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id="toc-Époque_moderne-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-Débats_sur_la_nature_des_nombres_irrationnels" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-3"> <a class="vector-toc-link" href="#Débats_sur_la_nature_des_nombres_irrationnels"> <div class="vector-toc-text"> 1.3.1 Débats sur la nature des nombres irrationnels </div> </a> <ul id="toc-Débats_sur_la_nature_des_nombres_irrationnels-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Méthodes_d'approximation_numérique" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-3"> <a class="vector-toc-link" href="#Méthodes_d'approximation_numérique"> <div class="vector-toc-text"> 1.3.2 Méthodes d'approximation numérique </div> </a> <ul id="toc-Méthodes_d'approximation_numérique-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Découverte_de_nouveaux_nombres_irrationnels" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-3"> <a class="vector-toc-link" href="#Découverte_de_nouveaux_nombres_irrationnels"> <div class="vector-toc-text"> 1.3.3 Découverte de nouveaux nombres irrationnels </div> </a> <ul id="toc-Découverte_de_nouveaux_nombres_irrationnels-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-Époque_contemporaine" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Époque_contemporaine"> <div class="vector-toc-text"> 1.4 Époque contemporaine </div> </a> <ul id="toc-Époque_contemporaine-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-Définition_rigoureuse_des_nombres_réels" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-3"> <a class="vector-toc-link" href="#Définition_rigoureuse_des_nombres_réels"> <div class="vector-toc-text"> 1.4.1 Définition rigoureuse des nombres réels </div> </a> <ul id="toc-Définition_rigoureuse_des_nombres_réels-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Étude_de_sous-ensembles_particuliers_d'irrationnels" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-3"> <a class="vector-toc-link" href="#Étude_de_sous-ensembles_particuliers_d'irrationnels"> <div class="vector-toc-text"> 1.4.2 Étude de sous-ensembles particuliers d'irrationnels </div> </a> <ul id="toc-Étude_de_sous-ensembles_particuliers_d'irrationnels-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Informatique_et_calcul_numérique" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-3"> <a class="vector-toc-link" href="#Informatique_et_calcul_numérique"> <div class="vector-toc-text"> 1.4.3 Informatique et calcul numérique </div> </a> <ul id="toc-Informatique_et_calcul_numérique-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-Propriétés_des_nombres_irrationnels" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#Propriétés_des_nombres_irrationnels"> <div class="vector-toc-text"> 2 Propriétés des nombres irrationnels </div> </a> <button aria-controls="toc-Propriétés_des_nombres_irrationnels-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> Afficher / masquer la sous-section Propriétés des nombres irrationnels </button> <ul id="toc-Propriétés_des_nombres_irrationnels-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-Développement_décimal" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Développement_décimal"> <div class="vector-toc-text"> 2.1 Développement décimal </div> </a> <ul id="toc-Développement_décimal-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Développement_en_fraction_continue" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Développement_en_fraction_continue"> <div class="vector-toc-text"> 2.2 Développement en fraction continue </div> </a> <ul id="toc-Développement_en_fraction_continue-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-Caractérisation_de_l'irrationalité_à_l'aide_du_développement_en_fraction_continue" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-3"> <a class="vector-toc-link" href="#Caractérisation_de_l'irrationalité_à_l'aide_du_développement_en_fraction_continue"> <div class="vector-toc-text"> 2.2.1 Caractérisation de l'irrationalité à l'aide du développement en fraction continue </div> </a> <ul id="toc-Caractérisation_de_l'irrationalité_à_l'aide_du_développement_en_fraction_continue-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Cas_des_irrationnels_quadratiques" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-3"> <a class="vector-toc-link" href="#Cas_des_irrationnels_quadratiques"> <div class="vector-toc-text"> 2.2.2 Cas des irrationnels quadratiques </div> </a> <ul id="toc-Cas_des_irrationnels_quadratiques-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Application_à_l'approximation_des_irrationnels" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-3"> <a class="vector-toc-link" href="#Application_à_l'approximation_des_irrationnels"> <div class="vector-toc-text"> 2.2.3 Application à l'approximation des irrationnels </div> </a> <ul id="toc-Application_à_l'approximation_des_irrationnels-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-Mesure_d'irrationalité" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Mesure_d'irrationalité"> <div class="vector-toc-text"> 2.3 Mesure d'irrationalité </div> </a> <ul id="toc-Mesure_d'irrationalité-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-Caractérisation_des_irrationnels" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-3"> <a class="vector-toc-link" href="#Caractérisation_des_irrationnels"> <div class="vector-toc-text"> 2.3.1 Caractérisation des irrationnels </div> </a> <ul id="toc-Caractérisation_des_irrationnels-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Valeurs_particulières_de_mesure_d'irrationalité" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-3"> <a class="vector-toc-link" href="#Valeurs_particulières_de_mesure_d'irrationalité"> <div class="vector-toc-text"> 2.3.2 Valeurs particulières de mesure d'irrationalité </div> </a> <ul id="toc-Valeurs_particulières_de_mesure_d'irrationalité-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Exemples_d'applications" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-3"> <a class="vector-toc-link" href="#Exemples_d'applications"> <div class="vector-toc-text"> 2.3.3 Exemples d'applications </div> </a> <ul id="toc-Exemples_d'applications-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-Approximations_simultanées" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Approximations_simultanées"> <div class="vector-toc-text"> 2.4 Approximations simultanées </div> </a> <ul id="toc-Approximations_simultanées-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-Propriétés_de_l'ensemble_des_irrationnels" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#Propriétés_de_l'ensemble_des_irrationnels"> <div class="vector-toc-text"> 3 Propriétés de l'ensemble des irrationnels </div> </a> <button aria-controls="toc-Propriétés_de_l'ensemble_des_irrationnels-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> Afficher / masquer la sous-section Propriétés de l'ensemble des irrationnels </button> <ul id="toc-Propriétés_de_l'ensemble_des_irrationnels-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-Propriétés_de_clôture" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Propriétés_de_clôture"> <div class="vector-toc-text"> 3.1 Propriétés de clôture </div> </a> <ul id="toc-Propriétés_de_clôture-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Cardinalité" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Cardinalité"> <div class="vector-toc-text"> 3.2 Cardinalité </div> </a> <ul id="toc-Cardinalité-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Propriétés_topologiques" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Propriétés_topologiques"> <div class="vector-toc-text"> 3.3 Propriétés topologiques </div> </a> <ul id="toc-Propriétés_topologiques-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-Exemples_de_nombres_irrationnels_et_de_preuves_d'irrationalité" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#Exemples_de_nombres_irrationnels_et_de_preuves_d'irrationalité"> <div class="vector-toc-text"> 4 Exemples de nombres irrationnels et de preuves d'irrationalité </div> </a> <button aria-controls="toc-Exemples_de_nombres_irrationnels_et_de_preuves_d'irrationalité-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> Afficher / masquer la sous-section Exemples de nombres irrationnels et de preuves d'irrationalité </button> <ul id="toc-Exemples_de_nombres_irrationnels_et_de_preuves_d'irrationalité-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-Irrationalité_de_nombres_manifestement_algébriques" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Irrationalité_de_nombres_manifestement_algébriques"> <div class="vector-toc-text"> 4.1 Irrationalité de nombres manifestement algébriques </div> </a> <ul id="toc-Irrationalité_de_nombres_manifestement_algébriques-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-Exemple_préliminaire" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-3"> <a class="vector-toc-link" href="#Exemple_préliminaire"> <div class="vector-toc-text"> 4.1.1 Exemple préliminaire </div> </a> <ul id="toc-Exemple_préliminaire-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Propriété_des_polynômes_à_coefficients_entiers" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-3"> <a class="vector-toc-link" href="#Propriété_des_polynômes_à_coefficients_entiers"> <div class="vector-toc-text"> 4.1.2 Propriété des polynômes à coefficients entiers </div> </a> <ul id="toc-Propriété_des_polynômes_à_coefficients_entiers-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Nombre_d'or_:_une_seconde_preuve" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-3"> <a class="vector-toc-link" href="#Nombre_d'or_:_une_seconde_preuve"> <div class="vector-toc-text"> 4.1.3 Nombre d'or : une seconde preuve </div> </a> <ul id="toc-Nombre_d'or_:_une_seconde_preuve-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Fonctions_trigonométriques" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-3"> <a class="vector-toc-link" href="#Fonctions_trigonométriques"> <div class="vector-toc-text"> 4.1.4 Fonctions trigonométriques </div> </a> <ul id="toc-Fonctions_trigonométriques-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-Irrationalité_de_nombres_définis_par_leur_développement_décimal" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Irrationalité_de_nombres_définis_par_leur_développement_décimal"> <div class="vector-toc-text"> 4.2 Irrationalité de nombres définis par leur développement décimal </div> </a> <ul id="toc-Irrationalité_de_nombres_définis_par_leur_développement_décimal-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-Non-périodicité_du_développement_dans_une_base" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-3"> <a class="vector-toc-link" href="#Non-périodicité_du_développement_dans_une_base"> <div class="vector-toc-text"> 4.2.1 Non-périodicité du développement dans une base </div> </a> <ul id="toc-Non-périodicité_du_développement_dans_une_base-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Recherche_de_suites_de_zéros_de_longueur_arbitraire_dans_le_développement" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-3"> <a class="vector-toc-link" href="#Recherche_de_suites_de_zéros_de_longueur_arbitraire_dans_le_développement"> <div class="vector-toc-text"> 4.2.2 Recherche de suites de zéros de longueur arbitraire dans le développement </div> </a> <ul id="toc-Recherche_de_suites_de_zéros_de_longueur_arbitraire_dans_le_développement-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-Sommes_de_séries" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Sommes_de_séries"> <div class="vector-toc-text"> 4.3 Sommes de séries </div> </a> <ul id="toc-Sommes_de_séries-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-Irrationalité_de_e" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-3"> <a class="vector-toc-link" href="#Irrationalité_de_e"> <div class="vector-toc-text"> 4.3.1 Irrationalité de e </div> </a> <ul id="toc-Irrationalité_de_e-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Irrationalité_de_la_constante_d'Apéry" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-3"> <a class="vector-toc-link" href="#Irrationalité_de_la_constante_d'Apéry"> <div class="vector-toc-text"> 4.3.2 Irrationalité de la constante d'Apéry </div> </a> <ul id="toc-Irrationalité_de_la_constante_d'Apéry-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Séries_à_croissance_exponentielle_double" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-3"> <a class="vector-toc-link" href="#Séries_à_croissance_exponentielle_double"> <div class="vector-toc-text"> 4.3.3 Séries à croissance exponentielle double </div> </a> <ul id="toc-Séries_à_croissance_exponentielle_double-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Autres_séries" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-3"> <a class="vector-toc-link" href="#Autres_séries"> <div class="vector-toc-text"> 4.3.4 Autres séries </div> </a> <ul id="toc-Autres_séries-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-Autres_exemples" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Autres_exemples"> <div class="vector-toc-text"> 4.4 Autres exemples </div> </a> <ul id="toc-Autres_exemples-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-Irrationalité_de_π" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-3"> <a class="vector-toc-link" href="#Irrationalité_de_π"> <div class="vector-toc-text"> 4.4.1 Irrationalité de π </div> </a> <ul id="toc-Irrationalité_de_π-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Logarithmes_d'entiers" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-3"> <a class="vector-toc-link" href="#Logarithmes_d'entiers"> <div class="vector-toc-text"> 4.4.2 Logarithmes d'entiers </div> </a> <ul id="toc-Logarithmes_d'entiers-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-Problèmes_ouverts" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#Problèmes_ouverts"> <div class="vector-toc-text"> 5 Problèmes ouverts </div> </a> <ul id="toc-Problèmes_ouverts-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Notes_et_références" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#Notes_et_références"> <div class="vector-toc-text"> 6 Notes et références </div> </a> <button aria-controls="toc-Notes_et_références-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> Afficher / masquer la sous-section Notes et références </button> <ul id="toc-Notes_et_références-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-Notes" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Notes"> <div class="vector-toc-text"> 6.1 Notes </div> </a> <ul id="toc-Notes-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Références" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Références"> <div class="vector-toc-text"> 6.2 Références </div> </a> <ul id="toc-Références-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-Voir_aussi" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#Voir_aussi"> <div class="vector-toc-text"> 7 Voir aussi </div> </a> <button aria-controls="toc-Voir_aussi-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> Afficher / masquer la sous-section Voir aussi </button> <ul id="toc-Voir_aussi-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-Article_annexe" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Article_annexe"> <div class="vector-toc-text"> 7.1 Article annexe </div> </a> <ul id="toc-Article_annexe-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Bibliographie" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Bibliographie"> <div class="vector-toc-text"> 7.2 Bibliographie </div> </a> <ul id="toc-Bibliographie-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-Aspects_mathématiques" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-3"> <a class="vector-toc-link" href="#Aspects_mathématiques"> <div class="vector-toc-text"> 7.2.1 Aspects mathématiques </div> </a> <ul id="toc-Aspects_mathématiques-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Aspects_historiques" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-3"> <a class="vector-toc-link" href="#Aspects_historiques"> <div class="vector-toc-text"> 7.2.2 Aspects historiques </div> </a> <ul id="toc-Aspects_historiques-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-Liens_externes" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Liens_externes"> <div class="vector-toc-text"> 7.3 Liens externes </div> </a> <ul id="toc-Liens_externes-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Articles_connexes" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Articles_connexes"> <div class="vector-toc-text"> 7.4 Articles connexes </div> </a> <ul id="toc-Articles_connexes-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> </ul> </div> </div> </nav> </div> </div> <div class="mw-content-container"> <main id="content" class="mw-body"> <header class="mw-body-header vector-page-titlebar"> <nav aria-label="Sommaire" class="vector-toc-landmark"> <div id="vector-page-titlebar-toc" class="vector-dropdown vector-page-titlebar-toc vector-button-flush-left" > <input type="checkbox" id="vector-page-titlebar-toc-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-page-titlebar-toc" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Basculer la table des matières" > <label id="vector-page-titlebar-toc-label" for="vector-page-titlebar-toc-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only " aria-hidden="true" > Basculer la table des matières </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="vector-page-titlebar-toc-unpinned-container" class="vector-unpinned-container"> </div> </div> </div> </nav> <h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading">Nombre irrationnel</h1> <div id="p-lang-btn" class="vector-dropdown mw-portlet mw-portlet-lang" > <input type="checkbox" id="p-lang-btn-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-p-lang-btn" class="vector-dropdown-checkbox mw-interlanguage-selector" aria-label="Aller à un article dans une autre langue. Disponible en 89 langues." > <label id="p-lang-btn-label" for="p-lang-btn-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--action-progressive mw-portlet-lang-heading-89" aria-hidden="true" > 89 langues </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li class="interlanguage-link interwiki-af mw-list-item"><a href="https://af.wikipedia.org/wiki/Irrasionale_getal" title="Irrasionale getal – afrikaans" lang="af" hreflang="af" data-title="Irrasionale getal" data-language-autonym="Afrikaans" data-language-local-name="afrikaans" class="interlanguage-link-target">Afrikaans</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ar mw-list-item"><a href="https://ar.wikipedia.org/wiki/%D8%B9%D8%AF%D8%AF_%D8%BA%D9%8A%D8%B1_%D9%83%D8%B3%D8%B1%D9%8A" title="عدد غير كسري – arabe" lang="ar" hreflang="ar" data-title="عدد غير كسري" data-language-autonym="العربية" data-language-local-name="arabe" class="interlanguage-link-target">العربية</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-as mw-list-item"><a href="https://as.wikipedia.org/wiki/%E0%A6%85%E0%A6%AA%E0%A7%B0%E0%A6%BF%E0%A6%AE%E0%A7%87%E0%A6%AF%E0%A6%BC_%E0%A6%B8%E0%A6%82%E0%A6%96%E0%A7%8D%E0%A6%AF%E0%A6%BE" title="অপৰিমেয় সংখ্যা – assamais" lang="as" hreflang="as" data-title="অপৰিমেয় সংখ্যা" data-language-autonym="অসমীয়া" data-language-local-name="assamais" class="interlanguage-link-target">অসমীয়া</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ast mw-list-item"><a href="https://ast.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmberu_irracional" title="Númberu irracional – asturien" lang="ast" hreflang="ast" data-title="Númberu irracional" data-language-autonym="Asturianu" data-language-local-name="asturien" class="interlanguage-link-target">Asturianu</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-az mw-list-item"><a href="https://az.wikipedia.org/wiki/%C4%B0rrasional_%C9%99d%C9%99dl%C9%99r" title="İrrasional ədədlər – azerbaïdjanais" lang="az" hreflang="az" data-title="İrrasional ədədlər" data-language-autonym="Azərbaycanca" data-language-local-name="azerbaïdjanais" class="interlanguage-link-target">Azərbaycanca</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ba mw-list-item"><a href="https://ba.wikipedia.org/wiki/%D0%98%D1%80%D1%80%D0%B0%D1%86%D0%B8%D0%BE%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D1%8C_%D2%BB%D0%B0%D0%BD" title="Иррациональ һан – bachkir" lang="ba" hreflang="ba" data-title="Иррациональ һан" data-language-autonym="Башҡортса" data-language-local-name="bachkir" class="interlanguage-link-target">Башҡортса</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-be mw-list-item"><a href="https://be.wikipedia.org/wiki/%D0%86%D1%80%D0%B0%D1%86%D1%8B%D1%8F%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%8B_%D0%BB%D1%96%D0%BA" title="Ірацыянальны лік – biélorusse" lang="be" hreflang="be" data-title="Ірацыянальны лік" data-language-autonym="Беларуская" data-language-local-name="biélorusse" class="interlanguage-link-target">Беларуская</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bg mw-list-item"><a href="https://bg.wikipedia.org/wiki/%D0%98%D1%80%D0%B0%D1%86%D0%B8%D0%BE%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D0%BD%D0%BE_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE" title="Ирационално число – bulgare" lang="bg" hreflang="bg" data-title="Ирационално число" data-language-autonym="Български" data-language-local-name="bulgare" class="interlanguage-link-target">Български</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bn mw-list-item"><a href="https://bn.wikipedia.org/wiki/%E0%A6%85%E0%A6%AE%E0%A7%82%E0%A6%B2%E0%A6%A6_%E0%A6%B8%E0%A6%82%E0%A6%96%E0%A7%8D%E0%A6%AF%E0%A6%BE" title="অমূলদ সংখ্যা – bengali" lang="bn" hreflang="bn" data-title="অমূলদ সংখ্যা" data-language-autonym="বাংলা" data-language-local-name="bengali" class="interlanguage-link-target">বাংলা</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bs mw-list-item"><a href="https://bs.wikipedia.org/wiki/Iracionalan_broj" title="Iracionalan broj – bosniaque" lang="bs" hreflang="bs" data-title="Iracionalan broj" data-language-autonym="Bosanski" data-language-local-name="bosniaque" class="interlanguage-link-target">Bosanski</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ca mw-list-item"><a href="https://ca.wikipedia.org/wiki/Nombre_irracional" title="Nombre irracional – catalan" lang="ca" hreflang="ca" data-title="Nombre irracional" data-language-autonym="Català" data-language-local-name="catalan" class="interlanguage-link-target">Català</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ckb mw-list-item"><a href="https://ckb.wikipedia.org/wiki/%DA%98%D9%85%D8%A7%D8%B1%DB%95%DB%8C_%D9%86%D8%A7%DA%95%DB%8E%DA%98%DB%95%DB%8C%DB%8C" title="ژمارەی ناڕێژەیی – sorani" lang="ckb" hreflang="ckb" data-title="ژمارەی ناڕێژەیی" data-language-autonym="کوردی" data-language-local-name="sorani" class="interlanguage-link-target">کوردی</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-cs mw-list-item"><a href="https://cs.wikipedia.org/wiki/Iracion%C3%A1ln%C3%AD_%C4%8D%C3%ADslo" title="Iracionální číslo – tchèque" lang="cs" hreflang="cs" data-title="Iracionální číslo" data-language-autonym="Čeština" data-language-local-name="tchèque" class="interlanguage-link-target">Čeština</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-cv mw-list-item"><a href="https://cv.wikipedia.org/wiki/%D0%98%D1%80%D1%80%D0%B0%D1%86%D0%B8%D0%BE%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D0%BB%C4%83_%D1%85%D0%B8%D1%81%D0%B5%D0%BF" title="Иррационаллă хисеп – tchouvache" lang="cv" hreflang="cv" data-title="Иррационаллă хисеп" data-language-autonym="Чӑвашла" data-language-local-name="tchouvache" class="interlanguage-link-target">Чӑвашла</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-cy mw-list-item"><a href="https://cy.wikipedia.org/wiki/Rhif_anghymarebol" title="Rhif anghymarebol – gallois" lang="cy" hreflang="cy" data-title="Rhif anghymarebol" data-language-autonym="Cymraeg" data-language-local-name="gallois" class="interlanguage-link-target">Cymraeg</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-da mw-list-item"><a href="https://da.wikipedia.org/wiki/Irrationale_tal" title="Irrationale tal – danois" lang="da" hreflang="da" data-title="Irrationale tal" data-language-autonym="Dansk" data-language-local-name="danois" class="interlanguage-link-target">Dansk</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-de mw-list-item"><a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Irrationale_Zahl" title="Irrationale Zahl – allemand" lang="de" hreflang="de" data-title="Irrationale Zahl" data-language-autonym="Deutsch" data-language-local-name="allemand" class="interlanguage-link-target">Deutsch</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-el mw-list-item"><a href="https://el.wikipedia.org/wiki/%CE%86%CF%81%CF%81%CE%B7%CF%84%CE%BF%CF%82_%CE%B1%CF%81%CE%B9%CE%B8%CE%BC%CF%8C%CF%82" title="Άρρητος αριθμός – grec" lang="el" hreflang="el" data-title="Άρρητος αριθμός" data-language-autonym="Ελληνικά" data-language-local-name="grec" class="interlanguage-link-target">Ελληνικά</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-en mw-list-item"><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Irrational_number" title="Irrational number – anglais" lang="en" hreflang="en" data-title="Irrational number" data-language-autonym="English" data-language-local-name="anglais" class="interlanguage-link-target">English</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-eo mw-list-item"><a href="https://eo.wikipedia.org/wiki/Neracionala_nombro" title="Neracionala nombro – espéranto" lang="eo" hreflang="eo" data-title="Neracionala nombro" data-language-autonym="Esperanto" data-language-local-name="espéranto" class="interlanguage-link-target">Esperanto</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-es mw-list-item"><a href="https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_irracional" title="Número irracional – espagnol" lang="es" hreflang="es" data-title="Número irracional" data-language-autonym="Español" data-language-local-name="espagnol" class="interlanguage-link-target">Español</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-et mw-list-item"><a href="https://et.wikipedia.org/wiki/Irratsionaalarvud" title="Irratsionaalarvud – estonien" lang="et" hreflang="et" data-title="Irratsionaalarvud" data-language-autonym="Eesti" data-language-local-name="estonien" class="interlanguage-link-target">Eesti</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-eu mw-list-item"><a href="https://eu.wikipedia.org/wiki/Zenbaki_irrazional" title="Zenbaki irrazional – basque" lang="eu" hreflang="eu" data-title="Zenbaki irrazional" data-language-autonym="Euskara" data-language-local-name="basque" class="interlanguage-link-target">Euskara</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fa mw-list-item"><a href="https://fa.wikipedia.org/wiki/%D8%B9%D8%AF%D8%AF_%DA%AF%D9%86%DA%AF" title="عدد گنگ – persan" lang="fa" hreflang="fa" data-title="عدد گنگ" data-language-autonym="فارسی" data-language-local-name="persan" class="interlanguage-link-target">فارسی</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fi mw-list-item"><a href="https://fi.wikipedia.org/wiki/Irrationaaliluku" title="Irrationaaliluku – finnois" lang="fi" hreflang="fi" data-title="Irrationaaliluku" data-language-autonym="Suomi" data-language-local-name="finnois" class="interlanguage-link-target">Suomi</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fiu-vro mw-list-item"><a href="https://fiu-vro.wikipedia.org/wiki/Irratsionaalarv" title="Irratsionaalarv – võro" lang="vro" hreflang="vro" data-title="Irratsionaalarv" data-language-autonym="Võro" data-language-local-name="võro" class="interlanguage-link-target">Võro</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fo mw-list-item"><a href="https://fo.wikipedia.org/wiki/Irrationell_t%C3%B8l" title="Irrationell tøl – féroïen" lang="fo" hreflang="fo" data-title="Irrationell tøl" data-language-autonym="Føroyskt" data-language-local-name="féroïen" class="interlanguage-link-target">Føroyskt</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ga mw-list-item"><a href="https://ga.wikipedia.org/wiki/Uimhir_%C3%A9ag%C3%B3imheasta" title="Uimhir éagóimheasta – irlandais" lang="ga" hreflang="ga" data-title="Uimhir éagóimheasta" data-language-autonym="Gaeilge" data-language-local-name="irlandais" class="interlanguage-link-target">Gaeilge</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-gl mw-list-item"><a href="https://gl.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_irracional" title="Número irracional – galicien" lang="gl" hreflang="gl" data-title="Número irracional" data-language-autonym="Galego" data-language-local-name="galicien" class="interlanguage-link-target">Galego</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-he mw-list-item"><a href="https://he.wikipedia.org/wiki/%D7%9E%D7%A1%D7%A4%D7%A8_%D7%90%D7%99-%D7%A8%D7%A6%D7%99%D7%95%D7%A0%D7%9C%D7%99" title="מספר אי-רציונלי – hébreu" lang="he" hreflang="he" data-title="מספר אי-רציונלי" data-language-autonym="עברית" data-language-local-name="hébreu" class="interlanguage-link-target">עברית</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hi mw-list-item"><a href="https://hi.wikipedia.org/wiki/%E0%A4%85%E0%A4%AA%E0%A4%B0%E0%A4%BF%E0%A4%AE%E0%A5%87%E0%A4%AF_%E0%A4%B8%E0%A4%82%E0%A4%96%E0%A5%8D%E0%A4%AF%E0%A4%BE" title="अपरिमेय संख्या – hindi" lang="hi" hreflang="hi" data-title="अपरिमेय संख्या" data-language-autonym="हिन्दी" data-language-local-name="hindi" class="interlanguage-link-target">हिन्दी</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hr mw-list-item"><a href="https://hr.wikipedia.org/wiki/Iracionalni_broj" title="Iracionalni broj – croate" lang="hr" hreflang="hr" data-title="Iracionalni broj" data-language-autonym="Hrvatski" data-language-local-name="croate" class="interlanguage-link-target">Hrvatski</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hu mw-list-item"><a href="https://hu.wikipedia.org/wiki/Irracion%C3%A1lis_sz%C3%A1mok" title="Irracionális számok – hongrois" lang="hu" hreflang="hu" data-title="Irracionális számok" data-language-autonym="Magyar" data-language-local-name="hongrois" class="interlanguage-link-target">Magyar</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hy mw-list-item"><a href="https://hy.wikipedia.org/wiki/%D4%BB%D5%BC%D5%A1%D6%81%D5%AB%D5%B8%D5%B6%D5%A1%D5%AC_%D5%A9%D5%AB%D5%BE" title="Իռացիոնալ թիվ – arménien" lang="hy" hreflang="hy" data-title="Իռացիոնալ թիվ" data-language-autonym="Հայերեն" data-language-local-name="arménien" class="interlanguage-link-target">Հայերեն</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-id mw-list-item"><a href="https://id.wikipedia.org/wiki/Bilangan_irasional" title="Bilangan irasional – indonésien" lang="id" hreflang="id" data-title="Bilangan irasional" data-language-autonym="Bahasa Indonesia" data-language-local-name="indonésien" class="interlanguage-link-target">Bahasa Indonesia</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-io mw-list-item"><a href="https://io.wikipedia.org/wiki/Neracionala_nombro" title="Neracionala nombro – ido" lang="io" hreflang="io" data-title="Neracionala nombro" data-language-autonym="Ido" data-language-local-name="ido" class="interlanguage-link-target">Ido</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-is mw-list-item"><a href="https://is.wikipedia.org/wiki/%C3%93r%C3%A6%C3%B0ar_t%C3%B6lur" title="Óræðar tölur – islandais" lang="is" hreflang="is" data-title="Óræðar tölur" data-language-autonym="Íslenska" data-language-local-name="islandais" class="interlanguage-link-target">Íslenska</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-it mw-list-item"><a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Numero_irrazionale" title="Numero irrazionale – italien" lang="it" hreflang="it" data-title="Numero irrazionale" data-language-autonym="Italiano" data-language-local-name="italien" class="interlanguage-link-target">Italiano</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ja mw-list-item"><a href="https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%84%A1%E7%90%86%E6%95%B0" title="無理数 – japonais" lang="ja" hreflang="ja" data-title="無理数" data-language-autonym="日本語" data-language-local-name="japonais" class="interlanguage-link-target">日本語</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ka mw-list-item"><a href="https://ka.wikipedia.org/wiki/%E1%83%98%E1%83%A0%E1%83%90%E1%83%AA%E1%83%98%E1%83%9D%E1%83%9C%E1%83%90%E1%83%9A%E1%83%A3%E1%83%A0%E1%83%98_%E1%83%A0%E1%83%98%E1%83%AA%E1%83%AE%E1%83%95%E1%83%98" title="ირაციონალური რიცხვი – géorgien" lang="ka" hreflang="ka" data-title="ირაციონალური რიცხვი" data-language-autonym="ქართული" data-language-local-name="géorgien" class="interlanguage-link-target">ქართული</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-kk mw-list-item"><a href="https://kk.wikipedia.org/wiki/%D0%A0%D0%B0%D0%B1%D0%B0%D0%B9%D1%81%D1%8B%D0%B7_%D1%81%D0%B0%D0%BD" title="Рабайсыз сан – kazakh" lang="kk" hreflang="kk" data-title="Рабайсыз сан" data-language-autonym="Қазақша" data-language-local-name="kazakh" class="interlanguage-link-target">Қазақша</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ko mw-list-item"><a href="https://ko.wikipedia.org/wiki/%EB%AC%B4%EB%A6%AC%EC%88%98" title="무리수 – coréen" lang="ko" hreflang="ko" data-title="무리수" data-language-autonym="한국어" data-language-local-name="coréen" class="interlanguage-link-target">한국어</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ku mw-list-item"><a href="https://ku.wikipedia.org/wiki/Hejmar%C3%AAn_na_aql%C3%AE" title="Hejmarên na aqlî – kurde" lang="ku" hreflang="ku" data-title="Hejmarên na aqlî" data-language-autonym="Kurdî" data-language-local-name="kurde" class="interlanguage-link-target">Kurdî</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ky mw-list-item"><a href="https://ky.wikipedia.org/wiki/%D0%98%D1%80%D1%80%D0%B0%D1%86%D0%B8%D0%BE%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D0%B4%D1%8B%D0%BA_%D1%81%D0%B0%D0%BD" title="Иррационалдык сан – kirghize" lang="ky" hreflang="ky" data-title="Иррационалдык сан" data-language-autonym="Кыргызча" data-language-local-name="kirghize" class="interlanguage-link-target">Кыргызча</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-la mw-list-item"><a href="https://la.wikipedia.org/wiki/Numerus_irrationalis" title="Numerus irrationalis – latin" lang="la" hreflang="la" data-title="Numerus irrationalis" data-language-autonym="Latina" data-language-local-name="latin" class="interlanguage-link-target">Latina</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-lmo mw-list-item"><a href="https://lmo.wikipedia.org/wiki/N%C3%BCmar_irazziunaal" title="Nümar irazziunaal – lombard" lang="lmo" hreflang="lmo" data-title="Nümar irazziunaal" data-language-autonym="Lombard" data-language-local-name="lombard" class="interlanguage-link-target">Lombard</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-lo mw-list-item"><a href="https://lo.wikipedia.org/wiki/%E0%BA%88%E0%BA%B3%E0%BA%99%E0%BA%A7%E0%BA%99%E0%BA%AD%E0%BA%B0%E0%BA%9B%E0%BA%BB%E0%BA%81%E0%BA%81%E0%BA%B0%E0%BA%95%E0%BA%B4" title="ຈຳນວນອະປົກກະຕິ – lao" lang="lo" hreflang="lo" data-title="ຈຳນວນອະປົກກະຕິ" data-language-autonym="ລາວ" data-language-local-name="lao" class="interlanguage-link-target">ລາວ</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-lt mw-list-item"><a href="https://lt.wikipedia.org/wiki/Iracionalusis_skai%C4%8Dius" title="Iracionalusis skaičius – lituanien" lang="lt" hreflang="lt" data-title="Iracionalusis skaičius" data-language-autonym="Lietuvių" data-language-local-name="lituanien" class="interlanguage-link-target">Lietuvių</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-lv mw-list-item"><a href="https://lv.wikipedia.org/wiki/Iracion%C4%81ls_skaitlis" title="Iracionāls skaitlis – letton" lang="lv" hreflang="lv" data-title="Iracionāls skaitlis" data-language-autonym="Latviešu" data-language-local-name="letton" class="interlanguage-link-target">Latviešu</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-mg mw-list-item"><a href="https://mg.wikipedia.org/wiki/Isa_tsivoasaina" title="Isa tsivoasaina – malgache" lang="mg" hreflang="mg" data-title="Isa tsivoasaina" data-language-autonym="Malagasy" data-language-local-name="malgache" class="interlanguage-link-target">Malagasy</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-mk mw-list-item"><a href="https://mk.wikipedia.org/wiki/%D0%98%D1%80%D0%B0%D1%86%D0%B8%D0%BE%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D0%B5%D0%BD_%D0%B1%D1%80%D0%BE%D1%98" title="Ирационален број – macédonien" lang="mk" hreflang="mk" data-title="Ирационален број" data-language-autonym="Македонски" data-language-local-name="macédonien" class="interlanguage-link-target">Македонски</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ml mw-list-item"><a href="https://ml.wikipedia.org/wiki/%E0%B4%85%E0%B4%AD%E0%B4%BF%E0%B4%A8%E0%B5%8D%E0%B4%A8%E0%B4%95%E0%B4%B8%E0%B4%82%E0%B4%96%E0%B5%8D%E0%B4%AF" title="അഭിന്നകസംഖ്യ – malayalam" lang="ml" hreflang="ml" data-title="അഭിന്നകസംഖ്യ" data-language-autonym="മലയാളം" data-language-local-name="malayalam" class="interlanguage-link-target">മലയാളം</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-mn mw-list-item"><a href="https://mn.wikipedia.org/wiki/%D0%98%D1%80%D1%80%D0%B0%D1%86%D0%B8%D0%BE%D0%BD%D0%B0%D0%BB_%D1%82%D0%BE%D0%BE" title="Иррационал тоо – mongol" lang="mn" hreflang="mn" data-title="Иррационал тоо" data-language-autonym="Монгол" data-language-local-name="mongol" class="interlanguage-link-target">Монгол</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-mr mw-list-item"><a href="https://mr.wikipedia.org/wiki/%E0%A4%85%E0%A4%AA%E0%A4%B0%E0%A4%BF%E0%A4%AE%E0%A5%87%E0%A4%AF_%E0%A4%B8%E0%A4%82%E0%A4%96%E0%A5%8D%E0%A4%AF%E0%A4%BE" title="अपरिमेय संख्या – marathi" lang="mr" hreflang="mr" data-title="अपरिमेय संख्या" data-language-autonym="मराठी" data-language-local-name="marathi" class="interlanguage-link-target">मराठी</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ms mw-list-item"><a href="https://ms.wikipedia.org/wiki/Nombor_bukan_nisbah" title="Nombor bukan nisbah – malais" lang="ms" hreflang="ms" data-title="Nombor bukan nisbah" data-language-autonym="Bahasa Melayu" data-language-local-name="malais" class="interlanguage-link-target">Bahasa Melayu</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-mt mw-list-item"><a href="https://mt.wikipedia.org/wiki/Numru_irrazzjonali" title="Numru irrazzjonali – maltais" lang="mt" hreflang="mt" data-title="Numru irrazzjonali" data-language-autonym="Malti" data-language-local-name="maltais" class="interlanguage-link-target">Malti</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-nl mw-list-item"><a href="https://nl.wikipedia.org/wiki/Irrationaal_getal" title="Irrationaal getal – néerlandais" lang="nl" hreflang="nl" data-title="Irrationaal getal" data-language-autonym="Nederlands" data-language-local-name="néerlandais" class="interlanguage-link-target">Nederlands</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-nn mw-list-item"><a href="https://nn.wikipedia.org/wiki/Irrasjonale_tal" title="Irrasjonale tal – norvégien nynorsk" lang="nn" hreflang="nn" data-title="Irrasjonale tal" data-language-autonym="Norsk nynorsk" data-language-local-name="norvégien nynorsk" class="interlanguage-link-target">Norsk nynorsk</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-no mw-list-item"><a href="https://no.wikipedia.org/wiki/Irrasjonalt_tall" title="Irrasjonalt tall – norvégien bokmål" lang="nb" hreflang="nb" data-title="Irrasjonalt tall" data-language-autonym="Norsk bokmål" data-language-local-name="norvégien bokmål" class="interlanguage-link-target">Norsk bokmål</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-or mw-list-item"><a href="https://or.wikipedia.org/wiki/%E0%AC%85%E0%AC%AA%E0%AC%B0%E0%AC%BF%E0%AC%AE%E0%AD%87%E0%AD%9F_%E0%AC%B8%E0%AC%82%E0%AC%96%E0%AD%8D%E0%AD%9F%E0%AC%BE" title="ଅପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା – odia" lang="or" hreflang="or" data-title="ଅପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା" data-language-autonym="ଓଡ଼ିଆ" data-language-local-name="odia" class="interlanguage-link-target">ଓଡ଼ିଆ</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pa mw-list-item"><a href="https://pa.wikipedia.org/wiki/%E0%A8%97%E0%A8%BC%E0%A9%88%E0%A8%B0-%E0%A8%AC%E0%A8%9F%E0%A9%87%E0%A8%A8%E0%A9%81%E0%A8%AE%E0%A8%BE_%E0%A8%B8%E0%A9%B0%E0%A8%96%E0%A8%BF%E0%A8%86" title="ਗ਼ੈਰ-ਬਟੇਨੁਮਾ ਸੰਖਿਆ – pendjabi" lang="pa" hreflang="pa" data-title="ਗ਼ੈਰ-ਬਟੇਨੁਮਾ ਸੰਖਿਆ" data-language-autonym="ਪੰਜਾਬੀ" data-language-local-name="pendjabi" class="interlanguage-link-target">ਪੰਜਾਬੀ</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pl mw-list-item"><a href="https://pl.wikipedia.org/wiki/Liczby_niewymierne" title="Liczby niewymierne – polonais" lang="pl" hreflang="pl" data-title="Liczby niewymierne" data-language-autonym="Polski" data-language-local-name="polonais" class="interlanguage-link-target">Polski</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pt mw-list-item"><a href="https://pt.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_irracional" title="Número irracional – portugais" lang="pt" hreflang="pt" data-title="Número irracional" data-language-autonym="Português" data-language-local-name="portugais" class="interlanguage-link-target">Português</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ro mw-list-item"><a href="https://ro.wikipedia.org/wiki/Num%C4%83r_ira%C8%9Bional" title="Număr irațional – roumain" lang="ro" hreflang="ro" data-title="Număr irațional" data-language-autonym="Română" data-language-local-name="roumain" class="interlanguage-link-target">Română</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ru mw-list-item"><a href="https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%98%D1%80%D1%80%D0%B0%D1%86%D0%B8%D0%BE%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE" title="Иррациональное число – russe" lang="ru" hreflang="ru" data-title="Иррациональное число" data-language-autonym="Русский" data-language-local-name="russe" class="interlanguage-link-target">Русский</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-scn mw-list-item"><a href="https://scn.wikipedia.org/wiki/N%C3%B9mmuru_irrazziunali" title="Nùmmuru irrazziunali – sicilien" lang="scn" hreflang="scn" data-title="Nùmmuru irrazziunali" data-language-autonym="Sicilianu" data-language-local-name="sicilien" class="interlanguage-link-target">Sicilianu</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sh mw-list-item"><a href="https://sh.wikipedia.org/wiki/Iracionalni_broj" title="Iracionalni broj – serbo-croate" lang="sh" hreflang="sh" data-title="Iracionalni broj" data-language-autonym="Srpskohrvatski / српскохрватски" data-language-local-name="serbo-croate" class="interlanguage-link-target">Srpskohrvatski / српскохрватски</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-simple mw-list-item"><a href="https://simple.wikipedia.org/wiki/Irrational_number" title="Irrational number – Simple English" lang="en-simple" hreflang="en-simple" data-title="Irrational number" data-language-autonym="Simple English" data-language-local-name="Simple English" class="interlanguage-link-target">Simple English</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sk mw-list-item"><a href="https://sk.wikipedia.org/wiki/Iracion%C3%A1lne_%C4%8D%C3%ADslo" title="Iracionálne číslo – slovaque" lang="sk" hreflang="sk" data-title="Iracionálne číslo" data-language-autonym="Slovenčina" data-language-local-name="slovaque" class="interlanguage-link-target">Slovenčina</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sl mw-list-item"><a href="https://sl.wikipedia.org/wiki/Iracionalno_%C5%A1tevilo" title="Iracionalno število – slovène" lang="sl" hreflang="sl" data-title="Iracionalno število" data-language-autonym="Slovenščina" data-language-local-name="slovène" class="interlanguage-link-target">Slovenščina</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-smn mw-list-item"><a href="https://smn.wikipedia.org/wiki/Irrationaalloho" title="Irrationaalloho – same d’Inari" lang="smn" hreflang="smn" data-title="Irrationaalloho" data-language-autonym="Anarâškielâ" data-language-local-name="same d’Inari" class="interlanguage-link-target">Anarâškielâ</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sq mw-list-item"><a href="https://sq.wikipedia.org/wiki/Numrat_irracional%C3%AB" title="Numrat irracionalë – albanais" lang="sq" hreflang="sq" data-title="Numrat irracionalë" data-language-autonym="Shqip" data-language-local-name="albanais" class="interlanguage-link-target">Shqip</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sr mw-list-item"><a href="https://sr.wikipedia.org/wiki/%D0%98%D1%80%D0%B0%D1%86%D0%B8%D0%BE%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D0%B0%D0%BD_%D0%B1%D1%80%D0%BE%D1%98" title="Ирационалан број – serbe" lang="sr" hreflang="sr" data-title="Ирационалан број" data-language-autonym="Српски / srpski" data-language-local-name="serbe" class="interlanguage-link-target">Српски / srpski</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sv mw-list-item"><a href="https://sv.wikipedia.org/wiki/Irrationella_tal" title="Irrationella tal – suédois" lang="sv" hreflang="sv" data-title="Irrationella tal" data-language-autonym="Svenska" data-language-local-name="suédois" class="interlanguage-link-target">Svenska</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sw mw-list-item"><a href="https://sw.wikipedia.org/wiki/Namba_isiyowiana" title="Namba isiyowiana – swahili" lang="sw" hreflang="sw" data-title="Namba isiyowiana" data-language-autonym="Kiswahili" data-language-local-name="swahili" class="interlanguage-link-target">Kiswahili</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ta mw-list-item"><a href="https://ta.wikipedia.org/wiki/%E0%AE%B5%E0%AE%BF%E0%AE%95%E0%AE%BF%E0%AE%A4%E0%AE%AE%E0%AF%81%E0%AE%B1%E0%AE%BE_%E0%AE%8E%E0%AE%A3%E0%AF%8D" title="விகிதமுறா எண் – tamoul" lang="ta" hreflang="ta" data-title="விகிதமுறா எண்" data-language-autonym="தமிழ்" data-language-local-name="tamoul" class="interlanguage-link-target">தமிழ்</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-te mw-list-item"><a href="https://te.wikipedia.org/wiki/%E0%B0%85%E0%B0%A8%E0%B0%BF%E0%B0%B7%E0%B1%8D%E0%B0%AA_%E0%B0%B8%E0%B0%82%E0%B0%96%E0%B1%8D%E0%B0%AF" title="అనిష్ప సంఖ్య – télougou" lang="te" hreflang="te" data-title="అనిష్ప సంఖ్య" data-language-autonym="తెలుగు" data-language-local-name="télougou" class="interlanguage-link-target">తెలుగు</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-tg mw-list-item"><a href="https://tg.wikipedia.org/wiki/%D0%90%D0%B4%D0%B0%D0%B4%D2%B3%D0%BE%D0%B8_%D0%B8%D1%80%D1%80%D0%B0%D1%82%D1%81%D0%B8%D0%BE%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D3%A3" title="Ададҳои ирратсионалӣ – tadjik" lang="tg" hreflang="tg" data-title="Ададҳои ирратсионалӣ" data-language-autonym="Тоҷикӣ" data-language-local-name="tadjik" class="interlanguage-link-target">Тоҷикӣ</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-th mw-list-item"><a href="https://th.wikipedia.org/wiki/%E0%B8%88%E0%B8%B3%E0%B8%99%E0%B8%A7%E0%B8%99%E0%B8%AD%E0%B8%95%E0%B8%A3%E0%B8%A3%E0%B8%81%E0%B8%A2%E0%B8%B0" title="จำนวนอตรรกยะ – thaï" lang="th" hreflang="th" data-title="จำนวนอตรรกยะ" data-language-autonym="ไทย" data-language-local-name="thaï" class="interlanguage-link-target">ไทย</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-tr mw-list-item"><a href="https://tr.wikipedia.org/wiki/%C4%B0rrasyonel_say%C4%B1lar" title="İrrasyonel sayılar – turc" lang="tr" hreflang="tr" data-title="İrrasyonel sayılar" data-language-autonym="Türkçe" data-language-local-name="turc" class="interlanguage-link-target">Türkçe</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-uk mw-list-item"><a href="https://uk.wikipedia.org/wiki/%D0%86%D1%80%D1%80%D0%B0%D1%86%D1%96%D0%BE%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B5_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE" title="Ірраціональне число – ukrainien" lang="uk" hreflang="uk" data-title="Ірраціональне число" data-language-autonym="Українська" data-language-local-name="ukrainien" class="interlanguage-link-target">Українська</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ur mw-list-item"><a href="https://ur.wikipedia.org/wiki/%D8%BA%DB%8C%D8%B1%D9%86%D8%A7%D8%B7%D9%82_%D8%B9%D8%AF%D8%AF" title="غیرناطق عدد – ourdou" lang="ur" hreflang="ur" data-title="غیرناطق عدد" data-language-autonym="اردو" data-language-local-name="ourdou" class="interlanguage-link-target">اردو</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-uz mw-list-item"><a href="https://uz.wikipedia.org/wiki/Irratsional_sonlar" title="Irratsional sonlar – ouzbek" lang="uz" hreflang="uz" data-title="Irratsional sonlar" data-language-autonym="Oʻzbekcha / ўзбекча" data-language-local-name="ouzbek" class="interlanguage-link-target">Oʻzbekcha / ўзбекча</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-vi mw-list-item"><a href="https://vi.wikipedia.org/wiki/S%E1%BB%91_v%C3%B4_t%E1%BB%89" title="Số vô tỉ – vietnamien" lang="vi" hreflang="vi" data-title="Số vô tỉ" data-language-autonym="Tiếng Việt" data-language-local-name="vietnamien" class="interlanguage-link-target">Tiếng Việt</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-vls mw-list-item"><a href="https://vls.wikipedia.org/wiki/Irrationoale_getalln" title="Irrationoale getalln – flamand occidental" lang="vls" hreflang="vls" data-title="Irrationoale getalln" data-language-autonym="West-Vlams" data-language-local-name="flamand occidental" class="interlanguage-link-target">West-Vlams</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-yo mw-list-item"><a href="https://yo.wikipedia.org/wiki/N%E1%BB%8D%CC%81mb%C3%A0_al%C3%A1%C3%ACn%C3%AD%C3%ACp%C3%ADn" title="Nọ́mbà aláìníìpín – yoruba" lang="yo" hreflang="yo" data-title="Nọ́mbà aláìníìpín" data-language-autonym="Yorùbá" data-language-local-name="yoruba" class="interlanguage-link-target">Yorùbá</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zh mw-list-item"><a href="https://zh.wikipedia.org/wiki/%E7%84%A1%E7%90%86%E6%95%B8" title="無理數 – chinois" lang="zh" hreflang="zh" data-title="無理數" data-language-autonym="中文" data-language-local-name="chinois" class="interlanguage-link-target">中文</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zh-min-nan mw-list-item"><a href="https://zh-min-nan.wikipedia.org/wiki/B%C3%BB-l%C3%AD-s%C3%B2%CD%98" title="Bû-lí-sò͘ – minnan" lang="nan" hreflang="nan" data-title="Bû-lí-sò͘" data-language-autonym="閩南語 / Bân-lâm-gú" data-language-local-name="minnan" class="interlanguage-link-target">閩南語 / Bân-lâm-gú</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zh-yue mw-list-item"><a href="https://zh-yue.wikipedia.org/wiki/%E7%84%A1%E7%90%86%E6%95%B8" title="無理數 – cantonais" lang="yue" hreflang="yue" data-title="無理數" data-language-autonym="粵語" data-language-local-name="cantonais" class="interlanguage-link-target">粵語</a></li> </ul> <div class="after-portlet after-portlet-lang"><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Special:EntityPage/Q607728#sitelinks-wikipedia" title="Modifier les liens interlangues" 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//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/11/Bon_article.svg/30px-Bon_article.svg.png 2x" data-file-width="20" data-file-height="20" /></a></div><div class="bandeau-cell" style="display:table-cell;padding-right:0.5em"> Vous lisez un « <a href="/wiki/Wikip%C3%A9dia:Bons_articles" title="Wikipédia:Bons articles">bon article</a> » labellisé en 2017. </div></div> <figure class="mw-halign-right noresize" typeof="mw:File/Thumb"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/ea/Irrationnels.png/400px-Irrationnels.png" decoding="async" width="400" height="238" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/ea/Irrationnels.png/600px-Irrationnels.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/e/ea/Irrationnels.png 2x" data-file-width="800" data-file-height="475" usemap="#ImageMap_a2f153839b523cf3" resource="/wiki/Fichier:Irrationnels.png" /><map name="ImageMap_a2f153839b523cf3"><area href="/wiki/Nombre_rationnel" shape="rect" coords="43,92,90,80" alt="Nombre rationnel" title="Nombre rationnel" /><area href="/wiki/Z%C3%A9ro" shape="rect" coords="56,144,64,135" alt="Zéro" title="Zéro" /><area href="/wiki/1_(nombre)" shape="rect" coords="89,124,96,115" alt="1 (nombre)" title="1 (nombre)" /><area href="/wiki/Fraction_(math%C3%A9matiques)" shape="rect" coords="29,117,49,107" alt="Fraction (mathématiques)" title="Fraction (mathématiques)" /><area href="/wiki/Nombre_constructible" shape="rect" coords="104,80,167,69" alt="Nombre constructible" title="Nombre constructible" /><area href="/wiki/Racine_carr%C3%A9e_de_deux" shape="rect" coords="142,106,154,95" alt="Racine carrée de deux" title="Racine carrée de deux" /><area href="/wiki/Nombre_d%27or" shape="rect" coords="164,150,172,138" alt="Nombre d'or" title="Nombre d'or" /><area href="/wiki/Nombre_alg%C3%A9brique" shape="rect" coords="171,64,224,52" alt="Nombre algébrique" title="Nombre algébrique" /><area href="/wiki/Racine_cubique" shape="rect" 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shape="rect" coords="314,172,339,162" alt="Théorème de Lindemann-Weierstrass" title="Théorème de Lindemann-Weierstrass" /><area href="/wiki/Omega_de_Chaitin" shape="rect" coords="333,67,343,56" alt="Omega de Chaitin" title="Omega de Chaitin" /><area href="/wiki/Nombre_irrationnel" shape="rect" coords="130,197,283,173" alt="Nombre irrationnel" title="Nombre irrationnel" /></map><figcaption>Représentation des <a class="mw-selflink selflink">nombres irrationnels</a> selon la répartition des <a href="/wiki/Nombres_r%C3%A9els" class="mw-redirect" title="Nombres réels">réels</a> en <a href="/wiki/Nombres_rationnels" class="mw-redirect" title="Nombres rationnels">nombres rationnels</a>, <a href="/wiki/Nombre_constructible" title="Nombre constructible">constructibles</a>, <a href="/wiki/Nombre_alg%C3%A9brique" title="Nombre algébrique">algébriques</a> et <a href="/wiki/Nombre_transcendant" title="Nombre transcendant">transcendants</a>. Cliquez sur un des nombres du schéma pour plus d'informations concernant l'élément choisi. (<a class="external text" href="https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Irrationnels.png?uselang=fr">Image source</a>) <a href="/wiki/Mod%C3%A8le:Nombres_irrationnels" title="Modèle:Nombres irrationnels"><abbr class="abbr" title="Voir ce modèle.">v</abbr></a> · <a href="/wiki/Discussion_mod%C3%A8le:Nombres_irrationnels" title="Discussion modèle:Nombres irrationnels"><abbr class="abbr" style="color:#002bb8;" title="Discussion sur ce modèle.">d</abbr></a> · <a class="external text" href="https://fr.wikipedia.org/w/index.php?title=Mod%C3%A8le:Nombres_irrationnels&action=edit"><abbr class="abbr" title="Modifier ce modèle. Merci de prévisualiser avant de sauvegarder.">m</abbr></a> </figcaption></figure> Un nombre irrationnel est un <a href="/wiki/Nombre_r%C3%A9el" title="Nombre réel">nombre réel</a> qui n'est pas <a href="/wiki/Nombre_rationnel" title="Nombre rationnel">rationnel</a>, c'est-à-dire qu'il ne peut pas s'écrire sous la forme d'une <a href="/wiki/Fraction_(math%C3%A9matiques)" title="Fraction (mathématiques)">fraction</a> a/b, où a et b sont deux <a href="/wiki/Entier_relatif" title="Entier relatif">entiers relatifs</a> (avec b non nul). Les nombres irrationnels peuvent être caractérisés de manière équivalente comme étant les <a href="/wiki/Nombre_r%C3%A9el" title="Nombre réel">nombres réels</a> dont le <a href="/wiki/D%C3%A9veloppement_d%C3%A9cimal" title="Développement décimal">développement décimal</a> n'est pas périodique<a href="#cite_note-Per-1">[N 1]</a> ou dont le développement en <a href="/wiki/Fraction_continue" title="Fraction continue">fraction continue</a> est infini. On distingue, parmi les nombres irrationnels, deux <a href="/wiki/Inclusion_(math%C3%A9matiques)" title="Inclusion (mathématiques)">sous-ensembles</a> <a href="/wiki/Compl%C3%A9mentaire_(th%C3%A9orie_des_ensembles)" title="Complémentaire (théorie des ensembles)">complémentaires</a> : les <a href="/wiki/Nombre_alg%C3%A9brique" title="Nombre algébrique">nombres algébriques</a> non rationnels et les <a href="/wiki/Nombre_transcendant" title="Nombre transcendant">nombres transcendants</a>. Les nombres algébriques sont définis comme les <a href="/wiki/Racine_d%27un_polyn%C3%B4me" title="Racine d'un polynôme">racines des polynômes</a> à coefficients rationnels ; cet <a href="/wiki/Ensemble_d%C3%A9nombrable" title="Ensemble dénombrable">ensemble dénombrable</a> <a href="/wiki/Nombre_alg%C3%A9brique#Exemples" title="Nombre algébrique">inclut tous les nombres rationnels</a>, mais aussi <a href="#Irrationalité_de_nombres_manifestement_algébriques">certains irrationnels</a>. Les nombres non algébriques, comme <a href="/wiki/Pi" title="Pi">π</a> et <a href="/wiki/E_(nombre)" title="E (nombre)">e</a>, sont dits transcendants ; ils sont tous irrationnels. Cependant, certains ensembles de nombres irrationnels classiquement étudiés peuvent aussi regrouper à la fois des nombres algébriques et des nombres transcendants ; c'est par exemple le cas des <a href="/wiki/Nombre_r%C3%A9el_calculable" title="Nombre réel calculable">nombres calculables</a>. On <a href="/wiki/Conjecture" title="Conjecture">conjecture</a> également qu'il existe des <a href="/wiki/Nombre_normal" title="Nombre normal">nombres normaux</a> algébriques, et on en connait qui sont transcendants. Les premiers nombres irrationnels découverts sont les <a href="/wiki/Racine_carr%C3%A9e" title="Racine carrée">racines carrées</a> des entiers qui ne sont pas des <a href="/wiki/Carr%C3%A9_parfait" title="Carré parfait">carrés parfaits</a>, entre autres <a href="/wiki/Racine_carr%C3%A9e_de_deux" title="Racine carrée de deux">√2</a>, <a href="#Exemple_préliminaire">dont l'irrationalité a été établie</a> dans l'<a href="/wiki/Antiquit%C3%A9" title="Antiquité">Antiquité</a> ; plus généralement les <a href="/wiki/Nombre_constructible" title="Nombre constructible">nombres constructibles</a> irrationnels, sous-ensemble des nombres algébriques dans lequel on trouve entre autres le <a href="/wiki/Nombre_d%27or" title="Nombre d'or">nombre d'or</a>, ont une grande importance <a href="/wiki/Histoire_des_math%C3%A9matiques" title="Histoire des mathématiques">historique</a> car ils sont liés aux problèmes de <a href="/wiki/Construction_%C3%A0_la_r%C3%A8gle_et_au_compas" title="Construction à la règle et au compas">construction à la règle et au compas</a> essentiels à la <a href="/wiki/G%C3%A9om%C3%A9trie" title="Géométrie">géométrie</a> de l'époque d'<a href="/wiki/Euclide" title="Euclide">Euclide</a>. L'irrationalité de π et celle de e ont été établies bien plus tard, au <abbr class="abbr" title="18ᵉ siècle">XVIIIe</abbr> siècle ; ce sont les premiers nombres transcendants dont on a prouvé l'irrationalité. Il a de plus été montré au <abbr class="abbr" title="19ᵉ siècle">XIXe</abbr> siècle que <a href="/wiki/Ensemble_n%C3%A9gligeable" title="Ensemble négligeable">presque tous</a> les nombres réels sont irrationnels, et même transcendants. En 2018, on ignore le statut de plusieurs constantes importantes telle que la <a href="/wiki/Constante_d%27Euler-Mascheroni" title="Constante d'Euler-Mascheroni">constante d'Euler-Mascheroni</a>. <meta property="mw:PageProp/toc" /> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Histoire">Histoire</h2>[<a href="/w/index.php?title=Nombre_irrationnel&veaction=edit&section=1" title="Modifier la section : Histoire" class="mw-editsection-visualeditor">modifier</a> | <a href="/w/index.php?title=Nombre_irrationnel&action=edit&section=1" title="Modifier le code source de la section : Histoire">modifier le code</a>]</div> Les travaux antiques les plus connus concernant les irrationnels ont été produits dans <a href="/wiki/Math%C3%A9matiques_de_la_Gr%C3%A8ce_antique" title="Mathématiques de la Grèce antique">le monde grec</a><a href="#cite_note-2">[1]</a>. <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Antiquité_grecque">Antiquité grecque</h3>[<a href="/w/index.php?title=Nombre_irrationnel&veaction=edit&section=2" title="Modifier la section : Antiquité grecque" class="mw-editsection-visualeditor">modifier</a> | <a href="/w/index.php?title=Nombre_irrationnel&action=edit&section=2" title="Modifier le code source de la section : Antiquité grecque">modifier le code</a>]</div> L'<a href="/wiki/Historiographie" title="Historiographie">historiographie</a> a longtemps décomposé l'étude de l'irrationalité en trois grandes étapes : la découverte, sans doute par un <a href="/wiki/%C3%89cole_pythagoricienne" title="École pythagoricienne">pythagoricien</a><a href="#cite_note-3">[2]</a>, d'un cas particulier de grandeurs non commensurables, puis l'établissement de l'irrationalité de quelques exemples analogues et enfin, l'étude systématique de celle-ci, notamment par <a href="/wiki/Euclide" title="Euclide">Euclide</a>. Il n'est cependant pas aisé de reconstituer l'enchaînement précis des différentes phases, car tous les textes de l'époque ne sont pas connus et ceux qui le sont ont fait l'objet de controverses, concernant notamment leur interprétation. <div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Vocabulaire_employé">Vocabulaire employé</h4>[<a href="/w/index.php?title=Nombre_irrationnel&veaction=edit&section=3" title="Modifier la section : Vocabulaire employé" class="mw-editsection-visualeditor">modifier</a> | <a href="/w/index.php?title=Nombre_irrationnel&action=edit&section=3" title="Modifier le code source de la section : Vocabulaire employé">modifier le code</a>]</div> L'une des difficultés de <a href="/wiki/Philologie" title="Philologie">l'étude des textes antiques</a> traitant d'irrationalité réside dans le fait que les termes employés pour ce faire ainsi que leur sens varient selon les époques, et que certains peuvent apparaître conjointement dans un même texte. En <a href="/wiki/Grec_ancien" title="Grec ancien">grec ancien</a>, le concept d'irrationalité peut ainsi être représenté par les mots suivants<a href="#cite_note-Szabo93-4">[3]</a> : <ul><li>ἂρρητος / arrêtos : inexprimable ;</li> <li>ἀσύμμετρος / asymmetros : <a href="/wiki/Commensurabilit%C3%A9_(math%C3%A9matiques)" title="Commensurabilité (mathématiques)">incommensurable</a>, ce terme pouvant être précisé : <ul><li>μήκει ἀσύμμετρος / mêkei asymmetros : incommensurable en longueur ;</li> <li>σύμμετρος δυνάμει / symmetros dynamei : commensurable en carré ;</li></ul></li> <li>ἄλογος / alogos : littéralement qui ne peut former de rapport ; c'est le plus proche du terme moderne irrationnel.</li></ul> De tous ces termes, seul ἂρρητος n'apparaît pas dans le <a href="/wiki/Livre_X_des_%C3%89l%C3%A9ments_d%27Euclide" title="Livre X des Éléments d'Euclide">livre <abbr class="abbr" title="10">X</abbr></a> des <a href="/wiki/%C3%89l%C3%A9ments_(Euclide)" title="Éléments (Euclide)">Éléments d'Euclide</a><a href="#cite_note-Szabo93-4">[3]</a>. En revanche, le mot ῥητος (qui d'un point de vue strictement <a href="/wiki/Lexique" title="Lexique">lexical</a> est le contraire du mot ἂρρητος) est employé comme le contraire du mot ἄλογος signifiant irrationnel ; sa définition inclut cependant le concept σύμμετρος δυνάμει (commensurable en carré)<a href="#cite_note-5">[4]</a> : le nombre √2 serait donc « rationnel » selon cette définition, ce qui n'est pas le cas dans des textes plus anciens comme ceux de <a href="/wiki/Platon" title="Platon">Platon</a><a href="#cite_note-Szabo93-4">[3]</a>. Il y a donc eu un glissement de sens entre les époques des deux auteurs, et la notion moderne d'irrationalité ne se superpose pas parfaitement à celle d'Euclide. De plus, il n'existe pas pour les Grecs de nombre irrationnel, mais des couples de grandeurs telles que la première n'est pas un multiple rationnel de la seconde<a href="#cite_note-6">[5]</a>. La compréhension des textes est rendue difficile également par l'utilisation de termes techniques traduisant des concepts n'ayant pas d'équivalent dans les langues actuelles. Par exemple, le nom δύναμις / dynamis signifie « puissance » dans la langue courante, mais cette acception n'a pas de sens dans les textes mathématiques antiques. Il a souvent été traduit par « racine carrée » en raison du contexte dans lequel il est employé. Cependant, son sens véritable, probablement emprunté à la finance où il exprime la valeur d'une monnaie, est plutôt la désignation d'un carré dont l'<a href="/wiki/Aire_(g%C3%A9om%C3%A9trie)" title="Aire (géométrie)">aire</a> est égale à celle d'une surface déjà identifiée<a href="#cite_note-Szabo93-4">[3]</a> ; ainsi, le δύναμις d'un <a href="/wiki/Rectangle" title="Rectangle">rectangle</a> de longueur 2 et de largeur 1 est un carré d'aire 2. Ce terme, attesté dès l'époque d'<a href="/wiki/Hippocrate_de_Chios" title="Hippocrate de Chios">Hippocrate de Chios</a>, a introduit de nombreux contresens dans l'interprétation de plusieurs textes, dont le <a href="/wiki/Th%C3%A9%C3%A9t%C3%A8te_(Platon)" title="Théétète (Platon)">Théétète</a> de Platon<a href="#cite_note-Szabo93-4">[3]</a>. <div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Découverte_des_irrationnels">Découverte des irrationnels</h4>[<a href="/w/index.php?title=Nombre_irrationnel&veaction=edit&section=4" title="Modifier la section : Découverte des irrationnels" class="mw-editsection-visualeditor">modifier</a> | <a href="/w/index.php?title=Nombre_irrationnel&action=edit&section=4" title="Modifier le code source de la section : Découverte des irrationnels">modifier le code</a>]</div> La date à laquelle la notion d'irrationalité a été découverte par les Grecs n'est pas connue avec certitude : elle est généralement située entre le début du <abbr class="abbr" title="5ᵉ siècle">Ve</abbr> siècle <abbr class="abbr nowrap" title="avant Jésus-Christ">av. J.-C.</abbr> et le premier quart du <abbr class="abbr" title="4ᵉ siècle">IVe</abbr> siècle <abbr class="abbr nowrap" title="avant Jésus-Christ">av. J.-C.</abbr><a href="#cite_note-Szabo93-4">[3]</a>. Elle est en tout cas antérieure au livre de <a href="/wiki/D%C3%A9mocrite" title="Démocrite">Démocrite</a> intitulé Des Nombres irrationnels et des Solides, qui date de cette période. Contrairement à une idée reçue, rien n'indique avec certitude que la découverte de l'incommensurabilité provienne de l'étude de la <a href="/wiki/Diagonale" title="Diagonale">diagonale</a> et de l'un des côtés d'un carré<a href="#cite_note-7">[6]</a>, propriété équivalente à l'irrationalité de √2. La découverte est parfois attribuée au mathématicien <a href="/wiki/Hippase_de_M%C3%A9taponte" title="Hippase de Métaponte">Hippase de Métaponte</a> pour ses travaux sur la section d'extrême et de moyenne raison, maintenant appelée <a href="/wiki/Nombre_d%27or" title="Nombre d'or">nombre d'or</a>, qui est également le rapport de la longueur de la diagonale d'un <a href="/wiki/Pentagone#Deux_pentagones_réguliers" title="Pentagone">pentagone régulier</a> sur celle d'un de ses côtés<a href="#cite_note-8">[7]</a>. Il est également possible que la notion d'irrationalité ait été mise à jour par l'étude du problème <a href="/wiki/Arithm%C3%A9tique" title="Arithmétique">arithmétique</a> de la recherche d'un entier qui soit à la fois un <a href="/wiki/Carr%C3%A9_parfait" title="Carré parfait">carré parfait</a> et le double d'un autre carré parfait<a href="#cite_note-Szabo93-4">[3]</a> ; l'insolubilité de ce problème est en effet équivalente à l'irrationalité de √2. Si la découverte en elle-même reste entourée de mystère, l'exemple le plus connu chez les intellectuels de l'époque de Platon est celui de l'incommensurabilité de la diagonale et du côté d'un carré<a href="#cite_note-Szabo93-4">[3]</a>. La nature exacte des premières grandeurs non commensurables découvertes n'est pas connue, et la manière dont cette non-commensurabilité a été établie ne l'est pas plus et plusieurs idées de démonstration ont été imaginées. L'une d'elles repose sur le <a href="/wiki/Racine_carr%C3%A9e_de_deux#Le_pair_et_l.27impair" title="Racine carrée de deux">principe du pair et de l'impair</a><a href="#cite_note-9">[8]</a>,<a href="#cite_note-10">[9]</a>, elle est notamment citée par <a href="/wiki/Aristote" title="Aristote">Aristote</a><a href="#cite_note-11">[10]</a>. D'autres reconstitutions des preuves antiques sont envisagées : certaines ont recours à une <a href="/wiki/M%C3%A9thode_de_descente_infinie" title="Méthode de descente infinie">descente infinie</a>, d'autres à un algorithme qu'en termes modernes on apparenterait aux <a href="/wiki/Fraction_continue" title="Fraction continue">fractions continues</a>. Cette dernière technique serait héritée des cultures de <a href="/wiki/M%C3%A9sopotamie" title="Mésopotamie">Mésopotamie</a><a href="#cite_note-12">[11]</a>. <div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Étude_ultérieure_des_irrationnels">Étude ultérieure des irrationnels</h4>[<a href="/w/index.php?title=Nombre_irrationnel&veaction=edit&section=5" title="Modifier la section : Étude ultérieure des irrationnels" class="mw-editsection-visualeditor">modifier</a> | <a href="/w/index.php?title=Nombre_irrationnel&action=edit&section=5" title="Modifier le code source de la section : Étude ultérieure des irrationnels">modifier le code</a>]</div> À la suite de la découverte d'un cas particulier d'irrationalité, il y a longtemps eu consensus pour affirmer que l'étude des grandeurs incommensurables s'était poursuivie par l'établissement par <a href="/wiki/Th%C3%A9odore_de_Cyr%C3%A8ne" title="Théodore de Cyrène">Théodore de Cyrène</a> d'autres exemples se ramenant aux nombres √n (pour n entier non carré compris entre 3 et 17)<a href="#cite_note-13">[12]</a>. Cette supposition a donné lieu à des recherches concernant la méthode utilisée pour ce faire, et les raisons qui ont empêché Théodore de Cyrène d'aller plus loin que √17<a href="#cite_note-HardyWright4-14">[13]</a> ; il est cependant probable qu'elle soit erronée<a href="#cite_note-Szabo93-4">[3]</a>. En effet, elle résulte d'un passage du <a href="/wiki/Th%C3%A9%C3%A9t%C3%A8te_(Platon)" title="Théétète (Platon)">Théétète</a>, mais le texte de Platon ne mentionne pas de démonstration et n'indique donc pas que Théodore en aurait produit une<a href="#cite_note-Szabo93-4">[3]</a>. Une autre hypothèse est que les premières preuves d'irrationalité reposent essentiellement sur la notion de parité, ce qui ne permet pas de montrer l'irrationalité de √17<a href="#cite_note-15">[14]</a>. Il est difficile, en l'état actuel des connaissances, de proposer une chronologie précise des débuts de l'étude grecque de l'incommensurabilité<a href="#cite_note-Szabo93-4">[3]</a>. Le <a href="/wiki/Livre_X_des_%C3%89l%C3%A9ments_d%27Euclide" title="Livre X des Éléments d'Euclide">livre X des Éléments</a>, écrit vers <a href="/wiki/300_av._J.-C." title="300 av. J.-C.">-300</a>, présente une classification des grandeurs irrationnelles ; on ne sait cependant pas de quand datent les propositions qui y sont démontrées, les textes mathématiques antérieurs étant perdus<a href="#cite_note-Szabo93-4">[3]</a>. Par la suite, les mathématiciens grecs ont développé des méthodes d'évaluation de grandeurs incommensurables. <a href="/wiki/Archim%C3%A8de" title="Archimède">Archimède</a> a notamment utilisé la <a href="/wiki/M%C3%A9thode_d%27exhaustion" title="Méthode d'exhaustion">méthode d'exhaustion</a> pour donner une estimation de π et <a href="/wiki/H%C3%A9ron_d%27Alexandrie" title="Héron d'Alexandrie">Héron d'Alexandrie</a> expose une <a href="/wiki/M%C3%A9thode_de_H%C3%A9ron" title="Méthode de Héron">méthode pour évaluer une racine carrée</a><a href="#cite_note-16">[N 2]</a>. <div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Débat_sur_l'existence_antique_d'une_«_crise_des_fondements_»">Débat sur l'existence antique d'une « crise des fondements »</h4>[<a href="/w/index.php?title=Nombre_irrationnel&veaction=edit&section=6" title="Modifier la section : Débat sur l'existence antique d'une « crise des fondements »" class="mw-editsection-visualeditor">modifier</a> | <a href="/w/index.php?title=Nombre_irrationnel&action=edit&section=6" title="Modifier le code source de la section : Débat sur l'existence antique d'une « crise des fondements »">modifier le code</a>]</div> Une légende, plusieurs fois rapportée, indique qu'un pythagoricien, parfois nommé <a href="/wiki/Hippase_de_M%C3%A9taponte" title="Hippase de Métaponte">Hippase de Métaponte</a>, périt noyé (jeté à la mer depuis une barque) pour avoir révélé aux profanes l'incommensurabilité<a href="#cite_note-17">[15]</a>. Cette légende indiquerait que la découverte serait bien pythagoricienne et qu'elle aurait fait l'objet d'un tabou<a href="#cite_note-18">[16]</a> ; elle est souvent citée pour accréditer la thèse selon laquelle l'irrationalité aurait posé un problème fondamental aux mathématiciens antiques. L'existence d'une crise profonde chez les mathématiciens et les philosophes grecs due à la découverte de l'irrationalité a été longtemps admise par les historiens<a href="#cite_note-19">[17]</a>, et ce dès les travaux de <a href="/wiki/Paul_Tannery" title="Paul Tannery">Paul Tannery</a> en 1887<a href="#cite_note-20">[18]</a>, et plus encore dans les premières décennies du <a href="/wiki/XXe_si%C3%A8cle" title="XXe siècle"><abbr class="abbr" title="20ᵉ siècle">XXe</abbr> siècle</a><a href="#cite_note-Knorr-21">[19]</a>. D'autres historiens ont par la suite émis l'hypothèse que la crise engendrée par les irrationnels était plutôt une reconstruction a posteriori par laquelle les mathématiciens du <abbr class="abbr" title="20ᵉ siècle">XXe</abbr> siècle auraient calqué leur <a href="/wiki/Crise_des_fondements" title="Crise des fondements">crise des fondements</a> sur l'Antiquité, en jugeant les travaux mathématiques grecs <a href="https://fr.wiktionary.org/wiki/%C3%A0_l%27aune_de" class="extiw" title="wikt:à l'aune de">à l'aune de</a> concepts mathématiques modernes. Des recherches menées dans la seconde moitié du <abbr class="abbr" title="20ᵉ siècle">XXe</abbr> siècle ont ainsi <a href="https://fr.wiktionary.org/wiki/battre_en_br%C3%A8che" class="extiw" title="wikt:battre en brèche">battu en brèche</a> le concept de « crise antique des fondements »<a href="#cite_note-22">[20]</a>. <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Moyen-Orient_médiéval">Moyen-Orient médiéval</h3>[<a href="/w/index.php?title=Nombre_irrationnel&veaction=edit&section=7" title="Modifier la section : Moyen-Orient médiéval" class="mw-editsection-visualeditor">modifier</a> | <a href="/w/index.php?title=Nombre_irrationnel&action=edit&section=7" title="Modifier le code source de la section : Moyen-Orient médiéval">modifier le code</a>]</div> Le <a href="/wiki/Moyen_%C3%82ge" title="Moyen Âge">Moyen Âge</a> voit le développement de l'<a href="/wiki/Alg%C3%A8bre" title="Algèbre">algèbre</a> au sein des <a href="/wiki/Math%C3%A9matiques_arabes" title="Mathématiques arabes">mathématiques arabes</a>, ce qui permet aux nombres irrationnels de devenir des objets de même nature algébrique que les entiers et les nombres rationnels<a href="#cite_note-23">[21]</a>. Les mathématiciens du <a href="/wiki/Monde_arabo-musulman" title="Monde arabo-musulman">monde arabo-musulman</a> cessent en effet, contrairement à ceux du monde grec qui les ont précédés, de ne manipuler des grandeurs géométriques que par leurs <a href="/wiki/Rapport_(math%C3%A9matiques)" title="Rapport (mathématiques)">rapports</a><a href="#cite_note-Matvievskaya-259-24">[22]</a>. Dans son commentaire du livre X des Éléments, le mathématicien <a href="/wiki/Empire_perse" title="Empire perse">persan</a> <a href="/wiki/Al-Mahani" title="Al-Mahani">Al-Mahani</a> étudie et classifie les <a href="/wiki/Irrationnel_quadratique" title="Irrationnel quadratique">irrationnels quadratiques</a> et cubiques, en les considérant comme des nombres à part entière bien qu'il utilise également un point de vue géométrique pour les désigner<a href="#cite_note-Matvievskaya-259-24">[22]</a>. Il donne en outre une approche algébrique des irrationnels, en expliquant que si l'on additionne ou multiplie un irrationnel et un rationnel (non-nul dans le cas du produit), le résultat est irrationnel<a href="#cite_note-Matvievskaya-259-24">[22]</a>. Le mathématicien <a href="/wiki/%C3%89gypte" title="Égypte">égyptien</a> <a href="/wiki/Abu_Kamil" title="Abu Kamil">Abū Kāmil Shujā ibn Aslam</a> est le premier à accepter qu'un nombre irrationnel représenté par une racine carrée, cubique ou <a href="/wiki/Racine_d%27un_nombre" title="Racine d'un nombre">Racine n-ième</a> puisse être solution d'une <a href="/wiki/%C3%89quation_du_second_degr%C3%A9" title="Équation du second degré">équation quadratique</a> ou qu'il soit un <a href="/wiki/Coefficient" title="Coefficient">coefficient</a> d'une <a href="/wiki/%C3%89quation" title="Équation">équation</a><a href="#cite_note-25">[23]</a>. Les mathématiciens arabes ont aussi repris et perfectionné des méthodes d'<a href="/wiki/Analyse_num%C3%A9rique" title="Analyse numérique">approximation numérique</a> ; les 16 premières décimales de <a href="/wiki/Pi" title="Pi">π</a> sont par exemple trouvées par <a href="/wiki/Al-Kashi" title="Al-Kashi">Al-Kashi</a> grâce à des méthodes géométriques<a href="#cite_note-26">[24]</a>. <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Époque_moderne">Époque moderne</h3>[<a href="/w/index.php?title=Nombre_irrationnel&veaction=edit&section=8" title="Modifier la section : Époque moderne" class="mw-editsection-visualeditor">modifier</a> | <a href="/w/index.php?title=Nombre_irrationnel&action=edit&section=8" title="Modifier le code source de la section : Époque moderne">modifier le code</a>]</div> <div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Débats_sur_la_nature_des_nombres_irrationnels">Débats sur la nature des nombres irrationnels</h4>[<a href="/w/index.php?title=Nombre_irrationnel&veaction=edit&section=9" title="Modifier la section : Débats sur la nature des nombres irrationnels" class="mw-editsection-visualeditor">modifier</a> | <a href="/w/index.php?title=Nombre_irrationnel&action=edit&section=9" title="Modifier le code source de la section : Débats sur la nature des nombres irrationnels">modifier le code</a>]</div> <div class="thumb tright" style="width:250px;"><div class="thumbinner"><div class="thumbcaption"><div style="text-align: inherit;"> « IRRATIONNEL, adject. (Arithm. & Alg.) les nombres irrationnels sont les mêmes que les nombres sourds ou incommensurables. Voyez Incommensurable, Sourd, & Nombre. » « INCOMMENSURABLE, adj. (terme de Géométrie.) il se dit de deux quantités qui n’ont point de mesure commune, quelque petite qu’elle soit, pour mesurer l’une & l’autre. Voyez Commensurable, Sourd & Irrationnel. » « SOURD, adj. en termes d’Arithmétique, signifie un nombre qui ne peut être exprimé, ou bien un nombre qui n’a point de mesure commune avec l’unité. Voyez Nombre. C’est ce qu’on appelle autrement nombre irrationnel ou incommensurable. Voyez Irrationnel & Incommensurable. » <div style="text-align: inherit;">Définitions de nombre irrationnel, incommensurable et sourd selon l’<a href="/wiki/Encyclop%C3%A9die_ou_Dictionnaire_raisonn%C3%A9_des_sciences,_des_arts_et_des_m%C3%A9tiers" title="Encyclopédie ou Dictionnaire raisonné des sciences, des arts et des métiers">Encyclopédie</a> de <a href="/wiki/Diderot" class="mw-redirect" title="Diderot">Diderot</a> et <a href="/wiki/Jean_Le_Rond_d%27Alembert" title="Jean Le Rond d'Alembert">D'Alembert</a>.</div> </div></div></div></div> Au <abbr class="abbr" title="16ᵉ siècle">XVIe</abbr> siècle, la communauté mathématique accueille les <a href="/wiki/Fraction_(math%C3%A9matiques)" title="Fraction (mathématiques)">fractions</a>. Au <abbr class="abbr" title="17ᵉ siècle">XVIIe</abbr> siècle, les mathématiciens emploient de plus en plus fréquemment les <a href="/wiki/Nombre_d%C3%A9cimal" title="Nombre décimal">fractions décimales</a> et représentent déjà ces nombres avec la notation moderne. La notation décimale permet des calculs numériques sur les nombres irrationnels<a href="#cite_note-Cousquer-27">[25]</a>. Pourtant bien que ceux-ci soient utilisés couramment, le débat sur leur nature n'est pas tranché. <a href="/wiki/Simon_Stevin" title="Simon Stevin">Simon Stevin</a> et <a href="/wiki/Isaac_Newton" title="Isaac Newton">Isaac Newton</a> considèrent que les irrationnels, appelés à l'époque « nombres sourds », sont des nombres au même titre que les entiers et les rationnels<a href="#cite_note-Cousquer-27">[25]</a> tandis que d'autres comme <a href="/wiki/Blaise_Pascal" title="Blaise Pascal">Blaise Pascal</a> conservent le cadre fourni par les Éléments d'Euclide, dans lequel les irrationnels ne sont pas des nombres<a href="#cite_note-Cousquer-27">[25]</a>. Dans l'<a href="/wiki/Encyclop%C3%A9die_ou_Dictionnaire_raisonn%C3%A9_des_sciences,_des_arts_et_des_m%C3%A9tiers" title="Encyclopédie ou Dictionnaire raisonné des sciences, des arts et des métiers">Encyclopédie</a>, <a href="/wiki/Jean_Le_Rond_d%27Alembert" title="Jean Le Rond d'Alembert">D'Alembert</a> rend compte des deux positions et prend parti pour l'idée selon laquelle les irrationnels ne sont pas des nombres, mais qu'ils sont approchables par ceux-ci avec une précision aussi fine que l'on veut<a href="#cite_note-Cousquer-27">[25]</a>,<a href="#cite_note-28">[26]</a>,<a href="#cite_note-29">[27]</a>. <a href="/wiki/Abraham_Gotthelf_K%C3%A4stner" title="Abraham Gotthelf Kästner">Abraham Kästner</a> propose par la suite d'expliquer les propriétés algébriques des nombres irrationnels par celles des rationnels, qu'il peut étendre grâce à la <a href="/wiki/Partie_dense" title="Partie dense">densité</a> des rationnels dans les irrationnels<a href="#cite_note-Cousquer-27">[25]</a>. <div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Méthodes_d'approximation_numérique">Méthodes d'approximation numérique</h4>[<a href="/w/index.php?title=Nombre_irrationnel&veaction=edit&section=10" title="Modifier la section : Méthodes d'approximation numérique" class="mw-editsection-visualeditor">modifier</a> | <a href="/w/index.php?title=Nombre_irrationnel&action=edit&section=10" title="Modifier le code source de la section : Méthodes d'approximation numérique">modifier le code</a>]</div> Isaac Newton met au point à la fin du <abbr class="abbr" title="17ᵉ siècle">XVIIe</abbr> siècle un algorithme permettant le calcul numérique de racines de polynômes, a priori irrationnelles<a href="#cite_note-30">[N 3]</a>. Cet algorithme, connu depuis sous le nom de <a href="/wiki/M%C3%A9thode_de_Newton" title="Méthode de Newton">méthode de Newton</a>, a ensuite été adapté pour calculer les <a href="/wiki/Z%C3%A9ro_d%27une_fonction" title="Zéro d'une fonction">zéros de fonctions</a> non polynomiales. Dans le cas particulier du nombre π, <a href="/wiki/John_Machin" title="John Machin">John Machin</a> publie en <a href="/wiki/1706_en_science" title="1706 en science">1706</a> <a href="/wiki/Formule_de_Machin" title="Formule de Machin">une formule</a> donnant π à l'aide de la fonction <a href="/wiki/Arc_tangente" title="Arc tangente">arc tangente</a> : <center><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=4\arctan {\frac {1}{5}}-\arctan {\frac {1}{239}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>π</mi> <mn>4</mn> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mn>4</mn> <mi>arctan</mi> <mo>⁡</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>5</mn> </mfrac> </mrow> <mo>−</mo> <mi>arctan</mi> <mo>⁡</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>239</mn> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=4\arctan {\frac {1}{5}}-\arctan {\frac {1}{239}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba362ff207097dc35ca873f9a16bcda21a96b278" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:29.685ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=4\arctan {\frac {1}{5}}-\arctan {\frac {1}{239}}}">.</center> Une amélioration de cette formule par <a href="/wiki/Jurij_Vega" title="Jurij Vega">Jurij Vega</a> lui permet en 1789 de calculer π avec une précision de 126 décimales<a href="#cite_note-31">[N 4]</a>. D'autres formules permettant d'exprimer <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \pi }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>π</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \pi }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9be4ba0bb8df3af72e90a0535fabcc17431e540a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.332ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \pi }"> ont été exhibées au <abbr class="abbr" title="18ᵉ siècle">XVIIIe</abbr> siècle, notamment la résolution par Euler du <a href="/wiki/Probl%C3%A8me_de_B%C3%A2le" title="Problème de Bâle">problème de Bâle</a> qui donne une identité, peu utile pour un calcul pratique, reliant π et la série des inverses des carrés des entiers<a href="#cite_note-32">[28]</a> : <center><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{4^{2}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{2}}{6}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <munderover> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">∞</mi> </mrow> </munderover> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <msup> <mi>n</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <msup> <mn>1</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <msup> <mn>2</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <msup> <mn>3</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <msup> <mn>4</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mo>⋯</mo> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msup> <mi>π</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mn>6</mn> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{4^{2}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{2}}{6}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c5879dc45e14ddde7d71bc17c81f1f8cb327241" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:42.745ex; height:6.843ex;" alt="{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{4^{2}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{2}}{6}}}">.</center> Un autre exemple d'identité, lui aussi peu utile pour un calcul pratique, permettant le calcul numérique de π est fourni par la <a href="/wiki/Arc_tangente#Développement_en_série_de_Taylor" title="Arc tangente">formule de Leibniz</a>, découverte en Europe au <abbr class="abbr" title="17ᵉ siècle">XVIIe</abbr> siècle, mais qui était déjà connue de manière indépendante en Inde depuis deux siècles par l'<a href="/wiki/%C3%89cole_du_Kerala" title="École du Kerala">école du Kerala</a><a href="#cite_note-33">[N 5]</a> : <center><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}={\frac {1}{1}}-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{9}}-\cdots ={\frac {\pi }{4}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <munderover> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">∞</mi> </mrow> </munderover> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> <mi>n</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>1</mn> </mfrac> </mrow> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>3</mn> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>5</mn> </mfrac> </mrow> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>7</mn> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>9</mn> </mfrac> </mrow> <mo>−</mo> <mo>⋯</mo> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>π</mi> <mn>4</mn> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}={\frac {1}{1}}-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{9}}-\cdots ={\frac {\pi }{4}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/868b9a332a3e21d3f8c4cc7d5fed1a1bf2c31648" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:46.421ex; height:6.843ex;" alt="{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}={\frac {1}{1}}-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{9}}-\cdots ={\frac {\pi }{4}}}">.</center> Des approximations d'autres constantes mathématiques sont publiées, notamment pour la <a href="/wiki/Constante_d%27Euler-Mascheroni" title="Constante d'Euler-Mascheroni">constante γ d'Euler</a> : celui-ci en calcule 16 décimales dès 1781 en utilisant la <a href="/wiki/Formule_d%27Euler-Maclaurin" title="Formule d'Euler-Maclaurin">formule d'Euler-Maclaurin</a><a href="#cite_note-Demailly-34">[29]</a>,<a href="#cite_note-gamma-35">[N 6]</a>. <div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Découverte_de_nouveaux_nombres_irrationnels">Découverte de nouveaux nombres irrationnels</h4>[<a href="/w/index.php?title=Nombre_irrationnel&veaction=edit&section=11" title="Modifier la section : Découverte de nouveaux nombres irrationnels" class="mw-editsection-visualeditor">modifier</a> | <a href="/w/index.php?title=Nombre_irrationnel&action=edit&section=11" title="Modifier le code source de la section : Découverte de nouveaux nombres irrationnels">modifier le code</a>]</div> Les <a href="/wiki/Fraction_continue" title="Fraction continue">fractions continues</a> (dues à <a href="/wiki/Pietro_Cataldi" title="Pietro Cataldi">Cataldi</a> en 1613<a href="#cite_note-36">[30]</a>), étroitement liées aux nombres irrationnels, sont prises en considération par <a href="/wiki/Leonhard_Euler" title="Leonhard Euler">Euler</a>, qui montre ainsi<a href="#cite_note-IrrationalitéE-37">[N 7]</a> notamment, en 1737, l'irrationalité de e et de e2<a href="#cite_note-Maor-38">[31]</a>. <a href="/wiki/Jean-Henri_Lambert" title="Jean-Henri Lambert">Lambert</a> démontre en 1761 que π n'est pas rationnel. Pour cela, il montre que la <a href="/wiki/Tangente_(trigonom%C3%A9trie)" title="Tangente (trigonométrie)">tangente</a> et la <a href="/wiki/Tangente_hyperbolique" title="Tangente hyperbolique">tangente hyperbolique</a> de tout rationnel non nul sont des irrationnels<a href="#cite_note-Maor-38">[31]</a>, en les approchant par des <a href="/wiki/Suite_(math%C3%A9matiques)" title="Suite (mathématiques)">suites</a> de rationnels issues de <a href="/wiki/Fraction_continue_g%C3%A9n%C3%A9ralis%C3%A9e" title="Fraction continue généralisée">fractions continues généralisées</a> particulières<a href="#cite_note-IrrationalitéPi-39">[N 8]</a>. Il <a href="/wiki/Conjecture" title="Conjecture">conjecture</a> par la suite la transcendance de π et e, mais ne remarque pas que sa méthode fournit une démonstration que π2 est lui aussi irrationnel<a href="#cite_note-40">[N 9]</a>. Cette constatation est faite plus tard par <a href="/wiki/Adrien-Marie_Legendre" title="Adrien-Marie Legendre">Legendre</a><a href="#cite_note-41">[32]</a>,<a href="#cite_note-42">[33]</a>. Lambert montre également que l'<a href="/wiki/Fonction_exponentielle" title="Fonction exponentielle">exponentielle</a> et le <a href="/wiki/Logarithme" title="Logarithme">logarithme</a> de tout rationnel non nul (et également différent de 1 dans le cas du logarithme) est un irrationnel<a href="#cite_note-Cousquer-27">[25]</a>. <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Époque_contemporaine">Époque contemporaine</h3>[<a href="/w/index.php?title=Nombre_irrationnel&veaction=edit&section=12" title="Modifier la section : Époque contemporaine" class="mw-editsection-visualeditor">modifier</a> | <a href="/w/index.php?title=Nombre_irrationnel&action=edit&section=12" title="Modifier le code source de la section : Époque contemporaine">modifier le code</a>]</div> <div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Définition_rigoureuse_des_nombres_réels">Définition rigoureuse des nombres réels</h4>[<a href="/w/index.php?title=Nombre_irrationnel&veaction=edit&section=13" title="Modifier la section : Définition rigoureuse des nombres réels" class="mw-editsection-visualeditor">modifier</a> | <a href="/w/index.php?title=Nombre_irrationnel&action=edit&section=13" title="Modifier le code source de la section : Définition rigoureuse des nombres réels">modifier le code</a>]</div> <div class="bandeau-container bandeau-section metadata bandeau-niveau-information"><div class="bandeau-cell bandeau-icone-css loupe">Article détaillé : <a href="/wiki/Construction_des_nombres_r%C3%A9els" title="Construction des nombres réels">Construction des nombres réels</a>.</div></div> Jusqu'au <abbr class="abbr" title="19ᵉ siècle">XIXe</abbr> siècle, l'existence et les propriétés des nombres irrationnels sont admises sans qu'en soit proposée de définition rigoureuse. En effet — contrairement aux <a href="/wiki/Construction_des_nombres_rationnels" title="Construction des nombres rationnels">rationnels, qu'il est facile de construire algébriquement</a> à partir des entiers — la notion de nombre réel est encore mal définie au début de la seconde moitié du <abbr class="abbr" title="19ᵉ siècle">XIXe</abbr> siècle. L'une des premières tentatives en ce sens remonte aux travaux de <a href="/wiki/Bernard_Bolzano" title="Bernard Bolzano">Bernard Bolzano</a> dans la première moitié du <abbr class="abbr" title="19ᵉ siècle">XIXe</abbr> siècle, mais ces travaux sont peu diffusés et n'influencent guère les constructions ultérieures<a href="#cite_note-Boniface-43">[34]</a>. <a href="/wiki/Karl_Weierstrass" title="Karl Weierstrass">Karl Weierstrass</a> travaille également sur la formalisation des nombres réels comme limites de rationnels, mais il ne publie rien à ce sujet et cette partie de son œuvre n'est connue que par les notes prises par son étudiant <a href="/wiki/Adolf_Hurwitz" title="Adolf Hurwitz">Adolf Hurwitz</a> ayant suivi ses cours ; notes qui ne sont cependant pas publiées avant les années 1880<a href="#cite_note-Boniface-43">[34]</a>. Deux types de <a href="/wiki/Construction_des_nombres_r%C3%A9els" title="Construction des nombres réels">construction rigoureuse des nombres réels</a> ont été présentées dans les années 1870 : <ul><li><a href="/wiki/Charles_M%C3%A9ray" title="Charles Méray">Méray</a>, puis <a href="/wiki/Georg_Cantor" title="Georg Cantor">Cantor</a> et <a href="/wiki/Eduard_Heine" title="Eduard Heine">Heine</a> après lui, fondent leur construction sur des propriétés <a href="/wiki/Analyse_(math%C3%A9matique)" class="mw-redirect" title="Analyse (mathématique)">analytiques</a> des suites de rationnels<a href="#cite_note-Boniface-43">[34]</a> ; les nombres réels y sont les <a href="/wiki/Classe_d%27%C3%A9quivalence" class="mw-redirect" title="Classe d'équivalence">classes d'équivalence</a> des <a href="/wiki/Suite_de_Cauchy" title="Suite de Cauchy">suites de Cauchy</a> de rationnels par la <a href="/wiki/Relation_d%27%C3%A9quivalence" title="Relation d'équivalence">relation d'équivalence</a> telle que deux suites sont en relation si et seulement si leur différence <a href="/wiki/Limite_d%27une_suite" title="Limite d'une suite">tend vers</a> 0. Cette approche revient intuitivement à définir les réels comme les <a href="/wiki/Limite_(math%C3%A9matiques)" title="Limite (mathématiques)">limites</a> de suites de Cauchy rationnelles. On construit ainsi <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {R} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {R} }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/786849c765da7a84dbc3cce43e96aad58a5868dc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.678ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {R} }"> comme un <a href="/wiki/Espace_complet" title="Espace complet">espace complet</a> ;</li> <li>l'approche de <a href="/wiki/Richard_Dedekind" title="Richard Dedekind">Dedekind</a>, poursuivie par <a href="/wiki/Jules_Tannery" title="Jules Tannery">Tannery</a> et <a href="/wiki/Leopold_Kronecker" title="Leopold Kronecker">Kronecker</a><a href="#cite_note-44">[35]</a>, se fonde elle aussi sur la <a href="/wiki/Th%C3%A9orie_des_ensembles" title="Théorie des ensembles">théorie des ensembles</a>. Un réel y est défini comme une <a href="/wiki/Coupure_de_Dedekind" title="Coupure de Dedekind">coupure de Dedekind</a>, correspondant intuitivement à l'ensemble des rationnels qui le <a href="/wiki/Majorant_ou_minorant" title="Majorant ou minorant">minorent</a> strictement : ainsi, √2 correspond à l'ensemble des rationnels négatifs ou de carré inférieur à 2.</li></ul> Ces deux approches sont équivalentes<a href="#cite_note-45">[N 10]</a>. <div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Étude_de_sous-ensembles_particuliers_d'irrationnels">Étude de sous-ensembles particuliers d'irrationnels</h4>[<a href="/w/index.php?title=Nombre_irrationnel&veaction=edit&section=14" title="Modifier la section : Étude de sous-ensembles particuliers d'irrationnels" class="mw-editsection-visualeditor">modifier</a> | <a href="/w/index.php?title=Nombre_irrationnel&action=edit&section=14" title="Modifier le code source de la section : Étude de sous-ensembles particuliers d'irrationnels">modifier le code</a>]</div> Plusieurs sous-ensembles particuliers de nombres irrationnels sont étudiés durant les <abbr class="abbr" title="19ᵉ siècle">XIXe</abbr> et <abbr class="abbr" title="20ᵉ siècle">XXe</abbr> siècles. Il était connu depuis l'Antiquité que certains nombres irrationnels tels que √2 sont <a href="/wiki/Nombre_constructible" title="Nombre constructible">constructibles</a>, mais ce n'est qu'au <abbr class="abbr" title="19ᵉ siècle">XIXe</abbr> siècle que <a href="/wiki/Pierre-Laurent_Wantzel" title="Pierre-Laurent Wantzel">Wantzel</a> caractérise l'ensemble des nombres constructibles<a href="#cite_note-TheoWantzel-46">[N 11]</a>, qui est le plus petit <a href="/wiki/Corps_(math%C3%A9matiques)" title="Corps (mathématiques)">corps</a> stable par la racine carrée contenant <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {Q} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">Q</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {Q} }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5909f0b54e4718fa24d5fd34d54189d24a66e9a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.808ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {Q} }">. Cela permet de montrer<a href="#cite_note-TheoWantzel-46">[N 11]</a> que les <a href="/wiki/Trois_grands_probl%C3%A8mes_de_l%27Antiquit%C3%A9" title="Trois grands problèmes de l'Antiquité">problèmes antiques</a> de <a href="/wiki/Trisection_de_l%27angle" title="Trisection de l'angle">trisection de l'angle</a> et de <a href="/wiki/Duplication_du_cube" title="Duplication du cube">duplication du cube</a> sont impossibles <a href="/wiki/Construction_%C3%A0_la_r%C3%A8gle_et_au_compas" title="Construction à la règle et au compas">à l'aide de la règle et du compas seuls</a>. À la même période sont aussi étudiés les <a href="/wiki/Nombre_transcendant" title="Nombre transcendant">nombres transcendants</a>, dont les premiers exemples sont exhibés par <a href="/wiki/Joseph_Liouville" title="Joseph Liouville">Liouville</a> en 1844<a href="#cite_note-47">[N 12]</a>,<a href="#cite_note-Liouville-48">[N 13]</a>. <a href="/wiki/Charles_Hermite" title="Charles Hermite">Hermite</a> montre en 1873 la transcendance de e<a href="#cite_note-transcendencePi+e-49">[N 14]</a> et en 1882, <a href="/wiki/Ferdinand_von_Lindemann" title="Ferdinand von Lindemann">Lindemann</a> montre celle de π<a href="#cite_note-transcendencePi+e-49">[N 14]</a>. Ce dernier résultat permet de répondre par la négative<a href="#cite_note-TheoWantzel-46">[N 11]</a> au problème de la <a href="/wiki/Quadrature_du_cercle" title="Quadrature du cercle">quadrature du cercle</a>, qui était ouvert depuis l'<a href="/wiki/Math%C3%A9matiques_de_la_Gr%C3%A8ce_antique" title="Mathématiques de la Grèce antique">Antiquité grecque</a>. Les nombres transcendants sont par ailleurs l'objet du <a href="/wiki/Septi%C3%A8me_probl%C3%A8me_de_Hilbert" title="Septième problème de Hilbert">septième problème de Hilbert</a>, qui demande si le nombre ab est transcendant dès que a est algébrique et différent de 0 ou 1 et que b est algébrique et irrationnel. La réponse, affirmative, est apportée en 1934 par le <a href="/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Gelfond-Schneider" title="Théorème de Gelfond-Schneider">théorème de Gelfond-Schneider</a>. Le <abbr class="abbr" title="20ᵉ siècle">XXe</abbr> siècle voit également l'étude des <a href="/wiki/Nombre_univers" title="Nombre univers">nombres univers</a> qui contiennent l'ensemble des séquences de chiffres possibles dans leur développement décimal, ainsi que des <a href="/wiki/Nombre_normal" title="Nombre normal">nombres normaux</a> qui sont des nombres univers particuliers dans le développement décimal desquels toutes les séquences de chiffres d'une longueur donnée sont <a href="/wiki/%C3%89quiprobabilit%C3%A9" title="Équiprobabilité">équiprobables</a>. Bien que <a href="/wiki/%C3%89mile_Borel" title="Émile Borel">Borel</a> ait prouvé en 1909 que <a href="/wiki/Presque_tous" title="Presque tous">presque tous</a> les nombres irrationnels sont normaux en toute base<a href="#cite_note-normal-50">[N 15]</a>, on connaît peu de nombres normaux. Parmi ceux dont la normalité a été établie au moins pour la base 10, on peut citer la <a href="/wiki/Constante_de_Champernowne" title="Constante de Champernowne">constante de Champernowne</a> (qui est même transcendante), ou <a href="/wiki/Constante_de_Copeland-Erd%C5%91s" title="Constante de Copeland-Erdős">celle de Copeland-Erdős</a>. De plus il est conjecturé que les nombres √2 (et même tous les nombres algébriques irrationnels<a href="#cite_note-BaileyCrandall-51">[36]</a>), π et e sont normaux mais bien que cela semble vrai expérimentalement<a href="#cite_note-BaileyCrandall-51">[36]</a>, cela n'a pu être démontré pour aucun de ces exemples. Le développement de l'informatique théorique dans les <a href="/wiki/Ann%C3%A9es_1930" title="Années 1930">années 1930</a> a, parallèlement à cela, mené à l'étude des <a href="/wiki/Nombre_r%C3%A9el_calculable" title="Nombre réel calculable">nombres calculables</a>, c'est-à-dire pour lesquels il existe une <a href="/wiki/Machine_de_Turing" title="Machine de Turing">machine de Turing</a> capable d'en énumérer les décimales ainsi que de quantifier l'erreur d'approximation. L'ensemble des réels calculables contient l'<a href="/wiki/Alg%C3%A8bre_des_p%C3%A9riodes" title="Algèbre des périodes">algèbre des périodes</a>, donc tous les nombres algébriques et π, et il est <a href="/wiki/Nombre_r%C3%A9el_calculable#Construction_de_nombres_calculables" title="Nombre réel calculable">stable par l'exponentielle</a>. En particulier, tous les nombres non calculables sont transcendants et a fortiori irrationnels. Bien que l'ensemble des réels non calculables soit <a href="/wiki/Cod%C3%A9nombrabilit%C3%A9" title="Codénombrabilité">codénombrable</a>, on connait peu de nombres qui en fassent partie. Parmi ceux-ci on trouve par exemple toute limite d'une <a href="/wiki/Suite_de_Specker" title="Suite de Specker">suite de Specker</a>, dont la définition est liée au <a href="/wiki/Probl%C3%A8me_de_l%27arr%C3%AAt" title="Problème de l'arrêt">problème de l'arrêt</a>. <div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Informatique_et_calcul_numérique">Informatique et calcul numérique</h4>[<a href="/w/index.php?title=Nombre_irrationnel&veaction=edit&section=15" title="Modifier la section : Informatique et calcul numérique" class="mw-editsection-visualeditor">modifier</a> | <a href="/w/index.php?title=Nombre_irrationnel&action=edit&section=15" title="Modifier le code source de la section : Informatique et calcul numérique">modifier le code</a>]</div> <figure class="mw-halign-right" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Fichier:William_Shanks_PI.png" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/ec/William_Shanks_PI.png/445px-William_Shanks_PI.png" decoding="async" width="445" height="88" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/ec/William_Shanks_PI.png/668px-William_Shanks_PI.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/ec/William_Shanks_PI.png/890px-William_Shanks_PI.png 2x" data-file-width="1079" data-file-height="214" /></a><figcaption>Première approximation de π calculée par <a href="/wiki/William_Shanks_(math%C3%A9maticien)" title="William Shanks (mathématicien)">William Shanks</a> en 1853, incluant les décimales incorrectes.</figcaption></figure> <figure class="mw-default-size" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Fichier:Record_pi_approximations_fr.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/92/Record_pi_approximations_fr.svg/440px-Record_pi_approximations_fr.svg.png" decoding="async" width="440" height="227" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/92/Record_pi_approximations_fr.svg/660px-Record_pi_approximations_fr.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/92/Record_pi_approximations_fr.svg/880px-Record_pi_approximations_fr.svg.png 2x" data-file-width="1024" data-file-height="528" /></a><figcaption>Graphique montrant l'évolution historique de la précision record des approximations numériques de π, mesurée en décimales (représentée sur une <a href="/wiki/%C3%89chelle_logarithmique" title="Échelle logarithmique">échelle logarithmique</a>).</figcaption></figure> Avant l'essor de l'informatique à la fin des <a href="/wiki/Ann%C3%A9es_1940" title="Années 1940">années 1940</a>, il était extrêmement laborieux de calculer effectivement plus de quelques centaines de décimales d'un nombre irrationnel donné. En 1940, on ne connaissait par exemple que 527 décimales exactes de π, grâce au travail de <a href="/wiki/William_Shanks_(math%C3%A9maticien)" title="William Shanks (mathématicien)">William Shanks</a> publié en <a href="/wiki/1873_en_science" title="1873 en science">1873</a><a href="#cite_note-PoursuitePi-52">[37]</a>,<a href="#cite_note-53">[N 16]</a>. En <a href="/wiki/1949_en_science" title="1949 en science">1949</a>, l'ordinateur <a href="/wiki/Electronic_Numerical_Integrator_and_Computer" class="mw-redirect" title="Electronic Numerical Integrator and Computer">ENIAC</a> en donne 2 037 en 70 <abbr class="abbr" title="heure">h</abbr>, en utilisant la formule de Machin<a href="#cite_note-PoursuitePi-52">[37]</a>. Des algorithmes génériques sont développés, comme la <a href="/wiki/Transform%C3%A9e_de_Fourier_rapide" class="mw-redirect" title="Transformée de Fourier rapide">transformée de Fourier rapide</a> qui accélère le <a href="/wiki/Algorithme_de_multiplication" class="mw-redirect" title="Algorithme de multiplication">calcul des multiplications</a><a href="#cite_note-PoursuitePi-52">[37]</a>. Dans le même temps, la puissance de calcul des ordinateurs <a href="/wiki/Loi_de_Moore" title="Loi de Moore">augmente de manière exponentielle</a>. Ainsi en 1978, on connaissait déjà 116 000 décimales de e<a href="#cite_note-wozniak198106-54">[38]</a> et en 2000, plus de 1012 décimales de π<a href="#cite_note-PoursuitePi-52">[37]</a> et plus d'un million de décimales de la <a href="/wiki/Constante_d%27Euler-Mascheroni" title="Constante d'Euler-Mascheroni">constante γ d'Euler</a><a href="#cite_note-55">[39]</a> étaient calculées<a href="#cite_note-gamma-35">[N 6]</a>. Des algorithmes spécifiques sont également conçus pour le calcul de certains nombres en particulier. Dans le cas de π, les premiers algorithmes utilisant des formules proches de la formule de Machin sont ainsi abandonnés au profit d'autres formules plus efficaces, comme celle obtenue par <a href="/wiki/Srinivasa_Ramanujan" title="Srinivasa Ramanujan">Ramanujan</a> en <a href="/wiki/1914_en_science" title="1914 en science">1914</a><a href="#cite_note-PoursuitePi-52">[37]</a> : <center><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {1}{\pi }}={\frac {2{\sqrt {2}}}{9801}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(4k)!(1103+26390k)}{(k!)^{4}396^{4k}}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mi>π</mi> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mn>2</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mn>2</mn> </msqrt> </mrow> </mrow> <mn>9801</mn> </mfrac> </mrow> <munderover> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">∞</mi> </mrow> </munderover> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>4</mn> <mi>k</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>!</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>1103</mn> <mo>+</mo> <mn>26390</mn> <mi>k</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>k</mi> <mo>!</mo> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>4</mn> </mrow> </msup> <msup> <mn>396</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>4</mn> <mi>k</mi> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {1}{\pi }}={\frac {2{\sqrt {2}}}{9801}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(4k)!(1103+26390k)}{(k!)^{4}396^{4k}}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/776090fb01b361c6db0c8e97f61d8ca9911e435e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:36.871ex; height:7.176ex;" alt="{\displaystyle {\frac {1}{\pi }}={\frac {2{\sqrt {2}}}{9801}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(4k)!(1103+26390k)}{(k!)^{4}396^{4k}}}}">.</center> Les premiers calculs d'approximations de nombres irrationnels donnaient toutes les décimales de la première jusqu'à une borne plus ou moins élevée, mais on ne savait pas calculer une décimale donnée sans connaître celles qui la précèdent<a href="#cite_note-PoursuitePi-52">[37]</a>. En <a href="/wiki/1995_en_science" title="1995 en science">1995</a>, les mathématiciens <a href="/wiki/Simon_Plouffe" title="Simon Plouffe">Simon Plouffe</a>, <a href="/wiki/David_H._Bailey" title="David H. Bailey">David H. Bailey</a> et <a href="/wiki/Peter_Borwein" title="Peter Borwein">Peter Borwein</a> découvrent la <a href="/wiki/Formule_BBP" title="Formule BBP">formule BBP</a>, qui permet de calculer tout chiffre du développement de π en <a href="/wiki/Syst%C3%A8me_hexad%C3%A9cimal" title="Système hexadécimal">base 16</a> sans avoir à déterminer ceux qui précèdent<a href="#cite_note-PoursuitePi-52">[37]</a>,<a href="#cite_note-56">[N 17]</a>. Avant de découvrir cette formule, ils avaient déjà établi qu'il est possible de calculer séparément tout chiffre du <a href="/wiki/Syst%C3%A8me_binaire" title="Système binaire">développement binaire</a> du <a href="/wiki/Logarithme_naturel" class="mw-redirect" title="Logarithme naturel">logarithme</a> de 2 grâce à l'égalité<a href="#cite_note-PoursuitePi-52">[37]</a> : <center><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ln 2=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n2^{n}}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>ln</mi> <mo>⁡</mo> <mn>2</mn> <mo>=</mo> <munderover> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">∞</mi> </mrow> </munderover> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mi>n</mi> <msup> <mn>2</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ln 2=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n2^{n}}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97ac5109db47130372e366155e40a6f85028ba2b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:14.941ex; height:6.843ex;" alt="{\displaystyle \ln 2=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n2^{n}}}}">.</center> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Propriétés_des_nombres_irrationnels">Propriétés des nombres irrationnels</h2>[<a href="/w/index.php?title=Nombre_irrationnel&veaction=edit&section=16" title="Modifier la section : Propriétés des nombres irrationnels" class="mw-editsection-visualeditor">modifier</a> | <a href="/w/index.php?title=Nombre_irrationnel&action=edit&section=16" title="Modifier le code source de la section : Propriétés des nombres irrationnels">modifier le code</a>]</div> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Développement_décimal">Développement décimal</h3>[<a href="/w/index.php?title=Nombre_irrationnel&veaction=edit&section=17" title="Modifier la section : Développement décimal" class="mw-editsection-visualeditor">modifier</a> | <a href="/w/index.php?title=Nombre_irrationnel&action=edit&section=17" title="Modifier le code source de la section : Développement décimal">modifier le code</a>]</div> <div class="bandeau-container bandeau-section metadata bandeau-niveau-information"><div class="bandeau-cell bandeau-icone-css loupe">Article détaillé : <a href="/wiki/D%C3%A9veloppement_d%C3%A9cimal_p%C3%A9riodique#Développement_périodique_et_nombre_rationnel" title="Développement décimal périodique">Développement décimal périodique et nombre rationnel</a>.</div></div> La caractérisation des irrationnels peut s'effectuer via leur développement décimal, grâce au théorème suivant<a href="#cite_note-HardyWright9-57">[40]</a>, démontré dans l'article détaillé : <div class="theoreme" style="margin: 1em 2em; padding: 0.5em 1em 0.4em; border: 1px solid #aaa; text-align: justify; display:table"> Théorème — Un nombre réel est irrationnel <a href="/wiki/%C3%89quivalence_logique" title="Équivalence logique">si et seulement si</a> son <a href="/wiki/D%C3%A9veloppement_d%C3%A9cimal" title="Développement décimal">développement décimal</a> propre n'est pas périodique<a href="#cite_note-Per-1">[N 1]</a>. </div> On démontre de même la caractérisation analogue via le développement dans n'importe quelle <a href="/wiki/Base_(arithm%C3%A9tique)" title="Base (arithmétique)">base</a> (entière et supérieure ou égale à 2). Ainsi le calcul du développement d'un nombre rationnel est aisé puisqu'il n'y a qu'un nombre limité de chiffres à calculer pour le caractériser complètement, tandis que le calcul des développements de nombres irrationnels nécessite généralement la mise en œuvre de techniques mathématiques d'autant plus avancées que la précision souhaitée est élevée (<a href="#Informatique_et_calcul_numérique">voir supra</a>). <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Développement_en_fraction_continue">Développement en fraction continue</h3>[<a href="/w/index.php?title=Nombre_irrationnel&veaction=edit&section=18" title="Modifier la section : Développement en fraction continue" class="mw-editsection-visualeditor">modifier</a> | <a href="/w/index.php?title=Nombre_irrationnel&action=edit&section=18" title="Modifier le code source de la section : Développement en fraction continue">modifier le code</a>]</div> <div class="bandeau-container bandeau-section metadata bandeau-niveau-information"><div class="bandeau-cell bandeau-icone-css loupe">Articles détaillés : <a href="/wiki/Fraction_continue" title="Fraction continue">Fraction continue</a> et <a href="/wiki/Table_de_constantes_math%C3%A9matiques" title="Table de constantes mathématiques">Table de constantes mathématiques</a>.</div></div> Les fractions continues permettent entre autres de caractériser l'irrationalité, d'identifier des types particuliers d'irrationnels, et de fournir de bonnes approximations des irrationnels par des rationnels. <div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Caractérisation_de_l'irrationalité_à_l'aide_du_développement_en_fraction_continue">Caractérisation de l'irrationalité à l'aide du développement en fraction continue</h4>[<a href="/w/index.php?title=Nombre_irrationnel&veaction=edit&section=19" title="Modifier la section : Caractérisation de l'irrationalité à l'aide du développement en fraction continue" class="mw-editsection-visualeditor">modifier</a> | <a href="/w/index.php?title=Nombre_irrationnel&action=edit&section=19" title="Modifier le code source de la section : Caractérisation de l'irrationalité à l'aide du développement en fraction continue">modifier le code</a>]</div> Pour tout nombre réel <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}">, le caractère fini ou infini de son développement en fraction continue peut être lié à son caractère rationnel ou irrationnel. Plus précisément<a href="#cite_note-HardyWright10-58">[41]</a> : <div class="theoreme" style="margin: 1em 2em; padding: 0.5em 1em 0.4em; border: 1px solid #aaa; text-align: justify; display:table"> Théorème —  <ul><li>Tout nombre rationnel peut être représenté par une fraction continue simple finie.</li> <li>Toute fraction continue simple infinie converge vers un nombre irrationnel et tout nombre irrationnel peut être représenté de manière unique par une fraction continue simple infinie.</li></ul> </div> <div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Cas_des_irrationnels_quadratiques">Cas des irrationnels quadratiques</h4>[<a href="/w/index.php?title=Nombre_irrationnel&veaction=edit&section=20" title="Modifier la section : Cas des irrationnels quadratiques" class="mw-editsection-visualeditor">modifier</a> | <a href="/w/index.php?title=Nombre_irrationnel&action=edit&section=20" title="Modifier le code source de la section : Cas des irrationnels quadratiques">modifier le code</a>]</div> <div class="bandeau-container bandeau-section metadata bandeau-niveau-information"><div class="bandeau-cell bandeau-icone-css loupe">Article détaillé : <a href="/wiki/Fraction_continue_d%27un_irrationnel_quadratique" title="Fraction continue d'un irrationnel quadratique">Fraction continue d'un irrationnel quadratique</a>.</div></div> Un irrationnel est dit <a href="/wiki/Irrationnel_quadratique" title="Irrationnel quadratique">quadratique</a> s'il est solution d'une <a href="/wiki/%C3%89quation_du_second_degr%C3%A9" title="Équation du second degré">équation du second degré</a> à coefficients entiers. <div class="theoreme" style="margin: 1em 2em; padding: 0.5em 1em 0.4em; border: 1px solid #aaa; text-align: justify; display:table"> Théorème de <a href="/wiki/Joseph-Louis_Lagrange" title="Joseph-Louis Lagrange">Lagrange</a><a href="#cite_note-59">[N 18]</a> — Un irrationnel est quadratique si et seulement si son développement en fraction continue est périodique<a href="#cite_note-Per-1">[N 1]</a>. </div> <div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Application_à_l'approximation_des_irrationnels">Application à l'approximation des irrationnels</h4>[<a href="/w/index.php?title=Nombre_irrationnel&veaction=edit&section=21" title="Modifier la section : Application à l'approximation des irrationnels" class="mw-editsection-visualeditor">modifier</a> | <a href="/w/index.php?title=Nombre_irrationnel&action=edit&section=21" title="Modifier le code source de la section : Application à l'approximation des irrationnels">modifier le code</a>]</div> La <a href="/wiki/Suite_(math%C3%A9matiques)" title="Suite (mathématiques)">suite</a> des <a href="/wiki/Fraction_continue#Réduites_d'une_fraction_continue" title="Fraction continue">réduites</a> du développement en fraction continue d'un irrationnel <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}"> <a href="/wiki/Suite_convergente" class="mw-redirect" title="Suite convergente">converge</a> vers <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}"> « rapidement » : toute réduite <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p/q}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>p</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <mi>q</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p/q}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8fa5bd4cf049744deac0ac4a04c07998bd6befa9" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; margin-left: -0.089ex; width:3.491ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle p/q}"> du développement vérifie <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \left|x-p/q\right|<1/q^{2}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow> <mo>|</mo> <mrow> <mi>x</mi> <mo>−</mo> <mi>p</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <mi>q</mi> </mrow> <mo>|</mo> </mrow> <mo><</mo> <mn>1</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <msup> <mi>q</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \left|x-p/q\right|<1/q^{2}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/247bfb25516e1a59359fd6c4135e5a1b36e9d82a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:16.422ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle \left|x-p/q\right|<1/q^{2}}"><a href="#cite_note-HardyWright10-58">[41]</a>. Par exemple, le début du <a href="/wiki/Pi#Fractions_continues" title="Pi">développement en fraction continue de π</a> est [3, 7, 15, 1, 292, …]. À partir de ce début de développement, on trouve comme <a href="/wiki/Pi#Approximations_numériques" title="Pi">approximation de π</a> : <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \pi \approx {\frac {103\;993}{33\;102}}\approx 3{,}14159265301}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>π</mi> <mo>≈</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mn>103</mn> <mspace width="thickmathspace" /> <mn>993</mn> </mrow> <mrow> <mn>33</mn> <mspace width="thickmathspace" /> <mn>102</mn> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>≈</mo> <mn>3,141</mn> <mn>59265301</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \pi \approx {\frac {103\;993}{33\;102}}\approx 3{,}14159265301}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb8f330b7feb9996c3606236bfc1f5886b7841d2" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:30.581ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle \pi \approx {\frac {103\;993}{33\;102}}\approx 3{,}14159265301}"> avec une erreur inférieure à <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {1}{33\;102^{2}}}<10^{-9}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mn>33</mn> <mspace width="thickmathspace" /> <msup> <mn>102</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo><</mo> <msup> <mn>10</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mn>9</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {1}{33\;102^{2}}}<10^{-9}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/56fe092cdfb80e0caf5c9f8afcf4c04f47b0d5e9" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:16.104ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle {\frac {1}{33\;102^{2}}}<10^{-9}}">, c'est-à-dire que l'on a au moins 9 décimales exactes. Il est possible de comparer la précision obtenue en approchant un irrationnel par les premiers termes de son développement en fraction continue ou par les premiers chiffres de son développement décimal. En effet pour <a href="/wiki/Presque_tout" class="mw-redirect" title="Presque tout">presque tout</a> irrationnel <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}">, le <a href="/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Lochs" title="Théorème de Lochs">théorème de Lochs</a> affirme que les <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle m}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>m</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle m}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a07d98bb302f3856cbabc47b2b9016692e3f7bc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.04ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle m}"> premiers entiers du développement en fraction continue de <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}"> donnent asymptotiquement <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {\pi ^{2}}{6\ln 2\ln 10}}m\approx 1{,}03064083m}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msup> <mi>π</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mrow> <mn>6</mn> <mi>ln</mi> <mo>⁡</mo> <mn>2</mn> <mi>ln</mi> <mo>⁡</mo> <mn>10</mn> </mrow> </mfrac> </mrow> <mi>m</mi> <mo>≈</mo> <mn>1,030</mn> <mn>64083</mn> <mi>m</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {\pi ^{2}}{6\ln 2\ln 10}}m\approx 1{,}03064083m}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf1031e56c5e234d14bf78fafca009a779573eb8" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:29.201ex; height:5.843ex;" alt="{\displaystyle {\frac {\pi ^{2}}{6\ln 2\ln 10}}m\approx 1{,}03064083m}"> décimales exactes. <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Mesure_d'irrationalité">Mesure d'irrationalité</h3>[<a href="/w/index.php?title=Nombre_irrationnel&veaction=edit&section=22" title="Modifier la section : Mesure d'irrationalité" class="mw-editsection-visualeditor">modifier</a> | <a href="/w/index.php?title=Nombre_irrationnel&action=edit&section=22" title="Modifier le code source de la section : Mesure d'irrationalité">modifier le code</a>]</div> <div class="bandeau-container bandeau-section metadata bandeau-niveau-information"><div class="bandeau-cell bandeau-icone-css loupe">Article détaillé : <a href="/wiki/Mesure_d%27irrationalit%C3%A9" class="mw-redirect" title="Mesure d'irrationalité">Mesure d'irrationalité</a>.</div></div> <div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Caractérisation_des_irrationnels">Caractérisation des irrationnels</h4>[<a href="/w/index.php?title=Nombre_irrationnel&veaction=edit&section=23" title="Modifier la section : Caractérisation des irrationnels" class="mw-editsection-visualeditor">modifier</a> | <a href="/w/index.php?title=Nombre_irrationnel&action=edit&section=23" title="Modifier le code source de la section : Caractérisation des irrationnels">modifier le code</a>]</div> L'ensemble des nombres rationnels est <a href="/wiki/Partie_dense" title="Partie dense">dense</a> dans celui des réels. Par conséquent, pour tout nombre réel <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}">, rationnel ou irrationnel, il existe une suite de nombres rationnels qui <a href="/wiki/Limite_(math%C3%A9matiques)" title="Limite (mathématiques)">converge</a> vers <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}">. Cependant, tous les réels ne sont pas aussi facilement approchables les uns que les autres. On peut ainsi définir la <a href="/wiki/Mesure_d%27irrationalit%C3%A9" class="mw-redirect" title="Mesure d'irrationalité">mesure d'irrationalité</a> de n'importe quel réel <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}">. Il s'agit de la <a href="/wiki/Borne_sup%C3%A9rieure" class="mw-redirect" title="Borne supérieure">borne supérieure</a> de l'ensemble des réels μ pour lesquels il existe une infinité de couples <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (p,q)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>p</mi> <mo>,</mo> <mi>q</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (p,q)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9769c58523b9b639866a2d48e657d9c26911143a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.082ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (p,q)}"> d'entiers tels que <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle q>0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>q</mi> <mo>></mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle q>0}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/482e0a33d9e8fd6307b5f68a5182c2d0d14efc9c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:5.33ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle q>0}"> et <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 0<\left|x-p/q\right|<1/q^{\mu }}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>0</mn> <mo><</mo> <mrow> <mo>|</mo> <mrow> <mi>x</mi> <mo>−</mo> <mi>p</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <mi>q</mi> </mrow> <mo>|</mo> </mrow> <mo><</mo> <mn>1</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <msup> <mi>q</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>μ</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 0<\left|x-p/q\right|<1/q^{\mu }}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be5ebaedfda32e975beaed0c8461884e8339e26b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:20.852ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle 0<\left|x-p/q\right|<1/q^{\mu }}">. Intuitivement, cela signifie que si un réel <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}"> a une mesure d'irrationalité supérieure à celle d'un réel <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x'}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>x</mi> <mo>′</mo> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x'}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ac74959896052e160a5953102e4bc3850fe93b2" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.014ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle x'}"> alors, à dénominateur égal, il est possible d'approcher <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}"> plus finement que <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x'}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>x</mi> <mo>′</mo> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x'}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ac74959896052e160a5953102e4bc3850fe93b2" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.014ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle x'}"> avec un nombre rationnel. Le théorème suivant permet de différencier un rationnel d'un irrationnel par leur mesure d'irrationalité<a href="#cite_note-HardyWright11-60">[42]</a>,<a href="#cite_note-bugeaud-61">[43]</a> : <div class="theoreme" style="margin: 1em 2em; padding: 0.5em 1em 0.4em; border: 1px solid #aaa; text-align: justify; display:table"> Théorème —  <ul><li>La mesure d'irrationalité de tout nombre rationnel est égale à 1.</li> <li>La mesure d'irrationalité de tout nombre irrationnel est supérieure ou égale à 2<a href="#cite_note-62">[N 19]</a>.</li></ul> </div> On peut renforcer le second point du théorème : si un réel <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}"> est irrationnel, l'existence d'une infinité de couples <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (p,q)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>p</mi> <mo>,</mo> <mi>q</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (p,q)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9769c58523b9b639866a2d48e657d9c26911143a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.082ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (p,q)}"> d'entiers tels que <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle q>0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>q</mi> <mo>></mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle q>0}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/482e0a33d9e8fd6307b5f68a5182c2d0d14efc9c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:5.33ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle q>0}"> et <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \left|x-p/q\right|<1/q^{\mu }}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow> <mo>|</mo> <mrow> <mi>x</mi> <mo>−</mo> <mi>p</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <mi>q</mi> </mrow> <mo>|</mo> </mrow> <mo><</mo> <mn>1</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <msup> <mi>q</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>μ</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \left|x-p/q\right|<1/q^{\mu }}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8777f8d7bbf4cc851535b4f9436c6d4803406d6" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:16.591ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \left|x-p/q\right|<1/q^{\mu }}"> est garantie non seulement pour tout <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mu <2}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>μ</mi> <mo><</mo> <mn>2</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mu <2}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/46a0e073f35ff45063941232305fff86b9b0d018" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.663ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \mu <2}">, mais même pour <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mu =2}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>μ</mi> <mo>=</mo> <mn>2</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mu =2}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/241e09002a80d79a352acf0f9d0c5c008e77d0c6" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.663ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \mu =2}">. Cela se déduit par exemple de l'approximation d'un irrationnel par la suite infinie des réduites de sa fraction continue (<a href="#Approximation_d'un_irrationnel_par_une_fraction_continue">voir supra</a>), ou <a href="/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_d%27approximation_de_Dirichlet#Utilisations" title="Théorème d'approximation de Dirichlet">du théorème d'approximation de Dirichlet</a>. Ces théorèmes servent de base à divers résultats permettant de montrer, sous certaines hypothèses, l'irrationalité de la somme d'une <a href="/wiki/S%C3%A9rie_(math%C3%A9matiques)" title="Série (mathématiques)">série</a> dont le terme général est rationnel et qui <a href="/wiki/Vitesse_de_convergence" title="Vitesse de convergence">converge suffisamment rapidement</a><a href="#cite_note-63">[44]</a>. <div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Valeurs_particulières_de_mesure_d'irrationalité">Valeurs particulières de mesure d'irrationalité</h4>[<a href="/w/index.php?title=Nombre_irrationnel&veaction=edit&section=24" title="Modifier la section : Valeurs particulières de mesure d'irrationalité" class="mw-editsection-visualeditor">modifier</a> | <a href="/w/index.php?title=Nombre_irrationnel&action=edit&section=24" title="Modifier le code source de la section : Valeurs particulières de mesure d'irrationalité">modifier le code</a>]</div> Tout irrationnel <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}"> a une mesure <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mu (x)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>μ</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mu (x)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f339251a09ebf15dd50bb751d27b02820f68c545" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.541ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \mu (x)}"> supérieure ou égale à 2 ; elle vaut même exactement 2 pour <a href="/wiki/Presque_tout" class="mw-redirect" title="Presque tout">presque tout</a> réel<a href="#cite_note-Liouville-48">[N 13]</a>. Il n'est cependant pas toujours aisé de la calculer précisément. Elle est tout de même parfois connue ou au moins estimée : <ul><li>pour tout nombre irrationnel algébrique <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \alpha }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>α</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \alpha }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b79333175c8b3f0840bfb4ec41b8072c83ea88d3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.488ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \alpha }">, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mu (\alpha )}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>μ</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>α</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mu (\alpha )}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f5977261d4b531a9a36440127fdbed92245d767" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.699ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \mu (\alpha )}"> est fini d'après le <a href="/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Liouville_(approximation_diophantienne)" title="Théorème de Liouville (approximation diophantienne)">théorème de Liouville</a>, et même égal à <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 2}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>2</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 2}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/901fc910c19990d0dbaaefe4726ceb1a4e217a0f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.162ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 2}"> d'après le <a href="/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Roth" title="Théorème de Roth">théorème de Roth</a> ;</li> <li>les <a href="/wiki/Nombre_de_Liouville" title="Nombre de Liouville">nombres de Liouville</a>, de mesure infinie par définition, sont les <a href="#Étude_de_sous-ensembles_particuliers_d'irrationnels">premiers nombres transcendants à avoir été exhibés</a> ;</li> <li><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mu (\mathrm {e} )=2}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>μ</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">e</mi> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mn>2</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mu (\mathrm {e} )=2}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/556bace120a620285f26f160c97dc848cc7312ab" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.504ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \mu (\mathrm {e} )=2}"> ;</li> <li><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 2\leq \mu (\pi )<7{,}11}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>2</mn> <mo>≤</mo> <mi>μ</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>π</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo><</mo> <mn>7</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>,</mo> </mrow> <mn>11</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 2\leq \mu (\pi )<7{,}11}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b12f5e36e90e7ba104c840487b99b97e2ebc715d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:16.037ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle 2\leq \mu (\pi )<7{,}11}"><a href="#cite_note-zeilberger-64">[45]</a>;</li> <li><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 2\leq \mu \left(\zeta (3)\right)<5{,}52}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>2</mn> <mo>≤</mo> <mi>μ</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>ζ</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>3</mn> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo><</mo> <mn>5</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>,</mo> </mrow> <mn>52</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 2\leq \mu \left(\zeta (3)\right)<5{,}52}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3c25c216645ff12869076adcef1e5c94cfcb644" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:19.159ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle 2\leq \mu \left(\zeta (3)\right)<5{,}52}"><a href="#cite_note-65">[46]</a>, où <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \zeta (3)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>ζ</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>3</mn> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \zeta (3)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3088978098c7b90b2754a9d9b0b994d873e1755c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.067ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \zeta (3)}"> désigne la constante d'Apéry (<a href="#Irrationalité_de_la_constante_d'Apéry">voir infra</a>).</li> <li><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mu \left(C_{10}\right)=10}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>μ</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>C</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>10</mn> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mn>10</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mu \left(C_{10}\right)=10}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aee4658fd753ee40a7de32510f403260135bbcce" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.559ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \mu \left(C_{10}\right)=10}"><a href="#cite_note-66">[47]</a>,<a href="#cite_note-67">[N 20]</a> où <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle C_{10}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>C</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>10</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle C_{10}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f0bd8c553212621651cc076b2b7043b87bb2182" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.538ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle C_{10}}"> désigne la <a href="/wiki/Constante_de_Champernowne" title="Constante de Champernowne">constante de Champernowne</a> (<a href="#Recherche_de_suites_de_zéros_de_longueur_arbitraire_dans_le_développement">voir infra</a>).</li></ul> <div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Exemples_d'applications">Exemples d'applications</h4>[<a href="/w/index.php?title=Nombre_irrationnel&veaction=edit&section=25" title="Modifier la section : Exemples d'applications" class="mw-editsection-visualeditor">modifier</a> | <a href="/w/index.php?title=Nombre_irrationnel&action=edit&section=25" title="Modifier le code source de la section : Exemples d'applications">modifier le code</a>]</div> <ul><li>La mesure d'irrationalité peut être utilisée pour montrer l'irrationalité de certains nombres comme la <a href="/wiki/Constante_d%27Ap%C3%A9ry" title="Constante d'Apéry">constante d'Apéry</a> (<a href="#Irrationalité_de_la_constante_d'Apéry">voir infra</a>) ou de la <a href="/wiki/S%C3%A9rie_convergente" title="Série convergente">somme</a> de la <a href="/wiki/S%C3%A9rie_(math%C3%A9matiques)" title="Série (mathématiques)">série</a> des inverses des <a href="/wiki/Nombre_de_Fibonacci" class="mw-redirect" title="Nombre de Fibonacci">nombres de Fibonacci</a> (<a href="#Séries_d'inverses_d'entiers">voir infra</a>) ;</li> <li>En exploitant le fait que <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \textstyle {\pi }}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>π</mi> </mrow> </mstyle> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \textstyle {\pi }}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c9b6672c281e0fbf7cf2b276a92b936a8ff0d2a6" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.332ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \textstyle {\pi }}"> est irrationnel (<a href="#Irrationalité_de_π">voir infra</a>) et donc a une mesure d'irrationalité supérieure à 2, on peut montrer que le terme général de la série <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \sum _{n\in \mathbb {N^{*}} }{\frac {1}{n^{2}\sin ^{2}n}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <munder> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> <mo>∈</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msup> <mi mathvariant="double-struck">N</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo mathvariant="double-struck">∗</mo> </mrow> </msup> </mrow> </mrow> </munder> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <msup> <mi>n</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <msup> <mi>sin</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>⁡</mo> <mi>n</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sum _{n\in \mathbb {N^{*}} }{\frac {1}{n^{2}\sin ^{2}n}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c56c2b1a41cb2ff54fe8fc900751b6cd55f3e91" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:13.852ex; height:6.509ex;" alt="{\displaystyle \sum _{n\in \mathbb {N^{*}} }{\frac {1}{n^{2}\sin ^{2}n}}}"> ne tend pas vers 0 et donc que celle-ci <a href="/wiki/S%C3%A9rie_divergente" title="Série divergente">diverge</a><a href="#cite_note-68">[48]</a>;</li> <li>La nature, convergente ou divergente, de la série <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \sum _{n\in \mathbb {N^{*}} }{\frac {1}{n^{3}\sin ^{2}n}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <munder> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> <mo>∈</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msup> <mi mathvariant="double-struck">N</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo mathvariant="double-struck">∗</mo> </mrow> </msup> </mrow> </mrow> </munder> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <msup> <mi>n</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msup> <msup> <mi>sin</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>⁡</mo> <mi>n</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sum _{n\in \mathbb {N^{*}} }{\frac {1}{n^{3}\sin ^{2}n}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a6800db6468ccd9d0871f2557e3d55463ca3f28" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:13.852ex; height:6.509ex;" alt="{\displaystyle \sum _{n\in \mathbb {N^{*}} }{\frac {1}{n^{3}\sin ^{2}n}}}"> n'est pas connue en 2023, mais si elle converge cela impliquerait que la mesure d'irrationalité de <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \textstyle {\pi }}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>π</mi> </mrow> </mstyle> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \textstyle {\pi }}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c9b6672c281e0fbf7cf2b276a92b936a8ff0d2a6" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.332ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \textstyle {\pi }}"> est inférieure ou égale à 2,5<a href="#cite_note-69">[49]</a>.</li></ul> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Approximations_simultanées">Approximations simultanées</h3>[<a href="/w/index.php?title=Nombre_irrationnel&veaction=edit&section=26" title="Modifier la section : Approximations simultanées" class="mw-editsection-visualeditor">modifier</a> | <a href="/w/index.php?title=Nombre_irrationnel&action=edit&section=26" title="Modifier le code source de la section : Approximations simultanées">modifier le code</a>]</div> La mesure d'irrationalité de tout nombre irrationnel est supérieure ou égale à 2 (<a href="#Mesure_d'irrationalité">voir supra</a>). Par conséquent si l'on se donne un nombre <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varepsilon >0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>ε</mi> <mo>></mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varepsilon >0}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e04ec3670b50384a3ce48aca42e7cc5131a06b12" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.344ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \varepsilon >0}"> et un nombre irrationnel <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \xi }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>ξ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \xi }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0b461aaf61091abd5d2c808931c48b8ff9647db" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.03ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \xi }">, il est possible de trouver un entier <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle q}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>q</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle q}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06809d64fa7c817ffc7e323f85997f783dbdf71d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.07ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle q}"> tel que le produit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle q\xi }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>q</mi> <mi>ξ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle q\xi }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/453edcfe7a1ca7afd21f8bec22e2c2f7dfc573a0" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.1ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle q\xi }"> soit à une distance inférieure à <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varepsilon }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>ε</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varepsilon }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a30c89172e5b88edbd45d3e2772c7f5e562e5173" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.083ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \varepsilon }"> d'un entier<a href="#cite_note-70">[N 21]</a>. On peut en fait trouver un tel entier <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle q}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>q</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle q}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06809d64fa7c817ffc7e323f85997f783dbdf71d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.07ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle q}"> même si l'on se donne un nombre <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}"> arbitraire d'irrationnels <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \xi _{1},\dots ,\xi _{n}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>ξ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mo>…</mo> <mo>,</mo> <msub> <mi>ξ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \xi _{1},\dots ,\xi _{n}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e692214f7c419206ee963c91caaff29101680db" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:9.488ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \xi _{1},\dots ,\xi _{n}}"> quelconques à approcher d'un entier avec une erreur arbitrairement petite<a href="#cite_note-HardyWright11-60">[42]</a>: <div class="theoreme" style="margin: 1em 2em; padding: 0.5em 1em 0.4em; border: 1px solid #aaa; text-align: justify; display:table"> <a href="/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_d%27approximation_de_Dirichlet" title="Théorème d'approximation de Dirichlet">Théorème d'approximation de Dirichlet</a> — Soit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \xi _{1},\dots ,\xi _{n}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>ξ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mo>…</mo> <mo>,</mo> <msub> <mi>ξ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \xi _{1},\dots ,\xi _{n}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e692214f7c419206ee963c91caaff29101680db" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:9.488ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \xi _{1},\dots ,\xi _{n}}"> des nombres irrationnels et soit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varepsilon >0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>ε</mi> <mo>></mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varepsilon >0}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e04ec3670b50384a3ce48aca42e7cc5131a06b12" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.344ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \varepsilon >0}">. Il existe un entier <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle q}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>q</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle q}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06809d64fa7c817ffc7e323f85997f783dbdf71d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.07ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle q}"> tels que tous les produits <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle q\xi _{1},\dots ,q\xi _{n}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>q</mi> <msub> <mi>ξ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mo>…</mo> <mo>,</mo> <mi>q</mi> <msub> <mi>ξ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle q\xi _{1},\dots ,q\xi _{n}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a5485604bc5f747a605d38bf460834e73a10c743" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:11.627ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle q\xi _{1},\dots ,q\xi _{n}}"> diffèrent d'un entier d'au plus <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varepsilon }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>ε</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varepsilon }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a30c89172e5b88edbd45d3e2772c7f5e562e5173" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.083ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \varepsilon }">. </div> Il est possible, avec quelques restrictions, d'étendre ce résultat à l'approximation de nombres quelconques<a href="#cite_note-HardyWright23-71">[50]</a> : <div class="theoreme" style="margin: 1em 2em; padding: 0.5em 1em 0.4em; border: 1px solid #aaa; text-align: justify; display:table"> <a href="/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Kronecker_(approximation_diophantienne)" title="Théorème de Kronecker (approximation diophantienne)">Théorème de Kronecker</a> — Soit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \alpha _{1},\dots ,\alpha _{k}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>α</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mo>…</mo> <mo>,</mo> <msub> <mi>α</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \alpha _{1},\dots ,\alpha _{k}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c8af71ac1228f8163c12aa85e1dee701c90ebff" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:10.296ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle \alpha _{1},\dots ,\alpha _{k}}"> des nombres quelconques et soit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varepsilon >0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>ε</mi> <mo>></mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varepsilon >0}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e04ec3670b50384a3ce48aca42e7cc5131a06b12" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.344ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \varepsilon >0}"> et <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N\in \mathbb {N} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>N</mi> <mo>∈</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">N</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N\in \mathbb {N} }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b985ba501f78cb9890f3ecda3e2e315cbd5cb26" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.582ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle N\in \mathbb {N} }">. Soit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \theta _{1},\dots ,\theta _{k}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>θ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mo>…</mo> <mo>,</mo> <msub> <mi>θ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \theta _{1},\dots ,\theta _{k}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3e35240a5b8e3162e0f59be27137d957836fcba" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:9.502ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \theta _{1},\dots ,\theta _{k}}"> des nombres irrationnels ℚ-<a href="/wiki/Ind%C3%A9pendance_lin%C3%A9aire" title="Indépendance linéaire">linéairement indépendants</a>. Alors il existe un entier <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n>N}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> <mo>></mo> <mi>N</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n>N}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6592abd10dbd8e25e84efd66c5f4db57d41fe752" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.557ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle n>N}"> tel que pour tout <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle m\in \{1\dots ,k\}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>m</mi> <mo>∈</mo> <mo fence="false" stretchy="false">{</mo> <mn>1</mn> <mo>…</mo> <mo>,</mo> <mi>k</mi> <mo fence="false" stretchy="false">}</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle m\in \{1\dots ,k\}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d15b7830874b706f6605878dc01cf25a4e619e0" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:14.111ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle m\in \{1\dots ,k\}}">, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle |n\theta _{m}-\alpha _{m}|}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mi>n</mi> <msub> <mi>θ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>m</mi> </mrow> </msub> <mo>−</mo> <msub> <mi>α</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>m</mi> </mrow> </msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle |n\theta _{m}-\alpha _{m}|}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ef8c768cd115657c933d67b87ee5b26a7d356de" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:11.457ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle |n\theta _{m}-\alpha _{m}|}"> diffère d'un entier d'au plus <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varepsilon }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>ε</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varepsilon }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a30c89172e5b88edbd45d3e2772c7f5e562e5173" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.083ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \varepsilon }">. </div> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Propriétés_de_l'ensemble_des_irrationnels">Propriétés de l'ensemble des irrationnels</h2>[<a href="/w/index.php?title=Nombre_irrationnel&veaction=edit&section=27" title="Modifier la section : Propriétés de l'ensemble des irrationnels" class="mw-editsection-visualeditor">modifier</a> | <a href="/w/index.php?title=Nombre_irrationnel&action=edit&section=27" title="Modifier le code source de la section : Propriétés de l'ensemble des irrationnels">modifier le code</a>]</div> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Propriétés_de_clôture">Propriétés de clôture</h3>[<a href="/w/index.php?title=Nombre_irrationnel&veaction=edit&section=28" title="Modifier la section : Propriétés de clôture" class="mw-editsection-visualeditor">modifier</a> | <a href="/w/index.php?title=Nombre_irrationnel&action=edit&section=28" title="Modifier le code source de la section : Propriétés de clôture">modifier le code</a>]</div> L'ensemble ℚ a une <a href="/wiki/Structure_alg%C3%A9brique" title="Structure algébrique">structure</a> de <a href="/wiki/Corps_commutatif" title="Corps commutatif">corps commutatif</a>, cela permet de déduire des résultats généraux sur l'irrationalité de sommes et de produits impliquant à la fois rationnels et irrationnels. L'ensemble des irrationnels vérifie par exemple la propriété de <a href="/wiki/Cl%C3%B4ture_(math%C3%A9matiques)#Clôture_pour_des_opérations" title="Clôture (mathématiques)">clôture</a> suivante : si le <a href="/wiki/Carr%C3%A9_(alg%C3%A8bre)" title="Carré (algèbre)">carré</a> (ou plus généralement, une <a href="/wiki/Puissance_d%27un_nombre" title="Puissance d'un nombre">puissance entière</a>) d'un réel est un irrationnel, alors ce réel lui-même est irrationnel (par <a href="/wiki/Contrapos%C3%A9e" class="mw-redirect" title="Contraposée">contraposée</a> de la proposition selon laquelle tout produit de rationnels est rationnel). Cela permet, connaissant un nombre irrationnel, d'en construire une infinité d'autres. On peut aussi, sachant que pour tout nombre irrationnel <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \alpha }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>α</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \alpha }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b79333175c8b3f0840bfb4ec41b8072c83ea88d3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.488ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \alpha }"> et tout rationnel <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r\neq 0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>r</mi> <mo>≠</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r\neq 0}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/034cc599221cc81da7ebd4c9090e1a988809b475" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.31ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle r\neq 0}">, les nombres <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \alpha +r}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>α</mi> <mo>+</mo> <mi>r</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \alpha +r}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e489e9e4530fefae3f1cff84b5aaeef2184b3843" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:5.377ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \alpha +r}"> et <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {r}{\alpha }}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>r</mi> <mi>α</mi> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {r}{\alpha }}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f422a1ecce4f64018a3a1cef3874fc14b209b190" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:2.324ex; height:4.676ex;" alt="{\displaystyle {\frac {r}{\alpha }}}"> sont irrationnels<a href="#cite_note-Niven61-72">[51]</a>, faire <a href="/wiki/Action_de_groupe_(math%C3%A9matiques)" title="Action de groupe (mathématiques)">agir</a> le <a href="/wiki/Groupe_g%C3%A9n%C3%A9ral_lin%C3%A9aire#Groupe_projectif_linéaire" title="Groupe général linéaire">groupe projectif linéaire</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \operatorname {PGL} (2,\mathbb {Q} )}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>PGL</mi> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>2</mn> <mo>,</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">Q</mi> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \operatorname {PGL} (2,\mathbb {Q} )}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89f8d35ffafeef292e2396720b2caaa30276bd7f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:10.674ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \operatorname {PGL} (2,\mathbb {Q} )}"> (ou <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \operatorname {PGL} (2,\mathbb {Z} )}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>PGL</mi> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>2</mn> <mo>,</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">Z</mi> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \operatorname {PGL} (2,\mathbb {Z} )}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7825d68f05266fd8d1ad97a21ea7a34d48267485" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:10.416ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \operatorname {PGL} (2,\mathbb {Z} )}"><a href="#cite_note-73">[N 22]</a>) : <div class="theoreme" style="margin: 1em 2em; padding: 0.5em 1em 0.4em; border: 1px solid #aaa; text-align: justify; display:table"> Théorème —  Soit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \alpha }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>α</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \alpha }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b79333175c8b3f0840bfb4ec41b8072c83ea88d3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.488ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \alpha }"> un nombre irrationnel. Alors, pour tous rationnels <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a,b,c,d}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <mo>,</mo> <mi>b</mi> <mo>,</mo> <mi>c</mi> <mo>,</mo> <mi>d</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a,b,c,d}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd0b3d3b09ae6ae430f09c4b317742c56e8acace" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:7.552ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle a,b,c,d}"> tels que <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle ad-bc\neq 0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <mi>d</mi> <mo>−</mo> <mi>b</mi> <mi>c</mi> <mo>≠</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle ad-bc\neq 0}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d88bcc30262e583f4511b6da0d10ecfc1c94fbad" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:11.551ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle ad-bc\neq 0}">, le réel <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {a\alpha +b}{c\alpha +d}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>a</mi> <mi>α</mi> <mo>+</mo> <mi>b</mi> </mrow> <mrow> <mi>c</mi> <mi>α</mi> <mo>+</mo> <mi>d</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {a\alpha +b}{c\alpha +d}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0bb68c9075097ceb4f9d5be8cdfdf996a32844b6" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; width:7.392ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle {\frac {a\alpha +b}{c\alpha +d}}}"> est irrationnel. </div> Par exemple : <ul><li>puisque <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\sqrt {5}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mn>5</mn> </msqrt> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\sqrt {5}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b78ccdb7e18e02d4fc567c66aac99bf524acb5f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.098ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\sqrt {5}}}"> est irrationnel (<a href="#Propriété_des_polynômes_à_coefficients_entiers">voir infra</a>), <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle -{\sqrt {5}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mn>5</mn> </msqrt> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle -{\sqrt {5}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/084b4121a0f53239525a37d23224acdd990877cf" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:4.906ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle -{\sqrt {5}}}"> et le <a href="/wiki/Nombre_d%27or" title="Nombre d'or">nombre d'or</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>φ</mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mn>5</mn> </msqrt> </mrow> </mrow> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b498bd7bebdaa79ba86131a9f839f96a4e7628f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:12.556ex; height:5.843ex;" alt="{\displaystyle \varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}"> le sont aussi ;</li> <li>pour tout angle <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \theta }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>θ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \theta }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e5ab2664b422d53eb0c7df3b87e1360d75ad9af" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.09ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \theta }"> tel que <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \cos(2\theta )}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>cos</mi> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>2</mn> <mi>θ</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \cos(2\theta )}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df73acf2316a849c04568326d2eaada85d578e8e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.173ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \cos(2\theta )}"> soit irrationnel, les nombres <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \cos \theta }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>cos</mi> <mo>⁡</mo> <mi>θ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \cos \theta }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/611e5c70de1d1cf4ebc3b70d2b5467f45d17a483" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:4.589ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \cos \theta }">, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \sin \theta }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>sin</mi> <mo>⁡</mo> <mi>θ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sin \theta }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/efa733f6703578b0c3af870a3170b4ab0dd99c00" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:4.333ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \sin \theta }"> et <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \tan \theta }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>tan</mi> <mo>⁡</mo> <mi>θ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \tan \theta }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/08e7b66c250a5021a4deddf3b614c24db6c86ab3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:4.837ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \tan \theta }"> sont irrationnels<a href="#cite_note-74">[52]</a>, d'après les <a href="/wiki/Identit%C3%A9_trigonom%C3%A9trique#Formules_de_duplication_et_d'angle_moitié" class="mw-redirect" title="Identité trigonométrique">identités trigonométriques</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \cos(2\theta )=2\cos ^{2}\theta -1=1-2\sin ^{2}\theta ={\frac {1-\tan ^{2}\theta }{1+\tan ^{2}\theta }}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>cos</mi> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>2</mn> <mi>θ</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mn>2</mn> <msup> <mi>cos</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>⁡</mo> <mi>θ</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>−</mo> <mn>2</mn> <msup> <mi>sin</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>⁡</mo> <mi>θ</mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mn>1</mn> <mo>−</mo> <msup> <mi>tan</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>⁡</mo> <mi>θ</mi> </mrow> <mrow> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <msup> <mi>tan</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>⁡</mo> <mi>θ</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \cos(2\theta )=2\cos ^{2}\theta -1=1-2\sin ^{2}\theta ={\frac {1-\tan ^{2}\theta }{1+\tan ^{2}\theta }}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/18decc228ec430cb247a654a73ef35f0c1fe8cf0" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:49.334ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle \cos(2\theta )=2\cos ^{2}\theta -1=1-2\sin ^{2}\theta ={\frac {1-\tan ^{2}\theta }{1+\tan ^{2}\theta }}}">.</li></ul> En revanche, la somme et le produit de deux irrationnels peuvent être rationnels : par exemple, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle -{\sqrt {5}}+{\sqrt {5}}=0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mn>5</mn> </msqrt> </mrow> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mn>5</mn> </msqrt> </mrow> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle -{\sqrt {5}}+{\sqrt {5}}=0}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/60f416157b4471a3936ab726c23c7184abd2b29d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:15.106ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle -{\sqrt {5}}+{\sqrt {5}}=0}"> et <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle -{\sqrt {5}}\times {\sqrt {5}}=-5}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mn>5</mn> </msqrt> </mrow> <mo>×</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mn>5</mn> </msqrt> </mrow> <mo>=</mo> <mo>−</mo> <mn>5</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle -{\sqrt {5}}\times {\sqrt {5}}=-5}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bbf1bb58e37bd27155c801b036caa8483cf3ddd3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:16.914ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle -{\sqrt {5}}\times {\sqrt {5}}=-5}">. Un irrationnel (strictement positif) <a href="/wiki/Exponentielle_de_base_a" title="Exponentielle de base a">élevé à une puissance irrationnelle</a> peut être rationnel<a href="#cite_note-75">[N 23]</a> ou irrationnel, voire transcendant<a href="#cite_note-76">[N 24]</a>. D'après la sous-section suivante, on a même : pour tout réel x > 0 différent de 1, xy est transcendant pour « presque tous » les réels y (tous sauf un ensemble dénombrable), en particulier pour « presque tout » irrationnel y. <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Cardinalité">Cardinalité</h3>[<a href="/w/index.php?title=Nombre_irrationnel&veaction=edit&section=29" title="Modifier la section : Cardinalité" class="mw-editsection-visualeditor">modifier</a> | <a href="/w/index.php?title=Nombre_irrationnel&action=edit&section=29" title="Modifier le code source de la section : Cardinalité">modifier le code</a>]</div> L'ensemble <a href="/wiki/Diff%C3%A9rence_ensembliste" class="mw-redirect" title="Différence ensembliste">ℝ\ℚ</a> des irrationnels a la <a href="/wiki/Puissance_du_continu" title="Puissance du continu">puissance du continu</a>, c'est-à-dire qu'il est en <a href="/wiki/Bijection" title="Bijection">bijection</a> avec ℝ, comme le prouve, au choix, l'un des trois arguments suivants : <ul><li>ℝ est <a href="/wiki/Ensemble_infini_non_d%C3%A9nombrable" title="Ensemble infini non dénombrable">indénombrable</a><a href="#cite_note-Cantor-77">[N 25]</a> (et <a href="/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Cantor" title="Théorème de Cantor">même</a> <a href="/wiki/%C3%89quipotent" class="mw-redirect" title="Équipotent">équipotent</a> à l'<a href="/wiki/Ensemble_des_parties" class="mw-redirect" title="Ensemble des parties">ensemble des parties</a> de ℕ) tandis que <a href="/wiki/Ensemble_d%C3%A9nombrable#Les_rationnels" title="Ensemble dénombrable">ℚ est dénombrable</a> ;</li> <li>le sous-ensemble de ℝ\ℚ constitué des réels transcendants a déjà la puissance du continu, puisque <a href="/wiki/Ensemble_d%C3%A9nombrable#Autres_exemples" title="Ensemble dénombrable">l'ensemble des réels algébriques est encore dénombrable</a><a href="#cite_note-Cantor-77">[N 25]</a> ;</li> <li>le <a href="#Développement_en_fraction_continue">développement d'un irrationnel en fraction continue</a> <a href="/wiki/Espace_de_Baire_(th%C3%A9orie_des_ensembles)#Relation_avec_la_droite_réelle" title="Espace de Baire (théorie des ensembles)">fournit une bijection entre</a> ℝ\ℚ et l'ensemble <a href="/wiki/Exponentiation_ensembliste" title="Exponentiation ensembliste">ℕℕ</a> de toutes les <a href="/wiki/Suite_d%27entiers" title="Suite d'entiers">suites d'entiers positifs</a>.</li></ul> Ceci revient à une <a href="/wiki/Raisonnement_par_l%27absurde" title="Raisonnement par l'absurde">démonstration par l'absurde</a> : comme <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {R} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {R} }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/786849c765da7a84dbc3cce43e96aad58a5868dc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.678ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {R} }"> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {=} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo mathvariant="double-struck">=</mo> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {=} }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/941373a6166cb819bf3bd8196f26430684621ca2" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: 0.307ex; margin-bottom: -0.478ex; width:1.808ex; height:1.343ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {=} }"> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {Q} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">Q</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {Q} }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5909f0b54e4718fa24d5fd34d54189d24a66e9a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.808ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {Q} }"> ∪ <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {Q} '}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">Q</mi> </mrow> <mo>′</mo> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {Q} '}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/973a610242d3fb3d0b72e729f40b4cd58078c57d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.493ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {Q} '}">, l'ensemble des rationnels (ℚ) et l'ensemble des irrationnels (ℝ\ℚ ou ℚ’) sont <a href="/wiki/Compl%C3%A9mentaire_(th%C3%A9orie_des_ensembles)" title="Complémentaire (théorie des ensembles)">complémentaires</a> en ℝ ; or comme l'ensemble ℚ est dénombrable, si ℝ\ℚ était dénombrable, leur réunion ℝ serait dénombrable<a href="#cite_note-Pansu-78">[53]</a>. Or, comme Cantor l'a démontré avec son célèbre « <a href="/wiki/Argument_de_la_diagonale_de_Cantor" title="Argument de la diagonale de Cantor">argument de la diagonale</a> », ℝ est indénombrable, alors l'un au moins de ses sous-ensembles complémentaires l'est, et « l’ensemble ℝ\ℚ des nombres irrationnels n’est pas dénombrable »<a href="#cite_note-Pansu-78">[53]</a>. <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Propriétés_topologiques">Propriétés topologiques</h3>[<a href="/w/index.php?title=Nombre_irrationnel&veaction=edit&section=30" title="Modifier la section : Propriétés topologiques" class="mw-editsection-visualeditor">modifier</a> | <a href="/w/index.php?title=Nombre_irrationnel&action=edit&section=30" title="Modifier le code source de la section : Propriétés topologiques">modifier le code</a>]</div> Les parties ℚ et ℝ\ℚ sont <a href="/wiki/Ordre_dense#Exemples" title="Ordre dense">toutes les deux denses pour l'ordre</a> dans ℝ et a fortiori <a href="/wiki/Partie_dense" title="Partie dense">denses</a> pour la <a href="/wiki/Topologie_de_la_droite_r%C3%A9elle" title="Topologie de la droite réelle">topologie usuelle de ℝ</a>. Pour tous réels <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a<b}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <mo><</mo> <mi>b</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a<b}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/91a7698e4c7401bb321f97888b872b583a9e4642" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.326ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle a<b}">, il existe un <a href="/wiki/Isomorphisme#Exemples" title="Isomorphisme">isomorphisme d'ordres</a> entre ℚ<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle ~\cap ~]a,b[}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <mo>∩</mo> <mtext> </mtext> <mo stretchy="false">]</mo> <mi>a</mi> <mo>,</mo> <mi>b</mi> <mo stretchy="false">[</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle ~\cap ~]a,b[}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b7cf617c1682fd271a153db35016964f09f3ac5" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.299ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle ~\cap ~]a,b[}"> et ℚ (c'est un cas particulier d'<a href="/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Cantor_(th%C3%A9orie_des_ordres)" title="Théorème de Cantor (théorie des ordres)">un théorème de Cantor</a>, immédiat si <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.23ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle a}"> et <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>b</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f11423fbb2e967f986e36804a8ae4271734917c3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.998ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle b}"> sont rationnels). Par <a href="/wiki/Prolongement" class="mw-redirect" title="Prolongement">prolongement</a> <a href="/wiki/Canonique_(math%C3%A9matiques)" title="Canonique (mathématiques)">canonique</a>, ceci montre que l'ensemble des irrationnels de <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle ]a,b[}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">]</mo> <mi>a</mi> <mo>,</mo> <mi>b</mi> <mo stretchy="false">[</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle ]a,b[}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b51ec208e9582e11a4f340a42d4f17fb4748fcb" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.555ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle ]a,b[}"> est — au sens de l'ordre et a fortiori au sens topologique — dense dans <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle ]a,b[}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">]</mo> <mi>a</mi> <mo>,</mo> <mi>b</mi> <mo stretchy="false">[</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle ]a,b[}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b51ec208e9582e11a4f340a42d4f17fb4748fcb" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.555ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle ]a,b[}"> et isomorphe à ℝ\ℚ. Alors que ℝ est <a href="/wiki/Espace_connexe" class="mw-redirect" title="Espace connexe">connexe</a>, le <a href="/wiki/Topologie_induite" title="Topologie induite">sous-espace</a> des irrationnels est <a href="/wiki/Espace_totalement_discontinu" title="Espace totalement discontinu">totalement discontinu</a> (puisqu'il ne contient aucun <a href="/wiki/Intervalle_non_trivial" class="mw-redirect" title="Intervalle non trivial">intervalle non trivial</a>). Dans ℝ, les irrationnels forment un Gδ (c'est-à-dire une intersection dénombrable d'<a href="/wiki/Ouvert_(topologie)" title="Ouvert (topologie)">ouverts</a>) mais pas un Fσ (c'est-à-dire une union dénombrable de <a href="/wiki/Ferm%C3%A9_(topologie)" title="Fermé (topologie)">fermés</a>)<a href="#cite_note-79">[N 26]</a>. Autrement dit<a href="#cite_note-80">[N 27]</a> : l'ensemble des points de discontinuité d'une fonction à valeurs réelles peut être égal à ℚ<a href="#cite_note-81">[N 28]</a> mais pas à ℝ\ℚ<a href="#cite_note-82">[54]</a>. Alors que l'<a href="/wiki/Espace_m%C3%A9trique" title="Espace métrique">espace métrique</a> ℝ est <a href="/wiki/Espace_complet" title="Espace complet">complet</a>, le sous-espace des irrationnels ne l'est pas (<a href="/wiki/Espace_complet#Quelques_théorèmes" title="Espace complet">puisqu'il n'est pas fermé</a> dans ℝ). Cependant, par la bijection évoquée <a href="#Cardinalité">ci-dessus</a>, cet <a href="/wiki/Espace_topologique" title="Espace topologique">espace topologique</a> est <a href="/wiki/Hom%C3%A9omorphisme" title="Homéomorphisme">homéomorphe</a> à l'espace métrique complet <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {N} ^{\mathbb {N} }}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">N</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">N</mi> </mrow> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {N} ^{\mathbb {N} }}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d21f68ea2744de7fc0a11e441727935fbaf31839" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.097ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {N} ^{\mathbb {N} }}">, appelé l'<a href="/wiki/Espace_de_Baire_(th%C3%A9orie_des_ensembles)" title="Espace de Baire (théorie des ensembles)">espace de Baire</a>. Ceci démontre que le <a href="/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Baire" title="Théorème de Baire">théorème de Baire</a> s'applique aussi à l'espace des nombres irrationnels. <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Exemples_de_nombres_irrationnels_et_de_preuves_d'irrationalité">Exemples de nombres irrationnels et de preuves d'irrationalité</h2>[<a href="/w/index.php?title=Nombre_irrationnel&veaction=edit&section=31" title="Modifier la section : Exemples de nombres irrationnels et de preuves d'irrationalité" class="mw-editsection-visualeditor">modifier</a> | <a href="/w/index.php?title=Nombre_irrationnel&action=edit&section=31" title="Modifier le code source de la section : Exemples de nombres irrationnels et de preuves d'irrationalité">modifier le code</a>]</div> Prouver qu'un réel <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}"> est irrationnel, c'est prouver qu'il n'existe aucun couple d'entier <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (p,q)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>p</mi> <mo>,</mo> <mi>q</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (p,q)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9769c58523b9b639866a2d48e657d9c26911143a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.082ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (p,q)}"> tel que <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x={\frac {p}{q}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>p</mi> <mi>q</mi> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x={\frac {p}{q}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0161dfd5aff698955a791bad375a91e868b31169" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:6.434ex; height:5.343ex;" alt="{\displaystyle x={\frac {p}{q}}}">, or un résultat d'inexistence sur un cas particulier est généralement bien plus difficile à établir qu'un résultat d'existence<a href="#cite_note-83">[55]</a>. Ainsi même s'il est possible de montrer qu'un réel <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}"> ne peut pas s'écrire sous la forme <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x={\frac {p}{q}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>p</mi> <mi>q</mi> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x={\frac {p}{q}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0161dfd5aff698955a791bad375a91e868b31169" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:6.434ex; height:5.343ex;" alt="{\displaystyle x={\frac {p}{q}}}"> où <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>p</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81eac1e205430d1f40810df36a0edffdc367af36" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:1.259ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle p}"> et <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle q}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>q</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle q}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06809d64fa7c817ffc7e323f85997f783dbdf71d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.07ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle q}"> sont inférieurs à une certaine constante <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle C}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>C</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle C}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4fc55753007cd3c18576f7933f6f089196732029" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.766ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle C}">, cela ne suffit pas pour prouver son irrationalité. Par exemple, on sait que si la <a href="/wiki/Constante_d%27Euler-Mascheroni" title="Constante d'Euler-Mascheroni">constante d'Euler-Mascheroni</a> est rationnelle alors ce ne peut être qu'une fraction dont le dénominateur comporte au moins 242 080 chiffres<a href="#cite_note-84">[N 29]</a> mais même si cela conduit à supposer son irrationalité, cela n'en constitue aucunement une preuve. Il existe cependant plusieurs techniques de démonstration qui ont permis de statuer sur l'irrationalité de certains cas particuliers. <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Irrationalité_de_nombres_manifestement_algébriques">Irrationalité de nombres manifestement algébriques</h3>[<a href="/w/index.php?title=Nombre_irrationnel&veaction=edit&section=32" title="Modifier la section : Irrationalité de nombres manifestement algébriques" class="mw-editsection-visualeditor">modifier</a> | <a href="/w/index.php?title=Nombre_irrationnel&action=edit&section=32" title="Modifier le code source de la section : Irrationalité de nombres manifestement algébriques">modifier le code</a>]</div> <div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Exemple_préliminaire">Exemple préliminaire</h4>[<a href="/w/index.php?title=Nombre_irrationnel&veaction=edit&section=33" title="Modifier la section : Exemple préliminaire" class="mw-editsection-visualeditor">modifier</a> | <a href="/w/index.php?title=Nombre_irrationnel&action=edit&section=33" title="Modifier le code source de la section : Exemple préliminaire">modifier le code</a>]</div> <div class="bandeau-container bandeau-section metadata bandeau-niveau-information"><div class="bandeau-cell bandeau-icone-css loupe">Article détaillé : <a href="/wiki/Racine_carr%C3%A9e_de_deux#Preuves_d'irrationalité" title="Racine carrée de deux">Irrationalité de √2</a>.</div></div> Le nombre √2 est l'un des premiers dont on ait prouvé l'irrationalité. Celle-ci peut en effet être obtenue grâce à des considérations élémentaires de <a href="/wiki/Parit%C3%A9_(math%C3%A9matiques)" title="Parité (mathématiques)">parité</a><a href="#cite_note-HardyWright4-14">[13]</a>,<a href="#cite_note-85">[N 30]</a> : <div class="NavFrame" style="border: thin solid #aaaaaa; margin:1em 2em; padding: 0 1em; font-size:100%; text-align:justify; overflow:hidden;"> <div class="NavHead" style="background-color:transparent; color:inherit; padding:0;">Preuve élémentaire de l'irrationalité de √2</div><div class="NavContent" style="padding-bottom:0.4em"> On <a href="/wiki/Raisonnement_par_l%27absurde" title="Raisonnement par l'absurde">raisonne par l'absurde</a>. Supposons que <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\sqrt {2}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mn>2</mn> </msqrt> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\sqrt {2}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4afc1e27d418021bf10898eb44a7f5f315735ff" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.098ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle {\sqrt {2}}}"> soit un nombre rationnel, il existe alors deux entiers <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.23ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle a}"> et <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>b</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f11423fbb2e967f986e36804a8ae4271734917c3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.998ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle b}"> <a href="/wiki/Nombres_premiers_entre_eux" title="Nombres premiers entre eux">premiers entre eux</a> tels que <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\sqrt {2}}={\frac {a}{b}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mn>2</mn> </msqrt> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>a</mi> <mi>b</mi> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\sqrt {2}}={\frac {a}{b}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/90480fe7df7a77399cc1ff591e7d379cd16cc260" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:8.263ex; height:4.843ex;" alt="{\displaystyle {\sqrt {2}}={\frac {a}{b}}}"> ce qui est équivalent à dire que <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 2b^{2}=a^{2}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>2</mn> <msup> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 2b^{2}=a^{2}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c1eee6bb84ecec5c48549b324ad901c0f5b059e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:8.597ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle 2b^{2}=a^{2}}">. L'entier <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a^{2}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a^{2}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f564e5dc0b6e68af32ca8614e972f5b36e944a24" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.284ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle a^{2}}"> est donc pair, et par conséquent <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.23ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle a}"> est pair, ce qui s'écrit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a=2k}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <mo>=</mo> <mn>2</mn> <mi>k</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a=2k}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71339dfcc58e10b046c5ad8d875cdadfed93f5f8" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.702ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle a=2k}"> où <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle k}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>k</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle k}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3c9a2c7b599b37105512c5d570edc034056dd40" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.211ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle k}"> est un entier. Mais alors comme <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 2b^{2}=a^{2}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>2</mn> <msup> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 2b^{2}=a^{2}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c1eee6bb84ecec5c48549b324ad901c0f5b059e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:8.597ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle 2b^{2}=a^{2}}">, il s'ensuit que <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b^{2}=2k^{2}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mn>2</mn> <msup> <mi>k</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b^{2}=2k^{2}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/41c7d05dd4b93faad9f6df2118be8c7b79039689" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:8.578ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle b^{2}=2k^{2}}"> et donc <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b^{2}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b^{2}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/acf98b04bfc723606ebb4a7942fa3ab94becd2ee" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.052ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle b^{2}}"> et <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>b</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f11423fbb2e967f986e36804a8ae4271734917c3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.998ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle b}"> sont pairs. <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.23ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle a}"> et <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>b</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f11423fbb2e967f986e36804a8ae4271734917c3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.998ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle b}"> sont donc tous les deux pairs et ne sont donc pas premiers entre eux. On a donc abouti à une contradiction en supposant <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\sqrt {2}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mn>2</mn> </msqrt> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\sqrt {2}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4afc1e27d418021bf10898eb44a7f5f315735ff" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.098ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle {\sqrt {2}}}"> rationnel. C'est donc un nombre irrationnel. </div><div class="clear" style="clear:both;"></div> </div> <div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Propriété_des_polynômes_à_coefficients_entiers">Propriété des polynômes à coefficients entiers</h4>[<a href="/w/index.php?title=Nombre_irrationnel&veaction=edit&section=34" title="Modifier la section : Propriété des polynômes à coefficients entiers" class="mw-editsection-visualeditor">modifier</a> | <a href="/w/index.php?title=Nombre_irrationnel&action=edit&section=34" title="Modifier le code source de la section : Propriété des polynômes à coefficients entiers">modifier le code</a>]</div> <ul><li>Lorsqu'un <a href="/wiki/Nombre_alg%C3%A9brique" title="Nombre algébrique">nombre algébrique</a> est irrationnel, le théorème suivant permet souvent de le vérifier :</li></ul> <div class="theoreme" style="margin: 1em 2em; padding: 0.5em 1em 0.4em; border: 1px solid #aaa; text-align: justify; display:table"> Théorème<a href="#cite_note-Niven4.3-86">[56]</a> — Si un rationnel <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x={\frac {a}{b}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>a</mi> <mi>b</mi> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x={\frac {a}{b}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a76b1c71ae2fcb5933dcfe50ad8e81c9d3b0ce6f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:6.494ex; height:4.843ex;" alt="{\displaystyle x={\frac {a}{b}}}"> (mis sous forme <a href="/wiki/Fraction_irr%C3%A9ductible" title="Fraction irréductible">irréductible</a>) est solution d'une <a href="/wiki/%C3%89quation_polynomiale" title="Équation polynomiale">équation polynomiale</a> à coefficients entiers<center><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle c_{n}x^{n}+c_{n-1}x^{n-1}+\dots +c_{1}x+c_{0}=0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <msub> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mo>⋯</mo> <mo>+</mo> <msub> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <msub> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle c_{n}x^{n}+c_{n-1}x^{n-1}+\dots +c_{1}x+c_{0}=0}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac266dea3f1eebe87ccd0df81a720f8cbfad976a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:37.546ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle c_{n}x^{n}+c_{n-1}x^{n-1}+\dots +c_{1}x+c_{0}=0}">,</center> alors <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.23ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle a}"> divise <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle c_{0}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle c_{0}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1882ba8f1dc60f0c68a642abb5af093c73910921" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.061ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle c_{0}}"> et <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>b</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f11423fbb2e967f986e36804a8ae4271734917c3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.998ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle b}"> divise <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle c_{n}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle c_{n}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b7e944bcb1be88e9a6a940638f2adce0ec4211a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.225ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle c_{n}}">. </div> <dl><dd>Il n'y a donc qu'un <a href="/wiki/Racine_%C3%A9vidente#Racine_rationnelle" title="Racine évidente">nombre fini de valeurs possibles, que l'on peut essayer à la main</a>. Si aucun de ces rationnels n'est solution, toute solution est irrationnelle. <dl><dt>Exemples</dt> <dd> <ul><li>Les coefficients extrêmes du <a href="/wiki/Polyn%C3%B4me" title="Polynôme">polynôme</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X^{2}-X-1}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>X</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>−</mo> <mi>X</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X^{2}-X-1}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd3412e802fa5443c8dce91b844d19b6b8d40608" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:11.874ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle X^{2}-X-1}">, dont le <a href="/wiki/Nombre_d%27or" title="Nombre d'or">nombre d'or</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varphi }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>φ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varphi }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33ee699558d09cf9d653f6351f9fda0b2f4aaa3e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:1.52ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \varphi }"> est racine, sont <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 1}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>1</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 1}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92d98b82a3778f043108d4e20960a9193df57cbf" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.162ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 1}"> et <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle -1}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle -1}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/704fb0427140d054dd267925495e78164fee9aac" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:2.971ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle -1}">, qui ne sont divisibles que par <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \pm 1}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo>±</mo> <mn>1</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \pm 1}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0bfeaa85da53ad1947d8000926cfea33827ef1e0" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.971ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \pm 1}">. Comme <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 1}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>1</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 1}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92d98b82a3778f043108d4e20960a9193df57cbf" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.162ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 1}"> et <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle -1}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle -1}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/704fb0427140d054dd267925495e78164fee9aac" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:2.971ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle -1}"> ne sont pas racines du polynôme, on retrouve ainsi (<a href="#Propriétés_de_clôture">voir supra</a>), sans même résoudre l'<a href="/wiki/%C3%89quation_du_second_degr%C3%A9" title="Équation du second degré">équation du second degré</a>, que <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varphi }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>φ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varphi }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33ee699558d09cf9d653f6351f9fda0b2f4aaa3e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:1.52ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \varphi }"> est irrationnel.</li> <li>La racine réelle du polynôme <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P(X)=4X^{5}+X-3}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>P</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>X</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mn>4</mn> <msup> <mi>X</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>5</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mi>X</mi> <mo>−</mo> <mn>3</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P(X)=4X^{5}+X-3}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac4fa8153db0c44b9860257cc71b28984e26cd5e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:21.67ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle P(X)=4X^{5}+X-3}"> est strictement positive et ne fait pas partie de l'ensemble <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \left\{{\frac {1}{4}},{\frac {1}{2}},{\frac {3}{4}},1,{\frac {3}{2}},3\right\}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow> <mo>{</mo> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>4</mn> </mfrac> </mrow> <mo>,</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <mo>,</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>3</mn> <mn>4</mn> </mfrac> </mrow> <mo>,</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>3</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <mo>,</mo> <mn>3</mn> </mrow> <mo>}</mo> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \left\{{\frac {1}{4}},{\frac {1}{2}},{\frac {3}{4}},1,{\frac {3}{2}},3\right\}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f736e029bf3e9b410a5236ace3f82c8c1d37c2d8" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:18.975ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle \left\{{\frac {1}{4}},{\frac {1}{2}},{\frac {3}{4}},1,{\frac {3}{2}},3\right\}}"> (<a href="/wiki/Variations_d%27une_fonction" title="Variations d'une fonction">car P(3/4) < 0 < P(1)</a>) ; elle est donc irrationnelle.</li> <li>Le nombre <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \cos \left(\pi /9\right)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>cos</mi> <mo>⁡</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>π</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <mn>9</mn> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \cos \left(\pi /9\right)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd531deb81885b205edb282796d75fa074159cc2" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.577ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \cos \left(\pi /9\right)}"> est racine du polynôme <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 8X^{3}-6X-1}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>8</mn> <msup> <mi>X</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msup> <mo>−</mo> <mn>6</mn> <mi>X</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 8X^{3}-6X-1}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c250c38b2bfa71e88a60c89da4cf57b46b046e01" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:14.199ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle 8X^{3}-6X-1}"><a href="#cite_note-TheoWantzel-46">[N 11]</a>, dont aucun rationnel n'est racine<a href="#cite_note-87">[N 31]</a>. Il est par conséquent algébrique de degré 3, donc irrationnel et même non constructible<a href="#cite_note-TheoWantzel-46">[N 11]</a> (si bien que pour tout entier relatif <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}">, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \cos \left(2^{n}\pi /9\right)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>cos</mi> <mo>⁡</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msup> <mn>2</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <mi>π</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <mn>9</mn> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \cos \left(2^{n}\pi /9\right)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8dffd860b44deed1271891a63e58b91a02f02e3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:10.958ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \cos \left(2^{n}\pi /9\right)}">, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \sin \left(2^{n}\pi /9\right)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>sin</mi> <mo>⁡</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msup> <mn>2</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <mi>π</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <mn>9</mn> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sin \left(2^{n}\pi /9\right)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/00ce31b2d8869656a96f15e2168c422666b54310" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:10.703ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \sin \left(2^{n}\pi /9\right)}"> et <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \tan \left(2^{n}\pi /9\right)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>tan</mi> <mo>⁡</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msup> <mn>2</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <mi>π</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <mn>9</mn> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \tan \left(2^{n}\pi /9\right)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c58eb5c28b4584647d1dc78358966c03ea7a2795" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:11.207ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \tan \left(2^{n}\pi /9\right)}"> sont non constructibles)<a href="#cite_note-88">[N 32]</a>.</li></ul></dd></dl></dd></dl> <ul><li>Dans le théorème ci-dessus, si de plus <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle c_{n}=1}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle c_{n}=1}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f0aceaccf92a51f2ef80ca9351e06092c984174b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:6.486ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle c_{n}=1}">, alors <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b=1}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>b</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b=1}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f55bc77dec8088791b5c1ed51e634cc1b431fd0" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.258ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle b=1}"> donc <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x=a}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> <mo>=</mo> <mi>a</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x=a}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aaae23950e96a955ab5b07015a168fd931d4d82b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.658ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x=a}"> (entier)<a href="#cite_note-Niven4.3-86">[56]</a>. Autrement dit : tout <a href="/wiki/Entier_alg%C3%A9brique" title="Entier algébrique">entier algébrique</a> non entier est irrationnel<a href="#cite_note-89">[N 33]</a>. En particulier, on obtient ainsi une généralisation de la <a href="/wiki/Racine_carr%C3%A9e_de_deux#Par_le_lemme_de_Gauss" title="Racine carrée de deux">preuve de l'irrationalité de √2</a> par le <a href="/wiki/Lemme_d%27Euclide" title="Lemme d'Euclide">lemme de Gauss</a><a href="#cite_note-HardyWright4-14">[13]</a> :</li></ul> <div class="theoreme" style="margin: 1em 2em; padding: 0.5em 1em 0.4em; border: 1px solid #aaa; text-align: justify; display:table"> Corollaire<a href="#cite_note-Niven4.3-86">[56]</a> — La <a href="/wiki/Racine_d%27un_nombre#Racine_n-ième_d'un_nombre_réel_positif" title="Racine d'un nombre">racine n-ième</a> d'un entier N > 0 est irrationnelle, sauf si N est la puissance n-ième d'un entier. </div> <div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Nombre_d'or_:_une_seconde_preuve">Nombre d'or : une seconde preuve</h4>[<a href="/w/index.php?title=Nombre_irrationnel&veaction=edit&section=35" title="Modifier la section : Nombre d'or : une seconde preuve" class="mw-editsection-visualeditor">modifier</a> | <a href="/w/index.php?title=Nombre_irrationnel&action=edit&section=35" title="Modifier le code source de la section : Nombre d'or : une seconde preuve">modifier le code</a>]</div> Toute fraction continue simple infinie représente un irrationnel, et si cette fraction continue est périodique alors l'irrationnel est quadratique (<a href="#Développement_en_fraction_continue">voir supra</a>). La fraction continue la plus simple est <a href="/wiki/Nombre_d%27or#Fraction_continue" title="Nombre d'or">celle du nombre d'or</a>, que l'on peut obtenir directement à partir de l'équation <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varphi =1+{\frac {1}{\varphi }}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>φ</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mi>φ</mi> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varphi =1+{\frac {1}{\varphi }}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/93af849ece212a67a03771273492a79de8768a9a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:10.978ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle \varphi =1+{\frac {1}{\varphi }}}"> : <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varphi =1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+\cdots }}}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>φ</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mpadded width="0" height="8.6pt" depth="3pt"> <mrow /> </mpadded> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </mstyle> </mrow> <mrow> <mpadded width="0" height="8.6pt" depth="3pt"> <mrow /> </mpadded> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mpadded width="0" height="8.6pt" depth="3pt"> <mrow /> </mpadded> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </mstyle> </mrow> <mrow> <mpadded width="0" height="8.6pt" depth="3pt"> <mrow /> </mpadded> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <mo>⋯</mo> </mrow> </mstyle> </mrow> </mfrac> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varphi =1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+\cdots }}}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44a01189cb57292ec56c60046e00dcfa6aab2230" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -6.671ex; width:21.023ex; height:10.843ex;" alt="{\displaystyle \varphi =1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+\cdots }}}}}">.</dd></dl> On retrouve ainsi à nouveau que le nombre algébrique <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varphi }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>φ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varphi }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33ee699558d09cf9d653f6351f9fda0b2f4aaa3e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:1.52ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \varphi }"> est irrationnel. <div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Fonctions_trigonométriques"><a href="/wiki/Fonctions_trigonom%C3%A9triques" class="mw-redirect" title="Fonctions trigonométriques">Fonctions trigonométriques</a></h4>[<a href="/w/index.php?title=Nombre_irrationnel&veaction=edit&section=36" title="Modifier la section : Fonctions trigonométriques" class="mw-editsection-visualeditor">modifier</a> | <a href="/w/index.php?title=Nombre_irrationnel&action=edit&section=36" title="Modifier le code source de la section : Fonctions trigonométriques">modifier le code</a>]</div> <div class="bandeau-container bandeau-section metadata bandeau-niveau-information"><div class="bandeau-cell bandeau-icone-css loupe">Article détaillé : <a href="/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Niven" title="Théorème de Niven">Théorème de Niven</a>.</div></div> <div class="theoreme" style="margin: 1em 2em; padding: 0.5em 1em 0.4em; border: 1px solid #aaa; text-align: justify; display:table"> Théorème — Si un angle en degrés est rationnel et n'est pas un multiple de 30° ni 45°, alors son <a href="/wiki/Cosinus" title="Cosinus">cosinus</a>, son <a href="/wiki/Sinus_(math%C3%A9matiques)" title="Sinus (mathématiques)">sinus</a> et sa <a href="/wiki/Tangente_(trigonom%C3%A9trie)" title="Tangente (trigonométrie)">tangente</a> sont irrationnels<a href="#cite_note-90">[57]</a>,<a href="#cite_note-91">[N 34]</a>. </div> C'est un <a href="/wiki/Polyn%C3%B4me_minimal_des_valeurs_sp%C3%A9ciales_trigonom%C3%A9triques#Rationalité" title="Polynôme minimal des valeurs spéciales trigonométriques">corollaire du calcul du degré des nombres algébriques cos(rπ), sin(rπ) et tan(rπ) pour r rationnel</a>, mais on peut aussi le démontrer par une <a href="/wiki/Preuve_sans_mots" title="Preuve sans mots">preuve sans mots</a> utilisant la <a href="/wiki/M%C3%A9thode_de_descente_infinie" title="Méthode de descente infinie">méthode de descente infinie</a> dans un <a href="/wiki/R%C3%A9seau_(g%C3%A9om%C3%A9trie)" title="Réseau (géométrie)">réseau</a> à deux dimensions<a href="#cite_note-92">[58]</a>. <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Irrationalité_de_nombres_définis_par_leur_développement_décimal">Irrationalité de nombres définis par leur développement décimal</h3>[<a href="/w/index.php?title=Nombre_irrationnel&veaction=edit&section=37" title="Modifier la section : Irrationalité de nombres définis par leur développement décimal" class="mw-editsection-visualeditor">modifier</a> | <a href="/w/index.php?title=Nombre_irrationnel&action=edit&section=37" title="Modifier le code source de la section : Irrationalité de nombres définis par leur développement décimal">modifier le code</a>]</div> <div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Non-périodicité_du_développement_dans_une_base">Non-périodicité du développement dans une base</h4>[<a href="/w/index.php?title=Nombre_irrationnel&veaction=edit&section=38" title="Modifier la section : Non-périodicité du développement dans une base" class="mw-editsection-visualeditor">modifier</a> | <a href="/w/index.php?title=Nombre_irrationnel&action=edit&section=38" title="Modifier le code source de la section : Non-périodicité du développement dans une base">modifier le code</a>]</div> Tout rationnel ayant un développement périodique dans toute base, il suffit, pour prouver qu'un réel <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}"> est irrationnel, de montrer que dans une certaine base, son développement n'est pas périodique. Cela peut parfois être fait directement comme dans le cas du théorème suivant : <div class="theoreme" style="margin: 1em 2em; padding: 0.5em 1em 0.4em; border: 1px solid #aaa; text-align: justify; display:table"> Théorème — La <a href="/wiki/Constante_des_nombres_premiers" title="Constante des nombres premiers">constante des nombres premiers</a>, de <a href="/wiki/Syst%C3%A8me_binaire" title="Système binaire">développement binaire</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 0{,}0110101000\dots }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>0,011</mn> <mn>0101000</mn> <mo>…</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 0{,}0110101000\dots }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/670107db7df64ea4866d4af20f174f025ccbd280" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:16.544ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle 0{,}0110101000\dots }">, est irrationnelle. </div> Ce théorème peut être démontré par l'absurde, en supposant périodique la suite des <a href="/wiki/%C3%89cart_entre_nombres_premiers" title="Écart entre nombres premiers">écarts entre nombres premiers consécutifs</a> puis en obtenant une contradiction<a href="#cite_note-93">[59]</a>. Un autre exemple est donné par le théorème suivant : <div class="theoreme" style="margin: 1em 2em; padding: 0.5em 1em 0.4em; border: 1px solid #aaa; text-align: justify; display:table"> Théorème — La <a href="/wiki/Constante_de_Prouhet-Thue-Morse" title="Constante de Prouhet-Thue-Morse">constante de Prouhet-Thue-Morse</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \tau =0,412~454~033~640\ldots }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>τ</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <mn>412</mn> <mtext> </mtext> <mn>454</mn> <mtext> </mtext> <mn>033</mn> <mtext> </mtext> <mn>640</mn> <mo>…</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \tau =0,412~454~033~640\ldots }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc532d6ef836970bdc6f75e333425740261da16e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:25.299ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \tau =0,412~454~033~640\ldots }">, dont le développement binaire est la <a href="/wiki/Suite_de_Prouhet-Thue-Morse" title="Suite de Prouhet-Thue-Morse">suite de Prouhet-Thue-Morse</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle t=0~1~10~1001~10010110~1001011001101001...}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>t</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> <mtext> </mtext> <mn>1</mn> <mtext> </mtext> <mn>10</mn> <mtext> </mtext> <mn>1001</mn> <mtext> </mtext> <mn>10010110</mn> <mtext> </mtext> <mn>1001011001101001...</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle t=0~1~10~1001~10010110~1001011001101001...}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f600857da6f645fa5a2eb2c57e1a0f8f5d1e260" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:45.98ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle t=0~1~10~1001~10010110~1001011001101001...}">, est irrationnelle. </div> On peut en effet montrer que la suite de Prouhet-Thue-Morse est sans cube, c'est-à-dire qu'aucun bloc ne se répète trois fois consécutivement : a fortiori son développement binaire est non-périodique et <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \tau }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>τ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \tau }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/38a7dcde9730ef0853809fefc18d88771f95206c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.202ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \tau }"> est donc irrationnelle<a href="#cite_note-95">[N 35]</a>. <div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Recherche_de_suites_de_zéros_de_longueur_arbitraire_dans_le_développement">Recherche de suites de zéros de longueur arbitraire dans le développement</h4>[<a href="/w/index.php?title=Nombre_irrationnel&veaction=edit&section=39" title="Modifier la section : Recherche de suites de zéros de longueur arbitraire dans le développement" class="mw-editsection-visualeditor">modifier</a> | <a href="/w/index.php?title=Nombre_irrationnel&action=edit&section=39" title="Modifier le code source de la section : Recherche de suites de zéros de longueur arbitraire dans le développement">modifier le code</a>]</div> Dans la pratique, la non-périodicité peut être obtenue en établissant l'existence de suites finies de <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 0}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2aae8864a3c1fec9585261791a809ddec1489950" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.162ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 0}"> de longueur arbitraire<a href="#cite_note-96">[N 36]</a>,<a href="#cite_note-97">[N 37]</a>. En effet si le nombre est périodique il ne peut comporter des séquences de zéros plus longues que la longueur de sa période à moins d'avoir un développement décimal fini. Une application élémentaire est fournie par le résultat suivant : <div class="theoreme" style="margin: 1em 2em; padding: 0.5em 1em 0.4em; border: 1px solid #aaa; text-align: justify; display:table"> Théorème — La <a href="/wiki/Constante_de_Champernowne" title="Constante de Champernowne">constante de Champernowne</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 0{,}1234567891011\dots }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>0,123</mn> <mn>4567891011</mn> <mo>…</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 0{,}1234567891011\dots }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/903b1c22b45396b49c0293d8ead930f9793bf60f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:20.032ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle 0{,}1234567891011\dots }"> est irrationnelle. </div> En effet, son développement en base <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 10}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>10</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 10}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ec811eb07dcac7ea67b413c5665390a1671ecb0" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.325ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 10}"> n'est pas périodique parce qu'il contient les entiers de la forme <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 10^{k}+1}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mn>10</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 10^{k}+1}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc11c3f1c9486078b59ad5cf7f2cc84cad7d7608" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:7.416ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle 10^{k}+1}"> pour <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle k}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>k</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle k}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3c9a2c7b599b37105512c5d570edc034056dd40" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.211ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle k}"> arbitrairement grand, et donc des suites de <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 0}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2aae8864a3c1fec9585261791a809ddec1489950" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.162ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 0}"> finies arbitrairement longues. Ce nombre est en fait même <a href="/wiki/Nombre_normal" title="Nombre normal">normal</a> et transcendant. Un exemple moins <a href="/wiki/Trivial" class="mw-redirect" title="Trivial">trivial</a> est le suivant : <div class="theoreme" style="margin: 1em 2em; padding: 0.5em 1em 0.4em; border: 1px solid #aaa; text-align: justify; display:table"> Théorème — La <a href="/wiki/Constante_de_Copeland-Erd%C5%91s" title="Constante de Copeland-Erdős">constante de Copeland-Erdős</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 0{,}2357111317\dots }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>0,235</mn> <mn>7111317</mn> <mo>…</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 0{,}2357111317\dots }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/09caeb2dde60aa055b29f8593e46bc1a3e75482c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:16.544ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle 0{,}2357111317\dots }"> est irrationnelle. </div> La constante de Copeland-Erdős est définie par <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle C=\sum _{n=1}^{\infty }p_{n}10^{-\left(n+\sum _{k=1}^{n}E(\log _{10}{p_{k}})\right)}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>C</mi> <mo>=</mo> <munderover> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">∞</mi> </mrow> </munderover> <msub> <mi>p</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <msup> <mn>10</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>n</mi> <mo>+</mo> <munderover> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </munderover> <mi>E</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>log</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>10</mn> </mrow> </msub> <mo>⁡</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msub> <mi>p</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msub> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle C=\sum _{n=1}^{\infty }p_{n}10^{-\left(n+\sum _{k=1}^{n}E(\log _{10}{p_{k}})\right)}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d671c16fa2122a0b19692434af69c9827350951" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:31.497ex; height:6.843ex;" alt="{\displaystyle C=\sum _{n=1}^{\infty }p_{n}10^{-\left(n+\sum _{k=1}^{n}E(\log _{10}{p_{k}})\right)}}"> où <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p_{k}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>p</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p_{k}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01084a31964201514f3e6bd0136989e11ea6e58a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:2.348ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle p_{k}}"> est le k-ième <a href="/wiki/Nombre_premier" title="Nombre premier">nombre premier</a>, et où <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E(\log _{10}{p_{k}})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>E</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>log</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>10</mn> </mrow> </msub> <mo>⁡</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msub> <mi>p</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msub> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E(\log _{10}{p_{k}})}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/849221cd1ecbb77302a4919579d6a57a3af7b749" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:11.078ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle E(\log _{10}{p_{k}})}"> est la <a href="/wiki/Partie_enti%C3%A8re" class="mw-redirect" title="Partie entière">partie entière</a> de son <a href="/wiki/Logarithme_d%C3%A9cimal" title="Logarithme décimal">logarithme décimal</a>. C'est-à-dire que le <a href="/wiki/D%C3%A9veloppement_d%C3%A9cimal" title="Développement décimal">développement décimal</a> de la constante de Copeland-Erdős est la <a href="/wiki/Concat%C3%A9nation" title="Concaténation">concaténation</a> des éléments de la suite des nombres premiers. On montre l'irrationalité de <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle C}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>C</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle C}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4fc55753007cd3c18576f7933f6f089196732029" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.766ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle C}"> en exhibant des suites de zéros arbitrairement longues. <div class="NavFrame" style="border: thin solid #aaaaaa; margin:1em 2em; padding: 0 1em; font-size:100%; text-align:justify; overflow:hidden;"> <div class="NavHead" style="background-color:transparent; color:inherit; padding:0;">Démonstration<a href="#cite_note-HardyWright9-57">[40]</a></div><div class="NavContent" style="padding-bottom:0.4em"> Pour tout entier naturel <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle s}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>s</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle s}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01d131dfd7673938b947072a13a9744fe997e632" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.09ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle s}">, d'après le <a href="/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_la_progression_arithm%C3%A9tique" title="Théorème de la progression arithmétique">théorème de la progression arithmétique</a>, la <a href="/wiki/Suite_arithm%C3%A9tique" title="Suite arithmétique">suite arithmétique</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \left(k.10^{s+1}+1\right)_{k\in \mathbb {N} ^{*}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>k</mi> <msup> <mn>.10</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>s</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> <mo>∈</mo> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">N</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>∗</mo> </mrow> </msup> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \left(k.10^{s+1}+1\right)_{k\in \mathbb {N} ^{*}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/246d163beb184b24f2ad85603a94ef4545fba935" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:17.623ex; height:3.509ex;" alt="{\displaystyle \left(k.10^{s+1}+1\right)_{k\in \mathbb {N} ^{*}}}"> contient une infinité de nombres premiers, donc au moins un. Il existe donc au moins un nombre premier dont l'écriture en base dix contient une succession d'au moins <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle s}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>s</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle s}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01d131dfd7673938b947072a13a9744fe997e632" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.09ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle s}"> zéros, encadrée par deux chiffres autres que <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 0}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2aae8864a3c1fec9585261791a809ddec1489950" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.162ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 0}"> (le second étant <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 1}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>1</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 1}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92d98b82a3778f043108d4e20960a9193df57cbf" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.162ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 1}">). Le développement décimal de <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle C}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>C</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle C}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4fc55753007cd3c18576f7933f6f089196732029" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.766ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle C}"> contient ainsi des suites de zéros finies mais arbitrairement longues, ce qui prouve qu'il n'est pas périodique, et donc que <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle C}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>C</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle C}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4fc55753007cd3c18576f7933f6f089196732029" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.766ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle C}"> n’est pas rationnel. </div><div class="clear" style="clear:both;"></div> </div> L'irrationalité de <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle C}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>C</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle C}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4fc55753007cd3c18576f7933f6f089196732029" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.766ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle C}"> peut également se déduire du résultat plus général, mais plus difficile à démontrer, selon lequel la constante de Copeland-Erdős est un <a href="/wiki/Nombre_normal" title="Nombre normal">nombre normal</a> en base 10, joint à la propriété élémentaire suivante : <div class="theoreme" style="margin: 1em 2em; padding: 0.5em 1em 0.4em; border: 1px solid #aaa; text-align: justify; display:table"> Propriété<a href="#cite_note-normal-50">[N 15]</a> — Tout nombre normal dans au moins une base est irrationnel. </div> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Sommes_de_séries">Sommes de séries</h3>[<a href="/w/index.php?title=Nombre_irrationnel&veaction=edit&section=40" title="Modifier la section : Sommes de séries" class="mw-editsection-visualeditor">modifier</a> | <a href="/w/index.php?title=Nombre_irrationnel&action=edit&section=40" title="Modifier le code source de la section : Sommes de séries">modifier le code</a>]</div> <div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Irrationalité_de_e">Irrationalité de e</h4>[<a href="/w/index.php?title=Nombre_irrationnel&veaction=edit&section=41" title="Modifier la section : Irrationalité de e" class="mw-editsection-visualeditor">modifier</a> | <a href="/w/index.php?title=Nombre_irrationnel&action=edit&section=41" title="Modifier le code source de la section : Irrationalité de e">modifier le code</a>]</div> <div class="bandeau-container bandeau-section metadata bandeau-niveau-information"><div class="bandeau-cell bandeau-icone-css loupe">Article détaillé : <a href="/wiki/E_(nombre)#Irrationalité" title="E (nombre)">Irrationalité de e</a>.</div></div> <div class="theoreme" style="margin: 1em 2em; padding: 0.5em 1em 0.4em; border: 1px solid #aaa; text-align: justify; display:table"> Théorème — Le nombre e est irrationnel. </div> <a href="/wiki/Joseph_Fourier" title="Joseph Fourier">Fourier</a> redémontre <a href="#Découverte_de_nouveaux_nombres_irrationnels">ce résultat d'Euler</a> en utilisant le <a href="/wiki/Formulaire_de_d%C3%A9veloppement_en_s%C3%A9rie_enti%C3%A8re" class="mw-redirect" title="Formulaire de développement en série entière">développement en série entière</a> de la <a href="/wiki/Fonction_exponentielle" title="Fonction exponentielle">fonction exponentielle</a>, évalué en <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 1}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>1</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 1}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92d98b82a3778f043108d4e20960a9193df57cbf" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.162ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 1}"> : <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathrm {e} =\sum _{n=0}^{\infty }{\dfrac {1}{n!}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">e</mi> </mrow> <mo>=</mo> <munderover> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">∞</mi> </mrow> </munderover> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mi>n</mi> <mo>!</mo> </mrow> </mfrac> </mstyle> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {e} =\sum _{n=0}^{\infty }{\dfrac {1}{n!}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af1d830960cc6a9b7c8c6e382a421dfd1402d83d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:10.751ex; height:6.843ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {e} =\sum _{n=0}^{\infty }{\dfrac {1}{n!}}}">. Cela lui permet de montrer que pour tout entier b > 0, le nombre b! e a une <a href="/wiki/Partie_fractionnaire" class="mw-redirect" title="Partie fractionnaire">partie fractionnaire</a> non nulle donc n'est pas entier, et donc que e n'est pas rationnel<a href="#cite_note-98">[61]</a>. Plus généralement : <ul><li>la même méthode<a href="#cite_note-Niven23-99">[62]</a> permet de prouver que pour tout entier x > 0 (et donc aussi pour tout rationnel x ≠ 0), ex est irrationnel ;</li> <li>pour toute suite <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (b_{n})_{n\in \mathbb {N} }}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> <mo>∈</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">N</mi> </mrow> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (b_{n})_{n\in \mathbb {N} }}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c84b81376113feb099565d98a7b1e99231d3def" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.527ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (b_{n})_{n\in \mathbb {N} }}"> bornée de nombres entiers, les nombres réels <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Sigma _{n\geq 0}{\frac {b_{n}}{n!}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi mathvariant="normal">Σ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> <mo>≥</mo> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msub> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mrow> <mi>n</mi> <mo>!</mo> </mrow> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Sigma _{n\geq 0}{\frac {b_{n}}{n!}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/316a23b6c484ab56bcdba214bd670bded32ec73a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:8.049ex; height:5.509ex;" alt="{\displaystyle \Sigma _{n\geq 0}{\frac {b_{n}}{n!}}}"> et <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Sigma _{n\geq 0}{\frac {b_{n}2^{n}}{n!}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi mathvariant="normal">Σ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> <mo>≥</mo> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <msup> <mn>2</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> </mrow> <mrow> <mi>n</mi> <mo>!</mo> </mrow> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Sigma _{n\geq 0}{\frac {b_{n}2^{n}}{n!}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74f581de2894e9d4229a545d3a5cc83b6d4498bf" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:10.43ex; height:5.509ex;" alt="{\displaystyle \Sigma _{n\geq 0}{\frac {b_{n}2^{n}}{n!}}}"> ne sont rationnels que si la suite <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (b_{n})_{n\in \mathbb {N} }}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> <mo>∈</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">N</mi> </mrow> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (b_{n})_{n\in \mathbb {N} }}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c84b81376113feb099565d98a7b1e99231d3def" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.527ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (b_{n})_{n\in \mathbb {N} }}"> <a href="/wiki/Suite_stationnaire" class="mw-redirect" title="Suite stationnaire">stationne</a> à 0<a href="#cite_note-Boyer-100">[63]</a>.</li></ul> <div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Irrationalité_de_la_constante_d'Apéry">Irrationalité de la constante d'Apéry</h4>[<a href="/w/index.php?title=Nombre_irrationnel&veaction=edit&section=42" title="Modifier la section : Irrationalité de la constante d'Apéry" class="mw-editsection-visualeditor">modifier</a> | <a href="/w/index.php?title=Nombre_irrationnel&action=edit&section=42" title="Modifier le code source de la section : Irrationalité de la constante d'Apéry">modifier le code</a>]</div> <div class="bandeau-container bandeau-section metadata bandeau-niveau-information"><div class="bandeau-cell bandeau-icone-css loupe">Article détaillé : <a href="/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_d%27Ap%C3%A9ry" title="Théorème d'Apéry">Théorème d'Apéry</a>.</div></div> Il est possible (<a href="#Caractérisation_des_irrationnels">voir supra</a>) de prouver l'irrationalité d'un réel x en exhibant une suite de rationnels <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {p_{n}}{q_{n}}}\neq x}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msub> <mi>p</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>q</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> </mfrac> </mrow> <mo>≠</mo> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {p_{n}}{q_{n}}}\neq x}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c019a1109138d7034684967e856f791235b7d9ef" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:7.652ex; height:5.343ex;" alt="{\displaystyle {\frac {p_{n}}{q_{n}}}\neq x}"> convergeant vers x « suffisamment vite », c'est-à-dire telle que, pour un certain μ > 1, on ait <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \left|x-{\frac {p_{n}}{q_{n}}}\right|<{\frac {1}{q_{n}^{\mu }}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow> <mo>|</mo> <mrow> <mi>x</mi> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msub> <mi>p</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>q</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> </mfrac> </mrow> </mrow> <mo>|</mo> </mrow> <mo><</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <msubsup> <mi>q</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>μ</mi> </mrow> </msubsup> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \left|x-{\frac {p_{n}}{q_{n}}}\right|<{\frac {1}{q_{n}^{\mu }}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ae8572c6382d660c2be1537d80a11a98d6fa7f9" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:14.925ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle \left|x-{\frac {p_{n}}{q_{n}}}\right|<{\frac {1}{q_{n}^{\mu }}}}"> pour tout n. C'est grâce à une telle technique que <a href="/wiki/Roger_Ap%C3%A9ry" title="Roger Apéry">Roger Apéry</a> a montré en 1978 le résultat suivant, sur l'<a href="/wiki/Image_(math%C3%A9matiques)" title="Image (mathématiques)">image</a> de 3 par la <a href="/wiki/Fonction_z%C3%AAta_de_Riemann" title="Fonction zêta de Riemann">fonction ζ de Riemann</a> : <div class="theoreme" style="margin: 1em 2em; padding: 0.5em 1em 0.4em; border: 1px solid #aaa; text-align: justify; display:table"> Théorème — La <a href="/wiki/Constante_d%27Ap%C3%A9ry" title="Constante d'Apéry">constante d'Apéry</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \zeta (3)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{3}}}\approx 1,202}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>ζ</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>3</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <munderover> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">∞</mi> </mrow> </munderover> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <msup> <mi>n</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msup> </mfrac> </mrow> <mo>≈</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mn>202</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \zeta (3)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{3}}}\approx 1,202}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ab9a3c985e88899c0da5cc131d5fa751254f8a3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:22.975ex; height:6.843ex;" alt="{\displaystyle \zeta (3)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{3}}}\approx 1,202}"> est irrationnelle. </div> <div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Séries_à_croissance_exponentielle_double">Séries à croissance exponentielle double</h4>[<a href="/w/index.php?title=Nombre_irrationnel&veaction=edit&section=43" title="Modifier la section : Séries à croissance exponentielle double" class="mw-editsection-visualeditor">modifier</a> | <a href="/w/index.php?title=Nombre_irrationnel&action=edit&section=43" title="Modifier le code source de la section : Séries à croissance exponentielle double">modifier le code</a>]</div> Dans le cas des <a href="/wiki/Fonction_exponentielle_double#Suites_à_croissance_exponentielle_double" title="Fonction exponentielle double">suites à croissance double exponentielle</a>, on dispose du théorème suivant<a href="#cite_note-101">[64]</a>: <div class="theoreme" style="margin: 1em 2em; padding: 0.5em 1em 0.4em; border: 1px solid #aaa; text-align: justify; display:table"> Théorème — Soit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (a_{k})_{k\in \mathbb {N} }}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> <mo>∈</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">N</mi> </mrow> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (a_{k})_{k\in \mathbb {N} }}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/63cfa6370af5272c22c630b3ae9e26b7aa0f8e90" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.499ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (a_{k})_{k\in \mathbb {N} }}"> et <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (b_{k})_{k\in \mathbb {N} }}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> <mo>∈</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">N</mi> </mrow> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (b_{k})_{k\in \mathbb {N} }}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23d021642c4325cd84b2fb9301f89b2584361889" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.267ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (b_{k})_{k\in \mathbb {N} }}"> deux suites d'entiers positifs tels qu'au delà d'un certain rang on ait pour tout <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}"> l'inégalité <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a_{n+1}\geq {\frac {b_{n+1}}{b_{n}}}a_{n}^{2}-{\frac {b_{n+1}}{b_{n}}}a_{n}+1}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>≥</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msub> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> </mfrac> </mrow> <msubsup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msub> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> </mfrac> </mrow> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a_{n+1}\geq {\frac {b_{n+1}}{b_{n}}}a_{n}^{2}-{\frac {b_{n+1}}{b_{n}}}a_{n}+1}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1915b6dba4b68cbbc66318e40549a0b99b0ae8a5" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:29.692ex; height:5.843ex;" alt="{\displaystyle a_{n+1}\geq {\frac {b_{n+1}}{b_{n}}}a_{n}^{2}-{\frac {b_{n+1}}{b_{n}}}a_{n}+1}">. Si la série <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \sum _{k=0}^{+\infty }{\frac {b_{n}}{a_{n}}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <munderover> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>+</mo> <mi mathvariant="normal">∞</mi> </mrow> </munderover> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msub> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sum _{k=0}^{+\infty }{\frac {b_{n}}{a_{n}}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f7028502e600189a6418e3079158975381072e4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:7.026ex; height:7.343ex;" alt="{\displaystyle \sum _{k=0}^{+\infty }{\frac {b_{n}}{a_{n}}}}"> converge vers un nombre rationnel, alors on a pour tout <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}"> au-delà d'un certain rang <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a_{n+1}={\frac {b_{n+1}}{b_{n}}}a_{n}^{2}-{\frac {b_{n+1}}{b_{n}}}a_{n}+1}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msub> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> </mfrac> </mrow> <msubsup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msub> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> </mfrac> </mrow> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a_{n+1}={\frac {b_{n+1}}{b_{n}}}a_{n}^{2}-{\frac {b_{n+1}}{b_{n}}}a_{n}+1}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd432930affd256c849a3424cb13b6fa439b9bf9" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:29.692ex; height:5.843ex;" alt="{\displaystyle a_{n+1}={\frac {b_{n+1}}{b_{n}}}a_{n}^{2}-{\frac {b_{n+1}}{b_{n}}}a_{n}+1}"> : l'inégalité large est en fait une égalité<a href="#cite_note-102">[N 38]</a>. </div> En considérant la suite <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (b_{k})_{k\in \mathbb {N} }}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> <mo>∈</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">N</mi> </mrow> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (b_{k})_{k\in \mathbb {N} }}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23d021642c4325cd84b2fb9301f89b2584361889" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.267ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (b_{k})_{k\in \mathbb {N} }}"> constante égale à 1, la <a href="/wiki/Contrapos%C3%A9e" class="mw-redirect" title="Contraposée">contraposée</a> de ce théorème permet de prouver l'irrationalité de la somme des inverses des <a href="/wiki/Nombre_double_de_Mersenne" title="Nombre double de Mersenne">nombres doubles de Mersenne</a><a href="#cite_note-103">[N 39]</a> mais pas de retrouver l'irrationalité de la série des inverses des nombres de Fermat, et ce bien que son terme général croisse comme une exponentielle double<a href="#cite_note-104">[N 40]</a> ; ce nombre est cependant bien irrationnel (<a href="#Autres_séries">voir infra</a>) et même <a href="/wiki/Nombre_transcendant" title="Nombre transcendant">transcendant</a>, ce qui fut démontré en 1967<a href="#cite_note-105">[65]</a>. <div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Autres_séries">Autres séries</h4>[<a href="/w/index.php?title=Nombre_irrationnel&veaction=edit&section=44" title="Modifier la section : Autres séries" class="mw-editsection-visualeditor">modifier</a> | <a href="/w/index.php?title=Nombre_irrationnel&action=edit&section=44" title="Modifier le code source de la section : Autres séries">modifier le code</a>]</div> <ul><li>La <a href="/wiki/Constante_d%27Erd%C5%91s-Borwein" title="Constante d'Erdős-Borwein">constante d'Erdős-Borwein</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}-1}}\approx 1,606695}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <munderover> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">∞</mi> </mrow> </munderover> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <msup> <mn>2</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>≈</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mn>606695</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}-1}}\approx 1,606695}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b6c1184d0c856b021fca6db5e827365ab1b633bb" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:23.232ex; height:6.843ex;" alt="{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}-1}}\approx 1,606695}">, obtenue comme la somme de la série des inverses des <a href="/wiki/Nombre_de_Mersenne" class="mw-redirect" title="Nombre de Mersenne">nombres de Mersenne</a>, et la somme de la série des inverses des <a href="/wiki/Nombre_de_Fermat" title="Nombre de Fermat">nombres de Fermat</a><a href="#cite_note-gol-106">[66]</a>,<a href="#cite_note-107">[N 41]</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{2^{2^{n}}+1}}\approx 0{,}596}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <munderover> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">∞</mi> </mrow> </munderover> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <msup> <mn>2</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msup> <mn>2</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>≈</mo> <mn>0,596</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{2^{2^{n}}+1}}\approx 0{,}596}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5eb26ecf5ef6f1b29dc90d98ca43d91ebac606e1" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:20.158ex; height:6.843ex;" alt="{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{2^{2^{n}}+1}}\approx 0{,}596}"> sont irrationnelles. En effet, des suites arbitrairement longues de zéros ont été mises en évidence dans leur développement en <a href="/wiki/Base_2" class="mw-redirect" title="Base 2">base 2</a>. Le raisonnement mis en œuvre pour ce faire est cependant bien plus technique que dans les exemples précédents.</li> <li>En s'inspirant de la méthode d'Apéry (<a href="#Irrationalité_de_la_constante_d'Apéry">voir supra</a>), Richard André-Jeannin a démontré en 1989<a href="#cite_note-108">[67]</a> que la <a href="/wiki/S%C3%A9rie_des_inverses_des_nombres_de_Fibonacci" class="mw-redirect" title="Série des inverses des nombres de Fibonacci">somme des inverses des nombres de Fibonacci</a><a href="#cite_note-109">[68]</a>,<a href="#cite_note-110">[N 42]</a> est irrationnelle.</li></ul> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Autres_exemples">Autres exemples</h3>[<a href="/w/index.php?title=Nombre_irrationnel&veaction=edit&section=45" title="Modifier la section : Autres exemples" class="mw-editsection-visualeditor">modifier</a> | <a href="/w/index.php?title=Nombre_irrationnel&action=edit&section=45" title="Modifier le code source de la section : Autres exemples">modifier le code</a>]</div> <div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Irrationalité_de_π">Irrationalité de π</h4>[<a href="/w/index.php?title=Nombre_irrationnel&veaction=edit&section=46" title="Modifier la section : Irrationalité de π" class="mw-editsection-visualeditor">modifier</a> | <a href="/w/index.php?title=Nombre_irrationnel&action=edit&section=46" title="Modifier le code source de la section : Irrationalité de π">modifier le code</a>]</div> <div class="bandeau-container bandeau-section metadata bandeau-niveau-information"><div class="bandeau-cell bandeau-icone-css loupe">Article détaillé : <a href="/wiki/Preuve_de_l%27irrationalit%C3%A9_de_%CF%80" title="Preuve de l'irrationalité de π">Preuve de l'irrationalité de π</a>.</div></div> <div class="theoreme" style="margin: 1em 2em; padding: 0.5em 1em 0.4em; border: 1px solid #aaa; text-align: justify; display:table"> Théorème — Le nombre π est irrationnel. </div> <a href="/wiki/Ivan_Niven" title="Ivan Niven">Ivan Niven</a> redémontre <a href="/wiki/Raisonnement_par_l%27absurde" title="Raisonnement par l'absurde">par l'absurde</a> <a href="#Époque_moderne">ce résultat de Lambert</a>, en supposant que <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \pi ={\frac {a}{b}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>π</mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>a</mi> <mi>b</mi> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \pi ={\frac {a}{b}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47c2515f481302780674e164281865e5c8f792f8" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:6.496ex; height:4.843ex;" alt="{\displaystyle \pi ={\frac {a}{b}}}"> avec <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.23ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle a}"> et <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>b</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f11423fbb2e967f986e36804a8ae4271734917c3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.998ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle b}"> entiers et en construisant, à partir de cette hypothèse, une expression qui est égale à un nombre entier tout en pouvant être strictement comprise entre 0 et 1, ce qui est absurde. Supposer que <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \pi }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>π</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \pi }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9be4ba0bb8df3af72e90a0535fabcc17431e540a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.332ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \pi }"> est rationnel conduit donc à une contradiction, et donc <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \pi }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>π</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \pi }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9be4ba0bb8df3af72e90a0535fabcc17431e540a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.332ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \pi }"> est irrationnel. <div class="NavFrame" style="border: thin solid #aaaaaa; margin:1em 2em; padding: 0 1em; font-size:100%; text-align:justify; overflow:hidden;"> <div class="NavHead" style="background-color:transparent; color:inherit; padding:0;">Démonstration analogue de l'irrationalité de π2</div><div class="NavContent" style="padding-bottom:0.4em"> Hardy et Wright, reprenant la méthode de Niven, démontrent de la façon suivante<a href="#cite_note-HardyWright4-14">[13]</a>,<a href="#cite_note-111">[69]</a> l'irrationalité de π2, qui implique celle de π (<a href="#Propriétés_de_clôture">voir supra</a>). Considérons, pour tout entier naturel <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}">, la <a href="/wiki/Fonction_polynomiale" title="Fonction polynomiale">fonction polynomiale</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f_{n}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>f</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f_{n}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2702450f0458a5e01a698e248af552a7fab2b50" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.358ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f_{n}}"> définie par <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f_{n}(x)={\frac {x^{n}(1-x)^{n}}{n!}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>f</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>1</mn> <mo>−</mo> <mi>x</mi> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> </mrow> <mrow> <mi>n</mi> <mo>!</mo> </mrow> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f_{n}(x)={\frac {x^{n}(1-x)^{n}}{n!}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/60e5e3a28f9037afc2664733566c069bcc3cae4a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:20.34ex; height:5.843ex;" alt="{\displaystyle f_{n}(x)={\frac {x^{n}(1-x)^{n}}{n!}}}">. Ses dérivées jusqu'à l'ordre 2n prennent une valeur entière en 0 (donc aussi en 1 par symétrie) et la dérivée suivante est nulle. Supposons que <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \pi ^{2}={\frac {a}{b}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>π</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>a</mi> <mi>b</mi> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \pi ^{2}={\frac {a}{b}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3176368ff82246190ea59f0ce95983679c2cd35d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:7.553ex; height:4.843ex;" alt="{\displaystyle \pi ^{2}={\frac {a}{b}}}"> avec <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.23ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle a}"> et <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>b</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f11423fbb2e967f986e36804a8ae4271734917c3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.998ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle b}"> entiers strictement positifs et posons <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle G_{n}(x)=\sum _{k\in \mathbb {N} }(-b)^{k}a^{n-k}f_{n}^{(2k)}(x)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>G</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <munder> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> <mo>∈</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">N</mi> </mrow> </mrow> </munder> <mo stretchy="false">(</mo> <mo>−</mo> <mi>b</mi> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msup> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> <mo>−</mo> <mi>k</mi> </mrow> </msup> <msubsup> <mi>f</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>2</mn> <mi>k</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </msubsup> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G_{n}(x)=\sum _{k\in \mathbb {N} }(-b)^{k}a^{n-k}f_{n}^{(2k)}(x)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a71541d5a5ac4069cf07063e3602f0008aa5ff83" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:30.574ex; height:5.843ex;" alt="{\displaystyle G_{n}(x)=\sum _{k\in \mathbb {N} }(-b)^{k}a^{n-k}f_{n}^{(2k)}(x)}">. D'après ce qui précède, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle G_{n}(0)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>G</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>0</mn> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G_{n}(0)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d50d0571b6b32ac2b6d86b690854449dc3754854" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.017ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle G_{n}(0)}"> et <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle G_{n}(1)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>G</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>1</mn> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G_{n}(1)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6322cb23094325fcb1918cd026035f6e856f4d76" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.017ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle G_{n}(1)}"> sont des entiers. De plus, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left(G_{n}'(x)\sin(\pi x)-\pi G_{n}(x)\cos(\pi x)\right)=\left(G_{n}''(x)+\pi ^{2}G_{n}(x)\right)\sin(\pi x)=\pi ^{2}a^{n}f_{n}(x)\sin(\pi x)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mi>x</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msubsup> <mi>G</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> <mo>′</mo> </msubsup> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>sin</mi> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>π</mi> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>−</mo> <mi>π</mi> <msub> <mi>G</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>cos</mi> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>π</mi> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msubsup> <mi>G</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> <mo>″</mo> </msubsup> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>+</mo> <msup> <mi>π</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <msub> <mi>G</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mi>sin</mi> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>π</mi> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <msup> <mi>π</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <msub> <mi>f</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>sin</mi> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>π</mi> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left(G_{n}'(x)\sin(\pi x)-\pi G_{n}(x)\cos(\pi x)\right)=\left(G_{n}''(x)+\pi ^{2}G_{n}(x)\right)\sin(\pi x)=\pi ^{2}a^{n}f_{n}(x)\sin(\pi x)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/921b74e29cc9d5128e7118f3ce2435483ec3e3d3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:89.563ex; height:5.509ex;" alt="{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left(G_{n}'(x)\sin(\pi x)-\pi G_{n}(x)\cos(\pi x)\right)=\left(G_{n}''(x)+\pi ^{2}G_{n}(x)\right)\sin(\pi x)=\pi ^{2}a^{n}f_{n}(x)\sin(\pi x)}"> (par <a href="/wiki/S%C3%A9rie_t%C3%A9lescopique" class="mw-redirect" title="Série télescopique">télescopage</a>) donc <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \pi \int _{0}^{1}a^{n}\sin(\pi x)f_{n}(x)\mathrm {d} x=\left[{\frac {G_{n}'(x)\sin(\pi x)}{\pi }}-G_{n}(x)\cos(\pi x)\right]_{0}^{1}=G_{n}(0)+G_{n}(1)\in \mathbb {Z} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>π</mi> <msubsup> <mo>∫</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msubsup> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <mi>sin</mi> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>π</mi> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <msub> <mi>f</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mi>x</mi> <mo>=</mo> <msubsup> <mrow> <mo>[</mo> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <msubsup> <mi>G</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> <mo>′</mo> </msubsup> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>sin</mi> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>π</mi> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mi>π</mi> </mfrac> </mrow> <mo>−</mo> <msub> <mi>G</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>cos</mi> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>π</mi> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mo>]</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msubsup> <mo>=</mo> <msub> <mi>G</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>0</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>+</mo> <msub> <mi>G</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>1</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>∈</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">Z</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \pi \int _{0}^{1}a^{n}\sin(\pi x)f_{n}(x)\mathrm {d} x=\left[{\frac {G_{n}'(x)\sin(\pi x)}{\pi }}-G_{n}(x)\cos(\pi x)\right]_{0}^{1}=G_{n}(0)+G_{n}(1)\in \mathbb {Z} }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0746d885154cb1a3f71a3c91d546e78b225f2067" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:84.605ex; height:6.676ex;" alt="{\displaystyle \pi \int _{0}^{1}a^{n}\sin(\pi x)f_{n}(x)\mathrm {d} x=\left[{\frac {G_{n}'(x)\sin(\pi x)}{\pi }}-G_{n}(x)\cos(\pi x)\right]_{0}^{1}=G_{n}(0)+G_{n}(1)\in \mathbb {Z} }">.</dd></dl> Cependant, sur ]0, 1[, la fonction <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x\mapsto \sin(\pi x)f_{n}(x)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">↦</mo> <mi>sin</mi> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>π</mi> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <msub> <mi>f</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x\mapsto \sin(\pi x)f_{n}(x)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cee145e8ebb0eea8bb09ced7bfeaf2765525d482" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:17.767ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle x\mapsto \sin(\pi x)f_{n}(x)}"> est <a href="/wiki/Continue" class="mw-redirect" title="Continue">continue</a> et strictement comprise entre 0 et <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {1}{n!}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mi>n</mi> <mo>!</mo> </mrow> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {1}{n!}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13afd849707d08294eb548c3947c0f29801a4ad2" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:2.878ex; height:5.343ex;" alt="{\displaystyle {\frac {1}{n!}}}"> <a href="/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_des_bornes" class="mw-redirect" title="Théorème des bornes">donc</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 0<\pi \int _{0}^{1}a^{n}\sin(\pi x)f_{n}(x)\,\mathrm {d} x<\pi {\frac {a^{n}}{n!}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>0</mn> <mo><</mo> <mi>π</mi> <msubsup> <mo>∫</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msubsup> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <mi>sin</mi> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>π</mi> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <msub> <mi>f</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mspace width="thinmathspace" /> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mi>x</mi> <mo><</mo> <mi>π</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <mrow> <mi>n</mi> <mo>!</mo> </mrow> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 0<\pi \int _{0}^{1}a^{n}\sin(\pi x)f_{n}(x)\,\mathrm {d} x<\pi {\frac {a^{n}}{n!}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fea61259233afa627b4fe2e617a3519cf85dcb2d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:36.268ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle 0<\pi \int _{0}^{1}a^{n}\sin(\pi x)f_{n}(x)\,\mathrm {d} x<\pi {\frac {a^{n}}{n!}}}">. De plus, pour n suffisamment grand, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \pi {\frac {a^{n}}{n!}}<1}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>π</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <mrow> <mi>n</mi> <mo>!</mo> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo><</mo> <mn>1</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \pi {\frac {a^{n}}{n!}}<1}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a5cd76806f9adc296eb3c924e722653886f78d72" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:8.877ex; height:5.343ex;" alt="{\displaystyle \pi {\frac {a^{n}}{n!}}<1}"> (la <a href="/wiki/Fonction_exponentielle#Par_une_série" title="Fonction exponentielle">série exp(a)</a> est même <a href="/wiki/S%C3%A9rie_convergente" title="Série convergente">convergente</a>). L'entier <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle G_{n}(0)+G_{n}(1)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>G</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>0</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>+</mo> <msub> <mi>G</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>1</mn> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G_{n}(0)+G_{n}(1)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9bdcb297b47f80210b211d91921eddc4b87875f5" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:14.874ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle G_{n}(0)+G_{n}(1)}"> est alors strictement compris entre 0 et 1, ce qui est absurde. </div><div class="clear" style="clear:both;"></div> </div> <div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Logarithmes_d'entiers">Logarithmes d'entiers</h4>[<a href="/w/index.php?title=Nombre_irrationnel&veaction=edit&section=47" title="Modifier la section : Logarithmes d'entiers" class="mw-editsection-visualeditor">modifier</a> | <a href="/w/index.php?title=Nombre_irrationnel&action=edit&section=47" title="Modifier le code source de la section : Logarithmes d'entiers">modifier le code</a>]</div> Puisque (à part e0 = 1) toute puissance rationnelle de e est irrationnelle (<a href="#Irrationalité_de_π">voir supra</a>), le <a href="/wiki/Logarithme_n%C3%A9p%C3%A9rien" title="Logarithme népérien">logarithme népérien</a> ln x de tout rationnel positif x ≠ 1 est irrationnel<a href="#cite_note-Niven23-99">[62]</a>. Le nombre <a href="/wiki/Logarithme_d%C3%A9cimal" title="Logarithme décimal">log10 2</a> est lui aussi irrationnel puisqu'il n'existe pas d'entiers a, b ≠ 0 tels que 2a = 10b ; plus généralement, <a href="/wiki/Logarithme" title="Logarithme">logn m</a> = <a href="/wiki/Logarithme_naturel" class="mw-redirect" title="Logarithme naturel">ln m</a>/ln n est irrationnel<a href="#cite_note-112">[N 43]</a> pour tous entiers m, n > 1 qui n'ont pas le même ensemble de facteurs premiers<a href="#cite_note-HardyWright4-14">[13]</a> (ou encore : le même <a href="/wiki/Radical_d%27un_entier" title="Radical d'un entier">radical</a>). Par exemple : log10 15 et <a href="/wiki/Logarithme_binaire" title="Logarithme binaire">log2 6</a> sont irrationnels. <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Problèmes_ouverts">Problèmes ouverts</h2>[<a href="/w/index.php?title=Nombre_irrationnel&veaction=edit&section=48" title="Modifier la section : Problèmes ouverts" class="mw-editsection-visualeditor">modifier</a> | <a href="/w/index.php?title=Nombre_irrationnel&action=edit&section=48" title="Modifier le code source de la section : Problèmes ouverts">modifier le code</a>]</div> On ne sait pas si les nombres π + e et π – e sont ou non irrationnels<a href="#cite_note-113">[N 44]</a>. On conjecture cependant que π, e et 1 sont ℚ-<a href="/wiki/Ind%C3%A9pendance_lin%C3%A9aire" title="Indépendance linéaire">linéairement indépendants</a><a href="#cite_note-114">[N 45]</a>. On ne sait pas plus si 2e, πe, π√2, la <a href="/wiki/Constante_de_Khintchine" title="Constante de Khintchine">constante de Khintchine</a> ou la <a href="/wiki/Constante_d%27Euler-Mascheroni" title="Constante d'Euler-Mascheroni">constante γ d'Euler-Mascheroni</a> sont irrationnels. On ignore également, pour tout entier impair n > 3, si <a href="/wiki/Fonction_z%C3%AAta_de_Riemann" title="Fonction zêta de Riemann">ζ(n)</a> est irrationnel. En effet, pour les entiers positifs impairs<a href="#cite_note-115">[N 46]</a>, seul le cas de ζ(3) est connu grâce au <a href="#Utilisation_d'approximation_par_des_rationnels">théorème d'Apéry</a>. Cependant, il a été prouvé que ζ prend une valeur irrationnelle pour une infinité de nombres impairs, dont au moins l'un des quatre nombres 5, 7, 9 ou 11<a href="#cite_note-116">[N 47]</a>. De plus, des <a href="/wiki/Math%C3%A9matiques_exp%C3%A9rimentales" title="Mathématiques expérimentales">calculs en haute précision</a> rendent extrêmement vraisemblable l'irrationalité et même la transcendance de tous ces nombres. Certains problèmes ouverts d'autres domaines des mathématiques peuvent être exprimés comme des problèmes d'irrationalité. Par exemple, si la <a href="/wiki/Constante_de_Brun#Prolongements" title="Constante de Brun">constante de Brun</a> était irrationnelle, cela impliquerait la <a href="/wiki/Nombres_premiers_jumeaux#Conjecture_des_nombres_premiers_jumeaux" title="Nombres premiers jumeaux">conjecture des nombres premiers jumeaux</a><a href="#cite_note-117">[N 48]</a>. <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Notes_et_références">Notes et références</h2>[<a href="/w/index.php?title=Nombre_irrationnel&veaction=edit&section=49" title="Modifier la section : Notes et références" class="mw-editsection-visualeditor">modifier</a> | <a href="/w/index.php?title=Nombre_irrationnel&action=edit&section=49" title="Modifier le code source de la section : Notes et références">modifier le code</a>]</div> <div style="font-size:85%; padding-left:1.6em; margin:0.3em 0;"><abbr class="abbr indicateur-langue" title="Langue : anglais">(en)</abbr> Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « <a class="external text" href="https://en.wikipedia.org/wiki/Irrational_number?oldid=106750593">Irrational number</a> » (<a class="external text" href="https://en.wikipedia.org/wiki/Irrational_number?action=history">voir la liste des auteurs</a>).</div> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Notes">Notes</h3>[<a href="/w/index.php?title=Nombre_irrationnel&veaction=edit&section=50" title="Modifier la section : Notes" class="mw-editsection-visualeditor">modifier</a> | <a href="/w/index.php?title=Nombre_irrationnel&action=edit&section=50" title="Modifier le code source de la section : Notes">modifier le code</a>]</div> <div class="references-small decimal" style=""><div class="mw-references-wrap mw-references-columns"><ol class="references"> <li id="cite_note-Per-1">↑ <a href="#cite_ref-Per_1-0">a</a> <a href="#cite_ref-Per_1-1">b</a> et <a href="#cite_ref-Per_1-2">c</a> Dans tout cet article, « périodique » signifie « périodique à partir d'un certain rang ». </li> <li id="cite_note-16"><a href="#cite_ref-16">↑</a> Ces propriétés sont énoncées ici avec une formulation moderne, ni π ni les racines carrées n'étant considérés comme des nombres à proprement parler dans l'Antiquité grecque. </li> <li id="cite_note-30"><a href="#cite_ref-30">↑</a> Les nombres rationnels potentiellement racine d'un polynôme donné sont en nombre fini, et ne nécessitent pas de calcul approché pour être identifiés (<a href="#Propriété_des_polynômes_à_coefficients_entiers">voir infra</a>). </li> <li id="cite_note-31"><a href="#cite_ref-31">↑</a> Voir l'article « <a href="/wiki/Formule_de_Machin" title="Formule de Machin">Formule de Machin</a> » pour plus de détails. </li> <li id="cite_note-33"><a href="#cite_ref-33">↑</a> Voir l'article « <a href="/wiki/Formule_de_Leibniz" title="Formule de Leibniz">Formule de Leibniz</a> » pour plus de détails. </li> <li id="cite_note-gamma-35">↑ <a href="#cite_ref-gamma_35-0">a</a> et <a href="#cite_ref-gamma_35-1">b</a> En fait il n'est pas prouvé que la constante γ d'Euler est irrationnelle, mais des calculs numériques poussés laissent penser que c'est bien le cas (<a href="#Problèmes_ouverts">voir infra</a>). </li> <li id="cite_note-IrrationalitéE-37"><a href="#cite_ref-IrrationalitéE_37-0">↑</a> Voir la <a href="/wiki/Fraction_continue_et_approximation_diophantienne#Exemple_:_le_nombre_e" title="Fraction continue et approximation diophantienne">section « Exemple : le nombre e » de l'article « Fraction continue et approximation diophantienne »</a>. </li> <li id="cite_note-IrrationalitéPi-39"><a href="#cite_ref-IrrationalitéPi_39-0">↑</a> Voir la <a href="/wiki/Fraction_continue_et_approximation_diophantienne#Irrationalité" title="Fraction continue et approximation diophantienne">section « Irrationalité » de l'article « Fraction continue et approximation diophantienne »</a>. </li> <li id="cite_note-40"><a href="#cite_ref-40">↑</a> Ce résultat a pour conséquence l'irrationalité de la somme <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <munderover> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">∞</mi> </mrow> </munderover> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <msup> <mi>n</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b42204c71e0c7128ff6f317abcb1deea9c6a946" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:7.027ex; height:6.843ex;" alt="{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}}"> calculée par Euler 30 ans plus tôt, et que l'on note aujourd'hui ζ(2). </li> <li id="cite_note-45"><a href="#cite_ref-45">↑</a> Voir l'article détaillé « <a href="/wiki/Construction_des_nombres_r%C3%A9els" title="Construction des nombres réels">Construction des nombres réels</a> ». </li> <li id="cite_note-TheoWantzel-46">↑ <a href="#cite_ref-TheoWantzel_46-0">a</a> <a href="#cite_ref-TheoWantzel_46-1">b</a> <a href="#cite_ref-TheoWantzel_46-2">c</a> <a href="#cite_ref-TheoWantzel_46-3">d</a> et <a href="#cite_ref-TheoWantzel_46-4">e</a> Voir l'article « <a href="/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Wantzel" title="Théorème de Wantzel">Théorème de Wantzel</a> ». </li> <li id="cite_note-47"><a href="#cite_ref-47">↑</a> L'existence même de nombres transcendants n'était cependant pas certaine pour les mathématiciens de l'époque. </li> <li id="cite_note-Liouville-48">↑ <a href="#cite_ref-Liouville_48-0">a</a> et <a href="#cite_ref-Liouville_48-1">b</a> Voir l'article « <a href="/wiki/Nombre_de_Liouville" title="Nombre de Liouville">Nombre de Liouville</a> ». </li> <li id="cite_note-transcendencePi+e-49">↑ <a href="#cite_ref-transcendencePi+e_49-0">a</a> et <a href="#cite_ref-transcendencePi+e_49-1">b</a> Voir l'article « <a href="/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_d%27Hermite-Lindemann" title="Théorème d'Hermite-Lindemann">Théorème d'Hermite-Lindemann</a> ». </li> <li id="cite_note-normal-50">↑ <a href="#cite_ref-normal_50-0">a</a> et <a href="#cite_ref-normal_50-1">b</a> Voir l'article « <a href="/wiki/Nombre_normal" title="Nombre normal">Nombre normal</a> ». </li> <li id="cite_note-53"><a href="#cite_ref-53">↑</a> Shanks donnait en fait 707 décimales mais son calcul, effectué à la main, était faux au-delà de la <abbr class="abbr" title="Cinq cent vingt-huitième">528e</abbr>. </li> <li id="cite_note-56"><a href="#cite_ref-56">↑</a> Aucune formule analogue pour la <a href="/wiki/Syst%C3%A8me_d%C3%A9cimal" title="Système décimal">base dix</a> n'est connue en 2017. </li> <li id="cite_note-59"><a href="#cite_ref-59">↑</a> Voir la <a href="/wiki/Fraction_continue_d%27un_irrationnel_quadratique#Période" title="Fraction continue d'un irrationnel quadratique">section « Période » de l'article « Fraction continue d'un irrationnel quadratique »</a>. </li> <li id="cite_note-62"><a href="#cite_ref-62">↑</a> Le <a href="/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Hurwitz_(approximation_diophantienne)" title="Théorème de Hurwitz (approximation diophantienne)">théorème de Hurwitz</a> raffine ce résultat en énonçant que pour tout irrationnel x, il existe une infinité de rationnels p/q tels que <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \textstyle {\left|x-{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{q^{2}{\sqrt {5}}}}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow> <mo>|</mo> <mrow> <mi>x</mi> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>p</mi> <mi>q</mi> </mfrac> </mrow> </mrow> <mo>|</mo> </mrow> <mo><</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <msup> <mi>q</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mn>5</mn> </msqrt> </mrow> </mrow> </mfrac> </mrow> </mrow> </mstyle> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \textstyle {\left|x-{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{q^{2}{\sqrt {5}}}}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/793bc05e11bbed2ed821498d8a52a47d1a40eb9c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:14.847ex; height:4.343ex;" alt="{\displaystyle \textstyle {\left|x-{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{q^{2}{\sqrt {5}}}}}}"> et que la constante √5 est optimale : avec n'importe quelle constante plus grande, le théorème est faux pour certains nombres, par exemple le <a href="/wiki/Nombre_d%27or" title="Nombre d'or">nombre d'or</a>. Pour plus de détails, voir l'article sur le <a href="/wiki/Spectre_de_Lagrange" title="Spectre de Lagrange">spectre de Lagrange</a>. </li> <li id="cite_note-67"><a href="#cite_ref-67">↑</a> Plus généralement, les nombres analogues à la constante de Champernowne en base <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>b</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f11423fbb2e967f986e36804a8ae4271734917c3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.998ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle b}"> quelconque à une mesure d'irrationalité égale à <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>b</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f11423fbb2e967f986e36804a8ae4271734917c3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.998ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle b}">. </li> <li id="cite_note-70"><a href="#cite_ref-70">↑</a> Par exemple on détermine un entier <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle q_{1}\in \mathbb {N} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>q</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>∈</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">N</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle q_{1}\in \mathbb {N} }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/734199dd074e82f925a493279ea0be5eefb5c3cd" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:6.61ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle q_{1}\in \mathbb {N} }"> tel que <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {1}{q_{1}}}<\varepsilon }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <msub> <mi>q</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mfrac> </mrow> <mo><</mo> <mi>ε</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {1}{q_{1}}}<\varepsilon }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06268454800bf2823fdbb96d9dc4187883c4e3e6" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:7.109ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle {\frac {1}{q_{1}}}<\varepsilon }">, il existe alors deux entiers <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle q>q_{1}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>q</mi> <mo>></mo> <msub> <mi>q</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle q>q_{1}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/95d97f3a121e8b40e3aeb55033487fd3383f4db2" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:6.259ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle q>q_{1}}"> et <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>p</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81eac1e205430d1f40810df36a0edffdc367af36" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:1.259ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle p}"> tels que <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \left|\xi -{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{q^{2}}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow> <mo>|</mo> <mrow> <mi>ξ</mi> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>p</mi> <mi>q</mi> </mfrac> </mrow> </mrow> <mo>|</mo> </mrow> <mo><</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <msup> <mi>q</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \left|\xi -{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{q^{2}}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e4208f0b7d64dffa0d81b93136fb4ed64efc58e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:13.238ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle \left|\xi -{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{q^{2}}}}"> et donc <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle |q\xi -p|<{\frac {1}{q}}<{\frac {1}{q_{1}}}<\varepsilon }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mi>q</mi> <mi>ξ</mi> <mo>−</mo> <mi>p</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mo><</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mi>q</mi> </mfrac> </mrow> <mo><</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <msub> <mi>q</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mfrac> </mrow> <mo><</mo> <mi>ε</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle |q\xi -p|<{\frac {1}{q}}<{\frac {1}{q_{1}}}<\varepsilon }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc66538fc48eaeeb89eb022a8249adf8ed85d9d1" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:22.708ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle |q\xi -p|<{\frac {1}{q}}<{\frac {1}{q_{1}}}<\varepsilon }"> d'où le résultat. </li> <li id="cite_note-73"><a href="#cite_ref-73">↑</a> En restreignant l'action à <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \operatorname {PSL} (2,\mathbb {Z} )}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>PSL</mi> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>2</mn> <mo>,</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">Z</mi> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \operatorname {PSL} (2,\mathbb {Z} )}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d07c4707549b11cc60db794be21df15e05ea0462" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.884ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \operatorname {PSL} (2,\mathbb {Z} )}">, on trouve tous les irrationnels <a href="/wiki/Fraction_continue_et_approximation_diophantienne#Nombres_équivalents" title="Fraction continue et approximation diophantienne">équivalents</a> à un irrationnel donné. </li> <li id="cite_note-75"><a href="#cite_ref-75">↑</a> Par exemple eln 2 = 2 alors que e et ln 2 sont irrationnels (<a href="#Exemples_de_nombres_irrationnels_et_de_preuves_d'irrationalité">voir infra</a>). </li> <li id="cite_note-76"><a href="#cite_ref-76">↑</a> Le <a href="/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Gelfond-Schneider" title="Théorème de Gelfond-Schneider">théorème de Gelfond-Schneider</a> en fournit toute une famille d'exemples. </li> <li id="cite_note-Cantor-77">↑ <a href="#cite_ref-Cantor_77-0">a</a> et <a href="#cite_ref-Cantor_77-1">b</a> Voir la <a href="/wiki/Georg_Cantor#Travaux" title="Georg Cantor">section « Travaux » de l'article sur Georg Cantor</a>. </li> <li id="cite_note-79"><a href="#cite_ref-79">↑</a> En effet, les rationnels forment un Fσ mais pas un Gδ : voir la <a href="/wiki/Hi%C3%A9rarchie_de_Borel#Propriétés_élémentaires" title="Hiérarchie de Borel">section « Propriétés élémentaires » de l'article « Hiérarchie de Borel »</a>. </li> <li id="cite_note-80"><a href="#cite_ref-80">↑</a> Pour cette équivalence, voir la <a href="/wiki/Classification_des_discontinuit%C3%A9s#Ensemble_des_discontinuités_d'une_fonction" title="Classification des discontinuités">section « Ensemble des discontinuités d'une fonction » de l'article « Classification des discontinuités »</a>. </li> <li id="cite_note-81"><a href="#cite_ref-81">↑</a> C'est le cas par exemple de la <a href="/wiki/Fonction_de_Thomae" title="Fonction de Thomae">fonction de Thomae</a>. </li> <li id="cite_note-84"><a href="#cite_ref-84">↑</a> Voir la <a href="/wiki/Constante_d%27Euler-Mascheroni#Valeur_approchée_et_propriétés" title="Constante d'Euler-Mascheroni">section « Valeur approchée et propriétés » de l'article « Constante d'Euler-Mascheroni »</a>. </li> <li id="cite_note-85"><a href="#cite_ref-85">↑</a> Cette preuve est traditionnellement attribuée à <a href="/wiki/Pythagore" title="Pythagore">Pythagore</a>, bien que l'on ne sache pas si elle est de lui ni s'il s'agit de la première à avoir été proposée (<a href="#Découverte_des_irrationnels">voir supra</a>). </li> <li id="cite_note-87"><a href="#cite_ref-87">↑</a> Voir la <a href="/wiki/Racine_%C3%A9vidente#Exemple_de_preuve_d'irrationalité" title="Racine évidente">section « Exemple de preuve d'irrationalité » de l'article « Racine évidente »</a>. </li> <li id="cite_note-88"><a href="#cite_ref-88">↑</a> Cela se déduit des <a href="/wiki/Identit%C3%A9_trigonom%C3%A9trique" class="mw-redirect" title="Identité trigonométrique">identités trigonométriques</a> classiques valables pour tout réel <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.23ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle a}"> : <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \cos(2a)=2\cos ^{2}a-1}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>cos</mi> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>2</mn> <mi>a</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mn>2</mn> <msup> <mi>cos</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>⁡</mo> <mi>a</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \cos(2a)=2\cos ^{2}a-1}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/464cc6223e79b446dfda6d3e86cd38a63e4ca2ee" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:21.746ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle \cos(2a)=2\cos ^{2}a-1}">, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \cos ^{2}a+\sin ^{2}a=1}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>cos</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>⁡</mo> <mi>a</mi> <mo>+</mo> <msup> <mi>sin</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>⁡</mo> <mi>a</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \cos ^{2}a+\sin ^{2}a=1}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/099267d043ae85343530f2f2f4149395e3153dd6" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:18.41ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \cos ^{2}a+\sin ^{2}a=1}"> et <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 1+\tan ^{2}a={\frac {1}{\cos ^{2}a}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <msup> <mi>tan</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>⁡</mo> <mi>a</mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <msup> <mi>cos</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>⁡</mo> <mi>a</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 1+\tan ^{2}a={\frac {1}{\cos ^{2}a}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6671a2e6a9c80e2e137211ef65ab3337b942d370" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; width:19.75ex; height:5.509ex;" alt="{\displaystyle 1+\tan ^{2}a={\frac {1}{\cos ^{2}a}}}">, ou encore, de la <a href="/wiki/Bissectrice#Construction_géométrique" title="Bissectrice">constructibilité des bissectrices</a>. </li> <li id="cite_note-89"><a href="#cite_ref-89">↑</a> Pour une démonstration directe dans un cadre plus général, voir la <a href="/wiki/Lemme_d%27Euclide#Fermeture_intégrale" title="Lemme d'Euclide">section « Fermeture intégrale » de l'article « Lemme d'Euclide »</a>. </li> <li id="cite_note-91"><a href="#cite_ref-91">↑</a> Ce théorème a été redémontré par de nombreux auteurs, notamment Niven : voir <a href="/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Niven" title="Théorème de Niven">Théorème de Niven</a> et <a href="#Niven1956">Niven 1956</a>, corollaire 3.12 et notes, <abbr class="abbr" title="page">p.</abbr> 41. </li> <li id="cite_note-95"><a href="#cite_ref-95">↑</a> De plus, <a href="/wiki/Kurt_Mahler" title="Kurt Mahler">Kurt Mahler</a> a démontré en 1929 que la constante de Prouhet-Thue-Morse est un nombre transcendant<a href="#cite_note-94">[60]</a>. </li> <li id="cite_note-96"><a href="#cite_ref-96">↑</a> Dans le cas de la constante des nombres premiers (<a href="#Non-périodicité_du_développement_dans_une_base">voir supra</a>), on aurait pu aussi montrer l'irrationalité de la constante des nombres premiers en utilisant le fait que pour tout entier <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n\geq 2}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> <mo>≥</mo> <mn>2</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n\geq 2}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6bf67f9d06ca3af619657f8d20ee1322da77174" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:5.656ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle n\geq 2}">, les <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n-1}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n-1}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fbd0b0f32b28f51962943ee9ede4fb34198a2521" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:5.398ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle n-1}"> entiers consécutifs <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n!+2,\dots ,n!+n}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> <mo>!</mo> <mo>+</mo> <mn>2</mn> <mo>,</mo> <mo>…</mo> <mo>,</mo> <mi>n</mi> <mo>!</mo> <mo>+</mo> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n!+2,\dots ,n!+n}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac986a1bc4ccc0097b924f2110a80c61b88fbd6e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:17.499ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle n!+2,\dots ,n!+n}"> sont tous composés. </li> <li id="cite_note-97"><a href="#cite_ref-97">↑</a> Certains développements non-périodiques peuvent cependant ne pas comporter de séquences de 0 arbitrairement longues. Par exemple le développement binaire de la constante de Thue-Prouhet-Morse (<a href="#Non-périodicité_du_développement_dans_une_base">voir supra</a>) étant sans cube, on n'y trouve jamais trois 0 consécutifs. </li> <li id="cite_note-102"><a href="#cite_ref-102">↑</a> La série des inverses des termes de la <a href="/wiki/Suite_de_Sylvester" title="Suite de Sylvester">suite de Sylvester</a> est un exemple d'une telle série convergeant vers un rationnel, puisqu'elle converge vers 1. </li> <li id="cite_note-103"><a href="#cite_ref-103">↑</a> En effet pour tout entier <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}"> on a <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle M_{M_{n}}^{2}-M_{M_{n}}+1=\left(2^{2^{n}-1}-1\right)^{2}-2^{2^{n}-1}+1+1=2^{2^{n+1}-2}-2^{2^{n}}-2^{2^{n}-1}+3}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msubsup> <mi>M</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msub> <mi>M</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> <mo>−</mo> <msub> <mi>M</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msub> <mi>M</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mo>=</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msup> <mn>2</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msup> <mn>2</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>−</mo> <msup> <mn>2</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msup> <mn>2</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mo>=</mo> <msup> <mn>2</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msup> <mn>2</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo>−</mo> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>−</mo> <msup> <mn>2</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msup> <mn>2</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> </mrow> </msup> <mo>−</mo> <msup> <mn>2</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msup> <mn>2</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mn>3</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle M_{M_{n}}^{2}-M_{M_{n}}+1=\left(2^{2^{n}-1}-1\right)^{2}-2^{2^{n}-1}+1+1=2^{2^{n+1}-2}-2^{2^{n}}-2^{2^{n}-1}+3}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/50ea6e3a8ef7e0b5d32d9485d2b8c129800d650e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:77.508ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle M_{M_{n}}^{2}-M_{M_{n}}+1=\left(2^{2^{n}-1}-1\right)^{2}-2^{2^{n}-1}+1+1=2^{2^{n+1}-2}-2^{2^{n}}-2^{2^{n}-1}+3}"> et donc <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle M_{M_{n}}^{2}-M_{M_{n}}+1<2^{2^{n+1}-1}-1=M_{M_{n+1}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msubsup> <mi>M</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msub> <mi>M</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> <mo>−</mo> <msub> <mi>M</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msub> <mi>M</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mo><</mo> <msup> <mn>2</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msup> <mn>2</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <mo>=</mo> <msub> <mi>M</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msub> <mi>M</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle M_{M_{n}}^{2}-M_{M_{n}}+1<2^{2^{n+1}-1}-1=M_{M_{n+1}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba5bc9b26c00e4be92ed481b8d659abd7e84d5af" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.338ex; width:40.871ex; height:4.009ex;" alt="{\displaystyle M_{M_{n}}^{2}-M_{M_{n}}+1<2^{2^{n+1}-1}-1=M_{M_{n+1}}}">. </li> <li id="cite_note-104"><a href="#cite_ref-104">↑</a> En effet, pour tout entier <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}">, on a <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F_{n}^{2}-F_{n}+1=\left(2^{2^{n}}+1\right)^{2}-2^{2^{n}}-1+1=2^{2^{n+1}}+2^{2^{n}}+1}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msubsup> <mi>F</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> <mo>−</mo> <msub> <mi>F</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mo>=</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msup> <mn>2</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msup> <mn>2</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>−</mo> <msup> <mn>2</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msup> <mn>2</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> </mrow> </msup> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mo>=</mo> <msup> <mn>2</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msup> <mn>2</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <msup> <mn>2</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msup> <mn>2</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F_{n}^{2}-F_{n}+1=\left(2^{2^{n}}+1\right)^{2}-2^{2^{n}}-1+1=2^{2^{n+1}}+2^{2^{n}}+1}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c1477446589dcc6fa5548c22f51bdd74cff295f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:58.576ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle F_{n}^{2}-F_{n}+1=\left(2^{2^{n}}+1\right)^{2}-2^{2^{n}}-1+1=2^{2^{n+1}}+2^{2^{n}}+1}"> et donc <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F_{n+1}=2^{2^{n+1}}+1<F_{n}^{2}-F_{n}+1}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>F</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msup> <mn>2</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msup> <mn>2</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mo><</mo> <msubsup> <mi>F</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> <mo>−</mo> <msub> <mi>F</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F_{n+1}=2^{2^{n+1}}+1<F_{n}^{2}-F_{n}+1}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/281a7284996e53938476e6c7047c66cb3e9f16b4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:32.326ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle F_{n+1}=2^{2^{n+1}}+1<F_{n}^{2}-F_{n}+1}">. Les nombres de Fermat ne satisfont pas l'hypothèse du théorème, et on ne peut donc pas conclure. </li> <li id="cite_note-107"><a href="#cite_ref-107">↑</a> Suite <a href="/wiki/On-Line_Encyclopedia_of_Integer_Sequences" title="OEIS"><img alt="OEIS" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d8/OEISicon_light.svg/11px-OEISicon_light.svg.png" decoding="async" width="11" height="15" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d8/OEISicon_light.svg/17px-OEISicon_light.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d8/OEISicon_light.svg/22px-OEISicon_light.svg.png 2x" data-file-width="409" data-file-height="556" /></a> <a href="//oeis.org/A051158" class="extiw" title="oeis:A051158">A051158</a> de l'<a href="/wiki/OEIS" class="mw-redirect" title="OEIS">OEIS</a>. </li> <li id="cite_note-110"><a href="#cite_ref-110">↑</a> Nommée par erreur « Constante de Prévost » par <abbr class="abbr indicateur-langue" title="Langue : anglais">(en)</abbr> Gérard Michon, « <a rel="nofollow" class="external text" href="http://nbarth.net/notes/src/notes-calc-raw/others/X-numericana/constants.htm"><cite style="font-style:normal;" lang="en">Numerical Constants</cite></a> », sur Numericana, <time>2005</time>, alors que l'article de Marc Prévost sur ce sujet ne date pas de « vers 1977 » mais de 1998 et contient une généralisation de l'article de Richard André-Jeannin. </li> <li id="cite_note-112"><a href="#cite_ref-112">↑</a> Le <a href="/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Gelfond-Schneider" title="Théorème de Gelfond-Schneider">théorème de Gelfond-Schneider</a> permet alors d'en déduire que ln m/ln n est même transcendant. </li> <li id="cite_note-113"><a href="#cite_ref-113">↑</a> On sait cependant que l'un au moins de ces deux nombres est irrationnel et même transcendant, puisque leur somme, 2π, l'est ; on sait de même qu'un des deux nombres s = π + e et p = πe est transcendant, car π et e sont racines du polynôme X2 – sX + p. </li> <li id="cite_note-114"><a href="#cite_ref-114">↑</a> Et même (<abbr class="abbr" title="confer (reportez-vous à/comparez avec)">cf.</abbr> <a href="/wiki/Conjecture_de_Schanuel" title="Conjecture de Schanuel">Conjecture de Schanuel</a>) que π et e sont ℚ-<a href="/wiki/Ind%C3%A9pendance_alg%C3%A9brique" title="Indépendance algébrique">algébriquement indépendants</a>. </li> <li id="cite_note-115"><a href="#cite_ref-115">↑</a> Les <a href="/wiki/Fonction_z%C3%AAta_de_Riemann#Valeurs_de_la_fonction_zêta_pour_s_entier_pair_non_nul" title="Fonction zêta de Riemann">images des entiers positifs pairs par la fonction ζ</a> sont, elles, transcendantes. </li> <li id="cite_note-116"><a href="#cite_ref-116">↑</a> Pour plus de détails, voir la <a href="/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_d%27Ap%C3%A9ry#Généralisations" title="Théorème d'Apéry">section « Généralisations » de l'article « Théorème d'Apéry ».</a> </li> <li id="cite_note-117"><a href="#cite_ref-117">↑</a> En effet une somme finie de termes rationnels est rationnels(<a href="#Propriétés_de_clôture">voir supra</a>). Par <a href="/wiki/Contrapos%C3%A9e" class="mw-redirect" title="Contraposée">contraposée</a>, si la série des inverses des nombres premiers jumeaux converge vers un nombre irrationnel, alors elle comporte une infinité de termes non nuls et il y a donc une infinité de nombres premiers jumeaux. </li> </ol></div> </div> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Références">Références</h3>[<a href="/w/index.php?title=Nombre_irrationnel&veaction=edit&section=51" title="Modifier la section : Références" class="mw-editsection-visualeditor">modifier</a> | <a href="/w/index.php?title=Nombre_irrationnel&action=edit&section=51" title="Modifier le code source de la section : Références">modifier le code</a>]</div> <div class="references-small decimal" style=""><div class="mw-references-wrap mw-references-columns"><ol class="references"> <li id="cite_note-2"><a href="#cite_ref-2">↑</a> Certains historiens ont estimé que les <a href="/wiki/%C5%9Aulba-S%C5%ABtras" title="Śulba-Sūtras">Śulba-Sūtras</a>, des traités difficiles à dater qui auraient été composés entre 800 et 200 <abbr class="abbr nowrap" title="avant Jésus-Christ">av. J.-C.</abbr>, témoigneraient de la connaissance de l'irrationalité dans l'<a href="/wiki/Inde" title="Inde">Inde</a> de l'époque ; ils se fondent sur une construction de la diagonale du carré qui peut s'interpréter comme une (bonne) approximation rationnelle de √2, et sur la mention que cette construction n'est pas exacte, voir <abbr class="abbr indicateur-langue" title="Langue : anglais">(en)</abbr> Bibhutibhusan Datta, <cite class="italique" lang="en">The Science Of The Sulba: A Study In Early Hindu Geometry</cite>, <time>1932</time> (<a rel="nofollow" class="external text" href="http://archive.org/details/in.ernet.dli.2015.512150">lire en ligne</a>), <abbr class="abbr" title="pages">p.</abbr> 195-202<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=The+Science+Of+The+Sulba%3A+A+Study+In+Early+Hindu+Geometry&rft.aulast=Datta&rft.aufirst=Bibhutibhusan&rft.date=1932&rft.pages=195-202&rft_id=http%3A%2F%2Farchive.org%2Fdetails%2Fin.ernet.dli.2015.512150&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3ANombre+irrationnel">. Mais pour d'autres, il s'agit là de « spéculations injustifiées » qui ignorent tant la vraie signification de l'irrationalité que l'objet pratique des Śulba-Sūtras <abbr class="abbr indicateur-langue" title="Langue : anglais">(en)</abbr> S. G. Dani, <cite style="font-style:normal" lang="en">« Geometry in the Śulvasūtras »</cite>, dans C. S. Seshadri, <cite class="italique" lang="en">Studies in the History of Indian Mathematics</cite>, Hindustan Book Agency, <abbr class="abbr" title="collection">coll.</abbr> « Culture And History Of Mathematics », <time>2010</time> (<a href="/wiki/International_Standard_Book_Number" title="International Standard Book Number">ISBN</a> <a href="/wiki/Sp%C3%A9cial:Ouvrages_de_r%C3%A9f%C3%A9rence/978-93-86279-49-1" title="Spécial:Ouvrages de référence/978-93-86279-49-1">978-93-86279-49-1</a>, <a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.springer.com/gp/book/9789386279491">lire en ligne</a>), <abbr class="abbr" title="pages">p.</abbr> 9-38<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=bookitem&rft.btitle=Studies+in+the+History+of+Indian+Mathematics&rft.atitle=Geometry+in+the+%C5%9Aulvas%C5%ABtras&rft.pub=Hindustan+Book+Agency&rft.aulast=Dani&rft.aufirst=S.+G.&rft.date=2010&rft.pages=9-38&rft.isbn=978-93-86279-49-1&rft_id=https%3A%2F%2Fwww.springer.com%2Fgp%2Fbook%2F9789386279491&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3ANombre+irrationnel">. </li> <li id="cite_note-3"><a href="#cite_ref-3">↑</a> <a href="#Szabó1978">Szabó 1978</a>, <abbr class="abbr" title="page(s)">p.</abbr> 25. </li> <li id="cite_note-Szabo93-4">↑ <a href="#cite_ref-Szabo93_4-0">a</a> <a href="#cite_ref-Szabo93_4-1">b</a> <a href="#cite_ref-Szabo93_4-2">c</a> <a href="#cite_ref-Szabo93_4-3">d</a> <a href="#cite_ref-Szabo93_4-4">e</a> <a href="#cite_ref-Szabo93_4-5">f</a> <a href="#cite_ref-Szabo93_4-6">g</a> <a href="#cite_ref-Szabo93_4-7">h</a> <a href="#cite_ref-Szabo93_4-8">i</a> <a href="#cite_ref-Szabo93_4-9">j</a> <a href="#cite_ref-Szabo93_4-10">k</a> et <a href="#cite_ref-Szabo93_4-11">l</a> <a href="#Szabó2000">Szabó 2000</a>. </li> <li id="cite_note-5"><a href="#cite_ref-5">↑</a> <abbr class="abbr indicateur-langue" title="Langue : anglais">(en)</abbr> <a href="/wiki/Euclide" title="Euclide">Euclide</a> (<abbr class="abbr" title="traduction">trad.</abbr> du grec ancien), <cite class="italique" lang="en">Les Éléments</cite> (<a rel="nofollow" class="external text" href="https://mathcs.clarku.edu/~djoyce/java/elements/bookX/bookX.html">lire en ligne</a>), partie X<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Les+%C3%89l%C3%A9ments&rft.au=Euclide&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3ANombre+irrationnel">, définition 3. </li> <li id="cite_note-6"><a href="#cite_ref-6">↑</a> <a href="/wiki/Platon" title="Platon">Platon</a>, <a href="/wiki/Les_Lois" title="Les Lois">Les Lois</a> [<a href="/wiki/R%C3%A9f%C3%A9rence:Les_Lois_(Platon)" title="Référence:Les Lois (Platon)">détail des éditions</a>] [<a rel="nofollow" class="external text" href="http://mercure.fltr.ucl.ac.be/Hodoi/concordances/intro.htm#platon">lire en ligne</a>], VII, 820 a - c. </li> <li id="cite_note-7"><a href="#cite_ref-7">↑</a> Benoît Rittaud, « <cite style="font-style:normal">Le Fabuleux destin de √2</cite> », <a href="/wiki/Gazette_des_math%C3%A9maticiens" class="mw-redirect" title="Gazette des mathématiciens">Gazette des mathématiciens</a>, <abbr class="abbr" title="numéro">no</abbr> 107,‎ <time class="nowrap" datetime="2006-01" data-sort-value="2006-01">janvier 2006</time>, <abbr class="abbr" title="pages">p.</abbr> 28-37 (<a rel="nofollow" class="external text" href="http://smf4.emath.fr/Publications/Gazette/2006/107/smf_gazette_107_27-38.pdf">lire en ligne</a>)<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rft.genre=article&rft.atitle=Le+Fabuleux+destin+de+%26radic%3B2&rft.jtitle=Gazette+des+math%C3%A9maticiens&rft.issue=107&rft.aulast=Rittaud&rft.aufirst=Beno%C3%AEt&rft.date=2006-01&rft.pages=28-37&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3ANombre+irrationnel">. </li> <li id="cite_note-8"><a href="#cite_ref-8">↑</a> <abbr class="abbr indicateur-langue" title="Langue : anglais">(en)</abbr> <a href="/wiki/Kurt_von_Fritz" title="Kurt von Fritz">Kurt von Fritz</a>, « <cite style="font-style:normal" lang="en">The discovery of incommensurability by Hippasus of Metapontum</cite> », <a href="/wiki/Annals_of_Mathematics" title="Annals of Mathematics">Ann. Math.</a>, <abbr class="abbr" title="volume">vol.</abbr> 46, <abbr class="abbr" title="numéro">no</abbr> 2,‎ <time>1945</time>, <abbr class="abbr" title="pages">p.</abbr> 242-264 (<a href="/wiki/JSTOR" title="JSTOR">JSTOR</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="https://jstor.org/stable/1969021">1969021</a>)<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rft.genre=article&rft.atitle=The+discovery+of+incommensurability+by+Hippasus+of+Metapontum&rft.jtitle=Ann.+Math.&rft.issue=2&rft.au=Kurt+von+Fritz&rft.date=1945&rft.volume=46&rft.pages=242-264&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3ANombre+irrationnel">. </li> <li id="cite_note-9"><a href="#cite_ref-9">↑</a> <abbr class="abbr indicateur-langue" title="Langue : allemand">(de)</abbr> <a href="/wiki/Oskar_Becker" title="Oskar Becker">Oskar Becker</a>, « <cite style="font-style:normal" lang="de">Die Lehre von Geraden und Ungeraden im neunten Buch der euklidischen Elemente</cite> », Quellen und Studien sur Geschichte der Mathematik, Astronomie und Physik, b, <abbr class="abbr" title="volume">vol.</abbr> 3,‎ <time>1936</time>, <abbr class="abbr" title="pages">p.</abbr> 533-553<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rft.genre=article&rft.atitle=Die+Lehre+von+Geraden+und+Ungeraden+im+neunten+Buch+der+euklidischen+Elemente&rft.jtitle=Quellen+und+Studien+sur+Geschichte+der+Mathematik%2C+Astronomie+und+Physik&rft.aulast=Becker&rft.aufirst=Oskar&rft.date=1936&rft.volume=3&rft.pages=533-553&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3ANombre+irrationnel">. </li> <li id="cite_note-10"><a href="#cite_ref-10">↑</a> <abbr class="abbr indicateur-langue" title="Langue : allemand">(de)</abbr> Árpád Szabó, <cite style="font-style:normal" lang="de">« Wie ist die Mathematik zu einer deduktiven Wissenschaft geworden? »</cite>, dans J. Christianidis, <cite class="italique" lang="de">Classics in the History of Greek Mathematics</cite>, Springer, <time>2004</time>, 461 <abbr class="abbr" title="pages">p.</abbr> (<a href="/wiki/International_Standard_Book_Number" title="International Standard Book Number">ISBN</a> <a href="/wiki/Sp%C3%A9cial:Ouvrages_de_r%C3%A9f%C3%A9rence/978-1-4020-2640-9" title="Spécial:Ouvrages de référence/978-1-4020-2640-9">978-1-4020-2640-9</a>, <a rel="nofollow" class="external text" href="//books.google.com/books?id=L8HcBwAAQBAJ&pg=PA67">lire en ligne</a>), <abbr class="abbr" title="pages">p.</abbr> 45-80<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=bookitem&rft.btitle=Classics+in+the+History+of+Greek+Mathematics&rft.atitle=Wie+ist+die+Mathematik+zu+einer+deduktiven+Wissenschaft+geworden%3F&rft.pub=Springer&rft.aulast=Szab%C3%B3&rft.aufirst=%C3%81rp%C3%A1d&rft.date=2004&rft.pages=45-80&rft.tpages=461&rft.isbn=978-1-4020-2640-9&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3ANombre+irrationnel">. </li> <li id="cite_note-11"><a href="#cite_ref-11">↑</a> <abbr class="abbr indicateur-langue" title="Langue : anglais">(en)</abbr> <a href="/wiki/Thomas_Heath" title="Thomas Heath">Thomas Heath</a>, <cite class="italique" lang="en">Mathematics in Aristotle</cite> [« Les mathématiques chez Aristote »], Oxford, <time>1949</time>, 310 <abbr class="abbr" title="pages">p.</abbr> (<a href="/wiki/International_Standard_Book_Number" title="International Standard Book Number">ISBN</a> <a href="/wiki/Sp%C3%A9cial:Ouvrages_de_r%C3%A9f%C3%A9rence/978-1-317-38059-7" title="Spécial:Ouvrages de référence/978-1-317-38059-7">978-1-317-38059-7</a>, <a rel="nofollow" class="external text" href="//books.google.com/books?id=asRgCgAAQBAJ">présentation en ligne</a>), partie III, <abbr class="abbr" title="chapitre(s)">chap.</abbr> 1 (« Incommensurability of the diagonal (of a square with its side) »)<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Mathematics+in+Aristotle&rft.atitle=Incommensurability+of+the+diagonal+%28of+a+square+with+its+side%29&rft.place=Oxford&rft.aulast=Heath&rft.aufirst=Thomas&rft.date=1949&rft.tpages=310&rft.isbn=978-1-317-38059-7&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3ANombre+irrationnel">. </li> <li id="cite_note-12"><a href="#cite_ref-12">↑</a> Voir, pour un exposé des différentes méthodes possibles : <a href="#Caveing1998">Caveing 1998</a>. </li> <li id="cite_note-13"><a href="#cite_ref-13">↑</a> « The only certainty about the discovery of irrationality is that <a href="/wiki/Th%C3%A9odore_de_Cyr%C3%A8ne" title="Théodore de Cyrène">Theodorus of Cyrene</a> proved that √n (for n = 3, ..., 17 and not a perfect square) is irrational. » — <abbr class="abbr indicateur-langue" title="Langue : anglais">(en)</abbr> <a href="/w/index.php?title=%C3%81rp%C3%A1d_Szab%C3%B3&action=edit&redlink=1" class="new" title="Árpád Szabó (page inexistante)">Árpád Szabó</a> <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/%C3%81rp%C3%A1d_Szab%C3%B3" class="extiw" title="de:Árpád Szabó">(de)</a>, <cite class="italique" lang="en">The Beginnings of Greek Mathematics</cite>, <a href="/wiki/Springer_Science_%26_Business_Media" class="mw-redirect" title="Springer Science & Business Media">Springer</a>, <time>1978</time>, 358 <abbr class="abbr" title="pages">p.</abbr> (<a href="/wiki/International_Standard_Book_Number" title="International Standard Book Number">ISBN</a> <a href="/wiki/Sp%C3%A9cial:Ouvrages_de_r%C3%A9f%C3%A9rence/978-90-277-0819-9" title="Spécial:Ouvrages de référence/978-90-277-0819-9">978-90-277-0819-9</a>, <a rel="nofollow" class="external text" href="//books.google.com/books?id=VCj2CAAAQBAJ&pg=PA35">lire en ligne</a>), <abbr class="abbr" title="page">p.</abbr> 35<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=The+Beginnings+of+Greek+Mathematics&rft.pub=Springer&rft.aulast=Szab%C3%B3&rft.aufirst=%3A%C3%81rp%C3%A1d&rft.date=1978&rft.pages=35&rft.tpages=358&rft.isbn=978-90-277-0819-9&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3ANombre+irrationnel">, citant <abbr class="abbr indicateur-langue" title="Langue : allemand">(de)</abbr> <a href="/wiki/Walter_Burkert" title="Walter Burkert">Walter Burkert</a>, <cite class="italique" lang="de">Weisheit und Wissenschaft</cite>, <time>1962</time>, <abbr class="abbr" title="page">p.</abbr> 439<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Weisheit+und+Wissenschaft&rft.aulast=Burkert&rft.aufirst=Walter&rft.date=1962&rft.pages=439&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3ANombre+irrationnel">. </li> <li id="cite_note-HardyWright4-14">↑ <a href="#cite_ref-HardyWright4_14-0">a</a> <a href="#cite_ref-HardyWright4_14-1">b</a> <a href="#cite_ref-HardyWright4_14-2">c</a> <a href="#cite_ref-HardyWright4_14-3">d</a> et <a href="#cite_ref-HardyWright4_14-4">e</a> <a href="#HardyWright">Hardy et Wright 2007</a>, chap. 4. </li> <li id="cite_note-15"><a href="#cite_ref-15">↑</a> <abbr class="abbr indicateur-langue" title="Langue : anglais">(en)</abbr> Victor Pambuccian, « <cite style="font-style:normal" lang="en">The arithmetic of the even and the odd</cite> », <a href="/wiki/Association_for_Symbolic_Logic#Publications" title="Association for Symbolic Logic">The Review of Symbolic Logic</a>, <abbr class="abbr" title="volume">vol.</abbr> 9, <abbr class="abbr" title="numéro">no</abbr> 2,‎ <time>2016</time>, <abbr class="abbr" title="pages">p.</abbr> 359-369 (<a href="/wiki/Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">DOI</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="https://dx.doi.org/10.1017/S1755020315000386">10.1017/S1755020315000386</a>)<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rft.genre=article&rft.atitle=The+arithmetic+of+the+even+and+the+odd&rft.jtitle=The+Review+of+Symbolic+Logic&rft.issue=2&rft.aulast=Pambuccian&rft.aufirst=Victor&rft.date=2016&rft.volume=9&rft.pages=359-369&rft_id=info%3Adoi%2F10.1017%2FS1755020315000386&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3ANombre+irrationnel">. </li> <li id="cite_note-17"><a href="#cite_ref-17">↑</a> J.-L. Périllié, « <a rel="nofollow" class="external text" href="https://archive.wikiwix.com/cache/display2.php?url=http%3A%2F%2Fwww.cndp.fr%2FRevueCPhil%2F91%2F00902911.pdf"><cite style="font-style:normal;">La découverte des incommensurables et le vertige de l'infini</cite></a> », transcription d’une conférence donnée le <time class="nowrap" datetime="2001-05-16" data-sort-value="2001-05-16">16 mai 2001</time> à Grenoble, <abbr class="abbr" title="page">p.</abbr> 14. </li> <li id="cite_note-18"><a href="#cite_ref-18">↑</a> Sous la forme indiquée ici, la légende est critiquée. Le narrateur principal, <a href="/wiki/Jamblique" title="Jamblique">Jamblique</a>, est à la fois tardif et imprécis dans ses témoignages. La référence suivante précise que : « Hence, when late writers, like Iamblichus, make ambitious claim for Pythagorean science […], we have occasion for scepticism. », cf. <abbr class="abbr indicateur-langue" title="Langue : anglais">(en)</abbr> <a href="/wiki/Wilbur_Knorr" title="Wilbur Knorr">Wilbur Richard Knorr</a>, <cite class="italique" lang="en">The Evolution of the Euclidean Elements : A Study of the Theory of Incommensurable Magnitudes and its Significance for Early Greek Geometry</cite>, <a href="/wiki/D._Reidel" title="D. Reidel">D. Reidel</a>, <time>1975</time> (<a rel="nofollow" class="external text" href="//books.google.com/books?id=_1H6BwAAQBAJ&pg=PA5">lire en ligne</a>), <abbr class="abbr" title="page">p.</abbr> 5<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=The+Evolution+of+the+Euclidean+Elements+%3A+A+Study+of+the+Theory+of+Incommensurable+Magnitudes+and+its+Significance+for+Early+Greek+Geometry&rft.pub=D.+Reidel&rft.au=Wilbur+Richard+Knorr&rft.date=1975&rft.pages=5&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3ANombre+irrationnel">. </li> <li id="cite_note-19"><a href="#cite_ref-19">↑</a> <a href="#Périllié">Périllié</a>. </li> <li id="cite_note-20"><a href="#cite_ref-20">↑</a> Paul Tannery, <cite class="italique">La Géométrie grecque, comment son histoire nous est parvenue et ce que nous en savons.</cite>, Paris, <a href="/wiki/Gauthier-Villars" title="Gauthier-Villars">Gauthier-Villars</a>, <time>1887</time> (<a rel="nofollow" class="external text" href="https://archive.org/details/lagomtriegre01tannuoft">lire en ligne</a>)<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=La+G%C3%A9om%C3%A9trie+grecque%2C+comment+son+histoire+nous+est+parvenue+et+ce+que+nous+en+savons.&rft.place=Paris&rft.pub=Gauthier-Villars&rft.aulast=Tannery&rft.aufirst=Paul&rft.date=1887&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3ANombre+irrationnel">. </li> <li id="cite_note-Knorr-21"><a href="#cite_ref-Knorr_21-0">↑</a> <abbr class="abbr indicateur-langue" title="Langue : anglais">(en)</abbr> Wilbur Knorr, « <cite style="font-style:normal" lang="en">The impact of modern mathematics on ancient mathematics</cite> », Revue d'histoire des mathématiques, <abbr class="abbr" title="volume">vol.</abbr> 7,‎ <time>2001</time>, <abbr class="abbr" title="pages">p.</abbr> 121-135 (<a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.numdam.org/article/RHM_2001__7_1_121_0.pdf">lire en ligne</a>)<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rft.genre=article&rft.atitle=The+impact+of+modern+mathematics+on+ancient+mathematics&rft.jtitle=Revue+d%27histoire+des+math%C3%A9matiques&rft.aulast=Knorr&rft.aufirst=Wilbur&rft.date=2001&rft.volume=7&rft.pages=121-135&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3ANombre+irrationnel">. </li> <li id="cite_note-22"><a href="#cite_ref-22">↑</a> <a href="/wiki/Hans_Freudenthal" title="Hans Freudenthal">Hans Freudenthal</a>, « <cite style="font-style:normal">Y avait-il une crise des fondements des mathématiques dans l'Antiquité ?</cite> », Bulletin de la société mathématique de Belgique, <abbr class="abbr" title="volume">vol.</abbr> 18,‎ <time>1966</time>, <abbr class="abbr" title="pages">p.</abbr> 43-55 (<a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.researchgate.net/publication/266283734_Y_Avait-Il_une_Crise_des_Fondements_des_Mathematiques_Dans_L%27Antiquite">lire en ligne</a>)<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rft.genre=article&rft.atitle=Y+avait-il+une+crise+des+fondements+des+math%C3%A9matiques+dans+l%27Antiquit%C3%A9+%3F&rft.jtitle=Bulletin+de+la+soci%C3%A9t%C3%A9+math%C3%A9matique+de+Belgique&rft.aulast=Freudenthal&rft.aufirst=Hans&rft.date=1966&rft.volume=18&rft.pages=43-55&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3ANombre+irrationnel">. </li> <li id="cite_note-23"><a href="#cite_ref-23">↑</a> <abbr class="abbr indicateur-langue" title="Langue : anglais">(en)</abbr> <a href="/wiki/John_J._O%27Connor" title="John J. O'Connor">John J. O'Connor</a> et <a href="/wiki/Edmund_Robertson" title="Edmund Robertson">Edmund F. Robertson</a>, « <a rel="nofollow" class="external text" href="https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Arabic_mathematics"><cite style="font-style:normal;" lang="en">Arabic mathematics : forgotten brilliance?</cite></a> », sur <a href="/wiki/MacTutor_History_of_Mathematics_archive" title="MacTutor History of Mathematics archive">MacTutor</a>, <a href="/wiki/Universit%C3%A9_de_St_Andrews" title="Université de St Andrews">université de St Andrews</a>, <time>1999</time>.. </li> <li id="cite_note-Matvievskaya-259-24">↑ <a href="#cite_ref-Matvievskaya-259_24-0">a</a> <a href="#cite_ref-Matvievskaya-259_24-1">b</a> et <a href="#cite_ref-Matvievskaya-259_24-2">c</a> <abbr class="abbr indicateur-langue" title="Langue : anglais">(en)</abbr> <a href="/wiki/Galina_Pavlovna_Matvievskaya" class="mw-redirect" title="Galina Pavlovna Matvievskaya">Galina Matvievskaya</a>, « <cite style="font-style:normal" lang="en">The Theory of Quadratic Irrationals in Medieval Oriental Mathematics</cite> », <a href="/wiki/New_York_Academy_of_Sciences" class="mw-redirect" title="New York Academy of Sciences">Annals of the New York Academy of Sciences</a>, <abbr class="abbr" title="volume">vol.</abbr> 500 « From Deferent to Equant: A Volume of Studies on the History of Science of the Ancient and Medieval Near East in Honor of <a href="/wiki/Edward_Stewart_Kennedy" title="Edward Stewart Kennedy">E. S. Kennedy</a> »,‎ <time>1987</time>, <abbr class="abbr" title="page(s)">p.</abbr> 253-277 (254) (<a href="/wiki/Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">DOI</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="https://dx.doi.org/10.1111/j.1749-6632.1987.tb37206.x">10.1111/j.1749-6632.1987.tb37206.x</a>)<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rft.genre=article&rft.atitle=The+Theory+of+Quadratic+Irrationals+in+Medieval+Oriental+Mathematics&rft.jtitle=Annals+of+the+New+York+Academy+of+Sciences&rft.aulast=Matvievskaya&rft.aufirst=Galina&rft.date=1987&rft.volume=500&rft.pages=253-277+%28254%29&rft_id=info%3Adoi%2F10.1111%2Fj.1749-6632.1987.tb37206.x&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3ANombre+irrationnel">. </li> <li id="cite_note-25"><a href="#cite_ref-25">↑</a> <abbr class="abbr indicateur-langue" title="Langue : anglais">(en)</abbr> Jacques Sesiano, <cite style="font-style:normal" lang="en">« Islamic mathematics »</cite>, dans Helaine Selin, <cite class="italique" lang="en">Mathematics Across Cultures: The History of Non-Western Mathematics</cite>, <a href="/wiki/Springer_Science%2BBusiness_Media" title="Springer Science+Business Media">Springer</a>, <time>2000</time> (<a href="/wiki/International_Standard_Book_Number" title="International Standard Book Number">ISBN</a> <a href="/wiki/Sp%C3%A9cial:Ouvrages_de_r%C3%A9f%C3%A9rence/1-4020-0260-2" title="Spécial:Ouvrages de référence/1-4020-0260-2">1-4020-0260-2</a>, <a rel="nofollow" class="external text" href="//books.google.com/books?id=2hTyfurOH8AC&pg=PA148">lire en ligne</a>), <abbr class="abbr" title="page">p.</abbr> 148<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=bookitem&rft.btitle=Mathematics+Across+Cultures%3A+The+History+of+Non-Western+Mathematics&rft.atitle=Islamic+mathematics&rft.pub=Springer&rft.aulast=Sesiano&rft.aufirst=Jacques&rft.date=2000&rft.pages=148&rft.isbn=1-4020-0260-2&rft_id=%2F%2Fbooks.google.com%2Fbooks%3Fid%3D2hTyfurOH8AC%26pg%3DPA148&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3ANombre+irrationnel">. </li> <li id="cite_note-26"><a href="#cite_ref-26">↑</a> <abbr class="abbr indicateur-langue" title="Langue : anglais">(en)</abbr> Mohammad K. Azarian, « <cite style="font-style:normal" lang="en">al-Risāla al-muhītīyya: A Summary</cite> », Missouri Journal of Mathematical Sciences, <abbr class="abbr" title="volume">vol.</abbr> 22, <abbr class="abbr" title="numéro">no</abbr> 2,‎ <time>2010</time>, <abbr class="abbr" title="pages">p.</abbr> 64-85 (<a rel="nofollow" class="external text" href="http://projecteuclid.org/euclid.mjms/1312233136">lire en ligne</a>)<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rft.genre=article&rft.atitle=al-Ris%C4%81la+al-muh%C4%ABt%C4%AByya%3A+A+Summary&rft.jtitle=Missouri+Journal+of+Mathematical+Sciences&rft.issue=2&rft.aulast=Azarian&rft.aufirst=Mohammad+K.&rft.date=2010&rft.volume=22&rft.pages=64-85&rft_id=http%3A%2F%2Fprojecteuclid.org%2Feuclid.mjms%2F1312233136&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3ANombre+irrationnel">. </li> <li id="cite_note-Cousquer-27">↑ <a href="#cite_ref-Cousquer_27-0">a</a> <a href="#cite_ref-Cousquer_27-1">b</a> <a href="#cite_ref-Cousquer_27-2">c</a> <a href="#cite_ref-Cousquer_27-3">d</a> <a href="#cite_ref-Cousquer_27-4">e</a> et <a href="#cite_ref-Cousquer_27-5">f</a> <a href="#Cousquer1998">Cousquer 1998</a>, <abbr class="abbr" title="page(s)">p.</abbr> 174. </li> <li id="cite_note-28"><a href="#cite_ref-28">↑</a> D'Alembert, <cite class="italique"><a href="/wiki/L%27Encyclop%C3%A9die" class="mw-redirect" title="L'Encyclopédie">L'Encyclopédie</a></cite> (<a href="https://fr.wikisource.org/wiki/L%E2%80%99Encyclop%C3%A9die/1re_%C3%A9dition/INCOMMENSURABLE" class="extiw" title="s:L’Encyclopédie/1re édition/INCOMMENSURABLE">lire sur Wikisource</a>), « Incommensurable »<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=L%27Encyclop%C3%A9die&rft.atitle=Incommensurable&rft.au=D%27Alembert&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3ANombre+irrationnel">. </li> <li id="cite_note-29"><a href="#cite_ref-29">↑</a> D'Alembert, <cite class="italique">L'Encyclopédie</cite> (<a href="https://fr.wikisource.org/wiki/L%E2%80%99Encyclop%C3%A9die/1re_%C3%A9dition/NOMBRE" class="extiw" title="s:L’Encyclopédie/1re édition/NOMBRE">lire sur Wikisource</a>), « Nombre »<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=L%27Encyclop%C3%A9die&rft.atitle=Nombre&rft.au=D%27Alembert&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3ANombre+irrationnel">. </li> <li id="cite_note-32"><a href="#cite_ref-32">↑</a> « <cite style="font-style:normal">Comment Euler calculait ζ(2)</cite> », <a href="/wiki/Tangente_(magazine)" title="Tangente (magazine)">Hors-série Tangente</a>, <abbr class="abbr" title="numéro">no</abbr> 29,‎ <time>2007</time><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rft.genre=article&rft.atitle=Comment+Euler+calculait+%CE%B6%282%29&rft.jtitle=Hors-s%C3%A9rie+Tangente&rft.issue=29&rft.date=2007&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3ANombre+irrationnel">. </li> <li id="cite_note-Demailly-34"><a href="#cite_ref-Demailly_34-0">↑</a> <a href="/wiki/Jean-Pierre_Demailly" title="Jean-Pierre Demailly">Jean-Pierre Demailly</a>, « <cite style="font-style:normal">Sur le calcul numérique de la constante d'Euler</cite> », <a href="/wiki/Gazette_des_math%C3%A9maticiens" class="mw-redirect" title="Gazette des mathématiciens">Gazette des mathématiciens</a>, <abbr class="abbr" title="volume">vol.</abbr> 27,‎ <time>1985</time> (<a rel="nofollow" class="external text" href="https://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~demailly/manuscripts/gamma_gazmath.pdf">lire en ligne</a>)<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rft.genre=article&rft.atitle=Sur+le+calcul+num%C3%A9rique+de+la+constante+d%27Euler&rft.jtitle=Gazette+des+math%C3%A9maticiens&rft.aulast=Demailly&rft.aufirst=Jean-Pierre&rft.date=1985&rft.volume=27&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3ANombre+irrationnel">. </li> <li id="cite_note-36"><a href="#cite_ref-36">↑</a> <abbr class="abbr indicateur-langue" title="Langue : italien">(it)</abbr> <a href="/wiki/Pietro_Cataldi" title="Pietro Cataldi">Pietro Cataldi</a>, <cite class="italique" lang="it">Trattato del modo brevissimo di trovare la radice quadra delli numeri et regole da approssimarsi di continuo al vero nelle radici de' numeri non quadrati, con le cause & invenzioni loro</cite>, <time>1613</time><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Trattato+del+modo+brevissimo+di+trovare+la+radice+quadra+delli+numeri+et+regole+da+approssimarsi+di+continuo+al+vero+nelle+radici+de%27+numeri+non+quadrati%2C+con+le+cause+%26+invenzioni+loro&rft.aulast=Cataldi&rft.aufirst=Pietro&rft.date=1613&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3ANombre+irrationnel">. </li> <li id="cite_note-Maor-38">↑ <a href="#cite_ref-Maor_38-0">a</a> et <a href="#cite_ref-Maor_38-1">b</a> <abbr class="abbr indicateur-langue" title="Langue : anglais">(en)</abbr> <a href="/wiki/Eli_Maor" title="Eli Maor">Eli Maor</a>, <cite class="italique" lang="en">E : The Story of a Number</cite>, <a href="/wiki/Princeton_University_Press" title="Princeton University Press">Princeton University Press</a>, <time>1994</time> (<a href="/wiki/International_Standard_Book_Number" title="International Standard Book Number">ISBN</a> <a href="/wiki/Sp%C3%A9cial:Ouvrages_de_r%C3%A9f%C3%A9rence/0-691-05854-7" title="Spécial:Ouvrages de référence/0-691-05854-7">0-691-05854-7</a>, <a rel="nofollow" class="external text" href="//books.google.com/books?id=CtPvBvouvmYC&pg=PA192">lire en ligne</a>), <abbr class="abbr" title="page">p.</abbr> 192<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=E+%3A+The+Story+of+a+Number&rft.pub=Princeton+University+Press&rft.aulast=Maor&rft.aufirst=Eli&rft.date=1994&rft.pages=192&rft.isbn=0-691-05854-7&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3ANombre+irrationnel">. </li> <li id="cite_note-41"><a href="#cite_ref-41">↑</a> A. M. Legendre, <cite class="italique">Éléments de géométrie</cite>, Paris, <time>1802</time> (<a rel="nofollow" class="external text" href="https://archive.org/stream/lmentsdegomtrie10legegoog#page/n308/mode/2up">lire en ligne</a>), « Note IV. Où l'on démontre que le rapport de la circonférence au diametre et son quarré, sont des nombres irrationnels »<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=%C3%89l%C3%A9ments+de+g%C3%A9om%C3%A9trie&rft.atitle=Note+IV.+O%C3%B9+l%27on+d%C3%A9montre+que+le+rapport+de+la+circonf%C3%A9rence+au+diametre+et+son+quarr%C3%A9%2C+sont+des+nombres+irrationnels&rft.place=Paris&rft.aulast=Legendre&rft.aufirst=A.+M.&rft.date=1802&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3ANombre+irrationnel">. </li> <li id="cite_note-42"><a href="#cite_ref-42">↑</a> Voir cependant <abbr class="abbr indicateur-langue" title="Langue : anglais">(en)</abbr> Rolf Wallisser, <cite style="font-style:normal" lang="en">« On Lambert's proof of the irrationality of π »</cite>, dans Franz Halter-Koch et Robert F. Tichy, <cite class="italique" lang="en">Algebraic Number Theory and Diophantine Analysis (Graz, 1998)</cite>, Berlin, Walter de Gruyer,‎ <time>2000</time> (<a rel="nofollow" class="external text" href="//books.google.com/books?id=hQKII4bYBisC&pg=PA521">lire en ligne</a>), <abbr class="abbr" title="pages">p.</abbr> 521-530<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=bookitem&rft.btitle=Algebraic+Number+Theory+and+Diophantine+Analysis+%28Graz%2C+1998%29&rft.atitle=On+Lambert%27s+proof+of+the+irrationality+of+%CF%80&rft.place=Berlin&rft.pub=Walter+de+Gruyer&rft.aulast=Wallisser&rft.aufirst=Rolf&rft.date=2000&rft.pages=521-530&rft_id=%2F%2Fbooks.google.com%2Fbooks%3Fid%3DhQKII4bYBisC%26pg%3DPA521&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3ANombre+irrationnel">. </li> <li id="cite_note-Boniface-43">↑ <a href="#cite_ref-Boniface_43-0">a</a> <a href="#cite_ref-Boniface_43-1">b</a> et <a href="#cite_ref-Boniface_43-2">c</a> <a href="#Boniface2002">Boniface 2002</a>. </li> <li id="cite_note-44"><a href="#cite_ref-44">↑</a> <abbr class="abbr indicateur-langue" title="Langue : allemand">(de)</abbr> L. Kronecker, « <cite style="font-style:normal" lang="de">Ueber den Zahlbegriff</cite> », J. reine angew. Math., <abbr class="abbr" title="volume">vol.</abbr> 101,‎ <time>1887</time>, <abbr class="abbr" title="pages">p.</abbr> 337-355 (<a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.digizeitschriften.de/dms/img/?PID=GDZPPN002160471">lire en ligne</a>)<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rft.genre=article&rft.atitle=Ueber+den+Zahlbegriff&rft.jtitle=J.+reine+angew.+Math.&rft.aulast=Kronecker&rft.aufirst=L.&rft.date=1887&rft.volume=101&rft.pages=337-355&rft_id=http%3A%2F%2Fwww.digizeitschriften.de%2Fdms%2Fimg%2F%3FPID%3DGDZPPN002160471&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3ANombre+irrationnel">. </li> <li id="cite_note-BaileyCrandall-51">↑ <a href="#cite_ref-BaileyCrandall_51-0">a</a> et <a href="#cite_ref-BaileyCrandall_51-1">b</a> <abbr class="abbr indicateur-langue" title="Langue : anglais">(en)</abbr> David H. Bailey et Richard Crandall, « <cite style="font-style:normal" lang="en">On the Random Character of Fundamental Constant Expansions</cite> », Experimental Mathematics, <abbr class="abbr" title="volume">vol.</abbr> 10,‎ <time>2001</time>, <abbr class="abbr" title="pages">p.</abbr> 175-190 (<a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.davidhbailey.com/dhbpapers/bcrandom.pdf">lire en ligne</a>)<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rft.genre=article&rft.atitle=On+the+Random+Character+of+Fundamental+Constant+Expansions&rft.jtitle=Experimental+Mathematics&rft.aulast=Bailey&rft.aufirst=David+H.&rft.au=Richard+Crandall&rft.date=2001&rft.volume=10&rft.pages=175-190&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3ANombre+irrationnel">. </li> <li id="cite_note-PoursuitePi-52">↑ <a href="#cite_ref-PoursuitePi_52-0">a</a> <a href="#cite_ref-PoursuitePi_52-1">b</a> <a href="#cite_ref-PoursuitePi_52-2">c</a> <a href="#cite_ref-PoursuitePi_52-3">d</a> <a href="#cite_ref-PoursuitePi_52-4">e</a> <a href="#cite_ref-PoursuitePi_52-5">f</a> <a href="#cite_ref-PoursuitePi_52-6">g</a> et <a href="#cite_ref-PoursuitePi_52-7">h</a> Jörg Arndt et Christoph Haenel (<abbr class="abbr" title="traduction">trad.</abbr> de l'allemand par Henri Lemberg et François Guénard), <cite style="font-style:normal">À la poursuite de π</cite> [« Pi. Algorithmen, Computer, Arithmetik »], <a href="/wiki/Vuibert" title="Vuibert">Vuibert</a>,‎ <time class="nowrap" datetime="2006-03" data-sort-value="2006-03">mars 2006</time> (<abbr class="abbr" title="première">1re</abbr> <abbr class="abbr" title="édition">éd.</abbr> 1998), 273 <abbr class="abbr" title="pages">p.</abbr> (<a href="/wiki/International_Standard_Book_Number" title="International Standard Book Number">ISBN</a> <a href="/wiki/Sp%C3%A9cial:Ouvrages_de_r%C3%A9f%C3%A9rence/978-2-7117-7170-7" title="Spécial:Ouvrages de référence/978-2-7117-7170-7">978-2-7117-7170-7</a>), <abbr class="abbr" title="chapitre(s)">chap.</abbr> 13 (« L'histoire de π »)<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=%C3%80+la+poursuite+de+%CF%80&rft.atitle=L%27histoire+de+%CF%80&rft.pub=Vuibert&rft.aulast=Arndt&rft.aufirst=J%C3%B6rg&rft.au=Christoph+Haenel&rft.date=2006-03&rft.tpages=273&rft.isbn=978-2-7117-7170-7&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3ANombre+irrationnel">. </li> <li id="cite_note-wozniak198106-54"><a href="#cite_ref-wozniak198106_54-0">↑</a> <abbr class="abbr indicateur-langue" title="Langue : anglais">(en)</abbr> <a href="/wiki/Steve_Wozniak" title="Steve Wozniak">Steve Wozniak</a>, « <cite style="font-style:normal" lang="en">The Impossible Dream: Computing e to 116,000 Places with a Personal Computer</cite> », Byte Magazine,‎ <time class="nowrap" datetime="1981-06" data-sort-value="1981-06">juin 1981</time>, <abbr class="abbr" title="page">p.</abbr> 392 (<a rel="nofollow" class="external text" href="https://archive.org/stream/byte-magazine-1981-06/1981_06_BYTE_06-06_Operating_Systems#page/n393/mode/2up">lire en ligne</a>, consulté le <time class="nowrap" datetime="2017-12-12" data-sort-value="2017-12-12">12 décembre 2017</time>)<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rft.genre=article&rft.atitle=The+Impossible+Dream%3A+Computing+%27%27e%27%27+to+116%2C000+Places+with+a+Personal+Computer&rft.jtitle=Byte+Magazine&rft.aulast=Wozniak&rft.aufirst=Steve&rft.date=1981-06&rft.pages=392&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3ANombre+irrationnel">. </li> <li id="cite_note-55"><a href="#cite_ref-55">↑</a> <abbr class="abbr indicateur-langue" title="Langue : anglais">(en)</abbr> Xavier Gourdon et Pascal Sebah, « <a rel="nofollow" class="external text" href="http://numbers.computation.free.fr/Constants/Gamma/gamma.pdf"><cite style="font-style:normal;" lang="en">The Euler constant: γ</cite></a> », sur Numbers, constants and computation (consulté le <time class="nowrap" datetime="2017-12-12" data-sort-value="2017-12-12">12 décembre 2017</time>). </li> <li id="cite_note-HardyWright9-57">↑ <a href="#cite_ref-HardyWright9_57-0">a</a> et <a href="#cite_ref-HardyWright9_57-1">b</a> <a href="#HardyWright">Hardy et Wright 2007</a>, chap. 9. </li> <li id="cite_note-HardyWright10-58">↑ <a href="#cite_ref-HardyWright10_58-0">a</a> et <a href="#cite_ref-HardyWright10_58-1">b</a> <a href="#HardyWright">Hardy et Wright 2007</a>, chap. 10. </li> <li id="cite_note-HardyWright11-60">↑ <a href="#cite_ref-HardyWright11_60-0">a</a> et <a href="#cite_ref-HardyWright11_60-1">b</a> <a href="#HardyWright">Hardy et Wright 2007</a>, chap. 11. </li> <li id="cite_note-bugeaud-61"><a href="#cite_ref-bugeaud_61-0">↑</a> <abbr class="abbr indicateur-langue" title="Langue : anglais">(en)</abbr> Yann Bugeaud, <cite class="italique" lang="en">Distribution modulo one and Diophantine approximation</cite>, Cambridge, <a href="/wiki/Cambridge_University_Press" title="Cambridge University Press">Cambridge University Press</a>, <abbr class="abbr" title="collection">coll.</abbr> « Cambridge Tracts in Mathematics » (<abbr class="abbr" title="numéro">no</abbr> 193), <time>2012</time> (<a href="/wiki/International_Standard_Book_Number" title="International Standard Book Number">ISBN</a> <a href="/wiki/Sp%C3%A9cial:Ouvrages_de_r%C3%A9f%C3%A9rence/978-0-521-11169-0" title="Spécial:Ouvrages de référence/978-0-521-11169-0">978-0-521-11169-0</a>, <a href="/wiki/Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">DOI</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="https://dx.doi.org/10.1017/CBO9781139017732">10.1017/CBO9781139017732</a>, <a href="/wiki/Zentralblatt_MATH" class="mw-redirect" title="Zentralblatt MATH">zbMATH</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="https://zbmath.org/?q=an:1260.11001">1260.11001</a>), <abbr class="abbr" title="page">p.</abbr> 246<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Distribution+modulo+one+and+Diophantine+approximation&rft.place=Cambridge&rft.pub=Cambridge+University+Press&rft.aulast=Bugeaud&rft.aufirst=Yann&rft.date=2012&rft.pages=246&rft.isbn=978-0-521-11169-0&rft_id=info%3Adoi%2F10.1017%2FCBO9781139017732&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3ANombre+irrationnel">, théorème E.2. </li> <li id="cite_note-63"><a href="#cite_ref-63">↑</a> <abbr class="abbr indicateur-langue" title="Langue : anglais">(en)</abbr> Daniel Duverney, « <cite style="font-style:normal" lang="en">Irrationality of Fast Converging Series of Rational Numbers</cite> », J. Math. Sci. Univ. Tokyo, <abbr class="abbr" title="volume">vol.</abbr> 8,‎ <time>2001</time>, <abbr class="abbr" title="pages">p.</abbr> 275-316 (<a rel="nofollow" class="external text" href="http://journal.ms.u-tokyo.ac.jp/pdf/jms080206.pdf">lire en ligne</a>)<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rft.genre=article&rft.atitle=Irrationality+of+Fast+Converging+Series+of+Rational+Numbers&rft.jtitle=J.+Math.+Sci.+Univ.+Tokyo&rft.aulast=Duverney&rft.aufirst=Daniel&rft.date=2001&rft.volume=8&rft.pages=275-316&rft_id=http%3A%2F%2Fjournal.ms.u-tokyo.ac.jp%2Fpdf%2Fjms080206.pdf&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3ANombre+irrationnel">. </li> <li id="cite_note-zeilberger-64"><a href="#cite_ref-zeilberger_64-0">↑</a> <abbr class="abbr indicateur-langue" title="Langue : anglais">(en)</abbr> <a href="/wiki/Doron_Zeilberger" title="Doron Zeilberger">Doron Zeilberger</a> et <a href="/w/index.php?title=Wadim_Zudilin&action=edit&redlink=1" class="new" title="Wadim Zudilin (page inexistante)">Wadim Zudilin</a> <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Wadim_Zudilin" class="extiw" title="en:Wadim Zudilin">(en)</a>, « <cite style="font-style:normal" lang="en">The irrationality measure of π is at most 7.103205334137…</cite> », Moscow Journal of Combinatorics and Number Theory, <abbr class="abbr" title="volume">vol.</abbr> 9, <abbr class="abbr" title="numéro">no</abbr> 4,‎ <time>2020</time> (<a href="/wiki/Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">DOI</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="https://dx.doi.org/10.2140/moscow.2020.9.407">10.2140/moscow.2020.9.407</a>)<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rft.genre=article&rft.atitle=The+irrationality+measure+of+%CF%80+is+at+most+7.103205334137%E2%80%A6&rft.jtitle=Moscow+Journal+of+Combinatorics+and+Number+Theory&rft.issue=4&rft.aulast=Zeilberger&rft.aufirst=Doron&rft.au=%3AWadim+Zudilin&rft.date=2020&rft.volume=9&rft_id=info%3Adoi%2F10.2140%2Fmoscow.2020.9.407&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3ANombre+irrationnel">. </li> <li id="cite_note-65"><a href="#cite_ref-65">↑</a> <abbr class="abbr indicateur-langue" title="Langue : anglais">(en)</abbr> Georges Rhin et Carlo Viola, « <cite style="font-style:normal" lang="en">The group structure for ζ(3)</cite> », <a href="/wiki/Liste_des_journaux_scientifiques_en_math%C3%A9matiques#A" title="Liste des journaux scientifiques en mathématiques">Acta Arithmetica</a>, <abbr class="abbr" title="volume">vol.</abbr> 97, <abbr class="abbr" title="numéro">no</abbr> 3,‎ <time>2001</time>, <abbr class="abbr" title="pages">p.</abbr> 269-293 (<a rel="nofollow" class="external text" href="https://eudml.org/doc/278880">lire en ligne</a>)<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rft.genre=article&rft.atitle=The+group+structure+for+%CE%B6%283%29&rft.jtitle=Acta+Arithmetica&rft.issue=3&rft.aulast=Rhin&rft.aufirst=Georges&rft.au=Carlo+Viola&rft.date=2001&rft.volume=97&rft.pages=269-293&rft_id=https%3A%2F%2Feudml.org%2Fdoc%2F278880&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3ANombre+irrationnel">. </li> <li id="cite_note-66"><a href="#cite_ref-66">↑</a> <abbr class="abbr indicateur-langue" title="Langue : anglais">(en)</abbr> Masaaki Amou, « <cite style="font-style:normal" lang="en">Approximation to certain transcendental decimal fractions by algebraic numbers</cite> », <a href="/wiki/Liste_des_journaux_scientifiques_en_math%C3%A9matiques#J" title="Liste des journaux scientifiques en mathématiques">J. Number Theor</a>, <abbr class="abbr" title="volume">vol.</abbr> 37, <abbr class="abbr" title="numéro">no</abbr> 2,‎ <time>1991</time>, <abbr class="abbr" title="pages">p.</abbr> 231-241 (<a href="/wiki/Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">DOI</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="https://dx.doi.org/10.1016/S0022-314X%2805%2980039-3">10.1016/S0022-314X(05)80039-3</a>)<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rft.genre=article&rft.atitle=Approximation+to+certain+transcendental+decimal+fractions+by+algebraic+numbers&rft.jtitle=J.+Number+Theor&rft.issue=2&rft.aulast=Amou&rft.aufirst=Masaaki&rft.date=1991&rft.volume=37&rft.pages=231-241&rft_id=info%3Adoi%2F10.1016%2FS0022-314X%2805%2980039-3&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3ANombre+irrationnel">. </li> <li id="cite_note-68"><a href="#cite_ref-68">↑</a> Xavier Gourdon, <cite class="italique">Les maths en tête : Analyse</cite>, <time>2008</time>, <abbr class="abbr" title="deuxième">2e</abbr> <abbr class="abbr" title="édition">éd.</abbr> (<abbr class="abbr" title="première">1re</abbr> <abbr class="abbr" title="édition">éd.</abbr> 1994), 432 <abbr class="abbr" title="pages">p.</abbr> (<a href="/wiki/International_Standard_Book_Number" title="International Standard Book Number">ISBN</a> <a href="/wiki/Sp%C3%A9cial:Ouvrages_de_r%C3%A9f%C3%A9rence/978-2-7298-3759-4" title="Spécial:Ouvrages de référence/978-2-7298-3759-4">978-2-7298-3759-4</a>), <abbr class="abbr" title="chapitre(s)">chap.</abbr> 4 (« Suites et séries »), <abbr class="abbr" title="pages">p.</abbr> 275-276<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Les+maths+en+t%C3%AAte&rft.atitle=Suites+et+s%C3%A9ries&rft.edition=2&rft.stitle=Analyse&rft.aulast=Gourdon&rft.aufirst=Xavier&rft.date=2008&rft.pages=275-276&rft.tpages=432&rft.isbn=978-2-7298-3759-4&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3ANombre+irrationnel">, problème <abbr class="abbr" title="numéro">no</abbr> 7. </li> <li id="cite_note-69"><a href="#cite_ref-69">↑</a> <abbr class="abbr indicateur-langue" title="Langue : anglais">(en)</abbr> « <a rel="nofollow" class="external text" href="https://mathworld.wolfram.com/FlintHillsSeries.html"><cite style="font-style:normal;" lang="en">Flint Hills Series</cite></a> », sur <a href="/wiki/MathWorld" title="MathWorld">MathWorld</a>. </li> <li id="cite_note-HardyWright23-71"><a href="#cite_ref-HardyWright23_71-0">↑</a> <a href="#HardyWright">Hardy et Wright 2007</a>, chap. 23. </li> <li id="cite_note-Niven61-72"><a href="#cite_ref-Niven61_72-0">↑</a> <a href="#Niven1961">Niven 1961</a>, chap. 4, <abbr class="abbr" title="page">p.</abbr> 52. </li> <li id="cite_note-74"><a href="#cite_ref-74">↑</a> <a href="#Niven1961">Niven 1961</a>, chap. 5 (« Trigonometric and Logarithmic Numbers »), <abbr class="abbr" title="page">p.</abbr> 68. </li> <li id="cite_note-Pansu-78">↑ <a href="#cite_ref-Pansu_78-0">a</a> et <a href="#cite_ref-Pansu_78-1">b</a> <a href="/wiki/Pierre_Pansu" title="Pierre Pansu">Pierre Pansu</a>, Université de Paris-Saclay, « <a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.imo.universite-paris-saclay.fr/~pierre.pansu/websm/denombrabilite.pdf"><cite style="font-style:normal;">Dénombrabilité</cite></a> », sur universite-paris-saclay.fr, <time class="nowrap" datetime="2005-05-14" data-sort-value="2005-05-14">14 mai 2005</time> (consulté le <time class="nowrap" datetime="2024-08-12" data-sort-value="2024-08-12">12 août 2024</time>), page 4. </li> <li id="cite_note-82"><a href="#cite_ref-82">↑</a> Xavier Gourdon, <cite class="italique">Les maths en tête</cite>, <abbr class="abbr" title="tome">t.</abbr> Analyse, <a href="/wiki/%C3%89ditions_Ellipses" title="Éditions Ellipses">Ellipses</a>, <time>2008</time>, <abbr class="abbr" title="deuxième">2e</abbr> <abbr class="abbr" title="édition">éd.</abbr> (<abbr class="abbr" title="première">1re</abbr> <abbr class="abbr" title="édition">éd.</abbr> 1994), 432 <abbr class="abbr" title="pages">p.</abbr> (<a href="/wiki/International_Standard_Book_Number" title="International Standard Book Number">ISBN</a> <a href="/wiki/Sp%C3%A9cial:Ouvrages_de_r%C3%A9f%C3%A9rence/978-2-7298-3759-4" title="Spécial:Ouvrages de référence/978-2-7298-3759-4">978-2-7298-3759-4</a>), « Théorème de Baire et applications », <abbr class="abbr" title="page">p.</abbr> 406<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Les+maths+en+t%C3%AAte&rft.atitle=Th%C3%A9or%C3%A8me+de+Baire+et+applications&rft.pub=Ellipses&rft.edition=2&rft.aulast=Gourdon&rft.aufirst=Xavier&rft.date=2008&rft.pages=406&rft.tpages=432&rft.isbn=978-2-7298-3759-4&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3ANombre+irrationnel">. </li> <li id="cite_note-83"><a href="#cite_ref-83">↑</a> <abbr class="abbr indicateur-langue" title="Langue : anglais">(en)</abbr> <a href="/wiki/Mikl%C3%B3s_Laczkovich" title="Miklós Laczkovich">Miklós Laczkovich</a>, <cite class="italique" lang="en">Conjecture and Proof</cite>, <a href="/wiki/American_Mathematical_Society" title="American Mathematical Society">AMS</a>, <time>2001</time> (<a rel="nofollow" class="external text" href="//books.google.com/books?id=4CP3DwAAQBAJ&pg=PA1">lire en ligne</a>), <abbr class="abbr" title="chapitre(s)">chap.</abbr> I (« Proofs of Impossibility, Proofs of Nonexistence »)<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Conjecture+and+Proof&rft.pub=AMS&rft.aulast=Laczkovich&rft.aufirst=Mikl%C3%B3s&rft.date=2001&rft_id=%2F%2Fbooks.google.com%2Fbooks%3Fid%3D4CP3DwAAQBAJ%26pg%3DPA1&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3ANombre+irrationnel">, § 1 : Proofs of Irrationality. </li> <li id="cite_note-Niven4.3-86">↑ <a href="#cite_ref-Niven4.3_86-0">a</a> <a href="#cite_ref-Niven4.3_86-1">b</a> et <a href="#cite_ref-Niven4.3_86-2">c</a> <a href="#Niven1961">Niven 1961</a>, chap. 4, § 3 (« Rational roots of polynomial equations »), <abbr class="abbr" title="pages">p.</abbr> 57-62 ; c'est une variante plus simple du <a href="/wiki/Crit%C3%A8re_d%27Eisenstein" title="Critère d'Eisenstein">critère d'Eisenstein</a>. </li> <li id="cite_note-90"><a href="#cite_ref-90">↑</a> <abbr class="abbr indicateur-langue" title="Langue : anglais">(en)</abbr> R. S. Underwood, « <cite style="font-style:normal" lang="en">On the irrationality of certain trigonometric functions</cite> », <a href="/wiki/The_American_Mathematical_Monthly" title="The American Mathematical Monthly">Amer. Math. Monthly</a>, <abbr class="abbr" title="volume">vol.</abbr> 28, <abbr class="abbr" title="numéro">no</abbr> 10,‎ <time>1921</time>, <abbr class="abbr" title="pages">p.</abbr> 374-376 (<a href="/wiki/JSTOR" title="JSTOR">JSTOR</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="https://jstor.org/stable/2972160">2972160</a>)<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rft.genre=article&rft.atitle=On+the+irrationality+of+certain+trigonometric+functions&rft.jtitle=Amer.+Math.+Monthly&rft.issue=10&rft.aulast=Underwood&rft.aufirst=R.+S.&rft.date=1921&rft.volume=28&rft.pages=374-376&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3ANombre+irrationnel"> et <abbr class="abbr indicateur-langue" title="Langue : anglais">(en)</abbr> R. S. Underwood, « <cite style="font-style:normal" lang="en">Supplementary note on the irrationality of certain trigonometric functions</cite> », Amer. Math. Monthly, <abbr class="abbr" title="volume">vol.</abbr> 29, <abbr class="abbr" title="numéro">no</abbr> 9,‎ <time>1922</time>, <abbr class="abbr" title="page">p.</abbr> 346 (<a href="/wiki/JSTOR" title="JSTOR">JSTOR</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="https://jstor.org/stable/2298729">2298729</a>)<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rft.genre=article&rft.atitle=Supplementary+note+on+the+irrationality+of+certain+trigonometric+functions&rft.jtitle=Amer.+Math.+Monthly&rft.issue=9&rft.aulast=Underwood&rft.aufirst=R.+S.&rft.date=1922&rft.volume=29&rft.pages=346&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3ANombre+irrationnel">. </li> <li id="cite_note-92"><a href="#cite_ref-92">↑</a> <abbr class="abbr indicateur-langue" title="Langue : anglais">(en)</abbr> <abbr class="abbr indicateur-format format-vidéo" title="Vidéo au format mpg, avi...">[vidéo]</abbr> <a href="/wiki/Burkard_Polster" title="Burkard Polster">Mathologer</a>, « <a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.youtube.com/watch?v=sDfzCIWpS7Q">What does this prove? Some of the most gorgeous visual "shrink" proofs ever invented</a> », sur <a href="/wiki/YouTube" title="YouTube">YouTube</a>, le théorème est prouvé à partir de 19 min 52 s à partir des méthodes montrées en début de vidéo. </li> <li id="cite_note-93"><a href="#cite_ref-93">↑</a> Consulter <abbr class="abbr indicateur-langue" title="Langue : anglais">(en)</abbr> G. H. Hardy, E. M. Wright, D. R. Heath-Brown et Joseph H. Silverman, <cite class="italique" lang="en">An introduction to the theory of numbers</cite>, Oxford, Oxford University Press, <time>2008</time>, <abbr class="abbr" title="sixième">6e</abbr> <abbr class="abbr" title="édition">éd.</abbr> (<a href="/wiki/International_Standard_Book_Number" title="International Standard Book Number">ISBN</a> <a href="/wiki/Sp%C3%A9cial:Ouvrages_de_r%C3%A9f%C3%A9rence/978-0-19-921985-8" title="Spécial:Ouvrages de référence/978-0-19-921985-8">978-0-19-921985-8</a>, <a href="/wiki/Online_Computer_Library_Center" title="Online Computer Library Center">OCLC</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="https://worldcat.org/fr/title/214305907">214305907</a>)<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=An+introduction+to+the+theory+of+numbers&rft.place=Oxford&rft.pub=Oxford+University+Press&rft.edition=6&rft.aulast=Hardy&rft.aufirst=G.+H.&rft.au=E.+M.+Wright&rft.au=D.+R.+Heath-Brown&rft.au=Joseph+H.+Silverman&rft.date=2008&rft.isbn=978-0-19-921985-8&rft_id=info%3Aoclcnum%2F214305907&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3ANombre+irrationnel"> </li> <li id="cite_note-94"><a href="#cite_ref-94">↑</a> <abbr class="abbr indicateur-langue" title="Langue : allemand">(de)</abbr> <a href="/wiki/Kurt_Mahler" title="Kurt Mahler">Kurt Mahler</a>, « <cite style="font-style:normal" lang="de">Arithmetische Eigenschaften der Lösungen einer Klasse von Funktionalgleichungen</cite> », Math. 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Arithmétique dans ℤ, <abbr class="abbr" title="chapitre(s)">chap.</abbr> 5 (« Nombres réels »), <abbr class="abbr" title="page">p.</abbr> 77<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Petit+compagnon+des+nombres+et+de+leurs+applications&rft.atitle=Nombres+r%C3%A9els&rft.pub=Calvage+et+Mounet&rft.aulast=Boyer&rft.aufirst=Pascal&rft.date=2019&rft.pages=77&rft.tpages=648&rft.isbn=978-2-916352-75-6&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3ANombre+irrationnel">. </li> <li id="cite_note-101"><a href="#cite_ref-101">↑</a> <abbr class="abbr indicateur-langue" title="Langue : anglais">(en)</abbr> Catalin Badea, « <cite style="font-style:normal" lang="en"><a rel="nofollow" class="external text" href="http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/aa/aa63/aa6342.pdf">A theorem on irrationality of infinite series and applications</a></cite> », <a href="/wiki/Acta_Arithmetica" title="Acta Arithmetica">Acta Arithmetica</a>, <abbr class="abbr" title="volume">vol.</abbr> 63,‎ <time>1993</time>, <abbr class="abbr" title="pages">p.</abbr> 313-323<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rft.genre=article&rft.atitle=A+theorem+on+irrationality+of+infinite+series+and+applications&rft.jtitle=Acta+Arithmetica&rft.aulast=Badea&rft.aufirst=Catalin&rft.date=1993&rft.volume=63&rft.pages=313-323&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3ANombre+irrationnel"> </li> <li id="cite_note-105"><a href="#cite_ref-105">↑</a> <abbr class="abbr indicateur-langue" title="Langue : anglais">(en)</abbr> Schwarz, W.: Remarks on the irrationality and transcendence of certain series. <a href="/wiki/Math._Scand." class="mw-redirect" title="Math. Scand.">Math. Scand.</a> 20, 269–274 (1967) </li> <li id="cite_note-gol-106"><a href="#cite_ref-gol_106-0">↑</a> <abbr class="abbr indicateur-langue" title="Langue : anglais">(en)</abbr> <a href="/wiki/Solomon_W._Golomb" title="Solomon W. Golomb">Solomon W. Golomb</a>, « <cite style="font-style:normal" lang="en">On the sum of the reciprocals of the Fermat numbers and related irrationalities</cite> », <a href="/wiki/Journal_canadien_de_math%C3%A9matiques" title="Journal canadien de mathématiques">Canad. J. Math.</a>, <abbr class="abbr" title="volume">vol.</abbr> 15,‎ <time>1963</time>, <abbr class="abbr" title="pages">p.</abbr> 475-478 (<a rel="nofollow" class="external text" href="https://cms.math.ca/openaccess/cjm/v15/cjm1963v15.0475-0478.pdf">lire en ligne</a>)<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rft.genre=article&rft.atitle=On+the+sum+of+the+reciprocals+of+the+Fermat+numbers+and+related+irrationalities&rft.jtitle=Canad.+J.+Math.&rft.aulast=Golomb&rft.aufirst=Solomon+W.&rft.date=1963&rft.volume=15&rft.pages=475-478&rft_id=https%3A%2F%2Fcms.math.ca%2Fopenaccess%2Fcjm%2Fv15%2Fcjm1963v15.0475-0478.pdf&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3ANombre+irrationnel">. </li> <li id="cite_note-108"><a href="#cite_ref-108">↑</a> Richard André-Jeannin, « <cite style="font-style:normal">Irrationalité de la somme des inverses de certaines suites récurrentes</cite> », <a href="/wiki/CRAS" class="mw-redirect" title="CRAS">C. R. Acad. Sci. Paris</a>, i Math., <abbr class="abbr" title="volume">vol.</abbr> 308,‎ <time>1989</time>, <abbr class="abbr" title="pages">p.</abbr> 539-541 (<a rel="nofollow" class="external text" href="https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k5686125p/f9.image">lire en ligne</a>)<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rft.genre=article&rft.atitle=Irrationalit%C3%A9+de+la+somme+des+inverses+de+certaines+suites+r%C3%A9currentes&rft.jtitle=C.+R.+Acad.+Sci.+Paris&rft.aulast=Andr%C3%A9-Jeannin&rft.aufirst=Richard&rft.date=1989&rft.volume=308&rft.pages=539-541&rft_id=https%3A%2F%2Fgallica.bnf.fr%2Fark%3A%2F12148%2Fbpt6k5686125p%2Ff9.image&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3ANombre+irrationnel">. </li> <li id="cite_note-109"><a href="#cite_ref-109">↑</a> Voir <abbr class="abbr indicateur-langue" title="Langue : anglais">(en)</abbr> <a href="/wiki/Eric_W._Weisstein" title="Eric W. Weisstein">Eric W. Weisstein</a>, « <a rel="nofollow" class="external text" href="http://mathworld.wolfram.com/ReciprocalFibonacciConstant.html"><cite style="font-style:normal;" lang="en">Reciprocal Fibonacci Constant</cite></a> », sur <a href="/wiki/MathWorld" title="MathWorld">MathWorld</a>, ainsi que <a href="/wiki/On-Line_Encyclopedia_of_Integer_Sequences" title="OEIS"><img alt="OEIS" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d8/OEISicon_light.svg/11px-OEISicon_light.svg.png" decoding="async" width="11" height="15" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d8/OEISicon_light.svg/17px-OEISicon_light.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d8/OEISicon_light.svg/22px-OEISicon_light.svg.png 2x" data-file-width="409" data-file-height="556" /></a> <a href="//oeis.org/A079586" class="extiw" title="oeis:A079586">A079586</a> (<a href="/wiki/D%C3%A9veloppement_d%C3%A9cimal" title="Développement décimal">développement décimal</a>) et <a href="/wiki/On-Line_Encyclopedia_of_Integer_Sequences" title="OEIS"><img alt="OEIS" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d8/OEISicon_light.svg/11px-OEISicon_light.svg.png" decoding="async" width="11" height="15" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d8/OEISicon_light.svg/17px-OEISicon_light.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d8/OEISicon_light.svg/22px-OEISicon_light.svg.png 2x" data-file-width="409" data-file-height="556" /></a> <a href="//oeis.org/A079587" class="extiw" title="oeis:A079587">A079587</a> (<a href="/wiki/Fraction_continue" title="Fraction continue">fraction continue</a>). </li> <li id="cite_note-111"><a href="#cite_ref-111">↑</a> <a href="#Niven1956">Niven 1956</a>, chap. 2 (« Simple irrationalities »), <abbr class="abbr" title="pages">p.</abbr> 19-20. </li> </ol></div> </div> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Voir_aussi">Voir aussi</h2>[<a href="/w/index.php?title=Nombre_irrationnel&veaction=edit&section=52" title="Modifier la section : Voir aussi" class="mw-editsection-visualeditor">modifier</a> | <a href="/w/index.php?title=Nombre_irrationnel&action=edit&section=52" title="Modifier le code source de la section : Voir aussi">modifier le code</a>]</div> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Article_annexe">Article annexe</h3>[<a href="/w/index.php?title=Nombre_irrationnel&veaction=edit&section=53" title="Modifier la section : Article annexe" class="mw-editsection-visualeditor">modifier</a> | <a href="/w/index.php?title=Nombre_irrationnel&action=edit&section=53" title="Modifier le code source de la section : Article annexe">modifier le code</a>]</div> <ul><li><a href="/wiki/Voyages_au_pays_des_maths" title="Voyages au pays des maths">Voyages au pays des maths</a></li></ul> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Bibliographie">Bibliographie</h3>[<a href="/w/index.php?title=Nombre_irrationnel&veaction=edit&section=54" title="Modifier la section : Bibliographie" class="mw-editsection-visualeditor">modifier</a> | <a href="/w/index.php?title=Nombre_irrationnel&action=edit&section=54" title="Modifier le code source de la section : Bibliographie">modifier le code</a>]</div> <img alt="Document utilisé pour la rédaction de l’article" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/bc/Icon_flat_design_plume.svg/20px-Icon_flat_design_plume.svg.png" decoding="async" width="20" height="10" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/bc/Icon_flat_design_plume.svg/30px-Icon_flat_design_plume.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/bc/Icon_flat_design_plume.svg/40px-Icon_flat_design_plume.svg.png 2x" data-file-width="330" data-file-height="158" /> : document utilisé comme source pour la rédaction de cet article. <div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Aspects_mathématiques">Aspects mathématiques</h4>[<a href="/w/index.php?title=Nombre_irrationnel&veaction=edit&section=55" title="Modifier la section : Aspects mathématiques" class="mw-editsection-visualeditor">modifier</a> | <a href="/w/index.php?title=Nombre_irrationnel&action=edit&section=55" title="Modifier le code source de la section : Aspects mathématiques">modifier le code</a>]</div> <ul><li>Daniel Duverney, <cite class="italique">Théorie des nombres</cite>, <a href="/wiki/Dunod" class="mw-redirect" title="Dunod">Dunod</a>, <time>2007</time><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Th%C3%A9orie+des+nombres&rft.pub=Dunod&rft.aulast=Duverney&rft.aufirst=Daniel&rft.date=2007&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3ANombre+irrationnel">.</li> <li><a href="/wiki/Godfrey_Harold_Hardy" title="Godfrey Harold Hardy">G. H. Hardy</a> et <a href="/wiki/Edward_Maitland_Wright" title="Edward Maitland Wright">E. M. Wright</a> (<abbr class="abbr" title="traduction">trad.</abbr> de l'anglais par François Sauvageot, <abbr class="abbr" title="préface">préf.</abbr> <a href="/wiki/Catherine_Goldstein" title="Catherine Goldstein">Catherine Goldstein</a>), <cite class="italique">Introduction à la théorie des nombres</cite> [« An Introduction to the Theory of Numbers »] [<a href="/wiki/R%C3%A9f%C3%A9rence:Theory_of_numbers_(HardyWright)#Édition_en_français" title="Référence:Theory of numbers (HardyWright)">détail de l’édition</a>]<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Introduction+%C3%A0+la+th%C3%A9orie+des+nombres&rft.aulast=Hardy&rft.aufirst=G.+H.&rft.au=E.+M.+Wright&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3ANombre+irrationnel">, particulièrement les chapitres 4 (« Nombres irrationnels »), 9 (« L'écriture décimale des nombres »), 10 (« Fractions continues ») et 11 (« Approximations des irrationnels par des rationnels »). <img alt="Document utilisé pour la rédaction de l’article" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/bc/Icon_flat_design_plume.svg/20px-Icon_flat_design_plume.svg.png" decoding="async" width="20" height="10" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/bc/Icon_flat_design_plume.svg/30px-Icon_flat_design_plume.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/bc/Icon_flat_design_plume.svg/40px-Icon_flat_design_plume.svg.png 2x" data-file-width="330" data-file-height="158" /></li> <li><abbr class="abbr indicateur-langue" title="Langue : anglais">(en)</abbr> <a href="/wiki/Ivan_Niven" title="Ivan Niven">Ivan Niven</a>, <cite class="italique" lang="en">Irrational Numbers</cite>, <a href="/wiki/Cambridge_University_Press" title="Cambridge University Press">Cambridge University Press</a>, <time>1956</time> (<a rel="nofollow" class="external text" href="//books.google.com/books?id=ov-IlIEo47cC">lire en ligne</a>)<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Irrational+Numbers&rft.pub=Cambridge+University+Press&rft.aulast=Niven&rft.aufirst=Ivan&rft.date=1956&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3ANombre+irrationnel">. <img alt="Document utilisé pour la rédaction de l’article" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/bc/Icon_flat_design_plume.svg/20px-Icon_flat_design_plume.svg.png" decoding="async" width="20" height="10" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/bc/Icon_flat_design_plume.svg/30px-Icon_flat_design_plume.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/bc/Icon_flat_design_plume.svg/40px-Icon_flat_design_plume.svg.png 2x" data-file-width="330" data-file-height="158" /></li> <li><abbr class="abbr indicateur-langue" title="Langue : anglais">(en)</abbr> Ivan Niven, <cite class="italique" lang="en">Numbers : Rational and Irrational</cite>, The L. W. Singer Company, <abbr class="abbr" title="collection">coll.</abbr> « New Mathematical Library », <time>1961</time>, 136 <abbr class="abbr" title="pages">p.</abbr> (<a href="/wiki/International_Standard_Book_Number" title="International Standard Book Number">ISBN</a> <a href="/wiki/Sp%C3%A9cial:Ouvrages_de_r%C3%A9f%C3%A9rence/978-0-88385-601-7" title="Spécial:Ouvrages de référence/978-0-88385-601-7">978-0-88385-601-7</a>)<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Numbers&rft.pub=The+L.+W.+Singer+Company&rft.stitle=Rational+and+Irrational&rft.aulast=Niven&rft.aufirst=Ivan&rft.date=1961&rft.tpages=136&rft.isbn=978-0-88385-601-7&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3ANombre+irrationnel">. <img alt="Document utilisé pour la rédaction de l’article" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/bc/Icon_flat_design_plume.svg/20px-Icon_flat_design_plume.svg.png" decoding="async" width="20" height="10" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/bc/Icon_flat_design_plume.svg/30px-Icon_flat_design_plume.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/bc/Icon_flat_design_plume.svg/40px-Icon_flat_design_plume.svg.png 2x" data-file-width="330" data-file-height="158" /></li> <li><abbr class="abbr indicateur-langue" title="Langue : allemand">(de)</abbr> <a href="/wiki/Oskar_Perron" title="Oskar Perron">Oskar Perron</a>, <cite class="italique" lang="de">Irrationalzahlen</cite>, <a href="/wiki/De_Gruyter" class="mw-redirect" title="De Gruyter">De Gruyter</a>, <time>1921</time> (<a rel="nofollow" class="external text" href="//books.google.com/books?id=GgsOAwAAQBAJ">lire en ligne</a>)<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Irrationalzahlen&rft.place=De+Gruyter&rft.aulast=Perron&rft.aufirst=Oskar&rft.date=1921&rft_id=%2F%2Fbooks.google.com%2Fbooks%3Fid%3DGgsOAwAAQBAJ&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3ANombre+irrationnel">.</li> <li><abbr class="abbr indicateur-langue" title="Langue : anglais">(en)</abbr> Dirk Huylebrouck, « <cite style="font-style:normal" lang="en">Similarities in irrationality proofs for π, ln2, ζ(2), and ζ(3)</cite> », Amer. Math. Monthly, <abbr class="abbr" title="volume">vol.</abbr> 108,‎ <time>2001</time>, <abbr class="abbr" title="pages">p.</abbr> 222-231 (<a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.researchgate.net/publication/268494720_Similarities_in_Irrationality_Proofs_for_p_ln2_z2_and_z3">lire en ligne</a>)<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rft.genre=article&rft.atitle=Similarities+in+irrationality+proofs+for+%CF%80%2C+ln2%2C+%CE%B6%282%29%2C+and+%CE%B6%283%29&rft.jtitle=Amer.+Math.+Monthly&rft.aulast=Huylebrouck&rft.aufirst=Dirk&rft.date=2001&rft.volume=108&rft.pages=222-231&rft_id=https%3A%2F%2Fwww.researchgate.net%2Fpublication%2F268494720_Similarities_in_Irrationality_Proofs_for_p_ln2_z2_and_z3&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3ANombre+irrationnel"></li></ul> <div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Aspects_historiques">Aspects historiques</h4>[<a href="/w/index.php?title=Nombre_irrationnel&veaction=edit&section=56" title="Modifier la section : Aspects historiques" class="mw-editsection-visualeditor">modifier</a> | <a href="/w/index.php?title=Nombre_irrationnel&action=edit&section=56" title="Modifier le code source de la section : Aspects historiques">modifier le code</a>]</div> <ul><li>Jacqueline Boniface, <cite class="italique">Les constructions des nombres réels dans le mouvement d'arithmétisation de l'analyse</cite>, <a href="/wiki/%C3%89ditions_Ellipses" title="Éditions Ellipses">Ellipses</a>, <time>2002</time> (<a href="/wiki/International_Standard_Book_Number" title="International Standard Book Number">ISBN</a> <a href="/wiki/Sp%C3%A9cial:Ouvrages_de_r%C3%A9f%C3%A9rence/978-2-7298-1142-6" title="Spécial:Ouvrages de référence/978-2-7298-1142-6">978-2-7298-1142-6</a>)<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Les+constructions+des+nombres+r%C3%A9els+dans+le+mouvement+d%27arithm%C3%A9tisation+de+l%27analyse&rft.pub=Ellipses&rft.aulast=Boniface&rft.aufirst=Jacqueline&rft.date=2002&rft.isbn=978-2-7298-1142-6&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3ANombre+irrationnel">. <img alt="Document utilisé pour la rédaction de l’article" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/bc/Icon_flat_design_plume.svg/20px-Icon_flat_design_plume.svg.png" decoding="async" width="20" height="10" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/bc/Icon_flat_design_plume.svg/30px-Icon_flat_design_plume.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/bc/Icon_flat_design_plume.svg/40px-Icon_flat_design_plume.svg.png 2x" data-file-width="330" data-file-height="158" /></li> <li><a href="/wiki/Maurice_Caveing" title="Maurice Caveing">Maurice Caveing</a>, <cite class="italique">La constitution du type mathématique de l'idéalité dans la pensée grecque</cite>, <abbr class="abbr" title="volume">vol.</abbr> 3 : L’irrationalité dans les Mathématiques grecques jusqu’à Euclide, <a href="/wiki/Presses_universitaires_du_Septentrion" title="Presses universitaires du Septentrion">Presses universitaires du Septentrion</a>, <time>1998</time>, 343 <abbr class="abbr" title="pages">p.</abbr> (<a href="/wiki/International_Standard_Book_Number" title="International Standard Book Number">ISBN</a> <a href="/wiki/Sp%C3%A9cial:Ouvrages_de_r%C3%A9f%C3%A9rence/2-85939-539-3" title="Spécial:Ouvrages de référence/2-85939-539-3">2-85939-539-3</a>, <a href="/wiki/Biblioth%C3%A8que_nationale_de_France" title="Bibliothèque nationale de France">BNF</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="https://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb36971590m.public">36971590</a>, <a rel="nofollow" class="external text" href="//books.google.com/books?id=ZycSoMNgL2YC">présentation en ligne</a>)<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=La+constitution+du+type+math%C3%A9matique+de+l%27id%C3%A9alit%C3%A9+dans+la+pens%C3%A9e+grecque&rft.pub=Presses+universitaires+du+Septentrion&rft.aulast=Caveing&rft.aufirst=Maurice&rft.date=1998&rft.volume=3&rft.tpages=343&rft.isbn=2-85939-539-3&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3ANombre+irrationnel">. <img alt="Document utilisé pour la rédaction de l’article" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/bc/Icon_flat_design_plume.svg/20px-Icon_flat_design_plume.svg.png" decoding="async" width="20" height="10" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/bc/Icon_flat_design_plume.svg/30px-Icon_flat_design_plume.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/bc/Icon_flat_design_plume.svg/40px-Icon_flat_design_plume.svg.png 2x" data-file-width="330" data-file-height="158" /></li> <li>Éliane Cousquer, <cite class="italique">La fabuleuse histoire des nombres</cite>, Diderot multimédia, <abbr class="abbr" title="collection">coll.</abbr> « Jardin des sciences », <time>1998</time>, 259 <abbr class="abbr" title="pages">p.</abbr> (<a href="/wiki/International_Standard_Book_Number" title="International Standard Book Number">ISBN</a> <a href="/wiki/Sp%C3%A9cial:Ouvrages_de_r%C3%A9f%C3%A9rence/2-84352-114-9" title="Spécial:Ouvrages de référence/2-84352-114-9">2-84352-114-9</a>), <abbr class="abbr" title="chapitre(s)">chap.</abbr> 9 (« Des irrationnels aux réels »)<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=La+fabuleuse+histoire+des+nombres&rft.atitle=Des+irrationnels+aux+r%C3%A9els&rft.pub=Diderot+multim%C3%A9dia&rft.aulast=Cousquer&rft.aufirst=%C3%89liane&rft.date=1998&rft.tpages=259&rft.isbn=2-84352-114-9&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3ANombre+irrationnel">. <img alt="Document utilisé pour la rédaction de l’article" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/bc/Icon_flat_design_plume.svg/20px-Icon_flat_design_plume.svg.png" decoding="async" width="20" height="10" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/bc/Icon_flat_design_plume.svg/30px-Icon_flat_design_plume.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/bc/Icon_flat_design_plume.svg/40px-Icon_flat_design_plume.svg.png 2x" data-file-width="330" data-file-height="158" /></li> <li><a href="/wiki/%C3%89douard_des_Places" title="Édouard des Places">Édouard des Places</a>, « <cite style="font-style:normal">Le passage mathématique de l’Épinomis (990 c 5-991 a 4) et la théorie des irrationnelles</cite> », Revue des Études Grecques, <abbr class="abbr" title="tome">t.</abbr> 48, <abbr class="abbr" title="numéro">no</abbr> 228,‎ <time class="nowrap" datetime="1935" data-sort-value="1935">octobre-décembre 1935</time>, <abbr class="abbr" title="pages">p.</abbr> 540-550 (<a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.persee.fr/doc/reg_0035-2039_1935_num_48_228_4963">lire en ligne</a>)<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rft.genre=article&rft.atitle=Le+passage+math%C3%A9matique+de+l%E2%80%99%27%27%C3%89pinomis%27%27+%28990+c+5-991+a+4%29+et+la+th%C3%A9orie+des+irrationnelles&rft.jtitle=Revue+des+%C3%89tudes+Grecques&rft.issue=228&rft.au=%C3%89douard+des+Places&rft.date=1935&rft.pages=540-550&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3ANombre+irrationnel"></li> <li><a href="/w/index.php?title=%C3%81rp%C3%A1d_Szab%C3%B3&action=edit&redlink=1" class="new" title="Árpád Szabó (page inexistante)">Árpád Szabó</a> <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/%C3%81rp%C3%A1d_Szab%C3%B3" class="extiw" title="de:Árpád Szabó">(de)</a> (<abbr class="abbr" title="traduction">trad.</abbr> de l'allemand par Michel Federspiel), <cite class="italique">L'aube des mathématiques grecques</cite> [« Entfaltung der grieschischen Mathematik »], <a href="/wiki/Librairie_philosophique_J._Vrin" class="mw-redirect" title="Librairie philosophique J. Vrin">Vrin</a>, <time>2000</time> (<abbr class="abbr" title="première">1re</abbr> <abbr class="abbr" title="édition">éd.</abbr> 1993), 367 <abbr class="abbr" title="pages">p.</abbr> (<a href="/wiki/International_Standard_Book_Number" title="International Standard Book Number">ISBN</a> <a href="/wiki/Sp%C3%A9cial:Ouvrages_de_r%C3%A9f%C3%A9rence/2-7116-1279-1" title="Spécial:Ouvrages de référence/2-7116-1279-1">2-7116-1279-1</a>, <a rel="nofollow" class="external text" href="//books.google.com/books?id=GdinTO2RzDJMC&pg=PAPA151">lire en ligne</a>), partie III, « L'irrationalité mathématique »<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=L%27aube+des+math%C3%A9matiques+grecques&rft.atitle=L%27irrationalit%C3%A9+math%C3%A9matique&rft.pub=Vrin&rft.aulast=Szab%C3%B3&rft.aufirst=%3A%C3%81rp%C3%A1d&rft.date=2000&rft.tpages=367&rft.isbn=2-7116-1279-1&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3ANombre+irrationnel">. <img alt="Document utilisé pour la rédaction de l’article" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/bc/Icon_flat_design_plume.svg/20px-Icon_flat_design_plume.svg.png" decoding="async" width="20" height="10" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/bc/Icon_flat_design_plume.svg/30px-Icon_flat_design_plume.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/bc/Icon_flat_design_plume.svg/40px-Icon_flat_design_plume.svg.png 2x" data-file-width="330" data-file-height="158" /></li></ul> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Liens_externes">Liens externes</h3>[<a href="/w/index.php?title=Nombre_irrationnel&veaction=edit&section=57" title="Modifier la section : Liens externes" class="mw-editsection-visualeditor">modifier</a> | <a href="/w/index.php?title=Nombre_irrationnel&action=edit&section=57" title="Modifier le code source de la section : Liens externes">modifier le code</a>]</div> <ul><li class="mw-empty-elt"></li> <li class="mw-empty-elt"></li> <li><div class="liste-horizontale">Notices dans des dictionnaires ou encyclopédies généralistes<a href="https://www.wikidata.org/wiki/Q607728?uselang=fr#identifiers" title="Voir et modifier les données sur Wikidata"><img alt="Voir et modifier les données sur Wikidata" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/73/Blue_pencil.svg/10px-Blue_pencil.svg.png" decoding="async" width="10" height="10" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/73/Blue_pencil.svg/15px-Blue_pencil.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/73/Blue_pencil.svg/20px-Blue_pencil.svg.png 2x" data-file-width="600" data-file-height="600" /></a> : <ul><li><a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.britannica.com/topic/irrational-number">Britannica</a></li> <li><a rel="nofollow" class="external text" href="https://denstoredanske.lex.dk//irrationale_tal/">Den Store Danske Encyklopædi</a></li> <li><a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.enciclopedia.cat/EC-GEC-0153755.xml">Gran Enciclopèdia Catalana</a></li> <li><a rel="nofollow" class="external text" href="https://encyklopedia.pwn.pl/haslo/;3932369">Internetowa encyklopedia PWN</a></li> <li><a rel="nofollow" class="external text" href="https://snl.no/irrasjonale_tall">Store norske leksikon</a></li> </ul></div></li> <li><div class="liste-horizontale"><a href="/wiki/Autorit%C3%A9_(sciences_de_l%27information)" title="Autorité (sciences de l'information)">Notices d'autorité</a><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Q607728?uselang=fr#identifiers" title="Voir et modifier les données sur Wikidata"><img alt="Voir et modifier les données sur Wikidata" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/73/Blue_pencil.svg/10px-Blue_pencil.svg.png" decoding="async" width="10" height="10" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/73/Blue_pencil.svg/15px-Blue_pencil.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/73/Blue_pencil.svg/20px-Blue_pencil.svg.png 2x" data-file-width="600" data-file-height="600" /></a> : <ul><li><a rel="nofollow" class="external text" href="http://id.loc.gov/authorities/sh85093213">LCCN</a></li> <li><a rel="nofollow" class="external text" href="http://d-nb.info/gnd/4162426-9">GND</a></li> <li><a rel="nofollow" class="external text" href="http://olduli.nli.org.il/F/?func=find-b&local_base=NLX10&find_code=UID&request=987007538749205171">Israël</a></li> <li><a rel="nofollow" class="external text" href="http://aut.nkp.cz/ph812800">Tchéquie</a></li> </ul></div></li> <li><abbr class="abbr indicateur-langue" title="Langue : anglais">(en)</abbr> <a href="/wiki/Eric_W._Weisstein" title="Eric W. Weisstein">Eric W. Weisstein</a>, « <a rel="nofollow" class="external text" href="http://mathworld.wolfram.com/IrrationalNumber.html"><cite style="font-style:normal;" lang="en">Irrational Number</cite></a> », sur <a href="/wiki/MathWorld" title="MathWorld">MathWorld</a></li> <li><abbr class="abbr indicateur-format format-vidéo" title="Vidéo au format mpg, avi...">[vidéo]</abbr> <a href="/wiki/Arte" title="Arte">Arte</a>, « <a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.youtube.com/watch?v=3PK2Wm7_HSI">Voyage au pays des maths : les nombres irrationnels</a> », sur <a href="/wiki/YouTube" title="YouTube">YouTube</a>, <time>2021</time></li></ul> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Articles_connexes">Articles connexes</h3>[<a href="/w/index.php?title=Nombre_irrationnel&veaction=edit&section=58" title="Modifier la section : Articles connexes" class="mw-editsection-visualeditor">modifier</a> | <a href="/w/index.php?title=Nombre_irrationnel&action=edit&section=58" title="Modifier le code source de la section : Articles connexes">modifier le code</a>]</div> <div style="column-width:30em;column-gap:1em;" class="colonnes"> <ul><li><a href="/wiki/D%C3%A9veloppement_en_s%C3%A9rie_de_Engel" title="Développement en série de Engel">Développement en série de Engel</a></li> <li><a href="/wiki/Constante_de_L%C3%A9vy" title="Constante de Lévy">Constante de Lévy</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=Nombre_de_Bruno&action=edit&redlink=1" class="new" title="Nombre de Bruno (page inexistante)">Nombre de Bruno</a> <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Brjuno_number" class="extiw" title="en:Brjuno number">(en)</a></li></ul> </div> <div class="navbox-container" style="clear:both;"> <table class="navbox collapsible noprint collapsed" style=""> <tbody><tr><th class="navbox-title" colspan="3" style=""><div style="float:left; width:6em; text-align:left"><div class="noprint plainlinks nowrap tnavbar" style="padding:0; font-size:xx-small; color:var(--color-emphasized, #000000);"><a href="/wiki/Mod%C3%A8le:Palette_Notion_de_nombre" title="Modèle:Palette Notion de nombre"><abbr class="abbr" title="Voir ce modèle.">v</abbr></a> · <a class="external text" href="https://fr.wikipedia.org/w/index.php?title=Mod%C3%A8le:Palette_Notion_de_nombre&action=edit"><abbr class="abbr" title="Modifier ce modèle. Merci de prévisualiser avant de sauvegarder.">m</abbr></a></div></div><div style="font-size:110%">Notion de <a href="/wiki/Nombre" title="Nombre">nombre</a></div></th> </tr> <tr> <th class="navbox-group" style="">Ensembles usuels</th> <td class="navbox-list" style=""><div class="liste-horizontale"> <ul><li><a href="/wiki/Entier_naturel" title="Entier naturel">Entier naturel</a> (<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \scriptstyle \mathbb {N} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="1"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">N</mi> </mrow> </mstyle> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \scriptstyle \mathbb {N} }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40eac26c488d3257e3fbe63619729673145d228c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.187ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \scriptstyle \mathbb {N} }">)</li> <li><a href="/wiki/Entier_relatif" title="Entier relatif">Entier relatif</a> (<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \scriptstyle \mathbb {Z} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="1"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">Z</mi> </mrow> </mstyle> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \scriptstyle \mathbb {Z} }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f0c672518c0350ca035befd41c26633a2d399431" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.096ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \scriptstyle \mathbb {Z} }">)</li> <li><a href="/wiki/Nombre_d%C3%A9cimal" title="Nombre décimal">Nombre décimal</a> (<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \scriptstyle \mathbb {D} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="1"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">D</mi> </mrow> </mstyle> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \scriptstyle \mathbb {D} }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3f303c0b908a47cc0dfb5e7a7293a94a22dd0bf" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.187ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \scriptstyle \mathbb {D} }">)</li> <li><a href="/wiki/Nombre_rationnel" title="Nombre rationnel">Nombre rationnel</a> (<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \scriptstyle \mathbb {Q} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="1"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">Q</mi> </mrow> </mstyle> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \scriptstyle \mathbb {Q} }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/feaa5ab94a056a5a25944ddf0c52c92a404715ab" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:1.279ex; height:1.843ex;" alt="{\displaystyle \scriptstyle \mathbb {Q} }">)</li> <li><a href="/wiki/Nombre_r%C3%A9el" title="Nombre réel">Nombre réel</a> (<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \scriptstyle \mathbb {R} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="1"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> </mstyle> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \scriptstyle \mathbb {R} }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac7df6838b44979c6531f6a0306206fbdb0477ec" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.187ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \scriptstyle \mathbb {R} }">)</li> <li><a href="/wiki/Nombre_complexe" title="Nombre complexe">Nombre complexe</a> (<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \scriptstyle \mathbb {C} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="1"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">C</mi> </mrow> </mstyle> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \scriptstyle \mathbb {C} }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ebe3a54bb4e56c039e18c3af24ba70ab377f7a07" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.187ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \scriptstyle \mathbb {C} }">)</li></ul> </div></td> <td class="navbox-image" rowspan="5" style="vertical-align:middle;padding-left:7px"><a href="/wiki/Fichier:Nuvola_apps_edu_mathematics_blue-p.svg" class="mw-file-description" title="Mathématiques"><img alt="Mathématiques" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/3e/Nuvola_apps_edu_mathematics_blue-p.svg/70px-Nuvola_apps_edu_mathematics_blue-p.svg.png" decoding="async" width="70" height="70" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/3e/Nuvola_apps_edu_mathematics_blue-p.svg/105px-Nuvola_apps_edu_mathematics_blue-p.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/3e/Nuvola_apps_edu_mathematics_blue-p.svg/140px-Nuvola_apps_edu_mathematics_blue-p.svg.png 2x" data-file-width="128" data-file-height="128" /></a></td> </tr> <tr> <th class="navbox-group" style="">Extensions</th> <td class="navbox-list navbox-even" style=""><div class="liste-horizontale"> <ul><li><a href="/wiki/Quaternion" title="Quaternion">Quaternion</a> (<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \scriptstyle \mathbb {H} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="1"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">H</mi> </mrow> </mstyle> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \scriptstyle \mathbb {H} }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d00daea5df233d805f1ec5d5ae84845bac2ad06" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.279ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \scriptstyle \mathbb {H} }">)</li> <li><a href="/wiki/Octonion" title="Octonion">Octonion</a> (<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \scriptstyle \mathbb {O} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="1"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">O</mi> </mrow> </mstyle> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \scriptstyle \mathbb {O} }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c5cf3960cf7ba384648447c15581d5d4589a6d5" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.279ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \scriptstyle \mathbb {O} }">)</li> <li><a href="/wiki/S%C3%A9d%C3%A9nion" title="Sédénion">Sédénion</a> (<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \scriptstyle \mathbb {S} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="1"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">S</mi> </mrow> </mstyle> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \scriptstyle \mathbb {S} }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ef48a593f4503abeab608e8781ba478b7d1b304" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.914ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \scriptstyle \mathbb {S} }">)</li> <li><a href="/wiki/Nombre_complexe_d%C3%A9ploy%C3%A9" title="Nombre complexe déployé">Nombre complexe déployé</a></li> <li><a href="/wiki/Tessarine" title="Tessarine">Tessarine</a></li> <li><a href="/wiki/Nombre_bicomplexe" title="Nombre bicomplexe">Nombre bicomplexe</a> (<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \scriptstyle \mathbb {C} _{2}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="1"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">C</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \scriptstyle \mathbb {C} _{2}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba9ab8af8ff8f4437f3c72de4e78738374ee4954" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:2.018ex; height:1.843ex;" alt="{\displaystyle \scriptstyle \mathbb {C} _{2}}">)</li> <li>Nombre multicomplexe (<a href="/wiki/Nombre_multicomplexe_(Segre)" title="Nombre multicomplexe (Segre)"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \scriptstyle \mathbb {C} _{n}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="1"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">C</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \scriptstyle \mathbb {C} _{n}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee4170ef11ece45d8b66656c919e34eefdb51e42" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:2.151ex; height:1.843ex;" alt="{\displaystyle \scriptstyle \mathbb {C} _{n}}"></a></li> <li><a href="/wiki/Nombre_multicomplexe_(Fleury)" title="Nombre multicomplexe (Fleury)"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {M}}\mathbb {C} _{n}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="1"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">M</mi> </mrow> </mrow> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">C</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {M}}\mathbb {C} _{n}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7be2600f9a2a7a3fdbdb7b08d21dec751dfde32e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:4.125ex; height:1.843ex;" alt="{\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {M}}\mathbb {C} _{n}}"></a>)</li> <li><a href="/wiki/Biquaternion" title="Biquaternion">Biquaternion</a></li> <li><a href="/wiki/Coquaternion" title="Coquaternion">Coquaternion</a></li> <li><a href="/wiki/Quaternion_hyperbolique" title="Quaternion hyperbolique">Quaternion hyperbolique</a></li> <li><a href="/wiki/Octonion_d%C3%A9ploy%C3%A9" title="Octonion déployé">Octonion déployé</a></li> <li><a href="/wiki/Nombre_hypercomplexe" title="Nombre hypercomplexe">Nombre hypercomplexe</a></li> <li><a href="/wiki/Nombre_p-adique" title="Nombre p-adique">Nombre p-adique</a> (<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \scriptstyle \mathbb {Q} _{p}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="1"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">Q</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>p</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \scriptstyle \mathbb {Q} _{p}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/425658dc852cec8a2d4b6f7d513e60977710d7f7" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:2.114ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \scriptstyle \mathbb {Q} _{p}}">)</li> <li><a href="/wiki/Nombre_hyperr%C3%A9el" title="Nombre hyperréel">Nombre hyperréel</a></li> <li><a href="/wiki/Nombre_superr%C3%A9el" title="Nombre superréel">Nombre superréel</a></li> <li><a href="/wiki/Nombre_dual" title="Nombre dual">Nombre dual</a></li> <li><a href="/wiki/Droite_r%C3%A9elle_achev%C3%A9e" title="Droite réelle achevée">Droite réelle achevée</a></li> <li><a href="/wiki/Nombre_cardinal" title="Nombre cardinal">Nombre cardinal</a></li> <li><a href="/wiki/Nombre_ordinal" title="Nombre ordinal">Nombre ordinal</a></li> <li><a href="/wiki/Nombre_surr%C3%A9el" title="Nombre surréel">Nombre surréel</a></li> <li><a href="/wiki/Nombre_pseudo-r%C3%A9el" title="Nombre pseudo-réel">Nombre pseudo-réel</a></li></ul> </div></td> </tr> <tr> <th class="navbox-group" style="">Propriétés particulières</th> <td class="navbox-list" style=""><div class="liste-horizontale"> <ul><li><a href="/wiki/Parit%C3%A9_(arithm%C3%A9tique)" title="Parité (arithmétique)">Parité</a></li> <li><a href="/wiki/Nombre_premier" title="Nombre premier">Nombre premier</a></li> <li><a href="/wiki/Nombre_compos%C3%A9" title="Nombre composé">Nombre composé</a></li> <li><a href="/wiki/Nombre_figur%C3%A9" title="Nombre figuré">Nombre figuré</a></li> <li><a href="/wiki/Nombre_parfait" title="Nombre parfait">Nombre parfait</a></li> <li><a href="/wiki/Nombre_positif" title="Nombre positif">Nombre positif</a></li> <li><a href="/wiki/Nombre_n%C3%A9gatif" title="Nombre négatif">Nombre négatif</a></li> <li><a href="/wiki/Fraction_dyadique" title="Fraction dyadique">Fraction dyadique</a></li> <li><img alt="Bon article" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/11/Bon_article.svg/14px-Bon_article.svg.png" decoding="async" width="14" height="14" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/11/Bon_article.svg/21px-Bon_article.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/11/Bon_article.svg/28px-Bon_article.svg.png 2x" data-file-width="20" data-file-height="20" /> <a class="mw-selflink selflink">Nombre irrationnel</a></li> <li><a href="/wiki/Nombre_alg%C3%A9brique" title="Nombre algébrique">Nombre algébrique</a></li> <li><a href="/wiki/Nombre_transcendant" title="Nombre transcendant">Nombre transcendant</a></li> <li><a href="/wiki/Nombre_imaginaire_pur" title="Nombre imaginaire pur">Nombre imaginaire pur</a></li> <li><a href="/wiki/Nombre_de_Liouville" title="Nombre de Liouville">Nombre de Liouville</a></li> <li><a href="/wiki/Alg%C3%A8bre_des_p%C3%A9riodes" title="Algèbre des périodes">Période</a></li> <li><a href="/wiki/Nombre_normal" title="Nombre normal">Nombre normal</a></li> <li><a href="/wiki/Nombre_univers" title="Nombre univers">Nombre univers</a></li> <li><a href="/wiki/Nombre_constructible" title="Nombre constructible">Nombre constructible</a></li> <li><a href="/wiki/Nombre_r%C3%A9el_calculable" title="Nombre réel calculable">Nombre réel calculable</a></li> <li><a href="/wiki/Nombre_transfini" title="Nombre transfini">Nombre transfini</a></li> <li><a href="/wiki/Infiniment_petit" title="Infiniment petit">Infiniment petit</a></li></ul> </div></td> </tr> <tr> <th class="navbox-group" style="">Exemples</th> <td class="navbox-list navbox-even" style=""><div class="liste-horizontale"> <ul><li><a href="/wiki/Pi" title="Pi">Pi</a> (π)</li> <li><img alt="Bon article" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/11/Bon_article.svg/14px-Bon_article.svg.png" decoding="async" width="14" height="14" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/11/Bon_article.svg/21px-Bon_article.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/11/Bon_article.svg/28px-Bon_article.svg.png 2x" data-file-width="20" data-file-height="20" /> <a href="/wiki/Racine_carr%C3%A9e_de_deux" title="Racine carrée de deux">Racine carrée de deux</a> (<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \scriptstyle {\sqrt {2}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="1"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mn>2</mn> </msqrt> </mrow> </mstyle> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \scriptstyle {\sqrt {2}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b6ac02637a190523aa10dde1b52ae41964dfff0" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:2.191ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \scriptstyle {\sqrt {2}}}">)</li> <li><img alt="Bon article" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/11/Bon_article.svg/14px-Bon_article.svg.png" decoding="async" width="14" height="14" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/11/Bon_article.svg/21px-Bon_article.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/11/Bon_article.svg/28px-Bon_article.svg.png 2x" data-file-width="20" data-file-height="20" /> <a href="/wiki/Nombre_d%27or" title="Nombre d'or">Nombre d’or</a> (φ)</li> <li><a href="/wiki/Z%C3%A9ro" title="Zéro">Zéro</a> (0)</li> <li><a href="/wiki/Unit%C3%A9_imaginaire" title="Unité imaginaire">Unité imaginaire</a> (i)</li> <li><a href="/wiki/E_(nombre)" title="E (nombre)">Constante de Neper</a> (e)</li> <li><a href="/wiki/Aleph-z%C3%A9ro" title="Aleph-zéro">Aleph-zéro</a> (ℵ0)</li> <li><a href="/wiki/Table_de_constantes_math%C3%A9matiques" title="Table de constantes mathématiques">Table de constantes mathématiques</a></li></ul> </div></td> </tr> <tr> <th class="navbox-group" style="">Articles liés</th> <td class="navbox-list" style=""><div class="liste-horizontale"> <ul><li><a href="/wiki/Chiffre" title="Chiffre">Chiffre</a></li> <li><a href="/wiki/Num%C3%A9ration" title="Numération">Numération</a></li> <li><a href="/wiki/Fraction_(math%C3%A9matiques)" title="Fraction (mathématiques)">Fraction</a></li> <li><a href="/wiki/Op%C3%A9ration_(math%C3%A9matiques)" title="Opération (mathématiques)">Opération</a></li> <li><a href="/wiki/Calcul_(math%C3%A9matiques)" title="Calcul (mathématiques)">Calcul</a></li> <li><a href="/wiki/Alg%C3%A8bre" title="Algèbre">Algèbre</a></li> <li><a href="/wiki/Arithm%C3%A9tique" title="Arithmétique">Arithmétique</a></li> <li><a href="/wiki/Suite_d%27entiers" title="Suite d'entiers">Suite d'entiers</a></li> <li><a href="/wiki/Infini" title="Infini">Infini</a> (∞)</li> <li><a href="/wiki/Chiffre_significatif" title="Chiffre significatif">Chiffre significatif</a></li></ul> </div></td> </tr> </tbody></table> </div> <ul id="bandeau-portail" class="bandeau-portail"><li><a href="/wiki/Portail:Arithm%C3%A9tique_et_th%C3%A9orie_des_nombres" title="Arithmétique et théorie des nombres"><img alt="icône décorative" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f6/Pascal%27s_triangle_5.svg/34px-Pascal%27s_triangle_5.svg.png" decoding="async" width="34" height="24" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f6/Pascal%27s_triangle_5.svg/50px-Pascal%27s_triangle_5.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f6/Pascal%27s_triangle_5.svg/67px-Pascal%27s_triangle_5.svg.png 2x" data-file-width="540" data-file-height="389" /></a> <a href="/wiki/Portail:Arithm%C3%A9tique_et_th%C3%A9orie_des_nombres" title="Portail:Arithmétique et théorie des nombres">Arithmétique et théorie des nombres</a> </li> </ul> <div id="article_de_qualite" class="bandeau-container metadata bandeau-simple bandeau-niveau-neutre" style="background-color:#FFFBFB;"><div class="bandeau-centrer"><div class="bandeau-cell bandeau-icone-css grosse-icone etoile-argent" style="display:table-cell;padding-right:0.5em"> <div class="noprint">Cet article est reconnu comme « <a href="/wiki/Wikip%C3%A9dia:Bons_articles" title="Wikipédia:Bons articles">bon article</a> » depuis sa <a class="external text" href="https://fr.wikipedia.org/w/index.php?title=Nombre_irrationnel&oldid=143355394">version du 10 décembre 2017</a> (<a class="external text" href="https://fr.wikipedia.org/w/index.php?title=Nombre_irrationnel&oldid=143355394&diff=cur">comparer avec la version actuelle</a>). 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