CINXE.COM

<!DOCTYPE html> <html class="client-nojs" lang="uk" dir="ltr"> <head> <meta charset="UTF-8"> <title>Логарифм — Вікіпедія</title> <script>(function(){var className="client-js";var cookie=document.cookie.match(/(?:^|; )ukwikimwclientpreferences=([^;]+)/);if(cookie){cookie[1].split('%2C').forEach(function(pref){className=className.replace(new RegExp('(^| )'+pref.replace(/-clientpref-\w+$|[^\w-]+/g,'')+'-clientpref-\\w+( |$)'),'$1'+pref+'$2');});}document.documentElement.className=className;}());RLCONF={"wgBreakFrames":false,"wgSeparatorTransformTable":[",\t."," \t,"],"wgDigitTransformTable":["",""],"wgDefaultDateFormat":"dmy","wgMonthNames":["","січень","лютий","березень","квітень","травень","червень","липень","серпень","вересень","жовтень","листопад","грудень"],"wgRequestId":"db60a3bb-6cdf-492b-bb87-7cff910aaacb","wgCanonicalNamespace":"","wgCanonicalSpecialPageName":false,"wgNamespaceNumber":0,"wgPageName":"Логарифм","wgTitle":"Логарифм","wgCurRevisionId":43672526,"wgRevisionId":43672526,"wgArticleId":164728,"wgIsArticle": true,"wgIsRedirect":false,"wgAction":"view","wgUserName":null,"wgUserGroups":["*"],"wgCategories":["Сторінки з використанням розширення JsonConfig","Помилки CS1: Сторінки з пропущеним ім'ям","Сторінки з посиланнями на джерела з параметрами, що не підтримуються","Шаблон:Webarchive:посилання на Wayback Machine","Використання шаблону Reflist із кількістю колонок","Вікіпедія:Сторінки з посиланням на Вікіцитати","Незавершені статті з математики","Надпопулярні статті","Логарифми","Елементарні функції"],"wgPageViewLanguage":"uk","wgPageContentLanguage":"uk","wgPageContentModel":"wikitext","wgRelevantPageName":"Логарифм","wgRelevantArticleId":164728,"wgIsProbablyEditable":true, "wgRelevantPageIsProbablyEditable":true,"wgRestrictionEdit":[],"wgRestrictionMove":[],"wgNoticeProject":"wikipedia","wgCiteReferencePreviewsActive":true,"wgFlaggedRevsParams":{"tags":{"accuracy":{"levels":3}}},"wgStableRevisionId":43672526,"wgMediaViewerOnClick":true,"wgMediaViewerEnabledByDefault":true,"wgPopupsFlags":0,"wgVisualEditor":{"pageLanguageCode":"uk","pageLanguageDir":"ltr","pageVariantFallbacks":"uk"},"wgMFDisplayWikibaseDescriptions":{"search":true,"watchlist":true,"tagline":true,"nearby":true},"wgWMESchemaEditAttemptStepOversample":false,"wgWMEPageLength":50000,"wgRelatedArticlesCompat":[],"wgCentralAuthMobileDomain":false,"wgEditSubmitButtonLabelPublish":true,"wgULSPosition":"interlanguage","wgULSisCompactLinksEnabled":true,"wgVector2022LanguageInHeader":false,"wgULSisLanguageSelectorEmpty":false,"wgWikibaseItemId":"Q11197","wgCheckUserClientHintsHeadersJsApi":["brands","architecture","bitness","fullVersionList","mobile","model","platform","platformVersion"], "GEHomepageSuggestedEditsEnableTopics":true,"wgGETopicsMatchModeEnabled":false,"wgGEStructuredTaskRejectionReasonTextInputEnabled":false,"wgGELevelingUpEnabledForUser":false};RLSTATE={"ext.globalCssJs.user.styles":"ready","site.styles":"ready","user.styles":"ready","ext.globalCssJs.user":"ready","user":"ready","user.options":"loading","ext.cite.styles":"ready","ext.math.styles":"ready","mediawiki.page.gallery.styles":"ready","skins.vector.styles.legacy":"ready","ext.flaggedRevs.basic":"ready","mediawiki.codex.messagebox.styles":"ready","ext.visualEditor.desktopArticleTarget.noscript":"ready","codex-search-styles":"ready","ext.uls.interlanguage":"ready","wikibase.client.init":"ready","ext.wikimediaBadges":"ready"};RLPAGEMODULES=["ext.cite.ux-enhancements","mediawiki.page.media","site","mediawiki.page.ready","mediawiki.toc","skins.vector.legacy.js","ext.centralNotice.geoIP","ext.centralNotice.startUp","ext.flaggedRevs.advanced","ext.gadget.CurIDLink","ext.gadget.collapserefs", "ext.gadget.showContributorContent","ext.gadget.switcher","ext.gadget.edittop","ext.gadget.new-section","ext.gadget.newTopicOnTop","ext.gadget.MonobookToolbarStandard","ext.gadget.ProtectionIndicator","ext.gadget.Statistics","ext.gadget.interwiki-langlist","ext.urlShortener.toolbar","ext.centralauth.centralautologin","mmv.bootstrap","ext.popups","ext.visualEditor.desktopArticleTarget.init","ext.visualEditor.targetLoader","ext.echo.centralauth","ext.eventLogging","ext.wikimediaEvents","ext.navigationTiming","ext.uls.compactlinks","ext.uls.interface","ext.cx.eventlogging.campaigns","ext.checkUser.clientHints","ext.growthExperiments.SuggestedEditSession","wikibase.sidebar.tracking"];</script> <script>(RLQ=window.RLQ||[]).push(function(){mw.loader.impl(function(){return["user.options@12s5i",function($,jQuery,require,module){mw.user.tokens.set({"patrolToken":"+\\","watchToken":"+\\","csrfToken":"+\\"}); }];});});</script> <link rel="stylesheet" href="/w/load.php?lang=uk&modules=codex-search-styles%7Cext.cite.styles%7Cext.flaggedRevs.basic%7Cext.math.styles%7Cext.uls.interlanguage%7Cext.visualEditor.desktopArticleTarget.noscript%7Cext.wikimediaBadges%7Cmediawiki.codex.messagebox.styles%7Cmediawiki.page.gallery.styles%7Cskins.vector.styles.legacy%7Cwikibase.client.init&only=styles&skin=vector"> <script async="" src="/w/load.php?lang=uk&modules=startup&only=scripts&raw=1&skin=vector"></script> <meta name="ResourceLoaderDynamicStyles" content=""> <link rel="stylesheet" href="/w/load.php?lang=uk&modules=site.styles&only=styles&skin=vector"> <meta name="generator" content="MediaWiki 1.44.0-wmf.4"> <meta name="referrer" content="origin"> <meta name="referrer" content="origin-when-cross-origin"> <meta name="robots" content="max-image-preview:standard"> <meta name="format-detection" content="telephone=no"> <meta property="og:image" content="https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/17/Binary_logarithm_plot_with_ticks.svg/1200px-Binary_logarithm_plot_with_ticks.svg.png"> <meta property="og:image:width" content="1200"> <meta property="og:image:height" content="956"> <meta property="og:image" content="https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/17/Binary_logarithm_plot_with_ticks.svg/800px-Binary_logarithm_plot_with_ticks.svg.png"> <meta property="og:image:width" content="800"> <meta property="og:image:height" content="637"> <meta property="og:image" content="https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/17/Binary_logarithm_plot_with_ticks.svg/640px-Binary_logarithm_plot_with_ticks.svg.png"> <meta property="og:image:width" content="640"> <meta property="og:image:height" content="510"> <meta name="viewport" content="width=1120"> <meta property="og:title" content="Логарифм — Вікіпедія"> <meta property="og:type" content="website"> <link rel="preconnect" href="//upload.wikimedia.org"> <link rel="alternate" media="only screen and (max-width: 640px)" href="//uk.m.wikipedia.org/wiki/%D0%9B%D0%BE%D0%B3%D0%B0%D1%80%D0%B8%D1%84%D0%BC"> <link rel="alternate" type="application/x-wiki" title="Редагувати" href="/w/index.php?title=%D0%9B%D0%BE%D0%B3%D0%B0%D1%80%D0%B8%D1%84%D0%BC&action=edit"> <link rel="apple-touch-icon" href="/static/apple-touch/wikipedia.png"> <link rel="icon" href="/static/favicon/wikipedia.ico"> <link rel="search" type="application/opensearchdescription+xml" href="/w/rest.php/v1/search" title="Вікіпедія (uk)"> <link rel="EditURI" type="application/rsd+xml" href="//uk.wikipedia.org/w/api.php?action=rsd"> <link rel="canonical" href="https://uk.wikipedia.org/wiki/%D0%9B%D0%BE%D0%B3%D0%B0%D1%80%D0%B8%D1%84%D0%BC"> <link rel="license" href="https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/deed.uk"> <link rel="alternate" type="application/atom+xml" title="Вікіпедія — Atom-стрічка" href="/w/index.php?title=%D0%A1%D0%BF%D0%B5%D1%86%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0:%D0%9D%D0%BE%D0%B2%D1%96_%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%B0%D0%B3%D1%83%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8F&feed=atom"> <link rel="dns-prefetch" href="//meta.wikimedia.org" /> <link rel="dns-prefetch" href="//login.wikimedia.org"> </head> <body class="skin-vector-legacy mediawiki ltr sitedir-ltr mw-hide-empty-elt ns-0 ns-subject mw-editable page-Логарифм rootpage-Логарифм skin-vector action-view"><div id="mw-page-base" class="noprint"></div> <div id="mw-head-base" class="noprint"></div> <div id="content" class="mw-body" role="main"> <a id="top"></a> <div id="siteNotice"></div> <div class="mw-indicators"> </div> <h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading">Логарифм</h1> <div id="bodyContent" class="vector-body"> <div id="siteSub" class="noprint">Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.</div> <div id="contentSub"><div id="mw-content-subtitle"></div></div> <div id="contentSub2"></div> <div id="jump-to-nav"></div> <a class="mw-jump-link" href="#mw-head">Перейти до навігації</a> <a class="mw-jump-link" href="#searchInput">Перейти до пошуку</a> <div id="mw-content-text" class="mw-body-content"><div class="mw-content-ltr mw-parser-output" lang="uk" dir="ltr"><figure class="mw-default-size mw-halign-right" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/%D0%A4%D0%B0%D0%B9%D0%BB:Binary_logarithm_plot_with_ticks.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/17/Binary_logarithm_plot_with_ticks.svg/300px-Binary_logarithm_plot_with_ticks.svg.png" decoding="async" width="300" height="239" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/17/Binary_logarithm_plot_with_ticks.svg/450px-Binary_logarithm_plot_with_ticks.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/17/Binary_logarithm_plot_with_ticks.svg/600px-Binary_logarithm_plot_with_ticks.svg.png 2x" data-file-width="408" data-file-height="325" /></a><figcaption><a href="/wiki/%D0%93%D1%80%D0%B0%D1%84%D1%96%D0%BA_%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D1%96%D1%97" title="Графік функції">Графік функції</a> log2(x) проходить через точки з координатами (1, 0); (2, 1); (4, 2); (8, 3). log2(2) = 1, тому що 21 = 2, log2(4) = 2, тому що 22 = 4, log2(8) = 3, тому що 23 = 8 </figcaption></figure> <figure class="mw-default-size mw-halign-right" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/%D0%A4%D0%B0%D0%B9%D0%BB:Logarithm_plots.png" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/81/Logarithm_plots.png/300px-Logarithm_plots.png" decoding="async" width="300" height="228" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/81/Logarithm_plots.png/450px-Logarithm_plots.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/81/Logarithm_plots.png/600px-Logarithm_plots.png 2x" data-file-width="1706" data-file-height="1294" /></a><figcaption>Графіки логарифмів за основами 2, e, 10. Точки logb b = 1 є перетинами з пунктирною прямою, і всі графіки проходять через точку logb 1 = 0.</figcaption></figure> Логари́фм, або логари́тм,<a href="#cite_note-1">[1]</a><a href="#cite_note-2">[2]</a> (від <a href="/wiki/%D0%93%D1%80%D0%B5%D1%86%D1%8C%D0%BA%D0%B0_%D0%BC%D0%BE%D0%B2%D0%B0" title="Грецька мова">грец.</a> λόγος — «слово», і <a href="/wiki/%D0%93%D1%80%D0%B5%D1%86%D1%8C%D0%BA%D0%B0_%D0%BC%D0%BE%D0%B2%D0%B0" title="Грецька мова">грец.</a> ἀριθμός — <a href="/wiki/%D0%A7%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE" title="Число">«число»</a>) — число <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}"> (показник степеня, степінь), яке показує, до якого степеня слід піднести число <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.23ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle a}"> (основу), щоб одержати число <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>b</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f11423fbb2e967f986e36804a8ae4271734917c3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.998ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle b}">. <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \log _{a}b=x.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>log</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>a</mi> </mrow> </msub> <mo>⁡</mo> <mi>b</mi> <mo>=</mo> <mi>x</mi> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \log _{a}b=x.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca9187086516b5f6625870da0df21982b1f0317d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:10.533ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \log _{a}b=x.}"></dd></dl> Основна логарифмічна тотожність: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a^{x}=b}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mi>b</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a^{x}=b}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/009ac5470a4ecd0afab8866426ad920c494316c9" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.498ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle a^{x}=b}"> або <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a^{\log _{a}b}=b}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msub> <mi>log</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>a</mi> </mrow> </msub> <mo>⁡</mo> <mi>b</mi> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mi>b</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a^{\log _{a}b}=b}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/719314fda8e1859a1d540416f5b619335d05ac88" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:9.622ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle a^{\log _{a}b}=b}">, де <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a>0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <mo>></mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a>0}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f34a80ea013edb56e340b19550430a8b6dfd7b9" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.491ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle a>0}">, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b>0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>b</mi> <mo>></mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b>0}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94436473a90bd55191a79c59474cb5456dcbec00" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.258ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle b>0}"> та <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a\neq 1}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <mo>≠</mo> <mn>1</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a\neq 1}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2f695917fb11ae0ee8cd0bf647ba8557133a783" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.491ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle a\neq 1}">. Логарифми ввів <a href="/wiki/%D0%94%D0%B6%D0%BE%D0%BD_%D0%9D%D0%B5%D0%BF%D0%B5%D1%80" title="Джон Непер">Джон Непер</a> на початку XVII століття як засіб спрощення розрахунків. Їх швидко почали застосовувати науковці та інженери для пришвидшення виконання обчислень із застосуванням <a href="/wiki/%D0%9B%D0%BE%D0%B3%D0%B0%D1%80%D0%B8%D1%84%D0%BC%D1%96%D1%87%D0%BD%D0%B0_%D0%BB%D1%96%D0%BD%D1%96%D0%B9%D0%BA%D0%B0" title="Логарифмічна лінійка">логарифмічних лінійок</a> і <a href="/wiki/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%BD%D1%96_%D1%82%D0%B0%D0%B1%D0%BB%D0%B8%D1%86%D1%96" title="Математичні таблиці">таблиць логарифмів</a>. Логарифм дозволяє прискорити множення багатозначних чисел шляхом складання їхніх логарифмів. Наприклад, візьмімо два числа, які потрібно помножити: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 42,5}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>42</mn> <mo>,</mo> <mn>5</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 42,5}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/263c97b718c616b040949ed7fcf7292e8e7755bb" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:4.521ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle 42,5}"> і <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 378}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>378</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 378}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4215090ffddf8b3ccfd93e4add8166b0fcd0d1aa" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.487ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 378}">. За допомогою таблиці логарифмів подивімося, що за основою <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 10}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>10</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 10}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ec811eb07dcac7ea67b413c5665390a1671ecb0" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.325ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 10}"> ці числа мають логарифми (степені) <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 1,6284}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mn>6284</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 1,6284}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/903b55f17e06a8219cef821a8704dc95892aaa80" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:6.846ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle 1,6284}"> і <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 2,5775}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>2</mn> <mo>,</mo> <mn>5775</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 2,5775}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9af3483a7c50f1d88a6dd7008a2660e9ffcfe15c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:6.846ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle 2,5775}"> відповідно. Тобто, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 42,5=10^{1,6284}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>42</mn> <mo>,</mo> <mn>5</mn> <mo>=</mo> <msup> <mn>10</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mn>6284</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 42,5=10^{1,6284}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f94c1f115897aecba79cb6f1b991017a89d15765" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:14.744ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle 42,5=10^{1,6284}}"> i <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 378=10^{2,5775}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>378</mn> <mo>=</mo> <msup> <mn>10</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> <mo>,</mo> <mn>5775</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 378=10^{2,5775}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/deecb87f22de56f2c3b30efd5d8ed6652f9d7cae" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:13.71ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle 378=10^{2,5775}}">. Таким чином, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 42,5*378=10^{1,6284}*10^{2,5775}=10^{(1,6284+2,5775)}=10^{4,2059}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>42</mn> <mo>,</mo> <mn>5</mn> <mo>∗</mo> <mn>378</mn> <mo>=</mo> <msup> <mn>10</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mn>6284</mn> </mrow> </msup> <mo>∗</mo> <msup> <mn>10</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> <mo>,</mo> <mn>5775</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <msup> <mn>10</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mn>6284</mn> <mo>+</mo> <mn>2</mn> <mo>,</mo> <mn>5775</mn> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <msup> <mn>10</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>4</mn> <mo>,</mo> <mn>2059</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 42,5*378=10^{1,6284}*10^{2,5775}=10^{(1,6284+2,5775)}=10^{4,2059}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2142fb89546d010159da47d75b4c89f2c5a532ce" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:57.317ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle 42,5*378=10^{1,6284}*10^{2,5775}=10^{(1,6284+2,5775)}=10^{4,2059}}">. Виходить, що логарифмом добутку чисел <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 42,5}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>42</mn> <mo>,</mo> <mn>5</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 42,5}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/263c97b718c616b040949ed7fcf7292e8e7755bb" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:4.521ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle 42,5}"> і <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 378}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>378</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 378}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4215090ffddf8b3ccfd93e4add8166b0fcd0d1aa" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.487ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 378}">, за основою <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 10}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>10</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 10}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ec811eb07dcac7ea67b413c5665390a1671ecb0" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.325ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 10}">, є число <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 4,2059}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>4</mn> <mo>,</mo> <mn>2059</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 4,2059}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/93e67c140aad0b33a700ff3cb56a268646405789" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:6.846ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle 4,2059}">. З таблиці логарифмів легко знайти результат <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \log _{10}{(42,5*378)}=4,2059}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>log</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>10</mn> </mrow> </msub> <mo>⁡</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>42</mn> <mo>,</mo> <mn>5</mn> <mo>∗</mo> <mn>378</mn> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mn>4</mn> <mo>,</mo> <mn>2059</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \log _{10}{(42,5*378)}=4,2059}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec32e25ea38a83792275c3d3250128ae92d1c863" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:27.192ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \log _{10}{(42,5*378)}=4,2059}">. Сучасне означення логарифмів увів <a href="/wiki/%D0%9B%D0%B5%D0%BE%D0%BD%D0%B0%D1%80%D0%B4_%D0%95%D0%B9%D0%BB%D0%B5%D1%80" title="Леонард Ейлер">Леонард Ейлер</a>, який у XVIII столітті пов'язав їх з <a href="/wiki/%D0%9F%D0%BE%D0%BA%D0%B0%D0%B7%D0%BD%D0%B8%D0%BA%D0%BE%D0%B2%D0%B0_%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D1%96%D1%8F" title="Показникова функція">показниковою функцією</a>. <div id="toc" class="toc" role="navigation" aria-labelledby="mw-toc-heading"><input type="checkbox" role="button" id="toctogglecheckbox" class="toctogglecheckbox" style="display:none" /><div class="toctitle" lang="uk" dir="ltr"><h2 id="mw-toc-heading">Зміст</h2><label class="toctogglelabel" for="toctogglecheckbox"></label></div> <ul> <li class="toclevel-1 tocsection-1"><a href="#Позначення">1 Позначення</a></li> <li class="toclevel-1 tocsection-2"><a href="#Властивості">2 Властивості</a></li> <li class="toclevel-1 tocsection-3"><a href="#Логарифмічна_функція">3 Логарифмічна функція</a></li> <li class="toclevel-1 tocsection-4"><a href="#Натуральні_логарифми">4 Натуральні логарифми</a></li> <li class="toclevel-1 tocsection-5"><a href="#Двійкові_логарифми">5 Двійкові логарифми</a></li> <li class="toclevel-1 tocsection-6"><a href="#Десяткові_логарифми">6 Десяткові логарифми</a></li> <li class="toclevel-1 tocsection-7"><a href="#Логарифмічна_функція_комплексної_змінної">7 Логарифмічна функція комплексної змінної</a> <ul> <li class="toclevel-2 tocsection-8"><a href="#Визначення_і_властивості">7.1 Визначення і властивості</a></li> <li class="toclevel-2 tocsection-9"><a href="#Приклади">7.2 Приклади</a></li> <li class="toclevel-2 tocsection-10"><a href="#Аналітичне_продовження">7.3 Аналітичне продовження</a></li> <li class="toclevel-2 tocsection-11"><a href="#Поверхня_Рімана">7.4 Поверхня Рімана</a></li> </ul> </li> <li class="toclevel-1 tocsection-12"><a href="#Історія">8 Історія</a></li> <li class="toclevel-1 tocsection-13"><a href="#Деякі_практичні_застосування">9 Деякі практичні застосування</a> <ul> <li class="toclevel-2 tocsection-14"><a href="#Логарифмічна_лінійка">9.1 Логарифмічна лінійка</a> <ul> <li class="toclevel-3 tocsection-15"><a href="#Принцип_дії">9.1.1 Принцип дії</a></li> <li class="toclevel-3 tocsection-16"><a href="#Історія_2">9.1.2 Історія</a></li> </ul> </li> <li class="toclevel-2 tocsection-17"><a href="#Логарифмічна_спіраль">9.2 Логарифмічна спіраль</a> <ul> <li class="toclevel-3 tocsection-18"><a href="#Рівняння">9.2.1 Рівняння</a></li> </ul> </li> <li class="toclevel-2 tocsection-19"><a href="#Властивості_2">9.3 Властивості</a></li> </ul> </li> <li class="toclevel-1 tocsection-20"><a href="#Примітки">10 Примітки</a></li> <li class="toclevel-1 tocsection-21"><a href="#Див._також">11 Див. також</a></li> <li class="toclevel-1 tocsection-22"><a href="#Література">12 Література</a></li> <li class="toclevel-1 tocsection-23"><a href="#Посилання">13 Посилання</a></li> </ul> </div> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Позначення">Позначення</h2>[<a href="/w/index.php?title=%D0%9B%D0%BE%D0%B3%D0%B0%D1%80%D0%B8%D1%84%D0%BC&veaction=edit&section=1" title="Редагувати розділ: Позначення" class="mw-editsection-visualeditor">ред.</a> | <a href="/w/index.php?title=%D0%9B%D0%BE%D0%B3%D0%B0%D1%80%D0%B8%D1%84%D0%BC&action=edit&section=1" title="Редагувати вихідний код розділу: Позначення">ред. код</a>]</div> <table style="float:right; margin-left:1em;" class="toccolours"> <tbody><tr> <th colspan="2" style="background:#efefef;">Результати обчислення<style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r43815798">.mw-parser-output .hlist dl,.mw-parser-output .hlist ol,.mw-parser-output .hlist ul{margin:0;padding:0}.mw-parser-output .hlist dd,.mw-parser-output .hlist dt,.mw-parser-output .hlist li{margin:0;display:inline}.mw-parser-output .hlist.inline,.mw-parser-output .hlist.inline dl,.mw-parser-output .hlist.inline ol,.mw-parser-output .hlist.inline ul,.mw-parser-output .hlist dl dl,.mw-parser-output .hlist dl ol,.mw-parser-output .hlist dl ul,.mw-parser-output .hlist ol dl,.mw-parser-output .hlist ol ol,.mw-parser-output .hlist ol ul,.mw-parser-output .hlist ul dl,.mw-parser-output .hlist ul ol,.mw-parser-output .hlist ul ul{display:inline}.mw-parser-output .hlist .mw-empty-li{display:none}.mw-parser-output .hlist dt::after{content:": "}.mw-parser-output .hlist dd::after,.mw-parser-output .hlist li::after{content:" · ";font-weight:bold}.mw-parser-output .hlist dd:last-child::after,.mw-parser-output .hlist dt:last-child::after,.mw-parser-output .hlist li:last-child::after{content:none}.mw-parser-output .hlist dd dd:first-child::before,.mw-parser-output .hlist dd dt:first-child::before,.mw-parser-output .hlist dd li:first-child::before,.mw-parser-output .hlist dt dd:first-child::before,.mw-parser-output .hlist dt dt:first-child::before,.mw-parser-output .hlist dt li:first-child::before,.mw-parser-output .hlist li dd:first-child::before,.mw-parser-output .hlist li dt:first-child::before,.mw-parser-output .hlist li li:first-child::before{content:" (";font-weight:normal}.mw-parser-output .hlist dd dd:last-child::after,.mw-parser-output .hlist dd dt:last-child::after,.mw-parser-output .hlist dd li:last-child::after,.mw-parser-output .hlist dt dd:last-child::after,.mw-parser-output .hlist dt dt:last-child::after,.mw-parser-output .hlist dt li:last-child::after,.mw-parser-output .hlist li dd:last-child::after,.mw-parser-output .hlist li dt:last-child::after,.mw-parser-output .hlist li li:last-child::after{content:")";font-weight:normal}.mw-parser-output .hlist ol{counter-reset:listitem}.mw-parser-output .hlist ol>li{counter-increment:listitem}.mw-parser-output .hlist ol>li::before{content:" "counter(listitem)"\a0 "}.mw-parser-output .hlist dd ol>li:first-child::before,.mw-parser-output .hlist dt ol>li:first-child::before,.mw-parser-output .hlist li ol>li:first-child::before{content:" ("counter(listitem)"\a0 "}</style><style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r43094501">.mw-parser-output .navbar{display:inline;font-size:88%;font-weight:normal}.mw-parser-output .navbar-collapse{float:left;text-align:left}.mw-parser-output .navbar-boxtext{word-spacing:0}.mw-parser-output .navbar ul{display:inline-block;white-space:nowrap;line-height:inherit}.mw-parser-output .navbar-brackets::before{margin-right:-0.125em;content:"[ "}.mw-parser-output .navbar-brackets::after{margin-left:-0.125em;content:" ]"}.mw-parser-output .navbar li{word-spacing:-0.125em}.mw-parser-output .navbar a>span,.mw-parser-output .navbar a>abbr{text-decoration:inherit}.mw-parser-output .navbar-mini abbr{font-variant:small-caps;border-bottom:none;text-decoration:none;cursor:inherit}.mw-parser-output .navbar-ct-full{font-size:114%;margin:0 7em}.mw-parser-output .navbar-ct-mini{font-size:114%;margin:0 4em}@media screen{html.skin-theme-clientpref-night .mw-parser-output .navbar li a abbr{color:var(--color-base)!important}}@media screen and (prefers-color-scheme:dark){html.skin-theme-clientpref-os .mw-parser-output .navbar li a abbr{color:var(--color-base)!important}}</style><div class="navbar plainlinks hlist navbar-mini" style="float:right"><ul><li class="nv-переглянути"><a href="/wiki/%D0%A8%D0%B0%D0%B1%D0%BB%D0%BE%D0%BD:%D0%A0%D0%B5%D0%B7%D1%83%D0%BB%D1%8C%D1%82%D0%B0%D1%82%D0%B8_%D0%BE%D0%B1%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F" title="Шаблон:Результати обчислення"><abbr title="Переглянути цей шаблон">п</abbr></a></li><li class="nv-обговорити"><a href="/wiki/%D0%9E%D0%B1%D0%B3%D0%BE%D0%B2%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F_%D1%88%D0%B0%D0%B1%D0%BB%D0%BE%D0%BD%D1%83:%D0%A0%D0%B5%D0%B7%D1%83%D0%BB%D1%8C%D1%82%D0%B0%D1%82%D0%B8_%D0%BE%D0%B1%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F" title="Обговорення шаблону:Результати обчислення"><abbr title="Обговорити цей шаблон">о</abbr></a></li><li class="nv-редагувати"><a href="/wiki/%D0%A1%D0%BF%D0%B5%D1%86%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0:EditPage/%D0%A8%D0%B0%D0%B1%D0%BB%D0%BE%D0%BD:%D0%A0%D0%B5%D0%B7%D1%83%D0%BB%D1%8C%D1%82%D0%B0%D1%82%D0%B8_%D0%BE%D0%B1%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F" title="Спеціальна:EditPage/Шаблон:Результати обчислення"><abbr title="Редагувати цей шаблон">р</abbr></a></li></ul></div> </th></tr> <tr> <th colspan="2"><a href="/wiki/%D0%94%D0%BE%D0%B4%D0%B0%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8F" title="Додавання">Додавання</a> (+) </th></tr> <tr> <td>1-й <a href="/wiki/%D0%94%D0%BE%D0%B4%D0%B0%D0%BD%D0%BE%D0%BA" title="Доданок">доданок</a> + 2-й доданок = </td> <td><a href="/wiki/%D0%A1%D1%83%D0%BC%D0%B0" title="Сума">сума</a> </td></tr> <tr> <th colspan="2"><a href="/wiki/%D0%92%D1%96%D0%B4%D0%BD%D1%96%D0%BC%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8F" title="Віднімання">Віднімання</a> (−) </th></tr> <tr> <td><a href="/wiki/%D0%97%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D1%88%D1%83%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B5" class="mw-redirect" title="Зменшуване">зменшуване</a> − <a href="/wiki/%D0%92%D1%96%D0%B4%27%D1%94%D0%BC%D0%BD%D0%B8%D0%BA" class="mw-redirect" title="Від'ємник">від'ємник</a> = </td> <td><a href="/wiki/%D0%A0%D1%96%D0%B7%D0%BD%D0%B8%D1%86%D1%8F" title="Різниця">різниця</a> </td></tr> <tr> <th colspan="2"><a href="/wiki/%D0%9C%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F" title="Множення">Множення</a> (×) </th></tr> <tr> <td>1-й <a href="/wiki/%D0%9C%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%BD%D0%B8%D0%BA" title="Множник">множник</a> × 2-й множник = </td> <td><a href="/wiki/%D0%94%D0%BE%D0%B1%D1%83%D1%82%D0%BE%D0%BA" title="Добуток">добуток</a> </td></tr> <tr> <th colspan="2"><a href="/wiki/%D0%94%D1%96%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F" title="Ділення">Ділення</a> (÷) </th></tr> <tr> <td><a href="/wiki/%D0%94%D1%96%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%B5" title="Ділене">ділене</a> ÷ <a href="/wiki/%D0%94%D1%96%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B8%D0%BA" title="Дільник">дільник</a> = </td> <td><a href="/wiki/%D0%A7%D0%B0%D1%81%D1%82%D0%BA%D0%B0_(%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0)" title="Частка (математика)">частка</a> </td></tr> <tr> <th colspan="2"><a href="/wiki/%D0%94%D1%96%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F_%D0%B7_%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B0%D1%87%D0%B5%D1%8E" title="Ділення з остачею">Ділення з остачею</a> (mod) </th></tr> <tr> <td>ділене mod дільник = </td> <td><a href="/wiki/%D0%9E%D1%81%D1%82%D0%B0%D1%87%D0%B0" title="Остача">остача</a> </td></tr> <tr> <th colspan="2"><a href="/wiki/%D0%9F%D1%96%D0%B4%D0%BD%D0%B5%D1%81%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F_%D0%B4%D0%BE_%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BF%D0%B5%D0%BD%D1%8F" title="Піднесення до степеня">Піднесення до степеня</a> </th></tr> <tr> <td>основа степеняпоказник степеня = </td> <td><a href="/wiki/%D0%A1%D1%82%D0%B5%D0%BF%D1%96%D0%BD%D1%8C" title="Степінь">степінь</a> </td></tr> <tr> <th colspan="2"><a href="/wiki/%D0%9A%D0%BE%D1%80%D1%96%D0%BD%D1%8C_(%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0)" title="Корінь (математика)">Обчислення кореня</a> (√) </th></tr> <tr> <td>показник кореня <big>√</big>підкореневий вираз = </td> <td>корінь </td></tr> <tr> <th colspan="2"><a class="mw-selflink selflink">Логарифм</a> (log) </th></tr> <tr> <td>logоснова(число) = </td> <td>логарифм </td></tr></tbody></table> Позначення: <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x=\log _{a}b}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> <mo>=</mo> <msub> <mi>log</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>a</mi> </mrow> </msub> <mo>⁡</mo> <mi>b</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x=\log _{a}b}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/42bd658c5870758d6a49f91f75cc464d80b88094" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.886ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle x=\log _{a}b}"> (логарифм числа <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>b</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f11423fbb2e967f986e36804a8ae4271734917c3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.998ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle b}"> за основою <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.23ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle a}">)</dd></dl> Існують особливі позначення для: <ul><li><a href="/wiki/%D0%9D%D0%B0%D1%82%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B8%D0%B9_%D0%BB%D0%BE%D0%B3%D0%B0%D1%80%D0%B8%D1%84%D0%BC" title="Натуральний логарифм">натуральних логарифмів</a> (логарифмів за основою <a href="/wiki/E_(%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE)" title="E (число)">e</a>):</li></ul> <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \log _{e}a=\ln a}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>log</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>e</mi> </mrow> </msub> <mo>⁡</mo> <mi>a</mi> <mo>=</mo> <mi>ln</mi> <mo>⁡</mo> <mi>a</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \log _{e}a=\ln a}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa5e61359b6c6132e36dd339226469569f2c2184" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.242ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \log _{e}a=\ln a}"></dd></dl> <ul><li><a href="/wiki/%D0%94%D0%B5%D1%81%D1%8F%D1%82%D0%BA%D0%BE%D0%B2%D0%B8%D0%B9_%D0%BB%D0%BE%D0%B3%D0%B0%D1%80%D0%B8%D1%84%D0%BC" title="Десятковий логарифм">десяткових логарифмів</a> (логарифмів за основою <a href="/wiki/10_(%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE)" title="10 (число)">10</a>):</li></ul> <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \log _{10}a=\lg a}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>log</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>10</mn> </mrow> </msub> <mo>⁡</mo> <mi>a</mi> <mo>=</mo> <mi>lg</mi> <mo>⁡</mo> <mi>a</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \log _{10}a=\lg a}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75643b12c6628a70ca3e635de330e74bbdecab60" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.99ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \log _{10}a=\lg a}"></dd></dl> <ul><li><a href="/wiki/%D0%94%D0%B2%D1%96%D0%B9%D0%BA%D0%BE%D0%B2%D0%B8%D0%B9_%D0%BB%D0%BE%D0%B3%D0%B0%D1%80%D0%B8%D1%84%D0%BC" title="Двійковий логарифм">двійкових логарифмів</a> (логарифмів за основою <a href="/wiki/2_(%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE)" title="2 (число)">2</a>):</li></ul> <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \log _{2}a=\operatorname {lb} a}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>log</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>⁡</mo> <mi>a</mi> <mo>=</mo> <mi>lb</mi> <mo>⁡</mo> <mi>a</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \log _{2}a=\operatorname {lb} a}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d52daa4b50719599e1ddd9e01198f922f3b53f1d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.298ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \log _{2}a=\operatorname {lb} a}"></dd></dl> Логарифми <a href="/wiki/%D0%9D%D0%B5%D0%BF%D0%B5%D1%80%D1%96%D0%B2_%D0%BB%D0%BE%D0%B3%D0%B0%D1%80%D0%B8%D1%84%D0%BC" title="Неперів логарифм">винайшов</a> <a href="/wiki/%D0%94%D0%B6%D0%BE%D0%BD_%D0%9D%D0%B5%D0%BF%D0%B5%D1%80" title="Джон Непер">Джон Непер</a> на початку <a href="/wiki/XVII_%D1%81%D1%82%D0%BE%D0%BB%D1%96%D1%82%D1%82%D1%8F" title="XVII століття">XVII століття</a> як засіб для спрощення розрахунків і відтоді їх широко використовують у <a href="/wiki/%D0%9D%D0%B0%D1%83%D0%BA%D0%B0" title="Наука">науці</a>, <a href="/wiki/%D0%A2%D0%B5%D1%85%D0%BD%D1%96%D0%BA%D0%B0" title="Техніка">техніці</a>. До винайдення <a href="/wiki/%D0%9A%D0%BE%D0%BC%D0%BF%27%D1%8E%D1%82%D0%B5%D1%80" title="Комп'ютер">комп'ютерів</a> <a href="/wiki/%D0%9B%D0%BE%D0%B3%D0%B0%D1%80%D0%B8%D1%84%D0%BC%D1%96%D1%87%D0%BD%D0%B0_%D0%BB%D1%96%D0%BD%D1%96%D0%B9%D0%BA%D0%B0" title="Логарифмічна лінійка">логарифмічна лінійка</a> та таблиці логарифмів були повсякденним інструментом <a href="/wiki/%D0%86%D0%BD%D0%B6%D0%B5%D0%BD%D0%B5%D1%80" title="Інженер">інженера</a>. <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Властивості">Властивості</h2>[<a href="/w/index.php?title=%D0%9B%D0%BE%D0%B3%D0%B0%D1%80%D0%B8%D1%84%D0%BC&veaction=edit&section=2" title="Редагувати розділ: Властивості" class="mw-editsection-visualeditor">ред.</a> | <a href="/w/index.php?title=%D0%9B%D0%BE%D0%B3%D0%B0%D1%80%D0%B8%D1%84%D0%BC&action=edit&section=2" title="Редагувати вихідний код розділу: Властивості">ред. код</a>]</div> <table class="wikitable"> <tbody><tr> <th></th> <th>Формула</th> <th>Приклад </th></tr> <tr> <td><a href="/wiki/%D0%94%D0%BE%D0%B1%D1%83%D1%82%D0%BE%D0%BA" title="Добуток">Добуток</a></td> <td><cite id="labelLogarithmProducts"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \log _{a}(xy)=\log _{a}x+\log _{a}y\,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>log</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>a</mi> </mrow> </msub> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <msub> <mi>log</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>a</mi> </mrow> </msub> <mo>⁡</mo> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <msub> <mi>log</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>a</mi> </mrow> </msub> <mo>⁡</mo> <mi>y</mi> <mspace width="thinmathspace" /> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \log _{a}(xy)=\log _{a}x+\log _{a}y\,}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be31ddc199b83aae8f5f1fbeed49b732c170d4f2" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:26.101ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \log _{a}(xy)=\log _{a}x+\log _{a}y\,}"></cite></td> <td><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \log _{3}243=\log _{3}(9\cdot 27)=\log _{3}9+\log _{3}27=2+3=5\,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>log</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msub> <mo>⁡</mo> <mn>243</mn> <mo>=</mo> <msub> <mi>log</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msub> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>9</mn> <mo>⋅</mo> <mn>27</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <msub> <mi>log</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msub> <mo>⁡</mo> <mn>9</mn> <mo>+</mo> <msub> <mi>log</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msub> <mo>⁡</mo> <mn>27</mn> <mo>=</mo> <mn>2</mn> <mo>+</mo> <mn>3</mn> <mo>=</mo> <mn>5</mn> <mspace width="thinmathspace" /> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \log _{3}243=\log _{3}(9\cdot 27)=\log _{3}9+\log _{3}27=2+3=5\,}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4cf561a7f403f84f460a4b14205853def7a61a15" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:53.165ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \log _{3}243=\log _{3}(9\cdot 27)=\log _{3}9+\log _{3}27=2+3=5\,}"> </td></tr> <tr> <td><a href="/wiki/%D0%A7%D0%B0%D1%81%D1%82%D0%BA%D0%B0_(%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0)" title="Частка (математика)">Частка</a></td> <td><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \log _{a}\!\left({\frac {x}{y}}\right)=\log _{a}x-\log _{a}y\,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>log</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>a</mi> </mrow> </msub> <mspace width="negativethinmathspace" /> <mrow> <mo>(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>x</mi> <mi>y</mi> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <msub> <mi>log</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>a</mi> </mrow> </msub> <mo>⁡</mo> <mi>x</mi> <mo>−</mo> <msub> <mi>log</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>a</mi> </mrow> </msub> <mo>⁡</mo> <mi>y</mi> <mspace width="thinmathspace" /> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \log _{a}\!\left({\frac {x}{y}}\right)=\log _{a}x-\log _{a}y\,}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c20e9ae3bd8e02503a328b7116396971a74bad5" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:27.393ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle \log _{a}\!\left({\frac {x}{y}}\right)=\log _{a}x-\log _{a}y\,}"></td> <td><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \lg \left({\frac {1}{1000}}\right)=\lg 1-\lg 1000=0-3=-3}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>lg</mi> <mo>⁡</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>1000</mn> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mi>lg</mi> <mo>⁡</mo> <mn>1</mn> <mo>−</mo> <mi>lg</mi> <mo>⁡</mo> <mn>1000</mn> <mo>=</mo> <mn>0</mn> <mo>−</mo> <mn>3</mn> <mo>=</mo> <mo>−</mo> <mn>3</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \lg \left({\frac {1}{1000}}\right)=\lg 1-\lg 1000=0-3=-3}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e58c6161c08c78b0139ac1ad42bcd7077c23c90d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:41.193ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle \lg \left({\frac {1}{1000}}\right)=\lg 1-\lg 1000=0-3=-3}"> </td></tr> <tr> <td><a href="/wiki/%D0%9F%D1%96%D0%B4%D0%BD%D0%B5%D1%81%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F_%D0%B4%D0%BE_%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BF%D0%B5%D0%BD%D1%8F" title="Піднесення до степеня">Степінь</a></td> <td><cite id="labelLogarithmPowers"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \log _{a}x^{p}=p\log _{a}x}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>log</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>a</mi> </mrow> </msub> <mo>⁡</mo> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>p</mi> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mi>p</mi> <msub> <mi>log</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>a</mi> </mrow> </msub> <mo>⁡</mo> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \log _{a}x^{p}=p\log _{a}x}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e55b01e322b6e8a68ff745c4df41bb8736976bf" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:17.295ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \log _{a}x^{p}=p\log _{a}x}"></cite></td> <td><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \log _{2}64=\log _{2}2^{6}=6\log _{2}2=6\,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>log</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>⁡</mo> <mn>64</mn> <mo>=</mo> <msub> <mi>log</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>⁡</mo> <msup> <mn>2</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>6</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mn>6</mn> <msub> <mi>log</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>⁡</mo> <mn>2</mn> <mo>=</mo> <mn>6</mn> <mspace width="thinmathspace" /> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \log _{2}64=\log _{2}2^{6}=6\log _{2}2=6\,}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c630b05ee5ce9aa4472934d95e7106c3aa8fd7e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:31.338ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle \log _{2}64=\log _{2}2^{6}=6\log _{2}2=6\,}"> </td></tr> <tr> <td><a href="/wiki/%D0%9A%D0%BE%D1%80%D1%96%D0%BD%D1%8C_(%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0)" title="Корінь (математика)">Корінь</a></td> <td><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \log _{a}{\sqrt[{p}]{x}}={\frac {1}{p}}\log _{a}x}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>log</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>a</mi> </mrow> </msub> <mo>⁡</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mroot> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>p</mi> </mrow> </mroot> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mi>p</mi> </mfrac> </mrow> <msub> <mi>log</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>a</mi> </mrow> </msub> <mo>⁡</mo> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \log _{a}{\sqrt[{p}]{x}}={\frac {1}{p}}\log _{a}x}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b40486767b64c5e22cc9dbfcfd6621cf68f71a88" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:19.008ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle \log _{a}{\sqrt[{p}]{x}}={\frac {1}{p}}\log _{a}x}"></td> <td><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \lg {\sqrt {1000}}={\frac {1}{2}}\lg 1000={\frac {3}{2}}=1{,}5}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>lg</mi> <mo>⁡</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mn>1000</mn> </msqrt> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <mi>lg</mi> <mo>⁡</mo> <mn>1000</mn> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>3</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>,</mo> </mrow> <mn>5</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \lg {\sqrt {1000}}={\frac {1}{2}}\lg 1000={\frac {3}{2}}=1{,}5}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c8822002d6c11af0dab6b2a8e228ab59f2b72f9" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:32.28ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle \lg {\sqrt {1000}}={\frac {1}{2}}\lg 1000={\frac {3}{2}}=1{,}5}"> </td></tr> </tbody></table> Ці властивості зробили логарифм надзвичайно корисною функцією. Додавання та віднімання набагато простіші операції ніж множення та ділення, й, маючи таблицю логарифмів, можна сильно спростити складні обчислення. Формула <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \log _{a}x={\frac {\log _{b}x}{\log _{b}a}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>log</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>a</mi> </mrow> </msub> <mo>⁡</mo> <mi>x</mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>log</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>b</mi> </mrow> </msub> <mo>⁡</mo> <mi>x</mi> </mrow> <mrow> <msub> <mi>log</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>b</mi> </mrow> </msub> <mo>⁡</mo> <mi>a</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \log _{a}x={\frac {\log _{b}x}{\log _{b}a}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c4f6a1b2fa97b02e43a2423eb11fdeadf4afb7c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:15.351ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle \log _{a}x={\frac {\log _{b}x}{\log _{b}a}}}"></dd></dl> дозволяє переходити від одної основи до іншої. Інші тотожності: <ul><li><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a^{log_{a}b}=b}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>l</mi> <mi>o</mi> <msub> <mi>g</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>a</mi> </mrow> </msub> <mi>b</mi> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mi>b</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a^{log_{a}b}=b}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/36417c892861644162fd8bfbb4d996276480e8d5" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:9.205ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle a^{log_{a}b}=b}"></li> <li><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a^{log_{c}b}=b^{log_{c}a}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>l</mi> <mi>o</mi> <msub> <mi>g</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>c</mi> </mrow> </msub> <mi>b</mi> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <msup> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>l</mi> <mi>o</mi> <msub> <mi>g</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>c</mi> </mrow> </msub> <mi>a</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a^{log_{c}b}=b^{log_{c}a}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a00dd2007a46927cf466351544ae80abf6aa83bf" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:12.993ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle a^{log_{c}b}=b^{log_{c}a}}"></li> <li><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \log _{b^{c}}a={\tfrac {1}{c}}\log _{b}a}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>log</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msup> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>c</mi> </mrow> </msup> </mrow> </msub> <mo>⁡</mo> <mi>a</mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mfrac> <mn>1</mn> <mi>c</mi> </mfrac> </mstyle> </mrow> <msub> <mi>log</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>b</mi> </mrow> </msub> <mo>⁡</mo> <mi>a</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \log _{b^{c}}a={\tfrac {1}{c}}\log _{b}a}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a7ea51299035d9624465344b11fd5e3c143baafb" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:16.938ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle \log _{b^{c}}a={\tfrac {1}{c}}\log _{b}a}"></li> <li><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \log _{a}b={\frac {1}{\log _{b}a}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>log</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>a</mi> </mrow> </msub> <mo>⁡</mo> <mi>b</mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <msub> <mi>log</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>b</mi> </mrow> </msub> <mo>⁡</mo> <mi>a</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \log _{a}b={\frac {1}{\log _{b}a}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/15dbdb202a6378003932e79acd2bb1445ab79b78" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:14.919ex; height:5.843ex;" alt="{\displaystyle \log _{a}b={\frac {1}{\log _{b}a}}}"></li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Логарифмічна_функція">Логарифмічна функція</h2>[<a href="/w/index.php?title=%D0%9B%D0%BE%D0%B3%D0%B0%D1%80%D0%B8%D1%84%D0%BC&veaction=edit&section=3" title="Редагувати розділ: Логарифмічна функція" class="mw-editsection-visualeditor">ред.</a> | <a href="/w/index.php?title=%D0%9B%D0%BE%D0%B3%D0%B0%D1%80%D0%B8%D1%84%D0%BC&action=edit&section=3" title="Редагувати вихідний код розділу: Логарифмічна функція">ред. код</a>]</div> <figure class="mw-halign-right" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/%D0%A4%D0%B0%D0%B9%D0%BB:Log4.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/ae/Log4.svg/320px-Log4.svg.png" decoding="async" width="320" height="278" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/ae/Log4.svg/480px-Log4.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/ae/Log4.svg/640px-Log4.svg.png 2x" data-file-width="575" data-file-height="500" /></a><figcaption>Графіки логарифмів за основами 2, e, 1/2</figcaption></figure> Логарифмічна <a href="/wiki/%D0%A4%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D1%96%D1%8F_(%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0)" title="Функція (математика)">функція</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y=\log _{b}x}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>y</mi> <mo>=</mo> <msub> <mi>log</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>b</mi> </mrow> </msub> <mo>⁡</mo> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y=\log _{b}x}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/181577dca8c4b040c22f3a8a794a772496c5ba67" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.88ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle y=\log _{b}x}"> ставить у відповідність кожному значенню змінної її логарифм за наперед обраною основою <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>b</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f11423fbb2e967f986e36804a8ae4271734917c3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.998ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle b}">. Властивості логарифмічної функції: <ul><li><a href="/wiki/%D0%9E%D0%B1%D0%BB%D0%B0%D1%81%D1%82%D1%8C_%D0%B2%D0%B8%D0%B7%D0%BD%D0%B0%D1%87%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F" title="Область визначення">множина визначення</a> логарифмічної функції <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle D=(0,+\infty )}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>D</mi> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <mo>+</mo> <mi mathvariant="normal">∞</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle D=(0,+\infty )}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ca2a77101576b121aad59e55fa73c97017a7ff3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:13.16ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle D=(0,+\infty )}">,</li> <li>логарифмічна функція є <a href="/wiki/%D0%9C%D0%BE%D0%BD%D0%BE%D1%82%D0%BE%D0%BD%D0%BD%D0%B0_%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D1%96%D1%8F" title="Монотонна функція">монотонною</a>, причому <ul><li>є зростаючою, якщо <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b>1}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>b</mi> <mo>></mo> <mn>1</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b>1}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0041c936812fb809c4511e31eb0404de9d48511b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.258ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle b>1}"></li> <li>є спадною, якщо <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 0<b<1}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>0</mn> <mo><</mo> <mi>b</mi> <mo><</mo> <mn>1</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 0<b<1}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/294830b3b4756ac60e95f53d49920ac8e2a1a227" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:9.519ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 0<b<1}"></li></ul></li> <li>логарифмічні функції за різними основами є пропорційними,</li> <li>функція <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y=\log _{b}x}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>y</mi> <mo>=</mo> <msub> <mi>log</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>b</mi> </mrow> </msub> <mo>⁡</mo> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y=\log _{b}x}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/181577dca8c4b040c22f3a8a794a772496c5ba67" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.88ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle y=\log _{b}x}"> є <a href="/wiki/%D0%9E%D0%B1%D0%B5%D1%80%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B0_%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D1%96%D1%8F" title="Обернена функція">оберненою</a> до <a href="/wiki/%D0%9F%D0%BE%D0%BA%D0%B0%D0%B7%D0%BD%D0%B8%D0%BA%D0%BE%D0%B2%D0%B0_%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D1%96%D1%8F" title="Показникова функція">показникової функції</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x=b^{y}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> <mo>=</mo> <msup> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>y</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x=b^{y}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aed854c1c6aed9b31c9d1140d89cacb98c5229dd" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.475ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle x=b^{y}}">,</li> <li><a href="/wiki/%D0%9F%D0%BE%D1%85%D1%96%D0%B4%D0%BD%D0%B0" title="Похідна">похідна</a> логарифмічної функції:</li></ul> <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {d\ln x}{dx}}={\frac {1}{x}},\qquad {\frac {d\log _{b}x}{dx}}={\frac {1}{x\ln b}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>d</mi> <mi>ln</mi> <mo>⁡</mo> <mi>x</mi> </mrow> <mrow> <mi>d</mi> <mi>x</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mi>x</mi> </mfrac> </mrow> <mo>,</mo> <mspace width="2em" /> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>d</mi> <msub> <mi>log</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>b</mi> </mrow> </msub> <mo>⁡</mo> <mi>x</mi> </mrow> <mrow> <mi>d</mi> <mi>x</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mi>x</mi> <mi>ln</mi> <mo>⁡</mo> <mi>b</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {d\ln x}{dx}}={\frac {1}{x}},\qquad {\frac {d\log _{b}x}{dx}}={\frac {1}{x\ln b}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8de4be1b5e8e47c8892a7ae4e787cdd7a63148d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:34.079ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle {\frac {d\ln x}{dx}}={\frac {1}{x}},\qquad {\frac {d\log _{b}x}{dx}}={\frac {1}{x\ln b}}}"></dd></dl> <ul><li><a href="/wiki/%D0%9F%D0%B5%D1%80%D0%B2%D1%96%D1%81%D0%BD%D0%B0" title="Первісна">первісна</a> логарифмічної функції:</li></ul> <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \int \ln x\,dx=x(\ln x-1)+C}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo>∫</mo> <mi>ln</mi> <mo>⁡</mo> <mi>x</mi> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>d</mi> <mi>x</mi> <mo>=</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>ln</mi> <mo>⁡</mo> <mi>x</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>+</mo> <mi>C</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \int \ln x\,dx=x(\ln x-1)+C}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/efc8f92df9765debfdccfb6c701d7bd2d312fb55" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:27.673ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle \int \ln x\,dx=x(\ln x-1)+C}"> (див. також <a href="/wiki/%D0%A2%D0%B0%D0%B1%D0%BB%D0%B8%D1%86%D1%8F_%D1%96%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BB%D1%96%D0%B2_%D0%BB%D0%BE%D0%B3%D0%B0%D1%80%D0%B8%D1%84%D0%BC%D1%96%D1%87%D0%BD%D0%B8%D1%85_%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D1%96%D0%B9" title="Таблиця інтегралів логарифмічних функцій">таблицю інтегралів логарифмічних функцій</a>)</dd></dl> <ul><li>похідна від логарифму функції називається <a href="/wiki/%D0%9B%D0%BE%D0%B3%D0%B0%D1%80%D0%B8%D1%84%D0%BC%D1%96%D1%87%D0%BD%D0%B0_%D0%BF%D0%BE%D1%85%D1%96%D0%B4%D0%BD%D0%B0" title="Логарифмічна похідна">логарифмічною похідною</a></li></ul> <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\ln(f(x))={\frac {f'(x)}{f(x)}}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>d</mi> <mrow> <mi>d</mi> <mi>x</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mi>ln</mi> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <msup> <mi>f</mi> <mo>′</mo> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mrow> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\ln(f(x))={\frac {f'(x)}{f(x)}}.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e3d975662a39612a4e0e13d5bf79f182f1ed6a3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:21.661ex; height:6.509ex;" alt="{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\ln(f(x))={\frac {f'(x)}{f(x)}}.}"></dd></dl> <ul><li><a href="/wiki/%D0%A1%D0%BF%D0%B5%D1%86%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%96_%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D1%96%D1%97" title="Спеціальні функції">спеціальна функція</a> <a href="/wiki/%D0%86%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B8%D0%B9_%D0%BB%D0%BE%D0%B3%D0%B0%D1%80%D0%B8%D1%84%D0%BC" title="Інтегральний логарифм">інтегральний логарифм</a>:</li></ul> <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\rm {li}}(x)=\int _{0}^{x}{\frac {dt}{\ln t}},\quad x\neq 1}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">l</mi> <mi mathvariant="normal">i</mi> </mrow> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <msubsup> <mo>∫</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> </mrow> </msubsup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>d</mi> <mi>t</mi> </mrow> <mrow> <mi>ln</mi> <mo>⁡</mo> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>,</mo> <mspace width="1em" /> <mi>x</mi> <mo>≠</mo> <mn>1</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\rm {li}}(x)=\int _{0}^{x}{\frac {dt}{\ln t}},\quad x\neq 1}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d6a214bf25ebe2d2bcb663dc2a9e50cb7478b0c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:24.504ex; height:5.843ex;" alt="{\displaystyle {\rm {li}}(x)=\int _{0}^{x}{\frac {dt}{\ln t}},\quad x\neq 1}"></dd></dl> <ul><li>розклад у <a href="/wiki/%D0%A0%D1%8F%D0%B4_%D0%A2%D0%B5%D0%B9%D0%BB%D0%BE%D1%80%D0%B0" title="Ряд Тейлора">ряд Тейлора</a></li></ul> <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ln(1+x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}x^{n}=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-\cdots }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>ln</mi> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <munderover> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">∞</mi> </mrow> </munderover> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> </mrow> <mi>n</mi> </mfrac> </mrow> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mi>x</mi> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msup> <mn>3</mn> </mfrac> </mrow> <mo>−</mo> <mo>⋯</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ln(1+x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}x^{n}=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-\cdots }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/69ac92d9db1e98a32e8c4232e97a117158eba05b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:49.518ex; height:7.009ex;" alt="{\displaystyle \ln(1+x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}x^{n}=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-\cdots }"></dd></dl> <ul><li><a href="/wiki/%D0%A1%D1%82%D0%B0%D0%BB%D0%B0_%D0%95%D0%B9%D0%BB%D0%B5%D1%80%D0%B0%E2%80%94%D0%9C%D0%B0%D1%81%D0%BA%D0%B5%D1%80%D0%BE%D0%BD%D1%96" class="mw-redirect" title="Стала Ейлера—Маскероні">стала Ейлера—Маскероні</a></li></ul> <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \gamma =\lim _{n\rightarrow \infty }\left[\left(\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}\right)-\ln(n)\right]}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>γ</mi> <mo>=</mo> <munder> <mo movablelimits="true" form="prefix">lim</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> <mo stretchy="false">→</mo> <mi mathvariant="normal">∞</mi> </mrow> </munder> <mrow> <mo>[</mo> <mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <munderover> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </munderover> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mi>k</mi> </mfrac> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>−</mo> <mi>ln</mi> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>n</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mo>]</mo> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \gamma =\lim _{n\rightarrow \infty }\left[\left(\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}\right)-\ln(n)\right]}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7af12010d95e43a1b424a6c3a76c92c2727c1c06" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:29.185ex; height:7.509ex;" alt="{\displaystyle \gamma =\lim _{n\rightarrow \infty }\left[\left(\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}\right)-\ln(n)\right]}"></dd></dl> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Натуральні_логарифми">Натуральні логарифми</h2>[<a href="/w/index.php?title=%D0%9B%D0%BE%D0%B3%D0%B0%D1%80%D0%B8%D1%84%D0%BC&veaction=edit&section=4" title="Редагувати розділ: Натуральні логарифми" class="mw-editsection-visualeditor">ред.</a> | <a href="/w/index.php?title=%D0%9B%D0%BE%D0%B3%D0%B0%D1%80%D0%B8%D1%84%D0%BC&action=edit&section=4" title="Редагувати вихідний код розділу: Натуральні логарифми">ред. код</a>]</div> <div class="noprint" style="padding-left:20px">Докладніше: <a href="/wiki/%D0%9D%D0%B0%D1%82%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B8%D0%B9_%D0%BB%D0%BE%D0%B3%D0%B0%D1%80%D0%B8%D1%84%D0%BC" title="Натуральний логарифм">Натуральний логарифм</a></div> Зв'язок з десятковим логарифмом: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ln x\approx 2{,}30259\ \lg x;\ \ \lg x\approx 0{,}43429\ \ln x}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>ln</mi> <mo>⁡</mo> <mi>x</mi> <mo>≈</mo> <mn>2,302</mn> <mn>59</mn> <mtext> </mtext> <mi>lg</mi> <mo>⁡</mo> <mi>x</mi> <mo>;</mo> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mi>lg</mi> <mo>⁡</mo> <mi>x</mi> <mo>≈</mo> <mn>0,434</mn> <mn>29</mn> <mtext> </mtext> <mi>ln</mi> <mo>⁡</mo> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ln x\approx 2{,}30259\ \lg x;\ \ \lg x\approx 0{,}43429\ \ln x}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/595975fc65a052f86369663fed8298bbc8eed42b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:40.322ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \ln x\approx 2{,}30259\ \lg x;\ \ \lg x\approx 0{,}43429\ \ln x}">. Як зазначено вище, для <a href="/wiki/%D0%9F%D0%BE%D1%85%D1%96%D0%B4%D0%BD%D0%B0" title="Похідна">похідної</a> натурального логарифму справедлива проста формула: <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (\ln x)'={\frac {1}{x}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>ln</mi> <mo>⁡</mo> <mi>x</mi> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>′</mo> </msup> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mi>x</mi> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (\ln x)'={\frac {1}{x}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/189cac786f57ab6a12a34c4621923fc41aa8ca05" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:11.414ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle (\ln x)'={\frac {1}{x}}}"></dd></dl> З цієї причини у математичних дослідженнях дуже часто використовують саме натуральні логарифми. Вони часто з'являються при розв'язку <a href="/wiki/%D0%94%D0%B8%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BD%D1%86%D1%96%D0%B9%D0%BD%D1%96_%D1%80%D1%96%D0%B2%D0%BD%D1%8F%D0%BD%D0%BD%D1%8F" class="mw-redirect" title="Диференційні рівняння">диференціальних рівнянь</a>, дослідженні статистичних закономірностей (наприклад, <a href="/wiki/%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%BF%D1%80%D0%BE_%D1%80%D0%BE%D0%B7%D0%BF%D0%BE%D0%B4%D1%96%D0%BB_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8%D1%85_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%B5%D0%BB" title="Теорема про розподіл простих чисел">розподіл простих чисел</a>) тощо. <a href="/wiki/%D0%9D%D0%B5%D0%B2%D0%B8%D0%B7%D0%BD%D0%B0%D1%87%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B9_%D1%96%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BB" title="Невизначений інтеграл">Невизначений інтеграл</a> від натурального логарифму легко знайти <a href="/wiki/%D0%86%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D1%83%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8F_%D1%87%D0%B0%D1%81%D1%82%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D0%BC%D0%B8" title="Інтегрування частинами">інтегруванням за частинами</a>: <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \int {\ln x\,\mathrm {d} x}=x\ln x-x+C}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo>∫</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>ln</mi> <mo>⁡</mo> <mi>x</mi> <mspace width="thinmathspace" /> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mi>x</mi> </mrow> <mo>=</mo> <mi>x</mi> <mi>ln</mi> <mo>⁡</mo> <mi>x</mi> <mo>−</mo> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mi>C</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \int {\ln x\,\mathrm {d} x}=x\ln x-x+C}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ef1c93bb50d14b56b2ed0c2b9cdd43c6abfc9e6" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:26.494ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle \int {\ln x\,\mathrm {d} x}=x\ln x-x+C}"></dd></dl> Розклад у <a href="/wiki/%D0%A0%D1%8F%D0%B4_%D0%A2%D0%B5%D0%B9%D0%BB%D0%BE%D1%80%D0%B0" title="Ряд Тейлора">ряд Тейлора</a> може бути представлений наступним чином: при <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle -1<x\leqslant 1}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <mo><</mo> <mi>x</mi> <mo>⩽</mo> <mn>1</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle -1<x\leqslant 1}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13741e1f4d02a95ed3ad255e2b8efd1d53829d33" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:11.66ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle -1<x\leqslant 1}"> наступна рівність є справедливою <table class="citation" id="math_1" width="100%" style="border-bottom:none; border-top:none; background-color:#;"> <tbody><tr> <td style="vertical-align:middle; text-align:left; padding-left:0em" width="80"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ln(1+x)=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x^{4}}{4}}+\dots }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>ln</mi> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>x</mi> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msup> <mn>3</mn> </mfrac> </mrow> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>4</mn> </mrow> </msup> <mn>4</mn> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mo>…</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ln(1+x)=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x^{4}}{4}}+\dots }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/56785fa3dcd886127869b732f69fd5a2ae80b24e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:37.254ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle \ln(1+x)=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x^{4}}{4}}+\dots }"> </td> <td style="vertical-align:middle; text-align:right;" width="20">(1) </td></tr></tbody></table> Зокрема, <table class="citation" width="100%" style="border-bottom:none; border-top:none; background-color:#;"> <tbody><tr> <td style="vertical-align:middle; text-align:left; padding-left:4em" width="80"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ln 2=1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+\dots }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>ln</mi> <mo>⁡</mo> <mn>2</mn> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>3</mn> </mfrac> </mrow> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>4</mn> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mo>…</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ln 2=1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+\dots }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/474496f5e2fe373d335600449b6b7f9b3415a417" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:27.83ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle \ln 2=1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+\dots }"> </td> <td style="vertical-align:middle; text-align:right;" width="20"> </td></tr></tbody></table> Формула (1) не має великої практичної цінності через те, що ряд дуже повільно сходиться і значення<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}"> є обмеженим у доволі вузькому діапазоні. Однак, не складно отримати з неї зручнішу формулу: <table class="citation" id="math_2" width="100%" style="border-bottom:none; border-top:none; background-color:#;"> <tbody><tr> <td style="vertical-align:middle; text-align:left; padding-left:0em" width="80"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ln \left({\frac {1+x}{1-x}}\right)=2\left(x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}+{\frac {x^{7}}{7}}+\dots \right)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>ln</mi> <mo>⁡</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <mi>x</mi> </mrow> <mrow> <mn>1</mn> <mo>−</mo> <mi>x</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mn>2</mn> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msup> <mn>3</mn> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>5</mn> </mrow> </msup> <mn>5</mn> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>7</mn> </mrow> </msup> <mn>7</mn> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mo>…</mo> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ln \left({\frac {1+x}{1-x}}\right)=2\left(x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}+{\frac {x^{7}}{7}}+\dots \right)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffded915cdc900c0944340217624650781bc6fbd" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:44.673ex; height:6.343ex;" alt="{\displaystyle \ln \left({\frac {1+x}{1-x}}\right)=2\left(x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}+{\frac {x^{7}}{7}}+\dots \right)}"> </td> <td style="vertical-align:middle; text-align:right;" width="20">(2) </td></tr></tbody></table> Цей ряд сходиться швидше, а крім цього, ліва частина формули тепер може виразити логарифм будь-якого додатного числа. <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Двійкові_логарифми">Двійкові логарифми</h2>[<a href="/w/index.php?title=%D0%9B%D0%BE%D0%B3%D0%B0%D1%80%D0%B8%D1%84%D0%BC&veaction=edit&section=5" title="Редагувати розділ: Двійкові логарифми" class="mw-editsection-visualeditor">ред.</a> | <a href="/w/index.php?title=%D0%9B%D0%BE%D0%B3%D0%B0%D1%80%D0%B8%D1%84%D0%BC&action=edit&section=5" title="Редагувати вихідний код розділу: Двійкові логарифми">ред. код</a>]</div> Логарифми за основою 2 широко застосовуються в теорії інформації. <a href="/wiki/%D0%94%D0%B2%D1%96%D0%B9%D0%BA%D0%BE%D0%B2%D0%B8%D0%B9_%D0%BB%D0%BE%D0%B3%D0%B0%D1%80%D0%B8%D1%84%D0%BC" title="Двійковий логарифм">Двійковий логарифм</a> <a href="/wiki/%D0%9D%D0%B0%D1%82%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%96_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B0" class="mw-redirect" title="Натуральні числа">натурального числа</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>N</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5e3890c981ae85503089652feb48b191b57aae3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.064ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle N}"> дозволяє визначити число цифр <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b(N)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>b</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b(N)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d6776f30ccfba66c371a3bdb600aeb0abc714d1" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.87ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle b(N)}"> у внутрішньому комп'ютерному (<a href="/wiki/%D0%91%D1%96%D1%82" title="Біт">бітовому</a>) поданні цього числа: <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle B(N)=\lfloor \operatorname {lb} N\rfloor +1}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>B</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mo fence="false" stretchy="false">⌊</mo> <mi>lb</mi> <mo>⁡</mo> <mi>N</mi> <mo fence="false" stretchy="false">⌋</mo> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle B(N)=\lfloor \operatorname {lb} N\rfloor +1}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c8166677c3a283791c68935bd5ec306a2dc5a395" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:19.193ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle B(N)=\lfloor \operatorname {lb} N\rfloor +1}"> (дужки позначають <a href="/wiki/%D0%A6%D1%96%D0%BB%D0%B0_%D1%87%D0%B0%D1%81%D1%82%D0%B8%D0%BD%D0%B0_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B0" title="Ціла частина числа">цілу частину</a> числа).</dd></dl> <a href="/wiki/%D0%86%D0%BD%D1%84%D0%BE%D1%80%D0%BC%D0%B0%D1%86%D1%96%D0%B9%D0%BD%D0%B0_%D0%B5%D0%BD%D1%82%D1%80%D0%BE%D0%BF%D1%96%D1%8F" title="Інформаційна ентропія">Інформаційна ентропія</a> — міра кількості інформації, також заснована на двійкових логарифмах. Оцінка <a href="/wiki/%D0%9E%D0%B1%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D1%8E%D0%B2%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0_%D1%81%D0%BA%D0%BB%D0%B0%D0%B4%D0%BD%D1%96%D1%81%D1%82%D1%8C" title="Обчислювальна складність">асимптотичної складності</a> <a href="/wiki/%D0%A0%D0%B5%D0%BA%D1%83%D1%80%D1%81%D0%B8%D0%B2%D0%BD%D1%96_%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D1%96%D1%97" class="mw-redirect" title="Рекурсивні функції">рекурсивних алгоритмів</a>, заснованих на принципі <a href="/wiki/%D0%A0%D0%BE%D0%B7%D0%B4%D1%96%D0%BB%D1%8F%D0%B9_%D1%82%D0%B0_%D0%B2%D0%BE%D0%BB%D0%BE%D0%B4%D0%B0%D1%80%D1%8E%D0%B9_(%D1%96%D0%BD%D1%84%D0%BE%D1%80%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0)" title="Розділяй та володарюй (інформатика)">«розділяй та володарюй»</a> — таких, як <a href="/wiki/%D0%A8%D0%B2%D0%B8%D0%B4%D0%BA%D0%B5_%D1%81%D0%BE%D1%80%D1%82%D1%83%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8F" title="Швидке сортування">швидке сортування</a>, <a href="/wiki/%D0%A8%D0%B2%D0%B8%D0%B4%D0%BA%D0%B5_%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B5%D1%82%D0%B2%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F_%D0%A4%D1%83%D1%80%27%D1%94" title="Швидке перетворення Фур'є">швидке перетворення Фур'є</a>, <a href="/wiki/%D0%94%D0%B2%D1%96%D0%B9%D0%BA%D0%BE%D0%B2%D0%B8%D0%B9_%D0%BF%D0%BE%D1%88%D1%83%D0%BA" title="Двійковий пошук">двійковий пошук</a> виконується з використанням двійкових логарифмів. У <a href="/wiki/%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D1%96%D1%8F_%D0%BC%D1%83%D0%B7%D0%B8%D0%BA%D0%B8" title="Теорія музики">теорії музики</a>, щоб вирішити питання про те, на скільки частин ділити <a href="/wiki/%D0%9E%D0%BA%D1%82%D0%B0%D0%B2%D0%B0" title="Октава">октаву</a>, потрібно відшукати раціональне наближення для <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \log _{2}{\frac {3}{2}}\approx 0{,}585.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>log</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>⁡</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>3</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <mo>≈</mo> <mn>0,585.</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \log _{2}{\frac {3}{2}}\approx 0{,}585.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/38c3f4c8fcb58cdf757adc9a91d7a1041a9402bd" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:15.454ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle \log _{2}{\frac {3}{2}}\approx 0{,}585.}"> Якщо розкласти це число в <a href="/w/index.php?title=%D0%91%D0%B5%D0%B7%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B5%D1%80%D0%B2%D0%BD%D0%B0_%D0%B4%D1%80%D1%96%D0%B1&action=edit&redlink=1" class="new" title="Безперервна дріб (ще не написана)">безперервний дріб</a>, то третій дріб, що підходить, (7/12) дозволяє обґрунтувати класичний розподіл октави на 12 <a href="/wiki/%D0%9F%D1%96%D0%B2%D1%82%D0%BE%D0%BD" title="Півтон">півтонів</a>. <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Десяткові_логарифми">Десяткові логарифми</h2>[<a href="/w/index.php?title=%D0%9B%D0%BE%D0%B3%D0%B0%D1%80%D0%B8%D1%84%D0%BC&veaction=edit&section=6" title="Редагувати розділ: Десяткові логарифми" class="mw-editsection-visualeditor">ред.</a> | <a href="/w/index.php?title=%D0%9B%D0%BE%D0%B3%D0%B0%D1%80%D0%B8%D1%84%D0%BC&action=edit&section=6" title="Редагувати вихідний код розділу: Десяткові логарифми">ред. код</a>]</div> <figure typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/%D0%A4%D0%B0%D0%B9%D0%BB:Slide_rule_example2.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c1/Slide_rule_example2.svg/450px-Slide_rule_example2.svg.png" decoding="async" width="450" height="50" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c1/Slide_rule_example2.svg/675px-Slide_rule_example2.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c1/Slide_rule_example2.svg/900px-Slide_rule_example2.svg.png 2x" data-file-width="512" data-file-height="57" /></a><figcaption>Рисунок 2а. <a href="/wiki/%D0%9B%D0%BE%D0%B3%D0%B0%D1%80%D0%B8%D1%84%D0%BC%D1%96%D1%87%D0%BD%D0%B0_%D1%88%D0%BA%D0%B0%D0%BB%D0%B0" title="Логарифмічна шкала">Логарифмічна шкала</a>.</figcaption></figure> <figure typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/%D0%A4%D0%B0%D0%B9%D0%BB:Slide_rule_example2_with_labels.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/8f/Slide_rule_example2_with_labels.svg/450px-Slide_rule_example2_with_labels.svg.png" decoding="async" width="450" height="105" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/8f/Slide_rule_example2_with_labels.svg/675px-Slide_rule_example2_with_labels.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/8f/Slide_rule_example2_with_labels.svg/900px-Slide_rule_example2_with_labels.svg.png 2x" data-file-width="512" data-file-height="119" /></a><figcaption>Рисунок. 2б. Логарифмічна шкала з позначеннями.</figcaption></figure> Логарифми за основою 10 (позначаються як lg a) до винайдення <a href="/wiki/%D0%9A%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BA%D1%83%D0%BB%D1%8F%D1%82%D0%BE%D1%80" title="Калькулятор">калькуляторів</a> широко використовували для обчислень. <a href="/wiki/%D0%9B%D0%BE%D0%B3%D0%B0%D1%80%D0%B8%D1%84%D0%BC%D1%96%D1%87%D0%BD%D0%B8%D0%B9_%D0%BC%D0%B0%D1%81%D1%88%D1%82%D0%B0%D0%B1" class="mw-redirect" title="Логарифмічний масштаб">Нерівномірна шкала</a> десяткових логарифмів зазвичай наноситься і на <a href="/wiki/%D0%9B%D0%BE%D0%B3%D0%B0%D1%80%D0%B8%D1%84%D0%BC%D1%96%D1%87%D0%BD%D0%B0_%D0%BB%D1%96%D0%BD%D1%96%D0%B9%D0%BA%D0%B0" title="Логарифмічна лінійка">логарифмічні лінійки</a>. Подібну шкалу використовують у багатьох галузях науки, наприклад: <ul><li><a href="/wiki/%D0%A4%D1%96%D0%B7%D0%B8%D0%BA%D0%B0" title="Фізика">Фізика</a> — інтенсивність звуку (<a href="/wiki/%D0%94%D0%B5%D1%86%D0%B8%D0%B1%D0%B5%D0%BB" title="Децибел">децибели</a>).</li> <li><a href="/wiki/%D0%90%D1%81%D1%82%D1%80%D0%BE%D0%BD%D0%BE%D0%BC%D1%96%D1%8F" title="Астрономія">Астрономія</a> — шкала <a href="/wiki/%D0%92%D0%B8%D0%B4%D0%B8%D0%BC%D0%B0_%D0%B7%D0%BE%D1%80%D1%8F%D0%BD%D0%B0_%D0%B2%D0%B5%D0%BB%D0%B8%D1%87%D0%B8%D0%BD%D0%B0" title="Видима зоряна величина">яскравості зірок</a>.</li> <li><a href="/wiki/%D0%A5%D1%96%D0%BC%D1%96%D1%8F" title="Хімія">Хімія</a> — активність <a href="/wiki/%D0%92%D0%BE%D0%B4%D0%B5%D0%BD%D1%8C" title="Водень">водневих</a> <a href="/wiki/%D0%86%D0%BE%D0%BD" title="Іон">іонів</a> (<a href="/wiki/PH" title="PH">pH</a>).</li> <li><a href="/wiki/%D0%A1%D0%B5%D0%B9%D1%81%D0%BC%D0%BE%D0%BB%D0%BE%D0%B3%D1%96%D1%8F" title="Сейсмологія">Сейсмологія</a> — <a href="/wiki/%D0%9C%D0%B0%D0%B3%D0%BD%D1%96%D1%82%D1%83%D0%B4%D0%B0_%D0%B7%D0%B5%D0%BC%D0%BB%D0%B5%D1%82%D1%80%D1%83%D1%81%D1%83" title="Магнітуда землетрусу">шкала Ріхтера</a>.</li> <li><a href="/wiki/%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D1%96%D1%8F_%D0%BC%D1%83%D0%B7%D0%B8%D0%BA%D0%B8" title="Теорія музики">Теорія музики</a> — нотна шкала, по відношенню до частот нотних звуків.</li> <li><a href="/wiki/%D0%86%D1%81%D1%82%D0%BE%D1%80%D1%96%D1%8F" title="Історія">Історія</a> — <a href="/w/index.php?title=%D0%9B%D0%BE%D0%B3%D0%B0%D1%80%D0%B8%D1%84%D0%BC%D1%96%D1%87%D0%BD%D0%B0_%D1%88%D0%BA%D0%B0%D0%BB%D0%B0_%D1%87%D0%B0%D1%81%D1%83&action=edit&redlink=1" class="new" title="Логарифмічна шкала часу (ще не написана)">логарифмічна шкала часу</a>.</li></ul> <a href="/wiki/%D0%9B%D0%BE%D0%B3%D0%B0%D1%80%D0%B8%D1%84%D0%BC%D1%96%D1%87%D0%BD%D0%B0_%D1%88%D0%BA%D0%B0%D0%BB%D0%B0" title="Логарифмічна шкала">Логарифмічну шкалу</a> також широко використовують для виявлення показника степеня у показникових залежностях і коефіцієнта у показнику експоненти. При цьому графік, побудований у логарифмічному масштабі по одній або двох осях, приймає вигляд прямої, яка є простішою для дослідження. <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Логарифмічна_функція_комплексної_змінної"><span id=".D0.9B.D0.BE.D0.B3.D0.B0.D1.80.D0.B8.D1.84.D0.BC.D1.96.D1.87.D0.BD.D0.B0_.D1.84.D1.83.D0.BD.D0.BA.D1.86.D1.96.D1.8F_.D0.BA.D0.BE.D0.BC.D0.BF.D0.BB.D0.B5.D0.BA.D1.81.D0.BD.D0.BE.D1.97_.D0.B7.D0.BC.D1.96.D0.BD.D0.BD.D0.BE.D1.97">Логарифмічна функція комплексної змінної</h2>[<a href="/w/index.php?title=%D0%9B%D0%BE%D0%B3%D0%B0%D1%80%D0%B8%D1%84%D0%BC&veaction=edit&section=7" title="Редагувати розділ: Логарифмічна функція комплексної змінної" class="mw-editsection-visualeditor">ред.</a> | <a href="/w/index.php?title=%D0%9B%D0%BE%D0%B3%D0%B0%D1%80%D0%B8%D1%84%D0%BC&action=edit&section=7" title="Редагувати вихідний код розділу: Логарифмічна функція комплексної змінної">ред. код</a>]</div> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Визначення_і_властивості">Визначення і властивості</h3>[<a href="/w/index.php?title=%D0%9B%D0%BE%D0%B3%D0%B0%D1%80%D0%B8%D1%84%D0%BC&veaction=edit&section=8" title="Редагувати розділ: Визначення і властивості" class="mw-editsection-visualeditor">ред.</a> | <a href="/w/index.php?title=%D0%9B%D0%BE%D0%B3%D0%B0%D1%80%D0%B8%D1%84%D0%BC&action=edit&section=8" title="Редагувати вихідний код розділу: Визначення і властивості">ред. код</a>]</div> Для <a href="/wiki/%D0%9A%D0%BE%D0%BC%D0%BF%D0%BB%D0%B5%D0%BA%D1%81%D0%BD%D0%B5_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE" title="Комплексне число">комплексних чисел</a> логарифм визначається так само як і для дійсних. На практиці використовують майже завжди натуральний комплексний логарифм, який позначають як <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathrm {Ln} \,w}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">L</mi> <mi mathvariant="normal">n</mi> </mrow> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>w</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {Ln} \,w}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e9d540396e2f8fb0dbfbc95e1e571516f7b8aff" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:4.797ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {Ln} \,w}"> і визначають як множину всіх комплексних чисел <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle z}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>z</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle z}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf368e72c009decd9b6686ee84a375632e11de98" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.088ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle z}"> таких, що <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle e^{z}=w}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>z</mi> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mi>w</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle e^{z}=w}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c323fc8bc654be77a64ea383e56d326dbf3118d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.848ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle e^{z}=w}">. Комплексний логарифм існує для будь-якого <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle w\neq 0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>w</mi> <mo>≠</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle w\neq 0}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d46cad72cecacc5589e98dd8f487e7723a112ceb" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.925ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle w\neq 0}">, і його дійсна частина визначається однозначно, тоді як уявна частина має нескінченну множину значень. З цієї причини його називають <a href="/wiki/%D0%91%D0%B0%D0%B3%D0%B0%D1%82%D0%BE%D0%B7%D0%BD%D0%B0%D1%87%D0%BD%D0%B0_%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D1%96%D1%8F" title="Багатозначна функція">багатозначною функцією</a>. Якщо представити <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle w}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>w</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle w}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/88b1e0c8e1be5ebe69d18a8010676fa42d7961e6" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.664ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle w}"> у показниковій формі: <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle w=r\cdot e^{i\varphi }}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>w</mi> <mo>=</mo> <mi>r</mi> <mo>⋅</mo> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mi>φ</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle w=r\cdot e^{i\varphi }}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c7b0c5c3c9210f7245ce6aa1183ace495b6aaa49" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:10.448ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle w=r\cdot e^{i\varphi }}">,</dd></dl> то логарифм <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathrm {Ln} \,w}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">L</mi> <mi mathvariant="normal">n</mi> </mrow> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>w</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {Ln} \,w}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e9d540396e2f8fb0dbfbc95e1e571516f7b8aff" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:4.797ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {Ln} \,w}"> знаходиться за формулою: <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathrm {Ln} \,w=\{\ln r+i\left(\varphi +2\pi k\right),\,k\in \mathbb {Z} \}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">L</mi> <mi mathvariant="normal">n</mi> </mrow> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>w</mi> <mo>=</mo> <mo fence="false" stretchy="false">{</mo> <mi>ln</mi> <mo>⁡</mo> <mi>r</mi> <mo>+</mo> <mi>i</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>φ</mi> <mo>+</mo> <mn>2</mn> <mi>π</mi> <mi>k</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>,</mo> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>k</mi> <mo>∈</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">Z</mi> </mrow> <mo fence="false" stretchy="false">}</mo> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {Ln} \,w=\{\ln r+i\left(\varphi +2\pi k\right),\,k\in \mathbb {Z} \}.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f10d5ec1a862a8a31b319ede3e3a94a7557ca8d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:35.558ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {Ln} \,w=\{\ln r+i\left(\varphi +2\pi k\right),\,k\in \mathbb {Z} \}.}"></dd></dl> Тут <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ln \,r}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>ln</mi> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>r</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ln \,r}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/247d0c2998608e16ff76fa290c232e7b90a1c81a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.762ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \ln \,r}"> — дійсний логарифм, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r=|w|}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>r</mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mi>w</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r=|w|}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c9e11f210320a9c6c52b681e82cde7b1a7389f25" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.105ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle r=|w|}">, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle k}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>k</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle k}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3c9a2c7b599b37105512c5d570edc034056dd40" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.211ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle k}"> — довільне <a href="/wiki/%D0%A6%D1%96%D0%BB%D1%96_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B0" class="mw-redirect" title="Цілі числа">ціле число</a>. Значення, що отримуємо при <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle k=0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>k</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle k=0}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6307c8a99dad7d0bcb712352ae0a748bd99a038b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.472ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle k=0}">, називається головним значенням комплексного натурального логарифму; прийнято брати значенням аргументу у ньому <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varphi }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>φ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varphi }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33ee699558d09cf9d653f6351f9fda0b2f4aaa3e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:1.52ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \varphi }"> в інтервалі <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (-\pi ,\pi ]}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mo>−</mo> <mi>π</mi> <mo>,</mo> <mi>π</mi> <mo stretchy="false">]</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (-\pi ,\pi ]}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7fbb1843079a9df3d3bbcce3249bb2599790de9c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.058ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (-\pi ,\pi ]}">. Відповідна (вже однозначна) функція називається головною гілкою логарифму і позначається <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ln \,z}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>ln</mi> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>z</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ln \,z}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/45c0c9d8434debdc770586d6d61a3059b679fe9e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.802ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \ln \,z}">. Інколи через <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ln \,z}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>ln</mi> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>z</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ln \,z}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/45c0c9d8434debdc770586d6d61a3059b679fe9e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.802ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \ln \,z}"> також позначають значення логарифму, що лежить не на головній гілці. З формули маємо наступні наслідки: <ul><li>Дійсна частина логарифму визначається за формулою:</li></ul> <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \operatorname {Re} (\ln(x+iy))={\frac {1}{2}}\ln(x^{2}+y^{2})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>Re</mi> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>ln</mi> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mi>i</mi> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <mi>ln</mi> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <msup> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \operatorname {Re} (\ln(x+iy))={\frac {1}{2}}\ln(x^{2}+y^{2})}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba5e1e9bf600da2a76c46d55ca2510a94bc7a156" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:31.101ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle \operatorname {Re} (\ln(x+iy))={\frac {1}{2}}\ln(x^{2}+y^{2})}"></dd></dl> <ul><li>Логарифм від'ємного числа знаходиться за формулою:</li></ul> <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ln(-x)=\ln x+i\pi (2k+1)\qquad (x>0,\ k=0,\pm 1,\pm 2\dots )}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>ln</mi> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mo>−</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>ln</mi> <mo>⁡</mo> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mi>i</mi> <mi>π</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>2</mn> <mi>k</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mspace width="2em" /> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>></mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <mtext> </mtext> <mi>k</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <mo>±</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mo>±</mo> <mn>2</mn> <mo>…</mo> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ln(-x)=\ln x+i\pi (2k+1)\qquad (x>0,\ k=0,\pm 1,\pm 2\dots )}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5073589b6dc97b4c35c620abd314ab33e89e15eb" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:57.053ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \ln(-x)=\ln x+i\pi (2k+1)\qquad (x>0,\ k=0,\pm 1,\pm 2\dots )}"></dd></dl> Оскільки комплексні <a href="/wiki/%D0%A2%D1%80%D0%B8%D0%B3%D0%BE%D0%BD%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%87%D0%BD%D1%96_%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D1%96%D1%97" title="Тригонометричні функції">тригонометричні функції</a> пов'язані з <a href="/wiki/%D0%9F%D0%BE%D0%BA%D0%B0%D0%B7%D0%BD%D0%B8%D0%BA%D0%BE%D0%B2%D0%B0_%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D1%96%D1%8F#Експонента" title="Показникова функція">експонентою</a> (<a href="/wiki/%D0%A4%D0%BE%D1%80%D0%BC%D1%83%D0%BB%D0%B0_%D0%95%D0%B9%D0%BB%D0%B5%D1%80%D0%B0" title="Формула Ейлера">формула Ейлера</a>), то комплексний логарифм як функція, що обернена до експоненти, пов'язаний з <a href="/wiki/%D0%9E%D0%B1%D0%B5%D1%80%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D1%96_%D1%82%D1%80%D0%B8%D0%B3%D0%BE%D0%BD%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%87%D0%BD%D1%96_%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D1%96%D1%97" title="Обернені тригонометричні функції">оберненими тригонометричними функціями</a>. Приклад такого зв'язку: <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \arcsin z=-i\ln(iz+{\sqrt {1-z^{2}}})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>arcsin</mi> <mo>⁡</mo> <mi>z</mi> <mo>=</mo> <mo>−</mo> <mi>i</mi> <mi>ln</mi> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>i</mi> <mi>z</mi> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mn>1</mn> <mo>−</mo> <msup> <mi>z</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </msqrt> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \arcsin z=-i\ln(iz+{\sqrt {1-z^{2}}})}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/52e051c2aa66e02f387fc37af7865561ec0538d5" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:30.484ex; height:3.509ex;" alt="{\displaystyle \arcsin z=-i\ln(iz+{\sqrt {1-z^{2}}})}"></dd></dl> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Приклади">Приклади</h3>[<a href="/w/index.php?title=%D0%9B%D0%BE%D0%B3%D0%B0%D1%80%D0%B8%D1%84%D0%BC&veaction=edit&section=9" title="Редагувати розділ: Приклади" class="mw-editsection-visualeditor">ред.</a> | <a href="/w/index.php?title=%D0%9B%D0%BE%D0%B3%D0%B0%D1%80%D0%B8%D1%84%D0%BC&action=edit&section=9" title="Редагувати вихідний код розділу: Приклади">ред. код</a>]</div> Наведемо головне значення логарифму для деяких аргументів: <ul><li><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle ~\ln(-1)=i\pi }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <mi>ln</mi> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>i</mi> <mi>π</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle ~\ln(-1)=i\pi }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d4eb666c78dea40db7d0c2c3f1dc4beaed503f1" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.92ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle ~\ln(-1)=i\pi }"></li> <li><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ln(i)=i{\frac {\pi }{2}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>ln</mi> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>i</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>i</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>π</mi> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ln(i)=i{\frac {\pi }{2}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e98775287397fdd74b45253d637323e9cbbd9002" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:10.62ex; height:4.676ex;" alt="{\displaystyle \ln(i)=i{\frac {\pi }{2}}}"></li> <li><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ln(-i)=-i{\frac {\pi }{2}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>ln</mi> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mo>−</mo> <mi>i</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mo>−</mo> <mi>i</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>π</mi> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ln(-i)=-i{\frac {\pi }{2}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e8a822984ac65c3633d921b91a4b99435519daf" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:14.236ex; height:4.676ex;" alt="{\displaystyle \ln(-i)=-i{\frac {\pi }{2}}}"></li></ul> Потрібно бути обережним при перетвореннях комплексних логарифмів, беручи до уваги, що вони багатозначні, тому з рівності логарифмів будь-яких виразів не виходить рівність цих виразів. Приклад помилкових міркувань: <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle i\pi =\ln(-1)=\ln((-i)^{2})=2\ln(-i)=2(-i\pi /2)=-i\pi }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>i</mi> <mi>π</mi> <mo>=</mo> <mi>ln</mi> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>ln</mi> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mo>−</mo> <mi>i</mi> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mn>2</mn> <mi>ln</mi> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mo>−</mo> <mi>i</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mn>2</mn> <mo stretchy="false">(</mo> <mo>−</mo> <mi>i</mi> <mi>π</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <mn>2</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mo>−</mo> <mi>i</mi> <mi>π</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle i\pi =\ln(-1)=\ln((-i)^{2})=2\ln(-i)=2(-i\pi /2)=-i\pi }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87e34f5e514ec4fad6a2b705eb4dc97cd12c1280" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:54.659ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle i\pi =\ln(-1)=\ln((-i)^{2})=2\ln(-i)=2(-i\pi /2)=-i\pi }"> — неправильно (суперечність).</dd></dl> Відзначимо, що зліва стоїть головне значення логарифма, а справа — значення з нижчої гілки (<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle k=-1}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>k</mi> <mo>=</mo> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle k=-1}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/654e2ed2859d2ddf7f69949359f20f28977f829d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:7.28ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle k=-1}">). Причина помилки — неправильне використання властивості <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \log _{a}{(b^{p})}=p~\log _{a}b}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>log</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>a</mi> </mrow> </msub> <mo>⁡</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">(</mo> <msup> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>p</mi> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mi>p</mi> <mtext> </mtext> <msub> <mi>log</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>a</mi> </mrow> </msub> <mo>⁡</mo> <mi>b</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \log _{a}{(b^{p})}=p~\log _{a}b}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4972567a658198ff3ed2cc84baf97430049f5291" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:19.021ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \log _{a}{(b^{p})}=p~\log _{a}b}">, яка, загалом, справджується у випадку комплексних чисел для всього нескінченного набору значень логарифма, а не тільки для головного значення. <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Аналітичне_продовження">Аналітичне продовження</h3>[<a href="/w/index.php?title=%D0%9B%D0%BE%D0%B3%D0%B0%D1%80%D0%B8%D1%84%D0%BC&veaction=edit&section=10" title="Редагувати розділ: Аналітичне продовження" class="mw-editsection-visualeditor">ред.</a> | <a href="/w/index.php?title=%D0%9B%D0%BE%D0%B3%D0%B0%D1%80%D0%B8%D1%84%D0%BC&action=edit&section=10" title="Редагувати вихідний код розділу: Аналітичне продовження">ред. код</a>]</div> <figure class="mw-default-size" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/%D0%A4%D0%B0%D0%B9%D0%BB:Riemann_surface_log.jpg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/41/Riemann_surface_log.jpg/220px-Riemann_surface_log.jpg" decoding="async" width="220" height="259" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/41/Riemann_surface_log.jpg/330px-Riemann_surface_log.jpg 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/41/Riemann_surface_log.jpg/440px-Riemann_surface_log.jpg 2x" data-file-width="782" data-file-height="919" /></a><figcaption>Рисунок 3. Ріманова поверхня, на якій задається функція <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\text{Ln}}\;z}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtext>Ln</mtext> </mrow> <mspace width="thickmathspace" /> <mi>z</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\text{Ln}}\;z}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db198c769d82187537a3f6f7320ebde446e3cdcb" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:4.479ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle {\text{Ln}}\;z}">.</figcaption></figure> Логарифм комплексного числа також може бути визначений як <a href="/wiki/%D0%90%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D1%96%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%BD%D0%B5_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D0%B4%D0%BE%D0%B2%D0%B6%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F" title="Аналітичне продовження">аналітичне продовження</a> дійсного логарифму на всю <a href="/wiki/%D0%9A%D0%BE%D0%BC%D0%BF%D0%BB%D0%B5%D0%BA%D1%81%D0%BD%D0%B0_%D0%BF%D0%BB%D0%BE%D1%89%D0%B8%D0%BD%D0%B0" title="Комплексна площина">комплексну площину</a>. Нехай крива <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Gamma }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">Γ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Gamma }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4cfde86a3f7ec967af9955d0988592f0693d2b19" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.453ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \Gamma }"> починається в одиниці, не проходить через нуль і не перетинає від'ємну частину дійсної осі. Тоді головне значення логарифму в кінцевій точці <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle w}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>w</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle w}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/88b1e0c8e1be5ebe69d18a8010676fa42d7961e6" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.664ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle w}"> кривої <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Gamma }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">Γ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Gamma }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4cfde86a3f7ec967af9955d0988592f0693d2b19" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.453ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \Gamma }"> можна визначити за формулою: <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ln w=\int \limits _{\Gamma }{dz \over z}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>ln</mi> <mo>⁡</mo> <mi>w</mi> <mo>=</mo> <munder> <mo>∫</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">Γ</mi> </mrow> </munder> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>d</mi> <mi>z</mi> </mrow> <mi>z</mi> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ln w=\int \limits _{\Gamma }{dz \over z}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f44f795092ef65c961ceeaaa8708a42db46308cd" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -4.005ex; width:12.81ex; height:7.509ex;" alt="{\displaystyle \ln w=\int \limits _{\Gamma }{dz \over z}}"></dd></dl> Якщо <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Gamma }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">Γ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Gamma }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4cfde86a3f7ec967af9955d0988592f0693d2b19" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.453ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \Gamma }"> — проста крива (без самоперетину), то для чисел, що лежать на ній, логарифмічні тотожності можна застосовувати без обмежень, наприклад <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ln(wz)=\ln w+\ln z,~\forall z,w\in \Gamma \colon zw\in \Gamma }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>ln</mi> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>w</mi> <mi>z</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>ln</mi> <mo>⁡</mo> <mi>w</mi> <mo>+</mo> <mi>ln</mi> <mo>⁡</mo> <mi>z</mi> <mo>,</mo> <mtext> </mtext> <mi mathvariant="normal">∀</mi> <mi>z</mi> <mo>,</mo> <mi>w</mi> <mo>∈</mo> <mi mathvariant="normal">Γ</mi> <mo>:</mo> <mi>z</mi> <mi>w</mi> <mo>∈</mo> <mi mathvariant="normal">Γ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ln(wz)=\ln w+\ln z,~\forall z,w\in \Gamma \colon zw\in \Gamma }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6cb98c8424cc6ae5a8ce14fdf78fff0920394f4a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:38.911ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \ln(wz)=\ln w+\ln z,~\forall z,w\in \Gamma \colon zw\in \Gamma }"></dd></dl> Якщо дозволити кривій <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Gamma }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">Γ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Gamma }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4cfde86a3f7ec967af9955d0988592f0693d2b19" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.453ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \Gamma }"> перетинати від'ємну частину дійсної осі, то перший такий перетин переносить результат з гілки головного значення на сусідню гілку, а кожен наступний перетин викликає аналогічне зміщення по гілках логарифмічної функції (дивіться рисунок). Із формули аналітичного продовження виходить, що на будь-якій гілці логарифму <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ln 'z={1 \over z}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>ln</mi> <mo>′</mo> </msup> <mo>⁡</mo> <mi>z</mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mi>z</mi> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ln 'z={1 \over z}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c4fcb1e2753eb477a17eaed06881fc2a05a4c37" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:9.196ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle \ln 'z={1 \over z}}"></dd></dl> Для будь-якого околу <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle S}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>S</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4611d85173cd3b508e67077d4a1252c9c05abca2" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.499ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle S}">, що містить точку <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 0}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2aae8864a3c1fec9585261791a809ddec1489950" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.162ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 0}">: <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \oint \limits _{S}{dz \over z}=2\pi i}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <munder> <mo>∮</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>S</mi> </mrow> </munder> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>d</mi> <mi>z</mi> </mrow> <mi>z</mi> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mn>2</mn> <mi>π</mi> <mi>i</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \oint \limits _{S}{dz \over z}=2\pi i}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9205b2364f48184ca3be2af3ec7bd467ad033143" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -4.005ex; width:12.116ex; height:7.509ex;" alt="{\displaystyle \oint \limits _{S}{dz \over z}=2\pi i}"></dd></dl> Інтеграл береться у додатному напрямку (<a href="/wiki/%D0%9F%D1%80%D0%BE%D1%82%D0%B8_%D0%B3%D0%BE%D0%B4%D0%B8%D0%BD%D0%BD%D0%B8%D0%BA%D0%BE%D0%B2%D0%BE%D1%97_%D1%81%D1%82%D1%80%D1%96%D0%BB%D0%BA%D0%B8" class="mw-redirect" title="Проти годинникової стрілки">проти годинникової стрілки</a>). Ця тотожність лежить в основі теорії <a href="/wiki/%D0%9B%D0%B8%D1%88%D0%BE%D0%BA" title="Лишок">лишків</a>. Можна також визначити аналітичне продовження комплексного логарифма за допомогою ряду, що наведений вище (1), і який узагальнений для випадку комплексного аргументу. Однак із вигляду розкладу в ряд маємо наслідок, що він дорівнює нулю в одиниці, тобто ряд відноситься лише до головної гілки <a href="/wiki/%D0%91%D0%B0%D0%B3%D0%B0%D1%82%D0%BE%D0%B7%D0%BD%D0%B0%D1%87%D0%BD%D0%B0_%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D1%96%D1%8F" title="Багатозначна функція">багатозначної функції</a> комплексного логарифма. <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Поверхня_Рімана">Поверхня Рімана</h3>[<a href="/w/index.php?title=%D0%9B%D0%BE%D0%B3%D0%B0%D1%80%D0%B8%D1%84%D0%BC&veaction=edit&section=11" title="Редагувати розділ: Поверхня Рімана" class="mw-editsection-visualeditor">ред.</a> | <a href="/w/index.php?title=%D0%9B%D0%BE%D0%B3%D0%B0%D1%80%D0%B8%D1%84%D0%BC&action=edit&section=11" title="Редагувати вихідний код розділу: Поверхня Рімана">ред. код</a>]</div> Комплексна логарифмічна функція — приклад <a href="/wiki/%D0%A0%D1%96%D0%BC%D0%B0%D0%BD%D0%BE%D0%B2%D0%B0_%D0%BF%D0%BE%D0%B2%D0%B5%D1%80%D1%85%D0%BD%D1%8F" title="Ріманова поверхня">поверхні Рімана</a>; її уявна частина (рисунок 3) складається з нескінченного числа гілок, що закручені у вигляді спіралі. Ця поверхня <a href="/wiki/%D0%9E%D0%B4%D0%BD%D0%BE%D0%B7%D0%B2%27%D1%8F%D0%B7%D0%BD%D0%B0_%D0%BE%D0%B1%D0%BB%D0%B0%D1%81%D1%82%D1%8C" title="Однозв'язна область">однозв'язна</a>; єдиний її нуль (першого порядку) отримуємо при <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle z=1}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>z</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle z=1}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/078535cde78d90bfa1d9fbb2446204593a921d57" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.349ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle z=1}">, особливі точки: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle z=0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>z</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle z=0}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b92bfc06485cc90286474b14a516a68d8bfdd7b3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.349ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle z=0}"> і <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle z=\infty }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>z</mi> <mo>=</mo> <mi mathvariant="normal">∞</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle z=\infty }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce32f3cbf3b98a02776b78bd6991867897112b4a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.51ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle z=\infty }"> (точки розгалуження нескінченного порядку). Ріманова поверхня логарифму є <a href="/wiki/%D0%9D%D0%B0%D0%BA%D1%80%D0%B8%D1%82%D1%82%D1%8F_(%D1%82%D0%BE%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D0%BE%D0%B3%D1%96%D1%8F)" title="Накриття (топологія)">універсальним накриттям</a> для комплексної площини без точки <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 0}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2aae8864a3c1fec9585261791a809ddec1489950" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.162ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 0}">. <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Історія">Історія</h2>[<a href="/w/index.php?title=%D0%9B%D0%BE%D0%B3%D0%B0%D1%80%D0%B8%D1%84%D0%BC&veaction=edit&section=12" title="Редагувати розділ: Історія" class="mw-editsection-visualeditor">ред.</a> | <a href="/w/index.php?title=%D0%9B%D0%BE%D0%B3%D0%B0%D1%80%D0%B8%D1%84%D0%BC&action=edit&section=12" title="Редагувати вихідний код розділу: Історія">ред. код</a>]</div> <div class="noprint" style="padding-left:20px">Докладніше: <a href="/wiki/%D0%86%D1%81%D1%82%D0%BE%D1%80%D1%96%D1%8F_%D0%BB%D0%BE%D0%B3%D0%B0%D1%80%D0%B8%D1%84%D0%BC%D1%96%D0%B2" title="Історія логарифмів">Історія логарифмів</a></div> Ще у <a href="/wiki/VIII_%D1%81%D1%82%D0%BE%D0%BB%D1%96%D1%82%D1%82%D1%8F" title="VIII століття">VIII столітті</a> індійський математик <a href="/w/index.php?title=%D0%92%D1%96%D1%80%D0%B0%D1%81%D0%B5%D0%BD%D0%B0&action=edit&redlink=1" class="new" title="Вірасена (ще не написана)">Вірасена</a> розвинув концепцію ардхакчеди, що означала скільки разів число виду 2n можна поділити на два. Для чисел, які не є цілими степенями двійки ардхакчеда залишалася невизначеною. Він описав також трікачеду та чатуртхачеду — відповідні числа для основ 3 і 4<a href="#cite_note-3">[3]</a><a href="#cite_note-4">[4]</a>. <a href="/wiki/1544" title="1544">1544</a> року <a href="/wiki/%D0%9C%D1%96%D1%85%D0%B0%D0%B5%D0%BB%D1%8C_%D0%A8%D1%82%D0%B8%D1%84%D0%B5%D0%BB%D1%8C" title="Міхаель Штифель">Міхаель Штифель</a> опублікував у <a href="/wiki/%D0%9D%D1%8E%D1%80%D0%BD%D0%B1%D0%B5%D1%80%D0%B3" title="Нюрнберг">Нюрнбергу</a> книгу Arithmetica integra з таблицею<a href="#cite_note-5">[5]</a> цілих чисел і степенів двійки, які їм відповідають<a href="#cite_note-6">[6]</a><a href="#cite_note-7">[7]</a>. Ці ранні дослідження можна вважати попередниками логарифмів. <figure class="mw-default-size mw-halign-right" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/%D0%A4%D0%B0%D0%B9%D0%BB:John_Napier.jpg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/e3/John_Napier.jpg/220px-John_Napier.jpg" decoding="async" width="220" height="278" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/e/e3/John_Napier.jpg 1.5x" data-file-width="317" data-file-height="400" /></a><figcaption>Джон Непер (1550—1617)</figcaption></figure> Метод логарифмування був опублікований Джоном Непером у <a href="/wiki/1614" title="1614">1614</a> році в книзі під назвою Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio (Опис чудового правила логарифмів)<a href="#cite_note-8">[8]</a>. Незалежно від Непера логарифми відкрив <a href="/w/index.php?title=%D0%AE%D1%81%D1%82_%D0%91%D1%83%D1%80%D2%91%D1%96&action=edit&redlink=1" class="new" title="Юст Бурґі (ще не написана)">Юст Бурґі</a>, але його публікація з'явилася на 6 років пізніше<a href="#cite_note-9">[9]</a>. Непер не тільки сформулював правило множення чисел з використанням логарифмів, а й побудував перші логарифмічні таблиці. Методом повторного віднімання Непер обрахував 107(1 − 10−7)L для L від 1 до 100. Для L=100 результат приблизно дорівнює 0.99999 = 1 − 10−5. Далі він порахував добутки цих чисел при множенні на 107(1 − 10−5)L для L від 1 до 50, і, аналогічно, добутки цих чисел при множенні на 0.9995 ≈ (1 − 10−5)20 й 0.99 ≈ 0.99520. Обчислення тривали 20 років. Як наслідок він отримав число L, яке є розв'язком рівняння <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N=10^{7}{(1-10^{-7})}^{L}.\,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>N</mi> <mo>=</mo> <msup> <mn>10</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>7</mn> </mrow> </msup> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>1</mn> <mo>−</mo> <msup> <mn>10</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mn>7</mn> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>L</mi> </mrow> </msup> <mo>.</mo> <mspace width="thinmathspace" /> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N=10^{7}{(1-10^{-7})}^{L}.\,}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2872022674370280b6f91cba53a6a4ec59f167de" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:21.397ex; height:3.676ex;" alt="{\displaystyle N=10^{7}{(1-10^{-7})}^{L}.\,}"></dd></dl> для чисел від 5 до 10 000 000. Спочатку Непер назвав L штучним числом, але потім запровадив новий термін — логарифм. У сучасній нотації з використанням натуральних логарифмів це співвідношення має вигляд<a href="#cite_note-10">[10]</a> <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle L=\log _{(1-10^{-7})}\!\left({\frac {N}{10^{7}}}\right)\approx 10^{7}\log _{\frac {1}{e}}\!\left({\frac {N}{10^{7}}}\right)=-10^{7}\log _{e}\!\left({\frac {N}{10^{7}}}\right),}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>L</mi> <mo>=</mo> <msub> <mi>log</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>1</mn> <mo>−</mo> <msup> <mn>10</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mn>7</mn> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </msub> <mspace width="negativethinmathspace" /> <mrow> <mo>(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>N</mi> <msup> <mn>10</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>7</mn> </mrow> </msup> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>≈</mo> <msup> <mn>10</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>7</mn> </mrow> </msup> <msub> <mi>log</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mi>e</mi> </mfrac> </mrow> </msub> <mspace width="negativethinmathspace" /> <mrow> <mo>(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>N</mi> <msup> <mn>10</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>7</mn> </mrow> </msup> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mo>−</mo> <msup> <mn>10</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>7</mn> </mrow> </msup> <msub> <mi>log</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>e</mi> </mrow> </msub> <mspace width="negativethinmathspace" /> <mrow> <mo>(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>N</mi> <msup> <mn>10</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>7</mn> </mrow> </msup> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle L=\log _{(1-10^{-7})}\!\left({\frac {N}{10^{7}}}\right)\approx 10^{7}\log _{\frac {1}{e}}\!\left({\frac {N}{10^{7}}}\right)=-10^{7}\log _{e}\!\left({\frac {N}{10^{7}}}\right),}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f5df6ec665d8c2d333d6746989f601a470a4b6e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:62.937ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle L=\log _{(1-10^{-7})}\!\left({\frac {N}{10^{7}}}\right)\approx 10^{7}\log _{\frac {1}{e}}\!\left({\frac {N}{10^{7}}}\right)=-10^{7}\log _{e}\!\left({\frac {N}{10^{7}}}\right),}"></dd></dl> де наближення відповідає тому, що <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {(1-10^{-7})}^{10^{7}}\approx {\frac {1}{e}}.\,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>1</mn> <mo>−</mo> <msup> <mn>10</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mn>7</mn> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msup> <mn>10</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>7</mn> </mrow> </msup> </mrow> </msup> <mo>≈</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mi>e</mi> </mfrac> </mrow> <mo>.</mo> <mspace width="thinmathspace" /> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {(1-10^{-7})}^{10^{7}}\approx {\frac {1}{e}}.\,}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81ffd4cf1727728f33005800475d9fe03dca447d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:19.309ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle {(1-10^{-7})}^{10^{7}}\approx {\frac {1}{e}}.\,}"></dd></dl> з дуже малою похибкою. Дуже швидко винахід Непера здобув широке визнання. Роботи італійця <a href="/wiki/%D0%91%D0%BE%D0%BD%D0%B0%D0%B2%D0%B5%D0%BD%D1%82%D1%83%D1%80%D0%B0_%D0%9A%D0%B0%D0%B2%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D1%94%D1%80%D1%96" title="Бонавентура Кавальєрі">Бонавентури Кавальєрі</a> та німця <a href="/wiki/%D0%99%D0%BE%D0%B3%D0%B0%D0%BD%D0%BD_%D0%9A%D0%B5%D0%BF%D0%BB%D0%B5%D1%80" title="Йоганн Кеплер">Йоганна Кеплера</a> розвинули і вдосконалили концепцію<a href="#cite_note-11">[11]</a>. <a href="/wiki/1620" title="1620">1620</a> року <a href="/w/index.php?title=%D0%95%D0%B4%D0%BC%D1%83%D0%BD%D0%B4_%D0%92%D1%96%D0%BD%D2%91%D0%B5%D0%B9%D1%82&action=edit&redlink=1" class="new" title="Едмунд Вінґейт (ще не написана)">Едмунд Вінґейт</a> збудував першу <a href="/wiki/%D0%9B%D0%BE%D0%B3%D0%B0%D1%80%D0%B8%D1%84%D0%BC%D1%96%D1%87%D0%BD%D0%B0_%D0%BB%D1%96%D0%BD%D1%96%D0%B9%D0%BA%D0%B0" title="Логарифмічна лінійка">логарифмічну лінійку</a>. <figure class="mw-default-size mw-halign-right" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/%D0%A4%D0%B0%D0%B9%D0%BB:1_over_x_integral.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f2/1_over_x_integral.svg/220px-1_over_x_integral.svg.png" decoding="async" width="220" height="212" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f2/1_over_x_integral.svg/330px-1_over_x_integral.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f2/1_over_x_integral.svg/440px-1_over_x_integral.svg.png 2x" data-file-width="424" data-file-height="408" /></a><figcaption>Гіпербола y = 1/x (червона крива) і площа від x = 1 to 6 (помаранчева).</figcaption></figure> <a href="/wiki/1647" title="1647">1647</a> року <a href="/wiki/%D0%93%D1%80%D0%B5%D0%B3%D1%83%D0%B0%D1%80_%D0%B4%D0%B5_%D0%A1%D0%B5%D0%BD%D1%82-%D0%92%D1%96%D0%BD%D1%81%D0%B5%D0%BD%D1%82" title="Грегуар де Сент-Вінсент">Грегуар де Сент-Вінсент</a> отримав зв'язок між логарифмом та <a href="/wiki/%D0%9A%D0%B2%D0%B0%D0%B4%D1%80%D0%B0%D1%82%D1%83%D1%80%D0%B0_(%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0)" title="Квадратура (математика)">квадратурою</a> <a href="/wiki/%D0%93%D1%96%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B1%D0%BE%D0%BB%D0%B0_(%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0)" title="Гіпербола (математика)">гіперболи</a>, зауваживши, що площі під графіком функції y = 1/x між 1 та числами a та b задовольняють співвідношенню: <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle S(ab)=S(a)+S(b)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>S</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mi>b</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>S</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>+</mo> <mi>S</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>b</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S(ab)=S(a)+S(b)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ea991b4531f86e329486b420295415ad609920a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:20.319ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle S(ab)=S(a)+S(b)}">.</dd></dl> Натуральні логарифми були вперше описані <a href="/w/index.php?title=%D0%9D%D1%96%D0%BA%D0%BE%D0%BB%D0%B0_%D0%9C%D0%B5%D1%80%D0%BA%D0%B0%D1%80&action=edit&redlink=1" class="new" title="Нікола Меркар (ще не написана)">Нікола Меркаром</a> у праці Logarithmotechnia 1668 року<a href="#cite_note-12">[12]</a>, хоча ще у 1619 вчитель математики Джон Спейделл складав таблицю натуральних логарифмів<a href="#cite_note-13">[13]</a>. Приблизно <a href="/wiki/1730" title="1730">1730</a> року <a href="/wiki/%D0%9B%D0%B5%D0%BE%D0%BD%D0%B0%D1%80%D0%B4_%D0%95%D0%B9%D0%BB%D0%B5%D1%80" title="Леонард Ейлер">Леонард Ейлер</a> дав означення експоненти та натурального логарифма як <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle e^{x}=\lim _{n\rightarrow \infty }(1+x/n)^{n},}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <munder> <mo movablelimits="true" form="prefix">lim</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> <mo stretchy="false">→</mo> <mi mathvariant="normal">∞</mi> </mrow> </munder> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <mi>n</mi> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle e^{x}=\lim _{n\rightarrow \infty }(1+x/n)^{n},}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f81b24a392b8b8b6018b2e41bb7fe74c6e47d2c8" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:21.191ex; height:3.843ex;" alt="{\displaystyle e^{x}=\lim _{n\rightarrow \infty }(1+x/n)^{n},}"></dd> <dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ln(x)=\lim _{n\rightarrow \infty }n(x^{1/n}-1).}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>ln</mi> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <munder> <mo movablelimits="true" form="prefix">lim</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> <mo stretchy="false">→</mo> <mi mathvariant="normal">∞</mi> </mrow> </munder> <mi>n</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ln(x)=\lim _{n\rightarrow \infty }n(x^{1/n}-1).}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06ef6313647b7babdf766ce20554e2d12aeb6134" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:24.882ex; height:4.343ex;" alt="{\displaystyle \ln(x)=\lim _{n\rightarrow \infty }n(x^{1/n}-1).}"></dd></dl> Ейлер показав, що ці функції обернені одна одній<a href="#cite_note-14">[14]</a><a href="#cite_note-15">[15]</a><a href="#cite_note-16">[16]</a>. <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Деякі_практичні_застосування">Деякі практичні застосування</h2>[<a href="/w/index.php?title=%D0%9B%D0%BE%D0%B3%D0%B0%D1%80%D0%B8%D1%84%D0%BC&veaction=edit&section=13" title="Редагувати розділ: Деякі практичні застосування" class="mw-editsection-visualeditor">ред.</a> | <a href="/w/index.php?title=%D0%9B%D0%BE%D0%B3%D0%B0%D1%80%D0%B8%D1%84%D0%BC&action=edit&section=13" title="Редагувати вихідний код розділу: Деякі практичні застосування">ред. код</a>]</div> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Логарифмічна_лінійка"><a href="/wiki/%D0%9B%D0%BE%D0%B3%D0%B0%D1%80%D0%B8%D1%84%D0%BC%D1%96%D1%87%D0%BD%D0%B0_%D0%BB%D1%96%D0%BD%D1%96%D0%B9%D0%BA%D0%B0" title="Логарифмічна лінійка">Логарифмічна лінійка</a></h3>[<a href="/w/index.php?title=%D0%9B%D0%BE%D0%B3%D0%B0%D1%80%D0%B8%D1%84%D0%BC&veaction=edit&section=14" title="Редагувати розділ: Логарифмічна лінійка" class="mw-editsection-visualeditor">ред.</a> | <a href="/w/index.php?title=%D0%9B%D0%BE%D0%B3%D0%B0%D1%80%D0%B8%D1%84%D0%BC&action=edit&section=14" title="Редагувати вихідний код розділу: Логарифмічна лінійка">ред. код</a>]</div> <figure typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/%D0%A4%D0%B0%D0%B9%D0%BB:Sliderule_2005.jpg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/27/Sliderule_2005.jpg/400px-Sliderule_2005.jpg" decoding="async" width="400" height="116" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/27/Sliderule_2005.jpg/600px-Sliderule_2005.jpg 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/27/Sliderule_2005.jpg/800px-Sliderule_2005.jpg 2x" data-file-width="1600" data-file-height="462" /></a><figcaption>Типова логарифмічна лінійка. Показано обчислення добутку 1,3 × 2 = 2,6</figcaption></figure> <figure typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/%D0%A4%D0%B0%D0%B9%D0%BB:Csl.JPG" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/7e/Csl.JPG/300px-Csl.JPG" decoding="async" width="300" height="273" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/7e/Csl.JPG/450px-Csl.JPG 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/7e/Csl.JPG/600px-Csl.JPG 2x" data-file-width="633" data-file-height="575" /></a><figcaption>Кругла логарифмічна лінійка.</figcaption></figure> Логарифмі́чна лінійка — <a href="/wiki/%D0%90%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D0%BE%D0%B3%D0%BE%D0%B2%D0%B0_%D0%BE%D0%B1%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D1%8E%D0%B2%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0_%D0%BC%D0%B0%D1%88%D0%B8%D0%BD%D0%B0" title="Аналогова обчислювальна машина">аналоговий обчислювальний пристрій</a>, що дозволяє виконувати кілька <a href="/wiki/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0" title="Математика">математичних</a> операцій, основними з яких є <a href="/wiki/%D0%9C%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F" title="Множення">множення</a> і <a href="/wiki/%D0%94%D1%96%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F" title="Ділення">ділення</a> чисел. Найпростіша логарифмічна лінійка складається з двох <a href="/wiki/%D0%A8%D0%BA%D0%B0%D0%BB%D0%B0" title="Шкала">шкал</a> у логарифмічному <a href="/wiki/%D0%9C%D0%B0%D1%81%D1%88%D1%82%D0%B0%D0%B1" title="Масштаб">масштабі</a>, що здатні пересуватися одна відносно одної. Складніші лінійки містять додаткові шкали і прозорий повзунок з кількома поділками. На зворотній стороні лінійки можуть знаходитися різні довідкові матеріали. За допомогою додаткових шкал можна здійснювати <a href="/wiki/%D0%9F%D1%96%D0%B4%D0%BD%D0%B5%D1%81%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F_%D0%B4%D0%BE_%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BF%D0%B5%D0%BD%D1%8F" title="Піднесення до степеня">піднесення до степеня</a> (частіше всього до квадрата і куба), обчислення логарифмів, <a href="/wiki/%D0%A2%D1%80%D0%B8%D0%B3%D0%BE%D0%BD%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%87%D0%BD%D1%96_%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D1%96%D1%97" title="Тригонометричні функції">тригонометричних функцій</a> та обернених операцій (добування <a href="/wiki/%D0%9A%D0%B2%D0%B0%D0%B4%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%BD%D0%B8%D0%B9_%D0%BA%D0%BE%D1%80%D1%96%D0%BD%D1%8C" title="Квадратний корінь">квадратних</a> і <a href="/wiki/%D0%9A%D1%83%D0%B1%D1%96%D1%87%D0%BD%D0%B8%D0%B9_%D0%BA%D0%BE%D1%80%D1%96%D0%BD%D1%8C" title="Кубічний корінь">кубічних</a> коренів, обчислення експоненти та обернених тригонометричних функцій), перетворення величин між різними системами (наприклад, <a href="/wiki/%D0%92%D0%B0%D1%82" title="Ват">кіловатів</a> на <a href="/wiki/%D0%9A%D1%96%D0%BD%D1%81%D1%8C%D0%BA%D0%B0_%D1%81%D0%B8%D0%BB%D0%B0" title="Кінська сила">кінські сили</a> чи навпаки) та деякі інші операції. <div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Принцип_дії">Принцип дії</h4>[<a href="/w/index.php?title=%D0%9B%D0%BE%D0%B3%D0%B0%D1%80%D0%B8%D1%84%D0%BC&veaction=edit&section=15" title="Редагувати розділ: Принцип дії" class="mw-editsection-visualeditor">ред.</a> | <a href="/w/index.php?title=%D0%9B%D0%BE%D0%B3%D0%B0%D1%80%D0%B8%D1%84%D0%BC&action=edit&section=15" title="Редагувати вихідний код розділу: Принцип дії">ред. код</a>]</div> Основний принцип дії логарифмічної лінійки оснований на тому, що множення і ділення чисел замінюється відповідно <a href="/wiki/%D0%94%D0%BE%D0%B4%D0%B0%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8F" title="Додавання">додаванням</a> і <a href="/wiki/%D0%92%D1%96%D0%B4%D0%BD%D1%96%D0%BC%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8F" title="Віднімання">відніманням</a> їх логарифмів: <dl><dd>lg (xy) = lg x + lg y,</dd> <dd>lg (x/y) = lg x − lg y.</dd></dl> Для того щоб обчислити добуток двох чисел, початок (чи кінець) рухомої шкали суміщують із першим множником на нерухомій шкалі, а на рухомій шкалі відшукують другий множник. Напроти нього на нерухомій шкалі знаходиться результат множення чисел. Щоб розділити числа, на рухомій шкалі знаходять дільник і суміщують його з діленим на нерухомій шкалі. Початок (або кінець) рухомої шкали вказує на результат. За допомогою логарифмічної лінійки знаходять лише <a href="/wiki/%D0%9C%D0%B0%D0%BD%D1%82%D0%B8%D1%81%D0%B0" class="mw-disambig" title="Мантиса">мантису</a> числа, його порядок обчислюється усно. Точність обчислення звичайних логарифмічних лінійок — два-три десяткових знаки. Для виконання інших операцій застосовують повзунок та додаткові шкали. Слід відзначити, що, незважаючи на простоту, на логарифмічній лінійці можна виконувати досить складні розрахунки. <div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Історія_2">Історія</h4>[<a href="/w/index.php?title=%D0%9B%D0%BE%D0%B3%D0%B0%D1%80%D0%B8%D1%84%D0%BC&veaction=edit&section=16" title="Редагувати розділ: Історія" class="mw-editsection-visualeditor">ред.</a> | <a href="/w/index.php?title=%D0%9B%D0%BE%D0%B3%D0%B0%D1%80%D0%B8%D1%84%D0%BC&action=edit&section=16" title="Редагувати вихідний код розділу: Історія">ред. код</a>]</div> Перший варіант лінійки розробив англійський математик-аматор <a href="/wiki/%D0%92%D1%96%D0%BB%D1%8C%D1%8F%D0%BC_%D0%9E%D1%82%D1%80%D0%B5%D0%B4" title="Вільям Отред">Вільям Отред</a> <a href="/wiki/1622" title="1622">1622</a> року. Раніше випускалися посібники з їх використання досить великого обсягу<a href="#cite_note-17">[17]</a><a href="#cite_note-18">[18]</a>. В <a href="/wiki/%D0%A1%D0%BE%D1%8E%D0%B7_%D0%A0%D0%B0%D0%B4%D1%8F%D0%BD%D1%81%D1%8C%D0%BA%D0%B8%D1%85_%D0%A1%D0%BE%D1%86%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%96%D1%81%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%BD%D0%B8%D1%85_%D0%A0%D0%B5%D1%81%D0%BF%D1%83%D0%B1%D0%BB%D1%96%D0%BA" title="Союз Радянських Соціалістичних Республік">СРСР</a> логарифмічні лінійки широко застосовувалися для виконання <a href="/wiki/%D0%86%D0%BD%D0%B6%D0%B5%D0%BD%D0%B5%D1%80%D1%96%D1%8F" title="Інженерія">інженерних</a> розрахунків приблизно до початку 80-х років <a href="/wiki/XX_%D1%81%D1%82%D0%BE%D0%BB%D1%96%D1%82%D1%82%D1%8F" title="XX століття">XX століття</a>, коли їх було витіснено <a href="/wiki/%D0%9A%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BA%D1%83%D0%BB%D1%8F%D1%82%D0%BE%D1%80" title="Калькулятор">калькуляторами</a>. <figure class="mw-default-size" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/%D0%A4%D0%B0%D0%B9%D0%BB:Breitling_Navitimer_chronograph_watch.jpg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c9/Breitling_Navitimer_chronograph_watch.jpg/220px-Breitling_Navitimer_chronograph_watch.jpg" decoding="async" width="220" height="220" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c9/Breitling_Navitimer_chronograph_watch.jpg/330px-Breitling_Navitimer_chronograph_watch.jpg 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c9/Breitling_Navitimer_chronograph_watch.jpg/440px-Breitling_Navitimer_chronograph_watch.jpg 2x" data-file-width="1600" data-file-height="1600" /></a><figcaption>Годинник Breitling Navitimer</figcaption></figure> Відродження логарифмічної лінійки відбулося на початку XXI сторіччя внаслідок попиту на наручні <a href="/wiki/%D0%93%D0%BE%D0%B4%D0%B8%D0%BD%D0%BD%D0%B8%D0%BA" title="Годинник">годинники</a> та <a href="/wiki/%D0%A5%D1%80%D0%BE%D0%BD%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80" title="Хронометр">хронометри</a> із вбудованим простим обчислювальним пристроєм. Його виконано у вигляді двох логарифмічних шкал навколо циферблату годинника, одна з яких може обертатися (базель). За примхою виробників такі пристрої зазвичай називають «навігаційна лінійка». За допомогою такого пристрою можна виконувати переведення <a href="/wiki/%D0%9C%D0%B8%D0%BB%D1%8F" title="Миля">миль</a> на <a href="/wiki/%D0%9A%D1%96%D0%BB%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80" title="Кілометр">кілометри</a>, <a href="/wiki/%D0%9B%D1%96%D1%82%D1%80" title="Літр">літрів</a> на <a href="/wiki/%D0%93%D0%B0%D0%BB%D0%BE%D0%BD" title="Галон">галони</a>, метри за секунду в кілометри за годину тощо<a href="#cite_note-19">[19]</a>. На відміну від калькулятора одразу будується таблиця відповідності величин. Прикладом таких годинників можна вважати <a href="/wiki/Breitling" title="Breitling">Breitling</a> Navitimer, CITIZEN (моделі BJ7010-59E, JQ8005-56E, JR3130-55E), <a href="/wiki/Orient_Watch" title="Orient Watch">Orient</a> (моделі OCEM58002DV, OCTD09001B, OCTD09003D) та деякі інші. <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Логарифмічна_спіраль"><a href="/wiki/%D0%9B%D0%BE%D0%B3%D0%B0%D1%80%D0%B8%D1%84%D0%BC%D1%96%D1%87%D0%BD%D0%B0_%D1%81%D0%BF%D1%96%D1%80%D0%B0%D0%BB%D1%8C" title="Логарифмічна спіраль">Логарифмічна спіраль</a></h3>[<a href="/w/index.php?title=%D0%9B%D0%BE%D0%B3%D0%B0%D1%80%D0%B8%D1%84%D0%BC&veaction=edit&section=17" title="Редагувати розділ: Логарифмічна спіраль" class="mw-editsection-visualeditor">ред.</a> | <a href="/w/index.php?title=%D0%9B%D0%BE%D0%B3%D0%B0%D1%80%D0%B8%D1%84%D0%BC&action=edit&section=17" title="Редагувати вихідний код розділу: Логарифмічна спіраль">ред. код</a>]</div> <figure class="mw-halign-right" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/%D0%A4%D0%B0%D0%B9%D0%BB:LogSpiral01.gif" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/uk/thumb/4/45/LogSpiral01.gif/200px-LogSpiral01.gif" decoding="async" width="200" height="200" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/uk/thumb/4/45/LogSpiral01.gif/300px-LogSpiral01.gif 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/uk/thumb/4/45/LogSpiral01.gif/400px-LogSpiral01.gif 2x" data-file-width="567" data-file-height="567" /></a><figcaption>Побудова логарифмічної спіралі. Анімація.</figcaption></figure> <figure class="mw-halign-right" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/%D0%A4%D0%B0%D0%B9%D0%BB:Logarithmic_spiral.png" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/44/Logarithmic_spiral.png/200px-Logarithmic_spiral.png" decoding="async" width="200" height="150" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/44/Logarithmic_spiral.png/300px-Logarithmic_spiral.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/44/Logarithmic_spiral.png/400px-Logarithmic_spiral.png 2x" data-file-width="600" data-file-height="450" /></a><figcaption>Логарифмічна спіраль (нахил 10°).</figcaption></figure> Логарифмічна спіраль або ізогональна спіраль — особливий вид <a href="/wiki/%D0%A1%D0%BF%D1%96%D1%80%D0%B0%D0%BB%D1%8C" title="Спіраль">спіралі</a>, що часто зустрічається в природі. Логарифмічна спіраль була вперше описана <a href="/wiki/%D0%A0%D0%B5%D0%BD%D0%B5_%D0%94%D0%B5%D0%BA%D0%B0%D1%80%D1%82" title="Рене Декарт">Декартом</a> і пізніше інтенсивно досліджена <a href="/wiki/%D0%AF%D0%BA%D0%BE%D0%B1_%D0%91%D0%B5%D1%80%D0%BD%D1%83%D0%BB%D0%BB%D1%96" title="Якоб Бернуллі">Бернуллі</a>, який називав її Spira mirabilis — «дивовижна спіраль». Власне термін «логарифмічна спіраль» (<a href="/wiki/%D0%A4%D1%80%D0%B0%D0%BD%D1%86%D1%83%D0%B7%D1%8C%D0%BA%D0%B0_%D0%BC%D0%BE%D0%B2%D0%B0" title="Французька мова">фр.</a> spirale logarithmique) першим вжив <a href="/wiki/%D0%9F%27%D1%94%D1%80_%D0%92%D0%B0%D1%80%D1%96%D0%BD%D1%8C%D0%BE%D0%BD" title="П'єр Варіньон">П'єр Варіньон</a><a href="#cite_note-20">[20]</a> <div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Рівняння">Рівняння</h4>[<a href="/w/index.php?title=%D0%9B%D0%BE%D0%B3%D0%B0%D1%80%D0%B8%D1%84%D0%BC&veaction=edit&section=18" title="Редагувати розділ: Рівняння" class="mw-editsection-visualeditor">ред.</a> | <a href="/w/index.php?title=%D0%9B%D0%BE%D0%B3%D0%B0%D1%80%D0%B8%D1%84%D0%BC&action=edit&section=18" title="Редагувати вихідний код розділу: Рівняння">ред. код</a>]</div> У <a href="/wiki/%D0%9F%D0%BE%D0%BB%D1%8F%D1%80%D0%BD%D0%B0_%D1%81%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%BA%D0%BE%D0%BE%D1%80%D0%B4%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D1%82" title="Полярна система координат">полярних координатах</a> рівняння кривої може бути записано як <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r=ae^{b\theta }\,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>r</mi> <mo>=</mo> <mi>a</mi> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>b</mi> <mi>θ</mi> </mrow> </msup> <mspace width="thinmathspace" /> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r=ae^{b\theta }\,}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c9adf3389cc8b80e5b835084045a129aa5c3ce1d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:8.556ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle r=ae^{b\theta }\,}"></dd></dl> або <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \vartheta ={\frac {1}{b}}\ln(r/a),}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>ϑ</mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mi>b</mi> </mfrac> </mrow> <mi>ln</mi> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>r</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <mi>a</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \vartheta ={\frac {1}{b}}\ln(r/a),}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b17b5dfc01455bca20c1eb08d12b7c16fc77fdd" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:14.694ex; height:5.343ex;" alt="{\displaystyle \vartheta ={\frac {1}{b}}\ln(r/a),}"></dd></dl> що пояснює назву «логарифмічна». У параметричній формі його може бути записано як <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x(t)=r\cos t=ae^{bt}\cos t\,,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>r</mi> <mi>cos</mi> <mo>⁡</mo> <mi>t</mi> <mo>=</mo> <mi>a</mi> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>b</mi> <mi>t</mi> </mrow> </msup> <mi>cos</mi> <mo>⁡</mo> <mi>t</mi> <mspace width="thinmathspace" /> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x(t)=r\cos t=ae^{bt}\cos t\,,}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ab207fc80f8c5f734f94eefb2c6796544f6c95a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:25.553ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle x(t)=r\cos t=ae^{bt}\cos t\,,}"></dd> <dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y(t)=r\sin t=ae^{bt}\sin t\,,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>r</mi> <mi>sin</mi> <mo>⁡</mo> <mi>t</mi> <mo>=</mo> <mi>a</mi> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>b</mi> <mi>t</mi> </mrow> </msup> <mi>sin</mi> <mo>⁡</mo> <mi>t</mi> <mspace width="thinmathspace" /> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y(t)=r\sin t=ae^{bt}\sin t\,,}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bfeb4cd389292e45a2cc7f187493aeb04b9f80b2" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:24.867ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle y(t)=r\sin t=ae^{bt}\sin t\,,}"></dd></dl> де a, b — <a href="/wiki/%D0%94%D1%96%D0%B9%D1%81%D0%BD%D0%B5_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE" title="Дійсне число">дійсні числа</a>. <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Властивості_2">Властивості</h3>[<a href="/w/index.php?title=%D0%9B%D0%BE%D0%B3%D0%B0%D1%80%D0%B8%D1%84%D0%BC&veaction=edit&section=19" title="Редагувати розділ: Властивості" class="mw-editsection-visualeditor">ред.</a> | <a href="/w/index.php?title=%D0%9B%D0%BE%D0%B3%D0%B0%D1%80%D0%B8%D1%84%D0%BC&action=edit&section=19" title="Редагувати вихідний код розділу: Властивості">ред. код</a>]</div> <ul><li>Кут, що утворюється <a href="/wiki/%D0%94%D0%BE%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%BD%D0%B0" title="Дотична">дотичною</a> в довільній точці логарифмічної спіралі з <a href="/wiki/%D0%A0%D0%B0%D0%B4%D1%96%D1%83%D1%81-%D0%B2%D0%B5%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80" title="Радіус-вектор">радіус-вектором</a> точки <a href="/wiki/%D0%94%D0%BE%D1%82%D0%B8%D0%BA" title="Дотик">дотику</a>, постійний і залежить лише від параметра <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>b</mi> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aef051eb30c89e5493d672f6479566c673b0890a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.644ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle b.}"> <ul><li>У термінах <a href="/wiki/%D0%94%D0%B8%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BD%D1%86%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0_%D0%B3%D0%B5%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D1%96%D1%8F" title="Диференціальна геометрія">диференціальної геометрії</a> це може бути записано як <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {\langle \mathbf {r} (\theta ),\mathbf {r} '(\theta )\rangle }{\|\mathbf {r} (\theta )\|\|\mathbf {r} '(\theta )\|}}={\frac {b}{\sqrt {1+b^{2}}}}=\cos \varphi .}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mo fence="false" stretchy="false">⟨</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">r</mi> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>θ</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">r</mi> </mrow> <mo>′</mo> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>θ</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo fence="false" stretchy="false">⟩</mo> </mrow> <mrow> <mo fence="false" stretchy="false">‖</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">r</mi> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>θ</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo fence="false" stretchy="false">‖</mo> <mo fence="false" stretchy="false">‖</mo> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">r</mi> </mrow> <mo>′</mo> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>θ</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo fence="false" stretchy="false">‖</mo> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>b</mi> <msqrt> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <msup> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </msqrt> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mi>cos</mi> <mo>⁡</mo> <mi>φ</mi> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {\langle \mathbf {r} (\theta ),\mathbf {r} '(\theta )\rangle }{\|\mathbf {r} (\theta )\|\|\mathbf {r} '(\theta )\|}}={\frac {b}{\sqrt {1+b^{2}}}}=\cos \varphi .}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc7515078b40827dcc04b5cb0be56134f4b4fdcf" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:35.251ex; height:7.009ex;" alt="{\displaystyle {\frac {\langle \mathbf {r} (\theta ),\mathbf {r} '(\theta )\rangle }{\|\mathbf {r} (\theta )\|\|\mathbf {r} '(\theta )\|}}={\frac {b}{\sqrt {1+b^{2}}}}=\cos \varphi .}"></dd></dl></li></ul></li> <li><a href="/wiki/%D0%9F%D0%BE%D1%85%D1%96%D0%B4%D0%BD%D0%B0" title="Похідна">Похідна функції</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {r} '(\vartheta )}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">r</mi> </mrow> <mo>′</mo> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>ϑ</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {r} '(\vartheta )}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9dc7c03bf4476123741974745b0caee9a05da815" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.97ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {r} '(\vartheta )}"> пропорційна параметру b. Іншими словами, він визначає, наскільки щільно і в якому напрямку закручується спіраль. У граничному випадку, коли <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b=0\;(\varphi =\pi /2)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>b</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> <mspace width="thickmathspace" /> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>φ</mi> <mo>=</mo> <mi>π</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <mn>2</mn> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b=0\;(\varphi =\pi /2)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5274c32cbc52f4b51bbd979f721fae2a864a1609" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:15.988ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle b=0\;(\varphi =\pi /2)}"> спіраль вироджується в <a href="/wiki/%D0%9A%D0%BE%D0%BB%D0%BE" title="Коло">коло</a> радіусу a. Навпаки, коли b прямує до <a href="/wiki/%D0%9D%D0%B5%D1%81%D0%BA%D1%96%D0%BD%D1%87%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%96%D1%81%D1%82%D1%8C" title="Нескінченність">нескінченності</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (\varphi \rightarrow 0),}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>φ</mi> <mo stretchy="false">→</mo> <mn>0</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (\varphi \rightarrow 0),}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd2e525213a2e83dc491e4a4b1252be641deb322" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.753ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (\varphi \rightarrow 0),}"> спіраль наближається до прямої лінії. Кут, що доповнює <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varphi }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>φ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varphi }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33ee699558d09cf9d653f6351f9fda0b2f4aaa3e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:1.52ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \varphi }"> до 90 °, називають нахилом спіралі.</li> <li>Розмір витків логарифмічної спіралі поступово збільшується, але їх форма залишається незмінною. Можливо, внаслідок цієї властивості, логарифмічна спіраль з'являється в багатьох зростаючих формах, подібних до <a href="/wiki/%D0%A7%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BF%D0%B0%D1%88%D0%BA%D0%B0" title="Черепашка">мушлель</a> <a href="/wiki/%D0%9C%D0%BE%D0%BB%D1%8E%D1%81%D0%BA%D0%B8" title="Молюски">молюсків</a> і квіток <a href="/wiki/%D0%A1%D0%BE%D0%BD%D1%8F%D1%88%D0%BD%D0%B8%D0%BA" title="Соняшник">соняшників</a>.</li></ul> <ul class="gallery mw-gallery-traditional"> <li class="gallerybox" style="width: 155px"> <div class="thumb" style="width: 150px; height: 150px;"><a href="/wiki/%D0%A4%D0%B0%D0%B9%D0%BB:NautilusCutawayLogarithmicSpiral.jpg" class="mw-file-description" title="Мушля молюска Наутілуса за формою близька до логарифмічної спіралі"><img alt="Мушля молюска Наутілуса за формою близька до логарифмічної спіралі" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/08/NautilusCutawayLogarithmicSpiral.jpg/120px-NautilusCutawayLogarithmicSpiral.jpg" decoding="async" width="120" height="91" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/08/NautilusCutawayLogarithmicSpiral.jpg/180px-NautilusCutawayLogarithmicSpiral.jpg 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/08/NautilusCutawayLogarithmicSpiral.jpg/240px-NautilusCutawayLogarithmicSpiral.jpg 2x" data-file-width="2240" data-file-height="1693" /></a></div> <div class="gallerytext"> Мушля молюска Наутілуса за формою близька до логарифмічної спіралі</div> </li> <li class="gallerybox" style="width: 155px"> <div class="thumb" style="width: 150px; height: 150px;"><a href="/wiki/%D0%A4%D0%B0%D0%B9%D0%BB:Low_pressure_system_over_Iceland.jpg" class="mw-file-description" title="Область низького тиску над Ісландією"><img alt="Область низького тиску над Ісландією" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/bc/Low_pressure_system_over_Iceland.jpg/120px-Low_pressure_system_over_Iceland.jpg" decoding="async" width="120" height="104" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/bc/Low_pressure_system_over_Iceland.jpg/180px-Low_pressure_system_over_Iceland.jpg 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/bc/Low_pressure_system_over_Iceland.jpg/240px-Low_pressure_system_over_Iceland.jpg 2x" data-file-width="6000" data-file-height="5200" /></a></div> <div class="gallerytext"> Область низького тиску над <a href="/wiki/%D0%86%D1%81%D0%BB%D0%B0%D0%BD%D0%B4%D1%96%D1%8F" title="Ісландія">Ісландією</a></div> </li> <li class="gallerybox" style="width: 155px"> <div class="thumb" style="width: 150px; height: 150px;"><a href="/wiki/%D0%A4%D0%B0%D0%B9%D0%BB:Messier51.jpg" class="mw-file-description" title="Спіральна галактика «Вир»"><img alt="Спіральна галактика «Вир»" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/11/Messier51.jpg/120px-Messier51.jpg" decoding="async" width="120" height="83" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/11/Messier51.jpg/180px-Messier51.jpg 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/11/Messier51.jpg/240px-Messier51.jpg 2x" data-file-width="11477" data-file-height="7965" /></a></div> <div class="gallerytext"> Спіральна <a href="/wiki/%D0%93%D0%B0%D0%BB%D0%B0%D0%BA%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0" title="Галактика">галактика</a> <a href="/wiki/NGC_5194" class="mw-redirect" title="NGC 5194">«Вир»</a></div> </li> <li class="gallerybox" style="width: 155px"> <div class="thumb" style="width: 150px; height: 150px;"><a href="/wiki/%D0%A4%D0%B0%D0%B9%D0%BB:Mandel_zoom_04_seehorse_tail.jpg" class="mw-file-description" title="Секція множини Мандельброта, що є логарифмічною спіраллю"><img alt="Секція множини Мандельброта, що є логарифмічною спіраллю" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/b5/Mandel_zoom_04_seehorse_tail.jpg/120px-Mandel_zoom_04_seehorse_tail.jpg" decoding="async" width="120" height="90" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/b5/Mandel_zoom_04_seehorse_tail.jpg/180px-Mandel_zoom_04_seehorse_tail.jpg 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/b5/Mandel_zoom_04_seehorse_tail.jpg/240px-Mandel_zoom_04_seehorse_tail.jpg 2x" data-file-width="2560" data-file-height="1920" /></a></div> <div class="gallerytext">Секція <a href="/wiki/%D0%A4%D1%80%D0%B0%D0%BA%D1%82%D0%B0%D0%BB_%D0%9C%D0%B0%D0%BD%D0%B4%D0%B5%D0%BB%D1%8C%D0%B1%D1%80%D0%BE%D1%82%D0%B0" class="mw-redirect" title="Фрактал Мандельброта">множини Мандельброта</a>, що є логарифмічною спіраллю</div> </li> </ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Примітки">Примітки</h2>[<a href="/w/index.php?title=%D0%9B%D0%BE%D0%B3%D0%B0%D1%80%D0%B8%D1%84%D0%BC&veaction=edit&section=20" title="Редагувати розділ: Примітки" class="mw-editsection-visualeditor">ред.</a> | <a href="/w/index.php?title=%D0%9B%D0%BE%D0%B3%D0%B0%D1%80%D0%B8%D1%84%D0%BC&action=edit&section=20" title="Редагувати вихідний код розділу: Примітки">ред. код</a>]</div> <style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r43816068">.mw-parser-output .reflist{margin-bottom:0.5em;list-style-type:decimal}@media screen{.mw-parser-output .reflist{font-size:90%}}.mw-parser-output .reflist .references{font-size:100%;margin-bottom:0;list-style-type:inherit}.mw-parser-output .reflist-columns-2{column-width:30em}.mw-parser-output .reflist-columns-3{column-width:25em}.mw-parser-output .reflist-columns{margin-top:0.3em}.mw-parser-output .reflist-columns ol{margin-top:0}.mw-parser-output .reflist-columns li{page-break-inside:avoid;break-inside:avoid-column}.mw-parser-output .reflist-upper-alpha{list-style-type:upper-alpha}.mw-parser-output .reflist-upper-roman{list-style-type:upper-roman}.mw-parser-output .reflist-lower-alpha{list-style-type:lower-alpha}.mw-parser-output .reflist-lower-greek{list-style-type:lower-greek}.mw-parser-output .reflist-lower-roman{list-style-type:lower-roman}</style><div class="reflist references-column-count references-column-count-2" style="column-count: 2; -moz-column-count: 2; -webkit-column-count: 2; list-style-type: decimal;"> <ol class="references"> <li id="cite_note-1"><a href="#cite_ref-1">↑</a> <style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r43245077">.mw-parser-output cite.citation{font-style:inherit;word-wrap:break-word}.mw-parser-output .citation:target{background-color:rgba(0,127,255,0.133)}.mw-parser-output .id-lock-free.id-lock-free a{background:url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/6/65/Lock-green.svg")right 0.1em center/9px no-repeat}.mw-parser-output .id-lock-limited.id-lock-limited a,.mw-parser-output .id-lock-registration.id-lock-registration a{background:url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/d/d6/Lock-gray-alt-2.svg")right 0.1em center/9px no-repeat}.mw-parser-output .id-lock-subscription.id-lock-subscription a{background:url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/a/aa/Lock-red-alt-2.svg")right 0.1em center/9px no-repeat}.mw-parser-output .cs1-ref-lang{font-size:85%;cursor:help;margin-left:0.2em;color:var(--color-subtle,#54595d)}.mw-parser-output .cs1-ref-lg{font-style:normal;cursor:help}.mw-parser-output .cs1-ref-lg-text{color:#252525;text-decoration:inherit;text-decoration-color:#252525}.mw-parser-output .cs1-ws-icon a{background:url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/4/4c/Wikisource-logo.svg")right 0.1em center/12px no-repeat}body:not(.skin-timeless):not(.skin-minerva) .mw-parser-output .id-lock-free a,body:not(.skin-timeless):not(.skin-minerva) .mw-parser-output .id-lock-limited a,body:not(.skin-timeless):not(.skin-minerva) .mw-parser-output .id-lock-registration a,body:not(.skin-timeless):not(.skin-minerva) .mw-parser-output .id-lock-subscription a,body:not(.skin-timeless):not(.skin-minerva) .mw-parser-output .cs1-ws-icon a{background-size:contain;padding:0 1em 0 0}.mw-parser-output .cs1-code{color:inherit;background:inherit;border:none;padding:inherit}.mw-parser-output .cs1-hidden-error{display:none;color:var(--color-error,#d33)}.mw-parser-output .cs1-visible-error{color:var(--color-error,#d33)}.mw-parser-output .cs1-maint{display:none;color:#085;margin-left:0.3em}.mw-parser-output .cs1-kern-left{padding-left:0.2em}.mw-parser-output .cs1-kern-right{padding-right:0.2em}.mw-parser-output .citation .mw-selflink{font-weight:inherit}@media screen{.mw-parser-output .cs1-format{font-size:95%}html.skin-theme-clientpref-night .mw-parser-output .cs1-maint{color:#18911f}html.skin-theme-clientpref-night .mw-parser-output .cs1-ref-lg-text{color:#dadad6;text-decoration-color:#dadad6}}@media screen and (prefers-color-scheme:dark){html.skin-theme-clientpref-os .mw-parser-output .cs1-maint{color:#18911f}html.skin-theme-clientpref-night .mw-parser-output .cs1-ref-lg-text{color:#dadad6;text-decoration-color:#dadad6}}</style><cite class="citation book cs1"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://books.google.com.ua/books?id=RQMdAQAAMAAJ&q=%22логаритм%22&dq=%22логаритм%22&hl=uk&sa=X&ved=0ahUKEwjG64Ou88TlAhWjl4sKHWi3DzsQ6AEIQjAE">Revue statistique de l'Ukraine</a> (українською) . 1928.</cite> </li> <li id="cite_note-2"><a href="#cite_ref-2">↑</a> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r43245077"><cite class="citation book cs1"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://books.google.com.ua/books?id=L1e4AAAAIAAJ&q=%22логаритм%22&dq=%22логаритм%22&hl=uk&sa=X&ved=0ahUKEwjG64Ou88TlAhWjl4sKHWi3DzsQ6AEIYTAJ">Fizychniĭ zbirnyk</a> (рос.). Vyd-vo Lʹvivsʹkoho derz︠h︡. universytetu. 1959.</cite> </li> <li id="cite_note-3"><a href="#cite_ref-3">↑</a> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r43245077"><cite class="citation cs2">Gupta, R. C. (2000), <a rel="nofollow" class="external text" href="https://web.archive.org/web/20180317232735/https://books.google.co.uk/books?id=-xzljvnQ1vAC&pg=PA329&lpg=PA329&dq=Virasena+logarithm&source=bl&ots=BeVpLXxdRS&sig=_h6VUF3QzNxCocVgpilvefyvxlo&hl=en&ei=W0xUTLyPD4n-4AatvaGnBQ&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=2&ved=0CBgQ6AEwATgK#v=onepage&q=Virasena%20logarithm&f=false">History of Mathematics in India</a>, у Hoiberg, Dale; Ramchandani (ред.), Students' Britannica India: Select essays, New Delhi: Popular Prakashan, с. 329, архів <a rel="nofollow" class="external text" href="http://books.google.co.uk/books?id=-xzljvnQ1vAC&pg=PA329&lpg=PA329&dq=Virasena+logarithm&source=bl&ots=BeVpLXxdRS&sig=_h6VUF3QzNxCocVgpilvefyvxlo&hl=en&ei=W0xUTLyPD4n-4AatvaGnBQ&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=2&ved=0CBgQ6AEwATgK#v=onepage&q=Virasena%20logarithm&f=false">оригіналу</a> за 17 березня 2018, процитовано 22 червня 2011</cite> <code class="cs1-code">{{<a href="/wiki/%D0%A8%D0%B0%D0%B1%D0%BB%D0%BE%D0%BD:Citation" title="Шаблон:Citation">citation</a>}}</code>: <code class="cs1-code">|editor3-first=</code> з пропущеним <code class="cs1-code">|editor3-last=</code> (<a href="/wiki/%D0%94%D0%BE%D0%B2%D1%96%D0%B4%D0%BA%D0%B0:%D0%9F%D0%BE%D0%BC%D0%B8%D0%BB%D0%BA%D0%B8_CS1#first_missing_last" title="Довідка:Помилки CS1">довідка</a>) </li> <li id="cite_note-4"><a href="#cite_ref-4">↑</a> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r43245077"><cite class="citation cs2">Dr. Hiralal Jain, ред. (1996), <a rel="nofollow" class="external text" href="https://web.archive.org/web/20110511032215/http://www.jainworld.com/JWHindi/Books/shatkhandagama-4/02.htm">THE SHATKHANDAGAMA OF PUSHPADANTA AND BHOOTABAL</a> (вид. 3rd), Solapur: Jain Samskriti Samrakshaka Sangha, архів <a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.jainworld.com/JWHindi/Books/shatkhandagama-4/02.htm">оригіналу</a> за 11 травня 2011, процитовано 22 червня 2011</cite> <code class="cs1-code">{{<a href="/wiki/%D0%A8%D0%B0%D0%B1%D0%BB%D0%BE%D0%BD:Citation" title="Шаблон:Citation">citation</a>}}</code>: Проігноровано невідомий параметр <code class="cs1-code">|unused_data=</code> (<a href="/wiki/%D0%94%D0%BE%D0%B2%D1%96%D0%B4%D0%BA%D0%B0:%D0%9F%D0%BE%D0%BC%D0%B8%D0%BB%D0%BA%D0%B8_CS1#parameter_ignored" title="Довідка:Помилки CS1">довідка</a>), part 3-4-5, book 4 </li> <li id="cite_note-5"><a href="#cite_ref-5">↑</a> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r43245077"><cite class="citation cs2">Stifelio, Michaele (1544), <a rel="nofollow" class="external text" href="https://web.archive.org/web/20130622073328/http://books.google.com/books?id=fndPsRv08R0C&pg=RA1-PT419">Arithmetica Integra</a>, London: Iohan Petreium, архів <a rel="nofollow" class="external text" href="http://books.google.com/books?id=fndPsRv08R0C&pg=RA1-PT419">оригіналу</a> за 22 червня 2013, процитовано 22 червня 2011</cite> </li> <li id="cite_note-6"><a href="#cite_ref-6">↑</a> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r43245077"><cite id="CITEREFBukhshtabPechaev2001" class="citation cs2">Bukhshtab, A.A.; Pechaev, V.I. (2001), <a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=Arithmetic">Arithmetic</a>, у Hazewinkel, Michiel (ред.), <a href="/wiki/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%BD%D0%B0_%D0%B5%D0%BD%D1%86%D0%B8%D0%BA%D0%BB%D0%BE%D0%BF%D0%B5%D0%B4%D1%96%D1%8F" title="Математична енциклопедія">Математична енциклопедія</a>, <a href="/wiki/Springer_Science%2BBusiness_Media" title="Springer Science+Business Media">Springer</a>, <a href="/wiki/International_Standard_Book_Number" class="mw-redirect" title="International Standard Book Number">ISBN</a> <a href="/wiki/%D0%A1%D0%BF%D0%B5%D1%86%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0:%D0%94%D0%B6%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BB%D0%B0_%D0%BA%D0%BD%D0%B8%D0%B3/978-1-55608-010-4" title="Спеціальна:Джерела книг/978-1-55608-010-4"><bdi>978-1-55608-010-4</bdi></a></cite> </li> <li id="cite_note-7"><a href="#cite_ref-7">↑</a> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r43245077"><cite class="citation cs2">Vivian Shaw Groza and Susanne M. Shelley (1972), <a rel="nofollow" class="external text" href="https://web.archive.org/web/20190912045755/https://books.google.com/books?id=yM_lSq1eJv8C&pg=PA182&dq=%22arithmetica+integra%22+logarithm&q=stifel&hl=en">Precalculus mathematics</a>, New York: Holt, Rinehart and Winston, с. 182, <a href="/wiki/International_Standard_Book_Number" class="mw-redirect" title="International Standard Book Number">ISBN</a> <a href="/wiki/%D0%A1%D0%BF%D0%B5%D1%86%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0:%D0%94%D0%B6%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BB%D0%B0_%D0%BA%D0%BD%D0%B8%D0%B3/978-0-03-077670-0" title="Спеціальна:Джерела книг/978-0-03-077670-0"><bdi>978-0-03-077670-0</bdi></a>, архів <a rel="nofollow" class="external text" href="http://books.google.com/?id=yM_lSq1eJv8C&pg=PA182&dq=%22arithmetica+integra%22+logarithm&q=stifel">оригіналу</a> за 12 вересня 2019, процитовано 22 червня 2011</cite> </li> <li id="cite_note-8"><a href="#cite_ref-8">↑</a> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r43245077"><cite class="citation cs2">Ernest William Hobson (1914), John Napier and the invention of logarithms, 1614, Cambridge: The University Press</cite> </li> <li id="cite_note-9"><a href="#cite_ref-9">↑</a> Boyer <a href="#CITEREFBoyer1991">1991</a>, Chapter 14, section "Jobst Bürgi" </li> <li id="cite_note-10"><a href="#cite_ref-10">↑</a> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r43245077"><cite class="citation cs2">William Harrison De Puy (1893), <a rel="nofollow" class="external text" href="https://web.archive.org/web/20190912045724/https://babel.hathitrust.org/cgi/pt?seq=7&view=image&size=100&id=nyp.33433082033444&u=1&num=179">The Encyclopædia Britannica: a dictionary of arts, sciences, and general literature ; the R.S. Peale reprint</a>, т. 17 (вид. 9th), Werner Co., с. 179, архів <a rel="nofollow" class="external text" href="http://babel.hathitrust.org/cgi/pt?seq=7&view=image&size=100&id=nyp.33433082033444&u=1&num=179">оригіналу</a> за 12 вересня 2019, процитовано 22 червня 2011</cite> </li> <li id="cite_note-11"><a href="#cite_ref-11">↑</a> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r43245077"><cite class="citation cs2">Maor, Eli (2009), E: The Story of a Number, <a href="/wiki/Princeton_University_Press" title="Princeton University Press">Princeton University Press</a>, <a href="/wiki/International_Standard_Book_Number" class="mw-redirect" title="International Standard Book Number">ISBN</a> <a href="/wiki/%D0%A1%D0%BF%D0%B5%D1%86%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0:%D0%94%D0%B6%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BB%D0%B0_%D0%BA%D0%BD%D0%B8%D0%B3/978-0-691-14134-3" title="Спеціальна:Джерела книг/978-0-691-14134-3"><bdi>978-0-691-14134-3</bdi></a></cite>, section 2 </li> <li id="cite_note-12"><a href="#cite_ref-12">↑</a> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r43245077"><cite class="citation cs2">J. J. O'Connor; E. F. Robertson (2001-09), <a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.webcitation.org/65NiCJyO4?url=http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/HistTopics/e.html">The number e</a>, The MacTutor History of Mathematics archive, архів <a rel="nofollow" class="external text" href="http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/HistTopics/e.html">оригіналу</a> за 11 лютого 2012, процитовано 02/02/2009</cite> </li> <li id="cite_note-13"><a href="#cite_ref-13">↑</a> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r43245077"><cite class="citation cs2"><a href="/w/index.php?title=Florian_Cajori&action=edit&redlink=1" class="new" title="Florian Cajori (ще не написана)">Cajori, Florian</a> (1991), <a rel="nofollow" class="external text" href="https://web.archive.org/web/20190912045721/https://books.google.com/books?id=mGJRjIC9fZgC&printsec=frontcover&hl=en#v=onepage&q=speidell&f=false">A History of Mathematics</a> (вид. 5th), Providence, RI: AMS Bookstore, <a href="/wiki/International_Standard_Book_Number" class="mw-redirect" title="International Standard Book Number">ISBN</a> <a href="/wiki/%D0%A1%D0%BF%D0%B5%D1%86%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0:%D0%94%D0%B6%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BB%D0%B0_%D0%BA%D0%BD%D0%B8%D0%B3/978-0-8218-2102-2" title="Спеціальна:Джерела книг/978-0-8218-2102-2"><bdi>978-0-8218-2102-2</bdi></a>, архів <a rel="nofollow" class="external text" href="http://books.google.com/?id=mGJRjIC9fZgC&printsec=frontcover#v=onepage&q=speidell&f=false">оригіналу</a> за 12 вересня 2019, процитовано 22 червня 2011</cite>, p. 152 </li> <li id="cite_note-14"><a href="#cite_ref-14">↑</a> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r43245077"><cite class="citation cs2">Maor, Eli (2009), e: The Story of a Number, <a href="/wiki/Princeton_University_Press" title="Princeton University Press">Princeton University Press</a>, <a href="/wiki/International_Standard_Book_Number" class="mw-redirect" title="International Standard Book Number">ISBN</a> <a href="/wiki/%D0%A1%D0%BF%D0%B5%D1%86%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0:%D0%94%D0%B6%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BB%D0%B0_%D0%BA%D0%BD%D0%B8%D0%B3/978-0-691-14134-3" title="Спеціальна:Джерела книг/978-0-691-14134-3"><bdi>978-0-691-14134-3</bdi></a></cite>, sections 1, 13 </li> <li id="cite_note-15"><a href="#cite_ref-15">↑</a> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r43245077"><cite class="citation cs2"><a href="/w/index.php?title=Howard_Eves&action=edit&redlink=1" class="new" title="Howard Eves (ще не написана)">Eves, Howard Whitley</a> (1992), An introduction to the history of mathematics, The Saunders series (вид. 6th), Philadelphia: Saunders, <a href="/wiki/International_Standard_Book_Number" class="mw-redirect" title="International Standard Book Number">ISBN</a> <a href="/wiki/%D0%A1%D0%BF%D0%B5%D1%86%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0:%D0%94%D0%B6%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BB%D0%B0_%D0%BA%D0%BD%D0%B8%D0%B3/978-0-03-029558-4" title="Спеціальна:Джерела книг/978-0-03-029558-4"><bdi>978-0-03-029558-4</bdi></a></cite>, section 9-3 </li> <li id="cite_note-16"><a href="#cite_ref-16">↑</a> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r43245077"><cite class="citation cs2"><a href="/w/index.php?title=Carl_Benjamin_Boyer&action=edit&redlink=1" class="new" title="Carl Benjamin Boyer (ще не написана)">Boyer, Carl B.</a> (1991), <a rel="nofollow" class="external text" href="https://archive.org/details/historyofmathema00boye">A History of Mathematics</a>, New York: <a href="/wiki/John_Wiley_%26_Sons" title="John Wiley & Sons">John Wiley & Sons</a>, <a href="/wiki/International_Standard_Book_Number" class="mw-redirect" title="International Standard Book Number">ISBN</a> <a href="/wiki/%D0%A1%D0%BF%D0%B5%D1%86%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0:%D0%94%D0%B6%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BB%D0%B0_%D0%BA%D0%BD%D0%B8%D0%B3/978-0-471-54397-8" title="Спеціальна:Джерела книг/978-0-471-54397-8"><bdi>978-0-471-54397-8</bdi></a></cite>, p. 484, 489 </li> <li id="cite_note-17"><a href="#cite_ref-17">↑</a> Панов Д.Ю. Счетная линейка. — 21-е изд. — М : Наука, 1973. — 168 с.<style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r43693355">.mw-parser-output .ref-info{font-size:85%;cursor:help;margin-left:0.2em;color:var(--color-subtle,#54595d)}</style>(рос.) </li> <li id="cite_note-18"><a href="#cite_ref-18">↑</a> Богомолов Н.В. Практические занятия с логарифмической линейкой (сборник задач). — М : Высшая школа, 1977. — 103 с.<link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r43693355">(рос.) </li> <li id="cite_note-19"><a href="#cite_ref-19">↑</a> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r43245077"><cite class="citation web cs1"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.webcitation.org/6Hl0YZcp6?url=http://watchzone.ru/citizen/Citizen_BJ7010-59E.php">Citizen BJ7010-59E</a>. <a rel="nofollow" class="external text" href="http://watchzone.ru">Watch Zone</a>. Архів <a rel="nofollow" class="external text" href="http://watchzone.ru/citizen/Citizen_BJ7010-59E.php">оригіналу</a> за 30 червня 2013. Процитовано 2 листопада 2010.</cite> </li> <li id="cite_note-20"><a href="#cite_ref-20">↑</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.mathcurve.com/courbes2d/logarithmic/logarithmic.shtml">Spirale logarithmique.</a> [<a rel="nofollow" class="external text" href="https://web.archive.org/web/20120629084447/http://www.mathcurve.com/courbes2d/logarithmic/logarithmic.shtml">Архівовано</a> 29 червня 2012 у <a href="/wiki/Wayback_Machine" title="Wayback Machine">Wayback Machine</a>.] <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r43693355">(фр.) </li> </ol></div> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Див._також">Див. також</h2>[<a href="/w/index.php?title=%D0%9B%D0%BE%D0%B3%D0%B0%D1%80%D0%B8%D1%84%D0%BC&veaction=edit&section=21" title="Редагувати розділ: Див. також" class="mw-editsection-visualeditor">ред.</a> | <a href="/w/index.php?title=%D0%9B%D0%BE%D0%B3%D0%B0%D1%80%D0%B8%D1%84%D0%BC&action=edit&section=21" title="Редагувати вихідний код розділу: Див. також">ред. код</a>]</div> <ul><li><a href="/wiki/%D0%9F%D0%BE%D0%BB%D1%96%D0%BB%D0%BE%D0%B3%D0%B0%D1%80%D0%B8%D1%84%D0%BC" title="Полілогарифм">Полілогарифм</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%94%D0%B8%D0%BB%D0%BE%D0%B3%D0%B0%D1%80%D0%B8%D1%84%D0%BC" title="Дилогарифм">Дилогарифм</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%90%D0%BD%D1%82%D0%B8%D0%BB%D0%BE%D0%B3%D0%B0%D1%80%D0%B8%D1%84%D0%BC" class="mw-redirect" title="Антилогарифм">Антилогарифм</a></li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Література">Література</h2>[<a href="/w/index.php?title=%D0%9B%D0%BE%D0%B3%D0%B0%D1%80%D0%B8%D1%84%D0%BC&veaction=edit&section=22" title="Редагувати розділ: Література" class="mw-editsection-visualeditor">ред.</a> | <a href="/w/index.php?title=%D0%9B%D0%BE%D0%B3%D0%B0%D1%80%D0%B8%D1%84%D0%BC&action=edit&section=22" title="Редагувати вихідний код розділу: Література">ред. код</a>]</div> <ul><li><a href="/wiki/%D0%A4%D1%96%D1%85%D1%82%D0%B5%D0%BD%D0%B3%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D1%86_%D0%93%D1%80%D0%B8%D0%B3%D0%BE%D1%80%D1%96%D0%B9_%D0%9C%D0%B8%D1%85%D0%B0%D0%B9%D0%BB%D0%BE%D0%B2%D0%B8%D1%87" title="Фіхтенгольц Григорій Михайлович">Григорій Михайлович Фіхтенгольц</a>. <a rel="nofollow" class="external text" href="https://nebayduzhi-math.azurewebsites.net">Курс диференціального та інтегрального числення</a>. — 2024. — 2403 с.<link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r43693355">(укр.)</li> <li>Сторчай, Володимир Федорович. Показникові і логарифмічні рівняння: навч. посібник / В. Ф. Сторчай ; Дніпропетровський держ. ун-т. — К. : [б.в.], 1995. — 100 с</li> <li>Щербинин, Гарий Петрович. Показательно- логарифмические выражения, уравнения и неравенства: учеб. пособие / Г. П. Щербинин, Т. А. Недзельская ; ИСИО, Харьковский гос. технический ун-т радиоэлектроники. — Х. : [б.в.], 1995. — 60 с.</li> <li>Барановська, Галина Григорівна. Практикум з математики: Показникова та логарифмічна функції: навч. посібник для вступників до вузів / Г. Г. Барановська, В. В. Ясінський ; Національний технічний ун-т України «Київський політехнічний ін-т». Факультет довузівської підготовки. — К. : [б.в.], 1998. — 124 с.</li> <li>Кушнір, Ісаак. У світі логарифмів. — К. : Факт, 2004. — 136 с.: рис.</li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Посилання">Посилання</h2>[<a href="/w/index.php?title=%D0%9B%D0%BE%D0%B3%D0%B0%D1%80%D0%B8%D1%84%D0%BC&veaction=edit&section=23" title="Редагувати розділ: Посилання" class="mw-editsection-visualeditor">ред.</a> | <a href="/w/index.php?title=%D0%9B%D0%BE%D0%B3%D0%B0%D1%80%D0%B8%D1%84%D0%BC&action=edit&section=23" title="Редагувати вихідний код розділу: Посилання">ред. код</a>]</div> <ul><li><a rel="nofollow" class="external text" href="http://slovopedia.org.ua/29/53412/23222.html">Функція логарифмічна</a> // <a href="/wiki/%D0%A3%D0%BD%D1%96%D0%B2%D0%B5%D1%80%D1%81%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B8%D0%B9_%D1%81%D0%BB%D0%BE%D0%B2%D0%BD%D0%B8%D0%BA-%D0%B5%D0%BD%D1%86%D0%B8%D0%BA%D0%BB%D0%BE%D0%BF%D0%B5%D0%B4%D1%96%D1%8F" title="Універсальний словник-енциклопедія">Універсальний словник-енциклопедія</a>. — 4-те вид. — К. : <a href="/wiki/%D0%A2%D0%B5%D0%B7%D0%B0_(%D0%B2%D0%B8%D0%B4%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B8%D1%86%D1%82%D0%B2%D0%BE)" title="Теза (видавництво)">Тека</a>, 2006.</li></ul> <style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r43328044">.mw-parser-output .side-box{margin:4px 0;box-sizing:border-box;border:1px solid var(--border-color-base,#a2a9b1);font-size:88%;line-height:1.25em;background-color:var(--background-color-interactive-subtle,#f8f9fa);display:flow-root}.mw-parser-output .side-box-abovebelow,.mw-parser-output .side-box-text{padding:0.25em 0.9em}.mw-parser-output .side-box-image{padding:2px 0 2px 0.9em;text-align:center}.mw-parser-output .side-box-imageright{padding:2px 0.9em 2px 0;text-align:center}@media(min-width:500px){.mw-parser-output .side-box-flex{display:flex;align-items:center}.mw-parser-output .side-box-text{flex:1}}@media(min-width:720px){.mw-parser-output .side-box{width:238px}.mw-parser-output .side-box-right{clear:right;float:right;margin-left:1em}.mw-parser-output .side-box-left{margin-right:1em}}</style><div class="side-box metadata side-box-right plainlinks"><style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r43327770">.mw-parser-output .plainlist ol,.mw-parser-output .plainlist ul{line-height:inherit;list-style:none;margin:0;padding:0}.mw-parser-output .plainlist ol li,.mw-parser-output .plainlist ul li{margin-bottom:0}</style> <div class="side-box-flex"> <div class="side-box-image"><img alt="" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/fa/Wikiquote-logo.svg/34px-Wikiquote-logo.svg.png" decoding="async" width="34" height="40" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/fa/Wikiquote-logo.svg/51px-Wikiquote-logo.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/fa/Wikiquote-logo.svg/68px-Wikiquote-logo.svg.png 2x" data-file-width="300" data-file-height="355" /></div> <div class="side-box-text plainlist"><a href="https://uk.wikiquote.org/wiki/%D0%93%D0%BE%D0%BB%D0%BE%D0%B2%D0%BD%D0%B0_%D1%81%D1%82%D0%B0%D1%82%D1%82%D1%8F" class="extiw" title="q:Головна стаття">Вікіцитати</a> містять висловлювання на тему: <a href="https://uk.wikiquote.org/wiki/Special:Search/%D0%9B%D0%BE%D0%B3%D0%B0%D1%80%D0%B8%D1%84%D0%BC" class="extiw" title="q:Special:Search/Логарифм">Логарифм</a></div></div> </div> <ul><li>Логарифмічна функція // <a rel="nofollow" class="external text" href="http://chtyvo.org.ua/authors/Klepko_Viktor/Vyscha_matematyka_v_prykladakh_i_zadachakh.pdf">Вища математика в прикладах і задачах</a> / Клепко В.Ю., Голець В.Л.. — 2-ге видання. — К. : Центр учбової літератури, 2009. — С. 179. — 594 с.</li> <li><a rel="nofollow" class="external text" href="http://fizma.net/index.php?idi=alg/stepin">Динамічні математичні моделі FIZMA.neT</a> [<a rel="nofollow" class="external text" href="https://web.archive.org/web/20210913064943/http://fizma.net/index.php?idi=alg%2Fstepin">Архівовано</a> 13 вересня 2021 у <a href="/wiki/Wayback_Machine" title="Wayback Machine">Wayback Machine</a>.]</li></ul> <table align="center" border="0" cellpadding="0" cellspacing="4" class="metadata"> <tbody><tr> <td style="padding-right: 4px"><a href="/wiki/%D0%A4%D0%B0%D0%B9%D0%BB:E-to-the-i-pi.svg" class="mw-file-description" title="Сигма"><img alt="Сигма" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/35/E-to-the-i-pi.svg/55px-E-to-the-i-pi.svg.png" decoding="async" width="55" height="49" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/35/E-to-the-i-pi.svg/83px-E-to-the-i-pi.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/35/E-to-the-i-pi.svg/110px-E-to-the-i-pi.svg.png 2x" data-file-width="512" data-file-height="453" /></a> </td> <td>Це незавершена стаття з <a href="/wiki/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0" title="Математика">математики</a>. Ви можете <a href="/wiki/%D0%94%D0%BE%D0%B2%D1%96%D0%B4%D0%BA%D0%B0:%D0%AF%D0%BA_%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%B0%D0%B3%D1%83%D0%B2%D0%B0%D1%82%D0%B8_%D1%81%D1%82%D0%B0%D1%82%D1%82%D1%8E" title="Довідка:Як редагувати статтю">допомогти</a> проєкту, <a class="external text" href="https://uk.wikipedia.org/w/index.php?title=%D0%9B%D0%BE%D0%B3%D0%B0%D1%80%D0%B8%D1%84%D0%BC&action=edit">виправивши або дописавши її</a>. </td></tr></tbody></table> <div class="navbox-styles"><link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r43815798"><style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r43353293">.mw-parser-output .navbox{box-sizing:border-box;border:1px solid #a2a9b1;width:100%;clear:both;font-size:88%;text-align:center;padding:1px;margin:1em auto 0}.mw-parser-output .navbox .navbox{margin-top:0}.mw-parser-output .navbox+.navbox,.mw-parser-output .navbox+.navbox-styles+.navbox{margin-top:-1px}.mw-parser-output .navbox-inner,.mw-parser-output .navbox-subgroup{width:100%}.mw-parser-output .navbox-group,.mw-parser-output .navbox-title,.mw-parser-output .navbox-abovebelow{padding:0.25em 1em;line-height:1.5em;text-align:center}.mw-parser-output .navbox-group{white-space:nowrap;text-align:right}.mw-parser-output .navbox,.mw-parser-output .navbox-subgroup{background-color:#fdfdfd}.mw-parser-output .navbox-list{line-height:1.5em;border-color:#fdfdfd}.mw-parser-output .navbox-list-with-group{text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid}.mw-parser-output tr+tr>.navbox-abovebelow,.mw-parser-output tr+tr>.navbox-group,.mw-parser-output tr+tr>.navbox-image,.mw-parser-output tr+tr>.navbox-list{border-top:2px solid #fdfdfd}.mw-parser-output .navbox-title{background-color:#ccf}.mw-parser-output .navbox-abovebelow,.mw-parser-output .navbox-group,.mw-parser-output .navbox-subgroup .navbox-title{background-color:#ddf}.mw-parser-output .navbox-subgroup .navbox-group,.mw-parser-output .navbox-subgroup .navbox-abovebelow{background-color:#e6e6ff}.mw-parser-output .navbox-even{background-color:#f7f7f7}.mw-parser-output .navbox-odd{background-color:transparent}.mw-parser-output .navbox .hlist td dl,.mw-parser-output .navbox .hlist td ol,.mw-parser-output .navbox .hlist td ul,.mw-parser-output .navbox td.hlist dl,.mw-parser-output .navbox td.hlist ol,.mw-parser-output .navbox td.hlist ul{padding:0.125em 0}.mw-parser-output .navbox .navbar{display:block;font-size:100%}.mw-parser-output .navbox-title .navbar{float:left;text-align:left;margin-right:0.5em}body.skin--responsive .mw-parser-output .navbox-image img{max-width:none!important}@media print{body.ns-0 .mw-parser-output .navbox{display:none!important}}</style></div><div role="navigation" class="navbox" aria-labelledby="Гіпероперації" style="padding:3px"><table class="nowraplinks collapsible autocollapse navbox-inner" style="border-spacing:0;background:transparent;color:inherit"><tbody><tr><th scope="col" class="navbox-title" colspan="2"><link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r43815798"><link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r43094501"><div class="navbar plainlinks hlist navbar-mini"><ul><li class="nv-переглянути"><a href="/wiki/%D0%A8%D0%B0%D0%B1%D0%BB%D0%BE%D0%BD:%D0%93%D1%96%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%BE%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B0%D1%86%D1%96%D1%97" title="Шаблон:Гіпероперації"><abbr title="Переглянути цей шаблон">п</abbr></a></li><li class="nv-обговорити"><a href="/w/index.php?title=%D0%9E%D0%B1%D0%B3%D0%BE%D0%B2%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F_%D1%88%D0%B0%D0%B1%D0%BB%D0%BE%D0%BD%D1%83:%D0%93%D1%96%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%BE%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B0%D1%86%D1%96%D1%97&action=edit&redlink=1" class="new" title="Обговорення шаблону:Гіпероперації (ще не написана)"><abbr title="Обговорити цей шаблон">о</abbr></a></li><li class="nv-редагувати"><a href="/wiki/%D0%A1%D0%BF%D0%B5%D1%86%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0:EditPage/%D0%A8%D0%B0%D0%B1%D0%BB%D0%BE%D0%BD:%D0%93%D1%96%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%BE%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B0%D1%86%D1%96%D1%97" title="Спеціальна:EditPage/Шаблон:Гіпероперації"><abbr title="Редагувати цей шаблон">р</abbr></a></li></ul></div><div id="Гіпероперації" style="font-size:114%;margin:0 4em"><a href="/wiki/%D0%93%D1%96%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%BE%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%BE%D1%80" title="Гіпероператор"> Гіпероперації</a></div></th></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%">Основні</th><td class="navbox-list-with-group navbox-list navbox-odd hlist" style="width:100%;padding:0"><div style="padding:0 0.25em"> <ul><li><a href="/wiki/%D0%9D%D0%B0%D1%81%D1%82%D1%83%D0%BF%D0%BD%D0%B8%D0%B9_%D0%B5%D0%BB%D0%B5%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D1%82" class="mw-redirect" title="Наступний елемент">Наступник (0)</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%94%D0%BE%D0%B4%D0%B0%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8F" title="Додавання">Додавання (1)</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%9C%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F" title="Множення">Множення (2)</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%9F%D1%96%D0%B4%D0%BD%D0%B5%D1%81%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F_%D0%B4%D0%BE_%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BF%D0%B5%D0%BD%D1%8F" title="Піднесення до степеня">Степінь (3)</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%A2%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B0%D1%86%D1%96%D1%8F" title="Тетрація">Тетрація (4)</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%9F%D0%B5%D0%BD%D1%82%D0%B0%D1%86%D1%96%D1%8F" title="Пентація">Пентація (5)</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%93%D1%96%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%BE%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%BE%D1%80" title="Гіпероператор">Гексація (6)</a></li></ul> </div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%"><a href="/wiki/%D0%9E%D0%B1%D0%B5%D1%80%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B0_%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D1%96%D1%8F" title="Обернена функція">Обернена</a> до лівого аргументу</th><td class="navbox-list-with-group navbox-list navbox-even hlist" style="width:100%;padding:0"><div style="padding:0 0.25em"> <ul><li><a href="/w/index.php?title=%D0%9F%D0%BE%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%BD%D1%96%D0%B9_%D0%B5%D0%BB%D0%B5%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D1%82&action=edit&redlink=1" class="new" title="Попередній елемент (ще не написана)">Попередник (0)</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%92%D1%96%D0%B4%D0%BD%D1%96%D0%BC%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8F" title="Віднімання">Віднімання (1)</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%94%D1%96%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F" title="Ділення">Ділення (2)</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%9A%D0%BE%D1%80%D1%96%D0%BD%D1%8C_(%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0)" title="Корінь (математика)">Корінь (3)</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%A1%D1%83%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%BA%D0%BE%D1%80%D1%96%D0%BD%D1%8C" title="Суперкорінь">Суперкорінь (4)</a></li></ul> </div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%">Обернена до правого аргументу</th><td class="navbox-list-with-group navbox-list navbox-odd hlist" style="width:100%;padding:0"><div style="padding:0 0.25em"> <ul><li><a href="/w/index.php?title=%D0%9F%D0%BE%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%BD%D1%96%D0%B9_%D0%B5%D0%BB%D0%B5%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D1%82&action=edit&redlink=1" class="new" title="Попередній елемент (ще не написана)">Попередник (0)</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%92%D1%96%D0%B4%D0%BD%D1%96%D0%BC%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8F" title="Віднімання">Віднімання (1)</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%94%D1%96%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F" title="Ділення">Ділення (2)</a></li> <li><a class="mw-selflink selflink">Логарифм (3)</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%A1%D1%83%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%BB%D0%BE%D0%B3%D0%B0%D1%80%D0%B8%D1%84%D0%BC" title="Суперлогарифм">Суперлогарифм (4)</a></li></ul> </div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%">Класифікації</th><td class="navbox-list-with-group navbox-list navbox-even hlist" style="width:100%;padding:0"><div style="padding:0 0.25em"> <ul><li><a href="/wiki/%D0%A4%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D1%96%D1%8F_%D0%90%D0%BA%D0%B5%D1%80%D0%BC%D0%B0%D0%BD%D0%B0" title="Функція Акермана">Функція Акермана</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%86%D1%94%D1%80%D0%B0%D1%80%D1%85%D1%96%D1%8F_%D0%93%D0%B6%D0%B5%D0%B3%D0%BE%D1%80%D1%87%D0%B8%D0%BA%D0%B0" title="Ієрархія Гжегорчика">Ієрархія Гжегорчика</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%9D%D0%BE%D1%82%D0%B0%D1%86%D1%96%D1%8F_%D0%9A%D0%BD%D1%83%D1%82%D0%B0" title="Нотація Кнута">Нотація Кнута</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%9D%D0%BE%D1%82%D0%B0%D1%86%D1%96%D1%8F_%D0%9A%D0%BE%D0%BD%D0%B2%D0%B5%D1%8F" title="Нотація Конвея">Нотація Конвея</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%9D%D0%BE%D1%82%D0%B0%D1%86%D1%96%D1%8F_%D0%A8%D1%82%D0%B5%D0%B9%D0%BD%D0%B3%D0%B0%D1%83%D0%B7%D0%B0_%E2%80%94_%D0%9C%D0%BE%D0%B7%D0%B5%D1%80%D0%B0" title="Нотація Штейнгауза — Мозера">Нотація Штейнгауза — Мозера</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%9D%D0%BE%D1%82%D0%B0%D1%86%D1%96%D1%8F_%D0%91%D0%B0%D1%83%D0%B5%D1%80%D1%81%D0%B0" title="Нотація Бауерса">Нотація Бауерса</a></li></ul> </div></td></tr></tbody></table></div> <div class="navbox-styles"><link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r43815798"><link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r43353293"></div><div role="navigation" class="navbox navbox ukwikiArticleExternalLinksTable" aria-label="Navbox" style="padding:3px"><table class="nowraplinks hlist navbox-inner" style="border-spacing:0;background:transparent;color:inherit"><tbody><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%;background: #CCF;"><div style="padding: 0px 18px 0px 0px; width: 100%;"><div style="float: left; padding-left: 4px;"><a href="/wiki/%D0%A8%D0%B0%D0%B1%D0%BB%D0%BE%D0%BD:%D0%91%D1%96%D0%B1%D0%BB%D1%96%D0%BE%D1%96%D0%BD%D1%84%D0%BE%D1%80%D0%BC%D0%B0%D1%86%D1%96%D1%8F" title="Перегляд цього шаблону"><img alt="Перегляд цього шаблону" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/61/Searchtool.svg/14px-Searchtool.svg.png" decoding="async" width="14" height="14" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/61/Searchtool.svg/21px-Searchtool.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/61/Searchtool.svg/28px-Searchtool.svg.png 2x" data-file-width="512" data-file-height="512" /></a></div>  <a href="/wiki/%D0%A1%D0%BE%D1%86%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0_%D0%BC%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%B6%D0%B0" title="Соціальна мережа">У соціальних мережах</a></div></th><td class="navbox-list-with-group navbox-list navbox-odd" style="width:100%;padding:0"><div style="padding:0 0.25em"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.reddit.com/r/Logarithms/">Сабреддіт</a> (англ.)</div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%;background: #CCF;">Література та бібліографія</th><td class="navbox-list-with-group navbox-list navbox-even" style="width:100%;padding:0"><div style="padding:0 0.25em"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://openlibrary.org/subjects/logarithms">Open Library</a></div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%;background: #CCF;"><a href="/wiki/%D0%9D%D0%B0%D1%83%D0%BA%D0%B0" title="Наука">Наука</a></th><td class="navbox-list-with-group navbox-list navbox-odd" style="width:100%;padding:0"><div style="padding:0 0.25em"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://ncatlab.org/nlab/show/logarithm">nLab</a></div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%;background: #CCF;">Тематичні сайти</th><td class="navbox-list-with-group navbox-list navbox-even" style="width:100%;padding:0"><div style="padding:0 0.25em"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.yso.fi/onto/yso/p6594">Yleinen suomalainen ontologia</a> · <a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.zhihu.com/topic/19804331">Zhihu</a></div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%;background: #CCF;">Словники та енциклопедії</th><td class="navbox-list-with-group navbox-list navbox-odd" style="width:100%;padding:0"><div style="padding:0 0.25em"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://old.bigenc.ru/text/2177499">Большая российская энциклопедия</a> · <a rel="nofollow" class="external text" href="https://denstoredanske.lex.dk/logaritme">Велика данська енциклопедія</a> · <a rel="nofollow" class="external text" href="https://denstoredanske.lex.dk/logaritmer">Велика данська енциклопедія</a> · <a rel="nofollow" class="external text" href="https://snl.no/logaritme">Велика норвезька енциклопедія</a> · <a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.krugosvet.ru/enc/nauka_i_tehnika/matematika/LOGARIFM.html">Энциклопедия Кругосвет</a> · <a href="https://uk.wikisource.org/wiki/en:Encyclop%C3%A6dia_Britannica,_Ninth_Edition/Logarithms" class="extiw" title="s:en:Encyclopædia Britannica, Ninth Edition/Logarithms">Britannica (9-th)</a> · <a href="https://uk.wikisource.org/wiki/en:1911_Encyclop%C3%A6dia_Britannica/Logarithm" class="extiw" title="s:en:1911 Encyclopædia Britannica/Logarithm">Britannica (11-th)</a> · <a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.cultureelwoordenboek.nl/techologie-en-techniek/logaritme">Cultureel Woordenboek</a> · <a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.cultureelwoordenboek.nl/wiskunde/logaritme">Cultureel Woordenboek</a> · <a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.sapere.it/enciclopedia/logaritmo.html">De Agostini</a> · <a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.larousse.fr/encyclopedie/images/Logarithmes/1012284">Encyclopédie Larousse</a> · <a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.treccani.it/enciclopedia/logaritmo">Encyclopedia Treccani</a> · <a rel="nofollow" class="external text" href="http://britannica.com/science/logarithm">Encyclopædia Britannica</a> · <a rel="nofollow" class="external text" href="https://encyklopedia.pwn.pl/haslo/;3933548.html">Internetowa encyklopedia PWN</a> · <a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.treccani.it/enciclopedia/logaritmo_(Enciclopedia-Italiana)/">Treccanis Enciclopedia Italiana</a></div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%;background: #CCF;">Довідкові видання</th><td class="navbox-list-with-group navbox-list navbox-even" style="width:100%;padding:0"><div style="padding:0 0.25em"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://brilliant.org/wiki/logarithms/">Brilliant.org</a> · <a rel="nofollow" class="external text" href="https://brilliant.org/wiki/derivative-of-logarithmic-functions/">Brilliant.org</a> · <a rel="nofollow" class="external text" href="https://brilliant.org/wiki/integration-of-logarithmic-functions/">Brilliant.org</a> · <a rel="nofollow" class="external text" href="https://kbpedia.org/knowledge-graph/reference-concept/?uri=Logarithm">KBpedia</a> · <a rel="nofollow" class="external text" href="http://wordnet-rdf.princeton.edu/id/06825489-n">WordNet</a> · <a rel="nofollow" class="external text" href="https://thes.bncf.firenze.sbn.it/termine.php?id=21688">Nuovo soggettario</a> · <a rel="nofollow" class="external text" href="https://community.fandom.com/index.php?title=w:c:math:Logarithm">Fandom</a> (англ.) · <a rel="nofollow" class="external text" href="https://namu.wiki/w/%EB%A1%9C%EA%B0%80%EB%A6%AC%EB%93%AC">Namuwiki</a></div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%;background: #CCF;"><a href="/wiki/%D0%9D%D0%BE%D1%80%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%B2%D0%BD%D0%B8%D0%B9_%D0%BA%D0%BE%D0%BD%D1%82%D1%80%D0%BE%D0%BB%D1%8C" title="Нормативний контроль">Нормативний контроль</a></th><td class="navbox-list-with-group navbox-list navbox-odd" style="width:100%;padding:0"><div style="padding:0 0.25em"><a href="/wiki/%D0%9D%D0%B0%D1%86%D1%96%D0%BE%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0_%D0%B1%D1%96%D0%B1%D0%BB%D1%96%D0%BE%D1%82%D0%B5%D0%BA%D0%B0_%D0%86%D1%81%D0%BF%D0%B0%D0%BD%D1%96%D1%97" title="Національна бібліотека Іспанії">BNE</a>: <a rel="nofollow" class="external text" href="http://catalogo.bne.es/uhtbin/authoritybrowse.cgi?action=display&authority_id=XX527539">XX527539</a> · <a href="/wiki/%D0%9D%D0%B0%D1%86%D1%96%D0%BE%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0_%D0%B1%D1%96%D0%B1%D0%BB%D1%96%D0%BE%D1%82%D0%B5%D0%BA%D0%B0_%D0%A4%D1%80%D0%B0%D0%BD%D1%86%D1%96%D1%97" title="Національна бібліотека Франції">BNF</a>: <a rel="nofollow" class="external text" href="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb11941516p">11941516p</a> · <a href="/wiki/Freebase" title="Freebase">Freebase</a>: <a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.google.com/search?kgmid=/m/04jm3">/m/04jm3</a> · <a href="/wiki/Gemeinsame_Normdatei" title="Gemeinsame Normdatei">GND</a>: <a rel="nofollow" class="external text" href="http://d-nb.info/gnd/4168047-9">4168047-9</a> · <a href="/wiki/%D0%9D%D0%B0%D1%86%D1%96%D0%BE%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0_%D0%B1%D1%96%D0%B1%D0%BB%D1%96%D0%BE%D1%82%D0%B5%D0%BA%D0%B0_%D0%86%D0%B7%D1%80%D0%B0%D1%97%D0%BB%D1%8E" title="Національна бібліотека Ізраїлю">J9U</a>: <a rel="nofollow" class="external text" href="http://uli.nli.org.il/F/?func=find-b&local_base=NLX10&find_code=UID&request=987007533701405171">987007533701405171</a> · <a href="/wiki/%D0%9A%D0%BE%D0%BD%D1%82%D1%80%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B8%D0%B9_%D0%BD%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%80_%D0%91%D1%96%D0%B1%D0%BB%D1%96%D0%BE%D1%82%D0%B5%D0%BA%D0%B8_%D0%9A%D0%BE%D0%BD%D0%B3%D1%80%D0%B5%D1%81%D1%83" title="Контрольний номер Бібліотеки Конгресу">LCCN</a>: <a rel="nofollow" class="external text" href="http://id.loc.gov/authorities/sh85078091">sh85078091</a> · <a href="/wiki/%D0%9D%D0%B0%D1%86%D1%96%D0%BE%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0_%D0%BF%D0%B0%D1%80%D0%BB%D0%B0%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D1%82%D1%81%D1%8C%D0%BA%D0%B0_%D0%B1%D1%96%D0%B1%D0%BB%D1%96%D0%BE%D1%82%D0%B5%D0%BA%D0%B0_%D0%AF%D0%BF%D0%BE%D0%BD%D1%96%D1%97" title="Національна парламентська бібліотека Японії">NDL</a>: <a rel="nofollow" class="external text" href="http://id.ndl.go.jp/auth/ndlna/00572566">00572566</a></div></td></tr></tbody></table></div></div><noscript><img src="https://login.wikimedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;"></noscript> <div class="printfooter" data-nosnippet="">Отримано з <a dir="ltr" href="https://uk.wikipedia.org/w/index.php?title=Логарифм&oldid=43672526">https://uk.wikipedia.org/w/index.php?title=Логарифм&oldid=43672526</a></div></div> <div id="catlinks" class="catlinks" data-mw="interface"><div id="mw-normal-catlinks" class="mw-normal-catlinks"><a href="/wiki/%D0%A1%D0%BF%D0%B5%D1%86%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0:%D0%9A%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%B3%D0%BE%D1%80%D1%96%D1%97" title="Спеціальна:Категорії">Категорії</a>: <ul><li><a href="/wiki/%D0%9A%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%B3%D0%BE%D1%80%D1%96%D1%8F:%D0%9B%D0%BE%D0%B3%D0%B0%D1%80%D0%B8%D1%84%D0%BC%D0%B8" title="Категорія:Логарифми">Логарифми</a></li><li><a href="/wiki/%D0%9A%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%B3%D0%BE%D1%80%D1%96%D1%8F:%D0%95%D0%BB%D0%B5%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D1%82%D0%B0%D1%80%D0%BD%D1%96_%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D1%96%D1%97" title="Категорія:Елементарні функції">Елементарні функції</a></li></ul></div><div id="mw-hidden-catlinks" class="mw-hidden-catlinks mw-hidden-cats-hidden">Приховані категорії: <ul><li><a href="/wiki/%D0%9A%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%B3%D0%BE%D1%80%D1%96%D1%8F:%D0%A1%D1%82%D0%BE%D1%80%D1%96%D0%BD%D0%BA%D0%B8_%D0%B7_%D0%B2%D0%B8%D0%BA%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8F%D0%BC_%D1%80%D0%BE%D0%B7%D1%88%D0%B8%D1%80%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F_JsonConfig" title="Категорія:Сторінки з використанням розширення JsonConfig">Сторінки з використанням розширення JsonConfig</a></li><li><a href="/wiki/%D0%9A%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%B3%D0%BE%D1%80%D1%96%D1%8F:%D0%9F%D0%BE%D0%BC%D0%B8%D0%BB%D0%BA%D0%B8_CS1:_%D0%A1%D1%82%D0%BE%D1%80%D1%96%D0%BD%D0%BA%D0%B8_%D0%B7_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D0%BF%D1%83%D1%89%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%BC_%D1%96%D0%BC%27%D1%8F%D0%BC" title="Категорія:Помилки CS1: Сторінки з пропущеним ім'ям">Помилки CS1: Сторінки з пропущеним ім'ям</a></li><li><a href="/wiki/%D0%9A%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%B3%D0%BE%D1%80%D1%96%D1%8F:%D0%A1%D1%82%D0%BE%D1%80%D1%96%D0%BD%D0%BA%D0%B8_%D0%B7_%D0%BF%D0%BE%D1%81%D0%B8%D0%BB%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8F%D0%BC%D0%B8_%D0%BD%D0%B0_%D0%B4%D0%B6%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BB%D0%B0_%D0%B7_%D0%BF%D0%B0%D1%80%D0%B0%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B0%D0%BC%D0%B8,_%D1%89%D0%BE_%D0%BD%D0%B5_%D0%BF%D1%96%D0%B4%D1%82%D1%80%D0%B8%D0%BC%D1%83%D1%8E%D1%82%D1%8C%D1%81%D1%8F" title="Категорія:Сторінки з посиланнями на джерела з параметрами, що не підтримуються">Сторінки з посиланнями на джерела з параметрами, що не підтримуються</a></li><li><a href="/wiki/%D0%9A%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%B3%D0%BE%D1%80%D1%96%D1%8F:%D0%A8%D0%B0%D0%B1%D0%BB%D0%BE%D0%BD:Webarchive:%D0%BF%D0%BE%D1%81%D0%B8%D0%BB%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8F_%D0%BD%D0%B0_Wayback_Machine" title="Категорія:Шаблон:Webarchive:посилання на Wayback Machine">Шаблон:Webarchive:посилання на Wayback Machine</a></li><li><a href="/wiki/%D0%9A%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%B3%D0%BE%D1%80%D1%96%D1%8F:%D0%92%D0%B8%D0%BA%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8F_%D1%88%D0%B0%D0%B1%D0%BB%D0%BE%D0%BD%D1%83_Reflist_%D1%96%D0%B7_%D0%BA%D1%96%D0%BB%D1%8C%D0%BA%D1%96%D1%81%D1%82%D1%8E_%D0%BA%D0%BE%D0%BB%D0%BE%D0%BD%D0%BE%D0%BA" title="Категорія:Використання шаблону Reflist із кількістю колонок">Використання шаблону Reflist із кількістю колонок</a></li><li><a href="/wiki/%D0%9A%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%B3%D0%BE%D1%80%D1%96%D1%8F:%D0%92%D1%96%D0%BA%D1%96%D0%BF%D0%B5%D0%B4%D1%96%D1%8F:%D0%A1%D1%82%D0%BE%D1%80%D1%96%D0%BD%D0%BA%D0%B8_%D0%B7_%D0%BF%D0%BE%D1%81%D0%B8%D0%BB%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8F%D0%BC_%D0%BD%D0%B0_%D0%92%D1%96%D0%BA%D1%96%D1%86%D0%B8%D1%82%D0%B0%D1%82%D0%B8" title="Категорія:Вікіпедія:Сторінки з посиланням на Вікіцитати">Вікіпедія:Сторінки з посиланням на Вікіцитати</a></li><li><a href="/wiki/%D0%9A%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%B3%D0%BE%D1%80%D1%96%D1%8F:%D0%9D%D0%B5%D0%B7%D0%B0%D0%B2%D0%B5%D1%80%D1%88%D0%B5%D0%BD%D1%96_%D1%81%D1%82%D0%B0%D1%82%D1%82%D1%96_%D0%B7_%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B8" title="Категорія:Незавершені статті з математики">Незавершені статті з математики</a></li><li><a href="/wiki/%D0%9A%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%B3%D0%BE%D1%80%D1%96%D1%8F:%D0%9D%D0%B0%D0%B4%D0%BF%D0%BE%D0%BF%D1%83%D0%BB%D1%8F%D1%80%D0%BD%D1%96_%D1%81%D1%82%D0%B0%D1%82%D1%82%D1%96" title="Категорія:Надпопулярні статті">Надпопулярні статті</a></li></ul></div></div> </div> </div> <div id="mw-navigation"> <h2>Навігаційне меню</h2> <div id="mw-head"> <nav id="p-personal" class="mw-portlet mw-portlet-personal vector-user-menu-legacy vector-menu" aria-labelledby="p-personal-label" > <h3 id="p-personal-label" class="vector-menu-heading " > Особисті інструменти </h3> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="pt-anonuserpage" class="mw-list-item">Ви не увійшли до системи</li><li id="pt-anontalk" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%D0%A1%D0%BF%D0%B5%D1%86%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0:%D0%9C%D0%BE%D1%94_%D0%BE%D0%B1%D0%B3%D0%BE%D0%B2%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F" title="Обговорення редагувань з цієї IP-адреси [n]" accesskey="n">Обговорення</a></li><li id="pt-anoncontribs" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%D0%A1%D0%BF%D0%B5%D1%86%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0:%D0%9C%D1%96%D0%B9_%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D1%81%D0%BE%D0%BA" title="Список редагувань, зроблених з цієї IP-адреси [y]" accesskey="y">Внесок</a></li><li id="pt-createaccount" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%D0%A1%D0%BF%D0%B5%D1%86%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0:%D0%A1%D1%82%D0%B2%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%82%D0%B8_%D0%BE%D0%B1%D0%BB%D1%96%D0%BA%D0%BE%D0%B2%D0%B8%D0%B9_%D0%B7%D0%B0%D0%BF%D0%B8%D1%81&returnto=%D0%9B%D0%BE%D0%B3%D0%B0%D1%80%D0%B8%D1%84%D0%BC" title="Пропонуємо створити обліковий запис і увійти в систему; однак, це не обов'язково">Створити обліковий запис</a></li><li id="pt-login" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%D0%A1%D0%BF%D0%B5%D1%86%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0:%D0%92%D1%85%D1%96%D0%B4&returnto=%D0%9B%D0%BE%D0%B3%D0%B0%D1%80%D0%B8%D1%84%D0%BC" title="Заохочуємо Вас увійти в систему, але це необов'язково. [o]" accesskey="o">Увійти</a></li> </ul> </div> </nav> <div id="left-navigation"> <nav id="p-namespaces" class="mw-portlet mw-portlet-namespaces vector-menu-tabs vector-menu-tabs-legacy vector-menu" aria-labelledby="p-namespaces-label" > <h3 id="p-namespaces-label" class="vector-menu-heading " > Простори назв </h3> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="ca-nstab-main" class="selected mw-list-item"><a href="/wiki/%D0%9B%D0%BE%D0%B3%D0%B0%D1%80%D0%B8%D1%84%D0%BC" title="Вміст статті [c]" accesskey="c">Стаття</a></li><li id="ca-talk" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%D0%9E%D0%B1%D0%B3%D0%BE%D0%B2%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F:%D0%9B%D0%BE%D0%B3%D0%B0%D1%80%D0%B8%D1%84%D0%BC" rel="discussion" title="Обговорення сторінки [t]" accesskey="t">Обговорення</a></li> </ul> </div> </nav> <nav id="p-variants" class="mw-portlet mw-portlet-variants emptyPortlet vector-menu-dropdown vector-menu" aria-labelledby="p-variants-label" > <input type="checkbox" id="p-variants-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-p-variants" class="vector-menu-checkbox" aria-labelledby="p-variants-label" > <label id="p-variants-label" class="vector-menu-heading " > українська </label> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> </ul> </div> </nav> </div> <div id="right-navigation"> <nav id="p-views" class="mw-portlet mw-portlet-views vector-menu-tabs vector-menu-tabs-legacy vector-menu" aria-labelledby="p-views-label" > <h3 id="p-views-label" class="vector-menu-heading " > Перегляди </h3> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="ca-view" class="selected mw-list-item"><a href="/wiki/%D0%9B%D0%BE%D0%B3%D0%B0%D1%80%D0%B8%D1%84%D0%BC">Читати</a></li><li id="ca-ve-edit" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%D0%9B%D0%BE%D0%B3%D0%B0%D1%80%D0%B8%D1%84%D0%BC&veaction=edit" title="Редагувати цю сторінку [v]" accesskey="v">Редагувати</a></li><li id="ca-edit" class="collapsible mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%D0%9B%D0%BE%D0%B3%D0%B0%D1%80%D0%B8%D1%84%D0%BC&action=edit" title="Редагувати вихідний код сторінки [e]" accesskey="e">Редагувати код</a></li><li id="ca-history" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%D0%9B%D0%BE%D0%B3%D0%B0%D1%80%D0%B8%D1%84%D0%BC&action=history" title="Журнал змін сторінки [h]" accesskey="h">Переглянути історію</a></li> </ul> </div> </nav> <nav id="p-cactions" class="mw-portlet mw-portlet-cactions emptyPortlet vector-menu-dropdown vector-menu" aria-labelledby="p-cactions-label" title="Більше опцій" > <input type="checkbox" id="p-cactions-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-p-cactions" class="vector-menu-checkbox" aria-labelledby="p-cactions-label" > <label id="p-cactions-label" class="vector-menu-heading " > Більше </label> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> </ul> </div> </nav> <div id="p-search" role="search" class="vector-search-box-vue vector-search-box-show-thumbnail vector-search-box-auto-expand-width vector-search-box"> <h3 >Пошук</h3> <form action="/w/index.php" id="searchform" class="vector-search-box-form"> <div id="simpleSearch" class="vector-search-box-inner" data-search-loc="header-navigation"> <input class="vector-search-box-input" type="search" name="search" placeholder="Пошук у Вікіпедії" aria-label="Пошук у Вікіпедії" autocapitalize="sentences" title="Шукати у Вікіпедії [f]" accesskey="f" id="searchInput" > <input type="hidden" name="title" value="Спеціальна:Пошук"> <input id="mw-searchButton" class="searchButton mw-fallbackSearchButton" type="submit" name="fulltext" title="Знайти сторінки, що містять зазначений текст" value="Знайти"> <input id="searchButton" class="searchButton" type="submit" name="go" title="Перейти до сторінки, що має точно таку назву (якщо вона існує)" value="Перейти"> </div> </form> </div> </div> </div> <div id="mw-panel" class="vector-legacy-sidebar"> <div id="p-logo" role="banner"> <a class="mw-wiki-logo" href="/wiki/%D0%93%D0%BE%D0%BB%D0%BE%D0%B2%D0%BD%D0%B0_%D1%81%D1%82%D0%BE%D1%80%D1%96%D0%BD%D0%BA%D0%B0" title="Перейти на головну сторінку"></a> </div> <nav id="p-navigation" class="mw-portlet mw-portlet-navigation vector-menu-portal portal vector-menu" aria-labelledby="p-navigation-label" > <h3 id="p-navigation-label" class="vector-menu-heading " > Навігація </h3> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="n-mainpage-description" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%D0%93%D0%BE%D0%BB%D0%BE%D0%B2%D0%BD%D0%B0_%D1%81%D1%82%D0%BE%D1%80%D1%96%D0%BD%D0%BA%D0%B0" title="Перейти на головну сторінку [z]" accesskey="z">Головна сторінка</a></li><li id="n-currentevents" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%D0%9F%D0%BE%D1%80%D1%82%D0%B0%D0%BB:%D0%9F%D0%BE%D1%82%D0%BE%D1%87%D0%BD%D1%96_%D0%BF%D0%BE%D0%B4%D1%96%D1%97" title="Список поточних подій">Поточні події</a></li><li id="n-recentchanges" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%D0%A1%D0%BF%D0%B5%D1%86%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0:%D0%9D%D0%BE%D0%B2%D1%96_%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%B0%D0%B3%D1%83%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8F" title="Список останніх змін у цій вікі [r]" accesskey="r">Нові редагування</a></li><li id="n-newpages" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%D0%A1%D0%BF%D0%B5%D1%86%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0:%D0%9D%D0%BE%D0%B2%D1%96_%D1%81%D1%82%D0%BE%D1%80%D1%96%D0%BD%D0%BA%D0%B8">Нові сторінки</a></li><li id="n-randompage" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%D0%A1%D0%BF%D0%B5%D1%86%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0:%D0%92%D0%B8%D0%BF%D0%B0%D0%B4%D0%BA%D0%BE%D0%B2%D0%B0_%D1%81%D1%82%D0%BE%D1%80%D1%96%D0%BD%D0%BA%D0%B0" title="Переглянути випадкову сторінку [x]" accesskey="x">Випадкова стаття</a></li> </ul> </div> </nav> <nav id="p-Участь" class="mw-portlet mw-portlet-Участь vector-menu-portal portal vector-menu" aria-labelledby="p-Участь-label" > <h3 id="p-Участь-label" class="vector-menu-heading " > Участь </h3> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="n-portal" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%D0%92%D1%96%D0%BA%D1%96%D0%BF%D0%B5%D0%B4%D1%96%D1%8F:%D0%9F%D0%BE%D1%80%D1%82%D0%B0%D0%BB_%D1%81%D0%BF%D1%96%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D1%82%D0%B8" title="Про проєкт, про те, що Ви можете зробити, і що де шукати">Портал спільноти</a></li><li id="n-tavern" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%D0%92%D1%96%D0%BA%D1%96%D0%BF%D0%B5%D0%B4%D1%96%D1%8F:%D0%9A%D0%BD%D0%B0%D0%B9%D0%BF%D0%B0" title="Місце для обговорення більшості питань">Кнайпа</a></li><li id="n-help" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%D0%92%D1%96%D0%BA%D1%96%D0%BF%D0%B5%D0%B4%D1%96%D1%8F:%D0%94%D0%BE%D0%B2%D1%96%D0%B4%D0%BA%D0%B0" title="Довідка з проєкту">Довідка</a></li><li id="n-sitesupport" class="mw-list-item"><a href="//donate.wikimedia.org/wiki/Special:FundraiserRedirector?utm_source=donate&utm_medium=sidebar&utm_campaign=C13_uk.wikipedia.org&uselang=uk" title="Підтримайте проєкт">Пожертвувати</a></li><li id="n-Сторінка-для-медіа" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%D0%92%D1%96%D0%BA%D1%96%D0%BF%D0%B5%D0%B4%D1%96%D1%8F:%D0%A1%D1%82%D0%BE%D1%80%D1%96%D0%BD%D0%BA%D0%B0_%D0%B4%D0%BB%D1%8F_%D0%BC%D0%B5%D0%B4%D1%96%D0%B0">Сторінка для медіа</a></li> </ul> </div> </nav> <nav id="p-tb" class="mw-portlet mw-portlet-tb vector-menu-portal portal vector-menu" aria-labelledby="p-tb-label" > <h3 id="p-tb-label" class="vector-menu-heading " > Інструменти </h3> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="t-whatlinkshere" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%D0%A1%D0%BF%D0%B5%D1%86%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0:%D0%9F%D0%BE%D1%81%D0%B8%D0%BB%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8F_%D1%81%D1%8E%D0%B4%D0%B8/%D0%9B%D0%BE%D0%B3%D0%B0%D1%80%D0%B8%D1%84%D0%BC" title="Перелік усіх сторінок, які посилаються на цю сторінку [j]" accesskey="j">Посилання сюди</a></li><li id="t-recentchangeslinked" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%D0%A1%D0%BF%D0%B5%D1%86%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0:%D0%9F%D0%BE%D0%B2%27%D1%8F%D0%B7%D0%B0%D0%BD%D1%96_%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%B0%D0%B3%D1%83%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8F/%D0%9B%D0%BE%D0%B3%D0%B0%D1%80%D0%B8%D1%84%D0%BC" rel="nofollow" title="Останні зміни на сторінках, на які посилається ця сторінка [k]" accesskey="k">Пов'язані редагування</a></li><li id="t-specialpages" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%D0%A1%D0%BF%D0%B5%D1%86%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0:%D0%A1%D0%BF%D0%B5%D1%86%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%96_%D1%81%D1%82%D0%BE%D1%80%D1%96%D0%BD%D0%BA%D0%B8" title="Перелік спеціальних сторінок [q]" accesskey="q">Спеціальні сторінки</a></li><li id="t-permalink" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%D0%9B%D0%BE%D0%B3%D0%B0%D1%80%D0%B8%D1%84%D0%BC&oldid=43672526" title="Постійне посилання на цю версію цієї сторінки">Постійне посилання</a></li><li id="t-info" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%D0%9B%D0%BE%D0%B3%D0%B0%D1%80%D0%B8%D1%84%D0%BC&action=info" title="Додаткові відомості про цю сторінку">Інформація про сторінку</a></li><li id="t-cite" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%D0%A1%D0%BF%D0%B5%D1%86%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0:%D0%A6%D0%B8%D1%82%D0%B0%D1%82%D0%B0&page=%D0%9B%D0%BE%D0%B3%D0%B0%D1%80%D0%B8%D1%84%D0%BC&id=43672526&wpFormIdentifier=titleform" title="Інформація про те, як цитувати цю сторінку">Цитувати сторінку</a></li><li id="t-urlshortener" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%D0%A1%D0%BF%D0%B5%D1%86%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0:UrlShortener&url=https%3A%2F%2Fuk.wikipedia.org%2Fwiki%2F%25D0%259B%25D0%25BE%25D0%25B3%25D0%25B0%25D1%2580%25D0%25B8%25D1%2584%25D0%25BC">Отримати вкорочену URL-адресу</a></li><li id="t-urlshortener-qrcode" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%D0%A1%D0%BF%D0%B5%D1%86%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0:QrCode&url=https%3A%2F%2Fuk.wikipedia.org%2Fwiki%2F%25D0%259B%25D0%25BE%25D0%25B3%25D0%25B0%25D1%2580%25D0%25B8%25D1%2584%25D0%25BC">Завантажити QR-код</a></li> </ul> </div> </nav> <nav id="p-coll-print_export" class="mw-portlet mw-portlet-coll-print_export vector-menu-portal portal vector-menu" aria-labelledby="p-coll-print_export-label" > <h3 id="p-coll-print_export-label" class="vector-menu-heading " > Друк/експорт </h3> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="coll-create_a_book" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%D0%A1%D0%BF%D0%B5%D1%86%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0:%D0%9A%D0%BD%D0%B8%D0%B3%D0%B0&bookcmd=book_creator&referer=%D0%9B%D0%BE%D0%B3%D0%B0%D1%80%D0%B8%D1%84%D0%BC">Створити книгу</a></li><li id="coll-download-as-rl" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%D0%A1%D0%BF%D0%B5%D1%86%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0:DownloadAsPdf&page=%D0%9B%D0%BE%D0%B3%D0%B0%D1%80%D0%B8%D1%84%D0%BC&action=show-download-screen">Завантажити як PDF</a></li><li id="t-print" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%D0%9B%D0%BE%D0%B3%D0%B0%D1%80%D0%B8%D1%84%D0%BC&printable=yes" title="Версія цієї сторінки для друку [p]" accesskey="p">Версія до друку</a></li> </ul> </div> </nav> <nav id="p-wikibase-otherprojects" class="mw-portlet mw-portlet-wikibase-otherprojects vector-menu-portal portal vector-menu" aria-labelledby="p-wikibase-otherprojects-label" > <h3 id="p-wikibase-otherprojects-label" class="vector-menu-heading " > В інших проєктах </h3> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li class="wb-otherproject-link wb-otherproject-commons mw-list-item"><a href="https://commons.wikimedia.org/wiki/Logarithm" hreflang="en">Вікісховище</a></li><li class="wb-otherproject-link wb-otherproject-wikiquote mw-list-item"><a href="https://uk.wikiquote.org/wiki/%D0%9B%D0%BE%D0%B3%D0%B0%D1%80%D0%B8%D1%84%D0%BC" hreflang="uk">Вікіцитати</a></li><li id="t-wikibase" class="wb-otherproject-link wb-otherproject-wikibase-dataitem mw-list-item"><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Special:EntityPage/Q11197" title="Посилання на пов’язаний елемент сховища даних [g]" accesskey="g">Елемент Вікіданих</a></li> </ul> </div> </nav> <nav id="p-lang" class="mw-portlet mw-portlet-lang vector-menu-portal portal vector-menu" aria-labelledby="p-lang-label" > <h3 id="p-lang-label" class="vector-menu-heading " > Іншими мовами </h3> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li class="interlanguage-link interwiki-af mw-list-item"><a href="https://af.wikipedia.org/wiki/Logaritme" title="Logaritme — африкаанс" lang="af" hreflang="af" data-title="Logaritme" data-language-autonym="Afrikaans" data-language-local-name="африкаанс" class="interlanguage-link-target">Afrikaans</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-als mw-list-item"><a href="https://als.wikipedia.org/wiki/Logarithmus" title="Logarithmus — німецька (Швейцарія)" lang="gsw" hreflang="gsw" data-title="Logarithmus" data-language-autonym="Alemannisch" data-language-local-name="німецька (Швейцарія)" class="interlanguage-link-target">Alemannisch</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-am mw-list-item"><a href="https://am.wikipedia.org/wiki/%E1%88%8E%E1%8C%8B%E1%88%AA%E1%8B%9D%E1%88%9D" title="ሎጋሪዝም — амхарська" lang="am" hreflang="am" data-title="ሎጋሪዝም" data-language-autonym="አማርኛ" data-language-local-name="амхарська" class="interlanguage-link-target">አማርኛ</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-an mw-list-item"><a href="https://an.wikipedia.org/wiki/Logaritmo" title="Logaritmo — арагонська" lang="an" hreflang="an" data-title="Logaritmo" data-language-autonym="Aragonés" data-language-local-name="арагонська" class="interlanguage-link-target">Aragonés</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ar mw-list-item"><a href="https://ar.wikipedia.org/wiki/%D9%84%D9%88%D8%BA%D8%A7%D8%B1%D9%8A%D8%AA%D9%85" title="لوغاريتم — арабська" lang="ar" hreflang="ar" data-title="لوغاريتم" data-language-autonym="العربية" data-language-local-name="арабська" class="interlanguage-link-target">العربية</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ary mw-list-item"><a href="https://ary.wikipedia.org/wiki/%D9%84%D9%88%DA%AD%D8%A7%D8%B1%D9%8A%D8%AA%D9%85" title="لوڭاريتم — Moroccan Arabic" lang="ary" hreflang="ary" data-title="لوڭاريتم" data-language-autonym="الدارجة" data-language-local-name="Moroccan Arabic" class="interlanguage-link-target">الدارجة</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-as mw-list-item"><a href="https://as.wikipedia.org/wiki/%E0%A6%98%E0%A6%BE%E0%A6%A4%E0%A6%BE%E0%A6%82%E0%A6%95" title="ঘাতাংক — асамська" lang="as" hreflang="as" data-title="ঘাতাংক" data-language-autonym="অসমীয়া" data-language-local-name="асамська" class="interlanguage-link-target">অসমীয়া</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ast mw-list-item"><a href="https://ast.wikipedia.org/wiki/Logaritmu" title="Logaritmu — астурійська" lang="ast" hreflang="ast" data-title="Logaritmu" data-language-autonym="Asturianu" data-language-local-name="астурійська" class="interlanguage-link-target">Asturianu</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-az mw-list-item"><a href="https://az.wikipedia.org/wiki/Loqarifm" title="Loqarifm — азербайджанська" lang="az" hreflang="az" data-title="Loqarifm" data-language-autonym="Azərbaycanca" data-language-local-name="азербайджанська" class="interlanguage-link-target">Azərbaycanca</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ba mw-list-item"><a href="https://ba.wikipedia.org/wiki/%D0%9B%D0%BE%D0%B3%D0%B0%D1%80%D0%B8%D1%84%D0%BC" title="Логарифм — башкирська" lang="ba" hreflang="ba" data-title="Логарифм" data-language-autonym="Башҡортса" data-language-local-name="башкирська" class="interlanguage-link-target">Башҡортса</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bat-smg mw-list-item"><a href="https://bat-smg.wikipedia.org/wiki/Luogar%C4%97tmos" title="Luogarėtmos — Samogitian" lang="sgs" hreflang="sgs" data-title="Luogarėtmos" data-language-autonym="Žemaitėška" data-language-local-name="Samogitian" class="interlanguage-link-target">Žemaitėška</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bcl mw-list-item"><a href="https://bcl.wikipedia.org/wiki/Logaritmo" title="Logaritmo — Central Bikol" lang="bcl" hreflang="bcl" data-title="Logaritmo" data-language-autonym="Bikol Central" data-language-local-name="Central Bikol" class="interlanguage-link-target">Bikol Central</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-be mw-list-item"><a href="https://be.wikipedia.org/wiki/%D0%9B%D0%B0%D0%B3%D0%B0%D1%80%D1%8B%D1%84%D0%BC" title="Лагарыфм — білоруська" lang="be" hreflang="be" data-title="Лагарыфм" data-language-autonym="Беларуская" data-language-local-name="білоруська" class="interlanguage-link-target">Беларуская</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-be-x-old mw-list-item"><a href="https://be-tarask.wikipedia.org/wiki/%D0%9B%D1%8F%D0%B3%D0%B0%D1%80%D1%8B%D1%82%D0%BC" title="Лягарытм — Belarusian (Taraškievica orthography)" lang="be-tarask" hreflang="be-tarask" data-title="Лягарытм" data-language-autonym="Беларуская (тарашкевіца)" data-language-local-name="Belarusian (Taraškievica orthography)" class="interlanguage-link-target">Беларуская (тарашкевіца)</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bg mw-list-item"><a href="https://bg.wikipedia.org/wiki/%D0%9B%D0%BE%D0%B3%D0%B0%D1%80%D0%B8%D1%82%D1%8A%D0%BC" title="Логаритъм — болгарська" lang="bg" hreflang="bg" data-title="Логаритъм" data-language-autonym="Български" data-language-local-name="болгарська" class="interlanguage-link-target">Български</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bjn mw-list-item"><a href="https://bjn.wikipedia.org/wiki/Logaritma" title="Logaritma — банджарська" lang="bjn" hreflang="bjn" data-title="Logaritma" data-language-autonym="Banjar" data-language-local-name="банджарська" class="interlanguage-link-target">Banjar</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bn mw-list-item"><a href="https://bn.wikipedia.org/wiki/%E0%A6%B2%E0%A6%97%E0%A6%BE%E0%A6%B0%E0%A6%BF%E0%A6%A6%E0%A6%AE" title="লগারিদম — бенгальська" lang="bn" hreflang="bn" data-title="লগারিদম" data-language-autonym="বাংলা" data-language-local-name="бенгальська" class="interlanguage-link-target">বাংলা</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-br mw-list-item"><a href="https://br.wikipedia.org/wiki/Logaritm" title="Logaritm — бретонська" lang="br" hreflang="br" data-title="Logaritm" data-language-autonym="Brezhoneg" data-language-local-name="бретонська" class="interlanguage-link-target">Brezhoneg</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bs mw-list-item"><a href="https://bs.wikipedia.org/wiki/Logaritam" title="Logaritam — боснійська" lang="bs" hreflang="bs" data-title="Logaritam" data-language-autonym="Bosanski" data-language-local-name="боснійська" class="interlanguage-link-target">Bosanski</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bxr mw-list-item"><a href="https://bxr.wikipedia.org/wiki/%D0%9B%D0%BE%D0%B3%D0%B0%D1%80%D0%B8%D1%84%D0%BC" title="Логарифм — Russia Buriat" lang="bxr" hreflang="bxr" data-title="Логарифм" data-language-autonym="Буряад" data-language-local-name="Russia Buriat" class="interlanguage-link-target">Буряад</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ca mw-list-item"><a href="https://ca.wikipedia.org/wiki/Logaritme" title="Logaritme — каталонська" lang="ca" hreflang="ca" data-title="Logaritme" data-language-autonym="Català" data-language-local-name="каталонська" class="interlanguage-link-target">Català</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ckb mw-list-item"><a href="https://ckb.wikipedia.org/wiki/%D9%84%DB%86%DA%AF%D8%A7%D8%B1%DB%8C%D8%AA%D9%85" title="لۆگاریتم — центральнокурдська" lang="ckb" hreflang="ckb" data-title="لۆگاریتم" data-language-autonym="کوردی" data-language-local-name="центральнокурдська" class="interlanguage-link-target">کوردی</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-cs mw-list-item"><a href="https://cs.wikipedia.org/wiki/Logaritmus" title="Logaritmus — чеська" lang="cs" hreflang="cs" data-title="Logaritmus" data-language-autonym="Čeština" data-language-local-name="чеська" class="interlanguage-link-target">Čeština</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-cv mw-list-item"><a href="https://cv.wikipedia.org/wiki/%D0%9B%D0%BE%D0%B3%D0%B0%D1%80%D0%B8%D1%84%D0%BC" title="Логарифм — чуваська" lang="cv" hreflang="cv" data-title="Логарифм" data-language-autonym="Чӑвашла" data-language-local-name="чуваська" class="interlanguage-link-target">Чӑвашла</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-cy mw-list-item"><a href="https://cy.wikipedia.org/wiki/Logarithm" title="Logarithm — валлійська" lang="cy" hreflang="cy" data-title="Logarithm" data-language-autonym="Cymraeg" data-language-local-name="валлійська" class="interlanguage-link-target">Cymraeg</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-da mw-list-item"><a href="https://da.wikipedia.org/wiki/Logaritme" title="Logaritme — данська" lang="da" hreflang="da" data-title="Logaritme" data-language-autonym="Dansk" data-language-local-name="данська" class="interlanguage-link-target">Dansk</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-de mw-list-item"><a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Logarithmus" title="Logarithmus — німецька" lang="de" hreflang="de" data-title="Logarithmus" data-language-autonym="Deutsch" data-language-local-name="німецька" class="interlanguage-link-target">Deutsch</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-diq mw-list-item"><a href="https://diq.wikipedia.org/wiki/Logaritma" title="Logaritma — Zazaki" lang="diq" hreflang="diq" data-title="Logaritma" data-language-autonym="Zazaki" data-language-local-name="Zazaki" class="interlanguage-link-target">Zazaki</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-el mw-list-item"><a href="https://el.wikipedia.org/wiki/%CE%9B%CE%BF%CE%B3%CE%AC%CF%81%CE%B9%CE%B8%CE%BC%CE%BF%CF%82" title="Λογάριθμος — грецька" lang="el" hreflang="el" data-title="Λογάριθμος" data-language-autonym="Ελληνικά" data-language-local-name="грецька" class="interlanguage-link-target">Ελληνικά</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-eml mw-list-item"><a href="https://eml.wikipedia.org/wiki/Logar%C3%ACtem" title="Logarìtem — Emiliano-Romagnolo" lang="egl" hreflang="egl" data-title="Logarìtem" data-language-autonym="Emiliàn e rumagnòl" data-language-local-name="Emiliano-Romagnolo" class="interlanguage-link-target">Emiliàn e rumagnòl</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-en badge-Q17437796 badge-featuredarticle mw-list-item" title="вибрана стаття"><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Logarithm" title="Logarithm — англійська" lang="en" hreflang="en" data-title="Logarithm" data-language-autonym="English" data-language-local-name="англійська" class="interlanguage-link-target">English</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-eo mw-list-item"><a href="https://eo.wikipedia.org/wiki/Logaritmo" title="Logaritmo — есперанто" lang="eo" hreflang="eo" data-title="Logaritmo" data-language-autonym="Esperanto" data-language-local-name="есперанто" class="interlanguage-link-target">Esperanto</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-es mw-list-item"><a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Logaritmo" title="Logaritmo — іспанська" lang="es" hreflang="es" data-title="Logaritmo" data-language-autonym="Español" data-language-local-name="іспанська" class="interlanguage-link-target">Español</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-et mw-list-item"><a href="https://et.wikipedia.org/wiki/Logaritm" title="Logaritm — естонська" lang="et" hreflang="et" data-title="Logaritm" data-language-autonym="Eesti" data-language-local-name="естонська" class="interlanguage-link-target">Eesti</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-eu mw-list-item"><a href="https://eu.wikipedia.org/wiki/Logaritmo" title="Logaritmo — баскська" lang="eu" hreflang="eu" data-title="Logaritmo" data-language-autonym="Euskara" data-language-local-name="баскська" class="interlanguage-link-target">Euskara</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ext mw-list-item"><a href="https://ext.wikipedia.org/wiki/Logaritmu" title="Logaritmu — Extremaduran" lang="ext" hreflang="ext" data-title="Logaritmu" data-language-autonym="Estremeñu" data-language-local-name="Extremaduran" class="interlanguage-link-target">Estremeñu</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fa mw-list-item"><a href="https://fa.wikipedia.org/wiki/%D9%84%DA%AF%D8%A7%D8%B1%DB%8C%D8%AA%D9%85" title="لگاریتم — перська" lang="fa" hreflang="fa" data-title="لگاریتم" data-language-autonym="فارسی" data-language-local-name="перська" class="interlanguage-link-target">فارسی</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fi mw-list-item"><a href="https://fi.wikipedia.org/wiki/Logaritmi" title="Logaritmi — фінська" lang="fi" hreflang="fi" data-title="Logaritmi" data-language-autonym="Suomi" data-language-local-name="фінська" class="interlanguage-link-target">Suomi</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fo mw-list-item"><a href="https://fo.wikipedia.org/wiki/Logaritma" title="Logaritma — фарерська" lang="fo" hreflang="fo" data-title="Logaritma" data-language-autonym="Føroyskt" data-language-local-name="фарерська" class="interlanguage-link-target">Føroyskt</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fr mw-list-item"><a href="https://fr.wikipedia.org/wiki/Logarithme" title="Logarithme — французька" lang="fr" hreflang="fr" data-title="Logarithme" data-language-autonym="Français" data-language-local-name="французька" class="interlanguage-link-target">Français</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ga mw-list-item"><a href="https://ga.wikipedia.org/wiki/Logartam" title="Logartam — ірландська" lang="ga" hreflang="ga" data-title="Logartam" data-language-autonym="Gaeilge" data-language-local-name="ірландська" class="interlanguage-link-target">Gaeilge</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-gan mw-list-item"><a href="https://gan.wikipedia.org/wiki/%E5%B0%8D%E6%95%B8" title="對數 — ґань" lang="gan" hreflang="gan" data-title="對數" data-language-autonym="贛語" data-language-local-name="ґань" class="interlanguage-link-target">贛語</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-gcr mw-list-item"><a href="https://gcr.wikipedia.org/wiki/Logaritm" title="Logaritm — Guianan Creole" lang="gcr" hreflang="gcr" data-title="Logaritm" data-language-autonym="Kriyòl gwiyannen" data-language-local-name="Guianan Creole" class="interlanguage-link-target">Kriyòl gwiyannen</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-gl mw-list-item"><a href="https://gl.wikipedia.org/wiki/Logaritmo" title="Logaritmo — галісійська" lang="gl" hreflang="gl" data-title="Logaritmo" data-language-autonym="Galego" data-language-local-name="галісійська" class="interlanguage-link-target">Galego</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-he mw-list-item"><a href="https://he.wikipedia.org/wiki/%D7%9C%D7%95%D7%92%D7%A8%D7%99%D7%AA%D7%9D" title="לוגריתם — іврит" lang="he" hreflang="he" data-title="לוגריתם" data-language-autonym="עברית" data-language-local-name="іврит" class="interlanguage-link-target">עברית</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hi mw-list-item"><a href="https://hi.wikipedia.org/wiki/%E0%A4%B2%E0%A4%98%E0%A5%81%E0%A4%97%E0%A4%A3%E0%A4%95" title="लघुगणक — гінді" lang="hi" hreflang="hi" data-title="लघुगणक" data-language-autonym="हिन्दी" data-language-local-name="гінді" class="interlanguage-link-target">हिन्दी</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hif mw-list-item"><a href="https://hif.wikipedia.org/wiki/Logarithm" title="Logarithm — Fiji Hindi" lang="hif" hreflang="hif" data-title="Logarithm" data-language-autonym="Fiji Hindi" data-language-local-name="Fiji Hindi" class="interlanguage-link-target">Fiji Hindi</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hr mw-list-item"><a href="https://hr.wikipedia.org/wiki/Logaritam" title="Logaritam — хорватська" lang="hr" hreflang="hr" data-title="Logaritam" data-language-autonym="Hrvatski" data-language-local-name="хорватська" class="interlanguage-link-target">Hrvatski</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hu badge-Q17437796 badge-featuredarticle mw-list-item" title="вибрана стаття"><a href="https://hu.wikipedia.org/wiki/Logaritmus" title="Logaritmus — угорська" lang="hu" hreflang="hu" data-title="Logaritmus" data-language-autonym="Magyar" data-language-local-name="угорська" class="interlanguage-link-target">Magyar</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hy mw-list-item"><a href="https://hy.wikipedia.org/wiki/%D4%BC%D5%B8%D5%A3%D5%A1%D6%80%D5%AB%D5%A9%D5%B4" title="Լոգարիթմ — вірменська" lang="hy" hreflang="hy" data-title="Լոգարիթմ" data-language-autonym="Հայերեն" data-language-local-name="вірменська" class="interlanguage-link-target">Հայերեն</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ia mw-list-item"><a href="https://ia.wikipedia.org/wiki/Logarithmo" title="Logarithmo — інтерлінгва" lang="ia" hreflang="ia" data-title="Logarithmo" data-language-autonym="Interlingua" data-language-local-name="інтерлінгва" class="interlanguage-link-target">Interlingua</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-id mw-list-item"><a href="https://id.wikipedia.org/wiki/Logaritma" title="Logaritma — індонезійська" lang="id" hreflang="id" data-title="Logaritma" data-language-autonym="Bahasa Indonesia" data-language-local-name="індонезійська" class="interlanguage-link-target">Bahasa Indonesia</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-io mw-list-item"><a href="https://io.wikipedia.org/wiki/Logaritmo" title="Logaritmo — ідо" lang="io" hreflang="io" data-title="Logaritmo" data-language-autonym="Ido" data-language-local-name="ідо" class="interlanguage-link-target">Ido</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-is mw-list-item"><a href="https://is.wikipedia.org/wiki/Logri" title="Logri — ісландська" lang="is" hreflang="is" data-title="Logri" data-language-autonym="Íslenska" data-language-local-name="ісландська" class="interlanguage-link-target">Íslenska</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-it mw-list-item"><a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Logaritmo" title="Logaritmo — італійська" lang="it" hreflang="it" data-title="Logaritmo" data-language-autonym="Italiano" data-language-local-name="італійська" class="interlanguage-link-target">Italiano</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ja mw-list-item"><a href="https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AF%BE%E6%95%B0" title="対数 — японська" lang="ja" hreflang="ja" data-title="対数" data-language-autonym="日本語" data-language-local-name="японська" class="interlanguage-link-target">日本語</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-jam mw-list-item"><a href="https://jam.wikipedia.org/wiki/Lagaridim" title="Lagaridim — Jamaican Creole English" lang="jam" hreflang="jam" data-title="Lagaridim" data-language-autonym="Patois" data-language-local-name="Jamaican Creole English" class="interlanguage-link-target">Patois</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ka mw-list-item"><a href="https://ka.wikipedia.org/wiki/%E1%83%9A%E1%83%9D%E1%83%92%E1%83%90%E1%83%A0%E1%83%98%E1%83%97%E1%83%9B%E1%83%98" title="ლოგარითმი — грузинська" lang="ka" hreflang="ka" data-title="ლოგარითმი" data-language-autonym="ქართული" data-language-local-name="грузинська" class="interlanguage-link-target">ქართული</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-kk mw-list-item"><a href="https://kk.wikipedia.org/wiki/%D0%9B%D0%BE%D0%B3%D0%B0%D1%80%D0%B8%D1%84%D0%BC" title="Логарифм — казахська" lang="kk" hreflang="kk" data-title="Логарифм" data-language-autonym="Қазақша" data-language-local-name="казахська" class="interlanguage-link-target">Қазақша</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ko mw-list-item"><a href="https://ko.wikipedia.org/wiki/%EB%A1%9C%EA%B7%B8_(%EC%88%98%ED%95%99)" title="로그 (수학) — корейська" lang="ko" hreflang="ko" data-title="로그 (수학)" data-language-autonym="한국어" data-language-local-name="корейська" class="interlanguage-link-target">한국어</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-la mw-list-item"><a href="https://la.wikipedia.org/wiki/Logarithmus" title="Logarithmus — латинська" lang="la" hreflang="la" data-title="Logarithmus" data-language-autonym="Latina" data-language-local-name="латинська" class="interlanguage-link-target">Latina</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-lfn mw-list-item"><a href="https://lfn.wikipedia.org/wiki/Logaritmo" title="Logaritmo — Lingua Franca Nova" lang="lfn" hreflang="lfn" data-title="Logaritmo" data-language-autonym="Lingua Franca Nova" data-language-local-name="Lingua Franca Nova" class="interlanguage-link-target">Lingua Franca Nova</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-lmo mw-list-item"><a href="https://lmo.wikipedia.org/wiki/Logaritm" title="Logaritm — ломбардська" lang="lmo" hreflang="lmo" data-title="Logaritm" data-language-autonym="Lombard" data-language-local-name="ломбардська" class="interlanguage-link-target">Lombard</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-lt mw-list-item"><a href="https://lt.wikipedia.org/wiki/Logaritmas" title="Logaritmas — литовська" lang="lt" hreflang="lt" data-title="Logaritmas" data-language-autonym="Lietuvių" data-language-local-name="литовська" class="interlanguage-link-target">Lietuvių</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-lv mw-list-item"><a href="https://lv.wikipedia.org/wiki/Logaritms" title="Logaritms — латиська" lang="lv" hreflang="lv" data-title="Logaritms" data-language-autonym="Latviešu" data-language-local-name="латиська" class="interlanguage-link-target">Latviešu</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-mg mw-list-item"><a href="https://mg.wikipedia.org/wiki/Anisa" title="Anisa — малагасійська" lang="mg" hreflang="mg" data-title="Anisa" data-language-autonym="Malagasy" data-language-local-name="малагасійська" class="interlanguage-link-target">Malagasy</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-mk badge-Q17437796 badge-featuredarticle mw-list-item" title="вибрана стаття"><a href="https://mk.wikipedia.org/wiki/%D0%9B%D0%BE%D0%B3%D0%B0%D1%80%D0%B8%D1%82%D0%B0%D0%BC" title="Логаритам — македонська" lang="mk" hreflang="mk" data-title="Логаритам" data-language-autonym="Македонски" data-language-local-name="македонська" class="interlanguage-link-target">Македонски</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ml mw-list-item"><a href="https://ml.wikipedia.org/wiki/%E0%B4%B2%E0%B5%8B%E0%B4%97%E0%B4%B0%E0%B4%BF%E0%B4%A4%E0%B4%82" title="ലോഗരിതം — малаялам" lang="ml" hreflang="ml" data-title="ലോഗരിതം" data-language-autonym="മലയാളം" data-language-local-name="малаялам" class="interlanguage-link-target">മലയാളം</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-mr mw-list-item"><a href="https://mr.wikipedia.org/wiki/%E0%A4%B2%E0%A5%89%E0%A4%97%E0%A5%85%E0%A4%B0%E0%A4%BF%E0%A4%A6%E0%A4%AE" title="लॉगॅरिदम — маратхі" lang="mr" hreflang="mr" data-title="लॉगॅरिदम" data-language-autonym="मराठी" data-language-local-name="маратхі" class="interlanguage-link-target">मराठी</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ms mw-list-item"><a href="https://ms.wikipedia.org/wiki/Logaritma" title="Logaritma — малайська" lang="ms" hreflang="ms" data-title="Logaritma" data-language-autonym="Bahasa Melayu" data-language-local-name="малайська" class="interlanguage-link-target">Bahasa Melayu</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-my mw-list-item"><a href="https://my.wikipedia.org/wiki/%E1%80%9C%E1%80%B1%E1%80%AC%E1%80%B7%E1%80%82%E1%80%9B%E1%80%85%E1%80%BA%E1%80%9E%E1%80%99%E1%80%BA" title="လော့ဂရစ်သမ် — бірманська" lang="my" hreflang="my" data-title="လော့ဂရစ်သမ်" data-language-autonym="မြန်မာဘာသာ" data-language-local-name="бірманська" class="interlanguage-link-target">မြန်မာဘာသာ</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-nds mw-list-item"><a href="https://nds.wikipedia.org/wiki/Logarithmus" title="Logarithmus — нижньонімецька" lang="nds" hreflang="nds" data-title="Logarithmus" data-language-autonym="Plattdüütsch" data-language-local-name="нижньонімецька" class="interlanguage-link-target">Plattdüütsch</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-nl mw-list-item"><a href="https://nl.wikipedia.org/wiki/Logaritme" title="Logaritme — нідерландська" lang="nl" hreflang="nl" data-title="Logaritme" data-language-autonym="Nederlands" data-language-local-name="нідерландська" class="interlanguage-link-target">Nederlands</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-nn mw-list-item"><a href="https://nn.wikipedia.org/wiki/Logaritme" title="Logaritme — норвезька (нюношк)" lang="nn" hreflang="nn" data-title="Logaritme" data-language-autonym="Norsk nynorsk" data-language-local-name="норвезька (нюношк)" class="interlanguage-link-target">Norsk nynorsk</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-no mw-list-item"><a href="https://no.wikipedia.org/wiki/Logaritme" title="Logaritme — норвезька (букмол)" lang="nb" hreflang="nb" data-title="Logaritme" data-language-autonym="Norsk bokmål" data-language-local-name="норвезька (букмол)" class="interlanguage-link-target">Norsk bokmål</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-oc mw-list-item"><a href="https://oc.wikipedia.org/wiki/Logaritme" title="Logaritme — окситанська" lang="oc" hreflang="oc" data-title="Logaritme" data-language-autonym="Occitan" data-language-local-name="окситанська" class="interlanguage-link-target">Occitan</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-om mw-list-item"><a href="https://om.wikipedia.org/wiki/Loogarizimii" title="Loogarizimii — оромо" lang="om" hreflang="om" data-title="Loogarizimii" data-language-autonym="Oromoo" data-language-local-name="оромо" class="interlanguage-link-target">Oromoo</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pa mw-list-item"><a href="https://pa.wikipedia.org/wiki/%E0%A8%B2%E0%A8%98%E0%A9%82%E0%A8%97%E0%A8%A3%E0%A8%95" title="ਲਘੂਗਣਕ — панджабі" lang="pa" hreflang="pa" data-title="ਲਘੂਗਣਕ" data-language-autonym="ਪੰਜਾਬੀ" data-language-local-name="панджабі" class="interlanguage-link-target">ਪੰਜਾਬੀ</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pl mw-list-item"><a href="https://pl.wikipedia.org/wiki/Logarytm" title="Logarytm — польська" lang="pl" hreflang="pl" data-title="Logarytm" data-language-autonym="Polski" data-language-local-name="польська" class="interlanguage-link-target">Polski</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pnb mw-list-item"><a href="https://pnb.wikipedia.org/wiki/%D9%84%D8%A7%DA%AF%D8%B1%D8%AA%DA%BE%D9%85" title="لاگرتھم — Western Punjabi" lang="pnb" hreflang="pnb" data-title="لاگرتھم" data-language-autonym="پنجابی" data-language-local-name="Western Punjabi" class="interlanguage-link-target">پنجابی</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pt badge-Q17437796 badge-featuredarticle mw-list-item" title="вибрана стаття"><a href="https://pt.wikipedia.org/wiki/Logaritmo" title="Logaritmo — португальська" lang="pt" hreflang="pt" data-title="Logaritmo" data-language-autonym="Português" data-language-local-name="португальська" class="interlanguage-link-target">Português</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ro mw-list-item"><a href="https://ro.wikipedia.org/wiki/Logaritm" title="Logaritm — румунська" lang="ro" hreflang="ro" data-title="Logaritm" data-language-autonym="Română" data-language-local-name="румунська" class="interlanguage-link-target">Română</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ru badge-Q17437796 badge-featuredarticle mw-list-item" title="вибрана стаття"><a href="https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9B%D0%BE%D0%B3%D0%B0%D1%80%D0%B8%D1%84%D0%BC" title="Логарифм — російська" lang="ru" hreflang="ru" data-title="Логарифм" data-language-autonym="Русский" data-language-local-name="російська" class="interlanguage-link-target">Русский</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sah mw-list-item"><a href="https://sah.wikipedia.org/wiki/%D0%9B%D0%BE%D0%B3%D0%B0%D1%80%D0%B8%D1%84%D0%BC" title="Логарифм — саха" lang="sah" hreflang="sah" data-title="Логарифм" data-language-autonym="Саха тыла" data-language-local-name="саха" class="interlanguage-link-target">Саха тыла</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-scn mw-list-item"><a href="https://scn.wikipedia.org/wiki/Logaritmu" title="Logaritmu — сицилійська" lang="scn" hreflang="scn" data-title="Logaritmu" data-language-autonym="Sicilianu" data-language-local-name="сицилійська" class="interlanguage-link-target">Sicilianu</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sh badge-Q70893996 mw-list-item" title=""><a href="https://sh.wikipedia.org/wiki/%D0%9B%D0%BE%D0%B3%D0%B0%D1%80%D0%B8%D1%82%D0%B0%D0%BC" title="Логаритам — сербсько-хорватська" lang="sh" hreflang="sh" data-title="Логаритам" data-language-autonym="Srpskohrvatski / српскохрватски" data-language-local-name="сербсько-хорватська" class="interlanguage-link-target">Srpskohrvatski / српскохрватски</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-si mw-list-item"><a href="https://si.wikipedia.org/wiki/%E0%B6%BD%E0%B6%9D%E0%B7%94_%E0%B6%9C%E0%B6%AB%E0%B6%9A" title="ලඝු ගණක — сингальська" lang="si" hreflang="si" data-title="ලඝු ගණක" data-language-autonym="සිංහල" data-language-local-name="сингальська" class="interlanguage-link-target">සිංහල</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-simple mw-list-item"><a href="https://simple.wikipedia.org/wiki/Logarithm" title="Logarithm — Simple English" lang="en-simple" hreflang="en-simple" data-title="Logarithm" data-language-autonym="Simple English" data-language-local-name="Simple English" class="interlanguage-link-target">Simple English</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sk mw-list-item"><a href="https://sk.wikipedia.org/wiki/Logaritmus" title="Logaritmus — словацька" lang="sk" hreflang="sk" data-title="Logaritmus" data-language-autonym="Slovenčina" data-language-local-name="словацька" class="interlanguage-link-target">Slovenčina</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sl mw-list-item"><a href="https://sl.wikipedia.org/wiki/Logaritem" title="Logaritem — словенська" lang="sl" hreflang="sl" data-title="Logaritem" data-language-autonym="Slovenščina" data-language-local-name="словенська" class="interlanguage-link-target">Slovenščina</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sn mw-list-item"><a href="https://sn.wikipedia.org/wiki/Daraunene" title="Daraunene — шона" lang="sn" hreflang="sn" data-title="Daraunene" data-language-autonym="ChiShona" data-language-local-name="шона" class="interlanguage-link-target">ChiShona</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sq mw-list-item"><a href="https://sq.wikipedia.org/wiki/Logaritmet" title="Logaritmet — албанська" lang="sq" hreflang="sq" data-title="Logaritmet" data-language-autonym="Shqip" data-language-local-name="албанська" class="interlanguage-link-target">Shqip</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sr mw-list-item"><a href="https://sr.wikipedia.org/wiki/%D0%9B%D0%BE%D0%B3%D0%B0%D1%80%D0%B8%D1%82%D0%B0%D0%BC" title="Логаритам — сербська" lang="sr" hreflang="sr" data-title="Логаритам" data-language-autonym="Српски / srpski" data-language-local-name="сербська" class="interlanguage-link-target">Српски / srpski</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sv mw-list-item"><a href="https://sv.wikipedia.org/wiki/Logaritm" title="Logaritm — шведська" lang="sv" hreflang="sv" data-title="Logaritm" data-language-autonym="Svenska" data-language-local-name="шведська" class="interlanguage-link-target">Svenska</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sw mw-list-item"><a href="https://sw.wikipedia.org/wiki/Logi" title="Logi — суахілі" lang="sw" hreflang="sw" data-title="Logi" data-language-autonym="Kiswahili" data-language-local-name="суахілі" class="interlanguage-link-target">Kiswahili</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ta mw-list-item"><a href="https://ta.wikipedia.org/wiki/%E0%AE%AE%E0%AE%9F%E0%AE%95%E0%AF%8D%E0%AE%95%E0%AF%88" title="மடக்கை — тамільська" lang="ta" hreflang="ta" data-title="மடக்கை" data-language-autonym="தமிழ்" data-language-local-name="тамільська" class="interlanguage-link-target">தமிழ்</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-th mw-list-item"><a href="https://th.wikipedia.org/wiki/%E0%B8%A5%E0%B8%AD%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B8%B4%E0%B8%97%E0%B8%B6%E0%B8%A1" title="ลอการิทึม — тайська" lang="th" hreflang="th" data-title="ลอการิทึม" data-language-autonym="ไทย" data-language-local-name="тайська" class="interlanguage-link-target">ไทย</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-tl mw-list-item"><a href="https://tl.wikipedia.org/wiki/Logaritmo" title="Logaritmo — тагальська" lang="tl" hreflang="tl" data-title="Logaritmo" data-language-autonym="Tagalog" data-language-local-name="тагальська" class="interlanguage-link-target">Tagalog</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-tr mw-list-item"><a href="https://tr.wikipedia.org/wiki/Logaritma" title="Logaritma — турецька" lang="tr" hreflang="tr" data-title="Logaritma" data-language-autonym="Türkçe" data-language-local-name="турецька" class="interlanguage-link-target">Türkçe</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-tt mw-list-item"><a href="https://tt.wikipedia.org/wiki/%D0%9B%D0%BE%D0%B3%D0%B0%D1%80%D0%B8%D1%84%D0%BC" title="Логарифм — татарська" lang="tt" hreflang="tt" data-title="Логарифм" data-language-autonym="Татарча / tatarça" data-language-local-name="татарська" class="interlanguage-link-target">Татарча / tatarça</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ur mw-list-item"><a href="https://ur.wikipedia.org/wiki/%D9%84%D8%A7%DA%AF%D8%B1%D8%AA%DA%BE%D9%85" title="لاگرتھم — урду" lang="ur" hreflang="ur" data-title="لاگرتھم" data-language-autonym="اردو" data-language-local-name="урду" class="interlanguage-link-target">اردو</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-uz mw-list-item"><a href="https://uz.wikipedia.org/wiki/Logarifm" title="Logarifm — узбецька" lang="uz" hreflang="uz" data-title="Logarifm" data-language-autonym="Oʻzbekcha / ўзбекча" data-language-local-name="узбецька" class="interlanguage-link-target">Oʻzbekcha / ўзбекча</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-vi badge-Q17437796 badge-featuredarticle mw-list-item" title="вибрана стаття"><a href="https://vi.wikipedia.org/wiki/Logarit" title="Logarit — вʼєтнамська" lang="vi" hreflang="vi" data-title="Logarit" data-language-autonym="Tiếng Việt" data-language-local-name="вʼєтнамська" class="interlanguage-link-target">Tiếng Việt</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-war mw-list-item"><a href="https://war.wikipedia.org/wiki/Logaritmo" title="Logaritmo — варай" lang="war" hreflang="war" data-title="Logaritmo" data-language-autonym="Winaray" data-language-local-name="варай" class="interlanguage-link-target">Winaray</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-wuu mw-list-item"><a href="https://wuu.wikipedia.org/wiki/%E5%AF%B9%E6%95%B0" title="对数 — китайська уська" lang="wuu" hreflang="wuu" data-title="对数" data-language-autonym="吴语" data-language-local-name="китайська уська" class="interlanguage-link-target">吴语</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-yi mw-list-item"><a href="https://yi.wikipedia.org/wiki/%D7%9C%D7%90%D7%92%D7%90%D7%A8%D7%99%D7%98%D7%9D" title="לאגאריטם — їдиш" lang="yi" hreflang="yi" data-title="לאגאריטם" data-language-autonym="ייִדיש" data-language-local-name="їдиш" class="interlanguage-link-target">ייִדיש</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zh mw-list-item"><a href="https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%AF%B9%E6%95%B0" title="对数 — китайська" lang="zh" hreflang="zh" data-title="对数" data-language-autonym="中文" data-language-local-name="китайська" class="interlanguage-link-target">中文</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zh-min-nan mw-list-item"><a href="https://zh-min-nan.wikipedia.org/wiki/T%C3%B9i-s%C3%B2%CD%98" title="Tùi-sò͘ — південноміньська" lang="nan" hreflang="nan" data-title="Tùi-sò͘" data-language-autonym="閩南語 / Bân-lâm-gú" data-language-local-name="південноміньська" class="interlanguage-link-target">閩南語 / Bân-lâm-gú</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zh-yue mw-list-item"><a href="https://zh-yue.wikipedia.org/wiki/%E5%B0%8D%E6%95%B8" title="對數 — кантонська" lang="yue" hreflang="yue" data-title="對數" data-language-autonym="粵語" data-language-local-name="кантонська" class="interlanguage-link-target">粵語</a></li> </ul> <div class="after-portlet after-portlet-lang"><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Special:EntityPage/Q11197#sitelinks-wikipedia" title="Редагувати міжмовні посилання" class="wbc-editpage">Редагувати посилання</a></div> </div> </nav> </div> </div> <footer id="footer" class="mw-footer" > <ul id="footer-info"> <li id="footer-info-lastmod"> Цю сторінку востаннє відредаговано о 13:38, 12 жовтня 2024.</li> <li id="footer-info-copyright">Текст доступний на умовах ліцензії <a rel="nofollow" class="external text" href="https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/deed.uk">Creative Commons Attribution-ShareAlike</a>; також можуть діяти додаткові умови. Детальніше див. <a class="external text" href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Policy:Terms_of_Use/uk">Умови використання</a>.</li> </ul> <ul id="footer-places"> <li id="footer-places-privacy"><a href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/Policy:Privacy_policy">Політика конфіденційності</a></li> <li id="footer-places-about"><a href="/wiki/%D0%92%D1%96%D0%BA%D1%96%D0%BF%D0%B5%D0%B4%D1%96%D1%8F:%D0%9F%D1%80%D0%BE">Про Вікіпедію</a></li> <li id="footer-places-disclaimers"><a href="/wiki/%D0%92%D1%96%D0%BA%D1%96%D0%BF%D0%B5%D0%B4%D1%96%D1%8F:%D0%92%D1%96%D0%B4%D0%BC%D0%BE%D0%B2%D0%B0_%D0%B2%D1%96%D0%B4_%D0%B2%D1%96%D0%B4%D0%BF%D0%BE%D0%B2%D1%96%D0%B4%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%96">Відмова від відповідальності</a></li> <li id="footer-places-contact"><a href="//uk.wikipedia.org/wiki/Вікіпедія:Зворотний_зв%27язок">Зворотний зв'язок</a></li> <li id="footer-places-wm-codeofconduct"><a href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/Policy:Universal_Code_of_Conduct">Кодекс поведінки</a></li> <li id="footer-places-developers"><a href="https://developer.wikimedia.org">Розробники</a></li> <li id="footer-places-statslink"><a href="https://stats.wikimedia.org/#/uk.wikipedia.org">Статистика</a></li> <li id="footer-places-cookiestatement"><a href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/Policy:Cookie_statement">Куки</a></li> <li id="footer-places-mobileview"><a href="//uk.m.wikipedia.org/w/index.php?title=%D0%9B%D0%BE%D0%B3%D0%B0%D1%80%D0%B8%D1%84%D0%BC&mobileaction=toggle_view_mobile" class="noprint stopMobileRedirectToggle">Мобільний вигляд</a></li> </ul> <ul id="footer-icons" class="noprint"> <li id="footer-copyrightico"><a href="https://wikimediafoundation.org/" class="cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--size-large cdx-button--fake-button--enabled"><img src="/static/images/footer/wikimedia-button.svg" width="84" height="29" alt="Wikimedia Foundation" loading="lazy"></a></li> <li id="footer-poweredbyico"><a href="https://www.mediawiki.org/" class="cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--size-large cdx-button--fake-button--enabled"><img src="/w/resources/assets/poweredby_mediawiki.svg" alt="Powered by MediaWiki" width="88" height="31" loading="lazy"></a></li> </ul> </footer> <script>(RLQ=window.RLQ||[]).push(function(){mw.log.warn("This page is using the deprecated ResourceLoader module \"codex-search-styles\".\n[1.43] Use a CodexModule with codexComponents to set your specific components used: https://www.mediawiki.org/wiki/Codex#Using_a_limited_subset_of_components");mw.config.set({"wgHostname":"mw-web.codfw.main-f69cdc8f6-vthpd","wgBackendResponseTime":162,"wgPageParseReport":{"limitreport":{"cputime":"0.901","walltime":"1.741","ppvisitednodes":{"value":4683,"limit":1000000},"postexpandincludesize":{"value":72533,"limit":2097152},"templateargumentsize":{"value":7442,"limit":2097152},"expansiondepth":{"value":17,"limit":100},"expensivefunctioncount":{"value":10,"limit":500},"unstrip-depth":{"value":1,"limit":20},"unstrip-size":{"value":88811,"limit":5000000},"entityaccesscount":{"value":7,"limit":400},"timingprofile":["100.00% 1369.221 1 -total"," 52.61% 720.390 1 Шаблон:Бібліоінформація"," 19.05% 260.810 1 Шаблон:Reflist"," 9.22% 126.218 2 Шаблон:Lang-el"," 6.06% 82.962 2 Шаблон:Cite_book"," 4.44% 60.763 4 Шаблон:Книга"," 4.26% 58.383 1 Шаблон:Результати_обчислення"," 4.12% 56.439 13 Шаблон:Citation"," 3.67% 50.206 1 Шаблон:Navbar"," 2.58% 35.305 1 Шаблон:Клепко_ВМ"]},"scribunto":{"limitreport-timeusage":{"value":"0.500","limit":"10.000"},"limitreport-memusage":{"value":24382013,"limit":52428800}},"cachereport":{"origin":"mw-web.eqiad.main-5dc468848-8tdqg","timestamp":"20241123174824","ttl":2592000,"transientcontent":false}}});});</script> <script type="application/ld+json">{"@context":"https:\/\/schema.org","@type":"Article","name":"\u041b\u043e\u0433\u0430\u0440\u0438\u0444\u043c","url":"https:\/\/uk.wikipedia.org\/wiki\/%D0%9B%D0%BE%D0%B3%D0%B0%D1%80%D0%B8%D1%84%D0%BC","sameAs":"http:\/\/www.wikidata.org\/entity\/Q11197","mainEntity":"http:\/\/www.wikidata.org\/entity\/Q11197","author":{"@type":"Organization","name":"\u0423\u0447\u0430\u0441\u043d\u0438\u043a\u0438 \u043f\u0440\u043e\u0435\u043a\u0442\u0456\u0432 \u0412\u0456\u043a\u0456\u043c\u0435\u0434\u0456\u0430"},"publisher":{"@type":"Organization","name":"\u0424\u043e\u043d\u0434 \u0412\u0456\u043a\u0456\u043c\u0435\u0434\u0456\u0430","logo":{"@type":"ImageObject","url":"https:\/\/www.wikimedia.org\/static\/images\/wmf-hor-googpub.png"}},"datePublished":"2007-05-18T20:50:09Z","image":"https:\/\/upload.wikimedia.org\/wikipedia\/commons\/1\/17\/Binary_logarithm_plot_with_ticks.svg"}</script> </body> </html>