CINXE.COM

<!DOCTYPE html> <html class="client-nojs vector-feature-language-in-header-enabled vector-feature-language-in-main-page-header-disabled vector-feature-sticky-header-disabled vector-feature-page-tools-pinned-disabled vector-feature-toc-pinned-clientpref-1 vector-feature-main-menu-pinned-disabled vector-feature-limited-width-clientpref-1 vector-feature-limited-width-content-enabled vector-feature-custom-font-size-clientpref-1 vector-feature-appearance-pinned-clientpref-1 vector-feature-night-mode-enabled skin-theme-clientpref-day vector-toc-available" lang="nb" dir="ltr"> <head> <meta charset="UTF-8"> <title>Entropi – Wikipedia</title> <script>(function(){var className="client-js vector-feature-language-in-header-enabled vector-feature-language-in-main-page-header-disabled vector-feature-sticky-header-disabled vector-feature-page-tools-pinned-disabled vector-feature-toc-pinned-clientpref-1 vector-feature-main-menu-pinned-disabled vector-feature-limited-width-clientpref-1 vector-feature-limited-width-content-enabled vector-feature-custom-font-size-clientpref-1 vector-feature-appearance-pinned-clientpref-1 vector-feature-night-mode-enabled skin-theme-clientpref-day vector-toc-available";var cookie=document.cookie.match(/(?:^|; )nowikimwclientpreferences=([^;]+)/);if(cookie){cookie[1].split('%2C').forEach(function(pref){className=className.replace(new RegExp('(^| )'+pref.replace(/-clientpref-\w+$|[^\w-]+/g,'')+'-clientpref-\\w+( |$)'),'$1'+pref+'$2');});}document.documentElement.className=className;}());RLCONF={"wgBreakFrames":false,"wgSeparatorTransformTable":[",\t."," \t,"],"wgDigitTransformTable":["",""], "wgDefaultDateFormat":"dmy","wgMonthNames":["","januar","februar","mars","april","mai","juni","juli","august","september","oktober","november","desember"],"wgRequestId":"17fefe0c-660e-42df-aebf-ba00cbe9905f","wgCanonicalNamespace":"","wgCanonicalSpecialPageName":false,"wgNamespaceNumber":0,"wgPageName":"Entropi","wgTitle":"Entropi","wgCurRevisionId":24692451,"wgRevisionId":24692451,"wgArticleId":18761,"wgIsArticle":true,"wgIsRedirect":false,"wgAction":"view","wgUserName":null,"wgUserGroups":["*"],"wgCategories":["Sider som bruker magiske ISBN-lenker","Artikler med autoritetsdatalenker fra Wikidata","Fysikk","Kjemi","Termodynamikk","Dynamiske systemer"],"wgPageViewLanguage":"nb","wgPageContentLanguage":"nb","wgPageContentModel":"wikitext","wgRelevantPageName":"Entropi","wgRelevantArticleId":18761,"wgTempUserName":null,"wgIsProbablyEditable":true,"wgRelevantPageIsProbablyEditable":true,"wgRestrictionEdit":[],"wgRestrictionMove":[],"wgNoticeProject":"wikipedia", "wgCiteReferencePreviewsActive":true,"wgMediaViewerOnClick":true,"wgMediaViewerEnabledByDefault":true,"wgPopupsFlags":0,"wgVisualEditor":{"pageLanguageCode":"nb","pageLanguageDir":"ltr","pageVariantFallbacks":"nb"},"wgMFDisplayWikibaseDescriptions":{"search":true,"watchlist":true,"tagline":true,"nearby":true},"wgWMESchemaEditAttemptStepOversample":false,"wgWMEPageLength":40000,"wgRelatedArticlesCompat":[],"wgCentralAuthMobileDomain":false,"wgEditSubmitButtonLabelPublish":true,"wgULSPosition":"interlanguage","wgULSisCompactLinksEnabled":false,"wgVector2022LanguageInHeader":true,"wgULSisLanguageSelectorEmpty":false,"wgWikibaseItemId":"Q45003","wgCheckUserClientHintsHeadersJsApi":["brands","architecture","bitness","fullVersionList","mobile","model","platform","platformVersion"],"GEHomepageSuggestedEditsEnableTopics":true,"wgGETopicsMatchModeEnabled":false,"wgGEStructuredTaskRejectionReasonTextInputEnabled":false,"wgGELevelingUpEnabledForUser":false};RLSTATE={"ext.gadget.InterProjectLinks" :"ready","ext.globalCssJs.user.styles":"ready","site.styles":"ready","user.styles":"ready","ext.globalCssJs.user":"ready","user":"ready","user.options":"loading","ext.cite.styles":"ready","ext.math.styles":"ready","skins.vector.search.codex.styles":"ready","skins.vector.styles":"ready","skins.vector.icons":"ready","ext.wikimediamessages.styles":"ready","ext.visualEditor.desktopArticleTarget.noscript":"ready","ext.uls.interlanguage":"ready","wikibase.client.init":"ready","ext.wikimediaBadges":"ready"};RLPAGEMODULES=["ext.cite.ux-enhancements","mediawiki.page.media","site","mediawiki.page.ready","mediawiki.toc","skins.vector.js","ext.centralNotice.geoIP","ext.centralNotice.startUp","ext.gadget.UkensKonkurranse","ext.gadget.link-missing-label","ext.gadget.new-section","ext.gadget.superinterwiki","ext.urlShortener.toolbar","ext.centralauth.centralautologin","mmv.bootstrap","ext.popups","ext.visualEditor.desktopArticleTarget.init","ext.visualEditor.targetLoader","ext.echo.centralauth", "ext.eventLogging","ext.wikimediaEvents","ext.navigationTiming","ext.uls.interface","ext.cx.eventlogging.campaigns","ext.cx.uls.quick.actions","wikibase.client.vector-2022","ext.checkUser.clientHints","ext.growthExperiments.SuggestedEditSession","oojs-ui.styles.icons-media","oojs-ui-core.icons","wikibase.sidebar.tracking"];</script> <script>(RLQ=window.RLQ||[]).push(function(){mw.loader.impl(function(){return["user.options@12s5i",function($,jQuery,require,module){mw.user.tokens.set({"patrolToken":"+\\","watchToken":"+\\","csrfToken":"+\\"}); }];});});</script> <link rel="stylesheet" href="/w/load.php?lang=nb&modules=ext.cite.styles%7Cext.math.styles%7Cext.uls.interlanguage%7Cext.visualEditor.desktopArticleTarget.noscript%7Cext.wikimediaBadges%7Cext.wikimediamessages.styles%7Cskins.vector.icons%2Cstyles%7Cskins.vector.search.codex.styles%7Cwikibase.client.init&only=styles&skin=vector-2022"> <script async="" src="/w/load.php?lang=nb&modules=startup&only=scripts&raw=1&skin=vector-2022"></script> <meta name="ResourceLoaderDynamicStyles" content=""> <link rel="stylesheet" href="/w/load.php?lang=nb&modules=ext.gadget.InterProjectLinks&only=styles&skin=vector-2022"> <link rel="stylesheet" href="/w/load.php?lang=nb&modules=site.styles&only=styles&skin=vector-2022"> <meta name="generator" content="MediaWiki 1.44.0-wmf.5"> <meta name="referrer" content="origin"> <meta name="referrer" content="origin-when-cross-origin"> <meta name="robots" content="max-image-preview:standard"> <meta name="format-detection" content="telephone=no"> <meta property="og:image" content="https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/0/0c/Ice_water.jpg"> <meta property="og:image:width" content="1200"> <meta property="og:image:height" content="1600"> <meta property="og:image" content="https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/0/0c/Ice_water.jpg"> <meta property="og:image:width" content="800"> <meta property="og:image:height" content="1067"> <meta property="og:image" content="https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/0c/Ice_water.jpg/640px-Ice_water.jpg"> <meta property="og:image:width" content="640"> <meta property="og:image:height" content="853"> <meta name="viewport" content="width=1120"> <meta property="og:title" content="Entropi – Wikipedia"> <meta property="og:type" content="website"> <link rel="preconnect" href="//upload.wikimedia.org"> <link rel="alternate" media="only screen and (max-width: 640px)" href="//no.m.wikipedia.org/wiki/Entropi"> <link rel="alternate" type="application/x-wiki" title="Rediger" href="/w/index.php?title=Entropi&action=edit"> <link rel="apple-touch-icon" href="/static/apple-touch/wikipedia.png"> <link rel="icon" href="/static/favicon/wikipedia.ico"> <link rel="search" type="application/opensearchdescription+xml" href="/w/rest.php/v1/search" title="Wikipedia (nb)"> <link rel="EditURI" type="application/rsd+xml" href="//no.wikipedia.org/w/api.php?action=rsd"> <link rel="canonical" href="https://no.wikipedia.org/wiki/Entropi"> <link rel="license" href="https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/deed.no"> <link rel="alternate" type="application/atom+xml" title="Wikipedia Atom-mating" href="/w/index.php?title=Spesial:Siste_endringer&feed=atom"> <link rel="dns-prefetch" href="//meta.wikimedia.org" /> <link rel="dns-prefetch" href="//login.wikimedia.org"> </head> <body class="skin--responsive skin-vector skin-vector-search-vue mediawiki ltr sitedir-ltr mw-hide-empty-elt ns-0 ns-subject mw-editable page-Entropi rootpage-Entropi skin-vector-2022 action-view"><a class="mw-jump-link" href="#bodyContent">Hopp til innhold</a> <div class="vector-header-container"> <header class="vector-header mw-header"> <div class="vector-header-start"> <nav class="vector-main-menu-landmark" aria-label="Nettsted"> <div id="vector-main-menu-dropdown" class="vector-dropdown vector-main-menu-dropdown vector-button-flush-left vector-button-flush-right" > <input type="checkbox" id="vector-main-menu-dropdown-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-main-menu-dropdown" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Hovedmeny" > <label id="vector-main-menu-dropdown-label" for="vector-main-menu-dropdown-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only " aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-menu mw-ui-icon-wikimedia-menu"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">Hovedmeny</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="vector-main-menu-unpinned-container" class="vector-unpinned-container"> <div id="vector-main-menu" class="vector-main-menu vector-pinnable-element"> <div class="vector-pinnable-header vector-main-menu-pinnable-header vector-pinnable-header-unpinned" data-feature-name="main-menu-pinned" data-pinnable-element-id="vector-main-menu" data-pinned-container-id="vector-main-menu-pinned-container" data-unpinned-container-id="vector-main-menu-unpinned-container" > <div class="vector-pinnable-header-label">Hovedmeny</div> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-pin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-main-menu.pin">flytt til sidefeltet</button> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-unpin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-main-menu.unpin">skjul</button> </div> <div id="p-navigation" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-navigation" > <div class="vector-menu-heading"> Navigasjon </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="n-mainpage-description" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Forside" title="Gå til hovedsiden [z]" accesskey="z"><span>Forside</span></a></li><li id="n-randompage" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Spesial:Tilfeldig" title="Vis en tilfeldig side [x]" accesskey="x"><span>Tilfeldig side</span></a></li><li id="n-help" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Hjelp:Portal" title="Stedet for å få hjelp"><span>Hjelp</span></a></li><li id="n-recentchanges" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Spesial:Siste_endringer" title="Liste over siste endringer på wikien. [r]" accesskey="r"><span>Siste endringer</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="p-prosjekt" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-prosjekt" > <div class="vector-menu-heading"> Prosjekt </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="n-Prosjektportal" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Wikipedia:Portal"><span>Prosjektportal</span></a></li><li id="n-bidra" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Wikipedia:Bidra_til_Wikipedia"><span>Hvordan bidra?</span></a></li><li id="n-tinget" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Wikipedia:Tinget"><span>Tinget</span></a></li><li id="n-torget" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Wikipedia:Torget"><span>Torget</span></a></li><li id="n-konkurranser" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Wikipedia:Konkurranser"><span>Konkurranser</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="p-Wikipedia" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-Wikipedia" > <div class="vector-menu-heading"> Wikipedia </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="n-kontakt" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Wikipedia:Kontakt"><span>Kontakt Wikipedia</span></a></li><li id="n-wmno" class="mw-list-item"><a href="https://www.wikimedia.no" rel="nofollow" title="Medlemsorganisasjon for wikipedianere"><span>Wikimedia Norge</span></a></li> </ul> </div> </div> </div> </div> </div> </div> </nav> <a href="/wiki/Forside" class="mw-logo"> <img class="mw-logo-icon" src="/static/images/icons/wikipedia.png" alt="" aria-hidden="true" height="50" width="50"> <span class="mw-logo-container skin-invert"> <img class="mw-logo-wordmark" alt="Wikipedia" src="/static/images/mobile/copyright/wikipedia-wordmark-en.svg" style="width: 7.5em; height: 1.125em;"> <img class="mw-logo-tagline" alt="" src="/static/images/mobile/copyright/wikipedia-tagline-no.svg" width="121" height="14" style="width: 7.5625em; height: 0.875em;"> </span> </a> </div> <div class="vector-header-end"> <div id="p-search" role="search" class="vector-search-box-vue vector-search-box-collapses vector-search-box-show-thumbnail vector-search-box-auto-expand-width vector-search-box"> <a href="/wiki/Spesial:S%C3%B8k" class="cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only search-toggle" title="Søk i Wikipedia [f]" accesskey="f"><span class="vector-icon mw-ui-icon-search mw-ui-icon-wikimedia-search"></span> <span>Søk</span> </a> <div class="vector-typeahead-search-container"> <div class="cdx-typeahead-search cdx-typeahead-search--show-thumbnail cdx-typeahead-search--auto-expand-width"> <form action="/w/index.php" id="searchform" class="cdx-search-input cdx-search-input--has-end-button"> <div id="simpleSearch" class="cdx-search-input__input-wrapper" data-search-loc="header-moved"> <div class="cdx-text-input cdx-text-input--has-start-icon"> <input class="cdx-text-input__input" type="search" name="search" placeholder="Søk i Wikipedia" aria-label="Søk i Wikipedia" autocapitalize="sentences" title="Søk i Wikipedia [f]" accesskey="f" id="searchInput" > <span class="cdx-text-input__icon cdx-text-input__start-icon"></span> </div> <input type="hidden" name="title" value="Spesial:Søk"> </div> <button class="cdx-button cdx-search-input__end-button">Søk</button> </form> </div> </div> </div> <nav class="vector-user-links vector-user-links-wide" aria-label="Personlig"> <div class="vector-user-links-main"> <div id="p-vector-user-menu-preferences" class="vector-menu mw-portlet emptyPortlet" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> </ul> </div> </div> <div id="p-vector-user-menu-userpage" class="vector-menu mw-portlet emptyPortlet" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> </ul> </div> </div> <nav class="vector-appearance-landmark" aria-label="Utseende"> <div id="vector-appearance-dropdown" class="vector-dropdown " title="Endre skriftstørrelse, bredde og farge på siden." > <input type="checkbox" id="vector-appearance-dropdown-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-appearance-dropdown" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Utseende" > <label id="vector-appearance-dropdown-label" for="vector-appearance-dropdown-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only " aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-appearance mw-ui-icon-wikimedia-appearance"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">Utseende</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="vector-appearance-unpinned-container" class="vector-unpinned-container"> </div> </div> </div> </nav> <div id="p-vector-user-menu-notifications" class="vector-menu mw-portlet emptyPortlet" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> </ul> </div> </div> <div id="p-vector-user-menu-overflow" class="vector-menu mw-portlet" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="pt-sitesupport-2" class="user-links-collapsible-item mw-list-item user-links-collapsible-item"><a data-mw="interface" href="//donate.wikimedia.org/wiki/Special:FundraiserRedirector?utm_source=donate&utm_medium=sidebar&utm_campaign=C13_no.wikipedia.org&uselang=nb" class=""><span>Doner</span></a> </li> <li id="pt-createaccount-2" class="user-links-collapsible-item mw-list-item user-links-collapsible-item"><a data-mw="interface" href="/w/index.php?title=Spesial:Opprett_konto&returnto=Entropi" title="Du oppfordres til å opprette en konto og logge inn, men det er ikke obligatorisk" class=""><span>Opprett konto</span></a> </li> <li id="pt-login-2" class="user-links-collapsible-item mw-list-item user-links-collapsible-item"><a data-mw="interface" href="/w/index.php?title=Spesial:Logg_inn&returnto=Entropi" title="Du oppfordres til å logge inn, men det er ikke obligatorisk [o]" accesskey="o" class=""><span>Logg inn</span></a> </li> </ul> </div> </div> </div> <div id="vector-user-links-dropdown" class="vector-dropdown vector-user-menu vector-button-flush-right vector-user-menu-logged-out user-links-collapsible-item" title="Flere alternativer" > <input type="checkbox" id="vector-user-links-dropdown-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-user-links-dropdown" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Personlig" > <label id="vector-user-links-dropdown-label" for="vector-user-links-dropdown-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only " aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-ellipsis mw-ui-icon-wikimedia-ellipsis"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">Personlig</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="p-personal" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-personal user-links-collapsible-item" title="Brukermeny" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="pt-sitesupport" class="user-links-collapsible-item mw-list-item"><a href="//donate.wikimedia.org/wiki/Special:FundraiserRedirector?utm_source=donate&utm_medium=sidebar&utm_campaign=C13_no.wikipedia.org&uselang=nb"><span>Doner</span></a></li><li id="pt-createaccount" class="user-links-collapsible-item mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Spesial:Opprett_konto&returnto=Entropi" title="Du oppfordres til å opprette en konto og logge inn, men det er ikke obligatorisk"><span class="vector-icon mw-ui-icon-userAdd mw-ui-icon-wikimedia-userAdd"></span> <span>Opprett konto</span></a></li><li id="pt-login" class="user-links-collapsible-item mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Spesial:Logg_inn&returnto=Entropi" title="Du oppfordres til å logge inn, men det er ikke obligatorisk [o]" accesskey="o"><span class="vector-icon mw-ui-icon-logIn mw-ui-icon-wikimedia-logIn"></span> <span>Logg inn</span></a></li> </ul> </div> </div> </div> </div> </nav> </div> </header> </div> <div class="mw-page-container"> <div class="mw-page-container-inner"> <div class="vector-sitenotice-container"> <div id="siteNotice"></div> </div> <div class="vector-column-start"> <div class="vector-main-menu-container"> <div id="mw-navigation"> <nav id="mw-panel" class="vector-main-menu-landmark" aria-label="Nettsted"> <div id="vector-main-menu-pinned-container" class="vector-pinned-container"> </div> </nav> </div> </div> <div class="vector-sticky-pinned-container"> <nav id="mw-panel-toc" aria-label="Innhold" data-event-name="ui.sidebar-toc" class="mw-table-of-contents-container vector-toc-landmark"> <div id="vector-toc-pinned-container" class="vector-pinned-container"> <div id="vector-toc" class="vector-toc vector-pinnable-element"> <div class="vector-pinnable-header vector-toc-pinnable-header vector-pinnable-header-pinned" data-feature-name="toc-pinned" data-pinnable-element-id="vector-toc" > <h2 class="vector-pinnable-header-label">Innhold</h2> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-pin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-toc.pin">flytt til sidefeltet</button> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-unpin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-toc.unpin">skjul</button> </div> <ul class="vector-toc-contents" id="mw-panel-toc-list"> <li id="toc-mw-content-text" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a href="#" class="vector-toc-link"> <div class="vector-toc-text">(Til toppen)</div> </a> </li> <li id="toc-Anvendelser_i_dag" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Anvendelser_i_dag"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">1</span> <span>Anvendelser i dag</span> </div> </a> <ul id="toc-Anvendelser_i_dag-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Clausius_og_termodynamikk" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Clausius_og_termodynamikk"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">2</span> <span>Clausius og termodynamikk</span> </div> </a> <button aria-controls="toc-Clausius_og_termodynamikk-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> <span class="vector-icon mw-ui-icon-wikimedia-expand"></span> <span>Vis/skjul underseksjonen Clausius og termodynamikk</span> </button> <ul id="toc-Clausius_og_termodynamikk-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-Smelting_av_is" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Smelting_av_is"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">2.1</span> <span>Smelting av is</span> </div> </a> <ul id="toc-Smelting_av_is-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Ideell_gass" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Ideell_gass"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">2.2</span> <span>Ideell gass</span> </div> </a> <ul id="toc-Ideell_gass-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Adiabatisk_ekspansjon" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Adiabatisk_ekspansjon"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">2.3</span> <span>Adiabatisk ekspansjon</span> </div> </a> <ul id="toc-Adiabatisk_ekspansjon-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-Boltzmann_og_statistisk_mekanikk" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Boltzmann_og_statistisk_mekanikk"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">3</span> <span>Boltzmann og statistisk mekanikk</span> </div> </a> <button aria-controls="toc-Boltzmann_og_statistisk_mekanikk-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> <span class="vector-icon mw-ui-icon-wikimedia-expand"></span> <span>Vis/skjul underseksjonen Boltzmann og statistisk mekanikk</span> </button> <ul id="toc-Boltzmann_og_statistisk_mekanikk-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-Andre_hovedsetning" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Andre_hovedsetning"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">3.1</span> <span>Andre hovedsetning</span> </div> </a> <ul id="toc-Andre_hovedsetning-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Maxwell-Boltzmann-statistikk" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Maxwell-Boltzmann-statistikk"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">3.2</span> <span>Maxwell-Boltzmann-statistikk</span> </div> </a> <ul id="toc-Maxwell-Boltzmann-statistikk-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Gibbs_paradoks" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Gibbs_paradoks"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">3.3</span> <span>Gibbs paradoks</span> </div> </a> <ul id="toc-Gibbs_paradoks-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Blandingsentropi" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Blandingsentropi"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">3.4</span> <span>Blandingsentropi</span> </div> </a> <ul id="toc-Blandingsentropi-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Sackur-Tetrode-formelen" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Sackur-Tetrode-formelen"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">3.5</span> <span>Sackur-Tetrode-formelen</span> </div> </a> <ul id="toc-Sackur-Tetrode-formelen-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-Gibbs_og_ensembleteori" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Gibbs_og_ensembleteori"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">4</span> <span>Gibbs og ensembleteori</span> </div> </a> <button aria-controls="toc-Gibbs_og_ensembleteori-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> <span class="vector-icon mw-ui-icon-wikimedia-expand"></span> <span>Vis/skjul underseksjonen Gibbs og ensembleteori</span> </button> <ul id="toc-Gibbs_og_ensembleteori-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-Mikrokanonisk_ensemble" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Mikrokanonisk_ensemble"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">4.1</span> <span>Mikrokanonisk ensemble</span> </div> </a> <ul id="toc-Mikrokanonisk_ensemble-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Kanonisk_ensemble" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Kanonisk_ensemble"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">4.2</span> <span>Kanonisk ensemble</span> </div> </a> <ul id="toc-Kanonisk_ensemble-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-Informasjonsteori" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Informasjonsteori"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">5</span> <span>Informasjonsteori</span> </div> </a> <ul id="toc-Informasjonsteori-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Se_også" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Se_også"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">6</span> <span>Se også</span> </div> </a> <ul id="toc-Se_også-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Referanser" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Referanser"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">7</span> <span>Referanser</span> </div> </a> <ul id="toc-Referanser-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Litteratur" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Litteratur"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">8</span> <span>Litteratur</span> </div> </a> <ul id="toc-Litteratur-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Eksterne_lenker" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Eksterne_lenker"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">9</span> <span>Eksterne lenker</span> </div> </a> <ul id="toc-Eksterne_lenker-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </div> </div> </nav> </div> </div> <div class="mw-content-container"> <main id="content" class="mw-body"> <header class="mw-body-header vector-page-titlebar"> <nav aria-label="Innhold" class="vector-toc-landmark"> <div id="vector-page-titlebar-toc" class="vector-dropdown vector-page-titlebar-toc vector-button-flush-left" > <input type="checkbox" id="vector-page-titlebar-toc-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-page-titlebar-toc" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Vis/skjul innholdsfortegnelsen" > <label id="vector-page-titlebar-toc-label" for="vector-page-titlebar-toc-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only " aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-listBullet mw-ui-icon-wikimedia-listBullet"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">Vis/skjul innholdsfortegnelsen</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="vector-page-titlebar-toc-unpinned-container" class="vector-unpinned-container"> </div> </div> </div> </nav> <h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading"><span class="mw-page-title-main">Entropi</span></h1> <div id="p-lang-btn" class="vector-dropdown mw-portlet mw-portlet-lang" > <input type="checkbox" id="p-lang-btn-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-p-lang-btn" class="vector-dropdown-checkbox mw-interlanguage-selector" aria-label="Gå til en artikkel på et annet språk. Tilgjengelig på 90 språk" > <label id="p-lang-btn-label" for="p-lang-btn-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--action-progressive mw-portlet-lang-heading-90" aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-language-progressive mw-ui-icon-wikimedia-language-progressive"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">90 språk</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li class="interlanguage-link interwiki-nn mw-list-item"><a href="https://nn.wikipedia.org/wiki/Entropi" title="Entropi – norsk nynorsk" lang="nn" hreflang="nn" data-title="Entropi" data-language-autonym="Norsk nynorsk" data-language-local-name="norsk nynorsk" class="interlanguage-link-target"><span>Norsk nynorsk</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-da mw-list-item"><a href="https://da.wikipedia.org/wiki/Entropi" title="Entropi – dansk" lang="da" hreflang="da" data-title="Entropi" data-language-autonym="Dansk" data-language-local-name="dansk" class="interlanguage-link-target"><span>Dansk</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sv mw-list-item"><a href="https://sv.wikipedia.org/wiki/Entropi" title="Entropi – svensk" lang="sv" hreflang="sv" data-title="Entropi" data-language-autonym="Svenska" data-language-local-name="svensk" class="interlanguage-link-target"><span>Svenska</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-af mw-list-item"><a href="https://af.wikipedia.org/wiki/Entropie" title="Entropie – afrikaans" lang="af" hreflang="af" data-title="Entropie" data-language-autonym="Afrikaans" data-language-local-name="afrikaans" class="interlanguage-link-target"><span>Afrikaans</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-am mw-list-item"><a href="https://am.wikipedia.org/wiki/%E1%8A%A0%E1%8A%95%E1%89%B5%E1%88%A8%E1%89%A2" title="አንትረቢ – amharisk" lang="am" hreflang="am" data-title="አንትረቢ" data-language-autonym="አማርኛ" data-language-local-name="amharisk" class="interlanguage-link-target"><span>አማርኛ</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ar mw-list-item"><a href="https://ar.wikipedia.org/wiki/%D8%A5%D9%86%D8%AA%D8%B1%D9%88%D8%A8%D9%8A%D8%A7" title="إنتروبيا – arabisk" lang="ar" hreflang="ar" data-title="إنتروبيا" data-language-autonym="العربية" data-language-local-name="arabisk" class="interlanguage-link-target"><span>العربية</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ast mw-list-item"><a href="https://ast.wikipedia.org/wiki/Entrop%C3%ADa" title="Entropía – asturisk" lang="ast" hreflang="ast" data-title="Entropía" data-language-autonym="Asturianu" data-language-local-name="asturisk" class="interlanguage-link-target"><span>Asturianu</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-az mw-list-item"><a href="https://az.wikipedia.org/wiki/Entropiya" title="Entropiya – aserbajdsjansk" lang="az" hreflang="az" data-title="Entropiya" data-language-autonym="Azərbaycanca" data-language-local-name="aserbajdsjansk" class="interlanguage-link-target"><span>Azərbaycanca</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bn mw-list-item"><a href="https://bn.wikipedia.org/wiki/%E0%A6%AC%E0%A6%BF%E0%A6%B6%E0%A7%83%E0%A6%99%E0%A7%8D%E0%A6%96%E0%A6%B2%E0%A6%BE-%E0%A6%AE%E0%A6%BE%E0%A6%A4%E0%A7%8D%E0%A6%B0%E0%A6%BE" title="বিশৃঙ্খলা-মাত্রা – bengali" lang="bn" hreflang="bn" data-title="বিশৃঙ্খলা-মাত্রা" data-language-autonym="বাংলা" data-language-local-name="bengali" class="interlanguage-link-target"><span>বাংলা</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zh-min-nan mw-list-item"><a href="https://zh-min-nan.wikipedia.org/wiki/Entropy" title="Entropy – minnan" lang="nan" hreflang="nan" data-title="Entropy" data-language-autonym="閩南語 / Bân-lâm-gú" data-language-local-name="minnan" class="interlanguage-link-target"><span>閩南語 / Bân-lâm-gú</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-be mw-list-item"><a href="https://be.wikipedia.org/wiki/%D0%AD%D0%BD%D1%82%D1%80%D0%B0%D0%BF%D1%96%D1%8F" title="Энтрапія – belarusisk" lang="be" hreflang="be" data-title="Энтрапія" data-language-autonym="Беларуская" data-language-local-name="belarusisk" class="interlanguage-link-target"><span>Беларуская</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-be-x-old mw-list-item"><a href="https://be-tarask.wikipedia.org/wiki/%D0%AD%D0%BD%D1%82%D1%80%D0%B0%D0%BF%D1%96%D1%8F" title="Энтрапія – belarusisk (klassisk ortografi)" lang="be-tarask" hreflang="be-tarask" data-title="Энтрапія" data-language-autonym="Беларуская (тарашкевіца)" data-language-local-name="belarusisk (klassisk ortografi)" class="interlanguage-link-target"><span>Беларуская (тарашкевіца)</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bcl mw-list-item"><a href="https://bcl.wikipedia.org/wiki/Entropiya" title="Entropiya – sentralbikol" lang="bcl" hreflang="bcl" data-title="Entropiya" data-language-autonym="Bikol Central" data-language-local-name="sentralbikol" class="interlanguage-link-target"><span>Bikol Central</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bg mw-list-item"><a href="https://bg.wikipedia.org/wiki/%D0%95%D0%BD%D1%82%D1%80%D0%BE%D0%BF%D0%B8%D1%8F" title="Ентропия – bulgarsk" lang="bg" hreflang="bg" data-title="Ентропия" data-language-autonym="Български" data-language-local-name="bulgarsk" class="interlanguage-link-target"><span>Български</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bar mw-list-item"><a href="https://bar.wikipedia.org/wiki/Entropie_(Thermodynamik)" title="Entropie (Thermodynamik) – bairisk" lang="bar" hreflang="bar" data-title="Entropie (Thermodynamik)" data-language-autonym="Boarisch" data-language-local-name="bairisk" class="interlanguage-link-target"><span>Boarisch</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bs mw-list-item"><a href="https://bs.wikipedia.org/wiki/Entropija" title="Entropija – bosnisk" lang="bs" hreflang="bs" data-title="Entropija" data-language-autonym="Bosanski" data-language-local-name="bosnisk" class="interlanguage-link-target"><span>Bosanski</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-br mw-list-item"><a href="https://br.wikipedia.org/wiki/Entropiezh" title="Entropiezh – bretonsk" lang="br" hreflang="br" data-title="Entropiezh" data-language-autonym="Brezhoneg" data-language-local-name="bretonsk" class="interlanguage-link-target"><span>Brezhoneg</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ca mw-list-item"><a href="https://ca.wikipedia.org/wiki/Entropia" title="Entropia – katalansk" lang="ca" hreflang="ca" data-title="Entropia" data-language-autonym="Català" data-language-local-name="katalansk" class="interlanguage-link-target"><span>Català</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-cv mw-list-item"><a href="https://cv.wikipedia.org/wiki/%D0%AD%D0%BD%D1%82%D1%80%D0%BE%D0%BF%D0%B8" title="Энтропи – tsjuvasjisk" lang="cv" hreflang="cv" data-title="Энтропи" data-language-autonym="Чӑвашла" data-language-local-name="tsjuvasjisk" class="interlanguage-link-target"><span>Чӑвашла</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-cs mw-list-item"><a href="https://cs.wikipedia.org/wiki/Entropie" title="Entropie – tsjekkisk" lang="cs" hreflang="cs" data-title="Entropie" data-language-autonym="Čeština" data-language-local-name="tsjekkisk" class="interlanguage-link-target"><span>Čeština</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ary mw-list-item"><a href="https://ary.wikipedia.org/wiki/%D9%84%D9%88%D9%86%D8%B7%D8%B1%D9%88%D9%BE%D9%8A" title="لونطروپي – marokkansk-arabisk" lang="ary" hreflang="ary" data-title="لونطروپي" data-language-autonym="الدارجة" data-language-local-name="marokkansk-arabisk" class="interlanguage-link-target"><span>الدارجة</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-de mw-list-item"><a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Entropie" title="Entropie – tysk" lang="de" hreflang="de" data-title="Entropie" data-language-autonym="Deutsch" data-language-local-name="tysk" class="interlanguage-link-target"><span>Deutsch</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-et mw-list-item"><a href="https://et.wikipedia.org/wiki/Entroopia" title="Entroopia – estisk" lang="et" hreflang="et" data-title="Entroopia" data-language-autonym="Eesti" data-language-local-name="estisk" class="interlanguage-link-target"><span>Eesti</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-el mw-list-item"><a href="https://el.wikipedia.org/wiki/%CE%95%CE%BD%CF%84%CF%81%CE%BF%CF%80%CE%AF%CE%B1" title="Εντροπία – gresk" lang="el" hreflang="el" data-title="Εντροπία" data-language-autonym="Ελληνικά" data-language-local-name="gresk" class="interlanguage-link-target"><span>Ελληνικά</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-en mw-list-item"><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Entropy" title="Entropy – engelsk" lang="en" hreflang="en" data-title="Entropy" data-language-autonym="English" data-language-local-name="engelsk" class="interlanguage-link-target"><span>English</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-es mw-list-item"><a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Entrop%C3%ADa" title="Entropía – spansk" lang="es" hreflang="es" data-title="Entropía" data-language-autonym="Español" data-language-local-name="spansk" class="interlanguage-link-target"><span>Español</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-eo mw-list-item"><a href="https://eo.wikipedia.org/wiki/Entropio" title="Entropio – esperanto" lang="eo" hreflang="eo" data-title="Entropio" data-language-autonym="Esperanto" data-language-local-name="esperanto" class="interlanguage-link-target"><span>Esperanto</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-eu mw-list-item"><a href="https://eu.wikipedia.org/wiki/Entropia" title="Entropia – baskisk" lang="eu" hreflang="eu" data-title="Entropia" data-language-autonym="Euskara" data-language-local-name="baskisk" class="interlanguage-link-target"><span>Euskara</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fa mw-list-item"><a href="https://fa.wikipedia.org/wiki/%D8%A2%D9%86%D8%AA%D8%B1%D9%88%D9%BE%DB%8C" title="آنتروپی – persisk" lang="fa" hreflang="fa" data-title="آنتروپی" data-language-autonym="فارسی" data-language-local-name="persisk" class="interlanguage-link-target"><span>فارسی</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fr mw-list-item"><a href="https://fr.wikipedia.org/wiki/Entropie_(thermodynamique)" title="Entropie (thermodynamique) – fransk" lang="fr" hreflang="fr" data-title="Entropie (thermodynamique)" data-language-autonym="Français" data-language-local-name="fransk" class="interlanguage-link-target"><span>Français</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ga mw-list-item"><a href="https://ga.wikipedia.org/wiki/Eantr%C3%B3pacht" title="Eantrópacht – irsk" lang="ga" hreflang="ga" data-title="Eantrópacht" data-language-autonym="Gaeilge" data-language-local-name="irsk" class="interlanguage-link-target"><span>Gaeilge</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-gv mw-list-item"><a href="https://gv.wikipedia.org/wiki/Entroapaght" title="Entroapaght – mansk" lang="gv" hreflang="gv" data-title="Entroapaght" data-language-autonym="Gaelg" data-language-local-name="mansk" class="interlanguage-link-target"><span>Gaelg</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-gl mw-list-item"><a href="https://gl.wikipedia.org/wiki/Entrop%C3%ADa" title="Entropía – galisisk" lang="gl" hreflang="gl" data-title="Entropía" data-language-autonym="Galego" data-language-local-name="galisisk" class="interlanguage-link-target"><span>Galego</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ko mw-list-item"><a href="https://ko.wikipedia.org/wiki/%EC%97%94%ED%8A%B8%EB%A1%9C%ED%94%BC" title="엔트로피 – koreansk" lang="ko" hreflang="ko" data-title="엔트로피" data-language-autonym="한국어" data-language-local-name="koreansk" class="interlanguage-link-target"><span>한국어</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hy mw-list-item"><a href="https://hy.wikipedia.org/wiki/%D4%B7%D5%B6%D5%BF%D6%80%D5%B8%D5%BA%D5%AB%D5%A1" title="Էնտրոպիա – armensk" lang="hy" hreflang="hy" data-title="Էնտրոպիա" data-language-autonym="Հայերեն" data-language-local-name="armensk" class="interlanguage-link-target"><span>Հայերեն</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hi mw-list-item"><a href="https://hi.wikipedia.org/wiki/%E0%A4%8F%E0%A4%A8%E0%A5%8D%E0%A4%9F%E0%A5%8D%E0%A4%B0%E0%A5%89%E0%A4%AA%E0%A5%80" title="एन्ट्रॉपी – hindi" lang="hi" hreflang="hi" data-title="एन्ट्रॉपी" data-language-autonym="हिन्दी" data-language-local-name="hindi" class="interlanguage-link-target"><span>हिन्दी</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hr mw-list-item"><a href="https://hr.wikipedia.org/wiki/Entropija" title="Entropija – kroatisk" lang="hr" hreflang="hr" data-title="Entropija" data-language-autonym="Hrvatski" data-language-local-name="kroatisk" class="interlanguage-link-target"><span>Hrvatski</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-gor mw-list-item"><a href="https://gor.wikipedia.org/wiki/Entropy" title="Entropy – gorontalo" lang="gor" hreflang="gor" data-title="Entropy" data-language-autonym="Bahasa Hulontalo" data-language-local-name="gorontalo" class="interlanguage-link-target"><span>Bahasa Hulontalo</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-id mw-list-item"><a href="https://id.wikipedia.org/wiki/Entropi" title="Entropi – indonesisk" lang="id" hreflang="id" data-title="Entropi" data-language-autonym="Bahasa Indonesia" data-language-local-name="indonesisk" class="interlanguage-link-target"><span>Bahasa Indonesia</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ia mw-list-item"><a href="https://ia.wikipedia.org/wiki/Entropia" title="Entropia – interlingua" lang="ia" hreflang="ia" data-title="Entropia" data-language-autonym="Interlingua" data-language-local-name="interlingua" class="interlanguage-link-target"><span>Interlingua</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-it mw-list-item"><a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Entropia" title="Entropia – italiensk" lang="it" hreflang="it" data-title="Entropia" data-language-autonym="Italiano" data-language-local-name="italiensk" class="interlanguage-link-target"><span>Italiano</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-he mw-list-item"><a href="https://he.wikipedia.org/wiki/%D7%90%D7%A0%D7%98%D7%A8%D7%95%D7%A4%D7%99%D7%94" title="אנטרופיה – hebraisk" lang="he" hreflang="he" data-title="אנטרופיה" data-language-autonym="עברית" data-language-local-name="hebraisk" class="interlanguage-link-target"><span>עברית</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-kn mw-list-item"><a href="https://kn.wikipedia.org/wiki/%E0%B2%8E%E0%B2%82%E0%B2%9F%E0%B3%8D%E0%B2%B0%E0%B3%8B%E0%B2%AA%E0%B2%BF" title="ಎಂಟ್ರೋಪಿ – kannada" lang="kn" hreflang="kn" data-title="ಎಂಟ್ರೋಪಿ" data-language-autonym="ಕನ್ನಡ" data-language-local-name="kannada" class="interlanguage-link-target"><span>ಕನ್ನಡ</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ka mw-list-item"><a href="https://ka.wikipedia.org/wiki/%E1%83%97%E1%83%94%E1%83%A0%E1%83%9B%E1%83%9D%E1%83%93%E1%83%98%E1%83%9C%E1%83%90%E1%83%9B%E1%83%98%E1%83%99%E1%83%A3%E1%83%A0%E1%83%98_%E1%83%94%E1%83%9C%E1%83%A2%E1%83%A0%E1%83%9D%E1%83%9E%E1%83%98%E1%83%90" title="თერმოდინამიკური ენტროპია – georgisk" lang="ka" hreflang="ka" data-title="თერმოდინამიკური ენტროპია" data-language-autonym="ქართული" data-language-local-name="georgisk" class="interlanguage-link-target"><span>ქართული</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-kk mw-list-item"><a href="https://kk.wikipedia.org/wiki/%D0%AD%D0%BD%D1%82%D1%80%D0%BE%D0%BF%D0%B8%D1%8F" title="Энтропия – kasakhisk" lang="kk" hreflang="kk" data-title="Энтропия" data-language-autonym="Қазақша" data-language-local-name="kasakhisk" class="interlanguage-link-target"><span>Қазақша</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ht mw-list-item"><a href="https://ht.wikipedia.org/wiki/Antwopi" title="Antwopi – haitisk" lang="ht" hreflang="ht" data-title="Antwopi" data-language-autonym="Kreyòl ayisyen" data-language-local-name="haitisk" class="interlanguage-link-target"><span>Kreyòl ayisyen</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ku mw-list-item"><a href="https://ku.wikipedia.org/wiki/Entrop%C3%AE" title="Entropî – kurdisk" lang="ku" hreflang="ku" data-title="Entropî" data-language-autonym="Kurdî" data-language-local-name="kurdisk" class="interlanguage-link-target"><span>Kurdî</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ky mw-list-item"><a href="https://ky.wikipedia.org/wiki/%D0%AD%D0%BD%D1%82%D1%80%D0%BE%D0%BF%D0%B8%D1%8F" title="Энтропия – kirgisisk" lang="ky" hreflang="ky" data-title="Энтропия" data-language-autonym="Кыргызча" data-language-local-name="kirgisisk" class="interlanguage-link-target"><span>Кыргызча</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-la mw-list-item"><a href="https://la.wikipedia.org/wiki/Entropia" title="Entropia – latin" lang="la" hreflang="la" data-title="Entropia" data-language-autonym="Latina" data-language-local-name="latin" class="interlanguage-link-target"><span>Latina</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-lv mw-list-item"><a href="https://lv.wikipedia.org/wiki/Entropija" title="Entropija – latvisk" lang="lv" hreflang="lv" data-title="Entropija" data-language-autonym="Latviešu" data-language-local-name="latvisk" class="interlanguage-link-target"><span>Latviešu</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-lt mw-list-item"><a href="https://lt.wikipedia.org/wiki/Entropija" title="Entropija – litauisk" lang="lt" hreflang="lt" data-title="Entropija" data-language-autonym="Lietuvių" data-language-local-name="litauisk" class="interlanguage-link-target"><span>Lietuvių</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-lmo mw-list-item"><a href="https://lmo.wikipedia.org/wiki/Entrupia" title="Entrupia – lombardisk" lang="lmo" hreflang="lmo" data-title="Entrupia" data-language-autonym="Lombard" data-language-local-name="lombardisk" class="interlanguage-link-target"><span>Lombard</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hu mw-list-item"><a href="https://hu.wikipedia.org/wiki/Entr%C3%B3pia" title="Entrópia – ungarsk" lang="hu" hreflang="hu" data-title="Entrópia" data-language-autonym="Magyar" data-language-local-name="ungarsk" class="interlanguage-link-target"><span>Magyar</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-mk mw-list-item"><a href="https://mk.wikipedia.org/wiki/%D0%95%D0%BD%D1%82%D1%80%D0%BE%D0%BF%D0%B8%D1%98%D0%B0" title="Ентропија – makedonsk" lang="mk" hreflang="mk" data-title="Ентропија" data-language-autonym="Македонски" data-language-local-name="makedonsk" class="interlanguage-link-target"><span>Македонски</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ml mw-list-item"><a href="https://ml.wikipedia.org/wiki/%E0%B4%89%E0%B4%A4%E0%B5%8D%E0%B4%95%E0%B5%8D%E0%B4%B0%E0%B4%AE%E0%B4%82" title="ഉത്ക്രമം – malayalam" lang="ml" hreflang="ml" data-title="ഉത്ക്രമം" data-language-autonym="മലയാളം" data-language-local-name="malayalam" class="interlanguage-link-target"><span>മലയാളം</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-mn mw-list-item"><a href="https://mn.wikipedia.org/wiki/%D0%AD%D0%BD%D1%82%D1%80%D0%BE%D0%BF%D0%B8" title="Энтропи – mongolsk" lang="mn" hreflang="mn" data-title="Энтропи" data-language-autonym="Монгол" data-language-local-name="mongolsk" class="interlanguage-link-target"><span>Монгол</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-my mw-list-item"><a href="https://my.wikipedia.org/wiki/%E1%80%A1%E1%80%84%E1%80%BA%E1%80%91%E1%80%9B%E1%80%AD%E1%80%AF%E1%80%95%E1%80%AE" title="အင်ထရိုပီ – burmesisk" lang="my" hreflang="my" data-title="အင်ထရိုပီ" data-language-autonym="မြန်မာဘာသာ" data-language-local-name="burmesisk" class="interlanguage-link-target"><span>မြန်မာဘာသာ</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-nl mw-list-item"><a href="https://nl.wikipedia.org/wiki/Entropie" title="Entropie – nederlandsk" lang="nl" hreflang="nl" data-title="Entropie" data-language-autonym="Nederlands" data-language-local-name="nederlandsk" class="interlanguage-link-target"><span>Nederlands</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ja mw-list-item"><a href="https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A8%E3%83%B3%E3%83%88%E3%83%AD%E3%83%94%E3%83%BC" title="エントロピー – japansk" lang="ja" hreflang="ja" data-title="エントロピー" data-language-autonym="日本語" data-language-local-name="japansk" class="interlanguage-link-target"><span>日本語</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-oc mw-list-item"><a href="https://oc.wikipedia.org/wiki/Entropia_(termodinamica)" title="Entropia (termodinamica) – oksitansk" lang="oc" hreflang="oc" data-title="Entropia (termodinamica)" data-language-autonym="Occitan" data-language-local-name="oksitansk" class="interlanguage-link-target"><span>Occitan</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-om mw-list-item"><a href="https://om.wikipedia.org/wiki/Intiroopii" title="Intiroopii – oromo" lang="om" hreflang="om" data-title="Intiroopii" data-language-autonym="Oromoo" data-language-local-name="oromo" class="interlanguage-link-target"><span>Oromoo</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-uz mw-list-item"><a href="https://uz.wikipedia.org/wiki/Entropiya" title="Entropiya – usbekisk" lang="uz" hreflang="uz" data-title="Entropiya" data-language-autonym="Oʻzbekcha / ўзбекча" data-language-local-name="usbekisk" class="interlanguage-link-target"><span>Oʻzbekcha / ўзбекча</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pa mw-list-item"><a href="https://pa.wikipedia.org/wiki/%E0%A8%90%E0%A8%A8%E0%A8%9F%E0%A9%8D%E0%A8%B0%E0%A8%BE%E0%A8%AA%E0%A9%80" title="ਐਨਟ੍ਰਾਪੀ – panjabi" lang="pa" hreflang="pa" data-title="ਐਨਟ੍ਰਾਪੀ" data-language-autonym="ਪੰਜਾਬੀ" data-language-local-name="panjabi" class="interlanguage-link-target"><span>ਪੰਜਾਬੀ</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ps mw-list-item"><a href="https://ps.wikipedia.org/wiki/%D8%A7%DB%90%D9%86%D9%BC%D8%B1%D9%88%D9%BE%D9%8A" title="اېنټروپي – pashto" lang="ps" hreflang="ps" data-title="اېنټروپي" data-language-autonym="پښتو" data-language-local-name="pashto" class="interlanguage-link-target"><span>پښتو</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pl mw-list-item"><a href="https://pl.wikipedia.org/wiki/Entropia" title="Entropia – polsk" lang="pl" hreflang="pl" data-title="Entropia" data-language-autonym="Polski" data-language-local-name="polsk" class="interlanguage-link-target"><span>Polski</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pt mw-list-item"><a href="https://pt.wikipedia.org/wiki/Entropia" title="Entropia – portugisisk" lang="pt" hreflang="pt" data-title="Entropia" data-language-autonym="Português" data-language-local-name="portugisisk" class="interlanguage-link-target"><span>Português</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ro mw-list-item"><a href="https://ro.wikipedia.org/wiki/Entropie" title="Entropie – rumensk" lang="ro" hreflang="ro" data-title="Entropie" data-language-autonym="Română" data-language-local-name="rumensk" class="interlanguage-link-target"><span>Română</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ru mw-list-item"><a href="https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%AD%D0%BD%D1%82%D1%80%D0%BE%D0%BF%D0%B8%D1%8F" title="Энтропия – russisk" lang="ru" hreflang="ru" data-title="Энтропия" data-language-autonym="Русский" data-language-local-name="russisk" class="interlanguage-link-target"><span>Русский</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sc mw-list-item"><a href="https://sc.wikipedia.org/wiki/Entropia" title="Entropia – sardisk" lang="sc" hreflang="sc" data-title="Entropia" data-language-autonym="Sardu" data-language-local-name="sardisk" class="interlanguage-link-target"><span>Sardu</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sq mw-list-item"><a href="https://sq.wikipedia.org/wiki/Entropia" title="Entropia – albansk" lang="sq" hreflang="sq" data-title="Entropia" data-language-autonym="Shqip" data-language-local-name="albansk" class="interlanguage-link-target"><span>Shqip</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-scn mw-list-item"><a href="https://scn.wikipedia.org/wiki/Intrup%C3%ACa" title="Intrupìa – siciliansk" lang="scn" hreflang="scn" data-title="Intrupìa" data-language-autonym="Sicilianu" data-language-local-name="siciliansk" class="interlanguage-link-target"><span>Sicilianu</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-simple mw-list-item"><a href="https://simple.wikipedia.org/wiki/Entropy" title="Entropy – enkel engelsk" lang="en-simple" hreflang="en-simple" data-title="Entropy" data-language-autonym="Simple English" data-language-local-name="enkel engelsk" class="interlanguage-link-target"><span>Simple English</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sk mw-list-item"><a href="https://sk.wikipedia.org/wiki/Entropia" title="Entropia – slovakisk" lang="sk" hreflang="sk" data-title="Entropia" data-language-autonym="Slovenčina" data-language-local-name="slovakisk" class="interlanguage-link-target"><span>Slovenčina</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sl mw-list-item"><a href="https://sl.wikipedia.org/wiki/Entropija_(klasi%C4%8Dna_termodinamika)" title="Entropija (klasična termodinamika) – slovensk" lang="sl" hreflang="sl" data-title="Entropija (klasična termodinamika)" data-language-autonym="Slovenščina" data-language-local-name="slovensk" class="interlanguage-link-target"><span>Slovenščina</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ckb mw-list-item"><a href="https://ckb.wikipedia.org/wiki/%D8%A6%DB%8E%D9%86%D8%AA%D8%B1%DB%86%D9%BE%DB%8C" title="ئێنترۆپی – sentralkurdisk" lang="ckb" hreflang="ckb" data-title="ئێنترۆپی" data-language-autonym="کوردی" data-language-local-name="sentralkurdisk" class="interlanguage-link-target"><span>کوردی</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sr mw-list-item"><a href="https://sr.wikipedia.org/wiki/%D0%95%D0%BD%D1%82%D1%80%D0%BE%D0%BF%D0%B8%D1%98%D0%B0" title="Ентропија – serbisk" lang="sr" hreflang="sr" data-title="Ентропија" data-language-autonym="Српски / srpski" data-language-local-name="serbisk" class="interlanguage-link-target"><span>Српски / srpski</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sh mw-list-item"><a href="https://sh.wikipedia.org/wiki/Entropija" title="Entropija – serbokroatisk" lang="sh" hreflang="sh" data-title="Entropija" data-language-autonym="Srpskohrvatski / српскохрватски" data-language-local-name="serbokroatisk" class="interlanguage-link-target"><span>Srpskohrvatski / српскохрватски</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fi mw-list-item"><a href="https://fi.wikipedia.org/wiki/Entropia" title="Entropia – finsk" lang="fi" hreflang="fi" data-title="Entropia" data-language-autonym="Suomi" data-language-local-name="finsk" class="interlanguage-link-target"><span>Suomi</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ta mw-list-item"><a href="https://ta.wikipedia.org/wiki/%E0%AE%9A%E0%AE%BF%E0%AE%A4%E0%AE%B1%E0%AE%AE%E0%AF%8D" title="சிதறம் – tamil" lang="ta" hreflang="ta" data-title="சிதறம்" data-language-autonym="தமிழ்" data-language-local-name="tamil" class="interlanguage-link-target"><span>தமிழ்</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-te mw-list-item"><a href="https://te.wikipedia.org/wiki/%E0%B0%8E%E0%B0%82%E0%B0%9F%E0%B1%8D%E0%B0%B0%E0%B1%8B%E0%B0%AA%E0%B0%BF" title="ఎంట్రోపి – telugu" lang="te" hreflang="te" data-title="ఎంట్రోపి" data-language-autonym="తెలుగు" data-language-local-name="telugu" class="interlanguage-link-target"><span>తెలుగు</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-th mw-list-item"><a href="https://th.wikipedia.org/wiki/%E0%B9%80%E0%B8%AD%E0%B8%99%E0%B9%82%E0%B8%97%E0%B8%A3%E0%B8%9B%E0%B8%B5" title="เอนโทรปี – thai" lang="th" hreflang="th" data-title="เอนโทรปี" data-language-autonym="ไทย" data-language-local-name="thai" class="interlanguage-link-target"><span>ไทย</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-tr mw-list-item"><a href="https://tr.wikipedia.org/wiki/Entropi" title="Entropi – tyrkisk" lang="tr" hreflang="tr" data-title="Entropi" data-language-autonym="Türkçe" data-language-local-name="tyrkisk" class="interlanguage-link-target"><span>Türkçe</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-uk mw-list-item"><a href="https://uk.wikipedia.org/wiki/%D0%95%D0%BD%D1%82%D1%80%D0%BE%D0%BF%D1%96%D1%8F" title="Ентропія – ukrainsk" lang="uk" hreflang="uk" data-title="Ентропія" data-language-autonym="Українська" data-language-local-name="ukrainsk" class="interlanguage-link-target"><span>Українська</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ur mw-list-item"><a href="https://ur.wikipedia.org/wiki/%D8%A7%D9%86%D9%B9%D8%B1%D9%88%D9%BE%DB%8C" title="انٹروپی – urdu" lang="ur" hreflang="ur" data-title="انٹروپی" data-language-autonym="اردو" data-language-local-name="urdu" class="interlanguage-link-target"><span>اردو</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-vi mw-list-item"><a href="https://vi.wikipedia.org/wiki/Entropy" title="Entropy – vietnamesisk" lang="vi" hreflang="vi" data-title="Entropy" data-language-autonym="Tiếng Việt" data-language-local-name="vietnamesisk" class="interlanguage-link-target"><span>Tiếng Việt</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zh-classical mw-list-item"><a href="https://zh-classical.wikipedia.org/wiki/%E7%86%B5" title="熵 – klassisk kinesisk" lang="lzh" hreflang="lzh" data-title="熵" data-language-autonym="文言" data-language-local-name="klassisk kinesisk" class="interlanguage-link-target"><span>文言</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-wuu mw-list-item"><a href="https://wuu.wikipedia.org/wiki/%E7%86%B5" title="熵 – wu" lang="wuu" hreflang="wuu" data-title="熵" data-language-autonym="吴语" data-language-local-name="wu" class="interlanguage-link-target"><span>吴语</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-yi mw-list-item"><a href="https://yi.wikipedia.org/wiki/%D7%A2%D7%A0%D7%98%D7%A8%D7%90%D7%A4%D7%99%D7%A2" title="ענטראפיע – jiddisk" lang="yi" hreflang="yi" data-title="ענטראפיע" data-language-autonym="ייִדיש" data-language-local-name="jiddisk" class="interlanguage-link-target"><span>ייִדיש</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zh-yue mw-list-item"><a href="https://zh-yue.wikipedia.org/wiki/%E7%86%B5" title="熵 – kantonesisk" lang="yue" hreflang="yue" data-title="熵" data-language-autonym="粵語" data-language-local-name="kantonesisk" class="interlanguage-link-target"><span>粵語</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zh mw-list-item"><a href="https://zh.wikipedia.org/wiki/%E7%86%B5" title="熵 – kinesisk" lang="zh" hreflang="zh" data-title="熵" data-language-autonym="中文" data-language-local-name="kinesisk" class="interlanguage-link-target"><span>中文</span></a></li> </ul> <div class="after-portlet after-portlet-lang"><span class="wb-langlinks-edit wb-langlinks-link"><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Special:EntityPage/Q45003#sitelinks-wikipedia" title="Rediger lenker til artikkelen på andre språk" class="wbc-editpage">Rediger lenker</a></span></div> </div> </div> </div> </header> <div class="vector-page-toolbar"> <div class="vector-page-toolbar-container"> <div id="left-navigation"> <nav aria-label="Navnerom"> <div id="p-associated-pages" class="vector-menu vector-menu-tabs mw-portlet mw-portlet-associated-pages" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="ca-nstab-main" class="selected vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/wiki/Entropi" title="Vis innholdssiden [c]" accesskey="c"><span>Artikkel</span></a></li><li id="ca-talk" class="vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/wiki/Diskusjon:Entropi" rel="discussion" title="Diskusjon om innholdssiden [t]" accesskey="t"><span>Diskusjon</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="vector-variants-dropdown" class="vector-dropdown emptyPortlet" > <input type="checkbox" id="vector-variants-dropdown-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-variants-dropdown" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Bytt språkvariant" > <label id="vector-variants-dropdown-label" for="vector-variants-dropdown-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet" aria-hidden="true" ><span class="vector-dropdown-label-text">norsk bokmål</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="p-variants" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-variants emptyPortlet" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> </ul> </div> </div> </div> </div> </nav> </div> <div id="right-navigation" class="vector-collapsible"> <nav aria-label="Visninger"> <div id="p-views" class="vector-menu vector-menu-tabs mw-portlet mw-portlet-views" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="ca-view" class="selected vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/wiki/Entropi"><span>Les</span></a></li><li id="ca-ve-edit" class="vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Entropi&veaction=edit" title="Rediger siden [v]" accesskey="v"><span>Rediger</span></a></li><li id="ca-edit" class="collapsible vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Entropi&action=edit" title="Rediger kildekoden for denne siden [e]" accesskey="e"><span>Rediger kilde</span></a></li><li id="ca-history" class="vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Entropi&action=history" title="Tidligere sideversjoner av denne siden [h]" accesskey="h"><span>Vis historikk</span></a></li> </ul> </div> </div> </nav> <nav class="vector-page-tools-landmark" aria-label="Sideverktøy"> <div id="vector-page-tools-dropdown" class="vector-dropdown vector-page-tools-dropdown" > <input type="checkbox" id="vector-page-tools-dropdown-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-page-tools-dropdown" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Verktøy" > <label id="vector-page-tools-dropdown-label" for="vector-page-tools-dropdown-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet" aria-hidden="true" ><span class="vector-dropdown-label-text">Verktøy</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="vector-page-tools-unpinned-container" class="vector-unpinned-container"> <div id="vector-page-tools" class="vector-page-tools vector-pinnable-element"> <div class="vector-pinnable-header vector-page-tools-pinnable-header vector-pinnable-header-unpinned" data-feature-name="page-tools-pinned" data-pinnable-element-id="vector-page-tools" data-pinned-container-id="vector-page-tools-pinned-container" data-unpinned-container-id="vector-page-tools-unpinned-container" > <div class="vector-pinnable-header-label">Verktøy</div> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-pin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-page-tools.pin">flytt til sidefeltet</button> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-unpin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-page-tools.unpin">skjul</button> </div> <div id="p-cactions" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-cactions emptyPortlet vector-has-collapsible-items" title="Flere alternativer" > <div class="vector-menu-heading"> Handlinger </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="ca-more-view" class="selected vector-more-collapsible-item mw-list-item"><a href="/wiki/Entropi"><span>Les</span></a></li><li id="ca-more-ve-edit" class="vector-more-collapsible-item mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Entropi&veaction=edit" title="Rediger siden [v]" accesskey="v"><span>Rediger</span></a></li><li id="ca-more-edit" class="collapsible vector-more-collapsible-item mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Entropi&action=edit" title="Rediger kildekoden for denne siden [e]" accesskey="e"><span>Rediger kilde</span></a></li><li id="ca-more-history" class="vector-more-collapsible-item mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Entropi&action=history"><span>Vis historikk</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="p-tb" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-tb" > <div class="vector-menu-heading"> Generelt </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="t-whatlinkshere" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Spesial:Lenker_hit/Entropi" title="Liste over alle wikisider som lenker hit [j]" accesskey="j"><span>Lenker hit</span></a></li><li id="t-recentchangeslinked" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Spesial:Relaterte_endringer/Entropi" rel="nofollow" title="Siste endringer i sider som blir lenket fra denne siden [k]" accesskey="k"><span>Relaterte endringer</span></a></li><li id="t-upload" class="mw-list-item"><a href="//commons.wikimedia.org/wiki/Special:UploadWizard?uselang=no" title="Last opp filer [u]" accesskey="u"><span>Last opp fil</span></a></li><li id="t-specialpages" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Spesial:Spesialsider" title="Liste over alle spesialsider [q]" accesskey="q"><span>Spesialsider</span></a></li><li id="t-permalink" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Entropi&oldid=24692451" title="Permanent lenke til denne versjonen av siden"><span>Permanent lenke</span></a></li><li id="t-info" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Entropi&action=info" title="Mer informasjon om denne siden"><span>Sideinformasjon</span></a></li><li id="t-cite" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Spesial:Siteringshjelp&page=Entropi&id=24692451&wpFormIdentifier=titleform" title="Informasjon om hvordan denne siden kan siteres"><span>Siter denne siden</span></a></li><li id="t-urlshortener" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Spesial:UrlShortener&url=https%3A%2F%2Fno.wikipedia.org%2Fwiki%2FEntropi"><span>Hent forkortet URL</span></a></li><li id="t-urlshortener-qrcode" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Spesial:QrCode&url=https%3A%2F%2Fno.wikipedia.org%2Fwiki%2FEntropi"><span>Last ned QR-kode</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="p-coll-print_export" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-coll-print_export" > <div class="vector-menu-heading"> Skriv ut / eksporter </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="coll-download-as-rl" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Spesial:DownloadAsPdf&page=Entropi&action=show-download-screen"><span>Last ned som PDF</span></a></li><li id="t-print" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Entropi&printable=yes" title="Utskriftsvennlig versjon av denne siden [p]" accesskey="p"><span>Utskriftsvennlig versjon</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="p-wikibase-otherprojects" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-wikibase-otherprojects" > <div class="vector-menu-heading"> På andre prosjekter </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li class="wb-otherproject-link wb-otherproject-commons mw-list-item"><a href="https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Entropy" hreflang="en"><span>Wikimedia Commons</span></a></li><li id="t-wikibase" class="wb-otherproject-link wb-otherproject-wikibase-dataitem mw-list-item"><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Special:EntityPage/Q45003" title="Lenke til koblet dataregisterelement [g]" accesskey="g"><span>Wikidata-element</span></a></li> </ul> </div> </div> </div> </div> </div> </div> </nav> </div> </div> </div> <div class="vector-column-end"> <div class="vector-sticky-pinned-container"> <nav class="vector-page-tools-landmark" aria-label="Sideverktøy"> <div id="vector-page-tools-pinned-container" class="vector-pinned-container"> </div> </nav> <nav class="vector-appearance-landmark" aria-label="Utseende"> <div id="vector-appearance-pinned-container" class="vector-pinned-container"> <div id="vector-appearance" class="vector-appearance vector-pinnable-element"> <div class="vector-pinnable-header vector-appearance-pinnable-header vector-pinnable-header-pinned" data-feature-name="appearance-pinned" data-pinnable-element-id="vector-appearance" data-pinned-container-id="vector-appearance-pinned-container" data-unpinned-container-id="vector-appearance-unpinned-container" > <div class="vector-pinnable-header-label">Utseende</div> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-pin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-appearance.pin">flytt til sidefeltet</button> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-unpin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-appearance.unpin">skjul</button> </div> </div> </div> </nav> </div> </div> <div id="bodyContent" class="vector-body" aria-labelledby="firstHeading" data-mw-ve-target-container> <div class="vector-body-before-content"> <div class="mw-indicators"> </div> <div id="siteSub" class="noprint">Fra Wikipedia, den frie encyklopedi</div> </div> <div id="contentSub"><div id="mw-content-subtitle"></div></div> <div id="mw-content-text" class="mw-body-content"><div class="mw-content-ltr mw-parser-output" lang="nb" dir="ltr"><figure class="mw-default-size" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Fil:Ice_water.jpg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/0c/Ice_water.jpg/250px-Ice_water.jpg" decoding="async" width="250" height="333" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/0c/Ice_water.jpg/375px-Ice_water.jpg 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/0c/Ice_water.jpg/500px-Ice_water.jpg 2x" data-file-width="768" data-file-height="1024" /></a><figcaption>Når is smelter i et glass vann i et varmt rom, øker entropien. Dette eksemplet ble for første gang benyttet av <a href="/wiki/Clausius" class="mw-redirect" title="Clausius">Clausius</a> i 1862.</figcaption></figure> <p><b>Entropi</b> ble definert av den tyske fysiker <a href="/wiki/Rudolf_Clausius" title="Rudolf Clausius">Rudolf Clausius</a> i 1864 for å beskrive kvantitativt hvordan varme kan omgjøres til nyttig arbeid. Navnet han ga denne størrelsen, lagde han ut fra gammelgresk ἐν (med, evne til) og τροπή (forandring) på samme måte som at ordet <a href="/wiki/Energi" title="Energi">energi</a> fra ἐν-ἔργον har med evne til å utføre arbeid. Dette begrepet gikk inn i hans "mekaniske varmeteori" som i dag bærer navnet <a href="/wiki/Termodynamikk" title="Termodynamikk">termodynamikk</a> hvor det spiller en fundamental rolle. Entropi er et ekstensivt, <a href="/wiki/Termodynamikk" title="Termodynamikk">termodynamisk potensial</a> som antar en bestemt verdi for hver likevektstilstand systemet befinner seg i. Den kan derfor også betraktes som en tilstandsvariabel selv om den ikke kan bli direkte målt i laboratoriet slik man kan med trykk og temperatur. </p><p>I denne sammenheng formulerte Clausius <a href="/wiki/Termodynamikkens_andre_hovedsetning" title="Termodynamikkens andre hovedsetning">termodynamikkens andre hovedsetning</a> som sier at <b>i et isolert system kan entropien aldri avta</b>. Den kan bare forbli konstant eller øke. I det første tilfellet sier man da at systemet er i <a href="/wiki/Termisk_likevekt" class="mw-redirect" title="Termisk likevekt">termisk likevekt</a>. Hva dette skyldes, var ikke klart for Clausius, men han mente at det kunne ha noe å gjøre med mekaniske omstillinger av de indre bestanddelene man mente materien bestod av uten at man på den tiden hadde noen <a href="/wiki/Atom" title="Atom">atomteori</a>. </p><p>Det var først <a href="/wiki/Boltzmann" title="Boltzmann">Boltzmann</a> noen få år senere som ga en forklaring av fysikken som gir opphav til entropi, nettopp basert på en atomistisk beskrivelse av materien i systemet. Han viste at jo større uorden man har i systemet, desto større er dets entropi. Derfor henger entropiens økning direkte sammen med tendensen man ser i naturen til at mange prosesser bare går én vei. En isbit i et glass vann smelter ved at molekylene i isen overføres til vannet. Man ser aldri den omvendte prosessen at noen vannmolekyler spontant samler seg sammen til et stykke is. Ved smeltingen skapes det mer uorden mellom vannmolekylene som tidligere var delvis samlet i isbiten. Entropi kan derfor tilskrives en samling av et stort antall partikler. Man kan rent praktisk ikke lenger følge hver partikkel i dens bevegelse, men må nøye seg med en statistisk beskrivelse av alle partiklene. Det var i disse undersøkelsene at <a href="/wiki/Boltzmann" title="Boltzmann">Boltzmann</a> la grunnlaget for moderne, <a href="/wiki/Statistisk_mekanikk" class="mw-redirect" title="Statistisk mekanikk">statistisk mekanikk</a> som ble videreutviklet av <a href="/wiki/Josiah_Willard_Gibbs" title="Josiah Willard Gibbs">Josiah Willard Gibbs</a>. Først med den senere innføring av <a href="/wiki/Kvantemekanikk" title="Kvantemekanikk">kvantemekanikken</a> kan man si at entropi endelig ble fullt forstått. </p> <meta property="mw:PageProp/toc" /> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Anvendelser_i_dag">Anvendelser i dag</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Entropi&veaction=edit&section=1" title="Rediger avsnitt: Anvendelser i dag" class="mw-editsection-visualeditor"><span>rediger</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Entropi&action=edit&section=1" title="Rediger kildekoden til seksjonen Anvendelser i dag"><span>rediger kilde</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Begrepet ble opprinnelig innført for å bedre forståelsen av omsetning av energi, og spesielt for bruk av varmeenergi i dampmaskiner til å utføre arbeid, men i tillegg til dette rent praktiske aspektet, har entropibegrepet fått en utbredelse langt utover slike praktiske anvendelser. Dette skyldes i stor grad de statistiske ideene fra Boltzmann og at termodynamikken er så generell at den også kommer til anvendelse i systemer som må beskrives kvantemekanisk. Dette ble spesielt klart etter at <a href="/wiki/Max_Planck" title="Max Planck">Planck</a> utviklet sin teori for <a href="/wiki/Varmestr%C3%A5ling" title="Varmestråling">varmestrålingen</a> som i utgangspunktet var basert på rene entropibetraktninger. I kjemi ble entropi av stor betydning for å forstå forskjellige, kjemiske reaksjoner og likevekter. Fra begynnelsen av var entropi en sentral størrelse innen <a href="/wiki/Statistisk_fysikk" title="Statistisk fysikk">statistisk fysikk</a> og dens beskrivelse av materien omkring oss i alle faser. I dag benyttes begrepet i <a href="/wiki/Astrofysikk" title="Astrofysikk">astrofysikk</a> og utforskningen av stjerner og deres kollaps. I nyere tid har <a href="/wiki/Stephen_Hawking" title="Stephen Hawking">Stephen Hawking</a> vist at også <a href="/wiki/Sorte_hull" class="mw-redirect" title="Sorte hull">sorte hull</a> kan tilordnes en entropi og derfor også en temperatur. Hele <a href="/wiki/Universet" title="Universet">Universet</a> kan betraktes som et isolert system med jevnt økende entropi og spiller dermed også en sentral rolle i moderne <a href="/wiki/Kosmologi" title="Kosmologi">kosmologi</a>. </p><p>Entropi i dag benyttes innen tre områder; termodynamikk, statistisk mekanikk og informasjonsteori. I termodynamikken betyr entropi fordeling og likevekt over tid inntil ulikhetene er utjevnet. For eksempel vil et livløst objekt som er varmere eller kaldere enn omgivelsene etter hvert miste eller absorbere varme helt til objekt og omgivelser har samme temperatur, eller en saltløsning som tømmes i en beholder med ferskvann vil fordele seg i vannet inntil konsentrasjonen er den samme overalt. </p><p>I statistisk mekanikk handler det om <a href="/wiki/Sannsynlighet" title="Sannsynlighet">sannsynlighet</a> i forhold til antall mulige utfall. En mynt som knipses har to mulige utfall; mynt eller krone, og dermed 50% sjanse for å ende opp som det ene eller andre. Gjøres dette et fåtall ganger er det mulig å oppnå samme resultat hver gang. Men sannsynligheten blir mindre desto oftere det knipses. Jo flere forsøk, jo mer vil summen av resultatene nærme seg den statistiske sannsynligheten og dermed den maksimale entropi. Samme tendens gjelder om en terning kastes tilstrekkelig mange ganger, bare at fordelingen her er 1/6 i stedet for 1/2. Blant de minste bestanddelene innen kjemi (atomer og molekyler) vil antallet i en væske være så høyt at maks entropi så å si er oppnådd, og det oppstår lovmessighet; sannsynligheten for at summen av alle atomenes og molekylenes mulige utfall på noe som helst tidspunkt skal avvike fra det forventede er så mikroskopisk at den i praksis ligger på null. </p><p>I informasjonsteori er entropi det samme som uforutsigbarhet. En linje bestående av repetisjon av et eneste tegn etter hverandre vil være fullstendig forutsigbart, og entropi er dermed fraværende. En tekst som består av kjente ord og overholder de grammatiske regler vil være mer uforutsigbart, og med det mer entropisk, selv om det i stor grad er mulig å gjette seg til hvilket tegn som er det neste ut ifra informasjonen man har tilegnet seg fra de foregående ordene og setningene. Inneholder teksten skrivefeil og brudd på grammatikkreglene øker entropien mens forutsigbarheten minker, og sannsynligheten for tap av informasjon øker i takt med antall feil. En linje satt tilfeldig sammen av en samling helt tilfeldige tegn har ingen informasjon å vise til, forutsigbarheten er null og entropien maksimal.<sup id="cite_ref-1" class="reference"><a href="#cite_note-1"><span class="cite-bracket">[</span>1<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Clausius_og_termodynamikk">Clausius og termodynamikk</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Entropi&veaction=edit&section=2" title="Rediger avsnitt: Clausius og termodynamikk" class="mw-editsection-visualeditor"><span>rediger</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Entropi&action=edit&section=2" title="Rediger kildekoden til seksjonen Clausius og termodynamikk"><span>rediger kilde</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p><a href="/wiki/Termodynamikkens_andre_hovedsetning" title="Termodynamikkens andre hovedsetning">Termodynamikkens andre hovedsetning</a> om hvordan entropien <i>S </i> for et system forandres i en prosess, ble formulert matematisk av <a href="/wiki/Rudolf_Clausius" title="Rudolf Clausius">Rudolf Clausius</a>. Den kan skrives som <a href="/wiki/Ulikhet_(matematikk)" title="Ulikhet (matematikk)">ulikheten</a> </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Delta S\geq {\Delta Q/T}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">Δ</mi> <mi>S</mi> <mo>≥</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">Δ</mi> <mi>Q</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <mi>T</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Delta S\geq {\Delta Q/T}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5397f8a993f3b5cd1479a56db34a3b8bb6e737d3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:13.106ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \Delta S\geq {\Delta Q/T}}"></span></dd></dl> <p>som bærer hans navn. Her er <i>ΔQ </i> en liten varmemengde om overføres til systemet fra omgivelsene med <a href="/wiki/Absolutt_temperatur" class="mw-redirect" title="Absolutt temperatur">absolutt temperatur</a> <i>T</i>. Den gir en økning <i>ΔS </i> i entropien til systemet. Måleenheten for entropi i <a href="/wiki/SI-enheter" class="mw-redirect" title="SI-enheter">SI-enheter</a> er derfor J/K. </p><p>I nesten alle sammenhenger snakker man som her om et <i>system</i> og dets <i>omgivelser</i> som er i termisk kontakt, det vil si de kan utveksle varme med hverandre. Til sammen definerer disse to kategoriene et <i>univers</i>. Kun når et system er termisk isolert fra omgivelsene, kan vi betrakte det alene for seg selv. Da vil per definisjon <i>ΔQ</i> = 0 og systemets entropi vil alltid øke eller forbli konstant, <i>ΔS</i> ≥ 0. Dette vil da også gjelde for vårt eget, fysiske univers.<sup id="cite_ref-Müller_2-0" class="reference"><a href="#cite_note-Müller-2"><span class="cite-bracket">[</span>2<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> </p><p>Beregning av entropi er mulig fra Clausius' ulikhet i grensen hvor den varmemengden <i>ΔQ</i> er så liten og blir så forsiktig tilført til systemet at det hele tiden er i likevekt og med samme temperatur. Man sier da at varmen er tilført <i>reversibelt</i>. I denne grensen er </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Delta S={\Delta Q_{rev}/T}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">Δ</mi> <mi>S</mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">Δ</mi> <msub> <mi>Q</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>r</mi> <mi>e</mi> <mi>v</mi> </mrow> </msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <mi>T</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Delta S={\Delta Q_{rev}/T}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d1e3267d7c120a77f67fca3f01c7d832f5085f3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:15.644ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \Delta S={\Delta Q_{rev}/T}}"></span></dd></dl> <p>For å gjennomføre beregningen behøver man i tillegg en <a href="/wiki/Tilstandsligning" title="Tilstandsligning">tilstandsligning</a> for systemet samt at <a href="/wiki/Termodynamikkens_f%C3%B8rste_hovedsetning" title="Termodynamikkens første hovedsetning">termodynamikkens første hovedsetning</a> må oppfylles. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Smelting_av_is">Smelting av is</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Entropi&veaction=edit&section=3" title="Rediger avsnitt: Smelting av is" class="mw-editsection-visualeditor"><span>rediger</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Entropi&action=edit&section=3" title="Rediger kildekoden til seksjonen Smelting av is"><span>rediger kilde</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Et klassisk eksempel på økende entropi i et lite <i>univers</i> er is som smelter i et glass vann. Her er systemet glasset med is og vann i termisk likevekt ved konstante temperatur 0 °C (273 K). <i>Omgivelsene</i> antar vi er rommet omkring med temperatur 20 °C (293 K). I dette universet vil litt varmeenergi <i>ΔQ</i> strømme fra de varme omgivelsene inn i glasset som forblir ved 0 °C så lenge det er is igjen i det. Dette er smeltetemperaturen for is og <i>ΔQ</i> er gitt ved <a href="/wiki/Smeltevarme" title="Smeltevarme">smeltevarmen</a> <i>ΔH</i> <sub>is</sub> = 334 J/g. Dermed vil entropien til systemet øke med <i>ΔQ</i> /273, mens omgivelsene taper entropien <i>ΔQ</i> /293. Netto-økningen av entropien i dette lille universet er dermed </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Delta S=\Delta Q\left({1 \over 273}-{1 \over 293}\right)>0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">Δ</mi> <mi>S</mi> <mo>=</mo> <mi mathvariant="normal">Δ</mi> <mi>Q</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>273</mn> </mfrac> </mrow> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>293</mn> </mfrac> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>></mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Delta S=\Delta Q\left({1 \over 273}-{1 \over 293}\right)>0}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e1b8eead9d55c648ee8487f77c51006a190c5fd" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:29.864ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle \Delta S=\Delta Q\left({1 \over 273}-{1 \over 293}\right)>0}"></span></dd></dl> <p>Sålenge smeltingen foregår, forandres ikke temperaturen til systemet. Derimot vil temperaturen til omgivelsen avta bitte litt, men kan likevel helt neglisjeres da omgivelsene nesten alltid kan betraktes å være svært store.<sup id="cite_ref-Rock_3-0" class="reference"><a href="#cite_note-Rock-3"><span class="cite-bracket">[</span>3<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> </p><p>Etter at smeltingen er over, øker temperaturen i systemet langsomt til vannet i glasset har fått samme temperatur som omgivelsene. Ser vi bort fra volumforandringer under oppvarmingen, vil tilført varme til glasset med vann være <i>ΔQ</i> = <i>C<sub>V</sub> ΔT</i> hvor <i>C<sub>V</sub></i> er dets <a href="/wiki/Spesifikk_varmekapasitet" title="Spesifikk varmekapasitet">spesifikke varmekapasitet</a>. Dette medfører en forandring i entropien til dette systemet med <i>ΔS</i> = <i>C<sub>V</sub> ΔT/T</i> som kan integreres opp til å gi </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Delta S=C_{V}\int _{T_{i}}^{T_{f}}\!{dT \over T}=C_{V}\ln {T \over T_{0}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">Δ</mi> <mi>S</mi> <mo>=</mo> <msub> <mi>C</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>V</mi> </mrow> </msub> <msubsup> <mo>∫</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msub> <mi>T</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msub> <mi>T</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>f</mi> </mrow> </msub> </mrow> </msubsup> <mspace width="negativethinmathspace" /> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>d</mi> <mi>T</mi> </mrow> <mi>T</mi> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <msub> <mi>C</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>V</mi> </mrow> </msub> <mi>ln</mi> <mo>⁡</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>T</mi> <msub> <mi>T</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Delta S=C_{V}\int _{T_{i}}^{T_{f}}\!{dT \over T}=C_{V}\ln {T \over T_{0}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a297bf352e9461f052ecdaa116178e209a6c9e7" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:30.539ex; height:6.509ex;" alt="{\displaystyle \Delta S=C_{V}\int _{T_{i}}^{T_{f}}\!{dT \over T}=C_{V}\ln {T \over T_{0}}}"></span></dd></dl> <p>hvor <i>T</i><sub>0</sub> = 273 K er begynnelsestemperaturen. Entropien til omgivelsene vil nå også avta, men igjen mindre enn økningen av entropien til det oppvarmete glasset med vann.<sup id="cite_ref-Castellan_4-0" class="reference"><a href="#cite_note-Castellan-4"><span class="cite-bracket">[</span>4<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Ideell_gass">Ideell gass</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Entropi&veaction=edit&section=4" title="Rediger avsnitt: Ideell gass" class="mw-editsection-visualeditor"><span>rediger</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Entropi&action=edit&section=4" title="Rediger kildekoden til seksjonen Ideell gass"><span>rediger kilde</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <figure typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Fil:Entropie.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/aa/Entropie.svg/250px-Entropie.svg.png" decoding="async" width="250" height="160" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/aa/Entropie.svg/375px-Entropie.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/aa/Entropie.svg/500px-Entropie.svg.png 2x" data-file-width="600" data-file-height="384" /></a><figcaption>Partiklene i venstre halvdel slippes løs og vil deretter kunne bevege seg i hele beholderen.</figcaption></figure> <p>En <a href="/wiki/Ideell_gass" title="Ideell gass">ideell gass</a> med temperatur <i>T</i> og bestående av <i>n</i> <a href="/wiki/Mol" class="mw-disambig" title="Mol">mol</a> partikler i et volum <i>V</i> har et trykk <i>P</i> gitt ved tilstandsligningen <span class="nowrap"><i>PV = nRT</i></span> der <i>R</i> er <a href="/wiki/Gasskonstant" title="Gasskonstant">gasskonstanten</a>. For en liten, reversibel volumforandring i gassen vil <a href="/wiki/Termodynamikkens_f%C3%B8rste_hovedsetning" title="Termodynamikkens første hovedsetning">1. hovedsetning</a> på differensiell form <span class="nowrap"><i>TdS = dU + PdV</i></span> forbinde de resulterende forandringene i indre energi <i>dU</i> og entropi <i>dS</i>. Nå er <span class="nowrap"><i>dU = C<sub>V</sub> dT</i></span> hvor varmekapasiteten for <i>n</i> mol ideell gass er <span class="nowrap"><i>C<sub>V</sub></i> = (3/2)<i>nR</i>.</span> Dermed er <span class="nowrap"><i>dS</i> = <i>C<sub>V</sub></i> (<i>dT</i>/<i>T</i>) + <i>R (dV</i>/<i>V</i>)</span> slik at direkte integrasjon gir </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle S(V,T)={3 \over 2}nR\ln {T \over T_{0}}+nR\ln {V \over V_{0}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>S</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>V</mi> <mo>,</mo> <mi>T</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>3</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <mi>n</mi> <mi>R</mi> <mi>ln</mi> <mo>⁡</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>T</mi> <msub> <mi>T</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mi>n</mi> <mi>R</mi> <mi>ln</mi> <mo>⁡</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>V</mi> <msub> <mi>V</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S(V,T)={3 \over 2}nR\ln {T \over T_{0}}+nR\ln {V \over V_{0}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/186c3131d128e9987c31438391bcf00b025d3f55" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:33.941ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle S(V,T)={3 \over 2}nR\ln {T \over T_{0}}+nR\ln {V \over V_{0}}}"></span></dd></dl> <p>hvor <i>T</i><sub>0</sub> og <i>V</i><sub>0</sub> er vilkårlige referanseverdier. De vil falle bort når vi regner ut entropidifferanser som er det som kan måles.<sup id="cite_ref-Rock_3-1" class="reference"><a href="#cite_note-Rock-3"><span class="cite-bracket">[</span>3<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> </p><p>Dette resultatet for entropien for en ideell gass avhenger kun av tilstanden til gassen gitt ved temperaturen <i>T</i> og volumet <i>V</i> når den er i termisk likevekt. Hvis gassen befinner seg opprinnelig i venstre halvdel av en beholder som vist i figuren og skilleveggen plutselig fjernes, vil den spre seg <i>irreversibelt</i> over hele det nye volumet som er dobbelt så stort. Når den er kommet i likevekt igjen, er dermed dens entropi økt med <span class="nowrap">Δ<i>S</i> = <i>R</i> ln 2</span> da temperaturen i gassen er uforandret. Dette skyldes at gassen er antatt ideell og det er derfor ingen vekselvirkninger mellom gasspartiklene. Omgivelsene forblir også dermed ved samme temperatur og entropiforandringen for hele universet er <span class="nowrap"><i>ΔS<sub>tot</sub> = R</i> ln 2.</span> </p><p>Det er også mulig å komme frem til samme slutt-tilstand for gassen ved en <i>reversibel</i> prosess. Det kan gjøres ved at den midtre skilleveggen i gassbeholderen kan skli friksjonsløst til venstre, men blir holdt tilbake ved at den påtrykkes en motkraft som balanserer gasstrykket <i>P </i> hele tiden. Dermed sklir den langsomt slik at gassen hele tiden er i likevekt. Ved hver liten volumforandring <i>ΔV</i>, utfører gassen dermed et arbeid <span class="nowrap"><i>ΔW = PΔV</i></span> på veggen. Denne energien kommer fra varmen <span class="nowrap"><i>ΔQ = ΔW</i></span> som strømmer fra omgivelsene og inn i gassen. Dermed avtar entropien til omgivelsene like mye som entropien til gassen øker. På den måten blir derfor den totale entropiforandring nå <span class="nowrap"><i>ΔS<sub>tot</sub> = 0</i>.</span> </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Adiabatisk_ekspansjon">Adiabatisk ekspansjon</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Entropi&veaction=edit&section=5" title="Rediger avsnitt: Adiabatisk ekspansjon" class="mw-editsection-visualeditor"><span>rediger</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Entropi&action=edit&section=5" title="Rediger kildekoden til seksjonen Adiabatisk ekspansjon"><span>rediger kilde</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Ved denne reversible utvidelsen kunne varme strømme inn i gassen fra omgivelsene. Hvis derimot veggene i gassbeholderen er isolerte slik at de ikke slipper varme gjennom, må den indre energien <i>U</i> til gassen avta for å kompensere arbeidet den utfører mot skilleveggen som langsomt presses mot høyre i beholdere. Da blir den differensielle entropiforandringen til gassen <span class="nowrap"><i>dS</i> = 0 = (3/2)<i>nR</i> (<i>dT</i>/<i>T</i>) + <i>nR</i> (<i>dV</i>/<i>V)</i>.</span> Ved direkte integrasjon finnes da </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle TV^{2/3}=konst}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>T</mi> <msup> <mi>V</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <mn>3</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mi>k</mi> <mi>o</mi> <mi>n</mi> <mi>s</mi> <mi>t</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle TV^{2/3}=konst}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea539755bac1f550671efb5ac10c5c5d958719b0" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:15.014ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle TV^{2/3}=konst}"></span></dd></dl> <p>Dette kalles en reversibel, <a href="/wiki/Adiabatisk_prosess" title="Adiabatisk prosess">adiabatisk ekspansjon</a>. Etterhvert som volumet øker, avtar gassens temperatur fordi den må gjøre et arbeid mot omgivelsene. Men ingen varmeoverføring har funnet sted og den totale entropiforandring <i>ΔS<sub>tot</sub></i> er igjen lik null. Slike adiabatiske prosesser er av stor betydning i <a href="/wiki/Meteorologi" title="Meteorologi">meteorologien</a> ved dannelse av skyer og forandringer ved været. </p><p>Men der er et problem med det termodynamiske resultatet vi har funnet for entropien for en ideell gass. Entropien skal være en ekstensiv størrelse. Problemet oppstår ved igjen å betrakte situasjonen med gassen til venstre for den midtre skilleveggen i beholderen. Så fylles høyre halvdel med like mye ny gass og skilleveggen tas vekk. Da har vi den dobbelte mengde med gass i beholderen og entropien skulle også blitt dobbelt så stor. Men resultatet vi fant, sier derimot at entropien har økt med <span class="nowrap"><i>ΔS</i> = <i>R</i> ln 2</span> da temperaturen hele tiden er den samme og volumet er blitt dobbelt så stort. Dette problemet går under navnet <i>Gibbs paradoks</i> og kan først løses ved bruk av <a href="/wiki/Boltzmann" title="Boltzmann">Boltzmanns</a> definisjon av entropi.<sup id="cite_ref-LHL_5-0" class="reference"><a href="#cite_note-LHL-5"><span class="cite-bracket">[</span>5<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Boltzmann_og_statistisk_mekanikk">Boltzmann og statistisk mekanikk</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Entropi&veaction=edit&section=6" title="Rediger avsnitt: Boltzmann og statistisk mekanikk" class="mw-editsection-visualeditor"><span>rediger</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Entropi&action=edit&section=6" title="Rediger kildekoden til seksjonen Boltzmann og statistisk mekanikk"><span>rediger kilde</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Arbeidene til <a href="/wiki/Clausius" class="mw-redirect" title="Clausius">Clausius</a> innen <a href="/wiki/Kinetisk_teori" title="Kinetisk teori">kinetisk teori</a> om hvordan partiklene i en gass beveget seg, ble videreført av <a href="/wiki/Maxwell" class="mw-disambig" title="Maxwell">Maxwell</a> som i 1859 utledet sin formel for den statistiske fordeling av hastighetene til partiklene i en ideell gass. Dette inspirerte Boltzmann, som da var student, til å hengi seg til å utforske videre denne nye, statistiske beskrivelsen av egenskapene til et stort antall partikler som beveger seg under gjensidige vekselvirkninger og under gitte, ytre føringer som fiksert <a href="/wiki/Volum" title="Volum">volum</a> eller temperatur. </p><p>Et av de største resultatene av denne innsatsen var at han kunne sammenfatte beregningen av entropien for et system i den enkle formel </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle S=k_{B}\ln W}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>S</mi> <mo>=</mo> <msub> <mi>k</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>B</mi> </mrow> </msub> <mi>ln</mi> <mo>⁡</mo> <mi>W</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S=k_{B}\ln W}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b54263a8601115f499c4aa7ac82e89c0f757c115" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:12.437ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle S=k_{B}\ln W}"></span></dd></dl> <p>hvor <i>k<sub>B</sub></i> er <a href="/wiki/Boltzmanns_konstant" title="Boltzmanns konstant">Boltzmanns konstant</a>. Her er størrelsen <i>W</i> et tall som angir sannsynligheten for å finne systemet i en gitt <i>makrotilstand</i> som oppfyller de ytre føringene. Hvis systemet f.eks. er slik at ved <i>T</i> = 0 grader kan det kun være i en tilstand, i.e. at <i>W</i> = 1, så er da entropien også null ifølge Boltzmann. Det går direkte på innholdet av den såkalte <a href="/wiki/Termodynamikkens_tredje_lov" title="Termodynamikkens tredje lov">termodynamikkens tredje lov</a>. </p><p>Men dette behøver ikke alltid være tilfelle. Hvis vi tenker oss et materiale som består av <i>N</i> lineære molekyler som kan fritt stille seg inn i to uavhengige retninger med samme energi, så er <i>W</i> = 2<sup><i>N</i></sup> og dermed <i>S = N k<sub>B</sub></i> ln 2. Likedan har <a href="/wiki/Linus_Pauling" title="Linus Pauling">Linus Pauling</a> vist at is ved <i>T</i> = 0 grader kan <span class="nowrap">H-atomene</span> i vannmolekylene <span class="nowrap">H<sub>2</sub>O</span> innta forskjellige posisjoner i forhold til nabomolekylene slik at det resulterer i en <i>nullpunktsentropi</i> <span class="nowrap"><i>S = N k<sub>B</sub></i> ln(3/2)</span> i enkleste approksimasjon.<sup id="cite_ref-Sears_6-0" class="reference"><a href="#cite_note-Sears-6"><span class="cite-bracket">[</span>6<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Andre_hovedsetning">Andre hovedsetning</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Entropi&veaction=edit&section=7" title="Rediger avsnitt: Andre hovedsetning" class="mw-editsection-visualeditor"><span>rediger</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Entropi&action=edit&section=7" title="Rediger kildekoden til seksjonen Andre hovedsetning"><span>rediger kilde</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>For et termodynamisk system beskrevet ved de termodynamiske variable volum <i>V</i>, trykk <i>P</i> og temperatur <i>T</i>, vil enhver infinitesemal forandring medføre en forandring i systemets <a href="/wiki/Indre_energi" title="Indre energi">indre energi</a> <i>U</i> og entropi <i>S</i> som må oppfylle <a href="/wiki/Termodynamikkens_andre_hovedsetning" title="Termodynamikkens andre hovedsetning">termodynamikkens andre hovedsetning</a>. Matematisk betyr det at de tilsvarende differensialene er forbundet ved ligningen <i>TdS = dU + PdV</i>. Denne kan nå skrives som </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle dS={1 \over T}dU+{P \over T}dV}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>d</mi> <mi>S</mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mi>T</mi> </mfrac> </mrow> <mi>d</mi> <mi>U</mi> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>P</mi> <mi>T</mi> </mfrac> </mrow> <mi>d</mi> <mi>V</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle dS={1 \over T}dU+{P \over T}dV}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0aa8f4bd6ea2cc9ddb282ae0601343bcdc8e994" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:19.709ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle dS={1 \over T}dU+{P \over T}dV}"></span></dd></dl> <p>Dette gjør det naturlig å betrakte entropien som en funksjon av energien <i>U</i> og volumet <i>V</i>. Da vil den ha differensialet </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle dS=\left({\partial S \over \partial U}\right)_{V}dU+\left({\partial U \over \partial V}\right)_{U}dV}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>d</mi> <mi>S</mi> <mo>=</mo> <msub> <mrow> <mo>(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>S</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>U</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>V</mi> </mrow> </msub> <mi>d</mi> <mi>U</mi> <mo>+</mo> <msub> <mrow> <mo>(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>U</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>V</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>U</mi> </mrow> </msub> <mi>d</mi> <mi>V</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle dS=\left({\partial S \over \partial U}\right)_{V}dU+\left({\partial U \over \partial V}\right)_{U}dV}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/585a96b8846a594252349118746cb89aaa78e6c1" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:32.365ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle dS=\left({\partial S \over \partial U}\right)_{V}dU+\left({\partial U \over \partial V}\right)_{U}dV}"></span></dd></dl> <p>Ved å sammenligne disse to uttykkene, har man da de viktige resultatene </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \left({\partial S \over \partial U}\right)_{V}={1 \over T}\,,\;\;\;\;\;\;\;\left({\partial S \over \partial V}\right)_{E}={P \over T}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mrow> <mo>(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>S</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>U</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>V</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mi>T</mi> </mfrac> </mrow> <mspace width="thinmathspace" /> <mo>,</mo> <mspace width="thickmathspace" /> <mspace width="thickmathspace" /> <mspace width="thickmathspace" /> <mspace width="thickmathspace" /> <mspace width="thickmathspace" /> <mspace width="thickmathspace" /> <mspace width="thickmathspace" /> <msub> <mrow> <mo>(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>S</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>V</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>E</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>P</mi> <mi>T</mi> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \left({\partial S \over \partial U}\right)_{V}={1 \over T}\,,\;\;\;\;\;\;\;\left({\partial S \over \partial V}\right)_{E}={P \over T}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/efcc89ea6bb2681304c7634b39f501cb20cdb7d8" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:34.892ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle \left({\partial S \over \partial U}\right)_{V}={1 \over T}\,,\;\;\;\;\;\;\;\left({\partial S \over \partial V}\right)_{E}={P \over T}}"></span></dd></dl> <p>Slike <b>termodynamiske deriverte</b> spiller en viktig rolle i alle anvendelser av alle termodynamiske lover. Sammen kan de for eksempel gi <a href="/wiki/Tilstandsligningen" class="mw-redirect" title="Tilstandsligningen">tilstandsligningen</a> <i>P</i> = <i>P</i>(<i>T,V</i>) for systemet hvis entropien er beregnet med Boltzmanns formel for en gitt verdi av energien <i>U</i> og volumet <i>V</i>. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Maxwell-Boltzmann-statistikk">Maxwell-Boltzmann-statistikk</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Entropi&veaction=edit&section=8" title="Rediger avsnitt: Maxwell-Boltzmann-statistikk" class="mw-editsection-visualeditor"><span>rediger</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Entropi&action=edit&section=8" title="Rediger kildekoden til seksjonen Maxwell-Boltzmann-statistikk"><span>rediger kilde</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>For en gass tenkte Boltzmann seg at partiklene til hvert tidspunkt kan befinne seg i et stort antall tilstander som i prinsippet kan angis ved deres posisjoner og hastigheter ved det tidspunktet. Ved å oppgi nøyaktig hvilken tilstand hver partikkel befinner seg i, sier man at systemet er i en bestemt <i>mikrotilstand</i>. Men de makroskopiske egenskapene til systemet er uavhengig av hvilke partikler som er i hver av disse tilstandene, kun hvor mange. Med totalt <i>N</i> partikler i systemet, kan det være <i>N<sub>1</sub></i> partikler i tilstand 1, <i>N<sub>2</sub></i> i tilstand 2 og så videre, Disse tallene kalles ofte for <i>besetningstall</i> eller «okkupasjonstall» og karakteriserer en bestemt <i>makrotilstand</i>. Antall måter å plassere alle partiklene i disse tilstandene på, er nå </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle W={N! \over \prod _{i}N_{i}!}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>W</mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>N</mi> <mo>!</mo> </mrow> <mrow> <munder> <mo>∏</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </munder> <msub> <mi>N</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>!</mo> </mrow> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle W={N! \over \prod _{i}N_{i}!}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c1267d7ee3025bafe6b329c294b8eabd5438e4ab" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:13.063ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle W={N! \over \prod _{i}N_{i}!}}"></span></dd></dl> <p>Dette er antall mikrotilstander som tilsvarer makrotilstanden gitt ved besetningstallene <i>N<sub>1</sub></i>, <i>N<sub>2</sub></i>, ....<i>N<sub>i</sub></i> .... for hver mikrotilstand <i>i</i>. Desto større <i>W</i> er, desto større er sannsynligheten for akkurat denne makrotilstanden. Hvis partiklene starter med en fordeling hvor <i>W</i> er liten, vil de med tiden bevege seg inn i fordelinger med økende <i>W</i>. Dette tilsvarer at entropien øker. Til slutt har de kommet inn i en fordeling hvor <i>W</i> har en maksimal verdi og kan ikke gjøres større. Da er systemet i termisk likevekt og entropien forandres ikke mer. Prinsipielt har systemet da muligheten for å gå over i en mindre sannsynlig fordeling, men det vil fort komme tilbake til den med maksimal sannsynlighet. Dette kalles en <i>statistisk fluktuasjon</i> og vil være neglisjerbar hvis systemet er stort nok. </p><p>Hvis en partikkel i tilstand <i>i</i> har energi <i>ε<sub>i</sub></i> , vil den mest sannsynlige makrotilstand ved temperatur <i>T</i> inneholde </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N_{i}={N \over Z}e^{-\varepsilon _{i}/k_{B}T}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>N</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>N</mi> <mi>Z</mi> </mfrac> </mrow> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <msub> <mi>ε</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <msub> <mi>k</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>B</mi> </mrow> </msub> <mi>T</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N_{i}={N \over Z}e^{-\varepsilon _{i}/k_{B}T}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca69a6a4cbae6f1a59b2fa751f22492dc823b70e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:16.662ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle N_{i}={N \over Z}e^{-\varepsilon _{i}/k_{B}T}}"></span></dd></dl> <p>partikler i denne tilstand. Her er </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Z=\sum _{i}e^{-\varepsilon _{i}/k_{B}T}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>Z</mi> <mo>=</mo> <munder> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </munder> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <msub> <mi>ε</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <msub> <mi>k</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>B</mi> </mrow> </msub> <mi>T</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Z=\sum _{i}e^{-\varepsilon _{i}/k_{B}T}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e529e0038283a78f6bdec0a0d59450fb1f0b741d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:16.519ex; height:5.509ex;" alt="{\displaystyle Z=\sum _{i}e^{-\varepsilon _{i}/k_{B}T}}"></span></dd></dl> <p>og kalles partisjonsfunksjonen for en partikkel og betegnes med bokstaven <i>Z </i> for det tyske ordet <i>Zustandssumme</i>. Den kommer fra kravet at <span class="nowrap">∑<sub><i>i</i></sub> <i>N<sub>i</sub></i> = <i>N</i>.</span> Denne <a href="/wiki/Boltzmann-fordeling" title="Boltzmann-fordeling">Boltzmann-fordelingen</a> av partikler spiller en fundamental rolle i <a href="/wiki/Statistisk_fysikk" title="Statistisk fysikk">statistisk fysikk</a>. Den kan også benyttes i <a href="/wiki/Kvantemekanikk" title="Kvantemekanikk">kvantemekanikken</a>. Hva som Boltzmann i <a href="/wiki/Klassisk_fysikk" title="Klassisk fysikk">klassisk fysikk</a> omtaler som en <a href="/wiki/Mikrotilstand" title="Mikrotilstand">mikrotilstand</a>, vil i kvantemekanikken tilsvare en <a href="/wiki/Kvantetilstand" title="Kvantetilstand">kvantetilstand</a>. Det er først på dette viset at entropi kan beregnes fullstendig.<sup id="cite_ref-Sears_6-1" class="reference"><a href="#cite_note-Sears-6"><span class="cite-bracket">[</span>6<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> </p><p>Entropiens vekst i isolerte system blir ofte beskrevet som en utvikling mot stadig mer uorden. Dette kommer fra den statistiske begrunnelsen for begrepet gitt av Boltzmann. Men begrepet "uorden" er ikke alltid synonymt med en fordeling med maksimal sannsynlighet. For eksempel, når is smelter i et vannglass, er det kanskje naturlig å si at da er slutt-tilstanden mer ordnet enn begynnelsestilstanden. I denne siste er alle vannmolekylene jevnt fordelt over hele glasset og tilstanden ser "ordnet" ut. Mens begynnelsestilstanden har vann og isbiter om hverandre og ser mer "uordnet" ut. Men her er antall mikrotilstander og dermed <i>W</i> mindre enn i slutt-tilstanden fordi noen av vannmolekylene er bundet fast i isen og kan ikke bevege seg fritt over hele glasset som alle vannmolekylene kan i slutt-tilstanden. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Gibbs_paradoks">Gibbs paradoks</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Entropi&veaction=edit&section=9" title="Rediger avsnitt: Gibbs paradoks" class="mw-editsection-visualeditor"><span>rediger</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Entropi&action=edit&section=9" title="Rediger kildekoden til seksjonen Gibbs paradoks"><span>rediger kilde</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Bruk av ren termodynamikk gir en entropi for ideell gass som ikke er ekstensiv. Det kommer tydelig frem ved å betrakte et volum <i>V</i> med gass ved temperatur <i>T</i> og så plassere et tilsvarende volum ved siden av. Når så skille mellom disse to gassene fjernes, har vi den dobbelte mengde med gass som befinner seg i det doble volum <i>2V</i>. Temperaturen forblir den samme da gassen er ideell. Den termodynamiske entropiformelen sier nå at entropien dermed øker med <span class="nowrap">Δ<i>S</i> = <i>2nR</i> ln (<i>2V</i> - ln<i>V</i>) = <i>2nR</i> ln 2.</span> Men det kan ikke stemme da de to gassene er identiske og vi kan ikke se noen forskjell når de kommer sammen. Derimot ville dette resultatet være den korrekte økningen av entropien ved å la to <i>forskjellige</i> gasser blande seg sammen på denne måten. Dette kalles <i>Gibbs paradoks</i>. </p><p>Problemet ble undersøkt av Gibbs som påpekte at løsningen måtte ligge i akkurat det at partiklene i gassen er identiske og kan ikke skilles fra hverandre. Hadde man brukt Boltzmanns metode til å beregne entropien, skulle man derfor redusere antall mikrotilstander <i>W</i> med <i>N!</i>. Dette er antall måter som man kan bytte om på <i>N</i> forskjellige objekt og skulle ikke her ha noen konsekvens da partiklene er identiske. </p><p>Dermed reduseres entropien med <i>k<sub>B</sub></i> ln<i>N!</i> = <i>k<sub>B</sub></i> (<i>N</i> ln <i>N</i> - <i>N</i> ) når man bruker <a href="/wiki/Stirlings_formel" title="Stirlings formel">Stirlings formel</a> for <i>N!</i>. Det er en meget god approksimasjon her da antall partikler <i>N</i> i volumet er antatt å være et meget stort tall. Dermed finner man den nye entropiformelen </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle S(V,T,N)=Nk_{B}\left[{3 \over 2}\ln {T \over T_{0}}+\ln {V \over NV_{0}}+1\right]}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>S</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>V</mi> <mo>,</mo> <mi>T</mi> <mo>,</mo> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>N</mi> <msub> <mi>k</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>B</mi> </mrow> </msub> <mrow> <mo>[</mo> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>3</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <mi>ln</mi> <mo>⁡</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>T</mi> <msub> <mi>T</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mi>ln</mi> <mo>⁡</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>V</mi> <mrow> <mi>N</mi> <msub> <mi>V</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mo>]</mo> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S(V,T,N)=Nk_{B}\left[{3 \over 2}\ln {T \over T_{0}}+\ln {V \over NV_{0}}+1\right]}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/330e1c54affd47038e55ea5447d62429781e499e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:43.998ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle S(V,T,N)=Nk_{B}\left[{3 \over 2}\ln {T \over T_{0}}+\ln {V \over NV_{0}}+1\right]}"></span></dd></dl> <p>siden <i>N k<sub>B</sub></i> = <i>nR</i> uttrykt ved antall <a href="/wiki/Mol" class="mw-disambig" title="Mol">mol</a> <i>n</i> i gassen. Dobles nå både <i>V</i> og <i>N</i>, ser vi at entropien også dobles - som den skal for en ekstensiv variabel. Forholdet ρ = <i>N/V</i> er tettheten av partikler. </p><p>Denne modifiserte formelen løser også Gibbs paradoks. Ser vi bort fra de leddene som er konstante, er entropien før de to gassene blander seg, <span class="nowrap"><i>S</i><sub>1</sub> = 2<i>N k<sub>B</sub> </i>ln (<i>V/N</i> )</span> da hver av dem med <i>N</i> partikler befinner seg i separate volum <i>V</i>. Etterpå har vi <i>2N</i> partikler i et kombinert volum <i>2V</i> og derfor med entropi <span class="nowrap"><i>S</i><sub>2</sub> = 2<i>N k<sub>B</sub> </i>ln (<i>2V/2N</i> ) = <i>S</i><sub>1</sub>.</span> Derfor er det ingen økning av entropien og ikke lenger noe paradoks. I tilfelle at vi kan skille de to gassene, gir denne modifiserte formelen samme blandingsentropi som før. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Blandingsentropi">Blandingsentropi</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Entropi&veaction=edit&section=10" title="Rediger avsnitt: Blandingsentropi" class="mw-editsection-visualeditor"><span>rediger</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Entropi&action=edit&section=10" title="Rediger kildekoden til seksjonen Blandingsentropi"><span>rediger kilde</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <figure typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Fil:Mischentropie.jpg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/06/Mischentropie.jpg/250px-Mischentropie.jpg" decoding="async" width="250" height="155" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/06/Mischentropie.jpg/375px-Mischentropie.jpg 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/0/06/Mischentropie.jpg 2x" data-file-width="376" data-file-height="233" /></a><figcaption>Entropien øker når to væsker blandes i ett glass og sprer seg utover.</figcaption></figure> <p>Når is smelter, får vannmolekylene i isen muligheten til å spre seg over et større område. Dermed øker entropien. På samme måte vil to forskjellige gasser eller væsker få større entropi når de blandes. </p><p>For ideelle gasser med tilstandsligning <i>PV = Nk<sub>B</sub>T</i> er det lett å beregne denne økningen. La gass 1 bestå av <i>N</i><sub>1</sub> partikler i et volum <i>V</i><sub>1</sub> og gass 2 med <i>N</i><sub>2</sub> partikler i et volum <i>V</i><sub>2</sub> under samme trykk <i>P</i> og temperatur <i>T</i>. Når nå gassene slippes løs i det kombinerte volum <span class="nowrap"><i>V</i><sub>1</sub> + <i>V</i><sub>2</sub>,</span> vil trykk og temperatur forbli de samme da gassene er ideelle. Dette kan betraktes som en ekspansjon av begge gassene med resulterende entropiøkning </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Delta S=N_{1}k_{B}\ln {V_{1}+V_{2} \over V_{1}}+N_{2}k_{B}\ln {V_{1}+V_{2} \over V_{2}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">Δ</mi> <mi>S</mi> <mo>=</mo> <msub> <mi>N</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>k</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>B</mi> </mrow> </msub> <mi>ln</mi> <mo>⁡</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>V</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>V</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mrow> <msub> <mi>V</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <msub> <mi>N</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>k</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>B</mi> </mrow> </msub> <mi>ln</mi> <mo>⁡</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>V</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>V</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mrow> <msub> <mi>V</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Delta S=N_{1}k_{B}\ln {V_{1}+V_{2} \over V_{1}}+N_{2}k_{B}\ln {V_{1}+V_{2} \over V_{2}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/513a83af6cfe029da252d28e31b4061e9d466474" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; width:43.015ex; height:5.509ex;" alt="{\displaystyle \Delta S=N_{1}k_{B}\ln {V_{1}+V_{2} \over V_{1}}+N_{2}k_{B}\ln {V_{1}+V_{2} \over V_{2}}}"></span></dd></dl> <p>Fra den ideelle tilstandsligningen er nå <i>V</i><sub>1</sub>/(<i>V</i><sub>1</sub> + <i>V</i><sub>2</sub>) = <i>N</i><sub>1</sub>/<i>N</i> hvor = <i>x</i><sub>1</sub> er konsentrasjonen av 1-partikler og <span class="nowrap"><i>N</i> = <i>N</i><sub>1</sub> + <i>N</i><sub>2</sub></span> det totale antall partikler. De to konsentrasjonene oppfyller <i>x</i><sub>1</sub> + <i>x</i><sub>2</sub> = 1. Dermed kan økningen av entropien skrives som </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Delta S=-Nk_{B}(x_{1}\ln x_{1}+x_{2}\ln x_{2})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">Δ</mi> <mi>S</mi> <mo>=</mo> <mo>−</mo> <mi>N</mi> <msub> <mi>k</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>B</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mi>ln</mi> <mo>⁡</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mi>ln</mi> <mo>⁡</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Delta S=-Nk_{B}(x_{1}\ln x_{1}+x_{2}\ln x_{2})}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e995c182515b44e3f6478ea455106dfb489a52ca" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:32.709ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \Delta S=-Nk_{B}(x_{1}\ln x_{1}+x_{2}\ln x_{2})}"></span></dd></dl> <p>Maksimalverdien Δ<i>S</i><sub>max</sub> = 2<i>Nk</i><sub><i>B</i></sub> ln 2 oppnås for <i>x</i><sub>1</sub> = <i>x</i><sub>2</sub> = 1/2 når blandingen er størst. </p><p>Dette resultatet kan også utledes fra Boltzmanns formel for entropiøkningen. Man må da tenke seg at de to gassene beveger seg på en bakgrunn slik at vi kan observere deres posisjoner. Alle <i>N</i> partiklene kan ombyttes på <i>N!</i> måter. Men dette tallet må reduseres med <span class="nowrap"><i>N<sub>1</sub>!</i></span> da <span class="nowrap">1-partikler</span> ikke kan skilles seg imellom. På som måte for <span class="nowrap">2-partiklene.</span> Dermed inneholder blandingen <span class="nowrap"><i>W</i> = <i>N!</i> /<i>N<sub>1</sub>!N<sub>2</sub>!</i></span> mikrotilstander. Bruker vi nå Boltzmann formel for entropi og <a href="/wiki/Stirlings_formel" title="Stirlings formel">Stirlings formel</a> for <i>N!</i> da antall partikler av begge sortene antas meget store, får vi <span class="nowrap">Δ<i>S</i> = <i>k<sub>B</sub></i> [<i>N</i> ln <i>N</i> - <i>N</i> - <i>N</i><sub>1</sub> ln <i>N</i><sub>1</sub> + <i>N</i><sub>1</sub> - <i>N</i><sub>2</sub> ln <i>N</i><sub>2</sub> + <i>N</i><sub>2</sub>].</span> Tre av leddene kansellerer og resten kan skrives som <span class="nowrap">Δ<i>S</i> = <i>k<sub>B</sub></i> [(<i>N</i><sub>1</sub> + <i>N</i><sub>2</sub>) ln <i>N</i> - <i>N</i><sub>1</sub> ln <i>N</i><sub>1</sub> - <i>N</i><sub>2</sub> ln <i>N</i><sub>2</sub>]</span> og forenkles til <span class="nowrap">Δ<i>S</i> = - <i>k<sub>B</sub></i> [<i>N</i><sub>1</sub> ln (<i>N</i><sub>1</sub>/<i>N</i>) + <i>N</i><sub>2</sub> ln (<i>N</i><sub>2</sub>/<i>N</i>)].</span> Ved igjen å innføre konsentrasjonene <span class="nowrap"><i>x</i><sub>1</sub> = <i>N</i><sub>1</sub>/<i>N</i></span> og <span class="nowrap"><i>x</i><sub>2</sub> = <i>N</i><sub>2</sub>/<i>N</i>,</span> kommer man frem til samme resultat som ved den termodynamiske utledningen over.<sup id="cite_ref-Rock_3-2" class="reference"><a href="#cite_note-Rock-3"><span class="cite-bracket">[</span>3<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Sackur-Tetrode-formelen">Sackur-Tetrode-formelen</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Entropi&veaction=edit&section=11" title="Rediger avsnitt: Sackur-Tetrode-formelen" class="mw-editsection-visualeditor"><span>rediger</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Entropi&action=edit&section=11" title="Rediger kildekoden til seksjonen Sackur-Tetrode-formelen"><span>rediger kilde</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Den fullstendige beregningen av entropien for en ideell gass med Boltzmanns statistiske metode - og hensynstagen til partiklenes identitet - ble gjort av den tyske fysiker <a href="/w/index.php?title=Sackur&action=edit&redlink=1" class="new" title="Sackur (ikke skrevet ennå)">Sackur</a> og den nederlandske naturviter <a href="/w/index.php?title=H._Tetrode&action=edit&redlink=1" class="new" title="H. Tetrode (ikke skrevet ennå)">Tetrode</a> i 1912 uavhengig av hverandre. Tetrode var da bare 17 år. Deres formel kan skrives som <sup id="cite_ref-7" class="reference"><a href="#cite_note-7"><span class="cite-bracket">[</span>7<span class="cite-bracket">]</span></a></sup><sup id="cite_ref-8" class="reference"><a href="#cite_note-8"><span class="cite-bracket">[</span>8<span class="cite-bracket">]</span></a></sup><sup id="cite_ref-9" class="reference"><a href="#cite_note-9"><span class="cite-bracket">[</span>9<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle S(V,T,N)=Nk_{B}\left[{5 \over 2}-\ln {\rho \Lambda ^{3}}\right]}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>S</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>V</mi> <mo>,</mo> <mi>T</mi> <mo>,</mo> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>N</mi> <msub> <mi>k</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>B</mi> </mrow> </msub> <mrow> <mo>[</mo> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>5</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <mo>−</mo> <mi>ln</mi> <mo>⁡</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>ρ</mi> <msup> <mi mathvariant="normal">Λ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mrow> <mo>]</mo> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S(V,T,N)=Nk_{B}\left[{5 \over 2}-\ln {\rho \Lambda ^{3}}\right]}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d296d774e91201eb2735bb5ad12f7911fa1040e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:32.593ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle S(V,T,N)=Nk_{B}\left[{5 \over 2}-\ln {\rho \Lambda ^{3}}\right]}"></span></dd></dl> <p>Her er <i>ρ = N/V</i> tettheten av partikler og størrelsen </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Lambda ={\sqrt {h^{2} \over 2\pi mk_{B}T}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">Λ</mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mfrac> <msup> <mi>h</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mrow> <mn>2</mn> <mi>π</mi> <mi>m</mi> <msub> <mi>k</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>B</mi> </mrow> </msub> <mi>T</mi> </mrow> </mfrac> </msqrt> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Lambda ={\sqrt {h^{2} \over 2\pi mk_{B}T}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24412f418c2eb591866de03722ad2d2ee161b436" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:16.733ex; height:7.676ex;" alt="{\displaystyle \Lambda ={\sqrt {h^{2} \over 2\pi mk_{B}T}}}"></span></dd></dl> <p>kalles deres <a href="/wiki/Boltzmann-fordeling#Indre_energi" title="Boltzmann-fordeling">termiske bølgelengde</a> hvis hver av dem har massen <i>m</i> . Ved å sammenligne med den målte entropien for kvikksølvdamp, ble det klart at konstanten <i>h</i> som inngår her, kan identifiseres med <a href="/wiki/Plancks_konstant" title="Plancks konstant">Plancks konstant</a>. Det var på den tiden ikke klart hvorfor denne skulle inngå i beregningen av entropien for en gass. Den var ti år tidligere blitt innført av Planck for å forklare egenskaper ved <a href="/wiki/Varmestr%C3%A5ling" title="Varmestråling">varmestråling</a>, <a href="/wiki/Bohrs_atommodell" title="Bohrs atommodell">Bohrs atommodell</a> var ennå ikke etablert og hvordan alt dette hang sammen, lå ennå ti år inn i fremtiden. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Gibbs_og_ensembleteori">Gibbs og ensembleteori</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Entropi&veaction=edit&section=12" title="Rediger avsnitt: Gibbs og ensembleteori" class="mw-editsection-visualeditor"><span>rediger</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Entropi&action=edit&section=12" title="Rediger kildekoden til seksjonen Gibbs og ensembleteori"><span>rediger kilde</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Et system av partikler kan være i mange forskjellige mikrotilstander selv om det makroskopisk ser ut til å være det samme. For å kunne beregne sannsynligheten for at systemet kunne befinne seg i en slik bestemt mikrotilstand, betraktet <a href="/wiki/Josiah_Willard_Gibbs" title="Josiah Willard Gibbs">Josiah Willard Gibbs</a> en samling av identiske systemer som alle oppfylte de ytre, makroskopiske kravene man kunne tillegge det. En slik samling av et stort antall identiske system kalte han et <i>ensemble</i>. Sannsynligheten <i>P</i><sub>i</sub> for at det ene systemet man betrakter, befinner seg i en bestemt mikrotilstand i, postulerte Gibbs skulle være proporsjonale med antall systemer i ensemblet som befant seg i denne tilstanden. Dette antallet var igjen avhengig av hastighetene og vekselvirkningene mellom partiklene i systemet. Dermed tillot denne beskrivelsen at systemet ikke lenger besto av frie partikler som i en ideell gass, men kunne også beskrive et reelt system med partikler som påvirket hverandre eller ble holdt sammen av hverandre. </p><p>Gibbs utviklet en statistisk teori for beskrivelsen av et slikt ensemble og kunne vise at entropien for et system i ensemblet kunne uttrykkes ved disse sannsynlighetene som </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle S=-k_{B}\sum _{i}P_{i}\ln P_{i}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>S</mi> <mo>=</mo> <mo>−</mo> <msub> <mi>k</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>B</mi> </mrow> </msub> <munder> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </munder> <msub> <mi>P</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mi>ln</mi> <mo>⁡</mo> <msub> <mi>P</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S=-k_{B}\sum _{i}P_{i}\ln P_{i}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cfb4cdc305f070d026e54433e8de4a0b958a7450" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:20.523ex; height:5.509ex;" alt="{\displaystyle S=-k_{B}\sum _{i}P_{i}\ln P_{i}}"></span></dd></dl> <p>hvor summen går over alle mikrotilstandene systemet kan befinne seg i. Da sannsynlighetene <i>P</i><sub>i</sub> < 1, vil dette gi en positiv entropi. Uttrykket har samme form som blandingsentropien for to ideelle gasser og kan også begrunnes ut fra lignende betraktninger.<sup id="cite_ref-Huang_10-0" class="reference"><a href="#cite_note-Huang-10"><span class="cite-bracket">[</span>10<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Mikrokanonisk_ensemble">Mikrokanonisk ensemble</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Entropi&veaction=edit&section=13" title="Rediger avsnitt: Mikrokanonisk ensemble" class="mw-editsection-visualeditor"><span>rediger</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Entropi&action=edit&section=13" title="Rediger kildekoden til seksjonen Mikrokanonisk ensemble"><span>rediger kilde</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Det grunnleggende ensemble er det <i>mikrokanoniske</i>. Dette opptrer når vi betrakter et system som har en fiksert energi <i>E</i> i tillegg til de vanlige, fikserte verdier for volum <i>V</i> og partikkeltall <i>N</i>. I dette tilfelle er derfor ikke temperaturen gitt, men vil bli en avledet størrelse. I tillegg må man gjøre bruk av <a href="/wiki/Statistisk_mekanikk" class="mw-redirect" title="Statistisk mekanikk">den fundamentale hypotese i statistisk mekanikk</a> at alle mikrotilstandene har samme sannsynlighet. Denne kan utledes fra <a href="/wiki/Kvantemekanikk" title="Kvantemekanikk">kvantemekanikken</a> og kan også godt begrunnes i klassisk fysikk. I tillegg kan man si at kun med den informasjon at uansett hvilken mikrotilstand systemet befinner seg i, så har det samme energi og det derfor ikke er noe annet som skiller mikrotilstandene, så er denne antagelse den enkleste og mest demokratiske. </p><p>Hvis nå det totale antall mikrotilstander betegnes med <i>W = W(E,V)</i>, så er derfor <i>P</i><sub>i</sub> = 1/<i>W</i> slik at entropien blir </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle S=-k_{B}\sum _{i=1}^{W}{1 \over W}\ln {1 \over W}=k_{B}\ln W}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>S</mi> <mo>=</mo> <mo>−</mo> <msub> <mi>k</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>B</mi> </mrow> </msub> <munderover> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>W</mi> </mrow> </munderover> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mi>W</mi> </mfrac> </mrow> <mi>ln</mi> <mo>⁡</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mi>W</mi> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <msub> <mi>k</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>B</mi> </mrow> </msub> <mi>ln</mi> <mo>⁡</mo> <mi>W</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S=-k_{B}\sum _{i=1}^{W}{1 \over W}\ln {1 \over W}=k_{B}\ln W}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/698ab5a4dab0d798fb56998bbcc2155de8ae5117" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:33.42ex; height:7.343ex;" alt="{\displaystyle S=-k_{B}\sum _{i=1}^{W}{1 \over W}\ln {1 \over W}=k_{B}\ln W}"></span></dd></dl> <p>Derfor er Gibbs ensembleteori konsistent med Boltzmanns formulering. Entropien for en ideell gass kan forholdsvis lett beregnes på denne måten og derved gi resultatet til Sackur og Tetrode. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Kanonisk_ensemble">Kanonisk ensemble</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Entropi&veaction=edit&section=14" title="Rediger avsnitt: Kanonisk ensemble" class="mw-editsection-visualeditor"><span>rediger</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Entropi&action=edit&section=14" title="Rediger kildekoden til seksjonen Kanonisk ensemble"><span>rediger kilde</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Hvis systemet under betraktning har en fiksert temperatur <i>T</i> i stedet for energi <i>E</i>, viste Gibbs at sannsynligheten for mikrotilstand i med energi <i>E</i><sub>i</sub> er gitt som </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P_{i}={1 \over Z}e^{-E_{i}/k_{B}T}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>P</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mi>Z</mi> </mfrac> </mrow> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <msub> <mi>E</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <msub> <mi>k</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>B</mi> </mrow> </msub> <mi>T</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P_{i}={1 \over Z}e^{-E_{i}/k_{B}T}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a32f97c520d32b1b4ab0e8576c3c4929edeb96c8" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:16.351ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle P_{i}={1 \over Z}e^{-E_{i}/k_{B}T}}"></span></dd></dl> <p>hvor størrelsen <i>Z</i> foreløbig er ukjent . Den bestemmes fra kravet om at alle sannsynlighetene må oppfylle betingelsen ∑<sub>i</sub><i>P</i><sub>i</sub> = 1. Det gir at </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Z=\sum _{i}e^{-E_{i}/k_{B}T}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>Z</mi> <mo>=</mo> <munder> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </munder> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <msub> <mi>E</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <msub> <mi>k</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>B</mi> </mrow> </msub> <mi>T</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Z=\sum _{i}e^{-E_{i}/k_{B}T}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d46bf56d36e4126004cd5f25085f9c4febb1350" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:16.965ex; height:5.509ex;" alt="{\displaystyle Z=\sum _{i}e^{-E_{i}/k_{B}T}}"></span></dd></dl> <p>som er <i>partisjonsfunksjonen</i> for hele systemet. Det er viktig å understreke at her er <i>E</i><sub>i</sub> energien for <i>hele</i> systemet i mikrotilstanden i. Derfor er dette resultatet også gyldig for vekselvirkende system og kalles <i>Gibbs-fordelingen</i> i <i>det kanoniske ensemble</i>.<sup id="cite_ref-LHL_5-1" class="reference"><a href="#cite_note-LHL-5"><span class="cite-bracket">[</span>5<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> </p><p>Med denne sannsynlighetsfordelingen for systemet i termisk likevekt kan man beregne forskjellige egenskaper til systemet. For eksempel har det en midlere energi gitt som <u style="font-style:italic; text-decoration:overline">E</u> = ∑<sub>i</sub> <i>E</i><sub>i</sub> <i>P</i><sub>i</sub> som vi kan identifisere med systemets indre energi <i>U</i>. Man kan også beregne hvordan den observerte energien fluktuerer rundt denne middelverdien på som måte som man kan regne ut hvordan den målte temperaturen i det mikrokanoniske ensemblet fluktuerer rundt den midlere temperaturen. </p><p>Entropien for et system beskrevet ved det kanoniske ensemblet kan nå finnes. Setter man inn i formelen til Gibbs at ln <i>P</i><sub>i</sub> = - <i>E</i><sub>i</sub> /<i>k<sub>B</sub>T</i> - ln <i>Z</i>, følger at </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle S={U \over T}+k_{B}\ln Z}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>S</mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>U</mi> <mi>T</mi> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <msub> <mi>k</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>B</mi> </mrow> </msub> <mi>ln</mi> <mo>⁡</mo> <mi>Z</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S={U \over T}+k_{B}\ln Z}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5017f4a8b49f032a95564a59df8f3304880ddce9" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:17.142ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle S={U \over T}+k_{B}\ln Z}"></span></dd></dl> <p>Sammenligner man dette med uttrykket for <a href="/wiki/Helmholtz_fri_energi" title="Helmholtz fri energi">Helmholtz fri energi</a> <i>F = U - TS</i>, ser man at partisjonsfunksjonen <i>Z</i> kan uttrykkes direkte ved dette termodynamiske potensialet som </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Z=e^{-F/k_{B}T}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>Z</mi> <mo>=</mo> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mi>F</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <msub> <mi>k</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>B</mi> </mrow> </msub> <mi>T</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Z=e^{-F/k_{B}T}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/08ae30df122db9202d44217810b6e331be12c86d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:12.616ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle Z=e^{-F/k_{B}T}}"></span></dd></dl> <p>Partisjonsfunksjonen spiller en sentral rolle i all <a href="/wiki/Statistisk_mekanikk" class="mw-redirect" title="Statistisk mekanikk">statistisk mekanikk</a> og gir direkte tilgang til de termodynamiske egenskapene for systemene som betraktes.<sup id="cite_ref-Huang_10-1" class="reference"><a href="#cite_note-Huang-10"><span class="cite-bracket">[</span>10<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Informasjonsteori">Informasjonsteori</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Entropi&veaction=edit&section=15" title="Rediger avsnitt: Informasjonsteori" class="mw-editsection-visualeditor"><span>rediger</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Entropi&action=edit&section=15" title="Rediger kildekoden til seksjonen Informasjonsteori"><span>rediger kilde</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Hvis man har fire oppgaver (A,B,C,D) foran seg og man skal utføre en av dem, trenger man to bits informasjon for å vite nøyaktig hvilken. En <i>bit</i> er her svaret på et ja/nei-spørsmål. Først må man få vite om oppgaven tilhører gruppen (A,B) eller gruppen (C,D). Det krever en bit informasjon. Når gruppen er bestemt, trenger man en bit til for å få vite hvilken oppgave av de to man skal gjøre. </p><p>Dette kan lett generaliseres til å plukke ut et objekt fra en samling med <i>N</i> objekter som alle er av samme betydning. Til det vil det behøves <i>I</i> = log<sub>2</sub><i>N</i> bits hvor log<sub>2</sub> er logaritmen med basis 2. Dette er den <a href="/wiki/Logaritme" title="Logaritme">binære logaritmen</a> som kan betegnes med lb. Så i dette tilfellet hvor alle objektene har samme sannsynlighet <i>P = 1/N</i>, kan vi skrive informasjonsinnholdet <i>I</i> = - lb <i>P</i> som er ekvivalent med <i>I</i> = - <i>k</i> ln <i>P</i> hvor konstanten <i>k</i> = 1/ln 2 = 1.44. </p><p>I det mer generelle tilfellet opptrer de forskjellige objektene med forskjellige sannsynligheter <i>P</i><sub>i</sub>. Hvis vi nå gjentar denne overleveringen av informasjon angående de samme objektene mange ganger, det vil si vi midler over mange <i>ensembler</i> i Gibbs' terminologi, vil det i gjennomsnitt behøves en informasjonsmengde som er den midlere verdi </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle I=-\sum _{i}P_{i}\,{\mbox{lb}}P_{i}=-k\sum _{i}P_{i}\ln P_{i}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>I</mi> <mo>=</mo> <mo>−</mo> <munder> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </munder> <msub> <mi>P</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mspace width="thinmathspace" /> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mtext>lb</mtext> </mstyle> </mrow> <msub> <mi>P</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mo>−</mo> <mi>k</mi> <munder> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </munder> <msub> <mi>P</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mi>ln</mi> <mo>⁡</mo> <msub> <mi>P</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle I=-\sum _{i}P_{i}\,{\mbox{lb}}P_{i}=-k\sum _{i}P_{i}\ln P_{i}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b5c9b1ebe31bb3ad51871ab3245380aafa2d739" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:34.662ex; height:5.509ex;" alt="{\displaystyle I=-\sum _{i}P_{i}\,{\mbox{lb}}P_{i}=-k\sum _{i}P_{i}\ln P_{i}}"></span></dd></dl> <p>Dette uttrykket for informasjonsinnholdet ble gitt av <a href="/wiki/Claude_Shannon" class="mw-redirect" title="Claude Shannon">Claude Shannon</a> i 1948, og har akkurat samme form som den termodynamiske entropien til Gibbs. Konstanten <i>k</i> spiller i informasjonsteori samme rolle som Boltzmanns konstant <i>k<sub>B</sub></i> i statistisk mekanikk. Og man kan lett argumentere for at det skal være en slik direkte sammenheng som gjort allerede i 1927 av <a href="/wiki/Le%C3%B3_Szil%C3%A1rd" title="Leó Szilárd">Szilard</a>. Desto større entropien er for et termodynamisk system, desto mer informasjon må man angi for å beskrive systemets mikrotilstander. </p><p>Man kan bruke dette resultatet til å beregne informasjonsinnholdet i et kommunikasjonssystem som produserer en strøm med symboler som for eksempel kan være bilder, ord eller bokstaver. Hvert symbol opptrer med en bestemt sannsynlighet <i>P</i><sub>i</sub>. I et språk opptrer ikke alle ord like ofte. Bruker en person hovedsakelig bare et lite utvalg av kjente ord, det vil si noen få ord har større sannsynlighet enn andre, vil informasjonsinnholdet ifølge Shannon være mindre enn om alle ord opptrer like ofte. En apekatt som hamrer tilfeldig løs på en skrivemaskin vil skrive en tekst med større informasjonsinnhold enn en skrivekyndig person som kan sin rettskrivning og vet at bokstaver ikke kan opptre fritt etter hverandre for å danne meningsfylte ord. </p><p>I norsk tekst opptrer omtrent 32 = 2<sup>5</sup> tegn eller bokstaver. Hvis de hadde opptrådt fritt i en tekst, ville hver av dem opptre med en sannsynlighet 1/32 og med et tilsvarende informasjonsinnhold av 5 bits. Men sannsynlighetene for hver bokstav er ganske forskjellig og kan enkelt bestemmes ved å telle opp hvor mange bokstaver av hver sort man har i en større tekst. Da kommer man frem til et informasjonsinnhold på ca. 4 bits per bokstav. Hadde man i stedet talt opp ord må samme måte, ville informasjonsinnholdet bli enda mindre. Det skyldes at i mange ord vil bestemte bokstavkombinasjoner ikke opptre. For eksempel på norsk vil ikke en h kunne følge en j. På denne måten finner man at informasjonsinnholdet kommer ned under 3 bits per bokstav. Ved å se på større symboler med enda flere bokstaver, vil informasjonsinnholdet bli enda lavere. Shannon spekulerte om det kunne komme helt ned i en bit per bokstav eller tegn. </p><p>En tekstside i en bok har typisk 80 bokstaver eller tegn på hver linje og 50 linjer. Det er tilsammen 4000 tegn per side. Har boken 400 sider, så blir det ca. 16 ×10<sup>5</sup> bokstaver. Med 3 bits informasjon i hver bokstav, blir det tilsammen ca. 4,8 ×10<sup>6</sup> bits eller 5 Mb. Denne typiske størrelsen kjenner vi igjen fra nedlasting av bøker på Internet. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Se_også"><span id="Se_ogs.C3.A5"></span>Se også</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Entropi&veaction=edit&section=16" title="Rediger avsnitt: Se også" class="mw-editsection-visualeditor"><span>rediger</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Entropi&action=edit&section=16" title="Rediger kildekoden til seksjonen Se også"><span>rediger kilde</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li><a href="/wiki/Energiprinsippet" title="Energiprinsippet">Energiprinsippet</a></li> <li><a href="/wiki/Termodynamikkens_andre_hovedsetning" title="Termodynamikkens andre hovedsetning">Termodynamikkens andre hovedsetning</a></li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Referanser">Referanser</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Entropi&veaction=edit&section=17" title="Rediger avsnitt: Referanser" class="mw-editsection-visualeditor"><span>rediger</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Entropi&action=edit&section=17" title="Rediger kildekoden til seksjonen Referanser"><span>rediger kilde</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="mw-references-wrap"><ol class="references"> <li id="cite_note-1"><b><a href="#cite_ref-1">^</a></b> <span class="reference-text"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://journals.plos.org/plosbiology/article?id=10.1371/journal.pbio.0050142">Survival of the Likeliest? - PLOS</a></span> </li> <li id="cite_note-Müller-2"><b><a href="#cite_ref-Müller_2-0">^</a></b> <span class="reference-text">R. Müller, <i>Thermodynamik: Vom Tautropfen zum Solarkraftwerk</i>, Walter de Gruyther GmbH, Berlin (2014). <a href="/wiki/Spesial:Bokkilder/9783110301984" class="internal mw-magiclink-isbn">ISBN 978-3-11-030198-4</a>.</span> </li> <li id="cite_note-Rock-3"><b>^</b> <a href="#cite_ref-Rock_3-0"><sup>a</sup></a> <a href="#cite_ref-Rock_3-1"><sup>b</sup></a> <a href="#cite_ref-Rock_3-2"><sup>c</sup></a> <span class="reference-text">P.A. Rock, <i>Chemical Thermodynamics</i>, University Science Books, Oxford (1983). <a href="/wiki/Spesial:Bokkilder/0198557125" class="internal mw-magiclink-isbn">ISBN 0-19-855712-5</a>.</span> </li> <li id="cite_note-Castellan-4"><b><a href="#cite_ref-Castellan_4-0">^</a></b> <span class="reference-text">G.W. Castellan, <i>Physical Chemistry</i>, Addison-Wesley Publishing Company, New York (1971). <a href="/wiki/Spesial:Bokkilder/0201103869" class="internal mw-magiclink-isbn">ISBN 0-20-110386-9</a>.</span> </li> <li id="cite_note-LHL-5"><b>^</b> <a href="#cite_ref-LHL_5-0"><sup>a</sup></a> <a href="#cite_ref-LHL_5-1"><sup>b</sup></a> <span class="reference-text"> E. Lillestøl, O. Hunderi og J.R. Lien, <i>Generell Fysikk, Bind 2</i>, Universitetsforlaget, Oslo (2001). <a href="/wiki/Spesial:Bokkilder/8215000061" class="internal mw-magiclink-isbn">ISBN 82-15-00006-1</a>.</span> </li> <li id="cite_note-Sears-6"><b>^</b> <a href="#cite_ref-Sears_6-0"><sup>a</sup></a> <a href="#cite_ref-Sears_6-1"><sup>b</sup></a> <span class="reference-text"> F.W. Sears, <i>An Introduction to Therrmodynamics, the Kinetic Theory of Gases and Statistical Mechanics</i>, Addison-Wesley Publishing Company, Reading MA (1956).</span> </li> <li id="cite_note-7"><b><a href="#cite_ref-7">^</a></b> <span class="reference-text">H. Tetrode, <i>Die chemische Konstante der Gase und das elementare Wirkungsquantum</i>, Annalen der Physik <b>38</b>, 434 - 442 (1912).</span> </li> <li id="cite_note-8"><b><a href="#cite_ref-8">^</a></b> <span class="reference-text">O. Sackur, <i>Die universelle Bedeutung des sogenannten elementaren Wirkungsquantums</i>, Annalen der Physik <b>40</b>, 67-86 (1912).</span> </li> <li id="cite_note-9"><b><a href="#cite_ref-9">^</a></b> <span class="reference-text">O. Sackur, <i>Die Bedeutung des elementaren Wirkungsquantums für die Gastheorie und die Berechnung der chemischen Konstanten</i>, Festskrift til W. Nernst, pp. 405 - 423 (1912).</span> </li> <li id="cite_note-Huang-10"><b>^</b> <a href="#cite_ref-Huang_10-0"><sup>a</sup></a> <a href="#cite_ref-Huang_10-1"><sup>b</sup></a> <span class="reference-text">K. Huang, <i>Statistical Mechanics</i>, J. Wiley & Sons, New York (1987). <a href="/wiki/Spesial:Bokkilder/0471859133" class="internal mw-magiclink-isbn">ISBN 0-471-85913-3</a>.</span> </li> </ol></div> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Litteratur">Litteratur</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Entropi&veaction=edit&section=18" title="Rediger avsnitt: Litteratur" class="mw-editsection-visualeditor"><span>rediger</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Entropi&action=edit&section=18" title="Rediger kildekoden til seksjonen Litteratur"><span>rediger kilde</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li>D. ter Haar and <a href="/wiki/Harald_Wergeland" title="Harald Wergeland">H. Wergeland</a>, <i>Elements of Thermodynamics</i>, Addison-Wesley Publishing Co. (1966).</li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Eksterne_lenker">Eksterne lenker</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Entropi&veaction=edit&section=19" title="Rediger avsnitt: Eksterne lenker" class="mw-editsection-visualeditor"><span>rediger</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Entropi&action=edit&section=19" title="Rediger kildekoden til seksjonen Eksterne lenker"><span>rediger kilde</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li>Kathy, <a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.youtube.com/watch?v=Tr_gv5CKB1Y"><i>Boltzmann's Entropy Equation: A History from Clausius to Planck</i></a>, YouTube video</li> <li>John Baez, <a rel="nofollow" class="external text" href="https://arxiv.org/pdf/2409.09232"><i>What is Entropy?</i></a>, arXiv:2409.09232</li></ul> <div class="navbox-styles"><style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r23230704">.mw-parser-output .hlist dl,.mw-parser-output .hlist ol,.mw-parser-output .hlist ul{margin:0;padding:0}.mw-parser-output .hlist dd,.mw-parser-output .hlist dt,.mw-parser-output .hlist li{margin:0;display:inline}.mw-parser-output .hlist.inline,.mw-parser-output .hlist.inline dl,.mw-parser-output .hlist.inline ol,.mw-parser-output .hlist.inline ul,.mw-parser-output .hlist dl dl,.mw-parser-output .hlist dl ol,.mw-parser-output .hlist dl ul,.mw-parser-output .hlist ol dl,.mw-parser-output .hlist ol ol,.mw-parser-output .hlist ol ul,.mw-parser-output .hlist ul dl,.mw-parser-output .hlist ul ol,.mw-parser-output .hlist ul ul{display:inline}.mw-parser-output .hlist .mw-empty-li{display:none}.mw-parser-output .hlist dt::after{content:": "}.mw-parser-output .hlist dd::after,.mw-parser-output .hlist li::after{content:" · ";font-weight:bold}.mw-parser-output .hlist dd:last-child::after,.mw-parser-output .hlist dt:last-child::after,.mw-parser-output .hlist li:last-child::after{content:none}.mw-parser-output .hlist dd dd:first-child::before,.mw-parser-output .hlist dd dt:first-child::before,.mw-parser-output .hlist dd li:first-child::before,.mw-parser-output .hlist dt dd:first-child::before,.mw-parser-output .hlist dt dt:first-child::before,.mw-parser-output .hlist dt li:first-child::before,.mw-parser-output .hlist li dd:first-child::before,.mw-parser-output .hlist li dt:first-child::before,.mw-parser-output .hlist li li:first-child::before{content:" (";font-weight:normal}.mw-parser-output .hlist dd dd:last-child::after,.mw-parser-output .hlist dd dt:last-child::after,.mw-parser-output .hlist dd li:last-child::after,.mw-parser-output .hlist dt dd:last-child::after,.mw-parser-output .hlist dt dt:last-child::after,.mw-parser-output .hlist dt li:last-child::after,.mw-parser-output .hlist li dd:last-child::after,.mw-parser-output .hlist li dt:last-child::after,.mw-parser-output .hlist li li:last-child::after{content:")";font-weight:normal}.mw-parser-output .hlist ol{counter-reset:listitem}.mw-parser-output .hlist ol>li{counter-increment:listitem}.mw-parser-output .hlist ol>li::before{content:" "counter(listitem)"\a0 "}.mw-parser-output .hlist dd ol>li:first-child::before,.mw-parser-output .hlist dt ol>li:first-child::before,.mw-parser-output .hlist li ol>li:first-child::before{content:" ("counter(listitem)"\a0 "}</style><style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r24561737">.mw-parser-output .navbox{box-sizing:border-box;border:1px solid #a2a9b1;width:100%;clear:both;font-size:88%;text-align:center;padding:1px;margin:1em auto 0}.mw-parser-output .navbox .navbox{margin-top:0}.mw-parser-output .navbox+.navbox,.mw-parser-output .navbox+.navbox-styles+.navbox{margin-top:-1px}.mw-parser-output .navbox-inner,.mw-parser-output .navbox-subgroup{width:100%}.mw-parser-output .navbox-group,.mw-parser-output .navbox-title,.mw-parser-output .navbox-abovebelow{padding:0.25em 1em;line-height:1.5em;text-align:center}.mw-parser-output .navbox-group{white-space:nowrap;text-align:right}.mw-parser-output .navbox,.mw-parser-output .navbox-subgroup{background-color:#fdfdfd}.mw-parser-output .navbox-list{line-height:1.5em;border-color:#fdfdfd}.mw-parser-output .navbox-list-with-group{text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid}.mw-parser-output tr+tr>.navbox-abovebelow,.mw-parser-output tr+tr>.navbox-group,.mw-parser-output tr+tr>.navbox-image,.mw-parser-output tr+tr>.navbox-list{border-top:2px solid #fdfdfd}.mw-parser-output .navbox-title{background-color:#ccf}.mw-parser-output .navbox-abovebelow,.mw-parser-output .navbox-group,.mw-parser-output .navbox-subgroup .navbox-title{background-color:#ddf}.mw-parser-output .navbox-subgroup .navbox-group,.mw-parser-output .navbox-subgroup .navbox-abovebelow{background-color:#e6e6ff}.mw-parser-output .navbox-even{background-color:#f7f7f7}.mw-parser-output .navbox-odd{background-color:transparent}.mw-parser-output .navbox .hlist td dl,.mw-parser-output .navbox .hlist td ol,.mw-parser-output .navbox .hlist td ul,.mw-parser-output .navbox td.hlist dl,.mw-parser-output .navbox td.hlist ol,.mw-parser-output .navbox td.hlist ul{padding:0.125em 0}.mw-parser-output .navbox .navbar{display:block;font-size:100%}.mw-parser-output .navbox-title .navbar{float:left;text-align:left;margin-right:0.5em}body.skin--responsive .mw-parser-output .navbox-image img{max-width:none!important}</style></div><div role="navigation" class="navbox" aria-labelledby="Oppslagsverk/autoritetsdata" style="padding:3px"><table class="nowraplinks hlist navbox-inner" style="border-spacing:0;background:transparent;color:inherit"><tbody><tr><th id="Oppslagsverk/autoritetsdata" scope="row" class="navbox-group" style="width:1%"><a href="/wiki/Hjelp:Autoritetsdata" title="Hjelp:Autoritetsdata">Oppslagsverk/autoritetsdata</a></th><td class="navbox-list-with-group navbox-list navbox-odd" style="width:100%;padding:0"><div style="padding:0em 0.25em"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://snl.no/entropi">Store norske leksikon</a> <b>·</b> <a rel="nofollow" class="external text" href="https://denstoredanske.lex.dk/entropi">Store Danske Encyklopædi</a> <b>·</b> <a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.britannica.com/science/entropy-physics">Encyclopædia Britannica</a> <b>·</b> <a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.universalis.fr/encyclopedie/entropie/">Encyclopædia Universalis</a> <b>·</b> <a rel="nofollow" class="external text" href="https://d-nb.info/gnd/4014894-4">GND</a> <b>·</b> <a rel="nofollow" class="external text" href="https://id.loc.gov/authorities/sh85044150">LCCN</a> <b>·</b> <a rel="nofollow" class="external text" href="https://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb12099111d">BNF</a> <b>·</b> <a rel="nofollow" class="external text" href="http://data.bnf.fr/ark:/12148/cb12099111d">BNF (data)</a> <b>·</b> <a rel="nofollow" class="external text" href="https://id.ndl.go.jp/auth/ndlna/00562019">NDL</a> <b>·</b> <a rel="nofollow" class="external text" href="https://aleph.nkp.cz/F/?func=find-c&local_base=aut&ccl_term=ica=ph119950">NKC</a> <b>·</b> <a rel="nofollow" class="external text" href="https://datos.bne.es/resource/XX528989">BNE</a> <b>·</b> <a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.bbc.co.uk/things/01a54ab6-887c-463e-aecd-2d17907b7a09">BBC Things</a></div></td></tr></tbody></table></div>    </div><noscript><img src="https://login.wikimedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;"></noscript> <div class="printfooter" data-nosnippet="">Hentet fra «<a dir="ltr" href="https://no.wikipedia.org/w/index.php?title=Entropi&oldid=24692451">https://no.wikipedia.org/w/index.php?title=Entropi&oldid=24692451</a>»</div></div> <div id="catlinks" class="catlinks" data-mw="interface"><div id="mw-normal-catlinks" class="mw-normal-catlinks"><a href="/wiki/Kategori:Kategorier" title="Kategori:Kategorier">Kategorier</a>: <ul><li><a href="/wiki/Kategori:Fysikk" title="Kategori:Fysikk">Fysikk</a></li><li><a href="/wiki/Kategori:Kjemi" title="Kategori:Kjemi">Kjemi</a></li><li><a href="/wiki/Kategori:Termodynamikk" title="Kategori:Termodynamikk">Termodynamikk</a></li><li><a href="/wiki/Kategori:Dynamiske_systemer" title="Kategori:Dynamiske systemer">Dynamiske systemer</a></li></ul></div><div id="mw-hidden-catlinks" class="mw-hidden-catlinks mw-hidden-cats-hidden">Skjulte kategorier: <ul><li><a href="/wiki/Kategori:Sider_som_bruker_magiske_ISBN-lenker" title="Kategori:Sider som bruker magiske ISBN-lenker">Sider som bruker magiske ISBN-lenker</a></li><li><a href="/wiki/Kategori:Artikler_med_autoritetsdatalenker_fra_Wikidata" title="Kategori:Artikler med autoritetsdatalenker fra Wikidata">Artikler med autoritetsdatalenker fra Wikidata</a></li></ul></div></div> </div> </main> </div> <div class="mw-footer-container"> <footer id="footer" class="mw-footer" > <ul id="footer-info"> <li id="footer-info-lastmod"> Denne siden ble sist redigert 22. sep. 2024 kl. 10:07.</li> <li id="footer-info-copyright">Innholdet er tilgjengelig under <a rel="nofollow" class="external text" href="https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/deed.no">Creative Commons-lisensen Navngivelse-DelPåSammeVilkår</a>, men ytterligere betingelser kan gjelde. Se <a class="external text" href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/Policy:Terms_of_Use">bruksvilkårene</a> for detaljer.</li> </ul> <ul id="footer-places"> <li id="footer-places-privacy"><a href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/Policy:Privacy_policy">Personvern</a></li> <li id="footer-places-about"><a href="/wiki/Wikipedia:Om">Om Wikipedia</a></li> <li id="footer-places-disclaimers"><a href="/wiki/Wikipedia:Generelle_forbehold">Forbehold</a></li> <li id="footer-places-wm-codeofconduct"><a href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/Policy:Universal_Code_of_Conduct">Atferdsnorm</a></li> <li id="footer-places-developers"><a href="https://developer.wikimedia.org">Utviklere</a></li> <li id="footer-places-statslink"><a href="https://stats.wikimedia.org/#/no.wikipedia.org">Statistikk</a></li> <li id="footer-places-cookiestatement"><a href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/Policy:Cookie_statement">Erklæring om informasjonskapsler</a></li> <li id="footer-places-mobileview"><a href="//no.m.wikipedia.org/w/index.php?title=Entropi&mobileaction=toggle_view_mobile" class="noprint stopMobileRedirectToggle">Mobilvisning</a></li> </ul> <ul id="footer-icons" class="noprint"> <li id="footer-copyrightico"><a href="https://wikimediafoundation.org/" class="cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--size-large cdx-button--fake-button--enabled"><img src="/static/images/footer/wikimedia-button.svg" width="84" height="29" alt="Wikimedia Foundation" loading="lazy"></a></li> <li id="footer-poweredbyico"><a href="https://www.mediawiki.org/" class="cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--size-large cdx-button--fake-button--enabled"><img src="/w/resources/assets/poweredby_mediawiki.svg" alt="Powered by MediaWiki" width="88" height="31" loading="lazy"></a></li> </ul> </footer> </div> </div> </div> <div class="vector-settings" id="p-dock-bottom"> <ul></ul> </div><script>(RLQ=window.RLQ||[]).push(function(){mw.config.set({"wgHostname":"mw-web.codfw.canary-8467977cd8-wk58v","wgBackendResponseTime":236,"wgPageParseReport":{"limitreport":{"cputime":"0.317","walltime":"0.791","ppvisitednodes":{"value":1377,"limit":1000000},"postexpandincludesize":{"value":11678,"limit":2097152},"templateargumentsize":{"value":2574,"limit":2097152},"expansiondepth":{"value":8,"limit":100},"expensivefunctioncount":{"value":9,"limit":500},"unstrip-depth":{"value":0,"limit":20},"unstrip-size":{"value":11035,"limit":5000000},"entityaccesscount":{"value":10,"limit":400},"timingprofile":["100.00% 305.777 1 -total"," 94.70% 289.573 1 Mal:Autoritetsdata"," 35.59% 108.834 1 Mal:Navboks"," 34.03% 104.069 1 Mal:Navbox"," 1.03% 3.157 30 Mal:Nowrap"]},"scribunto":{"limitreport-timeusage":{"value":"0.201","limit":"10.000"},"limitreport-memusage":{"value":5797896,"limit":52428800}},"cachereport":{"origin":"mw-web.eqiad.main-565d46677b-r5dp6","timestamp":"20241128120504","ttl":2592000,"transientcontent":false}}});});</script> <script type="application/ld+json">{"@context":"https:\/\/schema.org","@type":"Article","name":"Entropi","url":"https:\/\/no.wikipedia.org\/wiki\/Entropi","sameAs":"http:\/\/www.wikidata.org\/entity\/Q45003","mainEntity":"http:\/\/www.wikidata.org\/entity\/Q45003","author":{"@type":"Organization","name":"Bidragsytere til Wikimedia-prosjektene"},"publisher":{"@type":"Organization","name":"Wikimedia Foundation, Inc.","logo":{"@type":"ImageObject","url":"https:\/\/www.wikimedia.org\/static\/images\/wmf-hor-googpub.png"}},"datePublished":"2004-10-13T20:01:28Z","dateModified":"2024-09-22T09:07:11Z","image":"https:\/\/upload.wikimedia.org\/wikipedia\/commons\/0\/0c\/Ice_water.jpg"}</script> </body> </html>