Drehmoment – Wikipedia

<!DOCTYPE html> <html class="client-nojs" lang="de" dir="ltr"> <head> <meta charset="UTF-8"> <title>Drehmoment – Wikipedia</title> <script>(function(){var className="client-js";var cookie=document.cookie.match(/(?:^|; )dewikimwclientpreferences=([^;]+)/);if(cookie){cookie[1].split('%2C').forEach(function(pref){className=className.replace(new RegExp('(^| )'+pref.replace(/-clientpref-\w+$|[^\w-]+/g,'')+'-clientpref-\\w+( |$)'),'$1'+pref+'$2');});}document.documentElement.className=className;}());RLCONF={"wgBreakFrames":false,"wgSeparatorTransformTable":[",\t.",".\t,"],"wgDigitTransformTable":["",""],"wgDefaultDateFormat":"dmy","wgMonthNames":["","Januar","Februar","März","April","Mai","Juni","Juli","August","September","Oktober","November","Dezember"],"wgRequestId":"d6d983f5-0090-499b-9618-82529fb502fb","wgCanonicalNamespace":"","wgCanonicalSpecialPageName":false,"wgNamespaceNumber":0,"wgPageName":"Drehmoment","wgTitle":"Drehmoment","wgCurRevisionId":250526885,"wgRevisionId":250526885,"wgArticleId":14774,"wgIsArticle":true,"wgIsRedirect":false,"wgAction":"view","wgUserName":null,"wgUserGroups":["*"],"wgCategories":[ "Physikalische Größenart","Klassische Mechanik"],"wgPageViewLanguage":"de","wgPageContentLanguage":"de","wgPageContentModel":"wikitext","wgRelevantPageName":"Drehmoment","wgRelevantArticleId":14774,"wgIsProbablyEditable":true,"wgRelevantPageIsProbablyEditable":true,"wgRestrictionEdit":[],"wgRestrictionMove":[],"wgNoticeProject":"wikipedia","wgCiteReferencePreviewsActive":true,"wgFlaggedRevsParams":{"tags":{"accuracy":{"levels":1}}},"wgStableRevisionId":250526885,"wgMediaViewerOnClick":true,"wgMediaViewerEnabledByDefault":true,"wgPopupsFlags":0,"wgVisualEditor":{"pageLanguageCode":"de","pageLanguageDir":"ltr","pageVariantFallbacks":"de"},"wgMFDisplayWikibaseDescriptions":{"search":true,"watchlist":true,"tagline":true,"nearby":true},"wgWMESchemaEditAttemptStepOversample":false,"wgWMEPageLength":50000,"wgRelatedArticlesCompat":[],"wgCentralAuthMobileDomain":false,"wgEditSubmitButtonLabelPublish":true,"wgULSPosition":"interlanguage","wgULSisCompactLinksEnabled":true, "wgVector2022LanguageInHeader":false,"wgULSisLanguageSelectorEmpty":false,"wgWikibaseItemId":"Q48103","wgCheckUserClientHintsHeadersJsApi":["brands","architecture","bitness","fullVersionList","mobile","model","platform","platformVersion"],"GEHomepageSuggestedEditsEnableTopics":true,"wgGETopicsMatchModeEnabled":false,"wgGEStructuredTaskRejectionReasonTextInputEnabled":false,"wgGELevelingUpEnabledForUser":false};RLSTATE={"ext.gadget.citeRef":"ready","ext.gadget.defaultPlainlinks":"ready","ext.gadget.dewikiCommonHide":"ready","ext.gadget.dewikiCommonLayout":"ready","ext.gadget.dewikiCommonStyle":"ready","ext.gadget.NavFrame":"ready","ext.globalCssJs.user.styles":"ready","site.styles":"ready","user.styles":"ready","ext.globalCssJs.user":"ready","user":"ready","user.options":"loading","ext.math.styles":"ready","ext.cite.styles":"ready","skins.vector.styles.legacy":"ready","ext.flaggedRevs.basic":"ready","mediawiki.codex.messagebox.styles":"ready", "ext.visualEditor.desktopArticleTarget.noscript":"ready","codex-search-styles":"ready","ext.uls.interlanguage":"ready","wikibase.client.init":"ready","ext.wikimediaBadges":"ready"};RLPAGEMODULES=["ext.cite.ux-enhancements","mediawiki.page.media","site","mediawiki.page.ready","mediawiki.toc","skins.vector.legacy.js","ext.centralNotice.geoIP","ext.centralNotice.startUp","ext.flaggedRevs.advanced","ext.gadget.createNewSection","ext.gadget.WikiMiniAtlas","ext.gadget.OpenStreetMap","ext.gadget.CommonsDirekt","ext.gadget.donateLink","ext.urlShortener.toolbar","ext.centralauth.centralautologin","mmv.bootstrap","ext.popups","ext.visualEditor.desktopArticleTarget.init","ext.visualEditor.targetLoader","ext.echo.centralauth","ext.eventLogging","ext.wikimediaEvents","ext.navigationTiming","ext.uls.compactlinks","ext.uls.interface","ext.cx.eventlogging.campaigns","ext.checkUser.clientHints","ext.growthExperiments.SuggestedEditSession","wikibase.sidebar.tracking"];</script> <script>(RLQ=window.RLQ||[]).push(function(){mw.loader.impl(function(){return["user.options@12s5i",function($,jQuery,require,module){mw.user.tokens.set({"patrolToken":"+\\","watchToken":"+\\","csrfToken":"+\\"}); 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width:350px;" id="Vorlage_Infobox_Physikalische_Größe" summary="Infobox Physikalische Größe"> <tbody><tr> <th colspan="2" style="background:#ABCDEF; color:inherit;"><a href="/wiki/Physikalische_Gr%C3%B6%C3%9Fe" title="Physikalische Größe">Physikalische Größe</a> </th></tr> <tr> <td style="width:130px;">Name </td> <td>Drehmoment </td></tr> <tr> <td><a href="/wiki/Formelzeichen" title="Formelzeichen">Formelzeichen</a> </td> <td><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {M}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>M</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {M}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b903a0e453efca49cfda6ba33edb465de21a6b1d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.442ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\vec {M}}}"> </td></tr> <tr> <td colspan="2" style="margin:0; padding:0;"> <table class="wikitable" style="margin:-1px; width:350px;" summary="Einheitensysteme"> <tbody><tr> <th><a href="/wiki/Gr%C3%B6%C3%9Fensystem" title="Größensystem">Größen-</a> und <a href="/wiki/Einheitensystem" title="Einheitensystem">Einheitensystem</a> </th> <th><a href="/wiki/Ma%C3%9Feinheit" title="Maßeinheit">Einheit</a> </th> <th><a href="/wiki/Dimension_(Gr%C3%B6%C3%9Fensystem)" title="Dimension (Größensystem)">Dimension</a> </th></tr> <tr> <td><a href="/wiki/Internationales_Einheitensystem" title="Internationales Einheitensystem">SI</a> </td> <td><a href="/wiki/Newtonmeter" title="Newtonmeter">Nm</a> = <a href="/wiki/Newton_(Einheit)" title="Newton (Einheit)">N</a>·<a href="/wiki/Meter" title="Meter">m</a> </td> <td><a href="/wiki/Masse_(Physik)" title="Masse (Physik)">M</a>·<a href="/wiki/L%C3%A4nge_(Physik)" title="Länge (Physik)">L</a>2·<a href="/wiki/Zeit" title="Zeit">T</a>−2 </td></tr> <tr> <td><a href="/wiki/CGS-Einheitensystem" title="CGS-Einheitensystem">cgs</a> </td> <td><a href="/wiki/Dyn_(Einheit)" title="Dyn (Einheit)">dyn</a>·<a href="/wiki/Zentimeter" class="mw-redirect" title="Zentimeter">cm</a> </td> <td><a href="/wiki/Masse_(Physik)" title="Masse (Physik)">M</a>·<a href="/wiki/L%C3%A4nge_(Physik)" title="Länge (Physik)">L</a>2·<a href="/wiki/Zeit" title="Zeit">T</a>−2 </td></tr> </tbody></table> </td></tr> </tbody></table> <figure class="mw-default-size" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Datei:Drehmoment.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/2b/Drehmoment.svg/220px-Drehmoment.svg.png" decoding="async" width="220" height="245" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/2b/Drehmoment.svg/330px-Drehmoment.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/2b/Drehmoment.svg/440px-Drehmoment.svg.png 2x" data-file-width="477" data-file-height="531" /></a><figcaption>Vektor des Drehmomentes <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {M}}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>M</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {M}}.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/32d8807b02a31886de25e57a2e6ea9635ceeccdb" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.089ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\vec {M}}.}"> Im gezeichneten Fall wirkt die Kraft <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {F}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>F</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {F}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef40edff397a115ecdce7d3518001dfcc7f37d9e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.771ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\vec {F}}}"> senkrecht zum Verbindungsvektor <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {r}}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {r}}.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4bfcf945b1d902a853b4e87240b39ccd7b54095a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.87ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle {\vec {r}}.}"></figcaption></figure> Das Drehmoment, auch Moment oder Kraftmoment, ist eine <a href="/wiki/Physikalische_Gr%C3%B6%C3%9Fe" title="Physikalische Größe">physikalische Größe</a> in der <a href="/wiki/Klassische_Mechanik" title="Klassische Mechanik">klassischen Mechanik</a>. Sie ist verbunden mit der Drehwirkung einer <a href="/wiki/Kraft" title="Kraft">Kraft</a> auf einen <a href="/wiki/K%C3%B6rper_(Physik)" title="Körper (Physik)">Körper</a>. Die <a href="/wiki/Internationales_Einheitensystem" title="Internationales Einheitensystem">international verwendete Maßeinheit</a> für das Drehmoment ist das <a href="/wiki/Newtonmeter" title="Newtonmeter">Newtonmeter</a>. Als <a href="/wiki/Formelzeichen" title="Formelzeichen">Formelzeichen</a> ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle M}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>M</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle M}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f82cade9898ced02fdd08712e5f0c0151758a0dd" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.442ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle M}"> üblich. Das Drehmoment spielt für <a href="/wiki/Rotation_(Physik)" title="Rotation (Physik)">Drehbewegungen</a> die gleiche Rolle wie die Kraft für <a href="/wiki/Translation_(Physik)" title="Translation (Physik)">geradlinige Bewegungen</a>. Ein Drehmoment kann die Rotation eines Körpers <a href="/wiki/Winkelbeschleunigung" title="Winkelbeschleunigung">beschleunigen</a> oder bremsen. Ein Drehmoment, das einen <a href="/wiki/Balken" title="Balken">Balken</a> der Länge nach <a href="/wiki/Biegung_(Mechanik)" title="Biegung (Mechanik)">verbiegt</a>, wird <a href="/wiki/Biegemoment" title="Biegemoment">Biegemoment</a> genannt. Ein Drehmoment, das einen Balken <a href="/wiki/Torsion_(Mechanik)" title="Torsion (Mechanik)">verwindet</a> ist dagegen ein <a href="/wiki/Torsionsmoment" title="Torsionsmoment">Torsionsmoment</a>. Bei Motoren bestimmt das auf die <a href="/wiki/Antriebswelle" title="Antriebswelle">Antriebswelle</a> wirkende Drehmoment zusammen mit der <a href="/wiki/Drehzahl" title="Drehzahl">Drehzahl</a> die abgegebene mechanische <a href="/wiki/Leistung_(Physik)" title="Leistung (Physik)">Leistung</a>. <div id="toc" class="toc" role="navigation" aria-labelledby="mw-toc-heading"><input type="checkbox" role="button" id="toctogglecheckbox" class="toctogglecheckbox" style="display:none" /><div class="toctitle" lang="de" dir="ltr"><h2 id="mw-toc-heading">Inhaltsverzeichnis</h2><label class="toctogglelabel" for="toctogglecheckbox"></label></div> <ul> <li class="toclevel-1 tocsection-1"><a href="#Definition">1 Definition</a> <ul> <li class="toclevel-2 tocsection-2"><a href="#Hebel">1.1 Hebel</a></li> <li class="toclevel-2 tocsection-3"><a href="#Allgemein">1.2 Allgemein</a></li> </ul> </li> <li class="toclevel-1 tocsection-4"><a href="#Maßeinheit">2 Maßeinheit</a></li> <li class="toclevel-1 tocsection-5"><a href="#Bezeichnungen_und_Abgrenzung">3 Bezeichnungen und Abgrenzung</a> <ul> <li class="toclevel-2 tocsection-6"><a href="#Drehmoment_als_Moment_erster_Ordnung">3.1 Drehmoment als Moment erster Ordnung</a></li> <li class="toclevel-2 tocsection-7"><a href="#Wortwahl_in_Naturwissenschaften_und_Technik">3.2 Wortwahl in Naturwissenschaften und Technik</a></li> <li class="toclevel-2 tocsection-8"><a href="#Spezielle_Drehmomente_in_der_Technik">3.3 Spezielle Drehmomente in der Technik</a></li> </ul> </li> <li class="toclevel-1 tocsection-9"><a href="#Arten_von_Drehmomenten">4 Arten von Drehmomenten</a> <ul> <li class="toclevel-2 tocsection-10"><a href="#Drehmoment_einer_Kraft_bezüglich_eines_Punktes">4.1 Drehmoment einer Kraft bezüglich eines Punktes</a></li> <li class="toclevel-2 tocsection-11"><a href="#Drehmoment_einer_Kraft_bezüglich_einer_Achse">4.2 Drehmoment einer Kraft bezüglich einer Achse</a></li> <li class="toclevel-2 tocsection-12"><a href="#Drehmoment_eines_Kräftepaares">4.3 Drehmoment eines Kräftepaares</a></li> <li class="toclevel-2 tocsection-13"><a href="#Herleitungen_und_Beziehungen_zwischen_den_Drehmomentarten">4.4 Herleitungen und Beziehungen zwischen den Drehmomentarten</a></li> </ul> </li> <li class="toclevel-1 tocsection-14"><a href="#Darstellungen_und_Notationen">5 Darstellungen und Notationen</a></li> <li class="toclevel-1 tocsection-15"><a href="#Abhängigkeit_vom_Bezugspunkt">6 Abhängigkeit vom Bezugspunkt</a></li> <li class="toclevel-1 tocsection-16"><a href="#Addition_von_Drehmomenten">7 Addition von Drehmomenten</a> <ul> <li class="toclevel-2 tocsection-17"><a href="#Gesamtdrehmoment">7.1 Gesamtdrehmoment</a></li> <li class="toclevel-2 tocsection-18"><a href="#Momentensatz_der_Statik">7.2 Momentensatz der Statik</a></li> </ul> </li> <li class="toclevel-1 tocsection-19"><a href="#Gleichgewicht">8 Gleichgewicht</a></li> <li class="toclevel-1 tocsection-20"><a href="#Verschiebung_von_Kräften">9 Verschiebung von Kräften</a></li> <li class="toclevel-1 tocsection-21"><a href="#Dynamik">10 Dynamik</a></li> <li class="toclevel-1 tocsection-22"><a href="#Entsprechungen_zwischen_geradliniger_Bewegung_und_Drehbewegung">11 Entsprechungen zwischen geradliniger Bewegung und Drehbewegung</a></li> <li class="toclevel-1 tocsection-23"><a href="#Messung_des_Drehmoments">12 Messung des Drehmoments</a> <ul> <li class="toclevel-2 tocsection-24"><a href="#Ruhender_Körper">12.1 Ruhender Körper</a></li> <li class="toclevel-2 tocsection-25"><a href="#Drehender_Körper">12.2 Drehender Körper</a></li> </ul> </li> <li class="toclevel-1 tocsection-26"><a href="#Drehmomente_an_ausgewählten_Maschinen">13 Drehmomente an ausgewählten Maschinen</a> <ul> <li class="toclevel-2 tocsection-27"><a href="#Elektromotoren">13.1 Elektromotoren</a></li> <li class="toclevel-2 tocsection-28"><a href="#Verbrennungsmotoren">13.2 Verbrennungsmotoren</a></li> <li class="toclevel-2 tocsection-29"><a href="#Hydraulikmotoren">13.3 Hydraulikmotoren</a></li> </ul> </li> <li class="toclevel-1 tocsection-30"><a href="#Literatur">14 Literatur</a></li> <li class="toclevel-1 tocsection-31"><a href="#Weblinks">15 Weblinks</a></li> <li class="toclevel-1 tocsection-32"><a href="#Einzelnachweise">16 Einzelnachweise</a></li> </ul> </div> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Definition">Definition</h2>[<a href="/w/index.php?title=Drehmoment&veaction=edit&section=1" title="Abschnitt bearbeiten: Definition" class="mw-editsection-visualeditor">Bearbeiten</a> | <a href="/w/index.php?title=Drehmoment&action=edit&section=1" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Definition">Quelltext bearbeiten</a>]</div> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Hebel">Hebel</h3>[<a href="/w/index.php?title=Drehmoment&veaction=edit&section=2" title="Abschnitt bearbeiten: Hebel" class="mw-editsection-visualeditor">Bearbeiten</a> | <a href="/w/index.php?title=Drehmoment&action=edit&section=2" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Hebel">Quelltext bearbeiten</a>]</div> Wenn eine Kraft <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>F</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/545fd099af8541605f7ee55f08225526be88ce57" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.741ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle F}"> rechtwinklig auf den Arm eines <a href="/wiki/Hebel_(Physik)" title="Hebel (Physik)">Hebels</a> der Länge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>r</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d1ecb613aa2984f0576f70f86650b7c2a132538" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.049ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle r}"> wirkt, beträgt das Drehmoment: <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle M=r\cdot F}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>M</mi> <mo>=</mo> <mi>r</mi> <mo>⋅</mo> <mi>F</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle M=r\cdot F}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/61c9be5c9eddab7d44a0d9529852ddb453d4f105" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:10.009ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle M=r\cdot F}"></dd></dl> Wenn die Kraft unter einem beliebigen Winkel <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varphi }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>φ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varphi }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33ee699558d09cf9d653f6351f9fda0b2f4aaa3e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:1.52ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \varphi }"> angreift, gilt: <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle M=r\cdot F\cdot \sin \varphi }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>M</mi> <mo>=</mo> <mi>r</mi> <mo>⋅</mo> <mi>F</mi> <mo>⋅</mo> <mi>sin</mi> <mo>⁡</mo> <mi>φ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle M=r\cdot F\cdot \sin \varphi }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3fd901c424df165b5d66dec80a91e93333f043c3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:16.451ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle M=r\cdot F\cdot \sin \varphi }">.</dd></dl> Für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varphi =0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>φ</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varphi =0}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/192287b02f5764a18fe39f37b8199d72000aa220" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.781ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \varphi =0}"> (Kraft und Hebelarm parallel) ist der Sinus null: es tritt kein Drehmoment auf. Für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varphi >180^{\circ }}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>φ</mi> <mo>></mo> <msup> <mn>180</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>∘</mo> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varphi >180^{\circ }}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eceaa1e732e77d1353210dcb9972d3d06da878c3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.16ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \varphi >180^{\circ }}"> ist der Sinus negativ: das Drehmoment wirkt in die entgegengesetzte Richtung. <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Allgemein">Allgemein</h3>[<a href="/w/index.php?title=Drehmoment&veaction=edit&section=3" title="Abschnitt bearbeiten: Allgemein" class="mw-editsection-visualeditor">Bearbeiten</a> | <a href="/w/index.php?title=Drehmoment&action=edit&section=3" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Allgemein">Quelltext bearbeiten</a>]</div> Generell ist das Drehmoment als <a href="/wiki/Vektor" title="Vektor">vektorielles</a> <a href="/wiki/Kreuzprodukt" title="Kreuzprodukt">Kreuzprodukt</a> definiert. Hierbei gibt die Richtung des Drehmomentvektors den Drehsinn des Drehmoments an. <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {M}}={\vec {r}}\times {\vec {F}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>M</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>×</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>F</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {M}}={\vec {r}}\times {\vec {F}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65233f004eda3cef9d71f622ee53c229fc8f4363" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:11.375ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\vec {M}}={\vec {r}}\times {\vec {F}}}"></dd></dl> Dabei ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {r}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {r}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6aec3c9ce13b53e9e24c98e7cce4212627884c91" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.223ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle {\vec {r}}}"> der Verbindungsvektor vom Bezugspunkt des Drehmoments zum Angriffspunkt der Kraft. Dieser Bezugspunkt ist frei wählbar; es muss sich nicht um den Punkt handeln, um den sich der Körper dreht (ein solcher existiert teilweise nicht) und es muss auch nicht ein Punkt des Körpers sein, auf den die Kraft wirkt. Somit ist das Drehmoment einer einzelnen Kraft (wie auch der <a href="/wiki/Drehimpuls" title="Drehimpuls">Drehimpuls</a>) nur bezüglich eines Punktes definiert, der manchmal auch explizit angegeben wird: <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {M}}^{(A)}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>M</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>A</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {M}}^{(A)}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c4acdd27b436ae3ccb0802e105e281604b766642" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.186ex; height:3.509ex;" alt="{\displaystyle {\vec {M}}^{(A)}}"> mit Bezugspunkt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>A</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}">.</dd></dl> Wirken mehrere Kräfte <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {F}}_{i}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>F</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {F}}_{i}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc39663fb74efeb6c384fb308b46f7f2f3f6fd02" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.571ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle {\vec {F}}_{i}}"> (<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle i=1,2,\dotsc }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mn>2</mn> <mo>,</mo> <mo>…</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle i=1,2,\dotsc }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65ebcaf526c9ff5aa1295ca571c9440f37e2673b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:11.017ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle i=1,2,\dotsc }">) auf verschiedene Punkte <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {r}}_{i}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {r}}_{i}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de93eb4c8bca39012a94e9809c45d7fd677bf975" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.023ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle {\vec {r}}_{i}}"> ein, so ist das gesamte Drehmoment die Vektorsumme der einzelnen Drehmomente: <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {M}}=\sum _{i}{\vec {r}}_{i}\times {\vec {F}}_{i}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>M</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>=</mo> <munder> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </munder> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>×</mo> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>F</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {M}}=\sum _{i}{\vec {r}}_{i}\times {\vec {F}}_{i}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7252d4af8a5cf720d7d086cc63481d7159586806" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:16.716ex; height:5.509ex;" alt="{\displaystyle {\vec {M}}=\sum _{i}{\vec {r}}_{i}\times {\vec {F}}_{i}}"></dd></dl> Wirken zwei parallele Kräfte auf einen Körper, die zwar denselben Betrag <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>F</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/545fd099af8541605f7ee55f08225526be88ce57" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.741ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle F}">, aber entgegengesetzte Richtung haben, und deren Wirklinien einen gewissen Abstand <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>r</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d1ecb613aa2984f0576f70f86650b7c2a132538" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.049ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle r}"> haben, so verursachen sie ein Drehmoment mit dem Betrag <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle M=F\cdot r}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>M</mi> <mo>=</mo> <mi>F</mi> <mo>⋅</mo> <mi>r</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle M=F\cdot r}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e16d600f19ced7652c54a3c944571dc3f0fc96f2" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:10.009ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle M=F\cdot r}">. Man spricht dann von einem <a href="/wiki/Kr%C3%A4ftepaar" title="Kräftepaar">Kräftepaar</a>. <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Maßeinheit">Maßeinheit</h2>[<a href="/w/index.php?title=Drehmoment&veaction=edit&section=4" title="Abschnitt bearbeiten: Maßeinheit" class="mw-editsection-visualeditor">Bearbeiten</a> | <a href="/w/index.php?title=Drehmoment&action=edit&section=4" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Maßeinheit">Quelltext bearbeiten</a>]</div> Die <a href="/wiki/Ma%C3%9Feinheit" title="Maßeinheit">Maßeinheit</a> des Drehmoments im <a href="/wiki/Internationales_Einheitensystem" title="Internationales Einheitensystem">SI</a> ist das <a href="/wiki/Newtonmeter" title="Newtonmeter">Newtonmeter</a> (Nm). Mit den <a href="/wiki/Basiseinheit" class="mw-redirect" title="Basiseinheit">Basiseinheiten</a> Kilogramm, Meter und Sekunde gilt: <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 1\ \mathrm {Nm} =1\ {\frac {\mathrm {kg\,m^{2}} }{\mathrm {s^{2}} }}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>1</mn> <mtext> </mtext> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">N</mi> <mi mathvariant="normal">m</mi> </mrow> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mtext> </mtext> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">k</mi> <mi mathvariant="normal">g</mi> <mspace width="thinmathspace" /> <msup> <mi mathvariant="normal">m</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msup> <mi mathvariant="normal">s</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 1\ \mathrm {Nm} =1\ {\frac {\mathrm {kg\,m^{2}} }{\mathrm {s^{2}} }}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e848688bb7e1a2ce685ccf65362f6c8d7326c3c5" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; width:16.867ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle 1\ \mathrm {Nm} =1\ {\frac {\mathrm {kg\,m^{2}} }{\mathrm {s^{2}} }}}"></dd></dl> Die Einheit der mechanischen <a href="/wiki/Arbeit_(Physik)" title="Arbeit (Physik)">Arbeit</a> ist ebenfalls das Newtonmeter und hat den Namen „Joule“ (1 J = 1 N·m). Für das Drehmoment darf der Einheitenname „Joule“ aber nicht verwendet werden,<a href="#cite_note-SI-Brosch-1">[1]</a> denn Drehmoment und Arbeit sind unterschiedliche physikalische Größen, die sich nicht ineinander umrechnen lassen. Arbeit wird erbracht, wenn bei einer Bewegung entlang einer Strecke eine Kraft(‑komponente) parallel zur Bewegung wirkt. Beim Drehmoment wirkt dagegen die Kraft senkrecht zu der durch den Hebelarm gebildeten Strecke. Die Arbeit ist eine <a href="/wiki/Skalar_(Mathematik)" title="Skalar (Mathematik)">skalare Größe</a>, das Drehmoment hingegen ein <a href="/wiki/Pseudovektor" title="Pseudovektor">Pseudovektor</a>. Dem Satz „Arbeit = Kraft mal Weg“ entspricht hier „Arbeit = Drehmoment mal Winkel“. Um diesen Zusammenhang darzustellen, kann für das Drehmoment als Energie pro Winkel auch die Einheit <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 1\ {\frac {\mathrm {J} }{\mathrm {rad} }}=1\ \mathrm {Nm} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>1</mn> <mtext> </mtext> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">J</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">r</mi> <mi mathvariant="normal">a</mi> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mtext> </mtext> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">N</mi> <mi mathvariant="normal">m</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 1\ {\frac {\mathrm {J} }{\mathrm {rad} }}=1\ \mathrm {Nm} }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d30fd0f7ed1517a2f4d7ee4602d90318634ab8ed" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:14.466ex; height:5.343ex;" alt="{\displaystyle 1\ {\frac {\mathrm {J} }{\mathrm {rad} }}=1\ \mathrm {Nm} }"></dd></dl> verwendet werden.<a href="#cite_note-SI-Brosch-1">[1]</a><a href="#cite_note-2">[2]</a> Dabei ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathrm {rad} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">r</mi> <mi mathvariant="normal">a</mi> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {rad} }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0be1a85dfe913bcf55fe184b7d5e06cbf043fcb5" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.367ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {rad} }"> die Maßeinheit <a href="/wiki/Radiant_(Einheit)" title="Radiant (Einheit)">Radiant</a> für ebene Winkel. In technischen Dokumenten und auf Typenschildern wird das Drehmoment in der Einheit Nm angegeben. Andere verwendete Einheiten sind z. B. <a href="/wiki/Foot-pound" title="Foot-pound"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\text{ft}}\cdot {\text{lb}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtext>ft</mtext> </mrow> <mo>⋅</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtext>lb</mtext> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\text{ft}}\cdot {\text{lb}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/527f2b5591d4859d35069ce58add05756d613fa1" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.235ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle {\text{ft}}\cdot {\text{lb}}}"></a> oder Kombinationen aus anderen (Gewichts-)Kraft- und Längeneinheiten. <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Bezeichnungen_und_Abgrenzung">Bezeichnungen und Abgrenzung</h2>[<a href="/w/index.php?title=Drehmoment&veaction=edit&section=5" title="Abschnitt bearbeiten: Bezeichnungen und Abgrenzung" class="mw-editsection-visualeditor">Bearbeiten</a> | <a href="/w/index.php?title=Drehmoment&action=edit&section=5" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Bezeichnungen und Abgrenzung">Quelltext bearbeiten</a>]</div> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Drehmoment_als_Moment_erster_Ordnung">Drehmoment als Moment erster Ordnung</h3>[<a href="/w/index.php?title=Drehmoment&veaction=edit&section=6" title="Abschnitt bearbeiten: Drehmoment als Moment erster Ordnung" class="mw-editsection-visualeditor">Bearbeiten</a> | <a href="/w/index.php?title=Drehmoment&action=edit&section=6" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Drehmoment als Moment erster Ordnung">Quelltext bearbeiten</a>]</div> <div class="hauptartikel" role="navigation">→ Hauptartikel: <a href="/wiki/Moment_(Integration)" title="Moment (Integration)">Moment (Integration)</a></div> Die Bezeichnung „Moment“ wird allgemein für Kenngrößen von Verteilungen benutzt, die sich auf die Form <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle m_{n}=\int _{\mathbb {R} }x^{n}\mathrm {d} \mu (x)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>m</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mo>∫</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> </mrow> </msub> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mi>μ</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle m_{n}=\int _{\mathbb {R} }x^{n}\mathrm {d} \mu (x)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/69d4fe703013049f1dd31e91190b3332d5aa4599" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:17.837ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle m_{n}=\int _{\mathbb {R} }x^{n}\mathrm {d} \mu (x)}"></dd></dl> bringen lassen.<a href="#cite_note-memoirs-3">[3]</a> Bei einem Drehmoment ist für das <a href="/wiki/Ma%C3%9F_(Mathematik)" title="Maß (Mathematik)">Maß</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mu }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>μ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mu }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9fd47b2a39f7a7856952afec1f1db72c67af6161" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:1.402ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mu }"> die Funktion zu nehmen, die dem Ort <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}"> eine Kraft zuordnet und die Ordnung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n=1}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n=1}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9ec7e1edc2e6d98f5aec2a39ae5f1c99d1e1425" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.656ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle n=1}"> zu wählen. Das Drehmoment ist daher das Moment erster Ordnung (Dipolmoment) einer Kraftverteilung. Anstelle einer Kraftverteilung lassen sich auch andere physikalische Größen betrachten und deren Verteilungen, wie bei einer <a href="/wiki/Multipolentwicklung" title="Multipolentwicklung">Multipolentwicklung</a>, allgemein nach Momenten entwickeln. Die so entstehenden Größen, die keine Drehmomente sind, werden auch mit Wörtern bezeichnet, die die Endung ‑moment enthalten. Beispiele sind das <a href="/wiki/Fl%C3%A4chenmoment" title="Flächenmoment">Flächenmoment</a>, das <a href="/wiki/Tr%C3%A4gheitsmoment" title="Trägheitsmoment">Trägheitsmoment</a> oder das <a href="/wiki/Magnetisches_Moment" class="mw-redirect" title="Magnetisches Moment">magnetische Moment</a>. <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Wortwahl_in_Naturwissenschaften_und_Technik">Wortwahl in Naturwissenschaften und Technik</h3>[<a href="/w/index.php?title=Drehmoment&veaction=edit&section=7" title="Abschnitt bearbeiten: Wortwahl in Naturwissenschaften und Technik" class="mw-editsection-visualeditor">Bearbeiten</a> | <a href="/w/index.php?title=Drehmoment&action=edit&section=7" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Wortwahl in Naturwissenschaften und Technik">Quelltext bearbeiten</a>]</div> In den Werken der <a href="/wiki/Theoretische_Mechanik" title="Theoretische Mechanik">theoretischen Mechanik</a> und der Physik wird die hier behandelte physikalische Größe ganz allgemein als Drehmoment bezeichnet.<a href="#cite_note-4">[4]</a> In der <a href="/wiki/Technische_Mechanik" title="Technische Mechanik">Technischen Mechanik</a> sowie bei den <a href="/wiki/DIN-Norm" title="DIN-Norm">DIN-</a> und <a href="/wiki/Verein_Deutscher_Ingenieure" title="Verein Deutscher Ingenieure">VDI</a>-Normen wird die Größe meist allgemein als Moment bezeichnet. Selten wird es ebenfalls allgemein als Drehmoment bezeichnet,<a href="#cite_note-5">[5]</a> teilweise wird die Bezeichnung Drehmoment auch als „umgangssprachlich“ abgelehnt.<a href="#cite_note-6">[6]</a> Manchmal wird Drehmoment verwendet für das Moment eines Kräftepaares.<a href="#cite_note-7">[7]</a><a href="#cite_note-8">[8]</a> Meistens wird Drehmoment nur verwendet, wenn es zu einer Drehung des betrachteten Körpers kommt,<a href="#cite_note-9">[9]</a> beispielsweise beim Festziehen von Schrauben oder bei Wellen von Motoren, aber nicht, wenn es zu einer Verformung kommt (Biege- oder Torsionsmoment) oder die Wirkung noch nicht bekannt ist (Moment). <div class="Vorlage_Kasten hintergrundfarbe-basis rahmenfarbe1" style="border-style:solid; clear:both; padding:10px;"> In diesem Artikel wird im Folgenden die Bezeichnung Drehmoment im allgemeinen Sinne verwendet, gleichbedeutend mit dem Moment der Technischen Mechanik, und ist nicht beschränkt auf Drehbewegungen oder Kräftepaare. </div> Daneben gibt es noch eine Reihe von Drehmomenten, die mit der Nachsilbe ‑moment gebildet werden, wie das Biegemoment, das Torsionsmoment oder das Antriebsmoment. Bezeichnungen wie Biege-Drehmoment oder Torsions-Drehmoment kommen nicht vor. <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Spezielle_Drehmomente_in_der_Technik"> Spezielle Drehmomente in der Technik</h3>[<a href="/w/index.php?title=Drehmoment&veaction=edit&section=8" title="Abschnitt bearbeiten: Spezielle Drehmomente in der Technik" class="mw-editsection-visualeditor">Bearbeiten</a> | <a href="/w/index.php?title=Drehmoment&action=edit&section=8" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Spezielle Drehmomente in der Technik">Quelltext bearbeiten</a>]</div> Es wird unterschieden nach Art der Beanspruchung: <ul><li><a href="/wiki/Biegemoment" title="Biegemoment">Biegemoment</a>: Ein Moment, das ein Bauteil auf <a href="/wiki/Biegung_(Mechanik)" title="Biegung (Mechanik)">Biegung</a> beansprucht.</li> <li><a href="/wiki/Torsionsmoment" title="Torsionsmoment">Torsionsmoment</a>: Das Moment, das ein Bauteil auf Verdrehung (<a href="/wiki/Torsion_(Mechanik)" title="Torsion (Mechanik)">Torsion</a>) beansprucht.</li> <li>Schnittmoment: Schnittreaktion beim <a href="/wiki/Freischneiden" class="mw-redirect" title="Freischneiden">Freischneiden</a>.</li></ul> Art der Bewegung: <ul><li>Gier-, Nick-, Wankmoment: Momente um spezielle Achsen eines <a href="/wiki/Starrer_K%C3%B6rper" title="Starrer Körper">starren Körpers</a> beim <a href="/wiki/Gierachse" title="Gierachse">Gieren</a>, <a href="/wiki/Querachse" title="Querachse">Nicken</a> und <a href="/wiki/Wanken" title="Wanken">Wanken</a>.</li></ul> Art der Wirkung: <ul><li>Anfahrmoment: Das Moment, das eine Kraftmaschine aus dem Stand leisten kann (seltener auch als <a href="/wiki/Losbrechmoment" class="mw-redirect" title="Losbrechmoment">Losbrechmoment</a> bezeichnet) oder das eine Arbeitsmaschine oder ein Fahrzeug beim Anfahren benötigt.</li> <li>Antriebsmoment: Das Moment, das an der <a href="/wiki/Welle_(Mechanik)" class="mw-redirect" title="Welle (Mechanik)">Eingangswelle</a> einer <a href="/wiki/Arbeitsmaschine" title="Arbeitsmaschine">Arbeitsmaschine</a> oder eines Getriebes, an der Radachse eines <a href="/wiki/Fahrzeug" title="Fahrzeug">Fahrzeugs</a> oder an der Achse eines <a href="/wiki/Propeller" title="Propeller">Propellers</a> wirkt. Für die treibende Kraftmaschine oder das treibende Getriebe ist es das Abtriebsmoment.</li> <li>Anzugsdrehmoment oder Anziehdrehmoment: Das Moment, das beim Befestigen (Anziehen) einer Schraube aufgebracht wird.</li> <li>Kippmoment: In der Mechanik das Moment, das ein aufrecht stehendes Objekt umkippt. In der Elektrotechnik das maximale Moment in der Drehmoment/Drehzahl-Kennlinie eines <a href="/wiki/Asynchronmaschine" class="mw-redirect" title="Asynchronmaschine">Asynchronmotors</a>. Für Details siehe <a href="/wiki/Kipppunkt_(Asynchronmaschine)" title="Kipppunkt (Asynchronmaschine)">Kipppunkt</a>.</li> <li><a href="/wiki/Lastmoment" title="Lastmoment">Lastmoment</a>: Das Moment, das eine Arbeitsmaschine der antreibenden Kraftmaschine oder dem Getriebe entgegensetzt. Für die Kraftmaschine oder das Getriebe ist es das Abtriebsmoment.</li> <li><a href="/wiki/Einspannmoment" title="Einspannmoment">Einspannmoment</a>: Ein Moment, das erzeugt wird an der <a href="/wiki/Einspannung" class="mw-redirect" title="Einspannung">Einspannung</a>, also der Befestigung eines Körpers. Es verhindert eine Drehung des Körpers.</li> <li>Versatzmoment: Moment einer Kraft bezüglich des Bezugspunkts für das Kräfte- und Momentengleichgewicht.</li></ul> Sonstigem: <ul><li>Bemessungsmoment: Das Moment, für das ein Bauteil bei der Konstruktion <a href="/wiki/Bemessung_(Ingenieurwesen)" class="mw-redirect" title="Bemessung (Ingenieurwesen)">bemessen</a> wurde.</li> <li>Nennmoment: Das Moment, für das eine Komponente entworfen wurde.</li> <li>Spezifisches Drehmoment: Das Moment pro Liter Hubraum für Kolbenmotoren. Die Höchstwerte für Viertakt-Ottomotoren und für große Viertakt-Dieselmotoren liegen bei 200 Nm/dm³. Ganz große Zweitakt-Schiffsdiesel kommen auf 300 Nm/dm³.</li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Arten_von_Drehmomenten">Arten von Drehmomenten</h2>[<a href="/w/index.php?title=Drehmoment&veaction=edit&section=9" title="Abschnitt bearbeiten: Arten von Drehmomenten" class="mw-editsection-visualeditor">Bearbeiten</a> | <a href="/w/index.php?title=Drehmoment&action=edit&section=9" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Arten von Drehmomenten">Quelltext bearbeiten</a>]</div> Es wird unterschieden zwischen <ul><li>dem Drehmoment einer einzelnen Kraft bezüglich eines Punktes,</li> <li>dem Drehmoment einer einzelnen Kraft bezüglich einer Achse und</li> <li>dem Drehmoment eines <a href="/wiki/Kr%C3%A4ftepaar" title="Kräftepaar">Kräftepaares</a>.</li></ul> Bei den ersten beiden Begriffen hängen Betrag und Drehsinn des Drehmomentes vom Bezugsstück (Punkt oder Gerade) ab. Beim Kräftepaar hingegen erhält man unabhängig vom Bezugsstück immer dasselbe Gesamtdrehmoment, wenn die Drehmomente der einzelnen Kräfte des Kräftepaares betrachtet und addiert werden. Bei allen drei Arten sind zwei verschiedene gleichwertige Betrachtungsweisen möglich: <ul><li>Eine gemischte, geometrische und algebraische Betrachtung, bei der sich der Betrag des Drehmomentes ergibt als Produkt aus Kraft und Hebelarm. Die Wirkungsebene und der Drehsinn ergeben sich aus geometrischen Überlegungen.</li> <li>Die zweite Variante ist eine rein analytische. Das Drehmoment wird dabei als Vektor betrachtet, der sich als <a href="/wiki/Vektorprodukt" class="mw-redirect" title="Vektorprodukt">Vektorprodukt</a> aus dem Verbindungsvektor und dem <a href="/wiki/Kraftvektor" class="mw-redirect" title="Kraftvektor">Kraftvektor</a> ergibt. Der Drehmomentenvektor gibt dann den Betrag, die Wirkungsebene und den Drehsinn an.</li></ul> Welche Betrachtung zweckmäßiger ist, hängt von der zu untersuchenden Problemstellung und von den mathematischen Kenntnissen des Anwenders ab. Falls alle wirkenden Kräfte in derselben Ebene liegen, bietet sich die geometrisch-algebraische Betrachtung an, die mit einer vergleichsweise einfachen Mathematik auskommt. Bilden die Kräfte ein <a href="/wiki/R%C3%A4umliches_Kraftsystem" class="mw-redirect" title="Räumliches Kraftsystem">räumliches Kraftsystem</a>, ist ein derartiges Vorgehen zwar möglich, aber schwierig. Die vektorielle Darstellung bietet sich dann an, erfordert aber Kenntnisse von fortgeschritteneren Konzepten der Mathematik wie dem Vektorprodukt. Außerdem sind allgemeine mathematische Beziehungen zwischen dem Drehmoment und anderen physikalischen Größen, wie sie in der Theoretischen Mechanik untersucht werden, leichter mit Vektoren darstellbar. In Schulbüchern und einführenden Lehrbüchern<a href="#cite_note-10">[10]</a><a href="#cite_note-11">[11]</a> der Technischen Mechanik wird zunächst die geometrisch-algebraische Betrachtung bevorzugt. In Lehrbüchern zur Theoretischen Mechanik<a href="#cite_note-12">[12]</a> und Nachschlagewerken<a href="#cite_note-13">[13]</a> zur Technischen Mechanik ist dagegen die vektorielle Darstellung verbreitet. Bei allen drei Arten gilt für den Betrag des Drehmomentes: Kraft mal Hebelarm. Ein einzelnes Drehmoment wirkt in einer Ebene und es ist grundsätzlich ausreichend, diese Ebene zu betrachten. Das Drehmoment kann dann durch eine einzelne Zahl angegeben werden, deren Vorzeichen den Drehsinn angibt. Drehmomente die gegen den Uhrzeigersinn drehen, also im mathematisch positiven Sinn, werden meist positiv gezählt. Bei mehreren Drehmomenten, die nicht in derselben Ebene wirken, ist es zweckmäßiger, sie mit ihrem Drehmomentenvektor zu beschreiben. Dieser steht senkrecht auf der Ebene, in der das Drehmoment wirkt. Zur theoretischen Herleitung der Drehmomente sind verschiedene Wege möglich. Ausgehend von den Grundgesetzen der Mechanik kann das Drehmoment einer einzelnen Kraft definiert werden. Das Drehmoment eines Kräftepaares ergibt sich dann als Summe der Drehmomente der beiden Kräfte. Stattdessen führen Überlegungen zur Resultierenden eines Kräftepaares direkt auf sein Drehmoment. Das Drehmoment einer einzelnen Kraft ergibt sich dann durch die Verschiebung der Kraft auf eine parallele Wirkungslinie (Versatzmoment, siehe weiter unten <a href="#Verschiebung_von_Kräften">Verschiebung von Kräften</a>). <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Drehmoment_einer_Kraft_bezüglich_eines_Punktes">Drehmoment einer Kraft bezüglich eines Punktes</h3>[<a href="/w/index.php?title=Drehmoment&veaction=edit&section=10" title="Abschnitt bearbeiten: Drehmoment einer Kraft bezüglich eines Punktes" class="mw-editsection-visualeditor">Bearbeiten</a> | <a href="/w/index.php?title=Drehmoment&action=edit&section=10" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Drehmoment einer Kraft bezüglich eines Punktes">Quelltext bearbeiten</a>]</div> <figure class="mw-default-size" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Datei:Kraeftepaar1.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/3d/Kraeftepaar1.svg/220px-Kraeftepaar1.svg.png" decoding="async" width="220" height="309" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/3d/Kraeftepaar1.svg/330px-Kraeftepaar1.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/3d/Kraeftepaar1.svg/440px-Kraeftepaar1.svg.png 2x" data-file-width="512" data-file-height="718" /></a><figcaption>Kraft um einen Bezugspunkt</figcaption></figure> Das Drehmoment oder Moment einer (einzelnen) Kraft bezüglich eines Punktes <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>A</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}"> wirkt in der Ebene, die die Kraft und den Bezugspunkt enthält. In dieser Ebene ist sein Betrag <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle M}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>M</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle M}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f82cade9898ced02fdd08712e5f0c0151758a0dd" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.442ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle M}"> definiert als Produkt aus dem Hebelarm <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.23ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle a}"> und dem Betrag der Kraft <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>F</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/545fd099af8541605f7ee55f08225526be88ce57" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.741ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle F}">: <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle M=a\cdot F}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>M</mi> <mo>=</mo> <mi>a</mi> <mo>⋅</mo> <mi>F</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle M=a\cdot F}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/17329945f1a6de9729a7d6c9716afb335ab98ead" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:10.19ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle M=a\cdot F}"></dd></dl> Um Verwechslungen mit anderen Drehmomenten zu vermeiden, wird der Bezugspunkt auch notiert: <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle M^{(A)}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>M</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>A</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle M^{(A)}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e862489d3fdb6dfc3ac41f7ea08361066872e12a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.243ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle M^{(A)}}"> oder <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle M_{(A)}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>M</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>A</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle M_{(A)}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/355925089c16afda48f713051230d3d62f761c7b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:4.998ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle M_{(A)}}">.</dd></dl> Der Hebelarm ist der senkrechte Abstand zwischen dem Bezugspunkt und der Wirkungslinie der Kraft. Diese ist im Allgemeinen nicht die direkte Verbindungslinie zwischen dem Bezugspunkt und dem Angriffspunkt der Kraft. Da sich der Hebelarm nicht ändert, wenn die Kraft entlang ihrer Wirkungslinie verschoben wird, ändert sich dabei auch nicht ihr Drehmoment. Der Bezugspunkt selbst ist frei wählbar. Es muss sich nicht um den Punkt handeln, um den sich der betrachtete Körper dreht. Dieser ist teilweise nicht bekannt und bei Körpern, die fest mit ihrer Umgebung verbunden sind, gibt es einen solchen Punkt gar nicht. Der Bezugspunkt muss auch nicht Teil des Körpers sein, auf den die Kraft wirkt. Sowohl der Betrag als auch der Drehsinn des Drehmomentes hängt von der Wahl des Bezugspunktes ab. Die vektorielle Definition lautet <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {M}}={\vec {M}}^{(A)}={\vec {r}}\times {\vec {F}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>M</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>=</mo> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>M</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>A</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>×</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>F</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {M}}={\vec {M}}^{(A)}={\vec {r}}\times {\vec {F}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df4f70642d721d7199e7b9acd555480358960e9c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:19.66ex; height:3.509ex;" alt="{\displaystyle {\vec {M}}={\vec {M}}^{(A)}={\vec {r}}\times {\vec {F}}}">.</dd></dl> Es handelt sich um das <a href="/wiki/Vektorprodukt" class="mw-redirect" title="Vektorprodukt">Vektorprodukt</a> aus dem Verbindungsvektor <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {r}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {r}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6aec3c9ce13b53e9e24c98e7cce4212627884c91" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.223ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle {\vec {r}}}">, der vom Bezugspunkt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>A</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}"> zum Angriffspunkt der Kraft zeigt und dem <a href="/wiki/Kraftvektor" class="mw-redirect" title="Kraftvektor">Kraftvektor</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {F}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>F</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {F}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef40edff397a115ecdce7d3518001dfcc7f37d9e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.771ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\vec {F}}}">. Der Betrag des Verbindungsvektors entspricht im Allgemeinen nicht dem Hebelarm. Der Betrag des Drehmomentenvektors lässt sich berechnen aus den Beträgen des Verbindungs- und Kraftvektors und dem Winkel <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varphi }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>φ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varphi }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33ee699558d09cf9d653f6351f9fda0b2f4aaa3e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:1.52ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \varphi }"> zwischen beiden zu <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle M=|{\vec {M}}|=F\cdot r\cdot \sin \varphi =|{\vec {F}}|\cdot |{\vec {r}}|\cdot \sin \varphi }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>M</mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>M</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mi>F</mi> <mo>⋅</mo> <mi>r</mi> <mo>⋅</mo> <mi>sin</mi> <mo>⁡</mo> <mi>φ</mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>F</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mo>⋅</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mo>⋅</mo> <mi>sin</mi> <mo>⁡</mo> <mi>φ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle M=|{\vec {M}}|=F\cdot r\cdot \sin \varphi =|{\vec {F}}|\cdot |{\vec {r}}|\cdot \sin \varphi }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a239357ae441643b918dba5df5ecf13867ebc74" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:40.086ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle M=|{\vec {M}}|=F\cdot r\cdot \sin \varphi =|{\vec {F}}|\cdot |{\vec {r}}|\cdot \sin \varphi }"></dd></dl> Es gilt somit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a=r\cdot \sin \varphi }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <mo>=</mo> <mi>r</mi> <mo>⋅</mo> <mi>sin</mi> <mo>⁡</mo> <mi>φ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a=r\cdot \sin \varphi }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/43e754b50c1ba93e1edf2515d938bbf27f779182" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:11.819ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle a=r\cdot \sin \varphi }">. Häufig wird das Drehmoment auch per Konvention immer auf den Ursprung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle O}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>O</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle O}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d70e1d0d87e2ef1092ea1ffe2923d9933ff18fc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.773ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle O}"> bezogen: <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {M}}={\vec {M}}^{(O)}={\vec {r}}\times {\vec {F}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>M</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>=</mo> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>M</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>O</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>×</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>F</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {M}}={\vec {M}}^{(O)}={\vec {r}}\times {\vec {F}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a7b85c983830beb330221876f163e59ff036e29" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:19.681ex; height:3.509ex;" alt="{\displaystyle {\vec {M}}={\vec {M}}^{(O)}={\vec {r}}\times {\vec {F}}}"></dd></dl> Der Verbindungsvektor <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {r}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {r}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6aec3c9ce13b53e9e24c98e7cce4212627884c91" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.223ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle {\vec {r}}}"> ist dann der <a href="/wiki/Ortsvektor" title="Ortsvektor">Ortsvektor</a> des Angriffspunkts der Kraft. Der Drehmomentenvektor steht senkrecht auf der Ebene, in der das Drehmoment wirkt, und damit auch senkrecht auf der Ebene, die durch den Kraft- und Verbindungsvektor aufgespannt wird. Sein Betrag, also seine Länge, entspricht dem Betrag des Drehmomentes und dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das durch den Verbindungs- und Kraftvektor gebildet wird. Der Drehsinn ergibt sich durch die <a href="/wiki/Drei-Finger-Regel" title="Drei-Finger-Regel">Rechte-Hand-Regel</a>: Wenn man den Drehmomentenvektor in Gedanken mit der rechten Hand derart umfasst, dass der Daumen in Richtung der Pfeilspitze zeigt, dann geben die übrigen Finger den Drehsinn an. <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Drehmoment_einer_Kraft_bezüglich_einer_Achse">Drehmoment einer Kraft bezüglich einer Achse</h3>[<a href="/w/index.php?title=Drehmoment&veaction=edit&section=11" title="Abschnitt bearbeiten: Drehmoment einer Kraft bezüglich einer Achse" class="mw-editsection-visualeditor">Bearbeiten</a> | <a href="/w/index.php?title=Drehmoment&action=edit&section=11" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Drehmoment einer Kraft bezüglich einer Achse">Quelltext bearbeiten</a>]</div> Beim Drehmoment einer Kraft bezüglich einer Achse wird als Bezugspunkt der Punkt der Achse gewählt, der dem Angriffspunkt der Kraft am nächsten liegt. Der Abstand des Angriffspunkts von der Achse ist dann der Hebelarm. Zur Berechnung kann man die Kraft in eine Ebene projizieren, die senkrecht zur Achse steht, und dann von der projizierten Kraft das Drehmoment bezüglich des Punktes bilden, in dem die Achse die Ebene durchstößt.<a href="#cite_note-14">[14]</a> Alternativ<a href="#cite_note-15">[15]</a> kann auch das Drehmoment der ursprünglichen Kraft bezüglich eines beliebigen Punktes auf der Geraden gebildet werden. Anschließend wird der Drehmomentenvektor auf die Gerade projiziert. <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Drehmoment_eines_Kräftepaares">Drehmoment eines Kräftepaares</h3>[<a href="/w/index.php?title=Drehmoment&veaction=edit&section=12" title="Abschnitt bearbeiten: Drehmoment eines Kräftepaares" class="mw-editsection-visualeditor">Bearbeiten</a> | <a href="/w/index.php?title=Drehmoment&action=edit&section=12" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Drehmoment eines Kräftepaares">Quelltext bearbeiten</a>]</div> <figure class="mw-default-size" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Datei:Kraeftepaar2.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d3/Kraeftepaar2.svg/220px-Kraeftepaar2.svg.png" decoding="async" width="220" height="234" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d3/Kraeftepaar2.svg/330px-Kraeftepaar2.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d3/Kraeftepaar2.svg/440px-Kraeftepaar2.svg.png 2x" data-file-width="512" data-file-height="545" /></a><figcaption>Kräftepaar</figcaption></figure> <div class="hauptartikel" role="navigation">→ Hauptartikel: <a href="/wiki/Kr%C3%A4ftepaar" title="Kräftepaar">Kräftepaar</a></div> Ein Kräftepaar besteht aus zwei Kräften, die sich auf parallelen Wirkungslinien befinden, den gleichen Betrag haben und in entgegengesetzte Richtungen zeigen. Im Gegensatz zu einer einzelnen Kraft kann es einen Körper nicht verschieben, aber es versucht ihn zu drehen. Kräftepaare sind häufig vorhanden, wenn es zu einer Drehbewegung von Körpern kommt; eine der beiden Kräfte ist aber häufig nicht sofort zu erkennen, weil es sich meist um eine <a href="/wiki/Zwangskraft" title="Zwangskraft">Zwangskraft</a> handelt.<a href="#cite_note-16">[16]</a> Der Betrag des Drehmomentes, das von einem Kräftepaar erzeugt wird, lässt sich berechnen als Produkt aus dem Betrag <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>F</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/545fd099af8541605f7ee55f08225526be88ce57" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.741ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle F}"> einer der beiden Kräfte und dem Abstand <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.23ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle a}"> ihrer Wirkungslinien:<a href="#cite_note-17">[17]</a><a href="#cite_note-18">[18]</a> <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle M=F\cdot a}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>M</mi> <mo>=</mo> <mi>F</mi> <mo>⋅</mo> <mi>a</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle M=F\cdot a}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a922bcdeebefaaf7d8bb4c3b8b2ecb613702f18a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:10.19ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle M=F\cdot a}"></dd></dl> Der Drehmomentenvektor des Kräftepaares lässt sich berechnen durch: <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {M}}={\vec {r}}\times {\vec {F}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>M</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>×</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>F</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {M}}={\vec {r}}\times {\vec {F}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65233f004eda3cef9d71f622ee53c229fc8f4363" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:11.375ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\vec {M}}={\vec {r}}\times {\vec {F}}}"></dd></dl> Der Verbindungsvektor <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {r}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {r}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6aec3c9ce13b53e9e24c98e7cce4212627884c91" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.223ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle {\vec {r}}}"> zeigt von einem beliebigen Punkt auf der Wirkungslinie der einen Kraft zu einem beliebigen Punkt auf der Wirkungslinie der anderen Kraft. Häufig wird der Vektor genutzt, der die Angriffspunkte der beiden Kräfte verbindet. Die Wirkung von Kräftepaaren unterscheidet sich in einigen wichtigen Punkten von einzelnen Kräften, weshalb die Drehmomente von Kräftepaaren sich ebenfalls von anderen Drehmomenten unterscheiden: <ul><li>Das Drehmoment eines Kräftepaares ist unabhängig von Bezugspunkten. Dies bedeutet, dass ein Kräftepaar an jeden beliebigen Ort verschoben werden kann, ohne dass sich seine Wirkung oder sein Drehmoment ändert.</li> <li>Ein Kräftepaar kann durch sein Drehmoment ersetzt werden, ohne dass sich die Wirkung auf den Körper, auf den es wirkt, ändert. Eine einzelne Kraft kann dagegen nicht durch ihr Drehmoment ersetzt werden.</li> <li>Der Drehmomentenvektor eines Kräftepaares kann an jeden beliebigen Ort verschoben werden. Es handelt sich um einen <a href="/wiki/Freier_Vektor" class="mw-redirect" title="Freier Vektor">freien Vektor</a>. Der Drehmomentenvektor einer Kraft ist dagegen ein <a href="/wiki/Axialer_Vektor" class="mw-redirect" title="Axialer Vektor">axialer Vektor</a>. Er kann nur entlang der Geraden verschoben werden, die er festlegt.</li></ul> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Herleitungen_und_Beziehungen_zwischen_den_Drehmomentarten">Herleitungen und Beziehungen zwischen den Drehmomentarten</h3>[<a href="/w/index.php?title=Drehmoment&veaction=edit&section=13" title="Abschnitt bearbeiten: Herleitungen und Beziehungen zwischen den Drehmomentarten" class="mw-editsection-visualeditor">Bearbeiten</a> | <a href="/w/index.php?title=Drehmoment&action=edit&section=13" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Herleitungen und Beziehungen zwischen den Drehmomentarten">Quelltext bearbeiten</a>]</div> Es gibt verschiedene Möglichkeiten, die Drehmomente ausgehend von den Grundgesetzen der Mechanik herzuleiten. <dl><dt>In der Theoretischen Mechanik</dt></dl> In der Theoretischen Mechanik gibt es mehrere Wege zur Herleitung des Drehmoments. Zum Beispiel kann man vom <a href="/wiki/Newtonsche_Gesetze#Zweites_Newtonsches_Gesetz" title="Newtonsche Gesetze">zweiten Newtonschen Gesetz</a> <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {F}}={\dot {\vec {p}}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>F</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>p</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> <mo>˙</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {F}}={\dot {\vec {p}}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d1ce4e8060a60dda8bf4a1af9246ac1203729714" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:6.229ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle {\vec {F}}={\dot {\vec {p}}}}"></dd></dl> ausgehen. Durch vektorielle Multiplikation von links mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {r}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {r}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6aec3c9ce13b53e9e24c98e7cce4212627884c91" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.223ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle {\vec {r}}}"> erhält man hieraus <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {r}}\times {\vec {F}}={\vec {r}}\times {\dot {\vec {p}}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>×</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>F</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>×</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>p</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> <mo>˙</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {r}}\times {\vec {F}}={\vec {r}}\times {\dot {\vec {p}}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f27835f3732c01231210d3c1cde7605bb35a2f7" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:14.356ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle {\vec {r}}\times {\vec {F}}={\vec {r}}\times {\dot {\vec {p}}}}">.</dd></dl> Auf der linken Seite steht das Drehmoment und auf der rechten Seite die zeitliche Ableitung des Drehimpulses, also ist <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {M}}={\dot {\vec {L}}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>M</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>L</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> <mo>˙</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {M}}={\dot {\vec {L}}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19ad3d94d6dc37a4dde7a3decf9f5757704039a8" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:7.124ex; height:3.509ex;" alt="{\displaystyle {\vec {M}}={\dot {\vec {L}}}}">.</dd></dl> Das Drehmoment eines Kräftepaares <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {M}}_{K}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>M</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>K</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {M}}_{K}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf8e0b255f316161346ad76e4812e658ce2d35ce" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:4.135ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle {\vec {M}}_{K}}"> ergibt sich aus der Addition der Drehmomente der beiden Kräfte: <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {M}}_{K}={\vec {M}}_{1}+{\vec {M}}_{2}={\vec {r}}_{1}\times {\vec {F}}_{1}+{\vec {r}}_{2}\times {\vec {F}}_{2}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>M</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>K</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>M</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>M</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>×</mo> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>F</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>×</mo> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>F</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {M}}_{K}={\vec {M}}_{1}+{\vec {M}}_{2}={\vec {r}}_{1}\times {\vec {F}}_{1}+{\vec {r}}_{2}\times {\vec {F}}_{2}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef0954b176c00d9ea4a344cf2d263fa9a00ba26c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:38.892ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle {\vec {M}}_{K}={\vec {M}}_{1}+{\vec {M}}_{2}={\vec {r}}_{1}\times {\vec {F}}_{1}+{\vec {r}}_{2}\times {\vec {F}}_{2}}"></dd></dl> Da im Kräftepaar <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {F}}_{2}=-{\vec {F}}_{1}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>F</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mo>−</mo> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>F</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {F}}_{2}=-{\vec {F}}_{1}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/134da40bec02c1a72d519cdd53d0f6a447afdcf3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:10.557ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle {\vec {F}}_{2}=-{\vec {F}}_{1}}"> gilt, folgt auch <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {M}}_{K}=({\vec {r}}_{2}-{\vec {r}}_{1})\times {\vec {F}}_{1}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>M</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>K</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>−</mo> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>×</mo> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>F</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {M}}_{K}=({\vec {r}}_{2}-{\vec {r}}_{1})\times {\vec {F}}_{1}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22cb5ca7117d3bbefaa977e94d7182e04da0f59c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:22.104ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle {\vec {M}}_{K}=({\vec {r}}_{2}-{\vec {r}}_{1})\times {\vec {F}}_{1}}">,</dd></dl> in Übereinstimmung mit der obigen Definition des Drehmoments eines Kräftepaars, denn <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {r}}={\vec {r}}_{2}-{\vec {r}}_{1}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>=</mo> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>−</mo> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {r}}={\vec {r}}_{2}-{\vec {r}}_{1}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/27a81c11d98c4406c8ab039d483461ed8dff5982" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:11.717ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle {\vec {r}}={\vec {r}}_{2}-{\vec {r}}_{1}}">. <dl><dt>In der Technischen Mechanik</dt></dl> In der Technischen Mechanik führen Überlegungen zur Resultierenden von Kräftesystemen direkt zum Drehmoment eines Kräftepaares. Daraus lässt sich das Drehmoment einer einzelnen Kraft herleiten. Mit dem <a href="/wiki/Kr%C3%A4fteparallelogramm" title="Kräfteparallelogramm">Kräfteparallelogramm</a> lassen sich zwei Kräfte mit gemeinsamem Angriffspunkt durch eine resultierende Kraft ersetzen. Wenn die beiden Kräfte auf einen starren Körper wirken, können sie auch zusammengefasst werden, wenn sich nur die Wirkungslinien der beiden Kräfte schneiden, da die Kräfte dann zum Schnittpunkt verschoben werden können, ohne dass sich die Wirkung auf den Körper ändert. Bei parallelen Kräften gibt es aber keinen Schnittpunkt. Falls die beiden Kräfte ungleiche Stärke haben, kann aber ein Schnittpunkt gefunden und eine resultierende Kraft gebildet werden durch Hinzufügen zweier weiterer Kräfte, deren resultierende Kraft null ist. Für das Kräftepaar ergibt sich jedoch dabei kein Schnittpunkt, sondern ein anderes Kräftepaar, möglicherweise an einem anderen Ort und mit gedrehten Wirkungslinien in anderem Abstand voneinander und veränderter Stärke der beiden entgegengesetzt gleichen Kräfte. Dabei bleibt das Produkt Kraft mal Abstand der Wirkungslinien, also das Drehmoment, immer konstant. Das Kräftepaar kann nicht durch eine einzelne resultierende Kraft ersetzt werden, sondern nur durch ein anderes Kräftepaar mit gleichem Drehmoment. Das Kräftepaar kann daher ganz allgemein durch sein Drehmoment ersetzt werden. <figure class="mw-default-size" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Datei:Versetzungsmoment.png" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/7f/Versetzungsmoment.png/220px-Versetzungsmoment.png" decoding="async" width="220" height="127" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/7f/Versetzungsmoment.png/330px-Versetzungsmoment.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/7f/Versetzungsmoment.png 2x" data-file-width="400" data-file-height="230" /></a><figcaption>Abb. 8: Eine Einzelkraft (a, schwarz) ist äquivalent zu einer versetzten Kraft (c, grün) und einem Versetzungsmoment (c, rot).</figcaption></figure> Das Drehmoment einer einzelnen Kraft bezüglich eines Punktes ergibt sich aus dem Drehmoment eines Kräftepaares unter Verwendung des Versetzungsmoments (siehe weiter unten <a href="#Verschiebung_von_Kräften">Verschiebung von Kräften</a>). Man betrachtet die zur Wirkungslinie parallele Linie durch den Bezugspunkt als Wirkungslinie von zwei hinzugefügten entgegensetzt gleichen Kräften derselben Größe wie die Einzelkraft. Die Einzelkraft wird mit der entsprechenden neuen Kraft zu einem Kräftepaar zusammengefasst und dieses dann durch sein Drehmoment ersetzt. Das Ergebnis entspricht der Versetzung der ursprünglichen Einzelkraft und dem Hinzufügen des Drehmomentes eines Kräftepaares. Letzteres ist das Versatzmoment. <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Darstellungen_und_Notationen">Darstellungen und Notationen</h2>[<a href="/w/index.php?title=Drehmoment&veaction=edit&section=14" title="Abschnitt bearbeiten: Darstellungen und Notationen" class="mw-editsection-visualeditor">Bearbeiten</a> | <a href="/w/index.php?title=Drehmoment&action=edit&section=14" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Darstellungen und Notationen">Quelltext bearbeiten</a>]</div> Für Drehmomente gibt es zahlreiche Notationen in Gleichungen und Darstellungen in Zeichnungen. Wird in Zeichnungen eine Ebene dargestellt, in der das Drehmoment wirkt, dann wird es meist durch einen gebogenen Pfeil dargestellt, der zwischen einem Viertelkreis und einem Dreiviertelkreis reichen kann. Die Spitze gibt dann den Drehsinn an. In dreidimensionalen Darstellungen werden Pfeile als Dreiviertelkreis genutzt, die um bestimmte Achsen drehen oder gerade Pfeile, die die Drehmomentenvektoren anzeigen. Diese können, wie bei Vektoren allgemein üblich, durch einen einfachen Pfeil dargestellt werden. Da bei vielen Problemstellungen in der Mechanik Kräfte und Drehmomente gleichzeitig vorkommen, werden zur Vermeidung von Verwechslungen die Drehmomentenvektoren auch mit einer Doppelspitze gekennzeichnet.<a href="#cite_note-19">[19]</a> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Abhängigkeit_vom_Bezugspunkt">Abhängigkeit vom Bezugspunkt</h2>[<a href="/w/index.php?title=Drehmoment&veaction=edit&section=15" title="Abschnitt bearbeiten: Abhängigkeit vom Bezugspunkt" class="mw-editsection-visualeditor">Bearbeiten</a> | <a href="/w/index.php?title=Drehmoment&action=edit&section=15" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Abhängigkeit vom Bezugspunkt">Quelltext bearbeiten</a>]</div> Bei Systemen, die nicht im Gleichgewicht sind, ist der Wert des Drehmomentes im Allgemeinen abhängig von der Wahl des Bezugspunktes. Wird der Bezugspunkt um die Strecke <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {s}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>s</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {s}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/57ce74ecbbc0e198d0bb4b1b2ffc0cb9669b72e1" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.223ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle {\vec {s}}}"> verschoben, so hat das Drehmoment <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {M}}'}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>M</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>′</mo> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {M}}'}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72f9cf4e5db826258e9f7ee4a5031d5fce345cce" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.127ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle {\vec {M}}'}"> bezüglich des neuen Bezugspunktes den Wert <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {M}}'={\vec {M}}-{\vec {s}}\times {\vec {F}}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>M</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>′</mo> </msup> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>M</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>s</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>×</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>F</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {M}}'={\vec {M}}-{\vec {s}}\times {\vec {F}}.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e33cd710a0a95fdaa3167f21d42da0152b4389a9" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:17.989ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle {\vec {M}}'={\vec {M}}-{\vec {s}}\times {\vec {F}}.}"></dd></dl> Dabei ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \textstyle {\vec {F}}=\sum _{i}{\vec {F}}_{i}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>F</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>=</mo> <munder> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </munder> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>F</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \textstyle {\vec {F}}=\sum _{i}{\vec {F}}_{i}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/247da0bc2aa1d52b0663aa6055c00e64a08dea03" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:11.081ex; height:3.509ex;" alt="{\displaystyle \textstyle {\vec {F}}=\sum _{i}{\vec {F}}_{i}}"> die <a href="/wiki/Resultierende_Kraft" title="Resultierende Kraft">resultierende Kraft</a>, d. h. die Summe aller einzelnen Kräfte <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {F}}_{i}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>F</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {F}}_{i}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc39663fb74efeb6c384fb308b46f7f2f3f6fd02" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.571ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle {\vec {F}}_{i}}">. Ist die resultierende Kraft gleich null, so erfährt der Körper keine Beschleunigung und der Schwerpunkt ändert nicht seine Geschwindigkeit oder Bewegungsrichtung. Die Kraft bewirkt ausschließlich eine Änderung des Drehimpulses. In diesem Fall ist das Drehmoment unabhängig von seinem Bezugspunkt und kann frei verschoben werden, ohne die Wirkung auf die Körper zu verändern.<a href="#cite_note-20">[20]</a> Da für diese Situation (mindestens) zwei Kräfte nötig sind, die denselben Betrag <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>F</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/545fd099af8541605f7ee55f08225526be88ce57" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.741ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle F}">, aber eine entgegengesetzte Richtung, und deren Wirklinien einen gewissen Abstand <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.23ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle a}"> haben, spricht man von einem <a href="/wiki/Kr%C3%A4ftepaar" title="Kräftepaar">Kräftepaar</a>. Das Kräftepaar verursacht ein Drehmoment mit dem Betrag <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle M=aF}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>M</mi> <mo>=</mo> <mi>a</mi> <mi>F</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle M=aF}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a9783ae3a26b39410c2d791682b1b64e4d85085" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:8.511ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle M=aF}">. <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Addition_von_Drehmomenten">Addition von Drehmomenten</h2>[<a href="/w/index.php?title=Drehmoment&veaction=edit&section=16" title="Abschnitt bearbeiten: Addition von Drehmomenten" class="mw-editsection-visualeditor">Bearbeiten</a> | <a href="/w/index.php?title=Drehmoment&action=edit&section=16" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Addition von Drehmomenten">Quelltext bearbeiten</a>]</div> Drehmomente können addiert werden zu einem resultierenden Drehmoment, ähnlich wie Kräfte zu einer resultierenden Kraft addiert werden können. Wenn sämtliche Drehmomente berücksichtigt werden, spricht man auch vom Gesamtdrehmoment. Zusammenhänge zwischen der resultierenden Kraft und dem resultierenden Drehmoment macht der <a href="/wiki/Momentensatz" title="Momentensatz">Momentensatz</a>. <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Gesamtdrehmoment">Gesamtdrehmoment</h3>[<a href="/w/index.php?title=Drehmoment&veaction=edit&section=17" title="Abschnitt bearbeiten: Gesamtdrehmoment" class="mw-editsection-visualeditor">Bearbeiten</a> | <a href="/w/index.php?title=Drehmoment&action=edit&section=17" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Gesamtdrehmoment">Quelltext bearbeiten</a>]</div> Die einzelnen Drehmomente zweier Kräfte <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {F}}_{1},{\vec {F}}_{2}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>F</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>F</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {F}}_{1},{\vec {F}}_{2}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/09c35e8c453cc7f3d93536a44dd5ce4b4c6e10a3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:6.684ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle {\vec {F}}_{1},{\vec {F}}_{2}}"> können addiert werden, wenn sie sich auf denselben Punkt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>A</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}"> beziehen: <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {M}}^{(A)}={\vec {r}}_{A,F_{1}}\times {\vec {F}}_{1}+{\vec {r}}_{A,F_{2}}\times {\vec {F}}_{2}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>M</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>A</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>A</mi> <mo>,</mo> <msub> <mi>F</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mrow> </msub> <mo>×</mo> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>F</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>A</mi> <mo>,</mo> <msub> <mi>F</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mrow> </msub> <mo>×</mo> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>F</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {M}}^{(A)}={\vec {r}}_{A,F_{1}}\times {\vec {F}}_{1}+{\vec {r}}_{A,F_{2}}\times {\vec {F}}_{2}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ec0b7963da9bef0903328806489a0bfa113bafc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:32.524ex; height:4.176ex;" alt="{\displaystyle {\vec {M}}^{(A)}={\vec {r}}_{A,F_{1}}\times {\vec {F}}_{1}+{\vec {r}}_{A,F_{2}}\times {\vec {F}}_{2}}"></dd></dl> Wenn beliebig viele Kräfte <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {F}}_{i}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>F</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {F}}_{i}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc39663fb74efeb6c384fb308b46f7f2f3f6fd02" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.571ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle {\vec {F}}_{i}}"> (<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle i=1,2,\dotsc }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mn>2</mn> <mo>,</mo> <mo>…</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle i=1,2,\dotsc }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65ebcaf526c9ff5aa1295ca571c9440f37e2673b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:11.017ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle i=1,2,\dotsc }">) vorhanden sind, so ist das Gesamtdrehmoment die Summe über alle Drehmomente. Wenn sie auf den Ursprung bezogen werden, ergibt sich <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {M}}={\vec {M}}_{\mathrm {Ges} }=\sum _{i}{\vec {r}}_{i}\times {\vec {F}}_{i}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>M</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>=</mo> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>M</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">G</mi> <mi mathvariant="normal">e</mi> <mi mathvariant="normal">s</mi> </mrow> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <munder> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </munder> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>×</mo> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>F</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {M}}={\vec {M}}_{\mathrm {Ges} }=\sum _{i}{\vec {r}}_{i}\times {\vec {F}}_{i}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c7cc50f652d3d0af023e3cfd9638d8e66bec9b1" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:25.157ex; height:5.509ex;" alt="{\displaystyle {\vec {M}}={\vec {M}}_{\mathrm {Ges} }=\sum _{i}{\vec {r}}_{i}\times {\vec {F}}_{i}}">.</dd></dl> Der Vektor <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {r}}_{i}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {r}}_{i}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de93eb4c8bca39012a94e9809c45d7fd677bf975" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.023ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle {\vec {r}}_{i}}"> zeigt dabei vom Ursprung zum Fußpunkt der Kraft <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {F}}_{i}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>F</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {F}}_{i}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc39663fb74efeb6c384fb308b46f7f2f3f6fd02" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.571ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle {\vec {F}}_{i}}">. Falls Kräftepaare durch ihre Drehmomente <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {M}}^{\mathrm {KP} }}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>M</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">K</mi> <mi mathvariant="normal">P</mi> </mrow> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {M}}^{\mathrm {KP} }}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/563da3038cb9ae4cc8638fe1f36be4940d2c7729" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.072ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle {\vec {M}}^{\mathrm {KP} }}"> ersetzt wurden, müssen diese zusätzlich addiert werden: <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {M}}={\vec {M}}_{\mathrm {Ges} }=\sum _{i}{\vec {r}}_{i}\times {\vec {F}}_{i}+\sum _{j}{\vec {M}}_{j}^{\mathrm {KP} }}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>M</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>=</mo> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>M</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">G</mi> <mi mathvariant="normal">e</mi> <mi mathvariant="normal">s</mi> </mrow> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <munder> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </munder> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>×</mo> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>F</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <munder> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> </mrow> </munder> <msubsup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>M</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">K</mi> <mi mathvariant="normal">P</mi> </mrow> </mrow> </msubsup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {M}}={\vec {M}}_{\mathrm {Ges} }=\sum _{i}{\vec {r}}_{i}\times {\vec {F}}_{i}+\sum _{j}{\vec {M}}_{j}^{\mathrm {KP} }}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2adb8f79c39bc35e29ba89ba180509de134d04ae" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.338ex; width:36.812ex; height:6.343ex;" alt="{\displaystyle {\vec {M}}={\vec {M}}_{\mathrm {Ges} }=\sum _{i}{\vec {r}}_{i}\times {\vec {F}}_{i}+\sum _{j}{\vec {M}}_{j}^{\mathrm {KP} }}"></dd></dl> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Momentensatz_der_Statik">Momentensatz der Statik</h3>[<a href="/w/index.php?title=Drehmoment&veaction=edit&section=18" title="Abschnitt bearbeiten: Momentensatz der Statik" class="mw-editsection-visualeditor">Bearbeiten</a> | <a href="/w/index.php?title=Drehmoment&action=edit&section=18" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Momentensatz der Statik">Quelltext bearbeiten</a>]</div> Der <a href="/wiki/Momentensatz" title="Momentensatz">Momentensatz</a> der Statik besagt, dass das Moment der resultierenden Kraft <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F_{\mathrm {R} }}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>F</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">R</mi> </mrow> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F_{\mathrm {R} }}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a755e3188117ab03b7cd761cc8b092f5339d3a1" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.936ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle F_{\mathrm {R} }}"> auf einen Körper dieselbe Wirkung hat wie das Gesamtmoment, das sich aus der Summe der einzelnen Momente ergibt: <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a_{\mathrm {R} }\cdot F_{\mathrm {R} }=a_{1}\cdot F_{1}+a_{2}\cdot F_{2}+\dotsb +a_{n}\cdot F_{n}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">R</mi> </mrow> </mrow> </msub> <mo>⋅</mo> <msub> <mi>F</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">R</mi> </mrow> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>⋅</mo> <msub> <mi>F</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>⋅</mo> <msub> <mi>F</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mo>⋯</mo> <mo>+</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo>⋅</mo> <msub> <mi>F</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a_{\mathrm {R} }\cdot F_{\mathrm {R} }=a_{1}\cdot F_{1}+a_{2}\cdot F_{2}+\dotsb +a_{n}\cdot F_{n}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9579d67bd49b175d197438cb6185f99307e8425a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:41.494ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle a_{\mathrm {R} }\cdot F_{\mathrm {R} }=a_{1}\cdot F_{1}+a_{2}\cdot F_{2}+\dotsb +a_{n}\cdot F_{n}}"></dd></dl> Die resultierende Kraft, die aus allen vorhandenen Kräften gebildet wird, muss dieselbe Wirkung auf einen Körper haben wie die Wirkungen der einzelnen Kräfte zusammen genommen. Aus der Vektoraddition der einzelnen Kräfte ergeben sich zwar Betrag und Richtung der resultierenden Kraft, aber weder ihr Angriffspunkt noch ihre Wirkungslinie. Diese werden mithilfe des Momentensatzes bestimmt. Die resultierende Kraft muss auf derjenigen Wirkungslinie liegen, auf der sie dasselbe Moment erzeugt wie die Momente der einzelnen Kräfte zusammen genommen. Bedeutung hat der Momentensatz vor allem bei der Überprüfung des Momentengleichgewichtes oder für die Berechnung unbekannter Kräfte mithilfe des Momentengleichgewichtes. Kräfte, die schräg zu den Koordinatenachsen im Raum liegen, können dann aufgespalten werden in mehrere Kräfte, die senkrecht auf den Achsen stehen. Deren Momente lassen sich einfacher berechnen. Die von diesen Kraftkomponenten bewirkten Momente entsprechen in Summe dem Moment, das durch die ursprüngliche Kraft bewirkt wird. <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Gleichgewicht">Gleichgewicht</h2>[<a href="/w/index.php?title=Drehmoment&veaction=edit&section=19" title="Abschnitt bearbeiten: Gleichgewicht" class="mw-editsection-visualeditor">Bearbeiten</a> | <a href="/w/index.php?title=Drehmoment&action=edit&section=19" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Gleichgewicht">Quelltext bearbeiten</a>]</div> Wenn sich ein Körper im <a href="/wiki/Mechanisches_Gleichgewicht" title="Mechanisches Gleichgewicht">mechanischen Gleichgewicht</a> befindet, dann ändert er seinen Bewegungszustand nicht. Er wird also weder beschleunigt noch abgebremst. Befindet sich ein Körper im Gleichgewicht, so befindet er sich sowohl im <a href="/wiki/Kr%C3%A4ftegleichgewicht" class="mw-redirect" title="Kräftegleichgewicht">Kräftegleichgewicht</a>, als auch im <a href="/wiki/Drehmomentengleichgewicht" class="mw-redirect" title="Drehmomentengleichgewicht">Drehmomentengleichgewicht</a> oder Momentengleichgewicht bezüglich eines beliebigen Punktes <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>A</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}">: <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \sum _{i}{{\vec {M}}_{i}^{(A)}}={\vec {0}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <munder> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </munder> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msubsup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>M</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>A</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </msubsup> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mn>0</mn> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sum _{i}{{\vec {M}}_{i}^{(A)}}={\vec {0}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71353443c4fda77d3b8a2a81dc4514cdac554818" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:13.189ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle \sum _{i}{{\vec {M}}_{i}^{(A)}}={\vec {0}}}"></dd></dl> Dies gilt für jeden beliebigen Punkt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>A</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}"> und damit sogar für Punkte, die außerhalb des Körpers liegen. Es bietet sich ein Punkt an, an dem sich die <a href="/wiki/Wirkungslinie" title="Wirkungslinie">Wirkungslinien</a> möglichst vieler Kräfte schneiden. Bei diesen ist die Länge des Hebelarms null, was zu einem Drehmoment von null führt. Diese Drehmomente tauchen folglich in der Gleichung nicht auf, was die Berechnung erleichtert. Wenn sich unter diesen Kräften nur eine einzige unbekannte Kraft befindet, so kann man diese unmittelbar berechnen. Manchmal kann es günstig sein, mehrere Drehmomentengleichgewichte zu bestimmen, wenn sich dadurch jeweils eine andere unbekannte Kraft berechnen lässt. Wenn sich ein Körper im Drehmomentengleichgewicht bezüglich eines Punktes befindet, so kann man daraus nicht schließen, dass er sich auch insgesamt im Gleichgewicht befindet und ebenso wenig, dass er sich bezüglich anderer Punkte im Drehmomentengleichgewicht befindet. Wenn beispielsweise nur eine einzige Kraft wirkt, so befindet er sich im Drehmomentengleichgewicht bezüglich eines Punktes auf der Wirkungslinie dieser Kraft, aber bezüglich Punkten abseits dieser Linie nicht im Drehmomentengleichgewicht und auch nicht insgesamt im Gleichgewicht, da ja eine Kraft wirkt, für die es keine Gegenkraft gibt. Ein Körper befindet sich jedoch innerhalb einer Ebene insgesamt im Gleichgewicht, wenn er sich bezüglich drei verschiedener Punkte im Drehmomentengleichgewicht befindet, sofern diese drei Punkte nicht auf einer Geraden liegen.<a href="#cite_note-21">[21]</a> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Verschiebung_von_Kräften">Verschiebung von Kräften</h2>[<a href="/w/index.php?title=Drehmoment&veaction=edit&section=20" title="Abschnitt bearbeiten: Verschiebung von Kräften" class="mw-editsection-visualeditor">Bearbeiten</a> | <a href="/w/index.php?title=Drehmoment&action=edit&section=20" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Verschiebung von Kräften">Quelltext bearbeiten</a>]</div> Ein Kraftpfeil darf entlang seiner Wirkungslinie ohne Einschränkung verschoben werden, ohne dabei seine Wirkung auf einen starren Körper zu verändern. In der Position, wo der Abstandsvektor <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {r}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {r}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6aec3c9ce13b53e9e24c98e7cce4212627884c91" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.223ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle {\vec {r}}}"> senkrecht zur Wirkungslinie des Kraftpfeils steht, wird er als Hebelarm bezeichnet. Betragsmäßig gilt dann: „Drehmoment gleich Hebelarm mal Kraft“. Bei zwei angreifenden Kräften (die dann als Kraft und Last bezeichnet werden) ist das Drehmomentengleichgewicht äquivalent zum <a href="/wiki/Hebelgesetz#Reale_Hebel" class="mw-redirect" title="Hebelgesetz">Hebelgesetz</a>: <dl><dd>Kraftarm mal Kraft = Lastarm mal Last.</dd></dl> (Man beachte, dass streng genommen nur die Beträge gleich sind, denn die beiden Drehmomente sind gegensinnig und haben daher unterschiedliche Vorzeichen.) Wird eine Kraft senkrecht zu ihrer Wirkungslinie um den Abstand <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.23ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle a}"> verschoben auf eine parallele Wirkungslinie, so ändert sich das von ihr verursachte Drehmoment gegenüber dem Bezugspunkt. Eine Kraft darf folglich nur dann derart verschoben werden, wenn zusätzlich ein Drehmoment eingeführt wird, das diese Änderung wieder ausgleicht. Dieses wird als Versetzungsmoment<a href="#cite_note-22">[22]</a><a href="#cite_note-23">[23]</a> oder Versatzmoment<a href="#cite_note-24">[24]</a> bezeichnet und hat den Betrag <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F\cdot a}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>F</mi> <mo>⋅</mo> <mi>a</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F\cdot a}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6e463cc5f0be726e706e6032619bafaf2e9f0ec" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:4.65ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle F\cdot a}">. <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Dynamik">Dynamik</h2>[<a href="/w/index.php?title=Drehmoment&veaction=edit&section=21" title="Abschnitt bearbeiten: Dynamik" class="mw-editsection-visualeditor">Bearbeiten</a> | <a href="/w/index.php?title=Drehmoment&action=edit&section=21" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Dynamik">Quelltext bearbeiten</a>]</div> <div class="hauptartikel" role="navigation">→ Hauptartikel: <a href="/wiki/Drallsatz" title="Drallsatz">Drallsatz</a></div> Die <a href="/wiki/Dynamik_(Physik)" title="Dynamik (Physik)">Dynamik</a> beschäftigt sich mit Zuständen, die sich nicht im Gleichgewicht befinden. Nach dem <a href="/wiki/Newtonsche_Gesetze#Zweites_Newtonsches_Gesetz" title="Newtonsche Gesetze">2. Newtonschen Gesetz</a> führt eine resultierende äußere Kraft an einem Körper zu einer Geschwindigkeitsänderung (<a href="/wiki/Beschleunigung" title="Beschleunigung">Beschleunigung</a>). Analog dazu bedeutet ein resultierendes äußeres Drehmoment eine Änderung der Winkelgeschwindigkeit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {\omega }}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>ω</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {\omega }}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f4e066a68ceb355e3314fb2b97f1c0c421ca6074" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.446ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle {\vec {\omega }}}"> (<a href="/wiki/Winkelbeschleunigung" title="Winkelbeschleunigung">Winkelbeschleunigung</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {\alpha }}={\dot {\vec {\omega }}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>α</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>ω</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> <mo>˙</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {\alpha }}={\dot {\vec {\omega }}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/90f19e57cc260314f86beb63bc6941aa4b68eef4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.032ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\vec {\alpha }}={\dot {\vec {\omega }}}}">). Drehmomente im Inneren des Körpers (Biege- oder Torsionsmoment) spielen keine Rolle für die Bewegungsänderung. Das Trägheitsverhalten bezüglich der Rotation hängt nicht nur von der Masse eines Körpers, sondern auch von deren räumlicher Verteilung ab. Dies wird durch das <a href="/wiki/Tr%C3%A4gheitsmoment" title="Trägheitsmoment">Trägheitsmoment</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle I}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>I</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle I}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/535ea7fc4134a31cbe2251d9d3511374bc41be9f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.172ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle I}"> ausgedrückt. Bei einer Drehung um eine feste Achse gilt für das Drehmoment in Richtung dieser Achse: <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle M=I\,\alpha }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>M</mi> <mo>=</mo> <mi>I</mi> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>α</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle M=I\,\alpha }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/69cf43dc4adc3eea820b4bcbdc36575d3ba2c5f6" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:8.587ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle M=I\,\alpha }"></dd></dl> Hierbei ist zu beachten, dass das Trägheitsmoment nicht nur von der Position der Drehachse (siehe <a href="/wiki/Steinerscher_Satz" title="Steinerscher Satz">Steinerscher Satz</a>), sondern auch von ihrer Richtung abhängig ist. Will man die obige Gleichung allgemeiner für jede beliebige Raumrichtung formulieren, so muss man stattdessen den <a href="/wiki/Tr%C3%A4gheitstensor" title="Trägheitstensor">Trägheitstensor</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {I} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">I</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {I} }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a458c8aeb096ce732abf346ae8edf3e4f53a126" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.014ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {I} }"> verwenden: <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {M}}=\mathbf {I} \,{\vec {\alpha }}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>M</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">I</mi> </mrow> <mspace width="thinmathspace" /> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>α</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {M}}=\mathbf {I} \,{\vec {\alpha }}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8763f62e5de3f1fd78321b554c3846d3c32380fb" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:8.429ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\vec {M}}=\mathbf {I} \,{\vec {\alpha }}}"></dd></dl> <figure class="mw-default-size" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Datei:Torque_animation.gif" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/0/09/Torque_animation.gif" decoding="async" width="220" height="154" class="mw-file-element" data-file-width="220" data-file-height="154" /></a><figcaption>Zusammenhang von Kraft F, Drehmoment τ, Impuls p und Drehimpuls L bei der Drehschwingung eines Massenpunktes</figcaption></figure> Man kann den Zusammenhang von Drehmoment und Änderungsrate des <a href="/wiki/Drehimpuls" title="Drehimpuls">Drehimpulses</a> (<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {L}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>L</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {L}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0c139fc28d6ca3873993892f44e7331e5ff18fd" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.583ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\vec {L}}}">, Drall, Impulsmoment) ausdrücken als: <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {M}}={\frac {\mathrm {d} {\vec {L}}}{\mathrm {d} t}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>M</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>L</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {M}}={\frac {\mathrm {d} {\vec {L}}}{\mathrm {d} t}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81ffc93eb9704e059d7f13414b78d21d3f039720" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:9.252ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle {\vec {M}}={\frac {\mathrm {d} {\vec {L}}}{\mathrm {d} t}}}"></dd></dl> Diese Gleichung wird in der <a href="/wiki/Technische_Mechanik" title="Technische Mechanik">Technischen Mechanik</a> als Drallsatz,<a href="#cite_note-25">[25]</a> Drehimpulssatz,<a href="#cite_note-Gross61-26">[26]</a> Momentensatz<a href="#cite_note-Gross61-26">[26]</a> oder Impulsmomentsatz<a href="#cite_note-27">[27]</a> bezeichnet. (Drehimpulssatz steht auch für den <a href="/wiki/Drehimpulserhaltung" class="mw-redirect" title="Drehimpulserhaltung">Drehimpuls-Erhaltungssatz</a>, Momentensatz steht auch für den <a href="/wiki/Momentensatz" title="Momentensatz">Momentensatz aus der Statik</a>.) Im zweidimensionalen Spezialfall bewirkt ein Drehmoment lediglich eine Beschleunigung oder Abbremsung einer Rotationsbewegung. Im allgemeinen dreidimensionalen Fall kann es hingegen auch die Richtung der Rotationsachse verändern (siehe z. B.: <a href="/wiki/Pr%C3%A4zession" title="Präzession">Präzession</a>). <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Entsprechungen_zwischen_geradliniger_Bewegung_und_Drehbewegung">Entsprechungen zwischen geradliniger Bewegung und Drehbewegung</h2>[<a href="/w/index.php?title=Drehmoment&veaction=edit&section=22" title="Abschnitt bearbeiten: Entsprechungen zwischen geradliniger Bewegung und Drehbewegung" class="mw-editsection-visualeditor">Bearbeiten</a> | <a href="/w/index.php?title=Drehmoment&action=edit&section=22" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Entsprechungen zwischen geradliniger Bewegung und Drehbewegung">Quelltext bearbeiten</a>]</div> Das Drehmoment <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {M}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>M</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {M}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b903a0e453efca49cfda6ba33edb465de21a6b1d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.442ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\vec {M}}}"> nimmt in der <a href="/wiki/Klassische_Mechanik" title="Klassische Mechanik">klassischen Mechanik</a> für Drehbewegungen eine ähnliche Rolle ein wie die Kraft <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {F}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>F</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {F}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef40edff397a115ecdce7d3518001dfcc7f37d9e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.771ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\vec {F}}}"> für geradlinige Bewegungen: <table class="wikitable" cellspacing="0" cellpadding="5" style="text-align:center;"> <tbody><tr> <th> </th> <th>Geradlinige Bewegung </th> <th>Drehbewegung </th></tr> <tr> <td class="hintergrundfarbe5" rowspan="2"><a href="/wiki/Arbeit_(Physik)" title="Arbeit (Physik)">Arbeit</a> </td> <td>Kraft mal Weg <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle W=F\cdot \Delta s}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>W</mi> <mo>=</mo> <mi>F</mi> <mo>⋅</mo> <mi mathvariant="normal">Δ</mi> <mi>s</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle W=F\cdot \Delta s}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/136541b1003226a3fe0ac671d55a4647e40dd041" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:11.98ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle W=F\cdot \Delta s}"><a href="#cite_note-vereinfacht-28">[A 1]</a> </td> <td>Drehmoment mal Drehwinkel (<a href="/wiki/Bogenma%C3%9F" class="mw-redirect" title="Bogenmaß">Bogenmaß</a>) <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle W=M\,\Delta \varphi }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>W</mi> <mo>=</mo> <mi>M</mi> <mspace width="thinmathspace" /> <mi mathvariant="normal">Δ</mi> <mi>φ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle W=M\,\Delta \varphi }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a126b24bab2648dba2dfaf51a8312dca0e30b02" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:11.819ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle W=M\,\Delta \varphi }"><a href="#cite_note-vereinfacht-28">[A 1]</a> </td></tr> <tr> <td>allgemein: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle W=\int {\vec {F}}({\vec {s}})\cdot \mathrm {d} {\vec {s}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>W</mi> <mo>=</mo> <mo>∫</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>F</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>s</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>⋅</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>s</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle W=\int {\vec {F}}({\vec {s}})\cdot \mathrm {d} {\vec {s}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c37fa28b0b90b9f41300baca49ac1177b2f84f35" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:17.112ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle W=\int {\vec {F}}({\vec {s}})\cdot \mathrm {d} {\vec {s}}}"> </td> <td>allgemein: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle W=\int {\vec {M}}({\vec {\varphi }})\cdot \mathrm {d} {\vec {\varphi }}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>W</mi> <mo>=</mo> <mo>∫</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>M</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>φ</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>⋅</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>φ</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle W=\int {\vec {M}}({\vec {\varphi }})\cdot \mathrm {d} {\vec {\varphi }}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c40294d21c7f88013b74d675b9fe9a4dd6dfa83" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:18.378ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle W=\int {\vec {M}}({\vec {\varphi }})\cdot \mathrm {d} {\vec {\varphi }}}"> </td></tr> <tr> <td class="hintergrundfarbe5"><a href="/wiki/Leistung_(Physik)" title="Leistung (Physik)">Leistung</a> </td> <td>Kraft mal <a href="/wiki/Geschwindigkeit" title="Geschwindigkeit">Geschwindigkeit</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P={\vec {F}}\cdot {\vec {v}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>P</mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>F</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>⋅</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>v</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P={\vec {F}}\cdot {\vec {v}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4b9a3c65d3f9d68a752fcc85518a8518303cfaa" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:9.469ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle P={\vec {F}}\cdot {\vec {v}}}"> </td> <td>Drehmoment mal <a href="/wiki/Winkelgeschwindigkeit" title="Winkelgeschwindigkeit">Winkelgeschwindigkeit</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P={\vec {M}}\cdot {\vec {\omega }}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>P</mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>M</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>⋅</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>ω</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P={\vec {M}}\cdot {\vec {\omega }}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2fbab26c01431578d31e5dc9886f90723445aa92" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:10.411ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle P={\vec {M}}\cdot {\vec {\omega }}}"> </td></tr> <tr> <td class="hintergrundfarbe5"><a href="/wiki/Statisches_Gleichgewicht" class="mw-redirect" title="Statisches Gleichgewicht">Statisches Gleichgewicht</a> </td> <td>Kräftegleichgewicht <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \sum {\vec {F}}_{i}={\vec {0}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo>∑</mo> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>F</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mn>0</mn> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sum {\vec {F}}_{i}={\vec {0}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f3a08b5e721ba39b87586f9acee6b0c5f511371" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.338ex; width:10.574ex; height:3.843ex;" alt="{\displaystyle \sum {\vec {F}}_{i}={\vec {0}}}"> </td> <td>Drehmomentengleichgewicht <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \sum {\vec {M}}_{i}={\vec {0}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo>∑</mo> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>M</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mn>0</mn> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sum {\vec {M}}_{i}={\vec {0}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d50782e467f809de13d9d50f62f3bc20d02c5879" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.338ex; width:11.245ex; height:3.843ex;" alt="{\displaystyle \sum {\vec {M}}_{i}={\vec {0}}}"> </td></tr> <tr> <td class="hintergrundfarbe5" rowspan="2"><a href="/wiki/Newtonsche_Gesetze#Zweites_Newtonsches_Gesetz" title="Newtonsche Gesetze">Beschleunigte Bewegung</a> </td> <td><a href="/wiki/Masse_(Physik)" title="Masse (Physik)">Masse</a> mal <a href="/wiki/Beschleunigung" title="Beschleunigung">Beschleunigung</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {F}}=m\,{\vec {a}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>F</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>=</mo> <mi>m</mi> <mspace width="thinmathspace" /> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>a</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {F}}=m\,{\vec {a}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b57290638dfe755afbfbfc9ff9a9bfeadfc8afcb" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:8.527ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\vec {F}}=m\,{\vec {a}}}"> </td> <td><a href="/wiki/Tr%C3%A4gheitstensor" title="Trägheitstensor">Trägheitstensor</a> mal <a href="/wiki/Winkelbeschleunigung" title="Winkelbeschleunigung">Winkelbeschleunigung</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {M}}=\mathbf {I} \,{\vec {\alpha }}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>M</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">I</mi> </mrow> <mspace width="thinmathspace" /> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>α</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {M}}=\mathbf {I} \,{\vec {\alpha }}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8763f62e5de3f1fd78321b554c3846d3c32380fb" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:8.429ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\vec {M}}=\mathbf {I} \,{\vec {\alpha }}}"> </td></tr> <tr> <td>Änderungsrate des Impulses <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {F}}={\frac {\mathrm {d} {\vec {p}}}{\mathrm {d} t}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>F</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>p</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {F}}={\frac {\mathrm {d} {\vec {p}}}{\mathrm {d} t}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c4a8492d513b91c77f3e4f9025f0fb7640ce6e0" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:8.323ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle {\vec {F}}={\frac {\mathrm {d} {\vec {p}}}{\mathrm {d} t}}}"> </td> <td>Änderungsrate des Drehimpulses <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {M}}={\frac {\mathrm {d} {\vec {L}}}{\mathrm {d} t}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>M</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>L</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {M}}={\frac {\mathrm {d} {\vec {L}}}{\mathrm {d} t}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81ffc93eb9704e059d7f13414b78d21d3f039720" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:9.252ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle {\vec {M}}={\frac {\mathrm {d} {\vec {L}}}{\mathrm {d} t}}}"> </td></tr></tbody></table> <ol class="references"> <li id="cite_note-vereinfacht-28">↑ <a href="#cite_ref-vereinfacht_28-0">a</a> <a href="#cite_ref-vereinfacht_28-1">b</a> Diese vereinfachten Formeln gelten für eine konstante Kraft entlang eines Weges in Kraftrichtung beziehungsweise ein konstantes Drehmoment um eine Achse in Drehrichtung. Bei veränderlichen Kräften und Drehmomenten oder bei schiefwinkligen Anordnungen sind die allgemeinen Formeln in der Zeile darunter zu verwenden. </li> </ol> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Messung_des_Drehmoments">Messung des Drehmoments</h2>[<a href="/w/index.php?title=Drehmoment&veaction=edit&section=23" title="Abschnitt bearbeiten: Messung des Drehmoments" class="mw-editsection-visualeditor">Bearbeiten</a> | <a href="/w/index.php?title=Drehmoment&action=edit&section=23" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Messung des Drehmoments">Quelltext bearbeiten</a>]</div> <div class="sieheauch" role="navigation" style="font-style:italic;">Siehe auch: <a href="/wiki/Drehmomentsensor" title="Drehmomentsensor">Drehmomentsensor</a> und <a href="/wiki/Drehmomentaufnehmer" title="Drehmomentaufnehmer">Drehmomentaufnehmer</a></div> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Ruhender_Körper">Ruhender Körper</h3>[<a href="/w/index.php?title=Drehmoment&veaction=edit&section=24" title="Abschnitt bearbeiten: Ruhender Körper" class="mw-editsection-visualeditor">Bearbeiten</a> | <a href="/w/index.php?title=Drehmoment&action=edit&section=24" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Ruhender Körper">Quelltext bearbeiten</a>]</div> Der drehbare Körper wird durch ein statisches Gegenmoment in <a href="/wiki/Kr%C3%A4ftegleichgewicht#Statik" class="mw-redirect" title="Kräftegleichgewicht">Ruhe</a> gehalten. Das auf den ruhenden Körper wirkende und zu messende Drehmoment ist gleich groß wie das Gegenmoment, das zum Beispiel mit einem Hebel erzeugt wird, und dessen Wert das Produkt aus der Hebelarmlänge und der Gegenkraft am Hebelende ist. <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Drehender_Körper">Drehender Körper</h3>[<a href="/w/index.php?title=Drehmoment&veaction=edit&section=25" title="Abschnitt bearbeiten: Drehender Körper" class="mw-editsection-visualeditor">Bearbeiten</a> | <a href="/w/index.php?title=Drehmoment&action=edit&section=25" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Drehender Körper">Quelltext bearbeiten</a>]</div> Das an einer rotierenden Welle bei bestimmter Drehzahl wirkende Drehmoment wird mit einem Bremsdynamometer, zum Beispiel einem <a href="/wiki/Pronyscher_Zaum" title="Pronyscher Zaum">Pronyschen Zaum</a> oder einer <a href="/wiki/Wasserwirbelbremse" title="Wasserwirbelbremse">Wasserwirbelbremse</a>, gemessen. Diese an die Welle angeschlossene Bremseinrichtung nimmt die gesamte übertragene Leistung auf und misst gleichzeitig das Drehmoment. Zum Beispiel eine <a href="/wiki/Kraftmaschine" title="Kraftmaschine">Kraftmaschine</a>, an deren Welle das Drehmoment zu messen ist, oder die Bremseinrichtung werden drehbar um die Rotationsachse der Welle gelagert und am freien Ende eines an der Maschine oder an der Bremseinrichtung befestigten Hebelarms die gegenwirkende Umfangskraft gemessen. Die Messung wird mehrmals wiederholt und eine Drehmoment/Drehzahl-Kennlinie erzeugt. Das die Drehgeschwindigkeit verändernde Drehmoment lässt sich durch Messen der Winkelbeschleunigung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \alpha }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>α</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \alpha }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b79333175c8b3f0840bfb4ec41b8072c83ea88d3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.488ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \alpha }"> bestimmen, wenn das <a href="/wiki/Tr%C3%A4gheitsmoment" title="Trägheitsmoment">Trägheitsmoment</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle I}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>I</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle I}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/535ea7fc4134a31cbe2251d9d3511374bc41be9f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.172ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle I}"> bekannt ist. Die Auswertung erfolgt mit der Formel <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle M=I\,\alpha }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>M</mi> <mo>=</mo> <mi>I</mi> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>α</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle M=I\,\alpha }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/69cf43dc4adc3eea820b4bcbdc36575d3ba2c5f6" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:8.587ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle M=I\,\alpha }">.</dd></dl> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Drehmomente_an_ausgewählten_Maschinen">Drehmomente an ausgewählten Maschinen</h2>[<a href="/w/index.php?title=Drehmoment&veaction=edit&section=26" title="Abschnitt bearbeiten: Drehmomente an ausgewählten Maschinen" class="mw-editsection-visualeditor">Bearbeiten</a> | <a href="/w/index.php?title=Drehmoment&action=edit&section=26" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Drehmomente an ausgewählten Maschinen">Quelltext bearbeiten</a>]</div> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Elektromotoren">Elektromotoren</h3>[<a href="/w/index.php?title=Drehmoment&veaction=edit&section=27" title="Abschnitt bearbeiten: Elektromotoren" class="mw-editsection-visualeditor">Bearbeiten</a> | <a href="/w/index.php?title=Drehmoment&action=edit&section=27" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Elektromotoren">Quelltext bearbeiten</a>]</div> <figure class="mw-default-size" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Datei:Kennlinie_Asynchronmotor.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/36/Kennlinie_Asynchronmotor.svg/220px-Kennlinie_Asynchronmotor.svg.png" decoding="async" width="220" height="276" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/36/Kennlinie_Asynchronmotor.svg/330px-Kennlinie_Asynchronmotor.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/36/Kennlinie_Asynchronmotor.svg/440px-Kennlinie_Asynchronmotor.svg.png 2x" data-file-width="780" data-file-height="980" /></a><figcaption>Drehmomentkennlinien eines <a href="/wiki/Asynchronmotor" class="mw-redirect" title="Asynchronmotor">Asynchronmotors</a>. Obere Kennlinie: <a href="/wiki/Dreieckschaltung" title="Dreieckschaltung">Dreieckschaltung</a> Mittlere Kennlinie: <a href="/wiki/Sternschaltung" title="Sternschaltung">Sternschaltung</a></figcaption></figure> Der <a href="/wiki/Asynchronmotor" class="mw-redirect" title="Asynchronmotor">Asynchronmotor</a> in der Ausführung als Kurzschlussläufer ist ein häufig verwendeter Elektromotor. Das Bild zeigt das bei Betrieb am Stromnetz (Frequenz und Spannung konstant) typisch erzeugte Drehmoment in Abhängigkeit von der Drehzahl. Der Motor kann über längere Zeit nur in dem kleinen Drehzahlbereich rechts von den Kipppunkten K1 oder K2 auf der steil abfallenden Kurve betrieben werden. Links von den Kipppunkten ist der Anlaufbereich, der immer möglichst schnell durchfahren werden muss. Beim Anlauf hat der Asynchronmotor einen schlechten Wirkungsgrad, einen hohen Anlaufstrom und ein geringes Drehmoment. Um diese Nachteile zu vermeiden, wendet man verschiedene Maßnahmen an, zum Beispiel die <a href="/wiki/Stern-Dreieck-Anlaufschaltung" title="Stern-Dreieck-Anlaufschaltung">Stern-Dreieck-Anlaufschaltung</a> oder den Betrieb an einem <a href="/wiki/Frequenzumrichter" title="Frequenzumrichter">Frequenzumrichter</a>. Mittels letzterem gelingt der Anlauf mit mehr als dem Nennmoment, sodass der Motor auch bei Fahrzeugantrieben eingesetzt werden kann. Ein ebenfalls häufig verwendeter Motor ist der <a href="/wiki/Gleichstrommaschine#Reihenschlussmaschine" title="Gleichstrommaschine">Reihenschluss-Gleichstrommotor</a>, der ein besonders hohes Anlaufmoment hat. Er wird daher für Handgeräte, Waschmaschinen oder auch Bahnantriebe genutzt.<div style="clear:both;"></div> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Verbrennungsmotoren">Verbrennungsmotoren </h3>[<a href="/w/index.php?title=Drehmoment&veaction=edit&section=28" title="Abschnitt bearbeiten: Verbrennungsmotoren" class="mw-editsection-visualeditor">Bearbeiten</a> | <a href="/w/index.php?title=Drehmoment&action=edit&section=28" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Verbrennungsmotoren">Quelltext bearbeiten</a>]</div> <figure class="mw-default-size" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Datei:Drehmoment_Leistung.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/ae/Drehmoment_Leistung.svg/220px-Drehmoment_Leistung.svg.png" decoding="async" width="220" height="249" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/ae/Drehmoment_Leistung.svg/330px-Drehmoment_Leistung.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/ae/Drehmoment_Leistung.svg/440px-Drehmoment_Leistung.svg.png 2x" data-file-width="531" data-file-height="602" /></a><figcaption>Kennlinien zweier <a href="/wiki/Verbrennungsmotor" title="Verbrennungsmotor">Verbrennungsmotoren</a></figcaption></figure> In Automobilprospekten ist es üblich, bei <a href="/wiki/Verbrennungsmotor" title="Verbrennungsmotor">Verbrennungsmotoren</a> anstatt der im <a href="/wiki/Volllast" class="mw-redirect" title="Volllast">Volllastbetrieb</a> aufgenommenen Drehmoment/Drehzahl-Kennlinie (siehe Abbildung „Kennlinien zweier Verbrennungsmotoren“) nur deren Maximalwert gemeinsam mit der entsprechenden Drehzahl anzugeben.<a href="#cite_note-29">[28]</a> Da in der Gleichung für die <a href="/wiki/Leistung_(Physik)" title="Leistung (Physik)">Leistung</a> die Drehzahl nochmals als linearer Faktor enthalten ist, liegt das Maximum der Leistung bei einer höheren Drehzahl als das Maximum des Drehmoments (siehe Abbildung). Für das Drehmoment <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle M}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>M</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle M}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f82cade9898ced02fdd08712e5f0c0151758a0dd" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.442ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle M}"> von Zweitaktmotoren gilt die Formel: <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle M={\frac {V_{h}p_{e}}{2\pi }}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>M</mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>V</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>h</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>p</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>e</mi> </mrow> </msub> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> <mi>π</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle M={\frac {V_{h}p_{e}}{2\pi }}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/345f0d60a1ca4de99ec49eb0eaa5606b03989015" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:11.079ex; height:5.343ex;" alt="{\displaystyle M={\frac {V_{h}p_{e}}{2\pi }}}"></dd></dl> Hierbei ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle V_{h}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>V</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>h</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle V_{h}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/652f5cdfa49da86f90fa98f1ab5c47a3384f1464" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.534ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle V_{h}}"> das <a href="/wiki/Hubvolumen" class="mw-redirect" title="Hubvolumen">Hubvolumen</a> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p_{e}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>p</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>e</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p_{e}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea9d1daea5e2e2bca1b08d45ef8f2b10a55184ea" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:2.257ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle p_{e}}"> der <a href="/wiki/Mitteldruck" title="Mitteldruck">Mitteldruck</a> des verbrannten Treibstoffs, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle V_{h}p_{e}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>V</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>h</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>p</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>e</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle V_{h}p_{e}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/089d829ea15095e51c4497d0bb3f806629d2d5fa" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:4.702ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle V_{h}p_{e}}"> also die in dem Zyklus erbrachte Arbeit als „Kraft mal Weg“. Für das Drehmoment von Viertaktmotoren gilt entsprechend: <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle M={\frac {V_{h}p_{e}}{4\pi }}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>M</mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>V</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>h</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>p</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>e</mi> </mrow> </msub> </mrow> <mrow> <mn>4</mn> <mi>π</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle M={\frac {V_{h}p_{e}}{4\pi }}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d726a330dce200249a23b536b5b747ed553addc5" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:11.079ex; height:5.343ex;" alt="{\displaystyle M={\frac {V_{h}p_{e}}{4\pi }}}"></dd></dl> Denn bei zwei Umdrehungen pro Arbeitszyklus halbiert sich die Arbeit pro Umdrehung gegenüber dem Zweitakter. <dl><dt>Zahlenbeispiel</dt> <dd>Drehmoment und Leistung eines Viertaktmotors</dd></dl> Ein Serienfahrzeug mit 2000 cm³ (= 0,002 m³) Hubvolumen, dessen Viertaktmotor bei einer Drehzahl von 2000/min einen Mitteldruck von 9 <a href="/wiki/Bar_(Einheit)" title="Bar (Einheit)">bar</a> (= 900.000 <a href="/wiki/Pascal_(Einheit)" title="Pascal (Einheit)">Pa</a>; 1 Pa = 1 N/m²) erreicht, in SI-Einheiten gerechnet: <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle M={\frac {0{,}002\,\mathrm {m} ^{3}\cdot 900.000\,{\frac {\mathrm {N} }{\mathrm {m} ^{2}}}}{4\pi }}=143\,\mathrm {Nm} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>M</mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mn>0,002</mn> <mspace width="thinmathspace" /> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">m</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msup> <mo>⋅</mo> <mn>900.000</mn> <mspace width="thinmathspace" /> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">N</mi> </mrow> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">m</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mfrac> </mrow> </mrow> <mrow> <mn>4</mn> <mi>π</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mn>143</mn> <mspace width="thinmathspace" /> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">N</mi> <mi mathvariant="normal">m</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle M={\frac {0{,}002\,\mathrm {m} ^{3}\cdot 900.000\,{\frac {\mathrm {N} }{\mathrm {m} ^{2}}}}{4\pi }}=143\,\mathrm {Nm} }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f085219bd30c1f365763e7c1a7bbd06077210e2d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:38.427ex; height:6.676ex;" alt="{\displaystyle M={\frac {0{,}002\,\mathrm {m} ^{3}\cdot 900.000\,{\frac {\mathrm {N} }{\mathrm {m} ^{2}}}}{4\pi }}=143\,\mathrm {Nm} }"></dd></dl> Die Gleichung für die Leistung bei einer Drehbewegung lautet (siehe <a href="#Messung_des_Drehmoments">oben</a>; <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}"> … Drehzahl, Anzahl der Umdrehungen pro Zeitspanne) <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P=2\pi \ n\ M\ }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>P</mi> <mo>=</mo> <mn>2</mn> <mi>π</mi> <mtext> </mtext> <mi>n</mi> <mtext> </mtext> <mi>M</mi> <mtext> </mtext> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P=2\pi \ n\ M\ }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b63cd7aa514f6075781edd4028957c177acd997" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:12.917ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle P=2\pi \ n\ M\ }"></dd></dl> und als Funktion der Drehzahl <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P(n)=2\pi \ n\ M(n)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>P</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>n</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mn>2</mn> <mi>π</mi> <mtext> </mtext> <mi>n</mi> <mtext> </mtext> <mi>M</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>n</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P(n)=2\pi \ n\ M(n)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7267f368830e33b00b7e3cfc2e55f6bf9c04ef74" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:18.745ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle P(n)=2\pi \ n\ M(n)}">.</dd></dl> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle M(n)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>M</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>n</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle M(n)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c856803491e153263b91aacc660e26ef129d467" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.646ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle M(n)}"> ist die für einen bestimmten Motor drehzahlabhängige Drehmomentkennlinie. Sie wird durch Messung erhalten. Ein Verbrennungsmotor, der bei Drehzahl 2000 Umdrehungen pro Minute das Drehmoment 143 <a href="/wiki/Newtonmeter" title="Newtonmeter">Nm</a> abgibt, hat in diesem Betriebszustand folgende Leistung: <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P=2\pi \cdot {\frac {2000}{60\ \mathrm {s} }}\cdot 143\ \mathrm {Nm} \ \approx 30\ \mathrm {kW} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>P</mi> <mo>=</mo> <mn>2</mn> <mi>π</mi> <mo>⋅</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>2000</mn> <mrow> <mn>60</mn> <mtext> </mtext> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">s</mi> </mrow> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>⋅</mo> <mn>143</mn> <mtext> </mtext> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">N</mi> <mi mathvariant="normal">m</mi> </mrow> <mtext> </mtext> <mo>≈</mo> <mn>30</mn> <mtext> </mtext> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">k</mi> <mi mathvariant="normal">W</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P=2\pi \cdot {\frac {2000}{60\ \mathrm {s} }}\cdot 143\ \mathrm {Nm} \ \approx 30\ \mathrm {kW} }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23c7c4ceec9ddbd4ca9435bbfa579b94b2f6da0e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:34.13ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle P=2\pi \cdot {\frac {2000}{60\ \mathrm {s} }}\cdot 143\ \mathrm {Nm} \ \approx 30\ \mathrm {kW} }"> .</dd></dl> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Hydraulikmotoren">Hydraulikmotoren</h3>[<a href="/w/index.php?title=Drehmoment&veaction=edit&section=29" title="Abschnitt bearbeiten: Hydraulikmotoren" class="mw-editsection-visualeditor">Bearbeiten</a> | <a href="/w/index.php?title=Drehmoment&action=edit&section=29" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Hydraulikmotoren">Quelltext bearbeiten</a>]</div> Die hydraulische Leistung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>P</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4dc73bf40314945ff376bd363916a738548d40a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.745ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle P}"> eines <a href="/wiki/Hydraulikmotor" title="Hydraulikmotor">Hydraulikmotors</a> errechnet sich aus den Drücken <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p_{1}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>p</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p_{1}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b9b58f22283ca46dd5da309cc34303b06a797783" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:2.313ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle p_{1}}"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p_{2}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>p</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p_{2}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/43f1b08d7d69712872e051c2b33fdfa9f5d42319" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:2.313ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle p_{2}}"> am Motoreingang oder -ausgang und dem geschluckten Ölvolumen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Q=q\cdot n}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>Q</mi> <mo>=</mo> <mi>q</mi> <mo>⋅</mo> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Q=q\cdot n}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/67b1dbacea64e30063656f46d94c3f907dae7602" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:9.08ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle Q=q\cdot n}"> (<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle q}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>q</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle q}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06809d64fa7c817ffc7e323f85997f783dbdf71d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.07ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle q}"> ist das Volumen je Umdrehung): <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P=(p_{1}-p_{2})\,qn}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>P</mi> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>p</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>−</mo> <msub> <mi>p</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>q</mi> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P=(p_{1}-p_{2})\,qn}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8f392cb0d02fef3db2f499c7676cdce68ea7334" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:16.792ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle P=(p_{1}-p_{2})\,qn}"></dd></dl> Aus der Gleichung für die Leistung bei einer Drehbewegung (siehe <a href="#Messung_des_Drehmoments">oben</a>) <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P=2\pi Mn}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>P</mi> <mo>=</mo> <mn>2</mn> <mi>π</mi> <mi>M</mi> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P=2\pi Mn}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa2bcb345a775765e6b84c7da218860cf40d4f5a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:11.175ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle P=2\pi Mn}"></dd></dl> folgt das Drehmoment zu: <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle M={\frac {(p_{1}-p_{2})\,q}{2\pi }}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>M</mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>p</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>−</mo> <msub> <mi>p</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>q</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> <mi>π</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle M={\frac {(p_{1}-p_{2})\,q}{2\pi }}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d8201e2624db52d4e74ea0f14ec2e83ef36a99e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:16.93ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle M={\frac {(p_{1}-p_{2})\,q}{2\pi }}}"></dd></dl> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Literatur">Literatur</h2>[<a href="/w/index.php?title=Drehmoment&veaction=edit&section=30" title="Abschnitt bearbeiten: Literatur" class="mw-editsection-visualeditor">Bearbeiten</a> | <a href="/w/index.php?title=Drehmoment&action=edit&section=30" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Literatur">Quelltext bearbeiten</a>]</div> <ul><li><a href="/wiki/Wolfgang_Nolting_(Physiker)" title="Wolfgang Nolting (Physiker)">Wolfgang Nolting</a>: Klassische Mechanik. In: Grundkurs Theoretische Physik. Bd. 1, 8. Auflage. Springer, Berlin 2008, <a href="/wiki/Spezial:ISBN-Suche/9783540348320" class="internal mw-magiclink-isbn">ISBN 978-3-540-34832-0</a>.</li> <li><a href="/wiki/Herbert_Goldstein" title="Herbert Goldstein">Herbert Goldstein</a>, Charles P. Poole und John L. Safko: Klassische Mechanik (Übersetzung: Michael Baer). 3., vollst. überarb. und erw. Auflage. Wiley-VCH, Weinheim 2006. (Lehrbuch Physik), <a href="/wiki/Spezial:ISBN-Suche/3527405895" class="internal mw-magiclink-isbn">ISBN 3-527-40589-5</a>.</li> <li><a href="/wiki/Richard_Feynman" title="Richard Feynman">Richard P. Feynman</a>: Feynman-Vorlesungen über Physik. Oldenbourg, München/Wien 2007, <a href="/wiki/Spezial:ISBN-Suche/9783486584448" class="internal mw-magiclink-isbn">ISBN 978-3-486-58444-8</a>.</li> <li><a href="/wiki/Paul_A._Tipler" title="Paul A. Tipler">Paul A. Tipler</a>: Physik. 3. korrigierter Nachdruck der 1. Auflage. 1994, Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg/Berlin 2000, <a href="/wiki/Spezial:ISBN-Suche/3860251228" class="internal mw-magiclink-isbn">ISBN 3-86025-122-8</a>.</li> <li><a href="/wiki/Ludwig_Bergmann_(Physiker)" title="Ludwig Bergmann (Physiker)">Ludwig Bergmann</a>, Clemens Schaefer: Mechanik – Akustik – Wärme. In: Lehrbuch der Experimentalphysik. Bd. 1, 12. Auflage. Walter de Gruyter, Berlin 2008, <a href="/wiki/Spezial:ISBN-Suche/9783110193114" class="internal mw-magiclink-isbn">ISBN 978-3-11-019311-4</a>.</li> <li><a href="/wiki/Istv%C3%A1n_Szab%C3%B3_(Ingenieur)" title="István Szabó (Ingenieur)">Istvan Szabó</a>: Einführung in die Technische Mechanik. Springer, Berlin 1999, <a href="/wiki/Spezial:ISBN-Suche/3540442480" class="internal mw-magiclink-isbn">ISBN 3-540-44248-0</a>.</li> <li>Peter Gummert, Karl-August Reckling: Mechanik. Vieweg, Wiesbaden 1994, <a href="/wiki/Spezial:ISBN-Suche/352828904X" class="internal mw-magiclink-isbn">ISBN 3-528-28904-X</a>.</li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Weblinks">Weblinks</h2>[<a href="/w/index.php?title=Drehmoment&veaction=edit&section=31" title="Abschnitt bearbeiten: Weblinks" class="mw-editsection-visualeditor">Bearbeiten</a> | <a href="/w/index.php?title=Drehmoment&action=edit&section=31" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Weblinks">Quelltext bearbeiten</a>]</div> <div class="sisterproject" style="margin:0.1em 0 0 0;"><div class="noresize noviewer" style="display:inline-block; line-height:10px; min-width:1.6em; text-align:center;" aria-hidden="true" role="presentation"><img alt="" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4a/Commons-logo.svg/12px-Commons-logo.svg.png" decoding="async" width="12" height="16" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4a/Commons-logo.svg/18px-Commons-logo.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4a/Commons-logo.svg/24px-Commons-logo.svg.png 2x" data-file-width="1024" data-file-height="1376" /></div><a class="external text" href="https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Torque?uselang=de">Commons: Drehmoment</a> – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien</div> <div class="sisterproject" style="margin:0.1em 0 0 0;"><img alt="" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c3/Wiktfavicon_en.svg/16px-Wiktfavicon_en.svg.png" decoding="async" width="16" height="16" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c3/Wiktfavicon_en.svg/24px-Wiktfavicon_en.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c3/Wiktfavicon_en.svg/32px-Wiktfavicon_en.svg.png 2x" data-file-width="16" data-file-height="16" /><a href="https://de.wiktionary.org/wiki/Drehmoment" class="extiw" title="wikt:Drehmoment">Wiktionary: Drehmoment</a> – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen</div> <div class="sisterproject" style="margin:0.1em 0 0 0;"><div class="noviewer" style="display:inline-block; line-height:10px; min-width:1.6em; text-align:center;" aria-hidden="true" role="presentation"><img alt="" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/fa/Wikibooks-logo.svg/16px-Wikibooks-logo.svg.png" decoding="async" width="16" height="16" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/fa/Wikibooks-logo.svg/24px-Wikibooks-logo.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/fa/Wikibooks-logo.svg/32px-Wikibooks-logo.svg.png 2x" data-file-width="300" data-file-height="300" /></div><a href="https://de.wikibooks.org/wiki/Himmelsgesetze_der_Bewegung/_Drehmoment_und_Hebelgesetz#Drehmoment" class="extiw" title="b:Himmelsgesetze der Bewegung/ Drehmoment und Hebelgesetz">Wikibooks: Himmelsgesetze der Bewegung/ Drehmoment und Hebelgesetz#Drehmoment</a> – Lern- und Lehrmaterialien</div> <ul><li><a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.zum.de/dwu/pme201vs.htm">Drehmoment am einarmigen Hebel.</a> Dargestellt am Beispiel eines Schraubenschlüssels. Bei: zum.de.</li> <li>Wilfried Krimmel: <a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.lorenz-messtechnik.de/deutsch/unternehmen/drehmomentmesstechnik.php">Entwicklung und Zukunft der Drehmomentmesstechnik.</a> Bei: lorenz-messtechnik.de.</li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Einzelnachweise">Einzelnachweise</h2>[<a href="/w/index.php?title=Drehmoment&veaction=edit&section=32" title="Abschnitt bearbeiten: Einzelnachweise" class="mw-editsection-visualeditor">Bearbeiten</a> | <a href="/w/index.php?title=Drehmoment&action=edit&section=32" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Einzelnachweise">Quelltext bearbeiten</a>]</div> <ol class="references"> <li id="cite_note-SI-Brosch-1">↑ <a href="#cite_ref-SI-Brosch_1-0">a</a> <a href="#cite_ref-SI-Brosch_1-1">b</a> „Even though torque has the same dimension as energy (SI unit joule), the joule is never used for expressing torque.“ <a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.bipm.org/en/publications/si-brochure/">The International System of Units (SI)</a> 9. edition, 2019, Kap. 2.3.4, Seite 140 </li> <li id="cite_note-2"><a href="#cite_ref-2">↑</a> <cite style="font-style:italic">Das Internationale Einheitensystem (SI)</cite>. Deutsche Übersetzung der BIPM-Broschüre „Le Système international d’unités/The International System of Units (8e édition, 2006)“. In: <cite style="font-style:italic">PTB-Mitteilungen</cite>. Band 117, Nr. 2, 2007, S. 21 (<a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.ptb.de/cms/fileadmin/internet/Themenrundgaenge/ImWeltweitenNetzDerMetrologie/si.pdf">Online</a> [PDF; 1,4 MB]).<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Drehmoment&rft.atitle=Das+Internationale+Einheitensystem+%28SI%29&rft.date=2007&rft.genre=journal&rft.issue=2&rft.jtitle=PTB-Mitteilungen&rft.pages=21&rft.volume=117" style="display:none">  </li> <li id="cite_note-memoirs-3"><a href="#cite_ref-memoirs_3-0">↑</a> Palle E. T. Jørgensen, Keri A. Kornelson, Karen L. Shuman: <cite style="font-style:italic">Iterated Function Systems, Moments, and Transformations of Infinite Matrices</cite>. In: <cite style="font-style:italic">Memoirs of the American Mathematical Society</cite>. American Mathematical Society, 2011, <a href="/wiki/Spezial:ISBN-Suche/0821882481" class="internal mw-magiclink-isbn">ISBN 0-8218-8248-1</a>, S. 2 (<a rel="nofollow" class="external text" href="https://books.google.de/books?id=AeIK6GRGo7UC&pg=PA2&q=Moments#v=onepage">eingeschränkte Vorschau</a> in der Google-Buchsuche).<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Drehmoment&rft.atitle=Iterated+Function+Systems%2C+Moments%2C+and+Transformations+of+Infinite+Matrices&rft.au=Palle+E.+T.+J%C3%B8rgensen%2C+Keri+A.+Kornelson%2C+Karen+L.+Shuman&rft.btitle=Memoirs+of+the+American+Mathematical+Society&rft.date=2011&rft.genre=book&rft.isbn=0821882481&rft.pages=2&rft.pub=American+Mathematical+Society" style="display:none">  </li> <li id="cite_note-4"><a href="#cite_ref-4">↑</a> Elektronische Stichwortsuche in: <ul><li>Bartelmann, Feuerbacher, Krüger, Lüst, Rebhan, Wipf (Hrsg.): Theoretische Physik. Springer, 2015.</li> <li>Achim Feldmeier: Theoretische Mechanik – Analysis der Bewegung. 2013.</li> <li>Honerkamp, Römer: Klassische Theoretische Physik. Springer, 4. Auflage, 2012.</li> <li>Wolfgang Nolting: Grundkurs Theoretische Mechanik 1 – Klassische Mechanik. Springer, 10. Auflage, 2013.</li> <li>Norbert Straumann: Theoretische Mechanik. Springer, 2. Auflage, 2015.</li></ul> </li> <li id="cite_note-5"><a href="#cite_ref-5">↑</a> Böge, Böge: Technische Mechanik. Springer, 31. Auflage, 2015, S. 4. </li> <li id="cite_note-6"><a href="#cite_ref-6">↑</a> Spura: Technische Mechanik 1 – Stereostatik. Springer, 2016, S. 43. </li> <li id="cite_note-7"><a href="#cite_ref-7">↑</a> Böge: Handbuch Maschinenbau. Springer, 21. Auflage, 2013, S. C2. </li> <li id="cite_note-8"><a href="#cite_ref-8">↑</a> Mahnken: Lehrbuch der Technischen Mechanik – Statik. Springer, 2012, S. 98. </li> <li id="cite_note-9"><a href="#cite_ref-9">↑</a> Elektronische Stichwortsuche in: <ul><li>Dankert, Dankert: Technische Mechanik. Springer, 7. Auflage, 2013.</li> <li>Wittenburg u. a. (Hrsg.): Das Ingenieurwissen – Technische Mechanik. Springer, 2014.</li> <li>Gross, Hauger, Schröder, Wall: Technische Mechanik 1 – Statik. Springer, 11. Auflage, 2011.</li> <li>Sayir, Dual, Kaufmann, Mazza: Ingenieurmechanik 1 – Grundlagen und Statik. Springer, 3. Auflage, 2015.</li> <li>Spura: Technische Mechanik 1 – Stereostatik. Springer, 2016.</li> <li>Richard, Sander: Technische Mechanik – Statik. Springer, 5. Auflage, 2016.</li> <li>Dreyer: Technische Mechanik – Kinetik, Kinematik. Springer, 11. Auflage, 2012.</li></ul> </li> <li id="cite_note-10"><a href="#cite_ref-10">↑</a> Böge, Böge: Technische Mechanik. Springer, 31. Auflage, 2015, S. 4. Dankert, Dankert: Technische Mechanik. Springer, 7. Auflage, 2013, S. 20, 23. </li> <li id="cite_note-11"><a href="#cite_ref-11">↑</a> Gross, Hauger, Schröder, Wall: Technische Mechanik 1 – Statik. Springer, 11. Auflage, 2011, S. 51, 54. Mahnken: Lehrbuch der Technischen Mechanik – Statik. Springer, 2012, S. 98, 103. Spura: Technische Mechanik 1 – Stereostatik. Springer, 2016, S. 43, 46. </li> <li id="cite_note-12"><a href="#cite_ref-12">↑</a> <a href="/wiki/Dieter_Meschede" title="Dieter Meschede">Dieter Meschede</a> (Hrsg.): Gerthsen Physik. Springer, 25. Auflage, 2015, S. 72. Bartelmann, Feuerbacher, Krüger, Lüst, Rebhan, Wipf (Hrsg.): Theoretische Physik. Springer, 2015, S. 28. Achim Feldmeier: Theoretische Mechanik – Analysis der Bewegung. 2013, S. 83. Torsten Fließbach: Mechanik – Lehrbuch zur Theoretischen Physik I. Springer, 7. Auflage, 2015, S. 18. </li> <li id="cite_note-13"><a href="#cite_ref-13">↑</a> Wittenburg u. a. (Hrsg.): Das Ingenieurwissen – Technische Mechanik. Springer, 2014, S. 13. </li> <li id="cite_note-14"><a href="#cite_ref-14">↑</a> Mahnken: Lehrbuch der Technischen Mechanik – Statik. Springer, 2012, S. 145. </li> <li id="cite_note-15"><a href="#cite_ref-15">↑</a> Sayir, Dual, Kaufmann, Mazza: Ingenieurmechanik 1 – Grundlagen und Statik. Springer, 3. Auflage, 2015. </li> <li id="cite_note-16"><a href="#cite_ref-16">↑</a> Böge (Hrsg.): Handbuch Maschinenbau. Springer, 21. Auflage, 2013, S. C2. </li> <li id="cite_note-17"><a href="#cite_ref-17">↑</a> Dieter Meschede (Hrsg.): Gerthsen Physik. Springer, 25. Auflage, 2015, S. 73 f. </li> <li id="cite_note-18"><a href="#cite_ref-18">↑</a> Achim Feldmeier: Theoretische Mechanik – Analysis der Bewegung. 2013, S. 238–240. </li> <li id="cite_note-19"><a href="#cite_ref-19">↑</a> Gross, Hauger, Schröder, Wall: Technische Mechanik 1 – Statik. Springer, 11. Auflage, 2011, S. 73. </li> <li id="cite_note-20"><a href="#cite_ref-20">↑</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.spektrum.de/lexikon/physik/drehmoment/3348">Drehmoment.</a> In: Lexikon der Physik. Abgerufen am 28. Oktober 2016.<span style="display: none;" class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Adc&rfr_id=info%3Asid%2Fde.wikipedia.org%3ADrehmoment&rft.title=Drehmoment&rft.description=Drehmoment&rft.identifier=http%3A%2F%2Fwww.spektrum.de%2Flexikon%2Fphysik%2Fdrehmoment%2F3348">  </li> <li id="cite_note-21"><a href="#cite_ref-21">↑</a> Böge: Technische Mechanik. Springer, 31. Auflage, S. 46. </li> <li id="cite_note-22"><a href="#cite_ref-22">↑</a> Dankert, Dankert: Technische Mechanik. Springer, 7. Auflage, 2013, S. 24. </li> <li id="cite_note-23"><a href="#cite_ref-23">↑</a> Mahnken, S. 24. </li> <li id="cite_note-24"><a href="#cite_ref-24">↑</a> Böge (Hrsg.): Handbuch Maschinenbau. Springer, 21. Auflage, 2013, S. C3. </li> <li id="cite_note-25"><a href="#cite_ref-25">↑</a> Dankert, Dankert: Technische Mechanik. Springer, 7. Auflage, 2013, S. 571. </li> <li id="cite_note-Gross61-26">↑ <a href="#cite_ref-Gross61_26-0">a</a> <a href="#cite_ref-Gross61_26-1">b</a> Gross u. a.: Technische Mechanik 3. Kinetik. Springer, 13. Auflage, 2014, S. 61. </li> <li id="cite_note-27"><a href="#cite_ref-27">↑</a> Conrad Eller: Holzmann/Meyer/Schumpich. Technische Mechanik. Kinematik und Kinetik. Springer, 12. Auflage, 2016, S. 127. </li> <li id="cite_note-29"><a href="#cite_ref-29">↑</a> Die Messwerte sind zeitliche Mittelwerte über einen vollen Arbeitszyklus, also über eine Umdrehung der Kurbelwelle beim <a href="/wiki/Zweitaktmotor" title="Zweitaktmotor">Zweitaktmotor</a>, über zwei Umdrehungen beim <a href="/wiki/Viertaktmotor" title="Viertaktmotor">Viertaktmotor</a>. </li> </ol></div><noscript><img src="https://login.wikimedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;"></noscript> <div class="printfooter" data-nosnippet="">Abgerufen von „<a dir="ltr" href="https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Drehmoment&oldid=250526885">https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Drehmoment&oldid=250526885</a>“</div></div> <div id="catlinks" class="catlinks" data-mw="interface"><div id="mw-normal-catlinks" class="mw-normal-catlinks"><a href="/wiki/Wikipedia:Kategorien" title="Wikipedia:Kategorien">Kategorien</a>: <ul><li><a href="/wiki/Kategorie:Physikalische_Gr%C3%B6%C3%9Fenart" title="Kategorie:Physikalische Größenart">Physikalische Größenart</a></li><li><a href="/wiki/Kategorie:Klassische_Mechanik" title="Kategorie:Klassische Mechanik">Klassische Mechanik</a></li></ul></div></div> </div> </div> <div id="mw-navigation"> <h2>Navigationsmenü</h2> <div id="mw-head"> <nav id="p-personal" class="mw-portlet mw-portlet-personal vector-user-menu-legacy vector-menu" aria-labelledby="p-personal-label" > <h3 id="p-personal-label" class="vector-menu-heading " > Meine Werkzeuge </h3> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="pt-anonuserpage" class="mw-list-item">Nicht angemeldet</li><li id="pt-anontalk" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Spezial:Meine_Diskussionsseite" title="Diskussion über Änderungen von dieser IP-Adresse [n]" accesskey="n">Diskussionsseite</a></li><li id="pt-anoncontribs" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Spezial:Meine_Beitr%C3%A4ge" title="Eine Liste der Bearbeitungen, die von dieser IP-Adresse gemacht wurden [y]" accesskey="y">Beiträge</a></li><li id="pt-createaccount" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Spezial:Benutzerkonto_anlegen&returnto=Drehmoment" title="Wir ermutigen dich dazu, ein Benutzerkonto zu erstellen und dich anzumelden. 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mw-list-item"><a href="https://ar.wikipedia.org/wiki/%D8%B9%D8%B2%D9%85_%D8%A7%D9%84%D8%AF%D9%88%D8%B1%D8%A7%D9%86" title="عزم الدوران – Arabisch" lang="ar" hreflang="ar" data-title="عزم الدوران" data-language-autonym="العربية" data-language-local-name="Arabisch" class="interlanguage-link-target">العربية</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-as mw-list-item"><a href="https://as.wikipedia.org/wiki/%E0%A6%AD%E0%A7%8D%E0%A7%B0%E0%A6%BE%E0%A6%AE%E0%A6%95" title="ভ্ৰামক – Assamesisch" lang="as" hreflang="as" data-title="ভ্ৰামক" data-language-autonym="অসমীয়া" data-language-local-name="Assamesisch" class="interlanguage-link-target">অসমীয়া</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ast mw-list-item"><a href="https://ast.wikipedia.org/wiki/Momentu_de_fuercia" title="Momentu de fuercia – Asturisch" lang="ast" hreflang="ast" data-title="Momentu de fuercia" data-language-autonym="Asturianu" data-language-local-name="Asturisch" class="interlanguage-link-target">Asturianu</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-az mw-list-item"><a href="https://az.wikipedia.org/wiki/Moment" title="Moment – Aserbaidschanisch" lang="az" hreflang="az" data-title="Moment" data-language-autonym="Azərbaycanca" data-language-local-name="Aserbaidschanisch" class="interlanguage-link-target">Azərbaycanca</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bar mw-list-item"><a href="https://bar.wikipedia.org/wiki/Drehmaument" title="Drehmaument – Bairisch" lang="bar" hreflang="bar" data-title="Drehmaument" data-language-autonym="Boarisch" data-language-local-name="Bairisch" class="interlanguage-link-target">Boarisch</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-be mw-list-item"><a href="https://be.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0%BE%D0%BC%D0%B0%D0%BD%D1%82_%D1%81%D1%96%D0%BB%D1%8B" title="Момант сілы – Belarussisch" lang="be" hreflang="be" data-title="Момант сілы" data-language-autonym="Беларуская" data-language-local-name="Belarussisch" class="interlanguage-link-target">Беларуская</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-be-x-old mw-list-item"><a href="https://be-tarask.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0%BE%D0%BC%D0%B0%D0%BD%D1%82_%D1%81%D1%96%D0%BB%D1%8B" title="Момант сілы – Weißrussisch (Taraschkewiza)" lang="be-tarask" hreflang="be-tarask" data-title="Момант сілы" data-language-autonym="Беларуская (тарашкевіца)" data-language-local-name="Weißrussisch (Taraschkewiza)" class="interlanguage-link-target">Беларуская (тарашкевіца)</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bg mw-list-item"><a href="https://bg.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D1%82_%D0%BD%D0%B0_%D1%81%D0%B8%D0%BB%D0%B0" title="Момент на сила – Bulgarisch" lang="bg" hreflang="bg" data-title="Момент на сила" data-language-autonym="Български" data-language-local-name="Bulgarisch" class="interlanguage-link-target">Български</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bn mw-list-item"><a href="https://bn.wikipedia.org/wiki/%E0%A6%9F%E0%A6%B0%E0%A7%8D%E0%A6%95" title="টর্ক – Bengalisch" lang="bn" hreflang="bn" data-title="টর্ক" data-language-autonym="বাংলা" data-language-local-name="Bengalisch" class="interlanguage-link-target">বাংলা</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bs mw-list-item"><a href="https://bs.wikipedia.org/wiki/Moment_sile" title="Moment sile – Bosnisch" lang="bs" hreflang="bs" data-title="Moment sile" data-language-autonym="Bosanski" data-language-local-name="Bosnisch" class="interlanguage-link-target">Bosanski</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ca mw-list-item"><a href="https://ca.wikipedia.org/wiki/Parell_de_forces" title="Parell de forces – Katalanisch" lang="ca" hreflang="ca" data-title="Parell de forces" data-language-autonym="Català" data-language-local-name="Katalanisch" class="interlanguage-link-target">Català</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ckb mw-list-item"><a href="https://ckb.wikipedia.org/wiki/%D8%B2%DB%95%D8%A8%D8%B1" title="زەبر – Zentralkurdisch" lang="ckb" hreflang="ckb" data-title="زەبر" data-language-autonym="کوردی" data-language-local-name="Zentralkurdisch" class="interlanguage-link-target">کوردی</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-cs mw-list-item"><a href="https://cs.wikipedia.org/wiki/To%C4%8Div%C3%BD_moment" title="Točivý moment – Tschechisch" lang="cs" hreflang="cs" data-title="Točivý moment" data-language-autonym="Čeština" data-language-local-name="Tschechisch" class="interlanguage-link-target">Čeština</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-cv mw-list-item"><a href="https://cv.wikipedia.org/wiki/%D0%92%C4%83%D0%B9_%D1%81%D0%B0%D0%BC%D0%B0%D0%BD%D1%87%C4%95" title="Вăй саманчĕ – Tschuwaschisch" lang="cv" hreflang="cv" data-title="Вăй саманчĕ" data-language-autonym="Чӑвашла" data-language-local-name="Tschuwaschisch" class="interlanguage-link-target">Чӑвашла</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-cy mw-list-item"><a href="https://cy.wikipedia.org/wiki/Moment" title="Moment – Walisisch" lang="cy" hreflang="cy" data-title="Moment" data-language-autonym="Cymraeg" data-language-local-name="Walisisch" class="interlanguage-link-target">Cymraeg</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-da mw-list-item"><a href="https://da.wikipedia.org/wiki/Drejningsmoment" title="Drejningsmoment – Dänisch" lang="da" hreflang="da" data-title="Drejningsmoment" data-language-autonym="Dansk" data-language-local-name="Dänisch" class="interlanguage-link-target">Dansk</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-el mw-list-item"><a href="https://el.wikipedia.org/wiki/%CE%A1%CE%BF%CF%80%CE%AE" title="Ροπή – Griechisch" lang="el" hreflang="el" data-title="Ροπή" data-language-autonym="Ελληνικά" data-language-local-name="Griechisch" class="interlanguage-link-target">Ελληνικά</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-en mw-list-item"><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Torque" title="Torque – Englisch" lang="en" hreflang="en" data-title="Torque" data-language-autonym="English" data-language-local-name="Englisch" class="interlanguage-link-target">English</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-eo mw-list-item"><a href="https://eo.wikipedia.org/wiki/Torda_momanto" title="Torda momanto – Esperanto" lang="eo" hreflang="eo" data-title="Torda momanto" data-language-autonym="Esperanto" data-language-local-name="Esperanto" class="interlanguage-link-target">Esperanto</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-es mw-list-item"><a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Momento_de_fuerza" title="Momento de fuerza – Spanisch" lang="es" hreflang="es" data-title="Momento de fuerza" data-language-autonym="Español" data-language-local-name="Spanisch" class="interlanguage-link-target">Español</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-et mw-list-item"><a href="https://et.wikipedia.org/wiki/J%C3%B5umoment" title="Jõumoment – Estnisch" lang="et" hreflang="et" data-title="Jõumoment" data-language-autonym="Eesti" data-language-local-name="Estnisch" class="interlanguage-link-target">Eesti</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-eu mw-list-item"><a href="https://eu.wikipedia.org/wiki/Indar_momentu" title="Indar momentu – Baskisch" lang="eu" hreflang="eu" data-title="Indar momentu" data-language-autonym="Euskara" data-language-local-name="Baskisch" class="interlanguage-link-target">Euskara</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fa mw-list-item"><a href="https://fa.wikipedia.org/wiki/%DA%AF%D8%B4%D8%AA%D8%A7%D9%88%D8%B1_%D9%86%DB%8C%D8%B1%D9%88" title="گشتاور نیرو – Persisch" lang="fa" hreflang="fa" data-title="گشتاور نیرو" data-language-autonym="فارسی" data-language-local-name="Persisch" class="interlanguage-link-target">فارسی</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fi mw-list-item"><a href="https://fi.wikipedia.org/wiki/Voiman_momentti" title="Voiman momentti – Finnisch" lang="fi" hreflang="fi" data-title="Voiman momentti" data-language-autonym="Suomi" data-language-local-name="Finnisch" class="interlanguage-link-target">Suomi</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fr mw-list-item"><a href="https://fr.wikipedia.org/wiki/Moment_d%27une_force" title="Moment d'une force – Französisch" lang="fr" hreflang="fr" data-title="Moment d'une force" data-language-autonym="Français" data-language-local-name="Französisch" class="interlanguage-link-target">Français</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-frr mw-list-item"><a href="https://frr.wikipedia.org/wiki/Dreimoment" title="Dreimoment – Nordfriesisch" lang="frr" hreflang="frr" data-title="Dreimoment" data-language-autonym="Nordfriisk" data-language-local-name="Nordfriesisch" class="interlanguage-link-target">Nordfriisk</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ga mw-list-item"><a href="https://ga.wikipedia.org/wiki/Casmh%C3%B3imint" title="Casmhóimint – Irisch" lang="ga" hreflang="ga" data-title="Casmhóimint" data-language-autonym="Gaeilge" data-language-local-name="Irisch" class="interlanguage-link-target">Gaeilge</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-gl mw-list-item"><a href="https://gl.wikipedia.org/wiki/Torque_(magnitude)" title="Torque (magnitude) – Galicisch" lang="gl" hreflang="gl" data-title="Torque (magnitude)" data-language-autonym="Galego" data-language-local-name="Galicisch" class="interlanguage-link-target">Galego</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-he mw-list-item"><a href="https://he.wikipedia.org/wiki/%D7%9E%D7%95%D7%9E%D7%A0%D7%98_%D7%9B%D7%95%D7%97" title="מומנט כוח – Hebräisch" lang="he" hreflang="he" data-title="מומנט כוח" data-language-autonym="עברית" data-language-local-name="Hebräisch" class="interlanguage-link-target">עברית</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hi mw-list-item"><a href="https://hi.wikipedia.org/wiki/%E0%A4%AC%E0%A4%B2%E0%A4%BE%E0%A4%98%E0%A5%82%E0%A4%B0%E0%A5%8D%E0%A4%A3" title="बलाघूर्ण – Hindi" lang="hi" 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data-language-local-name="Japanisch" class="interlanguage-link-target">日本語</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-kk mw-list-item"><a href="https://kk.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D2%AF%D1%88_%D0%BC%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D1%82%D1%96" title="Күш моменті – Kasachisch" lang="kk" hreflang="kk" data-title="Күш моменті" data-language-autonym="Қазақша" data-language-local-name="Kasachisch" class="interlanguage-link-target">Қазақша</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ko mw-list-item"><a href="https://ko.wikipedia.org/wiki/%EB%8F%8C%EB%A6%BC%ED%9E%98" title="돌림힘 – Koreanisch" lang="ko" hreflang="ko" data-title="돌림힘" data-language-autonym="한국어" data-language-local-name="Koreanisch" class="interlanguage-link-target">한국어</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ku mw-list-item"><a href="https://ku.wikipedia.org/wiki/Momenta_zivir%C3%AA" title="Momenta zivirê – Kurdisch" lang="ku" hreflang="ku" data-title="Momenta zivirê" data-language-autonym="Kurdî" 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data-title="Dreiemoment" data-language-autonym="Norsk nynorsk" data-language-local-name="Norwegisch (Nynorsk)" class="interlanguage-link-target">Norsk nynorsk</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-no mw-list-item"><a href="https://no.wikipedia.org/wiki/Dreiemoment" title="Dreiemoment – Norwegisch (Bokmål)" lang="nb" hreflang="nb" data-title="Dreiemoment" data-language-autonym="Norsk bokmål" data-language-local-name="Norwegisch (Bokmål)" class="interlanguage-link-target">Norsk bokmål</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-oc mw-list-item"><a href="https://oc.wikipedia.org/wiki/Moment_d%27una_f%C3%B2r%C3%A7a" title="Moment d'una fòrça – Okzitanisch" lang="oc" hreflang="oc" data-title="Moment d'una fòrça" data-language-autonym="Occitan" data-language-local-name="Okzitanisch" class="interlanguage-link-target">Occitan</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pl mw-list-item"><a href="https://pl.wikipedia.org/wiki/Moment_si%C5%82y" title="Moment siły – Polnisch" lang="pl" hreflang="pl" data-title="Moment siły" data-language-autonym="Polski" data-language-local-name="Polnisch" class="interlanguage-link-target">Polski</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pnb mw-list-item"><a href="https://pnb.wikipedia.org/wiki/%D9%B9%D8%A7%D8%B1%DA%A9" title="ٹارک – Westliches Panjabi" lang="pnb" hreflang="pnb" data-title="ٹارک" data-language-autonym="پنجابی" data-language-local-name="Westliches Panjabi" class="interlanguage-link-target">پنجابی</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pt mw-list-item"><a href="https://pt.wikipedia.org/wiki/Torque" title="Torque – Portugiesisch" lang="pt" hreflang="pt" data-title="Torque" data-language-autonym="Português" data-language-local-name="Portugiesisch" class="interlanguage-link-target">Português</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ro mw-list-item"><a href="https://ro.wikipedia.org/wiki/Momentul_for%C8%9Bei" title="Momentul forței – Rumänisch" lang="ro" hreflang="ro" data-title="Momentul forței" data-language-autonym="Română" data-language-local-name="Rumänisch" class="interlanguage-link-target">Română</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ru mw-list-item"><a href="https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D1%82_%D1%81%D0%B8%D0%BB%D1%8B" title="Момент силы – Russisch" lang="ru" hreflang="ru" data-title="Момент силы" data-language-autonym="Русский" data-language-local-name="Russisch" class="interlanguage-link-target">Русский</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sh mw-list-item"><a href="https://sh.wikipedia.org/wiki/Obrtni_moment" title="Obrtni moment – Serbokroatisch" lang="sh" hreflang="sh" data-title="Obrtni moment" data-language-autonym="Srpskohrvatski / српскохрватски" data-language-local-name="Serbokroatisch" class="interlanguage-link-target">Srpskohrvatski / српскохрватски</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-simple mw-list-item"><a href="https://simple.wikipedia.org/wiki/Torque" title="Torque – einfaches Englisch" lang="en-simple" hreflang="en-simple" data-title="Torque" data-language-autonym="Simple English" data-language-local-name="einfaches Englisch" class="interlanguage-link-target">Simple English</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sk mw-list-item"><a href="https://sk.wikipedia.org/wiki/Kr%C3%BAtiaci_moment" title="Krútiaci moment – Slowakisch" lang="sk" hreflang="sk" data-title="Krútiaci moment" data-language-autonym="Slovenčina" data-language-local-name="Slowakisch" class="interlanguage-link-target">Slovenčina</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sl mw-list-item"><a href="https://sl.wikipedia.org/wiki/Navor" title="Navor – Slowenisch" lang="sl" hreflang="sl" data-title="Navor" data-language-autonym="Slovenščina" data-language-local-name="Slowenisch" class="interlanguage-link-target">Slovenščina</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sq mw-list-item"><a href="https://sq.wikipedia.org/wiki/%C3%87asti" title="Çasti – Albanisch" lang="sq" 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Chinesisch" lang="lzh" hreflang="lzh" data-title="力矩" data-language-autonym="文言" data-language-local-name="Klassisches Chinesisch" class="interlanguage-link-target">文言</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zh-yue mw-list-item"><a href="https://zh-yue.wikipedia.org/wiki/%E5%8A%9B%E7%9F%A9" title="力矩 – Kantonesisch" lang="yue" hreflang="yue" data-title="力矩" data-language-autonym="粵語" data-language-local-name="Kantonesisch" class="interlanguage-link-target">粵語</a></li> </ul> <div class="after-portlet after-portlet-lang"><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Special:EntityPage/Q48103#sitelinks-wikipedia" title="Links auf Artikel in anderen Sprachen bearbeiten" class="wbc-editpage">Links bearbeiten</a></div> </div> </nav> </div> </div> <footer id="footer" class="mw-footer" > <ul id="footer-info"> <li id="footer-info-lastmod"> Diese Seite wurde zuletzt am 20. 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Drehmoment – Wikipedia