo id="A4.SS3.p2.2.m2.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="A4.SS3.p2.2.m2.1.2.3.cmml">)</mo></mrow></msubsup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A4.SS3.p2.2.m2.1b"><apply id="A4.SS3.p2.2.m2.1.2.cmml" xref="A4.SS3.p2.2.m2.1.2"><in id="A4.SS3.p2.2.m2.1.2.1.cmml" xref="A4.SS3.p2.2.m2.1.2.1"></in><ci id="A4.SS3.p2.2.m2.1.2.2.cmml" xref="A4.SS3.p2.2.m2.1.2.2">𝜎</ci><apply id="A4.SS3.p2.2.m2.1.2.3.cmml" xref="A4.SS3.p2.2.m2.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.SS3.p2.2.m2.1.2.3.1.cmml" xref="A4.SS3.p2.2.m2.1.2.3">superscript</csymbol><apply id="A4.SS3.p2.2.m2.1.2.3.2.cmml" xref="A4.SS3.p2.2.m2.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.SS3.p2.2.m2.1.2.3.2.1.cmml" xref="A4.SS3.p2.2.m2.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="A4.SS3.p2.2.m2.1.2.3.2.2.cmml" xref="A4.SS3.p2.2.m2.1.2.3.2.2">𝑆</ci><ci id="A4.SS3.p2.2.m2.1.2.3.2.3.cmml" xref="A4.SS3.p2.2.m2.1.2.3.2.3">𝑡</ci></apply><ci id="A4.SS3.p2.2.m2.1.1.1.1.cmml" xref="A4.SS3.p2.2.m2.1.1.1.1">𝔇</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A4.SS3.p2.2.m2.1c">\sigma\in S_{t}^{(\mathfrak{D})}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A4.SS3.p2.2.m2.1d">italic_σ ∈ italic_S start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( fraktur_D ) end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>, i.e. it is <math alttext="\left\lceil\frac{t}{2}\right\rceil" class="ltx_Math" display="inline" id="A4.SS3.p2.3.m3.1"><semantics id="A4.SS3.p2.3.m3.1a"><mrow id="A4.SS3.p2.3.m3.1.2.2" xref="A4.SS3.p2.3.m3.1.2.1.cmml"><mo id="A4.SS3.p2.3.m3.1.2.2.1" xref="A4.SS3.p2.3.m3.1.2.1.1.cmml">⌈</mo><mfrac id="A4.SS3.p2.3.m3.1.1" xref="A4.SS3.p2.3.m3.1.1.cmml"><mi id="A4.SS3.p2.3.m3.1.1.2" xref="A4.SS3.p2.3.m3.1.1.2.cmml">t</mi><mn id="A4.SS3.p2.3.m3.1.1.3" xref="A4.SS3.p2.3.m3.1.1.3.cmml">2</mn></mfrac><mo id="A4.SS3.p2.3.m3.1.2.2.2" xref="A4.SS3.p2.3.m3.1.2.1.1.cmml">⌉</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A4.SS3.p2.3.m3.1b"><apply id="A4.SS3.p2.3.m3.1.2.1.cmml" xref="A4.SS3.p2.3.m3.1.2.2"><ceiling id="A4.SS3.p2.3.m3.1.2.1.1.cmml" xref="A4.SS3.p2.3.m3.1.2.2.1"></ceiling><apply id="A4.SS3.p2.3.m3.1.1.cmml" xref="A4.SS3.p2.3.m3.1.1"><divide id="A4.SS3.p2.3.m3.1.1.1.cmml" xref="A4.SS3.p2.3.m3.1.1"></divide><ci id="A4.SS3.p2.3.m3.1.1.2.cmml" xref="A4.SS3.p2.3.m3.1.1.2">𝑡</ci><cn id="A4.SS3.p2.3.m3.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A4.SS3.p2.3.m3.1.1.3">2</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A4.SS3.p2.3.m3.1c">\left\lceil\frac{t}{2}\right\rceil</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A4.SS3.p2.3.m3.1d">⌈ divide start_ARG italic_t end_ARG start_ARG 2 end_ARG ⌉</annotation></semantics></math>. Next, take <math alttext="x_{0}\equiv t^{-2}\geq x" class="ltx_Math" display="inline" id="A4.SS3.p2.4.m4.1"><semantics id="A4.SS3.p2.4.m4.1a"><mrow id="A4.SS3.p2.4.m4.1.1" xref="A4.SS3.p2.4.m4.1.1.cmml"><msub id="A4.SS3.p2.4.m4.1.1.2" xref="A4.SS3.p2.4.m4.1.1.2.cmml"><mi id="A4.SS3.p2.4.m4.1.1.2.2" xref="A4.SS3.p2.4.m4.1.1.2.2.cmml">x</mi><mn id="A4.SS3.p2.4.m4.1.1.2.3" xref="A4.SS3.p2.4.m4.1.1.2.3.cmml">0</mn></msub><mo id="A4.SS3.p2.4.m4.1.1.3" xref="A4.SS3.p2.4.m4.1.1.3.cmml">≡</mo><msup id="A4.SS3.p2.4.m4.1.1.4" xref="A4.SS3.p2.4.m4.1.1.4.cmml"><mi id="A4.SS3.p2.4.m4.1.1.4.2" xref="A4.SS3.p2.4.m4.1.1.4.2.cmml">t</mi><mrow id="A4.SS3.p2.4.m4.1.1.4.3" xref="A4.SS3.p2.4.m4.1.1.4.3.cmml"><mo id="A4.SS3.p2.4.m4.1.1.4.3a" xref="A4.SS3.p2.4.m4.1.1.4.3.cmml">−</mo><mn id="A4.SS3.p2.4.m4.1.1.4.3.2" xref="A4.SS3.p2.4.m4.1.1.4.3.2.cmml">2</mn></mrow></msup><mo id="A4.SS3.p2.4.m4.1.1.5" xref="A4.SS3.p2.4.m4.1.1.5.cmml">≥</mo><mi id="A4.SS3.p2.4.m4.1.1.6" xref="A4.SS3.p2.4.m4.1.1.6.cmml">x</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A4.SS3.p2.4.m4.1b"><apply id="A4.SS3.p2.4.m4.1.1.cmml" xref="A4.SS3.p2.4.m4.1.1"><and id="A4.SS3.p2.4.m4.1.1a.cmml" xref="A4.SS3.p2.4.m4.1.1"></and><apply id="A4.SS3.p2.4.m4.1.1b.cmml" xref="A4.SS3.p2.4.m4.1.1"><equivalent id="A4.SS3.p2.4.m4.1.1.3.cmml" xref="A4.SS3.p2.4.m4.1.1.3"></equivalent><apply id="A4.SS3.p2.4.m4.1.1.2.cmml" xref="A4.SS3.p2.4.m4.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.SS3.p2.4.m4.1.1.2.1.cmml" xref="A4.SS3.p2.4.m4.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="A4.SS3.p2.4.m4.1.1.2.2.cmml" xref="A4.SS3.p2.4.m4.1.1.2.2">𝑥</ci><cn id="A4.SS3.p2.4.m4.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="A4.SS3.p2.4.m4.1.1.2.3">0</cn></apply><apply id="A4.SS3.p2.4.m4.1.1.4.cmml" xref="A4.SS3.p2.4.m4.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.SS3.p2.4.m4.1.1.4.1.cmml" xref="A4.SS3.p2.4.m4.1.1.4">superscript</csymbol><ci id="A4.SS3.p2.4.m4.1.1.4.2.cmml" xref="A4.SS3.p2.4.m4.1.1.4.2">𝑡</ci><apply id="A4.SS3.p2.4.m4.1.1.4.3.cmml" xref="A4.SS3.p2.4.m4.1.1.4.3"><minus id="A4.SS3.p2.4.m4.1.1.4.3.1.cmml" xref="A4.SS3.p2.4.m4.1.1.4.3"></minus><cn id="A4.SS3.p2.4.m4.1.1.4.3.2.cmml" type="integer" xref="A4.SS3.p2.4.m4.1.1.4.3.2">2</cn></apply></apply></apply><apply id="A4.SS3.p2.4.m4.1.1c.cmml" xref="A4.SS3.p2.4.m4.1.1"><geq id="A4.SS3.p2.4.m4.1.1.5.cmml" xref="A4.SS3.p2.4.m4.1.1.5"></geq><share href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#A4.SS3.p2.4.m4.1.1.4.cmml" id="A4.SS3.p2.4.m4.1.1d.cmml" xref="A4.SS3.p2.4.m4.1.1"></share><ci id="A4.SS3.p2.4.m4.1.1.6.cmml" xref="A4.SS3.p2.4.m4.1.1.6">𝑥</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A4.SS3.p2.4.m4.1c">x_{0}\equiv t^{-2}\geq x</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A4.SS3.p2.4.m4.1d">italic_x start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT ≡ italic_t start_POSTSUPERSCRIPT - 2 end_POSTSUPERSCRIPT ≥ italic_x</annotation></semantics></math>. Because <math alttext="d_{t}(x)" class="ltx_Math" display="inline" id="A4.SS3.p2.5.m5.1"><semantics id="A4.SS3.p2.5.m5.1a"><mrow id="A4.SS3.p2.5.m5.1.2" xref="A4.SS3.p2.5.m5.1.2.cmml"><msub id="A4.SS3.p2.5.m5.1.2.2" xref="A4.SS3.p2.5.m5.1.2.2.cmml"><mi id="A4.SS3.p2.5.m5.1.2.2.2" xref="A4.SS3.p2.5.m5.1.2.2.2.cmml">d</mi><mi id="A4.SS3.p2.5.m5.1.2.2.3" xref="A4.SS3.p2.5.m5.1.2.2.3.cmml">t</mi></msub><mo id="A4.SS3.p2.5.m5.1.2.1" xref="A4.SS3.p2.5.m5.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A4.SS3.p2.5.m5.1.2.3.2" xref="A4.SS3.p2.5.m5.1.2.cmml"><mo id="A4.SS3.p2.5.m5.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="A4.SS3.p2.5.m5.1.2.cmml">(</mo><mi id="A4.SS3.p2.5.m5.1.1" xref="A4.SS3.p2.5.m5.1.1.cmml">x</mi><mo id="A4.SS3.p2.5.m5.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="A4.SS3.p2.5.m5.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A4.SS3.p2.5.m5.1b"><apply id="A4.SS3.p2.5.m5.1.2.cmml" xref="A4.SS3.p2.5.m5.1.2"><times id="A4.SS3.p2.5.m5.1.2.1.cmml" xref="A4.SS3.p2.5.m5.1.2.1"></times><apply id="A4.SS3.p2.5.m5.1.2.2.cmml" xref="A4.SS3.p2.5.m5.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.SS3.p2.5.m5.1.2.2.1.cmml" xref="A4.SS3.p2.5.m5.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="A4.SS3.p2.5.m5.1.2.2.2.cmml" xref="A4.SS3.p2.5.m5.1.2.2.2">𝑑</ci><ci id="A4.SS3.p2.5.m5.1.2.2.3.cmml" xref="A4.SS3.p2.5.m5.1.2.2.3">𝑡</ci></apply><ci id="A4.SS3.p2.5.m5.1.1.cmml" xref="A4.SS3.p2.5.m5.1.1">𝑥</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A4.SS3.p2.5.m5.1c">d_{t}(x)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A4.SS3.p2.5.m5.1d">italic_d start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( italic_x )</annotation></semantics></math>, in its original form (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#A4.E211" title="In Lemma. ‣ D.1 Proof of Lemma 43 ‣ Appendix D Properties of the Derangement Polynomial ‣ Conditional 𝑡-independent spectral gap for random quantum circuits and implications for 𝑡-design depths"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">211</span></a>), is a polynomial with positive coefficients, each term is monotonic in <math alttext="x" class="ltx_Math" display="inline" id="A4.SS3.p2.6.m6.1"><semantics id="A4.SS3.p2.6.m6.1a"><mi id="A4.SS3.p2.6.m6.1.1" xref="A4.SS3.p2.6.m6.1.1.cmml">x</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A4.SS3.p2.6.m6.1b"><ci id="A4.SS3.p2.6.m6.1.1.cmml" xref="A4.SS3.p2.6.m6.1.1">𝑥</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A4.SS3.p2.6.m6.1c">x</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A4.SS3.p2.6.m6.1d">italic_x</annotation></semantics></math>. Therefore,</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="S6.EGx185"> <tbody id="A4.E227"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle d_{t}(x)" class="ltx_Math" display="inline" id="A4.E227.m1.1"><semantics id="A4.E227.m1.1a"><mrow id="A4.E227.m1.1.2" xref="A4.E227.m1.1.2.cmml"><msub id="A4.E227.m1.1.2.2" xref="A4.E227.m1.1.2.2.cmml"><mi id="A4.E227.m1.1.2.2.2" xref="A4.E227.m1.1.2.2.2.cmml">d</mi><mi id="A4.E227.m1.1.2.2.3" xref="A4.E227.m1.1.2.2.3.cmml">t</mi></msub><mo id="A4.E227.m1.1.2.1" xref="A4.E227.m1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A4.E227.m1.1.2.3.2" xref="A4.E227.m1.1.2.cmml"><mo id="A4.E227.m1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="A4.E227.m1.1.2.cmml">(</mo><mi id="A4.E227.m1.1.1" xref="A4.E227.m1.1.1.cmml">x</mi><mo id="A4.E227.m1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="A4.E227.m1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A4.E227.m1.1b"><apply id="A4.E227.m1.1.2.cmml" xref="A4.E227.m1.1.2"><times id="A4.E227.m1.1.2.1.cmml" xref="A4.E227.m1.1.2.1"></times><apply id="A4.E227.m1.1.2.2.cmml" xref="A4.E227.m1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.E227.m1.1.2.2.1.cmml" xref="A4.E227.m1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="A4.E227.m1.1.2.2.2.cmml" xref="A4.E227.m1.1.2.2.2">𝑑</ci><ci id="A4.E227.m1.1.2.2.3.cmml" xref="A4.E227.m1.1.2.2.3">𝑡</ci></apply><ci id="A4.E227.m1.1.1.cmml" xref="A4.E227.m1.1.1">𝑥</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A4.E227.m1.1c">\displaystyle d_{t}(x)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A4.E227.m1.1d">italic_d start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( italic_x )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\leq d_{t}(x_{0})\left(\frac{x}{x_{0}}\right)^{\left\lceil\frac{t% }{2}\right\rceil}" class="ltx_Math" display="inline" id="A4.E227.m2.3"><semantics id="A4.E227.m2.3a"><mrow id="A4.E227.m2.3.3" xref="A4.E227.m2.3.3.cmml"><mi id="A4.E227.m2.3.3.3" xref="A4.E227.m2.3.3.3.cmml"></mi><mo id="A4.E227.m2.3.3.2" xref="A4.E227.m2.3.3.2.cmml">≤</mo><mrow id="A4.E227.m2.3.3.1" xref="A4.E227.m2.3.3.1.cmml"><msub id="A4.E227.m2.3.3.1.3" xref="A4.E227.m2.3.3.1.3.cmml"><mi id="A4.E227.m2.3.3.1.3.2" xref="A4.E227.m2.3.3.1.3.2.cmml">d</mi><mi id="A4.E227.m2.3.3.1.3.3" xref="A4.E227.m2.3.3.1.3.3.cmml">t</mi></msub><mo id="A4.E227.m2.3.3.1.2" xref="A4.E227.m2.3.3.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A4.E227.m2.3.3.1.1.1" xref="A4.E227.m2.3.3.1.1.1.1.cmml"><mo id="A4.E227.m2.3.3.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A4.E227.m2.3.3.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="A4.E227.m2.3.3.1.1.1.1" xref="A4.E227.m2.3.3.1.1.1.1.cmml"><mi id="A4.E227.m2.3.3.1.1.1.1.2" xref="A4.E227.m2.3.3.1.1.1.1.2.cmml">x</mi><mn id="A4.E227.m2.3.3.1.1.1.1.3" xref="A4.E227.m2.3.3.1.1.1.1.3.cmml">0</mn></msub><mo id="A4.E227.m2.3.3.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A4.E227.m2.3.3.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A4.E227.m2.3.3.1.2a" xref="A4.E227.m2.3.3.1.2.cmml">⁢</mo><msup id="A4.E227.m2.3.3.1.4" xref="A4.E227.m2.3.3.1.4.cmml"><mrow id="A4.E227.m2.3.3.1.4.2.2" xref="A4.E227.m2.2.2.cmml"><mo id="A4.E227.m2.3.3.1.4.2.2.1" xref="A4.E227.m2.2.2.cmml">(</mo><mstyle displaystyle="true" id="A4.E227.m2.2.2" xref="A4.E227.m2.2.2.cmml"><mfrac id="A4.E227.m2.2.2a" xref="A4.E227.m2.2.2.cmml"><mi id="A4.E227.m2.2.2.2" xref="A4.E227.m2.2.2.2.cmml">x</mi><msub id="A4.E227.m2.2.2.3" xref="A4.E227.m2.2.2.3.cmml"><mi id="A4.E227.m2.2.2.3.2" xref="A4.E227.m2.2.2.3.2.cmml">x</mi><mn id="A4.E227.m2.2.2.3.3" xref="A4.E227.m2.2.2.3.3.cmml">0</mn></msub></mfrac></mstyle><mo id="A4.E227.m2.3.3.1.4.2.2.2" xref="A4.E227.m2.2.2.cmml">)</mo></mrow><mrow id="A4.E227.m2.1.1.1.3" xref="A4.E227.m2.1.1.1.2.cmml"><mo id="A4.E227.m2.1.1.1.3.1" xref="A4.E227.m2.1.1.1.2.1.cmml">⌈</mo><mfrac id="A4.E227.m2.1.1.1.1" xref="A4.E227.m2.1.1.1.1.cmml"><mi id="A4.E227.m2.1.1.1.1.2" xref="A4.E227.m2.1.1.1.1.2.cmml">t</mi><mn id="A4.E227.m2.1.1.1.1.3" xref="A4.E227.m2.1.1.1.1.3.cmml">2</mn></mfrac><mo id="A4.E227.m2.1.1.1.3.2" xref="A4.E227.m2.1.1.1.2.1.cmml">⌉</mo></mrow></msup></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A4.E227.m2.3b"><apply id="A4.E227.m2.3.3.cmml" xref="A4.E227.m2.3.3"><leq id="A4.E227.m2.3.3.2.cmml" xref="A4.E227.m2.3.3.2"></leq><csymbol cd="latexml" id="A4.E227.m2.3.3.3.cmml" xref="A4.E227.m2.3.3.3">absent</csymbol><apply id="A4.E227.m2.3.3.1.cmml" xref="A4.E227.m2.3.3.1"><times id="A4.E227.m2.3.3.1.2.cmml" xref="A4.E227.m2.3.3.1.2"></times><apply id="A4.E227.m2.3.3.1.3.cmml" xref="A4.E227.m2.3.3.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.E227.m2.3.3.1.3.1.cmml" xref="A4.E227.m2.3.3.1.3">subscript</csymbol><ci id="A4.E227.m2.3.3.1.3.2.cmml" xref="A4.E227.m2.3.3.1.3.2">𝑑</ci><ci id="A4.E227.m2.3.3.1.3.3.cmml" xref="A4.E227.m2.3.3.1.3.3">𝑡</ci></apply><apply id="A4.E227.m2.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="A4.E227.m2.3.3.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.E227.m2.3.3.1.1.1.1.1.cmml" xref="A4.E227.m2.3.3.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="A4.E227.m2.3.3.1.1.1.1.2.cmml" xref="A4.E227.m2.3.3.1.1.1.1.2">𝑥</ci><cn id="A4.E227.m2.3.3.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A4.E227.m2.3.3.1.1.1.1.3">0</cn></apply><apply id="A4.E227.m2.3.3.1.4.cmml" xref="A4.E227.m2.3.3.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.E227.m2.3.3.1.4.1.cmml" xref="A4.E227.m2.3.3.1.4">superscript</csymbol><apply id="A4.E227.m2.2.2.cmml" xref="A4.E227.m2.3.3.1.4.2.2"><divide id="A4.E227.m2.2.2.1.cmml" xref="A4.E227.m2.3.3.1.4.2.2"></divide><ci id="A4.E227.m2.2.2.2.cmml" xref="A4.E227.m2.2.2.2">𝑥</ci><apply id="A4.E227.m2.2.2.3.cmml" xref="A4.E227.m2.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.E227.m2.2.2.3.1.cmml" xref="A4.E227.m2.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="A4.E227.m2.2.2.3.2.cmml" xref="A4.E227.m2.2.2.3.2">𝑥</ci><cn id="A4.E227.m2.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="A4.E227.m2.2.2.3.3">0</cn></apply></apply><apply id="A4.E227.m2.1.1.1.2.cmml" xref="A4.E227.m2.1.1.1.3"><ceiling id="A4.E227.m2.1.1.1.2.1.cmml" xref="A4.E227.m2.1.1.1.3.1"></ceiling><apply id="A4.E227.m2.1.1.1.1.cmml" xref="A4.E227.m2.1.1.1.1"><divide id="A4.E227.m2.1.1.1.1.1.cmml" xref="A4.E227.m2.1.1.1.1"></divide><ci id="A4.E227.m2.1.1.1.1.2.cmml" xref="A4.E227.m2.1.1.1.1.2">𝑡</ci><cn id="A4.E227.m2.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A4.E227.m2.1.1.1.1.3">2</cn></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A4.E227.m2.3c">\displaystyle\leq d_{t}(x_{0})\left(\frac{x}{x_{0}}\right)^{\left\lceil\frac{t% }{2}\right\rceil}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A4.E227.m2.3d">≤ italic_d start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( italic_x start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT ) ( divide start_ARG italic_x end_ARG start_ARG italic_x start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT end_ARG ) start_POSTSUPERSCRIPT ⌈ divide start_ARG italic_t end_ARG start_ARG 2 end_ARG ⌉ end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(227)</span></td> </tr></tbody> <tbody id="A4.E228"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\leq d_{t}(t^{-2})\left(\frac{t}{Q}\right)^{2\left\lceil\frac{t}{% 2}\right\rceil}" class="ltx_Math" display="inline" id="A4.E228.m1.3"><semantics id="A4.E228.m1.3a"><mrow id="A4.E228.m1.3.3" xref="A4.E228.m1.3.3.cmml"><mi id="A4.E228.m1.3.3.3" xref="A4.E228.m1.3.3.3.cmml"></mi><mo id="A4.E228.m1.3.3.2" xref="A4.E228.m1.3.3.2.cmml">≤</mo><mrow id="A4.E228.m1.3.3.1" xref="A4.E228.m1.3.3.1.cmml"><msub id="A4.E228.m1.3.3.1.3" xref="A4.E228.m1.3.3.1.3.cmml"><mi id="A4.E228.m1.3.3.1.3.2" xref="A4.E228.m1.3.3.1.3.2.cmml">d</mi><mi id="A4.E228.m1.3.3.1.3.3" xref="A4.E228.m1.3.3.1.3.3.cmml">t</mi></msub><mo id="A4.E228.m1.3.3.1.2" xref="A4.E228.m1.3.3.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A4.E228.m1.3.3.1.1.1" xref="A4.E228.m1.3.3.1.1.1.1.cmml"><mo id="A4.E228.m1.3.3.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A4.E228.m1.3.3.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="A4.E228.m1.3.3.1.1.1.1" xref="A4.E228.m1.3.3.1.1.1.1.cmml"><mi id="A4.E228.m1.3.3.1.1.1.1.2" xref="A4.E228.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml">t</mi><mrow id="A4.E228.m1.3.3.1.1.1.1.3" xref="A4.E228.m1.3.3.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="A4.E228.m1.3.3.1.1.1.1.3a" xref="A4.E228.m1.3.3.1.1.1.1.3.cmml">−</mo><mn id="A4.E228.m1.3.3.1.1.1.1.3.2" xref="A4.E228.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.cmml">2</mn></mrow></msup><mo id="A4.E228.m1.3.3.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A4.E228.m1.3.3.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A4.E228.m1.3.3.1.2a" xref="A4.E228.m1.3.3.1.2.cmml">⁢</mo><msup id="A4.E228.m1.3.3.1.4" xref="A4.E228.m1.3.3.1.4.cmml"><mrow id="A4.E228.m1.3.3.1.4.2.2" xref="A4.E228.m1.2.2.cmml"><mo id="A4.E228.m1.3.3.1.4.2.2.1" xref="A4.E228.m1.2.2.cmml">(</mo><mstyle displaystyle="true" id="A4.E228.m1.2.2" xref="A4.E228.m1.2.2.cmml"><mfrac id="A4.E228.m1.2.2a" xref="A4.E228.m1.2.2.cmml"><mi id="A4.E228.m1.2.2.2" xref="A4.E228.m1.2.2.2.cmml">t</mi><mi id="A4.E228.m1.2.2.3" xref="A4.E228.m1.2.2.3.cmml">Q</mi></mfrac></mstyle><mo id="A4.E228.m1.3.3.1.4.2.2.2" xref="A4.E228.m1.2.2.cmml">)</mo></mrow><mrow id="A4.E228.m1.1.1.1" xref="A4.E228.m1.1.1.1.cmml"><mn id="A4.E228.m1.1.1.1.3" xref="A4.E228.m1.1.1.1.3.cmml">2</mn><mo id="A4.E228.m1.1.1.1.2" xref="A4.E228.m1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A4.E228.m1.1.1.1.4.2" xref="A4.E228.m1.1.1.1.4.1.cmml"><mo id="A4.E228.m1.1.1.1.4.2.1" xref="A4.E228.m1.1.1.1.4.1.1.cmml">⌈</mo><mfrac id="A4.E228.m1.1.1.1.1" xref="A4.E228.m1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A4.E228.m1.1.1.1.1.2" xref="A4.E228.m1.1.1.1.1.2.cmml">t</mi><mn id="A4.E228.m1.1.1.1.1.3" xref="A4.E228.m1.1.1.1.1.3.cmml">2</mn></mfrac><mo id="A4.E228.m1.1.1.1.4.2.2" xref="A4.E228.m1.1.1.1.4.1.1.cmml">⌉</mo></mrow></mrow></msup></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A4.E228.m1.3b"><apply id="A4.E228.m1.3.3.cmml" xref="A4.E228.m1.3.3"><leq id="A4.E228.m1.3.3.2.cmml" xref="A4.E228.m1.3.3.2"></leq><csymbol cd="latexml" id="A4.E228.m1.3.3.3.cmml" xref="A4.E228.m1.3.3.3">absent</csymbol><apply id="A4.E228.m1.3.3.1.cmml" xref="A4.E228.m1.3.3.1"><times id="A4.E228.m1.3.3.1.2.cmml" xref="A4.E228.m1.3.3.1.2"></times><apply id="A4.E228.m1.3.3.1.3.cmml" xref="A4.E228.m1.3.3.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.E228.m1.3.3.1.3.1.cmml" xref="A4.E228.m1.3.3.1.3">subscript</csymbol><ci id="A4.E228.m1.3.3.1.3.2.cmml" xref="A4.E228.m1.3.3.1.3.2">𝑑</ci><ci id="A4.E228.m1.3.3.1.3.3.cmml" xref="A4.E228.m1.3.3.1.3.3">𝑡</ci></apply><apply id="A4.E228.m1.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="A4.E228.m1.3.3.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.E228.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml" xref="A4.E228.m1.3.3.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="A4.E228.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml" xref="A4.E228.m1.3.3.1.1.1.1.2">𝑡</ci><apply id="A4.E228.m1.3.3.1.1.1.1.3.cmml" xref="A4.E228.m1.3.3.1.1.1.1.3"><minus id="A4.E228.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A4.E228.m1.3.3.1.1.1.1.3"></minus><cn id="A4.E228.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="A4.E228.m1.3.3.1.1.1.1.3.2">2</cn></apply></apply><apply id="A4.E228.m1.3.3.1.4.cmml" xref="A4.E228.m1.3.3.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.E228.m1.3.3.1.4.1.cmml" xref="A4.E228.m1.3.3.1.4">superscript</csymbol><apply id="A4.E228.m1.2.2.cmml" xref="A4.E228.m1.3.3.1.4.2.2"><divide id="A4.E228.m1.2.2.1.cmml" xref="A4.E228.m1.3.3.1.4.2.2"></divide><ci id="A4.E228.m1.2.2.2.cmml" xref="A4.E228.m1.2.2.2">𝑡</ci><ci id="A4.E228.m1.2.2.3.cmml" xref="A4.E228.m1.2.2.3">𝑄</ci></apply><apply id="A4.E228.m1.1.1.1.cmml" xref="A4.E228.m1.1.1.1"><times id="A4.E228.m1.1.1.1.2.cmml" xref="A4.E228.m1.1.1.1.2"></times><cn id="A4.E228.m1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A4.E228.m1.1.1.1.3">2</cn><apply id="A4.E228.m1.1.1.1.4.1.cmml" xref="A4.E228.m1.1.1.1.4.2"><ceiling id="A4.E228.m1.1.1.1.4.1.1.cmml" xref="A4.E228.m1.1.1.1.4.2.1"></ceiling><apply id="A4.E228.m1.1.1.1.1.cmml" xref="A4.E228.m1.1.1.1.1"><divide id="A4.E228.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A4.E228.m1.1.1.1.1"></divide><ci id="A4.E228.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A4.E228.m1.1.1.1.1.2">𝑡</ci><cn id="A4.E228.m1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A4.E228.m1.1.1.1.1.3">2</cn></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A4.E228.m1.3c">\displaystyle\leq d_{t}(t^{-2})\left(\frac{t}{Q}\right)^{2\left\lceil\frac{t}{% 2}\right\rceil}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A4.E228.m1.3d">≤ italic_d start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t start_POSTSUPERSCRIPT - 2 end_POSTSUPERSCRIPT ) ( divide start_ARG italic_t end_ARG start_ARG italic_Q end_ARG ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 ⌈ divide start_ARG italic_t end_ARG start_ARG 2 end_ARG ⌉ end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(228)</span></td> </tr></tbody> </table> </div> <figure class="ltx_figure" id="A4.F6"><svg class="ltx_picture ltx_centering" height="152" id="A4.F6.pic1" overflow="visible" version="1.1" width="240"><g fill="#000000" stroke="#000000" stroke-width="0.4pt" transform="translate(0,152) matrix(1 0 0 -1 0 0) translate(-16.02,0) translate(0,152.28) matrix(1.0 0.0 0.0 1.0 16.02 -152.28)"><foreignobject height="152" overflow="visible" transform="matrix(1 0 0 -1 0 16.6)" width="240"><img alt="Refer to caption" class="ltx_graphics ltx_img_landscape" height="210" id="A4.F6.pic1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.g1" src="x6.png" width="332"/></foreignobject></g></svg> <figcaption class="ltx_caption ltx_centering"><span class="ltx_tag ltx_tag_figure">Figure 6: </span>Bounds on the scaled derangement polynomial <math alttext="q^{2}d_{t}(t^{-2})" class="ltx_Math" display="inline" id="A4.F6.5.m1.1"><semantics id="A4.F6.5.m1.1b"><mrow id="A4.F6.5.m1.1.1" xref="A4.F6.5.m1.1.1.cmml"><msup id="A4.F6.5.m1.1.1.3" xref="A4.F6.5.m1.1.1.3.cmml"><mi id="A4.F6.5.m1.1.1.3.2" xref="A4.F6.5.m1.1.1.3.2.cmml">q</mi><mn id="A4.F6.5.m1.1.1.3.3" xref="A4.F6.5.m1.1.1.3.3.cmml">2</mn></msup><mo id="A4.F6.5.m1.1.1.2" xref="A4.F6.5.m1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="A4.F6.5.m1.1.1.4" xref="A4.F6.5.m1.1.1.4.cmml"><mi id="A4.F6.5.m1.1.1.4.2" xref="A4.F6.5.m1.1.1.4.2.cmml">d</mi><mi id="A4.F6.5.m1.1.1.4.3" xref="A4.F6.5.m1.1.1.4.3.cmml">t</mi></msub><mo id="A4.F6.5.m1.1.1.2b" xref="A4.F6.5.m1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A4.F6.5.m1.1.1.1.1" xref="A4.F6.5.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A4.F6.5.m1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A4.F6.5.m1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="A4.F6.5.m1.1.1.1.1.1" xref="A4.F6.5.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A4.F6.5.m1.1.1.1.1.1.2" xref="A4.F6.5.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">t</mi><mrow id="A4.F6.5.m1.1.1.1.1.1.3" xref="A4.F6.5.m1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="A4.F6.5.m1.1.1.1.1.1.3b" xref="A4.F6.5.m1.1.1.1.1.1.3.cmml">−</mo><mn id="A4.F6.5.m1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A4.F6.5.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">2</mn></mrow></msup><mo id="A4.F6.5.m1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A4.F6.5.m1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A4.F6.5.m1.1c"><apply id="A4.F6.5.m1.1.1.cmml" xref="A4.F6.5.m1.1.1"><times id="A4.F6.5.m1.1.1.2.cmml" xref="A4.F6.5.m1.1.1.2"></times><apply id="A4.F6.5.m1.1.1.3.cmml" xref="A4.F6.5.m1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.F6.5.m1.1.1.3.1.cmml" xref="A4.F6.5.m1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="A4.F6.5.m1.1.1.3.2.cmml" xref="A4.F6.5.m1.1.1.3.2">𝑞</ci><cn id="A4.F6.5.m1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="A4.F6.5.m1.1.1.3.3">2</cn></apply><apply id="A4.F6.5.m1.1.1.4.cmml" xref="A4.F6.5.m1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.F6.5.m1.1.1.4.1.cmml" xref="A4.F6.5.m1.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="A4.F6.5.m1.1.1.4.2.cmml" xref="A4.F6.5.m1.1.1.4.2">𝑑</ci><ci id="A4.F6.5.m1.1.1.4.3.cmml" xref="A4.F6.5.m1.1.1.4.3">𝑡</ci></apply><apply id="A4.F6.5.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A4.F6.5.m1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.F6.5.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A4.F6.5.m1.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="A4.F6.5.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A4.F6.5.m1.1.1.1.1.1.2">𝑡</ci><apply id="A4.F6.5.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A4.F6.5.m1.1.1.1.1.1.3"><minus id="A4.F6.5.m1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A4.F6.5.m1.1.1.1.1.1.3"></minus><cn id="A4.F6.5.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="A4.F6.5.m1.1.1.1.1.1.3.2">2</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A4.F6.5.m1.1d">q^{2}d_{t}(t^{-2})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A4.F6.5.m1.1e">italic_q start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT italic_d start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t start_POSTSUPERSCRIPT - 2 end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math> for different values of <math alttext="t\leq 32" class="ltx_Math" display="inline" id="A4.F6.6.m2.1"><semantics id="A4.F6.6.m2.1b"><mrow id="A4.F6.6.m2.1.1" xref="A4.F6.6.m2.1.1.cmml"><mi id="A4.F6.6.m2.1.1.2" xref="A4.F6.6.m2.1.1.2.cmml">t</mi><mo id="A4.F6.6.m2.1.1.1" xref="A4.F6.6.m2.1.1.1.cmml">≤</mo><mn id="A4.F6.6.m2.1.1.3" xref="A4.F6.6.m2.1.1.3.cmml">32</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A4.F6.6.m2.1c"><apply id="A4.F6.6.m2.1.1.cmml" xref="A4.F6.6.m2.1.1"><leq id="A4.F6.6.m2.1.1.1.cmml" xref="A4.F6.6.m2.1.1.1"></leq><ci id="A4.F6.6.m2.1.1.2.cmml" xref="A4.F6.6.m2.1.1.2">𝑡</ci><cn id="A4.F6.6.m2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A4.F6.6.m2.1.1.3">32</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A4.F6.6.m2.1d">t\leq 32</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A4.F6.6.m2.1e">italic_t ≤ 32</annotation></semantics></math>. The <math alttext="t=7" class="ltx_Math" display="inline" id="A4.F6.7.m3.1"><semantics id="A4.F6.7.m3.1b"><mrow id="A4.F6.7.m3.1.1" xref="A4.F6.7.m3.1.1.cmml"><mi id="A4.F6.7.m3.1.1.2" xref="A4.F6.7.m3.1.1.2.cmml">t</mi><mo id="A4.F6.7.m3.1.1.1" xref="A4.F6.7.m3.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="A4.F6.7.m3.1.1.3" xref="A4.F6.7.m3.1.1.3.cmml">7</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A4.F6.7.m3.1c"><apply id="A4.F6.7.m3.1.1.cmml" xref="A4.F6.7.m3.1.1"><eq id="A4.F6.7.m3.1.1.1.cmml" xref="A4.F6.7.m3.1.1.1"></eq><ci id="A4.F6.7.m3.1.1.2.cmml" xref="A4.F6.7.m3.1.1.2">𝑡</ci><cn id="A4.F6.7.m3.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A4.F6.7.m3.1.1.3">7</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A4.F6.7.m3.1d">t=7</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A4.F6.7.m3.1e">italic_t = 7</annotation></semantics></math> value of <math alttext="0.0496" class="ltx_Math" display="inline" id="A4.F6.8.m4.1"><semantics id="A4.F6.8.m4.1b"><mn id="A4.F6.8.m4.1.1" xref="A4.F6.8.m4.1.1.cmml">0.0496</mn><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A4.F6.8.m4.1c"><cn id="A4.F6.8.m4.1.1.cmml" type="float" xref="A4.F6.8.m4.1.1">0.0496</cn></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A4.F6.8.m4.1d">0.0496</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A4.F6.8.m4.1e">0.0496</annotation></semantics></math> is also given by the orange line.</figcaption> </figure> <div class="ltx_para" id="A4.SS3.p3"> <p class="ltx_p" id="A4.SS3.p3.6">The values of <math alttext="d_{t}(t^{-2})" class="ltx_Math" display="inline" id="A4.SS3.p3.1.m1.1"><semantics id="A4.SS3.p3.1.m1.1a"><mrow id="A4.SS3.p3.1.m1.1.1" xref="A4.SS3.p3.1.m1.1.1.cmml"><msub id="A4.SS3.p3.1.m1.1.1.3" xref="A4.SS3.p3.1.m1.1.1.3.cmml"><mi id="A4.SS3.p3.1.m1.1.1.3.2" xref="A4.SS3.p3.1.m1.1.1.3.2.cmml">d</mi><mi id="A4.SS3.p3.1.m1.1.1.3.3" xref="A4.SS3.p3.1.m1.1.1.3.3.cmml">t</mi></msub><mo id="A4.SS3.p3.1.m1.1.1.2" xref="A4.SS3.p3.1.m1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A4.SS3.p3.1.m1.1.1.1.1" xref="A4.SS3.p3.1.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A4.SS3.p3.1.m1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A4.SS3.p3.1.m1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="A4.SS3.p3.1.m1.1.1.1.1.1" xref="A4.SS3.p3.1.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A4.SS3.p3.1.m1.1.1.1.1.1.2" xref="A4.SS3.p3.1.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">t</mi><mrow id="A4.SS3.p3.1.m1.1.1.1.1.1.3" xref="A4.SS3.p3.1.m1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="A4.SS3.p3.1.m1.1.1.1.1.1.3a" xref="A4.SS3.p3.1.m1.1.1.1.1.1.3.cmml">−</mo><mn id="A4.SS3.p3.1.m1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A4.SS3.p3.1.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">2</mn></mrow></msup><mo id="A4.SS3.p3.1.m1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A4.SS3.p3.1.m1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A4.SS3.p3.1.m1.1b"><apply id="A4.SS3.p3.1.m1.1.1.cmml" xref="A4.SS3.p3.1.m1.1.1"><times id="A4.SS3.p3.1.m1.1.1.2.cmml" xref="A4.SS3.p3.1.m1.1.1.2"></times><apply id="A4.SS3.p3.1.m1.1.1.3.cmml" xref="A4.SS3.p3.1.m1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.SS3.p3.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="A4.SS3.p3.1.m1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A4.SS3.p3.1.m1.1.1.3.2.cmml" xref="A4.SS3.p3.1.m1.1.1.3.2">𝑑</ci><ci id="A4.SS3.p3.1.m1.1.1.3.3.cmml" xref="A4.SS3.p3.1.m1.1.1.3.3">𝑡</ci></apply><apply id="A4.SS3.p3.1.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A4.SS3.p3.1.m1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.SS3.p3.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A4.SS3.p3.1.m1.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="A4.SS3.p3.1.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A4.SS3.p3.1.m1.1.1.1.1.1.2">𝑡</ci><apply id="A4.SS3.p3.1.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A4.SS3.p3.1.m1.1.1.1.1.1.3"><minus id="A4.SS3.p3.1.m1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A4.SS3.p3.1.m1.1.1.1.1.1.3"></minus><cn id="A4.SS3.p3.1.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="A4.SS3.p3.1.m1.1.1.1.1.1.3.2">2</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A4.SS3.p3.1.m1.1c">d_{t}(t^{-2})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A4.SS3.p3.1.m1.1d">italic_d start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t start_POSTSUPERSCRIPT - 2 end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math> for <math alttext="t\leq 32" class="ltx_Math" display="inline" id="A4.SS3.p3.2.m2.1"><semantics id="A4.SS3.p3.2.m2.1a"><mrow id="A4.SS3.p3.2.m2.1.1" xref="A4.SS3.p3.2.m2.1.1.cmml"><mi id="A4.SS3.p3.2.m2.1.1.2" xref="A4.SS3.p3.2.m2.1.1.2.cmml">t</mi><mo id="A4.SS3.p3.2.m2.1.1.1" xref="A4.SS3.p3.2.m2.1.1.1.cmml">≤</mo><mn id="A4.SS3.p3.2.m2.1.1.3" xref="A4.SS3.p3.2.m2.1.1.3.cmml">32</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A4.SS3.p3.2.m2.1b"><apply id="A4.SS3.p3.2.m2.1.1.cmml" xref="A4.SS3.p3.2.m2.1.1"><leq id="A4.SS3.p3.2.m2.1.1.1.cmml" xref="A4.SS3.p3.2.m2.1.1.1"></leq><ci id="A4.SS3.p3.2.m2.1.1.2.cmml" xref="A4.SS3.p3.2.m2.1.1.2">𝑡</ci><cn id="A4.SS3.p3.2.m2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A4.SS3.p3.2.m2.1.1.3">32</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A4.SS3.p3.2.m2.1c">t\leq 32</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A4.SS3.p3.2.m2.1d">italic_t ≤ 32</annotation></semantics></math> are given in Fig. <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#A4.F6" title="Figure 6 ‣ D.3 Numerical Bound on the Derangement Polynomial (Proof of Lemma 45) ‣ Appendix D Properties of the Derangement Polynomial ‣ Conditional 𝑡-independent spectral gap for random quantum circuits and implications for 𝑡-design depths"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">6</span></a>, and monotonically decrease in <math alttext="t" class="ltx_Math" display="inline" id="A4.SS3.p3.3.m3.1"><semantics id="A4.SS3.p3.3.m3.1a"><mi id="A4.SS3.p3.3.m3.1.1" xref="A4.SS3.p3.3.m3.1.1.cmml">t</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A4.SS3.p3.3.m3.1b"><ci id="A4.SS3.p3.3.m3.1.1.cmml" xref="A4.SS3.p3.3.m3.1.1">𝑡</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A4.SS3.p3.3.m3.1c">t</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A4.SS3.p3.3.m3.1d">italic_t</annotation></semantics></math> for <math alttext="t\geq 7" class="ltx_Math" display="inline" id="A4.SS3.p3.4.m4.1"><semantics id="A4.SS3.p3.4.m4.1a"><mrow id="A4.SS3.p3.4.m4.1.1" xref="A4.SS3.p3.4.m4.1.1.cmml"><mi id="A4.SS3.p3.4.m4.1.1.2" xref="A4.SS3.p3.4.m4.1.1.2.cmml">t</mi><mo id="A4.SS3.p3.4.m4.1.1.1" xref="A4.SS3.p3.4.m4.1.1.1.cmml">≥</mo><mn id="A4.SS3.p3.4.m4.1.1.3" xref="A4.SS3.p3.4.m4.1.1.3.cmml">7</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A4.SS3.p3.4.m4.1b"><apply id="A4.SS3.p3.4.m4.1.1.cmml" xref="A4.SS3.p3.4.m4.1.1"><geq id="A4.SS3.p3.4.m4.1.1.1.cmml" xref="A4.SS3.p3.4.m4.1.1.1"></geq><ci id="A4.SS3.p3.4.m4.1.1.2.cmml" xref="A4.SS3.p3.4.m4.1.1.2">𝑡</ci><cn id="A4.SS3.p3.4.m4.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A4.SS3.p3.4.m4.1.1.3">7</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A4.SS3.p3.4.m4.1c">t\geq 7</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A4.SS3.p3.4.m4.1d">italic_t ≥ 7</annotation></semantics></math>. Therefore, we can bound each of their coefficients by the <math alttext="t=7" class="ltx_Math" display="inline" id="A4.SS3.p3.5.m5.1"><semantics id="A4.SS3.p3.5.m5.1a"><mrow id="A4.SS3.p3.5.m5.1.1" xref="A4.SS3.p3.5.m5.1.1.cmml"><mi id="A4.SS3.p3.5.m5.1.1.2" xref="A4.SS3.p3.5.m5.1.1.2.cmml">t</mi><mo id="A4.SS3.p3.5.m5.1.1.1" xref="A4.SS3.p3.5.m5.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="A4.SS3.p3.5.m5.1.1.3" xref="A4.SS3.p3.5.m5.1.1.3.cmml">7</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A4.SS3.p3.5.m5.1b"><apply id="A4.SS3.p3.5.m5.1.1.cmml" xref="A4.SS3.p3.5.m5.1.1"><eq id="A4.SS3.p3.5.m5.1.1.1.cmml" xref="A4.SS3.p3.5.m5.1.1.1"></eq><ci id="A4.SS3.p3.5.m5.1.1.2.cmml" xref="A4.SS3.p3.5.m5.1.1.2">𝑡</ci><cn id="A4.SS3.p3.5.m5.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A4.SS3.p3.5.m5.1.1.3">7</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A4.SS3.p3.5.m5.1c">t=7</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A4.SS3.p3.5.m5.1d">italic_t = 7</annotation></semantics></math> value of <math alttext="1.013\times 10^{-3}" class="ltx_Math" display="inline" id="A4.SS3.p3.6.m6.1"><semantics id="A4.SS3.p3.6.m6.1a"><mrow id="A4.SS3.p3.6.m6.1.1" xref="A4.SS3.p3.6.m6.1.1.cmml"><mn id="A4.SS3.p3.6.m6.1.1.2" xref="A4.SS3.p3.6.m6.1.1.2.cmml">1.013</mn><mo id="A4.SS3.p3.6.m6.1.1.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="A4.SS3.p3.6.m6.1.1.1.cmml">×</mo><msup id="A4.SS3.p3.6.m6.1.1.3" xref="A4.SS3.p3.6.m6.1.1.3.cmml"><mn id="A4.SS3.p3.6.m6.1.1.3.2" xref="A4.SS3.p3.6.m6.1.1.3.2.cmml">10</mn><mrow id="A4.SS3.p3.6.m6.1.1.3.3" xref="A4.SS3.p3.6.m6.1.1.3.3.cmml"><mo id="A4.SS3.p3.6.m6.1.1.3.3a" xref="A4.SS3.p3.6.m6.1.1.3.3.cmml">−</mo><mn id="A4.SS3.p3.6.m6.1.1.3.3.2" xref="A4.SS3.p3.6.m6.1.1.3.3.2.cmml">3</mn></mrow></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A4.SS3.p3.6.m6.1b"><apply id="A4.SS3.p3.6.m6.1.1.cmml" xref="A4.SS3.p3.6.m6.1.1"><times id="A4.SS3.p3.6.m6.1.1.1.cmml" xref="A4.SS3.p3.6.m6.1.1.1"></times><cn id="A4.SS3.p3.6.m6.1.1.2.cmml" type="float" xref="A4.SS3.p3.6.m6.1.1.2">1.013</cn><apply id="A4.SS3.p3.6.m6.1.1.3.cmml" xref="A4.SS3.p3.6.m6.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.SS3.p3.6.m6.1.1.3.1.cmml" xref="A4.SS3.p3.6.m6.1.1.3">superscript</csymbol><cn id="A4.SS3.p3.6.m6.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="A4.SS3.p3.6.m6.1.1.3.2">10</cn><apply id="A4.SS3.p3.6.m6.1.1.3.3.cmml" xref="A4.SS3.p3.6.m6.1.1.3.3"><minus id="A4.SS3.p3.6.m6.1.1.3.3.1.cmml" xref="A4.SS3.p3.6.m6.1.1.3.3"></minus><cn id="A4.SS3.p3.6.m6.1.1.3.3.2.cmml" type="integer" xref="A4.SS3.p3.6.m6.1.1.3.3.2">3</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A4.SS3.p3.6.m6.1c">1.013\times 10^{-3}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A4.SS3.p3.6.m6.1d">1.013 × 10 start_POSTSUPERSCRIPT - 3 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>, giving</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_gather ltx_eqn_table" id="S6.EGx186"> <tbody id="A4.E229"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\displaystyle d_{t}(Q^{-2})\leq 1.013\times 10^{-3}\left(\frac{t}{Q}\right)^{2% \left\lceil\frac{t}{2}\right\rceil}\leq 1.013\times 10^{-3}\left(\frac{t}{q}% \right)^{t}" class="ltx_Math" display="block" id="A4.E229.m1.4"><semantics id="A4.E229.m1.4a"><mrow id="A4.E229.m1.4.4" xref="A4.E229.m1.4.4.cmml"><mrow id="A4.E229.m1.4.4.1" xref="A4.E229.m1.4.4.1.cmml"><msub id="A4.E229.m1.4.4.1.3" xref="A4.E229.m1.4.4.1.3.cmml"><mi id="A4.E229.m1.4.4.1.3.2" xref="A4.E229.m1.4.4.1.3.2.cmml">d</mi><mi id="A4.E229.m1.4.4.1.3.3" xref="A4.E229.m1.4.4.1.3.3.cmml">t</mi></msub><mo id="A4.E229.m1.4.4.1.2" xref="A4.E229.m1.4.4.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A4.E229.m1.4.4.1.1.1" xref="A4.E229.m1.4.4.1.1.1.1.cmml"><mo id="A4.E229.m1.4.4.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A4.E229.m1.4.4.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="A4.E229.m1.4.4.1.1.1.1" xref="A4.E229.m1.4.4.1.1.1.1.cmml"><mi id="A4.E229.m1.4.4.1.1.1.1.2" xref="A4.E229.m1.4.4.1.1.1.1.2.cmml">Q</mi><mrow id="A4.E229.m1.4.4.1.1.1.1.3" xref="A4.E229.m1.4.4.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="A4.E229.m1.4.4.1.1.1.1.3a" xref="A4.E229.m1.4.4.1.1.1.1.3.cmml">−</mo><mn id="A4.E229.m1.4.4.1.1.1.1.3.2" xref="A4.E229.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.cmml">2</mn></mrow></msup><mo id="A4.E229.m1.4.4.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A4.E229.m1.4.4.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A4.E229.m1.4.4.3" xref="A4.E229.m1.4.4.3.cmml">≤</mo><mrow id="A4.E229.m1.4.4.4" xref="A4.E229.m1.4.4.4.cmml"><mrow id="A4.E229.m1.4.4.4.2" xref="A4.E229.m1.4.4.4.2.cmml"><mn id="A4.E229.m1.4.4.4.2.2" xref="A4.E229.m1.4.4.4.2.2.cmml">1.013</mn><mo id="A4.E229.m1.4.4.4.2.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="A4.E229.m1.4.4.4.2.1.cmml">×</mo><msup id="A4.E229.m1.4.4.4.2.3" xref="A4.E229.m1.4.4.4.2.3.cmml"><mn id="A4.E229.m1.4.4.4.2.3.2" xref="A4.E229.m1.4.4.4.2.3.2.cmml">10</mn><mrow id="A4.E229.m1.4.4.4.2.3.3" 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id="A4.E229.m1.1.1.1.4.2.1" xref="A4.E229.m1.1.1.1.4.1.1.cmml">⌈</mo><mfrac id="A4.E229.m1.1.1.1.1" xref="A4.E229.m1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A4.E229.m1.1.1.1.1.2" xref="A4.E229.m1.1.1.1.1.2.cmml">t</mi><mn id="A4.E229.m1.1.1.1.1.3" xref="A4.E229.m1.1.1.1.1.3.cmml">2</mn></mfrac><mo id="A4.E229.m1.1.1.1.4.2.2" xref="A4.E229.m1.1.1.1.4.1.1.cmml">⌉</mo></mrow></mrow></msup></mrow><mo id="A4.E229.m1.4.4.5" xref="A4.E229.m1.4.4.5.cmml">≤</mo><mrow id="A4.E229.m1.4.4.6" xref="A4.E229.m1.4.4.6.cmml"><mrow id="A4.E229.m1.4.4.6.2" xref="A4.E229.m1.4.4.6.2.cmml"><mn id="A4.E229.m1.4.4.6.2.2" xref="A4.E229.m1.4.4.6.2.2.cmml">1.013</mn><mo id="A4.E229.m1.4.4.6.2.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="A4.E229.m1.4.4.6.2.1.cmml">×</mo><msup id="A4.E229.m1.4.4.6.2.3" xref="A4.E229.m1.4.4.6.2.3.cmml"><mn id="A4.E229.m1.4.4.6.2.3.2" xref="A4.E229.m1.4.4.6.2.3.2.cmml">10</mn><mrow id="A4.E229.m1.4.4.6.2.3.3" xref="A4.E229.m1.4.4.6.2.3.3.cmml"><mo id="A4.E229.m1.4.4.6.2.3.3a" 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\right)^{t}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A4.E229.m1.4d">italic_d start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( italic_Q start_POSTSUPERSCRIPT - 2 end_POSTSUPERSCRIPT ) ≤ 1.013 × 10 start_POSTSUPERSCRIPT - 3 end_POSTSUPERSCRIPT ( divide start_ARG italic_t end_ARG start_ARG italic_Q end_ARG ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 ⌈ divide start_ARG italic_t end_ARG start_ARG 2 end_ARG ⌉ end_POSTSUPERSCRIPT ≤ 1.013 × 10 start_POSTSUPERSCRIPT - 3 end_POSTSUPERSCRIPT ( divide start_ARG italic_t end_ARG start_ARG italic_q end_ARG ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_t end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(229)</span></td> </tr></tbody> <tbody id="A4.E230"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\displaystyle q^{2}d_{t}(Q^{-2})\leq 0.0496\left(\frac{t}{q}\right)^{t-2}" class="ltx_Math" display="block" id="A4.E230.m1.2"><semantics id="A4.E230.m1.2a"><mrow id="A4.E230.m1.2.2" xref="A4.E230.m1.2.2.cmml"><mrow id="A4.E230.m1.2.2.1" xref="A4.E230.m1.2.2.1.cmml"><msup id="A4.E230.m1.2.2.1.3" xref="A4.E230.m1.2.2.1.3.cmml"><mi id="A4.E230.m1.2.2.1.3.2" xref="A4.E230.m1.2.2.1.3.2.cmml">q</mi><mn id="A4.E230.m1.2.2.1.3.3" xref="A4.E230.m1.2.2.1.3.3.cmml">2</mn></msup><mo id="A4.E230.m1.2.2.1.2" xref="A4.E230.m1.2.2.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="A4.E230.m1.2.2.1.4" xref="A4.E230.m1.2.2.1.4.cmml"><mi id="A4.E230.m1.2.2.1.4.2" xref="A4.E230.m1.2.2.1.4.2.cmml">d</mi><mi id="A4.E230.m1.2.2.1.4.3" xref="A4.E230.m1.2.2.1.4.3.cmml">t</mi></msub><mo id="A4.E230.m1.2.2.1.2a" xref="A4.E230.m1.2.2.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A4.E230.m1.2.2.1.1.1" xref="A4.E230.m1.2.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="A4.E230.m1.2.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A4.E230.m1.2.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="A4.E230.m1.2.2.1.1.1.1" xref="A4.E230.m1.2.2.1.1.1.1.cmml"><mi id="A4.E230.m1.2.2.1.1.1.1.2" xref="A4.E230.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml">Q</mi><mrow id="A4.E230.m1.2.2.1.1.1.1.3" xref="A4.E230.m1.2.2.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="A4.E230.m1.2.2.1.1.1.1.3a" xref="A4.E230.m1.2.2.1.1.1.1.3.cmml">−</mo><mn id="A4.E230.m1.2.2.1.1.1.1.3.2" xref="A4.E230.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.cmml">2</mn></mrow></msup><mo id="A4.E230.m1.2.2.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A4.E230.m1.2.2.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A4.E230.m1.2.2.2" xref="A4.E230.m1.2.2.2.cmml">≤</mo><mrow id="A4.E230.m1.2.2.3" xref="A4.E230.m1.2.2.3.cmml"><mn id="A4.E230.m1.2.2.3.2" xref="A4.E230.m1.2.2.3.2.cmml">0.0496</mn><mo id="A4.E230.m1.2.2.3.1" xref="A4.E230.m1.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="A4.E230.m1.2.2.3.3" xref="A4.E230.m1.2.2.3.3.cmml"><mrow id="A4.E230.m1.2.2.3.3.2.2" xref="A4.E230.m1.1.1.cmml"><mo id="A4.E230.m1.2.2.3.3.2.2.1" xref="A4.E230.m1.1.1.cmml">(</mo><mfrac id="A4.E230.m1.1.1" xref="A4.E230.m1.1.1.cmml"><mi id="A4.E230.m1.1.1.2" xref="A4.E230.m1.1.1.2.cmml">t</mi><mi id="A4.E230.m1.1.1.3" xref="A4.E230.m1.1.1.3.cmml">q</mi></mfrac><mo id="A4.E230.m1.2.2.3.3.2.2.2" xref="A4.E230.m1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="A4.E230.m1.2.2.3.3.3" xref="A4.E230.m1.2.2.3.3.3.cmml"><mi id="A4.E230.m1.2.2.3.3.3.2" xref="A4.E230.m1.2.2.3.3.3.2.cmml">t</mi><mo id="A4.E230.m1.2.2.3.3.3.1" xref="A4.E230.m1.2.2.3.3.3.1.cmml">−</mo><mn id="A4.E230.m1.2.2.3.3.3.3" xref="A4.E230.m1.2.2.3.3.3.3.cmml">2</mn></mrow></msup></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A4.E230.m1.2b"><apply id="A4.E230.m1.2.2.cmml" xref="A4.E230.m1.2.2"><leq id="A4.E230.m1.2.2.2.cmml" xref="A4.E230.m1.2.2.2"></leq><apply id="A4.E230.m1.2.2.1.cmml" xref="A4.E230.m1.2.2.1"><times id="A4.E230.m1.2.2.1.2.cmml" xref="A4.E230.m1.2.2.1.2"></times><apply id="A4.E230.m1.2.2.1.3.cmml" xref="A4.E230.m1.2.2.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.E230.m1.2.2.1.3.1.cmml" xref="A4.E230.m1.2.2.1.3">superscript</csymbol><ci id="A4.E230.m1.2.2.1.3.2.cmml" xref="A4.E230.m1.2.2.1.3.2">𝑞</ci><cn id="A4.E230.m1.2.2.1.3.3.cmml" type="integer" xref="A4.E230.m1.2.2.1.3.3">2</cn></apply><apply id="A4.E230.m1.2.2.1.4.cmml" xref="A4.E230.m1.2.2.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.E230.m1.2.2.1.4.1.cmml" xref="A4.E230.m1.2.2.1.4">subscript</csymbol><ci id="A4.E230.m1.2.2.1.4.2.cmml" xref="A4.E230.m1.2.2.1.4.2">𝑑</ci><ci id="A4.E230.m1.2.2.1.4.3.cmml" xref="A4.E230.m1.2.2.1.4.3">𝑡</ci></apply><apply id="A4.E230.m1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="A4.E230.m1.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.E230.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="A4.E230.m1.2.2.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="A4.E230.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="A4.E230.m1.2.2.1.1.1.1.2">𝑄</ci><apply id="A4.E230.m1.2.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="A4.E230.m1.2.2.1.1.1.1.3"><minus id="A4.E230.m1.2.2.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A4.E230.m1.2.2.1.1.1.1.3"></minus><cn id="A4.E230.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="A4.E230.m1.2.2.1.1.1.1.3.2">2</cn></apply></apply></apply><apply id="A4.E230.m1.2.2.3.cmml" xref="A4.E230.m1.2.2.3"><times id="A4.E230.m1.2.2.3.1.cmml" xref="A4.E230.m1.2.2.3.1"></times><cn id="A4.E230.m1.2.2.3.2.cmml" type="float" xref="A4.E230.m1.2.2.3.2">0.0496</cn><apply id="A4.E230.m1.2.2.3.3.cmml" xref="A4.E230.m1.2.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.E230.m1.2.2.3.3.1.cmml" xref="A4.E230.m1.2.2.3.3">superscript</csymbol><apply id="A4.E230.m1.1.1.cmml" xref="A4.E230.m1.2.2.3.3.2.2"><divide id="A4.E230.m1.1.1.1.cmml" xref="A4.E230.m1.2.2.3.3.2.2"></divide><ci id="A4.E230.m1.1.1.2.cmml" xref="A4.E230.m1.1.1.2">𝑡</ci><ci id="A4.E230.m1.1.1.3.cmml" xref="A4.E230.m1.1.1.3">𝑞</ci></apply><apply id="A4.E230.m1.2.2.3.3.3.cmml" xref="A4.E230.m1.2.2.3.3.3"><minus id="A4.E230.m1.2.2.3.3.3.1.cmml" xref="A4.E230.m1.2.2.3.3.3.1"></minus><ci id="A4.E230.m1.2.2.3.3.3.2.cmml" xref="A4.E230.m1.2.2.3.3.3.2">𝑡</ci><cn id="A4.E230.m1.2.2.3.3.3.3.cmml" type="integer" xref="A4.E230.m1.2.2.3.3.3.3">2</cn></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A4.E230.m1.2c">\displaystyle q^{2}d_{t}(Q^{-2})\leq 0.0496\left(\frac{t}{q}\right)^{t-2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A4.E230.m1.2d">italic_q start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT italic_d start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( italic_Q start_POSTSUPERSCRIPT - 2 end_POSTSUPERSCRIPT ) ≤ 0.0496 ( divide start_ARG italic_t end_ARG start_ARG italic_q end_ARG ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_t - 2 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(230)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="A4.SS3.p3.8">for all <math alttext="7\leq t\leq 32" class="ltx_Math" display="inline" id="A4.SS3.p3.7.m1.1"><semantics id="A4.SS3.p3.7.m1.1a"><mrow id="A4.SS3.p3.7.m1.1.1" xref="A4.SS3.p3.7.m1.1.1.cmml"><mn id="A4.SS3.p3.7.m1.1.1.2" xref="A4.SS3.p3.7.m1.1.1.2.cmml">7</mn><mo id="A4.SS3.p3.7.m1.1.1.3" xref="A4.SS3.p3.7.m1.1.1.3.cmml">≤</mo><mi id="A4.SS3.p3.7.m1.1.1.4" xref="A4.SS3.p3.7.m1.1.1.4.cmml">t</mi><mo id="A4.SS3.p3.7.m1.1.1.5" xref="A4.SS3.p3.7.m1.1.1.5.cmml">≤</mo><mn id="A4.SS3.p3.7.m1.1.1.6" xref="A4.SS3.p3.7.m1.1.1.6.cmml">32</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A4.SS3.p3.7.m1.1b"><apply id="A4.SS3.p3.7.m1.1.1.cmml" xref="A4.SS3.p3.7.m1.1.1"><and id="A4.SS3.p3.7.m1.1.1a.cmml" xref="A4.SS3.p3.7.m1.1.1"></and><apply id="A4.SS3.p3.7.m1.1.1b.cmml" xref="A4.SS3.p3.7.m1.1.1"><leq id="A4.SS3.p3.7.m1.1.1.3.cmml" xref="A4.SS3.p3.7.m1.1.1.3"></leq><cn id="A4.SS3.p3.7.m1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="A4.SS3.p3.7.m1.1.1.2">7</cn><ci id="A4.SS3.p3.7.m1.1.1.4.cmml" xref="A4.SS3.p3.7.m1.1.1.4">𝑡</ci></apply><apply id="A4.SS3.p3.7.m1.1.1c.cmml" xref="A4.SS3.p3.7.m1.1.1"><leq id="A4.SS3.p3.7.m1.1.1.5.cmml" xref="A4.SS3.p3.7.m1.1.1.5"></leq><share href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#A4.SS3.p3.7.m1.1.1.4.cmml" id="A4.SS3.p3.7.m1.1.1d.cmml" xref="A4.SS3.p3.7.m1.1.1"></share><cn id="A4.SS3.p3.7.m1.1.1.6.cmml" type="integer" xref="A4.SS3.p3.7.m1.1.1.6">32</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A4.SS3.p3.7.m1.1c">7\leq t\leq 32</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A4.SS3.p3.7.m1.1d">7 ≤ italic_t ≤ 32</annotation></semantics></math>. By Lemmas <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#Thmtheorem36" title="Lemma 36. ‣ V.1 Factorization of 𝐾_𝑚 ‣ V Structure of the 3-Site Operator ‣ Conditional 𝑡-independent spectral gap for random quantum circuits and implications for 𝑡-design depths"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">36</span></a> and <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#Thmtheorem42" title="Lemma 42. ‣ VI.1 Bounds by factorization of 𝐾_𝑚 ‣ VI Bounding the complete derangement block ‣ Conditional 𝑡-independent spectral gap for random quantum circuits and implications for 𝑡-design depths"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">42</span></a>, this therefore implies a bound on <math alttext="K_{m}" class="ltx_Math" display="inline" id="A4.SS3.p3.8.m2.1"><semantics id="A4.SS3.p3.8.m2.1a"><msub id="A4.SS3.p3.8.m2.1.1" xref="A4.SS3.p3.8.m2.1.1.cmml"><mi id="A4.SS3.p3.8.m2.1.1.2" xref="A4.SS3.p3.8.m2.1.1.2.cmml">K</mi><mi id="A4.SS3.p3.8.m2.1.1.3" xref="A4.SS3.p3.8.m2.1.1.3.cmml">m</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A4.SS3.p3.8.m2.1b"><apply id="A4.SS3.p3.8.m2.1.1.cmml" xref="A4.SS3.p3.8.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.SS3.p3.8.m2.1.1.1.cmml" xref="A4.SS3.p3.8.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="A4.SS3.p3.8.m2.1.1.2.cmml" xref="A4.SS3.p3.8.m2.1.1.2">𝐾</ci><ci id="A4.SS3.p3.8.m2.1.1.3.cmml" xref="A4.SS3.p3.8.m2.1.1.3">𝑚</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A4.SS3.p3.8.m2.1c">K_{m}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A4.SS3.p3.8.m2.1d">italic_K start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> of</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_gather ltx_eqn_table" id="S6.EGx187"> <tbody id="A4.E231"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\displaystyle\lambda=e^{2}d_{t}(Q^{-2})\leq\frac{0.367}{q^{2}}\left(\frac{t}{q% }\right)^{t-2}" class="ltx_Math" display="block" id="A4.E231.m1.2"><semantics id="A4.E231.m1.2a"><mrow id="A4.E231.m1.2.2" xref="A4.E231.m1.2.2.cmml"><mi id="A4.E231.m1.2.2.3" xref="A4.E231.m1.2.2.3.cmml">λ</mi><mo id="A4.E231.m1.2.2.4" xref="A4.E231.m1.2.2.4.cmml">=</mo><mrow id="A4.E231.m1.2.2.1" xref="A4.E231.m1.2.2.1.cmml"><msup id="A4.E231.m1.2.2.1.3" xref="A4.E231.m1.2.2.1.3.cmml"><mi id="A4.E231.m1.2.2.1.3.2" xref="A4.E231.m1.2.2.1.3.2.cmml">e</mi><mn id="A4.E231.m1.2.2.1.3.3" xref="A4.E231.m1.2.2.1.3.3.cmml">2</mn></msup><mo id="A4.E231.m1.2.2.1.2" xref="A4.E231.m1.2.2.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="A4.E231.m1.2.2.1.4" xref="A4.E231.m1.2.2.1.4.cmml"><mi id="A4.E231.m1.2.2.1.4.2" xref="A4.E231.m1.2.2.1.4.2.cmml">d</mi><mi id="A4.E231.m1.2.2.1.4.3" xref="A4.E231.m1.2.2.1.4.3.cmml">t</mi></msub><mo id="A4.E231.m1.2.2.1.2a" xref="A4.E231.m1.2.2.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A4.E231.m1.2.2.1.1.1" xref="A4.E231.m1.2.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="A4.E231.m1.2.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A4.E231.m1.2.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="A4.E231.m1.2.2.1.1.1.1" xref="A4.E231.m1.2.2.1.1.1.1.cmml"><mi id="A4.E231.m1.2.2.1.1.1.1.2" xref="A4.E231.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml">Q</mi><mrow id="A4.E231.m1.2.2.1.1.1.1.3" xref="A4.E231.m1.2.2.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="A4.E231.m1.2.2.1.1.1.1.3a" xref="A4.E231.m1.2.2.1.1.1.1.3.cmml">−</mo><mn id="A4.E231.m1.2.2.1.1.1.1.3.2" xref="A4.E231.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.cmml">2</mn></mrow></msup><mo id="A4.E231.m1.2.2.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A4.E231.m1.2.2.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A4.E231.m1.2.2.5" xref="A4.E231.m1.2.2.5.cmml">≤</mo><mrow id="A4.E231.m1.2.2.6" xref="A4.E231.m1.2.2.6.cmml"><mfrac id="A4.E231.m1.2.2.6.2" xref="A4.E231.m1.2.2.6.2.cmml"><mn id="A4.E231.m1.2.2.6.2.2" xref="A4.E231.m1.2.2.6.2.2.cmml">0.367</mn><msup id="A4.E231.m1.2.2.6.2.3" xref="A4.E231.m1.2.2.6.2.3.cmml"><mi id="A4.E231.m1.2.2.6.2.3.2" xref="A4.E231.m1.2.2.6.2.3.2.cmml">q</mi><mn id="A4.E231.m1.2.2.6.2.3.3" xref="A4.E231.m1.2.2.6.2.3.3.cmml">2</mn></msup></mfrac><mo id="A4.E231.m1.2.2.6.1" xref="A4.E231.m1.2.2.6.1.cmml">⁢</mo><msup id="A4.E231.m1.2.2.6.3" xref="A4.E231.m1.2.2.6.3.cmml"><mrow id="A4.E231.m1.2.2.6.3.2.2" xref="A4.E231.m1.1.1.cmml"><mo id="A4.E231.m1.2.2.6.3.2.2.1" xref="A4.E231.m1.1.1.cmml">(</mo><mfrac id="A4.E231.m1.1.1" xref="A4.E231.m1.1.1.cmml"><mi id="A4.E231.m1.1.1.2" xref="A4.E231.m1.1.1.2.cmml">t</mi><mi id="A4.E231.m1.1.1.3" xref="A4.E231.m1.1.1.3.cmml">q</mi></mfrac><mo id="A4.E231.m1.2.2.6.3.2.2.2" xref="A4.E231.m1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="A4.E231.m1.2.2.6.3.3" xref="A4.E231.m1.2.2.6.3.3.cmml"><mi id="A4.E231.m1.2.2.6.3.3.2" xref="A4.E231.m1.2.2.6.3.3.2.cmml">t</mi><mo id="A4.E231.m1.2.2.6.3.3.1" xref="A4.E231.m1.2.2.6.3.3.1.cmml">−</mo><mn id="A4.E231.m1.2.2.6.3.3.3" xref="A4.E231.m1.2.2.6.3.3.3.cmml">2</mn></mrow></msup></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A4.E231.m1.2b"><apply id="A4.E231.m1.2.2.cmml" xref="A4.E231.m1.2.2"><and id="A4.E231.m1.2.2a.cmml" xref="A4.E231.m1.2.2"></and><apply id="A4.E231.m1.2.2b.cmml" xref="A4.E231.m1.2.2"><eq id="A4.E231.m1.2.2.4.cmml" xref="A4.E231.m1.2.2.4"></eq><ci id="A4.E231.m1.2.2.3.cmml" xref="A4.E231.m1.2.2.3">𝜆</ci><apply id="A4.E231.m1.2.2.1.cmml" xref="A4.E231.m1.2.2.1"><times id="A4.E231.m1.2.2.1.2.cmml" xref="A4.E231.m1.2.2.1.2"></times><apply id="A4.E231.m1.2.2.1.3.cmml" xref="A4.E231.m1.2.2.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.E231.m1.2.2.1.3.1.cmml" xref="A4.E231.m1.2.2.1.3">superscript</csymbol><ci id="A4.E231.m1.2.2.1.3.2.cmml" xref="A4.E231.m1.2.2.1.3.2">𝑒</ci><cn id="A4.E231.m1.2.2.1.3.3.cmml" type="integer" xref="A4.E231.m1.2.2.1.3.3">2</cn></apply><apply id="A4.E231.m1.2.2.1.4.cmml" xref="A4.E231.m1.2.2.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.E231.m1.2.2.1.4.1.cmml" xref="A4.E231.m1.2.2.1.4">subscript</csymbol><ci id="A4.E231.m1.2.2.1.4.2.cmml" xref="A4.E231.m1.2.2.1.4.2">𝑑</ci><ci id="A4.E231.m1.2.2.1.4.3.cmml" xref="A4.E231.m1.2.2.1.4.3">𝑡</ci></apply><apply id="A4.E231.m1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="A4.E231.m1.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.E231.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="A4.E231.m1.2.2.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="A4.E231.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="A4.E231.m1.2.2.1.1.1.1.2">𝑄</ci><apply id="A4.E231.m1.2.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="A4.E231.m1.2.2.1.1.1.1.3"><minus id="A4.E231.m1.2.2.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A4.E231.m1.2.2.1.1.1.1.3"></minus><cn id="A4.E231.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="A4.E231.m1.2.2.1.1.1.1.3.2">2</cn></apply></apply></apply></apply><apply id="A4.E231.m1.2.2c.cmml" xref="A4.E231.m1.2.2"><leq id="A4.E231.m1.2.2.5.cmml" xref="A4.E231.m1.2.2.5"></leq><share href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#A4.E231.m1.2.2.1.cmml" id="A4.E231.m1.2.2d.cmml" xref="A4.E231.m1.2.2"></share><apply id="A4.E231.m1.2.2.6.cmml" xref="A4.E231.m1.2.2.6"><times id="A4.E231.m1.2.2.6.1.cmml" xref="A4.E231.m1.2.2.6.1"></times><apply id="A4.E231.m1.2.2.6.2.cmml" xref="A4.E231.m1.2.2.6.2"><divide id="A4.E231.m1.2.2.6.2.1.cmml" xref="A4.E231.m1.2.2.6.2"></divide><cn id="A4.E231.m1.2.2.6.2.2.cmml" type="float" xref="A4.E231.m1.2.2.6.2.2">0.367</cn><apply id="A4.E231.m1.2.2.6.2.3.cmml" xref="A4.E231.m1.2.2.6.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.E231.m1.2.2.6.2.3.1.cmml" xref="A4.E231.m1.2.2.6.2.3">superscript</csymbol><ci id="A4.E231.m1.2.2.6.2.3.2.cmml" xref="A4.E231.m1.2.2.6.2.3.2">𝑞</ci><cn id="A4.E231.m1.2.2.6.2.3.3.cmml" type="integer" xref="A4.E231.m1.2.2.6.2.3.3">2</cn></apply></apply><apply id="A4.E231.m1.2.2.6.3.cmml" xref="A4.E231.m1.2.2.6.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.E231.m1.2.2.6.3.1.cmml" xref="A4.E231.m1.2.2.6.3">superscript</csymbol><apply id="A4.E231.m1.1.1.cmml" xref="A4.E231.m1.2.2.6.3.2.2"><divide id="A4.E231.m1.1.1.1.cmml" xref="A4.E231.m1.2.2.6.3.2.2"></divide><ci id="A4.E231.m1.1.1.2.cmml" xref="A4.E231.m1.1.1.2">𝑡</ci><ci id="A4.E231.m1.1.1.3.cmml" xref="A4.E231.m1.1.1.3">𝑞</ci></apply><apply id="A4.E231.m1.2.2.6.3.3.cmml" xref="A4.E231.m1.2.2.6.3.3"><minus id="A4.E231.m1.2.2.6.3.3.1.cmml" xref="A4.E231.m1.2.2.6.3.3.1"></minus><ci id="A4.E231.m1.2.2.6.3.3.2.cmml" xref="A4.E231.m1.2.2.6.3.3.2">𝑡</ci><cn id="A4.E231.m1.2.2.6.3.3.3.cmml" type="integer" xref="A4.E231.m1.2.2.6.3.3.3">2</cn></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A4.E231.m1.2c">\displaystyle\lambda=e^{2}d_{t}(Q^{-2})\leq\frac{0.367}{q^{2}}\left(\frac{t}{q% }\right)^{t-2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A4.E231.m1.2d">italic_λ = italic_e start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT italic_d start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( italic_Q start_POSTSUPERSCRIPT - 2 end_POSTSUPERSCRIPT ) ≤ divide start_ARG 0.367 end_ARG start_ARG italic_q start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG ( divide start_ARG italic_t end_ARG start_ARG italic_q end_ARG ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_t - 2 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(231)</span></td> </tr></tbody> </table> </div> </section> <section class="ltx_subsection" id="A4.SS4"> <h3 class="ltx_title ltx_title_subsection"> <span class="ltx_tag ltx_tag_subsection">D.4 </span>Analytic Bound on the Derangement Polynomial (Proof of Lemma <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#Thmtheorem44" title="Lemma 44. ‣ VI.1 Bounds by factorization of 𝐾_𝑚 ‣ VI Bounding the complete derangement block ‣ Conditional 𝑡-independent spectral gap for random quantum circuits and implications for 𝑡-design depths"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">44</span></a>)</h3> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_lemma" id="Thmlemmax7"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmlemmax7.1.1.1">Lemma</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmlemmax7.2.2">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="Thmlemmax7.p1"> <p class="ltx_p" id="Thmlemmax7.p1.2"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmlemmax7.p1.2.1">(Restatement of Lemma <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#Thmtheorem44" title="Lemma 44. ‣ VI.1 Bounds by factorization of 𝐾_𝑚 ‣ VI Bounding the complete derangement block ‣ Conditional 𝑡-independent spectral gap for random quantum circuits and implications for 𝑡-design depths"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">44</span></a>) We have</span></p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_gather ltx_eqn_table" id="S6.EGx188"> <tbody id="A4.E232"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\displaystyle d_{t}(q^{-2})\leq\frac{1}{2}\frac{e^{\frac{t(t-1)}{2q^{4}}}}{2}% \left(\frac{t}{q}\right)^{t}\left[\left(\frac{1}{2}+\frac{3}{t}\right)^{t}+% \left(\frac{4}{\sqrt{t}}\right)^{t}\right]" class="ltx_Math" display="block" id="A4.E232.m1.5"><semantics id="A4.E232.m1.5a"><mrow id="A4.E232.m1.5.5" xref="A4.E232.m1.5.5.cmml"><mrow id="A4.E232.m1.4.4.1" xref="A4.E232.m1.4.4.1.cmml"><msub id="A4.E232.m1.4.4.1.3" xref="A4.E232.m1.4.4.1.3.cmml"><mi id="A4.E232.m1.4.4.1.3.2" xref="A4.E232.m1.4.4.1.3.2.cmml">d</mi><mi id="A4.E232.m1.4.4.1.3.3" xref="A4.E232.m1.4.4.1.3.3.cmml">t</mi></msub><mo id="A4.E232.m1.4.4.1.2" xref="A4.E232.m1.4.4.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A4.E232.m1.4.4.1.1.1" xref="A4.E232.m1.4.4.1.1.1.1.cmml"><mo id="A4.E232.m1.4.4.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A4.E232.m1.4.4.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="A4.E232.m1.4.4.1.1.1.1" xref="A4.E232.m1.4.4.1.1.1.1.cmml"><mi id="A4.E232.m1.4.4.1.1.1.1.2" xref="A4.E232.m1.4.4.1.1.1.1.2.cmml">q</mi><mrow id="A4.E232.m1.4.4.1.1.1.1.3" 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xref="A4.E232.m1.5.5.2.1.1.1.1.1.1.1.1"></plus><apply id="A4.E232.m1.5.5.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A4.E232.m1.5.5.2.1.1.1.1.1.1.1.2"><divide id="A4.E232.m1.5.5.2.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A4.E232.m1.5.5.2.1.1.1.1.1.1.1.2"></divide><cn id="A4.E232.m1.5.5.2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" type="integer" xref="A4.E232.m1.5.5.2.1.1.1.1.1.1.1.2.2">1</cn><cn id="A4.E232.m1.5.5.2.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="A4.E232.m1.5.5.2.1.1.1.1.1.1.1.2.3">2</cn></apply><apply id="A4.E232.m1.5.5.2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A4.E232.m1.5.5.2.1.1.1.1.1.1.1.3"><divide id="A4.E232.m1.5.5.2.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A4.E232.m1.5.5.2.1.1.1.1.1.1.1.3"></divide><cn id="A4.E232.m1.5.5.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="A4.E232.m1.5.5.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2">3</cn><ci id="A4.E232.m1.5.5.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A4.E232.m1.5.5.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑡</ci></apply></apply><ci id="A4.E232.m1.5.5.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="A4.E232.m1.5.5.2.1.1.1.1.3">𝑡</ci></apply><apply id="A4.E232.m1.5.5.2.1.1.1.3.cmml" xref="A4.E232.m1.5.5.2.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.E232.m1.5.5.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="A4.E232.m1.5.5.2.1.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="A4.E232.m1.3.3.cmml" xref="A4.E232.m1.5.5.2.1.1.1.3.2.2"><divide id="A4.E232.m1.3.3.1.cmml" xref="A4.E232.m1.5.5.2.1.1.1.3.2.2"></divide><cn id="A4.E232.m1.3.3.2.cmml" type="integer" xref="A4.E232.m1.3.3.2">4</cn><apply id="A4.E232.m1.3.3.3.cmml" xref="A4.E232.m1.3.3.3"><root id="A4.E232.m1.3.3.3a.cmml" xref="A4.E232.m1.3.3.3"></root><ci id="A4.E232.m1.3.3.3.2.cmml" xref="A4.E232.m1.3.3.3.2">𝑡</ci></apply></apply><ci id="A4.E232.m1.5.5.2.1.1.1.3.3.cmml" xref="A4.E232.m1.5.5.2.1.1.1.3.3">𝑡</ci></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A4.E232.m1.5c">\displaystyle d_{t}(q^{-2})\leq\frac{1}{2}\frac{e^{\frac{t(t-1)}{2q^{4}}}}{2}% \left(\frac{t}{q}\right)^{t}\left[\left(\frac{1}{2}+\frac{3}{t}\right)^{t}+% \left(\frac{4}{\sqrt{t}}\right)^{t}\right]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A4.E232.m1.5d">italic_d start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( italic_q start_POSTSUPERSCRIPT - 2 end_POSTSUPERSCRIPT ) ≤ divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 end_ARG divide start_ARG italic_e start_POSTSUPERSCRIPT divide start_ARG italic_t ( italic_t - 1 ) end_ARG start_ARG 2 italic_q start_POSTSUPERSCRIPT 4 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG 2 end_ARG ( divide start_ARG italic_t end_ARG start_ARG italic_q end_ARG ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_t end_POSTSUPERSCRIPT [ ( divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 end_ARG + divide start_ARG 3 end_ARG start_ARG italic_t end_ARG ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_t end_POSTSUPERSCRIPT + ( divide start_ARG 4 end_ARG start_ARG square-root start_ARG italic_t end_ARG end_ARG ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_t end_POSTSUPERSCRIPT ]</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(232)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="Thmlemmax7.p1.1"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmlemmax7.p1.1.1">Furthermore, when <math alttext="t\leq q" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmlemmax7.p1.1.1.m1.1"><semantics id="Thmlemmax7.p1.1.1.m1.1a"><mrow id="Thmlemmax7.p1.1.1.m1.1.1" xref="Thmlemmax7.p1.1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="Thmlemmax7.p1.1.1.m1.1.1.2" xref="Thmlemmax7.p1.1.1.m1.1.1.2.cmml">t</mi><mo id="Thmlemmax7.p1.1.1.m1.1.1.1" xref="Thmlemmax7.p1.1.1.m1.1.1.1.cmml">≤</mo><mi id="Thmlemmax7.p1.1.1.m1.1.1.3" xref="Thmlemmax7.p1.1.1.m1.1.1.3.cmml">q</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmlemmax7.p1.1.1.m1.1b"><apply id="Thmlemmax7.p1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="Thmlemmax7.p1.1.1.m1.1.1"><leq id="Thmlemmax7.p1.1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="Thmlemmax7.p1.1.1.m1.1.1.1"></leq><ci id="Thmlemmax7.p1.1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="Thmlemmax7.p1.1.1.m1.1.1.2">𝑡</ci><ci id="Thmlemmax7.p1.1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="Thmlemmax7.p1.1.1.m1.1.1.3">𝑞</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmlemmax7.p1.1.1.m1.1c">t\leq q</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmlemmax7.p1.1.1.m1.1d">italic_t ≤ italic_q</annotation></semantics></math>, this bound can be simplified to</span></p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_gather ltx_eqn_table" id="S6.EGx189"> <tbody id="A4.E233"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\displaystyle d_{t}(q^{-2})\leq\frac{t^{2}}{2}e^{\frac{1}{2t^{2}}}\left[\left(% \frac{1}{2}+\frac{3}{t}\right)^{t}+\left(\frac{4}{\sqrt{t}}\right)^{t}\right]% \frac{1}{q^{2}}" class="ltx_Math" display="block" id="A4.E233.m1.3"><semantics id="A4.E233.m1.3a"><mrow id="A4.E233.m1.3.3" xref="A4.E233.m1.3.3.cmml"><mrow id="A4.E233.m1.2.2.1" xref="A4.E233.m1.2.2.1.cmml"><msub id="A4.E233.m1.2.2.1.3" xref="A4.E233.m1.2.2.1.3.cmml"><mi id="A4.E233.m1.2.2.1.3.2" xref="A4.E233.m1.2.2.1.3.2.cmml">d</mi><mi id="A4.E233.m1.2.2.1.3.3" xref="A4.E233.m1.2.2.1.3.3.cmml">t</mi></msub><mo id="A4.E233.m1.2.2.1.2" xref="A4.E233.m1.2.2.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A4.E233.m1.2.2.1.1.1" xref="A4.E233.m1.2.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="A4.E233.m1.2.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A4.E233.m1.2.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="A4.E233.m1.2.2.1.1.1.1" xref="A4.E233.m1.2.2.1.1.1.1.cmml"><mi id="A4.E233.m1.2.2.1.1.1.1.2" xref="A4.E233.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml">q</mi><mrow id="A4.E233.m1.2.2.1.1.1.1.3" xref="A4.E233.m1.2.2.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="A4.E233.m1.2.2.1.1.1.1.3a" xref="A4.E233.m1.2.2.1.1.1.1.3.cmml">−</mo><mn id="A4.E233.m1.2.2.1.1.1.1.3.2" xref="A4.E233.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.cmml">2</mn></mrow></msup><mo id="A4.E233.m1.2.2.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A4.E233.m1.2.2.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A4.E233.m1.3.3.3" xref="A4.E233.m1.3.3.3.cmml">≤</mo><mrow id="A4.E233.m1.3.3.2" xref="A4.E233.m1.3.3.2.cmml"><mfrac id="A4.E233.m1.3.3.2.3" xref="A4.E233.m1.3.3.2.3.cmml"><msup id="A4.E233.m1.3.3.2.3.2" xref="A4.E233.m1.3.3.2.3.2.cmml"><mi id="A4.E233.m1.3.3.2.3.2.2" xref="A4.E233.m1.3.3.2.3.2.2.cmml">t</mi><mn id="A4.E233.m1.3.3.2.3.2.3" xref="A4.E233.m1.3.3.2.3.2.3.cmml">2</mn></msup><mn id="A4.E233.m1.3.3.2.3.3" xref="A4.E233.m1.3.3.2.3.3.cmml">2</mn></mfrac><mo id="A4.E233.m1.3.3.2.2" xref="A4.E233.m1.3.3.2.2.cmml">⁢</mo><msup id="A4.E233.m1.3.3.2.4" xref="A4.E233.m1.3.3.2.4.cmml"><mi id="A4.E233.m1.3.3.2.4.2" xref="A4.E233.m1.3.3.2.4.2.cmml">e</mi><mfrac id="A4.E233.m1.3.3.2.4.3" xref="A4.E233.m1.3.3.2.4.3.cmml"><mn id="A4.E233.m1.3.3.2.4.3.2" xref="A4.E233.m1.3.3.2.4.3.2.cmml">1</mn><mrow id="A4.E233.m1.3.3.2.4.3.3" xref="A4.E233.m1.3.3.2.4.3.3.cmml"><mn id="A4.E233.m1.3.3.2.4.3.3.2" xref="A4.E233.m1.3.3.2.4.3.3.2.cmml">2</mn><mo id="A4.E233.m1.3.3.2.4.3.3.1" xref="A4.E233.m1.3.3.2.4.3.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="A4.E233.m1.3.3.2.4.3.3.3" xref="A4.E233.m1.3.3.2.4.3.3.3.cmml"><mi id="A4.E233.m1.3.3.2.4.3.3.3.2" xref="A4.E233.m1.3.3.2.4.3.3.3.2.cmml">t</mi><mn id="A4.E233.m1.3.3.2.4.3.3.3.3" xref="A4.E233.m1.3.3.2.4.3.3.3.3.cmml">2</mn></msup></mrow></mfrac></msup><mo id="A4.E233.m1.3.3.2.2a" xref="A4.E233.m1.3.3.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A4.E233.m1.3.3.2.1.1" xref="A4.E233.m1.3.3.2.1.2.cmml"><mo id="A4.E233.m1.3.3.2.1.1.2" xref="A4.E233.m1.3.3.2.1.2.1.cmml">[</mo><mrow id="A4.E233.m1.3.3.2.1.1.1" xref="A4.E233.m1.3.3.2.1.1.1.cmml"><msup id="A4.E233.m1.3.3.2.1.1.1.1" xref="A4.E233.m1.3.3.2.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A4.E233.m1.3.3.2.1.1.1.1.1.1" xref="A4.E233.m1.3.3.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A4.E233.m1.3.3.2.1.1.1.1.1.1.2" xref="A4.E233.m1.3.3.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A4.E233.m1.3.3.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="A4.E233.m1.3.3.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mfrac id="A4.E233.m1.3.3.2.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A4.E233.m1.3.3.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mn id="A4.E233.m1.3.3.2.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="A4.E233.m1.3.3.2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">1</mn><mn id="A4.E233.m1.3.3.2.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="A4.E233.m1.3.3.2.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">2</mn></mfrac><mo id="A4.E233.m1.3.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A4.E233.m1.3.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mfrac id="A4.E233.m1.3.3.2.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A4.E233.m1.3.3.2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mn id="A4.E233.m1.3.3.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A4.E233.m1.3.3.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">3</mn><mi id="A4.E233.m1.3.3.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A4.E233.m1.3.3.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">t</mi></mfrac></mrow><mo id="A4.E233.m1.3.3.2.1.1.1.1.1.1.3" xref="A4.E233.m1.3.3.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mi id="A4.E233.m1.3.3.2.1.1.1.1.3" xref="A4.E233.m1.3.3.2.1.1.1.1.3.cmml">t</mi></msup><mo id="A4.E233.m1.3.3.2.1.1.1.2" xref="A4.E233.m1.3.3.2.1.1.1.2.cmml">+</mo><msup id="A4.E233.m1.3.3.2.1.1.1.3" xref="A4.E233.m1.3.3.2.1.1.1.3.cmml"><mrow id="A4.E233.m1.3.3.2.1.1.1.3.2.2" xref="A4.E233.m1.1.1.cmml"><mo id="A4.E233.m1.3.3.2.1.1.1.3.2.2.1" xref="A4.E233.m1.1.1.cmml">(</mo><mfrac id="A4.E233.m1.1.1" xref="A4.E233.m1.1.1.cmml"><mn id="A4.E233.m1.1.1.2" xref="A4.E233.m1.1.1.2.cmml">4</mn><msqrt id="A4.E233.m1.1.1.3" xref="A4.E233.m1.1.1.3.cmml"><mi id="A4.E233.m1.1.1.3.2" xref="A4.E233.m1.1.1.3.2.cmml">t</mi></msqrt></mfrac><mo id="A4.E233.m1.3.3.2.1.1.1.3.2.2.2" xref="A4.E233.m1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mi id="A4.E233.m1.3.3.2.1.1.1.3.3" xref="A4.E233.m1.3.3.2.1.1.1.3.3.cmml">t</mi></msup></mrow><mo id="A4.E233.m1.3.3.2.1.1.3" xref="A4.E233.m1.3.3.2.1.2.1.cmml">]</mo></mrow><mo id="A4.E233.m1.3.3.2.2b" xref="A4.E233.m1.3.3.2.2.cmml">⁢</mo><mfrac id="A4.E233.m1.3.3.2.5" xref="A4.E233.m1.3.3.2.5.cmml"><mn id="A4.E233.m1.3.3.2.5.2" xref="A4.E233.m1.3.3.2.5.2.cmml">1</mn><msup id="A4.E233.m1.3.3.2.5.3" xref="A4.E233.m1.3.3.2.5.3.cmml"><mi id="A4.E233.m1.3.3.2.5.3.2" 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start_POSTSUPERSCRIPT italic_t end_POSTSUPERSCRIPT + ( divide start_ARG 4 end_ARG start_ARG square-root start_ARG italic_t end_ARG end_ARG ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_t end_POSTSUPERSCRIPT ] divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_q start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(233)</span></td> </tr></tbody> </table> </div> </div> <div class="ltx_para" id="A4.SS4.p1"> <p class="ltx_p" id="A4.SS4.p1.1">We will need several intermediate results before we are ready to prove Lemma <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#Thmtheorem44" title="Lemma 44. ‣ VI.1 Bounds by factorization of 𝐾_𝑚 ‣ VI Bounding the complete derangement block ‣ Conditional 𝑡-independent spectral gap for random quantum circuits and implications for 𝑡-design depths"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">44</span></a>.</p> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_lemma" id="Thmtheorem61"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmtheorem61.1.1.1">Lemma 61</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmtheorem61.2.2">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="Thmtheorem61.p1"> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_gather ltx_eqn_table" id="S6.EGx190"> <tbody id="A4.E234"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\displaystyle d_{t}(x)=c_{t}(x^{2})\hat{e}_{0}^{T}\left(\Delta+TG(x)\right)^{t% }\vec{u}" class="ltx_Math" display="block" id="A4.E234.m1.4"><semantics id="A4.E234.m1.4a"><mrow id="A4.E234.m1.4.4" xref="A4.E234.m1.4.4.cmml"><mrow id="A4.E234.m1.4.4.4" xref="A4.E234.m1.4.4.4.cmml"><msub id="A4.E234.m1.4.4.4.2" 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xref="A4.E234.m1.4.4.2.3.cmml">⁢</mo><msup id="A4.E234.m1.4.4.2.2" xref="A4.E234.m1.4.4.2.2.cmml"><mrow id="A4.E234.m1.4.4.2.2.1.1" xref="A4.E234.m1.4.4.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="A4.E234.m1.4.4.2.2.1.1.2" xref="A4.E234.m1.4.4.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A4.E234.m1.4.4.2.2.1.1.1" xref="A4.E234.m1.4.4.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="A4.E234.m1.4.4.2.2.1.1.1.2" mathvariant="normal" xref="A4.E234.m1.4.4.2.2.1.1.1.2.cmml">Δ</mi><mo id="A4.E234.m1.4.4.2.2.1.1.1.1" xref="A4.E234.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="A4.E234.m1.4.4.2.2.1.1.1.3" xref="A4.E234.m1.4.4.2.2.1.1.1.3.cmml"><mi id="A4.E234.m1.4.4.2.2.1.1.1.3.2" xref="A4.E234.m1.4.4.2.2.1.1.1.3.2.cmml">T</mi><mo id="A4.E234.m1.4.4.2.2.1.1.1.3.1" xref="A4.E234.m1.4.4.2.2.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A4.E234.m1.4.4.2.2.1.1.1.3.3" xref="A4.E234.m1.4.4.2.2.1.1.1.3.3.cmml">G</mi><mo id="A4.E234.m1.4.4.2.2.1.1.1.3.1a" xref="A4.E234.m1.4.4.2.2.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A4.E234.m1.4.4.2.2.1.1.1.3.4.2" 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id="A4.E234.m1.4.4.2.5.3.cmml" xref="A4.E234.m1.4.4.2.5.3">𝑇</ci></apply><apply id="A4.E234.m1.4.4.2.2.cmml" xref="A4.E234.m1.4.4.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.E234.m1.4.4.2.2.2.cmml" xref="A4.E234.m1.4.4.2.2">superscript</csymbol><apply id="A4.E234.m1.4.4.2.2.1.1.1.cmml" xref="A4.E234.m1.4.4.2.2.1.1"><plus id="A4.E234.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="A4.E234.m1.4.4.2.2.1.1.1.1"></plus><ci id="A4.E234.m1.4.4.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="A4.E234.m1.4.4.2.2.1.1.1.2">Δ</ci><apply id="A4.E234.m1.4.4.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="A4.E234.m1.4.4.2.2.1.1.1.3"><times id="A4.E234.m1.4.4.2.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="A4.E234.m1.4.4.2.2.1.1.1.3.1"></times><ci id="A4.E234.m1.4.4.2.2.1.1.1.3.2.cmml" xref="A4.E234.m1.4.4.2.2.1.1.1.3.2">𝑇</ci><ci id="A4.E234.m1.4.4.2.2.1.1.1.3.3.cmml" xref="A4.E234.m1.4.4.2.2.1.1.1.3.3">𝐺</ci><ci id="A4.E234.m1.2.2.cmml" xref="A4.E234.m1.2.2">𝑥</ci></apply></apply><ci id="A4.E234.m1.4.4.2.2.3.cmml" xref="A4.E234.m1.4.4.2.2.3">𝑡</ci></apply><apply id="A4.E234.m1.4.4.2.6.cmml" 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ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(234)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="Thmtheorem61.p1.2"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmtheorem61.p1.2.2">where <math alttext="\{\hat{e}_{i}\}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem61.p1.1.1.m1.1"><semantics id="Thmtheorem61.p1.1.1.m1.1a"><mrow id="Thmtheorem61.p1.1.1.m1.1.1.1" xref="Thmtheorem61.p1.1.1.m1.1.1.2.cmml"><mo id="Thmtheorem61.p1.1.1.m1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="Thmtheorem61.p1.1.1.m1.1.1.2.cmml">{</mo><msub id="Thmtheorem61.p1.1.1.m1.1.1.1.1" xref="Thmtheorem61.p1.1.1.m1.1.1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="Thmtheorem61.p1.1.1.m1.1.1.1.1.2" xref="Thmtheorem61.p1.1.1.m1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="Thmtheorem61.p1.1.1.m1.1.1.1.1.2.2" xref="Thmtheorem61.p1.1.1.m1.1.1.1.1.2.2.cmml">e</mi><mo id="Thmtheorem61.p1.1.1.m1.1.1.1.1.2.1" xref="Thmtheorem61.p1.1.1.m1.1.1.1.1.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="Thmtheorem61.p1.1.1.m1.1.1.1.1.3" xref="Thmtheorem61.p1.1.1.m1.1.1.1.1.3.cmml">i</mi></msub><mo id="Thmtheorem61.p1.1.1.m1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="Thmtheorem61.p1.1.1.m1.1.1.2.cmml">}</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem61.p1.1.1.m1.1b"><set id="Thmtheorem61.p1.1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="Thmtheorem61.p1.1.1.m1.1.1.1"><apply id="Thmtheorem61.p1.1.1.m1.1.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem61.p1.1.1.m1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem61.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem61.p1.1.1.m1.1.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="Thmtheorem61.p1.1.1.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="Thmtheorem61.p1.1.1.m1.1.1.1.1.2"><ci id="Thmtheorem61.p1.1.1.m1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="Thmtheorem61.p1.1.1.m1.1.1.1.1.2.1">^</ci><ci id="Thmtheorem61.p1.1.1.m1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="Thmtheorem61.p1.1.1.m1.1.1.1.1.2.2">𝑒</ci></apply><ci id="Thmtheorem61.p1.1.1.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="Thmtheorem61.p1.1.1.m1.1.1.1.1.3">𝑖</ci></apply></set></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem61.p1.1.1.m1.1c">\{\hat{e}_{i}\}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem61.p1.1.1.m1.1d">{ over^ start_ARG italic_e end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT }</annotation></semantics></math> is the standard basis for <math alttext="\mathbb{R}^{t+1}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem61.p1.2.2.m2.1"><semantics id="Thmtheorem61.p1.2.2.m2.1a"><msup id="Thmtheorem61.p1.2.2.m2.1.1" xref="Thmtheorem61.p1.2.2.m2.1.1.cmml"><mi id="Thmtheorem61.p1.2.2.m2.1.1.2" xref="Thmtheorem61.p1.2.2.m2.1.1.2.cmml">ℝ</mi><mrow id="Thmtheorem61.p1.2.2.m2.1.1.3" xref="Thmtheorem61.p1.2.2.m2.1.1.3.cmml"><mi id="Thmtheorem61.p1.2.2.m2.1.1.3.2" xref="Thmtheorem61.p1.2.2.m2.1.1.3.2.cmml">t</mi><mo id="Thmtheorem61.p1.2.2.m2.1.1.3.1" xref="Thmtheorem61.p1.2.2.m2.1.1.3.1.cmml">+</mo><mn id="Thmtheorem61.p1.2.2.m2.1.1.3.3" xref="Thmtheorem61.p1.2.2.m2.1.1.3.3.cmml">1</mn></mrow></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem61.p1.2.2.m2.1b"><apply id="Thmtheorem61.p1.2.2.m2.1.1.cmml" xref="Thmtheorem61.p1.2.2.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem61.p1.2.2.m2.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem61.p1.2.2.m2.1.1">superscript</csymbol><ci id="Thmtheorem61.p1.2.2.m2.1.1.2.cmml" xref="Thmtheorem61.p1.2.2.m2.1.1.2">ℝ</ci><apply id="Thmtheorem61.p1.2.2.m2.1.1.3.cmml" xref="Thmtheorem61.p1.2.2.m2.1.1.3"><plus id="Thmtheorem61.p1.2.2.m2.1.1.3.1.cmml" xref="Thmtheorem61.p1.2.2.m2.1.1.3.1"></plus><ci id="Thmtheorem61.p1.2.2.m2.1.1.3.2.cmml" xref="Thmtheorem61.p1.2.2.m2.1.1.3.2">𝑡</ci><cn id="Thmtheorem61.p1.2.2.m2.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="Thmtheorem61.p1.2.2.m2.1.1.3.3">1</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem61.p1.2.2.m2.1c">\mathbb{R}^{t+1}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem61.p1.2.2.m2.1d">blackboard_R start_POSTSUPERSCRIPT italic_t + 1 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> and we have defined</span></p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="S6.EGx191"> <tbody id="A4.E235"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\vec{u}" class="ltx_Math" display="inline" id="A4.E235.m1.1"><semantics id="A4.E235.m1.1a"><mover accent="true" id="A4.E235.m1.1.1" xref="A4.E235.m1.1.1.cmml"><mi id="A4.E235.m1.1.1.2" xref="A4.E235.m1.1.1.2.cmml">u</mi><mo id="A4.E235.m1.1.1.1" stretchy="false" xref="A4.E235.m1.1.1.1.cmml">→</mo></mover><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A4.E235.m1.1b"><apply id="A4.E235.m1.1.1.cmml" xref="A4.E235.m1.1.1"><ci id="A4.E235.m1.1.1.1.cmml" xref="A4.E235.m1.1.1.1">→</ci><ci id="A4.E235.m1.1.1.2.cmml" xref="A4.E235.m1.1.1.2">𝑢</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A4.E235.m1.1c">\displaystyle\vec{u}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A4.E235.m1.1d">over→ start_ARG italic_u end_ARG</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=\sum_{i=1}^{t+1}\hat{e}_{i}" class="ltx_Math" display="inline" id="A4.E235.m2.1"><semantics id="A4.E235.m2.1a"><mrow id="A4.E235.m2.1.1" xref="A4.E235.m2.1.1.cmml"><mi id="A4.E235.m2.1.1.2" xref="A4.E235.m2.1.1.2.cmml"></mi><mo id="A4.E235.m2.1.1.1" xref="A4.E235.m2.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="A4.E235.m2.1.1.3" xref="A4.E235.m2.1.1.3.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A4.E235.m2.1.1.3.1" xref="A4.E235.m2.1.1.3.1.cmml"><munderover id="A4.E235.m2.1.1.3.1a" xref="A4.E235.m2.1.1.3.1.cmml"><mo id="A4.E235.m2.1.1.3.1.2.2" movablelimits="false" xref="A4.E235.m2.1.1.3.1.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="A4.E235.m2.1.1.3.1.2.3" xref="A4.E235.m2.1.1.3.1.2.3.cmml"><mi id="A4.E235.m2.1.1.3.1.2.3.2" xref="A4.E235.m2.1.1.3.1.2.3.2.cmml">i</mi><mo id="A4.E235.m2.1.1.3.1.2.3.1" xref="A4.E235.m2.1.1.3.1.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="A4.E235.m2.1.1.3.1.2.3.3" xref="A4.E235.m2.1.1.3.1.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mrow id="A4.E235.m2.1.1.3.1.3" xref="A4.E235.m2.1.1.3.1.3.cmml"><mi id="A4.E235.m2.1.1.3.1.3.2" xref="A4.E235.m2.1.1.3.1.3.2.cmml">t</mi><mo id="A4.E235.m2.1.1.3.1.3.1" xref="A4.E235.m2.1.1.3.1.3.1.cmml">+</mo><mn id="A4.E235.m2.1.1.3.1.3.3" xref="A4.E235.m2.1.1.3.1.3.3.cmml">1</mn></mrow></munderover></mstyle><msub id="A4.E235.m2.1.1.3.2" xref="A4.E235.m2.1.1.3.2.cmml"><mover accent="true" id="A4.E235.m2.1.1.3.2.2" xref="A4.E235.m2.1.1.3.2.2.cmml"><mi id="A4.E235.m2.1.1.3.2.2.2" xref="A4.E235.m2.1.1.3.2.2.2.cmml">e</mi><mo id="A4.E235.m2.1.1.3.2.2.1" xref="A4.E235.m2.1.1.3.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="A4.E235.m2.1.1.3.2.3" xref="A4.E235.m2.1.1.3.2.3.cmml">i</mi></msub></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A4.E235.m2.1b"><apply id="A4.E235.m2.1.1.cmml" xref="A4.E235.m2.1.1"><eq id="A4.E235.m2.1.1.1.cmml" xref="A4.E235.m2.1.1.1"></eq><csymbol cd="latexml" id="A4.E235.m2.1.1.2.cmml" xref="A4.E235.m2.1.1.2">absent</csymbol><apply id="A4.E235.m2.1.1.3.cmml" xref="A4.E235.m2.1.1.3"><apply id="A4.E235.m2.1.1.3.1.cmml" xref="A4.E235.m2.1.1.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.E235.m2.1.1.3.1.1.cmml" xref="A4.E235.m2.1.1.3.1">superscript</csymbol><apply id="A4.E235.m2.1.1.3.1.2.cmml" xref="A4.E235.m2.1.1.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.E235.m2.1.1.3.1.2.1.cmml" xref="A4.E235.m2.1.1.3.1">subscript</csymbol><sum id="A4.E235.m2.1.1.3.1.2.2.cmml" xref="A4.E235.m2.1.1.3.1.2.2"></sum><apply id="A4.E235.m2.1.1.3.1.2.3.cmml" xref="A4.E235.m2.1.1.3.1.2.3"><eq id="A4.E235.m2.1.1.3.1.2.3.1.cmml" xref="A4.E235.m2.1.1.3.1.2.3.1"></eq><ci id="A4.E235.m2.1.1.3.1.2.3.2.cmml" xref="A4.E235.m2.1.1.3.1.2.3.2">𝑖</ci><cn id="A4.E235.m2.1.1.3.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="A4.E235.m2.1.1.3.1.2.3.3">1</cn></apply></apply><apply id="A4.E235.m2.1.1.3.1.3.cmml" xref="A4.E235.m2.1.1.3.1.3"><plus id="A4.E235.m2.1.1.3.1.3.1.cmml" xref="A4.E235.m2.1.1.3.1.3.1"></plus><ci id="A4.E235.m2.1.1.3.1.3.2.cmml" xref="A4.E235.m2.1.1.3.1.3.2">𝑡</ci><cn id="A4.E235.m2.1.1.3.1.3.3.cmml" type="integer" xref="A4.E235.m2.1.1.3.1.3.3">1</cn></apply></apply><apply id="A4.E235.m2.1.1.3.2.cmml" xref="A4.E235.m2.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.E235.m2.1.1.3.2.1.cmml" xref="A4.E235.m2.1.1.3.2">subscript</csymbol><apply id="A4.E235.m2.1.1.3.2.2.cmml" xref="A4.E235.m2.1.1.3.2.2"><ci id="A4.E235.m2.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="A4.E235.m2.1.1.3.2.2.1">^</ci><ci id="A4.E235.m2.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="A4.E235.m2.1.1.3.2.2.2">𝑒</ci></apply><ci id="A4.E235.m2.1.1.3.2.3.cmml" xref="A4.E235.m2.1.1.3.2.3">𝑖</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A4.E235.m2.1c">\displaystyle=\sum_{i=1}^{t+1}\hat{e}_{i}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A4.E235.m2.1d">= ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_i = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_t + 1 end_POSTSUPERSCRIPT over^ start_ARG italic_e end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(235)</span></td> </tr></tbody> <tbody id="A4.E236"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle T" class="ltx_Math" display="inline" id="A4.E236.m1.1"><semantics id="A4.E236.m1.1a"><mi id="A4.E236.m1.1.1" xref="A4.E236.m1.1.1.cmml">T</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A4.E236.m1.1b"><ci id="A4.E236.m1.1.1.cmml" xref="A4.E236.m1.1.1">𝑇</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A4.E236.m1.1c">\displaystyle T</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A4.E236.m1.1d">italic_T</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=\sum_{i=1}^{t}\hat{e}_{i+1}\hat{e}_{i}^{T}" class="ltx_Math" display="inline" id="A4.E236.m2.1"><semantics id="A4.E236.m2.1a"><mrow id="A4.E236.m2.1.1" xref="A4.E236.m2.1.1.cmml"><mi id="A4.E236.m2.1.1.2" xref="A4.E236.m2.1.1.2.cmml"></mi><mo id="A4.E236.m2.1.1.1" xref="A4.E236.m2.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="A4.E236.m2.1.1.3" xref="A4.E236.m2.1.1.3.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A4.E236.m2.1.1.3.1" xref="A4.E236.m2.1.1.3.1.cmml"><munderover id="A4.E236.m2.1.1.3.1a" xref="A4.E236.m2.1.1.3.1.cmml"><mo id="A4.E236.m2.1.1.3.1.2.2" movablelimits="false" xref="A4.E236.m2.1.1.3.1.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="A4.E236.m2.1.1.3.1.2.3" xref="A4.E236.m2.1.1.3.1.2.3.cmml"><mi id="A4.E236.m2.1.1.3.1.2.3.2" xref="A4.E236.m2.1.1.3.1.2.3.2.cmml">i</mi><mo id="A4.E236.m2.1.1.3.1.2.3.1" xref="A4.E236.m2.1.1.3.1.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="A4.E236.m2.1.1.3.1.2.3.3" xref="A4.E236.m2.1.1.3.1.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="A4.E236.m2.1.1.3.1.3" xref="A4.E236.m2.1.1.3.1.3.cmml">t</mi></munderover></mstyle><mrow id="A4.E236.m2.1.1.3.2" xref="A4.E236.m2.1.1.3.2.cmml"><msub id="A4.E236.m2.1.1.3.2.2" xref="A4.E236.m2.1.1.3.2.2.cmml"><mover accent="true" id="A4.E236.m2.1.1.3.2.2.2" xref="A4.E236.m2.1.1.3.2.2.2.cmml"><mi id="A4.E236.m2.1.1.3.2.2.2.2" xref="A4.E236.m2.1.1.3.2.2.2.2.cmml">e</mi><mo id="A4.E236.m2.1.1.3.2.2.2.1" xref="A4.E236.m2.1.1.3.2.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mrow id="A4.E236.m2.1.1.3.2.2.3" xref="A4.E236.m2.1.1.3.2.2.3.cmml"><mi id="A4.E236.m2.1.1.3.2.2.3.2" xref="A4.E236.m2.1.1.3.2.2.3.2.cmml">i</mi><mo id="A4.E236.m2.1.1.3.2.2.3.1" xref="A4.E236.m2.1.1.3.2.2.3.1.cmml">+</mo><mn id="A4.E236.m2.1.1.3.2.2.3.3" xref="A4.E236.m2.1.1.3.2.2.3.3.cmml">1</mn></mrow></msub><mo id="A4.E236.m2.1.1.3.2.1" xref="A4.E236.m2.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="A4.E236.m2.1.1.3.2.3" xref="A4.E236.m2.1.1.3.2.3.cmml"><mover accent="true" id="A4.E236.m2.1.1.3.2.3.2.2" xref="A4.E236.m2.1.1.3.2.3.2.2.cmml"><mi id="A4.E236.m2.1.1.3.2.3.2.2.2" xref="A4.E236.m2.1.1.3.2.3.2.2.2.cmml">e</mi><mo id="A4.E236.m2.1.1.3.2.3.2.2.1" xref="A4.E236.m2.1.1.3.2.3.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="A4.E236.m2.1.1.3.2.3.2.3" xref="A4.E236.m2.1.1.3.2.3.2.3.cmml">i</mi><mi id="A4.E236.m2.1.1.3.2.3.3" xref="A4.E236.m2.1.1.3.2.3.3.cmml">T</mi></msubsup></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A4.E236.m2.1b"><apply id="A4.E236.m2.1.1.cmml" xref="A4.E236.m2.1.1"><eq id="A4.E236.m2.1.1.1.cmml" xref="A4.E236.m2.1.1.1"></eq><csymbol cd="latexml" id="A4.E236.m2.1.1.2.cmml" xref="A4.E236.m2.1.1.2">absent</csymbol><apply id="A4.E236.m2.1.1.3.cmml" xref="A4.E236.m2.1.1.3"><apply id="A4.E236.m2.1.1.3.1.cmml" xref="A4.E236.m2.1.1.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.E236.m2.1.1.3.1.1.cmml" xref="A4.E236.m2.1.1.3.1">superscript</csymbol><apply id="A4.E236.m2.1.1.3.1.2.cmml" xref="A4.E236.m2.1.1.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.E236.m2.1.1.3.1.2.1.cmml" xref="A4.E236.m2.1.1.3.1">subscript</csymbol><sum id="A4.E236.m2.1.1.3.1.2.2.cmml" xref="A4.E236.m2.1.1.3.1.2.2"></sum><apply id="A4.E236.m2.1.1.3.1.2.3.cmml" xref="A4.E236.m2.1.1.3.1.2.3"><eq id="A4.E236.m2.1.1.3.1.2.3.1.cmml" xref="A4.E236.m2.1.1.3.1.2.3.1"></eq><ci id="A4.E236.m2.1.1.3.1.2.3.2.cmml" xref="A4.E236.m2.1.1.3.1.2.3.2">𝑖</ci><cn id="A4.E236.m2.1.1.3.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="A4.E236.m2.1.1.3.1.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="A4.E236.m2.1.1.3.1.3.cmml" xref="A4.E236.m2.1.1.3.1.3">𝑡</ci></apply><apply id="A4.E236.m2.1.1.3.2.cmml" xref="A4.E236.m2.1.1.3.2"><times id="A4.E236.m2.1.1.3.2.1.cmml" xref="A4.E236.m2.1.1.3.2.1"></times><apply id="A4.E236.m2.1.1.3.2.2.cmml" xref="A4.E236.m2.1.1.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.E236.m2.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="A4.E236.m2.1.1.3.2.2">subscript</csymbol><apply id="A4.E236.m2.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="A4.E236.m2.1.1.3.2.2.2"><ci id="A4.E236.m2.1.1.3.2.2.2.1.cmml" xref="A4.E236.m2.1.1.3.2.2.2.1">^</ci><ci id="A4.E236.m2.1.1.3.2.2.2.2.cmml" xref="A4.E236.m2.1.1.3.2.2.2.2">𝑒</ci></apply><apply id="A4.E236.m2.1.1.3.2.2.3.cmml" xref="A4.E236.m2.1.1.3.2.2.3"><plus id="A4.E236.m2.1.1.3.2.2.3.1.cmml" xref="A4.E236.m2.1.1.3.2.2.3.1"></plus><ci id="A4.E236.m2.1.1.3.2.2.3.2.cmml" xref="A4.E236.m2.1.1.3.2.2.3.2">𝑖</ci><cn id="A4.E236.m2.1.1.3.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="A4.E236.m2.1.1.3.2.2.3.3">1</cn></apply></apply><apply id="A4.E236.m2.1.1.3.2.3.cmml" xref="A4.E236.m2.1.1.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.E236.m2.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="A4.E236.m2.1.1.3.2.3">superscript</csymbol><apply id="A4.E236.m2.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="A4.E236.m2.1.1.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.E236.m2.1.1.3.2.3.2.1.cmml" xref="A4.E236.m2.1.1.3.2.3">subscript</csymbol><apply id="A4.E236.m2.1.1.3.2.3.2.2.cmml" xref="A4.E236.m2.1.1.3.2.3.2.2"><ci id="A4.E236.m2.1.1.3.2.3.2.2.1.cmml" xref="A4.E236.m2.1.1.3.2.3.2.2.1">^</ci><ci id="A4.E236.m2.1.1.3.2.3.2.2.2.cmml" xref="A4.E236.m2.1.1.3.2.3.2.2.2">𝑒</ci></apply><ci id="A4.E236.m2.1.1.3.2.3.2.3.cmml" xref="A4.E236.m2.1.1.3.2.3.2.3">𝑖</ci></apply><ci id="A4.E236.m2.1.1.3.2.3.3.cmml" xref="A4.E236.m2.1.1.3.2.3.3">𝑇</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A4.E236.m2.1c">\displaystyle=\sum_{i=1}^{t}\hat{e}_{i+1}\hat{e}_{i}^{T}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A4.E236.m2.1d">= ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_i = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_t end_POSTSUPERSCRIPT over^ start_ARG italic_e end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_i + 1 end_POSTSUBSCRIPT over^ start_ARG italic_e end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(236)</span></td> </tr></tbody> <tbody id="A4.E237"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\Delta" class="ltx_Math" display="inline" id="A4.E237.m1.1"><semantics id="A4.E237.m1.1a"><mi id="A4.E237.m1.1.1" mathvariant="normal" xref="A4.E237.m1.1.1.cmml">Δ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A4.E237.m1.1b"><ci id="A4.E237.m1.1.1.cmml" xref="A4.E237.m1.1.1">Δ</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A4.E237.m1.1c">\displaystyle\Delta</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A4.E237.m1.1d">roman_Δ</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=T-I" class="ltx_Math" display="inline" id="A4.E237.m2.1"><semantics id="A4.E237.m2.1a"><mrow id="A4.E237.m2.1.1" xref="A4.E237.m2.1.1.cmml"><mi 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id="A4.E237.m2.1c">\displaystyle=T-I</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A4.E237.m2.1d">= italic_T - italic_I</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(237)</span></td> </tr></tbody> <tbody id="A4.E238"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle G(x)" class="ltx_Math" display="inline" id="A4.E238.m1.1"><semantics id="A4.E238.m1.1a"><mrow id="A4.E238.m1.1.2" xref="A4.E238.m1.1.2.cmml"><mi id="A4.E238.m1.1.2.2" xref="A4.E238.m1.1.2.2.cmml">G</mi><mo id="A4.E238.m1.1.2.1" xref="A4.E238.m1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A4.E238.m1.1.2.3.2" xref="A4.E238.m1.1.2.cmml"><mo id="A4.E238.m1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="A4.E238.m1.1.2.cmml">(</mo><mi id="A4.E238.m1.1.1" xref="A4.E238.m1.1.1.cmml">x</mi><mo id="A4.E238.m1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="A4.E238.m1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A4.E238.m1.1b"><apply id="A4.E238.m1.1.2.cmml" xref="A4.E238.m1.1.2"><times id="A4.E238.m1.1.2.1.cmml" xref="A4.E238.m1.1.2.1"></times><ci id="A4.E238.m1.1.2.2.cmml" xref="A4.E238.m1.1.2.2">𝐺</ci><ci id="A4.E238.m1.1.1.cmml" xref="A4.E238.m1.1.1">𝑥</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A4.E238.m1.1c">\displaystyle G(x)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A4.E238.m1.1d">italic_G ( italic_x )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=\sum_{j}\left(\frac{\big{(}1+jx\big{)}^{2}}{1+jx^{2}}-1\right)% \hat{e}_{j}\hat{e}_{j}^{T}" class="ltx_Math" display="inline" id="A4.E238.m2.2"><semantics id="A4.E238.m2.2a"><mrow id="A4.E238.m2.2.2" xref="A4.E238.m2.2.2.cmml"><mi id="A4.E238.m2.2.2.3" xref="A4.E238.m2.2.2.3.cmml"></mi><mo id="A4.E238.m2.2.2.2" xref="A4.E238.m2.2.2.2.cmml">=</mo><mrow id="A4.E238.m2.2.2.1" xref="A4.E238.m2.2.2.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A4.E238.m2.2.2.1.2" xref="A4.E238.m2.2.2.1.2.cmml"><munder id="A4.E238.m2.2.2.1.2a" xref="A4.E238.m2.2.2.1.2.cmml"><mo id="A4.E238.m2.2.2.1.2.2" movablelimits="false" xref="A4.E238.m2.2.2.1.2.2.cmml">∑</mo><mi id="A4.E238.m2.2.2.1.2.3" xref="A4.E238.m2.2.2.1.2.3.cmml">j</mi></munder></mstyle><mrow id="A4.E238.m2.2.2.1.1" xref="A4.E238.m2.2.2.1.1.cmml"><mrow id="A4.E238.m2.2.2.1.1.1.1" xref="A4.E238.m2.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A4.E238.m2.2.2.1.1.1.1.2" xref="A4.E238.m2.2.2.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A4.E238.m2.2.2.1.1.1.1.1" xref="A4.E238.m2.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A4.E238.m2.1.1" xref="A4.E238.m2.1.1.cmml"><mfrac id="A4.E238.m2.1.1a" xref="A4.E238.m2.1.1.cmml"><msup id="A4.E238.m2.1.1.1" xref="A4.E238.m2.1.1.1.cmml"><mrow id="A4.E238.m2.1.1.1.1.1" xref="A4.E238.m2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A4.E238.m2.1.1.1.1.1.2" maxsize="120%" minsize="120%" xref="A4.E238.m2.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A4.E238.m2.1.1.1.1.1.1" xref="A4.E238.m2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="A4.E238.m2.1.1.1.1.1.1.2" xref="A4.E238.m2.1.1.1.1.1.1.2.cmml">1</mn><mo id="A4.E238.m2.1.1.1.1.1.1.1" xref="A4.E238.m2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="A4.E238.m2.1.1.1.1.1.1.3" xref="A4.E238.m2.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A4.E238.m2.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A4.E238.m2.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">j</mi><mo id="A4.E238.m2.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="A4.E238.m2.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A4.E238.m2.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A4.E238.m2.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">x</mi></mrow></mrow><mo id="A4.E238.m2.1.1.1.1.1.3" maxsize="120%" minsize="120%" xref="A4.E238.m2.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mn id="A4.E238.m2.1.1.1.3" xref="A4.E238.m2.1.1.1.3.cmml">2</mn></msup><mrow id="A4.E238.m2.1.1.3" xref="A4.E238.m2.1.1.3.cmml"><mn 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id="A4.E238.m2.2.2.1.1.3.2" xref="A4.E238.m2.2.2.1.1.3.2.cmml"><mi id="A4.E238.m2.2.2.1.1.3.2.2" xref="A4.E238.m2.2.2.1.1.3.2.2.cmml">e</mi><mo id="A4.E238.m2.2.2.1.1.3.2.1" xref="A4.E238.m2.2.2.1.1.3.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="A4.E238.m2.2.2.1.1.3.3" xref="A4.E238.m2.2.2.1.1.3.3.cmml">j</mi></msub><mo id="A4.E238.m2.2.2.1.1.2a" xref="A4.E238.m2.2.2.1.1.2.cmml">⁢</mo><msubsup id="A4.E238.m2.2.2.1.1.4" xref="A4.E238.m2.2.2.1.1.4.cmml"><mover accent="true" id="A4.E238.m2.2.2.1.1.4.2.2" xref="A4.E238.m2.2.2.1.1.4.2.2.cmml"><mi id="A4.E238.m2.2.2.1.1.4.2.2.2" xref="A4.E238.m2.2.2.1.1.4.2.2.2.cmml">e</mi><mo id="A4.E238.m2.2.2.1.1.4.2.2.1" xref="A4.E238.m2.2.2.1.1.4.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="A4.E238.m2.2.2.1.1.4.2.3" xref="A4.E238.m2.2.2.1.1.4.2.3.cmml">j</mi><mi id="A4.E238.m2.2.2.1.1.4.3" xref="A4.E238.m2.2.2.1.1.4.3.cmml">T</mi></msubsup></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A4.E238.m2.2b"><apply id="A4.E238.m2.2.2.cmml" xref="A4.E238.m2.2.2"><eq 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xref="A4.E238.m2.2.2.1.1.3.2.2">𝑒</ci></apply><ci id="A4.E238.m2.2.2.1.1.3.3.cmml" xref="A4.E238.m2.2.2.1.1.3.3">𝑗</ci></apply><apply id="A4.E238.m2.2.2.1.1.4.cmml" xref="A4.E238.m2.2.2.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.E238.m2.2.2.1.1.4.1.cmml" xref="A4.E238.m2.2.2.1.1.4">superscript</csymbol><apply id="A4.E238.m2.2.2.1.1.4.2.cmml" xref="A4.E238.m2.2.2.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.E238.m2.2.2.1.1.4.2.1.cmml" xref="A4.E238.m2.2.2.1.1.4">subscript</csymbol><apply id="A4.E238.m2.2.2.1.1.4.2.2.cmml" xref="A4.E238.m2.2.2.1.1.4.2.2"><ci id="A4.E238.m2.2.2.1.1.4.2.2.1.cmml" xref="A4.E238.m2.2.2.1.1.4.2.2.1">^</ci><ci id="A4.E238.m2.2.2.1.1.4.2.2.2.cmml" xref="A4.E238.m2.2.2.1.1.4.2.2.2">𝑒</ci></apply><ci id="A4.E238.m2.2.2.1.1.4.2.3.cmml" xref="A4.E238.m2.2.2.1.1.4.2.3">𝑗</ci></apply><ci id="A4.E238.m2.2.2.1.1.4.3.cmml" xref="A4.E238.m2.2.2.1.1.4.3">𝑇</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" 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class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle c_{t}(x)" class="ltx_Math" display="inline" id="A4.E239.m1.1"><semantics id="A4.E239.m1.1a"><mrow id="A4.E239.m1.1.2" xref="A4.E239.m1.1.2.cmml"><msub id="A4.E239.m1.1.2.2" xref="A4.E239.m1.1.2.2.cmml"><mi id="A4.E239.m1.1.2.2.2" xref="A4.E239.m1.1.2.2.2.cmml">c</mi><mi id="A4.E239.m1.1.2.2.3" xref="A4.E239.m1.1.2.2.3.cmml">t</mi></msub><mo id="A4.E239.m1.1.2.1" xref="A4.E239.m1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A4.E239.m1.1.2.3.2" xref="A4.E239.m1.1.2.cmml"><mo id="A4.E239.m1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="A4.E239.m1.1.2.cmml">(</mo><mi id="A4.E239.m1.1.1" xref="A4.E239.m1.1.1.cmml">x</mi><mo id="A4.E239.m1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="A4.E239.m1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A4.E239.m1.1b"><apply id="A4.E239.m1.1.2.cmml" xref="A4.E239.m1.1.2"><times id="A4.E239.m1.1.2.1.cmml" xref="A4.E239.m1.1.2.1"></times><apply id="A4.E239.m1.1.2.2.cmml" xref="A4.E239.m1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.E239.m1.1.2.2.1.cmml" xref="A4.E239.m1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="A4.E239.m1.1.2.2.2.cmml" xref="A4.E239.m1.1.2.2.2">𝑐</ci><ci id="A4.E239.m1.1.2.2.3.cmml" xref="A4.E239.m1.1.2.2.3">𝑡</ci></apply><ci id="A4.E239.m1.1.1.cmml" xref="A4.E239.m1.1.1">𝑥</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A4.E239.m1.1c">\displaystyle c_{t}(x)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A4.E239.m1.1d">italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( italic_x )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=\sum_{\tau\in S_{t}}x^{|\tau|}" class="ltx_Math" display="inline" id="A4.E239.m2.1"><semantics id="A4.E239.m2.1a"><mrow id="A4.E239.m2.1.2" xref="A4.E239.m2.1.2.cmml"><mi id="A4.E239.m2.1.2.2" xref="A4.E239.m2.1.2.2.cmml"></mi><mo id="A4.E239.m2.1.2.1" 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id="A4.E239.m2.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="A4.E239.m2.1.1.1.2.1.cmml">|</mo><mi id="A4.E239.m2.1.1.1.1" xref="A4.E239.m2.1.1.1.1.cmml">τ</mi><mo id="A4.E239.m2.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="A4.E239.m2.1.1.1.2.1.cmml">|</mo></mrow></msup></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A4.E239.m2.1b"><apply id="A4.E239.m2.1.2.cmml" xref="A4.E239.m2.1.2"><eq id="A4.E239.m2.1.2.1.cmml" xref="A4.E239.m2.1.2.1"></eq><csymbol cd="latexml" id="A4.E239.m2.1.2.2.cmml" xref="A4.E239.m2.1.2.2">absent</csymbol><apply id="A4.E239.m2.1.2.3.cmml" xref="A4.E239.m2.1.2.3"><apply id="A4.E239.m2.1.2.3.1.cmml" xref="A4.E239.m2.1.2.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.E239.m2.1.2.3.1.1.cmml" xref="A4.E239.m2.1.2.3.1">subscript</csymbol><sum id="A4.E239.m2.1.2.3.1.2.cmml" xref="A4.E239.m2.1.2.3.1.2"></sum><apply id="A4.E239.m2.1.2.3.1.3.cmml" xref="A4.E239.m2.1.2.3.1.3"><in id="A4.E239.m2.1.2.3.1.3.1.cmml" xref="A4.E239.m2.1.2.3.1.3.1"></in><ci id="A4.E239.m2.1.2.3.1.3.2.cmml" xref="A4.E239.m2.1.2.3.1.3.2">𝜏</ci><apply id="A4.E239.m2.1.2.3.1.3.3.cmml" xref="A4.E239.m2.1.2.3.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.E239.m2.1.2.3.1.3.3.1.cmml" xref="A4.E239.m2.1.2.3.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="A4.E239.m2.1.2.3.1.3.3.2.cmml" xref="A4.E239.m2.1.2.3.1.3.3.2">𝑆</ci><ci id="A4.E239.m2.1.2.3.1.3.3.3.cmml" xref="A4.E239.m2.1.2.3.1.3.3.3">𝑡</ci></apply></apply></apply><apply id="A4.E239.m2.1.2.3.2.cmml" xref="A4.E239.m2.1.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.E239.m2.1.2.3.2.1.cmml" xref="A4.E239.m2.1.2.3.2">superscript</csymbol><ci id="A4.E239.m2.1.2.3.2.2.cmml" xref="A4.E239.m2.1.2.3.2.2">𝑥</ci><apply id="A4.E239.m2.1.1.1.2.cmml" xref="A4.E239.m2.1.1.1.3"><abs id="A4.E239.m2.1.1.1.2.1.cmml" xref="A4.E239.m2.1.1.1.3.1"></abs><ci id="A4.E239.m2.1.1.1.1.cmml" xref="A4.E239.m2.1.1.1.1">𝜏</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A4.E239.m2.1c">\displaystyle=\sum_{\tau\in S_{t}}x^{|\tau|}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A4.E239.m2.1d">= ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_τ ∈ italic_S start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT italic_x start_POSTSUPERSCRIPT | italic_τ | end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(239)</span></td> </tr></tbody> </table> </div> </div> <div class="ltx_proof" id="A4.SS4.1"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_font_italic ltx_title_proof">Proof.</h6> <div class="ltx_para" id="A4.SS4.1.p1"> <p class="ltx_p" id="A4.SS4.1.p1.2">Define <math alttext="g_{\ell}(x)=G_{\ell\ell}(x)" class="ltx_Math" display="inline" id="A4.SS4.1.p1.1.m1.2"><semantics id="A4.SS4.1.p1.1.m1.2a"><mrow id="A4.SS4.1.p1.1.m1.2.3" xref="A4.SS4.1.p1.1.m1.2.3.cmml"><mrow id="A4.SS4.1.p1.1.m1.2.3.2" xref="A4.SS4.1.p1.1.m1.2.3.2.cmml"><msub id="A4.SS4.1.p1.1.m1.2.3.2.2" xref="A4.SS4.1.p1.1.m1.2.3.2.2.cmml"><mi id="A4.SS4.1.p1.1.m1.2.3.2.2.2" xref="A4.SS4.1.p1.1.m1.2.3.2.2.2.cmml">g</mi><mi id="A4.SS4.1.p1.1.m1.2.3.2.2.3" mathvariant="normal" xref="A4.SS4.1.p1.1.m1.2.3.2.2.3.cmml">ℓ</mi></msub><mo id="A4.SS4.1.p1.1.m1.2.3.2.1" xref="A4.SS4.1.p1.1.m1.2.3.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A4.SS4.1.p1.1.m1.2.3.2.3.2" xref="A4.SS4.1.p1.1.m1.2.3.2.cmml"><mo id="A4.SS4.1.p1.1.m1.2.3.2.3.2.1" stretchy="false" xref="A4.SS4.1.p1.1.m1.2.3.2.cmml">(</mo><mi id="A4.SS4.1.p1.1.m1.1.1" xref="A4.SS4.1.p1.1.m1.1.1.cmml">x</mi><mo id="A4.SS4.1.p1.1.m1.2.3.2.3.2.2" stretchy="false" xref="A4.SS4.1.p1.1.m1.2.3.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A4.SS4.1.p1.1.m1.2.3.1" xref="A4.SS4.1.p1.1.m1.2.3.1.cmml">=</mo><mrow id="A4.SS4.1.p1.1.m1.2.3.3" xref="A4.SS4.1.p1.1.m1.2.3.3.cmml"><msub id="A4.SS4.1.p1.1.m1.2.3.3.2" xref="A4.SS4.1.p1.1.m1.2.3.3.2.cmml"><mi id="A4.SS4.1.p1.1.m1.2.3.3.2.2" xref="A4.SS4.1.p1.1.m1.2.3.3.2.2.cmml">G</mi><mrow id="A4.SS4.1.p1.1.m1.2.3.3.2.3" xref="A4.SS4.1.p1.1.m1.2.3.3.2.3.cmml"><mi id="A4.SS4.1.p1.1.m1.2.3.3.2.3.2" mathvariant="normal" xref="A4.SS4.1.p1.1.m1.2.3.3.2.3.2.cmml">ℓ</mi><mo id="A4.SS4.1.p1.1.m1.2.3.3.2.3.1" xref="A4.SS4.1.p1.1.m1.2.3.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A4.SS4.1.p1.1.m1.2.3.3.2.3.3" mathvariant="normal" xref="A4.SS4.1.p1.1.m1.2.3.3.2.3.3.cmml">ℓ</mi></mrow></msub><mo id="A4.SS4.1.p1.1.m1.2.3.3.1" xref="A4.SS4.1.p1.1.m1.2.3.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A4.SS4.1.p1.1.m1.2.3.3.3.2" xref="A4.SS4.1.p1.1.m1.2.3.3.cmml"><mo id="A4.SS4.1.p1.1.m1.2.3.3.3.2.1" stretchy="false" xref="A4.SS4.1.p1.1.m1.2.3.3.cmml">(</mo><mi id="A4.SS4.1.p1.1.m1.2.2" xref="A4.SS4.1.p1.1.m1.2.2.cmml">x</mi><mo id="A4.SS4.1.p1.1.m1.2.3.3.3.2.2" stretchy="false" xref="A4.SS4.1.p1.1.m1.2.3.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A4.SS4.1.p1.1.m1.2b"><apply id="A4.SS4.1.p1.1.m1.2.3.cmml" xref="A4.SS4.1.p1.1.m1.2.3"><eq id="A4.SS4.1.p1.1.m1.2.3.1.cmml" xref="A4.SS4.1.p1.1.m1.2.3.1"></eq><apply id="A4.SS4.1.p1.1.m1.2.3.2.cmml" xref="A4.SS4.1.p1.1.m1.2.3.2"><times id="A4.SS4.1.p1.1.m1.2.3.2.1.cmml" xref="A4.SS4.1.p1.1.m1.2.3.2.1"></times><apply id="A4.SS4.1.p1.1.m1.2.3.2.2.cmml" xref="A4.SS4.1.p1.1.m1.2.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.SS4.1.p1.1.m1.2.3.2.2.1.cmml" xref="A4.SS4.1.p1.1.m1.2.3.2.2">subscript</csymbol><ci id="A4.SS4.1.p1.1.m1.2.3.2.2.2.cmml" xref="A4.SS4.1.p1.1.m1.2.3.2.2.2">𝑔</ci><ci id="A4.SS4.1.p1.1.m1.2.3.2.2.3.cmml" xref="A4.SS4.1.p1.1.m1.2.3.2.2.3">ℓ</ci></apply><ci id="A4.SS4.1.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="A4.SS4.1.p1.1.m1.1.1">𝑥</ci></apply><apply id="A4.SS4.1.p1.1.m1.2.3.3.cmml" xref="A4.SS4.1.p1.1.m1.2.3.3"><times id="A4.SS4.1.p1.1.m1.2.3.3.1.cmml" xref="A4.SS4.1.p1.1.m1.2.3.3.1"></times><apply id="A4.SS4.1.p1.1.m1.2.3.3.2.cmml" xref="A4.SS4.1.p1.1.m1.2.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.SS4.1.p1.1.m1.2.3.3.2.1.cmml" xref="A4.SS4.1.p1.1.m1.2.3.3.2">subscript</csymbol><ci id="A4.SS4.1.p1.1.m1.2.3.3.2.2.cmml" xref="A4.SS4.1.p1.1.m1.2.3.3.2.2">𝐺</ci><apply id="A4.SS4.1.p1.1.m1.2.3.3.2.3.cmml" xref="A4.SS4.1.p1.1.m1.2.3.3.2.3"><times id="A4.SS4.1.p1.1.m1.2.3.3.2.3.1.cmml" xref="A4.SS4.1.p1.1.m1.2.3.3.2.3.1"></times><ci id="A4.SS4.1.p1.1.m1.2.3.3.2.3.2.cmml" xref="A4.SS4.1.p1.1.m1.2.3.3.2.3.2">ℓ</ci><ci id="A4.SS4.1.p1.1.m1.2.3.3.2.3.3.cmml" xref="A4.SS4.1.p1.1.m1.2.3.3.2.3.3">ℓ</ci></apply></apply><ci id="A4.SS4.1.p1.1.m1.2.2.cmml" xref="A4.SS4.1.p1.1.m1.2.2">𝑥</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A4.SS4.1.p1.1.m1.2c">g_{\ell}(x)=G_{\ell\ell}(x)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A4.SS4.1.p1.1.m1.2d">italic_g start_POSTSUBSCRIPT roman_ℓ end_POSTSUBSCRIPT ( italic_x ) = italic_G start_POSTSUBSCRIPT roman_ℓ roman_ℓ end_POSTSUBSCRIPT ( italic_x )</annotation></semantics></math>. We start with Lemma <a class="ltx_ref ltx_markedasmath ltx_font_italic" href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#Thmtheorem60" title="Lemma 60. ‣ D.2 Product and Matrix Forms ‣ Appendix D Properties of the Derangement Polynomial ‣ Conditional 𝑡-independent spectral gap for random quantum circuits and implications for 𝑡-design depths"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">60</span></a>, which we express as</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="S6.EGx192"> <tbody id="A4.E240"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle d_{t}(x)" class="ltx_Math" display="inline" id="A4.E240.m1.1"><semantics id="A4.E240.m1.1a"><mrow id="A4.E240.m1.1.2" xref="A4.E240.m1.1.2.cmml"><msub id="A4.E240.m1.1.2.2" xref="A4.E240.m1.1.2.2.cmml"><mi id="A4.E240.m1.1.2.2.2" xref="A4.E240.m1.1.2.2.2.cmml">d</mi><mi id="A4.E240.m1.1.2.2.3" xref="A4.E240.m1.1.2.2.3.cmml">t</mi></msub><mo id="A4.E240.m1.1.2.1" xref="A4.E240.m1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A4.E240.m1.1.2.3.2" xref="A4.E240.m1.1.2.cmml"><mo id="A4.E240.m1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="A4.E240.m1.1.2.cmml">(</mo><mi id="A4.E240.m1.1.1" xref="A4.E240.m1.1.1.cmml">x</mi><mo id="A4.E240.m1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="A4.E240.m1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A4.E240.m1.1b"><apply id="A4.E240.m1.1.2.cmml" xref="A4.E240.m1.1.2"><times id="A4.E240.m1.1.2.1.cmml" xref="A4.E240.m1.1.2.1"></times><apply id="A4.E240.m1.1.2.2.cmml" xref="A4.E240.m1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.E240.m1.1.2.2.1.cmml" xref="A4.E240.m1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="A4.E240.m1.1.2.2.2.cmml" xref="A4.E240.m1.1.2.2.2">𝑑</ci><ci id="A4.E240.m1.1.2.2.3.cmml" xref="A4.E240.m1.1.2.2.3">𝑡</ci></apply><ci id="A4.E240.m1.1.1.cmml" xref="A4.E240.m1.1.1">𝑥</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A4.E240.m1.1c">\displaystyle d_{t}(x)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A4.E240.m1.1d">italic_d start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( italic_x )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=c_{t}(x^{2})(-1)^{t}\sum_{k=0}^{t}(-1)^{t-k}\binom{t}{k}\prod_{% \ell=0}^{k-1}(1+g_{\ell}(x))" class="ltx_Math" display="inline" id="A4.E240.m2.7"><semantics id="A4.E240.m2.7a"><mrow id="A4.E240.m2.7.7" xref="A4.E240.m2.7.7.cmml"><mi id="A4.E240.m2.7.7.6" xref="A4.E240.m2.7.7.6.cmml"></mi><mo id="A4.E240.m2.7.7.5" xref="A4.E240.m2.7.7.5.cmml">=</mo><mrow id="A4.E240.m2.7.7.4" xref="A4.E240.m2.7.7.4.cmml"><msub id="A4.E240.m2.7.7.4.6" xref="A4.E240.m2.7.7.4.6.cmml"><mi id="A4.E240.m2.7.7.4.6.2" xref="A4.E240.m2.7.7.4.6.2.cmml">c</mi><mi id="A4.E240.m2.7.7.4.6.3" xref="A4.E240.m2.7.7.4.6.3.cmml">t</mi></msub><mo id="A4.E240.m2.7.7.4.5" xref="A4.E240.m2.7.7.4.5.cmml">⁢</mo><mrow id="A4.E240.m2.4.4.1.1.1" xref="A4.E240.m2.4.4.1.1.1.1.cmml"><mo id="A4.E240.m2.4.4.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A4.E240.m2.4.4.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="A4.E240.m2.4.4.1.1.1.1" xref="A4.E240.m2.4.4.1.1.1.1.cmml"><mi id="A4.E240.m2.4.4.1.1.1.1.2" xref="A4.E240.m2.4.4.1.1.1.1.2.cmml">x</mi><mn id="A4.E240.m2.4.4.1.1.1.1.3" xref="A4.E240.m2.4.4.1.1.1.1.3.cmml">2</mn></msup><mo id="A4.E240.m2.4.4.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A4.E240.m2.4.4.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A4.E240.m2.7.7.4.5a" xref="A4.E240.m2.7.7.4.5.cmml">⁢</mo><msup id="A4.E240.m2.5.5.2.2" xref="A4.E240.m2.5.5.2.2.cmml"><mrow id="A4.E240.m2.5.5.2.2.1.1" xref="A4.E240.m2.5.5.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="A4.E240.m2.5.5.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="A4.E240.m2.5.5.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A4.E240.m2.5.5.2.2.1.1.1" xref="A4.E240.m2.5.5.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="A4.E240.m2.5.5.2.2.1.1.1a" xref="A4.E240.m2.5.5.2.2.1.1.1.cmml">−</mo><mn id="A4.E240.m2.5.5.2.2.1.1.1.2" xref="A4.E240.m2.5.5.2.2.1.1.1.2.cmml">1</mn></mrow><mo id="A4.E240.m2.5.5.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="A4.E240.m2.5.5.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mi id="A4.E240.m2.5.5.2.2.3" xref="A4.E240.m2.5.5.2.2.3.cmml">t</mi></msup><mo id="A4.E240.m2.7.7.4.5b" xref="A4.E240.m2.7.7.4.5.cmml">⁢</mo><mrow id="A4.E240.m2.7.7.4.4" xref="A4.E240.m2.7.7.4.4.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A4.E240.m2.7.7.4.4.3" xref="A4.E240.m2.7.7.4.4.3.cmml"><munderover id="A4.E240.m2.7.7.4.4.3a" xref="A4.E240.m2.7.7.4.4.3.cmml"><mo id="A4.E240.m2.7.7.4.4.3.2.2" movablelimits="false" xref="A4.E240.m2.7.7.4.4.3.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="A4.E240.m2.7.7.4.4.3.2.3" xref="A4.E240.m2.7.7.4.4.3.2.3.cmml"><mi id="A4.E240.m2.7.7.4.4.3.2.3.2" xref="A4.E240.m2.7.7.4.4.3.2.3.2.cmml">k</mi><mo id="A4.E240.m2.7.7.4.4.3.2.3.1" xref="A4.E240.m2.7.7.4.4.3.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="A4.E240.m2.7.7.4.4.3.2.3.3" xref="A4.E240.m2.7.7.4.4.3.2.3.3.cmml">0</mn></mrow><mi id="A4.E240.m2.7.7.4.4.3.3" xref="A4.E240.m2.7.7.4.4.3.3.cmml">t</mi></munderover></mstyle><mrow id="A4.E240.m2.7.7.4.4.2" xref="A4.E240.m2.7.7.4.4.2.cmml"><msup id="A4.E240.m2.6.6.3.3.1.1" xref="A4.E240.m2.6.6.3.3.1.1.cmml"><mrow id="A4.E240.m2.6.6.3.3.1.1.1.1" xref="A4.E240.m2.6.6.3.3.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A4.E240.m2.6.6.3.3.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A4.E240.m2.6.6.3.3.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A4.E240.m2.6.6.3.3.1.1.1.1.1" xref="A4.E240.m2.6.6.3.3.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A4.E240.m2.6.6.3.3.1.1.1.1.1a" xref="A4.E240.m2.6.6.3.3.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mn id="A4.E240.m2.6.6.3.3.1.1.1.1.1.2" xref="A4.E240.m2.6.6.3.3.1.1.1.1.1.2.cmml">1</mn></mrow><mo id="A4.E240.m2.6.6.3.3.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A4.E240.m2.6.6.3.3.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="A4.E240.m2.6.6.3.3.1.1.3" xref="A4.E240.m2.6.6.3.3.1.1.3.cmml"><mi id="A4.E240.m2.6.6.3.3.1.1.3.2" xref="A4.E240.m2.6.6.3.3.1.1.3.2.cmml">t</mi><mo id="A4.E240.m2.6.6.3.3.1.1.3.1" xref="A4.E240.m2.6.6.3.3.1.1.3.1.cmml">−</mo><mi id="A4.E240.m2.6.6.3.3.1.1.3.3" xref="A4.E240.m2.6.6.3.3.1.1.3.3.cmml">k</mi></mrow></msup><mo id="A4.E240.m2.7.7.4.4.2.3" xref="A4.E240.m2.7.7.4.4.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="A4.E240.m2.2.2a.4" xref="A4.E240.m2.2.2a.3.cmml"><mo id="A4.E240.m2.2.2a.4.1" xref="A4.E240.m2.2.2a.3.1.cmml">(</mo><mstyle displaystyle="true" id="A4.E240.m2.2.2.2.2a" xref="A4.E240.m2.2.2a.3.cmml"><mfrac id="A4.E240.m2.2.2.2.2aa" linethickness="0pt" xref="A4.E240.m2.2.2a.3.cmml"><mi id="A4.E240.m2.1.1.1.1.1.1" xref="A4.E240.m2.1.1.1.1.1.1.cmml">t</mi><mi id="A4.E240.m2.2.2.2.2.2.1" xref="A4.E240.m2.2.2.2.2.2.1.cmml">k</mi></mfrac></mstyle><mo id="A4.E240.m2.2.2a.4.2" xref="A4.E240.m2.2.2a.3.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A4.E240.m2.7.7.4.4.2.3a" xref="A4.E240.m2.7.7.4.4.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="A4.E240.m2.7.7.4.4.2.2" xref="A4.E240.m2.7.7.4.4.2.2.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A4.E240.m2.7.7.4.4.2.2.2" xref="A4.E240.m2.7.7.4.4.2.2.2.cmml"><munderover id="A4.E240.m2.7.7.4.4.2.2.2a" xref="A4.E240.m2.7.7.4.4.2.2.2.cmml"><mo id="A4.E240.m2.7.7.4.4.2.2.2.2.2" movablelimits="false" xref="A4.E240.m2.7.7.4.4.2.2.2.2.2.cmml">∏</mo><mrow id="A4.E240.m2.7.7.4.4.2.2.2.2.3" xref="A4.E240.m2.7.7.4.4.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="A4.E240.m2.7.7.4.4.2.2.2.2.3.2" mathvariant="normal" xref="A4.E240.m2.7.7.4.4.2.2.2.2.3.2.cmml">ℓ</mi><mo id="A4.E240.m2.7.7.4.4.2.2.2.2.3.1" xref="A4.E240.m2.7.7.4.4.2.2.2.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="A4.E240.m2.7.7.4.4.2.2.2.2.3.3" xref="A4.E240.m2.7.7.4.4.2.2.2.2.3.3.cmml">0</mn></mrow><mrow id="A4.E240.m2.7.7.4.4.2.2.2.3" xref="A4.E240.m2.7.7.4.4.2.2.2.3.cmml"><mi id="A4.E240.m2.7.7.4.4.2.2.2.3.2" xref="A4.E240.m2.7.7.4.4.2.2.2.3.2.cmml">k</mi><mo id="A4.E240.m2.7.7.4.4.2.2.2.3.1" xref="A4.E240.m2.7.7.4.4.2.2.2.3.1.cmml">−</mo><mn id="A4.E240.m2.7.7.4.4.2.2.2.3.3" xref="A4.E240.m2.7.7.4.4.2.2.2.3.3.cmml">1</mn></mrow></munderover></mstyle><mrow id="A4.E240.m2.7.7.4.4.2.2.1.1" xref="A4.E240.m2.7.7.4.4.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="A4.E240.m2.7.7.4.4.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="A4.E240.m2.7.7.4.4.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A4.E240.m2.7.7.4.4.2.2.1.1.1" xref="A4.E240.m2.7.7.4.4.2.2.1.1.1.cmml"><mn id="A4.E240.m2.7.7.4.4.2.2.1.1.1.2" xref="A4.E240.m2.7.7.4.4.2.2.1.1.1.2.cmml">1</mn><mo id="A4.E240.m2.7.7.4.4.2.2.1.1.1.1" xref="A4.E240.m2.7.7.4.4.2.2.1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="A4.E240.m2.7.7.4.4.2.2.1.1.1.3" xref="A4.E240.m2.7.7.4.4.2.2.1.1.1.3.cmml"><msub id="A4.E240.m2.7.7.4.4.2.2.1.1.1.3.2" xref="A4.E240.m2.7.7.4.4.2.2.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="A4.E240.m2.7.7.4.4.2.2.1.1.1.3.2.2" xref="A4.E240.m2.7.7.4.4.2.2.1.1.1.3.2.2.cmml">g</mi><mi id="A4.E240.m2.7.7.4.4.2.2.1.1.1.3.2.3" mathvariant="normal" xref="A4.E240.m2.7.7.4.4.2.2.1.1.1.3.2.3.cmml">ℓ</mi></msub><mo id="A4.E240.m2.7.7.4.4.2.2.1.1.1.3.1" xref="A4.E240.m2.7.7.4.4.2.2.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A4.E240.m2.7.7.4.4.2.2.1.1.1.3.3.2" xref="A4.E240.m2.7.7.4.4.2.2.1.1.1.3.cmml"><mo id="A4.E240.m2.7.7.4.4.2.2.1.1.1.3.3.2.1" stretchy="false" xref="A4.E240.m2.7.7.4.4.2.2.1.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="A4.E240.m2.3.3" xref="A4.E240.m2.3.3.cmml">x</mi><mo id="A4.E240.m2.7.7.4.4.2.2.1.1.1.3.3.2.2" stretchy="false" xref="A4.E240.m2.7.7.4.4.2.2.1.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="A4.E240.m2.7.7.4.4.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="A4.E240.m2.7.7.4.4.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A4.E240.m2.7b"><apply id="A4.E240.m2.7.7.cmml" xref="A4.E240.m2.7.7"><eq id="A4.E240.m2.7.7.5.cmml" xref="A4.E240.m2.7.7.5"></eq><csymbol cd="latexml" id="A4.E240.m2.7.7.6.cmml" xref="A4.E240.m2.7.7.6">absent</csymbol><apply id="A4.E240.m2.7.7.4.cmml" xref="A4.E240.m2.7.7.4"><times id="A4.E240.m2.7.7.4.5.cmml" xref="A4.E240.m2.7.7.4.5"></times><apply id="A4.E240.m2.7.7.4.6.cmml" xref="A4.E240.m2.7.7.4.6"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.E240.m2.7.7.4.6.1.cmml" xref="A4.E240.m2.7.7.4.6">subscript</csymbol><ci id="A4.E240.m2.7.7.4.6.2.cmml" xref="A4.E240.m2.7.7.4.6.2">𝑐</ci><ci id="A4.E240.m2.7.7.4.6.3.cmml" xref="A4.E240.m2.7.7.4.6.3">𝑡</ci></apply><apply id="A4.E240.m2.4.4.1.1.1.1.cmml" xref="A4.E240.m2.4.4.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.E240.m2.4.4.1.1.1.1.1.cmml" xref="A4.E240.m2.4.4.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="A4.E240.m2.4.4.1.1.1.1.2.cmml" xref="A4.E240.m2.4.4.1.1.1.1.2">𝑥</ci><cn id="A4.E240.m2.4.4.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A4.E240.m2.4.4.1.1.1.1.3">2</cn></apply><apply id="A4.E240.m2.5.5.2.2.cmml" xref="A4.E240.m2.5.5.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.E240.m2.5.5.2.2.2.cmml" xref="A4.E240.m2.5.5.2.2">superscript</csymbol><apply id="A4.E240.m2.5.5.2.2.1.1.1.cmml" xref="A4.E240.m2.5.5.2.2.1.1"><minus id="A4.E240.m2.5.5.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="A4.E240.m2.5.5.2.2.1.1"></minus><cn id="A4.E240.m2.5.5.2.2.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="A4.E240.m2.5.5.2.2.1.1.1.2">1</cn></apply><ci id="A4.E240.m2.5.5.2.2.3.cmml" xref="A4.E240.m2.5.5.2.2.3">𝑡</ci></apply><apply id="A4.E240.m2.7.7.4.4.cmml" 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xref="A4.E240.m2.7.7.4.4.2.3"></times><apply id="A4.E240.m2.6.6.3.3.1.1.cmml" xref="A4.E240.m2.6.6.3.3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.E240.m2.6.6.3.3.1.1.2.cmml" xref="A4.E240.m2.6.6.3.3.1.1">superscript</csymbol><apply id="A4.E240.m2.6.6.3.3.1.1.1.1.1.cmml" xref="A4.E240.m2.6.6.3.3.1.1.1.1"><minus id="A4.E240.m2.6.6.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A4.E240.m2.6.6.3.3.1.1.1.1"></minus><cn id="A4.E240.m2.6.6.3.3.1.1.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="A4.E240.m2.6.6.3.3.1.1.1.1.1.2">1</cn></apply><apply id="A4.E240.m2.6.6.3.3.1.1.3.cmml" xref="A4.E240.m2.6.6.3.3.1.1.3"><minus id="A4.E240.m2.6.6.3.3.1.1.3.1.cmml" xref="A4.E240.m2.6.6.3.3.1.1.3.1"></minus><ci id="A4.E240.m2.6.6.3.3.1.1.3.2.cmml" xref="A4.E240.m2.6.6.3.3.1.1.3.2">𝑡</ci><ci id="A4.E240.m2.6.6.3.3.1.1.3.3.cmml" xref="A4.E240.m2.6.6.3.3.1.1.3.3">𝑘</ci></apply></apply><apply id="A4.E240.m2.2.2a.3.cmml" xref="A4.E240.m2.2.2a.4"><csymbol cd="latexml" id="A4.E240.m2.2.2a.3.1.cmml" xref="A4.E240.m2.2.2a.4.1">binomial</csymbol><ci id="A4.E240.m2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A4.E240.m2.1.1.1.1.1.1">𝑡</ci><ci id="A4.E240.m2.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="A4.E240.m2.2.2.2.2.2.1">𝑘</ci></apply><apply id="A4.E240.m2.7.7.4.4.2.2.cmml" xref="A4.E240.m2.7.7.4.4.2.2"><apply id="A4.E240.m2.7.7.4.4.2.2.2.cmml" xref="A4.E240.m2.7.7.4.4.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.E240.m2.7.7.4.4.2.2.2.1.cmml" xref="A4.E240.m2.7.7.4.4.2.2.2">superscript</csymbol><apply id="A4.E240.m2.7.7.4.4.2.2.2.2.cmml" xref="A4.E240.m2.7.7.4.4.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.E240.m2.7.7.4.4.2.2.2.2.1.cmml" xref="A4.E240.m2.7.7.4.4.2.2.2">subscript</csymbol><csymbol cd="latexml" id="A4.E240.m2.7.7.4.4.2.2.2.2.2.cmml" xref="A4.E240.m2.7.7.4.4.2.2.2.2.2">product</csymbol><apply id="A4.E240.m2.7.7.4.4.2.2.2.2.3.cmml" xref="A4.E240.m2.7.7.4.4.2.2.2.2.3"><eq id="A4.E240.m2.7.7.4.4.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="A4.E240.m2.7.7.4.4.2.2.2.2.3.1"></eq><ci id="A4.E240.m2.7.7.4.4.2.2.2.2.3.2.cmml" xref="A4.E240.m2.7.7.4.4.2.2.2.2.3.2">ℓ</ci><cn id="A4.E240.m2.7.7.4.4.2.2.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="A4.E240.m2.7.7.4.4.2.2.2.2.3.3">0</cn></apply></apply><apply id="A4.E240.m2.7.7.4.4.2.2.2.3.cmml" xref="A4.E240.m2.7.7.4.4.2.2.2.3"><minus id="A4.E240.m2.7.7.4.4.2.2.2.3.1.cmml" xref="A4.E240.m2.7.7.4.4.2.2.2.3.1"></minus><ci id="A4.E240.m2.7.7.4.4.2.2.2.3.2.cmml" xref="A4.E240.m2.7.7.4.4.2.2.2.3.2">𝑘</ci><cn id="A4.E240.m2.7.7.4.4.2.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="A4.E240.m2.7.7.4.4.2.2.2.3.3">1</cn></apply></apply><apply id="A4.E240.m2.7.7.4.4.2.2.1.1.1.cmml" xref="A4.E240.m2.7.7.4.4.2.2.1.1"><plus id="A4.E240.m2.7.7.4.4.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="A4.E240.m2.7.7.4.4.2.2.1.1.1.1"></plus><cn id="A4.E240.m2.7.7.4.4.2.2.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="A4.E240.m2.7.7.4.4.2.2.1.1.1.2">1</cn><apply id="A4.E240.m2.7.7.4.4.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="A4.E240.m2.7.7.4.4.2.2.1.1.1.3"><times id="A4.E240.m2.7.7.4.4.2.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="A4.E240.m2.7.7.4.4.2.2.1.1.1.3.1"></times><apply id="A4.E240.m2.7.7.4.4.2.2.1.1.1.3.2.cmml" xref="A4.E240.m2.7.7.4.4.2.2.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.E240.m2.7.7.4.4.2.2.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="A4.E240.m2.7.7.4.4.2.2.1.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="A4.E240.m2.7.7.4.4.2.2.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="A4.E240.m2.7.7.4.4.2.2.1.1.1.3.2.2">𝑔</ci><ci id="A4.E240.m2.7.7.4.4.2.2.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="A4.E240.m2.7.7.4.4.2.2.1.1.1.3.2.3">ℓ</ci></apply><ci id="A4.E240.m2.3.3.cmml" xref="A4.E240.m2.3.3">𝑥</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A4.E240.m2.7c">\displaystyle=c_{t}(x^{2})(-1)^{t}\sum_{k=0}^{t}(-1)^{t-k}\binom{t}{k}\prod_{% \ell=0}^{k-1}(1+g_{\ell}(x))</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A4.E240.m2.7d">= italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( italic_x start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ) ( - 1 ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_t end_POSTSUPERSCRIPT ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_k = 0 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_t end_POSTSUPERSCRIPT ( - 1 ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_t - italic_k end_POSTSUPERSCRIPT ( FRACOP start_ARG italic_t end_ARG start_ARG italic_k end_ARG ) ∏ start_POSTSUBSCRIPT roman_ℓ = 0 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_k - 1 end_POSTSUPERSCRIPT ( 1 + italic_g start_POSTSUBSCRIPT roman_ℓ end_POSTSUBSCRIPT ( italic_x ) )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(240)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="A4.SS4.1.p1.11">Note that <math alttext="g_{\ell}(0)=0" class="ltx_Math" display="inline" id="A4.SS4.1.p1.3.m1.1"><semantics id="A4.SS4.1.p1.3.m1.1a"><mrow id="A4.SS4.1.p1.3.m1.1.2" xref="A4.SS4.1.p1.3.m1.1.2.cmml"><mrow id="A4.SS4.1.p1.3.m1.1.2.2" xref="A4.SS4.1.p1.3.m1.1.2.2.cmml"><msub id="A4.SS4.1.p1.3.m1.1.2.2.2" xref="A4.SS4.1.p1.3.m1.1.2.2.2.cmml"><mi id="A4.SS4.1.p1.3.m1.1.2.2.2.2" xref="A4.SS4.1.p1.3.m1.1.2.2.2.2.cmml">g</mi><mi id="A4.SS4.1.p1.3.m1.1.2.2.2.3" mathvariant="normal" xref="A4.SS4.1.p1.3.m1.1.2.2.2.3.cmml">ℓ</mi></msub><mo id="A4.SS4.1.p1.3.m1.1.2.2.1" xref="A4.SS4.1.p1.3.m1.1.2.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A4.SS4.1.p1.3.m1.1.2.2.3.2" xref="A4.SS4.1.p1.3.m1.1.2.2.cmml"><mo id="A4.SS4.1.p1.3.m1.1.2.2.3.2.1" stretchy="false" xref="A4.SS4.1.p1.3.m1.1.2.2.cmml">(</mo><mn id="A4.SS4.1.p1.3.m1.1.1" xref="A4.SS4.1.p1.3.m1.1.1.cmml">0</mn><mo id="A4.SS4.1.p1.3.m1.1.2.2.3.2.2" stretchy="false" xref="A4.SS4.1.p1.3.m1.1.2.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A4.SS4.1.p1.3.m1.1.2.1" xref="A4.SS4.1.p1.3.m1.1.2.1.cmml">=</mo><mn id="A4.SS4.1.p1.3.m1.1.2.3" xref="A4.SS4.1.p1.3.m1.1.2.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A4.SS4.1.p1.3.m1.1b"><apply id="A4.SS4.1.p1.3.m1.1.2.cmml" xref="A4.SS4.1.p1.3.m1.1.2"><eq id="A4.SS4.1.p1.3.m1.1.2.1.cmml" xref="A4.SS4.1.p1.3.m1.1.2.1"></eq><apply id="A4.SS4.1.p1.3.m1.1.2.2.cmml" xref="A4.SS4.1.p1.3.m1.1.2.2"><times id="A4.SS4.1.p1.3.m1.1.2.2.1.cmml" xref="A4.SS4.1.p1.3.m1.1.2.2.1"></times><apply id="A4.SS4.1.p1.3.m1.1.2.2.2.cmml" xref="A4.SS4.1.p1.3.m1.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.SS4.1.p1.3.m1.1.2.2.2.1.cmml" xref="A4.SS4.1.p1.3.m1.1.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="A4.SS4.1.p1.3.m1.1.2.2.2.2.cmml" xref="A4.SS4.1.p1.3.m1.1.2.2.2.2">𝑔</ci><ci id="A4.SS4.1.p1.3.m1.1.2.2.2.3.cmml" xref="A4.SS4.1.p1.3.m1.1.2.2.2.3">ℓ</ci></apply><cn id="A4.SS4.1.p1.3.m1.1.1.cmml" type="integer" xref="A4.SS4.1.p1.3.m1.1.1">0</cn></apply><cn id="A4.SS4.1.p1.3.m1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="A4.SS4.1.p1.3.m1.1.2.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A4.SS4.1.p1.3.m1.1c">g_{\ell}(0)=0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A4.SS4.1.p1.3.m1.1d">italic_g start_POSTSUBSCRIPT roman_ℓ end_POSTSUBSCRIPT ( 0 ) = 0</annotation></semantics></math>. Ignoring the prefactor <math alttext="c_{t}(x^{2})" class="ltx_Math" display="inline" id="A4.SS4.1.p1.4.m2.1"><semantics id="A4.SS4.1.p1.4.m2.1a"><mrow id="A4.SS4.1.p1.4.m2.1.1" xref="A4.SS4.1.p1.4.m2.1.1.cmml"><msub id="A4.SS4.1.p1.4.m2.1.1.3" xref="A4.SS4.1.p1.4.m2.1.1.3.cmml"><mi id="A4.SS4.1.p1.4.m2.1.1.3.2" xref="A4.SS4.1.p1.4.m2.1.1.3.2.cmml">c</mi><mi id="A4.SS4.1.p1.4.m2.1.1.3.3" xref="A4.SS4.1.p1.4.m2.1.1.3.3.cmml">t</mi></msub><mo id="A4.SS4.1.p1.4.m2.1.1.2" xref="A4.SS4.1.p1.4.m2.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A4.SS4.1.p1.4.m2.1.1.1.1" xref="A4.SS4.1.p1.4.m2.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A4.SS4.1.p1.4.m2.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A4.SS4.1.p1.4.m2.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="A4.SS4.1.p1.4.m2.1.1.1.1.1" xref="A4.SS4.1.p1.4.m2.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A4.SS4.1.p1.4.m2.1.1.1.1.1.2" xref="A4.SS4.1.p1.4.m2.1.1.1.1.1.2.cmml">x</mi><mn id="A4.SS4.1.p1.4.m2.1.1.1.1.1.3" xref="A4.SS4.1.p1.4.m2.1.1.1.1.1.3.cmml">2</mn></msup><mo id="A4.SS4.1.p1.4.m2.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A4.SS4.1.p1.4.m2.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A4.SS4.1.p1.4.m2.1b"><apply id="A4.SS4.1.p1.4.m2.1.1.cmml" xref="A4.SS4.1.p1.4.m2.1.1"><times id="A4.SS4.1.p1.4.m2.1.1.2.cmml" xref="A4.SS4.1.p1.4.m2.1.1.2"></times><apply id="A4.SS4.1.p1.4.m2.1.1.3.cmml" xref="A4.SS4.1.p1.4.m2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.SS4.1.p1.4.m2.1.1.3.1.cmml" xref="A4.SS4.1.p1.4.m2.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A4.SS4.1.p1.4.m2.1.1.3.2.cmml" xref="A4.SS4.1.p1.4.m2.1.1.3.2">𝑐</ci><ci id="A4.SS4.1.p1.4.m2.1.1.3.3.cmml" xref="A4.SS4.1.p1.4.m2.1.1.3.3">𝑡</ci></apply><apply id="A4.SS4.1.p1.4.m2.1.1.1.1.1.cmml" xref="A4.SS4.1.p1.4.m2.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.SS4.1.p1.4.m2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A4.SS4.1.p1.4.m2.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="A4.SS4.1.p1.4.m2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A4.SS4.1.p1.4.m2.1.1.1.1.1.2">𝑥</ci><cn id="A4.SS4.1.p1.4.m2.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A4.SS4.1.p1.4.m2.1.1.1.1.1.3">2</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A4.SS4.1.p1.4.m2.1c">c_{t}(x^{2})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A4.SS4.1.p1.4.m2.1d">italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( italic_x start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math> for now, this expression can be described as a weighted sum over paths. Each path occurs over <math alttext="t" class="ltx_Math" display="inline" id="A4.SS4.1.p1.5.m3.1"><semantics id="A4.SS4.1.p1.5.m3.1a"><mi id="A4.SS4.1.p1.5.m3.1.1" xref="A4.SS4.1.p1.5.m3.1.1.cmml">t</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A4.SS4.1.p1.5.m3.1b"><ci id="A4.SS4.1.p1.5.m3.1.1.cmml" xref="A4.SS4.1.p1.5.m3.1.1">𝑡</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A4.SS4.1.p1.5.m3.1c">t</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A4.SS4.1.p1.5.m3.1d">italic_t</annotation></semantics></math> total time steps. At each time step we either move forward a space, acquiring weight <math alttext="\frac{(1+\ell x)^{2}}{1+\ell x^{2}}=1+g_{\ell}(x)" class="ltx_Math" display="inline" id="A4.SS4.1.p1.6.m4.2"><semantics id="A4.SS4.1.p1.6.m4.2a"><mrow id="A4.SS4.1.p1.6.m4.2.3" xref="A4.SS4.1.p1.6.m4.2.3.cmml"><mfrac id="A4.SS4.1.p1.6.m4.1.1" xref="A4.SS4.1.p1.6.m4.1.1.cmml"><msup id="A4.SS4.1.p1.6.m4.1.1.1" xref="A4.SS4.1.p1.6.m4.1.1.1.cmml"><mrow id="A4.SS4.1.p1.6.m4.1.1.1.1.1" xref="A4.SS4.1.p1.6.m4.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A4.SS4.1.p1.6.m4.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A4.SS4.1.p1.6.m4.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A4.SS4.1.p1.6.m4.1.1.1.1.1.1" xref="A4.SS4.1.p1.6.m4.1.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="A4.SS4.1.p1.6.m4.1.1.1.1.1.1.2" xref="A4.SS4.1.p1.6.m4.1.1.1.1.1.1.2.cmml">1</mn><mo id="A4.SS4.1.p1.6.m4.1.1.1.1.1.1.1" xref="A4.SS4.1.p1.6.m4.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="A4.SS4.1.p1.6.m4.1.1.1.1.1.1.3" xref="A4.SS4.1.p1.6.m4.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A4.SS4.1.p1.6.m4.1.1.1.1.1.1.3.2" mathvariant="normal" xref="A4.SS4.1.p1.6.m4.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">ℓ</mi><mo id="A4.SS4.1.p1.6.m4.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="A4.SS4.1.p1.6.m4.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A4.SS4.1.p1.6.m4.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A4.SS4.1.p1.6.m4.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">x</mi></mrow></mrow><mo id="A4.SS4.1.p1.6.m4.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A4.SS4.1.p1.6.m4.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mn id="A4.SS4.1.p1.6.m4.1.1.1.3" xref="A4.SS4.1.p1.6.m4.1.1.1.3.cmml">2</mn></msup><mrow id="A4.SS4.1.p1.6.m4.1.1.3" xref="A4.SS4.1.p1.6.m4.1.1.3.cmml"><mn id="A4.SS4.1.p1.6.m4.1.1.3.2" xref="A4.SS4.1.p1.6.m4.1.1.3.2.cmml">1</mn><mo id="A4.SS4.1.p1.6.m4.1.1.3.1" xref="A4.SS4.1.p1.6.m4.1.1.3.1.cmml">+</mo><mrow id="A4.SS4.1.p1.6.m4.1.1.3.3" xref="A4.SS4.1.p1.6.m4.1.1.3.3.cmml"><mi id="A4.SS4.1.p1.6.m4.1.1.3.3.2" mathvariant="normal" xref="A4.SS4.1.p1.6.m4.1.1.3.3.2.cmml">ℓ</mi><mo id="A4.SS4.1.p1.6.m4.1.1.3.3.1" xref="A4.SS4.1.p1.6.m4.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="A4.SS4.1.p1.6.m4.1.1.3.3.3" xref="A4.SS4.1.p1.6.m4.1.1.3.3.3.cmml"><mi id="A4.SS4.1.p1.6.m4.1.1.3.3.3.2" xref="A4.SS4.1.p1.6.m4.1.1.3.3.3.2.cmml">x</mi><mn id="A4.SS4.1.p1.6.m4.1.1.3.3.3.3" xref="A4.SS4.1.p1.6.m4.1.1.3.3.3.3.cmml">2</mn></msup></mrow></mrow></mfrac><mo id="A4.SS4.1.p1.6.m4.2.3.1" xref="A4.SS4.1.p1.6.m4.2.3.1.cmml">=</mo><mrow id="A4.SS4.1.p1.6.m4.2.3.2" xref="A4.SS4.1.p1.6.m4.2.3.2.cmml"><mn id="A4.SS4.1.p1.6.m4.2.3.2.2" xref="A4.SS4.1.p1.6.m4.2.3.2.2.cmml">1</mn><mo id="A4.SS4.1.p1.6.m4.2.3.2.1" xref="A4.SS4.1.p1.6.m4.2.3.2.1.cmml">+</mo><mrow id="A4.SS4.1.p1.6.m4.2.3.2.3" xref="A4.SS4.1.p1.6.m4.2.3.2.3.cmml"><msub id="A4.SS4.1.p1.6.m4.2.3.2.3.2" xref="A4.SS4.1.p1.6.m4.2.3.2.3.2.cmml"><mi id="A4.SS4.1.p1.6.m4.2.3.2.3.2.2" xref="A4.SS4.1.p1.6.m4.2.3.2.3.2.2.cmml">g</mi><mi id="A4.SS4.1.p1.6.m4.2.3.2.3.2.3" mathvariant="normal" xref="A4.SS4.1.p1.6.m4.2.3.2.3.2.3.cmml">ℓ</mi></msub><mo id="A4.SS4.1.p1.6.m4.2.3.2.3.1" xref="A4.SS4.1.p1.6.m4.2.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A4.SS4.1.p1.6.m4.2.3.2.3.3.2" xref="A4.SS4.1.p1.6.m4.2.3.2.3.cmml"><mo id="A4.SS4.1.p1.6.m4.2.3.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="A4.SS4.1.p1.6.m4.2.3.2.3.cmml">(</mo><mi id="A4.SS4.1.p1.6.m4.2.2" xref="A4.SS4.1.p1.6.m4.2.2.cmml">x</mi><mo id="A4.SS4.1.p1.6.m4.2.3.2.3.3.2.2" stretchy="false" xref="A4.SS4.1.p1.6.m4.2.3.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A4.SS4.1.p1.6.m4.2b"><apply id="A4.SS4.1.p1.6.m4.2.3.cmml" xref="A4.SS4.1.p1.6.m4.2.3"><eq id="A4.SS4.1.p1.6.m4.2.3.1.cmml" xref="A4.SS4.1.p1.6.m4.2.3.1"></eq><apply id="A4.SS4.1.p1.6.m4.1.1.cmml" xref="A4.SS4.1.p1.6.m4.1.1"><divide id="A4.SS4.1.p1.6.m4.1.1.2.cmml" xref="A4.SS4.1.p1.6.m4.1.1"></divide><apply id="A4.SS4.1.p1.6.m4.1.1.1.cmml" xref="A4.SS4.1.p1.6.m4.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.SS4.1.p1.6.m4.1.1.1.2.cmml" xref="A4.SS4.1.p1.6.m4.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="A4.SS4.1.p1.6.m4.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A4.SS4.1.p1.6.m4.1.1.1.1.1"><plus id="A4.SS4.1.p1.6.m4.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A4.SS4.1.p1.6.m4.1.1.1.1.1.1.1"></plus><cn id="A4.SS4.1.p1.6.m4.1.1.1.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="A4.SS4.1.p1.6.m4.1.1.1.1.1.1.2">1</cn><apply id="A4.SS4.1.p1.6.m4.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A4.SS4.1.p1.6.m4.1.1.1.1.1.1.3"><times id="A4.SS4.1.p1.6.m4.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A4.SS4.1.p1.6.m4.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><ci id="A4.SS4.1.p1.6.m4.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A4.SS4.1.p1.6.m4.1.1.1.1.1.1.3.2">ℓ</ci><ci id="A4.SS4.1.p1.6.m4.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A4.SS4.1.p1.6.m4.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑥</ci></apply></apply><cn id="A4.SS4.1.p1.6.m4.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A4.SS4.1.p1.6.m4.1.1.1.3">2</cn></apply><apply id="A4.SS4.1.p1.6.m4.1.1.3.cmml" xref="A4.SS4.1.p1.6.m4.1.1.3"><plus id="A4.SS4.1.p1.6.m4.1.1.3.1.cmml" xref="A4.SS4.1.p1.6.m4.1.1.3.1"></plus><cn id="A4.SS4.1.p1.6.m4.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="A4.SS4.1.p1.6.m4.1.1.3.2">1</cn><apply id="A4.SS4.1.p1.6.m4.1.1.3.3.cmml" xref="A4.SS4.1.p1.6.m4.1.1.3.3"><times id="A4.SS4.1.p1.6.m4.1.1.3.3.1.cmml" xref="A4.SS4.1.p1.6.m4.1.1.3.3.1"></times><ci id="A4.SS4.1.p1.6.m4.1.1.3.3.2.cmml" xref="A4.SS4.1.p1.6.m4.1.1.3.3.2">ℓ</ci><apply id="A4.SS4.1.p1.6.m4.1.1.3.3.3.cmml" xref="A4.SS4.1.p1.6.m4.1.1.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.SS4.1.p1.6.m4.1.1.3.3.3.1.cmml" xref="A4.SS4.1.p1.6.m4.1.1.3.3.3">superscript</csymbol><ci id="A4.SS4.1.p1.6.m4.1.1.3.3.3.2.cmml" xref="A4.SS4.1.p1.6.m4.1.1.3.3.3.2">𝑥</ci><cn id="A4.SS4.1.p1.6.m4.1.1.3.3.3.3.cmml" type="integer" xref="A4.SS4.1.p1.6.m4.1.1.3.3.3.3">2</cn></apply></apply></apply></apply><apply id="A4.SS4.1.p1.6.m4.2.3.2.cmml" xref="A4.SS4.1.p1.6.m4.2.3.2"><plus id="A4.SS4.1.p1.6.m4.2.3.2.1.cmml" xref="A4.SS4.1.p1.6.m4.2.3.2.1"></plus><cn id="A4.SS4.1.p1.6.m4.2.3.2.2.cmml" type="integer" xref="A4.SS4.1.p1.6.m4.2.3.2.2">1</cn><apply id="A4.SS4.1.p1.6.m4.2.3.2.3.cmml" xref="A4.SS4.1.p1.6.m4.2.3.2.3"><times id="A4.SS4.1.p1.6.m4.2.3.2.3.1.cmml" xref="A4.SS4.1.p1.6.m4.2.3.2.3.1"></times><apply id="A4.SS4.1.p1.6.m4.2.3.2.3.2.cmml" xref="A4.SS4.1.p1.6.m4.2.3.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.SS4.1.p1.6.m4.2.3.2.3.2.1.cmml" xref="A4.SS4.1.p1.6.m4.2.3.2.3.2">subscript</csymbol><ci id="A4.SS4.1.p1.6.m4.2.3.2.3.2.2.cmml" xref="A4.SS4.1.p1.6.m4.2.3.2.3.2.2">𝑔</ci><ci id="A4.SS4.1.p1.6.m4.2.3.2.3.2.3.cmml" xref="A4.SS4.1.p1.6.m4.2.3.2.3.2.3">ℓ</ci></apply><ci id="A4.SS4.1.p1.6.m4.2.2.cmml" xref="A4.SS4.1.p1.6.m4.2.2">𝑥</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A4.SS4.1.p1.6.m4.2c">\frac{(1+\ell x)^{2}}{1+\ell x^{2}}=1+g_{\ell}(x)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A4.SS4.1.p1.6.m4.2d">divide start_ARG ( 1 + roman_ℓ italic_x ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG 1 + roman_ℓ italic_x start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG = 1 + italic_g start_POSTSUBSCRIPT roman_ℓ end_POSTSUBSCRIPT ( italic_x )</annotation></semantics></math> if we are originally at position <math alttext="\ell" class="ltx_Math" display="inline" id="A4.SS4.1.p1.7.m5.1"><semantics id="A4.SS4.1.p1.7.m5.1a"><mi id="A4.SS4.1.p1.7.m5.1.1" mathvariant="normal" xref="A4.SS4.1.p1.7.m5.1.1.cmml">ℓ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A4.SS4.1.p1.7.m5.1b"><ci id="A4.SS4.1.p1.7.m5.1.1.cmml" xref="A4.SS4.1.p1.7.m5.1.1">ℓ</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A4.SS4.1.p1.7.m5.1c">\ell</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A4.SS4.1.p1.7.m5.1d">roman_ℓ</annotation></semantics></math>, or we do not advance, acquiring a weight of <math alttext="-1" class="ltx_Math" display="inline" id="A4.SS4.1.p1.8.m6.1"><semantics id="A4.SS4.1.p1.8.m6.1a"><mrow id="A4.SS4.1.p1.8.m6.1.1" xref="A4.SS4.1.p1.8.m6.1.1.cmml"><mo id="A4.SS4.1.p1.8.m6.1.1a" xref="A4.SS4.1.p1.8.m6.1.1.cmml">−</mo><mn id="A4.SS4.1.p1.8.m6.1.1.2" xref="A4.SS4.1.p1.8.m6.1.1.2.cmml">1</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A4.SS4.1.p1.8.m6.1b"><apply id="A4.SS4.1.p1.8.m6.1.1.cmml" xref="A4.SS4.1.p1.8.m6.1.1"><minus id="A4.SS4.1.p1.8.m6.1.1.1.cmml" xref="A4.SS4.1.p1.8.m6.1.1"></minus><cn id="A4.SS4.1.p1.8.m6.1.1.2.cmml" type="integer" xref="A4.SS4.1.p1.8.m6.1.1.2">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A4.SS4.1.p1.8.m6.1c">-1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A4.SS4.1.p1.8.m6.1d">- 1</annotation></semantics></math>. Any path that advances <math alttext="k" class="ltx_Math" display="inline" id="A4.SS4.1.p1.9.m7.1"><semantics id="A4.SS4.1.p1.9.m7.1a"><mi id="A4.SS4.1.p1.9.m7.1.1" xref="A4.SS4.1.p1.9.m7.1.1.cmml">k</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A4.SS4.1.p1.9.m7.1b"><ci id="A4.SS4.1.p1.9.m7.1.1.cmml" xref="A4.SS4.1.p1.9.m7.1.1">𝑘</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A4.SS4.1.p1.9.m7.1c">k</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A4.SS4.1.p1.9.m7.1d">italic_k</annotation></semantics></math> steps in total therefore acquires a weight <math alttext="(-1)^{t-k}\prod_{\ell=0}^{k-1}(1+g_{\ell}(x))" class="ltx_Math" display="inline" id="A4.SS4.1.p1.10.m8.3"><semantics id="A4.SS4.1.p1.10.m8.3a"><mrow id="A4.SS4.1.p1.10.m8.3.3" xref="A4.SS4.1.p1.10.m8.3.3.cmml"><msup id="A4.SS4.1.p1.10.m8.2.2.1" xref="A4.SS4.1.p1.10.m8.2.2.1.cmml"><mrow id="A4.SS4.1.p1.10.m8.2.2.1.1.1" xref="A4.SS4.1.p1.10.m8.2.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="A4.SS4.1.p1.10.m8.2.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A4.SS4.1.p1.10.m8.2.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A4.SS4.1.p1.10.m8.2.2.1.1.1.1" xref="A4.SS4.1.p1.10.m8.2.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="A4.SS4.1.p1.10.m8.2.2.1.1.1.1a" xref="A4.SS4.1.p1.10.m8.2.2.1.1.1.1.cmml">−</mo><mn id="A4.SS4.1.p1.10.m8.2.2.1.1.1.1.2" xref="A4.SS4.1.p1.10.m8.2.2.1.1.1.1.2.cmml">1</mn></mrow><mo id="A4.SS4.1.p1.10.m8.2.2.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A4.SS4.1.p1.10.m8.2.2.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="A4.SS4.1.p1.10.m8.2.2.1.3" xref="A4.SS4.1.p1.10.m8.2.2.1.3.cmml"><mi id="A4.SS4.1.p1.10.m8.2.2.1.3.2" xref="A4.SS4.1.p1.10.m8.2.2.1.3.2.cmml">t</mi><mo id="A4.SS4.1.p1.10.m8.2.2.1.3.1" xref="A4.SS4.1.p1.10.m8.2.2.1.3.1.cmml">−</mo><mi id="A4.SS4.1.p1.10.m8.2.2.1.3.3" xref="A4.SS4.1.p1.10.m8.2.2.1.3.3.cmml">k</mi></mrow></msup><mo id="A4.SS4.1.p1.10.m8.3.3.3" xref="A4.SS4.1.p1.10.m8.3.3.3.cmml">⁢</mo><mrow id="A4.SS4.1.p1.10.m8.3.3.2" xref="A4.SS4.1.p1.10.m8.3.3.2.cmml"><msubsup id="A4.SS4.1.p1.10.m8.3.3.2.2" xref="A4.SS4.1.p1.10.m8.3.3.2.2.cmml"><mo id="A4.SS4.1.p1.10.m8.3.3.2.2.2.2" rspace="0em" xref="A4.SS4.1.p1.10.m8.3.3.2.2.2.2.cmml">∏</mo><mrow id="A4.SS4.1.p1.10.m8.3.3.2.2.2.3" xref="A4.SS4.1.p1.10.m8.3.3.2.2.2.3.cmml"><mi id="A4.SS4.1.p1.10.m8.3.3.2.2.2.3.2" mathvariant="normal" xref="A4.SS4.1.p1.10.m8.3.3.2.2.2.3.2.cmml">ℓ</mi><mo id="A4.SS4.1.p1.10.m8.3.3.2.2.2.3.1" xref="A4.SS4.1.p1.10.m8.3.3.2.2.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="A4.SS4.1.p1.10.m8.3.3.2.2.2.3.3" xref="A4.SS4.1.p1.10.m8.3.3.2.2.2.3.3.cmml">0</mn></mrow><mrow id="A4.SS4.1.p1.10.m8.3.3.2.2.3" xref="A4.SS4.1.p1.10.m8.3.3.2.2.3.cmml"><mi id="A4.SS4.1.p1.10.m8.3.3.2.2.3.2" xref="A4.SS4.1.p1.10.m8.3.3.2.2.3.2.cmml">k</mi><mo id="A4.SS4.1.p1.10.m8.3.3.2.2.3.1" xref="A4.SS4.1.p1.10.m8.3.3.2.2.3.1.cmml">−</mo><mn id="A4.SS4.1.p1.10.m8.3.3.2.2.3.3" xref="A4.SS4.1.p1.10.m8.3.3.2.2.3.3.cmml">1</mn></mrow></msubsup><mrow id="A4.SS4.1.p1.10.m8.3.3.2.1.1" xref="A4.SS4.1.p1.10.m8.3.3.2.1.1.1.cmml"><mo id="A4.SS4.1.p1.10.m8.3.3.2.1.1.2" stretchy="false" xref="A4.SS4.1.p1.10.m8.3.3.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A4.SS4.1.p1.10.m8.3.3.2.1.1.1" xref="A4.SS4.1.p1.10.m8.3.3.2.1.1.1.cmml"><mn id="A4.SS4.1.p1.10.m8.3.3.2.1.1.1.2" xref="A4.SS4.1.p1.10.m8.3.3.2.1.1.1.2.cmml">1</mn><mo id="A4.SS4.1.p1.10.m8.3.3.2.1.1.1.1" xref="A4.SS4.1.p1.10.m8.3.3.2.1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="A4.SS4.1.p1.10.m8.3.3.2.1.1.1.3" xref="A4.SS4.1.p1.10.m8.3.3.2.1.1.1.3.cmml"><msub id="A4.SS4.1.p1.10.m8.3.3.2.1.1.1.3.2" xref="A4.SS4.1.p1.10.m8.3.3.2.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="A4.SS4.1.p1.10.m8.3.3.2.1.1.1.3.2.2" xref="A4.SS4.1.p1.10.m8.3.3.2.1.1.1.3.2.2.cmml">g</mi><mi id="A4.SS4.1.p1.10.m8.3.3.2.1.1.1.3.2.3" mathvariant="normal" xref="A4.SS4.1.p1.10.m8.3.3.2.1.1.1.3.2.3.cmml">ℓ</mi></msub><mo id="A4.SS4.1.p1.10.m8.3.3.2.1.1.1.3.1" xref="A4.SS4.1.p1.10.m8.3.3.2.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A4.SS4.1.p1.10.m8.3.3.2.1.1.1.3.3.2" xref="A4.SS4.1.p1.10.m8.3.3.2.1.1.1.3.cmml"><mo id="A4.SS4.1.p1.10.m8.3.3.2.1.1.1.3.3.2.1" stretchy="false" xref="A4.SS4.1.p1.10.m8.3.3.2.1.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="A4.SS4.1.p1.10.m8.1.1" xref="A4.SS4.1.p1.10.m8.1.1.cmml">x</mi><mo id="A4.SS4.1.p1.10.m8.3.3.2.1.1.1.3.3.2.2" stretchy="false" xref="A4.SS4.1.p1.10.m8.3.3.2.1.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="A4.SS4.1.p1.10.m8.3.3.2.1.1.3" stretchy="false" xref="A4.SS4.1.p1.10.m8.3.3.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A4.SS4.1.p1.10.m8.3b"><apply id="A4.SS4.1.p1.10.m8.3.3.cmml" xref="A4.SS4.1.p1.10.m8.3.3"><times id="A4.SS4.1.p1.10.m8.3.3.3.cmml" xref="A4.SS4.1.p1.10.m8.3.3.3"></times><apply id="A4.SS4.1.p1.10.m8.2.2.1.cmml" xref="A4.SS4.1.p1.10.m8.2.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.SS4.1.p1.10.m8.2.2.1.2.cmml" xref="A4.SS4.1.p1.10.m8.2.2.1">superscript</csymbol><apply id="A4.SS4.1.p1.10.m8.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="A4.SS4.1.p1.10.m8.2.2.1.1.1"><minus id="A4.SS4.1.p1.10.m8.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="A4.SS4.1.p1.10.m8.2.2.1.1.1"></minus><cn id="A4.SS4.1.p1.10.m8.2.2.1.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="A4.SS4.1.p1.10.m8.2.2.1.1.1.1.2">1</cn></apply><apply id="A4.SS4.1.p1.10.m8.2.2.1.3.cmml" xref="A4.SS4.1.p1.10.m8.2.2.1.3"><minus id="A4.SS4.1.p1.10.m8.2.2.1.3.1.cmml" xref="A4.SS4.1.p1.10.m8.2.2.1.3.1"></minus><ci id="A4.SS4.1.p1.10.m8.2.2.1.3.2.cmml" xref="A4.SS4.1.p1.10.m8.2.2.1.3.2">𝑡</ci><ci id="A4.SS4.1.p1.10.m8.2.2.1.3.3.cmml" xref="A4.SS4.1.p1.10.m8.2.2.1.3.3">𝑘</ci></apply></apply><apply id="A4.SS4.1.p1.10.m8.3.3.2.cmml" xref="A4.SS4.1.p1.10.m8.3.3.2"><apply id="A4.SS4.1.p1.10.m8.3.3.2.2.cmml" xref="A4.SS4.1.p1.10.m8.3.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.SS4.1.p1.10.m8.3.3.2.2.1.cmml" xref="A4.SS4.1.p1.10.m8.3.3.2.2">superscript</csymbol><apply id="A4.SS4.1.p1.10.m8.3.3.2.2.2.cmml" xref="A4.SS4.1.p1.10.m8.3.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.SS4.1.p1.10.m8.3.3.2.2.2.1.cmml" xref="A4.SS4.1.p1.10.m8.3.3.2.2">subscript</csymbol><csymbol cd="latexml" id="A4.SS4.1.p1.10.m8.3.3.2.2.2.2.cmml" xref="A4.SS4.1.p1.10.m8.3.3.2.2.2.2">product</csymbol><apply id="A4.SS4.1.p1.10.m8.3.3.2.2.2.3.cmml" xref="A4.SS4.1.p1.10.m8.3.3.2.2.2.3"><eq id="A4.SS4.1.p1.10.m8.3.3.2.2.2.3.1.cmml" xref="A4.SS4.1.p1.10.m8.3.3.2.2.2.3.1"></eq><ci id="A4.SS4.1.p1.10.m8.3.3.2.2.2.3.2.cmml" xref="A4.SS4.1.p1.10.m8.3.3.2.2.2.3.2">ℓ</ci><cn id="A4.SS4.1.p1.10.m8.3.3.2.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="A4.SS4.1.p1.10.m8.3.3.2.2.2.3.3">0</cn></apply></apply><apply id="A4.SS4.1.p1.10.m8.3.3.2.2.3.cmml" xref="A4.SS4.1.p1.10.m8.3.3.2.2.3"><minus id="A4.SS4.1.p1.10.m8.3.3.2.2.3.1.cmml" xref="A4.SS4.1.p1.10.m8.3.3.2.2.3.1"></minus><ci id="A4.SS4.1.p1.10.m8.3.3.2.2.3.2.cmml" xref="A4.SS4.1.p1.10.m8.3.3.2.2.3.2">𝑘</ci><cn id="A4.SS4.1.p1.10.m8.3.3.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="A4.SS4.1.p1.10.m8.3.3.2.2.3.3">1</cn></apply></apply><apply id="A4.SS4.1.p1.10.m8.3.3.2.1.1.1.cmml" xref="A4.SS4.1.p1.10.m8.3.3.2.1.1"><plus id="A4.SS4.1.p1.10.m8.3.3.2.1.1.1.1.cmml" xref="A4.SS4.1.p1.10.m8.3.3.2.1.1.1.1"></plus><cn id="A4.SS4.1.p1.10.m8.3.3.2.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="A4.SS4.1.p1.10.m8.3.3.2.1.1.1.2">1</cn><apply id="A4.SS4.1.p1.10.m8.3.3.2.1.1.1.3.cmml" xref="A4.SS4.1.p1.10.m8.3.3.2.1.1.1.3"><times id="A4.SS4.1.p1.10.m8.3.3.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="A4.SS4.1.p1.10.m8.3.3.2.1.1.1.3.1"></times><apply id="A4.SS4.1.p1.10.m8.3.3.2.1.1.1.3.2.cmml" xref="A4.SS4.1.p1.10.m8.3.3.2.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.SS4.1.p1.10.m8.3.3.2.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="A4.SS4.1.p1.10.m8.3.3.2.1.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="A4.SS4.1.p1.10.m8.3.3.2.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="A4.SS4.1.p1.10.m8.3.3.2.1.1.1.3.2.2">𝑔</ci><ci id="A4.SS4.1.p1.10.m8.3.3.2.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="A4.SS4.1.p1.10.m8.3.3.2.1.1.1.3.2.3">ℓ</ci></apply><ci id="A4.SS4.1.p1.10.m8.1.1.cmml" xref="A4.SS4.1.p1.10.m8.1.1">𝑥</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A4.SS4.1.p1.10.m8.3c">(-1)^{t-k}\prod_{\ell=0}^{k-1}(1+g_{\ell}(x))</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A4.SS4.1.p1.10.m8.3d">( - 1 ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_t - italic_k end_POSTSUPERSCRIPT ∏ start_POSTSUBSCRIPT roman_ℓ = 0 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_k - 1 end_POSTSUPERSCRIPT ( 1 + italic_g start_POSTSUBSCRIPT roman_ℓ end_POSTSUBSCRIPT ( italic_x ) )</annotation></semantics></math>, and there are <math alttext="\binom{t}{k}" class="ltx_Math" display="inline" id="A4.SS4.1.p1.11.m9.2"><semantics id="A4.SS4.1.p1.11.m9.2a"><mrow id="A4.SS4.1.p1.11.m9.2.2.4" xref="A4.SS4.1.p1.11.m9.2.2.3.cmml"><mo id="A4.SS4.1.p1.11.m9.2.2.4.1" xref="A4.SS4.1.p1.11.m9.2.2.3.1.cmml">(</mo><mfrac id="A4.SS4.1.p1.11.m9.2.2.2.2" linethickness="0pt" xref="A4.SS4.1.p1.11.m9.2.2.3.cmml"><mi id="A4.SS4.1.p1.11.m9.1.1.1.1.1.1" xref="A4.SS4.1.p1.11.m9.1.1.1.1.1.1.cmml">t</mi><mi id="A4.SS4.1.p1.11.m9.2.2.2.2.2.1" xref="A4.SS4.1.p1.11.m9.2.2.2.2.2.1.cmml">k</mi></mfrac><mo id="A4.SS4.1.p1.11.m9.2.2.4.2" xref="A4.SS4.1.p1.11.m9.2.2.3.1.cmml">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A4.SS4.1.p1.11.m9.2b"><apply id="A4.SS4.1.p1.11.m9.2.2.3.cmml" xref="A4.SS4.1.p1.11.m9.2.2.4"><csymbol cd="latexml" id="A4.SS4.1.p1.11.m9.2.2.3.1.cmml" xref="A4.SS4.1.p1.11.m9.2.2.4.1">binomial</csymbol><ci id="A4.SS4.1.p1.11.m9.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A4.SS4.1.p1.11.m9.1.1.1.1.1.1">𝑡</ci><ci id="A4.SS4.1.p1.11.m9.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="A4.SS4.1.p1.11.m9.2.2.2.2.2.1">𝑘</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A4.SS4.1.p1.11.m9.2c">\binom{t}{k}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A4.SS4.1.p1.11.m9.2d">( FRACOP start_ARG italic_t end_ARG start_ARG italic_k end_ARG )</annotation></semantics></math> such paths. At the end of this process, we sum over all weights of all possible paths, regardless of the final position. This weighted path sum can therefore be represented as a matrix element</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_gather ltx_eqn_table" id="S6.EGx193"> <tbody id="A4.E241"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\displaystyle u^{T}M^{t}\hat{e}_{0}" class="ltx_Math" display="block" id="A4.E241.m1.1"><semantics id="A4.E241.m1.1a"><mrow id="A4.E241.m1.1.1" xref="A4.E241.m1.1.1.cmml"><msup id="A4.E241.m1.1.1.2" xref="A4.E241.m1.1.1.2.cmml"><mi id="A4.E241.m1.1.1.2.2" xref="A4.E241.m1.1.1.2.2.cmml">u</mi><mi id="A4.E241.m1.1.1.2.3" xref="A4.E241.m1.1.1.2.3.cmml">T</mi></msup><mo id="A4.E241.m1.1.1.1" xref="A4.E241.m1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msup id="A4.E241.m1.1.1.3" xref="A4.E241.m1.1.1.3.cmml"><mi id="A4.E241.m1.1.1.3.2" xref="A4.E241.m1.1.1.3.2.cmml">M</mi><mi id="A4.E241.m1.1.1.3.3" xref="A4.E241.m1.1.1.3.3.cmml">t</mi></msup><mo id="A4.E241.m1.1.1.1a" xref="A4.E241.m1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="A4.E241.m1.1.1.4" xref="A4.E241.m1.1.1.4.cmml"><mover accent="true" id="A4.E241.m1.1.1.4.2" xref="A4.E241.m1.1.1.4.2.cmml"><mi id="A4.E241.m1.1.1.4.2.2" xref="A4.E241.m1.1.1.4.2.2.cmml">e</mi><mo id="A4.E241.m1.1.1.4.2.1" xref="A4.E241.m1.1.1.4.2.1.cmml">^</mo></mover><mn id="A4.E241.m1.1.1.4.3" xref="A4.E241.m1.1.1.4.3.cmml">0</mn></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A4.E241.m1.1b"><apply id="A4.E241.m1.1.1.cmml" xref="A4.E241.m1.1.1"><times id="A4.E241.m1.1.1.1.cmml" xref="A4.E241.m1.1.1.1"></times><apply id="A4.E241.m1.1.1.2.cmml" xref="A4.E241.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.E241.m1.1.1.2.1.cmml" xref="A4.E241.m1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="A4.E241.m1.1.1.2.2.cmml" xref="A4.E241.m1.1.1.2.2">𝑢</ci><ci id="A4.E241.m1.1.1.2.3.cmml" xref="A4.E241.m1.1.1.2.3">𝑇</ci></apply><apply id="A4.E241.m1.1.1.3.cmml" xref="A4.E241.m1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.E241.m1.1.1.3.1.cmml" xref="A4.E241.m1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="A4.E241.m1.1.1.3.2.cmml" xref="A4.E241.m1.1.1.3.2">𝑀</ci><ci id="A4.E241.m1.1.1.3.3.cmml" xref="A4.E241.m1.1.1.3.3">𝑡</ci></apply><apply id="A4.E241.m1.1.1.4.cmml" xref="A4.E241.m1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.E241.m1.1.1.4.1.cmml" xref="A4.E241.m1.1.1.4">subscript</csymbol><apply id="A4.E241.m1.1.1.4.2.cmml" xref="A4.E241.m1.1.1.4.2"><ci id="A4.E241.m1.1.1.4.2.1.cmml" xref="A4.E241.m1.1.1.4.2.1">^</ci><ci id="A4.E241.m1.1.1.4.2.2.cmml" xref="A4.E241.m1.1.1.4.2.2">𝑒</ci></apply><cn id="A4.E241.m1.1.1.4.3.cmml" type="integer" xref="A4.E241.m1.1.1.4.3">0</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A4.E241.m1.1c">\displaystyle u^{T}M^{t}\hat{e}_{0}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A4.E241.m1.1d">italic_u start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT italic_M start_POSTSUPERSCRIPT italic_t end_POSTSUPERSCRIPT over^ start_ARG italic_e end_ARG start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(241)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="A4.SS4.1.p1.17">where <math alttext="M" class="ltx_Math" display="inline" id="A4.SS4.1.p1.12.m1.1"><semantics id="A4.SS4.1.p1.12.m1.1a"><mi id="A4.SS4.1.p1.12.m1.1.1" xref="A4.SS4.1.p1.12.m1.1.1.cmml">M</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A4.SS4.1.p1.12.m1.1b"><ci id="A4.SS4.1.p1.12.m1.1.1.cmml" xref="A4.SS4.1.p1.12.m1.1.1">𝑀</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A4.SS4.1.p1.12.m1.1c">M</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A4.SS4.1.p1.12.m1.1d">italic_M</annotation></semantics></math> is the transfer matrix representing all possible actions at a single time step. The decision to advance and acquire a weight <math alttext="(1+g_{\ell}(x))" class="ltx_Math" display="inline" id="A4.SS4.1.p1.13.m2.2"><semantics id="A4.SS4.1.p1.13.m2.2a"><mrow id="A4.SS4.1.p1.13.m2.2.2.1" xref="A4.SS4.1.p1.13.m2.2.2.1.1.cmml"><mo id="A4.SS4.1.p1.13.m2.2.2.1.2" stretchy="false" xref="A4.SS4.1.p1.13.m2.2.2.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A4.SS4.1.p1.13.m2.2.2.1.1" xref="A4.SS4.1.p1.13.m2.2.2.1.1.cmml"><mn id="A4.SS4.1.p1.13.m2.2.2.1.1.2" xref="A4.SS4.1.p1.13.m2.2.2.1.1.2.cmml">1</mn><mo id="A4.SS4.1.p1.13.m2.2.2.1.1.1" xref="A4.SS4.1.p1.13.m2.2.2.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="A4.SS4.1.p1.13.m2.2.2.1.1.3" xref="A4.SS4.1.p1.13.m2.2.2.1.1.3.cmml"><msub id="A4.SS4.1.p1.13.m2.2.2.1.1.3.2" xref="A4.SS4.1.p1.13.m2.2.2.1.1.3.2.cmml"><mi id="A4.SS4.1.p1.13.m2.2.2.1.1.3.2.2" xref="A4.SS4.1.p1.13.m2.2.2.1.1.3.2.2.cmml">g</mi><mi id="A4.SS4.1.p1.13.m2.2.2.1.1.3.2.3" mathvariant="normal" xref="A4.SS4.1.p1.13.m2.2.2.1.1.3.2.3.cmml">ℓ</mi></msub><mo id="A4.SS4.1.p1.13.m2.2.2.1.1.3.1" xref="A4.SS4.1.p1.13.m2.2.2.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A4.SS4.1.p1.13.m2.2.2.1.1.3.3.2" xref="A4.SS4.1.p1.13.m2.2.2.1.1.3.cmml"><mo id="A4.SS4.1.p1.13.m2.2.2.1.1.3.3.2.1" stretchy="false" xref="A4.SS4.1.p1.13.m2.2.2.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="A4.SS4.1.p1.13.m2.1.1" xref="A4.SS4.1.p1.13.m2.1.1.cmml">x</mi><mo id="A4.SS4.1.p1.13.m2.2.2.1.1.3.3.2.2" stretchy="false" xref="A4.SS4.1.p1.13.m2.2.2.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="A4.SS4.1.p1.13.m2.2.2.1.3" stretchy="false" xref="A4.SS4.1.p1.13.m2.2.2.1.1.cmml">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A4.SS4.1.p1.13.m2.2b"><apply id="A4.SS4.1.p1.13.m2.2.2.1.1.cmml" xref="A4.SS4.1.p1.13.m2.2.2.1"><plus id="A4.SS4.1.p1.13.m2.2.2.1.1.1.cmml" xref="A4.SS4.1.p1.13.m2.2.2.1.1.1"></plus><cn id="A4.SS4.1.p1.13.m2.2.2.1.1.2.cmml" type="integer" xref="A4.SS4.1.p1.13.m2.2.2.1.1.2">1</cn><apply id="A4.SS4.1.p1.13.m2.2.2.1.1.3.cmml" xref="A4.SS4.1.p1.13.m2.2.2.1.1.3"><times id="A4.SS4.1.p1.13.m2.2.2.1.1.3.1.cmml" xref="A4.SS4.1.p1.13.m2.2.2.1.1.3.1"></times><apply id="A4.SS4.1.p1.13.m2.2.2.1.1.3.2.cmml" xref="A4.SS4.1.p1.13.m2.2.2.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.SS4.1.p1.13.m2.2.2.1.1.3.2.1.cmml" xref="A4.SS4.1.p1.13.m2.2.2.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="A4.SS4.1.p1.13.m2.2.2.1.1.3.2.2.cmml" xref="A4.SS4.1.p1.13.m2.2.2.1.1.3.2.2">𝑔</ci><ci id="A4.SS4.1.p1.13.m2.2.2.1.1.3.2.3.cmml" xref="A4.SS4.1.p1.13.m2.2.2.1.1.3.2.3">ℓ</ci></apply><ci id="A4.SS4.1.p1.13.m2.1.1.cmml" xref="A4.SS4.1.p1.13.m2.1.1">𝑥</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A4.SS4.1.p1.13.m2.2c">(1+g_{\ell}(x))</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A4.SS4.1.p1.13.m2.2d">( 1 + italic_g start_POSTSUBSCRIPT roman_ℓ end_POSTSUBSCRIPT ( italic_x ) )</annotation></semantics></math> corresponds to the transfer matrix <math alttext="T+TG(x)" class="ltx_Math" display="inline" id="A4.SS4.1.p1.14.m3.1"><semantics id="A4.SS4.1.p1.14.m3.1a"><mrow id="A4.SS4.1.p1.14.m3.1.2" xref="A4.SS4.1.p1.14.m3.1.2.cmml"><mi id="A4.SS4.1.p1.14.m3.1.2.2" xref="A4.SS4.1.p1.14.m3.1.2.2.cmml">T</mi><mo id="A4.SS4.1.p1.14.m3.1.2.1" xref="A4.SS4.1.p1.14.m3.1.2.1.cmml">+</mo><mrow id="A4.SS4.1.p1.14.m3.1.2.3" xref="A4.SS4.1.p1.14.m3.1.2.3.cmml"><mi id="A4.SS4.1.p1.14.m3.1.2.3.2" xref="A4.SS4.1.p1.14.m3.1.2.3.2.cmml">T</mi><mo id="A4.SS4.1.p1.14.m3.1.2.3.1" xref="A4.SS4.1.p1.14.m3.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A4.SS4.1.p1.14.m3.1.2.3.3" xref="A4.SS4.1.p1.14.m3.1.2.3.3.cmml">G</mi><mo id="A4.SS4.1.p1.14.m3.1.2.3.1a" xref="A4.SS4.1.p1.14.m3.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A4.SS4.1.p1.14.m3.1.2.3.4.2" xref="A4.SS4.1.p1.14.m3.1.2.3.cmml"><mo id="A4.SS4.1.p1.14.m3.1.2.3.4.2.1" stretchy="false" xref="A4.SS4.1.p1.14.m3.1.2.3.cmml">(</mo><mi id="A4.SS4.1.p1.14.m3.1.1" xref="A4.SS4.1.p1.14.m3.1.1.cmml">x</mi><mo id="A4.SS4.1.p1.14.m3.1.2.3.4.2.2" stretchy="false" xref="A4.SS4.1.p1.14.m3.1.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A4.SS4.1.p1.14.m3.1b"><apply id="A4.SS4.1.p1.14.m3.1.2.cmml" xref="A4.SS4.1.p1.14.m3.1.2"><plus id="A4.SS4.1.p1.14.m3.1.2.1.cmml" xref="A4.SS4.1.p1.14.m3.1.2.1"></plus><ci id="A4.SS4.1.p1.14.m3.1.2.2.cmml" xref="A4.SS4.1.p1.14.m3.1.2.2">𝑇</ci><apply id="A4.SS4.1.p1.14.m3.1.2.3.cmml" xref="A4.SS4.1.p1.14.m3.1.2.3"><times id="A4.SS4.1.p1.14.m3.1.2.3.1.cmml" xref="A4.SS4.1.p1.14.m3.1.2.3.1"></times><ci id="A4.SS4.1.p1.14.m3.1.2.3.2.cmml" xref="A4.SS4.1.p1.14.m3.1.2.3.2">𝑇</ci><ci id="A4.SS4.1.p1.14.m3.1.2.3.3.cmml" xref="A4.SS4.1.p1.14.m3.1.2.3.3">𝐺</ci><ci id="A4.SS4.1.p1.14.m3.1.1.cmml" xref="A4.SS4.1.p1.14.m3.1.1">𝑥</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A4.SS4.1.p1.14.m3.1c">T+TG(x)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A4.SS4.1.p1.14.m3.1d">italic_T + italic_T italic_G ( italic_x )</annotation></semantics></math>, while the decision to remain still and acquire a weight <math alttext="(-1)" class="ltx_Math" display="inline" id="A4.SS4.1.p1.15.m4.1"><semantics id="A4.SS4.1.p1.15.m4.1a"><mrow id="A4.SS4.1.p1.15.m4.1.1.1" xref="A4.SS4.1.p1.15.m4.1.1.1.1.cmml"><mo id="A4.SS4.1.p1.15.m4.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A4.SS4.1.p1.15.m4.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A4.SS4.1.p1.15.m4.1.1.1.1" xref="A4.SS4.1.p1.15.m4.1.1.1.1.cmml"><mo id="A4.SS4.1.p1.15.m4.1.1.1.1a" xref="A4.SS4.1.p1.15.m4.1.1.1.1.cmml">−</mo><mn id="A4.SS4.1.p1.15.m4.1.1.1.1.2" xref="A4.SS4.1.p1.15.m4.1.1.1.1.2.cmml">1</mn></mrow><mo id="A4.SS4.1.p1.15.m4.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A4.SS4.1.p1.15.m4.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A4.SS4.1.p1.15.m4.1b"><apply id="A4.SS4.1.p1.15.m4.1.1.1.1.cmml" xref="A4.SS4.1.p1.15.m4.1.1.1"><minus id="A4.SS4.1.p1.15.m4.1.1.1.1.1.cmml" xref="A4.SS4.1.p1.15.m4.1.1.1"></minus><cn id="A4.SS4.1.p1.15.m4.1.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="A4.SS4.1.p1.15.m4.1.1.1.1.2">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A4.SS4.1.p1.15.m4.1c">(-1)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A4.SS4.1.p1.15.m4.1d">( - 1 )</annotation></semantics></math> corresponds to <math alttext="-I" class="ltx_Math" display="inline" id="A4.SS4.1.p1.16.m5.1"><semantics id="A4.SS4.1.p1.16.m5.1a"><mrow id="A4.SS4.1.p1.16.m5.1.1" xref="A4.SS4.1.p1.16.m5.1.1.cmml"><mo id="A4.SS4.1.p1.16.m5.1.1a" xref="A4.SS4.1.p1.16.m5.1.1.cmml">−</mo><mi id="A4.SS4.1.p1.16.m5.1.1.2" xref="A4.SS4.1.p1.16.m5.1.1.2.cmml">I</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A4.SS4.1.p1.16.m5.1b"><apply id="A4.SS4.1.p1.16.m5.1.1.cmml" xref="A4.SS4.1.p1.16.m5.1.1"><minus id="A4.SS4.1.p1.16.m5.1.1.1.cmml" xref="A4.SS4.1.p1.16.m5.1.1"></minus><ci id="A4.SS4.1.p1.16.m5.1.1.2.cmml" xref="A4.SS4.1.p1.16.m5.1.1.2">𝐼</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A4.SS4.1.p1.16.m5.1c">-I</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A4.SS4.1.p1.16.m5.1d">- italic_I</annotation></semantics></math>. Therefore <math alttext="M=T+TG-I" class="ltx_Math" display="inline" id="A4.SS4.1.p1.17.m6.1"><semantics id="A4.SS4.1.p1.17.m6.1a"><mrow id="A4.SS4.1.p1.17.m6.1.1" xref="A4.SS4.1.p1.17.m6.1.1.cmml"><mi id="A4.SS4.1.p1.17.m6.1.1.2" xref="A4.SS4.1.p1.17.m6.1.1.2.cmml">M</mi><mo id="A4.SS4.1.p1.17.m6.1.1.1" xref="A4.SS4.1.p1.17.m6.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="A4.SS4.1.p1.17.m6.1.1.3" xref="A4.SS4.1.p1.17.m6.1.1.3.cmml"><mrow id="A4.SS4.1.p1.17.m6.1.1.3.2" xref="A4.SS4.1.p1.17.m6.1.1.3.2.cmml"><mi id="A4.SS4.1.p1.17.m6.1.1.3.2.2" xref="A4.SS4.1.p1.17.m6.1.1.3.2.2.cmml">T</mi><mo id="A4.SS4.1.p1.17.m6.1.1.3.2.1" xref="A4.SS4.1.p1.17.m6.1.1.3.2.1.cmml">+</mo><mrow id="A4.SS4.1.p1.17.m6.1.1.3.2.3" xref="A4.SS4.1.p1.17.m6.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="A4.SS4.1.p1.17.m6.1.1.3.2.3.2" xref="A4.SS4.1.p1.17.m6.1.1.3.2.3.2.cmml">T</mi><mo id="A4.SS4.1.p1.17.m6.1.1.3.2.3.1" xref="A4.SS4.1.p1.17.m6.1.1.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A4.SS4.1.p1.17.m6.1.1.3.2.3.3" xref="A4.SS4.1.p1.17.m6.1.1.3.2.3.3.cmml">G</mi></mrow></mrow><mo id="A4.SS4.1.p1.17.m6.1.1.3.1" xref="A4.SS4.1.p1.17.m6.1.1.3.1.cmml">−</mo><mi id="A4.SS4.1.p1.17.m6.1.1.3.3" xref="A4.SS4.1.p1.17.m6.1.1.3.3.cmml">I</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A4.SS4.1.p1.17.m6.1b"><apply id="A4.SS4.1.p1.17.m6.1.1.cmml" xref="A4.SS4.1.p1.17.m6.1.1"><eq id="A4.SS4.1.p1.17.m6.1.1.1.cmml" xref="A4.SS4.1.p1.17.m6.1.1.1"></eq><ci id="A4.SS4.1.p1.17.m6.1.1.2.cmml" xref="A4.SS4.1.p1.17.m6.1.1.2">𝑀</ci><apply id="A4.SS4.1.p1.17.m6.1.1.3.cmml" xref="A4.SS4.1.p1.17.m6.1.1.3"><minus id="A4.SS4.1.p1.17.m6.1.1.3.1.cmml" xref="A4.SS4.1.p1.17.m6.1.1.3.1"></minus><apply id="A4.SS4.1.p1.17.m6.1.1.3.2.cmml" xref="A4.SS4.1.p1.17.m6.1.1.3.2"><plus id="A4.SS4.1.p1.17.m6.1.1.3.2.1.cmml" xref="A4.SS4.1.p1.17.m6.1.1.3.2.1"></plus><ci id="A4.SS4.1.p1.17.m6.1.1.3.2.2.cmml" xref="A4.SS4.1.p1.17.m6.1.1.3.2.2">𝑇</ci><apply id="A4.SS4.1.p1.17.m6.1.1.3.2.3.cmml" xref="A4.SS4.1.p1.17.m6.1.1.3.2.3"><times id="A4.SS4.1.p1.17.m6.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="A4.SS4.1.p1.17.m6.1.1.3.2.3.1"></times><ci id="A4.SS4.1.p1.17.m6.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="A4.SS4.1.p1.17.m6.1.1.3.2.3.2">𝑇</ci><ci id="A4.SS4.1.p1.17.m6.1.1.3.2.3.3.cmml" xref="A4.SS4.1.p1.17.m6.1.1.3.2.3.3">𝐺</ci></apply></apply><ci id="A4.SS4.1.p1.17.m6.1.1.3.3.cmml" xref="A4.SS4.1.p1.17.m6.1.1.3.3">𝐼</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A4.SS4.1.p1.17.m6.1c">M=T+TG-I</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A4.SS4.1.p1.17.m6.1d">italic_M = italic_T + italic_T italic_G - italic_I</annotation></semantics></math>, so</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="S6.EGx194"> <tbody id="A4.Ex75"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle d_{t}(x)" class="ltx_Math" display="inline" id="A4.Ex75.m1.1"><semantics id="A4.Ex75.m1.1a"><mrow id="A4.Ex75.m1.1.2" xref="A4.Ex75.m1.1.2.cmml"><msub id="A4.Ex75.m1.1.2.2" xref="A4.Ex75.m1.1.2.2.cmml"><mi id="A4.Ex75.m1.1.2.2.2" xref="A4.Ex75.m1.1.2.2.2.cmml">d</mi><mi id="A4.Ex75.m1.1.2.2.3" xref="A4.Ex75.m1.1.2.2.3.cmml">t</mi></msub><mo id="A4.Ex75.m1.1.2.1" xref="A4.Ex75.m1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A4.Ex75.m1.1.2.3.2" xref="A4.Ex75.m1.1.2.cmml"><mo id="A4.Ex75.m1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="A4.Ex75.m1.1.2.cmml">(</mo><mi id="A4.Ex75.m1.1.1" xref="A4.Ex75.m1.1.1.cmml">x</mi><mo id="A4.Ex75.m1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="A4.Ex75.m1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A4.Ex75.m1.1b"><apply id="A4.Ex75.m1.1.2.cmml" xref="A4.Ex75.m1.1.2"><times id="A4.Ex75.m1.1.2.1.cmml" xref="A4.Ex75.m1.1.2.1"></times><apply id="A4.Ex75.m1.1.2.2.cmml" xref="A4.Ex75.m1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.Ex75.m1.1.2.2.1.cmml" xref="A4.Ex75.m1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="A4.Ex75.m1.1.2.2.2.cmml" xref="A4.Ex75.m1.1.2.2.2">𝑑</ci><ci id="A4.Ex75.m1.1.2.2.3.cmml" xref="A4.Ex75.m1.1.2.2.3">𝑡</ci></apply><ci id="A4.Ex75.m1.1.1.cmml" xref="A4.Ex75.m1.1.1">𝑥</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A4.Ex75.m1.1c">\displaystyle d_{t}(x)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A4.Ex75.m1.1d">italic_d start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( italic_x )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=c_{t}(x^{2})u^{T}\big{[}T+TG(x)-I\big{]}^{t}\hat{e}_{0}" class="ltx_Math" display="inline" id="A4.Ex75.m2.3"><semantics id="A4.Ex75.m2.3a"><mrow id="A4.Ex75.m2.3.3" xref="A4.Ex75.m2.3.3.cmml"><mi id="A4.Ex75.m2.3.3.4" xref="A4.Ex75.m2.3.3.4.cmml"></mi><mo id="A4.Ex75.m2.3.3.3" xref="A4.Ex75.m2.3.3.3.cmml">=</mo><mrow id="A4.Ex75.m2.3.3.2" xref="A4.Ex75.m2.3.3.2.cmml"><msub id="A4.Ex75.m2.3.3.2.4" xref="A4.Ex75.m2.3.3.2.4.cmml"><mi 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xref="A4.Ex75.m2.3.3.2.3.cmml">⁢</mo><msup id="A4.Ex75.m2.3.3.2.2" xref="A4.Ex75.m2.3.3.2.2.cmml"><mrow id="A4.Ex75.m2.3.3.2.2.1.1" xref="A4.Ex75.m2.3.3.2.2.1.2.cmml"><mo id="A4.Ex75.m2.3.3.2.2.1.1.2" maxsize="120%" minsize="120%" xref="A4.Ex75.m2.3.3.2.2.1.2.1.cmml">[</mo><mrow id="A4.Ex75.m2.3.3.2.2.1.1.1" xref="A4.Ex75.m2.3.3.2.2.1.1.1.cmml"><mrow id="A4.Ex75.m2.3.3.2.2.1.1.1.2" xref="A4.Ex75.m2.3.3.2.2.1.1.1.2.cmml"><mi id="A4.Ex75.m2.3.3.2.2.1.1.1.2.2" xref="A4.Ex75.m2.3.3.2.2.1.1.1.2.2.cmml">T</mi><mo id="A4.Ex75.m2.3.3.2.2.1.1.1.2.1" xref="A4.Ex75.m2.3.3.2.2.1.1.1.2.1.cmml">+</mo><mrow id="A4.Ex75.m2.3.3.2.2.1.1.1.2.3" xref="A4.Ex75.m2.3.3.2.2.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="A4.Ex75.m2.3.3.2.2.1.1.1.2.3.2" xref="A4.Ex75.m2.3.3.2.2.1.1.1.2.3.2.cmml">T</mi><mo id="A4.Ex75.m2.3.3.2.2.1.1.1.2.3.1" xref="A4.Ex75.m2.3.3.2.2.1.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A4.Ex75.m2.3.3.2.2.1.1.1.2.3.3" xref="A4.Ex75.m2.3.3.2.2.1.1.1.2.3.3.cmml">G</mi><mo id="A4.Ex75.m2.3.3.2.2.1.1.1.2.3.1a" 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id="A4.Ex75.m2.3.3.2.6.2.2" xref="A4.Ex75.m2.3.3.2.6.2.2.cmml">e</mi><mo id="A4.Ex75.m2.3.3.2.6.2.1" xref="A4.Ex75.m2.3.3.2.6.2.1.cmml">^</mo></mover><mn id="A4.Ex75.m2.3.3.2.6.3" xref="A4.Ex75.m2.3.3.2.6.3.cmml">0</mn></msub></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A4.Ex75.m2.3b"><apply id="A4.Ex75.m2.3.3.cmml" xref="A4.Ex75.m2.3.3"><eq id="A4.Ex75.m2.3.3.3.cmml" xref="A4.Ex75.m2.3.3.3"></eq><csymbol cd="latexml" id="A4.Ex75.m2.3.3.4.cmml" xref="A4.Ex75.m2.3.3.4">absent</csymbol><apply id="A4.Ex75.m2.3.3.2.cmml" xref="A4.Ex75.m2.3.3.2"><times id="A4.Ex75.m2.3.3.2.3.cmml" xref="A4.Ex75.m2.3.3.2.3"></times><apply id="A4.Ex75.m2.3.3.2.4.cmml" xref="A4.Ex75.m2.3.3.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.Ex75.m2.3.3.2.4.1.cmml" xref="A4.Ex75.m2.3.3.2.4">subscript</csymbol><ci id="A4.Ex75.m2.3.3.2.4.2.cmml" xref="A4.Ex75.m2.3.3.2.4.2">𝑐</ci><ci id="A4.Ex75.m2.3.3.2.4.3.cmml" xref="A4.Ex75.m2.3.3.2.4.3">𝑡</ci></apply><apply id="A4.Ex75.m2.2.2.1.1.1.1.cmml" 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xref="A4.Ex75.m2.3.3.2.2.3">𝑡</ci></apply><apply id="A4.Ex75.m2.3.3.2.6.cmml" xref="A4.Ex75.m2.3.3.2.6"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.Ex75.m2.3.3.2.6.1.cmml" xref="A4.Ex75.m2.3.3.2.6">subscript</csymbol><apply id="A4.Ex75.m2.3.3.2.6.2.cmml" xref="A4.Ex75.m2.3.3.2.6.2"><ci id="A4.Ex75.m2.3.3.2.6.2.1.cmml" xref="A4.Ex75.m2.3.3.2.6.2.1">^</ci><ci id="A4.Ex75.m2.3.3.2.6.2.2.cmml" xref="A4.Ex75.m2.3.3.2.6.2.2">𝑒</ci></apply><cn id="A4.Ex75.m2.3.3.2.6.3.cmml" type="integer" xref="A4.Ex75.m2.3.3.2.6.3">0</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A4.Ex75.m2.3c">\displaystyle=c_{t}(x^{2})u^{T}\big{[}T+TG(x)-I\big{]}^{t}\hat{e}_{0}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A4.Ex75.m2.3d">= italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( italic_x start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ) italic_u start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT [ italic_T + italic_T italic_G ( italic_x ) - italic_I ] start_POSTSUPERSCRIPT italic_t end_POSTSUPERSCRIPT over^ start_ARG italic_e end_ARG start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="A4.Ex76"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=c_{t}(x^{2})u^{T}\big{[}\Delta+TG\big{]}^{t}\hat{e}_{0}" class="ltx_Math" display="inline" id="A4.Ex76.m1.2"><semantics id="A4.Ex76.m1.2a"><mrow id="A4.Ex76.m1.2.2" xref="A4.Ex76.m1.2.2.cmml"><mi id="A4.Ex76.m1.2.2.4" xref="A4.Ex76.m1.2.2.4.cmml"></mi><mo id="A4.Ex76.m1.2.2.3" xref="A4.Ex76.m1.2.2.3.cmml">=</mo><mrow id="A4.Ex76.m1.2.2.2" xref="A4.Ex76.m1.2.2.2.cmml"><msub id="A4.Ex76.m1.2.2.2.4" xref="A4.Ex76.m1.2.2.2.4.cmml"><mi id="A4.Ex76.m1.2.2.2.4.2" xref="A4.Ex76.m1.2.2.2.4.2.cmml">c</mi><mi 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id="A4.Ex76.m1.2.2.2.4.1.cmml" xref="A4.Ex76.m1.2.2.2.4">subscript</csymbol><ci id="A4.Ex76.m1.2.2.2.4.2.cmml" xref="A4.Ex76.m1.2.2.2.4.2">𝑐</ci><ci id="A4.Ex76.m1.2.2.2.4.3.cmml" xref="A4.Ex76.m1.2.2.2.4.3">𝑡</ci></apply><apply id="A4.Ex76.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A4.Ex76.m1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.Ex76.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A4.Ex76.m1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="A4.Ex76.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A4.Ex76.m1.1.1.1.1.1.1.2">𝑥</ci><cn id="A4.Ex76.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A4.Ex76.m1.1.1.1.1.1.1.3">2</cn></apply><apply id="A4.Ex76.m1.2.2.2.5.cmml" xref="A4.Ex76.m1.2.2.2.5"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.Ex76.m1.2.2.2.5.1.cmml" xref="A4.Ex76.m1.2.2.2.5">superscript</csymbol><ci id="A4.Ex76.m1.2.2.2.5.2.cmml" xref="A4.Ex76.m1.2.2.2.5.2">𝑢</ci><ci id="A4.Ex76.m1.2.2.2.5.3.cmml" xref="A4.Ex76.m1.2.2.2.5.3">𝑇</ci></apply><apply id="A4.Ex76.m1.2.2.2.2.cmml" xref="A4.Ex76.m1.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" 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end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="A4.SS4.1.p1.18">- ∎</p> </div> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_lemma" id="Thmtheorem62"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmtheorem62.1.1.1">Lemma 62</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmtheorem62.2.2">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="Thmtheorem62.p1"> <p class="ltx_p" id="Thmtheorem62.p1.1"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmtheorem62.p1.1.1">Define an operator <math alttext="\delta" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem62.p1.1.1.m1.1"><semantics id="Thmtheorem62.p1.1.1.m1.1a"><mi id="Thmtheorem62.p1.1.1.m1.1.1" xref="Thmtheorem62.p1.1.1.m1.1.1.cmml">δ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem62.p1.1.1.m1.1b"><ci id="Thmtheorem62.p1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem62.p1.1.1.m1.1.1">𝛿</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem62.p1.1.1.m1.1c">\delta</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem62.p1.1.1.m1.1d">italic_δ</annotation></semantics></math> which maps diagonal matrices to diagonal matrices by</span></p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_gather ltx_eqn_table" id="S6.EGx195"> <tbody id="A4.E242"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\displaystyle\delta M=\sum_{i}(M_{i,i}-M_{i-1,i-1})e_{i}e_{i}^{T}" class="ltx_Math" display="block" id="A4.E242.m1.5"><semantics id="A4.E242.m1.5a"><mrow id="A4.E242.m1.5.5" xref="A4.E242.m1.5.5.cmml"><mrow id="A4.E242.m1.5.5.3" xref="A4.E242.m1.5.5.3.cmml"><mi id="A4.E242.m1.5.5.3.2" xref="A4.E242.m1.5.5.3.2.cmml">δ</mi><mo id="A4.E242.m1.5.5.3.1" xref="A4.E242.m1.5.5.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A4.E242.m1.5.5.3.3" xref="A4.E242.m1.5.5.3.3.cmml">M</mi></mrow><mo id="A4.E242.m1.5.5.2" rspace="0.111em" xref="A4.E242.m1.5.5.2.cmml">=</mo><mrow id="A4.E242.m1.5.5.1" xref="A4.E242.m1.5.5.1.cmml"><munder id="A4.E242.m1.5.5.1.2" xref="A4.E242.m1.5.5.1.2.cmml"><mo id="A4.E242.m1.5.5.1.2.2" movablelimits="false" rspace="0em" xref="A4.E242.m1.5.5.1.2.2.cmml">∑</mo><mi id="A4.E242.m1.5.5.1.2.3" xref="A4.E242.m1.5.5.1.2.3.cmml">i</mi></munder><mrow id="A4.E242.m1.5.5.1.1" xref="A4.E242.m1.5.5.1.1.cmml"><mrow id="A4.E242.m1.5.5.1.1.1.1" xref="A4.E242.m1.5.5.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A4.E242.m1.5.5.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A4.E242.m1.5.5.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A4.E242.m1.5.5.1.1.1.1.1" xref="A4.E242.m1.5.5.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="A4.E242.m1.5.5.1.1.1.1.1.2" xref="A4.E242.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="A4.E242.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.2" xref="A4.E242.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.2.cmml">M</mi><mrow id="A4.E242.m1.2.2.2.4" xref="A4.E242.m1.2.2.2.3.cmml"><mi id="A4.E242.m1.1.1.1.1" xref="A4.E242.m1.1.1.1.1.cmml">i</mi><mo id="A4.E242.m1.2.2.2.4.1" xref="A4.E242.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="A4.E242.m1.2.2.2.2" xref="A4.E242.m1.2.2.2.2.cmml">i</mi></mrow></msub><mo id="A4.E242.m1.5.5.1.1.1.1.1.1" xref="A4.E242.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><msub id="A4.E242.m1.5.5.1.1.1.1.1.3" xref="A4.E242.m1.5.5.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A4.E242.m1.5.5.1.1.1.1.1.3.2" xref="A4.E242.m1.5.5.1.1.1.1.1.3.2.cmml">M</mi><mrow id="A4.E242.m1.4.4.2.2" xref="A4.E242.m1.4.4.2.3.cmml"><mrow id="A4.E242.m1.3.3.1.1.1" xref="A4.E242.m1.3.3.1.1.1.cmml"><mi id="A4.E242.m1.3.3.1.1.1.2" xref="A4.E242.m1.3.3.1.1.1.2.cmml">i</mi><mo id="A4.E242.m1.3.3.1.1.1.1" xref="A4.E242.m1.3.3.1.1.1.1.cmml">−</mo><mn id="A4.E242.m1.3.3.1.1.1.3" xref="A4.E242.m1.3.3.1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="A4.E242.m1.4.4.2.2.3" xref="A4.E242.m1.4.4.2.3.cmml">,</mo><mrow id="A4.E242.m1.4.4.2.2.2" xref="A4.E242.m1.4.4.2.2.2.cmml"><mi id="A4.E242.m1.4.4.2.2.2.2" xref="A4.E242.m1.4.4.2.2.2.2.cmml">i</mi><mo id="A4.E242.m1.4.4.2.2.2.1" xref="A4.E242.m1.4.4.2.2.2.1.cmml">−</mo><mn id="A4.E242.m1.4.4.2.2.2.3" xref="A4.E242.m1.4.4.2.2.2.3.cmml">1</mn></mrow></mrow></msub></mrow><mo id="A4.E242.m1.5.5.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A4.E242.m1.5.5.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A4.E242.m1.5.5.1.1.2" xref="A4.E242.m1.5.5.1.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="A4.E242.m1.5.5.1.1.3" xref="A4.E242.m1.5.5.1.1.3.cmml"><mi id="A4.E242.m1.5.5.1.1.3.2" xref="A4.E242.m1.5.5.1.1.3.2.cmml">e</mi><mi id="A4.E242.m1.5.5.1.1.3.3" xref="A4.E242.m1.5.5.1.1.3.3.cmml">i</mi></msub><mo id="A4.E242.m1.5.5.1.1.2a" xref="A4.E242.m1.5.5.1.1.2.cmml">⁢</mo><msubsup id="A4.E242.m1.5.5.1.1.4" xref="A4.E242.m1.5.5.1.1.4.cmml"><mi id="A4.E242.m1.5.5.1.1.4.2.2" xref="A4.E242.m1.5.5.1.1.4.2.2.cmml">e</mi><mi id="A4.E242.m1.5.5.1.1.4.2.3" xref="A4.E242.m1.5.5.1.1.4.2.3.cmml">i</mi><mi id="A4.E242.m1.5.5.1.1.4.3" xref="A4.E242.m1.5.5.1.1.4.3.cmml">T</mi></msubsup></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A4.E242.m1.5b"><apply id="A4.E242.m1.5.5.cmml" xref="A4.E242.m1.5.5"><eq id="A4.E242.m1.5.5.2.cmml" xref="A4.E242.m1.5.5.2"></eq><apply id="A4.E242.m1.5.5.3.cmml" xref="A4.E242.m1.5.5.3"><times id="A4.E242.m1.5.5.3.1.cmml" xref="A4.E242.m1.5.5.3.1"></times><ci id="A4.E242.m1.5.5.3.2.cmml" xref="A4.E242.m1.5.5.3.2">𝛿</ci><ci id="A4.E242.m1.5.5.3.3.cmml" xref="A4.E242.m1.5.5.3.3">𝑀</ci></apply><apply id="A4.E242.m1.5.5.1.cmml" xref="A4.E242.m1.5.5.1"><apply id="A4.E242.m1.5.5.1.2.cmml" xref="A4.E242.m1.5.5.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.E242.m1.5.5.1.2.1.cmml" xref="A4.E242.m1.5.5.1.2">subscript</csymbol><sum id="A4.E242.m1.5.5.1.2.2.cmml" xref="A4.E242.m1.5.5.1.2.2"></sum><ci id="A4.E242.m1.5.5.1.2.3.cmml" xref="A4.E242.m1.5.5.1.2.3">𝑖</ci></apply><apply id="A4.E242.m1.5.5.1.1.cmml" xref="A4.E242.m1.5.5.1.1"><times id="A4.E242.m1.5.5.1.1.2.cmml" xref="A4.E242.m1.5.5.1.1.2"></times><apply id="A4.E242.m1.5.5.1.1.1.1.1.cmml" xref="A4.E242.m1.5.5.1.1.1.1"><minus id="A4.E242.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A4.E242.m1.5.5.1.1.1.1.1.1"></minus><apply id="A4.E242.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A4.E242.m1.5.5.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.E242.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A4.E242.m1.5.5.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="A4.E242.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A4.E242.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.2">𝑀</ci><list id="A4.E242.m1.2.2.2.3.cmml" xref="A4.E242.m1.2.2.2.4"><ci id="A4.E242.m1.1.1.1.1.cmml" xref="A4.E242.m1.1.1.1.1">𝑖</ci><ci id="A4.E242.m1.2.2.2.2.cmml" xref="A4.E242.m1.2.2.2.2">𝑖</ci></list></apply><apply id="A4.E242.m1.5.5.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A4.E242.m1.5.5.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.E242.m1.5.5.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A4.E242.m1.5.5.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A4.E242.m1.5.5.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A4.E242.m1.5.5.1.1.1.1.1.3.2">𝑀</ci><list id="A4.E242.m1.4.4.2.3.cmml" xref="A4.E242.m1.4.4.2.2"><apply id="A4.E242.m1.3.3.1.1.1.cmml" xref="A4.E242.m1.3.3.1.1.1"><minus id="A4.E242.m1.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="A4.E242.m1.3.3.1.1.1.1"></minus><ci id="A4.E242.m1.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="A4.E242.m1.3.3.1.1.1.2">𝑖</ci><cn id="A4.E242.m1.3.3.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A4.E242.m1.3.3.1.1.1.3">1</cn></apply><apply id="A4.E242.m1.4.4.2.2.2.cmml" xref="A4.E242.m1.4.4.2.2.2"><minus id="A4.E242.m1.4.4.2.2.2.1.cmml" xref="A4.E242.m1.4.4.2.2.2.1"></minus><ci id="A4.E242.m1.4.4.2.2.2.2.cmml" xref="A4.E242.m1.4.4.2.2.2.2">𝑖</ci><cn id="A4.E242.m1.4.4.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="A4.E242.m1.4.4.2.2.2.3">1</cn></apply></list></apply></apply><apply id="A4.E242.m1.5.5.1.1.3.cmml" xref="A4.E242.m1.5.5.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.E242.m1.5.5.1.1.3.1.cmml" xref="A4.E242.m1.5.5.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A4.E242.m1.5.5.1.1.3.2.cmml" xref="A4.E242.m1.5.5.1.1.3.2">𝑒</ci><ci id="A4.E242.m1.5.5.1.1.3.3.cmml" xref="A4.E242.m1.5.5.1.1.3.3">𝑖</ci></apply><apply id="A4.E242.m1.5.5.1.1.4.cmml" xref="A4.E242.m1.5.5.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.E242.m1.5.5.1.1.4.1.cmml" xref="A4.E242.m1.5.5.1.1.4">superscript</csymbol><apply id="A4.E242.m1.5.5.1.1.4.2.cmml" xref="A4.E242.m1.5.5.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.E242.m1.5.5.1.1.4.2.1.cmml" xref="A4.E242.m1.5.5.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="A4.E242.m1.5.5.1.1.4.2.2.cmml" xref="A4.E242.m1.5.5.1.1.4.2.2">𝑒</ci><ci id="A4.E242.m1.5.5.1.1.4.2.3.cmml" xref="A4.E242.m1.5.5.1.1.4.2.3">𝑖</ci></apply><ci id="A4.E242.m1.5.5.1.1.4.3.cmml" xref="A4.E242.m1.5.5.1.1.4.3">𝑇</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A4.E242.m1.5c">\displaystyle\delta M=\sum_{i}(M_{i,i}-M_{i-1,i-1})e_{i}e_{i}^{T}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A4.E242.m1.5d">italic_δ italic_M = ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT ( italic_M start_POSTSUBSCRIPT italic_i , italic_i end_POSTSUBSCRIPT - italic_M start_POSTSUBSCRIPT italic_i - 1 , italic_i - 1 end_POSTSUBSCRIPT ) italic_e start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT italic_e start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(242)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="Thmtheorem62.p1.2"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmtheorem62.p1.2.1">We have the following bound on the derangement polynomial:</span></p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_gather ltx_eqn_table" id="S6.EGx196"> <tbody id="A4.E243"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\displaystyle d_{t}(x)\leq c_{t}(x^{2})\sum_{A}\binom{t}{A}A^{t-A}\max_{% \lambda}\left|u^{T}\prod_{i=1}^{A}T^{\lambda_{i}+1}\delta^{\lambda_{i}}G(x)% \hat{e}_{0}\right|." class="ltx_Math" display="block" id="A4.E243.m1.5"><semantics id="A4.E243.m1.5a"><mrow id="A4.E243.m1.5.5.1" xref="A4.E243.m1.5.5.1.1.cmml"><mrow id="A4.E243.m1.5.5.1.1" xref="A4.E243.m1.5.5.1.1.cmml"><mrow id="A4.E243.m1.5.5.1.1.4" xref="A4.E243.m1.5.5.1.1.4.cmml"><msub id="A4.E243.m1.5.5.1.1.4.2" xref="A4.E243.m1.5.5.1.1.4.2.cmml"><mi id="A4.E243.m1.5.5.1.1.4.2.2" xref="A4.E243.m1.5.5.1.1.4.2.2.cmml">d</mi><mi id="A4.E243.m1.5.5.1.1.4.2.3" xref="A4.E243.m1.5.5.1.1.4.2.3.cmml">t</mi></msub><mo id="A4.E243.m1.5.5.1.1.4.1" xref="A4.E243.m1.5.5.1.1.4.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A4.E243.m1.5.5.1.1.4.3.2" xref="A4.E243.m1.5.5.1.1.4.cmml"><mo id="A4.E243.m1.5.5.1.1.4.3.2.1" stretchy="false" xref="A4.E243.m1.5.5.1.1.4.cmml">(</mo><mi id="A4.E243.m1.3.3" xref="A4.E243.m1.3.3.cmml">x</mi><mo id="A4.E243.m1.5.5.1.1.4.3.2.2" stretchy="false" xref="A4.E243.m1.5.5.1.1.4.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A4.E243.m1.5.5.1.1.3" xref="A4.E243.m1.5.5.1.1.3.cmml">≤</mo><mrow id="A4.E243.m1.5.5.1.1.2" xref="A4.E243.m1.5.5.1.1.2.cmml"><msub id="A4.E243.m1.5.5.1.1.2.4" xref="A4.E243.m1.5.5.1.1.2.4.cmml"><mi id="A4.E243.m1.5.5.1.1.2.4.2" xref="A4.E243.m1.5.5.1.1.2.4.2.cmml">c</mi><mi id="A4.E243.m1.5.5.1.1.2.4.3" xref="A4.E243.m1.5.5.1.1.2.4.3.cmml">t</mi></msub><mo id="A4.E243.m1.5.5.1.1.2.3" xref="A4.E243.m1.5.5.1.1.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="A4.E243.m1.5.5.1.1.1.1.1" xref="A4.E243.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A4.E243.m1.5.5.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A4.E243.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="A4.E243.m1.5.5.1.1.1.1.1.1" xref="A4.E243.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A4.E243.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2" xref="A4.E243.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.cmml">x</mi><mn id="A4.E243.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3" xref="A4.E243.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.cmml">2</mn></msup><mo id="A4.E243.m1.5.5.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A4.E243.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A4.E243.m1.5.5.1.1.2.3a" xref="A4.E243.m1.5.5.1.1.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="A4.E243.m1.5.5.1.1.2.2" xref="A4.E243.m1.5.5.1.1.2.2.cmml"><munder id="A4.E243.m1.5.5.1.1.2.2.2" xref="A4.E243.m1.5.5.1.1.2.2.2.cmml"><mo id="A4.E243.m1.5.5.1.1.2.2.2.2" movablelimits="false" rspace="0em" xref="A4.E243.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.cmml">∑</mo><mi id="A4.E243.m1.5.5.1.1.2.2.2.3" xref="A4.E243.m1.5.5.1.1.2.2.2.3.cmml">A</mi></munder><mrow id="A4.E243.m1.5.5.1.1.2.2.1" xref="A4.E243.m1.5.5.1.1.2.2.1.cmml"><mrow id="A4.E243.m1.2.2.4" xref="A4.E243.m1.2.2.3.cmml"><mo id="A4.E243.m1.2.2.4.1" xref="A4.E243.m1.2.2.3.1.cmml">(</mo><mfrac id="A4.E243.m1.2.2.2.2" linethickness="0pt" xref="A4.E243.m1.2.2.3.cmml"><mi id="A4.E243.m1.1.1.1.1.1.1" xref="A4.E243.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">t</mi><mi id="A4.E243.m1.2.2.2.2.2.1" xref="A4.E243.m1.2.2.2.2.2.1.cmml">A</mi></mfrac><mo id="A4.E243.m1.2.2.4.2" xref="A4.E243.m1.2.2.3.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A4.E243.m1.5.5.1.1.2.2.1.2" xref="A4.E243.m1.5.5.1.1.2.2.1.2.cmml">⁢</mo><msup id="A4.E243.m1.5.5.1.1.2.2.1.3" xref="A4.E243.m1.5.5.1.1.2.2.1.3.cmml"><mi id="A4.E243.m1.5.5.1.1.2.2.1.3.2" xref="A4.E243.m1.5.5.1.1.2.2.1.3.2.cmml">A</mi><mrow id="A4.E243.m1.5.5.1.1.2.2.1.3.3" xref="A4.E243.m1.5.5.1.1.2.2.1.3.3.cmml"><mi id="A4.E243.m1.5.5.1.1.2.2.1.3.3.2" xref="A4.E243.m1.5.5.1.1.2.2.1.3.3.2.cmml">t</mi><mo id="A4.E243.m1.5.5.1.1.2.2.1.3.3.1" xref="A4.E243.m1.5.5.1.1.2.2.1.3.3.1.cmml">−</mo><mi id="A4.E243.m1.5.5.1.1.2.2.1.3.3.3" xref="A4.E243.m1.5.5.1.1.2.2.1.3.3.3.cmml">A</mi></mrow></msup><mo id="A4.E243.m1.5.5.1.1.2.2.1.2a" lspace="0.167em" xref="A4.E243.m1.5.5.1.1.2.2.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A4.E243.m1.5.5.1.1.2.2.1.1" xref="A4.E243.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.cmml"><munder id="A4.E243.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.2" xref="A4.E243.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.2.cmml"><mi id="A4.E243.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.2.2" xref="A4.E243.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.2.2.cmml">max</mi><mi id="A4.E243.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.2.3" xref="A4.E243.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.2.3.cmml">λ</mi></munder><mo id="A4.E243.m1.5.5.1.1.2.2.1.1a" xref="A4.E243.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.cmml">⁡</mo><mrow id="A4.E243.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.1" xref="A4.E243.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.2.cmml"><mo id="A4.E243.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.1.2" xref="A4.E243.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.2.1.cmml">|</mo><mrow id="A4.E243.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.1.1" xref="A4.E243.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><msup id="A4.E243.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.1.1.2" xref="A4.E243.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="A4.E243.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.1.1.2.2" xref="A4.E243.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.1.1.2.2.cmml">u</mi><mi id="A4.E243.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.1.1.2.3" xref="A4.E243.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.1.1.2.3.cmml">T</mi></msup><mo id="A4.E243.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="A4.E243.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A4.E243.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.1.1.3" xref="A4.E243.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml"><munderover id="A4.E243.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.1.1.3.1" xref="A4.E243.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.1.1.3.1.cmml"><mo id="A4.E243.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.1.1.3.1.2.2" movablelimits="false" xref="A4.E243.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.1.1.3.1.2.2.cmml">∏</mo><mrow id="A4.E243.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.1.1.3.1.2.3" xref="A4.E243.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.1.1.3.1.2.3.cmml"><mi id="A4.E243.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.1.1.3.1.2.3.2" xref="A4.E243.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.1.1.3.1.2.3.2.cmml">i</mi><mo id="A4.E243.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.1.1.3.1.2.3.1" xref="A4.E243.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.1.1.3.1.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="A4.E243.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.1.1.3.1.2.3.3" xref="A4.E243.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.1.1.3.1.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="A4.E243.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.1.1.3.1.3" xref="A4.E243.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.1.1.3.1.3.cmml">A</mi></munderover><mrow id="A4.E243.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.1.1.3.2" xref="A4.E243.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><msup id="A4.E243.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="A4.E243.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml"><mi id="A4.E243.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.1.1.3.2.2.2" xref="A4.E243.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml">T</mi><mrow id="A4.E243.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.1.1.3.2.2.3" 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id="A4.E243.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.1.1.3.2.3.3" xref="A4.E243.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml"><mi id="A4.E243.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.1.1.3.2.3.3.2" xref="A4.E243.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.1.1.3.2.3.3.2.cmml">λ</mi><mi id="A4.E243.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.1.1.3.2.3.3.3" xref="A4.E243.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.1.1.3.2.3.3.3.cmml">i</mi></msub></msup><mo id="A4.E243.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.1.1.3.2.1a" xref="A4.E243.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="A4.E243.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.1.1.3.2.4" xref="A4.E243.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.1.1.3.2.4.cmml">G</mi><mo id="A4.E243.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.1.1.3.2.1b" xref="A4.E243.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A4.E243.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.1.1.3.2.5.2" xref="A4.E243.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mo id="A4.E243.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.1.1.3.2.5.2.1" stretchy="false" xref="A4.E243.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.1.1.3.2.cmml">(</mo><mi id="A4.E243.m1.4.4" xref="A4.E243.m1.4.4.cmml">x</mi><mo id="A4.E243.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.1.1.3.2.5.2.2" stretchy="false" xref="A4.E243.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.1.1.3.2.cmml">)</mo></mrow><mo id="A4.E243.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.1.1.3.2.1c" xref="A4.E243.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="A4.E243.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.1.1.3.2.6" xref="A4.E243.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.1.1.3.2.6.cmml"><mover accent="true" id="A4.E243.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.1.1.3.2.6.2" xref="A4.E243.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.1.1.3.2.6.2.cmml"><mi id="A4.E243.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.1.1.3.2.6.2.2" xref="A4.E243.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.1.1.3.2.6.2.2.cmml">e</mi><mo id="A4.E243.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.1.1.3.2.6.2.1" xref="A4.E243.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.1.1.3.2.6.2.1.cmml">^</mo></mover><mn id="A4.E243.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.1.1.3.2.6.3" xref="A4.E243.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.1.1.3.2.6.3.cmml">0</mn></msub></mrow></mrow></mrow><mo id="A4.E243.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.1.3" xref="A4.E243.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.2.1.cmml">|</mo></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="A4.E243.m1.5.5.1.2" lspace="0em" 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id="A4.E243.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.1.1.3.2.6.3.cmml" type="integer" xref="A4.E243.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.1.1.3.2.6.3">0</cn></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A4.E243.m1.5c">\displaystyle d_{t}(x)\leq c_{t}(x^{2})\sum_{A}\binom{t}{A}A^{t-A}\max_{% \lambda}\left|u^{T}\prod_{i=1}^{A}T^{\lambda_{i}+1}\delta^{\lambda_{i}}G(x)% \hat{e}_{0}\right|.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A4.E243.m1.5d">italic_d start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( italic_x ) ≤ italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( italic_x start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ) ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_A end_POSTSUBSCRIPT ( FRACOP start_ARG italic_t end_ARG start_ARG italic_A end_ARG ) italic_A start_POSTSUPERSCRIPT italic_t - italic_A end_POSTSUPERSCRIPT roman_max start_POSTSUBSCRIPT italic_λ end_POSTSUBSCRIPT | italic_u start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT ∏ start_POSTSUBSCRIPT italic_i = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_A end_POSTSUPERSCRIPT italic_T start_POSTSUPERSCRIPT italic_λ start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT + 1 end_POSTSUPERSCRIPT italic_δ start_POSTSUPERSCRIPT italic_λ start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT italic_G ( italic_x ) over^ start_ARG italic_e end_ARG start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT | .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(243)</span></td> </tr></tbody> </table> </div> </div> <div class="ltx_proof" id="A4.SS4.2"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_font_italic ltx_title_proof">Proof.</h6> <div class="ltx_para" id="A4.SS4.2.p1"> <p class="ltx_p" id="A4.SS4.2.p1.27">From Lemma <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#Thmtheorem61" title="Lemma 61. ‣ D.4 Analytic Bound on the Derangement Polynomial (Proof of Lemma 44) ‣ Appendix D Properties of the Derangement Polynomial ‣ Conditional 𝑡-independent spectral gap for random quantum circuits and implications for 𝑡-design depths"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">61</span></a> we have</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_gather ltx_eqn_table" id="S6.EGx197"> <tbody id="A4.E244"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\displaystyle d_{t}(x)=c_{t}(x^{2})u^{T}\left(\Delta+TG(x)\right)^{t}\hat{e}_{0}" class="ltx_Math" display="block" id="A4.E244.m1.4"><semantics id="A4.E244.m1.4a"><mrow id="A4.E244.m1.4.4" xref="A4.E244.m1.4.4.cmml"><mrow id="A4.E244.m1.4.4.4" xref="A4.E244.m1.4.4.4.cmml"><msub id="A4.E244.m1.4.4.4.2" xref="A4.E244.m1.4.4.4.2.cmml"><mi id="A4.E244.m1.4.4.4.2.2" xref="A4.E244.m1.4.4.4.2.2.cmml">d</mi><mi id="A4.E244.m1.4.4.4.2.3" xref="A4.E244.m1.4.4.4.2.3.cmml">t</mi></msub><mo id="A4.E244.m1.4.4.4.1" xref="A4.E244.m1.4.4.4.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A4.E244.m1.4.4.4.3.2" xref="A4.E244.m1.4.4.4.cmml"><mo id="A4.E244.m1.4.4.4.3.2.1" stretchy="false" xref="A4.E244.m1.4.4.4.cmml">(</mo><mi id="A4.E244.m1.1.1" xref="A4.E244.m1.1.1.cmml">x</mi><mo id="A4.E244.m1.4.4.4.3.2.2" stretchy="false" xref="A4.E244.m1.4.4.4.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A4.E244.m1.4.4.3" xref="A4.E244.m1.4.4.3.cmml">=</mo><mrow id="A4.E244.m1.4.4.2" xref="A4.E244.m1.4.4.2.cmml"><msub id="A4.E244.m1.4.4.2.4" xref="A4.E244.m1.4.4.2.4.cmml"><mi id="A4.E244.m1.4.4.2.4.2" xref="A4.E244.m1.4.4.2.4.2.cmml">c</mi><mi id="A4.E244.m1.4.4.2.4.3" xref="A4.E244.m1.4.4.2.4.3.cmml">t</mi></msub><mo id="A4.E244.m1.4.4.2.3" xref="A4.E244.m1.4.4.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="A4.E244.m1.3.3.1.1.1" xref="A4.E244.m1.3.3.1.1.1.1.cmml"><mo id="A4.E244.m1.3.3.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A4.E244.m1.3.3.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="A4.E244.m1.3.3.1.1.1.1" xref="A4.E244.m1.3.3.1.1.1.1.cmml"><mi id="A4.E244.m1.3.3.1.1.1.1.2" xref="A4.E244.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml">x</mi><mn id="A4.E244.m1.3.3.1.1.1.1.3" xref="A4.E244.m1.3.3.1.1.1.1.3.cmml">2</mn></msup><mo id="A4.E244.m1.3.3.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A4.E244.m1.3.3.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A4.E244.m1.4.4.2.3a" xref="A4.E244.m1.4.4.2.3.cmml">⁢</mo><msup id="A4.E244.m1.4.4.2.5" xref="A4.E244.m1.4.4.2.5.cmml"><mi id="A4.E244.m1.4.4.2.5.2" xref="A4.E244.m1.4.4.2.5.2.cmml">u</mi><mi id="A4.E244.m1.4.4.2.5.3" xref="A4.E244.m1.4.4.2.5.3.cmml">T</mi></msup><mo id="A4.E244.m1.4.4.2.3b" xref="A4.E244.m1.4.4.2.3.cmml">⁢</mo><msup id="A4.E244.m1.4.4.2.2" xref="A4.E244.m1.4.4.2.2.cmml"><mrow id="A4.E244.m1.4.4.2.2.1.1" xref="A4.E244.m1.4.4.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="A4.E244.m1.4.4.2.2.1.1.2" xref="A4.E244.m1.4.4.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A4.E244.m1.4.4.2.2.1.1.1" xref="A4.E244.m1.4.4.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="A4.E244.m1.4.4.2.2.1.1.1.2" mathvariant="normal" xref="A4.E244.m1.4.4.2.2.1.1.1.2.cmml">Δ</mi><mo id="A4.E244.m1.4.4.2.2.1.1.1.1" xref="A4.E244.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="A4.E244.m1.4.4.2.2.1.1.1.3" xref="A4.E244.m1.4.4.2.2.1.1.1.3.cmml"><mi id="A4.E244.m1.4.4.2.2.1.1.1.3.2" xref="A4.E244.m1.4.4.2.2.1.1.1.3.2.cmml">T</mi><mo id="A4.E244.m1.4.4.2.2.1.1.1.3.1" xref="A4.E244.m1.4.4.2.2.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A4.E244.m1.4.4.2.2.1.1.1.3.3" xref="A4.E244.m1.4.4.2.2.1.1.1.3.3.cmml">G</mi><mo id="A4.E244.m1.4.4.2.2.1.1.1.3.1a" xref="A4.E244.m1.4.4.2.2.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A4.E244.m1.4.4.2.2.1.1.1.3.4.2" xref="A4.E244.m1.4.4.2.2.1.1.1.3.cmml"><mo id="A4.E244.m1.4.4.2.2.1.1.1.3.4.2.1" stretchy="false" xref="A4.E244.m1.4.4.2.2.1.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="A4.E244.m1.2.2" xref="A4.E244.m1.2.2.cmml">x</mi><mo id="A4.E244.m1.4.4.2.2.1.1.1.3.4.2.2" stretchy="false" xref="A4.E244.m1.4.4.2.2.1.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="A4.E244.m1.4.4.2.2.1.1.3" xref="A4.E244.m1.4.4.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mi id="A4.E244.m1.4.4.2.2.3" xref="A4.E244.m1.4.4.2.2.3.cmml">t</mi></msup><mo id="A4.E244.m1.4.4.2.3c" xref="A4.E244.m1.4.4.2.3.cmml">⁢</mo><msub id="A4.E244.m1.4.4.2.6" xref="A4.E244.m1.4.4.2.6.cmml"><mover accent="true" id="A4.E244.m1.4.4.2.6.2" xref="A4.E244.m1.4.4.2.6.2.cmml"><mi id="A4.E244.m1.4.4.2.6.2.2" xref="A4.E244.m1.4.4.2.6.2.2.cmml">e</mi><mo id="A4.E244.m1.4.4.2.6.2.1" xref="A4.E244.m1.4.4.2.6.2.1.cmml">^</mo></mover><mn id="A4.E244.m1.4.4.2.6.3" xref="A4.E244.m1.4.4.2.6.3.cmml">0</mn></msub></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A4.E244.m1.4b"><apply id="A4.E244.m1.4.4.cmml" xref="A4.E244.m1.4.4"><eq id="A4.E244.m1.4.4.3.cmml" xref="A4.E244.m1.4.4.3"></eq><apply id="A4.E244.m1.4.4.4.cmml" xref="A4.E244.m1.4.4.4"><times id="A4.E244.m1.4.4.4.1.cmml" xref="A4.E244.m1.4.4.4.1"></times><apply id="A4.E244.m1.4.4.4.2.cmml" xref="A4.E244.m1.4.4.4.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.E244.m1.4.4.4.2.1.cmml" 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xref="A4.E244.m1.3.3.1.1.1.1.3">2</cn></apply><apply id="A4.E244.m1.4.4.2.5.cmml" xref="A4.E244.m1.4.4.2.5"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.E244.m1.4.4.2.5.1.cmml" xref="A4.E244.m1.4.4.2.5">superscript</csymbol><ci id="A4.E244.m1.4.4.2.5.2.cmml" xref="A4.E244.m1.4.4.2.5.2">𝑢</ci><ci id="A4.E244.m1.4.4.2.5.3.cmml" xref="A4.E244.m1.4.4.2.5.3">𝑇</ci></apply><apply id="A4.E244.m1.4.4.2.2.cmml" xref="A4.E244.m1.4.4.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.E244.m1.4.4.2.2.2.cmml" xref="A4.E244.m1.4.4.2.2">superscript</csymbol><apply id="A4.E244.m1.4.4.2.2.1.1.1.cmml" xref="A4.E244.m1.4.4.2.2.1.1"><plus id="A4.E244.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="A4.E244.m1.4.4.2.2.1.1.1.1"></plus><ci id="A4.E244.m1.4.4.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="A4.E244.m1.4.4.2.2.1.1.1.2">Δ</ci><apply id="A4.E244.m1.4.4.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="A4.E244.m1.4.4.2.2.1.1.1.3"><times id="A4.E244.m1.4.4.2.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="A4.E244.m1.4.4.2.2.1.1.1.3.1"></times><ci id="A4.E244.m1.4.4.2.2.1.1.1.3.2.cmml" 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id="A4.E244.m1.4d">italic_d start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( italic_x ) = italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( italic_x start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ) italic_u start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT ( roman_Δ + italic_T italic_G ( italic_x ) ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_t end_POSTSUPERSCRIPT over^ start_ARG italic_e end_ARG start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(244)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="A4.SS4.2.p1.3">The matrix power <math alttext="\big{[}\Delta+TG(x)\big{]}^{t}" class="ltx_Math" display="inline" id="A4.SS4.2.p1.1.m1.2"><semantics id="A4.SS4.2.p1.1.m1.2a"><msup id="A4.SS4.2.p1.1.m1.2.2" xref="A4.SS4.2.p1.1.m1.2.2.cmml"><mrow id="A4.SS4.2.p1.1.m1.2.2.1.1" xref="A4.SS4.2.p1.1.m1.2.2.1.2.cmml"><mo id="A4.SS4.2.p1.1.m1.2.2.1.1.2" maxsize="120%" minsize="120%" xref="A4.SS4.2.p1.1.m1.2.2.1.2.1.cmml">[</mo><mrow id="A4.SS4.2.p1.1.m1.2.2.1.1.1" xref="A4.SS4.2.p1.1.m1.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="A4.SS4.2.p1.1.m1.2.2.1.1.1.2" mathvariant="normal" xref="A4.SS4.2.p1.1.m1.2.2.1.1.1.2.cmml">Δ</mi><mo id="A4.SS4.2.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1" xref="A4.SS4.2.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="A4.SS4.2.p1.1.m1.2.2.1.1.1.3" xref="A4.SS4.2.p1.1.m1.2.2.1.1.1.3.cmml"><mi id="A4.SS4.2.p1.1.m1.2.2.1.1.1.3.2" xref="A4.SS4.2.p1.1.m1.2.2.1.1.1.3.2.cmml">T</mi><mo id="A4.SS4.2.p1.1.m1.2.2.1.1.1.3.1" xref="A4.SS4.2.p1.1.m1.2.2.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A4.SS4.2.p1.1.m1.2.2.1.1.1.3.3" xref="A4.SS4.2.p1.1.m1.2.2.1.1.1.3.3.cmml">G</mi><mo id="A4.SS4.2.p1.1.m1.2.2.1.1.1.3.1a" xref="A4.SS4.2.p1.1.m1.2.2.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A4.SS4.2.p1.1.m1.2.2.1.1.1.3.4.2" xref="A4.SS4.2.p1.1.m1.2.2.1.1.1.3.cmml"><mo id="A4.SS4.2.p1.1.m1.2.2.1.1.1.3.4.2.1" stretchy="false" xref="A4.SS4.2.p1.1.m1.2.2.1.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="A4.SS4.2.p1.1.m1.1.1" xref="A4.SS4.2.p1.1.m1.1.1.cmml">x</mi><mo id="A4.SS4.2.p1.1.m1.2.2.1.1.1.3.4.2.2" stretchy="false" xref="A4.SS4.2.p1.1.m1.2.2.1.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="A4.SS4.2.p1.1.m1.2.2.1.1.3" maxsize="120%" minsize="120%" xref="A4.SS4.2.p1.1.m1.2.2.1.2.1.cmml">]</mo></mrow><mi id="A4.SS4.2.p1.1.m1.2.2.3" xref="A4.SS4.2.p1.1.m1.2.2.3.cmml">t</mi></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A4.SS4.2.p1.1.m1.2b"><apply id="A4.SS4.2.p1.1.m1.2.2.cmml" xref="A4.SS4.2.p1.1.m1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.SS4.2.p1.1.m1.2.2.2.cmml" xref="A4.SS4.2.p1.1.m1.2.2">superscript</csymbol><apply id="A4.SS4.2.p1.1.m1.2.2.1.2.cmml" xref="A4.SS4.2.p1.1.m1.2.2.1.1"><csymbol cd="latexml" id="A4.SS4.2.p1.1.m1.2.2.1.2.1.cmml" xref="A4.SS4.2.p1.1.m1.2.2.1.1.2">delimited-[]</csymbol><apply id="A4.SS4.2.p1.1.m1.2.2.1.1.1.cmml" xref="A4.SS4.2.p1.1.m1.2.2.1.1.1"><plus id="A4.SS4.2.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="A4.SS4.2.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1"></plus><ci id="A4.SS4.2.p1.1.m1.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="A4.SS4.2.p1.1.m1.2.2.1.1.1.2">Δ</ci><apply id="A4.SS4.2.p1.1.m1.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="A4.SS4.2.p1.1.m1.2.2.1.1.1.3"><times id="A4.SS4.2.p1.1.m1.2.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="A4.SS4.2.p1.1.m1.2.2.1.1.1.3.1"></times><ci id="A4.SS4.2.p1.1.m1.2.2.1.1.1.3.2.cmml" xref="A4.SS4.2.p1.1.m1.2.2.1.1.1.3.2">𝑇</ci><ci id="A4.SS4.2.p1.1.m1.2.2.1.1.1.3.3.cmml" xref="A4.SS4.2.p1.1.m1.2.2.1.1.1.3.3">𝐺</ci><ci id="A4.SS4.2.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="A4.SS4.2.p1.1.m1.1.1">𝑥</ci></apply></apply></apply><ci id="A4.SS4.2.p1.1.m1.2.2.3.cmml" xref="A4.SS4.2.p1.1.m1.2.2.3">𝑡</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A4.SS4.2.p1.1.m1.2c">\big{[}\Delta+TG(x)\big{]}^{t}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A4.SS4.2.p1.1.m1.2d">[ roman_Δ + italic_T italic_G ( italic_x ) ] start_POSTSUPERSCRIPT italic_t end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> can be expanded into <math alttext="2^{t}" class="ltx_Math" display="inline" id="A4.SS4.2.p1.2.m2.1"><semantics id="A4.SS4.2.p1.2.m2.1a"><msup id="A4.SS4.2.p1.2.m2.1.1" xref="A4.SS4.2.p1.2.m2.1.1.cmml"><mn id="A4.SS4.2.p1.2.m2.1.1.2" xref="A4.SS4.2.p1.2.m2.1.1.2.cmml">2</mn><mi id="A4.SS4.2.p1.2.m2.1.1.3" xref="A4.SS4.2.p1.2.m2.1.1.3.cmml">t</mi></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A4.SS4.2.p1.2.m2.1b"><apply id="A4.SS4.2.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="A4.SS4.2.p1.2.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.SS4.2.p1.2.m2.1.1.1.cmml" xref="A4.SS4.2.p1.2.m2.1.1">superscript</csymbol><cn id="A4.SS4.2.p1.2.m2.1.1.2.cmml" type="integer" xref="A4.SS4.2.p1.2.m2.1.1.2">2</cn><ci id="A4.SS4.2.p1.2.m2.1.1.3.cmml" xref="A4.SS4.2.p1.2.m2.1.1.3">𝑡</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A4.SS4.2.p1.2.m2.1c">2^{t}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A4.SS4.2.p1.2.m2.1d">2 start_POSTSUPERSCRIPT italic_t end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> terms. Our general claim is that each of these terms decays exponentially with <math alttext="t" class="ltx_Math" display="inline" id="A4.SS4.2.p1.3.m3.1"><semantics id="A4.SS4.2.p1.3.m3.1a"><mi id="A4.SS4.2.p1.3.m3.1.1" xref="A4.SS4.2.p1.3.m3.1.1.cmml">t</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A4.SS4.2.p1.3.m3.1b"><ci id="A4.SS4.2.p1.3.m3.1.1.cmml" xref="A4.SS4.2.p1.3.m3.1.1">𝑡</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A4.SS4.2.p1.3.m3.1c">t</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A4.SS4.2.p1.3.m3.1d">italic_t</annotation></semantics></math>. To demonstrate this claim, we start with the following observations:</p> <ul class="ltx_itemize" id="A4.I1"> <li class="ltx_item" id="A4.I1.i1" style="list-style-type:none;"> <span class="ltx_tag ltx_tag_item">•</span> <div class="ltx_para" id="A4.I1.i1.p1"> <p class="ltx_p" id="A4.I1.i1.p1.1"><math alttext="\Delta u=0" class="ltx_Math" display="inline" id="A4.I1.i1.p1.1.m1.1"><semantics id="A4.I1.i1.p1.1.m1.1a"><mrow id="A4.I1.i1.p1.1.m1.1.1" xref="A4.I1.i1.p1.1.m1.1.1.cmml"><mrow id="A4.I1.i1.p1.1.m1.1.1.2" xref="A4.I1.i1.p1.1.m1.1.1.2.cmml"><mi id="A4.I1.i1.p1.1.m1.1.1.2.2" mathvariant="normal" xref="A4.I1.i1.p1.1.m1.1.1.2.2.cmml">Δ</mi><mo id="A4.I1.i1.p1.1.m1.1.1.2.1" xref="A4.I1.i1.p1.1.m1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="A4.I1.i1.p1.1.m1.1.1.2.3" xref="A4.I1.i1.p1.1.m1.1.1.2.3.cmml">u</mi></mrow><mo id="A4.I1.i1.p1.1.m1.1.1.1" xref="A4.I1.i1.p1.1.m1.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="A4.I1.i1.p1.1.m1.1.1.3" xref="A4.I1.i1.p1.1.m1.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A4.I1.i1.p1.1.m1.1b"><apply id="A4.I1.i1.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="A4.I1.i1.p1.1.m1.1.1"><eq id="A4.I1.i1.p1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="A4.I1.i1.p1.1.m1.1.1.1"></eq><apply id="A4.I1.i1.p1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="A4.I1.i1.p1.1.m1.1.1.2"><times id="A4.I1.i1.p1.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="A4.I1.i1.p1.1.m1.1.1.2.1"></times><ci id="A4.I1.i1.p1.1.m1.1.1.2.2.cmml" xref="A4.I1.i1.p1.1.m1.1.1.2.2">Δ</ci><ci id="A4.I1.i1.p1.1.m1.1.1.2.3.cmml" xref="A4.I1.i1.p1.1.m1.1.1.2.3">𝑢</ci></apply><cn id="A4.I1.i1.p1.1.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A4.I1.i1.p1.1.m1.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A4.I1.i1.p1.1.m1.1c">\Delta u=0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A4.I1.i1.p1.1.m1.1d">roman_Δ italic_u = 0</annotation></semantics></math></p> </div> </li> <li class="ltx_item" id="A4.I1.i2" style="list-style-type:none;"> <span class="ltx_tag ltx_tag_item">•</span> <div class="ltx_para" id="A4.I1.i2.p1"> <p class="ltx_p" id="A4.I1.i2.p1.2"><math alttext="\Delta" class="ltx_Math" display="inline" id="A4.I1.i2.p1.1.m1.1"><semantics id="A4.I1.i2.p1.1.m1.1a"><mi id="A4.I1.i2.p1.1.m1.1.1" mathvariant="normal" xref="A4.I1.i2.p1.1.m1.1.1.cmml">Δ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A4.I1.i2.p1.1.m1.1b"><ci id="A4.I1.i2.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="A4.I1.i2.p1.1.m1.1.1">Δ</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A4.I1.i2.p1.1.m1.1c">\Delta</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A4.I1.i2.p1.1.m1.1d">roman_Δ</annotation></semantics></math> follows a pseudo product rule: <math alttext="\Delta AB=[\Delta,A]B+A\Delta B" class="ltx_Math" display="inline" id="A4.I1.i2.p1.2.m2.2"><semantics id="A4.I1.i2.p1.2.m2.2a"><mrow id="A4.I1.i2.p1.2.m2.2.3" xref="A4.I1.i2.p1.2.m2.2.3.cmml"><mrow id="A4.I1.i2.p1.2.m2.2.3.2" xref="A4.I1.i2.p1.2.m2.2.3.2.cmml"><mi id="A4.I1.i2.p1.2.m2.2.3.2.2" mathvariant="normal" xref="A4.I1.i2.p1.2.m2.2.3.2.2.cmml">Δ</mi><mo id="A4.I1.i2.p1.2.m2.2.3.2.1" xref="A4.I1.i2.p1.2.m2.2.3.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="A4.I1.i2.p1.2.m2.2.3.2.3" xref="A4.I1.i2.p1.2.m2.2.3.2.3.cmml">A</mi><mo id="A4.I1.i2.p1.2.m2.2.3.2.1a" xref="A4.I1.i2.p1.2.m2.2.3.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="A4.I1.i2.p1.2.m2.2.3.2.4" xref="A4.I1.i2.p1.2.m2.2.3.2.4.cmml">B</mi></mrow><mo id="A4.I1.i2.p1.2.m2.2.3.1" xref="A4.I1.i2.p1.2.m2.2.3.1.cmml">=</mo><mrow id="A4.I1.i2.p1.2.m2.2.3.3" xref="A4.I1.i2.p1.2.m2.2.3.3.cmml"><mrow id="A4.I1.i2.p1.2.m2.2.3.3.2" xref="A4.I1.i2.p1.2.m2.2.3.3.2.cmml"><mrow id="A4.I1.i2.p1.2.m2.2.3.3.2.2.2" xref="A4.I1.i2.p1.2.m2.2.3.3.2.2.1.cmml"><mo id="A4.I1.i2.p1.2.m2.2.3.3.2.2.2.1" stretchy="false" xref="A4.I1.i2.p1.2.m2.2.3.3.2.2.1.cmml">[</mo><mi id="A4.I1.i2.p1.2.m2.1.1" mathvariant="normal" xref="A4.I1.i2.p1.2.m2.1.1.cmml">Δ</mi><mo id="A4.I1.i2.p1.2.m2.2.3.3.2.2.2.2" xref="A4.I1.i2.p1.2.m2.2.3.3.2.2.1.cmml">,</mo><mi id="A4.I1.i2.p1.2.m2.2.2" xref="A4.I1.i2.p1.2.m2.2.2.cmml">A</mi><mo id="A4.I1.i2.p1.2.m2.2.3.3.2.2.2.3" stretchy="false" xref="A4.I1.i2.p1.2.m2.2.3.3.2.2.1.cmml">]</mo></mrow><mo id="A4.I1.i2.p1.2.m2.2.3.3.2.1" xref="A4.I1.i2.p1.2.m2.2.3.3.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="A4.I1.i2.p1.2.m2.2.3.3.2.3" xref="A4.I1.i2.p1.2.m2.2.3.3.2.3.cmml">B</mi></mrow><mo id="A4.I1.i2.p1.2.m2.2.3.3.1" xref="A4.I1.i2.p1.2.m2.2.3.3.1.cmml">+</mo><mrow id="A4.I1.i2.p1.2.m2.2.3.3.3" xref="A4.I1.i2.p1.2.m2.2.3.3.3.cmml"><mi id="A4.I1.i2.p1.2.m2.2.3.3.3.2" xref="A4.I1.i2.p1.2.m2.2.3.3.3.2.cmml">A</mi><mo id="A4.I1.i2.p1.2.m2.2.3.3.3.1" xref="A4.I1.i2.p1.2.m2.2.3.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A4.I1.i2.p1.2.m2.2.3.3.3.3" mathvariant="normal" xref="A4.I1.i2.p1.2.m2.2.3.3.3.3.cmml">Δ</mi><mo id="A4.I1.i2.p1.2.m2.2.3.3.3.1a" xref="A4.I1.i2.p1.2.m2.2.3.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A4.I1.i2.p1.2.m2.2.3.3.3.4" xref="A4.I1.i2.p1.2.m2.2.3.3.3.4.cmml">B</mi></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A4.I1.i2.p1.2.m2.2b"><apply id="A4.I1.i2.p1.2.m2.2.3.cmml" xref="A4.I1.i2.p1.2.m2.2.3"><eq id="A4.I1.i2.p1.2.m2.2.3.1.cmml" xref="A4.I1.i2.p1.2.m2.2.3.1"></eq><apply id="A4.I1.i2.p1.2.m2.2.3.2.cmml" xref="A4.I1.i2.p1.2.m2.2.3.2"><times id="A4.I1.i2.p1.2.m2.2.3.2.1.cmml" xref="A4.I1.i2.p1.2.m2.2.3.2.1"></times><ci id="A4.I1.i2.p1.2.m2.2.3.2.2.cmml" xref="A4.I1.i2.p1.2.m2.2.3.2.2">Δ</ci><ci id="A4.I1.i2.p1.2.m2.2.3.2.3.cmml" xref="A4.I1.i2.p1.2.m2.2.3.2.3">𝐴</ci><ci id="A4.I1.i2.p1.2.m2.2.3.2.4.cmml" xref="A4.I1.i2.p1.2.m2.2.3.2.4">𝐵</ci></apply><apply id="A4.I1.i2.p1.2.m2.2.3.3.cmml" xref="A4.I1.i2.p1.2.m2.2.3.3"><plus id="A4.I1.i2.p1.2.m2.2.3.3.1.cmml" xref="A4.I1.i2.p1.2.m2.2.3.3.1"></plus><apply id="A4.I1.i2.p1.2.m2.2.3.3.2.cmml" xref="A4.I1.i2.p1.2.m2.2.3.3.2"><times id="A4.I1.i2.p1.2.m2.2.3.3.2.1.cmml" xref="A4.I1.i2.p1.2.m2.2.3.3.2.1"></times><interval closure="closed" id="A4.I1.i2.p1.2.m2.2.3.3.2.2.1.cmml" xref="A4.I1.i2.p1.2.m2.2.3.3.2.2.2"><ci id="A4.I1.i2.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="A4.I1.i2.p1.2.m2.1.1">Δ</ci><ci id="A4.I1.i2.p1.2.m2.2.2.cmml" xref="A4.I1.i2.p1.2.m2.2.2">𝐴</ci></interval><ci id="A4.I1.i2.p1.2.m2.2.3.3.2.3.cmml" xref="A4.I1.i2.p1.2.m2.2.3.3.2.3">𝐵</ci></apply><apply id="A4.I1.i2.p1.2.m2.2.3.3.3.cmml" xref="A4.I1.i2.p1.2.m2.2.3.3.3"><times id="A4.I1.i2.p1.2.m2.2.3.3.3.1.cmml" xref="A4.I1.i2.p1.2.m2.2.3.3.3.1"></times><ci id="A4.I1.i2.p1.2.m2.2.3.3.3.2.cmml" xref="A4.I1.i2.p1.2.m2.2.3.3.3.2">𝐴</ci><ci id="A4.I1.i2.p1.2.m2.2.3.3.3.3.cmml" xref="A4.I1.i2.p1.2.m2.2.3.3.3.3">Δ</ci><ci id="A4.I1.i2.p1.2.m2.2.3.3.3.4.cmml" xref="A4.I1.i2.p1.2.m2.2.3.3.3.4">𝐵</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A4.I1.i2.p1.2.m2.2c">\Delta AB=[\Delta,A]B+A\Delta B</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A4.I1.i2.p1.2.m2.2d">roman_Δ italic_A italic_B = [ roman_Δ , italic_A ] italic_B + italic_A roman_Δ italic_B</annotation></semantics></math></p> </div> </li> <li class="ltx_item" id="A4.I1.i3" style="list-style-type:none;"> <span class="ltx_tag ltx_tag_item">•</span> <div class="ltx_para" id="A4.I1.i3.p1"> <p class="ltx_p" id="A4.I1.i3.p1.3"><math alttext="[\Delta,T^{k}D]=[T-I,T^{k}D]=T^{k+1}\delta D" class="ltx_Math" display="inline" id="A4.I1.i3.p1.1.m1.4"><semantics id="A4.I1.i3.p1.1.m1.4a"><mrow id="A4.I1.i3.p1.1.m1.4.4" xref="A4.I1.i3.p1.1.m1.4.4.cmml"><mrow id="A4.I1.i3.p1.1.m1.2.2.1.1" xref="A4.I1.i3.p1.1.m1.2.2.1.2.cmml"><mo id="A4.I1.i3.p1.1.m1.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="A4.I1.i3.p1.1.m1.2.2.1.2.cmml">[</mo><mi id="A4.I1.i3.p1.1.m1.1.1" mathvariant="normal" xref="A4.I1.i3.p1.1.m1.1.1.cmml">Δ</mi><mo id="A4.I1.i3.p1.1.m1.2.2.1.1.3" xref="A4.I1.i3.p1.1.m1.2.2.1.2.cmml">,</mo><mrow id="A4.I1.i3.p1.1.m1.2.2.1.1.1" xref="A4.I1.i3.p1.1.m1.2.2.1.1.1.cmml"><msup id="A4.I1.i3.p1.1.m1.2.2.1.1.1.2" xref="A4.I1.i3.p1.1.m1.2.2.1.1.1.2.cmml"><mi id="A4.I1.i3.p1.1.m1.2.2.1.1.1.2.2" xref="A4.I1.i3.p1.1.m1.2.2.1.1.1.2.2.cmml">T</mi><mi id="A4.I1.i3.p1.1.m1.2.2.1.1.1.2.3" 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id="A4.I1.i3.p1.2.m2.1.1.2.3.1.cmml" xref="A4.I1.i3.p1.2.m2.1.1.2.3.1"></times><ci id="A4.I1.i3.p1.2.m2.1.1.2.3.2.cmml" xref="A4.I1.i3.p1.2.m2.1.1.2.3.2">𝑖</ci><ci id="A4.I1.i3.p1.2.m2.1.1.2.3.3.cmml" xref="A4.I1.i3.p1.2.m2.1.1.2.3.3">𝑗</ci></apply></apply><apply id="A4.I1.i3.p1.2.m2.1.1.3.cmml" xref="A4.I1.i3.p1.2.m2.1.1.3"><times id="A4.I1.i3.p1.2.m2.1.1.3.1.cmml" xref="A4.I1.i3.p1.2.m2.1.1.3.1"></times><apply id="A4.I1.i3.p1.2.m2.1.1.3.2.cmml" xref="A4.I1.i3.p1.2.m2.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.I1.i3.p1.2.m2.1.1.3.2.1.cmml" xref="A4.I1.i3.p1.2.m2.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="A4.I1.i3.p1.2.m2.1.1.3.2.2.cmml" xref="A4.I1.i3.p1.2.m2.1.1.3.2.2">𝛿</ci><apply id="A4.I1.i3.p1.2.m2.1.1.3.2.3.cmml" xref="A4.I1.i3.p1.2.m2.1.1.3.2.3"><times id="A4.I1.i3.p1.2.m2.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="A4.I1.i3.p1.2.m2.1.1.3.2.3.1"></times><ci id="A4.I1.i3.p1.2.m2.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="A4.I1.i3.p1.2.m2.1.1.3.2.3.2">𝑖</ci><ci id="A4.I1.i3.p1.2.m2.1.1.3.2.3.3.cmml" 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id="A4.I1.i3.p1.3.m3.1a"><mrow id="A4.I1.i3.p1.3.m3.1.1" xref="A4.I1.i3.p1.3.m3.1.1.cmml"><mrow id="A4.I1.i3.p1.3.m3.1.1.3" xref="A4.I1.i3.p1.3.m3.1.1.3.cmml"><mi id="A4.I1.i3.p1.3.m3.1.1.3.2" xref="A4.I1.i3.p1.3.m3.1.1.3.2.cmml">δ</mi><mo id="A4.I1.i3.p1.3.m3.1.1.3.1" xref="A4.I1.i3.p1.3.m3.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A4.I1.i3.p1.3.m3.1.1.3.3" xref="A4.I1.i3.p1.3.m3.1.1.3.3.cmml">D</mi></mrow><mo id="A4.I1.i3.p1.3.m3.1.1.2" xref="A4.I1.i3.p1.3.m3.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="A4.I1.i3.p1.3.m3.1.1.1" xref="A4.I1.i3.p1.3.m3.1.1.1.cmml"><msub id="A4.I1.i3.p1.3.m3.1.1.1.3" xref="A4.I1.i3.p1.3.m3.1.1.1.3.cmml"><mi id="A4.I1.i3.p1.3.m3.1.1.1.3.2" xref="A4.I1.i3.p1.3.m3.1.1.1.3.2.cmml">δ</mi><mrow id="A4.I1.i3.p1.3.m3.1.1.1.3.3" xref="A4.I1.i3.p1.3.m3.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="A4.I1.i3.p1.3.m3.1.1.1.3.3.2" xref="A4.I1.i3.p1.3.m3.1.1.1.3.3.2.cmml">i</mi><mo id="A4.I1.i3.p1.3.m3.1.1.1.3.3.1" xref="A4.I1.i3.p1.3.m3.1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A4.I1.i3.p1.3.m3.1.1.1.3.3.3" 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id="A4.I1.i3.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A4.I1.i3.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.I1.i3.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A4.I1.i3.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="A4.I1.i3.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A4.I1.i3.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.2.2">𝑑</ci><ci id="A4.I1.i3.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="A4.I1.i3.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.2.3">𝑗</ci></apply><apply id="A4.I1.i3.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A4.I1.i3.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.I1.i3.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A4.I1.i3.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A4.I1.i3.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A4.I1.i3.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑑</ci><apply id="A4.I1.i3.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A4.I1.i3.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.3.3"><minus id="A4.I1.i3.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="A4.I1.i3.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.3.3.1"></minus><ci id="A4.I1.i3.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="A4.I1.i3.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.3.3.2">𝑗</ci><cn id="A4.I1.i3.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="A4.I1.i3.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.3.3.3">1</cn></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A4.I1.i3.p1.3.m3.1c">\delta D=\delta_{ij}(d_{j}-d_{j-1})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A4.I1.i3.p1.3.m3.1d">italic_δ italic_D = italic_δ start_POSTSUBSCRIPT italic_i italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_d start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT - italic_d start_POSTSUBSCRIPT italic_j - 1 end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math> is its finite difference (note that this is also a diagonal matrix).</p> </div> </li> </ul> <p class="ltx_p" id="A4.SS4.2.p1.28">So</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_gather ltx_eqn_table" id="S6.EGx198"> <tbody id="A4.E245"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\displaystyle\Delta\left(\prod_{i}T^{k_{i}}D_{i}\right)\hat{e}_{0}=\sum_{j}% \prod_{i}\left[(1-\delta_{ij})T^{k_{i}}D_{i}+\delta_{ij}T^{k_{i}+1}\delta D_{i% }\right]\hat{e}_{0}" class="ltx_Math" display="block" id="A4.E245.m1.2"><semantics id="A4.E245.m1.2a"><mrow id="A4.E245.m1.2.2" xref="A4.E245.m1.2.2.cmml"><mrow id="A4.E245.m1.1.1.1" xref="A4.E245.m1.1.1.1.cmml"><mi id="A4.E245.m1.1.1.1.3" mathvariant="normal" xref="A4.E245.m1.1.1.1.3.cmml">Δ</mi><mo id="A4.E245.m1.1.1.1.2" xref="A4.E245.m1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A4.E245.m1.1.1.1.1.1" xref="A4.E245.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A4.E245.m1.1.1.1.1.1.2" xref="A4.E245.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A4.E245.m1.1.1.1.1.1.1" xref="A4.E245.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><munder id="A4.E245.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A4.E245.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A4.E245.m1.1.1.1.1.1.1.1.2" lspace="0em" movablelimits="false" xref="A4.E245.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">∏</mo><mi id="A4.E245.m1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A4.E245.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">i</mi></munder><mrow id="A4.E245.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A4.E245.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><msup id="A4.E245.m1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="A4.E245.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="A4.E245.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="A4.E245.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">T</mi><msub id="A4.E245.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="A4.E245.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="A4.E245.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="A4.E245.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml">k</mi><mi id="A4.E245.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3" xref="A4.E245.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml">i</mi></msub></msup><mo id="A4.E245.m1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="A4.E245.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="A4.E245.m1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="A4.E245.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="A4.E245.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="A4.E245.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">D</mi><mi id="A4.E245.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="A4.E245.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">i</mi></msub></mrow></mrow><mo id="A4.E245.m1.1.1.1.1.1.3" xref="A4.E245.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A4.E245.m1.1.1.1.2a" xref="A4.E245.m1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="A4.E245.m1.1.1.1.4" xref="A4.E245.m1.1.1.1.4.cmml"><mover accent="true" id="A4.E245.m1.1.1.1.4.2" xref="A4.E245.m1.1.1.1.4.2.cmml"><mi id="A4.E245.m1.1.1.1.4.2.2" xref="A4.E245.m1.1.1.1.4.2.2.cmml">e</mi><mo id="A4.E245.m1.1.1.1.4.2.1" xref="A4.E245.m1.1.1.1.4.2.1.cmml">^</mo></mover><mn id="A4.E245.m1.1.1.1.4.3" xref="A4.E245.m1.1.1.1.4.3.cmml">0</mn></msub></mrow><mo id="A4.E245.m1.2.2.3" rspace="0.111em" xref="A4.E245.m1.2.2.3.cmml">=</mo><mrow id="A4.E245.m1.2.2.2" xref="A4.E245.m1.2.2.2.cmml"><munder id="A4.E245.m1.2.2.2.2" xref="A4.E245.m1.2.2.2.2.cmml"><mo id="A4.E245.m1.2.2.2.2.2" movablelimits="false" rspace="0em" xref="A4.E245.m1.2.2.2.2.2.cmml">∑</mo><mi id="A4.E245.m1.2.2.2.2.3" xref="A4.E245.m1.2.2.2.2.3.cmml">j</mi></munder><mrow id="A4.E245.m1.2.2.2.1" xref="A4.E245.m1.2.2.2.1.cmml"><munder id="A4.E245.m1.2.2.2.1.2" xref="A4.E245.m1.2.2.2.1.2.cmml"><mo id="A4.E245.m1.2.2.2.1.2.2" movablelimits="false" rspace="0em" xref="A4.E245.m1.2.2.2.1.2.2.cmml">∏</mo><mi id="A4.E245.m1.2.2.2.1.2.3" xref="A4.E245.m1.2.2.2.1.2.3.cmml">i</mi></munder><mrow id="A4.E245.m1.2.2.2.1.1" xref="A4.E245.m1.2.2.2.1.1.cmml"><mrow id="A4.E245.m1.2.2.2.1.1.1.1" xref="A4.E245.m1.2.2.2.1.1.1.2.cmml"><mo id="A4.E245.m1.2.2.2.1.1.1.1.2" xref="A4.E245.m1.2.2.2.1.1.1.2.1.cmml">[</mo><mrow id="A4.E245.m1.2.2.2.1.1.1.1.1" xref="A4.E245.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A4.E245.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="A4.E245.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A4.E245.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A4.E245.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A4.E245.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A4.E245.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A4.E245.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A4.E245.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="A4.E245.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A4.E245.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">1</mn><mo id="A4.E245.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A4.E245.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><msub id="A4.E245.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A4.E245.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A4.E245.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A4.E245.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">δ</mi><mrow id="A4.E245.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A4.E245.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="A4.E245.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="A4.E245.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">i</mi><mo id="A4.E245.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1" xref="A4.E245.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A4.E245.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="A4.E245.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub></mrow><mo id="A4.E245.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A4.E245.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A4.E245.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2" xref="A4.E245.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msup id="A4.E245.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3" xref="A4.E245.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A4.E245.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A4.E245.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">T</mi><msub id="A4.E245.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A4.E245.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="A4.E245.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="A4.E245.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">k</mi><mi id="A4.E245.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="A4.E245.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">i</mi></msub></msup><mo id="A4.E245.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2a" xref="A4.E245.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="A4.E245.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.4" xref="A4.E245.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="A4.E245.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.4.2" xref="A4.E245.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml">D</mi><mi id="A4.E245.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.4.3" xref="A4.E245.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml">i</mi></msub></mrow><mo id="A4.E245.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.2" xref="A4.E245.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml">+</mo><mrow id="A4.E245.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.3" xref="A4.E245.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml"><msub id="A4.E245.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.3.2" xref="A4.E245.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="A4.E245.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="A4.E245.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">δ</mi><mrow id="A4.E245.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="A4.E245.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="A4.E245.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.3.2.3.2" xref="A4.E245.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml">i</mi><mo id="A4.E245.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.3.2.3.1" xref="A4.E245.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A4.E245.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.3.2.3.3" xref="A4.E245.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="A4.E245.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.3.1" xref="A4.E245.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="A4.E245.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.3.3" xref="A4.E245.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="A4.E245.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="A4.E245.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">T</mi><mrow id="A4.E245.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="A4.E245.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml"><msub id="A4.E245.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.3.3.3.2" xref="A4.E245.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.3.3.3.2.cmml"><mi id="A4.E245.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.3.3.3.2.2" xref="A4.E245.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.3.3.3.2.2.cmml">k</mi><mi id="A4.E245.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.3.3.3.2.3" xref="A4.E245.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.3.3.3.2.3.cmml">i</mi></msub><mo id="A4.E245.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.3.3.3.1" xref="A4.E245.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.3.3.3.1.cmml">+</mo><mn id="A4.E245.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.3.3.3.3" xref="A4.E245.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.3.3.3.3.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="A4.E245.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.3.1a" xref="A4.E245.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A4.E245.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.3.4" xref="A4.E245.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.3.4.cmml">δ</mi><mo id="A4.E245.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.3.1b" xref="A4.E245.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="A4.E245.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.3.5" xref="A4.E245.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.3.5.cmml"><mi id="A4.E245.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.3.5.2" xref="A4.E245.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.3.5.2.cmml">D</mi><mi id="A4.E245.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.3.5.3" xref="A4.E245.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.3.5.3.cmml">i</mi></msub></mrow></mrow><mo id="A4.E245.m1.2.2.2.1.1.1.1.3" xref="A4.E245.m1.2.2.2.1.1.1.2.1.cmml">]</mo></mrow><mo id="A4.E245.m1.2.2.2.1.1.2" xref="A4.E245.m1.2.2.2.1.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="A4.E245.m1.2.2.2.1.1.3" xref="A4.E245.m1.2.2.2.1.1.3.cmml"><mover accent="true" id="A4.E245.m1.2.2.2.1.1.3.2" xref="A4.E245.m1.2.2.2.1.1.3.2.cmml"><mi id="A4.E245.m1.2.2.2.1.1.3.2.2" xref="A4.E245.m1.2.2.2.1.1.3.2.2.cmml">e</mi><mo id="A4.E245.m1.2.2.2.1.1.3.2.1" xref="A4.E245.m1.2.2.2.1.1.3.2.1.cmml">^</mo></mover><mn id="A4.E245.m1.2.2.2.1.1.3.3" xref="A4.E245.m1.2.2.2.1.1.3.3.cmml">0</mn></msub></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A4.E245.m1.2b"><apply id="A4.E245.m1.2.2.cmml" xref="A4.E245.m1.2.2"><eq id="A4.E245.m1.2.2.3.cmml" xref="A4.E245.m1.2.2.3"></eq><apply id="A4.E245.m1.1.1.1.cmml" xref="A4.E245.m1.1.1.1"><times id="A4.E245.m1.1.1.1.2.cmml" xref="A4.E245.m1.1.1.1.2"></times><ci id="A4.E245.m1.1.1.1.3.cmml" xref="A4.E245.m1.1.1.1.3">Δ</ci><apply id="A4.E245.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A4.E245.m1.1.1.1.1.1"><apply id="A4.E245.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A4.E245.m1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.E245.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A4.E245.m1.1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><csymbol cd="latexml" id="A4.E245.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A4.E245.m1.1.1.1.1.1.1.1.2">product</csymbol><ci id="A4.E245.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A4.E245.m1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑖</ci></apply><apply id="A4.E245.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A4.E245.m1.1.1.1.1.1.1.2"><times id="A4.E245.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A4.E245.m1.1.1.1.1.1.1.2.1"></times><apply id="A4.E245.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A4.E245.m1.1.1.1.1.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.E245.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="A4.E245.m1.1.1.1.1.1.1.2.2">superscript</csymbol><ci id="A4.E245.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="A4.E245.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2">𝑇</ci><apply id="A4.E245.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" 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id="A4.E245.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A4.E245.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.3"><times id="A4.E245.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A4.E245.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.3.1"></times><apply id="A4.E245.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A4.E245.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.E245.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="A4.E245.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="A4.E245.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="A4.E245.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.3.2.2">𝛿</ci><apply id="A4.E245.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="A4.E245.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.3.2.3"><times id="A4.E245.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="A4.E245.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.3.2.3.1"></times><ci id="A4.E245.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="A4.E245.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.3.2.3.2">𝑖</ci><ci id="A4.E245.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml" xref="A4.E245.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.3.2.3.3">𝑗</ci></apply></apply><apply id="A4.E245.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A4.E245.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.E245.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="A4.E245.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.3.3">superscript</csymbol><ci id="A4.E245.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="A4.E245.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.3.3.2">𝑇</ci><apply id="A4.E245.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="A4.E245.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.3.3.3"><plus id="A4.E245.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.3.3.3.1.cmml" xref="A4.E245.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.3.3.3.1"></plus><apply id="A4.E245.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.3.3.3.2.cmml" xref="A4.E245.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.3.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.E245.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.3.3.3.2.1.cmml" xref="A4.E245.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.3.3.3.2">subscript</csymbol><ci id="A4.E245.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.3.3.3.2.2.cmml" xref="A4.E245.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.3.3.3.2.2">𝑘</ci><ci id="A4.E245.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.3.3.3.2.3.cmml" xref="A4.E245.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.3.3.3.2.3">𝑖</ci></apply><cn id="A4.E245.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.3.3.3.3.cmml" type="integer" xref="A4.E245.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.3.3.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="A4.E245.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.3.4.cmml" xref="A4.E245.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.3.4">𝛿</ci><apply id="A4.E245.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.3.5.cmml" xref="A4.E245.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.3.5"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.E245.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.3.5.1.cmml" xref="A4.E245.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.3.5">subscript</csymbol><ci id="A4.E245.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.3.5.2.cmml" xref="A4.E245.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.3.5.2">𝐷</ci><ci id="A4.E245.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.3.5.3.cmml" xref="A4.E245.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.3.5.3">𝑖</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="A4.E245.m1.2.2.2.1.1.3.cmml" xref="A4.E245.m1.2.2.2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.E245.m1.2.2.2.1.1.3.1.cmml" xref="A4.E245.m1.2.2.2.1.1.3">subscript</csymbol><apply id="A4.E245.m1.2.2.2.1.1.3.2.cmml" xref="A4.E245.m1.2.2.2.1.1.3.2"><ci id="A4.E245.m1.2.2.2.1.1.3.2.1.cmml" xref="A4.E245.m1.2.2.2.1.1.3.2.1">^</ci><ci id="A4.E245.m1.2.2.2.1.1.3.2.2.cmml" xref="A4.E245.m1.2.2.2.1.1.3.2.2">𝑒</ci></apply><cn id="A4.E245.m1.2.2.2.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="A4.E245.m1.2.2.2.1.1.3.3">0</cn></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A4.E245.m1.2c">\displaystyle\Delta\left(\prod_{i}T^{k_{i}}D_{i}\right)\hat{e}_{0}=\sum_{j}% \prod_{i}\left[(1-\delta_{ij})T^{k_{i}}D_{i}+\delta_{ij}T^{k_{i}+1}\delta D_{i% }\right]\hat{e}_{0}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A4.E245.m1.2d">roman_Δ ( ∏ start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT italic_T start_POSTSUPERSCRIPT italic_k start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT italic_D start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT ) over^ start_ARG italic_e end_ARG start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT = ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ∏ start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT [ ( 1 - italic_δ start_POSTSUBSCRIPT italic_i italic_j end_POSTSUBSCRIPT ) italic_T start_POSTSUPERSCRIPT italic_k start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT italic_D start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT + italic_δ start_POSTSUBSCRIPT italic_i italic_j end_POSTSUBSCRIPT italic_T start_POSTSUPERSCRIPT italic_k start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT + 1 end_POSTSUPERSCRIPT italic_δ italic_D start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT ] over^ start_ARG italic_e end_ARG start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(245)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="A4.SS4.2.p1.10">for any sequence of integers <math alttext="k_{i}" class="ltx_Math" display="inline" id="A4.SS4.2.p1.4.m1.1"><semantics id="A4.SS4.2.p1.4.m1.1a"><msub id="A4.SS4.2.p1.4.m1.1.1" xref="A4.SS4.2.p1.4.m1.1.1.cmml"><mi id="A4.SS4.2.p1.4.m1.1.1.2" xref="A4.SS4.2.p1.4.m1.1.1.2.cmml">k</mi><mi id="A4.SS4.2.p1.4.m1.1.1.3" xref="A4.SS4.2.p1.4.m1.1.1.3.cmml">i</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A4.SS4.2.p1.4.m1.1b"><apply id="A4.SS4.2.p1.4.m1.1.1.cmml" xref="A4.SS4.2.p1.4.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.SS4.2.p1.4.m1.1.1.1.cmml" xref="A4.SS4.2.p1.4.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="A4.SS4.2.p1.4.m1.1.1.2.cmml" xref="A4.SS4.2.p1.4.m1.1.1.2">𝑘</ci><ci id="A4.SS4.2.p1.4.m1.1.1.3.cmml" xref="A4.SS4.2.p1.4.m1.1.1.3">𝑖</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A4.SS4.2.p1.4.m1.1c">k_{i}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A4.SS4.2.p1.4.m1.1d">italic_k start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> and diagonal matrices <math alttext="D_{i}" class="ltx_Math" display="inline" id="A4.SS4.2.p1.5.m2.1"><semantics id="A4.SS4.2.p1.5.m2.1a"><msub id="A4.SS4.2.p1.5.m2.1.1" xref="A4.SS4.2.p1.5.m2.1.1.cmml"><mi id="A4.SS4.2.p1.5.m2.1.1.2" xref="A4.SS4.2.p1.5.m2.1.1.2.cmml">D</mi><mi id="A4.SS4.2.p1.5.m2.1.1.3" xref="A4.SS4.2.p1.5.m2.1.1.3.cmml">i</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A4.SS4.2.p1.5.m2.1b"><apply id="A4.SS4.2.p1.5.m2.1.1.cmml" xref="A4.SS4.2.p1.5.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.SS4.2.p1.5.m2.1.1.1.cmml" xref="A4.SS4.2.p1.5.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="A4.SS4.2.p1.5.m2.1.1.2.cmml" xref="A4.SS4.2.p1.5.m2.1.1.2">𝐷</ci><ci id="A4.SS4.2.p1.5.m2.1.1.3.cmml" xref="A4.SS4.2.p1.5.m2.1.1.3">𝑖</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A4.SS4.2.p1.5.m2.1c">D_{i}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A4.SS4.2.p1.5.m2.1d">italic_D start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>. That is, applying <math alttext="\Delta" class="ltx_Math" display="inline" id="A4.SS4.2.p1.6.m3.1"><semantics id="A4.SS4.2.p1.6.m3.1a"><mi id="A4.SS4.2.p1.6.m3.1.1" mathvariant="normal" xref="A4.SS4.2.p1.6.m3.1.1.cmml">Δ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A4.SS4.2.p1.6.m3.1b"><ci id="A4.SS4.2.p1.6.m3.1.1.cmml" xref="A4.SS4.2.p1.6.m3.1.1">Δ</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A4.SS4.2.p1.6.m3.1c">\Delta</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A4.SS4.2.p1.6.m3.1d">roman_Δ</annotation></semantics></math> to a product of <math alttext="\ell" class="ltx_Math" display="inline" id="A4.SS4.2.p1.7.m4.1"><semantics id="A4.SS4.2.p1.7.m4.1a"><mi id="A4.SS4.2.p1.7.m4.1.1" mathvariant="normal" xref="A4.SS4.2.p1.7.m4.1.1.cmml">ℓ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A4.SS4.2.p1.7.m4.1b"><ci id="A4.SS4.2.p1.7.m4.1.1.cmml" xref="A4.SS4.2.p1.7.m4.1.1">ℓ</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A4.SS4.2.p1.7.m4.1c">\ell</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A4.SS4.2.p1.7.m4.1d">roman_ℓ</annotation></semantics></math> factors <math alttext="T^{k_{i}}D_{i}" class="ltx_Math" display="inline" id="A4.SS4.2.p1.8.m5.1"><semantics id="A4.SS4.2.p1.8.m5.1a"><mrow id="A4.SS4.2.p1.8.m5.1.1" xref="A4.SS4.2.p1.8.m5.1.1.cmml"><msup id="A4.SS4.2.p1.8.m5.1.1.2" xref="A4.SS4.2.p1.8.m5.1.1.2.cmml"><mi id="A4.SS4.2.p1.8.m5.1.1.2.2" xref="A4.SS4.2.p1.8.m5.1.1.2.2.cmml">T</mi><msub id="A4.SS4.2.p1.8.m5.1.1.2.3" xref="A4.SS4.2.p1.8.m5.1.1.2.3.cmml"><mi id="A4.SS4.2.p1.8.m5.1.1.2.3.2" xref="A4.SS4.2.p1.8.m5.1.1.2.3.2.cmml">k</mi><mi id="A4.SS4.2.p1.8.m5.1.1.2.3.3" xref="A4.SS4.2.p1.8.m5.1.1.2.3.3.cmml">i</mi></msub></msup><mo id="A4.SS4.2.p1.8.m5.1.1.1" xref="A4.SS4.2.p1.8.m5.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="A4.SS4.2.p1.8.m5.1.1.3" xref="A4.SS4.2.p1.8.m5.1.1.3.cmml"><mi id="A4.SS4.2.p1.8.m5.1.1.3.2" xref="A4.SS4.2.p1.8.m5.1.1.3.2.cmml">D</mi><mi id="A4.SS4.2.p1.8.m5.1.1.3.3" xref="A4.SS4.2.p1.8.m5.1.1.3.3.cmml">i</mi></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A4.SS4.2.p1.8.m5.1b"><apply id="A4.SS4.2.p1.8.m5.1.1.cmml" xref="A4.SS4.2.p1.8.m5.1.1"><times id="A4.SS4.2.p1.8.m5.1.1.1.cmml" xref="A4.SS4.2.p1.8.m5.1.1.1"></times><apply id="A4.SS4.2.p1.8.m5.1.1.2.cmml" xref="A4.SS4.2.p1.8.m5.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.SS4.2.p1.8.m5.1.1.2.1.cmml" xref="A4.SS4.2.p1.8.m5.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="A4.SS4.2.p1.8.m5.1.1.2.2.cmml" xref="A4.SS4.2.p1.8.m5.1.1.2.2">𝑇</ci><apply id="A4.SS4.2.p1.8.m5.1.1.2.3.cmml" xref="A4.SS4.2.p1.8.m5.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.SS4.2.p1.8.m5.1.1.2.3.1.cmml" xref="A4.SS4.2.p1.8.m5.1.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="A4.SS4.2.p1.8.m5.1.1.2.3.2.cmml" xref="A4.SS4.2.p1.8.m5.1.1.2.3.2">𝑘</ci><ci id="A4.SS4.2.p1.8.m5.1.1.2.3.3.cmml" xref="A4.SS4.2.p1.8.m5.1.1.2.3.3">𝑖</ci></apply></apply><apply id="A4.SS4.2.p1.8.m5.1.1.3.cmml" xref="A4.SS4.2.p1.8.m5.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.SS4.2.p1.8.m5.1.1.3.1.cmml" xref="A4.SS4.2.p1.8.m5.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A4.SS4.2.p1.8.m5.1.1.3.2.cmml" xref="A4.SS4.2.p1.8.m5.1.1.3.2">𝐷</ci><ci id="A4.SS4.2.p1.8.m5.1.1.3.3.cmml" xref="A4.SS4.2.p1.8.m5.1.1.3.3">𝑖</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A4.SS4.2.p1.8.m5.1c">T^{k_{i}}D_{i}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A4.SS4.2.p1.8.m5.1d">italic_T start_POSTSUPERSCRIPT italic_k start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT italic_D start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> gives us a sum of <math alttext="\ell" class="ltx_Math" display="inline" id="A4.SS4.2.p1.9.m6.1"><semantics id="A4.SS4.2.p1.9.m6.1a"><mi id="A4.SS4.2.p1.9.m6.1.1" mathvariant="normal" xref="A4.SS4.2.p1.9.m6.1.1.cmml">ℓ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A4.SS4.2.p1.9.m6.1b"><ci id="A4.SS4.2.p1.9.m6.1.1.cmml" xref="A4.SS4.2.p1.9.m6.1.1">ℓ</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A4.SS4.2.p1.9.m6.1c">\ell</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A4.SS4.2.p1.9.m6.1d">roman_ℓ</annotation></semantics></math> products, where each term in the sum is the original product with one of the factors replaced by <math alttext="T^{k_{i}+1}\delta D_{i}" class="ltx_Math" display="inline" id="A4.SS4.2.p1.10.m7.1"><semantics id="A4.SS4.2.p1.10.m7.1a"><mrow id="A4.SS4.2.p1.10.m7.1.1" xref="A4.SS4.2.p1.10.m7.1.1.cmml"><msup id="A4.SS4.2.p1.10.m7.1.1.2" xref="A4.SS4.2.p1.10.m7.1.1.2.cmml"><mi id="A4.SS4.2.p1.10.m7.1.1.2.2" xref="A4.SS4.2.p1.10.m7.1.1.2.2.cmml">T</mi><mrow id="A4.SS4.2.p1.10.m7.1.1.2.3" xref="A4.SS4.2.p1.10.m7.1.1.2.3.cmml"><msub id="A4.SS4.2.p1.10.m7.1.1.2.3.2" xref="A4.SS4.2.p1.10.m7.1.1.2.3.2.cmml"><mi id="A4.SS4.2.p1.10.m7.1.1.2.3.2.2" xref="A4.SS4.2.p1.10.m7.1.1.2.3.2.2.cmml">k</mi><mi id="A4.SS4.2.p1.10.m7.1.1.2.3.2.3" xref="A4.SS4.2.p1.10.m7.1.1.2.3.2.3.cmml">i</mi></msub><mo id="A4.SS4.2.p1.10.m7.1.1.2.3.1" xref="A4.SS4.2.p1.10.m7.1.1.2.3.1.cmml">+</mo><mn id="A4.SS4.2.p1.10.m7.1.1.2.3.3" xref="A4.SS4.2.p1.10.m7.1.1.2.3.3.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="A4.SS4.2.p1.10.m7.1.1.1" xref="A4.SS4.2.p1.10.m7.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="A4.SS4.2.p1.10.m7.1.1.3" xref="A4.SS4.2.p1.10.m7.1.1.3.cmml">δ</mi><mo id="A4.SS4.2.p1.10.m7.1.1.1a" xref="A4.SS4.2.p1.10.m7.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="A4.SS4.2.p1.10.m7.1.1.4" xref="A4.SS4.2.p1.10.m7.1.1.4.cmml"><mi id="A4.SS4.2.p1.10.m7.1.1.4.2" xref="A4.SS4.2.p1.10.m7.1.1.4.2.cmml">D</mi><mi id="A4.SS4.2.p1.10.m7.1.1.4.3" xref="A4.SS4.2.p1.10.m7.1.1.4.3.cmml">i</mi></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A4.SS4.2.p1.10.m7.1b"><apply id="A4.SS4.2.p1.10.m7.1.1.cmml" xref="A4.SS4.2.p1.10.m7.1.1"><times id="A4.SS4.2.p1.10.m7.1.1.1.cmml" xref="A4.SS4.2.p1.10.m7.1.1.1"></times><apply id="A4.SS4.2.p1.10.m7.1.1.2.cmml" xref="A4.SS4.2.p1.10.m7.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.SS4.2.p1.10.m7.1.1.2.1.cmml" xref="A4.SS4.2.p1.10.m7.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="A4.SS4.2.p1.10.m7.1.1.2.2.cmml" xref="A4.SS4.2.p1.10.m7.1.1.2.2">𝑇</ci><apply id="A4.SS4.2.p1.10.m7.1.1.2.3.cmml" xref="A4.SS4.2.p1.10.m7.1.1.2.3"><plus id="A4.SS4.2.p1.10.m7.1.1.2.3.1.cmml" xref="A4.SS4.2.p1.10.m7.1.1.2.3.1"></plus><apply id="A4.SS4.2.p1.10.m7.1.1.2.3.2.cmml" xref="A4.SS4.2.p1.10.m7.1.1.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.SS4.2.p1.10.m7.1.1.2.3.2.1.cmml" xref="A4.SS4.2.p1.10.m7.1.1.2.3.2">subscript</csymbol><ci id="A4.SS4.2.p1.10.m7.1.1.2.3.2.2.cmml" xref="A4.SS4.2.p1.10.m7.1.1.2.3.2.2">𝑘</ci><ci id="A4.SS4.2.p1.10.m7.1.1.2.3.2.3.cmml" xref="A4.SS4.2.p1.10.m7.1.1.2.3.2.3">𝑖</ci></apply><cn id="A4.SS4.2.p1.10.m7.1.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="A4.SS4.2.p1.10.m7.1.1.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="A4.SS4.2.p1.10.m7.1.1.3.cmml" xref="A4.SS4.2.p1.10.m7.1.1.3">𝛿</ci><apply id="A4.SS4.2.p1.10.m7.1.1.4.cmml" xref="A4.SS4.2.p1.10.m7.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.SS4.2.p1.10.m7.1.1.4.1.cmml" xref="A4.SS4.2.p1.10.m7.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="A4.SS4.2.p1.10.m7.1.1.4.2.cmml" xref="A4.SS4.2.p1.10.m7.1.1.4.2">𝐷</ci><ci id="A4.SS4.2.p1.10.m7.1.1.4.3.cmml" xref="A4.SS4.2.p1.10.m7.1.1.4.3">𝑖</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A4.SS4.2.p1.10.m7.1c">T^{k_{i}+1}\delta D_{i}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A4.SS4.2.p1.10.m7.1d">italic_T start_POSTSUPERSCRIPT italic_k start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT + 1 end_POSTSUPERSCRIPT italic_δ italic_D start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>. This lets us impose the inequality</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_gather ltx_eqn_table" id="S6.EGx199"> <tbody id="A4.E246"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\displaystyle\big{|}\hat{e}_{m}^{T}\Delta\left(\prod_{i=0}^{\ell}T^{k_{i}}D_{i% }\right)\hat{e}_{0}\big{|}\leq\ell\max_{j}\big{|}\hat{e}_{m}^{T}\prod_{i=0}^{% \ell}\left[(1-\delta_{ij})T^{k_{i}}D_{i}+\delta_{ij}T^{k_{i}+1}\delta D_{i}% \right]\hat{e}_{0}\big{|}" class="ltx_Math" display="block" id="A4.E246.m1.2"><semantics id="A4.E246.m1.2a"><mrow id="A4.E246.m1.2.2" xref="A4.E246.m1.2.2.cmml"><mrow id="A4.E246.m1.1.1.1.1" xref="A4.E246.m1.1.1.1.2.cmml"><mo id="A4.E246.m1.1.1.1.1.2" maxsize="120%" minsize="120%" xref="A4.E246.m1.1.1.1.2.1.cmml">|</mo><mrow id="A4.E246.m1.1.1.1.1.1" xref="A4.E246.m1.1.1.1.1.1.cmml"><msubsup id="A4.E246.m1.1.1.1.1.1.3" xref="A4.E246.m1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mover accent="true" id="A4.E246.m1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="A4.E246.m1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml"><mi id="A4.E246.m1.1.1.1.1.1.3.2.2.2" xref="A4.E246.m1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml">e</mi><mo id="A4.E246.m1.1.1.1.1.1.3.2.2.1" xref="A4.E246.m1.1.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="A4.E246.m1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="A4.E246.m1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">m</mi><mi id="A4.E246.m1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A4.E246.m1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">T</mi></msubsup><mo id="A4.E246.m1.1.1.1.1.1.2" xref="A4.E246.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="A4.E246.m1.1.1.1.1.1.4" mathvariant="normal" xref="A4.E246.m1.1.1.1.1.1.4.cmml">Δ</mi><mo id="A4.E246.m1.1.1.1.1.1.2a" xref="A4.E246.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A4.E246.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A4.E246.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A4.E246.m1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A4.E246.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A4.E246.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A4.E246.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><munderover id="A4.E246.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A4.E246.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A4.E246.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" lspace="0em" movablelimits="false" xref="A4.E246.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">∏</mo><mrow id="A4.E246.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="A4.E246.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="A4.E246.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="A4.E246.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">i</mi><mo id="A4.E246.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1" xref="A4.E246.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="A4.E246.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="A4.E246.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">0</mn></mrow><mi id="A4.E246.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" mathvariant="normal" xref="A4.E246.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">ℓ</mi></munderover><mrow id="A4.E246.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A4.E246.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><msup id="A4.E246.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="A4.E246.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="A4.E246.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="A4.E246.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">T</mi><msub id="A4.E246.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="A4.E246.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="A4.E246.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="A4.E246.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml">k</mi><mi id="A4.E246.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3" xref="A4.E246.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml">i</mi></msub></msup><mo id="A4.E246.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="A4.E246.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="A4.E246.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="A4.E246.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="A4.E246.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="A4.E246.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">D</mi><mi id="A4.E246.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="A4.E246.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">i</mi></msub></mrow></mrow><mo id="A4.E246.m1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A4.E246.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A4.E246.m1.1.1.1.1.1.2b" xref="A4.E246.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="A4.E246.m1.1.1.1.1.1.5" xref="A4.E246.m1.1.1.1.1.1.5.cmml"><mover accent="true" id="A4.E246.m1.1.1.1.1.1.5.2" xref="A4.E246.m1.1.1.1.1.1.5.2.cmml"><mi id="A4.E246.m1.1.1.1.1.1.5.2.2" xref="A4.E246.m1.1.1.1.1.1.5.2.2.cmml">e</mi><mo id="A4.E246.m1.1.1.1.1.1.5.2.1" xref="A4.E246.m1.1.1.1.1.1.5.2.1.cmml">^</mo></mover><mn id="A4.E246.m1.1.1.1.1.1.5.3" xref="A4.E246.m1.1.1.1.1.1.5.3.cmml">0</mn></msub></mrow><mo id="A4.E246.m1.1.1.1.1.3" maxsize="120%" minsize="120%" xref="A4.E246.m1.1.1.1.2.1.cmml">|</mo></mrow><mo id="A4.E246.m1.2.2.3" xref="A4.E246.m1.2.2.3.cmml">≤</mo><mrow id="A4.E246.m1.2.2.2" xref="A4.E246.m1.2.2.2.cmml"><mi id="A4.E246.m1.2.2.2.3" mathvariant="normal" xref="A4.E246.m1.2.2.2.3.cmml">ℓ</mi><mo id="A4.E246.m1.2.2.2.2" lspace="0.167em" xref="A4.E246.m1.2.2.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A4.E246.m1.2.2.2.1" xref="A4.E246.m1.2.2.2.1.cmml"><munder id="A4.E246.m1.2.2.2.1.2" xref="A4.E246.m1.2.2.2.1.2.cmml"><mi id="A4.E246.m1.2.2.2.1.2.2" xref="A4.E246.m1.2.2.2.1.2.2.cmml">max</mi><mi id="A4.E246.m1.2.2.2.1.2.3" xref="A4.E246.m1.2.2.2.1.2.3.cmml">j</mi></munder><mo id="A4.E246.m1.2.2.2.1a" xref="A4.E246.m1.2.2.2.1.cmml">⁡</mo><mrow id="A4.E246.m1.2.2.2.1.1.1" xref="A4.E246.m1.2.2.2.1.1.2.cmml"><mo id="A4.E246.m1.2.2.2.1.1.1.2" maxsize="120%" minsize="120%" xref="A4.E246.m1.2.2.2.1.1.2.1.cmml">|</mo><mrow id="A4.E246.m1.2.2.2.1.1.1.1" xref="A4.E246.m1.2.2.2.1.1.1.1.cmml"><msubsup id="A4.E246.m1.2.2.2.1.1.1.1.3" xref="A4.E246.m1.2.2.2.1.1.1.1.3.cmml"><mover accent="true" id="A4.E246.m1.2.2.2.1.1.1.1.3.2.2" xref="A4.E246.m1.2.2.2.1.1.1.1.3.2.2.cmml"><mi id="A4.E246.m1.2.2.2.1.1.1.1.3.2.2.2" xref="A4.E246.m1.2.2.2.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml">e</mi><mo id="A4.E246.m1.2.2.2.1.1.1.1.3.2.2.1" xref="A4.E246.m1.2.2.2.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="A4.E246.m1.2.2.2.1.1.1.1.3.2.3" xref="A4.E246.m1.2.2.2.1.1.1.1.3.2.3.cmml">m</mi><mi id="A4.E246.m1.2.2.2.1.1.1.1.3.3" xref="A4.E246.m1.2.2.2.1.1.1.1.3.3.cmml">T</mi></msubsup><mo id="A4.E246.m1.2.2.2.1.1.1.1.2" xref="A4.E246.m1.2.2.2.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A4.E246.m1.2.2.2.1.1.1.1.1" xref="A4.E246.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><munderover id="A4.E246.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.2" xref="A4.E246.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="A4.E246.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.2.2.2" movablelimits="false" rspace="0em" xref="A4.E246.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">∏</mo><mrow id="A4.E246.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="A4.E246.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="A4.E246.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="A4.E246.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml">i</mi><mo id="A4.E246.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.2.2.3.1" xref="A4.E246.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="A4.E246.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.2.2.3.3" xref="A4.E246.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml">0</mn></mrow><mi id="A4.E246.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.2.3" mathvariant="normal" xref="A4.E246.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.2.3.cmml">ℓ</mi></munderover><mrow id="A4.E246.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="A4.E246.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A4.E246.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A4.E246.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="A4.E246.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A4.E246.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">[</mo><mrow id="A4.E246.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A4.E246.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A4.E246.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A4.E246.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A4.E246.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A4.E246.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A4.E246.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A4.E246.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A4.E246.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A4.E246.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="A4.E246.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A4.E246.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">1</mn><mo id="A4.E246.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A4.E246.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><msub id="A4.E246.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A4.E246.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A4.E246.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A4.E246.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">δ</mi><mrow id="A4.E246.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A4.E246.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="A4.E246.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="A4.E246.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">i</mi><mo id="A4.E246.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1" xref="A4.E246.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A4.E246.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="A4.E246.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub></mrow><mo id="A4.E246.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A4.E246.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A4.E246.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A4.E246.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msup id="A4.E246.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A4.E246.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A4.E246.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A4.E246.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">T</mi><msub id="A4.E246.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A4.E246.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="A4.E246.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="A4.E246.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">k</mi><mi id="A4.E246.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="A4.E246.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">i</mi></msub></msup><mo id="A4.E246.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2a" xref="A4.E246.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="A4.E246.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4" xref="A4.E246.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="A4.E246.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2" xref="A4.E246.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml">D</mi><mi id="A4.E246.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3" xref="A4.E246.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml">i</mi></msub></mrow><mo id="A4.E246.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A4.E246.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">+</mo><mrow id="A4.E246.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A4.E246.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><msub id="A4.E246.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A4.E246.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="A4.E246.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="A4.E246.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">δ</mi><mrow id="A4.E246.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="A4.E246.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="A4.E246.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2" xref="A4.E246.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml">i</mi><mo id="A4.E246.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1" xref="A4.E246.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A4.E246.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3" xref="A4.E246.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="A4.E246.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="A4.E246.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="A4.E246.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A4.E246.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="A4.E246.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="A4.E246.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">T</mi><mrow id="A4.E246.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="A4.E246.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml"><msub id="A4.E246.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.2" xref="A4.E246.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.2.cmml"><mi id="A4.E246.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.2.2" xref="A4.E246.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.2.2.cmml">k</mi><mi id="A4.E246.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.2.3" xref="A4.E246.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.2.3.cmml">i</mi></msub><mo id="A4.E246.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.1" xref="A4.E246.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.1.cmml">+</mo><mn id="A4.E246.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3" xref="A4.E246.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="A4.E246.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1a" xref="A4.E246.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A4.E246.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4" xref="A4.E246.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.cmml">δ</mi><mo id="A4.E246.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1b" xref="A4.E246.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="A4.E246.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.5" xref="A4.E246.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.5.cmml"><mi id="A4.E246.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.5.2" xref="A4.E246.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.5.2.cmml">D</mi><mi id="A4.E246.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.5.3" xref="A4.E246.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.5.3.cmml">i</mi></msub></mrow></mrow><mo id="A4.E246.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A4.E246.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">]</mo></mrow><mo id="A4.E246.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2" xref="A4.E246.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="A4.E246.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3" xref="A4.E246.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mover accent="true" id="A4.E246.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A4.E246.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="A4.E246.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="A4.E246.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">e</mi><mo id="A4.E246.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.1" 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id="A4.E246.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A4.E246.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A4.E246.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A4.E246.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝛿</ci><apply id="A4.E246.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A4.E246.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3"><times id="A4.E246.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="A4.E246.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1"></times><ci id="A4.E246.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="A4.E246.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2">𝑖</ci><ci id="A4.E246.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="A4.E246.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3">𝑗</ci></apply></apply></apply><apply id="A4.E246.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A4.E246.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.E246.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A4.E246.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="A4.E246.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A4.E246.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑇</ci><apply id="A4.E246.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A4.E246.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.E246.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="A4.E246.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="A4.E246.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="A4.E246.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2">𝑘</ci><ci id="A4.E246.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="A4.E246.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3">𝑖</ci></apply></apply><apply id="A4.E246.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="A4.E246.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.E246.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="A4.E246.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="A4.E246.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="A4.E246.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2">𝐷</ci><ci id="A4.E246.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml" xref="A4.E246.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3">𝑖</ci></apply></apply><apply id="A4.E246.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A4.E246.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><times id="A4.E246.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A4.E246.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><apply id="A4.E246.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A4.E246.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.E246.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="A4.E246.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="A4.E246.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="A4.E246.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2">𝛿</ci><apply id="A4.E246.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="A4.E246.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3"><times id="A4.E246.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="A4.E246.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1"></times><ci id="A4.E246.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="A4.E246.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2">𝑖</ci><ci id="A4.E246.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml" xref="A4.E246.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3">𝑗</ci></apply></apply><apply id="A4.E246.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A4.E246.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.E246.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="A4.E246.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">superscript</csymbol><ci id="A4.E246.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="A4.E246.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2">𝑇</ci><apply id="A4.E246.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="A4.E246.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3"><plus id="A4.E246.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.1.cmml" xref="A4.E246.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.1"></plus><apply id="A4.E246.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.2.cmml" xref="A4.E246.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.E246.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.2.1.cmml" xref="A4.E246.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.2">subscript</csymbol><ci id="A4.E246.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.2.2.cmml" xref="A4.E246.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.2.2">𝑘</ci><ci id="A4.E246.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.2.3.cmml" xref="A4.E246.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.2.3">𝑖</ci></apply><cn id="A4.E246.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3.cmml" type="integer" xref="A4.E246.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="A4.E246.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.cmml" xref="A4.E246.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4">𝛿</ci><apply id="A4.E246.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.5.cmml" xref="A4.E246.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.5"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.E246.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.5.1.cmml" xref="A4.E246.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.5">subscript</csymbol><ci id="A4.E246.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.5.2.cmml" xref="A4.E246.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.5.2">𝐷</ci><ci id="A4.E246.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.5.3.cmml" xref="A4.E246.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.5.3">𝑖</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="A4.E246.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A4.E246.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.E246.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A4.E246.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><apply id="A4.E246.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A4.E246.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2"><ci id="A4.E246.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="A4.E246.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.1">^</ci><ci id="A4.E246.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="A4.E246.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.2">𝑒</ci></apply><cn id="A4.E246.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="A4.E246.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3">0</cn></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A4.E246.m1.2c">\displaystyle\big{|}\hat{e}_{m}^{T}\Delta\left(\prod_{i=0}^{\ell}T^{k_{i}}D_{i% }\right)\hat{e}_{0}\big{|}\leq\ell\max_{j}\big{|}\hat{e}_{m}^{T}\prod_{i=0}^{% \ell}\left[(1-\delta_{ij})T^{k_{i}}D_{i}+\delta_{ij}T^{k_{i}+1}\delta D_{i}% \right]\hat{e}_{0}\big{|}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A4.E246.m1.2d">| over^ start_ARG italic_e end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT roman_Δ ( ∏ start_POSTSUBSCRIPT italic_i = 0 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT roman_ℓ end_POSTSUPERSCRIPT italic_T start_POSTSUPERSCRIPT italic_k start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT italic_D start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT ) over^ start_ARG italic_e end_ARG start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT | ≤ roman_ℓ roman_max start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT | over^ start_ARG italic_e end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT ∏ start_POSTSUBSCRIPT italic_i = 0 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT roman_ℓ end_POSTSUPERSCRIPT [ ( 1 - italic_δ start_POSTSUBSCRIPT italic_i italic_j end_POSTSUBSCRIPT ) italic_T start_POSTSUPERSCRIPT italic_k start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT italic_D start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT + italic_δ start_POSTSUBSCRIPT italic_i italic_j end_POSTSUBSCRIPT italic_T start_POSTSUPERSCRIPT italic_k start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT + 1 end_POSTSUPERSCRIPT italic_δ italic_D start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT ] over^ start_ARG italic_e end_ARG start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT |</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(246)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="A4.SS4.2.p1.17">Now we generalize the situation to a sequence of <math alttext="t" class="ltx_Math" display="inline" id="A4.SS4.2.p1.11.m1.1"><semantics id="A4.SS4.2.p1.11.m1.1a"><mi id="A4.SS4.2.p1.11.m1.1.1" xref="A4.SS4.2.p1.11.m1.1.1.cmml">t</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A4.SS4.2.p1.11.m1.1b"><ci id="A4.SS4.2.p1.11.m1.1.1.cmml" xref="A4.SS4.2.p1.11.m1.1.1">𝑡</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A4.SS4.2.p1.11.m1.1c">t</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A4.SS4.2.p1.11.m1.1d">italic_t</annotation></semantics></math> operators which could either be <math alttext="\Delta" class="ltx_Math" display="inline" id="A4.SS4.2.p1.12.m2.1"><semantics id="A4.SS4.2.p1.12.m2.1a"><mi id="A4.SS4.2.p1.12.m2.1.1" mathvariant="normal" xref="A4.SS4.2.p1.12.m2.1.1.cmml">Δ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A4.SS4.2.p1.12.m2.1b"><ci id="A4.SS4.2.p1.12.m2.1.1.cmml" xref="A4.SS4.2.p1.12.m2.1.1">Δ</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A4.SS4.2.p1.12.m2.1c">\Delta</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A4.SS4.2.p1.12.m2.1d">roman_Δ</annotation></semantics></math> or <math alttext="TG" class="ltx_Math" display="inline" id="A4.SS4.2.p1.13.m3.1"><semantics id="A4.SS4.2.p1.13.m3.1a"><mrow id="A4.SS4.2.p1.13.m3.1.1" xref="A4.SS4.2.p1.13.m3.1.1.cmml"><mi id="A4.SS4.2.p1.13.m3.1.1.2" xref="A4.SS4.2.p1.13.m3.1.1.2.cmml">T</mi><mo id="A4.SS4.2.p1.13.m3.1.1.1" xref="A4.SS4.2.p1.13.m3.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="A4.SS4.2.p1.13.m3.1.1.3" xref="A4.SS4.2.p1.13.m3.1.1.3.cmml">G</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A4.SS4.2.p1.13.m3.1b"><apply id="A4.SS4.2.p1.13.m3.1.1.cmml" xref="A4.SS4.2.p1.13.m3.1.1"><times id="A4.SS4.2.p1.13.m3.1.1.1.cmml" xref="A4.SS4.2.p1.13.m3.1.1.1"></times><ci id="A4.SS4.2.p1.13.m3.1.1.2.cmml" xref="A4.SS4.2.p1.13.m3.1.1.2">𝑇</ci><ci id="A4.SS4.2.p1.13.m3.1.1.3.cmml" xref="A4.SS4.2.p1.13.m3.1.1.3">𝐺</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A4.SS4.2.p1.13.m3.1c">TG</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A4.SS4.2.p1.13.m3.1d">italic_T italic_G</annotation></semantics></math>. Specifically, we have two vectors <math alttext="a\in\{0...t\}^{m},b\in\{0...t\}^{m}" class="ltx_Math" display="inline" id="A4.SS4.2.p1.14.m4.2"><semantics id="A4.SS4.2.p1.14.m4.2a"><mrow id="A4.SS4.2.p1.14.m4.2.2.2" xref="A4.SS4.2.p1.14.m4.2.2.3.cmml"><mrow id="A4.SS4.2.p1.14.m4.1.1.1.1" xref="A4.SS4.2.p1.14.m4.1.1.1.1.cmml"><mi id="A4.SS4.2.p1.14.m4.1.1.1.1.3" xref="A4.SS4.2.p1.14.m4.1.1.1.1.3.cmml">a</mi><mo id="A4.SS4.2.p1.14.m4.1.1.1.1.2" xref="A4.SS4.2.p1.14.m4.1.1.1.1.2.cmml">∈</mo><msup id="A4.SS4.2.p1.14.m4.1.1.1.1.1" xref="A4.SS4.2.p1.14.m4.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A4.SS4.2.p1.14.m4.1.1.1.1.1.1.1" xref="A4.SS4.2.p1.14.m4.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="A4.SS4.2.p1.14.m4.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A4.SS4.2.p1.14.m4.1.1.1.1.1.1.2.cmml">{</mo><mrow id="A4.SS4.2.p1.14.m4.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A4.SS4.2.p1.14.m4.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="A4.SS4.2.p1.14.m4.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A4.SS4.2.p1.14.m4.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">0</mn><mo id="A4.SS4.2.p1.14.m4.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A4.SS4.2.p1.14.m4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="A4.SS4.2.p1.14.m4.1.1.1.1.1.1.1.1.3" mathvariant="normal" xref="A4.SS4.2.p1.14.m4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">…</mi><mo id="A4.SS4.2.p1.14.m4.1.1.1.1.1.1.1.1.1a" xref="A4.SS4.2.p1.14.m4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="A4.SS4.2.p1.14.m4.1.1.1.1.1.1.1.1.4" xref="A4.SS4.2.p1.14.m4.1.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml">t</mi></mrow><mo id="A4.SS4.2.p1.14.m4.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A4.SS4.2.p1.14.m4.1.1.1.1.1.1.2.cmml">}</mo></mrow><mi id="A4.SS4.2.p1.14.m4.1.1.1.1.1.3" xref="A4.SS4.2.p1.14.m4.1.1.1.1.1.3.cmml">m</mi></msup></mrow><mo id="A4.SS4.2.p1.14.m4.2.2.2.3" xref="A4.SS4.2.p1.14.m4.2.2.3a.cmml">,</mo><mrow id="A4.SS4.2.p1.14.m4.2.2.2.2" xref="A4.SS4.2.p1.14.m4.2.2.2.2.cmml"><mi id="A4.SS4.2.p1.14.m4.2.2.2.2.3" xref="A4.SS4.2.p1.14.m4.2.2.2.2.3.cmml">b</mi><mo id="A4.SS4.2.p1.14.m4.2.2.2.2.2" xref="A4.SS4.2.p1.14.m4.2.2.2.2.2.cmml">∈</mo><msup id="A4.SS4.2.p1.14.m4.2.2.2.2.1" xref="A4.SS4.2.p1.14.m4.2.2.2.2.1.cmml"><mrow id="A4.SS4.2.p1.14.m4.2.2.2.2.1.1.1" xref="A4.SS4.2.p1.14.m4.2.2.2.2.1.1.2.cmml"><mo id="A4.SS4.2.p1.14.m4.2.2.2.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A4.SS4.2.p1.14.m4.2.2.2.2.1.1.2.cmml">{</mo><mrow id="A4.SS4.2.p1.14.m4.2.2.2.2.1.1.1.1" xref="A4.SS4.2.p1.14.m4.2.2.2.2.1.1.1.1.cmml"><mn id="A4.SS4.2.p1.14.m4.2.2.2.2.1.1.1.1.2" xref="A4.SS4.2.p1.14.m4.2.2.2.2.1.1.1.1.2.cmml">0</mn><mo id="A4.SS4.2.p1.14.m4.2.2.2.2.1.1.1.1.1" xref="A4.SS4.2.p1.14.m4.2.2.2.2.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="A4.SS4.2.p1.14.m4.2.2.2.2.1.1.1.1.3" mathvariant="normal" xref="A4.SS4.2.p1.14.m4.2.2.2.2.1.1.1.1.3.cmml">…</mi><mo id="A4.SS4.2.p1.14.m4.2.2.2.2.1.1.1.1.1a" xref="A4.SS4.2.p1.14.m4.2.2.2.2.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="A4.SS4.2.p1.14.m4.2.2.2.2.1.1.1.1.4" xref="A4.SS4.2.p1.14.m4.2.2.2.2.1.1.1.1.4.cmml">t</mi></mrow><mo id="A4.SS4.2.p1.14.m4.2.2.2.2.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A4.SS4.2.p1.14.m4.2.2.2.2.1.1.2.cmml">}</mo></mrow><mi id="A4.SS4.2.p1.14.m4.2.2.2.2.1.3" xref="A4.SS4.2.p1.14.m4.2.2.2.2.1.3.cmml">m</mi></msup></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A4.SS4.2.p1.14.m4.2b"><apply id="A4.SS4.2.p1.14.m4.2.2.3.cmml" xref="A4.SS4.2.p1.14.m4.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.SS4.2.p1.14.m4.2.2.3a.cmml" xref="A4.SS4.2.p1.14.m4.2.2.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="A4.SS4.2.p1.14.m4.1.1.1.1.cmml" xref="A4.SS4.2.p1.14.m4.1.1.1.1"><in id="A4.SS4.2.p1.14.m4.1.1.1.1.2.cmml" xref="A4.SS4.2.p1.14.m4.1.1.1.1.2"></in><ci id="A4.SS4.2.p1.14.m4.1.1.1.1.3.cmml" xref="A4.SS4.2.p1.14.m4.1.1.1.1.3">𝑎</ci><apply id="A4.SS4.2.p1.14.m4.1.1.1.1.1.cmml" xref="A4.SS4.2.p1.14.m4.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.SS4.2.p1.14.m4.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A4.SS4.2.p1.14.m4.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><set id="A4.SS4.2.p1.14.m4.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A4.SS4.2.p1.14.m4.1.1.1.1.1.1.1"><apply id="A4.SS4.2.p1.14.m4.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A4.SS4.2.p1.14.m4.1.1.1.1.1.1.1.1"><times id="A4.SS4.2.p1.14.m4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A4.SS4.2.p1.14.m4.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></times><cn id="A4.SS4.2.p1.14.m4.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="A4.SS4.2.p1.14.m4.1.1.1.1.1.1.1.1.2">0</cn><ci id="A4.SS4.2.p1.14.m4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A4.SS4.2.p1.14.m4.1.1.1.1.1.1.1.1.3">…</ci><ci id="A4.SS4.2.p1.14.m4.1.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="A4.SS4.2.p1.14.m4.1.1.1.1.1.1.1.1.4">𝑡</ci></apply></set><ci id="A4.SS4.2.p1.14.m4.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A4.SS4.2.p1.14.m4.1.1.1.1.1.3">𝑚</ci></apply></apply><apply id="A4.SS4.2.p1.14.m4.2.2.2.2.cmml" xref="A4.SS4.2.p1.14.m4.2.2.2.2"><in id="A4.SS4.2.p1.14.m4.2.2.2.2.2.cmml" xref="A4.SS4.2.p1.14.m4.2.2.2.2.2"></in><ci id="A4.SS4.2.p1.14.m4.2.2.2.2.3.cmml" xref="A4.SS4.2.p1.14.m4.2.2.2.2.3">𝑏</ci><apply id="A4.SS4.2.p1.14.m4.2.2.2.2.1.cmml" xref="A4.SS4.2.p1.14.m4.2.2.2.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.SS4.2.p1.14.m4.2.2.2.2.1.2.cmml" xref="A4.SS4.2.p1.14.m4.2.2.2.2.1">superscript</csymbol><set id="A4.SS4.2.p1.14.m4.2.2.2.2.1.1.2.cmml" xref="A4.SS4.2.p1.14.m4.2.2.2.2.1.1.1"><apply id="A4.SS4.2.p1.14.m4.2.2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="A4.SS4.2.p1.14.m4.2.2.2.2.1.1.1.1"><times id="A4.SS4.2.p1.14.m4.2.2.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="A4.SS4.2.p1.14.m4.2.2.2.2.1.1.1.1.1"></times><cn id="A4.SS4.2.p1.14.m4.2.2.2.2.1.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="A4.SS4.2.p1.14.m4.2.2.2.2.1.1.1.1.2">0</cn><ci id="A4.SS4.2.p1.14.m4.2.2.2.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="A4.SS4.2.p1.14.m4.2.2.2.2.1.1.1.1.3">…</ci><ci id="A4.SS4.2.p1.14.m4.2.2.2.2.1.1.1.1.4.cmml" xref="A4.SS4.2.p1.14.m4.2.2.2.2.1.1.1.1.4">𝑡</ci></apply></set><ci id="A4.SS4.2.p1.14.m4.2.2.2.2.1.3.cmml" xref="A4.SS4.2.p1.14.m4.2.2.2.2.1.3">𝑚</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A4.SS4.2.p1.14.m4.2c">a\in\{0...t\}^{m},b\in\{0...t\}^{m}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A4.SS4.2.p1.14.m4.2d">italic_a ∈ { 0 … italic_t } start_POSTSUPERSCRIPT italic_m end_POSTSUPERSCRIPT , italic_b ∈ { 0 … italic_t } start_POSTSUPERSCRIPT italic_m end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> for some integer <math alttext="m" class="ltx_Math" display="inline" id="A4.SS4.2.p1.15.m5.1"><semantics id="A4.SS4.2.p1.15.m5.1a"><mi id="A4.SS4.2.p1.15.m5.1.1" xref="A4.SS4.2.p1.15.m5.1.1.cmml">m</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A4.SS4.2.p1.15.m5.1b"><ci id="A4.SS4.2.p1.15.m5.1.1.cmml" xref="A4.SS4.2.p1.15.m5.1.1">𝑚</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A4.SS4.2.p1.15.m5.1c">m</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A4.SS4.2.p1.15.m5.1d">italic_m</annotation></semantics></math> such that <math alttext="\sum_{i}a_{i}+b_{i}=t" class="ltx_Math" display="inline" id="A4.SS4.2.p1.16.m6.1"><semantics id="A4.SS4.2.p1.16.m6.1a"><mrow id="A4.SS4.2.p1.16.m6.1.1" xref="A4.SS4.2.p1.16.m6.1.1.cmml"><mrow id="A4.SS4.2.p1.16.m6.1.1.2" xref="A4.SS4.2.p1.16.m6.1.1.2.cmml"><mrow id="A4.SS4.2.p1.16.m6.1.1.2.2" xref="A4.SS4.2.p1.16.m6.1.1.2.2.cmml"><msub id="A4.SS4.2.p1.16.m6.1.1.2.2.1" xref="A4.SS4.2.p1.16.m6.1.1.2.2.1.cmml"><mo id="A4.SS4.2.p1.16.m6.1.1.2.2.1.2" xref="A4.SS4.2.p1.16.m6.1.1.2.2.1.2.cmml">∑</mo><mi id="A4.SS4.2.p1.16.m6.1.1.2.2.1.3" xref="A4.SS4.2.p1.16.m6.1.1.2.2.1.3.cmml">i</mi></msub><msub id="A4.SS4.2.p1.16.m6.1.1.2.2.2" xref="A4.SS4.2.p1.16.m6.1.1.2.2.2.cmml"><mi id="A4.SS4.2.p1.16.m6.1.1.2.2.2.2" xref="A4.SS4.2.p1.16.m6.1.1.2.2.2.2.cmml">a</mi><mi id="A4.SS4.2.p1.16.m6.1.1.2.2.2.3" xref="A4.SS4.2.p1.16.m6.1.1.2.2.2.3.cmml">i</mi></msub></mrow><mo id="A4.SS4.2.p1.16.m6.1.1.2.1" xref="A4.SS4.2.p1.16.m6.1.1.2.1.cmml">+</mo><msub id="A4.SS4.2.p1.16.m6.1.1.2.3" xref="A4.SS4.2.p1.16.m6.1.1.2.3.cmml"><mi id="A4.SS4.2.p1.16.m6.1.1.2.3.2" xref="A4.SS4.2.p1.16.m6.1.1.2.3.2.cmml">b</mi><mi id="A4.SS4.2.p1.16.m6.1.1.2.3.3" xref="A4.SS4.2.p1.16.m6.1.1.2.3.3.cmml">i</mi></msub></mrow><mo id="A4.SS4.2.p1.16.m6.1.1.1" xref="A4.SS4.2.p1.16.m6.1.1.1.cmml">=</mo><mi id="A4.SS4.2.p1.16.m6.1.1.3" xref="A4.SS4.2.p1.16.m6.1.1.3.cmml">t</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A4.SS4.2.p1.16.m6.1b"><apply id="A4.SS4.2.p1.16.m6.1.1.cmml" xref="A4.SS4.2.p1.16.m6.1.1"><eq id="A4.SS4.2.p1.16.m6.1.1.1.cmml" xref="A4.SS4.2.p1.16.m6.1.1.1"></eq><apply id="A4.SS4.2.p1.16.m6.1.1.2.cmml" xref="A4.SS4.2.p1.16.m6.1.1.2"><plus id="A4.SS4.2.p1.16.m6.1.1.2.1.cmml" xref="A4.SS4.2.p1.16.m6.1.1.2.1"></plus><apply id="A4.SS4.2.p1.16.m6.1.1.2.2.cmml" xref="A4.SS4.2.p1.16.m6.1.1.2.2"><apply id="A4.SS4.2.p1.16.m6.1.1.2.2.1.cmml" xref="A4.SS4.2.p1.16.m6.1.1.2.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.SS4.2.p1.16.m6.1.1.2.2.1.1.cmml" xref="A4.SS4.2.p1.16.m6.1.1.2.2.1">subscript</csymbol><sum id="A4.SS4.2.p1.16.m6.1.1.2.2.1.2.cmml" xref="A4.SS4.2.p1.16.m6.1.1.2.2.1.2"></sum><ci id="A4.SS4.2.p1.16.m6.1.1.2.2.1.3.cmml" xref="A4.SS4.2.p1.16.m6.1.1.2.2.1.3">𝑖</ci></apply><apply id="A4.SS4.2.p1.16.m6.1.1.2.2.2.cmml" xref="A4.SS4.2.p1.16.m6.1.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.SS4.2.p1.16.m6.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="A4.SS4.2.p1.16.m6.1.1.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="A4.SS4.2.p1.16.m6.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="A4.SS4.2.p1.16.m6.1.1.2.2.2.2">𝑎</ci><ci id="A4.SS4.2.p1.16.m6.1.1.2.2.2.3.cmml" xref="A4.SS4.2.p1.16.m6.1.1.2.2.2.3">𝑖</ci></apply></apply><apply id="A4.SS4.2.p1.16.m6.1.1.2.3.cmml" xref="A4.SS4.2.p1.16.m6.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.SS4.2.p1.16.m6.1.1.2.3.1.cmml" xref="A4.SS4.2.p1.16.m6.1.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="A4.SS4.2.p1.16.m6.1.1.2.3.2.cmml" xref="A4.SS4.2.p1.16.m6.1.1.2.3.2">𝑏</ci><ci id="A4.SS4.2.p1.16.m6.1.1.2.3.3.cmml" xref="A4.SS4.2.p1.16.m6.1.1.2.3.3">𝑖</ci></apply></apply><ci id="A4.SS4.2.p1.16.m6.1.1.3.cmml" xref="A4.SS4.2.p1.16.m6.1.1.3">𝑡</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A4.SS4.2.p1.16.m6.1c">\sum_{i}a_{i}+b_{i}=t</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A4.SS4.2.p1.16.m6.1d">∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT italic_a start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT + italic_b start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT = italic_t</annotation></semantics></math>. Let’s also say that <math alttext="\sum_{i}a_{i}\equiv A" class="ltx_Math" display="inline" id="A4.SS4.2.p1.17.m7.1"><semantics id="A4.SS4.2.p1.17.m7.1a"><mrow id="A4.SS4.2.p1.17.m7.1.1" xref="A4.SS4.2.p1.17.m7.1.1.cmml"><mrow id="A4.SS4.2.p1.17.m7.1.1.2" xref="A4.SS4.2.p1.17.m7.1.1.2.cmml"><msub id="A4.SS4.2.p1.17.m7.1.1.2.1" xref="A4.SS4.2.p1.17.m7.1.1.2.1.cmml"><mo id="A4.SS4.2.p1.17.m7.1.1.2.1.2" xref="A4.SS4.2.p1.17.m7.1.1.2.1.2.cmml">∑</mo><mi id="A4.SS4.2.p1.17.m7.1.1.2.1.3" xref="A4.SS4.2.p1.17.m7.1.1.2.1.3.cmml">i</mi></msub><msub id="A4.SS4.2.p1.17.m7.1.1.2.2" xref="A4.SS4.2.p1.17.m7.1.1.2.2.cmml"><mi id="A4.SS4.2.p1.17.m7.1.1.2.2.2" xref="A4.SS4.2.p1.17.m7.1.1.2.2.2.cmml">a</mi><mi id="A4.SS4.2.p1.17.m7.1.1.2.2.3" xref="A4.SS4.2.p1.17.m7.1.1.2.2.3.cmml">i</mi></msub></mrow><mo id="A4.SS4.2.p1.17.m7.1.1.1" xref="A4.SS4.2.p1.17.m7.1.1.1.cmml">≡</mo><mi id="A4.SS4.2.p1.17.m7.1.1.3" xref="A4.SS4.2.p1.17.m7.1.1.3.cmml">A</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A4.SS4.2.p1.17.m7.1b"><apply id="A4.SS4.2.p1.17.m7.1.1.cmml" xref="A4.SS4.2.p1.17.m7.1.1"><equivalent id="A4.SS4.2.p1.17.m7.1.1.1.cmml" xref="A4.SS4.2.p1.17.m7.1.1.1"></equivalent><apply id="A4.SS4.2.p1.17.m7.1.1.2.cmml" xref="A4.SS4.2.p1.17.m7.1.1.2"><apply id="A4.SS4.2.p1.17.m7.1.1.2.1.cmml" xref="A4.SS4.2.p1.17.m7.1.1.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.SS4.2.p1.17.m7.1.1.2.1.1.cmml" xref="A4.SS4.2.p1.17.m7.1.1.2.1">subscript</csymbol><sum id="A4.SS4.2.p1.17.m7.1.1.2.1.2.cmml" xref="A4.SS4.2.p1.17.m7.1.1.2.1.2"></sum><ci id="A4.SS4.2.p1.17.m7.1.1.2.1.3.cmml" xref="A4.SS4.2.p1.17.m7.1.1.2.1.3">𝑖</ci></apply><apply id="A4.SS4.2.p1.17.m7.1.1.2.2.cmml" xref="A4.SS4.2.p1.17.m7.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.SS4.2.p1.17.m7.1.1.2.2.1.cmml" xref="A4.SS4.2.p1.17.m7.1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="A4.SS4.2.p1.17.m7.1.1.2.2.2.cmml" xref="A4.SS4.2.p1.17.m7.1.1.2.2.2">𝑎</ci><ci id="A4.SS4.2.p1.17.m7.1.1.2.2.3.cmml" xref="A4.SS4.2.p1.17.m7.1.1.2.2.3">𝑖</ci></apply></apply><ci id="A4.SS4.2.p1.17.m7.1.1.3.cmml" xref="A4.SS4.2.p1.17.m7.1.1.3">𝐴</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A4.SS4.2.p1.17.m7.1c">\sum_{i}a_{i}\equiv A</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A4.SS4.2.p1.17.m7.1d">∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT italic_a start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT ≡ italic_A</annotation></semantics></math>. We want to bound the product</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_gather ltx_eqn_table" id="S6.EGx200"> <tbody id="A4.E247"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\displaystyle\big{|}u^{T}\prod_{i=1}^{m}\Delta^{b_{i}}(TG)^{a_{i}}\hat{e}_{0}% \big{|}" class="ltx_Math" display="block" id="A4.E247.m1.1"><semantics id="A4.E247.m1.1a"><mrow id="A4.E247.m1.1.1.1" xref="A4.E247.m1.1.1.2.cmml"><mo id="A4.E247.m1.1.1.1.2" maxsize="120%" minsize="120%" xref="A4.E247.m1.1.1.2.1.cmml">|</mo><mrow id="A4.E247.m1.1.1.1.1" xref="A4.E247.m1.1.1.1.1.cmml"><msup id="A4.E247.m1.1.1.1.1.3" xref="A4.E247.m1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A4.E247.m1.1.1.1.1.3.2" xref="A4.E247.m1.1.1.1.1.3.2.cmml">u</mi><mi id="A4.E247.m1.1.1.1.1.3.3" xref="A4.E247.m1.1.1.1.1.3.3.cmml">T</mi></msup><mo id="A4.E247.m1.1.1.1.1.2" xref="A4.E247.m1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A4.E247.m1.1.1.1.1.1" xref="A4.E247.m1.1.1.1.1.1.cmml"><munderover id="A4.E247.m1.1.1.1.1.1.2" xref="A4.E247.m1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="A4.E247.m1.1.1.1.1.1.2.2.2" movablelimits="false" xref="A4.E247.m1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">∏</mo><mrow id="A4.E247.m1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="A4.E247.m1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="A4.E247.m1.1.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="A4.E247.m1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml">i</mi><mo id="A4.E247.m1.1.1.1.1.1.2.2.3.1" xref="A4.E247.m1.1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="A4.E247.m1.1.1.1.1.1.2.2.3.3" xref="A4.E247.m1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="A4.E247.m1.1.1.1.1.1.2.3" xref="A4.E247.m1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">m</mi></munderover><mrow id="A4.E247.m1.1.1.1.1.1.1" xref="A4.E247.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msup id="A4.E247.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A4.E247.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A4.E247.m1.1.1.1.1.1.1.3.2" mathvariant="normal" xref="A4.E247.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">Δ</mi><msub id="A4.E247.m1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A4.E247.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="A4.E247.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="A4.E247.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">b</mi><mi id="A4.E247.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="A4.E247.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">i</mi></msub></msup><mo id="A4.E247.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A4.E247.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msup id="A4.E247.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A4.E247.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A4.E247.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A4.E247.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A4.E247.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A4.E247.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A4.E247.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A4.E247.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A4.E247.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A4.E247.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">T</mi><mo id="A4.E247.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A4.E247.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="A4.E247.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A4.E247.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">G</mi></mrow><mo id="A4.E247.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A4.E247.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><msub id="A4.E247.m1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A4.E247.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A4.E247.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A4.E247.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">a</mi><mi id="A4.E247.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A4.E247.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">i</mi></msub></msup><mo id="A4.E247.m1.1.1.1.1.1.1.2a" xref="A4.E247.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="A4.E247.m1.1.1.1.1.1.1.4" xref="A4.E247.m1.1.1.1.1.1.1.4.cmml"><mover accent="true" id="A4.E247.m1.1.1.1.1.1.1.4.2" xref="A4.E247.m1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml"><mi id="A4.E247.m1.1.1.1.1.1.1.4.2.2" xref="A4.E247.m1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.cmml">e</mi><mo id="A4.E247.m1.1.1.1.1.1.1.4.2.1" xref="A4.E247.m1.1.1.1.1.1.1.4.2.1.cmml">^</mo></mover><mn id="A4.E247.m1.1.1.1.1.1.1.4.3" xref="A4.E247.m1.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml">0</mn></msub></mrow></mrow></mrow><mo id="A4.E247.m1.1.1.1.3" maxsize="120%" minsize="120%" xref="A4.E247.m1.1.1.2.1.cmml">|</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A4.E247.m1.1b"><apply id="A4.E247.m1.1.1.2.cmml" xref="A4.E247.m1.1.1.1"><abs id="A4.E247.m1.1.1.2.1.cmml" xref="A4.E247.m1.1.1.1.2"></abs><apply id="A4.E247.m1.1.1.1.1.cmml" xref="A4.E247.m1.1.1.1.1"><times id="A4.E247.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A4.E247.m1.1.1.1.1.2"></times><apply id="A4.E247.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A4.E247.m1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.E247.m1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A4.E247.m1.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="A4.E247.m1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A4.E247.m1.1.1.1.1.3.2">𝑢</ci><ci id="A4.E247.m1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A4.E247.m1.1.1.1.1.3.3">𝑇</ci></apply><apply id="A4.E247.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A4.E247.m1.1.1.1.1.1"><apply id="A4.E247.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A4.E247.m1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.E247.m1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A4.E247.m1.1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="A4.E247.m1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A4.E247.m1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.E247.m1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="A4.E247.m1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><csymbol cd="latexml" id="A4.E247.m1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="A4.E247.m1.1.1.1.1.1.2.2.2">product</csymbol><apply id="A4.E247.m1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="A4.E247.m1.1.1.1.1.1.2.2.3"><eq id="A4.E247.m1.1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="A4.E247.m1.1.1.1.1.1.2.2.3.1"></eq><ci id="A4.E247.m1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="A4.E247.m1.1.1.1.1.1.2.2.3.2">𝑖</ci><cn id="A4.E247.m1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="A4.E247.m1.1.1.1.1.1.2.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="A4.E247.m1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="A4.E247.m1.1.1.1.1.1.2.3">𝑚</ci></apply><apply id="A4.E247.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A4.E247.m1.1.1.1.1.1.1"><times id="A4.E247.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A4.E247.m1.1.1.1.1.1.1.2"></times><apply id="A4.E247.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A4.E247.m1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.E247.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A4.E247.m1.1.1.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="A4.E247.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A4.E247.m1.1.1.1.1.1.1.3.2">Δ</ci><apply id="A4.E247.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A4.E247.m1.1.1.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.E247.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="A4.E247.m1.1.1.1.1.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="A4.E247.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="A4.E247.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2">𝑏</ci><ci id="A4.E247.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="A4.E247.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3">𝑖</ci></apply></apply><apply id="A4.E247.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A4.E247.m1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.E247.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A4.E247.m1.1.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="A4.E247.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A4.E247.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><times id="A4.E247.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A4.E247.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></times><ci id="A4.E247.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A4.E247.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑇</ci><ci id="A4.E247.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A4.E247.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝐺</ci></apply><apply id="A4.E247.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A4.E247.m1.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.E247.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A4.E247.m1.1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A4.E247.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A4.E247.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑎</ci><ci id="A4.E247.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A4.E247.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑖</ci></apply></apply><apply id="A4.E247.m1.1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="A4.E247.m1.1.1.1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.E247.m1.1.1.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="A4.E247.m1.1.1.1.1.1.1.4">subscript</csymbol><apply id="A4.E247.m1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="A4.E247.m1.1.1.1.1.1.1.4.2"><ci id="A4.E247.m1.1.1.1.1.1.1.4.2.1.cmml" xref="A4.E247.m1.1.1.1.1.1.1.4.2.1">^</ci><ci id="A4.E247.m1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.cmml" xref="A4.E247.m1.1.1.1.1.1.1.4.2.2">𝑒</ci></apply><cn id="A4.E247.m1.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml" type="integer" xref="A4.E247.m1.1.1.1.1.1.1.4.3">0</cn></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A4.E247.m1.1c">\displaystyle\big{|}u^{T}\prod_{i=1}^{m}\Delta^{b_{i}}(TG)^{a_{i}}\hat{e}_{0}% \big{|}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A4.E247.m1.1d">| italic_u start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT ∏ start_POSTSUBSCRIPT italic_i = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_m end_POSTSUPERSCRIPT roman_Δ start_POSTSUPERSCRIPT italic_b start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_T italic_G ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_a start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT over^ start_ARG italic_e end_ARG start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT |</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(247)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="A4.SS4.2.p1.18">By imposing inequality (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#A4.E246" title="In Proof. ‣ D.4 Analytic Bound on the Derangement Polynomial (Proof of Lemma 44) ‣ Appendix D Properties of the Derangement Polynomial ‣ Conditional 𝑡-independent spectral gap for random quantum circuits and implications for 𝑡-design depths"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">246</span></a>) on each <math alttext="\Delta" class="ltx_Math" display="inline" id="A4.SS4.2.p1.18.m1.1"><semantics id="A4.SS4.2.p1.18.m1.1a"><mi id="A4.SS4.2.p1.18.m1.1.1" mathvariant="normal" xref="A4.SS4.2.p1.18.m1.1.1.cmml">Δ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A4.SS4.2.p1.18.m1.1b"><ci id="A4.SS4.2.p1.18.m1.1.1.cmml" xref="A4.SS4.2.p1.18.m1.1.1">Δ</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A4.SS4.2.p1.18.m1.1c">\Delta</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A4.SS4.2.p1.18.m1.1d">roman_Δ</annotation></semantics></math> individually, we get</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_gather ltx_eqn_table" id="S6.EGx201"> <tbody id="A4.E248"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\displaystyle\big{|}u^{T}\prod_{i=1}^{m}\Delta^{b_{i}}(TG)^{a_{i}}\hat{e}_{0}% \big{|}\leq\left(\prod_{k=1}^{m}\big{(}\sum_{j=1}^{k}a_{j}\big{)}^{b_{i}}% \right)\max_{\lambda}\big{|}u^{T}\prod_{i=1}^{A}T^{\lambda_{i}+1}\delta^{% \lambda_{i}}G(x)\hat{e}_{0}\big{|}" class="ltx_Math" display="block" id="A4.E248.m1.4"><semantics id="A4.E248.m1.4a"><mrow id="A4.E248.m1.4.4" xref="A4.E248.m1.4.4.cmml"><mrow id="A4.E248.m1.2.2.1.1" xref="A4.E248.m1.2.2.1.2.cmml"><mo id="A4.E248.m1.2.2.1.1.2" maxsize="120%" minsize="120%" xref="A4.E248.m1.2.2.1.2.1.cmml">|</mo><mrow id="A4.E248.m1.2.2.1.1.1" xref="A4.E248.m1.2.2.1.1.1.cmml"><msup id="A4.E248.m1.2.2.1.1.1.3" xref="A4.E248.m1.2.2.1.1.1.3.cmml"><mi id="A4.E248.m1.2.2.1.1.1.3.2" xref="A4.E248.m1.2.2.1.1.1.3.2.cmml">u</mi><mi id="A4.E248.m1.2.2.1.1.1.3.3" xref="A4.E248.m1.2.2.1.1.1.3.3.cmml">T</mi></msup><mo id="A4.E248.m1.2.2.1.1.1.2" xref="A4.E248.m1.2.2.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A4.E248.m1.2.2.1.1.1.1" xref="A4.E248.m1.2.2.1.1.1.1.cmml"><munderover id="A4.E248.m1.2.2.1.1.1.1.2" xref="A4.E248.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="A4.E248.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.2" movablelimits="false" xref="A4.E248.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.2.cmml">∏</mo><mrow id="A4.E248.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.3" xref="A4.E248.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="A4.E248.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="A4.E248.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml">i</mi><mo id="A4.E248.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.3.1" xref="A4.E248.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="A4.E248.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.3.3" xref="A4.E248.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="A4.E248.m1.2.2.1.1.1.1.2.3" xref="A4.E248.m1.2.2.1.1.1.1.2.3.cmml">m</mi></munderover><mrow id="A4.E248.m1.2.2.1.1.1.1.1" xref="A4.E248.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><msup id="A4.E248.m1.2.2.1.1.1.1.1.3" xref="A4.E248.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A4.E248.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.2" mathvariant="normal" xref="A4.E248.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.2.cmml">Δ</mi><msub id="A4.E248.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.3" xref="A4.E248.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="A4.E248.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="A4.E248.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">b</mi><mi id="A4.E248.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="A4.E248.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">i</mi></msub></msup><mo id="A4.E248.m1.2.2.1.1.1.1.1.2" xref="A4.E248.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msup id="A4.E248.m1.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="A4.E248.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A4.E248.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A4.E248.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A4.E248.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A4.E248.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A4.E248.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A4.E248.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A4.E248.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A4.E248.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">T</mi><mo id="A4.E248.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A4.E248.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="A4.E248.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A4.E248.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">G</mi></mrow><mo id="A4.E248.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A4.E248.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><msub id="A4.E248.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3" xref="A4.E248.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A4.E248.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A4.E248.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">a</mi><mi id="A4.E248.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A4.E248.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">i</mi></msub></msup><mo id="A4.E248.m1.2.2.1.1.1.1.1.2a" xref="A4.E248.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="A4.E248.m1.2.2.1.1.1.1.1.4" xref="A4.E248.m1.2.2.1.1.1.1.1.4.cmml"><mover accent="true" id="A4.E248.m1.2.2.1.1.1.1.1.4.2" xref="A4.E248.m1.2.2.1.1.1.1.1.4.2.cmml"><mi id="A4.E248.m1.2.2.1.1.1.1.1.4.2.2" xref="A4.E248.m1.2.2.1.1.1.1.1.4.2.2.cmml">e</mi><mo id="A4.E248.m1.2.2.1.1.1.1.1.4.2.1" xref="A4.E248.m1.2.2.1.1.1.1.1.4.2.1.cmml">^</mo></mover><mn id="A4.E248.m1.2.2.1.1.1.1.1.4.3" xref="A4.E248.m1.2.2.1.1.1.1.1.4.3.cmml">0</mn></msub></mrow></mrow></mrow><mo id="A4.E248.m1.2.2.1.1.3" maxsize="120%" minsize="120%" xref="A4.E248.m1.2.2.1.2.1.cmml">|</mo></mrow><mo id="A4.E248.m1.4.4.4" xref="A4.E248.m1.4.4.4.cmml">≤</mo><mrow id="A4.E248.m1.4.4.3" xref="A4.E248.m1.4.4.3.cmml"><mrow id="A4.E248.m1.3.3.2.1.1" xref="A4.E248.m1.3.3.2.1.1.1.cmml"><mo id="A4.E248.m1.3.3.2.1.1.2" xref="A4.E248.m1.3.3.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A4.E248.m1.3.3.2.1.1.1" xref="A4.E248.m1.3.3.2.1.1.1.cmml"><munderover id="A4.E248.m1.3.3.2.1.1.1.2" xref="A4.E248.m1.3.3.2.1.1.1.2.cmml"><mo id="A4.E248.m1.3.3.2.1.1.1.2.2.2" lspace="0em" movablelimits="false" rspace="0em" xref="A4.E248.m1.3.3.2.1.1.1.2.2.2.cmml">∏</mo><mrow id="A4.E248.m1.3.3.2.1.1.1.2.2.3" xref="A4.E248.m1.3.3.2.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="A4.E248.m1.3.3.2.1.1.1.2.2.3.2" xref="A4.E248.m1.3.3.2.1.1.1.2.2.3.2.cmml">k</mi><mo id="A4.E248.m1.3.3.2.1.1.1.2.2.3.1" xref="A4.E248.m1.3.3.2.1.1.1.2.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="A4.E248.m1.3.3.2.1.1.1.2.2.3.3" xref="A4.E248.m1.3.3.2.1.1.1.2.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="A4.E248.m1.3.3.2.1.1.1.2.3" xref="A4.E248.m1.3.3.2.1.1.1.2.3.cmml">m</mi></munderover><msup id="A4.E248.m1.3.3.2.1.1.1.1" xref="A4.E248.m1.3.3.2.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A4.E248.m1.3.3.2.1.1.1.1.1.1" xref="A4.E248.m1.3.3.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A4.E248.m1.3.3.2.1.1.1.1.1.1.2" maxsize="120%" minsize="120%" xref="A4.E248.m1.3.3.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A4.E248.m1.3.3.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="A4.E248.m1.3.3.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><munderover id="A4.E248.m1.3.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A4.E248.m1.3.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A4.E248.m1.3.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" lspace="0em" movablelimits="false" xref="A4.E248.m1.3.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="A4.E248.m1.3.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="A4.E248.m1.3.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="A4.E248.m1.3.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="A4.E248.m1.3.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">j</mi><mo id="A4.E248.m1.3.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1" xref="A4.E248.m1.3.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="A4.E248.m1.3.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="A4.E248.m1.3.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="A4.E248.m1.3.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A4.E248.m1.3.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">k</mi></munderover><msub id="A4.E248.m1.3.3.2.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A4.E248.m1.3.3.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="A4.E248.m1.3.3.2.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="A4.E248.m1.3.3.2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">a</mi><mi id="A4.E248.m1.3.3.2.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="A4.E248.m1.3.3.2.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">j</mi></msub></mrow><mo id="A4.E248.m1.3.3.2.1.1.1.1.1.1.3" maxsize="120%" minsize="120%" xref="A4.E248.m1.3.3.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><msub id="A4.E248.m1.3.3.2.1.1.1.1.3" xref="A4.E248.m1.3.3.2.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A4.E248.m1.3.3.2.1.1.1.1.3.2" xref="A4.E248.m1.3.3.2.1.1.1.1.3.2.cmml">b</mi><mi id="A4.E248.m1.3.3.2.1.1.1.1.3.3" xref="A4.E248.m1.3.3.2.1.1.1.1.3.3.cmml">i</mi></msub></msup></mrow><mo id="A4.E248.m1.3.3.2.1.1.3" xref="A4.E248.m1.3.3.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A4.E248.m1.4.4.3.3" lspace="0.167em" xref="A4.E248.m1.4.4.3.3.cmml">⁢</mo><mrow id="A4.E248.m1.4.4.3.2" xref="A4.E248.m1.4.4.3.2.cmml"><munder id="A4.E248.m1.4.4.3.2.2" xref="A4.E248.m1.4.4.3.2.2.cmml"><mi id="A4.E248.m1.4.4.3.2.2.2" xref="A4.E248.m1.4.4.3.2.2.2.cmml">max</mi><mi id="A4.E248.m1.4.4.3.2.2.3" xref="A4.E248.m1.4.4.3.2.2.3.cmml">λ</mi></munder><mo id="A4.E248.m1.4.4.3.2a" xref="A4.E248.m1.4.4.3.2.cmml">⁡</mo><mrow id="A4.E248.m1.4.4.3.2.1.1" xref="A4.E248.m1.4.4.3.2.1.2.cmml"><mo id="A4.E248.m1.4.4.3.2.1.1.2" maxsize="120%" minsize="120%" xref="A4.E248.m1.4.4.3.2.1.2.1.cmml">|</mo><mrow id="A4.E248.m1.4.4.3.2.1.1.1" xref="A4.E248.m1.4.4.3.2.1.1.1.cmml"><msup id="A4.E248.m1.4.4.3.2.1.1.1.2" xref="A4.E248.m1.4.4.3.2.1.1.1.2.cmml"><mi id="A4.E248.m1.4.4.3.2.1.1.1.2.2" xref="A4.E248.m1.4.4.3.2.1.1.1.2.2.cmml">u</mi><mi id="A4.E248.m1.4.4.3.2.1.1.1.2.3" xref="A4.E248.m1.4.4.3.2.1.1.1.2.3.cmml">T</mi></msup><mo id="A4.E248.m1.4.4.3.2.1.1.1.1" xref="A4.E248.m1.4.4.3.2.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A4.E248.m1.4.4.3.2.1.1.1.3" xref="A4.E248.m1.4.4.3.2.1.1.1.3.cmml"><munderover id="A4.E248.m1.4.4.3.2.1.1.1.3.1" xref="A4.E248.m1.4.4.3.2.1.1.1.3.1.cmml"><mo id="A4.E248.m1.4.4.3.2.1.1.1.3.1.2.2" movablelimits="false" xref="A4.E248.m1.4.4.3.2.1.1.1.3.1.2.2.cmml">∏</mo><mrow id="A4.E248.m1.4.4.3.2.1.1.1.3.1.2.3" xref="A4.E248.m1.4.4.3.2.1.1.1.3.1.2.3.cmml"><mi id="A4.E248.m1.4.4.3.2.1.1.1.3.1.2.3.2" xref="A4.E248.m1.4.4.3.2.1.1.1.3.1.2.3.2.cmml">i</mi><mo id="A4.E248.m1.4.4.3.2.1.1.1.3.1.2.3.1" xref="A4.E248.m1.4.4.3.2.1.1.1.3.1.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="A4.E248.m1.4.4.3.2.1.1.1.3.1.2.3.3" xref="A4.E248.m1.4.4.3.2.1.1.1.3.1.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="A4.E248.m1.4.4.3.2.1.1.1.3.1.3" xref="A4.E248.m1.4.4.3.2.1.1.1.3.1.3.cmml">A</mi></munderover><mrow id="A4.E248.m1.4.4.3.2.1.1.1.3.2" xref="A4.E248.m1.4.4.3.2.1.1.1.3.2.cmml"><msup id="A4.E248.m1.4.4.3.2.1.1.1.3.2.2" xref="A4.E248.m1.4.4.3.2.1.1.1.3.2.2.cmml"><mi id="A4.E248.m1.4.4.3.2.1.1.1.3.2.2.2" xref="A4.E248.m1.4.4.3.2.1.1.1.3.2.2.2.cmml">T</mi><mrow id="A4.E248.m1.4.4.3.2.1.1.1.3.2.2.3" xref="A4.E248.m1.4.4.3.2.1.1.1.3.2.2.3.cmml"><msub id="A4.E248.m1.4.4.3.2.1.1.1.3.2.2.3.2" xref="A4.E248.m1.4.4.3.2.1.1.1.3.2.2.3.2.cmml"><mi id="A4.E248.m1.4.4.3.2.1.1.1.3.2.2.3.2.2" xref="A4.E248.m1.4.4.3.2.1.1.1.3.2.2.3.2.2.cmml">λ</mi><mi id="A4.E248.m1.4.4.3.2.1.1.1.3.2.2.3.2.3" xref="A4.E248.m1.4.4.3.2.1.1.1.3.2.2.3.2.3.cmml">i</mi></msub><mo id="A4.E248.m1.4.4.3.2.1.1.1.3.2.2.3.1" xref="A4.E248.m1.4.4.3.2.1.1.1.3.2.2.3.1.cmml">+</mo><mn id="A4.E248.m1.4.4.3.2.1.1.1.3.2.2.3.3" xref="A4.E248.m1.4.4.3.2.1.1.1.3.2.2.3.3.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="A4.E248.m1.4.4.3.2.1.1.1.3.2.1" xref="A4.E248.m1.4.4.3.2.1.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="A4.E248.m1.4.4.3.2.1.1.1.3.2.3" xref="A4.E248.m1.4.4.3.2.1.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="A4.E248.m1.4.4.3.2.1.1.1.3.2.3.2" xref="A4.E248.m1.4.4.3.2.1.1.1.3.2.3.2.cmml">δ</mi><msub id="A4.E248.m1.4.4.3.2.1.1.1.3.2.3.3" xref="A4.E248.m1.4.4.3.2.1.1.1.3.2.3.3.cmml"><mi id="A4.E248.m1.4.4.3.2.1.1.1.3.2.3.3.2" xref="A4.E248.m1.4.4.3.2.1.1.1.3.2.3.3.2.cmml">λ</mi><mi id="A4.E248.m1.4.4.3.2.1.1.1.3.2.3.3.3" xref="A4.E248.m1.4.4.3.2.1.1.1.3.2.3.3.3.cmml">i</mi></msub></msup><mo id="A4.E248.m1.4.4.3.2.1.1.1.3.2.1a" xref="A4.E248.m1.4.4.3.2.1.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="A4.E248.m1.4.4.3.2.1.1.1.3.2.4" xref="A4.E248.m1.4.4.3.2.1.1.1.3.2.4.cmml">G</mi><mo id="A4.E248.m1.4.4.3.2.1.1.1.3.2.1b" xref="A4.E248.m1.4.4.3.2.1.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A4.E248.m1.4.4.3.2.1.1.1.3.2.5.2" xref="A4.E248.m1.4.4.3.2.1.1.1.3.2.cmml"><mo id="A4.E248.m1.4.4.3.2.1.1.1.3.2.5.2.1" stretchy="false" xref="A4.E248.m1.4.4.3.2.1.1.1.3.2.cmml">(</mo><mi id="A4.E248.m1.1.1" xref="A4.E248.m1.1.1.cmml">x</mi><mo id="A4.E248.m1.4.4.3.2.1.1.1.3.2.5.2.2" stretchy="false" xref="A4.E248.m1.4.4.3.2.1.1.1.3.2.cmml">)</mo></mrow><mo id="A4.E248.m1.4.4.3.2.1.1.1.3.2.1c" xref="A4.E248.m1.4.4.3.2.1.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="A4.E248.m1.4.4.3.2.1.1.1.3.2.6" xref="A4.E248.m1.4.4.3.2.1.1.1.3.2.6.cmml"><mover accent="true" id="A4.E248.m1.4.4.3.2.1.1.1.3.2.6.2" xref="A4.E248.m1.4.4.3.2.1.1.1.3.2.6.2.cmml"><mi id="A4.E248.m1.4.4.3.2.1.1.1.3.2.6.2.2" xref="A4.E248.m1.4.4.3.2.1.1.1.3.2.6.2.2.cmml">e</mi><mo id="A4.E248.m1.4.4.3.2.1.1.1.3.2.6.2.1" xref="A4.E248.m1.4.4.3.2.1.1.1.3.2.6.2.1.cmml">^</mo></mover><mn id="A4.E248.m1.4.4.3.2.1.1.1.3.2.6.3" xref="A4.E248.m1.4.4.3.2.1.1.1.3.2.6.3.cmml">0</mn></msub></mrow></mrow></mrow><mo id="A4.E248.m1.4.4.3.2.1.1.3" maxsize="120%" minsize="120%" xref="A4.E248.m1.4.4.3.2.1.2.1.cmml">|</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A4.E248.m1.4b"><apply id="A4.E248.m1.4.4.cmml" 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xref="A4.E248.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></times><ci id="A4.E248.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A4.E248.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑇</ci><ci id="A4.E248.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A4.E248.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝐺</ci></apply><apply id="A4.E248.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A4.E248.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.E248.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A4.E248.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A4.E248.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A4.E248.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑎</ci><ci id="A4.E248.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A4.E248.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑖</ci></apply></apply><apply id="A4.E248.m1.2.2.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="A4.E248.m1.2.2.1.1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.E248.m1.2.2.1.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="A4.E248.m1.2.2.1.1.1.1.1.4">subscript</csymbol><apply id="A4.E248.m1.2.2.1.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="A4.E248.m1.2.2.1.1.1.1.1.4.2"><ci id="A4.E248.m1.2.2.1.1.1.1.1.4.2.1.cmml" xref="A4.E248.m1.2.2.1.1.1.1.1.4.2.1">^</ci><ci id="A4.E248.m1.2.2.1.1.1.1.1.4.2.2.cmml" xref="A4.E248.m1.2.2.1.1.1.1.1.4.2.2">𝑒</ci></apply><cn id="A4.E248.m1.2.2.1.1.1.1.1.4.3.cmml" type="integer" xref="A4.E248.m1.2.2.1.1.1.1.1.4.3">0</cn></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="A4.E248.m1.4.4.3.cmml" xref="A4.E248.m1.4.4.3"><times id="A4.E248.m1.4.4.3.3.cmml" xref="A4.E248.m1.4.4.3.3"></times><apply id="A4.E248.m1.3.3.2.1.1.1.cmml" xref="A4.E248.m1.3.3.2.1.1"><apply id="A4.E248.m1.3.3.2.1.1.1.2.cmml" xref="A4.E248.m1.3.3.2.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.E248.m1.3.3.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="A4.E248.m1.3.3.2.1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="A4.E248.m1.3.3.2.1.1.1.2.2.cmml" xref="A4.E248.m1.3.3.2.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.E248.m1.3.3.2.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="A4.E248.m1.3.3.2.1.1.1.2">subscript</csymbol><csymbol cd="latexml" id="A4.E248.m1.3.3.2.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="A4.E248.m1.3.3.2.1.1.1.2.2.2">product</csymbol><apply 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id="A4.E248.m1.3.3.2.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A4.E248.m1.3.3.2.1.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="A4.E248.m1.3.3.2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A4.E248.m1.3.3.2.1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝑎</ci><ci id="A4.E248.m1.3.3.2.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="A4.E248.m1.3.3.2.1.1.1.1.1.1.1.2.3">𝑗</ci></apply></apply><apply id="A4.E248.m1.3.3.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="A4.E248.m1.3.3.2.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.E248.m1.3.3.2.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A4.E248.m1.3.3.2.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A4.E248.m1.3.3.2.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A4.E248.m1.3.3.2.1.1.1.1.3.2">𝑏</ci><ci id="A4.E248.m1.3.3.2.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A4.E248.m1.3.3.2.1.1.1.1.3.3">𝑖</ci></apply></apply></apply><apply id="A4.E248.m1.4.4.3.2.cmml" xref="A4.E248.m1.4.4.3.2"><apply id="A4.E248.m1.4.4.3.2.2.cmml" xref="A4.E248.m1.4.4.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.E248.m1.4.4.3.2.2.1.cmml" xref="A4.E248.m1.4.4.3.2.2">subscript</csymbol><max id="A4.E248.m1.4.4.3.2.2.2.cmml" xref="A4.E248.m1.4.4.3.2.2.2"></max><ci id="A4.E248.m1.4.4.3.2.2.3.cmml" xref="A4.E248.m1.4.4.3.2.2.3">𝜆</ci></apply><apply id="A4.E248.m1.4.4.3.2.1.2.cmml" xref="A4.E248.m1.4.4.3.2.1.1"><abs id="A4.E248.m1.4.4.3.2.1.2.1.cmml" xref="A4.E248.m1.4.4.3.2.1.1.2"></abs><apply id="A4.E248.m1.4.4.3.2.1.1.1.cmml" xref="A4.E248.m1.4.4.3.2.1.1.1"><times id="A4.E248.m1.4.4.3.2.1.1.1.1.cmml" xref="A4.E248.m1.4.4.3.2.1.1.1.1"></times><apply id="A4.E248.m1.4.4.3.2.1.1.1.2.cmml" xref="A4.E248.m1.4.4.3.2.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.E248.m1.4.4.3.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="A4.E248.m1.4.4.3.2.1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="A4.E248.m1.4.4.3.2.1.1.1.2.2.cmml" xref="A4.E248.m1.4.4.3.2.1.1.1.2.2">𝑢</ci><ci id="A4.E248.m1.4.4.3.2.1.1.1.2.3.cmml" xref="A4.E248.m1.4.4.3.2.1.1.1.2.3">𝑇</ci></apply><apply id="A4.E248.m1.4.4.3.2.1.1.1.3.cmml" xref="A4.E248.m1.4.4.3.2.1.1.1.3"><apply id="A4.E248.m1.4.4.3.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="A4.E248.m1.4.4.3.2.1.1.1.3.1"><csymbol cd="ambiguous" 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xref="A4.E248.m1.4.4.3.2.1.1.1.3.2"><times id="A4.E248.m1.4.4.3.2.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="A4.E248.m1.4.4.3.2.1.1.1.3.2.1"></times><apply id="A4.E248.m1.4.4.3.2.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="A4.E248.m1.4.4.3.2.1.1.1.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.E248.m1.4.4.3.2.1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="A4.E248.m1.4.4.3.2.1.1.1.3.2.2">superscript</csymbol><ci id="A4.E248.m1.4.4.3.2.1.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="A4.E248.m1.4.4.3.2.1.1.1.3.2.2.2">𝑇</ci><apply id="A4.E248.m1.4.4.3.2.1.1.1.3.2.2.3.cmml" xref="A4.E248.m1.4.4.3.2.1.1.1.3.2.2.3"><plus id="A4.E248.m1.4.4.3.2.1.1.1.3.2.2.3.1.cmml" xref="A4.E248.m1.4.4.3.2.1.1.1.3.2.2.3.1"></plus><apply id="A4.E248.m1.4.4.3.2.1.1.1.3.2.2.3.2.cmml" xref="A4.E248.m1.4.4.3.2.1.1.1.3.2.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.E248.m1.4.4.3.2.1.1.1.3.2.2.3.2.1.cmml" xref="A4.E248.m1.4.4.3.2.1.1.1.3.2.2.3.2">subscript</csymbol><ci id="A4.E248.m1.4.4.3.2.1.1.1.3.2.2.3.2.2.cmml" xref="A4.E248.m1.4.4.3.2.1.1.1.3.2.2.3.2.2">𝜆</ci><ci id="A4.E248.m1.4.4.3.2.1.1.1.3.2.2.3.2.3.cmml" xref="A4.E248.m1.4.4.3.2.1.1.1.3.2.2.3.2.3">𝑖</ci></apply><cn id="A4.E248.m1.4.4.3.2.1.1.1.3.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="A4.E248.m1.4.4.3.2.1.1.1.3.2.2.3.3">1</cn></apply></apply><apply id="A4.E248.m1.4.4.3.2.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="A4.E248.m1.4.4.3.2.1.1.1.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.E248.m1.4.4.3.2.1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="A4.E248.m1.4.4.3.2.1.1.1.3.2.3">superscript</csymbol><ci id="A4.E248.m1.4.4.3.2.1.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="A4.E248.m1.4.4.3.2.1.1.1.3.2.3.2">𝛿</ci><apply id="A4.E248.m1.4.4.3.2.1.1.1.3.2.3.3.cmml" xref="A4.E248.m1.4.4.3.2.1.1.1.3.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.E248.m1.4.4.3.2.1.1.1.3.2.3.3.1.cmml" xref="A4.E248.m1.4.4.3.2.1.1.1.3.2.3.3">subscript</csymbol><ci id="A4.E248.m1.4.4.3.2.1.1.1.3.2.3.3.2.cmml" xref="A4.E248.m1.4.4.3.2.1.1.1.3.2.3.3.2">𝜆</ci><ci id="A4.E248.m1.4.4.3.2.1.1.1.3.2.3.3.3.cmml" xref="A4.E248.m1.4.4.3.2.1.1.1.3.2.3.3.3">𝑖</ci></apply></apply><ci id="A4.E248.m1.4.4.3.2.1.1.1.3.2.4.cmml" xref="A4.E248.m1.4.4.3.2.1.1.1.3.2.4">𝐺</ci><ci id="A4.E248.m1.1.1.cmml" xref="A4.E248.m1.1.1">𝑥</ci><apply id="A4.E248.m1.4.4.3.2.1.1.1.3.2.6.cmml" xref="A4.E248.m1.4.4.3.2.1.1.1.3.2.6"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.E248.m1.4.4.3.2.1.1.1.3.2.6.1.cmml" xref="A4.E248.m1.4.4.3.2.1.1.1.3.2.6">subscript</csymbol><apply id="A4.E248.m1.4.4.3.2.1.1.1.3.2.6.2.cmml" xref="A4.E248.m1.4.4.3.2.1.1.1.3.2.6.2"><ci id="A4.E248.m1.4.4.3.2.1.1.1.3.2.6.2.1.cmml" xref="A4.E248.m1.4.4.3.2.1.1.1.3.2.6.2.1">^</ci><ci id="A4.E248.m1.4.4.3.2.1.1.1.3.2.6.2.2.cmml" xref="A4.E248.m1.4.4.3.2.1.1.1.3.2.6.2.2">𝑒</ci></apply><cn id="A4.E248.m1.4.4.3.2.1.1.1.3.2.6.3.cmml" type="integer" xref="A4.E248.m1.4.4.3.2.1.1.1.3.2.6.3">0</cn></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A4.E248.m1.4c">\displaystyle\big{|}u^{T}\prod_{i=1}^{m}\Delta^{b_{i}}(TG)^{a_{i}}\hat{e}_{0}% \big{|}\leq\left(\prod_{k=1}^{m}\big{(}\sum_{j=1}^{k}a_{j}\big{)}^{b_{i}}% \right)\max_{\lambda}\big{|}u^{T}\prod_{i=1}^{A}T^{\lambda_{i}+1}\delta^{% \lambda_{i}}G(x)\hat{e}_{0}\big{|}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A4.E248.m1.4d">| italic_u start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT ∏ start_POSTSUBSCRIPT italic_i = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_m end_POSTSUPERSCRIPT roman_Δ start_POSTSUPERSCRIPT italic_b start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_T italic_G ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_a start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT over^ start_ARG italic_e end_ARG start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT | ≤ ( ∏ start_POSTSUBSCRIPT italic_k = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_m end_POSTSUPERSCRIPT ( ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_j = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_k end_POSTSUPERSCRIPT italic_a start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_b start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT ) roman_max start_POSTSUBSCRIPT italic_λ end_POSTSUBSCRIPT | italic_u start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT ∏ start_POSTSUBSCRIPT italic_i = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_A end_POSTSUPERSCRIPT italic_T start_POSTSUPERSCRIPT italic_λ start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT + 1 end_POSTSUPERSCRIPT italic_δ start_POSTSUPERSCRIPT italic_λ start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT italic_G ( italic_x ) over^ start_ARG italic_e end_ARG start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT |</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(248)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="A4.SS4.2.p1.26">where <math alttext="\lambda" class="ltx_Math" display="inline" id="A4.SS4.2.p1.19.m1.1"><semantics id="A4.SS4.2.p1.19.m1.1a"><mi id="A4.SS4.2.p1.19.m1.1.1" xref="A4.SS4.2.p1.19.m1.1.1.cmml">λ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A4.SS4.2.p1.19.m1.1b"><ci id="A4.SS4.2.p1.19.m1.1.1.cmml" xref="A4.SS4.2.p1.19.m1.1.1">𝜆</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A4.SS4.2.p1.19.m1.1c">\lambda</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A4.SS4.2.p1.19.m1.1d">italic_λ</annotation></semantics></math> is taken as any vector in <math alttext="\{0...t-A\}^{A}" class="ltx_Math" display="inline" id="A4.SS4.2.p1.20.m2.1"><semantics id="A4.SS4.2.p1.20.m2.1a"><msup id="A4.SS4.2.p1.20.m2.1.1" xref="A4.SS4.2.p1.20.m2.1.1.cmml"><mrow id="A4.SS4.2.p1.20.m2.1.1.1.1" xref="A4.SS4.2.p1.20.m2.1.1.1.2.cmml"><mo id="A4.SS4.2.p1.20.m2.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A4.SS4.2.p1.20.m2.1.1.1.2.cmml">{</mo><mrow id="A4.SS4.2.p1.20.m2.1.1.1.1.1" xref="A4.SS4.2.p1.20.m2.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A4.SS4.2.p1.20.m2.1.1.1.1.1.2" xref="A4.SS4.2.p1.20.m2.1.1.1.1.1.2.cmml"><mn id="A4.SS4.2.p1.20.m2.1.1.1.1.1.2.2" xref="A4.SS4.2.p1.20.m2.1.1.1.1.1.2.2.cmml">0</mn><mo id="A4.SS4.2.p1.20.m2.1.1.1.1.1.2.1" xref="A4.SS4.2.p1.20.m2.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="A4.SS4.2.p1.20.m2.1.1.1.1.1.2.3" mathvariant="normal" xref="A4.SS4.2.p1.20.m2.1.1.1.1.1.2.3.cmml">…</mi><mo id="A4.SS4.2.p1.20.m2.1.1.1.1.1.2.1a" xref="A4.SS4.2.p1.20.m2.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="A4.SS4.2.p1.20.m2.1.1.1.1.1.2.4" xref="A4.SS4.2.p1.20.m2.1.1.1.1.1.2.4.cmml">t</mi></mrow><mo id="A4.SS4.2.p1.20.m2.1.1.1.1.1.1" xref="A4.SS4.2.p1.20.m2.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mi id="A4.SS4.2.p1.20.m2.1.1.1.1.1.3" xref="A4.SS4.2.p1.20.m2.1.1.1.1.1.3.cmml">A</mi></mrow><mo id="A4.SS4.2.p1.20.m2.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A4.SS4.2.p1.20.m2.1.1.1.2.cmml">}</mo></mrow><mi id="A4.SS4.2.p1.20.m2.1.1.3" xref="A4.SS4.2.p1.20.m2.1.1.3.cmml">A</mi></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A4.SS4.2.p1.20.m2.1b"><apply id="A4.SS4.2.p1.20.m2.1.1.cmml" xref="A4.SS4.2.p1.20.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.SS4.2.p1.20.m2.1.1.2.cmml" xref="A4.SS4.2.p1.20.m2.1.1">superscript</csymbol><set id="A4.SS4.2.p1.20.m2.1.1.1.2.cmml" xref="A4.SS4.2.p1.20.m2.1.1.1.1"><apply id="A4.SS4.2.p1.20.m2.1.1.1.1.1.cmml" xref="A4.SS4.2.p1.20.m2.1.1.1.1.1"><minus id="A4.SS4.2.p1.20.m2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A4.SS4.2.p1.20.m2.1.1.1.1.1.1"></minus><apply id="A4.SS4.2.p1.20.m2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A4.SS4.2.p1.20.m2.1.1.1.1.1.2"><times id="A4.SS4.2.p1.20.m2.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A4.SS4.2.p1.20.m2.1.1.1.1.1.2.1"></times><cn id="A4.SS4.2.p1.20.m2.1.1.1.1.1.2.2.cmml" type="integer" xref="A4.SS4.2.p1.20.m2.1.1.1.1.1.2.2">0</cn><ci id="A4.SS4.2.p1.20.m2.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="A4.SS4.2.p1.20.m2.1.1.1.1.1.2.3">…</ci><ci id="A4.SS4.2.p1.20.m2.1.1.1.1.1.2.4.cmml" xref="A4.SS4.2.p1.20.m2.1.1.1.1.1.2.4">𝑡</ci></apply><ci id="A4.SS4.2.p1.20.m2.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A4.SS4.2.p1.20.m2.1.1.1.1.1.3">𝐴</ci></apply></set><ci id="A4.SS4.2.p1.20.m2.1.1.3.cmml" xref="A4.SS4.2.p1.20.m2.1.1.3">𝐴</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A4.SS4.2.p1.20.m2.1c">\{0...t-A\}^{A}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A4.SS4.2.p1.20.m2.1d">{ 0 … italic_t - italic_A } start_POSTSUPERSCRIPT italic_A end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> such that <math alttext="\sum_{i}\lambda_{i}=t-A" class="ltx_Math" display="inline" id="A4.SS4.2.p1.21.m3.1"><semantics id="A4.SS4.2.p1.21.m3.1a"><mrow id="A4.SS4.2.p1.21.m3.1.1" xref="A4.SS4.2.p1.21.m3.1.1.cmml"><mrow id="A4.SS4.2.p1.21.m3.1.1.2" xref="A4.SS4.2.p1.21.m3.1.1.2.cmml"><msub id="A4.SS4.2.p1.21.m3.1.1.2.1" xref="A4.SS4.2.p1.21.m3.1.1.2.1.cmml"><mo id="A4.SS4.2.p1.21.m3.1.1.2.1.2" xref="A4.SS4.2.p1.21.m3.1.1.2.1.2.cmml">∑</mo><mi id="A4.SS4.2.p1.21.m3.1.1.2.1.3" xref="A4.SS4.2.p1.21.m3.1.1.2.1.3.cmml">i</mi></msub><msub id="A4.SS4.2.p1.21.m3.1.1.2.2" xref="A4.SS4.2.p1.21.m3.1.1.2.2.cmml"><mi id="A4.SS4.2.p1.21.m3.1.1.2.2.2" xref="A4.SS4.2.p1.21.m3.1.1.2.2.2.cmml">λ</mi><mi id="A4.SS4.2.p1.21.m3.1.1.2.2.3" xref="A4.SS4.2.p1.21.m3.1.1.2.2.3.cmml">i</mi></msub></mrow><mo id="A4.SS4.2.p1.21.m3.1.1.1" xref="A4.SS4.2.p1.21.m3.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="A4.SS4.2.p1.21.m3.1.1.3" xref="A4.SS4.2.p1.21.m3.1.1.3.cmml"><mi id="A4.SS4.2.p1.21.m3.1.1.3.2" xref="A4.SS4.2.p1.21.m3.1.1.3.2.cmml">t</mi><mo id="A4.SS4.2.p1.21.m3.1.1.3.1" xref="A4.SS4.2.p1.21.m3.1.1.3.1.cmml">−</mo><mi id="A4.SS4.2.p1.21.m3.1.1.3.3" xref="A4.SS4.2.p1.21.m3.1.1.3.3.cmml">A</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A4.SS4.2.p1.21.m3.1b"><apply id="A4.SS4.2.p1.21.m3.1.1.cmml" xref="A4.SS4.2.p1.21.m3.1.1"><eq id="A4.SS4.2.p1.21.m3.1.1.1.cmml" xref="A4.SS4.2.p1.21.m3.1.1.1"></eq><apply id="A4.SS4.2.p1.21.m3.1.1.2.cmml" xref="A4.SS4.2.p1.21.m3.1.1.2"><apply id="A4.SS4.2.p1.21.m3.1.1.2.1.cmml" xref="A4.SS4.2.p1.21.m3.1.1.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.SS4.2.p1.21.m3.1.1.2.1.1.cmml" xref="A4.SS4.2.p1.21.m3.1.1.2.1">subscript</csymbol><sum id="A4.SS4.2.p1.21.m3.1.1.2.1.2.cmml" xref="A4.SS4.2.p1.21.m3.1.1.2.1.2"></sum><ci id="A4.SS4.2.p1.21.m3.1.1.2.1.3.cmml" xref="A4.SS4.2.p1.21.m3.1.1.2.1.3">𝑖</ci></apply><apply id="A4.SS4.2.p1.21.m3.1.1.2.2.cmml" xref="A4.SS4.2.p1.21.m3.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.SS4.2.p1.21.m3.1.1.2.2.1.cmml" xref="A4.SS4.2.p1.21.m3.1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="A4.SS4.2.p1.21.m3.1.1.2.2.2.cmml" xref="A4.SS4.2.p1.21.m3.1.1.2.2.2">𝜆</ci><ci id="A4.SS4.2.p1.21.m3.1.1.2.2.3.cmml" xref="A4.SS4.2.p1.21.m3.1.1.2.2.3">𝑖</ci></apply></apply><apply id="A4.SS4.2.p1.21.m3.1.1.3.cmml" xref="A4.SS4.2.p1.21.m3.1.1.3"><minus id="A4.SS4.2.p1.21.m3.1.1.3.1.cmml" xref="A4.SS4.2.p1.21.m3.1.1.3.1"></minus><ci id="A4.SS4.2.p1.21.m3.1.1.3.2.cmml" xref="A4.SS4.2.p1.21.m3.1.1.3.2">𝑡</ci><ci id="A4.SS4.2.p1.21.m3.1.1.3.3.cmml" xref="A4.SS4.2.p1.21.m3.1.1.3.3">𝐴</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A4.SS4.2.p1.21.m3.1c">\sum_{i}\lambda_{i}=t-A</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A4.SS4.2.p1.21.m3.1d">∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT italic_λ start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT = italic_t - italic_A</annotation></semantics></math>. The prefactor <math alttext="\prod_{k=1}^{m}\big{(}\sum_{j=1}^{k}a_{j}\big{)}^{b_{i}}" class="ltx_Math" display="inline" id="A4.SS4.2.p1.22.m4.1"><semantics id="A4.SS4.2.p1.22.m4.1a"><mrow id="A4.SS4.2.p1.22.m4.1.1" xref="A4.SS4.2.p1.22.m4.1.1.cmml"><msubsup id="A4.SS4.2.p1.22.m4.1.1.2" xref="A4.SS4.2.p1.22.m4.1.1.2.cmml"><mo id="A4.SS4.2.p1.22.m4.1.1.2.2.2" xref="A4.SS4.2.p1.22.m4.1.1.2.2.2.cmml">∏</mo><mrow id="A4.SS4.2.p1.22.m4.1.1.2.2.3" xref="A4.SS4.2.p1.22.m4.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="A4.SS4.2.p1.22.m4.1.1.2.2.3.2" xref="A4.SS4.2.p1.22.m4.1.1.2.2.3.2.cmml">k</mi><mo id="A4.SS4.2.p1.22.m4.1.1.2.2.3.1" xref="A4.SS4.2.p1.22.m4.1.1.2.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="A4.SS4.2.p1.22.m4.1.1.2.2.3.3" xref="A4.SS4.2.p1.22.m4.1.1.2.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="A4.SS4.2.p1.22.m4.1.1.2.3" xref="A4.SS4.2.p1.22.m4.1.1.2.3.cmml">m</mi></msubsup><msup id="A4.SS4.2.p1.22.m4.1.1.1" xref="A4.SS4.2.p1.22.m4.1.1.1.cmml"><mrow id="A4.SS4.2.p1.22.m4.1.1.1.1.1" xref="A4.SS4.2.p1.22.m4.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A4.SS4.2.p1.22.m4.1.1.1.1.1.2" lspace="0em" maxsize="120%" minsize="120%" xref="A4.SS4.2.p1.22.m4.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A4.SS4.2.p1.22.m4.1.1.1.1.1.1" xref="A4.SS4.2.p1.22.m4.1.1.1.1.1.1.cmml"><msubsup id="A4.SS4.2.p1.22.m4.1.1.1.1.1.1.1" xref="A4.SS4.2.p1.22.m4.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A4.SS4.2.p1.22.m4.1.1.1.1.1.1.1.2.2" lspace="0em" xref="A4.SS4.2.p1.22.m4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="A4.SS4.2.p1.22.m4.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="A4.SS4.2.p1.22.m4.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="A4.SS4.2.p1.22.m4.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="A4.SS4.2.p1.22.m4.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">j</mi><mo id="A4.SS4.2.p1.22.m4.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1" xref="A4.SS4.2.p1.22.m4.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="A4.SS4.2.p1.22.m4.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="A4.SS4.2.p1.22.m4.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="A4.SS4.2.p1.22.m4.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A4.SS4.2.p1.22.m4.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">k</mi></msubsup><msub id="A4.SS4.2.p1.22.m4.1.1.1.1.1.1.2" xref="A4.SS4.2.p1.22.m4.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="A4.SS4.2.p1.22.m4.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="A4.SS4.2.p1.22.m4.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">a</mi><mi id="A4.SS4.2.p1.22.m4.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="A4.SS4.2.p1.22.m4.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">j</mi></msub></mrow><mo id="A4.SS4.2.p1.22.m4.1.1.1.1.1.3" maxsize="120%" minsize="120%" xref="A4.SS4.2.p1.22.m4.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><msub id="A4.SS4.2.p1.22.m4.1.1.1.3" xref="A4.SS4.2.p1.22.m4.1.1.1.3.cmml"><mi id="A4.SS4.2.p1.22.m4.1.1.1.3.2" xref="A4.SS4.2.p1.22.m4.1.1.1.3.2.cmml">b</mi><mi id="A4.SS4.2.p1.22.m4.1.1.1.3.3" xref="A4.SS4.2.p1.22.m4.1.1.1.3.3.cmml">i</mi></msub></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A4.SS4.2.p1.22.m4.1b"><apply id="A4.SS4.2.p1.22.m4.1.1.cmml" xref="A4.SS4.2.p1.22.m4.1.1"><apply id="A4.SS4.2.p1.22.m4.1.1.2.cmml" xref="A4.SS4.2.p1.22.m4.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.SS4.2.p1.22.m4.1.1.2.1.cmml" xref="A4.SS4.2.p1.22.m4.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="A4.SS4.2.p1.22.m4.1.1.2.2.cmml" xref="A4.SS4.2.p1.22.m4.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.SS4.2.p1.22.m4.1.1.2.2.1.cmml" xref="A4.SS4.2.p1.22.m4.1.1.2">subscript</csymbol><csymbol cd="latexml" id="A4.SS4.2.p1.22.m4.1.1.2.2.2.cmml" xref="A4.SS4.2.p1.22.m4.1.1.2.2.2">product</csymbol><apply id="A4.SS4.2.p1.22.m4.1.1.2.2.3.cmml" xref="A4.SS4.2.p1.22.m4.1.1.2.2.3"><eq id="A4.SS4.2.p1.22.m4.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="A4.SS4.2.p1.22.m4.1.1.2.2.3.1"></eq><ci id="A4.SS4.2.p1.22.m4.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="A4.SS4.2.p1.22.m4.1.1.2.2.3.2">𝑘</ci><cn id="A4.SS4.2.p1.22.m4.1.1.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="A4.SS4.2.p1.22.m4.1.1.2.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="A4.SS4.2.p1.22.m4.1.1.2.3.cmml" xref="A4.SS4.2.p1.22.m4.1.1.2.3">𝑚</ci></apply><apply id="A4.SS4.2.p1.22.m4.1.1.1.cmml" xref="A4.SS4.2.p1.22.m4.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.SS4.2.p1.22.m4.1.1.1.2.cmml" xref="A4.SS4.2.p1.22.m4.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="A4.SS4.2.p1.22.m4.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A4.SS4.2.p1.22.m4.1.1.1.1.1"><apply id="A4.SS4.2.p1.22.m4.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A4.SS4.2.p1.22.m4.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.SS4.2.p1.22.m4.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A4.SS4.2.p1.22.m4.1.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="A4.SS4.2.p1.22.m4.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A4.SS4.2.p1.22.m4.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.SS4.2.p1.22.m4.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A4.SS4.2.p1.22.m4.1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><sum id="A4.SS4.2.p1.22.m4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A4.SS4.2.p1.22.m4.1.1.1.1.1.1.1.2.2"></sum><apply id="A4.SS4.2.p1.22.m4.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="A4.SS4.2.p1.22.m4.1.1.1.1.1.1.1.2.3"><eq id="A4.SS4.2.p1.22.m4.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="A4.SS4.2.p1.22.m4.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1"></eq><ci id="A4.SS4.2.p1.22.m4.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="A4.SS4.2.p1.22.m4.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2">𝑗</ci><cn id="A4.SS4.2.p1.22.m4.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="A4.SS4.2.p1.22.m4.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="A4.SS4.2.p1.22.m4.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A4.SS4.2.p1.22.m4.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑘</ci></apply><apply id="A4.SS4.2.p1.22.m4.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A4.SS4.2.p1.22.m4.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.SS4.2.p1.22.m4.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A4.SS4.2.p1.22.m4.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="A4.SS4.2.p1.22.m4.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A4.SS4.2.p1.22.m4.1.1.1.1.1.1.2.2">𝑎</ci><ci id="A4.SS4.2.p1.22.m4.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="A4.SS4.2.p1.22.m4.1.1.1.1.1.1.2.3">𝑗</ci></apply></apply><apply id="A4.SS4.2.p1.22.m4.1.1.1.3.cmml" xref="A4.SS4.2.p1.22.m4.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.SS4.2.p1.22.m4.1.1.1.3.1.cmml" xref="A4.SS4.2.p1.22.m4.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A4.SS4.2.p1.22.m4.1.1.1.3.2.cmml" xref="A4.SS4.2.p1.22.m4.1.1.1.3.2">𝑏</ci><ci id="A4.SS4.2.p1.22.m4.1.1.1.3.3.cmml" xref="A4.SS4.2.p1.22.m4.1.1.1.3.3">𝑖</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A4.SS4.2.p1.22.m4.1c">\prod_{k=1}^{m}\big{(}\sum_{j=1}^{k}a_{j}\big{)}^{b_{i}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A4.SS4.2.p1.22.m4.1d">∏ start_POSTSUBSCRIPT italic_k = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_m end_POSTSUPERSCRIPT ( ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_j = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_k end_POSTSUPERSCRIPT italic_a start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_b start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> is counting the total number of terms in our sum after passing through each <math alttext="\Delta" class="ltx_Math" display="inline" id="A4.SS4.2.p1.23.m5.1"><semantics id="A4.SS4.2.p1.23.m5.1a"><mi id="A4.SS4.2.p1.23.m5.1.1" mathvariant="normal" xref="A4.SS4.2.p1.23.m5.1.1.cmml">Δ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A4.SS4.2.p1.23.m5.1b"><ci id="A4.SS4.2.p1.23.m5.1.1.cmml" xref="A4.SS4.2.p1.23.m5.1.1">Δ</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A4.SS4.2.p1.23.m5.1c">\Delta</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A4.SS4.2.p1.23.m5.1d">roman_Δ</annotation></semantics></math> individually, and for a fixed <math alttext="A" class="ltx_Math" display="inline" id="A4.SS4.2.p1.24.m6.1"><semantics id="A4.SS4.2.p1.24.m6.1a"><mi id="A4.SS4.2.p1.24.m6.1.1" xref="A4.SS4.2.p1.24.m6.1.1.cmml">A</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A4.SS4.2.p1.24.m6.1b"><ci id="A4.SS4.2.p1.24.m6.1.1.cmml" xref="A4.SS4.2.p1.24.m6.1.1">𝐴</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A4.SS4.2.p1.24.m6.1c">A</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A4.SS4.2.p1.24.m6.1d">italic_A</annotation></semantics></math> can be maximized if all the <math alttext="\Delta" class="ltx_Math" display="inline" id="A4.SS4.2.p1.25.m7.1"><semantics id="A4.SS4.2.p1.25.m7.1a"><mi id="A4.SS4.2.p1.25.m7.1.1" mathvariant="normal" xref="A4.SS4.2.p1.25.m7.1.1.cmml">Δ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A4.SS4.2.p1.25.m7.1b"><ci id="A4.SS4.2.p1.25.m7.1.1.cmml" xref="A4.SS4.2.p1.25.m7.1.1">Δ</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A4.SS4.2.p1.25.m7.1c">\Delta</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A4.SS4.2.p1.25.m7.1d">roman_Δ</annotation></semantics></math>’s were applied at the end, i.e. <math alttext="x_{1}=A,y_{1}=t-A" class="ltx_Math" display="inline" id="A4.SS4.2.p1.26.m8.2"><semantics id="A4.SS4.2.p1.26.m8.2a"><mrow id="A4.SS4.2.p1.26.m8.2.2.2" xref="A4.SS4.2.p1.26.m8.2.2.3.cmml"><mrow id="A4.SS4.2.p1.26.m8.1.1.1.1" xref="A4.SS4.2.p1.26.m8.1.1.1.1.cmml"><msub id="A4.SS4.2.p1.26.m8.1.1.1.1.2" xref="A4.SS4.2.p1.26.m8.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="A4.SS4.2.p1.26.m8.1.1.1.1.2.2" xref="A4.SS4.2.p1.26.m8.1.1.1.1.2.2.cmml">x</mi><mn id="A4.SS4.2.p1.26.m8.1.1.1.1.2.3" xref="A4.SS4.2.p1.26.m8.1.1.1.1.2.3.cmml">1</mn></msub><mo id="A4.SS4.2.p1.26.m8.1.1.1.1.1" xref="A4.SS4.2.p1.26.m8.1.1.1.1.1.cmml">=</mo><mi id="A4.SS4.2.p1.26.m8.1.1.1.1.3" xref="A4.SS4.2.p1.26.m8.1.1.1.1.3.cmml">A</mi></mrow><mo id="A4.SS4.2.p1.26.m8.2.2.2.3" xref="A4.SS4.2.p1.26.m8.2.2.3a.cmml">,</mo><mrow id="A4.SS4.2.p1.26.m8.2.2.2.2" xref="A4.SS4.2.p1.26.m8.2.2.2.2.cmml"><msub id="A4.SS4.2.p1.26.m8.2.2.2.2.2" xref="A4.SS4.2.p1.26.m8.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="A4.SS4.2.p1.26.m8.2.2.2.2.2.2" xref="A4.SS4.2.p1.26.m8.2.2.2.2.2.2.cmml">y</mi><mn id="A4.SS4.2.p1.26.m8.2.2.2.2.2.3" xref="A4.SS4.2.p1.26.m8.2.2.2.2.2.3.cmml">1</mn></msub><mo id="A4.SS4.2.p1.26.m8.2.2.2.2.1" xref="A4.SS4.2.p1.26.m8.2.2.2.2.1.cmml">=</mo><mrow id="A4.SS4.2.p1.26.m8.2.2.2.2.3" xref="A4.SS4.2.p1.26.m8.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="A4.SS4.2.p1.26.m8.2.2.2.2.3.2" xref="A4.SS4.2.p1.26.m8.2.2.2.2.3.2.cmml">t</mi><mo id="A4.SS4.2.p1.26.m8.2.2.2.2.3.1" xref="A4.SS4.2.p1.26.m8.2.2.2.2.3.1.cmml">−</mo><mi id="A4.SS4.2.p1.26.m8.2.2.2.2.3.3" xref="A4.SS4.2.p1.26.m8.2.2.2.2.3.3.cmml">A</mi></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A4.SS4.2.p1.26.m8.2b"><apply id="A4.SS4.2.p1.26.m8.2.2.3.cmml" xref="A4.SS4.2.p1.26.m8.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.SS4.2.p1.26.m8.2.2.3a.cmml" xref="A4.SS4.2.p1.26.m8.2.2.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="A4.SS4.2.p1.26.m8.1.1.1.1.cmml" xref="A4.SS4.2.p1.26.m8.1.1.1.1"><eq id="A4.SS4.2.p1.26.m8.1.1.1.1.1.cmml" xref="A4.SS4.2.p1.26.m8.1.1.1.1.1"></eq><apply id="A4.SS4.2.p1.26.m8.1.1.1.1.2.cmml" xref="A4.SS4.2.p1.26.m8.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.SS4.2.p1.26.m8.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A4.SS4.2.p1.26.m8.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="A4.SS4.2.p1.26.m8.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A4.SS4.2.p1.26.m8.1.1.1.1.2.2">𝑥</ci><cn id="A4.SS4.2.p1.26.m8.1.1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="A4.SS4.2.p1.26.m8.1.1.1.1.2.3">1</cn></apply><ci id="A4.SS4.2.p1.26.m8.1.1.1.1.3.cmml" xref="A4.SS4.2.p1.26.m8.1.1.1.1.3">𝐴</ci></apply><apply id="A4.SS4.2.p1.26.m8.2.2.2.2.cmml" xref="A4.SS4.2.p1.26.m8.2.2.2.2"><eq id="A4.SS4.2.p1.26.m8.2.2.2.2.1.cmml" xref="A4.SS4.2.p1.26.m8.2.2.2.2.1"></eq><apply id="A4.SS4.2.p1.26.m8.2.2.2.2.2.cmml" xref="A4.SS4.2.p1.26.m8.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.SS4.2.p1.26.m8.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="A4.SS4.2.p1.26.m8.2.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="A4.SS4.2.p1.26.m8.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="A4.SS4.2.p1.26.m8.2.2.2.2.2.2">𝑦</ci><cn id="A4.SS4.2.p1.26.m8.2.2.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="A4.SS4.2.p1.26.m8.2.2.2.2.2.3">1</cn></apply><apply id="A4.SS4.2.p1.26.m8.2.2.2.2.3.cmml" xref="A4.SS4.2.p1.26.m8.2.2.2.2.3"><minus id="A4.SS4.2.p1.26.m8.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="A4.SS4.2.p1.26.m8.2.2.2.2.3.1"></minus><ci id="A4.SS4.2.p1.26.m8.2.2.2.2.3.2.cmml" xref="A4.SS4.2.p1.26.m8.2.2.2.2.3.2">𝑡</ci><ci id="A4.SS4.2.p1.26.m8.2.2.2.2.3.3.cmml" xref="A4.SS4.2.p1.26.m8.2.2.2.2.3.3">𝐴</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" 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This gives</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_gather ltx_eqn_table" id="S6.EGx202"> <tbody id="A4.E249"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\displaystyle\big{|}u^{T}\prod_{i=1}^{m}\Delta^{b_{i}}(TG)^{a_{i}}\hat{e}_{0}% \big{|}\leq A^{t-A}\max_{\lambda}\big{|}u^{T}\prod_{i=1}^{A}T^{\lambda_{i}+1}% \delta^{\lambda_{i}}G(x)\hat{e}_{0}\big{|}" class="ltx_Math" display="block" id="A4.E249.m1.3"><semantics id="A4.E249.m1.3a"><mrow id="A4.E249.m1.3.3" xref="A4.E249.m1.3.3.cmml"><mrow id="A4.E249.m1.2.2.1.1" xref="A4.E249.m1.2.2.1.2.cmml"><mo id="A4.E249.m1.2.2.1.1.2" maxsize="120%" minsize="120%" xref="A4.E249.m1.2.2.1.2.1.cmml">|</mo><mrow id="A4.E249.m1.2.2.1.1.1" xref="A4.E249.m1.2.2.1.1.1.cmml"><msup id="A4.E249.m1.2.2.1.1.1.3" xref="A4.E249.m1.2.2.1.1.1.3.cmml"><mi id="A4.E249.m1.2.2.1.1.1.3.2" xref="A4.E249.m1.2.2.1.1.1.3.2.cmml">u</mi><mi 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id="A4.E249.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A4.E249.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="A4.E249.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A4.E249.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">G</mi></mrow><mo id="A4.E249.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A4.E249.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><msub id="A4.E249.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3" xref="A4.E249.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A4.E249.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A4.E249.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">a</mi><mi id="A4.E249.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A4.E249.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">i</mi></msub></msup><mo id="A4.E249.m1.2.2.1.1.1.1.1.2a" xref="A4.E249.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="A4.E249.m1.2.2.1.1.1.1.1.4" xref="A4.E249.m1.2.2.1.1.1.1.1.4.cmml"><mover accent="true" id="A4.E249.m1.2.2.1.1.1.1.1.4.2" xref="A4.E249.m1.2.2.1.1.1.1.1.4.2.cmml"><mi id="A4.E249.m1.2.2.1.1.1.1.1.4.2.2" xref="A4.E249.m1.2.2.1.1.1.1.1.4.2.2.cmml">e</mi><mo id="A4.E249.m1.2.2.1.1.1.1.1.4.2.1" 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xref="A4.E249.m1.3.3.2.1.2.cmml"><mi id="A4.E249.m1.3.3.2.1.2.2" xref="A4.E249.m1.3.3.2.1.2.2.cmml">max</mi><mi id="A4.E249.m1.3.3.2.1.2.3" xref="A4.E249.m1.3.3.2.1.2.3.cmml">λ</mi></munder><mo id="A4.E249.m1.3.3.2.1a" xref="A4.E249.m1.3.3.2.1.cmml">⁡</mo><mrow id="A4.E249.m1.3.3.2.1.1.1" xref="A4.E249.m1.3.3.2.1.1.2.cmml"><mo id="A4.E249.m1.3.3.2.1.1.1.2" maxsize="120%" minsize="120%" xref="A4.E249.m1.3.3.2.1.1.2.1.cmml">|</mo><mrow id="A4.E249.m1.3.3.2.1.1.1.1" xref="A4.E249.m1.3.3.2.1.1.1.1.cmml"><msup id="A4.E249.m1.3.3.2.1.1.1.1.2" xref="A4.E249.m1.3.3.2.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="A4.E249.m1.3.3.2.1.1.1.1.2.2" xref="A4.E249.m1.3.3.2.1.1.1.1.2.2.cmml">u</mi><mi id="A4.E249.m1.3.3.2.1.1.1.1.2.3" xref="A4.E249.m1.3.3.2.1.1.1.1.2.3.cmml">T</mi></msup><mo id="A4.E249.m1.3.3.2.1.1.1.1.1" xref="A4.E249.m1.3.3.2.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A4.E249.m1.3.3.2.1.1.1.1.3" xref="A4.E249.m1.3.3.2.1.1.1.1.3.cmml"><munderover id="A4.E249.m1.3.3.2.1.1.1.1.3.1" xref="A4.E249.m1.3.3.2.1.1.1.1.3.1.cmml"><mo id="A4.E249.m1.3.3.2.1.1.1.1.3.1.2.2" movablelimits="false" xref="A4.E249.m1.3.3.2.1.1.1.1.3.1.2.2.cmml">∏</mo><mrow id="A4.E249.m1.3.3.2.1.1.1.1.3.1.2.3" xref="A4.E249.m1.3.3.2.1.1.1.1.3.1.2.3.cmml"><mi id="A4.E249.m1.3.3.2.1.1.1.1.3.1.2.3.2" xref="A4.E249.m1.3.3.2.1.1.1.1.3.1.2.3.2.cmml">i</mi><mo id="A4.E249.m1.3.3.2.1.1.1.1.3.1.2.3.1" xref="A4.E249.m1.3.3.2.1.1.1.1.3.1.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="A4.E249.m1.3.3.2.1.1.1.1.3.1.2.3.3" xref="A4.E249.m1.3.3.2.1.1.1.1.3.1.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="A4.E249.m1.3.3.2.1.1.1.1.3.1.3" xref="A4.E249.m1.3.3.2.1.1.1.1.3.1.3.cmml">A</mi></munderover><mrow id="A4.E249.m1.3.3.2.1.1.1.1.3.2" xref="A4.E249.m1.3.3.2.1.1.1.1.3.2.cmml"><msup id="A4.E249.m1.3.3.2.1.1.1.1.3.2.2" xref="A4.E249.m1.3.3.2.1.1.1.1.3.2.2.cmml"><mi id="A4.E249.m1.3.3.2.1.1.1.1.3.2.2.2" xref="A4.E249.m1.3.3.2.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml">T</mi><mrow id="A4.E249.m1.3.3.2.1.1.1.1.3.2.2.3" xref="A4.E249.m1.3.3.2.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml"><msub id="A4.E249.m1.3.3.2.1.1.1.1.3.2.2.3.2" xref="A4.E249.m1.3.3.2.1.1.1.1.3.2.2.3.2.cmml"><mi id="A4.E249.m1.3.3.2.1.1.1.1.3.2.2.3.2.2" xref="A4.E249.m1.3.3.2.1.1.1.1.3.2.2.3.2.2.cmml">λ</mi><mi id="A4.E249.m1.3.3.2.1.1.1.1.3.2.2.3.2.3" xref="A4.E249.m1.3.3.2.1.1.1.1.3.2.2.3.2.3.cmml">i</mi></msub><mo id="A4.E249.m1.3.3.2.1.1.1.1.3.2.2.3.1" xref="A4.E249.m1.3.3.2.1.1.1.1.3.2.2.3.1.cmml">+</mo><mn id="A4.E249.m1.3.3.2.1.1.1.1.3.2.2.3.3" xref="A4.E249.m1.3.3.2.1.1.1.1.3.2.2.3.3.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="A4.E249.m1.3.3.2.1.1.1.1.3.2.1" xref="A4.E249.m1.3.3.2.1.1.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="A4.E249.m1.3.3.2.1.1.1.1.3.2.3" xref="A4.E249.m1.3.3.2.1.1.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="A4.E249.m1.3.3.2.1.1.1.1.3.2.3.2" xref="A4.E249.m1.3.3.2.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml">δ</mi><msub id="A4.E249.m1.3.3.2.1.1.1.1.3.2.3.3" xref="A4.E249.m1.3.3.2.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml"><mi id="A4.E249.m1.3.3.2.1.1.1.1.3.2.3.3.2" xref="A4.E249.m1.3.3.2.1.1.1.1.3.2.3.3.2.cmml">λ</mi><mi id="A4.E249.m1.3.3.2.1.1.1.1.3.2.3.3.3" xref="A4.E249.m1.3.3.2.1.1.1.1.3.2.3.3.3.cmml">i</mi></msub></msup><mo id="A4.E249.m1.3.3.2.1.1.1.1.3.2.1a" xref="A4.E249.m1.3.3.2.1.1.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="A4.E249.m1.3.3.2.1.1.1.1.3.2.4" xref="A4.E249.m1.3.3.2.1.1.1.1.3.2.4.cmml">G</mi><mo id="A4.E249.m1.3.3.2.1.1.1.1.3.2.1b" xref="A4.E249.m1.3.3.2.1.1.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A4.E249.m1.3.3.2.1.1.1.1.3.2.5.2" xref="A4.E249.m1.3.3.2.1.1.1.1.3.2.cmml"><mo id="A4.E249.m1.3.3.2.1.1.1.1.3.2.5.2.1" stretchy="false" xref="A4.E249.m1.3.3.2.1.1.1.1.3.2.cmml">(</mo><mi id="A4.E249.m1.1.1" xref="A4.E249.m1.1.1.cmml">x</mi><mo id="A4.E249.m1.3.3.2.1.1.1.1.3.2.5.2.2" stretchy="false" xref="A4.E249.m1.3.3.2.1.1.1.1.3.2.cmml">)</mo></mrow><mo id="A4.E249.m1.3.3.2.1.1.1.1.3.2.1c" xref="A4.E249.m1.3.3.2.1.1.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="A4.E249.m1.3.3.2.1.1.1.1.3.2.6" xref="A4.E249.m1.3.3.2.1.1.1.1.3.2.6.cmml"><mover accent="true" id="A4.E249.m1.3.3.2.1.1.1.1.3.2.6.2" xref="A4.E249.m1.3.3.2.1.1.1.1.3.2.6.2.cmml"><mi id="A4.E249.m1.3.3.2.1.1.1.1.3.2.6.2.2" xref="A4.E249.m1.3.3.2.1.1.1.1.3.2.6.2.2.cmml">e</mi><mo id="A4.E249.m1.3.3.2.1.1.1.1.3.2.6.2.1" xref="A4.E249.m1.3.3.2.1.1.1.1.3.2.6.2.1.cmml">^</mo></mover><mn id="A4.E249.m1.3.3.2.1.1.1.1.3.2.6.3" xref="A4.E249.m1.3.3.2.1.1.1.1.3.2.6.3.cmml">0</mn></msub></mrow></mrow></mrow><mo id="A4.E249.m1.3.3.2.1.1.1.3" maxsize="120%" minsize="120%" xref="A4.E249.m1.3.3.2.1.1.2.1.cmml">|</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A4.E249.m1.3b"><apply id="A4.E249.m1.3.3.cmml" xref="A4.E249.m1.3.3"><leq id="A4.E249.m1.3.3.3.cmml" xref="A4.E249.m1.3.3.3"></leq><apply id="A4.E249.m1.2.2.1.2.cmml" xref="A4.E249.m1.2.2.1.1"><abs id="A4.E249.m1.2.2.1.2.1.cmml" xref="A4.E249.m1.2.2.1.1.2"></abs><apply id="A4.E249.m1.2.2.1.1.1.cmml" xref="A4.E249.m1.2.2.1.1.1"><times id="A4.E249.m1.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="A4.E249.m1.2.2.1.1.1.2"></times><apply id="A4.E249.m1.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="A4.E249.m1.2.2.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" 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xref="A4.E249.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑎</ci><ci id="A4.E249.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A4.E249.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑖</ci></apply></apply><apply id="A4.E249.m1.2.2.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="A4.E249.m1.2.2.1.1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.E249.m1.2.2.1.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="A4.E249.m1.2.2.1.1.1.1.1.4">subscript</csymbol><apply id="A4.E249.m1.2.2.1.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="A4.E249.m1.2.2.1.1.1.1.1.4.2"><ci id="A4.E249.m1.2.2.1.1.1.1.1.4.2.1.cmml" xref="A4.E249.m1.2.2.1.1.1.1.1.4.2.1">^</ci><ci id="A4.E249.m1.2.2.1.1.1.1.1.4.2.2.cmml" xref="A4.E249.m1.2.2.1.1.1.1.1.4.2.2">𝑒</ci></apply><cn id="A4.E249.m1.2.2.1.1.1.1.1.4.3.cmml" type="integer" xref="A4.E249.m1.2.2.1.1.1.1.1.4.3">0</cn></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="A4.E249.m1.3.3.2.cmml" xref="A4.E249.m1.3.3.2"><times id="A4.E249.m1.3.3.2.2.cmml" xref="A4.E249.m1.3.3.2.2"></times><apply id="A4.E249.m1.3.3.2.3.cmml" xref="A4.E249.m1.3.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.E249.m1.3.3.2.3.1.cmml" 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cd="latexml" id="A4.E249.m1.3.3.2.1.1.1.1.3.1.2.2.cmml" xref="A4.E249.m1.3.3.2.1.1.1.1.3.1.2.2">product</csymbol><apply id="A4.E249.m1.3.3.2.1.1.1.1.3.1.2.3.cmml" xref="A4.E249.m1.3.3.2.1.1.1.1.3.1.2.3"><eq id="A4.E249.m1.3.3.2.1.1.1.1.3.1.2.3.1.cmml" xref="A4.E249.m1.3.3.2.1.1.1.1.3.1.2.3.1"></eq><ci id="A4.E249.m1.3.3.2.1.1.1.1.3.1.2.3.2.cmml" xref="A4.E249.m1.3.3.2.1.1.1.1.3.1.2.3.2">𝑖</ci><cn id="A4.E249.m1.3.3.2.1.1.1.1.3.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="A4.E249.m1.3.3.2.1.1.1.1.3.1.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="A4.E249.m1.3.3.2.1.1.1.1.3.1.3.cmml" xref="A4.E249.m1.3.3.2.1.1.1.1.3.1.3">𝐴</ci></apply><apply id="A4.E249.m1.3.3.2.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A4.E249.m1.3.3.2.1.1.1.1.3.2"><times id="A4.E249.m1.3.3.2.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="A4.E249.m1.3.3.2.1.1.1.1.3.2.1"></times><apply id="A4.E249.m1.3.3.2.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="A4.E249.m1.3.3.2.1.1.1.1.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.E249.m1.3.3.2.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml" 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id="A4.E249.m1.3.3.2.1.1.1.1.3.2.6.2.cmml" xref="A4.E249.m1.3.3.2.1.1.1.1.3.2.6.2"><ci id="A4.E249.m1.3.3.2.1.1.1.1.3.2.6.2.1.cmml" xref="A4.E249.m1.3.3.2.1.1.1.1.3.2.6.2.1">^</ci><ci id="A4.E249.m1.3.3.2.1.1.1.1.3.2.6.2.2.cmml" xref="A4.E249.m1.3.3.2.1.1.1.1.3.2.6.2.2">𝑒</ci></apply><cn id="A4.E249.m1.3.3.2.1.1.1.1.3.2.6.3.cmml" type="integer" xref="A4.E249.m1.3.3.2.1.1.1.1.3.2.6.3">0</cn></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A4.E249.m1.3c">\displaystyle\big{|}u^{T}\prod_{i=1}^{m}\Delta^{b_{i}}(TG)^{a_{i}}\hat{e}_{0}% \big{|}\leq A^{t-A}\max_{\lambda}\big{|}u^{T}\prod_{i=1}^{A}T^{\lambda_{i}+1}% \delta^{\lambda_{i}}G(x)\hat{e}_{0}\big{|}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A4.E249.m1.3d">| italic_u start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT ∏ start_POSTSUBSCRIPT italic_i = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_m end_POSTSUPERSCRIPT roman_Δ start_POSTSUPERSCRIPT italic_b start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_T italic_G ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_a start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT over^ start_ARG italic_e end_ARG start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT | ≤ italic_A start_POSTSUPERSCRIPT italic_t - italic_A end_POSTSUPERSCRIPT roman_max start_POSTSUBSCRIPT italic_λ end_POSTSUBSCRIPT | italic_u start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT ∏ start_POSTSUBSCRIPT italic_i = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_A end_POSTSUPERSCRIPT italic_T start_POSTSUPERSCRIPT italic_λ start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT + 1 end_POSTSUPERSCRIPT italic_δ start_POSTSUPERSCRIPT italic_λ start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT italic_G ( italic_x ) over^ start_ARG italic_e end_ARG start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT |</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(249)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="A4.SS4.2.p1.29">and therefore</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_gather ltx_eqn_table" id="S6.EGx203"> <tbody id="A4.E250"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\displaystyle d_{t}(x)=c_{t}(x^{2})u^{T}\left[\Delta+TG(x)\right]^{t}\hat{e}_{% 0}\leq c_{t}(x^{2})\sum_{A}\binom{t}{A}A^{t-A}\max_{\lambda}\big{|}u^{T}\prod_% {i=1}^{A}T^{\lambda_{i}+1}\delta^{\lambda_{i}}G(x)\hat{e}_{0}\big{|}." class="ltx_Math" display="block" id="A4.E250.m1.6"><semantics id="A4.E250.m1.6a"><mrow id="A4.E250.m1.6.6.1" xref="A4.E250.m1.6.6.1.1.cmml"><mrow id="A4.E250.m1.6.6.1.1" xref="A4.E250.m1.6.6.1.1.cmml"><mrow id="A4.E250.m1.6.6.1.1.6" xref="A4.E250.m1.6.6.1.1.6.cmml"><msub id="A4.E250.m1.6.6.1.1.6.2" xref="A4.E250.m1.6.6.1.1.6.2.cmml"><mi id="A4.E250.m1.6.6.1.1.6.2.2" xref="A4.E250.m1.6.6.1.1.6.2.2.cmml">d</mi><mi id="A4.E250.m1.6.6.1.1.6.2.3" xref="A4.E250.m1.6.6.1.1.6.2.3.cmml">t</mi></msub><mo id="A4.E250.m1.6.6.1.1.6.1" xref="A4.E250.m1.6.6.1.1.6.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A4.E250.m1.6.6.1.1.6.3.2" xref="A4.E250.m1.6.6.1.1.6.cmml"><mo id="A4.E250.m1.6.6.1.1.6.3.2.1" stretchy="false" xref="A4.E250.m1.6.6.1.1.6.cmml">(</mo><mi id="A4.E250.m1.3.3" xref="A4.E250.m1.3.3.cmml">x</mi><mo id="A4.E250.m1.6.6.1.1.6.3.2.2" stretchy="false" xref="A4.E250.m1.6.6.1.1.6.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A4.E250.m1.6.6.1.1.7" xref="A4.E250.m1.6.6.1.1.7.cmml">=</mo><mrow id="A4.E250.m1.6.6.1.1.2" xref="A4.E250.m1.6.6.1.1.2.cmml"><msub id="A4.E250.m1.6.6.1.1.2.4" xref="A4.E250.m1.6.6.1.1.2.4.cmml"><mi id="A4.E250.m1.6.6.1.1.2.4.2" xref="A4.E250.m1.6.6.1.1.2.4.2.cmml">c</mi><mi id="A4.E250.m1.6.6.1.1.2.4.3" xref="A4.E250.m1.6.6.1.1.2.4.3.cmml">t</mi></msub><mo id="A4.E250.m1.6.6.1.1.2.3" xref="A4.E250.m1.6.6.1.1.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="A4.E250.m1.6.6.1.1.1.1.1" xref="A4.E250.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A4.E250.m1.6.6.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A4.E250.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="A4.E250.m1.6.6.1.1.1.1.1.1" xref="A4.E250.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A4.E250.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2" xref="A4.E250.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.cmml">x</mi><mn id="A4.E250.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3" xref="A4.E250.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.cmml">2</mn></msup><mo id="A4.E250.m1.6.6.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A4.E250.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A4.E250.m1.6.6.1.1.2.3a" xref="A4.E250.m1.6.6.1.1.2.3.cmml">⁢</mo><msup id="A4.E250.m1.6.6.1.1.2.5" xref="A4.E250.m1.6.6.1.1.2.5.cmml"><mi id="A4.E250.m1.6.6.1.1.2.5.2" xref="A4.E250.m1.6.6.1.1.2.5.2.cmml">u</mi><mi id="A4.E250.m1.6.6.1.1.2.5.3" xref="A4.E250.m1.6.6.1.1.2.5.3.cmml">T</mi></msup><mo id="A4.E250.m1.6.6.1.1.2.3b" xref="A4.E250.m1.6.6.1.1.2.3.cmml">⁢</mo><msup id="A4.E250.m1.6.6.1.1.2.2" xref="A4.E250.m1.6.6.1.1.2.2.cmml"><mrow id="A4.E250.m1.6.6.1.1.2.2.1.1" xref="A4.E250.m1.6.6.1.1.2.2.1.2.cmml"><mo id="A4.E250.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.2" xref="A4.E250.m1.6.6.1.1.2.2.1.2.1.cmml">[</mo><mrow id="A4.E250.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1" xref="A4.E250.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="A4.E250.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.2" mathvariant="normal" xref="A4.E250.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.2.cmml">Δ</mi><mo id="A4.E250.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1" xref="A4.E250.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="A4.E250.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.3" xref="A4.E250.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.3.cmml"><mi id="A4.E250.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.3.2" xref="A4.E250.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.3.2.cmml">T</mi><mo id="A4.E250.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.3.1" xref="A4.E250.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A4.E250.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.3.3" xref="A4.E250.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.3.3.cmml">G</mi><mo id="A4.E250.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.3.1a" xref="A4.E250.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A4.E250.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.3.4.2" xref="A4.E250.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.3.cmml"><mo id="A4.E250.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.3.4.2.1" stretchy="false" xref="A4.E250.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="A4.E250.m1.4.4" xref="A4.E250.m1.4.4.cmml">x</mi><mo id="A4.E250.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.3.4.2.2" stretchy="false" xref="A4.E250.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="A4.E250.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.3" xref="A4.E250.m1.6.6.1.1.2.2.1.2.1.cmml">]</mo></mrow><mi id="A4.E250.m1.6.6.1.1.2.2.3" xref="A4.E250.m1.6.6.1.1.2.2.3.cmml">t</mi></msup><mo id="A4.E250.m1.6.6.1.1.2.3c" xref="A4.E250.m1.6.6.1.1.2.3.cmml">⁢</mo><msub id="A4.E250.m1.6.6.1.1.2.6" xref="A4.E250.m1.6.6.1.1.2.6.cmml"><mover accent="true" id="A4.E250.m1.6.6.1.1.2.6.2" xref="A4.E250.m1.6.6.1.1.2.6.2.cmml"><mi id="A4.E250.m1.6.6.1.1.2.6.2.2" xref="A4.E250.m1.6.6.1.1.2.6.2.2.cmml">e</mi><mo id="A4.E250.m1.6.6.1.1.2.6.2.1" xref="A4.E250.m1.6.6.1.1.2.6.2.1.cmml">^</mo></mover><mn id="A4.E250.m1.6.6.1.1.2.6.3" xref="A4.E250.m1.6.6.1.1.2.6.3.cmml">0</mn></msub></mrow><mo id="A4.E250.m1.6.6.1.1.8" xref="A4.E250.m1.6.6.1.1.8.cmml">≤</mo><mrow id="A4.E250.m1.6.6.1.1.4" xref="A4.E250.m1.6.6.1.1.4.cmml"><msub id="A4.E250.m1.6.6.1.1.4.4" xref="A4.E250.m1.6.6.1.1.4.4.cmml"><mi id="A4.E250.m1.6.6.1.1.4.4.2" xref="A4.E250.m1.6.6.1.1.4.4.2.cmml">c</mi><mi id="A4.E250.m1.6.6.1.1.4.4.3" xref="A4.E250.m1.6.6.1.1.4.4.3.cmml">t</mi></msub><mo id="A4.E250.m1.6.6.1.1.4.3" xref="A4.E250.m1.6.6.1.1.4.3.cmml">⁢</mo><mrow id="A4.E250.m1.6.6.1.1.3.1.1" xref="A4.E250.m1.6.6.1.1.3.1.1.1.cmml"><mo id="A4.E250.m1.6.6.1.1.3.1.1.2" stretchy="false" xref="A4.E250.m1.6.6.1.1.3.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="A4.E250.m1.6.6.1.1.3.1.1.1" xref="A4.E250.m1.6.6.1.1.3.1.1.1.cmml"><mi id="A4.E250.m1.6.6.1.1.3.1.1.1.2" xref="A4.E250.m1.6.6.1.1.3.1.1.1.2.cmml">x</mi><mn id="A4.E250.m1.6.6.1.1.3.1.1.1.3" xref="A4.E250.m1.6.6.1.1.3.1.1.1.3.cmml">2</mn></msup><mo id="A4.E250.m1.6.6.1.1.3.1.1.3" stretchy="false" xref="A4.E250.m1.6.6.1.1.3.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A4.E250.m1.6.6.1.1.4.3a" xref="A4.E250.m1.6.6.1.1.4.3.cmml">⁢</mo><mrow id="A4.E250.m1.6.6.1.1.4.2" xref="A4.E250.m1.6.6.1.1.4.2.cmml"><munder id="A4.E250.m1.6.6.1.1.4.2.2" xref="A4.E250.m1.6.6.1.1.4.2.2.cmml"><mo id="A4.E250.m1.6.6.1.1.4.2.2.2" movablelimits="false" rspace="0em" xref="A4.E250.m1.6.6.1.1.4.2.2.2.cmml">∑</mo><mi id="A4.E250.m1.6.6.1.1.4.2.2.3" xref="A4.E250.m1.6.6.1.1.4.2.2.3.cmml">A</mi></munder><mrow id="A4.E250.m1.6.6.1.1.4.2.1" xref="A4.E250.m1.6.6.1.1.4.2.1.cmml"><mrow id="A4.E250.m1.2.2.4" xref="A4.E250.m1.2.2.3.cmml"><mo id="A4.E250.m1.2.2.4.1" xref="A4.E250.m1.2.2.3.1.cmml">(</mo><mfrac id="A4.E250.m1.2.2.2.2" linethickness="0pt" xref="A4.E250.m1.2.2.3.cmml"><mi id="A4.E250.m1.1.1.1.1.1.1" xref="A4.E250.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">t</mi><mi id="A4.E250.m1.2.2.2.2.2.1" xref="A4.E250.m1.2.2.2.2.2.1.cmml">A</mi></mfrac><mo id="A4.E250.m1.2.2.4.2" xref="A4.E250.m1.2.2.3.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A4.E250.m1.6.6.1.1.4.2.1.2" xref="A4.E250.m1.6.6.1.1.4.2.1.2.cmml">⁢</mo><msup id="A4.E250.m1.6.6.1.1.4.2.1.3" xref="A4.E250.m1.6.6.1.1.4.2.1.3.cmml"><mi id="A4.E250.m1.6.6.1.1.4.2.1.3.2" xref="A4.E250.m1.6.6.1.1.4.2.1.3.2.cmml">A</mi><mrow id="A4.E250.m1.6.6.1.1.4.2.1.3.3" xref="A4.E250.m1.6.6.1.1.4.2.1.3.3.cmml"><mi id="A4.E250.m1.6.6.1.1.4.2.1.3.3.2" xref="A4.E250.m1.6.6.1.1.4.2.1.3.3.2.cmml">t</mi><mo id="A4.E250.m1.6.6.1.1.4.2.1.3.3.1" xref="A4.E250.m1.6.6.1.1.4.2.1.3.3.1.cmml">−</mo><mi id="A4.E250.m1.6.6.1.1.4.2.1.3.3.3" xref="A4.E250.m1.6.6.1.1.4.2.1.3.3.3.cmml">A</mi></mrow></msup><mo id="A4.E250.m1.6.6.1.1.4.2.1.2a" lspace="0.167em" xref="A4.E250.m1.6.6.1.1.4.2.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A4.E250.m1.6.6.1.1.4.2.1.1" xref="A4.E250.m1.6.6.1.1.4.2.1.1.cmml"><munder id="A4.E250.m1.6.6.1.1.4.2.1.1.2" xref="A4.E250.m1.6.6.1.1.4.2.1.1.2.cmml"><mi id="A4.E250.m1.6.6.1.1.4.2.1.1.2.2" xref="A4.E250.m1.6.6.1.1.4.2.1.1.2.2.cmml">max</mi><mi id="A4.E250.m1.6.6.1.1.4.2.1.1.2.3" xref="A4.E250.m1.6.6.1.1.4.2.1.1.2.3.cmml">λ</mi></munder><mo id="A4.E250.m1.6.6.1.1.4.2.1.1a" xref="A4.E250.m1.6.6.1.1.4.2.1.1.cmml">⁡</mo><mrow id="A4.E250.m1.6.6.1.1.4.2.1.1.1.1" xref="A4.E250.m1.6.6.1.1.4.2.1.1.1.2.cmml"><mo id="A4.E250.m1.6.6.1.1.4.2.1.1.1.1.2" maxsize="120%" minsize="120%" xref="A4.E250.m1.6.6.1.1.4.2.1.1.1.2.1.cmml">|</mo><mrow id="A4.E250.m1.6.6.1.1.4.2.1.1.1.1.1" xref="A4.E250.m1.6.6.1.1.4.2.1.1.1.1.1.cmml"><msup id="A4.E250.m1.6.6.1.1.4.2.1.1.1.1.1.2" xref="A4.E250.m1.6.6.1.1.4.2.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="A4.E250.m1.6.6.1.1.4.2.1.1.1.1.1.2.2" xref="A4.E250.m1.6.6.1.1.4.2.1.1.1.1.1.2.2.cmml">u</mi><mi id="A4.E250.m1.6.6.1.1.4.2.1.1.1.1.1.2.3" xref="A4.E250.m1.6.6.1.1.4.2.1.1.1.1.1.2.3.cmml">T</mi></msup><mo id="A4.E250.m1.6.6.1.1.4.2.1.1.1.1.1.1" xref="A4.E250.m1.6.6.1.1.4.2.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A4.E250.m1.6.6.1.1.4.2.1.1.1.1.1.3" xref="A4.E250.m1.6.6.1.1.4.2.1.1.1.1.1.3.cmml"><munderover id="A4.E250.m1.6.6.1.1.4.2.1.1.1.1.1.3.1" xref="A4.E250.m1.6.6.1.1.4.2.1.1.1.1.1.3.1.cmml"><mo id="A4.E250.m1.6.6.1.1.4.2.1.1.1.1.1.3.1.2.2" movablelimits="false" xref="A4.E250.m1.6.6.1.1.4.2.1.1.1.1.1.3.1.2.2.cmml">∏</mo><mrow id="A4.E250.m1.6.6.1.1.4.2.1.1.1.1.1.3.1.2.3" xref="A4.E250.m1.6.6.1.1.4.2.1.1.1.1.1.3.1.2.3.cmml"><mi id="A4.E250.m1.6.6.1.1.4.2.1.1.1.1.1.3.1.2.3.2" xref="A4.E250.m1.6.6.1.1.4.2.1.1.1.1.1.3.1.2.3.2.cmml">i</mi><mo id="A4.E250.m1.6.6.1.1.4.2.1.1.1.1.1.3.1.2.3.1" xref="A4.E250.m1.6.6.1.1.4.2.1.1.1.1.1.3.1.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="A4.E250.m1.6.6.1.1.4.2.1.1.1.1.1.3.1.2.3.3" xref="A4.E250.m1.6.6.1.1.4.2.1.1.1.1.1.3.1.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="A4.E250.m1.6.6.1.1.4.2.1.1.1.1.1.3.1.3" xref="A4.E250.m1.6.6.1.1.4.2.1.1.1.1.1.3.1.3.cmml">A</mi></munderover><mrow id="A4.E250.m1.6.6.1.1.4.2.1.1.1.1.1.3.2" xref="A4.E250.m1.6.6.1.1.4.2.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><msup id="A4.E250.m1.6.6.1.1.4.2.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="A4.E250.m1.6.6.1.1.4.2.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml"><mi id="A4.E250.m1.6.6.1.1.4.2.1.1.1.1.1.3.2.2.2" xref="A4.E250.m1.6.6.1.1.4.2.1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml">T</mi><mrow id="A4.E250.m1.6.6.1.1.4.2.1.1.1.1.1.3.2.2.3" xref="A4.E250.m1.6.6.1.1.4.2.1.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml"><msub id="A4.E250.m1.6.6.1.1.4.2.1.1.1.1.1.3.2.2.3.2" xref="A4.E250.m1.6.6.1.1.4.2.1.1.1.1.1.3.2.2.3.2.cmml"><mi id="A4.E250.m1.6.6.1.1.4.2.1.1.1.1.1.3.2.2.3.2.2" xref="A4.E250.m1.6.6.1.1.4.2.1.1.1.1.1.3.2.2.3.2.2.cmml">λ</mi><mi id="A4.E250.m1.6.6.1.1.4.2.1.1.1.1.1.3.2.2.3.2.3" xref="A4.E250.m1.6.6.1.1.4.2.1.1.1.1.1.3.2.2.3.2.3.cmml">i</mi></msub><mo id="A4.E250.m1.6.6.1.1.4.2.1.1.1.1.1.3.2.2.3.1" xref="A4.E250.m1.6.6.1.1.4.2.1.1.1.1.1.3.2.2.3.1.cmml">+</mo><mn id="A4.E250.m1.6.6.1.1.4.2.1.1.1.1.1.3.2.2.3.3" xref="A4.E250.m1.6.6.1.1.4.2.1.1.1.1.1.3.2.2.3.3.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="A4.E250.m1.6.6.1.1.4.2.1.1.1.1.1.3.2.1" xref="A4.E250.m1.6.6.1.1.4.2.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="A4.E250.m1.6.6.1.1.4.2.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="A4.E250.m1.6.6.1.1.4.2.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="A4.E250.m1.6.6.1.1.4.2.1.1.1.1.1.3.2.3.2" xref="A4.E250.m1.6.6.1.1.4.2.1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml">δ</mi><msub id="A4.E250.m1.6.6.1.1.4.2.1.1.1.1.1.3.2.3.3" xref="A4.E250.m1.6.6.1.1.4.2.1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml"><mi id="A4.E250.m1.6.6.1.1.4.2.1.1.1.1.1.3.2.3.3.2" xref="A4.E250.m1.6.6.1.1.4.2.1.1.1.1.1.3.2.3.3.2.cmml">λ</mi><mi id="A4.E250.m1.6.6.1.1.4.2.1.1.1.1.1.3.2.3.3.3" xref="A4.E250.m1.6.6.1.1.4.2.1.1.1.1.1.3.2.3.3.3.cmml">i</mi></msub></msup><mo id="A4.E250.m1.6.6.1.1.4.2.1.1.1.1.1.3.2.1a" xref="A4.E250.m1.6.6.1.1.4.2.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="A4.E250.m1.6.6.1.1.4.2.1.1.1.1.1.3.2.4" xref="A4.E250.m1.6.6.1.1.4.2.1.1.1.1.1.3.2.4.cmml">G</mi><mo id="A4.E250.m1.6.6.1.1.4.2.1.1.1.1.1.3.2.1b" xref="A4.E250.m1.6.6.1.1.4.2.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A4.E250.m1.6.6.1.1.4.2.1.1.1.1.1.3.2.5.2" xref="A4.E250.m1.6.6.1.1.4.2.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mo id="A4.E250.m1.6.6.1.1.4.2.1.1.1.1.1.3.2.5.2.1" stretchy="false" xref="A4.E250.m1.6.6.1.1.4.2.1.1.1.1.1.3.2.cmml">(</mo><mi 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id="A4.E250.m1.6.6.1.1.4.2.1.1.2.1.cmml" xref="A4.E250.m1.6.6.1.1.4.2.1.1.2">subscript</csymbol><max id="A4.E250.m1.6.6.1.1.4.2.1.1.2.2.cmml" xref="A4.E250.m1.6.6.1.1.4.2.1.1.2.2"></max><ci id="A4.E250.m1.6.6.1.1.4.2.1.1.2.3.cmml" xref="A4.E250.m1.6.6.1.1.4.2.1.1.2.3">𝜆</ci></apply><apply id="A4.E250.m1.6.6.1.1.4.2.1.1.1.2.cmml" xref="A4.E250.m1.6.6.1.1.4.2.1.1.1.1"><abs id="A4.E250.m1.6.6.1.1.4.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="A4.E250.m1.6.6.1.1.4.2.1.1.1.1.2"></abs><apply id="A4.E250.m1.6.6.1.1.4.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="A4.E250.m1.6.6.1.1.4.2.1.1.1.1.1"><times id="A4.E250.m1.6.6.1.1.4.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A4.E250.m1.6.6.1.1.4.2.1.1.1.1.1.1"></times><apply id="A4.E250.m1.6.6.1.1.4.2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A4.E250.m1.6.6.1.1.4.2.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.E250.m1.6.6.1.1.4.2.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A4.E250.m1.6.6.1.1.4.2.1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="A4.E250.m1.6.6.1.1.4.2.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A4.E250.m1.6.6.1.1.4.2.1.1.1.1.1.2.2">𝑢</ci><ci id="A4.E250.m1.6.6.1.1.4.2.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="A4.E250.m1.6.6.1.1.4.2.1.1.1.1.1.2.3">𝑇</ci></apply><apply id="A4.E250.m1.6.6.1.1.4.2.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A4.E250.m1.6.6.1.1.4.2.1.1.1.1.1.3"><apply id="A4.E250.m1.6.6.1.1.4.2.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A4.E250.m1.6.6.1.1.4.2.1.1.1.1.1.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.E250.m1.6.6.1.1.4.2.1.1.1.1.1.3.1.1.cmml" xref="A4.E250.m1.6.6.1.1.4.2.1.1.1.1.1.3.1">superscript</csymbol><apply id="A4.E250.m1.6.6.1.1.4.2.1.1.1.1.1.3.1.2.cmml" xref="A4.E250.m1.6.6.1.1.4.2.1.1.1.1.1.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.E250.m1.6.6.1.1.4.2.1.1.1.1.1.3.1.2.1.cmml" xref="A4.E250.m1.6.6.1.1.4.2.1.1.1.1.1.3.1">subscript</csymbol><csymbol cd="latexml" id="A4.E250.m1.6.6.1.1.4.2.1.1.1.1.1.3.1.2.2.cmml" xref="A4.E250.m1.6.6.1.1.4.2.1.1.1.1.1.3.1.2.2">product</csymbol><apply id="A4.E250.m1.6.6.1.1.4.2.1.1.1.1.1.3.1.2.3.cmml" xref="A4.E250.m1.6.6.1.1.4.2.1.1.1.1.1.3.1.2.3"><eq id="A4.E250.m1.6.6.1.1.4.2.1.1.1.1.1.3.1.2.3.1.cmml" xref="A4.E250.m1.6.6.1.1.4.2.1.1.1.1.1.3.1.2.3.1"></eq><ci id="A4.E250.m1.6.6.1.1.4.2.1.1.1.1.1.3.1.2.3.2.cmml" xref="A4.E250.m1.6.6.1.1.4.2.1.1.1.1.1.3.1.2.3.2">𝑖</ci><cn id="A4.E250.m1.6.6.1.1.4.2.1.1.1.1.1.3.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="A4.E250.m1.6.6.1.1.4.2.1.1.1.1.1.3.1.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="A4.E250.m1.6.6.1.1.4.2.1.1.1.1.1.3.1.3.cmml" xref="A4.E250.m1.6.6.1.1.4.2.1.1.1.1.1.3.1.3">𝐴</ci></apply><apply id="A4.E250.m1.6.6.1.1.4.2.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A4.E250.m1.6.6.1.1.4.2.1.1.1.1.1.3.2"><times id="A4.E250.m1.6.6.1.1.4.2.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="A4.E250.m1.6.6.1.1.4.2.1.1.1.1.1.3.2.1"></times><apply id="A4.E250.m1.6.6.1.1.4.2.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="A4.E250.m1.6.6.1.1.4.2.1.1.1.1.1.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.E250.m1.6.6.1.1.4.2.1.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="A4.E250.m1.6.6.1.1.4.2.1.1.1.1.1.3.2.2">superscript</csymbol><ci id="A4.E250.m1.6.6.1.1.4.2.1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="A4.E250.m1.6.6.1.1.4.2.1.1.1.1.1.3.2.2.2">𝑇</ci><apply 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id="A4.E250.m1.6.6.1.1.4.2.1.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="A4.E250.m1.6.6.1.1.4.2.1.1.1.1.1.3.2.3">superscript</csymbol><ci id="A4.E250.m1.6.6.1.1.4.2.1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="A4.E250.m1.6.6.1.1.4.2.1.1.1.1.1.3.2.3.2">𝛿</ci><apply id="A4.E250.m1.6.6.1.1.4.2.1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml" xref="A4.E250.m1.6.6.1.1.4.2.1.1.1.1.1.3.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.E250.m1.6.6.1.1.4.2.1.1.1.1.1.3.2.3.3.1.cmml" xref="A4.E250.m1.6.6.1.1.4.2.1.1.1.1.1.3.2.3.3">subscript</csymbol><ci id="A4.E250.m1.6.6.1.1.4.2.1.1.1.1.1.3.2.3.3.2.cmml" xref="A4.E250.m1.6.6.1.1.4.2.1.1.1.1.1.3.2.3.3.2">𝜆</ci><ci id="A4.E250.m1.6.6.1.1.4.2.1.1.1.1.1.3.2.3.3.3.cmml" xref="A4.E250.m1.6.6.1.1.4.2.1.1.1.1.1.3.2.3.3.3">𝑖</ci></apply></apply><ci id="A4.E250.m1.6.6.1.1.4.2.1.1.1.1.1.3.2.4.cmml" xref="A4.E250.m1.6.6.1.1.4.2.1.1.1.1.1.3.2.4">𝐺</ci><ci id="A4.E250.m1.5.5.cmml" xref="A4.E250.m1.5.5">𝑥</ci><apply id="A4.E250.m1.6.6.1.1.4.2.1.1.1.1.1.3.2.6.cmml" xref="A4.E250.m1.6.6.1.1.4.2.1.1.1.1.1.3.2.6"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.E250.m1.6.6.1.1.4.2.1.1.1.1.1.3.2.6.1.cmml" xref="A4.E250.m1.6.6.1.1.4.2.1.1.1.1.1.3.2.6">subscript</csymbol><apply id="A4.E250.m1.6.6.1.1.4.2.1.1.1.1.1.3.2.6.2.cmml" xref="A4.E250.m1.6.6.1.1.4.2.1.1.1.1.1.3.2.6.2"><ci id="A4.E250.m1.6.6.1.1.4.2.1.1.1.1.1.3.2.6.2.1.cmml" xref="A4.E250.m1.6.6.1.1.4.2.1.1.1.1.1.3.2.6.2.1">^</ci><ci id="A4.E250.m1.6.6.1.1.4.2.1.1.1.1.1.3.2.6.2.2.cmml" xref="A4.E250.m1.6.6.1.1.4.2.1.1.1.1.1.3.2.6.2.2">𝑒</ci></apply><cn id="A4.E250.m1.6.6.1.1.4.2.1.1.1.1.1.3.2.6.3.cmml" type="integer" xref="A4.E250.m1.6.6.1.1.4.2.1.1.1.1.1.3.2.6.3">0</cn></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A4.E250.m1.6c">\displaystyle d_{t}(x)=c_{t}(x^{2})u^{T}\left[\Delta+TG(x)\right]^{t}\hat{e}_{% 0}\leq c_{t}(x^{2})\sum_{A}\binom{t}{A}A^{t-A}\max_{\lambda}\big{|}u^{T}\prod_% {i=1}^{A}T^{\lambda_{i}+1}\delta^{\lambda_{i}}G(x)\hat{e}_{0}\big{|}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A4.E250.m1.6d">italic_d start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( italic_x ) = italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( italic_x start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ) italic_u start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT [ roman_Δ + italic_T italic_G ( italic_x ) ] start_POSTSUPERSCRIPT italic_t end_POSTSUPERSCRIPT over^ start_ARG italic_e end_ARG start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT ≤ italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( italic_x start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ) ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_A end_POSTSUBSCRIPT ( FRACOP start_ARG italic_t end_ARG start_ARG italic_A end_ARG ) italic_A start_POSTSUPERSCRIPT italic_t - italic_A end_POSTSUPERSCRIPT roman_max start_POSTSUBSCRIPT italic_λ end_POSTSUBSCRIPT | italic_u start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT ∏ start_POSTSUBSCRIPT italic_i = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_A end_POSTSUPERSCRIPT italic_T start_POSTSUPERSCRIPT italic_λ start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT + 1 end_POSTSUPERSCRIPT italic_δ start_POSTSUPERSCRIPT italic_λ start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT italic_G ( italic_x ) over^ start_ARG italic_e end_ARG start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT | .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(250)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="A4.SS4.2.p1.30">∎</p> </div> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_lemma" id="Thmtheorem63"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmtheorem63.1.1.1">Lemma 63</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmtheorem63.2.2">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="Thmtheorem63.p1"> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_gather ltx_eqn_table" id="S6.EGx204"> <tbody id="A4.E251"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\displaystyle\left(\delta^{n}G(x)\right)_{ij}\leq 3x^{\frac{n+1}{2}}\delta_{ij}" class="ltx_Math" display="block" id="A4.E251.m1.2"><semantics id="A4.E251.m1.2a"><mrow id="A4.E251.m1.2.2" xref="A4.E251.m1.2.2.cmml"><msub id="A4.E251.m1.2.2.1" xref="A4.E251.m1.2.2.1.cmml"><mrow id="A4.E251.m1.2.2.1.1.1" xref="A4.E251.m1.2.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="A4.E251.m1.2.2.1.1.1.2" xref="A4.E251.m1.2.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A4.E251.m1.2.2.1.1.1.1" xref="A4.E251.m1.2.2.1.1.1.1.cmml"><msup id="A4.E251.m1.2.2.1.1.1.1.2" xref="A4.E251.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="A4.E251.m1.2.2.1.1.1.1.2.2" xref="A4.E251.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.cmml">δ</mi><mi id="A4.E251.m1.2.2.1.1.1.1.2.3" xref="A4.E251.m1.2.2.1.1.1.1.2.3.cmml">n</mi></msup><mo id="A4.E251.m1.2.2.1.1.1.1.1" xref="A4.E251.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="A4.E251.m1.2.2.1.1.1.1.3" xref="A4.E251.m1.2.2.1.1.1.1.3.cmml">G</mi><mo id="A4.E251.m1.2.2.1.1.1.1.1a" xref="A4.E251.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A4.E251.m1.2.2.1.1.1.1.4.2" xref="A4.E251.m1.2.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="A4.E251.m1.2.2.1.1.1.1.4.2.1" stretchy="false" xref="A4.E251.m1.2.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="A4.E251.m1.1.1" xref="A4.E251.m1.1.1.cmml">x</mi><mo id="A4.E251.m1.2.2.1.1.1.1.4.2.2" stretchy="false" xref="A4.E251.m1.2.2.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A4.E251.m1.2.2.1.1.1.3" xref="A4.E251.m1.2.2.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="A4.E251.m1.2.2.1.3" xref="A4.E251.m1.2.2.1.3.cmml"><mi id="A4.E251.m1.2.2.1.3.2" xref="A4.E251.m1.2.2.1.3.2.cmml">i</mi><mo id="A4.E251.m1.2.2.1.3.1" xref="A4.E251.m1.2.2.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A4.E251.m1.2.2.1.3.3" xref="A4.E251.m1.2.2.1.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="A4.E251.m1.2.2.2" xref="A4.E251.m1.2.2.2.cmml">≤</mo><mrow id="A4.E251.m1.2.2.3" xref="A4.E251.m1.2.2.3.cmml"><mn id="A4.E251.m1.2.2.3.2" xref="A4.E251.m1.2.2.3.2.cmml">3</mn><mo id="A4.E251.m1.2.2.3.1" xref="A4.E251.m1.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="A4.E251.m1.2.2.3.3" xref="A4.E251.m1.2.2.3.3.cmml"><mi id="A4.E251.m1.2.2.3.3.2" xref="A4.E251.m1.2.2.3.3.2.cmml">x</mi><mfrac id="A4.E251.m1.2.2.3.3.3" xref="A4.E251.m1.2.2.3.3.3.cmml"><mrow id="A4.E251.m1.2.2.3.3.3.2" xref="A4.E251.m1.2.2.3.3.3.2.cmml"><mi id="A4.E251.m1.2.2.3.3.3.2.2" xref="A4.E251.m1.2.2.3.3.3.2.2.cmml">n</mi><mo id="A4.E251.m1.2.2.3.3.3.2.1" xref="A4.E251.m1.2.2.3.3.3.2.1.cmml">+</mo><mn id="A4.E251.m1.2.2.3.3.3.2.3" xref="A4.E251.m1.2.2.3.3.3.2.3.cmml">1</mn></mrow><mn id="A4.E251.m1.2.2.3.3.3.3" xref="A4.E251.m1.2.2.3.3.3.3.cmml">2</mn></mfrac></msup><mo id="A4.E251.m1.2.2.3.1a" xref="A4.E251.m1.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="A4.E251.m1.2.2.3.4" xref="A4.E251.m1.2.2.3.4.cmml"><mi id="A4.E251.m1.2.2.3.4.2" xref="A4.E251.m1.2.2.3.4.2.cmml">δ</mi><mrow id="A4.E251.m1.2.2.3.4.3" xref="A4.E251.m1.2.2.3.4.3.cmml"><mi id="A4.E251.m1.2.2.3.4.3.2" xref="A4.E251.m1.2.2.3.4.3.2.cmml">i</mi><mo id="A4.E251.m1.2.2.3.4.3.1" xref="A4.E251.m1.2.2.3.4.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A4.E251.m1.2.2.3.4.3.3" xref="A4.E251.m1.2.2.3.4.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A4.E251.m1.2b"><apply id="A4.E251.m1.2.2.cmml" xref="A4.E251.m1.2.2"><leq id="A4.E251.m1.2.2.2.cmml" xref="A4.E251.m1.2.2.2"></leq><apply id="A4.E251.m1.2.2.1.cmml" xref="A4.E251.m1.2.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.E251.m1.2.2.1.2.cmml" xref="A4.E251.m1.2.2.1">subscript</csymbol><apply id="A4.E251.m1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="A4.E251.m1.2.2.1.1.1"><times id="A4.E251.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="A4.E251.m1.2.2.1.1.1.1.1"></times><apply id="A4.E251.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="A4.E251.m1.2.2.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.E251.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A4.E251.m1.2.2.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="A4.E251.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A4.E251.m1.2.2.1.1.1.1.2.2">𝛿</ci><ci id="A4.E251.m1.2.2.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="A4.E251.m1.2.2.1.1.1.1.2.3">𝑛</ci></apply><ci id="A4.E251.m1.2.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="A4.E251.m1.2.2.1.1.1.1.3">𝐺</ci><ci id="A4.E251.m1.1.1.cmml" xref="A4.E251.m1.1.1">𝑥</ci></apply><apply id="A4.E251.m1.2.2.1.3.cmml" xref="A4.E251.m1.2.2.1.3"><times id="A4.E251.m1.2.2.1.3.1.cmml" xref="A4.E251.m1.2.2.1.3.1"></times><ci id="A4.E251.m1.2.2.1.3.2.cmml" xref="A4.E251.m1.2.2.1.3.2">𝑖</ci><ci id="A4.E251.m1.2.2.1.3.3.cmml" xref="A4.E251.m1.2.2.1.3.3">𝑗</ci></apply></apply><apply id="A4.E251.m1.2.2.3.cmml" xref="A4.E251.m1.2.2.3"><times id="A4.E251.m1.2.2.3.1.cmml" xref="A4.E251.m1.2.2.3.1"></times><cn id="A4.E251.m1.2.2.3.2.cmml" type="integer" xref="A4.E251.m1.2.2.3.2">3</cn><apply id="A4.E251.m1.2.2.3.3.cmml" xref="A4.E251.m1.2.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.E251.m1.2.2.3.3.1.cmml" xref="A4.E251.m1.2.2.3.3">superscript</csymbol><ci id="A4.E251.m1.2.2.3.3.2.cmml" xref="A4.E251.m1.2.2.3.3.2">𝑥</ci><apply id="A4.E251.m1.2.2.3.3.3.cmml" xref="A4.E251.m1.2.2.3.3.3"><divide id="A4.E251.m1.2.2.3.3.3.1.cmml" xref="A4.E251.m1.2.2.3.3.3"></divide><apply id="A4.E251.m1.2.2.3.3.3.2.cmml" xref="A4.E251.m1.2.2.3.3.3.2"><plus id="A4.E251.m1.2.2.3.3.3.2.1.cmml" xref="A4.E251.m1.2.2.3.3.3.2.1"></plus><ci id="A4.E251.m1.2.2.3.3.3.2.2.cmml" xref="A4.E251.m1.2.2.3.3.3.2.2">𝑛</ci><cn id="A4.E251.m1.2.2.3.3.3.2.3.cmml" type="integer" xref="A4.E251.m1.2.2.3.3.3.2.3">1</cn></apply><cn id="A4.E251.m1.2.2.3.3.3.3.cmml" type="integer" xref="A4.E251.m1.2.2.3.3.3.3">2</cn></apply></apply><apply id="A4.E251.m1.2.2.3.4.cmml" xref="A4.E251.m1.2.2.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.E251.m1.2.2.3.4.1.cmml" xref="A4.E251.m1.2.2.3.4">subscript</csymbol><ci id="A4.E251.m1.2.2.3.4.2.cmml" xref="A4.E251.m1.2.2.3.4.2">𝛿</ci><apply id="A4.E251.m1.2.2.3.4.3.cmml" xref="A4.E251.m1.2.2.3.4.3"><times id="A4.E251.m1.2.2.3.4.3.1.cmml" xref="A4.E251.m1.2.2.3.4.3.1"></times><ci id="A4.E251.m1.2.2.3.4.3.2.cmml" xref="A4.E251.m1.2.2.3.4.3.2">𝑖</ci><ci id="A4.E251.m1.2.2.3.4.3.3.cmml" xref="A4.E251.m1.2.2.3.4.3.3">𝑗</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A4.E251.m1.2c">\displaystyle\left(\delta^{n}G(x)\right)_{ij}\leq 3x^{\frac{n+1}{2}}\delta_{ij}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A4.E251.m1.2d">( italic_δ start_POSTSUPERSCRIPT italic_n end_POSTSUPERSCRIPT italic_G ( italic_x ) ) start_POSTSUBSCRIPT italic_i italic_j end_POSTSUBSCRIPT ≤ 3 italic_x start_POSTSUPERSCRIPT divide start_ARG italic_n + 1 end_ARG start_ARG 2 end_ARG end_POSTSUPERSCRIPT italic_δ start_POSTSUBSCRIPT italic_i italic_j end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(251)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="Thmtheorem63.p1.2"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmtheorem63.p1.2.2">where <math alttext="G" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem63.p1.1.1.m1.1"><semantics id="Thmtheorem63.p1.1.1.m1.1a"><mi id="Thmtheorem63.p1.1.1.m1.1.1" xref="Thmtheorem63.p1.1.1.m1.1.1.cmml">G</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem63.p1.1.1.m1.1b"><ci id="Thmtheorem63.p1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem63.p1.1.1.m1.1.1">𝐺</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem63.p1.1.1.m1.1c">G</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem63.p1.1.1.m1.1d">italic_G</annotation></semantics></math> is as defined in Lemma <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#Thmtheorem61" title="Lemma 61. ‣ D.4 Analytic Bound on the Derangement Polynomial (Proof of Lemma 44) ‣ Appendix D Properties of the Derangement Polynomial ‣ Conditional 𝑡-independent spectral gap for random quantum circuits and implications for 𝑡-design depths"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">61</span></a> and <math alttext="\delta" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem63.p1.2.2.m2.1"><semantics id="Thmtheorem63.p1.2.2.m2.1a"><mi id="Thmtheorem63.p1.2.2.m2.1.1" xref="Thmtheorem63.p1.2.2.m2.1.1.cmml">δ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem63.p1.2.2.m2.1b"><ci id="Thmtheorem63.p1.2.2.m2.1.1.cmml" xref="Thmtheorem63.p1.2.2.m2.1.1">𝛿</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem63.p1.2.2.m2.1c">\delta</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem63.p1.2.2.m2.1d">italic_δ</annotation></semantics></math> is as defined in Lemma <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#Thmtheorem62" title="Lemma 62. ‣ D.4 Analytic Bound on the Derangement Polynomial (Proof of Lemma 44) ‣ Appendix D Properties of the Derangement Polynomial ‣ Conditional 𝑡-independent spectral gap for random quantum circuits and implications for 𝑡-design depths"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">62</span></a>.</span></p> </div> </div> <div class="ltx_proof" id="A4.SS4.5"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_font_italic ltx_title_proof">Proof.</h6> <div class="ltx_para" id="A4.SS4.3.p1"> <p class="ltx_p" id="A4.SS4.3.p1.1">We again use the shorthand <math alttext="g_{k}(x)=G_{kk}(x)" class="ltx_Math" display="inline" id="A4.SS4.3.p1.1.m1.2"><semantics id="A4.SS4.3.p1.1.m1.2a"><mrow id="A4.SS4.3.p1.1.m1.2.3" xref="A4.SS4.3.p1.1.m1.2.3.cmml"><mrow id="A4.SS4.3.p1.1.m1.2.3.2" xref="A4.SS4.3.p1.1.m1.2.3.2.cmml"><msub id="A4.SS4.3.p1.1.m1.2.3.2.2" xref="A4.SS4.3.p1.1.m1.2.3.2.2.cmml"><mi id="A4.SS4.3.p1.1.m1.2.3.2.2.2" xref="A4.SS4.3.p1.1.m1.2.3.2.2.2.cmml">g</mi><mi id="A4.SS4.3.p1.1.m1.2.3.2.2.3" xref="A4.SS4.3.p1.1.m1.2.3.2.2.3.cmml">k</mi></msub><mo id="A4.SS4.3.p1.1.m1.2.3.2.1" 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xref="A4.SS4.3.p1.1.m1.2.3.3.2.3.3.cmml">k</mi></mrow></msub><mo id="A4.SS4.3.p1.1.m1.2.3.3.1" xref="A4.SS4.3.p1.1.m1.2.3.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A4.SS4.3.p1.1.m1.2.3.3.3.2" xref="A4.SS4.3.p1.1.m1.2.3.3.cmml"><mo id="A4.SS4.3.p1.1.m1.2.3.3.3.2.1" stretchy="false" xref="A4.SS4.3.p1.1.m1.2.3.3.cmml">(</mo><mi id="A4.SS4.3.p1.1.m1.2.2" xref="A4.SS4.3.p1.1.m1.2.2.cmml">x</mi><mo id="A4.SS4.3.p1.1.m1.2.3.3.3.2.2" stretchy="false" xref="A4.SS4.3.p1.1.m1.2.3.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A4.SS4.3.p1.1.m1.2b"><apply id="A4.SS4.3.p1.1.m1.2.3.cmml" xref="A4.SS4.3.p1.1.m1.2.3"><eq id="A4.SS4.3.p1.1.m1.2.3.1.cmml" xref="A4.SS4.3.p1.1.m1.2.3.1"></eq><apply id="A4.SS4.3.p1.1.m1.2.3.2.cmml" xref="A4.SS4.3.p1.1.m1.2.3.2"><times id="A4.SS4.3.p1.1.m1.2.3.2.1.cmml" xref="A4.SS4.3.p1.1.m1.2.3.2.1"></times><apply id="A4.SS4.3.p1.1.m1.2.3.2.2.cmml" xref="A4.SS4.3.p1.1.m1.2.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.SS4.3.p1.1.m1.2.3.2.2.1.cmml" xref="A4.SS4.3.p1.1.m1.2.3.2.2">subscript</csymbol><ci id="A4.SS4.3.p1.1.m1.2.3.2.2.2.cmml" xref="A4.SS4.3.p1.1.m1.2.3.2.2.2">𝑔</ci><ci id="A4.SS4.3.p1.1.m1.2.3.2.2.3.cmml" xref="A4.SS4.3.p1.1.m1.2.3.2.2.3">𝑘</ci></apply><ci id="A4.SS4.3.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="A4.SS4.3.p1.1.m1.1.1">𝑥</ci></apply><apply id="A4.SS4.3.p1.1.m1.2.3.3.cmml" xref="A4.SS4.3.p1.1.m1.2.3.3"><times id="A4.SS4.3.p1.1.m1.2.3.3.1.cmml" xref="A4.SS4.3.p1.1.m1.2.3.3.1"></times><apply id="A4.SS4.3.p1.1.m1.2.3.3.2.cmml" xref="A4.SS4.3.p1.1.m1.2.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.SS4.3.p1.1.m1.2.3.3.2.1.cmml" xref="A4.SS4.3.p1.1.m1.2.3.3.2">subscript</csymbol><ci id="A4.SS4.3.p1.1.m1.2.3.3.2.2.cmml" xref="A4.SS4.3.p1.1.m1.2.3.3.2.2">𝐺</ci><apply id="A4.SS4.3.p1.1.m1.2.3.3.2.3.cmml" xref="A4.SS4.3.p1.1.m1.2.3.3.2.3"><times id="A4.SS4.3.p1.1.m1.2.3.3.2.3.1.cmml" xref="A4.SS4.3.p1.1.m1.2.3.3.2.3.1"></times><ci id="A4.SS4.3.p1.1.m1.2.3.3.2.3.2.cmml" xref="A4.SS4.3.p1.1.m1.2.3.3.2.3.2">𝑘</ci><ci id="A4.SS4.3.p1.1.m1.2.3.3.2.3.3.cmml" xref="A4.SS4.3.p1.1.m1.2.3.3.2.3.3">𝑘</ci></apply></apply><ci id="A4.SS4.3.p1.1.m1.2.2.cmml" xref="A4.SS4.3.p1.1.m1.2.2">𝑥</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A4.SS4.3.p1.1.m1.2c">g_{k}(x)=G_{kk}(x)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A4.SS4.3.p1.1.m1.2d">italic_g start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ( italic_x ) = italic_G start_POSTSUBSCRIPT italic_k italic_k end_POSTSUBSCRIPT ( italic_x )</annotation></semantics></math>. We first write</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_gather ltx_eqn_table" id="S6.EGx205"> <tbody id="A4.E252"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\displaystyle\big{[}\delta^{n}G(x)\big{]}_{kk}=\delta^{n}g_{k}(x)" class="ltx_Math" display="block" id="A4.E252.m1.3"><semantics id="A4.E252.m1.3a"><mrow id="A4.E252.m1.3.3" xref="A4.E252.m1.3.3.cmml"><msub id="A4.E252.m1.3.3.1" xref="A4.E252.m1.3.3.1.cmml"><mrow id="A4.E252.m1.3.3.1.1.1" xref="A4.E252.m1.3.3.1.1.2.cmml"><mo id="A4.E252.m1.3.3.1.1.1.2" maxsize="120%" minsize="120%" xref="A4.E252.m1.3.3.1.1.2.1.cmml">[</mo><mrow id="A4.E252.m1.3.3.1.1.1.1" xref="A4.E252.m1.3.3.1.1.1.1.cmml"><msup id="A4.E252.m1.3.3.1.1.1.1.2" xref="A4.E252.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="A4.E252.m1.3.3.1.1.1.1.2.2" xref="A4.E252.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.cmml">δ</mi><mi id="A4.E252.m1.3.3.1.1.1.1.2.3" 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id="A4.E252.m1.3.3.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="A4.E252.m1.3.3.1.1.1.1.2.3">𝑛</ci></apply><ci id="A4.E252.m1.3.3.1.1.1.1.3.cmml" xref="A4.E252.m1.3.3.1.1.1.1.3">𝐺</ci><ci id="A4.E252.m1.1.1.cmml" xref="A4.E252.m1.1.1">𝑥</ci></apply></apply><apply id="A4.E252.m1.3.3.1.3.cmml" xref="A4.E252.m1.3.3.1.3"><times id="A4.E252.m1.3.3.1.3.1.cmml" xref="A4.E252.m1.3.3.1.3.1"></times><ci id="A4.E252.m1.3.3.1.3.2.cmml" xref="A4.E252.m1.3.3.1.3.2">𝑘</ci><ci id="A4.E252.m1.3.3.1.3.3.cmml" xref="A4.E252.m1.3.3.1.3.3">𝑘</ci></apply></apply><apply id="A4.E252.m1.3.3.3.cmml" xref="A4.E252.m1.3.3.3"><times id="A4.E252.m1.3.3.3.1.cmml" xref="A4.E252.m1.3.3.3.1"></times><apply id="A4.E252.m1.3.3.3.2.cmml" xref="A4.E252.m1.3.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.E252.m1.3.3.3.2.1.cmml" xref="A4.E252.m1.3.3.3.2">superscript</csymbol><ci id="A4.E252.m1.3.3.3.2.2.cmml" xref="A4.E252.m1.3.3.3.2.2">𝛿</ci><ci id="A4.E252.m1.3.3.3.2.3.cmml" xref="A4.E252.m1.3.3.3.2.3">𝑛</ci></apply><apply id="A4.E252.m1.3.3.3.3.cmml" xref="A4.E252.m1.3.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.E252.m1.3.3.3.3.1.cmml" xref="A4.E252.m1.3.3.3.3">subscript</csymbol><ci id="A4.E252.m1.3.3.3.3.2.cmml" xref="A4.E252.m1.3.3.3.3.2">𝑔</ci><ci id="A4.E252.m1.3.3.3.3.3.cmml" xref="A4.E252.m1.3.3.3.3.3">𝑘</ci></apply><ci id="A4.E252.m1.2.2.cmml" xref="A4.E252.m1.2.2">𝑥</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A4.E252.m1.3c">\displaystyle\big{[}\delta^{n}G(x)\big{]}_{kk}=\delta^{n}g_{k}(x)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A4.E252.m1.3d">[ italic_δ start_POSTSUPERSCRIPT italic_n end_POSTSUPERSCRIPT italic_G ( italic_x ) ] start_POSTSUBSCRIPT italic_k italic_k end_POSTSUBSCRIPT = italic_δ start_POSTSUPERSCRIPT italic_n end_POSTSUPERSCRIPT italic_g start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ( italic_x )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(252)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="A4.SS4.3.p1.6">where for scalar-valued sequences we have defined the usual finite difference operator</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_gather ltx_eqn_table" id="S6.EGx206"> <tbody id="A4.E253"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\displaystyle\delta f_{k}(x)=f_{k}(x)-f_{k-1}(x)" class="ltx_Math" display="block" id="A4.E253.m1.3"><semantics id="A4.E253.m1.3a"><mrow id="A4.E253.m1.3.4" xref="A4.E253.m1.3.4.cmml"><mrow id="A4.E253.m1.3.4.2" xref="A4.E253.m1.3.4.2.cmml"><mi id="A4.E253.m1.3.4.2.2" xref="A4.E253.m1.3.4.2.2.cmml">δ</mi><mo id="A4.E253.m1.3.4.2.1" xref="A4.E253.m1.3.4.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="A4.E253.m1.3.4.2.3" xref="A4.E253.m1.3.4.2.3.cmml"><mi id="A4.E253.m1.3.4.2.3.2" xref="A4.E253.m1.3.4.2.3.2.cmml">f</mi><mi id="A4.E253.m1.3.4.2.3.3" xref="A4.E253.m1.3.4.2.3.3.cmml">k</mi></msub><mo id="A4.E253.m1.3.4.2.1a" xref="A4.E253.m1.3.4.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A4.E253.m1.3.4.2.4.2" xref="A4.E253.m1.3.4.2.cmml"><mo id="A4.E253.m1.3.4.2.4.2.1" stretchy="false" xref="A4.E253.m1.3.4.2.cmml">(</mo><mi id="A4.E253.m1.1.1" xref="A4.E253.m1.1.1.cmml">x</mi><mo id="A4.E253.m1.3.4.2.4.2.2" stretchy="false" xref="A4.E253.m1.3.4.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A4.E253.m1.3.4.1" xref="A4.E253.m1.3.4.1.cmml">=</mo><mrow id="A4.E253.m1.3.4.3" xref="A4.E253.m1.3.4.3.cmml"><mrow id="A4.E253.m1.3.4.3.2" xref="A4.E253.m1.3.4.3.2.cmml"><msub id="A4.E253.m1.3.4.3.2.2" xref="A4.E253.m1.3.4.3.2.2.cmml"><mi id="A4.E253.m1.3.4.3.2.2.2" xref="A4.E253.m1.3.4.3.2.2.2.cmml">f</mi><mi id="A4.E253.m1.3.4.3.2.2.3" xref="A4.E253.m1.3.4.3.2.2.3.cmml">k</mi></msub><mo id="A4.E253.m1.3.4.3.2.1" xref="A4.E253.m1.3.4.3.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A4.E253.m1.3.4.3.2.3.2" xref="A4.E253.m1.3.4.3.2.cmml"><mo id="A4.E253.m1.3.4.3.2.3.2.1" stretchy="false" xref="A4.E253.m1.3.4.3.2.cmml">(</mo><mi id="A4.E253.m1.2.2" xref="A4.E253.m1.2.2.cmml">x</mi><mo id="A4.E253.m1.3.4.3.2.3.2.2" stretchy="false" xref="A4.E253.m1.3.4.3.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A4.E253.m1.3.4.3.1" xref="A4.E253.m1.3.4.3.1.cmml">−</mo><mrow id="A4.E253.m1.3.4.3.3" xref="A4.E253.m1.3.4.3.3.cmml"><msub id="A4.E253.m1.3.4.3.3.2" xref="A4.E253.m1.3.4.3.3.2.cmml"><mi id="A4.E253.m1.3.4.3.3.2.2" xref="A4.E253.m1.3.4.3.3.2.2.cmml">f</mi><mrow id="A4.E253.m1.3.4.3.3.2.3" xref="A4.E253.m1.3.4.3.3.2.3.cmml"><mi id="A4.E253.m1.3.4.3.3.2.3.2" xref="A4.E253.m1.3.4.3.3.2.3.2.cmml">k</mi><mo id="A4.E253.m1.3.4.3.3.2.3.1" xref="A4.E253.m1.3.4.3.3.2.3.1.cmml">−</mo><mn id="A4.E253.m1.3.4.3.3.2.3.3" xref="A4.E253.m1.3.4.3.3.2.3.3.cmml">1</mn></mrow></msub><mo id="A4.E253.m1.3.4.3.3.1" xref="A4.E253.m1.3.4.3.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A4.E253.m1.3.4.3.3.3.2" xref="A4.E253.m1.3.4.3.3.cmml"><mo id="A4.E253.m1.3.4.3.3.3.2.1" stretchy="false" xref="A4.E253.m1.3.4.3.3.cmml">(</mo><mi id="A4.E253.m1.3.3" xref="A4.E253.m1.3.3.cmml">x</mi><mo id="A4.E253.m1.3.4.3.3.3.2.2" stretchy="false" xref="A4.E253.m1.3.4.3.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A4.E253.m1.3b"><apply id="A4.E253.m1.3.4.cmml" xref="A4.E253.m1.3.4"><eq id="A4.E253.m1.3.4.1.cmml" xref="A4.E253.m1.3.4.1"></eq><apply id="A4.E253.m1.3.4.2.cmml" xref="A4.E253.m1.3.4.2"><times id="A4.E253.m1.3.4.2.1.cmml" xref="A4.E253.m1.3.4.2.1"></times><ci id="A4.E253.m1.3.4.2.2.cmml" xref="A4.E253.m1.3.4.2.2">𝛿</ci><apply id="A4.E253.m1.3.4.2.3.cmml" xref="A4.E253.m1.3.4.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.E253.m1.3.4.2.3.1.cmml" xref="A4.E253.m1.3.4.2.3">subscript</csymbol><ci id="A4.E253.m1.3.4.2.3.2.cmml" xref="A4.E253.m1.3.4.2.3.2">𝑓</ci><ci id="A4.E253.m1.3.4.2.3.3.cmml" xref="A4.E253.m1.3.4.2.3.3">𝑘</ci></apply><ci id="A4.E253.m1.1.1.cmml" xref="A4.E253.m1.1.1">𝑥</ci></apply><apply id="A4.E253.m1.3.4.3.cmml" xref="A4.E253.m1.3.4.3"><minus id="A4.E253.m1.3.4.3.1.cmml" xref="A4.E253.m1.3.4.3.1"></minus><apply id="A4.E253.m1.3.4.3.2.cmml" xref="A4.E253.m1.3.4.3.2"><times id="A4.E253.m1.3.4.3.2.1.cmml" xref="A4.E253.m1.3.4.3.2.1"></times><apply id="A4.E253.m1.3.4.3.2.2.cmml" xref="A4.E253.m1.3.4.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.E253.m1.3.4.3.2.2.1.cmml" xref="A4.E253.m1.3.4.3.2.2">subscript</csymbol><ci id="A4.E253.m1.3.4.3.2.2.2.cmml" xref="A4.E253.m1.3.4.3.2.2.2">𝑓</ci><ci id="A4.E253.m1.3.4.3.2.2.3.cmml" xref="A4.E253.m1.3.4.3.2.2.3">𝑘</ci></apply><ci id="A4.E253.m1.2.2.cmml" xref="A4.E253.m1.2.2">𝑥</ci></apply><apply id="A4.E253.m1.3.4.3.3.cmml" xref="A4.E253.m1.3.4.3.3"><times id="A4.E253.m1.3.4.3.3.1.cmml" xref="A4.E253.m1.3.4.3.3.1"></times><apply id="A4.E253.m1.3.4.3.3.2.cmml" xref="A4.E253.m1.3.4.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.E253.m1.3.4.3.3.2.1.cmml" xref="A4.E253.m1.3.4.3.3.2">subscript</csymbol><ci id="A4.E253.m1.3.4.3.3.2.2.cmml" xref="A4.E253.m1.3.4.3.3.2.2">𝑓</ci><apply id="A4.E253.m1.3.4.3.3.2.3.cmml" xref="A4.E253.m1.3.4.3.3.2.3"><minus id="A4.E253.m1.3.4.3.3.2.3.1.cmml" xref="A4.E253.m1.3.4.3.3.2.3.1"></minus><ci id="A4.E253.m1.3.4.3.3.2.3.2.cmml" xref="A4.E253.m1.3.4.3.3.2.3.2">𝑘</ci><cn id="A4.E253.m1.3.4.3.3.2.3.3.cmml" type="integer" xref="A4.E253.m1.3.4.3.3.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="A4.E253.m1.3.3.cmml" xref="A4.E253.m1.3.3">𝑥</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A4.E253.m1.3c">\displaystyle\delta f_{k}(x)=f_{k}(x)-f_{k-1}(x)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A4.E253.m1.3d">italic_δ italic_f start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ( italic_x ) = italic_f start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ( italic_x ) - italic_f start_POSTSUBSCRIPT italic_k - 1 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_x )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(253)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="A4.SS4.3.p1.7">Then</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_gather ltx_eqn_table" id="S6.EGx207"> <tbody id="A4.E254"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\displaystyle\delta^{n}g_{k}(x)=\sum_{i=0}^{n}\binom{n}{i}(-1)^{i}g_{k-i}(x)" class="ltx_Math" display="block" id="A4.E254.m1.5"><semantics id="A4.E254.m1.5a"><mrow id="A4.E254.m1.5.5" xref="A4.E254.m1.5.5.cmml"><mrow id="A4.E254.m1.5.5.3" xref="A4.E254.m1.5.5.3.cmml"><msup id="A4.E254.m1.5.5.3.2" xref="A4.E254.m1.5.5.3.2.cmml"><mi id="A4.E254.m1.5.5.3.2.2" xref="A4.E254.m1.5.5.3.2.2.cmml">δ</mi><mi id="A4.E254.m1.5.5.3.2.3" xref="A4.E254.m1.5.5.3.2.3.cmml">n</mi></msup><mo id="A4.E254.m1.5.5.3.1" xref="A4.E254.m1.5.5.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="A4.E254.m1.5.5.3.3" xref="A4.E254.m1.5.5.3.3.cmml"><mi id="A4.E254.m1.5.5.3.3.2" xref="A4.E254.m1.5.5.3.3.2.cmml">g</mi><mi id="A4.E254.m1.5.5.3.3.3" xref="A4.E254.m1.5.5.3.3.3.cmml">k</mi></msub><mo id="A4.E254.m1.5.5.3.1a" xref="A4.E254.m1.5.5.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A4.E254.m1.5.5.3.4.2" xref="A4.E254.m1.5.5.3.cmml"><mo id="A4.E254.m1.5.5.3.4.2.1" stretchy="false" xref="A4.E254.m1.5.5.3.cmml">(</mo><mi id="A4.E254.m1.3.3" xref="A4.E254.m1.3.3.cmml">x</mi><mo id="A4.E254.m1.5.5.3.4.2.2" stretchy="false" xref="A4.E254.m1.5.5.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A4.E254.m1.5.5.2" rspace="0.111em" xref="A4.E254.m1.5.5.2.cmml">=</mo><mrow id="A4.E254.m1.5.5.1" xref="A4.E254.m1.5.5.1.cmml"><munderover id="A4.E254.m1.5.5.1.2" xref="A4.E254.m1.5.5.1.2.cmml"><mo id="A4.E254.m1.5.5.1.2.2.2" movablelimits="false" rspace="0em" xref="A4.E254.m1.5.5.1.2.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="A4.E254.m1.5.5.1.2.2.3" xref="A4.E254.m1.5.5.1.2.2.3.cmml"><mi id="A4.E254.m1.5.5.1.2.2.3.2" xref="A4.E254.m1.5.5.1.2.2.3.2.cmml">i</mi><mo id="A4.E254.m1.5.5.1.2.2.3.1" xref="A4.E254.m1.5.5.1.2.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="A4.E254.m1.5.5.1.2.2.3.3" xref="A4.E254.m1.5.5.1.2.2.3.3.cmml">0</mn></mrow><mi id="A4.E254.m1.5.5.1.2.3" xref="A4.E254.m1.5.5.1.2.3.cmml">n</mi></munderover><mrow id="A4.E254.m1.5.5.1.1" xref="A4.E254.m1.5.5.1.1.cmml"><mrow id="A4.E254.m1.2.2.4" xref="A4.E254.m1.2.2.3.cmml"><mo id="A4.E254.m1.2.2.4.1" xref="A4.E254.m1.2.2.3.1.cmml">(</mo><mfrac id="A4.E254.m1.2.2.2.2" linethickness="0pt" xref="A4.E254.m1.2.2.3.cmml"><mi id="A4.E254.m1.1.1.1.1.1.1" xref="A4.E254.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">n</mi><mi id="A4.E254.m1.2.2.2.2.2.1" xref="A4.E254.m1.2.2.2.2.2.1.cmml">i</mi></mfrac><mo id="A4.E254.m1.2.2.4.2" xref="A4.E254.m1.2.2.3.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A4.E254.m1.5.5.1.1.2" xref="A4.E254.m1.5.5.1.1.2.cmml">⁢</mo><msup id="A4.E254.m1.5.5.1.1.1" xref="A4.E254.m1.5.5.1.1.1.cmml"><mrow id="A4.E254.m1.5.5.1.1.1.1.1" xref="A4.E254.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A4.E254.m1.5.5.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A4.E254.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A4.E254.m1.5.5.1.1.1.1.1.1" xref="A4.E254.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A4.E254.m1.5.5.1.1.1.1.1.1a" xref="A4.E254.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mn id="A4.E254.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2" xref="A4.E254.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.cmml">1</mn></mrow><mo id="A4.E254.m1.5.5.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A4.E254.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mi id="A4.E254.m1.5.5.1.1.1.3" xref="A4.E254.m1.5.5.1.1.1.3.cmml">i</mi></msup><mo id="A4.E254.m1.5.5.1.1.2a" xref="A4.E254.m1.5.5.1.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="A4.E254.m1.5.5.1.1.3" xref="A4.E254.m1.5.5.1.1.3.cmml"><mi id="A4.E254.m1.5.5.1.1.3.2" xref="A4.E254.m1.5.5.1.1.3.2.cmml">g</mi><mrow id="A4.E254.m1.5.5.1.1.3.3" xref="A4.E254.m1.5.5.1.1.3.3.cmml"><mi id="A4.E254.m1.5.5.1.1.3.3.2" xref="A4.E254.m1.5.5.1.1.3.3.2.cmml">k</mi><mo id="A4.E254.m1.5.5.1.1.3.3.1" xref="A4.E254.m1.5.5.1.1.3.3.1.cmml">−</mo><mi id="A4.E254.m1.5.5.1.1.3.3.3" xref="A4.E254.m1.5.5.1.1.3.3.3.cmml">i</mi></mrow></msub><mo id="A4.E254.m1.5.5.1.1.2b" xref="A4.E254.m1.5.5.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A4.E254.m1.5.5.1.1.4.2" xref="A4.E254.m1.5.5.1.1.cmml"><mo id="A4.E254.m1.5.5.1.1.4.2.1" stretchy="false" xref="A4.E254.m1.5.5.1.1.cmml">(</mo><mi id="A4.E254.m1.4.4" xref="A4.E254.m1.4.4.cmml">x</mi><mo id="A4.E254.m1.5.5.1.1.4.2.2" stretchy="false" xref="A4.E254.m1.5.5.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A4.E254.m1.5b"><apply id="A4.E254.m1.5.5.cmml" xref="A4.E254.m1.5.5"><eq id="A4.E254.m1.5.5.2.cmml" xref="A4.E254.m1.5.5.2"></eq><apply id="A4.E254.m1.5.5.3.cmml" xref="A4.E254.m1.5.5.3"><times id="A4.E254.m1.5.5.3.1.cmml" xref="A4.E254.m1.5.5.3.1"></times><apply id="A4.E254.m1.5.5.3.2.cmml" xref="A4.E254.m1.5.5.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.E254.m1.5.5.3.2.1.cmml" xref="A4.E254.m1.5.5.3.2">superscript</csymbol><ci id="A4.E254.m1.5.5.3.2.2.cmml" xref="A4.E254.m1.5.5.3.2.2">𝛿</ci><ci id="A4.E254.m1.5.5.3.2.3.cmml" xref="A4.E254.m1.5.5.3.2.3">𝑛</ci></apply><apply id="A4.E254.m1.5.5.3.3.cmml" xref="A4.E254.m1.5.5.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.E254.m1.5.5.3.3.1.cmml" xref="A4.E254.m1.5.5.3.3">subscript</csymbol><ci id="A4.E254.m1.5.5.3.3.2.cmml" xref="A4.E254.m1.5.5.3.3.2">𝑔</ci><ci id="A4.E254.m1.5.5.3.3.3.cmml" xref="A4.E254.m1.5.5.3.3.3">𝑘</ci></apply><ci id="A4.E254.m1.3.3.cmml" xref="A4.E254.m1.3.3">𝑥</ci></apply><apply id="A4.E254.m1.5.5.1.cmml" xref="A4.E254.m1.5.5.1"><apply id="A4.E254.m1.5.5.1.2.cmml" xref="A4.E254.m1.5.5.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.E254.m1.5.5.1.2.1.cmml" xref="A4.E254.m1.5.5.1.2">superscript</csymbol><apply id="A4.E254.m1.5.5.1.2.2.cmml" xref="A4.E254.m1.5.5.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.E254.m1.5.5.1.2.2.1.cmml" xref="A4.E254.m1.5.5.1.2">subscript</csymbol><sum id="A4.E254.m1.5.5.1.2.2.2.cmml" xref="A4.E254.m1.5.5.1.2.2.2"></sum><apply 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xref="A4.E254.m1.4.4">𝑥</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A4.E254.m1.5c">\displaystyle\delta^{n}g_{k}(x)=\sum_{i=0}^{n}\binom{n}{i}(-1)^{i}g_{k-i}(x)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A4.E254.m1.5d">italic_δ start_POSTSUPERSCRIPT italic_n end_POSTSUPERSCRIPT italic_g start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ( italic_x ) = ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_i = 0 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_n end_POSTSUPERSCRIPT ( FRACOP start_ARG italic_n end_ARG start_ARG italic_i end_ARG ) ( - 1 ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_i end_POSTSUPERSCRIPT italic_g start_POSTSUBSCRIPT italic_k - italic_i end_POSTSUBSCRIPT ( italic_x )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(254)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="A4.SS4.3.p1.8">Let’s write</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="A4.Ex78"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="j_{x}(y)\equiv\frac{(1+y)^{2}}{1+xy}-1" class="ltx_Math" display="block" id="A4.Ex78.m1.2"><semantics id="A4.Ex78.m1.2a"><mrow id="A4.Ex78.m1.2.3" xref="A4.Ex78.m1.2.3.cmml"><mrow id="A4.Ex78.m1.2.3.2" xref="A4.Ex78.m1.2.3.2.cmml"><msub id="A4.Ex78.m1.2.3.2.2" xref="A4.Ex78.m1.2.3.2.2.cmml"><mi id="A4.Ex78.m1.2.3.2.2.2" xref="A4.Ex78.m1.2.3.2.2.2.cmml">j</mi><mi id="A4.Ex78.m1.2.3.2.2.3" xref="A4.Ex78.m1.2.3.2.2.3.cmml">x</mi></msub><mo id="A4.Ex78.m1.2.3.2.1" xref="A4.Ex78.m1.2.3.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A4.Ex78.m1.2.3.2.3.2" xref="A4.Ex78.m1.2.3.2.cmml"><mo id="A4.Ex78.m1.2.3.2.3.2.1" stretchy="false" xref="A4.Ex78.m1.2.3.2.cmml">(</mo><mi id="A4.Ex78.m1.2.2" xref="A4.Ex78.m1.2.2.cmml">y</mi><mo 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divide start_ARG ( 1 + italic_y ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG 1 + italic_x italic_y end_ARG - 1</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_gather ltx_eqn_table" id="S6.EGx208"> <tbody id="A4.E255"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\displaystyle g_{k}(x)=\frac{(1+kx)^{2}}{1+kx^{2}}-1=j_{x}(kx)" class="ltx_Math" display="block" id="A4.E255.m1.3"><semantics id="A4.E255.m1.3a"><mrow id="A4.E255.m1.3.3" xref="A4.E255.m1.3.3.cmml"><mrow id="A4.E255.m1.3.3.3" xref="A4.E255.m1.3.3.3.cmml"><msub id="A4.E255.m1.3.3.3.2" xref="A4.E255.m1.3.3.3.2.cmml"><mi id="A4.E255.m1.3.3.3.2.2" xref="A4.E255.m1.3.3.3.2.2.cmml">g</mi><mi id="A4.E255.m1.3.3.3.2.3" xref="A4.E255.m1.3.3.3.2.3.cmml">k</mi></msub><mo id="A4.E255.m1.3.3.3.1" xref="A4.E255.m1.3.3.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A4.E255.m1.3.3.3.3.2" xref="A4.E255.m1.3.3.3.cmml"><mo id="A4.E255.m1.3.3.3.3.2.1" stretchy="false" xref="A4.E255.m1.3.3.3.cmml">(</mo><mi id="A4.E255.m1.2.2" xref="A4.E255.m1.2.2.cmml">x</mi><mo id="A4.E255.m1.3.3.3.3.2.2" stretchy="false" xref="A4.E255.m1.3.3.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A4.E255.m1.3.3.4" xref="A4.E255.m1.3.3.4.cmml">=</mo><mrow id="A4.E255.m1.3.3.5" xref="A4.E255.m1.3.3.5.cmml"><mfrac id="A4.E255.m1.1.1" xref="A4.E255.m1.1.1.cmml"><msup id="A4.E255.m1.1.1.1" xref="A4.E255.m1.1.1.1.cmml"><mrow id="A4.E255.m1.1.1.1.1.1" xref="A4.E255.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A4.E255.m1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A4.E255.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A4.E255.m1.1.1.1.1.1.1" xref="A4.E255.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="A4.E255.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A4.E255.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">1</mn><mo id="A4.E255.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A4.E255.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="A4.E255.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A4.E255.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A4.E255.m1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A4.E255.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">k</mi><mo id="A4.E255.m1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="A4.E255.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A4.E255.m1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A4.E255.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">x</mi></mrow></mrow><mo id="A4.E255.m1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A4.E255.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mn id="A4.E255.m1.1.1.1.3" xref="A4.E255.m1.1.1.1.3.cmml">2</mn></msup><mrow id="A4.E255.m1.1.1.3" xref="A4.E255.m1.1.1.3.cmml"><mn id="A4.E255.m1.1.1.3.2" xref="A4.E255.m1.1.1.3.2.cmml">1</mn><mo id="A4.E255.m1.1.1.3.1" xref="A4.E255.m1.1.1.3.1.cmml">+</mo><mrow id="A4.E255.m1.1.1.3.3" xref="A4.E255.m1.1.1.3.3.cmml"><mi id="A4.E255.m1.1.1.3.3.2" xref="A4.E255.m1.1.1.3.3.2.cmml">k</mi><mo id="A4.E255.m1.1.1.3.3.1" xref="A4.E255.m1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="A4.E255.m1.1.1.3.3.3" xref="A4.E255.m1.1.1.3.3.3.cmml"><mi id="A4.E255.m1.1.1.3.3.3.2" xref="A4.E255.m1.1.1.3.3.3.2.cmml">x</mi><mn 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class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\displaystyle g_{k-i}(x)=j_{x}(kx-ix)=\sum_{\ell=0}^{\infty}j_{x}^{(\ell)}(kx)% \frac{(-ix)^{\ell}}{\ell!}" class="ltx_Math" display="block" id="A4.E256.m1.5"><semantics id="A4.E256.m1.5a"><mrow id="A4.E256.m1.5.5" xref="A4.E256.m1.5.5.cmml"><mrow id="A4.E256.m1.5.5.4" xref="A4.E256.m1.5.5.4.cmml"><msub id="A4.E256.m1.5.5.4.2" xref="A4.E256.m1.5.5.4.2.cmml"><mi id="A4.E256.m1.5.5.4.2.2" xref="A4.E256.m1.5.5.4.2.2.cmml">g</mi><mrow id="A4.E256.m1.5.5.4.2.3" xref="A4.E256.m1.5.5.4.2.3.cmml"><mi id="A4.E256.m1.5.5.4.2.3.2" xref="A4.E256.m1.5.5.4.2.3.2.cmml">k</mi><mo id="A4.E256.m1.5.5.4.2.3.1" xref="A4.E256.m1.5.5.4.2.3.1.cmml">−</mo><mi id="A4.E256.m1.5.5.4.2.3.3" xref="A4.E256.m1.5.5.4.2.3.3.cmml">i</mi></mrow></msub><mo id="A4.E256.m1.5.5.4.1" xref="A4.E256.m1.5.5.4.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A4.E256.m1.5.5.4.3.2" 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italic_i end_POSTSUBSCRIPT ( italic_x ) = italic_j start_POSTSUBSCRIPT italic_x end_POSTSUBSCRIPT ( italic_k italic_x - italic_i italic_x ) = ∑ start_POSTSUBSCRIPT roman_ℓ = 0 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∞ end_POSTSUPERSCRIPT italic_j start_POSTSUBSCRIPT italic_x end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( roman_ℓ ) end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_k italic_x ) divide start_ARG ( - italic_i italic_x ) start_POSTSUPERSCRIPT roman_ℓ end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG roman_ℓ ! end_ARG</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(256)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="A4.SS4.3.p1.9">Therefore,</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="S6.EGx210"> <tbody id="A4.Ex79"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\delta^{n}g_{k}(x)" class="ltx_Math" display="inline" id="A4.Ex79.m1.1"><semantics id="A4.Ex79.m1.1a"><mrow id="A4.Ex79.m1.1.2" xref="A4.Ex79.m1.1.2.cmml"><msup id="A4.Ex79.m1.1.2.2" xref="A4.Ex79.m1.1.2.2.cmml"><mi id="A4.Ex79.m1.1.2.2.2" xref="A4.Ex79.m1.1.2.2.2.cmml">δ</mi><mi id="A4.Ex79.m1.1.2.2.3" xref="A4.Ex79.m1.1.2.2.3.cmml">n</mi></msup><mo id="A4.Ex79.m1.1.2.1" xref="A4.Ex79.m1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="A4.Ex79.m1.1.2.3" xref="A4.Ex79.m1.1.2.3.cmml"><mi id="A4.Ex79.m1.1.2.3.2" xref="A4.Ex79.m1.1.2.3.2.cmml">g</mi><mi id="A4.Ex79.m1.1.2.3.3" xref="A4.Ex79.m1.1.2.3.3.cmml">k</mi></msub><mo id="A4.Ex79.m1.1.2.1a" xref="A4.Ex79.m1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A4.Ex79.m1.1.2.4.2" xref="A4.Ex79.m1.1.2.cmml"><mo id="A4.Ex79.m1.1.2.4.2.1" stretchy="false" xref="A4.Ex79.m1.1.2.cmml">(</mo><mi id="A4.Ex79.m1.1.1" xref="A4.Ex79.m1.1.1.cmml">x</mi><mo id="A4.Ex79.m1.1.2.4.2.2" stretchy="false" xref="A4.Ex79.m1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A4.Ex79.m1.1b"><apply id="A4.Ex79.m1.1.2.cmml" xref="A4.Ex79.m1.1.2"><times id="A4.Ex79.m1.1.2.1.cmml" xref="A4.Ex79.m1.1.2.1"></times><apply id="A4.Ex79.m1.1.2.2.cmml" xref="A4.Ex79.m1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.Ex79.m1.1.2.2.1.cmml" xref="A4.Ex79.m1.1.2.2">superscript</csymbol><ci id="A4.Ex79.m1.1.2.2.2.cmml" xref="A4.Ex79.m1.1.2.2.2">𝛿</ci><ci id="A4.Ex79.m1.1.2.2.3.cmml" xref="A4.Ex79.m1.1.2.2.3">𝑛</ci></apply><apply id="A4.Ex79.m1.1.2.3.cmml" xref="A4.Ex79.m1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.Ex79.m1.1.2.3.1.cmml" xref="A4.Ex79.m1.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="A4.Ex79.m1.1.2.3.2.cmml" xref="A4.Ex79.m1.1.2.3.2">𝑔</ci><ci id="A4.Ex79.m1.1.2.3.3.cmml" xref="A4.Ex79.m1.1.2.3.3">𝑘</ci></apply><ci id="A4.Ex79.m1.1.1.cmml" xref="A4.Ex79.m1.1.1">𝑥</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A4.Ex79.m1.1c">\displaystyle\delta^{n}g_{k}(x)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A4.Ex79.m1.1d">italic_δ start_POSTSUPERSCRIPT italic_n end_POSTSUPERSCRIPT italic_g start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ( italic_x )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=\sum_{\ell=0}^{\infty}j_{x}^{(\ell)}(kx)\frac{(-x)^{\ell}}{\ell!% }\sum_{i=0}^{n}\binom{n}{i}(-1)^{i}i^{\ell}" class="ltx_Math" display="inline" id="A4.Ex79.m2.6"><semantics id="A4.Ex79.m2.6a"><mrow id="A4.Ex79.m2.6.6" xref="A4.Ex79.m2.6.6.cmml"><mi id="A4.Ex79.m2.6.6.4" xref="A4.Ex79.m2.6.6.4.cmml"></mi><mo id="A4.Ex79.m2.6.6.3" xref="A4.Ex79.m2.6.6.3.cmml">=</mo><mrow id="A4.Ex79.m2.6.6.2" xref="A4.Ex79.m2.6.6.2.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A4.Ex79.m2.6.6.2.3" xref="A4.Ex79.m2.6.6.2.3.cmml"><munderover id="A4.Ex79.m2.6.6.2.3a" xref="A4.Ex79.m2.6.6.2.3.cmml"><mo id="A4.Ex79.m2.6.6.2.3.2.2" movablelimits="false" xref="A4.Ex79.m2.6.6.2.3.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="A4.Ex79.m2.6.6.2.3.2.3" xref="A4.Ex79.m2.6.6.2.3.2.3.cmml"><mi id="A4.Ex79.m2.6.6.2.3.2.3.2" mathvariant="normal" xref="A4.Ex79.m2.6.6.2.3.2.3.2.cmml">ℓ</mi><mo id="A4.Ex79.m2.6.6.2.3.2.3.1" xref="A4.Ex79.m2.6.6.2.3.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="A4.Ex79.m2.6.6.2.3.2.3.3" xref="A4.Ex79.m2.6.6.2.3.2.3.3.cmml">0</mn></mrow><mi id="A4.Ex79.m2.6.6.2.3.3" mathvariant="normal" xref="A4.Ex79.m2.6.6.2.3.3.cmml">∞</mi></munderover></mstyle><mrow id="A4.Ex79.m2.6.6.2.2" xref="A4.Ex79.m2.6.6.2.2.cmml"><msubsup id="A4.Ex79.m2.6.6.2.2.4" xref="A4.Ex79.m2.6.6.2.2.4.cmml"><mi id="A4.Ex79.m2.6.6.2.2.4.2.2" xref="A4.Ex79.m2.6.6.2.2.4.2.2.cmml">j</mi><mi id="A4.Ex79.m2.6.6.2.2.4.2.3" xref="A4.Ex79.m2.6.6.2.2.4.2.3.cmml">x</mi><mrow id="A4.Ex79.m2.3.3.1.3" xref="A4.Ex79.m2.6.6.2.2.4.cmml"><mo id="A4.Ex79.m2.3.3.1.3.1" stretchy="false" xref="A4.Ex79.m2.6.6.2.2.4.cmml">(</mo><mi id="A4.Ex79.m2.3.3.1.1" mathvariant="normal" xref="A4.Ex79.m2.3.3.1.1.cmml">ℓ</mi><mo id="A4.Ex79.m2.3.3.1.3.2" stretchy="false" xref="A4.Ex79.m2.6.6.2.2.4.cmml">)</mo></mrow></msubsup><mo id="A4.Ex79.m2.6.6.2.2.3" xref="A4.Ex79.m2.6.6.2.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="A4.Ex79.m2.5.5.1.1.1.1" xref="A4.Ex79.m2.5.5.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A4.Ex79.m2.5.5.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A4.Ex79.m2.5.5.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A4.Ex79.m2.5.5.1.1.1.1.1" xref="A4.Ex79.m2.5.5.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A4.Ex79.m2.5.5.1.1.1.1.1.2" xref="A4.Ex79.m2.5.5.1.1.1.1.1.2.cmml">k</mi><mo id="A4.Ex79.m2.5.5.1.1.1.1.1.1" xref="A4.Ex79.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="A4.Ex79.m2.5.5.1.1.1.1.1.3" xref="A4.Ex79.m2.5.5.1.1.1.1.1.3.cmml">x</mi></mrow><mo id="A4.Ex79.m2.5.5.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A4.Ex79.m2.5.5.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A4.Ex79.m2.6.6.2.2.3a" xref="A4.Ex79.m2.6.6.2.2.3.cmml">⁢</mo><mstyle displaystyle="true" id="A4.Ex79.m2.4.4" xref="A4.Ex79.m2.4.4.cmml"><mfrac id="A4.Ex79.m2.4.4a" xref="A4.Ex79.m2.4.4.cmml"><msup id="A4.Ex79.m2.4.4.1" xref="A4.Ex79.m2.4.4.1.cmml"><mrow id="A4.Ex79.m2.4.4.1.1.1" xref="A4.Ex79.m2.4.4.1.1.1.1.cmml"><mo id="A4.Ex79.m2.4.4.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A4.Ex79.m2.4.4.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A4.Ex79.m2.4.4.1.1.1.1" xref="A4.Ex79.m2.4.4.1.1.1.1.cmml"><mo id="A4.Ex79.m2.4.4.1.1.1.1a" xref="A4.Ex79.m2.4.4.1.1.1.1.cmml">−</mo><mi id="A4.Ex79.m2.4.4.1.1.1.1.2" xref="A4.Ex79.m2.4.4.1.1.1.1.2.cmml">x</mi></mrow><mo id="A4.Ex79.m2.4.4.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A4.Ex79.m2.4.4.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mi id="A4.Ex79.m2.4.4.1.3" mathvariant="normal" xref="A4.Ex79.m2.4.4.1.3.cmml">ℓ</mi></msup><mrow id="A4.Ex79.m2.4.4.3" xref="A4.Ex79.m2.4.4.3.cmml"><mi id="A4.Ex79.m2.4.4.3.2" mathvariant="normal" xref="A4.Ex79.m2.4.4.3.2.cmml">ℓ</mi><mo id="A4.Ex79.m2.4.4.3.1" xref="A4.Ex79.m2.4.4.3.1.cmml">!</mo></mrow></mfrac></mstyle><mo id="A4.Ex79.m2.6.6.2.2.3b" xref="A4.Ex79.m2.6.6.2.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="A4.Ex79.m2.6.6.2.2.2" xref="A4.Ex79.m2.6.6.2.2.2.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A4.Ex79.m2.6.6.2.2.2.2" xref="A4.Ex79.m2.6.6.2.2.2.2.cmml"><munderover id="A4.Ex79.m2.6.6.2.2.2.2a" xref="A4.Ex79.m2.6.6.2.2.2.2.cmml"><mo id="A4.Ex79.m2.6.6.2.2.2.2.2.2" movablelimits="false" xref="A4.Ex79.m2.6.6.2.2.2.2.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="A4.Ex79.m2.6.6.2.2.2.2.2.3" xref="A4.Ex79.m2.6.6.2.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="A4.Ex79.m2.6.6.2.2.2.2.2.3.2" xref="A4.Ex79.m2.6.6.2.2.2.2.2.3.2.cmml">i</mi><mo id="A4.Ex79.m2.6.6.2.2.2.2.2.3.1" xref="A4.Ex79.m2.6.6.2.2.2.2.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="A4.Ex79.m2.6.6.2.2.2.2.2.3.3" xref="A4.Ex79.m2.6.6.2.2.2.2.2.3.3.cmml">0</mn></mrow><mi id="A4.Ex79.m2.6.6.2.2.2.2.3" xref="A4.Ex79.m2.6.6.2.2.2.2.3.cmml">n</mi></munderover></mstyle><mrow id="A4.Ex79.m2.6.6.2.2.2.1" xref="A4.Ex79.m2.6.6.2.2.2.1.cmml"><mrow id="A4.Ex79.m2.2.2a.4" xref="A4.Ex79.m2.2.2a.3.cmml"><mo id="A4.Ex79.m2.2.2a.4.1" xref="A4.Ex79.m2.2.2a.3.1.cmml">(</mo><mstyle displaystyle="true" id="A4.Ex79.m2.2.2.2.2a" xref="A4.Ex79.m2.2.2a.3.cmml"><mfrac id="A4.Ex79.m2.2.2.2.2aa" linethickness="0pt" xref="A4.Ex79.m2.2.2a.3.cmml"><mi id="A4.Ex79.m2.1.1.1.1.1.1" xref="A4.Ex79.m2.1.1.1.1.1.1.cmml">n</mi><mi id="A4.Ex79.m2.2.2.2.2.2.1" xref="A4.Ex79.m2.2.2.2.2.2.1.cmml">i</mi></mfrac></mstyle><mo id="A4.Ex79.m2.2.2a.4.2" xref="A4.Ex79.m2.2.2a.3.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A4.Ex79.m2.6.6.2.2.2.1.2" xref="A4.Ex79.m2.6.6.2.2.2.1.2.cmml">⁢</mo><msup id="A4.Ex79.m2.6.6.2.2.2.1.1" xref="A4.Ex79.m2.6.6.2.2.2.1.1.cmml"><mrow id="A4.Ex79.m2.6.6.2.2.2.1.1.1.1" xref="A4.Ex79.m2.6.6.2.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A4.Ex79.m2.6.6.2.2.2.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A4.Ex79.m2.6.6.2.2.2.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A4.Ex79.m2.6.6.2.2.2.1.1.1.1.1" xref="A4.Ex79.m2.6.6.2.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A4.Ex79.m2.6.6.2.2.2.1.1.1.1.1a" xref="A4.Ex79.m2.6.6.2.2.2.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mn id="A4.Ex79.m2.6.6.2.2.2.1.1.1.1.1.2" xref="A4.Ex79.m2.6.6.2.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml">1</mn></mrow><mo 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id="A4.Ex80.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A4.Ex80.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">x</mi></mrow><mo id="A4.Ex80.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A4.Ex80.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A4.Ex80.m1.6.6.1.1.1.1.2.3a" xref="A4.Ex80.m1.6.6.1.1.1.1.2.3.cmml">⁢</mo><mstyle displaystyle="true" id="A4.Ex80.m1.4.4" xref="A4.Ex80.m1.4.4.cmml"><mfrac id="A4.Ex80.m1.4.4a" xref="A4.Ex80.m1.4.4.cmml"><msup id="A4.Ex80.m1.4.4.1" xref="A4.Ex80.m1.4.4.1.cmml"><mrow id="A4.Ex80.m1.4.4.1.1.1" xref="A4.Ex80.m1.4.4.1.1.1.1.cmml"><mo id="A4.Ex80.m1.4.4.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A4.Ex80.m1.4.4.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A4.Ex80.m1.4.4.1.1.1.1" xref="A4.Ex80.m1.4.4.1.1.1.1.cmml"><mo id="A4.Ex80.m1.4.4.1.1.1.1a" xref="A4.Ex80.m1.4.4.1.1.1.1.cmml">−</mo><mi id="A4.Ex80.m1.4.4.1.1.1.1.2" xref="A4.Ex80.m1.4.4.1.1.1.1.2.cmml">x</mi></mrow><mo id="A4.Ex80.m1.4.4.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A4.Ex80.m1.4.4.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mi id="A4.Ex80.m1.4.4.1.3" mathvariant="normal" xref="A4.Ex80.m1.4.4.1.3.cmml">ℓ</mi></msup><mrow id="A4.Ex80.m1.4.4.3" xref="A4.Ex80.m1.4.4.3.cmml"><mi id="A4.Ex80.m1.4.4.3.2" mathvariant="normal" xref="A4.Ex80.m1.4.4.3.2.cmml">ℓ</mi><mo id="A4.Ex80.m1.4.4.3.1" xref="A4.Ex80.m1.4.4.3.1.cmml">!</mo></mrow></mfrac></mstyle><mo id="A4.Ex80.m1.6.6.1.1.1.1.2.3b" xref="A4.Ex80.m1.6.6.1.1.1.1.2.3.cmml">⁢</mo><mstyle displaystyle="true" id="A4.Ex80.m1.6.6.1.1.1.1.2.5" xref="A4.Ex80.m1.6.6.1.1.1.1.2.5.cmml"><mfrac id="A4.Ex80.m1.6.6.1.1.1.1.2.5a" xref="A4.Ex80.m1.6.6.1.1.1.1.2.5.cmml"><msup id="A4.Ex80.m1.6.6.1.1.1.1.2.5.2" xref="A4.Ex80.m1.6.6.1.1.1.1.2.5.2.cmml"><mi id="A4.Ex80.m1.6.6.1.1.1.1.2.5.2.2" xref="A4.Ex80.m1.6.6.1.1.1.1.2.5.2.2.cmml">d</mi><mi id="A4.Ex80.m1.6.6.1.1.1.1.2.5.2.3" mathvariant="normal" xref="A4.Ex80.m1.6.6.1.1.1.1.2.5.2.3.cmml">ℓ</mi></msup><mrow id="A4.Ex80.m1.6.6.1.1.1.1.2.5.3" xref="A4.Ex80.m1.6.6.1.1.1.1.2.5.3.cmml"><mi id="A4.Ex80.m1.6.6.1.1.1.1.2.5.3.2" xref="A4.Ex80.m1.6.6.1.1.1.1.2.5.3.2.cmml">d</mi><mo id="A4.Ex80.m1.6.6.1.1.1.1.2.5.3.1" xref="A4.Ex80.m1.6.6.1.1.1.1.2.5.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="A4.Ex80.m1.6.6.1.1.1.1.2.5.3.3" xref="A4.Ex80.m1.6.6.1.1.1.1.2.5.3.3.cmml"><mi id="A4.Ex80.m1.6.6.1.1.1.1.2.5.3.3.2" xref="A4.Ex80.m1.6.6.1.1.1.1.2.5.3.3.2.cmml">z</mi><mi id="A4.Ex80.m1.6.6.1.1.1.1.2.5.3.3.3" mathvariant="normal" xref="A4.Ex80.m1.6.6.1.1.1.1.2.5.3.3.3.cmml">ℓ</mi></msup></mrow></mfrac></mstyle><mo id="A4.Ex80.m1.6.6.1.1.1.1.2.3c" xref="A4.Ex80.m1.6.6.1.1.1.1.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="A4.Ex80.m1.6.6.1.1.1.1.2.2" xref="A4.Ex80.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A4.Ex80.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.2" xref="A4.Ex80.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.2.cmml"><munderover id="A4.Ex80.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.2a" xref="A4.Ex80.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.2.cmml"><mo id="A4.Ex80.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.2.2.2" movablelimits="false" xref="A4.Ex80.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="A4.Ex80.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.2.2.3" xref="A4.Ex80.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="A4.Ex80.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.2.2.3.2" xref="A4.Ex80.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.2.2.3.2.cmml">i</mi><mo id="A4.Ex80.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.2.2.3.1" xref="A4.Ex80.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.2.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="A4.Ex80.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.2.2.3.3" xref="A4.Ex80.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.2.2.3.3.cmml">0</mn></mrow><mi id="A4.Ex80.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.2.3" xref="A4.Ex80.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml">n</mi></munderover></mstyle><mrow id="A4.Ex80.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.1" xref="A4.Ex80.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.1.cmml"><mrow id="A4.Ex80.m1.2.2a.4" xref="A4.Ex80.m1.2.2a.3.cmml"><mo id="A4.Ex80.m1.2.2a.4.1" xref="A4.Ex80.m1.2.2a.3.1.cmml">(</mo><mstyle displaystyle="true" id="A4.Ex80.m1.2.2.2.2a" xref="A4.Ex80.m1.2.2a.3.cmml"><mfrac id="A4.Ex80.m1.2.2.2.2aa" linethickness="0pt" xref="A4.Ex80.m1.2.2a.3.cmml"><mi id="A4.Ex80.m1.1.1.1.1.1.1" xref="A4.Ex80.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">n</mi><mi id="A4.Ex80.m1.2.2.2.2.2.1" xref="A4.Ex80.m1.2.2.2.2.2.1.cmml">i</mi></mfrac></mstyle><mo id="A4.Ex80.m1.2.2a.4.2" xref="A4.Ex80.m1.2.2a.3.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A4.Ex80.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.1.2" xref="A4.Ex80.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.1.2.cmml">⁢</mo><msup id="A4.Ex80.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.1.1" xref="A4.Ex80.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.1.1.cmml"><mrow id="A4.Ex80.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1" xref="A4.Ex80.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A4.Ex80.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A4.Ex80.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A4.Ex80.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1" xref="A4.Ex80.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A4.Ex80.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1a" xref="A4.Ex80.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mn id="A4.Ex80.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.2" xref="A4.Ex80.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml">1</mn></mrow><mo id="A4.Ex80.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A4.Ex80.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mi id="A4.Ex80.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.1.1.3" xref="A4.Ex80.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.1.1.3.cmml">i</mi></msup><mo id="A4.Ex80.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.1.2a" xref="A4.Ex80.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.1.2.cmml">⁢</mo><msup id="A4.Ex80.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.1.3" xref="A4.Ex80.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.1.3.cmml"><mi id="A4.Ex80.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.1.3.2" xref="A4.Ex80.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.1.3.2.cmml">e</mi><mrow id="A4.Ex80.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.1.3.3" xref="A4.Ex80.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.1.3.3.cmml"><mi id="A4.Ex80.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.1.3.3.2" xref="A4.Ex80.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.1.3.3.2.cmml">i</mi><mo id="A4.Ex80.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.1.3.3.1" xref="A4.Ex80.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A4.Ex80.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.1.3.3.3" xref="A4.Ex80.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.1.3.3.3.cmml">z</mi></mrow></msup></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="A4.Ex80.m1.6.6.1.1.1.2" maxsize="120%" minsize="120%" xref="A4.Ex80.m1.6.6.1.2.1.cmml">|</mo></mrow><mrow id="A4.Ex80.m1.5.5.1" xref="A4.Ex80.m1.5.5.1.cmml"><mi id="A4.Ex80.m1.5.5.1.2" xref="A4.Ex80.m1.5.5.1.2.cmml">z</mi><mo id="A4.Ex80.m1.5.5.1.1" xref="A4.Ex80.m1.5.5.1.1.cmml">=</mo><mn id="A4.Ex80.m1.5.5.1.3" xref="A4.Ex80.m1.5.5.1.3.cmml">0</mn></mrow></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A4.Ex80.m1.6b"><apply id="A4.Ex80.m1.6.6.cmml" xref="A4.Ex80.m1.6.6"><eq id="A4.Ex80.m1.6.6.2.cmml" xref="A4.Ex80.m1.6.6.2"></eq><csymbol cd="latexml" id="A4.Ex80.m1.6.6.3.cmml" xref="A4.Ex80.m1.6.6.3">absent</csymbol><apply id="A4.Ex80.m1.6.6.1.2.cmml" xref="A4.Ex80.m1.6.6.1.1"><csymbol cd="latexml" id="A4.Ex80.m1.6.6.1.2.1.cmml" xref="A4.Ex80.m1.6.6.1.1.1.2">evaluated-at</csymbol><apply id="A4.Ex80.m1.6.6.1.1.1.1.cmml" xref="A4.Ex80.m1.6.6.1.1.1.1"><apply id="A4.Ex80.m1.6.6.1.1.1.1.3.cmml" xref="A4.Ex80.m1.6.6.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.Ex80.m1.6.6.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A4.Ex80.m1.6.6.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="A4.Ex80.m1.6.6.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A4.Ex80.m1.6.6.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.Ex80.m1.6.6.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="A4.Ex80.m1.6.6.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><sum id="A4.Ex80.m1.6.6.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="A4.Ex80.m1.6.6.1.1.1.1.3.2.2"></sum><apply id="A4.Ex80.m1.6.6.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="A4.Ex80.m1.6.6.1.1.1.1.3.2.3"><eq id="A4.Ex80.m1.6.6.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="A4.Ex80.m1.6.6.1.1.1.1.3.2.3.1"></eq><ci id="A4.Ex80.m1.6.6.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="A4.Ex80.m1.6.6.1.1.1.1.3.2.3.2">ℓ</ci><cn id="A4.Ex80.m1.6.6.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml" type="integer" xref="A4.Ex80.m1.6.6.1.1.1.1.3.2.3.3">0</cn></apply></apply><infinity id="A4.Ex80.m1.6.6.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A4.Ex80.m1.6.6.1.1.1.1.3.3"></infinity></apply><apply id="A4.Ex80.m1.6.6.1.1.1.1.2.cmml" xref="A4.Ex80.m1.6.6.1.1.1.1.2"><times id="A4.Ex80.m1.6.6.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="A4.Ex80.m1.6.6.1.1.1.1.2.3"></times><apply id="A4.Ex80.m1.6.6.1.1.1.1.2.4.cmml" xref="A4.Ex80.m1.6.6.1.1.1.1.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.Ex80.m1.6.6.1.1.1.1.2.4.1.cmml" xref="A4.Ex80.m1.6.6.1.1.1.1.2.4">superscript</csymbol><apply id="A4.Ex80.m1.6.6.1.1.1.1.2.4.2.cmml" xref="A4.Ex80.m1.6.6.1.1.1.1.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.Ex80.m1.6.6.1.1.1.1.2.4.2.1.cmml" xref="A4.Ex80.m1.6.6.1.1.1.1.2.4">subscript</csymbol><ci id="A4.Ex80.m1.6.6.1.1.1.1.2.4.2.2.cmml" xref="A4.Ex80.m1.6.6.1.1.1.1.2.4.2.2">𝑗</ci><ci id="A4.Ex80.m1.6.6.1.1.1.1.2.4.2.3.cmml" xref="A4.Ex80.m1.6.6.1.1.1.1.2.4.2.3">𝑥</ci></apply><ci id="A4.Ex80.m1.3.3.1.1.cmml" xref="A4.Ex80.m1.3.3.1.1">ℓ</ci></apply><apply id="A4.Ex80.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A4.Ex80.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1"><times id="A4.Ex80.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A4.Ex80.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></times><ci id="A4.Ex80.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A4.Ex80.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑘</ci><ci id="A4.Ex80.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A4.Ex80.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑥</ci></apply><apply id="A4.Ex80.m1.4.4.cmml" xref="A4.Ex80.m1.4.4"><divide id="A4.Ex80.m1.4.4.2.cmml" xref="A4.Ex80.m1.4.4"></divide><apply id="A4.Ex80.m1.4.4.1.cmml" xref="A4.Ex80.m1.4.4.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.Ex80.m1.4.4.1.2.cmml" xref="A4.Ex80.m1.4.4.1">superscript</csymbol><apply id="A4.Ex80.m1.4.4.1.1.1.1.cmml" xref="A4.Ex80.m1.4.4.1.1.1"><minus id="A4.Ex80.m1.4.4.1.1.1.1.1.cmml" xref="A4.Ex80.m1.4.4.1.1.1"></minus><ci id="A4.Ex80.m1.4.4.1.1.1.1.2.cmml" xref="A4.Ex80.m1.4.4.1.1.1.1.2">𝑥</ci></apply><ci id="A4.Ex80.m1.4.4.1.3.cmml" xref="A4.Ex80.m1.4.4.1.3">ℓ</ci></apply><apply id="A4.Ex80.m1.4.4.3.cmml" xref="A4.Ex80.m1.4.4.3"><factorial id="A4.Ex80.m1.4.4.3.1.cmml" xref="A4.Ex80.m1.4.4.3.1"></factorial><ci id="A4.Ex80.m1.4.4.3.2.cmml" xref="A4.Ex80.m1.4.4.3.2">ℓ</ci></apply></apply><apply id="A4.Ex80.m1.6.6.1.1.1.1.2.5.cmml" xref="A4.Ex80.m1.6.6.1.1.1.1.2.5"><divide id="A4.Ex80.m1.6.6.1.1.1.1.2.5.1.cmml" xref="A4.Ex80.m1.6.6.1.1.1.1.2.5"></divide><apply id="A4.Ex80.m1.6.6.1.1.1.1.2.5.2.cmml" xref="A4.Ex80.m1.6.6.1.1.1.1.2.5.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.Ex80.m1.6.6.1.1.1.1.2.5.2.1.cmml" xref="A4.Ex80.m1.6.6.1.1.1.1.2.5.2">superscript</csymbol><ci 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roman_ℓ end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_i = 0 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_n end_POSTSUPERSCRIPT ( FRACOP start_ARG italic_n end_ARG start_ARG italic_i end_ARG ) ( - 1 ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_i end_POSTSUPERSCRIPT italic_e start_POSTSUPERSCRIPT italic_i italic_z end_POSTSUPERSCRIPT | start_POSTSUBSCRIPT italic_z = 0 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="A4.Ex81"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=(-1)^{n}\sum_{\ell=0}^{\infty}j_{x}^{(\ell)}(kx)\frac{(-x)^{\ell% }}{\ell!}\frac{d^{\ell}}{dz^{\ell}}(e^{z}-1)^{n}\big{|}_{z=0}" class="ltx_Math" display="inline" id="A4.Ex81.m1.4"><semantics id="A4.Ex81.m1.4a"><mrow id="A4.Ex81.m1.4.4" 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id="A4.Ex81.m1.4.4.1.1.1.1.1.3" xref="A4.Ex81.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.cmml">n</mi></msup><mo id="A4.Ex81.m1.4.4.1.1.1.1.4" xref="A4.Ex81.m1.4.4.1.1.1.1.4.cmml">⁢</mo><mrow id="A4.Ex81.m1.4.4.1.1.1.1.3" xref="A4.Ex81.m1.4.4.1.1.1.1.3.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A4.Ex81.m1.4.4.1.1.1.1.3.3" xref="A4.Ex81.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.cmml"><munderover id="A4.Ex81.m1.4.4.1.1.1.1.3.3a" xref="A4.Ex81.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.cmml"><mo id="A4.Ex81.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.2.2" movablelimits="false" xref="A4.Ex81.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="A4.Ex81.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.2.3" xref="A4.Ex81.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.2.3.cmml"><mi id="A4.Ex81.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.2.3.2" mathvariant="normal" xref="A4.Ex81.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.2.3.2.cmml">ℓ</mi><mo id="A4.Ex81.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.2.3.1" xref="A4.Ex81.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="A4.Ex81.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.2.3.3" xref="A4.Ex81.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.2.3.3.cmml">0</mn></mrow><mi id="A4.Ex81.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.3" mathvariant="normal" 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stretchy="false" xref="A4.Ex81.m1.4.4.1.1.1.1.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A4.Ex81.m1.4.4.1.1.1.1.2.1.1.1.1" xref="A4.Ex81.m1.4.4.1.1.1.1.2.1.1.1.1.cmml"><mi id="A4.Ex81.m1.4.4.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2" xref="A4.Ex81.m1.4.4.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.cmml">k</mi><mo id="A4.Ex81.m1.4.4.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1" xref="A4.Ex81.m1.4.4.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="A4.Ex81.m1.4.4.1.1.1.1.2.1.1.1.1.3" xref="A4.Ex81.m1.4.4.1.1.1.1.2.1.1.1.1.3.cmml">x</mi></mrow><mo id="A4.Ex81.m1.4.4.1.1.1.1.2.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A4.Ex81.m1.4.4.1.1.1.1.2.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A4.Ex81.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.3a" xref="A4.Ex81.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.3.cmml">⁢</mo><mstyle displaystyle="true" id="A4.Ex81.m1.2.2" xref="A4.Ex81.m1.2.2.cmml"><mfrac id="A4.Ex81.m1.2.2a" xref="A4.Ex81.m1.2.2.cmml"><msup id="A4.Ex81.m1.2.2.1" xref="A4.Ex81.m1.2.2.1.cmml"><mrow id="A4.Ex81.m1.2.2.1.1.1" xref="A4.Ex81.m1.2.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="A4.Ex81.m1.2.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A4.Ex81.m1.2.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A4.Ex81.m1.2.2.1.1.1.1" xref="A4.Ex81.m1.2.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="A4.Ex81.m1.2.2.1.1.1.1a" xref="A4.Ex81.m1.2.2.1.1.1.1.cmml">−</mo><mi id="A4.Ex81.m1.2.2.1.1.1.1.2" xref="A4.Ex81.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml">x</mi></mrow><mo id="A4.Ex81.m1.2.2.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A4.Ex81.m1.2.2.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mi id="A4.Ex81.m1.2.2.1.3" mathvariant="normal" xref="A4.Ex81.m1.2.2.1.3.cmml">ℓ</mi></msup><mrow id="A4.Ex81.m1.2.2.3" xref="A4.Ex81.m1.2.2.3.cmml"><mi id="A4.Ex81.m1.2.2.3.2" mathvariant="normal" xref="A4.Ex81.m1.2.2.3.2.cmml">ℓ</mi><mo id="A4.Ex81.m1.2.2.3.1" xref="A4.Ex81.m1.2.2.3.1.cmml">!</mo></mrow></mfrac></mstyle><mo id="A4.Ex81.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.3b" xref="A4.Ex81.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.3.cmml">⁢</mo><mstyle displaystyle="true" id="A4.Ex81.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.5" xref="A4.Ex81.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.5.cmml"><mfrac id="A4.Ex81.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.5a" xref="A4.Ex81.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.5.cmml"><msup id="A4.Ex81.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.5.2" xref="A4.Ex81.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.5.2.cmml"><mi id="A4.Ex81.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.5.2.2" xref="A4.Ex81.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.5.2.2.cmml">d</mi><mi id="A4.Ex81.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.5.2.3" mathvariant="normal" xref="A4.Ex81.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.5.2.3.cmml">ℓ</mi></msup><mrow id="A4.Ex81.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.5.3" xref="A4.Ex81.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.5.3.cmml"><mi id="A4.Ex81.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.5.3.2" xref="A4.Ex81.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.5.3.2.cmml">d</mi><mo id="A4.Ex81.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.5.3.1" xref="A4.Ex81.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.5.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="A4.Ex81.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.5.3.3" xref="A4.Ex81.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.5.3.3.cmml"><mi id="A4.Ex81.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.5.3.3.2" xref="A4.Ex81.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.5.3.3.2.cmml">z</mi><mi id="A4.Ex81.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.5.3.3.3" mathvariant="normal" xref="A4.Ex81.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.5.3.3.3.cmml">ℓ</mi></msup></mrow></mfrac></mstyle><mo id="A4.Ex81.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.3c" xref="A4.Ex81.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.3.cmml">⁢</mo><msup id="A4.Ex81.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.2" xref="A4.Ex81.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.2.cmml"><mrow id="A4.Ex81.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.2.1.1" xref="A4.Ex81.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="A4.Ex81.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="A4.Ex81.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A4.Ex81.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.2.1.1.1" xref="A4.Ex81.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.2.1.1.1.cmml"><msup id="A4.Ex81.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.2.1.1.1.2" xref="A4.Ex81.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.2.1.1.1.2.cmml"><mi id="A4.Ex81.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.2.1.1.1.2.2" xref="A4.Ex81.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.2.1.1.1.2.2.cmml">e</mi><mi id="A4.Ex81.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.2.1.1.1.2.3" xref="A4.Ex81.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.2.1.1.1.2.3.cmml">z</mi></msup><mo id="A4.Ex81.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.2.1.1.1.1" xref="A4.Ex81.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.2.1.1.1.1.cmml">−</mo><mn id="A4.Ex81.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.2.1.1.1.3" xref="A4.Ex81.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.2.1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="A4.Ex81.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="A4.Ex81.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mi id="A4.Ex81.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.2.3" xref="A4.Ex81.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml">n</mi></msup></mrow></mrow></mrow><mo id="A4.Ex81.m1.4.4.1.1.1.2" maxsize="120%" minsize="120%" xref="A4.Ex81.m1.4.4.1.2.1.cmml">|</mo></mrow><mrow id="A4.Ex81.m1.3.3.1" xref="A4.Ex81.m1.3.3.1.cmml"><mi id="A4.Ex81.m1.3.3.1.2" xref="A4.Ex81.m1.3.3.1.2.cmml">z</mi><mo id="A4.Ex81.m1.3.3.1.1" xref="A4.Ex81.m1.3.3.1.1.cmml">=</mo><mn id="A4.Ex81.m1.3.3.1.3" xref="A4.Ex81.m1.3.3.1.3.cmml">0</mn></mrow></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A4.Ex81.m1.4b"><apply id="A4.Ex81.m1.4.4.cmml" xref="A4.Ex81.m1.4.4"><eq id="A4.Ex81.m1.4.4.2.cmml" xref="A4.Ex81.m1.4.4.2"></eq><csymbol cd="latexml" id="A4.Ex81.m1.4.4.3.cmml" xref="A4.Ex81.m1.4.4.3">absent</csymbol><apply id="A4.Ex81.m1.4.4.1.2.cmml" xref="A4.Ex81.m1.4.4.1.1"><csymbol cd="latexml" id="A4.Ex81.m1.4.4.1.2.1.cmml" xref="A4.Ex81.m1.4.4.1.1.1.2">evaluated-at</csymbol><apply 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xref="A4.Ex81.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.5.3.3.2">𝑧</ci><ci id="A4.Ex81.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.5.3.3.3.cmml" xref="A4.Ex81.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.5.3.3.3">ℓ</ci></apply></apply></apply><apply id="A4.Ex81.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="A4.Ex81.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.Ex81.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="A4.Ex81.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.2">superscript</csymbol><apply id="A4.Ex81.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.2.1.1.1.cmml" xref="A4.Ex81.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.2.1.1"><minus id="A4.Ex81.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="A4.Ex81.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.2.1.1.1.1"></minus><apply id="A4.Ex81.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="A4.Ex81.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.2.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.Ex81.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="A4.Ex81.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.2.1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="A4.Ex81.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.2.1.1.1.2.2.cmml" xref="A4.Ex81.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.2.1.1.1.2.2">𝑒</ci><ci id="A4.Ex81.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.2.1.1.1.2.3.cmml" xref="A4.Ex81.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.2.1.1.1.2.3">𝑧</ci></apply><cn id="A4.Ex81.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.2.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A4.Ex81.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.2.1.1.1.3">1</cn></apply><ci id="A4.Ex81.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml" xref="A4.Ex81.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.2.3">𝑛</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="A4.Ex81.m1.3.3.1.cmml" xref="A4.Ex81.m1.3.3.1"><eq id="A4.Ex81.m1.3.3.1.1.cmml" xref="A4.Ex81.m1.3.3.1.1"></eq><ci id="A4.Ex81.m1.3.3.1.2.cmml" xref="A4.Ex81.m1.3.3.1.2">𝑧</ci><cn id="A4.Ex81.m1.3.3.1.3.cmml" type="integer" xref="A4.Ex81.m1.3.3.1.3">0</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A4.Ex81.m1.4c">\displaystyle=(-1)^{n}\sum_{\ell=0}^{\infty}j_{x}^{(\ell)}(kx)\frac{(-x)^{\ell% }}{\ell!}\frac{d^{\ell}}{dz^{\ell}}(e^{z}-1)^{n}\big{|}_{z=0}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A4.Ex81.m1.4d">= ( - 1 ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_n end_POSTSUPERSCRIPT ∑ start_POSTSUBSCRIPT roman_ℓ = 0 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alttext="\displaystyle=(-1)^{n}\sum_{\ell=n}^{\infty}j_{x}^{(\ell)}(kx)\frac{(-x)^{\ell% }}{\ell!}\frac{d^{\ell}}{dz^{\ell}}(e^{z}-1)^{n}\big{|}_{z=0}" class="ltx_Math" display="inline" id="A4.Ex82.m1.4"><semantics id="A4.Ex82.m1.4a"><mrow id="A4.Ex82.m1.4.4" xref="A4.Ex82.m1.4.4.cmml"><mi id="A4.Ex82.m1.4.4.3" xref="A4.Ex82.m1.4.4.3.cmml"></mi><mo id="A4.Ex82.m1.4.4.2" xref="A4.Ex82.m1.4.4.2.cmml">=</mo><msub id="A4.Ex82.m1.4.4.1.1" xref="A4.Ex82.m1.4.4.1.2.cmml"><mrow id="A4.Ex82.m1.4.4.1.1.1" xref="A4.Ex82.m1.4.4.1.2.cmml"><mrow id="A4.Ex82.m1.4.4.1.1.1.1" xref="A4.Ex82.m1.4.4.1.1.1.1.cmml"><msup id="A4.Ex82.m1.4.4.1.1.1.1.1" xref="A4.Ex82.m1.4.4.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A4.Ex82.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1" xref="A4.Ex82.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A4.Ex82.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A4.Ex82.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A4.Ex82.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A4.Ex82.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A4.Ex82.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1a" 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id="A4.Ex82.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.2.3.1" xref="A4.Ex82.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.2.3.1.cmml">=</mo><mi id="A4.Ex82.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.2.3.3" xref="A4.Ex82.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.2.3.3.cmml">n</mi></mrow><mi id="A4.Ex82.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.3" mathvariant="normal" xref="A4.Ex82.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.3.cmml">∞</mi></munderover></mstyle><mrow id="A4.Ex82.m1.4.4.1.1.1.1.3.2" xref="A4.Ex82.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.cmml"><msubsup id="A4.Ex82.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.4" xref="A4.Ex82.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.4.cmml"><mi id="A4.Ex82.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.4.2.2" xref="A4.Ex82.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.4.2.2.cmml">j</mi><mi id="A4.Ex82.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.4.2.3" xref="A4.Ex82.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.4.2.3.cmml">x</mi><mrow id="A4.Ex82.m1.1.1.1.3" xref="A4.Ex82.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.4.cmml"><mo id="A4.Ex82.m1.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="A4.Ex82.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.4.cmml">(</mo><mi id="A4.Ex82.m1.1.1.1.1" mathvariant="normal" xref="A4.Ex82.m1.1.1.1.1.cmml">ℓ</mi><mo id="A4.Ex82.m1.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="A4.Ex82.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.4.cmml">)</mo></mrow></msubsup><mo id="A4.Ex82.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.3" xref="A4.Ex82.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="A4.Ex82.m1.4.4.1.1.1.1.2.1.1.1" xref="A4.Ex82.m1.4.4.1.1.1.1.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="A4.Ex82.m1.4.4.1.1.1.1.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A4.Ex82.m1.4.4.1.1.1.1.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A4.Ex82.m1.4.4.1.1.1.1.2.1.1.1.1" xref="A4.Ex82.m1.4.4.1.1.1.1.2.1.1.1.1.cmml"><mi id="A4.Ex82.m1.4.4.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2" xref="A4.Ex82.m1.4.4.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.cmml">k</mi><mo id="A4.Ex82.m1.4.4.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1" xref="A4.Ex82.m1.4.4.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="A4.Ex82.m1.4.4.1.1.1.1.2.1.1.1.1.3" xref="A4.Ex82.m1.4.4.1.1.1.1.2.1.1.1.1.3.cmml">x</mi></mrow><mo id="A4.Ex82.m1.4.4.1.1.1.1.2.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A4.Ex82.m1.4.4.1.1.1.1.2.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A4.Ex82.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.3a" xref="A4.Ex82.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.3.cmml">⁢</mo><mstyle displaystyle="true" id="A4.Ex82.m1.2.2" xref="A4.Ex82.m1.2.2.cmml"><mfrac id="A4.Ex82.m1.2.2a" xref="A4.Ex82.m1.2.2.cmml"><msup id="A4.Ex82.m1.2.2.1" xref="A4.Ex82.m1.2.2.1.cmml"><mrow id="A4.Ex82.m1.2.2.1.1.1" xref="A4.Ex82.m1.2.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="A4.Ex82.m1.2.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A4.Ex82.m1.2.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A4.Ex82.m1.2.2.1.1.1.1" xref="A4.Ex82.m1.2.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="A4.Ex82.m1.2.2.1.1.1.1a" xref="A4.Ex82.m1.2.2.1.1.1.1.cmml">−</mo><mi id="A4.Ex82.m1.2.2.1.1.1.1.2" xref="A4.Ex82.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml">x</mi></mrow><mo id="A4.Ex82.m1.2.2.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A4.Ex82.m1.2.2.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mi id="A4.Ex82.m1.2.2.1.3" mathvariant="normal" xref="A4.Ex82.m1.2.2.1.3.cmml">ℓ</mi></msup><mrow id="A4.Ex82.m1.2.2.3" xref="A4.Ex82.m1.2.2.3.cmml"><mi id="A4.Ex82.m1.2.2.3.2" mathvariant="normal" xref="A4.Ex82.m1.2.2.3.2.cmml">ℓ</mi><mo id="A4.Ex82.m1.2.2.3.1" xref="A4.Ex82.m1.2.2.3.1.cmml">!</mo></mrow></mfrac></mstyle><mo id="A4.Ex82.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.3b" xref="A4.Ex82.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.3.cmml">⁢</mo><mstyle displaystyle="true" id="A4.Ex82.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.5" xref="A4.Ex82.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.5.cmml"><mfrac id="A4.Ex82.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.5a" xref="A4.Ex82.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.5.cmml"><msup id="A4.Ex82.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.5.2" xref="A4.Ex82.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.5.2.cmml"><mi id="A4.Ex82.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.5.2.2" xref="A4.Ex82.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.5.2.2.cmml">d</mi><mi id="A4.Ex82.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.5.2.3" mathvariant="normal" xref="A4.Ex82.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.5.2.3.cmml">ℓ</mi></msup><mrow id="A4.Ex82.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.5.3" xref="A4.Ex82.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.5.3.cmml"><mi id="A4.Ex82.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.5.3.2" xref="A4.Ex82.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.5.3.2.cmml">d</mi><mo id="A4.Ex82.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.5.3.1" xref="A4.Ex82.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.5.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="A4.Ex82.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.5.3.3" xref="A4.Ex82.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.5.3.3.cmml"><mi id="A4.Ex82.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.5.3.3.2" xref="A4.Ex82.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.5.3.3.2.cmml">z</mi><mi id="A4.Ex82.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.5.3.3.3" mathvariant="normal" xref="A4.Ex82.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.5.3.3.3.cmml">ℓ</mi></msup></mrow></mfrac></mstyle><mo id="A4.Ex82.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.3c" xref="A4.Ex82.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.3.cmml">⁢</mo><msup id="A4.Ex82.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.2" xref="A4.Ex82.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.2.cmml"><mrow id="A4.Ex82.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.2.1.1" xref="A4.Ex82.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="A4.Ex82.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="A4.Ex82.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A4.Ex82.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.2.1.1.1" xref="A4.Ex82.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.2.1.1.1.cmml"><msup id="A4.Ex82.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.2.1.1.1.2" xref="A4.Ex82.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.2.1.1.1.2.cmml"><mi id="A4.Ex82.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.2.1.1.1.2.2" xref="A4.Ex82.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.2.1.1.1.2.2.cmml">e</mi><mi id="A4.Ex82.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.2.1.1.1.2.3" xref="A4.Ex82.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.2.1.1.1.2.3.cmml">z</mi></msup><mo id="A4.Ex82.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.2.1.1.1.1" xref="A4.Ex82.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.2.1.1.1.1.cmml">−</mo><mn id="A4.Ex82.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.2.1.1.1.3" xref="A4.Ex82.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.2.1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="A4.Ex82.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="A4.Ex82.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mi id="A4.Ex82.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.2.3" xref="A4.Ex82.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml">n</mi></msup></mrow></mrow></mrow><mo id="A4.Ex82.m1.4.4.1.1.1.2" maxsize="120%" minsize="120%" xref="A4.Ex82.m1.4.4.1.2.1.cmml">|</mo></mrow><mrow id="A4.Ex82.m1.3.3.1" xref="A4.Ex82.m1.3.3.1.cmml"><mi id="A4.Ex82.m1.3.3.1.2" xref="A4.Ex82.m1.3.3.1.2.cmml">z</mi><mo id="A4.Ex82.m1.3.3.1.1" xref="A4.Ex82.m1.3.3.1.1.cmml">=</mo><mn id="A4.Ex82.m1.3.3.1.3" xref="A4.Ex82.m1.3.3.1.3.cmml">0</mn></mrow></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A4.Ex82.m1.4b"><apply id="A4.Ex82.m1.4.4.cmml" xref="A4.Ex82.m1.4.4"><eq id="A4.Ex82.m1.4.4.2.cmml" xref="A4.Ex82.m1.4.4.2"></eq><csymbol cd="latexml" id="A4.Ex82.m1.4.4.3.cmml" xref="A4.Ex82.m1.4.4.3">absent</csymbol><apply id="A4.Ex82.m1.4.4.1.2.cmml" xref="A4.Ex82.m1.4.4.1.1"><csymbol cd="latexml" id="A4.Ex82.m1.4.4.1.2.1.cmml" xref="A4.Ex82.m1.4.4.1.1.1.2">evaluated-at</csymbol><apply id="A4.Ex82.m1.4.4.1.1.1.1.cmml" xref="A4.Ex82.m1.4.4.1.1.1.1"><times id="A4.Ex82.m1.4.4.1.1.1.1.4.cmml" xref="A4.Ex82.m1.4.4.1.1.1.1.4"></times><apply id="A4.Ex82.m1.4.4.1.1.1.1.1.cmml" xref="A4.Ex82.m1.4.4.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.Ex82.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A4.Ex82.m1.4.4.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="A4.Ex82.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A4.Ex82.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1"><minus id="A4.Ex82.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A4.Ex82.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1"></minus><cn id="A4.Ex82.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="A4.Ex82.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.2">1</cn></apply><ci id="A4.Ex82.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A4.Ex82.m1.4.4.1.1.1.1.1.3">𝑛</ci></apply><apply id="A4.Ex82.m1.4.4.1.1.1.1.3.cmml" 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id="A4.Ex82.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="A4.Ex82.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.2.1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="A4.Ex82.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.2.1.1.1.2.2.cmml" xref="A4.Ex82.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.2.1.1.1.2.2">𝑒</ci><ci id="A4.Ex82.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.2.1.1.1.2.3.cmml" xref="A4.Ex82.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.2.1.1.1.2.3">𝑧</ci></apply><cn id="A4.Ex82.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.2.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A4.Ex82.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.2.1.1.1.3">1</cn></apply><ci id="A4.Ex82.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml" xref="A4.Ex82.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.2.3">𝑛</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="A4.Ex82.m1.3.3.1.cmml" xref="A4.Ex82.m1.3.3.1"><eq id="A4.Ex82.m1.3.3.1.1.cmml" xref="A4.Ex82.m1.3.3.1.1"></eq><ci id="A4.Ex82.m1.3.3.1.2.cmml" xref="A4.Ex82.m1.3.3.1.2">𝑧</ci><cn id="A4.Ex82.m1.3.3.1.3.cmml" type="integer" xref="A4.Ex82.m1.3.3.1.3">0</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A4.Ex82.m1.4c">\displaystyle=(-1)^{n}\sum_{\ell=n}^{\infty}j_{x}^{(\ell)}(kx)\frac{(-x)^{\ell% }}{\ell!}\frac{d^{\ell}}{dz^{\ell}}(e^{z}-1)^{n}\big{|}_{z=0}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A4.Ex82.m1.4d">= ( - 1 ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_n end_POSTSUPERSCRIPT ∑ start_POSTSUBSCRIPT roman_ℓ = italic_n end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∞ end_POSTSUPERSCRIPT italic_j start_POSTSUBSCRIPT italic_x end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( roman_ℓ ) end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_k italic_x ) divide start_ARG ( - italic_x ) start_POSTSUPERSCRIPT roman_ℓ end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG roman_ℓ ! end_ARG divide start_ARG italic_d start_POSTSUPERSCRIPT roman_ℓ end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG italic_d italic_z start_POSTSUPERSCRIPT roman_ℓ end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG ( italic_e start_POSTSUPERSCRIPT italic_z end_POSTSUPERSCRIPT - 1 ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_n end_POSTSUPERSCRIPT | start_POSTSUBSCRIPT italic_z = 0 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="A4.SS4.3.p1.5">In the last step we used the fact that <math alttext="e^{z}-1" class="ltx_Math" display="inline" id="A4.SS4.3.p1.2.m1.1"><semantics id="A4.SS4.3.p1.2.m1.1a"><mrow id="A4.SS4.3.p1.2.m1.1.1" xref="A4.SS4.3.p1.2.m1.1.1.cmml"><msup id="A4.SS4.3.p1.2.m1.1.1.2" xref="A4.SS4.3.p1.2.m1.1.1.2.cmml"><mi id="A4.SS4.3.p1.2.m1.1.1.2.2" xref="A4.SS4.3.p1.2.m1.1.1.2.2.cmml">e</mi><mi id="A4.SS4.3.p1.2.m1.1.1.2.3" xref="A4.SS4.3.p1.2.m1.1.1.2.3.cmml">z</mi></msup><mo id="A4.SS4.3.p1.2.m1.1.1.1" xref="A4.SS4.3.p1.2.m1.1.1.1.cmml">−</mo><mn id="A4.SS4.3.p1.2.m1.1.1.3" xref="A4.SS4.3.p1.2.m1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A4.SS4.3.p1.2.m1.1b"><apply id="A4.SS4.3.p1.2.m1.1.1.cmml" xref="A4.SS4.3.p1.2.m1.1.1"><minus id="A4.SS4.3.p1.2.m1.1.1.1.cmml" xref="A4.SS4.3.p1.2.m1.1.1.1"></minus><apply id="A4.SS4.3.p1.2.m1.1.1.2.cmml" xref="A4.SS4.3.p1.2.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.SS4.3.p1.2.m1.1.1.2.1.cmml" xref="A4.SS4.3.p1.2.m1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="A4.SS4.3.p1.2.m1.1.1.2.2.cmml" xref="A4.SS4.3.p1.2.m1.1.1.2.2">𝑒</ci><ci id="A4.SS4.3.p1.2.m1.1.1.2.3.cmml" xref="A4.SS4.3.p1.2.m1.1.1.2.3">𝑧</ci></apply><cn id="A4.SS4.3.p1.2.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A4.SS4.3.p1.2.m1.1.1.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A4.SS4.3.p1.2.m1.1c">e^{z}-1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A4.SS4.3.p1.2.m1.1d">italic_e start_POSTSUPERSCRIPT italic_z end_POSTSUPERSCRIPT - 1</annotation></semantics></math> has no constant term in its Taylor series, so <math alttext="\frac{d^{\ell}}{dz^{\ell}}(e^{z}-1)^{n}\big{|}_{z=0}=0" class="ltx_Math" display="inline" id="A4.SS4.3.p1.3.m2.2"><semantics id="A4.SS4.3.p1.3.m2.2a"><mrow id="A4.SS4.3.p1.3.m2.2.2" xref="A4.SS4.3.p1.3.m2.2.2.cmml"><msub id="A4.SS4.3.p1.3.m2.2.2.1.1" xref="A4.SS4.3.p1.3.m2.2.2.1.2.cmml"><mrow id="A4.SS4.3.p1.3.m2.2.2.1.1.1" xref="A4.SS4.3.p1.3.m2.2.2.1.2.cmml"><mrow id="A4.SS4.3.p1.3.m2.2.2.1.1.1.1" xref="A4.SS4.3.p1.3.m2.2.2.1.1.1.1.cmml"><mfrac id="A4.SS4.3.p1.3.m2.2.2.1.1.1.1.3" xref="A4.SS4.3.p1.3.m2.2.2.1.1.1.1.3.cmml"><msup id="A4.SS4.3.p1.3.m2.2.2.1.1.1.1.3.2" xref="A4.SS4.3.p1.3.m2.2.2.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="A4.SS4.3.p1.3.m2.2.2.1.1.1.1.3.2.2" xref="A4.SS4.3.p1.3.m2.2.2.1.1.1.1.3.2.2.cmml">d</mi><mi id="A4.SS4.3.p1.3.m2.2.2.1.1.1.1.3.2.3" mathvariant="normal" xref="A4.SS4.3.p1.3.m2.2.2.1.1.1.1.3.2.3.cmml">ℓ</mi></msup><mrow id="A4.SS4.3.p1.3.m2.2.2.1.1.1.1.3.3" xref="A4.SS4.3.p1.3.m2.2.2.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="A4.SS4.3.p1.3.m2.2.2.1.1.1.1.3.3.2" xref="A4.SS4.3.p1.3.m2.2.2.1.1.1.1.3.3.2.cmml">d</mi><mo id="A4.SS4.3.p1.3.m2.2.2.1.1.1.1.3.3.1" xref="A4.SS4.3.p1.3.m2.2.2.1.1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="A4.SS4.3.p1.3.m2.2.2.1.1.1.1.3.3.3" xref="A4.SS4.3.p1.3.m2.2.2.1.1.1.1.3.3.3.cmml"><mi id="A4.SS4.3.p1.3.m2.2.2.1.1.1.1.3.3.3.2" xref="A4.SS4.3.p1.3.m2.2.2.1.1.1.1.3.3.3.2.cmml">z</mi><mi id="A4.SS4.3.p1.3.m2.2.2.1.1.1.1.3.3.3.3" mathvariant="normal" xref="A4.SS4.3.p1.3.m2.2.2.1.1.1.1.3.3.3.3.cmml">ℓ</mi></msup></mrow></mfrac><mo id="A4.SS4.3.p1.3.m2.2.2.1.1.1.1.2" xref="A4.SS4.3.p1.3.m2.2.2.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msup id="A4.SS4.3.p1.3.m2.2.2.1.1.1.1.1" xref="A4.SS4.3.p1.3.m2.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A4.SS4.3.p1.3.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="A4.SS4.3.p1.3.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A4.SS4.3.p1.3.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A4.SS4.3.p1.3.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A4.SS4.3.p1.3.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A4.SS4.3.p1.3.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msup id="A4.SS4.3.p1.3.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A4.SS4.3.p1.3.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="A4.SS4.3.p1.3.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="A4.SS4.3.p1.3.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">e</mi><mi id="A4.SS4.3.p1.3.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="A4.SS4.3.p1.3.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">z</mi></msup><mo id="A4.SS4.3.p1.3.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A4.SS4.3.p1.3.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mn id="A4.SS4.3.p1.3.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A4.SS4.3.p1.3.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="A4.SS4.3.p1.3.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A4.SS4.3.p1.3.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mi id="A4.SS4.3.p1.3.m2.2.2.1.1.1.1.1.3" xref="A4.SS4.3.p1.3.m2.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml">n</mi></msup></mrow><mo id="A4.SS4.3.p1.3.m2.2.2.1.1.1.2" maxsize="120%" minsize="120%" xref="A4.SS4.3.p1.3.m2.2.2.1.2.1.cmml">|</mo></mrow><mrow id="A4.SS4.3.p1.3.m2.1.1.1" xref="A4.SS4.3.p1.3.m2.1.1.1.cmml"><mi id="A4.SS4.3.p1.3.m2.1.1.1.2" xref="A4.SS4.3.p1.3.m2.1.1.1.2.cmml">z</mi><mo id="A4.SS4.3.p1.3.m2.1.1.1.1" xref="A4.SS4.3.p1.3.m2.1.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="A4.SS4.3.p1.3.m2.1.1.1.3" xref="A4.SS4.3.p1.3.m2.1.1.1.3.cmml">0</mn></mrow></msub><mo id="A4.SS4.3.p1.3.m2.2.2.2" xref="A4.SS4.3.p1.3.m2.2.2.2.cmml">=</mo><mn id="A4.SS4.3.p1.3.m2.2.2.3" xref="A4.SS4.3.p1.3.m2.2.2.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A4.SS4.3.p1.3.m2.2b"><apply id="A4.SS4.3.p1.3.m2.2.2.cmml" xref="A4.SS4.3.p1.3.m2.2.2"><eq id="A4.SS4.3.p1.3.m2.2.2.2.cmml" xref="A4.SS4.3.p1.3.m2.2.2.2"></eq><apply id="A4.SS4.3.p1.3.m2.2.2.1.2.cmml" xref="A4.SS4.3.p1.3.m2.2.2.1.1"><csymbol cd="latexml" id="A4.SS4.3.p1.3.m2.2.2.1.2.1.cmml" xref="A4.SS4.3.p1.3.m2.2.2.1.1.1.2">evaluated-at</csymbol><apply id="A4.SS4.3.p1.3.m2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="A4.SS4.3.p1.3.m2.2.2.1.1.1.1"><times id="A4.SS4.3.p1.3.m2.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="A4.SS4.3.p1.3.m2.2.2.1.1.1.1.2"></times><apply id="A4.SS4.3.p1.3.m2.2.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="A4.SS4.3.p1.3.m2.2.2.1.1.1.1.3"><divide id="A4.SS4.3.p1.3.m2.2.2.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A4.SS4.3.p1.3.m2.2.2.1.1.1.1.3"></divide><apply id="A4.SS4.3.p1.3.m2.2.2.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A4.SS4.3.p1.3.m2.2.2.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.SS4.3.p1.3.m2.2.2.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="A4.SS4.3.p1.3.m2.2.2.1.1.1.1.3.2">superscript</csymbol><ci id="A4.SS4.3.p1.3.m2.2.2.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="A4.SS4.3.p1.3.m2.2.2.1.1.1.1.3.2.2">𝑑</ci><ci id="A4.SS4.3.p1.3.m2.2.2.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="A4.SS4.3.p1.3.m2.2.2.1.1.1.1.3.2.3">ℓ</ci></apply><apply id="A4.SS4.3.p1.3.m2.2.2.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A4.SS4.3.p1.3.m2.2.2.1.1.1.1.3.3"><times id="A4.SS4.3.p1.3.m2.2.2.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="A4.SS4.3.p1.3.m2.2.2.1.1.1.1.3.3.1"></times><ci id="A4.SS4.3.p1.3.m2.2.2.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="A4.SS4.3.p1.3.m2.2.2.1.1.1.1.3.3.2">𝑑</ci><apply id="A4.SS4.3.p1.3.m2.2.2.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="A4.SS4.3.p1.3.m2.2.2.1.1.1.1.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.SS4.3.p1.3.m2.2.2.1.1.1.1.3.3.3.1.cmml" xref="A4.SS4.3.p1.3.m2.2.2.1.1.1.1.3.3.3">superscript</csymbol><ci id="A4.SS4.3.p1.3.m2.2.2.1.1.1.1.3.3.3.2.cmml" xref="A4.SS4.3.p1.3.m2.2.2.1.1.1.1.3.3.3.2">𝑧</ci><ci id="A4.SS4.3.p1.3.m2.2.2.1.1.1.1.3.3.3.3.cmml" xref="A4.SS4.3.p1.3.m2.2.2.1.1.1.1.3.3.3.3">ℓ</ci></apply></apply></apply><apply id="A4.SS4.3.p1.3.m2.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="A4.SS4.3.p1.3.m2.2.2.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.SS4.3.p1.3.m2.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A4.SS4.3.p1.3.m2.2.2.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="A4.SS4.3.p1.3.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A4.SS4.3.p1.3.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1"><minus id="A4.SS4.3.p1.3.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A4.SS4.3.p1.3.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><apply id="A4.SS4.3.p1.3.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A4.SS4.3.p1.3.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.SS4.3.p1.3.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A4.SS4.3.p1.3.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="A4.SS4.3.p1.3.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A4.SS4.3.p1.3.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝑒</ci><ci id="A4.SS4.3.p1.3.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="A4.SS4.3.p1.3.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">𝑧</ci></apply><cn id="A4.SS4.3.p1.3.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A4.SS4.3.p1.3.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3">1</cn></apply><ci id="A4.SS4.3.p1.3.m2.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A4.SS4.3.p1.3.m2.2.2.1.1.1.1.1.3">𝑛</ci></apply></apply><apply id="A4.SS4.3.p1.3.m2.1.1.1.cmml" xref="A4.SS4.3.p1.3.m2.1.1.1"><eq id="A4.SS4.3.p1.3.m2.1.1.1.1.cmml" xref="A4.SS4.3.p1.3.m2.1.1.1.1"></eq><ci id="A4.SS4.3.p1.3.m2.1.1.1.2.cmml" xref="A4.SS4.3.p1.3.m2.1.1.1.2">𝑧</ci><cn id="A4.SS4.3.p1.3.m2.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A4.SS4.3.p1.3.m2.1.1.1.3">0</cn></apply></apply><cn id="A4.SS4.3.p1.3.m2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="A4.SS4.3.p1.3.m2.2.2.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A4.SS4.3.p1.3.m2.2c">\frac{d^{\ell}}{dz^{\ell}}(e^{z}-1)^{n}\big{|}_{z=0}=0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A4.SS4.3.p1.3.m2.2d">divide start_ARG italic_d start_POSTSUPERSCRIPT roman_ℓ end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG italic_d italic_z start_POSTSUPERSCRIPT roman_ℓ end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG ( italic_e start_POSTSUPERSCRIPT italic_z end_POSTSUPERSCRIPT - 1 ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_n end_POSTSUPERSCRIPT | start_POSTSUBSCRIPT italic_z = 0 end_POSTSUBSCRIPT = 0</annotation></semantics></math> for all <math alttext="\ell<n" class="ltx_Math" display="inline" id="A4.SS4.3.p1.4.m3.1"><semantics id="A4.SS4.3.p1.4.m3.1a"><mrow id="A4.SS4.3.p1.4.m3.1.1" xref="A4.SS4.3.p1.4.m3.1.1.cmml"><mi id="A4.SS4.3.p1.4.m3.1.1.2" mathvariant="normal" xref="A4.SS4.3.p1.4.m3.1.1.2.cmml">ℓ</mi><mo id="A4.SS4.3.p1.4.m3.1.1.1" xref="A4.SS4.3.p1.4.m3.1.1.1.cmml"><</mo><mi id="A4.SS4.3.p1.4.m3.1.1.3" xref="A4.SS4.3.p1.4.m3.1.1.3.cmml">n</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A4.SS4.3.p1.4.m3.1b"><apply id="A4.SS4.3.p1.4.m3.1.1.cmml" xref="A4.SS4.3.p1.4.m3.1.1"><lt id="A4.SS4.3.p1.4.m3.1.1.1.cmml" xref="A4.SS4.3.p1.4.m3.1.1.1"></lt><ci id="A4.SS4.3.p1.4.m3.1.1.2.cmml" xref="A4.SS4.3.p1.4.m3.1.1.2">ℓ</ci><ci id="A4.SS4.3.p1.4.m3.1.1.3.cmml" xref="A4.SS4.3.p1.4.m3.1.1.3">𝑛</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A4.SS4.3.p1.4.m3.1c">\ell<n</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A4.SS4.3.p1.4.m3.1d">roman_ℓ < italic_n</annotation></semantics></math>. Also, <math alttext="\frac{d^{\ell}}{dz^{\ell}}(e^{z}-1)^{n}\big{|}_{z=0}\leq\frac{d^{\ell}}{dz^{% \ell}}(e^{z})^{n}\big{|}_{z=0}" class="ltx_Math" display="inline" id="A4.SS4.3.p1.5.m4.4"><semantics id="A4.SS4.3.p1.5.m4.4a"><mrow id="A4.SS4.3.p1.5.m4.4.4" xref="A4.SS4.3.p1.5.m4.4.4.cmml"><msub id="A4.SS4.3.p1.5.m4.3.3.1.1" xref="A4.SS4.3.p1.5.m4.3.3.1.2.cmml"><mrow id="A4.SS4.3.p1.5.m4.3.3.1.1.1" xref="A4.SS4.3.p1.5.m4.3.3.1.2.cmml"><mrow id="A4.SS4.3.p1.5.m4.3.3.1.1.1.1" xref="A4.SS4.3.p1.5.m4.3.3.1.1.1.1.cmml"><mfrac id="A4.SS4.3.p1.5.m4.3.3.1.1.1.1.3" xref="A4.SS4.3.p1.5.m4.3.3.1.1.1.1.3.cmml"><msup id="A4.SS4.3.p1.5.m4.3.3.1.1.1.1.3.2" xref="A4.SS4.3.p1.5.m4.3.3.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="A4.SS4.3.p1.5.m4.3.3.1.1.1.1.3.2.2" xref="A4.SS4.3.p1.5.m4.3.3.1.1.1.1.3.2.2.cmml">d</mi><mi id="A4.SS4.3.p1.5.m4.3.3.1.1.1.1.3.2.3" mathvariant="normal" xref="A4.SS4.3.p1.5.m4.3.3.1.1.1.1.3.2.3.cmml">ℓ</mi></msup><mrow id="A4.SS4.3.p1.5.m4.3.3.1.1.1.1.3.3" 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xref="A4.SS4.3.p1.5.m4.4.4.2.1.1.1.3"><divide id="A4.SS4.3.p1.5.m4.4.4.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="A4.SS4.3.p1.5.m4.4.4.2.1.1.1.3"></divide><apply id="A4.SS4.3.p1.5.m4.4.4.2.1.1.1.3.2.cmml" xref="A4.SS4.3.p1.5.m4.4.4.2.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.SS4.3.p1.5.m4.4.4.2.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="A4.SS4.3.p1.5.m4.4.4.2.1.1.1.3.2">superscript</csymbol><ci id="A4.SS4.3.p1.5.m4.4.4.2.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="A4.SS4.3.p1.5.m4.4.4.2.1.1.1.3.2.2">𝑑</ci><ci id="A4.SS4.3.p1.5.m4.4.4.2.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="A4.SS4.3.p1.5.m4.4.4.2.1.1.1.3.2.3">ℓ</ci></apply><apply id="A4.SS4.3.p1.5.m4.4.4.2.1.1.1.3.3.cmml" xref="A4.SS4.3.p1.5.m4.4.4.2.1.1.1.3.3"><times id="A4.SS4.3.p1.5.m4.4.4.2.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="A4.SS4.3.p1.5.m4.4.4.2.1.1.1.3.3.1"></times><ci id="A4.SS4.3.p1.5.m4.4.4.2.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="A4.SS4.3.p1.5.m4.4.4.2.1.1.1.3.3.2">𝑑</ci><apply id="A4.SS4.3.p1.5.m4.4.4.2.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="A4.SS4.3.p1.5.m4.4.4.2.1.1.1.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.SS4.3.p1.5.m4.4.4.2.1.1.1.3.3.3.1.cmml" xref="A4.SS4.3.p1.5.m4.4.4.2.1.1.1.3.3.3">superscript</csymbol><ci id="A4.SS4.3.p1.5.m4.4.4.2.1.1.1.3.3.3.2.cmml" xref="A4.SS4.3.p1.5.m4.4.4.2.1.1.1.3.3.3.2">𝑧</ci><ci id="A4.SS4.3.p1.5.m4.4.4.2.1.1.1.3.3.3.3.cmml" xref="A4.SS4.3.p1.5.m4.4.4.2.1.1.1.3.3.3.3">ℓ</ci></apply></apply></apply><apply id="A4.SS4.3.p1.5.m4.4.4.2.1.1.1.1.cmml" xref="A4.SS4.3.p1.5.m4.4.4.2.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.SS4.3.p1.5.m4.4.4.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="A4.SS4.3.p1.5.m4.4.4.2.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="A4.SS4.3.p1.5.m4.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A4.SS4.3.p1.5.m4.4.4.2.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.SS4.3.p1.5.m4.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A4.SS4.3.p1.5.m4.4.4.2.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="A4.SS4.3.p1.5.m4.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A4.SS4.3.p1.5.m4.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑒</ci><ci id="A4.SS4.3.p1.5.m4.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A4.SS4.3.p1.5.m4.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑧</ci></apply><ci id="A4.SS4.3.p1.5.m4.4.4.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="A4.SS4.3.p1.5.m4.4.4.2.1.1.1.1.3">𝑛</ci></apply></apply><apply id="A4.SS4.3.p1.5.m4.2.2.1.cmml" xref="A4.SS4.3.p1.5.m4.2.2.1"><eq id="A4.SS4.3.p1.5.m4.2.2.1.1.cmml" xref="A4.SS4.3.p1.5.m4.2.2.1.1"></eq><ci id="A4.SS4.3.p1.5.m4.2.2.1.2.cmml" xref="A4.SS4.3.p1.5.m4.2.2.1.2">𝑧</ci><cn id="A4.SS4.3.p1.5.m4.2.2.1.3.cmml" type="integer" xref="A4.SS4.3.p1.5.m4.2.2.1.3">0</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A4.SS4.3.p1.5.m4.4c">\frac{d^{\ell}}{dz^{\ell}}(e^{z}-1)^{n}\big{|}_{z=0}\leq\frac{d^{\ell}}{dz^{% \ell}}(e^{z})^{n}\big{|}_{z=0}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A4.SS4.3.p1.5.m4.4d">divide start_ARG italic_d start_POSTSUPERSCRIPT roman_ℓ end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG italic_d italic_z start_POSTSUPERSCRIPT roman_ℓ end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG ( italic_e start_POSTSUPERSCRIPT italic_z end_POSTSUPERSCRIPT - 1 ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_n end_POSTSUPERSCRIPT | start_POSTSUBSCRIPT italic_z = 0 end_POSTSUBSCRIPT ≤ divide start_ARG italic_d start_POSTSUPERSCRIPT roman_ℓ end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG italic_d italic_z start_POSTSUPERSCRIPT roman_ℓ end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG ( italic_e start_POSTSUPERSCRIPT italic_z end_POSTSUPERSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_n end_POSTSUPERSCRIPT | start_POSTSUBSCRIPT italic_z = 0 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> (the latter has more terms in each Taylor series and all coefficients of the Taylor expansion are positive). Therefore, in terms of magnitudes,</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="S6.EGx211"> <tbody id="A4.Ex83"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\delta^{n}g_{k}(x)" class="ltx_Math" display="inline" id="A4.Ex83.m1.1"><semantics id="A4.Ex83.m1.1a"><mrow id="A4.Ex83.m1.1.2" xref="A4.Ex83.m1.1.2.cmml"><msup id="A4.Ex83.m1.1.2.2" xref="A4.Ex83.m1.1.2.2.cmml"><mi id="A4.Ex83.m1.1.2.2.2" xref="A4.Ex83.m1.1.2.2.2.cmml">δ</mi><mi id="A4.Ex83.m1.1.2.2.3" xref="A4.Ex83.m1.1.2.2.3.cmml">n</mi></msup><mo id="A4.Ex83.m1.1.2.1" xref="A4.Ex83.m1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="A4.Ex83.m1.1.2.3" xref="A4.Ex83.m1.1.2.3.cmml"><mi id="A4.Ex83.m1.1.2.3.2" xref="A4.Ex83.m1.1.2.3.2.cmml">g</mi><mi id="A4.Ex83.m1.1.2.3.3" xref="A4.Ex83.m1.1.2.3.3.cmml">k</mi></msub><mo id="A4.Ex83.m1.1.2.1a" xref="A4.Ex83.m1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A4.Ex83.m1.1.2.4.2" xref="A4.Ex83.m1.1.2.cmml"><mo id="A4.Ex83.m1.1.2.4.2.1" stretchy="false" xref="A4.Ex83.m1.1.2.cmml">(</mo><mi id="A4.Ex83.m1.1.1" xref="A4.Ex83.m1.1.1.cmml">x</mi><mo id="A4.Ex83.m1.1.2.4.2.2" stretchy="false" xref="A4.Ex83.m1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A4.Ex83.m1.1b"><apply id="A4.Ex83.m1.1.2.cmml" xref="A4.Ex83.m1.1.2"><times id="A4.Ex83.m1.1.2.1.cmml" xref="A4.Ex83.m1.1.2.1"></times><apply id="A4.Ex83.m1.1.2.2.cmml" xref="A4.Ex83.m1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.Ex83.m1.1.2.2.1.cmml" xref="A4.Ex83.m1.1.2.2">superscript</csymbol><ci id="A4.Ex83.m1.1.2.2.2.cmml" xref="A4.Ex83.m1.1.2.2.2">𝛿</ci><ci id="A4.Ex83.m1.1.2.2.3.cmml" xref="A4.Ex83.m1.1.2.2.3">𝑛</ci></apply><apply id="A4.Ex83.m1.1.2.3.cmml" xref="A4.Ex83.m1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.Ex83.m1.1.2.3.1.cmml" xref="A4.Ex83.m1.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="A4.Ex83.m1.1.2.3.2.cmml" xref="A4.Ex83.m1.1.2.3.2">𝑔</ci><ci id="A4.Ex83.m1.1.2.3.3.cmml" xref="A4.Ex83.m1.1.2.3.3">𝑘</ci></apply><ci id="A4.Ex83.m1.1.1.cmml" xref="A4.Ex83.m1.1.1">𝑥</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A4.Ex83.m1.1c">\displaystyle\delta^{n}g_{k}(x)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A4.Ex83.m1.1d">italic_δ start_POSTSUPERSCRIPT italic_n end_POSTSUPERSCRIPT italic_g start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ( italic_x )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\leq\sum_{\ell=n}^{\infty}|j_{x}^{(\ell)}(kx)|\frac{(nx)^{\ell}}{% \ell!}" class="ltx_Math" display="inline" id="A4.Ex83.m2.3"><semantics id="A4.Ex83.m2.3a"><mrow id="A4.Ex83.m2.3.3" xref="A4.Ex83.m2.3.3.cmml"><mi id="A4.Ex83.m2.3.3.3" xref="A4.Ex83.m2.3.3.3.cmml"></mi><mo id="A4.Ex83.m2.3.3.2" xref="A4.Ex83.m2.3.3.2.cmml">≤</mo><mrow id="A4.Ex83.m2.3.3.1" xref="A4.Ex83.m2.3.3.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A4.Ex83.m2.3.3.1.2" xref="A4.Ex83.m2.3.3.1.2.cmml"><munderover id="A4.Ex83.m2.3.3.1.2a" xref="A4.Ex83.m2.3.3.1.2.cmml"><mo id="A4.Ex83.m2.3.3.1.2.2.2" movablelimits="false" xref="A4.Ex83.m2.3.3.1.2.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="A4.Ex83.m2.3.3.1.2.2.3" xref="A4.Ex83.m2.3.3.1.2.2.3.cmml"><mi id="A4.Ex83.m2.3.3.1.2.2.3.2" mathvariant="normal" xref="A4.Ex83.m2.3.3.1.2.2.3.2.cmml">ℓ</mi><mo id="A4.Ex83.m2.3.3.1.2.2.3.1" xref="A4.Ex83.m2.3.3.1.2.2.3.1.cmml">=</mo><mi id="A4.Ex83.m2.3.3.1.2.2.3.3" xref="A4.Ex83.m2.3.3.1.2.2.3.3.cmml">n</mi></mrow><mi id="A4.Ex83.m2.3.3.1.2.3" mathvariant="normal" xref="A4.Ex83.m2.3.3.1.2.3.cmml">∞</mi></munderover></mstyle><mrow id="A4.Ex83.m2.3.3.1.1" xref="A4.Ex83.m2.3.3.1.1.cmml"><mrow id="A4.Ex83.m2.3.3.1.1.1.1" xref="A4.Ex83.m2.3.3.1.1.1.2.cmml"><mo id="A4.Ex83.m2.3.3.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A4.Ex83.m2.3.3.1.1.1.2.1.cmml">|</mo><mrow id="A4.Ex83.m2.3.3.1.1.1.1.1" xref="A4.Ex83.m2.3.3.1.1.1.1.1.cmml"><msubsup id="A4.Ex83.m2.3.3.1.1.1.1.1.3" xref="A4.Ex83.m2.3.3.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A4.Ex83.m2.3.3.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="A4.Ex83.m2.3.3.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">j</mi><mi id="A4.Ex83.m2.3.3.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="A4.Ex83.m2.3.3.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">x</mi><mrow id="A4.Ex83.m2.1.1.1.3" xref="A4.Ex83.m2.3.3.1.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="A4.Ex83.m2.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="A4.Ex83.m2.3.3.1.1.1.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="A4.Ex83.m2.1.1.1.1" mathvariant="normal" xref="A4.Ex83.m2.1.1.1.1.cmml">ℓ</mi><mo id="A4.Ex83.m2.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="A4.Ex83.m2.3.3.1.1.1.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></msubsup><mo id="A4.Ex83.m2.3.3.1.1.1.1.1.2" xref="A4.Ex83.m2.3.3.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A4.Ex83.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1" xref="A4.Ex83.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A4.Ex83.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A4.Ex83.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A4.Ex83.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A4.Ex83.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A4.Ex83.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A4.Ex83.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">k</mi><mo id="A4.Ex83.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A4.Ex83.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="A4.Ex83.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A4.Ex83.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">x</mi></mrow><mo id="A4.Ex83.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A4.Ex83.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A4.Ex83.m2.3.3.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A4.Ex83.m2.3.3.1.1.1.2.1.cmml">|</mo></mrow><mo id="A4.Ex83.m2.3.3.1.1.2" xref="A4.Ex83.m2.3.3.1.1.2.cmml">⁢</mo><mstyle displaystyle="true" id="A4.Ex83.m2.2.2" xref="A4.Ex83.m2.2.2.cmml"><mfrac id="A4.Ex83.m2.2.2a" xref="A4.Ex83.m2.2.2.cmml"><msup id="A4.Ex83.m2.2.2.1" xref="A4.Ex83.m2.2.2.1.cmml"><mrow id="A4.Ex83.m2.2.2.1.1.1" xref="A4.Ex83.m2.2.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="A4.Ex83.m2.2.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A4.Ex83.m2.2.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A4.Ex83.m2.2.2.1.1.1.1" xref="A4.Ex83.m2.2.2.1.1.1.1.cmml"><mi id="A4.Ex83.m2.2.2.1.1.1.1.2" xref="A4.Ex83.m2.2.2.1.1.1.1.2.cmml">n</mi><mo id="A4.Ex83.m2.2.2.1.1.1.1.1" xref="A4.Ex83.m2.2.2.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="A4.Ex83.m2.2.2.1.1.1.1.3" xref="A4.Ex83.m2.2.2.1.1.1.1.3.cmml">x</mi></mrow><mo id="A4.Ex83.m2.2.2.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A4.Ex83.m2.2.2.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mi id="A4.Ex83.m2.2.2.1.3" mathvariant="normal" xref="A4.Ex83.m2.2.2.1.3.cmml">ℓ</mi></msup><mrow id="A4.Ex83.m2.2.2.3" xref="A4.Ex83.m2.2.2.3.cmml"><mi id="A4.Ex83.m2.2.2.3.2" mathvariant="normal" xref="A4.Ex83.m2.2.2.3.2.cmml">ℓ</mi><mo id="A4.Ex83.m2.2.2.3.1" xref="A4.Ex83.m2.2.2.3.1.cmml">!</mo></mrow></mfrac></mstyle></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A4.Ex83.m2.3b"><apply id="A4.Ex83.m2.3.3.cmml" xref="A4.Ex83.m2.3.3"><leq id="A4.Ex83.m2.3.3.2.cmml" xref="A4.Ex83.m2.3.3.2"></leq><csymbol cd="latexml" id="A4.Ex83.m2.3.3.3.cmml" xref="A4.Ex83.m2.3.3.3">absent</csymbol><apply id="A4.Ex83.m2.3.3.1.cmml" xref="A4.Ex83.m2.3.3.1"><apply id="A4.Ex83.m2.3.3.1.2.cmml" xref="A4.Ex83.m2.3.3.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.Ex83.m2.3.3.1.2.1.cmml" xref="A4.Ex83.m2.3.3.1.2">superscript</csymbol><apply id="A4.Ex83.m2.3.3.1.2.2.cmml" xref="A4.Ex83.m2.3.3.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.Ex83.m2.3.3.1.2.2.1.cmml" xref="A4.Ex83.m2.3.3.1.2">subscript</csymbol><sum id="A4.Ex83.m2.3.3.1.2.2.2.cmml" xref="A4.Ex83.m2.3.3.1.2.2.2"></sum><apply id="A4.Ex83.m2.3.3.1.2.2.3.cmml" xref="A4.Ex83.m2.3.3.1.2.2.3"><eq id="A4.Ex83.m2.3.3.1.2.2.3.1.cmml" xref="A4.Ex83.m2.3.3.1.2.2.3.1"></eq><ci id="A4.Ex83.m2.3.3.1.2.2.3.2.cmml" xref="A4.Ex83.m2.3.3.1.2.2.3.2">ℓ</ci><ci id="A4.Ex83.m2.3.3.1.2.2.3.3.cmml" xref="A4.Ex83.m2.3.3.1.2.2.3.3">𝑛</ci></apply></apply><infinity id="A4.Ex83.m2.3.3.1.2.3.cmml" xref="A4.Ex83.m2.3.3.1.2.3"></infinity></apply><apply id="A4.Ex83.m2.3.3.1.1.cmml" xref="A4.Ex83.m2.3.3.1.1"><times id="A4.Ex83.m2.3.3.1.1.2.cmml" xref="A4.Ex83.m2.3.3.1.1.2"></times><apply id="A4.Ex83.m2.3.3.1.1.1.2.cmml" 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xref="A4.Ex83.m2.2.2.1.3">ℓ</ci></apply><apply id="A4.Ex83.m2.2.2.3.cmml" xref="A4.Ex83.m2.2.2.3"><factorial id="A4.Ex83.m2.2.2.3.1.cmml" xref="A4.Ex83.m2.2.2.3.1"></factorial><ci id="A4.Ex83.m2.2.2.3.2.cmml" xref="A4.Ex83.m2.2.2.3.2">ℓ</ci></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A4.Ex83.m2.3c">\displaystyle\leq\sum_{\ell=n}^{\infty}|j_{x}^{(\ell)}(kx)|\frac{(nx)^{\ell}}{% \ell!}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A4.Ex83.m2.3d">≤ ∑ start_POSTSUBSCRIPT roman_ℓ = italic_n end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∞ end_POSTSUPERSCRIPT | italic_j start_POSTSUBSCRIPT italic_x end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( roman_ℓ ) end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_k italic_x ) | divide start_ARG ( italic_n italic_x ) start_POSTSUPERSCRIPT roman_ℓ end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG roman_ℓ ! end_ARG</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> </div> <div class="ltx_para" id="A4.SS4.4.p2"> <p class="ltx_p" id="A4.SS4.4.p2.1">Next, we bound each <math alttext="|j_{x}^{(\ell)}(kx)|" class="ltx_Math" display="inline" id="A4.SS4.4.p2.1.m1.2"><semantics id="A4.SS4.4.p2.1.m1.2a"><mrow id="A4.SS4.4.p2.1.m1.2.2.1" xref="A4.SS4.4.p2.1.m1.2.2.2.cmml"><mo id="A4.SS4.4.p2.1.m1.2.2.1.2" stretchy="false" xref="A4.SS4.4.p2.1.m1.2.2.2.1.cmml">|</mo><mrow id="A4.SS4.4.p2.1.m1.2.2.1.1" xref="A4.SS4.4.p2.1.m1.2.2.1.1.cmml"><msubsup id="A4.SS4.4.p2.1.m1.2.2.1.1.3" xref="A4.SS4.4.p2.1.m1.2.2.1.1.3.cmml"><mi id="A4.SS4.4.p2.1.m1.2.2.1.1.3.2.2" xref="A4.SS4.4.p2.1.m1.2.2.1.1.3.2.2.cmml">j</mi><mi id="A4.SS4.4.p2.1.m1.2.2.1.1.3.2.3" xref="A4.SS4.4.p2.1.m1.2.2.1.1.3.2.3.cmml">x</mi><mrow id="A4.SS4.4.p2.1.m1.1.1.1.3" xref="A4.SS4.4.p2.1.m1.2.2.1.1.3.cmml"><mo id="A4.SS4.4.p2.1.m1.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="A4.SS4.4.p2.1.m1.2.2.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="A4.SS4.4.p2.1.m1.1.1.1.1" mathvariant="normal" xref="A4.SS4.4.p2.1.m1.1.1.1.1.cmml">ℓ</mi><mo id="A4.SS4.4.p2.1.m1.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="A4.SS4.4.p2.1.m1.2.2.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></msubsup><mo id="A4.SS4.4.p2.1.m1.2.2.1.1.2" xref="A4.SS4.4.p2.1.m1.2.2.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A4.SS4.4.p2.1.m1.2.2.1.1.1.1" xref="A4.SS4.4.p2.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A4.SS4.4.p2.1.m1.2.2.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A4.SS4.4.p2.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A4.SS4.4.p2.1.m1.2.2.1.1.1.1.1" xref="A4.SS4.4.p2.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A4.SS4.4.p2.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.2" xref="A4.SS4.4.p2.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml">k</mi><mo id="A4.SS4.4.p2.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="A4.SS4.4.p2.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="A4.SS4.4.p2.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.3" xref="A4.SS4.4.p2.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml">x</mi></mrow><mo id="A4.SS4.4.p2.1.m1.2.2.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A4.SS4.4.p2.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A4.SS4.4.p2.1.m1.2.2.1.3" stretchy="false" xref="A4.SS4.4.p2.1.m1.2.2.2.1.cmml">|</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A4.SS4.4.p2.1.m1.2b"><apply id="A4.SS4.4.p2.1.m1.2.2.2.cmml" xref="A4.SS4.4.p2.1.m1.2.2.1"><abs id="A4.SS4.4.p2.1.m1.2.2.2.1.cmml" xref="A4.SS4.4.p2.1.m1.2.2.1.2"></abs><apply id="A4.SS4.4.p2.1.m1.2.2.1.1.cmml" xref="A4.SS4.4.p2.1.m1.2.2.1.1"><times id="A4.SS4.4.p2.1.m1.2.2.1.1.2.cmml" xref="A4.SS4.4.p2.1.m1.2.2.1.1.2"></times><apply id="A4.SS4.4.p2.1.m1.2.2.1.1.3.cmml" xref="A4.SS4.4.p2.1.m1.2.2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.SS4.4.p2.1.m1.2.2.1.1.3.1.cmml" xref="A4.SS4.4.p2.1.m1.2.2.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="A4.SS4.4.p2.1.m1.2.2.1.1.3.2.cmml" xref="A4.SS4.4.p2.1.m1.2.2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.SS4.4.p2.1.m1.2.2.1.1.3.2.1.cmml" xref="A4.SS4.4.p2.1.m1.2.2.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A4.SS4.4.p2.1.m1.2.2.1.1.3.2.2.cmml" xref="A4.SS4.4.p2.1.m1.2.2.1.1.3.2.2">𝑗</ci><ci id="A4.SS4.4.p2.1.m1.2.2.1.1.3.2.3.cmml" xref="A4.SS4.4.p2.1.m1.2.2.1.1.3.2.3">𝑥</ci></apply><ci id="A4.SS4.4.p2.1.m1.1.1.1.1.cmml" xref="A4.SS4.4.p2.1.m1.1.1.1.1">ℓ</ci></apply><apply id="A4.SS4.4.p2.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="A4.SS4.4.p2.1.m1.2.2.1.1.1.1"><times id="A4.SS4.4.p2.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A4.SS4.4.p2.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1"></times><ci id="A4.SS4.4.p2.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A4.SS4.4.p2.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.2">𝑘</ci><ci id="A4.SS4.4.p2.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A4.SS4.4.p2.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.3">𝑥</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A4.SS4.4.p2.1.m1.2c">|j_{x}^{(\ell)}(kx)|</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A4.SS4.4.p2.1.m1.2d">| italic_j start_POSTSUBSCRIPT italic_x end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( roman_ℓ ) end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_k italic_x ) |</annotation></semantics></math> using the Cauchy integral theorem:</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="S6.EGx212"> <tbody id="A4.Ex84"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle j_{x}^{(\ell)}(y)" class="ltx_Math" display="inline" id="A4.Ex84.m1.2"><semantics id="A4.Ex84.m1.2a"><mrow id="A4.Ex84.m1.2.3" xref="A4.Ex84.m1.2.3.cmml"><msubsup id="A4.Ex84.m1.2.3.2" xref="A4.Ex84.m1.2.3.2.cmml"><mi id="A4.Ex84.m1.2.3.2.2.2" xref="A4.Ex84.m1.2.3.2.2.2.cmml">j</mi><mi id="A4.Ex84.m1.2.3.2.2.3" xref="A4.Ex84.m1.2.3.2.2.3.cmml">x</mi><mrow id="A4.Ex84.m1.1.1.1.3" xref="A4.Ex84.m1.2.3.2.cmml"><mo id="A4.Ex84.m1.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="A4.Ex84.m1.2.3.2.cmml">(</mo><mi id="A4.Ex84.m1.1.1.1.1" mathvariant="normal" xref="A4.Ex84.m1.1.1.1.1.cmml">ℓ</mi><mo id="A4.Ex84.m1.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="A4.Ex84.m1.2.3.2.cmml">)</mo></mrow></msubsup><mo id="A4.Ex84.m1.2.3.1" xref="A4.Ex84.m1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A4.Ex84.m1.2.3.3.2" xref="A4.Ex84.m1.2.3.cmml"><mo id="A4.Ex84.m1.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="A4.Ex84.m1.2.3.cmml">(</mo><mi id="A4.Ex84.m1.2.2" xref="A4.Ex84.m1.2.2.cmml">y</mi><mo id="A4.Ex84.m1.2.3.3.2.2" stretchy="false" xref="A4.Ex84.m1.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A4.Ex84.m1.2b"><apply id="A4.Ex84.m1.2.3.cmml" xref="A4.Ex84.m1.2.3"><times id="A4.Ex84.m1.2.3.1.cmml" xref="A4.Ex84.m1.2.3.1"></times><apply id="A4.Ex84.m1.2.3.2.cmml" xref="A4.Ex84.m1.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.Ex84.m1.2.3.2.1.cmml" xref="A4.Ex84.m1.2.3.2">superscript</csymbol><apply id="A4.Ex84.m1.2.3.2.2.cmml" xref="A4.Ex84.m1.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.Ex84.m1.2.3.2.2.1.cmml" xref="A4.Ex84.m1.2.3.2">subscript</csymbol><ci id="A4.Ex84.m1.2.3.2.2.2.cmml" xref="A4.Ex84.m1.2.3.2.2.2">𝑗</ci><ci id="A4.Ex84.m1.2.3.2.2.3.cmml" xref="A4.Ex84.m1.2.3.2.2.3">𝑥</ci></apply><ci id="A4.Ex84.m1.1.1.1.1.cmml" xref="A4.Ex84.m1.1.1.1.1">ℓ</ci></apply><ci id="A4.Ex84.m1.2.2.cmml" 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id="A4.Ex84.m2.2.3.3.2.2" xref="A4.Ex84.m2.2.3.3.2.2.cmml"><mi id="A4.Ex84.m2.2.3.3.2.2.2" mathvariant="normal" xref="A4.Ex84.m2.2.3.3.2.2.2.cmml">ℓ</mi><mo id="A4.Ex84.m2.2.3.3.2.2.1" xref="A4.Ex84.m2.2.3.3.2.2.1.cmml">!</mo></mrow><mrow id="A4.Ex84.m2.2.3.3.2.3" xref="A4.Ex84.m2.2.3.3.2.3.cmml"><mn id="A4.Ex84.m2.2.3.3.2.3.2" xref="A4.Ex84.m2.2.3.3.2.3.2.cmml">2</mn><mo id="A4.Ex84.m2.2.3.3.2.3.1" xref="A4.Ex84.m2.2.3.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A4.Ex84.m2.2.3.3.2.3.3" xref="A4.Ex84.m2.2.3.3.2.3.3.cmml">π</mi><mo id="A4.Ex84.m2.2.3.3.2.3.1a" xref="A4.Ex84.m2.2.3.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A4.Ex84.m2.2.3.3.2.3.4" xref="A4.Ex84.m2.2.3.3.2.3.4.cmml">i</mi></mrow></mfrac></mstyle><mo id="A4.Ex84.m2.2.3.3.1" xref="A4.Ex84.m2.2.3.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A4.Ex84.m2.2.3.3.3" xref="A4.Ex84.m2.2.3.3.3.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A4.Ex84.m2.2.3.3.3.1" xref="A4.Ex84.m2.2.3.3.3.1.cmml"><msub id="A4.Ex84.m2.2.3.3.3.1a" xref="A4.Ex84.m2.2.3.3.3.1.cmml"><mo id="A4.Ex84.m2.2.3.3.3.1.2" 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id="A4.Ex84.m2.2d">= divide start_ARG roman_ℓ ! end_ARG start_ARG 2 italic_π italic_i end_ARG ∫ start_POSTSUBSCRIPT italic_γ end_POSTSUBSCRIPT divide start_ARG italic_j start_POSTSUBSCRIPT italic_x end_POSTSUBSCRIPT ( italic_z ) end_ARG start_ARG ( italic_z - italic_y ) start_POSTSUPERSCRIPT roman_ℓ + 1 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG italic_d italic_z</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="A4.Ex85"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=\frac{\ell!}{2\pi i}\int_{\gamma}\frac{(1+z)^{2}}{(1+xz)(z-y)^{% \ell+1}}dz" class="ltx_Math" display="inline" id="A4.Ex85.m1.3"><semantics id="A4.Ex85.m1.3a"><mrow id="A4.Ex85.m1.3.4" xref="A4.Ex85.m1.3.4.cmml"><mi id="A4.Ex85.m1.3.4.2" xref="A4.Ex85.m1.3.4.2.cmml"></mi><mo id="A4.Ex85.m1.3.4.1" xref="A4.Ex85.m1.3.4.1.cmml">=</mo><mrow id="A4.Ex85.m1.3.4.3" xref="A4.Ex85.m1.3.4.3.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A4.Ex85.m1.3.4.3.2" xref="A4.Ex85.m1.3.4.3.2.cmml"><mfrac id="A4.Ex85.m1.3.4.3.2a" xref="A4.Ex85.m1.3.4.3.2.cmml"><mrow id="A4.Ex85.m1.3.4.3.2.2" xref="A4.Ex85.m1.3.4.3.2.2.cmml"><mi id="A4.Ex85.m1.3.4.3.2.2.2" mathvariant="normal" xref="A4.Ex85.m1.3.4.3.2.2.2.cmml">ℓ</mi><mo id="A4.Ex85.m1.3.4.3.2.2.1" xref="A4.Ex85.m1.3.4.3.2.2.1.cmml">!</mo></mrow><mrow id="A4.Ex85.m1.3.4.3.2.3" xref="A4.Ex85.m1.3.4.3.2.3.cmml"><mn id="A4.Ex85.m1.3.4.3.2.3.2" xref="A4.Ex85.m1.3.4.3.2.3.2.cmml">2</mn><mo id="A4.Ex85.m1.3.4.3.2.3.1" xref="A4.Ex85.m1.3.4.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A4.Ex85.m1.3.4.3.2.3.3" xref="A4.Ex85.m1.3.4.3.2.3.3.cmml">π</mi><mo id="A4.Ex85.m1.3.4.3.2.3.1a" xref="A4.Ex85.m1.3.4.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A4.Ex85.m1.3.4.3.2.3.4" xref="A4.Ex85.m1.3.4.3.2.3.4.cmml">i</mi></mrow></mfrac></mstyle><mo id="A4.Ex85.m1.3.4.3.1" xref="A4.Ex85.m1.3.4.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A4.Ex85.m1.3.4.3.3" xref="A4.Ex85.m1.3.4.3.3.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A4.Ex85.m1.3.4.3.3.1" xref="A4.Ex85.m1.3.4.3.3.1.cmml"><msub id="A4.Ex85.m1.3.4.3.3.1a" xref="A4.Ex85.m1.3.4.3.3.1.cmml"><mo id="A4.Ex85.m1.3.4.3.3.1.2" xref="A4.Ex85.m1.3.4.3.3.1.2.cmml">∫</mo><mi id="A4.Ex85.m1.3.4.3.3.1.3" xref="A4.Ex85.m1.3.4.3.3.1.3.cmml">γ</mi></msub></mstyle><mrow id="A4.Ex85.m1.3.4.3.3.2" xref="A4.Ex85.m1.3.4.3.3.2.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A4.Ex85.m1.3.3" xref="A4.Ex85.m1.3.3.cmml"><mfrac id="A4.Ex85.m1.3.3a" xref="A4.Ex85.m1.3.3.cmml"><msup id="A4.Ex85.m1.1.1.1" xref="A4.Ex85.m1.1.1.1.cmml"><mrow id="A4.Ex85.m1.1.1.1.1.1" xref="A4.Ex85.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A4.Ex85.m1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A4.Ex85.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A4.Ex85.m1.1.1.1.1.1.1" xref="A4.Ex85.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="A4.Ex85.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A4.Ex85.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">1</mn><mo id="A4.Ex85.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A4.Ex85.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mi id="A4.Ex85.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A4.Ex85.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">z</mi></mrow><mo id="A4.Ex85.m1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A4.Ex85.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mn id="A4.Ex85.m1.1.1.1.3" xref="A4.Ex85.m1.1.1.1.3.cmml">2</mn></msup><mrow id="A4.Ex85.m1.3.3.3" xref="A4.Ex85.m1.3.3.3.cmml"><mrow id="A4.Ex85.m1.2.2.2.1.1" xref="A4.Ex85.m1.2.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="A4.Ex85.m1.2.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="A4.Ex85.m1.2.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A4.Ex85.m1.2.2.2.1.1.1" xref="A4.Ex85.m1.2.2.2.1.1.1.cmml"><mn id="A4.Ex85.m1.2.2.2.1.1.1.2" xref="A4.Ex85.m1.2.2.2.1.1.1.2.cmml">1</mn><mo id="A4.Ex85.m1.2.2.2.1.1.1.1" xref="A4.Ex85.m1.2.2.2.1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="A4.Ex85.m1.2.2.2.1.1.1.3" xref="A4.Ex85.m1.2.2.2.1.1.1.3.cmml"><mi id="A4.Ex85.m1.2.2.2.1.1.1.3.2" xref="A4.Ex85.m1.2.2.2.1.1.1.3.2.cmml">x</mi><mo id="A4.Ex85.m1.2.2.2.1.1.1.3.1" xref="A4.Ex85.m1.2.2.2.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A4.Ex85.m1.2.2.2.1.1.1.3.3" xref="A4.Ex85.m1.2.2.2.1.1.1.3.3.cmml">z</mi></mrow></mrow><mo id="A4.Ex85.m1.2.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="A4.Ex85.m1.2.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A4.Ex85.m1.3.3.3.3" xref="A4.Ex85.m1.3.3.3.3.cmml">⁢</mo><msup id="A4.Ex85.m1.3.3.3.2" xref="A4.Ex85.m1.3.3.3.2.cmml"><mrow id="A4.Ex85.m1.3.3.3.2.1.1" xref="A4.Ex85.m1.3.3.3.2.1.1.1.cmml"><mo id="A4.Ex85.m1.3.3.3.2.1.1.2" stretchy="false" xref="A4.Ex85.m1.3.3.3.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A4.Ex85.m1.3.3.3.2.1.1.1" xref="A4.Ex85.m1.3.3.3.2.1.1.1.cmml"><mi id="A4.Ex85.m1.3.3.3.2.1.1.1.2" xref="A4.Ex85.m1.3.3.3.2.1.1.1.2.cmml">z</mi><mo id="A4.Ex85.m1.3.3.3.2.1.1.1.1" xref="A4.Ex85.m1.3.3.3.2.1.1.1.1.cmml">−</mo><mi id="A4.Ex85.m1.3.3.3.2.1.1.1.3" xref="A4.Ex85.m1.3.3.3.2.1.1.1.3.cmml">y</mi></mrow><mo id="A4.Ex85.m1.3.3.3.2.1.1.3" stretchy="false" xref="A4.Ex85.m1.3.3.3.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="A4.Ex85.m1.3.3.3.2.3" xref="A4.Ex85.m1.3.3.3.2.3.cmml"><mi id="A4.Ex85.m1.3.3.3.2.3.2" mathvariant="normal" xref="A4.Ex85.m1.3.3.3.2.3.2.cmml">ℓ</mi><mo id="A4.Ex85.m1.3.3.3.2.3.1" xref="A4.Ex85.m1.3.3.3.2.3.1.cmml">+</mo><mn id="A4.Ex85.m1.3.3.3.2.3.3" xref="A4.Ex85.m1.3.3.3.2.3.3.cmml">1</mn></mrow></msup></mrow></mfrac></mstyle><mo id="A4.Ex85.m1.3.4.3.3.2.1" lspace="0em" xref="A4.Ex85.m1.3.4.3.3.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A4.Ex85.m1.3.4.3.3.2.2" xref="A4.Ex85.m1.3.4.3.3.2.2.cmml"><mo id="A4.Ex85.m1.3.4.3.3.2.2.1" rspace="0em" xref="A4.Ex85.m1.3.4.3.3.2.2.1.cmml">𝑑</mo><mi id="A4.Ex85.m1.3.4.3.3.2.2.2" xref="A4.Ex85.m1.3.4.3.3.2.2.2.cmml">z</mi></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A4.Ex85.m1.3b"><apply id="A4.Ex85.m1.3.4.cmml" xref="A4.Ex85.m1.3.4"><eq id="A4.Ex85.m1.3.4.1.cmml" xref="A4.Ex85.m1.3.4.1"></eq><csymbol cd="latexml" id="A4.Ex85.m1.3.4.2.cmml" xref="A4.Ex85.m1.3.4.2">absent</csymbol><apply id="A4.Ex85.m1.3.4.3.cmml" xref="A4.Ex85.m1.3.4.3"><times id="A4.Ex85.m1.3.4.3.1.cmml" xref="A4.Ex85.m1.3.4.3.1"></times><apply id="A4.Ex85.m1.3.4.3.2.cmml" xref="A4.Ex85.m1.3.4.3.2"><divide id="A4.Ex85.m1.3.4.3.2.1.cmml" xref="A4.Ex85.m1.3.4.3.2"></divide><apply id="A4.Ex85.m1.3.4.3.2.2.cmml" xref="A4.Ex85.m1.3.4.3.2.2"><factorial id="A4.Ex85.m1.3.4.3.2.2.1.cmml" xref="A4.Ex85.m1.3.4.3.2.2.1"></factorial><ci id="A4.Ex85.m1.3.4.3.2.2.2.cmml" xref="A4.Ex85.m1.3.4.3.2.2.2">ℓ</ci></apply><apply id="A4.Ex85.m1.3.4.3.2.3.cmml" xref="A4.Ex85.m1.3.4.3.2.3"><times id="A4.Ex85.m1.3.4.3.2.3.1.cmml" xref="A4.Ex85.m1.3.4.3.2.3.1"></times><cn id="A4.Ex85.m1.3.4.3.2.3.2.cmml" type="integer" xref="A4.Ex85.m1.3.4.3.2.3.2">2</cn><ci id="A4.Ex85.m1.3.4.3.2.3.3.cmml" xref="A4.Ex85.m1.3.4.3.2.3.3">𝜋</ci><ci id="A4.Ex85.m1.3.4.3.2.3.4.cmml" xref="A4.Ex85.m1.3.4.3.2.3.4">𝑖</ci></apply></apply><apply id="A4.Ex85.m1.3.4.3.3.cmml" xref="A4.Ex85.m1.3.4.3.3"><apply id="A4.Ex85.m1.3.4.3.3.1.cmml" xref="A4.Ex85.m1.3.4.3.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.Ex85.m1.3.4.3.3.1.1.cmml" xref="A4.Ex85.m1.3.4.3.3.1">subscript</csymbol><int id="A4.Ex85.m1.3.4.3.3.1.2.cmml" xref="A4.Ex85.m1.3.4.3.3.1.2"></int><ci id="A4.Ex85.m1.3.4.3.3.1.3.cmml" xref="A4.Ex85.m1.3.4.3.3.1.3">𝛾</ci></apply><apply id="A4.Ex85.m1.3.4.3.3.2.cmml" xref="A4.Ex85.m1.3.4.3.3.2"><times id="A4.Ex85.m1.3.4.3.3.2.1.cmml" xref="A4.Ex85.m1.3.4.3.3.2.1"></times><apply id="A4.Ex85.m1.3.3.cmml" xref="A4.Ex85.m1.3.3"><divide id="A4.Ex85.m1.3.3.4.cmml" xref="A4.Ex85.m1.3.3"></divide><apply id="A4.Ex85.m1.1.1.1.cmml" xref="A4.Ex85.m1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.Ex85.m1.1.1.1.2.cmml" xref="A4.Ex85.m1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="A4.Ex85.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A4.Ex85.m1.1.1.1.1.1"><plus id="A4.Ex85.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A4.Ex85.m1.1.1.1.1.1.1.1"></plus><cn id="A4.Ex85.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="A4.Ex85.m1.1.1.1.1.1.1.2">1</cn><ci id="A4.Ex85.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A4.Ex85.m1.1.1.1.1.1.1.3">𝑧</ci></apply><cn id="A4.Ex85.m1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A4.Ex85.m1.1.1.1.3">2</cn></apply><apply id="A4.Ex85.m1.3.3.3.cmml" xref="A4.Ex85.m1.3.3.3"><times id="A4.Ex85.m1.3.3.3.3.cmml" xref="A4.Ex85.m1.3.3.3.3"></times><apply id="A4.Ex85.m1.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="A4.Ex85.m1.2.2.2.1.1"><plus id="A4.Ex85.m1.2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="A4.Ex85.m1.2.2.2.1.1.1.1"></plus><cn id="A4.Ex85.m1.2.2.2.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="A4.Ex85.m1.2.2.2.1.1.1.2">1</cn><apply id="A4.Ex85.m1.2.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="A4.Ex85.m1.2.2.2.1.1.1.3"><times id="A4.Ex85.m1.2.2.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="A4.Ex85.m1.2.2.2.1.1.1.3.1"></times><ci id="A4.Ex85.m1.2.2.2.1.1.1.3.2.cmml" xref="A4.Ex85.m1.2.2.2.1.1.1.3.2">𝑥</ci><ci id="A4.Ex85.m1.2.2.2.1.1.1.3.3.cmml" xref="A4.Ex85.m1.2.2.2.1.1.1.3.3">𝑧</ci></apply></apply><apply id="A4.Ex85.m1.3.3.3.2.cmml" xref="A4.Ex85.m1.3.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.Ex85.m1.3.3.3.2.2.cmml" xref="A4.Ex85.m1.3.3.3.2">superscript</csymbol><apply id="A4.Ex85.m1.3.3.3.2.1.1.1.cmml" xref="A4.Ex85.m1.3.3.3.2.1.1"><minus id="A4.Ex85.m1.3.3.3.2.1.1.1.1.cmml" xref="A4.Ex85.m1.3.3.3.2.1.1.1.1"></minus><ci id="A4.Ex85.m1.3.3.3.2.1.1.1.2.cmml" xref="A4.Ex85.m1.3.3.3.2.1.1.1.2">𝑧</ci><ci id="A4.Ex85.m1.3.3.3.2.1.1.1.3.cmml" xref="A4.Ex85.m1.3.3.3.2.1.1.1.3">𝑦</ci></apply><apply id="A4.Ex85.m1.3.3.3.2.3.cmml" xref="A4.Ex85.m1.3.3.3.2.3"><plus id="A4.Ex85.m1.3.3.3.2.3.1.cmml" xref="A4.Ex85.m1.3.3.3.2.3.1"></plus><ci id="A4.Ex85.m1.3.3.3.2.3.2.cmml" xref="A4.Ex85.m1.3.3.3.2.3.2">ℓ</ci><cn id="A4.Ex85.m1.3.3.3.2.3.3.cmml" type="integer" xref="A4.Ex85.m1.3.3.3.2.3.3">1</cn></apply></apply></apply></apply><apply id="A4.Ex85.m1.3.4.3.3.2.2.cmml" xref="A4.Ex85.m1.3.4.3.3.2.2"><csymbol cd="latexml" id="A4.Ex85.m1.3.4.3.3.2.2.1.cmml" xref="A4.Ex85.m1.3.4.3.3.2.2.1">differential-d</csymbol><ci id="A4.Ex85.m1.3.4.3.3.2.2.2.cmml" xref="A4.Ex85.m1.3.4.3.3.2.2.2">𝑧</ci></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A4.Ex85.m1.3c">\displaystyle=\frac{\ell!}{2\pi i}\int_{\gamma}\frac{(1+z)^{2}}{(1+xz)(z-y)^{% \ell+1}}dz</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A4.Ex85.m1.3d">= divide start_ARG roman_ℓ ! end_ARG start_ARG 2 italic_π italic_i end_ARG ∫ start_POSTSUBSCRIPT italic_γ end_POSTSUBSCRIPT divide start_ARG ( 1 + italic_z ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG ( 1 + italic_x italic_z ) ( italic_z - italic_y ) start_POSTSUPERSCRIPT roman_ℓ + 1 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG italic_d italic_z</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="A4.SS4.4.p2.3">For <math alttext="\ell\geq 2" class="ltx_Math" display="inline" id="A4.SS4.4.p2.2.m1.1"><semantics id="A4.SS4.4.p2.2.m1.1a"><mrow id="A4.SS4.4.p2.2.m1.1.1" xref="A4.SS4.4.p2.2.m1.1.1.cmml"><mi id="A4.SS4.4.p2.2.m1.1.1.2" mathvariant="normal" xref="A4.SS4.4.p2.2.m1.1.1.2.cmml">ℓ</mi><mo id="A4.SS4.4.p2.2.m1.1.1.1" xref="A4.SS4.4.p2.2.m1.1.1.1.cmml">≥</mo><mn id="A4.SS4.4.p2.2.m1.1.1.3" xref="A4.SS4.4.p2.2.m1.1.1.3.cmml">2</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A4.SS4.4.p2.2.m1.1b"><apply id="A4.SS4.4.p2.2.m1.1.1.cmml" xref="A4.SS4.4.p2.2.m1.1.1"><geq id="A4.SS4.4.p2.2.m1.1.1.1.cmml" xref="A4.SS4.4.p2.2.m1.1.1.1"></geq><ci id="A4.SS4.4.p2.2.m1.1.1.2.cmml" xref="A4.SS4.4.p2.2.m1.1.1.2">ℓ</ci><cn id="A4.SS4.4.p2.2.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A4.SS4.4.p2.2.m1.1.1.3">2</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A4.SS4.4.p2.2.m1.1c">\ell\geq 2</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A4.SS4.4.p2.2.m1.1d">roman_ℓ ≥ 2</annotation></semantics></math>, the contour integral vanishes at infinity. Of course, if we take the contour integral to infinity, we capture the extra pole at <math alttext="z=-1/x" class="ltx_Math" display="inline" id="A4.SS4.4.p2.3.m2.1"><semantics id="A4.SS4.4.p2.3.m2.1a"><mrow id="A4.SS4.4.p2.3.m2.1.1" xref="A4.SS4.4.p2.3.m2.1.1.cmml"><mi id="A4.SS4.4.p2.3.m2.1.1.2" xref="A4.SS4.4.p2.3.m2.1.1.2.cmml">z</mi><mo id="A4.SS4.4.p2.3.m2.1.1.1" xref="A4.SS4.4.p2.3.m2.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="A4.SS4.4.p2.3.m2.1.1.3" xref="A4.SS4.4.p2.3.m2.1.1.3.cmml"><mo id="A4.SS4.4.p2.3.m2.1.1.3a" xref="A4.SS4.4.p2.3.m2.1.1.3.cmml">−</mo><mrow id="A4.SS4.4.p2.3.m2.1.1.3.2" xref="A4.SS4.4.p2.3.m2.1.1.3.2.cmml"><mn id="A4.SS4.4.p2.3.m2.1.1.3.2.2" xref="A4.SS4.4.p2.3.m2.1.1.3.2.2.cmml">1</mn><mo id="A4.SS4.4.p2.3.m2.1.1.3.2.1" xref="A4.SS4.4.p2.3.m2.1.1.3.2.1.cmml">/</mo><mi id="A4.SS4.4.p2.3.m2.1.1.3.2.3" xref="A4.SS4.4.p2.3.m2.1.1.3.2.3.cmml">x</mi></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A4.SS4.4.p2.3.m2.1b"><apply id="A4.SS4.4.p2.3.m2.1.1.cmml" xref="A4.SS4.4.p2.3.m2.1.1"><eq id="A4.SS4.4.p2.3.m2.1.1.1.cmml" xref="A4.SS4.4.p2.3.m2.1.1.1"></eq><ci id="A4.SS4.4.p2.3.m2.1.1.2.cmml" xref="A4.SS4.4.p2.3.m2.1.1.2">𝑧</ci><apply id="A4.SS4.4.p2.3.m2.1.1.3.cmml" xref="A4.SS4.4.p2.3.m2.1.1.3"><minus id="A4.SS4.4.p2.3.m2.1.1.3.1.cmml" xref="A4.SS4.4.p2.3.m2.1.1.3"></minus><apply id="A4.SS4.4.p2.3.m2.1.1.3.2.cmml" xref="A4.SS4.4.p2.3.m2.1.1.3.2"><divide id="A4.SS4.4.p2.3.m2.1.1.3.2.1.cmml" xref="A4.SS4.4.p2.3.m2.1.1.3.2.1"></divide><cn id="A4.SS4.4.p2.3.m2.1.1.3.2.2.cmml" type="integer" xref="A4.SS4.4.p2.3.m2.1.1.3.2.2">1</cn><ci id="A4.SS4.4.p2.3.m2.1.1.3.2.3.cmml" xref="A4.SS4.4.p2.3.m2.1.1.3.2.3">𝑥</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A4.SS4.4.p2.3.m2.1c">z=-1/x</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A4.SS4.4.p2.3.m2.1d">italic_z = - 1 / italic_x</annotation></semantics></math>, so the residues of the two poles must sum up to zero. Therefore,</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="S6.EGx213"> <tbody id="A4.Ex86"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle j_{x}^{(\ell)}(y)" class="ltx_Math" display="inline" id="A4.Ex86.m1.2"><semantics id="A4.Ex86.m1.2a"><mrow id="A4.Ex86.m1.2.3" xref="A4.Ex86.m1.2.3.cmml"><msubsup id="A4.Ex86.m1.2.3.2" xref="A4.Ex86.m1.2.3.2.cmml"><mi id="A4.Ex86.m1.2.3.2.2.2" xref="A4.Ex86.m1.2.3.2.2.2.cmml">j</mi><mi id="A4.Ex86.m1.2.3.2.2.3" xref="A4.Ex86.m1.2.3.2.2.3.cmml">x</mi><mrow id="A4.Ex86.m1.1.1.1.3" xref="A4.Ex86.m1.2.3.2.cmml"><mo id="A4.Ex86.m1.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="A4.Ex86.m1.2.3.2.cmml">(</mo><mi id="A4.Ex86.m1.1.1.1.1" mathvariant="normal" xref="A4.Ex86.m1.1.1.1.1.cmml">ℓ</mi><mo id="A4.Ex86.m1.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="A4.Ex86.m1.2.3.2.cmml">)</mo></mrow></msubsup><mo id="A4.Ex86.m1.2.3.1" xref="A4.Ex86.m1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A4.Ex86.m1.2.3.3.2" xref="A4.Ex86.m1.2.3.cmml"><mo id="A4.Ex86.m1.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="A4.Ex86.m1.2.3.cmml">(</mo><mi id="A4.Ex86.m1.2.2" xref="A4.Ex86.m1.2.2.cmml">y</mi><mo id="A4.Ex86.m1.2.3.3.2.2" stretchy="false" xref="A4.Ex86.m1.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A4.Ex86.m1.2b"><apply id="A4.Ex86.m1.2.3.cmml" xref="A4.Ex86.m1.2.3"><times id="A4.Ex86.m1.2.3.1.cmml" xref="A4.Ex86.m1.2.3.1"></times><apply id="A4.Ex86.m1.2.3.2.cmml" xref="A4.Ex86.m1.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.Ex86.m1.2.3.2.1.cmml" xref="A4.Ex86.m1.2.3.2">superscript</csymbol><apply id="A4.Ex86.m1.2.3.2.2.cmml" xref="A4.Ex86.m1.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.Ex86.m1.2.3.2.2.1.cmml" xref="A4.Ex86.m1.2.3.2">subscript</csymbol><ci id="A4.Ex86.m1.2.3.2.2.2.cmml" xref="A4.Ex86.m1.2.3.2.2.2">𝑗</ci><ci id="A4.Ex86.m1.2.3.2.2.3.cmml" xref="A4.Ex86.m1.2.3.2.2.3">𝑥</ci></apply><ci id="A4.Ex86.m1.1.1.1.1.cmml" xref="A4.Ex86.m1.1.1.1.1">ℓ</ci></apply><ci id="A4.Ex86.m1.2.2.cmml" xref="A4.Ex86.m1.2.2">𝑦</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A4.Ex86.m1.2c">\displaystyle j_{x}^{(\ell)}(y)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A4.Ex86.m1.2d">italic_j start_POSTSUBSCRIPT italic_x end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( roman_ℓ ) end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_y )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=-\ell!\,\text{Res}\frac{(1+z)^{2}}{(1+xz)(z-y)^{\ell+1}}\big{|}_% {z=-1/x}" class="ltx_Math" display="inline" id="A4.Ex86.m2.5"><semantics id="A4.Ex86.m2.5a"><mrow id="A4.Ex86.m2.5.5" xref="A4.Ex86.m2.5.5.cmml"><mi id="A4.Ex86.m2.5.5.3" xref="A4.Ex86.m2.5.5.3.cmml"></mi><mo id="A4.Ex86.m2.5.5.2" xref="A4.Ex86.m2.5.5.2.cmml">=</mo><mrow id="A4.Ex86.m2.5.5.1" xref="A4.Ex86.m2.5.5.1.cmml"><mo id="A4.Ex86.m2.5.5.1a" xref="A4.Ex86.m2.5.5.1.cmml">−</mo><msub id="A4.Ex86.m2.5.5.1.1.1" xref="A4.Ex86.m2.5.5.1.1.2.cmml"><mrow id="A4.Ex86.m2.5.5.1.1.1.1" xref="A4.Ex86.m2.5.5.1.1.2.cmml"><mrow id="A4.Ex86.m2.5.5.1.1.1.1.1" xref="A4.Ex86.m2.5.5.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A4.Ex86.m2.5.5.1.1.1.1.1.2" xref="A4.Ex86.m2.5.5.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="A4.Ex86.m2.5.5.1.1.1.1.1.2.2" mathvariant="normal" xref="A4.Ex86.m2.5.5.1.1.1.1.1.2.2.cmml">ℓ</mi><mo id="A4.Ex86.m2.5.5.1.1.1.1.1.2.1" xref="A4.Ex86.m2.5.5.1.1.1.1.1.2.1.cmml">!</mo></mrow><mo id="A4.Ex86.m2.5.5.1.1.1.1.1.1" lspace="0.170em" xref="A4.Ex86.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mtext id="A4.Ex86.m2.5.5.1.1.1.1.1.3" xref="A4.Ex86.m2.5.5.1.1.1.1.1.3a.cmml">Res</mtext><mo id="A4.Ex86.m2.5.5.1.1.1.1.1.1a" xref="A4.Ex86.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mstyle displaystyle="true" id="A4.Ex86.m2.3.3" xref="A4.Ex86.m2.3.3.cmml"><mfrac id="A4.Ex86.m2.3.3a" xref="A4.Ex86.m2.3.3.cmml"><msup id="A4.Ex86.m2.1.1.1" xref="A4.Ex86.m2.1.1.1.cmml"><mrow id="A4.Ex86.m2.1.1.1.1.1" xref="A4.Ex86.m2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A4.Ex86.m2.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A4.Ex86.m2.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A4.Ex86.m2.1.1.1.1.1.1" xref="A4.Ex86.m2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="A4.Ex86.m2.1.1.1.1.1.1.2" xref="A4.Ex86.m2.1.1.1.1.1.1.2.cmml">1</mn><mo id="A4.Ex86.m2.1.1.1.1.1.1.1" xref="A4.Ex86.m2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mi id="A4.Ex86.m2.1.1.1.1.1.1.3" xref="A4.Ex86.m2.1.1.1.1.1.1.3.cmml">z</mi></mrow><mo id="A4.Ex86.m2.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A4.Ex86.m2.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mn id="A4.Ex86.m2.1.1.1.3" xref="A4.Ex86.m2.1.1.1.3.cmml">2</mn></msup><mrow id="A4.Ex86.m2.3.3.3" xref="A4.Ex86.m2.3.3.3.cmml"><mrow id="A4.Ex86.m2.2.2.2.1.1" xref="A4.Ex86.m2.2.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="A4.Ex86.m2.2.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="A4.Ex86.m2.2.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A4.Ex86.m2.2.2.2.1.1.1" xref="A4.Ex86.m2.2.2.2.1.1.1.cmml"><mn id="A4.Ex86.m2.2.2.2.1.1.1.2" xref="A4.Ex86.m2.2.2.2.1.1.1.2.cmml">1</mn><mo id="A4.Ex86.m2.2.2.2.1.1.1.1" xref="A4.Ex86.m2.2.2.2.1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="A4.Ex86.m2.2.2.2.1.1.1.3" xref="A4.Ex86.m2.2.2.2.1.1.1.3.cmml"><mi id="A4.Ex86.m2.2.2.2.1.1.1.3.2" xref="A4.Ex86.m2.2.2.2.1.1.1.3.2.cmml">x</mi><mo id="A4.Ex86.m2.2.2.2.1.1.1.3.1" xref="A4.Ex86.m2.2.2.2.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A4.Ex86.m2.2.2.2.1.1.1.3.3" xref="A4.Ex86.m2.2.2.2.1.1.1.3.3.cmml">z</mi></mrow></mrow><mo id="A4.Ex86.m2.2.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="A4.Ex86.m2.2.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A4.Ex86.m2.3.3.3.3" xref="A4.Ex86.m2.3.3.3.3.cmml">⁢</mo><msup id="A4.Ex86.m2.3.3.3.2" xref="A4.Ex86.m2.3.3.3.2.cmml"><mrow id="A4.Ex86.m2.3.3.3.2.1.1" xref="A4.Ex86.m2.3.3.3.2.1.1.1.cmml"><mo id="A4.Ex86.m2.3.3.3.2.1.1.2" stretchy="false" xref="A4.Ex86.m2.3.3.3.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A4.Ex86.m2.3.3.3.2.1.1.1" xref="A4.Ex86.m2.3.3.3.2.1.1.1.cmml"><mi id="A4.Ex86.m2.3.3.3.2.1.1.1.2" xref="A4.Ex86.m2.3.3.3.2.1.1.1.2.cmml">z</mi><mo id="A4.Ex86.m2.3.3.3.2.1.1.1.1" xref="A4.Ex86.m2.3.3.3.2.1.1.1.1.cmml">−</mo><mi id="A4.Ex86.m2.3.3.3.2.1.1.1.3" xref="A4.Ex86.m2.3.3.3.2.1.1.1.3.cmml">y</mi></mrow><mo id="A4.Ex86.m2.3.3.3.2.1.1.3" stretchy="false" xref="A4.Ex86.m2.3.3.3.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="A4.Ex86.m2.3.3.3.2.3" xref="A4.Ex86.m2.3.3.3.2.3.cmml"><mi id="A4.Ex86.m2.3.3.3.2.3.2" mathvariant="normal" xref="A4.Ex86.m2.3.3.3.2.3.2.cmml">ℓ</mi><mo id="A4.Ex86.m2.3.3.3.2.3.1" xref="A4.Ex86.m2.3.3.3.2.3.1.cmml">+</mo><mn id="A4.Ex86.m2.3.3.3.2.3.3" xref="A4.Ex86.m2.3.3.3.2.3.3.cmml">1</mn></mrow></msup></mrow></mfrac></mstyle></mrow><mo id="A4.Ex86.m2.5.5.1.1.1.1.2" maxsize="120%" minsize="120%" xref="A4.Ex86.m2.5.5.1.1.2.1.cmml">|</mo></mrow><mrow id="A4.Ex86.m2.4.4.1" xref="A4.Ex86.m2.4.4.1.cmml"><mi id="A4.Ex86.m2.4.4.1.2" xref="A4.Ex86.m2.4.4.1.2.cmml">z</mi><mo id="A4.Ex86.m2.4.4.1.1" xref="A4.Ex86.m2.4.4.1.1.cmml">=</mo><mrow id="A4.Ex86.m2.4.4.1.3" xref="A4.Ex86.m2.4.4.1.3.cmml"><mo id="A4.Ex86.m2.4.4.1.3a" xref="A4.Ex86.m2.4.4.1.3.cmml">−</mo><mrow id="A4.Ex86.m2.4.4.1.3.2" xref="A4.Ex86.m2.4.4.1.3.2.cmml"><mn id="A4.Ex86.m2.4.4.1.3.2.2" xref="A4.Ex86.m2.4.4.1.3.2.2.cmml">1</mn><mo id="A4.Ex86.m2.4.4.1.3.2.1" xref="A4.Ex86.m2.4.4.1.3.2.1.cmml">/</mo><mi id="A4.Ex86.m2.4.4.1.3.2.3" xref="A4.Ex86.m2.4.4.1.3.2.3.cmml">x</mi></mrow></mrow></mrow></msub></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A4.Ex86.m2.5b"><apply id="A4.Ex86.m2.5.5.cmml" xref="A4.Ex86.m2.5.5"><eq id="A4.Ex86.m2.5.5.2.cmml" xref="A4.Ex86.m2.5.5.2"></eq><csymbol cd="latexml" id="A4.Ex86.m2.5.5.3.cmml" xref="A4.Ex86.m2.5.5.3">absent</csymbol><apply id="A4.Ex86.m2.5.5.1.cmml" xref="A4.Ex86.m2.5.5.1"><minus id="A4.Ex86.m2.5.5.1.2.cmml" xref="A4.Ex86.m2.5.5.1"></minus><apply id="A4.Ex86.m2.5.5.1.1.2.cmml" xref="A4.Ex86.m2.5.5.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="A4.Ex86.m2.5.5.1.1.2.1.cmml" xref="A4.Ex86.m2.5.5.1.1.1.1.2">evaluated-at</csymbol><apply id="A4.Ex86.m2.5.5.1.1.1.1.1.cmml" xref="A4.Ex86.m2.5.5.1.1.1.1.1"><times id="A4.Ex86.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A4.Ex86.m2.5.5.1.1.1.1.1.1"></times><apply id="A4.Ex86.m2.5.5.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A4.Ex86.m2.5.5.1.1.1.1.1.2"><factorial id="A4.Ex86.m2.5.5.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A4.Ex86.m2.5.5.1.1.1.1.1.2.1"></factorial><ci id="A4.Ex86.m2.5.5.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A4.Ex86.m2.5.5.1.1.1.1.1.2.2">ℓ</ci></apply><ci id="A4.Ex86.m2.5.5.1.1.1.1.1.3a.cmml" xref="A4.Ex86.m2.5.5.1.1.1.1.1.3"><mtext id="A4.Ex86.m2.5.5.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A4.Ex86.m2.5.5.1.1.1.1.1.3">Res</mtext></ci><apply id="A4.Ex86.m2.3.3.cmml" xref="A4.Ex86.m2.3.3"><divide id="A4.Ex86.m2.3.3.4.cmml" xref="A4.Ex86.m2.3.3"></divide><apply id="A4.Ex86.m2.1.1.1.cmml" xref="A4.Ex86.m2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.Ex86.m2.1.1.1.2.cmml" xref="A4.Ex86.m2.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="A4.Ex86.m2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A4.Ex86.m2.1.1.1.1.1"><plus id="A4.Ex86.m2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A4.Ex86.m2.1.1.1.1.1.1.1"></plus><cn 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italic_x start_POSTSUPERSCRIPT roman_ℓ - 2 end_POSTSUPERSCRIPT divide start_ARG ( 1 - italic_x ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG ( 1 + italic_x italic_y ) start_POSTSUPERSCRIPT roman_ℓ + 1 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="A4.Ex89"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle|j_{x}^{(\ell)}(y)|" class="ltx_Math" display="inline" id="A4.Ex89.m1.3"><semantics id="A4.Ex89.m1.3a"><mrow id="A4.Ex89.m1.3.3.1" xref="A4.Ex89.m1.3.3.2.cmml"><mo id="A4.Ex89.m1.3.3.1.2" stretchy="false" xref="A4.Ex89.m1.3.3.2.1.cmml">|</mo><mrow id="A4.Ex89.m1.3.3.1.1" xref="A4.Ex89.m1.3.3.1.1.cmml"><msubsup id="A4.Ex89.m1.3.3.1.1.2" xref="A4.Ex89.m1.3.3.1.1.2.cmml"><mi id="A4.Ex89.m1.3.3.1.1.2.2.2" xref="A4.Ex89.m1.3.3.1.1.2.2.2.cmml">j</mi><mi id="A4.Ex89.m1.3.3.1.1.2.2.3" xref="A4.Ex89.m1.3.3.1.1.2.2.3.cmml">x</mi><mrow id="A4.Ex89.m1.1.1.1.3" xref="A4.Ex89.m1.3.3.1.1.2.cmml"><mo id="A4.Ex89.m1.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="A4.Ex89.m1.3.3.1.1.2.cmml">(</mo><mi id="A4.Ex89.m1.1.1.1.1" mathvariant="normal" xref="A4.Ex89.m1.1.1.1.1.cmml">ℓ</mi><mo id="A4.Ex89.m1.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="A4.Ex89.m1.3.3.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></msubsup><mo id="A4.Ex89.m1.3.3.1.1.1" xref="A4.Ex89.m1.3.3.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A4.Ex89.m1.3.3.1.1.3.2" xref="A4.Ex89.m1.3.3.1.1.cmml"><mo id="A4.Ex89.m1.3.3.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="A4.Ex89.m1.3.3.1.1.cmml">(</mo><mi id="A4.Ex89.m1.2.2" xref="A4.Ex89.m1.2.2.cmml">y</mi><mo id="A4.Ex89.m1.3.3.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="A4.Ex89.m1.3.3.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A4.Ex89.m1.3.3.1.3" stretchy="false" xref="A4.Ex89.m1.3.3.2.1.cmml">|</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A4.Ex89.m1.3b"><apply id="A4.Ex89.m1.3.3.2.cmml" xref="A4.Ex89.m1.3.3.1"><abs id="A4.Ex89.m1.3.3.2.1.cmml" xref="A4.Ex89.m1.3.3.1.2"></abs><apply id="A4.Ex89.m1.3.3.1.1.cmml" xref="A4.Ex89.m1.3.3.1.1"><times id="A4.Ex89.m1.3.3.1.1.1.cmml" xref="A4.Ex89.m1.3.3.1.1.1"></times><apply id="A4.Ex89.m1.3.3.1.1.2.cmml" xref="A4.Ex89.m1.3.3.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.Ex89.m1.3.3.1.1.2.1.cmml" xref="A4.Ex89.m1.3.3.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="A4.Ex89.m1.3.3.1.1.2.2.cmml" xref="A4.Ex89.m1.3.3.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.Ex89.m1.3.3.1.1.2.2.1.cmml" xref="A4.Ex89.m1.3.3.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="A4.Ex89.m1.3.3.1.1.2.2.2.cmml" xref="A4.Ex89.m1.3.3.1.1.2.2.2">𝑗</ci><ci id="A4.Ex89.m1.3.3.1.1.2.2.3.cmml" xref="A4.Ex89.m1.3.3.1.1.2.2.3">𝑥</ci></apply><ci id="A4.Ex89.m1.1.1.1.1.cmml" xref="A4.Ex89.m1.1.1.1.1">ℓ</ci></apply><ci id="A4.Ex89.m1.2.2.cmml" xref="A4.Ex89.m1.2.2">𝑦</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A4.Ex89.m1.3c">\displaystyle|j_{x}^{(\ell)}(y)|</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A4.Ex89.m1.3d">| italic_j start_POSTSUBSCRIPT italic_x end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( roman_ℓ ) end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_y ) |</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\leq\ell!\,x^{\ell-2}" class="ltx_Math" display="inline" id="A4.Ex89.m2.1"><semantics id="A4.Ex89.m2.1a"><mrow id="A4.Ex89.m2.1.1" xref="A4.Ex89.m2.1.1.cmml"><mi id="A4.Ex89.m2.1.1.2" xref="A4.Ex89.m2.1.1.2.cmml"></mi><mo id="A4.Ex89.m2.1.1.1" xref="A4.Ex89.m2.1.1.1.cmml">≤</mo><mrow id="A4.Ex89.m2.1.1.3" xref="A4.Ex89.m2.1.1.3.cmml"><mrow id="A4.Ex89.m2.1.1.3.2" xref="A4.Ex89.m2.1.1.3.2.cmml"><mi id="A4.Ex89.m2.1.1.3.2.2" mathvariant="normal" xref="A4.Ex89.m2.1.1.3.2.2.cmml">ℓ</mi><mo id="A4.Ex89.m2.1.1.3.2.1" xref="A4.Ex89.m2.1.1.3.2.1.cmml">!</mo></mrow><mo id="A4.Ex89.m2.1.1.3.1" lspace="0.170em" xref="A4.Ex89.m2.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="A4.Ex89.m2.1.1.3.3" xref="A4.Ex89.m2.1.1.3.3.cmml"><mi id="A4.Ex89.m2.1.1.3.3.2" xref="A4.Ex89.m2.1.1.3.3.2.cmml">x</mi><mrow id="A4.Ex89.m2.1.1.3.3.3" xref="A4.Ex89.m2.1.1.3.3.3.cmml"><mi id="A4.Ex89.m2.1.1.3.3.3.2" mathvariant="normal" xref="A4.Ex89.m2.1.1.3.3.3.2.cmml">ℓ</mi><mo id="A4.Ex89.m2.1.1.3.3.3.1" xref="A4.Ex89.m2.1.1.3.3.3.1.cmml">−</mo><mn id="A4.Ex89.m2.1.1.3.3.3.3" xref="A4.Ex89.m2.1.1.3.3.3.3.cmml">2</mn></mrow></msup></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A4.Ex89.m2.1b"><apply id="A4.Ex89.m2.1.1.cmml" xref="A4.Ex89.m2.1.1"><leq id="A4.Ex89.m2.1.1.1.cmml" xref="A4.Ex89.m2.1.1.1"></leq><csymbol cd="latexml" id="A4.Ex89.m2.1.1.2.cmml" xref="A4.Ex89.m2.1.1.2">absent</csymbol><apply id="A4.Ex89.m2.1.1.3.cmml" xref="A4.Ex89.m2.1.1.3"><times id="A4.Ex89.m2.1.1.3.1.cmml" xref="A4.Ex89.m2.1.1.3.1"></times><apply id="A4.Ex89.m2.1.1.3.2.cmml" xref="A4.Ex89.m2.1.1.3.2"><factorial id="A4.Ex89.m2.1.1.3.2.1.cmml" 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class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="A4.SS4.4.p2.4">For <math alttext="\ell=0" class="ltx_Math" display="inline" id="A4.SS4.4.p2.4.m1.1"><semantics id="A4.SS4.4.p2.4.m1.1a"><mrow id="A4.SS4.4.p2.4.m1.1.1" xref="A4.SS4.4.p2.4.m1.1.1.cmml"><mi id="A4.SS4.4.p2.4.m1.1.1.2" mathvariant="normal" xref="A4.SS4.4.p2.4.m1.1.1.2.cmml">ℓ</mi><mo id="A4.SS4.4.p2.4.m1.1.1.1" xref="A4.SS4.4.p2.4.m1.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="A4.SS4.4.p2.4.m1.1.1.3" xref="A4.SS4.4.p2.4.m1.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A4.SS4.4.p2.4.m1.1b"><apply id="A4.SS4.4.p2.4.m1.1.1.cmml" xref="A4.SS4.4.p2.4.m1.1.1"><eq id="A4.SS4.4.p2.4.m1.1.1.1.cmml" xref="A4.SS4.4.p2.4.m1.1.1.1"></eq><ci id="A4.SS4.4.p2.4.m1.1.1.2.cmml" xref="A4.SS4.4.p2.4.m1.1.1.2">ℓ</ci><cn id="A4.SS4.4.p2.4.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A4.SS4.4.p2.4.m1.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A4.SS4.4.p2.4.m1.1c">\ell=0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A4.SS4.4.p2.4.m1.1d">roman_ℓ = 0</annotation></semantics></math>,</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_gather ltx_eqn_table" id="S6.EGx214"> <tbody id="A4.E257"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\displaystyle j_{x}^{(0)}(y)=\frac{(1+y)^{2}}{(1+xy)}-1\leq 2y+y^{2}" class="ltx_Math" display="block" id="A4.E257.m1.4"><semantics id="A4.E257.m1.4a"><mrow id="A4.E257.m1.4.5" xref="A4.E257.m1.4.5.cmml"><mrow id="A4.E257.m1.4.5.2" xref="A4.E257.m1.4.5.2.cmml"><msubsup id="A4.E257.m1.4.5.2.2" xref="A4.E257.m1.4.5.2.2.cmml"><mi id="A4.E257.m1.4.5.2.2.2.2" xref="A4.E257.m1.4.5.2.2.2.2.cmml">j</mi><mi id="A4.E257.m1.4.5.2.2.2.3" xref="A4.E257.m1.4.5.2.2.2.3.cmml">x</mi><mrow id="A4.E257.m1.1.1.1.3" xref="A4.E257.m1.4.5.2.2.cmml"><mo id="A4.E257.m1.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="A4.E257.m1.4.5.2.2.cmml">(</mo><mn id="A4.E257.m1.1.1.1.1" xref="A4.E257.m1.1.1.1.1.cmml">0</mn><mo id="A4.E257.m1.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="A4.E257.m1.4.5.2.2.cmml">)</mo></mrow></msubsup><mo id="A4.E257.m1.4.5.2.1" xref="A4.E257.m1.4.5.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A4.E257.m1.4.5.2.3.2" xref="A4.E257.m1.4.5.2.cmml"><mo id="A4.E257.m1.4.5.2.3.2.1" stretchy="false" xref="A4.E257.m1.4.5.2.cmml">(</mo><mi id="A4.E257.m1.4.4" xref="A4.E257.m1.4.4.cmml">y</mi><mo id="A4.E257.m1.4.5.2.3.2.2" stretchy="false" xref="A4.E257.m1.4.5.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A4.E257.m1.4.5.3" xref="A4.E257.m1.4.5.3.cmml">=</mo><mrow id="A4.E257.m1.4.5.4" xref="A4.E257.m1.4.5.4.cmml"><mfrac id="A4.E257.m1.3.3" xref="A4.E257.m1.3.3.cmml"><msup id="A4.E257.m1.2.2.1" xref="A4.E257.m1.2.2.1.cmml"><mrow id="A4.E257.m1.2.2.1.1.1" xref="A4.E257.m1.2.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="A4.E257.m1.2.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A4.E257.m1.2.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow 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id="A4.E257.m1.3.3.2.1.1.3.1" xref="A4.E257.m1.3.3.2.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A4.E257.m1.3.3.2.1.1.3.3" xref="A4.E257.m1.3.3.2.1.1.3.3.cmml">y</mi></mrow></mrow><mo id="A4.E257.m1.3.3.2.1.3" stretchy="false" xref="A4.E257.m1.3.3.2.1.1.cmml">)</mo></mrow></mfrac><mo id="A4.E257.m1.4.5.4.1" xref="A4.E257.m1.4.5.4.1.cmml">−</mo><mn id="A4.E257.m1.4.5.4.2" xref="A4.E257.m1.4.5.4.2.cmml">1</mn></mrow><mo id="A4.E257.m1.4.5.5" xref="A4.E257.m1.4.5.5.cmml">≤</mo><mrow id="A4.E257.m1.4.5.6" xref="A4.E257.m1.4.5.6.cmml"><mrow id="A4.E257.m1.4.5.6.2" xref="A4.E257.m1.4.5.6.2.cmml"><mn id="A4.E257.m1.4.5.6.2.2" xref="A4.E257.m1.4.5.6.2.2.cmml">2</mn><mo id="A4.E257.m1.4.5.6.2.1" xref="A4.E257.m1.4.5.6.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="A4.E257.m1.4.5.6.2.3" xref="A4.E257.m1.4.5.6.2.3.cmml">y</mi></mrow><mo id="A4.E257.m1.4.5.6.1" xref="A4.E257.m1.4.5.6.1.cmml">+</mo><msup id="A4.E257.m1.4.5.6.3" xref="A4.E257.m1.4.5.6.3.cmml"><mi id="A4.E257.m1.4.5.6.3.2" xref="A4.E257.m1.4.5.6.3.2.cmml">y</mi><mn 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end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_y ) = divide start_ARG ( 1 + italic_y ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG ( 1 + italic_x italic_y ) end_ARG - 1 ≤ 2 italic_y + italic_y start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(257)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="A4.SS4.4.p2.5">and for <math alttext="\ell=1" class="ltx_Math" display="inline" id="A4.SS4.4.p2.5.m1.1"><semantics id="A4.SS4.4.p2.5.m1.1a"><mrow id="A4.SS4.4.p2.5.m1.1.1" xref="A4.SS4.4.p2.5.m1.1.1.cmml"><mi id="A4.SS4.4.p2.5.m1.1.1.2" mathvariant="normal" xref="A4.SS4.4.p2.5.m1.1.1.2.cmml">ℓ</mi><mo id="A4.SS4.4.p2.5.m1.1.1.1" xref="A4.SS4.4.p2.5.m1.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="A4.SS4.4.p2.5.m1.1.1.3" xref="A4.SS4.4.p2.5.m1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A4.SS4.4.p2.5.m1.1b"><apply id="A4.SS4.4.p2.5.m1.1.1.cmml" xref="A4.SS4.4.p2.5.m1.1.1"><eq id="A4.SS4.4.p2.5.m1.1.1.1.cmml" xref="A4.SS4.4.p2.5.m1.1.1.1"></eq><ci id="A4.SS4.4.p2.5.m1.1.1.2.cmml" xref="A4.SS4.4.p2.5.m1.1.1.2">ℓ</ci><cn id="A4.SS4.4.p2.5.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A4.SS4.4.p2.5.m1.1.1.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A4.SS4.4.p2.5.m1.1c">\ell=1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A4.SS4.4.p2.5.m1.1d">roman_ℓ = 1</annotation></semantics></math>,</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_gather ltx_eqn_table" id="S6.EGx215"> <tbody id="A4.E258"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\displaystyle j_{x}^{\prime}(y)=\frac{2(1+y)(1+xy)-x(1+y)^{2}}{(1+xy)^{2}}\leq 2% (1+y)" class="ltx_Math" display="block" id="A4.E258.m1.6"><semantics id="A4.E258.m1.6a"><mrow id="A4.E258.m1.6.6" xref="A4.E258.m1.6.6.cmml"><mrow id="A4.E258.m1.6.6.3" xref="A4.E258.m1.6.6.3.cmml"><msubsup id="A4.E258.m1.6.6.3.2" xref="A4.E258.m1.6.6.3.2.cmml"><mi id="A4.E258.m1.6.6.3.2.2.2" xref="A4.E258.m1.6.6.3.2.2.2.cmml">j</mi><mi id="A4.E258.m1.6.6.3.2.2.3" xref="A4.E258.m1.6.6.3.2.2.3.cmml">x</mi><mo id="A4.E258.m1.6.6.3.2.3" xref="A4.E258.m1.6.6.3.2.3.cmml">′</mo></msubsup><mo id="A4.E258.m1.6.6.3.1" xref="A4.E258.m1.6.6.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A4.E258.m1.6.6.3.3.2" xref="A4.E258.m1.6.6.3.cmml"><mo id="A4.E258.m1.6.6.3.3.2.1" stretchy="false" xref="A4.E258.m1.6.6.3.cmml">(</mo><mi id="A4.E258.m1.5.5" xref="A4.E258.m1.5.5.cmml">y</mi><mo id="A4.E258.m1.6.6.3.3.2.2" stretchy="false" xref="A4.E258.m1.6.6.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A4.E258.m1.6.6.4" xref="A4.E258.m1.6.6.4.cmml">=</mo><mfrac id="A4.E258.m1.4.4" xref="A4.E258.m1.4.4.cmml"><mrow id="A4.E258.m1.3.3.3" xref="A4.E258.m1.3.3.3.cmml"><mrow id="A4.E258.m1.2.2.2.2" 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italic_y ) - italic_x ( 1 + italic_y ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG ( 1 + italic_x italic_y ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG ≤ 2 ( 1 + italic_y )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(258)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="A4.SS4.4.p2.9">These inequalities hold in magnitude as well, provided <math alttext="x<y<1" class="ltx_Math" display="inline" id="A4.SS4.4.p2.6.m1.1"><semantics id="A4.SS4.4.p2.6.m1.1a"><mrow id="A4.SS4.4.p2.6.m1.1.1" xref="A4.SS4.4.p2.6.m1.1.1.cmml"><mi id="A4.SS4.4.p2.6.m1.1.1.2" xref="A4.SS4.4.p2.6.m1.1.1.2.cmml">x</mi><mo id="A4.SS4.4.p2.6.m1.1.1.3" xref="A4.SS4.4.p2.6.m1.1.1.3.cmml"><</mo><mi id="A4.SS4.4.p2.6.m1.1.1.4" xref="A4.SS4.4.p2.6.m1.1.1.4.cmml">y</mi><mo id="A4.SS4.4.p2.6.m1.1.1.5" xref="A4.SS4.4.p2.6.m1.1.1.5.cmml"><</mo><mn id="A4.SS4.4.p2.6.m1.1.1.6" xref="A4.SS4.4.p2.6.m1.1.1.6.cmml">1</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A4.SS4.4.p2.6.m1.1b"><apply id="A4.SS4.4.p2.6.m1.1.1.cmml" xref="A4.SS4.4.p2.6.m1.1.1"><and id="A4.SS4.4.p2.6.m1.1.1a.cmml" xref="A4.SS4.4.p2.6.m1.1.1"></and><apply id="A4.SS4.4.p2.6.m1.1.1b.cmml" xref="A4.SS4.4.p2.6.m1.1.1"><lt id="A4.SS4.4.p2.6.m1.1.1.3.cmml" xref="A4.SS4.4.p2.6.m1.1.1.3"></lt><ci id="A4.SS4.4.p2.6.m1.1.1.2.cmml" xref="A4.SS4.4.p2.6.m1.1.1.2">𝑥</ci><ci id="A4.SS4.4.p2.6.m1.1.1.4.cmml" xref="A4.SS4.4.p2.6.m1.1.1.4">𝑦</ci></apply><apply id="A4.SS4.4.p2.6.m1.1.1c.cmml" xref="A4.SS4.4.p2.6.m1.1.1"><lt id="A4.SS4.4.p2.6.m1.1.1.5.cmml" xref="A4.SS4.4.p2.6.m1.1.1.5"></lt><share href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#A4.SS4.4.p2.6.m1.1.1.4.cmml" id="A4.SS4.4.p2.6.m1.1.1d.cmml" xref="A4.SS4.4.p2.6.m1.1.1"></share><cn id="A4.SS4.4.p2.6.m1.1.1.6.cmml" type="integer" xref="A4.SS4.4.p2.6.m1.1.1.6">1</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A4.SS4.4.p2.6.m1.1c">x<y<1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A4.SS4.4.p2.6.m1.1d">italic_x < italic_y < 1</annotation></semantics></math>, which is consistent with our <math alttext="x=Q^{-2}\leq t^{-2},y=kx\leq tx\leq t^{-1}" class="ltx_Math" display="inline" id="A4.SS4.4.p2.7.m2.2"><semantics id="A4.SS4.4.p2.7.m2.2a"><mrow id="A4.SS4.4.p2.7.m2.2.2.2" xref="A4.SS4.4.p2.7.m2.2.2.3.cmml"><mrow id="A4.SS4.4.p2.7.m2.1.1.1.1" xref="A4.SS4.4.p2.7.m2.1.1.1.1.cmml"><mi id="A4.SS4.4.p2.7.m2.1.1.1.1.2" xref="A4.SS4.4.p2.7.m2.1.1.1.1.2.cmml">x</mi><mo id="A4.SS4.4.p2.7.m2.1.1.1.1.3" xref="A4.SS4.4.p2.7.m2.1.1.1.1.3.cmml">=</mo><msup id="A4.SS4.4.p2.7.m2.1.1.1.1.4" xref="A4.SS4.4.p2.7.m2.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="A4.SS4.4.p2.7.m2.1.1.1.1.4.2" xref="A4.SS4.4.p2.7.m2.1.1.1.1.4.2.cmml">Q</mi><mrow id="A4.SS4.4.p2.7.m2.1.1.1.1.4.3" xref="A4.SS4.4.p2.7.m2.1.1.1.1.4.3.cmml"><mo id="A4.SS4.4.p2.7.m2.1.1.1.1.4.3a" xref="A4.SS4.4.p2.7.m2.1.1.1.1.4.3.cmml">−</mo><mn id="A4.SS4.4.p2.7.m2.1.1.1.1.4.3.2" xref="A4.SS4.4.p2.7.m2.1.1.1.1.4.3.2.cmml">2</mn></mrow></msup><mo id="A4.SS4.4.p2.7.m2.1.1.1.1.5" xref="A4.SS4.4.p2.7.m2.1.1.1.1.5.cmml">≤</mo><msup id="A4.SS4.4.p2.7.m2.1.1.1.1.6" xref="A4.SS4.4.p2.7.m2.1.1.1.1.6.cmml"><mi id="A4.SS4.4.p2.7.m2.1.1.1.1.6.2" xref="A4.SS4.4.p2.7.m2.1.1.1.1.6.2.cmml">t</mi><mrow id="A4.SS4.4.p2.7.m2.1.1.1.1.6.3" xref="A4.SS4.4.p2.7.m2.1.1.1.1.6.3.cmml"><mo id="A4.SS4.4.p2.7.m2.1.1.1.1.6.3a" xref="A4.SS4.4.p2.7.m2.1.1.1.1.6.3.cmml">−</mo><mn id="A4.SS4.4.p2.7.m2.1.1.1.1.6.3.2" xref="A4.SS4.4.p2.7.m2.1.1.1.1.6.3.2.cmml">2</mn></mrow></msup></mrow><mo id="A4.SS4.4.p2.7.m2.2.2.2.3" xref="A4.SS4.4.p2.7.m2.2.2.3a.cmml">,</mo><mrow id="A4.SS4.4.p2.7.m2.2.2.2.2" xref="A4.SS4.4.p2.7.m2.2.2.2.2.cmml"><mi id="A4.SS4.4.p2.7.m2.2.2.2.2.2" xref="A4.SS4.4.p2.7.m2.2.2.2.2.2.cmml">y</mi><mo id="A4.SS4.4.p2.7.m2.2.2.2.2.3" xref="A4.SS4.4.p2.7.m2.2.2.2.2.3.cmml">=</mo><mrow id="A4.SS4.4.p2.7.m2.2.2.2.2.4" xref="A4.SS4.4.p2.7.m2.2.2.2.2.4.cmml"><mi id="A4.SS4.4.p2.7.m2.2.2.2.2.4.2" xref="A4.SS4.4.p2.7.m2.2.2.2.2.4.2.cmml">k</mi><mo id="A4.SS4.4.p2.7.m2.2.2.2.2.4.1" xref="A4.SS4.4.p2.7.m2.2.2.2.2.4.1.cmml">⁢</mo><mi id="A4.SS4.4.p2.7.m2.2.2.2.2.4.3" xref="A4.SS4.4.p2.7.m2.2.2.2.2.4.3.cmml">x</mi></mrow><mo id="A4.SS4.4.p2.7.m2.2.2.2.2.5" xref="A4.SS4.4.p2.7.m2.2.2.2.2.5.cmml">≤</mo><mrow id="A4.SS4.4.p2.7.m2.2.2.2.2.6" xref="A4.SS4.4.p2.7.m2.2.2.2.2.6.cmml"><mi id="A4.SS4.4.p2.7.m2.2.2.2.2.6.2" xref="A4.SS4.4.p2.7.m2.2.2.2.2.6.2.cmml">t</mi><mo id="A4.SS4.4.p2.7.m2.2.2.2.2.6.1" xref="A4.SS4.4.p2.7.m2.2.2.2.2.6.1.cmml">⁢</mo><mi id="A4.SS4.4.p2.7.m2.2.2.2.2.6.3" xref="A4.SS4.4.p2.7.m2.2.2.2.2.6.3.cmml">x</mi></mrow><mo id="A4.SS4.4.p2.7.m2.2.2.2.2.7" xref="A4.SS4.4.p2.7.m2.2.2.2.2.7.cmml">≤</mo><msup id="A4.SS4.4.p2.7.m2.2.2.2.2.8" xref="A4.SS4.4.p2.7.m2.2.2.2.2.8.cmml"><mi id="A4.SS4.4.p2.7.m2.2.2.2.2.8.2" xref="A4.SS4.4.p2.7.m2.2.2.2.2.8.2.cmml">t</mi><mrow id="A4.SS4.4.p2.7.m2.2.2.2.2.8.3" xref="A4.SS4.4.p2.7.m2.2.2.2.2.8.3.cmml"><mo id="A4.SS4.4.p2.7.m2.2.2.2.2.8.3a" xref="A4.SS4.4.p2.7.m2.2.2.2.2.8.3.cmml">−</mo><mn id="A4.SS4.4.p2.7.m2.2.2.2.2.8.3.2" xref="A4.SS4.4.p2.7.m2.2.2.2.2.8.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A4.SS4.4.p2.7.m2.2b"><apply id="A4.SS4.4.p2.7.m2.2.2.3.cmml" xref="A4.SS4.4.p2.7.m2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.SS4.4.p2.7.m2.2.2.3a.cmml" xref="A4.SS4.4.p2.7.m2.2.2.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="A4.SS4.4.p2.7.m2.1.1.1.1.cmml" xref="A4.SS4.4.p2.7.m2.1.1.1.1"><and id="A4.SS4.4.p2.7.m2.1.1.1.1a.cmml" xref="A4.SS4.4.p2.7.m2.1.1.1.1"></and><apply id="A4.SS4.4.p2.7.m2.1.1.1.1b.cmml" xref="A4.SS4.4.p2.7.m2.1.1.1.1"><eq id="A4.SS4.4.p2.7.m2.1.1.1.1.3.cmml" xref="A4.SS4.4.p2.7.m2.1.1.1.1.3"></eq><ci id="A4.SS4.4.p2.7.m2.1.1.1.1.2.cmml" xref="A4.SS4.4.p2.7.m2.1.1.1.1.2">𝑥</ci><apply id="A4.SS4.4.p2.7.m2.1.1.1.1.4.cmml" xref="A4.SS4.4.p2.7.m2.1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.SS4.4.p2.7.m2.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="A4.SS4.4.p2.7.m2.1.1.1.1.4">superscript</csymbol><ci id="A4.SS4.4.p2.7.m2.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="A4.SS4.4.p2.7.m2.1.1.1.1.4.2">𝑄</ci><apply id="A4.SS4.4.p2.7.m2.1.1.1.1.4.3.cmml" xref="A4.SS4.4.p2.7.m2.1.1.1.1.4.3"><minus id="A4.SS4.4.p2.7.m2.1.1.1.1.4.3.1.cmml" xref="A4.SS4.4.p2.7.m2.1.1.1.1.4.3"></minus><cn id="A4.SS4.4.p2.7.m2.1.1.1.1.4.3.2.cmml" type="integer" xref="A4.SS4.4.p2.7.m2.1.1.1.1.4.3.2">2</cn></apply></apply></apply><apply id="A4.SS4.4.p2.7.m2.1.1.1.1c.cmml" xref="A4.SS4.4.p2.7.m2.1.1.1.1"><leq id="A4.SS4.4.p2.7.m2.1.1.1.1.5.cmml" xref="A4.SS4.4.p2.7.m2.1.1.1.1.5"></leq><share href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#A4.SS4.4.p2.7.m2.1.1.1.1.4.cmml" id="A4.SS4.4.p2.7.m2.1.1.1.1d.cmml" xref="A4.SS4.4.p2.7.m2.1.1.1.1"></share><apply id="A4.SS4.4.p2.7.m2.1.1.1.1.6.cmml" xref="A4.SS4.4.p2.7.m2.1.1.1.1.6"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.SS4.4.p2.7.m2.1.1.1.1.6.1.cmml" xref="A4.SS4.4.p2.7.m2.1.1.1.1.6">superscript</csymbol><ci id="A4.SS4.4.p2.7.m2.1.1.1.1.6.2.cmml" xref="A4.SS4.4.p2.7.m2.1.1.1.1.6.2">𝑡</ci><apply id="A4.SS4.4.p2.7.m2.1.1.1.1.6.3.cmml" xref="A4.SS4.4.p2.7.m2.1.1.1.1.6.3"><minus id="A4.SS4.4.p2.7.m2.1.1.1.1.6.3.1.cmml" xref="A4.SS4.4.p2.7.m2.1.1.1.1.6.3"></minus><cn id="A4.SS4.4.p2.7.m2.1.1.1.1.6.3.2.cmml" type="integer" xref="A4.SS4.4.p2.7.m2.1.1.1.1.6.3.2">2</cn></apply></apply></apply></apply><apply id="A4.SS4.4.p2.7.m2.2.2.2.2.cmml" xref="A4.SS4.4.p2.7.m2.2.2.2.2"><and id="A4.SS4.4.p2.7.m2.2.2.2.2a.cmml" xref="A4.SS4.4.p2.7.m2.2.2.2.2"></and><apply id="A4.SS4.4.p2.7.m2.2.2.2.2b.cmml" xref="A4.SS4.4.p2.7.m2.2.2.2.2"><eq id="A4.SS4.4.p2.7.m2.2.2.2.2.3.cmml" xref="A4.SS4.4.p2.7.m2.2.2.2.2.3"></eq><ci id="A4.SS4.4.p2.7.m2.2.2.2.2.2.cmml" xref="A4.SS4.4.p2.7.m2.2.2.2.2.2">𝑦</ci><apply id="A4.SS4.4.p2.7.m2.2.2.2.2.4.cmml" xref="A4.SS4.4.p2.7.m2.2.2.2.2.4"><times id="A4.SS4.4.p2.7.m2.2.2.2.2.4.1.cmml" xref="A4.SS4.4.p2.7.m2.2.2.2.2.4.1"></times><ci id="A4.SS4.4.p2.7.m2.2.2.2.2.4.2.cmml" xref="A4.SS4.4.p2.7.m2.2.2.2.2.4.2">𝑘</ci><ci id="A4.SS4.4.p2.7.m2.2.2.2.2.4.3.cmml" xref="A4.SS4.4.p2.7.m2.2.2.2.2.4.3">𝑥</ci></apply></apply><apply id="A4.SS4.4.p2.7.m2.2.2.2.2c.cmml" xref="A4.SS4.4.p2.7.m2.2.2.2.2"><leq id="A4.SS4.4.p2.7.m2.2.2.2.2.5.cmml" xref="A4.SS4.4.p2.7.m2.2.2.2.2.5"></leq><share href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#A4.SS4.4.p2.7.m2.2.2.2.2.4.cmml" id="A4.SS4.4.p2.7.m2.2.2.2.2d.cmml" xref="A4.SS4.4.p2.7.m2.2.2.2.2"></share><apply id="A4.SS4.4.p2.7.m2.2.2.2.2.6.cmml" xref="A4.SS4.4.p2.7.m2.2.2.2.2.6"><times id="A4.SS4.4.p2.7.m2.2.2.2.2.6.1.cmml" xref="A4.SS4.4.p2.7.m2.2.2.2.2.6.1"></times><ci id="A4.SS4.4.p2.7.m2.2.2.2.2.6.2.cmml" xref="A4.SS4.4.p2.7.m2.2.2.2.2.6.2">𝑡</ci><ci id="A4.SS4.4.p2.7.m2.2.2.2.2.6.3.cmml" xref="A4.SS4.4.p2.7.m2.2.2.2.2.6.3">𝑥</ci></apply></apply><apply id="A4.SS4.4.p2.7.m2.2.2.2.2e.cmml" xref="A4.SS4.4.p2.7.m2.2.2.2.2"><leq id="A4.SS4.4.p2.7.m2.2.2.2.2.7.cmml" xref="A4.SS4.4.p2.7.m2.2.2.2.2.7"></leq><share href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#A4.SS4.4.p2.7.m2.2.2.2.2.6.cmml" id="A4.SS4.4.p2.7.m2.2.2.2.2f.cmml" xref="A4.SS4.4.p2.7.m2.2.2.2.2"></share><apply id="A4.SS4.4.p2.7.m2.2.2.2.2.8.cmml" xref="A4.SS4.4.p2.7.m2.2.2.2.2.8"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.SS4.4.p2.7.m2.2.2.2.2.8.1.cmml" xref="A4.SS4.4.p2.7.m2.2.2.2.2.8">superscript</csymbol><ci id="A4.SS4.4.p2.7.m2.2.2.2.2.8.2.cmml" xref="A4.SS4.4.p2.7.m2.2.2.2.2.8.2">𝑡</ci><apply id="A4.SS4.4.p2.7.m2.2.2.2.2.8.3.cmml" xref="A4.SS4.4.p2.7.m2.2.2.2.2.8.3"><minus id="A4.SS4.4.p2.7.m2.2.2.2.2.8.3.1.cmml" xref="A4.SS4.4.p2.7.m2.2.2.2.2.8.3"></minus><cn id="A4.SS4.4.p2.7.m2.2.2.2.2.8.3.2.cmml" type="integer" xref="A4.SS4.4.p2.7.m2.2.2.2.2.8.3.2">1</cn></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A4.SS4.4.p2.7.m2.2c">x=Q^{-2}\leq t^{-2},y=kx\leq tx\leq t^{-1}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A4.SS4.4.p2.7.m2.2d">italic_x = italic_Q start_POSTSUPERSCRIPT - 2 end_POSTSUPERSCRIPT ≤ italic_t start_POSTSUPERSCRIPT - 2 end_POSTSUPERSCRIPT , italic_y = italic_k italic_x ≤ italic_t italic_x ≤ italic_t start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> regime. Therefore, we have (where we define <math alttext="\theta_{ij}=1" class="ltx_Math" display="inline" id="A4.SS4.4.p2.8.m3.1"><semantics id="A4.SS4.4.p2.8.m3.1a"><mrow id="A4.SS4.4.p2.8.m3.1.1" xref="A4.SS4.4.p2.8.m3.1.1.cmml"><msub id="A4.SS4.4.p2.8.m3.1.1.2" xref="A4.SS4.4.p2.8.m3.1.1.2.cmml"><mi id="A4.SS4.4.p2.8.m3.1.1.2.2" xref="A4.SS4.4.p2.8.m3.1.1.2.2.cmml">θ</mi><mrow id="A4.SS4.4.p2.8.m3.1.1.2.3" xref="A4.SS4.4.p2.8.m3.1.1.2.3.cmml"><mi id="A4.SS4.4.p2.8.m3.1.1.2.3.2" xref="A4.SS4.4.p2.8.m3.1.1.2.3.2.cmml">i</mi><mo id="A4.SS4.4.p2.8.m3.1.1.2.3.1" xref="A4.SS4.4.p2.8.m3.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A4.SS4.4.p2.8.m3.1.1.2.3.3" xref="A4.SS4.4.p2.8.m3.1.1.2.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="A4.SS4.4.p2.8.m3.1.1.1" xref="A4.SS4.4.p2.8.m3.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="A4.SS4.4.p2.8.m3.1.1.3" xref="A4.SS4.4.p2.8.m3.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A4.SS4.4.p2.8.m3.1b"><apply id="A4.SS4.4.p2.8.m3.1.1.cmml" xref="A4.SS4.4.p2.8.m3.1.1"><eq id="A4.SS4.4.p2.8.m3.1.1.1.cmml" xref="A4.SS4.4.p2.8.m3.1.1.1"></eq><apply id="A4.SS4.4.p2.8.m3.1.1.2.cmml" xref="A4.SS4.4.p2.8.m3.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.SS4.4.p2.8.m3.1.1.2.1.cmml" xref="A4.SS4.4.p2.8.m3.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="A4.SS4.4.p2.8.m3.1.1.2.2.cmml" xref="A4.SS4.4.p2.8.m3.1.1.2.2">𝜃</ci><apply id="A4.SS4.4.p2.8.m3.1.1.2.3.cmml" xref="A4.SS4.4.p2.8.m3.1.1.2.3"><times id="A4.SS4.4.p2.8.m3.1.1.2.3.1.cmml" xref="A4.SS4.4.p2.8.m3.1.1.2.3.1"></times><ci id="A4.SS4.4.p2.8.m3.1.1.2.3.2.cmml" xref="A4.SS4.4.p2.8.m3.1.1.2.3.2">𝑖</ci><ci id="A4.SS4.4.p2.8.m3.1.1.2.3.3.cmml" xref="A4.SS4.4.p2.8.m3.1.1.2.3.3">𝑗</ci></apply></apply><cn id="A4.SS4.4.p2.8.m3.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A4.SS4.4.p2.8.m3.1.1.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A4.SS4.4.p2.8.m3.1c">\theta_{ij}=1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A4.SS4.4.p2.8.m3.1d">italic_θ start_POSTSUBSCRIPT italic_i italic_j end_POSTSUBSCRIPT = 1</annotation></semantics></math> if <math alttext="i\geq j" class="ltx_Math" display="inline" id="A4.SS4.4.p2.9.m4.1"><semantics id="A4.SS4.4.p2.9.m4.1a"><mrow id="A4.SS4.4.p2.9.m4.1.1" xref="A4.SS4.4.p2.9.m4.1.1.cmml"><mi id="A4.SS4.4.p2.9.m4.1.1.2" xref="A4.SS4.4.p2.9.m4.1.1.2.cmml">i</mi><mo id="A4.SS4.4.p2.9.m4.1.1.1" xref="A4.SS4.4.p2.9.m4.1.1.1.cmml">≥</mo><mi id="A4.SS4.4.p2.9.m4.1.1.3" xref="A4.SS4.4.p2.9.m4.1.1.3.cmml">j</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A4.SS4.4.p2.9.m4.1b"><apply id="A4.SS4.4.p2.9.m4.1.1.cmml" xref="A4.SS4.4.p2.9.m4.1.1"><geq id="A4.SS4.4.p2.9.m4.1.1.1.cmml" xref="A4.SS4.4.p2.9.m4.1.1.1"></geq><ci id="A4.SS4.4.p2.9.m4.1.1.2.cmml" xref="A4.SS4.4.p2.9.m4.1.1.2">𝑖</ci><ci id="A4.SS4.4.p2.9.m4.1.1.3.cmml" xref="A4.SS4.4.p2.9.m4.1.1.3">𝑗</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A4.SS4.4.p2.9.m4.1c">i\geq j</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A4.SS4.4.p2.9.m4.1d">italic_i ≥ italic_j</annotation></semantics></math> and 0 otherwise):</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="S6.EGx216"> <tbody id="A4.Ex90"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\delta^{n}g_{k}(x)" class="ltx_Math" display="inline" id="A4.Ex90.m1.1"><semantics id="A4.Ex90.m1.1a"><mrow id="A4.Ex90.m1.1.2" xref="A4.Ex90.m1.1.2.cmml"><msup id="A4.Ex90.m1.1.2.2" xref="A4.Ex90.m1.1.2.2.cmml"><mi id="A4.Ex90.m1.1.2.2.2" xref="A4.Ex90.m1.1.2.2.2.cmml">δ</mi><mi id="A4.Ex90.m1.1.2.2.3" xref="A4.Ex90.m1.1.2.2.3.cmml">n</mi></msup><mo id="A4.Ex90.m1.1.2.1" xref="A4.Ex90.m1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="A4.Ex90.m1.1.2.3" xref="A4.Ex90.m1.1.2.3.cmml"><mi id="A4.Ex90.m1.1.2.3.2" xref="A4.Ex90.m1.1.2.3.2.cmml">g</mi><mi id="A4.Ex90.m1.1.2.3.3" xref="A4.Ex90.m1.1.2.3.3.cmml">k</mi></msub><mo id="A4.Ex90.m1.1.2.1a" xref="A4.Ex90.m1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A4.Ex90.m1.1.2.4.2" xref="A4.Ex90.m1.1.2.cmml"><mo id="A4.Ex90.m1.1.2.4.2.1" stretchy="false" xref="A4.Ex90.m1.1.2.cmml">(</mo><mi id="A4.Ex90.m1.1.1" xref="A4.Ex90.m1.1.1.cmml">x</mi><mo id="A4.Ex90.m1.1.2.4.2.2" stretchy="false" xref="A4.Ex90.m1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A4.Ex90.m1.1b"><apply id="A4.Ex90.m1.1.2.cmml" xref="A4.Ex90.m1.1.2"><times id="A4.Ex90.m1.1.2.1.cmml" xref="A4.Ex90.m1.1.2.1"></times><apply id="A4.Ex90.m1.1.2.2.cmml" xref="A4.Ex90.m1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.Ex90.m1.1.2.2.1.cmml" xref="A4.Ex90.m1.1.2.2">superscript</csymbol><ci id="A4.Ex90.m1.1.2.2.2.cmml" xref="A4.Ex90.m1.1.2.2.2">𝛿</ci><ci id="A4.Ex90.m1.1.2.2.3.cmml" xref="A4.Ex90.m1.1.2.2.3">𝑛</ci></apply><apply id="A4.Ex90.m1.1.2.3.cmml" xref="A4.Ex90.m1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.Ex90.m1.1.2.3.1.cmml" xref="A4.Ex90.m1.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="A4.Ex90.m1.1.2.3.2.cmml" xref="A4.Ex90.m1.1.2.3.2">𝑔</ci><ci id="A4.Ex90.m1.1.2.3.3.cmml" xref="A4.Ex90.m1.1.2.3.3">𝑘</ci></apply><ci id="A4.Ex90.m1.1.1.cmml" xref="A4.Ex90.m1.1.1">𝑥</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A4.Ex90.m1.1c">\displaystyle\delta^{n}g_{k}(x)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A4.Ex90.m1.1d">italic_δ start_POSTSUPERSCRIPT italic_n end_POSTSUPERSCRIPT italic_g start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ( italic_x )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\leq(2kx+k^{2}x^{2})\theta_{0n}+2nx(1+kx)\theta_{1n}+x^{-2}\sum_{% \ell=\max(2,n)}^{\infty}(nx^{2})^{\ell}" class="ltx_Math" display="inline" id="A4.Ex90.m2.6"><semantics id="A4.Ex90.m2.6a"><mrow id="A4.Ex90.m2.6.6" xref="A4.Ex90.m2.6.6.cmml"><mi id="A4.Ex90.m2.6.6.5" xref="A4.Ex90.m2.6.6.5.cmml"></mi><mo id="A4.Ex90.m2.6.6.4" xref="A4.Ex90.m2.6.6.4.cmml">≤</mo><mrow id="A4.Ex90.m2.6.6.3" xref="A4.Ex90.m2.6.6.3.cmml"><mrow id="A4.Ex90.m2.4.4.1.1" xref="A4.Ex90.m2.4.4.1.1.cmml"><mrow id="A4.Ex90.m2.4.4.1.1.1.1" xref="A4.Ex90.m2.4.4.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A4.Ex90.m2.4.4.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A4.Ex90.m2.4.4.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A4.Ex90.m2.4.4.1.1.1.1.1" xref="A4.Ex90.m2.4.4.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A4.Ex90.m2.4.4.1.1.1.1.1.2" xref="A4.Ex90.m2.4.4.1.1.1.1.1.2.cmml"><mn id="A4.Ex90.m2.4.4.1.1.1.1.1.2.2" xref="A4.Ex90.m2.4.4.1.1.1.1.1.2.2.cmml">2</mn><mo id="A4.Ex90.m2.4.4.1.1.1.1.1.2.1" xref="A4.Ex90.m2.4.4.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="A4.Ex90.m2.4.4.1.1.1.1.1.2.3" xref="A4.Ex90.m2.4.4.1.1.1.1.1.2.3.cmml">k</mi><mo id="A4.Ex90.m2.4.4.1.1.1.1.1.2.1a" xref="A4.Ex90.m2.4.4.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="A4.Ex90.m2.4.4.1.1.1.1.1.2.4" xref="A4.Ex90.m2.4.4.1.1.1.1.1.2.4.cmml">x</mi></mrow><mo id="A4.Ex90.m2.4.4.1.1.1.1.1.1" xref="A4.Ex90.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="A4.Ex90.m2.4.4.1.1.1.1.1.3" xref="A4.Ex90.m2.4.4.1.1.1.1.1.3.cmml"><msup id="A4.Ex90.m2.4.4.1.1.1.1.1.3.2" xref="A4.Ex90.m2.4.4.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="A4.Ex90.m2.4.4.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="A4.Ex90.m2.4.4.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">k</mi><mn id="A4.Ex90.m2.4.4.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="A4.Ex90.m2.4.4.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">2</mn></msup><mo id="A4.Ex90.m2.4.4.1.1.1.1.1.3.1" xref="A4.Ex90.m2.4.4.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="A4.Ex90.m2.4.4.1.1.1.1.1.3.3" xref="A4.Ex90.m2.4.4.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="A4.Ex90.m2.4.4.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="A4.Ex90.m2.4.4.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">x</mi><mn id="A4.Ex90.m2.4.4.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="A4.Ex90.m2.4.4.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">2</mn></msup></mrow></mrow><mo id="A4.Ex90.m2.4.4.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A4.Ex90.m2.4.4.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A4.Ex90.m2.4.4.1.1.2" xref="A4.Ex90.m2.4.4.1.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="A4.Ex90.m2.4.4.1.1.3" xref="A4.Ex90.m2.4.4.1.1.3.cmml"><mi id="A4.Ex90.m2.4.4.1.1.3.2" xref="A4.Ex90.m2.4.4.1.1.3.2.cmml">θ</mi><mrow id="A4.Ex90.m2.4.4.1.1.3.3" xref="A4.Ex90.m2.4.4.1.1.3.3.cmml"><mn id="A4.Ex90.m2.4.4.1.1.3.3.2" xref="A4.Ex90.m2.4.4.1.1.3.3.2.cmml">0</mn><mo id="A4.Ex90.m2.4.4.1.1.3.3.1" xref="A4.Ex90.m2.4.4.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A4.Ex90.m2.4.4.1.1.3.3.3" xref="A4.Ex90.m2.4.4.1.1.3.3.3.cmml">n</mi></mrow></msub></mrow><mo id="A4.Ex90.m2.6.6.3.4" xref="A4.Ex90.m2.6.6.3.4.cmml">+</mo><mrow id="A4.Ex90.m2.5.5.2.2" xref="A4.Ex90.m2.5.5.2.2.cmml"><mn id="A4.Ex90.m2.5.5.2.2.3" xref="A4.Ex90.m2.5.5.2.2.3.cmml">2</mn><mo id="A4.Ex90.m2.5.5.2.2.2" xref="A4.Ex90.m2.5.5.2.2.2.cmml">⁢</mo><mi id="A4.Ex90.m2.5.5.2.2.4" xref="A4.Ex90.m2.5.5.2.2.4.cmml">n</mi><mo id="A4.Ex90.m2.5.5.2.2.2a" xref="A4.Ex90.m2.5.5.2.2.2.cmml">⁢</mo><mi id="A4.Ex90.m2.5.5.2.2.5" xref="A4.Ex90.m2.5.5.2.2.5.cmml">x</mi><mo id="A4.Ex90.m2.5.5.2.2.2b" xref="A4.Ex90.m2.5.5.2.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A4.Ex90.m2.5.5.2.2.1.1" xref="A4.Ex90.m2.5.5.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="A4.Ex90.m2.5.5.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="A4.Ex90.m2.5.5.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A4.Ex90.m2.5.5.2.2.1.1.1" xref="A4.Ex90.m2.5.5.2.2.1.1.1.cmml"><mn id="A4.Ex90.m2.5.5.2.2.1.1.1.2" xref="A4.Ex90.m2.5.5.2.2.1.1.1.2.cmml">1</mn><mo id="A4.Ex90.m2.5.5.2.2.1.1.1.1" xref="A4.Ex90.m2.5.5.2.2.1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="A4.Ex90.m2.5.5.2.2.1.1.1.3" xref="A4.Ex90.m2.5.5.2.2.1.1.1.3.cmml"><mi id="A4.Ex90.m2.5.5.2.2.1.1.1.3.2" xref="A4.Ex90.m2.5.5.2.2.1.1.1.3.2.cmml">k</mi><mo id="A4.Ex90.m2.5.5.2.2.1.1.1.3.1" xref="A4.Ex90.m2.5.5.2.2.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A4.Ex90.m2.5.5.2.2.1.1.1.3.3" xref="A4.Ex90.m2.5.5.2.2.1.1.1.3.3.cmml">x</mi></mrow></mrow><mo id="A4.Ex90.m2.5.5.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="A4.Ex90.m2.5.5.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A4.Ex90.m2.5.5.2.2.2c" xref="A4.Ex90.m2.5.5.2.2.2.cmml">⁢</mo><msub id="A4.Ex90.m2.5.5.2.2.6" xref="A4.Ex90.m2.5.5.2.2.6.cmml"><mi id="A4.Ex90.m2.5.5.2.2.6.2" xref="A4.Ex90.m2.5.5.2.2.6.2.cmml">θ</mi><mrow id="A4.Ex90.m2.5.5.2.2.6.3" xref="A4.Ex90.m2.5.5.2.2.6.3.cmml"><mn id="A4.Ex90.m2.5.5.2.2.6.3.2" xref="A4.Ex90.m2.5.5.2.2.6.3.2.cmml">1</mn><mo id="A4.Ex90.m2.5.5.2.2.6.3.1" xref="A4.Ex90.m2.5.5.2.2.6.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A4.Ex90.m2.5.5.2.2.6.3.3" xref="A4.Ex90.m2.5.5.2.2.6.3.3.cmml">n</mi></mrow></msub></mrow><mo id="A4.Ex90.m2.6.6.3.4a" xref="A4.Ex90.m2.6.6.3.4.cmml">+</mo><mrow id="A4.Ex90.m2.6.6.3.3" xref="A4.Ex90.m2.6.6.3.3.cmml"><msup id="A4.Ex90.m2.6.6.3.3.3" xref="A4.Ex90.m2.6.6.3.3.3.cmml"><mi id="A4.Ex90.m2.6.6.3.3.3.2" xref="A4.Ex90.m2.6.6.3.3.3.2.cmml">x</mi><mrow id="A4.Ex90.m2.6.6.3.3.3.3" xref="A4.Ex90.m2.6.6.3.3.3.3.cmml"><mo id="A4.Ex90.m2.6.6.3.3.3.3a" xref="A4.Ex90.m2.6.6.3.3.3.3.cmml">−</mo><mn id="A4.Ex90.m2.6.6.3.3.3.3.2" xref="A4.Ex90.m2.6.6.3.3.3.3.2.cmml">2</mn></mrow></msup><mo id="A4.Ex90.m2.6.6.3.3.2" xref="A4.Ex90.m2.6.6.3.3.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A4.Ex90.m2.6.6.3.3.1" xref="A4.Ex90.m2.6.6.3.3.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A4.Ex90.m2.6.6.3.3.1.2" xref="A4.Ex90.m2.6.6.3.3.1.2.cmml"><munderover id="A4.Ex90.m2.6.6.3.3.1.2a" xref="A4.Ex90.m2.6.6.3.3.1.2.cmml"><mo id="A4.Ex90.m2.6.6.3.3.1.2.2.2" movablelimits="false" xref="A4.Ex90.m2.6.6.3.3.1.2.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="A4.Ex90.m2.3.3.3" xref="A4.Ex90.m2.3.3.3.cmml"><mi id="A4.Ex90.m2.3.3.3.5" mathvariant="normal" xref="A4.Ex90.m2.3.3.3.5.cmml">ℓ</mi><mo id="A4.Ex90.m2.3.3.3.4" xref="A4.Ex90.m2.3.3.3.4.cmml">=</mo><mrow id="A4.Ex90.m2.3.3.3.6.2" xref="A4.Ex90.m2.3.3.3.6.1.cmml"><mi id="A4.Ex90.m2.1.1.1.1" xref="A4.Ex90.m2.1.1.1.1.cmml">max</mi><mo id="A4.Ex90.m2.3.3.3.6.2a" xref="A4.Ex90.m2.3.3.3.6.1.cmml">⁡</mo><mrow id="A4.Ex90.m2.3.3.3.6.2.1" xref="A4.Ex90.m2.3.3.3.6.1.cmml"><mo id="A4.Ex90.m2.3.3.3.6.2.1.1" stretchy="false" xref="A4.Ex90.m2.3.3.3.6.1.cmml">(</mo><mn id="A4.Ex90.m2.2.2.2.2" xref="A4.Ex90.m2.2.2.2.2.cmml">2</mn><mo id="A4.Ex90.m2.3.3.3.6.2.1.2" xref="A4.Ex90.m2.3.3.3.6.1.cmml">,</mo><mi id="A4.Ex90.m2.3.3.3.3" xref="A4.Ex90.m2.3.3.3.3.cmml">n</mi><mo id="A4.Ex90.m2.3.3.3.6.2.1.3" stretchy="false" xref="A4.Ex90.m2.3.3.3.6.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mi id="A4.Ex90.m2.6.6.3.3.1.2.3" mathvariant="normal" xref="A4.Ex90.m2.6.6.3.3.1.2.3.cmml">∞</mi></munderover></mstyle><msup id="A4.Ex90.m2.6.6.3.3.1.1" xref="A4.Ex90.m2.6.6.3.3.1.1.cmml"><mrow id="A4.Ex90.m2.6.6.3.3.1.1.1.1" xref="A4.Ex90.m2.6.6.3.3.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A4.Ex90.m2.6.6.3.3.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A4.Ex90.m2.6.6.3.3.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A4.Ex90.m2.6.6.3.3.1.1.1.1.1" xref="A4.Ex90.m2.6.6.3.3.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A4.Ex90.m2.6.6.3.3.1.1.1.1.1.2" xref="A4.Ex90.m2.6.6.3.3.1.1.1.1.1.2.cmml">n</mi><mo id="A4.Ex90.m2.6.6.3.3.1.1.1.1.1.1" xref="A4.Ex90.m2.6.6.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msup id="A4.Ex90.m2.6.6.3.3.1.1.1.1.1.3" xref="A4.Ex90.m2.6.6.3.3.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A4.Ex90.m2.6.6.3.3.1.1.1.1.1.3.2" xref="A4.Ex90.m2.6.6.3.3.1.1.1.1.1.3.2.cmml">x</mi><mn id="A4.Ex90.m2.6.6.3.3.1.1.1.1.1.3.3" xref="A4.Ex90.m2.6.6.3.3.1.1.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></msup></mrow><mo id="A4.Ex90.m2.6.6.3.3.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A4.Ex90.m2.6.6.3.3.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mi id="A4.Ex90.m2.6.6.3.3.1.1.3" mathvariant="normal" xref="A4.Ex90.m2.6.6.3.3.1.1.3.cmml">ℓ</mi></msup></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A4.Ex90.m2.6b"><apply id="A4.Ex90.m2.6.6.cmml" xref="A4.Ex90.m2.6.6"><leq id="A4.Ex90.m2.6.6.4.cmml" xref="A4.Ex90.m2.6.6.4"></leq><csymbol cd="latexml" id="A4.Ex90.m2.6.6.5.cmml" xref="A4.Ex90.m2.6.6.5">absent</csymbol><apply id="A4.Ex90.m2.6.6.3.cmml" xref="A4.Ex90.m2.6.6.3"><plus id="A4.Ex90.m2.6.6.3.4.cmml" xref="A4.Ex90.m2.6.6.3.4"></plus><apply id="A4.Ex90.m2.4.4.1.1.cmml" xref="A4.Ex90.m2.4.4.1.1"><times id="A4.Ex90.m2.4.4.1.1.2.cmml" xref="A4.Ex90.m2.4.4.1.1.2"></times><apply id="A4.Ex90.m2.4.4.1.1.1.1.1.cmml" xref="A4.Ex90.m2.4.4.1.1.1.1"><plus id="A4.Ex90.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A4.Ex90.m2.4.4.1.1.1.1.1.1"></plus><apply 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id="A4.Ex90.m2.3.3.3.6.1.cmml" xref="A4.Ex90.m2.3.3.3.6.2"><max id="A4.Ex90.m2.1.1.1.1.cmml" xref="A4.Ex90.m2.1.1.1.1"></max><cn id="A4.Ex90.m2.2.2.2.2.cmml" type="integer" xref="A4.Ex90.m2.2.2.2.2">2</cn><ci id="A4.Ex90.m2.3.3.3.3.cmml" xref="A4.Ex90.m2.3.3.3.3">𝑛</ci></apply></apply></apply><infinity id="A4.Ex90.m2.6.6.3.3.1.2.3.cmml" xref="A4.Ex90.m2.6.6.3.3.1.2.3"></infinity></apply><apply id="A4.Ex90.m2.6.6.3.3.1.1.cmml" xref="A4.Ex90.m2.6.6.3.3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.Ex90.m2.6.6.3.3.1.1.2.cmml" xref="A4.Ex90.m2.6.6.3.3.1.1">superscript</csymbol><apply id="A4.Ex90.m2.6.6.3.3.1.1.1.1.1.cmml" xref="A4.Ex90.m2.6.6.3.3.1.1.1.1"><times id="A4.Ex90.m2.6.6.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A4.Ex90.m2.6.6.3.3.1.1.1.1.1.1"></times><ci id="A4.Ex90.m2.6.6.3.3.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A4.Ex90.m2.6.6.3.3.1.1.1.1.1.2">𝑛</ci><apply id="A4.Ex90.m2.6.6.3.3.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A4.Ex90.m2.6.6.3.3.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.Ex90.m2.6.6.3.3.1.1.1.1.1.3.1.cmml" 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2 end_POSTSUPERSCRIPT ∑ start_POSTSUBSCRIPT roman_ℓ = roman_max ( 2 , italic_n ) end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∞ end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n italic_x start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT roman_ℓ end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="A4.Ex91"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\leq kx(2+kx)\theta_{0n}+2nx(1+kx)\theta_{1n}+\frac{(nx^{2})^{% \max(2,n)}}{x^{2}(1-nx^{2})}" class="ltx_Math" display="inline" id="A4.Ex91.m1.7"><semantics id="A4.Ex91.m1.7a"><mrow id="A4.Ex91.m1.7.7" xref="A4.Ex91.m1.7.7.cmml"><mi id="A4.Ex91.m1.7.7.4" xref="A4.Ex91.m1.7.7.4.cmml"></mi><mo id="A4.Ex91.m1.7.7.3" xref="A4.Ex91.m1.7.7.3.cmml">≤</mo><mrow id="A4.Ex91.m1.7.7.2" 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xref="A4.Ex91.m1.7.7.2.2.2.cmml">⁢</mo><mi id="A4.Ex91.m1.7.7.2.2.4" xref="A4.Ex91.m1.7.7.2.2.4.cmml">n</mi><mo id="A4.Ex91.m1.7.7.2.2.2a" xref="A4.Ex91.m1.7.7.2.2.2.cmml">⁢</mo><mi id="A4.Ex91.m1.7.7.2.2.5" xref="A4.Ex91.m1.7.7.2.2.5.cmml">x</mi><mo id="A4.Ex91.m1.7.7.2.2.2b" xref="A4.Ex91.m1.7.7.2.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A4.Ex91.m1.7.7.2.2.1.1" xref="A4.Ex91.m1.7.7.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="A4.Ex91.m1.7.7.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="A4.Ex91.m1.7.7.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A4.Ex91.m1.7.7.2.2.1.1.1" xref="A4.Ex91.m1.7.7.2.2.1.1.1.cmml"><mn id="A4.Ex91.m1.7.7.2.2.1.1.1.2" xref="A4.Ex91.m1.7.7.2.2.1.1.1.2.cmml">1</mn><mo id="A4.Ex91.m1.7.7.2.2.1.1.1.1" xref="A4.Ex91.m1.7.7.2.2.1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="A4.Ex91.m1.7.7.2.2.1.1.1.3" xref="A4.Ex91.m1.7.7.2.2.1.1.1.3.cmml"><mi id="A4.Ex91.m1.7.7.2.2.1.1.1.3.2" xref="A4.Ex91.m1.7.7.2.2.1.1.1.3.2.cmml">k</mi><mo id="A4.Ex91.m1.7.7.2.2.1.1.1.3.1" xref="A4.Ex91.m1.7.7.2.2.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A4.Ex91.m1.7.7.2.2.1.1.1.3.3" xref="A4.Ex91.m1.7.7.2.2.1.1.1.3.3.cmml">x</mi></mrow></mrow><mo id="A4.Ex91.m1.7.7.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="A4.Ex91.m1.7.7.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A4.Ex91.m1.7.7.2.2.2c" xref="A4.Ex91.m1.7.7.2.2.2.cmml">⁢</mo><msub id="A4.Ex91.m1.7.7.2.2.6" xref="A4.Ex91.m1.7.7.2.2.6.cmml"><mi id="A4.Ex91.m1.7.7.2.2.6.2" xref="A4.Ex91.m1.7.7.2.2.6.2.cmml">θ</mi><mrow id="A4.Ex91.m1.7.7.2.2.6.3" xref="A4.Ex91.m1.7.7.2.2.6.3.cmml"><mn id="A4.Ex91.m1.7.7.2.2.6.3.2" xref="A4.Ex91.m1.7.7.2.2.6.3.2.cmml">1</mn><mo id="A4.Ex91.m1.7.7.2.2.6.3.1" xref="A4.Ex91.m1.7.7.2.2.6.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A4.Ex91.m1.7.7.2.2.6.3.3" xref="A4.Ex91.m1.7.7.2.2.6.3.3.cmml">n</mi></mrow></msub></mrow><mo id="A4.Ex91.m1.7.7.2.3a" xref="A4.Ex91.m1.7.7.2.3.cmml">+</mo><mstyle displaystyle="true" id="A4.Ex91.m1.5.5" xref="A4.Ex91.m1.5.5.cmml"><mfrac id="A4.Ex91.m1.5.5a" xref="A4.Ex91.m1.5.5.cmml"><msup id="A4.Ex91.m1.4.4.4" xref="A4.Ex91.m1.4.4.4.cmml"><mrow 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id="A4.SS4.4.p2.10.m1.1"><semantics id="A4.SS4.4.p2.10.m1.1a"><mrow id="A4.SS4.4.p2.10.m1.1.1" xref="A4.SS4.4.p2.10.m1.1.1.cmml"><mi id="A4.SS4.4.p2.10.m1.1.1.2" xref="A4.SS4.4.p2.10.m1.1.1.2.cmml">n</mi><mo id="A4.SS4.4.p2.10.m1.1.1.3" xref="A4.SS4.4.p2.10.m1.1.1.3.cmml">≤</mo><mi id="A4.SS4.4.p2.10.m1.1.1.4" xref="A4.SS4.4.p2.10.m1.1.1.4.cmml">t</mi><mo id="A4.SS4.4.p2.10.m1.1.1.5" xref="A4.SS4.4.p2.10.m1.1.1.5.cmml">≤</mo><msup id="A4.SS4.4.p2.10.m1.1.1.6" xref="A4.SS4.4.p2.10.m1.1.1.6.cmml"><mi id="A4.SS4.4.p2.10.m1.1.1.6.2" xref="A4.SS4.4.p2.10.m1.1.1.6.2.cmml">x</mi><mrow id="A4.SS4.4.p2.10.m1.1.1.6.3" xref="A4.SS4.4.p2.10.m1.1.1.6.3.cmml"><mo id="A4.SS4.4.p2.10.m1.1.1.6.3a" xref="A4.SS4.4.p2.10.m1.1.1.6.3.cmml">−</mo><mrow id="A4.SS4.4.p2.10.m1.1.1.6.3.2" xref="A4.SS4.4.p2.10.m1.1.1.6.3.2.cmml"><mn id="A4.SS4.4.p2.10.m1.1.1.6.3.2.2" xref="A4.SS4.4.p2.10.m1.1.1.6.3.2.2.cmml">1</mn><mo id="A4.SS4.4.p2.10.m1.1.1.6.3.2.1" xref="A4.SS4.4.p2.10.m1.1.1.6.3.2.1.cmml">/</mo><mn 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cd="ambiguous" id="A4.SS4.4.p2.10.m1.1.1.6.1.cmml" xref="A4.SS4.4.p2.10.m1.1.1.6">superscript</csymbol><ci id="A4.SS4.4.p2.10.m1.1.1.6.2.cmml" xref="A4.SS4.4.p2.10.m1.1.1.6.2">𝑥</ci><apply id="A4.SS4.4.p2.10.m1.1.1.6.3.cmml" xref="A4.SS4.4.p2.10.m1.1.1.6.3"><minus id="A4.SS4.4.p2.10.m1.1.1.6.3.1.cmml" xref="A4.SS4.4.p2.10.m1.1.1.6.3"></minus><apply id="A4.SS4.4.p2.10.m1.1.1.6.3.2.cmml" xref="A4.SS4.4.p2.10.m1.1.1.6.3.2"><divide id="A4.SS4.4.p2.10.m1.1.1.6.3.2.1.cmml" xref="A4.SS4.4.p2.10.m1.1.1.6.3.2.1"></divide><cn id="A4.SS4.4.p2.10.m1.1.1.6.3.2.2.cmml" type="integer" xref="A4.SS4.4.p2.10.m1.1.1.6.3.2.2">1</cn><cn id="A4.SS4.4.p2.10.m1.1.1.6.3.2.3.cmml" type="integer" xref="A4.SS4.4.p2.10.m1.1.1.6.3.2.3">2</cn></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A4.SS4.4.p2.10.m1.1c">n\leq t\leq x^{-1/2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A4.SS4.4.p2.10.m1.1d">italic_n ≤ italic_t ≤ italic_x start_POSTSUPERSCRIPT - 1 / 2 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>, with <math alttext="t\geq 2" class="ltx_Math" display="inline" id="A4.SS4.4.p2.11.m2.1"><semantics id="A4.SS4.4.p2.11.m2.1a"><mrow id="A4.SS4.4.p2.11.m2.1.1" xref="A4.SS4.4.p2.11.m2.1.1.cmml"><mi id="A4.SS4.4.p2.11.m2.1.1.2" xref="A4.SS4.4.p2.11.m2.1.1.2.cmml">t</mi><mo id="A4.SS4.4.p2.11.m2.1.1.1" xref="A4.SS4.4.p2.11.m2.1.1.1.cmml">≥</mo><mn id="A4.SS4.4.p2.11.m2.1.1.3" xref="A4.SS4.4.p2.11.m2.1.1.3.cmml">2</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A4.SS4.4.p2.11.m2.1b"><apply id="A4.SS4.4.p2.11.m2.1.1.cmml" xref="A4.SS4.4.p2.11.m2.1.1"><geq id="A4.SS4.4.p2.11.m2.1.1.1.cmml" xref="A4.SS4.4.p2.11.m2.1.1.1"></geq><ci id="A4.SS4.4.p2.11.m2.1.1.2.cmml" xref="A4.SS4.4.p2.11.m2.1.1.2">𝑡</ci><cn id="A4.SS4.4.p2.11.m2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A4.SS4.4.p2.11.m2.1.1.3">2</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A4.SS4.4.p2.11.m2.1c">t\geq 2</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A4.SS4.4.p2.11.m2.1d">italic_t ≥ 2</annotation></semantics></math>, we have <math alttext="\delta^{0}g_{k}(x)\leq 2.5x^{1/2}" class="ltx_Math" display="inline" id="A4.SS4.4.p2.12.m3.1"><semantics id="A4.SS4.4.p2.12.m3.1a"><mrow id="A4.SS4.4.p2.12.m3.1.2" xref="A4.SS4.4.p2.12.m3.1.2.cmml"><mrow id="A4.SS4.4.p2.12.m3.1.2.2" xref="A4.SS4.4.p2.12.m3.1.2.2.cmml"><msup id="A4.SS4.4.p2.12.m3.1.2.2.2" xref="A4.SS4.4.p2.12.m3.1.2.2.2.cmml"><mi id="A4.SS4.4.p2.12.m3.1.2.2.2.2" xref="A4.SS4.4.p2.12.m3.1.2.2.2.2.cmml">δ</mi><mn id="A4.SS4.4.p2.12.m3.1.2.2.2.3" xref="A4.SS4.4.p2.12.m3.1.2.2.2.3.cmml">0</mn></msup><mo id="A4.SS4.4.p2.12.m3.1.2.2.1" xref="A4.SS4.4.p2.12.m3.1.2.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="A4.SS4.4.p2.12.m3.1.2.2.3" xref="A4.SS4.4.p2.12.m3.1.2.2.3.cmml"><mi id="A4.SS4.4.p2.12.m3.1.2.2.3.2" xref="A4.SS4.4.p2.12.m3.1.2.2.3.2.cmml">g</mi><mi id="A4.SS4.4.p2.12.m3.1.2.2.3.3" 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xref="A4.SS4.4.p2.12.m3.1.2.3.3.3.cmml"><mn id="A4.SS4.4.p2.12.m3.1.2.3.3.3.2" xref="A4.SS4.4.p2.12.m3.1.2.3.3.3.2.cmml">1</mn><mo id="A4.SS4.4.p2.12.m3.1.2.3.3.3.1" xref="A4.SS4.4.p2.12.m3.1.2.3.3.3.1.cmml">/</mo><mn id="A4.SS4.4.p2.12.m3.1.2.3.3.3.3" xref="A4.SS4.4.p2.12.m3.1.2.3.3.3.3.cmml">2</mn></mrow></msup></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A4.SS4.4.p2.12.m3.1b"><apply id="A4.SS4.4.p2.12.m3.1.2.cmml" xref="A4.SS4.4.p2.12.m3.1.2"><leq id="A4.SS4.4.p2.12.m3.1.2.1.cmml" xref="A4.SS4.4.p2.12.m3.1.2.1"></leq><apply id="A4.SS4.4.p2.12.m3.1.2.2.cmml" xref="A4.SS4.4.p2.12.m3.1.2.2"><times id="A4.SS4.4.p2.12.m3.1.2.2.1.cmml" xref="A4.SS4.4.p2.12.m3.1.2.2.1"></times><apply id="A4.SS4.4.p2.12.m3.1.2.2.2.cmml" xref="A4.SS4.4.p2.12.m3.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.SS4.4.p2.12.m3.1.2.2.2.1.cmml" xref="A4.SS4.4.p2.12.m3.1.2.2.2">superscript</csymbol><ci id="A4.SS4.4.p2.12.m3.1.2.2.2.2.cmml" xref="A4.SS4.4.p2.12.m3.1.2.2.2.2">𝛿</ci><cn id="A4.SS4.4.p2.12.m3.1.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="A4.SS4.4.p2.12.m3.1.2.2.2.3">0</cn></apply><apply id="A4.SS4.4.p2.12.m3.1.2.2.3.cmml" xref="A4.SS4.4.p2.12.m3.1.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.SS4.4.p2.12.m3.1.2.2.3.1.cmml" xref="A4.SS4.4.p2.12.m3.1.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="A4.SS4.4.p2.12.m3.1.2.2.3.2.cmml" xref="A4.SS4.4.p2.12.m3.1.2.2.3.2">𝑔</ci><ci id="A4.SS4.4.p2.12.m3.1.2.2.3.3.cmml" xref="A4.SS4.4.p2.12.m3.1.2.2.3.3">𝑘</ci></apply><ci id="A4.SS4.4.p2.12.m3.1.1.cmml" xref="A4.SS4.4.p2.12.m3.1.1">𝑥</ci></apply><apply id="A4.SS4.4.p2.12.m3.1.2.3.cmml" xref="A4.SS4.4.p2.12.m3.1.2.3"><times id="A4.SS4.4.p2.12.m3.1.2.3.1.cmml" xref="A4.SS4.4.p2.12.m3.1.2.3.1"></times><cn id="A4.SS4.4.p2.12.m3.1.2.3.2.cmml" type="float" xref="A4.SS4.4.p2.12.m3.1.2.3.2">2.5</cn><apply id="A4.SS4.4.p2.12.m3.1.2.3.3.cmml" xref="A4.SS4.4.p2.12.m3.1.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.SS4.4.p2.12.m3.1.2.3.3.1.cmml" xref="A4.SS4.4.p2.12.m3.1.2.3.3">superscript</csymbol><ci id="A4.SS4.4.p2.12.m3.1.2.3.3.2.cmml" xref="A4.SS4.4.p2.12.m3.1.2.3.3.2">𝑥</ci><apply id="A4.SS4.4.p2.12.m3.1.2.3.3.3.cmml" xref="A4.SS4.4.p2.12.m3.1.2.3.3.3"><divide id="A4.SS4.4.p2.12.m3.1.2.3.3.3.1.cmml" xref="A4.SS4.4.p2.12.m3.1.2.3.3.3.1"></divide><cn id="A4.SS4.4.p2.12.m3.1.2.3.3.3.2.cmml" type="integer" xref="A4.SS4.4.p2.12.m3.1.2.3.3.3.2">1</cn><cn id="A4.SS4.4.p2.12.m3.1.2.3.3.3.3.cmml" type="integer" xref="A4.SS4.4.p2.12.m3.1.2.3.3.3.3">2</cn></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A4.SS4.4.p2.12.m3.1c">\delta^{0}g_{k}(x)\leq 2.5x^{1/2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A4.SS4.4.p2.12.m3.1d">italic_δ start_POSTSUPERSCRIPT 0 end_POSTSUPERSCRIPT italic_g start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ( italic_x ) ≤ 2.5 italic_x start_POSTSUPERSCRIPT 1 / 2 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>, <math alttext="\delta^{1}g_{k}(x)\leq 3x" class="ltx_Math" display="inline" id="A4.SS4.4.p2.13.m4.1"><semantics id="A4.SS4.4.p2.13.m4.1a"><mrow id="A4.SS4.4.p2.13.m4.1.2" xref="A4.SS4.4.p2.13.m4.1.2.cmml"><mrow id="A4.SS4.4.p2.13.m4.1.2.2" xref="A4.SS4.4.p2.13.m4.1.2.2.cmml"><msup id="A4.SS4.4.p2.13.m4.1.2.2.2" xref="A4.SS4.4.p2.13.m4.1.2.2.2.cmml"><mi id="A4.SS4.4.p2.13.m4.1.2.2.2.2" xref="A4.SS4.4.p2.13.m4.1.2.2.2.2.cmml">δ</mi><mn id="A4.SS4.4.p2.13.m4.1.2.2.2.3" xref="A4.SS4.4.p2.13.m4.1.2.2.2.3.cmml">1</mn></msup><mo id="A4.SS4.4.p2.13.m4.1.2.2.1" xref="A4.SS4.4.p2.13.m4.1.2.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="A4.SS4.4.p2.13.m4.1.2.2.3" xref="A4.SS4.4.p2.13.m4.1.2.2.3.cmml"><mi id="A4.SS4.4.p2.13.m4.1.2.2.3.2" xref="A4.SS4.4.p2.13.m4.1.2.2.3.2.cmml">g</mi><mi id="A4.SS4.4.p2.13.m4.1.2.2.3.3" xref="A4.SS4.4.p2.13.m4.1.2.2.3.3.cmml">k</mi></msub><mo id="A4.SS4.4.p2.13.m4.1.2.2.1a" xref="A4.SS4.4.p2.13.m4.1.2.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A4.SS4.4.p2.13.m4.1.2.2.4.2" xref="A4.SS4.4.p2.13.m4.1.2.2.cmml"><mo id="A4.SS4.4.p2.13.m4.1.2.2.4.2.1" stretchy="false" 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id="A4.SS4.4.p2.13.m4.1.2.2.2.cmml" xref="A4.SS4.4.p2.13.m4.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.SS4.4.p2.13.m4.1.2.2.2.1.cmml" xref="A4.SS4.4.p2.13.m4.1.2.2.2">superscript</csymbol><ci id="A4.SS4.4.p2.13.m4.1.2.2.2.2.cmml" xref="A4.SS4.4.p2.13.m4.1.2.2.2.2">𝛿</ci><cn id="A4.SS4.4.p2.13.m4.1.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="A4.SS4.4.p2.13.m4.1.2.2.2.3">1</cn></apply><apply id="A4.SS4.4.p2.13.m4.1.2.2.3.cmml" xref="A4.SS4.4.p2.13.m4.1.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.SS4.4.p2.13.m4.1.2.2.3.1.cmml" xref="A4.SS4.4.p2.13.m4.1.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="A4.SS4.4.p2.13.m4.1.2.2.3.2.cmml" xref="A4.SS4.4.p2.13.m4.1.2.2.3.2">𝑔</ci><ci id="A4.SS4.4.p2.13.m4.1.2.2.3.3.cmml" xref="A4.SS4.4.p2.13.m4.1.2.2.3.3">𝑘</ci></apply><ci id="A4.SS4.4.p2.13.m4.1.1.cmml" xref="A4.SS4.4.p2.13.m4.1.1">𝑥</ci></apply><apply id="A4.SS4.4.p2.13.m4.1.2.3.cmml" xref="A4.SS4.4.p2.13.m4.1.2.3"><times id="A4.SS4.4.p2.13.m4.1.2.3.1.cmml" xref="A4.SS4.4.p2.13.m4.1.2.3.1"></times><cn id="A4.SS4.4.p2.13.m4.1.2.3.2.cmml" type="integer" xref="A4.SS4.4.p2.13.m4.1.2.3.2">3</cn><ci id="A4.SS4.4.p2.13.m4.1.2.3.3.cmml" xref="A4.SS4.4.p2.13.m4.1.2.3.3">𝑥</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A4.SS4.4.p2.13.m4.1c">\delta^{1}g_{k}(x)\leq 3x</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A4.SS4.4.p2.13.m4.1d">italic_δ start_POSTSUPERSCRIPT 1 end_POSTSUPERSCRIPT italic_g start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ( italic_x ) ≤ 3 italic_x</annotation></semantics></math>, <math alttext="\delta^{2}g_{k}(x)\leq 2/(1-1/8)x^{3/2}" class="ltx_Math" display="inline" id="A4.SS4.4.p2.14.m5.2"><semantics id="A4.SS4.4.p2.14.m5.2a"><mrow id="A4.SS4.4.p2.14.m5.2.2" xref="A4.SS4.4.p2.14.m5.2.2.cmml"><mrow id="A4.SS4.4.p2.14.m5.2.2.3" xref="A4.SS4.4.p2.14.m5.2.2.3.cmml"><msup id="A4.SS4.4.p2.14.m5.2.2.3.2" xref="A4.SS4.4.p2.14.m5.2.2.3.2.cmml"><mi id="A4.SS4.4.p2.14.m5.2.2.3.2.2" xref="A4.SS4.4.p2.14.m5.2.2.3.2.2.cmml">δ</mi><mn 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id="A4.SS4.4.p2.16.m7.2.3.2.1" xref="A4.SS4.4.p2.16.m7.2.3.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="A4.SS4.4.p2.16.m7.2.3.2.3" xref="A4.SS4.4.p2.16.m7.2.3.2.3.cmml"><mi id="A4.SS4.4.p2.16.m7.2.3.2.3.2" xref="A4.SS4.4.p2.16.m7.2.3.2.3.2.cmml">g</mi><mi id="A4.SS4.4.p2.16.m7.2.3.2.3.3" xref="A4.SS4.4.p2.16.m7.2.3.2.3.3.cmml">k</mi></msub><mo id="A4.SS4.4.p2.16.m7.2.3.2.1a" xref="A4.SS4.4.p2.16.m7.2.3.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A4.SS4.4.p2.16.m7.2.3.2.4.2" xref="A4.SS4.4.p2.16.m7.2.3.2.cmml"><mo id="A4.SS4.4.p2.16.m7.2.3.2.4.2.1" stretchy="false" xref="A4.SS4.4.p2.16.m7.2.3.2.cmml">(</mo><mi id="A4.SS4.4.p2.16.m7.2.2" xref="A4.SS4.4.p2.16.m7.2.2.cmml">x</mi><mo id="A4.SS4.4.p2.16.m7.2.3.2.4.2.2" stretchy="false" xref="A4.SS4.4.p2.16.m7.2.3.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A4.SS4.4.p2.16.m7.2.3.3" xref="A4.SS4.4.p2.16.m7.2.3.3.cmml">≤</mo><mrow id="A4.SS4.4.p2.16.m7.2.3.4" xref="A4.SS4.4.p2.16.m7.2.3.4.cmml"><mn id="A4.SS4.4.p2.16.m7.2.3.4.2" xref="A4.SS4.4.p2.16.m7.2.3.4.2.cmml">2</mn><mo id="A4.SS4.4.p2.16.m7.2.3.4.1" xref="A4.SS4.4.p2.16.m7.2.3.4.1.cmml">⁢</mo><msup id="A4.SS4.4.p2.16.m7.2.3.4.3" xref="A4.SS4.4.p2.16.m7.2.3.4.3.cmml"><mi id="A4.SS4.4.p2.16.m7.2.3.4.3.2" xref="A4.SS4.4.p2.16.m7.2.3.4.3.2.cmml">x</mi><mrow id="A4.SS4.4.p2.16.m7.2.3.4.3.3" xref="A4.SS4.4.p2.16.m7.2.3.4.3.3.cmml"><mrow id="A4.SS4.4.p2.16.m7.2.3.4.3.3.2" xref="A4.SS4.4.p2.16.m7.2.3.4.3.3.2.cmml"><mn id="A4.SS4.4.p2.16.m7.2.3.4.3.3.2.2" xref="A4.SS4.4.p2.16.m7.2.3.4.3.3.2.2.cmml">1.5</mn><mo id="A4.SS4.4.p2.16.m7.2.3.4.3.3.2.1" xref="A4.SS4.4.p2.16.m7.2.3.4.3.3.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="A4.SS4.4.p2.16.m7.2.3.4.3.3.2.3" xref="A4.SS4.4.p2.16.m7.2.3.4.3.3.2.3.cmml">n</mi></mrow><mo id="A4.SS4.4.p2.16.m7.2.3.4.3.3.1" xref="A4.SS4.4.p2.16.m7.2.3.4.3.3.1.cmml">−</mo><mn id="A4.SS4.4.p2.16.m7.2.3.4.3.3.3" xref="A4.SS4.4.p2.16.m7.2.3.4.3.3.3.cmml">2</mn></mrow></msup></mrow><mo id="A4.SS4.4.p2.16.m7.2.3.5" xref="A4.SS4.4.p2.16.m7.2.3.5.cmml">≤</mo><mrow id="A4.SS4.4.p2.16.m7.2.3.6" xref="A4.SS4.4.p2.16.m7.2.3.6.cmml"><mn id="A4.SS4.4.p2.16.m7.2.3.6.2" xref="A4.SS4.4.p2.16.m7.2.3.6.2.cmml">2</mn><mo id="A4.SS4.4.p2.16.m7.2.3.6.1" xref="A4.SS4.4.p2.16.m7.2.3.6.1.cmml">⁢</mo><msup id="A4.SS4.4.p2.16.m7.2.3.6.3" xref="A4.SS4.4.p2.16.m7.2.3.6.3.cmml"><mi id="A4.SS4.4.p2.16.m7.2.3.6.3.2" xref="A4.SS4.4.p2.16.m7.2.3.6.3.2.cmml">x</mi><mrow id="A4.SS4.4.p2.16.m7.1.1.1" xref="A4.SS4.4.p2.16.m7.1.1.1.cmml"><mrow id="A4.SS4.4.p2.16.m7.1.1.1.1.1" xref="A4.SS4.4.p2.16.m7.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A4.SS4.4.p2.16.m7.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A4.SS4.4.p2.16.m7.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A4.SS4.4.p2.16.m7.1.1.1.1.1.1" xref="A4.SS4.4.p2.16.m7.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A4.SS4.4.p2.16.m7.1.1.1.1.1.1.2" xref="A4.SS4.4.p2.16.m7.1.1.1.1.1.1.2.cmml">n</mi><mo id="A4.SS4.4.p2.16.m7.1.1.1.1.1.1.1" xref="A4.SS4.4.p2.16.m7.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mn id="A4.SS4.4.p2.16.m7.1.1.1.1.1.1.3" xref="A4.SS4.4.p2.16.m7.1.1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="A4.SS4.4.p2.16.m7.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A4.SS4.4.p2.16.m7.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A4.SS4.4.p2.16.m7.1.1.1.2" xref="A4.SS4.4.p2.16.m7.1.1.1.2.cmml">/</mo><mn id="A4.SS4.4.p2.16.m7.1.1.1.3" xref="A4.SS4.4.p2.16.m7.1.1.1.3.cmml">2</mn></mrow></msup></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A4.SS4.4.p2.16.m7.2b"><apply id="A4.SS4.4.p2.16.m7.2.3.cmml" xref="A4.SS4.4.p2.16.m7.2.3"><and id="A4.SS4.4.p2.16.m7.2.3a.cmml" xref="A4.SS4.4.p2.16.m7.2.3"></and><apply id="A4.SS4.4.p2.16.m7.2.3b.cmml" xref="A4.SS4.4.p2.16.m7.2.3"><leq id="A4.SS4.4.p2.16.m7.2.3.3.cmml" xref="A4.SS4.4.p2.16.m7.2.3.3"></leq><apply id="A4.SS4.4.p2.16.m7.2.3.2.cmml" xref="A4.SS4.4.p2.16.m7.2.3.2"><times id="A4.SS4.4.p2.16.m7.2.3.2.1.cmml" xref="A4.SS4.4.p2.16.m7.2.3.2.1"></times><apply id="A4.SS4.4.p2.16.m7.2.3.2.2.cmml" xref="A4.SS4.4.p2.16.m7.2.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.SS4.4.p2.16.m7.2.3.2.2.1.cmml" xref="A4.SS4.4.p2.16.m7.2.3.2.2">superscript</csymbol><ci id="A4.SS4.4.p2.16.m7.2.3.2.2.2.cmml" xref="A4.SS4.4.p2.16.m7.2.3.2.2.2">𝛿</ci><ci id="A4.SS4.4.p2.16.m7.2.3.2.2.3.cmml" xref="A4.SS4.4.p2.16.m7.2.3.2.2.3">𝑛</ci></apply><apply id="A4.SS4.4.p2.16.m7.2.3.2.3.cmml" xref="A4.SS4.4.p2.16.m7.2.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.SS4.4.p2.16.m7.2.3.2.3.1.cmml" xref="A4.SS4.4.p2.16.m7.2.3.2.3">subscript</csymbol><ci id="A4.SS4.4.p2.16.m7.2.3.2.3.2.cmml" xref="A4.SS4.4.p2.16.m7.2.3.2.3.2">𝑔</ci><ci id="A4.SS4.4.p2.16.m7.2.3.2.3.3.cmml" xref="A4.SS4.4.p2.16.m7.2.3.2.3.3">𝑘</ci></apply><ci id="A4.SS4.4.p2.16.m7.2.2.cmml" xref="A4.SS4.4.p2.16.m7.2.2">𝑥</ci></apply><apply id="A4.SS4.4.p2.16.m7.2.3.4.cmml" xref="A4.SS4.4.p2.16.m7.2.3.4"><times id="A4.SS4.4.p2.16.m7.2.3.4.1.cmml" xref="A4.SS4.4.p2.16.m7.2.3.4.1"></times><cn id="A4.SS4.4.p2.16.m7.2.3.4.2.cmml" type="integer" xref="A4.SS4.4.p2.16.m7.2.3.4.2">2</cn><apply id="A4.SS4.4.p2.16.m7.2.3.4.3.cmml" xref="A4.SS4.4.p2.16.m7.2.3.4.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.SS4.4.p2.16.m7.2.3.4.3.1.cmml" 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href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#A4.SS4.4.p2.16.m7.2.3.4.cmml" id="A4.SS4.4.p2.16.m7.2.3d.cmml" xref="A4.SS4.4.p2.16.m7.2.3"></share><apply id="A4.SS4.4.p2.16.m7.2.3.6.cmml" xref="A4.SS4.4.p2.16.m7.2.3.6"><times id="A4.SS4.4.p2.16.m7.2.3.6.1.cmml" xref="A4.SS4.4.p2.16.m7.2.3.6.1"></times><cn id="A4.SS4.4.p2.16.m7.2.3.6.2.cmml" type="integer" xref="A4.SS4.4.p2.16.m7.2.3.6.2">2</cn><apply id="A4.SS4.4.p2.16.m7.2.3.6.3.cmml" xref="A4.SS4.4.p2.16.m7.2.3.6.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.SS4.4.p2.16.m7.2.3.6.3.1.cmml" xref="A4.SS4.4.p2.16.m7.2.3.6.3">superscript</csymbol><ci id="A4.SS4.4.p2.16.m7.2.3.6.3.2.cmml" xref="A4.SS4.4.p2.16.m7.2.3.6.3.2">𝑥</ci><apply id="A4.SS4.4.p2.16.m7.1.1.1.cmml" xref="A4.SS4.4.p2.16.m7.1.1.1"><divide id="A4.SS4.4.p2.16.m7.1.1.1.2.cmml" xref="A4.SS4.4.p2.16.m7.1.1.1.2"></divide><apply id="A4.SS4.4.p2.16.m7.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A4.SS4.4.p2.16.m7.1.1.1.1.1"><plus id="A4.SS4.4.p2.16.m7.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A4.SS4.4.p2.16.m7.1.1.1.1.1.1.1"></plus><ci id="A4.SS4.4.p2.16.m7.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A4.SS4.4.p2.16.m7.1.1.1.1.1.1.2">𝑛</ci><cn id="A4.SS4.4.p2.16.m7.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A4.SS4.4.p2.16.m7.1.1.1.1.1.1.3">1</cn></apply><cn id="A4.SS4.4.p2.16.m7.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A4.SS4.4.p2.16.m7.1.1.1.3">2</cn></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A4.SS4.4.p2.16.m7.2c">\delta^{n}g_{k}(x)\leq 2x^{1.5n-2}\leq 2x^{(n+1)/2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A4.SS4.4.p2.16.m7.2d">italic_δ start_POSTSUPERSCRIPT italic_n end_POSTSUPERSCRIPT italic_g start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ( italic_x ) ≤ 2 italic_x start_POSTSUPERSCRIPT 1.5 italic_n - 2 end_POSTSUPERSCRIPT ≤ 2 italic_x start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n + 1 ) / 2 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>. Therefore, we always have</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="S6.EGx217"> <tbody id="A4.Ex92"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\delta^{n}g_{k}(x)" class="ltx_Math" display="inline" id="A4.Ex92.m1.1"><semantics id="A4.Ex92.m1.1a"><mrow id="A4.Ex92.m1.1.2" xref="A4.Ex92.m1.1.2.cmml"><msup id="A4.Ex92.m1.1.2.2" xref="A4.Ex92.m1.1.2.2.cmml"><mi id="A4.Ex92.m1.1.2.2.2" xref="A4.Ex92.m1.1.2.2.2.cmml">δ</mi><mi id="A4.Ex92.m1.1.2.2.3" xref="A4.Ex92.m1.1.2.2.3.cmml">n</mi></msup><mo id="A4.Ex92.m1.1.2.1" xref="A4.Ex92.m1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="A4.Ex92.m1.1.2.3" xref="A4.Ex92.m1.1.2.3.cmml"><mi id="A4.Ex92.m1.1.2.3.2" xref="A4.Ex92.m1.1.2.3.2.cmml">g</mi><mi id="A4.Ex92.m1.1.2.3.3" xref="A4.Ex92.m1.1.2.3.3.cmml">k</mi></msub><mo id="A4.Ex92.m1.1.2.1a" xref="A4.Ex92.m1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow 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id="A4.Ex92.m1.1.2.3.3.cmml" xref="A4.Ex92.m1.1.2.3.3">𝑘</ci></apply><ci id="A4.Ex92.m1.1.1.cmml" xref="A4.Ex92.m1.1.1">𝑥</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A4.Ex92.m1.1c">\displaystyle\delta^{n}g_{k}(x)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A4.Ex92.m1.1d">italic_δ start_POSTSUPERSCRIPT italic_n end_POSTSUPERSCRIPT italic_g start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ( italic_x )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\leq 3x^{\frac{n+1}{2}}" class="ltx_Math" display="inline" id="A4.Ex92.m2.1"><semantics id="A4.Ex92.m2.1a"><mrow id="A4.Ex92.m2.1.1" xref="A4.Ex92.m2.1.1.cmml"><mi id="A4.Ex92.m2.1.1.2" xref="A4.Ex92.m2.1.1.2.cmml"></mi><mo id="A4.Ex92.m2.1.1.1" xref="A4.Ex92.m2.1.1.1.cmml">≤</mo><mrow id="A4.Ex92.m2.1.1.3" xref="A4.Ex92.m2.1.1.3.cmml"><mn id="A4.Ex92.m2.1.1.3.2" xref="A4.Ex92.m2.1.1.3.2.cmml">3</mn><mo id="A4.Ex92.m2.1.1.3.1" xref="A4.Ex92.m2.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="A4.Ex92.m2.1.1.3.3" xref="A4.Ex92.m2.1.1.3.3.cmml"><mi id="A4.Ex92.m2.1.1.3.3.2" xref="A4.Ex92.m2.1.1.3.3.2.cmml">x</mi><mfrac id="A4.Ex92.m2.1.1.3.3.3" xref="A4.Ex92.m2.1.1.3.3.3.cmml"><mrow id="A4.Ex92.m2.1.1.3.3.3.2" xref="A4.Ex92.m2.1.1.3.3.3.2.cmml"><mi id="A4.Ex92.m2.1.1.3.3.3.2.2" xref="A4.Ex92.m2.1.1.3.3.3.2.2.cmml">n</mi><mo id="A4.Ex92.m2.1.1.3.3.3.2.1" xref="A4.Ex92.m2.1.1.3.3.3.2.1.cmml">+</mo><mn id="A4.Ex92.m2.1.1.3.3.3.2.3" xref="A4.Ex92.m2.1.1.3.3.3.2.3.cmml">1</mn></mrow><mn id="A4.Ex92.m2.1.1.3.3.3.3" xref="A4.Ex92.m2.1.1.3.3.3.3.cmml">2</mn></mfrac></msup></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A4.Ex92.m2.1b"><apply id="A4.Ex92.m2.1.1.cmml" xref="A4.Ex92.m2.1.1"><leq id="A4.Ex92.m2.1.1.1.cmml" xref="A4.Ex92.m2.1.1.1"></leq><csymbol cd="latexml" id="A4.Ex92.m2.1.1.2.cmml" xref="A4.Ex92.m2.1.1.2">absent</csymbol><apply id="A4.Ex92.m2.1.1.3.cmml" xref="A4.Ex92.m2.1.1.3"><times id="A4.Ex92.m2.1.1.3.1.cmml" xref="A4.Ex92.m2.1.1.3.1"></times><cn id="A4.Ex92.m2.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="A4.Ex92.m2.1.1.3.2">3</cn><apply id="A4.Ex92.m2.1.1.3.3.cmml" xref="A4.Ex92.m2.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.Ex92.m2.1.1.3.3.1.cmml" xref="A4.Ex92.m2.1.1.3.3">superscript</csymbol><ci id="A4.Ex92.m2.1.1.3.3.2.cmml" xref="A4.Ex92.m2.1.1.3.3.2">𝑥</ci><apply id="A4.Ex92.m2.1.1.3.3.3.cmml" xref="A4.Ex92.m2.1.1.3.3.3"><divide id="A4.Ex92.m2.1.1.3.3.3.1.cmml" xref="A4.Ex92.m2.1.1.3.3.3"></divide><apply id="A4.Ex92.m2.1.1.3.3.3.2.cmml" xref="A4.Ex92.m2.1.1.3.3.3.2"><plus id="A4.Ex92.m2.1.1.3.3.3.2.1.cmml" xref="A4.Ex92.m2.1.1.3.3.3.2.1"></plus><ci id="A4.Ex92.m2.1.1.3.3.3.2.2.cmml" xref="A4.Ex92.m2.1.1.3.3.3.2.2">𝑛</ci><cn id="A4.Ex92.m2.1.1.3.3.3.2.3.cmml" type="integer" xref="A4.Ex92.m2.1.1.3.3.3.2.3">1</cn></apply><cn id="A4.Ex92.m2.1.1.3.3.3.3.cmml" type="integer" xref="A4.Ex92.m2.1.1.3.3.3.3">2</cn></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A4.Ex92.m2.1c">\displaystyle\leq 3x^{\frac{n+1}{2}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A4.Ex92.m2.1d">≤ 3 italic_x start_POSTSUPERSCRIPT divide start_ARG italic_n + 1 end_ARG start_ARG 2 end_ARG end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> </div> <div class="ltx_para" id="A4.SS4.5.p3"> <p class="ltx_p" id="A4.SS4.5.p3.1">∎</p> </div> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_lemma" id="Thmtheorem64"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmtheorem64.1.1.1">Lemma 64</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmtheorem64.2.2">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="Thmtheorem64.p1"> <p class="ltx_p" id="Thmtheorem64.p1.2"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmtheorem64.p1.2.1">We have</span></p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_gather ltx_eqn_table" id="S6.EGx218"> <tbody id="A4.E259"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\displaystyle c_{t}(x^{2})\leq e^{\frac{t(t-1)}{2}x^{2}}" class="ltx_Math" display="block" id="A4.E259.m1.2"><semantics id="A4.E259.m1.2a"><mrow id="A4.E259.m1.2.2" xref="A4.E259.m1.2.2.cmml"><mrow id="A4.E259.m1.2.2.1" xref="A4.E259.m1.2.2.1.cmml"><msub id="A4.E259.m1.2.2.1.3" xref="A4.E259.m1.2.2.1.3.cmml"><mi id="A4.E259.m1.2.2.1.3.2" xref="A4.E259.m1.2.2.1.3.2.cmml">c</mi><mi id="A4.E259.m1.2.2.1.3.3" xref="A4.E259.m1.2.2.1.3.3.cmml">t</mi></msub><mo id="A4.E259.m1.2.2.1.2" xref="A4.E259.m1.2.2.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A4.E259.m1.2.2.1.1.1" xref="A4.E259.m1.2.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="A4.E259.m1.2.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A4.E259.m1.2.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="A4.E259.m1.2.2.1.1.1.1" xref="A4.E259.m1.2.2.1.1.1.1.cmml"><mi 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id="A4.E259.m1.1.1.1.cmml" xref="A4.E259.m1.1.1.1"><times id="A4.E259.m1.1.1.1.2.cmml" xref="A4.E259.m1.1.1.1.2"></times><apply id="A4.E259.m1.1.1.1.1.cmml" xref="A4.E259.m1.1.1.1.1"><divide id="A4.E259.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A4.E259.m1.1.1.1.1"></divide><apply id="A4.E259.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A4.E259.m1.1.1.1.1.1"><times id="A4.E259.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A4.E259.m1.1.1.1.1.1.2"></times><ci id="A4.E259.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A4.E259.m1.1.1.1.1.1.3">𝑡</ci><apply id="A4.E259.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A4.E259.m1.1.1.1.1.1.1.1"><minus id="A4.E259.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A4.E259.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><ci id="A4.E259.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A4.E259.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑡</ci><cn id="A4.E259.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A4.E259.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">1</cn></apply></apply><cn id="A4.E259.m1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A4.E259.m1.1.1.1.1.3">2</cn></apply><apply id="A4.E259.m1.1.1.1.3.cmml" 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class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(259)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="Thmtheorem64.p1.1"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmtheorem64.p1.1.1">which when <math alttext="x\leq\frac{1}{t^{2}}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem64.p1.1.1.m1.1"><semantics id="Thmtheorem64.p1.1.1.m1.1a"><mrow id="Thmtheorem64.p1.1.1.m1.1.1" xref="Thmtheorem64.p1.1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="Thmtheorem64.p1.1.1.m1.1.1.2" xref="Thmtheorem64.p1.1.1.m1.1.1.2.cmml">x</mi><mo id="Thmtheorem64.p1.1.1.m1.1.1.1" xref="Thmtheorem64.p1.1.1.m1.1.1.1.cmml">≤</mo><mfrac id="Thmtheorem64.p1.1.1.m1.1.1.3" xref="Thmtheorem64.p1.1.1.m1.1.1.3.cmml"><mn id="Thmtheorem64.p1.1.1.m1.1.1.3.2" xref="Thmtheorem64.p1.1.1.m1.1.1.3.2.cmml">1</mn><msup id="Thmtheorem64.p1.1.1.m1.1.1.3.3" xref="Thmtheorem64.p1.1.1.m1.1.1.3.3.cmml"><mi id="Thmtheorem64.p1.1.1.m1.1.1.3.3.2" xref="Thmtheorem64.p1.1.1.m1.1.1.3.3.2.cmml">t</mi><mn id="Thmtheorem64.p1.1.1.m1.1.1.3.3.3" 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display="inline" id="A4.Ex93.m2.1"><semantics id="A4.Ex93.m2.1a"><mrow id="A4.Ex93.m2.1.1" xref="A4.Ex93.m2.1.1.cmml"><mi id="A4.Ex93.m2.1.1.3" xref="A4.Ex93.m2.1.1.3.cmml"></mi><mo id="A4.Ex93.m2.1.1.2" xref="A4.Ex93.m2.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="A4.Ex93.m2.1.1.1" xref="A4.Ex93.m2.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A4.Ex93.m2.1.1.1.2" xref="A4.Ex93.m2.1.1.1.2.cmml"><munderover id="A4.Ex93.m2.1.1.1.2a" xref="A4.Ex93.m2.1.1.1.2.cmml"><mo id="A4.Ex93.m2.1.1.1.2.2.2" movablelimits="false" xref="A4.Ex93.m2.1.1.1.2.2.2.cmml">∏</mo><mrow id="A4.Ex93.m2.1.1.1.2.2.3" xref="A4.Ex93.m2.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="A4.Ex93.m2.1.1.1.2.2.3.2" mathvariant="normal" xref="A4.Ex93.m2.1.1.1.2.2.3.2.cmml">ℓ</mi><mo id="A4.Ex93.m2.1.1.1.2.2.3.1" xref="A4.Ex93.m2.1.1.1.2.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="A4.Ex93.m2.1.1.1.2.2.3.3" xref="A4.Ex93.m2.1.1.1.2.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="A4.Ex93.m2.1.1.1.2.3" xref="A4.Ex93.m2.1.1.1.2.3.cmml">t</mi></munderover></mstyle><mrow id="A4.Ex93.m2.1.1.1.1.1" 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encoding="application/x-tex" id="A4.Ex93.m2.1c">\displaystyle=\prod_{\ell=1}^{t}\left(1+(\ell-1)x^{2}\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A4.Ex93.m2.1d">= ∏ start_POSTSUBSCRIPT roman_ℓ = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_t end_POSTSUPERSCRIPT ( 1 + ( roman_ℓ - 1 ) italic_x start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="A4.Ex94"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\leq e^{\sum_{\ell=1}^{t}(\ell-1)x^{2}}" class="ltx_Math" display="inline" id="A4.Ex94.m1.1"><semantics id="A4.Ex94.m1.1a"><mrow id="A4.Ex94.m1.1.2" xref="A4.Ex94.m1.1.2.cmml"><mi id="A4.Ex94.m1.1.2.2" xref="A4.Ex94.m1.1.2.2.cmml"></mi><mo id="A4.Ex94.m1.1.2.1" 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xref="A4.Ex95.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mn id="A4.Ex95.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A4.Ex95.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="A4.Ex95.m1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A4.Ex95.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mn id="A4.Ex95.m1.1.1.1.1.3" xref="A4.Ex95.m1.1.1.1.1.3.cmml">2</mn></mfrac><mo id="A4.Ex95.m1.1.1.1.2" xref="A4.Ex95.m1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msup id="A4.Ex95.m1.1.1.1.3" xref="A4.Ex95.m1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A4.Ex95.m1.1.1.1.3.2" xref="A4.Ex95.m1.1.1.1.3.2.cmml">x</mi><mn id="A4.Ex95.m1.1.1.1.3.3" xref="A4.Ex95.m1.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></msup></mrow></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A4.Ex95.m1.1b"><apply id="A4.Ex95.m1.1.2.cmml" xref="A4.Ex95.m1.1.2"><leq id="A4.Ex95.m1.1.2.1.cmml" xref="A4.Ex95.m1.1.2.1"></leq><csymbol cd="latexml" id="A4.Ex95.m1.1.2.2.cmml" xref="A4.Ex95.m1.1.2.2">absent</csymbol><apply id="A4.Ex95.m1.1.2.3.cmml" xref="A4.Ex95.m1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.Ex95.m1.1.2.3.1.cmml" 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class="ltx_Math" display="inline" id="A4.SS4.6.p1.1.m1.1"><semantics id="A4.SS4.6.p1.1.m1.1a"><mi id="A4.SS4.6.p1.1.m1.1.1" xref="A4.SS4.6.p1.1.m1.1.1.cmml">x</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A4.SS4.6.p1.1.m1.1b"><ci id="A4.SS4.6.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="A4.SS4.6.p1.1.m1.1.1">𝑥</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A4.SS4.6.p1.1.m1.1c">x</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A4.SS4.6.p1.1.m1.1d">italic_x</annotation></semantics></math>. When <math alttext="x\leq\frac{1}{t^{2}}" class="ltx_Math" display="inline" id="A4.SS4.6.p1.2.m2.1"><semantics id="A4.SS4.6.p1.2.m2.1a"><mrow id="A4.SS4.6.p1.2.m2.1.1" xref="A4.SS4.6.p1.2.m2.1.1.cmml"><mi id="A4.SS4.6.p1.2.m2.1.1.2" xref="A4.SS4.6.p1.2.m2.1.1.2.cmml">x</mi><mo id="A4.SS4.6.p1.2.m2.1.1.1" xref="A4.SS4.6.p1.2.m2.1.1.1.cmml">≤</mo><mfrac id="A4.SS4.6.p1.2.m2.1.1.3" xref="A4.SS4.6.p1.2.m2.1.1.3.cmml"><mn id="A4.SS4.6.p1.2.m2.1.1.3.2" xref="A4.SS4.6.p1.2.m2.1.1.3.2.cmml">1</mn><msup id="A4.SS4.6.p1.2.m2.1.1.3.3" xref="A4.SS4.6.p1.2.m2.1.1.3.3.cmml"><mi id="A4.SS4.6.p1.2.m2.1.1.3.3.2" xref="A4.SS4.6.p1.2.m2.1.1.3.3.2.cmml">t</mi><mn id="A4.SS4.6.p1.2.m2.1.1.3.3.3" xref="A4.SS4.6.p1.2.m2.1.1.3.3.3.cmml">2</mn></msup></mfrac></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A4.SS4.6.p1.2.m2.1b"><apply id="A4.SS4.6.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="A4.SS4.6.p1.2.m2.1.1"><leq id="A4.SS4.6.p1.2.m2.1.1.1.cmml" xref="A4.SS4.6.p1.2.m2.1.1.1"></leq><ci id="A4.SS4.6.p1.2.m2.1.1.2.cmml" xref="A4.SS4.6.p1.2.m2.1.1.2">𝑥</ci><apply id="A4.SS4.6.p1.2.m2.1.1.3.cmml" xref="A4.SS4.6.p1.2.m2.1.1.3"><divide id="A4.SS4.6.p1.2.m2.1.1.3.1.cmml" xref="A4.SS4.6.p1.2.m2.1.1.3"></divide><cn id="A4.SS4.6.p1.2.m2.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="A4.SS4.6.p1.2.m2.1.1.3.2">1</cn><apply id="A4.SS4.6.p1.2.m2.1.1.3.3.cmml" xref="A4.SS4.6.p1.2.m2.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.SS4.6.p1.2.m2.1.1.3.3.1.cmml" xref="A4.SS4.6.p1.2.m2.1.1.3.3">superscript</csymbol><ci id="A4.SS4.6.p1.2.m2.1.1.3.3.2.cmml" xref="A4.SS4.6.p1.2.m2.1.1.3.3.2">𝑡</ci><cn id="A4.SS4.6.p1.2.m2.1.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="A4.SS4.6.p1.2.m2.1.1.3.3.3">2</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A4.SS4.6.p1.2.m2.1c">x\leq\frac{1}{t^{2}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A4.SS4.6.p1.2.m2.1d">italic_x ≤ divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_t start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG</annotation></semantics></math> this bound is at most</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="S6.EGx221"> <tbody id="A4.Ex97"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle e^{\frac{t(t-1)}{2}\left(\frac{1}{t^{2}}\right)^{2}}=e^{\frac{1}% {2t^{2}}-\frac{1}{2t^{3}}}<e^{\frac{1}{2t^{2}}}" class="ltx_Math" display="inline" id="A4.Ex97.m1.2"><semantics id="A4.Ex97.m1.2a"><mrow id="A4.Ex97.m1.2.3" xref="A4.Ex97.m1.2.3.cmml"><msup id="A4.Ex97.m1.2.3.2" xref="A4.Ex97.m1.2.3.2.cmml"><mi id="A4.Ex97.m1.2.3.2.2" xref="A4.Ex97.m1.2.3.2.2.cmml">e</mi><mrow id="A4.Ex97.m1.2.2.2" xref="A4.Ex97.m1.2.2.2.cmml"><mfrac id="A4.Ex97.m1.1.1.1.1" xref="A4.Ex97.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A4.Ex97.m1.1.1.1.1.1" xref="A4.Ex97.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A4.Ex97.m1.1.1.1.1.1.3" xref="A4.Ex97.m1.1.1.1.1.1.3.cmml">t</mi><mo id="A4.Ex97.m1.1.1.1.1.1.2" xref="A4.Ex97.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A4.Ex97.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A4.Ex97.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A4.Ex97.m1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A4.Ex97.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A4.Ex97.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A4.Ex97.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A4.Ex97.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A4.Ex97.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">t</mi><mo id="A4.Ex97.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A4.Ex97.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mn id="A4.Ex97.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A4.Ex97.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="A4.Ex97.m1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A4.Ex97.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mn id="A4.Ex97.m1.1.1.1.1.3" xref="A4.Ex97.m1.1.1.1.1.3.cmml">2</mn></mfrac><mo id="A4.Ex97.m1.2.2.2.3" xref="A4.Ex97.m1.2.2.2.3.cmml">⁢</mo><msup id="A4.Ex97.m1.2.2.2.4" xref="A4.Ex97.m1.2.2.2.4.cmml"><mrow id="A4.Ex97.m1.2.2.2.4.2.2" xref="A4.Ex97.m1.2.2.2.2.cmml"><mo id="A4.Ex97.m1.2.2.2.4.2.2.1" xref="A4.Ex97.m1.2.2.2.2.cmml">(</mo><mfrac id="A4.Ex97.m1.2.2.2.2" xref="A4.Ex97.m1.2.2.2.2.cmml"><mn id="A4.Ex97.m1.2.2.2.2.2" xref="A4.Ex97.m1.2.2.2.2.2.cmml">1</mn><msup id="A4.Ex97.m1.2.2.2.2.3" xref="A4.Ex97.m1.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="A4.Ex97.m1.2.2.2.2.3.2" xref="A4.Ex97.m1.2.2.2.2.3.2.cmml">t</mi><mn id="A4.Ex97.m1.2.2.2.2.3.3" xref="A4.Ex97.m1.2.2.2.2.3.3.cmml">2</mn></msup></mfrac><mo id="A4.Ex97.m1.2.2.2.4.2.2.2" xref="A4.Ex97.m1.2.2.2.2.cmml">)</mo></mrow><mn id="A4.Ex97.m1.2.2.2.4.3" xref="A4.Ex97.m1.2.2.2.4.3.cmml">2</mn></msup></mrow></msup><mo id="A4.Ex97.m1.2.3.3" xref="A4.Ex97.m1.2.3.3.cmml">=</mo><msup id="A4.Ex97.m1.2.3.4" xref="A4.Ex97.m1.2.3.4.cmml"><mi id="A4.Ex97.m1.2.3.4.2" xref="A4.Ex97.m1.2.3.4.2.cmml">e</mi><mrow id="A4.Ex97.m1.2.3.4.3" xref="A4.Ex97.m1.2.3.4.3.cmml"><mfrac id="A4.Ex97.m1.2.3.4.3.2" xref="A4.Ex97.m1.2.3.4.3.2.cmml"><mn id="A4.Ex97.m1.2.3.4.3.2.2" xref="A4.Ex97.m1.2.3.4.3.2.2.cmml">1</mn><mrow id="A4.Ex97.m1.2.3.4.3.2.3" xref="A4.Ex97.m1.2.3.4.3.2.3.cmml"><mn id="A4.Ex97.m1.2.3.4.3.2.3.2" xref="A4.Ex97.m1.2.3.4.3.2.3.2.cmml">2</mn><mo id="A4.Ex97.m1.2.3.4.3.2.3.1" xref="A4.Ex97.m1.2.3.4.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="A4.Ex97.m1.2.3.4.3.2.3.3" xref="A4.Ex97.m1.2.3.4.3.2.3.3.cmml"><mi id="A4.Ex97.m1.2.3.4.3.2.3.3.2" xref="A4.Ex97.m1.2.3.4.3.2.3.3.2.cmml">t</mi><mn id="A4.Ex97.m1.2.3.4.3.2.3.3.3" xref="A4.Ex97.m1.2.3.4.3.2.3.3.3.cmml">2</mn></msup></mrow></mfrac><mo id="A4.Ex97.m1.2.3.4.3.1" xref="A4.Ex97.m1.2.3.4.3.1.cmml">−</mo><mfrac id="A4.Ex97.m1.2.3.4.3.3" xref="A4.Ex97.m1.2.3.4.3.3.cmml"><mn id="A4.Ex97.m1.2.3.4.3.3.2" xref="A4.Ex97.m1.2.3.4.3.3.2.cmml">1</mn><mrow id="A4.Ex97.m1.2.3.4.3.3.3" xref="A4.Ex97.m1.2.3.4.3.3.3.cmml"><mn id="A4.Ex97.m1.2.3.4.3.3.3.2" xref="A4.Ex97.m1.2.3.4.3.3.3.2.cmml">2</mn><mo id="A4.Ex97.m1.2.3.4.3.3.3.1" xref="A4.Ex97.m1.2.3.4.3.3.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="A4.Ex97.m1.2.3.4.3.3.3.3" xref="A4.Ex97.m1.2.3.4.3.3.3.3.cmml"><mi id="A4.Ex97.m1.2.3.4.3.3.3.3.2" xref="A4.Ex97.m1.2.3.4.3.3.3.3.2.cmml">t</mi><mn id="A4.Ex97.m1.2.3.4.3.3.3.3.3" xref="A4.Ex97.m1.2.3.4.3.3.3.3.3.cmml">3</mn></msup></mrow></mfrac></mrow></msup><mo id="A4.Ex97.m1.2.3.5" xref="A4.Ex97.m1.2.3.5.cmml"><</mo><msup id="A4.Ex97.m1.2.3.6" xref="A4.Ex97.m1.2.3.6.cmml"><mi id="A4.Ex97.m1.2.3.6.2" xref="A4.Ex97.m1.2.3.6.2.cmml">e</mi><mfrac id="A4.Ex97.m1.2.3.6.3" xref="A4.Ex97.m1.2.3.6.3.cmml"><mn id="A4.Ex97.m1.2.3.6.3.2" xref="A4.Ex97.m1.2.3.6.3.2.cmml">1</mn><mrow id="A4.Ex97.m1.2.3.6.3.3" xref="A4.Ex97.m1.2.3.6.3.3.cmml"><mn id="A4.Ex97.m1.2.3.6.3.3.2" xref="A4.Ex97.m1.2.3.6.3.3.2.cmml">2</mn><mo id="A4.Ex97.m1.2.3.6.3.3.1" xref="A4.Ex97.m1.2.3.6.3.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="A4.Ex97.m1.2.3.6.3.3.3" xref="A4.Ex97.m1.2.3.6.3.3.3.cmml"><mi id="A4.Ex97.m1.2.3.6.3.3.3.2" xref="A4.Ex97.m1.2.3.6.3.3.3.2.cmml">t</mi><mn id="A4.Ex97.m1.2.3.6.3.3.3.3" xref="A4.Ex97.m1.2.3.6.3.3.3.3.cmml">2</mn></msup></mrow></mfrac></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A4.Ex97.m1.2b"><apply id="A4.Ex97.m1.2.3.cmml" xref="A4.Ex97.m1.2.3"><and id="A4.Ex97.m1.2.3a.cmml" xref="A4.Ex97.m1.2.3"></and><apply id="A4.Ex97.m1.2.3b.cmml" xref="A4.Ex97.m1.2.3"><eq id="A4.Ex97.m1.2.3.3.cmml" xref="A4.Ex97.m1.2.3.3"></eq><apply id="A4.Ex97.m1.2.3.2.cmml" xref="A4.Ex97.m1.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.Ex97.m1.2.3.2.1.cmml" xref="A4.Ex97.m1.2.3.2">superscript</csymbol><ci id="A4.Ex97.m1.2.3.2.2.cmml" xref="A4.Ex97.m1.2.3.2.2">𝑒</ci><apply id="A4.Ex97.m1.2.2.2.cmml" xref="A4.Ex97.m1.2.2.2"><times id="A4.Ex97.m1.2.2.2.3.cmml" xref="A4.Ex97.m1.2.2.2.3"></times><apply id="A4.Ex97.m1.1.1.1.1.cmml" xref="A4.Ex97.m1.1.1.1.1"><divide id="A4.Ex97.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A4.Ex97.m1.1.1.1.1"></divide><apply id="A4.Ex97.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A4.Ex97.m1.1.1.1.1.1"><times id="A4.Ex97.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A4.Ex97.m1.1.1.1.1.1.2"></times><ci id="A4.Ex97.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A4.Ex97.m1.1.1.1.1.1.3">𝑡</ci><apply id="A4.Ex97.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A4.Ex97.m1.1.1.1.1.1.1.1"><minus id="A4.Ex97.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A4.Ex97.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><ci id="A4.Ex97.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A4.Ex97.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑡</ci><cn id="A4.Ex97.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A4.Ex97.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">1</cn></apply></apply><cn id="A4.Ex97.m1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A4.Ex97.m1.1.1.1.1.3">2</cn></apply><apply id="A4.Ex97.m1.2.2.2.4.cmml" xref="A4.Ex97.m1.2.2.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.Ex97.m1.2.2.2.4.1.cmml" xref="A4.Ex97.m1.2.2.2.4">superscript</csymbol><apply id="A4.Ex97.m1.2.2.2.2.cmml" xref="A4.Ex97.m1.2.2.2.4.2.2"><divide id="A4.Ex97.m1.2.2.2.2.1.cmml" xref="A4.Ex97.m1.2.2.2.4.2.2"></divide><cn id="A4.Ex97.m1.2.2.2.2.2.cmml" type="integer" xref="A4.Ex97.m1.2.2.2.2.2">1</cn><apply id="A4.Ex97.m1.2.2.2.2.3.cmml" xref="A4.Ex97.m1.2.2.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.Ex97.m1.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="A4.Ex97.m1.2.2.2.2.3">superscript</csymbol><ci id="A4.Ex97.m1.2.2.2.2.3.2.cmml" xref="A4.Ex97.m1.2.2.2.2.3.2">𝑡</ci><cn id="A4.Ex97.m1.2.2.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="A4.Ex97.m1.2.2.2.2.3.3">2</cn></apply></apply><cn id="A4.Ex97.m1.2.2.2.4.3.cmml" type="integer" xref="A4.Ex97.m1.2.2.2.4.3">2</cn></apply></apply></apply><apply id="A4.Ex97.m1.2.3.4.cmml" xref="A4.Ex97.m1.2.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.Ex97.m1.2.3.4.1.cmml" xref="A4.Ex97.m1.2.3.4">superscript</csymbol><ci id="A4.Ex97.m1.2.3.4.2.cmml" xref="A4.Ex97.m1.2.3.4.2">𝑒</ci><apply id="A4.Ex97.m1.2.3.4.3.cmml" xref="A4.Ex97.m1.2.3.4.3"><minus id="A4.Ex97.m1.2.3.4.3.1.cmml" xref="A4.Ex97.m1.2.3.4.3.1"></minus><apply id="A4.Ex97.m1.2.3.4.3.2.cmml" xref="A4.Ex97.m1.2.3.4.3.2"><divide id="A4.Ex97.m1.2.3.4.3.2.1.cmml" xref="A4.Ex97.m1.2.3.4.3.2"></divide><cn id="A4.Ex97.m1.2.3.4.3.2.2.cmml" type="integer" xref="A4.Ex97.m1.2.3.4.3.2.2">1</cn><apply id="A4.Ex97.m1.2.3.4.3.2.3.cmml" xref="A4.Ex97.m1.2.3.4.3.2.3"><times id="A4.Ex97.m1.2.3.4.3.2.3.1.cmml" 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xref="A4.Ex97.m1.2.3.4.3.3.3.2">2</cn><apply id="A4.Ex97.m1.2.3.4.3.3.3.3.cmml" xref="A4.Ex97.m1.2.3.4.3.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.Ex97.m1.2.3.4.3.3.3.3.1.cmml" xref="A4.Ex97.m1.2.3.4.3.3.3.3">superscript</csymbol><ci id="A4.Ex97.m1.2.3.4.3.3.3.3.2.cmml" xref="A4.Ex97.m1.2.3.4.3.3.3.3.2">𝑡</ci><cn id="A4.Ex97.m1.2.3.4.3.3.3.3.3.cmml" type="integer" xref="A4.Ex97.m1.2.3.4.3.3.3.3.3">3</cn></apply></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="A4.Ex97.m1.2.3c.cmml" xref="A4.Ex97.m1.2.3"><lt id="A4.Ex97.m1.2.3.5.cmml" xref="A4.Ex97.m1.2.3.5"></lt><share href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#A4.Ex97.m1.2.3.4.cmml" id="A4.Ex97.m1.2.3d.cmml" xref="A4.Ex97.m1.2.3"></share><apply id="A4.Ex97.m1.2.3.6.cmml" xref="A4.Ex97.m1.2.3.6"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.Ex97.m1.2.3.6.1.cmml" xref="A4.Ex97.m1.2.3.6">superscript</csymbol><ci id="A4.Ex97.m1.2.3.6.2.cmml" xref="A4.Ex97.m1.2.3.6.2">𝑒</ci><apply id="A4.Ex97.m1.2.3.6.3.cmml" xref="A4.Ex97.m1.2.3.6.3"><divide id="A4.Ex97.m1.2.3.6.3.1.cmml" xref="A4.Ex97.m1.2.3.6.3"></divide><cn id="A4.Ex97.m1.2.3.6.3.2.cmml" type="integer" xref="A4.Ex97.m1.2.3.6.3.2">1</cn><apply id="A4.Ex97.m1.2.3.6.3.3.cmml" xref="A4.Ex97.m1.2.3.6.3.3"><times id="A4.Ex97.m1.2.3.6.3.3.1.cmml" xref="A4.Ex97.m1.2.3.6.3.3.1"></times><cn id="A4.Ex97.m1.2.3.6.3.3.2.cmml" type="integer" xref="A4.Ex97.m1.2.3.6.3.3.2">2</cn><apply id="A4.Ex97.m1.2.3.6.3.3.3.cmml" xref="A4.Ex97.m1.2.3.6.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.Ex97.m1.2.3.6.3.3.3.1.cmml" xref="A4.Ex97.m1.2.3.6.3.3.3">superscript</csymbol><ci id="A4.Ex97.m1.2.3.6.3.3.3.2.cmml" xref="A4.Ex97.m1.2.3.6.3.3.3.2">𝑡</ci><cn id="A4.Ex97.m1.2.3.6.3.3.3.3.cmml" type="integer" xref="A4.Ex97.m1.2.3.6.3.3.3.3">2</cn></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A4.Ex97.m1.2c">\displaystyle e^{\frac{t(t-1)}{2}\left(\frac{1}{t^{2}}\right)^{2}}=e^{\frac{1}% {2t^{2}}-\frac{1}{2t^{3}}}<e^{\frac{1}{2t^{2}}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A4.Ex97.m1.2d">italic_e start_POSTSUPERSCRIPT divide start_ARG italic_t ( italic_t - 1 ) end_ARG start_ARG 2 end_ARG ( divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_t start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT = italic_e start_POSTSUPERSCRIPT divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 italic_t start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG - divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 italic_t start_POSTSUPERSCRIPT 3 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG end_POSTSUPERSCRIPT < italic_e start_POSTSUPERSCRIPT divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 italic_t start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="A4.SS4.6.p1.3">∎</p> </div> </div> <div class="ltx_para" id="A4.SS4.p2"> <p class="ltx_p" id="A4.SS4.p2.1">We are now ready to combine these pieces to prove Lemma <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#Thmtheorem44" title="Lemma 44. ‣ VI.1 Bounds by factorization of 𝐾_𝑚 ‣ VI Bounding the complete derangement block ‣ Conditional 𝑡-independent spectral gap for random quantum circuits and implications for 𝑡-design depths"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">44</span></a>.</p> </div> <div class="ltx_proof" id="A4.SS4.7"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_font_italic ltx_title_proof">Proof.</h6> <div class="ltx_para" id="A4.SS4.7.p1"> <p class="ltx_p" id="A4.SS4.7.p1.1">(Proof of Lemma <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#Thmtheorem44" title="Lemma 44. ‣ VI.1 Bounds by factorization of 𝐾_𝑚 ‣ VI Bounding the complete derangement block ‣ Conditional 𝑡-independent spectral gap for random quantum circuits and implications for 𝑡-design depths"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">44</span></a>) We start with Lemma <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#Thmtheorem62" title="Lemma 62. ‣ D.4 Analytic Bound on the Derangement Polynomial (Proof of Lemma 44) ‣ Appendix D Properties of the Derangement Polynomial ‣ Conditional 𝑡-independent spectral gap for random quantum circuits and implications for 𝑡-design depths"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">62</span></a>. We apply Lemma <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#Thmtheorem63" title="Lemma 63. ‣ D.4 Analytic Bound on the Derangement Polynomial (Proof of Lemma 44) ‣ Appendix D Properties of the Derangement Polynomial ‣ Conditional 𝑡-independent spectral gap for random quantum circuits and implications for 𝑡-design depths"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">63</span></a> to the <math alttext="\delta G" class="ltx_Math" display="inline" id="A4.SS4.7.p1.1.m1.1"><semantics id="A4.SS4.7.p1.1.m1.1a"><mrow id="A4.SS4.7.p1.1.m1.1.1" xref="A4.SS4.7.p1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="A4.SS4.7.p1.1.m1.1.1.2" xref="A4.SS4.7.p1.1.m1.1.1.2.cmml">δ</mi><mo id="A4.SS4.7.p1.1.m1.1.1.1" xref="A4.SS4.7.p1.1.m1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="A4.SS4.7.p1.1.m1.1.1.3" xref="A4.SS4.7.p1.1.m1.1.1.3.cmml">G</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A4.SS4.7.p1.1.m1.1b"><apply id="A4.SS4.7.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="A4.SS4.7.p1.1.m1.1.1"><times id="A4.SS4.7.p1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="A4.SS4.7.p1.1.m1.1.1.1"></times><ci id="A4.SS4.7.p1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="A4.SS4.7.p1.1.m1.1.1.2">𝛿</ci><ci id="A4.SS4.7.p1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="A4.SS4.7.p1.1.m1.1.1.3">𝐺</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A4.SS4.7.p1.1.m1.1c">\delta G</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A4.SS4.7.p1.1.m1.1d">italic_δ italic_G</annotation></semantics></math> term to obtain</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="S6.EGx222"> <tbody id="A4.Ex98"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle d_{t}(x)" class="ltx_Math" display="inline" id="A4.Ex98.m1.1"><semantics id="A4.Ex98.m1.1a"><mrow id="A4.Ex98.m1.1.2" xref="A4.Ex98.m1.1.2.cmml"><msub id="A4.Ex98.m1.1.2.2" xref="A4.Ex98.m1.1.2.2.cmml"><mi id="A4.Ex98.m1.1.2.2.2" xref="A4.Ex98.m1.1.2.2.2.cmml">d</mi><mi id="A4.Ex98.m1.1.2.2.3" xref="A4.Ex98.m1.1.2.2.3.cmml">t</mi></msub><mo id="A4.Ex98.m1.1.2.1" xref="A4.Ex98.m1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A4.Ex98.m1.1.2.3.2" xref="A4.Ex98.m1.1.2.cmml"><mo id="A4.Ex98.m1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="A4.Ex98.m1.1.2.cmml">(</mo><mi id="A4.Ex98.m1.1.1" xref="A4.Ex98.m1.1.1.cmml">x</mi><mo id="A4.Ex98.m1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="A4.Ex98.m1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A4.Ex98.m1.1b"><apply id="A4.Ex98.m1.1.2.cmml" xref="A4.Ex98.m1.1.2"><times id="A4.Ex98.m1.1.2.1.cmml" xref="A4.Ex98.m1.1.2.1"></times><apply id="A4.Ex98.m1.1.2.2.cmml" xref="A4.Ex98.m1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.Ex98.m1.1.2.2.1.cmml" xref="A4.Ex98.m1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="A4.Ex98.m1.1.2.2.2.cmml" xref="A4.Ex98.m1.1.2.2.2">𝑑</ci><ci id="A4.Ex98.m1.1.2.2.3.cmml" xref="A4.Ex98.m1.1.2.2.3">𝑡</ci></apply><ci id="A4.Ex98.m1.1.1.cmml" xref="A4.Ex98.m1.1.1">𝑥</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A4.Ex98.m1.1c">\displaystyle d_{t}(x)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A4.Ex98.m1.1d">italic_d start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( italic_x )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\leq c_{t}(x^{2})\sum_{A}\binom{t}{A}A^{t-A}3^{A}x^{\frac{t}{2}}" class="ltx_Math" display="inline" id="A4.Ex98.m2.3"><semantics id="A4.Ex98.m2.3a"><mrow id="A4.Ex98.m2.3.3" xref="A4.Ex98.m2.3.3.cmml"><mi id="A4.Ex98.m2.3.3.3" xref="A4.Ex98.m2.3.3.3.cmml"></mi><mo id="A4.Ex98.m2.3.3.2" xref="A4.Ex98.m2.3.3.2.cmml">≤</mo><mrow id="A4.Ex98.m2.3.3.1" xref="A4.Ex98.m2.3.3.1.cmml"><msub id="A4.Ex98.m2.3.3.1.3" xref="A4.Ex98.m2.3.3.1.3.cmml"><mi id="A4.Ex98.m2.3.3.1.3.2" xref="A4.Ex98.m2.3.3.1.3.2.cmml">c</mi><mi id="A4.Ex98.m2.3.3.1.3.3" xref="A4.Ex98.m2.3.3.1.3.3.cmml">t</mi></msub><mo id="A4.Ex98.m2.3.3.1.2" xref="A4.Ex98.m2.3.3.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A4.Ex98.m2.3.3.1.1.1" xref="A4.Ex98.m2.3.3.1.1.1.1.cmml"><mo id="A4.Ex98.m2.3.3.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A4.Ex98.m2.3.3.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="A4.Ex98.m2.3.3.1.1.1.1" xref="A4.Ex98.m2.3.3.1.1.1.1.cmml"><mi id="A4.Ex98.m2.3.3.1.1.1.1.2" xref="A4.Ex98.m2.3.3.1.1.1.1.2.cmml">x</mi><mn id="A4.Ex98.m2.3.3.1.1.1.1.3" xref="A4.Ex98.m2.3.3.1.1.1.1.3.cmml">2</mn></msup><mo id="A4.Ex98.m2.3.3.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A4.Ex98.m2.3.3.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A4.Ex98.m2.3.3.1.2a" xref="A4.Ex98.m2.3.3.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A4.Ex98.m2.3.3.1.4" xref="A4.Ex98.m2.3.3.1.4.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A4.Ex98.m2.3.3.1.4.1" xref="A4.Ex98.m2.3.3.1.4.1.cmml"><munder id="A4.Ex98.m2.3.3.1.4.1a" xref="A4.Ex98.m2.3.3.1.4.1.cmml"><mo id="A4.Ex98.m2.3.3.1.4.1.2" movablelimits="false" xref="A4.Ex98.m2.3.3.1.4.1.2.cmml">∑</mo><mi id="A4.Ex98.m2.3.3.1.4.1.3" xref="A4.Ex98.m2.3.3.1.4.1.3.cmml">A</mi></munder></mstyle><mrow id="A4.Ex98.m2.3.3.1.4.2" 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id="A4.Ex98.m2.3b"><apply id="A4.Ex98.m2.3.3.cmml" xref="A4.Ex98.m2.3.3"><leq id="A4.Ex98.m2.3.3.2.cmml" xref="A4.Ex98.m2.3.3.2"></leq><csymbol cd="latexml" id="A4.Ex98.m2.3.3.3.cmml" xref="A4.Ex98.m2.3.3.3">absent</csymbol><apply id="A4.Ex98.m2.3.3.1.cmml" xref="A4.Ex98.m2.3.3.1"><times id="A4.Ex98.m2.3.3.1.2.cmml" xref="A4.Ex98.m2.3.3.1.2"></times><apply id="A4.Ex98.m2.3.3.1.3.cmml" xref="A4.Ex98.m2.3.3.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.Ex98.m2.3.3.1.3.1.cmml" xref="A4.Ex98.m2.3.3.1.3">subscript</csymbol><ci id="A4.Ex98.m2.3.3.1.3.2.cmml" xref="A4.Ex98.m2.3.3.1.3.2">𝑐</ci><ci id="A4.Ex98.m2.3.3.1.3.3.cmml" xref="A4.Ex98.m2.3.3.1.3.3">𝑡</ci></apply><apply id="A4.Ex98.m2.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="A4.Ex98.m2.3.3.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.Ex98.m2.3.3.1.1.1.1.1.cmml" xref="A4.Ex98.m2.3.3.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="A4.Ex98.m2.3.3.1.1.1.1.2.cmml" xref="A4.Ex98.m2.3.3.1.1.1.1.2">𝑥</ci><cn id="A4.Ex98.m2.3.3.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" 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start_POSTSUPERSCRIPT italic_t - italic_A end_POSTSUPERSCRIPT 3 start_POSTSUPERSCRIPT italic_A end_POSTSUPERSCRIPT italic_x start_POSTSUPERSCRIPT divide start_ARG italic_t end_ARG start_ARG 2 end_ARG end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="A4.Ex99"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\leq c_{t}(x^{2})x^{\frac{t}{2}}\sum_{A=0}^{\lfloor\frac{t}{2}% \rfloor}\binom{t}{A}[A^{t-A}3^{A}+(t-A)^{A}3^{t-A}]" class="ltx_Math" display="inline" id="A4.Ex99.m1.5"><semantics id="A4.Ex99.m1.5a"><mrow id="A4.Ex99.m1.5.5" xref="A4.Ex99.m1.5.5.cmml"><mi id="A4.Ex99.m1.5.5.4" xref="A4.Ex99.m1.5.5.4.cmml"></mi><mo id="A4.Ex99.m1.5.5.3" xref="A4.Ex99.m1.5.5.3.cmml">≤</mo><mrow id="A4.Ex99.m1.5.5.2" 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end_POSTSUPERSCRIPT 3 start_POSTSUPERSCRIPT italic_A end_POSTSUPERSCRIPT + ( italic_t - italic_A ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_A end_POSTSUPERSCRIPT 3 start_POSTSUPERSCRIPT italic_t - italic_A end_POSTSUPERSCRIPT ]</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="A4.Ex100"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\leq c_{t}(x^{2})x^{\frac{t}{2}}\sum_{A=0}^{\lfloor\frac{t}{2}% \rfloor}\binom{t}{A}[(t/2)^{t-A}3^{A}+t^{t/2}3^{t-A}]" class="ltx_Math" display="inline" id="A4.Ex100.m1.5"><semantics id="A4.Ex100.m1.5a"><mrow id="A4.Ex100.m1.5.5" xref="A4.Ex100.m1.5.5.cmml"><mi id="A4.Ex100.m1.5.5.4" xref="A4.Ex100.m1.5.5.4.cmml"></mi><mo id="A4.Ex100.m1.5.5.3" xref="A4.Ex100.m1.5.5.3.cmml">≤</mo><mrow id="A4.Ex100.m1.5.5.2" 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xref="A4.Ex100.m1.5.5.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml"><mn id="A4.Ex100.m1.5.5.2.2.1.1.1.1.1.3.2" xref="A4.Ex100.m1.5.5.2.2.1.1.1.1.1.3.2.cmml">3</mn><mi id="A4.Ex100.m1.5.5.2.2.1.1.1.1.1.3.3" xref="A4.Ex100.m1.5.5.2.2.1.1.1.1.1.3.3.cmml">A</mi></msup></mrow><mo id="A4.Ex100.m1.5.5.2.2.1.1.1.1.2" xref="A4.Ex100.m1.5.5.2.2.1.1.1.1.2.cmml">+</mo><mrow id="A4.Ex100.m1.5.5.2.2.1.1.1.1.3" xref="A4.Ex100.m1.5.5.2.2.1.1.1.1.3.cmml"><msup id="A4.Ex100.m1.5.5.2.2.1.1.1.1.3.2" xref="A4.Ex100.m1.5.5.2.2.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="A4.Ex100.m1.5.5.2.2.1.1.1.1.3.2.2" xref="A4.Ex100.m1.5.5.2.2.1.1.1.1.3.2.2.cmml">t</mi><mrow id="A4.Ex100.m1.5.5.2.2.1.1.1.1.3.2.3" xref="A4.Ex100.m1.5.5.2.2.1.1.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="A4.Ex100.m1.5.5.2.2.1.1.1.1.3.2.3.2" xref="A4.Ex100.m1.5.5.2.2.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml">t</mi><mo id="A4.Ex100.m1.5.5.2.2.1.1.1.1.3.2.3.1" xref="A4.Ex100.m1.5.5.2.2.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml">/</mo><mn id="A4.Ex100.m1.5.5.2.2.1.1.1.1.3.2.3.3" 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id="A4.Ex101.m1.2.2.2.4" xref="A4.Ex101.m1.2.2.2.4.cmml"><mfrac id="A4.Ex101.m1.2.2.2.4a" xref="A4.Ex101.m1.2.2.2.4.cmml"><mn id="A4.Ex101.m1.2.2.2.4.2" xref="A4.Ex101.m1.2.2.2.4.2.cmml">1</mn><mn id="A4.Ex101.m1.2.2.2.4.3" xref="A4.Ex101.m1.2.2.2.4.3.cmml">2</mn></mfrac></mstyle><mo id="A4.Ex101.m1.2.2.2.3" xref="A4.Ex101.m1.2.2.2.3.cmml">⁢</mo><msub id="A4.Ex101.m1.2.2.2.5" xref="A4.Ex101.m1.2.2.2.5.cmml"><mi id="A4.Ex101.m1.2.2.2.5.2" xref="A4.Ex101.m1.2.2.2.5.2.cmml">c</mi><mi id="A4.Ex101.m1.2.2.2.5.3" xref="A4.Ex101.m1.2.2.2.5.3.cmml">t</mi></msub><mo id="A4.Ex101.m1.2.2.2.3a" xref="A4.Ex101.m1.2.2.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="A4.Ex101.m1.1.1.1.1.1" xref="A4.Ex101.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A4.Ex101.m1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A4.Ex101.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="A4.Ex101.m1.1.1.1.1.1.1" xref="A4.Ex101.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A4.Ex101.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A4.Ex101.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">x</mi><mn id="A4.Ex101.m1.1.1.1.1.1.1.3" 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alttext="\displaystyle\leq\frac{1}{2}c_{t}(x^{2})x^{\frac{t}{2}}t^{t}\left[\left(\frac{% 1}{2}+\frac{3}{t}\right)^{t}+\left(\frac{4}{\sqrt{t}}\right)^{t}\right]" class="ltx_Math" display="inline" id="A4.Ex102.m1.3"><semantics id="A4.Ex102.m1.3a"><mrow id="A4.Ex102.m1.3.3" xref="A4.Ex102.m1.3.3.cmml"><mi id="A4.Ex102.m1.3.3.4" xref="A4.Ex102.m1.3.3.4.cmml"></mi><mo id="A4.Ex102.m1.3.3.3" xref="A4.Ex102.m1.3.3.3.cmml">≤</mo><mrow id="A4.Ex102.m1.3.3.2" xref="A4.Ex102.m1.3.3.2.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A4.Ex102.m1.3.3.2.4" xref="A4.Ex102.m1.3.3.2.4.cmml"><mfrac id="A4.Ex102.m1.3.3.2.4a" xref="A4.Ex102.m1.3.3.2.4.cmml"><mn id="A4.Ex102.m1.3.3.2.4.2" xref="A4.Ex102.m1.3.3.2.4.2.cmml">1</mn><mn id="A4.Ex102.m1.3.3.2.4.3" xref="A4.Ex102.m1.3.3.2.4.3.cmml">2</mn></mfrac></mstyle><mo id="A4.Ex102.m1.3.3.2.3" xref="A4.Ex102.m1.3.3.2.3.cmml">⁢</mo><msub id="A4.Ex102.m1.3.3.2.5" xref="A4.Ex102.m1.3.3.2.5.cmml"><mi id="A4.Ex102.m1.3.3.2.5.2" xref="A4.Ex102.m1.3.3.2.5.2.cmml">c</mi><mi 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id="A4.Ex102.m1.3.3.2.6.3.3" xref="A4.Ex102.m1.3.3.2.6.3.3.cmml">2</mn></mfrac></msup><mo id="A4.Ex102.m1.3.3.2.3c" xref="A4.Ex102.m1.3.3.2.3.cmml">⁢</mo><msup id="A4.Ex102.m1.3.3.2.7" xref="A4.Ex102.m1.3.3.2.7.cmml"><mi id="A4.Ex102.m1.3.3.2.7.2" xref="A4.Ex102.m1.3.3.2.7.2.cmml">t</mi><mi id="A4.Ex102.m1.3.3.2.7.3" xref="A4.Ex102.m1.3.3.2.7.3.cmml">t</mi></msup><mo id="A4.Ex102.m1.3.3.2.3d" xref="A4.Ex102.m1.3.3.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="A4.Ex102.m1.3.3.2.2.1" xref="A4.Ex102.m1.3.3.2.2.2.cmml"><mo id="A4.Ex102.m1.3.3.2.2.1.2" xref="A4.Ex102.m1.3.3.2.2.2.1.cmml">[</mo><mrow id="A4.Ex102.m1.3.3.2.2.1.1" xref="A4.Ex102.m1.3.3.2.2.1.1.cmml"><msup id="A4.Ex102.m1.3.3.2.2.1.1.1" xref="A4.Ex102.m1.3.3.2.2.1.1.1.cmml"><mrow id="A4.Ex102.m1.3.3.2.2.1.1.1.1.1" xref="A4.Ex102.m1.3.3.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A4.Ex102.m1.3.3.2.2.1.1.1.1.1.2" xref="A4.Ex102.m1.3.3.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A4.Ex102.m1.3.3.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="A4.Ex102.m1.3.3.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A4.Ex102.m1.3.3.2.2.1.1.1.1.1.1.2" xref="A4.Ex102.m1.3.3.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mfrac id="A4.Ex102.m1.3.3.2.2.1.1.1.1.1.1.2a" xref="A4.Ex102.m1.3.3.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mn id="A4.Ex102.m1.3.3.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="A4.Ex102.m1.3.3.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">1</mn><mn id="A4.Ex102.m1.3.3.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="A4.Ex102.m1.3.3.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">2</mn></mfrac></mstyle><mo id="A4.Ex102.m1.3.3.2.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="A4.Ex102.m1.3.3.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mstyle displaystyle="true" id="A4.Ex102.m1.3.3.2.2.1.1.1.1.1.1.3" xref="A4.Ex102.m1.3.3.2.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mfrac id="A4.Ex102.m1.3.3.2.2.1.1.1.1.1.1.3a" xref="A4.Ex102.m1.3.3.2.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mn id="A4.Ex102.m1.3.3.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A4.Ex102.m1.3.3.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">3</mn><mi id="A4.Ex102.m1.3.3.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A4.Ex102.m1.3.3.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">t</mi></mfrac></mstyle></mrow><mo id="A4.Ex102.m1.3.3.2.2.1.1.1.1.1.3" xref="A4.Ex102.m1.3.3.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mi id="A4.Ex102.m1.3.3.2.2.1.1.1.3" xref="A4.Ex102.m1.3.3.2.2.1.1.1.3.cmml">t</mi></msup><mo id="A4.Ex102.m1.3.3.2.2.1.1.2" xref="A4.Ex102.m1.3.3.2.2.1.1.2.cmml">+</mo><msup id="A4.Ex102.m1.3.3.2.2.1.1.3" xref="A4.Ex102.m1.3.3.2.2.1.1.3.cmml"><mrow id="A4.Ex102.m1.3.3.2.2.1.1.3.2.2" xref="A4.Ex102.m1.1.1.cmml"><mo id="A4.Ex102.m1.3.3.2.2.1.1.3.2.2.1" xref="A4.Ex102.m1.1.1.cmml">(</mo><mstyle displaystyle="true" id="A4.Ex102.m1.1.1" xref="A4.Ex102.m1.1.1.cmml"><mfrac id="A4.Ex102.m1.1.1a" xref="A4.Ex102.m1.1.1.cmml"><mn id="A4.Ex102.m1.1.1.2" xref="A4.Ex102.m1.1.1.2.cmml">4</mn><msqrt id="A4.Ex102.m1.1.1.3" xref="A4.Ex102.m1.1.1.3.cmml"><mi id="A4.Ex102.m1.1.1.3.2" xref="A4.Ex102.m1.1.1.3.2.cmml">t</mi></msqrt></mfrac></mstyle><mo id="A4.Ex102.m1.3.3.2.2.1.1.3.2.2.2" xref="A4.Ex102.m1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mi id="A4.Ex102.m1.3.3.2.2.1.1.3.3" xref="A4.Ex102.m1.3.3.2.2.1.1.3.3.cmml">t</mi></msup></mrow><mo 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id="A4.Ex102.m1.3.3.2.5.2.cmml" xref="A4.Ex102.m1.3.3.2.5.2">𝑐</ci><ci id="A4.Ex102.m1.3.3.2.5.3.cmml" xref="A4.Ex102.m1.3.3.2.5.3">𝑡</ci></apply><apply id="A4.Ex102.m1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="A4.Ex102.m1.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.Ex102.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="A4.Ex102.m1.2.2.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="A4.Ex102.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="A4.Ex102.m1.2.2.1.1.1.1.2">𝑥</ci><cn id="A4.Ex102.m1.2.2.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A4.Ex102.m1.2.2.1.1.1.1.3">2</cn></apply><apply id="A4.Ex102.m1.3.3.2.6.cmml" xref="A4.Ex102.m1.3.3.2.6"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.Ex102.m1.3.3.2.6.1.cmml" xref="A4.Ex102.m1.3.3.2.6">superscript</csymbol><ci id="A4.Ex102.m1.3.3.2.6.2.cmml" xref="A4.Ex102.m1.3.3.2.6.2">𝑥</ci><apply id="A4.Ex102.m1.3.3.2.6.3.cmml" xref="A4.Ex102.m1.3.3.2.6.3"><divide id="A4.Ex102.m1.3.3.2.6.3.1.cmml" xref="A4.Ex102.m1.3.3.2.6.3"></divide><ci id="A4.Ex102.m1.3.3.2.6.3.2.cmml" xref="A4.Ex102.m1.3.3.2.6.3.2">𝑡</ci><cn id="A4.Ex102.m1.3.3.2.6.3.3.cmml" type="integer" xref="A4.Ex102.m1.3.3.2.6.3.3">2</cn></apply></apply><apply id="A4.Ex102.m1.3.3.2.7.cmml" xref="A4.Ex102.m1.3.3.2.7"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.Ex102.m1.3.3.2.7.1.cmml" xref="A4.Ex102.m1.3.3.2.7">superscript</csymbol><ci id="A4.Ex102.m1.3.3.2.7.2.cmml" xref="A4.Ex102.m1.3.3.2.7.2">𝑡</ci><ci id="A4.Ex102.m1.3.3.2.7.3.cmml" xref="A4.Ex102.m1.3.3.2.7.3">𝑡</ci></apply><apply id="A4.Ex102.m1.3.3.2.2.2.cmml" xref="A4.Ex102.m1.3.3.2.2.1"><csymbol cd="latexml" id="A4.Ex102.m1.3.3.2.2.2.1.cmml" xref="A4.Ex102.m1.3.3.2.2.1.2">delimited-[]</csymbol><apply id="A4.Ex102.m1.3.3.2.2.1.1.cmml" xref="A4.Ex102.m1.3.3.2.2.1.1"><plus id="A4.Ex102.m1.3.3.2.2.1.1.2.cmml" xref="A4.Ex102.m1.3.3.2.2.1.1.2"></plus><apply id="A4.Ex102.m1.3.3.2.2.1.1.1.cmml" xref="A4.Ex102.m1.3.3.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.Ex102.m1.3.3.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="A4.Ex102.m1.3.3.2.2.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="A4.Ex102.m1.3.3.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A4.Ex102.m1.3.3.2.2.1.1.1.1.1"><plus id="A4.Ex102.m1.3.3.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A4.Ex102.m1.3.3.2.2.1.1.1.1.1.1.1"></plus><apply id="A4.Ex102.m1.3.3.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A4.Ex102.m1.3.3.2.2.1.1.1.1.1.1.2"><divide id="A4.Ex102.m1.3.3.2.2.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A4.Ex102.m1.3.3.2.2.1.1.1.1.1.1.2"></divide><cn id="A4.Ex102.m1.3.3.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" type="integer" xref="A4.Ex102.m1.3.3.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2">1</cn><cn id="A4.Ex102.m1.3.3.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="A4.Ex102.m1.3.3.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3">2</cn></apply><apply id="A4.Ex102.m1.3.3.2.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A4.Ex102.m1.3.3.2.2.1.1.1.1.1.1.3"><divide id="A4.Ex102.m1.3.3.2.2.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A4.Ex102.m1.3.3.2.2.1.1.1.1.1.1.3"></divide><cn id="A4.Ex102.m1.3.3.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="A4.Ex102.m1.3.3.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2">3</cn><ci id="A4.Ex102.m1.3.3.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A4.Ex102.m1.3.3.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑡</ci></apply></apply><ci id="A4.Ex102.m1.3.3.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="A4.Ex102.m1.3.3.2.2.1.1.1.3">𝑡</ci></apply><apply id="A4.Ex102.m1.3.3.2.2.1.1.3.cmml" xref="A4.Ex102.m1.3.3.2.2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.Ex102.m1.3.3.2.2.1.1.3.1.cmml" xref="A4.Ex102.m1.3.3.2.2.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="A4.Ex102.m1.1.1.cmml" xref="A4.Ex102.m1.3.3.2.2.1.1.3.2.2"><divide id="A4.Ex102.m1.1.1.1.cmml" xref="A4.Ex102.m1.3.3.2.2.1.1.3.2.2"></divide><cn id="A4.Ex102.m1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="A4.Ex102.m1.1.1.2">4</cn><apply id="A4.Ex102.m1.1.1.3.cmml" xref="A4.Ex102.m1.1.1.3"><root id="A4.Ex102.m1.1.1.3a.cmml" xref="A4.Ex102.m1.1.1.3"></root><ci id="A4.Ex102.m1.1.1.3.2.cmml" xref="A4.Ex102.m1.1.1.3.2">𝑡</ci></apply></apply><ci id="A4.Ex102.m1.3.3.2.2.1.1.3.3.cmml" xref="A4.Ex102.m1.3.3.2.2.1.1.3.3">𝑡</ci></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A4.Ex102.m1.3c">\displaystyle\leq\frac{1}{2}c_{t}(x^{2})x^{\frac{t}{2}}t^{t}\left[\left(\frac{% 1}{2}+\frac{3}{t}\right)^{t}+\left(\frac{4}{\sqrt{t}}\right)^{t}\right]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A4.Ex102.m1.3d">≤ divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 end_ARG italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( italic_x start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ) italic_x start_POSTSUPERSCRIPT divide start_ARG italic_t end_ARG start_ARG 2 end_ARG end_POSTSUPERSCRIPT italic_t start_POSTSUPERSCRIPT italic_t end_POSTSUPERSCRIPT [ ( divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 end_ARG + divide start_ARG 3 end_ARG start_ARG italic_t end_ARG ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_t end_POSTSUPERSCRIPT + ( divide start_ARG 4 end_ARG start_ARG square-root start_ARG italic_t end_ARG end_ARG ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_t end_POSTSUPERSCRIPT ]</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="A4.SS4.7.p1.3">We can now use Lemma <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#Thmtheorem64" title="Lemma 64. ‣ D.4 Analytic Bound on the Derangement Polynomial (Proof of Lemma 44) ‣ Appendix D Properties of the Derangement Polynomial ‣ Conditional 𝑡-independent spectral gap for random quantum circuits and implications for 𝑡-design depths"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">64</span></a> to obtain</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_gather ltx_eqn_table" id="S6.EGx223"> <tbody id="A4.E261"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\displaystyle d_{t}(x)\leq\frac{1}{2}e^{\frac{t(t-1)}{2}x^{2}}x^{\frac{t}{2}}t% ^{t}\left[\left(\frac{1}{2}+\frac{3}{t}\right)^{t}+\left(\frac{4}{\sqrt{t}}% \right)^{t}\right]" class="ltx_Math" display="block" id="A4.E261.m1.4"><semantics id="A4.E261.m1.4a"><mrow id="A4.E261.m1.4.4" xref="A4.E261.m1.4.4.cmml"><mrow id="A4.E261.m1.4.4.3" xref="A4.E261.m1.4.4.3.cmml"><msub id="A4.E261.m1.4.4.3.2" xref="A4.E261.m1.4.4.3.2.cmml"><mi id="A4.E261.m1.4.4.3.2.2" xref="A4.E261.m1.4.4.3.2.2.cmml">d</mi><mi id="A4.E261.m1.4.4.3.2.3" xref="A4.E261.m1.4.4.3.2.3.cmml">t</mi></msub><mo id="A4.E261.m1.4.4.3.1" xref="A4.E261.m1.4.4.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A4.E261.m1.4.4.3.3.2" xref="A4.E261.m1.4.4.3.cmml"><mo id="A4.E261.m1.4.4.3.3.2.1" stretchy="false" xref="A4.E261.m1.4.4.3.cmml">(</mo><mi id="A4.E261.m1.2.2" xref="A4.E261.m1.2.2.cmml">x</mi><mo id="A4.E261.m1.4.4.3.3.2.2" stretchy="false" xref="A4.E261.m1.4.4.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A4.E261.m1.4.4.2" xref="A4.E261.m1.4.4.2.cmml">≤</mo><mrow id="A4.E261.m1.4.4.1" xref="A4.E261.m1.4.4.1.cmml"><mfrac id="A4.E261.m1.4.4.1.3" xref="A4.E261.m1.4.4.1.3.cmml"><mn id="A4.E261.m1.4.4.1.3.2" xref="A4.E261.m1.4.4.1.3.2.cmml">1</mn><mn id="A4.E261.m1.4.4.1.3.3" xref="A4.E261.m1.4.4.1.3.3.cmml">2</mn></mfrac><mo id="A4.E261.m1.4.4.1.2" xref="A4.E261.m1.4.4.1.2.cmml">⁢</mo><msup id="A4.E261.m1.4.4.1.4" xref="A4.E261.m1.4.4.1.4.cmml"><mi id="A4.E261.m1.4.4.1.4.2" xref="A4.E261.m1.4.4.1.4.2.cmml">e</mi><mrow id="A4.E261.m1.1.1.1" xref="A4.E261.m1.1.1.1.cmml"><mfrac id="A4.E261.m1.1.1.1.1" xref="A4.E261.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A4.E261.m1.1.1.1.1.1" xref="A4.E261.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A4.E261.m1.1.1.1.1.1.3" xref="A4.E261.m1.1.1.1.1.1.3.cmml">t</mi><mo id="A4.E261.m1.1.1.1.1.1.2" xref="A4.E261.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A4.E261.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A4.E261.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A4.E261.m1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A4.E261.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A4.E261.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A4.E261.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A4.E261.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A4.E261.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">t</mi><mo id="A4.E261.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A4.E261.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mn id="A4.E261.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A4.E261.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><mo 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id="A4.E261.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="A4.E261.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">2</mn></mfrac><mo id="A4.E261.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A4.E261.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mfrac id="A4.E261.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A4.E261.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mn id="A4.E261.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A4.E261.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">3</mn><mi id="A4.E261.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A4.E261.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">t</mi></mfrac></mrow><mo id="A4.E261.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A4.E261.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mi id="A4.E261.m1.4.4.1.1.1.1.1.3" xref="A4.E261.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.cmml">t</mi></msup><mo id="A4.E261.m1.4.4.1.1.1.1.2" xref="A4.E261.m1.4.4.1.1.1.1.2.cmml">+</mo><msup id="A4.E261.m1.4.4.1.1.1.1.3" xref="A4.E261.m1.4.4.1.1.1.1.3.cmml"><mrow id="A4.E261.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.2" xref="A4.E261.m1.3.3.cmml"><mo id="A4.E261.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.2.1" xref="A4.E261.m1.3.3.cmml">(</mo><mfrac id="A4.E261.m1.3.3" 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xref="A4.E261.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.2"></divide><cn id="A4.E261.m1.3.3.2.cmml" type="integer" xref="A4.E261.m1.3.3.2">4</cn><apply id="A4.E261.m1.3.3.3.cmml" xref="A4.E261.m1.3.3.3"><root id="A4.E261.m1.3.3.3a.cmml" xref="A4.E261.m1.3.3.3"></root><ci id="A4.E261.m1.3.3.3.2.cmml" xref="A4.E261.m1.3.3.3.2">𝑡</ci></apply></apply><ci id="A4.E261.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A4.E261.m1.4.4.1.1.1.1.3.3">𝑡</ci></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A4.E261.m1.4c">\displaystyle d_{t}(x)\leq\frac{1}{2}e^{\frac{t(t-1)}{2}x^{2}}x^{\frac{t}{2}}t% ^{t}\left[\left(\frac{1}{2}+\frac{3}{t}\right)^{t}+\left(\frac{4}{\sqrt{t}}% \right)^{t}\right]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A4.E261.m1.4d">italic_d start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( italic_x ) ≤ divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 end_ARG italic_e start_POSTSUPERSCRIPT divide start_ARG italic_t ( italic_t - 1 ) end_ARG start_ARG 2 end_ARG italic_x start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT italic_x start_POSTSUPERSCRIPT divide start_ARG italic_t end_ARG start_ARG 2 end_ARG end_POSTSUPERSCRIPT italic_t start_POSTSUPERSCRIPT italic_t end_POSTSUPERSCRIPT [ ( divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 end_ARG + divide start_ARG 3 end_ARG start_ARG italic_t end_ARG ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_t end_POSTSUPERSCRIPT + ( divide start_ARG 4 end_ARG start_ARG square-root start_ARG italic_t end_ARG end_ARG ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_t end_POSTSUPERSCRIPT ]</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(261)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="A4.SS4.7.p1.2">Now, if we use the condition <math alttext="x=q^{-2}\leq t^{-2}" class="ltx_Math" display="inline" id="A4.SS4.7.p1.2.m1.1"><semantics id="A4.SS4.7.p1.2.m1.1a"><mrow id="A4.SS4.7.p1.2.m1.1.1" xref="A4.SS4.7.p1.2.m1.1.1.cmml"><mi id="A4.SS4.7.p1.2.m1.1.1.2" xref="A4.SS4.7.p1.2.m1.1.1.2.cmml">x</mi><mo id="A4.SS4.7.p1.2.m1.1.1.3" xref="A4.SS4.7.p1.2.m1.1.1.3.cmml">=</mo><msup id="A4.SS4.7.p1.2.m1.1.1.4" xref="A4.SS4.7.p1.2.m1.1.1.4.cmml"><mi id="A4.SS4.7.p1.2.m1.1.1.4.2" xref="A4.SS4.7.p1.2.m1.1.1.4.2.cmml">q</mi><mrow id="A4.SS4.7.p1.2.m1.1.1.4.3" xref="A4.SS4.7.p1.2.m1.1.1.4.3.cmml"><mo id="A4.SS4.7.p1.2.m1.1.1.4.3a" xref="A4.SS4.7.p1.2.m1.1.1.4.3.cmml">−</mo><mn id="A4.SS4.7.p1.2.m1.1.1.4.3.2" xref="A4.SS4.7.p1.2.m1.1.1.4.3.2.cmml">2</mn></mrow></msup><mo id="A4.SS4.7.p1.2.m1.1.1.5" xref="A4.SS4.7.p1.2.m1.1.1.5.cmml">≤</mo><msup id="A4.SS4.7.p1.2.m1.1.1.6" xref="A4.SS4.7.p1.2.m1.1.1.6.cmml"><mi id="A4.SS4.7.p1.2.m1.1.1.6.2" xref="A4.SS4.7.p1.2.m1.1.1.6.2.cmml">t</mi><mrow id="A4.SS4.7.p1.2.m1.1.1.6.3" xref="A4.SS4.7.p1.2.m1.1.1.6.3.cmml"><mo id="A4.SS4.7.p1.2.m1.1.1.6.3a" xref="A4.SS4.7.p1.2.m1.1.1.6.3.cmml">−</mo><mn id="A4.SS4.7.p1.2.m1.1.1.6.3.2" xref="A4.SS4.7.p1.2.m1.1.1.6.3.2.cmml">2</mn></mrow></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A4.SS4.7.p1.2.m1.1b"><apply id="A4.SS4.7.p1.2.m1.1.1.cmml" xref="A4.SS4.7.p1.2.m1.1.1"><and id="A4.SS4.7.p1.2.m1.1.1a.cmml" xref="A4.SS4.7.p1.2.m1.1.1"></and><apply id="A4.SS4.7.p1.2.m1.1.1b.cmml" xref="A4.SS4.7.p1.2.m1.1.1"><eq id="A4.SS4.7.p1.2.m1.1.1.3.cmml" xref="A4.SS4.7.p1.2.m1.1.1.3"></eq><ci id="A4.SS4.7.p1.2.m1.1.1.2.cmml" xref="A4.SS4.7.p1.2.m1.1.1.2">𝑥</ci><apply id="A4.SS4.7.p1.2.m1.1.1.4.cmml" xref="A4.SS4.7.p1.2.m1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.SS4.7.p1.2.m1.1.1.4.1.cmml" xref="A4.SS4.7.p1.2.m1.1.1.4">superscript</csymbol><ci id="A4.SS4.7.p1.2.m1.1.1.4.2.cmml" xref="A4.SS4.7.p1.2.m1.1.1.4.2">𝑞</ci><apply id="A4.SS4.7.p1.2.m1.1.1.4.3.cmml" xref="A4.SS4.7.p1.2.m1.1.1.4.3"><minus id="A4.SS4.7.p1.2.m1.1.1.4.3.1.cmml" xref="A4.SS4.7.p1.2.m1.1.1.4.3"></minus><cn id="A4.SS4.7.p1.2.m1.1.1.4.3.2.cmml" type="integer" xref="A4.SS4.7.p1.2.m1.1.1.4.3.2">2</cn></apply></apply></apply><apply id="A4.SS4.7.p1.2.m1.1.1c.cmml" xref="A4.SS4.7.p1.2.m1.1.1"><leq id="A4.SS4.7.p1.2.m1.1.1.5.cmml" xref="A4.SS4.7.p1.2.m1.1.1.5"></leq><share href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#A4.SS4.7.p1.2.m1.1.1.4.cmml" id="A4.SS4.7.p1.2.m1.1.1d.cmml" xref="A4.SS4.7.p1.2.m1.1.1"></share><apply id="A4.SS4.7.p1.2.m1.1.1.6.cmml" xref="A4.SS4.7.p1.2.m1.1.1.6"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.SS4.7.p1.2.m1.1.1.6.1.cmml" xref="A4.SS4.7.p1.2.m1.1.1.6">superscript</csymbol><ci id="A4.SS4.7.p1.2.m1.1.1.6.2.cmml" xref="A4.SS4.7.p1.2.m1.1.1.6.2">𝑡</ci><apply id="A4.SS4.7.p1.2.m1.1.1.6.3.cmml" xref="A4.SS4.7.p1.2.m1.1.1.6.3"><minus id="A4.SS4.7.p1.2.m1.1.1.6.3.1.cmml" xref="A4.SS4.7.p1.2.m1.1.1.6.3"></minus><cn id="A4.SS4.7.p1.2.m1.1.1.6.3.2.cmml" type="integer" xref="A4.SS4.7.p1.2.m1.1.1.6.3.2">2</cn></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A4.SS4.7.p1.2.m1.1c">x=q^{-2}\leq t^{-2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A4.SS4.7.p1.2.m1.1d">italic_x = italic_q start_POSTSUPERSCRIPT - 2 end_POSTSUPERSCRIPT ≤ italic_t start_POSTSUPERSCRIPT - 2 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>, we get</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="S6.EGx224"> <tbody id="A4.Ex103"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle d_{t}(q^{-2})" class="ltx_Math" display="inline" id="A4.Ex103.m1.1"><semantics id="A4.Ex103.m1.1a"><mrow id="A4.Ex103.m1.1.1" xref="A4.Ex103.m1.1.1.cmml"><msub id="A4.Ex103.m1.1.1.3" xref="A4.Ex103.m1.1.1.3.cmml"><mi id="A4.Ex103.m1.1.1.3.2" xref="A4.Ex103.m1.1.1.3.2.cmml">d</mi><mi id="A4.Ex103.m1.1.1.3.3" xref="A4.Ex103.m1.1.1.3.3.cmml">t</mi></msub><mo id="A4.Ex103.m1.1.1.2" xref="A4.Ex103.m1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A4.Ex103.m1.1.1.1.1" xref="A4.Ex103.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A4.Ex103.m1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A4.Ex103.m1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="A4.Ex103.m1.1.1.1.1.1" xref="A4.Ex103.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A4.Ex103.m1.1.1.1.1.1.2" xref="A4.Ex103.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">q</mi><mrow id="A4.Ex103.m1.1.1.1.1.1.3" xref="A4.Ex103.m1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="A4.Ex103.m1.1.1.1.1.1.3a" xref="A4.Ex103.m1.1.1.1.1.1.3.cmml">−</mo><mn id="A4.Ex103.m1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A4.Ex103.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">2</mn></mrow></msup><mo id="A4.Ex103.m1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A4.Ex103.m1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A4.Ex103.m1.1b"><apply id="A4.Ex103.m1.1.1.cmml" xref="A4.Ex103.m1.1.1"><times id="A4.Ex103.m1.1.1.2.cmml" xref="A4.Ex103.m1.1.1.2"></times><apply id="A4.Ex103.m1.1.1.3.cmml" xref="A4.Ex103.m1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.Ex103.m1.1.1.3.1.cmml" xref="A4.Ex103.m1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A4.Ex103.m1.1.1.3.2.cmml" xref="A4.Ex103.m1.1.1.3.2">𝑑</ci><ci id="A4.Ex103.m1.1.1.3.3.cmml" xref="A4.Ex103.m1.1.1.3.3">𝑡</ci></apply><apply id="A4.Ex103.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A4.Ex103.m1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.Ex103.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A4.Ex103.m1.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="A4.Ex103.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A4.Ex103.m1.1.1.1.1.1.2">𝑞</ci><apply id="A4.Ex103.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A4.Ex103.m1.1.1.1.1.1.3"><minus id="A4.Ex103.m1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A4.Ex103.m1.1.1.1.1.1.3"></minus><cn id="A4.Ex103.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="A4.Ex103.m1.1.1.1.1.1.3.2">2</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A4.Ex103.m1.1c">\displaystyle d_{t}(q^{-2})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A4.Ex103.m1.1d">italic_d start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( italic_q start_POSTSUPERSCRIPT - 2 end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\leq\frac{1}{2}e^{\frac{1}{2t^{2}}}\left(\frac{t}{q}\right)^{t}% \left[\left(\frac{1}{2}+\frac{3}{t}\right)^{t}+\left(\frac{4}{\sqrt{t}}\right)% ^{t}\right]" class="ltx_Math" display="inline" id="A4.Ex103.m2.3"><semantics id="A4.Ex103.m2.3a"><mrow id="A4.Ex103.m2.3.3" xref="A4.Ex103.m2.3.3.cmml"><mi id="A4.Ex103.m2.3.3.3" xref="A4.Ex103.m2.3.3.3.cmml"></mi><mo id="A4.Ex103.m2.3.3.2" xref="A4.Ex103.m2.3.3.2.cmml">≤</mo><mrow id="A4.Ex103.m2.3.3.1" xref="A4.Ex103.m2.3.3.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A4.Ex103.m2.3.3.1.3" xref="A4.Ex103.m2.3.3.1.3.cmml"><mfrac id="A4.Ex103.m2.3.3.1.3a" xref="A4.Ex103.m2.3.3.1.3.cmml"><mn id="A4.Ex103.m2.3.3.1.3.2" xref="A4.Ex103.m2.3.3.1.3.2.cmml">1</mn><mn id="A4.Ex103.m2.3.3.1.3.3" xref="A4.Ex103.m2.3.3.1.3.3.cmml">2</mn></mfrac></mstyle><mo id="A4.Ex103.m2.3.3.1.2" xref="A4.Ex103.m2.3.3.1.2.cmml">⁢</mo><msup id="A4.Ex103.m2.3.3.1.4" xref="A4.Ex103.m2.3.3.1.4.cmml"><mi id="A4.Ex103.m2.3.3.1.4.2" xref="A4.Ex103.m2.3.3.1.4.2.cmml">e</mi><mfrac id="A4.Ex103.m2.3.3.1.4.3" xref="A4.Ex103.m2.3.3.1.4.3.cmml"><mn id="A4.Ex103.m2.3.3.1.4.3.2" xref="A4.Ex103.m2.3.3.1.4.3.2.cmml">1</mn><mrow id="A4.Ex103.m2.3.3.1.4.3.3" xref="A4.Ex103.m2.3.3.1.4.3.3.cmml"><mn id="A4.Ex103.m2.3.3.1.4.3.3.2" xref="A4.Ex103.m2.3.3.1.4.3.3.2.cmml">2</mn><mo id="A4.Ex103.m2.3.3.1.4.3.3.1" xref="A4.Ex103.m2.3.3.1.4.3.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="A4.Ex103.m2.3.3.1.4.3.3.3" xref="A4.Ex103.m2.3.3.1.4.3.3.3.cmml"><mi id="A4.Ex103.m2.3.3.1.4.3.3.3.2" xref="A4.Ex103.m2.3.3.1.4.3.3.3.2.cmml">t</mi><mn id="A4.Ex103.m2.3.3.1.4.3.3.3.3" xref="A4.Ex103.m2.3.3.1.4.3.3.3.3.cmml">2</mn></msup></mrow></mfrac></msup><mo id="A4.Ex103.m2.3.3.1.2a" xref="A4.Ex103.m2.3.3.1.2.cmml">⁢</mo><msup id="A4.Ex103.m2.3.3.1.5" xref="A4.Ex103.m2.3.3.1.5.cmml"><mrow id="A4.Ex103.m2.3.3.1.5.2.2" xref="A4.Ex103.m2.1.1.cmml"><mo id="A4.Ex103.m2.3.3.1.5.2.2.1" xref="A4.Ex103.m2.1.1.cmml">(</mo><mstyle displaystyle="true" id="A4.Ex103.m2.1.1" xref="A4.Ex103.m2.1.1.cmml"><mfrac id="A4.Ex103.m2.1.1a" xref="A4.Ex103.m2.1.1.cmml"><mi id="A4.Ex103.m2.1.1.2" xref="A4.Ex103.m2.1.1.2.cmml">t</mi><mi id="A4.Ex103.m2.1.1.3" xref="A4.Ex103.m2.1.1.3.cmml">q</mi></mfrac></mstyle><mo id="A4.Ex103.m2.3.3.1.5.2.2.2" xref="A4.Ex103.m2.1.1.cmml">)</mo></mrow><mi id="A4.Ex103.m2.3.3.1.5.3" xref="A4.Ex103.m2.3.3.1.5.3.cmml">t</mi></msup><mo id="A4.Ex103.m2.3.3.1.2b" xref="A4.Ex103.m2.3.3.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A4.Ex103.m2.3.3.1.1.1" xref="A4.Ex103.m2.3.3.1.1.2.cmml"><mo id="A4.Ex103.m2.3.3.1.1.1.2" xref="A4.Ex103.m2.3.3.1.1.2.1.cmml">[</mo><mrow id="A4.Ex103.m2.3.3.1.1.1.1" xref="A4.Ex103.m2.3.3.1.1.1.1.cmml"><msup id="A4.Ex103.m2.3.3.1.1.1.1.1" xref="A4.Ex103.m2.3.3.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A4.Ex103.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1" xref="A4.Ex103.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A4.Ex103.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A4.Ex103.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A4.Ex103.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A4.Ex103.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A4.Ex103.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A4.Ex103.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mfrac id="A4.Ex103.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2a" xref="A4.Ex103.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mn id="A4.Ex103.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="A4.Ex103.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">1</mn><mn id="A4.Ex103.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="A4.Ex103.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">2</mn></mfrac></mstyle><mo id="A4.Ex103.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A4.Ex103.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mstyle displaystyle="true" id="A4.Ex103.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A4.Ex103.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mfrac id="A4.Ex103.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3a" xref="A4.Ex103.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mn id="A4.Ex103.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A4.Ex103.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">3</mn><mi id="A4.Ex103.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A4.Ex103.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">t</mi></mfrac></mstyle></mrow><mo id="A4.Ex103.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A4.Ex103.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mi id="A4.Ex103.m2.3.3.1.1.1.1.1.3" xref="A4.Ex103.m2.3.3.1.1.1.1.1.3.cmml">t</mi></msup><mo id="A4.Ex103.m2.3.3.1.1.1.1.2" xref="A4.Ex103.m2.3.3.1.1.1.1.2.cmml">+</mo><msup id="A4.Ex103.m2.3.3.1.1.1.1.3" xref="A4.Ex103.m2.3.3.1.1.1.1.3.cmml"><mrow id="A4.Ex103.m2.3.3.1.1.1.1.3.2.2" xref="A4.Ex103.m2.2.2.cmml"><mo id="A4.Ex103.m2.3.3.1.1.1.1.3.2.2.1" xref="A4.Ex103.m2.2.2.cmml">(</mo><mstyle displaystyle="true" id="A4.Ex103.m2.2.2" xref="A4.Ex103.m2.2.2.cmml"><mfrac id="A4.Ex103.m2.2.2a" xref="A4.Ex103.m2.2.2.cmml"><mn id="A4.Ex103.m2.2.2.2" xref="A4.Ex103.m2.2.2.2.cmml">4</mn><msqrt id="A4.Ex103.m2.2.2.3" xref="A4.Ex103.m2.2.2.3.cmml"><mi id="A4.Ex103.m2.2.2.3.2" xref="A4.Ex103.m2.2.2.3.2.cmml">t</mi></msqrt></mfrac></mstyle><mo id="A4.Ex103.m2.3.3.1.1.1.1.3.2.2.2" xref="A4.Ex103.m2.2.2.cmml">)</mo></mrow><mi id="A4.Ex103.m2.3.3.1.1.1.1.3.3" xref="A4.Ex103.m2.3.3.1.1.1.1.3.3.cmml">t</mi></msup></mrow><mo id="A4.Ex103.m2.3.3.1.1.1.3" xref="A4.Ex103.m2.3.3.1.1.2.1.cmml">]</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A4.Ex103.m2.3b"><apply id="A4.Ex103.m2.3.3.cmml" xref="A4.Ex103.m2.3.3"><leq id="A4.Ex103.m2.3.3.2.cmml" xref="A4.Ex103.m2.3.3.2"></leq><csymbol cd="latexml" id="A4.Ex103.m2.3.3.3.cmml" xref="A4.Ex103.m2.3.3.3">absent</csymbol><apply id="A4.Ex103.m2.3.3.1.cmml" xref="A4.Ex103.m2.3.3.1"><times id="A4.Ex103.m2.3.3.1.2.cmml" xref="A4.Ex103.m2.3.3.1.2"></times><apply id="A4.Ex103.m2.3.3.1.3.cmml" xref="A4.Ex103.m2.3.3.1.3"><divide id="A4.Ex103.m2.3.3.1.3.1.cmml" xref="A4.Ex103.m2.3.3.1.3"></divide><cn id="A4.Ex103.m2.3.3.1.3.2.cmml" type="integer" xref="A4.Ex103.m2.3.3.1.3.2">1</cn><cn id="A4.Ex103.m2.3.3.1.3.3.cmml" type="integer" xref="A4.Ex103.m2.3.3.1.3.3">2</cn></apply><apply id="A4.Ex103.m2.3.3.1.4.cmml" 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italic_t end_POSTSUPERSCRIPT ]</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="A4.E262"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\leq\frac{t^{2}}{2}e^{\frac{1}{2t^{2}}}\left[\left(\frac{1}{2}+% \frac{3}{t}\right)^{t}+\left(\frac{4}{\sqrt{t}}\right)^{t}\right]\left(\frac{t% }{q}\right)^{t-2}\frac{1}{q^{2}}" class="ltx_Math" display="inline" id="A4.E262.m1.3"><semantics id="A4.E262.m1.3a"><mrow id="A4.E262.m1.3.3" xref="A4.E262.m1.3.3.cmml"><mi id="A4.E262.m1.3.3.3" xref="A4.E262.m1.3.3.3.cmml"></mi><mo id="A4.E262.m1.3.3.2" xref="A4.E262.m1.3.3.2.cmml">≤</mo><mrow id="A4.E262.m1.3.3.1" xref="A4.E262.m1.3.3.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A4.E262.m1.3.3.1.3" xref="A4.E262.m1.3.3.1.3.cmml"><mfrac id="A4.E262.m1.3.3.1.3a" 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xref="A4.E262.m1.3.3.1.4.3.3.3.2.cmml">t</mi><mn id="A4.E262.m1.3.3.1.4.3.3.3.3" xref="A4.E262.m1.3.3.1.4.3.3.3.3.cmml">2</mn></msup></mrow></mfrac></msup><mo id="A4.E262.m1.3.3.1.2a" xref="A4.E262.m1.3.3.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A4.E262.m1.3.3.1.1.1" xref="A4.E262.m1.3.3.1.1.2.cmml"><mo id="A4.E262.m1.3.3.1.1.1.2" xref="A4.E262.m1.3.3.1.1.2.1.cmml">[</mo><mrow id="A4.E262.m1.3.3.1.1.1.1" xref="A4.E262.m1.3.3.1.1.1.1.cmml"><msup id="A4.E262.m1.3.3.1.1.1.1.1" xref="A4.E262.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A4.E262.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1" xref="A4.E262.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A4.E262.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A4.E262.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A4.E262.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A4.E262.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A4.E262.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A4.E262.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mfrac id="A4.E262.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2a" xref="A4.E262.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mn id="A4.E262.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="A4.E262.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">1</mn><mn id="A4.E262.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="A4.E262.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">2</mn></mfrac></mstyle><mo id="A4.E262.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A4.E262.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mstyle displaystyle="true" id="A4.E262.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A4.E262.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mfrac id="A4.E262.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3a" xref="A4.E262.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mn id="A4.E262.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A4.E262.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">3</mn><mi id="A4.E262.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A4.E262.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">t</mi></mfrac></mstyle></mrow><mo id="A4.E262.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A4.E262.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mi id="A4.E262.m1.3.3.1.1.1.1.1.3" xref="A4.E262.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.cmml">t</mi></msup><mo id="A4.E262.m1.3.3.1.1.1.1.2" xref="A4.E262.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml">+</mo><msup id="A4.E262.m1.3.3.1.1.1.1.3" xref="A4.E262.m1.3.3.1.1.1.1.3.cmml"><mrow id="A4.E262.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.2" xref="A4.E262.m1.1.1.cmml"><mo id="A4.E262.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.2.1" xref="A4.E262.m1.1.1.cmml">(</mo><mstyle displaystyle="true" id="A4.E262.m1.1.1" xref="A4.E262.m1.1.1.cmml"><mfrac id="A4.E262.m1.1.1a" xref="A4.E262.m1.1.1.cmml"><mn id="A4.E262.m1.1.1.2" xref="A4.E262.m1.1.1.2.cmml">4</mn><msqrt id="A4.E262.m1.1.1.3" xref="A4.E262.m1.1.1.3.cmml"><mi id="A4.E262.m1.1.1.3.2" xref="A4.E262.m1.1.1.3.2.cmml">t</mi></msqrt></mfrac></mstyle><mo id="A4.E262.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.2.2" xref="A4.E262.m1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mi id="A4.E262.m1.3.3.1.1.1.1.3.3" xref="A4.E262.m1.3.3.1.1.1.1.3.3.cmml">t</mi></msup></mrow><mo id="A4.E262.m1.3.3.1.1.1.3" xref="A4.E262.m1.3.3.1.1.2.1.cmml">]</mo></mrow><mo id="A4.E262.m1.3.3.1.2b" xref="A4.E262.m1.3.3.1.2.cmml">⁢</mo><msup id="A4.E262.m1.3.3.1.5" xref="A4.E262.m1.3.3.1.5.cmml"><mrow id="A4.E262.m1.3.3.1.5.2.2" xref="A4.E262.m1.2.2.cmml"><mo id="A4.E262.m1.3.3.1.5.2.2.1" xref="A4.E262.m1.2.2.cmml">(</mo><mstyle displaystyle="true" id="A4.E262.m1.2.2" xref="A4.E262.m1.2.2.cmml"><mfrac id="A4.E262.m1.2.2a" xref="A4.E262.m1.2.2.cmml"><mi id="A4.E262.m1.2.2.2" xref="A4.E262.m1.2.2.2.cmml">t</mi><mi id="A4.E262.m1.2.2.3" xref="A4.E262.m1.2.2.3.cmml">q</mi></mfrac></mstyle><mo id="A4.E262.m1.3.3.1.5.2.2.2" xref="A4.E262.m1.2.2.cmml">)</mo></mrow><mrow id="A4.E262.m1.3.3.1.5.3" xref="A4.E262.m1.3.3.1.5.3.cmml"><mi id="A4.E262.m1.3.3.1.5.3.2" xref="A4.E262.m1.3.3.1.5.3.2.cmml">t</mi><mo id="A4.E262.m1.3.3.1.5.3.1" xref="A4.E262.m1.3.3.1.5.3.1.cmml">−</mo><mn id="A4.E262.m1.3.3.1.5.3.3" xref="A4.E262.m1.3.3.1.5.3.3.cmml">2</mn></mrow></msup><mo id="A4.E262.m1.3.3.1.2c" xref="A4.E262.m1.3.3.1.2.cmml">⁢</mo><mstyle displaystyle="true" id="A4.E262.m1.3.3.1.6" xref="A4.E262.m1.3.3.1.6.cmml"><mfrac id="A4.E262.m1.3.3.1.6a" xref="A4.E262.m1.3.3.1.6.cmml"><mn id="A4.E262.m1.3.3.1.6.2" xref="A4.E262.m1.3.3.1.6.2.cmml">1</mn><msup id="A4.E262.m1.3.3.1.6.3" xref="A4.E262.m1.3.3.1.6.3.cmml"><mi id="A4.E262.m1.3.3.1.6.3.2" xref="A4.E262.m1.3.3.1.6.3.2.cmml">q</mi><mn id="A4.E262.m1.3.3.1.6.3.3" xref="A4.E262.m1.3.3.1.6.3.3.cmml">2</mn></msup></mfrac></mstyle></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A4.E262.m1.3b"><apply id="A4.E262.m1.3.3.cmml" xref="A4.E262.m1.3.3"><leq id="A4.E262.m1.3.3.2.cmml" xref="A4.E262.m1.3.3.2"></leq><csymbol cd="latexml" id="A4.E262.m1.3.3.3.cmml" xref="A4.E262.m1.3.3.3">absent</csymbol><apply id="A4.E262.m1.3.3.1.cmml" xref="A4.E262.m1.3.3.1"><times id="A4.E262.m1.3.3.1.2.cmml" xref="A4.E262.m1.3.3.1.2"></times><apply id="A4.E262.m1.3.3.1.3.cmml" xref="A4.E262.m1.3.3.1.3"><divide id="A4.E262.m1.3.3.1.3.1.cmml" xref="A4.E262.m1.3.3.1.3"></divide><apply id="A4.E262.m1.3.3.1.3.2.cmml" xref="A4.E262.m1.3.3.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.E262.m1.3.3.1.3.2.1.cmml" xref="A4.E262.m1.3.3.1.3.2">superscript</csymbol><ci id="A4.E262.m1.3.3.1.3.2.2.cmml" 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xref="A4.E262.m1.3.3.1.5.2.2"></divide><ci id="A4.E262.m1.2.2.2.cmml" xref="A4.E262.m1.2.2.2">𝑡</ci><ci id="A4.E262.m1.2.2.3.cmml" xref="A4.E262.m1.2.2.3">𝑞</ci></apply><apply id="A4.E262.m1.3.3.1.5.3.cmml" xref="A4.E262.m1.3.3.1.5.3"><minus id="A4.E262.m1.3.3.1.5.3.1.cmml" xref="A4.E262.m1.3.3.1.5.3.1"></minus><ci id="A4.E262.m1.3.3.1.5.3.2.cmml" xref="A4.E262.m1.3.3.1.5.3.2">𝑡</ci><cn id="A4.E262.m1.3.3.1.5.3.3.cmml" type="integer" xref="A4.E262.m1.3.3.1.5.3.3">2</cn></apply></apply><apply id="A4.E262.m1.3.3.1.6.cmml" xref="A4.E262.m1.3.3.1.6"><divide id="A4.E262.m1.3.3.1.6.1.cmml" xref="A4.E262.m1.3.3.1.6"></divide><cn id="A4.E262.m1.3.3.1.6.2.cmml" type="integer" xref="A4.E262.m1.3.3.1.6.2">1</cn><apply id="A4.E262.m1.3.3.1.6.3.cmml" xref="A4.E262.m1.3.3.1.6.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.E262.m1.3.3.1.6.3.1.cmml" xref="A4.E262.m1.3.3.1.6.3">superscript</csymbol><ci id="A4.E262.m1.3.3.1.6.3.2.cmml" xref="A4.E262.m1.3.3.1.6.3.2">𝑞</ci><cn id="A4.E262.m1.3.3.1.6.3.3.cmml" type="integer" xref="A4.E262.m1.3.3.1.6.3.3">2</cn></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A4.E262.m1.3c">\displaystyle\leq\frac{t^{2}}{2}e^{\frac{1}{2t^{2}}}\left[\left(\frac{1}{2}+% \frac{3}{t}\right)^{t}+\left(\frac{4}{\sqrt{t}}\right)^{t}\right]\left(\frac{t% }{q}\right)^{t-2}\frac{1}{q^{2}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A4.E262.m1.3d">≤ divide start_ARG italic_t start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG 2 end_ARG italic_e start_POSTSUPERSCRIPT divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 italic_t start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG end_POSTSUPERSCRIPT [ ( divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 end_ARG + divide start_ARG 3 end_ARG start_ARG italic_t end_ARG ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_t end_POSTSUPERSCRIPT + ( divide start_ARG 4 end_ARG start_ARG square-root start_ARG italic_t end_ARG end_ARG ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_t end_POSTSUPERSCRIPT ] ( divide start_ARG italic_t end_ARG start_ARG italic_q end_ARG ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_t - 2 end_POSTSUPERSCRIPT divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_q start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(262)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="A4.SS4.7.p1.4">as desired. ∎</p> </div> </div> <div class="ltx_para" id="A4.SS4.p3"> <p class="ltx_p" id="A4.SS4.p3.2">Finally, we will also show that the <math alttext="t=2" class="ltx_Math" display="inline" id="A4.SS4.p3.1.m1.1"><semantics id="A4.SS4.p3.1.m1.1a"><mrow id="A4.SS4.p3.1.m1.1.1" xref="A4.SS4.p3.1.m1.1.1.cmml"><mi id="A4.SS4.p3.1.m1.1.1.2" xref="A4.SS4.p3.1.m1.1.1.2.cmml">t</mi><mo id="A4.SS4.p3.1.m1.1.1.1" xref="A4.SS4.p3.1.m1.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="A4.SS4.p3.1.m1.1.1.3" xref="A4.SS4.p3.1.m1.1.1.3.cmml">2</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A4.SS4.p3.1.m1.1b"><apply id="A4.SS4.p3.1.m1.1.1.cmml" xref="A4.SS4.p3.1.m1.1.1"><eq id="A4.SS4.p3.1.m1.1.1.1.cmml" xref="A4.SS4.p3.1.m1.1.1.1"></eq><ci id="A4.SS4.p3.1.m1.1.1.2.cmml" xref="A4.SS4.p3.1.m1.1.1.2">𝑡</ci><cn id="A4.SS4.p3.1.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A4.SS4.p3.1.m1.1.1.3">2</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A4.SS4.p3.1.m1.1c">t=2</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A4.SS4.p3.1.m1.1d">italic_t = 2</annotation></semantics></math> eigenvalue dominates for sufficiently large <math alttext="t" class="ltx_Math" display="inline" id="A4.SS4.p3.2.m2.1"><semantics id="A4.SS4.p3.2.m2.1a"><mi id="A4.SS4.p3.2.m2.1.1" xref="A4.SS4.p3.2.m2.1.1.cmml">t</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A4.SS4.p3.2.m2.1b"><ci id="A4.SS4.p3.2.m2.1.1.cmml" xref="A4.SS4.p3.2.m2.1.1">𝑡</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A4.SS4.p3.2.m2.1c">t</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A4.SS4.p3.2.m2.1d">italic_t</annotation></semantics></math>.</p> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_lemma" id="Thmtheorem65"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmtheorem65.1.1.1">Lemma 65</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmtheorem65.2.2">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="Thmtheorem65.p1"> <p class="ltx_p" id="Thmtheorem65.p1.1"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmtheorem65.p1.1.1">Let <math alttext="29\leq t\leq q" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem65.p1.1.1.m1.1"><semantics id="Thmtheorem65.p1.1.1.m1.1a"><mrow id="Thmtheorem65.p1.1.1.m1.1.1" xref="Thmtheorem65.p1.1.1.m1.1.1.cmml"><mn id="Thmtheorem65.p1.1.1.m1.1.1.2" xref="Thmtheorem65.p1.1.1.m1.1.1.2.cmml">29</mn><mo id="Thmtheorem65.p1.1.1.m1.1.1.3" xref="Thmtheorem65.p1.1.1.m1.1.1.3.cmml">≤</mo><mi id="Thmtheorem65.p1.1.1.m1.1.1.4" xref="Thmtheorem65.p1.1.1.m1.1.1.4.cmml">t</mi><mo id="Thmtheorem65.p1.1.1.m1.1.1.5" xref="Thmtheorem65.p1.1.1.m1.1.1.5.cmml">≤</mo><mi id="Thmtheorem65.p1.1.1.m1.1.1.6" xref="Thmtheorem65.p1.1.1.m1.1.1.6.cmml">q</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem65.p1.1.1.m1.1b"><apply id="Thmtheorem65.p1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem65.p1.1.1.m1.1.1"><and id="Thmtheorem65.p1.1.1.m1.1.1a.cmml" xref="Thmtheorem65.p1.1.1.m1.1.1"></and><apply id="Thmtheorem65.p1.1.1.m1.1.1b.cmml" xref="Thmtheorem65.p1.1.1.m1.1.1"><leq id="Thmtheorem65.p1.1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="Thmtheorem65.p1.1.1.m1.1.1.3"></leq><cn id="Thmtheorem65.p1.1.1.m1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="Thmtheorem65.p1.1.1.m1.1.1.2">29</cn><ci id="Thmtheorem65.p1.1.1.m1.1.1.4.cmml" xref="Thmtheorem65.p1.1.1.m1.1.1.4">𝑡</ci></apply><apply id="Thmtheorem65.p1.1.1.m1.1.1c.cmml" xref="Thmtheorem65.p1.1.1.m1.1.1"><leq id="Thmtheorem65.p1.1.1.m1.1.1.5.cmml" xref="Thmtheorem65.p1.1.1.m1.1.1.5"></leq><share href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#Thmtheorem65.p1.1.1.m1.1.1.4.cmml" id="Thmtheorem65.p1.1.1.m1.1.1d.cmml" xref="Thmtheorem65.p1.1.1.m1.1.1"></share><ci id="Thmtheorem65.p1.1.1.m1.1.1.6.cmml" xref="Thmtheorem65.p1.1.1.m1.1.1.6">𝑞</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem65.p1.1.1.m1.1c">29\leq t\leq q</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem65.p1.1.1.m1.1d">29 ≤ italic_t ≤ italic_q</annotation></semantics></math>. Then</span></p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_gather ltx_eqn_table" id="S6.EGx225"> <tbody id="A4.E263"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\displaystyle d_{t}(q^{-2})\leq\frac{1}{e^{2}(q^{2}+1)}" class="ltx_Math" display="block" id="A4.E263.m1.2"><semantics id="A4.E263.m1.2a"><mrow id="A4.E263.m1.2.2" xref="A4.E263.m1.2.2.cmml"><mrow id="A4.E263.m1.2.2.1" xref="A4.E263.m1.2.2.1.cmml"><msub id="A4.E263.m1.2.2.1.3" xref="A4.E263.m1.2.2.1.3.cmml"><mi id="A4.E263.m1.2.2.1.3.2" xref="A4.E263.m1.2.2.1.3.2.cmml">d</mi><mi id="A4.E263.m1.2.2.1.3.3" xref="A4.E263.m1.2.2.1.3.3.cmml">t</mi></msub><mo id="A4.E263.m1.2.2.1.2" xref="A4.E263.m1.2.2.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A4.E263.m1.2.2.1.1.1" xref="A4.E263.m1.2.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="A4.E263.m1.2.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A4.E263.m1.2.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="A4.E263.m1.2.2.1.1.1.1" xref="A4.E263.m1.2.2.1.1.1.1.cmml"><mi id="A4.E263.m1.2.2.1.1.1.1.2" xref="A4.E263.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml">q</mi><mrow id="A4.E263.m1.2.2.1.1.1.1.3" xref="A4.E263.m1.2.2.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="A4.E263.m1.2.2.1.1.1.1.3a" xref="A4.E263.m1.2.2.1.1.1.1.3.cmml">−</mo><mn id="A4.E263.m1.2.2.1.1.1.1.3.2" xref="A4.E263.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.cmml">2</mn></mrow></msup><mo id="A4.E263.m1.2.2.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A4.E263.m1.2.2.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A4.E263.m1.2.2.2" xref="A4.E263.m1.2.2.2.cmml">≤</mo><mfrac id="A4.E263.m1.1.1" xref="A4.E263.m1.1.1.cmml"><mn id="A4.E263.m1.1.1.3" xref="A4.E263.m1.1.1.3.cmml">1</mn><mrow id="A4.E263.m1.1.1.1" xref="A4.E263.m1.1.1.1.cmml"><msup id="A4.E263.m1.1.1.1.3" xref="A4.E263.m1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A4.E263.m1.1.1.1.3.2" xref="A4.E263.m1.1.1.1.3.2.cmml">e</mi><mn id="A4.E263.m1.1.1.1.3.3" xref="A4.E263.m1.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></msup><mo id="A4.E263.m1.1.1.1.2" xref="A4.E263.m1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A4.E263.m1.1.1.1.1.1" xref="A4.E263.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A4.E263.m1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A4.E263.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A4.E263.m1.1.1.1.1.1.1" xref="A4.E263.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msup id="A4.E263.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A4.E263.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="A4.E263.m1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="A4.E263.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">q</mi><mn id="A4.E263.m1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="A4.E263.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">2</mn></msup><mo id="A4.E263.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A4.E263.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mn id="A4.E263.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A4.E263.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="A4.E263.m1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A4.E263.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mfrac></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A4.E263.m1.2b"><apply id="A4.E263.m1.2.2.cmml" xref="A4.E263.m1.2.2"><leq id="A4.E263.m1.2.2.2.cmml" xref="A4.E263.m1.2.2.2"></leq><apply id="A4.E263.m1.2.2.1.cmml" xref="A4.E263.m1.2.2.1"><times id="A4.E263.m1.2.2.1.2.cmml" xref="A4.E263.m1.2.2.1.2"></times><apply id="A4.E263.m1.2.2.1.3.cmml" xref="A4.E263.m1.2.2.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.E263.m1.2.2.1.3.1.cmml" xref="A4.E263.m1.2.2.1.3">subscript</csymbol><ci id="A4.E263.m1.2.2.1.3.2.cmml" xref="A4.E263.m1.2.2.1.3.2">𝑑</ci><ci id="A4.E263.m1.2.2.1.3.3.cmml" xref="A4.E263.m1.2.2.1.3.3">𝑡</ci></apply><apply id="A4.E263.m1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="A4.E263.m1.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.E263.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="A4.E263.m1.2.2.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="A4.E263.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="A4.E263.m1.2.2.1.1.1.1.2">𝑞</ci><apply id="A4.E263.m1.2.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="A4.E263.m1.2.2.1.1.1.1.3"><minus id="A4.E263.m1.2.2.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A4.E263.m1.2.2.1.1.1.1.3"></minus><cn id="A4.E263.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="A4.E263.m1.2.2.1.1.1.1.3.2">2</cn></apply></apply></apply><apply id="A4.E263.m1.1.1.cmml" xref="A4.E263.m1.1.1"><divide id="A4.E263.m1.1.1.2.cmml" xref="A4.E263.m1.1.1"></divide><cn id="A4.E263.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A4.E263.m1.1.1.3">1</cn><apply id="A4.E263.m1.1.1.1.cmml" xref="A4.E263.m1.1.1.1"><times id="A4.E263.m1.1.1.1.2.cmml" xref="A4.E263.m1.1.1.1.2"></times><apply id="A4.E263.m1.1.1.1.3.cmml" xref="A4.E263.m1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.E263.m1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A4.E263.m1.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="A4.E263.m1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A4.E263.m1.1.1.1.3.2">𝑒</ci><cn id="A4.E263.m1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="A4.E263.m1.1.1.1.3.3">2</cn></apply><apply id="A4.E263.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A4.E263.m1.1.1.1.1.1"><plus id="A4.E263.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A4.E263.m1.1.1.1.1.1.1.1"></plus><apply id="A4.E263.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A4.E263.m1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.E263.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A4.E263.m1.1.1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="A4.E263.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A4.E263.m1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝑞</ci><cn id="A4.E263.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="A4.E263.m1.1.1.1.1.1.1.2.3">2</cn></apply><cn id="A4.E263.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A4.E263.m1.1.1.1.1.1.1.3">1</cn></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A4.E263.m1.2c">\displaystyle d_{t}(q^{-2})\leq\frac{1}{e^{2}(q^{2}+1)}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A4.E263.m1.2d">italic_d start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( italic_q start_POSTSUPERSCRIPT - 2 end_POSTSUPERSCRIPT ) ≤ divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_e start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_q start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + 1 ) end_ARG</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(263)</span></td> </tr></tbody> </table> </div> </div> <div class="ltx_proof" id="A4.SS4.8"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_font_italic ltx_title_proof">Proof.</h6> <div class="ltx_para" id="A4.SS4.8.p1"> <p class="ltx_p" id="A4.SS4.8.p1.6">We begin with Lemma <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#Thmtheorem44" title="Lemma 44. ‣ VI.1 Bounds by factorization of 𝐾_𝑚 ‣ VI Bounding the complete derangement block ‣ Conditional 𝑡-independent spectral gap for random quantum circuits and implications for 𝑡-design depths"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">44</span></a>. Writing the bound as <math alttext="\tilde{d}(t)\left(\frac{t}{q}\right)^{t-2}\frac{1}{q^{2}}" class="ltx_Math" display="inline" id="A4.SS4.8.p1.1.m1.2"><semantics id="A4.SS4.8.p1.1.m1.2a"><mrow id="A4.SS4.8.p1.1.m1.2.3" xref="A4.SS4.8.p1.1.m1.2.3.cmml"><mover accent="true" id="A4.SS4.8.p1.1.m1.2.3.2" xref="A4.SS4.8.p1.1.m1.2.3.2.cmml"><mi id="A4.SS4.8.p1.1.m1.2.3.2.2" xref="A4.SS4.8.p1.1.m1.2.3.2.2.cmml">d</mi><mo id="A4.SS4.8.p1.1.m1.2.3.2.1" xref="A4.SS4.8.p1.1.m1.2.3.2.1.cmml">~</mo></mover><mo id="A4.SS4.8.p1.1.m1.2.3.1" xref="A4.SS4.8.p1.1.m1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A4.SS4.8.p1.1.m1.2.3.3.2" xref="A4.SS4.8.p1.1.m1.2.3.cmml"><mo id="A4.SS4.8.p1.1.m1.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="A4.SS4.8.p1.1.m1.2.3.cmml">(</mo><mi id="A4.SS4.8.p1.1.m1.1.1" xref="A4.SS4.8.p1.1.m1.1.1.cmml">t</mi><mo id="A4.SS4.8.p1.1.m1.2.3.3.2.2" stretchy="false" xref="A4.SS4.8.p1.1.m1.2.3.cmml">)</mo></mrow><mo id="A4.SS4.8.p1.1.m1.2.3.1a" xref="A4.SS4.8.p1.1.m1.2.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="A4.SS4.8.p1.1.m1.2.3.4" xref="A4.SS4.8.p1.1.m1.2.3.4.cmml"><mrow id="A4.SS4.8.p1.1.m1.2.3.4.2.2" xref="A4.SS4.8.p1.1.m1.2.2.cmml"><mo id="A4.SS4.8.p1.1.m1.2.3.4.2.2.1" xref="A4.SS4.8.p1.1.m1.2.2.cmml">(</mo><mfrac id="A4.SS4.8.p1.1.m1.2.2" xref="A4.SS4.8.p1.1.m1.2.2.cmml"><mi id="A4.SS4.8.p1.1.m1.2.2.2" xref="A4.SS4.8.p1.1.m1.2.2.2.cmml">t</mi><mi id="A4.SS4.8.p1.1.m1.2.2.3" xref="A4.SS4.8.p1.1.m1.2.2.3.cmml">q</mi></mfrac><mo id="A4.SS4.8.p1.1.m1.2.3.4.2.2.2" xref="A4.SS4.8.p1.1.m1.2.2.cmml">)</mo></mrow><mrow id="A4.SS4.8.p1.1.m1.2.3.4.3" xref="A4.SS4.8.p1.1.m1.2.3.4.3.cmml"><mi id="A4.SS4.8.p1.1.m1.2.3.4.3.2" xref="A4.SS4.8.p1.1.m1.2.3.4.3.2.cmml">t</mi><mo id="A4.SS4.8.p1.1.m1.2.3.4.3.1" xref="A4.SS4.8.p1.1.m1.2.3.4.3.1.cmml">−</mo><mn id="A4.SS4.8.p1.1.m1.2.3.4.3.3" xref="A4.SS4.8.p1.1.m1.2.3.4.3.3.cmml">2</mn></mrow></msup><mo id="A4.SS4.8.p1.1.m1.2.3.1b" xref="A4.SS4.8.p1.1.m1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mfrac id="A4.SS4.8.p1.1.m1.2.3.5" xref="A4.SS4.8.p1.1.m1.2.3.5.cmml"><mn id="A4.SS4.8.p1.1.m1.2.3.5.2" xref="A4.SS4.8.p1.1.m1.2.3.5.2.cmml">1</mn><msup id="A4.SS4.8.p1.1.m1.2.3.5.3" xref="A4.SS4.8.p1.1.m1.2.3.5.3.cmml"><mi id="A4.SS4.8.p1.1.m1.2.3.5.3.2" xref="A4.SS4.8.p1.1.m1.2.3.5.3.2.cmml">q</mi><mn id="A4.SS4.8.p1.1.m1.2.3.5.3.3" xref="A4.SS4.8.p1.1.m1.2.3.5.3.3.cmml">2</mn></msup></mfrac></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A4.SS4.8.p1.1.m1.2b"><apply id="A4.SS4.8.p1.1.m1.2.3.cmml" xref="A4.SS4.8.p1.1.m1.2.3"><times id="A4.SS4.8.p1.1.m1.2.3.1.cmml" xref="A4.SS4.8.p1.1.m1.2.3.1"></times><apply id="A4.SS4.8.p1.1.m1.2.3.2.cmml" xref="A4.SS4.8.p1.1.m1.2.3.2"><ci id="A4.SS4.8.p1.1.m1.2.3.2.1.cmml" xref="A4.SS4.8.p1.1.m1.2.3.2.1">~</ci><ci id="A4.SS4.8.p1.1.m1.2.3.2.2.cmml" xref="A4.SS4.8.p1.1.m1.2.3.2.2">𝑑</ci></apply><ci id="A4.SS4.8.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="A4.SS4.8.p1.1.m1.1.1">𝑡</ci><apply id="A4.SS4.8.p1.1.m1.2.3.4.cmml" xref="A4.SS4.8.p1.1.m1.2.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.SS4.8.p1.1.m1.2.3.4.1.cmml" xref="A4.SS4.8.p1.1.m1.2.3.4">superscript</csymbol><apply id="A4.SS4.8.p1.1.m1.2.2.cmml" xref="A4.SS4.8.p1.1.m1.2.3.4.2.2"><divide id="A4.SS4.8.p1.1.m1.2.2.1.cmml" xref="A4.SS4.8.p1.1.m1.2.3.4.2.2"></divide><ci id="A4.SS4.8.p1.1.m1.2.2.2.cmml" xref="A4.SS4.8.p1.1.m1.2.2.2">𝑡</ci><ci id="A4.SS4.8.p1.1.m1.2.2.3.cmml" xref="A4.SS4.8.p1.1.m1.2.2.3">𝑞</ci></apply><apply id="A4.SS4.8.p1.1.m1.2.3.4.3.cmml" xref="A4.SS4.8.p1.1.m1.2.3.4.3"><minus id="A4.SS4.8.p1.1.m1.2.3.4.3.1.cmml" xref="A4.SS4.8.p1.1.m1.2.3.4.3.1"></minus><ci id="A4.SS4.8.p1.1.m1.2.3.4.3.2.cmml" xref="A4.SS4.8.p1.1.m1.2.3.4.3.2">𝑡</ci><cn id="A4.SS4.8.p1.1.m1.2.3.4.3.3.cmml" type="integer" xref="A4.SS4.8.p1.1.m1.2.3.4.3.3">2</cn></apply></apply><apply id="A4.SS4.8.p1.1.m1.2.3.5.cmml" xref="A4.SS4.8.p1.1.m1.2.3.5"><divide id="A4.SS4.8.p1.1.m1.2.3.5.1.cmml" xref="A4.SS4.8.p1.1.m1.2.3.5"></divide><cn id="A4.SS4.8.p1.1.m1.2.3.5.2.cmml" type="integer" xref="A4.SS4.8.p1.1.m1.2.3.5.2">1</cn><apply id="A4.SS4.8.p1.1.m1.2.3.5.3.cmml" xref="A4.SS4.8.p1.1.m1.2.3.5.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.SS4.8.p1.1.m1.2.3.5.3.1.cmml" xref="A4.SS4.8.p1.1.m1.2.3.5.3">superscript</csymbol><ci id="A4.SS4.8.p1.1.m1.2.3.5.3.2.cmml" xref="A4.SS4.8.p1.1.m1.2.3.5.3.2">𝑞</ci><cn id="A4.SS4.8.p1.1.m1.2.3.5.3.3.cmml" type="integer" xref="A4.SS4.8.p1.1.m1.2.3.5.3.3">2</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A4.SS4.8.p1.1.m1.2c">\tilde{d}(t)\left(\frac{t}{q}\right)^{t-2}\frac{1}{q^{2}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A4.SS4.8.p1.1.m1.2d">over~ start_ARG italic_d end_ARG ( italic_t ) ( divide start_ARG italic_t end_ARG start_ARG italic_q end_ARG ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_t - 2 end_POSTSUPERSCRIPT divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_q start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG</annotation></semantics></math>, we have <math alttext="\tilde{d}(29)=0.076<0.108\leq\frac{q^{2}}{e^{2}(q^{2}+1)}" class="ltx_Math" display="inline" id="A4.SS4.8.p1.2.m2.2"><semantics id="A4.SS4.8.p1.2.m2.2a"><mrow id="A4.SS4.8.p1.2.m2.2.3" xref="A4.SS4.8.p1.2.m2.2.3.cmml"><mrow id="A4.SS4.8.p1.2.m2.2.3.2" xref="A4.SS4.8.p1.2.m2.2.3.2.cmml"><mover accent="true" id="A4.SS4.8.p1.2.m2.2.3.2.2" xref="A4.SS4.8.p1.2.m2.2.3.2.2.cmml"><mi id="A4.SS4.8.p1.2.m2.2.3.2.2.2" xref="A4.SS4.8.p1.2.m2.2.3.2.2.2.cmml">d</mi><mo id="A4.SS4.8.p1.2.m2.2.3.2.2.1" xref="A4.SS4.8.p1.2.m2.2.3.2.2.1.cmml">~</mo></mover><mo id="A4.SS4.8.p1.2.m2.2.3.2.1" xref="A4.SS4.8.p1.2.m2.2.3.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A4.SS4.8.p1.2.m2.2.3.2.3.2" xref="A4.SS4.8.p1.2.m2.2.3.2.cmml"><mo id="A4.SS4.8.p1.2.m2.2.3.2.3.2.1" stretchy="false" xref="A4.SS4.8.p1.2.m2.2.3.2.cmml">(</mo><mn id="A4.SS4.8.p1.2.m2.2.2" xref="A4.SS4.8.p1.2.m2.2.2.cmml">29</mn><mo id="A4.SS4.8.p1.2.m2.2.3.2.3.2.2" stretchy="false" xref="A4.SS4.8.p1.2.m2.2.3.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A4.SS4.8.p1.2.m2.2.3.3" xref="A4.SS4.8.p1.2.m2.2.3.3.cmml">=</mo><mn id="A4.SS4.8.p1.2.m2.2.3.4" xref="A4.SS4.8.p1.2.m2.2.3.4.cmml">0.076</mn><mo id="A4.SS4.8.p1.2.m2.2.3.5" xref="A4.SS4.8.p1.2.m2.2.3.5.cmml"><</mo><mn id="A4.SS4.8.p1.2.m2.2.3.6" xref="A4.SS4.8.p1.2.m2.2.3.6.cmml">0.108</mn><mo id="A4.SS4.8.p1.2.m2.2.3.7" xref="A4.SS4.8.p1.2.m2.2.3.7.cmml">≤</mo><mfrac id="A4.SS4.8.p1.2.m2.1.1" xref="A4.SS4.8.p1.2.m2.1.1.cmml"><msup id="A4.SS4.8.p1.2.m2.1.1.3" xref="A4.SS4.8.p1.2.m2.1.1.3.cmml"><mi id="A4.SS4.8.p1.2.m2.1.1.3.2" xref="A4.SS4.8.p1.2.m2.1.1.3.2.cmml">q</mi><mn id="A4.SS4.8.p1.2.m2.1.1.3.3" xref="A4.SS4.8.p1.2.m2.1.1.3.3.cmml">2</mn></msup><mrow id="A4.SS4.8.p1.2.m2.1.1.1" xref="A4.SS4.8.p1.2.m2.1.1.1.cmml"><msup id="A4.SS4.8.p1.2.m2.1.1.1.3" xref="A4.SS4.8.p1.2.m2.1.1.1.3.cmml"><mi id="A4.SS4.8.p1.2.m2.1.1.1.3.2" xref="A4.SS4.8.p1.2.m2.1.1.1.3.2.cmml">e</mi><mn id="A4.SS4.8.p1.2.m2.1.1.1.3.3" xref="A4.SS4.8.p1.2.m2.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></msup><mo id="A4.SS4.8.p1.2.m2.1.1.1.2" xref="A4.SS4.8.p1.2.m2.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A4.SS4.8.p1.2.m2.1.1.1.1.1" xref="A4.SS4.8.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A4.SS4.8.p1.2.m2.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A4.SS4.8.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A4.SS4.8.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1" xref="A4.SS4.8.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.cmml"><msup id="A4.SS4.8.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.2" xref="A4.SS4.8.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="A4.SS4.8.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="A4.SS4.8.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">q</mi><mn id="A4.SS4.8.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="A4.SS4.8.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">2</mn></msup><mo id="A4.SS4.8.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.1" xref="A4.SS4.8.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mn id="A4.SS4.8.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.3" xref="A4.SS4.8.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="A4.SS4.8.p1.2.m2.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A4.SS4.8.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mfrac></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A4.SS4.8.p1.2.m2.2b"><apply id="A4.SS4.8.p1.2.m2.2.3.cmml" xref="A4.SS4.8.p1.2.m2.2.3"><and id="A4.SS4.8.p1.2.m2.2.3a.cmml" xref="A4.SS4.8.p1.2.m2.2.3"></and><apply id="A4.SS4.8.p1.2.m2.2.3b.cmml" xref="A4.SS4.8.p1.2.m2.2.3"><eq id="A4.SS4.8.p1.2.m2.2.3.3.cmml" xref="A4.SS4.8.p1.2.m2.2.3.3"></eq><apply id="A4.SS4.8.p1.2.m2.2.3.2.cmml" xref="A4.SS4.8.p1.2.m2.2.3.2"><times id="A4.SS4.8.p1.2.m2.2.3.2.1.cmml" xref="A4.SS4.8.p1.2.m2.2.3.2.1"></times><apply id="A4.SS4.8.p1.2.m2.2.3.2.2.cmml" xref="A4.SS4.8.p1.2.m2.2.3.2.2"><ci id="A4.SS4.8.p1.2.m2.2.3.2.2.1.cmml" xref="A4.SS4.8.p1.2.m2.2.3.2.2.1">~</ci><ci id="A4.SS4.8.p1.2.m2.2.3.2.2.2.cmml" xref="A4.SS4.8.p1.2.m2.2.3.2.2.2">𝑑</ci></apply><cn id="A4.SS4.8.p1.2.m2.2.2.cmml" type="integer" xref="A4.SS4.8.p1.2.m2.2.2">29</cn></apply><cn id="A4.SS4.8.p1.2.m2.2.3.4.cmml" type="float" xref="A4.SS4.8.p1.2.m2.2.3.4">0.076</cn></apply><apply id="A4.SS4.8.p1.2.m2.2.3c.cmml" xref="A4.SS4.8.p1.2.m2.2.3"><lt id="A4.SS4.8.p1.2.m2.2.3.5.cmml" xref="A4.SS4.8.p1.2.m2.2.3.5"></lt><share href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#A4.SS4.8.p1.2.m2.2.3.4.cmml" id="A4.SS4.8.p1.2.m2.2.3d.cmml" xref="A4.SS4.8.p1.2.m2.2.3"></share><cn id="A4.SS4.8.p1.2.m2.2.3.6.cmml" type="float" xref="A4.SS4.8.p1.2.m2.2.3.6">0.108</cn></apply><apply id="A4.SS4.8.p1.2.m2.2.3e.cmml" xref="A4.SS4.8.p1.2.m2.2.3"><leq id="A4.SS4.8.p1.2.m2.2.3.7.cmml" xref="A4.SS4.8.p1.2.m2.2.3.7"></leq><share href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#A4.SS4.8.p1.2.m2.2.3.6.cmml" id="A4.SS4.8.p1.2.m2.2.3f.cmml" xref="A4.SS4.8.p1.2.m2.2.3"></share><apply id="A4.SS4.8.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="A4.SS4.8.p1.2.m2.1.1"><divide id="A4.SS4.8.p1.2.m2.1.1.2.cmml" xref="A4.SS4.8.p1.2.m2.1.1"></divide><apply id="A4.SS4.8.p1.2.m2.1.1.3.cmml" xref="A4.SS4.8.p1.2.m2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.SS4.8.p1.2.m2.1.1.3.1.cmml" xref="A4.SS4.8.p1.2.m2.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="A4.SS4.8.p1.2.m2.1.1.3.2.cmml" xref="A4.SS4.8.p1.2.m2.1.1.3.2">𝑞</ci><cn id="A4.SS4.8.p1.2.m2.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="A4.SS4.8.p1.2.m2.1.1.3.3">2</cn></apply><apply id="A4.SS4.8.p1.2.m2.1.1.1.cmml" xref="A4.SS4.8.p1.2.m2.1.1.1"><times id="A4.SS4.8.p1.2.m2.1.1.1.2.cmml" xref="A4.SS4.8.p1.2.m2.1.1.1.2"></times><apply id="A4.SS4.8.p1.2.m2.1.1.1.3.cmml" xref="A4.SS4.8.p1.2.m2.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.SS4.8.p1.2.m2.1.1.1.3.1.cmml" xref="A4.SS4.8.p1.2.m2.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="A4.SS4.8.p1.2.m2.1.1.1.3.2.cmml" xref="A4.SS4.8.p1.2.m2.1.1.1.3.2">𝑒</ci><cn id="A4.SS4.8.p1.2.m2.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="A4.SS4.8.p1.2.m2.1.1.1.3.3">2</cn></apply><apply id="A4.SS4.8.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A4.SS4.8.p1.2.m2.1.1.1.1.1"><plus id="A4.SS4.8.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A4.SS4.8.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.1"></plus><apply id="A4.SS4.8.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A4.SS4.8.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.SS4.8.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A4.SS4.8.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="A4.SS4.8.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A4.SS4.8.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.2.2">𝑞</ci><cn id="A4.SS4.8.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="A4.SS4.8.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.2.3">2</cn></apply><cn id="A4.SS4.8.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A4.SS4.8.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.3">1</cn></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A4.SS4.8.p1.2.m2.2c">\tilde{d}(29)=0.076<0.108\leq\frac{q^{2}}{e^{2}(q^{2}+1)}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A4.SS4.8.p1.2.m2.2d">over~ start_ARG italic_d end_ARG ( 29 ) = 0.076 < 0.108 ≤ divide start_ARG italic_q start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG italic_e start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_q start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + 1 ) end_ARG</annotation></semantics></math> for all <math alttext="q\geq 2" class="ltx_Math" display="inline" id="A4.SS4.8.p1.3.m3.1"><semantics id="A4.SS4.8.p1.3.m3.1a"><mrow id="A4.SS4.8.p1.3.m3.1.1" xref="A4.SS4.8.p1.3.m3.1.1.cmml"><mi id="A4.SS4.8.p1.3.m3.1.1.2" xref="A4.SS4.8.p1.3.m3.1.1.2.cmml">q</mi><mo id="A4.SS4.8.p1.3.m3.1.1.1" xref="A4.SS4.8.p1.3.m3.1.1.1.cmml">≥</mo><mn id="A4.SS4.8.p1.3.m3.1.1.3" xref="A4.SS4.8.p1.3.m3.1.1.3.cmml">2</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A4.SS4.8.p1.3.m3.1b"><apply id="A4.SS4.8.p1.3.m3.1.1.cmml" xref="A4.SS4.8.p1.3.m3.1.1"><geq id="A4.SS4.8.p1.3.m3.1.1.1.cmml" xref="A4.SS4.8.p1.3.m3.1.1.1"></geq><ci id="A4.SS4.8.p1.3.m3.1.1.2.cmml" xref="A4.SS4.8.p1.3.m3.1.1.2">𝑞</ci><cn id="A4.SS4.8.p1.3.m3.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A4.SS4.8.p1.3.m3.1.1.3">2</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A4.SS4.8.p1.3.m3.1c">q\geq 2</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A4.SS4.8.p1.3.m3.1d">italic_q ≥ 2</annotation></semantics></math>. It remains to show that the derivative of <math alttext="\tilde{d}(t)" class="ltx_Math" display="inline" id="A4.SS4.8.p1.4.m4.1"><semantics id="A4.SS4.8.p1.4.m4.1a"><mrow id="A4.SS4.8.p1.4.m4.1.2" xref="A4.SS4.8.p1.4.m4.1.2.cmml"><mover accent="true" id="A4.SS4.8.p1.4.m4.1.2.2" xref="A4.SS4.8.p1.4.m4.1.2.2.cmml"><mi id="A4.SS4.8.p1.4.m4.1.2.2.2" xref="A4.SS4.8.p1.4.m4.1.2.2.2.cmml">d</mi><mo id="A4.SS4.8.p1.4.m4.1.2.2.1" xref="A4.SS4.8.p1.4.m4.1.2.2.1.cmml">~</mo></mover><mo id="A4.SS4.8.p1.4.m4.1.2.1" xref="A4.SS4.8.p1.4.m4.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A4.SS4.8.p1.4.m4.1.2.3.2" xref="A4.SS4.8.p1.4.m4.1.2.cmml"><mo id="A4.SS4.8.p1.4.m4.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="A4.SS4.8.p1.4.m4.1.2.cmml">(</mo><mi id="A4.SS4.8.p1.4.m4.1.1" xref="A4.SS4.8.p1.4.m4.1.1.cmml">t</mi><mo id="A4.SS4.8.p1.4.m4.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="A4.SS4.8.p1.4.m4.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A4.SS4.8.p1.4.m4.1b"><apply id="A4.SS4.8.p1.4.m4.1.2.cmml" xref="A4.SS4.8.p1.4.m4.1.2"><times id="A4.SS4.8.p1.4.m4.1.2.1.cmml" xref="A4.SS4.8.p1.4.m4.1.2.1"></times><apply id="A4.SS4.8.p1.4.m4.1.2.2.cmml" xref="A4.SS4.8.p1.4.m4.1.2.2"><ci id="A4.SS4.8.p1.4.m4.1.2.2.1.cmml" xref="A4.SS4.8.p1.4.m4.1.2.2.1">~</ci><ci id="A4.SS4.8.p1.4.m4.1.2.2.2.cmml" xref="A4.SS4.8.p1.4.m4.1.2.2.2">𝑑</ci></apply><ci id="A4.SS4.8.p1.4.m4.1.1.cmml" xref="A4.SS4.8.p1.4.m4.1.1">𝑡</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A4.SS4.8.p1.4.m4.1c">\tilde{d}(t)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A4.SS4.8.p1.4.m4.1d">over~ start_ARG italic_d end_ARG ( italic_t )</annotation></semantics></math> over <math alttext="t" class="ltx_Math" display="inline" id="A4.SS4.8.p1.5.m5.1"><semantics id="A4.SS4.8.p1.5.m5.1a"><mi id="A4.SS4.8.p1.5.m5.1.1" xref="A4.SS4.8.p1.5.m5.1.1.cmml">t</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A4.SS4.8.p1.5.m5.1b"><ci id="A4.SS4.8.p1.5.m5.1.1.cmml" xref="A4.SS4.8.p1.5.m5.1.1">𝑡</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A4.SS4.8.p1.5.m5.1c">t</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A4.SS4.8.p1.5.m5.1d">italic_t</annotation></semantics></math> is negative for all <math alttext="t" class="ltx_Math" display="inline" id="A4.SS4.8.p1.6.m6.1"><semantics id="A4.SS4.8.p1.6.m6.1a"><mi id="A4.SS4.8.p1.6.m6.1.1" xref="A4.SS4.8.p1.6.m6.1.1.cmml">t</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A4.SS4.8.p1.6.m6.1b"><ci id="A4.SS4.8.p1.6.m6.1.1.cmml" xref="A4.SS4.8.p1.6.m6.1.1">𝑡</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A4.SS4.8.p1.6.m6.1c">t</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A4.SS4.8.p1.6.m6.1d">italic_t</annotation></semantics></math> values beyond 29. We have</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_gather ltx_eqn_table" id="S6.EGx226"> <tbody id="A4.E264"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\displaystyle\frac{\text{d}\tilde{d}(t)}{\text{d}t}=e^{\frac{1}{2t^{2}}}\left[% a(t)\left(\frac{1}{2}+\frac{3}{t}\right)^{t}+b(t)\left(\frac{4}{\sqrt{t}}% \right)^{t}\right]" class="ltx_Math" display="block" id="A4.E264.m1.5"><semantics id="A4.E264.m1.5a"><mrow id="A4.E264.m1.5.5" xref="A4.E264.m1.5.5.cmml"><mfrac id="A4.E264.m1.1.1" xref="A4.E264.m1.1.1.cmml"><mrow id="A4.E264.m1.1.1.1" xref="A4.E264.m1.1.1.1.cmml"><mtext id="A4.E264.m1.1.1.1.3" xref="A4.E264.m1.1.1.1.3a.cmml">d</mtext><mo id="A4.E264.m1.1.1.1.2" xref="A4.E264.m1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mover accent="true" id="A4.E264.m1.1.1.1.4" xref="A4.E264.m1.1.1.1.4.cmml"><mi id="A4.E264.m1.1.1.1.4.2" xref="A4.E264.m1.1.1.1.4.2.cmml">d</mi><mo id="A4.E264.m1.1.1.1.4.1" xref="A4.E264.m1.1.1.1.4.1.cmml">~</mo></mover><mo id="A4.E264.m1.1.1.1.2a" xref="A4.E264.m1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A4.E264.m1.1.1.1.5.2" xref="A4.E264.m1.1.1.1.cmml"><mo id="A4.E264.m1.1.1.1.5.2.1" stretchy="false" xref="A4.E264.m1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="A4.E264.m1.1.1.1.1" xref="A4.E264.m1.1.1.1.1.cmml">t</mi><mo id="A4.E264.m1.1.1.1.5.2.2" stretchy="false" xref="A4.E264.m1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mrow id="A4.E264.m1.1.1.3" xref="A4.E264.m1.1.1.3.cmml"><mtext id="A4.E264.m1.1.1.3.2" xref="A4.E264.m1.1.1.3.2a.cmml">d</mtext><mo id="A4.E264.m1.1.1.3.1" xref="A4.E264.m1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A4.E264.m1.1.1.3.3" xref="A4.E264.m1.1.1.3.3.cmml">t</mi></mrow></mfrac><mo id="A4.E264.m1.5.5.2" xref="A4.E264.m1.5.5.2.cmml">=</mo><mrow id="A4.E264.m1.5.5.1" xref="A4.E264.m1.5.5.1.cmml"><msup id="A4.E264.m1.5.5.1.3" xref="A4.E264.m1.5.5.1.3.cmml"><mi id="A4.E264.m1.5.5.1.3.2" xref="A4.E264.m1.5.5.1.3.2.cmml">e</mi><mfrac id="A4.E264.m1.5.5.1.3.3" xref="A4.E264.m1.5.5.1.3.3.cmml"><mn id="A4.E264.m1.5.5.1.3.3.2" xref="A4.E264.m1.5.5.1.3.3.2.cmml">1</mn><mrow id="A4.E264.m1.5.5.1.3.3.3" xref="A4.E264.m1.5.5.1.3.3.3.cmml"><mn id="A4.E264.m1.5.5.1.3.3.3.2" xref="A4.E264.m1.5.5.1.3.3.3.2.cmml">2</mn><mo id="A4.E264.m1.5.5.1.3.3.3.1" xref="A4.E264.m1.5.5.1.3.3.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="A4.E264.m1.5.5.1.3.3.3.3" xref="A4.E264.m1.5.5.1.3.3.3.3.cmml"><mi id="A4.E264.m1.5.5.1.3.3.3.3.2" xref="A4.E264.m1.5.5.1.3.3.3.3.2.cmml">t</mi><mn id="A4.E264.m1.5.5.1.3.3.3.3.3" xref="A4.E264.m1.5.5.1.3.3.3.3.3.cmml">2</mn></msup></mrow></mfrac></msup><mo id="A4.E264.m1.5.5.1.2" xref="A4.E264.m1.5.5.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A4.E264.m1.5.5.1.1.1" xref="A4.E264.m1.5.5.1.1.2.cmml"><mo id="A4.E264.m1.5.5.1.1.1.2" xref="A4.E264.m1.5.5.1.1.2.1.cmml">[</mo><mrow id="A4.E264.m1.5.5.1.1.1.1" xref="A4.E264.m1.5.5.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A4.E264.m1.5.5.1.1.1.1.1" xref="A4.E264.m1.5.5.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A4.E264.m1.5.5.1.1.1.1.1.3" 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id="A4.E264.m1.5c">\displaystyle\frac{\text{d}\tilde{d}(t)}{\text{d}t}=e^{\frac{1}{2t^{2}}}\left[% a(t)\left(\frac{1}{2}+\frac{3}{t}\right)^{t}+b(t)\left(\frac{4}{\sqrt{t}}% \right)^{t}\right]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A4.E264.m1.5d">divide start_ARG d over~ start_ARG italic_d end_ARG ( italic_t ) end_ARG start_ARG d italic_t end_ARG = italic_e start_POSTSUPERSCRIPT divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 italic_t start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG end_POSTSUPERSCRIPT [ italic_a ( italic_t ) ( divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 end_ARG + divide start_ARG 3 end_ARG start_ARG italic_t end_ARG ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_t end_POSTSUPERSCRIPT + italic_b ( italic_t ) ( divide start_ARG 4 end_ARG start_ARG square-root start_ARG italic_t end_ARG end_ARG ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_t end_POSTSUPERSCRIPT ]</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(264)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="A4.SS4.8.p1.10">where</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_gather ltx_eqn_table" id="S6.EGx227"> <tbody id="A4.E265"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\displaystyle a(t)=-t\left(\frac{3t}{t+6}-1\right)-\frac{t^{2}}{2}\ln\left[% \left(\frac{1}{2}+\frac{3}{t}\right)^{-1}\right]-\frac{1}{2t}" class="ltx_Math" display="block" id="A4.E265.m1.4"><semantics id="A4.E265.m1.4a"><mrow id="A4.E265.m1.4.4" xref="A4.E265.m1.4.4.cmml"><mrow id="A4.E265.m1.4.4.4" xref="A4.E265.m1.4.4.4.cmml"><mi id="A4.E265.m1.4.4.4.2" xref="A4.E265.m1.4.4.4.2.cmml">a</mi><mo id="A4.E265.m1.4.4.4.1" xref="A4.E265.m1.4.4.4.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A4.E265.m1.4.4.4.3.2" xref="A4.E265.m1.4.4.4.cmml"><mo id="A4.E265.m1.4.4.4.3.2.1" stretchy="false" xref="A4.E265.m1.4.4.4.cmml">(</mo><mi id="A4.E265.m1.1.1" xref="A4.E265.m1.1.1.cmml">t</mi><mo id="A4.E265.m1.4.4.4.3.2.2" stretchy="false" xref="A4.E265.m1.4.4.4.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A4.E265.m1.4.4.3" xref="A4.E265.m1.4.4.3.cmml">=</mo><mrow id="A4.E265.m1.4.4.2" xref="A4.E265.m1.4.4.2.cmml"><mrow id="A4.E265.m1.3.3.1.1" xref="A4.E265.m1.3.3.1.1.cmml"><mo id="A4.E265.m1.3.3.1.1a" xref="A4.E265.m1.3.3.1.1.cmml">−</mo><mrow id="A4.E265.m1.3.3.1.1.1" xref="A4.E265.m1.3.3.1.1.1.cmml"><mi id="A4.E265.m1.3.3.1.1.1.3" xref="A4.E265.m1.3.3.1.1.1.3.cmml">t</mi><mo id="A4.E265.m1.3.3.1.1.1.2" xref="A4.E265.m1.3.3.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A4.E265.m1.3.3.1.1.1.1.1" xref="A4.E265.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A4.E265.m1.3.3.1.1.1.1.1.2" xref="A4.E265.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A4.E265.m1.3.3.1.1.1.1.1.1" xref="A4.E265.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml"><mfrac id="A4.E265.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2" 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xref="A4.E266.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="A4.E266.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3" xref="A4.E266.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A4.E266.m1.4.4.1.1.1.2a" xref="A4.E266.m1.4.4.1.1.1.2.cmml">−</mo><mfrac id="A4.E266.m1.4.4.1.1.1.4" xref="A4.E266.m1.4.4.1.1.1.4.cmml"><mn id="A4.E266.m1.4.4.1.1.1.4.2" xref="A4.E266.m1.4.4.1.1.1.4.2.cmml">1</mn><mrow id="A4.E266.m1.4.4.1.1.1.4.3" xref="A4.E266.m1.4.4.1.1.1.4.3.cmml"><mn id="A4.E266.m1.4.4.1.1.1.4.3.2" xref="A4.E266.m1.4.4.1.1.1.4.3.2.cmml">2</mn><mo id="A4.E266.m1.4.4.1.1.1.4.3.1" xref="A4.E266.m1.4.4.1.1.1.4.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A4.E266.m1.4.4.1.1.1.4.3.3" xref="A4.E266.m1.4.4.1.1.1.4.3.3.cmml">t</mi></mrow></mfrac></mrow></mrow><mo id="A4.E266.m1.4.4.1.2" lspace="0em" xref="A4.E266.m1.4.4.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A4.E266.m1.4b"><apply id="A4.E266.m1.4.4.1.1.cmml" xref="A4.E266.m1.4.4.1"><eq id="A4.E266.m1.4.4.1.1.2.cmml" xref="A4.E266.m1.4.4.1.1.2"></eq><apply id="A4.E266.m1.4.4.1.1.3.cmml" xref="A4.E266.m1.4.4.1.1.3"><times id="A4.E266.m1.4.4.1.1.3.1.cmml" xref="A4.E266.m1.4.4.1.1.3.1"></times><ci id="A4.E266.m1.4.4.1.1.3.2.cmml" xref="A4.E266.m1.4.4.1.1.3.2">𝑏</ci><ci id="A4.E266.m1.1.1.cmml" xref="A4.E266.m1.1.1">𝑡</ci></apply><apply id="A4.E266.m1.4.4.1.1.1.cmml" xref="A4.E266.m1.4.4.1.1.1"><minus id="A4.E266.m1.4.4.1.1.1.2.cmml" xref="A4.E266.m1.4.4.1.1.1.2"></minus><apply id="A4.E266.m1.4.4.1.1.1.3.cmml" xref="A4.E266.m1.4.4.1.1.1.3"><minus id="A4.E266.m1.4.4.1.1.1.3.1.cmml" xref="A4.E266.m1.4.4.1.1.1.3"></minus><apply id="A4.E266.m1.4.4.1.1.1.3.2.cmml" xref="A4.E266.m1.4.4.1.1.1.3.2"><times id="A4.E266.m1.4.4.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="A4.E266.m1.4.4.1.1.1.3.2.1"></times><apply id="A4.E266.m1.4.4.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="A4.E266.m1.4.4.1.1.1.3.2.2"><divide id="A4.E266.m1.4.4.1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="A4.E266.m1.4.4.1.1.1.3.2.2"></divide><apply id="A4.E266.m1.4.4.1.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="A4.E266.m1.4.4.1.1.1.3.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.E266.m1.4.4.1.1.1.3.2.2.2.1.cmml" xref="A4.E266.m1.4.4.1.1.1.3.2.2.2">superscript</csymbol><ci id="A4.E266.m1.4.4.1.1.1.3.2.2.2.2.cmml" xref="A4.E266.m1.4.4.1.1.1.3.2.2.2.2">𝑡</ci><cn id="A4.E266.m1.4.4.1.1.1.3.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="A4.E266.m1.4.4.1.1.1.3.2.2.2.3">2</cn></apply><cn id="A4.E266.m1.4.4.1.1.1.3.2.2.3.cmml" type="integer" xref="A4.E266.m1.4.4.1.1.1.3.2.2.3">4</cn></apply><apply id="A4.E266.m1.4.4.1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="A4.E266.m1.4.4.1.1.1.3.2.3.2"><ln id="A4.E266.m1.2.2.cmml" xref="A4.E266.m1.2.2"></ln><apply id="A4.E266.m1.3.3.cmml" xref="A4.E266.m1.3.3"><divide id="A4.E266.m1.3.3.1.cmml" xref="A4.E266.m1.3.3"></divide><ci id="A4.E266.m1.3.3.2.cmml" xref="A4.E266.m1.3.3.2">𝑡</ci><cn id="A4.E266.m1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="A4.E266.m1.3.3.3">16</cn></apply></apply></apply></apply><apply id="A4.E266.m1.4.4.1.1.1.1.cmml" xref="A4.E266.m1.4.4.1.1.1.1"><times id="A4.E266.m1.4.4.1.1.1.1.2.cmml" xref="A4.E266.m1.4.4.1.1.1.1.2"></times><ci id="A4.E266.m1.4.4.1.1.1.1.3.cmml" xref="A4.E266.m1.4.4.1.1.1.1.3">𝑡</ci><apply id="A4.E266.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A4.E266.m1.4.4.1.1.1.1.1.1"><minus id="A4.E266.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A4.E266.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><apply id="A4.E266.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A4.E266.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2"><divide id="A4.E266.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A4.E266.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2"></divide><ci id="A4.E266.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A4.E266.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝑡</ci><cn id="A4.E266.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="A4.E266.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.3">4</cn></apply><cn id="A4.E266.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A4.E266.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3">1</cn></apply></apply><apply id="A4.E266.m1.4.4.1.1.1.4.cmml" xref="A4.E266.m1.4.4.1.1.1.4"><divide id="A4.E266.m1.4.4.1.1.1.4.1.cmml" xref="A4.E266.m1.4.4.1.1.1.4"></divide><cn id="A4.E266.m1.4.4.1.1.1.4.2.cmml" type="integer" xref="A4.E266.m1.4.4.1.1.1.4.2">1</cn><apply id="A4.E266.m1.4.4.1.1.1.4.3.cmml" xref="A4.E266.m1.4.4.1.1.1.4.3"><times id="A4.E266.m1.4.4.1.1.1.4.3.1.cmml" xref="A4.E266.m1.4.4.1.1.1.4.3.1"></times><cn id="A4.E266.m1.4.4.1.1.1.4.3.2.cmml" type="integer" xref="A4.E266.m1.4.4.1.1.1.4.3.2">2</cn><ci id="A4.E266.m1.4.4.1.1.1.4.3.3.cmml" xref="A4.E266.m1.4.4.1.1.1.4.3.3">𝑡</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A4.E266.m1.4c">\displaystyle b(t)=-\frac{t^{2}}{4}\ln\left(\frac{t}{16}\right)-t\left(\frac{t% }{4}-1\right)-\frac{1}{2t}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A4.E266.m1.4d">italic_b ( italic_t ) = - divide start_ARG italic_t start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG 4 end_ARG roman_ln ( divide start_ARG italic_t end_ARG start_ARG 16 end_ARG ) - italic_t ( divide start_ARG italic_t end_ARG start_ARG 4 end_ARG - 1 ) - divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 italic_t end_ARG .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(266)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="A4.SS4.8.p1.9">Since both are negative once <math alttext="t" class="ltx_Math" display="inline" id="A4.SS4.8.p1.7.m1.1"><semantics id="A4.SS4.8.p1.7.m1.1a"><mi id="A4.SS4.8.p1.7.m1.1.1" xref="A4.SS4.8.p1.7.m1.1.1.cmml">t</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A4.SS4.8.p1.7.m1.1b"><ci id="A4.SS4.8.p1.7.m1.1.1.cmml" xref="A4.SS4.8.p1.7.m1.1.1">𝑡</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A4.SS4.8.p1.7.m1.1c">t</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A4.SS4.8.p1.7.m1.1d">italic_t</annotation></semantics></math> exceeds 16, the whole derivative is negative, so <math alttext="\tilde{d}(t)" class="ltx_Math" display="inline" id="A4.SS4.8.p1.8.m2.1"><semantics id="A4.SS4.8.p1.8.m2.1a"><mrow id="A4.SS4.8.p1.8.m2.1.2" xref="A4.SS4.8.p1.8.m2.1.2.cmml"><mover accent="true" id="A4.SS4.8.p1.8.m2.1.2.2" xref="A4.SS4.8.p1.8.m2.1.2.2.cmml"><mi id="A4.SS4.8.p1.8.m2.1.2.2.2" xref="A4.SS4.8.p1.8.m2.1.2.2.2.cmml">d</mi><mo id="A4.SS4.8.p1.8.m2.1.2.2.1" xref="A4.SS4.8.p1.8.m2.1.2.2.1.cmml">~</mo></mover><mo id="A4.SS4.8.p1.8.m2.1.2.1" xref="A4.SS4.8.p1.8.m2.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A4.SS4.8.p1.8.m2.1.2.3.2" xref="A4.SS4.8.p1.8.m2.1.2.cmml"><mo id="A4.SS4.8.p1.8.m2.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="A4.SS4.8.p1.8.m2.1.2.cmml">(</mo><mi id="A4.SS4.8.p1.8.m2.1.1" xref="A4.SS4.8.p1.8.m2.1.1.cmml">t</mi><mo id="A4.SS4.8.p1.8.m2.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="A4.SS4.8.p1.8.m2.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A4.SS4.8.p1.8.m2.1b"><apply id="A4.SS4.8.p1.8.m2.1.2.cmml" xref="A4.SS4.8.p1.8.m2.1.2"><times id="A4.SS4.8.p1.8.m2.1.2.1.cmml" xref="A4.SS4.8.p1.8.m2.1.2.1"></times><apply id="A4.SS4.8.p1.8.m2.1.2.2.cmml" xref="A4.SS4.8.p1.8.m2.1.2.2"><ci id="A4.SS4.8.p1.8.m2.1.2.2.1.cmml" xref="A4.SS4.8.p1.8.m2.1.2.2.1">~</ci><ci id="A4.SS4.8.p1.8.m2.1.2.2.2.cmml" xref="A4.SS4.8.p1.8.m2.1.2.2.2">𝑑</ci></apply><ci id="A4.SS4.8.p1.8.m2.1.1.cmml" xref="A4.SS4.8.p1.8.m2.1.1">𝑡</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A4.SS4.8.p1.8.m2.1c">\tilde{d}(t)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A4.SS4.8.p1.8.m2.1d">over~ start_ARG italic_d end_ARG ( italic_t )</annotation></semantics></math> remains decreasing below the threshhold of 0.8 for all <math alttext="t\geq 29" class="ltx_Math" display="inline" id="A4.SS4.8.p1.9.m3.1"><semantics id="A4.SS4.8.p1.9.m3.1a"><mrow id="A4.SS4.8.p1.9.m3.1.1" xref="A4.SS4.8.p1.9.m3.1.1.cmml"><mi id="A4.SS4.8.p1.9.m3.1.1.2" xref="A4.SS4.8.p1.9.m3.1.1.2.cmml">t</mi><mo id="A4.SS4.8.p1.9.m3.1.1.1" xref="A4.SS4.8.p1.9.m3.1.1.1.cmml">≥</mo><mn id="A4.SS4.8.p1.9.m3.1.1.3" xref="A4.SS4.8.p1.9.m3.1.1.3.cmml">29</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A4.SS4.8.p1.9.m3.1b"><apply id="A4.SS4.8.p1.9.m3.1.1.cmml" xref="A4.SS4.8.p1.9.m3.1.1"><geq id="A4.SS4.8.p1.9.m3.1.1.1.cmml" xref="A4.SS4.8.p1.9.m3.1.1.1"></geq><ci id="A4.SS4.8.p1.9.m3.1.1.2.cmml" xref="A4.SS4.8.p1.9.m3.1.1.2">𝑡</ci><cn id="A4.SS4.8.p1.9.m3.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A4.SS4.8.p1.9.m3.1.1.3">29</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A4.SS4.8.p1.9.m3.1c">t\geq 29</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A4.SS4.8.p1.9.m3.1d">italic_t ≥ 29</annotation></semantics></math>. ∎</p> </div> </div> </section> </section> <section class="ltx_appendix" id="A5"> <h2 class="ltx_title ltx_title_appendix"> <span class="ltx_tag ltx_tag_appendix">Appendix E </span>Irreps of generalized action</h2> <div class="ltx_para" id="A5.p1"> <p class="ltx_p" id="A5.p1.8">In the analytic part of our proof, we used the right-action symmetry of the effective 3-site operator to separate the basis into isotypical components, as described in Lemma <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#Thmtheorem35" title="Lemma 35. ‣ V.1 Factorization of 𝐾_𝑚 ‣ V Structure of the 3-Site Operator ‣ Conditional 𝑡-independent spectral gap for random quantum circuits and implications for 𝑡-design depths"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">35</span></a>. However, the effective 3-site system also has symmetry under global left-action of any permutation, which is not an equivalent symmetry to right-action and can potentially split up the basis even further. In this section, we will generalize the right action isotypical basis of Lemma <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#Thmtheorem35" title="Lemma 35. ‣ V.1 Factorization of 𝐾_𝑚 ‣ V Structure of the 3-Site Operator ‣ Conditional 𝑡-independent spectral gap for random quantum circuits and implications for 𝑡-design depths"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">35</span></a> to symmetries under both left and right action. We will start with a state that lives in a right-action irrep indexed by a partition <math alttext="\lambda_{R}" class="ltx_Math" display="inline" id="A5.p1.1.m1.1"><semantics id="A5.p1.1.m1.1a"><msub id="A5.p1.1.m1.1.1" xref="A5.p1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="A5.p1.1.m1.1.1.2" xref="A5.p1.1.m1.1.1.2.cmml">λ</mi><mi id="A5.p1.1.m1.1.1.3" xref="A5.p1.1.m1.1.1.3.cmml">R</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A5.p1.1.m1.1b"><apply id="A5.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="A5.p1.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.p1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="A5.p1.1.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="A5.p1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="A5.p1.1.m1.1.1.2">𝜆</ci><ci id="A5.p1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="A5.p1.1.m1.1.1.3">𝑅</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A5.p1.1.m1.1c">\lambda_{R}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A5.p1.1.m1.1d">italic_λ start_POSTSUBSCRIPT italic_R end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> and a left-action irrep indexed by <math alttext="\lambda_{L}" class="ltx_Math" display="inline" id="A5.p1.2.m2.1"><semantics id="A5.p1.2.m2.1a"><msub id="A5.p1.2.m2.1.1" xref="A5.p1.2.m2.1.1.cmml"><mi id="A5.p1.2.m2.1.1.2" xref="A5.p1.2.m2.1.1.2.cmml">λ</mi><mi id="A5.p1.2.m2.1.1.3" xref="A5.p1.2.m2.1.1.3.cmml">L</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A5.p1.2.m2.1b"><apply id="A5.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="A5.p1.2.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.p1.2.m2.1.1.1.cmml" xref="A5.p1.2.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="A5.p1.2.m2.1.1.2.cmml" xref="A5.p1.2.m2.1.1.2">𝜆</ci><ci id="A5.p1.2.m2.1.1.3.cmml" xref="A5.p1.2.m2.1.1.3">𝐿</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A5.p1.2.m2.1c">\lambda_{L}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A5.p1.2.m2.1d">italic_λ start_POSTSUBSCRIPT italic_L end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>. For each conjugacy class <math alttext="c" class="ltx_Math" display="inline" id="A5.p1.3.m3.1"><semantics id="A5.p1.3.m3.1a"><mi id="A5.p1.3.m3.1.1" xref="A5.p1.3.m3.1.1.cmml">c</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A5.p1.3.m3.1b"><ci id="A5.p1.3.m3.1.1.cmml" xref="A5.p1.3.m3.1.1">𝑐</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A5.p1.3.m3.1c">c</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A5.p1.3.m3.1d">italic_c</annotation></semantics></math>, we can select an arbitrary representative element <math alttext="\sigma_{c}" class="ltx_Math" display="inline" id="A5.p1.4.m4.1"><semantics id="A5.p1.4.m4.1a"><msub id="A5.p1.4.m4.1.1" xref="A5.p1.4.m4.1.1.cmml"><mi id="A5.p1.4.m4.1.1.2" xref="A5.p1.4.m4.1.1.2.cmml">σ</mi><mi id="A5.p1.4.m4.1.1.3" xref="A5.p1.4.m4.1.1.3.cmml">c</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A5.p1.4.m4.1b"><apply id="A5.p1.4.m4.1.1.cmml" xref="A5.p1.4.m4.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.p1.4.m4.1.1.1.cmml" xref="A5.p1.4.m4.1.1">subscript</csymbol><ci id="A5.p1.4.m4.1.1.2.cmml" xref="A5.p1.4.m4.1.1.2">𝜎</ci><ci id="A5.p1.4.m4.1.1.3.cmml" xref="A5.p1.4.m4.1.1.3">𝑐</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A5.p1.4.m4.1c">\sigma_{c}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A5.p1.4.m4.1d">italic_σ start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, and note the centralizer <math alttext="C(\sigma_{c})" class="ltx_Math" display="inline" id="A5.p1.5.m5.1"><semantics id="A5.p1.5.m5.1a"><mrow id="A5.p1.5.m5.1.1" xref="A5.p1.5.m5.1.1.cmml"><mi id="A5.p1.5.m5.1.1.3" xref="A5.p1.5.m5.1.1.3.cmml">C</mi><mo id="A5.p1.5.m5.1.1.2" xref="A5.p1.5.m5.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A5.p1.5.m5.1.1.1.1" xref="A5.p1.5.m5.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A5.p1.5.m5.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A5.p1.5.m5.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="A5.p1.5.m5.1.1.1.1.1" xref="A5.p1.5.m5.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A5.p1.5.m5.1.1.1.1.1.2" xref="A5.p1.5.m5.1.1.1.1.1.2.cmml">σ</mi><mi id="A5.p1.5.m5.1.1.1.1.1.3" xref="A5.p1.5.m5.1.1.1.1.1.3.cmml">c</mi></msub><mo id="A5.p1.5.m5.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A5.p1.5.m5.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A5.p1.5.m5.1b"><apply id="A5.p1.5.m5.1.1.cmml" xref="A5.p1.5.m5.1.1"><times id="A5.p1.5.m5.1.1.2.cmml" xref="A5.p1.5.m5.1.1.2"></times><ci id="A5.p1.5.m5.1.1.3.cmml" xref="A5.p1.5.m5.1.1.3">𝐶</ci><apply id="A5.p1.5.m5.1.1.1.1.1.cmml" xref="A5.p1.5.m5.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.p1.5.m5.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A5.p1.5.m5.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="A5.p1.5.m5.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A5.p1.5.m5.1.1.1.1.1.2">𝜎</ci><ci id="A5.p1.5.m5.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A5.p1.5.m5.1.1.1.1.1.3">𝑐</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A5.p1.5.m5.1c">C(\sigma_{c})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A5.p1.5.m5.1d">italic_C ( italic_σ start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math> with size <math alttext="C_{c}" class="ltx_Math" display="inline" id="A5.p1.6.m6.1"><semantics id="A5.p1.6.m6.1a"><msub id="A5.p1.6.m6.1.1" xref="A5.p1.6.m6.1.1.cmml"><mi id="A5.p1.6.m6.1.1.2" xref="A5.p1.6.m6.1.1.2.cmml">C</mi><mi id="A5.p1.6.m6.1.1.3" xref="A5.p1.6.m6.1.1.3.cmml">c</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A5.p1.6.m6.1b"><apply id="A5.p1.6.m6.1.1.cmml" xref="A5.p1.6.m6.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.p1.6.m6.1.1.1.cmml" xref="A5.p1.6.m6.1.1">subscript</csymbol><ci id="A5.p1.6.m6.1.1.2.cmml" xref="A5.p1.6.m6.1.1.2">𝐶</ci><ci id="A5.p1.6.m6.1.1.3.cmml" xref="A5.p1.6.m6.1.1.3">𝑐</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A5.p1.6.m6.1c">C_{c}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A5.p1.6.m6.1d">italic_C start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>. Then, we define a basis for this isotypic component, indexed by left/right irrep indices <math alttext="ij,k\ell" class="ltx_Math" display="inline" id="A5.p1.7.m7.2"><semantics id="A5.p1.7.m7.2a"><mrow id="A5.p1.7.m7.2.2.2" xref="A5.p1.7.m7.2.2.3.cmml"><mrow id="A5.p1.7.m7.1.1.1.1" xref="A5.p1.7.m7.1.1.1.1.cmml"><mi id="A5.p1.7.m7.1.1.1.1.2" xref="A5.p1.7.m7.1.1.1.1.2.cmml">i</mi><mo id="A5.p1.7.m7.1.1.1.1.1" xref="A5.p1.7.m7.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="A5.p1.7.m7.1.1.1.1.3" xref="A5.p1.7.m7.1.1.1.1.3.cmml">j</mi></mrow><mo id="A5.p1.7.m7.2.2.2.3" xref="A5.p1.7.m7.2.2.3.cmml">,</mo><mrow id="A5.p1.7.m7.2.2.2.2" xref="A5.p1.7.m7.2.2.2.2.cmml"><mi id="A5.p1.7.m7.2.2.2.2.2" xref="A5.p1.7.m7.2.2.2.2.2.cmml">k</mi><mo id="A5.p1.7.m7.2.2.2.2.1" xref="A5.p1.7.m7.2.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="A5.p1.7.m7.2.2.2.2.3" mathvariant="normal" xref="A5.p1.7.m7.2.2.2.2.3.cmml">ℓ</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A5.p1.7.m7.2b"><list id="A5.p1.7.m7.2.2.3.cmml" xref="A5.p1.7.m7.2.2.2"><apply id="A5.p1.7.m7.1.1.1.1.cmml" xref="A5.p1.7.m7.1.1.1.1"><times id="A5.p1.7.m7.1.1.1.1.1.cmml" xref="A5.p1.7.m7.1.1.1.1.1"></times><ci id="A5.p1.7.m7.1.1.1.1.2.cmml" xref="A5.p1.7.m7.1.1.1.1.2">𝑖</ci><ci id="A5.p1.7.m7.1.1.1.1.3.cmml" xref="A5.p1.7.m7.1.1.1.1.3">𝑗</ci></apply><apply id="A5.p1.7.m7.2.2.2.2.cmml" xref="A5.p1.7.m7.2.2.2.2"><times id="A5.p1.7.m7.2.2.2.2.1.cmml" xref="A5.p1.7.m7.2.2.2.2.1"></times><ci id="A5.p1.7.m7.2.2.2.2.2.cmml" xref="A5.p1.7.m7.2.2.2.2.2">𝑘</ci><ci id="A5.p1.7.m7.2.2.2.2.3.cmml" xref="A5.p1.7.m7.2.2.2.2.3">ℓ</ci></apply></list></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A5.p1.7.m7.2c">ij,k\ell</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A5.p1.7.m7.2d">italic_i italic_j , italic_k roman_ℓ</annotation></semantics></math> respectively, as well as a conjugacy class index <math alttext="c" class="ltx_Math" display="inline" id="A5.p1.8.m8.1"><semantics id="A5.p1.8.m8.1a"><mi id="A5.p1.8.m8.1.1" xref="A5.p1.8.m8.1.1.cmml">c</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A5.p1.8.m8.1b"><ci id="A5.p1.8.m8.1.1.cmml" xref="A5.p1.8.m8.1.1">𝑐</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A5.p1.8.m8.1c">c</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A5.p1.8.m8.1d">italic_c</annotation></semantics></math>, as follows:</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_gather ltx_eqn_table" id="S6.EGx228"> <tbody id="A5.E267"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\displaystyle\left\{\ket{e_{\nu_{L},\nu_{R}}^{ij,k\ell,c}}=\frac{1}{|C_{c}|}L_% {\nu_{L}}^{ij}R_{\nu_{R}}^{k\ell}|I,I,\sigma_{c}\rangle\bigg{|}i,j\in\{1...d_{% \nu_{L}}\},k,l\in\{1...d_{\nu_{R}}\}\right\}" class="ltx_Math" display="block" id="A5.E267.m1.9"><semantics id="A5.E267.m1.9a"><mrow id="A5.E267.m1.9.9.1" xref="A5.E267.m1.9.9.2.cmml"><mo id="A5.E267.m1.9.9.1.2" xref="A5.E267.m1.9.9.2.cmml">{</mo><mrow id="A5.E267.m1.9.9.1.1.2" xref="A5.E267.m1.9.9.1.1.3.cmml"><mrow id="A5.E267.m1.9.9.1.1.1.1" xref="A5.E267.m1.9.9.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A5.E267.m1.1.1.3" xref="A5.E267.m1.1.1.2.cmml"><mo id="A5.E267.m1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="A5.E267.m1.1.1.2.1.cmml">|</mo><msubsup id="A5.E267.m1.1.1.1.1" xref="A5.E267.m1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A5.E267.m1.1.1.1.1.7.2" xref="A5.E267.m1.1.1.1.1.7.2.cmml">e</mi><mrow id="A5.E267.m1.1.1.1.1.2.2.2" xref="A5.E267.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><msub id="A5.E267.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A5.E267.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A5.E267.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A5.E267.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">ν</mi><mi id="A5.E267.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A5.E267.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">L</mi></msub><mo id="A5.E267.m1.1.1.1.1.2.2.2.3" xref="A5.E267.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">,</mo><msub id="A5.E267.m1.1.1.1.1.2.2.2.2" xref="A5.E267.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml"><mi id="A5.E267.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2" xref="A5.E267.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml">ν</mi><mi id="A5.E267.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3" xref="A5.E267.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.cmml">R</mi></msub></mrow><mrow id="A5.E267.m1.1.1.1.1.5.3.3" xref="A5.E267.m1.1.1.1.1.5.3.4.cmml"><mrow id="A5.E267.m1.1.1.1.1.4.2.2.1" xref="A5.E267.m1.1.1.1.1.4.2.2.1.cmml"><mi id="A5.E267.m1.1.1.1.1.4.2.2.1.2" xref="A5.E267.m1.1.1.1.1.4.2.2.1.2.cmml">i</mi><mo id="A5.E267.m1.1.1.1.1.4.2.2.1.1" xref="A5.E267.m1.1.1.1.1.4.2.2.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="A5.E267.m1.1.1.1.1.4.2.2.1.3" xref="A5.E267.m1.1.1.1.1.4.2.2.1.3.cmml">j</mi></mrow><mo id="A5.E267.m1.1.1.1.1.5.3.3.3" xref="A5.E267.m1.1.1.1.1.5.3.4.cmml">,</mo><mrow id="A5.E267.m1.1.1.1.1.5.3.3.2" xref="A5.E267.m1.1.1.1.1.5.3.3.2.cmml"><mi id="A5.E267.m1.1.1.1.1.5.3.3.2.2" xref="A5.E267.m1.1.1.1.1.5.3.3.2.2.cmml">k</mi><mo id="A5.E267.m1.1.1.1.1.5.3.3.2.1" xref="A5.E267.m1.1.1.1.1.5.3.3.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="A5.E267.m1.1.1.1.1.5.3.3.2.3" mathvariant="normal" xref="A5.E267.m1.1.1.1.1.5.3.3.2.3.cmml">ℓ</mi></mrow><mo id="A5.E267.m1.1.1.1.1.5.3.3.4" xref="A5.E267.m1.1.1.1.1.5.3.4.cmml">,</mo><mi id="A5.E267.m1.1.1.1.1.3.1.1" xref="A5.E267.m1.1.1.1.1.3.1.1.cmml">c</mi></mrow></msubsup><mo id="A5.E267.m1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="A5.E267.m1.1.1.2.1.cmml">⟩</mo></mrow><mo id="A5.E267.m1.9.9.1.1.1.1.4" xref="A5.E267.m1.9.9.1.1.1.1.4.cmml">=</mo><mrow id="A5.E267.m1.9.9.1.1.1.1.1" xref="A5.E267.m1.9.9.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A5.E267.m1.9.9.1.1.1.1.1.1" xref="A5.E267.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.cmml"><mfrac id="A5.E267.m1.2.2" xref="A5.E267.m1.2.2.cmml"><mn id="A5.E267.m1.2.2.3" xref="A5.E267.m1.2.2.3.cmml">1</mn><mrow id="A5.E267.m1.2.2.1.1" xref="A5.E267.m1.2.2.1.2.cmml"><mo id="A5.E267.m1.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="A5.E267.m1.2.2.1.2.1.cmml">|</mo><msub id="A5.E267.m1.2.2.1.1.1" xref="A5.E267.m1.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="A5.E267.m1.2.2.1.1.1.2" xref="A5.E267.m1.2.2.1.1.1.2.cmml">C</mi><mi id="A5.E267.m1.2.2.1.1.1.3" xref="A5.E267.m1.2.2.1.1.1.3.cmml">c</mi></msub><mo id="A5.E267.m1.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="A5.E267.m1.2.2.1.2.1.cmml">|</mo></mrow></mfrac><mo id="A5.E267.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.2" xref="A5.E267.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msubsup id="A5.E267.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.3" xref="A5.E267.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A5.E267.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="A5.E267.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">L</mi><msub id="A5.E267.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="A5.E267.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="A5.E267.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2" xref="A5.E267.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml">ν</mi><mi id="A5.E267.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3" xref="A5.E267.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml">L</mi></msub><mrow id="A5.E267.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A5.E267.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="A5.E267.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="A5.E267.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">i</mi><mo id="A5.E267.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.3.3.1" xref="A5.E267.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A5.E267.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="A5.E267.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">j</mi></mrow></msubsup><mo id="A5.E267.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.2a" xref="A5.E267.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msubsup id="A5.E267.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.4" xref="A5.E267.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="A5.E267.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.4.2.2" xref="A5.E267.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.4.2.2.cmml">R</mi><msub id="A5.E267.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.4.2.3" xref="A5.E267.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.4.2.3.cmml"><mi id="A5.E267.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.4.2.3.2" xref="A5.E267.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.4.2.3.2.cmml">ν</mi><mi id="A5.E267.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.4.2.3.3" xref="A5.E267.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.4.2.3.3.cmml">R</mi></msub><mrow id="A5.E267.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.4.3" xref="A5.E267.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml"><mi id="A5.E267.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.4.3.2" xref="A5.E267.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.4.3.2.cmml">k</mi><mo id="A5.E267.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.4.3.1" xref="A5.E267.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.4.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A5.E267.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.4.3.3" mathvariant="normal" xref="A5.E267.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.4.3.3.cmml">ℓ</mi></mrow></msubsup><mo id="A5.E267.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.2b" xref="A5.E267.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A5.E267.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A5.E267.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="A5.E267.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A5.E267.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">|</mo><mrow id="A5.E267.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A5.E267.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="A5.E267.m1.3.3" xref="A5.E267.m1.3.3.cmml">I</mi><mo id="A5.E267.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A5.E267.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">,</mo><mi id="A5.E267.m1.4.4" xref="A5.E267.m1.4.4.cmml">I</mi><mo id="A5.E267.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A5.E267.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">,</mo><msub id="A5.E267.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A5.E267.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A5.E267.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A5.E267.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">σ</mi><mi id="A5.E267.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A5.E267.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">c</mi></msub></mrow><mo id="A5.E267.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A5.E267.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⟩</mo></mrow></mrow><mo fence="false" id="A5.E267.m1.9.9.1.1.1.1.1.2" mathsize="210%" xref="A5.E267.m1.9.9.1.1.1.1.1.2.cmml">|</mo><mrow id="A5.E267.m1.9.9.1.1.1.1.1.3.2" xref="A5.E267.m1.9.9.1.1.1.1.1.3.1.cmml"><mi id="A5.E267.m1.5.5" xref="A5.E267.m1.5.5.cmml">i</mi><mo id="A5.E267.m1.9.9.1.1.1.1.1.3.2.1" xref="A5.E267.m1.9.9.1.1.1.1.1.3.1.cmml">,</mo><mi id="A5.E267.m1.6.6" xref="A5.E267.m1.6.6.cmml">j</mi></mrow></mrow><mo id="A5.E267.m1.9.9.1.1.1.1.5" xref="A5.E267.m1.9.9.1.1.1.1.5.cmml">∈</mo><mrow id="A5.E267.m1.9.9.1.1.1.1.2.1" xref="A5.E267.m1.9.9.1.1.1.1.2.2.cmml"><mo id="A5.E267.m1.9.9.1.1.1.1.2.1.2" stretchy="false" xref="A5.E267.m1.9.9.1.1.1.1.2.2.cmml">{</mo><mrow id="A5.E267.m1.9.9.1.1.1.1.2.1.1" xref="A5.E267.m1.9.9.1.1.1.1.2.1.1.cmml"><mn id="A5.E267.m1.9.9.1.1.1.1.2.1.1.2" xref="A5.E267.m1.9.9.1.1.1.1.2.1.1.2.cmml">1</mn><mo id="A5.E267.m1.9.9.1.1.1.1.2.1.1.1" xref="A5.E267.m1.9.9.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="A5.E267.m1.9.9.1.1.1.1.2.1.1.3" mathvariant="normal" xref="A5.E267.m1.9.9.1.1.1.1.2.1.1.3.cmml">…</mi><mo id="A5.E267.m1.9.9.1.1.1.1.2.1.1.1a" xref="A5.E267.m1.9.9.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="A5.E267.m1.9.9.1.1.1.1.2.1.1.4" xref="A5.E267.m1.9.9.1.1.1.1.2.1.1.4.cmml"><mi id="A5.E267.m1.9.9.1.1.1.1.2.1.1.4.2" xref="A5.E267.m1.9.9.1.1.1.1.2.1.1.4.2.cmml">d</mi><msub id="A5.E267.m1.9.9.1.1.1.1.2.1.1.4.3" xref="A5.E267.m1.9.9.1.1.1.1.2.1.1.4.3.cmml"><mi id="A5.E267.m1.9.9.1.1.1.1.2.1.1.4.3.2" xref="A5.E267.m1.9.9.1.1.1.1.2.1.1.4.3.2.cmml">ν</mi><mi id="A5.E267.m1.9.9.1.1.1.1.2.1.1.4.3.3" xref="A5.E267.m1.9.9.1.1.1.1.2.1.1.4.3.3.cmml">L</mi></msub></msub></mrow><mo id="A5.E267.m1.9.9.1.1.1.1.2.1.3" stretchy="false" xref="A5.E267.m1.9.9.1.1.1.1.2.2.cmml">}</mo></mrow></mrow><mo id="A5.E267.m1.9.9.1.1.2.3" xref="A5.E267.m1.9.9.1.1.3a.cmml">,</mo><mrow id="A5.E267.m1.9.9.1.1.2.2" xref="A5.E267.m1.9.9.1.1.2.2.cmml"><mrow id="A5.E267.m1.9.9.1.1.2.2.3.2" xref="A5.E267.m1.9.9.1.1.2.2.3.1.cmml"><mi id="A5.E267.m1.7.7" xref="A5.E267.m1.7.7.cmml">k</mi><mo id="A5.E267.m1.9.9.1.1.2.2.3.2.1" xref="A5.E267.m1.9.9.1.1.2.2.3.1.cmml">,</mo><mi id="A5.E267.m1.8.8" xref="A5.E267.m1.8.8.cmml">l</mi></mrow><mo id="A5.E267.m1.9.9.1.1.2.2.2" xref="A5.E267.m1.9.9.1.1.2.2.2.cmml">∈</mo><mrow id="A5.E267.m1.9.9.1.1.2.2.1.1" xref="A5.E267.m1.9.9.1.1.2.2.1.2.cmml"><mo id="A5.E267.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="A5.E267.m1.9.9.1.1.2.2.1.2.cmml">{</mo><mrow id="A5.E267.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1" xref="A5.E267.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.cmml"><mn id="A5.E267.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.2" xref="A5.E267.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.2.cmml">1</mn><mo id="A5.E267.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1" xref="A5.E267.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="A5.E267.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.3" mathvariant="normal" xref="A5.E267.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.3.cmml">…</mi><mo id="A5.E267.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1a" xref="A5.E267.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="A5.E267.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.4" xref="A5.E267.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.4.cmml"><mi id="A5.E267.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.4.2" xref="A5.E267.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.4.2.cmml">d</mi><msub id="A5.E267.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.4.3" xref="A5.E267.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.4.3.cmml"><mi id="A5.E267.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.4.3.2" xref="A5.E267.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.4.3.2.cmml">ν</mi><mi id="A5.E267.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.4.3.3" xref="A5.E267.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.4.3.3.cmml">R</mi></msub></msub></mrow><mo id="A5.E267.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="A5.E267.m1.9.9.1.1.2.2.1.2.cmml">}</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="A5.E267.m1.9.9.1.3" xref="A5.E267.m1.9.9.2.cmml">}</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A5.E267.m1.9b"><set id="A5.E267.m1.9.9.2.cmml" xref="A5.E267.m1.9.9.1"><apply id="A5.E267.m1.9.9.1.1.3.cmml" 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id="A5.E267.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="A5.E267.m1.1.1.1.1.2.2.2"><apply id="A5.E267.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A5.E267.m1.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.E267.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A5.E267.m1.1.1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="A5.E267.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A5.E267.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝜈</ci><ci id="A5.E267.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A5.E267.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝐿</ci></apply><apply id="A5.E267.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="A5.E267.m1.1.1.1.1.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.E267.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.cmml" xref="A5.E267.m1.1.1.1.1.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="A5.E267.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml" xref="A5.E267.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2">𝜈</ci><ci id="A5.E267.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.cmml" xref="A5.E267.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3">𝑅</ci></apply></list></apply><list id="A5.E267.m1.1.1.1.1.5.3.4.cmml" xref="A5.E267.m1.1.1.1.1.5.3.3"><apply id="A5.E267.m1.1.1.1.1.4.2.2.1.cmml" xref="A5.E267.m1.1.1.1.1.4.2.2.1"><times id="A5.E267.m1.1.1.1.1.4.2.2.1.1.cmml" xref="A5.E267.m1.1.1.1.1.4.2.2.1.1"></times><ci id="A5.E267.m1.1.1.1.1.4.2.2.1.2.cmml" xref="A5.E267.m1.1.1.1.1.4.2.2.1.2">𝑖</ci><ci id="A5.E267.m1.1.1.1.1.4.2.2.1.3.cmml" xref="A5.E267.m1.1.1.1.1.4.2.2.1.3">𝑗</ci></apply><apply id="A5.E267.m1.1.1.1.1.5.3.3.2.cmml" xref="A5.E267.m1.1.1.1.1.5.3.3.2"><times id="A5.E267.m1.1.1.1.1.5.3.3.2.1.cmml" xref="A5.E267.m1.1.1.1.1.5.3.3.2.1"></times><ci id="A5.E267.m1.1.1.1.1.5.3.3.2.2.cmml" xref="A5.E267.m1.1.1.1.1.5.3.3.2.2">𝑘</ci><ci id="A5.E267.m1.1.1.1.1.5.3.3.2.3.cmml" xref="A5.E267.m1.1.1.1.1.5.3.3.2.3">ℓ</ci></apply><ci id="A5.E267.m1.1.1.1.1.3.1.1.cmml" xref="A5.E267.m1.1.1.1.1.3.1.1">𝑐</ci></list></apply></apply><apply id="A5.E267.m1.9.9.1.1.1.1.1.cmml" xref="A5.E267.m1.9.9.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="A5.E267.m1.9.9.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A5.E267.m1.9.9.1.1.1.1.1.2">conditional</csymbol><apply id="A5.E267.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A5.E267.m1.9.9.1.1.1.1.1.1"><times id="A5.E267.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A5.E267.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.2"></times><apply id="A5.E267.m1.2.2.cmml" xref="A5.E267.m1.2.2"><divide id="A5.E267.m1.2.2.2.cmml" xref="A5.E267.m1.2.2"></divide><cn id="A5.E267.m1.2.2.3.cmml" type="integer" xref="A5.E267.m1.2.2.3">1</cn><apply id="A5.E267.m1.2.2.1.2.cmml" xref="A5.E267.m1.2.2.1.1"><abs id="A5.E267.m1.2.2.1.2.1.cmml" xref="A5.E267.m1.2.2.1.1.2"></abs><apply id="A5.E267.m1.2.2.1.1.1.cmml" xref="A5.E267.m1.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.E267.m1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="A5.E267.m1.2.2.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="A5.E267.m1.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="A5.E267.m1.2.2.1.1.1.2">𝐶</ci><ci id="A5.E267.m1.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="A5.E267.m1.2.2.1.1.1.3">𝑐</ci></apply></apply></apply><apply id="A5.E267.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A5.E267.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.E267.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A5.E267.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><apply 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id="A5.E267.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="A5.E267.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.3.3.3">𝑗</ci></apply></apply><apply id="A5.E267.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="A5.E267.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.E267.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="A5.E267.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.4">superscript</csymbol><apply id="A5.E267.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="A5.E267.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.E267.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.4.2.1.cmml" xref="A5.E267.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="A5.E267.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.4.2.2.cmml" xref="A5.E267.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.4.2.2">𝑅</ci><apply id="A5.E267.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.4.2.3.cmml" xref="A5.E267.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.4.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.E267.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.4.2.3.1.cmml" xref="A5.E267.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.4.2.3">subscript</csymbol><ci id="A5.E267.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.4.2.3.2.cmml" xref="A5.E267.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.4.2.3.2">𝜈</ci><ci id="A5.E267.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.4.2.3.3.cmml" xref="A5.E267.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.4.2.3.3">𝑅</ci></apply></apply><apply id="A5.E267.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml" xref="A5.E267.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.4.3"><times id="A5.E267.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.4.3.1.cmml" xref="A5.E267.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.4.3.1"></times><ci id="A5.E267.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.4.3.2.cmml" xref="A5.E267.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.4.3.2">𝑘</ci><ci id="A5.E267.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.4.3.3.cmml" xref="A5.E267.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.4.3.3">ℓ</ci></apply></apply><apply id="A5.E267.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A5.E267.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="A5.E267.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A5.E267.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.2">ket</csymbol><list id="A5.E267.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A5.E267.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><ci id="A5.E267.m1.3.3.cmml" xref="A5.E267.m1.3.3">𝐼</ci><ci id="A5.E267.m1.4.4.cmml" xref="A5.E267.m1.4.4">𝐼</ci><apply id="A5.E267.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A5.E267.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.E267.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A5.E267.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="A5.E267.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A5.E267.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝜎</ci><ci id="A5.E267.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A5.E267.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑐</ci></apply></list></apply></apply><list id="A5.E267.m1.9.9.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A5.E267.m1.9.9.1.1.1.1.1.3.2"><ci id="A5.E267.m1.5.5.cmml" xref="A5.E267.m1.5.5">𝑖</ci><ci id="A5.E267.m1.6.6.cmml" xref="A5.E267.m1.6.6">𝑗</ci></list></apply></apply><apply id="A5.E267.m1.9.9.1.1.1.1c.cmml" xref="A5.E267.m1.9.9.1.1.1.1"><in id="A5.E267.m1.9.9.1.1.1.1.5.cmml" xref="A5.E267.m1.9.9.1.1.1.1.5"></in><share href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#A5.E267.m1.9.9.1.1.1.1.1.cmml" id="A5.E267.m1.9.9.1.1.1.1d.cmml" xref="A5.E267.m1.9.9.1.1.1.1"></share><set id="A5.E267.m1.9.9.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A5.E267.m1.9.9.1.1.1.1.2.1"><apply id="A5.E267.m1.9.9.1.1.1.1.2.1.1.cmml" xref="A5.E267.m1.9.9.1.1.1.1.2.1.1"><times id="A5.E267.m1.9.9.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml" xref="A5.E267.m1.9.9.1.1.1.1.2.1.1.1"></times><cn id="A5.E267.m1.9.9.1.1.1.1.2.1.1.2.cmml" type="integer" xref="A5.E267.m1.9.9.1.1.1.1.2.1.1.2">1</cn><ci id="A5.E267.m1.9.9.1.1.1.1.2.1.1.3.cmml" xref="A5.E267.m1.9.9.1.1.1.1.2.1.1.3">…</ci><apply id="A5.E267.m1.9.9.1.1.1.1.2.1.1.4.cmml" xref="A5.E267.m1.9.9.1.1.1.1.2.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.E267.m1.9.9.1.1.1.1.2.1.1.4.1.cmml" xref="A5.E267.m1.9.9.1.1.1.1.2.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="A5.E267.m1.9.9.1.1.1.1.2.1.1.4.2.cmml" xref="A5.E267.m1.9.9.1.1.1.1.2.1.1.4.2">𝑑</ci><apply id="A5.E267.m1.9.9.1.1.1.1.2.1.1.4.3.cmml" xref="A5.E267.m1.9.9.1.1.1.1.2.1.1.4.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.E267.m1.9.9.1.1.1.1.2.1.1.4.3.1.cmml" xref="A5.E267.m1.9.9.1.1.1.1.2.1.1.4.3">subscript</csymbol><ci id="A5.E267.m1.9.9.1.1.1.1.2.1.1.4.3.2.cmml" xref="A5.E267.m1.9.9.1.1.1.1.2.1.1.4.3.2">𝜈</ci><ci id="A5.E267.m1.9.9.1.1.1.1.2.1.1.4.3.3.cmml" xref="A5.E267.m1.9.9.1.1.1.1.2.1.1.4.3.3">𝐿</ci></apply></apply></apply></set></apply></apply><apply id="A5.E267.m1.9.9.1.1.2.2.cmml" xref="A5.E267.m1.9.9.1.1.2.2"><in id="A5.E267.m1.9.9.1.1.2.2.2.cmml" xref="A5.E267.m1.9.9.1.1.2.2.2"></in><list id="A5.E267.m1.9.9.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="A5.E267.m1.9.9.1.1.2.2.3.2"><ci id="A5.E267.m1.7.7.cmml" xref="A5.E267.m1.7.7">𝑘</ci><ci id="A5.E267.m1.8.8.cmml" xref="A5.E267.m1.8.8">𝑙</ci></list><set id="A5.E267.m1.9.9.1.1.2.2.1.2.cmml" xref="A5.E267.m1.9.9.1.1.2.2.1.1"><apply id="A5.E267.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.cmml" xref="A5.E267.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1"><times id="A5.E267.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="A5.E267.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1"></times><cn id="A5.E267.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="A5.E267.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.2">1</cn><ci id="A5.E267.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="A5.E267.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.3">…</ci><apply id="A5.E267.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.4.cmml" xref="A5.E267.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.E267.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.4.1.cmml" xref="A5.E267.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="A5.E267.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.4.2.cmml" xref="A5.E267.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.4.2">𝑑</ci><apply id="A5.E267.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.4.3.cmml" xref="A5.E267.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.4.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.E267.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.4.3.1.cmml" xref="A5.E267.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.4.3">subscript</csymbol><ci id="A5.E267.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.4.3.2.cmml" xref="A5.E267.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.4.3.2">𝜈</ci><ci id="A5.E267.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.4.3.3.cmml" xref="A5.E267.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.4.3.3">𝑅</ci></apply></apply></apply></set></apply></apply></set></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A5.E267.m1.9c">\displaystyle\left\{\ket{e_{\nu_{L},\nu_{R}}^{ij,k\ell,c}}=\frac{1}{|C_{c}|}L_% {\nu_{L}}^{ij}R_{\nu_{R}}^{k\ell}|I,I,\sigma_{c}\rangle\bigg{|}i,j\in\{1...d_{% \nu_{L}}\},k,l\in\{1...d_{\nu_{R}}\}\right\}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A5.E267.m1.9d">{ | start_ARG italic_e start_POSTSUBSCRIPT italic_ν start_POSTSUBSCRIPT italic_L end_POSTSUBSCRIPT , italic_ν start_POSTSUBSCRIPT italic_R end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_i italic_j , italic_k roman_ℓ , italic_c end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG ⟩ = divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG | italic_C start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT | end_ARG italic_L start_POSTSUBSCRIPT italic_ν start_POSTSUBSCRIPT italic_L end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_i italic_j end_POSTSUPERSCRIPT italic_R start_POSTSUBSCRIPT italic_ν start_POSTSUBSCRIPT italic_R end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_k roman_ℓ end_POSTSUPERSCRIPT | italic_I , italic_I , italic_σ start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT ⟩ | italic_i , italic_j ∈ { 1 … italic_d start_POSTSUBSCRIPT italic_ν start_POSTSUBSCRIPT italic_L end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT } , italic_k , italic_l ∈ { 1 … italic_d start_POSTSUBSCRIPT italic_ν start_POSTSUBSCRIPT italic_R end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT } }</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(267)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="A5.p1.18">where as before we have used</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_gather ltx_eqn_table" id="S6.EGx229"> <tbody id="A5.E269"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\displaystyle R_{\nu}^{ij}=\sum_{\rho\in S_{t}}V_{\nu}(\rho^{-1})^{ij}\rho_{R}" class="ltx_Math" display="block" id="A5.E269.m1.1"><semantics id="A5.E269.m1.1a"><mrow id="A5.E269.m1.1.1" xref="A5.E269.m1.1.1.cmml"><msubsup id="A5.E269.m1.1.1.3" xref="A5.E269.m1.1.1.3.cmml"><mi id="A5.E269.m1.1.1.3.2.2" xref="A5.E269.m1.1.1.3.2.2.cmml">R</mi><mi id="A5.E269.m1.1.1.3.2.3" xref="A5.E269.m1.1.1.3.2.3.cmml">ν</mi><mrow id="A5.E269.m1.1.1.3.3" xref="A5.E269.m1.1.1.3.3.cmml"><mi id="A5.E269.m1.1.1.3.3.2" xref="A5.E269.m1.1.1.3.3.2.cmml">i</mi><mo id="A5.E269.m1.1.1.3.3.1" xref="A5.E269.m1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A5.E269.m1.1.1.3.3.3" xref="A5.E269.m1.1.1.3.3.3.cmml">j</mi></mrow></msubsup><mo id="A5.E269.m1.1.1.2" rspace="0.111em" xref="A5.E269.m1.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="A5.E269.m1.1.1.1" xref="A5.E269.m1.1.1.1.cmml"><munder id="A5.E269.m1.1.1.1.2" xref="A5.E269.m1.1.1.1.2.cmml"><mo id="A5.E269.m1.1.1.1.2.2" movablelimits="false" xref="A5.E269.m1.1.1.1.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="A5.E269.m1.1.1.1.2.3" xref="A5.E269.m1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="A5.E269.m1.1.1.1.2.3.2" xref="A5.E269.m1.1.1.1.2.3.2.cmml">ρ</mi><mo id="A5.E269.m1.1.1.1.2.3.1" xref="A5.E269.m1.1.1.1.2.3.1.cmml">∈</mo><msub id="A5.E269.m1.1.1.1.2.3.3" xref="A5.E269.m1.1.1.1.2.3.3.cmml"><mi id="A5.E269.m1.1.1.1.2.3.3.2" xref="A5.E269.m1.1.1.1.2.3.3.2.cmml">S</mi><mi id="A5.E269.m1.1.1.1.2.3.3.3" xref="A5.E269.m1.1.1.1.2.3.3.3.cmml">t</mi></msub></mrow></munder><mrow id="A5.E269.m1.1.1.1.1" xref="A5.E269.m1.1.1.1.1.cmml"><msub id="A5.E269.m1.1.1.1.1.3" xref="A5.E269.m1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A5.E269.m1.1.1.1.1.3.2" xref="A5.E269.m1.1.1.1.1.3.2.cmml">V</mi><mi id="A5.E269.m1.1.1.1.1.3.3" xref="A5.E269.m1.1.1.1.1.3.3.cmml">ν</mi></msub><mo id="A5.E269.m1.1.1.1.1.2" xref="A5.E269.m1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msup id="A5.E269.m1.1.1.1.1.1" xref="A5.E269.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A5.E269.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A5.E269.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A5.E269.m1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A5.E269.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="A5.E269.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A5.E269.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A5.E269.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A5.E269.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">ρ</mi><mrow id="A5.E269.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A5.E269.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="A5.E269.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3a" xref="A5.E269.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">−</mo><mn id="A5.E269.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A5.E269.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="A5.E269.m1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A5.E269.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="A5.E269.m1.1.1.1.1.1.3" xref="A5.E269.m1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A5.E269.m1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A5.E269.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">i</mi><mo id="A5.E269.m1.1.1.1.1.1.3.1" xref="A5.E269.m1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A5.E269.m1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A5.E269.m1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">j</mi></mrow></msup><mo id="A5.E269.m1.1.1.1.1.2a" xref="A5.E269.m1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="A5.E269.m1.1.1.1.1.4" xref="A5.E269.m1.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="A5.E269.m1.1.1.1.1.4.2" xref="A5.E269.m1.1.1.1.1.4.2.cmml">ρ</mi><mi id="A5.E269.m1.1.1.1.1.4.3" xref="A5.E269.m1.1.1.1.1.4.3.cmml">R</mi></msub></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A5.E269.m1.1b"><apply id="A5.E269.m1.1.1.cmml" xref="A5.E269.m1.1.1"><eq id="A5.E269.m1.1.1.2.cmml" xref="A5.E269.m1.1.1.2"></eq><apply id="A5.E269.m1.1.1.3.cmml" xref="A5.E269.m1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.E269.m1.1.1.3.1.cmml" xref="A5.E269.m1.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="A5.E269.m1.1.1.3.2.cmml" xref="A5.E269.m1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.E269.m1.1.1.3.2.1.cmml" xref="A5.E269.m1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A5.E269.m1.1.1.3.2.2.cmml" xref="A5.E269.m1.1.1.3.2.2">𝑅</ci><ci id="A5.E269.m1.1.1.3.2.3.cmml" xref="A5.E269.m1.1.1.3.2.3">𝜈</ci></apply><apply id="A5.E269.m1.1.1.3.3.cmml" xref="A5.E269.m1.1.1.3.3"><times id="A5.E269.m1.1.1.3.3.1.cmml" xref="A5.E269.m1.1.1.3.3.1"></times><ci id="A5.E269.m1.1.1.3.3.2.cmml" xref="A5.E269.m1.1.1.3.3.2">𝑖</ci><ci id="A5.E269.m1.1.1.3.3.3.cmml" xref="A5.E269.m1.1.1.3.3.3">𝑗</ci></apply></apply><apply id="A5.E269.m1.1.1.1.cmml" xref="A5.E269.m1.1.1.1"><apply id="A5.E269.m1.1.1.1.2.cmml" xref="A5.E269.m1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.E269.m1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A5.E269.m1.1.1.1.2">subscript</csymbol><sum id="A5.E269.m1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A5.E269.m1.1.1.1.2.2"></sum><apply id="A5.E269.m1.1.1.1.2.3.cmml" xref="A5.E269.m1.1.1.1.2.3"><in id="A5.E269.m1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="A5.E269.m1.1.1.1.2.3.1"></in><ci id="A5.E269.m1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="A5.E269.m1.1.1.1.2.3.2">𝜌</ci><apply id="A5.E269.m1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="A5.E269.m1.1.1.1.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.E269.m1.1.1.1.2.3.3.1.cmml" xref="A5.E269.m1.1.1.1.2.3.3">subscript</csymbol><ci id="A5.E269.m1.1.1.1.2.3.3.2.cmml" xref="A5.E269.m1.1.1.1.2.3.3.2">𝑆</ci><ci id="A5.E269.m1.1.1.1.2.3.3.3.cmml" xref="A5.E269.m1.1.1.1.2.3.3.3">𝑡</ci></apply></apply></apply><apply id="A5.E269.m1.1.1.1.1.cmml" xref="A5.E269.m1.1.1.1.1"><times id="A5.E269.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A5.E269.m1.1.1.1.1.2"></times><apply id="A5.E269.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A5.E269.m1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.E269.m1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A5.E269.m1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A5.E269.m1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A5.E269.m1.1.1.1.1.3.2">𝑉</ci><ci id="A5.E269.m1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A5.E269.m1.1.1.1.1.3.3">𝜈</ci></apply><apply id="A5.E269.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A5.E269.m1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.E269.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A5.E269.m1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="A5.E269.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A5.E269.m1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.E269.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A5.E269.m1.1.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="A5.E269.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A5.E269.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝜌</ci><apply id="A5.E269.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A5.E269.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><minus id="A5.E269.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A5.E269.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"></minus><cn id="A5.E269.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="A5.E269.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">1</cn></apply></apply><apply id="A5.E269.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A5.E269.m1.1.1.1.1.1.3"><times id="A5.E269.m1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A5.E269.m1.1.1.1.1.1.3.1"></times><ci id="A5.E269.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A5.E269.m1.1.1.1.1.1.3.2">𝑖</ci><ci id="A5.E269.m1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A5.E269.m1.1.1.1.1.1.3.3">𝑗</ci></apply></apply><apply id="A5.E269.m1.1.1.1.1.4.cmml" xref="A5.E269.m1.1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.E269.m1.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="A5.E269.m1.1.1.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="A5.E269.m1.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="A5.E269.m1.1.1.1.1.4.2">𝜌</ci><ci id="A5.E269.m1.1.1.1.1.4.3.cmml" xref="A5.E269.m1.1.1.1.1.4.3">𝑅</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A5.E269.m1.1c">\displaystyle R_{\nu}^{ij}=\sum_{\rho\in S_{t}}V_{\nu}(\rho^{-1})^{ij}\rho_{R}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A5.E269.m1.1d">italic_R start_POSTSUBSCRIPT italic_ν end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_i italic_j end_POSTSUPERSCRIPT = ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_ρ ∈ italic_S start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT italic_V start_POSTSUBSCRIPT italic_ν end_POSTSUBSCRIPT ( italic_ρ start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_i italic_j end_POSTSUPERSCRIPT italic_ρ start_POSTSUBSCRIPT italic_R end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(269)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="A5.p1.19">and the analogous</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_gather ltx_eqn_table" id="S6.EGx230"> <tbody id="A5.E270"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\displaystyle L_{\nu}^{ij}=\sum_{\rho\in S_{t}}V_{\nu}(\rho^{-1})^{ij}\rho_{L}" class="ltx_Math" display="block" id="A5.E270.m1.1"><semantics id="A5.E270.m1.1a"><mrow id="A5.E270.m1.1.1" xref="A5.E270.m1.1.1.cmml"><msubsup id="A5.E270.m1.1.1.3" xref="A5.E270.m1.1.1.3.cmml"><mi id="A5.E270.m1.1.1.3.2.2" xref="A5.E270.m1.1.1.3.2.2.cmml">L</mi><mi id="A5.E270.m1.1.1.3.2.3" xref="A5.E270.m1.1.1.3.2.3.cmml">ν</mi><mrow id="A5.E270.m1.1.1.3.3" xref="A5.E270.m1.1.1.3.3.cmml"><mi id="A5.E270.m1.1.1.3.3.2" xref="A5.E270.m1.1.1.3.3.2.cmml">i</mi><mo id="A5.E270.m1.1.1.3.3.1" xref="A5.E270.m1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A5.E270.m1.1.1.3.3.3" xref="A5.E270.m1.1.1.3.3.3.cmml">j</mi></mrow></msubsup><mo id="A5.E270.m1.1.1.2" rspace="0.111em" xref="A5.E270.m1.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="A5.E270.m1.1.1.1" xref="A5.E270.m1.1.1.1.cmml"><munder id="A5.E270.m1.1.1.1.2" xref="A5.E270.m1.1.1.1.2.cmml"><mo id="A5.E270.m1.1.1.1.2.2" movablelimits="false" xref="A5.E270.m1.1.1.1.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="A5.E270.m1.1.1.1.2.3" xref="A5.E270.m1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="A5.E270.m1.1.1.1.2.3.2" xref="A5.E270.m1.1.1.1.2.3.2.cmml">ρ</mi><mo id="A5.E270.m1.1.1.1.2.3.1" xref="A5.E270.m1.1.1.1.2.3.1.cmml">∈</mo><msub id="A5.E270.m1.1.1.1.2.3.3" xref="A5.E270.m1.1.1.1.2.3.3.cmml"><mi id="A5.E270.m1.1.1.1.2.3.3.2" xref="A5.E270.m1.1.1.1.2.3.3.2.cmml">S</mi><mi id="A5.E270.m1.1.1.1.2.3.3.3" xref="A5.E270.m1.1.1.1.2.3.3.3.cmml">t</mi></msub></mrow></munder><mrow id="A5.E270.m1.1.1.1.1" xref="A5.E270.m1.1.1.1.1.cmml"><msub id="A5.E270.m1.1.1.1.1.3" xref="A5.E270.m1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A5.E270.m1.1.1.1.1.3.2" xref="A5.E270.m1.1.1.1.1.3.2.cmml">V</mi><mi id="A5.E270.m1.1.1.1.1.3.3" xref="A5.E270.m1.1.1.1.1.3.3.cmml">ν</mi></msub><mo id="A5.E270.m1.1.1.1.1.2" xref="A5.E270.m1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msup id="A5.E270.m1.1.1.1.1.1" xref="A5.E270.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A5.E270.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A5.E270.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A5.E270.m1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A5.E270.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="A5.E270.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A5.E270.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A5.E270.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A5.E270.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">ρ</mi><mrow id="A5.E270.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A5.E270.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="A5.E270.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3a" xref="A5.E270.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">−</mo><mn id="A5.E270.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A5.E270.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="A5.E270.m1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A5.E270.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="A5.E270.m1.1.1.1.1.1.3" xref="A5.E270.m1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A5.E270.m1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A5.E270.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">i</mi><mo id="A5.E270.m1.1.1.1.1.1.3.1" xref="A5.E270.m1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A5.E270.m1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A5.E270.m1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">j</mi></mrow></msup><mo id="A5.E270.m1.1.1.1.1.2a" xref="A5.E270.m1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="A5.E270.m1.1.1.1.1.4" xref="A5.E270.m1.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="A5.E270.m1.1.1.1.1.4.2" xref="A5.E270.m1.1.1.1.1.4.2.cmml">ρ</mi><mi id="A5.E270.m1.1.1.1.1.4.3" xref="A5.E270.m1.1.1.1.1.4.3.cmml">L</mi></msub></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A5.E270.m1.1b"><apply id="A5.E270.m1.1.1.cmml" xref="A5.E270.m1.1.1"><eq id="A5.E270.m1.1.1.2.cmml" xref="A5.E270.m1.1.1.2"></eq><apply id="A5.E270.m1.1.1.3.cmml" xref="A5.E270.m1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.E270.m1.1.1.3.1.cmml" xref="A5.E270.m1.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="A5.E270.m1.1.1.3.2.cmml" xref="A5.E270.m1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.E270.m1.1.1.3.2.1.cmml" xref="A5.E270.m1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A5.E270.m1.1.1.3.2.2.cmml" xref="A5.E270.m1.1.1.3.2.2">𝐿</ci><ci id="A5.E270.m1.1.1.3.2.3.cmml" xref="A5.E270.m1.1.1.3.2.3">𝜈</ci></apply><apply id="A5.E270.m1.1.1.3.3.cmml" xref="A5.E270.m1.1.1.3.3"><times id="A5.E270.m1.1.1.3.3.1.cmml" xref="A5.E270.m1.1.1.3.3.1"></times><ci id="A5.E270.m1.1.1.3.3.2.cmml" xref="A5.E270.m1.1.1.3.3.2">𝑖</ci><ci id="A5.E270.m1.1.1.3.3.3.cmml" xref="A5.E270.m1.1.1.3.3.3">𝑗</ci></apply></apply><apply id="A5.E270.m1.1.1.1.cmml" xref="A5.E270.m1.1.1.1"><apply id="A5.E270.m1.1.1.1.2.cmml" xref="A5.E270.m1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.E270.m1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A5.E270.m1.1.1.1.2">subscript</csymbol><sum id="A5.E270.m1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A5.E270.m1.1.1.1.2.2"></sum><apply id="A5.E270.m1.1.1.1.2.3.cmml" xref="A5.E270.m1.1.1.1.2.3"><in id="A5.E270.m1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="A5.E270.m1.1.1.1.2.3.1"></in><ci id="A5.E270.m1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="A5.E270.m1.1.1.1.2.3.2">𝜌</ci><apply id="A5.E270.m1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="A5.E270.m1.1.1.1.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.E270.m1.1.1.1.2.3.3.1.cmml" xref="A5.E270.m1.1.1.1.2.3.3">subscript</csymbol><ci id="A5.E270.m1.1.1.1.2.3.3.2.cmml" xref="A5.E270.m1.1.1.1.2.3.3.2">𝑆</ci><ci id="A5.E270.m1.1.1.1.2.3.3.3.cmml" xref="A5.E270.m1.1.1.1.2.3.3.3">𝑡</ci></apply></apply></apply><apply id="A5.E270.m1.1.1.1.1.cmml" xref="A5.E270.m1.1.1.1.1"><times id="A5.E270.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A5.E270.m1.1.1.1.1.2"></times><apply id="A5.E270.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A5.E270.m1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.E270.m1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A5.E270.m1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A5.E270.m1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A5.E270.m1.1.1.1.1.3.2">𝑉</ci><ci id="A5.E270.m1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A5.E270.m1.1.1.1.1.3.3">𝜈</ci></apply><apply id="A5.E270.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A5.E270.m1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.E270.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A5.E270.m1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="A5.E270.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A5.E270.m1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.E270.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A5.E270.m1.1.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="A5.E270.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A5.E270.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝜌</ci><apply id="A5.E270.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A5.E270.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><minus id="A5.E270.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A5.E270.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"></minus><cn id="A5.E270.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="A5.E270.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">1</cn></apply></apply><apply id="A5.E270.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A5.E270.m1.1.1.1.1.1.3"><times id="A5.E270.m1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A5.E270.m1.1.1.1.1.1.3.1"></times><ci id="A5.E270.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A5.E270.m1.1.1.1.1.1.3.2">𝑖</ci><ci id="A5.E270.m1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A5.E270.m1.1.1.1.1.1.3.3">𝑗</ci></apply></apply><apply id="A5.E270.m1.1.1.1.1.4.cmml" xref="A5.E270.m1.1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.E270.m1.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="A5.E270.m1.1.1.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="A5.E270.m1.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="A5.E270.m1.1.1.1.1.4.2">𝜌</ci><ci id="A5.E270.m1.1.1.1.1.4.3.cmml" xref="A5.E270.m1.1.1.1.1.4.3">𝐿</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A5.E270.m1.1c">\displaystyle L_{\nu}^{ij}=\sum_{\rho\in S_{t}}V_{\nu}(\rho^{-1})^{ij}\rho_{L}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A5.E270.m1.1d">italic_L start_POSTSUBSCRIPT italic_ν end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_i italic_j end_POSTSUPERSCRIPT = ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_ρ ∈ italic_S start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT italic_V start_POSTSUBSCRIPT italic_ν end_POSTSUBSCRIPT ( italic_ρ start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_i italic_j end_POSTSUPERSCRIPT italic_ρ start_POSTSUBSCRIPT italic_L end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(270)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="A5.p1.12">Note that we are allowed to index our basis element only in terms of the conjugacy class <math alttext="c" class="ltx_Math" display="inline" id="A5.p1.9.m1.1"><semantics id="A5.p1.9.m1.1a"><mi id="A5.p1.9.m1.1.1" xref="A5.p1.9.m1.1.1.cmml">c</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A5.p1.9.m1.1b"><ci id="A5.p1.9.m1.1.1.cmml" xref="A5.p1.9.m1.1.1">𝑐</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A5.p1.9.m1.1c">c</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A5.p1.9.m1.1d">italic_c</annotation></semantics></math>, instead of a full permutation <math alttext="\sigma" class="ltx_Math" display="inline" id="A5.p1.10.m2.1"><semantics id="A5.p1.10.m2.1a"><mi id="A5.p1.10.m2.1.1" xref="A5.p1.10.m2.1.1.cmml">σ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A5.p1.10.m2.1b"><ci id="A5.p1.10.m2.1.1.cmml" xref="A5.p1.10.m2.1.1">𝜎</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A5.p1.10.m2.1c">\sigma</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A5.p1.10.m2.1d">italic_σ</annotation></semantics></math>, as attempting to replace <math alttext="\sigma_{c}" class="ltx_Math" display="inline" id="A5.p1.11.m3.1"><semantics id="A5.p1.11.m3.1a"><msub id="A5.p1.11.m3.1.1" xref="A5.p1.11.m3.1.1.cmml"><mi id="A5.p1.11.m3.1.1.2" xref="A5.p1.11.m3.1.1.2.cmml">σ</mi><mi id="A5.p1.11.m3.1.1.3" xref="A5.p1.11.m3.1.1.3.cmml">c</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A5.p1.11.m3.1b"><apply id="A5.p1.11.m3.1.1.cmml" xref="A5.p1.11.m3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.p1.11.m3.1.1.1.cmml" xref="A5.p1.11.m3.1.1">subscript</csymbol><ci id="A5.p1.11.m3.1.1.2.cmml" xref="A5.p1.11.m3.1.1.2">𝜎</ci><ci id="A5.p1.11.m3.1.1.3.cmml" xref="A5.p1.11.m3.1.1.3">𝑐</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A5.p1.11.m3.1c">\sigma_{c}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A5.p1.11.m3.1d">italic_σ start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> with any other element <math alttext="\tau_{c}" class="ltx_Math" display="inline" id="A5.p1.12.m4.1"><semantics id="A5.p1.12.m4.1a"><msub id="A5.p1.12.m4.1.1" xref="A5.p1.12.m4.1.1.cmml"><mi id="A5.p1.12.m4.1.1.2" xref="A5.p1.12.m4.1.1.2.cmml">τ</mi><mi id="A5.p1.12.m4.1.1.3" xref="A5.p1.12.m4.1.1.3.cmml">c</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A5.p1.12.m4.1b"><apply id="A5.p1.12.m4.1.1.cmml" xref="A5.p1.12.m4.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.p1.12.m4.1.1.1.cmml" xref="A5.p1.12.m4.1.1">subscript</csymbol><ci id="A5.p1.12.m4.1.1.2.cmml" xref="A5.p1.12.m4.1.1.2">𝜏</ci><ci id="A5.p1.12.m4.1.1.3.cmml" xref="A5.p1.12.m4.1.1.3">𝑐</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A5.p1.12.m4.1c">\tau_{c}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A5.p1.12.m4.1d">italic_τ start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> in the same conjugacy class is equivalent to applying the tensor</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_gather ltx_eqn_table" id="S6.EGx231"> <tbody id="A5.E271"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\displaystyle V_{\nu_{L}}(\pi)^{hi}V_{\nu_{R}}(\pi^{-1})^{\ell m}" class="ltx_Math" display="block" id="A5.E271.m1.2"><semantics id="A5.E271.m1.2a"><mrow id="A5.E271.m1.2.2" xref="A5.E271.m1.2.2.cmml"><msub id="A5.E271.m1.2.2.3" xref="A5.E271.m1.2.2.3.cmml"><mi id="A5.E271.m1.2.2.3.2" xref="A5.E271.m1.2.2.3.2.cmml">V</mi><msub id="A5.E271.m1.2.2.3.3" xref="A5.E271.m1.2.2.3.3.cmml"><mi id="A5.E271.m1.2.2.3.3.2" xref="A5.E271.m1.2.2.3.3.2.cmml">ν</mi><mi id="A5.E271.m1.2.2.3.3.3" xref="A5.E271.m1.2.2.3.3.3.cmml">L</mi></msub></msub><mo id="A5.E271.m1.2.2.2" xref="A5.E271.m1.2.2.2.cmml">⁢</mo><msup id="A5.E271.m1.2.2.4" xref="A5.E271.m1.2.2.4.cmml"><mrow id="A5.E271.m1.2.2.4.2.2" xref="A5.E271.m1.2.2.4.cmml"><mo id="A5.E271.m1.2.2.4.2.2.1" stretchy="false" xref="A5.E271.m1.2.2.4.cmml">(</mo><mi id="A5.E271.m1.1.1" xref="A5.E271.m1.1.1.cmml">π</mi><mo id="A5.E271.m1.2.2.4.2.2.2" stretchy="false" xref="A5.E271.m1.2.2.4.cmml">)</mo></mrow><mrow id="A5.E271.m1.2.2.4.3" xref="A5.E271.m1.2.2.4.3.cmml"><mi id="A5.E271.m1.2.2.4.3.2" xref="A5.E271.m1.2.2.4.3.2.cmml">h</mi><mo id="A5.E271.m1.2.2.4.3.1" xref="A5.E271.m1.2.2.4.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A5.E271.m1.2.2.4.3.3" xref="A5.E271.m1.2.2.4.3.3.cmml">i</mi></mrow></msup><mo id="A5.E271.m1.2.2.2a" xref="A5.E271.m1.2.2.2.cmml">⁢</mo><msub id="A5.E271.m1.2.2.5" xref="A5.E271.m1.2.2.5.cmml"><mi id="A5.E271.m1.2.2.5.2" xref="A5.E271.m1.2.2.5.2.cmml">V</mi><msub id="A5.E271.m1.2.2.5.3" xref="A5.E271.m1.2.2.5.3.cmml"><mi id="A5.E271.m1.2.2.5.3.2" xref="A5.E271.m1.2.2.5.3.2.cmml">ν</mi><mi id="A5.E271.m1.2.2.5.3.3" xref="A5.E271.m1.2.2.5.3.3.cmml">R</mi></msub></msub><mo id="A5.E271.m1.2.2.2b" xref="A5.E271.m1.2.2.2.cmml">⁢</mo><msup id="A5.E271.m1.2.2.1" xref="A5.E271.m1.2.2.1.cmml"><mrow id="A5.E271.m1.2.2.1.1.1" xref="A5.E271.m1.2.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="A5.E271.m1.2.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A5.E271.m1.2.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="A5.E271.m1.2.2.1.1.1.1" xref="A5.E271.m1.2.2.1.1.1.1.cmml"><mi id="A5.E271.m1.2.2.1.1.1.1.2" xref="A5.E271.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml">π</mi><mrow id="A5.E271.m1.2.2.1.1.1.1.3" xref="A5.E271.m1.2.2.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="A5.E271.m1.2.2.1.1.1.1.3a" xref="A5.E271.m1.2.2.1.1.1.1.3.cmml">−</mo><mn id="A5.E271.m1.2.2.1.1.1.1.3.2" xref="A5.E271.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="A5.E271.m1.2.2.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A5.E271.m1.2.2.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="A5.E271.m1.2.2.1.3" xref="A5.E271.m1.2.2.1.3.cmml"><mi id="A5.E271.m1.2.2.1.3.2" mathvariant="normal" xref="A5.E271.m1.2.2.1.3.2.cmml">ℓ</mi><mo id="A5.E271.m1.2.2.1.3.1" xref="A5.E271.m1.2.2.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A5.E271.m1.2.2.1.3.3" xref="A5.E271.m1.2.2.1.3.3.cmml">m</mi></mrow></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A5.E271.m1.2b"><apply id="A5.E271.m1.2.2.cmml" xref="A5.E271.m1.2.2"><times id="A5.E271.m1.2.2.2.cmml" xref="A5.E271.m1.2.2.2"></times><apply id="A5.E271.m1.2.2.3.cmml" xref="A5.E271.m1.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.E271.m1.2.2.3.1.cmml" xref="A5.E271.m1.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="A5.E271.m1.2.2.3.2.cmml" xref="A5.E271.m1.2.2.3.2">𝑉</ci><apply id="A5.E271.m1.2.2.3.3.cmml" xref="A5.E271.m1.2.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.E271.m1.2.2.3.3.1.cmml" xref="A5.E271.m1.2.2.3.3">subscript</csymbol><ci id="A5.E271.m1.2.2.3.3.2.cmml" xref="A5.E271.m1.2.2.3.3.2">𝜈</ci><ci id="A5.E271.m1.2.2.3.3.3.cmml" xref="A5.E271.m1.2.2.3.3.3">𝐿</ci></apply></apply><apply id="A5.E271.m1.2.2.4.cmml" xref="A5.E271.m1.2.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.E271.m1.2.2.4.1.cmml" xref="A5.E271.m1.2.2.4">superscript</csymbol><ci id="A5.E271.m1.1.1.cmml" xref="A5.E271.m1.1.1">𝜋</ci><apply id="A5.E271.m1.2.2.4.3.cmml" xref="A5.E271.m1.2.2.4.3"><times id="A5.E271.m1.2.2.4.3.1.cmml" xref="A5.E271.m1.2.2.4.3.1"></times><ci id="A5.E271.m1.2.2.4.3.2.cmml" xref="A5.E271.m1.2.2.4.3.2">ℎ</ci><ci id="A5.E271.m1.2.2.4.3.3.cmml" xref="A5.E271.m1.2.2.4.3.3">𝑖</ci></apply></apply><apply id="A5.E271.m1.2.2.5.cmml" xref="A5.E271.m1.2.2.5"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.E271.m1.2.2.5.1.cmml" xref="A5.E271.m1.2.2.5">subscript</csymbol><ci id="A5.E271.m1.2.2.5.2.cmml" xref="A5.E271.m1.2.2.5.2">𝑉</ci><apply id="A5.E271.m1.2.2.5.3.cmml" xref="A5.E271.m1.2.2.5.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.E271.m1.2.2.5.3.1.cmml" xref="A5.E271.m1.2.2.5.3">subscript</csymbol><ci id="A5.E271.m1.2.2.5.3.2.cmml" xref="A5.E271.m1.2.2.5.3.2">𝜈</ci><ci id="A5.E271.m1.2.2.5.3.3.cmml" xref="A5.E271.m1.2.2.5.3.3">𝑅</ci></apply></apply><apply id="A5.E271.m1.2.2.1.cmml" xref="A5.E271.m1.2.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.E271.m1.2.2.1.2.cmml" xref="A5.E271.m1.2.2.1">superscript</csymbol><apply id="A5.E271.m1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="A5.E271.m1.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.E271.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="A5.E271.m1.2.2.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="A5.E271.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="A5.E271.m1.2.2.1.1.1.1.2">𝜋</ci><apply id="A5.E271.m1.2.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="A5.E271.m1.2.2.1.1.1.1.3"><minus id="A5.E271.m1.2.2.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A5.E271.m1.2.2.1.1.1.1.3"></minus><cn id="A5.E271.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="A5.E271.m1.2.2.1.1.1.1.3.2">1</cn></apply></apply><apply id="A5.E271.m1.2.2.1.3.cmml" xref="A5.E271.m1.2.2.1.3"><times id="A5.E271.m1.2.2.1.3.1.cmml" xref="A5.E271.m1.2.2.1.3.1"></times><ci id="A5.E271.m1.2.2.1.3.2.cmml" xref="A5.E271.m1.2.2.1.3.2">ℓ</ci><ci id="A5.E271.m1.2.2.1.3.3.cmml" xref="A5.E271.m1.2.2.1.3.3">𝑚</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A5.E271.m1.2c">\displaystyle V_{\nu_{L}}(\pi)^{hi}V_{\nu_{R}}(\pi^{-1})^{\ell m}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A5.E271.m1.2d">italic_V start_POSTSUBSCRIPT italic_ν start_POSTSUBSCRIPT italic_L end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT ( italic_π ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_h italic_i end_POSTSUPERSCRIPT italic_V start_POSTSUBSCRIPT italic_ν start_POSTSUBSCRIPT italic_R end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT ( italic_π start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT roman_ℓ italic_m end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(271)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="A5.p1.17">where <math alttext="\pi" class="ltx_Math" display="inline" id="A5.p1.13.m1.1"><semantics id="A5.p1.13.m1.1a"><mi id="A5.p1.13.m1.1.1" xref="A5.p1.13.m1.1.1.cmml">π</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A5.p1.13.m1.1b"><ci id="A5.p1.13.m1.1.1.cmml" xref="A5.p1.13.m1.1.1">𝜋</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A5.p1.13.m1.1c">\pi</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A5.p1.13.m1.1d">italic_π</annotation></semantics></math> is such that <math alttext="\tau_{c}=\pi\sigma_{c}\pi^{-1}" class="ltx_Math" display="inline" id="A5.p1.14.m2.1"><semantics id="A5.p1.14.m2.1a"><mrow id="A5.p1.14.m2.1.1" xref="A5.p1.14.m2.1.1.cmml"><msub id="A5.p1.14.m2.1.1.2" xref="A5.p1.14.m2.1.1.2.cmml"><mi id="A5.p1.14.m2.1.1.2.2" xref="A5.p1.14.m2.1.1.2.2.cmml">τ</mi><mi id="A5.p1.14.m2.1.1.2.3" xref="A5.p1.14.m2.1.1.2.3.cmml">c</mi></msub><mo id="A5.p1.14.m2.1.1.1" xref="A5.p1.14.m2.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="A5.p1.14.m2.1.1.3" xref="A5.p1.14.m2.1.1.3.cmml"><mi id="A5.p1.14.m2.1.1.3.2" xref="A5.p1.14.m2.1.1.3.2.cmml">π</mi><mo id="A5.p1.14.m2.1.1.3.1" xref="A5.p1.14.m2.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="A5.p1.14.m2.1.1.3.3" xref="A5.p1.14.m2.1.1.3.3.cmml"><mi id="A5.p1.14.m2.1.1.3.3.2" xref="A5.p1.14.m2.1.1.3.3.2.cmml">σ</mi><mi id="A5.p1.14.m2.1.1.3.3.3" xref="A5.p1.14.m2.1.1.3.3.3.cmml">c</mi></msub><mo id="A5.p1.14.m2.1.1.3.1a" xref="A5.p1.14.m2.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="A5.p1.14.m2.1.1.3.4" xref="A5.p1.14.m2.1.1.3.4.cmml"><mi id="A5.p1.14.m2.1.1.3.4.2" xref="A5.p1.14.m2.1.1.3.4.2.cmml">π</mi><mrow id="A5.p1.14.m2.1.1.3.4.3" xref="A5.p1.14.m2.1.1.3.4.3.cmml"><mo id="A5.p1.14.m2.1.1.3.4.3a" xref="A5.p1.14.m2.1.1.3.4.3.cmml">−</mo><mn id="A5.p1.14.m2.1.1.3.4.3.2" xref="A5.p1.14.m2.1.1.3.4.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A5.p1.14.m2.1b"><apply id="A5.p1.14.m2.1.1.cmml" xref="A5.p1.14.m2.1.1"><eq id="A5.p1.14.m2.1.1.1.cmml" xref="A5.p1.14.m2.1.1.1"></eq><apply id="A5.p1.14.m2.1.1.2.cmml" xref="A5.p1.14.m2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.p1.14.m2.1.1.2.1.cmml" xref="A5.p1.14.m2.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="A5.p1.14.m2.1.1.2.2.cmml" xref="A5.p1.14.m2.1.1.2.2">𝜏</ci><ci id="A5.p1.14.m2.1.1.2.3.cmml" xref="A5.p1.14.m2.1.1.2.3">𝑐</ci></apply><apply id="A5.p1.14.m2.1.1.3.cmml" xref="A5.p1.14.m2.1.1.3"><times id="A5.p1.14.m2.1.1.3.1.cmml" xref="A5.p1.14.m2.1.1.3.1"></times><ci id="A5.p1.14.m2.1.1.3.2.cmml" xref="A5.p1.14.m2.1.1.3.2">𝜋</ci><apply id="A5.p1.14.m2.1.1.3.3.cmml" xref="A5.p1.14.m2.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.p1.14.m2.1.1.3.3.1.cmml" xref="A5.p1.14.m2.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="A5.p1.14.m2.1.1.3.3.2.cmml" xref="A5.p1.14.m2.1.1.3.3.2">𝜎</ci><ci id="A5.p1.14.m2.1.1.3.3.3.cmml" xref="A5.p1.14.m2.1.1.3.3.3">𝑐</ci></apply><apply id="A5.p1.14.m2.1.1.3.4.cmml" xref="A5.p1.14.m2.1.1.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.p1.14.m2.1.1.3.4.1.cmml" xref="A5.p1.14.m2.1.1.3.4">superscript</csymbol><ci id="A5.p1.14.m2.1.1.3.4.2.cmml" xref="A5.p1.14.m2.1.1.3.4.2">𝜋</ci><apply id="A5.p1.14.m2.1.1.3.4.3.cmml" xref="A5.p1.14.m2.1.1.3.4.3"><minus id="A5.p1.14.m2.1.1.3.4.3.1.cmml" xref="A5.p1.14.m2.1.1.3.4.3"></minus><cn id="A5.p1.14.m2.1.1.3.4.3.2.cmml" type="integer" xref="A5.p1.14.m2.1.1.3.4.3.2">1</cn></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A5.p1.14.m2.1c">\tau_{c}=\pi\sigma_{c}\pi^{-1}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A5.p1.14.m2.1d">italic_τ start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT = italic_π italic_σ start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT italic_π start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>. The above operation consists of left-action of <math alttext="V_{\nu_{L}}(\pi)" class="ltx_Math" display="inline" id="A5.p1.15.m3.1"><semantics id="A5.p1.15.m3.1a"><mrow id="A5.p1.15.m3.1.2" xref="A5.p1.15.m3.1.2.cmml"><msub id="A5.p1.15.m3.1.2.2" xref="A5.p1.15.m3.1.2.2.cmml"><mi id="A5.p1.15.m3.1.2.2.2" xref="A5.p1.15.m3.1.2.2.2.cmml">V</mi><msub id="A5.p1.15.m3.1.2.2.3" xref="A5.p1.15.m3.1.2.2.3.cmml"><mi id="A5.p1.15.m3.1.2.2.3.2" xref="A5.p1.15.m3.1.2.2.3.2.cmml">ν</mi><mi id="A5.p1.15.m3.1.2.2.3.3" xref="A5.p1.15.m3.1.2.2.3.3.cmml">L</mi></msub></msub><mo id="A5.p1.15.m3.1.2.1" xref="A5.p1.15.m3.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A5.p1.15.m3.1.2.3.2" xref="A5.p1.15.m3.1.2.cmml"><mo id="A5.p1.15.m3.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="A5.p1.15.m3.1.2.cmml">(</mo><mi id="A5.p1.15.m3.1.1" xref="A5.p1.15.m3.1.1.cmml">π</mi><mo id="A5.p1.15.m3.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="A5.p1.15.m3.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A5.p1.15.m3.1b"><apply id="A5.p1.15.m3.1.2.cmml" xref="A5.p1.15.m3.1.2"><times id="A5.p1.15.m3.1.2.1.cmml" xref="A5.p1.15.m3.1.2.1"></times><apply id="A5.p1.15.m3.1.2.2.cmml" xref="A5.p1.15.m3.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.p1.15.m3.1.2.2.1.cmml" xref="A5.p1.15.m3.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="A5.p1.15.m3.1.2.2.2.cmml" xref="A5.p1.15.m3.1.2.2.2">𝑉</ci><apply id="A5.p1.15.m3.1.2.2.3.cmml" xref="A5.p1.15.m3.1.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.p1.15.m3.1.2.2.3.1.cmml" xref="A5.p1.15.m3.1.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="A5.p1.15.m3.1.2.2.3.2.cmml" xref="A5.p1.15.m3.1.2.2.3.2">𝜈</ci><ci id="A5.p1.15.m3.1.2.2.3.3.cmml" xref="A5.p1.15.m3.1.2.2.3.3">𝐿</ci></apply></apply><ci id="A5.p1.15.m3.1.1.cmml" xref="A5.p1.15.m3.1.1">𝜋</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A5.p1.15.m3.1c">V_{\nu_{L}}(\pi)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A5.p1.15.m3.1d">italic_V start_POSTSUBSCRIPT italic_ν start_POSTSUBSCRIPT italic_L end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT ( italic_π )</annotation></semantics></math> to the left irrep indices, combined with right-action of <math alttext="V_{\nu_{R}}(\pi^{-1})" class="ltx_Math" display="inline" id="A5.p1.16.m4.1"><semantics id="A5.p1.16.m4.1a"><mrow id="A5.p1.16.m4.1.1" xref="A5.p1.16.m4.1.1.cmml"><msub id="A5.p1.16.m4.1.1.3" xref="A5.p1.16.m4.1.1.3.cmml"><mi id="A5.p1.16.m4.1.1.3.2" xref="A5.p1.16.m4.1.1.3.2.cmml">V</mi><msub id="A5.p1.16.m4.1.1.3.3" xref="A5.p1.16.m4.1.1.3.3.cmml"><mi id="A5.p1.16.m4.1.1.3.3.2" xref="A5.p1.16.m4.1.1.3.3.2.cmml">ν</mi><mi id="A5.p1.16.m4.1.1.3.3.3" xref="A5.p1.16.m4.1.1.3.3.3.cmml">R</mi></msub></msub><mo id="A5.p1.16.m4.1.1.2" xref="A5.p1.16.m4.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A5.p1.16.m4.1.1.1.1" xref="A5.p1.16.m4.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A5.p1.16.m4.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A5.p1.16.m4.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="A5.p1.16.m4.1.1.1.1.1" xref="A5.p1.16.m4.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A5.p1.16.m4.1.1.1.1.1.2" xref="A5.p1.16.m4.1.1.1.1.1.2.cmml">π</mi><mrow id="A5.p1.16.m4.1.1.1.1.1.3" xref="A5.p1.16.m4.1.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="A5.p1.16.m4.1.1.1.1.1.3a" xref="A5.p1.16.m4.1.1.1.1.1.3.cmml">−</mo><mn id="A5.p1.16.m4.1.1.1.1.1.3.2" xref="A5.p1.16.m4.1.1.1.1.1.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="A5.p1.16.m4.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A5.p1.16.m4.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A5.p1.16.m4.1b"><apply id="A5.p1.16.m4.1.1.cmml" xref="A5.p1.16.m4.1.1"><times id="A5.p1.16.m4.1.1.2.cmml" xref="A5.p1.16.m4.1.1.2"></times><apply id="A5.p1.16.m4.1.1.3.cmml" xref="A5.p1.16.m4.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.p1.16.m4.1.1.3.1.cmml" xref="A5.p1.16.m4.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A5.p1.16.m4.1.1.3.2.cmml" xref="A5.p1.16.m4.1.1.3.2">𝑉</ci><apply id="A5.p1.16.m4.1.1.3.3.cmml" xref="A5.p1.16.m4.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.p1.16.m4.1.1.3.3.1.cmml" xref="A5.p1.16.m4.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="A5.p1.16.m4.1.1.3.3.2.cmml" xref="A5.p1.16.m4.1.1.3.3.2">𝜈</ci><ci id="A5.p1.16.m4.1.1.3.3.3.cmml" xref="A5.p1.16.m4.1.1.3.3.3">𝑅</ci></apply></apply><apply id="A5.p1.16.m4.1.1.1.1.1.cmml" xref="A5.p1.16.m4.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.p1.16.m4.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A5.p1.16.m4.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="A5.p1.16.m4.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A5.p1.16.m4.1.1.1.1.1.2">𝜋</ci><apply id="A5.p1.16.m4.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A5.p1.16.m4.1.1.1.1.1.3"><minus id="A5.p1.16.m4.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A5.p1.16.m4.1.1.1.1.1.3"></minus><cn id="A5.p1.16.m4.1.1.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="A5.p1.16.m4.1.1.1.1.1.3.2">1</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A5.p1.16.m4.1c">V_{\nu_{R}}(\pi^{-1})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A5.p1.16.m4.1d">italic_V start_POSTSUBSCRIPT italic_ν start_POSTSUBSCRIPT italic_R end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT ( italic_π start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math> to the right irrep indices. Therefore, it is actually a group homomorphism - we will call this operation <math alttext="T(\pi)_{\nu_{L},\nu_{R}}^{hi,\ell m}" class="ltx_Math" display="inline" id="A5.p1.17.m5.5"><semantics id="A5.p1.17.m5.5a"><mrow id="A5.p1.17.m5.5.6" xref="A5.p1.17.m5.5.6.cmml"><mi id="A5.p1.17.m5.5.6.2" xref="A5.p1.17.m5.5.6.2.cmml">T</mi><mo id="A5.p1.17.m5.5.6.1" xref="A5.p1.17.m5.5.6.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="A5.p1.17.m5.5.6.3" xref="A5.p1.17.m5.5.6.3.cmml"><mrow id="A5.p1.17.m5.5.6.3.2.2.2" xref="A5.p1.17.m5.5.6.3.cmml"><mo id="A5.p1.17.m5.5.6.3.2.2.2.1" stretchy="false" xref="A5.p1.17.m5.5.6.3.cmml">(</mo><mi id="A5.p1.17.m5.5.5" xref="A5.p1.17.m5.5.5.cmml">π</mi><mo id="A5.p1.17.m5.5.6.3.2.2.2.2" stretchy="false" xref="A5.p1.17.m5.5.6.3.cmml">)</mo></mrow><mrow id="A5.p1.17.m5.2.2.2.2" xref="A5.p1.17.m5.2.2.2.3.cmml"><msub id="A5.p1.17.m5.1.1.1.1.1" xref="A5.p1.17.m5.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A5.p1.17.m5.1.1.1.1.1.2" xref="A5.p1.17.m5.1.1.1.1.1.2.cmml">ν</mi><mi id="A5.p1.17.m5.1.1.1.1.1.3" xref="A5.p1.17.m5.1.1.1.1.1.3.cmml">L</mi></msub><mo id="A5.p1.17.m5.2.2.2.2.3" xref="A5.p1.17.m5.2.2.2.3.cmml">,</mo><msub id="A5.p1.17.m5.2.2.2.2.2" xref="A5.p1.17.m5.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="A5.p1.17.m5.2.2.2.2.2.2" xref="A5.p1.17.m5.2.2.2.2.2.2.cmml">ν</mi><mi id="A5.p1.17.m5.2.2.2.2.2.3" xref="A5.p1.17.m5.2.2.2.2.2.3.cmml">R</mi></msub></mrow><mrow id="A5.p1.17.m5.4.4.2.2" xref="A5.p1.17.m5.4.4.2.3.cmml"><mrow id="A5.p1.17.m5.3.3.1.1.1" xref="A5.p1.17.m5.3.3.1.1.1.cmml"><mi id="A5.p1.17.m5.3.3.1.1.1.2" xref="A5.p1.17.m5.3.3.1.1.1.2.cmml">h</mi><mo id="A5.p1.17.m5.3.3.1.1.1.1" xref="A5.p1.17.m5.3.3.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="A5.p1.17.m5.3.3.1.1.1.3" xref="A5.p1.17.m5.3.3.1.1.1.3.cmml">i</mi></mrow><mo id="A5.p1.17.m5.4.4.2.2.3" xref="A5.p1.17.m5.4.4.2.3.cmml">,</mo><mrow id="A5.p1.17.m5.4.4.2.2.2" xref="A5.p1.17.m5.4.4.2.2.2.cmml"><mi id="A5.p1.17.m5.4.4.2.2.2.2" mathvariant="normal" xref="A5.p1.17.m5.4.4.2.2.2.2.cmml">ℓ</mi><mo id="A5.p1.17.m5.4.4.2.2.2.1" xref="A5.p1.17.m5.4.4.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="A5.p1.17.m5.4.4.2.2.2.3" xref="A5.p1.17.m5.4.4.2.2.2.3.cmml">m</mi></mrow></mrow></msubsup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A5.p1.17.m5.5b"><apply id="A5.p1.17.m5.5.6.cmml" xref="A5.p1.17.m5.5.6"><times id="A5.p1.17.m5.5.6.1.cmml" xref="A5.p1.17.m5.5.6.1"></times><ci id="A5.p1.17.m5.5.6.2.cmml" xref="A5.p1.17.m5.5.6.2">𝑇</ci><apply id="A5.p1.17.m5.5.6.3.cmml" xref="A5.p1.17.m5.5.6.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.p1.17.m5.5.6.3.1.cmml" xref="A5.p1.17.m5.5.6.3">superscript</csymbol><apply id="A5.p1.17.m5.5.6.3.2.cmml" xref="A5.p1.17.m5.5.6.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.p1.17.m5.5.6.3.2.1.cmml" xref="A5.p1.17.m5.5.6.3">subscript</csymbol><ci id="A5.p1.17.m5.5.5.cmml" xref="A5.p1.17.m5.5.5">𝜋</ci><list id="A5.p1.17.m5.2.2.2.3.cmml" xref="A5.p1.17.m5.2.2.2.2"><apply id="A5.p1.17.m5.1.1.1.1.1.cmml" xref="A5.p1.17.m5.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.p1.17.m5.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A5.p1.17.m5.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="A5.p1.17.m5.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A5.p1.17.m5.1.1.1.1.1.2">𝜈</ci><ci id="A5.p1.17.m5.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A5.p1.17.m5.1.1.1.1.1.3">𝐿</ci></apply><apply id="A5.p1.17.m5.2.2.2.2.2.cmml" xref="A5.p1.17.m5.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.p1.17.m5.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="A5.p1.17.m5.2.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="A5.p1.17.m5.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="A5.p1.17.m5.2.2.2.2.2.2">𝜈</ci><ci id="A5.p1.17.m5.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="A5.p1.17.m5.2.2.2.2.2.3">𝑅</ci></apply></list></apply><list id="A5.p1.17.m5.4.4.2.3.cmml" xref="A5.p1.17.m5.4.4.2.2"><apply id="A5.p1.17.m5.3.3.1.1.1.cmml" xref="A5.p1.17.m5.3.3.1.1.1"><times id="A5.p1.17.m5.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="A5.p1.17.m5.3.3.1.1.1.1"></times><ci id="A5.p1.17.m5.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="A5.p1.17.m5.3.3.1.1.1.2">ℎ</ci><ci id="A5.p1.17.m5.3.3.1.1.1.3.cmml" xref="A5.p1.17.m5.3.3.1.1.1.3">𝑖</ci></apply><apply id="A5.p1.17.m5.4.4.2.2.2.cmml" xref="A5.p1.17.m5.4.4.2.2.2"><times id="A5.p1.17.m5.4.4.2.2.2.1.cmml" xref="A5.p1.17.m5.4.4.2.2.2.1"></times><ci id="A5.p1.17.m5.4.4.2.2.2.2.cmml" xref="A5.p1.17.m5.4.4.2.2.2.2">ℓ</ci><ci id="A5.p1.17.m5.4.4.2.2.2.3.cmml" xref="A5.p1.17.m5.4.4.2.2.2.3">𝑚</ci></apply></list></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A5.p1.17.m5.5c">T(\pi)_{\nu_{L},\nu_{R}}^{hi,\ell m}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A5.p1.17.m5.5d">italic_T ( italic_π ) start_POSTSUBSCRIPT italic_ν start_POSTSUBSCRIPT italic_L end_POSTSUBSCRIPT , italic_ν start_POSTSUBSCRIPT italic_R end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_h italic_i , roman_ℓ italic_m end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>.</p> </div> <div class="ltx_para" id="A5.p2"> <p class="ltx_p" id="A5.p2.15">Each state <math alttext="\ket{\gamma}=\sum_{ijk\ell c}\gamma^{ij,k\ell,c}\ket{e_{\nu_{L},\nu_{R}}^{ij,k% \ell,c}}" class="ltx_Math" display="inline" id="A5.p2.1.m1.5"><semantics id="A5.p2.1.m1.5a"><mrow id="A5.p2.1.m1.5.6" xref="A5.p2.1.m1.5.6.cmml"><mrow id="A5.p2.1.m1.1.1.3" xref="A5.p2.1.m1.1.1.2.cmml"><mo id="A5.p2.1.m1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="A5.p2.1.m1.1.1.2.1.cmml">|</mo><mi id="A5.p2.1.m1.1.1.1.1" xref="A5.p2.1.m1.1.1.1.1.cmml">γ</mi><mo id="A5.p2.1.m1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="A5.p2.1.m1.1.1.2.1.cmml">⟩</mo></mrow><mo id="A5.p2.1.m1.5.6.1" rspace="0.111em" xref="A5.p2.1.m1.5.6.1.cmml">=</mo><mrow id="A5.p2.1.m1.5.6.2" xref="A5.p2.1.m1.5.6.2.cmml"><msub id="A5.p2.1.m1.5.6.2.1" xref="A5.p2.1.m1.5.6.2.1.cmml"><mo id="A5.p2.1.m1.5.6.2.1.2" xref="A5.p2.1.m1.5.6.2.1.2.cmml">∑</mo><mrow id="A5.p2.1.m1.5.6.2.1.3" xref="A5.p2.1.m1.5.6.2.1.3.cmml"><mi id="A5.p2.1.m1.5.6.2.1.3.2" xref="A5.p2.1.m1.5.6.2.1.3.2.cmml">i</mi><mo id="A5.p2.1.m1.5.6.2.1.3.1" xref="A5.p2.1.m1.5.6.2.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A5.p2.1.m1.5.6.2.1.3.3" xref="A5.p2.1.m1.5.6.2.1.3.3.cmml">j</mi><mo id="A5.p2.1.m1.5.6.2.1.3.1a" xref="A5.p2.1.m1.5.6.2.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A5.p2.1.m1.5.6.2.1.3.4" xref="A5.p2.1.m1.5.6.2.1.3.4.cmml">k</mi><mo id="A5.p2.1.m1.5.6.2.1.3.1b" xref="A5.p2.1.m1.5.6.2.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A5.p2.1.m1.5.6.2.1.3.5" mathvariant="normal" xref="A5.p2.1.m1.5.6.2.1.3.5.cmml">ℓ</mi><mo id="A5.p2.1.m1.5.6.2.1.3.1c" xref="A5.p2.1.m1.5.6.2.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A5.p2.1.m1.5.6.2.1.3.6" xref="A5.p2.1.m1.5.6.2.1.3.6.cmml">c</mi></mrow></msub><mrow id="A5.p2.1.m1.5.6.2.2" xref="A5.p2.1.m1.5.6.2.2.cmml"><msup id="A5.p2.1.m1.5.6.2.2.2" xref="A5.p2.1.m1.5.6.2.2.2.cmml"><mi id="A5.p2.1.m1.5.6.2.2.2.2" xref="A5.p2.1.m1.5.6.2.2.2.2.cmml">γ</mi><mrow id="A5.p2.1.m1.5.5.3.3" xref="A5.p2.1.m1.5.5.3.4.cmml"><mrow id="A5.p2.1.m1.4.4.2.2.1" xref="A5.p2.1.m1.4.4.2.2.1.cmml"><mi id="A5.p2.1.m1.4.4.2.2.1.2" xref="A5.p2.1.m1.4.4.2.2.1.2.cmml">i</mi><mo id="A5.p2.1.m1.4.4.2.2.1.1" xref="A5.p2.1.m1.4.4.2.2.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="A5.p2.1.m1.4.4.2.2.1.3" xref="A5.p2.1.m1.4.4.2.2.1.3.cmml">j</mi></mrow><mo id="A5.p2.1.m1.5.5.3.3.3" xref="A5.p2.1.m1.5.5.3.4.cmml">,</mo><mrow id="A5.p2.1.m1.5.5.3.3.2" xref="A5.p2.1.m1.5.5.3.3.2.cmml"><mi id="A5.p2.1.m1.5.5.3.3.2.2" xref="A5.p2.1.m1.5.5.3.3.2.2.cmml">k</mi><mo id="A5.p2.1.m1.5.5.3.3.2.1" xref="A5.p2.1.m1.5.5.3.3.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="A5.p2.1.m1.5.5.3.3.2.3" mathvariant="normal" xref="A5.p2.1.m1.5.5.3.3.2.3.cmml">ℓ</mi></mrow><mo id="A5.p2.1.m1.5.5.3.3.4" xref="A5.p2.1.m1.5.5.3.4.cmml">,</mo><mi id="A5.p2.1.m1.3.3.1.1" xref="A5.p2.1.m1.3.3.1.1.cmml">c</mi></mrow></msup><mo id="A5.p2.1.m1.5.6.2.2.1" xref="A5.p2.1.m1.5.6.2.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A5.p2.1.m1.2.2.3" xref="A5.p2.1.m1.2.2.2.cmml"><mo id="A5.p2.1.m1.2.2.3.1" stretchy="false" xref="A5.p2.1.m1.2.2.2.1.cmml">|</mo><msubsup id="A5.p2.1.m1.2.2.1.1" xref="A5.p2.1.m1.2.2.1.1.cmml"><mi id="A5.p2.1.m1.2.2.1.1.7.2" xref="A5.p2.1.m1.2.2.1.1.7.2.cmml">e</mi><mrow id="A5.p2.1.m1.2.2.1.1.2.2.2" xref="A5.p2.1.m1.2.2.1.1.2.2.3.cmml"><msub id="A5.p2.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="A5.p2.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A5.p2.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2" xref="A5.p2.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml">ν</mi><mi id="A5.p2.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3" xref="A5.p2.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml">L</mi></msub><mo id="A5.p2.1.m1.2.2.1.1.2.2.2.3" xref="A5.p2.1.m1.2.2.1.1.2.2.3.cmml">,</mo><msub id="A5.p2.1.m1.2.2.1.1.2.2.2.2" xref="A5.p2.1.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.cmml"><mi id="A5.p2.1.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2" xref="A5.p2.1.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.cmml">ν</mi><mi id="A5.p2.1.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.3" xref="A5.p2.1.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.3.cmml">R</mi></msub></mrow><mrow id="A5.p2.1.m1.2.2.1.1.5.3.3" xref="A5.p2.1.m1.2.2.1.1.5.3.4.cmml"><mrow id="A5.p2.1.m1.2.2.1.1.4.2.2.1" xref="A5.p2.1.m1.2.2.1.1.4.2.2.1.cmml"><mi id="A5.p2.1.m1.2.2.1.1.4.2.2.1.2" xref="A5.p2.1.m1.2.2.1.1.4.2.2.1.2.cmml">i</mi><mo id="A5.p2.1.m1.2.2.1.1.4.2.2.1.1" xref="A5.p2.1.m1.2.2.1.1.4.2.2.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="A5.p2.1.m1.2.2.1.1.4.2.2.1.3" xref="A5.p2.1.m1.2.2.1.1.4.2.2.1.3.cmml">j</mi></mrow><mo id="A5.p2.1.m1.2.2.1.1.5.3.3.3" xref="A5.p2.1.m1.2.2.1.1.5.3.4.cmml">,</mo><mrow id="A5.p2.1.m1.2.2.1.1.5.3.3.2" xref="A5.p2.1.m1.2.2.1.1.5.3.3.2.cmml"><mi id="A5.p2.1.m1.2.2.1.1.5.3.3.2.2" xref="A5.p2.1.m1.2.2.1.1.5.3.3.2.2.cmml">k</mi><mo id="A5.p2.1.m1.2.2.1.1.5.3.3.2.1" xref="A5.p2.1.m1.2.2.1.1.5.3.3.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="A5.p2.1.m1.2.2.1.1.5.3.3.2.3" mathvariant="normal" xref="A5.p2.1.m1.2.2.1.1.5.3.3.2.3.cmml">ℓ</mi></mrow><mo id="A5.p2.1.m1.2.2.1.1.5.3.3.4" xref="A5.p2.1.m1.2.2.1.1.5.3.4.cmml">,</mo><mi id="A5.p2.1.m1.2.2.1.1.3.1.1" xref="A5.p2.1.m1.2.2.1.1.3.1.1.cmml">c</mi></mrow></msubsup><mo id="A5.p2.1.m1.2.2.3.2" stretchy="false" xref="A5.p2.1.m1.2.2.2.1.cmml">⟩</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A5.p2.1.m1.5b"><apply id="A5.p2.1.m1.5.6.cmml" xref="A5.p2.1.m1.5.6"><eq id="A5.p2.1.m1.5.6.1.cmml" xref="A5.p2.1.m1.5.6.1"></eq><apply id="A5.p2.1.m1.1.1.2.cmml" xref="A5.p2.1.m1.1.1.3"><csymbol cd="latexml" id="A5.p2.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="A5.p2.1.m1.1.1.3.1">ket</csymbol><ci id="A5.p2.1.m1.1.1.1.1.cmml" xref="A5.p2.1.m1.1.1.1.1">𝛾</ci></apply><apply id="A5.p2.1.m1.5.6.2.cmml" xref="A5.p2.1.m1.5.6.2"><apply id="A5.p2.1.m1.5.6.2.1.cmml" xref="A5.p2.1.m1.5.6.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.p2.1.m1.5.6.2.1.1.cmml" xref="A5.p2.1.m1.5.6.2.1">subscript</csymbol><sum id="A5.p2.1.m1.5.6.2.1.2.cmml" xref="A5.p2.1.m1.5.6.2.1.2"></sum><apply id="A5.p2.1.m1.5.6.2.1.3.cmml" xref="A5.p2.1.m1.5.6.2.1.3"><times id="A5.p2.1.m1.5.6.2.1.3.1.cmml" xref="A5.p2.1.m1.5.6.2.1.3.1"></times><ci id="A5.p2.1.m1.5.6.2.1.3.2.cmml" xref="A5.p2.1.m1.5.6.2.1.3.2">𝑖</ci><ci id="A5.p2.1.m1.5.6.2.1.3.3.cmml" xref="A5.p2.1.m1.5.6.2.1.3.3">𝑗</ci><ci id="A5.p2.1.m1.5.6.2.1.3.4.cmml" xref="A5.p2.1.m1.5.6.2.1.3.4">𝑘</ci><ci id="A5.p2.1.m1.5.6.2.1.3.5.cmml" xref="A5.p2.1.m1.5.6.2.1.3.5">ℓ</ci><ci id="A5.p2.1.m1.5.6.2.1.3.6.cmml" xref="A5.p2.1.m1.5.6.2.1.3.6">𝑐</ci></apply></apply><apply id="A5.p2.1.m1.5.6.2.2.cmml" xref="A5.p2.1.m1.5.6.2.2"><times id="A5.p2.1.m1.5.6.2.2.1.cmml" xref="A5.p2.1.m1.5.6.2.2.1"></times><apply id="A5.p2.1.m1.5.6.2.2.2.cmml" xref="A5.p2.1.m1.5.6.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.p2.1.m1.5.6.2.2.2.1.cmml" xref="A5.p2.1.m1.5.6.2.2.2">superscript</csymbol><ci id="A5.p2.1.m1.5.6.2.2.2.2.cmml" xref="A5.p2.1.m1.5.6.2.2.2.2">𝛾</ci><list id="A5.p2.1.m1.5.5.3.4.cmml" xref="A5.p2.1.m1.5.5.3.3"><apply id="A5.p2.1.m1.4.4.2.2.1.cmml" xref="A5.p2.1.m1.4.4.2.2.1"><times id="A5.p2.1.m1.4.4.2.2.1.1.cmml" xref="A5.p2.1.m1.4.4.2.2.1.1"></times><ci id="A5.p2.1.m1.4.4.2.2.1.2.cmml" xref="A5.p2.1.m1.4.4.2.2.1.2">𝑖</ci><ci id="A5.p2.1.m1.4.4.2.2.1.3.cmml" xref="A5.p2.1.m1.4.4.2.2.1.3">𝑗</ci></apply><apply id="A5.p2.1.m1.5.5.3.3.2.cmml" xref="A5.p2.1.m1.5.5.3.3.2"><times id="A5.p2.1.m1.5.5.3.3.2.1.cmml" xref="A5.p2.1.m1.5.5.3.3.2.1"></times><ci id="A5.p2.1.m1.5.5.3.3.2.2.cmml" xref="A5.p2.1.m1.5.5.3.3.2.2">𝑘</ci><ci id="A5.p2.1.m1.5.5.3.3.2.3.cmml" xref="A5.p2.1.m1.5.5.3.3.2.3">ℓ</ci></apply><ci id="A5.p2.1.m1.3.3.1.1.cmml" xref="A5.p2.1.m1.3.3.1.1">𝑐</ci></list></apply><apply id="A5.p2.1.m1.2.2.2.cmml" xref="A5.p2.1.m1.2.2.3"><csymbol cd="latexml" id="A5.p2.1.m1.2.2.2.1.cmml" xref="A5.p2.1.m1.2.2.3.1">ket</csymbol><apply id="A5.p2.1.m1.2.2.1.1.cmml" xref="A5.p2.1.m1.2.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.p2.1.m1.2.2.1.1.6.cmml" xref="A5.p2.1.m1.2.2.1.1">superscript</csymbol><apply id="A5.p2.1.m1.2.2.1.1.7.cmml" xref="A5.p2.1.m1.2.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.p2.1.m1.2.2.1.1.7.1.cmml" xref="A5.p2.1.m1.2.2.1.1">subscript</csymbol><ci id="A5.p2.1.m1.2.2.1.1.7.2.cmml" xref="A5.p2.1.m1.2.2.1.1.7.2">𝑒</ci><list id="A5.p2.1.m1.2.2.1.1.2.2.3.cmml" xref="A5.p2.1.m1.2.2.1.1.2.2.2"><apply id="A5.p2.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A5.p2.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.p2.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A5.p2.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="A5.p2.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A5.p2.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2">𝜈</ci><ci id="A5.p2.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A5.p2.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3">𝐿</ci></apply><apply id="A5.p2.1.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="A5.p2.1.m1.2.2.1.1.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.p2.1.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.1.cmml" xref="A5.p2.1.m1.2.2.1.1.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="A5.p2.1.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.cmml" xref="A5.p2.1.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2">𝜈</ci><ci id="A5.p2.1.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.3.cmml" xref="A5.p2.1.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.3">𝑅</ci></apply></list></apply><list id="A5.p2.1.m1.2.2.1.1.5.3.4.cmml" xref="A5.p2.1.m1.2.2.1.1.5.3.3"><apply id="A5.p2.1.m1.2.2.1.1.4.2.2.1.cmml" xref="A5.p2.1.m1.2.2.1.1.4.2.2.1"><times id="A5.p2.1.m1.2.2.1.1.4.2.2.1.1.cmml" xref="A5.p2.1.m1.2.2.1.1.4.2.2.1.1"></times><ci id="A5.p2.1.m1.2.2.1.1.4.2.2.1.2.cmml" xref="A5.p2.1.m1.2.2.1.1.4.2.2.1.2">𝑖</ci><ci id="A5.p2.1.m1.2.2.1.1.4.2.2.1.3.cmml" xref="A5.p2.1.m1.2.2.1.1.4.2.2.1.3">𝑗</ci></apply><apply id="A5.p2.1.m1.2.2.1.1.5.3.3.2.cmml" xref="A5.p2.1.m1.2.2.1.1.5.3.3.2"><times id="A5.p2.1.m1.2.2.1.1.5.3.3.2.1.cmml" xref="A5.p2.1.m1.2.2.1.1.5.3.3.2.1"></times><ci id="A5.p2.1.m1.2.2.1.1.5.3.3.2.2.cmml" xref="A5.p2.1.m1.2.2.1.1.5.3.3.2.2">𝑘</ci><ci id="A5.p2.1.m1.2.2.1.1.5.3.3.2.3.cmml" xref="A5.p2.1.m1.2.2.1.1.5.3.3.2.3">ℓ</ci></apply><ci id="A5.p2.1.m1.2.2.1.1.3.1.1.cmml" xref="A5.p2.1.m1.2.2.1.1.3.1.1">𝑐</ci></list></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A5.p2.1.m1.5c">\ket{\gamma}=\sum_{ijk\ell c}\gamma^{ij,k\ell,c}\ket{e_{\nu_{L},\nu_{R}}^{ij,k% \ell,c}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A5.p2.1.m1.5d">| start_ARG italic_γ end_ARG ⟩ = ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_i italic_j italic_k roman_ℓ italic_c end_POSTSUBSCRIPT italic_γ start_POSTSUPERSCRIPT italic_i italic_j , italic_k roman_ℓ , italic_c end_POSTSUPERSCRIPT | start_ARG italic_e start_POSTSUBSCRIPT italic_ν start_POSTSUBSCRIPT italic_L end_POSTSUBSCRIPT , italic_ν start_POSTSUBSCRIPT italic_R end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_i italic_j , italic_k roman_ℓ , italic_c end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG ⟩</annotation></semantics></math>is then characterized by the tensor <math alttext="\gamma^{ij,k\ell,c}" class="ltx_Math" display="inline" id="A5.p2.2.m2.3"><semantics id="A5.p2.2.m2.3a"><msup id="A5.p2.2.m2.3.4" xref="A5.p2.2.m2.3.4.cmml"><mi id="A5.p2.2.m2.3.4.2" xref="A5.p2.2.m2.3.4.2.cmml">γ</mi><mrow id="A5.p2.2.m2.3.3.3.3" xref="A5.p2.2.m2.3.3.3.4.cmml"><mrow id="A5.p2.2.m2.2.2.2.2.1" xref="A5.p2.2.m2.2.2.2.2.1.cmml"><mi id="A5.p2.2.m2.2.2.2.2.1.2" xref="A5.p2.2.m2.2.2.2.2.1.2.cmml">i</mi><mo id="A5.p2.2.m2.2.2.2.2.1.1" xref="A5.p2.2.m2.2.2.2.2.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="A5.p2.2.m2.2.2.2.2.1.3" xref="A5.p2.2.m2.2.2.2.2.1.3.cmml">j</mi></mrow><mo id="A5.p2.2.m2.3.3.3.3.3" xref="A5.p2.2.m2.3.3.3.4.cmml">,</mo><mrow id="A5.p2.2.m2.3.3.3.3.2" xref="A5.p2.2.m2.3.3.3.3.2.cmml"><mi id="A5.p2.2.m2.3.3.3.3.2.2" xref="A5.p2.2.m2.3.3.3.3.2.2.cmml">k</mi><mo id="A5.p2.2.m2.3.3.3.3.2.1" xref="A5.p2.2.m2.3.3.3.3.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="A5.p2.2.m2.3.3.3.3.2.3" mathvariant="normal" xref="A5.p2.2.m2.3.3.3.3.2.3.cmml">ℓ</mi></mrow><mo id="A5.p2.2.m2.3.3.3.3.4" xref="A5.p2.2.m2.3.3.3.4.cmml">,</mo><mi id="A5.p2.2.m2.1.1.1.1" xref="A5.p2.2.m2.1.1.1.1.cmml">c</mi></mrow></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A5.p2.2.m2.3b"><apply id="A5.p2.2.m2.3.4.cmml" xref="A5.p2.2.m2.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.p2.2.m2.3.4.1.cmml" xref="A5.p2.2.m2.3.4">superscript</csymbol><ci id="A5.p2.2.m2.3.4.2.cmml" xref="A5.p2.2.m2.3.4.2">𝛾</ci><list id="A5.p2.2.m2.3.3.3.4.cmml" xref="A5.p2.2.m2.3.3.3.3"><apply id="A5.p2.2.m2.2.2.2.2.1.cmml" xref="A5.p2.2.m2.2.2.2.2.1"><times id="A5.p2.2.m2.2.2.2.2.1.1.cmml" xref="A5.p2.2.m2.2.2.2.2.1.1"></times><ci id="A5.p2.2.m2.2.2.2.2.1.2.cmml" xref="A5.p2.2.m2.2.2.2.2.1.2">𝑖</ci><ci id="A5.p2.2.m2.2.2.2.2.1.3.cmml" xref="A5.p2.2.m2.2.2.2.2.1.3">𝑗</ci></apply><apply id="A5.p2.2.m2.3.3.3.3.2.cmml" xref="A5.p2.2.m2.3.3.3.3.2"><times id="A5.p2.2.m2.3.3.3.3.2.1.cmml" xref="A5.p2.2.m2.3.3.3.3.2.1"></times><ci id="A5.p2.2.m2.3.3.3.3.2.2.cmml" xref="A5.p2.2.m2.3.3.3.3.2.2">𝑘</ci><ci id="A5.p2.2.m2.3.3.3.3.2.3.cmml" xref="A5.p2.2.m2.3.3.3.3.2.3">ℓ</ci></apply><ci id="A5.p2.2.m2.1.1.1.1.cmml" xref="A5.p2.2.m2.1.1.1.1">𝑐</ci></list></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A5.p2.2.m2.3c">\gamma^{ij,k\ell,c}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A5.p2.2.m2.3d">italic_γ start_POSTSUPERSCRIPT italic_i italic_j , italic_k roman_ℓ , italic_c end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> of size <math alttext="d_{\lambda_{R}}^{2}d_{\lambda_{L}}^{2}N_{c}" class="ltx_Math" display="inline" id="A5.p2.3.m3.1"><semantics id="A5.p2.3.m3.1a"><mrow id="A5.p2.3.m3.1.1" xref="A5.p2.3.m3.1.1.cmml"><msubsup id="A5.p2.3.m3.1.1.2" xref="A5.p2.3.m3.1.1.2.cmml"><mi id="A5.p2.3.m3.1.1.2.2.2" xref="A5.p2.3.m3.1.1.2.2.2.cmml">d</mi><msub id="A5.p2.3.m3.1.1.2.2.3" xref="A5.p2.3.m3.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="A5.p2.3.m3.1.1.2.2.3.2" xref="A5.p2.3.m3.1.1.2.2.3.2.cmml">λ</mi><mi id="A5.p2.3.m3.1.1.2.2.3.3" xref="A5.p2.3.m3.1.1.2.2.3.3.cmml">R</mi></msub><mn id="A5.p2.3.m3.1.1.2.3" xref="A5.p2.3.m3.1.1.2.3.cmml">2</mn></msubsup><mo id="A5.p2.3.m3.1.1.1" xref="A5.p2.3.m3.1.1.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="A5.p2.3.m3.1.1.3" xref="A5.p2.3.m3.1.1.3.cmml"><mi id="A5.p2.3.m3.1.1.3.2.2" xref="A5.p2.3.m3.1.1.3.2.2.cmml">d</mi><msub id="A5.p2.3.m3.1.1.3.2.3" xref="A5.p2.3.m3.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="A5.p2.3.m3.1.1.3.2.3.2" xref="A5.p2.3.m3.1.1.3.2.3.2.cmml">λ</mi><mi id="A5.p2.3.m3.1.1.3.2.3.3" xref="A5.p2.3.m3.1.1.3.2.3.3.cmml">L</mi></msub><mn id="A5.p2.3.m3.1.1.3.3" xref="A5.p2.3.m3.1.1.3.3.cmml">2</mn></msubsup><mo id="A5.p2.3.m3.1.1.1a" xref="A5.p2.3.m3.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="A5.p2.3.m3.1.1.4" xref="A5.p2.3.m3.1.1.4.cmml"><mi id="A5.p2.3.m3.1.1.4.2" xref="A5.p2.3.m3.1.1.4.2.cmml">N</mi><mi id="A5.p2.3.m3.1.1.4.3" xref="A5.p2.3.m3.1.1.4.3.cmml">c</mi></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A5.p2.3.m3.1b"><apply id="A5.p2.3.m3.1.1.cmml" xref="A5.p2.3.m3.1.1"><times id="A5.p2.3.m3.1.1.1.cmml" xref="A5.p2.3.m3.1.1.1"></times><apply id="A5.p2.3.m3.1.1.2.cmml" xref="A5.p2.3.m3.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.p2.3.m3.1.1.2.1.cmml" xref="A5.p2.3.m3.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="A5.p2.3.m3.1.1.2.2.cmml" xref="A5.p2.3.m3.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.p2.3.m3.1.1.2.2.1.cmml" xref="A5.p2.3.m3.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="A5.p2.3.m3.1.1.2.2.2.cmml" xref="A5.p2.3.m3.1.1.2.2.2">𝑑</ci><apply id="A5.p2.3.m3.1.1.2.2.3.cmml" xref="A5.p2.3.m3.1.1.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.p2.3.m3.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="A5.p2.3.m3.1.1.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="A5.p2.3.m3.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="A5.p2.3.m3.1.1.2.2.3.2">𝜆</ci><ci id="A5.p2.3.m3.1.1.2.2.3.3.cmml" xref="A5.p2.3.m3.1.1.2.2.3.3">𝑅</ci></apply></apply><cn id="A5.p2.3.m3.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="A5.p2.3.m3.1.1.2.3">2</cn></apply><apply id="A5.p2.3.m3.1.1.3.cmml" xref="A5.p2.3.m3.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.p2.3.m3.1.1.3.1.cmml" xref="A5.p2.3.m3.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="A5.p2.3.m3.1.1.3.2.cmml" xref="A5.p2.3.m3.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.p2.3.m3.1.1.3.2.1.cmml" xref="A5.p2.3.m3.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A5.p2.3.m3.1.1.3.2.2.cmml" xref="A5.p2.3.m3.1.1.3.2.2">𝑑</ci><apply id="A5.p2.3.m3.1.1.3.2.3.cmml" xref="A5.p2.3.m3.1.1.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.p2.3.m3.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="A5.p2.3.m3.1.1.3.2.3">subscript</csymbol><ci id="A5.p2.3.m3.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="A5.p2.3.m3.1.1.3.2.3.2">𝜆</ci><ci id="A5.p2.3.m3.1.1.3.2.3.3.cmml" xref="A5.p2.3.m3.1.1.3.2.3.3">𝐿</ci></apply></apply><cn id="A5.p2.3.m3.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="A5.p2.3.m3.1.1.3.3">2</cn></apply><apply id="A5.p2.3.m3.1.1.4.cmml" xref="A5.p2.3.m3.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.p2.3.m3.1.1.4.1.cmml" xref="A5.p2.3.m3.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="A5.p2.3.m3.1.1.4.2.cmml" xref="A5.p2.3.m3.1.1.4.2">𝑁</ci><ci id="A5.p2.3.m3.1.1.4.3.cmml" xref="A5.p2.3.m3.1.1.4.3">𝑐</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A5.p2.3.m3.1c">d_{\lambda_{R}}^{2}d_{\lambda_{L}}^{2}N_{c}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A5.p2.3.m3.1d">italic_d start_POSTSUBSCRIPT italic_λ start_POSTSUBSCRIPT italic_R end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT italic_d start_POSTSUBSCRIPT italic_λ start_POSTSUBSCRIPT italic_L end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT italic_N start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, where <math alttext="N_{c}" class="ltx_Math" display="inline" id="A5.p2.4.m4.1"><semantics id="A5.p2.4.m4.1a"><msub id="A5.p2.4.m4.1.1" xref="A5.p2.4.m4.1.1.cmml"><mi id="A5.p2.4.m4.1.1.2" xref="A5.p2.4.m4.1.1.2.cmml">N</mi><mi id="A5.p2.4.m4.1.1.3" xref="A5.p2.4.m4.1.1.3.cmml">c</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A5.p2.4.m4.1b"><apply id="A5.p2.4.m4.1.1.cmml" xref="A5.p2.4.m4.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.p2.4.m4.1.1.1.cmml" xref="A5.p2.4.m4.1.1">subscript</csymbol><ci id="A5.p2.4.m4.1.1.2.cmml" xref="A5.p2.4.m4.1.1.2">𝑁</ci><ci id="A5.p2.4.m4.1.1.3.cmml" xref="A5.p2.4.m4.1.1.3">𝑐</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A5.p2.4.m4.1c">N_{c}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A5.p2.4.m4.1d">italic_N start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> is the number of conjugacy classes in <math alttext="S_{t}" class="ltx_Math" display="inline" id="A5.p2.5.m5.1"><semantics id="A5.p2.5.m5.1a"><msub id="A5.p2.5.m5.1.1" xref="A5.p2.5.m5.1.1.cmml"><mi id="A5.p2.5.m5.1.1.2" xref="A5.p2.5.m5.1.1.2.cmml">S</mi><mi id="A5.p2.5.m5.1.1.3" xref="A5.p2.5.m5.1.1.3.cmml">t</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A5.p2.5.m5.1b"><apply id="A5.p2.5.m5.1.1.cmml" xref="A5.p2.5.m5.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.p2.5.m5.1.1.1.cmml" xref="A5.p2.5.m5.1.1">subscript</csymbol><ci id="A5.p2.5.m5.1.1.2.cmml" xref="A5.p2.5.m5.1.1.2">𝑆</ci><ci id="A5.p2.5.m5.1.1.3.cmml" xref="A5.p2.5.m5.1.1.3">𝑡</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A5.p2.5.m5.1c">S_{t}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A5.p2.5.m5.1d">italic_S start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> - note that unlike the <math alttext="\beta" class="ltx_Math" display="inline" id="A5.p2.6.m6.1"><semantics id="A5.p2.6.m6.1a"><mi id="A5.p2.6.m6.1.1" xref="A5.p2.6.m6.1.1.cmml">β</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A5.p2.6.m6.1b"><ci id="A5.p2.6.m6.1.1.cmml" xref="A5.p2.6.m6.1.1">𝛽</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A5.p2.6.m6.1c">\beta</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A5.p2.6.m6.1d">italic_β</annotation></semantics></math> tensor, <math alttext="\gamma" class="ltx_Math" display="inline" id="A5.p2.7.m7.1"><semantics id="A5.p2.7.m7.1a"><mi id="A5.p2.7.m7.1.1" xref="A5.p2.7.m7.1.1.cmml">γ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A5.p2.7.m7.1b"><ci id="A5.p2.7.m7.1.1.cmml" xref="A5.p2.7.m7.1.1">𝛾</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A5.p2.7.m7.1c">\gamma</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A5.p2.7.m7.1d">italic_γ</annotation></semantics></math> is not indexed by permutations in <math alttext="S_{t}" class="ltx_Math" display="inline" id="A5.p2.8.m8.1"><semantics id="A5.p2.8.m8.1a"><msub id="A5.p2.8.m8.1.1" xref="A5.p2.8.m8.1.1.cmml"><mi id="A5.p2.8.m8.1.1.2" xref="A5.p2.8.m8.1.1.2.cmml">S</mi><mi id="A5.p2.8.m8.1.1.3" xref="A5.p2.8.m8.1.1.3.cmml">t</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A5.p2.8.m8.1b"><apply id="A5.p2.8.m8.1.1.cmml" xref="A5.p2.8.m8.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.p2.8.m8.1.1.1.cmml" xref="A5.p2.8.m8.1.1">subscript</csymbol><ci id="A5.p2.8.m8.1.1.2.cmml" xref="A5.p2.8.m8.1.1.2">𝑆</ci><ci id="A5.p2.8.m8.1.1.3.cmml" xref="A5.p2.8.m8.1.1.3">𝑡</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A5.p2.8.m8.1c">S_{t}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A5.p2.8.m8.1d">italic_S start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>. Unlike the right-action ansatz, this is not surjective - i.e. there exists some nonzero <math alttext="\gamma^{ij,k\ell,c}" class="ltx_Math" display="inline" id="A5.p2.9.m9.3"><semantics id="A5.p2.9.m9.3a"><msup id="A5.p2.9.m9.3.4" xref="A5.p2.9.m9.3.4.cmml"><mi id="A5.p2.9.m9.3.4.2" xref="A5.p2.9.m9.3.4.2.cmml">γ</mi><mrow id="A5.p2.9.m9.3.3.3.3" xref="A5.p2.9.m9.3.3.3.4.cmml"><mrow id="A5.p2.9.m9.2.2.2.2.1" xref="A5.p2.9.m9.2.2.2.2.1.cmml"><mi id="A5.p2.9.m9.2.2.2.2.1.2" xref="A5.p2.9.m9.2.2.2.2.1.2.cmml">i</mi><mo id="A5.p2.9.m9.2.2.2.2.1.1" xref="A5.p2.9.m9.2.2.2.2.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="A5.p2.9.m9.2.2.2.2.1.3" xref="A5.p2.9.m9.2.2.2.2.1.3.cmml">j</mi></mrow><mo id="A5.p2.9.m9.3.3.3.3.3" xref="A5.p2.9.m9.3.3.3.4.cmml">,</mo><mrow id="A5.p2.9.m9.3.3.3.3.2" xref="A5.p2.9.m9.3.3.3.3.2.cmml"><mi id="A5.p2.9.m9.3.3.3.3.2.2" xref="A5.p2.9.m9.3.3.3.3.2.2.cmml">k</mi><mo id="A5.p2.9.m9.3.3.3.3.2.1" xref="A5.p2.9.m9.3.3.3.3.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="A5.p2.9.m9.3.3.3.3.2.3" mathvariant="normal" xref="A5.p2.9.m9.3.3.3.3.2.3.cmml">ℓ</mi></mrow><mo id="A5.p2.9.m9.3.3.3.3.4" xref="A5.p2.9.m9.3.3.3.4.cmml">,</mo><mi id="A5.p2.9.m9.1.1.1.1" xref="A5.p2.9.m9.1.1.1.1.cmml">c</mi></mrow></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A5.p2.9.m9.3b"><apply id="A5.p2.9.m9.3.4.cmml" xref="A5.p2.9.m9.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.p2.9.m9.3.4.1.cmml" xref="A5.p2.9.m9.3.4">superscript</csymbol><ci id="A5.p2.9.m9.3.4.2.cmml" xref="A5.p2.9.m9.3.4.2">𝛾</ci><list id="A5.p2.9.m9.3.3.3.4.cmml" xref="A5.p2.9.m9.3.3.3.3"><apply id="A5.p2.9.m9.2.2.2.2.1.cmml" xref="A5.p2.9.m9.2.2.2.2.1"><times id="A5.p2.9.m9.2.2.2.2.1.1.cmml" xref="A5.p2.9.m9.2.2.2.2.1.1"></times><ci id="A5.p2.9.m9.2.2.2.2.1.2.cmml" xref="A5.p2.9.m9.2.2.2.2.1.2">𝑖</ci><ci id="A5.p2.9.m9.2.2.2.2.1.3.cmml" xref="A5.p2.9.m9.2.2.2.2.1.3">𝑗</ci></apply><apply id="A5.p2.9.m9.3.3.3.3.2.cmml" xref="A5.p2.9.m9.3.3.3.3.2"><times id="A5.p2.9.m9.3.3.3.3.2.1.cmml" xref="A5.p2.9.m9.3.3.3.3.2.1"></times><ci id="A5.p2.9.m9.3.3.3.3.2.2.cmml" xref="A5.p2.9.m9.3.3.3.3.2.2">𝑘</ci><ci id="A5.p2.9.m9.3.3.3.3.2.3.cmml" xref="A5.p2.9.m9.3.3.3.3.2.3">ℓ</ci></apply><ci id="A5.p2.9.m9.1.1.1.1.cmml" xref="A5.p2.9.m9.1.1.1.1">𝑐</ci></list></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A5.p2.9.m9.3c">\gamma^{ij,k\ell,c}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A5.p2.9.m9.3d">italic_γ start_POSTSUPERSCRIPT italic_i italic_j , italic_k roman_ℓ , italic_c end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> tensors that yield an identically zero wavefunction (for example, if <math alttext="\lambda_{L}=" class="ltx_Math" display="inline" id="A5.p2.10.m10.1"><semantics id="A5.p2.10.m10.1a"><mrow id="A5.p2.10.m10.1.1" xref="A5.p2.10.m10.1.1.cmml"><msub id="A5.p2.10.m10.1.1.2" xref="A5.p2.10.m10.1.1.2.cmml"><mi id="A5.p2.10.m10.1.1.2.2" xref="A5.p2.10.m10.1.1.2.2.cmml">λ</mi><mi id="A5.p2.10.m10.1.1.2.3" xref="A5.p2.10.m10.1.1.2.3.cmml">L</mi></msub><mo id="A5.p2.10.m10.1.1.1" xref="A5.p2.10.m10.1.1.1.cmml">=</mo><mi id="A5.p2.10.m10.1.1.3" xref="A5.p2.10.m10.1.1.3.cmml"></mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A5.p2.10.m10.1b"><apply id="A5.p2.10.m10.1.1.cmml" xref="A5.p2.10.m10.1.1"><eq id="A5.p2.10.m10.1.1.1.cmml" xref="A5.p2.10.m10.1.1.1"></eq><apply id="A5.p2.10.m10.1.1.2.cmml" xref="A5.p2.10.m10.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.p2.10.m10.1.1.2.1.cmml" xref="A5.p2.10.m10.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="A5.p2.10.m10.1.1.2.2.cmml" xref="A5.p2.10.m10.1.1.2.2">𝜆</ci><ci id="A5.p2.10.m10.1.1.2.3.cmml" xref="A5.p2.10.m10.1.1.2.3">𝐿</ci></apply><csymbol cd="latexml" id="A5.p2.10.m10.1.1.3.cmml" xref="A5.p2.10.m10.1.1.3">absent</csymbol></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A5.p2.10.m10.1c">\lambda_{L}=</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A5.p2.10.m10.1d">italic_λ start_POSTSUBSCRIPT italic_L end_POSTSUBSCRIPT =</annotation></semantics></math>Trv, <math alttext="\lambda_{R}=" class="ltx_Math" display="inline" id="A5.p2.11.m11.1"><semantics id="A5.p2.11.m11.1a"><mrow id="A5.p2.11.m11.1.1" xref="A5.p2.11.m11.1.1.cmml"><msub id="A5.p2.11.m11.1.1.2" xref="A5.p2.11.m11.1.1.2.cmml"><mi id="A5.p2.11.m11.1.1.2.2" xref="A5.p2.11.m11.1.1.2.2.cmml">λ</mi><mi id="A5.p2.11.m11.1.1.2.3" xref="A5.p2.11.m11.1.1.2.3.cmml">R</mi></msub><mo id="A5.p2.11.m11.1.1.1" xref="A5.p2.11.m11.1.1.1.cmml">=</mo><mi id="A5.p2.11.m11.1.1.3" xref="A5.p2.11.m11.1.1.3.cmml"></mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A5.p2.11.m11.1b"><apply id="A5.p2.11.m11.1.1.cmml" xref="A5.p2.11.m11.1.1"><eq id="A5.p2.11.m11.1.1.1.cmml" xref="A5.p2.11.m11.1.1.1"></eq><apply id="A5.p2.11.m11.1.1.2.cmml" xref="A5.p2.11.m11.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.p2.11.m11.1.1.2.1.cmml" xref="A5.p2.11.m11.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="A5.p2.11.m11.1.1.2.2.cmml" xref="A5.p2.11.m11.1.1.2.2">𝜆</ci><ci id="A5.p2.11.m11.1.1.2.3.cmml" xref="A5.p2.11.m11.1.1.2.3">𝑅</ci></apply><csymbol cd="latexml" id="A5.p2.11.m11.1.1.3.cmml" xref="A5.p2.11.m11.1.1.3">absent</csymbol></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A5.p2.11.m11.1c">\lambda_{R}=</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A5.p2.11.m11.1d">italic_λ start_POSTSUBSCRIPT italic_R end_POSTSUBSCRIPT =</annotation></semantics></math>Alt, <math alttext="\gamma^{c}=\delta_{c,I}" class="ltx_Math" display="inline" id="A5.p2.12.m12.2"><semantics id="A5.p2.12.m12.2a"><mrow id="A5.p2.12.m12.2.3" xref="A5.p2.12.m12.2.3.cmml"><msup id="A5.p2.12.m12.2.3.2" xref="A5.p2.12.m12.2.3.2.cmml"><mi id="A5.p2.12.m12.2.3.2.2" xref="A5.p2.12.m12.2.3.2.2.cmml">γ</mi><mi id="A5.p2.12.m12.2.3.2.3" xref="A5.p2.12.m12.2.3.2.3.cmml">c</mi></msup><mo id="A5.p2.12.m12.2.3.1" xref="A5.p2.12.m12.2.3.1.cmml">=</mo><msub id="A5.p2.12.m12.2.3.3" xref="A5.p2.12.m12.2.3.3.cmml"><mi id="A5.p2.12.m12.2.3.3.2" xref="A5.p2.12.m12.2.3.3.2.cmml">δ</mi><mrow id="A5.p2.12.m12.2.2.2.4" xref="A5.p2.12.m12.2.2.2.3.cmml"><mi id="A5.p2.12.m12.1.1.1.1" xref="A5.p2.12.m12.1.1.1.1.cmml">c</mi><mo id="A5.p2.12.m12.2.2.2.4.1" xref="A5.p2.12.m12.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="A5.p2.12.m12.2.2.2.2" xref="A5.p2.12.m12.2.2.2.2.cmml">I</mi></mrow></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A5.p2.12.m12.2b"><apply id="A5.p2.12.m12.2.3.cmml" xref="A5.p2.12.m12.2.3"><eq id="A5.p2.12.m12.2.3.1.cmml" xref="A5.p2.12.m12.2.3.1"></eq><apply id="A5.p2.12.m12.2.3.2.cmml" xref="A5.p2.12.m12.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.p2.12.m12.2.3.2.1.cmml" xref="A5.p2.12.m12.2.3.2">superscript</csymbol><ci id="A5.p2.12.m12.2.3.2.2.cmml" xref="A5.p2.12.m12.2.3.2.2">𝛾</ci><ci id="A5.p2.12.m12.2.3.2.3.cmml" xref="A5.p2.12.m12.2.3.2.3">𝑐</ci></apply><apply id="A5.p2.12.m12.2.3.3.cmml" xref="A5.p2.12.m12.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.p2.12.m12.2.3.3.1.cmml" xref="A5.p2.12.m12.2.3.3">subscript</csymbol><ci id="A5.p2.12.m12.2.3.3.2.cmml" xref="A5.p2.12.m12.2.3.3.2">𝛿</ci><list id="A5.p2.12.m12.2.2.2.3.cmml" xref="A5.p2.12.m12.2.2.2.4"><ci id="A5.p2.12.m12.1.1.1.1.cmml" xref="A5.p2.12.m12.1.1.1.1">𝑐</ci><ci id="A5.p2.12.m12.2.2.2.2.cmml" xref="A5.p2.12.m12.2.2.2.2">𝐼</ci></list></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A5.p2.12.m12.2c">\gamma^{c}=\delta_{c,I}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A5.p2.12.m12.2d">italic_γ start_POSTSUPERSCRIPT italic_c end_POSTSUPERSCRIPT = italic_δ start_POSTSUBSCRIPT italic_c , italic_I end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>). This, combined with the fact that the single site metric in permutation space <math alttext="g(\ket{\sigma},\ket{\tau})=q^{-|\sigma^{-1}\tau|}" class="ltx_Math" display="inline" id="A5.p2.13.m13.3"><semantics id="A5.p2.13.m13.3a"><mrow id="A5.p2.13.m13.3.4" xref="A5.p2.13.m13.3.4.cmml"><mrow id="A5.p2.13.m13.3.4.2" xref="A5.p2.13.m13.3.4.2.cmml"><mi id="A5.p2.13.m13.3.4.2.2" xref="A5.p2.13.m13.3.4.2.2.cmml">g</mi><mo id="A5.p2.13.m13.3.4.2.1" xref="A5.p2.13.m13.3.4.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A5.p2.13.m13.3.4.2.3.2" xref="A5.p2.13.m13.3.4.2.3.1.cmml"><mo id="A5.p2.13.m13.3.4.2.3.2.1" stretchy="false" xref="A5.p2.13.m13.3.4.2.3.1.cmml">(</mo><mrow id="A5.p2.13.m13.1.1.3" xref="A5.p2.13.m13.1.1.2.cmml"><mo id="A5.p2.13.m13.1.1.3.1" stretchy="false" xref="A5.p2.13.m13.1.1.2.1.cmml">|</mo><mi id="A5.p2.13.m13.1.1.1.1" xref="A5.p2.13.m13.1.1.1.1.cmml">σ</mi><mo id="A5.p2.13.m13.1.1.3.2" stretchy="false" xref="A5.p2.13.m13.1.1.2.1.cmml">⟩</mo></mrow><mo id="A5.p2.13.m13.3.4.2.3.2.2" xref="A5.p2.13.m13.3.4.2.3.1.cmml">,</mo><mrow id="A5.p2.13.m13.2.2.3" xref="A5.p2.13.m13.2.2.2.cmml"><mo id="A5.p2.13.m13.2.2.3.1" stretchy="false" xref="A5.p2.13.m13.2.2.2.1.cmml">|</mo><mi id="A5.p2.13.m13.2.2.1.1" xref="A5.p2.13.m13.2.2.1.1.cmml">τ</mi><mo id="A5.p2.13.m13.2.2.3.2" stretchy="false" xref="A5.p2.13.m13.2.2.2.1.cmml">⟩</mo></mrow><mo id="A5.p2.13.m13.3.4.2.3.2.3" stretchy="false" xref="A5.p2.13.m13.3.4.2.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A5.p2.13.m13.3.4.1" xref="A5.p2.13.m13.3.4.1.cmml">=</mo><msup id="A5.p2.13.m13.3.4.3" xref="A5.p2.13.m13.3.4.3.cmml"><mi id="A5.p2.13.m13.3.4.3.2" xref="A5.p2.13.m13.3.4.3.2.cmml">q</mi><mrow id="A5.p2.13.m13.3.3.1" xref="A5.p2.13.m13.3.3.1.cmml"><mo id="A5.p2.13.m13.3.3.1a" xref="A5.p2.13.m13.3.3.1.cmml">−</mo><mrow id="A5.p2.13.m13.3.3.1.1.1" xref="A5.p2.13.m13.3.3.1.1.2.cmml"><mo id="A5.p2.13.m13.3.3.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A5.p2.13.m13.3.3.1.1.2.1.cmml">|</mo><mrow id="A5.p2.13.m13.3.3.1.1.1.1" xref="A5.p2.13.m13.3.3.1.1.1.1.cmml"><msup id="A5.p2.13.m13.3.3.1.1.1.1.2" xref="A5.p2.13.m13.3.3.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="A5.p2.13.m13.3.3.1.1.1.1.2.2" xref="A5.p2.13.m13.3.3.1.1.1.1.2.2.cmml">σ</mi><mrow id="A5.p2.13.m13.3.3.1.1.1.1.2.3" xref="A5.p2.13.m13.3.3.1.1.1.1.2.3.cmml"><mo id="A5.p2.13.m13.3.3.1.1.1.1.2.3a" xref="A5.p2.13.m13.3.3.1.1.1.1.2.3.cmml">−</mo><mn id="A5.p2.13.m13.3.3.1.1.1.1.2.3.2" xref="A5.p2.13.m13.3.3.1.1.1.1.2.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="A5.p2.13.m13.3.3.1.1.1.1.1" xref="A5.p2.13.m13.3.3.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="A5.p2.13.m13.3.3.1.1.1.1.3" xref="A5.p2.13.m13.3.3.1.1.1.1.3.cmml">τ</mi></mrow><mo id="A5.p2.13.m13.3.3.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A5.p2.13.m13.3.3.1.1.2.1.cmml">|</mo></mrow></mrow></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A5.p2.13.m13.3b"><apply id="A5.p2.13.m13.3.4.cmml" xref="A5.p2.13.m13.3.4"><eq id="A5.p2.13.m13.3.4.1.cmml" xref="A5.p2.13.m13.3.4.1"></eq><apply id="A5.p2.13.m13.3.4.2.cmml" xref="A5.p2.13.m13.3.4.2"><times id="A5.p2.13.m13.3.4.2.1.cmml" xref="A5.p2.13.m13.3.4.2.1"></times><ci id="A5.p2.13.m13.3.4.2.2.cmml" xref="A5.p2.13.m13.3.4.2.2">𝑔</ci><interval closure="open" id="A5.p2.13.m13.3.4.2.3.1.cmml" xref="A5.p2.13.m13.3.4.2.3.2"><apply id="A5.p2.13.m13.1.1.2.cmml" xref="A5.p2.13.m13.1.1.3"><csymbol cd="latexml" id="A5.p2.13.m13.1.1.2.1.cmml" xref="A5.p2.13.m13.1.1.3.1">ket</csymbol><ci id="A5.p2.13.m13.1.1.1.1.cmml" xref="A5.p2.13.m13.1.1.1.1">𝜎</ci></apply><apply id="A5.p2.13.m13.2.2.2.cmml" xref="A5.p2.13.m13.2.2.3"><csymbol cd="latexml" id="A5.p2.13.m13.2.2.2.1.cmml" xref="A5.p2.13.m13.2.2.3.1">ket</csymbol><ci id="A5.p2.13.m13.2.2.1.1.cmml" xref="A5.p2.13.m13.2.2.1.1">𝜏</ci></apply></interval></apply><apply id="A5.p2.13.m13.3.4.3.cmml" xref="A5.p2.13.m13.3.4.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.p2.13.m13.3.4.3.1.cmml" xref="A5.p2.13.m13.3.4.3">superscript</csymbol><ci id="A5.p2.13.m13.3.4.3.2.cmml" xref="A5.p2.13.m13.3.4.3.2">𝑞</ci><apply id="A5.p2.13.m13.3.3.1.cmml" xref="A5.p2.13.m13.3.3.1"><minus id="A5.p2.13.m13.3.3.1.2.cmml" xref="A5.p2.13.m13.3.3.1"></minus><apply id="A5.p2.13.m13.3.3.1.1.2.cmml" xref="A5.p2.13.m13.3.3.1.1.1"><abs id="A5.p2.13.m13.3.3.1.1.2.1.cmml" xref="A5.p2.13.m13.3.3.1.1.1.2"></abs><apply id="A5.p2.13.m13.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="A5.p2.13.m13.3.3.1.1.1.1"><times id="A5.p2.13.m13.3.3.1.1.1.1.1.cmml" xref="A5.p2.13.m13.3.3.1.1.1.1.1"></times><apply id="A5.p2.13.m13.3.3.1.1.1.1.2.cmml" xref="A5.p2.13.m13.3.3.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.p2.13.m13.3.3.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A5.p2.13.m13.3.3.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="A5.p2.13.m13.3.3.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A5.p2.13.m13.3.3.1.1.1.1.2.2">𝜎</ci><apply id="A5.p2.13.m13.3.3.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="A5.p2.13.m13.3.3.1.1.1.1.2.3"><minus id="A5.p2.13.m13.3.3.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="A5.p2.13.m13.3.3.1.1.1.1.2.3"></minus><cn id="A5.p2.13.m13.3.3.1.1.1.1.2.3.2.cmml" type="integer" xref="A5.p2.13.m13.3.3.1.1.1.1.2.3.2">1</cn></apply></apply><ci id="A5.p2.13.m13.3.3.1.1.1.1.3.cmml" xref="A5.p2.13.m13.3.3.1.1.1.1.3">𝜏</ci></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A5.p2.13.m13.3c">g(\ket{\sigma},\ket{\tau})=q^{-|\sigma^{-1}\tau|}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A5.p2.13.m13.3d">italic_g ( | start_ARG italic_σ end_ARG ⟩ , | start_ARG italic_τ end_ARG ⟩ ) = italic_q start_POSTSUPERSCRIPT - | italic_σ start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT italic_τ | end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> becomes singular if <math alttext="q<t" class="ltx_Math" display="inline" id="A5.p2.14.m14.1"><semantics id="A5.p2.14.m14.1a"><mrow id="A5.p2.14.m14.1.1" xref="A5.p2.14.m14.1.1.cmml"><mi id="A5.p2.14.m14.1.1.2" xref="A5.p2.14.m14.1.1.2.cmml">q</mi><mo id="A5.p2.14.m14.1.1.1" xref="A5.p2.14.m14.1.1.1.cmml"><</mo><mi id="A5.p2.14.m14.1.1.3" xref="A5.p2.14.m14.1.1.3.cmml">t</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A5.p2.14.m14.1b"><apply id="A5.p2.14.m14.1.1.cmml" xref="A5.p2.14.m14.1.1"><lt id="A5.p2.14.m14.1.1.1.cmml" xref="A5.p2.14.m14.1.1.1"></lt><ci id="A5.p2.14.m14.1.1.2.cmml" xref="A5.p2.14.m14.1.1.2">𝑞</ci><ci id="A5.p2.14.m14.1.1.3.cmml" xref="A5.p2.14.m14.1.1.3">𝑡</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A5.p2.14.m14.1c">q<t</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A5.p2.14.m14.1d">italic_q < italic_t</annotation></semantics></math>, means that there is a possibility of spurious <math alttext="\gamma" class="ltx_Math" display="inline" id="A5.p2.15.m15.1"><semantics id="A5.p2.15.m15.1a"><mi id="A5.p2.15.m15.1.1" xref="A5.p2.15.m15.1.1.cmml">γ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A5.p2.15.m15.1b"><ci id="A5.p2.15.m15.1.1.cmml" xref="A5.p2.15.m15.1.1">𝛾</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A5.p2.15.m15.1c">\gamma</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A5.p2.15.m15.1d">italic_γ</annotation></semantics></math> tensors which are eigenstates of the gate but do not actually exist in the original space.</p> </div> <div class="ltx_para" id="A5.p3"> <p class="ltx_p" id="A5.p3.1">Like before, the left and right-action twirls commute with all gates, so applying the <math alttext="G_{m}" class="ltx_Math" display="inline" id="A5.p3.1.m1.1"><semantics id="A5.p3.1.m1.1a"><msub id="A5.p3.1.m1.1.1" xref="A5.p3.1.m1.1.1.cmml"><mi id="A5.p3.1.m1.1.1.2" xref="A5.p3.1.m1.1.1.2.cmml">G</mi><mi id="A5.p3.1.m1.1.1.3" xref="A5.p3.1.m1.1.1.3.cmml">m</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A5.p3.1.m1.1b"><apply id="A5.p3.1.m1.1.1.cmml" xref="A5.p3.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.p3.1.m1.1.1.1.cmml" xref="A5.p3.1.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="A5.p3.1.m1.1.1.2.cmml" xref="A5.p3.1.m1.1.1.2">𝐺</ci><ci id="A5.p3.1.m1.1.1.3.cmml" xref="A5.p3.1.m1.1.1.3">𝑚</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A5.p3.1.m1.1c">G_{m}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A5.p3.1.m1.1d">italic_G start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> gate yields</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="S6.EGx232"> <tbody id="A5.Ex104"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle G_{m}\ket{e_{\nu_{L},\nu_{R}}^{ij,k\ell,c}}" class="ltx_Math" display="inline" id="A5.Ex104.m1.1"><semantics id="A5.Ex104.m1.1a"><mrow id="A5.Ex104.m1.1.2" xref="A5.Ex104.m1.1.2.cmml"><msub id="A5.Ex104.m1.1.2.2" xref="A5.Ex104.m1.1.2.2.cmml"><mi id="A5.Ex104.m1.1.2.2.2" xref="A5.Ex104.m1.1.2.2.2.cmml">G</mi><mi id="A5.Ex104.m1.1.2.2.3" xref="A5.Ex104.m1.1.2.2.3.cmml">m</mi></msub><mo id="A5.Ex104.m1.1.2.1" xref="A5.Ex104.m1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A5.Ex104.m1.1.1a.3" xref="A5.Ex104.m1.1.1a.2.cmml"><mo id="A5.Ex104.m1.1.1a.3.1" stretchy="false" xref="A5.Ex104.m1.1.1a.2.1.cmml">|</mo><msubsup id="A5.Ex104.m1.1.1.1.1" xref="A5.Ex104.m1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A5.Ex104.m1.1.1.1.1.7.2" xref="A5.Ex104.m1.1.1.1.1.7.2.cmml">e</mi><mrow id="A5.Ex104.m1.1.1.1.1.2.2.2" xref="A5.Ex104.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><msub id="A5.Ex104.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A5.Ex104.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A5.Ex104.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A5.Ex104.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">ν</mi><mi id="A5.Ex104.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A5.Ex104.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">L</mi></msub><mo id="A5.Ex104.m1.1.1.1.1.2.2.2.3" xref="A5.Ex104.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">,</mo><msub id="A5.Ex104.m1.1.1.1.1.2.2.2.2" xref="A5.Ex104.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml"><mi id="A5.Ex104.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2" xref="A5.Ex104.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml">ν</mi><mi id="A5.Ex104.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3" xref="A5.Ex104.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.cmml">R</mi></msub></mrow><mrow id="A5.Ex104.m1.1.1.1.1.5.3.3" xref="A5.Ex104.m1.1.1.1.1.5.3.4.cmml"><mrow id="A5.Ex104.m1.1.1.1.1.4.2.2.1" xref="A5.Ex104.m1.1.1.1.1.4.2.2.1.cmml"><mi id="A5.Ex104.m1.1.1.1.1.4.2.2.1.2" xref="A5.Ex104.m1.1.1.1.1.4.2.2.1.2.cmml">i</mi><mo id="A5.Ex104.m1.1.1.1.1.4.2.2.1.1" xref="A5.Ex104.m1.1.1.1.1.4.2.2.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="A5.Ex104.m1.1.1.1.1.4.2.2.1.3" xref="A5.Ex104.m1.1.1.1.1.4.2.2.1.3.cmml">j</mi></mrow><mo id="A5.Ex104.m1.1.1.1.1.5.3.3.3" xref="A5.Ex104.m1.1.1.1.1.5.3.4.cmml">,</mo><mrow id="A5.Ex104.m1.1.1.1.1.5.3.3.2" xref="A5.Ex104.m1.1.1.1.1.5.3.3.2.cmml"><mi id="A5.Ex104.m1.1.1.1.1.5.3.3.2.2" xref="A5.Ex104.m1.1.1.1.1.5.3.3.2.2.cmml">k</mi><mo id="A5.Ex104.m1.1.1.1.1.5.3.3.2.1" xref="A5.Ex104.m1.1.1.1.1.5.3.3.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="A5.Ex104.m1.1.1.1.1.5.3.3.2.3" mathvariant="normal" xref="A5.Ex104.m1.1.1.1.1.5.3.3.2.3.cmml">ℓ</mi></mrow><mo id="A5.Ex104.m1.1.1.1.1.5.3.3.4" 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id="A5.Ex104.m2.1.2.3.3.2.3.3.cmml" xref="A5.Ex104.m2.1.2.3.3.2.3.3">𝐿</ci></apply></apply><apply id="A5.Ex104.m2.1.2.3.3.3.cmml" xref="A5.Ex104.m2.1.2.3.3.3"><times id="A5.Ex104.m2.1.2.3.3.3.1.cmml" xref="A5.Ex104.m2.1.2.3.3.3.1"></times><ci id="A5.Ex104.m2.1.2.3.3.3.2.cmml" xref="A5.Ex104.m2.1.2.3.3.3.2">𝑖</ci><ci id="A5.Ex104.m2.1.2.3.3.3.3.cmml" xref="A5.Ex104.m2.1.2.3.3.3.3">𝑗</ci></apply></apply><apply id="A5.Ex104.m2.1.2.3.4.cmml" xref="A5.Ex104.m2.1.2.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.Ex104.m2.1.2.3.4.1.cmml" xref="A5.Ex104.m2.1.2.3.4">superscript</csymbol><apply id="A5.Ex104.m2.1.2.3.4.2.cmml" xref="A5.Ex104.m2.1.2.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.Ex104.m2.1.2.3.4.2.1.cmml" xref="A5.Ex104.m2.1.2.3.4">subscript</csymbol><ci id="A5.Ex104.m2.1.2.3.4.2.2.cmml" xref="A5.Ex104.m2.1.2.3.4.2.2">𝑅</ci><apply id="A5.Ex104.m2.1.2.3.4.2.3.cmml" xref="A5.Ex104.m2.1.2.3.4.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.Ex104.m2.1.2.3.4.2.3.1.cmml" xref="A5.Ex104.m2.1.2.3.4.2.3">subscript</csymbol><ci id="A5.Ex104.m2.1.2.3.4.2.3.2.cmml" xref="A5.Ex104.m2.1.2.3.4.2.3.2">𝜈</ci><ci id="A5.Ex104.m2.1.2.3.4.2.3.3.cmml" xref="A5.Ex104.m2.1.2.3.4.2.3.3">𝑅</ci></apply></apply><apply id="A5.Ex104.m2.1.2.3.4.3.cmml" xref="A5.Ex104.m2.1.2.3.4.3"><times id="A5.Ex104.m2.1.2.3.4.3.1.cmml" xref="A5.Ex104.m2.1.2.3.4.3.1"></times><ci id="A5.Ex104.m2.1.2.3.4.3.2.cmml" xref="A5.Ex104.m2.1.2.3.4.3.2">𝑘</ci><ci id="A5.Ex104.m2.1.2.3.4.3.3.cmml" xref="A5.Ex104.m2.1.2.3.4.3.3">ℓ</ci></apply></apply><ci id="A5.Ex104.m2.1.2.3.5.cmml" xref="A5.Ex104.m2.1.2.3.5">𝐺</ci><apply id="A5.Ex104.m2.1.1a.2.cmml" xref="A5.Ex104.m2.1.1a.3"><csymbol cd="latexml" id="A5.Ex104.m2.1.1a.2.1.cmml" xref="A5.Ex104.m2.1.1a.3.1">ket</csymbol><list id="A5.Ex104.m2.1.1.1.1.4.cmml" xref="A5.Ex104.m2.1.1.1.1.3"><ci id="A5.Ex104.m2.1.1.1.1.1.cmml" xref="A5.Ex104.m2.1.1.1.1.1">𝐼</ci><ci id="A5.Ex104.m2.1.1.1.1.2.cmml" xref="A5.Ex104.m2.1.1.1.1.2">𝐼</ci><apply id="A5.Ex104.m2.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A5.Ex104.m2.1.1.1.1.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.Ex104.m2.1.1.1.1.3.1.1.cmml" xref="A5.Ex104.m2.1.1.1.1.3.1">subscript</csymbol><ci id="A5.Ex104.m2.1.1.1.1.3.1.2.cmml" xref="A5.Ex104.m2.1.1.1.1.3.1.2">𝜎</ci><ci id="A5.Ex104.m2.1.1.1.1.3.1.3.cmml" xref="A5.Ex104.m2.1.1.1.1.3.1.3">𝑐</ci></apply></list></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A5.Ex104.m2.1c">\displaystyle=\frac{1}{C_{c}}L_{\nu_{L}}^{ij}R_{\nu_{R}}^{k\ell}G\ket{I,I,% \sigma_{c}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A5.Ex104.m2.1d">= divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_C start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT end_ARG italic_L start_POSTSUBSCRIPT italic_ν start_POSTSUBSCRIPT italic_L end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_i italic_j end_POSTSUPERSCRIPT italic_R start_POSTSUBSCRIPT italic_ν start_POSTSUBSCRIPT italic_R end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_k roman_ℓ end_POSTSUPERSCRIPT italic_G | start_ARG italic_I , italic_I , italic_σ start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT end_ARG ⟩</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="A5.Ex105"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=\frac{1}{C_{c}}L_{\nu_{L}}^{ij}R_{\nu_{R}}^{k\ell}\sum_{\pi,\tau% }\text{Wg}(\pi\tau^{-1},q^{2})q^{-|\tau|-|\tau\sigma_{c}^{-1}|}\ket{I,\pi,\pi}" class="ltx_Math" display="inline" id="A5.Ex105.m1.7"><semantics id="A5.Ex105.m1.7a"><mrow id="A5.Ex105.m1.7.7" xref="A5.Ex105.m1.7.7.cmml"><mi id="A5.Ex105.m1.7.7.4" xref="A5.Ex105.m1.7.7.4.cmml"></mi><mo id="A5.Ex105.m1.7.7.3" xref="A5.Ex105.m1.7.7.3.cmml">=</mo><mrow id="A5.Ex105.m1.7.7.2" xref="A5.Ex105.m1.7.7.2.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A5.Ex105.m1.7.7.2.4" xref="A5.Ex105.m1.7.7.2.4.cmml"><mfrac id="A5.Ex105.m1.7.7.2.4a" xref="A5.Ex105.m1.7.7.2.4.cmml"><mn id="A5.Ex105.m1.7.7.2.4.2" xref="A5.Ex105.m1.7.7.2.4.2.cmml">1</mn><msub id="A5.Ex105.m1.7.7.2.4.3" xref="A5.Ex105.m1.7.7.2.4.3.cmml"><mi id="A5.Ex105.m1.7.7.2.4.3.2" xref="A5.Ex105.m1.7.7.2.4.3.2.cmml">C</mi><mi id="A5.Ex105.m1.7.7.2.4.3.3" xref="A5.Ex105.m1.7.7.2.4.3.3.cmml">c</mi></msub></mfrac></mstyle><mo id="A5.Ex105.m1.7.7.2.3" xref="A5.Ex105.m1.7.7.2.3.cmml">⁢</mo><msubsup id="A5.Ex105.m1.7.7.2.5" xref="A5.Ex105.m1.7.7.2.5.cmml"><mi id="A5.Ex105.m1.7.7.2.5.2.2" xref="A5.Ex105.m1.7.7.2.5.2.2.cmml">L</mi><msub id="A5.Ex105.m1.7.7.2.5.2.3" xref="A5.Ex105.m1.7.7.2.5.2.3.cmml"><mi id="A5.Ex105.m1.7.7.2.5.2.3.2" xref="A5.Ex105.m1.7.7.2.5.2.3.2.cmml">ν</mi><mi id="A5.Ex105.m1.7.7.2.5.2.3.3" xref="A5.Ex105.m1.7.7.2.5.2.3.3.cmml">L</mi></msub><mrow id="A5.Ex105.m1.7.7.2.5.3" xref="A5.Ex105.m1.7.7.2.5.3.cmml"><mi id="A5.Ex105.m1.7.7.2.5.3.2" 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id="A5.Ex105.m1.7.7.2.3b" xref="A5.Ex105.m1.7.7.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="A5.Ex105.m1.7.7.2.2" xref="A5.Ex105.m1.7.7.2.2.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A5.Ex105.m1.7.7.2.2.3" xref="A5.Ex105.m1.7.7.2.2.3.cmml"><munder id="A5.Ex105.m1.7.7.2.2.3a" xref="A5.Ex105.m1.7.7.2.2.3.cmml"><mo id="A5.Ex105.m1.7.7.2.2.3.2" movablelimits="false" xref="A5.Ex105.m1.7.7.2.2.3.2.cmml">∑</mo><mrow id="A5.Ex105.m1.3.3.2.4" xref="A5.Ex105.m1.3.3.2.3.cmml"><mi id="A5.Ex105.m1.2.2.1.1" xref="A5.Ex105.m1.2.2.1.1.cmml">π</mi><mo id="A5.Ex105.m1.3.3.2.4.1" xref="A5.Ex105.m1.3.3.2.3.cmml">,</mo><mi id="A5.Ex105.m1.3.3.2.2" xref="A5.Ex105.m1.3.3.2.2.cmml">τ</mi></mrow></munder></mstyle><mrow id="A5.Ex105.m1.7.7.2.2.2" xref="A5.Ex105.m1.7.7.2.2.2.cmml"><mtext id="A5.Ex105.m1.7.7.2.2.2.4" xref="A5.Ex105.m1.7.7.2.2.2.4a.cmml">Wg</mtext><mo id="A5.Ex105.m1.7.7.2.2.2.3" xref="A5.Ex105.m1.7.7.2.2.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="A5.Ex105.m1.7.7.2.2.2.2.2" xref="A5.Ex105.m1.7.7.2.2.2.2.3.cmml"><mo id="A5.Ex105.m1.7.7.2.2.2.2.2.3" stretchy="false" xref="A5.Ex105.m1.7.7.2.2.2.2.3.cmml">(</mo><mrow id="A5.Ex105.m1.6.6.1.1.1.1.1.1" xref="A5.Ex105.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A5.Ex105.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2" xref="A5.Ex105.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.cmml">π</mi><mo id="A5.Ex105.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1" xref="A5.Ex105.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msup id="A5.Ex105.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3" xref="A5.Ex105.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A5.Ex105.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A5.Ex105.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">τ</mi><mrow id="A5.Ex105.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A5.Ex105.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mo id="A5.Ex105.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.3a" xref="A5.Ex105.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">−</mo><mn id="A5.Ex105.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="A5.Ex105.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup></mrow><mo id="A5.Ex105.m1.7.7.2.2.2.2.2.4" xref="A5.Ex105.m1.7.7.2.2.2.2.3.cmml">,</mo><msup id="A5.Ex105.m1.7.7.2.2.2.2.2.2" xref="A5.Ex105.m1.7.7.2.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="A5.Ex105.m1.7.7.2.2.2.2.2.2.2" xref="A5.Ex105.m1.7.7.2.2.2.2.2.2.2.cmml">q</mi><mn id="A5.Ex105.m1.7.7.2.2.2.2.2.2.3" xref="A5.Ex105.m1.7.7.2.2.2.2.2.2.3.cmml">2</mn></msup><mo id="A5.Ex105.m1.7.7.2.2.2.2.2.5" stretchy="false" xref="A5.Ex105.m1.7.7.2.2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow><mo id="A5.Ex105.m1.7.7.2.2.2.3a" xref="A5.Ex105.m1.7.7.2.2.2.3.cmml">⁢</mo><msup id="A5.Ex105.m1.7.7.2.2.2.5" xref="A5.Ex105.m1.7.7.2.2.2.5.cmml"><mi id="A5.Ex105.m1.7.7.2.2.2.5.2" xref="A5.Ex105.m1.7.7.2.2.2.5.2.cmml">q</mi><mrow id="A5.Ex105.m1.5.5.2" xref="A5.Ex105.m1.5.5.2.cmml"><mrow id="A5.Ex105.m1.5.5.2.4" xref="A5.Ex105.m1.5.5.2.4.cmml"><mo id="A5.Ex105.m1.5.5.2.4a" xref="A5.Ex105.m1.5.5.2.4.cmml">−</mo><mrow id="A5.Ex105.m1.5.5.2.4.2.2" xref="A5.Ex105.m1.5.5.2.4.2.1.cmml"><mo id="A5.Ex105.m1.5.5.2.4.2.2.1" stretchy="false" xref="A5.Ex105.m1.5.5.2.4.2.1.1.cmml">|</mo><mi id="A5.Ex105.m1.4.4.1.1" xref="A5.Ex105.m1.4.4.1.1.cmml">τ</mi><mo id="A5.Ex105.m1.5.5.2.4.2.2.2" stretchy="false" 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end_POSTSUPERSCRIPT ) italic_q start_POSTSUPERSCRIPT - | italic_τ | - | italic_τ italic_σ start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT | end_POSTSUPERSCRIPT | start_ARG italic_I , italic_π , italic_π end_ARG ⟩</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="A5.p3.10">Since</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_gather ltx_eqn_table" id="S6.EGx233"> <tbody id="A5.E272"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\displaystyle\sum_{\pi\in S_{t}}f(\pi)=\sum_{a}\frac{1}{C_{a}}\sum_{\pi}f(\pi% \sigma_{a}\pi^{-1})," class="ltx_Math" display="block" id="A5.E272.m1.2"><semantics id="A5.E272.m1.2a"><mrow id="A5.E272.m1.2.2.1" xref="A5.E272.m1.2.2.1.1.cmml"><mrow id="A5.E272.m1.2.2.1.1" xref="A5.E272.m1.2.2.1.1.cmml"><mrow id="A5.E272.m1.2.2.1.1.3" xref="A5.E272.m1.2.2.1.1.3.cmml"><munder id="A5.E272.m1.2.2.1.1.3.1" xref="A5.E272.m1.2.2.1.1.3.1.cmml"><mo id="A5.E272.m1.2.2.1.1.3.1.2" movablelimits="false" xref="A5.E272.m1.2.2.1.1.3.1.2.cmml">∑</mo><mrow id="A5.E272.m1.2.2.1.1.3.1.3" xref="A5.E272.m1.2.2.1.1.3.1.3.cmml"><mi id="A5.E272.m1.2.2.1.1.3.1.3.2" xref="A5.E272.m1.2.2.1.1.3.1.3.2.cmml">π</mi><mo id="A5.E272.m1.2.2.1.1.3.1.3.1" xref="A5.E272.m1.2.2.1.1.3.1.3.1.cmml">∈</mo><msub id="A5.E272.m1.2.2.1.1.3.1.3.3" xref="A5.E272.m1.2.2.1.1.3.1.3.3.cmml"><mi id="A5.E272.m1.2.2.1.1.3.1.3.3.2" xref="A5.E272.m1.2.2.1.1.3.1.3.3.2.cmml">S</mi><mi id="A5.E272.m1.2.2.1.1.3.1.3.3.3" xref="A5.E272.m1.2.2.1.1.3.1.3.3.3.cmml">t</mi></msub></mrow></munder><mrow id="A5.E272.m1.2.2.1.1.3.2" xref="A5.E272.m1.2.2.1.1.3.2.cmml"><mi id="A5.E272.m1.2.2.1.1.3.2.2" xref="A5.E272.m1.2.2.1.1.3.2.2.cmml">f</mi><mo id="A5.E272.m1.2.2.1.1.3.2.1" xref="A5.E272.m1.2.2.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A5.E272.m1.2.2.1.1.3.2.3.2" 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xref="A5.E272.m1.2.2.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="A5.E272.m1.2.2.1.1.1.1.3.3.2" xref="A5.E272.m1.2.2.1.1.1.1.3.3.2.cmml">C</mi><mi id="A5.E272.m1.2.2.1.1.1.1.3.3.3" xref="A5.E272.m1.2.2.1.1.1.1.3.3.3.cmml">a</mi></msub></mfrac><mo id="A5.E272.m1.2.2.1.1.1.1.2" xref="A5.E272.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A5.E272.m1.2.2.1.1.1.1.1" xref="A5.E272.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><munder id="A5.E272.m1.2.2.1.1.1.1.1.2" xref="A5.E272.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="A5.E272.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2" movablelimits="false" xref="A5.E272.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2.cmml">∑</mo><mi id="A5.E272.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.3" xref="A5.E272.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.3.cmml">π</mi></munder><mrow id="A5.E272.m1.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="A5.E272.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A5.E272.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3" xref="A5.E272.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml">f</mi><mo id="A5.E272.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2" xref="A5.E272.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A5.E272.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A5.E272.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A5.E272.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A5.E272.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A5.E272.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A5.E272.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A5.E272.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A5.E272.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">π</mi><mo id="A5.E272.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A5.E272.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="A5.E272.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A5.E272.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A5.E272.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A5.E272.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">σ</mi><mi id="A5.E272.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A5.E272.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">a</mi></msub><mo id="A5.E272.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1a" xref="A5.E272.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msup id="A5.E272.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4" xref="A5.E272.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="A5.E272.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2" xref="A5.E272.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml">π</mi><mrow 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id="A5.E272.m1.2.2.1.1.3.1.2.cmml" xref="A5.E272.m1.2.2.1.1.3.1.2"></sum><apply id="A5.E272.m1.2.2.1.1.3.1.3.cmml" xref="A5.E272.m1.2.2.1.1.3.1.3"><in id="A5.E272.m1.2.2.1.1.3.1.3.1.cmml" xref="A5.E272.m1.2.2.1.1.3.1.3.1"></in><ci id="A5.E272.m1.2.2.1.1.3.1.3.2.cmml" xref="A5.E272.m1.2.2.1.1.3.1.3.2">𝜋</ci><apply id="A5.E272.m1.2.2.1.1.3.1.3.3.cmml" xref="A5.E272.m1.2.2.1.1.3.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.E272.m1.2.2.1.1.3.1.3.3.1.cmml" xref="A5.E272.m1.2.2.1.1.3.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="A5.E272.m1.2.2.1.1.3.1.3.3.2.cmml" xref="A5.E272.m1.2.2.1.1.3.1.3.3.2">𝑆</ci><ci id="A5.E272.m1.2.2.1.1.3.1.3.3.3.cmml" xref="A5.E272.m1.2.2.1.1.3.1.3.3.3">𝑡</ci></apply></apply></apply><apply id="A5.E272.m1.2.2.1.1.3.2.cmml" xref="A5.E272.m1.2.2.1.1.3.2"><times id="A5.E272.m1.2.2.1.1.3.2.1.cmml" xref="A5.E272.m1.2.2.1.1.3.2.1"></times><ci id="A5.E272.m1.2.2.1.1.3.2.2.cmml" xref="A5.E272.m1.2.2.1.1.3.2.2">𝑓</ci><ci id="A5.E272.m1.1.1.cmml" xref="A5.E272.m1.1.1">𝜋</ci></apply></apply><apply id="A5.E272.m1.2.2.1.1.1.cmml" xref="A5.E272.m1.2.2.1.1.1"><apply id="A5.E272.m1.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="A5.E272.m1.2.2.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.E272.m1.2.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="A5.E272.m1.2.2.1.1.1.2">subscript</csymbol><sum id="A5.E272.m1.2.2.1.1.1.2.2.cmml" xref="A5.E272.m1.2.2.1.1.1.2.2"></sum><ci id="A5.E272.m1.2.2.1.1.1.2.3.cmml" xref="A5.E272.m1.2.2.1.1.1.2.3">𝑎</ci></apply><apply id="A5.E272.m1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="A5.E272.m1.2.2.1.1.1.1"><times id="A5.E272.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="A5.E272.m1.2.2.1.1.1.1.2"></times><apply id="A5.E272.m1.2.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="A5.E272.m1.2.2.1.1.1.1.3"><divide id="A5.E272.m1.2.2.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A5.E272.m1.2.2.1.1.1.1.3"></divide><cn id="A5.E272.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="A5.E272.m1.2.2.1.1.1.1.3.2">1</cn><apply id="A5.E272.m1.2.2.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A5.E272.m1.2.2.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.E272.m1.2.2.1.1.1.1.3.3.1.cmml" 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xref="A5.E272.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1"><times id="A5.E272.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A5.E272.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></times><ci id="A5.E272.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A5.E272.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝜋</ci><apply id="A5.E272.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A5.E272.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.E272.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A5.E272.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A5.E272.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A5.E272.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝜎</ci><ci id="A5.E272.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A5.E272.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑎</ci></apply><apply id="A5.E272.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="A5.E272.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.E272.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="A5.E272.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4">superscript</csymbol><ci id="A5.E272.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="A5.E272.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2">𝜋</ci><apply id="A5.E272.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml" xref="A5.E272.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3"><minus id="A5.E272.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.1.cmml" xref="A5.E272.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3"></minus><cn id="A5.E272.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.2.cmml" type="integer" xref="A5.E272.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.2">1</cn></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A5.E272.m1.2c">\displaystyle\sum_{\pi\in S_{t}}f(\pi)=\sum_{a}\frac{1}{C_{a}}\sum_{\pi}f(\pi% \sigma_{a}\pi^{-1}),</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A5.E272.m1.2d">∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_π ∈ italic_S start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT italic_f ( italic_π ) = ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_C start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT end_ARG ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_π end_POSTSUBSCRIPT italic_f ( italic_π italic_σ start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT italic_π start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT ) ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(272)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="A5.p3.2">for conjugacy class index <math alttext="a" class="ltx_Math" display="inline" id="A5.p3.2.m1.1"><semantics id="A5.p3.2.m1.1a"><mi id="A5.p3.2.m1.1.1" xref="A5.p3.2.m1.1.1.cmml">a</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A5.p3.2.m1.1b"><ci id="A5.p3.2.m1.1.1.cmml" xref="A5.p3.2.m1.1.1">𝑎</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A5.p3.2.m1.1c">a</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A5.p3.2.m1.1d">italic_a</annotation></semantics></math>, we can change this sum into</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="S6.EGx234"> <tbody id="A5.Ex106"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle G_{m}\ket{e_{\nu_{L},\nu_{R}}^{ij,k\ell,c}}" class="ltx_Math" display="inline" id="A5.Ex106.m1.1"><semantics id="A5.Ex106.m1.1a"><mrow id="A5.Ex106.m1.1.2" xref="A5.Ex106.m1.1.2.cmml"><msub id="A5.Ex106.m1.1.2.2" xref="A5.Ex106.m1.1.2.2.cmml"><mi id="A5.Ex106.m1.1.2.2.2" xref="A5.Ex106.m1.1.2.2.2.cmml">G</mi><mi id="A5.Ex106.m1.1.2.2.3" xref="A5.Ex106.m1.1.2.2.3.cmml">m</mi></msub><mo id="A5.Ex106.m1.1.2.1" xref="A5.Ex106.m1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A5.Ex106.m1.1.1a.3" xref="A5.Ex106.m1.1.1a.2.cmml"><mo id="A5.Ex106.m1.1.1a.3.1" stretchy="false" xref="A5.Ex106.m1.1.1a.2.1.cmml">|</mo><msubsup id="A5.Ex106.m1.1.1.1.1" xref="A5.Ex106.m1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A5.Ex106.m1.1.1.1.1.7.2" xref="A5.Ex106.m1.1.1.1.1.7.2.cmml">e</mi><mrow id="A5.Ex106.m1.1.1.1.1.2.2.2" xref="A5.Ex106.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><msub id="A5.Ex106.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A5.Ex106.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A5.Ex106.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A5.Ex106.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">ν</mi><mi id="A5.Ex106.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A5.Ex106.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">L</mi></msub><mo id="A5.Ex106.m1.1.1.1.1.2.2.2.3" xref="A5.Ex106.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">,</mo><msub id="A5.Ex106.m1.1.1.1.1.2.2.2.2" xref="A5.Ex106.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml"><mi id="A5.Ex106.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2" xref="A5.Ex106.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml">ν</mi><mi id="A5.Ex106.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3" xref="A5.Ex106.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.cmml">R</mi></msub></mrow><mrow id="A5.Ex106.m1.1.1.1.1.5.3.3" xref="A5.Ex106.m1.1.1.1.1.5.3.4.cmml"><mrow id="A5.Ex106.m1.1.1.1.1.4.2.2.1" xref="A5.Ex106.m1.1.1.1.1.4.2.2.1.cmml"><mi id="A5.Ex106.m1.1.1.1.1.4.2.2.1.2" xref="A5.Ex106.m1.1.1.1.1.4.2.2.1.2.cmml">i</mi><mo id="A5.Ex106.m1.1.1.1.1.4.2.2.1.1" xref="A5.Ex106.m1.1.1.1.1.4.2.2.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="A5.Ex106.m1.1.1.1.1.4.2.2.1.3" xref="A5.Ex106.m1.1.1.1.1.4.2.2.1.3.cmml">j</mi></mrow><mo id="A5.Ex106.m1.1.1.1.1.5.3.3.3" xref="A5.Ex106.m1.1.1.1.1.5.3.4.cmml">,</mo><mrow id="A5.Ex106.m1.1.1.1.1.5.3.3.2" xref="A5.Ex106.m1.1.1.1.1.5.3.3.2.cmml"><mi id="A5.Ex106.m1.1.1.1.1.5.3.3.2.2" xref="A5.Ex106.m1.1.1.1.1.5.3.3.2.2.cmml">k</mi><mo id="A5.Ex106.m1.1.1.1.1.5.3.3.2.1" xref="A5.Ex106.m1.1.1.1.1.5.3.3.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="A5.Ex106.m1.1.1.1.1.5.3.3.2.3" mathvariant="normal" xref="A5.Ex106.m1.1.1.1.1.5.3.3.2.3.cmml">ℓ</mi></mrow><mo id="A5.Ex106.m1.1.1.1.1.5.3.3.4" xref="A5.Ex106.m1.1.1.1.1.5.3.4.cmml">,</mo><mi id="A5.Ex106.m1.1.1.1.1.3.1.1" xref="A5.Ex106.m1.1.1.1.1.3.1.1.cmml">c</mi></mrow></msubsup><mo id="A5.Ex106.m1.1.1a.3.2" stretchy="false" xref="A5.Ex106.m1.1.1a.2.1.cmml">⟩</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A5.Ex106.m1.1b"><apply id="A5.Ex106.m1.1.2.cmml" xref="A5.Ex106.m1.1.2"><times id="A5.Ex106.m1.1.2.1.cmml" xref="A5.Ex106.m1.1.2.1"></times><apply id="A5.Ex106.m1.1.2.2.cmml" xref="A5.Ex106.m1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.Ex106.m1.1.2.2.1.cmml" xref="A5.Ex106.m1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="A5.Ex106.m1.1.2.2.2.cmml" xref="A5.Ex106.m1.1.2.2.2">𝐺</ci><ci id="A5.Ex106.m1.1.2.2.3.cmml" xref="A5.Ex106.m1.1.2.2.3">𝑚</ci></apply><apply id="A5.Ex106.m1.1.1a.2.cmml" xref="A5.Ex106.m1.1.1a.3"><csymbol cd="latexml" id="A5.Ex106.m1.1.1a.2.1.cmml" xref="A5.Ex106.m1.1.1a.3.1">ket</csymbol><apply id="A5.Ex106.m1.1.1.1.1.cmml" xref="A5.Ex106.m1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.Ex106.m1.1.1.1.1.6.cmml" xref="A5.Ex106.m1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="A5.Ex106.m1.1.1.1.1.7.cmml" xref="A5.Ex106.m1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.Ex106.m1.1.1.1.1.7.1.cmml" xref="A5.Ex106.m1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="A5.Ex106.m1.1.1.1.1.7.2.cmml" xref="A5.Ex106.m1.1.1.1.1.7.2">𝑒</ci><list id="A5.Ex106.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="A5.Ex106.m1.1.1.1.1.2.2.2"><apply id="A5.Ex106.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A5.Ex106.m1.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.Ex106.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A5.Ex106.m1.1.1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="A5.Ex106.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A5.Ex106.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝜈</ci><ci id="A5.Ex106.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A5.Ex106.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝐿</ci></apply><apply id="A5.Ex106.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="A5.Ex106.m1.1.1.1.1.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.Ex106.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.cmml" xref="A5.Ex106.m1.1.1.1.1.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="A5.Ex106.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml" xref="A5.Ex106.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2">𝜈</ci><ci id="A5.Ex106.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.cmml" xref="A5.Ex106.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3">𝑅</ci></apply></list></apply><list id="A5.Ex106.m1.1.1.1.1.5.3.4.cmml" xref="A5.Ex106.m1.1.1.1.1.5.3.3"><apply id="A5.Ex106.m1.1.1.1.1.4.2.2.1.cmml" xref="A5.Ex106.m1.1.1.1.1.4.2.2.1"><times id="A5.Ex106.m1.1.1.1.1.4.2.2.1.1.cmml" xref="A5.Ex106.m1.1.1.1.1.4.2.2.1.1"></times><ci id="A5.Ex106.m1.1.1.1.1.4.2.2.1.2.cmml" xref="A5.Ex106.m1.1.1.1.1.4.2.2.1.2">𝑖</ci><ci id="A5.Ex106.m1.1.1.1.1.4.2.2.1.3.cmml" xref="A5.Ex106.m1.1.1.1.1.4.2.2.1.3">𝑗</ci></apply><apply id="A5.Ex106.m1.1.1.1.1.5.3.3.2.cmml" xref="A5.Ex106.m1.1.1.1.1.5.3.3.2"><times id="A5.Ex106.m1.1.1.1.1.5.3.3.2.1.cmml" xref="A5.Ex106.m1.1.1.1.1.5.3.3.2.1"></times><ci id="A5.Ex106.m1.1.1.1.1.5.3.3.2.2.cmml" xref="A5.Ex106.m1.1.1.1.1.5.3.3.2.2">𝑘</ci><ci id="A5.Ex106.m1.1.1.1.1.5.3.3.2.3.cmml" xref="A5.Ex106.m1.1.1.1.1.5.3.3.2.3">ℓ</ci></apply><ci id="A5.Ex106.m1.1.1.1.1.3.1.1.cmml" xref="A5.Ex106.m1.1.1.1.1.3.1.1">𝑐</ci></list></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A5.Ex106.m1.1c">\displaystyle G_{m}\ket{e_{\nu_{L},\nu_{R}}^{ij,k\ell,c}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A5.Ex106.m1.1d">italic_G start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT | start_ARG italic_e start_POSTSUBSCRIPT italic_ν start_POSTSUBSCRIPT italic_L end_POSTSUBSCRIPT , italic_ν start_POSTSUBSCRIPT italic_R end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_i italic_j , italic_k roman_ℓ , italic_c end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG ⟩</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=\frac{1}{C_{c}}L_{\nu_{L}}^{ij}R_{\nu_{R}}^{k\ell}\sum_{a,b}% \frac{1}{C_{a}C_{b}}\sum_{\pi,\tau}\text{Wg}(\pi\sigma_{a}\pi^{-1}\tau\sigma_{% b}^{-1}\tau^{-1},q^{2})q^{-|\sigma_{b}|-|\tau\sigma_{b}\tau^{-1}\sigma_{c}^{-1% }|}\pi_{L}\pi_{R}^{-1}\ket{I,\sigma_{a},\sigma_{a}}" class="ltx_Math" display="inline" id="A5.Ex106.m2.9"><semantics id="A5.Ex106.m2.9a"><mrow id="A5.Ex106.m2.9.9" xref="A5.Ex106.m2.9.9.cmml"><mi id="A5.Ex106.m2.9.9.4" xref="A5.Ex106.m2.9.9.4.cmml"></mi><mo id="A5.Ex106.m2.9.9.3" xref="A5.Ex106.m2.9.9.3.cmml">=</mo><mrow id="A5.Ex106.m2.9.9.2" xref="A5.Ex106.m2.9.9.2.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A5.Ex106.m2.9.9.2.4" xref="A5.Ex106.m2.9.9.2.4.cmml"><mfrac id="A5.Ex106.m2.9.9.2.4a" xref="A5.Ex106.m2.9.9.2.4.cmml"><mn id="A5.Ex106.m2.9.9.2.4.2" xref="A5.Ex106.m2.9.9.2.4.2.cmml">1</mn><msub id="A5.Ex106.m2.9.9.2.4.3" xref="A5.Ex106.m2.9.9.2.4.3.cmml"><mi id="A5.Ex106.m2.9.9.2.4.3.2" xref="A5.Ex106.m2.9.9.2.4.3.2.cmml">C</mi><mi id="A5.Ex106.m2.9.9.2.4.3.3" xref="A5.Ex106.m2.9.9.2.4.3.3.cmml">c</mi></msub></mfrac></mstyle><mo id="A5.Ex106.m2.9.9.2.3" xref="A5.Ex106.m2.9.9.2.3.cmml">⁢</mo><msubsup id="A5.Ex106.m2.9.9.2.5" xref="A5.Ex106.m2.9.9.2.5.cmml"><mi id="A5.Ex106.m2.9.9.2.5.2.2" xref="A5.Ex106.m2.9.9.2.5.2.2.cmml">L</mi><msub id="A5.Ex106.m2.9.9.2.5.2.3" xref="A5.Ex106.m2.9.9.2.5.2.3.cmml"><mi id="A5.Ex106.m2.9.9.2.5.2.3.2" xref="A5.Ex106.m2.9.9.2.5.2.3.2.cmml">ν</mi><mi id="A5.Ex106.m2.9.9.2.5.2.3.3" xref="A5.Ex106.m2.9.9.2.5.2.3.3.cmml">L</mi></msub><mrow id="A5.Ex106.m2.9.9.2.5.3" xref="A5.Ex106.m2.9.9.2.5.3.cmml"><mi id="A5.Ex106.m2.9.9.2.5.3.2" xref="A5.Ex106.m2.9.9.2.5.3.2.cmml">i</mi><mo id="A5.Ex106.m2.9.9.2.5.3.1" xref="A5.Ex106.m2.9.9.2.5.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A5.Ex106.m2.9.9.2.5.3.3" xref="A5.Ex106.m2.9.9.2.5.3.3.cmml">j</mi></mrow></msubsup><mo id="A5.Ex106.m2.9.9.2.3a" xref="A5.Ex106.m2.9.9.2.3.cmml">⁢</mo><msubsup id="A5.Ex106.m2.9.9.2.6" xref="A5.Ex106.m2.9.9.2.6.cmml"><mi id="A5.Ex106.m2.9.9.2.6.2.2" xref="A5.Ex106.m2.9.9.2.6.2.2.cmml">R</mi><msub id="A5.Ex106.m2.9.9.2.6.2.3" xref="A5.Ex106.m2.9.9.2.6.2.3.cmml"><mi id="A5.Ex106.m2.9.9.2.6.2.3.2" xref="A5.Ex106.m2.9.9.2.6.2.3.2.cmml">ν</mi><mi id="A5.Ex106.m2.9.9.2.6.2.3.3" xref="A5.Ex106.m2.9.9.2.6.2.3.3.cmml">R</mi></msub><mrow id="A5.Ex106.m2.9.9.2.6.3" xref="A5.Ex106.m2.9.9.2.6.3.cmml"><mi id="A5.Ex106.m2.9.9.2.6.3.2" xref="A5.Ex106.m2.9.9.2.6.3.2.cmml">k</mi><mo id="A5.Ex106.m2.9.9.2.6.3.1" xref="A5.Ex106.m2.9.9.2.6.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A5.Ex106.m2.9.9.2.6.3.3" mathvariant="normal" xref="A5.Ex106.m2.9.9.2.6.3.3.cmml">ℓ</mi></mrow></msubsup><mo id="A5.Ex106.m2.9.9.2.3b" xref="A5.Ex106.m2.9.9.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="A5.Ex106.m2.9.9.2.2" xref="A5.Ex106.m2.9.9.2.2.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A5.Ex106.m2.9.9.2.2.3" xref="A5.Ex106.m2.9.9.2.2.3.cmml"><munder id="A5.Ex106.m2.9.9.2.2.3a" xref="A5.Ex106.m2.9.9.2.2.3.cmml"><mo id="A5.Ex106.m2.9.9.2.2.3.2" movablelimits="false" xref="A5.Ex106.m2.9.9.2.2.3.2.cmml">∑</mo><mrow id="A5.Ex106.m2.3.3.2.4" xref="A5.Ex106.m2.3.3.2.3.cmml"><mi id="A5.Ex106.m2.2.2.1.1" xref="A5.Ex106.m2.2.2.1.1.cmml">a</mi><mo id="A5.Ex106.m2.3.3.2.4.1" xref="A5.Ex106.m2.3.3.2.3.cmml">,</mo><mi id="A5.Ex106.m2.3.3.2.2" xref="A5.Ex106.m2.3.3.2.2.cmml">b</mi></mrow></munder></mstyle><mrow id="A5.Ex106.m2.9.9.2.2.2" xref="A5.Ex106.m2.9.9.2.2.2.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A5.Ex106.m2.9.9.2.2.2.4" xref="A5.Ex106.m2.9.9.2.2.2.4.cmml"><mfrac id="A5.Ex106.m2.9.9.2.2.2.4a" xref="A5.Ex106.m2.9.9.2.2.2.4.cmml"><mn id="A5.Ex106.m2.9.9.2.2.2.4.2" xref="A5.Ex106.m2.9.9.2.2.2.4.2.cmml">1</mn><mrow id="A5.Ex106.m2.9.9.2.2.2.4.3" xref="A5.Ex106.m2.9.9.2.2.2.4.3.cmml"><msub id="A5.Ex106.m2.9.9.2.2.2.4.3.2" xref="A5.Ex106.m2.9.9.2.2.2.4.3.2.cmml"><mi id="A5.Ex106.m2.9.9.2.2.2.4.3.2.2" xref="A5.Ex106.m2.9.9.2.2.2.4.3.2.2.cmml">C</mi><mi id="A5.Ex106.m2.9.9.2.2.2.4.3.2.3" xref="A5.Ex106.m2.9.9.2.2.2.4.3.2.3.cmml">a</mi></msub><mo id="A5.Ex106.m2.9.9.2.2.2.4.3.1" xref="A5.Ex106.m2.9.9.2.2.2.4.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="A5.Ex106.m2.9.9.2.2.2.4.3.3" xref="A5.Ex106.m2.9.9.2.2.2.4.3.3.cmml"><mi id="A5.Ex106.m2.9.9.2.2.2.4.3.3.2" xref="A5.Ex106.m2.9.9.2.2.2.4.3.3.2.cmml">C</mi><mi id="A5.Ex106.m2.9.9.2.2.2.4.3.3.3" xref="A5.Ex106.m2.9.9.2.2.2.4.3.3.3.cmml">b</mi></msub></mrow></mfrac></mstyle><mo id="A5.Ex106.m2.9.9.2.2.2.3" xref="A5.Ex106.m2.9.9.2.2.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="A5.Ex106.m2.9.9.2.2.2.2" xref="A5.Ex106.m2.9.9.2.2.2.2.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A5.Ex106.m2.9.9.2.2.2.2.3" xref="A5.Ex106.m2.9.9.2.2.2.2.3.cmml"><munder id="A5.Ex106.m2.9.9.2.2.2.2.3a" xref="A5.Ex106.m2.9.9.2.2.2.2.3.cmml"><mo id="A5.Ex106.m2.9.9.2.2.2.2.3.2" movablelimits="false" xref="A5.Ex106.m2.9.9.2.2.2.2.3.2.cmml">∑</mo><mrow id="A5.Ex106.m2.5.5.2.4" xref="A5.Ex106.m2.5.5.2.3.cmml"><mi id="A5.Ex106.m2.4.4.1.1" xref="A5.Ex106.m2.4.4.1.1.cmml">π</mi><mo id="A5.Ex106.m2.5.5.2.4.1" xref="A5.Ex106.m2.5.5.2.3.cmml">,</mo><mi id="A5.Ex106.m2.5.5.2.2" xref="A5.Ex106.m2.5.5.2.2.cmml">τ</mi></mrow></munder></mstyle><mrow id="A5.Ex106.m2.9.9.2.2.2.2.2" xref="A5.Ex106.m2.9.9.2.2.2.2.2.cmml"><mtext id="A5.Ex106.m2.9.9.2.2.2.2.2.4" xref="A5.Ex106.m2.9.9.2.2.2.2.2.4a.cmml">Wg</mtext><mo id="A5.Ex106.m2.9.9.2.2.2.2.2.3" xref="A5.Ex106.m2.9.9.2.2.2.2.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="A5.Ex106.m2.9.9.2.2.2.2.2.2.2" xref="A5.Ex106.m2.9.9.2.2.2.2.2.2.3.cmml"><mo id="A5.Ex106.m2.9.9.2.2.2.2.2.2.2.3" stretchy="false" xref="A5.Ex106.m2.9.9.2.2.2.2.2.2.3.cmml">(</mo><mrow id="A5.Ex106.m2.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A5.Ex106.m2.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A5.Ex106.m2.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A5.Ex106.m2.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">π</mi><mo id="A5.Ex106.m2.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A5.Ex106.m2.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="A5.Ex106.m2.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A5.Ex106.m2.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A5.Ex106.m2.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A5.Ex106.m2.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">σ</mi><mi id="A5.Ex106.m2.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A5.Ex106.m2.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">a</mi></msub><mo id="A5.Ex106.m2.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1a" xref="A5.Ex106.m2.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msup id="A5.Ex106.m2.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.4" xref="A5.Ex106.m2.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="A5.Ex106.m2.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2" xref="A5.Ex106.m2.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml">π</mi><mrow id="A5.Ex106.m2.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3" xref="A5.Ex106.m2.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml"><mo id="A5.Ex106.m2.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3a" xref="A5.Ex106.m2.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml">−</mo><mn id="A5.Ex106.m2.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.2" xref="A5.Ex106.m2.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="A5.Ex106.m2.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1b" xref="A5.Ex106.m2.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="A5.Ex106.m2.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.5" xref="A5.Ex106.m2.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.5.cmml">τ</mi><mo id="A5.Ex106.m2.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1c" xref="A5.Ex106.m2.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="A5.Ex106.m2.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.6" xref="A5.Ex106.m2.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.6.cmml"><mi id="A5.Ex106.m2.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.6.2.2" xref="A5.Ex106.m2.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.6.2.2.cmml">σ</mi><mi id="A5.Ex106.m2.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.6.2.3" xref="A5.Ex106.m2.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.6.2.3.cmml">b</mi><mrow id="A5.Ex106.m2.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.6.3" xref="A5.Ex106.m2.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.6.3.cmml"><mo id="A5.Ex106.m2.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.6.3a" xref="A5.Ex106.m2.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.6.3.cmml">−</mo><mn id="A5.Ex106.m2.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.6.3.2" xref="A5.Ex106.m2.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.6.3.2.cmml">1</mn></mrow></msubsup><mo id="A5.Ex106.m2.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1d" xref="A5.Ex106.m2.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msup id="A5.Ex106.m2.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.7" xref="A5.Ex106.m2.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.7.cmml"><mi id="A5.Ex106.m2.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.7.2" xref="A5.Ex106.m2.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.7.2.cmml">τ</mi><mrow id="A5.Ex106.m2.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.7.3" xref="A5.Ex106.m2.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.7.3.cmml"><mo id="A5.Ex106.m2.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.7.3a" xref="A5.Ex106.m2.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.7.3.cmml">−</mo><mn id="A5.Ex106.m2.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.7.3.2" xref="A5.Ex106.m2.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.7.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup></mrow><mo id="A5.Ex106.m2.9.9.2.2.2.2.2.2.2.4" xref="A5.Ex106.m2.9.9.2.2.2.2.2.2.3.cmml">,</mo><msup id="A5.Ex106.m2.9.9.2.2.2.2.2.2.2.2" xref="A5.Ex106.m2.9.9.2.2.2.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="A5.Ex106.m2.9.9.2.2.2.2.2.2.2.2.2" xref="A5.Ex106.m2.9.9.2.2.2.2.2.2.2.2.2.cmml">q</mi><mn id="A5.Ex106.m2.9.9.2.2.2.2.2.2.2.2.3" xref="A5.Ex106.m2.9.9.2.2.2.2.2.2.2.2.3.cmml">2</mn></msup><mo id="A5.Ex106.m2.9.9.2.2.2.2.2.2.2.5" stretchy="false" xref="A5.Ex106.m2.9.9.2.2.2.2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow><mo id="A5.Ex106.m2.9.9.2.2.2.2.2.3a" xref="A5.Ex106.m2.9.9.2.2.2.2.2.3.cmml">⁢</mo><msup id="A5.Ex106.m2.9.9.2.2.2.2.2.5" xref="A5.Ex106.m2.9.9.2.2.2.2.2.5.cmml"><mi id="A5.Ex106.m2.9.9.2.2.2.2.2.5.2" xref="A5.Ex106.m2.9.9.2.2.2.2.2.5.2.cmml">q</mi><mrow id="A5.Ex106.m2.7.7.2" xref="A5.Ex106.m2.7.7.2.cmml"><mrow id="A5.Ex106.m2.6.6.1.1" xref="A5.Ex106.m2.6.6.1.1.cmml"><mo id="A5.Ex106.m2.6.6.1.1a" xref="A5.Ex106.m2.6.6.1.1.cmml">−</mo><mrow id="A5.Ex106.m2.6.6.1.1.1.1" xref="A5.Ex106.m2.6.6.1.1.1.2.cmml"><mo id="A5.Ex106.m2.6.6.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A5.Ex106.m2.6.6.1.1.1.2.1.cmml">|</mo><msub id="A5.Ex106.m2.6.6.1.1.1.1.1" xref="A5.Ex106.m2.6.6.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A5.Ex106.m2.6.6.1.1.1.1.1.2" xref="A5.Ex106.m2.6.6.1.1.1.1.1.2.cmml">σ</mi><mi id="A5.Ex106.m2.6.6.1.1.1.1.1.3" xref="A5.Ex106.m2.6.6.1.1.1.1.1.3.cmml">b</mi></msub><mo id="A5.Ex106.m2.6.6.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A5.Ex106.m2.6.6.1.1.1.2.1.cmml">|</mo></mrow></mrow><mo id="A5.Ex106.m2.7.7.2.3" xref="A5.Ex106.m2.7.7.2.3.cmml">−</mo><mrow id="A5.Ex106.m2.7.7.2.2.1" xref="A5.Ex106.m2.7.7.2.2.2.cmml"><mo id="A5.Ex106.m2.7.7.2.2.1.2" stretchy="false" xref="A5.Ex106.m2.7.7.2.2.2.1.cmml">|</mo><mrow id="A5.Ex106.m2.7.7.2.2.1.1" xref="A5.Ex106.m2.7.7.2.2.1.1.cmml"><mi id="A5.Ex106.m2.7.7.2.2.1.1.2" xref="A5.Ex106.m2.7.7.2.2.1.1.2.cmml">τ</mi><mo id="A5.Ex106.m2.7.7.2.2.1.1.1" xref="A5.Ex106.m2.7.7.2.2.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="A5.Ex106.m2.7.7.2.2.1.1.3" xref="A5.Ex106.m2.7.7.2.2.1.1.3.cmml"><mi id="A5.Ex106.m2.7.7.2.2.1.1.3.2" xref="A5.Ex106.m2.7.7.2.2.1.1.3.2.cmml">σ</mi><mi id="A5.Ex106.m2.7.7.2.2.1.1.3.3" xref="A5.Ex106.m2.7.7.2.2.1.1.3.3.cmml">b</mi></msub><mo id="A5.Ex106.m2.7.7.2.2.1.1.1a" xref="A5.Ex106.m2.7.7.2.2.1.1.1.cmml">⁢</mo><msup id="A5.Ex106.m2.7.7.2.2.1.1.4" xref="A5.Ex106.m2.7.7.2.2.1.1.4.cmml"><mi id="A5.Ex106.m2.7.7.2.2.1.1.4.2" xref="A5.Ex106.m2.7.7.2.2.1.1.4.2.cmml">τ</mi><mrow id="A5.Ex106.m2.7.7.2.2.1.1.4.3" xref="A5.Ex106.m2.7.7.2.2.1.1.4.3.cmml"><mo id="A5.Ex106.m2.7.7.2.2.1.1.4.3a" xref="A5.Ex106.m2.7.7.2.2.1.1.4.3.cmml">−</mo><mn id="A5.Ex106.m2.7.7.2.2.1.1.4.3.2" xref="A5.Ex106.m2.7.7.2.2.1.1.4.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="A5.Ex106.m2.7.7.2.2.1.1.1b" xref="A5.Ex106.m2.7.7.2.2.1.1.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="A5.Ex106.m2.7.7.2.2.1.1.5" xref="A5.Ex106.m2.7.7.2.2.1.1.5.cmml"><mi id="A5.Ex106.m2.7.7.2.2.1.1.5.2.2" xref="A5.Ex106.m2.7.7.2.2.1.1.5.2.2.cmml">σ</mi><mi id="A5.Ex106.m2.7.7.2.2.1.1.5.2.3" xref="A5.Ex106.m2.7.7.2.2.1.1.5.2.3.cmml">c</mi><mrow id="A5.Ex106.m2.7.7.2.2.1.1.5.3" xref="A5.Ex106.m2.7.7.2.2.1.1.5.3.cmml"><mo id="A5.Ex106.m2.7.7.2.2.1.1.5.3a" xref="A5.Ex106.m2.7.7.2.2.1.1.5.3.cmml">−</mo><mn id="A5.Ex106.m2.7.7.2.2.1.1.5.3.2" xref="A5.Ex106.m2.7.7.2.2.1.1.5.3.2.cmml">1</mn></mrow></msubsup></mrow><mo id="A5.Ex106.m2.7.7.2.2.1.3" stretchy="false" xref="A5.Ex106.m2.7.7.2.2.2.1.cmml">|</mo></mrow></mrow></msup><mo id="A5.Ex106.m2.9.9.2.2.2.2.2.3b" xref="A5.Ex106.m2.9.9.2.2.2.2.2.3.cmml">⁢</mo><msub id="A5.Ex106.m2.9.9.2.2.2.2.2.6" xref="A5.Ex106.m2.9.9.2.2.2.2.2.6.cmml"><mi id="A5.Ex106.m2.9.9.2.2.2.2.2.6.2" xref="A5.Ex106.m2.9.9.2.2.2.2.2.6.2.cmml">π</mi><mi id="A5.Ex106.m2.9.9.2.2.2.2.2.6.3" xref="A5.Ex106.m2.9.9.2.2.2.2.2.6.3.cmml">L</mi></msub><mo id="A5.Ex106.m2.9.9.2.2.2.2.2.3c" xref="A5.Ex106.m2.9.9.2.2.2.2.2.3.cmml">⁢</mo><msubsup id="A5.Ex106.m2.9.9.2.2.2.2.2.7" xref="A5.Ex106.m2.9.9.2.2.2.2.2.7.cmml"><mi id="A5.Ex106.m2.9.9.2.2.2.2.2.7.2.2" xref="A5.Ex106.m2.9.9.2.2.2.2.2.7.2.2.cmml">π</mi><mi id="A5.Ex106.m2.9.9.2.2.2.2.2.7.2.3" xref="A5.Ex106.m2.9.9.2.2.2.2.2.7.2.3.cmml">R</mi><mrow id="A5.Ex106.m2.9.9.2.2.2.2.2.7.3" xref="A5.Ex106.m2.9.9.2.2.2.2.2.7.3.cmml"><mo id="A5.Ex106.m2.9.9.2.2.2.2.2.7.3a" xref="A5.Ex106.m2.9.9.2.2.2.2.2.7.3.cmml">−</mo><mn id="A5.Ex106.m2.9.9.2.2.2.2.2.7.3.2" xref="A5.Ex106.m2.9.9.2.2.2.2.2.7.3.2.cmml">1</mn></mrow></msubsup><mo id="A5.Ex106.m2.9.9.2.2.2.2.2.3d" xref="A5.Ex106.m2.9.9.2.2.2.2.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="A5.Ex106.m2.1.1a.3" xref="A5.Ex106.m2.1.1a.2.cmml"><mo id="A5.Ex106.m2.1.1a.3.1" stretchy="false" xref="A5.Ex106.m2.1.1a.2.1.cmml">|</mo><mrow id="A5.Ex106.m2.1.1.1.1.3" xref="A5.Ex106.m2.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="A5.Ex106.m2.1.1.1.1.1" xref="A5.Ex106.m2.1.1.1.1.1.cmml">I</mi><mo id="A5.Ex106.m2.1.1.1.1.3.3" xref="A5.Ex106.m2.1.1.1.1.4.cmml">,</mo><msub id="A5.Ex106.m2.1.1.1.1.2.1" xref="A5.Ex106.m2.1.1.1.1.2.1.cmml"><mi id="A5.Ex106.m2.1.1.1.1.2.1.2" xref="A5.Ex106.m2.1.1.1.1.2.1.2.cmml">σ</mi><mi id="A5.Ex106.m2.1.1.1.1.2.1.3" xref="A5.Ex106.m2.1.1.1.1.2.1.3.cmml">a</mi></msub><mo id="A5.Ex106.m2.1.1.1.1.3.4" xref="A5.Ex106.m2.1.1.1.1.4.cmml">,</mo><msub id="A5.Ex106.m2.1.1.1.1.3.2" xref="A5.Ex106.m2.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="A5.Ex106.m2.1.1.1.1.3.2.2" xref="A5.Ex106.m2.1.1.1.1.3.2.2.cmml">σ</mi><mi id="A5.Ex106.m2.1.1.1.1.3.2.3" xref="A5.Ex106.m2.1.1.1.1.3.2.3.cmml">a</mi></msub></mrow><mo id="A5.Ex106.m2.1.1a.3.2" stretchy="false" xref="A5.Ex106.m2.1.1a.2.1.cmml">⟩</mo></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A5.Ex106.m2.9b"><apply id="A5.Ex106.m2.9.9.cmml" xref="A5.Ex106.m2.9.9"><eq id="A5.Ex106.m2.9.9.3.cmml" xref="A5.Ex106.m2.9.9.3"></eq><csymbol cd="latexml" id="A5.Ex106.m2.9.9.4.cmml" xref="A5.Ex106.m2.9.9.4">absent</csymbol><apply id="A5.Ex106.m2.9.9.2.cmml" xref="A5.Ex106.m2.9.9.2"><times id="A5.Ex106.m2.9.9.2.3.cmml" xref="A5.Ex106.m2.9.9.2.3"></times><apply id="A5.Ex106.m2.9.9.2.4.cmml" xref="A5.Ex106.m2.9.9.2.4"><divide id="A5.Ex106.m2.9.9.2.4.1.cmml" xref="A5.Ex106.m2.9.9.2.4"></divide><cn id="A5.Ex106.m2.9.9.2.4.2.cmml" type="integer" xref="A5.Ex106.m2.9.9.2.4.2">1</cn><apply id="A5.Ex106.m2.9.9.2.4.3.cmml" xref="A5.Ex106.m2.9.9.2.4.3"><csymbol cd="ambiguous" 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id="A5.Ex106.m2.9.9.2.2.2.4.3.3.cmml" xref="A5.Ex106.m2.9.9.2.2.2.4.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.Ex106.m2.9.9.2.2.2.4.3.3.1.cmml" xref="A5.Ex106.m2.9.9.2.2.2.4.3.3">subscript</csymbol><ci id="A5.Ex106.m2.9.9.2.2.2.4.3.3.2.cmml" xref="A5.Ex106.m2.9.9.2.2.2.4.3.3.2">𝐶</ci><ci id="A5.Ex106.m2.9.9.2.2.2.4.3.3.3.cmml" xref="A5.Ex106.m2.9.9.2.2.2.4.3.3.3">𝑏</ci></apply></apply></apply><apply id="A5.Ex106.m2.9.9.2.2.2.2.cmml" xref="A5.Ex106.m2.9.9.2.2.2.2"><apply id="A5.Ex106.m2.9.9.2.2.2.2.3.cmml" xref="A5.Ex106.m2.9.9.2.2.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.Ex106.m2.9.9.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="A5.Ex106.m2.9.9.2.2.2.2.3">subscript</csymbol><sum id="A5.Ex106.m2.9.9.2.2.2.2.3.2.cmml" xref="A5.Ex106.m2.9.9.2.2.2.2.3.2"></sum><list id="A5.Ex106.m2.5.5.2.3.cmml" xref="A5.Ex106.m2.5.5.2.4"><ci id="A5.Ex106.m2.4.4.1.1.cmml" xref="A5.Ex106.m2.4.4.1.1">𝜋</ci><ci id="A5.Ex106.m2.5.5.2.2.cmml" xref="A5.Ex106.m2.5.5.2.2">𝜏</ci></list></apply><apply id="A5.Ex106.m2.9.9.2.2.2.2.2.cmml" xref="A5.Ex106.m2.9.9.2.2.2.2.2"><times id="A5.Ex106.m2.9.9.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="A5.Ex106.m2.9.9.2.2.2.2.2.3"></times><ci id="A5.Ex106.m2.9.9.2.2.2.2.2.4a.cmml" xref="A5.Ex106.m2.9.9.2.2.2.2.2.4"><mtext id="A5.Ex106.m2.9.9.2.2.2.2.2.4.cmml" xref="A5.Ex106.m2.9.9.2.2.2.2.2.4">Wg</mtext></ci><interval closure="open" id="A5.Ex106.m2.9.9.2.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="A5.Ex106.m2.9.9.2.2.2.2.2.2.2"><apply id="A5.Ex106.m2.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A5.Ex106.m2.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1"><times id="A5.Ex106.m2.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A5.Ex106.m2.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></times><ci id="A5.Ex106.m2.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A5.Ex106.m2.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝜋</ci><apply id="A5.Ex106.m2.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A5.Ex106.m2.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.Ex106.m2.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A5.Ex106.m2.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A5.Ex106.m2.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A5.Ex106.m2.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝜎</ci><ci id="A5.Ex106.m2.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A5.Ex106.m2.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑎</ci></apply><apply id="A5.Ex106.m2.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="A5.Ex106.m2.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.Ex106.m2.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="A5.Ex106.m2.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.4">superscript</csymbol><ci id="A5.Ex106.m2.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="A5.Ex106.m2.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2">𝜋</ci><apply id="A5.Ex106.m2.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml" xref="A5.Ex106.m2.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3"><minus id="A5.Ex106.m2.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.1.cmml" xref="A5.Ex106.m2.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3"></minus><cn id="A5.Ex106.m2.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.2.cmml" type="integer" xref="A5.Ex106.m2.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.2">1</cn></apply></apply><ci id="A5.Ex106.m2.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.5.cmml" xref="A5.Ex106.m2.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.5">𝜏</ci><apply id="A5.Ex106.m2.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.6.cmml" xref="A5.Ex106.m2.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.6"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.Ex106.m2.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.6.1.cmml" xref="A5.Ex106.m2.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.6">superscript</csymbol><apply id="A5.Ex106.m2.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.6.2.cmml" xref="A5.Ex106.m2.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.6"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.Ex106.m2.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.6.2.1.cmml" xref="A5.Ex106.m2.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.6">subscript</csymbol><ci id="A5.Ex106.m2.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.6.2.2.cmml" xref="A5.Ex106.m2.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.6.2.2">𝜎</ci><ci id="A5.Ex106.m2.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.6.2.3.cmml" xref="A5.Ex106.m2.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.6.2.3">𝑏</ci></apply><apply id="A5.Ex106.m2.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.6.3.cmml" xref="A5.Ex106.m2.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.6.3"><minus id="A5.Ex106.m2.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.6.3.1.cmml" xref="A5.Ex106.m2.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.6.3"></minus><cn id="A5.Ex106.m2.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.6.3.2.cmml" type="integer" xref="A5.Ex106.m2.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.6.3.2">1</cn></apply></apply><apply id="A5.Ex106.m2.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.7.cmml" xref="A5.Ex106.m2.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.7"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.Ex106.m2.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.7.1.cmml" xref="A5.Ex106.m2.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.7">superscript</csymbol><ci id="A5.Ex106.m2.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.7.2.cmml" xref="A5.Ex106.m2.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.7.2">𝜏</ci><apply id="A5.Ex106.m2.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.7.3.cmml" xref="A5.Ex106.m2.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.7.3"><minus id="A5.Ex106.m2.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.7.3.1.cmml" xref="A5.Ex106.m2.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.7.3"></minus><cn id="A5.Ex106.m2.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.7.3.2.cmml" type="integer" xref="A5.Ex106.m2.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.7.3.2">1</cn></apply></apply></apply><apply id="A5.Ex106.m2.9.9.2.2.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="A5.Ex106.m2.9.9.2.2.2.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.Ex106.m2.9.9.2.2.2.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="A5.Ex106.m2.9.9.2.2.2.2.2.2.2.2">superscript</csymbol><ci id="A5.Ex106.m2.9.9.2.2.2.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="A5.Ex106.m2.9.9.2.2.2.2.2.2.2.2.2">𝑞</ci><cn id="A5.Ex106.m2.9.9.2.2.2.2.2.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="A5.Ex106.m2.9.9.2.2.2.2.2.2.2.2.3">2</cn></apply></interval><apply id="A5.Ex106.m2.9.9.2.2.2.2.2.5.cmml" xref="A5.Ex106.m2.9.9.2.2.2.2.2.5"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.Ex106.m2.9.9.2.2.2.2.2.5.1.cmml" xref="A5.Ex106.m2.9.9.2.2.2.2.2.5">superscript</csymbol><ci id="A5.Ex106.m2.9.9.2.2.2.2.2.5.2.cmml" xref="A5.Ex106.m2.9.9.2.2.2.2.2.5.2">𝑞</ci><apply id="A5.Ex106.m2.7.7.2.cmml" xref="A5.Ex106.m2.7.7.2"><minus id="A5.Ex106.m2.7.7.2.3.cmml" xref="A5.Ex106.m2.7.7.2.3"></minus><apply id="A5.Ex106.m2.6.6.1.1.cmml" xref="A5.Ex106.m2.6.6.1.1"><minus id="A5.Ex106.m2.6.6.1.1.2.cmml" xref="A5.Ex106.m2.6.6.1.1"></minus><apply id="A5.Ex106.m2.6.6.1.1.1.2.cmml" xref="A5.Ex106.m2.6.6.1.1.1.1"><abs id="A5.Ex106.m2.6.6.1.1.1.2.1.cmml" xref="A5.Ex106.m2.6.6.1.1.1.1.2"></abs><apply id="A5.Ex106.m2.6.6.1.1.1.1.1.cmml" xref="A5.Ex106.m2.6.6.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.Ex106.m2.6.6.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A5.Ex106.m2.6.6.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="A5.Ex106.m2.6.6.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A5.Ex106.m2.6.6.1.1.1.1.1.2">𝜎</ci><ci id="A5.Ex106.m2.6.6.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A5.Ex106.m2.6.6.1.1.1.1.1.3">𝑏</ci></apply></apply></apply><apply id="A5.Ex106.m2.7.7.2.2.2.cmml" xref="A5.Ex106.m2.7.7.2.2.1"><abs id="A5.Ex106.m2.7.7.2.2.2.1.cmml" xref="A5.Ex106.m2.7.7.2.2.1.2"></abs><apply id="A5.Ex106.m2.7.7.2.2.1.1.cmml" xref="A5.Ex106.m2.7.7.2.2.1.1"><times id="A5.Ex106.m2.7.7.2.2.1.1.1.cmml" xref="A5.Ex106.m2.7.7.2.2.1.1.1"></times><ci id="A5.Ex106.m2.7.7.2.2.1.1.2.cmml" xref="A5.Ex106.m2.7.7.2.2.1.1.2">𝜏</ci><apply id="A5.Ex106.m2.7.7.2.2.1.1.3.cmml" xref="A5.Ex106.m2.7.7.2.2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.Ex106.m2.7.7.2.2.1.1.3.1.cmml" xref="A5.Ex106.m2.7.7.2.2.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A5.Ex106.m2.7.7.2.2.1.1.3.2.cmml" xref="A5.Ex106.m2.7.7.2.2.1.1.3.2">𝜎</ci><ci id="A5.Ex106.m2.7.7.2.2.1.1.3.3.cmml" xref="A5.Ex106.m2.7.7.2.2.1.1.3.3">𝑏</ci></apply><apply id="A5.Ex106.m2.7.7.2.2.1.1.4.cmml" xref="A5.Ex106.m2.7.7.2.2.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.Ex106.m2.7.7.2.2.1.1.4.1.cmml" xref="A5.Ex106.m2.7.7.2.2.1.1.4">superscript</csymbol><ci id="A5.Ex106.m2.7.7.2.2.1.1.4.2.cmml" xref="A5.Ex106.m2.7.7.2.2.1.1.4.2">𝜏</ci><apply id="A5.Ex106.m2.7.7.2.2.1.1.4.3.cmml" xref="A5.Ex106.m2.7.7.2.2.1.1.4.3"><minus id="A5.Ex106.m2.7.7.2.2.1.1.4.3.1.cmml" xref="A5.Ex106.m2.7.7.2.2.1.1.4.3"></minus><cn id="A5.Ex106.m2.7.7.2.2.1.1.4.3.2.cmml" type="integer" xref="A5.Ex106.m2.7.7.2.2.1.1.4.3.2">1</cn></apply></apply><apply id="A5.Ex106.m2.7.7.2.2.1.1.5.cmml" xref="A5.Ex106.m2.7.7.2.2.1.1.5"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.Ex106.m2.7.7.2.2.1.1.5.1.cmml" xref="A5.Ex106.m2.7.7.2.2.1.1.5">superscript</csymbol><apply id="A5.Ex106.m2.7.7.2.2.1.1.5.2.cmml" xref="A5.Ex106.m2.7.7.2.2.1.1.5"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.Ex106.m2.7.7.2.2.1.1.5.2.1.cmml" xref="A5.Ex106.m2.7.7.2.2.1.1.5">subscript</csymbol><ci id="A5.Ex106.m2.7.7.2.2.1.1.5.2.2.cmml" xref="A5.Ex106.m2.7.7.2.2.1.1.5.2.2">𝜎</ci><ci 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id="A5.Ex106.m2.9.9.2.2.2.2.2.7.2.cmml" xref="A5.Ex106.m2.9.9.2.2.2.2.2.7"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.Ex106.m2.9.9.2.2.2.2.2.7.2.1.cmml" xref="A5.Ex106.m2.9.9.2.2.2.2.2.7">subscript</csymbol><ci id="A5.Ex106.m2.9.9.2.2.2.2.2.7.2.2.cmml" xref="A5.Ex106.m2.9.9.2.2.2.2.2.7.2.2">𝜋</ci><ci id="A5.Ex106.m2.9.9.2.2.2.2.2.7.2.3.cmml" xref="A5.Ex106.m2.9.9.2.2.2.2.2.7.2.3">𝑅</ci></apply><apply id="A5.Ex106.m2.9.9.2.2.2.2.2.7.3.cmml" xref="A5.Ex106.m2.9.9.2.2.2.2.2.7.3"><minus id="A5.Ex106.m2.9.9.2.2.2.2.2.7.3.1.cmml" xref="A5.Ex106.m2.9.9.2.2.2.2.2.7.3"></minus><cn id="A5.Ex106.m2.9.9.2.2.2.2.2.7.3.2.cmml" type="integer" xref="A5.Ex106.m2.9.9.2.2.2.2.2.7.3.2">1</cn></apply></apply><apply id="A5.Ex106.m2.1.1a.2.cmml" xref="A5.Ex106.m2.1.1a.3"><csymbol cd="latexml" id="A5.Ex106.m2.1.1a.2.1.cmml" xref="A5.Ex106.m2.1.1a.3.1">ket</csymbol><list id="A5.Ex106.m2.1.1.1.1.4.cmml" xref="A5.Ex106.m2.1.1.1.1.3"><ci id="A5.Ex106.m2.1.1.1.1.1.cmml" xref="A5.Ex106.m2.1.1.1.1.1">𝐼</ci><apply id="A5.Ex106.m2.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A5.Ex106.m2.1.1.1.1.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.Ex106.m2.1.1.1.1.2.1.1.cmml" xref="A5.Ex106.m2.1.1.1.1.2.1">subscript</csymbol><ci id="A5.Ex106.m2.1.1.1.1.2.1.2.cmml" xref="A5.Ex106.m2.1.1.1.1.2.1.2">𝜎</ci><ci id="A5.Ex106.m2.1.1.1.1.2.1.3.cmml" xref="A5.Ex106.m2.1.1.1.1.2.1.3">𝑎</ci></apply><apply id="A5.Ex106.m2.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A5.Ex106.m2.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.Ex106.m2.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="A5.Ex106.m2.1.1.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="A5.Ex106.m2.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="A5.Ex106.m2.1.1.1.1.3.2.2">𝜎</ci><ci id="A5.Ex106.m2.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="A5.Ex106.m2.1.1.1.1.3.2.3">𝑎</ci></apply></list></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A5.Ex106.m2.9c">\displaystyle=\frac{1}{C_{c}}L_{\nu_{L}}^{ij}R_{\nu_{R}}^{k\ell}\sum_{a,b}% \frac{1}{C_{a}C_{b}}\sum_{\pi,\tau}\text{Wg}(\pi\sigma_{a}\pi^{-1}\tau\sigma_{% b}^{-1}\tau^{-1},q^{2})q^{-|\sigma_{b}|-|\tau\sigma_{b}\tau^{-1}\sigma_{c}^{-1% }|}\pi_{L}\pi_{R}^{-1}\ket{I,\sigma_{a},\sigma_{a}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A5.Ex106.m2.9d">= divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_C start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT end_ARG italic_L start_POSTSUBSCRIPT italic_ν start_POSTSUBSCRIPT italic_L end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_i italic_j end_POSTSUPERSCRIPT italic_R start_POSTSUBSCRIPT italic_ν start_POSTSUBSCRIPT italic_R end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_k roman_ℓ end_POSTSUPERSCRIPT ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_a , italic_b end_POSTSUBSCRIPT divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_C start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT italic_C start_POSTSUBSCRIPT italic_b end_POSTSUBSCRIPT end_ARG ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_π , italic_τ end_POSTSUBSCRIPT Wg ( italic_π italic_σ start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT italic_π start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT italic_τ italic_σ start_POSTSUBSCRIPT italic_b end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT italic_τ start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT , italic_q start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ) italic_q start_POSTSUPERSCRIPT - | italic_σ start_POSTSUBSCRIPT italic_b end_POSTSUBSCRIPT | - | italic_τ italic_σ start_POSTSUBSCRIPT italic_b end_POSTSUBSCRIPT italic_τ start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT italic_σ start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT | end_POSTSUPERSCRIPT italic_π start_POSTSUBSCRIPT italic_L end_POSTSUBSCRIPT italic_π start_POSTSUBSCRIPT italic_R end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT | start_ARG italic_I , italic_σ start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT , italic_σ start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT end_ARG ⟩</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="A5.Ex107"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=\frac{1}{C_{c}}L_{\nu_{L}}^{ij}R_{\nu_{R}}^{k\ell}\sum_{a,b}% \frac{1}{C_{a}C_{b}}\sum_{\pi,\tau}\text{Wg}(\pi\sigma_{a}\pi^{-1}\sigma_{b}^{% -1},q^{2})q^{-|\sigma_{b}|-|\tau\sigma_{b}\tau^{-1}\sigma_{c}^{-1}|}(\tau\pi)_% {L}(\tau\pi)^{-1}_{R}\ket{I,\sigma_{a},\sigma_{a}}\qquad(\pi\rightarrow\tau\pi)" class="ltx_Math" display="inline" id="A5.Ex107.m1.9"><semantics id="A5.Ex107.m1.9a"><mrow id="A5.Ex107.m1.9.9" xref="A5.Ex107.m1.9.9.cmml"><mi id="A5.Ex107.m1.9.9.4" xref="A5.Ex107.m1.9.9.4.cmml"></mi><mo id="A5.Ex107.m1.9.9.3" xref="A5.Ex107.m1.9.9.3.cmml">=</mo><mrow id="A5.Ex107.m1.9.9.2.2" xref="A5.Ex107.m1.9.9.2.3.cmml"><mrow id="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1" xref="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.6" xref="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.6.cmml"><mfrac id="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.6a" xref="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.6.cmml"><mn id="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.6.2" xref="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.6.2.cmml">1</mn><msub id="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.6.3" xref="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.6.3.cmml"><mi id="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.6.3.2" xref="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.6.3.2.cmml">C</mi><mi id="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.6.3.3" xref="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.6.3.3.cmml">c</mi></msub></mfrac></mstyle><mo id="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.5" xref="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.5.cmml">⁢</mo><msubsup id="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.7" xref="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.7.cmml"><mi id="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.7.2.2" xref="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.7.2.2.cmml">L</mi><msub id="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.7.2.3" xref="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.7.2.3.cmml"><mi id="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.7.2.3.2" xref="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.7.2.3.2.cmml">ν</mi><mi id="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.7.2.3.3" xref="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.7.2.3.3.cmml">L</mi></msub><mrow id="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.7.3" xref="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.7.3.cmml"><mi id="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.7.3.2" xref="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.7.3.2.cmml">i</mi><mo id="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.7.3.1" xref="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.7.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.7.3.3" xref="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.7.3.3.cmml">j</mi></mrow></msubsup><mo id="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.5a" xref="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.5.cmml">⁢</mo><msubsup id="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.8" xref="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.8.cmml"><mi id="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.8.2.2" xref="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.8.2.2.cmml">R</mi><msub id="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.8.2.3" xref="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.8.2.3.cmml"><mi id="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.8.2.3.2" xref="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.8.2.3.2.cmml">ν</mi><mi id="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.8.2.3.3" xref="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.8.2.3.3.cmml">R</mi></msub><mrow id="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.8.3" xref="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.8.3.cmml"><mi id="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.8.3.2" xref="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.8.3.2.cmml">k</mi><mo id="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.8.3.1" xref="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.8.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.8.3.3" mathvariant="normal" xref="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.8.3.3.cmml">ℓ</mi></mrow></msubsup><mo id="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.5b" xref="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.5.cmml">⁢</mo><mrow id="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.4" xref="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.4.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.4.5" xref="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.4.5.cmml"><munder id="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.4.5a" xref="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.4.5.cmml"><mo id="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.4.5.2" movablelimits="false" xref="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.4.5.2.cmml">∑</mo><mrow id="A5.Ex107.m1.3.3.2.4" xref="A5.Ex107.m1.3.3.2.3.cmml"><mi id="A5.Ex107.m1.2.2.1.1" xref="A5.Ex107.m1.2.2.1.1.cmml">a</mi><mo id="A5.Ex107.m1.3.3.2.4.1" xref="A5.Ex107.m1.3.3.2.3.cmml">,</mo><mi id="A5.Ex107.m1.3.3.2.2" xref="A5.Ex107.m1.3.3.2.2.cmml">b</mi></mrow></munder></mstyle><mrow id="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.4.4" xref="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.4.4.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.4.4.6" xref="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.4.4.6.cmml"><mfrac id="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.4.4.6a" xref="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.4.4.6.cmml"><mn id="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.4.4.6.2" xref="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.4.4.6.2.cmml">1</mn><mrow id="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.4.4.6.3" xref="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.4.4.6.3.cmml"><msub id="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.4.4.6.3.2" xref="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.4.4.6.3.2.cmml"><mi id="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.4.4.6.3.2.2" xref="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.4.4.6.3.2.2.cmml">C</mi><mi id="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.4.4.6.3.2.3" xref="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.4.4.6.3.2.3.cmml">a</mi></msub><mo id="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.4.4.6.3.1" xref="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.4.4.6.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.4.4.6.3.3" xref="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.4.4.6.3.3.cmml"><mi id="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.4.4.6.3.3.2" xref="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.4.4.6.3.3.2.cmml">C</mi><mi id="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.4.4.6.3.3.3" xref="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.4.4.6.3.3.3.cmml">b</mi></msub></mrow></mfrac></mstyle><mo id="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.4.4.5" xref="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.4.4.5.cmml">⁢</mo><mrow id="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.4.4.4" xref="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.4.4.4.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.4.4.4.5" xref="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.4.4.4.5.cmml"><munder id="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.4.4.4.5a" xref="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.4.4.4.5.cmml"><mo id="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.4.4.4.5.2" movablelimits="false" xref="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.4.4.4.5.2.cmml">∑</mo><mrow id="A5.Ex107.m1.5.5.2.4" xref="A5.Ex107.m1.5.5.2.3.cmml"><mi id="A5.Ex107.m1.4.4.1.1" xref="A5.Ex107.m1.4.4.1.1.cmml">π</mi><mo id="A5.Ex107.m1.5.5.2.4.1" xref="A5.Ex107.m1.5.5.2.3.cmml">,</mo><mi id="A5.Ex107.m1.5.5.2.2" xref="A5.Ex107.m1.5.5.2.2.cmml">τ</mi></mrow></munder></mstyle><mrow id="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.4.4.4.4" xref="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.4.4.4.4.cmml"><mtext id="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.4.4.4.4.6" xref="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.4.4.4.4.6a.cmml">Wg</mtext><mo id="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.4.4.4.4.5" xref="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.4.4.4.4.5.cmml">⁢</mo><mrow id="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.2.2.2.2.2.2" xref="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.2.2.2.2.2.3.cmml"><mo id="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.2.2.2.2.2.2.3" stretchy="false" xref="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.2.2.2.2.2.3.cmml">(</mo><mrow id="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">π</mi><mo id="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">σ</mi><mi id="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">a</mi></msub><mo id="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1a" xref="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msup id="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4" xref="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2" xref="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml">π</mi><mrow id="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3" xref="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml"><mo id="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3a" xref="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml">−</mo><mn id="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.2" xref="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1b" xref="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.5" xref="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.cmml"><mi id="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.2.2" xref="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.2.2.cmml">σ</mi><mi id="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.2.3" xref="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.2.3.cmml">b</mi><mrow id="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.3" xref="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.3.cmml"><mo id="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.3a" xref="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.3.cmml">−</mo><mn id="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.3.2" xref="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.3.2.cmml">1</mn></mrow></msubsup></mrow><mo id="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.2.2.2.2.2.2.4" xref="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.2.2.2.2.2.3.cmml">,</mo><msup id="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2" xref="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2" xref="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.cmml">q</mi><mn id="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2.3" xref="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2.3.cmml">2</mn></msup><mo id="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.2.2.2.2.2.2.5" stretchy="false" xref="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.2.2.2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow><mo id="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.4.4.4.4.5a" xref="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.4.4.4.4.5.cmml">⁢</mo><msup id="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.4.4.4.4.7" xref="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.4.4.4.4.7.cmml"><mi id="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.4.4.4.4.7.2" xref="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.4.4.4.4.7.2.cmml">q</mi><mrow id="A5.Ex107.m1.7.7.2" xref="A5.Ex107.m1.7.7.2.cmml"><mrow id="A5.Ex107.m1.6.6.1.1" xref="A5.Ex107.m1.6.6.1.1.cmml"><mo id="A5.Ex107.m1.6.6.1.1a" xref="A5.Ex107.m1.6.6.1.1.cmml">−</mo><mrow id="A5.Ex107.m1.6.6.1.1.1.1" xref="A5.Ex107.m1.6.6.1.1.1.2.cmml"><mo id="A5.Ex107.m1.6.6.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A5.Ex107.m1.6.6.1.1.1.2.1.cmml">|</mo><msub id="A5.Ex107.m1.6.6.1.1.1.1.1" xref="A5.Ex107.m1.6.6.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A5.Ex107.m1.6.6.1.1.1.1.1.2" xref="A5.Ex107.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.cmml">σ</mi><mi id="A5.Ex107.m1.6.6.1.1.1.1.1.3" xref="A5.Ex107.m1.6.6.1.1.1.1.1.3.cmml">b</mi></msub><mo id="A5.Ex107.m1.6.6.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A5.Ex107.m1.6.6.1.1.1.2.1.cmml">|</mo></mrow></mrow><mo id="A5.Ex107.m1.7.7.2.3" xref="A5.Ex107.m1.7.7.2.3.cmml">−</mo><mrow id="A5.Ex107.m1.7.7.2.2.1" xref="A5.Ex107.m1.7.7.2.2.2.cmml"><mo id="A5.Ex107.m1.7.7.2.2.1.2" stretchy="false" xref="A5.Ex107.m1.7.7.2.2.2.1.cmml">|</mo><mrow id="A5.Ex107.m1.7.7.2.2.1.1" xref="A5.Ex107.m1.7.7.2.2.1.1.cmml"><mi id="A5.Ex107.m1.7.7.2.2.1.1.2" xref="A5.Ex107.m1.7.7.2.2.1.1.2.cmml">τ</mi><mo id="A5.Ex107.m1.7.7.2.2.1.1.1" xref="A5.Ex107.m1.7.7.2.2.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="A5.Ex107.m1.7.7.2.2.1.1.3" xref="A5.Ex107.m1.7.7.2.2.1.1.3.cmml"><mi id="A5.Ex107.m1.7.7.2.2.1.1.3.2" xref="A5.Ex107.m1.7.7.2.2.1.1.3.2.cmml">σ</mi><mi id="A5.Ex107.m1.7.7.2.2.1.1.3.3" xref="A5.Ex107.m1.7.7.2.2.1.1.3.3.cmml">b</mi></msub><mo id="A5.Ex107.m1.7.7.2.2.1.1.1a" xref="A5.Ex107.m1.7.7.2.2.1.1.1.cmml">⁢</mo><msup id="A5.Ex107.m1.7.7.2.2.1.1.4" xref="A5.Ex107.m1.7.7.2.2.1.1.4.cmml"><mi id="A5.Ex107.m1.7.7.2.2.1.1.4.2" xref="A5.Ex107.m1.7.7.2.2.1.1.4.2.cmml">τ</mi><mrow id="A5.Ex107.m1.7.7.2.2.1.1.4.3" xref="A5.Ex107.m1.7.7.2.2.1.1.4.3.cmml"><mo id="A5.Ex107.m1.7.7.2.2.1.1.4.3a" xref="A5.Ex107.m1.7.7.2.2.1.1.4.3.cmml">−</mo><mn id="A5.Ex107.m1.7.7.2.2.1.1.4.3.2" xref="A5.Ex107.m1.7.7.2.2.1.1.4.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="A5.Ex107.m1.7.7.2.2.1.1.1b" xref="A5.Ex107.m1.7.7.2.2.1.1.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="A5.Ex107.m1.7.7.2.2.1.1.5" xref="A5.Ex107.m1.7.7.2.2.1.1.5.cmml"><mi id="A5.Ex107.m1.7.7.2.2.1.1.5.2.2" xref="A5.Ex107.m1.7.7.2.2.1.1.5.2.2.cmml">σ</mi><mi id="A5.Ex107.m1.7.7.2.2.1.1.5.2.3" xref="A5.Ex107.m1.7.7.2.2.1.1.5.2.3.cmml">c</mi><mrow id="A5.Ex107.m1.7.7.2.2.1.1.5.3" xref="A5.Ex107.m1.7.7.2.2.1.1.5.3.cmml"><mo id="A5.Ex107.m1.7.7.2.2.1.1.5.3a" xref="A5.Ex107.m1.7.7.2.2.1.1.5.3.cmml">−</mo><mn id="A5.Ex107.m1.7.7.2.2.1.1.5.3.2" xref="A5.Ex107.m1.7.7.2.2.1.1.5.3.2.cmml">1</mn></mrow></msubsup></mrow><mo id="A5.Ex107.m1.7.7.2.2.1.3" stretchy="false" xref="A5.Ex107.m1.7.7.2.2.2.1.cmml">|</mo></mrow></mrow></msup><mo id="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.4.4.4.4.5b" xref="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.4.4.4.4.5.cmml">⁢</mo><msub id="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.3.3.3.3.3" xref="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.3.3.3.3.3.cmml"><mrow id="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.3.3.3.3.3.1.1" xref="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.3.3.3.3.3.1.1.1.cmml"><mo id="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.3.3.3.3.3.1.1.2" stretchy="false" xref="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.3.3.3.3.3.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.3.3.3.3.3.1.1.1" xref="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.3.3.3.3.3.1.1.1.cmml"><mi id="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.3.3.3.3.3.1.1.1.2" xref="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.3.3.3.3.3.1.1.1.2.cmml">τ</mi><mo id="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.3.3.3.3.3.1.1.1.1" xref="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.3.3.3.3.3.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.3.3.3.3.3.1.1.1.3" xref="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.3.3.3.3.3.1.1.1.3.cmml">π</mi></mrow><mo id="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.3.3.3.3.3.1.1.3" stretchy="false" xref="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.3.3.3.3.3.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mi id="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.3.3.3.3.3.3" xref="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.3.3.3.3.3.3.cmml">L</mi></msub><mo id="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.4.4.4.4.5c" xref="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.4.4.4.4.5.cmml">⁢</mo><msubsup id="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.4.4.4.4.4" xref="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.4.4.4.4.4.cmml"><mrow id="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.4.4.4.4.4.1.1.1" xref="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.4.4.4.4.4.1.1.1.1.cmml"><mo id="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.4.4.4.4.4.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.4.4.4.4.4.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.4.4.4.4.4.1.1.1.1" xref="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.4.4.4.4.4.1.1.1.1.cmml"><mi id="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.4.4.4.4.4.1.1.1.1.2" xref="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.4.4.4.4.4.1.1.1.1.2.cmml">τ</mi><mo id="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.4.4.4.4.4.1.1.1.1.1" xref="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.4.4.4.4.4.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.4.4.4.4.4.1.1.1.1.3" xref="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.4.4.4.4.4.1.1.1.1.3.cmml">π</mi></mrow><mo id="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.4.4.4.4.4.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.4.4.4.4.4.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mi id="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.4.4.4.4.4.3" xref="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.4.4.4.4.4.3.cmml">R</mi><mrow id="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.4.4.4.4.4.1.3" xref="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.4.4.4.4.4.1.3.cmml"><mo id="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.4.4.4.4.4.1.3a" xref="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.4.4.4.4.4.1.3.cmml">−</mo><mn id="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.4.4.4.4.4.1.3.2" xref="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.4.4.4.4.4.1.3.2.cmml">1</mn></mrow></msubsup><mo id="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.4.4.4.4.5d" xref="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.4.4.4.4.5.cmml">⁢</mo><mrow id="A5.Ex107.m1.1.1a.3" xref="A5.Ex107.m1.1.1a.2.cmml"><mo id="A5.Ex107.m1.1.1a.3.1" stretchy="false" xref="A5.Ex107.m1.1.1a.2.1.cmml">|</mo><mrow id="A5.Ex107.m1.1.1.1.1.3" xref="A5.Ex107.m1.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="A5.Ex107.m1.1.1.1.1.1" xref="A5.Ex107.m1.1.1.1.1.1.cmml">I</mi><mo id="A5.Ex107.m1.1.1.1.1.3.3" xref="A5.Ex107.m1.1.1.1.1.4.cmml">,</mo><msub id="A5.Ex107.m1.1.1.1.1.2.1" xref="A5.Ex107.m1.1.1.1.1.2.1.cmml"><mi id="A5.Ex107.m1.1.1.1.1.2.1.2" xref="A5.Ex107.m1.1.1.1.1.2.1.2.cmml">σ</mi><mi id="A5.Ex107.m1.1.1.1.1.2.1.3" xref="A5.Ex107.m1.1.1.1.1.2.1.3.cmml">a</mi></msub><mo id="A5.Ex107.m1.1.1.1.1.3.4" xref="A5.Ex107.m1.1.1.1.1.4.cmml">,</mo><msub id="A5.Ex107.m1.1.1.1.1.3.2" xref="A5.Ex107.m1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="A5.Ex107.m1.1.1.1.1.3.2.2" xref="A5.Ex107.m1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">σ</mi><mi id="A5.Ex107.m1.1.1.1.1.3.2.3" xref="A5.Ex107.m1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">a</mi></msub></mrow><mo id="A5.Ex107.m1.1.1a.3.2" stretchy="false" xref="A5.Ex107.m1.1.1a.2.1.cmml">⟩</mo></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow><mspace id="A5.Ex107.m1.9.9.2.2.3" width="2em" xref="A5.Ex107.m1.9.9.2.3.cmml"></mspace><mrow id="A5.Ex107.m1.9.9.2.2.2.1" xref="A5.Ex107.m1.9.9.2.2.2.1.1.cmml"><mo id="A5.Ex107.m1.9.9.2.2.2.1.2" stretchy="false" xref="A5.Ex107.m1.9.9.2.2.2.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A5.Ex107.m1.9.9.2.2.2.1.1" xref="A5.Ex107.m1.9.9.2.2.2.1.1.cmml"><mi id="A5.Ex107.m1.9.9.2.2.2.1.1.2" xref="A5.Ex107.m1.9.9.2.2.2.1.1.2.cmml">π</mi><mo id="A5.Ex107.m1.9.9.2.2.2.1.1.1" stretchy="false" xref="A5.Ex107.m1.9.9.2.2.2.1.1.1.cmml">→</mo><mrow id="A5.Ex107.m1.9.9.2.2.2.1.1.3" xref="A5.Ex107.m1.9.9.2.2.2.1.1.3.cmml"><mi id="A5.Ex107.m1.9.9.2.2.2.1.1.3.2" xref="A5.Ex107.m1.9.9.2.2.2.1.1.3.2.cmml">τ</mi><mo id="A5.Ex107.m1.9.9.2.2.2.1.1.3.1" xref="A5.Ex107.m1.9.9.2.2.2.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A5.Ex107.m1.9.9.2.2.2.1.1.3.3" xref="A5.Ex107.m1.9.9.2.2.2.1.1.3.3.cmml">π</mi></mrow></mrow><mo id="A5.Ex107.m1.9.9.2.2.2.1.3" stretchy="false" xref="A5.Ex107.m1.9.9.2.2.2.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A5.Ex107.m1.9b"><apply id="A5.Ex107.m1.9.9.cmml" xref="A5.Ex107.m1.9.9"><eq id="A5.Ex107.m1.9.9.3.cmml" xref="A5.Ex107.m1.9.9.3"></eq><csymbol cd="latexml" id="A5.Ex107.m1.9.9.4.cmml" xref="A5.Ex107.m1.9.9.4">absent</csymbol><list id="A5.Ex107.m1.9.9.2.3.cmml" xref="A5.Ex107.m1.9.9.2.2"><apply id="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.cmml" 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xref="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.4.4.6.3.3.2">𝐶</ci><ci id="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.4.4.6.3.3.3.cmml" xref="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.4.4.6.3.3.3">𝑏</ci></apply></apply></apply><apply id="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.4.4.4.cmml" xref="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.4.4.4"><apply id="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.4.4.4.5.cmml" xref="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.4.4.4.5"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.4.4.4.5.1.cmml" xref="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.4.4.4.5">subscript</csymbol><sum id="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.4.4.4.5.2.cmml" xref="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.4.4.4.5.2"></sum><list id="A5.Ex107.m1.5.5.2.3.cmml" xref="A5.Ex107.m1.5.5.2.4"><ci id="A5.Ex107.m1.4.4.1.1.cmml" xref="A5.Ex107.m1.4.4.1.1">𝜋</ci><ci id="A5.Ex107.m1.5.5.2.2.cmml" xref="A5.Ex107.m1.5.5.2.2">𝜏</ci></list></apply><apply id="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.4.4.4.4.cmml" xref="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.4.4.4.4"><times id="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.4.4.4.4.5.cmml" xref="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.4.4.4.4.5"></times><ci id="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.4.4.4.4.6a.cmml" xref="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.4.4.4.4.6"><mtext id="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.4.4.4.4.6.cmml" xref="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.4.4.4.4.6">Wg</mtext></ci><interval closure="open" id="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.2.2.2.2.2.2"><apply id="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><times id="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></times><ci id="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝜋</ci><apply id="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝜎</ci><ci id="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑎</ci></apply><apply id="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4">superscript</csymbol><ci id="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2">𝜋</ci><apply id="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml" xref="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3"><minus id="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.1.cmml" xref="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3"></minus><cn id="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.2.cmml" type="integer" xref="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.2">1</cn></apply></apply><apply id="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.cmml" xref="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.5"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.1.cmml" xref="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.5">superscript</csymbol><apply id="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.2.cmml" xref="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.5"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.2.1.cmml" xref="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.5">subscript</csymbol><ci id="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.2.2.cmml" xref="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.2.2">𝜎</ci><ci id="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.2.3.cmml" xref="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.2.3">𝑏</ci></apply><apply id="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.3.cmml" xref="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.3"><minus id="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.3.1.cmml" xref="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.3"></minus><cn id="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.3.2.cmml" type="integer" xref="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.3.2">1</cn></apply></apply></apply><apply id="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2">superscript</csymbol><ci id="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2">𝑞</ci><cn id="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2.3">2</cn></apply></interval><apply id="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.4.4.4.4.7.cmml" xref="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.4.4.4.4.7"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.4.4.4.4.7.1.cmml" xref="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.4.4.4.4.7">superscript</csymbol><ci id="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.4.4.4.4.7.2.cmml" xref="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.4.4.4.4.7.2">𝑞</ci><apply id="A5.Ex107.m1.7.7.2.cmml" xref="A5.Ex107.m1.7.7.2"><minus id="A5.Ex107.m1.7.7.2.3.cmml" xref="A5.Ex107.m1.7.7.2.3"></minus><apply id="A5.Ex107.m1.6.6.1.1.cmml" xref="A5.Ex107.m1.6.6.1.1"><minus id="A5.Ex107.m1.6.6.1.1.2.cmml" xref="A5.Ex107.m1.6.6.1.1"></minus><apply id="A5.Ex107.m1.6.6.1.1.1.2.cmml" xref="A5.Ex107.m1.6.6.1.1.1.1"><abs id="A5.Ex107.m1.6.6.1.1.1.2.1.cmml" xref="A5.Ex107.m1.6.6.1.1.1.1.2"></abs><apply id="A5.Ex107.m1.6.6.1.1.1.1.1.cmml" xref="A5.Ex107.m1.6.6.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.Ex107.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A5.Ex107.m1.6.6.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="A5.Ex107.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A5.Ex107.m1.6.6.1.1.1.1.1.2">𝜎</ci><ci id="A5.Ex107.m1.6.6.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A5.Ex107.m1.6.6.1.1.1.1.1.3">𝑏</ci></apply></apply></apply><apply id="A5.Ex107.m1.7.7.2.2.2.cmml" xref="A5.Ex107.m1.7.7.2.2.1"><abs id="A5.Ex107.m1.7.7.2.2.2.1.cmml" xref="A5.Ex107.m1.7.7.2.2.1.2"></abs><apply id="A5.Ex107.m1.7.7.2.2.1.1.cmml" xref="A5.Ex107.m1.7.7.2.2.1.1"><times id="A5.Ex107.m1.7.7.2.2.1.1.1.cmml" xref="A5.Ex107.m1.7.7.2.2.1.1.1"></times><ci id="A5.Ex107.m1.7.7.2.2.1.1.2.cmml" xref="A5.Ex107.m1.7.7.2.2.1.1.2">𝜏</ci><apply id="A5.Ex107.m1.7.7.2.2.1.1.3.cmml" xref="A5.Ex107.m1.7.7.2.2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.Ex107.m1.7.7.2.2.1.1.3.1.cmml" xref="A5.Ex107.m1.7.7.2.2.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A5.Ex107.m1.7.7.2.2.1.1.3.2.cmml" xref="A5.Ex107.m1.7.7.2.2.1.1.3.2">𝜎</ci><ci id="A5.Ex107.m1.7.7.2.2.1.1.3.3.cmml" xref="A5.Ex107.m1.7.7.2.2.1.1.3.3">𝑏</ci></apply><apply id="A5.Ex107.m1.7.7.2.2.1.1.4.cmml" xref="A5.Ex107.m1.7.7.2.2.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.Ex107.m1.7.7.2.2.1.1.4.1.cmml" xref="A5.Ex107.m1.7.7.2.2.1.1.4">superscript</csymbol><ci id="A5.Ex107.m1.7.7.2.2.1.1.4.2.cmml" xref="A5.Ex107.m1.7.7.2.2.1.1.4.2">𝜏</ci><apply id="A5.Ex107.m1.7.7.2.2.1.1.4.3.cmml" xref="A5.Ex107.m1.7.7.2.2.1.1.4.3"><minus id="A5.Ex107.m1.7.7.2.2.1.1.4.3.1.cmml" xref="A5.Ex107.m1.7.7.2.2.1.1.4.3"></minus><cn id="A5.Ex107.m1.7.7.2.2.1.1.4.3.2.cmml" type="integer" xref="A5.Ex107.m1.7.7.2.2.1.1.4.3.2">1</cn></apply></apply><apply id="A5.Ex107.m1.7.7.2.2.1.1.5.cmml" xref="A5.Ex107.m1.7.7.2.2.1.1.5"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.Ex107.m1.7.7.2.2.1.1.5.1.cmml" xref="A5.Ex107.m1.7.7.2.2.1.1.5">superscript</csymbol><apply id="A5.Ex107.m1.7.7.2.2.1.1.5.2.cmml" xref="A5.Ex107.m1.7.7.2.2.1.1.5"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.Ex107.m1.7.7.2.2.1.1.5.2.1.cmml" xref="A5.Ex107.m1.7.7.2.2.1.1.5">subscript</csymbol><ci id="A5.Ex107.m1.7.7.2.2.1.1.5.2.2.cmml" xref="A5.Ex107.m1.7.7.2.2.1.1.5.2.2">𝜎</ci><ci id="A5.Ex107.m1.7.7.2.2.1.1.5.2.3.cmml" xref="A5.Ex107.m1.7.7.2.2.1.1.5.2.3">𝑐</ci></apply><apply id="A5.Ex107.m1.7.7.2.2.1.1.5.3.cmml" xref="A5.Ex107.m1.7.7.2.2.1.1.5.3"><minus id="A5.Ex107.m1.7.7.2.2.1.1.5.3.1.cmml" xref="A5.Ex107.m1.7.7.2.2.1.1.5.3"></minus><cn id="A5.Ex107.m1.7.7.2.2.1.1.5.3.2.cmml" type="integer" xref="A5.Ex107.m1.7.7.2.2.1.1.5.3.2">1</cn></apply></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.3.3.3.3.3.cmml" xref="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.3.3.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.3.3.3.3.3.2.cmml" xref="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.3.3.3.3.3">subscript</csymbol><apply id="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.3.3.3.3.3.1.1.1.cmml" xref="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.3.3.3.3.3.1.1"><times id="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.3.3.3.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.3.3.3.3.3.1.1.1.1"></times><ci id="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.3.3.3.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.3.3.3.3.3.1.1.1.2">𝜏</ci><ci id="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.3.3.3.3.3.1.1.1.3.cmml" xref="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.3.3.3.3.3.1.1.1.3">𝜋</ci></apply><ci id="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.3.3.3.3.3.3.cmml" xref="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.3.3.3.3.3.3">𝐿</ci></apply><apply id="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.4.4.4.4.4.cmml" xref="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.4.4.4.4.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.4.4.4.4.4.2.cmml" xref="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.4.4.4.4.4">subscript</csymbol><apply id="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.4.4.4.4.4.1.cmml" xref="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.4.4.4.4.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.4.4.4.4.4.1.2.cmml" xref="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.4.4.4.4.4">superscript</csymbol><apply id="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.4.4.4.4.4.1.1.1.1.cmml" xref="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.4.4.4.4.4.1.1.1"><times id="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.4.4.4.4.4.1.1.1.1.1.cmml" xref="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.4.4.4.4.4.1.1.1.1.1"></times><ci id="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.4.4.4.4.4.1.1.1.1.2.cmml" xref="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.4.4.4.4.4.1.1.1.1.2">𝜏</ci><ci id="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.4.4.4.4.4.1.1.1.1.3.cmml" xref="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.4.4.4.4.4.1.1.1.1.3">𝜋</ci></apply><apply id="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.4.4.4.4.4.1.3.cmml" xref="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.4.4.4.4.4.1.3"><minus id="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.4.4.4.4.4.1.3.1.cmml" xref="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.4.4.4.4.4.1.3"></minus><cn id="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.4.4.4.4.4.1.3.2.cmml" type="integer" xref="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.4.4.4.4.4.1.3.2">1</cn></apply></apply><ci id="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.4.4.4.4.4.3.cmml" xref="A5.Ex107.m1.8.8.1.1.1.4.4.4.4.4.3">𝑅</ci></apply><apply id="A5.Ex107.m1.1.1a.2.cmml" xref="A5.Ex107.m1.1.1a.3"><csymbol cd="latexml" id="A5.Ex107.m1.1.1a.2.1.cmml" xref="A5.Ex107.m1.1.1a.3.1">ket</csymbol><list id="A5.Ex107.m1.1.1.1.1.4.cmml" xref="A5.Ex107.m1.1.1.1.1.3"><ci id="A5.Ex107.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A5.Ex107.m1.1.1.1.1.1">𝐼</ci><apply id="A5.Ex107.m1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A5.Ex107.m1.1.1.1.1.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.Ex107.m1.1.1.1.1.2.1.1.cmml" xref="A5.Ex107.m1.1.1.1.1.2.1">subscript</csymbol><ci id="A5.Ex107.m1.1.1.1.1.2.1.2.cmml" xref="A5.Ex107.m1.1.1.1.1.2.1.2">𝜎</ci><ci id="A5.Ex107.m1.1.1.1.1.2.1.3.cmml" xref="A5.Ex107.m1.1.1.1.1.2.1.3">𝑎</ci></apply><apply id="A5.Ex107.m1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A5.Ex107.m1.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.Ex107.m1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="A5.Ex107.m1.1.1.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="A5.Ex107.m1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="A5.Ex107.m1.1.1.1.1.3.2.2">𝜎</ci><ci id="A5.Ex107.m1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="A5.Ex107.m1.1.1.1.1.3.2.3">𝑎</ci></apply></list></apply></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="A5.Ex107.m1.9.9.2.2.2.1.1.cmml" xref="A5.Ex107.m1.9.9.2.2.2.1"><ci id="A5.Ex107.m1.9.9.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="A5.Ex107.m1.9.9.2.2.2.1.1.1">→</ci><ci id="A5.Ex107.m1.9.9.2.2.2.1.1.2.cmml" xref="A5.Ex107.m1.9.9.2.2.2.1.1.2">𝜋</ci><apply id="A5.Ex107.m1.9.9.2.2.2.1.1.3.cmml" xref="A5.Ex107.m1.9.9.2.2.2.1.1.3"><times id="A5.Ex107.m1.9.9.2.2.2.1.1.3.1.cmml" xref="A5.Ex107.m1.9.9.2.2.2.1.1.3.1"></times><ci id="A5.Ex107.m1.9.9.2.2.2.1.1.3.2.cmml" xref="A5.Ex107.m1.9.9.2.2.2.1.1.3.2">𝜏</ci><ci id="A5.Ex107.m1.9.9.2.2.2.1.1.3.3.cmml" xref="A5.Ex107.m1.9.9.2.2.2.1.1.3.3">𝜋</ci></apply></apply></list></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A5.Ex107.m1.9c">\displaystyle=\frac{1}{C_{c}}L_{\nu_{L}}^{ij}R_{\nu_{R}}^{k\ell}\sum_{a,b}% \frac{1}{C_{a}C_{b}}\sum_{\pi,\tau}\text{Wg}(\pi\sigma_{a}\pi^{-1}\sigma_{b}^{% -1},q^{2})q^{-|\sigma_{b}|-|\tau\sigma_{b}\tau^{-1}\sigma_{c}^{-1}|}(\tau\pi)_% {L}(\tau\pi)^{-1}_{R}\ket{I,\sigma_{a},\sigma_{a}}\qquad(\pi\rightarrow\tau\pi)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A5.Ex107.m1.9d">= divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_C start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT end_ARG italic_L start_POSTSUBSCRIPT italic_ν start_POSTSUBSCRIPT italic_L end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_i italic_j end_POSTSUPERSCRIPT italic_R start_POSTSUBSCRIPT italic_ν start_POSTSUBSCRIPT italic_R end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_k roman_ℓ end_POSTSUPERSCRIPT ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_a , italic_b end_POSTSUBSCRIPT divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_C start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT italic_C start_POSTSUBSCRIPT italic_b end_POSTSUBSCRIPT end_ARG ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_π , italic_τ end_POSTSUBSCRIPT Wg ( italic_π italic_σ start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT italic_π start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT italic_σ start_POSTSUBSCRIPT italic_b end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT , italic_q start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ) italic_q start_POSTSUPERSCRIPT - | italic_σ start_POSTSUBSCRIPT italic_b end_POSTSUBSCRIPT | - | italic_τ italic_σ start_POSTSUBSCRIPT italic_b end_POSTSUBSCRIPT italic_τ start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT italic_σ start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT | end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_τ italic_π ) start_POSTSUBSCRIPT italic_L end_POSTSUBSCRIPT ( italic_τ italic_π ) start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_R end_POSTSUBSCRIPT | start_ARG italic_I , italic_σ start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT , italic_σ start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT end_ARG ⟩ ( italic_π → italic_τ italic_π )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="A5.p3.11">We then use the commutation relations</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_gather ltx_eqn_table" id="S6.EGx235"> <tbody id="A5.E273"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\displaystyle L_{\nu_{L}}^{ij}\sigma_{L}=V_{\nu_{L}}^{ih}(\sigma)L_{\nu_{L}}^{hj}" class="ltx_Math" display="block" id="A5.E273.m1.1"><semantics id="A5.E273.m1.1a"><mrow id="A5.E273.m1.1.2" xref="A5.E273.m1.1.2.cmml"><mrow id="A5.E273.m1.1.2.2" xref="A5.E273.m1.1.2.2.cmml"><msubsup id="A5.E273.m1.1.2.2.2" xref="A5.E273.m1.1.2.2.2.cmml"><mi id="A5.E273.m1.1.2.2.2.2.2" xref="A5.E273.m1.1.2.2.2.2.2.cmml">L</mi><msub id="A5.E273.m1.1.2.2.2.2.3" xref="A5.E273.m1.1.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="A5.E273.m1.1.2.2.2.2.3.2" xref="A5.E273.m1.1.2.2.2.2.3.2.cmml">ν</mi><mi id="A5.E273.m1.1.2.2.2.2.3.3" 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xref="A5.E273.m1.1.2.3.2.2.3.2.cmml">ν</mi><mi id="A5.E273.m1.1.2.3.2.2.3.3" xref="A5.E273.m1.1.2.3.2.2.3.3.cmml">L</mi></msub><mrow id="A5.E273.m1.1.2.3.2.3" xref="A5.E273.m1.1.2.3.2.3.cmml"><mi id="A5.E273.m1.1.2.3.2.3.2" xref="A5.E273.m1.1.2.3.2.3.2.cmml">i</mi><mo id="A5.E273.m1.1.2.3.2.3.1" xref="A5.E273.m1.1.2.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A5.E273.m1.1.2.3.2.3.3" xref="A5.E273.m1.1.2.3.2.3.3.cmml">h</mi></mrow></msubsup><mo id="A5.E273.m1.1.2.3.1" xref="A5.E273.m1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A5.E273.m1.1.2.3.3.2" xref="A5.E273.m1.1.2.3.cmml"><mo id="A5.E273.m1.1.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="A5.E273.m1.1.2.3.cmml">(</mo><mi id="A5.E273.m1.1.1" xref="A5.E273.m1.1.1.cmml">σ</mi><mo id="A5.E273.m1.1.2.3.3.2.2" stretchy="false" xref="A5.E273.m1.1.2.3.cmml">)</mo></mrow><mo id="A5.E273.m1.1.2.3.1a" xref="A5.E273.m1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="A5.E273.m1.1.2.3.4" xref="A5.E273.m1.1.2.3.4.cmml"><mi id="A5.E273.m1.1.2.3.4.2.2" xref="A5.E273.m1.1.2.3.4.2.2.cmml">L</mi><msub id="A5.E273.m1.1.2.3.4.2.3" xref="A5.E273.m1.1.2.3.4.2.3.cmml"><mi id="A5.E273.m1.1.2.3.4.2.3.2" xref="A5.E273.m1.1.2.3.4.2.3.2.cmml">ν</mi><mi id="A5.E273.m1.1.2.3.4.2.3.3" xref="A5.E273.m1.1.2.3.4.2.3.3.cmml">L</mi></msub><mrow id="A5.E273.m1.1.2.3.4.3" xref="A5.E273.m1.1.2.3.4.3.cmml"><mi id="A5.E273.m1.1.2.3.4.3.2" xref="A5.E273.m1.1.2.3.4.3.2.cmml">h</mi><mo id="A5.E273.m1.1.2.3.4.3.1" xref="A5.E273.m1.1.2.3.4.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A5.E273.m1.1.2.3.4.3.3" xref="A5.E273.m1.1.2.3.4.3.3.cmml">j</mi></mrow></msubsup></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A5.E273.m1.1b"><apply id="A5.E273.m1.1.2.cmml" xref="A5.E273.m1.1.2"><eq id="A5.E273.m1.1.2.1.cmml" xref="A5.E273.m1.1.2.1"></eq><apply id="A5.E273.m1.1.2.2.cmml" xref="A5.E273.m1.1.2.2"><times id="A5.E273.m1.1.2.2.1.cmml" xref="A5.E273.m1.1.2.2.1"></times><apply id="A5.E273.m1.1.2.2.2.cmml" xref="A5.E273.m1.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.E273.m1.1.2.2.2.1.cmml" 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italic_j end_POSTSUPERSCRIPT italic_σ start_POSTSUBSCRIPT italic_L end_POSTSUBSCRIPT = italic_V start_POSTSUBSCRIPT italic_ν start_POSTSUBSCRIPT italic_L end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_i italic_h end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_σ ) italic_L start_POSTSUBSCRIPT italic_ν start_POSTSUBSCRIPT italic_L end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_h italic_j end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(273)</span></td> </tr></tbody> <tbody id="A5.E274"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\displaystyle R_{\nu_{R}}^{k\ell}\sigma_{R}=R_{\nu_{L}}^{kn}V_{\nu_{R}}^{n\ell% }(\sigma)" class="ltx_Math" display="block" id="A5.E274.m1.1"><semantics id="A5.E274.m1.1a"><mrow id="A5.E274.m1.1.2" xref="A5.E274.m1.1.2.cmml"><mrow id="A5.E274.m1.1.2.2" xref="A5.E274.m1.1.2.2.cmml"><msubsup id="A5.E274.m1.1.2.2.2" xref="A5.E274.m1.1.2.2.2.cmml"><mi id="A5.E274.m1.1.2.2.2.2.2" xref="A5.E274.m1.1.2.2.2.2.2.cmml">R</mi><msub id="A5.E274.m1.1.2.2.2.2.3" xref="A5.E274.m1.1.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="A5.E274.m1.1.2.2.2.2.3.2" xref="A5.E274.m1.1.2.2.2.2.3.2.cmml">ν</mi><mi id="A5.E274.m1.1.2.2.2.2.3.3" xref="A5.E274.m1.1.2.2.2.2.3.3.cmml">R</mi></msub><mrow id="A5.E274.m1.1.2.2.2.3" xref="A5.E274.m1.1.2.2.2.3.cmml"><mi id="A5.E274.m1.1.2.2.2.3.2" xref="A5.E274.m1.1.2.2.2.3.2.cmml">k</mi><mo id="A5.E274.m1.1.2.2.2.3.1" xref="A5.E274.m1.1.2.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A5.E274.m1.1.2.2.2.3.3" mathvariant="normal" xref="A5.E274.m1.1.2.2.2.3.3.cmml">ℓ</mi></mrow></msubsup><mo id="A5.E274.m1.1.2.2.1" xref="A5.E274.m1.1.2.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="A5.E274.m1.1.2.2.3" xref="A5.E274.m1.1.2.2.3.cmml"><mi 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ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(274)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="A5.p3.12">(using Einstein summation notation for all repeated irrep indices). In fact,</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_gather ltx_eqn_table" id="S6.EGx236"> <tbody id="A5.E275"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\displaystyle L_{\nu_{L}}^{ij}R_{\nu_{R}}^{k\ell}\sigma_{L}\sigma_{R}^{-1}=T_{% \nu_{L},\nu_{R}}(\sigma)^{ih,n\ell}L_{\nu_{L}}^{hj}R_{\nu_{L}}^{kn}" class="ltx_Math" display="block" id="A5.E275.m1.5"><semantics id="A5.E275.m1.5a"><mrow id="A5.E275.m1.5.6" xref="A5.E275.m1.5.6.cmml"><mrow id="A5.E275.m1.5.6.2" xref="A5.E275.m1.5.6.2.cmml"><msubsup id="A5.E275.m1.5.6.2.2" xref="A5.E275.m1.5.6.2.2.cmml"><mi id="A5.E275.m1.5.6.2.2.2.2" xref="A5.E275.m1.5.6.2.2.2.2.cmml">L</mi><msub id="A5.E275.m1.5.6.2.2.2.3" xref="A5.E275.m1.5.6.2.2.2.3.cmml"><mi id="A5.E275.m1.5.6.2.2.2.3.2" xref="A5.E275.m1.5.6.2.2.2.3.2.cmml">ν</mi><mi id="A5.E275.m1.5.6.2.2.2.3.3" xref="A5.E275.m1.5.6.2.2.2.3.3.cmml">L</mi></msub><mrow 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xref="A5.E275.m1.5.6.3.4.cmml"><mi id="A5.E275.m1.5.6.3.4.2.2" xref="A5.E275.m1.5.6.3.4.2.2.cmml">L</mi><msub id="A5.E275.m1.5.6.3.4.2.3" xref="A5.E275.m1.5.6.3.4.2.3.cmml"><mi id="A5.E275.m1.5.6.3.4.2.3.2" xref="A5.E275.m1.5.6.3.4.2.3.2.cmml">ν</mi><mi id="A5.E275.m1.5.6.3.4.2.3.3" xref="A5.E275.m1.5.6.3.4.2.3.3.cmml">L</mi></msub><mrow id="A5.E275.m1.5.6.3.4.3" xref="A5.E275.m1.5.6.3.4.3.cmml"><mi id="A5.E275.m1.5.6.3.4.3.2" xref="A5.E275.m1.5.6.3.4.3.2.cmml">h</mi><mo id="A5.E275.m1.5.6.3.4.3.1" xref="A5.E275.m1.5.6.3.4.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A5.E275.m1.5.6.3.4.3.3" xref="A5.E275.m1.5.6.3.4.3.3.cmml">j</mi></mrow></msubsup><mo id="A5.E275.m1.5.6.3.1b" xref="A5.E275.m1.5.6.3.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="A5.E275.m1.5.6.3.5" xref="A5.E275.m1.5.6.3.5.cmml"><mi id="A5.E275.m1.5.6.3.5.2.2" xref="A5.E275.m1.5.6.3.5.2.2.cmml">R</mi><msub id="A5.E275.m1.5.6.3.5.2.3" xref="A5.E275.m1.5.6.3.5.2.3.cmml"><mi id="A5.E275.m1.5.6.3.5.2.3.2" xref="A5.E275.m1.5.6.3.5.2.3.2.cmml">ν</mi><mi id="A5.E275.m1.5.6.3.5.2.3.3" xref="A5.E275.m1.5.6.3.5.2.3.3.cmml">L</mi></msub><mrow id="A5.E275.m1.5.6.3.5.3" xref="A5.E275.m1.5.6.3.5.3.cmml"><mi id="A5.E275.m1.5.6.3.5.3.2" xref="A5.E275.m1.5.6.3.5.3.2.cmml">k</mi><mo id="A5.E275.m1.5.6.3.5.3.1" xref="A5.E275.m1.5.6.3.5.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A5.E275.m1.5.6.3.5.3.3" xref="A5.E275.m1.5.6.3.5.3.3.cmml">n</mi></mrow></msubsup></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A5.E275.m1.5b"><apply id="A5.E275.m1.5.6.cmml" xref="A5.E275.m1.5.6"><eq id="A5.E275.m1.5.6.1.cmml" xref="A5.E275.m1.5.6.1"></eq><apply id="A5.E275.m1.5.6.2.cmml" xref="A5.E275.m1.5.6.2"><times id="A5.E275.m1.5.6.2.1.cmml" xref="A5.E275.m1.5.6.2.1"></times><apply id="A5.E275.m1.5.6.2.2.cmml" xref="A5.E275.m1.5.6.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.E275.m1.5.6.2.2.1.cmml" xref="A5.E275.m1.5.6.2.2">superscript</csymbol><apply id="A5.E275.m1.5.6.2.2.2.cmml" xref="A5.E275.m1.5.6.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.E275.m1.5.6.2.2.2.1.cmml" 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xref="A5.E275.m1.2.2.2.2.2.3">𝑅</ci></apply></list></apply><apply id="A5.E275.m1.5.6.3.3.cmml" xref="A5.E275.m1.5.6.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.E275.m1.5.6.3.3.1.cmml" xref="A5.E275.m1.5.6.3.3">superscript</csymbol><ci id="A5.E275.m1.5.5.cmml" xref="A5.E275.m1.5.5">𝜎</ci><list id="A5.E275.m1.4.4.2.3.cmml" xref="A5.E275.m1.4.4.2.2"><apply id="A5.E275.m1.3.3.1.1.1.cmml" xref="A5.E275.m1.3.3.1.1.1"><times id="A5.E275.m1.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="A5.E275.m1.3.3.1.1.1.1"></times><ci id="A5.E275.m1.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="A5.E275.m1.3.3.1.1.1.2">𝑖</ci><ci id="A5.E275.m1.3.3.1.1.1.3.cmml" xref="A5.E275.m1.3.3.1.1.1.3">ℎ</ci></apply><apply id="A5.E275.m1.4.4.2.2.2.cmml" xref="A5.E275.m1.4.4.2.2.2"><times id="A5.E275.m1.4.4.2.2.2.1.cmml" xref="A5.E275.m1.4.4.2.2.2.1"></times><ci id="A5.E275.m1.4.4.2.2.2.2.cmml" xref="A5.E275.m1.4.4.2.2.2.2">𝑛</ci><ci id="A5.E275.m1.4.4.2.2.2.3.cmml" xref="A5.E275.m1.4.4.2.2.2.3">ℓ</ci></apply></list></apply><apply id="A5.E275.m1.5.6.3.4.cmml" 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end_POSTSUBSCRIPT , italic_ν start_POSTSUBSCRIPT italic_R end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT ( italic_σ ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_i italic_h , italic_n roman_ℓ end_POSTSUPERSCRIPT italic_L start_POSTSUBSCRIPT italic_ν start_POSTSUBSCRIPT italic_L end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_h italic_j end_POSTSUPERSCRIPT italic_R start_POSTSUBSCRIPT italic_ν start_POSTSUBSCRIPT italic_L end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_k italic_n end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(275)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="A5.p3.13">Therefore</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="S6.EGx237"> <tbody id="A5.Ex108"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle G_{m}\ket{e_{\nu_{L},\nu_{R}}^{ij,k\ell,c}}" class="ltx_Math" display="inline" id="A5.Ex108.m1.1"><semantics id="A5.Ex108.m1.1a"><mrow id="A5.Ex108.m1.1.2" xref="A5.Ex108.m1.1.2.cmml"><msub id="A5.Ex108.m1.1.2.2" xref="A5.Ex108.m1.1.2.2.cmml"><mi id="A5.Ex108.m1.1.2.2.2" xref="A5.Ex108.m1.1.2.2.2.cmml">G</mi><mi id="A5.Ex108.m1.1.2.2.3" xref="A5.Ex108.m1.1.2.2.3.cmml">m</mi></msub><mo id="A5.Ex108.m1.1.2.1" xref="A5.Ex108.m1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A5.Ex108.m1.1.1a.3" xref="A5.Ex108.m1.1.1a.2.cmml"><mo id="A5.Ex108.m1.1.1a.3.1" stretchy="false" xref="A5.Ex108.m1.1.1a.2.1.cmml">|</mo><msubsup id="A5.Ex108.m1.1.1.1.1" xref="A5.Ex108.m1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A5.Ex108.m1.1.1.1.1.7.2" xref="A5.Ex108.m1.1.1.1.1.7.2.cmml">e</mi><mrow id="A5.Ex108.m1.1.1.1.1.2.2.2" xref="A5.Ex108.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><msub id="A5.Ex108.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" 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xref="A5.Ex108.m1.1.1.1.1.4.2.2.1.2">𝑖</ci><ci id="A5.Ex108.m1.1.1.1.1.4.2.2.1.3.cmml" xref="A5.Ex108.m1.1.1.1.1.4.2.2.1.3">𝑗</ci></apply><apply id="A5.Ex108.m1.1.1.1.1.5.3.3.2.cmml" xref="A5.Ex108.m1.1.1.1.1.5.3.3.2"><times id="A5.Ex108.m1.1.1.1.1.5.3.3.2.1.cmml" xref="A5.Ex108.m1.1.1.1.1.5.3.3.2.1"></times><ci id="A5.Ex108.m1.1.1.1.1.5.3.3.2.2.cmml" xref="A5.Ex108.m1.1.1.1.1.5.3.3.2.2">𝑘</ci><ci id="A5.Ex108.m1.1.1.1.1.5.3.3.2.3.cmml" xref="A5.Ex108.m1.1.1.1.1.5.3.3.2.3">ℓ</ci></apply><ci id="A5.Ex108.m1.1.1.1.1.3.1.1.cmml" xref="A5.Ex108.m1.1.1.1.1.3.1.1">𝑐</ci></list></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A5.Ex108.m1.1c">\displaystyle G_{m}\ket{e_{\nu_{L},\nu_{R}}^{ij,k\ell,c}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A5.Ex108.m1.1d">italic_G start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT | start_ARG italic_e start_POSTSUBSCRIPT italic_ν start_POSTSUBSCRIPT italic_L end_POSTSUBSCRIPT , italic_ν start_POSTSUBSCRIPT italic_R end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_i italic_j , italic_k roman_ℓ , italic_c end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG ⟩</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=\frac{1}{C_{c}}\sum_{a,b}\frac{1}{C_{a}C_{b}}\sum_{\pi,\tau}% \text{Wg}(\pi\sigma_{a}\pi^{-1}\sigma_{b}^{-1},q^{2})q^{-|\sigma_{b}|-|\tau% \sigma_{b}\tau^{-1}\sigma_{c}^{-1}|}T_{\nu_{L},\nu_{R}}^{ih,n\ell}(\tau\pi)L_{% \nu_{L}}^{hj}R_{\nu_{R}}^{kn}\ket{I,\sigma_{a},\sigma_{a}}" class="ltx_Math" display="inline" id="A5.Ex108.m2.14"><semantics id="A5.Ex108.m2.14a"><mrow id="A5.Ex108.m2.14.14" xref="A5.Ex108.m2.14.14.cmml"><mi id="A5.Ex108.m2.14.14.5" xref="A5.Ex108.m2.14.14.5.cmml"></mi><mo id="A5.Ex108.m2.14.14.4" xref="A5.Ex108.m2.14.14.4.cmml">=</mo><mrow id="A5.Ex108.m2.14.14.3" xref="A5.Ex108.m2.14.14.3.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A5.Ex108.m2.14.14.3.5" xref="A5.Ex108.m2.14.14.3.5.cmml"><mfrac id="A5.Ex108.m2.14.14.3.5a" xref="A5.Ex108.m2.14.14.3.5.cmml"><mn id="A5.Ex108.m2.14.14.3.5.2" xref="A5.Ex108.m2.14.14.3.5.2.cmml">1</mn><msub id="A5.Ex108.m2.14.14.3.5.3" xref="A5.Ex108.m2.14.14.3.5.3.cmml"><mi id="A5.Ex108.m2.14.14.3.5.3.2" xref="A5.Ex108.m2.14.14.3.5.3.2.cmml">C</mi><mi id="A5.Ex108.m2.14.14.3.5.3.3" xref="A5.Ex108.m2.14.14.3.5.3.3.cmml">c</mi></msub></mfrac></mstyle><mo id="A5.Ex108.m2.14.14.3.4" xref="A5.Ex108.m2.14.14.3.4.cmml">⁢</mo><mrow id="A5.Ex108.m2.14.14.3.3" xref="A5.Ex108.m2.14.14.3.3.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A5.Ex108.m2.14.14.3.3.4" xref="A5.Ex108.m2.14.14.3.3.4.cmml"><munder id="A5.Ex108.m2.14.14.3.3.4a" xref="A5.Ex108.m2.14.14.3.3.4.cmml"><mo id="A5.Ex108.m2.14.14.3.3.4.2" movablelimits="false" xref="A5.Ex108.m2.14.14.3.3.4.2.cmml">∑</mo><mrow id="A5.Ex108.m2.3.3.2.4" xref="A5.Ex108.m2.3.3.2.3.cmml"><mi id="A5.Ex108.m2.2.2.1.1" xref="A5.Ex108.m2.2.2.1.1.cmml">a</mi><mo id="A5.Ex108.m2.3.3.2.4.1" xref="A5.Ex108.m2.3.3.2.3.cmml">,</mo><mi id="A5.Ex108.m2.3.3.2.2" xref="A5.Ex108.m2.3.3.2.2.cmml">b</mi></mrow></munder></mstyle><mrow id="A5.Ex108.m2.14.14.3.3.3" xref="A5.Ex108.m2.14.14.3.3.3.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A5.Ex108.m2.14.14.3.3.3.5" xref="A5.Ex108.m2.14.14.3.3.3.5.cmml"><mfrac id="A5.Ex108.m2.14.14.3.3.3.5a" xref="A5.Ex108.m2.14.14.3.3.3.5.cmml"><mn id="A5.Ex108.m2.14.14.3.3.3.5.2" xref="A5.Ex108.m2.14.14.3.3.3.5.2.cmml">1</mn><mrow id="A5.Ex108.m2.14.14.3.3.3.5.3" xref="A5.Ex108.m2.14.14.3.3.3.5.3.cmml"><msub id="A5.Ex108.m2.14.14.3.3.3.5.3.2" xref="A5.Ex108.m2.14.14.3.3.3.5.3.2.cmml"><mi id="A5.Ex108.m2.14.14.3.3.3.5.3.2.2" xref="A5.Ex108.m2.14.14.3.3.3.5.3.2.2.cmml">C</mi><mi id="A5.Ex108.m2.14.14.3.3.3.5.3.2.3" xref="A5.Ex108.m2.14.14.3.3.3.5.3.2.3.cmml">a</mi></msub><mo id="A5.Ex108.m2.14.14.3.3.3.5.3.1" xref="A5.Ex108.m2.14.14.3.3.3.5.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="A5.Ex108.m2.14.14.3.3.3.5.3.3" xref="A5.Ex108.m2.14.14.3.3.3.5.3.3.cmml"><mi id="A5.Ex108.m2.14.14.3.3.3.5.3.3.2" xref="A5.Ex108.m2.14.14.3.3.3.5.3.3.2.cmml">C</mi><mi id="A5.Ex108.m2.14.14.3.3.3.5.3.3.3" xref="A5.Ex108.m2.14.14.3.3.3.5.3.3.3.cmml">b</mi></msub></mrow></mfrac></mstyle><mo id="A5.Ex108.m2.14.14.3.3.3.4" xref="A5.Ex108.m2.14.14.3.3.3.4.cmml">⁢</mo><mrow id="A5.Ex108.m2.14.14.3.3.3.3" xref="A5.Ex108.m2.14.14.3.3.3.3.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A5.Ex108.m2.14.14.3.3.3.3.4" xref="A5.Ex108.m2.14.14.3.3.3.3.4.cmml"><munder id="A5.Ex108.m2.14.14.3.3.3.3.4a" xref="A5.Ex108.m2.14.14.3.3.3.3.4.cmml"><mo id="A5.Ex108.m2.14.14.3.3.3.3.4.2" movablelimits="false" xref="A5.Ex108.m2.14.14.3.3.3.3.4.2.cmml">∑</mo><mrow id="A5.Ex108.m2.5.5.2.4" xref="A5.Ex108.m2.5.5.2.3.cmml"><mi id="A5.Ex108.m2.4.4.1.1" xref="A5.Ex108.m2.4.4.1.1.cmml">π</mi><mo id="A5.Ex108.m2.5.5.2.4.1" xref="A5.Ex108.m2.5.5.2.3.cmml">,</mo><mi id="A5.Ex108.m2.5.5.2.2" xref="A5.Ex108.m2.5.5.2.2.cmml">τ</mi></mrow></munder></mstyle><mrow id="A5.Ex108.m2.14.14.3.3.3.3.3" xref="A5.Ex108.m2.14.14.3.3.3.3.3.cmml"><mtext id="A5.Ex108.m2.14.14.3.3.3.3.3.5" xref="A5.Ex108.m2.14.14.3.3.3.3.3.5a.cmml">Wg</mtext><mo id="A5.Ex108.m2.14.14.3.3.3.3.3.4" xref="A5.Ex108.m2.14.14.3.3.3.3.3.4.cmml">⁢</mo><mrow id="A5.Ex108.m2.13.13.2.2.2.2.2.2.2" xref="A5.Ex108.m2.13.13.2.2.2.2.2.2.3.cmml"><mo id="A5.Ex108.m2.13.13.2.2.2.2.2.2.2.3" stretchy="false" xref="A5.Ex108.m2.13.13.2.2.2.2.2.2.3.cmml">(</mo><mrow id="A5.Ex108.m2.12.12.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A5.Ex108.m2.12.12.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A5.Ex108.m2.12.12.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A5.Ex108.m2.12.12.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">π</mi><mo id="A5.Ex108.m2.12.12.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A5.Ex108.m2.12.12.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="A5.Ex108.m2.12.12.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A5.Ex108.m2.12.12.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A5.Ex108.m2.12.12.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A5.Ex108.m2.12.12.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">σ</mi><mi id="A5.Ex108.m2.12.12.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A5.Ex108.m2.12.12.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">a</mi></msub><mo id="A5.Ex108.m2.12.12.1.1.1.1.1.1.1.1.1a" xref="A5.Ex108.m2.12.12.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msup id="A5.Ex108.m2.12.12.1.1.1.1.1.1.1.1.4" xref="A5.Ex108.m2.12.12.1.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="A5.Ex108.m2.12.12.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2" xref="A5.Ex108.m2.12.12.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml">π</mi><mrow id="A5.Ex108.m2.12.12.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3" xref="A5.Ex108.m2.12.12.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml"><mo id="A5.Ex108.m2.12.12.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3a" xref="A5.Ex108.m2.12.12.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml">−</mo><mn id="A5.Ex108.m2.12.12.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.2" xref="A5.Ex108.m2.12.12.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="A5.Ex108.m2.12.12.1.1.1.1.1.1.1.1.1b" xref="A5.Ex108.m2.12.12.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="A5.Ex108.m2.12.12.1.1.1.1.1.1.1.1.5" xref="A5.Ex108.m2.12.12.1.1.1.1.1.1.1.1.5.cmml"><mi id="A5.Ex108.m2.12.12.1.1.1.1.1.1.1.1.5.2.2" xref="A5.Ex108.m2.12.12.1.1.1.1.1.1.1.1.5.2.2.cmml">σ</mi><mi id="A5.Ex108.m2.12.12.1.1.1.1.1.1.1.1.5.2.3" xref="A5.Ex108.m2.12.12.1.1.1.1.1.1.1.1.5.2.3.cmml">b</mi><mrow id="A5.Ex108.m2.12.12.1.1.1.1.1.1.1.1.5.3" xref="A5.Ex108.m2.12.12.1.1.1.1.1.1.1.1.5.3.cmml"><mo id="A5.Ex108.m2.12.12.1.1.1.1.1.1.1.1.5.3a" xref="A5.Ex108.m2.12.12.1.1.1.1.1.1.1.1.5.3.cmml">−</mo><mn id="A5.Ex108.m2.12.12.1.1.1.1.1.1.1.1.5.3.2" xref="A5.Ex108.m2.12.12.1.1.1.1.1.1.1.1.5.3.2.cmml">1</mn></mrow></msubsup></mrow><mo id="A5.Ex108.m2.13.13.2.2.2.2.2.2.2.4" xref="A5.Ex108.m2.13.13.2.2.2.2.2.2.3.cmml">,</mo><msup id="A5.Ex108.m2.13.13.2.2.2.2.2.2.2.2" xref="A5.Ex108.m2.13.13.2.2.2.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="A5.Ex108.m2.13.13.2.2.2.2.2.2.2.2.2" xref="A5.Ex108.m2.13.13.2.2.2.2.2.2.2.2.2.cmml">q</mi><mn id="A5.Ex108.m2.13.13.2.2.2.2.2.2.2.2.3" xref="A5.Ex108.m2.13.13.2.2.2.2.2.2.2.2.3.cmml">2</mn></msup><mo id="A5.Ex108.m2.13.13.2.2.2.2.2.2.2.5" stretchy="false" xref="A5.Ex108.m2.13.13.2.2.2.2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow><mo id="A5.Ex108.m2.14.14.3.3.3.3.3.4a" xref="A5.Ex108.m2.14.14.3.3.3.3.3.4.cmml">⁢</mo><msup id="A5.Ex108.m2.14.14.3.3.3.3.3.6" xref="A5.Ex108.m2.14.14.3.3.3.3.3.6.cmml"><mi id="A5.Ex108.m2.14.14.3.3.3.3.3.6.2" xref="A5.Ex108.m2.14.14.3.3.3.3.3.6.2.cmml">q</mi><mrow id="A5.Ex108.m2.7.7.2" xref="A5.Ex108.m2.7.7.2.cmml"><mrow id="A5.Ex108.m2.6.6.1.1" xref="A5.Ex108.m2.6.6.1.1.cmml"><mo id="A5.Ex108.m2.6.6.1.1a" xref="A5.Ex108.m2.6.6.1.1.cmml">−</mo><mrow id="A5.Ex108.m2.6.6.1.1.1.1" xref="A5.Ex108.m2.6.6.1.1.1.2.cmml"><mo id="A5.Ex108.m2.6.6.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A5.Ex108.m2.6.6.1.1.1.2.1.cmml">|</mo><msub id="A5.Ex108.m2.6.6.1.1.1.1.1" xref="A5.Ex108.m2.6.6.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A5.Ex108.m2.6.6.1.1.1.1.1.2" xref="A5.Ex108.m2.6.6.1.1.1.1.1.2.cmml">σ</mi><mi id="A5.Ex108.m2.6.6.1.1.1.1.1.3" xref="A5.Ex108.m2.6.6.1.1.1.1.1.3.cmml">b</mi></msub><mo id="A5.Ex108.m2.6.6.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A5.Ex108.m2.6.6.1.1.1.2.1.cmml">|</mo></mrow></mrow><mo id="A5.Ex108.m2.7.7.2.3" xref="A5.Ex108.m2.7.7.2.3.cmml">−</mo><mrow id="A5.Ex108.m2.7.7.2.2.1" xref="A5.Ex108.m2.7.7.2.2.2.cmml"><mo id="A5.Ex108.m2.7.7.2.2.1.2" stretchy="false" xref="A5.Ex108.m2.7.7.2.2.2.1.cmml">|</mo><mrow id="A5.Ex108.m2.7.7.2.2.1.1" xref="A5.Ex108.m2.7.7.2.2.1.1.cmml"><mi id="A5.Ex108.m2.7.7.2.2.1.1.2" xref="A5.Ex108.m2.7.7.2.2.1.1.2.cmml">τ</mi><mo id="A5.Ex108.m2.7.7.2.2.1.1.1" xref="A5.Ex108.m2.7.7.2.2.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="A5.Ex108.m2.7.7.2.2.1.1.3" xref="A5.Ex108.m2.7.7.2.2.1.1.3.cmml"><mi id="A5.Ex108.m2.7.7.2.2.1.1.3.2" xref="A5.Ex108.m2.7.7.2.2.1.1.3.2.cmml">σ</mi><mi id="A5.Ex108.m2.7.7.2.2.1.1.3.3" xref="A5.Ex108.m2.7.7.2.2.1.1.3.3.cmml">b</mi></msub><mo id="A5.Ex108.m2.7.7.2.2.1.1.1a" xref="A5.Ex108.m2.7.7.2.2.1.1.1.cmml">⁢</mo><msup id="A5.Ex108.m2.7.7.2.2.1.1.4" xref="A5.Ex108.m2.7.7.2.2.1.1.4.cmml"><mi id="A5.Ex108.m2.7.7.2.2.1.1.4.2" xref="A5.Ex108.m2.7.7.2.2.1.1.4.2.cmml">τ</mi><mrow id="A5.Ex108.m2.7.7.2.2.1.1.4.3" xref="A5.Ex108.m2.7.7.2.2.1.1.4.3.cmml"><mo id="A5.Ex108.m2.7.7.2.2.1.1.4.3a" xref="A5.Ex108.m2.7.7.2.2.1.1.4.3.cmml">−</mo><mn id="A5.Ex108.m2.7.7.2.2.1.1.4.3.2" xref="A5.Ex108.m2.7.7.2.2.1.1.4.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="A5.Ex108.m2.7.7.2.2.1.1.1b" xref="A5.Ex108.m2.7.7.2.2.1.1.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="A5.Ex108.m2.7.7.2.2.1.1.5" xref="A5.Ex108.m2.7.7.2.2.1.1.5.cmml"><mi id="A5.Ex108.m2.7.7.2.2.1.1.5.2.2" xref="A5.Ex108.m2.7.7.2.2.1.1.5.2.2.cmml">σ</mi><mi id="A5.Ex108.m2.7.7.2.2.1.1.5.2.3" xref="A5.Ex108.m2.7.7.2.2.1.1.5.2.3.cmml">c</mi><mrow id="A5.Ex108.m2.7.7.2.2.1.1.5.3" xref="A5.Ex108.m2.7.7.2.2.1.1.5.3.cmml"><mo id="A5.Ex108.m2.7.7.2.2.1.1.5.3a" xref="A5.Ex108.m2.7.7.2.2.1.1.5.3.cmml">−</mo><mn id="A5.Ex108.m2.7.7.2.2.1.1.5.3.2" xref="A5.Ex108.m2.7.7.2.2.1.1.5.3.2.cmml">1</mn></mrow></msubsup></mrow><mo id="A5.Ex108.m2.7.7.2.2.1.3" stretchy="false" xref="A5.Ex108.m2.7.7.2.2.2.1.cmml">|</mo></mrow></mrow></msup><mo id="A5.Ex108.m2.14.14.3.3.3.3.3.4b" xref="A5.Ex108.m2.14.14.3.3.3.3.3.4.cmml">⁢</mo><msubsup id="A5.Ex108.m2.14.14.3.3.3.3.3.7" xref="A5.Ex108.m2.14.14.3.3.3.3.3.7.cmml"><mi id="A5.Ex108.m2.14.14.3.3.3.3.3.7.2.2" xref="A5.Ex108.m2.14.14.3.3.3.3.3.7.2.2.cmml">T</mi><mrow id="A5.Ex108.m2.9.9.2.2" xref="A5.Ex108.m2.9.9.2.3.cmml"><msub id="A5.Ex108.m2.8.8.1.1.1" xref="A5.Ex108.m2.8.8.1.1.1.cmml"><mi id="A5.Ex108.m2.8.8.1.1.1.2" xref="A5.Ex108.m2.8.8.1.1.1.2.cmml">ν</mi><mi id="A5.Ex108.m2.8.8.1.1.1.3" xref="A5.Ex108.m2.8.8.1.1.1.3.cmml">L</mi></msub><mo id="A5.Ex108.m2.9.9.2.2.3" xref="A5.Ex108.m2.9.9.2.3.cmml">,</mo><msub id="A5.Ex108.m2.9.9.2.2.2" xref="A5.Ex108.m2.9.9.2.2.2.cmml"><mi id="A5.Ex108.m2.9.9.2.2.2.2" xref="A5.Ex108.m2.9.9.2.2.2.2.cmml">ν</mi><mi id="A5.Ex108.m2.9.9.2.2.2.3" xref="A5.Ex108.m2.9.9.2.2.2.3.cmml">R</mi></msub></mrow><mrow id="A5.Ex108.m2.11.11.2.2" xref="A5.Ex108.m2.11.11.2.3.cmml"><mrow id="A5.Ex108.m2.10.10.1.1.1" xref="A5.Ex108.m2.10.10.1.1.1.cmml"><mi id="A5.Ex108.m2.10.10.1.1.1.2" xref="A5.Ex108.m2.10.10.1.1.1.2.cmml">i</mi><mo id="A5.Ex108.m2.10.10.1.1.1.1" xref="A5.Ex108.m2.10.10.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="A5.Ex108.m2.10.10.1.1.1.3" xref="A5.Ex108.m2.10.10.1.1.1.3.cmml">h</mi></mrow><mo id="A5.Ex108.m2.11.11.2.2.3" xref="A5.Ex108.m2.11.11.2.3.cmml">,</mo><mrow id="A5.Ex108.m2.11.11.2.2.2" xref="A5.Ex108.m2.11.11.2.2.2.cmml"><mi id="A5.Ex108.m2.11.11.2.2.2.2" xref="A5.Ex108.m2.11.11.2.2.2.2.cmml">n</mi><mo id="A5.Ex108.m2.11.11.2.2.2.1" xref="A5.Ex108.m2.11.11.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="A5.Ex108.m2.11.11.2.2.2.3" mathvariant="normal" xref="A5.Ex108.m2.11.11.2.2.2.3.cmml">ℓ</mi></mrow></mrow></msubsup><mo id="A5.Ex108.m2.14.14.3.3.3.3.3.4c" xref="A5.Ex108.m2.14.14.3.3.3.3.3.4.cmml">⁢</mo><mrow id="A5.Ex108.m2.14.14.3.3.3.3.3.3.1" xref="A5.Ex108.m2.14.14.3.3.3.3.3.3.1.1.cmml"><mo id="A5.Ex108.m2.14.14.3.3.3.3.3.3.1.2" stretchy="false" xref="A5.Ex108.m2.14.14.3.3.3.3.3.3.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A5.Ex108.m2.14.14.3.3.3.3.3.3.1.1" xref="A5.Ex108.m2.14.14.3.3.3.3.3.3.1.1.cmml"><mi id="A5.Ex108.m2.14.14.3.3.3.3.3.3.1.1.2" xref="A5.Ex108.m2.14.14.3.3.3.3.3.3.1.1.2.cmml">τ</mi><mo id="A5.Ex108.m2.14.14.3.3.3.3.3.3.1.1.1" xref="A5.Ex108.m2.14.14.3.3.3.3.3.3.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="A5.Ex108.m2.14.14.3.3.3.3.3.3.1.1.3" xref="A5.Ex108.m2.14.14.3.3.3.3.3.3.1.1.3.cmml">π</mi></mrow><mo id="A5.Ex108.m2.14.14.3.3.3.3.3.3.1.3" stretchy="false" xref="A5.Ex108.m2.14.14.3.3.3.3.3.3.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A5.Ex108.m2.14.14.3.3.3.3.3.4d" xref="A5.Ex108.m2.14.14.3.3.3.3.3.4.cmml">⁢</mo><msubsup id="A5.Ex108.m2.14.14.3.3.3.3.3.8" xref="A5.Ex108.m2.14.14.3.3.3.3.3.8.cmml"><mi id="A5.Ex108.m2.14.14.3.3.3.3.3.8.2.2" xref="A5.Ex108.m2.14.14.3.3.3.3.3.8.2.2.cmml">L</mi><msub id="A5.Ex108.m2.14.14.3.3.3.3.3.8.2.3" xref="A5.Ex108.m2.14.14.3.3.3.3.3.8.2.3.cmml"><mi id="A5.Ex108.m2.14.14.3.3.3.3.3.8.2.3.2" xref="A5.Ex108.m2.14.14.3.3.3.3.3.8.2.3.2.cmml">ν</mi><mi id="A5.Ex108.m2.14.14.3.3.3.3.3.8.2.3.3" xref="A5.Ex108.m2.14.14.3.3.3.3.3.8.2.3.3.cmml">L</mi></msub><mrow id="A5.Ex108.m2.14.14.3.3.3.3.3.8.3" xref="A5.Ex108.m2.14.14.3.3.3.3.3.8.3.cmml"><mi id="A5.Ex108.m2.14.14.3.3.3.3.3.8.3.2" xref="A5.Ex108.m2.14.14.3.3.3.3.3.8.3.2.cmml">h</mi><mo id="A5.Ex108.m2.14.14.3.3.3.3.3.8.3.1" xref="A5.Ex108.m2.14.14.3.3.3.3.3.8.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A5.Ex108.m2.14.14.3.3.3.3.3.8.3.3" xref="A5.Ex108.m2.14.14.3.3.3.3.3.8.3.3.cmml">j</mi></mrow></msubsup><mo id="A5.Ex108.m2.14.14.3.3.3.3.3.4e" xref="A5.Ex108.m2.14.14.3.3.3.3.3.4.cmml">⁢</mo><msubsup id="A5.Ex108.m2.14.14.3.3.3.3.3.9" xref="A5.Ex108.m2.14.14.3.3.3.3.3.9.cmml"><mi id="A5.Ex108.m2.14.14.3.3.3.3.3.9.2.2" xref="A5.Ex108.m2.14.14.3.3.3.3.3.9.2.2.cmml">R</mi><msub id="A5.Ex108.m2.14.14.3.3.3.3.3.9.2.3" xref="A5.Ex108.m2.14.14.3.3.3.3.3.9.2.3.cmml"><mi id="A5.Ex108.m2.14.14.3.3.3.3.3.9.2.3.2" xref="A5.Ex108.m2.14.14.3.3.3.3.3.9.2.3.2.cmml">ν</mi><mi id="A5.Ex108.m2.14.14.3.3.3.3.3.9.2.3.3" xref="A5.Ex108.m2.14.14.3.3.3.3.3.9.2.3.3.cmml">R</mi></msub><mrow id="A5.Ex108.m2.14.14.3.3.3.3.3.9.3" xref="A5.Ex108.m2.14.14.3.3.3.3.3.9.3.cmml"><mi id="A5.Ex108.m2.14.14.3.3.3.3.3.9.3.2" xref="A5.Ex108.m2.14.14.3.3.3.3.3.9.3.2.cmml">k</mi><mo id="A5.Ex108.m2.14.14.3.3.3.3.3.9.3.1" xref="A5.Ex108.m2.14.14.3.3.3.3.3.9.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A5.Ex108.m2.14.14.3.3.3.3.3.9.3.3" xref="A5.Ex108.m2.14.14.3.3.3.3.3.9.3.3.cmml">n</mi></mrow></msubsup><mo id="A5.Ex108.m2.14.14.3.3.3.3.3.4f" xref="A5.Ex108.m2.14.14.3.3.3.3.3.4.cmml">⁢</mo><mrow id="A5.Ex108.m2.1.1a.3" xref="A5.Ex108.m2.1.1a.2.cmml"><mo id="A5.Ex108.m2.1.1a.3.1" stretchy="false" xref="A5.Ex108.m2.1.1a.2.1.cmml">|</mo><mrow id="A5.Ex108.m2.1.1.1.1.3" xref="A5.Ex108.m2.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="A5.Ex108.m2.1.1.1.1.1" xref="A5.Ex108.m2.1.1.1.1.1.cmml">I</mi><mo id="A5.Ex108.m2.1.1.1.1.3.3" xref="A5.Ex108.m2.1.1.1.1.4.cmml">,</mo><msub id="A5.Ex108.m2.1.1.1.1.2.1" xref="A5.Ex108.m2.1.1.1.1.2.1.cmml"><mi id="A5.Ex108.m2.1.1.1.1.2.1.2" xref="A5.Ex108.m2.1.1.1.1.2.1.2.cmml">σ</mi><mi id="A5.Ex108.m2.1.1.1.1.2.1.3" xref="A5.Ex108.m2.1.1.1.1.2.1.3.cmml">a</mi></msub><mo id="A5.Ex108.m2.1.1.1.1.3.4" xref="A5.Ex108.m2.1.1.1.1.4.cmml">,</mo><msub id="A5.Ex108.m2.1.1.1.1.3.2" xref="A5.Ex108.m2.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="A5.Ex108.m2.1.1.1.1.3.2.2" xref="A5.Ex108.m2.1.1.1.1.3.2.2.cmml">σ</mi><mi id="A5.Ex108.m2.1.1.1.1.3.2.3" xref="A5.Ex108.m2.1.1.1.1.3.2.3.cmml">a</mi></msub></mrow><mo id="A5.Ex108.m2.1.1a.3.2" stretchy="false" xref="A5.Ex108.m2.1.1a.2.1.cmml">⟩</mo></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A5.Ex108.m2.14b"><apply id="A5.Ex108.m2.14.14.cmml" xref="A5.Ex108.m2.14.14"><eq id="A5.Ex108.m2.14.14.4.cmml" xref="A5.Ex108.m2.14.14.4"></eq><csymbol cd="latexml" id="A5.Ex108.m2.14.14.5.cmml" xref="A5.Ex108.m2.14.14.5">absent</csymbol><apply id="A5.Ex108.m2.14.14.3.cmml" xref="A5.Ex108.m2.14.14.3"><times id="A5.Ex108.m2.14.14.3.4.cmml" xref="A5.Ex108.m2.14.14.3.4"></times><apply id="A5.Ex108.m2.14.14.3.5.cmml" xref="A5.Ex108.m2.14.14.3.5"><divide id="A5.Ex108.m2.14.14.3.5.1.cmml" xref="A5.Ex108.m2.14.14.3.5"></divide><cn id="A5.Ex108.m2.14.14.3.5.2.cmml" type="integer" xref="A5.Ex108.m2.14.14.3.5.2">1</cn><apply id="A5.Ex108.m2.14.14.3.5.3.cmml" xref="A5.Ex108.m2.14.14.3.5.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.Ex108.m2.14.14.3.5.3.1.cmml" xref="A5.Ex108.m2.14.14.3.5.3">subscript</csymbol><ci id="A5.Ex108.m2.14.14.3.5.3.2.cmml" xref="A5.Ex108.m2.14.14.3.5.3.2">𝐶</ci><ci id="A5.Ex108.m2.14.14.3.5.3.3.cmml" xref="A5.Ex108.m2.14.14.3.5.3.3">𝑐</ci></apply></apply><apply id="A5.Ex108.m2.14.14.3.3.cmml" xref="A5.Ex108.m2.14.14.3.3"><apply id="A5.Ex108.m2.14.14.3.3.4.cmml" xref="A5.Ex108.m2.14.14.3.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.Ex108.m2.14.14.3.3.4.1.cmml" xref="A5.Ex108.m2.14.14.3.3.4">subscript</csymbol><sum id="A5.Ex108.m2.14.14.3.3.4.2.cmml" xref="A5.Ex108.m2.14.14.3.3.4.2"></sum><list id="A5.Ex108.m2.3.3.2.3.cmml" xref="A5.Ex108.m2.3.3.2.4"><ci id="A5.Ex108.m2.2.2.1.1.cmml" xref="A5.Ex108.m2.2.2.1.1">𝑎</ci><ci id="A5.Ex108.m2.3.3.2.2.cmml" xref="A5.Ex108.m2.3.3.2.2">𝑏</ci></list></apply><apply id="A5.Ex108.m2.14.14.3.3.3.cmml" xref="A5.Ex108.m2.14.14.3.3.3"><times id="A5.Ex108.m2.14.14.3.3.3.4.cmml" xref="A5.Ex108.m2.14.14.3.3.3.4"></times><apply id="A5.Ex108.m2.14.14.3.3.3.5.cmml" xref="A5.Ex108.m2.14.14.3.3.3.5"><divide id="A5.Ex108.m2.14.14.3.3.3.5.1.cmml" xref="A5.Ex108.m2.14.14.3.3.3.5"></divide><cn id="A5.Ex108.m2.14.14.3.3.3.5.2.cmml" type="integer" xref="A5.Ex108.m2.14.14.3.3.3.5.2">1</cn><apply id="A5.Ex108.m2.14.14.3.3.3.5.3.cmml" xref="A5.Ex108.m2.14.14.3.3.3.5.3"><times id="A5.Ex108.m2.14.14.3.3.3.5.3.1.cmml" xref="A5.Ex108.m2.14.14.3.3.3.5.3.1"></times><apply id="A5.Ex108.m2.14.14.3.3.3.5.3.2.cmml" xref="A5.Ex108.m2.14.14.3.3.3.5.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.Ex108.m2.14.14.3.3.3.5.3.2.1.cmml" xref="A5.Ex108.m2.14.14.3.3.3.5.3.2">subscript</csymbol><ci id="A5.Ex108.m2.14.14.3.3.3.5.3.2.2.cmml" xref="A5.Ex108.m2.14.14.3.3.3.5.3.2.2">𝐶</ci><ci id="A5.Ex108.m2.14.14.3.3.3.5.3.2.3.cmml" xref="A5.Ex108.m2.14.14.3.3.3.5.3.2.3">𝑎</ci></apply><apply id="A5.Ex108.m2.14.14.3.3.3.5.3.3.cmml" xref="A5.Ex108.m2.14.14.3.3.3.5.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.Ex108.m2.14.14.3.3.3.5.3.3.1.cmml" xref="A5.Ex108.m2.14.14.3.3.3.5.3.3">subscript</csymbol><ci id="A5.Ex108.m2.14.14.3.3.3.5.3.3.2.cmml" xref="A5.Ex108.m2.14.14.3.3.3.5.3.3.2">𝐶</ci><ci id="A5.Ex108.m2.14.14.3.3.3.5.3.3.3.cmml" xref="A5.Ex108.m2.14.14.3.3.3.5.3.3.3">𝑏</ci></apply></apply></apply><apply id="A5.Ex108.m2.14.14.3.3.3.3.cmml" xref="A5.Ex108.m2.14.14.3.3.3.3"><apply id="A5.Ex108.m2.14.14.3.3.3.3.4.cmml" xref="A5.Ex108.m2.14.14.3.3.3.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.Ex108.m2.14.14.3.3.3.3.4.1.cmml" xref="A5.Ex108.m2.14.14.3.3.3.3.4">subscript</csymbol><sum id="A5.Ex108.m2.14.14.3.3.3.3.4.2.cmml" xref="A5.Ex108.m2.14.14.3.3.3.3.4.2"></sum><list id="A5.Ex108.m2.5.5.2.3.cmml" xref="A5.Ex108.m2.5.5.2.4"><ci id="A5.Ex108.m2.4.4.1.1.cmml" xref="A5.Ex108.m2.4.4.1.1">𝜋</ci><ci id="A5.Ex108.m2.5.5.2.2.cmml" xref="A5.Ex108.m2.5.5.2.2">𝜏</ci></list></apply><apply id="A5.Ex108.m2.14.14.3.3.3.3.3.cmml" xref="A5.Ex108.m2.14.14.3.3.3.3.3"><times id="A5.Ex108.m2.14.14.3.3.3.3.3.4.cmml" xref="A5.Ex108.m2.14.14.3.3.3.3.3.4"></times><ci id="A5.Ex108.m2.14.14.3.3.3.3.3.5a.cmml" xref="A5.Ex108.m2.14.14.3.3.3.3.3.5"><mtext id="A5.Ex108.m2.14.14.3.3.3.3.3.5.cmml" xref="A5.Ex108.m2.14.14.3.3.3.3.3.5">Wg</mtext></ci><interval closure="open" id="A5.Ex108.m2.13.13.2.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="A5.Ex108.m2.13.13.2.2.2.2.2.2.2"><apply id="A5.Ex108.m2.12.12.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A5.Ex108.m2.12.12.1.1.1.1.1.1.1.1"><times id="A5.Ex108.m2.12.12.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A5.Ex108.m2.12.12.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></times><ci id="A5.Ex108.m2.12.12.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A5.Ex108.m2.12.12.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝜋</ci><apply id="A5.Ex108.m2.12.12.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A5.Ex108.m2.12.12.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.Ex108.m2.12.12.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A5.Ex108.m2.12.12.1.1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A5.Ex108.m2.12.12.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A5.Ex108.m2.12.12.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝜎</ci><ci id="A5.Ex108.m2.12.12.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A5.Ex108.m2.12.12.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑎</ci></apply><apply id="A5.Ex108.m2.12.12.1.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="A5.Ex108.m2.12.12.1.1.1.1.1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.Ex108.m2.12.12.1.1.1.1.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="A5.Ex108.m2.12.12.1.1.1.1.1.1.1.1.4">superscript</csymbol><ci id="A5.Ex108.m2.12.12.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="A5.Ex108.m2.12.12.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2">𝜋</ci><apply id="A5.Ex108.m2.12.12.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml" xref="A5.Ex108.m2.12.12.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3"><minus id="A5.Ex108.m2.12.12.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.1.cmml" xref="A5.Ex108.m2.12.12.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3"></minus><cn id="A5.Ex108.m2.12.12.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.2.cmml" type="integer" xref="A5.Ex108.m2.12.12.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.2">1</cn></apply></apply><apply id="A5.Ex108.m2.12.12.1.1.1.1.1.1.1.1.5.cmml" xref="A5.Ex108.m2.12.12.1.1.1.1.1.1.1.1.5"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.Ex108.m2.12.12.1.1.1.1.1.1.1.1.5.1.cmml" xref="A5.Ex108.m2.12.12.1.1.1.1.1.1.1.1.5">superscript</csymbol><apply id="A5.Ex108.m2.12.12.1.1.1.1.1.1.1.1.5.2.cmml" xref="A5.Ex108.m2.12.12.1.1.1.1.1.1.1.1.5"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.Ex108.m2.12.12.1.1.1.1.1.1.1.1.5.2.1.cmml" xref="A5.Ex108.m2.12.12.1.1.1.1.1.1.1.1.5">subscript</csymbol><ci id="A5.Ex108.m2.12.12.1.1.1.1.1.1.1.1.5.2.2.cmml" xref="A5.Ex108.m2.12.12.1.1.1.1.1.1.1.1.5.2.2">𝜎</ci><ci id="A5.Ex108.m2.12.12.1.1.1.1.1.1.1.1.5.2.3.cmml" xref="A5.Ex108.m2.12.12.1.1.1.1.1.1.1.1.5.2.3">𝑏</ci></apply><apply id="A5.Ex108.m2.12.12.1.1.1.1.1.1.1.1.5.3.cmml" xref="A5.Ex108.m2.12.12.1.1.1.1.1.1.1.1.5.3"><minus id="A5.Ex108.m2.12.12.1.1.1.1.1.1.1.1.5.3.1.cmml" xref="A5.Ex108.m2.12.12.1.1.1.1.1.1.1.1.5.3"></minus><cn id="A5.Ex108.m2.12.12.1.1.1.1.1.1.1.1.5.3.2.cmml" type="integer" xref="A5.Ex108.m2.12.12.1.1.1.1.1.1.1.1.5.3.2">1</cn></apply></apply></apply><apply id="A5.Ex108.m2.13.13.2.2.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="A5.Ex108.m2.13.13.2.2.2.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.Ex108.m2.13.13.2.2.2.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="A5.Ex108.m2.13.13.2.2.2.2.2.2.2.2">superscript</csymbol><ci id="A5.Ex108.m2.13.13.2.2.2.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="A5.Ex108.m2.13.13.2.2.2.2.2.2.2.2.2">𝑞</ci><cn id="A5.Ex108.m2.13.13.2.2.2.2.2.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="A5.Ex108.m2.13.13.2.2.2.2.2.2.2.2.3">2</cn></apply></interval><apply id="A5.Ex108.m2.14.14.3.3.3.3.3.6.cmml" xref="A5.Ex108.m2.14.14.3.3.3.3.3.6"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.Ex108.m2.14.14.3.3.3.3.3.6.1.cmml" xref="A5.Ex108.m2.14.14.3.3.3.3.3.6">superscript</csymbol><ci id="A5.Ex108.m2.14.14.3.3.3.3.3.6.2.cmml" xref="A5.Ex108.m2.14.14.3.3.3.3.3.6.2">𝑞</ci><apply id="A5.Ex108.m2.7.7.2.cmml" xref="A5.Ex108.m2.7.7.2"><minus id="A5.Ex108.m2.7.7.2.3.cmml" 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end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_h italic_j end_POSTSUPERSCRIPT italic_R start_POSTSUBSCRIPT italic_ν start_POSTSUBSCRIPT italic_R end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_k italic_n end_POSTSUPERSCRIPT | start_ARG italic_I , italic_σ start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT , italic_σ start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT end_ARG ⟩</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="A5.Ex109"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=\mathcal{W}^{ig,o\ell}_{ab}(q^{2})\mathcal{D}_{bb}(q)\mathcal{C}% ^{gh,no}_{bc}(q)\frac{1}{C_{a}}L_{\nu_{L}}^{hj}R_{\nu_{R}}^{kn}\ket{I,\sigma_{% a},\sigma_{a}}" class="ltx_Math" display="inline" id="A5.Ex109.m1.8"><semantics id="A5.Ex109.m1.8a"><mrow id="A5.Ex109.m1.8.8" xref="A5.Ex109.m1.8.8.cmml"><mi id="A5.Ex109.m1.8.8.3" xref="A5.Ex109.m1.8.8.3.cmml"></mi><mo id="A5.Ex109.m1.8.8.2" xref="A5.Ex109.m1.8.8.2.cmml">=</mo><mrow id="A5.Ex109.m1.8.8.1" xref="A5.Ex109.m1.8.8.1.cmml"><msubsup id="A5.Ex109.m1.8.8.1.3" xref="A5.Ex109.m1.8.8.1.3.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="A5.Ex109.m1.8.8.1.3.2.2" xref="A5.Ex109.m1.8.8.1.3.2.2.cmml">𝒲</mi><mrow id="A5.Ex109.m1.8.8.1.3.3" xref="A5.Ex109.m1.8.8.1.3.3.cmml"><mi id="A5.Ex109.m1.8.8.1.3.3.2" xref="A5.Ex109.m1.8.8.1.3.3.2.cmml">a</mi><mo id="A5.Ex109.m1.8.8.1.3.3.1" xref="A5.Ex109.m1.8.8.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A5.Ex109.m1.8.8.1.3.3.3" xref="A5.Ex109.m1.8.8.1.3.3.3.cmml">b</mi></mrow><mrow id="A5.Ex109.m1.3.3.2.2" xref="A5.Ex109.m1.3.3.2.3.cmml"><mrow id="A5.Ex109.m1.2.2.1.1.1" xref="A5.Ex109.m1.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="A5.Ex109.m1.2.2.1.1.1.2" xref="A5.Ex109.m1.2.2.1.1.1.2.cmml">i</mi><mo id="A5.Ex109.m1.2.2.1.1.1.1" xref="A5.Ex109.m1.2.2.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi 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xref="A5.Ex109.m1.8.8.1.1.1.1.3">2</cn></apply><apply id="A5.Ex109.m1.8.8.1.4.cmml" xref="A5.Ex109.m1.8.8.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.Ex109.m1.8.8.1.4.1.cmml" xref="A5.Ex109.m1.8.8.1.4">subscript</csymbol><ci id="A5.Ex109.m1.8.8.1.4.2.cmml" xref="A5.Ex109.m1.8.8.1.4.2">𝒟</ci><apply id="A5.Ex109.m1.8.8.1.4.3.cmml" xref="A5.Ex109.m1.8.8.1.4.3"><times id="A5.Ex109.m1.8.8.1.4.3.1.cmml" xref="A5.Ex109.m1.8.8.1.4.3.1"></times><ci id="A5.Ex109.m1.8.8.1.4.3.2.cmml" xref="A5.Ex109.m1.8.8.1.4.3.2">𝑏</ci><ci id="A5.Ex109.m1.8.8.1.4.3.3.cmml" xref="A5.Ex109.m1.8.8.1.4.3.3">𝑏</ci></apply></apply><ci id="A5.Ex109.m1.6.6.cmml" xref="A5.Ex109.m1.6.6">𝑞</ci><apply id="A5.Ex109.m1.8.8.1.6.cmml" xref="A5.Ex109.m1.8.8.1.6"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.Ex109.m1.8.8.1.6.1.cmml" xref="A5.Ex109.m1.8.8.1.6">subscript</csymbol><apply id="A5.Ex109.m1.8.8.1.6.2.cmml" xref="A5.Ex109.m1.8.8.1.6"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.Ex109.m1.8.8.1.6.2.1.cmml" xref="A5.Ex109.m1.8.8.1.6">superscript</csymbol><ci id="A5.Ex109.m1.8.8.1.6.2.2.cmml" xref="A5.Ex109.m1.8.8.1.6.2.2">𝒞</ci><list id="A5.Ex109.m1.5.5.2.3.cmml" xref="A5.Ex109.m1.5.5.2.2"><apply id="A5.Ex109.m1.4.4.1.1.1.cmml" xref="A5.Ex109.m1.4.4.1.1.1"><times id="A5.Ex109.m1.4.4.1.1.1.1.cmml" xref="A5.Ex109.m1.4.4.1.1.1.1"></times><ci id="A5.Ex109.m1.4.4.1.1.1.2.cmml" xref="A5.Ex109.m1.4.4.1.1.1.2">𝑔</ci><ci id="A5.Ex109.m1.4.4.1.1.1.3.cmml" xref="A5.Ex109.m1.4.4.1.1.1.3">ℎ</ci></apply><apply id="A5.Ex109.m1.5.5.2.2.2.cmml" xref="A5.Ex109.m1.5.5.2.2.2"><times id="A5.Ex109.m1.5.5.2.2.2.1.cmml" xref="A5.Ex109.m1.5.5.2.2.2.1"></times><ci id="A5.Ex109.m1.5.5.2.2.2.2.cmml" xref="A5.Ex109.m1.5.5.2.2.2.2">𝑛</ci><ci id="A5.Ex109.m1.5.5.2.2.2.3.cmml" xref="A5.Ex109.m1.5.5.2.2.2.3">𝑜</ci></apply></list></apply><apply id="A5.Ex109.m1.8.8.1.6.3.cmml" xref="A5.Ex109.m1.8.8.1.6.3"><times id="A5.Ex109.m1.8.8.1.6.3.1.cmml" xref="A5.Ex109.m1.8.8.1.6.3.1"></times><ci id="A5.Ex109.m1.8.8.1.6.3.2.cmml" xref="A5.Ex109.m1.8.8.1.6.3.2">𝑏</ci><ci 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id="A5.Ex109.m1.8.8.1.9.2.1.cmml" xref="A5.Ex109.m1.8.8.1.9">subscript</csymbol><ci id="A5.Ex109.m1.8.8.1.9.2.2.cmml" xref="A5.Ex109.m1.8.8.1.9.2.2">𝐿</ci><apply id="A5.Ex109.m1.8.8.1.9.2.3.cmml" xref="A5.Ex109.m1.8.8.1.9.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.Ex109.m1.8.8.1.9.2.3.1.cmml" xref="A5.Ex109.m1.8.8.1.9.2.3">subscript</csymbol><ci id="A5.Ex109.m1.8.8.1.9.2.3.2.cmml" xref="A5.Ex109.m1.8.8.1.9.2.3.2">𝜈</ci><ci id="A5.Ex109.m1.8.8.1.9.2.3.3.cmml" xref="A5.Ex109.m1.8.8.1.9.2.3.3">𝐿</ci></apply></apply><apply id="A5.Ex109.m1.8.8.1.9.3.cmml" xref="A5.Ex109.m1.8.8.1.9.3"><times id="A5.Ex109.m1.8.8.1.9.3.1.cmml" xref="A5.Ex109.m1.8.8.1.9.3.1"></times><ci id="A5.Ex109.m1.8.8.1.9.3.2.cmml" xref="A5.Ex109.m1.8.8.1.9.3.2">ℎ</ci><ci id="A5.Ex109.m1.8.8.1.9.3.3.cmml" xref="A5.Ex109.m1.8.8.1.9.3.3">𝑗</ci></apply></apply><apply id="A5.Ex109.m1.8.8.1.10.cmml" xref="A5.Ex109.m1.8.8.1.10"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.Ex109.m1.8.8.1.10.1.cmml" 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id="A5.Ex109.m1.1.1a.2.cmml" xref="A5.Ex109.m1.1.1a.3"><csymbol cd="latexml" id="A5.Ex109.m1.1.1a.2.1.cmml" xref="A5.Ex109.m1.1.1a.3.1">ket</csymbol><list id="A5.Ex109.m1.1.1.1.1.4.cmml" xref="A5.Ex109.m1.1.1.1.1.3"><ci id="A5.Ex109.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A5.Ex109.m1.1.1.1.1.1">𝐼</ci><apply id="A5.Ex109.m1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A5.Ex109.m1.1.1.1.1.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.Ex109.m1.1.1.1.1.2.1.1.cmml" xref="A5.Ex109.m1.1.1.1.1.2.1">subscript</csymbol><ci id="A5.Ex109.m1.1.1.1.1.2.1.2.cmml" xref="A5.Ex109.m1.1.1.1.1.2.1.2">𝜎</ci><ci id="A5.Ex109.m1.1.1.1.1.2.1.3.cmml" xref="A5.Ex109.m1.1.1.1.1.2.1.3">𝑎</ci></apply><apply id="A5.Ex109.m1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A5.Ex109.m1.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.Ex109.m1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="A5.Ex109.m1.1.1.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="A5.Ex109.m1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="A5.Ex109.m1.1.1.1.1.3.2.2">𝜎</ci><ci id="A5.Ex109.m1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="A5.Ex109.m1.1.1.1.1.3.2.3">𝑎</ci></apply></list></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A5.Ex109.m1.8c">\displaystyle=\mathcal{W}^{ig,o\ell}_{ab}(q^{2})\mathcal{D}_{bb}(q)\mathcal{C}% ^{gh,no}_{bc}(q)\frac{1}{C_{a}}L_{\nu_{L}}^{hj}R_{\nu_{R}}^{kn}\ket{I,\sigma_{% a},\sigma_{a}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A5.Ex109.m1.8d">= caligraphic_W start_POSTSUPERSCRIPT italic_i italic_g , italic_o roman_ℓ end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_a italic_b end_POSTSUBSCRIPT ( italic_q start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ) caligraphic_D start_POSTSUBSCRIPT italic_b italic_b end_POSTSUBSCRIPT ( italic_q ) caligraphic_C start_POSTSUPERSCRIPT italic_g italic_h , italic_n italic_o end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_b italic_c end_POSTSUBSCRIPT ( italic_q ) divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_C start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT end_ARG italic_L start_POSTSUBSCRIPT 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(\pi\sigma_{a}\pi^{-1}\sigma_{b}^{-1},Q)T(\pi)_{\nu_{L},\nu_{R}}^{ig,o\ell}" class="ltx_Math" display="block" id="A5.E276.m1.10"><semantics id="A5.E276.m1.10a"><mrow id="A5.E276.m1.10.10" xref="A5.E276.m1.10.10.cmml"><mrow id="A5.E276.m1.10.10.3" xref="A5.E276.m1.10.10.3.cmml"><msubsup id="A5.E276.m1.10.10.3.2" xref="A5.E276.m1.10.10.3.2.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="A5.E276.m1.10.10.3.2.2.2" xref="A5.E276.m1.10.10.3.2.2.2.cmml">𝒲</mi><mrow id="A5.E276.m1.10.10.3.2.3" xref="A5.E276.m1.10.10.3.2.3.cmml"><mi id="A5.E276.m1.10.10.3.2.3.2" xref="A5.E276.m1.10.10.3.2.3.2.cmml">a</mi><mo id="A5.E276.m1.10.10.3.2.3.1" xref="A5.E276.m1.10.10.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A5.E276.m1.10.10.3.2.3.3" xref="A5.E276.m1.10.10.3.2.3.3.cmml">b</mi></mrow><mrow id="A5.E276.m1.2.2.2.2" xref="A5.E276.m1.2.2.2.3.cmml"><mrow id="A5.E276.m1.1.1.1.1.1" xref="A5.E276.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A5.E276.m1.1.1.1.1.1.2" xref="A5.E276.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">i</mi><mo id="A5.E276.m1.1.1.1.1.1.1" 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xref="A5.E276.m1.10.10.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A5.E276.m1.10.10.1.1.1.1.1" xref="A5.E276.m1.10.10.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="A5.E276.m1.10.10.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A5.E276.m1.10.10.1.1.1.1.2.cmml">(</mo><mrow id="A5.E276.m1.10.10.1.1.1.1.1.1" xref="A5.E276.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A5.E276.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.2" xref="A5.E276.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.2.cmml">π</mi><mo id="A5.E276.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1" xref="A5.E276.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="A5.E276.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.3" xref="A5.E276.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A5.E276.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A5.E276.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">σ</mi><mi id="A5.E276.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A5.E276.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">a</mi></msub><mo id="A5.E276.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1a" xref="A5.E276.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msup id="A5.E276.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.4" xref="A5.E276.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="A5.E276.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.4.2" 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id="A5.E276.m1.4.4.2.2" xref="A5.E276.m1.4.4.2.3.cmml"><msub id="A5.E276.m1.3.3.1.1.1" xref="A5.E276.m1.3.3.1.1.1.cmml"><mi id="A5.E276.m1.3.3.1.1.1.2" xref="A5.E276.m1.3.3.1.1.1.2.cmml">ν</mi><mi id="A5.E276.m1.3.3.1.1.1.3" xref="A5.E276.m1.3.3.1.1.1.3.cmml">L</mi></msub><mo id="A5.E276.m1.4.4.2.2.3" xref="A5.E276.m1.4.4.2.3.cmml">,</mo><msub id="A5.E276.m1.4.4.2.2.2" xref="A5.E276.m1.4.4.2.2.2.cmml"><mi id="A5.E276.m1.4.4.2.2.2.2" xref="A5.E276.m1.4.4.2.2.2.2.cmml">ν</mi><mi id="A5.E276.m1.4.4.2.2.2.3" xref="A5.E276.m1.4.4.2.2.2.3.cmml">R</mi></msub></mrow><mrow id="A5.E276.m1.6.6.2.2" xref="A5.E276.m1.6.6.2.3.cmml"><mrow id="A5.E276.m1.5.5.1.1.1" xref="A5.E276.m1.5.5.1.1.1.cmml"><mi id="A5.E276.m1.5.5.1.1.1.2" xref="A5.E276.m1.5.5.1.1.1.2.cmml">i</mi><mo id="A5.E276.m1.5.5.1.1.1.1" xref="A5.E276.m1.5.5.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="A5.E276.m1.5.5.1.1.1.3" xref="A5.E276.m1.5.5.1.1.1.3.cmml">g</mi></mrow><mo id="A5.E276.m1.6.6.2.2.3" xref="A5.E276.m1.6.6.2.3.cmml">,</mo><mrow id="A5.E276.m1.6.6.2.2.2" xref="A5.E276.m1.6.6.2.2.2.cmml"><mi id="A5.E276.m1.6.6.2.2.2.2" xref="A5.E276.m1.6.6.2.2.2.2.cmml">o</mi><mo id="A5.E276.m1.6.6.2.2.2.1" xref="A5.E276.m1.6.6.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="A5.E276.m1.6.6.2.2.2.3" mathvariant="normal" xref="A5.E276.m1.6.6.2.2.2.3.cmml">ℓ</mi></mrow></mrow></msubsup></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A5.E276.m1.10b"><apply id="A5.E276.m1.10.10.cmml" xref="A5.E276.m1.10.10"><eq id="A5.E276.m1.10.10.2.cmml" xref="A5.E276.m1.10.10.2"></eq><apply id="A5.E276.m1.10.10.3.cmml" xref="A5.E276.m1.10.10.3"><times id="A5.E276.m1.10.10.3.1.cmml" xref="A5.E276.m1.10.10.3.1"></times><apply id="A5.E276.m1.10.10.3.2.cmml" xref="A5.E276.m1.10.10.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.E276.m1.10.10.3.2.1.cmml" xref="A5.E276.m1.10.10.3.2">subscript</csymbol><apply id="A5.E276.m1.10.10.3.2.2.cmml" xref="A5.E276.m1.10.10.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.E276.m1.10.10.3.2.2.1.cmml" xref="A5.E276.m1.10.10.3.2">superscript</csymbol><ci id="A5.E276.m1.10.10.3.2.2.2.cmml" xref="A5.E276.m1.10.10.3.2.2.2">𝒲</ci><list id="A5.E276.m1.2.2.2.3.cmml" xref="A5.E276.m1.2.2.2.2"><apply id="A5.E276.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A5.E276.m1.1.1.1.1.1"><times id="A5.E276.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A5.E276.m1.1.1.1.1.1.1"></times><ci id="A5.E276.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A5.E276.m1.1.1.1.1.1.2">𝑖</ci><ci id="A5.E276.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A5.E276.m1.1.1.1.1.1.3">𝑔</ci></apply><apply id="A5.E276.m1.2.2.2.2.2.cmml" xref="A5.E276.m1.2.2.2.2.2"><times id="A5.E276.m1.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="A5.E276.m1.2.2.2.2.2.1"></times><ci id="A5.E276.m1.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="A5.E276.m1.2.2.2.2.2.2">𝑜</ci><ci id="A5.E276.m1.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="A5.E276.m1.2.2.2.2.2.3">ℓ</ci></apply></list></apply><apply id="A5.E276.m1.10.10.3.2.3.cmml" xref="A5.E276.m1.10.10.3.2.3"><times id="A5.E276.m1.10.10.3.2.3.1.cmml" xref="A5.E276.m1.10.10.3.2.3.1"></times><ci id="A5.E276.m1.10.10.3.2.3.2.cmml" xref="A5.E276.m1.10.10.3.2.3.2">𝑎</ci><ci id="A5.E276.m1.10.10.3.2.3.3.cmml" xref="A5.E276.m1.10.10.3.2.3.3">𝑏</ci></apply></apply><ci id="A5.E276.m1.7.7.cmml" xref="A5.E276.m1.7.7">𝑄</ci></apply><apply id="A5.E276.m1.10.10.1.cmml" xref="A5.E276.m1.10.10.1"><times id="A5.E276.m1.10.10.1.2.cmml" xref="A5.E276.m1.10.10.1.2"></times><apply id="A5.E276.m1.10.10.1.3.cmml" xref="A5.E276.m1.10.10.1.3"><divide id="A5.E276.m1.10.10.1.3.1.cmml" xref="A5.E276.m1.10.10.1.3"></divide><cn id="A5.E276.m1.10.10.1.3.2.cmml" type="integer" xref="A5.E276.m1.10.10.1.3.2">1</cn><apply id="A5.E276.m1.10.10.1.3.3.cmml" xref="A5.E276.m1.10.10.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.E276.m1.10.10.1.3.3.1.cmml" xref="A5.E276.m1.10.10.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="A5.E276.m1.10.10.1.3.3.2.cmml" xref="A5.E276.m1.10.10.1.3.3.2">𝐶</ci><ci id="A5.E276.m1.10.10.1.3.3.3.cmml" xref="A5.E276.m1.10.10.1.3.3.3">𝑏</ci></apply></apply><apply id="A5.E276.m1.10.10.1.1.cmml" xref="A5.E276.m1.10.10.1.1"><apply id="A5.E276.m1.10.10.1.1.2.cmml" xref="A5.E276.m1.10.10.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.E276.m1.10.10.1.1.2.1.cmml" xref="A5.E276.m1.10.10.1.1.2">subscript</csymbol><sum id="A5.E276.m1.10.10.1.1.2.2.cmml" xref="A5.E276.m1.10.10.1.1.2.2"></sum><ci id="A5.E276.m1.10.10.1.1.2.3.cmml" xref="A5.E276.m1.10.10.1.1.2.3">𝜋</ci></apply><apply id="A5.E276.m1.10.10.1.1.1.cmml" xref="A5.E276.m1.10.10.1.1.1"><times id="A5.E276.m1.10.10.1.1.1.2.cmml" xref="A5.E276.m1.10.10.1.1.1.2"></times><ci id="A5.E276.m1.10.10.1.1.1.3a.cmml" xref="A5.E276.m1.10.10.1.1.1.3"><mtext id="A5.E276.m1.10.10.1.1.1.3.cmml" xref="A5.E276.m1.10.10.1.1.1.3">Wg</mtext></ci><interval closure="open" id="A5.E276.m1.10.10.1.1.1.1.2.cmml" xref="A5.E276.m1.10.10.1.1.1.1.1"><apply id="A5.E276.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A5.E276.m1.10.10.1.1.1.1.1.1"><times id="A5.E276.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A5.E276.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1"></times><ci id="A5.E276.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A5.E276.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.2">𝜋</ci><apply id="A5.E276.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A5.E276.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.E276.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A5.E276.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A5.E276.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A5.E276.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.3.2">𝜎</ci><ci id="A5.E276.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A5.E276.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑎</ci></apply><apply id="A5.E276.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="A5.E276.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.E276.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="A5.E276.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.4">superscript</csymbol><ci id="A5.E276.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="A5.E276.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.4.2">𝜋</ci><apply id="A5.E276.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml" xref="A5.E276.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.4.3"><minus id="A5.E276.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.4.3.1.cmml" xref="A5.E276.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.4.3"></minus><cn id="A5.E276.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.4.3.2.cmml" type="integer" xref="A5.E276.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.4.3.2">1</cn></apply></apply><apply id="A5.E276.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.5.cmml" xref="A5.E276.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.5"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.E276.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.5.1.cmml" xref="A5.E276.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.5">superscript</csymbol><apply id="A5.E276.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.5.2.cmml" xref="A5.E276.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.5"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.E276.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.5.2.1.cmml" xref="A5.E276.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.5">subscript</csymbol><ci id="A5.E276.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.5.2.2.cmml" xref="A5.E276.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.5.2.2">𝜎</ci><ci id="A5.E276.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.5.2.3.cmml" xref="A5.E276.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.5.2.3">𝑏</ci></apply><apply id="A5.E276.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.5.3.cmml" xref="A5.E276.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.5.3"><minus id="A5.E276.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.5.3.1.cmml" xref="A5.E276.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.5.3"></minus><cn id="A5.E276.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.5.3.2.cmml" type="integer" xref="A5.E276.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.5.3.2">1</cn></apply></apply></apply><ci id="A5.E276.m1.8.8.cmml" xref="A5.E276.m1.8.8">𝑄</ci></interval><ci id="A5.E276.m1.10.10.1.1.1.4.cmml" xref="A5.E276.m1.10.10.1.1.1.4">𝑇</ci><apply id="A5.E276.m1.10.10.1.1.1.5.cmml" xref="A5.E276.m1.10.10.1.1.1.5"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.E276.m1.10.10.1.1.1.5.1.cmml" xref="A5.E276.m1.10.10.1.1.1.5">superscript</csymbol><apply id="A5.E276.m1.10.10.1.1.1.5.2.cmml" xref="A5.E276.m1.10.10.1.1.1.5"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.E276.m1.10.10.1.1.1.5.2.1.cmml" xref="A5.E276.m1.10.10.1.1.1.5">subscript</csymbol><ci id="A5.E276.m1.9.9.cmml" xref="A5.E276.m1.9.9">𝜋</ci><list id="A5.E276.m1.4.4.2.3.cmml" xref="A5.E276.m1.4.4.2.2"><apply id="A5.E276.m1.3.3.1.1.1.cmml" xref="A5.E276.m1.3.3.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.E276.m1.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="A5.E276.m1.3.3.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="A5.E276.m1.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="A5.E276.m1.3.3.1.1.1.2">𝜈</ci><ci id="A5.E276.m1.3.3.1.1.1.3.cmml" xref="A5.E276.m1.3.3.1.1.1.3">𝐿</ci></apply><apply id="A5.E276.m1.4.4.2.2.2.cmml" xref="A5.E276.m1.4.4.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.E276.m1.4.4.2.2.2.1.cmml" xref="A5.E276.m1.4.4.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="A5.E276.m1.4.4.2.2.2.2.cmml" xref="A5.E276.m1.4.4.2.2.2.2">𝜈</ci><ci id="A5.E276.m1.4.4.2.2.2.3.cmml" xref="A5.E276.m1.4.4.2.2.2.3">𝑅</ci></apply></list></apply><list id="A5.E276.m1.6.6.2.3.cmml" xref="A5.E276.m1.6.6.2.2"><apply id="A5.E276.m1.5.5.1.1.1.cmml" xref="A5.E276.m1.5.5.1.1.1"><times id="A5.E276.m1.5.5.1.1.1.1.cmml" xref="A5.E276.m1.5.5.1.1.1.1"></times><ci id="A5.E276.m1.5.5.1.1.1.2.cmml" xref="A5.E276.m1.5.5.1.1.1.2">𝑖</ci><ci id="A5.E276.m1.5.5.1.1.1.3.cmml" xref="A5.E276.m1.5.5.1.1.1.3">𝑔</ci></apply><apply id="A5.E276.m1.6.6.2.2.2.cmml" xref="A5.E276.m1.6.6.2.2.2"><times id="A5.E276.m1.6.6.2.2.2.1.cmml" xref="A5.E276.m1.6.6.2.2.2.1"></times><ci id="A5.E276.m1.6.6.2.2.2.2.cmml" xref="A5.E276.m1.6.6.2.2.2.2">𝑜</ci><ci id="A5.E276.m1.6.6.2.2.2.3.cmml" xref="A5.E276.m1.6.6.2.2.2.3">ℓ</ci></apply></list></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A5.E276.m1.10c">\displaystyle\mathcal{W}^{ig,o\ell}_{ab}(Q)=\frac{1}{C_{b}}\sum_{\pi}\text{Wg}% (\pi\sigma_{a}\pi^{-1}\sigma_{b}^{-1},Q)T(\pi)_{\nu_{L},\nu_{R}}^{ig,o\ell}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A5.E276.m1.10d">caligraphic_W start_POSTSUPERSCRIPT italic_i italic_g , italic_o roman_ℓ end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_a italic_b end_POSTSUBSCRIPT ( italic_Q ) = divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_C start_POSTSUBSCRIPT italic_b end_POSTSUBSCRIPT end_ARG ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_π end_POSTSUBSCRIPT Wg ( italic_π italic_σ start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT italic_π start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT italic_σ start_POSTSUBSCRIPT italic_b end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT , italic_Q ) italic_T ( italic_π ) start_POSTSUBSCRIPT italic_ν start_POSTSUBSCRIPT italic_L end_POSTSUBSCRIPT , italic_ν start_POSTSUBSCRIPT italic_R end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_i italic_g , italic_o roman_ℓ end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(276)</span></td> </tr></tbody> <tbody id="A5.E277"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\displaystyle\mathcal{D}_{ab}(Q)=Q^{-|\sigma_{a}|}\delta_{ab}" class="ltx_Math" display="block" id="A5.E277.m1.2"><semantics id="A5.E277.m1.2a"><mrow id="A5.E277.m1.2.3" xref="A5.E277.m1.2.3.cmml"><mrow id="A5.E277.m1.2.3.2" xref="A5.E277.m1.2.3.2.cmml"><msub id="A5.E277.m1.2.3.2.2" xref="A5.E277.m1.2.3.2.2.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="A5.E277.m1.2.3.2.2.2" xref="A5.E277.m1.2.3.2.2.2.cmml">𝒟</mi><mrow id="A5.E277.m1.2.3.2.2.3" xref="A5.E277.m1.2.3.2.2.3.cmml"><mi id="A5.E277.m1.2.3.2.2.3.2" xref="A5.E277.m1.2.3.2.2.3.2.cmml">a</mi><mo id="A5.E277.m1.2.3.2.2.3.1" xref="A5.E277.m1.2.3.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A5.E277.m1.2.3.2.2.3.3" xref="A5.E277.m1.2.3.2.2.3.3.cmml">b</mi></mrow></msub><mo id="A5.E277.m1.2.3.2.1" xref="A5.E277.m1.2.3.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A5.E277.m1.2.3.2.3.2" xref="A5.E277.m1.2.3.2.cmml"><mo id="A5.E277.m1.2.3.2.3.2.1" stretchy="false" xref="A5.E277.m1.2.3.2.cmml">(</mo><mi id="A5.E277.m1.2.2" xref="A5.E277.m1.2.2.cmml">Q</mi><mo id="A5.E277.m1.2.3.2.3.2.2" stretchy="false" xref="A5.E277.m1.2.3.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A5.E277.m1.2.3.1" xref="A5.E277.m1.2.3.1.cmml">=</mo><mrow id="A5.E277.m1.2.3.3" xref="A5.E277.m1.2.3.3.cmml"><msup id="A5.E277.m1.2.3.3.2" xref="A5.E277.m1.2.3.3.2.cmml"><mi id="A5.E277.m1.2.3.3.2.2" 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xref="A5.E277.m1.2.3.2.2.3.3">𝑏</ci></apply></apply><ci id="A5.E277.m1.2.2.cmml" xref="A5.E277.m1.2.2">𝑄</ci></apply><apply id="A5.E277.m1.2.3.3.cmml" xref="A5.E277.m1.2.3.3"><times id="A5.E277.m1.2.3.3.1.cmml" xref="A5.E277.m1.2.3.3.1"></times><apply id="A5.E277.m1.2.3.3.2.cmml" xref="A5.E277.m1.2.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.E277.m1.2.3.3.2.1.cmml" xref="A5.E277.m1.2.3.3.2">superscript</csymbol><ci id="A5.E277.m1.2.3.3.2.2.cmml" xref="A5.E277.m1.2.3.3.2.2">𝑄</ci><apply id="A5.E277.m1.1.1.1.cmml" xref="A5.E277.m1.1.1.1"><minus id="A5.E277.m1.1.1.1.2.cmml" xref="A5.E277.m1.1.1.1"></minus><apply id="A5.E277.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A5.E277.m1.1.1.1.1.1"><abs id="A5.E277.m1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A5.E277.m1.1.1.1.1.1.2"></abs><apply id="A5.E277.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A5.E277.m1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.E277.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A5.E277.m1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="A5.E277.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" 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italic_Q start_POSTSUPERSCRIPT - | italic_σ start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT | end_POSTSUPERSCRIPT italic_δ start_POSTSUBSCRIPT italic_a italic_b end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(277)</span></td> </tr></tbody> <tbody id="A5.E278"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\displaystyle\mathcal{C}^{gh,no}_{bc}(Q)=\frac{1}{C_{c}}\sum_{\tau}Q^{-|\tau% \sigma_{b}\tau^{-1}\sigma_{c}^{-1}|}T(\tau)_{\nu_{L},\nu_{R}}^{gh,no}" class="ltx_Math" display="block" id="A5.E278.m1.9"><semantics id="A5.E278.m1.9a"><mrow id="A5.E278.m1.9.10" xref="A5.E278.m1.9.10.cmml"><mrow id="A5.E278.m1.9.10.2" xref="A5.E278.m1.9.10.2.cmml"><msubsup id="A5.E278.m1.9.10.2.2" xref="A5.E278.m1.9.10.2.2.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="A5.E278.m1.9.10.2.2.2.2" xref="A5.E278.m1.9.10.2.2.2.2.cmml">𝒞</mi><mrow id="A5.E278.m1.9.10.2.2.3" xref="A5.E278.m1.9.10.2.2.3.cmml"><mi id="A5.E278.m1.9.10.2.2.3.2" xref="A5.E278.m1.9.10.2.2.3.2.cmml">b</mi><mo id="A5.E278.m1.9.10.2.2.3.1" xref="A5.E278.m1.9.10.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A5.E278.m1.9.10.2.2.3.3" xref="A5.E278.m1.9.10.2.2.3.3.cmml">c</mi></mrow><mrow id="A5.E278.m1.2.2.2.2" xref="A5.E278.m1.2.2.2.3.cmml"><mrow id="A5.E278.m1.1.1.1.1.1" xref="A5.E278.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A5.E278.m1.1.1.1.1.1.2" xref="A5.E278.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">g</mi><mo id="A5.E278.m1.1.1.1.1.1.1" xref="A5.E278.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="A5.E278.m1.1.1.1.1.1.3" xref="A5.E278.m1.1.1.1.1.1.3.cmml">h</mi></mrow><mo id="A5.E278.m1.2.2.2.2.3" xref="A5.E278.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mrow id="A5.E278.m1.2.2.2.2.2" xref="A5.E278.m1.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="A5.E278.m1.2.2.2.2.2.2" xref="A5.E278.m1.2.2.2.2.2.2.cmml">n</mi><mo id="A5.E278.m1.2.2.2.2.2.1" xref="A5.E278.m1.2.2.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="A5.E278.m1.2.2.2.2.2.3" xref="A5.E278.m1.2.2.2.2.2.3.cmml">o</mi></mrow></mrow></msubsup><mo id="A5.E278.m1.9.10.2.1" xref="A5.E278.m1.9.10.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A5.E278.m1.9.10.2.3.2" xref="A5.E278.m1.9.10.2.cmml"><mo id="A5.E278.m1.9.10.2.3.2.1" stretchy="false" xref="A5.E278.m1.9.10.2.cmml">(</mo><mi id="A5.E278.m1.8.8" xref="A5.E278.m1.8.8.cmml">Q</mi><mo id="A5.E278.m1.9.10.2.3.2.2" stretchy="false" xref="A5.E278.m1.9.10.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A5.E278.m1.9.10.1" xref="A5.E278.m1.9.10.1.cmml">=</mo><mrow id="A5.E278.m1.9.10.3" xref="A5.E278.m1.9.10.3.cmml"><mfrac id="A5.E278.m1.9.10.3.2" xref="A5.E278.m1.9.10.3.2.cmml"><mn id="A5.E278.m1.9.10.3.2.2" xref="A5.E278.m1.9.10.3.2.2.cmml">1</mn><msub id="A5.E278.m1.9.10.3.2.3" xref="A5.E278.m1.9.10.3.2.3.cmml"><mi id="A5.E278.m1.9.10.3.2.3.2" xref="A5.E278.m1.9.10.3.2.3.2.cmml">C</mi><mi id="A5.E278.m1.9.10.3.2.3.3" xref="A5.E278.m1.9.10.3.2.3.3.cmml">c</mi></msub></mfrac><mo id="A5.E278.m1.9.10.3.1" xref="A5.E278.m1.9.10.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A5.E278.m1.9.10.3.3" xref="A5.E278.m1.9.10.3.3.cmml"><munder id="A5.E278.m1.9.10.3.3.1" xref="A5.E278.m1.9.10.3.3.1.cmml"><mo id="A5.E278.m1.9.10.3.3.1.2" movablelimits="false" xref="A5.E278.m1.9.10.3.3.1.2.cmml">∑</mo><mi id="A5.E278.m1.9.10.3.3.1.3" xref="A5.E278.m1.9.10.3.3.1.3.cmml">τ</mi></munder><mrow id="A5.E278.m1.9.10.3.3.2" xref="A5.E278.m1.9.10.3.3.2.cmml"><msup id="A5.E278.m1.9.10.3.3.2.2" xref="A5.E278.m1.9.10.3.3.2.2.cmml"><mi id="A5.E278.m1.9.10.3.3.2.2.2" xref="A5.E278.m1.9.10.3.3.2.2.2.cmml">Q</mi><mrow id="A5.E278.m1.3.3.1" xref="A5.E278.m1.3.3.1.cmml"><mo id="A5.E278.m1.3.3.1a" xref="A5.E278.m1.3.3.1.cmml">−</mo><mrow id="A5.E278.m1.3.3.1.1.1" xref="A5.E278.m1.3.3.1.1.2.cmml"><mo id="A5.E278.m1.3.3.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A5.E278.m1.3.3.1.1.2.1.cmml">|</mo><mrow id="A5.E278.m1.3.3.1.1.1.1" xref="A5.E278.m1.3.3.1.1.1.1.cmml"><mi id="A5.E278.m1.3.3.1.1.1.1.2" xref="A5.E278.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml">τ</mi><mo id="A5.E278.m1.3.3.1.1.1.1.1" xref="A5.E278.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="A5.E278.m1.3.3.1.1.1.1.3" xref="A5.E278.m1.3.3.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A5.E278.m1.3.3.1.1.1.1.3.2" xref="A5.E278.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.cmml">σ</mi><mi id="A5.E278.m1.3.3.1.1.1.1.3.3" xref="A5.E278.m1.3.3.1.1.1.1.3.3.cmml">b</mi></msub><mo id="A5.E278.m1.3.3.1.1.1.1.1a" xref="A5.E278.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msup id="A5.E278.m1.3.3.1.1.1.1.4" xref="A5.E278.m1.3.3.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="A5.E278.m1.3.3.1.1.1.1.4.2" xref="A5.E278.m1.3.3.1.1.1.1.4.2.cmml">τ</mi><mrow id="A5.E278.m1.3.3.1.1.1.1.4.3" xref="A5.E278.m1.3.3.1.1.1.1.4.3.cmml"><mo id="A5.E278.m1.3.3.1.1.1.1.4.3a" xref="A5.E278.m1.3.3.1.1.1.1.4.3.cmml">−</mo><mn id="A5.E278.m1.3.3.1.1.1.1.4.3.2" xref="A5.E278.m1.3.3.1.1.1.1.4.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="A5.E278.m1.3.3.1.1.1.1.1b" 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italic_σ start_POSTSUBSCRIPT italic_b end_POSTSUBSCRIPT italic_τ start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT italic_σ start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT | end_POSTSUPERSCRIPT italic_T ( italic_τ ) start_POSTSUBSCRIPT italic_ν start_POSTSUBSCRIPT italic_L end_POSTSUBSCRIPT , italic_ν start_POSTSUBSCRIPT italic_R end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_g italic_h , italic_n italic_o end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(278)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="A5.p3.3">Applying <math alttext="\Pi_{m}" class="ltx_Math" display="inline" id="A5.p3.3.m1.1"><semantics id="A5.p3.3.m1.1a"><msub id="A5.p3.3.m1.1.1" xref="A5.p3.3.m1.1.1.cmml"><mi id="A5.p3.3.m1.1.1.2" mathvariant="normal" xref="A5.p3.3.m1.1.1.2.cmml">Π</mi><mi id="A5.p3.3.m1.1.1.3" xref="A5.p3.3.m1.1.1.3.cmml">m</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A5.p3.3.m1.1b"><apply id="A5.p3.3.m1.1.1.cmml" xref="A5.p3.3.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.p3.3.m1.1.1.1.cmml" xref="A5.p3.3.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="A5.p3.3.m1.1.1.2.cmml" xref="A5.p3.3.m1.1.1.2">Π</ci><ci id="A5.p3.3.m1.1.1.3.cmml" xref="A5.p3.3.m1.1.1.3">𝑚</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A5.p3.3.m1.1c">\Pi_{m}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A5.p3.3.m1.1d">roman_Π start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> afterwards gives</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="S6.EGx239"> <tbody id="A5.Ex110"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\Pi_{m}G_{m}\ket{e_{\nu_{L},\nu_{R}}^{ij,k\ell,c}}" class="ltx_Math" display="inline" id="A5.Ex110.m1.1"><semantics id="A5.Ex110.m1.1a"><mrow id="A5.Ex110.m1.1.2" xref="A5.Ex110.m1.1.2.cmml"><msub id="A5.Ex110.m1.1.2.2" xref="A5.Ex110.m1.1.2.2.cmml"><mi id="A5.Ex110.m1.1.2.2.2" mathvariant="normal" xref="A5.Ex110.m1.1.2.2.2.cmml">Π</mi><mi id="A5.Ex110.m1.1.2.2.3" xref="A5.Ex110.m1.1.2.2.3.cmml">m</mi></msub><mo id="A5.Ex110.m1.1.2.1" xref="A5.Ex110.m1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="A5.Ex110.m1.1.2.3" xref="A5.Ex110.m1.1.2.3.cmml"><mi id="A5.Ex110.m1.1.2.3.2" xref="A5.Ex110.m1.1.2.3.2.cmml">G</mi><mi id="A5.Ex110.m1.1.2.3.3" xref="A5.Ex110.m1.1.2.3.3.cmml">m</mi></msub><mo id="A5.Ex110.m1.1.2.1a" xref="A5.Ex110.m1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A5.Ex110.m1.1.1a.3" xref="A5.Ex110.m1.1.1a.2.cmml"><mo id="A5.Ex110.m1.1.1a.3.1" stretchy="false" xref="A5.Ex110.m1.1.1a.2.1.cmml">|</mo><msubsup id="A5.Ex110.m1.1.1.1.1" xref="A5.Ex110.m1.1.1.1.1.cmml"><mi 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id="A5.Ex110.m1.1.1.1.1.4.2.2.1.1" xref="A5.Ex110.m1.1.1.1.1.4.2.2.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="A5.Ex110.m1.1.1.1.1.4.2.2.1.3" xref="A5.Ex110.m1.1.1.1.1.4.2.2.1.3.cmml">j</mi></mrow><mo id="A5.Ex110.m1.1.1.1.1.5.3.3.3" xref="A5.Ex110.m1.1.1.1.1.5.3.4.cmml">,</mo><mrow id="A5.Ex110.m1.1.1.1.1.5.3.3.2" xref="A5.Ex110.m1.1.1.1.1.5.3.3.2.cmml"><mi id="A5.Ex110.m1.1.1.1.1.5.3.3.2.2" xref="A5.Ex110.m1.1.1.1.1.5.3.3.2.2.cmml">k</mi><mo id="A5.Ex110.m1.1.1.1.1.5.3.3.2.1" xref="A5.Ex110.m1.1.1.1.1.5.3.3.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="A5.Ex110.m1.1.1.1.1.5.3.3.2.3" mathvariant="normal" xref="A5.Ex110.m1.1.1.1.1.5.3.3.2.3.cmml">ℓ</mi></mrow><mo id="A5.Ex110.m1.1.1.1.1.5.3.3.4" xref="A5.Ex110.m1.1.1.1.1.5.3.4.cmml">,</mo><mi id="A5.Ex110.m1.1.1.1.1.3.1.1" xref="A5.Ex110.m1.1.1.1.1.3.1.1.cmml">c</mi></mrow></msubsup><mo id="A5.Ex110.m1.1.1a.3.2" stretchy="false" xref="A5.Ex110.m1.1.1a.2.1.cmml">⟩</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A5.Ex110.m1.1b"><apply id="A5.Ex110.m1.1.2.cmml" xref="A5.Ex110.m1.1.2"><times id="A5.Ex110.m1.1.2.1.cmml" xref="A5.Ex110.m1.1.2.1"></times><apply id="A5.Ex110.m1.1.2.2.cmml" xref="A5.Ex110.m1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.Ex110.m1.1.2.2.1.cmml" xref="A5.Ex110.m1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="A5.Ex110.m1.1.2.2.2.cmml" xref="A5.Ex110.m1.1.2.2.2">Π</ci><ci id="A5.Ex110.m1.1.2.2.3.cmml" xref="A5.Ex110.m1.1.2.2.3">𝑚</ci></apply><apply id="A5.Ex110.m1.1.2.3.cmml" xref="A5.Ex110.m1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.Ex110.m1.1.2.3.1.cmml" xref="A5.Ex110.m1.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="A5.Ex110.m1.1.2.3.2.cmml" xref="A5.Ex110.m1.1.2.3.2">𝐺</ci><ci id="A5.Ex110.m1.1.2.3.3.cmml" xref="A5.Ex110.m1.1.2.3.3">𝑚</ci></apply><apply id="A5.Ex110.m1.1.1a.2.cmml" xref="A5.Ex110.m1.1.1a.3"><csymbol cd="latexml" id="A5.Ex110.m1.1.1a.2.1.cmml" xref="A5.Ex110.m1.1.1a.3.1">ket</csymbol><apply id="A5.Ex110.m1.1.1.1.1.cmml" xref="A5.Ex110.m1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.Ex110.m1.1.1.1.1.6.cmml" xref="A5.Ex110.m1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="A5.Ex110.m1.1.1.1.1.7.cmml" xref="A5.Ex110.m1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.Ex110.m1.1.1.1.1.7.1.cmml" xref="A5.Ex110.m1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="A5.Ex110.m1.1.1.1.1.7.2.cmml" xref="A5.Ex110.m1.1.1.1.1.7.2">𝑒</ci><list id="A5.Ex110.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="A5.Ex110.m1.1.1.1.1.2.2.2"><apply id="A5.Ex110.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A5.Ex110.m1.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.Ex110.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A5.Ex110.m1.1.1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="A5.Ex110.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A5.Ex110.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝜈</ci><ci id="A5.Ex110.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A5.Ex110.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝐿</ci></apply><apply id="A5.Ex110.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="A5.Ex110.m1.1.1.1.1.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.Ex110.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.cmml" xref="A5.Ex110.m1.1.1.1.1.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="A5.Ex110.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml" xref="A5.Ex110.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2">𝜈</ci><ci id="A5.Ex110.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.cmml" xref="A5.Ex110.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3">𝑅</ci></apply></list></apply><list id="A5.Ex110.m1.1.1.1.1.5.3.4.cmml" xref="A5.Ex110.m1.1.1.1.1.5.3.3"><apply id="A5.Ex110.m1.1.1.1.1.4.2.2.1.cmml" xref="A5.Ex110.m1.1.1.1.1.4.2.2.1"><times id="A5.Ex110.m1.1.1.1.1.4.2.2.1.1.cmml" xref="A5.Ex110.m1.1.1.1.1.4.2.2.1.1"></times><ci id="A5.Ex110.m1.1.1.1.1.4.2.2.1.2.cmml" xref="A5.Ex110.m1.1.1.1.1.4.2.2.1.2">𝑖</ci><ci id="A5.Ex110.m1.1.1.1.1.4.2.2.1.3.cmml" xref="A5.Ex110.m1.1.1.1.1.4.2.2.1.3">𝑗</ci></apply><apply id="A5.Ex110.m1.1.1.1.1.5.3.3.2.cmml" xref="A5.Ex110.m1.1.1.1.1.5.3.3.2"><times id="A5.Ex110.m1.1.1.1.1.5.3.3.2.1.cmml" xref="A5.Ex110.m1.1.1.1.1.5.3.3.2.1"></times><ci id="A5.Ex110.m1.1.1.1.1.5.3.3.2.2.cmml" xref="A5.Ex110.m1.1.1.1.1.5.3.3.2.2">𝑘</ci><ci id="A5.Ex110.m1.1.1.1.1.5.3.3.2.3.cmml" xref="A5.Ex110.m1.1.1.1.1.5.3.3.2.3">ℓ</ci></apply><ci id="A5.Ex110.m1.1.1.1.1.3.1.1.cmml" xref="A5.Ex110.m1.1.1.1.1.3.1.1">𝑐</ci></list></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A5.Ex110.m1.1c">\displaystyle\Pi_{m}G_{m}\ket{e_{\nu_{L},\nu_{R}}^{ij,k\ell,c}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A5.Ex110.m1.1d">roman_Π start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT italic_G start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT | start_ARG italic_e start_POSTSUBSCRIPT italic_ν start_POSTSUBSCRIPT italic_L end_POSTSUBSCRIPT , italic_ν start_POSTSUBSCRIPT italic_R end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_i italic_j , italic_k roman_ℓ , italic_c end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG ⟩</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=\mathcal{W}^{ig,o\ell}_{ab}(q^{2})\mathcal{D}_{bb}(q)\mathcal{C}% ^{gh,no}_{bc}(q)\frac{1}{C_{a}}L_{\nu_{L}}^{hj}R_{\nu_{R}}^{kn}\sum_{\pi,\tau}% \text{Wg}(\pi\tau^{-1},q^{m})q^{-|\tau|-|\tau\sigma_{a}^{-1}|}\ket{\pi,\pi,% \sigma_{a}}" class="ltx_Math" display="inline" id="A5.Ex110.m2.14"><semantics id="A5.Ex110.m2.14a"><mrow id="A5.Ex110.m2.14.14" xref="A5.Ex110.m2.14.14.cmml"><mi id="A5.Ex110.m2.14.14.5" xref="A5.Ex110.m2.14.14.5.cmml"></mi><mo id="A5.Ex110.m2.14.14.4" xref="A5.Ex110.m2.14.14.4.cmml">=</mo><mrow id="A5.Ex110.m2.14.14.3" xref="A5.Ex110.m2.14.14.3.cmml"><msubsup id="A5.Ex110.m2.14.14.3.5" xref="A5.Ex110.m2.14.14.3.5.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="A5.Ex110.m2.14.14.3.5.2.2" xref="A5.Ex110.m2.14.14.3.5.2.2.cmml">𝒲</mi><mrow id="A5.Ex110.m2.14.14.3.5.3" xref="A5.Ex110.m2.14.14.3.5.3.cmml"><mi id="A5.Ex110.m2.14.14.3.5.3.2" xref="A5.Ex110.m2.14.14.3.5.3.2.cmml">a</mi><mo id="A5.Ex110.m2.14.14.3.5.3.1" xref="A5.Ex110.m2.14.14.3.5.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A5.Ex110.m2.14.14.3.5.3.3" xref="A5.Ex110.m2.14.14.3.5.3.3.cmml">b</mi></mrow><mrow id="A5.Ex110.m2.3.3.2.2" xref="A5.Ex110.m2.3.3.2.3.cmml"><mrow id="A5.Ex110.m2.2.2.1.1.1" xref="A5.Ex110.m2.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="A5.Ex110.m2.2.2.1.1.1.2" xref="A5.Ex110.m2.2.2.1.1.1.2.cmml">i</mi><mo id="A5.Ex110.m2.2.2.1.1.1.1" xref="A5.Ex110.m2.2.2.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="A5.Ex110.m2.2.2.1.1.1.3" xref="A5.Ex110.m2.2.2.1.1.1.3.cmml">g</mi></mrow><mo id="A5.Ex110.m2.3.3.2.2.3" xref="A5.Ex110.m2.3.3.2.3.cmml">,</mo><mrow id="A5.Ex110.m2.3.3.2.2.2" xref="A5.Ex110.m2.3.3.2.2.2.cmml"><mi id="A5.Ex110.m2.3.3.2.2.2.2" xref="A5.Ex110.m2.3.3.2.2.2.2.cmml">o</mi><mo id="A5.Ex110.m2.3.3.2.2.2.1" xref="A5.Ex110.m2.3.3.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="A5.Ex110.m2.3.3.2.2.2.3" mathvariant="normal" xref="A5.Ex110.m2.3.3.2.2.2.3.cmml">ℓ</mi></mrow></mrow></msubsup><mo id="A5.Ex110.m2.14.14.3.4" xref="A5.Ex110.m2.14.14.3.4.cmml">⁢</mo><mrow id="A5.Ex110.m2.12.12.1.1.1" xref="A5.Ex110.m2.12.12.1.1.1.1.cmml"><mo id="A5.Ex110.m2.12.12.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A5.Ex110.m2.12.12.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="A5.Ex110.m2.12.12.1.1.1.1" xref="A5.Ex110.m2.12.12.1.1.1.1.cmml"><mi id="A5.Ex110.m2.12.12.1.1.1.1.2" xref="A5.Ex110.m2.12.12.1.1.1.1.2.cmml">q</mi><mn id="A5.Ex110.m2.12.12.1.1.1.1.3" xref="A5.Ex110.m2.12.12.1.1.1.1.3.cmml">2</mn></msup><mo id="A5.Ex110.m2.12.12.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A5.Ex110.m2.12.12.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A5.Ex110.m2.14.14.3.4a" xref="A5.Ex110.m2.14.14.3.4.cmml">⁢</mo><msub id="A5.Ex110.m2.14.14.3.6" xref="A5.Ex110.m2.14.14.3.6.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="A5.Ex110.m2.14.14.3.6.2" xref="A5.Ex110.m2.14.14.3.6.2.cmml">𝒟</mi><mrow id="A5.Ex110.m2.14.14.3.6.3" xref="A5.Ex110.m2.14.14.3.6.3.cmml"><mi id="A5.Ex110.m2.14.14.3.6.3.2" xref="A5.Ex110.m2.14.14.3.6.3.2.cmml">b</mi><mo id="A5.Ex110.m2.14.14.3.6.3.1" xref="A5.Ex110.m2.14.14.3.6.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A5.Ex110.m2.14.14.3.6.3.3" xref="A5.Ex110.m2.14.14.3.6.3.3.cmml">b</mi></mrow></msub><mo id="A5.Ex110.m2.14.14.3.4b" xref="A5.Ex110.m2.14.14.3.4.cmml">⁢</mo><mrow id="A5.Ex110.m2.14.14.3.7.2" xref="A5.Ex110.m2.14.14.3.cmml"><mo id="A5.Ex110.m2.14.14.3.7.2.1" stretchy="false" xref="A5.Ex110.m2.14.14.3.cmml">(</mo><mi id="A5.Ex110.m2.10.10" xref="A5.Ex110.m2.10.10.cmml">q</mi><mo id="A5.Ex110.m2.14.14.3.7.2.2" stretchy="false" xref="A5.Ex110.m2.14.14.3.cmml">)</mo></mrow><mo id="A5.Ex110.m2.14.14.3.4c" xref="A5.Ex110.m2.14.14.3.4.cmml">⁢</mo><msubsup id="A5.Ex110.m2.14.14.3.8" xref="A5.Ex110.m2.14.14.3.8.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="A5.Ex110.m2.14.14.3.8.2.2" xref="A5.Ex110.m2.14.14.3.8.2.2.cmml">𝒞</mi><mrow id="A5.Ex110.m2.14.14.3.8.3" xref="A5.Ex110.m2.14.14.3.8.3.cmml"><mi id="A5.Ex110.m2.14.14.3.8.3.2" xref="A5.Ex110.m2.14.14.3.8.3.2.cmml">b</mi><mo id="A5.Ex110.m2.14.14.3.8.3.1" xref="A5.Ex110.m2.14.14.3.8.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A5.Ex110.m2.14.14.3.8.3.3" xref="A5.Ex110.m2.14.14.3.8.3.3.cmml">c</mi></mrow><mrow id="A5.Ex110.m2.5.5.2.2" xref="A5.Ex110.m2.5.5.2.3.cmml"><mrow id="A5.Ex110.m2.4.4.1.1.1" xref="A5.Ex110.m2.4.4.1.1.1.cmml"><mi id="A5.Ex110.m2.4.4.1.1.1.2" xref="A5.Ex110.m2.4.4.1.1.1.2.cmml">g</mi><mo id="A5.Ex110.m2.4.4.1.1.1.1" xref="A5.Ex110.m2.4.4.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="A5.Ex110.m2.4.4.1.1.1.3" xref="A5.Ex110.m2.4.4.1.1.1.3.cmml">h</mi></mrow><mo id="A5.Ex110.m2.5.5.2.2.3" xref="A5.Ex110.m2.5.5.2.3.cmml">,</mo><mrow id="A5.Ex110.m2.5.5.2.2.2" xref="A5.Ex110.m2.5.5.2.2.2.cmml"><mi id="A5.Ex110.m2.5.5.2.2.2.2" xref="A5.Ex110.m2.5.5.2.2.2.2.cmml">n</mi><mo id="A5.Ex110.m2.5.5.2.2.2.1" xref="A5.Ex110.m2.5.5.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="A5.Ex110.m2.5.5.2.2.2.3" xref="A5.Ex110.m2.5.5.2.2.2.3.cmml">o</mi></mrow></mrow></msubsup><mo id="A5.Ex110.m2.14.14.3.4d" xref="A5.Ex110.m2.14.14.3.4.cmml">⁢</mo><mrow id="A5.Ex110.m2.14.14.3.9.2" xref="A5.Ex110.m2.14.14.3.cmml"><mo id="A5.Ex110.m2.14.14.3.9.2.1" stretchy="false" xref="A5.Ex110.m2.14.14.3.cmml">(</mo><mi id="A5.Ex110.m2.11.11" xref="A5.Ex110.m2.11.11.cmml">q</mi><mo id="A5.Ex110.m2.14.14.3.9.2.2" stretchy="false" xref="A5.Ex110.m2.14.14.3.cmml">)</mo></mrow><mo id="A5.Ex110.m2.14.14.3.4e" xref="A5.Ex110.m2.14.14.3.4.cmml">⁢</mo><mstyle displaystyle="true" id="A5.Ex110.m2.14.14.3.10" xref="A5.Ex110.m2.14.14.3.10.cmml"><mfrac id="A5.Ex110.m2.14.14.3.10a" xref="A5.Ex110.m2.14.14.3.10.cmml"><mn id="A5.Ex110.m2.14.14.3.10.2" xref="A5.Ex110.m2.14.14.3.10.2.cmml">1</mn><msub id="A5.Ex110.m2.14.14.3.10.3" xref="A5.Ex110.m2.14.14.3.10.3.cmml"><mi id="A5.Ex110.m2.14.14.3.10.3.2" xref="A5.Ex110.m2.14.14.3.10.3.2.cmml">C</mi><mi id="A5.Ex110.m2.14.14.3.10.3.3" xref="A5.Ex110.m2.14.14.3.10.3.3.cmml">a</mi></msub></mfrac></mstyle><mo id="A5.Ex110.m2.14.14.3.4f" xref="A5.Ex110.m2.14.14.3.4.cmml">⁢</mo><msubsup id="A5.Ex110.m2.14.14.3.11" xref="A5.Ex110.m2.14.14.3.11.cmml"><mi id="A5.Ex110.m2.14.14.3.11.2.2" xref="A5.Ex110.m2.14.14.3.11.2.2.cmml">L</mi><msub id="A5.Ex110.m2.14.14.3.11.2.3" xref="A5.Ex110.m2.14.14.3.11.2.3.cmml"><mi id="A5.Ex110.m2.14.14.3.11.2.3.2" xref="A5.Ex110.m2.14.14.3.11.2.3.2.cmml">ν</mi><mi id="A5.Ex110.m2.14.14.3.11.2.3.3" xref="A5.Ex110.m2.14.14.3.11.2.3.3.cmml">L</mi></msub><mrow id="A5.Ex110.m2.14.14.3.11.3" xref="A5.Ex110.m2.14.14.3.11.3.cmml"><mi id="A5.Ex110.m2.14.14.3.11.3.2" xref="A5.Ex110.m2.14.14.3.11.3.2.cmml">h</mi><mo id="A5.Ex110.m2.14.14.3.11.3.1" xref="A5.Ex110.m2.14.14.3.11.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A5.Ex110.m2.14.14.3.11.3.3" xref="A5.Ex110.m2.14.14.3.11.3.3.cmml">j</mi></mrow></msubsup><mo id="A5.Ex110.m2.14.14.3.4g" xref="A5.Ex110.m2.14.14.3.4.cmml">⁢</mo><msubsup id="A5.Ex110.m2.14.14.3.12" xref="A5.Ex110.m2.14.14.3.12.cmml"><mi id="A5.Ex110.m2.14.14.3.12.2.2" xref="A5.Ex110.m2.14.14.3.12.2.2.cmml">R</mi><msub id="A5.Ex110.m2.14.14.3.12.2.3" xref="A5.Ex110.m2.14.14.3.12.2.3.cmml"><mi id="A5.Ex110.m2.14.14.3.12.2.3.2" xref="A5.Ex110.m2.14.14.3.12.2.3.2.cmml">ν</mi><mi id="A5.Ex110.m2.14.14.3.12.2.3.3" xref="A5.Ex110.m2.14.14.3.12.2.3.3.cmml">R</mi></msub><mrow id="A5.Ex110.m2.14.14.3.12.3" xref="A5.Ex110.m2.14.14.3.12.3.cmml"><mi id="A5.Ex110.m2.14.14.3.12.3.2" xref="A5.Ex110.m2.14.14.3.12.3.2.cmml">k</mi><mo id="A5.Ex110.m2.14.14.3.12.3.1" xref="A5.Ex110.m2.14.14.3.12.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A5.Ex110.m2.14.14.3.12.3.3" xref="A5.Ex110.m2.14.14.3.12.3.3.cmml">n</mi></mrow></msubsup><mo id="A5.Ex110.m2.14.14.3.4h" xref="A5.Ex110.m2.14.14.3.4.cmml">⁢</mo><mrow id="A5.Ex110.m2.14.14.3.3" xref="A5.Ex110.m2.14.14.3.3.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A5.Ex110.m2.14.14.3.3.3" xref="A5.Ex110.m2.14.14.3.3.3.cmml"><munder id="A5.Ex110.m2.14.14.3.3.3a" xref="A5.Ex110.m2.14.14.3.3.3.cmml"><mo id="A5.Ex110.m2.14.14.3.3.3.2" movablelimits="false" xref="A5.Ex110.m2.14.14.3.3.3.2.cmml">∑</mo><mrow id="A5.Ex110.m2.7.7.2.4" xref="A5.Ex110.m2.7.7.2.3.cmml"><mi id="A5.Ex110.m2.6.6.1.1" xref="A5.Ex110.m2.6.6.1.1.cmml">π</mi><mo id="A5.Ex110.m2.7.7.2.4.1" xref="A5.Ex110.m2.7.7.2.3.cmml">,</mo><mi id="A5.Ex110.m2.7.7.2.2" xref="A5.Ex110.m2.7.7.2.2.cmml">τ</mi></mrow></munder></mstyle><mrow id="A5.Ex110.m2.14.14.3.3.2" xref="A5.Ex110.m2.14.14.3.3.2.cmml"><mtext id="A5.Ex110.m2.14.14.3.3.2.4" xref="A5.Ex110.m2.14.14.3.3.2.4a.cmml">Wg</mtext><mo id="A5.Ex110.m2.14.14.3.3.2.3" xref="A5.Ex110.m2.14.14.3.3.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="A5.Ex110.m2.14.14.3.3.2.2.2" xref="A5.Ex110.m2.14.14.3.3.2.2.3.cmml"><mo id="A5.Ex110.m2.14.14.3.3.2.2.2.3" stretchy="false" xref="A5.Ex110.m2.14.14.3.3.2.2.3.cmml">(</mo><mrow id="A5.Ex110.m2.13.13.2.2.1.1.1.1" xref="A5.Ex110.m2.13.13.2.2.1.1.1.1.cmml"><mi id="A5.Ex110.m2.13.13.2.2.1.1.1.1.2" xref="A5.Ex110.m2.13.13.2.2.1.1.1.1.2.cmml">π</mi><mo id="A5.Ex110.m2.13.13.2.2.1.1.1.1.1" xref="A5.Ex110.m2.13.13.2.2.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msup id="A5.Ex110.m2.13.13.2.2.1.1.1.1.3" xref="A5.Ex110.m2.13.13.2.2.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A5.Ex110.m2.13.13.2.2.1.1.1.1.3.2" xref="A5.Ex110.m2.13.13.2.2.1.1.1.1.3.2.cmml">τ</mi><mrow id="A5.Ex110.m2.13.13.2.2.1.1.1.1.3.3" xref="A5.Ex110.m2.13.13.2.2.1.1.1.1.3.3.cmml"><mo id="A5.Ex110.m2.13.13.2.2.1.1.1.1.3.3a" xref="A5.Ex110.m2.13.13.2.2.1.1.1.1.3.3.cmml">−</mo><mn id="A5.Ex110.m2.13.13.2.2.1.1.1.1.3.3.2" xref="A5.Ex110.m2.13.13.2.2.1.1.1.1.3.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup></mrow><mo id="A5.Ex110.m2.14.14.3.3.2.2.2.4" xref="A5.Ex110.m2.14.14.3.3.2.2.3.cmml">,</mo><msup id="A5.Ex110.m2.14.14.3.3.2.2.2.2" xref="A5.Ex110.m2.14.14.3.3.2.2.2.2.cmml"><mi id="A5.Ex110.m2.14.14.3.3.2.2.2.2.2" xref="A5.Ex110.m2.14.14.3.3.2.2.2.2.2.cmml">q</mi><mi id="A5.Ex110.m2.14.14.3.3.2.2.2.2.3" xref="A5.Ex110.m2.14.14.3.3.2.2.2.2.3.cmml">m</mi></msup><mo id="A5.Ex110.m2.14.14.3.3.2.2.2.5" stretchy="false" xref="A5.Ex110.m2.14.14.3.3.2.2.3.cmml">)</mo></mrow><mo id="A5.Ex110.m2.14.14.3.3.2.3a" xref="A5.Ex110.m2.14.14.3.3.2.3.cmml">⁢</mo><msup id="A5.Ex110.m2.14.14.3.3.2.5" xref="A5.Ex110.m2.14.14.3.3.2.5.cmml"><mi id="A5.Ex110.m2.14.14.3.3.2.5.2" xref="A5.Ex110.m2.14.14.3.3.2.5.2.cmml">q</mi><mrow id="A5.Ex110.m2.9.9.2" xref="A5.Ex110.m2.9.9.2.cmml"><mrow id="A5.Ex110.m2.9.9.2.4" xref="A5.Ex110.m2.9.9.2.4.cmml"><mo id="A5.Ex110.m2.9.9.2.4a" xref="A5.Ex110.m2.9.9.2.4.cmml">−</mo><mrow id="A5.Ex110.m2.9.9.2.4.2.2" xref="A5.Ex110.m2.9.9.2.4.2.1.cmml"><mo id="A5.Ex110.m2.9.9.2.4.2.2.1" stretchy="false" xref="A5.Ex110.m2.9.9.2.4.2.1.1.cmml">|</mo><mi id="A5.Ex110.m2.8.8.1.1" xref="A5.Ex110.m2.8.8.1.1.cmml">τ</mi><mo id="A5.Ex110.m2.9.9.2.4.2.2.2" stretchy="false" xref="A5.Ex110.m2.9.9.2.4.2.1.1.cmml">|</mo></mrow></mrow><mo id="A5.Ex110.m2.9.9.2.3" xref="A5.Ex110.m2.9.9.2.3.cmml">−</mo><mrow id="A5.Ex110.m2.9.9.2.2.1" xref="A5.Ex110.m2.9.9.2.2.2.cmml"><mo id="A5.Ex110.m2.9.9.2.2.1.2" stretchy="false" xref="A5.Ex110.m2.9.9.2.2.2.1.cmml">|</mo><mrow id="A5.Ex110.m2.9.9.2.2.1.1" xref="A5.Ex110.m2.9.9.2.2.1.1.cmml"><mi id="A5.Ex110.m2.9.9.2.2.1.1.2" xref="A5.Ex110.m2.9.9.2.2.1.1.2.cmml">τ</mi><mo id="A5.Ex110.m2.9.9.2.2.1.1.1" xref="A5.Ex110.m2.9.9.2.2.1.1.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="A5.Ex110.m2.9.9.2.2.1.1.3" xref="A5.Ex110.m2.9.9.2.2.1.1.3.cmml"><mi id="A5.Ex110.m2.9.9.2.2.1.1.3.2.2" xref="A5.Ex110.m2.9.9.2.2.1.1.3.2.2.cmml">σ</mi><mi id="A5.Ex110.m2.9.9.2.2.1.1.3.2.3" xref="A5.Ex110.m2.9.9.2.2.1.1.3.2.3.cmml">a</mi><mrow id="A5.Ex110.m2.9.9.2.2.1.1.3.3" xref="A5.Ex110.m2.9.9.2.2.1.1.3.3.cmml"><mo id="A5.Ex110.m2.9.9.2.2.1.1.3.3a" xref="A5.Ex110.m2.9.9.2.2.1.1.3.3.cmml">−</mo><mn id="A5.Ex110.m2.9.9.2.2.1.1.3.3.2" xref="A5.Ex110.m2.9.9.2.2.1.1.3.3.2.cmml">1</mn></mrow></msubsup></mrow><mo id="A5.Ex110.m2.9.9.2.2.1.3" stretchy="false" xref="A5.Ex110.m2.9.9.2.2.2.1.cmml">|</mo></mrow></mrow></msup><mo id="A5.Ex110.m2.14.14.3.3.2.3b" xref="A5.Ex110.m2.14.14.3.3.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="A5.Ex110.m2.1.1a.3" xref="A5.Ex110.m2.1.1a.2.cmml"><mo id="A5.Ex110.m2.1.1a.3.1" stretchy="false" xref="A5.Ex110.m2.1.1a.2.1.cmml">|</mo><mrow id="A5.Ex110.m2.1.1.1.1.3" xref="A5.Ex110.m2.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="A5.Ex110.m2.1.1.1.1.1" xref="A5.Ex110.m2.1.1.1.1.1.cmml">π</mi><mo id="A5.Ex110.m2.1.1.1.1.3.2" xref="A5.Ex110.m2.1.1.1.1.4.cmml">,</mo><mi 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id="A5.Ex110.m2.3.3.2.2.2.3.cmml" xref="A5.Ex110.m2.3.3.2.2.2.3">ℓ</ci></apply></list></apply><apply id="A5.Ex110.m2.14.14.3.5.3.cmml" xref="A5.Ex110.m2.14.14.3.5.3"><times id="A5.Ex110.m2.14.14.3.5.3.1.cmml" xref="A5.Ex110.m2.14.14.3.5.3.1"></times><ci id="A5.Ex110.m2.14.14.3.5.3.2.cmml" xref="A5.Ex110.m2.14.14.3.5.3.2">𝑎</ci><ci id="A5.Ex110.m2.14.14.3.5.3.3.cmml" xref="A5.Ex110.m2.14.14.3.5.3.3">𝑏</ci></apply></apply><apply id="A5.Ex110.m2.12.12.1.1.1.1.cmml" xref="A5.Ex110.m2.12.12.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.Ex110.m2.12.12.1.1.1.1.1.cmml" xref="A5.Ex110.m2.12.12.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="A5.Ex110.m2.12.12.1.1.1.1.2.cmml" xref="A5.Ex110.m2.12.12.1.1.1.1.2">𝑞</ci><cn id="A5.Ex110.m2.12.12.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A5.Ex110.m2.12.12.1.1.1.1.3">2</cn></apply><apply id="A5.Ex110.m2.14.14.3.6.cmml" xref="A5.Ex110.m2.14.14.3.6"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.Ex110.m2.14.14.3.6.1.cmml" xref="A5.Ex110.m2.14.14.3.6">subscript</csymbol><ci id="A5.Ex110.m2.14.14.3.6.2.cmml" xref="A5.Ex110.m2.14.14.3.6.2">𝒟</ci><apply id="A5.Ex110.m2.14.14.3.6.3.cmml" xref="A5.Ex110.m2.14.14.3.6.3"><times id="A5.Ex110.m2.14.14.3.6.3.1.cmml" xref="A5.Ex110.m2.14.14.3.6.3.1"></times><ci id="A5.Ex110.m2.14.14.3.6.3.2.cmml" xref="A5.Ex110.m2.14.14.3.6.3.2">𝑏</ci><ci id="A5.Ex110.m2.14.14.3.6.3.3.cmml" xref="A5.Ex110.m2.14.14.3.6.3.3">𝑏</ci></apply></apply><ci id="A5.Ex110.m2.10.10.cmml" xref="A5.Ex110.m2.10.10">𝑞</ci><apply id="A5.Ex110.m2.14.14.3.8.cmml" xref="A5.Ex110.m2.14.14.3.8"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.Ex110.m2.14.14.3.8.1.cmml" xref="A5.Ex110.m2.14.14.3.8">subscript</csymbol><apply id="A5.Ex110.m2.14.14.3.8.2.cmml" xref="A5.Ex110.m2.14.14.3.8"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.Ex110.m2.14.14.3.8.2.1.cmml" xref="A5.Ex110.m2.14.14.3.8">superscript</csymbol><ci id="A5.Ex110.m2.14.14.3.8.2.2.cmml" xref="A5.Ex110.m2.14.14.3.8.2.2">𝒞</ci><list id="A5.Ex110.m2.5.5.2.3.cmml" xref="A5.Ex110.m2.5.5.2.2"><apply id="A5.Ex110.m2.4.4.1.1.1.cmml" 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id="A5.Ex110.m2.14.14.3.10.cmml" xref="A5.Ex110.m2.14.14.3.10"><divide id="A5.Ex110.m2.14.14.3.10.1.cmml" xref="A5.Ex110.m2.14.14.3.10"></divide><cn id="A5.Ex110.m2.14.14.3.10.2.cmml" type="integer" xref="A5.Ex110.m2.14.14.3.10.2">1</cn><apply id="A5.Ex110.m2.14.14.3.10.3.cmml" xref="A5.Ex110.m2.14.14.3.10.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.Ex110.m2.14.14.3.10.3.1.cmml" xref="A5.Ex110.m2.14.14.3.10.3">subscript</csymbol><ci id="A5.Ex110.m2.14.14.3.10.3.2.cmml" xref="A5.Ex110.m2.14.14.3.10.3.2">𝐶</ci><ci id="A5.Ex110.m2.14.14.3.10.3.3.cmml" xref="A5.Ex110.m2.14.14.3.10.3.3">𝑎</ci></apply></apply><apply id="A5.Ex110.m2.14.14.3.11.cmml" xref="A5.Ex110.m2.14.14.3.11"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.Ex110.m2.14.14.3.11.1.cmml" xref="A5.Ex110.m2.14.14.3.11">superscript</csymbol><apply id="A5.Ex110.m2.14.14.3.11.2.cmml" xref="A5.Ex110.m2.14.14.3.11"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.Ex110.m2.14.14.3.11.2.1.cmml" xref="A5.Ex110.m2.14.14.3.11">subscript</csymbol><ci id="A5.Ex110.m2.14.14.3.11.2.2.cmml" xref="A5.Ex110.m2.14.14.3.11.2.2">𝐿</ci><apply id="A5.Ex110.m2.14.14.3.11.2.3.cmml" xref="A5.Ex110.m2.14.14.3.11.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.Ex110.m2.14.14.3.11.2.3.1.cmml" xref="A5.Ex110.m2.14.14.3.11.2.3">subscript</csymbol><ci id="A5.Ex110.m2.14.14.3.11.2.3.2.cmml" xref="A5.Ex110.m2.14.14.3.11.2.3.2">𝜈</ci><ci id="A5.Ex110.m2.14.14.3.11.2.3.3.cmml" xref="A5.Ex110.m2.14.14.3.11.2.3.3">𝐿</ci></apply></apply><apply id="A5.Ex110.m2.14.14.3.11.3.cmml" xref="A5.Ex110.m2.14.14.3.11.3"><times id="A5.Ex110.m2.14.14.3.11.3.1.cmml" xref="A5.Ex110.m2.14.14.3.11.3.1"></times><ci id="A5.Ex110.m2.14.14.3.11.3.2.cmml" xref="A5.Ex110.m2.14.14.3.11.3.2">ℎ</ci><ci id="A5.Ex110.m2.14.14.3.11.3.3.cmml" xref="A5.Ex110.m2.14.14.3.11.3.3">𝑗</ci></apply></apply><apply id="A5.Ex110.m2.14.14.3.12.cmml" xref="A5.Ex110.m2.14.14.3.12"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.Ex110.m2.14.14.3.12.1.cmml" xref="A5.Ex110.m2.14.14.3.12">superscript</csymbol><apply id="A5.Ex110.m2.14.14.3.12.2.cmml" xref="A5.Ex110.m2.14.14.3.12"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.Ex110.m2.14.14.3.12.2.1.cmml" xref="A5.Ex110.m2.14.14.3.12">subscript</csymbol><ci id="A5.Ex110.m2.14.14.3.12.2.2.cmml" xref="A5.Ex110.m2.14.14.3.12.2.2">𝑅</ci><apply id="A5.Ex110.m2.14.14.3.12.2.3.cmml" xref="A5.Ex110.m2.14.14.3.12.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.Ex110.m2.14.14.3.12.2.3.1.cmml" xref="A5.Ex110.m2.14.14.3.12.2.3">subscript</csymbol><ci id="A5.Ex110.m2.14.14.3.12.2.3.2.cmml" xref="A5.Ex110.m2.14.14.3.12.2.3.2">𝜈</ci><ci id="A5.Ex110.m2.14.14.3.12.2.3.3.cmml" xref="A5.Ex110.m2.14.14.3.12.2.3.3">𝑅</ci></apply></apply><apply id="A5.Ex110.m2.14.14.3.12.3.cmml" xref="A5.Ex110.m2.14.14.3.12.3"><times id="A5.Ex110.m2.14.14.3.12.3.1.cmml" xref="A5.Ex110.m2.14.14.3.12.3.1"></times><ci id="A5.Ex110.m2.14.14.3.12.3.2.cmml" xref="A5.Ex110.m2.14.14.3.12.3.2">𝑘</ci><ci id="A5.Ex110.m2.14.14.3.12.3.3.cmml" xref="A5.Ex110.m2.14.14.3.12.3.3">𝑛</ci></apply></apply><apply id="A5.Ex110.m2.14.14.3.3.cmml" xref="A5.Ex110.m2.14.14.3.3"><apply id="A5.Ex110.m2.14.14.3.3.3.cmml" xref="A5.Ex110.m2.14.14.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.Ex110.m2.14.14.3.3.3.1.cmml" xref="A5.Ex110.m2.14.14.3.3.3">subscript</csymbol><sum id="A5.Ex110.m2.14.14.3.3.3.2.cmml" xref="A5.Ex110.m2.14.14.3.3.3.2"></sum><list id="A5.Ex110.m2.7.7.2.3.cmml" xref="A5.Ex110.m2.7.7.2.4"><ci id="A5.Ex110.m2.6.6.1.1.cmml" xref="A5.Ex110.m2.6.6.1.1">𝜋</ci><ci id="A5.Ex110.m2.7.7.2.2.cmml" xref="A5.Ex110.m2.7.7.2.2">𝜏</ci></list></apply><apply id="A5.Ex110.m2.14.14.3.3.2.cmml" xref="A5.Ex110.m2.14.14.3.3.2"><times id="A5.Ex110.m2.14.14.3.3.2.3.cmml" xref="A5.Ex110.m2.14.14.3.3.2.3"></times><ci id="A5.Ex110.m2.14.14.3.3.2.4a.cmml" xref="A5.Ex110.m2.14.14.3.3.2.4"><mtext id="A5.Ex110.m2.14.14.3.3.2.4.cmml" xref="A5.Ex110.m2.14.14.3.3.2.4">Wg</mtext></ci><interval closure="open" id="A5.Ex110.m2.14.14.3.3.2.2.3.cmml" xref="A5.Ex110.m2.14.14.3.3.2.2.2"><apply id="A5.Ex110.m2.13.13.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="A5.Ex110.m2.13.13.2.2.1.1.1.1"><times id="A5.Ex110.m2.13.13.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="A5.Ex110.m2.13.13.2.2.1.1.1.1.1"></times><ci id="A5.Ex110.m2.13.13.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="A5.Ex110.m2.13.13.2.2.1.1.1.1.2">𝜋</ci><apply id="A5.Ex110.m2.13.13.2.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="A5.Ex110.m2.13.13.2.2.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.Ex110.m2.13.13.2.2.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A5.Ex110.m2.13.13.2.2.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="A5.Ex110.m2.13.13.2.2.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A5.Ex110.m2.13.13.2.2.1.1.1.1.3.2">𝜏</ci><apply id="A5.Ex110.m2.13.13.2.2.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A5.Ex110.m2.13.13.2.2.1.1.1.1.3.3"><minus id="A5.Ex110.m2.13.13.2.2.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="A5.Ex110.m2.13.13.2.2.1.1.1.1.3.3"></minus><cn id="A5.Ex110.m2.13.13.2.2.1.1.1.1.3.3.2.cmml" type="integer" xref="A5.Ex110.m2.13.13.2.2.1.1.1.1.3.3.2">1</cn></apply></apply></apply><apply id="A5.Ex110.m2.14.14.3.3.2.2.2.2.cmml" xref="A5.Ex110.m2.14.14.3.3.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.Ex110.m2.14.14.3.3.2.2.2.2.1.cmml" xref="A5.Ex110.m2.14.14.3.3.2.2.2.2">superscript</csymbol><ci id="A5.Ex110.m2.14.14.3.3.2.2.2.2.2.cmml" xref="A5.Ex110.m2.14.14.3.3.2.2.2.2.2">𝑞</ci><ci id="A5.Ex110.m2.14.14.3.3.2.2.2.2.3.cmml" xref="A5.Ex110.m2.14.14.3.3.2.2.2.2.3">𝑚</ci></apply></interval><apply id="A5.Ex110.m2.14.14.3.3.2.5.cmml" xref="A5.Ex110.m2.14.14.3.3.2.5"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.Ex110.m2.14.14.3.3.2.5.1.cmml" xref="A5.Ex110.m2.14.14.3.3.2.5">superscript</csymbol><ci id="A5.Ex110.m2.14.14.3.3.2.5.2.cmml" xref="A5.Ex110.m2.14.14.3.3.2.5.2">𝑞</ci><apply id="A5.Ex110.m2.9.9.2.cmml" xref="A5.Ex110.m2.9.9.2"><minus id="A5.Ex110.m2.9.9.2.3.cmml" xref="A5.Ex110.m2.9.9.2.3"></minus><apply id="A5.Ex110.m2.9.9.2.4.cmml" xref="A5.Ex110.m2.9.9.2.4"><minus id="A5.Ex110.m2.9.9.2.4.1.cmml" xref="A5.Ex110.m2.9.9.2.4"></minus><apply id="A5.Ex110.m2.9.9.2.4.2.1.cmml" xref="A5.Ex110.m2.9.9.2.4.2.2"><abs id="A5.Ex110.m2.9.9.2.4.2.1.1.cmml" xref="A5.Ex110.m2.9.9.2.4.2.2.1"></abs><ci id="A5.Ex110.m2.8.8.1.1.cmml" xref="A5.Ex110.m2.8.8.1.1">𝜏</ci></apply></apply><apply id="A5.Ex110.m2.9.9.2.2.2.cmml" xref="A5.Ex110.m2.9.9.2.2.1"><abs id="A5.Ex110.m2.9.9.2.2.2.1.cmml" xref="A5.Ex110.m2.9.9.2.2.1.2"></abs><apply id="A5.Ex110.m2.9.9.2.2.1.1.cmml" xref="A5.Ex110.m2.9.9.2.2.1.1"><times id="A5.Ex110.m2.9.9.2.2.1.1.1.cmml" xref="A5.Ex110.m2.9.9.2.2.1.1.1"></times><ci id="A5.Ex110.m2.9.9.2.2.1.1.2.cmml" xref="A5.Ex110.m2.9.9.2.2.1.1.2">𝜏</ci><apply id="A5.Ex110.m2.9.9.2.2.1.1.3.cmml" xref="A5.Ex110.m2.9.9.2.2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.Ex110.m2.9.9.2.2.1.1.3.1.cmml" xref="A5.Ex110.m2.9.9.2.2.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="A5.Ex110.m2.9.9.2.2.1.1.3.2.cmml" xref="A5.Ex110.m2.9.9.2.2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.Ex110.m2.9.9.2.2.1.1.3.2.1.cmml" xref="A5.Ex110.m2.9.9.2.2.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A5.Ex110.m2.9.9.2.2.1.1.3.2.2.cmml" xref="A5.Ex110.m2.9.9.2.2.1.1.3.2.2">𝜎</ci><ci id="A5.Ex110.m2.9.9.2.2.1.1.3.2.3.cmml" xref="A5.Ex110.m2.9.9.2.2.1.1.3.2.3">𝑎</ci></apply><apply id="A5.Ex110.m2.9.9.2.2.1.1.3.3.cmml" xref="A5.Ex110.m2.9.9.2.2.1.1.3.3"><minus id="A5.Ex110.m2.9.9.2.2.1.1.3.3.1.cmml" xref="A5.Ex110.m2.9.9.2.2.1.1.3.3"></minus><cn id="A5.Ex110.m2.9.9.2.2.1.1.3.3.2.cmml" type="integer" xref="A5.Ex110.m2.9.9.2.2.1.1.3.3.2">1</cn></apply></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="A5.Ex110.m2.1.1a.2.cmml" xref="A5.Ex110.m2.1.1a.3"><csymbol cd="latexml" id="A5.Ex110.m2.1.1a.2.1.cmml" xref="A5.Ex110.m2.1.1a.3.1">ket</csymbol><list id="A5.Ex110.m2.1.1.1.1.4.cmml" xref="A5.Ex110.m2.1.1.1.1.3"><ci id="A5.Ex110.m2.1.1.1.1.1.cmml" xref="A5.Ex110.m2.1.1.1.1.1">𝜋</ci><ci id="A5.Ex110.m2.1.1.1.1.2.cmml" xref="A5.Ex110.m2.1.1.1.1.2">𝜋</ci><apply id="A5.Ex110.m2.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A5.Ex110.m2.1.1.1.1.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.Ex110.m2.1.1.1.1.3.1.1.cmml" xref="A5.Ex110.m2.1.1.1.1.3.1">subscript</csymbol><ci id="A5.Ex110.m2.1.1.1.1.3.1.2.cmml" xref="A5.Ex110.m2.1.1.1.1.3.1.2">𝜎</ci><ci id="A5.Ex110.m2.1.1.1.1.3.1.3.cmml" xref="A5.Ex110.m2.1.1.1.1.3.1.3">𝑎</ci></apply></list></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A5.Ex110.m2.14c">\displaystyle=\mathcal{W}^{ig,o\ell}_{ab}(q^{2})\mathcal{D}_{bb}(q)\mathcal{C}% ^{gh,no}_{bc}(q)\frac{1}{C_{a}}L_{\nu_{L}}^{hj}R_{\nu_{R}}^{kn}\sum_{\pi,\tau}% \text{Wg}(\pi\tau^{-1},q^{m})q^{-|\tau|-|\tau\sigma_{a}^{-1}|}\ket{\pi,\pi,% \sigma_{a}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A5.Ex110.m2.14d">= caligraphic_W start_POSTSUPERSCRIPT italic_i italic_g , italic_o roman_ℓ end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_a italic_b end_POSTSUBSCRIPT ( italic_q start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ) caligraphic_D start_POSTSUBSCRIPT italic_b italic_b end_POSTSUBSCRIPT ( italic_q ) caligraphic_C start_POSTSUPERSCRIPT italic_g italic_h , italic_n italic_o end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_b italic_c end_POSTSUBSCRIPT ( italic_q ) divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_C start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT end_ARG italic_L start_POSTSUBSCRIPT italic_ν start_POSTSUBSCRIPT italic_L end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_h italic_j end_POSTSUPERSCRIPT italic_R start_POSTSUBSCRIPT italic_ν start_POSTSUBSCRIPT italic_R end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_k italic_n end_POSTSUPERSCRIPT ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_π , italic_τ end_POSTSUBSCRIPT Wg ( italic_π italic_τ start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT , italic_q start_POSTSUPERSCRIPT italic_m end_POSTSUPERSCRIPT ) italic_q start_POSTSUPERSCRIPT - | italic_τ | - | italic_τ italic_σ start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT | end_POSTSUPERSCRIPT | start_ARG italic_π , italic_π , italic_σ start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT end_ARG ⟩</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="A5.Ex111"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=\mathcal{W}^{ig,o\ell}_{ab}(q^{2})\mathcal{D}_{bb}(q)\mathcal{C}% ^{gh,no}_{bc}(q)\frac{1}{C_{a}}L_{\nu_{L}}^{hj}R_{\nu_{R}}^{kn}\sum_{\pi,\tau}% \text{Wg}(\pi\tau^{-1},q^{m})q^{-|\tau\sigma_{a}|-|\tau|}(\sigma_{a})_{R}\ket{% \pi,\pi,I}" class="ltx_Math" display="inline" id="A5.Ex111.m1.15"><semantics id="A5.Ex111.m1.15a"><mrow id="A5.Ex111.m1.15.15" xref="A5.Ex111.m1.15.15.cmml"><mi id="A5.Ex111.m1.15.15.6" xref="A5.Ex111.m1.15.15.6.cmml"></mi><mo id="A5.Ex111.m1.15.15.5" xref="A5.Ex111.m1.15.15.5.cmml">=</mo><mrow id="A5.Ex111.m1.15.15.4" xref="A5.Ex111.m1.15.15.4.cmml"><msubsup id="A5.Ex111.m1.15.15.4.6" xref="A5.Ex111.m1.15.15.4.6.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="A5.Ex111.m1.15.15.4.6.2.2" xref="A5.Ex111.m1.15.15.4.6.2.2.cmml">𝒲</mi><mrow id="A5.Ex111.m1.15.15.4.6.3" xref="A5.Ex111.m1.15.15.4.6.3.cmml"><mi id="A5.Ex111.m1.15.15.4.6.3.2" xref="A5.Ex111.m1.15.15.4.6.3.2.cmml">a</mi><mo id="A5.Ex111.m1.15.15.4.6.3.1" xref="A5.Ex111.m1.15.15.4.6.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A5.Ex111.m1.15.15.4.6.3.3" xref="A5.Ex111.m1.15.15.4.6.3.3.cmml">b</mi></mrow><mrow id="A5.Ex111.m1.3.3.2.2" xref="A5.Ex111.m1.3.3.2.3.cmml"><mrow id="A5.Ex111.m1.2.2.1.1.1" xref="A5.Ex111.m1.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="A5.Ex111.m1.2.2.1.1.1.2" xref="A5.Ex111.m1.2.2.1.1.1.2.cmml">i</mi><mo id="A5.Ex111.m1.2.2.1.1.1.1" xref="A5.Ex111.m1.2.2.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="A5.Ex111.m1.2.2.1.1.1.3" xref="A5.Ex111.m1.2.2.1.1.1.3.cmml">g</mi></mrow><mo id="A5.Ex111.m1.3.3.2.2.3" xref="A5.Ex111.m1.3.3.2.3.cmml">,</mo><mrow id="A5.Ex111.m1.3.3.2.2.2" xref="A5.Ex111.m1.3.3.2.2.2.cmml"><mi id="A5.Ex111.m1.3.3.2.2.2.2" xref="A5.Ex111.m1.3.3.2.2.2.2.cmml">o</mi><mo id="A5.Ex111.m1.3.3.2.2.2.1" xref="A5.Ex111.m1.3.3.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="A5.Ex111.m1.3.3.2.2.2.3" mathvariant="normal" xref="A5.Ex111.m1.3.3.2.2.2.3.cmml">ℓ</mi></mrow></mrow></msubsup><mo id="A5.Ex111.m1.15.15.4.5" xref="A5.Ex111.m1.15.15.4.5.cmml">⁢</mo><mrow id="A5.Ex111.m1.12.12.1.1.1" xref="A5.Ex111.m1.12.12.1.1.1.1.cmml"><mo id="A5.Ex111.m1.12.12.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A5.Ex111.m1.12.12.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="A5.Ex111.m1.12.12.1.1.1.1" xref="A5.Ex111.m1.12.12.1.1.1.1.cmml"><mi id="A5.Ex111.m1.12.12.1.1.1.1.2" xref="A5.Ex111.m1.12.12.1.1.1.1.2.cmml">q</mi><mn id="A5.Ex111.m1.12.12.1.1.1.1.3" xref="A5.Ex111.m1.12.12.1.1.1.1.3.cmml">2</mn></msup><mo id="A5.Ex111.m1.12.12.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A5.Ex111.m1.12.12.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A5.Ex111.m1.15.15.4.5a" xref="A5.Ex111.m1.15.15.4.5.cmml">⁢</mo><msub id="A5.Ex111.m1.15.15.4.7" xref="A5.Ex111.m1.15.15.4.7.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="A5.Ex111.m1.15.15.4.7.2" xref="A5.Ex111.m1.15.15.4.7.2.cmml">𝒟</mi><mrow id="A5.Ex111.m1.15.15.4.7.3" xref="A5.Ex111.m1.15.15.4.7.3.cmml"><mi id="A5.Ex111.m1.15.15.4.7.3.2" xref="A5.Ex111.m1.15.15.4.7.3.2.cmml">b</mi><mo id="A5.Ex111.m1.15.15.4.7.3.1" xref="A5.Ex111.m1.15.15.4.7.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A5.Ex111.m1.15.15.4.7.3.3" xref="A5.Ex111.m1.15.15.4.7.3.3.cmml">b</mi></mrow></msub><mo id="A5.Ex111.m1.15.15.4.5b" xref="A5.Ex111.m1.15.15.4.5.cmml">⁢</mo><mrow id="A5.Ex111.m1.15.15.4.8.2" xref="A5.Ex111.m1.15.15.4.cmml"><mo id="A5.Ex111.m1.15.15.4.8.2.1" stretchy="false" xref="A5.Ex111.m1.15.15.4.cmml">(</mo><mi id="A5.Ex111.m1.10.10" xref="A5.Ex111.m1.10.10.cmml">q</mi><mo id="A5.Ex111.m1.15.15.4.8.2.2" stretchy="false" xref="A5.Ex111.m1.15.15.4.cmml">)</mo></mrow><mo id="A5.Ex111.m1.15.15.4.5c" xref="A5.Ex111.m1.15.15.4.5.cmml">⁢</mo><msubsup id="A5.Ex111.m1.15.15.4.9" xref="A5.Ex111.m1.15.15.4.9.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="A5.Ex111.m1.15.15.4.9.2.2" xref="A5.Ex111.m1.15.15.4.9.2.2.cmml">𝒞</mi><mrow id="A5.Ex111.m1.15.15.4.9.3" xref="A5.Ex111.m1.15.15.4.9.3.cmml"><mi id="A5.Ex111.m1.15.15.4.9.3.2" xref="A5.Ex111.m1.15.15.4.9.3.2.cmml">b</mi><mo id="A5.Ex111.m1.15.15.4.9.3.1" xref="A5.Ex111.m1.15.15.4.9.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A5.Ex111.m1.15.15.4.9.3.3" xref="A5.Ex111.m1.15.15.4.9.3.3.cmml">c</mi></mrow><mrow id="A5.Ex111.m1.5.5.2.2" xref="A5.Ex111.m1.5.5.2.3.cmml"><mrow id="A5.Ex111.m1.4.4.1.1.1" xref="A5.Ex111.m1.4.4.1.1.1.cmml"><mi id="A5.Ex111.m1.4.4.1.1.1.2" xref="A5.Ex111.m1.4.4.1.1.1.2.cmml">g</mi><mo id="A5.Ex111.m1.4.4.1.1.1.1" xref="A5.Ex111.m1.4.4.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="A5.Ex111.m1.4.4.1.1.1.3" xref="A5.Ex111.m1.4.4.1.1.1.3.cmml">h</mi></mrow><mo id="A5.Ex111.m1.5.5.2.2.3" xref="A5.Ex111.m1.5.5.2.3.cmml">,</mo><mrow id="A5.Ex111.m1.5.5.2.2.2" xref="A5.Ex111.m1.5.5.2.2.2.cmml"><mi id="A5.Ex111.m1.5.5.2.2.2.2" xref="A5.Ex111.m1.5.5.2.2.2.2.cmml">n</mi><mo id="A5.Ex111.m1.5.5.2.2.2.1" xref="A5.Ex111.m1.5.5.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="A5.Ex111.m1.5.5.2.2.2.3" xref="A5.Ex111.m1.5.5.2.2.2.3.cmml">o</mi></mrow></mrow></msubsup><mo id="A5.Ex111.m1.15.15.4.5d" xref="A5.Ex111.m1.15.15.4.5.cmml">⁢</mo><mrow id="A5.Ex111.m1.15.15.4.10.2" xref="A5.Ex111.m1.15.15.4.cmml"><mo id="A5.Ex111.m1.15.15.4.10.2.1" stretchy="false" xref="A5.Ex111.m1.15.15.4.cmml">(</mo><mi id="A5.Ex111.m1.11.11" xref="A5.Ex111.m1.11.11.cmml">q</mi><mo id="A5.Ex111.m1.15.15.4.10.2.2" stretchy="false" xref="A5.Ex111.m1.15.15.4.cmml">)</mo></mrow><mo id="A5.Ex111.m1.15.15.4.5e" xref="A5.Ex111.m1.15.15.4.5.cmml">⁢</mo><mstyle displaystyle="true" id="A5.Ex111.m1.15.15.4.11" xref="A5.Ex111.m1.15.15.4.11.cmml"><mfrac id="A5.Ex111.m1.15.15.4.11a" xref="A5.Ex111.m1.15.15.4.11.cmml"><mn id="A5.Ex111.m1.15.15.4.11.2" xref="A5.Ex111.m1.15.15.4.11.2.cmml">1</mn><msub id="A5.Ex111.m1.15.15.4.11.3" xref="A5.Ex111.m1.15.15.4.11.3.cmml"><mi id="A5.Ex111.m1.15.15.4.11.3.2" xref="A5.Ex111.m1.15.15.4.11.3.2.cmml">C</mi><mi id="A5.Ex111.m1.15.15.4.11.3.3" xref="A5.Ex111.m1.15.15.4.11.3.3.cmml">a</mi></msub></mfrac></mstyle><mo id="A5.Ex111.m1.15.15.4.5f" xref="A5.Ex111.m1.15.15.4.5.cmml">⁢</mo><msubsup id="A5.Ex111.m1.15.15.4.12" xref="A5.Ex111.m1.15.15.4.12.cmml"><mi id="A5.Ex111.m1.15.15.4.12.2.2" xref="A5.Ex111.m1.15.15.4.12.2.2.cmml">L</mi><msub id="A5.Ex111.m1.15.15.4.12.2.3" xref="A5.Ex111.m1.15.15.4.12.2.3.cmml"><mi id="A5.Ex111.m1.15.15.4.12.2.3.2" xref="A5.Ex111.m1.15.15.4.12.2.3.2.cmml">ν</mi><mi id="A5.Ex111.m1.15.15.4.12.2.3.3" xref="A5.Ex111.m1.15.15.4.12.2.3.3.cmml">L</mi></msub><mrow id="A5.Ex111.m1.15.15.4.12.3" xref="A5.Ex111.m1.15.15.4.12.3.cmml"><mi id="A5.Ex111.m1.15.15.4.12.3.2" xref="A5.Ex111.m1.15.15.4.12.3.2.cmml">h</mi><mo id="A5.Ex111.m1.15.15.4.12.3.1" xref="A5.Ex111.m1.15.15.4.12.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A5.Ex111.m1.15.15.4.12.3.3" xref="A5.Ex111.m1.15.15.4.12.3.3.cmml">j</mi></mrow></msubsup><mo id="A5.Ex111.m1.15.15.4.5g" xref="A5.Ex111.m1.15.15.4.5.cmml">⁢</mo><msubsup id="A5.Ex111.m1.15.15.4.13" xref="A5.Ex111.m1.15.15.4.13.cmml"><mi id="A5.Ex111.m1.15.15.4.13.2.2" xref="A5.Ex111.m1.15.15.4.13.2.2.cmml">R</mi><msub id="A5.Ex111.m1.15.15.4.13.2.3" xref="A5.Ex111.m1.15.15.4.13.2.3.cmml"><mi id="A5.Ex111.m1.15.15.4.13.2.3.2" xref="A5.Ex111.m1.15.15.4.13.2.3.2.cmml">ν</mi><mi id="A5.Ex111.m1.15.15.4.13.2.3.3" xref="A5.Ex111.m1.15.15.4.13.2.3.3.cmml">R</mi></msub><mrow id="A5.Ex111.m1.15.15.4.13.3" xref="A5.Ex111.m1.15.15.4.13.3.cmml"><mi id="A5.Ex111.m1.15.15.4.13.3.2" xref="A5.Ex111.m1.15.15.4.13.3.2.cmml">k</mi><mo id="A5.Ex111.m1.15.15.4.13.3.1" xref="A5.Ex111.m1.15.15.4.13.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A5.Ex111.m1.15.15.4.13.3.3" xref="A5.Ex111.m1.15.15.4.13.3.3.cmml">n</mi></mrow></msubsup><mo id="A5.Ex111.m1.15.15.4.5h" xref="A5.Ex111.m1.15.15.4.5.cmml">⁢</mo><mrow id="A5.Ex111.m1.15.15.4.4" xref="A5.Ex111.m1.15.15.4.4.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A5.Ex111.m1.15.15.4.4.4" xref="A5.Ex111.m1.15.15.4.4.4.cmml"><munder id="A5.Ex111.m1.15.15.4.4.4a" xref="A5.Ex111.m1.15.15.4.4.4.cmml"><mo id="A5.Ex111.m1.15.15.4.4.4.2" movablelimits="false" xref="A5.Ex111.m1.15.15.4.4.4.2.cmml">∑</mo><mrow id="A5.Ex111.m1.7.7.2.4" xref="A5.Ex111.m1.7.7.2.3.cmml"><mi id="A5.Ex111.m1.6.6.1.1" xref="A5.Ex111.m1.6.6.1.1.cmml">π</mi><mo id="A5.Ex111.m1.7.7.2.4.1" xref="A5.Ex111.m1.7.7.2.3.cmml">,</mo><mi id="A5.Ex111.m1.7.7.2.2" xref="A5.Ex111.m1.7.7.2.2.cmml">τ</mi></mrow></munder></mstyle><mrow id="A5.Ex111.m1.15.15.4.4.3" xref="A5.Ex111.m1.15.15.4.4.3.cmml"><mtext id="A5.Ex111.m1.15.15.4.4.3.5" xref="A5.Ex111.m1.15.15.4.4.3.5a.cmml">Wg</mtext><mo id="A5.Ex111.m1.15.15.4.4.3.4" xref="A5.Ex111.m1.15.15.4.4.3.4.cmml">⁢</mo><mrow id="A5.Ex111.m1.14.14.3.3.2.2.2" xref="A5.Ex111.m1.14.14.3.3.2.2.3.cmml"><mo id="A5.Ex111.m1.14.14.3.3.2.2.2.3" stretchy="false" xref="A5.Ex111.m1.14.14.3.3.2.2.3.cmml">(</mo><mrow id="A5.Ex111.m1.13.13.2.2.1.1.1.1" xref="A5.Ex111.m1.13.13.2.2.1.1.1.1.cmml"><mi id="A5.Ex111.m1.13.13.2.2.1.1.1.1.2" xref="A5.Ex111.m1.13.13.2.2.1.1.1.1.2.cmml">π</mi><mo id="A5.Ex111.m1.13.13.2.2.1.1.1.1.1" xref="A5.Ex111.m1.13.13.2.2.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msup id="A5.Ex111.m1.13.13.2.2.1.1.1.1.3" xref="A5.Ex111.m1.13.13.2.2.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A5.Ex111.m1.13.13.2.2.1.1.1.1.3.2" xref="A5.Ex111.m1.13.13.2.2.1.1.1.1.3.2.cmml">τ</mi><mrow id="A5.Ex111.m1.13.13.2.2.1.1.1.1.3.3" xref="A5.Ex111.m1.13.13.2.2.1.1.1.1.3.3.cmml"><mo id="A5.Ex111.m1.13.13.2.2.1.1.1.1.3.3a" xref="A5.Ex111.m1.13.13.2.2.1.1.1.1.3.3.cmml">−</mo><mn id="A5.Ex111.m1.13.13.2.2.1.1.1.1.3.3.2" xref="A5.Ex111.m1.13.13.2.2.1.1.1.1.3.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup></mrow><mo id="A5.Ex111.m1.14.14.3.3.2.2.2.4" xref="A5.Ex111.m1.14.14.3.3.2.2.3.cmml">,</mo><msup id="A5.Ex111.m1.14.14.3.3.2.2.2.2" xref="A5.Ex111.m1.14.14.3.3.2.2.2.2.cmml"><mi id="A5.Ex111.m1.14.14.3.3.2.2.2.2.2" xref="A5.Ex111.m1.14.14.3.3.2.2.2.2.2.cmml">q</mi><mi id="A5.Ex111.m1.14.14.3.3.2.2.2.2.3" xref="A5.Ex111.m1.14.14.3.3.2.2.2.2.3.cmml">m</mi></msup><mo id="A5.Ex111.m1.14.14.3.3.2.2.2.5" stretchy="false" xref="A5.Ex111.m1.14.14.3.3.2.2.3.cmml">)</mo></mrow><mo id="A5.Ex111.m1.15.15.4.4.3.4a" xref="A5.Ex111.m1.15.15.4.4.3.4.cmml">⁢</mo><msup id="A5.Ex111.m1.15.15.4.4.3.6" xref="A5.Ex111.m1.15.15.4.4.3.6.cmml"><mi id="A5.Ex111.m1.15.15.4.4.3.6.2" xref="A5.Ex111.m1.15.15.4.4.3.6.2.cmml">q</mi><mrow id="A5.Ex111.m1.9.9.2" xref="A5.Ex111.m1.9.9.2.cmml"><mrow id="A5.Ex111.m1.9.9.2.2" xref="A5.Ex111.m1.9.9.2.2.cmml"><mo id="A5.Ex111.m1.9.9.2.2a" xref="A5.Ex111.m1.9.9.2.2.cmml">−</mo><mrow id="A5.Ex111.m1.9.9.2.2.1.1" xref="A5.Ex111.m1.9.9.2.2.1.2.cmml"><mo id="A5.Ex111.m1.9.9.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="A5.Ex111.m1.9.9.2.2.1.2.1.cmml">|</mo><mrow id="A5.Ex111.m1.9.9.2.2.1.1.1" xref="A5.Ex111.m1.9.9.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="A5.Ex111.m1.9.9.2.2.1.1.1.2" xref="A5.Ex111.m1.9.9.2.2.1.1.1.2.cmml">τ</mi><mo id="A5.Ex111.m1.9.9.2.2.1.1.1.1" xref="A5.Ex111.m1.9.9.2.2.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="A5.Ex111.m1.9.9.2.2.1.1.1.3" xref="A5.Ex111.m1.9.9.2.2.1.1.1.3.cmml"><mi id="A5.Ex111.m1.9.9.2.2.1.1.1.3.2" xref="A5.Ex111.m1.9.9.2.2.1.1.1.3.2.cmml">σ</mi><mi id="A5.Ex111.m1.9.9.2.2.1.1.1.3.3" xref="A5.Ex111.m1.9.9.2.2.1.1.1.3.3.cmml">a</mi></msub></mrow><mo id="A5.Ex111.m1.9.9.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="A5.Ex111.m1.9.9.2.2.1.2.1.cmml">|</mo></mrow></mrow><mo id="A5.Ex111.m1.9.9.2.3" xref="A5.Ex111.m1.9.9.2.3.cmml">−</mo><mrow id="A5.Ex111.m1.9.9.2.4.2" xref="A5.Ex111.m1.9.9.2.4.1.cmml"><mo id="A5.Ex111.m1.9.9.2.4.2.1" stretchy="false" xref="A5.Ex111.m1.9.9.2.4.1.1.cmml">|</mo><mi id="A5.Ex111.m1.8.8.1.1" xref="A5.Ex111.m1.8.8.1.1.cmml">τ</mi><mo id="A5.Ex111.m1.9.9.2.4.2.2" stretchy="false" xref="A5.Ex111.m1.9.9.2.4.1.1.cmml">|</mo></mrow></mrow></msup><mo id="A5.Ex111.m1.15.15.4.4.3.4b" xref="A5.Ex111.m1.15.15.4.4.3.4.cmml">⁢</mo><msub id="A5.Ex111.m1.15.15.4.4.3.3" xref="A5.Ex111.m1.15.15.4.4.3.3.cmml"><mrow id="A5.Ex111.m1.15.15.4.4.3.3.1.1" xref="A5.Ex111.m1.15.15.4.4.3.3.1.1.1.cmml"><mo id="A5.Ex111.m1.15.15.4.4.3.3.1.1.2" stretchy="false" xref="A5.Ex111.m1.15.15.4.4.3.3.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="A5.Ex111.m1.15.15.4.4.3.3.1.1.1" xref="A5.Ex111.m1.15.15.4.4.3.3.1.1.1.cmml"><mi id="A5.Ex111.m1.15.15.4.4.3.3.1.1.1.2" xref="A5.Ex111.m1.15.15.4.4.3.3.1.1.1.2.cmml">σ</mi><mi id="A5.Ex111.m1.15.15.4.4.3.3.1.1.1.3" xref="A5.Ex111.m1.15.15.4.4.3.3.1.1.1.3.cmml">a</mi></msub><mo id="A5.Ex111.m1.15.15.4.4.3.3.1.1.3" stretchy="false" xref="A5.Ex111.m1.15.15.4.4.3.3.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mi id="A5.Ex111.m1.15.15.4.4.3.3.3" xref="A5.Ex111.m1.15.15.4.4.3.3.3.cmml">R</mi></msub><mo id="A5.Ex111.m1.15.15.4.4.3.4c" xref="A5.Ex111.m1.15.15.4.4.3.4.cmml">⁢</mo><mrow id="A5.Ex111.m1.1.1a.3" xref="A5.Ex111.m1.1.1a.2.cmml"><mo id="A5.Ex111.m1.1.1a.3.1" stretchy="false" xref="A5.Ex111.m1.1.1a.2.1.cmml">|</mo><mrow id="A5.Ex111.m1.1.1.1.1.5" xref="A5.Ex111.m1.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="A5.Ex111.m1.1.1.1.1.1" 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id="A5.Ex111.m1.15.15.4.6.1.cmml" xref="A5.Ex111.m1.15.15.4.6">subscript</csymbol><apply id="A5.Ex111.m1.15.15.4.6.2.cmml" xref="A5.Ex111.m1.15.15.4.6"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.Ex111.m1.15.15.4.6.2.1.cmml" xref="A5.Ex111.m1.15.15.4.6">superscript</csymbol><ci id="A5.Ex111.m1.15.15.4.6.2.2.cmml" xref="A5.Ex111.m1.15.15.4.6.2.2">𝒲</ci><list id="A5.Ex111.m1.3.3.2.3.cmml" xref="A5.Ex111.m1.3.3.2.2"><apply id="A5.Ex111.m1.2.2.1.1.1.cmml" xref="A5.Ex111.m1.2.2.1.1.1"><times id="A5.Ex111.m1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="A5.Ex111.m1.2.2.1.1.1.1"></times><ci id="A5.Ex111.m1.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="A5.Ex111.m1.2.2.1.1.1.2">𝑖</ci><ci id="A5.Ex111.m1.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="A5.Ex111.m1.2.2.1.1.1.3">𝑔</ci></apply><apply id="A5.Ex111.m1.3.3.2.2.2.cmml" xref="A5.Ex111.m1.3.3.2.2.2"><times id="A5.Ex111.m1.3.3.2.2.2.1.cmml" xref="A5.Ex111.m1.3.3.2.2.2.1"></times><ci id="A5.Ex111.m1.3.3.2.2.2.2.cmml" xref="A5.Ex111.m1.3.3.2.2.2.2">𝑜</ci><ci id="A5.Ex111.m1.3.3.2.2.2.3.cmml" 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xref="A5.Ex111.m1.15.15.4.7.2">𝒟</ci><apply id="A5.Ex111.m1.15.15.4.7.3.cmml" xref="A5.Ex111.m1.15.15.4.7.3"><times id="A5.Ex111.m1.15.15.4.7.3.1.cmml" xref="A5.Ex111.m1.15.15.4.7.3.1"></times><ci id="A5.Ex111.m1.15.15.4.7.3.2.cmml" xref="A5.Ex111.m1.15.15.4.7.3.2">𝑏</ci><ci id="A5.Ex111.m1.15.15.4.7.3.3.cmml" xref="A5.Ex111.m1.15.15.4.7.3.3">𝑏</ci></apply></apply><ci id="A5.Ex111.m1.10.10.cmml" xref="A5.Ex111.m1.10.10">𝑞</ci><apply id="A5.Ex111.m1.15.15.4.9.cmml" xref="A5.Ex111.m1.15.15.4.9"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.Ex111.m1.15.15.4.9.1.cmml" xref="A5.Ex111.m1.15.15.4.9">subscript</csymbol><apply id="A5.Ex111.m1.15.15.4.9.2.cmml" xref="A5.Ex111.m1.15.15.4.9"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.Ex111.m1.15.15.4.9.2.1.cmml" xref="A5.Ex111.m1.15.15.4.9">superscript</csymbol><ci id="A5.Ex111.m1.15.15.4.9.2.2.cmml" xref="A5.Ex111.m1.15.15.4.9.2.2">𝒞</ci><list id="A5.Ex111.m1.5.5.2.3.cmml" xref="A5.Ex111.m1.5.5.2.2"><apply id="A5.Ex111.m1.4.4.1.1.1.cmml" xref="A5.Ex111.m1.4.4.1.1.1"><times id="A5.Ex111.m1.4.4.1.1.1.1.cmml" xref="A5.Ex111.m1.4.4.1.1.1.1"></times><ci id="A5.Ex111.m1.4.4.1.1.1.2.cmml" xref="A5.Ex111.m1.4.4.1.1.1.2">𝑔</ci><ci id="A5.Ex111.m1.4.4.1.1.1.3.cmml" xref="A5.Ex111.m1.4.4.1.1.1.3">ℎ</ci></apply><apply id="A5.Ex111.m1.5.5.2.2.2.cmml" xref="A5.Ex111.m1.5.5.2.2.2"><times id="A5.Ex111.m1.5.5.2.2.2.1.cmml" xref="A5.Ex111.m1.5.5.2.2.2.1"></times><ci id="A5.Ex111.m1.5.5.2.2.2.2.cmml" xref="A5.Ex111.m1.5.5.2.2.2.2">𝑛</ci><ci id="A5.Ex111.m1.5.5.2.2.2.3.cmml" xref="A5.Ex111.m1.5.5.2.2.2.3">𝑜</ci></apply></list></apply><apply id="A5.Ex111.m1.15.15.4.9.3.cmml" xref="A5.Ex111.m1.15.15.4.9.3"><times id="A5.Ex111.m1.15.15.4.9.3.1.cmml" xref="A5.Ex111.m1.15.15.4.9.3.1"></times><ci id="A5.Ex111.m1.15.15.4.9.3.2.cmml" xref="A5.Ex111.m1.15.15.4.9.3.2">𝑏</ci><ci id="A5.Ex111.m1.15.15.4.9.3.3.cmml" xref="A5.Ex111.m1.15.15.4.9.3.3">𝑐</ci></apply></apply><ci id="A5.Ex111.m1.11.11.cmml" xref="A5.Ex111.m1.11.11">𝑞</ci><apply id="A5.Ex111.m1.15.15.4.11.cmml" xref="A5.Ex111.m1.15.15.4.11"><divide id="A5.Ex111.m1.15.15.4.11.1.cmml" xref="A5.Ex111.m1.15.15.4.11"></divide><cn id="A5.Ex111.m1.15.15.4.11.2.cmml" type="integer" xref="A5.Ex111.m1.15.15.4.11.2">1</cn><apply id="A5.Ex111.m1.15.15.4.11.3.cmml" xref="A5.Ex111.m1.15.15.4.11.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.Ex111.m1.15.15.4.11.3.1.cmml" xref="A5.Ex111.m1.15.15.4.11.3">subscript</csymbol><ci id="A5.Ex111.m1.15.15.4.11.3.2.cmml" xref="A5.Ex111.m1.15.15.4.11.3.2">𝐶</ci><ci id="A5.Ex111.m1.15.15.4.11.3.3.cmml" xref="A5.Ex111.m1.15.15.4.11.3.3">𝑎</ci></apply></apply><apply id="A5.Ex111.m1.15.15.4.12.cmml" xref="A5.Ex111.m1.15.15.4.12"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.Ex111.m1.15.15.4.12.1.cmml" xref="A5.Ex111.m1.15.15.4.12">superscript</csymbol><apply id="A5.Ex111.m1.15.15.4.12.2.cmml" xref="A5.Ex111.m1.15.15.4.12"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.Ex111.m1.15.15.4.12.2.1.cmml" xref="A5.Ex111.m1.15.15.4.12">subscript</csymbol><ci id="A5.Ex111.m1.15.15.4.12.2.2.cmml" 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xref="A5.Ex111.m1.15.15.4.4"><apply id="A5.Ex111.m1.15.15.4.4.4.cmml" xref="A5.Ex111.m1.15.15.4.4.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.Ex111.m1.15.15.4.4.4.1.cmml" xref="A5.Ex111.m1.15.15.4.4.4">subscript</csymbol><sum id="A5.Ex111.m1.15.15.4.4.4.2.cmml" xref="A5.Ex111.m1.15.15.4.4.4.2"></sum><list id="A5.Ex111.m1.7.7.2.3.cmml" xref="A5.Ex111.m1.7.7.2.4"><ci id="A5.Ex111.m1.6.6.1.1.cmml" xref="A5.Ex111.m1.6.6.1.1">𝜋</ci><ci id="A5.Ex111.m1.7.7.2.2.cmml" xref="A5.Ex111.m1.7.7.2.2">𝜏</ci></list></apply><apply id="A5.Ex111.m1.15.15.4.4.3.cmml" xref="A5.Ex111.m1.15.15.4.4.3"><times id="A5.Ex111.m1.15.15.4.4.3.4.cmml" xref="A5.Ex111.m1.15.15.4.4.3.4"></times><ci id="A5.Ex111.m1.15.15.4.4.3.5a.cmml" xref="A5.Ex111.m1.15.15.4.4.3.5"><mtext id="A5.Ex111.m1.15.15.4.4.3.5.cmml" xref="A5.Ex111.m1.15.15.4.4.3.5">Wg</mtext></ci><interval closure="open" id="A5.Ex111.m1.14.14.3.3.2.2.3.cmml" xref="A5.Ex111.m1.14.14.3.3.2.2.2"><apply id="A5.Ex111.m1.13.13.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="A5.Ex111.m1.13.13.2.2.1.1.1.1"><times id="A5.Ex111.m1.13.13.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="A5.Ex111.m1.13.13.2.2.1.1.1.1.1"></times><ci id="A5.Ex111.m1.13.13.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="A5.Ex111.m1.13.13.2.2.1.1.1.1.2">𝜋</ci><apply id="A5.Ex111.m1.13.13.2.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="A5.Ex111.m1.13.13.2.2.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.Ex111.m1.13.13.2.2.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A5.Ex111.m1.13.13.2.2.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="A5.Ex111.m1.13.13.2.2.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A5.Ex111.m1.13.13.2.2.1.1.1.1.3.2">𝜏</ci><apply id="A5.Ex111.m1.13.13.2.2.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A5.Ex111.m1.13.13.2.2.1.1.1.1.3.3"><minus id="A5.Ex111.m1.13.13.2.2.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="A5.Ex111.m1.13.13.2.2.1.1.1.1.3.3"></minus><cn id="A5.Ex111.m1.13.13.2.2.1.1.1.1.3.3.2.cmml" type="integer" xref="A5.Ex111.m1.13.13.2.2.1.1.1.1.3.3.2">1</cn></apply></apply></apply><apply id="A5.Ex111.m1.14.14.3.3.2.2.2.2.cmml" xref="A5.Ex111.m1.14.14.3.3.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.Ex111.m1.14.14.3.3.2.2.2.2.1.cmml" xref="A5.Ex111.m1.14.14.3.3.2.2.2.2">superscript</csymbol><ci id="A5.Ex111.m1.14.14.3.3.2.2.2.2.2.cmml" xref="A5.Ex111.m1.14.14.3.3.2.2.2.2.2">𝑞</ci><ci id="A5.Ex111.m1.14.14.3.3.2.2.2.2.3.cmml" xref="A5.Ex111.m1.14.14.3.3.2.2.2.2.3">𝑚</ci></apply></interval><apply id="A5.Ex111.m1.15.15.4.4.3.6.cmml" xref="A5.Ex111.m1.15.15.4.4.3.6"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.Ex111.m1.15.15.4.4.3.6.1.cmml" xref="A5.Ex111.m1.15.15.4.4.3.6">superscript</csymbol><ci id="A5.Ex111.m1.15.15.4.4.3.6.2.cmml" xref="A5.Ex111.m1.15.15.4.4.3.6.2">𝑞</ci><apply id="A5.Ex111.m1.9.9.2.cmml" xref="A5.Ex111.m1.9.9.2"><minus id="A5.Ex111.m1.9.9.2.3.cmml" xref="A5.Ex111.m1.9.9.2.3"></minus><apply id="A5.Ex111.m1.9.9.2.2.cmml" xref="A5.Ex111.m1.9.9.2.2"><minus id="A5.Ex111.m1.9.9.2.2.2.cmml" xref="A5.Ex111.m1.9.9.2.2"></minus><apply id="A5.Ex111.m1.9.9.2.2.1.2.cmml" xref="A5.Ex111.m1.9.9.2.2.1.1"><abs id="A5.Ex111.m1.9.9.2.2.1.2.1.cmml" 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xref="A5.Ex111.m1.1.1.1.1.2">𝜋</ci><ci id="A5.Ex111.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A5.Ex111.m1.1.1.1.1.3">𝐼</ci></list></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A5.Ex111.m1.15c">\displaystyle=\mathcal{W}^{ig,o\ell}_{ab}(q^{2})\mathcal{D}_{bb}(q)\mathcal{C}% ^{gh,no}_{bc}(q)\frac{1}{C_{a}}L_{\nu_{L}}^{hj}R_{\nu_{R}}^{kn}\sum_{\pi,\tau}% \text{Wg}(\pi\tau^{-1},q^{m})q^{-|\tau\sigma_{a}|-|\tau|}(\sigma_{a})_{R}\ket{% \pi,\pi,I}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A5.Ex111.m1.15d">= caligraphic_W start_POSTSUPERSCRIPT italic_i italic_g , italic_o roman_ℓ end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_a italic_b end_POSTSUBSCRIPT ( italic_q start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ) caligraphic_D start_POSTSUBSCRIPT italic_b italic_b end_POSTSUBSCRIPT ( italic_q ) caligraphic_C start_POSTSUPERSCRIPT italic_g italic_h , italic_n italic_o end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_b italic_c end_POSTSUBSCRIPT ( italic_q ) divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_C start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT end_ARG italic_L start_POSTSUBSCRIPT italic_ν start_POSTSUBSCRIPT italic_L end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_h italic_j end_POSTSUPERSCRIPT italic_R start_POSTSUBSCRIPT italic_ν start_POSTSUBSCRIPT italic_R end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_k italic_n end_POSTSUPERSCRIPT ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_π , italic_τ end_POSTSUBSCRIPT Wg ( italic_π italic_τ start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT , italic_q start_POSTSUPERSCRIPT italic_m end_POSTSUPERSCRIPT ) italic_q start_POSTSUPERSCRIPT - | italic_τ italic_σ start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT | - | italic_τ | end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_σ start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT ) start_POSTSUBSCRIPT italic_R end_POSTSUBSCRIPT | start_ARG italic_π , italic_π , italic_I end_ARG ⟩</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="A5.p3.7">Where we took <math alttext="(\pi\rightarrow\pi\sigma_{a},\tau\rightarrow\tau\sigma_{a})" class="ltx_Math" display="inline" id="A5.p3.4.m1.1"><semantics id="A5.p3.4.m1.1a"><mrow id="A5.p3.4.m1.1.1.1"><mo id="A5.p3.4.m1.1.1.1.2" stretchy="false">(</mo><mrow id="A5.p3.4.m1.1.1.1.1.2" xref="A5.p3.4.m1.1.1.1.1.3.cmml"><mrow id="A5.p3.4.m1.1.1.1.1.1.1" xref="A5.p3.4.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A5.p3.4.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A5.p3.4.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">π</mi><mo id="A5.p3.4.m1.1.1.1.1.1.1.1" stretchy="false" xref="A5.p3.4.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">→</mo><mrow id="A5.p3.4.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A5.p3.4.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A5.p3.4.m1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A5.p3.4.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">π</mi><mo id="A5.p3.4.m1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="A5.p3.4.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="A5.p3.4.m1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A5.p3.4.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi 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xref="A5.p3.4.m1.1.1.1.1.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="A5.p3.4.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="A5.p3.4.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2">𝜎</ci><ci id="A5.p3.4.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="A5.p3.4.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3">𝑎</ci></apply></apply></apply><apply id="A5.p3.4.m1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A5.p3.4.m1.1.1.1.1.2.2"><ci id="A5.p3.4.m1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="A5.p3.4.m1.1.1.1.1.2.2.1">→</ci><ci id="A5.p3.4.m1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="A5.p3.4.m1.1.1.1.1.2.2.2">𝜏</ci><apply id="A5.p3.4.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="A5.p3.4.m1.1.1.1.1.2.2.3"><times id="A5.p3.4.m1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="A5.p3.4.m1.1.1.1.1.2.2.3.1"></times><ci id="A5.p3.4.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="A5.p3.4.m1.1.1.1.1.2.2.3.2">𝜏</ci><apply id="A5.p3.4.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml" xref="A5.p3.4.m1.1.1.1.1.2.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.p3.4.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.1.cmml" xref="A5.p3.4.m1.1.1.1.1.2.2.3.3">subscript</csymbol><ci id="A5.p3.4.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.2.cmml" xref="A5.p3.4.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.2">𝜎</ci><ci id="A5.p3.4.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.3.cmml" xref="A5.p3.4.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.3">𝑎</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A5.p3.4.m1.1c">(\pi\rightarrow\pi\sigma_{a},\tau\rightarrow\tau\sigma_{a})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A5.p3.4.m1.1d">( italic_π → italic_π italic_σ start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT , italic_τ → italic_τ italic_σ start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math> in the final line. Dropping the <math alttext="\mathcal{W},\mathcal{D},\mathcal{C}" class="ltx_Math" display="inline" id="A5.p3.5.m2.3"><semantics id="A5.p3.5.m2.3a"><mrow id="A5.p3.5.m2.3.4.2" xref="A5.p3.5.m2.3.4.1.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="A5.p3.5.m2.1.1" xref="A5.p3.5.m2.1.1.cmml">𝒲</mi><mo id="A5.p3.5.m2.3.4.2.1" xref="A5.p3.5.m2.3.4.1.cmml">,</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="A5.p3.5.m2.2.2" xref="A5.p3.5.m2.2.2.cmml">𝒟</mi><mo id="A5.p3.5.m2.3.4.2.2" xref="A5.p3.5.m2.3.4.1.cmml">,</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="A5.p3.5.m2.3.3" xref="A5.p3.5.m2.3.3.cmml">𝒞</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A5.p3.5.m2.3b"><list id="A5.p3.5.m2.3.4.1.cmml" xref="A5.p3.5.m2.3.4.2"><ci id="A5.p3.5.m2.1.1.cmml" xref="A5.p3.5.m2.1.1">𝒲</ci><ci id="A5.p3.5.m2.2.2.cmml" xref="A5.p3.5.m2.2.2">𝒟</ci><ci id="A5.p3.5.m2.3.3.cmml" xref="A5.p3.5.m2.3.3">𝒞</ci></list></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A5.p3.5.m2.3c">\mathcal{W},\mathcal{D},\mathcal{C}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A5.p3.5.m2.3d">caligraphic_W , caligraphic_D , caligraphic_C</annotation></semantics></math> matrices in front, and converting the sums over <math alttext="\pi,\tau" class="ltx_Math" display="inline" id="A5.p3.6.m3.2"><semantics id="A5.p3.6.m3.2a"><mrow id="A5.p3.6.m3.2.3.2" xref="A5.p3.6.m3.2.3.1.cmml"><mi id="A5.p3.6.m3.1.1" xref="A5.p3.6.m3.1.1.cmml">π</mi><mo id="A5.p3.6.m3.2.3.2.1" xref="A5.p3.6.m3.2.3.1.cmml">,</mo><mi id="A5.p3.6.m3.2.2" xref="A5.p3.6.m3.2.2.cmml">τ</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A5.p3.6.m3.2b"><list id="A5.p3.6.m3.2.3.1.cmml" xref="A5.p3.6.m3.2.3.2"><ci id="A5.p3.6.m3.1.1.cmml" xref="A5.p3.6.m3.1.1">𝜋</ci><ci id="A5.p3.6.m3.2.2.cmml" xref="A5.p3.6.m3.2.2">𝜏</ci></list></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A5.p3.6.m3.2c">\pi,\tau</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A5.p3.6.m3.2d">italic_π , italic_τ</annotation></semantics></math> into conjugacy class sums over <math alttext="\pi\sigma_{e}^{-1}\pi,\tau\sigma_{d}^{-1}\tau" class="ltx_Math" display="inline" id="A5.p3.7.m4.2"><semantics id="A5.p3.7.m4.2a"><mrow id="A5.p3.7.m4.2.2.2" xref="A5.p3.7.m4.2.2.3.cmml"><mrow id="A5.p3.7.m4.1.1.1.1" xref="A5.p3.7.m4.1.1.1.1.cmml"><mi id="A5.p3.7.m4.1.1.1.1.2" xref="A5.p3.7.m4.1.1.1.1.2.cmml">π</mi><mo id="A5.p3.7.m4.1.1.1.1.1" xref="A5.p3.7.m4.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="A5.p3.7.m4.1.1.1.1.3" xref="A5.p3.7.m4.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A5.p3.7.m4.1.1.1.1.3.2.2" xref="A5.p3.7.m4.1.1.1.1.3.2.2.cmml">σ</mi><mi id="A5.p3.7.m4.1.1.1.1.3.2.3" xref="A5.p3.7.m4.1.1.1.1.3.2.3.cmml">e</mi><mrow id="A5.p3.7.m4.1.1.1.1.3.3" xref="A5.p3.7.m4.1.1.1.1.3.3.cmml"><mo id="A5.p3.7.m4.1.1.1.1.3.3a" xref="A5.p3.7.m4.1.1.1.1.3.3.cmml">−</mo><mn id="A5.p3.7.m4.1.1.1.1.3.3.2" xref="A5.p3.7.m4.1.1.1.1.3.3.2.cmml">1</mn></mrow></msubsup><mo id="A5.p3.7.m4.1.1.1.1.1a" xref="A5.p3.7.m4.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="A5.p3.7.m4.1.1.1.1.4" xref="A5.p3.7.m4.1.1.1.1.4.cmml">π</mi></mrow><mo id="A5.p3.7.m4.2.2.2.3" xref="A5.p3.7.m4.2.2.3.cmml">,</mo><mrow id="A5.p3.7.m4.2.2.2.2" xref="A5.p3.7.m4.2.2.2.2.cmml"><mi id="A5.p3.7.m4.2.2.2.2.2" xref="A5.p3.7.m4.2.2.2.2.2.cmml">τ</mi><mo id="A5.p3.7.m4.2.2.2.2.1" xref="A5.p3.7.m4.2.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="A5.p3.7.m4.2.2.2.2.3" xref="A5.p3.7.m4.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="A5.p3.7.m4.2.2.2.2.3.2.2" xref="A5.p3.7.m4.2.2.2.2.3.2.2.cmml">σ</mi><mi id="A5.p3.7.m4.2.2.2.2.3.2.3" xref="A5.p3.7.m4.2.2.2.2.3.2.3.cmml">d</mi><mrow id="A5.p3.7.m4.2.2.2.2.3.3" xref="A5.p3.7.m4.2.2.2.2.3.3.cmml"><mo id="A5.p3.7.m4.2.2.2.2.3.3a" xref="A5.p3.7.m4.2.2.2.2.3.3.cmml">−</mo><mn id="A5.p3.7.m4.2.2.2.2.3.3.2" xref="A5.p3.7.m4.2.2.2.2.3.3.2.cmml">1</mn></mrow></msubsup><mo id="A5.p3.7.m4.2.2.2.2.1a" xref="A5.p3.7.m4.2.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="A5.p3.7.m4.2.2.2.2.4" xref="A5.p3.7.m4.2.2.2.2.4.cmml">τ</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A5.p3.7.m4.2b"><list id="A5.p3.7.m4.2.2.3.cmml" xref="A5.p3.7.m4.2.2.2"><apply id="A5.p3.7.m4.1.1.1.1.cmml" xref="A5.p3.7.m4.1.1.1.1"><times id="A5.p3.7.m4.1.1.1.1.1.cmml" xref="A5.p3.7.m4.1.1.1.1.1"></times><ci id="A5.p3.7.m4.1.1.1.1.2.cmml" xref="A5.p3.7.m4.1.1.1.1.2">𝜋</ci><apply id="A5.p3.7.m4.1.1.1.1.3.cmml" xref="A5.p3.7.m4.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.p3.7.m4.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A5.p3.7.m4.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="A5.p3.7.m4.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A5.p3.7.m4.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.p3.7.m4.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="A5.p3.7.m4.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A5.p3.7.m4.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="A5.p3.7.m4.1.1.1.1.3.2.2">𝜎</ci><ci id="A5.p3.7.m4.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="A5.p3.7.m4.1.1.1.1.3.2.3">𝑒</ci></apply><apply id="A5.p3.7.m4.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A5.p3.7.m4.1.1.1.1.3.3"><minus id="A5.p3.7.m4.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="A5.p3.7.m4.1.1.1.1.3.3"></minus><cn id="A5.p3.7.m4.1.1.1.1.3.3.2.cmml" type="integer" xref="A5.p3.7.m4.1.1.1.1.3.3.2">1</cn></apply></apply><ci id="A5.p3.7.m4.1.1.1.1.4.cmml" xref="A5.p3.7.m4.1.1.1.1.4">𝜋</ci></apply><apply id="A5.p3.7.m4.2.2.2.2.cmml" xref="A5.p3.7.m4.2.2.2.2"><times id="A5.p3.7.m4.2.2.2.2.1.cmml" xref="A5.p3.7.m4.2.2.2.2.1"></times><ci id="A5.p3.7.m4.2.2.2.2.2.cmml" xref="A5.p3.7.m4.2.2.2.2.2">𝜏</ci><apply id="A5.p3.7.m4.2.2.2.2.3.cmml" xref="A5.p3.7.m4.2.2.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.p3.7.m4.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="A5.p3.7.m4.2.2.2.2.3">superscript</csymbol><apply id="A5.p3.7.m4.2.2.2.2.3.2.cmml" xref="A5.p3.7.m4.2.2.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.p3.7.m4.2.2.2.2.3.2.1.cmml" xref="A5.p3.7.m4.2.2.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="A5.p3.7.m4.2.2.2.2.3.2.2.cmml" xref="A5.p3.7.m4.2.2.2.2.3.2.2">𝜎</ci><ci id="A5.p3.7.m4.2.2.2.2.3.2.3.cmml" xref="A5.p3.7.m4.2.2.2.2.3.2.3">𝑑</ci></apply><apply id="A5.p3.7.m4.2.2.2.2.3.3.cmml" xref="A5.p3.7.m4.2.2.2.2.3.3"><minus id="A5.p3.7.m4.2.2.2.2.3.3.1.cmml" xref="A5.p3.7.m4.2.2.2.2.3.3"></minus><cn id="A5.p3.7.m4.2.2.2.2.3.3.2.cmml" type="integer" xref="A5.p3.7.m4.2.2.2.2.3.3.2">1</cn></apply></apply><ci id="A5.p3.7.m4.2.2.2.2.4.cmml" xref="A5.p3.7.m4.2.2.2.2.4">𝜏</ci></apply></list></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A5.p3.7.m4.2c">\pi\sigma_{e}^{-1}\pi,\tau\sigma_{d}^{-1}\tau</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A5.p3.7.m4.2d">italic_π italic_σ start_POSTSUBSCRIPT italic_e end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT italic_π , italic_τ italic_σ start_POSTSUBSCRIPT italic_d end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT italic_τ</annotation></semantics></math>, this expression becomes</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="S6.EGx240"> <tbody id="A5.Ex112"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=\frac{1}{C_{a}}L_{\nu_{L}}^{hj}R_{\nu_{R}}^{kn}\sum_{\pi,\tau,d,% e}\frac{1}{C_{d}C_{e}}\text{Wg}(\pi\sigma_{e}^{-1}\pi^{-1}\tau\sigma_{d}\tau^{% -1},q^{m+1})q^{-m|\tau\sigma_{d}^{-1}\tau^{-1}\sigma_{a}|-|\sigma_{d}|}(\sigma% _{a})_{R}\ket{\pi\sigma_{e}^{-1}\pi^{-1},\pi\sigma_{e}^{-1}\pi^{-1},I}" class="ltx_Math" display="inline" id="A5.Ex112.m1.10"><semantics id="A5.Ex112.m1.10a"><mrow id="A5.Ex112.m1.10.10" xref="A5.Ex112.m1.10.10.cmml"><mi id="A5.Ex112.m1.10.10.5" xref="A5.Ex112.m1.10.10.5.cmml"></mi><mo id="A5.Ex112.m1.10.10.4" xref="A5.Ex112.m1.10.10.4.cmml">=</mo><mrow id="A5.Ex112.m1.10.10.3" xref="A5.Ex112.m1.10.10.3.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A5.Ex112.m1.10.10.3.5" xref="A5.Ex112.m1.10.10.3.5.cmml"><mfrac id="A5.Ex112.m1.10.10.3.5a" xref="A5.Ex112.m1.10.10.3.5.cmml"><mn id="A5.Ex112.m1.10.10.3.5.2" xref="A5.Ex112.m1.10.10.3.5.2.cmml">1</mn><msub id="A5.Ex112.m1.10.10.3.5.3" xref="A5.Ex112.m1.10.10.3.5.3.cmml"><mi id="A5.Ex112.m1.10.10.3.5.3.2" xref="A5.Ex112.m1.10.10.3.5.3.2.cmml">C</mi><mi id="A5.Ex112.m1.10.10.3.5.3.3" xref="A5.Ex112.m1.10.10.3.5.3.3.cmml">a</mi></msub></mfrac></mstyle><mo id="A5.Ex112.m1.10.10.3.4" xref="A5.Ex112.m1.10.10.3.4.cmml">⁢</mo><msubsup id="A5.Ex112.m1.10.10.3.6" xref="A5.Ex112.m1.10.10.3.6.cmml"><mi id="A5.Ex112.m1.10.10.3.6.2.2" xref="A5.Ex112.m1.10.10.3.6.2.2.cmml">L</mi><msub id="A5.Ex112.m1.10.10.3.6.2.3" xref="A5.Ex112.m1.10.10.3.6.2.3.cmml"><mi id="A5.Ex112.m1.10.10.3.6.2.3.2" xref="A5.Ex112.m1.10.10.3.6.2.3.2.cmml">ν</mi><mi id="A5.Ex112.m1.10.10.3.6.2.3.3" xref="A5.Ex112.m1.10.10.3.6.2.3.3.cmml">L</mi></msub><mrow id="A5.Ex112.m1.10.10.3.6.3" xref="A5.Ex112.m1.10.10.3.6.3.cmml"><mi id="A5.Ex112.m1.10.10.3.6.3.2" xref="A5.Ex112.m1.10.10.3.6.3.2.cmml">h</mi><mo id="A5.Ex112.m1.10.10.3.6.3.1" xref="A5.Ex112.m1.10.10.3.6.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A5.Ex112.m1.10.10.3.6.3.3" xref="A5.Ex112.m1.10.10.3.6.3.3.cmml">j</mi></mrow></msubsup><mo id="A5.Ex112.m1.10.10.3.4a" xref="A5.Ex112.m1.10.10.3.4.cmml">⁢</mo><msubsup id="A5.Ex112.m1.10.10.3.7" xref="A5.Ex112.m1.10.10.3.7.cmml"><mi id="A5.Ex112.m1.10.10.3.7.2.2" xref="A5.Ex112.m1.10.10.3.7.2.2.cmml">R</mi><msub id="A5.Ex112.m1.10.10.3.7.2.3" xref="A5.Ex112.m1.10.10.3.7.2.3.cmml"><mi id="A5.Ex112.m1.10.10.3.7.2.3.2" xref="A5.Ex112.m1.10.10.3.7.2.3.2.cmml">ν</mi><mi id="A5.Ex112.m1.10.10.3.7.2.3.3" xref="A5.Ex112.m1.10.10.3.7.2.3.3.cmml">R</mi></msub><mrow id="A5.Ex112.m1.10.10.3.7.3" xref="A5.Ex112.m1.10.10.3.7.3.cmml"><mi id="A5.Ex112.m1.10.10.3.7.3.2" xref="A5.Ex112.m1.10.10.3.7.3.2.cmml">k</mi><mo id="A5.Ex112.m1.10.10.3.7.3.1" xref="A5.Ex112.m1.10.10.3.7.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A5.Ex112.m1.10.10.3.7.3.3" xref="A5.Ex112.m1.10.10.3.7.3.3.cmml">n</mi></mrow></msubsup><mo id="A5.Ex112.m1.10.10.3.4b" xref="A5.Ex112.m1.10.10.3.4.cmml">⁢</mo><mrow id="A5.Ex112.m1.10.10.3.3" xref="A5.Ex112.m1.10.10.3.3.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A5.Ex112.m1.10.10.3.3.4" xref="A5.Ex112.m1.10.10.3.3.4.cmml"><munder id="A5.Ex112.m1.10.10.3.3.4a" xref="A5.Ex112.m1.10.10.3.3.4.cmml"><mo id="A5.Ex112.m1.10.10.3.3.4.2" movablelimits="false" xref="A5.Ex112.m1.10.10.3.3.4.2.cmml">∑</mo><mrow id="A5.Ex112.m1.5.5.4.6" xref="A5.Ex112.m1.5.5.4.5.cmml"><mi id="A5.Ex112.m1.2.2.1.1" xref="A5.Ex112.m1.2.2.1.1.cmml">π</mi><mo id="A5.Ex112.m1.5.5.4.6.1" xref="A5.Ex112.m1.5.5.4.5.cmml">,</mo><mi id="A5.Ex112.m1.3.3.2.2" xref="A5.Ex112.m1.3.3.2.2.cmml">τ</mi><mo id="A5.Ex112.m1.5.5.4.6.2" xref="A5.Ex112.m1.5.5.4.5.cmml">,</mo><mi id="A5.Ex112.m1.4.4.3.3" xref="A5.Ex112.m1.4.4.3.3.cmml">d</mi><mo id="A5.Ex112.m1.5.5.4.6.3" xref="A5.Ex112.m1.5.5.4.5.cmml">,</mo><mi id="A5.Ex112.m1.5.5.4.4" xref="A5.Ex112.m1.5.5.4.4.cmml">e</mi></mrow></munder></mstyle><mrow id="A5.Ex112.m1.10.10.3.3.3" xref="A5.Ex112.m1.10.10.3.3.3.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A5.Ex112.m1.10.10.3.3.3.5" xref="A5.Ex112.m1.10.10.3.3.3.5.cmml"><mfrac id="A5.Ex112.m1.10.10.3.3.3.5a" xref="A5.Ex112.m1.10.10.3.3.3.5.cmml"><mn id="A5.Ex112.m1.10.10.3.3.3.5.2" xref="A5.Ex112.m1.10.10.3.3.3.5.2.cmml">1</mn><mrow id="A5.Ex112.m1.10.10.3.3.3.5.3" xref="A5.Ex112.m1.10.10.3.3.3.5.3.cmml"><msub id="A5.Ex112.m1.10.10.3.3.3.5.3.2" xref="A5.Ex112.m1.10.10.3.3.3.5.3.2.cmml"><mi id="A5.Ex112.m1.10.10.3.3.3.5.3.2.2" xref="A5.Ex112.m1.10.10.3.3.3.5.3.2.2.cmml">C</mi><mi id="A5.Ex112.m1.10.10.3.3.3.5.3.2.3" xref="A5.Ex112.m1.10.10.3.3.3.5.3.2.3.cmml">d</mi></msub><mo id="A5.Ex112.m1.10.10.3.3.3.5.3.1" xref="A5.Ex112.m1.10.10.3.3.3.5.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="A5.Ex112.m1.10.10.3.3.3.5.3.3" xref="A5.Ex112.m1.10.10.3.3.3.5.3.3.cmml"><mi id="A5.Ex112.m1.10.10.3.3.3.5.3.3.2" xref="A5.Ex112.m1.10.10.3.3.3.5.3.3.2.cmml">C</mi><mi id="A5.Ex112.m1.10.10.3.3.3.5.3.3.3" xref="A5.Ex112.m1.10.10.3.3.3.5.3.3.3.cmml">e</mi></msub></mrow></mfrac></mstyle><mo id="A5.Ex112.m1.10.10.3.3.3.4" xref="A5.Ex112.m1.10.10.3.3.3.4.cmml">⁢</mo><mtext id="A5.Ex112.m1.10.10.3.3.3.6" xref="A5.Ex112.m1.10.10.3.3.3.6a.cmml">Wg</mtext><mo id="A5.Ex112.m1.10.10.3.3.3.4a" xref="A5.Ex112.m1.10.10.3.3.3.4.cmml">⁢</mo><mrow id="A5.Ex112.m1.9.9.2.2.2.2.2" xref="A5.Ex112.m1.9.9.2.2.2.2.3.cmml"><mo id="A5.Ex112.m1.9.9.2.2.2.2.2.3" stretchy="false" xref="A5.Ex112.m1.9.9.2.2.2.2.3.cmml">(</mo><mrow id="A5.Ex112.m1.8.8.1.1.1.1.1.1" xref="A5.Ex112.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A5.Ex112.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.2" xref="A5.Ex112.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.2.cmml">π</mi><mo id="A5.Ex112.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1" xref="A5.Ex112.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="A5.Ex112.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.3" xref="A5.Ex112.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A5.Ex112.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="A5.Ex112.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">σ</mi><mi id="A5.Ex112.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="A5.Ex112.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">e</mi><mrow id="A5.Ex112.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A5.Ex112.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mo id="A5.Ex112.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.3.3a" xref="A5.Ex112.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">−</mo><mn id="A5.Ex112.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="A5.Ex112.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">1</mn></mrow></msubsup><mo id="A5.Ex112.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1a" xref="A5.Ex112.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msup id="A5.Ex112.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.4" xref="A5.Ex112.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="A5.Ex112.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.4.2" xref="A5.Ex112.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml">π</mi><mrow id="A5.Ex112.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.4.3" xref="A5.Ex112.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml"><mo id="A5.Ex112.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.4.3a" xref="A5.Ex112.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml">−</mo><mn id="A5.Ex112.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.4.3.2" xref="A5.Ex112.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.4.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="A5.Ex112.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1b" xref="A5.Ex112.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="A5.Ex112.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.5" xref="A5.Ex112.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.5.cmml">τ</mi><mo id="A5.Ex112.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1c" xref="A5.Ex112.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="A5.Ex112.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.6" xref="A5.Ex112.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.6.cmml"><mi id="A5.Ex112.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.6.2" xref="A5.Ex112.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.6.2.cmml">σ</mi><mi id="A5.Ex112.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.6.3" xref="A5.Ex112.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.6.3.cmml">d</mi></msub><mo id="A5.Ex112.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1d" xref="A5.Ex112.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msup id="A5.Ex112.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.7" xref="A5.Ex112.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.7.cmml"><mi id="A5.Ex112.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.7.2" xref="A5.Ex112.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.7.2.cmml">τ</mi><mrow id="A5.Ex112.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.7.3" xref="A5.Ex112.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.7.3.cmml"><mo id="A5.Ex112.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.7.3a" xref="A5.Ex112.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.7.3.cmml">−</mo><mn id="A5.Ex112.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.7.3.2" xref="A5.Ex112.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.7.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup></mrow><mo id="A5.Ex112.m1.9.9.2.2.2.2.2.4" xref="A5.Ex112.m1.9.9.2.2.2.2.3.cmml">,</mo><msup id="A5.Ex112.m1.9.9.2.2.2.2.2.2" xref="A5.Ex112.m1.9.9.2.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="A5.Ex112.m1.9.9.2.2.2.2.2.2.2" xref="A5.Ex112.m1.9.9.2.2.2.2.2.2.2.cmml">q</mi><mrow id="A5.Ex112.m1.9.9.2.2.2.2.2.2.3" xref="A5.Ex112.m1.9.9.2.2.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="A5.Ex112.m1.9.9.2.2.2.2.2.2.3.2" xref="A5.Ex112.m1.9.9.2.2.2.2.2.2.3.2.cmml">m</mi><mo id="A5.Ex112.m1.9.9.2.2.2.2.2.2.3.1" xref="A5.Ex112.m1.9.9.2.2.2.2.2.2.3.1.cmml">+</mo><mn id="A5.Ex112.m1.9.9.2.2.2.2.2.2.3.3" xref="A5.Ex112.m1.9.9.2.2.2.2.2.2.3.3.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="A5.Ex112.m1.9.9.2.2.2.2.2.5" stretchy="false" xref="A5.Ex112.m1.9.9.2.2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow><mo id="A5.Ex112.m1.10.10.3.3.3.4b" xref="A5.Ex112.m1.10.10.3.3.3.4.cmml">⁢</mo><msup id="A5.Ex112.m1.10.10.3.3.3.7" xref="A5.Ex112.m1.10.10.3.3.3.7.cmml"><mi id="A5.Ex112.m1.10.10.3.3.3.7.2" xref="A5.Ex112.m1.10.10.3.3.3.7.2.cmml">q</mi><mrow id="A5.Ex112.m1.7.7.2" xref="A5.Ex112.m1.7.7.2.cmml"><mrow id="A5.Ex112.m1.6.6.1.1" xref="A5.Ex112.m1.6.6.1.1.cmml"><mo id="A5.Ex112.m1.6.6.1.1a" xref="A5.Ex112.m1.6.6.1.1.cmml">−</mo><mrow id="A5.Ex112.m1.6.6.1.1.1" xref="A5.Ex112.m1.6.6.1.1.1.cmml"><mi id="A5.Ex112.m1.6.6.1.1.1.3" xref="A5.Ex112.m1.6.6.1.1.1.3.cmml">m</mi><mo id="A5.Ex112.m1.6.6.1.1.1.2" xref="A5.Ex112.m1.6.6.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A5.Ex112.m1.6.6.1.1.1.1.1" xref="A5.Ex112.m1.6.6.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="A5.Ex112.m1.6.6.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A5.Ex112.m1.6.6.1.1.1.1.2.1.cmml">|</mo><mrow id="A5.Ex112.m1.6.6.1.1.1.1.1.1" xref="A5.Ex112.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A5.Ex112.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2" xref="A5.Ex112.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.cmml">τ</mi><mo id="A5.Ex112.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1" xref="A5.Ex112.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="A5.Ex112.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3" xref="A5.Ex112.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A5.Ex112.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="A5.Ex112.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">σ</mi><mi id="A5.Ex112.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="A5.Ex112.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">d</mi><mrow id="A5.Ex112.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A5.Ex112.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mo id="A5.Ex112.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.3a" xref="A5.Ex112.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">−</mo><mn id="A5.Ex112.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="A5.Ex112.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">1</mn></mrow></msubsup><mo id="A5.Ex112.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1a" xref="A5.Ex112.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msup id="A5.Ex112.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.4" xref="A5.Ex112.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="A5.Ex112.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.4.2" xref="A5.Ex112.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml">τ</mi><mrow id="A5.Ex112.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.4.3" xref="A5.Ex112.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml"><mo id="A5.Ex112.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.4.3a" xref="A5.Ex112.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml">−</mo><mn id="A5.Ex112.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.4.3.2" xref="A5.Ex112.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.4.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="A5.Ex112.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1b" xref="A5.Ex112.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="A5.Ex112.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.5" xref="A5.Ex112.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.5.cmml"><mi id="A5.Ex112.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.5.2" xref="A5.Ex112.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.5.2.cmml">σ</mi><mi id="A5.Ex112.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.5.3" xref="A5.Ex112.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.5.3.cmml">a</mi></msub></mrow><mo id="A5.Ex112.m1.6.6.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A5.Ex112.m1.6.6.1.1.1.1.2.1.cmml">|</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="A5.Ex112.m1.7.7.2.3" xref="A5.Ex112.m1.7.7.2.3.cmml">−</mo><mrow id="A5.Ex112.m1.7.7.2.2.1" xref="A5.Ex112.m1.7.7.2.2.2.cmml"><mo id="A5.Ex112.m1.7.7.2.2.1.2" stretchy="false" xref="A5.Ex112.m1.7.7.2.2.2.1.cmml">|</mo><msub id="A5.Ex112.m1.7.7.2.2.1.1" xref="A5.Ex112.m1.7.7.2.2.1.1.cmml"><mi id="A5.Ex112.m1.7.7.2.2.1.1.2" xref="A5.Ex112.m1.7.7.2.2.1.1.2.cmml">σ</mi><mi id="A5.Ex112.m1.7.7.2.2.1.1.3" xref="A5.Ex112.m1.7.7.2.2.1.1.3.cmml">d</mi></msub><mo id="A5.Ex112.m1.7.7.2.2.1.3" stretchy="false" xref="A5.Ex112.m1.7.7.2.2.2.1.cmml">|</mo></mrow></mrow></msup><mo id="A5.Ex112.m1.10.10.3.3.3.4c" xref="A5.Ex112.m1.10.10.3.3.3.4.cmml">⁢</mo><msub id="A5.Ex112.m1.10.10.3.3.3.3" xref="A5.Ex112.m1.10.10.3.3.3.3.cmml"><mrow id="A5.Ex112.m1.10.10.3.3.3.3.1.1" xref="A5.Ex112.m1.10.10.3.3.3.3.1.1.1.cmml"><mo id="A5.Ex112.m1.10.10.3.3.3.3.1.1.2" stretchy="false" xref="A5.Ex112.m1.10.10.3.3.3.3.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="A5.Ex112.m1.10.10.3.3.3.3.1.1.1" xref="A5.Ex112.m1.10.10.3.3.3.3.1.1.1.cmml"><mi id="A5.Ex112.m1.10.10.3.3.3.3.1.1.1.2" xref="A5.Ex112.m1.10.10.3.3.3.3.1.1.1.2.cmml">σ</mi><mi id="A5.Ex112.m1.10.10.3.3.3.3.1.1.1.3" xref="A5.Ex112.m1.10.10.3.3.3.3.1.1.1.3.cmml">a</mi></msub><mo id="A5.Ex112.m1.10.10.3.3.3.3.1.1.3" stretchy="false" xref="A5.Ex112.m1.10.10.3.3.3.3.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mi id="A5.Ex112.m1.10.10.3.3.3.3.3" xref="A5.Ex112.m1.10.10.3.3.3.3.3.cmml">R</mi></msub><mo id="A5.Ex112.m1.10.10.3.3.3.4d" xref="A5.Ex112.m1.10.10.3.3.3.4.cmml">⁢</mo><mrow id="A5.Ex112.m1.1.1a.3" xref="A5.Ex112.m1.1.1a.2.cmml"><mo id="A5.Ex112.m1.1.1a.3.1" stretchy="false" xref="A5.Ex112.m1.1.1a.2.1.cmml">|</mo><mrow id="A5.Ex112.m1.1.1.1.1.3" xref="A5.Ex112.m1.1.1.1.1.4.cmml"><mrow id="A5.Ex112.m1.1.1.1.1.2.1" xref="A5.Ex112.m1.1.1.1.1.2.1.cmml"><mi id="A5.Ex112.m1.1.1.1.1.2.1.2" xref="A5.Ex112.m1.1.1.1.1.2.1.2.cmml">π</mi><mo id="A5.Ex112.m1.1.1.1.1.2.1.1" xref="A5.Ex112.m1.1.1.1.1.2.1.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="A5.Ex112.m1.1.1.1.1.2.1.3" xref="A5.Ex112.m1.1.1.1.1.2.1.3.cmml"><mi id="A5.Ex112.m1.1.1.1.1.2.1.3.2.2" xref="A5.Ex112.m1.1.1.1.1.2.1.3.2.2.cmml">σ</mi><mi id="A5.Ex112.m1.1.1.1.1.2.1.3.2.3" xref="A5.Ex112.m1.1.1.1.1.2.1.3.2.3.cmml">e</mi><mrow id="A5.Ex112.m1.1.1.1.1.2.1.3.3" xref="A5.Ex112.m1.1.1.1.1.2.1.3.3.cmml"><mo id="A5.Ex112.m1.1.1.1.1.2.1.3.3a" xref="A5.Ex112.m1.1.1.1.1.2.1.3.3.cmml">−</mo><mn id="A5.Ex112.m1.1.1.1.1.2.1.3.3.2" xref="A5.Ex112.m1.1.1.1.1.2.1.3.3.2.cmml">1</mn></mrow></msubsup><mo id="A5.Ex112.m1.1.1.1.1.2.1.1a" xref="A5.Ex112.m1.1.1.1.1.2.1.1.cmml">⁢</mo><msup id="A5.Ex112.m1.1.1.1.1.2.1.4" xref="A5.Ex112.m1.1.1.1.1.2.1.4.cmml"><mi id="A5.Ex112.m1.1.1.1.1.2.1.4.2" xref="A5.Ex112.m1.1.1.1.1.2.1.4.2.cmml">π</mi><mrow id="A5.Ex112.m1.1.1.1.1.2.1.4.3" xref="A5.Ex112.m1.1.1.1.1.2.1.4.3.cmml"><mo id="A5.Ex112.m1.1.1.1.1.2.1.4.3a" xref="A5.Ex112.m1.1.1.1.1.2.1.4.3.cmml">−</mo><mn id="A5.Ex112.m1.1.1.1.1.2.1.4.3.2" xref="A5.Ex112.m1.1.1.1.1.2.1.4.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup></mrow><mo id="A5.Ex112.m1.1.1.1.1.3.3" xref="A5.Ex112.m1.1.1.1.1.4.cmml">,</mo><mrow id="A5.Ex112.m1.1.1.1.1.3.2" xref="A5.Ex112.m1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="A5.Ex112.m1.1.1.1.1.3.2.2" xref="A5.Ex112.m1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">π</mi><mo id="A5.Ex112.m1.1.1.1.1.3.2.1" xref="A5.Ex112.m1.1.1.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="A5.Ex112.m1.1.1.1.1.3.2.3" xref="A5.Ex112.m1.1.1.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="A5.Ex112.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.2" xref="A5.Ex112.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.2.cmml">σ</mi><mi id="A5.Ex112.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.3" xref="A5.Ex112.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.3.cmml">e</mi><mrow id="A5.Ex112.m1.1.1.1.1.3.2.3.3" xref="A5.Ex112.m1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml"><mo id="A5.Ex112.m1.1.1.1.1.3.2.3.3a" xref="A5.Ex112.m1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml">−</mo><mn id="A5.Ex112.m1.1.1.1.1.3.2.3.3.2" xref="A5.Ex112.m1.1.1.1.1.3.2.3.3.2.cmml">1</mn></mrow></msubsup><mo id="A5.Ex112.m1.1.1.1.1.3.2.1a" xref="A5.Ex112.m1.1.1.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="A5.Ex112.m1.1.1.1.1.3.2.4" xref="A5.Ex112.m1.1.1.1.1.3.2.4.cmml"><mi id="A5.Ex112.m1.1.1.1.1.3.2.4.2" xref="A5.Ex112.m1.1.1.1.1.3.2.4.2.cmml">π</mi><mrow id="A5.Ex112.m1.1.1.1.1.3.2.4.3" xref="A5.Ex112.m1.1.1.1.1.3.2.4.3.cmml"><mo id="A5.Ex112.m1.1.1.1.1.3.2.4.3a" xref="A5.Ex112.m1.1.1.1.1.3.2.4.3.cmml">−</mo><mn id="A5.Ex112.m1.1.1.1.1.3.2.4.3.2" xref="A5.Ex112.m1.1.1.1.1.3.2.4.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup></mrow><mo id="A5.Ex112.m1.1.1.1.1.3.4" xref="A5.Ex112.m1.1.1.1.1.4.cmml">,</mo><mi id="A5.Ex112.m1.1.1.1.1.1" xref="A5.Ex112.m1.1.1.1.1.1.cmml">I</mi></mrow><mo id="A5.Ex112.m1.1.1a.3.2" stretchy="false" xref="A5.Ex112.m1.1.1a.2.1.cmml">⟩</mo></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A5.Ex112.m1.10b"><apply id="A5.Ex112.m1.10.10.cmml" xref="A5.Ex112.m1.10.10"><eq id="A5.Ex112.m1.10.10.4.cmml" xref="A5.Ex112.m1.10.10.4"></eq><csymbol cd="latexml" id="A5.Ex112.m1.10.10.5.cmml" xref="A5.Ex112.m1.10.10.5">absent</csymbol><apply id="A5.Ex112.m1.10.10.3.cmml" xref="A5.Ex112.m1.10.10.3"><times id="A5.Ex112.m1.10.10.3.4.cmml" xref="A5.Ex112.m1.10.10.3.4"></times><apply id="A5.Ex112.m1.10.10.3.5.cmml" xref="A5.Ex112.m1.10.10.3.5"><divide id="A5.Ex112.m1.10.10.3.5.1.cmml" xref="A5.Ex112.m1.10.10.3.5"></divide><cn id="A5.Ex112.m1.10.10.3.5.2.cmml" type="integer" xref="A5.Ex112.m1.10.10.3.5.2">1</cn><apply id="A5.Ex112.m1.10.10.3.5.3.cmml" xref="A5.Ex112.m1.10.10.3.5.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.Ex112.m1.10.10.3.5.3.1.cmml" xref="A5.Ex112.m1.10.10.3.5.3">subscript</csymbol><ci id="A5.Ex112.m1.10.10.3.5.3.2.cmml" xref="A5.Ex112.m1.10.10.3.5.3.2">𝐶</ci><ci id="A5.Ex112.m1.10.10.3.5.3.3.cmml" xref="A5.Ex112.m1.10.10.3.5.3.3">𝑎</ci></apply></apply><apply id="A5.Ex112.m1.10.10.3.6.cmml" xref="A5.Ex112.m1.10.10.3.6"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.Ex112.m1.10.10.3.6.1.cmml" xref="A5.Ex112.m1.10.10.3.6">superscript</csymbol><apply id="A5.Ex112.m1.10.10.3.6.2.cmml" xref="A5.Ex112.m1.10.10.3.6"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.Ex112.m1.10.10.3.6.2.1.cmml" xref="A5.Ex112.m1.10.10.3.6">subscript</csymbol><ci id="A5.Ex112.m1.10.10.3.6.2.2.cmml" xref="A5.Ex112.m1.10.10.3.6.2.2">𝐿</ci><apply id="A5.Ex112.m1.10.10.3.6.2.3.cmml" xref="A5.Ex112.m1.10.10.3.6.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.Ex112.m1.10.10.3.6.2.3.1.cmml" xref="A5.Ex112.m1.10.10.3.6.2.3">subscript</csymbol><ci id="A5.Ex112.m1.10.10.3.6.2.3.2.cmml" xref="A5.Ex112.m1.10.10.3.6.2.3.2">𝜈</ci><ci id="A5.Ex112.m1.10.10.3.6.2.3.3.cmml" xref="A5.Ex112.m1.10.10.3.6.2.3.3">𝐿</ci></apply></apply><apply id="A5.Ex112.m1.10.10.3.6.3.cmml" xref="A5.Ex112.m1.10.10.3.6.3"><times id="A5.Ex112.m1.10.10.3.6.3.1.cmml" xref="A5.Ex112.m1.10.10.3.6.3.1"></times><ci id="A5.Ex112.m1.10.10.3.6.3.2.cmml" xref="A5.Ex112.m1.10.10.3.6.3.2">ℎ</ci><ci id="A5.Ex112.m1.10.10.3.6.3.3.cmml" xref="A5.Ex112.m1.10.10.3.6.3.3">𝑗</ci></apply></apply><apply id="A5.Ex112.m1.10.10.3.7.cmml" xref="A5.Ex112.m1.10.10.3.7"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.Ex112.m1.10.10.3.7.1.cmml" xref="A5.Ex112.m1.10.10.3.7">superscript</csymbol><apply id="A5.Ex112.m1.10.10.3.7.2.cmml" xref="A5.Ex112.m1.10.10.3.7"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.Ex112.m1.10.10.3.7.2.1.cmml" xref="A5.Ex112.m1.10.10.3.7">subscript</csymbol><ci id="A5.Ex112.m1.10.10.3.7.2.2.cmml" xref="A5.Ex112.m1.10.10.3.7.2.2">𝑅</ci><apply id="A5.Ex112.m1.10.10.3.7.2.3.cmml" xref="A5.Ex112.m1.10.10.3.7.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.Ex112.m1.10.10.3.7.2.3.1.cmml" xref="A5.Ex112.m1.10.10.3.7.2.3">subscript</csymbol><ci id="A5.Ex112.m1.10.10.3.7.2.3.2.cmml" xref="A5.Ex112.m1.10.10.3.7.2.3.2">𝜈</ci><ci id="A5.Ex112.m1.10.10.3.7.2.3.3.cmml" xref="A5.Ex112.m1.10.10.3.7.2.3.3">𝑅</ci></apply></apply><apply id="A5.Ex112.m1.10.10.3.7.3.cmml" xref="A5.Ex112.m1.10.10.3.7.3"><times id="A5.Ex112.m1.10.10.3.7.3.1.cmml" xref="A5.Ex112.m1.10.10.3.7.3.1"></times><ci id="A5.Ex112.m1.10.10.3.7.3.2.cmml" xref="A5.Ex112.m1.10.10.3.7.3.2">𝑘</ci><ci id="A5.Ex112.m1.10.10.3.7.3.3.cmml" xref="A5.Ex112.m1.10.10.3.7.3.3">𝑛</ci></apply></apply><apply id="A5.Ex112.m1.10.10.3.3.cmml" xref="A5.Ex112.m1.10.10.3.3"><apply id="A5.Ex112.m1.10.10.3.3.4.cmml" xref="A5.Ex112.m1.10.10.3.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.Ex112.m1.10.10.3.3.4.1.cmml" xref="A5.Ex112.m1.10.10.3.3.4">subscript</csymbol><sum id="A5.Ex112.m1.10.10.3.3.4.2.cmml" xref="A5.Ex112.m1.10.10.3.3.4.2"></sum><list id="A5.Ex112.m1.5.5.4.5.cmml" xref="A5.Ex112.m1.5.5.4.6"><ci id="A5.Ex112.m1.2.2.1.1.cmml" xref="A5.Ex112.m1.2.2.1.1">𝜋</ci><ci id="A5.Ex112.m1.3.3.2.2.cmml" xref="A5.Ex112.m1.3.3.2.2">𝜏</ci><ci id="A5.Ex112.m1.4.4.3.3.cmml" xref="A5.Ex112.m1.4.4.3.3">𝑑</ci><ci id="A5.Ex112.m1.5.5.4.4.cmml" xref="A5.Ex112.m1.5.5.4.4">𝑒</ci></list></apply><apply id="A5.Ex112.m1.10.10.3.3.3.cmml" xref="A5.Ex112.m1.10.10.3.3.3"><times id="A5.Ex112.m1.10.10.3.3.3.4.cmml" xref="A5.Ex112.m1.10.10.3.3.3.4"></times><apply id="A5.Ex112.m1.10.10.3.3.3.5.cmml" xref="A5.Ex112.m1.10.10.3.3.3.5"><divide id="A5.Ex112.m1.10.10.3.3.3.5.1.cmml" xref="A5.Ex112.m1.10.10.3.3.3.5"></divide><cn id="A5.Ex112.m1.10.10.3.3.3.5.2.cmml" type="integer" xref="A5.Ex112.m1.10.10.3.3.3.5.2">1</cn><apply id="A5.Ex112.m1.10.10.3.3.3.5.3.cmml" xref="A5.Ex112.m1.10.10.3.3.3.5.3"><times id="A5.Ex112.m1.10.10.3.3.3.5.3.1.cmml" xref="A5.Ex112.m1.10.10.3.3.3.5.3.1"></times><apply id="A5.Ex112.m1.10.10.3.3.3.5.3.2.cmml" xref="A5.Ex112.m1.10.10.3.3.3.5.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.Ex112.m1.10.10.3.3.3.5.3.2.1.cmml" xref="A5.Ex112.m1.10.10.3.3.3.5.3.2">subscript</csymbol><ci id="A5.Ex112.m1.10.10.3.3.3.5.3.2.2.cmml" xref="A5.Ex112.m1.10.10.3.3.3.5.3.2.2">𝐶</ci><ci id="A5.Ex112.m1.10.10.3.3.3.5.3.2.3.cmml" xref="A5.Ex112.m1.10.10.3.3.3.5.3.2.3">𝑑</ci></apply><apply id="A5.Ex112.m1.10.10.3.3.3.5.3.3.cmml" xref="A5.Ex112.m1.10.10.3.3.3.5.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.Ex112.m1.10.10.3.3.3.5.3.3.1.cmml" xref="A5.Ex112.m1.10.10.3.3.3.5.3.3">subscript</csymbol><ci id="A5.Ex112.m1.10.10.3.3.3.5.3.3.2.cmml" xref="A5.Ex112.m1.10.10.3.3.3.5.3.3.2">𝐶</ci><ci id="A5.Ex112.m1.10.10.3.3.3.5.3.3.3.cmml" xref="A5.Ex112.m1.10.10.3.3.3.5.3.3.3">𝑒</ci></apply></apply></apply><ci id="A5.Ex112.m1.10.10.3.3.3.6a.cmml" xref="A5.Ex112.m1.10.10.3.3.3.6"><mtext id="A5.Ex112.m1.10.10.3.3.3.6.cmml" xref="A5.Ex112.m1.10.10.3.3.3.6">Wg</mtext></ci><interval closure="open" id="A5.Ex112.m1.9.9.2.2.2.2.3.cmml" xref="A5.Ex112.m1.9.9.2.2.2.2.2"><apply id="A5.Ex112.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A5.Ex112.m1.8.8.1.1.1.1.1.1"><times id="A5.Ex112.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A5.Ex112.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1"></times><ci id="A5.Ex112.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A5.Ex112.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.2">𝜋</ci><apply id="A5.Ex112.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A5.Ex112.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.Ex112.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A5.Ex112.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="A5.Ex112.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A5.Ex112.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.Ex112.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="A5.Ex112.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A5.Ex112.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="A5.Ex112.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.3.2.2">𝜎</ci><ci id="A5.Ex112.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="A5.Ex112.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.3.2.3">𝑒</ci></apply><apply id="A5.Ex112.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A5.Ex112.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.3.3"><minus id="A5.Ex112.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="A5.Ex112.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.3.3"></minus><cn id="A5.Ex112.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" type="integer" xref="A5.Ex112.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.3.3.2">1</cn></apply></apply><apply id="A5.Ex112.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="A5.Ex112.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.Ex112.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="A5.Ex112.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.4">superscript</csymbol><ci id="A5.Ex112.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="A5.Ex112.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.4.2">𝜋</ci><apply id="A5.Ex112.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml" xref="A5.Ex112.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.4.3"><minus id="A5.Ex112.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.4.3.1.cmml" xref="A5.Ex112.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.4.3"></minus><cn id="A5.Ex112.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.4.3.2.cmml" type="integer" xref="A5.Ex112.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.4.3.2">1</cn></apply></apply><ci id="A5.Ex112.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.5.cmml" xref="A5.Ex112.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.5">𝜏</ci><apply id="A5.Ex112.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.6.cmml" xref="A5.Ex112.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.6"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.Ex112.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.6.1.cmml" xref="A5.Ex112.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.6">subscript</csymbol><ci id="A5.Ex112.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.6.2.cmml" xref="A5.Ex112.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.6.2">𝜎</ci><ci id="A5.Ex112.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.6.3.cmml" xref="A5.Ex112.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.6.3">𝑑</ci></apply><apply id="A5.Ex112.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.7.cmml" xref="A5.Ex112.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.7"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.Ex112.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.7.1.cmml" xref="A5.Ex112.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.7">superscript</csymbol><ci id="A5.Ex112.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.7.2.cmml" xref="A5.Ex112.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.7.2">𝜏</ci><apply id="A5.Ex112.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.7.3.cmml" xref="A5.Ex112.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.7.3"><minus id="A5.Ex112.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.7.3.1.cmml" xref="A5.Ex112.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.7.3"></minus><cn id="A5.Ex112.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.7.3.2.cmml" type="integer" xref="A5.Ex112.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.7.3.2">1</cn></apply></apply></apply><apply id="A5.Ex112.m1.9.9.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="A5.Ex112.m1.9.9.2.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.Ex112.m1.9.9.2.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="A5.Ex112.m1.9.9.2.2.2.2.2.2">superscript</csymbol><ci id="A5.Ex112.m1.9.9.2.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="A5.Ex112.m1.9.9.2.2.2.2.2.2.2">𝑞</ci><apply id="A5.Ex112.m1.9.9.2.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="A5.Ex112.m1.9.9.2.2.2.2.2.2.3"><plus id="A5.Ex112.m1.9.9.2.2.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="A5.Ex112.m1.9.9.2.2.2.2.2.2.3.1"></plus><ci id="A5.Ex112.m1.9.9.2.2.2.2.2.2.3.2.cmml" xref="A5.Ex112.m1.9.9.2.2.2.2.2.2.3.2">𝑚</ci><cn id="A5.Ex112.m1.9.9.2.2.2.2.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="A5.Ex112.m1.9.9.2.2.2.2.2.2.3.3">1</cn></apply></apply></interval><apply id="A5.Ex112.m1.10.10.3.3.3.7.cmml" xref="A5.Ex112.m1.10.10.3.3.3.7"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.Ex112.m1.10.10.3.3.3.7.1.cmml" xref="A5.Ex112.m1.10.10.3.3.3.7">superscript</csymbol><ci id="A5.Ex112.m1.10.10.3.3.3.7.2.cmml" xref="A5.Ex112.m1.10.10.3.3.3.7.2">𝑞</ci><apply id="A5.Ex112.m1.7.7.2.cmml" xref="A5.Ex112.m1.7.7.2"><minus id="A5.Ex112.m1.7.7.2.3.cmml" xref="A5.Ex112.m1.7.7.2.3"></minus><apply id="A5.Ex112.m1.6.6.1.1.cmml" xref="A5.Ex112.m1.6.6.1.1"><minus id="A5.Ex112.m1.6.6.1.1.2.cmml" xref="A5.Ex112.m1.6.6.1.1"></minus><apply id="A5.Ex112.m1.6.6.1.1.1.cmml" xref="A5.Ex112.m1.6.6.1.1.1"><times id="A5.Ex112.m1.6.6.1.1.1.2.cmml" xref="A5.Ex112.m1.6.6.1.1.1.2"></times><ci id="A5.Ex112.m1.6.6.1.1.1.3.cmml" xref="A5.Ex112.m1.6.6.1.1.1.3">𝑚</ci><apply id="A5.Ex112.m1.6.6.1.1.1.1.2.cmml" xref="A5.Ex112.m1.6.6.1.1.1.1.1"><abs id="A5.Ex112.m1.6.6.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A5.Ex112.m1.6.6.1.1.1.1.1.2"></abs><apply id="A5.Ex112.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A5.Ex112.m1.6.6.1.1.1.1.1.1"><times id="A5.Ex112.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A5.Ex112.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1"></times><ci id="A5.Ex112.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A5.Ex112.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2">𝜏</ci><apply id="A5.Ex112.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A5.Ex112.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.Ex112.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A5.Ex112.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="A5.Ex112.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A5.Ex112.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.Ex112.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="A5.Ex112.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A5.Ex112.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="A5.Ex112.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.2.2">𝜎</ci><ci id="A5.Ex112.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="A5.Ex112.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.2.3">𝑑</ci></apply><apply id="A5.Ex112.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A5.Ex112.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.3"><minus id="A5.Ex112.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="A5.Ex112.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.3"></minus><cn id="A5.Ex112.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" type="integer" xref="A5.Ex112.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.3.2">1</cn></apply></apply><apply id="A5.Ex112.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="A5.Ex112.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.Ex112.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="A5.Ex112.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.4">superscript</csymbol><ci id="A5.Ex112.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="A5.Ex112.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.4.2">𝜏</ci><apply id="A5.Ex112.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml" xref="A5.Ex112.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.4.3"><minus id="A5.Ex112.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.4.3.1.cmml" xref="A5.Ex112.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.4.3"></minus><cn id="A5.Ex112.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.4.3.2.cmml" type="integer" xref="A5.Ex112.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.4.3.2">1</cn></apply></apply><apply id="A5.Ex112.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.5.cmml" xref="A5.Ex112.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.5"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.Ex112.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.5.1.cmml" xref="A5.Ex112.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.5">subscript</csymbol><ci id="A5.Ex112.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.5.2.cmml" xref="A5.Ex112.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.5.2">𝜎</ci><ci id="A5.Ex112.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.5.3.cmml" xref="A5.Ex112.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.5.3">𝑎</ci></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="A5.Ex112.m1.7.7.2.2.2.cmml" xref="A5.Ex112.m1.7.7.2.2.1"><abs id="A5.Ex112.m1.7.7.2.2.2.1.cmml" xref="A5.Ex112.m1.7.7.2.2.1.2"></abs><apply id="A5.Ex112.m1.7.7.2.2.1.1.cmml" xref="A5.Ex112.m1.7.7.2.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.Ex112.m1.7.7.2.2.1.1.1.cmml" xref="A5.Ex112.m1.7.7.2.2.1.1">subscript</csymbol><ci id="A5.Ex112.m1.7.7.2.2.1.1.2.cmml" xref="A5.Ex112.m1.7.7.2.2.1.1.2">𝜎</ci><ci id="A5.Ex112.m1.7.7.2.2.1.1.3.cmml" xref="A5.Ex112.m1.7.7.2.2.1.1.3">𝑑</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="A5.Ex112.m1.10.10.3.3.3.3.cmml" xref="A5.Ex112.m1.10.10.3.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.Ex112.m1.10.10.3.3.3.3.2.cmml" xref="A5.Ex112.m1.10.10.3.3.3.3">subscript</csymbol><apply id="A5.Ex112.m1.10.10.3.3.3.3.1.1.1.cmml" xref="A5.Ex112.m1.10.10.3.3.3.3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.Ex112.m1.10.10.3.3.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="A5.Ex112.m1.10.10.3.3.3.3.1.1">subscript</csymbol><ci id="A5.Ex112.m1.10.10.3.3.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="A5.Ex112.m1.10.10.3.3.3.3.1.1.1.2">𝜎</ci><ci id="A5.Ex112.m1.10.10.3.3.3.3.1.1.1.3.cmml" xref="A5.Ex112.m1.10.10.3.3.3.3.1.1.1.3">𝑎</ci></apply><ci id="A5.Ex112.m1.10.10.3.3.3.3.3.cmml" xref="A5.Ex112.m1.10.10.3.3.3.3.3">𝑅</ci></apply><apply id="A5.Ex112.m1.1.1a.2.cmml" xref="A5.Ex112.m1.1.1a.3"><csymbol cd="latexml" id="A5.Ex112.m1.1.1a.2.1.cmml" xref="A5.Ex112.m1.1.1a.3.1">ket</csymbol><list id="A5.Ex112.m1.1.1.1.1.4.cmml" xref="A5.Ex112.m1.1.1.1.1.3"><apply id="A5.Ex112.m1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A5.Ex112.m1.1.1.1.1.2.1"><times id="A5.Ex112.m1.1.1.1.1.2.1.1.cmml" xref="A5.Ex112.m1.1.1.1.1.2.1.1"></times><ci id="A5.Ex112.m1.1.1.1.1.2.1.2.cmml" xref="A5.Ex112.m1.1.1.1.1.2.1.2">𝜋</ci><apply id="A5.Ex112.m1.1.1.1.1.2.1.3.cmml" xref="A5.Ex112.m1.1.1.1.1.2.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.Ex112.m1.1.1.1.1.2.1.3.1.cmml" xref="A5.Ex112.m1.1.1.1.1.2.1.3">superscript</csymbol><apply id="A5.Ex112.m1.1.1.1.1.2.1.3.2.cmml" xref="A5.Ex112.m1.1.1.1.1.2.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.Ex112.m1.1.1.1.1.2.1.3.2.1.cmml" xref="A5.Ex112.m1.1.1.1.1.2.1.3">subscript</csymbol><ci id="A5.Ex112.m1.1.1.1.1.2.1.3.2.2.cmml" xref="A5.Ex112.m1.1.1.1.1.2.1.3.2.2">𝜎</ci><ci id="A5.Ex112.m1.1.1.1.1.2.1.3.2.3.cmml" xref="A5.Ex112.m1.1.1.1.1.2.1.3.2.3">𝑒</ci></apply><apply id="A5.Ex112.m1.1.1.1.1.2.1.3.3.cmml" xref="A5.Ex112.m1.1.1.1.1.2.1.3.3"><minus 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id="A5.Ex112.m1.1.1.1.1.3.2.4.1.cmml" xref="A5.Ex112.m1.1.1.1.1.3.2.4">superscript</csymbol><ci id="A5.Ex112.m1.1.1.1.1.3.2.4.2.cmml" xref="A5.Ex112.m1.1.1.1.1.3.2.4.2">𝜋</ci><apply id="A5.Ex112.m1.1.1.1.1.3.2.4.3.cmml" xref="A5.Ex112.m1.1.1.1.1.3.2.4.3"><minus id="A5.Ex112.m1.1.1.1.1.3.2.4.3.1.cmml" xref="A5.Ex112.m1.1.1.1.1.3.2.4.3"></minus><cn id="A5.Ex112.m1.1.1.1.1.3.2.4.3.2.cmml" type="integer" xref="A5.Ex112.m1.1.1.1.1.3.2.4.3.2">1</cn></apply></apply></apply><ci id="A5.Ex112.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A5.Ex112.m1.1.1.1.1.1">𝐼</ci></list></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A5.Ex112.m1.10c">\displaystyle=\frac{1}{C_{a}}L_{\nu_{L}}^{hj}R_{\nu_{R}}^{kn}\sum_{\pi,\tau,d,% e}\frac{1}{C_{d}C_{e}}\text{Wg}(\pi\sigma_{e}^{-1}\pi^{-1}\tau\sigma_{d}\tau^{% -1},q^{m+1})q^{-m|\tau\sigma_{d}^{-1}\tau^{-1}\sigma_{a}|-|\sigma_{d}|}(\sigma% 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italic_σ start_POSTSUBSCRIPT italic_d end_POSTSUBSCRIPT italic_τ start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT , italic_q start_POSTSUPERSCRIPT italic_m + 1 end_POSTSUPERSCRIPT ) italic_q start_POSTSUPERSCRIPT - italic_m | italic_τ italic_σ start_POSTSUBSCRIPT italic_d end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT italic_τ start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT italic_σ start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT | - | italic_σ start_POSTSUBSCRIPT italic_d end_POSTSUBSCRIPT | end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_σ start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT ) start_POSTSUBSCRIPT italic_R end_POSTSUBSCRIPT | start_ARG italic_π italic_σ start_POSTSUBSCRIPT italic_e end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT italic_π start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT , italic_π italic_σ start_POSTSUBSCRIPT italic_e end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT italic_π start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT , italic_I end_ARG ⟩</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="A5.Ex113"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=\frac{1}{C_{a}}\sum_{\pi,\tau,d,e}\frac{1}{C_{d}C_{e}}\text{Wg}(% \pi\sigma_{e}^{-1}\pi^{-1}\tau\sigma_{d}\tau^{-1},q^{m+1})q^{-m|\tau\sigma_{d}% ^{-1}\tau^{-1}\sigma_{a}|-|\sigma_{d}|}L_{\nu_{L}}^{hj}R_{\nu_{R}}^{kn}(\sigma% _{a})_{R}\pi_{L}\pi_{R}^{-1}(\sigma_{e})_{R}^{-1}\ket{I,I,\sigma_{e}}" class="ltx_Math" display="inline" id="A5.Ex113.m1.11"><semantics id="A5.Ex113.m1.11a"><mrow id="A5.Ex113.m1.11.11" xref="A5.Ex113.m1.11.11.cmml"><mi id="A5.Ex113.m1.11.11.6" xref="A5.Ex113.m1.11.11.6.cmml"></mi><mo id="A5.Ex113.m1.11.11.5" xref="A5.Ex113.m1.11.11.5.cmml">=</mo><mrow id="A5.Ex113.m1.11.11.4" xref="A5.Ex113.m1.11.11.4.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A5.Ex113.m1.11.11.4.6" xref="A5.Ex113.m1.11.11.4.6.cmml"><mfrac id="A5.Ex113.m1.11.11.4.6a" xref="A5.Ex113.m1.11.11.4.6.cmml"><mn id="A5.Ex113.m1.11.11.4.6.2" xref="A5.Ex113.m1.11.11.4.6.2.cmml">1</mn><msub id="A5.Ex113.m1.11.11.4.6.3" xref="A5.Ex113.m1.11.11.4.6.3.cmml"><mi id="A5.Ex113.m1.11.11.4.6.3.2" xref="A5.Ex113.m1.11.11.4.6.3.2.cmml">C</mi><mi id="A5.Ex113.m1.11.11.4.6.3.3" xref="A5.Ex113.m1.11.11.4.6.3.3.cmml">a</mi></msub></mfrac></mstyle><mo id="A5.Ex113.m1.11.11.4.5" xref="A5.Ex113.m1.11.11.4.5.cmml">⁢</mo><mrow id="A5.Ex113.m1.11.11.4.4" xref="A5.Ex113.m1.11.11.4.4.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A5.Ex113.m1.11.11.4.4.5" xref="A5.Ex113.m1.11.11.4.4.5.cmml"><munder id="A5.Ex113.m1.11.11.4.4.5a" xref="A5.Ex113.m1.11.11.4.4.5.cmml"><mo id="A5.Ex113.m1.11.11.4.4.5.2" movablelimits="false" xref="A5.Ex113.m1.11.11.4.4.5.2.cmml">∑</mo><mrow id="A5.Ex113.m1.5.5.4.6" xref="A5.Ex113.m1.5.5.4.5.cmml"><mi id="A5.Ex113.m1.2.2.1.1" xref="A5.Ex113.m1.2.2.1.1.cmml">π</mi><mo id="A5.Ex113.m1.5.5.4.6.1" xref="A5.Ex113.m1.5.5.4.5.cmml">,</mo><mi id="A5.Ex113.m1.3.3.2.2" xref="A5.Ex113.m1.3.3.2.2.cmml">τ</mi><mo id="A5.Ex113.m1.5.5.4.6.2" xref="A5.Ex113.m1.5.5.4.5.cmml">,</mo><mi id="A5.Ex113.m1.4.4.3.3" xref="A5.Ex113.m1.4.4.3.3.cmml">d</mi><mo id="A5.Ex113.m1.5.5.4.6.3" xref="A5.Ex113.m1.5.5.4.5.cmml">,</mo><mi id="A5.Ex113.m1.5.5.4.4" xref="A5.Ex113.m1.5.5.4.4.cmml">e</mi></mrow></munder></mstyle><mrow id="A5.Ex113.m1.11.11.4.4.4" xref="A5.Ex113.m1.11.11.4.4.4.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A5.Ex113.m1.11.11.4.4.4.6" xref="A5.Ex113.m1.11.11.4.4.4.6.cmml"><mfrac id="A5.Ex113.m1.11.11.4.4.4.6a" xref="A5.Ex113.m1.11.11.4.4.4.6.cmml"><mn id="A5.Ex113.m1.11.11.4.4.4.6.2" xref="A5.Ex113.m1.11.11.4.4.4.6.2.cmml">1</mn><mrow id="A5.Ex113.m1.11.11.4.4.4.6.3" xref="A5.Ex113.m1.11.11.4.4.4.6.3.cmml"><msub id="A5.Ex113.m1.11.11.4.4.4.6.3.2" xref="A5.Ex113.m1.11.11.4.4.4.6.3.2.cmml"><mi id="A5.Ex113.m1.11.11.4.4.4.6.3.2.2" xref="A5.Ex113.m1.11.11.4.4.4.6.3.2.2.cmml">C</mi><mi id="A5.Ex113.m1.11.11.4.4.4.6.3.2.3" xref="A5.Ex113.m1.11.11.4.4.4.6.3.2.3.cmml">d</mi></msub><mo id="A5.Ex113.m1.11.11.4.4.4.6.3.1" xref="A5.Ex113.m1.11.11.4.4.4.6.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="A5.Ex113.m1.11.11.4.4.4.6.3.3" xref="A5.Ex113.m1.11.11.4.4.4.6.3.3.cmml"><mi id="A5.Ex113.m1.11.11.4.4.4.6.3.3.2" xref="A5.Ex113.m1.11.11.4.4.4.6.3.3.2.cmml">C</mi><mi id="A5.Ex113.m1.11.11.4.4.4.6.3.3.3" xref="A5.Ex113.m1.11.11.4.4.4.6.3.3.3.cmml">e</mi></msub></mrow></mfrac></mstyle><mo id="A5.Ex113.m1.11.11.4.4.4.5" xref="A5.Ex113.m1.11.11.4.4.4.5.cmml">⁢</mo><mtext id="A5.Ex113.m1.11.11.4.4.4.7" xref="A5.Ex113.m1.11.11.4.4.4.7a.cmml">Wg</mtext><mo id="A5.Ex113.m1.11.11.4.4.4.5a" xref="A5.Ex113.m1.11.11.4.4.4.5.cmml">⁢</mo><mrow id="A5.Ex113.m1.9.9.2.2.2.2.2" xref="A5.Ex113.m1.9.9.2.2.2.2.3.cmml"><mo id="A5.Ex113.m1.9.9.2.2.2.2.2.3" stretchy="false" xref="A5.Ex113.m1.9.9.2.2.2.2.3.cmml">(</mo><mrow id="A5.Ex113.m1.8.8.1.1.1.1.1.1" xref="A5.Ex113.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A5.Ex113.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.2" xref="A5.Ex113.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.2.cmml">π</mi><mo id="A5.Ex113.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1" xref="A5.Ex113.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="A5.Ex113.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.3" xref="A5.Ex113.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A5.Ex113.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="A5.Ex113.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">σ</mi><mi id="A5.Ex113.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="A5.Ex113.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">e</mi><mrow id="A5.Ex113.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A5.Ex113.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mo id="A5.Ex113.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.3.3a" xref="A5.Ex113.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">−</mo><mn id="A5.Ex113.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="A5.Ex113.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">1</mn></mrow></msubsup><mo id="A5.Ex113.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1a" xref="A5.Ex113.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msup id="A5.Ex113.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.4" xref="A5.Ex113.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="A5.Ex113.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.4.2" xref="A5.Ex113.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml">π</mi><mrow id="A5.Ex113.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.4.3" xref="A5.Ex113.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml"><mo id="A5.Ex113.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.4.3a" xref="A5.Ex113.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml">−</mo><mn id="A5.Ex113.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.4.3.2" xref="A5.Ex113.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.4.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="A5.Ex113.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1b" xref="A5.Ex113.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="A5.Ex113.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.5" xref="A5.Ex113.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.5.cmml">τ</mi><mo id="A5.Ex113.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1c" xref="A5.Ex113.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="A5.Ex113.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.6" xref="A5.Ex113.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.6.cmml"><mi id="A5.Ex113.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.6.2" xref="A5.Ex113.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.6.2.cmml">σ</mi><mi id="A5.Ex113.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.6.3" xref="A5.Ex113.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.6.3.cmml">d</mi></msub><mo id="A5.Ex113.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1d" xref="A5.Ex113.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msup id="A5.Ex113.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.7" xref="A5.Ex113.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.7.cmml"><mi id="A5.Ex113.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.7.2" xref="A5.Ex113.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.7.2.cmml">τ</mi><mrow id="A5.Ex113.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.7.3" xref="A5.Ex113.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.7.3.cmml"><mo id="A5.Ex113.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.7.3a" xref="A5.Ex113.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.7.3.cmml">−</mo><mn id="A5.Ex113.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.7.3.2" xref="A5.Ex113.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.7.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup></mrow><mo id="A5.Ex113.m1.9.9.2.2.2.2.2.4" xref="A5.Ex113.m1.9.9.2.2.2.2.3.cmml">,</mo><msup id="A5.Ex113.m1.9.9.2.2.2.2.2.2" xref="A5.Ex113.m1.9.9.2.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="A5.Ex113.m1.9.9.2.2.2.2.2.2.2" xref="A5.Ex113.m1.9.9.2.2.2.2.2.2.2.cmml">q</mi><mrow id="A5.Ex113.m1.9.9.2.2.2.2.2.2.3" xref="A5.Ex113.m1.9.9.2.2.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="A5.Ex113.m1.9.9.2.2.2.2.2.2.3.2" xref="A5.Ex113.m1.9.9.2.2.2.2.2.2.3.2.cmml">m</mi><mo id="A5.Ex113.m1.9.9.2.2.2.2.2.2.3.1" xref="A5.Ex113.m1.9.9.2.2.2.2.2.2.3.1.cmml">+</mo><mn id="A5.Ex113.m1.9.9.2.2.2.2.2.2.3.3" xref="A5.Ex113.m1.9.9.2.2.2.2.2.2.3.3.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="A5.Ex113.m1.9.9.2.2.2.2.2.5" stretchy="false" xref="A5.Ex113.m1.9.9.2.2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow><mo id="A5.Ex113.m1.11.11.4.4.4.5b" xref="A5.Ex113.m1.11.11.4.4.4.5.cmml">⁢</mo><msup id="A5.Ex113.m1.11.11.4.4.4.8" xref="A5.Ex113.m1.11.11.4.4.4.8.cmml"><mi id="A5.Ex113.m1.11.11.4.4.4.8.2" xref="A5.Ex113.m1.11.11.4.4.4.8.2.cmml">q</mi><mrow id="A5.Ex113.m1.7.7.2" xref="A5.Ex113.m1.7.7.2.cmml"><mrow id="A5.Ex113.m1.6.6.1.1" xref="A5.Ex113.m1.6.6.1.1.cmml"><mo id="A5.Ex113.m1.6.6.1.1a" xref="A5.Ex113.m1.6.6.1.1.cmml">−</mo><mrow id="A5.Ex113.m1.6.6.1.1.1" xref="A5.Ex113.m1.6.6.1.1.1.cmml"><mi id="A5.Ex113.m1.6.6.1.1.1.3" xref="A5.Ex113.m1.6.6.1.1.1.3.cmml">m</mi><mo id="A5.Ex113.m1.6.6.1.1.1.2" xref="A5.Ex113.m1.6.6.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A5.Ex113.m1.6.6.1.1.1.1.1" xref="A5.Ex113.m1.6.6.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="A5.Ex113.m1.6.6.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A5.Ex113.m1.6.6.1.1.1.1.2.1.cmml">|</mo><mrow id="A5.Ex113.m1.6.6.1.1.1.1.1.1" xref="A5.Ex113.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A5.Ex113.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2" xref="A5.Ex113.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.cmml">τ</mi><mo id="A5.Ex113.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1" xref="A5.Ex113.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="A5.Ex113.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3" xref="A5.Ex113.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A5.Ex113.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="A5.Ex113.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">σ</mi><mi id="A5.Ex113.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="A5.Ex113.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">d</mi><mrow id="A5.Ex113.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A5.Ex113.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mo id="A5.Ex113.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.3a" xref="A5.Ex113.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">−</mo><mn id="A5.Ex113.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="A5.Ex113.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">1</mn></mrow></msubsup><mo id="A5.Ex113.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1a" xref="A5.Ex113.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msup id="A5.Ex113.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.4" xref="A5.Ex113.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="A5.Ex113.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.4.2" xref="A5.Ex113.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml">τ</mi><mrow id="A5.Ex113.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.4.3" xref="A5.Ex113.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml"><mo id="A5.Ex113.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.4.3a" xref="A5.Ex113.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml">−</mo><mn id="A5.Ex113.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.4.3.2" xref="A5.Ex113.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.4.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="A5.Ex113.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1b" xref="A5.Ex113.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="A5.Ex113.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.5" xref="A5.Ex113.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.5.cmml"><mi id="A5.Ex113.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.5.2" xref="A5.Ex113.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.5.2.cmml">σ</mi><mi id="A5.Ex113.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.5.3" xref="A5.Ex113.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.5.3.cmml">a</mi></msub></mrow><mo id="A5.Ex113.m1.6.6.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A5.Ex113.m1.6.6.1.1.1.1.2.1.cmml">|</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="A5.Ex113.m1.7.7.2.3" xref="A5.Ex113.m1.7.7.2.3.cmml">−</mo><mrow id="A5.Ex113.m1.7.7.2.2.1" xref="A5.Ex113.m1.7.7.2.2.2.cmml"><mo id="A5.Ex113.m1.7.7.2.2.1.2" stretchy="false" xref="A5.Ex113.m1.7.7.2.2.2.1.cmml">|</mo><msub id="A5.Ex113.m1.7.7.2.2.1.1" xref="A5.Ex113.m1.7.7.2.2.1.1.cmml"><mi id="A5.Ex113.m1.7.7.2.2.1.1.2" xref="A5.Ex113.m1.7.7.2.2.1.1.2.cmml">σ</mi><mi id="A5.Ex113.m1.7.7.2.2.1.1.3" xref="A5.Ex113.m1.7.7.2.2.1.1.3.cmml">d</mi></msub><mo id="A5.Ex113.m1.7.7.2.2.1.3" stretchy="false" xref="A5.Ex113.m1.7.7.2.2.2.1.cmml">|</mo></mrow></mrow></msup><mo id="A5.Ex113.m1.11.11.4.4.4.5c" xref="A5.Ex113.m1.11.11.4.4.4.5.cmml">⁢</mo><msubsup id="A5.Ex113.m1.11.11.4.4.4.9" xref="A5.Ex113.m1.11.11.4.4.4.9.cmml"><mi id="A5.Ex113.m1.11.11.4.4.4.9.2.2" xref="A5.Ex113.m1.11.11.4.4.4.9.2.2.cmml">L</mi><msub id="A5.Ex113.m1.11.11.4.4.4.9.2.3" xref="A5.Ex113.m1.11.11.4.4.4.9.2.3.cmml"><mi id="A5.Ex113.m1.11.11.4.4.4.9.2.3.2" xref="A5.Ex113.m1.11.11.4.4.4.9.2.3.2.cmml">ν</mi><mi id="A5.Ex113.m1.11.11.4.4.4.9.2.3.3" xref="A5.Ex113.m1.11.11.4.4.4.9.2.3.3.cmml">L</mi></msub><mrow id="A5.Ex113.m1.11.11.4.4.4.9.3" xref="A5.Ex113.m1.11.11.4.4.4.9.3.cmml"><mi id="A5.Ex113.m1.11.11.4.4.4.9.3.2" xref="A5.Ex113.m1.11.11.4.4.4.9.3.2.cmml">h</mi><mo id="A5.Ex113.m1.11.11.4.4.4.9.3.1" xref="A5.Ex113.m1.11.11.4.4.4.9.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A5.Ex113.m1.11.11.4.4.4.9.3.3" xref="A5.Ex113.m1.11.11.4.4.4.9.3.3.cmml">j</mi></mrow></msubsup><mo id="A5.Ex113.m1.11.11.4.4.4.5d" xref="A5.Ex113.m1.11.11.4.4.4.5.cmml">⁢</mo><msubsup id="A5.Ex113.m1.11.11.4.4.4.10" xref="A5.Ex113.m1.11.11.4.4.4.10.cmml"><mi id="A5.Ex113.m1.11.11.4.4.4.10.2.2" xref="A5.Ex113.m1.11.11.4.4.4.10.2.2.cmml">R</mi><msub id="A5.Ex113.m1.11.11.4.4.4.10.2.3" xref="A5.Ex113.m1.11.11.4.4.4.10.2.3.cmml"><mi id="A5.Ex113.m1.11.11.4.4.4.10.2.3.2" xref="A5.Ex113.m1.11.11.4.4.4.10.2.3.2.cmml">ν</mi><mi id="A5.Ex113.m1.11.11.4.4.4.10.2.3.3" xref="A5.Ex113.m1.11.11.4.4.4.10.2.3.3.cmml">R</mi></msub><mrow id="A5.Ex113.m1.11.11.4.4.4.10.3" xref="A5.Ex113.m1.11.11.4.4.4.10.3.cmml"><mi id="A5.Ex113.m1.11.11.4.4.4.10.3.2" xref="A5.Ex113.m1.11.11.4.4.4.10.3.2.cmml">k</mi><mo id="A5.Ex113.m1.11.11.4.4.4.10.3.1" xref="A5.Ex113.m1.11.11.4.4.4.10.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A5.Ex113.m1.11.11.4.4.4.10.3.3" xref="A5.Ex113.m1.11.11.4.4.4.10.3.3.cmml">n</mi></mrow></msubsup><mo id="A5.Ex113.m1.11.11.4.4.4.5e" xref="A5.Ex113.m1.11.11.4.4.4.5.cmml">⁢</mo><msub id="A5.Ex113.m1.10.10.3.3.3.3" xref="A5.Ex113.m1.10.10.3.3.3.3.cmml"><mrow id="A5.Ex113.m1.10.10.3.3.3.3.1.1" xref="A5.Ex113.m1.10.10.3.3.3.3.1.1.1.cmml"><mo id="A5.Ex113.m1.10.10.3.3.3.3.1.1.2" stretchy="false" xref="A5.Ex113.m1.10.10.3.3.3.3.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="A5.Ex113.m1.10.10.3.3.3.3.1.1.1" xref="A5.Ex113.m1.10.10.3.3.3.3.1.1.1.cmml"><mi id="A5.Ex113.m1.10.10.3.3.3.3.1.1.1.2" xref="A5.Ex113.m1.10.10.3.3.3.3.1.1.1.2.cmml">σ</mi><mi id="A5.Ex113.m1.10.10.3.3.3.3.1.1.1.3" xref="A5.Ex113.m1.10.10.3.3.3.3.1.1.1.3.cmml">a</mi></msub><mo id="A5.Ex113.m1.10.10.3.3.3.3.1.1.3" stretchy="false" xref="A5.Ex113.m1.10.10.3.3.3.3.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mi id="A5.Ex113.m1.10.10.3.3.3.3.3" xref="A5.Ex113.m1.10.10.3.3.3.3.3.cmml">R</mi></msub><mo id="A5.Ex113.m1.11.11.4.4.4.5f" xref="A5.Ex113.m1.11.11.4.4.4.5.cmml">⁢</mo><msub id="A5.Ex113.m1.11.11.4.4.4.11" xref="A5.Ex113.m1.11.11.4.4.4.11.cmml"><mi id="A5.Ex113.m1.11.11.4.4.4.11.2" xref="A5.Ex113.m1.11.11.4.4.4.11.2.cmml">π</mi><mi id="A5.Ex113.m1.11.11.4.4.4.11.3" xref="A5.Ex113.m1.11.11.4.4.4.11.3.cmml">L</mi></msub><mo id="A5.Ex113.m1.11.11.4.4.4.5g" xref="A5.Ex113.m1.11.11.4.4.4.5.cmml">⁢</mo><msubsup id="A5.Ex113.m1.11.11.4.4.4.12" xref="A5.Ex113.m1.11.11.4.4.4.12.cmml"><mi id="A5.Ex113.m1.11.11.4.4.4.12.2.2" xref="A5.Ex113.m1.11.11.4.4.4.12.2.2.cmml">π</mi><mi id="A5.Ex113.m1.11.11.4.4.4.12.2.3" xref="A5.Ex113.m1.11.11.4.4.4.12.2.3.cmml">R</mi><mrow id="A5.Ex113.m1.11.11.4.4.4.12.3" xref="A5.Ex113.m1.11.11.4.4.4.12.3.cmml"><mo id="A5.Ex113.m1.11.11.4.4.4.12.3a" xref="A5.Ex113.m1.11.11.4.4.4.12.3.cmml">−</mo><mn id="A5.Ex113.m1.11.11.4.4.4.12.3.2" xref="A5.Ex113.m1.11.11.4.4.4.12.3.2.cmml">1</mn></mrow></msubsup><mo id="A5.Ex113.m1.11.11.4.4.4.5h" xref="A5.Ex113.m1.11.11.4.4.4.5.cmml">⁢</mo><msubsup id="A5.Ex113.m1.11.11.4.4.4.4" xref="A5.Ex113.m1.11.11.4.4.4.4.cmml"><mrow id="A5.Ex113.m1.11.11.4.4.4.4.1.1.1" xref="A5.Ex113.m1.11.11.4.4.4.4.1.1.1.1.cmml"><mo id="A5.Ex113.m1.11.11.4.4.4.4.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A5.Ex113.m1.11.11.4.4.4.4.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="A5.Ex113.m1.11.11.4.4.4.4.1.1.1.1" xref="A5.Ex113.m1.11.11.4.4.4.4.1.1.1.1.cmml"><mi id="A5.Ex113.m1.11.11.4.4.4.4.1.1.1.1.2" xref="A5.Ex113.m1.11.11.4.4.4.4.1.1.1.1.2.cmml">σ</mi><mi id="A5.Ex113.m1.11.11.4.4.4.4.1.1.1.1.3" xref="A5.Ex113.m1.11.11.4.4.4.4.1.1.1.1.3.cmml">e</mi></msub><mo id="A5.Ex113.m1.11.11.4.4.4.4.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A5.Ex113.m1.11.11.4.4.4.4.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mi id="A5.Ex113.m1.11.11.4.4.4.4.1.3" xref="A5.Ex113.m1.11.11.4.4.4.4.1.3.cmml">R</mi><mrow id="A5.Ex113.m1.11.11.4.4.4.4.3" xref="A5.Ex113.m1.11.11.4.4.4.4.3.cmml"><mo id="A5.Ex113.m1.11.11.4.4.4.4.3a" xref="A5.Ex113.m1.11.11.4.4.4.4.3.cmml">−</mo><mn id="A5.Ex113.m1.11.11.4.4.4.4.3.2" xref="A5.Ex113.m1.11.11.4.4.4.4.3.2.cmml">1</mn></mrow></msubsup><mo id="A5.Ex113.m1.11.11.4.4.4.5i" xref="A5.Ex113.m1.11.11.4.4.4.5.cmml">⁢</mo><mrow id="A5.Ex113.m1.1.1a.3" xref="A5.Ex113.m1.1.1a.2.cmml"><mo id="A5.Ex113.m1.1.1a.3.1" stretchy="false" xref="A5.Ex113.m1.1.1a.2.1.cmml">|</mo><mrow id="A5.Ex113.m1.1.1.1.1.3" xref="A5.Ex113.m1.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="A5.Ex113.m1.1.1.1.1.1" xref="A5.Ex113.m1.1.1.1.1.1.cmml">I</mi><mo id="A5.Ex113.m1.1.1.1.1.3.2" xref="A5.Ex113.m1.1.1.1.1.4.cmml">,</mo><mi id="A5.Ex113.m1.1.1.1.1.2" xref="A5.Ex113.m1.1.1.1.1.2.cmml">I</mi><mo id="A5.Ex113.m1.1.1.1.1.3.3" xref="A5.Ex113.m1.1.1.1.1.4.cmml">,</mo><msub id="A5.Ex113.m1.1.1.1.1.3.1" xref="A5.Ex113.m1.1.1.1.1.3.1.cmml"><mi id="A5.Ex113.m1.1.1.1.1.3.1.2" xref="A5.Ex113.m1.1.1.1.1.3.1.2.cmml">σ</mi><mi id="A5.Ex113.m1.1.1.1.1.3.1.3" xref="A5.Ex113.m1.1.1.1.1.3.1.3.cmml">e</mi></msub></mrow><mo id="A5.Ex113.m1.1.1a.3.2" stretchy="false" xref="A5.Ex113.m1.1.1a.2.1.cmml">⟩</mo></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A5.Ex113.m1.11b"><apply id="A5.Ex113.m1.11.11.cmml" xref="A5.Ex113.m1.11.11"><eq id="A5.Ex113.m1.11.11.5.cmml" xref="A5.Ex113.m1.11.11.5"></eq><csymbol cd="latexml" id="A5.Ex113.m1.11.11.6.cmml" xref="A5.Ex113.m1.11.11.6">absent</csymbol><apply id="A5.Ex113.m1.11.11.4.cmml" xref="A5.Ex113.m1.11.11.4"><times id="A5.Ex113.m1.11.11.4.5.cmml" xref="A5.Ex113.m1.11.11.4.5"></times><apply id="A5.Ex113.m1.11.11.4.6.cmml" xref="A5.Ex113.m1.11.11.4.6"><divide id="A5.Ex113.m1.11.11.4.6.1.cmml" xref="A5.Ex113.m1.11.11.4.6"></divide><cn id="A5.Ex113.m1.11.11.4.6.2.cmml" type="integer" xref="A5.Ex113.m1.11.11.4.6.2">1</cn><apply id="A5.Ex113.m1.11.11.4.6.3.cmml" xref="A5.Ex113.m1.11.11.4.6.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.Ex113.m1.11.11.4.6.3.1.cmml" xref="A5.Ex113.m1.11.11.4.6.3">subscript</csymbol><ci id="A5.Ex113.m1.11.11.4.6.3.2.cmml" xref="A5.Ex113.m1.11.11.4.6.3.2">𝐶</ci><ci id="A5.Ex113.m1.11.11.4.6.3.3.cmml" xref="A5.Ex113.m1.11.11.4.6.3.3">𝑎</ci></apply></apply><apply id="A5.Ex113.m1.11.11.4.4.cmml" xref="A5.Ex113.m1.11.11.4.4"><apply id="A5.Ex113.m1.11.11.4.4.5.cmml" xref="A5.Ex113.m1.11.11.4.4.5"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.Ex113.m1.11.11.4.4.5.1.cmml" xref="A5.Ex113.m1.11.11.4.4.5">subscript</csymbol><sum id="A5.Ex113.m1.11.11.4.4.5.2.cmml" xref="A5.Ex113.m1.11.11.4.4.5.2"></sum><list id="A5.Ex113.m1.5.5.4.5.cmml" xref="A5.Ex113.m1.5.5.4.6"><ci id="A5.Ex113.m1.2.2.1.1.cmml" xref="A5.Ex113.m1.2.2.1.1">𝜋</ci><ci id="A5.Ex113.m1.3.3.2.2.cmml" xref="A5.Ex113.m1.3.3.2.2">𝜏</ci><ci id="A5.Ex113.m1.4.4.3.3.cmml" xref="A5.Ex113.m1.4.4.3.3">𝑑</ci><ci id="A5.Ex113.m1.5.5.4.4.cmml" xref="A5.Ex113.m1.5.5.4.4">𝑒</ci></list></apply><apply id="A5.Ex113.m1.11.11.4.4.4.cmml" xref="A5.Ex113.m1.11.11.4.4.4"><times id="A5.Ex113.m1.11.11.4.4.4.5.cmml" xref="A5.Ex113.m1.11.11.4.4.4.5"></times><apply id="A5.Ex113.m1.11.11.4.4.4.6.cmml" xref="A5.Ex113.m1.11.11.4.4.4.6"><divide id="A5.Ex113.m1.11.11.4.4.4.6.1.cmml" xref="A5.Ex113.m1.11.11.4.4.4.6"></divide><cn id="A5.Ex113.m1.11.11.4.4.4.6.2.cmml" type="integer" xref="A5.Ex113.m1.11.11.4.4.4.6.2">1</cn><apply id="A5.Ex113.m1.11.11.4.4.4.6.3.cmml" xref="A5.Ex113.m1.11.11.4.4.4.6.3"><times id="A5.Ex113.m1.11.11.4.4.4.6.3.1.cmml" xref="A5.Ex113.m1.11.11.4.4.4.6.3.1"></times><apply id="A5.Ex113.m1.11.11.4.4.4.6.3.2.cmml" xref="A5.Ex113.m1.11.11.4.4.4.6.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.Ex113.m1.11.11.4.4.4.6.3.2.1.cmml" xref="A5.Ex113.m1.11.11.4.4.4.6.3.2">subscript</csymbol><ci id="A5.Ex113.m1.11.11.4.4.4.6.3.2.2.cmml" xref="A5.Ex113.m1.11.11.4.4.4.6.3.2.2">𝐶</ci><ci id="A5.Ex113.m1.11.11.4.4.4.6.3.2.3.cmml" xref="A5.Ex113.m1.11.11.4.4.4.6.3.2.3">𝑑</ci></apply><apply id="A5.Ex113.m1.11.11.4.4.4.6.3.3.cmml" xref="A5.Ex113.m1.11.11.4.4.4.6.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.Ex113.m1.11.11.4.4.4.6.3.3.1.cmml" xref="A5.Ex113.m1.11.11.4.4.4.6.3.3">subscript</csymbol><ci id="A5.Ex113.m1.11.11.4.4.4.6.3.3.2.cmml" xref="A5.Ex113.m1.11.11.4.4.4.6.3.3.2">𝐶</ci><ci id="A5.Ex113.m1.11.11.4.4.4.6.3.3.3.cmml" xref="A5.Ex113.m1.11.11.4.4.4.6.3.3.3">𝑒</ci></apply></apply></apply><ci id="A5.Ex113.m1.11.11.4.4.4.7a.cmml" xref="A5.Ex113.m1.11.11.4.4.4.7"><mtext id="A5.Ex113.m1.11.11.4.4.4.7.cmml" xref="A5.Ex113.m1.11.11.4.4.4.7">Wg</mtext></ci><interval closure="open" id="A5.Ex113.m1.9.9.2.2.2.2.3.cmml" xref="A5.Ex113.m1.9.9.2.2.2.2.2"><apply id="A5.Ex113.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A5.Ex113.m1.8.8.1.1.1.1.1.1"><times id="A5.Ex113.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A5.Ex113.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1"></times><ci id="A5.Ex113.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A5.Ex113.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.2">𝜋</ci><apply id="A5.Ex113.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A5.Ex113.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.Ex113.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A5.Ex113.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="A5.Ex113.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A5.Ex113.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.Ex113.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="A5.Ex113.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A5.Ex113.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="A5.Ex113.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.3.2.2">𝜎</ci><ci id="A5.Ex113.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="A5.Ex113.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.3.2.3">𝑒</ci></apply><apply id="A5.Ex113.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A5.Ex113.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.3.3"><minus id="A5.Ex113.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="A5.Ex113.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.3.3"></minus><cn id="A5.Ex113.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" type="integer" xref="A5.Ex113.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.3.3.2">1</cn></apply></apply><apply id="A5.Ex113.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="A5.Ex113.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.Ex113.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="A5.Ex113.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.4">superscript</csymbol><ci id="A5.Ex113.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="A5.Ex113.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.4.2">𝜋</ci><apply id="A5.Ex113.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml" xref="A5.Ex113.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.4.3"><minus id="A5.Ex113.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.4.3.1.cmml" xref="A5.Ex113.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.4.3"></minus><cn id="A5.Ex113.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.4.3.2.cmml" type="integer" xref="A5.Ex113.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.4.3.2">1</cn></apply></apply><ci id="A5.Ex113.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.5.cmml" xref="A5.Ex113.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.5">𝜏</ci><apply id="A5.Ex113.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.6.cmml" xref="A5.Ex113.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.6"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.Ex113.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.6.1.cmml" xref="A5.Ex113.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.6">subscript</csymbol><ci id="A5.Ex113.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.6.2.cmml" xref="A5.Ex113.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.6.2">𝜎</ci><ci id="A5.Ex113.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.6.3.cmml" xref="A5.Ex113.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.6.3">𝑑</ci></apply><apply id="A5.Ex113.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.7.cmml" xref="A5.Ex113.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.7"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.Ex113.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.7.1.cmml" xref="A5.Ex113.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.7">superscript</csymbol><ci id="A5.Ex113.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.7.2.cmml" xref="A5.Ex113.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.7.2">𝜏</ci><apply id="A5.Ex113.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.7.3.cmml" xref="A5.Ex113.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.7.3"><minus id="A5.Ex113.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.7.3.1.cmml" xref="A5.Ex113.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.7.3"></minus><cn id="A5.Ex113.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.7.3.2.cmml" type="integer" xref="A5.Ex113.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.7.3.2">1</cn></apply></apply></apply><apply id="A5.Ex113.m1.9.9.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="A5.Ex113.m1.9.9.2.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.Ex113.m1.9.9.2.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="A5.Ex113.m1.9.9.2.2.2.2.2.2">superscript</csymbol><ci id="A5.Ex113.m1.9.9.2.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="A5.Ex113.m1.9.9.2.2.2.2.2.2.2">𝑞</ci><apply id="A5.Ex113.m1.9.9.2.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="A5.Ex113.m1.9.9.2.2.2.2.2.2.3"><plus id="A5.Ex113.m1.9.9.2.2.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="A5.Ex113.m1.9.9.2.2.2.2.2.2.3.1"></plus><ci id="A5.Ex113.m1.9.9.2.2.2.2.2.2.3.2.cmml" xref="A5.Ex113.m1.9.9.2.2.2.2.2.2.3.2">𝑚</ci><cn id="A5.Ex113.m1.9.9.2.2.2.2.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="A5.Ex113.m1.9.9.2.2.2.2.2.2.3.3">1</cn></apply></apply></interval><apply id="A5.Ex113.m1.11.11.4.4.4.8.cmml" xref="A5.Ex113.m1.11.11.4.4.4.8"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.Ex113.m1.11.11.4.4.4.8.1.cmml" xref="A5.Ex113.m1.11.11.4.4.4.8">superscript</csymbol><ci id="A5.Ex113.m1.11.11.4.4.4.8.2.cmml" xref="A5.Ex113.m1.11.11.4.4.4.8.2">𝑞</ci><apply id="A5.Ex113.m1.7.7.2.cmml" xref="A5.Ex113.m1.7.7.2"><minus id="A5.Ex113.m1.7.7.2.3.cmml" xref="A5.Ex113.m1.7.7.2.3"></minus><apply id="A5.Ex113.m1.6.6.1.1.cmml" xref="A5.Ex113.m1.6.6.1.1"><minus id="A5.Ex113.m1.6.6.1.1.2.cmml" xref="A5.Ex113.m1.6.6.1.1"></minus><apply id="A5.Ex113.m1.6.6.1.1.1.cmml" xref="A5.Ex113.m1.6.6.1.1.1"><times id="A5.Ex113.m1.6.6.1.1.1.2.cmml" xref="A5.Ex113.m1.6.6.1.1.1.2"></times><ci id="A5.Ex113.m1.6.6.1.1.1.3.cmml" xref="A5.Ex113.m1.6.6.1.1.1.3">𝑚</ci><apply id="A5.Ex113.m1.6.6.1.1.1.1.2.cmml" xref="A5.Ex113.m1.6.6.1.1.1.1.1"><abs id="A5.Ex113.m1.6.6.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A5.Ex113.m1.6.6.1.1.1.1.1.2"></abs><apply id="A5.Ex113.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A5.Ex113.m1.6.6.1.1.1.1.1.1"><times id="A5.Ex113.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A5.Ex113.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1"></times><ci id="A5.Ex113.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A5.Ex113.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2">𝜏</ci><apply id="A5.Ex113.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A5.Ex113.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.Ex113.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A5.Ex113.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="A5.Ex113.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A5.Ex113.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.Ex113.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="A5.Ex113.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A5.Ex113.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="A5.Ex113.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.2.2">𝜎</ci><ci id="A5.Ex113.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="A5.Ex113.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.2.3">𝑑</ci></apply><apply id="A5.Ex113.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A5.Ex113.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.3"><minus id="A5.Ex113.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="A5.Ex113.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.3"></minus><cn id="A5.Ex113.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" type="integer" xref="A5.Ex113.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.3.2">1</cn></apply></apply><apply id="A5.Ex113.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="A5.Ex113.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.Ex113.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="A5.Ex113.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.4">superscript</csymbol><ci id="A5.Ex113.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="A5.Ex113.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.4.2">𝜏</ci><apply id="A5.Ex113.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml" xref="A5.Ex113.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.4.3"><minus id="A5.Ex113.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.4.3.1.cmml" xref="A5.Ex113.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.4.3"></minus><cn id="A5.Ex113.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.4.3.2.cmml" type="integer" xref="A5.Ex113.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.4.3.2">1</cn></apply></apply><apply id="A5.Ex113.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.5.cmml" xref="A5.Ex113.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.5"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.Ex113.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.5.1.cmml" xref="A5.Ex113.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.5">subscript</csymbol><ci id="A5.Ex113.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.5.2.cmml" xref="A5.Ex113.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.5.2">𝜎</ci><ci id="A5.Ex113.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.5.3.cmml" xref="A5.Ex113.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.5.3">𝑎</ci></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="A5.Ex113.m1.7.7.2.2.2.cmml" xref="A5.Ex113.m1.7.7.2.2.1"><abs id="A5.Ex113.m1.7.7.2.2.2.1.cmml" xref="A5.Ex113.m1.7.7.2.2.1.2"></abs><apply id="A5.Ex113.m1.7.7.2.2.1.1.cmml" xref="A5.Ex113.m1.7.7.2.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.Ex113.m1.7.7.2.2.1.1.1.cmml" xref="A5.Ex113.m1.7.7.2.2.1.1">subscript</csymbol><ci id="A5.Ex113.m1.7.7.2.2.1.1.2.cmml" xref="A5.Ex113.m1.7.7.2.2.1.1.2">𝜎</ci><ci id="A5.Ex113.m1.7.7.2.2.1.1.3.cmml" xref="A5.Ex113.m1.7.7.2.2.1.1.3">𝑑</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="A5.Ex113.m1.11.11.4.4.4.9.cmml" xref="A5.Ex113.m1.11.11.4.4.4.9"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.Ex113.m1.11.11.4.4.4.9.1.cmml" xref="A5.Ex113.m1.11.11.4.4.4.9">superscript</csymbol><apply id="A5.Ex113.m1.11.11.4.4.4.9.2.cmml" xref="A5.Ex113.m1.11.11.4.4.4.9"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.Ex113.m1.11.11.4.4.4.9.2.1.cmml" xref="A5.Ex113.m1.11.11.4.4.4.9">subscript</csymbol><ci id="A5.Ex113.m1.11.11.4.4.4.9.2.2.cmml" xref="A5.Ex113.m1.11.11.4.4.4.9.2.2">𝐿</ci><apply id="A5.Ex113.m1.11.11.4.4.4.9.2.3.cmml" xref="A5.Ex113.m1.11.11.4.4.4.9.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.Ex113.m1.11.11.4.4.4.9.2.3.1.cmml" xref="A5.Ex113.m1.11.11.4.4.4.9.2.3">subscript</csymbol><ci id="A5.Ex113.m1.11.11.4.4.4.9.2.3.2.cmml" xref="A5.Ex113.m1.11.11.4.4.4.9.2.3.2">𝜈</ci><ci id="A5.Ex113.m1.11.11.4.4.4.9.2.3.3.cmml" xref="A5.Ex113.m1.11.11.4.4.4.9.2.3.3">𝐿</ci></apply></apply><apply id="A5.Ex113.m1.11.11.4.4.4.9.3.cmml" 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xref="A5.Ex113.m1.11.11.4.4.4.10.2.3">subscript</csymbol><ci id="A5.Ex113.m1.11.11.4.4.4.10.2.3.2.cmml" xref="A5.Ex113.m1.11.11.4.4.4.10.2.3.2">𝜈</ci><ci id="A5.Ex113.m1.11.11.4.4.4.10.2.3.3.cmml" xref="A5.Ex113.m1.11.11.4.4.4.10.2.3.3">𝑅</ci></apply></apply><apply id="A5.Ex113.m1.11.11.4.4.4.10.3.cmml" xref="A5.Ex113.m1.11.11.4.4.4.10.3"><times id="A5.Ex113.m1.11.11.4.4.4.10.3.1.cmml" xref="A5.Ex113.m1.11.11.4.4.4.10.3.1"></times><ci id="A5.Ex113.m1.11.11.4.4.4.10.3.2.cmml" xref="A5.Ex113.m1.11.11.4.4.4.10.3.2">𝑘</ci><ci id="A5.Ex113.m1.11.11.4.4.4.10.3.3.cmml" xref="A5.Ex113.m1.11.11.4.4.4.10.3.3">𝑛</ci></apply></apply><apply id="A5.Ex113.m1.10.10.3.3.3.3.cmml" xref="A5.Ex113.m1.10.10.3.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.Ex113.m1.10.10.3.3.3.3.2.cmml" xref="A5.Ex113.m1.10.10.3.3.3.3">subscript</csymbol><apply id="A5.Ex113.m1.10.10.3.3.3.3.1.1.1.cmml" xref="A5.Ex113.m1.10.10.3.3.3.3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.Ex113.m1.10.10.3.3.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="A5.Ex113.m1.10.10.3.3.3.3.1.1">subscript</csymbol><ci id="A5.Ex113.m1.10.10.3.3.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="A5.Ex113.m1.10.10.3.3.3.3.1.1.1.2">𝜎</ci><ci id="A5.Ex113.m1.10.10.3.3.3.3.1.1.1.3.cmml" xref="A5.Ex113.m1.10.10.3.3.3.3.1.1.1.3">𝑎</ci></apply><ci id="A5.Ex113.m1.10.10.3.3.3.3.3.cmml" xref="A5.Ex113.m1.10.10.3.3.3.3.3">𝑅</ci></apply><apply id="A5.Ex113.m1.11.11.4.4.4.11.cmml" xref="A5.Ex113.m1.11.11.4.4.4.11"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.Ex113.m1.11.11.4.4.4.11.1.cmml" xref="A5.Ex113.m1.11.11.4.4.4.11">subscript</csymbol><ci id="A5.Ex113.m1.11.11.4.4.4.11.2.cmml" xref="A5.Ex113.m1.11.11.4.4.4.11.2">𝜋</ci><ci id="A5.Ex113.m1.11.11.4.4.4.11.3.cmml" xref="A5.Ex113.m1.11.11.4.4.4.11.3">𝐿</ci></apply><apply id="A5.Ex113.m1.11.11.4.4.4.12.cmml" xref="A5.Ex113.m1.11.11.4.4.4.12"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.Ex113.m1.11.11.4.4.4.12.1.cmml" xref="A5.Ex113.m1.11.11.4.4.4.12">superscript</csymbol><apply id="A5.Ex113.m1.11.11.4.4.4.12.2.cmml" 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_{a})_{R}\pi_{L}\pi_{R}^{-1}(\sigma_{e})_{R}^{-1}\ket{I,I,\sigma_{e}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A5.Ex113.m1.11d">= divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_C start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT end_ARG ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_π , italic_τ , italic_d , italic_e end_POSTSUBSCRIPT divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_C start_POSTSUBSCRIPT italic_d end_POSTSUBSCRIPT italic_C start_POSTSUBSCRIPT italic_e end_POSTSUBSCRIPT end_ARG Wg ( italic_π italic_σ start_POSTSUBSCRIPT italic_e end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT italic_π start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT italic_τ italic_σ start_POSTSUBSCRIPT italic_d end_POSTSUBSCRIPT italic_τ start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT , italic_q start_POSTSUPERSCRIPT italic_m + 1 end_POSTSUPERSCRIPT ) italic_q start_POSTSUPERSCRIPT - italic_m | italic_τ italic_σ start_POSTSUBSCRIPT italic_d end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT italic_τ start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT italic_σ start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT | - | italic_σ start_POSTSUBSCRIPT italic_d end_POSTSUBSCRIPT | end_POSTSUPERSCRIPT italic_L start_POSTSUBSCRIPT italic_ν start_POSTSUBSCRIPT italic_L end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_h italic_j end_POSTSUPERSCRIPT italic_R start_POSTSUBSCRIPT italic_ν start_POSTSUBSCRIPT italic_R end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_k italic_n end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_σ start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT ) start_POSTSUBSCRIPT italic_R end_POSTSUBSCRIPT italic_π start_POSTSUBSCRIPT italic_L end_POSTSUBSCRIPT italic_π start_POSTSUBSCRIPT italic_R end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_σ start_POSTSUBSCRIPT italic_e end_POSTSUBSCRIPT ) start_POSTSUBSCRIPT italic_R end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT | start_ARG italic_I , italic_I , italic_σ start_POSTSUBSCRIPT italic_e end_POSTSUBSCRIPT end_ARG ⟩</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="A5.Ex114"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=\frac{1}{C_{a}}\sum_{\pi,\tau,d,e}\frac{1}{C_{d}C_{e}}\text{Wg}(% \pi\sigma_{e}^{-1}\pi^{-1}\tau\sigma_{d}\tau^{-1},q^{m+1})q^{-m|\tau\sigma_{d}% ^{-1}\tau^{-1}\sigma_{a}|-|\sigma_{d}|}V_{\nu_{R}}(\sigma_{a})^{on}L_{\nu_{L}}% ^{hj}R_{\nu_{R}}^{ko}\pi_{L}\pi_{R}^{-1}(\sigma_{e})_{R}^{-1}\ket{I,I,\sigma_{% e}}" class="ltx_Math" display="inline" id="A5.Ex114.m1.11"><semantics id="A5.Ex114.m1.11a"><mrow id="A5.Ex114.m1.11.11" xref="A5.Ex114.m1.11.11.cmml"><mi id="A5.Ex114.m1.11.11.6" xref="A5.Ex114.m1.11.11.6.cmml"></mi><mo id="A5.Ex114.m1.11.11.5" xref="A5.Ex114.m1.11.11.5.cmml">=</mo><mrow id="A5.Ex114.m1.11.11.4" 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id="A5.Ex114.m1.2.2.1.1" xref="A5.Ex114.m1.2.2.1.1.cmml">π</mi><mo id="A5.Ex114.m1.5.5.4.6.1" xref="A5.Ex114.m1.5.5.4.5.cmml">,</mo><mi id="A5.Ex114.m1.3.3.2.2" xref="A5.Ex114.m1.3.3.2.2.cmml">τ</mi><mo id="A5.Ex114.m1.5.5.4.6.2" xref="A5.Ex114.m1.5.5.4.5.cmml">,</mo><mi id="A5.Ex114.m1.4.4.3.3" xref="A5.Ex114.m1.4.4.3.3.cmml">d</mi><mo id="A5.Ex114.m1.5.5.4.6.3" xref="A5.Ex114.m1.5.5.4.5.cmml">,</mo><mi id="A5.Ex114.m1.5.5.4.4" xref="A5.Ex114.m1.5.5.4.4.cmml">e</mi></mrow></munder></mstyle><mrow id="A5.Ex114.m1.11.11.4.4.4" xref="A5.Ex114.m1.11.11.4.4.4.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A5.Ex114.m1.11.11.4.4.4.6" xref="A5.Ex114.m1.11.11.4.4.4.6.cmml"><mfrac id="A5.Ex114.m1.11.11.4.4.4.6a" xref="A5.Ex114.m1.11.11.4.4.4.6.cmml"><mn id="A5.Ex114.m1.11.11.4.4.4.6.2" xref="A5.Ex114.m1.11.11.4.4.4.6.2.cmml">1</mn><mrow id="A5.Ex114.m1.11.11.4.4.4.6.3" xref="A5.Ex114.m1.11.11.4.4.4.6.3.cmml"><msub id="A5.Ex114.m1.11.11.4.4.4.6.3.2" xref="A5.Ex114.m1.11.11.4.4.4.6.3.2.cmml"><mi id="A5.Ex114.m1.11.11.4.4.4.6.3.2.2" xref="A5.Ex114.m1.11.11.4.4.4.6.3.2.2.cmml">C</mi><mi id="A5.Ex114.m1.11.11.4.4.4.6.3.2.3" xref="A5.Ex114.m1.11.11.4.4.4.6.3.2.3.cmml">d</mi></msub><mo id="A5.Ex114.m1.11.11.4.4.4.6.3.1" xref="A5.Ex114.m1.11.11.4.4.4.6.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="A5.Ex114.m1.11.11.4.4.4.6.3.3" xref="A5.Ex114.m1.11.11.4.4.4.6.3.3.cmml"><mi id="A5.Ex114.m1.11.11.4.4.4.6.3.3.2" xref="A5.Ex114.m1.11.11.4.4.4.6.3.3.2.cmml">C</mi><mi id="A5.Ex114.m1.11.11.4.4.4.6.3.3.3" xref="A5.Ex114.m1.11.11.4.4.4.6.3.3.3.cmml">e</mi></msub></mrow></mfrac></mstyle><mo id="A5.Ex114.m1.11.11.4.4.4.5" xref="A5.Ex114.m1.11.11.4.4.4.5.cmml">⁢</mo><mtext id="A5.Ex114.m1.11.11.4.4.4.7" xref="A5.Ex114.m1.11.11.4.4.4.7a.cmml">Wg</mtext><mo id="A5.Ex114.m1.11.11.4.4.4.5a" xref="A5.Ex114.m1.11.11.4.4.4.5.cmml">⁢</mo><mrow id="A5.Ex114.m1.9.9.2.2.2.2.2" xref="A5.Ex114.m1.9.9.2.2.2.2.3.cmml"><mo id="A5.Ex114.m1.9.9.2.2.2.2.2.3" stretchy="false" xref="A5.Ex114.m1.9.9.2.2.2.2.3.cmml">(</mo><mrow id="A5.Ex114.m1.8.8.1.1.1.1.1.1" xref="A5.Ex114.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A5.Ex114.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.2" xref="A5.Ex114.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.2.cmml">π</mi><mo id="A5.Ex114.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1" xref="A5.Ex114.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="A5.Ex114.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.3" xref="A5.Ex114.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A5.Ex114.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="A5.Ex114.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">σ</mi><mi id="A5.Ex114.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="A5.Ex114.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">e</mi><mrow id="A5.Ex114.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A5.Ex114.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mo id="A5.Ex114.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.3.3a" xref="A5.Ex114.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">−</mo><mn id="A5.Ex114.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="A5.Ex114.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">1</mn></mrow></msubsup><mo id="A5.Ex114.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1a" xref="A5.Ex114.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msup id="A5.Ex114.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.4" xref="A5.Ex114.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="A5.Ex114.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.4.2" xref="A5.Ex114.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml">π</mi><mrow id="A5.Ex114.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.4.3" xref="A5.Ex114.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml"><mo id="A5.Ex114.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.4.3a" xref="A5.Ex114.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml">−</mo><mn id="A5.Ex114.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.4.3.2" xref="A5.Ex114.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.4.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="A5.Ex114.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1b" xref="A5.Ex114.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="A5.Ex114.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.5" xref="A5.Ex114.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.5.cmml">τ</mi><mo id="A5.Ex114.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1c" xref="A5.Ex114.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="A5.Ex114.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.6" xref="A5.Ex114.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.6.cmml"><mi id="A5.Ex114.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.6.2" xref="A5.Ex114.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.6.2.cmml">σ</mi><mi id="A5.Ex114.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.6.3" xref="A5.Ex114.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.6.3.cmml">d</mi></msub><mo id="A5.Ex114.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1d" xref="A5.Ex114.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msup id="A5.Ex114.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.7" xref="A5.Ex114.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.7.cmml"><mi id="A5.Ex114.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.7.2" xref="A5.Ex114.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.7.2.cmml">τ</mi><mrow id="A5.Ex114.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.7.3" xref="A5.Ex114.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.7.3.cmml"><mo id="A5.Ex114.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.7.3a" xref="A5.Ex114.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.7.3.cmml">−</mo><mn id="A5.Ex114.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.7.3.2" xref="A5.Ex114.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.7.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup></mrow><mo id="A5.Ex114.m1.9.9.2.2.2.2.2.4" xref="A5.Ex114.m1.9.9.2.2.2.2.3.cmml">,</mo><msup id="A5.Ex114.m1.9.9.2.2.2.2.2.2" xref="A5.Ex114.m1.9.9.2.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="A5.Ex114.m1.9.9.2.2.2.2.2.2.2" xref="A5.Ex114.m1.9.9.2.2.2.2.2.2.2.cmml">q</mi><mrow id="A5.Ex114.m1.9.9.2.2.2.2.2.2.3" xref="A5.Ex114.m1.9.9.2.2.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="A5.Ex114.m1.9.9.2.2.2.2.2.2.3.2" xref="A5.Ex114.m1.9.9.2.2.2.2.2.2.3.2.cmml">m</mi><mo id="A5.Ex114.m1.9.9.2.2.2.2.2.2.3.1" xref="A5.Ex114.m1.9.9.2.2.2.2.2.2.3.1.cmml">+</mo><mn id="A5.Ex114.m1.9.9.2.2.2.2.2.2.3.3" xref="A5.Ex114.m1.9.9.2.2.2.2.2.2.3.3.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="A5.Ex114.m1.9.9.2.2.2.2.2.5" stretchy="false" xref="A5.Ex114.m1.9.9.2.2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow><mo id="A5.Ex114.m1.11.11.4.4.4.5b" xref="A5.Ex114.m1.11.11.4.4.4.5.cmml">⁢</mo><msup id="A5.Ex114.m1.11.11.4.4.4.8" xref="A5.Ex114.m1.11.11.4.4.4.8.cmml"><mi id="A5.Ex114.m1.11.11.4.4.4.8.2" xref="A5.Ex114.m1.11.11.4.4.4.8.2.cmml">q</mi><mrow id="A5.Ex114.m1.7.7.2" xref="A5.Ex114.m1.7.7.2.cmml"><mrow id="A5.Ex114.m1.6.6.1.1" xref="A5.Ex114.m1.6.6.1.1.cmml"><mo id="A5.Ex114.m1.6.6.1.1a" xref="A5.Ex114.m1.6.6.1.1.cmml">−</mo><mrow id="A5.Ex114.m1.6.6.1.1.1" xref="A5.Ex114.m1.6.6.1.1.1.cmml"><mi id="A5.Ex114.m1.6.6.1.1.1.3" xref="A5.Ex114.m1.6.6.1.1.1.3.cmml">m</mi><mo id="A5.Ex114.m1.6.6.1.1.1.2" xref="A5.Ex114.m1.6.6.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A5.Ex114.m1.6.6.1.1.1.1.1" xref="A5.Ex114.m1.6.6.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="A5.Ex114.m1.6.6.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A5.Ex114.m1.6.6.1.1.1.1.2.1.cmml">|</mo><mrow id="A5.Ex114.m1.6.6.1.1.1.1.1.1" xref="A5.Ex114.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A5.Ex114.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2" xref="A5.Ex114.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.cmml">τ</mi><mo id="A5.Ex114.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1" xref="A5.Ex114.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="A5.Ex114.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3" xref="A5.Ex114.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A5.Ex114.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="A5.Ex114.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">σ</mi><mi id="A5.Ex114.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="A5.Ex114.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">d</mi><mrow id="A5.Ex114.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A5.Ex114.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mo id="A5.Ex114.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.3a" xref="A5.Ex114.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">−</mo><mn id="A5.Ex114.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="A5.Ex114.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">1</mn></mrow></msubsup><mo id="A5.Ex114.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1a" xref="A5.Ex114.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msup id="A5.Ex114.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.4" xref="A5.Ex114.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="A5.Ex114.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.4.2" xref="A5.Ex114.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml">τ</mi><mrow id="A5.Ex114.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.4.3" xref="A5.Ex114.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml"><mo id="A5.Ex114.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.4.3a" xref="A5.Ex114.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml">−</mo><mn id="A5.Ex114.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.4.3.2" xref="A5.Ex114.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.4.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="A5.Ex114.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1b" xref="A5.Ex114.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="A5.Ex114.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.5" xref="A5.Ex114.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.5.cmml"><mi id="A5.Ex114.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.5.2" xref="A5.Ex114.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.5.2.cmml">σ</mi><mi id="A5.Ex114.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.5.3" xref="A5.Ex114.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.5.3.cmml">a</mi></msub></mrow><mo id="A5.Ex114.m1.6.6.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A5.Ex114.m1.6.6.1.1.1.1.2.1.cmml">|</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="A5.Ex114.m1.7.7.2.3" xref="A5.Ex114.m1.7.7.2.3.cmml">−</mo><mrow id="A5.Ex114.m1.7.7.2.2.1" xref="A5.Ex114.m1.7.7.2.2.2.cmml"><mo id="A5.Ex114.m1.7.7.2.2.1.2" stretchy="false" xref="A5.Ex114.m1.7.7.2.2.2.1.cmml">|</mo><msub id="A5.Ex114.m1.7.7.2.2.1.1" xref="A5.Ex114.m1.7.7.2.2.1.1.cmml"><mi id="A5.Ex114.m1.7.7.2.2.1.1.2" xref="A5.Ex114.m1.7.7.2.2.1.1.2.cmml">σ</mi><mi id="A5.Ex114.m1.7.7.2.2.1.1.3" xref="A5.Ex114.m1.7.7.2.2.1.1.3.cmml">d</mi></msub><mo id="A5.Ex114.m1.7.7.2.2.1.3" stretchy="false" xref="A5.Ex114.m1.7.7.2.2.2.1.cmml">|</mo></mrow></mrow></msup><mo id="A5.Ex114.m1.11.11.4.4.4.5c" xref="A5.Ex114.m1.11.11.4.4.4.5.cmml">⁢</mo><msub id="A5.Ex114.m1.11.11.4.4.4.9" xref="A5.Ex114.m1.11.11.4.4.4.9.cmml"><mi id="A5.Ex114.m1.11.11.4.4.4.9.2" xref="A5.Ex114.m1.11.11.4.4.4.9.2.cmml">V</mi><msub id="A5.Ex114.m1.11.11.4.4.4.9.3" xref="A5.Ex114.m1.11.11.4.4.4.9.3.cmml"><mi id="A5.Ex114.m1.11.11.4.4.4.9.3.2" xref="A5.Ex114.m1.11.11.4.4.4.9.3.2.cmml">ν</mi><mi id="A5.Ex114.m1.11.11.4.4.4.9.3.3" xref="A5.Ex114.m1.11.11.4.4.4.9.3.3.cmml">R</mi></msub></msub><mo id="A5.Ex114.m1.11.11.4.4.4.5d" xref="A5.Ex114.m1.11.11.4.4.4.5.cmml">⁢</mo><msup id="A5.Ex114.m1.10.10.3.3.3.3" xref="A5.Ex114.m1.10.10.3.3.3.3.cmml"><mrow id="A5.Ex114.m1.10.10.3.3.3.3.1.1" xref="A5.Ex114.m1.10.10.3.3.3.3.1.1.1.cmml"><mo id="A5.Ex114.m1.10.10.3.3.3.3.1.1.2" stretchy="false" xref="A5.Ex114.m1.10.10.3.3.3.3.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="A5.Ex114.m1.10.10.3.3.3.3.1.1.1" xref="A5.Ex114.m1.10.10.3.3.3.3.1.1.1.cmml"><mi id="A5.Ex114.m1.10.10.3.3.3.3.1.1.1.2" xref="A5.Ex114.m1.10.10.3.3.3.3.1.1.1.2.cmml">σ</mi><mi id="A5.Ex114.m1.10.10.3.3.3.3.1.1.1.3" xref="A5.Ex114.m1.10.10.3.3.3.3.1.1.1.3.cmml">a</mi></msub><mo id="A5.Ex114.m1.10.10.3.3.3.3.1.1.3" stretchy="false" xref="A5.Ex114.m1.10.10.3.3.3.3.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="A5.Ex114.m1.10.10.3.3.3.3.3" xref="A5.Ex114.m1.10.10.3.3.3.3.3.cmml"><mi id="A5.Ex114.m1.10.10.3.3.3.3.3.2" xref="A5.Ex114.m1.10.10.3.3.3.3.3.2.cmml">o</mi><mo id="A5.Ex114.m1.10.10.3.3.3.3.3.1" xref="A5.Ex114.m1.10.10.3.3.3.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A5.Ex114.m1.10.10.3.3.3.3.3.3" xref="A5.Ex114.m1.10.10.3.3.3.3.3.3.cmml">n</mi></mrow></msup><mo id="A5.Ex114.m1.11.11.4.4.4.5e" xref="A5.Ex114.m1.11.11.4.4.4.5.cmml">⁢</mo><msubsup id="A5.Ex114.m1.11.11.4.4.4.10" xref="A5.Ex114.m1.11.11.4.4.4.10.cmml"><mi id="A5.Ex114.m1.11.11.4.4.4.10.2.2" xref="A5.Ex114.m1.11.11.4.4.4.10.2.2.cmml">L</mi><msub id="A5.Ex114.m1.11.11.4.4.4.10.2.3" xref="A5.Ex114.m1.11.11.4.4.4.10.2.3.cmml"><mi id="A5.Ex114.m1.11.11.4.4.4.10.2.3.2" xref="A5.Ex114.m1.11.11.4.4.4.10.2.3.2.cmml">ν</mi><mi id="A5.Ex114.m1.11.11.4.4.4.10.2.3.3" xref="A5.Ex114.m1.11.11.4.4.4.10.2.3.3.cmml">L</mi></msub><mrow id="A5.Ex114.m1.11.11.4.4.4.10.3" xref="A5.Ex114.m1.11.11.4.4.4.10.3.cmml"><mi id="A5.Ex114.m1.11.11.4.4.4.10.3.2" xref="A5.Ex114.m1.11.11.4.4.4.10.3.2.cmml">h</mi><mo id="A5.Ex114.m1.11.11.4.4.4.10.3.1" xref="A5.Ex114.m1.11.11.4.4.4.10.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A5.Ex114.m1.11.11.4.4.4.10.3.3" xref="A5.Ex114.m1.11.11.4.4.4.10.3.3.cmml">j</mi></mrow></msubsup><mo id="A5.Ex114.m1.11.11.4.4.4.5f" xref="A5.Ex114.m1.11.11.4.4.4.5.cmml">⁢</mo><msubsup id="A5.Ex114.m1.11.11.4.4.4.11" xref="A5.Ex114.m1.11.11.4.4.4.11.cmml"><mi id="A5.Ex114.m1.11.11.4.4.4.11.2.2" xref="A5.Ex114.m1.11.11.4.4.4.11.2.2.cmml">R</mi><msub id="A5.Ex114.m1.11.11.4.4.4.11.2.3" xref="A5.Ex114.m1.11.11.4.4.4.11.2.3.cmml"><mi id="A5.Ex114.m1.11.11.4.4.4.11.2.3.2" xref="A5.Ex114.m1.11.11.4.4.4.11.2.3.2.cmml">ν</mi><mi id="A5.Ex114.m1.11.11.4.4.4.11.2.3.3" xref="A5.Ex114.m1.11.11.4.4.4.11.2.3.3.cmml">R</mi></msub><mrow id="A5.Ex114.m1.11.11.4.4.4.11.3" xref="A5.Ex114.m1.11.11.4.4.4.11.3.cmml"><mi id="A5.Ex114.m1.11.11.4.4.4.11.3.2" xref="A5.Ex114.m1.11.11.4.4.4.11.3.2.cmml">k</mi><mo id="A5.Ex114.m1.11.11.4.4.4.11.3.1" xref="A5.Ex114.m1.11.11.4.4.4.11.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A5.Ex114.m1.11.11.4.4.4.11.3.3" xref="A5.Ex114.m1.11.11.4.4.4.11.3.3.cmml">o</mi></mrow></msubsup><mo id="A5.Ex114.m1.11.11.4.4.4.5g" xref="A5.Ex114.m1.11.11.4.4.4.5.cmml">⁢</mo><msub id="A5.Ex114.m1.11.11.4.4.4.12" xref="A5.Ex114.m1.11.11.4.4.4.12.cmml"><mi id="A5.Ex114.m1.11.11.4.4.4.12.2" xref="A5.Ex114.m1.11.11.4.4.4.12.2.cmml">π</mi><mi id="A5.Ex114.m1.11.11.4.4.4.12.3" xref="A5.Ex114.m1.11.11.4.4.4.12.3.cmml">L</mi></msub><mo id="A5.Ex114.m1.11.11.4.4.4.5h" xref="A5.Ex114.m1.11.11.4.4.4.5.cmml">⁢</mo><msubsup id="A5.Ex114.m1.11.11.4.4.4.13" xref="A5.Ex114.m1.11.11.4.4.4.13.cmml"><mi id="A5.Ex114.m1.11.11.4.4.4.13.2.2" xref="A5.Ex114.m1.11.11.4.4.4.13.2.2.cmml">π</mi><mi id="A5.Ex114.m1.11.11.4.4.4.13.2.3" xref="A5.Ex114.m1.11.11.4.4.4.13.2.3.cmml">R</mi><mrow id="A5.Ex114.m1.11.11.4.4.4.13.3" xref="A5.Ex114.m1.11.11.4.4.4.13.3.cmml"><mo id="A5.Ex114.m1.11.11.4.4.4.13.3a" xref="A5.Ex114.m1.11.11.4.4.4.13.3.cmml">−</mo><mn id="A5.Ex114.m1.11.11.4.4.4.13.3.2" xref="A5.Ex114.m1.11.11.4.4.4.13.3.2.cmml">1</mn></mrow></msubsup><mo id="A5.Ex114.m1.11.11.4.4.4.5i" xref="A5.Ex114.m1.11.11.4.4.4.5.cmml">⁢</mo><msubsup id="A5.Ex114.m1.11.11.4.4.4.4" xref="A5.Ex114.m1.11.11.4.4.4.4.cmml"><mrow id="A5.Ex114.m1.11.11.4.4.4.4.1.1.1" xref="A5.Ex114.m1.11.11.4.4.4.4.1.1.1.1.cmml"><mo id="A5.Ex114.m1.11.11.4.4.4.4.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A5.Ex114.m1.11.11.4.4.4.4.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="A5.Ex114.m1.11.11.4.4.4.4.1.1.1.1" xref="A5.Ex114.m1.11.11.4.4.4.4.1.1.1.1.cmml"><mi id="A5.Ex114.m1.11.11.4.4.4.4.1.1.1.1.2" xref="A5.Ex114.m1.11.11.4.4.4.4.1.1.1.1.2.cmml">σ</mi><mi id="A5.Ex114.m1.11.11.4.4.4.4.1.1.1.1.3" xref="A5.Ex114.m1.11.11.4.4.4.4.1.1.1.1.3.cmml">e</mi></msub><mo id="A5.Ex114.m1.11.11.4.4.4.4.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A5.Ex114.m1.11.11.4.4.4.4.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mi id="A5.Ex114.m1.11.11.4.4.4.4.1.3" xref="A5.Ex114.m1.11.11.4.4.4.4.1.3.cmml">R</mi><mrow id="A5.Ex114.m1.11.11.4.4.4.4.3" xref="A5.Ex114.m1.11.11.4.4.4.4.3.cmml"><mo id="A5.Ex114.m1.11.11.4.4.4.4.3a" xref="A5.Ex114.m1.11.11.4.4.4.4.3.cmml">−</mo><mn id="A5.Ex114.m1.11.11.4.4.4.4.3.2" xref="A5.Ex114.m1.11.11.4.4.4.4.3.2.cmml">1</mn></mrow></msubsup><mo id="A5.Ex114.m1.11.11.4.4.4.5j" xref="A5.Ex114.m1.11.11.4.4.4.5.cmml">⁢</mo><mrow id="A5.Ex114.m1.1.1a.3" xref="A5.Ex114.m1.1.1a.2.cmml"><mo id="A5.Ex114.m1.1.1a.3.1" stretchy="false" xref="A5.Ex114.m1.1.1a.2.1.cmml">|</mo><mrow id="A5.Ex114.m1.1.1.1.1.3" xref="A5.Ex114.m1.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="A5.Ex114.m1.1.1.1.1.1" xref="A5.Ex114.m1.1.1.1.1.1.cmml">I</mi><mo id="A5.Ex114.m1.1.1.1.1.3.2" xref="A5.Ex114.m1.1.1.1.1.4.cmml">,</mo><mi id="A5.Ex114.m1.1.1.1.1.2" xref="A5.Ex114.m1.1.1.1.1.2.cmml">I</mi><mo id="A5.Ex114.m1.1.1.1.1.3.3" xref="A5.Ex114.m1.1.1.1.1.4.cmml">,</mo><msub id="A5.Ex114.m1.1.1.1.1.3.1" xref="A5.Ex114.m1.1.1.1.1.3.1.cmml"><mi id="A5.Ex114.m1.1.1.1.1.3.1.2" xref="A5.Ex114.m1.1.1.1.1.3.1.2.cmml">σ</mi><mi id="A5.Ex114.m1.1.1.1.1.3.1.3" xref="A5.Ex114.m1.1.1.1.1.3.1.3.cmml">e</mi></msub></mrow><mo id="A5.Ex114.m1.1.1a.3.2" stretchy="false" xref="A5.Ex114.m1.1.1a.2.1.cmml">⟩</mo></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A5.Ex114.m1.11b"><apply id="A5.Ex114.m1.11.11.cmml" xref="A5.Ex114.m1.11.11"><eq id="A5.Ex114.m1.11.11.5.cmml" xref="A5.Ex114.m1.11.11.5"></eq><csymbol cd="latexml" id="A5.Ex114.m1.11.11.6.cmml" xref="A5.Ex114.m1.11.11.6">absent</csymbol><apply id="A5.Ex114.m1.11.11.4.cmml" xref="A5.Ex114.m1.11.11.4"><times id="A5.Ex114.m1.11.11.4.5.cmml" xref="A5.Ex114.m1.11.11.4.5"></times><apply id="A5.Ex114.m1.11.11.4.6.cmml" xref="A5.Ex114.m1.11.11.4.6"><divide id="A5.Ex114.m1.11.11.4.6.1.cmml" xref="A5.Ex114.m1.11.11.4.6"></divide><cn id="A5.Ex114.m1.11.11.4.6.2.cmml" type="integer" xref="A5.Ex114.m1.11.11.4.6.2">1</cn><apply id="A5.Ex114.m1.11.11.4.6.3.cmml" xref="A5.Ex114.m1.11.11.4.6.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.Ex114.m1.11.11.4.6.3.1.cmml" xref="A5.Ex114.m1.11.11.4.6.3">subscript</csymbol><ci id="A5.Ex114.m1.11.11.4.6.3.2.cmml" xref="A5.Ex114.m1.11.11.4.6.3.2">𝐶</ci><ci id="A5.Ex114.m1.11.11.4.6.3.3.cmml" xref="A5.Ex114.m1.11.11.4.6.3.3">𝑎</ci></apply></apply><apply id="A5.Ex114.m1.11.11.4.4.cmml" xref="A5.Ex114.m1.11.11.4.4"><apply id="A5.Ex114.m1.11.11.4.4.5.cmml" xref="A5.Ex114.m1.11.11.4.4.5"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.Ex114.m1.11.11.4.4.5.1.cmml" xref="A5.Ex114.m1.11.11.4.4.5">subscript</csymbol><sum id="A5.Ex114.m1.11.11.4.4.5.2.cmml" xref="A5.Ex114.m1.11.11.4.4.5.2"></sum><list id="A5.Ex114.m1.5.5.4.5.cmml" xref="A5.Ex114.m1.5.5.4.6"><ci id="A5.Ex114.m1.2.2.1.1.cmml" xref="A5.Ex114.m1.2.2.1.1">𝜋</ci><ci id="A5.Ex114.m1.3.3.2.2.cmml" xref="A5.Ex114.m1.3.3.2.2">𝜏</ci><ci id="A5.Ex114.m1.4.4.3.3.cmml" xref="A5.Ex114.m1.4.4.3.3">𝑑</ci><ci id="A5.Ex114.m1.5.5.4.4.cmml" xref="A5.Ex114.m1.5.5.4.4">𝑒</ci></list></apply><apply id="A5.Ex114.m1.11.11.4.4.4.cmml" xref="A5.Ex114.m1.11.11.4.4.4"><times id="A5.Ex114.m1.11.11.4.4.4.5.cmml" xref="A5.Ex114.m1.11.11.4.4.4.5"></times><apply id="A5.Ex114.m1.11.11.4.4.4.6.cmml" xref="A5.Ex114.m1.11.11.4.4.4.6"><divide id="A5.Ex114.m1.11.11.4.4.4.6.1.cmml" xref="A5.Ex114.m1.11.11.4.4.4.6"></divide><cn id="A5.Ex114.m1.11.11.4.4.4.6.2.cmml" type="integer" xref="A5.Ex114.m1.11.11.4.4.4.6.2">1</cn><apply id="A5.Ex114.m1.11.11.4.4.4.6.3.cmml" xref="A5.Ex114.m1.11.11.4.4.4.6.3"><times id="A5.Ex114.m1.11.11.4.4.4.6.3.1.cmml" xref="A5.Ex114.m1.11.11.4.4.4.6.3.1"></times><apply id="A5.Ex114.m1.11.11.4.4.4.6.3.2.cmml" xref="A5.Ex114.m1.11.11.4.4.4.6.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.Ex114.m1.11.11.4.4.4.6.3.2.1.cmml" xref="A5.Ex114.m1.11.11.4.4.4.6.3.2">subscript</csymbol><ci id="A5.Ex114.m1.11.11.4.4.4.6.3.2.2.cmml" xref="A5.Ex114.m1.11.11.4.4.4.6.3.2.2">𝐶</ci><ci id="A5.Ex114.m1.11.11.4.4.4.6.3.2.3.cmml" xref="A5.Ex114.m1.11.11.4.4.4.6.3.2.3">𝑑</ci></apply><apply id="A5.Ex114.m1.11.11.4.4.4.6.3.3.cmml" xref="A5.Ex114.m1.11.11.4.4.4.6.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.Ex114.m1.11.11.4.4.4.6.3.3.1.cmml" xref="A5.Ex114.m1.11.11.4.4.4.6.3.3">subscript</csymbol><ci id="A5.Ex114.m1.11.11.4.4.4.6.3.3.2.cmml" xref="A5.Ex114.m1.11.11.4.4.4.6.3.3.2">𝐶</ci><ci id="A5.Ex114.m1.11.11.4.4.4.6.3.3.3.cmml" xref="A5.Ex114.m1.11.11.4.4.4.6.3.3.3">𝑒</ci></apply></apply></apply><ci id="A5.Ex114.m1.11.11.4.4.4.7a.cmml" xref="A5.Ex114.m1.11.11.4.4.4.7"><mtext id="A5.Ex114.m1.11.11.4.4.4.7.cmml" xref="A5.Ex114.m1.11.11.4.4.4.7">Wg</mtext></ci><interval closure="open" id="A5.Ex114.m1.9.9.2.2.2.2.3.cmml" xref="A5.Ex114.m1.9.9.2.2.2.2.2"><apply id="A5.Ex114.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A5.Ex114.m1.8.8.1.1.1.1.1.1"><times id="A5.Ex114.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A5.Ex114.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1"></times><ci id="A5.Ex114.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A5.Ex114.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.2">𝜋</ci><apply id="A5.Ex114.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A5.Ex114.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.Ex114.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A5.Ex114.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="A5.Ex114.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A5.Ex114.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.Ex114.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="A5.Ex114.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A5.Ex114.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="A5.Ex114.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.3.2.2">𝜎</ci><ci id="A5.Ex114.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="A5.Ex114.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.3.2.3">𝑒</ci></apply><apply id="A5.Ex114.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A5.Ex114.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.3.3"><minus id="A5.Ex114.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="A5.Ex114.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.3.3"></minus><cn id="A5.Ex114.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" type="integer" xref="A5.Ex114.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.3.3.2">1</cn></apply></apply><apply id="A5.Ex114.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="A5.Ex114.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.Ex114.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="A5.Ex114.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.4">superscript</csymbol><ci id="A5.Ex114.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="A5.Ex114.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.4.2">𝜋</ci><apply id="A5.Ex114.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml" xref="A5.Ex114.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.4.3"><minus id="A5.Ex114.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.4.3.1.cmml" xref="A5.Ex114.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.4.3"></minus><cn id="A5.Ex114.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.4.3.2.cmml" type="integer" xref="A5.Ex114.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.4.3.2">1</cn></apply></apply><ci id="A5.Ex114.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.5.cmml" xref="A5.Ex114.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.5">𝜏</ci><apply id="A5.Ex114.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.6.cmml" xref="A5.Ex114.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.6"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.Ex114.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.6.1.cmml" xref="A5.Ex114.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.6">subscript</csymbol><ci id="A5.Ex114.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.6.2.cmml" xref="A5.Ex114.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.6.2">𝜎</ci><ci id="A5.Ex114.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.6.3.cmml" xref="A5.Ex114.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.6.3">𝑑</ci></apply><apply id="A5.Ex114.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.7.cmml" xref="A5.Ex114.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.7"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.Ex114.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.7.1.cmml" xref="A5.Ex114.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.7">superscript</csymbol><ci id="A5.Ex114.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.7.2.cmml" xref="A5.Ex114.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.7.2">𝜏</ci><apply id="A5.Ex114.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.7.3.cmml" xref="A5.Ex114.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.7.3"><minus id="A5.Ex114.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.7.3.1.cmml" xref="A5.Ex114.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.7.3"></minus><cn id="A5.Ex114.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.7.3.2.cmml" type="integer" xref="A5.Ex114.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.7.3.2">1</cn></apply></apply></apply><apply id="A5.Ex114.m1.9.9.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="A5.Ex114.m1.9.9.2.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.Ex114.m1.9.9.2.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="A5.Ex114.m1.9.9.2.2.2.2.2.2">superscript</csymbol><ci id="A5.Ex114.m1.9.9.2.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="A5.Ex114.m1.9.9.2.2.2.2.2.2.2">𝑞</ci><apply id="A5.Ex114.m1.9.9.2.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="A5.Ex114.m1.9.9.2.2.2.2.2.2.3"><plus id="A5.Ex114.m1.9.9.2.2.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="A5.Ex114.m1.9.9.2.2.2.2.2.2.3.1"></plus><ci id="A5.Ex114.m1.9.9.2.2.2.2.2.2.3.2.cmml" xref="A5.Ex114.m1.9.9.2.2.2.2.2.2.3.2">𝑚</ci><cn id="A5.Ex114.m1.9.9.2.2.2.2.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="A5.Ex114.m1.9.9.2.2.2.2.2.2.3.3">1</cn></apply></apply></interval><apply id="A5.Ex114.m1.11.11.4.4.4.8.cmml" xref="A5.Ex114.m1.11.11.4.4.4.8"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.Ex114.m1.11.11.4.4.4.8.1.cmml" xref="A5.Ex114.m1.11.11.4.4.4.8">superscript</csymbol><ci id="A5.Ex114.m1.11.11.4.4.4.8.2.cmml" xref="A5.Ex114.m1.11.11.4.4.4.8.2">𝑞</ci><apply id="A5.Ex114.m1.7.7.2.cmml" xref="A5.Ex114.m1.7.7.2"><minus id="A5.Ex114.m1.7.7.2.3.cmml" xref="A5.Ex114.m1.7.7.2.3"></minus><apply id="A5.Ex114.m1.6.6.1.1.cmml" xref="A5.Ex114.m1.6.6.1.1"><minus id="A5.Ex114.m1.6.6.1.1.2.cmml" xref="A5.Ex114.m1.6.6.1.1"></minus><apply id="A5.Ex114.m1.6.6.1.1.1.cmml" xref="A5.Ex114.m1.6.6.1.1.1"><times id="A5.Ex114.m1.6.6.1.1.1.2.cmml" xref="A5.Ex114.m1.6.6.1.1.1.2"></times><ci id="A5.Ex114.m1.6.6.1.1.1.3.cmml" xref="A5.Ex114.m1.6.6.1.1.1.3">𝑚</ci><apply id="A5.Ex114.m1.6.6.1.1.1.1.2.cmml" xref="A5.Ex114.m1.6.6.1.1.1.1.1"><abs id="A5.Ex114.m1.6.6.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A5.Ex114.m1.6.6.1.1.1.1.1.2"></abs><apply id="A5.Ex114.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A5.Ex114.m1.6.6.1.1.1.1.1.1"><times id="A5.Ex114.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A5.Ex114.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1"></times><ci id="A5.Ex114.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A5.Ex114.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2">𝜏</ci><apply id="A5.Ex114.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A5.Ex114.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.Ex114.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A5.Ex114.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="A5.Ex114.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A5.Ex114.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.Ex114.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="A5.Ex114.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A5.Ex114.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="A5.Ex114.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.2.2">𝜎</ci><ci id="A5.Ex114.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="A5.Ex114.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.2.3">𝑑</ci></apply><apply id="A5.Ex114.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A5.Ex114.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.3"><minus id="A5.Ex114.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="A5.Ex114.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.3"></minus><cn id="A5.Ex114.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" type="integer" xref="A5.Ex114.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.3.2">1</cn></apply></apply><apply id="A5.Ex114.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="A5.Ex114.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.Ex114.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="A5.Ex114.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.4">superscript</csymbol><ci id="A5.Ex114.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="A5.Ex114.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.4.2">𝜏</ci><apply id="A5.Ex114.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml" xref="A5.Ex114.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.4.3"><minus id="A5.Ex114.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.4.3.1.cmml" xref="A5.Ex114.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.4.3"></minus><cn id="A5.Ex114.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.4.3.2.cmml" type="integer" xref="A5.Ex114.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.4.3.2">1</cn></apply></apply><apply id="A5.Ex114.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.5.cmml" xref="A5.Ex114.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.5"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.Ex114.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.5.1.cmml" xref="A5.Ex114.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.5">subscript</csymbol><ci id="A5.Ex114.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.5.2.cmml" xref="A5.Ex114.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.5.2">𝜎</ci><ci id="A5.Ex114.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.5.3.cmml" xref="A5.Ex114.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.5.3">𝑎</ci></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="A5.Ex114.m1.7.7.2.2.2.cmml" xref="A5.Ex114.m1.7.7.2.2.1"><abs id="A5.Ex114.m1.7.7.2.2.2.1.cmml" xref="A5.Ex114.m1.7.7.2.2.1.2"></abs><apply id="A5.Ex114.m1.7.7.2.2.1.1.cmml" xref="A5.Ex114.m1.7.7.2.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.Ex114.m1.7.7.2.2.1.1.1.cmml" xref="A5.Ex114.m1.7.7.2.2.1.1">subscript</csymbol><ci id="A5.Ex114.m1.7.7.2.2.1.1.2.cmml" xref="A5.Ex114.m1.7.7.2.2.1.1.2">𝜎</ci><ci id="A5.Ex114.m1.7.7.2.2.1.1.3.cmml" xref="A5.Ex114.m1.7.7.2.2.1.1.3">𝑑</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="A5.Ex114.m1.11.11.4.4.4.9.cmml" xref="A5.Ex114.m1.11.11.4.4.4.9"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.Ex114.m1.11.11.4.4.4.9.1.cmml" xref="A5.Ex114.m1.11.11.4.4.4.9">subscript</csymbol><ci id="A5.Ex114.m1.11.11.4.4.4.9.2.cmml" xref="A5.Ex114.m1.11.11.4.4.4.9.2">𝑉</ci><apply id="A5.Ex114.m1.11.11.4.4.4.9.3.cmml" xref="A5.Ex114.m1.11.11.4.4.4.9.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.Ex114.m1.11.11.4.4.4.9.3.1.cmml" xref="A5.Ex114.m1.11.11.4.4.4.9.3">subscript</csymbol><ci id="A5.Ex114.m1.11.11.4.4.4.9.3.2.cmml" xref="A5.Ex114.m1.11.11.4.4.4.9.3.2">𝜈</ci><ci id="A5.Ex114.m1.11.11.4.4.4.9.3.3.cmml" xref="A5.Ex114.m1.11.11.4.4.4.9.3.3">𝑅</ci></apply></apply><apply id="A5.Ex114.m1.10.10.3.3.3.3.cmml" xref="A5.Ex114.m1.10.10.3.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.Ex114.m1.10.10.3.3.3.3.2.cmml" xref="A5.Ex114.m1.10.10.3.3.3.3">superscript</csymbol><apply id="A5.Ex114.m1.10.10.3.3.3.3.1.1.1.cmml" xref="A5.Ex114.m1.10.10.3.3.3.3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.Ex114.m1.10.10.3.3.3.3.1.1.1.1.cmml" 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id="A5.Ex114.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A5.Ex114.m1.1.1.1.1.1">𝐼</ci><ci id="A5.Ex114.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A5.Ex114.m1.1.1.1.1.2">𝐼</ci><apply id="A5.Ex114.m1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A5.Ex114.m1.1.1.1.1.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.Ex114.m1.1.1.1.1.3.1.1.cmml" xref="A5.Ex114.m1.1.1.1.1.3.1">subscript</csymbol><ci id="A5.Ex114.m1.1.1.1.1.3.1.2.cmml" xref="A5.Ex114.m1.1.1.1.1.3.1.2">𝜎</ci><ci id="A5.Ex114.m1.1.1.1.1.3.1.3.cmml" xref="A5.Ex114.m1.1.1.1.1.3.1.3">𝑒</ci></apply></list></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A5.Ex114.m1.11c">\displaystyle=\frac{1}{C_{a}}\sum_{\pi,\tau,d,e}\frac{1}{C_{d}C_{e}}\text{Wg}(% \pi\sigma_{e}^{-1}\pi^{-1}\tau\sigma_{d}\tau^{-1},q^{m+1})q^{-m|\tau\sigma_{d}% ^{-1}\tau^{-1}\sigma_{a}|-|\sigma_{d}|}V_{\nu_{R}}(\sigma_{a})^{on}L_{\nu_{L}}% ^{hj}R_{\nu_{R}}^{ko}\pi_{L}\pi_{R}^{-1}(\sigma_{e})_{R}^{-1}\ket{I,I,\sigma_{% e}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" 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italic_e end_POSTSUBSCRIPT end_ARG ⟩</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="A5.Ex115"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=\frac{1}{C_{a}}\sum_{\pi,\tau,d,e}\frac{1}{C_{d}C_{e}}\text{Wg}(% \pi\sigma_{e}^{-1}\pi^{-1}\tau\sigma_{d}\tau^{-1},q^{m+1})q^{-m|\tau\sigma_{d}% ^{-1}\tau^{-1}\sigma_{a}|-|\sigma_{d}|}T(\pi)^{hg,po}V_{\nu_{R}}(\sigma_{a})^{% on}L_{\nu_{L}}^{gj}R_{\nu_{R}}^{kp}(\sigma_{e})_{R}^{-1}\ket{I,I,\sigma_{e}}" class="ltx_Math" display="inline" id="A5.Ex115.m1.14"><semantics id="A5.Ex115.m1.14a"><mrow id="A5.Ex115.m1.14.14" xref="A5.Ex115.m1.14.14.cmml"><mi id="A5.Ex115.m1.14.14.6" xref="A5.Ex115.m1.14.14.6.cmml"></mi><mo id="A5.Ex115.m1.14.14.5" xref="A5.Ex115.m1.14.14.5.cmml">=</mo><mrow id="A5.Ex115.m1.14.14.4" 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id="A5.Ex115.m1.2.2.1.1" xref="A5.Ex115.m1.2.2.1.1.cmml">π</mi><mo id="A5.Ex115.m1.5.5.4.6.1" xref="A5.Ex115.m1.5.5.4.5.cmml">,</mo><mi id="A5.Ex115.m1.3.3.2.2" xref="A5.Ex115.m1.3.3.2.2.cmml">τ</mi><mo id="A5.Ex115.m1.5.5.4.6.2" xref="A5.Ex115.m1.5.5.4.5.cmml">,</mo><mi id="A5.Ex115.m1.4.4.3.3" xref="A5.Ex115.m1.4.4.3.3.cmml">d</mi><mo id="A5.Ex115.m1.5.5.4.6.3" xref="A5.Ex115.m1.5.5.4.5.cmml">,</mo><mi id="A5.Ex115.m1.5.5.4.4" xref="A5.Ex115.m1.5.5.4.4.cmml">e</mi></mrow></munder></mstyle><mrow id="A5.Ex115.m1.14.14.4.4.4" xref="A5.Ex115.m1.14.14.4.4.4.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A5.Ex115.m1.14.14.4.4.4.6" xref="A5.Ex115.m1.14.14.4.4.4.6.cmml"><mfrac id="A5.Ex115.m1.14.14.4.4.4.6a" xref="A5.Ex115.m1.14.14.4.4.4.6.cmml"><mn id="A5.Ex115.m1.14.14.4.4.4.6.2" xref="A5.Ex115.m1.14.14.4.4.4.6.2.cmml">1</mn><mrow id="A5.Ex115.m1.14.14.4.4.4.6.3" xref="A5.Ex115.m1.14.14.4.4.4.6.3.cmml"><msub id="A5.Ex115.m1.14.14.4.4.4.6.3.2" xref="A5.Ex115.m1.14.14.4.4.4.6.3.2.cmml"><mi id="A5.Ex115.m1.14.14.4.4.4.6.3.2.2" xref="A5.Ex115.m1.14.14.4.4.4.6.3.2.2.cmml">C</mi><mi id="A5.Ex115.m1.14.14.4.4.4.6.3.2.3" xref="A5.Ex115.m1.14.14.4.4.4.6.3.2.3.cmml">d</mi></msub><mo id="A5.Ex115.m1.14.14.4.4.4.6.3.1" xref="A5.Ex115.m1.14.14.4.4.4.6.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="A5.Ex115.m1.14.14.4.4.4.6.3.3" xref="A5.Ex115.m1.14.14.4.4.4.6.3.3.cmml"><mi id="A5.Ex115.m1.14.14.4.4.4.6.3.3.2" xref="A5.Ex115.m1.14.14.4.4.4.6.3.3.2.cmml">C</mi><mi id="A5.Ex115.m1.14.14.4.4.4.6.3.3.3" xref="A5.Ex115.m1.14.14.4.4.4.6.3.3.3.cmml">e</mi></msub></mrow></mfrac></mstyle><mo id="A5.Ex115.m1.14.14.4.4.4.5" xref="A5.Ex115.m1.14.14.4.4.4.5.cmml">⁢</mo><mtext id="A5.Ex115.m1.14.14.4.4.4.7" xref="A5.Ex115.m1.14.14.4.4.4.7a.cmml">Wg</mtext><mo id="A5.Ex115.m1.14.14.4.4.4.5a" xref="A5.Ex115.m1.14.14.4.4.4.5.cmml">⁢</mo><mrow id="A5.Ex115.m1.12.12.2.2.2.2.2" xref="A5.Ex115.m1.12.12.2.2.2.2.3.cmml"><mo id="A5.Ex115.m1.12.12.2.2.2.2.2.3" stretchy="false" xref="A5.Ex115.m1.12.12.2.2.2.2.3.cmml">(</mo><mrow id="A5.Ex115.m1.11.11.1.1.1.1.1.1" xref="A5.Ex115.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A5.Ex115.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.2" xref="A5.Ex115.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.2.cmml">π</mi><mo id="A5.Ex115.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1" xref="A5.Ex115.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="A5.Ex115.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.3" xref="A5.Ex115.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A5.Ex115.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="A5.Ex115.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">σ</mi><mi id="A5.Ex115.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="A5.Ex115.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">e</mi><mrow id="A5.Ex115.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A5.Ex115.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mo id="A5.Ex115.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.3.3a" xref="A5.Ex115.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">−</mo><mn id="A5.Ex115.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="A5.Ex115.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">1</mn></mrow></msubsup><mo id="A5.Ex115.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1a" xref="A5.Ex115.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msup id="A5.Ex115.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.4" xref="A5.Ex115.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="A5.Ex115.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.4.2" xref="A5.Ex115.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml">π</mi><mrow id="A5.Ex115.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.4.3" xref="A5.Ex115.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml"><mo id="A5.Ex115.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.4.3a" xref="A5.Ex115.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml">−</mo><mn id="A5.Ex115.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.4.3.2" xref="A5.Ex115.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.4.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="A5.Ex115.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1b" xref="A5.Ex115.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="A5.Ex115.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.5" xref="A5.Ex115.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.5.cmml">τ</mi><mo id="A5.Ex115.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1c" xref="A5.Ex115.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="A5.Ex115.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.6" xref="A5.Ex115.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.6.cmml"><mi id="A5.Ex115.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.6.2" xref="A5.Ex115.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.6.2.cmml">σ</mi><mi id="A5.Ex115.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.6.3" xref="A5.Ex115.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.6.3.cmml">d</mi></msub><mo id="A5.Ex115.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1d" xref="A5.Ex115.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msup id="A5.Ex115.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.7" xref="A5.Ex115.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.7.cmml"><mi id="A5.Ex115.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.7.2" xref="A5.Ex115.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.7.2.cmml">τ</mi><mrow id="A5.Ex115.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.7.3" xref="A5.Ex115.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.7.3.cmml"><mo id="A5.Ex115.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.7.3a" xref="A5.Ex115.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.7.3.cmml">−</mo><mn id="A5.Ex115.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.7.3.2" xref="A5.Ex115.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.7.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup></mrow><mo id="A5.Ex115.m1.12.12.2.2.2.2.2.4" xref="A5.Ex115.m1.12.12.2.2.2.2.3.cmml">,</mo><msup id="A5.Ex115.m1.12.12.2.2.2.2.2.2" xref="A5.Ex115.m1.12.12.2.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="A5.Ex115.m1.12.12.2.2.2.2.2.2.2" xref="A5.Ex115.m1.12.12.2.2.2.2.2.2.2.cmml">q</mi><mrow id="A5.Ex115.m1.12.12.2.2.2.2.2.2.3" xref="A5.Ex115.m1.12.12.2.2.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="A5.Ex115.m1.12.12.2.2.2.2.2.2.3.2" xref="A5.Ex115.m1.12.12.2.2.2.2.2.2.3.2.cmml">m</mi><mo id="A5.Ex115.m1.12.12.2.2.2.2.2.2.3.1" xref="A5.Ex115.m1.12.12.2.2.2.2.2.2.3.1.cmml">+</mo><mn id="A5.Ex115.m1.12.12.2.2.2.2.2.2.3.3" xref="A5.Ex115.m1.12.12.2.2.2.2.2.2.3.3.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="A5.Ex115.m1.12.12.2.2.2.2.2.5" stretchy="false" xref="A5.Ex115.m1.12.12.2.2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow><mo id="A5.Ex115.m1.14.14.4.4.4.5b" xref="A5.Ex115.m1.14.14.4.4.4.5.cmml">⁢</mo><msup id="A5.Ex115.m1.14.14.4.4.4.8" xref="A5.Ex115.m1.14.14.4.4.4.8.cmml"><mi id="A5.Ex115.m1.14.14.4.4.4.8.2" xref="A5.Ex115.m1.14.14.4.4.4.8.2.cmml">q</mi><mrow id="A5.Ex115.m1.7.7.2" xref="A5.Ex115.m1.7.7.2.cmml"><mrow id="A5.Ex115.m1.6.6.1.1" xref="A5.Ex115.m1.6.6.1.1.cmml"><mo id="A5.Ex115.m1.6.6.1.1a" xref="A5.Ex115.m1.6.6.1.1.cmml">−</mo><mrow id="A5.Ex115.m1.6.6.1.1.1" xref="A5.Ex115.m1.6.6.1.1.1.cmml"><mi id="A5.Ex115.m1.6.6.1.1.1.3" xref="A5.Ex115.m1.6.6.1.1.1.3.cmml">m</mi><mo id="A5.Ex115.m1.6.6.1.1.1.2" xref="A5.Ex115.m1.6.6.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A5.Ex115.m1.6.6.1.1.1.1.1" xref="A5.Ex115.m1.6.6.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="A5.Ex115.m1.6.6.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A5.Ex115.m1.6.6.1.1.1.1.2.1.cmml">|</mo><mrow id="A5.Ex115.m1.6.6.1.1.1.1.1.1" xref="A5.Ex115.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A5.Ex115.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2" xref="A5.Ex115.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.cmml">τ</mi><mo id="A5.Ex115.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1" xref="A5.Ex115.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="A5.Ex115.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3" xref="A5.Ex115.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A5.Ex115.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="A5.Ex115.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">σ</mi><mi id="A5.Ex115.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="A5.Ex115.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">d</mi><mrow id="A5.Ex115.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A5.Ex115.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mo id="A5.Ex115.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.3a" xref="A5.Ex115.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">−</mo><mn id="A5.Ex115.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="A5.Ex115.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">1</mn></mrow></msubsup><mo id="A5.Ex115.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1a" xref="A5.Ex115.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msup id="A5.Ex115.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.4" xref="A5.Ex115.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="A5.Ex115.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.4.2" xref="A5.Ex115.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml">τ</mi><mrow id="A5.Ex115.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.4.3" xref="A5.Ex115.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml"><mo id="A5.Ex115.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.4.3a" xref="A5.Ex115.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml">−</mo><mn id="A5.Ex115.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.4.3.2" xref="A5.Ex115.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.4.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="A5.Ex115.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1b" xref="A5.Ex115.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="A5.Ex115.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.5" xref="A5.Ex115.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.5.cmml"><mi id="A5.Ex115.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.5.2" xref="A5.Ex115.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.5.2.cmml">σ</mi><mi id="A5.Ex115.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.5.3" xref="A5.Ex115.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.5.3.cmml">a</mi></msub></mrow><mo id="A5.Ex115.m1.6.6.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A5.Ex115.m1.6.6.1.1.1.1.2.1.cmml">|</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="A5.Ex115.m1.7.7.2.3" xref="A5.Ex115.m1.7.7.2.3.cmml">−</mo><mrow id="A5.Ex115.m1.7.7.2.2.1" xref="A5.Ex115.m1.7.7.2.2.2.cmml"><mo id="A5.Ex115.m1.7.7.2.2.1.2" stretchy="false" xref="A5.Ex115.m1.7.7.2.2.2.1.cmml">|</mo><msub id="A5.Ex115.m1.7.7.2.2.1.1" xref="A5.Ex115.m1.7.7.2.2.1.1.cmml"><mi id="A5.Ex115.m1.7.7.2.2.1.1.2" xref="A5.Ex115.m1.7.7.2.2.1.1.2.cmml">σ</mi><mi id="A5.Ex115.m1.7.7.2.2.1.1.3" xref="A5.Ex115.m1.7.7.2.2.1.1.3.cmml">d</mi></msub><mo id="A5.Ex115.m1.7.7.2.2.1.3" stretchy="false" xref="A5.Ex115.m1.7.7.2.2.2.1.cmml">|</mo></mrow></mrow></msup><mo id="A5.Ex115.m1.14.14.4.4.4.5c" xref="A5.Ex115.m1.14.14.4.4.4.5.cmml">⁢</mo><mi id="A5.Ex115.m1.14.14.4.4.4.9" xref="A5.Ex115.m1.14.14.4.4.4.9.cmml">T</mi><mo id="A5.Ex115.m1.14.14.4.4.4.5d" xref="A5.Ex115.m1.14.14.4.4.4.5.cmml">⁢</mo><msup id="A5.Ex115.m1.14.14.4.4.4.10" xref="A5.Ex115.m1.14.14.4.4.4.10.cmml"><mrow id="A5.Ex115.m1.14.14.4.4.4.10.2.2" xref="A5.Ex115.m1.14.14.4.4.4.10.cmml"><mo id="A5.Ex115.m1.14.14.4.4.4.10.2.2.1" stretchy="false" xref="A5.Ex115.m1.14.14.4.4.4.10.cmml">(</mo><mi id="A5.Ex115.m1.10.10" xref="A5.Ex115.m1.10.10.cmml">π</mi><mo id="A5.Ex115.m1.14.14.4.4.4.10.2.2.2" stretchy="false" xref="A5.Ex115.m1.14.14.4.4.4.10.cmml">)</mo></mrow><mrow id="A5.Ex115.m1.9.9.2.2" xref="A5.Ex115.m1.9.9.2.3.cmml"><mrow id="A5.Ex115.m1.8.8.1.1.1" xref="A5.Ex115.m1.8.8.1.1.1.cmml"><mi id="A5.Ex115.m1.8.8.1.1.1.2" xref="A5.Ex115.m1.8.8.1.1.1.2.cmml">h</mi><mo id="A5.Ex115.m1.8.8.1.1.1.1" xref="A5.Ex115.m1.8.8.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="A5.Ex115.m1.8.8.1.1.1.3" xref="A5.Ex115.m1.8.8.1.1.1.3.cmml">g</mi></mrow><mo id="A5.Ex115.m1.9.9.2.2.3" xref="A5.Ex115.m1.9.9.2.3.cmml">,</mo><mrow id="A5.Ex115.m1.9.9.2.2.2" xref="A5.Ex115.m1.9.9.2.2.2.cmml"><mi id="A5.Ex115.m1.9.9.2.2.2.2" xref="A5.Ex115.m1.9.9.2.2.2.2.cmml">p</mi><mo id="A5.Ex115.m1.9.9.2.2.2.1" xref="A5.Ex115.m1.9.9.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="A5.Ex115.m1.9.9.2.2.2.3" xref="A5.Ex115.m1.9.9.2.2.2.3.cmml">o</mi></mrow></mrow></msup><mo id="A5.Ex115.m1.14.14.4.4.4.5e" xref="A5.Ex115.m1.14.14.4.4.4.5.cmml">⁢</mo><msub id="A5.Ex115.m1.14.14.4.4.4.11" xref="A5.Ex115.m1.14.14.4.4.4.11.cmml"><mi id="A5.Ex115.m1.14.14.4.4.4.11.2" xref="A5.Ex115.m1.14.14.4.4.4.11.2.cmml">V</mi><msub id="A5.Ex115.m1.14.14.4.4.4.11.3" xref="A5.Ex115.m1.14.14.4.4.4.11.3.cmml"><mi id="A5.Ex115.m1.14.14.4.4.4.11.3.2" xref="A5.Ex115.m1.14.14.4.4.4.11.3.2.cmml">ν</mi><mi id="A5.Ex115.m1.14.14.4.4.4.11.3.3" xref="A5.Ex115.m1.14.14.4.4.4.11.3.3.cmml">R</mi></msub></msub><mo id="A5.Ex115.m1.14.14.4.4.4.5f" xref="A5.Ex115.m1.14.14.4.4.4.5.cmml">⁢</mo><msup id="A5.Ex115.m1.13.13.3.3.3.3" xref="A5.Ex115.m1.13.13.3.3.3.3.cmml"><mrow id="A5.Ex115.m1.13.13.3.3.3.3.1.1" xref="A5.Ex115.m1.13.13.3.3.3.3.1.1.1.cmml"><mo id="A5.Ex115.m1.13.13.3.3.3.3.1.1.2" stretchy="false" xref="A5.Ex115.m1.13.13.3.3.3.3.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="A5.Ex115.m1.13.13.3.3.3.3.1.1.1" xref="A5.Ex115.m1.13.13.3.3.3.3.1.1.1.cmml"><mi id="A5.Ex115.m1.13.13.3.3.3.3.1.1.1.2" xref="A5.Ex115.m1.13.13.3.3.3.3.1.1.1.2.cmml">σ</mi><mi id="A5.Ex115.m1.13.13.3.3.3.3.1.1.1.3" xref="A5.Ex115.m1.13.13.3.3.3.3.1.1.1.3.cmml">a</mi></msub><mo id="A5.Ex115.m1.13.13.3.3.3.3.1.1.3" stretchy="false" xref="A5.Ex115.m1.13.13.3.3.3.3.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="A5.Ex115.m1.13.13.3.3.3.3.3" xref="A5.Ex115.m1.13.13.3.3.3.3.3.cmml"><mi id="A5.Ex115.m1.13.13.3.3.3.3.3.2" xref="A5.Ex115.m1.13.13.3.3.3.3.3.2.cmml">o</mi><mo id="A5.Ex115.m1.13.13.3.3.3.3.3.1" xref="A5.Ex115.m1.13.13.3.3.3.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A5.Ex115.m1.13.13.3.3.3.3.3.3" xref="A5.Ex115.m1.13.13.3.3.3.3.3.3.cmml">n</mi></mrow></msup><mo id="A5.Ex115.m1.14.14.4.4.4.5g" xref="A5.Ex115.m1.14.14.4.4.4.5.cmml">⁢</mo><msubsup id="A5.Ex115.m1.14.14.4.4.4.12" xref="A5.Ex115.m1.14.14.4.4.4.12.cmml"><mi id="A5.Ex115.m1.14.14.4.4.4.12.2.2" xref="A5.Ex115.m1.14.14.4.4.4.12.2.2.cmml">L</mi><msub id="A5.Ex115.m1.14.14.4.4.4.12.2.3" xref="A5.Ex115.m1.14.14.4.4.4.12.2.3.cmml"><mi id="A5.Ex115.m1.14.14.4.4.4.12.2.3.2" xref="A5.Ex115.m1.14.14.4.4.4.12.2.3.2.cmml">ν</mi><mi id="A5.Ex115.m1.14.14.4.4.4.12.2.3.3" xref="A5.Ex115.m1.14.14.4.4.4.12.2.3.3.cmml">L</mi></msub><mrow id="A5.Ex115.m1.14.14.4.4.4.12.3" xref="A5.Ex115.m1.14.14.4.4.4.12.3.cmml"><mi id="A5.Ex115.m1.14.14.4.4.4.12.3.2" xref="A5.Ex115.m1.14.14.4.4.4.12.3.2.cmml">g</mi><mo id="A5.Ex115.m1.14.14.4.4.4.12.3.1" xref="A5.Ex115.m1.14.14.4.4.4.12.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A5.Ex115.m1.14.14.4.4.4.12.3.3" xref="A5.Ex115.m1.14.14.4.4.4.12.3.3.cmml">j</mi></mrow></msubsup><mo id="A5.Ex115.m1.14.14.4.4.4.5h" xref="A5.Ex115.m1.14.14.4.4.4.5.cmml">⁢</mo><msubsup id="A5.Ex115.m1.14.14.4.4.4.13" xref="A5.Ex115.m1.14.14.4.4.4.13.cmml"><mi id="A5.Ex115.m1.14.14.4.4.4.13.2.2" xref="A5.Ex115.m1.14.14.4.4.4.13.2.2.cmml">R</mi><msub id="A5.Ex115.m1.14.14.4.4.4.13.2.3" xref="A5.Ex115.m1.14.14.4.4.4.13.2.3.cmml"><mi id="A5.Ex115.m1.14.14.4.4.4.13.2.3.2" xref="A5.Ex115.m1.14.14.4.4.4.13.2.3.2.cmml">ν</mi><mi id="A5.Ex115.m1.14.14.4.4.4.13.2.3.3" xref="A5.Ex115.m1.14.14.4.4.4.13.2.3.3.cmml">R</mi></msub><mrow id="A5.Ex115.m1.14.14.4.4.4.13.3" xref="A5.Ex115.m1.14.14.4.4.4.13.3.cmml"><mi id="A5.Ex115.m1.14.14.4.4.4.13.3.2" xref="A5.Ex115.m1.14.14.4.4.4.13.3.2.cmml">k</mi><mo id="A5.Ex115.m1.14.14.4.4.4.13.3.1" xref="A5.Ex115.m1.14.14.4.4.4.13.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A5.Ex115.m1.14.14.4.4.4.13.3.3" xref="A5.Ex115.m1.14.14.4.4.4.13.3.3.cmml">p</mi></mrow></msubsup><mo id="A5.Ex115.m1.14.14.4.4.4.5i" xref="A5.Ex115.m1.14.14.4.4.4.5.cmml">⁢</mo><msubsup id="A5.Ex115.m1.14.14.4.4.4.4" xref="A5.Ex115.m1.14.14.4.4.4.4.cmml"><mrow id="A5.Ex115.m1.14.14.4.4.4.4.1.1.1" xref="A5.Ex115.m1.14.14.4.4.4.4.1.1.1.1.cmml"><mo id="A5.Ex115.m1.14.14.4.4.4.4.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A5.Ex115.m1.14.14.4.4.4.4.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="A5.Ex115.m1.14.14.4.4.4.4.1.1.1.1" xref="A5.Ex115.m1.14.14.4.4.4.4.1.1.1.1.cmml"><mi id="A5.Ex115.m1.14.14.4.4.4.4.1.1.1.1.2" xref="A5.Ex115.m1.14.14.4.4.4.4.1.1.1.1.2.cmml">σ</mi><mi id="A5.Ex115.m1.14.14.4.4.4.4.1.1.1.1.3" xref="A5.Ex115.m1.14.14.4.4.4.4.1.1.1.1.3.cmml">e</mi></msub><mo id="A5.Ex115.m1.14.14.4.4.4.4.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A5.Ex115.m1.14.14.4.4.4.4.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mi id="A5.Ex115.m1.14.14.4.4.4.4.1.3" xref="A5.Ex115.m1.14.14.4.4.4.4.1.3.cmml">R</mi><mrow id="A5.Ex115.m1.14.14.4.4.4.4.3" xref="A5.Ex115.m1.14.14.4.4.4.4.3.cmml"><mo id="A5.Ex115.m1.14.14.4.4.4.4.3a" xref="A5.Ex115.m1.14.14.4.4.4.4.3.cmml">−</mo><mn id="A5.Ex115.m1.14.14.4.4.4.4.3.2" xref="A5.Ex115.m1.14.14.4.4.4.4.3.2.cmml">1</mn></mrow></msubsup><mo id="A5.Ex115.m1.14.14.4.4.4.5j" xref="A5.Ex115.m1.14.14.4.4.4.5.cmml">⁢</mo><mrow id="A5.Ex115.m1.1.1a.3" xref="A5.Ex115.m1.1.1a.2.cmml"><mo id="A5.Ex115.m1.1.1a.3.1" stretchy="false" xref="A5.Ex115.m1.1.1a.2.1.cmml">|</mo><mrow id="A5.Ex115.m1.1.1.1.1.3" xref="A5.Ex115.m1.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="A5.Ex115.m1.1.1.1.1.1" xref="A5.Ex115.m1.1.1.1.1.1.cmml">I</mi><mo id="A5.Ex115.m1.1.1.1.1.3.2" xref="A5.Ex115.m1.1.1.1.1.4.cmml">,</mo><mi id="A5.Ex115.m1.1.1.1.1.2" xref="A5.Ex115.m1.1.1.1.1.2.cmml">I</mi><mo id="A5.Ex115.m1.1.1.1.1.3.3" xref="A5.Ex115.m1.1.1.1.1.4.cmml">,</mo><msub id="A5.Ex115.m1.1.1.1.1.3.1" xref="A5.Ex115.m1.1.1.1.1.3.1.cmml"><mi id="A5.Ex115.m1.1.1.1.1.3.1.2" xref="A5.Ex115.m1.1.1.1.1.3.1.2.cmml">σ</mi><mi id="A5.Ex115.m1.1.1.1.1.3.1.3" xref="A5.Ex115.m1.1.1.1.1.3.1.3.cmml">e</mi></msub></mrow><mo id="A5.Ex115.m1.1.1a.3.2" stretchy="false" xref="A5.Ex115.m1.1.1a.2.1.cmml">⟩</mo></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A5.Ex115.m1.14b"><apply id="A5.Ex115.m1.14.14.cmml" xref="A5.Ex115.m1.14.14"><eq id="A5.Ex115.m1.14.14.5.cmml" xref="A5.Ex115.m1.14.14.5"></eq><csymbol cd="latexml" 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id="A5.Ex115.m1.14.14.4.4.5.1.cmml" xref="A5.Ex115.m1.14.14.4.4.5">subscript</csymbol><sum id="A5.Ex115.m1.14.14.4.4.5.2.cmml" xref="A5.Ex115.m1.14.14.4.4.5.2"></sum><list id="A5.Ex115.m1.5.5.4.5.cmml" xref="A5.Ex115.m1.5.5.4.6"><ci id="A5.Ex115.m1.2.2.1.1.cmml" xref="A5.Ex115.m1.2.2.1.1">𝜋</ci><ci id="A5.Ex115.m1.3.3.2.2.cmml" xref="A5.Ex115.m1.3.3.2.2">𝜏</ci><ci id="A5.Ex115.m1.4.4.3.3.cmml" xref="A5.Ex115.m1.4.4.3.3">𝑑</ci><ci id="A5.Ex115.m1.5.5.4.4.cmml" xref="A5.Ex115.m1.5.5.4.4">𝑒</ci></list></apply><apply id="A5.Ex115.m1.14.14.4.4.4.cmml" xref="A5.Ex115.m1.14.14.4.4.4"><times id="A5.Ex115.m1.14.14.4.4.4.5.cmml" xref="A5.Ex115.m1.14.14.4.4.4.5"></times><apply id="A5.Ex115.m1.14.14.4.4.4.6.cmml" xref="A5.Ex115.m1.14.14.4.4.4.6"><divide id="A5.Ex115.m1.14.14.4.4.4.6.1.cmml" xref="A5.Ex115.m1.14.14.4.4.4.6"></divide><cn id="A5.Ex115.m1.14.14.4.4.4.6.2.cmml" type="integer" xref="A5.Ex115.m1.14.14.4.4.4.6.2">1</cn><apply id="A5.Ex115.m1.14.14.4.4.4.6.3.cmml" xref="A5.Ex115.m1.14.14.4.4.4.6.3"><times id="A5.Ex115.m1.14.14.4.4.4.6.3.1.cmml" xref="A5.Ex115.m1.14.14.4.4.4.6.3.1"></times><apply id="A5.Ex115.m1.14.14.4.4.4.6.3.2.cmml" xref="A5.Ex115.m1.14.14.4.4.4.6.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.Ex115.m1.14.14.4.4.4.6.3.2.1.cmml" xref="A5.Ex115.m1.14.14.4.4.4.6.3.2">subscript</csymbol><ci id="A5.Ex115.m1.14.14.4.4.4.6.3.2.2.cmml" xref="A5.Ex115.m1.14.14.4.4.4.6.3.2.2">𝐶</ci><ci id="A5.Ex115.m1.14.14.4.4.4.6.3.2.3.cmml" xref="A5.Ex115.m1.14.14.4.4.4.6.3.2.3">𝑑</ci></apply><apply id="A5.Ex115.m1.14.14.4.4.4.6.3.3.cmml" xref="A5.Ex115.m1.14.14.4.4.4.6.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.Ex115.m1.14.14.4.4.4.6.3.3.1.cmml" xref="A5.Ex115.m1.14.14.4.4.4.6.3.3">subscript</csymbol><ci id="A5.Ex115.m1.14.14.4.4.4.6.3.3.2.cmml" xref="A5.Ex115.m1.14.14.4.4.4.6.3.3.2">𝐶</ci><ci id="A5.Ex115.m1.14.14.4.4.4.6.3.3.3.cmml" xref="A5.Ex115.m1.14.14.4.4.4.6.3.3.3">𝑒</ci></apply></apply></apply><ci id="A5.Ex115.m1.14.14.4.4.4.7a.cmml" xref="A5.Ex115.m1.14.14.4.4.4.7"><mtext id="A5.Ex115.m1.14.14.4.4.4.7.cmml" xref="A5.Ex115.m1.14.14.4.4.4.7">Wg</mtext></ci><interval closure="open" id="A5.Ex115.m1.12.12.2.2.2.2.3.cmml" xref="A5.Ex115.m1.12.12.2.2.2.2.2"><apply id="A5.Ex115.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A5.Ex115.m1.11.11.1.1.1.1.1.1"><times id="A5.Ex115.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A5.Ex115.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1"></times><ci id="A5.Ex115.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A5.Ex115.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.2">𝜋</ci><apply id="A5.Ex115.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A5.Ex115.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.Ex115.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A5.Ex115.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="A5.Ex115.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A5.Ex115.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.Ex115.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="A5.Ex115.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A5.Ex115.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="A5.Ex115.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.3.2.2">𝜎</ci><ci id="A5.Ex115.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="A5.Ex115.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.3.2.3">𝑒</ci></apply><apply id="A5.Ex115.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A5.Ex115.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.3.3"><minus id="A5.Ex115.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="A5.Ex115.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.3.3"></minus><cn id="A5.Ex115.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" type="integer" xref="A5.Ex115.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.3.3.2">1</cn></apply></apply><apply id="A5.Ex115.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="A5.Ex115.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.Ex115.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="A5.Ex115.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.4">superscript</csymbol><ci id="A5.Ex115.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="A5.Ex115.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.4.2">𝜋</ci><apply id="A5.Ex115.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml" xref="A5.Ex115.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.4.3"><minus id="A5.Ex115.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.4.3.1.cmml" xref="A5.Ex115.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.4.3"></minus><cn id="A5.Ex115.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.4.3.2.cmml" type="integer" xref="A5.Ex115.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.4.3.2">1</cn></apply></apply><ci id="A5.Ex115.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.5.cmml" xref="A5.Ex115.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.5">𝜏</ci><apply id="A5.Ex115.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.6.cmml" xref="A5.Ex115.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.6"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.Ex115.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.6.1.cmml" xref="A5.Ex115.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.6">subscript</csymbol><ci id="A5.Ex115.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.6.2.cmml" xref="A5.Ex115.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.6.2">𝜎</ci><ci id="A5.Ex115.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.6.3.cmml" xref="A5.Ex115.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.6.3">𝑑</ci></apply><apply id="A5.Ex115.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.7.cmml" xref="A5.Ex115.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.7"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.Ex115.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.7.1.cmml" xref="A5.Ex115.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.7">superscript</csymbol><ci id="A5.Ex115.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.7.2.cmml" xref="A5.Ex115.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.7.2">𝜏</ci><apply id="A5.Ex115.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.7.3.cmml" xref="A5.Ex115.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.7.3"><minus id="A5.Ex115.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.7.3.1.cmml" xref="A5.Ex115.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.7.3"></minus><cn id="A5.Ex115.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.7.3.2.cmml" type="integer" xref="A5.Ex115.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.7.3.2">1</cn></apply></apply></apply><apply id="A5.Ex115.m1.12.12.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="A5.Ex115.m1.12.12.2.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.Ex115.m1.12.12.2.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="A5.Ex115.m1.12.12.2.2.2.2.2.2">superscript</csymbol><ci id="A5.Ex115.m1.12.12.2.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="A5.Ex115.m1.12.12.2.2.2.2.2.2.2">𝑞</ci><apply id="A5.Ex115.m1.12.12.2.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="A5.Ex115.m1.12.12.2.2.2.2.2.2.3"><plus id="A5.Ex115.m1.12.12.2.2.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="A5.Ex115.m1.12.12.2.2.2.2.2.2.3.1"></plus><ci id="A5.Ex115.m1.12.12.2.2.2.2.2.2.3.2.cmml" xref="A5.Ex115.m1.12.12.2.2.2.2.2.2.3.2">𝑚</ci><cn id="A5.Ex115.m1.12.12.2.2.2.2.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="A5.Ex115.m1.12.12.2.2.2.2.2.2.3.3">1</cn></apply></apply></interval><apply id="A5.Ex115.m1.14.14.4.4.4.8.cmml" xref="A5.Ex115.m1.14.14.4.4.4.8"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.Ex115.m1.14.14.4.4.4.8.1.cmml" xref="A5.Ex115.m1.14.14.4.4.4.8">superscript</csymbol><ci id="A5.Ex115.m1.14.14.4.4.4.8.2.cmml" xref="A5.Ex115.m1.14.14.4.4.4.8.2">𝑞</ci><apply id="A5.Ex115.m1.7.7.2.cmml" xref="A5.Ex115.m1.7.7.2"><minus id="A5.Ex115.m1.7.7.2.3.cmml" xref="A5.Ex115.m1.7.7.2.3"></minus><apply id="A5.Ex115.m1.6.6.1.1.cmml" xref="A5.Ex115.m1.6.6.1.1"><minus id="A5.Ex115.m1.6.6.1.1.2.cmml" xref="A5.Ex115.m1.6.6.1.1"></minus><apply id="A5.Ex115.m1.6.6.1.1.1.cmml" xref="A5.Ex115.m1.6.6.1.1.1"><times id="A5.Ex115.m1.6.6.1.1.1.2.cmml" xref="A5.Ex115.m1.6.6.1.1.1.2"></times><ci id="A5.Ex115.m1.6.6.1.1.1.3.cmml" xref="A5.Ex115.m1.6.6.1.1.1.3">𝑚</ci><apply id="A5.Ex115.m1.6.6.1.1.1.1.2.cmml" xref="A5.Ex115.m1.6.6.1.1.1.1.1"><abs id="A5.Ex115.m1.6.6.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A5.Ex115.m1.6.6.1.1.1.1.1.2"></abs><apply id="A5.Ex115.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A5.Ex115.m1.6.6.1.1.1.1.1.1"><times id="A5.Ex115.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A5.Ex115.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1"></times><ci id="A5.Ex115.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A5.Ex115.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2">𝜏</ci><apply id="A5.Ex115.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A5.Ex115.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.Ex115.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A5.Ex115.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="A5.Ex115.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A5.Ex115.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.Ex115.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="A5.Ex115.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A5.Ex115.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="A5.Ex115.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.2.2">𝜎</ci><ci id="A5.Ex115.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="A5.Ex115.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.2.3">𝑑</ci></apply><apply id="A5.Ex115.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" 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id="A5.Ex115.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.5.1.cmml" xref="A5.Ex115.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.5">subscript</csymbol><ci id="A5.Ex115.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.5.2.cmml" xref="A5.Ex115.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.5.2">𝜎</ci><ci id="A5.Ex115.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.5.3.cmml" xref="A5.Ex115.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.5.3">𝑎</ci></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="A5.Ex115.m1.7.7.2.2.2.cmml" xref="A5.Ex115.m1.7.7.2.2.1"><abs id="A5.Ex115.m1.7.7.2.2.2.1.cmml" xref="A5.Ex115.m1.7.7.2.2.1.2"></abs><apply id="A5.Ex115.m1.7.7.2.2.1.1.cmml" xref="A5.Ex115.m1.7.7.2.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.Ex115.m1.7.7.2.2.1.1.1.cmml" xref="A5.Ex115.m1.7.7.2.2.1.1">subscript</csymbol><ci id="A5.Ex115.m1.7.7.2.2.1.1.2.cmml" xref="A5.Ex115.m1.7.7.2.2.1.1.2">𝜎</ci><ci id="A5.Ex115.m1.7.7.2.2.1.1.3.cmml" xref="A5.Ex115.m1.7.7.2.2.1.1.3">𝑑</ci></apply></apply></apply></apply><ci id="A5.Ex115.m1.14.14.4.4.4.9.cmml" xref="A5.Ex115.m1.14.14.4.4.4.9">𝑇</ci><apply id="A5.Ex115.m1.14.14.4.4.4.10.cmml" 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italic_π italic_σ start_POSTSUBSCRIPT italic_e end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT italic_π start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT italic_τ italic_σ start_POSTSUBSCRIPT italic_d end_POSTSUBSCRIPT italic_τ start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT , italic_q start_POSTSUPERSCRIPT italic_m + 1 end_POSTSUPERSCRIPT ) italic_q start_POSTSUPERSCRIPT - italic_m | italic_τ italic_σ start_POSTSUBSCRIPT italic_d end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT italic_τ start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT italic_σ start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT | - | italic_σ start_POSTSUBSCRIPT italic_d end_POSTSUBSCRIPT | end_POSTSUPERSCRIPT italic_T ( italic_π ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_h italic_g , italic_p italic_o end_POSTSUPERSCRIPT italic_V start_POSTSUBSCRIPT italic_ν start_POSTSUBSCRIPT italic_R end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT ( italic_σ start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_o italic_n end_POSTSUPERSCRIPT italic_L start_POSTSUBSCRIPT italic_ν start_POSTSUBSCRIPT italic_L end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_g italic_j end_POSTSUPERSCRIPT italic_R start_POSTSUBSCRIPT italic_ν start_POSTSUBSCRIPT italic_R end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_k italic_p end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_σ start_POSTSUBSCRIPT italic_e end_POSTSUBSCRIPT ) start_POSTSUBSCRIPT italic_R end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT | start_ARG italic_I , italic_I , italic_σ start_POSTSUBSCRIPT italic_e end_POSTSUBSCRIPT end_ARG ⟩</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="A5.Ex116"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=\frac{1}{C_{a}}\sum_{\pi,\tau,d,e}\frac{1}{C_{d}C_{e}}\text{Wg}(% \pi\sigma_{e}^{-1}\pi^{-1}\sigma_{d},q^{m+1})q^{-m|\tau\sigma_{d}^{-1}\tau^{-1% }\sigma_{a}|-|\sigma_{d}|}V_{\nu_{R}}(\sigma_{e}^{-1})^{qp}T(\tau\pi)^{hg,po}V% _{\nu_{R}}(\sigma_{a})^{on}L_{\nu_{L}}^{gj}R_{\nu_{R}}^{kq}\ket{I,I,\sigma_{e}}" class="ltx_Math" display="inline" id="A5.Ex116.m1.14"><semantics id="A5.Ex116.m1.14a"><mrow id="A5.Ex116.m1.14.14" xref="A5.Ex116.m1.14.14.cmml"><mi id="A5.Ex116.m1.14.14.7" xref="A5.Ex116.m1.14.14.7.cmml"></mi><mo id="A5.Ex116.m1.14.14.6" xref="A5.Ex116.m1.14.14.6.cmml">=</mo><mrow id="A5.Ex116.m1.14.14.5" xref="A5.Ex116.m1.14.14.5.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A5.Ex116.m1.14.14.5.7" xref="A5.Ex116.m1.14.14.5.7.cmml"><mfrac id="A5.Ex116.m1.14.14.5.7a" xref="A5.Ex116.m1.14.14.5.7.cmml"><mn id="A5.Ex116.m1.14.14.5.7.2" xref="A5.Ex116.m1.14.14.5.7.2.cmml">1</mn><msub id="A5.Ex116.m1.14.14.5.7.3" xref="A5.Ex116.m1.14.14.5.7.3.cmml"><mi id="A5.Ex116.m1.14.14.5.7.3.2" xref="A5.Ex116.m1.14.14.5.7.3.2.cmml">C</mi><mi id="A5.Ex116.m1.14.14.5.7.3.3" xref="A5.Ex116.m1.14.14.5.7.3.3.cmml">a</mi></msub></mfrac></mstyle><mo id="A5.Ex116.m1.14.14.5.6" xref="A5.Ex116.m1.14.14.5.6.cmml">⁢</mo><mrow id="A5.Ex116.m1.14.14.5.5" xref="A5.Ex116.m1.14.14.5.5.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A5.Ex116.m1.14.14.5.5.6" xref="A5.Ex116.m1.14.14.5.5.6.cmml"><munder id="A5.Ex116.m1.14.14.5.5.6a" xref="A5.Ex116.m1.14.14.5.5.6.cmml"><mo id="A5.Ex116.m1.14.14.5.5.6.2" movablelimits="false" xref="A5.Ex116.m1.14.14.5.5.6.2.cmml">∑</mo><mrow id="A5.Ex116.m1.5.5.4.6" xref="A5.Ex116.m1.5.5.4.5.cmml"><mi id="A5.Ex116.m1.2.2.1.1" xref="A5.Ex116.m1.2.2.1.1.cmml">π</mi><mo id="A5.Ex116.m1.5.5.4.6.1" xref="A5.Ex116.m1.5.5.4.5.cmml">,</mo><mi id="A5.Ex116.m1.3.3.2.2" xref="A5.Ex116.m1.3.3.2.2.cmml">τ</mi><mo id="A5.Ex116.m1.5.5.4.6.2" xref="A5.Ex116.m1.5.5.4.5.cmml">,</mo><mi id="A5.Ex116.m1.4.4.3.3" xref="A5.Ex116.m1.4.4.3.3.cmml">d</mi><mo id="A5.Ex116.m1.5.5.4.6.3" xref="A5.Ex116.m1.5.5.4.5.cmml">,</mo><mi id="A5.Ex116.m1.5.5.4.4" xref="A5.Ex116.m1.5.5.4.4.cmml">e</mi></mrow></munder></mstyle><mrow id="A5.Ex116.m1.14.14.5.5.5" xref="A5.Ex116.m1.14.14.5.5.5.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A5.Ex116.m1.14.14.5.5.5.7" xref="A5.Ex116.m1.14.14.5.5.5.7.cmml"><mfrac id="A5.Ex116.m1.14.14.5.5.5.7a" xref="A5.Ex116.m1.14.14.5.5.5.7.cmml"><mn id="A5.Ex116.m1.14.14.5.5.5.7.2" xref="A5.Ex116.m1.14.14.5.5.5.7.2.cmml">1</mn><mrow id="A5.Ex116.m1.14.14.5.5.5.7.3" xref="A5.Ex116.m1.14.14.5.5.5.7.3.cmml"><msub id="A5.Ex116.m1.14.14.5.5.5.7.3.2" xref="A5.Ex116.m1.14.14.5.5.5.7.3.2.cmml"><mi id="A5.Ex116.m1.14.14.5.5.5.7.3.2.2" xref="A5.Ex116.m1.14.14.5.5.5.7.3.2.2.cmml">C</mi><mi id="A5.Ex116.m1.14.14.5.5.5.7.3.2.3" xref="A5.Ex116.m1.14.14.5.5.5.7.3.2.3.cmml">d</mi></msub><mo id="A5.Ex116.m1.14.14.5.5.5.7.3.1" xref="A5.Ex116.m1.14.14.5.5.5.7.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="A5.Ex116.m1.14.14.5.5.5.7.3.3" xref="A5.Ex116.m1.14.14.5.5.5.7.3.3.cmml"><mi id="A5.Ex116.m1.14.14.5.5.5.7.3.3.2" xref="A5.Ex116.m1.14.14.5.5.5.7.3.3.2.cmml">C</mi><mi id="A5.Ex116.m1.14.14.5.5.5.7.3.3.3" xref="A5.Ex116.m1.14.14.5.5.5.7.3.3.3.cmml">e</mi></msub></mrow></mfrac></mstyle><mo id="A5.Ex116.m1.14.14.5.5.5.6" xref="A5.Ex116.m1.14.14.5.5.5.6.cmml">⁢</mo><mtext id="A5.Ex116.m1.14.14.5.5.5.8" xref="A5.Ex116.m1.14.14.5.5.5.8a.cmml">Wg</mtext><mo id="A5.Ex116.m1.14.14.5.5.5.6a" xref="A5.Ex116.m1.14.14.5.5.5.6.cmml">⁢</mo><mrow id="A5.Ex116.m1.11.11.2.2.2.2.2" xref="A5.Ex116.m1.11.11.2.2.2.2.3.cmml"><mo id="A5.Ex116.m1.11.11.2.2.2.2.2.3" stretchy="false" xref="A5.Ex116.m1.11.11.2.2.2.2.3.cmml">(</mo><mrow id="A5.Ex116.m1.10.10.1.1.1.1.1.1" xref="A5.Ex116.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A5.Ex116.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.2" xref="A5.Ex116.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.2.cmml">π</mi><mo id="A5.Ex116.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1" xref="A5.Ex116.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="A5.Ex116.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.3" xref="A5.Ex116.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A5.Ex116.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="A5.Ex116.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">σ</mi><mi id="A5.Ex116.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="A5.Ex116.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">e</mi><mrow id="A5.Ex116.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A5.Ex116.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mo id="A5.Ex116.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.3.3a" xref="A5.Ex116.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">−</mo><mn id="A5.Ex116.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="A5.Ex116.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">1</mn></mrow></msubsup><mo id="A5.Ex116.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1a" xref="A5.Ex116.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msup id="A5.Ex116.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.4" xref="A5.Ex116.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="A5.Ex116.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.4.2" xref="A5.Ex116.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml">π</mi><mrow id="A5.Ex116.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.4.3" xref="A5.Ex116.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml"><mo id="A5.Ex116.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.4.3a" xref="A5.Ex116.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml">−</mo><mn id="A5.Ex116.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.4.3.2" xref="A5.Ex116.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.4.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="A5.Ex116.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1b" xref="A5.Ex116.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="A5.Ex116.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.5" xref="A5.Ex116.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.5.cmml"><mi id="A5.Ex116.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.5.2" xref="A5.Ex116.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.5.2.cmml">σ</mi><mi id="A5.Ex116.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.5.3" xref="A5.Ex116.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.5.3.cmml">d</mi></msub></mrow><mo id="A5.Ex116.m1.11.11.2.2.2.2.2.4" xref="A5.Ex116.m1.11.11.2.2.2.2.3.cmml">,</mo><msup id="A5.Ex116.m1.11.11.2.2.2.2.2.2" xref="A5.Ex116.m1.11.11.2.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="A5.Ex116.m1.11.11.2.2.2.2.2.2.2" xref="A5.Ex116.m1.11.11.2.2.2.2.2.2.2.cmml">q</mi><mrow id="A5.Ex116.m1.11.11.2.2.2.2.2.2.3" xref="A5.Ex116.m1.11.11.2.2.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="A5.Ex116.m1.11.11.2.2.2.2.2.2.3.2" xref="A5.Ex116.m1.11.11.2.2.2.2.2.2.3.2.cmml">m</mi><mo id="A5.Ex116.m1.11.11.2.2.2.2.2.2.3.1" xref="A5.Ex116.m1.11.11.2.2.2.2.2.2.3.1.cmml">+</mo><mn id="A5.Ex116.m1.11.11.2.2.2.2.2.2.3.3" xref="A5.Ex116.m1.11.11.2.2.2.2.2.2.3.3.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="A5.Ex116.m1.11.11.2.2.2.2.2.5" stretchy="false" xref="A5.Ex116.m1.11.11.2.2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow><mo id="A5.Ex116.m1.14.14.5.5.5.6b" xref="A5.Ex116.m1.14.14.5.5.5.6.cmml">⁢</mo><msup id="A5.Ex116.m1.14.14.5.5.5.9" xref="A5.Ex116.m1.14.14.5.5.5.9.cmml"><mi id="A5.Ex116.m1.14.14.5.5.5.9.2" xref="A5.Ex116.m1.14.14.5.5.5.9.2.cmml">q</mi><mrow id="A5.Ex116.m1.7.7.2" xref="A5.Ex116.m1.7.7.2.cmml"><mrow id="A5.Ex116.m1.6.6.1.1" xref="A5.Ex116.m1.6.6.1.1.cmml"><mo id="A5.Ex116.m1.6.6.1.1a" xref="A5.Ex116.m1.6.6.1.1.cmml">−</mo><mrow id="A5.Ex116.m1.6.6.1.1.1" xref="A5.Ex116.m1.6.6.1.1.1.cmml"><mi id="A5.Ex116.m1.6.6.1.1.1.3" xref="A5.Ex116.m1.6.6.1.1.1.3.cmml">m</mi><mo id="A5.Ex116.m1.6.6.1.1.1.2" xref="A5.Ex116.m1.6.6.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A5.Ex116.m1.6.6.1.1.1.1.1" xref="A5.Ex116.m1.6.6.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="A5.Ex116.m1.6.6.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A5.Ex116.m1.6.6.1.1.1.1.2.1.cmml">|</mo><mrow id="A5.Ex116.m1.6.6.1.1.1.1.1.1" xref="A5.Ex116.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A5.Ex116.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2" xref="A5.Ex116.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.cmml">τ</mi><mo id="A5.Ex116.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1" xref="A5.Ex116.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="A5.Ex116.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3" xref="A5.Ex116.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A5.Ex116.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="A5.Ex116.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">σ</mi><mi id="A5.Ex116.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="A5.Ex116.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">d</mi><mrow id="A5.Ex116.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A5.Ex116.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mo id="A5.Ex116.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.3a" xref="A5.Ex116.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">−</mo><mn id="A5.Ex116.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="A5.Ex116.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">1</mn></mrow></msubsup><mo id="A5.Ex116.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1a" xref="A5.Ex116.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msup id="A5.Ex116.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.4" xref="A5.Ex116.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="A5.Ex116.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.4.2" xref="A5.Ex116.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml">τ</mi><mrow id="A5.Ex116.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.4.3" xref="A5.Ex116.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml"><mo id="A5.Ex116.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.4.3a" xref="A5.Ex116.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml">−</mo><mn id="A5.Ex116.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.4.3.2" xref="A5.Ex116.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.4.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="A5.Ex116.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1b" xref="A5.Ex116.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="A5.Ex116.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.5" xref="A5.Ex116.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.5.cmml"><mi id="A5.Ex116.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.5.2" xref="A5.Ex116.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.5.2.cmml">σ</mi><mi id="A5.Ex116.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.5.3" xref="A5.Ex116.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.5.3.cmml">a</mi></msub></mrow><mo id="A5.Ex116.m1.6.6.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A5.Ex116.m1.6.6.1.1.1.1.2.1.cmml">|</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="A5.Ex116.m1.7.7.2.3" xref="A5.Ex116.m1.7.7.2.3.cmml">−</mo><mrow id="A5.Ex116.m1.7.7.2.2.1" xref="A5.Ex116.m1.7.7.2.2.2.cmml"><mo id="A5.Ex116.m1.7.7.2.2.1.2" stretchy="false" xref="A5.Ex116.m1.7.7.2.2.2.1.cmml">|</mo><msub id="A5.Ex116.m1.7.7.2.2.1.1" xref="A5.Ex116.m1.7.7.2.2.1.1.cmml"><mi id="A5.Ex116.m1.7.7.2.2.1.1.2" xref="A5.Ex116.m1.7.7.2.2.1.1.2.cmml">σ</mi><mi id="A5.Ex116.m1.7.7.2.2.1.1.3" xref="A5.Ex116.m1.7.7.2.2.1.1.3.cmml">d</mi></msub><mo id="A5.Ex116.m1.7.7.2.2.1.3" stretchy="false" xref="A5.Ex116.m1.7.7.2.2.2.1.cmml">|</mo></mrow></mrow></msup><mo id="A5.Ex116.m1.14.14.5.5.5.6c" xref="A5.Ex116.m1.14.14.5.5.5.6.cmml">⁢</mo><msub id="A5.Ex116.m1.14.14.5.5.5.10" xref="A5.Ex116.m1.14.14.5.5.5.10.cmml"><mi id="A5.Ex116.m1.14.14.5.5.5.10.2" xref="A5.Ex116.m1.14.14.5.5.5.10.2.cmml">V</mi><msub id="A5.Ex116.m1.14.14.5.5.5.10.3" xref="A5.Ex116.m1.14.14.5.5.5.10.3.cmml"><mi id="A5.Ex116.m1.14.14.5.5.5.10.3.2" xref="A5.Ex116.m1.14.14.5.5.5.10.3.2.cmml">ν</mi><mi id="A5.Ex116.m1.14.14.5.5.5.10.3.3" xref="A5.Ex116.m1.14.14.5.5.5.10.3.3.cmml">R</mi></msub></msub><mo id="A5.Ex116.m1.14.14.5.5.5.6d" xref="A5.Ex116.m1.14.14.5.5.5.6.cmml">⁢</mo><msup id="A5.Ex116.m1.12.12.3.3.3.3" xref="A5.Ex116.m1.12.12.3.3.3.3.cmml"><mrow id="A5.Ex116.m1.12.12.3.3.3.3.1.1" xref="A5.Ex116.m1.12.12.3.3.3.3.1.1.1.cmml"><mo id="A5.Ex116.m1.12.12.3.3.3.3.1.1.2" stretchy="false" xref="A5.Ex116.m1.12.12.3.3.3.3.1.1.1.cmml">(</mo><msubsup id="A5.Ex116.m1.12.12.3.3.3.3.1.1.1" xref="A5.Ex116.m1.12.12.3.3.3.3.1.1.1.cmml"><mi id="A5.Ex116.m1.12.12.3.3.3.3.1.1.1.2.2" xref="A5.Ex116.m1.12.12.3.3.3.3.1.1.1.2.2.cmml">σ</mi><mi id="A5.Ex116.m1.12.12.3.3.3.3.1.1.1.2.3" xref="A5.Ex116.m1.12.12.3.3.3.3.1.1.1.2.3.cmml">e</mi><mrow id="A5.Ex116.m1.12.12.3.3.3.3.1.1.1.3" xref="A5.Ex116.m1.12.12.3.3.3.3.1.1.1.3.cmml"><mo id="A5.Ex116.m1.12.12.3.3.3.3.1.1.1.3a" xref="A5.Ex116.m1.12.12.3.3.3.3.1.1.1.3.cmml">−</mo><mn id="A5.Ex116.m1.12.12.3.3.3.3.1.1.1.3.2" xref="A5.Ex116.m1.12.12.3.3.3.3.1.1.1.3.2.cmml">1</mn></mrow></msubsup><mo id="A5.Ex116.m1.12.12.3.3.3.3.1.1.3" stretchy="false" xref="A5.Ex116.m1.12.12.3.3.3.3.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="A5.Ex116.m1.12.12.3.3.3.3.3" xref="A5.Ex116.m1.12.12.3.3.3.3.3.cmml"><mi id="A5.Ex116.m1.12.12.3.3.3.3.3.2" xref="A5.Ex116.m1.12.12.3.3.3.3.3.2.cmml">q</mi><mo id="A5.Ex116.m1.12.12.3.3.3.3.3.1" xref="A5.Ex116.m1.12.12.3.3.3.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A5.Ex116.m1.12.12.3.3.3.3.3.3" xref="A5.Ex116.m1.12.12.3.3.3.3.3.3.cmml">p</mi></mrow></msup><mo id="A5.Ex116.m1.14.14.5.5.5.6e" xref="A5.Ex116.m1.14.14.5.5.5.6.cmml">⁢</mo><mi id="A5.Ex116.m1.14.14.5.5.5.11" xref="A5.Ex116.m1.14.14.5.5.5.11.cmml">T</mi><mo id="A5.Ex116.m1.14.14.5.5.5.6f" xref="A5.Ex116.m1.14.14.5.5.5.6.cmml">⁢</mo><msup id="A5.Ex116.m1.13.13.4.4.4.4" xref="A5.Ex116.m1.13.13.4.4.4.4.cmml"><mrow id="A5.Ex116.m1.13.13.4.4.4.4.1.1" xref="A5.Ex116.m1.13.13.4.4.4.4.1.1.1.cmml"><mo id="A5.Ex116.m1.13.13.4.4.4.4.1.1.2" stretchy="false" xref="A5.Ex116.m1.13.13.4.4.4.4.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A5.Ex116.m1.13.13.4.4.4.4.1.1.1" xref="A5.Ex116.m1.13.13.4.4.4.4.1.1.1.cmml"><mi id="A5.Ex116.m1.13.13.4.4.4.4.1.1.1.2" xref="A5.Ex116.m1.13.13.4.4.4.4.1.1.1.2.cmml">τ</mi><mo id="A5.Ex116.m1.13.13.4.4.4.4.1.1.1.1" xref="A5.Ex116.m1.13.13.4.4.4.4.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="A5.Ex116.m1.13.13.4.4.4.4.1.1.1.3" xref="A5.Ex116.m1.13.13.4.4.4.4.1.1.1.3.cmml">π</mi></mrow><mo id="A5.Ex116.m1.13.13.4.4.4.4.1.1.3" stretchy="false" xref="A5.Ex116.m1.13.13.4.4.4.4.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="A5.Ex116.m1.9.9.2.2" xref="A5.Ex116.m1.9.9.2.3.cmml"><mrow id="A5.Ex116.m1.8.8.1.1.1" xref="A5.Ex116.m1.8.8.1.1.1.cmml"><mi id="A5.Ex116.m1.8.8.1.1.1.2" xref="A5.Ex116.m1.8.8.1.1.1.2.cmml">h</mi><mo id="A5.Ex116.m1.8.8.1.1.1.1" xref="A5.Ex116.m1.8.8.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="A5.Ex116.m1.8.8.1.1.1.3" xref="A5.Ex116.m1.8.8.1.1.1.3.cmml">g</mi></mrow><mo id="A5.Ex116.m1.9.9.2.2.3" xref="A5.Ex116.m1.9.9.2.3.cmml">,</mo><mrow id="A5.Ex116.m1.9.9.2.2.2" xref="A5.Ex116.m1.9.9.2.2.2.cmml"><mi id="A5.Ex116.m1.9.9.2.2.2.2" xref="A5.Ex116.m1.9.9.2.2.2.2.cmml">p</mi><mo id="A5.Ex116.m1.9.9.2.2.2.1" xref="A5.Ex116.m1.9.9.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="A5.Ex116.m1.9.9.2.2.2.3" xref="A5.Ex116.m1.9.9.2.2.2.3.cmml">o</mi></mrow></mrow></msup><mo id="A5.Ex116.m1.14.14.5.5.5.6g" xref="A5.Ex116.m1.14.14.5.5.5.6.cmml">⁢</mo><msub id="A5.Ex116.m1.14.14.5.5.5.12" xref="A5.Ex116.m1.14.14.5.5.5.12.cmml"><mi id="A5.Ex116.m1.14.14.5.5.5.12.2" xref="A5.Ex116.m1.14.14.5.5.5.12.2.cmml">V</mi><msub id="A5.Ex116.m1.14.14.5.5.5.12.3" xref="A5.Ex116.m1.14.14.5.5.5.12.3.cmml"><mi id="A5.Ex116.m1.14.14.5.5.5.12.3.2" xref="A5.Ex116.m1.14.14.5.5.5.12.3.2.cmml">ν</mi><mi id="A5.Ex116.m1.14.14.5.5.5.12.3.3" xref="A5.Ex116.m1.14.14.5.5.5.12.3.3.cmml">R</mi></msub></msub><mo id="A5.Ex116.m1.14.14.5.5.5.6h" xref="A5.Ex116.m1.14.14.5.5.5.6.cmml">⁢</mo><msup id="A5.Ex116.m1.14.14.5.5.5.5" xref="A5.Ex116.m1.14.14.5.5.5.5.cmml"><mrow id="A5.Ex116.m1.14.14.5.5.5.5.1.1" xref="A5.Ex116.m1.14.14.5.5.5.5.1.1.1.cmml"><mo id="A5.Ex116.m1.14.14.5.5.5.5.1.1.2" stretchy="false" xref="A5.Ex116.m1.14.14.5.5.5.5.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="A5.Ex116.m1.14.14.5.5.5.5.1.1.1" xref="A5.Ex116.m1.14.14.5.5.5.5.1.1.1.cmml"><mi id="A5.Ex116.m1.14.14.5.5.5.5.1.1.1.2" xref="A5.Ex116.m1.14.14.5.5.5.5.1.1.1.2.cmml">σ</mi><mi id="A5.Ex116.m1.14.14.5.5.5.5.1.1.1.3" xref="A5.Ex116.m1.14.14.5.5.5.5.1.1.1.3.cmml">a</mi></msub><mo id="A5.Ex116.m1.14.14.5.5.5.5.1.1.3" stretchy="false" xref="A5.Ex116.m1.14.14.5.5.5.5.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="A5.Ex116.m1.14.14.5.5.5.5.3" xref="A5.Ex116.m1.14.14.5.5.5.5.3.cmml"><mi id="A5.Ex116.m1.14.14.5.5.5.5.3.2" xref="A5.Ex116.m1.14.14.5.5.5.5.3.2.cmml">o</mi><mo id="A5.Ex116.m1.14.14.5.5.5.5.3.1" xref="A5.Ex116.m1.14.14.5.5.5.5.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A5.Ex116.m1.14.14.5.5.5.5.3.3" xref="A5.Ex116.m1.14.14.5.5.5.5.3.3.cmml">n</mi></mrow></msup><mo id="A5.Ex116.m1.14.14.5.5.5.6i" xref="A5.Ex116.m1.14.14.5.5.5.6.cmml">⁢</mo><msubsup id="A5.Ex116.m1.14.14.5.5.5.13" xref="A5.Ex116.m1.14.14.5.5.5.13.cmml"><mi id="A5.Ex116.m1.14.14.5.5.5.13.2.2" xref="A5.Ex116.m1.14.14.5.5.5.13.2.2.cmml">L</mi><msub id="A5.Ex116.m1.14.14.5.5.5.13.2.3" xref="A5.Ex116.m1.14.14.5.5.5.13.2.3.cmml"><mi id="A5.Ex116.m1.14.14.5.5.5.13.2.3.2" xref="A5.Ex116.m1.14.14.5.5.5.13.2.3.2.cmml">ν</mi><mi id="A5.Ex116.m1.14.14.5.5.5.13.2.3.3" xref="A5.Ex116.m1.14.14.5.5.5.13.2.3.3.cmml">L</mi></msub><mrow id="A5.Ex116.m1.14.14.5.5.5.13.3" xref="A5.Ex116.m1.14.14.5.5.5.13.3.cmml"><mi id="A5.Ex116.m1.14.14.5.5.5.13.3.2" xref="A5.Ex116.m1.14.14.5.5.5.13.3.2.cmml">g</mi><mo id="A5.Ex116.m1.14.14.5.5.5.13.3.1" xref="A5.Ex116.m1.14.14.5.5.5.13.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A5.Ex116.m1.14.14.5.5.5.13.3.3" xref="A5.Ex116.m1.14.14.5.5.5.13.3.3.cmml">j</mi></mrow></msubsup><mo id="A5.Ex116.m1.14.14.5.5.5.6j" xref="A5.Ex116.m1.14.14.5.5.5.6.cmml">⁢</mo><msubsup id="A5.Ex116.m1.14.14.5.5.5.14" xref="A5.Ex116.m1.14.14.5.5.5.14.cmml"><mi id="A5.Ex116.m1.14.14.5.5.5.14.2.2" xref="A5.Ex116.m1.14.14.5.5.5.14.2.2.cmml">R</mi><msub id="A5.Ex116.m1.14.14.5.5.5.14.2.3" xref="A5.Ex116.m1.14.14.5.5.5.14.2.3.cmml"><mi id="A5.Ex116.m1.14.14.5.5.5.14.2.3.2" xref="A5.Ex116.m1.14.14.5.5.5.14.2.3.2.cmml">ν</mi><mi id="A5.Ex116.m1.14.14.5.5.5.14.2.3.3" xref="A5.Ex116.m1.14.14.5.5.5.14.2.3.3.cmml">R</mi></msub><mrow id="A5.Ex116.m1.14.14.5.5.5.14.3" xref="A5.Ex116.m1.14.14.5.5.5.14.3.cmml"><mi id="A5.Ex116.m1.14.14.5.5.5.14.3.2" xref="A5.Ex116.m1.14.14.5.5.5.14.3.2.cmml">k</mi><mo id="A5.Ex116.m1.14.14.5.5.5.14.3.1" xref="A5.Ex116.m1.14.14.5.5.5.14.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A5.Ex116.m1.14.14.5.5.5.14.3.3" xref="A5.Ex116.m1.14.14.5.5.5.14.3.3.cmml">q</mi></mrow></msubsup><mo id="A5.Ex116.m1.14.14.5.5.5.6k" xref="A5.Ex116.m1.14.14.5.5.5.6.cmml">⁢</mo><mrow id="A5.Ex116.m1.1.1a.3" xref="A5.Ex116.m1.1.1a.2.cmml"><mo id="A5.Ex116.m1.1.1a.3.1" stretchy="false" xref="A5.Ex116.m1.1.1a.2.1.cmml">|</mo><mrow id="A5.Ex116.m1.1.1.1.1.3" xref="A5.Ex116.m1.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="A5.Ex116.m1.1.1.1.1.1" xref="A5.Ex116.m1.1.1.1.1.1.cmml">I</mi><mo id="A5.Ex116.m1.1.1.1.1.3.2" xref="A5.Ex116.m1.1.1.1.1.4.cmml">,</mo><mi id="A5.Ex116.m1.1.1.1.1.2" xref="A5.Ex116.m1.1.1.1.1.2.cmml">I</mi><mo id="A5.Ex116.m1.1.1.1.1.3.3" xref="A5.Ex116.m1.1.1.1.1.4.cmml">,</mo><msub id="A5.Ex116.m1.1.1.1.1.3.1" xref="A5.Ex116.m1.1.1.1.1.3.1.cmml"><mi id="A5.Ex116.m1.1.1.1.1.3.1.2" xref="A5.Ex116.m1.1.1.1.1.3.1.2.cmml">σ</mi><mi id="A5.Ex116.m1.1.1.1.1.3.1.3" xref="A5.Ex116.m1.1.1.1.1.3.1.3.cmml">e</mi></msub></mrow><mo id="A5.Ex116.m1.1.1a.3.2" stretchy="false" xref="A5.Ex116.m1.1.1a.2.1.cmml">⟩</mo></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A5.Ex116.m1.14b"><apply id="A5.Ex116.m1.14.14.cmml" xref="A5.Ex116.m1.14.14"><eq id="A5.Ex116.m1.14.14.6.cmml" xref="A5.Ex116.m1.14.14.6"></eq><csymbol cd="latexml" id="A5.Ex116.m1.14.14.7.cmml" xref="A5.Ex116.m1.14.14.7">absent</csymbol><apply id="A5.Ex116.m1.14.14.5.cmml" xref="A5.Ex116.m1.14.14.5"><times id="A5.Ex116.m1.14.14.5.6.cmml" xref="A5.Ex116.m1.14.14.5.6"></times><apply id="A5.Ex116.m1.14.14.5.7.cmml" xref="A5.Ex116.m1.14.14.5.7"><divide id="A5.Ex116.m1.14.14.5.7.1.cmml" xref="A5.Ex116.m1.14.14.5.7"></divide><cn id="A5.Ex116.m1.14.14.5.7.2.cmml" type="integer" xref="A5.Ex116.m1.14.14.5.7.2">1</cn><apply id="A5.Ex116.m1.14.14.5.7.3.cmml" xref="A5.Ex116.m1.14.14.5.7.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.Ex116.m1.14.14.5.7.3.1.cmml" xref="A5.Ex116.m1.14.14.5.7.3">subscript</csymbol><ci id="A5.Ex116.m1.14.14.5.7.3.2.cmml" xref="A5.Ex116.m1.14.14.5.7.3.2">𝐶</ci><ci id="A5.Ex116.m1.14.14.5.7.3.3.cmml" xref="A5.Ex116.m1.14.14.5.7.3.3">𝑎</ci></apply></apply><apply id="A5.Ex116.m1.14.14.5.5.cmml" xref="A5.Ex116.m1.14.14.5.5"><apply id="A5.Ex116.m1.14.14.5.5.6.cmml" xref="A5.Ex116.m1.14.14.5.5.6"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.Ex116.m1.14.14.5.5.6.1.cmml" xref="A5.Ex116.m1.14.14.5.5.6">subscript</csymbol><sum id="A5.Ex116.m1.14.14.5.5.6.2.cmml" xref="A5.Ex116.m1.14.14.5.5.6.2"></sum><list id="A5.Ex116.m1.5.5.4.5.cmml" xref="A5.Ex116.m1.5.5.4.6"><ci id="A5.Ex116.m1.2.2.1.1.cmml" xref="A5.Ex116.m1.2.2.1.1">𝜋</ci><ci id="A5.Ex116.m1.3.3.2.2.cmml" xref="A5.Ex116.m1.3.3.2.2">𝜏</ci><ci id="A5.Ex116.m1.4.4.3.3.cmml" xref="A5.Ex116.m1.4.4.3.3">𝑑</ci><ci id="A5.Ex116.m1.5.5.4.4.cmml" xref="A5.Ex116.m1.5.5.4.4">𝑒</ci></list></apply><apply id="A5.Ex116.m1.14.14.5.5.5.cmml" xref="A5.Ex116.m1.14.14.5.5.5"><times id="A5.Ex116.m1.14.14.5.5.5.6.cmml" xref="A5.Ex116.m1.14.14.5.5.5.6"></times><apply id="A5.Ex116.m1.14.14.5.5.5.7.cmml" xref="A5.Ex116.m1.14.14.5.5.5.7"><divide id="A5.Ex116.m1.14.14.5.5.5.7.1.cmml" xref="A5.Ex116.m1.14.14.5.5.5.7"></divide><cn id="A5.Ex116.m1.14.14.5.5.5.7.2.cmml" type="integer" xref="A5.Ex116.m1.14.14.5.5.5.7.2">1</cn><apply id="A5.Ex116.m1.14.14.5.5.5.7.3.cmml" xref="A5.Ex116.m1.14.14.5.5.5.7.3"><times id="A5.Ex116.m1.14.14.5.5.5.7.3.1.cmml" xref="A5.Ex116.m1.14.14.5.5.5.7.3.1"></times><apply id="A5.Ex116.m1.14.14.5.5.5.7.3.2.cmml" xref="A5.Ex116.m1.14.14.5.5.5.7.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.Ex116.m1.14.14.5.5.5.7.3.2.1.cmml" xref="A5.Ex116.m1.14.14.5.5.5.7.3.2">subscript</csymbol><ci id="A5.Ex116.m1.14.14.5.5.5.7.3.2.2.cmml" xref="A5.Ex116.m1.14.14.5.5.5.7.3.2.2">𝐶</ci><ci id="A5.Ex116.m1.14.14.5.5.5.7.3.2.3.cmml" xref="A5.Ex116.m1.14.14.5.5.5.7.3.2.3">𝑑</ci></apply><apply id="A5.Ex116.m1.14.14.5.5.5.7.3.3.cmml" xref="A5.Ex116.m1.14.14.5.5.5.7.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.Ex116.m1.14.14.5.5.5.7.3.3.1.cmml" xref="A5.Ex116.m1.14.14.5.5.5.7.3.3">subscript</csymbol><ci id="A5.Ex116.m1.14.14.5.5.5.7.3.3.2.cmml" xref="A5.Ex116.m1.14.14.5.5.5.7.3.3.2">𝐶</ci><ci id="A5.Ex116.m1.14.14.5.5.5.7.3.3.3.cmml" xref="A5.Ex116.m1.14.14.5.5.5.7.3.3.3">𝑒</ci></apply></apply></apply><ci id="A5.Ex116.m1.14.14.5.5.5.8a.cmml" xref="A5.Ex116.m1.14.14.5.5.5.8"><mtext id="A5.Ex116.m1.14.14.5.5.5.8.cmml" xref="A5.Ex116.m1.14.14.5.5.5.8">Wg</mtext></ci><interval closure="open" id="A5.Ex116.m1.11.11.2.2.2.2.3.cmml" xref="A5.Ex116.m1.11.11.2.2.2.2.2"><apply id="A5.Ex116.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A5.Ex116.m1.10.10.1.1.1.1.1.1"><times id="A5.Ex116.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A5.Ex116.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1"></times><ci id="A5.Ex116.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A5.Ex116.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.2">𝜋</ci><apply id="A5.Ex116.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A5.Ex116.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.Ex116.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A5.Ex116.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="A5.Ex116.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A5.Ex116.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.Ex116.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="A5.Ex116.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A5.Ex116.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="A5.Ex116.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.3.2.2">𝜎</ci><ci id="A5.Ex116.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="A5.Ex116.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.3.2.3">𝑒</ci></apply><apply id="A5.Ex116.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A5.Ex116.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.3.3"><minus id="A5.Ex116.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="A5.Ex116.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.3.3"></minus><cn id="A5.Ex116.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" type="integer" xref="A5.Ex116.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.3.3.2">1</cn></apply></apply><apply id="A5.Ex116.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="A5.Ex116.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.Ex116.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="A5.Ex116.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.4">superscript</csymbol><ci id="A5.Ex116.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="A5.Ex116.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.4.2">𝜋</ci><apply id="A5.Ex116.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml" xref="A5.Ex116.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.4.3"><minus id="A5.Ex116.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.4.3.1.cmml" xref="A5.Ex116.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.4.3"></minus><cn id="A5.Ex116.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.4.3.2.cmml" type="integer" xref="A5.Ex116.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.4.3.2">1</cn></apply></apply><apply id="A5.Ex116.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.5.cmml" xref="A5.Ex116.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.5"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.Ex116.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.5.1.cmml" xref="A5.Ex116.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.5">subscript</csymbol><ci id="A5.Ex116.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.5.2.cmml" xref="A5.Ex116.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.5.2">𝜎</ci><ci id="A5.Ex116.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.5.3.cmml" xref="A5.Ex116.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.5.3">𝑑</ci></apply></apply><apply id="A5.Ex116.m1.11.11.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="A5.Ex116.m1.11.11.2.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.Ex116.m1.11.11.2.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="A5.Ex116.m1.11.11.2.2.2.2.2.2">superscript</csymbol><ci id="A5.Ex116.m1.11.11.2.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="A5.Ex116.m1.11.11.2.2.2.2.2.2.2">𝑞</ci><apply id="A5.Ex116.m1.11.11.2.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="A5.Ex116.m1.11.11.2.2.2.2.2.2.3"><plus id="A5.Ex116.m1.11.11.2.2.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="A5.Ex116.m1.11.11.2.2.2.2.2.2.3.1"></plus><ci id="A5.Ex116.m1.11.11.2.2.2.2.2.2.3.2.cmml" xref="A5.Ex116.m1.11.11.2.2.2.2.2.2.3.2">𝑚</ci><cn id="A5.Ex116.m1.11.11.2.2.2.2.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="A5.Ex116.m1.11.11.2.2.2.2.2.2.3.3">1</cn></apply></apply></interval><apply id="A5.Ex116.m1.14.14.5.5.5.9.cmml" xref="A5.Ex116.m1.14.14.5.5.5.9"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.Ex116.m1.14.14.5.5.5.9.1.cmml" xref="A5.Ex116.m1.14.14.5.5.5.9">superscript</csymbol><ci id="A5.Ex116.m1.14.14.5.5.5.9.2.cmml" xref="A5.Ex116.m1.14.14.5.5.5.9.2">𝑞</ci><apply id="A5.Ex116.m1.7.7.2.cmml" xref="A5.Ex116.m1.7.7.2"><minus id="A5.Ex116.m1.7.7.2.3.cmml" xref="A5.Ex116.m1.7.7.2.3"></minus><apply id="A5.Ex116.m1.6.6.1.1.cmml" xref="A5.Ex116.m1.6.6.1.1"><minus id="A5.Ex116.m1.6.6.1.1.2.cmml" xref="A5.Ex116.m1.6.6.1.1"></minus><apply id="A5.Ex116.m1.6.6.1.1.1.cmml" xref="A5.Ex116.m1.6.6.1.1.1"><times id="A5.Ex116.m1.6.6.1.1.1.2.cmml" xref="A5.Ex116.m1.6.6.1.1.1.2"></times><ci id="A5.Ex116.m1.6.6.1.1.1.3.cmml" xref="A5.Ex116.m1.6.6.1.1.1.3">𝑚</ci><apply id="A5.Ex116.m1.6.6.1.1.1.1.2.cmml" xref="A5.Ex116.m1.6.6.1.1.1.1.1"><abs id="A5.Ex116.m1.6.6.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A5.Ex116.m1.6.6.1.1.1.1.1.2"></abs><apply id="A5.Ex116.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A5.Ex116.m1.6.6.1.1.1.1.1.1"><times id="A5.Ex116.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A5.Ex116.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1"></times><ci id="A5.Ex116.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A5.Ex116.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2">𝜏</ci><apply id="A5.Ex116.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A5.Ex116.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.Ex116.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A5.Ex116.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="A5.Ex116.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A5.Ex116.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.Ex116.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="A5.Ex116.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A5.Ex116.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="A5.Ex116.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.2.2">𝜎</ci><ci id="A5.Ex116.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="A5.Ex116.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.2.3">𝑑</ci></apply><apply id="A5.Ex116.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A5.Ex116.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.3"><minus id="A5.Ex116.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="A5.Ex116.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.3"></minus><cn id="A5.Ex116.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" type="integer" xref="A5.Ex116.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.3.2">1</cn></apply></apply><apply id="A5.Ex116.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="A5.Ex116.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.Ex116.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="A5.Ex116.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.4">superscript</csymbol><ci id="A5.Ex116.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="A5.Ex116.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.4.2">𝜏</ci><apply id="A5.Ex116.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml" xref="A5.Ex116.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.4.3"><minus id="A5.Ex116.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.4.3.1.cmml" xref="A5.Ex116.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.4.3"></minus><cn id="A5.Ex116.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.4.3.2.cmml" type="integer" xref="A5.Ex116.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.4.3.2">1</cn></apply></apply><apply id="A5.Ex116.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.5.cmml" xref="A5.Ex116.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.5"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.Ex116.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.5.1.cmml" xref="A5.Ex116.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.5">subscript</csymbol><ci id="A5.Ex116.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.5.2.cmml" xref="A5.Ex116.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.5.2">𝜎</ci><ci id="A5.Ex116.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.5.3.cmml" xref="A5.Ex116.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.5.3">𝑎</ci></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="A5.Ex116.m1.7.7.2.2.2.cmml" xref="A5.Ex116.m1.7.7.2.2.1"><abs id="A5.Ex116.m1.7.7.2.2.2.1.cmml" xref="A5.Ex116.m1.7.7.2.2.1.2"></abs><apply id="A5.Ex116.m1.7.7.2.2.1.1.cmml" xref="A5.Ex116.m1.7.7.2.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.Ex116.m1.7.7.2.2.1.1.1.cmml" xref="A5.Ex116.m1.7.7.2.2.1.1">subscript</csymbol><ci id="A5.Ex116.m1.7.7.2.2.1.1.2.cmml" xref="A5.Ex116.m1.7.7.2.2.1.1.2">𝜎</ci><ci id="A5.Ex116.m1.7.7.2.2.1.1.3.cmml" xref="A5.Ex116.m1.7.7.2.2.1.1.3">𝑑</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="A5.Ex116.m1.14.14.5.5.5.10.cmml" xref="A5.Ex116.m1.14.14.5.5.5.10"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.Ex116.m1.14.14.5.5.5.10.1.cmml" xref="A5.Ex116.m1.14.14.5.5.5.10">subscript</csymbol><ci id="A5.Ex116.m1.14.14.5.5.5.10.2.cmml" xref="A5.Ex116.m1.14.14.5.5.5.10.2">𝑉</ci><apply id="A5.Ex116.m1.14.14.5.5.5.10.3.cmml" xref="A5.Ex116.m1.14.14.5.5.5.10.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.Ex116.m1.14.14.5.5.5.10.3.1.cmml" xref="A5.Ex116.m1.14.14.5.5.5.10.3">subscript</csymbol><ci id="A5.Ex116.m1.14.14.5.5.5.10.3.2.cmml" xref="A5.Ex116.m1.14.14.5.5.5.10.3.2">𝜈</ci><ci id="A5.Ex116.m1.14.14.5.5.5.10.3.3.cmml" xref="A5.Ex116.m1.14.14.5.5.5.10.3.3">𝑅</ci></apply></apply><apply id="A5.Ex116.m1.12.12.3.3.3.3.cmml" xref="A5.Ex116.m1.12.12.3.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.Ex116.m1.12.12.3.3.3.3.2.cmml" xref="A5.Ex116.m1.12.12.3.3.3.3">superscript</csymbol><apply id="A5.Ex116.m1.12.12.3.3.3.3.1.1.1.cmml" xref="A5.Ex116.m1.12.12.3.3.3.3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.Ex116.m1.12.12.3.3.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="A5.Ex116.m1.12.12.3.3.3.3.1.1">superscript</csymbol><apply id="A5.Ex116.m1.12.12.3.3.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="A5.Ex116.m1.12.12.3.3.3.3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.Ex116.m1.12.12.3.3.3.3.1.1.1.2.1.cmml" xref="A5.Ex116.m1.12.12.3.3.3.3.1.1">subscript</csymbol><ci id="A5.Ex116.m1.12.12.3.3.3.3.1.1.1.2.2.cmml" xref="A5.Ex116.m1.12.12.3.3.3.3.1.1.1.2.2">𝜎</ci><ci id="A5.Ex116.m1.12.12.3.3.3.3.1.1.1.2.3.cmml" xref="A5.Ex116.m1.12.12.3.3.3.3.1.1.1.2.3">𝑒</ci></apply><apply id="A5.Ex116.m1.12.12.3.3.3.3.1.1.1.3.cmml" xref="A5.Ex116.m1.12.12.3.3.3.3.1.1.1.3"><minus id="A5.Ex116.m1.12.12.3.3.3.3.1.1.1.3.1.cmml" xref="A5.Ex116.m1.12.12.3.3.3.3.1.1.1.3"></minus><cn id="A5.Ex116.m1.12.12.3.3.3.3.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="A5.Ex116.m1.12.12.3.3.3.3.1.1.1.3.2">1</cn></apply></apply><apply id="A5.Ex116.m1.12.12.3.3.3.3.3.cmml" xref="A5.Ex116.m1.12.12.3.3.3.3.3"><times id="A5.Ex116.m1.12.12.3.3.3.3.3.1.cmml" xref="A5.Ex116.m1.12.12.3.3.3.3.3.1"></times><ci id="A5.Ex116.m1.12.12.3.3.3.3.3.2.cmml" xref="A5.Ex116.m1.12.12.3.3.3.3.3.2">𝑞</ci><ci id="A5.Ex116.m1.12.12.3.3.3.3.3.3.cmml" xref="A5.Ex116.m1.12.12.3.3.3.3.3.3">𝑝</ci></apply></apply><ci id="A5.Ex116.m1.14.14.5.5.5.11.cmml" xref="A5.Ex116.m1.14.14.5.5.5.11">𝑇</ci><apply id="A5.Ex116.m1.13.13.4.4.4.4.cmml" xref="A5.Ex116.m1.13.13.4.4.4.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.Ex116.m1.13.13.4.4.4.4.2.cmml" xref="A5.Ex116.m1.13.13.4.4.4.4">superscript</csymbol><apply id="A5.Ex116.m1.13.13.4.4.4.4.1.1.1.cmml" xref="A5.Ex116.m1.13.13.4.4.4.4.1.1"><times id="A5.Ex116.m1.13.13.4.4.4.4.1.1.1.1.cmml" xref="A5.Ex116.m1.13.13.4.4.4.4.1.1.1.1"></times><ci id="A5.Ex116.m1.13.13.4.4.4.4.1.1.1.2.cmml" xref="A5.Ex116.m1.13.13.4.4.4.4.1.1.1.2">𝜏</ci><ci id="A5.Ex116.m1.13.13.4.4.4.4.1.1.1.3.cmml" xref="A5.Ex116.m1.13.13.4.4.4.4.1.1.1.3">𝜋</ci></apply><list id="A5.Ex116.m1.9.9.2.3.cmml" xref="A5.Ex116.m1.9.9.2.2"><apply id="A5.Ex116.m1.8.8.1.1.1.cmml" xref="A5.Ex116.m1.8.8.1.1.1"><times id="A5.Ex116.m1.8.8.1.1.1.1.cmml" xref="A5.Ex116.m1.8.8.1.1.1.1"></times><ci id="A5.Ex116.m1.8.8.1.1.1.2.cmml" xref="A5.Ex116.m1.8.8.1.1.1.2">ℎ</ci><ci id="A5.Ex116.m1.8.8.1.1.1.3.cmml" xref="A5.Ex116.m1.8.8.1.1.1.3">𝑔</ci></apply><apply id="A5.Ex116.m1.9.9.2.2.2.cmml" xref="A5.Ex116.m1.9.9.2.2.2"><times id="A5.Ex116.m1.9.9.2.2.2.1.cmml" xref="A5.Ex116.m1.9.9.2.2.2.1"></times><ci id="A5.Ex116.m1.9.9.2.2.2.2.cmml" xref="A5.Ex116.m1.9.9.2.2.2.2">𝑝</ci><ci id="A5.Ex116.m1.9.9.2.2.2.3.cmml" xref="A5.Ex116.m1.9.9.2.2.2.3">𝑜</ci></apply></list></apply><apply id="A5.Ex116.m1.14.14.5.5.5.12.cmml" xref="A5.Ex116.m1.14.14.5.5.5.12"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.Ex116.m1.14.14.5.5.5.12.1.cmml" xref="A5.Ex116.m1.14.14.5.5.5.12">subscript</csymbol><ci id="A5.Ex116.m1.14.14.5.5.5.12.2.cmml" xref="A5.Ex116.m1.14.14.5.5.5.12.2">𝑉</ci><apply id="A5.Ex116.m1.14.14.5.5.5.12.3.cmml" xref="A5.Ex116.m1.14.14.5.5.5.12.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.Ex116.m1.14.14.5.5.5.12.3.1.cmml" xref="A5.Ex116.m1.14.14.5.5.5.12.3">subscript</csymbol><ci id="A5.Ex116.m1.14.14.5.5.5.12.3.2.cmml" xref="A5.Ex116.m1.14.14.5.5.5.12.3.2">𝜈</ci><ci id="A5.Ex116.m1.14.14.5.5.5.12.3.3.cmml" xref="A5.Ex116.m1.14.14.5.5.5.12.3.3">𝑅</ci></apply></apply><apply id="A5.Ex116.m1.14.14.5.5.5.5.cmml" xref="A5.Ex116.m1.14.14.5.5.5.5"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.Ex116.m1.14.14.5.5.5.5.2.cmml" xref="A5.Ex116.m1.14.14.5.5.5.5">superscript</csymbol><apply id="A5.Ex116.m1.14.14.5.5.5.5.1.1.1.cmml" xref="A5.Ex116.m1.14.14.5.5.5.5.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.Ex116.m1.14.14.5.5.5.5.1.1.1.1.cmml" xref="A5.Ex116.m1.14.14.5.5.5.5.1.1">subscript</csymbol><ci id="A5.Ex116.m1.14.14.5.5.5.5.1.1.1.2.cmml" xref="A5.Ex116.m1.14.14.5.5.5.5.1.1.1.2">𝜎</ci><ci id="A5.Ex116.m1.14.14.5.5.5.5.1.1.1.3.cmml" xref="A5.Ex116.m1.14.14.5.5.5.5.1.1.1.3">𝑎</ci></apply><apply id="A5.Ex116.m1.14.14.5.5.5.5.3.cmml" xref="A5.Ex116.m1.14.14.5.5.5.5.3"><times id="A5.Ex116.m1.14.14.5.5.5.5.3.1.cmml" xref="A5.Ex116.m1.14.14.5.5.5.5.3.1"></times><ci id="A5.Ex116.m1.14.14.5.5.5.5.3.2.cmml" xref="A5.Ex116.m1.14.14.5.5.5.5.3.2">𝑜</ci><ci id="A5.Ex116.m1.14.14.5.5.5.5.3.3.cmml" xref="A5.Ex116.m1.14.14.5.5.5.5.3.3">𝑛</ci></apply></apply><apply id="A5.Ex116.m1.14.14.5.5.5.13.cmml" xref="A5.Ex116.m1.14.14.5.5.5.13"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.Ex116.m1.14.14.5.5.5.13.1.cmml" xref="A5.Ex116.m1.14.14.5.5.5.13">superscript</csymbol><apply id="A5.Ex116.m1.14.14.5.5.5.13.2.cmml" xref="A5.Ex116.m1.14.14.5.5.5.13"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.Ex116.m1.14.14.5.5.5.13.2.1.cmml" xref="A5.Ex116.m1.14.14.5.5.5.13">subscript</csymbol><ci id="A5.Ex116.m1.14.14.5.5.5.13.2.2.cmml" xref="A5.Ex116.m1.14.14.5.5.5.13.2.2">𝐿</ci><apply id="A5.Ex116.m1.14.14.5.5.5.13.2.3.cmml" xref="A5.Ex116.m1.14.14.5.5.5.13.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.Ex116.m1.14.14.5.5.5.13.2.3.1.cmml" xref="A5.Ex116.m1.14.14.5.5.5.13.2.3">subscript</csymbol><ci id="A5.Ex116.m1.14.14.5.5.5.13.2.3.2.cmml" xref="A5.Ex116.m1.14.14.5.5.5.13.2.3.2">𝜈</ci><ci id="A5.Ex116.m1.14.14.5.5.5.13.2.3.3.cmml" xref="A5.Ex116.m1.14.14.5.5.5.13.2.3.3">𝐿</ci></apply></apply><apply id="A5.Ex116.m1.14.14.5.5.5.13.3.cmml" xref="A5.Ex116.m1.14.14.5.5.5.13.3"><times id="A5.Ex116.m1.14.14.5.5.5.13.3.1.cmml" xref="A5.Ex116.m1.14.14.5.5.5.13.3.1"></times><ci id="A5.Ex116.m1.14.14.5.5.5.13.3.2.cmml" xref="A5.Ex116.m1.14.14.5.5.5.13.3.2">𝑔</ci><ci id="A5.Ex116.m1.14.14.5.5.5.13.3.3.cmml" xref="A5.Ex116.m1.14.14.5.5.5.13.3.3">𝑗</ci></apply></apply><apply id="A5.Ex116.m1.14.14.5.5.5.14.cmml" xref="A5.Ex116.m1.14.14.5.5.5.14"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.Ex116.m1.14.14.5.5.5.14.1.cmml" xref="A5.Ex116.m1.14.14.5.5.5.14">superscript</csymbol><apply id="A5.Ex116.m1.14.14.5.5.5.14.2.cmml" xref="A5.Ex116.m1.14.14.5.5.5.14"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.Ex116.m1.14.14.5.5.5.14.2.1.cmml" xref="A5.Ex116.m1.14.14.5.5.5.14">subscript</csymbol><ci id="A5.Ex116.m1.14.14.5.5.5.14.2.2.cmml" xref="A5.Ex116.m1.14.14.5.5.5.14.2.2">𝑅</ci><apply id="A5.Ex116.m1.14.14.5.5.5.14.2.3.cmml" xref="A5.Ex116.m1.14.14.5.5.5.14.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.Ex116.m1.14.14.5.5.5.14.2.3.1.cmml" xref="A5.Ex116.m1.14.14.5.5.5.14.2.3">subscript</csymbol><ci id="A5.Ex116.m1.14.14.5.5.5.14.2.3.2.cmml" xref="A5.Ex116.m1.14.14.5.5.5.14.2.3.2">𝜈</ci><ci id="A5.Ex116.m1.14.14.5.5.5.14.2.3.3.cmml" xref="A5.Ex116.m1.14.14.5.5.5.14.2.3.3">𝑅</ci></apply></apply><apply id="A5.Ex116.m1.14.14.5.5.5.14.3.cmml" xref="A5.Ex116.m1.14.14.5.5.5.14.3"><times id="A5.Ex116.m1.14.14.5.5.5.14.3.1.cmml" xref="A5.Ex116.m1.14.14.5.5.5.14.3.1"></times><ci id="A5.Ex116.m1.14.14.5.5.5.14.3.2.cmml" xref="A5.Ex116.m1.14.14.5.5.5.14.3.2">𝑘</ci><ci id="A5.Ex116.m1.14.14.5.5.5.14.3.3.cmml" xref="A5.Ex116.m1.14.14.5.5.5.14.3.3">𝑞</ci></apply></apply><apply id="A5.Ex116.m1.1.1a.2.cmml" xref="A5.Ex116.m1.1.1a.3"><csymbol cd="latexml" id="A5.Ex116.m1.1.1a.2.1.cmml" xref="A5.Ex116.m1.1.1a.3.1">ket</csymbol><list id="A5.Ex116.m1.1.1.1.1.4.cmml" xref="A5.Ex116.m1.1.1.1.1.3"><ci id="A5.Ex116.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A5.Ex116.m1.1.1.1.1.1">𝐼</ci><ci id="A5.Ex116.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A5.Ex116.m1.1.1.1.1.2">𝐼</ci><apply id="A5.Ex116.m1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A5.Ex116.m1.1.1.1.1.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.Ex116.m1.1.1.1.1.3.1.1.cmml" xref="A5.Ex116.m1.1.1.1.1.3.1">subscript</csymbol><ci id="A5.Ex116.m1.1.1.1.1.3.1.2.cmml" xref="A5.Ex116.m1.1.1.1.1.3.1.2">𝜎</ci><ci id="A5.Ex116.m1.1.1.1.1.3.1.3.cmml" xref="A5.Ex116.m1.1.1.1.1.3.1.3">𝑒</ci></apply></list></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A5.Ex116.m1.14c">\displaystyle=\frac{1}{C_{a}}\sum_{\pi,\tau,d,e}\frac{1}{C_{d}C_{e}}\text{Wg}(% \pi\sigma_{e}^{-1}\pi^{-1}\sigma_{d},q^{m+1})q^{-m|\tau\sigma_{d}^{-1}\tau^{-1% }\sigma_{a}|-|\sigma_{d}|}V_{\nu_{R}}(\sigma_{e}^{-1})^{qp}T(\tau\pi)^{hg,po}V% _{\nu_{R}}(\sigma_{a})^{on}L_{\nu_{L}}^{gj}R_{\nu_{R}}^{kq}\ket{I,I,\sigma_{e}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A5.Ex116.m1.14d">= divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_C start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT end_ARG ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_π , italic_τ , italic_d , italic_e end_POSTSUBSCRIPT divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_C start_POSTSUBSCRIPT italic_d end_POSTSUBSCRIPT italic_C start_POSTSUBSCRIPT italic_e end_POSTSUBSCRIPT end_ARG Wg ( italic_π italic_σ start_POSTSUBSCRIPT italic_e end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT italic_π start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT italic_σ start_POSTSUBSCRIPT italic_d end_POSTSUBSCRIPT , italic_q start_POSTSUPERSCRIPT italic_m + 1 end_POSTSUPERSCRIPT ) italic_q start_POSTSUPERSCRIPT - italic_m | italic_τ italic_σ start_POSTSUBSCRIPT italic_d end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT italic_τ start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT italic_σ start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT | - | italic_σ start_POSTSUBSCRIPT italic_d end_POSTSUBSCRIPT | end_POSTSUPERSCRIPT italic_V start_POSTSUBSCRIPT italic_ν start_POSTSUBSCRIPT italic_R end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT ( italic_σ start_POSTSUBSCRIPT italic_e end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_q italic_p end_POSTSUPERSCRIPT italic_T ( italic_τ italic_π ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_h italic_g , italic_p italic_o end_POSTSUPERSCRIPT italic_V start_POSTSUBSCRIPT italic_ν start_POSTSUBSCRIPT italic_R end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT ( italic_σ start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_o italic_n end_POSTSUPERSCRIPT italic_L start_POSTSUBSCRIPT italic_ν start_POSTSUBSCRIPT italic_L end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_g italic_j end_POSTSUPERSCRIPT italic_R start_POSTSUBSCRIPT italic_ν start_POSTSUBSCRIPT italic_R end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_k italic_q end_POSTSUPERSCRIPT | start_ARG italic_I , italic_I , italic_σ start_POSTSUBSCRIPT italic_e end_POSTSUBSCRIPT end_ARG ⟩</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="A5.Ex117"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=\sum_{d,e}\mathcal{W}^{hf,pr}_{ed}(q^{m+1})\mathcal{D}_{dd}(q)% \mathcal{C}^{fg,ro}_{da}(q^{m})V_{\nu_{R}}(\sigma_{e}^{-1})^{qp}V_{\nu_{R}}(% \sigma_{a})^{on}\ket{e_{\nu_{L},\nu_{R}}^{gj,kq,e}}" class="ltx_Math" display="inline" id="A5.Ex117.m1.12"><semantics id="A5.Ex117.m1.12a"><mrow id="A5.Ex117.m1.12.12" xref="A5.Ex117.m1.12.12.cmml"><mi id="A5.Ex117.m1.12.12.6" xref="A5.Ex117.m1.12.12.6.cmml"></mi><mo id="A5.Ex117.m1.12.12.5" xref="A5.Ex117.m1.12.12.5.cmml">=</mo><mrow id="A5.Ex117.m1.12.12.4" xref="A5.Ex117.m1.12.12.4.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A5.Ex117.m1.12.12.4.5" xref="A5.Ex117.m1.12.12.4.5.cmml"><munder id="A5.Ex117.m1.12.12.4.5a" xref="A5.Ex117.m1.12.12.4.5.cmml"><mo id="A5.Ex117.m1.12.12.4.5.2" movablelimits="false" xref="A5.Ex117.m1.12.12.4.5.2.cmml">∑</mo><mrow id="A5.Ex117.m1.3.3.2.4" xref="A5.Ex117.m1.3.3.2.3.cmml"><mi id="A5.Ex117.m1.2.2.1.1" xref="A5.Ex117.m1.2.2.1.1.cmml">d</mi><mo id="A5.Ex117.m1.3.3.2.4.1" xref="A5.Ex117.m1.3.3.2.3.cmml">,</mo><mi id="A5.Ex117.m1.3.3.2.2" xref="A5.Ex117.m1.3.3.2.2.cmml">e</mi></mrow></munder></mstyle><mrow id="A5.Ex117.m1.12.12.4.4" xref="A5.Ex117.m1.12.12.4.4.cmml"><msubsup id="A5.Ex117.m1.12.12.4.4.6" xref="A5.Ex117.m1.12.12.4.4.6.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="A5.Ex117.m1.12.12.4.4.6.2.2" xref="A5.Ex117.m1.12.12.4.4.6.2.2.cmml">𝒲</mi><mrow id="A5.Ex117.m1.12.12.4.4.6.3" xref="A5.Ex117.m1.12.12.4.4.6.3.cmml"><mi id="A5.Ex117.m1.12.12.4.4.6.3.2" xref="A5.Ex117.m1.12.12.4.4.6.3.2.cmml">e</mi><mo id="A5.Ex117.m1.12.12.4.4.6.3.1" xref="A5.Ex117.m1.12.12.4.4.6.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A5.Ex117.m1.12.12.4.4.6.3.3" xref="A5.Ex117.m1.12.12.4.4.6.3.3.cmml">d</mi></mrow><mrow id="A5.Ex117.m1.5.5.2.2" xref="A5.Ex117.m1.5.5.2.3.cmml"><mrow id="A5.Ex117.m1.4.4.1.1.1" xref="A5.Ex117.m1.4.4.1.1.1.cmml"><mi id="A5.Ex117.m1.4.4.1.1.1.2" xref="A5.Ex117.m1.4.4.1.1.1.2.cmml">h</mi><mo id="A5.Ex117.m1.4.4.1.1.1.1" xref="A5.Ex117.m1.4.4.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="A5.Ex117.m1.4.4.1.1.1.3" xref="A5.Ex117.m1.4.4.1.1.1.3.cmml">f</mi></mrow><mo id="A5.Ex117.m1.5.5.2.2.3" xref="A5.Ex117.m1.5.5.2.3.cmml">,</mo><mrow id="A5.Ex117.m1.5.5.2.2.2" xref="A5.Ex117.m1.5.5.2.2.2.cmml"><mi id="A5.Ex117.m1.5.5.2.2.2.2" xref="A5.Ex117.m1.5.5.2.2.2.2.cmml">p</mi><mo id="A5.Ex117.m1.5.5.2.2.2.1" xref="A5.Ex117.m1.5.5.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="A5.Ex117.m1.5.5.2.2.2.3" xref="A5.Ex117.m1.5.5.2.2.2.3.cmml">r</mi></mrow></mrow></msubsup><mo id="A5.Ex117.m1.12.12.4.4.5" xref="A5.Ex117.m1.12.12.4.4.5.cmml">⁢</mo><mrow id="A5.Ex117.m1.9.9.1.1.1.1" xref="A5.Ex117.m1.9.9.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A5.Ex117.m1.9.9.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A5.Ex117.m1.9.9.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="A5.Ex117.m1.9.9.1.1.1.1.1" xref="A5.Ex117.m1.9.9.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A5.Ex117.m1.9.9.1.1.1.1.1.2" xref="A5.Ex117.m1.9.9.1.1.1.1.1.2.cmml">q</mi><mrow id="A5.Ex117.m1.9.9.1.1.1.1.1.3" xref="A5.Ex117.m1.9.9.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A5.Ex117.m1.9.9.1.1.1.1.1.3.2" xref="A5.Ex117.m1.9.9.1.1.1.1.1.3.2.cmml">m</mi><mo id="A5.Ex117.m1.9.9.1.1.1.1.1.3.1" xref="A5.Ex117.m1.9.9.1.1.1.1.1.3.1.cmml">+</mo><mn id="A5.Ex117.m1.9.9.1.1.1.1.1.3.3" xref="A5.Ex117.m1.9.9.1.1.1.1.1.3.3.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="A5.Ex117.m1.9.9.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A5.Ex117.m1.9.9.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A5.Ex117.m1.12.12.4.4.5a" xref="A5.Ex117.m1.12.12.4.4.5.cmml">⁢</mo><msub id="A5.Ex117.m1.12.12.4.4.7" xref="A5.Ex117.m1.12.12.4.4.7.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="A5.Ex117.m1.12.12.4.4.7.2" xref="A5.Ex117.m1.12.12.4.4.7.2.cmml">𝒟</mi><mrow id="A5.Ex117.m1.12.12.4.4.7.3" xref="A5.Ex117.m1.12.12.4.4.7.3.cmml"><mi id="A5.Ex117.m1.12.12.4.4.7.3.2" xref="A5.Ex117.m1.12.12.4.4.7.3.2.cmml">d</mi><mo id="A5.Ex117.m1.12.12.4.4.7.3.1" xref="A5.Ex117.m1.12.12.4.4.7.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A5.Ex117.m1.12.12.4.4.7.3.3" xref="A5.Ex117.m1.12.12.4.4.7.3.3.cmml">d</mi></mrow></msub><mo id="A5.Ex117.m1.12.12.4.4.5b" xref="A5.Ex117.m1.12.12.4.4.5.cmml">⁢</mo><mrow id="A5.Ex117.m1.12.12.4.4.8.2" xref="A5.Ex117.m1.12.12.4.4.cmml"><mo id="A5.Ex117.m1.12.12.4.4.8.2.1" stretchy="false" xref="A5.Ex117.m1.12.12.4.4.cmml">(</mo><mi id="A5.Ex117.m1.8.8" xref="A5.Ex117.m1.8.8.cmml">q</mi><mo id="A5.Ex117.m1.12.12.4.4.8.2.2" stretchy="false" xref="A5.Ex117.m1.12.12.4.4.cmml">)</mo></mrow><mo id="A5.Ex117.m1.12.12.4.4.5c" xref="A5.Ex117.m1.12.12.4.4.5.cmml">⁢</mo><msubsup id="A5.Ex117.m1.12.12.4.4.9" xref="A5.Ex117.m1.12.12.4.4.9.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="A5.Ex117.m1.12.12.4.4.9.2.2" xref="A5.Ex117.m1.12.12.4.4.9.2.2.cmml">𝒞</mi><mrow id="A5.Ex117.m1.12.12.4.4.9.3" xref="A5.Ex117.m1.12.12.4.4.9.3.cmml"><mi id="A5.Ex117.m1.12.12.4.4.9.3.2" xref="A5.Ex117.m1.12.12.4.4.9.3.2.cmml">d</mi><mo id="A5.Ex117.m1.12.12.4.4.9.3.1" xref="A5.Ex117.m1.12.12.4.4.9.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A5.Ex117.m1.12.12.4.4.9.3.3" xref="A5.Ex117.m1.12.12.4.4.9.3.3.cmml">a</mi></mrow><mrow id="A5.Ex117.m1.7.7.2.2" xref="A5.Ex117.m1.7.7.2.3.cmml"><mrow id="A5.Ex117.m1.6.6.1.1.1" xref="A5.Ex117.m1.6.6.1.1.1.cmml"><mi id="A5.Ex117.m1.6.6.1.1.1.2" xref="A5.Ex117.m1.6.6.1.1.1.2.cmml">f</mi><mo id="A5.Ex117.m1.6.6.1.1.1.1" xref="A5.Ex117.m1.6.6.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="A5.Ex117.m1.6.6.1.1.1.3" xref="A5.Ex117.m1.6.6.1.1.1.3.cmml">g</mi></mrow><mo id="A5.Ex117.m1.7.7.2.2.3" xref="A5.Ex117.m1.7.7.2.3.cmml">,</mo><mrow id="A5.Ex117.m1.7.7.2.2.2" xref="A5.Ex117.m1.7.7.2.2.2.cmml"><mi id="A5.Ex117.m1.7.7.2.2.2.2" xref="A5.Ex117.m1.7.7.2.2.2.2.cmml">r</mi><mo id="A5.Ex117.m1.7.7.2.2.2.1" xref="A5.Ex117.m1.7.7.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="A5.Ex117.m1.7.7.2.2.2.3" xref="A5.Ex117.m1.7.7.2.2.2.3.cmml">o</mi></mrow></mrow></msubsup><mo id="A5.Ex117.m1.12.12.4.4.5d" xref="A5.Ex117.m1.12.12.4.4.5.cmml">⁢</mo><mrow id="A5.Ex117.m1.10.10.2.2.2.1" xref="A5.Ex117.m1.10.10.2.2.2.1.1.cmml"><mo id="A5.Ex117.m1.10.10.2.2.2.1.2" stretchy="false" xref="A5.Ex117.m1.10.10.2.2.2.1.1.cmml">(</mo><msup id="A5.Ex117.m1.10.10.2.2.2.1.1" xref="A5.Ex117.m1.10.10.2.2.2.1.1.cmml"><mi id="A5.Ex117.m1.10.10.2.2.2.1.1.2" xref="A5.Ex117.m1.10.10.2.2.2.1.1.2.cmml">q</mi><mi id="A5.Ex117.m1.10.10.2.2.2.1.1.3" xref="A5.Ex117.m1.10.10.2.2.2.1.1.3.cmml">m</mi></msup><mo id="A5.Ex117.m1.10.10.2.2.2.1.3" stretchy="false" xref="A5.Ex117.m1.10.10.2.2.2.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A5.Ex117.m1.12.12.4.4.5e" xref="A5.Ex117.m1.12.12.4.4.5.cmml">⁢</mo><msub id="A5.Ex117.m1.12.12.4.4.10" xref="A5.Ex117.m1.12.12.4.4.10.cmml"><mi id="A5.Ex117.m1.12.12.4.4.10.2" xref="A5.Ex117.m1.12.12.4.4.10.2.cmml">V</mi><msub id="A5.Ex117.m1.12.12.4.4.10.3" xref="A5.Ex117.m1.12.12.4.4.10.3.cmml"><mi id="A5.Ex117.m1.12.12.4.4.10.3.2" xref="A5.Ex117.m1.12.12.4.4.10.3.2.cmml">ν</mi><mi id="A5.Ex117.m1.12.12.4.4.10.3.3" xref="A5.Ex117.m1.12.12.4.4.10.3.3.cmml">R</mi></msub></msub><mo id="A5.Ex117.m1.12.12.4.4.5f" xref="A5.Ex117.m1.12.12.4.4.5.cmml">⁢</mo><msup id="A5.Ex117.m1.11.11.3.3.3" xref="A5.Ex117.m1.11.11.3.3.3.cmml"><mrow id="A5.Ex117.m1.11.11.3.3.3.1.1" xref="A5.Ex117.m1.11.11.3.3.3.1.1.1.cmml"><mo id="A5.Ex117.m1.11.11.3.3.3.1.1.2" stretchy="false" xref="A5.Ex117.m1.11.11.3.3.3.1.1.1.cmml">(</mo><msubsup id="A5.Ex117.m1.11.11.3.3.3.1.1.1" xref="A5.Ex117.m1.11.11.3.3.3.1.1.1.cmml"><mi id="A5.Ex117.m1.11.11.3.3.3.1.1.1.2.2" xref="A5.Ex117.m1.11.11.3.3.3.1.1.1.2.2.cmml">σ</mi><mi id="A5.Ex117.m1.11.11.3.3.3.1.1.1.2.3" xref="A5.Ex117.m1.11.11.3.3.3.1.1.1.2.3.cmml">e</mi><mrow id="A5.Ex117.m1.11.11.3.3.3.1.1.1.3" xref="A5.Ex117.m1.11.11.3.3.3.1.1.1.3.cmml"><mo id="A5.Ex117.m1.11.11.3.3.3.1.1.1.3a" xref="A5.Ex117.m1.11.11.3.3.3.1.1.1.3.cmml">−</mo><mn id="A5.Ex117.m1.11.11.3.3.3.1.1.1.3.2" xref="A5.Ex117.m1.11.11.3.3.3.1.1.1.3.2.cmml">1</mn></mrow></msubsup><mo id="A5.Ex117.m1.11.11.3.3.3.1.1.3" stretchy="false" xref="A5.Ex117.m1.11.11.3.3.3.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="A5.Ex117.m1.11.11.3.3.3.3" xref="A5.Ex117.m1.11.11.3.3.3.3.cmml"><mi id="A5.Ex117.m1.11.11.3.3.3.3.2" xref="A5.Ex117.m1.11.11.3.3.3.3.2.cmml">q</mi><mo id="A5.Ex117.m1.11.11.3.3.3.3.1" xref="A5.Ex117.m1.11.11.3.3.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A5.Ex117.m1.11.11.3.3.3.3.3" xref="A5.Ex117.m1.11.11.3.3.3.3.3.cmml">p</mi></mrow></msup><mo id="A5.Ex117.m1.12.12.4.4.5g" xref="A5.Ex117.m1.12.12.4.4.5.cmml">⁢</mo><msub id="A5.Ex117.m1.12.12.4.4.11" xref="A5.Ex117.m1.12.12.4.4.11.cmml"><mi id="A5.Ex117.m1.12.12.4.4.11.2" xref="A5.Ex117.m1.12.12.4.4.11.2.cmml">V</mi><msub id="A5.Ex117.m1.12.12.4.4.11.3" xref="A5.Ex117.m1.12.12.4.4.11.3.cmml"><mi id="A5.Ex117.m1.12.12.4.4.11.3.2" xref="A5.Ex117.m1.12.12.4.4.11.3.2.cmml">ν</mi><mi id="A5.Ex117.m1.12.12.4.4.11.3.3" xref="A5.Ex117.m1.12.12.4.4.11.3.3.cmml">R</mi></msub></msub><mo id="A5.Ex117.m1.12.12.4.4.5h" xref="A5.Ex117.m1.12.12.4.4.5.cmml">⁢</mo><msup id="A5.Ex117.m1.12.12.4.4.4" xref="A5.Ex117.m1.12.12.4.4.4.cmml"><mrow id="A5.Ex117.m1.12.12.4.4.4.1.1" xref="A5.Ex117.m1.12.12.4.4.4.1.1.1.cmml"><mo id="A5.Ex117.m1.12.12.4.4.4.1.1.2" stretchy="false" xref="A5.Ex117.m1.12.12.4.4.4.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="A5.Ex117.m1.12.12.4.4.4.1.1.1" xref="A5.Ex117.m1.12.12.4.4.4.1.1.1.cmml"><mi id="A5.Ex117.m1.12.12.4.4.4.1.1.1.2" xref="A5.Ex117.m1.12.12.4.4.4.1.1.1.2.cmml">σ</mi><mi id="A5.Ex117.m1.12.12.4.4.4.1.1.1.3" xref="A5.Ex117.m1.12.12.4.4.4.1.1.1.3.cmml">a</mi></msub><mo id="A5.Ex117.m1.12.12.4.4.4.1.1.3" stretchy="false" xref="A5.Ex117.m1.12.12.4.4.4.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="A5.Ex117.m1.12.12.4.4.4.3" xref="A5.Ex117.m1.12.12.4.4.4.3.cmml"><mi id="A5.Ex117.m1.12.12.4.4.4.3.2" xref="A5.Ex117.m1.12.12.4.4.4.3.2.cmml">o</mi><mo id="A5.Ex117.m1.12.12.4.4.4.3.1" xref="A5.Ex117.m1.12.12.4.4.4.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A5.Ex117.m1.12.12.4.4.4.3.3" xref="A5.Ex117.m1.12.12.4.4.4.3.3.cmml">n</mi></mrow></msup><mo id="A5.Ex117.m1.12.12.4.4.5i" xref="A5.Ex117.m1.12.12.4.4.5.cmml">⁢</mo><mrow id="A5.Ex117.m1.1.1a.3" xref="A5.Ex117.m1.1.1a.2.cmml"><mo id="A5.Ex117.m1.1.1a.3.1" stretchy="false" xref="A5.Ex117.m1.1.1a.2.1.cmml">|</mo><msubsup id="A5.Ex117.m1.1.1.1.1" xref="A5.Ex117.m1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A5.Ex117.m1.1.1.1.1.7.2" xref="A5.Ex117.m1.1.1.1.1.7.2.cmml">e</mi><mrow id="A5.Ex117.m1.1.1.1.1.2.2.2" xref="A5.Ex117.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><msub id="A5.Ex117.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A5.Ex117.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A5.Ex117.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A5.Ex117.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">ν</mi><mi id="A5.Ex117.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A5.Ex117.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">L</mi></msub><mo id="A5.Ex117.m1.1.1.1.1.2.2.2.3" xref="A5.Ex117.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">,</mo><msub id="A5.Ex117.m1.1.1.1.1.2.2.2.2" xref="A5.Ex117.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml"><mi id="A5.Ex117.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2" xref="A5.Ex117.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml">ν</mi><mi id="A5.Ex117.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3" xref="A5.Ex117.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.cmml">R</mi></msub></mrow><mrow id="A5.Ex117.m1.1.1.1.1.5.3.3" xref="A5.Ex117.m1.1.1.1.1.5.3.4.cmml"><mrow id="A5.Ex117.m1.1.1.1.1.4.2.2.1" xref="A5.Ex117.m1.1.1.1.1.4.2.2.1.cmml"><mi id="A5.Ex117.m1.1.1.1.1.4.2.2.1.2" xref="A5.Ex117.m1.1.1.1.1.4.2.2.1.2.cmml">g</mi><mo id="A5.Ex117.m1.1.1.1.1.4.2.2.1.1" xref="A5.Ex117.m1.1.1.1.1.4.2.2.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="A5.Ex117.m1.1.1.1.1.4.2.2.1.3" xref="A5.Ex117.m1.1.1.1.1.4.2.2.1.3.cmml">j</mi></mrow><mo id="A5.Ex117.m1.1.1.1.1.5.3.3.3" xref="A5.Ex117.m1.1.1.1.1.5.3.4.cmml">,</mo><mrow id="A5.Ex117.m1.1.1.1.1.5.3.3.2" xref="A5.Ex117.m1.1.1.1.1.5.3.3.2.cmml"><mi id="A5.Ex117.m1.1.1.1.1.5.3.3.2.2" xref="A5.Ex117.m1.1.1.1.1.5.3.3.2.2.cmml">k</mi><mo id="A5.Ex117.m1.1.1.1.1.5.3.3.2.1" xref="A5.Ex117.m1.1.1.1.1.5.3.3.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="A5.Ex117.m1.1.1.1.1.5.3.3.2.3" xref="A5.Ex117.m1.1.1.1.1.5.3.3.2.3.cmml">q</mi></mrow><mo id="A5.Ex117.m1.1.1.1.1.5.3.3.4" xref="A5.Ex117.m1.1.1.1.1.5.3.4.cmml">,</mo><mi id="A5.Ex117.m1.1.1.1.1.3.1.1" xref="A5.Ex117.m1.1.1.1.1.3.1.1.cmml">e</mi></mrow></msubsup><mo id="A5.Ex117.m1.1.1a.3.2" stretchy="false" xref="A5.Ex117.m1.1.1a.2.1.cmml">⟩</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A5.Ex117.m1.12b"><apply id="A5.Ex117.m1.12.12.cmml" xref="A5.Ex117.m1.12.12"><eq id="A5.Ex117.m1.12.12.5.cmml" xref="A5.Ex117.m1.12.12.5"></eq><csymbol cd="latexml" id="A5.Ex117.m1.12.12.6.cmml" xref="A5.Ex117.m1.12.12.6">absent</csymbol><apply id="A5.Ex117.m1.12.12.4.cmml" xref="A5.Ex117.m1.12.12.4"><apply id="A5.Ex117.m1.12.12.4.5.cmml" xref="A5.Ex117.m1.12.12.4.5"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.Ex117.m1.12.12.4.5.1.cmml" xref="A5.Ex117.m1.12.12.4.5">subscript</csymbol><sum id="A5.Ex117.m1.12.12.4.5.2.cmml" xref="A5.Ex117.m1.12.12.4.5.2"></sum><list id="A5.Ex117.m1.3.3.2.3.cmml" xref="A5.Ex117.m1.3.3.2.4"><ci id="A5.Ex117.m1.2.2.1.1.cmml" xref="A5.Ex117.m1.2.2.1.1">𝑑</ci><ci id="A5.Ex117.m1.3.3.2.2.cmml" xref="A5.Ex117.m1.3.3.2.2">𝑒</ci></list></apply><apply id="A5.Ex117.m1.12.12.4.4.cmml" xref="A5.Ex117.m1.12.12.4.4"><times id="A5.Ex117.m1.12.12.4.4.5.cmml" xref="A5.Ex117.m1.12.12.4.4.5"></times><apply id="A5.Ex117.m1.12.12.4.4.6.cmml" xref="A5.Ex117.m1.12.12.4.4.6"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.Ex117.m1.12.12.4.4.6.1.cmml" xref="A5.Ex117.m1.12.12.4.4.6">subscript</csymbol><apply id="A5.Ex117.m1.12.12.4.4.6.2.cmml" xref="A5.Ex117.m1.12.12.4.4.6"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.Ex117.m1.12.12.4.4.6.2.1.cmml" xref="A5.Ex117.m1.12.12.4.4.6">superscript</csymbol><ci id="A5.Ex117.m1.12.12.4.4.6.2.2.cmml" xref="A5.Ex117.m1.12.12.4.4.6.2.2">𝒲</ci><list id="A5.Ex117.m1.5.5.2.3.cmml" xref="A5.Ex117.m1.5.5.2.2"><apply id="A5.Ex117.m1.4.4.1.1.1.cmml" xref="A5.Ex117.m1.4.4.1.1.1"><times id="A5.Ex117.m1.4.4.1.1.1.1.cmml" xref="A5.Ex117.m1.4.4.1.1.1.1"></times><ci id="A5.Ex117.m1.4.4.1.1.1.2.cmml" xref="A5.Ex117.m1.4.4.1.1.1.2">ℎ</ci><ci id="A5.Ex117.m1.4.4.1.1.1.3.cmml" xref="A5.Ex117.m1.4.4.1.1.1.3">𝑓</ci></apply><apply id="A5.Ex117.m1.5.5.2.2.2.cmml" xref="A5.Ex117.m1.5.5.2.2.2"><times id="A5.Ex117.m1.5.5.2.2.2.1.cmml" xref="A5.Ex117.m1.5.5.2.2.2.1"></times><ci id="A5.Ex117.m1.5.5.2.2.2.2.cmml" xref="A5.Ex117.m1.5.5.2.2.2.2">𝑝</ci><ci id="A5.Ex117.m1.5.5.2.2.2.3.cmml" xref="A5.Ex117.m1.5.5.2.2.2.3">𝑟</ci></apply></list></apply><apply id="A5.Ex117.m1.12.12.4.4.6.3.cmml" xref="A5.Ex117.m1.12.12.4.4.6.3"><times id="A5.Ex117.m1.12.12.4.4.6.3.1.cmml" xref="A5.Ex117.m1.12.12.4.4.6.3.1"></times><ci id="A5.Ex117.m1.12.12.4.4.6.3.2.cmml" 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id="A5.Ex117.m1.12.12.4.4.7.2.cmml" xref="A5.Ex117.m1.12.12.4.4.7.2">𝒟</ci><apply id="A5.Ex117.m1.12.12.4.4.7.3.cmml" xref="A5.Ex117.m1.12.12.4.4.7.3"><times id="A5.Ex117.m1.12.12.4.4.7.3.1.cmml" xref="A5.Ex117.m1.12.12.4.4.7.3.1"></times><ci id="A5.Ex117.m1.12.12.4.4.7.3.2.cmml" xref="A5.Ex117.m1.12.12.4.4.7.3.2">𝑑</ci><ci id="A5.Ex117.m1.12.12.4.4.7.3.3.cmml" xref="A5.Ex117.m1.12.12.4.4.7.3.3">𝑑</ci></apply></apply><ci id="A5.Ex117.m1.8.8.cmml" xref="A5.Ex117.m1.8.8">𝑞</ci><apply id="A5.Ex117.m1.12.12.4.4.9.cmml" xref="A5.Ex117.m1.12.12.4.4.9"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.Ex117.m1.12.12.4.4.9.1.cmml" xref="A5.Ex117.m1.12.12.4.4.9">subscript</csymbol><apply id="A5.Ex117.m1.12.12.4.4.9.2.cmml" xref="A5.Ex117.m1.12.12.4.4.9"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.Ex117.m1.12.12.4.4.9.2.1.cmml" xref="A5.Ex117.m1.12.12.4.4.9">superscript</csymbol><ci id="A5.Ex117.m1.12.12.4.4.9.2.2.cmml" xref="A5.Ex117.m1.12.12.4.4.9.2.2">𝒞</ci><list id="A5.Ex117.m1.7.7.2.3.cmml" xref="A5.Ex117.m1.7.7.2.2"><apply id="A5.Ex117.m1.6.6.1.1.1.cmml" xref="A5.Ex117.m1.6.6.1.1.1"><times id="A5.Ex117.m1.6.6.1.1.1.1.cmml" xref="A5.Ex117.m1.6.6.1.1.1.1"></times><ci id="A5.Ex117.m1.6.6.1.1.1.2.cmml" xref="A5.Ex117.m1.6.6.1.1.1.2">𝑓</ci><ci id="A5.Ex117.m1.6.6.1.1.1.3.cmml" xref="A5.Ex117.m1.6.6.1.1.1.3">𝑔</ci></apply><apply id="A5.Ex117.m1.7.7.2.2.2.cmml" xref="A5.Ex117.m1.7.7.2.2.2"><times id="A5.Ex117.m1.7.7.2.2.2.1.cmml" xref="A5.Ex117.m1.7.7.2.2.2.1"></times><ci id="A5.Ex117.m1.7.7.2.2.2.2.cmml" xref="A5.Ex117.m1.7.7.2.2.2.2">𝑟</ci><ci id="A5.Ex117.m1.7.7.2.2.2.3.cmml" xref="A5.Ex117.m1.7.7.2.2.2.3">𝑜</ci></apply></list></apply><apply id="A5.Ex117.m1.12.12.4.4.9.3.cmml" xref="A5.Ex117.m1.12.12.4.4.9.3"><times id="A5.Ex117.m1.12.12.4.4.9.3.1.cmml" xref="A5.Ex117.m1.12.12.4.4.9.3.1"></times><ci id="A5.Ex117.m1.12.12.4.4.9.3.2.cmml" xref="A5.Ex117.m1.12.12.4.4.9.3.2">𝑑</ci><ci id="A5.Ex117.m1.12.12.4.4.9.3.3.cmml" xref="A5.Ex117.m1.12.12.4.4.9.3.3">𝑎</ci></apply></apply><apply id="A5.Ex117.m1.10.10.2.2.2.1.1.cmml" xref="A5.Ex117.m1.10.10.2.2.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.Ex117.m1.10.10.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="A5.Ex117.m1.10.10.2.2.2.1">superscript</csymbol><ci id="A5.Ex117.m1.10.10.2.2.2.1.1.2.cmml" xref="A5.Ex117.m1.10.10.2.2.2.1.1.2">𝑞</ci><ci id="A5.Ex117.m1.10.10.2.2.2.1.1.3.cmml" xref="A5.Ex117.m1.10.10.2.2.2.1.1.3">𝑚</ci></apply><apply id="A5.Ex117.m1.12.12.4.4.10.cmml" xref="A5.Ex117.m1.12.12.4.4.10"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.Ex117.m1.12.12.4.4.10.1.cmml" xref="A5.Ex117.m1.12.12.4.4.10">subscript</csymbol><ci id="A5.Ex117.m1.12.12.4.4.10.2.cmml" xref="A5.Ex117.m1.12.12.4.4.10.2">𝑉</ci><apply id="A5.Ex117.m1.12.12.4.4.10.3.cmml" xref="A5.Ex117.m1.12.12.4.4.10.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.Ex117.m1.12.12.4.4.10.3.1.cmml" xref="A5.Ex117.m1.12.12.4.4.10.3">subscript</csymbol><ci id="A5.Ex117.m1.12.12.4.4.10.3.2.cmml" xref="A5.Ex117.m1.12.12.4.4.10.3.2">𝜈</ci><ci id="A5.Ex117.m1.12.12.4.4.10.3.3.cmml" xref="A5.Ex117.m1.12.12.4.4.10.3.3">𝑅</ci></apply></apply><apply id="A5.Ex117.m1.11.11.3.3.3.cmml" xref="A5.Ex117.m1.11.11.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.Ex117.m1.11.11.3.3.3.2.cmml" xref="A5.Ex117.m1.11.11.3.3.3">superscript</csymbol><apply id="A5.Ex117.m1.11.11.3.3.3.1.1.1.cmml" xref="A5.Ex117.m1.11.11.3.3.3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.Ex117.m1.11.11.3.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="A5.Ex117.m1.11.11.3.3.3.1.1">superscript</csymbol><apply id="A5.Ex117.m1.11.11.3.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="A5.Ex117.m1.11.11.3.3.3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.Ex117.m1.11.11.3.3.3.1.1.1.2.1.cmml" xref="A5.Ex117.m1.11.11.3.3.3.1.1">subscript</csymbol><ci id="A5.Ex117.m1.11.11.3.3.3.1.1.1.2.2.cmml" xref="A5.Ex117.m1.11.11.3.3.3.1.1.1.2.2">𝜎</ci><ci id="A5.Ex117.m1.11.11.3.3.3.1.1.1.2.3.cmml" xref="A5.Ex117.m1.11.11.3.3.3.1.1.1.2.3">𝑒</ci></apply><apply id="A5.Ex117.m1.11.11.3.3.3.1.1.1.3.cmml" xref="A5.Ex117.m1.11.11.3.3.3.1.1.1.3"><minus 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id="A5.Ex117.m1.12.12.4.4.4.3.2.cmml" xref="A5.Ex117.m1.12.12.4.4.4.3.2">𝑜</ci><ci id="A5.Ex117.m1.12.12.4.4.4.3.3.cmml" xref="A5.Ex117.m1.12.12.4.4.4.3.3">𝑛</ci></apply></apply><apply id="A5.Ex117.m1.1.1a.2.cmml" xref="A5.Ex117.m1.1.1a.3"><csymbol cd="latexml" id="A5.Ex117.m1.1.1a.2.1.cmml" xref="A5.Ex117.m1.1.1a.3.1">ket</csymbol><apply id="A5.Ex117.m1.1.1.1.1.cmml" xref="A5.Ex117.m1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.Ex117.m1.1.1.1.1.6.cmml" xref="A5.Ex117.m1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="A5.Ex117.m1.1.1.1.1.7.cmml" xref="A5.Ex117.m1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.Ex117.m1.1.1.1.1.7.1.cmml" xref="A5.Ex117.m1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="A5.Ex117.m1.1.1.1.1.7.2.cmml" xref="A5.Ex117.m1.1.1.1.1.7.2">𝑒</ci><list id="A5.Ex117.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="A5.Ex117.m1.1.1.1.1.2.2.2"><apply id="A5.Ex117.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A5.Ex117.m1.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.Ex117.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" 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id="A5.Ex117.m1.1.1.1.1.4.2.2.1.3.cmml" xref="A5.Ex117.m1.1.1.1.1.4.2.2.1.3">𝑗</ci></apply><apply id="A5.Ex117.m1.1.1.1.1.5.3.3.2.cmml" xref="A5.Ex117.m1.1.1.1.1.5.3.3.2"><times id="A5.Ex117.m1.1.1.1.1.5.3.3.2.1.cmml" xref="A5.Ex117.m1.1.1.1.1.5.3.3.2.1"></times><ci id="A5.Ex117.m1.1.1.1.1.5.3.3.2.2.cmml" xref="A5.Ex117.m1.1.1.1.1.5.3.3.2.2">𝑘</ci><ci id="A5.Ex117.m1.1.1.1.1.5.3.3.2.3.cmml" xref="A5.Ex117.m1.1.1.1.1.5.3.3.2.3">𝑞</ci></apply><ci id="A5.Ex117.m1.1.1.1.1.3.1.1.cmml" xref="A5.Ex117.m1.1.1.1.1.3.1.1">𝑒</ci></list></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A5.Ex117.m1.12c">\displaystyle=\sum_{d,e}\mathcal{W}^{hf,pr}_{ed}(q^{m+1})\mathcal{D}_{dd}(q)% \mathcal{C}^{fg,ro}_{da}(q^{m})V_{\nu_{R}}(\sigma_{e}^{-1})^{qp}V_{\nu_{R}}(% \sigma_{a})^{on}\ket{e_{\nu_{L},\nu_{R}}^{gj,kq,e}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A5.Ex117.m1.12d">= ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_d , italic_e end_POSTSUBSCRIPT caligraphic_W start_POSTSUPERSCRIPT italic_h italic_f , italic_p italic_r end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_e italic_d end_POSTSUBSCRIPT ( italic_q start_POSTSUPERSCRIPT italic_m + 1 end_POSTSUPERSCRIPT ) caligraphic_D start_POSTSUBSCRIPT italic_d italic_d end_POSTSUBSCRIPT ( italic_q ) caligraphic_C start_POSTSUPERSCRIPT italic_f italic_g , italic_r italic_o end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_d italic_a end_POSTSUBSCRIPT ( italic_q start_POSTSUPERSCRIPT italic_m end_POSTSUPERSCRIPT ) italic_V start_POSTSUBSCRIPT italic_ν start_POSTSUBSCRIPT italic_R end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT ( italic_σ start_POSTSUBSCRIPT italic_e end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_q italic_p end_POSTSUPERSCRIPT italic_V start_POSTSUBSCRIPT italic_ν start_POSTSUBSCRIPT italic_R end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT ( italic_σ start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_o italic_n end_POSTSUPERSCRIPT | start_ARG italic_e start_POSTSUBSCRIPT italic_ν start_POSTSUBSCRIPT italic_L end_POSTSUBSCRIPT , italic_ν start_POSTSUBSCRIPT italic_R end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_g italic_j , italic_k italic_q , italic_e end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG ⟩</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="A5.Ex118"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=\sum_{d,e}(\mathcal{D}_{\nu_{R},ee}^{qp})^{-1}\mathcal{W}^{hf,pr% }_{ed}(q^{m+1})\mathcal{D}_{dd}(q)\mathcal{C}^{fg,ro}_{da}(q^{m})D_{\nu_{R},aa% }^{on}\ket{e_{\nu_{L},\nu_{R}}^{gj,kq,e}}" class="ltx_Math" display="inline" id="A5.Ex118.m1.15"><semantics id="A5.Ex118.m1.15a"><mrow id="A5.Ex118.m1.15.15" xref="A5.Ex118.m1.15.15.cmml"><mi id="A5.Ex118.m1.15.15.5" xref="A5.Ex118.m1.15.15.5.cmml"></mi><mo id="A5.Ex118.m1.15.15.4" xref="A5.Ex118.m1.15.15.4.cmml">=</mo><mrow id="A5.Ex118.m1.15.15.3" xref="A5.Ex118.m1.15.15.3.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A5.Ex118.m1.15.15.3.4" xref="A5.Ex118.m1.15.15.3.4.cmml"><munder id="A5.Ex118.m1.15.15.3.4a" xref="A5.Ex118.m1.15.15.3.4.cmml"><mo id="A5.Ex118.m1.15.15.3.4.2" movablelimits="false" xref="A5.Ex118.m1.15.15.3.4.2.cmml">∑</mo><mrow id="A5.Ex118.m1.3.3.2.4" xref="A5.Ex118.m1.3.3.2.3.cmml"><mi id="A5.Ex118.m1.2.2.1.1" xref="A5.Ex118.m1.2.2.1.1.cmml">d</mi><mo id="A5.Ex118.m1.3.3.2.4.1" xref="A5.Ex118.m1.3.3.2.3.cmml">,</mo><mi id="A5.Ex118.m1.3.3.2.2" xref="A5.Ex118.m1.3.3.2.2.cmml">e</mi></mrow></munder></mstyle><mrow id="A5.Ex118.m1.15.15.3.3" xref="A5.Ex118.m1.15.15.3.3.cmml"><msup id="A5.Ex118.m1.13.13.1.1.1" xref="A5.Ex118.m1.13.13.1.1.1.cmml"><mrow id="A5.Ex118.m1.13.13.1.1.1.1.1" xref="A5.Ex118.m1.13.13.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A5.Ex118.m1.13.13.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A5.Ex118.m1.13.13.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msubsup id="A5.Ex118.m1.13.13.1.1.1.1.1.1" xref="A5.Ex118.m1.13.13.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="A5.Ex118.m1.13.13.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="A5.Ex118.m1.13.13.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">𝒟</mi><mrow id="A5.Ex118.m1.5.5.2.2" xref="A5.Ex118.m1.5.5.2.3.cmml"><msub id="A5.Ex118.m1.4.4.1.1.1" xref="A5.Ex118.m1.4.4.1.1.1.cmml"><mi id="A5.Ex118.m1.4.4.1.1.1.2" xref="A5.Ex118.m1.4.4.1.1.1.2.cmml">ν</mi><mi id="A5.Ex118.m1.4.4.1.1.1.3" xref="A5.Ex118.m1.4.4.1.1.1.3.cmml">R</mi></msub><mo id="A5.Ex118.m1.5.5.2.2.3" xref="A5.Ex118.m1.5.5.2.3.cmml">,</mo><mrow id="A5.Ex118.m1.5.5.2.2.2" xref="A5.Ex118.m1.5.5.2.2.2.cmml"><mi id="A5.Ex118.m1.5.5.2.2.2.2" xref="A5.Ex118.m1.5.5.2.2.2.2.cmml">e</mi><mo id="A5.Ex118.m1.5.5.2.2.2.1" xref="A5.Ex118.m1.5.5.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="A5.Ex118.m1.5.5.2.2.2.3" xref="A5.Ex118.m1.5.5.2.2.2.3.cmml">e</mi></mrow></mrow><mrow id="A5.Ex118.m1.13.13.1.1.1.1.1.1.3" xref="A5.Ex118.m1.13.13.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A5.Ex118.m1.13.13.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A5.Ex118.m1.13.13.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">q</mi><mo id="A5.Ex118.m1.13.13.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="A5.Ex118.m1.13.13.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A5.Ex118.m1.13.13.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A5.Ex118.m1.13.13.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">p</mi></mrow></msubsup><mo id="A5.Ex118.m1.13.13.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A5.Ex118.m1.13.13.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="A5.Ex118.m1.13.13.1.1.1.3" xref="A5.Ex118.m1.13.13.1.1.1.3.cmml"><mo id="A5.Ex118.m1.13.13.1.1.1.3a" xref="A5.Ex118.m1.13.13.1.1.1.3.cmml">−</mo><mn id="A5.Ex118.m1.13.13.1.1.1.3.2" xref="A5.Ex118.m1.13.13.1.1.1.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="A5.Ex118.m1.15.15.3.3.4" xref="A5.Ex118.m1.15.15.3.3.4.cmml">⁢</mo><msubsup id="A5.Ex118.m1.15.15.3.3.5" xref="A5.Ex118.m1.15.15.3.3.5.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="A5.Ex118.m1.15.15.3.3.5.2.2" xref="A5.Ex118.m1.15.15.3.3.5.2.2.cmml">𝒲</mi><mrow id="A5.Ex118.m1.15.15.3.3.5.3" xref="A5.Ex118.m1.15.15.3.3.5.3.cmml"><mi id="A5.Ex118.m1.15.15.3.3.5.3.2" xref="A5.Ex118.m1.15.15.3.3.5.3.2.cmml">e</mi><mo id="A5.Ex118.m1.15.15.3.3.5.3.1" xref="A5.Ex118.m1.15.15.3.3.5.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A5.Ex118.m1.15.15.3.3.5.3.3" xref="A5.Ex118.m1.15.15.3.3.5.3.3.cmml">d</mi></mrow><mrow id="A5.Ex118.m1.7.7.2.2" xref="A5.Ex118.m1.7.7.2.3.cmml"><mrow id="A5.Ex118.m1.6.6.1.1.1" xref="A5.Ex118.m1.6.6.1.1.1.cmml"><mi id="A5.Ex118.m1.6.6.1.1.1.2" xref="A5.Ex118.m1.6.6.1.1.1.2.cmml">h</mi><mo id="A5.Ex118.m1.6.6.1.1.1.1" xref="A5.Ex118.m1.6.6.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="A5.Ex118.m1.6.6.1.1.1.3" xref="A5.Ex118.m1.6.6.1.1.1.3.cmml">f</mi></mrow><mo id="A5.Ex118.m1.7.7.2.2.3" xref="A5.Ex118.m1.7.7.2.3.cmml">,</mo><mrow id="A5.Ex118.m1.7.7.2.2.2" xref="A5.Ex118.m1.7.7.2.2.2.cmml"><mi id="A5.Ex118.m1.7.7.2.2.2.2" xref="A5.Ex118.m1.7.7.2.2.2.2.cmml">p</mi><mo id="A5.Ex118.m1.7.7.2.2.2.1" xref="A5.Ex118.m1.7.7.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="A5.Ex118.m1.7.7.2.2.2.3" xref="A5.Ex118.m1.7.7.2.2.2.3.cmml">r</mi></mrow></mrow></msubsup><mo id="A5.Ex118.m1.15.15.3.3.4a" xref="A5.Ex118.m1.15.15.3.3.4.cmml">⁢</mo><mrow id="A5.Ex118.m1.14.14.2.2.2.1" xref="A5.Ex118.m1.14.14.2.2.2.1.1.cmml"><mo id="A5.Ex118.m1.14.14.2.2.2.1.2" stretchy="false" xref="A5.Ex118.m1.14.14.2.2.2.1.1.cmml">(</mo><msup id="A5.Ex118.m1.14.14.2.2.2.1.1" xref="A5.Ex118.m1.14.14.2.2.2.1.1.cmml"><mi id="A5.Ex118.m1.14.14.2.2.2.1.1.2" xref="A5.Ex118.m1.14.14.2.2.2.1.1.2.cmml">q</mi><mrow id="A5.Ex118.m1.14.14.2.2.2.1.1.3" xref="A5.Ex118.m1.14.14.2.2.2.1.1.3.cmml"><mi id="A5.Ex118.m1.14.14.2.2.2.1.1.3.2" xref="A5.Ex118.m1.14.14.2.2.2.1.1.3.2.cmml">m</mi><mo id="A5.Ex118.m1.14.14.2.2.2.1.1.3.1" xref="A5.Ex118.m1.14.14.2.2.2.1.1.3.1.cmml">+</mo><mn id="A5.Ex118.m1.14.14.2.2.2.1.1.3.3" xref="A5.Ex118.m1.14.14.2.2.2.1.1.3.3.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="A5.Ex118.m1.14.14.2.2.2.1.3" stretchy="false" xref="A5.Ex118.m1.14.14.2.2.2.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A5.Ex118.m1.15.15.3.3.4b" xref="A5.Ex118.m1.15.15.3.3.4.cmml">⁢</mo><msub id="A5.Ex118.m1.15.15.3.3.6" xref="A5.Ex118.m1.15.15.3.3.6.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="A5.Ex118.m1.15.15.3.3.6.2" xref="A5.Ex118.m1.15.15.3.3.6.2.cmml">𝒟</mi><mrow id="A5.Ex118.m1.15.15.3.3.6.3" xref="A5.Ex118.m1.15.15.3.3.6.3.cmml"><mi id="A5.Ex118.m1.15.15.3.3.6.3.2" xref="A5.Ex118.m1.15.15.3.3.6.3.2.cmml">d</mi><mo id="A5.Ex118.m1.15.15.3.3.6.3.1" xref="A5.Ex118.m1.15.15.3.3.6.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A5.Ex118.m1.15.15.3.3.6.3.3" xref="A5.Ex118.m1.15.15.3.3.6.3.3.cmml">d</mi></mrow></msub><mo id="A5.Ex118.m1.15.15.3.3.4c" xref="A5.Ex118.m1.15.15.3.3.4.cmml">⁢</mo><mrow id="A5.Ex118.m1.15.15.3.3.7.2" xref="A5.Ex118.m1.15.15.3.3.cmml"><mo id="A5.Ex118.m1.15.15.3.3.7.2.1" stretchy="false" xref="A5.Ex118.m1.15.15.3.3.cmml">(</mo><mi id="A5.Ex118.m1.12.12" xref="A5.Ex118.m1.12.12.cmml">q</mi><mo id="A5.Ex118.m1.15.15.3.3.7.2.2" stretchy="false" xref="A5.Ex118.m1.15.15.3.3.cmml">)</mo></mrow><mo id="A5.Ex118.m1.15.15.3.3.4d" xref="A5.Ex118.m1.15.15.3.3.4.cmml">⁢</mo><msubsup id="A5.Ex118.m1.15.15.3.3.8" xref="A5.Ex118.m1.15.15.3.3.8.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="A5.Ex118.m1.15.15.3.3.8.2.2" xref="A5.Ex118.m1.15.15.3.3.8.2.2.cmml">𝒞</mi><mrow id="A5.Ex118.m1.15.15.3.3.8.3" xref="A5.Ex118.m1.15.15.3.3.8.3.cmml"><mi id="A5.Ex118.m1.15.15.3.3.8.3.2" xref="A5.Ex118.m1.15.15.3.3.8.3.2.cmml">d</mi><mo id="A5.Ex118.m1.15.15.3.3.8.3.1" xref="A5.Ex118.m1.15.15.3.3.8.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A5.Ex118.m1.15.15.3.3.8.3.3" xref="A5.Ex118.m1.15.15.3.3.8.3.3.cmml">a</mi></mrow><mrow id="A5.Ex118.m1.9.9.2.2" xref="A5.Ex118.m1.9.9.2.3.cmml"><mrow id="A5.Ex118.m1.8.8.1.1.1" xref="A5.Ex118.m1.8.8.1.1.1.cmml"><mi id="A5.Ex118.m1.8.8.1.1.1.2" xref="A5.Ex118.m1.8.8.1.1.1.2.cmml">f</mi><mo id="A5.Ex118.m1.8.8.1.1.1.1" xref="A5.Ex118.m1.8.8.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="A5.Ex118.m1.8.8.1.1.1.3" xref="A5.Ex118.m1.8.8.1.1.1.3.cmml">g</mi></mrow><mo id="A5.Ex118.m1.9.9.2.2.3" xref="A5.Ex118.m1.9.9.2.3.cmml">,</mo><mrow id="A5.Ex118.m1.9.9.2.2.2" xref="A5.Ex118.m1.9.9.2.2.2.cmml"><mi id="A5.Ex118.m1.9.9.2.2.2.2" xref="A5.Ex118.m1.9.9.2.2.2.2.cmml">r</mi><mo id="A5.Ex118.m1.9.9.2.2.2.1" xref="A5.Ex118.m1.9.9.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="A5.Ex118.m1.9.9.2.2.2.3" xref="A5.Ex118.m1.9.9.2.2.2.3.cmml">o</mi></mrow></mrow></msubsup><mo id="A5.Ex118.m1.15.15.3.3.4e" xref="A5.Ex118.m1.15.15.3.3.4.cmml">⁢</mo><mrow id="A5.Ex118.m1.15.15.3.3.3.1" xref="A5.Ex118.m1.15.15.3.3.3.1.1.cmml"><mo id="A5.Ex118.m1.15.15.3.3.3.1.2" stretchy="false" xref="A5.Ex118.m1.15.15.3.3.3.1.1.cmml">(</mo><msup id="A5.Ex118.m1.15.15.3.3.3.1.1" xref="A5.Ex118.m1.15.15.3.3.3.1.1.cmml"><mi id="A5.Ex118.m1.15.15.3.3.3.1.1.2" xref="A5.Ex118.m1.15.15.3.3.3.1.1.2.cmml">q</mi><mi id="A5.Ex118.m1.15.15.3.3.3.1.1.3" xref="A5.Ex118.m1.15.15.3.3.3.1.1.3.cmml">m</mi></msup><mo id="A5.Ex118.m1.15.15.3.3.3.1.3" stretchy="false" xref="A5.Ex118.m1.15.15.3.3.3.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A5.Ex118.m1.15.15.3.3.4f" xref="A5.Ex118.m1.15.15.3.3.4.cmml">⁢</mo><msubsup id="A5.Ex118.m1.15.15.3.3.9" xref="A5.Ex118.m1.15.15.3.3.9.cmml"><mi id="A5.Ex118.m1.15.15.3.3.9.2.2" xref="A5.Ex118.m1.15.15.3.3.9.2.2.cmml">D</mi><mrow id="A5.Ex118.m1.11.11.2.2" xref="A5.Ex118.m1.11.11.2.3.cmml"><msub id="A5.Ex118.m1.10.10.1.1.1" xref="A5.Ex118.m1.10.10.1.1.1.cmml"><mi id="A5.Ex118.m1.10.10.1.1.1.2" xref="A5.Ex118.m1.10.10.1.1.1.2.cmml">ν</mi><mi id="A5.Ex118.m1.10.10.1.1.1.3" xref="A5.Ex118.m1.10.10.1.1.1.3.cmml">R</mi></msub><mo id="A5.Ex118.m1.11.11.2.2.3" xref="A5.Ex118.m1.11.11.2.3.cmml">,</mo><mrow id="A5.Ex118.m1.11.11.2.2.2" xref="A5.Ex118.m1.11.11.2.2.2.cmml"><mi id="A5.Ex118.m1.11.11.2.2.2.2" xref="A5.Ex118.m1.11.11.2.2.2.2.cmml">a</mi><mo id="A5.Ex118.m1.11.11.2.2.2.1" xref="A5.Ex118.m1.11.11.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="A5.Ex118.m1.11.11.2.2.2.3" xref="A5.Ex118.m1.11.11.2.2.2.3.cmml">a</mi></mrow></mrow><mrow id="A5.Ex118.m1.15.15.3.3.9.3" xref="A5.Ex118.m1.15.15.3.3.9.3.cmml"><mi id="A5.Ex118.m1.15.15.3.3.9.3.2" xref="A5.Ex118.m1.15.15.3.3.9.3.2.cmml">o</mi><mo id="A5.Ex118.m1.15.15.3.3.9.3.1" xref="A5.Ex118.m1.15.15.3.3.9.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A5.Ex118.m1.15.15.3.3.9.3.3" xref="A5.Ex118.m1.15.15.3.3.9.3.3.cmml">n</mi></mrow></msubsup><mo id="A5.Ex118.m1.15.15.3.3.4g" xref="A5.Ex118.m1.15.15.3.3.4.cmml">⁢</mo><mrow id="A5.Ex118.m1.1.1a.3" xref="A5.Ex118.m1.1.1a.2.cmml"><mo id="A5.Ex118.m1.1.1a.3.1" stretchy="false" xref="A5.Ex118.m1.1.1a.2.1.cmml">|</mo><msubsup id="A5.Ex118.m1.1.1.1.1" xref="A5.Ex118.m1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A5.Ex118.m1.1.1.1.1.7.2" xref="A5.Ex118.m1.1.1.1.1.7.2.cmml">e</mi><mrow id="A5.Ex118.m1.1.1.1.1.2.2.2" xref="A5.Ex118.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><msub id="A5.Ex118.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A5.Ex118.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A5.Ex118.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A5.Ex118.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">ν</mi><mi id="A5.Ex118.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A5.Ex118.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">L</mi></msub><mo id="A5.Ex118.m1.1.1.1.1.2.2.2.3" xref="A5.Ex118.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">,</mo><msub id="A5.Ex118.m1.1.1.1.1.2.2.2.2" xref="A5.Ex118.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml"><mi id="A5.Ex118.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2" xref="A5.Ex118.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml">ν</mi><mi id="A5.Ex118.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3" xref="A5.Ex118.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.cmml">R</mi></msub></mrow><mrow id="A5.Ex118.m1.1.1.1.1.5.3.3" xref="A5.Ex118.m1.1.1.1.1.5.3.4.cmml"><mrow id="A5.Ex118.m1.1.1.1.1.4.2.2.1" xref="A5.Ex118.m1.1.1.1.1.4.2.2.1.cmml"><mi id="A5.Ex118.m1.1.1.1.1.4.2.2.1.2" xref="A5.Ex118.m1.1.1.1.1.4.2.2.1.2.cmml">g</mi><mo id="A5.Ex118.m1.1.1.1.1.4.2.2.1.1" xref="A5.Ex118.m1.1.1.1.1.4.2.2.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="A5.Ex118.m1.1.1.1.1.4.2.2.1.3" xref="A5.Ex118.m1.1.1.1.1.4.2.2.1.3.cmml">j</mi></mrow><mo id="A5.Ex118.m1.1.1.1.1.5.3.3.3" xref="A5.Ex118.m1.1.1.1.1.5.3.4.cmml">,</mo><mrow id="A5.Ex118.m1.1.1.1.1.5.3.3.2" xref="A5.Ex118.m1.1.1.1.1.5.3.3.2.cmml"><mi id="A5.Ex118.m1.1.1.1.1.5.3.3.2.2" xref="A5.Ex118.m1.1.1.1.1.5.3.3.2.2.cmml">k</mi><mo id="A5.Ex118.m1.1.1.1.1.5.3.3.2.1" xref="A5.Ex118.m1.1.1.1.1.5.3.3.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="A5.Ex118.m1.1.1.1.1.5.3.3.2.3" xref="A5.Ex118.m1.1.1.1.1.5.3.3.2.3.cmml">q</mi></mrow><mo id="A5.Ex118.m1.1.1.1.1.5.3.3.4" xref="A5.Ex118.m1.1.1.1.1.5.3.4.cmml">,</mo><mi id="A5.Ex118.m1.1.1.1.1.3.1.1" xref="A5.Ex118.m1.1.1.1.1.3.1.1.cmml">e</mi></mrow></msubsup><mo id="A5.Ex118.m1.1.1a.3.2" stretchy="false" xref="A5.Ex118.m1.1.1a.2.1.cmml">⟩</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A5.Ex118.m1.15b"><apply id="A5.Ex118.m1.15.15.cmml" xref="A5.Ex118.m1.15.15"><eq id="A5.Ex118.m1.15.15.4.cmml" xref="A5.Ex118.m1.15.15.4"></eq><csymbol cd="latexml" id="A5.Ex118.m1.15.15.5.cmml" xref="A5.Ex118.m1.15.15.5">absent</csymbol><apply id="A5.Ex118.m1.15.15.3.cmml" xref="A5.Ex118.m1.15.15.3"><apply id="A5.Ex118.m1.15.15.3.4.cmml" xref="A5.Ex118.m1.15.15.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.Ex118.m1.15.15.3.4.1.cmml" xref="A5.Ex118.m1.15.15.3.4">subscript</csymbol><sum id="A5.Ex118.m1.15.15.3.4.2.cmml" xref="A5.Ex118.m1.15.15.3.4.2"></sum><list id="A5.Ex118.m1.3.3.2.3.cmml" xref="A5.Ex118.m1.3.3.2.4"><ci id="A5.Ex118.m1.2.2.1.1.cmml" xref="A5.Ex118.m1.2.2.1.1">𝑑</ci><ci id="A5.Ex118.m1.3.3.2.2.cmml" xref="A5.Ex118.m1.3.3.2.2">𝑒</ci></list></apply><apply id="A5.Ex118.m1.15.15.3.3.cmml" xref="A5.Ex118.m1.15.15.3.3"><times id="A5.Ex118.m1.15.15.3.3.4.cmml" xref="A5.Ex118.m1.15.15.3.3.4"></times><apply id="A5.Ex118.m1.13.13.1.1.1.cmml" xref="A5.Ex118.m1.13.13.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.Ex118.m1.13.13.1.1.1.2.cmml" xref="A5.Ex118.m1.13.13.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="A5.Ex118.m1.13.13.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A5.Ex118.m1.13.13.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.Ex118.m1.13.13.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A5.Ex118.m1.13.13.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="A5.Ex118.m1.13.13.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A5.Ex118.m1.13.13.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.Ex118.m1.13.13.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A5.Ex118.m1.13.13.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="A5.Ex118.m1.13.13.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A5.Ex118.m1.13.13.1.1.1.1.1.1.2.2">𝒟</ci><list id="A5.Ex118.m1.5.5.2.3.cmml" xref="A5.Ex118.m1.5.5.2.2"><apply id="A5.Ex118.m1.4.4.1.1.1.cmml" xref="A5.Ex118.m1.4.4.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.Ex118.m1.4.4.1.1.1.1.cmml" xref="A5.Ex118.m1.4.4.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="A5.Ex118.m1.4.4.1.1.1.2.cmml" xref="A5.Ex118.m1.4.4.1.1.1.2">𝜈</ci><ci id="A5.Ex118.m1.4.4.1.1.1.3.cmml" xref="A5.Ex118.m1.4.4.1.1.1.3">𝑅</ci></apply><apply id="A5.Ex118.m1.5.5.2.2.2.cmml" xref="A5.Ex118.m1.5.5.2.2.2"><times id="A5.Ex118.m1.5.5.2.2.2.1.cmml" xref="A5.Ex118.m1.5.5.2.2.2.1"></times><ci id="A5.Ex118.m1.5.5.2.2.2.2.cmml" xref="A5.Ex118.m1.5.5.2.2.2.2">𝑒</ci><ci id="A5.Ex118.m1.5.5.2.2.2.3.cmml" xref="A5.Ex118.m1.5.5.2.2.2.3">𝑒</ci></apply></list></apply><apply id="A5.Ex118.m1.13.13.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A5.Ex118.m1.13.13.1.1.1.1.1.1.3"><times id="A5.Ex118.m1.13.13.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A5.Ex118.m1.13.13.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><ci id="A5.Ex118.m1.13.13.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A5.Ex118.m1.13.13.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑞</ci><ci id="A5.Ex118.m1.13.13.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A5.Ex118.m1.13.13.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑝</ci></apply></apply><apply id="A5.Ex118.m1.13.13.1.1.1.3.cmml" xref="A5.Ex118.m1.13.13.1.1.1.3"><minus id="A5.Ex118.m1.13.13.1.1.1.3.1.cmml" xref="A5.Ex118.m1.13.13.1.1.1.3"></minus><cn id="A5.Ex118.m1.13.13.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="A5.Ex118.m1.13.13.1.1.1.3.2">1</cn></apply></apply><apply id="A5.Ex118.m1.15.15.3.3.5.cmml" xref="A5.Ex118.m1.15.15.3.3.5"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.Ex118.m1.15.15.3.3.5.1.cmml" xref="A5.Ex118.m1.15.15.3.3.5">subscript</csymbol><apply id="A5.Ex118.m1.15.15.3.3.5.2.cmml" xref="A5.Ex118.m1.15.15.3.3.5"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.Ex118.m1.15.15.3.3.5.2.1.cmml" xref="A5.Ex118.m1.15.15.3.3.5">superscript</csymbol><ci id="A5.Ex118.m1.15.15.3.3.5.2.2.cmml" xref="A5.Ex118.m1.15.15.3.3.5.2.2">𝒲</ci><list id="A5.Ex118.m1.7.7.2.3.cmml" xref="A5.Ex118.m1.7.7.2.2"><apply id="A5.Ex118.m1.6.6.1.1.1.cmml" xref="A5.Ex118.m1.6.6.1.1.1"><times id="A5.Ex118.m1.6.6.1.1.1.1.cmml" xref="A5.Ex118.m1.6.6.1.1.1.1"></times><ci id="A5.Ex118.m1.6.6.1.1.1.2.cmml" xref="A5.Ex118.m1.6.6.1.1.1.2">ℎ</ci><ci id="A5.Ex118.m1.6.6.1.1.1.3.cmml" xref="A5.Ex118.m1.6.6.1.1.1.3">𝑓</ci></apply><apply id="A5.Ex118.m1.7.7.2.2.2.cmml" xref="A5.Ex118.m1.7.7.2.2.2"><times id="A5.Ex118.m1.7.7.2.2.2.1.cmml" xref="A5.Ex118.m1.7.7.2.2.2.1"></times><ci id="A5.Ex118.m1.7.7.2.2.2.2.cmml" xref="A5.Ex118.m1.7.7.2.2.2.2">𝑝</ci><ci id="A5.Ex118.m1.7.7.2.2.2.3.cmml" xref="A5.Ex118.m1.7.7.2.2.2.3">𝑟</ci></apply></list></apply><apply id="A5.Ex118.m1.15.15.3.3.5.3.cmml" xref="A5.Ex118.m1.15.15.3.3.5.3"><times id="A5.Ex118.m1.15.15.3.3.5.3.1.cmml" xref="A5.Ex118.m1.15.15.3.3.5.3.1"></times><ci id="A5.Ex118.m1.15.15.3.3.5.3.2.cmml" xref="A5.Ex118.m1.15.15.3.3.5.3.2">𝑒</ci><ci id="A5.Ex118.m1.15.15.3.3.5.3.3.cmml" xref="A5.Ex118.m1.15.15.3.3.5.3.3">𝑑</ci></apply></apply><apply id="A5.Ex118.m1.14.14.2.2.2.1.1.cmml" xref="A5.Ex118.m1.14.14.2.2.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.Ex118.m1.14.14.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="A5.Ex118.m1.14.14.2.2.2.1">superscript</csymbol><ci id="A5.Ex118.m1.14.14.2.2.2.1.1.2.cmml" xref="A5.Ex118.m1.14.14.2.2.2.1.1.2">𝑞</ci><apply id="A5.Ex118.m1.14.14.2.2.2.1.1.3.cmml" xref="A5.Ex118.m1.14.14.2.2.2.1.1.3"><plus id="A5.Ex118.m1.14.14.2.2.2.1.1.3.1.cmml" xref="A5.Ex118.m1.14.14.2.2.2.1.1.3.1"></plus><ci id="A5.Ex118.m1.14.14.2.2.2.1.1.3.2.cmml" xref="A5.Ex118.m1.14.14.2.2.2.1.1.3.2">𝑚</ci><cn id="A5.Ex118.m1.14.14.2.2.2.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="A5.Ex118.m1.14.14.2.2.2.1.1.3.3">1</cn></apply></apply><apply id="A5.Ex118.m1.15.15.3.3.6.cmml" xref="A5.Ex118.m1.15.15.3.3.6"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.Ex118.m1.15.15.3.3.6.1.cmml" xref="A5.Ex118.m1.15.15.3.3.6">subscript</csymbol><ci id="A5.Ex118.m1.15.15.3.3.6.2.cmml" xref="A5.Ex118.m1.15.15.3.3.6.2">𝒟</ci><apply id="A5.Ex118.m1.15.15.3.3.6.3.cmml" xref="A5.Ex118.m1.15.15.3.3.6.3"><times id="A5.Ex118.m1.15.15.3.3.6.3.1.cmml" xref="A5.Ex118.m1.15.15.3.3.6.3.1"></times><ci id="A5.Ex118.m1.15.15.3.3.6.3.2.cmml" xref="A5.Ex118.m1.15.15.3.3.6.3.2">𝑑</ci><ci id="A5.Ex118.m1.15.15.3.3.6.3.3.cmml" xref="A5.Ex118.m1.15.15.3.3.6.3.3">𝑑</ci></apply></apply><ci id="A5.Ex118.m1.12.12.cmml" xref="A5.Ex118.m1.12.12">𝑞</ci><apply id="A5.Ex118.m1.15.15.3.3.8.cmml" xref="A5.Ex118.m1.15.15.3.3.8"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.Ex118.m1.15.15.3.3.8.1.cmml" xref="A5.Ex118.m1.15.15.3.3.8">subscript</csymbol><apply id="A5.Ex118.m1.15.15.3.3.8.2.cmml" xref="A5.Ex118.m1.15.15.3.3.8"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.Ex118.m1.15.15.3.3.8.2.1.cmml" xref="A5.Ex118.m1.15.15.3.3.8">superscript</csymbol><ci id="A5.Ex118.m1.15.15.3.3.8.2.2.cmml" xref="A5.Ex118.m1.15.15.3.3.8.2.2">𝒞</ci><list id="A5.Ex118.m1.9.9.2.3.cmml" xref="A5.Ex118.m1.9.9.2.2"><apply id="A5.Ex118.m1.8.8.1.1.1.cmml" xref="A5.Ex118.m1.8.8.1.1.1"><times id="A5.Ex118.m1.8.8.1.1.1.1.cmml" xref="A5.Ex118.m1.8.8.1.1.1.1"></times><ci id="A5.Ex118.m1.8.8.1.1.1.2.cmml" xref="A5.Ex118.m1.8.8.1.1.1.2">𝑓</ci><ci id="A5.Ex118.m1.8.8.1.1.1.3.cmml" xref="A5.Ex118.m1.8.8.1.1.1.3">𝑔</ci></apply><apply id="A5.Ex118.m1.9.9.2.2.2.cmml" xref="A5.Ex118.m1.9.9.2.2.2"><times id="A5.Ex118.m1.9.9.2.2.2.1.cmml" xref="A5.Ex118.m1.9.9.2.2.2.1"></times><ci id="A5.Ex118.m1.9.9.2.2.2.2.cmml" xref="A5.Ex118.m1.9.9.2.2.2.2">𝑟</ci><ci id="A5.Ex118.m1.9.9.2.2.2.3.cmml" xref="A5.Ex118.m1.9.9.2.2.2.3">𝑜</ci></apply></list></apply><apply id="A5.Ex118.m1.15.15.3.3.8.3.cmml" xref="A5.Ex118.m1.15.15.3.3.8.3"><times id="A5.Ex118.m1.15.15.3.3.8.3.1.cmml" xref="A5.Ex118.m1.15.15.3.3.8.3.1"></times><ci id="A5.Ex118.m1.15.15.3.3.8.3.2.cmml" xref="A5.Ex118.m1.15.15.3.3.8.3.2">𝑑</ci><ci id="A5.Ex118.m1.15.15.3.3.8.3.3.cmml" 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xref="A5.Ex118.m1.10.10.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.Ex118.m1.10.10.1.1.1.1.cmml" xref="A5.Ex118.m1.10.10.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="A5.Ex118.m1.10.10.1.1.1.2.cmml" xref="A5.Ex118.m1.10.10.1.1.1.2">𝜈</ci><ci id="A5.Ex118.m1.10.10.1.1.1.3.cmml" xref="A5.Ex118.m1.10.10.1.1.1.3">𝑅</ci></apply><apply id="A5.Ex118.m1.11.11.2.2.2.cmml" xref="A5.Ex118.m1.11.11.2.2.2"><times id="A5.Ex118.m1.11.11.2.2.2.1.cmml" xref="A5.Ex118.m1.11.11.2.2.2.1"></times><ci id="A5.Ex118.m1.11.11.2.2.2.2.cmml" xref="A5.Ex118.m1.11.11.2.2.2.2">𝑎</ci><ci id="A5.Ex118.m1.11.11.2.2.2.3.cmml" xref="A5.Ex118.m1.11.11.2.2.2.3">𝑎</ci></apply></list></apply><apply id="A5.Ex118.m1.15.15.3.3.9.3.cmml" xref="A5.Ex118.m1.15.15.3.3.9.3"><times id="A5.Ex118.m1.15.15.3.3.9.3.1.cmml" xref="A5.Ex118.m1.15.15.3.3.9.3.1"></times><ci id="A5.Ex118.m1.15.15.3.3.9.3.2.cmml" xref="A5.Ex118.m1.15.15.3.3.9.3.2">𝑜</ci><ci id="A5.Ex118.m1.15.15.3.3.9.3.3.cmml" xref="A5.Ex118.m1.15.15.3.3.9.3.3">𝑛</ci></apply></apply><apply 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id="A5.Ex118.m1.1.1.1.1.5.3.3.2.1.cmml" xref="A5.Ex118.m1.1.1.1.1.5.3.3.2.1"></times><ci id="A5.Ex118.m1.1.1.1.1.5.3.3.2.2.cmml" xref="A5.Ex118.m1.1.1.1.1.5.3.3.2.2">𝑘</ci><ci id="A5.Ex118.m1.1.1.1.1.5.3.3.2.3.cmml" xref="A5.Ex118.m1.1.1.1.1.5.3.3.2.3">𝑞</ci></apply><ci id="A5.Ex118.m1.1.1.1.1.3.1.1.cmml" xref="A5.Ex118.m1.1.1.1.1.3.1.1">𝑒</ci></list></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A5.Ex118.m1.15c">\displaystyle=\sum_{d,e}(\mathcal{D}_{\nu_{R},ee}^{qp})^{-1}\mathcal{W}^{hf,pr% }_{ed}(q^{m+1})\mathcal{D}_{dd}(q)\mathcal{C}^{fg,ro}_{da}(q^{m})D_{\nu_{R},aa% }^{on}\ket{e_{\nu_{L},\nu_{R}}^{gj,kq,e}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A5.Ex118.m1.15d">= ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_d , italic_e end_POSTSUBSCRIPT ( caligraphic_D start_POSTSUBSCRIPT italic_ν start_POSTSUBSCRIPT italic_R end_POSTSUBSCRIPT , italic_e italic_e end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_q italic_p end_POSTSUPERSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT caligraphic_W start_POSTSUPERSCRIPT italic_h italic_f , italic_p italic_r end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_e italic_d end_POSTSUBSCRIPT ( italic_q start_POSTSUPERSCRIPT italic_m + 1 end_POSTSUPERSCRIPT ) caligraphic_D start_POSTSUBSCRIPT italic_d italic_d end_POSTSUBSCRIPT ( italic_q ) caligraphic_C start_POSTSUPERSCRIPT italic_f italic_g , italic_r italic_o end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_d italic_a end_POSTSUBSCRIPT ( italic_q start_POSTSUPERSCRIPT italic_m end_POSTSUPERSCRIPT ) italic_D start_POSTSUBSCRIPT italic_ν start_POSTSUBSCRIPT italic_R end_POSTSUBSCRIPT , italic_a italic_a end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_o italic_n end_POSTSUPERSCRIPT | start_ARG italic_e start_POSTSUBSCRIPT italic_ν start_POSTSUBSCRIPT italic_L end_POSTSUBSCRIPT , italic_ν start_POSTSUBSCRIPT italic_R end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_g italic_j , italic_k italic_q , italic_e end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG ⟩</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="A5.p3.15">where</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_gather ltx_eqn_table" id="S6.EGx241"> <tbody id="A5.E279"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\displaystyle\mathcal{D}_{\nu,ab}^{ij}=\delta_{ab}V_{\nu}(\sigma_{a})^{ij}" class="ltx_Math" display="block" id="A5.E279.m1.3"><semantics id="A5.E279.m1.3a"><mrow id="A5.E279.m1.3.3" xref="A5.E279.m1.3.3.cmml"><msubsup id="A5.E279.m1.3.3.3" xref="A5.E279.m1.3.3.3.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="A5.E279.m1.3.3.3.2.2" xref="A5.E279.m1.3.3.3.2.2.cmml">𝒟</mi><mrow id="A5.E279.m1.2.2.2.2" xref="A5.E279.m1.2.2.2.3.cmml"><mi id="A5.E279.m1.1.1.1.1" xref="A5.E279.m1.1.1.1.1.cmml">ν</mi><mo id="A5.E279.m1.2.2.2.2.2" xref="A5.E279.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mrow id="A5.E279.m1.2.2.2.2.1" xref="A5.E279.m1.2.2.2.2.1.cmml"><mi id="A5.E279.m1.2.2.2.2.1.2" xref="A5.E279.m1.2.2.2.2.1.2.cmml">a</mi><mo id="A5.E279.m1.2.2.2.2.1.1" xref="A5.E279.m1.2.2.2.2.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="A5.E279.m1.2.2.2.2.1.3" xref="A5.E279.m1.2.2.2.2.1.3.cmml">b</mi></mrow></mrow><mrow id="A5.E279.m1.3.3.3.3" xref="A5.E279.m1.3.3.3.3.cmml"><mi id="A5.E279.m1.3.3.3.3.2" xref="A5.E279.m1.3.3.3.3.2.cmml">i</mi><mo id="A5.E279.m1.3.3.3.3.1" xref="A5.E279.m1.3.3.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A5.E279.m1.3.3.3.3.3" xref="A5.E279.m1.3.3.3.3.3.cmml">j</mi></mrow></msubsup><mo id="A5.E279.m1.3.3.2" xref="A5.E279.m1.3.3.2.cmml">=</mo><mrow id="A5.E279.m1.3.3.1" xref="A5.E279.m1.3.3.1.cmml"><msub id="A5.E279.m1.3.3.1.3" xref="A5.E279.m1.3.3.1.3.cmml"><mi id="A5.E279.m1.3.3.1.3.2" xref="A5.E279.m1.3.3.1.3.2.cmml">δ</mi><mrow id="A5.E279.m1.3.3.1.3.3" xref="A5.E279.m1.3.3.1.3.3.cmml"><mi id="A5.E279.m1.3.3.1.3.3.2" xref="A5.E279.m1.3.3.1.3.3.2.cmml">a</mi><mo id="A5.E279.m1.3.3.1.3.3.1" xref="A5.E279.m1.3.3.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A5.E279.m1.3.3.1.3.3.3" xref="A5.E279.m1.3.3.1.3.3.3.cmml">b</mi></mrow></msub><mo id="A5.E279.m1.3.3.1.2" xref="A5.E279.m1.3.3.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="A5.E279.m1.3.3.1.4" xref="A5.E279.m1.3.3.1.4.cmml"><mi id="A5.E279.m1.3.3.1.4.2" xref="A5.E279.m1.3.3.1.4.2.cmml">V</mi><mi id="A5.E279.m1.3.3.1.4.3" xref="A5.E279.m1.3.3.1.4.3.cmml">ν</mi></msub><mo id="A5.E279.m1.3.3.1.2a" xref="A5.E279.m1.3.3.1.2.cmml">⁢</mo><msup id="A5.E279.m1.3.3.1.1" xref="A5.E279.m1.3.3.1.1.cmml"><mrow id="A5.E279.m1.3.3.1.1.1.1" xref="A5.E279.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A5.E279.m1.3.3.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A5.E279.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="A5.E279.m1.3.3.1.1.1.1.1" xref="A5.E279.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A5.E279.m1.3.3.1.1.1.1.1.2" xref="A5.E279.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.cmml">σ</mi><mi id="A5.E279.m1.3.3.1.1.1.1.1.3" xref="A5.E279.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.cmml">a</mi></msub><mo id="A5.E279.m1.3.3.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A5.E279.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="A5.E279.m1.3.3.1.1.3" xref="A5.E279.m1.3.3.1.1.3.cmml"><mi id="A5.E279.m1.3.3.1.1.3.2" xref="A5.E279.m1.3.3.1.1.3.2.cmml">i</mi><mo id="A5.E279.m1.3.3.1.1.3.1" xref="A5.E279.m1.3.3.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A5.E279.m1.3.3.1.1.3.3" xref="A5.E279.m1.3.3.1.1.3.3.cmml">j</mi></mrow></msup></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A5.E279.m1.3b"><apply id="A5.E279.m1.3.3.cmml" xref="A5.E279.m1.3.3"><eq id="A5.E279.m1.3.3.2.cmml" xref="A5.E279.m1.3.3.2"></eq><apply id="A5.E279.m1.3.3.3.cmml" xref="A5.E279.m1.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.E279.m1.3.3.3.1.cmml" xref="A5.E279.m1.3.3.3">superscript</csymbol><apply id="A5.E279.m1.3.3.3.2.cmml" xref="A5.E279.m1.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.E279.m1.3.3.3.2.1.cmml" xref="A5.E279.m1.3.3.3">subscript</csymbol><ci id="A5.E279.m1.3.3.3.2.2.cmml" xref="A5.E279.m1.3.3.3.2.2">𝒟</ci><list id="A5.E279.m1.2.2.2.3.cmml" xref="A5.E279.m1.2.2.2.2"><ci id="A5.E279.m1.1.1.1.1.cmml" xref="A5.E279.m1.1.1.1.1">𝜈</ci><apply id="A5.E279.m1.2.2.2.2.1.cmml" xref="A5.E279.m1.2.2.2.2.1"><times id="A5.E279.m1.2.2.2.2.1.1.cmml" xref="A5.E279.m1.2.2.2.2.1.1"></times><ci id="A5.E279.m1.2.2.2.2.1.2.cmml" xref="A5.E279.m1.2.2.2.2.1.2">𝑎</ci><ci id="A5.E279.m1.2.2.2.2.1.3.cmml" xref="A5.E279.m1.2.2.2.2.1.3">𝑏</ci></apply></list></apply><apply id="A5.E279.m1.3.3.3.3.cmml" xref="A5.E279.m1.3.3.3.3"><times id="A5.E279.m1.3.3.3.3.1.cmml" xref="A5.E279.m1.3.3.3.3.1"></times><ci id="A5.E279.m1.3.3.3.3.2.cmml" xref="A5.E279.m1.3.3.3.3.2">𝑖</ci><ci id="A5.E279.m1.3.3.3.3.3.cmml" xref="A5.E279.m1.3.3.3.3.3">𝑗</ci></apply></apply><apply id="A5.E279.m1.3.3.1.cmml" xref="A5.E279.m1.3.3.1"><times id="A5.E279.m1.3.3.1.2.cmml" xref="A5.E279.m1.3.3.1.2"></times><apply id="A5.E279.m1.3.3.1.3.cmml" xref="A5.E279.m1.3.3.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.E279.m1.3.3.1.3.1.cmml" xref="A5.E279.m1.3.3.1.3">subscript</csymbol><ci id="A5.E279.m1.3.3.1.3.2.cmml" xref="A5.E279.m1.3.3.1.3.2">𝛿</ci><apply id="A5.E279.m1.3.3.1.3.3.cmml" xref="A5.E279.m1.3.3.1.3.3"><times id="A5.E279.m1.3.3.1.3.3.1.cmml" xref="A5.E279.m1.3.3.1.3.3.1"></times><ci id="A5.E279.m1.3.3.1.3.3.2.cmml" xref="A5.E279.m1.3.3.1.3.3.2">𝑎</ci><ci id="A5.E279.m1.3.3.1.3.3.3.cmml" xref="A5.E279.m1.3.3.1.3.3.3">𝑏</ci></apply></apply><apply id="A5.E279.m1.3.3.1.4.cmml" xref="A5.E279.m1.3.3.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.E279.m1.3.3.1.4.1.cmml" xref="A5.E279.m1.3.3.1.4">subscript</csymbol><ci id="A5.E279.m1.3.3.1.4.2.cmml" xref="A5.E279.m1.3.3.1.4.2">𝑉</ci><ci id="A5.E279.m1.3.3.1.4.3.cmml" xref="A5.E279.m1.3.3.1.4.3">𝜈</ci></apply><apply id="A5.E279.m1.3.3.1.1.cmml" xref="A5.E279.m1.3.3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.E279.m1.3.3.1.1.2.cmml" xref="A5.E279.m1.3.3.1.1">superscript</csymbol><apply id="A5.E279.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml" xref="A5.E279.m1.3.3.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.E279.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A5.E279.m1.3.3.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="A5.E279.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A5.E279.m1.3.3.1.1.1.1.1.2">𝜎</ci><ci id="A5.E279.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A5.E279.m1.3.3.1.1.1.1.1.3">𝑎</ci></apply><apply id="A5.E279.m1.3.3.1.1.3.cmml" xref="A5.E279.m1.3.3.1.1.3"><times id="A5.E279.m1.3.3.1.1.3.1.cmml" xref="A5.E279.m1.3.3.1.1.3.1"></times><ci id="A5.E279.m1.3.3.1.1.3.2.cmml" xref="A5.E279.m1.3.3.1.1.3.2">𝑖</ci><ci id="A5.E279.m1.3.3.1.1.3.3.cmml" xref="A5.E279.m1.3.3.1.1.3.3">𝑗</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A5.E279.m1.3c">\displaystyle\mathcal{D}_{\nu,ab}^{ij}=\delta_{ab}V_{\nu}(\sigma_{a})^{ij}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A5.E279.m1.3d">caligraphic_D start_POSTSUBSCRIPT italic_ν , italic_a italic_b end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_i italic_j end_POSTSUPERSCRIPT = italic_δ start_POSTSUBSCRIPT italic_a italic_b end_POSTSUBSCRIPT italic_V start_POSTSUBSCRIPT italic_ν end_POSTSUBSCRIPT ( italic_σ start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_i italic_j end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(279)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="A5.p3.8">In total, we can therefore write the <math alttext="\Pi_{m}G_{m}\Pi_{m}" class="ltx_Math" display="inline" id="A5.p3.8.m1.1"><semantics id="A5.p3.8.m1.1a"><mrow id="A5.p3.8.m1.1.1" xref="A5.p3.8.m1.1.1.cmml"><msub id="A5.p3.8.m1.1.1.2" xref="A5.p3.8.m1.1.1.2.cmml"><mi id="A5.p3.8.m1.1.1.2.2" mathvariant="normal" xref="A5.p3.8.m1.1.1.2.2.cmml">Π</mi><mi id="A5.p3.8.m1.1.1.2.3" xref="A5.p3.8.m1.1.1.2.3.cmml">m</mi></msub><mo id="A5.p3.8.m1.1.1.1" xref="A5.p3.8.m1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="A5.p3.8.m1.1.1.3" xref="A5.p3.8.m1.1.1.3.cmml"><mi id="A5.p3.8.m1.1.1.3.2" xref="A5.p3.8.m1.1.1.3.2.cmml">G</mi><mi id="A5.p3.8.m1.1.1.3.3" xref="A5.p3.8.m1.1.1.3.3.cmml">m</mi></msub><mo id="A5.p3.8.m1.1.1.1a" xref="A5.p3.8.m1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="A5.p3.8.m1.1.1.4" xref="A5.p3.8.m1.1.1.4.cmml"><mi id="A5.p3.8.m1.1.1.4.2" mathvariant="normal" xref="A5.p3.8.m1.1.1.4.2.cmml">Π</mi><mi id="A5.p3.8.m1.1.1.4.3" xref="A5.p3.8.m1.1.1.4.3.cmml">m</mi></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A5.p3.8.m1.1b"><apply id="A5.p3.8.m1.1.1.cmml" xref="A5.p3.8.m1.1.1"><times id="A5.p3.8.m1.1.1.1.cmml" xref="A5.p3.8.m1.1.1.1"></times><apply id="A5.p3.8.m1.1.1.2.cmml" xref="A5.p3.8.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.p3.8.m1.1.1.2.1.cmml" xref="A5.p3.8.m1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="A5.p3.8.m1.1.1.2.2.cmml" xref="A5.p3.8.m1.1.1.2.2">Π</ci><ci id="A5.p3.8.m1.1.1.2.3.cmml" xref="A5.p3.8.m1.1.1.2.3">𝑚</ci></apply><apply id="A5.p3.8.m1.1.1.3.cmml" xref="A5.p3.8.m1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.p3.8.m1.1.1.3.1.cmml" xref="A5.p3.8.m1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A5.p3.8.m1.1.1.3.2.cmml" xref="A5.p3.8.m1.1.1.3.2">𝐺</ci><ci id="A5.p3.8.m1.1.1.3.3.cmml" xref="A5.p3.8.m1.1.1.3.3">𝑚</ci></apply><apply id="A5.p3.8.m1.1.1.4.cmml" xref="A5.p3.8.m1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.p3.8.m1.1.1.4.1.cmml" xref="A5.p3.8.m1.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="A5.p3.8.m1.1.1.4.2.cmml" xref="A5.p3.8.m1.1.1.4.2">Π</ci><ci id="A5.p3.8.m1.1.1.4.3.cmml" xref="A5.p3.8.m1.1.1.4.3">𝑚</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A5.p3.8.m1.1c">\Pi_{m}G_{m}\Pi_{m}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A5.p3.8.m1.1d">roman_Π start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT italic_G start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT roman_Π start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> operator as</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_gather ltx_eqn_table" id="S6.EGx242"> <tbody id="A5.E280"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\displaystyle\Pi_{m}G_{m}\Pi_{m}\ket{e_{\nu_{L},\nu_{R}}^{ij,k\ell,c}}=\sum_{h% ,n}\mathcal{M}_{\nu_{L},\nu_{R}}^{ih,n\ell,cb}\ket{e_{\nu_{L},\nu_{R}}^{hj,kn,% b}}" class="ltx_Math" display="block" id="A5.E280.m1.9"><semantics id="A5.E280.m1.9a"><mrow id="A5.E280.m1.9.10" xref="A5.E280.m1.9.10.cmml"><mrow id="A5.E280.m1.9.10.2" xref="A5.E280.m1.9.10.2.cmml"><msub id="A5.E280.m1.9.10.2.2" xref="A5.E280.m1.9.10.2.2.cmml"><mi id="A5.E280.m1.9.10.2.2.2" mathvariant="normal" xref="A5.E280.m1.9.10.2.2.2.cmml">Π</mi><mi id="A5.E280.m1.9.10.2.2.3" xref="A5.E280.m1.9.10.2.2.3.cmml">m</mi></msub><mo id="A5.E280.m1.9.10.2.1" xref="A5.E280.m1.9.10.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="A5.E280.m1.9.10.2.3" xref="A5.E280.m1.9.10.2.3.cmml"><mi id="A5.E280.m1.9.10.2.3.2" xref="A5.E280.m1.9.10.2.3.2.cmml">G</mi><mi id="A5.E280.m1.9.10.2.3.3" xref="A5.E280.m1.9.10.2.3.3.cmml">m</mi></msub><mo id="A5.E280.m1.9.10.2.1a" xref="A5.E280.m1.9.10.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="A5.E280.m1.9.10.2.4" xref="A5.E280.m1.9.10.2.4.cmml"><mi id="A5.E280.m1.9.10.2.4.2" mathvariant="normal" xref="A5.E280.m1.9.10.2.4.2.cmml">Π</mi><mi id="A5.E280.m1.9.10.2.4.3" xref="A5.E280.m1.9.10.2.4.3.cmml">m</mi></msub><mo id="A5.E280.m1.9.10.2.1b" xref="A5.E280.m1.9.10.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A5.E280.m1.1.1.3" xref="A5.E280.m1.1.1.2.cmml"><mo id="A5.E280.m1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="A5.E280.m1.1.1.2.1.cmml">|</mo><msubsup id="A5.E280.m1.1.1.1.1" xref="A5.E280.m1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A5.E280.m1.1.1.1.1.7.2" xref="A5.E280.m1.1.1.1.1.7.2.cmml">e</mi><mrow id="A5.E280.m1.1.1.1.1.2.2.2" xref="A5.E280.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><msub id="A5.E280.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A5.E280.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A5.E280.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A5.E280.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">ν</mi><mi id="A5.E280.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A5.E280.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">L</mi></msub><mo id="A5.E280.m1.1.1.1.1.2.2.2.3" xref="A5.E280.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">,</mo><msub id="A5.E280.m1.1.1.1.1.2.2.2.2" xref="A5.E280.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml"><mi id="A5.E280.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2" xref="A5.E280.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml">ν</mi><mi id="A5.E280.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3" xref="A5.E280.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.cmml">R</mi></msub></mrow><mrow id="A5.E280.m1.1.1.1.1.5.3.3" xref="A5.E280.m1.1.1.1.1.5.3.4.cmml"><mrow id="A5.E280.m1.1.1.1.1.4.2.2.1" xref="A5.E280.m1.1.1.1.1.4.2.2.1.cmml"><mi id="A5.E280.m1.1.1.1.1.4.2.2.1.2" xref="A5.E280.m1.1.1.1.1.4.2.2.1.2.cmml">i</mi><mo id="A5.E280.m1.1.1.1.1.4.2.2.1.1" xref="A5.E280.m1.1.1.1.1.4.2.2.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="A5.E280.m1.1.1.1.1.4.2.2.1.3" xref="A5.E280.m1.1.1.1.1.4.2.2.1.3.cmml">j</mi></mrow><mo id="A5.E280.m1.1.1.1.1.5.3.3.3" xref="A5.E280.m1.1.1.1.1.5.3.4.cmml">,</mo><mrow id="A5.E280.m1.1.1.1.1.5.3.3.2" xref="A5.E280.m1.1.1.1.1.5.3.3.2.cmml"><mi id="A5.E280.m1.1.1.1.1.5.3.3.2.2" xref="A5.E280.m1.1.1.1.1.5.3.3.2.2.cmml">k</mi><mo id="A5.E280.m1.1.1.1.1.5.3.3.2.1" xref="A5.E280.m1.1.1.1.1.5.3.3.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="A5.E280.m1.1.1.1.1.5.3.3.2.3" mathvariant="normal" xref="A5.E280.m1.1.1.1.1.5.3.3.2.3.cmml">ℓ</mi></mrow><mo id="A5.E280.m1.1.1.1.1.5.3.3.4" xref="A5.E280.m1.1.1.1.1.5.3.4.cmml">,</mo><mi id="A5.E280.m1.1.1.1.1.3.1.1" xref="A5.E280.m1.1.1.1.1.3.1.1.cmml">c</mi></mrow></msubsup><mo id="A5.E280.m1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="A5.E280.m1.1.1.2.1.cmml">⟩</mo></mrow></mrow><mo id="A5.E280.m1.9.10.1" rspace="0.111em" xref="A5.E280.m1.9.10.1.cmml">=</mo><mrow id="A5.E280.m1.9.10.3" xref="A5.E280.m1.9.10.3.cmml"><munder id="A5.E280.m1.9.10.3.1" xref="A5.E280.m1.9.10.3.1.cmml"><mo id="A5.E280.m1.9.10.3.1.2" movablelimits="false" xref="A5.E280.m1.9.10.3.1.2.cmml">∑</mo><mrow id="A5.E280.m1.4.4.2.4" xref="A5.E280.m1.4.4.2.3.cmml"><mi id="A5.E280.m1.3.3.1.1" xref="A5.E280.m1.3.3.1.1.cmml">h</mi><mo id="A5.E280.m1.4.4.2.4.1" xref="A5.E280.m1.4.4.2.3.cmml">,</mo><mi id="A5.E280.m1.4.4.2.2" xref="A5.E280.m1.4.4.2.2.cmml">n</mi></mrow></munder><mrow id="A5.E280.m1.9.10.3.2" xref="A5.E280.m1.9.10.3.2.cmml"><msubsup id="A5.E280.m1.9.10.3.2.2" xref="A5.E280.m1.9.10.3.2.2.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="A5.E280.m1.9.10.3.2.2.2.2" xref="A5.E280.m1.9.10.3.2.2.2.2.cmml">ℳ</mi><mrow id="A5.E280.m1.6.6.2.2" xref="A5.E280.m1.6.6.2.3.cmml"><msub id="A5.E280.m1.5.5.1.1.1" xref="A5.E280.m1.5.5.1.1.1.cmml"><mi id="A5.E280.m1.5.5.1.1.1.2" xref="A5.E280.m1.5.5.1.1.1.2.cmml">ν</mi><mi id="A5.E280.m1.5.5.1.1.1.3" xref="A5.E280.m1.5.5.1.1.1.3.cmml">L</mi></msub><mo id="A5.E280.m1.6.6.2.2.3" xref="A5.E280.m1.6.6.2.3.cmml">,</mo><msub id="A5.E280.m1.6.6.2.2.2" xref="A5.E280.m1.6.6.2.2.2.cmml"><mi id="A5.E280.m1.6.6.2.2.2.2" xref="A5.E280.m1.6.6.2.2.2.2.cmml">ν</mi><mi id="A5.E280.m1.6.6.2.2.2.3" xref="A5.E280.m1.6.6.2.2.2.3.cmml">R</mi></msub></mrow><mrow id="A5.E280.m1.9.9.3.3" xref="A5.E280.m1.9.9.3.4.cmml"><mrow id="A5.E280.m1.7.7.1.1.1" xref="A5.E280.m1.7.7.1.1.1.cmml"><mi id="A5.E280.m1.7.7.1.1.1.2" xref="A5.E280.m1.7.7.1.1.1.2.cmml">i</mi><mo id="A5.E280.m1.7.7.1.1.1.1" xref="A5.E280.m1.7.7.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="A5.E280.m1.7.7.1.1.1.3" xref="A5.E280.m1.7.7.1.1.1.3.cmml">h</mi></mrow><mo id="A5.E280.m1.9.9.3.3.4" xref="A5.E280.m1.9.9.3.4.cmml">,</mo><mrow id="A5.E280.m1.8.8.2.2.2" xref="A5.E280.m1.8.8.2.2.2.cmml"><mi id="A5.E280.m1.8.8.2.2.2.2" xref="A5.E280.m1.8.8.2.2.2.2.cmml">n</mi><mo id="A5.E280.m1.8.8.2.2.2.1" xref="A5.E280.m1.8.8.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="A5.E280.m1.8.8.2.2.2.3" mathvariant="normal" xref="A5.E280.m1.8.8.2.2.2.3.cmml">ℓ</mi></mrow><mo id="A5.E280.m1.9.9.3.3.5" xref="A5.E280.m1.9.9.3.4.cmml">,</mo><mrow id="A5.E280.m1.9.9.3.3.3" 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xref="A5.E280.m1.2.2.1.1.2.2.3.cmml">,</mo><msub id="A5.E280.m1.2.2.1.1.2.2.2.2" xref="A5.E280.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.cmml"><mi id="A5.E280.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2" xref="A5.E280.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.cmml">ν</mi><mi id="A5.E280.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.3" xref="A5.E280.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.3.cmml">R</mi></msub></mrow><mrow id="A5.E280.m1.2.2.1.1.5.3.3" xref="A5.E280.m1.2.2.1.1.5.3.4.cmml"><mrow id="A5.E280.m1.2.2.1.1.4.2.2.1" xref="A5.E280.m1.2.2.1.1.4.2.2.1.cmml"><mi id="A5.E280.m1.2.2.1.1.4.2.2.1.2" xref="A5.E280.m1.2.2.1.1.4.2.2.1.2.cmml">h</mi><mo id="A5.E280.m1.2.2.1.1.4.2.2.1.1" xref="A5.E280.m1.2.2.1.1.4.2.2.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="A5.E280.m1.2.2.1.1.4.2.2.1.3" xref="A5.E280.m1.2.2.1.1.4.2.2.1.3.cmml">j</mi></mrow><mo id="A5.E280.m1.2.2.1.1.5.3.3.3" xref="A5.E280.m1.2.2.1.1.5.3.4.cmml">,</mo><mrow id="A5.E280.m1.2.2.1.1.5.3.3.2" xref="A5.E280.m1.2.2.1.1.5.3.3.2.cmml"><mi id="A5.E280.m1.2.2.1.1.5.3.3.2.2" xref="A5.E280.m1.2.2.1.1.5.3.3.2.2.cmml">k</mi><mo id="A5.E280.m1.2.2.1.1.5.3.3.2.1" xref="A5.E280.m1.2.2.1.1.5.3.3.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="A5.E280.m1.2.2.1.1.5.3.3.2.3" xref="A5.E280.m1.2.2.1.1.5.3.3.2.3.cmml">n</mi></mrow><mo id="A5.E280.m1.2.2.1.1.5.3.3.4" xref="A5.E280.m1.2.2.1.1.5.3.4.cmml">,</mo><mi id="A5.E280.m1.2.2.1.1.3.1.1" xref="A5.E280.m1.2.2.1.1.3.1.1.cmml">b</mi></mrow></msubsup><mo id="A5.E280.m1.2.2.3.2" stretchy="false" xref="A5.E280.m1.2.2.2.1.cmml">⟩</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A5.E280.m1.9b"><apply id="A5.E280.m1.9.10.cmml" xref="A5.E280.m1.9.10"><eq id="A5.E280.m1.9.10.1.cmml" xref="A5.E280.m1.9.10.1"></eq><apply id="A5.E280.m1.9.10.2.cmml" xref="A5.E280.m1.9.10.2"><times id="A5.E280.m1.9.10.2.1.cmml" xref="A5.E280.m1.9.10.2.1"></times><apply id="A5.E280.m1.9.10.2.2.cmml" xref="A5.E280.m1.9.10.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.E280.m1.9.10.2.2.1.cmml" xref="A5.E280.m1.9.10.2.2">subscript</csymbol><ci id="A5.E280.m1.9.10.2.2.2.cmml" xref="A5.E280.m1.9.10.2.2.2">Π</ci><ci id="A5.E280.m1.9.10.2.2.3.cmml" xref="A5.E280.m1.9.10.2.2.3">𝑚</ci></apply><apply id="A5.E280.m1.9.10.2.3.cmml" xref="A5.E280.m1.9.10.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.E280.m1.9.10.2.3.1.cmml" xref="A5.E280.m1.9.10.2.3">subscript</csymbol><ci id="A5.E280.m1.9.10.2.3.2.cmml" xref="A5.E280.m1.9.10.2.3.2">𝐺</ci><ci id="A5.E280.m1.9.10.2.3.3.cmml" xref="A5.E280.m1.9.10.2.3.3">𝑚</ci></apply><apply id="A5.E280.m1.9.10.2.4.cmml" xref="A5.E280.m1.9.10.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.E280.m1.9.10.2.4.1.cmml" xref="A5.E280.m1.9.10.2.4">subscript</csymbol><ci id="A5.E280.m1.9.10.2.4.2.cmml" xref="A5.E280.m1.9.10.2.4.2">Π</ci><ci id="A5.E280.m1.9.10.2.4.3.cmml" xref="A5.E280.m1.9.10.2.4.3">𝑚</ci></apply><apply id="A5.E280.m1.1.1.2.cmml" xref="A5.E280.m1.1.1.3"><csymbol cd="latexml" id="A5.E280.m1.1.1.2.1.cmml" xref="A5.E280.m1.1.1.3.1">ket</csymbol><apply id="A5.E280.m1.1.1.1.1.cmml" xref="A5.E280.m1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.E280.m1.1.1.1.1.6.cmml" 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xref="A5.E280.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2">𝜈</ci><ci id="A5.E280.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.cmml" xref="A5.E280.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3">𝑅</ci></apply></list></apply><list id="A5.E280.m1.1.1.1.1.5.3.4.cmml" xref="A5.E280.m1.1.1.1.1.5.3.3"><apply id="A5.E280.m1.1.1.1.1.4.2.2.1.cmml" xref="A5.E280.m1.1.1.1.1.4.2.2.1"><times id="A5.E280.m1.1.1.1.1.4.2.2.1.1.cmml" xref="A5.E280.m1.1.1.1.1.4.2.2.1.1"></times><ci id="A5.E280.m1.1.1.1.1.4.2.2.1.2.cmml" xref="A5.E280.m1.1.1.1.1.4.2.2.1.2">𝑖</ci><ci id="A5.E280.m1.1.1.1.1.4.2.2.1.3.cmml" xref="A5.E280.m1.1.1.1.1.4.2.2.1.3">𝑗</ci></apply><apply id="A5.E280.m1.1.1.1.1.5.3.3.2.cmml" xref="A5.E280.m1.1.1.1.1.5.3.3.2"><times id="A5.E280.m1.1.1.1.1.5.3.3.2.1.cmml" xref="A5.E280.m1.1.1.1.1.5.3.3.2.1"></times><ci id="A5.E280.m1.1.1.1.1.5.3.3.2.2.cmml" xref="A5.E280.m1.1.1.1.1.5.3.3.2.2">𝑘</ci><ci id="A5.E280.m1.1.1.1.1.5.3.3.2.3.cmml" xref="A5.E280.m1.1.1.1.1.5.3.3.2.3">ℓ</ci></apply><ci id="A5.E280.m1.1.1.1.1.3.1.1.cmml" xref="A5.E280.m1.1.1.1.1.3.1.1">𝑐</ci></list></apply></apply></apply><apply id="A5.E280.m1.9.10.3.cmml" xref="A5.E280.m1.9.10.3"><apply id="A5.E280.m1.9.10.3.1.cmml" xref="A5.E280.m1.9.10.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.E280.m1.9.10.3.1.1.cmml" xref="A5.E280.m1.9.10.3.1">subscript</csymbol><sum id="A5.E280.m1.9.10.3.1.2.cmml" xref="A5.E280.m1.9.10.3.1.2"></sum><list id="A5.E280.m1.4.4.2.3.cmml" xref="A5.E280.m1.4.4.2.4"><ci id="A5.E280.m1.3.3.1.1.cmml" xref="A5.E280.m1.3.3.1.1">ℎ</ci><ci id="A5.E280.m1.4.4.2.2.cmml" xref="A5.E280.m1.4.4.2.2">𝑛</ci></list></apply><apply id="A5.E280.m1.9.10.3.2.cmml" xref="A5.E280.m1.9.10.3.2"><times id="A5.E280.m1.9.10.3.2.1.cmml" xref="A5.E280.m1.9.10.3.2.1"></times><apply id="A5.E280.m1.9.10.3.2.2.cmml" xref="A5.E280.m1.9.10.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.E280.m1.9.10.3.2.2.1.cmml" xref="A5.E280.m1.9.10.3.2.2">superscript</csymbol><apply id="A5.E280.m1.9.10.3.2.2.2.cmml" xref="A5.E280.m1.9.10.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.E280.m1.9.10.3.2.2.2.1.cmml" xref="A5.E280.m1.9.10.3.2.2">subscript</csymbol><ci id="A5.E280.m1.9.10.3.2.2.2.2.cmml" xref="A5.E280.m1.9.10.3.2.2.2.2">ℳ</ci><list id="A5.E280.m1.6.6.2.3.cmml" xref="A5.E280.m1.6.6.2.2"><apply id="A5.E280.m1.5.5.1.1.1.cmml" xref="A5.E280.m1.5.5.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.E280.m1.5.5.1.1.1.1.cmml" xref="A5.E280.m1.5.5.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="A5.E280.m1.5.5.1.1.1.2.cmml" xref="A5.E280.m1.5.5.1.1.1.2">𝜈</ci><ci id="A5.E280.m1.5.5.1.1.1.3.cmml" xref="A5.E280.m1.5.5.1.1.1.3">𝐿</ci></apply><apply id="A5.E280.m1.6.6.2.2.2.cmml" xref="A5.E280.m1.6.6.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.E280.m1.6.6.2.2.2.1.cmml" xref="A5.E280.m1.6.6.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="A5.E280.m1.6.6.2.2.2.2.cmml" xref="A5.E280.m1.6.6.2.2.2.2">𝜈</ci><ci id="A5.E280.m1.6.6.2.2.2.3.cmml" xref="A5.E280.m1.6.6.2.2.2.3">𝑅</ci></apply></list></apply><list id="A5.E280.m1.9.9.3.4.cmml" xref="A5.E280.m1.9.9.3.3"><apply id="A5.E280.m1.7.7.1.1.1.cmml" xref="A5.E280.m1.7.7.1.1.1"><times id="A5.E280.m1.7.7.1.1.1.1.cmml" xref="A5.E280.m1.7.7.1.1.1.1"></times><ci id="A5.E280.m1.7.7.1.1.1.2.cmml" xref="A5.E280.m1.7.7.1.1.1.2">𝑖</ci><ci id="A5.E280.m1.7.7.1.1.1.3.cmml" xref="A5.E280.m1.7.7.1.1.1.3">ℎ</ci></apply><apply id="A5.E280.m1.8.8.2.2.2.cmml" xref="A5.E280.m1.8.8.2.2.2"><times id="A5.E280.m1.8.8.2.2.2.1.cmml" xref="A5.E280.m1.8.8.2.2.2.1"></times><ci id="A5.E280.m1.8.8.2.2.2.2.cmml" xref="A5.E280.m1.8.8.2.2.2.2">𝑛</ci><ci id="A5.E280.m1.8.8.2.2.2.3.cmml" xref="A5.E280.m1.8.8.2.2.2.3">ℓ</ci></apply><apply id="A5.E280.m1.9.9.3.3.3.cmml" xref="A5.E280.m1.9.9.3.3.3"><times id="A5.E280.m1.9.9.3.3.3.1.cmml" xref="A5.E280.m1.9.9.3.3.3.1"></times><ci id="A5.E280.m1.9.9.3.3.3.2.cmml" xref="A5.E280.m1.9.9.3.3.3.2">𝑐</ci><ci id="A5.E280.m1.9.9.3.3.3.3.cmml" xref="A5.E280.m1.9.9.3.3.3.3">𝑏</ci></apply></list></apply><apply id="A5.E280.m1.2.2.2.cmml" xref="A5.E280.m1.2.2.3"><csymbol cd="latexml" id="A5.E280.m1.2.2.2.1.cmml" xref="A5.E280.m1.2.2.3.1">ket</csymbol><apply id="A5.E280.m1.2.2.1.1.cmml" xref="A5.E280.m1.2.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.E280.m1.2.2.1.1.6.cmml" xref="A5.E280.m1.2.2.1.1">superscript</csymbol><apply id="A5.E280.m1.2.2.1.1.7.cmml" xref="A5.E280.m1.2.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.E280.m1.2.2.1.1.7.1.cmml" xref="A5.E280.m1.2.2.1.1">subscript</csymbol><ci id="A5.E280.m1.2.2.1.1.7.2.cmml" xref="A5.E280.m1.2.2.1.1.7.2">𝑒</ci><list id="A5.E280.m1.2.2.1.1.2.2.3.cmml" xref="A5.E280.m1.2.2.1.1.2.2.2"><apply id="A5.E280.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A5.E280.m1.2.2.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.E280.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A5.E280.m1.2.2.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="A5.E280.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A5.E280.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2">𝜈</ci><ci id="A5.E280.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A5.E280.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3">𝐿</ci></apply><apply id="A5.E280.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="A5.E280.m1.2.2.1.1.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.E280.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.1.cmml" xref="A5.E280.m1.2.2.1.1.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="A5.E280.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.cmml" xref="A5.E280.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2">𝜈</ci><ci id="A5.E280.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.3.cmml" xref="A5.E280.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.3">𝑅</ci></apply></list></apply><list id="A5.E280.m1.2.2.1.1.5.3.4.cmml" xref="A5.E280.m1.2.2.1.1.5.3.3"><apply id="A5.E280.m1.2.2.1.1.4.2.2.1.cmml" xref="A5.E280.m1.2.2.1.1.4.2.2.1"><times id="A5.E280.m1.2.2.1.1.4.2.2.1.1.cmml" xref="A5.E280.m1.2.2.1.1.4.2.2.1.1"></times><ci id="A5.E280.m1.2.2.1.1.4.2.2.1.2.cmml" xref="A5.E280.m1.2.2.1.1.4.2.2.1.2">ℎ</ci><ci id="A5.E280.m1.2.2.1.1.4.2.2.1.3.cmml" xref="A5.E280.m1.2.2.1.1.4.2.2.1.3">𝑗</ci></apply><apply id="A5.E280.m1.2.2.1.1.5.3.3.2.cmml" xref="A5.E280.m1.2.2.1.1.5.3.3.2"><times id="A5.E280.m1.2.2.1.1.5.3.3.2.1.cmml" xref="A5.E280.m1.2.2.1.1.5.3.3.2.1"></times><ci id="A5.E280.m1.2.2.1.1.5.3.3.2.2.cmml" xref="A5.E280.m1.2.2.1.1.5.3.3.2.2">𝑘</ci><ci id="A5.E280.m1.2.2.1.1.5.3.3.2.3.cmml" xref="A5.E280.m1.2.2.1.1.5.3.3.2.3">𝑛</ci></apply><ci id="A5.E280.m1.2.2.1.1.3.1.1.cmml" xref="A5.E280.m1.2.2.1.1.3.1.1">𝑏</ci></list></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A5.E280.m1.9c">\displaystyle\Pi_{m}G_{m}\Pi_{m}\ket{e_{\nu_{L},\nu_{R}}^{ij,k\ell,c}}=\sum_{h% ,n}\mathcal{M}_{\nu_{L},\nu_{R}}^{ih,n\ell,cb}\ket{e_{\nu_{L},\nu_{R}}^{hj,kn,% b}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A5.E280.m1.9d">roman_Π start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT italic_G start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT roman_Π start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT | start_ARG italic_e start_POSTSUBSCRIPT italic_ν start_POSTSUBSCRIPT italic_L end_POSTSUBSCRIPT , italic_ν start_POSTSUBSCRIPT italic_R end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_i italic_j , italic_k roman_ℓ , italic_c end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG ⟩ = ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_h , italic_n end_POSTSUBSCRIPT caligraphic_M start_POSTSUBSCRIPT italic_ν start_POSTSUBSCRIPT italic_L end_POSTSUBSCRIPT , italic_ν start_POSTSUBSCRIPT italic_R end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_i italic_h , italic_n roman_ℓ , italic_c italic_b end_POSTSUPERSCRIPT | start_ARG italic_e start_POSTSUBSCRIPT italic_ν start_POSTSUBSCRIPT italic_L end_POSTSUBSCRIPT , italic_ν start_POSTSUBSCRIPT italic_R end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_h italic_j , italic_k italic_n , italic_b end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG ⟩</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(280)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="A5.p3.9">where <math alttext="\mathcal{M}" class="ltx_Math" display="inline" id="A5.p3.9.m1.1"><semantics id="A5.p3.9.m1.1a"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="A5.p3.9.m1.1.1" xref="A5.p3.9.m1.1.1.cmml">ℳ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A5.p3.9.m1.1b"><ci id="A5.p3.9.m1.1.1.cmml" xref="A5.p3.9.m1.1.1">ℳ</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A5.p3.9.m1.1c">\mathcal{M}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A5.p3.9.m1.1d">caligraphic_M</annotation></semantics></math> is a product of tensors, analogous to the right-action matrix product:</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_gather ltx_eqn_table" id="S6.EGx243"> <tbody id="A5.E281"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\displaystyle\mathcal{M}_{\nu_{L},\nu_{R}}^{ih,n\ell,cb}=\left[(\mathcal{D}_{% \nu_{R}})^{-1}\right]^{o_{5}\ell}_{cc}\mathcal{W}(q^{m+1})^{ig_{3},o_{4}o_{5}}% _{ca_{3}}\mathcal{D}(q)_{a_{3}a_{3}}\mathcal{C}(q^{m})^{g_{3}g_{2},o_{3}o_{4}}% _{a_{3}a_{2}}\mathcal{D}_{\nu_{R},a_{2}a_{2}}^{o_{2}o_{3}}\mathcal{W}(q^{2})^{% g_{2}g_{1},o_{1}o_{2}}_{a_{2}a_{1}}\mathcal{D}(q)_{a_{1}a_{1}}\mathcal{C}(q)^{% g_{1}h,no_{1}}_{a_{1}b}" class="ltx_Math" display="block" id="A5.E281.m1.22"><semantics id="A5.E281.m1.22a"><mrow id="A5.E281.m1.22.22" xref="A5.E281.m1.22.22.cmml"><msubsup id="A5.E281.m1.22.22.6" xref="A5.E281.m1.22.22.6.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="A5.E281.m1.22.22.6.2.2" xref="A5.E281.m1.22.22.6.2.2.cmml">ℳ</mi><mrow id="A5.E281.m1.2.2.2.2" xref="A5.E281.m1.2.2.2.3.cmml"><msub id="A5.E281.m1.1.1.1.1.1" xref="A5.E281.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A5.E281.m1.1.1.1.1.1.2" xref="A5.E281.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">ν</mi><mi id="A5.E281.m1.1.1.1.1.1.3" xref="A5.E281.m1.1.1.1.1.1.3.cmml">L</mi></msub><mo id="A5.E281.m1.2.2.2.2.3" xref="A5.E281.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><msub id="A5.E281.m1.2.2.2.2.2" xref="A5.E281.m1.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="A5.E281.m1.2.2.2.2.2.2" xref="A5.E281.m1.2.2.2.2.2.2.cmml">ν</mi><mi id="A5.E281.m1.2.2.2.2.2.3" xref="A5.E281.m1.2.2.2.2.2.3.cmml">R</mi></msub></mrow><mrow id="A5.E281.m1.5.5.3.3" xref="A5.E281.m1.5.5.3.4.cmml"><mrow id="A5.E281.m1.3.3.1.1.1" xref="A5.E281.m1.3.3.1.1.1.cmml"><mi id="A5.E281.m1.3.3.1.1.1.2" xref="A5.E281.m1.3.3.1.1.1.2.cmml">i</mi><mo id="A5.E281.m1.3.3.1.1.1.1" xref="A5.E281.m1.3.3.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="A5.E281.m1.3.3.1.1.1.3" xref="A5.E281.m1.3.3.1.1.1.3.cmml">h</mi></mrow><mo id="A5.E281.m1.5.5.3.3.4" xref="A5.E281.m1.5.5.3.4.cmml">,</mo><mrow id="A5.E281.m1.4.4.2.2.2" xref="A5.E281.m1.4.4.2.2.2.cmml"><mi id="A5.E281.m1.4.4.2.2.2.2" xref="A5.E281.m1.4.4.2.2.2.2.cmml">n</mi><mo id="A5.E281.m1.4.4.2.2.2.1" xref="A5.E281.m1.4.4.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="A5.E281.m1.4.4.2.2.2.3" mathvariant="normal" xref="A5.E281.m1.4.4.2.2.2.3.cmml">ℓ</mi></mrow><mo id="A5.E281.m1.5.5.3.3.5" xref="A5.E281.m1.5.5.3.4.cmml">,</mo><mrow id="A5.E281.m1.5.5.3.3.3" xref="A5.E281.m1.5.5.3.3.3.cmml"><mi id="A5.E281.m1.5.5.3.3.3.2" xref="A5.E281.m1.5.5.3.3.3.2.cmml">c</mi><mo id="A5.E281.m1.5.5.3.3.3.1" xref="A5.E281.m1.5.5.3.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A5.E281.m1.5.5.3.3.3.3" xref="A5.E281.m1.5.5.3.3.3.3.cmml">b</mi></mrow></mrow></msubsup><mo id="A5.E281.m1.22.22.5" xref="A5.E281.m1.22.22.5.cmml">=</mo><mrow id="A5.E281.m1.22.22.4" xref="A5.E281.m1.22.22.4.cmml"><msubsup id="A5.E281.m1.19.19.1.1" xref="A5.E281.m1.19.19.1.1.cmml"><mrow id="A5.E281.m1.19.19.1.1.1.1.1" xref="A5.E281.m1.19.19.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="A5.E281.m1.19.19.1.1.1.1.1.2" xref="A5.E281.m1.19.19.1.1.1.1.2.1.cmml">[</mo><msup id="A5.E281.m1.19.19.1.1.1.1.1.1" xref="A5.E281.m1.19.19.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A5.E281.m1.19.19.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A5.E281.m1.19.19.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A5.E281.m1.19.19.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A5.E281.m1.19.19.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="A5.E281.m1.19.19.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A5.E281.m1.19.19.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="A5.E281.m1.19.19.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A5.E281.m1.19.19.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">𝒟</mi><msub id="A5.E281.m1.19.19.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A5.E281.m1.19.19.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A5.E281.m1.19.19.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A5.E281.m1.19.19.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">ν</mi><mi id="A5.E281.m1.19.19.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A5.E281.m1.19.19.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">R</mi></msub></msub><mo id="A5.E281.m1.19.19.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A5.E281.m1.19.19.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="A5.E281.m1.19.19.1.1.1.1.1.1.3" xref="A5.E281.m1.19.19.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="A5.E281.m1.19.19.1.1.1.1.1.1.3a" xref="A5.E281.m1.19.19.1.1.1.1.1.1.3.cmml">−</mo><mn id="A5.E281.m1.19.19.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A5.E281.m1.19.19.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="A5.E281.m1.19.19.1.1.1.1.1.3" xref="A5.E281.m1.19.19.1.1.1.1.2.1.cmml">]</mo></mrow><mrow id="A5.E281.m1.19.19.1.1.3" xref="A5.E281.m1.19.19.1.1.3.cmml"><mi id="A5.E281.m1.19.19.1.1.3.2" xref="A5.E281.m1.19.19.1.1.3.2.cmml">c</mi><mo id="A5.E281.m1.19.19.1.1.3.1" xref="A5.E281.m1.19.19.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A5.E281.m1.19.19.1.1.3.3" xref="A5.E281.m1.19.19.1.1.3.3.cmml">c</mi></mrow><mrow id="A5.E281.m1.19.19.1.1.1.3" xref="A5.E281.m1.19.19.1.1.1.3.cmml"><msub id="A5.E281.m1.19.19.1.1.1.3.2" xref="A5.E281.m1.19.19.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="A5.E281.m1.19.19.1.1.1.3.2.2" xref="A5.E281.m1.19.19.1.1.1.3.2.2.cmml">o</mi><mn id="A5.E281.m1.19.19.1.1.1.3.2.3" xref="A5.E281.m1.19.19.1.1.1.3.2.3.cmml">5</mn></msub><mo id="A5.E281.m1.19.19.1.1.1.3.1" xref="A5.E281.m1.19.19.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A5.E281.m1.19.19.1.1.1.3.3" mathvariant="normal" xref="A5.E281.m1.19.19.1.1.1.3.3.cmml">ℓ</mi></mrow></msubsup><mo id="A5.E281.m1.22.22.4.5" xref="A5.E281.m1.22.22.4.5.cmml">⁢</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="A5.E281.m1.22.22.4.6" xref="A5.E281.m1.22.22.4.6.cmml">𝒲</mi><mo id="A5.E281.m1.22.22.4.5a" xref="A5.E281.m1.22.22.4.5.cmml">⁢</mo><msubsup id="A5.E281.m1.20.20.2.2" xref="A5.E281.m1.20.20.2.2.cmml"><mrow id="A5.E281.m1.20.20.2.2.1.1.1" xref="A5.E281.m1.20.20.2.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="A5.E281.m1.20.20.2.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A5.E281.m1.20.20.2.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="A5.E281.m1.20.20.2.2.1.1.1.1" xref="A5.E281.m1.20.20.2.2.1.1.1.1.cmml"><mi id="A5.E281.m1.20.20.2.2.1.1.1.1.2" xref="A5.E281.m1.20.20.2.2.1.1.1.1.2.cmml">q</mi><mrow id="A5.E281.m1.20.20.2.2.1.1.1.1.3" xref="A5.E281.m1.20.20.2.2.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A5.E281.m1.20.20.2.2.1.1.1.1.3.2" xref="A5.E281.m1.20.20.2.2.1.1.1.1.3.2.cmml">m</mi><mo id="A5.E281.m1.20.20.2.2.1.1.1.1.3.1" xref="A5.E281.m1.20.20.2.2.1.1.1.1.3.1.cmml">+</mo><mn id="A5.E281.m1.20.20.2.2.1.1.1.1.3.3" xref="A5.E281.m1.20.20.2.2.1.1.1.1.3.3.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="A5.E281.m1.20.20.2.2.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A5.E281.m1.20.20.2.2.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="A5.E281.m1.20.20.2.2.3" xref="A5.E281.m1.20.20.2.2.3.cmml"><mi id="A5.E281.m1.20.20.2.2.3.2" xref="A5.E281.m1.20.20.2.2.3.2.cmml">c</mi><mo id="A5.E281.m1.20.20.2.2.3.1" xref="A5.E281.m1.20.20.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="A5.E281.m1.20.20.2.2.3.3" xref="A5.E281.m1.20.20.2.2.3.3.cmml"><mi id="A5.E281.m1.20.20.2.2.3.3.2" xref="A5.E281.m1.20.20.2.2.3.3.2.cmml">a</mi><mn id="A5.E281.m1.20.20.2.2.3.3.3" xref="A5.E281.m1.20.20.2.2.3.3.3.cmml">3</mn></msub></mrow><mrow id="A5.E281.m1.7.7.2.2" xref="A5.E281.m1.7.7.2.3.cmml"><mrow id="A5.E281.m1.6.6.1.1.1" xref="A5.E281.m1.6.6.1.1.1.cmml"><mi id="A5.E281.m1.6.6.1.1.1.2" xref="A5.E281.m1.6.6.1.1.1.2.cmml">i</mi><mo id="A5.E281.m1.6.6.1.1.1.1" xref="A5.E281.m1.6.6.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="A5.E281.m1.6.6.1.1.1.3" xref="A5.E281.m1.6.6.1.1.1.3.cmml"><mi id="A5.E281.m1.6.6.1.1.1.3.2" xref="A5.E281.m1.6.6.1.1.1.3.2.cmml">g</mi><mn id="A5.E281.m1.6.6.1.1.1.3.3" xref="A5.E281.m1.6.6.1.1.1.3.3.cmml">3</mn></msub></mrow><mo id="A5.E281.m1.7.7.2.2.3" xref="A5.E281.m1.7.7.2.3.cmml">,</mo><mrow id="A5.E281.m1.7.7.2.2.2" xref="A5.E281.m1.7.7.2.2.2.cmml"><msub id="A5.E281.m1.7.7.2.2.2.2" xref="A5.E281.m1.7.7.2.2.2.2.cmml"><mi id="A5.E281.m1.7.7.2.2.2.2.2" xref="A5.E281.m1.7.7.2.2.2.2.2.cmml">o</mi><mn id="A5.E281.m1.7.7.2.2.2.2.3" xref="A5.E281.m1.7.7.2.2.2.2.3.cmml">4</mn></msub><mo id="A5.E281.m1.7.7.2.2.2.1" xref="A5.E281.m1.7.7.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="A5.E281.m1.7.7.2.2.2.3" xref="A5.E281.m1.7.7.2.2.2.3.cmml"><mi id="A5.E281.m1.7.7.2.2.2.3.2" xref="A5.E281.m1.7.7.2.2.2.3.2.cmml">o</mi><mn id="A5.E281.m1.7.7.2.2.2.3.3" xref="A5.E281.m1.7.7.2.2.2.3.3.cmml">5</mn></msub></mrow></mrow></msubsup><mo id="A5.E281.m1.22.22.4.5b" xref="A5.E281.m1.22.22.4.5.cmml">⁢</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="A5.E281.m1.22.22.4.7" xref="A5.E281.m1.22.22.4.7.cmml">𝒟</mi><mo id="A5.E281.m1.22.22.4.5c" xref="A5.E281.m1.22.22.4.5.cmml">⁢</mo><msub id="A5.E281.m1.22.22.4.8" xref="A5.E281.m1.22.22.4.8.cmml"><mrow id="A5.E281.m1.22.22.4.8.2.2" xref="A5.E281.m1.22.22.4.8.cmml"><mo id="A5.E281.m1.22.22.4.8.2.2.1" stretchy="false" xref="A5.E281.m1.22.22.4.8.cmml">(</mo><mi id="A5.E281.m1.16.16" xref="A5.E281.m1.16.16.cmml">q</mi><mo id="A5.E281.m1.22.22.4.8.2.2.2" stretchy="false" xref="A5.E281.m1.22.22.4.8.cmml">)</mo></mrow><mrow id="A5.E281.m1.22.22.4.8.3" xref="A5.E281.m1.22.22.4.8.3.cmml"><msub id="A5.E281.m1.22.22.4.8.3.2" xref="A5.E281.m1.22.22.4.8.3.2.cmml"><mi id="A5.E281.m1.22.22.4.8.3.2.2" xref="A5.E281.m1.22.22.4.8.3.2.2.cmml">a</mi><mn id="A5.E281.m1.22.22.4.8.3.2.3" xref="A5.E281.m1.22.22.4.8.3.2.3.cmml">3</mn></msub><mo id="A5.E281.m1.22.22.4.8.3.1" xref="A5.E281.m1.22.22.4.8.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="A5.E281.m1.22.22.4.8.3.3" xref="A5.E281.m1.22.22.4.8.3.3.cmml"><mi id="A5.E281.m1.22.22.4.8.3.3.2" xref="A5.E281.m1.22.22.4.8.3.3.2.cmml">a</mi><mn id="A5.E281.m1.22.22.4.8.3.3.3" xref="A5.E281.m1.22.22.4.8.3.3.3.cmml">3</mn></msub></mrow></msub><mo id="A5.E281.m1.22.22.4.5d" xref="A5.E281.m1.22.22.4.5.cmml">⁢</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="A5.E281.m1.22.22.4.9" xref="A5.E281.m1.22.22.4.9.cmml">𝒞</mi><mo id="A5.E281.m1.22.22.4.5e" xref="A5.E281.m1.22.22.4.5.cmml">⁢</mo><msubsup id="A5.E281.m1.21.21.3.3" xref="A5.E281.m1.21.21.3.3.cmml"><mrow id="A5.E281.m1.21.21.3.3.1.1.1" xref="A5.E281.m1.21.21.3.3.1.1.1.1.cmml"><mo id="A5.E281.m1.21.21.3.3.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A5.E281.m1.21.21.3.3.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="A5.E281.m1.21.21.3.3.1.1.1.1" xref="A5.E281.m1.21.21.3.3.1.1.1.1.cmml"><mi id="A5.E281.m1.21.21.3.3.1.1.1.1.2" xref="A5.E281.m1.21.21.3.3.1.1.1.1.2.cmml">q</mi><mi id="A5.E281.m1.21.21.3.3.1.1.1.1.3" xref="A5.E281.m1.21.21.3.3.1.1.1.1.3.cmml">m</mi></msup><mo id="A5.E281.m1.21.21.3.3.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A5.E281.m1.21.21.3.3.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="A5.E281.m1.21.21.3.3.3" xref="A5.E281.m1.21.21.3.3.3.cmml"><msub id="A5.E281.m1.21.21.3.3.3.2" xref="A5.E281.m1.21.21.3.3.3.2.cmml"><mi id="A5.E281.m1.21.21.3.3.3.2.2" xref="A5.E281.m1.21.21.3.3.3.2.2.cmml">a</mi><mn id="A5.E281.m1.21.21.3.3.3.2.3" xref="A5.E281.m1.21.21.3.3.3.2.3.cmml">3</mn></msub><mo id="A5.E281.m1.21.21.3.3.3.1" xref="A5.E281.m1.21.21.3.3.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="A5.E281.m1.21.21.3.3.3.3" xref="A5.E281.m1.21.21.3.3.3.3.cmml"><mi id="A5.E281.m1.21.21.3.3.3.3.2" xref="A5.E281.m1.21.21.3.3.3.3.2.cmml">a</mi><mn id="A5.E281.m1.21.21.3.3.3.3.3" xref="A5.E281.m1.21.21.3.3.3.3.3.cmml">2</mn></msub></mrow><mrow id="A5.E281.m1.9.9.2.2" xref="A5.E281.m1.9.9.2.3.cmml"><mrow id="A5.E281.m1.8.8.1.1.1" xref="A5.E281.m1.8.8.1.1.1.cmml"><msub id="A5.E281.m1.8.8.1.1.1.2" xref="A5.E281.m1.8.8.1.1.1.2.cmml"><mi id="A5.E281.m1.8.8.1.1.1.2.2" xref="A5.E281.m1.8.8.1.1.1.2.2.cmml">g</mi><mn id="A5.E281.m1.8.8.1.1.1.2.3" xref="A5.E281.m1.8.8.1.1.1.2.3.cmml">3</mn></msub><mo id="A5.E281.m1.8.8.1.1.1.1" xref="A5.E281.m1.8.8.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="A5.E281.m1.8.8.1.1.1.3" xref="A5.E281.m1.8.8.1.1.1.3.cmml"><mi id="A5.E281.m1.8.8.1.1.1.3.2" xref="A5.E281.m1.8.8.1.1.1.3.2.cmml">g</mi><mn id="A5.E281.m1.8.8.1.1.1.3.3" xref="A5.E281.m1.8.8.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></msub></mrow><mo id="A5.E281.m1.9.9.2.2.3" xref="A5.E281.m1.9.9.2.3.cmml">,</mo><mrow id="A5.E281.m1.9.9.2.2.2" xref="A5.E281.m1.9.9.2.2.2.cmml"><msub id="A5.E281.m1.9.9.2.2.2.2" xref="A5.E281.m1.9.9.2.2.2.2.cmml"><mi id="A5.E281.m1.9.9.2.2.2.2.2" xref="A5.E281.m1.9.9.2.2.2.2.2.cmml">o</mi><mn id="A5.E281.m1.9.9.2.2.2.2.3" xref="A5.E281.m1.9.9.2.2.2.2.3.cmml">3</mn></msub><mo id="A5.E281.m1.9.9.2.2.2.1" xref="A5.E281.m1.9.9.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="A5.E281.m1.9.9.2.2.2.3" xref="A5.E281.m1.9.9.2.2.2.3.cmml"><mi id="A5.E281.m1.9.9.2.2.2.3.2" xref="A5.E281.m1.9.9.2.2.2.3.2.cmml">o</mi><mn id="A5.E281.m1.9.9.2.2.2.3.3" xref="A5.E281.m1.9.9.2.2.2.3.3.cmml">4</mn></msub></mrow></mrow></msubsup><mo id="A5.E281.m1.22.22.4.5f" xref="A5.E281.m1.22.22.4.5.cmml">⁢</mo><msubsup id="A5.E281.m1.22.22.4.10" xref="A5.E281.m1.22.22.4.10.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="A5.E281.m1.22.22.4.10.2.2" xref="A5.E281.m1.22.22.4.10.2.2.cmml">𝒟</mi><mrow id="A5.E281.m1.11.11.2.2" xref="A5.E281.m1.11.11.2.3.cmml"><msub id="A5.E281.m1.10.10.1.1.1" xref="A5.E281.m1.10.10.1.1.1.cmml"><mi id="A5.E281.m1.10.10.1.1.1.2" xref="A5.E281.m1.10.10.1.1.1.2.cmml">ν</mi><mi id="A5.E281.m1.10.10.1.1.1.3" xref="A5.E281.m1.10.10.1.1.1.3.cmml">R</mi></msub><mo id="A5.E281.m1.11.11.2.2.3" xref="A5.E281.m1.11.11.2.3.cmml">,</mo><mrow id="A5.E281.m1.11.11.2.2.2" xref="A5.E281.m1.11.11.2.2.2.cmml"><msub id="A5.E281.m1.11.11.2.2.2.2" xref="A5.E281.m1.11.11.2.2.2.2.cmml"><mi id="A5.E281.m1.11.11.2.2.2.2.2" xref="A5.E281.m1.11.11.2.2.2.2.2.cmml">a</mi><mn id="A5.E281.m1.11.11.2.2.2.2.3" xref="A5.E281.m1.11.11.2.2.2.2.3.cmml">2</mn></msub><mo id="A5.E281.m1.11.11.2.2.2.1" xref="A5.E281.m1.11.11.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="A5.E281.m1.11.11.2.2.2.3" xref="A5.E281.m1.11.11.2.2.2.3.cmml"><mi id="A5.E281.m1.11.11.2.2.2.3.2" xref="A5.E281.m1.11.11.2.2.2.3.2.cmml">a</mi><mn id="A5.E281.m1.11.11.2.2.2.3.3" xref="A5.E281.m1.11.11.2.2.2.3.3.cmml">2</mn></msub></mrow></mrow><mrow id="A5.E281.m1.22.22.4.10.3" xref="A5.E281.m1.22.22.4.10.3.cmml"><msub id="A5.E281.m1.22.22.4.10.3.2" xref="A5.E281.m1.22.22.4.10.3.2.cmml"><mi id="A5.E281.m1.22.22.4.10.3.2.2" xref="A5.E281.m1.22.22.4.10.3.2.2.cmml">o</mi><mn id="A5.E281.m1.22.22.4.10.3.2.3" xref="A5.E281.m1.22.22.4.10.3.2.3.cmml">2</mn></msub><mo id="A5.E281.m1.22.22.4.10.3.1" xref="A5.E281.m1.22.22.4.10.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="A5.E281.m1.22.22.4.10.3.3" xref="A5.E281.m1.22.22.4.10.3.3.cmml"><mi id="A5.E281.m1.22.22.4.10.3.3.2" xref="A5.E281.m1.22.22.4.10.3.3.2.cmml">o</mi><mn id="A5.E281.m1.22.22.4.10.3.3.3" xref="A5.E281.m1.22.22.4.10.3.3.3.cmml">3</mn></msub></mrow></msubsup><mo id="A5.E281.m1.22.22.4.5g" xref="A5.E281.m1.22.22.4.5.cmml">⁢</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="A5.E281.m1.22.22.4.11" xref="A5.E281.m1.22.22.4.11.cmml">𝒲</mi><mo id="A5.E281.m1.22.22.4.5h" xref="A5.E281.m1.22.22.4.5.cmml">⁢</mo><msubsup id="A5.E281.m1.22.22.4.4" xref="A5.E281.m1.22.22.4.4.cmml"><mrow id="A5.E281.m1.22.22.4.4.1.1.1" xref="A5.E281.m1.22.22.4.4.1.1.1.1.cmml"><mo id="A5.E281.m1.22.22.4.4.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A5.E281.m1.22.22.4.4.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="A5.E281.m1.22.22.4.4.1.1.1.1" xref="A5.E281.m1.22.22.4.4.1.1.1.1.cmml"><mi id="A5.E281.m1.22.22.4.4.1.1.1.1.2" xref="A5.E281.m1.22.22.4.4.1.1.1.1.2.cmml">q</mi><mn id="A5.E281.m1.22.22.4.4.1.1.1.1.3" xref="A5.E281.m1.22.22.4.4.1.1.1.1.3.cmml">2</mn></msup><mo id="A5.E281.m1.22.22.4.4.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A5.E281.m1.22.22.4.4.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="A5.E281.m1.22.22.4.4.3" xref="A5.E281.m1.22.22.4.4.3.cmml"><msub id="A5.E281.m1.22.22.4.4.3.2" xref="A5.E281.m1.22.22.4.4.3.2.cmml"><mi id="A5.E281.m1.22.22.4.4.3.2.2" xref="A5.E281.m1.22.22.4.4.3.2.2.cmml">a</mi><mn id="A5.E281.m1.22.22.4.4.3.2.3" xref="A5.E281.m1.22.22.4.4.3.2.3.cmml">2</mn></msub><mo id="A5.E281.m1.22.22.4.4.3.1" xref="A5.E281.m1.22.22.4.4.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="A5.E281.m1.22.22.4.4.3.3" xref="A5.E281.m1.22.22.4.4.3.3.cmml"><mi id="A5.E281.m1.22.22.4.4.3.3.2" xref="A5.E281.m1.22.22.4.4.3.3.2.cmml">a</mi><mn id="A5.E281.m1.22.22.4.4.3.3.3" xref="A5.E281.m1.22.22.4.4.3.3.3.cmml">1</mn></msub></mrow><mrow id="A5.E281.m1.13.13.2.2" xref="A5.E281.m1.13.13.2.3.cmml"><mrow id="A5.E281.m1.12.12.1.1.1" xref="A5.E281.m1.12.12.1.1.1.cmml"><msub id="A5.E281.m1.12.12.1.1.1.2" xref="A5.E281.m1.12.12.1.1.1.2.cmml"><mi id="A5.E281.m1.12.12.1.1.1.2.2" xref="A5.E281.m1.12.12.1.1.1.2.2.cmml">g</mi><mn id="A5.E281.m1.12.12.1.1.1.2.3" xref="A5.E281.m1.12.12.1.1.1.2.3.cmml">2</mn></msub><mo id="A5.E281.m1.12.12.1.1.1.1" xref="A5.E281.m1.12.12.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="A5.E281.m1.12.12.1.1.1.3" xref="A5.E281.m1.12.12.1.1.1.3.cmml"><mi id="A5.E281.m1.12.12.1.1.1.3.2" xref="A5.E281.m1.12.12.1.1.1.3.2.cmml">g</mi><mn id="A5.E281.m1.12.12.1.1.1.3.3" xref="A5.E281.m1.12.12.1.1.1.3.3.cmml">1</mn></msub></mrow><mo id="A5.E281.m1.13.13.2.2.3" xref="A5.E281.m1.13.13.2.3.cmml">,</mo><mrow id="A5.E281.m1.13.13.2.2.2" xref="A5.E281.m1.13.13.2.2.2.cmml"><msub id="A5.E281.m1.13.13.2.2.2.2" xref="A5.E281.m1.13.13.2.2.2.2.cmml"><mi id="A5.E281.m1.13.13.2.2.2.2.2" xref="A5.E281.m1.13.13.2.2.2.2.2.cmml">o</mi><mn id="A5.E281.m1.13.13.2.2.2.2.3" xref="A5.E281.m1.13.13.2.2.2.2.3.cmml">1</mn></msub><mo id="A5.E281.m1.13.13.2.2.2.1" xref="A5.E281.m1.13.13.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="A5.E281.m1.13.13.2.2.2.3" xref="A5.E281.m1.13.13.2.2.2.3.cmml"><mi id="A5.E281.m1.13.13.2.2.2.3.2" xref="A5.E281.m1.13.13.2.2.2.3.2.cmml">o</mi><mn id="A5.E281.m1.13.13.2.2.2.3.3" xref="A5.E281.m1.13.13.2.2.2.3.3.cmml">2</mn></msub></mrow></mrow></msubsup><mo id="A5.E281.m1.22.22.4.5i" xref="A5.E281.m1.22.22.4.5.cmml">⁢</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="A5.E281.m1.22.22.4.12" xref="A5.E281.m1.22.22.4.12.cmml">𝒟</mi><mo id="A5.E281.m1.22.22.4.5j" xref="A5.E281.m1.22.22.4.5.cmml">⁢</mo><msub id="A5.E281.m1.22.22.4.13" xref="A5.E281.m1.22.22.4.13.cmml"><mrow id="A5.E281.m1.22.22.4.13.2.2" xref="A5.E281.m1.22.22.4.13.cmml"><mo id="A5.E281.m1.22.22.4.13.2.2.1" stretchy="false" xref="A5.E281.m1.22.22.4.13.cmml">(</mo><mi id="A5.E281.m1.17.17" xref="A5.E281.m1.17.17.cmml">q</mi><mo id="A5.E281.m1.22.22.4.13.2.2.2" stretchy="false" xref="A5.E281.m1.22.22.4.13.cmml">)</mo></mrow><mrow id="A5.E281.m1.22.22.4.13.3" xref="A5.E281.m1.22.22.4.13.3.cmml"><msub id="A5.E281.m1.22.22.4.13.3.2" xref="A5.E281.m1.22.22.4.13.3.2.cmml"><mi id="A5.E281.m1.22.22.4.13.3.2.2" xref="A5.E281.m1.22.22.4.13.3.2.2.cmml">a</mi><mn id="A5.E281.m1.22.22.4.13.3.2.3" xref="A5.E281.m1.22.22.4.13.3.2.3.cmml">1</mn></msub><mo id="A5.E281.m1.22.22.4.13.3.1" xref="A5.E281.m1.22.22.4.13.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="A5.E281.m1.22.22.4.13.3.3" xref="A5.E281.m1.22.22.4.13.3.3.cmml"><mi id="A5.E281.m1.22.22.4.13.3.3.2" 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id="A5.E281.m1.15.15.2.2.2.2" xref="A5.E281.m1.15.15.2.2.2.2.cmml">n</mi><mo id="A5.E281.m1.15.15.2.2.2.1" xref="A5.E281.m1.15.15.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="A5.E281.m1.15.15.2.2.2.3" xref="A5.E281.m1.15.15.2.2.2.3.cmml"><mi id="A5.E281.m1.15.15.2.2.2.3.2" xref="A5.E281.m1.15.15.2.2.2.3.2.cmml">o</mi><mn id="A5.E281.m1.15.15.2.2.2.3.3" xref="A5.E281.m1.15.15.2.2.2.3.3.cmml">1</mn></msub></mrow></mrow></msubsup></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A5.E281.m1.22b"><apply id="A5.E281.m1.22.22.cmml" xref="A5.E281.m1.22.22"><eq id="A5.E281.m1.22.22.5.cmml" xref="A5.E281.m1.22.22.5"></eq><apply id="A5.E281.m1.22.22.6.cmml" xref="A5.E281.m1.22.22.6"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.E281.m1.22.22.6.1.cmml" xref="A5.E281.m1.22.22.6">superscript</csymbol><apply id="A5.E281.m1.22.22.6.2.cmml" xref="A5.E281.m1.22.22.6"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.E281.m1.22.22.6.2.1.cmml" xref="A5.E281.m1.22.22.6">subscript</csymbol><ci id="A5.E281.m1.22.22.6.2.2.cmml" 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xref="A5.E281.m1.19.19.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.E281.m1.19.19.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="A5.E281.m1.19.19.1.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="A5.E281.m1.19.19.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="A5.E281.m1.19.19.1.1.1.3.2.2">𝑜</ci><cn id="A5.E281.m1.19.19.1.1.1.3.2.3.cmml" type="integer" xref="A5.E281.m1.19.19.1.1.1.3.2.3">5</cn></apply><ci id="A5.E281.m1.19.19.1.1.1.3.3.cmml" xref="A5.E281.m1.19.19.1.1.1.3.3">ℓ</ci></apply></apply><apply id="A5.E281.m1.19.19.1.1.3.cmml" xref="A5.E281.m1.19.19.1.1.3"><times id="A5.E281.m1.19.19.1.1.3.1.cmml" xref="A5.E281.m1.19.19.1.1.3.1"></times><ci id="A5.E281.m1.19.19.1.1.3.2.cmml" xref="A5.E281.m1.19.19.1.1.3.2">𝑐</ci><ci id="A5.E281.m1.19.19.1.1.3.3.cmml" xref="A5.E281.m1.19.19.1.1.3.3">𝑐</ci></apply></apply><ci id="A5.E281.m1.22.22.4.6.cmml" xref="A5.E281.m1.22.22.4.6">𝒲</ci><apply id="A5.E281.m1.20.20.2.2.cmml" xref="A5.E281.m1.20.20.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.E281.m1.20.20.2.2.2.cmml" xref="A5.E281.m1.20.20.2.2">subscript</csymbol><apply id="A5.E281.m1.20.20.2.2.1.cmml" xref="A5.E281.m1.20.20.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.E281.m1.20.20.2.2.1.2.cmml" xref="A5.E281.m1.20.20.2.2">superscript</csymbol><apply id="A5.E281.m1.20.20.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="A5.E281.m1.20.20.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.E281.m1.20.20.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="A5.E281.m1.20.20.2.2.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="A5.E281.m1.20.20.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="A5.E281.m1.20.20.2.2.1.1.1.1.2">𝑞</ci><apply id="A5.E281.m1.20.20.2.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="A5.E281.m1.20.20.2.2.1.1.1.1.3"><plus id="A5.E281.m1.20.20.2.2.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A5.E281.m1.20.20.2.2.1.1.1.1.3.1"></plus><ci id="A5.E281.m1.20.20.2.2.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A5.E281.m1.20.20.2.2.1.1.1.1.3.2">𝑚</ci><cn id="A5.E281.m1.20.20.2.2.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="A5.E281.m1.20.20.2.2.1.1.1.1.3.3">1</cn></apply></apply><list id="A5.E281.m1.7.7.2.3.cmml" xref="A5.E281.m1.7.7.2.2"><apply id="A5.E281.m1.6.6.1.1.1.cmml" xref="A5.E281.m1.6.6.1.1.1"><times id="A5.E281.m1.6.6.1.1.1.1.cmml" xref="A5.E281.m1.6.6.1.1.1.1"></times><ci id="A5.E281.m1.6.6.1.1.1.2.cmml" xref="A5.E281.m1.6.6.1.1.1.2">𝑖</ci><apply id="A5.E281.m1.6.6.1.1.1.3.cmml" xref="A5.E281.m1.6.6.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.E281.m1.6.6.1.1.1.3.1.cmml" xref="A5.E281.m1.6.6.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A5.E281.m1.6.6.1.1.1.3.2.cmml" xref="A5.E281.m1.6.6.1.1.1.3.2">𝑔</ci><cn id="A5.E281.m1.6.6.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="A5.E281.m1.6.6.1.1.1.3.3">3</cn></apply></apply><apply id="A5.E281.m1.7.7.2.2.2.cmml" xref="A5.E281.m1.7.7.2.2.2"><times id="A5.E281.m1.7.7.2.2.2.1.cmml" xref="A5.E281.m1.7.7.2.2.2.1"></times><apply id="A5.E281.m1.7.7.2.2.2.2.cmml" xref="A5.E281.m1.7.7.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.E281.m1.7.7.2.2.2.2.1.cmml" xref="A5.E281.m1.7.7.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="A5.E281.m1.7.7.2.2.2.2.2.cmml" xref="A5.E281.m1.7.7.2.2.2.2.2">𝑜</ci><cn id="A5.E281.m1.7.7.2.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="A5.E281.m1.7.7.2.2.2.2.3">4</cn></apply><apply id="A5.E281.m1.7.7.2.2.2.3.cmml" xref="A5.E281.m1.7.7.2.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.E281.m1.7.7.2.2.2.3.1.cmml" xref="A5.E281.m1.7.7.2.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="A5.E281.m1.7.7.2.2.2.3.2.cmml" xref="A5.E281.m1.7.7.2.2.2.3.2">𝑜</ci><cn id="A5.E281.m1.7.7.2.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="A5.E281.m1.7.7.2.2.2.3.3">5</cn></apply></apply></list></apply><apply id="A5.E281.m1.20.20.2.2.3.cmml" xref="A5.E281.m1.20.20.2.2.3"><times id="A5.E281.m1.20.20.2.2.3.1.cmml" xref="A5.E281.m1.20.20.2.2.3.1"></times><ci id="A5.E281.m1.20.20.2.2.3.2.cmml" xref="A5.E281.m1.20.20.2.2.3.2">𝑐</ci><apply id="A5.E281.m1.20.20.2.2.3.3.cmml" xref="A5.E281.m1.20.20.2.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.E281.m1.20.20.2.2.3.3.1.cmml" xref="A5.E281.m1.20.20.2.2.3.3">subscript</csymbol><ci id="A5.E281.m1.20.20.2.2.3.3.2.cmml" xref="A5.E281.m1.20.20.2.2.3.3.2">𝑎</ci><cn id="A5.E281.m1.20.20.2.2.3.3.3.cmml" type="integer" xref="A5.E281.m1.20.20.2.2.3.3.3">3</cn></apply></apply></apply><ci id="A5.E281.m1.22.22.4.7.cmml" xref="A5.E281.m1.22.22.4.7">𝒟</ci><apply id="A5.E281.m1.22.22.4.8.cmml" xref="A5.E281.m1.22.22.4.8"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.E281.m1.22.22.4.8.1.cmml" xref="A5.E281.m1.22.22.4.8">subscript</csymbol><ci id="A5.E281.m1.16.16.cmml" xref="A5.E281.m1.16.16">𝑞</ci><apply id="A5.E281.m1.22.22.4.8.3.cmml" xref="A5.E281.m1.22.22.4.8.3"><times id="A5.E281.m1.22.22.4.8.3.1.cmml" xref="A5.E281.m1.22.22.4.8.3.1"></times><apply id="A5.E281.m1.22.22.4.8.3.2.cmml" xref="A5.E281.m1.22.22.4.8.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.E281.m1.22.22.4.8.3.2.1.cmml" xref="A5.E281.m1.22.22.4.8.3.2">subscript</csymbol><ci id="A5.E281.m1.22.22.4.8.3.2.2.cmml" xref="A5.E281.m1.22.22.4.8.3.2.2">𝑎</ci><cn id="A5.E281.m1.22.22.4.8.3.2.3.cmml" type="integer" xref="A5.E281.m1.22.22.4.8.3.2.3">3</cn></apply><apply id="A5.E281.m1.22.22.4.8.3.3.cmml" xref="A5.E281.m1.22.22.4.8.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.E281.m1.22.22.4.8.3.3.1.cmml" xref="A5.E281.m1.22.22.4.8.3.3">subscript</csymbol><ci id="A5.E281.m1.22.22.4.8.3.3.2.cmml" xref="A5.E281.m1.22.22.4.8.3.3.2">𝑎</ci><cn id="A5.E281.m1.22.22.4.8.3.3.3.cmml" type="integer" xref="A5.E281.m1.22.22.4.8.3.3.3">3</cn></apply></apply></apply><ci id="A5.E281.m1.22.22.4.9.cmml" xref="A5.E281.m1.22.22.4.9">𝒞</ci><apply id="A5.E281.m1.21.21.3.3.cmml" xref="A5.E281.m1.21.21.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.E281.m1.21.21.3.3.2.cmml" xref="A5.E281.m1.21.21.3.3">subscript</csymbol><apply id="A5.E281.m1.21.21.3.3.1.cmml" xref="A5.E281.m1.21.21.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.E281.m1.21.21.3.3.1.2.cmml" xref="A5.E281.m1.21.21.3.3">superscript</csymbol><apply id="A5.E281.m1.21.21.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="A5.E281.m1.21.21.3.3.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.E281.m1.21.21.3.3.1.1.1.1.1.cmml" xref="A5.E281.m1.21.21.3.3.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="A5.E281.m1.21.21.3.3.1.1.1.1.2.cmml" xref="A5.E281.m1.21.21.3.3.1.1.1.1.2">𝑞</ci><ci id="A5.E281.m1.21.21.3.3.1.1.1.1.3.cmml" xref="A5.E281.m1.21.21.3.3.1.1.1.1.3">𝑚</ci></apply><list id="A5.E281.m1.9.9.2.3.cmml" xref="A5.E281.m1.9.9.2.2"><apply id="A5.E281.m1.8.8.1.1.1.cmml" xref="A5.E281.m1.8.8.1.1.1"><times id="A5.E281.m1.8.8.1.1.1.1.cmml" xref="A5.E281.m1.8.8.1.1.1.1"></times><apply id="A5.E281.m1.8.8.1.1.1.2.cmml" xref="A5.E281.m1.8.8.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.E281.m1.8.8.1.1.1.2.1.cmml" xref="A5.E281.m1.8.8.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="A5.E281.m1.8.8.1.1.1.2.2.cmml" xref="A5.E281.m1.8.8.1.1.1.2.2">𝑔</ci><cn id="A5.E281.m1.8.8.1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="A5.E281.m1.8.8.1.1.1.2.3">3</cn></apply><apply id="A5.E281.m1.8.8.1.1.1.3.cmml" xref="A5.E281.m1.8.8.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.E281.m1.8.8.1.1.1.3.1.cmml" xref="A5.E281.m1.8.8.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A5.E281.m1.8.8.1.1.1.3.2.cmml" xref="A5.E281.m1.8.8.1.1.1.3.2">𝑔</ci><cn id="A5.E281.m1.8.8.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="A5.E281.m1.8.8.1.1.1.3.3">2</cn></apply></apply><apply id="A5.E281.m1.9.9.2.2.2.cmml" xref="A5.E281.m1.9.9.2.2.2"><times id="A5.E281.m1.9.9.2.2.2.1.cmml" xref="A5.E281.m1.9.9.2.2.2.1"></times><apply id="A5.E281.m1.9.9.2.2.2.2.cmml" xref="A5.E281.m1.9.9.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.E281.m1.9.9.2.2.2.2.1.cmml" xref="A5.E281.m1.9.9.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="A5.E281.m1.9.9.2.2.2.2.2.cmml" xref="A5.E281.m1.9.9.2.2.2.2.2">𝑜</ci><cn id="A5.E281.m1.9.9.2.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="A5.E281.m1.9.9.2.2.2.2.3">3</cn></apply><apply id="A5.E281.m1.9.9.2.2.2.3.cmml" xref="A5.E281.m1.9.9.2.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.E281.m1.9.9.2.2.2.3.1.cmml" xref="A5.E281.m1.9.9.2.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="A5.E281.m1.9.9.2.2.2.3.2.cmml" xref="A5.E281.m1.9.9.2.2.2.3.2">𝑜</ci><cn id="A5.E281.m1.9.9.2.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="A5.E281.m1.9.9.2.2.2.3.3">4</cn></apply></apply></list></apply><apply id="A5.E281.m1.21.21.3.3.3.cmml" xref="A5.E281.m1.21.21.3.3.3"><times id="A5.E281.m1.21.21.3.3.3.1.cmml" xref="A5.E281.m1.21.21.3.3.3.1"></times><apply id="A5.E281.m1.21.21.3.3.3.2.cmml" xref="A5.E281.m1.21.21.3.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.E281.m1.21.21.3.3.3.2.1.cmml" xref="A5.E281.m1.21.21.3.3.3.2">subscript</csymbol><ci id="A5.E281.m1.21.21.3.3.3.2.2.cmml" xref="A5.E281.m1.21.21.3.3.3.2.2">𝑎</ci><cn id="A5.E281.m1.21.21.3.3.3.2.3.cmml" type="integer" xref="A5.E281.m1.21.21.3.3.3.2.3">3</cn></apply><apply id="A5.E281.m1.21.21.3.3.3.3.cmml" xref="A5.E281.m1.21.21.3.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.E281.m1.21.21.3.3.3.3.1.cmml" xref="A5.E281.m1.21.21.3.3.3.3">subscript</csymbol><ci id="A5.E281.m1.21.21.3.3.3.3.2.cmml" xref="A5.E281.m1.21.21.3.3.3.3.2">𝑎</ci><cn id="A5.E281.m1.21.21.3.3.3.3.3.cmml" type="integer" xref="A5.E281.m1.21.21.3.3.3.3.3">2</cn></apply></apply></apply><apply id="A5.E281.m1.22.22.4.10.cmml" xref="A5.E281.m1.22.22.4.10"><csymbol cd="ambiguous" 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id="A5.E281.m1.11.11.2.2.2.2.1.cmml" xref="A5.E281.m1.11.11.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="A5.E281.m1.11.11.2.2.2.2.2.cmml" xref="A5.E281.m1.11.11.2.2.2.2.2">𝑎</ci><cn id="A5.E281.m1.11.11.2.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="A5.E281.m1.11.11.2.2.2.2.3">2</cn></apply><apply id="A5.E281.m1.11.11.2.2.2.3.cmml" xref="A5.E281.m1.11.11.2.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.E281.m1.11.11.2.2.2.3.1.cmml" xref="A5.E281.m1.11.11.2.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="A5.E281.m1.11.11.2.2.2.3.2.cmml" xref="A5.E281.m1.11.11.2.2.2.3.2">𝑎</ci><cn id="A5.E281.m1.11.11.2.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="A5.E281.m1.11.11.2.2.2.3.3">2</cn></apply></apply></list></apply><apply id="A5.E281.m1.22.22.4.10.3.cmml" xref="A5.E281.m1.22.22.4.10.3"><times id="A5.E281.m1.22.22.4.10.3.1.cmml" xref="A5.E281.m1.22.22.4.10.3.1"></times><apply id="A5.E281.m1.22.22.4.10.3.2.cmml" xref="A5.E281.m1.22.22.4.10.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.E281.m1.22.22.4.10.3.2.1.cmml" 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end_POSTSUPERSCRIPT = [ ( caligraphic_D start_POSTSUBSCRIPT italic_ν start_POSTSUBSCRIPT italic_R end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT ] start_POSTSUPERSCRIPT italic_o start_POSTSUBSCRIPT 5 end_POSTSUBSCRIPT roman_ℓ end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_c italic_c end_POSTSUBSCRIPT caligraphic_W ( italic_q start_POSTSUPERSCRIPT italic_m + 1 end_POSTSUPERSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_i italic_g start_POSTSUBSCRIPT 3 end_POSTSUBSCRIPT , italic_o start_POSTSUBSCRIPT 4 end_POSTSUBSCRIPT italic_o start_POSTSUBSCRIPT 5 end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_c italic_a start_POSTSUBSCRIPT 3 end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT caligraphic_D ( italic_q ) start_POSTSUBSCRIPT italic_a start_POSTSUBSCRIPT 3 end_POSTSUBSCRIPT italic_a start_POSTSUBSCRIPT 3 end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT caligraphic_C ( italic_q start_POSTSUPERSCRIPT italic_m end_POSTSUPERSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_g start_POSTSUBSCRIPT 3 end_POSTSUBSCRIPT italic_g start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT , italic_o start_POSTSUBSCRIPT 3 end_POSTSUBSCRIPT italic_o start_POSTSUBSCRIPT 4 end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_a start_POSTSUBSCRIPT 3 end_POSTSUBSCRIPT italic_a start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT caligraphic_D start_POSTSUBSCRIPT italic_ν start_POSTSUBSCRIPT italic_R end_POSTSUBSCRIPT , italic_a start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT italic_a start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_o start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT italic_o start_POSTSUBSCRIPT 3 end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT caligraphic_W ( italic_q start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_g start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT italic_g start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , italic_o start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT italic_o start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_a start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT italic_a start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT caligraphic_D ( italic_q ) start_POSTSUBSCRIPT italic_a start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT italic_a start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT caligraphic_C ( italic_q ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_g start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT italic_h , italic_n italic_o start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_a start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT italic_b end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(281)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="A5.p3.16">Note that the indices corresponding to the right-action irrep are applied as a right action, while the indices corresponding to the left-action irrep, and the conjugacy class indices, are applied as left action.</p> </div> <div class="ltx_para" id="A5.p4"> <p class="ltx_p" id="A5.p4.6">One advantage of working in this basis is that the size of each isotypical subspace is significantly reduced. For example, under only right-action symmetry, the largest isotypical subspace dimension <math alttext="\max_{\lambda}d_{\lambda}(t!)^{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="A5.p4.1.m1.1"><semantics id="A5.p4.1.m1.1a"><mrow id="A5.p4.1.m1.1.1" xref="A5.p4.1.m1.1.1.cmml"><mrow id="A5.p4.1.m1.1.1.3" xref="A5.p4.1.m1.1.1.3.cmml"><msub id="A5.p4.1.m1.1.1.3.1" xref="A5.p4.1.m1.1.1.3.1.cmml"><mi id="A5.p4.1.m1.1.1.3.1.2" xref="A5.p4.1.m1.1.1.3.1.2.cmml">max</mi><mi id="A5.p4.1.m1.1.1.3.1.3" xref="A5.p4.1.m1.1.1.3.1.3.cmml">λ</mi></msub><mo id="A5.p4.1.m1.1.1.3a" lspace="0.167em" xref="A5.p4.1.m1.1.1.3.cmml">⁡</mo><msub id="A5.p4.1.m1.1.1.3.2" xref="A5.p4.1.m1.1.1.3.2.cmml"><mi id="A5.p4.1.m1.1.1.3.2.2" xref="A5.p4.1.m1.1.1.3.2.2.cmml">d</mi><mi id="A5.p4.1.m1.1.1.3.2.3" xref="A5.p4.1.m1.1.1.3.2.3.cmml">λ</mi></msub></mrow><mo id="A5.p4.1.m1.1.1.2" xref="A5.p4.1.m1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msup id="A5.p4.1.m1.1.1.1" xref="A5.p4.1.m1.1.1.1.cmml"><mrow id="A5.p4.1.m1.1.1.1.1.1" xref="A5.p4.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A5.p4.1.m1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A5.p4.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A5.p4.1.m1.1.1.1.1.1.1" xref="A5.p4.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A5.p4.1.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A5.p4.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">t</mi><mo id="A5.p4.1.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A5.p4.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">!</mo></mrow><mo id="A5.p4.1.m1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A5.p4.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mn id="A5.p4.1.m1.1.1.1.3" xref="A5.p4.1.m1.1.1.1.3.cmml">2</mn></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A5.p4.1.m1.1b"><apply id="A5.p4.1.m1.1.1.cmml" xref="A5.p4.1.m1.1.1"><times id="A5.p4.1.m1.1.1.2.cmml" xref="A5.p4.1.m1.1.1.2"></times><apply id="A5.p4.1.m1.1.1.3.cmml" xref="A5.p4.1.m1.1.1.3"><apply id="A5.p4.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="A5.p4.1.m1.1.1.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.p4.1.m1.1.1.3.1.1.cmml" xref="A5.p4.1.m1.1.1.3.1">subscript</csymbol><max id="A5.p4.1.m1.1.1.3.1.2.cmml" xref="A5.p4.1.m1.1.1.3.1.2"></max><ci id="A5.p4.1.m1.1.1.3.1.3.cmml" xref="A5.p4.1.m1.1.1.3.1.3">𝜆</ci></apply><apply id="A5.p4.1.m1.1.1.3.2.cmml" xref="A5.p4.1.m1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.p4.1.m1.1.1.3.2.1.cmml" xref="A5.p4.1.m1.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="A5.p4.1.m1.1.1.3.2.2.cmml" xref="A5.p4.1.m1.1.1.3.2.2">𝑑</ci><ci id="A5.p4.1.m1.1.1.3.2.3.cmml" xref="A5.p4.1.m1.1.1.3.2.3">𝜆</ci></apply></apply><apply id="A5.p4.1.m1.1.1.1.cmml" xref="A5.p4.1.m1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.p4.1.m1.1.1.1.2.cmml" xref="A5.p4.1.m1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="A5.p4.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A5.p4.1.m1.1.1.1.1.1"><factorial id="A5.p4.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A5.p4.1.m1.1.1.1.1.1.1.1"></factorial><ci id="A5.p4.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A5.p4.1.m1.1.1.1.1.1.1.2">𝑡</ci></apply><cn id="A5.p4.1.m1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A5.p4.1.m1.1.1.1.3">2</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A5.p4.1.m1.1c">\max_{\lambda}d_{\lambda}(t!)^{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A5.p4.1.m1.1d">roman_max start_POSTSUBSCRIPT italic_λ end_POSTSUBSCRIPT italic_d start_POSTSUBSCRIPT italic_λ end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t ! ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> is 11520 at <math alttext="t=6" class="ltx_Math" display="inline" id="A5.p4.2.m2.1"><semantics id="A5.p4.2.m2.1a"><mrow id="A5.p4.2.m2.1.1" xref="A5.p4.2.m2.1.1.cmml"><mi id="A5.p4.2.m2.1.1.2" xref="A5.p4.2.m2.1.1.2.cmml">t</mi><mo id="A5.p4.2.m2.1.1.1" xref="A5.p4.2.m2.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="A5.p4.2.m2.1.1.3" xref="A5.p4.2.m2.1.1.3.cmml">6</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A5.p4.2.m2.1b"><apply id="A5.p4.2.m2.1.1.cmml" xref="A5.p4.2.m2.1.1"><eq id="A5.p4.2.m2.1.1.1.cmml" xref="A5.p4.2.m2.1.1.1"></eq><ci id="A5.p4.2.m2.1.1.2.cmml" xref="A5.p4.2.m2.1.1.2">𝑡</ci><cn id="A5.p4.2.m2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A5.p4.2.m2.1.1.3">6</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A5.p4.2.m2.1c">t=6</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A5.p4.2.m2.1d">italic_t = 6</annotation></semantics></math>. Under both left-action and right-action, the largest possible size of an isotypical subspace is <math alttext="\max_{\lambda}d_{\lambda}^{2}N_{c}=2816" class="ltx_Math" display="inline" id="A5.p4.3.m3.1"><semantics id="A5.p4.3.m3.1a"><mrow id="A5.p4.3.m3.1.1" xref="A5.p4.3.m3.1.1.cmml"><mrow id="A5.p4.3.m3.1.1.2" xref="A5.p4.3.m3.1.1.2.cmml"><msub id="A5.p4.3.m3.1.1.2.1" xref="A5.p4.3.m3.1.1.2.1.cmml"><mi id="A5.p4.3.m3.1.1.2.1.2" xref="A5.p4.3.m3.1.1.2.1.2.cmml">max</mi><mi id="A5.p4.3.m3.1.1.2.1.3" xref="A5.p4.3.m3.1.1.2.1.3.cmml">λ</mi></msub><mo id="A5.p4.3.m3.1.1.2a" lspace="0.167em" xref="A5.p4.3.m3.1.1.2.cmml">⁡</mo><mrow id="A5.p4.3.m3.1.1.2.2" xref="A5.p4.3.m3.1.1.2.2.cmml"><msubsup id="A5.p4.3.m3.1.1.2.2.2" xref="A5.p4.3.m3.1.1.2.2.2.cmml"><mi id="A5.p4.3.m3.1.1.2.2.2.2.2" xref="A5.p4.3.m3.1.1.2.2.2.2.2.cmml">d</mi><mi id="A5.p4.3.m3.1.1.2.2.2.2.3" xref="A5.p4.3.m3.1.1.2.2.2.2.3.cmml">λ</mi><mn id="A5.p4.3.m3.1.1.2.2.2.3" xref="A5.p4.3.m3.1.1.2.2.2.3.cmml">2</mn></msubsup><mo id="A5.p4.3.m3.1.1.2.2.1" xref="A5.p4.3.m3.1.1.2.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="A5.p4.3.m3.1.1.2.2.3" xref="A5.p4.3.m3.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="A5.p4.3.m3.1.1.2.2.3.2" xref="A5.p4.3.m3.1.1.2.2.3.2.cmml">N</mi><mi id="A5.p4.3.m3.1.1.2.2.3.3" xref="A5.p4.3.m3.1.1.2.2.3.3.cmml">c</mi></msub></mrow></mrow><mo id="A5.p4.3.m3.1.1.1" xref="A5.p4.3.m3.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="A5.p4.3.m3.1.1.3" xref="A5.p4.3.m3.1.1.3.cmml">2816</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A5.p4.3.m3.1b"><apply id="A5.p4.3.m3.1.1.cmml" xref="A5.p4.3.m3.1.1"><eq id="A5.p4.3.m3.1.1.1.cmml" xref="A5.p4.3.m3.1.1.1"></eq><apply id="A5.p4.3.m3.1.1.2.cmml" xref="A5.p4.3.m3.1.1.2"><apply id="A5.p4.3.m3.1.1.2.1.cmml" xref="A5.p4.3.m3.1.1.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.p4.3.m3.1.1.2.1.1.cmml" xref="A5.p4.3.m3.1.1.2.1">subscript</csymbol><max id="A5.p4.3.m3.1.1.2.1.2.cmml" xref="A5.p4.3.m3.1.1.2.1.2"></max><ci id="A5.p4.3.m3.1.1.2.1.3.cmml" xref="A5.p4.3.m3.1.1.2.1.3">𝜆</ci></apply><apply id="A5.p4.3.m3.1.1.2.2.cmml" xref="A5.p4.3.m3.1.1.2.2"><times id="A5.p4.3.m3.1.1.2.2.1.cmml" xref="A5.p4.3.m3.1.1.2.2.1"></times><apply id="A5.p4.3.m3.1.1.2.2.2.cmml" xref="A5.p4.3.m3.1.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.p4.3.m3.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="A5.p4.3.m3.1.1.2.2.2">superscript</csymbol><apply id="A5.p4.3.m3.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="A5.p4.3.m3.1.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.p4.3.m3.1.1.2.2.2.2.1.cmml" xref="A5.p4.3.m3.1.1.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="A5.p4.3.m3.1.1.2.2.2.2.2.cmml" xref="A5.p4.3.m3.1.1.2.2.2.2.2">𝑑</ci><ci id="A5.p4.3.m3.1.1.2.2.2.2.3.cmml" xref="A5.p4.3.m3.1.1.2.2.2.2.3">𝜆</ci></apply><cn id="A5.p4.3.m3.1.1.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="A5.p4.3.m3.1.1.2.2.2.3">2</cn></apply><apply id="A5.p4.3.m3.1.1.2.2.3.cmml" xref="A5.p4.3.m3.1.1.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A5.p4.3.m3.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="A5.p4.3.m3.1.1.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="A5.p4.3.m3.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="A5.p4.3.m3.1.1.2.2.3.2">𝑁</ci><ci id="A5.p4.3.m3.1.1.2.2.3.3.cmml" xref="A5.p4.3.m3.1.1.2.2.3.3">𝑐</ci></apply></apply></apply><cn id="A5.p4.3.m3.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A5.p4.3.m3.1.1.3">2816</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A5.p4.3.m3.1c">\max_{\lambda}d_{\lambda}^{2}N_{c}=2816</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A5.p4.3.m3.1d">roman_max start_POSTSUBSCRIPT italic_λ end_POSTSUBSCRIPT italic_d start_POSTSUBSCRIPT italic_λ end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT italic_N start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT = 2816</annotation></semantics></math> for <math alttext="t=6" class="ltx_Math" display="inline" id="A5.p4.4.m4.1"><semantics id="A5.p4.4.m4.1a"><mrow id="A5.p4.4.m4.1.1" xref="A5.p4.4.m4.1.1.cmml"><mi id="A5.p4.4.m4.1.1.2" xref="A5.p4.4.m4.1.1.2.cmml">t</mi><mo id="A5.p4.4.m4.1.1.1" xref="A5.p4.4.m4.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="A5.p4.4.m4.1.1.3" xref="A5.p4.4.m4.1.1.3.cmml">6</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A5.p4.4.m4.1b"><apply id="A5.p4.4.m4.1.1.cmml" xref="A5.p4.4.m4.1.1"><eq id="A5.p4.4.m4.1.1.1.cmml" xref="A5.p4.4.m4.1.1.1"></eq><ci id="A5.p4.4.m4.1.1.2.cmml" xref="A5.p4.4.m4.1.1.2">𝑡</ci><cn id="A5.p4.4.m4.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A5.p4.4.m4.1.1.3">6</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A5.p4.4.m4.1c">t=6</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A5.p4.4.m4.1d">italic_t = 6</annotation></semantics></math>, corresponding to the partition <math alttext="\lambda=(3,2,1)" class="ltx_Math" display="inline" id="A5.p4.5.m5.3"><semantics id="A5.p4.5.m5.3a"><mrow id="A5.p4.5.m5.3.4" xref="A5.p4.5.m5.3.4.cmml"><mi id="A5.p4.5.m5.3.4.2" xref="A5.p4.5.m5.3.4.2.cmml">λ</mi><mo id="A5.p4.5.m5.3.4.1" xref="A5.p4.5.m5.3.4.1.cmml">=</mo><mrow id="A5.p4.5.m5.3.4.3.2" xref="A5.p4.5.m5.3.4.3.1.cmml"><mo id="A5.p4.5.m5.3.4.3.2.1" stretchy="false" xref="A5.p4.5.m5.3.4.3.1.cmml">(</mo><mn id="A5.p4.5.m5.1.1" xref="A5.p4.5.m5.1.1.cmml">3</mn><mo id="A5.p4.5.m5.3.4.3.2.2" xref="A5.p4.5.m5.3.4.3.1.cmml">,</mo><mn id="A5.p4.5.m5.2.2" xref="A5.p4.5.m5.2.2.cmml">2</mn><mo id="A5.p4.5.m5.3.4.3.2.3" xref="A5.p4.5.m5.3.4.3.1.cmml">,</mo><mn id="A5.p4.5.m5.3.3" xref="A5.p4.5.m5.3.3.cmml">1</mn><mo id="A5.p4.5.m5.3.4.3.2.4" stretchy="false" xref="A5.p4.5.m5.3.4.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A5.p4.5.m5.3b"><apply id="A5.p4.5.m5.3.4.cmml" xref="A5.p4.5.m5.3.4"><eq id="A5.p4.5.m5.3.4.1.cmml" xref="A5.p4.5.m5.3.4.1"></eq><ci id="A5.p4.5.m5.3.4.2.cmml" xref="A5.p4.5.m5.3.4.2">𝜆</ci><vector id="A5.p4.5.m5.3.4.3.1.cmml" xref="A5.p4.5.m5.3.4.3.2"><cn id="A5.p4.5.m5.1.1.cmml" type="integer" xref="A5.p4.5.m5.1.1">3</cn><cn id="A5.p4.5.m5.2.2.cmml" type="integer" xref="A5.p4.5.m5.2.2">2</cn><cn id="A5.p4.5.m5.3.3.cmml" type="integer" xref="A5.p4.5.m5.3.3">1</cn></vector></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A5.p4.5.m5.3c">\lambda=(3,2,1)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A5.p4.5.m5.3d">italic_λ = ( 3 , 2 , 1 )</annotation></semantics></math>. However, these matrices tend to be extremely sparse, which reduces this number even further - for example, there are only 50 nonzero singular values in <math alttext="\mathcal{C}(2)" class="ltx_Math" display="inline" id="A5.p4.6.m6.1"><semantics id="A5.p4.6.m6.1a"><mrow id="A5.p4.6.m6.1.2" xref="A5.p4.6.m6.1.2.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="A5.p4.6.m6.1.2.2" xref="A5.p4.6.m6.1.2.2.cmml">𝒞</mi><mo id="A5.p4.6.m6.1.2.1" xref="A5.p4.6.m6.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A5.p4.6.m6.1.2.3.2" xref="A5.p4.6.m6.1.2.cmml"><mo id="A5.p4.6.m6.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="A5.p4.6.m6.1.2.cmml">(</mo><mn id="A5.p4.6.m6.1.1" xref="A5.p4.6.m6.1.1.cmml">2</mn><mo id="A5.p4.6.m6.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="A5.p4.6.m6.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A5.p4.6.m6.1b"><apply id="A5.p4.6.m6.1.2.cmml" xref="A5.p4.6.m6.1.2"><times id="A5.p4.6.m6.1.2.1.cmml" xref="A5.p4.6.m6.1.2.1"></times><ci id="A5.p4.6.m6.1.2.2.cmml" xref="A5.p4.6.m6.1.2.2">𝒞</ci><cn id="A5.p4.6.m6.1.1.cmml" type="integer" xref="A5.p4.6.m6.1.1">2</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A5.p4.6.m6.1c">\mathcal{C}(2)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A5.p4.6.m6.1d">caligraphic_C ( 2 )</annotation></semantics></math> for the maximal dimension partition. The Gelfand-Tsetlin basis can be used to reduce the number of relevant vectors further. Since every leaf in the Bratteli diagram gives the same spectrum, only one path must be computed.</p> </div> </section> <section class="ltx_appendix" id="A6"> <h2 class="ltx_title ltx_title_appendix"> <span class="ltx_tag ltx_tag_appendix">Appendix F </span>Special bound for <math alttext="q=2" class="ltx_Math" display="inline" id="A6.1.m1.1"><semantics id="A6.1.m1.1b"><mrow id="A6.1.m1.1.1" xref="A6.1.m1.1.1.cmml"><mi id="A6.1.m1.1.1.2" xref="A6.1.m1.1.1.2.cmml">q</mi><mo id="A6.1.m1.1.1.1" xref="A6.1.m1.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="A6.1.m1.1.1.3" xref="A6.1.m1.1.1.3.cmml">2</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A6.1.m1.1c"><apply id="A6.1.m1.1.1.cmml" xref="A6.1.m1.1.1"><eq id="A6.1.m1.1.1.1.cmml" xref="A6.1.m1.1.1.1"></eq><ci id="A6.1.m1.1.1.2.cmml" xref="A6.1.m1.1.1.2">𝑞</ci><cn id="A6.1.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A6.1.m1.1.1.3">2</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A6.1.m1.1d">q=2</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A6.1.m1.1e">italic_q = 2</annotation></semantics></math> </h2> <div class="ltx_para" id="A6.p1"> <p class="ltx_p" id="A6.p1.6">The bound</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_gather ltx_eqn_table" id="S6.EGx244"> <tbody id="A6.E282"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\displaystyle k_{m}\leq\frac{1}{q^{2}+1}" class="ltx_Math" display="block" id="A6.E282.m1.1"><semantics id="A6.E282.m1.1a"><mrow id="A6.E282.m1.1.1" xref="A6.E282.m1.1.1.cmml"><msub id="A6.E282.m1.1.1.2" xref="A6.E282.m1.1.1.2.cmml"><mi id="A6.E282.m1.1.1.2.2" xref="A6.E282.m1.1.1.2.2.cmml">k</mi><mi id="A6.E282.m1.1.1.2.3" xref="A6.E282.m1.1.1.2.3.cmml">m</mi></msub><mo id="A6.E282.m1.1.1.1" xref="A6.E282.m1.1.1.1.cmml">≤</mo><mfrac id="A6.E282.m1.1.1.3" xref="A6.E282.m1.1.1.3.cmml"><mn id="A6.E282.m1.1.1.3.2" xref="A6.E282.m1.1.1.3.2.cmml">1</mn><mrow id="A6.E282.m1.1.1.3.3" xref="A6.E282.m1.1.1.3.3.cmml"><msup id="A6.E282.m1.1.1.3.3.2" xref="A6.E282.m1.1.1.3.3.2.cmml"><mi id="A6.E282.m1.1.1.3.3.2.2" xref="A6.E282.m1.1.1.3.3.2.2.cmml">q</mi><mn id="A6.E282.m1.1.1.3.3.2.3" xref="A6.E282.m1.1.1.3.3.2.3.cmml">2</mn></msup><mo id="A6.E282.m1.1.1.3.3.1" xref="A6.E282.m1.1.1.3.3.1.cmml">+</mo><mn id="A6.E282.m1.1.1.3.3.3" xref="A6.E282.m1.1.1.3.3.3.cmml">1</mn></mrow></mfrac></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A6.E282.m1.1b"><apply id="A6.E282.m1.1.1.cmml" xref="A6.E282.m1.1.1"><leq id="A6.E282.m1.1.1.1.cmml" xref="A6.E282.m1.1.1.1"></leq><apply id="A6.E282.m1.1.1.2.cmml" xref="A6.E282.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A6.E282.m1.1.1.2.1.cmml" xref="A6.E282.m1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="A6.E282.m1.1.1.2.2.cmml" xref="A6.E282.m1.1.1.2.2">𝑘</ci><ci id="A6.E282.m1.1.1.2.3.cmml" xref="A6.E282.m1.1.1.2.3">𝑚</ci></apply><apply id="A6.E282.m1.1.1.3.cmml" xref="A6.E282.m1.1.1.3"><divide id="A6.E282.m1.1.1.3.1.cmml" xref="A6.E282.m1.1.1.3"></divide><cn id="A6.E282.m1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="A6.E282.m1.1.1.3.2">1</cn><apply id="A6.E282.m1.1.1.3.3.cmml" xref="A6.E282.m1.1.1.3.3"><plus id="A6.E282.m1.1.1.3.3.1.cmml" xref="A6.E282.m1.1.1.3.3.1"></plus><apply id="A6.E282.m1.1.1.3.3.2.cmml" xref="A6.E282.m1.1.1.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A6.E282.m1.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="A6.E282.m1.1.1.3.3.2">superscript</csymbol><ci id="A6.E282.m1.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="A6.E282.m1.1.1.3.3.2.2">𝑞</ci><cn id="A6.E282.m1.1.1.3.3.2.3.cmml" type="integer" xref="A6.E282.m1.1.1.3.3.2.3">2</cn></apply><cn id="A6.E282.m1.1.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="A6.E282.m1.1.1.3.3.3">1</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A6.E282.m1.1c">\displaystyle k_{m}\leq\frac{1}{q^{2}+1}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A6.E282.m1.1d">italic_k start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT ≤ divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_q start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + 1 end_ARG</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(282)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="A6.p1.5">holds in every case we have checked except one. When <math alttext="q=2" class="ltx_Math" display="inline" id="A6.p1.1.m1.1"><semantics id="A6.p1.1.m1.1a"><mrow id="A6.p1.1.m1.1.1" xref="A6.p1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="A6.p1.1.m1.1.1.2" xref="A6.p1.1.m1.1.1.2.cmml">q</mi><mo id="A6.p1.1.m1.1.1.1" xref="A6.p1.1.m1.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="A6.p1.1.m1.1.1.3" xref="A6.p1.1.m1.1.1.3.cmml">2</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A6.p1.1.m1.1b"><apply id="A6.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="A6.p1.1.m1.1.1"><eq id="A6.p1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="A6.p1.1.m1.1.1.1"></eq><ci id="A6.p1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="A6.p1.1.m1.1.1.2">𝑞</ci><cn id="A6.p1.1.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A6.p1.1.m1.1.1.3">2</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A6.p1.1.m1.1c">q=2</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A6.p1.1.m1.1d">italic_q = 2</annotation></semantics></math>, <math alttext="t=4" class="ltx_Math" display="inline" id="A6.p1.2.m2.1"><semantics id="A6.p1.2.m2.1a"><mrow id="A6.p1.2.m2.1.1" xref="A6.p1.2.m2.1.1.cmml"><mi id="A6.p1.2.m2.1.1.2" xref="A6.p1.2.m2.1.1.2.cmml">t</mi><mo id="A6.p1.2.m2.1.1.1" xref="A6.p1.2.m2.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="A6.p1.2.m2.1.1.3" xref="A6.p1.2.m2.1.1.3.cmml">4</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A6.p1.2.m2.1b"><apply id="A6.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="A6.p1.2.m2.1.1"><eq id="A6.p1.2.m2.1.1.1.cmml" xref="A6.p1.2.m2.1.1.1"></eq><ci id="A6.p1.2.m2.1.1.2.cmml" xref="A6.p1.2.m2.1.1.2">𝑡</ci><cn id="A6.p1.2.m2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A6.p1.2.m2.1.1.3">4</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A6.p1.2.m2.1c">t=4</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A6.p1.2.m2.1d">italic_t = 4</annotation></semantics></math>, and <math alttext="m=1" class="ltx_Math" display="inline" id="A6.p1.3.m3.1"><semantics id="A6.p1.3.m3.1a"><mrow id="A6.p1.3.m3.1.1" xref="A6.p1.3.m3.1.1.cmml"><mi id="A6.p1.3.m3.1.1.2" xref="A6.p1.3.m3.1.1.2.cmml">m</mi><mo id="A6.p1.3.m3.1.1.1" xref="A6.p1.3.m3.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="A6.p1.3.m3.1.1.3" xref="A6.p1.3.m3.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A6.p1.3.m3.1b"><apply id="A6.p1.3.m3.1.1.cmml" xref="A6.p1.3.m3.1.1"><eq id="A6.p1.3.m3.1.1.1.cmml" xref="A6.p1.3.m3.1.1.1"></eq><ci id="A6.p1.3.m3.1.1.2.cmml" xref="A6.p1.3.m3.1.1.2">𝑚</ci><cn id="A6.p1.3.m3.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A6.p1.3.m3.1.1.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A6.p1.3.m3.1c">m=1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A6.p1.3.m3.1d">italic_m = 1</annotation></semantics></math>, the eigenvalue is <math alttext="\frac{1}{4}" class="ltx_Math" display="inline" id="A6.p1.4.m4.1"><semantics id="A6.p1.4.m4.1a"><mfrac id="A6.p1.4.m4.1.1" xref="A6.p1.4.m4.1.1.cmml"><mn id="A6.p1.4.m4.1.1.2" xref="A6.p1.4.m4.1.1.2.cmml">1</mn><mn id="A6.p1.4.m4.1.1.3" xref="A6.p1.4.m4.1.1.3.cmml">4</mn></mfrac><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A6.p1.4.m4.1b"><apply id="A6.p1.4.m4.1.1.cmml" xref="A6.p1.4.m4.1.1"><divide id="A6.p1.4.m4.1.1.1.cmml" xref="A6.p1.4.m4.1.1"></divide><cn id="A6.p1.4.m4.1.1.2.cmml" type="integer" xref="A6.p1.4.m4.1.1.2">1</cn><cn id="A6.p1.4.m4.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A6.p1.4.m4.1.1.3">4</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A6.p1.4.m4.1c">\frac{1}{4}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A6.p1.4.m4.1d">divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 4 end_ARG</annotation></semantics></math> instead of the expected <math alttext="\frac{1}{5}" class="ltx_Math" display="inline" id="A6.p1.5.m5.1"><semantics id="A6.p1.5.m5.1a"><mfrac id="A6.p1.5.m5.1.1" xref="A6.p1.5.m5.1.1.cmml"><mn id="A6.p1.5.m5.1.1.2" xref="A6.p1.5.m5.1.1.2.cmml">1</mn><mn id="A6.p1.5.m5.1.1.3" xref="A6.p1.5.m5.1.1.3.cmml">5</mn></mfrac><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A6.p1.5.m5.1b"><apply id="A6.p1.5.m5.1.1.cmml" xref="A6.p1.5.m5.1.1"><divide id="A6.p1.5.m5.1.1.1.cmml" xref="A6.p1.5.m5.1.1"></divide><cn id="A6.p1.5.m5.1.1.2.cmml" type="integer" xref="A6.p1.5.m5.1.1.2">1</cn><cn id="A6.p1.5.m5.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A6.p1.5.m5.1.1.3">5</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A6.p1.5.m5.1c">\frac{1}{5}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A6.p1.5.m5.1d">divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 5 end_ARG</annotation></semantics></math>. We thus cannot prove Theorem <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#Thmtheorem5" title="Theorem 5. ‣ I.2 Main results ‣ I Introduction ‣ Conditional 𝑡-independent spectral gap for random quantum circuits and implications for 𝑡-design depths"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">5</span></a> in this case by using Lemma <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#Thmtheorem18" title="Lemma 18. ‣ III Bounding the staircase by a single gate ‣ Conditional 𝑡-independent spectral gap for random quantum circuits and implications for 𝑡-design depths"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">18</span></a>. We will now give an alternative to Lemma <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#Thmtheorem18" title="Lemma 18. ‣ III Bounding the staircase by a single gate ‣ Conditional 𝑡-independent spectral gap for random quantum circuits and implications for 𝑡-design depths"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">18</span></a> that holds in this special case.</p> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_lemma" id="Thmtheorem66"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmtheorem66.1.1.1">Lemma 66</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmtheorem66.2.2">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="Thmtheorem66.p1"> <p class="ltx_p" id="Thmtheorem66.p1.1"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmtheorem66.p1.1.1">Suppose that there exists <math alttext="\lambda" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem66.p1.1.1.m1.1"><semantics id="Thmtheorem66.p1.1.1.m1.1a"><mi id="Thmtheorem66.p1.1.1.m1.1.1" xref="Thmtheorem66.p1.1.1.m1.1.1.cmml">λ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem66.p1.1.1.m1.1b"><ci id="Thmtheorem66.p1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem66.p1.1.1.m1.1.1">𝜆</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem66.p1.1.1.m1.1c">\lambda</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem66.p1.1.1.m1.1d">italic_λ</annotation></semantics></math> such that the following conditions hold:</span></p> <ul class="ltx_itemize" id="A6.I1"> <li class="ltx_item" id="A6.I1.i1" style="list-style-type:none;"> <span class="ltx_tag ltx_tag_item">•</span> <div class="ltx_para" id="A6.I1.i1.p1"> <p class="ltx_p" id="A6.I1.i1.p1.1"><math alttext="0.06963\leq\lambda\leq\frac{1}{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="A6.I1.i1.p1.1.m1.1"><semantics id="A6.I1.i1.p1.1.m1.1a"><mrow id="A6.I1.i1.p1.1.m1.1.1" xref="A6.I1.i1.p1.1.m1.1.1.cmml"><mn id="A6.I1.i1.p1.1.m1.1.1.2" xref="A6.I1.i1.p1.1.m1.1.1.2.cmml">0.06963</mn><mo id="A6.I1.i1.p1.1.m1.1.1.3" xref="A6.I1.i1.p1.1.m1.1.1.3.cmml">≤</mo><mi id="A6.I1.i1.p1.1.m1.1.1.4" xref="A6.I1.i1.p1.1.m1.1.1.4.cmml">λ</mi><mo id="A6.I1.i1.p1.1.m1.1.1.5" xref="A6.I1.i1.p1.1.m1.1.1.5.cmml">≤</mo><mfrac id="A6.I1.i1.p1.1.m1.1.1.6" xref="A6.I1.i1.p1.1.m1.1.1.6.cmml"><mn id="A6.I1.i1.p1.1.m1.1.1.6.2" xref="A6.I1.i1.p1.1.m1.1.1.6.2.cmml">1</mn><mn id="A6.I1.i1.p1.1.m1.1.1.6.3" xref="A6.I1.i1.p1.1.m1.1.1.6.3.cmml">2</mn></mfrac></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A6.I1.i1.p1.1.m1.1b"><apply id="A6.I1.i1.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="A6.I1.i1.p1.1.m1.1.1"><and id="A6.I1.i1.p1.1.m1.1.1a.cmml" xref="A6.I1.i1.p1.1.m1.1.1"></and><apply id="A6.I1.i1.p1.1.m1.1.1b.cmml" xref="A6.I1.i1.p1.1.m1.1.1"><leq id="A6.I1.i1.p1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="A6.I1.i1.p1.1.m1.1.1.3"></leq><cn id="A6.I1.i1.p1.1.m1.1.1.2.cmml" type="float" xref="A6.I1.i1.p1.1.m1.1.1.2">0.06963</cn><ci id="A6.I1.i1.p1.1.m1.1.1.4.cmml" xref="A6.I1.i1.p1.1.m1.1.1.4">𝜆</ci></apply><apply id="A6.I1.i1.p1.1.m1.1.1c.cmml" xref="A6.I1.i1.p1.1.m1.1.1"><leq id="A6.I1.i1.p1.1.m1.1.1.5.cmml" xref="A6.I1.i1.p1.1.m1.1.1.5"></leq><share href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#A6.I1.i1.p1.1.m1.1.1.4.cmml" id="A6.I1.i1.p1.1.m1.1.1d.cmml" xref="A6.I1.i1.p1.1.m1.1.1"></share><apply id="A6.I1.i1.p1.1.m1.1.1.6.cmml" xref="A6.I1.i1.p1.1.m1.1.1.6"><divide id="A6.I1.i1.p1.1.m1.1.1.6.1.cmml" xref="A6.I1.i1.p1.1.m1.1.1.6"></divide><cn id="A6.I1.i1.p1.1.m1.1.1.6.2.cmml" type="integer" xref="A6.I1.i1.p1.1.m1.1.1.6.2">1</cn><cn id="A6.I1.i1.p1.1.m1.1.1.6.3.cmml" type="integer" xref="A6.I1.i1.p1.1.m1.1.1.6.3">2</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A6.I1.i1.p1.1.m1.1c">0.06963\leq\lambda\leq\frac{1}{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A6.I1.i1.p1.1.m1.1d">0.06963 ≤ italic_λ ≤ divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 end_ARG</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="A6.I1.i1.p1.1.1"></span></p> </div> </li> <li class="ltx_item" id="A6.I1.i2" style="list-style-type:none;"> <span class="ltx_tag ltx_tag_item">•</span> <div class="ltx_para" id="A6.I1.i2.p1"> <p class="ltx_p" id="A6.I1.i2.p1.2"><math alttext="\lambda_{i}\leq\lambda\leq\frac{1}{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="A6.I1.i2.p1.1.m1.1"><semantics id="A6.I1.i2.p1.1.m1.1a"><mrow id="A6.I1.i2.p1.1.m1.1.1" xref="A6.I1.i2.p1.1.m1.1.1.cmml"><msub id="A6.I1.i2.p1.1.m1.1.1.2" xref="A6.I1.i2.p1.1.m1.1.1.2.cmml"><mi id="A6.I1.i2.p1.1.m1.1.1.2.2" xref="A6.I1.i2.p1.1.m1.1.1.2.2.cmml">λ</mi><mi id="A6.I1.i2.p1.1.m1.1.1.2.3" xref="A6.I1.i2.p1.1.m1.1.1.2.3.cmml">i</mi></msub><mo id="A6.I1.i2.p1.1.m1.1.1.3" xref="A6.I1.i2.p1.1.m1.1.1.3.cmml">≤</mo><mi id="A6.I1.i2.p1.1.m1.1.1.4" xref="A6.I1.i2.p1.1.m1.1.1.4.cmml">λ</mi><mo id="A6.I1.i2.p1.1.m1.1.1.5" xref="A6.I1.i2.p1.1.m1.1.1.5.cmml">≤</mo><mfrac id="A6.I1.i2.p1.1.m1.1.1.6" xref="A6.I1.i2.p1.1.m1.1.1.6.cmml"><mn id="A6.I1.i2.p1.1.m1.1.1.6.2" xref="A6.I1.i2.p1.1.m1.1.1.6.2.cmml">1</mn><mn id="A6.I1.i2.p1.1.m1.1.1.6.3" xref="A6.I1.i2.p1.1.m1.1.1.6.3.cmml">2</mn></mfrac></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A6.I1.i2.p1.1.m1.1b"><apply id="A6.I1.i2.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="A6.I1.i2.p1.1.m1.1.1"><and id="A6.I1.i2.p1.1.m1.1.1a.cmml" xref="A6.I1.i2.p1.1.m1.1.1"></and><apply id="A6.I1.i2.p1.1.m1.1.1b.cmml" xref="A6.I1.i2.p1.1.m1.1.1"><leq id="A6.I1.i2.p1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="A6.I1.i2.p1.1.m1.1.1.3"></leq><apply id="A6.I1.i2.p1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="A6.I1.i2.p1.1.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A6.I1.i2.p1.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="A6.I1.i2.p1.1.m1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="A6.I1.i2.p1.1.m1.1.1.2.2.cmml" xref="A6.I1.i2.p1.1.m1.1.1.2.2">𝜆</ci><ci id="A6.I1.i2.p1.1.m1.1.1.2.3.cmml" xref="A6.I1.i2.p1.1.m1.1.1.2.3">𝑖</ci></apply><ci id="A6.I1.i2.p1.1.m1.1.1.4.cmml" xref="A6.I1.i2.p1.1.m1.1.1.4">𝜆</ci></apply><apply id="A6.I1.i2.p1.1.m1.1.1c.cmml" xref="A6.I1.i2.p1.1.m1.1.1"><leq id="A6.I1.i2.p1.1.m1.1.1.5.cmml" xref="A6.I1.i2.p1.1.m1.1.1.5"></leq><share href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#A6.I1.i2.p1.1.m1.1.1.4.cmml" id="A6.I1.i2.p1.1.m1.1.1d.cmml" xref="A6.I1.i2.p1.1.m1.1.1"></share><apply id="A6.I1.i2.p1.1.m1.1.1.6.cmml" xref="A6.I1.i2.p1.1.m1.1.1.6"><divide id="A6.I1.i2.p1.1.m1.1.1.6.1.cmml" xref="A6.I1.i2.p1.1.m1.1.1.6"></divide><cn id="A6.I1.i2.p1.1.m1.1.1.6.2.cmml" type="integer" xref="A6.I1.i2.p1.1.m1.1.1.6.2">1</cn><cn id="A6.I1.i2.p1.1.m1.1.1.6.3.cmml" type="integer" xref="A6.I1.i2.p1.1.m1.1.1.6.3">2</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A6.I1.i2.p1.1.m1.1c">\lambda_{i}\leq\lambda\leq\frac{1}{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A6.I1.i2.p1.1.m1.1d">italic_λ start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT ≤ italic_λ ≤ divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 end_ARG</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="A6.I1.i2.p1.2.1"> for all </span><math alttext="i>1" class="ltx_Math" display="inline" id="A6.I1.i2.p1.2.m2.1"><semantics id="A6.I1.i2.p1.2.m2.1a"><mrow id="A6.I1.i2.p1.2.m2.1.1" xref="A6.I1.i2.p1.2.m2.1.1.cmml"><mi id="A6.I1.i2.p1.2.m2.1.1.2" xref="A6.I1.i2.p1.2.m2.1.1.2.cmml">i</mi><mo id="A6.I1.i2.p1.2.m2.1.1.1" xref="A6.I1.i2.p1.2.m2.1.1.1.cmml">></mo><mn id="A6.I1.i2.p1.2.m2.1.1.3" xref="A6.I1.i2.p1.2.m2.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A6.I1.i2.p1.2.m2.1b"><apply id="A6.I1.i2.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="A6.I1.i2.p1.2.m2.1.1"><gt id="A6.I1.i2.p1.2.m2.1.1.1.cmml" xref="A6.I1.i2.p1.2.m2.1.1.1"></gt><ci id="A6.I1.i2.p1.2.m2.1.1.2.cmml" xref="A6.I1.i2.p1.2.m2.1.1.2">𝑖</ci><cn id="A6.I1.i2.p1.2.m2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A6.I1.i2.p1.2.m2.1.1.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A6.I1.i2.p1.2.m2.1c">i>1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A6.I1.i2.p1.2.m2.1d">italic_i > 1</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="A6.I1.i2.p1.2.2"></span></p> </div> </li> <li class="ltx_item" id="A6.I1.i3" style="list-style-type:none;"> <span class="ltx_tag ltx_tag_item">•</span> <div class="ltx_para" id="A6.I1.i3.p1"> <p class="ltx_p" id="A6.I1.i3.p1.1"><math alttext="\lambda\leq\lambda_{1}\leq\frac{1}{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="A6.I1.i3.p1.1.m1.1"><semantics id="A6.I1.i3.p1.1.m1.1a"><mrow id="A6.I1.i3.p1.1.m1.1.1" xref="A6.I1.i3.p1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="A6.I1.i3.p1.1.m1.1.1.2" xref="A6.I1.i3.p1.1.m1.1.1.2.cmml">λ</mi><mo id="A6.I1.i3.p1.1.m1.1.1.3" xref="A6.I1.i3.p1.1.m1.1.1.3.cmml">≤</mo><msub id="A6.I1.i3.p1.1.m1.1.1.4" xref="A6.I1.i3.p1.1.m1.1.1.4.cmml"><mi id="A6.I1.i3.p1.1.m1.1.1.4.2" xref="A6.I1.i3.p1.1.m1.1.1.4.2.cmml">λ</mi><mn id="A6.I1.i3.p1.1.m1.1.1.4.3" xref="A6.I1.i3.p1.1.m1.1.1.4.3.cmml">1</mn></msub><mo id="A6.I1.i3.p1.1.m1.1.1.5" xref="A6.I1.i3.p1.1.m1.1.1.5.cmml">≤</mo><mfrac id="A6.I1.i3.p1.1.m1.1.1.6" xref="A6.I1.i3.p1.1.m1.1.1.6.cmml"><mn id="A6.I1.i3.p1.1.m1.1.1.6.2" xref="A6.I1.i3.p1.1.m1.1.1.6.2.cmml">1</mn><mn id="A6.I1.i3.p1.1.m1.1.1.6.3" xref="A6.I1.i3.p1.1.m1.1.1.6.3.cmml">2</mn></mfrac></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A6.I1.i3.p1.1.m1.1b"><apply id="A6.I1.i3.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="A6.I1.i3.p1.1.m1.1.1"><and id="A6.I1.i3.p1.1.m1.1.1a.cmml" xref="A6.I1.i3.p1.1.m1.1.1"></and><apply id="A6.I1.i3.p1.1.m1.1.1b.cmml" xref="A6.I1.i3.p1.1.m1.1.1"><leq id="A6.I1.i3.p1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="A6.I1.i3.p1.1.m1.1.1.3"></leq><ci id="A6.I1.i3.p1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="A6.I1.i3.p1.1.m1.1.1.2">𝜆</ci><apply id="A6.I1.i3.p1.1.m1.1.1.4.cmml" xref="A6.I1.i3.p1.1.m1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A6.I1.i3.p1.1.m1.1.1.4.1.cmml" xref="A6.I1.i3.p1.1.m1.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="A6.I1.i3.p1.1.m1.1.1.4.2.cmml" xref="A6.I1.i3.p1.1.m1.1.1.4.2">𝜆</ci><cn id="A6.I1.i3.p1.1.m1.1.1.4.3.cmml" type="integer" xref="A6.I1.i3.p1.1.m1.1.1.4.3">1</cn></apply></apply><apply id="A6.I1.i3.p1.1.m1.1.1c.cmml" xref="A6.I1.i3.p1.1.m1.1.1"><leq id="A6.I1.i3.p1.1.m1.1.1.5.cmml" xref="A6.I1.i3.p1.1.m1.1.1.5"></leq><share href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#A6.I1.i3.p1.1.m1.1.1.4.cmml" id="A6.I1.i3.p1.1.m1.1.1d.cmml" xref="A6.I1.i3.p1.1.m1.1.1"></share><apply id="A6.I1.i3.p1.1.m1.1.1.6.cmml" xref="A6.I1.i3.p1.1.m1.1.1.6"><divide id="A6.I1.i3.p1.1.m1.1.1.6.1.cmml" xref="A6.I1.i3.p1.1.m1.1.1.6"></divide><cn id="A6.I1.i3.p1.1.m1.1.1.6.2.cmml" type="integer" xref="A6.I1.i3.p1.1.m1.1.1.6.2">1</cn><cn id="A6.I1.i3.p1.1.m1.1.1.6.3.cmml" type="integer" xref="A6.I1.i3.p1.1.m1.1.1.6.3">2</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A6.I1.i3.p1.1.m1.1c">\lambda\leq\lambda_{1}\leq\frac{1}{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A6.I1.i3.p1.1.m1.1d">italic_λ ≤ italic_λ start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ≤ divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 end_ARG</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="A6.I1.i3.p1.1.1"></span></p> </div> </li> </ul> <p class="ltx_p" id="Thmtheorem66.p1.2"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmtheorem66.p1.2.1">Then</span></p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_gather ltx_eqn_table" id="S6.EGx245"> <tbody id="A6.E283"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\displaystyle\lambda_{\text{stair}}\leq\max\left((1+\sqrt{1-\lambda})^{2}% \lambda,\lambda_{1}+(1+\sqrt{1-\lambda})\sqrt{(1-\lambda_{1})\lambda\lambda_{1% }}\right)" class="ltx_Math" display="block" id="A6.E283.m1.4"><semantics id="A6.E283.m1.4a"><mrow id="A6.E283.m1.4.4" xref="A6.E283.m1.4.4.cmml"><msub id="A6.E283.m1.4.4.4" xref="A6.E283.m1.4.4.4.cmml"><mi id="A6.E283.m1.4.4.4.2" xref="A6.E283.m1.4.4.4.2.cmml">λ</mi><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="A6.E283.m1.4.4.4.3" xref="A6.E283.m1.4.4.4.3a.cmml">stair</mtext></msub><mo id="A6.E283.m1.4.4.3" xref="A6.E283.m1.4.4.3.cmml">≤</mo><mrow id="A6.E283.m1.4.4.2.2" xref="A6.E283.m1.4.4.2.3.cmml"><mi id="A6.E283.m1.2.2" xref="A6.E283.m1.2.2.cmml">max</mi><mo id="A6.E283.m1.4.4.2.2a" xref="A6.E283.m1.4.4.2.3.cmml">⁡</mo><mrow id="A6.E283.m1.4.4.2.2.2" xref="A6.E283.m1.4.4.2.3.cmml"><mo id="A6.E283.m1.4.4.2.2.2.3" xref="A6.E283.m1.4.4.2.3.cmml">(</mo><mrow id="A6.E283.m1.3.3.1.1.1.1" xref="A6.E283.m1.3.3.1.1.1.1.cmml"><msup id="A6.E283.m1.3.3.1.1.1.1.1" xref="A6.E283.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A6.E283.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1" xref="A6.E283.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A6.E283.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A6.E283.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A6.E283.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A6.E283.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="A6.E283.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A6.E283.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">1</mn><mo id="A6.E283.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1" 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class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(283)</span></td> </tr></tbody> </table> </div> </div> <div class="ltx_proof" id="A6.3"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_font_italic ltx_title_proof">Proof.</h6> <div class="ltx_para" id="A6.3.p1"> <p class="ltx_p" id="A6.3.p1.5">From the assumptions in the proof, we see</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="A6.Ex119"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="P_{i}T_{N}P_{j}\leq A^{\prime}_{ij}" class="ltx_Math" display="block" id="A6.Ex119.m1.1"><semantics id="A6.Ex119.m1.1a"><mrow id="A6.Ex119.m1.1.1" xref="A6.Ex119.m1.1.1.cmml"><mrow id="A6.Ex119.m1.1.1.2" xref="A6.Ex119.m1.1.1.2.cmml"><msub id="A6.Ex119.m1.1.1.2.2" xref="A6.Ex119.m1.1.1.2.2.cmml"><mi 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id="A6.Ex119.m1.1.1.2.3.1.cmml" xref="A6.Ex119.m1.1.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="A6.Ex119.m1.1.1.2.3.2.cmml" xref="A6.Ex119.m1.1.1.2.3.2">𝑇</ci><ci id="A6.Ex119.m1.1.1.2.3.3.cmml" xref="A6.Ex119.m1.1.1.2.3.3">𝑁</ci></apply><apply id="A6.Ex119.m1.1.1.2.4.cmml" xref="A6.Ex119.m1.1.1.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A6.Ex119.m1.1.1.2.4.1.cmml" xref="A6.Ex119.m1.1.1.2.4">subscript</csymbol><ci id="A6.Ex119.m1.1.1.2.4.2.cmml" xref="A6.Ex119.m1.1.1.2.4.2">𝑃</ci><ci id="A6.Ex119.m1.1.1.2.4.3.cmml" xref="A6.Ex119.m1.1.1.2.4.3">𝑗</ci></apply></apply><apply id="A6.Ex119.m1.1.1.3.cmml" xref="A6.Ex119.m1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A6.Ex119.m1.1.1.3.1.cmml" xref="A6.Ex119.m1.1.1.3">subscript</csymbol><apply id="A6.Ex119.m1.1.1.3.2.cmml" xref="A6.Ex119.m1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A6.Ex119.m1.1.1.3.2.1.cmml" xref="A6.Ex119.m1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="A6.Ex119.m1.1.1.3.2.2.cmml" xref="A6.Ex119.m1.1.1.3.2.2">𝐴</ci><ci id="A6.Ex119.m1.1.1.3.2.3.cmml" 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class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="A6.E284"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="A^{\prime}=\begin{bmatrix}\lambda_{1}&\lambda\mu_{1}&\lambda\mu\mu_{1}&\dots&% \lambda\mu^{N-2}\mu_{1}&\lambda\mu^{N-1}\mu_{1}\\ \mu_{1}&\lambda&\lambda\mu&\dots&\lambda\mu^{N-2}&\lambda\mu^{N-1}\\ 0&\mu&\lambda&\dots&\lambda\mu^{N-3}&\lambda\mu^{N-2}\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\ 0&0&0&\dots&\mu&\lambda\\ \end{bmatrix}" class="ltx_Math" display="block" id="A6.E284.m1.1"><semantics id="A6.E284.m1.1a"><mrow id="A6.E284.m1.1.2" xref="A6.E284.m1.1.2.cmml"><msup id="A6.E284.m1.1.2.2" xref="A6.E284.m1.1.2.2.cmml"><mi id="A6.E284.m1.1.2.2.2" xref="A6.E284.m1.1.2.2.2.cmml">A</mi><mo id="A6.E284.m1.1.2.2.3" xref="A6.E284.m1.1.2.2.3.cmml">′</mo></msup><mo id="A6.E284.m1.1.2.1" xref="A6.E284.m1.1.2.1.cmml">=</mo><mrow id="A6.E284.m1.1.1.3" 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xref="A6.E284.m1.1.1.1.1.1.2.1.3.2.cmml">μ</mi><mn id="A6.E284.m1.1.1.1.1.1.2.1.3.3" xref="A6.E284.m1.1.1.1.1.1.2.1.3.3.cmml">1</mn></msub></mrow></mtd><mtd id="A6.E284.m1.1.1.1.1d" xref="A6.E284.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A6.E284.m1.1.1.1.1.1.3.1" xref="A6.E284.m1.1.1.1.1.1.3.1.cmml"><mi id="A6.E284.m1.1.1.1.1.1.3.1.2" xref="A6.E284.m1.1.1.1.1.1.3.1.2.cmml">λ</mi><mo id="A6.E284.m1.1.1.1.1.1.3.1.1" xref="A6.E284.m1.1.1.1.1.1.3.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="A6.E284.m1.1.1.1.1.1.3.1.3" xref="A6.E284.m1.1.1.1.1.1.3.1.3.cmml">μ</mi><mo id="A6.E284.m1.1.1.1.1.1.3.1.1a" xref="A6.E284.m1.1.1.1.1.1.3.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="A6.E284.m1.1.1.1.1.1.3.1.4" xref="A6.E284.m1.1.1.1.1.1.3.1.4.cmml"><mi id="A6.E284.m1.1.1.1.1.1.3.1.4.2" xref="A6.E284.m1.1.1.1.1.1.3.1.4.2.cmml">μ</mi><mn id="A6.E284.m1.1.1.1.1.1.3.1.4.3" xref="A6.E284.m1.1.1.1.1.1.3.1.4.3.cmml">1</mn></msub></mrow></mtd><mtd id="A6.E284.m1.1.1.1.1e" xref="A6.E284.m1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A6.E284.m1.1.1.1.1.1.4.1" mathvariant="normal" xref="A6.E284.m1.1.1.1.1.1.4.1.cmml">…</mi></mtd><mtd id="A6.E284.m1.1.1.1.1f" xref="A6.E284.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A6.E284.m1.1.1.1.1.1.5.1" xref="A6.E284.m1.1.1.1.1.1.5.1.cmml"><mi id="A6.E284.m1.1.1.1.1.1.5.1.2" xref="A6.E284.m1.1.1.1.1.1.5.1.2.cmml">λ</mi><mo id="A6.E284.m1.1.1.1.1.1.5.1.1" xref="A6.E284.m1.1.1.1.1.1.5.1.1.cmml">⁢</mo><msup id="A6.E284.m1.1.1.1.1.1.5.1.3" xref="A6.E284.m1.1.1.1.1.1.5.1.3.cmml"><mi id="A6.E284.m1.1.1.1.1.1.5.1.3.2" xref="A6.E284.m1.1.1.1.1.1.5.1.3.2.cmml">μ</mi><mrow id="A6.E284.m1.1.1.1.1.1.5.1.3.3" xref="A6.E284.m1.1.1.1.1.1.5.1.3.3.cmml"><mi id="A6.E284.m1.1.1.1.1.1.5.1.3.3.2" xref="A6.E284.m1.1.1.1.1.1.5.1.3.3.2.cmml">N</mi><mo id="A6.E284.m1.1.1.1.1.1.5.1.3.3.1" xref="A6.E284.m1.1.1.1.1.1.5.1.3.3.1.cmml">−</mo><mn id="A6.E284.m1.1.1.1.1.1.5.1.3.3.3" xref="A6.E284.m1.1.1.1.1.1.5.1.3.3.3.cmml">2</mn></mrow></msup><mo id="A6.E284.m1.1.1.1.1.1.5.1.1a" xref="A6.E284.m1.1.1.1.1.1.5.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="A6.E284.m1.1.1.1.1.1.5.1.4" xref="A6.E284.m1.1.1.1.1.1.5.1.4.cmml"><mi id="A6.E284.m1.1.1.1.1.1.5.1.4.2" xref="A6.E284.m1.1.1.1.1.1.5.1.4.2.cmml">μ</mi><mn id="A6.E284.m1.1.1.1.1.1.5.1.4.3" xref="A6.E284.m1.1.1.1.1.1.5.1.4.3.cmml">1</mn></msub></mrow></mtd><mtd id="A6.E284.m1.1.1.1.1g" xref="A6.E284.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A6.E284.m1.1.1.1.1.1.6.1" xref="A6.E284.m1.1.1.1.1.1.6.1.cmml"><mi id="A6.E284.m1.1.1.1.1.1.6.1.2" xref="A6.E284.m1.1.1.1.1.1.6.1.2.cmml">λ</mi><mo id="A6.E284.m1.1.1.1.1.1.6.1.1" xref="A6.E284.m1.1.1.1.1.1.6.1.1.cmml">⁢</mo><msup id="A6.E284.m1.1.1.1.1.1.6.1.3" xref="A6.E284.m1.1.1.1.1.1.6.1.3.cmml"><mi id="A6.E284.m1.1.1.1.1.1.6.1.3.2" xref="A6.E284.m1.1.1.1.1.1.6.1.3.2.cmml">μ</mi><mrow id="A6.E284.m1.1.1.1.1.1.6.1.3.3" xref="A6.E284.m1.1.1.1.1.1.6.1.3.3.cmml"><mi id="A6.E284.m1.1.1.1.1.1.6.1.3.3.2" xref="A6.E284.m1.1.1.1.1.1.6.1.3.3.2.cmml">N</mi><mo id="A6.E284.m1.1.1.1.1.1.6.1.3.3.1" xref="A6.E284.m1.1.1.1.1.1.6.1.3.3.1.cmml">−</mo><mn id="A6.E284.m1.1.1.1.1.1.6.1.3.3.3" xref="A6.E284.m1.1.1.1.1.1.6.1.3.3.3.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="A6.E284.m1.1.1.1.1.1.6.1.1a" xref="A6.E284.m1.1.1.1.1.1.6.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="A6.E284.m1.1.1.1.1.1.6.1.4" xref="A6.E284.m1.1.1.1.1.1.6.1.4.cmml"><mi id="A6.E284.m1.1.1.1.1.1.6.1.4.2" xref="A6.E284.m1.1.1.1.1.1.6.1.4.2.cmml">μ</mi><mn id="A6.E284.m1.1.1.1.1.1.6.1.4.3" xref="A6.E284.m1.1.1.1.1.1.6.1.4.3.cmml">1</mn></msub></mrow></mtd></mtr><mtr id="A6.E284.m1.1.1.1.1h" xref="A6.E284.m1.1.1.1.1.cmml"><mtd id="A6.E284.m1.1.1.1.1i" xref="A6.E284.m1.1.1.1.1.cmml"><msub id="A6.E284.m1.1.1.1.1.2.1.1" xref="A6.E284.m1.1.1.1.1.2.1.1.cmml"><mi id="A6.E284.m1.1.1.1.1.2.1.1.2" xref="A6.E284.m1.1.1.1.1.2.1.1.2.cmml">μ</mi><mn id="A6.E284.m1.1.1.1.1.2.1.1.3" xref="A6.E284.m1.1.1.1.1.2.1.1.3.cmml">1</mn></msub></mtd><mtd id="A6.E284.m1.1.1.1.1j" xref="A6.E284.m1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A6.E284.m1.1.1.1.1.2.2.1" xref="A6.E284.m1.1.1.1.1.2.2.1.cmml">λ</mi></mtd><mtd id="A6.E284.m1.1.1.1.1k" xref="A6.E284.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A6.E284.m1.1.1.1.1.2.3.1" xref="A6.E284.m1.1.1.1.1.2.3.1.cmml"><mi id="A6.E284.m1.1.1.1.1.2.3.1.2" xref="A6.E284.m1.1.1.1.1.2.3.1.2.cmml">λ</mi><mo id="A6.E284.m1.1.1.1.1.2.3.1.1" xref="A6.E284.m1.1.1.1.1.2.3.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="A6.E284.m1.1.1.1.1.2.3.1.3" xref="A6.E284.m1.1.1.1.1.2.3.1.3.cmml">μ</mi></mrow></mtd><mtd id="A6.E284.m1.1.1.1.1l" xref="A6.E284.m1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A6.E284.m1.1.1.1.1.2.4.1" mathvariant="normal" xref="A6.E284.m1.1.1.1.1.2.4.1.cmml">…</mi></mtd><mtd id="A6.E284.m1.1.1.1.1m" xref="A6.E284.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A6.E284.m1.1.1.1.1.2.5.1" xref="A6.E284.m1.1.1.1.1.2.5.1.cmml"><mi id="A6.E284.m1.1.1.1.1.2.5.1.2" xref="A6.E284.m1.1.1.1.1.2.5.1.2.cmml">λ</mi><mo id="A6.E284.m1.1.1.1.1.2.5.1.1" xref="A6.E284.m1.1.1.1.1.2.5.1.1.cmml">⁢</mo><msup id="A6.E284.m1.1.1.1.1.2.5.1.3" xref="A6.E284.m1.1.1.1.1.2.5.1.3.cmml"><mi id="A6.E284.m1.1.1.1.1.2.5.1.3.2" xref="A6.E284.m1.1.1.1.1.2.5.1.3.2.cmml">μ</mi><mrow id="A6.E284.m1.1.1.1.1.2.5.1.3.3" xref="A6.E284.m1.1.1.1.1.2.5.1.3.3.cmml"><mi id="A6.E284.m1.1.1.1.1.2.5.1.3.3.2" xref="A6.E284.m1.1.1.1.1.2.5.1.3.3.2.cmml">N</mi><mo id="A6.E284.m1.1.1.1.1.2.5.1.3.3.1" xref="A6.E284.m1.1.1.1.1.2.5.1.3.3.1.cmml">−</mo><mn id="A6.E284.m1.1.1.1.1.2.5.1.3.3.3" xref="A6.E284.m1.1.1.1.1.2.5.1.3.3.3.cmml">2</mn></mrow></msup></mrow></mtd><mtd id="A6.E284.m1.1.1.1.1n" xref="A6.E284.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A6.E284.m1.1.1.1.1.2.6.1" xref="A6.E284.m1.1.1.1.1.2.6.1.cmml"><mi id="A6.E284.m1.1.1.1.1.2.6.1.2" xref="A6.E284.m1.1.1.1.1.2.6.1.2.cmml">λ</mi><mo id="A6.E284.m1.1.1.1.1.2.6.1.1" xref="A6.E284.m1.1.1.1.1.2.6.1.1.cmml">⁢</mo><msup id="A6.E284.m1.1.1.1.1.2.6.1.3" xref="A6.E284.m1.1.1.1.1.2.6.1.3.cmml"><mi id="A6.E284.m1.1.1.1.1.2.6.1.3.2" xref="A6.E284.m1.1.1.1.1.2.6.1.3.2.cmml">μ</mi><mrow id="A6.E284.m1.1.1.1.1.2.6.1.3.3" xref="A6.E284.m1.1.1.1.1.2.6.1.3.3.cmml"><mi id="A6.E284.m1.1.1.1.1.2.6.1.3.3.2" xref="A6.E284.m1.1.1.1.1.2.6.1.3.3.2.cmml">N</mi><mo id="A6.E284.m1.1.1.1.1.2.6.1.3.3.1" xref="A6.E284.m1.1.1.1.1.2.6.1.3.3.1.cmml">−</mo><mn id="A6.E284.m1.1.1.1.1.2.6.1.3.3.3" xref="A6.E284.m1.1.1.1.1.2.6.1.3.3.3.cmml">1</mn></mrow></msup></mrow></mtd></mtr><mtr id="A6.E284.m1.1.1.1.1o" xref="A6.E284.m1.1.1.1.1.cmml"><mtd id="A6.E284.m1.1.1.1.1p" xref="A6.E284.m1.1.1.1.1.cmml"><mn id="A6.E284.m1.1.1.1.1.3.1.1" xref="A6.E284.m1.1.1.1.1.3.1.1.cmml">0</mn></mtd><mtd id="A6.E284.m1.1.1.1.1q" xref="A6.E284.m1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A6.E284.m1.1.1.1.1.3.2.1" xref="A6.E284.m1.1.1.1.1.3.2.1.cmml">μ</mi></mtd><mtd id="A6.E284.m1.1.1.1.1r" xref="A6.E284.m1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A6.E284.m1.1.1.1.1.3.3.1" xref="A6.E284.m1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">λ</mi></mtd><mtd id="A6.E284.m1.1.1.1.1s" xref="A6.E284.m1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A6.E284.m1.1.1.1.1.3.4.1" mathvariant="normal" xref="A6.E284.m1.1.1.1.1.3.4.1.cmml">…</mi></mtd><mtd id="A6.E284.m1.1.1.1.1t" xref="A6.E284.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A6.E284.m1.1.1.1.1.3.5.1" xref="A6.E284.m1.1.1.1.1.3.5.1.cmml"><mi id="A6.E284.m1.1.1.1.1.3.5.1.2" xref="A6.E284.m1.1.1.1.1.3.5.1.2.cmml">λ</mi><mo id="A6.E284.m1.1.1.1.1.3.5.1.1" xref="A6.E284.m1.1.1.1.1.3.5.1.1.cmml">⁢</mo><msup id="A6.E284.m1.1.1.1.1.3.5.1.3" xref="A6.E284.m1.1.1.1.1.3.5.1.3.cmml"><mi id="A6.E284.m1.1.1.1.1.3.5.1.3.2" xref="A6.E284.m1.1.1.1.1.3.5.1.3.2.cmml">μ</mi><mrow id="A6.E284.m1.1.1.1.1.3.5.1.3.3" xref="A6.E284.m1.1.1.1.1.3.5.1.3.3.cmml"><mi id="A6.E284.m1.1.1.1.1.3.5.1.3.3.2" xref="A6.E284.m1.1.1.1.1.3.5.1.3.3.2.cmml">N</mi><mo id="A6.E284.m1.1.1.1.1.3.5.1.3.3.1" xref="A6.E284.m1.1.1.1.1.3.5.1.3.3.1.cmml">−</mo><mn id="A6.E284.m1.1.1.1.1.3.5.1.3.3.3" xref="A6.E284.m1.1.1.1.1.3.5.1.3.3.3.cmml">3</mn></mrow></msup></mrow></mtd><mtd id="A6.E284.m1.1.1.1.1u" xref="A6.E284.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A6.E284.m1.1.1.1.1.3.6.1" xref="A6.E284.m1.1.1.1.1.3.6.1.cmml"><mi id="A6.E284.m1.1.1.1.1.3.6.1.2" xref="A6.E284.m1.1.1.1.1.3.6.1.2.cmml">λ</mi><mo id="A6.E284.m1.1.1.1.1.3.6.1.1" xref="A6.E284.m1.1.1.1.1.3.6.1.1.cmml">⁢</mo><msup id="A6.E284.m1.1.1.1.1.3.6.1.3" xref="A6.E284.m1.1.1.1.1.3.6.1.3.cmml"><mi id="A6.E284.m1.1.1.1.1.3.6.1.3.2" xref="A6.E284.m1.1.1.1.1.3.6.1.3.2.cmml">μ</mi><mrow id="A6.E284.m1.1.1.1.1.3.6.1.3.3" xref="A6.E284.m1.1.1.1.1.3.6.1.3.3.cmml"><mi id="A6.E284.m1.1.1.1.1.3.6.1.3.3.2" xref="A6.E284.m1.1.1.1.1.3.6.1.3.3.2.cmml">N</mi><mo id="A6.E284.m1.1.1.1.1.3.6.1.3.3.1" xref="A6.E284.m1.1.1.1.1.3.6.1.3.3.1.cmml">−</mo><mn id="A6.E284.m1.1.1.1.1.3.6.1.3.3.3" xref="A6.E284.m1.1.1.1.1.3.6.1.3.3.3.cmml">2</mn></mrow></msup></mrow></mtd></mtr><mtr id="A6.E284.m1.1.1.1.1v" xref="A6.E284.m1.1.1.1.1.cmml"><mtd id="A6.E284.m1.1.1.1.1w" xref="A6.E284.m1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A6.E284.m1.1.1.1.1.4.1.1" mathvariant="normal" xref="A6.E284.m1.1.1.1.1.4.1.1.cmml">⋮</mi></mtd><mtd id="A6.E284.m1.1.1.1.1x" xref="A6.E284.m1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A6.E284.m1.1.1.1.1.4.2.1" mathvariant="normal" xref="A6.E284.m1.1.1.1.1.4.2.1.cmml">⋮</mi></mtd><mtd id="A6.E284.m1.1.1.1.1y" xref="A6.E284.m1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A6.E284.m1.1.1.1.1.4.3.1" mathvariant="normal" xref="A6.E284.m1.1.1.1.1.4.3.1.cmml">⋮</mi></mtd><mtd id="A6.E284.m1.1.1.1.1z" xref="A6.E284.m1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A6.E284.m1.1.1.1.1.4.4.1" mathvariant="normal" xref="A6.E284.m1.1.1.1.1.4.4.1.cmml">⋱</mi></mtd><mtd id="A6.E284.m1.1.1.1.1aa" xref="A6.E284.m1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A6.E284.m1.1.1.1.1.4.5.1" mathvariant="normal" xref="A6.E284.m1.1.1.1.1.4.5.1.cmml">⋮</mi></mtd><mtd id="A6.E284.m1.1.1.1.1ab" xref="A6.E284.m1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A6.E284.m1.1.1.1.1.4.6.1" mathvariant="normal" xref="A6.E284.m1.1.1.1.1.4.6.1.cmml">⋮</mi></mtd></mtr><mtr id="A6.E284.m1.1.1.1.1ac" xref="A6.E284.m1.1.1.1.1.cmml"><mtd id="A6.E284.m1.1.1.1.1ad" xref="A6.E284.m1.1.1.1.1.cmml"><mn id="A6.E284.m1.1.1.1.1.5.1.1" xref="A6.E284.m1.1.1.1.1.5.1.1.cmml">0</mn></mtd><mtd id="A6.E284.m1.1.1.1.1ae" xref="A6.E284.m1.1.1.1.1.cmml"><mn id="A6.E284.m1.1.1.1.1.5.2.1" xref="A6.E284.m1.1.1.1.1.5.2.1.cmml">0</mn></mtd><mtd id="A6.E284.m1.1.1.1.1af" xref="A6.E284.m1.1.1.1.1.cmml"><mn id="A6.E284.m1.1.1.1.1.5.3.1" xref="A6.E284.m1.1.1.1.1.5.3.1.cmml">0</mn></mtd><mtd id="A6.E284.m1.1.1.1.1ag" xref="A6.E284.m1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A6.E284.m1.1.1.1.1.5.4.1" mathvariant="normal" xref="A6.E284.m1.1.1.1.1.5.4.1.cmml">…</mi></mtd><mtd id="A6.E284.m1.1.1.1.1ah" xref="A6.E284.m1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A6.E284.m1.1.1.1.1.5.5.1" xref="A6.E284.m1.1.1.1.1.5.5.1.cmml">μ</mi></mtd><mtd id="A6.E284.m1.1.1.1.1ai" xref="A6.E284.m1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A6.E284.m1.1.1.1.1.5.6.1" xref="A6.E284.m1.1.1.1.1.5.6.1.cmml">λ</mi></mtd></mtr></mtable><mo id="A6.E284.m1.1.1.3.2" xref="A6.E284.m1.1.1.2.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A6.E284.m1.1b"><apply id="A6.E284.m1.1.2.cmml" xref="A6.E284.m1.1.2"><eq id="A6.E284.m1.1.2.1.cmml" xref="A6.E284.m1.1.2.1"></eq><apply id="A6.E284.m1.1.2.2.cmml" xref="A6.E284.m1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A6.E284.m1.1.2.2.1.cmml" xref="A6.E284.m1.1.2.2">superscript</csymbol><ci id="A6.E284.m1.1.2.2.2.cmml" xref="A6.E284.m1.1.2.2.2">𝐴</ci><ci id="A6.E284.m1.1.2.2.3.cmml" xref="A6.E284.m1.1.2.2.3">′</ci></apply><apply id="A6.E284.m1.1.1.2.cmml" xref="A6.E284.m1.1.1.3"><csymbol cd="latexml" id="A6.E284.m1.1.1.2.1.cmml" xref="A6.E284.m1.1.1.3.1">matrix</csymbol><matrix id="A6.E284.m1.1.1.1.1.cmml" xref="A6.E284.m1.1.1.1.1"><matrixrow id="A6.E284.m1.1.1.1.1a.cmml" xref="A6.E284.m1.1.1.1.1"><apply id="A6.E284.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A6.E284.m1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A6.E284.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A6.E284.m1.1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="A6.E284.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A6.E284.m1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝜆</ci><cn id="A6.E284.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A6.E284.m1.1.1.1.1.1.1.1.3">1</cn></apply><apply id="A6.E284.m1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A6.E284.m1.1.1.1.1.1.2.1"><times id="A6.E284.m1.1.1.1.1.1.2.1.1.cmml" 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xref="A6.E284.m1.1.1.1.1.1.3.1.4">subscript</csymbol><ci id="A6.E284.m1.1.1.1.1.1.3.1.4.2.cmml" xref="A6.E284.m1.1.1.1.1.1.3.1.4.2">𝜇</ci><cn id="A6.E284.m1.1.1.1.1.1.3.1.4.3.cmml" type="integer" xref="A6.E284.m1.1.1.1.1.1.3.1.4.3">1</cn></apply></apply><ci id="A6.E284.m1.1.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="A6.E284.m1.1.1.1.1.1.4.1">…</ci><apply id="A6.E284.m1.1.1.1.1.1.5.1.cmml" xref="A6.E284.m1.1.1.1.1.1.5.1"><times id="A6.E284.m1.1.1.1.1.1.5.1.1.cmml" xref="A6.E284.m1.1.1.1.1.1.5.1.1"></times><ci id="A6.E284.m1.1.1.1.1.1.5.1.2.cmml" xref="A6.E284.m1.1.1.1.1.1.5.1.2">𝜆</ci><apply id="A6.E284.m1.1.1.1.1.1.5.1.3.cmml" xref="A6.E284.m1.1.1.1.1.1.5.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A6.E284.m1.1.1.1.1.1.5.1.3.1.cmml" xref="A6.E284.m1.1.1.1.1.1.5.1.3">superscript</csymbol><ci id="A6.E284.m1.1.1.1.1.1.5.1.3.2.cmml" xref="A6.E284.m1.1.1.1.1.1.5.1.3.2">𝜇</ci><apply id="A6.E284.m1.1.1.1.1.1.5.1.3.3.cmml" xref="A6.E284.m1.1.1.1.1.1.5.1.3.3"><minus id="A6.E284.m1.1.1.1.1.1.5.1.3.3.1.cmml" xref="A6.E284.m1.1.1.1.1.1.5.1.3.3.1"></minus><ci id="A6.E284.m1.1.1.1.1.1.5.1.3.3.2.cmml" xref="A6.E284.m1.1.1.1.1.1.5.1.3.3.2">𝑁</ci><cn id="A6.E284.m1.1.1.1.1.1.5.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="A6.E284.m1.1.1.1.1.1.5.1.3.3.3">2</cn></apply></apply><apply id="A6.E284.m1.1.1.1.1.1.5.1.4.cmml" xref="A6.E284.m1.1.1.1.1.1.5.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A6.E284.m1.1.1.1.1.1.5.1.4.1.cmml" xref="A6.E284.m1.1.1.1.1.1.5.1.4">subscript</csymbol><ci id="A6.E284.m1.1.1.1.1.1.5.1.4.2.cmml" xref="A6.E284.m1.1.1.1.1.1.5.1.4.2">𝜇</ci><cn id="A6.E284.m1.1.1.1.1.1.5.1.4.3.cmml" type="integer" xref="A6.E284.m1.1.1.1.1.1.5.1.4.3">1</cn></apply></apply><apply id="A6.E284.m1.1.1.1.1.1.6.1.cmml" xref="A6.E284.m1.1.1.1.1.1.6.1"><times id="A6.E284.m1.1.1.1.1.1.6.1.1.cmml" xref="A6.E284.m1.1.1.1.1.1.6.1.1"></times><ci id="A6.E284.m1.1.1.1.1.1.6.1.2.cmml" xref="A6.E284.m1.1.1.1.1.1.6.1.2">𝜆</ci><apply id="A6.E284.m1.1.1.1.1.1.6.1.3.cmml" xref="A6.E284.m1.1.1.1.1.1.6.1.3"><csymbol cd="ambiguous" 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id="A6.E284.m1.1.1.1.1.2.5.1.1.cmml" xref="A6.E284.m1.1.1.1.1.2.5.1.1"></times><ci id="A6.E284.m1.1.1.1.1.2.5.1.2.cmml" xref="A6.E284.m1.1.1.1.1.2.5.1.2">𝜆</ci><apply id="A6.E284.m1.1.1.1.1.2.5.1.3.cmml" xref="A6.E284.m1.1.1.1.1.2.5.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A6.E284.m1.1.1.1.1.2.5.1.3.1.cmml" xref="A6.E284.m1.1.1.1.1.2.5.1.3">superscript</csymbol><ci id="A6.E284.m1.1.1.1.1.2.5.1.3.2.cmml" xref="A6.E284.m1.1.1.1.1.2.5.1.3.2">𝜇</ci><apply id="A6.E284.m1.1.1.1.1.2.5.1.3.3.cmml" xref="A6.E284.m1.1.1.1.1.2.5.1.3.3"><minus id="A6.E284.m1.1.1.1.1.2.5.1.3.3.1.cmml" xref="A6.E284.m1.1.1.1.1.2.5.1.3.3.1"></minus><ci id="A6.E284.m1.1.1.1.1.2.5.1.3.3.2.cmml" xref="A6.E284.m1.1.1.1.1.2.5.1.3.3.2">𝑁</ci><cn id="A6.E284.m1.1.1.1.1.2.5.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="A6.E284.m1.1.1.1.1.2.5.1.3.3.3">2</cn></apply></apply></apply><apply id="A6.E284.m1.1.1.1.1.2.6.1.cmml" xref="A6.E284.m1.1.1.1.1.2.6.1"><times id="A6.E284.m1.1.1.1.1.2.6.1.1.cmml" xref="A6.E284.m1.1.1.1.1.2.6.1.1"></times><ci id="A6.E284.m1.1.1.1.1.2.6.1.2.cmml" xref="A6.E284.m1.1.1.1.1.2.6.1.2">𝜆</ci><apply id="A6.E284.m1.1.1.1.1.2.6.1.3.cmml" xref="A6.E284.m1.1.1.1.1.2.6.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A6.E284.m1.1.1.1.1.2.6.1.3.1.cmml" xref="A6.E284.m1.1.1.1.1.2.6.1.3">superscript</csymbol><ci id="A6.E284.m1.1.1.1.1.2.6.1.3.2.cmml" xref="A6.E284.m1.1.1.1.1.2.6.1.3.2">𝜇</ci><apply id="A6.E284.m1.1.1.1.1.2.6.1.3.3.cmml" xref="A6.E284.m1.1.1.1.1.2.6.1.3.3"><minus id="A6.E284.m1.1.1.1.1.2.6.1.3.3.1.cmml" xref="A6.E284.m1.1.1.1.1.2.6.1.3.3.1"></minus><ci id="A6.E284.m1.1.1.1.1.2.6.1.3.3.2.cmml" xref="A6.E284.m1.1.1.1.1.2.6.1.3.3.2">𝑁</ci><cn id="A6.E284.m1.1.1.1.1.2.6.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="A6.E284.m1.1.1.1.1.2.6.1.3.3.3">1</cn></apply></apply></apply></matrixrow><matrixrow id="A6.E284.m1.1.1.1.1c.cmml" xref="A6.E284.m1.1.1.1.1"><cn id="A6.E284.m1.1.1.1.1.3.1.1.cmml" type="integer" xref="A6.E284.m1.1.1.1.1.3.1.1">0</cn><ci id="A6.E284.m1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="A6.E284.m1.1.1.1.1.3.2.1">𝜇</ci><ci id="A6.E284.m1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="A6.E284.m1.1.1.1.1.3.3.1">𝜆</ci><ci id="A6.E284.m1.1.1.1.1.3.4.1.cmml" xref="A6.E284.m1.1.1.1.1.3.4.1">…</ci><apply id="A6.E284.m1.1.1.1.1.3.5.1.cmml" xref="A6.E284.m1.1.1.1.1.3.5.1"><times id="A6.E284.m1.1.1.1.1.3.5.1.1.cmml" xref="A6.E284.m1.1.1.1.1.3.5.1.1"></times><ci id="A6.E284.m1.1.1.1.1.3.5.1.2.cmml" xref="A6.E284.m1.1.1.1.1.3.5.1.2">𝜆</ci><apply id="A6.E284.m1.1.1.1.1.3.5.1.3.cmml" xref="A6.E284.m1.1.1.1.1.3.5.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A6.E284.m1.1.1.1.1.3.5.1.3.1.cmml" xref="A6.E284.m1.1.1.1.1.3.5.1.3">superscript</csymbol><ci id="A6.E284.m1.1.1.1.1.3.5.1.3.2.cmml" xref="A6.E284.m1.1.1.1.1.3.5.1.3.2">𝜇</ci><apply id="A6.E284.m1.1.1.1.1.3.5.1.3.3.cmml" xref="A6.E284.m1.1.1.1.1.3.5.1.3.3"><minus id="A6.E284.m1.1.1.1.1.3.5.1.3.3.1.cmml" xref="A6.E284.m1.1.1.1.1.3.5.1.3.3.1"></minus><ci id="A6.E284.m1.1.1.1.1.3.5.1.3.3.2.cmml" xref="A6.E284.m1.1.1.1.1.3.5.1.3.3.2">𝑁</ci><cn id="A6.E284.m1.1.1.1.1.3.5.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="A6.E284.m1.1.1.1.1.3.5.1.3.3.3">3</cn></apply></apply></apply><apply id="A6.E284.m1.1.1.1.1.3.6.1.cmml" xref="A6.E284.m1.1.1.1.1.3.6.1"><times id="A6.E284.m1.1.1.1.1.3.6.1.1.cmml" xref="A6.E284.m1.1.1.1.1.3.6.1.1"></times><ci id="A6.E284.m1.1.1.1.1.3.6.1.2.cmml" xref="A6.E284.m1.1.1.1.1.3.6.1.2">𝜆</ci><apply id="A6.E284.m1.1.1.1.1.3.6.1.3.cmml" xref="A6.E284.m1.1.1.1.1.3.6.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A6.E284.m1.1.1.1.1.3.6.1.3.1.cmml" xref="A6.E284.m1.1.1.1.1.3.6.1.3">superscript</csymbol><ci id="A6.E284.m1.1.1.1.1.3.6.1.3.2.cmml" xref="A6.E284.m1.1.1.1.1.3.6.1.3.2">𝜇</ci><apply id="A6.E284.m1.1.1.1.1.3.6.1.3.3.cmml" xref="A6.E284.m1.1.1.1.1.3.6.1.3.3"><minus id="A6.E284.m1.1.1.1.1.3.6.1.3.3.1.cmml" xref="A6.E284.m1.1.1.1.1.3.6.1.3.3.1"></minus><ci id="A6.E284.m1.1.1.1.1.3.6.1.3.3.2.cmml" xref="A6.E284.m1.1.1.1.1.3.6.1.3.3.2">𝑁</ci><cn id="A6.E284.m1.1.1.1.1.3.6.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="A6.E284.m1.1.1.1.1.3.6.1.3.3.3">2</cn></apply></apply></apply></matrixrow><matrixrow id="A6.E284.m1.1.1.1.1d.cmml" xref="A6.E284.m1.1.1.1.1"><ci id="A6.E284.m1.1.1.1.1.4.1.1.cmml" xref="A6.E284.m1.1.1.1.1.4.1.1">⋮</ci><ci id="A6.E284.m1.1.1.1.1.4.2.1.cmml" xref="A6.E284.m1.1.1.1.1.4.2.1">⋮</ci><ci id="A6.E284.m1.1.1.1.1.4.3.1.cmml" xref="A6.E284.m1.1.1.1.1.4.3.1">⋮</ci><ci id="A6.E284.m1.1.1.1.1.4.4.1.cmml" xref="A6.E284.m1.1.1.1.1.4.4.1">⋱</ci><ci id="A6.E284.m1.1.1.1.1.4.5.1.cmml" xref="A6.E284.m1.1.1.1.1.4.5.1">⋮</ci><ci id="A6.E284.m1.1.1.1.1.4.6.1.cmml" xref="A6.E284.m1.1.1.1.1.4.6.1">⋮</ci></matrixrow><matrixrow id="A6.E284.m1.1.1.1.1e.cmml" xref="A6.E284.m1.1.1.1.1"><cn id="A6.E284.m1.1.1.1.1.5.1.1.cmml" type="integer" xref="A6.E284.m1.1.1.1.1.5.1.1">0</cn><cn id="A6.E284.m1.1.1.1.1.5.2.1.cmml" type="integer" xref="A6.E284.m1.1.1.1.1.5.2.1">0</cn><cn id="A6.E284.m1.1.1.1.1.5.3.1.cmml" type="integer" xref="A6.E284.m1.1.1.1.1.5.3.1">0</cn><ci id="A6.E284.m1.1.1.1.1.5.4.1.cmml" xref="A6.E284.m1.1.1.1.1.5.4.1">…</ci><ci id="A6.E284.m1.1.1.1.1.5.5.1.cmml" xref="A6.E284.m1.1.1.1.1.5.5.1">𝜇</ci><ci id="A6.E284.m1.1.1.1.1.5.6.1.cmml" xref="A6.E284.m1.1.1.1.1.5.6.1">𝜆</ci></matrixrow></matrix></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A6.E284.m1.1c">A^{\prime}=\begin{bmatrix}\lambda_{1}&\lambda\mu_{1}&\lambda\mu\mu_{1}&\dots&% \lambda\mu^{N-2}\mu_{1}&\lambda\mu^{N-1}\mu_{1}\\ \mu_{1}&\lambda&\lambda\mu&\dots&\lambda\mu^{N-2}&\lambda\mu^{N-1}\\ 0&\mu&\lambda&\dots&\lambda\mu^{N-3}&\lambda\mu^{N-2}\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\ 0&0&0&\dots&\mu&\lambda\\ \end{bmatrix}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A6.E284.m1.1d">italic_A start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT = [ start_ARG start_ROW start_CELL italic_λ start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT end_CELL start_CELL italic_λ italic_μ start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT end_CELL start_CELL italic_λ italic_μ italic_μ start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT end_CELL start_CELL … end_CELL start_CELL italic_λ italic_μ start_POSTSUPERSCRIPT italic_N - 2 end_POSTSUPERSCRIPT italic_μ start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT end_CELL start_CELL italic_λ italic_μ start_POSTSUPERSCRIPT italic_N - 1 end_POSTSUPERSCRIPT italic_μ start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL italic_μ start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT end_CELL start_CELL italic_λ end_CELL start_CELL italic_λ italic_μ end_CELL start_CELL … end_CELL start_CELL italic_λ italic_μ start_POSTSUPERSCRIPT italic_N - 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_CELL start_CELL italic_λ italic_μ start_POSTSUPERSCRIPT italic_N - 1 end_POSTSUPERSCRIPT end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL 0 end_CELL start_CELL italic_μ end_CELL start_CELL italic_λ end_CELL start_CELL … end_CELL start_CELL italic_λ italic_μ start_POSTSUPERSCRIPT italic_N - 3 end_POSTSUPERSCRIPT end_CELL start_CELL italic_λ italic_μ start_POSTSUPERSCRIPT italic_N - 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL ⋮ end_CELL start_CELL ⋮ end_CELL start_CELL ⋮ end_CELL start_CELL ⋱ end_CELL start_CELL ⋮ end_CELL start_CELL ⋮ end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL 0 end_CELL start_CELL 0 end_CELL start_CELL 0 end_CELL start_CELL … end_CELL start_CELL italic_μ end_CELL start_CELL italic_λ end_CELL end_ROW end_ARG ]</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(284)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="A6.3.p1.1">If we apply the Gershgorin Circle Theorem to <math alttext="M^{-1}A^{\prime}M" class="ltx_Math" display="inline" id="A6.3.p1.1.m1.1"><semantics id="A6.3.p1.1.m1.1a"><mrow id="A6.3.p1.1.m1.1.1" xref="A6.3.p1.1.m1.1.1.cmml"><msup id="A6.3.p1.1.m1.1.1.2" xref="A6.3.p1.1.m1.1.1.2.cmml"><mi id="A6.3.p1.1.m1.1.1.2.2" xref="A6.3.p1.1.m1.1.1.2.2.cmml">M</mi><mrow id="A6.3.p1.1.m1.1.1.2.3" xref="A6.3.p1.1.m1.1.1.2.3.cmml"><mo id="A6.3.p1.1.m1.1.1.2.3a" xref="A6.3.p1.1.m1.1.1.2.3.cmml">−</mo><mn id="A6.3.p1.1.m1.1.1.2.3.2" xref="A6.3.p1.1.m1.1.1.2.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="A6.3.p1.1.m1.1.1.1" xref="A6.3.p1.1.m1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msup id="A6.3.p1.1.m1.1.1.3" xref="A6.3.p1.1.m1.1.1.3.cmml"><mi id="A6.3.p1.1.m1.1.1.3.2" xref="A6.3.p1.1.m1.1.1.3.2.cmml">A</mi><mo id="A6.3.p1.1.m1.1.1.3.3" xref="A6.3.p1.1.m1.1.1.3.3.cmml">′</mo></msup><mo id="A6.3.p1.1.m1.1.1.1a" xref="A6.3.p1.1.m1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="A6.3.p1.1.m1.1.1.4" xref="A6.3.p1.1.m1.1.1.4.cmml">M</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A6.3.p1.1.m1.1b"><apply id="A6.3.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="A6.3.p1.1.m1.1.1"><times id="A6.3.p1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="A6.3.p1.1.m1.1.1.1"></times><apply id="A6.3.p1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="A6.3.p1.1.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A6.3.p1.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="A6.3.p1.1.m1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="A6.3.p1.1.m1.1.1.2.2.cmml" xref="A6.3.p1.1.m1.1.1.2.2">𝑀</ci><apply id="A6.3.p1.1.m1.1.1.2.3.cmml" xref="A6.3.p1.1.m1.1.1.2.3"><minus id="A6.3.p1.1.m1.1.1.2.3.1.cmml" xref="A6.3.p1.1.m1.1.1.2.3"></minus><cn id="A6.3.p1.1.m1.1.1.2.3.2.cmml" type="integer" xref="A6.3.p1.1.m1.1.1.2.3.2">1</cn></apply></apply><apply id="A6.3.p1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="A6.3.p1.1.m1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A6.3.p1.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="A6.3.p1.1.m1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="A6.3.p1.1.m1.1.1.3.2.cmml" xref="A6.3.p1.1.m1.1.1.3.2">𝐴</ci><ci id="A6.3.p1.1.m1.1.1.3.3.cmml" xref="A6.3.p1.1.m1.1.1.3.3">′</ci></apply><ci id="A6.3.p1.1.m1.1.1.4.cmml" xref="A6.3.p1.1.m1.1.1.4">𝑀</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A6.3.p1.1.m1.1c">M^{-1}A^{\prime}M</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A6.3.p1.1.m1.1d">italic_M start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT italic_A start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT italic_M</annotation></semantics></math> as in the proof of Lemma <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#Thmtheorem18" title="Lemma 18. ‣ III Bounding the staircase by a single gate ‣ Conditional 𝑡-independent spectral gap for random quantum circuits and implications for 𝑡-design depths"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">18</span></a>, the first column sum is</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_gather ltx_eqn_table" id="S6.EGx246"> <tbody id="A6.E285"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\displaystyle C_{1}=\lambda_{1}+(\mu+\sqrt{\lambda})\mu_{1}=\lambda_{1}+(1+% \sqrt{1-\lambda})\sqrt{(1-\lambda_{1})\lambda\lambda_{1}}" class="ltx_Math" display="block" id="A6.E285.m1.3"><semantics id="A6.E285.m1.3a"><mrow id="A6.E285.m1.3.3" xref="A6.E285.m1.3.3.cmml"><msub id="A6.E285.m1.3.3.4" xref="A6.E285.m1.3.3.4.cmml"><mi id="A6.E285.m1.3.3.4.2" xref="A6.E285.m1.3.3.4.2.cmml">C</mi><mn id="A6.E285.m1.3.3.4.3" xref="A6.E285.m1.3.3.4.3.cmml">1</mn></msub><mo id="A6.E285.m1.3.3.5" xref="A6.E285.m1.3.3.5.cmml">=</mo><mrow id="A6.E285.m1.2.2.1" xref="A6.E285.m1.2.2.1.cmml"><msub id="A6.E285.m1.2.2.1.3" xref="A6.E285.m1.2.2.1.3.cmml"><mi id="A6.E285.m1.2.2.1.3.2" xref="A6.E285.m1.2.2.1.3.2.cmml">λ</mi><mn id="A6.E285.m1.2.2.1.3.3" xref="A6.E285.m1.2.2.1.3.3.cmml">1</mn></msub><mo id="A6.E285.m1.2.2.1.2" xref="A6.E285.m1.2.2.1.2.cmml">+</mo><mrow id="A6.E285.m1.2.2.1.1" xref="A6.E285.m1.2.2.1.1.cmml"><mrow id="A6.E285.m1.2.2.1.1.1.1" xref="A6.E285.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A6.E285.m1.2.2.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A6.E285.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A6.E285.m1.2.2.1.1.1.1.1" xref="A6.E285.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A6.E285.m1.2.2.1.1.1.1.1.2" xref="A6.E285.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml">μ</mi><mo id="A6.E285.m1.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="A6.E285.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><msqrt id="A6.E285.m1.2.2.1.1.1.1.1.3" xref="A6.E285.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A6.E285.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.2" xref="A6.E285.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.2.cmml">λ</mi></msqrt></mrow><mo id="A6.E285.m1.2.2.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A6.E285.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A6.E285.m1.2.2.1.1.2" xref="A6.E285.m1.2.2.1.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="A6.E285.m1.2.2.1.1.3" xref="A6.E285.m1.2.2.1.1.3.cmml"><mi id="A6.E285.m1.2.2.1.1.3.2" xref="A6.E285.m1.2.2.1.1.3.2.cmml">μ</mi><mn id="A6.E285.m1.2.2.1.1.3.3" xref="A6.E285.m1.2.2.1.1.3.3.cmml">1</mn></msub></mrow></mrow><mo id="A6.E285.m1.3.3.6" xref="A6.E285.m1.3.3.6.cmml">=</mo><mrow id="A6.E285.m1.3.3.2" xref="A6.E285.m1.3.3.2.cmml"><msub id="A6.E285.m1.3.3.2.3" xref="A6.E285.m1.3.3.2.3.cmml"><mi id="A6.E285.m1.3.3.2.3.2" xref="A6.E285.m1.3.3.2.3.2.cmml">λ</mi><mn id="A6.E285.m1.3.3.2.3.3" xref="A6.E285.m1.3.3.2.3.3.cmml">1</mn></msub><mo id="A6.E285.m1.3.3.2.2" xref="A6.E285.m1.3.3.2.2.cmml">+</mo><mrow id="A6.E285.m1.3.3.2.1" xref="A6.E285.m1.3.3.2.1.cmml"><mrow id="A6.E285.m1.3.3.2.1.1.1" xref="A6.E285.m1.3.3.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="A6.E285.m1.3.3.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A6.E285.m1.3.3.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A6.E285.m1.3.3.2.1.1.1.1" xref="A6.E285.m1.3.3.2.1.1.1.1.cmml"><mn id="A6.E285.m1.3.3.2.1.1.1.1.2" xref="A6.E285.m1.3.3.2.1.1.1.1.2.cmml">1</mn><mo id="A6.E285.m1.3.3.2.1.1.1.1.1" xref="A6.E285.m1.3.3.2.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><msqrt id="A6.E285.m1.3.3.2.1.1.1.1.3" xref="A6.E285.m1.3.3.2.1.1.1.1.3.cmml"><mrow id="A6.E285.m1.3.3.2.1.1.1.1.3.2" xref="A6.E285.m1.3.3.2.1.1.1.1.3.2.cmml"><mn id="A6.E285.m1.3.3.2.1.1.1.1.3.2.2" xref="A6.E285.m1.3.3.2.1.1.1.1.3.2.2.cmml">1</mn><mo id="A6.E285.m1.3.3.2.1.1.1.1.3.2.1" xref="A6.E285.m1.3.3.2.1.1.1.1.3.2.1.cmml">−</mo><mi id="A6.E285.m1.3.3.2.1.1.1.1.3.2.3" xref="A6.E285.m1.3.3.2.1.1.1.1.3.2.3.cmml">λ</mi></mrow></msqrt></mrow><mo id="A6.E285.m1.3.3.2.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A6.E285.m1.3.3.2.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A6.E285.m1.3.3.2.1.2" xref="A6.E285.m1.3.3.2.1.2.cmml">⁢</mo><msqrt id="A6.E285.m1.1.1" xref="A6.E285.m1.1.1.cmml"><mrow id="A6.E285.m1.1.1.1" xref="A6.E285.m1.1.1.1.cmml"><mrow id="A6.E285.m1.1.1.1.1.1" xref="A6.E285.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A6.E285.m1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A6.E285.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A6.E285.m1.1.1.1.1.1.1" xref="A6.E285.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="A6.E285.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A6.E285.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">1</mn><mo id="A6.E285.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A6.E285.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><msub id="A6.E285.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A6.E285.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A6.E285.m1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A6.E285.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">λ</mi><mn id="A6.E285.m1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A6.E285.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">1</mn></msub></mrow><mo id="A6.E285.m1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A6.E285.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A6.E285.m1.1.1.1.2" 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xref="A6.E285.m1.1.1.1.1.1.1.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="A6.E285.m1.1.1.1.3.cmml" xref="A6.E285.m1.1.1.1.3">𝜆</ci><apply id="A6.E285.m1.1.1.1.4.cmml" xref="A6.E285.m1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A6.E285.m1.1.1.1.4.1.cmml" xref="A6.E285.m1.1.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="A6.E285.m1.1.1.1.4.2.cmml" xref="A6.E285.m1.1.1.1.4.2">𝜆</ci><cn id="A6.E285.m1.1.1.1.4.3.cmml" type="integer" xref="A6.E285.m1.1.1.1.4.3">1</cn></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A6.E285.m1.3c">\displaystyle C_{1}=\lambda_{1}+(\mu+\sqrt{\lambda})\mu_{1}=\lambda_{1}+(1+% \sqrt{1-\lambda})\sqrt{(1-\lambda_{1})\lambda\lambda_{1}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A6.E285.m1.3d">italic_C start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT = italic_λ start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT + ( italic_μ + square-root start_ARG italic_λ end_ARG ) italic_μ start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT = italic_λ start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT + ( 1 + square-root start_ARG 1 - italic_λ end_ARG ) square-root start_ARG ( 1 - italic_λ start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ) italic_λ italic_λ start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT end_ARG</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(285)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="A6.3.p1.2">For <math alttext="j>1" class="ltx_Math" display="inline" id="A6.3.p1.2.m1.1"><semantics id="A6.3.p1.2.m1.1a"><mrow id="A6.3.p1.2.m1.1.1" xref="A6.3.p1.2.m1.1.1.cmml"><mi id="A6.3.p1.2.m1.1.1.2" xref="A6.3.p1.2.m1.1.1.2.cmml">j</mi><mo id="A6.3.p1.2.m1.1.1.1" xref="A6.3.p1.2.m1.1.1.1.cmml">></mo><mn id="A6.3.p1.2.m1.1.1.3" xref="A6.3.p1.2.m1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A6.3.p1.2.m1.1b"><apply id="A6.3.p1.2.m1.1.1.cmml" xref="A6.3.p1.2.m1.1.1"><gt id="A6.3.p1.2.m1.1.1.1.cmml" xref="A6.3.p1.2.m1.1.1.1"></gt><ci id="A6.3.p1.2.m1.1.1.2.cmml" xref="A6.3.p1.2.m1.1.1.2">𝑗</ci><cn id="A6.3.p1.2.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A6.3.p1.2.m1.1.1.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A6.3.p1.2.m1.1c">j>1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A6.3.p1.2.m1.1d">italic_j > 1</annotation></semantics></math>, the column sum is</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="S6.EGx247"> <tbody id="A6.E286"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle C_{j}" class="ltx_Math" display="inline" id="A6.E286.m1.1"><semantics id="A6.E286.m1.1a"><msub id="A6.E286.m1.1.1" xref="A6.E286.m1.1.1.cmml"><mi id="A6.E286.m1.1.1.2" xref="A6.E286.m1.1.1.2.cmml">C</mi><mi id="A6.E286.m1.1.1.3" xref="A6.E286.m1.1.1.3.cmml">j</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A6.E286.m1.1b"><apply id="A6.E286.m1.1.1.cmml" xref="A6.E286.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A6.E286.m1.1.1.1.cmml" xref="A6.E286.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="A6.E286.m1.1.1.2.cmml" xref="A6.E286.m1.1.1.2">𝐶</ci><ci id="A6.E286.m1.1.1.3.cmml" xref="A6.E286.m1.1.1.3">𝑗</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A6.E286.m1.1c">\displaystyle C_{j}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A6.E286.m1.1d">italic_C start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=(\mu+\sqrt{\lambda})\mu\ +\lambda\sum_{k=0}^{j-1}\left(\frac{\mu% }{\mu+\sqrt{\lambda}}\right)^{k}+\lambda\left(\frac{\mu}{\mu+\sqrt{\lambda}}% \right)^{j-1}\left(\frac{\mu^{\prime}}{\mu+\sqrt{\lambda}}\right)" class="ltx_Math" display="inline" id="A6.E286.m2.4"><semantics id="A6.E286.m2.4a"><mrow id="A6.E286.m2.4.4" xref="A6.E286.m2.4.4.cmml"><mi id="A6.E286.m2.4.4.3" xref="A6.E286.m2.4.4.3.cmml"></mi><mo id="A6.E286.m2.4.4.2" xref="A6.E286.m2.4.4.2.cmml">=</mo><mrow id="A6.E286.m2.4.4.1" xref="A6.E286.m2.4.4.1.cmml"><mrow id="A6.E286.m2.4.4.1.1" xref="A6.E286.m2.4.4.1.1.cmml"><mrow id="A6.E286.m2.4.4.1.1.1.1" xref="A6.E286.m2.4.4.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A6.E286.m2.4.4.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A6.E286.m2.4.4.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A6.E286.m2.4.4.1.1.1.1.1" xref="A6.E286.m2.4.4.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A6.E286.m2.4.4.1.1.1.1.1.2" xref="A6.E286.m2.4.4.1.1.1.1.1.2.cmml">μ</mi><mo id="A6.E286.m2.4.4.1.1.1.1.1.1" xref="A6.E286.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><msqrt id="A6.E286.m2.4.4.1.1.1.1.1.3" xref="A6.E286.m2.4.4.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A6.E286.m2.4.4.1.1.1.1.1.3.2" xref="A6.E286.m2.4.4.1.1.1.1.1.3.2.cmml">λ</mi></msqrt></mrow><mo id="A6.E286.m2.4.4.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A6.E286.m2.4.4.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A6.E286.m2.4.4.1.1.2" xref="A6.E286.m2.4.4.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="A6.E286.m2.4.4.1.1.3" xref="A6.E286.m2.4.4.1.1.3.cmml">μ</mi></mrow><mo id="A6.E286.m2.4.4.1.2" lspace="0.722em" xref="A6.E286.m2.4.4.1.2.cmml">+</mo><mrow id="A6.E286.m2.4.4.1.3" xref="A6.E286.m2.4.4.1.3.cmml"><mi id="A6.E286.m2.4.4.1.3.2" xref="A6.E286.m2.4.4.1.3.2.cmml">λ</mi><mo id="A6.E286.m2.4.4.1.3.1" xref="A6.E286.m2.4.4.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A6.E286.m2.4.4.1.3.3" xref="A6.E286.m2.4.4.1.3.3.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A6.E286.m2.4.4.1.3.3.1" xref="A6.E286.m2.4.4.1.3.3.1.cmml"><munderover id="A6.E286.m2.4.4.1.3.3.1a" xref="A6.E286.m2.4.4.1.3.3.1.cmml"><mo id="A6.E286.m2.4.4.1.3.3.1.2.2" movablelimits="false" xref="A6.E286.m2.4.4.1.3.3.1.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="A6.E286.m2.4.4.1.3.3.1.2.3" xref="A6.E286.m2.4.4.1.3.3.1.2.3.cmml"><mi id="A6.E286.m2.4.4.1.3.3.1.2.3.2" xref="A6.E286.m2.4.4.1.3.3.1.2.3.2.cmml">k</mi><mo id="A6.E286.m2.4.4.1.3.3.1.2.3.1" xref="A6.E286.m2.4.4.1.3.3.1.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="A6.E286.m2.4.4.1.3.3.1.2.3.3" xref="A6.E286.m2.4.4.1.3.3.1.2.3.3.cmml">0</mn></mrow><mrow id="A6.E286.m2.4.4.1.3.3.1.3" xref="A6.E286.m2.4.4.1.3.3.1.3.cmml"><mi id="A6.E286.m2.4.4.1.3.3.1.3.2" xref="A6.E286.m2.4.4.1.3.3.1.3.2.cmml">j</mi><mo id="A6.E286.m2.4.4.1.3.3.1.3.1" xref="A6.E286.m2.4.4.1.3.3.1.3.1.cmml">−</mo><mn id="A6.E286.m2.4.4.1.3.3.1.3.3" xref="A6.E286.m2.4.4.1.3.3.1.3.3.cmml">1</mn></mrow></munderover></mstyle><msup id="A6.E286.m2.4.4.1.3.3.2" xref="A6.E286.m2.4.4.1.3.3.2.cmml"><mrow id="A6.E286.m2.4.4.1.3.3.2.2.2" xref="A6.E286.m2.1.1.cmml"><mo id="A6.E286.m2.4.4.1.3.3.2.2.2.1" xref="A6.E286.m2.1.1.cmml">(</mo><mstyle displaystyle="true" id="A6.E286.m2.1.1" xref="A6.E286.m2.1.1.cmml"><mfrac id="A6.E286.m2.1.1a" xref="A6.E286.m2.1.1.cmml"><mi id="A6.E286.m2.1.1.2" xref="A6.E286.m2.1.1.2.cmml">μ</mi><mrow id="A6.E286.m2.1.1.3" xref="A6.E286.m2.1.1.3.cmml"><mi id="A6.E286.m2.1.1.3.2" xref="A6.E286.m2.1.1.3.2.cmml">μ</mi><mo id="A6.E286.m2.1.1.3.1" xref="A6.E286.m2.1.1.3.1.cmml">+</mo><msqrt id="A6.E286.m2.1.1.3.3" xref="A6.E286.m2.1.1.3.3.cmml"><mi id="A6.E286.m2.1.1.3.3.2" xref="A6.E286.m2.1.1.3.3.2.cmml">λ</mi></msqrt></mrow></mfrac></mstyle><mo id="A6.E286.m2.4.4.1.3.3.2.2.2.2" xref="A6.E286.m2.1.1.cmml">)</mo></mrow><mi id="A6.E286.m2.4.4.1.3.3.2.3" xref="A6.E286.m2.4.4.1.3.3.2.3.cmml">k</mi></msup></mrow></mrow><mo id="A6.E286.m2.4.4.1.2a" xref="A6.E286.m2.4.4.1.2.cmml">+</mo><mrow id="A6.E286.m2.4.4.1.4" xref="A6.E286.m2.4.4.1.4.cmml"><mi id="A6.E286.m2.4.4.1.4.2" xref="A6.E286.m2.4.4.1.4.2.cmml">λ</mi><mo id="A6.E286.m2.4.4.1.4.1" xref="A6.E286.m2.4.4.1.4.1.cmml">⁢</mo><msup id="A6.E286.m2.4.4.1.4.3" xref="A6.E286.m2.4.4.1.4.3.cmml"><mrow id="A6.E286.m2.4.4.1.4.3.2.2" xref="A6.E286.m2.2.2.cmml"><mo id="A6.E286.m2.4.4.1.4.3.2.2.1" xref="A6.E286.m2.2.2.cmml">(</mo><mstyle displaystyle="true" id="A6.E286.m2.2.2" xref="A6.E286.m2.2.2.cmml"><mfrac id="A6.E286.m2.2.2a" xref="A6.E286.m2.2.2.cmml"><mi id="A6.E286.m2.2.2.2" xref="A6.E286.m2.2.2.2.cmml">μ</mi><mrow id="A6.E286.m2.2.2.3" xref="A6.E286.m2.2.2.3.cmml"><mi id="A6.E286.m2.2.2.3.2" xref="A6.E286.m2.2.2.3.2.cmml">μ</mi><mo id="A6.E286.m2.2.2.3.1" xref="A6.E286.m2.2.2.3.1.cmml">+</mo><msqrt id="A6.E286.m2.2.2.3.3" xref="A6.E286.m2.2.2.3.3.cmml"><mi id="A6.E286.m2.2.2.3.3.2" xref="A6.E286.m2.2.2.3.3.2.cmml">λ</mi></msqrt></mrow></mfrac></mstyle><mo id="A6.E286.m2.4.4.1.4.3.2.2.2" xref="A6.E286.m2.2.2.cmml">)</mo></mrow><mrow id="A6.E286.m2.4.4.1.4.3.3" xref="A6.E286.m2.4.4.1.4.3.3.cmml"><mi id="A6.E286.m2.4.4.1.4.3.3.2" xref="A6.E286.m2.4.4.1.4.3.3.2.cmml">j</mi><mo id="A6.E286.m2.4.4.1.4.3.3.1" xref="A6.E286.m2.4.4.1.4.3.3.1.cmml">−</mo><mn id="A6.E286.m2.4.4.1.4.3.3.3" xref="A6.E286.m2.4.4.1.4.3.3.3.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="A6.E286.m2.4.4.1.4.1a" xref="A6.E286.m2.4.4.1.4.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A6.E286.m2.4.4.1.4.4.2" xref="A6.E286.m2.3.3.cmml"><mo id="A6.E286.m2.4.4.1.4.4.2.1" xref="A6.E286.m2.3.3.cmml">(</mo><mstyle displaystyle="true" id="A6.E286.m2.3.3" xref="A6.E286.m2.3.3.cmml"><mfrac id="A6.E286.m2.3.3a" xref="A6.E286.m2.3.3.cmml"><msup id="A6.E286.m2.3.3.2" xref="A6.E286.m2.3.3.2.cmml"><mi id="A6.E286.m2.3.3.2.2" xref="A6.E286.m2.3.3.2.2.cmml">μ</mi><mo id="A6.E286.m2.3.3.2.3" xref="A6.E286.m2.3.3.2.3.cmml">′</mo></msup><mrow id="A6.E286.m2.3.3.3" xref="A6.E286.m2.3.3.3.cmml"><mi id="A6.E286.m2.3.3.3.2" xref="A6.E286.m2.3.3.3.2.cmml">μ</mi><mo id="A6.E286.m2.3.3.3.1" xref="A6.E286.m2.3.3.3.1.cmml">+</mo><msqrt id="A6.E286.m2.3.3.3.3" xref="A6.E286.m2.3.3.3.3.cmml"><mi id="A6.E286.m2.3.3.3.3.2" xref="A6.E286.m2.3.3.3.3.2.cmml">λ</mi></msqrt></mrow></mfrac></mstyle><mo id="A6.E286.m2.4.4.1.4.4.2.2" xref="A6.E286.m2.3.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A6.E286.m2.4b"><apply id="A6.E286.m2.4.4.cmml" xref="A6.E286.m2.4.4"><eq id="A6.E286.m2.4.4.2.cmml" 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ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=(\mu+\sqrt{\lambda})\mu\ +\lambda\sum_{k=0}^{j-1}\left(\frac{\mu% }{\mu+\sqrt{\lambda}}\right)^{k}+\lambda\left(\frac{\mu}{\mu+\sqrt{\lambda}}% \right)^{j}\frac{\mu^{\prime}}{\mu}" class="ltx_Math" display="inline" id="A6.E287.m1.3"><semantics id="A6.E287.m1.3a"><mrow id="A6.E287.m1.3.3" xref="A6.E287.m1.3.3.cmml"><mi id="A6.E287.m1.3.3.3" xref="A6.E287.m1.3.3.3.cmml"></mi><mo id="A6.E287.m1.3.3.2" xref="A6.E287.m1.3.3.2.cmml">=</mo><mrow id="A6.E287.m1.3.3.1" xref="A6.E287.m1.3.3.1.cmml"><mrow id="A6.E287.m1.3.3.1.1" xref="A6.E287.m1.3.3.1.1.cmml"><mrow id="A6.E287.m1.3.3.1.1.1.1" xref="A6.E287.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A6.E287.m1.3.3.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A6.E287.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A6.E287.m1.3.3.1.1.1.1.1" xref="A6.E287.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A6.E287.m1.3.3.1.1.1.1.1.2" xref="A6.E287.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.cmml">μ</mi><mo 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xref="A6.E287.m1.3.3.1.4.1.cmml">⁢</mo><mstyle displaystyle="true" id="A6.E287.m1.3.3.1.4.4" xref="A6.E287.m1.3.3.1.4.4.cmml"><mfrac id="A6.E287.m1.3.3.1.4.4a" xref="A6.E287.m1.3.3.1.4.4.cmml"><msup id="A6.E287.m1.3.3.1.4.4.2" xref="A6.E287.m1.3.3.1.4.4.2.cmml"><mi id="A6.E287.m1.3.3.1.4.4.2.2" xref="A6.E287.m1.3.3.1.4.4.2.2.cmml">μ</mi><mo id="A6.E287.m1.3.3.1.4.4.2.3" xref="A6.E287.m1.3.3.1.4.4.2.3.cmml">′</mo></msup><mi id="A6.E287.m1.3.3.1.4.4.3" xref="A6.E287.m1.3.3.1.4.4.3.cmml">μ</mi></mfrac></mstyle></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A6.E287.m1.3b"><apply id="A6.E287.m1.3.3.cmml" xref="A6.E287.m1.3.3"><eq id="A6.E287.m1.3.3.2.cmml" xref="A6.E287.m1.3.3.2"></eq><csymbol cd="latexml" id="A6.E287.m1.3.3.3.cmml" xref="A6.E287.m1.3.3.3">absent</csymbol><apply id="A6.E287.m1.3.3.1.cmml" xref="A6.E287.m1.3.3.1"><plus id="A6.E287.m1.3.3.1.2.cmml" xref="A6.E287.m1.3.3.1.2"></plus><apply id="A6.E287.m1.3.3.1.1.cmml" xref="A6.E287.m1.3.3.1.1"><times 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id="A6.E288"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=(\mu+\sqrt{\lambda})\mu\ +\lambda\sum_{k=0}^{\infty}\left(\frac{% \mu}{\mu+\sqrt{\lambda}}\right)^{k}+\lambda\left[\left(\frac{\mu}{\mu+\sqrt{% \lambda}}\right)^{j}\frac{\mu_{1}}{\mu}-\sum_{k=j}^{\infty}\left(\frac{\mu}{% \mu+\sqrt{\lambda}}\right)^{k}\right]" class="ltx_Math" display="inline" id="A6.E288.m1.5"><semantics id="A6.E288.m1.5a"><mrow id="A6.E288.m1.5.5" xref="A6.E288.m1.5.5.cmml"><mi id="A6.E288.m1.5.5.4" xref="A6.E288.m1.5.5.4.cmml"></mi><mo id="A6.E288.m1.5.5.3" xref="A6.E288.m1.5.5.3.cmml">=</mo><mrow id="A6.E288.m1.5.5.2" xref="A6.E288.m1.5.5.2.cmml"><mrow id="A6.E288.m1.4.4.1.1" xref="A6.E288.m1.4.4.1.1.cmml"><mrow id="A6.E288.m1.4.4.1.1.1.1" xref="A6.E288.m1.4.4.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A6.E288.m1.4.4.1.1.1.1.2" stretchy="false" 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id="A6.E288.m1.5.5.2.4.3" xref="A6.E288.m1.5.5.2.4.3.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A6.E288.m1.5.5.2.4.3.1" xref="A6.E288.m1.5.5.2.4.3.1.cmml"><munderover id="A6.E288.m1.5.5.2.4.3.1a" xref="A6.E288.m1.5.5.2.4.3.1.cmml"><mo id="A6.E288.m1.5.5.2.4.3.1.2.2" movablelimits="false" xref="A6.E288.m1.5.5.2.4.3.1.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="A6.E288.m1.5.5.2.4.3.1.2.3" xref="A6.E288.m1.5.5.2.4.3.1.2.3.cmml"><mi id="A6.E288.m1.5.5.2.4.3.1.2.3.2" xref="A6.E288.m1.5.5.2.4.3.1.2.3.2.cmml">k</mi><mo id="A6.E288.m1.5.5.2.4.3.1.2.3.1" xref="A6.E288.m1.5.5.2.4.3.1.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="A6.E288.m1.5.5.2.4.3.1.2.3.3" xref="A6.E288.m1.5.5.2.4.3.1.2.3.3.cmml">0</mn></mrow><mi id="A6.E288.m1.5.5.2.4.3.1.3" mathvariant="normal" xref="A6.E288.m1.5.5.2.4.3.1.3.cmml">∞</mi></munderover></mstyle><msup id="A6.E288.m1.5.5.2.4.3.2" xref="A6.E288.m1.5.5.2.4.3.2.cmml"><mrow id="A6.E288.m1.5.5.2.4.3.2.2.2" xref="A6.E288.m1.1.1.cmml"><mo id="A6.E288.m1.5.5.2.4.3.2.2.2.1" xref="A6.E288.m1.1.1.cmml">(</mo><mstyle displaystyle="true" id="A6.E288.m1.1.1" xref="A6.E288.m1.1.1.cmml"><mfrac id="A6.E288.m1.1.1a" xref="A6.E288.m1.1.1.cmml"><mi id="A6.E288.m1.1.1.2" xref="A6.E288.m1.1.1.2.cmml">μ</mi><mrow id="A6.E288.m1.1.1.3" xref="A6.E288.m1.1.1.3.cmml"><mi id="A6.E288.m1.1.1.3.2" xref="A6.E288.m1.1.1.3.2.cmml">μ</mi><mo id="A6.E288.m1.1.1.3.1" xref="A6.E288.m1.1.1.3.1.cmml">+</mo><msqrt id="A6.E288.m1.1.1.3.3" xref="A6.E288.m1.1.1.3.3.cmml"><mi id="A6.E288.m1.1.1.3.3.2" xref="A6.E288.m1.1.1.3.3.2.cmml">λ</mi></msqrt></mrow></mfrac></mstyle><mo id="A6.E288.m1.5.5.2.4.3.2.2.2.2" xref="A6.E288.m1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mi id="A6.E288.m1.5.5.2.4.3.2.3" xref="A6.E288.m1.5.5.2.4.3.2.3.cmml">k</mi></msup></mrow></mrow><mo id="A6.E288.m1.5.5.2.3a" xref="A6.E288.m1.5.5.2.3.cmml">+</mo><mrow id="A6.E288.m1.5.5.2.2" xref="A6.E288.m1.5.5.2.2.cmml"><mi id="A6.E288.m1.5.5.2.2.3" xref="A6.E288.m1.5.5.2.2.3.cmml">λ</mi><mo id="A6.E288.m1.5.5.2.2.2" xref="A6.E288.m1.5.5.2.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A6.E288.m1.5.5.2.2.1.1" xref="A6.E288.m1.5.5.2.2.1.2.cmml"><mo id="A6.E288.m1.5.5.2.2.1.1.2" xref="A6.E288.m1.5.5.2.2.1.2.1.cmml">[</mo><mrow id="A6.E288.m1.5.5.2.2.1.1.1" xref="A6.E288.m1.5.5.2.2.1.1.1.cmml"><mrow id="A6.E288.m1.5.5.2.2.1.1.1.2" xref="A6.E288.m1.5.5.2.2.1.1.1.2.cmml"><msup id="A6.E288.m1.5.5.2.2.1.1.1.2.2" xref="A6.E288.m1.5.5.2.2.1.1.1.2.2.cmml"><mrow id="A6.E288.m1.5.5.2.2.1.1.1.2.2.2.2" xref="A6.E288.m1.2.2.cmml"><mo id="A6.E288.m1.5.5.2.2.1.1.1.2.2.2.2.1" xref="A6.E288.m1.2.2.cmml">(</mo><mstyle displaystyle="true" id="A6.E288.m1.2.2" xref="A6.E288.m1.2.2.cmml"><mfrac id="A6.E288.m1.2.2a" xref="A6.E288.m1.2.2.cmml"><mi id="A6.E288.m1.2.2.2" xref="A6.E288.m1.2.2.2.cmml">μ</mi><mrow id="A6.E288.m1.2.2.3" xref="A6.E288.m1.2.2.3.cmml"><mi id="A6.E288.m1.2.2.3.2" xref="A6.E288.m1.2.2.3.2.cmml">μ</mi><mo id="A6.E288.m1.2.2.3.1" xref="A6.E288.m1.2.2.3.1.cmml">+</mo><msqrt id="A6.E288.m1.2.2.3.3" xref="A6.E288.m1.2.2.3.3.cmml"><mi id="A6.E288.m1.2.2.3.3.2" xref="A6.E288.m1.2.2.3.3.2.cmml">λ</mi></msqrt></mrow></mfrac></mstyle><mo id="A6.E288.m1.5.5.2.2.1.1.1.2.2.2.2.2" xref="A6.E288.m1.2.2.cmml">)</mo></mrow><mi id="A6.E288.m1.5.5.2.2.1.1.1.2.2.3" xref="A6.E288.m1.5.5.2.2.1.1.1.2.2.3.cmml">j</mi></msup><mo id="A6.E288.m1.5.5.2.2.1.1.1.2.1" xref="A6.E288.m1.5.5.2.2.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mstyle displaystyle="true" id="A6.E288.m1.5.5.2.2.1.1.1.2.3" xref="A6.E288.m1.5.5.2.2.1.1.1.2.3.cmml"><mfrac id="A6.E288.m1.5.5.2.2.1.1.1.2.3a" xref="A6.E288.m1.5.5.2.2.1.1.1.2.3.cmml"><msub id="A6.E288.m1.5.5.2.2.1.1.1.2.3.2" xref="A6.E288.m1.5.5.2.2.1.1.1.2.3.2.cmml"><mi id="A6.E288.m1.5.5.2.2.1.1.1.2.3.2.2" xref="A6.E288.m1.5.5.2.2.1.1.1.2.3.2.2.cmml">μ</mi><mn id="A6.E288.m1.5.5.2.2.1.1.1.2.3.2.3" xref="A6.E288.m1.5.5.2.2.1.1.1.2.3.2.3.cmml">1</mn></msub><mi id="A6.E288.m1.5.5.2.2.1.1.1.2.3.3" xref="A6.E288.m1.5.5.2.2.1.1.1.2.3.3.cmml">μ</mi></mfrac></mstyle></mrow><mo id="A6.E288.m1.5.5.2.2.1.1.1.1" xref="A6.E288.m1.5.5.2.2.1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="A6.E288.m1.5.5.2.2.1.1.1.3" xref="A6.E288.m1.5.5.2.2.1.1.1.3.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A6.E288.m1.5.5.2.2.1.1.1.3.1" xref="A6.E288.m1.5.5.2.2.1.1.1.3.1.cmml"><munderover id="A6.E288.m1.5.5.2.2.1.1.1.3.1a" xref="A6.E288.m1.5.5.2.2.1.1.1.3.1.cmml"><mo id="A6.E288.m1.5.5.2.2.1.1.1.3.1.2.2" movablelimits="false" xref="A6.E288.m1.5.5.2.2.1.1.1.3.1.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="A6.E288.m1.5.5.2.2.1.1.1.3.1.2.3" xref="A6.E288.m1.5.5.2.2.1.1.1.3.1.2.3.cmml"><mi id="A6.E288.m1.5.5.2.2.1.1.1.3.1.2.3.2" xref="A6.E288.m1.5.5.2.2.1.1.1.3.1.2.3.2.cmml">k</mi><mo id="A6.E288.m1.5.5.2.2.1.1.1.3.1.2.3.1" xref="A6.E288.m1.5.5.2.2.1.1.1.3.1.2.3.1.cmml">=</mo><mi id="A6.E288.m1.5.5.2.2.1.1.1.3.1.2.3.3" xref="A6.E288.m1.5.5.2.2.1.1.1.3.1.2.3.3.cmml">j</mi></mrow><mi id="A6.E288.m1.5.5.2.2.1.1.1.3.1.3" mathvariant="normal" xref="A6.E288.m1.5.5.2.2.1.1.1.3.1.3.cmml">∞</mi></munderover></mstyle><msup id="A6.E288.m1.5.5.2.2.1.1.1.3.2" xref="A6.E288.m1.5.5.2.2.1.1.1.3.2.cmml"><mrow id="A6.E288.m1.5.5.2.2.1.1.1.3.2.2.2" xref="A6.E288.m1.3.3.cmml"><mo id="A6.E288.m1.5.5.2.2.1.1.1.3.2.2.2.1" xref="A6.E288.m1.3.3.cmml">(</mo><mstyle displaystyle="true" id="A6.E288.m1.3.3" xref="A6.E288.m1.3.3.cmml"><mfrac id="A6.E288.m1.3.3a" xref="A6.E288.m1.3.3.cmml"><mi id="A6.E288.m1.3.3.2" xref="A6.E288.m1.3.3.2.cmml">μ</mi><mrow id="A6.E288.m1.3.3.3" xref="A6.E288.m1.3.3.3.cmml"><mi id="A6.E288.m1.3.3.3.2" xref="A6.E288.m1.3.3.3.2.cmml">μ</mi><mo id="A6.E288.m1.3.3.3.1" xref="A6.E288.m1.3.3.3.1.cmml">+</mo><msqrt id="A6.E288.m1.3.3.3.3" xref="A6.E288.m1.3.3.3.3.cmml"><mi id="A6.E288.m1.3.3.3.3.2" xref="A6.E288.m1.3.3.3.3.2.cmml">λ</mi></msqrt></mrow></mfrac></mstyle><mo id="A6.E288.m1.5.5.2.2.1.1.1.3.2.2.2.2" xref="A6.E288.m1.3.3.cmml">)</mo></mrow><mi id="A6.E288.m1.5.5.2.2.1.1.1.3.2.3" xref="A6.E288.m1.5.5.2.2.1.1.1.3.2.3.cmml">k</mi></msup></mrow></mrow><mo id="A6.E288.m1.5.5.2.2.1.1.3" xref="A6.E288.m1.5.5.2.2.1.2.1.cmml">]</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml 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id="A6.E288.m1.5.5.2.2.1.1.1.2.2.cmml" xref="A6.E288.m1.5.5.2.2.1.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A6.E288.m1.5.5.2.2.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="A6.E288.m1.5.5.2.2.1.1.1.2.2">superscript</csymbol><apply id="A6.E288.m1.2.2.cmml" xref="A6.E288.m1.5.5.2.2.1.1.1.2.2.2.2"><divide id="A6.E288.m1.2.2.1.cmml" xref="A6.E288.m1.5.5.2.2.1.1.1.2.2.2.2"></divide><ci id="A6.E288.m1.2.2.2.cmml" xref="A6.E288.m1.2.2.2">𝜇</ci><apply id="A6.E288.m1.2.2.3.cmml" xref="A6.E288.m1.2.2.3"><plus id="A6.E288.m1.2.2.3.1.cmml" xref="A6.E288.m1.2.2.3.1"></plus><ci id="A6.E288.m1.2.2.3.2.cmml" xref="A6.E288.m1.2.2.3.2">𝜇</ci><apply id="A6.E288.m1.2.2.3.3.cmml" xref="A6.E288.m1.2.2.3.3"><root id="A6.E288.m1.2.2.3.3a.cmml" xref="A6.E288.m1.2.2.3.3"></root><ci id="A6.E288.m1.2.2.3.3.2.cmml" xref="A6.E288.m1.2.2.3.3.2">𝜆</ci></apply></apply></apply><ci id="A6.E288.m1.5.5.2.2.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="A6.E288.m1.5.5.2.2.1.1.1.2.2.3">𝑗</ci></apply><apply id="A6.E288.m1.5.5.2.2.1.1.1.2.3.cmml" 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xref="A6.E288.m1.5.5.2.2.1.1.1.3.2.2.2"><divide id="A6.E288.m1.3.3.1.cmml" xref="A6.E288.m1.5.5.2.2.1.1.1.3.2.2.2"></divide><ci id="A6.E288.m1.3.3.2.cmml" xref="A6.E288.m1.3.3.2">𝜇</ci><apply id="A6.E288.m1.3.3.3.cmml" xref="A6.E288.m1.3.3.3"><plus id="A6.E288.m1.3.3.3.1.cmml" xref="A6.E288.m1.3.3.3.1"></plus><ci id="A6.E288.m1.3.3.3.2.cmml" xref="A6.E288.m1.3.3.3.2">𝜇</ci><apply id="A6.E288.m1.3.3.3.3.cmml" xref="A6.E288.m1.3.3.3.3"><root id="A6.E288.m1.3.3.3.3a.cmml" xref="A6.E288.m1.3.3.3.3"></root><ci id="A6.E288.m1.3.3.3.3.2.cmml" xref="A6.E288.m1.3.3.3.3.2">𝜆</ci></apply></apply></apply><ci id="A6.E288.m1.5.5.2.2.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="A6.E288.m1.5.5.2.2.1.1.1.3.2.3">𝑘</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A6.E288.m1.5c">\displaystyle=(\mu+\sqrt{\lambda})\mu\ +\lambda\sum_{k=0}^{\infty}\left(\frac{% \mu}{\mu+\sqrt{\lambda}}\right)^{k}+\lambda\left[\left(\frac{\mu}{\mu+\sqrt{% 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end_ARG ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_k end_POSTSUPERSCRIPT ]</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(288)</span></td> </tr></tbody> <tbody id="A6.E289"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=(\mu+\sqrt{\lambda})\mu\ +\lambda\sum_{k=0}^{\infty}\left(\frac{% \mu}{\mu+\sqrt{\lambda}}\right)^{k}+\lambda\left(\frac{\mu}{\mu+\sqrt{\lambda}% }\right)^{j}\left[\frac{\mu_{1}}{\mu}-\sum_{k=0}^{\infty}\left(\frac{\mu}{\mu+% \sqrt{\lambda}}\right)^{k}\right]" class="ltx_Math" display="inline" id="A6.E289.m1.5"><semantics id="A6.E289.m1.5a"><mrow id="A6.E289.m1.5.5" xref="A6.E289.m1.5.5.cmml"><mi id="A6.E289.m1.5.5.4" 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xref="A6.E289.m1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mi id="A6.E289.m1.5.5.2.4.3.2.3" xref="A6.E289.m1.5.5.2.4.3.2.3.cmml">k</mi></msup></mrow></mrow><mo id="A6.E289.m1.5.5.2.3a" xref="A6.E289.m1.5.5.2.3.cmml">+</mo><mrow id="A6.E289.m1.5.5.2.2" xref="A6.E289.m1.5.5.2.2.cmml"><mi id="A6.E289.m1.5.5.2.2.3" xref="A6.E289.m1.5.5.2.2.3.cmml">λ</mi><mo id="A6.E289.m1.5.5.2.2.2" xref="A6.E289.m1.5.5.2.2.2.cmml">⁢</mo><msup id="A6.E289.m1.5.5.2.2.4" xref="A6.E289.m1.5.5.2.2.4.cmml"><mrow id="A6.E289.m1.5.5.2.2.4.2.2" xref="A6.E289.m1.2.2.cmml"><mo id="A6.E289.m1.5.5.2.2.4.2.2.1" xref="A6.E289.m1.2.2.cmml">(</mo><mstyle displaystyle="true" id="A6.E289.m1.2.2" xref="A6.E289.m1.2.2.cmml"><mfrac id="A6.E289.m1.2.2a" xref="A6.E289.m1.2.2.cmml"><mi id="A6.E289.m1.2.2.2" xref="A6.E289.m1.2.2.2.cmml">μ</mi><mrow id="A6.E289.m1.2.2.3" xref="A6.E289.m1.2.2.3.cmml"><mi id="A6.E289.m1.2.2.3.2" xref="A6.E289.m1.2.2.3.2.cmml">μ</mi><mo id="A6.E289.m1.2.2.3.1" xref="A6.E289.m1.2.2.3.1.cmml">+</mo><msqrt id="A6.E289.m1.2.2.3.3" xref="A6.E289.m1.2.2.3.3.cmml"><mi id="A6.E289.m1.2.2.3.3.2" xref="A6.E289.m1.2.2.3.3.2.cmml">λ</mi></msqrt></mrow></mfrac></mstyle><mo id="A6.E289.m1.5.5.2.2.4.2.2.2" xref="A6.E289.m1.2.2.cmml">)</mo></mrow><mi id="A6.E289.m1.5.5.2.2.4.3" xref="A6.E289.m1.5.5.2.2.4.3.cmml">j</mi></msup><mo id="A6.E289.m1.5.5.2.2.2a" xref="A6.E289.m1.5.5.2.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A6.E289.m1.5.5.2.2.1.1" xref="A6.E289.m1.5.5.2.2.1.2.cmml"><mo id="A6.E289.m1.5.5.2.2.1.1.2" xref="A6.E289.m1.5.5.2.2.1.2.1.cmml">[</mo><mrow id="A6.E289.m1.5.5.2.2.1.1.1" xref="A6.E289.m1.5.5.2.2.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A6.E289.m1.5.5.2.2.1.1.1.2" xref="A6.E289.m1.5.5.2.2.1.1.1.2.cmml"><mfrac id="A6.E289.m1.5.5.2.2.1.1.1.2a" xref="A6.E289.m1.5.5.2.2.1.1.1.2.cmml"><msub id="A6.E289.m1.5.5.2.2.1.1.1.2.2" xref="A6.E289.m1.5.5.2.2.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="A6.E289.m1.5.5.2.2.1.1.1.2.2.2" xref="A6.E289.m1.5.5.2.2.1.1.1.2.2.2.cmml">μ</mi><mn id="A6.E289.m1.5.5.2.2.1.1.1.2.2.3" xref="A6.E289.m1.5.5.2.2.1.1.1.2.2.3.cmml">1</mn></msub><mi id="A6.E289.m1.5.5.2.2.1.1.1.2.3" xref="A6.E289.m1.5.5.2.2.1.1.1.2.3.cmml">μ</mi></mfrac></mstyle><mo id="A6.E289.m1.5.5.2.2.1.1.1.1" xref="A6.E289.m1.5.5.2.2.1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="A6.E289.m1.5.5.2.2.1.1.1.3" xref="A6.E289.m1.5.5.2.2.1.1.1.3.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A6.E289.m1.5.5.2.2.1.1.1.3.1" xref="A6.E289.m1.5.5.2.2.1.1.1.3.1.cmml"><munderover id="A6.E289.m1.5.5.2.2.1.1.1.3.1a" xref="A6.E289.m1.5.5.2.2.1.1.1.3.1.cmml"><mo id="A6.E289.m1.5.5.2.2.1.1.1.3.1.2.2" movablelimits="false" xref="A6.E289.m1.5.5.2.2.1.1.1.3.1.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="A6.E289.m1.5.5.2.2.1.1.1.3.1.2.3" xref="A6.E289.m1.5.5.2.2.1.1.1.3.1.2.3.cmml"><mi id="A6.E289.m1.5.5.2.2.1.1.1.3.1.2.3.2" xref="A6.E289.m1.5.5.2.2.1.1.1.3.1.2.3.2.cmml">k</mi><mo id="A6.E289.m1.5.5.2.2.1.1.1.3.1.2.3.1" xref="A6.E289.m1.5.5.2.2.1.1.1.3.1.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="A6.E289.m1.5.5.2.2.1.1.1.3.1.2.3.3" xref="A6.E289.m1.5.5.2.2.1.1.1.3.1.2.3.3.cmml">0</mn></mrow><mi id="A6.E289.m1.5.5.2.2.1.1.1.3.1.3" mathvariant="normal" xref="A6.E289.m1.5.5.2.2.1.1.1.3.1.3.cmml">∞</mi></munderover></mstyle><msup id="A6.E289.m1.5.5.2.2.1.1.1.3.2" xref="A6.E289.m1.5.5.2.2.1.1.1.3.2.cmml"><mrow id="A6.E289.m1.5.5.2.2.1.1.1.3.2.2.2" xref="A6.E289.m1.3.3.cmml"><mo id="A6.E289.m1.5.5.2.2.1.1.1.3.2.2.2.1" xref="A6.E289.m1.3.3.cmml">(</mo><mstyle displaystyle="true" id="A6.E289.m1.3.3" xref="A6.E289.m1.3.3.cmml"><mfrac id="A6.E289.m1.3.3a" xref="A6.E289.m1.3.3.cmml"><mi id="A6.E289.m1.3.3.2" xref="A6.E289.m1.3.3.2.cmml">μ</mi><mrow id="A6.E289.m1.3.3.3" xref="A6.E289.m1.3.3.3.cmml"><mi id="A6.E289.m1.3.3.3.2" xref="A6.E289.m1.3.3.3.2.cmml">μ</mi><mo id="A6.E289.m1.3.3.3.1" xref="A6.E289.m1.3.3.3.1.cmml">+</mo><msqrt id="A6.E289.m1.3.3.3.3" xref="A6.E289.m1.3.3.3.3.cmml"><mi id="A6.E289.m1.3.3.3.3.2" xref="A6.E289.m1.3.3.3.3.2.cmml">λ</mi></msqrt></mrow></mfrac></mstyle><mo id="A6.E289.m1.5.5.2.2.1.1.1.3.2.2.2.2" xref="A6.E289.m1.3.3.cmml">)</mo></mrow><mi id="A6.E289.m1.5.5.2.2.1.1.1.3.2.3" xref="A6.E289.m1.5.5.2.2.1.1.1.3.2.3.cmml">k</mi></msup></mrow></mrow><mo id="A6.E289.m1.5.5.2.2.1.1.3" xref="A6.E289.m1.5.5.2.2.1.2.1.cmml">]</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A6.E289.m1.5b"><apply id="A6.E289.m1.5.5.cmml" xref="A6.E289.m1.5.5"><eq id="A6.E289.m1.5.5.3.cmml" xref="A6.E289.m1.5.5.3"></eq><csymbol cd="latexml" id="A6.E289.m1.5.5.4.cmml" xref="A6.E289.m1.5.5.4">absent</csymbol><apply id="A6.E289.m1.5.5.2.cmml" xref="A6.E289.m1.5.5.2"><plus id="A6.E289.m1.5.5.2.3.cmml" xref="A6.E289.m1.5.5.2.3"></plus><apply id="A6.E289.m1.4.4.1.1.cmml" xref="A6.E289.m1.4.4.1.1"><times id="A6.E289.m1.4.4.1.1.2.cmml" xref="A6.E289.m1.4.4.1.1.2"></times><apply id="A6.E289.m1.4.4.1.1.1.1.1.cmml" xref="A6.E289.m1.4.4.1.1.1.1"><plus id="A6.E289.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A6.E289.m1.4.4.1.1.1.1.1.1"></plus><ci id="A6.E289.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A6.E289.m1.4.4.1.1.1.1.1.2">𝜇</ci><apply id="A6.E289.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A6.E289.m1.4.4.1.1.1.1.1.3"><root id="A6.E289.m1.4.4.1.1.1.1.1.3a.cmml" xref="A6.E289.m1.4.4.1.1.1.1.1.3"></root><ci id="A6.E289.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A6.E289.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.2">𝜆</ci></apply></apply><ci id="A6.E289.m1.4.4.1.1.3.cmml" xref="A6.E289.m1.4.4.1.1.3">𝜇</ci></apply><apply id="A6.E289.m1.5.5.2.4.cmml" xref="A6.E289.m1.5.5.2.4"><times id="A6.E289.m1.5.5.2.4.1.cmml" xref="A6.E289.m1.5.5.2.4.1"></times><ci id="A6.E289.m1.5.5.2.4.2.cmml" xref="A6.E289.m1.5.5.2.4.2">𝜆</ci><apply id="A6.E289.m1.5.5.2.4.3.cmml" xref="A6.E289.m1.5.5.2.4.3"><apply id="A6.E289.m1.5.5.2.4.3.1.cmml" xref="A6.E289.m1.5.5.2.4.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A6.E289.m1.5.5.2.4.3.1.1.cmml" xref="A6.E289.m1.5.5.2.4.3.1">superscript</csymbol><apply id="A6.E289.m1.5.5.2.4.3.1.2.cmml" xref="A6.E289.m1.5.5.2.4.3.1"><csymbol cd="ambiguous" 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xref="A6.E291.m1.1.1.3.3.3.2.3">𝜆</ci></apply></apply></apply></apply></apply><ci id="A6.E291.m1.2.2.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="A6.E291.m1.2.2.1.1.1.1.2.3.3">𝑗</ci></apply><apply id="A6.E291.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.2.cmml" xref="A6.E291.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1"><csymbol cd="latexml" id="A6.E291.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.2.1.cmml" xref="A6.E291.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.2">delimited-[]</csymbol><apply id="A6.E291.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml" xref="A6.E291.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1"><minus id="A6.E291.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1.2.cmml" xref="A6.E291.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1.2"></minus><apply id="A6.E291.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1.3.cmml" xref="A6.E291.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1.3"><divide id="A6.E291.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="A6.E291.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1.3"></divide><apply id="A6.E291.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2.cmml" xref="A6.E291.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A6.E291.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="A6.E291.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="A6.E291.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="A6.E291.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2.2">𝜇</ci><cn id="A6.E291.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2.3.cmml" type="integer" xref="A6.E291.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2.3">1</cn></apply><ci id="A6.E291.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1.3.3.cmml" xref="A6.E291.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1.3.3">𝜇</ci></apply><apply id="A6.E291.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A6.E291.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1"><plus id="A6.E291.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A6.E291.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1"></plus><cn id="A6.E291.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="A6.E291.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2">1</cn><apply id="A6.E291.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A6.E291.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3"><root id="A6.E291.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3a.cmml" xref="A6.E291.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3"></root><apply id="A6.E291.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A6.E291.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.2"><minus id="A6.E291.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="A6.E291.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.2.1"></minus><cn id="A6.E291.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" type="integer" xref="A6.E291.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.2.2">1</cn><ci id="A6.E291.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="A6.E291.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.2.3">𝜆</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply><ci id="A6.E291.m1.2.2.1.3.cmml" xref="A6.E291.m1.2.2.1.3">𝜆</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A6.E291.m1.2c">\displaystyle=\left(\left(1+\sqrt{1-\lambda}\right)^{2}+\left(\frac{1}{1+\frac% {1}{\sqrt{1-\lambda}}}\right)^{j}\left[\frac{\mu_{1}}{\mu}-\left(1+\sqrt{1-% \lambda}\right)\right]\right)\lambda</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A6.E291.m1.2d">= ( ( 1 + square-root start_ARG 1 - italic_λ end_ARG ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + ( divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 1 + divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG square-root start_ARG 1 - italic_λ end_ARG end_ARG end_ARG ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_j end_POSTSUPERSCRIPT [ divide start_ARG italic_μ start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT end_ARG start_ARG italic_μ end_ARG - ( 1 + square-root start_ARG 1 - italic_λ end_ARG ) ] ) italic_λ</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(291)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="A6.3.p1.7">We will now show that</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_gather ltx_eqn_table" id="S6.EGx248"> <tbody id="A6.E293"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\displaystyle\frac{\mu_{1}}{\mu}-\left(1+\sqrt{1-\lambda}\right)\leq 0" class="ltx_Math" display="block" id="A6.E293.m1.1"><semantics id="A6.E293.m1.1a"><mrow id="A6.E293.m1.1.1" xref="A6.E293.m1.1.1.cmml"><mrow id="A6.E293.m1.1.1.1" xref="A6.E293.m1.1.1.1.cmml"><mfrac id="A6.E293.m1.1.1.1.3" xref="A6.E293.m1.1.1.1.3.cmml"><msub id="A6.E293.m1.1.1.1.3.2" xref="A6.E293.m1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="A6.E293.m1.1.1.1.3.2.2" xref="A6.E293.m1.1.1.1.3.2.2.cmml">μ</mi><mn id="A6.E293.m1.1.1.1.3.2.3" xref="A6.E293.m1.1.1.1.3.2.3.cmml">1</mn></msub><mi id="A6.E293.m1.1.1.1.3.3" xref="A6.E293.m1.1.1.1.3.3.cmml">μ</mi></mfrac><mo id="A6.E293.m1.1.1.1.2" xref="A6.E293.m1.1.1.1.2.cmml">−</mo><mrow id="A6.E293.m1.1.1.1.1.1" xref="A6.E293.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A6.E293.m1.1.1.1.1.1.2" xref="A6.E293.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A6.E293.m1.1.1.1.1.1.1" xref="A6.E293.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="A6.E293.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A6.E293.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">1</mn><mo id="A6.E293.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A6.E293.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><msqrt id="A6.E293.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A6.E293.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mrow id="A6.E293.m1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A6.E293.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mn id="A6.E293.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="A6.E293.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">1</mn><mo id="A6.E293.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1" xref="A6.E293.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml">−</mo><mi id="A6.E293.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="A6.E293.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">λ</mi></mrow></msqrt></mrow><mo id="A6.E293.m1.1.1.1.1.1.3" xref="A6.E293.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A6.E293.m1.1.1.2" xref="A6.E293.m1.1.1.2.cmml">≤</mo><mn id="A6.E293.m1.1.1.3" xref="A6.E293.m1.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A6.E293.m1.1b"><apply id="A6.E293.m1.1.1.cmml" xref="A6.E293.m1.1.1"><leq id="A6.E293.m1.1.1.2.cmml" xref="A6.E293.m1.1.1.2"></leq><apply id="A6.E293.m1.1.1.1.cmml" xref="A6.E293.m1.1.1.1"><minus id="A6.E293.m1.1.1.1.2.cmml" xref="A6.E293.m1.1.1.1.2"></minus><apply id="A6.E293.m1.1.1.1.3.cmml" xref="A6.E293.m1.1.1.1.3"><divide id="A6.E293.m1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A6.E293.m1.1.1.1.3"></divide><apply id="A6.E293.m1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A6.E293.m1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A6.E293.m1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="A6.E293.m1.1.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="A6.E293.m1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="A6.E293.m1.1.1.1.3.2.2">𝜇</ci><cn id="A6.E293.m1.1.1.1.3.2.3.cmml" type="integer" xref="A6.E293.m1.1.1.1.3.2.3">1</cn></apply><ci id="A6.E293.m1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A6.E293.m1.1.1.1.3.3">𝜇</ci></apply><apply id="A6.E293.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A6.E293.m1.1.1.1.1.1"><plus id="A6.E293.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A6.E293.m1.1.1.1.1.1.1.1"></plus><cn id="A6.E293.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="A6.E293.m1.1.1.1.1.1.1.2">1</cn><apply id="A6.E293.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A6.E293.m1.1.1.1.1.1.1.3"><root id="A6.E293.m1.1.1.1.1.1.1.3a.cmml" xref="A6.E293.m1.1.1.1.1.1.1.3"></root><apply id="A6.E293.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A6.E293.m1.1.1.1.1.1.1.3.2"><minus id="A6.E293.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="A6.E293.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1"></minus><cn id="A6.E293.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" type="integer" xref="A6.E293.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2">1</cn><ci id="A6.E293.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="A6.E293.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3">𝜆</ci></apply></apply></apply></apply><cn id="A6.E293.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A6.E293.m1.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A6.E293.m1.1c">\displaystyle\frac{\mu_{1}}{\mu}-\left(1+\sqrt{1-\lambda}\right)\leq 0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A6.E293.m1.1d">divide start_ARG italic_μ start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT end_ARG start_ARG italic_μ end_ARG - ( 1 + square-root start_ARG 1 - italic_λ end_ARG ) ≤ 0</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(293)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="A6.3.p1.3">so that we may drop the last term of the bound. We know <math alttext="\mu_{1}\leq\frac{1}{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="A6.3.p1.3.m1.1"><semantics id="A6.3.p1.3.m1.1a"><mrow id="A6.3.p1.3.m1.1.1" xref="A6.3.p1.3.m1.1.1.cmml"><msub id="A6.3.p1.3.m1.1.1.2" xref="A6.3.p1.3.m1.1.1.2.cmml"><mi id="A6.3.p1.3.m1.1.1.2.2" xref="A6.3.p1.3.m1.1.1.2.2.cmml">μ</mi><mn id="A6.3.p1.3.m1.1.1.2.3" xref="A6.3.p1.3.m1.1.1.2.3.cmml">1</mn></msub><mo id="A6.3.p1.3.m1.1.1.1" xref="A6.3.p1.3.m1.1.1.1.cmml">≤</mo><mfrac id="A6.3.p1.3.m1.1.1.3" xref="A6.3.p1.3.m1.1.1.3.cmml"><mn id="A6.3.p1.3.m1.1.1.3.2" xref="A6.3.p1.3.m1.1.1.3.2.cmml">1</mn><mn id="A6.3.p1.3.m1.1.1.3.3" xref="A6.3.p1.3.m1.1.1.3.3.cmml">2</mn></mfrac></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A6.3.p1.3.m1.1b"><apply id="A6.3.p1.3.m1.1.1.cmml" xref="A6.3.p1.3.m1.1.1"><leq id="A6.3.p1.3.m1.1.1.1.cmml" xref="A6.3.p1.3.m1.1.1.1"></leq><apply id="A6.3.p1.3.m1.1.1.2.cmml" xref="A6.3.p1.3.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A6.3.p1.3.m1.1.1.2.1.cmml" xref="A6.3.p1.3.m1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="A6.3.p1.3.m1.1.1.2.2.cmml" xref="A6.3.p1.3.m1.1.1.2.2">𝜇</ci><cn id="A6.3.p1.3.m1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="A6.3.p1.3.m1.1.1.2.3">1</cn></apply><apply id="A6.3.p1.3.m1.1.1.3.cmml" xref="A6.3.p1.3.m1.1.1.3"><divide id="A6.3.p1.3.m1.1.1.3.1.cmml" xref="A6.3.p1.3.m1.1.1.3"></divide><cn id="A6.3.p1.3.m1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="A6.3.p1.3.m1.1.1.3.2">1</cn><cn id="A6.3.p1.3.m1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="A6.3.p1.3.m1.1.1.3.3">2</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A6.3.p1.3.m1.1c">\mu_{1}\leq\frac{1}{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A6.3.p1.3.m1.1d">italic_μ start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ≤ divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 end_ARG</annotation></semantics></math>, so it suffices to show that</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="S6.EGx249"> <tbody id="A6.E294"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\frac{1}{2}\leq\left(1+\sqrt{1-\lambda}\right)\sqrt{\lambda(1-% \lambda)}" class="ltx_Math" display="inline" id="A6.E294.m1.2"><semantics id="A6.E294.m1.2a"><mrow id="A6.E294.m1.2.2" xref="A6.E294.m1.2.2.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A6.E294.m1.2.2.3" xref="A6.E294.m1.2.2.3.cmml"><mfrac id="A6.E294.m1.2.2.3a" xref="A6.E294.m1.2.2.3.cmml"><mn id="A6.E294.m1.2.2.3.2" xref="A6.E294.m1.2.2.3.2.cmml">1</mn><mn id="A6.E294.m1.2.2.3.3" xref="A6.E294.m1.2.2.3.3.cmml">2</mn></mfrac></mstyle><mo id="A6.E294.m1.2.2.2" xref="A6.E294.m1.2.2.2.cmml">≤</mo><mrow id="A6.E294.m1.2.2.1" xref="A6.E294.m1.2.2.1.cmml"><mrow id="A6.E294.m1.2.2.1.1.1" xref="A6.E294.m1.2.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="A6.E294.m1.2.2.1.1.1.2" xref="A6.E294.m1.2.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A6.E294.m1.2.2.1.1.1.1" xref="A6.E294.m1.2.2.1.1.1.1.cmml"><mn id="A6.E294.m1.2.2.1.1.1.1.2" xref="A6.E294.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml">1</mn><mo id="A6.E294.m1.2.2.1.1.1.1.1" xref="A6.E294.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><msqrt id="A6.E294.m1.2.2.1.1.1.1.3" xref="A6.E294.m1.2.2.1.1.1.1.3.cmml"><mrow id="A6.E294.m1.2.2.1.1.1.1.3.2" xref="A6.E294.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.cmml"><mn id="A6.E294.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.2" xref="A6.E294.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.2.cmml">1</mn><mo id="A6.E294.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.1" xref="A6.E294.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.1.cmml">−</mo><mi id="A6.E294.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.3" xref="A6.E294.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.3.cmml">λ</mi></mrow></msqrt></mrow><mo id="A6.E294.m1.2.2.1.1.1.3" xref="A6.E294.m1.2.2.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A6.E294.m1.2.2.1.2" xref="A6.E294.m1.2.2.1.2.cmml">⁢</mo><msqrt id="A6.E294.m1.1.1" xref="A6.E294.m1.1.1.cmml"><mrow id="A6.E294.m1.1.1.1" xref="A6.E294.m1.1.1.1.cmml"><mi id="A6.E294.m1.1.1.1.3" xref="A6.E294.m1.1.1.1.3.cmml">λ</mi><mo id="A6.E294.m1.1.1.1.2" xref="A6.E294.m1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A6.E294.m1.1.1.1.1.1" xref="A6.E294.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A6.E294.m1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A6.E294.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A6.E294.m1.1.1.1.1.1.1" xref="A6.E294.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="A6.E294.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A6.E294.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">1</mn><mo id="A6.E294.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A6.E294.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mi id="A6.E294.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A6.E294.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">λ</mi></mrow><mo id="A6.E294.m1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A6.E294.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></msqrt></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A6.E294.m1.2b"><apply id="A6.E294.m1.2.2.cmml" xref="A6.E294.m1.2.2"><leq id="A6.E294.m1.2.2.2.cmml" xref="A6.E294.m1.2.2.2"></leq><apply id="A6.E294.m1.2.2.3.cmml" xref="A6.E294.m1.2.2.3"><divide id="A6.E294.m1.2.2.3.1.cmml" xref="A6.E294.m1.2.2.3"></divide><cn id="A6.E294.m1.2.2.3.2.cmml" type="integer" xref="A6.E294.m1.2.2.3.2">1</cn><cn id="A6.E294.m1.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="A6.E294.m1.2.2.3.3">2</cn></apply><apply id="A6.E294.m1.2.2.1.cmml" xref="A6.E294.m1.2.2.1"><times id="A6.E294.m1.2.2.1.2.cmml" xref="A6.E294.m1.2.2.1.2"></times><apply id="A6.E294.m1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="A6.E294.m1.2.2.1.1.1"><plus id="A6.E294.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="A6.E294.m1.2.2.1.1.1.1.1"></plus><cn id="A6.E294.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="A6.E294.m1.2.2.1.1.1.1.2">1</cn><apply id="A6.E294.m1.2.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="A6.E294.m1.2.2.1.1.1.1.3"><root id="A6.E294.m1.2.2.1.1.1.1.3a.cmml" xref="A6.E294.m1.2.2.1.1.1.1.3"></root><apply id="A6.E294.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A6.E294.m1.2.2.1.1.1.1.3.2"><minus id="A6.E294.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="A6.E294.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.1"></minus><cn id="A6.E294.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.2.cmml" type="integer" xref="A6.E294.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.2">1</cn><ci id="A6.E294.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="A6.E294.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.3">𝜆</ci></apply></apply></apply><apply id="A6.E294.m1.1.1.cmml" xref="A6.E294.m1.1.1"><root id="A6.E294.m1.1.1a.cmml" xref="A6.E294.m1.1.1"></root><apply id="A6.E294.m1.1.1.1.cmml" xref="A6.E294.m1.1.1.1"><times id="A6.E294.m1.1.1.1.2.cmml" xref="A6.E294.m1.1.1.1.2"></times><ci id="A6.E294.m1.1.1.1.3.cmml" xref="A6.E294.m1.1.1.1.3">𝜆</ci><apply id="A6.E294.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A6.E294.m1.1.1.1.1.1"><minus id="A6.E294.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A6.E294.m1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><cn id="A6.E294.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="A6.E294.m1.1.1.1.1.1.1.2">1</cn><ci id="A6.E294.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A6.E294.m1.1.1.1.1.1.1.3">𝜆</ci></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A6.E294.m1.2c">\displaystyle\frac{1}{2}\leq\left(1+\sqrt{1-\lambda}\right)\sqrt{\lambda(1-% \lambda)}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A6.E294.m1.2d">divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 end_ARG ≤ ( 1 + square-root start_ARG 1 - italic_λ end_ARG ) square-root start_ARG italic_λ ( 1 - italic_λ ) end_ARG</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(294)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="A6.3.p1.4">This holds whenever <math alttext="0.6963\leq\lambda\leq 0.8474" class="ltx_Math" display="inline" id="A6.3.p1.4.m1.1"><semantics id="A6.3.p1.4.m1.1a"><mrow id="A6.3.p1.4.m1.1.1" xref="A6.3.p1.4.m1.1.1.cmml"><mn id="A6.3.p1.4.m1.1.1.2" xref="A6.3.p1.4.m1.1.1.2.cmml">0.6963</mn><mo id="A6.3.p1.4.m1.1.1.3" xref="A6.3.p1.4.m1.1.1.3.cmml">≤</mo><mi id="A6.3.p1.4.m1.1.1.4" xref="A6.3.p1.4.m1.1.1.4.cmml">λ</mi><mo id="A6.3.p1.4.m1.1.1.5" xref="A6.3.p1.4.m1.1.1.5.cmml">≤</mo><mn id="A6.3.p1.4.m1.1.1.6" xref="A6.3.p1.4.m1.1.1.6.cmml">0.8474</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A6.3.p1.4.m1.1b"><apply id="A6.3.p1.4.m1.1.1.cmml" xref="A6.3.p1.4.m1.1.1"><and id="A6.3.p1.4.m1.1.1a.cmml" xref="A6.3.p1.4.m1.1.1"></and><apply id="A6.3.p1.4.m1.1.1b.cmml" xref="A6.3.p1.4.m1.1.1"><leq id="A6.3.p1.4.m1.1.1.3.cmml" xref="A6.3.p1.4.m1.1.1.3"></leq><cn id="A6.3.p1.4.m1.1.1.2.cmml" type="float" xref="A6.3.p1.4.m1.1.1.2">0.6963</cn><ci id="A6.3.p1.4.m1.1.1.4.cmml" xref="A6.3.p1.4.m1.1.1.4">𝜆</ci></apply><apply id="A6.3.p1.4.m1.1.1c.cmml" xref="A6.3.p1.4.m1.1.1"><leq id="A6.3.p1.4.m1.1.1.5.cmml" xref="A6.3.p1.4.m1.1.1.5"></leq><share href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#A6.3.p1.4.m1.1.1.4.cmml" id="A6.3.p1.4.m1.1.1d.cmml" xref="A6.3.p1.4.m1.1.1"></share><cn id="A6.3.p1.4.m1.1.1.6.cmml" type="float" xref="A6.3.p1.4.m1.1.1.6">0.8474</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A6.3.p1.4.m1.1c">0.6963\leq\lambda\leq 0.8474</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A6.3.p1.4.m1.1d">0.6963 ≤ italic_λ ≤ 0.8474</annotation></semantics></math>. We may then apply Theorem <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#Thmtheorem56" title="Theorem 56. ‣ B.1 Matrix bound from block decomposition (Theorem 56) ‣ Appendix B Assorted proofs ‣ Conditional 𝑡-independent spectral gap for random quantum circuits and implications for 𝑡-design depths"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">56</span></a> to complete the proof. ∎</p> </div> </div> <div class="ltx_para" id="A6.p2"> <p class="ltx_p" id="A6.p2.3">This argument can be extended to the case where the first few columns of <math alttext="A" class="ltx_Math" display="inline" id="A6.p2.1.m1.1"><semantics id="A6.p2.1.m1.1a"><mi id="A6.p2.1.m1.1.1" xref="A6.p2.1.m1.1.1.cmml">A</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A6.p2.1.m1.1b"><ci id="A6.p2.1.m1.1.1.cmml" xref="A6.p2.1.m1.1.1">𝐴</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A6.p2.1.m1.1c">A</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A6.p2.1.m1.1d">italic_A</annotation></semantics></math> are exceptional, but we will not need it here. Note also that the <math alttext="0.6963" class="ltx_Math" display="inline" id="A6.p2.2.m2.1"><semantics id="A6.p2.2.m2.1a"><mn id="A6.p2.2.m2.1.1" xref="A6.p2.2.m2.1.1.cmml">0.6963</mn><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A6.p2.2.m2.1b"><cn id="A6.p2.2.m2.1.1.cmml" type="float" xref="A6.p2.2.m2.1.1">0.6963</cn></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A6.p2.2.m2.1c">0.6963</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A6.p2.2.m2.1d">0.6963</annotation></semantics></math> condition is not tight when <math alttext="\mu_{1}<\frac{1}{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="A6.p2.3.m3.1"><semantics id="A6.p2.3.m3.1a"><mrow id="A6.p2.3.m3.1.1" xref="A6.p2.3.m3.1.1.cmml"><msub id="A6.p2.3.m3.1.1.2" xref="A6.p2.3.m3.1.1.2.cmml"><mi id="A6.p2.3.m3.1.1.2.2" xref="A6.p2.3.m3.1.1.2.2.cmml">μ</mi><mn id="A6.p2.3.m3.1.1.2.3" xref="A6.p2.3.m3.1.1.2.3.cmml">1</mn></msub><mo id="A6.p2.3.m3.1.1.1" xref="A6.p2.3.m3.1.1.1.cmml"><</mo><mfrac id="A6.p2.3.m3.1.1.3" xref="A6.p2.3.m3.1.1.3.cmml"><mn id="A6.p2.3.m3.1.1.3.2" xref="A6.p2.3.m3.1.1.3.2.cmml">1</mn><mn id="A6.p2.3.m3.1.1.3.3" xref="A6.p2.3.m3.1.1.3.3.cmml">2</mn></mfrac></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A6.p2.3.m3.1b"><apply id="A6.p2.3.m3.1.1.cmml" xref="A6.p2.3.m3.1.1"><lt id="A6.p2.3.m3.1.1.1.cmml" xref="A6.p2.3.m3.1.1.1"></lt><apply id="A6.p2.3.m3.1.1.2.cmml" xref="A6.p2.3.m3.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A6.p2.3.m3.1.1.2.1.cmml" xref="A6.p2.3.m3.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="A6.p2.3.m3.1.1.2.2.cmml" xref="A6.p2.3.m3.1.1.2.2">𝜇</ci><cn id="A6.p2.3.m3.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="A6.p2.3.m3.1.1.2.3">1</cn></apply><apply id="A6.p2.3.m3.1.1.3.cmml" xref="A6.p2.3.m3.1.1.3"><divide id="A6.p2.3.m3.1.1.3.1.cmml" xref="A6.p2.3.m3.1.1.3"></divide><cn id="A6.p2.3.m3.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="A6.p2.3.m3.1.1.3.2">1</cn><cn id="A6.p2.3.m3.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="A6.p2.3.m3.1.1.3.3">2</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A6.p2.3.m3.1c">\mu_{1}<\frac{1}{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A6.p2.3.m3.1d">italic_μ start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT < divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 end_ARG</annotation></semantics></math>. We check numerically that this bound holds for many cases.</p> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_lemma" id="Thmlemmax8"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmlemmax8.1.1.1">Lemma</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmlemmax8.2.2">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="Thmlemmax8.p1"> <p class="ltx_p" id="Thmlemmax8.p1.3"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmlemmax8.p1.3.3">When <math alttext="q=2" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmlemmax8.p1.1.1.m1.1"><semantics id="Thmlemmax8.p1.1.1.m1.1a"><mrow id="Thmlemmax8.p1.1.1.m1.1.1" xref="Thmlemmax8.p1.1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="Thmlemmax8.p1.1.1.m1.1.1.2" xref="Thmlemmax8.p1.1.1.m1.1.1.2.cmml">q</mi><mo id="Thmlemmax8.p1.1.1.m1.1.1.1" xref="Thmlemmax8.p1.1.1.m1.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="Thmlemmax8.p1.1.1.m1.1.1.3" xref="Thmlemmax8.p1.1.1.m1.1.1.3.cmml">2</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmlemmax8.p1.1.1.m1.1b"><apply id="Thmlemmax8.p1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="Thmlemmax8.p1.1.1.m1.1.1"><eq id="Thmlemmax8.p1.1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="Thmlemmax8.p1.1.1.m1.1.1.1"></eq><ci id="Thmlemmax8.p1.1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="Thmlemmax8.p1.1.1.m1.1.1.2">𝑞</ci><cn id="Thmlemmax8.p1.1.1.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="Thmlemmax8.p1.1.1.m1.1.1.3">2</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmlemmax8.p1.1.1.m1.1c">q=2</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmlemmax8.p1.1.1.m1.1d">italic_q = 2</annotation></semantics></math>, <math alttext="t\leq 6" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmlemmax8.p1.2.2.m2.1"><semantics id="Thmlemmax8.p1.2.2.m2.1a"><mrow id="Thmlemmax8.p1.2.2.m2.1.1" xref="Thmlemmax8.p1.2.2.m2.1.1.cmml"><mi id="Thmlemmax8.p1.2.2.m2.1.1.2" xref="Thmlemmax8.p1.2.2.m2.1.1.2.cmml">t</mi><mo id="Thmlemmax8.p1.2.2.m2.1.1.1" xref="Thmlemmax8.p1.2.2.m2.1.1.1.cmml">≤</mo><mn id="Thmlemmax8.p1.2.2.m2.1.1.3" xref="Thmlemmax8.p1.2.2.m2.1.1.3.cmml">6</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmlemmax8.p1.2.2.m2.1b"><apply id="Thmlemmax8.p1.2.2.m2.1.1.cmml" xref="Thmlemmax8.p1.2.2.m2.1.1"><leq id="Thmlemmax8.p1.2.2.m2.1.1.1.cmml" xref="Thmlemmax8.p1.2.2.m2.1.1.1"></leq><ci id="Thmlemmax8.p1.2.2.m2.1.1.2.cmml" xref="Thmlemmax8.p1.2.2.m2.1.1.2">𝑡</ci><cn id="Thmlemmax8.p1.2.2.m2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="Thmlemmax8.p1.2.2.m2.1.1.3">6</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmlemmax8.p1.2.2.m2.1c">t\leq 6</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmlemmax8.p1.2.2.m2.1d">italic_t ≤ 6</annotation></semantics></math>, and <math alttext="N\leq 1000" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmlemmax8.p1.3.3.m3.1"><semantics id="Thmlemmax8.p1.3.3.m3.1a"><mrow id="Thmlemmax8.p1.3.3.m3.1.1" xref="Thmlemmax8.p1.3.3.m3.1.1.cmml"><mi id="Thmlemmax8.p1.3.3.m3.1.1.2" xref="Thmlemmax8.p1.3.3.m3.1.1.2.cmml">N</mi><mo id="Thmlemmax8.p1.3.3.m3.1.1.1" xref="Thmlemmax8.p1.3.3.m3.1.1.1.cmml">≤</mo><mn id="Thmlemmax8.p1.3.3.m3.1.1.3" xref="Thmlemmax8.p1.3.3.m3.1.1.3.cmml">1000</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmlemmax8.p1.3.3.m3.1b"><apply id="Thmlemmax8.p1.3.3.m3.1.1.cmml" xref="Thmlemmax8.p1.3.3.m3.1.1"><leq id="Thmlemmax8.p1.3.3.m3.1.1.1.cmml" xref="Thmlemmax8.p1.3.3.m3.1.1.1"></leq><ci id="Thmlemmax8.p1.3.3.m3.1.1.2.cmml" xref="Thmlemmax8.p1.3.3.m3.1.1.2">𝑁</ci><cn id="Thmlemmax8.p1.3.3.m3.1.1.3.cmml" type="integer" xref="Thmlemmax8.p1.3.3.m3.1.1.3">1000</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmlemmax8.p1.3.3.m3.1c">N\leq 1000</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmlemmax8.p1.3.3.m3.1d">italic_N ≤ 1000</annotation></semantics></math>,</span></p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_gather ltx_eqn_table" id="S6.EGx250"> <tbody id="A6.E295"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\displaystyle||K_{m}||\leq\begin{cases}\frac{1}{4}&m=1\\ \frac{1}{5}&m>1\end{cases}" class="ltx_Math" display="block" id="A6.E295.m1.5"><semantics id="A6.E295.m1.5a"><mrow id="A6.E295.m1.5.5" xref="A6.E295.m1.5.5.cmml"><mrow id="A6.E295.m1.5.5.1.1" xref="A6.E295.m1.5.5.1.2.cmml"><mo id="A6.E295.m1.5.5.1.1.2" stretchy="false" xref="A6.E295.m1.5.5.1.2.1.cmml">‖</mo><msub id="A6.E295.m1.5.5.1.1.1" xref="A6.E295.m1.5.5.1.1.1.cmml"><mi id="A6.E295.m1.5.5.1.1.1.2" xref="A6.E295.m1.5.5.1.1.1.2.cmml">K</mi><mi id="A6.E295.m1.5.5.1.1.1.3" xref="A6.E295.m1.5.5.1.1.1.3.cmml">m</mi></msub><mo id="A6.E295.m1.5.5.1.1.3" stretchy="false" xref="A6.E295.m1.5.5.1.2.1.cmml">‖</mo></mrow><mo id="A6.E295.m1.5.5.2" xref="A6.E295.m1.5.5.2.cmml">≤</mo><mrow id="A6.E295.m1.4.4" xref="A6.E295.m1.5.5.3.1.cmml"><mo id="A6.E295.m1.4.4.5" xref="A6.E295.m1.5.5.3.1.1.cmml">{</mo><mtable columnspacing="5pt" displaystyle="true" id="A6.E295.m1.4.4.4" rowspacing="0pt" xref="A6.E295.m1.5.5.3.1.cmml"><mtr id="A6.E295.m1.4.4.4a" xref="A6.E295.m1.5.5.3.1.cmml"><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="A6.E295.m1.4.4.4b" xref="A6.E295.m1.5.5.3.1.cmml"><mstyle displaystyle="false" id="A6.E295.m1.1.1.1.1.1.1" xref="A6.E295.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mfrac id="A6.E295.m1.1.1.1.1.1.1a" xref="A6.E295.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="A6.E295.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A6.E295.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">1</mn><mn id="A6.E295.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A6.E295.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">4</mn></mfrac></mstyle></mtd><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="A6.E295.m1.4.4.4c" xref="A6.E295.m1.5.5.3.1.cmml"><mrow id="A6.E295.m1.2.2.2.2.2.1" xref="A6.E295.m1.2.2.2.2.2.1.cmml"><mi id="A6.E295.m1.2.2.2.2.2.1.2" xref="A6.E295.m1.2.2.2.2.2.1.2.cmml">m</mi><mo id="A6.E295.m1.2.2.2.2.2.1.1" xref="A6.E295.m1.2.2.2.2.2.1.1.cmml">=</mo><mn id="A6.E295.m1.2.2.2.2.2.1.3" xref="A6.E295.m1.2.2.2.2.2.1.3.cmml">1</mn></mrow></mtd></mtr><mtr id="A6.E295.m1.4.4.4d" xref="A6.E295.m1.5.5.3.1.cmml"><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="A6.E295.m1.4.4.4e" xref="A6.E295.m1.5.5.3.1.cmml"><mstyle displaystyle="false" id="A6.E295.m1.3.3.3.3.1.1" xref="A6.E295.m1.3.3.3.3.1.1.cmml"><mfrac id="A6.E295.m1.3.3.3.3.1.1a" xref="A6.E295.m1.3.3.3.3.1.1.cmml"><mn id="A6.E295.m1.3.3.3.3.1.1.2" xref="A6.E295.m1.3.3.3.3.1.1.2.cmml">1</mn><mn id="A6.E295.m1.3.3.3.3.1.1.3" xref="A6.E295.m1.3.3.3.3.1.1.3.cmml">5</mn></mfrac></mstyle></mtd><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="A6.E295.m1.4.4.4f" xref="A6.E295.m1.5.5.3.1.cmml"><mrow id="A6.E295.m1.4.4.4.4.2.1" xref="A6.E295.m1.4.4.4.4.2.1.cmml"><mi id="A6.E295.m1.4.4.4.4.2.1.2" xref="A6.E295.m1.4.4.4.4.2.1.2.cmml">m</mi><mo id="A6.E295.m1.4.4.4.4.2.1.1" xref="A6.E295.m1.4.4.4.4.2.1.1.cmml">></mo><mn id="A6.E295.m1.4.4.4.4.2.1.3" xref="A6.E295.m1.4.4.4.4.2.1.3.cmml">1</mn></mrow></mtd></mtr></mtable></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A6.E295.m1.5b"><apply id="A6.E295.m1.5.5.cmml" xref="A6.E295.m1.5.5"><leq id="A6.E295.m1.5.5.2.cmml" xref="A6.E295.m1.5.5.2"></leq><apply id="A6.E295.m1.5.5.1.2.cmml" xref="A6.E295.m1.5.5.1.1"><csymbol cd="latexml" id="A6.E295.m1.5.5.1.2.1.cmml" xref="A6.E295.m1.5.5.1.1.2">norm</csymbol><apply id="A6.E295.m1.5.5.1.1.1.cmml" xref="A6.E295.m1.5.5.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A6.E295.m1.5.5.1.1.1.1.cmml" xref="A6.E295.m1.5.5.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="A6.E295.m1.5.5.1.1.1.2.cmml" xref="A6.E295.m1.5.5.1.1.1.2">𝐾</ci><ci id="A6.E295.m1.5.5.1.1.1.3.cmml" xref="A6.E295.m1.5.5.1.1.1.3">𝑚</ci></apply></apply><apply id="A6.E295.m1.5.5.3.1.cmml" xref="A6.E295.m1.4.4"><csymbol cd="latexml" id="A6.E295.m1.5.5.3.1.1.cmml" xref="A6.E295.m1.4.4.5">cases</csymbol><apply id="A6.E295.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A6.E295.m1.1.1.1.1.1.1"><divide id="A6.E295.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A6.E295.m1.1.1.1.1.1.1"></divide><cn id="A6.E295.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="A6.E295.m1.1.1.1.1.1.1.2">1</cn><cn id="A6.E295.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A6.E295.m1.1.1.1.1.1.1.3">4</cn></apply><apply id="A6.E295.m1.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="A6.E295.m1.2.2.2.2.2.1"><eq id="A6.E295.m1.2.2.2.2.2.1.1.cmml" xref="A6.E295.m1.2.2.2.2.2.1.1"></eq><ci id="A6.E295.m1.2.2.2.2.2.1.2.cmml" xref="A6.E295.m1.2.2.2.2.2.1.2">𝑚</ci><cn id="A6.E295.m1.2.2.2.2.2.1.3.cmml" type="integer" xref="A6.E295.m1.2.2.2.2.2.1.3">1</cn></apply><apply id="A6.E295.m1.3.3.3.3.1.1.cmml" xref="A6.E295.m1.3.3.3.3.1.1"><divide id="A6.E295.m1.3.3.3.3.1.1.1.cmml" xref="A6.E295.m1.3.3.3.3.1.1"></divide><cn id="A6.E295.m1.3.3.3.3.1.1.2.cmml" type="integer" xref="A6.E295.m1.3.3.3.3.1.1.2">1</cn><cn id="A6.E295.m1.3.3.3.3.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A6.E295.m1.3.3.3.3.1.1.3">5</cn></apply><apply id="A6.E295.m1.4.4.4.4.2.1.cmml" xref="A6.E295.m1.4.4.4.4.2.1"><gt id="A6.E295.m1.4.4.4.4.2.1.1.cmml" xref="A6.E295.m1.4.4.4.4.2.1.1"></gt><ci id="A6.E295.m1.4.4.4.4.2.1.2.cmml" xref="A6.E295.m1.4.4.4.4.2.1.2">𝑚</ci><cn id="A6.E295.m1.4.4.4.4.2.1.3.cmml" type="integer" xref="A6.E295.m1.4.4.4.4.2.1.3">1</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A6.E295.m1.5c">\displaystyle||K_{m}||\leq\begin{cases}\frac{1}{4}&m=1\\ \frac{1}{5}&m>1\end{cases}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A6.E295.m1.5d">| | italic_K start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT | | ≤ { start_ROW start_CELL divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 4 end_ARG end_CELL start_CELL italic_m = 1 end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 5 end_ARG end_CELL start_CELL italic_m > 1 end_CELL end_ROW</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(295)</span></td> </tr></tbody> </table> </div> </div> <div class="ltx_proof" id="A6.4"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_font_italic ltx_title_proof">Proof.</h6> <div class="ltx_para" id="A6.4.p1"> <p class="ltx_p" id="A6.4.p1.1">This is obtained by checking each case numerically using the algorithm described in Appendix <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#A3.SS2" title="C.2 Values of ‖𝐾_𝑚‖_𝔇 for 𝑞<𝑡 (Proof of Theorem 5) ‣ Appendix C Numerical results ‣ Conditional 𝑡-independent spectral gap for random quantum circuits and implications for 𝑡-design depths"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">C.2</span></a>. Results are shown in Figure <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#A3.F5" title="Figure 5 ‣ C.2 Values of ‖𝐾_𝑚‖_𝔇 for 𝑞<𝑡 (Proof of Theorem 5) ‣ Appendix C Numerical results ‣ Conditional 𝑡-independent spectral gap for random quantum circuits and implications for 𝑡-design depths"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">5</span></a>. ∎</p> </div> </div> <div class="ltx_para" id="A6.p3"> <p class="ltx_p" id="A6.p3.2">Substituting into Lemma <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#Thmtheorem66" title="Lemma 66. ‣ Appendix F Special bound for 𝑞=2 ‣ Conditional 𝑡-independent spectral gap for random quantum circuits and implications for 𝑡-design depths"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">66</span></a>, we see that all three conditions are satisfied when we take <math alttext="\lambda_{1}=\frac{1}{4}" class="ltx_Math" display="inline" id="A6.p3.1.m1.1"><semantics id="A6.p3.1.m1.1a"><mrow id="A6.p3.1.m1.1.1" xref="A6.p3.1.m1.1.1.cmml"><msub id="A6.p3.1.m1.1.1.2" xref="A6.p3.1.m1.1.1.2.cmml"><mi id="A6.p3.1.m1.1.1.2.2" xref="A6.p3.1.m1.1.1.2.2.cmml">λ</mi><mn id="A6.p3.1.m1.1.1.2.3" xref="A6.p3.1.m1.1.1.2.3.cmml">1</mn></msub><mo id="A6.p3.1.m1.1.1.1" xref="A6.p3.1.m1.1.1.1.cmml">=</mo><mfrac id="A6.p3.1.m1.1.1.3" xref="A6.p3.1.m1.1.1.3.cmml"><mn id="A6.p3.1.m1.1.1.3.2" xref="A6.p3.1.m1.1.1.3.2.cmml">1</mn><mn id="A6.p3.1.m1.1.1.3.3" xref="A6.p3.1.m1.1.1.3.3.cmml">4</mn></mfrac></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A6.p3.1.m1.1b"><apply id="A6.p3.1.m1.1.1.cmml" xref="A6.p3.1.m1.1.1"><eq id="A6.p3.1.m1.1.1.1.cmml" xref="A6.p3.1.m1.1.1.1"></eq><apply id="A6.p3.1.m1.1.1.2.cmml" xref="A6.p3.1.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A6.p3.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="A6.p3.1.m1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="A6.p3.1.m1.1.1.2.2.cmml" xref="A6.p3.1.m1.1.1.2.2">𝜆</ci><cn id="A6.p3.1.m1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="A6.p3.1.m1.1.1.2.3">1</cn></apply><apply id="A6.p3.1.m1.1.1.3.cmml" xref="A6.p3.1.m1.1.1.3"><divide id="A6.p3.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="A6.p3.1.m1.1.1.3"></divide><cn id="A6.p3.1.m1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="A6.p3.1.m1.1.1.3.2">1</cn><cn id="A6.p3.1.m1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="A6.p3.1.m1.1.1.3.3">4</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A6.p3.1.m1.1c">\lambda_{1}=\frac{1}{4}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A6.p3.1.m1.1d">italic_λ start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT = divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 4 end_ARG</annotation></semantics></math> and <math alttext="\lambda=\frac{1}{q^{2}+1}=\frac{1}{5}" class="ltx_Math" display="inline" id="A6.p3.2.m2.1"><semantics id="A6.p3.2.m2.1a"><mrow id="A6.p3.2.m2.1.1" xref="A6.p3.2.m2.1.1.cmml"><mi id="A6.p3.2.m2.1.1.2" xref="A6.p3.2.m2.1.1.2.cmml">λ</mi><mo id="A6.p3.2.m2.1.1.3" xref="A6.p3.2.m2.1.1.3.cmml">=</mo><mfrac id="A6.p3.2.m2.1.1.4" xref="A6.p3.2.m2.1.1.4.cmml"><mn id="A6.p3.2.m2.1.1.4.2" xref="A6.p3.2.m2.1.1.4.2.cmml">1</mn><mrow id="A6.p3.2.m2.1.1.4.3" xref="A6.p3.2.m2.1.1.4.3.cmml"><msup id="A6.p3.2.m2.1.1.4.3.2" xref="A6.p3.2.m2.1.1.4.3.2.cmml"><mi id="A6.p3.2.m2.1.1.4.3.2.2" xref="A6.p3.2.m2.1.1.4.3.2.2.cmml">q</mi><mn id="A6.p3.2.m2.1.1.4.3.2.3" xref="A6.p3.2.m2.1.1.4.3.2.3.cmml">2</mn></msup><mo id="A6.p3.2.m2.1.1.4.3.1" xref="A6.p3.2.m2.1.1.4.3.1.cmml">+</mo><mn id="A6.p3.2.m2.1.1.4.3.3" xref="A6.p3.2.m2.1.1.4.3.3.cmml">1</mn></mrow></mfrac><mo id="A6.p3.2.m2.1.1.5" xref="A6.p3.2.m2.1.1.5.cmml">=</mo><mfrac id="A6.p3.2.m2.1.1.6" xref="A6.p3.2.m2.1.1.6.cmml"><mn id="A6.p3.2.m2.1.1.6.2" xref="A6.p3.2.m2.1.1.6.2.cmml">1</mn><mn id="A6.p3.2.m2.1.1.6.3" xref="A6.p3.2.m2.1.1.6.3.cmml">5</mn></mfrac></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A6.p3.2.m2.1b"><apply id="A6.p3.2.m2.1.1.cmml" xref="A6.p3.2.m2.1.1"><and id="A6.p3.2.m2.1.1a.cmml" xref="A6.p3.2.m2.1.1"></and><apply id="A6.p3.2.m2.1.1b.cmml" xref="A6.p3.2.m2.1.1"><eq id="A6.p3.2.m2.1.1.3.cmml" xref="A6.p3.2.m2.1.1.3"></eq><ci id="A6.p3.2.m2.1.1.2.cmml" xref="A6.p3.2.m2.1.1.2">𝜆</ci><apply id="A6.p3.2.m2.1.1.4.cmml" xref="A6.p3.2.m2.1.1.4"><divide id="A6.p3.2.m2.1.1.4.1.cmml" xref="A6.p3.2.m2.1.1.4"></divide><cn id="A6.p3.2.m2.1.1.4.2.cmml" type="integer" xref="A6.p3.2.m2.1.1.4.2">1</cn><apply id="A6.p3.2.m2.1.1.4.3.cmml" xref="A6.p3.2.m2.1.1.4.3"><plus id="A6.p3.2.m2.1.1.4.3.1.cmml" xref="A6.p3.2.m2.1.1.4.3.1"></plus><apply id="A6.p3.2.m2.1.1.4.3.2.cmml" xref="A6.p3.2.m2.1.1.4.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A6.p3.2.m2.1.1.4.3.2.1.cmml" xref="A6.p3.2.m2.1.1.4.3.2">superscript</csymbol><ci id="A6.p3.2.m2.1.1.4.3.2.2.cmml" xref="A6.p3.2.m2.1.1.4.3.2.2">𝑞</ci><cn id="A6.p3.2.m2.1.1.4.3.2.3.cmml" type="integer" xref="A6.p3.2.m2.1.1.4.3.2.3">2</cn></apply><cn id="A6.p3.2.m2.1.1.4.3.3.cmml" type="integer" xref="A6.p3.2.m2.1.1.4.3.3">1</cn></apply></apply></apply><apply id="A6.p3.2.m2.1.1c.cmml" xref="A6.p3.2.m2.1.1"><eq id="A6.p3.2.m2.1.1.5.cmml" xref="A6.p3.2.m2.1.1.5"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2411.13739v1#A6.p3.2.m2.1.1.4.cmml" id="A6.p3.2.m2.1.1d.cmml" xref="A6.p3.2.m2.1.1"></share><apply id="A6.p3.2.m2.1.1.6.cmml" xref="A6.p3.2.m2.1.1.6"><divide id="A6.p3.2.m2.1.1.6.1.cmml" xref="A6.p3.2.m2.1.1.6"></divide><cn id="A6.p3.2.m2.1.1.6.2.cmml" type="integer" xref="A6.p3.2.m2.1.1.6.2">1</cn><cn id="A6.p3.2.m2.1.1.6.3.cmml" type="integer" xref="A6.p3.2.m2.1.1.6.3">5</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A6.p3.2.m2.1c">\lambda=\frac{1}{q^{2}+1}=\frac{1}{5}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A6.p3.2.m2.1d">italic_λ = divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_q start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + 1 end_ARG = divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 5 end_ARG</annotation></semantics></math>. In this case</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="S6.EGx251"> <tbody id="A6.Ex120"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle(1+\sqrt{1-\lambda})^{2}\lambda" class="ltx_Math" display="inline" id="A6.Ex120.m1.1"><semantics id="A6.Ex120.m1.1a"><mrow id="A6.Ex120.m1.1.1" xref="A6.Ex120.m1.1.1.cmml"><msup id="A6.Ex120.m1.1.1.1" xref="A6.Ex120.m1.1.1.1.cmml"><mrow id="A6.Ex120.m1.1.1.1.1.1" xref="A6.Ex120.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A6.Ex120.m1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A6.Ex120.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A6.Ex120.m1.1.1.1.1.1.1" xref="A6.Ex120.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="A6.Ex120.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A6.Ex120.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">1</mn><mo id="A6.Ex120.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A6.Ex120.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><msqrt id="A6.Ex120.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A6.Ex120.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mrow id="A6.Ex120.m1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A6.Ex120.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mn id="A6.Ex120.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="A6.Ex120.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">1</mn><mo id="A6.Ex120.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1" xref="A6.Ex120.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml">−</mo><mi id="A6.Ex120.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="A6.Ex120.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">λ</mi></mrow></msqrt></mrow><mo id="A6.Ex120.m1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A6.Ex120.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mn id="A6.Ex120.m1.1.1.1.3" xref="A6.Ex120.m1.1.1.1.3.cmml">2</mn></msup><mo id="A6.Ex120.m1.1.1.2" xref="A6.Ex120.m1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="A6.Ex120.m1.1.1.3" xref="A6.Ex120.m1.1.1.3.cmml">λ</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A6.Ex120.m1.1b"><apply id="A6.Ex120.m1.1.1.cmml" xref="A6.Ex120.m1.1.1"><times id="A6.Ex120.m1.1.1.2.cmml" xref="A6.Ex120.m1.1.1.2"></times><apply id="A6.Ex120.m1.1.1.1.cmml" xref="A6.Ex120.m1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A6.Ex120.m1.1.1.1.2.cmml" xref="A6.Ex120.m1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="A6.Ex120.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A6.Ex120.m1.1.1.1.1.1"><plus id="A6.Ex120.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A6.Ex120.m1.1.1.1.1.1.1.1"></plus><cn id="A6.Ex120.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="A6.Ex120.m1.1.1.1.1.1.1.2">1</cn><apply id="A6.Ex120.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A6.Ex120.m1.1.1.1.1.1.1.3"><root id="A6.Ex120.m1.1.1.1.1.1.1.3a.cmml" xref="A6.Ex120.m1.1.1.1.1.1.1.3"></root><apply id="A6.Ex120.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A6.Ex120.m1.1.1.1.1.1.1.3.2"><minus id="A6.Ex120.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="A6.Ex120.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1"></minus><cn id="A6.Ex120.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" type="integer" xref="A6.Ex120.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2">1</cn><ci id="A6.Ex120.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="A6.Ex120.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3">𝜆</ci></apply></apply></apply><cn id="A6.Ex120.m1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A6.Ex120.m1.1.1.1.3">2</cn></apply><ci id="A6.Ex120.m1.1.1.3.cmml" xref="A6.Ex120.m1.1.1.3">𝜆</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A6.Ex120.m1.1c">\displaystyle(1+\sqrt{1-\lambda})^{2}\lambda</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A6.Ex120.m1.1d">( 1 + square-root start_ARG 1 - italic_λ end_ARG ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT italic_λ</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\approx 0.7178" class="ltx_Math" display="inline" id="A6.Ex120.m2.1"><semantics id="A6.Ex120.m2.1a"><mrow id="A6.Ex120.m2.1.1" xref="A6.Ex120.m2.1.1.cmml"><mi id="A6.Ex120.m2.1.1.2" xref="A6.Ex120.m2.1.1.2.cmml"></mi><mo id="A6.Ex120.m2.1.1.1" xref="A6.Ex120.m2.1.1.1.cmml">≈</mo><mn id="A6.Ex120.m2.1.1.3" xref="A6.Ex120.m2.1.1.3.cmml">0.7178</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A6.Ex120.m2.1b"><apply id="A6.Ex120.m2.1.1.cmml" xref="A6.Ex120.m2.1.1"><approx id="A6.Ex120.m2.1.1.1.cmml" xref="A6.Ex120.m2.1.1.1"></approx><csymbol cd="latexml" id="A6.Ex120.m2.1.1.2.cmml" xref="A6.Ex120.m2.1.1.2">absent</csymbol><cn id="A6.Ex120.m2.1.1.3.cmml" type="float" xref="A6.Ex120.m2.1.1.3">0.7178</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A6.Ex120.m2.1c">\displaystyle\approx 0.7178</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A6.Ex120.m2.1d">≈ 0.7178</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="A6.Ex121"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\lambda_{1}+(1+\sqrt{1-\lambda})\sqrt{(1-\lambda_{1})\lambda% \lambda_{1}}" class="ltx_Math" display="inline" id="A6.Ex121.m1.2"><semantics id="A6.Ex121.m1.2a"><mrow id="A6.Ex121.m1.2.2" xref="A6.Ex121.m1.2.2.cmml"><msub id="A6.Ex121.m1.2.2.3" xref="A6.Ex121.m1.2.2.3.cmml"><mi 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id="A6.Ex121.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.3" xref="A6.Ex121.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.3.cmml">λ</mi></mrow></msqrt></mrow><mo id="A6.Ex121.m1.2.2.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A6.Ex121.m1.2.2.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A6.Ex121.m1.2.2.1.2" xref="A6.Ex121.m1.2.2.1.2.cmml">⁢</mo><msqrt id="A6.Ex121.m1.1.1" xref="A6.Ex121.m1.1.1.cmml"><mrow id="A6.Ex121.m1.1.1.1" xref="A6.Ex121.m1.1.1.1.cmml"><mrow id="A6.Ex121.m1.1.1.1.1.1" xref="A6.Ex121.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A6.Ex121.m1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A6.Ex121.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A6.Ex121.m1.1.1.1.1.1.1" xref="A6.Ex121.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="A6.Ex121.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A6.Ex121.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">1</mn><mo id="A6.Ex121.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A6.Ex121.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><msub id="A6.Ex121.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A6.Ex121.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A6.Ex121.m1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A6.Ex121.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">λ</mi><mn id="A6.Ex121.m1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A6.Ex121.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">1</mn></msub></mrow><mo id="A6.Ex121.m1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A6.Ex121.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A6.Ex121.m1.1.1.1.2" xref="A6.Ex121.m1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="A6.Ex121.m1.1.1.1.3" xref="A6.Ex121.m1.1.1.1.3.cmml">λ</mi><mo id="A6.Ex121.m1.1.1.1.2a" xref="A6.Ex121.m1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="A6.Ex121.m1.1.1.1.4" xref="A6.Ex121.m1.1.1.1.4.cmml"><mi id="A6.Ex121.m1.1.1.1.4.2" xref="A6.Ex121.m1.1.1.1.4.2.cmml">λ</mi><mn id="A6.Ex121.m1.1.1.1.4.3" xref="A6.Ex121.m1.1.1.1.4.3.cmml">1</mn></msub></mrow></msqrt></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A6.Ex121.m1.2b"><apply id="A6.Ex121.m1.2.2.cmml" xref="A6.Ex121.m1.2.2"><plus id="A6.Ex121.m1.2.2.2.cmml" xref="A6.Ex121.m1.2.2.2"></plus><apply id="A6.Ex121.m1.2.2.3.cmml" xref="A6.Ex121.m1.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A6.Ex121.m1.2.2.3.1.cmml" xref="A6.Ex121.m1.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="A6.Ex121.m1.2.2.3.2.cmml" 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alttext="\displaystyle\approx 0.6169<0.7178" class="ltx_Math" display="inline" id="A6.Ex121.m2.1"><semantics id="A6.Ex121.m2.1a"><mrow id="A6.Ex121.m2.1.1" xref="A6.Ex121.m2.1.1.cmml"><mi id="A6.Ex121.m2.1.1.2" xref="A6.Ex121.m2.1.1.2.cmml"></mi><mo id="A6.Ex121.m2.1.1.3" xref="A6.Ex121.m2.1.1.3.cmml">≈</mo><mn id="A6.Ex121.m2.1.1.4" xref="A6.Ex121.m2.1.1.4.cmml">0.6169</mn><mo id="A6.Ex121.m2.1.1.5" xref="A6.Ex121.m2.1.1.5.cmml"><</mo><mn id="A6.Ex121.m2.1.1.6" xref="A6.Ex121.m2.1.1.6.cmml">0.7178</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A6.Ex121.m2.1b"><apply id="A6.Ex121.m2.1.1.cmml" xref="A6.Ex121.m2.1.1"><and id="A6.Ex121.m2.1.1a.cmml" xref="A6.Ex121.m2.1.1"></and><apply id="A6.Ex121.m2.1.1b.cmml" xref="A6.Ex121.m2.1.1"><approx id="A6.Ex121.m2.1.1.3.cmml" xref="A6.Ex121.m2.1.1.3"></approx><csymbol cd="latexml" id="A6.Ex121.m2.1.1.2.cmml" xref="A6.Ex121.m2.1.1.2">absent</csymbol><cn id="A6.Ex121.m2.1.1.4.cmml" type="float" 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xref="A6.p3.4.m2.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="A6.p3.4.m2.1.1.3" xref="A6.p3.4.m2.1.1.3.cmml">λ</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A6.p3.4.m2.1b"><apply id="A6.p3.4.m2.1.1.cmml" xref="A6.p3.4.m2.1.1"><times id="A6.p3.4.m2.1.1.2.cmml" xref="A6.p3.4.m2.1.1.2"></times><apply id="A6.p3.4.m2.1.1.1.cmml" xref="A6.p3.4.m2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A6.p3.4.m2.1.1.1.2.cmml" xref="A6.p3.4.m2.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="A6.p3.4.m2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A6.p3.4.m2.1.1.1.1.1"><plus id="A6.p3.4.m2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A6.p3.4.m2.1.1.1.1.1.1.1"></plus><cn id="A6.p3.4.m2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="A6.p3.4.m2.1.1.1.1.1.1.2">1</cn><apply id="A6.p3.4.m2.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A6.p3.4.m2.1.1.1.1.1.1.3"><root id="A6.p3.4.m2.1.1.1.1.1.1.3a.cmml" xref="A6.p3.4.m2.1.1.1.1.1.1.3"></root><apply id="A6.p3.4.m2.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A6.p3.4.m2.1.1.1.1.1.1.3.2"><minus id="A6.p3.4.m2.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" 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