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<!DOCTYPE html> <html class="client-nojs" lang="de" dir="ltr"> <head> <meta charset="UTF-8"> <title>Quelltext der Seite Atomorbital – Wikipedia</title> <script>(function(){var className="client-js";var cookie=document.cookie.match(/(?:^|; )dewikimwclientpreferences=([^;]+)/);if(cookie){cookie[1].split('%2C').forEach(function(pref){className=className.replace(new RegExp('(^| )'+pref.replace(/-clientpref-\w+$|[^\w-]+/g,'')+'-clientpref-\\w+( |$)'),'$1'+pref+'$2');});}document.documentElement.className=className;}());RLCONF={"wgBreakFrames":true,"wgSeparatorTransformTable":[",\t.",".\t,"],"wgDigitTransformTable":["",""],"wgDefaultDateFormat":"dmy","wgMonthNames":["","Januar","Februar","März","April","Mai","Juni","Juli","August","September","Oktober","November","Dezember"],"wgRequestId":"f4fe5616-65bb-489d-9b96-f05295404095","wgCanonicalNamespace":"","wgCanonicalSpecialPageName":false,"wgNamespaceNumber":0,"wgPageName":"Atomorbital","wgTitle":"Atomorbital","wgCurRevisionId":253268261,"wgRevisionId":0,"wgArticleId":42455,"wgIsArticle":false,"wgIsRedirect":false,"wgAction":"edit","wgUserName":null,"wgUserGroups":["*"],"wgCategories":[],"wgPageViewLanguage":"de","wgPageContentLanguage":"de","wgPageContentModel":"wikitext","wgRelevantPageName":"Atomorbital","wgRelevantArticleId":42455,"wgIsProbablyEditable":true,"wgRelevantPageIsProbablyEditable":true,"wgRestrictionEdit":[],"wgRestrictionMove":[],"wgNoticeProject":"wikipedia","wgCiteReferencePreviewsActive":true,"wgFlaggedRevsParams":{"tags":{"accuracy":{"levels":1}}},"wgStableRevisionId":253268261,"wgMediaViewerOnClick":true,"wgMediaViewerEnabledByDefault":true,"wgPopupsFlags":0,"wgVisualEditor":{"pageLanguageCode":"de","pageLanguageDir":"ltr","pageVariantFallbacks":"de"},"wgMFDisplayWikibaseDescriptions":{"search":true,"watchlist":true,"tagline":true,"nearby":true},"wgWMESchemaEditAttemptStepOversample":false,"wgWMEPageLength":30000,"wgEditSubmitButtonLabelPublish":true,"wgULSPosition":"interlanguage","wgULSisCompactLinksEnabled":true,"wgVector2022LanguageInHeader":false,"wgULSisLanguageSelectorEmpty":false,"wgCheckUserClientHintsHeadersJsApi":["brands","architecture","bitness","fullVersionList","mobile","model","platform","platformVersion"],"GEHomepageSuggestedEditsEnableTopics":true,"wgGETopicsMatchModeEnabled":false,"wgGEStructuredTaskRejectionReasonTextInputEnabled":false,"wgGELevelingUpEnabledForUser":false}; 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Die Isofläche ist jeweils so gewählt, dass sich das Elektron innerhalb des von der Isofläche umschlossenen Volumens mit 90 % Wahrscheinlichkeit aufhält.]] Ein '''Atomorbital''' ist in den [[Quantenmechanik|quantenmechanischen]] Modellen der [[Atom]]e die räumliche [[Wellenfunktion]] eines einzelnen [[Elektron]]s in einem [[Quantenmechanik#Stationäre Zustände|quantenmechanischen Zustand]]<ref>https://goldbook.iupac.org/terms/view/A00500</ref>, meist in einem stationären Zustand. Sein [[Formelzeichen]] ist meist <math>\varphi</math> (kleines [[Phi]]) oder <math>\psi</math> (kleines [[Psi (Buchstabe)|Psi]]). Das [[Betragsfunktion|Betrags]]<nowiki/>quadrat <math>|\psi(\vec r)|^2</math> als [[Dichtefunktion]] wird interpretiert als die räumliche Verteilung der [[Aufenthaltswahrscheinlichkeit]], mit der das Elektron am Ort <math>\vec r = (x,y,z)</math> gefunden werden kann ([[Bornsche Wahrscheinlichkeitsinterpretation]] der Quantenmechanik). Zusammen mit der Angabe, ob der [[Spin]] zu einer festen Achse oder zum [[Bahndrehimpuls]] des Elektrons parallel oder antiparallel ausgerichtet ist, beschreibt ein Orbital den Elektronenzustand vollständig. In den älteren [[Liste der Atommodelle|Atommodellen]] nach Niels Bohr ([[Bohrsches Atommodell]], 1913) und Arnold Sommerfeld ([[Bohr-Sommerfeldsches Atommodell]], 1916) beschreibt ein Orbital eine genaue, durch die [[Quantisierung (Physik)|Quantisierungsregeln]] ausgewählte Elektronenbahn. Diese Vorstellung wurde in der Quantenmechanik zugunsten einer diffusen Verteilung der Aufenthaltswahrscheinlichkeit des Elektrons aufgegeben. Das quantenmechanische Atomorbital erstreckt sich für gebundene Elektronen vom [[Atomkern]] im Zentrum nach außen bis ins Unendliche, wobei die Aufenthaltswahrscheinlichkeit außerhalb weniger 0,1 nm typischerweise sehr klein ist und für größeren Abstand [[asymptotisch]] weiter gegen null geht. Der wahrscheinlichste Abstand vom Atomkern ist für das innerste Orbital gleich dem Radius der 1.&nbsp;bohrschen Kreisbahn. Anschaulich stellt man ein Orbital gewöhnlich durch die Oberfläche des kleinstmöglichen Volumens dar, in dessen Inneren sich das Elektron mit großer Wahrscheinlichkeit aufhält. Man erhält damit Körper, die ungefähr der Größe und Form der Atome entsprechen, wie sie sich in chemischen [[Molekül]]en, [[Kondensierte Materie|kondensierter Materie]] und der [[Kinetische Gastheorie|kinetischen Gastheorie]] bemerkbar machen. Die gebräuchlichsten Atomorbitale sind die, die sich für das einzige Elektron des Wasserstoffatoms als Lösungen der [[Schrödingergleichung]] des [[Wasserstoffproblem]]s ergeben und 1926 erstmals veröffentlicht wurden. Sie haben verschiedene Formen, die mit <math>\psi_{nlm_l}(\vec r)</math> bezeichnet werden, wobei der untere Index aus der Haupt[[quantenzahl]]&nbsp;<math>n,</math> der Bahndrehimpulsquantenzahl&nbsp;<math>l</math> und der magnetischen Quantenzahl&nbsp;<math>m_l</math> besteht. Im '''Orbitalmodell''' für Atome mit mehreren Elektronen nimmt man an, dass die Elektronen sich unter Berücksichtigung des [[Pauli-Prinzip]]s auf die Orbitale verteilen. Ein solcher Zustand heißt [[Elektronenkonfiguration]] und stellt oft eine brauchbare [[Approximation#Funktionen|Näherung]] für die Struktur der [[Atomhülle]] dar, obwohl diese durch zusätzliche Elektronenkorrelationen noch komplizierter ist. Zur Beschreibung von Elektronen in Molekülen werden [[Molekülorbital]]e als [[Linearkombination]] von Atomorbitalen gebildet. Elektronen in Festkörpern werden durch Orbitale beschrieben, die die Form von [[Blochwellenfunktion]]en haben. In diesem Artikel wird nur auf gebundene Elektronen in Atomen eingegangen. Eine Vereinfachung des Orbitalmodells ist das [[Schalenmodell (Atomphysik)|Schalenmodell]]. == Darstellung == [[Datei:Orbital s1.png|mini|Darstellung der Wahrscheinlichkeitsdichte des 1s-Orbitals mithilfe einer (sehr feinen) Punktwolke]] Da die Wellenfunktion <math>\Psi</math> von drei Variablen abhängt und im Allgemeinen komplexe Werte hat, ist eine vollständige grafische Darstellung in einer Abbildung nicht möglich. Häufig zeigen Bilder von Orbitalen eine Darstellung der Wahrscheinlichkeitsdichte <math>|\Psi(\vec{r})|^2</math>. Dabei wird die Wahrscheinlichkeitsdichte z.&nbsp;B. als [[Punktwolke]] visualisiert: Viele dicht liegende Punkte deuten große Wahrscheinlichkeitsdichte an, während in Gebieten geringer Wahrscheinlichkeitsdichte wenige Punkte eingezeichnet werden. Da die Wahrscheinlichkeitsdichte sich im Prinzip ins Unendliche erstreckt, lässt sich keine äußere Begrenzung des Orbitals angeben. Stattdessen kann man [[Isofläche]]n gleicher Wahrscheinlichkeitsdichte zeichnen, die durch : <math>\text{const}=|\Psi(\vec{r})|^2</math> definiert sind. Häufig wird die Konstante so gewählt, dass die Wahrscheinlichkeit, das Elektron in dem von der Isofläche umschlossenen Raum zu finden, 90 % beträgt. Durch Abtasten verschiedener Winkel <math>\theta, \phi</math> erfährt man etwas über die Form der Isofläche und somit etwas über die „Form des Orbitals“. Wie vom Wasserstoffatom bekannt ist, haben die Eigenfunktionen <math>\Psi(\vec{r})</math> der [[Stationäre Schrödingergleichung|stationären Schrödingergleichung]] <math>H \Psi(\vec{r})=E\Psi(\vec{r})</math> einen Radialanteil <math>R(r)</math> und einen Winkelanteil <math>Y_l^m(\theta,\phi)</math>: : <math>\Psi(\vec{r})=R(r)Y_l^m(\theta,\phi)</math> Da die Winkelabhängigkeit durch eine universelle Kugelfächenfunktion <math>Y_l^m(\theta,\phi)</math> gegeben ist, steckt die jeweils spezifische Information im Radialanteil <math>R(r)</math>, der als reellwertige Funktion einer reellen Variablen grafisch dargestellt werden kann. Nicht selten wird bei der Darstellung einer Isofläche von <math>|\Psi(\vec{r})|^2</math> die Fläche entsprechend dem [[Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|komplexen Argument]] von <math>\Psi(\vec{r})</math> koloriert (wie in dem Bild des p-Orbitals). Eine einfache Art der schematischen Darstellung der Besetzung von Atomorbitalen ist die [[Pauling-Schreibweise]]. == Klassifikation == Atomorbitale können durch drei Quantenzahlen <math>n, l, m_l</math> festgelegt werden und bieten dann Platz für zwei Elektronen mit entgegengesetztem [[Spin]]. Alternativ können Atomorbitale durch vier [[Quantenzahl|Quantenzahlen]] <math>n, l, j, m_j</math> festgelegt werden und bieten dann Platz für nur jeweils ein Elektron. === Hauptquantenzahl ''n'': Schale === Die Hauptquantenzahl <math>n = 1, 2, 3 \dotsc</math> bezeichnet die [[Schalenmodell (Atomphysik)|Schale]] (Bezeichnung auch K-Schale, L-Schale, M-Schale&nbsp;…), zu der das Orbital gehört. Im bohrschen Atommodell gibt <math>n</math> das [[Energieniveau]] an, beginnend mit dem tiefsten, dem [[Grundzustand]] <math>n = 1.</math> Als ungefähre Regel gilt: Je größer <math>n</math>, desto geringer die [[Bindungsenergie]] des Elektrons und damit desto größer die Wahrscheinlichkeit, das Elektron weiter entfernt vom Atomkern zu finden. Das gilt auch für Atome mit mehreren Elektronen. Bei Wechselwirkungen zwischen Atomen, die sich nahe kommen, (wie [[Stoß (Physik)|Stößen]] von Gasmolekülen, Raumerfüllung in kondensierter Materie, [[Chemische Bindung|chemischen Bindungen]]) spielen deshalb die Elektronen mit der größten Hauptquantenzahl die wichtigste Rolle (die Elektronen der [[Valenzschale]]). Die Anzahl der <math>(n l m_l)</math>-Orbitale in einer Schale ergibt sich zu <math>n^2.</math> Unter Berücksichtigung des [[Pauli-Prinzip]]s kann die Schale mit maximal <math>2 \cdot n^2</math> Elektronen besetzt werden, dann ist sie ''abgeschlossen.'' Die entsprechenden Atome gehören zu den [[Edelgas]]en. === Neben- oder Bahndrehimpuls-Quantenzahl ''l'' === ==== Form ==== Die Neben- oder Bahndrehimpulsquantenzahl <math>l = 0, 1, 2 \dotsc, (n-1)</math> innerhalb einer Schale beschreibt den Betrag <math>|\vec l| = \hbar \cdot \sqrt{l(l+1)}</math> des [[Bahndrehimpuls]]es des Elektrons. Mit der Quantenzahl <math>m_l</math> zusammen wird damit die winkelabhängige „Form“ des Orbitals festgelegt. Sie ist für alle Hauptquantenzahlen (beachte <math>n > l</math>) dieselbe. Statt der Ziffern ''0, 1, 2&nbsp;…'' wird die Nebenquantenzahl in der Literatur meist durch die Buchstaben ''s, p, d, f&nbsp;…'' bezeichnet, abgeleitet von den ursprünglich gebrauchten Bezeichnungen ''„sharp, principal, diffus, fundamental“'' für die korrespondierenden [[Spektrallinien]]; diese konkrete Bedeutung ist seit langem unwesentlich geworden: {| class="wikitable hintergrundfarbe-basis" |- ! <math>p_z</math>-Orbital ! <math>d</math>-Orbitale ! <math>4p</math>-Orbital |- | [[Datei:Pz orbital.png|zentriert|120px]] | [[Datei:Orbitalesd.JPG|zentriert|300px]] | [[Datei:Atomic-orbital-cloud n4 px.png|zentriert|200px]] |- | Vereinfachte Form eines p-Orbitals <math>(l = 1)</math>.<br />Die Färbung steht für das Vorzeichen der Wellenfunktion. Dargestellt ist eine Isofläche von <math>|\Psi(\vec{r})|^2</math>. | Vereinfachte Formen der verschiedenen d-Orbitale (jeweils <math>l = 2</math>). Für die jeweiligen Orbitale ist eine Isofläche der Wahrscheinlichkeitsdichte <math>|\Psi(\vec{r})|^2</math> dargestellt. | Form eines 4p-Orbitals <math>(l = 1, \, m_x = 0)</math>.<br />Die Färbung steht für das Vorzeichen der Wellenfunktion. |} {| class="wikitable centered" style="text-align:center" |- ! Name !! ehemalige Bedeutung !! Nebenquantenzahl !! Form !! Anzahl <math>2l+1</math> |- |s-Orbital || '''''s'''harp'' || <math>\, l = 0</math> || [[kugelsymmetrisch]] || {{0}}1 |- |p-Orbital || '''''p'''rincipal'' || <math>\, l = 1</math> || [[hantel]]<nowiki />förmig || {{0|000}}3{{FN|A2}} |- |d-Orbital || '''''d'''iffuse'' || <math>\, l = 2</math> || gekreuzte Doppelhantel || {{0}}5 |- |f-Orbital || '''''f'''undamental'' || <math>\, l = 3</math> || [[Rosette (Ornamentik)|rosetten]]<nowiki />förmig || {{0}}7 |- |g-Orbital{{FN|A1}} || (alphabetische Fortsetzung) || <math>\, l = 4</math> || rosettenförmig || {{0}}9 |- |h-Orbital{{FN|A1}} || (alphabetische Fortsetzung) || <math>\, l = 5</math> || rosettenförmig || 11 |} '''Anmerkungen:''' {{FNBox| {{FNZ|A1|Kann als [[angeregter Zustand]] vorkommen. Für den [[Grundzustand]] wird es theoretisch erst für Atome ab der [[Unbiunium|Ordnungszahl 121]] erwartet.}} {{FNZ|A2|Entsprechend den drei Raumachsen.}}}} Die Orbitale charakterisieren streng genommen nur die stationären [[Materiewelle|Elektronen-Wellen]] in Systemen mit nur einem Elektron (wie z.&nbsp;B. [[Wasserstoff]]atom&nbsp;H, [[Helium]]ion&nbsp;He<sup>+</sup>, [[Lithium]]ion&nbsp;Li<sup>2+</sup> usw.). Da die Form der Orbitale auch in Mehrelektronensystemen in etwa erhalten bleibt, reicht ihre Kenntnis aus, um viele qualitative Fragen zur chemischen Bindung und zum Aufbau von Stoffen zu beantworten. Dabei ist zu beachten, dass die in der Literatur dargestellten Orbitale zuweilen ''nicht'' die [[Eigenzustand|Eigenzustände]] zur magnetischen Quantenzahl <math>m_l</math> der z-Komponente des [[Drehimpulsoperator]]s <math>\hat l_z</math> sind. Z.&nbsp;B. wird von den p-Orbitalen nur der eine Eigenzustand für den [[Eigenwert]] <math>m_l\mathord =0</math> dargestellt und als p<sub>z</sub> bezeichnet. Die mit p<sub>x</sub> und p<sub>y</sub> bezeichneten Orbitale sind jedoch ''nicht'' die entsprechenden Eigenzustände für <math>m_l = \pm 1,</math> sondern sind deren [[Superposition (Physik)|Superpositionen]]. Sie sind Eigenzustände zu den Operatoren <math>\hat l_x</math> bzw. <math>\hat l_y,</math> jeweils zu <math>m_{x,y}\mathord =0,</math> die aber nicht mit <math>\hat l_z</math> kommutieren. Für die Schlussfolgerungen ist das kein Problem, solange die entsprechenden Wellenfunktionen [[orthogonal]] sind. ==== Unterschale ==== Je größer <math>l</math>, desto größer ist bei festem <math>n</math> die mittlere Entfernung des Elektrons vom Atomkern: * Bei <math>l = 0</math> ist das Orbital kugelförmig und hat auch bei <math>r = 0</math>, also im Kern, eine nichtverschwindende Aufenthaltswahrscheinlichkeit. * Der Maximalwert <math>l = n-1</math> entspricht der bohrschen Kreisbahn, hier konzentriert sich die Aufenthaltswahrscheinlichkeit bei dem im bohrschen Modell berechneten Radius. Da bei Atomen mit mehreren Elektronen die [[Inneres Elektron|inneren Elektronen]] die anziehende [[Kernladung]] [[Abschirmung (Atomphysik)|abschirmen]], verringert sich die Bindungsenergie der äußeren Elektronen. Da die mittleren Kernabstände von der Nebenquantenzahl abhängen, ergeben sich zum gleichen <math>n</math> je nach Nebenquantenzahl verschiedene Energieniveaus innerhalb derselben Schale. Diese werden auch als ''Unterschalen'' der ''Hauptschale'' (zu festem <math>n</math>) bezeichnet. Die Anzahl der Unterschalen je Schale ist gleich der Hauptquantenzahl <math>n</math>: * Für <math>n = 1</math> gibt es nur die 1s-Schale. * Für <math>n = 2</math> gibt es zu <math>l = 0, 1</math> die 2s- und die 2p-Schale. * Für <math>n = 3</math> sind drei Unterschalen <math>l = 0, 1, 2</math> möglich, die mit 3s, 3p, 3d bezeichnet werden. Pro Unterschale gibt es <math>2l+1</math> Orbitale (jeweils mit anderer Magnetquantenzahl <math>m_l</math>, s.&nbsp;folgenden Abschnitt), was auf insgesamt <math>n^2</math> Orbitale pro Schale führt. === Magnetquantenzahl ''m<sub>l</sub>'': Neigung des Drehimpulsvektors === Die Magnetquantenzahl : <math>m_l = -l, -(l-1), \dotsc, 0, \dotsc, (l-1), l</math> gibt die z-Komponente <math>m_l \hbar</math> des Bahndrehimpulsvektors gegenüber einer (frei gewählten) z-Achse an. Das entspricht anschaulich einem Neigungswinkel : <math>\cos \vartheta = \frac{m_l}{\sqrt{l(l+1)}}.</math> * Bei <math>m_l = +l \Leftrightarrow \cos \vartheta = \text{max} \Leftrightarrow \vartheta \approx 0^\circ</math> liegt der Bahndrehimpuls (etwa) [[Parallelität (Vektorrechnung)|parallel]] zur Achse, * bei <math>m_l = -l \Leftrightarrow \cos \vartheta = \text{min} \Leftrightarrow \vartheta \approx 180^\circ</math> (etwa) [[Antiparallelität (Vektorrechnung)|antiparallel]]. Dass bei gegebenem <math>l</math> genau <math>2l+1</math> verschiedene Werte möglich sind, wird als [[Richtungsquantelung]] bezeichnet. Wenn kein äußeres Feld anliegt, haben die <math>2l+1</math> einzelnen Orbitale einer Unterschale gleiche Energie. Dagegen spaltet im [[Magnetismus|Magnetfeld]] die Energie innerhalb der Unterschale in <math>2l+1</math> äquidistante Werte auf ([[Zeeman-Effekt]]), d.&nbsp;h., jedes einzelne Orbital entspricht dann einem separaten Energieniveau. === Magnetische Spinquantenzahl ''m<sub>s</sub>'' === Bei den leichteren Atomen braucht man den [[Elektronenspin]] nur in der Form zu berücksichtigen, dass jedes Orbital <math>\psi_{nlm_l}</math> von genau einem [[Elektronenpaar]] besetzt werden kann, dessen zwei Elektronen nach dem Pauli-Prinzip entgegengesetzte magnetische Spinquantenzahlen aufweisen (<math>m_s = \pm \tfrac{1}{2}</math>). === Gesamtdrehimpuls ''j'' und magnetische Quantenzahl ''m<sub>j</sub>'' === Zu den schweren Atomen hin wird die [[Spin-Bahn-Wechselwirkung]] stärker. Sie bewirkt die Aufspaltung der Energie einer Unterschale mit bestimmten <math>n > 1, l > 0</math> in zwei Unterschalen, je nach Wert des Gesamtdrehimpulses <math>j = l \pm \tfrac{1}{2}.</math> Die magnetische Quantenzahl <math>m_j = -j, -(j-1), \dotsc, +j</math> durchläuft <math>2j+1</math> Werte. Jedes dieser Orbitale kann von einem Elektron besetzt werden, sodass die Gesamtzahl der Plätze gleich bleibt. In der Bezeichnung wird der Wert für <math>j</math> als unterer Index an das Symbol für <math>nl</math> angefügt, z.&nbsp;B. <math>2p_{3/2}.</math> == Quantentheorie == {{Hauptartikel|Wasserstoffproblem}} Aus der nichtrelativistischen Quantentheorie ergeben sich die Orbitale wie folgt: Die Wechselwirkung zwischen Elektron und Atomkern wird durch das [[Coulombsches Gesetz|Coulombpotential]] beschrieben, der Atomkern als fix angenommen. Der [[Hamiltonoperator]] für das [[Ein-Elektron-System]] ist : <math>\hat{H} = \frac{\hat{p}^2}{2m} + V(r)</math> mit dem Potential : <math>V(r) = \frac{Ze}{r} </math>. Da der Hamiltonoperator mit dem Drehimpulsoperator kommutiert, bilden <math>\hat H,</math> <math>\hat l^2</math> und <math>\hat l_z</math> ein [[Vollständiger Satz kommutierender Observablen|vollständiges System kommutierender Observablen]]. Zu diesen drei Operatoren gibt es also gemeinsame Eigenzustände, die durch die drei zugehörigen Quantenzahlen <math>n, l, m_l</math> bestimmt sind. Die Schrödingergleichung : <math>\hat{H} \cdot \psi_{n, l, m_l}(r, \vartheta, \phi) = E_{n, l, m_l} \cdot \psi_{n, l, m_l}(r, \vartheta, \phi)</math> lässt sich in einen radius- und einen winkelabhängigen Teil zerlegen. Die Eigenfunktionen <math>\psi_{n, l, m_l}</math> sind das Produkt aus einer [[Kugelflächenfunktion]] <math>Y_{lm_l}(\vartheta, \varphi)</math> (Eigenfunktion des Drehimpulsoperators) und einer radialen Funktion <math>\Phi_{nl}(r)\colon</math> : <math>\psi_{n, l, m_l}(r, \vartheta, \phi) = Y_{lm_l}(\vartheta, \varphi) \cdot \Phi_{nl}(r)</math> Diese sind bis <math>n\mathord = 3</math> in der folgenden Tabelle normiert dargestellt. Dabei bezeichnen <math>a_0</math> den [[Bohrscher Radius|Bohrschen Radius]] und <math>Z</math> die Kernladungszahl. Die in der folgenden Tabelle dargestellten Orbitale sind alle um die z-Achse ausgerichtet, weil es sich um Eigenfunktionen des <math>\hat l_z</math>-Operators handelt. Für Ausrichtung eines Orbitals mit gegebenem Bahndrehimpuls <math>l</math> in eine beliebige andere Richtung muss man Linearkombinationen der Wellenfunktionen zu den verschiedenen <math>m_l</math> bilden. Die grafische Darstellung zeigt ein Volumen, auf dessen Oberfläche die Aufenthaltswahrscheinlichkeitsdichte <math>|\psi(\vec r)|^2</math> konstant ist. Die Farben kodieren die komplexe Phase der Wellenfunktion.  {| class="wikitable" |+ Komplexe Wellenfunktionen in [[Wasserstoffähnliches Ion|wasserstoffähnlichen Atomen]] ! Orbital ! colspan="4"| Wellenfunktion des Orbitals ! Form des Orbitals <math>\psi_{n,l,m_l}(\vec{r})</math><br>(nicht maßstäblich<ref>Die Darstellung zeigt ein Volumen, auf dessen Oberfläche die Aufenthaltswahrscheinlichkeitsdichte <math>|\psi(\vec r)|^2</math> konstant ist. Die Farben kodieren die komplexe Phase der Wellenfunktion.</ref>) |- ! !! <math>n</math> !! <math>l</math> !! <math>m_l</math> !! <math>\psi_{n,l,m_l}(r,\theta,\phi)</math> !! |- | 1s || 1 || 0 || {{0}}0 || <math>\frac{1}{\sqrt{\pi}}\left(\frac{Z}{a_0}\right)^\frac{3}{2} e^{-\textstyle\frac{Zr}{a_0}}</math> |style="text-align:center"|[[Datei:Hydrogen eigenstate n1 l0 m0 wedgecut.png|45px|1s-Orbital]] |- | 2s || 2 || 0 || {{0}}0 || <math>\frac{1}{4\sqrt{2\pi}}\left(\frac{Z}{a_0}\right)^\frac{3}{2}\left(2-\frac{Zr}{a_0}\right)e^{-\textstyle\frac{Zr}{2a_0}}</math> |style="text-align:center"|[[Datei:Hydrogen eigenstate n2 l0 m0 wedgecut.png|75px|2s-Orbital]] |- | 2p<sub>0</sub> || 2 || 1 || {{0}}0 || <math>\frac{1}{4\sqrt{2\pi}}\left(\frac{Z}{a_0}\right)^\frac{3}{2}\frac{Zr}{a_0}e^{-\textstyle\frac{Zr}{2a_0}}\cos\theta</math> |style="text-align:center"|[[Datei:Hydrogen eigenstate n2 l1 m0.png|75px|2p<sub>0</sub>-Orbital]] |- | 2p<sub>−1/+1</sub> || 2 || 1 || ±1 || <math>\frac{1}{8\sqrt{\pi}}\left(\frac{Z}{a_0}\right)^\frac{3}{2}\frac{Zr}{a_0}e^{-\textstyle\frac{Zr}{2a_0}}\sin\theta e^{\pm i\phi}</math> |style="text-align:center"|[[Datei:Hydrogen eigenstate n2 l1 m-1.png|75px|2p<sub>−1</sub>-Orbital]] [[Datei:Hydrogen eigenstate n2 l1 m1.png|75px|2p<sub>1</sub>-Orbital]] |- | 3s || 3 || 0 || {{0}}0 || <math>\frac{1}{81\sqrt{3\pi}}\left(\frac{Z}{a_0}\right)^\frac{3}{2}\left(27-18\frac{Zr}{a_0}+2\frac{Z^2 r^2}{a_0^2}\right)e^{-\textstyle\frac{Zr}{3a_0}}</math> |style="text-align:center"|[[Datei:Hydrogen eigenstate n3 l0 m0 wedgecut.png|105px|3s-Orbital]] |- | 3p<sub>0</sub> || 3 || 1 || {{0}}0 || <math>\frac{\sqrt{2}}{81\sqrt{\pi}}\left(\frac{Z}{a_0}\right)^\frac{3}{2}\left(6-\frac{Zr}{a_0}\right)\frac{Zr}{a_0}e^{-\textstyle\frac{Zr}{3a_0}}\cos\theta</math> |style="text-align:center"|[[Datei:Hydrogen eigenstate n3 l1 m0.png|105px|3p<sub>0</sub>-Orbital]] |- | 3p<sub>−1/+1</sub> || 3 || 1 || ±1 || <math>\frac{1}{81\sqrt{\pi}}\left(\frac{Z}{a_0}\right)^\frac{3}{2}\left(6-\frac{Zr}{a_0}\right)\frac{Zr}{a_0}e^{-\textstyle\frac{Zr}{3a_0}}\sin\theta e^{\pm i\phi}</math> |style="text-align:center"|[[Datei:Hydrogen eigenstate n3 l1 m-1.png|105px|3p<sub>−1</sub>-Orbital]] [[Datei:Hydrogen eigenstate n3 l1 m1.png|105px|3p<sub>1</sub>-Orbital]] |- | 3d<sub>0</sub> || 3 || 2 || {{0}}0 || <math>\frac{1}{81\sqrt{6\pi}}\left(\frac{Z}{a_0}\right)^\frac{3}{2}\frac{Z^2r^2}{a_0^2}e^{-\textstyle\frac{Zr}{3a_0}}(3\cos^2\theta - 1)</math> |style="text-align:center"|[[Datei:Hydrogen eigenstate n3 l2 m0.png|105px|3d<sub>0</sub>-Orbital]] |- | 3d<sub>−1/+1</sub> || 3 || 2 || ±1 || <math>\frac{1}{81\sqrt{\pi}}\left(\frac{Z}{a_0}\right)^\frac{3}{2}\frac{Z^2r^2}{a_0^2}e^{-\textstyle\frac{Zr}{3a_0}}\sin\theta\cos\theta e^{\pm i\phi}</math> |style="text-align:center"|[[Datei:Hydrogen eigenstate n3 l2 m-1.png|105px|3d<sub>−1</sub>-Orbital]] [[Datei:Hydrogen eigenstate n3 l2 m1.png|105px|3d<sub>1</sub>-Orbital]] |- | 3d<sub>−2/+2</sub> || 3 || 2 || ±2 || <math>\frac{1}{162\sqrt{\pi}}\left(\frac{Z}{a_0}\right)^\frac{3}{2}\frac{Z^2r^2}{a_0^2}e^{-\textstyle\frac{Zr}{3a_0}}\sin^2\theta e^{\pm 2i\phi}</math> |style="text-align:center"|[[Datei:Hydrogen eigenstate n3 l2 m-2.png|105px|3d<sub>−2</sub>-Orbital]] [[Datei:Hydrogen eigenstate n3 l2 m2.png|105px|3d<sub>2</sub>-Orbital]] |} == Natürliches Orbital == Ein natürliches Orbital ist ein Orbital, das sich nicht als Eigenfunktion eines Hamiltonoperators ergibt, sondern als Eigenfunktion eines [[Dichteoperator#Einteilchendichteoperator|Einelektronen-Dichteoperators]]. Dieser wird aus einem vorgegebenen Vielteilchenzustand gewonnen, der beispielsweise auch Elektronenkorrelationen enthalten kann und damit über den Rahmen eines Einzelteilchenmodells hinausgeht. Die mit den natürlichen Orbitalen gebildete [[Elektronenkonfiguration]] ergibt die beste Annäherung an den anfangs gegebenen Vielteilchenzustand, die mit einem Einzelteilchenmodell möglich ist. == Zeitabhängigkeit == Werden Orbitale als Eigenfunktionen eines Operators definiert, der zu einer Energie korrespondiert, dann sind diese Orbitale im Rahmen des gewählten Modells stationär. Beispiele hierfür sind die [[Hartree-Fock-Methode|Hartree-Fock]]-Orbitale als Eigenfunktionen des Fockoperators <math>\hat F</math> und die [[Kohn-Sham-Gleichung|Kohn-Sham]]-Orbitale, die Eigenfunktionen des Kohn-Sham-Hamilton-Operators sind. Im Gegensatz dazu sind die sogenannten ''natürlichen Orbitale,'' als Eigenfunktionen des reduzierten [[Dichteoperator#Einteilchendichteoperator|Einelektronen-Dichteoperators]], nicht stationär. == Hybridisierung == Einige [[Symmetrie (Geometrie)|Symmetrien]] von chemischen Bindungen scheinen den charakteristischen Formen der Orbitale zu widersprechen. Diese Bindungen werden durch die Bildung von [[Hybridorbital|Hybrid-Orbitalen]] verständlich, die sich bei Anwesenheit von Elektronen mit verschiedenem Bahndrehimpuls bilden können, wenn sie energetisch nahezu gleichwertig sind (siehe oben). == Mehr-Elektronen-Wellenfunktionen == Die Interpretation von Orbitalen als Wellenfunktionen je eines Elektrons ist nur bei Einzelelektronensystemen eindeutig möglich. Eine Wellenfunktion für ''N'' Elektronen kann dann konstruiert werden, indem man ''N'' Orbitale in eine [[Slater-Determinante]] einsetzt. Dies garantiert die für [[Fermion]]en notwendige Antisymmetrie der gesamten Wellenfunktion, kann aber darüber hinaus gehende [[Quantenverschränkung|Elektronenkorrelationen]] nicht darstellen. Um auch die Elektron-Elektron-Wechselwirkung näherungsweise zu berücksichtigen, können die Orbitale durch [[Hartree-Fock-Methode|Hartree-Fock]]-, Kohn-Sham-Rechnungen (siehe: [[Dichtefunktionaltheorie (Quantenphysik)|Dichtefunktionaltheorie in der Quantenphysik]]) oder MCSCF-Rechnungen (MCSCF: Multiconfiguration Self Consistent Field) bestimmt werden. Doch stets bleibt gültig, dass anders gewählte Orbitale, wenn sie linear unabhängige [[Linearkombination]]en der ursprünglichen sind, mathematisch die gleiche Slater-Determinante ergeben, sodass man aus einer gegebenen Mehrteilchen-Wellenfunktion nicht eindeutig zurückschließen kann, welches die einzelnen besetzten Orbitale sind. == Literatur == * {{Literatur |Autor=[[Wolfgang Demtröder]] |Titel=Atome, Moleküle und Festkörper |Auflage=3 |Verlag=Springer |Datum=2002 |ISBN=3-540-21473-9}} == Weblinks == {{Commonscat|Orbitals|Orbitale}} * [http://www.mikomma.de/orbitals/orbitalb.htm Wasserstoff-Orbitale] bei mikomma.de * [http://www.shef.ac.uk/chemistry/orbitron/AOs/1s/index.html 3D-Darstellungen] von Orbitalen der University of Sheffield * [http://www.orbitals.com/orb/index.html 3D-Darstellung] verschiedener Orbitale und ein Programm zur Berechnung der Bilder == Einzelnachweise == <references/> {{Normdaten|TYP=s|GND=4143331-2|LCCN=sh85009319}} [[Kategorie:Atomphysik]] [[Kategorie:Physikalische Chemie]] [[Kategorie:Theoretische Chemie]] </textarea><div class="templatesUsed"><div class="mw-templatesUsedExplanation"><p>Folgende <a href="/wiki/Hilfe:Vorlagen" title="Hilfe:Vorlagen">Vorlagen</a> werden von diesem Artikel verwendet: </p></div><ul> <li><a href="/wiki/Vorlage:0" title="Vorlage:0">Vorlage:0</a> (<a href="/w/index.php?title=Vorlage:0&action=edit" title="Vorlage:0">Quelltext anzeigen</a>) (<a href="/wiki/Hilfe:Seitenschutz" title="Hilfe:Seitenschutz">schreibgeschützt</a> (nur Administratoren))</li><li><a href="/wiki/Vorlage:Belege_fehlen" title="Vorlage:Belege fehlen">Vorlage:Belege fehlen</a> (<a href="/w/index.php?title=Vorlage:Belege_fehlen&action=edit" title="Vorlage:Belege fehlen">Quelltext anzeigen</a>) (schreibgeschützt (nur Sichter))</li><li><a href="/wiki/Vorlage:Commonscat" title="Vorlage:Commonscat">Vorlage:Commonscat</a> (<a href="/w/index.php?title=Vorlage:Commonscat&action=edit" title="Vorlage:Commonscat">Quelltext anzeigen</a>) 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