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<!DOCTYPE html> <html lang="en" prefix="dcterms: http://purl.org/dc/terms/"> <head> <meta content="text/html; charset=utf-8" http-equiv="content-type"/> <title>Corotational Hinge-based Thin Plates/Shells</title>  <meta content="width=device-width, initial-scale=1, shrink-to-fit=no" name="viewport"/> <link href="https://cdn.jsdelivr.net/npm/bootstrap@5.3.0/dist/css/bootstrap.min.css" rel="stylesheet" type="text/css"/> <link href="/static/browse/0.3.4/css/ar5iv.0.7.9.min.css" rel="stylesheet" type="text/css"/> <link href="/static/browse/0.3.4/css/ar5iv-fonts.0.7.9.min.css" rel="stylesheet" type="text/css"/> <link href="/static/browse/0.3.4/css/latexml_styles.css" rel="stylesheet" type="text/css"/> <script src="https://cdn.jsdelivr.net/npm/bootstrap@5.3.0/dist/js/bootstrap.bundle.min.js"></script> <script src="https://cdnjs.cloudflare.com/ajax/libs/html2canvas/1.3.3/html2canvas.min.js"></script> <script src="/static/browse/0.3.4/js/addons_new.js"></script> <script src="/static/browse/0.3.4/js/feedbackOverlay.js"></script> <base href="/html/2502.10872v4/"/></head> <body> <nav class="ltx_page_navbar"> <nav class="ltx_TOC"> <ol class="ltx_toclist"> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_section"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2502.10872v4#S1" title="In Corotational Hinge-based Thin Plates/Shells"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">1 </span>Introduction</span></a></li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_section"> <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2502.10872v4#S2" title="In Corotational Hinge-based Thin Plates/Shells"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">2 </span>Related Works</span></a> <ol class="ltx_toclist ltx_toclist_section"> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_subsection"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2502.10872v4#S2.SS1" title="In 2 Related Works ‣ Corotational Hinge-based Thin Plates/Shells"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">2.1 </span>Computational models of thin plates and shells</span></a></li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_subsection"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2502.10872v4#S2.SS2" title="In 2 Related Works ‣ Corotational Hinge-based Thin Plates/Shells"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">2.2 </span>Corotational approach</span></a></li> </ol> </li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_section"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2502.10872v4#S3" title="In Corotational Hinge-based Thin Plates/Shells"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">3 </span>Thin Shell Mechanics</span></a></li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_section"> <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2502.10872v4#S4" title="In Corotational Hinge-based Thin Plates/Shells"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">4 </span>Geometric Discretization</span></a> <ol class="ltx_toclist ltx_toclist_section"> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_subsection"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2502.10872v4#S4.SS1" title="In 4 Geometric Discretization ‣ Corotational Hinge-based Thin Plates/Shells"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">4.1 </span>Kinematics</span></a></li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_subsection"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2502.10872v4#S4.SS2" title="In 4 Geometric Discretization ‣ Corotational Hinge-based Thin Plates/Shells"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">4.2 </span>Terminologies and Remarks</span></a></li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_subsection"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2502.10872v4#S4.SS3" title="In 4 Geometric Discretization ‣ Corotational Hinge-based Thin Plates/Shells"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">4.3 </span>Corotational edge-based hinge bending model</span></a></li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_subsection"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2502.10872v4#S4.SS4" title="In 4 Geometric Discretization ‣ Corotational Hinge-based Thin Plates/Shells"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">4.4 </span>Corotational FVM hinge bending model</span></a></li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_subsection"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2502.10872v4#S4.SS5" title="In 4 Geometric Discretization ‣ Corotational Hinge-based Thin Plates/Shells"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">4.5 </span>Corotational smoothed hinge bending model</span></a></li> </ol> </li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_section"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2502.10872v4#S5" title="In Corotational Hinge-based Thin Plates/Shells"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">5 </span>Implementations</span></a></li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_section"> <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2502.10872v4#S6" title="In Corotational Hinge-based Thin Plates/Shells"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">6 </span>Numerical Experiments</span></a> <ol class="ltx_toclist ltx_toclist_section"> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_subsection"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2502.10872v4#S6.SS1" title="In 6 Numerical Experiments ‣ Corotational Hinge-based Thin Plates/Shells"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">6.1 </span>Quantitative Experiments</span></a></li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_subsection"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2502.10872v4#S6.SS2" title="In 6 Numerical Experiments ‣ Corotational Hinge-based Thin Plates/Shells"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">6.2 </span>Qualitative Experiments</span></a></li> </ol> </li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_section"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2502.10872v4#S7" title="In Corotational Hinge-based Thin Plates/Shells"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">7 </span>Conclusions</span></a></li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_appendix"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2502.10872v4#A1" title="In Corotational Hinge-based Thin Plates/Shells"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">A </span>Corotational Transformation</span></a></li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_appendix"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2502.10872v4#A2" title="In Corotational Hinge-based Thin Plates/Shells"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">B </span>Gradient of Normal Direction of Corotational Shell Stencil</span></a></li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_appendix"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2502.10872v4#A3" title="In Corotational Hinge-based Thin Plates/Shells"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">C </span>The Directional Curvature Operator</span></a></li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_appendix"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2502.10872v4#A4" title="In Corotational Hinge-based Thin Plates/Shells"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">D </span>Quadratic Thin Plate/Shell and Accuracy Discrepancy</span></a></li> </ol></nav> </nav> <div class="ltx_page_main"> <div class="ltx_page_content"> <article class="ltx_document ltx_authors_1line"> <h1 class="ltx_title ltx_title_document">Corotational Hinge-based Thin Plates/Shells</h1> <div class="ltx_authors"> <span class="ltx_creator ltx_role_author"> <span class="ltx_personname"> <span class="ltx_inline-block ltx_parbox ltx_align_middle" id="id1.1.id1" style="width:433.6pt;"> <span class="ltx_p" id="id1.1.id1.1">Qixin Liang</span> </span> <br class="ltx_break"/> <span class="ltx_inline-block ltx_parbox ltx_align_middle" id="id2.2.id2" style="width:433.6pt;"> <span class="ltx_p" id="id2.2.id2.1">The University of Hong Kong & TransGP, Hong Kong</span> </span> </span></span> </div> <div class="ltx_abstract"> <h6 class="ltx_title ltx_title_abstract">Abstract</h6> <p class="ltx_p" id="id3.id1">We present six thin plate/shell models, derived from three distinct types of curvature operators formulated within the corotational frame, for simulating both rest-flat and rest-curved triangular meshes. Each curvature operator derives a curvature expression corresponding to both a plate model and a shell model. The corotational edge-based hinge model uses an edge-based stencil to compute directional curvature, while the corotational FVM hinge model utilizes a triangle-centered stencil, applying the finite volume method (FVM) to superposition directional curvatures across edges, yielding a generalized curvature. The corotational smoothed hinge model also employs a triangle-centered stencil but transforms directional curvatures into a generalized curvature based on a quadratic surface fit. All models assume small strain and small curvature, leading to constant bending energy Hessians, which benefit implicit integrators. Through quantitative benchmarks and qualitative elastodynamic simulations with large time steps, we demonstrate the accuracy, efficiency, and stability of these models. Our contributions enhance the thin plate/shell library for use in both computer graphics and engineering applications.</p> </div> <span class="ltx_note ltx_note_frontmatter ltx_role_volume" id="id1"><sup class="ltx_note_mark">†</sup><span class="ltx_note_outer"><span class="ltx_note_content"><sup class="ltx_note_mark">†</sup><span class="ltx_note_type">volume: </span>44</span></span></span><span class="ltx_note ltx_note_frontmatter ltx_role_issue" id="id2"><sup class="ltx_note_mark">†</sup><span class="ltx_note_outer"><span class="ltx_note_content"><sup class="ltx_note_mark">†</sup><span class="ltx_note_type">issue: </span>2</span></span></span> <section class="ltx_section" id="S1"> <h2 class="ltx_title ltx_title_section"> <span class="ltx_tag ltx_tag_section">1 </span>Introduction</h2> <div class="ltx_para" id="S1.p1"> <p class="ltx_p" id="S1.p1.1">Thin shells based on Kirchhoff–Love (KL) theory account for both membrane and bending components, and when a thin shell with a rest-curved configuration is relaxed to a rest-flat shape when unstressed, it is treated as a thin plate. Compared to the membrane component, the bending component is particularly important for capturing the formation of folds and wrinkles. In this study, we concentrate on developing and analyzing bending models for thin plates and shells.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S1.p2"> <p class="ltx_p" id="S1.p2.1">Modeling and simulating thin plates/shells is a longstanding topic in both the computer graphics community and computational mechanics community. The computational mechanics community has developed numerous bending formulations for plates and shells, with a strong emphasis on accuracy. Examples include methods based on subdivision surfaces <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2502.10872v4#bib.bibx11" title="">COS00</a>]</cite> and Isogeometric Analysis (IGA) with high-order continuity solution spaces <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2502.10872v4#bib.bibx1" title="">BBHH11</a>]</cite>, which require sophisticated approaches to apply boundary conditions and handle contact resolution on control nodes. In contrast, the computer graphics community prioritizes efficiency, favoring models such as the hinge angle-based bending model <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2502.10872v4#bib.bibx6" title="">BW98</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2502.10872v4#bib.bibx20" title="">GHDS03</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2502.10872v4#bib.bibx5" title="">BMF03</a>]</cite>, Quadratic Shells <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2502.10872v4#bib.bibx8" title="">BWH<sup class="ltx_sup"><span class="ltx_text ltx_font_italic">∗</span></sup>06b</a>]</cite>, and Cubic Shells <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2502.10872v4#bib.bibx19" title="">GGWZ07</a>]</cite> for their simplicity. However, these discretized edge-based energies have no bending along the common hinge edges, leading to a failure to converge to the complete shape operator of a smooth surface at element interfaces. Recently, the pursuit of an efficient and accurate algorithm has been a common goal for both communities <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2502.10872v4#bib.bibx13" title="">CSvRV18</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2502.10872v4#bib.bibx47" title="">Wei12</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2502.10872v4#bib.bibx38" title="">SZH24</a>]</cite>. In this study, we take a step further at this intersection.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S1.p3"> <p class="ltx_p" id="S1.p3.1">To summarize, our main contributions are as follows:</p> <ul class="ltx_itemize" id="S1.I1"> <li class="ltx_item" id="S1.I1.i1" style="list-style-type:none;"> <span class="ltx_tag ltx_tag_item">•</span> <div class="ltx_para" id="S1.I1.i1.p1"> <p class="ltx_p" id="S1.I1.i1.p1.1">We present a <span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S1.I1.i1.p1.1.1">corotational edge-based hinge curvature operator</span> for thin shell simulation, including a specific variant for rest-flat (thin plate) simulation.</p> </div> </li> <li class="ltx_item" id="S1.I1.i2" style="list-style-type:none;"> <span class="ltx_tag ltx_tag_item">•</span> <div class="ltx_para" id="S1.I1.i2.p1"> <p class="ltx_p" id="S1.I1.i2.p1.1">We propose a <span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S1.I1.i2.p1.1.1">corotational FVM (finite volume method) hinge curvature operator</span> for thin shell simulation, along with a specific variant for rest-flat (thin plate) simulation.</p> </div> </li> <li class="ltx_item" id="S1.I1.i3" style="list-style-type:none;"> <span class="ltx_tag ltx_tag_item">•</span> <div class="ltx_para" id="S1.I1.i3.p1"> <p class="ltx_p" id="S1.I1.i3.p1.1">We introduce a <span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S1.I1.i3.p1.1.1">corotational smoothed hinge curvature operator</span> for thin shell simulation, as well as a specific variant for rest-flat (thin plate) simulation.</p> </div> </li> <li class="ltx_item" id="S1.I1.i4" style="list-style-type:none;"> <span class="ltx_tag ltx_tag_item">•</span> <div class="ltx_para" id="S1.I1.i4.p1"> <p class="ltx_p" id="S1.I1.i4.p1.1">All models feature constant bending energy Hessians, with detailed boundary conditions for accurate simulation.</p> </div> </li> </ul> </div> <div class="ltx_para" id="S1.p4"> <p class="ltx_p" id="S1.p4.1">Our models based on the linear triangle mesh structure are easy to integrate into existing finite element codes and thin shell (cloth) simulators.</p> </div> </section> <section class="ltx_section" id="S2"> <h2 class="ltx_title ltx_title_section"> <span class="ltx_tag ltx_tag_section">2 </span>Related Works</h2> <section class="ltx_subsection" id="S2.SS1"> <h3 class="ltx_title ltx_title_subsection"> <span class="ltx_tag ltx_tag_subsection">2.1 </span>Computational models of thin plates and shells</h3> <div class="ltx_para" id="S2.SS1.p1"> <p class="ltx_p" id="S2.SS1.p1.1">Computational modeling and simulation of bending behaviors in thin flexible objects is an active research topic in the graphics community. In 1987, the seminal work <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2502.10872v4#bib.bibx41" title="">TPBF87</a>]</cite> introduced tensorial treatments of the second fundamental form, discretized using the finite difference method on a regular quadrilateral grid, to model cloth and deformed surfaces. Subsequently, particle and mass-spring methods <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2502.10872v4#bib.bibx4" title="">BHW94</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2502.10872v4#bib.bibx44" title="">VCMT95</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2502.10872v4#bib.bibx10" title="">CK02</a>]</cite> were explored as alternatives to these complex tensorial treatments, aiming to improve efficiency. However, these methods often compromised physical accuracy, resulting in material parameters that were mesh-dependent and not easily transferable across different mesh topologies. Baraff and Witkin <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2502.10872v4#bib.bibx6" title="">BW98</a>]</cite> utilized the hinge angle to model the bending constraint, similar to the approach in <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2502.10872v4#bib.bibx44" title="">VCMT95</a>]</cite>, but they focused on the rest-flat configuration for cloth modeling. The hinge angle is measured on an edge-based hinge stencil, which composes a hinge edge and its two adjacent triangles. Building on this stencil, Grinspun et al. <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2502.10872v4#bib.bibx20" title="">GHDS03</a>]</cite> described the bending energy of the rest-curved thin shell on a discrete differential geometry view. In the same published volume, Bridson et al. <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2502.10872v4#bib.bibx5" title="">BMF03</a>]</cite> offered a productive formulation of the hinge bending model. When the curvature is small, these two models can be related by scaling a coefficient <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2502.10872v4#bib.bibx36" title="">RLR<sup class="ltx_sup"><span class="ltx_text ltx_font_italic">∗</span></sup>21</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2502.10872v4#bib.bibx15" title="">FHXW22</a>]</cite>. Both models have been adopted by well-known cloth simulators, C-IPC <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2502.10872v4#bib.bibx30" title="">LKJ21</a>]</cite> and Arcsim <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2502.10872v4#bib.bibx32" title="">NSO12</a>]</cite>, respectively, due to their simplicity. However, the edge-based hinge bending model is limited in its ability to capture complete local curvature behavior and suffers from mesh dependency <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2502.10872v4#bib.bibx18" title="">GGRZ06</a>]</cite>.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S2.SS1.p2"> <p class="ltx_p" id="S2.SS1.p2.1">To enhance the consistency of the edge-based hinge bending model, a hinge-averaged shape operator <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2502.10872v4#bib.bibx22" title="">GSH<sup class="ltx_sup"><span class="ltx_text ltx_font_italic">∗</span></sup>04</a>]</cite> was described to model the bending strain, which has been applied to simulate plasticity and fracture <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2502.10872v4#bib.bibx34" title="">PNdJO14</a>]</cite>. Despite this improvement, the convergence to the ground truth solution remains slow <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2502.10872v4#bib.bibx13" title="">CSvRV18</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2502.10872v4#bib.bibx18" title="">GGRZ06</a>]</cite>. This issue was effectively addressed by introducing an additional degree of freedom (DoF) for midedge normal rotation to correct the hinge-averaged shape operator, resulting in what is known as the midedge operator <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2502.10872v4#bib.bibx48" title="">Zor05</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2502.10872v4#bib.bibx18" title="">GGRZ06</a>]</cite>. This operator has been integrated into libshell <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2502.10872v4#bib.bibx13" title="">CSvRV18</a>]</cite>, which is based on the shear-rigid Koiter shell model, and is also included in the shearable Cosserat shell model <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2502.10872v4#bib.bibx47" title="">Wei12</a>]</cite>. While the midedge operator improves consistency and convergence in thin-shell simulations, the extra midedge DoFs introduce a higher computational burden. In our models, the extra midedge DoFs are not involved.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S2.SS1.p3"> <p class="ltx_p" id="S2.SS1.p3.1">To improve the efficiency of the edge-based hinge bending model, the hinge angle is linearized under the quasi-isometry (small in-plane strain) condition, resulting in a constant bending energy Hessian and a linear bending force for rest-flat thin shells, known as the Quadratic Shell model <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2502.10872v4#bib.bibx8" title="">BWH<sup class="ltx_sup"><span class="ltx_text ltx_font_italic">∗</span></sup>06b</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2502.10872v4#bib.bibx7" title="">BWH<sup class="ltx_sup"><span class="ltx_text ltx_font_italic">∗</span></sup>06a</a>]</cite>. This model can be generalized from the Cubic Shell model <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2502.10872v4#bib.bibx19" title="">GGWZ07</a>]</cite>, which is suitable for rest-curved thin shell configurations. Although both models offer improved efficiency, the inherent drawbacks of the edge-based hinge bending model <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2502.10872v4#bib.bibx20" title="">GHDS03</a>]</cite> persist. The quadratic biharmonic energy <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2502.10872v4#bib.bibx46" title="">WBH<sup class="ltx_sup"><span class="ltx_text ltx_font_italic">∗</span></sup>07</a>]</cite> has a triangle-centered stencil and tends to perform better in terms of convergence to ground truth than models on the edge-based stencil, though it is limited to isometric, pure bending of plates. Based on the triangle-centered stencil, we introduce an FVM hinge curvature operator and a smoothed hinge curvature operator derived in the corotational frame <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2502.10872v4#bib.bibx12" title="">Cri97</a>]</cite> to address the limitations of the abovementioned edge-based models.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S2.SS1.p4"> <p class="ltx_p" id="S2.SS1.p4.1">More recently, Le et al. <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2502.10872v4#bib.bibx26" title="">LDB<sup class="ltx_sup"><span class="ltx_text ltx_font_italic">∗</span></sup>23</a>]</cite> proposed a second-order Discrete Shells <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2502.10872v4#bib.bibx20" title="">GHDS03</a>]</cite> model, demonstrating superior efficiency from the second-order triangle. Similarly benefited from the second-order tessellation, Löschner et al. <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2502.10872v4#bib.bibx27" title="">LFFJB24</a>]</cite> showcased the effectiveness of a second-order three-director finite element shell with microrotation fields. However, computational modeling with second-order elements requires abandoning the piecewise linear triangle structure. Wen and Barbič <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2502.10872v4#bib.bibx45" title="">WB23</a>]</cite> focused on deriving the KL thin-shell mechanical energy for arbitrary 3D volumetric hyperelastic materials, building their computational model from the foundation in the discrete geometry shell <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2502.10872v4#bib.bibx13" title="">CSvRV18</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2502.10872v4#bib.bibx47" title="">Wei12</a>]</cite>.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S2.SS1.p5"> <p class="ltx_p" id="S2.SS1.p5.1">Another relevant topic in the computational mechanics community is the concept of a "rotation-free shell", where the shell is characterized without nodal rotational DoF. For those interested, a comparison study by Gärdsback et al. <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2502.10872v4#bib.bibx23" title="">GT07</a>]</cite> provides insight, although it focuses on linear shell analysis. More recently, Zhou et al. <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2502.10872v4#bib.bibx49" title="">ZS12</a>]</cite> extended a rotation-free beam model to a rotation-free shell model. While this approach offers certain efficiency advantages, its complex and laborious boundary condition treatment limits its potential applications. The pursuit of high-fidelity and high-performance (accurate, low computational cost, robustness, low sensitivity to poorly shaped meshes) thin-shell simulations increasingly blurs the lines between different research communities. Our models mainly draw inspiration from both discrete geometry shells <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2502.10872v4#bib.bibx8" title="">BWH<sup class="ltx_sup"><span class="ltx_text ltx_font_italic">∗</span></sup>06b</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2502.10872v4#bib.bibx17" title="">GDP<sup class="ltx_sup"><span class="ltx_text ltx_font_italic">∗</span></sup>06</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2502.10872v4#bib.bibx19" title="">GGWZ07</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2502.10872v4#bib.bibx18" title="">GGRZ06</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2502.10872v4#bib.bibx47" title="">Wei12</a>]</cite> and rotation-free shells <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2502.10872v4#bib.bibx33" title="">OZ00</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2502.10872v4#bib.bibx49" title="">ZS12</a>]</cite>.</p> </div> </section> <section class="ltx_subsection" id="S2.SS2"> <h3 class="ltx_title ltx_title_subsection"> <span class="ltx_tag ltx_tag_subsection">2.2 </span>Corotational approach</h3> <div class="ltx_para" id="S2.SS2.p1"> <p class="ltx_p" id="S2.SS2.p1.1">To maintain the convergence properties of a linear approach while accommodating arbitrarily large rigid body transformations, the corotational approach is commonly employed to measure pure deformation. Müller et al. <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2502.10872v4#bib.bibx31" title="">MDM<sup class="ltx_sup"><span class="ltx_text ltx_font_italic">∗</span></sup>02</a>]</cite> first introduced the corotational formulation to handle the geometric non-linearity for deformed body simulations in graphics community. Since then, this formulation has been widely adopted in computer graphics applications for stable and efficient solid simulations <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2502.10872v4#bib.bibx50" title="">ZSTB10</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2502.10872v4#bib.bibx24" title="">KKB18</a>]</cite>.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S2.SS2.p2"> <p class="ltx_p" id="S2.SS2.p2.1">In thin shell formulations with the corotational approach, Etzmuß et al. <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2502.10872v4#bib.bibx14" title="">EKS03</a>]</cite> extract the rotational component from the deformation gradient for each element and apply it to compute the bending stiffness matrices. In a similar vein to extract the rotation field, Thomaszewski et al. <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2502.10872v4#bib.bibx43" title="">TWS06</a>]</cite> adopt subdivision basis functions <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2502.10872v4#bib.bibx11" title="">COS00</a>]</cite> to improve accuracy in cloth simulation, but this basis function comes with significant computational costs. More recently, a smoothed hinge model <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2502.10872v4#bib.bibx29" title="">Lia24</a>]</cite> based on the corotational formulation has been developed to measure pure deformation in the corotational frame, which undergoes only rigid-body motion, for cloth simulation. However, this model is limited to the rest-flat thin shell configuration. In our work, we provide all formulations by providing curvature operators for both rest-flat and -curved configurations, along with detailed boundary treatments. Leveraging the corotational approach, all our models feature constant bending energy Hessians, which enhances the efficiency and stability for implicit simulations.</p> </div> </section> </section> <section class="ltx_section" id="S3"> <h2 class="ltx_title ltx_title_section"> <span class="ltx_tag ltx_tag_section">3 </span>Thin Shell Mechanics</h2> <div class="ltx_para" id="S3.p1"> <p class="ltx_p" id="S3.p1.3">In a KL thin shell, the elastic shell energy <math alttext="\Psi_{\mathit{shell}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p1.1.m1.1"><semantics id="S3.p1.1.m1.1a"><msub id="S3.p1.1.m1.1.1" xref="S3.p1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S3.p1.1.m1.1.1.2" mathvariant="normal" xref="S3.p1.1.m1.1.1.2.cmml">Ψ</mi><mi id="S3.p1.1.m1.1.1.3" xref="S3.p1.1.m1.1.1.3.cmml">𝑠ℎ𝑒𝑙𝑙</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p1.1.m1.1b"><apply id="S3.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.p1.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.p1.1.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.p1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.p1.1.m1.1.1.2">Ψ</ci><ci id="S3.p1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S3.p1.1.m1.1.1.3">𝑠ℎ𝑒𝑙𝑙</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p1.1.m1.1c">\Psi_{\mathit{shell}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p1.1.m1.1d">roman_Ψ start_POSTSUBSCRIPT italic_shell end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> is composed of both membrane energy <math alttext="\Psi_{m}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p1.2.m2.1"><semantics id="S3.p1.2.m2.1a"><msub id="S3.p1.2.m2.1.1" xref="S3.p1.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S3.p1.2.m2.1.1.2" mathvariant="normal" xref="S3.p1.2.m2.1.1.2.cmml">Ψ</mi><mi id="S3.p1.2.m2.1.1.3" xref="S3.p1.2.m2.1.1.3.cmml">m</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p1.2.m2.1b"><apply id="S3.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.p1.2.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p1.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S3.p1.2.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.p1.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S3.p1.2.m2.1.1.2">Ψ</ci><ci id="S3.p1.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S3.p1.2.m2.1.1.3">𝑚</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p1.2.m2.1c">\Psi_{m}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p1.2.m2.1d">roman_Ψ start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> and bending energy <math alttext="\Psi_{b}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p1.3.m3.1"><semantics id="S3.p1.3.m3.1a"><msub id="S3.p1.3.m3.1.1" xref="S3.p1.3.m3.1.1.cmml"><mi id="S3.p1.3.m3.1.1.2" mathvariant="normal" xref="S3.p1.3.m3.1.1.2.cmml">Ψ</mi><mi id="S3.p1.3.m3.1.1.3" xref="S3.p1.3.m3.1.1.3.cmml">b</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p1.3.m3.1b"><apply id="S3.p1.3.m3.1.1.cmml" xref="S3.p1.3.m3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p1.3.m3.1.1.1.cmml" xref="S3.p1.3.m3.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.p1.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S3.p1.3.m3.1.1.2">Ψ</ci><ci id="S3.p1.3.m3.1.1.3.cmml" xref="S3.p1.3.m3.1.1.3">𝑏</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p1.3.m3.1c">\Psi_{b}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p1.3.m3.1d">roman_Ψ start_POSTSUBSCRIPT italic_b end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>:</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S3.E1"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\Psi_{\mathit{shell}}=\frac{1}{2}\int_{\bar{\Omega}}\bm{\varepsilon}_{\mathit{% m}}^{T}\mathbf{D}_{\mathit{m}}\bm{\varepsilon}_{\mathit{m}}d\bar{A}+\frac{1}{2% }\int_{\bar{\Omega}}\bm{\varepsilon}_{\mathit{b}}^{T}\mathbf{D}_{\mathit{b}}% \bm{\varepsilon}_{\mathit{b}}d\bar{A}." class="ltx_Math" display="block" id="S3.E1.m1.1"><semantics id="S3.E1.m1.1a"><mrow id="S3.E1.m1.1.1.1" xref="S3.E1.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E1.m1.1.1.1.1" xref="S3.E1.m1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S3.E1.m1.1.1.1.1.2" xref="S3.E1.m1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.E1.m1.1.1.1.1.2.2" mathvariant="normal" xref="S3.E1.m1.1.1.1.1.2.2.cmml">Ψ</mi><mi id="S3.E1.m1.1.1.1.1.2.3" xref="S3.E1.m1.1.1.1.1.2.3.cmml">𝑠ℎ𝑒𝑙𝑙</mi></msub><mo id="S3.E1.m1.1.1.1.1.1" xref="S3.E1.m1.1.1.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S3.E1.m1.1.1.1.1.3" xref="S3.E1.m1.1.1.1.1.3.cmml"><mrow id="S3.E1.m1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.E1.m1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mfrac id="S3.E1.m1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S3.E1.m1.1.1.1.1.3.2.2.cmml"><mn id="S3.E1.m1.1.1.1.1.3.2.2.2" xref="S3.E1.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml">1</mn><mn id="S3.E1.m1.1.1.1.1.3.2.2.3" xref="S3.E1.m1.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml">2</mn></mfrac><mo id="S3.E1.m1.1.1.1.1.3.2.1" xref="S3.E1.m1.1.1.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E1.m1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S3.E1.m1.1.1.1.1.3.2.3.cmml"><msub id="S3.E1.m1.1.1.1.1.3.2.3.1" xref="S3.E1.m1.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml"><mo id="S3.E1.m1.1.1.1.1.3.2.3.1.2" xref="S3.E1.m1.1.1.1.1.3.2.3.1.2.cmml">∫</mo><mover accent="true" id="S3.E1.m1.1.1.1.1.3.2.3.1.3" xref="S3.E1.m1.1.1.1.1.3.2.3.1.3.cmml"><mi id="S3.E1.m1.1.1.1.1.3.2.3.1.3.2" mathvariant="normal" xref="S3.E1.m1.1.1.1.1.3.2.3.1.3.2.cmml">Ω</mi><mo id="S3.E1.m1.1.1.1.1.3.2.3.1.3.1" xref="S3.E1.m1.1.1.1.1.3.2.3.1.3.1.cmml">¯</mo></mover></msub><mrow id="S3.E1.m1.1.1.1.1.3.2.3.2" xref="S3.E1.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml"><msubsup id="S3.E1.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.2" xref="S3.E1.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.2.cmml"><mi id="S3.E1.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.2.2.2" xref="S3.E1.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.2.2.2.cmml">𝜺</mi><mi id="S3.E1.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.2.2.3" xref="S3.E1.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.2.2.3.cmml">m</mi><mi id="S3.E1.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.2.3" xref="S3.E1.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.2.3.cmml">T</mi></msubsup><mo id="S3.E1.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.1" xref="S3.E1.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.E1.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.3" xref="S3.E1.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.3.cmml"><mi id="S3.E1.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.3.2" xref="S3.E1.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.3.2.cmml">𝐃</mi><mi id="S3.E1.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.3.3" xref="S3.E1.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.3.3.cmml">m</mi></msub><mo id="S3.E1.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.1a" xref="S3.E1.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.E1.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.4" xref="S3.E1.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.4.cmml"><mi id="S3.E1.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.4.2" xref="S3.E1.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.4.2.cmml">𝜺</mi><mi id="S3.E1.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.4.3" xref="S3.E1.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.4.3.cmml">m</mi></msub><mo id="S3.E1.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.1b" lspace="0em" xref="S3.E1.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E1.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.5" xref="S3.E1.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.5.cmml"><mo id="S3.E1.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.5.1" rspace="0em" xref="S3.E1.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.5.1.cmml">𝑑</mo><mover accent="true" id="S3.E1.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.5.2" xref="S3.E1.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.5.2.cmml"><mi id="S3.E1.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.5.2.2" xref="S3.E1.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.5.2.2.cmml">A</mi><mo id="S3.E1.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.5.2.1" xref="S3.E1.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.5.2.1.cmml">¯</mo></mover></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.E1.m1.1.1.1.1.3.1" xref="S3.E1.m1.1.1.1.1.3.1.cmml">+</mo><mrow id="S3.E1.m1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.E1.m1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mfrac id="S3.E1.m1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S3.E1.m1.1.1.1.1.3.3.2.cmml"><mn id="S3.E1.m1.1.1.1.1.3.3.2.2" xref="S3.E1.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.cmml">1</mn><mn id="S3.E1.m1.1.1.1.1.3.3.2.3" xref="S3.E1.m1.1.1.1.1.3.3.2.3.cmml">2</mn></mfrac><mo id="S3.E1.m1.1.1.1.1.3.3.1" xref="S3.E1.m1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E1.m1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S3.E1.m1.1.1.1.1.3.3.3.cmml"><msub id="S3.E1.m1.1.1.1.1.3.3.3.1" xref="S3.E1.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.cmml"><mo id="S3.E1.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.2" xref="S3.E1.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.2.cmml">∫</mo><mover accent="true" id="S3.E1.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.3" xref="S3.E1.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.3.cmml"><mi id="S3.E1.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.3.2" mathvariant="normal" xref="S3.E1.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.3.2.cmml">Ω</mi><mo id="S3.E1.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.3.1" xref="S3.E1.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.3.1.cmml">¯</mo></mover></msub><mrow id="S3.E1.m1.1.1.1.1.3.3.3.2" 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id="S3.E1.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.4.3" xref="S3.E1.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.4.3.cmml">b</mi></msub><mo id="S3.E1.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.1b" lspace="0em" xref="S3.E1.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E1.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.5" xref="S3.E1.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.5.cmml"><mo id="S3.E1.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.5.1" rspace="0em" xref="S3.E1.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.5.1.cmml">𝑑</mo><mover accent="true" id="S3.E1.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.5.2" xref="S3.E1.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.5.2.cmml"><mi id="S3.E1.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.5.2.2" xref="S3.E1.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.5.2.2.cmml">A</mi><mo id="S3.E1.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.5.2.1" xref="S3.E1.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.5.2.1.cmml">¯</mo></mover></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.E1.m1.1.1.1.2" lspace="0em" xref="S3.E1.m1.1.1.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E1.m1.1b"><apply id="S3.E1.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E1.m1.1.1.1"><eq id="S3.E1.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E1.m1.1.1.1.1.1"></eq><apply id="S3.E1.m1.1.1.1.1.2.cmml" 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cd="ambiguous" id="S3.E1.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.2.1.cmml" xref="S3.E1.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.2">superscript</csymbol><apply id="S3.E1.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.2.2.cmml" xref="S3.E1.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E1.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.2.2.1.cmml" xref="S3.E1.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.E1.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.2.2.2.cmml" xref="S3.E1.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.2.2.2">𝜺</ci><ci id="S3.E1.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.2.2.3.cmml" xref="S3.E1.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.2.2.3">𝑏</ci></apply><ci id="S3.E1.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.2.3.cmml" xref="S3.E1.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.2.3">𝑇</ci></apply><apply id="S3.E1.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.3.cmml" xref="S3.E1.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E1.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.3.1.cmml" xref="S3.E1.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.3">subscript</csymbol><ci id="S3.E1.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.3.2.cmml" xref="S3.E1.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.3.2">𝐃</ci><ci id="S3.E1.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.3.3.cmml" xref="S3.E1.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.3.3">𝑏</ci></apply><apply id="S3.E1.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.4.cmml" xref="S3.E1.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E1.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.4.1.cmml" xref="S3.E1.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.4">subscript</csymbol><ci id="S3.E1.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.4.2.cmml" xref="S3.E1.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.4.2">𝜺</ci><ci id="S3.E1.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.4.3.cmml" xref="S3.E1.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.4.3">𝑏</ci></apply><apply id="S3.E1.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.5.cmml" xref="S3.E1.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.5"><csymbol cd="latexml" id="S3.E1.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.5.1.cmml" xref="S3.E1.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.5.1">differential-d</csymbol><apply id="S3.E1.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.5.2.cmml" xref="S3.E1.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.5.2"><ci id="S3.E1.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.5.2.1.cmml" xref="S3.E1.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.5.2.1">¯</ci><ci id="S3.E1.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.5.2.2.cmml" xref="S3.E1.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.5.2.2">𝐴</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E1.m1.1c">\Psi_{\mathit{shell}}=\frac{1}{2}\int_{\bar{\Omega}}\bm{\varepsilon}_{\mathit{% m}}^{T}\mathbf{D}_{\mathit{m}}\bm{\varepsilon}_{\mathit{m}}d\bar{A}+\frac{1}{2% }\int_{\bar{\Omega}}\bm{\varepsilon}_{\mathit{b}}^{T}\mathbf{D}_{\mathit{b}}% \bm{\varepsilon}_{\mathit{b}}d\bar{A}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E1.m1.1d">roman_Ψ start_POSTSUBSCRIPT italic_shell end_POSTSUBSCRIPT = divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 end_ARG ∫ start_POSTSUBSCRIPT over¯ start_ARG roman_Ω end_ARG end_POSTSUBSCRIPT bold_italic_ε start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT bold_D start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT bold_italic_ε start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT italic_d over¯ start_ARG italic_A end_ARG + divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 end_ARG ∫ start_POSTSUBSCRIPT over¯ start_ARG roman_Ω end_ARG end_POSTSUBSCRIPT bold_italic_ε start_POSTSUBSCRIPT italic_b end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT bold_D start_POSTSUBSCRIPT italic_b end_POSTSUBSCRIPT bold_italic_ε start_POSTSUBSCRIPT italic_b end_POSTSUBSCRIPT italic_d over¯ start_ARG italic_A end_ARG .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(1)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.p1.11">Here, <math alttext="{\bar{\Omega}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p1.4.m1.1"><semantics id="S3.p1.4.m1.1a"><mover accent="true" id="S3.p1.4.m1.1.1" xref="S3.p1.4.m1.1.1.cmml"><mi id="S3.p1.4.m1.1.1.2" mathvariant="normal" xref="S3.p1.4.m1.1.1.2.cmml">Ω</mi><mo id="S3.p1.4.m1.1.1.1" xref="S3.p1.4.m1.1.1.1.cmml">¯</mo></mover><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p1.4.m1.1b"><apply id="S3.p1.4.m1.1.1.cmml" xref="S3.p1.4.m1.1.1"><ci id="S3.p1.4.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.p1.4.m1.1.1.1">¯</ci><ci id="S3.p1.4.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.p1.4.m1.1.1.2">Ω</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p1.4.m1.1c">{\bar{\Omega}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p1.4.m1.1d">over¯ start_ARG roman_Ω end_ARG</annotation></semantics></math> represents the rest configuration of the shell’s mid-surface, with <math alttext="\bar{A}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p1.5.m2.1"><semantics id="S3.p1.5.m2.1a"><mover accent="true" id="S3.p1.5.m2.1.1" xref="S3.p1.5.m2.1.1.cmml"><mi id="S3.p1.5.m2.1.1.2" xref="S3.p1.5.m2.1.1.2.cmml">A</mi><mo id="S3.p1.5.m2.1.1.1" xref="S3.p1.5.m2.1.1.1.cmml">¯</mo></mover><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p1.5.m2.1b"><apply id="S3.p1.5.m2.1.1.cmml" xref="S3.p1.5.m2.1.1"><ci id="S3.p1.5.m2.1.1.1.cmml" xref="S3.p1.5.m2.1.1.1">¯</ci><ci id="S3.p1.5.m2.1.1.2.cmml" xref="S3.p1.5.m2.1.1.2">𝐴</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p1.5.m2.1c">\bar{A}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p1.5.m2.1d">over¯ start_ARG italic_A end_ARG</annotation></semantics></math> as the area element. The vectors <math alttext="\bm{\varepsilon}_{\mathit{m}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p1.6.m3.1"><semantics id="S3.p1.6.m3.1a"><msub id="S3.p1.6.m3.1.1" xref="S3.p1.6.m3.1.1.cmml"><mi id="S3.p1.6.m3.1.1.2" xref="S3.p1.6.m3.1.1.2.cmml">𝜺</mi><mi id="S3.p1.6.m3.1.1.3" xref="S3.p1.6.m3.1.1.3.cmml">m</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p1.6.m3.1b"><apply id="S3.p1.6.m3.1.1.cmml" xref="S3.p1.6.m3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p1.6.m3.1.1.1.cmml" xref="S3.p1.6.m3.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.p1.6.m3.1.1.2.cmml" xref="S3.p1.6.m3.1.1.2">𝜺</ci><ci id="S3.p1.6.m3.1.1.3.cmml" xref="S3.p1.6.m3.1.1.3">𝑚</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p1.6.m3.1c">\bm{\varepsilon}_{\mathit{m}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p1.6.m3.1d">bold_italic_ε start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> and <math alttext="\bm{\varepsilon}_{\mathit{b}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p1.7.m4.1"><semantics id="S3.p1.7.m4.1a"><msub id="S3.p1.7.m4.1.1" xref="S3.p1.7.m4.1.1.cmml"><mi id="S3.p1.7.m4.1.1.2" xref="S3.p1.7.m4.1.1.2.cmml">𝜺</mi><mi id="S3.p1.7.m4.1.1.3" xref="S3.p1.7.m4.1.1.3.cmml">b</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p1.7.m4.1b"><apply id="S3.p1.7.m4.1.1.cmml" xref="S3.p1.7.m4.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p1.7.m4.1.1.1.cmml" xref="S3.p1.7.m4.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.p1.7.m4.1.1.2.cmml" xref="S3.p1.7.m4.1.1.2">𝜺</ci><ci id="S3.p1.7.m4.1.1.3.cmml" xref="S3.p1.7.m4.1.1.3">𝑏</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p1.7.m4.1c">\bm{\varepsilon}_{\mathit{b}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p1.7.m4.1d">bold_italic_ε start_POSTSUBSCRIPT italic_b end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> respectively denote the membrane strain and curvature change expressed in Voigt notation. The membrane stiffness matrix <math alttext="\mathbf{D}_{\mathit{m}}=h\mathbf{E}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p1.8.m5.1"><semantics id="S3.p1.8.m5.1a"><mrow id="S3.p1.8.m5.1.1" xref="S3.p1.8.m5.1.1.cmml"><msub id="S3.p1.8.m5.1.1.2" xref="S3.p1.8.m5.1.1.2.cmml"><mi id="S3.p1.8.m5.1.1.2.2" xref="S3.p1.8.m5.1.1.2.2.cmml">𝐃</mi><mi id="S3.p1.8.m5.1.1.2.3" xref="S3.p1.8.m5.1.1.2.3.cmml">m</mi></msub><mo id="S3.p1.8.m5.1.1.1" xref="S3.p1.8.m5.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S3.p1.8.m5.1.1.3" xref="S3.p1.8.m5.1.1.3.cmml"><mi id="S3.p1.8.m5.1.1.3.2" xref="S3.p1.8.m5.1.1.3.2.cmml">h</mi><mo id="S3.p1.8.m5.1.1.3.1" xref="S3.p1.8.m5.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.p1.8.m5.1.1.3.3" xref="S3.p1.8.m5.1.1.3.3.cmml">𝐄</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p1.8.m5.1b"><apply id="S3.p1.8.m5.1.1.cmml" xref="S3.p1.8.m5.1.1"><eq id="S3.p1.8.m5.1.1.1.cmml" xref="S3.p1.8.m5.1.1.1"></eq><apply id="S3.p1.8.m5.1.1.2.cmml" xref="S3.p1.8.m5.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p1.8.m5.1.1.2.1.cmml" xref="S3.p1.8.m5.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S3.p1.8.m5.1.1.2.2.cmml" xref="S3.p1.8.m5.1.1.2.2">𝐃</ci><ci id="S3.p1.8.m5.1.1.2.3.cmml" xref="S3.p1.8.m5.1.1.2.3">𝑚</ci></apply><apply id="S3.p1.8.m5.1.1.3.cmml" xref="S3.p1.8.m5.1.1.3"><times id="S3.p1.8.m5.1.1.3.1.cmml" xref="S3.p1.8.m5.1.1.3.1"></times><ci id="S3.p1.8.m5.1.1.3.2.cmml" xref="S3.p1.8.m5.1.1.3.2">ℎ</ci><ci id="S3.p1.8.m5.1.1.3.3.cmml" xref="S3.p1.8.m5.1.1.3.3">𝐄</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p1.8.m5.1c">\mathbf{D}_{\mathit{m}}=h\mathbf{E}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p1.8.m5.1d">bold_D start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT = italic_h bold_E</annotation></semantics></math> and the bending stiffness matrix <math alttext="\mathbf{D}_{\mathit{b}}={h^{3}\mathbf{E}}/{12}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p1.9.m6.1"><semantics id="S3.p1.9.m6.1a"><mrow id="S3.p1.9.m6.1.1" xref="S3.p1.9.m6.1.1.cmml"><msub id="S3.p1.9.m6.1.1.2" xref="S3.p1.9.m6.1.1.2.cmml"><mi id="S3.p1.9.m6.1.1.2.2" xref="S3.p1.9.m6.1.1.2.2.cmml">𝐃</mi><mi id="S3.p1.9.m6.1.1.2.3" xref="S3.p1.9.m6.1.1.2.3.cmml">b</mi></msub><mo id="S3.p1.9.m6.1.1.1" xref="S3.p1.9.m6.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S3.p1.9.m6.1.1.3" xref="S3.p1.9.m6.1.1.3.cmml"><mrow id="S3.p1.9.m6.1.1.3.2" xref="S3.p1.9.m6.1.1.3.2.cmml"><msup id="S3.p1.9.m6.1.1.3.2.2" xref="S3.p1.9.m6.1.1.3.2.2.cmml"><mi id="S3.p1.9.m6.1.1.3.2.2.2" xref="S3.p1.9.m6.1.1.3.2.2.2.cmml">h</mi><mn id="S3.p1.9.m6.1.1.3.2.2.3" xref="S3.p1.9.m6.1.1.3.2.2.3.cmml">3</mn></msup><mo id="S3.p1.9.m6.1.1.3.2.1" xref="S3.p1.9.m6.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.p1.9.m6.1.1.3.2.3" xref="S3.p1.9.m6.1.1.3.2.3.cmml">𝐄</mi></mrow><mo id="S3.p1.9.m6.1.1.3.1" xref="S3.p1.9.m6.1.1.3.1.cmml">/</mo><mn id="S3.p1.9.m6.1.1.3.3" xref="S3.p1.9.m6.1.1.3.3.cmml">12</mn></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p1.9.m6.1b"><apply id="S3.p1.9.m6.1.1.cmml" xref="S3.p1.9.m6.1.1"><eq id="S3.p1.9.m6.1.1.1.cmml" xref="S3.p1.9.m6.1.1.1"></eq><apply id="S3.p1.9.m6.1.1.2.cmml" xref="S3.p1.9.m6.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p1.9.m6.1.1.2.1.cmml" xref="S3.p1.9.m6.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S3.p1.9.m6.1.1.2.2.cmml" xref="S3.p1.9.m6.1.1.2.2">𝐃</ci><ci id="S3.p1.9.m6.1.1.2.3.cmml" xref="S3.p1.9.m6.1.1.2.3">𝑏</ci></apply><apply id="S3.p1.9.m6.1.1.3.cmml" xref="S3.p1.9.m6.1.1.3"><divide id="S3.p1.9.m6.1.1.3.1.cmml" xref="S3.p1.9.m6.1.1.3.1"></divide><apply id="S3.p1.9.m6.1.1.3.2.cmml" xref="S3.p1.9.m6.1.1.3.2"><times id="S3.p1.9.m6.1.1.3.2.1.cmml" xref="S3.p1.9.m6.1.1.3.2.1"></times><apply id="S3.p1.9.m6.1.1.3.2.2.cmml" xref="S3.p1.9.m6.1.1.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p1.9.m6.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S3.p1.9.m6.1.1.3.2.2">superscript</csymbol><ci id="S3.p1.9.m6.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S3.p1.9.m6.1.1.3.2.2.2">ℎ</ci><cn id="S3.p1.9.m6.1.1.3.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.p1.9.m6.1.1.3.2.2.3">3</cn></apply><ci id="S3.p1.9.m6.1.1.3.2.3.cmml" xref="S3.p1.9.m6.1.1.3.2.3">𝐄</ci></apply><cn id="S3.p1.9.m6.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.p1.9.m6.1.1.3.3">12</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p1.9.m6.1c">\mathbf{D}_{\mathit{b}}={h^{3}\mathbf{E}}/{12}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p1.9.m6.1d">bold_D start_POSTSUBSCRIPT italic_b end_POSTSUBSCRIPT = italic_h start_POSTSUPERSCRIPT 3 end_POSTSUPERSCRIPT bold_E / 12</annotation></semantics></math> depend on the shell thickness <math alttext="h" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p1.10.m7.1"><semantics id="S3.p1.10.m7.1a"><mi id="S3.p1.10.m7.1.1" xref="S3.p1.10.m7.1.1.cmml">h</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p1.10.m7.1b"><ci id="S3.p1.10.m7.1.1.cmml" xref="S3.p1.10.m7.1.1">ℎ</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p1.10.m7.1c">h</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p1.10.m7.1d">italic_h</annotation></semantics></math> and the elastic matrix <math alttext="\mathbf{E}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p1.11.m8.1"><semantics id="S3.p1.11.m8.1a"><mi id="S3.p1.11.m8.1.1" xref="S3.p1.11.m8.1.1.cmml">𝐄</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p1.11.m8.1b"><ci id="S3.p1.11.m8.1.1.cmml" xref="S3.p1.11.m8.1.1">𝐄</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p1.11.m8.1c">\mathbf{E}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p1.11.m8.1d">bold_E</annotation></semantics></math>, derived from the Saint Venant–Kirchhoff model. Other constitutive models can be easily generalized.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S3.p2"> <p class="ltx_p" id="S3.p2.3">In this study, we primarily focus on the computational modeling of the bending component, and therefore, we adopt the constant strain triangle as the computational model for the membrane part. The curvature change <math alttext="\bm{\varepsilon}_{\mathit{b}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p2.1.m1.1"><semantics id="S3.p2.1.m1.1a"><msub id="S3.p2.1.m1.1.1" xref="S3.p2.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S3.p2.1.m1.1.1.2" xref="S3.p2.1.m1.1.1.2.cmml">𝜺</mi><mi id="S3.p2.1.m1.1.1.3" xref="S3.p2.1.m1.1.1.3.cmml">b</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p2.1.m1.1b"><apply id="S3.p2.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.p2.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p2.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.p2.1.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.p2.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.p2.1.m1.1.1.2">𝜺</ci><ci id="S3.p2.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S3.p2.1.m1.1.1.3">𝑏</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p2.1.m1.1c">\bm{\varepsilon}_{\mathit{b}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p2.1.m1.1d">bold_italic_ε start_POSTSUBSCRIPT italic_b end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> reflects the change in curvature from the initial configuration <math alttext="\bm{\kappa}_{0}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p2.2.m2.1"><semantics id="S3.p2.2.m2.1a"><msub id="S3.p2.2.m2.1.1" xref="S3.p2.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S3.p2.2.m2.1.1.2" xref="S3.p2.2.m2.1.1.2.cmml">𝜿</mi><mn id="S3.p2.2.m2.1.1.3" xref="S3.p2.2.m2.1.1.3.cmml">0</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p2.2.m2.1b"><apply id="S3.p2.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.p2.2.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p2.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S3.p2.2.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.p2.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S3.p2.2.m2.1.1.2">𝜿</ci><cn id="S3.p2.2.m2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.p2.2.m2.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p2.2.m2.1c">\bm{\kappa}_{0}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p2.2.m2.1d">bold_italic_κ start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> to the current configuration <math alttext="\bm{\kappa}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p2.3.m3.1"><semantics id="S3.p2.3.m3.1a"><mi id="S3.p2.3.m3.1.1" xref="S3.p2.3.m3.1.1.cmml">𝜿</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p2.3.m3.1b"><ci id="S3.p2.3.m3.1.1.cmml" xref="S3.p2.3.m3.1.1">𝜿</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p2.3.m3.1c">\bm{\kappa}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p2.3.m3.1d">bold_italic_κ</annotation></semantics></math>, i.e.,</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S3.E2"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\bm{\varepsilon}_{\mathit{b}}=\bm{\kappa}-\bm{\kappa}_{0}." class="ltx_Math" display="block" id="S3.E2.m1.1"><semantics id="S3.E2.m1.1a"><mrow id="S3.E2.m1.1.1.1" xref="S3.E2.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E2.m1.1.1.1.1" xref="S3.E2.m1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S3.E2.m1.1.1.1.1.2" xref="S3.E2.m1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.E2.m1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.E2.m1.1.1.1.1.2.2.cmml">𝜺</mi><mi id="S3.E2.m1.1.1.1.1.2.3" xref="S3.E2.m1.1.1.1.1.2.3.cmml">b</mi></msub><mo id="S3.E2.m1.1.1.1.1.1" xref="S3.E2.m1.1.1.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S3.E2.m1.1.1.1.1.3" xref="S3.E2.m1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.E2.m1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.E2.m1.1.1.1.1.3.2.cmml">𝜿</mi><mo id="S3.E2.m1.1.1.1.1.3.1" xref="S3.E2.m1.1.1.1.1.3.1.cmml">−</mo><msub id="S3.E2.m1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.E2.m1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S3.E2.m1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S3.E2.m1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">𝜿</mi><mn id="S3.E2.m1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S3.E2.m1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">0</mn></msub></mrow></mrow><mo id="S3.E2.m1.1.1.1.2" lspace="0em" xref="S3.E2.m1.1.1.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E2.m1.1b"><apply id="S3.E2.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E2.m1.1.1.1"><eq id="S3.E2.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E2.m1.1.1.1.1.1"></eq><apply id="S3.E2.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E2.m1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E2.m1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E2.m1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S3.E2.m1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.E2.m1.1.1.1.1.2.2">𝜺</ci><ci id="S3.E2.m1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.E2.m1.1.1.1.1.2.3">𝑏</ci></apply><apply id="S3.E2.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E2.m1.1.1.1.1.3"><minus id="S3.E2.m1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E2.m1.1.1.1.1.3.1"></minus><ci id="S3.E2.m1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E2.m1.1.1.1.1.3.2">𝜿</ci><apply id="S3.E2.m1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.E2.m1.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E2.m1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.E2.m1.1.1.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S3.E2.m1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S3.E2.m1.1.1.1.1.3.3.2">𝜿</ci><cn id="S3.E2.m1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.E2.m1.1.1.1.1.3.3.3">0</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E2.m1.1c">\bm{\varepsilon}_{\mathit{b}}=\bm{\kappa}-\bm{\kappa}_{0}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E2.m1.1d">bold_italic_ε start_POSTSUBSCRIPT italic_b end_POSTSUBSCRIPT = bold_italic_κ - bold_italic_κ start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(2)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.p2.4">In cases where the shell is initially flat, the initial curvature <math alttext="\bm{\kappa}_{0}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p2.4.m1.1"><semantics id="S3.p2.4.m1.1a"><msub id="S3.p2.4.m1.1.1" xref="S3.p2.4.m1.1.1.cmml"><mi id="S3.p2.4.m1.1.1.2" xref="S3.p2.4.m1.1.1.2.cmml">𝜿</mi><mn id="S3.p2.4.m1.1.1.3" xref="S3.p2.4.m1.1.1.3.cmml">0</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p2.4.m1.1b"><apply id="S3.p2.4.m1.1.1.cmml" xref="S3.p2.4.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p2.4.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.p2.4.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.p2.4.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.p2.4.m1.1.1.2">𝜿</ci><cn id="S3.p2.4.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.p2.4.m1.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p2.4.m1.1c">\bm{\kappa}_{0}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p2.4.m1.1d">bold_italic_κ start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> vanishes, reducing the model to that of a thin plate.</p> </div> </section> <section class="ltx_section" id="S4"> <h2 class="ltx_title ltx_title_section"> <span class="ltx_tag ltx_tag_section">4 </span>Geometric Discretization</h2> <section class="ltx_subsection" id="S4.SS1"> <h3 class="ltx_title ltx_title_subsection"> <span class="ltx_tag ltx_tag_subsection">4.1 </span>Kinematics</h3> <div class="ltx_para" id="S4.SS1.p1"> <p class="ltx_p" id="S4.SS1.p1.1">The shell stencil in the corotational edge-based hinge bending model is defined by an edge-based stencil, consisting of one edge and its two adjacent triangles (see Figure <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2502.10872v4#S4.F1" title="Figure 1 ‣ 4.3 Corotational edge-based hinge bending model ‣ 4 Geometric Discretization ‣ Corotational Hinge-based Thin Plates/Shells"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">1</span></a>). On the other hand, the shell stencil for the corotational FVM/smoothed hinge bending model uses a triangle-centered stencil, which includes one central triangle and its three neighboring triangles (see Figure <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2502.10872v4#S4.F2" title="Figure 2 ‣ 4.4 Corotational FVM hinge bending model ‣ 4 Geometric Discretization ‣ Corotational Hinge-based Thin Plates/Shells"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">2</span></a> and Figure <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2502.10872v4#S4.F3" title="Figure 3 ‣ 4.5 Corotational smoothed hinge bending model ‣ 4 Geometric Discretization ‣ Corotational Hinge-based Thin Plates/Shells"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">3</span></a>). For a given point <math alttext="\mathbf{x}\in R^{3}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p1.1.m1.1"><semantics id="S4.SS1.p1.1.m1.1a"><mrow id="S4.SS1.p1.1.m1.1.1" xref="S4.SS1.p1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S4.SS1.p1.1.m1.1.1.2" xref="S4.SS1.p1.1.m1.1.1.2.cmml">𝐱</mi><mo id="S4.SS1.p1.1.m1.1.1.1" xref="S4.SS1.p1.1.m1.1.1.1.cmml">∈</mo><msup id="S4.SS1.p1.1.m1.1.1.3" xref="S4.SS1.p1.1.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.SS1.p1.1.m1.1.1.3.2" xref="S4.SS1.p1.1.m1.1.1.3.2.cmml">R</mi><mn id="S4.SS1.p1.1.m1.1.1.3.3" xref="S4.SS1.p1.1.m1.1.1.3.3.cmml">3</mn></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p1.1.m1.1b"><apply id="S4.SS1.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p1.1.m1.1.1"><in id="S4.SS1.p1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p1.1.m1.1.1.1"></in><ci id="S4.SS1.p1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p1.1.m1.1.1.2">𝐱</ci><apply id="S4.SS1.p1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S4.SS1.p1.1.m1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p1.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.SS1.p1.1.m1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S4.SS1.p1.1.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.SS1.p1.1.m1.1.1.3.2">𝑅</ci><cn id="S4.SS1.p1.1.m1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS1.p1.1.m1.1.1.3.3">3</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p1.1.m1.1c">\mathbf{x}\in R^{3}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p1.1.m1.1d">bold_x ∈ italic_R start_POSTSUPERSCRIPT 3 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> within one shell stencil, the position in the current configuration is computed as:</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S4.E3"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\mathbf{x}=\mathbf{X}+\mathbf{u}," class="ltx_Math" display="block" id="S4.E3.m1.1"><semantics id="S4.E3.m1.1a"><mrow id="S4.E3.m1.1.1.1" xref="S4.E3.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.E3.m1.1.1.1.1" xref="S4.E3.m1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.E3.m1.1.1.1.1.2" xref="S4.E3.m1.1.1.1.1.2.cmml">𝐱</mi><mo id="S4.E3.m1.1.1.1.1.1" xref="S4.E3.m1.1.1.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S4.E3.m1.1.1.1.1.3" xref="S4.E3.m1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.E3.m1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.E3.m1.1.1.1.1.3.2.cmml">𝐗</mi><mo id="S4.E3.m1.1.1.1.1.3.1" xref="S4.E3.m1.1.1.1.1.3.1.cmml">+</mo><mi id="S4.E3.m1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.E3.m1.1.1.1.1.3.3.cmml">𝐮</mi></mrow></mrow><mo id="S4.E3.m1.1.1.1.2" xref="S4.E3.m1.1.1.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.E3.m1.1b"><apply id="S4.E3.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E3.m1.1.1.1"><eq id="S4.E3.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E3.m1.1.1.1.1.1"></eq><ci id="S4.E3.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E3.m1.1.1.1.1.2">𝐱</ci><apply id="S4.E3.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E3.m1.1.1.1.1.3"><plus id="S4.E3.m1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E3.m1.1.1.1.1.3.1"></plus><ci id="S4.E3.m1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.E3.m1.1.1.1.1.3.2">𝐗</ci><ci id="S4.E3.m1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.E3.m1.1.1.1.1.3.3">𝐮</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.E3.m1.1c">\mathbf{x}=\mathbf{X}+\mathbf{u},</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.E3.m1.1d">bold_x = bold_X + bold_u ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(3)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S4.SS1.p1.3">where <math alttext="\mathbf{X}\in R^{3}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p1.2.m1.1"><semantics id="S4.SS1.p1.2.m1.1a"><mrow id="S4.SS1.p1.2.m1.1.1" xref="S4.SS1.p1.2.m1.1.1.cmml"><mi id="S4.SS1.p1.2.m1.1.1.2" xref="S4.SS1.p1.2.m1.1.1.2.cmml">𝐗</mi><mo id="S4.SS1.p1.2.m1.1.1.1" xref="S4.SS1.p1.2.m1.1.1.1.cmml">∈</mo><msup id="S4.SS1.p1.2.m1.1.1.3" xref="S4.SS1.p1.2.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.SS1.p1.2.m1.1.1.3.2" xref="S4.SS1.p1.2.m1.1.1.3.2.cmml">R</mi><mn id="S4.SS1.p1.2.m1.1.1.3.3" xref="S4.SS1.p1.2.m1.1.1.3.3.cmml">3</mn></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p1.2.m1.1b"><apply id="S4.SS1.p1.2.m1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p1.2.m1.1.1"><in id="S4.SS1.p1.2.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p1.2.m1.1.1.1"></in><ci id="S4.SS1.p1.2.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p1.2.m1.1.1.2">𝐗</ci><apply id="S4.SS1.p1.2.m1.1.1.3.cmml" xref="S4.SS1.p1.2.m1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p1.2.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.SS1.p1.2.m1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S4.SS1.p1.2.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.SS1.p1.2.m1.1.1.3.2">𝑅</ci><cn id="S4.SS1.p1.2.m1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS1.p1.2.m1.1.1.3.3">3</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p1.2.m1.1c">\mathbf{X}\in R^{3}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p1.2.m1.1d">bold_X ∈ italic_R start_POSTSUPERSCRIPT 3 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> is the position in the initial configuration, and <math alttext="\mathbf{u}\in R^{3}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p1.3.m2.1"><semantics id="S4.SS1.p1.3.m2.1a"><mrow id="S4.SS1.p1.3.m2.1.1" xref="S4.SS1.p1.3.m2.1.1.cmml"><mi id="S4.SS1.p1.3.m2.1.1.2" xref="S4.SS1.p1.3.m2.1.1.2.cmml">𝐮</mi><mo id="S4.SS1.p1.3.m2.1.1.1" xref="S4.SS1.p1.3.m2.1.1.1.cmml">∈</mo><msup id="S4.SS1.p1.3.m2.1.1.3" xref="S4.SS1.p1.3.m2.1.1.3.cmml"><mi id="S4.SS1.p1.3.m2.1.1.3.2" xref="S4.SS1.p1.3.m2.1.1.3.2.cmml">R</mi><mn id="S4.SS1.p1.3.m2.1.1.3.3" xref="S4.SS1.p1.3.m2.1.1.3.3.cmml">3</mn></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p1.3.m2.1b"><apply id="S4.SS1.p1.3.m2.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p1.3.m2.1.1"><in id="S4.SS1.p1.3.m2.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p1.3.m2.1.1.1"></in><ci id="S4.SS1.p1.3.m2.1.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p1.3.m2.1.1.2">𝐮</ci><apply id="S4.SS1.p1.3.m2.1.1.3.cmml" xref="S4.SS1.p1.3.m2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p1.3.m2.1.1.3.1.cmml" xref="S4.SS1.p1.3.m2.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S4.SS1.p1.3.m2.1.1.3.2.cmml" xref="S4.SS1.p1.3.m2.1.1.3.2">𝑅</ci><cn id="S4.SS1.p1.3.m2.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS1.p1.3.m2.1.1.3.3">3</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p1.3.m2.1c">\mathbf{u}\in R^{3}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p1.3.m2.1d">bold_u ∈ italic_R start_POSTSUPERSCRIPT 3 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> is the displacement.</p> </div> </section> <section class="ltx_subsection" id="S4.SS2"> <h3 class="ltx_title ltx_title_subsection"> <span class="ltx_tag ltx_tag_subsection">4.2 </span>Terminologies and Remarks</h3> <div class="ltx_para" id="S4.SS2.p1"> <p class="ltx_p" id="S4.SS2.p1.11"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S4.SS2.p1.11.1">Terminologies.</span> In this context, <math alttext="(\cdot)^{{e}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS2.p1.1.m1.1"><semantics id="S4.SS2.p1.1.m1.1a"><msup id="S4.SS2.p1.1.m1.1.2" xref="S4.SS2.p1.1.m1.1.2.cmml"><mrow id="S4.SS2.p1.1.m1.1.2.2.2" xref="S4.SS2.p1.1.m1.1.2.cmml"><mo id="S4.SS2.p1.1.m1.1.2.2.2.1" stretchy="false" xref="S4.SS2.p1.1.m1.1.2.cmml">(</mo><mo id="S4.SS2.p1.1.m1.1.1" lspace="0em" rspace="0em" xref="S4.SS2.p1.1.m1.1.1.cmml">⋅</mo><mo id="S4.SS2.p1.1.m1.1.2.2.2.2" stretchy="false" xref="S4.SS2.p1.1.m1.1.2.cmml">)</mo></mrow><mi id="S4.SS2.p1.1.m1.1.2.3" xref="S4.SS2.p1.1.m1.1.2.3.cmml">e</mi></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS2.p1.1.m1.1b"><apply id="S4.SS2.p1.1.m1.1.2.cmml" xref="S4.SS2.p1.1.m1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS2.p1.1.m1.1.2.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.1.m1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S4.SS2.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.1.m1.1.1">⋅</ci><ci id="S4.SS2.p1.1.m1.1.2.3.cmml" xref="S4.SS2.p1.1.m1.1.2.3">𝑒</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS2.p1.1.m1.1c">(\cdot)^{{e}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS2.p1.1.m1.1d">( ⋅ ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_e end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> denotes a vector that collects the quantities associated with a shell stencil. For instance, <math alttext="{\mathbf{x}}^{e}=\begin{bmatrix}{\mathbf{x}}_{1}^{T}&{\mathbf{x}}_{2}^{T}&{% \mathbf{x}}_{3}^{T}&{\mathbf{x}}_{4}^{T}\end{bmatrix}^{T}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS2.p1.2.m2.1"><semantics id="S4.SS2.p1.2.m2.1a"><mrow id="S4.SS2.p1.2.m2.1.2" xref="S4.SS2.p1.2.m2.1.2.cmml"><msup id="S4.SS2.p1.2.m2.1.2.2" xref="S4.SS2.p1.2.m2.1.2.2.cmml"><mi id="S4.SS2.p1.2.m2.1.2.2.2" xref="S4.SS2.p1.2.m2.1.2.2.2.cmml">𝐱</mi><mi id="S4.SS2.p1.2.m2.1.2.2.3" xref="S4.SS2.p1.2.m2.1.2.2.3.cmml">e</mi></msup><mo id="S4.SS2.p1.2.m2.1.2.1" xref="S4.SS2.p1.2.m2.1.2.1.cmml">=</mo><msup id="S4.SS2.p1.2.m2.1.2.3" xref="S4.SS2.p1.2.m2.1.2.3.cmml"><mrow id="S4.SS2.p1.2.m2.1.1.3" xref="S4.SS2.p1.2.m2.1.1.2.cmml"><mo id="S4.SS2.p1.2.m2.1.1.3.1" xref="S4.SS2.p1.2.m2.1.1.2.1.cmml">[</mo><mtable columnspacing="5pt" id="S4.SS2.p1.2.m2.1.1.1.1" xref="S4.SS2.p1.2.m2.1.1.1.1.cmml"><mtr id="S4.SS2.p1.2.m2.1.1.1.1a" xref="S4.SS2.p1.2.m2.1.1.1.1.cmml"><mtd id="S4.SS2.p1.2.m2.1.1.1.1b" xref="S4.SS2.p1.2.m2.1.1.1.1.cmml"><msubsup id="S4.SS2.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.SS2.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.SS2.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.SS2.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">𝐱</mi><mn id="S4.SS2.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S4.SS2.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">1</mn><mi id="S4.SS2.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.SS2.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">T</mi></msubsup></mtd><mtd id="S4.SS2.p1.2.m2.1.1.1.1c" xref="S4.SS2.p1.2.m2.1.1.1.1.cmml"><msubsup id="S4.SS2.p1.2.m2.1.1.1.1.1.2.1" xref="S4.SS2.p1.2.m2.1.1.1.1.1.2.1.cmml"><mi id="S4.SS2.p1.2.m2.1.1.1.1.1.2.1.2.2" xref="S4.SS2.p1.2.m2.1.1.1.1.1.2.1.2.2.cmml">𝐱</mi><mn id="S4.SS2.p1.2.m2.1.1.1.1.1.2.1.2.3" xref="S4.SS2.p1.2.m2.1.1.1.1.1.2.1.2.3.cmml">2</mn><mi id="S4.SS2.p1.2.m2.1.1.1.1.1.2.1.3" xref="S4.SS2.p1.2.m2.1.1.1.1.1.2.1.3.cmml">T</mi></msubsup></mtd><mtd id="S4.SS2.p1.2.m2.1.1.1.1d" xref="S4.SS2.p1.2.m2.1.1.1.1.cmml"><msubsup id="S4.SS2.p1.2.m2.1.1.1.1.1.3.1" xref="S4.SS2.p1.2.m2.1.1.1.1.1.3.1.cmml"><mi id="S4.SS2.p1.2.m2.1.1.1.1.1.3.1.2.2" xref="S4.SS2.p1.2.m2.1.1.1.1.1.3.1.2.2.cmml">𝐱</mi><mn id="S4.SS2.p1.2.m2.1.1.1.1.1.3.1.2.3" xref="S4.SS2.p1.2.m2.1.1.1.1.1.3.1.2.3.cmml">3</mn><mi id="S4.SS2.p1.2.m2.1.1.1.1.1.3.1.3" xref="S4.SS2.p1.2.m2.1.1.1.1.1.3.1.3.cmml">T</mi></msubsup></mtd><mtd id="S4.SS2.p1.2.m2.1.1.1.1e" xref="S4.SS2.p1.2.m2.1.1.1.1.cmml"><msubsup id="S4.SS2.p1.2.m2.1.1.1.1.1.4.1" xref="S4.SS2.p1.2.m2.1.1.1.1.1.4.1.cmml"><mi id="S4.SS2.p1.2.m2.1.1.1.1.1.4.1.2.2" xref="S4.SS2.p1.2.m2.1.1.1.1.1.4.1.2.2.cmml">𝐱</mi><mn id="S4.SS2.p1.2.m2.1.1.1.1.1.4.1.2.3" xref="S4.SS2.p1.2.m2.1.1.1.1.1.4.1.2.3.cmml">4</mn><mi id="S4.SS2.p1.2.m2.1.1.1.1.1.4.1.3" xref="S4.SS2.p1.2.m2.1.1.1.1.1.4.1.3.cmml">T</mi></msubsup></mtd></mtr></mtable><mo id="S4.SS2.p1.2.m2.1.1.3.2" xref="S4.SS2.p1.2.m2.1.1.2.1.cmml">]</mo></mrow><mi id="S4.SS2.p1.2.m2.1.2.3.2" xref="S4.SS2.p1.2.m2.1.2.3.2.cmml">T</mi></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS2.p1.2.m2.1b"><apply id="S4.SS2.p1.2.m2.1.2.cmml" xref="S4.SS2.p1.2.m2.1.2"><eq id="S4.SS2.p1.2.m2.1.2.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.2.m2.1.2.1"></eq><apply id="S4.SS2.p1.2.m2.1.2.2.cmml" xref="S4.SS2.p1.2.m2.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS2.p1.2.m2.1.2.2.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.2.m2.1.2.2">superscript</csymbol><ci id="S4.SS2.p1.2.m2.1.2.2.2.cmml" xref="S4.SS2.p1.2.m2.1.2.2.2">𝐱</ci><ci id="S4.SS2.p1.2.m2.1.2.2.3.cmml" xref="S4.SS2.p1.2.m2.1.2.2.3">𝑒</ci></apply><apply id="S4.SS2.p1.2.m2.1.2.3.cmml" xref="S4.SS2.p1.2.m2.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS2.p1.2.m2.1.2.3.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.2.m2.1.2.3">superscript</csymbol><apply id="S4.SS2.p1.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S4.SS2.p1.2.m2.1.1.3"><csymbol cd="latexml" id="S4.SS2.p1.2.m2.1.1.2.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.2.m2.1.1.3.1">matrix</csymbol><matrix id="S4.SS2.p1.2.m2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.2.m2.1.1.1.1"><matrixrow id="S4.SS2.p1.2.m2.1.1.1.1a.cmml" xref="S4.SS2.p1.2.m2.1.1.1.1"><apply id="S4.SS2.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS2.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S4.SS2.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS2.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS2.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.SS2.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.SS2.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝐱</ci><cn id="S4.SS2.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS2.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.3">1</cn></apply><ci id="S4.SS2.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.SS2.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑇</ci></apply><apply id="S4.SS2.p1.2.m2.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.2.m2.1.1.1.1.1.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS2.p1.2.m2.1.1.1.1.1.2.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.2.m2.1.1.1.1.1.2.1">superscript</csymbol><apply id="S4.SS2.p1.2.m2.1.1.1.1.1.2.1.2.cmml" xref="S4.SS2.p1.2.m2.1.1.1.1.1.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS2.p1.2.m2.1.1.1.1.1.2.1.2.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.2.m2.1.1.1.1.1.2.1">subscript</csymbol><ci id="S4.SS2.p1.2.m2.1.1.1.1.1.2.1.2.2.cmml" xref="S4.SS2.p1.2.m2.1.1.1.1.1.2.1.2.2">𝐱</ci><cn id="S4.SS2.p1.2.m2.1.1.1.1.1.2.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS2.p1.2.m2.1.1.1.1.1.2.1.2.3">2</cn></apply><ci id="S4.SS2.p1.2.m2.1.1.1.1.1.2.1.3.cmml" xref="S4.SS2.p1.2.m2.1.1.1.1.1.2.1.3">𝑇</ci></apply><apply id="S4.SS2.p1.2.m2.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.2.m2.1.1.1.1.1.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS2.p1.2.m2.1.1.1.1.1.3.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.2.m2.1.1.1.1.1.3.1">superscript</csymbol><apply id="S4.SS2.p1.2.m2.1.1.1.1.1.3.1.2.cmml" xref="S4.SS2.p1.2.m2.1.1.1.1.1.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS2.p1.2.m2.1.1.1.1.1.3.1.2.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.2.m2.1.1.1.1.1.3.1">subscript</csymbol><ci id="S4.SS2.p1.2.m2.1.1.1.1.1.3.1.2.2.cmml" xref="S4.SS2.p1.2.m2.1.1.1.1.1.3.1.2.2">𝐱</ci><cn id="S4.SS2.p1.2.m2.1.1.1.1.1.3.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS2.p1.2.m2.1.1.1.1.1.3.1.2.3">3</cn></apply><ci id="S4.SS2.p1.2.m2.1.1.1.1.1.3.1.3.cmml" xref="S4.SS2.p1.2.m2.1.1.1.1.1.3.1.3">𝑇</ci></apply><apply id="S4.SS2.p1.2.m2.1.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.2.m2.1.1.1.1.1.4.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS2.p1.2.m2.1.1.1.1.1.4.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.2.m2.1.1.1.1.1.4.1">superscript</csymbol><apply id="S4.SS2.p1.2.m2.1.1.1.1.1.4.1.2.cmml" xref="S4.SS2.p1.2.m2.1.1.1.1.1.4.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS2.p1.2.m2.1.1.1.1.1.4.1.2.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.2.m2.1.1.1.1.1.4.1">subscript</csymbol><ci id="S4.SS2.p1.2.m2.1.1.1.1.1.4.1.2.2.cmml" xref="S4.SS2.p1.2.m2.1.1.1.1.1.4.1.2.2">𝐱</ci><cn id="S4.SS2.p1.2.m2.1.1.1.1.1.4.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS2.p1.2.m2.1.1.1.1.1.4.1.2.3">4</cn></apply><ci id="S4.SS2.p1.2.m2.1.1.1.1.1.4.1.3.cmml" xref="S4.SS2.p1.2.m2.1.1.1.1.1.4.1.3">𝑇</ci></apply></matrixrow></matrix></apply><ci id="S4.SS2.p1.2.m2.1.2.3.2.cmml" xref="S4.SS2.p1.2.m2.1.2.3.2">𝑇</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS2.p1.2.m2.1c">{\mathbf{x}}^{e}=\begin{bmatrix}{\mathbf{x}}_{1}^{T}&{\mathbf{x}}_{2}^{T}&{% \mathbf{x}}_{3}^{T}&{\mathbf{x}}_{4}^{T}\end{bmatrix}^{T}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS2.p1.2.m2.1d">bold_x start_POSTSUPERSCRIPT italic_e end_POSTSUPERSCRIPT = [ start_ARG start_ROW start_CELL bold_x start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT end_CELL start_CELL bold_x start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT end_CELL start_CELL bold_x start_POSTSUBSCRIPT 3 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT end_CELL start_CELL bold_x start_POSTSUBSCRIPT 4 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT end_CELL end_ROW end_ARG ] start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> aggregates the current nodal positions for an edge-based stencil, while <math alttext="{\mathbf{x}}^{e}=\begin{bmatrix}{\mathbf{x}}_{1}^{T}&{\mathbf{x}}_{2}^{T}&{% \mathbf{x}}_{3}^{T}&{\mathbf{x}}_{4}^{T}&{\mathbf{x}}_{5}^{T}&{\mathbf{x}}_{6}% ^{T}\end{bmatrix}^{T}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS2.p1.3.m3.1"><semantics id="S4.SS2.p1.3.m3.1a"><mrow id="S4.SS2.p1.3.m3.1.2" xref="S4.SS2.p1.3.m3.1.2.cmml"><msup id="S4.SS2.p1.3.m3.1.2.2" xref="S4.SS2.p1.3.m3.1.2.2.cmml"><mi id="S4.SS2.p1.3.m3.1.2.2.2" xref="S4.SS2.p1.3.m3.1.2.2.2.cmml">𝐱</mi><mi id="S4.SS2.p1.3.m3.1.2.2.3" xref="S4.SS2.p1.3.m3.1.2.2.3.cmml">e</mi></msup><mo id="S4.SS2.p1.3.m3.1.2.1" xref="S4.SS2.p1.3.m3.1.2.1.cmml">=</mo><msup id="S4.SS2.p1.3.m3.1.2.3" xref="S4.SS2.p1.3.m3.1.2.3.cmml"><mrow id="S4.SS2.p1.3.m3.1.1.3" xref="S4.SS2.p1.3.m3.1.1.2.cmml"><mo id="S4.SS2.p1.3.m3.1.1.3.1" xref="S4.SS2.p1.3.m3.1.1.2.1.cmml">[</mo><mtable columnspacing="5pt" 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id="S4.SS2.p1.3.m3.1.1.1.1.1.2.1.2.cmml" xref="S4.SS2.p1.3.m3.1.1.1.1.1.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS2.p1.3.m3.1.1.1.1.1.2.1.2.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.3.m3.1.1.1.1.1.2.1">subscript</csymbol><ci id="S4.SS2.p1.3.m3.1.1.1.1.1.2.1.2.2.cmml" xref="S4.SS2.p1.3.m3.1.1.1.1.1.2.1.2.2">𝐱</ci><cn id="S4.SS2.p1.3.m3.1.1.1.1.1.2.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS2.p1.3.m3.1.1.1.1.1.2.1.2.3">2</cn></apply><ci id="S4.SS2.p1.3.m3.1.1.1.1.1.2.1.3.cmml" xref="S4.SS2.p1.3.m3.1.1.1.1.1.2.1.3">𝑇</ci></apply><apply id="S4.SS2.p1.3.m3.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.3.m3.1.1.1.1.1.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS2.p1.3.m3.1.1.1.1.1.3.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.3.m3.1.1.1.1.1.3.1">superscript</csymbol><apply id="S4.SS2.p1.3.m3.1.1.1.1.1.3.1.2.cmml" xref="S4.SS2.p1.3.m3.1.1.1.1.1.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS2.p1.3.m3.1.1.1.1.1.3.1.2.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.3.m3.1.1.1.1.1.3.1">subscript</csymbol><ci id="S4.SS2.p1.3.m3.1.1.1.1.1.3.1.2.2.cmml" 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id="S4.SS2.p1.3.m3.1.1.1.1.1.5.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.3.m3.1.1.1.1.1.5.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS2.p1.3.m3.1.1.1.1.1.5.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.3.m3.1.1.1.1.1.5.1">superscript</csymbol><apply id="S4.SS2.p1.3.m3.1.1.1.1.1.5.1.2.cmml" xref="S4.SS2.p1.3.m3.1.1.1.1.1.5.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS2.p1.3.m3.1.1.1.1.1.5.1.2.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.3.m3.1.1.1.1.1.5.1">subscript</csymbol><ci id="S4.SS2.p1.3.m3.1.1.1.1.1.5.1.2.2.cmml" xref="S4.SS2.p1.3.m3.1.1.1.1.1.5.1.2.2">𝐱</ci><cn id="S4.SS2.p1.3.m3.1.1.1.1.1.5.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS2.p1.3.m3.1.1.1.1.1.5.1.2.3">5</cn></apply><ci id="S4.SS2.p1.3.m3.1.1.1.1.1.5.1.3.cmml" xref="S4.SS2.p1.3.m3.1.1.1.1.1.5.1.3">𝑇</ci></apply><apply id="S4.SS2.p1.3.m3.1.1.1.1.1.6.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.3.m3.1.1.1.1.1.6.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS2.p1.3.m3.1.1.1.1.1.6.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.3.m3.1.1.1.1.1.6.1">superscript</csymbol><apply id="S4.SS2.p1.3.m3.1.1.1.1.1.6.1.2.cmml" xref="S4.SS2.p1.3.m3.1.1.1.1.1.6.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS2.p1.3.m3.1.1.1.1.1.6.1.2.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.3.m3.1.1.1.1.1.6.1">subscript</csymbol><ci id="S4.SS2.p1.3.m3.1.1.1.1.1.6.1.2.2.cmml" xref="S4.SS2.p1.3.m3.1.1.1.1.1.6.1.2.2">𝐱</ci><cn id="S4.SS2.p1.3.m3.1.1.1.1.1.6.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS2.p1.3.m3.1.1.1.1.1.6.1.2.3">6</cn></apply><ci id="S4.SS2.p1.3.m3.1.1.1.1.1.6.1.3.cmml" xref="S4.SS2.p1.3.m3.1.1.1.1.1.6.1.3">𝑇</ci></apply></matrixrow></matrix></apply><ci id="S4.SS2.p1.3.m3.1.2.3.2.cmml" xref="S4.SS2.p1.3.m3.1.2.3.2">𝑇</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS2.p1.3.m3.1c">{\mathbf{x}}^{e}=\begin{bmatrix}{\mathbf{x}}_{1}^{T}&{\mathbf{x}}_{2}^{T}&{% \mathbf{x}}_{3}^{T}&{\mathbf{x}}_{4}^{T}&{\mathbf{x}}_{5}^{T}&{\mathbf{x}}_{6}% ^{T}\end{bmatrix}^{T}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS2.p1.3.m3.1d">bold_x start_POSTSUPERSCRIPT italic_e end_POSTSUPERSCRIPT = [ start_ARG start_ROW start_CELL bold_x start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT end_CELL start_CELL bold_x start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT end_CELL start_CELL bold_x start_POSTSUBSCRIPT 3 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT end_CELL start_CELL bold_x start_POSTSUBSCRIPT 4 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT end_CELL start_CELL bold_x start_POSTSUBSCRIPT 5 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT end_CELL start_CELL bold_x start_POSTSUBSCRIPT 6 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT end_CELL end_ROW end_ARG ] start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> aggregates the current nodal positions for a triangle-centered stencil. The notation <math alttext="(\cdot)_{0}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS2.p1.4.m4.1"><semantics id="S4.SS2.p1.4.m4.1a"><msub id="S4.SS2.p1.4.m4.1.2" xref="S4.SS2.p1.4.m4.1.2.cmml"><mrow id="S4.SS2.p1.4.m4.1.2.2.2" xref="S4.SS2.p1.4.m4.1.2.cmml"><mo id="S4.SS2.p1.4.m4.1.2.2.2.1" stretchy="false" xref="S4.SS2.p1.4.m4.1.2.cmml">(</mo><mo id="S4.SS2.p1.4.m4.1.1" lspace="0em" rspace="0em" xref="S4.SS2.p1.4.m4.1.1.cmml">⋅</mo><mo id="S4.SS2.p1.4.m4.1.2.2.2.2" stretchy="false" xref="S4.SS2.p1.4.m4.1.2.cmml">)</mo></mrow><mn id="S4.SS2.p1.4.m4.1.2.3" xref="S4.SS2.p1.4.m4.1.2.3.cmml">0</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS2.p1.4.m4.1b"><apply id="S4.SS2.p1.4.m4.1.2.cmml" xref="S4.SS2.p1.4.m4.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS2.p1.4.m4.1.2.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.4.m4.1.2">subscript</csymbol><ci id="S4.SS2.p1.4.m4.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.4.m4.1.1">⋅</ci><cn id="S4.SS2.p1.4.m4.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS2.p1.4.m4.1.2.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS2.p1.4.m4.1c">(\cdot)_{0}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS2.p1.4.m4.1d">( ⋅ ) start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> denotes the quantity in the initial configuration. The notation <math alttext="(\cdot)_{ij}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS2.p1.5.m5.1"><semantics id="S4.SS2.p1.5.m5.1a"><msub id="S4.SS2.p1.5.m5.1.2" xref="S4.SS2.p1.5.m5.1.2.cmml"><mrow id="S4.SS2.p1.5.m5.1.2.2.2" xref="S4.SS2.p1.5.m5.1.2.cmml"><mo id="S4.SS2.p1.5.m5.1.2.2.2.1" stretchy="false" xref="S4.SS2.p1.5.m5.1.2.cmml">(</mo><mo id="S4.SS2.p1.5.m5.1.1" lspace="0em" rspace="0em" xref="S4.SS2.p1.5.m5.1.1.cmml">⋅</mo><mo id="S4.SS2.p1.5.m5.1.2.2.2.2" stretchy="false" xref="S4.SS2.p1.5.m5.1.2.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S4.SS2.p1.5.m5.1.2.3" xref="S4.SS2.p1.5.m5.1.2.3.cmml"><mi id="S4.SS2.p1.5.m5.1.2.3.2" xref="S4.SS2.p1.5.m5.1.2.3.2.cmml">i</mi><mo id="S4.SS2.p1.5.m5.1.2.3.1" xref="S4.SS2.p1.5.m5.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.SS2.p1.5.m5.1.2.3.3" xref="S4.SS2.p1.5.m5.1.2.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS2.p1.5.m5.1b"><apply id="S4.SS2.p1.5.m5.1.2.cmml" xref="S4.SS2.p1.5.m5.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS2.p1.5.m5.1.2.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.5.m5.1.2">subscript</csymbol><ci id="S4.SS2.p1.5.m5.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.5.m5.1.1">⋅</ci><apply id="S4.SS2.p1.5.m5.1.2.3.cmml" xref="S4.SS2.p1.5.m5.1.2.3"><times id="S4.SS2.p1.5.m5.1.2.3.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.5.m5.1.2.3.1"></times><ci id="S4.SS2.p1.5.m5.1.2.3.2.cmml" xref="S4.SS2.p1.5.m5.1.2.3.2">𝑖</ci><ci id="S4.SS2.p1.5.m5.1.2.3.3.cmml" xref="S4.SS2.p1.5.m5.1.2.3.3">𝑗</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS2.p1.5.m5.1c">(\cdot)_{ij}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS2.p1.5.m5.1d">( ⋅ ) start_POSTSUBSCRIPT italic_i italic_j end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> denotes a directed line segment from point <math alttext="(\cdot)_{i}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS2.p1.6.m6.1"><semantics id="S4.SS2.p1.6.m6.1a"><msub id="S4.SS2.p1.6.m6.1.2" xref="S4.SS2.p1.6.m6.1.2.cmml"><mrow id="S4.SS2.p1.6.m6.1.2.2.2" xref="S4.SS2.p1.6.m6.1.2.cmml"><mo id="S4.SS2.p1.6.m6.1.2.2.2.1" stretchy="false" xref="S4.SS2.p1.6.m6.1.2.cmml">(</mo><mo id="S4.SS2.p1.6.m6.1.1" lspace="0em" rspace="0em" xref="S4.SS2.p1.6.m6.1.1.cmml">⋅</mo><mo id="S4.SS2.p1.6.m6.1.2.2.2.2" stretchy="false" xref="S4.SS2.p1.6.m6.1.2.cmml">)</mo></mrow><mi id="S4.SS2.p1.6.m6.1.2.3" xref="S4.SS2.p1.6.m6.1.2.3.cmml">i</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS2.p1.6.m6.1b"><apply id="S4.SS2.p1.6.m6.1.2.cmml" xref="S4.SS2.p1.6.m6.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS2.p1.6.m6.1.2.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.6.m6.1.2">subscript</csymbol><ci id="S4.SS2.p1.6.m6.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.6.m6.1.1">⋅</ci><ci id="S4.SS2.p1.6.m6.1.2.3.cmml" xref="S4.SS2.p1.6.m6.1.2.3">𝑖</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS2.p1.6.m6.1c">(\cdot)_{i}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS2.p1.6.m6.1d">( ⋅ ) start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> to point <math alttext="(\cdot)_{j}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS2.p1.7.m7.1"><semantics id="S4.SS2.p1.7.m7.1a"><msub id="S4.SS2.p1.7.m7.1.2" xref="S4.SS2.p1.7.m7.1.2.cmml"><mrow id="S4.SS2.p1.7.m7.1.2.2.2" xref="S4.SS2.p1.7.m7.1.2.cmml"><mo id="S4.SS2.p1.7.m7.1.2.2.2.1" stretchy="false" xref="S4.SS2.p1.7.m7.1.2.cmml">(</mo><mo id="S4.SS2.p1.7.m7.1.1" lspace="0em" rspace="0em" xref="S4.SS2.p1.7.m7.1.1.cmml">⋅</mo><mo id="S4.SS2.p1.7.m7.1.2.2.2.2" stretchy="false" xref="S4.SS2.p1.7.m7.1.2.cmml">)</mo></mrow><mi id="S4.SS2.p1.7.m7.1.2.3" xref="S4.SS2.p1.7.m7.1.2.3.cmml">j</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS2.p1.7.m7.1b"><apply id="S4.SS2.p1.7.m7.1.2.cmml" xref="S4.SS2.p1.7.m7.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS2.p1.7.m7.1.2.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.7.m7.1.2">subscript</csymbol><ci id="S4.SS2.p1.7.m7.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.7.m7.1.1">⋅</ci><ci id="S4.SS2.p1.7.m7.1.2.3.cmml" xref="S4.SS2.p1.7.m7.1.2.3">𝑗</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS2.p1.7.m7.1c">(\cdot)_{j}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS2.p1.7.m7.1d">( ⋅ ) start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> in any coordinate frame. The tilde <math alttext="\tilde{(\cdot)}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS2.p1.8.m8.1"><semantics id="S4.SS2.p1.8.m8.1a"><mover accent="true" id="S4.SS2.p1.8.m8.1.1" xref="S4.SS2.p1.8.m8.1.1.cmml"><mrow id="S4.SS2.p1.8.m8.1.1.1.3" xref="S4.SS2.p1.8.m8.1.1.cmml"><mo id="S4.SS2.p1.8.m8.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S4.SS2.p1.8.m8.1.1.cmml">(</mo><mo id="S4.SS2.p1.8.m8.1.1.1.1" lspace="0em" rspace="0em" xref="S4.SS2.p1.8.m8.1.1.1.1.cmml">⋅</mo><mo id="S4.SS2.p1.8.m8.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S4.SS2.p1.8.m8.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S4.SS2.p1.8.m8.1.1.2" xref="S4.SS2.p1.8.m8.1.1.2.cmml">~</mo></mover><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS2.p1.8.m8.1b"><apply id="S4.SS2.p1.8.m8.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.8.m8.1.1"><ci id="S4.SS2.p1.8.m8.1.1.2.cmml" xref="S4.SS2.p1.8.m8.1.1.2">~</ci><ci id="S4.SS2.p1.8.m8.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.8.m8.1.1.1.1">⋅</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS2.p1.8.m8.1c">\tilde{(\cdot)}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS2.p1.8.m8.1d">over~ start_ARG ( ⋅ ) end_ARG</annotation></semantics></math> represents the quantity defined in the corotational frame (<math alttext="\tilde{X}-\tilde{Y}-\tilde{Z}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS2.p1.9.m9.1"><semantics id="S4.SS2.p1.9.m9.1a"><mrow id="S4.SS2.p1.9.m9.1.1" xref="S4.SS2.p1.9.m9.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S4.SS2.p1.9.m9.1.1.2" xref="S4.SS2.p1.9.m9.1.1.2.cmml"><mi id="S4.SS2.p1.9.m9.1.1.2.2" xref="S4.SS2.p1.9.m9.1.1.2.2.cmml">X</mi><mo id="S4.SS2.p1.9.m9.1.1.2.1" xref="S4.SS2.p1.9.m9.1.1.2.1.cmml">~</mo></mover><mo id="S4.SS2.p1.9.m9.1.1.1" xref="S4.SS2.p1.9.m9.1.1.1.cmml">−</mo><mover accent="true" id="S4.SS2.p1.9.m9.1.1.3" xref="S4.SS2.p1.9.m9.1.1.3.cmml"><mi id="S4.SS2.p1.9.m9.1.1.3.2" xref="S4.SS2.p1.9.m9.1.1.3.2.cmml">Y</mi><mo id="S4.SS2.p1.9.m9.1.1.3.1" xref="S4.SS2.p1.9.m9.1.1.3.1.cmml">~</mo></mover><mo id="S4.SS2.p1.9.m9.1.1.1a" xref="S4.SS2.p1.9.m9.1.1.1.cmml">−</mo><mover accent="true" id="S4.SS2.p1.9.m9.1.1.4" xref="S4.SS2.p1.9.m9.1.1.4.cmml"><mi id="S4.SS2.p1.9.m9.1.1.4.2" xref="S4.SS2.p1.9.m9.1.1.4.2.cmml">Z</mi><mo id="S4.SS2.p1.9.m9.1.1.4.1" xref="S4.SS2.p1.9.m9.1.1.4.1.cmml">~</mo></mover></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS2.p1.9.m9.1b"><apply id="S4.SS2.p1.9.m9.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.9.m9.1.1"><minus id="S4.SS2.p1.9.m9.1.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.9.m9.1.1.1"></minus><apply id="S4.SS2.p1.9.m9.1.1.2.cmml" xref="S4.SS2.p1.9.m9.1.1.2"><ci id="S4.SS2.p1.9.m9.1.1.2.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.9.m9.1.1.2.1">~</ci><ci id="S4.SS2.p1.9.m9.1.1.2.2.cmml" xref="S4.SS2.p1.9.m9.1.1.2.2">𝑋</ci></apply><apply id="S4.SS2.p1.9.m9.1.1.3.cmml" xref="S4.SS2.p1.9.m9.1.1.3"><ci id="S4.SS2.p1.9.m9.1.1.3.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.9.m9.1.1.3.1">~</ci><ci id="S4.SS2.p1.9.m9.1.1.3.2.cmml" xref="S4.SS2.p1.9.m9.1.1.3.2">𝑌</ci></apply><apply id="S4.SS2.p1.9.m9.1.1.4.cmml" xref="S4.SS2.p1.9.m9.1.1.4"><ci id="S4.SS2.p1.9.m9.1.1.4.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.9.m9.1.1.4.1">~</ci><ci id="S4.SS2.p1.9.m9.1.1.4.2.cmml" xref="S4.SS2.p1.9.m9.1.1.4.2">𝑍</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS2.p1.9.m9.1c">\tilde{X}-\tilde{Y}-\tilde{Z}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS2.p1.9.m9.1d">over~ start_ARG italic_X end_ARG - over~ start_ARG italic_Y end_ARG - over~ start_ARG italic_Z end_ARG</annotation></semantics></math> is the initial corotational frame and <math alttext="\tilde{x}-\tilde{y}-\tilde{z}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS2.p1.10.m10.1"><semantics id="S4.SS2.p1.10.m10.1a"><mrow id="S4.SS2.p1.10.m10.1.1" xref="S4.SS2.p1.10.m10.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S4.SS2.p1.10.m10.1.1.2" xref="S4.SS2.p1.10.m10.1.1.2.cmml"><mi id="S4.SS2.p1.10.m10.1.1.2.2" xref="S4.SS2.p1.10.m10.1.1.2.2.cmml">x</mi><mo id="S4.SS2.p1.10.m10.1.1.2.1" xref="S4.SS2.p1.10.m10.1.1.2.1.cmml">~</mo></mover><mo id="S4.SS2.p1.10.m10.1.1.1" xref="S4.SS2.p1.10.m10.1.1.1.cmml">−</mo><mover accent="true" id="S4.SS2.p1.10.m10.1.1.3" xref="S4.SS2.p1.10.m10.1.1.3.cmml"><mi id="S4.SS2.p1.10.m10.1.1.3.2" xref="S4.SS2.p1.10.m10.1.1.3.2.cmml">y</mi><mo id="S4.SS2.p1.10.m10.1.1.3.1" xref="S4.SS2.p1.10.m10.1.1.3.1.cmml">~</mo></mover><mo id="S4.SS2.p1.10.m10.1.1.1a" xref="S4.SS2.p1.10.m10.1.1.1.cmml">−</mo><mover accent="true" id="S4.SS2.p1.10.m10.1.1.4" xref="S4.SS2.p1.10.m10.1.1.4.cmml"><mi id="S4.SS2.p1.10.m10.1.1.4.2" xref="S4.SS2.p1.10.m10.1.1.4.2.cmml">z</mi><mo id="S4.SS2.p1.10.m10.1.1.4.1" xref="S4.SS2.p1.10.m10.1.1.4.1.cmml">~</mo></mover></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS2.p1.10.m10.1b"><apply id="S4.SS2.p1.10.m10.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.10.m10.1.1"><minus id="S4.SS2.p1.10.m10.1.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.10.m10.1.1.1"></minus><apply id="S4.SS2.p1.10.m10.1.1.2.cmml" xref="S4.SS2.p1.10.m10.1.1.2"><ci id="S4.SS2.p1.10.m10.1.1.2.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.10.m10.1.1.2.1">~</ci><ci id="S4.SS2.p1.10.m10.1.1.2.2.cmml" xref="S4.SS2.p1.10.m10.1.1.2.2">𝑥</ci></apply><apply id="S4.SS2.p1.10.m10.1.1.3.cmml" xref="S4.SS2.p1.10.m10.1.1.3"><ci id="S4.SS2.p1.10.m10.1.1.3.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.10.m10.1.1.3.1">~</ci><ci id="S4.SS2.p1.10.m10.1.1.3.2.cmml" xref="S4.SS2.p1.10.m10.1.1.3.2">𝑦</ci></apply><apply id="S4.SS2.p1.10.m10.1.1.4.cmml" xref="S4.SS2.p1.10.m10.1.1.4"><ci id="S4.SS2.p1.10.m10.1.1.4.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.10.m10.1.1.4.1">~</ci><ci id="S4.SS2.p1.10.m10.1.1.4.2.cmml" xref="S4.SS2.p1.10.m10.1.1.4.2">𝑧</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS2.p1.10.m10.1c">\tilde{x}-\tilde{y}-\tilde{z}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS2.p1.10.m10.1d">over~ start_ARG italic_x end_ARG - over~ start_ARG italic_y end_ARG - over~ start_ARG italic_z end_ARG</annotation></semantics></math> is the current corotational frame). Quantities in the corotational frame can be transformed from those in the world frame, as illustrated in Appendix <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2502.10872v4#A1" title="Appendix A Corotational Transformation ‣ Corotational Hinge-based Thin Plates/Shells"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">A</span></a>. <math alttext="(\cdot)^{{c}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS2.p1.11.m11.1"><semantics id="S4.SS2.p1.11.m11.1a"><msup id="S4.SS2.p1.11.m11.1.2" xref="S4.SS2.p1.11.m11.1.2.cmml"><mrow id="S4.SS2.p1.11.m11.1.2.2.2" xref="S4.SS2.p1.11.m11.1.2.cmml"><mo id="S4.SS2.p1.11.m11.1.2.2.2.1" stretchy="false" xref="S4.SS2.p1.11.m11.1.2.cmml">(</mo><mo id="S4.SS2.p1.11.m11.1.1" lspace="0em" rspace="0em" xref="S4.SS2.p1.11.m11.1.1.cmml">⋅</mo><mo id="S4.SS2.p1.11.m11.1.2.2.2.2" stretchy="false" xref="S4.SS2.p1.11.m11.1.2.cmml">)</mo></mrow><mi id="S4.SS2.p1.11.m11.1.2.3" xref="S4.SS2.p1.11.m11.1.2.3.cmml">c</mi></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS2.p1.11.m11.1b"><apply id="S4.SS2.p1.11.m11.1.2.cmml" xref="S4.SS2.p1.11.m11.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS2.p1.11.m11.1.2.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.11.m11.1.2">superscript</csymbol><ci id="S4.SS2.p1.11.m11.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.11.m11.1.1">⋅</ci><ci id="S4.SS2.p1.11.m11.1.2.3.cmml" xref="S4.SS2.p1.11.m11.1.2.3">𝑐</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS2.p1.11.m11.1c">(\cdot)^{{c}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS2.p1.11.m11.1d">( ⋅ ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_c end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> denotes projection. More graphical illustration can be found in the accompanying Figure <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2502.10872v4#S4.F1" title="Figure 1 ‣ 4.3 Corotational edge-based hinge bending model ‣ 4 Geometric Discretization ‣ Corotational Hinge-based Thin Plates/Shells"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">1</span></a>, Figure <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2502.10872v4#S4.F2" title="Figure 2 ‣ 4.4 Corotational FVM hinge bending model ‣ 4 Geometric Discretization ‣ Corotational Hinge-based Thin Plates/Shells"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">2</span></a> and Figure <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2502.10872v4#S4.F3" title="Figure 3 ‣ 4.5 Corotational smoothed hinge bending model ‣ 4 Geometric Discretization ‣ Corotational Hinge-based Thin Plates/Shells"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">3</span></a>.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S4.SS2.p2"> <p class="ltx_p" id="S4.SS2.p2.1">The terms "EP", "ES", "FP", "FS", "SP", and "SS" are used to distinguish between different bending formulations, when necessary. Specifically, "E" refers to the edge-based hinge, "F" to the FVM hinge, and "S" to the smoothed hinge. "P" indicates a plate (rest-flat configuration), while "S" denotes a shell (rest-curved configuration).</p> </div> <div class="ltx_para" id="S4.SS2.p3"> <p class="ltx_p" id="S4.SS2.p3.1"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S4.SS2.p3.1.1">Remarks.</span> Transitioning from simpler cases to more complex scenarios, we provide more derivation details for the bending models based on edge-centered stencils using corotational approach, enabling a seamless generalization of this derivation process to bending models on triangle-centered stencils. To facilitate understanding of the derivation process, we outline several key points.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S4.SS2.p4"> <p class="ltx_p" id="S4.SS2.p4.8">The kinematics of a shell stencil deformed from its initial configuration to the current configuration can be expressed as <math alttext="\mathbf{x}^{e}=\mathbf{X}^{e}+\mathbf{U}^{e}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS2.p4.1.m1.1"><semantics id="S4.SS2.p4.1.m1.1a"><mrow id="S4.SS2.p4.1.m1.1.1" xref="S4.SS2.p4.1.m1.1.1.cmml"><msup id="S4.SS2.p4.1.m1.1.1.2" xref="S4.SS2.p4.1.m1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.SS2.p4.1.m1.1.1.2.2" xref="S4.SS2.p4.1.m1.1.1.2.2.cmml">𝐱</mi><mi id="S4.SS2.p4.1.m1.1.1.2.3" xref="S4.SS2.p4.1.m1.1.1.2.3.cmml">e</mi></msup><mo id="S4.SS2.p4.1.m1.1.1.1" xref="S4.SS2.p4.1.m1.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S4.SS2.p4.1.m1.1.1.3" xref="S4.SS2.p4.1.m1.1.1.3.cmml"><msup id="S4.SS2.p4.1.m1.1.1.3.2" xref="S4.SS2.p4.1.m1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S4.SS2.p4.1.m1.1.1.3.2.2" xref="S4.SS2.p4.1.m1.1.1.3.2.2.cmml">𝐗</mi><mi id="S4.SS2.p4.1.m1.1.1.3.2.3" xref="S4.SS2.p4.1.m1.1.1.3.2.3.cmml">e</mi></msup><mo id="S4.SS2.p4.1.m1.1.1.3.1" xref="S4.SS2.p4.1.m1.1.1.3.1.cmml">+</mo><msup id="S4.SS2.p4.1.m1.1.1.3.3" xref="S4.SS2.p4.1.m1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S4.SS2.p4.1.m1.1.1.3.3.2" xref="S4.SS2.p4.1.m1.1.1.3.3.2.cmml">𝐔</mi><mi id="S4.SS2.p4.1.m1.1.1.3.3.3" xref="S4.SS2.p4.1.m1.1.1.3.3.3.cmml">e</mi></msup></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS2.p4.1.m1.1b"><apply id="S4.SS2.p4.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p4.1.m1.1.1"><eq id="S4.SS2.p4.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p4.1.m1.1.1.1"></eq><apply id="S4.SS2.p4.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS2.p4.1.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS2.p4.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.SS2.p4.1.m1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S4.SS2.p4.1.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.SS2.p4.1.m1.1.1.2.2">𝐱</ci><ci id="S4.SS2.p4.1.m1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.SS2.p4.1.m1.1.1.2.3">𝑒</ci></apply><apply id="S4.SS2.p4.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S4.SS2.p4.1.m1.1.1.3"><plus id="S4.SS2.p4.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.SS2.p4.1.m1.1.1.3.1"></plus><apply id="S4.SS2.p4.1.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.SS2.p4.1.m1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS2.p4.1.m1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.SS2.p4.1.m1.1.1.3.2">superscript</csymbol><ci id="S4.SS2.p4.1.m1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.SS2.p4.1.m1.1.1.3.2.2">𝐗</ci><ci id="S4.SS2.p4.1.m1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S4.SS2.p4.1.m1.1.1.3.2.3">𝑒</ci></apply><apply id="S4.SS2.p4.1.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.SS2.p4.1.m1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS2.p4.1.m1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.SS2.p4.1.m1.1.1.3.3">superscript</csymbol><ci id="S4.SS2.p4.1.m1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S4.SS2.p4.1.m1.1.1.3.3.2">𝐔</ci><ci id="S4.SS2.p4.1.m1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S4.SS2.p4.1.m1.1.1.3.3.3">𝑒</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS2.p4.1.m1.1c">\mathbf{x}^{e}=\mathbf{X}^{e}+\mathbf{U}^{e}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS2.p4.1.m1.1d">bold_x start_POSTSUPERSCRIPT italic_e end_POSTSUPERSCRIPT = bold_X start_POSTSUPERSCRIPT italic_e end_POSTSUPERSCRIPT + bold_U start_POSTSUPERSCRIPT italic_e end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>. In the initial configuration, a shell stencil with <math alttext="{\mathbf{X}}^{e}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS2.p4.2.m2.1"><semantics id="S4.SS2.p4.2.m2.1a"><msup id="S4.SS2.p4.2.m2.1.1" xref="S4.SS2.p4.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S4.SS2.p4.2.m2.1.1.2" xref="S4.SS2.p4.2.m2.1.1.2.cmml">𝐗</mi><mi id="S4.SS2.p4.2.m2.1.1.3" xref="S4.SS2.p4.2.m2.1.1.3.cmml">e</mi></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS2.p4.2.m2.1b"><apply id="S4.SS2.p4.2.m2.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p4.2.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS2.p4.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p4.2.m2.1.1">superscript</csymbol><ci id="S4.SS2.p4.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S4.SS2.p4.2.m2.1.1.2">𝐗</ci><ci id="S4.SS2.p4.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S4.SS2.p4.2.m2.1.1.3">𝑒</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS2.p4.2.m2.1c">{\mathbf{X}}^{e}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS2.p4.2.m2.1d">bold_X start_POSTSUPERSCRIPT italic_e end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> projected onto the tangential plane of the initial corotational frame is referred to as a corotational shell stencil with <math alttext="{\mathbf{X}}^{e}_{c}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS2.p4.3.m3.1"><semantics id="S4.SS2.p4.3.m3.1a"><msubsup id="S4.SS2.p4.3.m3.1.1" xref="S4.SS2.p4.3.m3.1.1.cmml"><mi id="S4.SS2.p4.3.m3.1.1.2.2" xref="S4.SS2.p4.3.m3.1.1.2.2.cmml">𝐗</mi><mi id="S4.SS2.p4.3.m3.1.1.3" xref="S4.SS2.p4.3.m3.1.1.3.cmml">c</mi><mi id="S4.SS2.p4.3.m3.1.1.2.3" xref="S4.SS2.p4.3.m3.1.1.2.3.cmml">e</mi></msubsup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS2.p4.3.m3.1b"><apply id="S4.SS2.p4.3.m3.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p4.3.m3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS2.p4.3.m3.1.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p4.3.m3.1.1">subscript</csymbol><apply id="S4.SS2.p4.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S4.SS2.p4.3.m3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS2.p4.3.m3.1.1.2.1.cmml" xref="S4.SS2.p4.3.m3.1.1">superscript</csymbol><ci id="S4.SS2.p4.3.m3.1.1.2.2.cmml" xref="S4.SS2.p4.3.m3.1.1.2.2">𝐗</ci><ci id="S4.SS2.p4.3.m3.1.1.2.3.cmml" xref="S4.SS2.p4.3.m3.1.1.2.3">𝑒</ci></apply><ci id="S4.SS2.p4.3.m3.1.1.3.cmml" xref="S4.SS2.p4.3.m3.1.1.3">𝑐</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS2.p4.3.m3.1c">{\mathbf{X}}^{e}_{c}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS2.p4.3.m3.1d">bold_X start_POSTSUPERSCRIPT italic_e end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>. By projecting the deviation vector <math alttext="\mathbf{X}^{e}-\mathbf{X}^{e}_{c}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS2.p4.4.m4.1"><semantics id="S4.SS2.p4.4.m4.1a"><mrow id="S4.SS2.p4.4.m4.1.1" xref="S4.SS2.p4.4.m4.1.1.cmml"><msup id="S4.SS2.p4.4.m4.1.1.2" xref="S4.SS2.p4.4.m4.1.1.2.cmml"><mi id="S4.SS2.p4.4.m4.1.1.2.2" xref="S4.SS2.p4.4.m4.1.1.2.2.cmml">𝐗</mi><mi id="S4.SS2.p4.4.m4.1.1.2.3" xref="S4.SS2.p4.4.m4.1.1.2.3.cmml">e</mi></msup><mo id="S4.SS2.p4.4.m4.1.1.1" xref="S4.SS2.p4.4.m4.1.1.1.cmml">−</mo><msubsup id="S4.SS2.p4.4.m4.1.1.3" xref="S4.SS2.p4.4.m4.1.1.3.cmml"><mi id="S4.SS2.p4.4.m4.1.1.3.2.2" xref="S4.SS2.p4.4.m4.1.1.3.2.2.cmml">𝐗</mi><mi id="S4.SS2.p4.4.m4.1.1.3.3" xref="S4.SS2.p4.4.m4.1.1.3.3.cmml">c</mi><mi id="S4.SS2.p4.4.m4.1.1.3.2.3" xref="S4.SS2.p4.4.m4.1.1.3.2.3.cmml">e</mi></msubsup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS2.p4.4.m4.1b"><apply id="S4.SS2.p4.4.m4.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p4.4.m4.1.1"><minus id="S4.SS2.p4.4.m4.1.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p4.4.m4.1.1.1"></minus><apply id="S4.SS2.p4.4.m4.1.1.2.cmml" xref="S4.SS2.p4.4.m4.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS2.p4.4.m4.1.1.2.1.cmml" xref="S4.SS2.p4.4.m4.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S4.SS2.p4.4.m4.1.1.2.2.cmml" xref="S4.SS2.p4.4.m4.1.1.2.2">𝐗</ci><ci id="S4.SS2.p4.4.m4.1.1.2.3.cmml" xref="S4.SS2.p4.4.m4.1.1.2.3">𝑒</ci></apply><apply id="S4.SS2.p4.4.m4.1.1.3.cmml" xref="S4.SS2.p4.4.m4.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS2.p4.4.m4.1.1.3.1.cmml" xref="S4.SS2.p4.4.m4.1.1.3">subscript</csymbol><apply id="S4.SS2.p4.4.m4.1.1.3.2.cmml" xref="S4.SS2.p4.4.m4.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS2.p4.4.m4.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.SS2.p4.4.m4.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S4.SS2.p4.4.m4.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.SS2.p4.4.m4.1.1.3.2.2">𝐗</ci><ci id="S4.SS2.p4.4.m4.1.1.3.2.3.cmml" xref="S4.SS2.p4.4.m4.1.1.3.2.3">𝑒</ci></apply><ci id="S4.SS2.p4.4.m4.1.1.3.3.cmml" xref="S4.SS2.p4.4.m4.1.1.3.3">𝑐</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS2.p4.4.m4.1c">\mathbf{X}^{e}-\mathbf{X}^{e}_{c}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS2.p4.4.m4.1d">bold_X start_POSTSUPERSCRIPT italic_e end_POSTSUPERSCRIPT - bold_X start_POSTSUPERSCRIPT italic_e end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> along the normal direction of the initial corotational frames, and introducing curvature operators constructed from <math alttext="{\mathbf{X}}^{e}_{c}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS2.p4.5.m5.1"><semantics id="S4.SS2.p4.5.m5.1a"><msubsup id="S4.SS2.p4.5.m5.1.1" xref="S4.SS2.p4.5.m5.1.1.cmml"><mi id="S4.SS2.p4.5.m5.1.1.2.2" xref="S4.SS2.p4.5.m5.1.1.2.2.cmml">𝐗</mi><mi id="S4.SS2.p4.5.m5.1.1.3" xref="S4.SS2.p4.5.m5.1.1.3.cmml">c</mi><mi id="S4.SS2.p4.5.m5.1.1.2.3" xref="S4.SS2.p4.5.m5.1.1.2.3.cmml">e</mi></msubsup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS2.p4.5.m5.1b"><apply id="S4.SS2.p4.5.m5.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p4.5.m5.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS2.p4.5.m5.1.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p4.5.m5.1.1">subscript</csymbol><apply id="S4.SS2.p4.5.m5.1.1.2.cmml" xref="S4.SS2.p4.5.m5.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS2.p4.5.m5.1.1.2.1.cmml" xref="S4.SS2.p4.5.m5.1.1">superscript</csymbol><ci id="S4.SS2.p4.5.m5.1.1.2.2.cmml" xref="S4.SS2.p4.5.m5.1.1.2.2">𝐗</ci><ci id="S4.SS2.p4.5.m5.1.1.2.3.cmml" xref="S4.SS2.p4.5.m5.1.1.2.3">𝑒</ci></apply><ci id="S4.SS2.p4.5.m5.1.1.3.cmml" xref="S4.SS2.p4.5.m5.1.1.3">𝑐</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS2.p4.5.m5.1c">{\mathbf{X}}^{e}_{c}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS2.p4.5.m5.1d">bold_X start_POSTSUPERSCRIPT italic_e end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, the discretized curvature in the initial configuration can be defined. Under the small (in-plane) strain and curvature assumption, the relative positions of the projected positions <math alttext="{\mathbf{x}}^{e}_{c}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS2.p4.6.m6.1"><semantics id="S4.SS2.p4.6.m6.1a"><msubsup id="S4.SS2.p4.6.m6.1.1" xref="S4.SS2.p4.6.m6.1.1.cmml"><mi id="S4.SS2.p4.6.m6.1.1.2.2" xref="S4.SS2.p4.6.m6.1.1.2.2.cmml">𝐱</mi><mi id="S4.SS2.p4.6.m6.1.1.3" xref="S4.SS2.p4.6.m6.1.1.3.cmml">c</mi><mi id="S4.SS2.p4.6.m6.1.1.2.3" xref="S4.SS2.p4.6.m6.1.1.2.3.cmml">e</mi></msubsup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS2.p4.6.m6.1b"><apply id="S4.SS2.p4.6.m6.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p4.6.m6.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS2.p4.6.m6.1.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p4.6.m6.1.1">subscript</csymbol><apply id="S4.SS2.p4.6.m6.1.1.2.cmml" xref="S4.SS2.p4.6.m6.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS2.p4.6.m6.1.1.2.1.cmml" xref="S4.SS2.p4.6.m6.1.1">superscript</csymbol><ci id="S4.SS2.p4.6.m6.1.1.2.2.cmml" xref="S4.SS2.p4.6.m6.1.1.2.2">𝐱</ci><ci id="S4.SS2.p4.6.m6.1.1.2.3.cmml" xref="S4.SS2.p4.6.m6.1.1.2.3">𝑒</ci></apply><ci id="S4.SS2.p4.6.m6.1.1.3.cmml" xref="S4.SS2.p4.6.m6.1.1.3">𝑐</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS2.p4.6.m6.1c">{\mathbf{x}}^{e}_{c}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS2.p4.6.m6.1d">bold_x start_POSTSUPERSCRIPT italic_e end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> in the current corotational frame and <math alttext="{\mathbf{X}}^{e}_{c}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS2.p4.7.m7.1"><semantics id="S4.SS2.p4.7.m7.1a"><msubsup id="S4.SS2.p4.7.m7.1.1" xref="S4.SS2.p4.7.m7.1.1.cmml"><mi id="S4.SS2.p4.7.m7.1.1.2.2" xref="S4.SS2.p4.7.m7.1.1.2.2.cmml">𝐗</mi><mi id="S4.SS2.p4.7.m7.1.1.3" xref="S4.SS2.p4.7.m7.1.1.3.cmml">c</mi><mi id="S4.SS2.p4.7.m7.1.1.2.3" xref="S4.SS2.p4.7.m7.1.1.2.3.cmml">e</mi></msubsup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS2.p4.7.m7.1b"><apply id="S4.SS2.p4.7.m7.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p4.7.m7.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS2.p4.7.m7.1.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p4.7.m7.1.1">subscript</csymbol><apply id="S4.SS2.p4.7.m7.1.1.2.cmml" xref="S4.SS2.p4.7.m7.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS2.p4.7.m7.1.1.2.1.cmml" xref="S4.SS2.p4.7.m7.1.1">superscript</csymbol><ci id="S4.SS2.p4.7.m7.1.1.2.2.cmml" xref="S4.SS2.p4.7.m7.1.1.2.2">𝐗</ci><ci id="S4.SS2.p4.7.m7.1.1.2.3.cmml" xref="S4.SS2.p4.7.m7.1.1.2.3">𝑒</ci></apply><ci id="S4.SS2.p4.7.m7.1.1.3.cmml" xref="S4.SS2.p4.7.m7.1.1.3">𝑐</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS2.p4.7.m7.1c">{\mathbf{X}}^{e}_{c}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS2.p4.7.m7.1d">bold_X start_POSTSUPERSCRIPT italic_e end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> in the initial corotational frame are approximately identical. (Another view is that the corotational shell stencil transitions from the initial configuration to the current configuration as <math alttext="{\mathbf{x}}^{e}_{c}={\mathbf{X}}^{e}_{c}+{\mathbf{u}}^{e}_{c}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS2.p4.8.m8.1"><semantics id="S4.SS2.p4.8.m8.1a"><mrow id="S4.SS2.p4.8.m8.1.1" xref="S4.SS2.p4.8.m8.1.1.cmml"><msubsup id="S4.SS2.p4.8.m8.1.1.2" xref="S4.SS2.p4.8.m8.1.1.2.cmml"><mi id="S4.SS2.p4.8.m8.1.1.2.2.2" xref="S4.SS2.p4.8.m8.1.1.2.2.2.cmml">𝐱</mi><mi id="S4.SS2.p4.8.m8.1.1.2.3" xref="S4.SS2.p4.8.m8.1.1.2.3.cmml">c</mi><mi id="S4.SS2.p4.8.m8.1.1.2.2.3" xref="S4.SS2.p4.8.m8.1.1.2.2.3.cmml">e</mi></msubsup><mo id="S4.SS2.p4.8.m8.1.1.1" xref="S4.SS2.p4.8.m8.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S4.SS2.p4.8.m8.1.1.3" xref="S4.SS2.p4.8.m8.1.1.3.cmml"><msubsup id="S4.SS2.p4.8.m8.1.1.3.2" xref="S4.SS2.p4.8.m8.1.1.3.2.cmml"><mi id="S4.SS2.p4.8.m8.1.1.3.2.2.2" xref="S4.SS2.p4.8.m8.1.1.3.2.2.2.cmml">𝐗</mi><mi id="S4.SS2.p4.8.m8.1.1.3.2.3" xref="S4.SS2.p4.8.m8.1.1.3.2.3.cmml">c</mi><mi id="S4.SS2.p4.8.m8.1.1.3.2.2.3" xref="S4.SS2.p4.8.m8.1.1.3.2.2.3.cmml">e</mi></msubsup><mo id="S4.SS2.p4.8.m8.1.1.3.1" xref="S4.SS2.p4.8.m8.1.1.3.1.cmml">+</mo><msubsup id="S4.SS2.p4.8.m8.1.1.3.3" xref="S4.SS2.p4.8.m8.1.1.3.3.cmml"><mi id="S4.SS2.p4.8.m8.1.1.3.3.2.2" xref="S4.SS2.p4.8.m8.1.1.3.3.2.2.cmml">𝐮</mi><mi id="S4.SS2.p4.8.m8.1.1.3.3.3" xref="S4.SS2.p4.8.m8.1.1.3.3.3.cmml">c</mi><mi id="S4.SS2.p4.8.m8.1.1.3.3.2.3" xref="S4.SS2.p4.8.m8.1.1.3.3.2.3.cmml">e</mi></msubsup></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS2.p4.8.m8.1b"><apply id="S4.SS2.p4.8.m8.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p4.8.m8.1.1"><eq id="S4.SS2.p4.8.m8.1.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p4.8.m8.1.1.1"></eq><apply id="S4.SS2.p4.8.m8.1.1.2.cmml" xref="S4.SS2.p4.8.m8.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS2.p4.8.m8.1.1.2.1.cmml" xref="S4.SS2.p4.8.m8.1.1.2">subscript</csymbol><apply id="S4.SS2.p4.8.m8.1.1.2.2.cmml" xref="S4.SS2.p4.8.m8.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS2.p4.8.m8.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.SS2.p4.8.m8.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S4.SS2.p4.8.m8.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.SS2.p4.8.m8.1.1.2.2.2">𝐱</ci><ci id="S4.SS2.p4.8.m8.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.SS2.p4.8.m8.1.1.2.2.3">𝑒</ci></apply><ci id="S4.SS2.p4.8.m8.1.1.2.3.cmml" xref="S4.SS2.p4.8.m8.1.1.2.3">𝑐</ci></apply><apply id="S4.SS2.p4.8.m8.1.1.3.cmml" xref="S4.SS2.p4.8.m8.1.1.3"><plus id="S4.SS2.p4.8.m8.1.1.3.1.cmml" xref="S4.SS2.p4.8.m8.1.1.3.1"></plus><apply id="S4.SS2.p4.8.m8.1.1.3.2.cmml" xref="S4.SS2.p4.8.m8.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS2.p4.8.m8.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.SS2.p4.8.m8.1.1.3.2">subscript</csymbol><apply id="S4.SS2.p4.8.m8.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.SS2.p4.8.m8.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS2.p4.8.m8.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S4.SS2.p4.8.m8.1.1.3.2">superscript</csymbol><ci id="S4.SS2.p4.8.m8.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S4.SS2.p4.8.m8.1.1.3.2.2.2">𝐗</ci><ci id="S4.SS2.p4.8.m8.1.1.3.2.2.3.cmml" xref="S4.SS2.p4.8.m8.1.1.3.2.2.3">𝑒</ci></apply><ci id="S4.SS2.p4.8.m8.1.1.3.2.3.cmml" xref="S4.SS2.p4.8.m8.1.1.3.2.3">𝑐</ci></apply><apply id="S4.SS2.p4.8.m8.1.1.3.3.cmml" xref="S4.SS2.p4.8.m8.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS2.p4.8.m8.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.SS2.p4.8.m8.1.1.3.3">subscript</csymbol><apply id="S4.SS2.p4.8.m8.1.1.3.3.2.cmml" xref="S4.SS2.p4.8.m8.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS2.p4.8.m8.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="S4.SS2.p4.8.m8.1.1.3.3">superscript</csymbol><ci id="S4.SS2.p4.8.m8.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="S4.SS2.p4.8.m8.1.1.3.3.2.2">𝐮</ci><ci id="S4.SS2.p4.8.m8.1.1.3.3.2.3.cmml" xref="S4.SS2.p4.8.m8.1.1.3.3.2.3">𝑒</ci></apply><ci id="S4.SS2.p4.8.m8.1.1.3.3.3.cmml" xref="S4.SS2.p4.8.m8.1.1.3.3.3">𝑐</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS2.p4.8.m8.1c">{\mathbf{x}}^{e}_{c}={\mathbf{X}}^{e}_{c}+{\mathbf{u}}^{e}_{c}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS2.p4.8.m8.1d">bold_x start_POSTSUPERSCRIPT italic_e end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT = bold_X start_POSTSUPERSCRIPT italic_e end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT + bold_u start_POSTSUPERSCRIPT italic_e end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, approximately undergoing rigid-body motion). So, the discretized curvature in the current configuration can be defined using the curvature operators of the discretized curvature in the initial configuration. The bending deformation is quantified by the change in curvature between the initial and current configurations. Based on this, the constant bending energy Hessians can be rationally derived. Further details are provided in the subsequent subsections. Our source code is also made available to support practitioners.</p> </div> </section> <section class="ltx_subsection" id="S4.SS3"> <h3 class="ltx_title ltx_title_subsection"> <span class="ltx_tag ltx_tag_subsection">4.3 </span>Corotational edge-based hinge bending model</h3> <figure class="ltx_figure" id="S4.F1"><img alt="Refer to caption" class="ltx_graphics ltx_centering ltx_img_landscape" height="576" id="S4.F1.g1" src="x1.png" width="822"/> <figcaption class="ltx_caption ltx_centering"><span class="ltx_tag ltx_tag_figure"><span class="ltx_text" id="S4.F1.42.21.1" style="font-size:90%;">Figure 1</span>: </span><span class="ltx_text" id="S4.F1.40.20" style="font-size:90%;"> A shell stencil (edge-based hinge) deforms from its initial configuration (blue) to the current configuration (black). The corotational frame (green) is employed to capture nodal deviations relative to the corotational shell stencil (gray dashed line). <math alttext="X-Y-Z" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.F1.21.1.m1.1"><semantics id="S4.F1.21.1.m1.1b"><mrow id="S4.F1.21.1.m1.1.1" xref="S4.F1.21.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S4.F1.21.1.m1.1.1.2" xref="S4.F1.21.1.m1.1.1.2.cmml">X</mi><mo id="S4.F1.21.1.m1.1.1.1" xref="S4.F1.21.1.m1.1.1.1.cmml">−</mo><mi id="S4.F1.21.1.m1.1.1.3" xref="S4.F1.21.1.m1.1.1.3.cmml">Y</mi><mo id="S4.F1.21.1.m1.1.1.1b" xref="S4.F1.21.1.m1.1.1.1.cmml">−</mo><mi id="S4.F1.21.1.m1.1.1.4" xref="S4.F1.21.1.m1.1.1.4.cmml">Z</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.F1.21.1.m1.1c"><apply id="S4.F1.21.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.F1.21.1.m1.1.1"><minus id="S4.F1.21.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.F1.21.1.m1.1.1.1"></minus><ci id="S4.F1.21.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.F1.21.1.m1.1.1.2">𝑋</ci><ci id="S4.F1.21.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S4.F1.21.1.m1.1.1.3">𝑌</ci><ci id="S4.F1.21.1.m1.1.1.4.cmml" xref="S4.F1.21.1.m1.1.1.4">𝑍</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.F1.21.1.m1.1d">X-Y-Z</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.F1.21.1.m1.1e">italic_X - italic_Y - italic_Z</annotation></semantics></math> is the world frame. For the shell stencil in the current configuration, two views are presented. <math alttext="\mathbf{x}_{P}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.F1.22.2.m2.1"><semantics id="S4.F1.22.2.m2.1b"><msub id="S4.F1.22.2.m2.1.1" xref="S4.F1.22.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S4.F1.22.2.m2.1.1.2" xref="S4.F1.22.2.m2.1.1.2.cmml">𝐱</mi><mi id="S4.F1.22.2.m2.1.1.3" xref="S4.F1.22.2.m2.1.1.3.cmml">P</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.F1.22.2.m2.1c"><apply id="S4.F1.22.2.m2.1.1.cmml" xref="S4.F1.22.2.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.F1.22.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S4.F1.22.2.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.F1.22.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S4.F1.22.2.m2.1.1.2">𝐱</ci><ci id="S4.F1.22.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S4.F1.22.2.m2.1.1.3">𝑃</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.F1.22.2.m2.1d">\mathbf{x}_{P}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.F1.22.2.m2.1e">bold_x start_POSTSUBSCRIPT italic_P end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> and <math alttext="\mathbf{x}_{Q}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.F1.23.3.m3.1"><semantics id="S4.F1.23.3.m3.1b"><msub id="S4.F1.23.3.m3.1.1" xref="S4.F1.23.3.m3.1.1.cmml"><mi id="S4.F1.23.3.m3.1.1.2" xref="S4.F1.23.3.m3.1.1.2.cmml">𝐱</mi><mi id="S4.F1.23.3.m3.1.1.3" xref="S4.F1.23.3.m3.1.1.3.cmml">Q</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.F1.23.3.m3.1c"><apply id="S4.F1.23.3.m3.1.1.cmml" xref="S4.F1.23.3.m3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.F1.23.3.m3.1.1.1.cmml" xref="S4.F1.23.3.m3.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.F1.23.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S4.F1.23.3.m3.1.1.2">𝐱</ci><ci id="S4.F1.23.3.m3.1.1.3.cmml" xref="S4.F1.23.3.m3.1.1.3">𝑄</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.F1.23.3.m3.1d">\mathbf{x}_{Q}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.F1.23.3.m3.1e">bold_x start_POSTSUBSCRIPT italic_Q end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> are perpendicular feet. The <math alttext="\tilde{x}-\tilde{y}-\tilde{z}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.F1.24.4.m4.1"><semantics id="S4.F1.24.4.m4.1b"><mrow id="S4.F1.24.4.m4.1.1" xref="S4.F1.24.4.m4.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S4.F1.24.4.m4.1.1.2" xref="S4.F1.24.4.m4.1.1.2.cmml"><mi id="S4.F1.24.4.m4.1.1.2.2" xref="S4.F1.24.4.m4.1.1.2.2.cmml">x</mi><mo id="S4.F1.24.4.m4.1.1.2.1" xref="S4.F1.24.4.m4.1.1.2.1.cmml">~</mo></mover><mo id="S4.F1.24.4.m4.1.1.1" xref="S4.F1.24.4.m4.1.1.1.cmml">−</mo><mover accent="true" id="S4.F1.24.4.m4.1.1.3" xref="S4.F1.24.4.m4.1.1.3.cmml"><mi id="S4.F1.24.4.m4.1.1.3.2" xref="S4.F1.24.4.m4.1.1.3.2.cmml">y</mi><mo id="S4.F1.24.4.m4.1.1.3.1" xref="S4.F1.24.4.m4.1.1.3.1.cmml">~</mo></mover><mo id="S4.F1.24.4.m4.1.1.1b" xref="S4.F1.24.4.m4.1.1.1.cmml">−</mo><mover accent="true" id="S4.F1.24.4.m4.1.1.4" xref="S4.F1.24.4.m4.1.1.4.cmml"><mi id="S4.F1.24.4.m4.1.1.4.2" xref="S4.F1.24.4.m4.1.1.4.2.cmml">z</mi><mo id="S4.F1.24.4.m4.1.1.4.1" xref="S4.F1.24.4.m4.1.1.4.1.cmml">~</mo></mover></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.F1.24.4.m4.1c"><apply id="S4.F1.24.4.m4.1.1.cmml" xref="S4.F1.24.4.m4.1.1"><minus id="S4.F1.24.4.m4.1.1.1.cmml" xref="S4.F1.24.4.m4.1.1.1"></minus><apply id="S4.F1.24.4.m4.1.1.2.cmml" xref="S4.F1.24.4.m4.1.1.2"><ci id="S4.F1.24.4.m4.1.1.2.1.cmml" xref="S4.F1.24.4.m4.1.1.2.1">~</ci><ci id="S4.F1.24.4.m4.1.1.2.2.cmml" xref="S4.F1.24.4.m4.1.1.2.2">𝑥</ci></apply><apply id="S4.F1.24.4.m4.1.1.3.cmml" xref="S4.F1.24.4.m4.1.1.3"><ci id="S4.F1.24.4.m4.1.1.3.1.cmml" xref="S4.F1.24.4.m4.1.1.3.1">~</ci><ci id="S4.F1.24.4.m4.1.1.3.2.cmml" xref="S4.F1.24.4.m4.1.1.3.2">𝑦</ci></apply><apply id="S4.F1.24.4.m4.1.1.4.cmml" xref="S4.F1.24.4.m4.1.1.4"><ci id="S4.F1.24.4.m4.1.1.4.1.cmml" xref="S4.F1.24.4.m4.1.1.4.1">~</ci><ci id="S4.F1.24.4.m4.1.1.4.2.cmml" xref="S4.F1.24.4.m4.1.1.4.2">𝑧</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.F1.24.4.m4.1d">\tilde{x}-\tilde{y}-\tilde{z}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.F1.24.4.m4.1e">over~ start_ARG italic_x end_ARG - over~ start_ARG italic_y end_ARG - over~ start_ARG italic_z end_ARG</annotation></semantics></math> frame represents the current corotational frame, where the <math alttext="\tilde{x}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.F1.25.5.m5.1"><semantics id="S4.F1.25.5.m5.1b"><mover accent="true" id="S4.F1.25.5.m5.1.1" xref="S4.F1.25.5.m5.1.1.cmml"><mi id="S4.F1.25.5.m5.1.1.2" xref="S4.F1.25.5.m5.1.1.2.cmml">x</mi><mo id="S4.F1.25.5.m5.1.1.1" xref="S4.F1.25.5.m5.1.1.1.cmml">~</mo></mover><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.F1.25.5.m5.1c"><apply id="S4.F1.25.5.m5.1.1.cmml" xref="S4.F1.25.5.m5.1.1"><ci id="S4.F1.25.5.m5.1.1.1.cmml" xref="S4.F1.25.5.m5.1.1.1">~</ci><ci id="S4.F1.25.5.m5.1.1.2.cmml" xref="S4.F1.25.5.m5.1.1.2">𝑥</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.F1.25.5.m5.1d">\tilde{x}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.F1.25.5.m5.1e">over~ start_ARG italic_x end_ARG</annotation></semantics></math>-axis aligns with the edge <math alttext="\mathbf{x}_{23}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.F1.26.6.m6.1"><semantics id="S4.F1.26.6.m6.1b"><msub id="S4.F1.26.6.m6.1.1" xref="S4.F1.26.6.m6.1.1.cmml"><mi id="S4.F1.26.6.m6.1.1.2" xref="S4.F1.26.6.m6.1.1.2.cmml">𝐱</mi><mn id="S4.F1.26.6.m6.1.1.3" xref="S4.F1.26.6.m6.1.1.3.cmml">23</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.F1.26.6.m6.1c"><apply id="S4.F1.26.6.m6.1.1.cmml" xref="S4.F1.26.6.m6.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.F1.26.6.m6.1.1.1.cmml" xref="S4.F1.26.6.m6.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.F1.26.6.m6.1.1.2.cmml" xref="S4.F1.26.6.m6.1.1.2">𝐱</ci><cn id="S4.F1.26.6.m6.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.F1.26.6.m6.1.1.3">23</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.F1.26.6.m6.1d">\mathbf{x}_{23}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.F1.26.6.m6.1e">bold_x start_POSTSUBSCRIPT 23 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, and the <math alttext="\tilde{z}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.F1.27.7.m7.1"><semantics id="S4.F1.27.7.m7.1b"><mover accent="true" id="S4.F1.27.7.m7.1.1" xref="S4.F1.27.7.m7.1.1.cmml"><mi id="S4.F1.27.7.m7.1.1.2" xref="S4.F1.27.7.m7.1.1.2.cmml">z</mi><mo id="S4.F1.27.7.m7.1.1.1" xref="S4.F1.27.7.m7.1.1.1.cmml">~</mo></mover><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.F1.27.7.m7.1c"><apply id="S4.F1.27.7.m7.1.1.cmml" xref="S4.F1.27.7.m7.1.1"><ci id="S4.F1.27.7.m7.1.1.1.cmml" xref="S4.F1.27.7.m7.1.1.1">~</ci><ci id="S4.F1.27.7.m7.1.1.2.cmml" xref="S4.F1.27.7.m7.1.1.2">𝑧</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.F1.27.7.m7.1d">\tilde{z}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.F1.27.7.m7.1e">over~ start_ARG italic_z end_ARG</annotation></semantics></math>-axis direction (the direction of <math alttext="\mathbf{n}_{\tilde{z}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.F1.28.8.m8.1"><semantics id="S4.F1.28.8.m8.1b"><msub id="S4.F1.28.8.m8.1.1" xref="S4.F1.28.8.m8.1.1.cmml"><mi id="S4.F1.28.8.m8.1.1.2" xref="S4.F1.28.8.m8.1.1.2.cmml">𝐧</mi><mover accent="true" id="S4.F1.28.8.m8.1.1.3" xref="S4.F1.28.8.m8.1.1.3.cmml"><mi id="S4.F1.28.8.m8.1.1.3.2" xref="S4.F1.28.8.m8.1.1.3.2.cmml">z</mi><mo id="S4.F1.28.8.m8.1.1.3.1" xref="S4.F1.28.8.m8.1.1.3.1.cmml">~</mo></mover></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.F1.28.8.m8.1c"><apply id="S4.F1.28.8.m8.1.1.cmml" xref="S4.F1.28.8.m8.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.F1.28.8.m8.1.1.1.cmml" xref="S4.F1.28.8.m8.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.F1.28.8.m8.1.1.2.cmml" xref="S4.F1.28.8.m8.1.1.2">𝐧</ci><apply id="S4.F1.28.8.m8.1.1.3.cmml" xref="S4.F1.28.8.m8.1.1.3"><ci id="S4.F1.28.8.m8.1.1.3.1.cmml" xref="S4.F1.28.8.m8.1.1.3.1">~</ci><ci id="S4.F1.28.8.m8.1.1.3.2.cmml" xref="S4.F1.28.8.m8.1.1.3.2">𝑧</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.F1.28.8.m8.1d">\mathbf{n}_{\tilde{z}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.F1.28.8.m8.1e">bold_n start_POSTSUBSCRIPT over~ start_ARG italic_z end_ARG end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>) is approximately along the bisector of the fold angle <math alttext="\theta" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.F1.29.9.m9.1"><semantics id="S4.F1.29.9.m9.1b"><mi id="S4.F1.29.9.m9.1.1" xref="S4.F1.29.9.m9.1.1.cmml">θ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.F1.29.9.m9.1c"><ci id="S4.F1.29.9.m9.1.1.cmml" xref="S4.F1.29.9.m9.1.1">𝜃</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.F1.29.9.m9.1d">\theta</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.F1.29.9.m9.1e">italic_θ</annotation></semantics></math>. The <math alttext="\tilde{y}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.F1.30.10.m10.1"><semantics id="S4.F1.30.10.m10.1b"><mover accent="true" id="S4.F1.30.10.m10.1.1" xref="S4.F1.30.10.m10.1.1.cmml"><mi id="S4.F1.30.10.m10.1.1.2" xref="S4.F1.30.10.m10.1.1.2.cmml">y</mi><mo id="S4.F1.30.10.m10.1.1.1" xref="S4.F1.30.10.m10.1.1.1.cmml">~</mo></mover><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.F1.30.10.m10.1c"><apply id="S4.F1.30.10.m10.1.1.cmml" xref="S4.F1.30.10.m10.1.1"><ci id="S4.F1.30.10.m10.1.1.1.cmml" xref="S4.F1.30.10.m10.1.1.1">~</ci><ci id="S4.F1.30.10.m10.1.1.2.cmml" xref="S4.F1.30.10.m10.1.1.2">𝑦</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.F1.30.10.m10.1d">\tilde{y}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.F1.30.10.m10.1e">over~ start_ARG italic_y end_ARG</annotation></semantics></math>-axis is determined by the right-hand rule. The corotational shell stencil is the projection of the shell stencil onto the <math alttext="\tilde{x}-\tilde{y}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.F1.31.11.m11.1"><semantics id="S4.F1.31.11.m11.1b"><mrow id="S4.F1.31.11.m11.1.1" xref="S4.F1.31.11.m11.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S4.F1.31.11.m11.1.1.2" xref="S4.F1.31.11.m11.1.1.2.cmml"><mi id="S4.F1.31.11.m11.1.1.2.2" xref="S4.F1.31.11.m11.1.1.2.2.cmml">x</mi><mo id="S4.F1.31.11.m11.1.1.2.1" xref="S4.F1.31.11.m11.1.1.2.1.cmml">~</mo></mover><mo id="S4.F1.31.11.m11.1.1.1" xref="S4.F1.31.11.m11.1.1.1.cmml">−</mo><mover accent="true" id="S4.F1.31.11.m11.1.1.3" xref="S4.F1.31.11.m11.1.1.3.cmml"><mi id="S4.F1.31.11.m11.1.1.3.2" xref="S4.F1.31.11.m11.1.1.3.2.cmml">y</mi><mo id="S4.F1.31.11.m11.1.1.3.1" xref="S4.F1.31.11.m11.1.1.3.1.cmml">~</mo></mover></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.F1.31.11.m11.1c"><apply id="S4.F1.31.11.m11.1.1.cmml" xref="S4.F1.31.11.m11.1.1"><minus id="S4.F1.31.11.m11.1.1.1.cmml" xref="S4.F1.31.11.m11.1.1.1"></minus><apply id="S4.F1.31.11.m11.1.1.2.cmml" xref="S4.F1.31.11.m11.1.1.2"><ci id="S4.F1.31.11.m11.1.1.2.1.cmml" xref="S4.F1.31.11.m11.1.1.2.1">~</ci><ci id="S4.F1.31.11.m11.1.1.2.2.cmml" xref="S4.F1.31.11.m11.1.1.2.2">𝑥</ci></apply><apply id="S4.F1.31.11.m11.1.1.3.cmml" xref="S4.F1.31.11.m11.1.1.3"><ci id="S4.F1.31.11.m11.1.1.3.1.cmml" xref="S4.F1.31.11.m11.1.1.3.1">~</ci><ci id="S4.F1.31.11.m11.1.1.3.2.cmml" xref="S4.F1.31.11.m11.1.1.3.2">𝑦</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.F1.31.11.m11.1d">\tilde{x}-\tilde{y}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.F1.31.11.m11.1e">over~ start_ARG italic_x end_ARG - over~ start_ARG italic_y end_ARG</annotation></semantics></math> plane. <math alttext="\alpha_{1}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.F1.32.12.m12.1"><semantics id="S4.F1.32.12.m12.1b"><msub id="S4.F1.32.12.m12.1.1" xref="S4.F1.32.12.m12.1.1.cmml"><mi id="S4.F1.32.12.m12.1.1.2" xref="S4.F1.32.12.m12.1.1.2.cmml">α</mi><mn id="S4.F1.32.12.m12.1.1.3" xref="S4.F1.32.12.m12.1.1.3.cmml">1</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.F1.32.12.m12.1c"><apply id="S4.F1.32.12.m12.1.1.cmml" xref="S4.F1.32.12.m12.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.F1.32.12.m12.1.1.1.cmml" xref="S4.F1.32.12.m12.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.F1.32.12.m12.1.1.2.cmml" xref="S4.F1.32.12.m12.1.1.2">𝛼</ci><cn id="S4.F1.32.12.m12.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.F1.32.12.m12.1.1.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.F1.32.12.m12.1d">\alpha_{1}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.F1.32.12.m12.1e">italic_α start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> and <math alttext="\alpha_{4}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.F1.33.13.m13.1"><semantics id="S4.F1.33.13.m13.1b"><msub id="S4.F1.33.13.m13.1.1" xref="S4.F1.33.13.m13.1.1.cmml"><mi id="S4.F1.33.13.m13.1.1.2" xref="S4.F1.33.13.m13.1.1.2.cmml">α</mi><mn id="S4.F1.33.13.m13.1.1.3" xref="S4.F1.33.13.m13.1.1.3.cmml">4</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.F1.33.13.m13.1c"><apply id="S4.F1.33.13.m13.1.1.cmml" xref="S4.F1.33.13.m13.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.F1.33.13.m13.1.1.1.cmml" xref="S4.F1.33.13.m13.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.F1.33.13.m13.1.1.2.cmml" xref="S4.F1.33.13.m13.1.1.2">𝛼</ci><cn id="S4.F1.33.13.m13.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.F1.33.13.m13.1.1.3">4</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.F1.33.13.m13.1d">\alpha_{4}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.F1.33.13.m13.1e">italic_α start_POSTSUBSCRIPT 4 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> describe the fold angles of two adjacent triangles relative to the corotational shell stencil. The point <math alttext="(\mathbf{x}_{1})_{c}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.F1.34.14.m14.1"><semantics id="S4.F1.34.14.m14.1b"><msub id="S4.F1.34.14.m14.1.1" xref="S4.F1.34.14.m14.1.1.cmml"><mrow id="S4.F1.34.14.m14.1.1.1.1" xref="S4.F1.34.14.m14.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.F1.34.14.m14.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.F1.34.14.m14.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S4.F1.34.14.m14.1.1.1.1.1" xref="S4.F1.34.14.m14.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.F1.34.14.m14.1.1.1.1.1.2" xref="S4.F1.34.14.m14.1.1.1.1.1.2.cmml">𝐱</mi><mn id="S4.F1.34.14.m14.1.1.1.1.1.3" xref="S4.F1.34.14.m14.1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S4.F1.34.14.m14.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.F1.34.14.m14.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mi id="S4.F1.34.14.m14.1.1.3" xref="S4.F1.34.14.m14.1.1.3.cmml">c</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.F1.34.14.m14.1c"><apply id="S4.F1.34.14.m14.1.1.cmml" xref="S4.F1.34.14.m14.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.F1.34.14.m14.1.1.2.cmml" xref="S4.F1.34.14.m14.1.1">subscript</csymbol><apply id="S4.F1.34.14.m14.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.F1.34.14.m14.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.F1.34.14.m14.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.F1.34.14.m14.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.F1.34.14.m14.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.F1.34.14.m14.1.1.1.1.1.2">𝐱</ci><cn id="S4.F1.34.14.m14.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.F1.34.14.m14.1.1.1.1.1.3">1</cn></apply><ci id="S4.F1.34.14.m14.1.1.3.cmml" xref="S4.F1.34.14.m14.1.1.3">𝑐</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.F1.34.14.m14.1d">(\mathbf{x}_{1})_{c}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.F1.34.14.m14.1e">( bold_x start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ) start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> represents the projection of <math alttext="\mathbf{x}_{1}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.F1.35.15.m15.1"><semantics id="S4.F1.35.15.m15.1b"><msub id="S4.F1.35.15.m15.1.1" xref="S4.F1.35.15.m15.1.1.cmml"><mi id="S4.F1.35.15.m15.1.1.2" xref="S4.F1.35.15.m15.1.1.2.cmml">𝐱</mi><mn id="S4.F1.35.15.m15.1.1.3" xref="S4.F1.35.15.m15.1.1.3.cmml">1</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.F1.35.15.m15.1c"><apply id="S4.F1.35.15.m15.1.1.cmml" xref="S4.F1.35.15.m15.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.F1.35.15.m15.1.1.1.cmml" xref="S4.F1.35.15.m15.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.F1.35.15.m15.1.1.2.cmml" xref="S4.F1.35.15.m15.1.1.2">𝐱</ci><cn id="S4.F1.35.15.m15.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.F1.35.15.m15.1.1.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.F1.35.15.m15.1d">\mathbf{x}_{1}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.F1.35.15.m15.1e">bold_x start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> onto the <math alttext="\tilde{x}-\tilde{y}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.F1.36.16.m16.1"><semantics id="S4.F1.36.16.m16.1b"><mrow id="S4.F1.36.16.m16.1.1" xref="S4.F1.36.16.m16.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S4.F1.36.16.m16.1.1.2" xref="S4.F1.36.16.m16.1.1.2.cmml"><mi id="S4.F1.36.16.m16.1.1.2.2" xref="S4.F1.36.16.m16.1.1.2.2.cmml">x</mi><mo id="S4.F1.36.16.m16.1.1.2.1" xref="S4.F1.36.16.m16.1.1.2.1.cmml">~</mo></mover><mo id="S4.F1.36.16.m16.1.1.1" xref="S4.F1.36.16.m16.1.1.1.cmml">−</mo><mover accent="true" id="S4.F1.36.16.m16.1.1.3" xref="S4.F1.36.16.m16.1.1.3.cmml"><mi id="S4.F1.36.16.m16.1.1.3.2" xref="S4.F1.36.16.m16.1.1.3.2.cmml">y</mi><mo id="S4.F1.36.16.m16.1.1.3.1" xref="S4.F1.36.16.m16.1.1.3.1.cmml">~</mo></mover></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.F1.36.16.m16.1c"><apply id="S4.F1.36.16.m16.1.1.cmml" xref="S4.F1.36.16.m16.1.1"><minus id="S4.F1.36.16.m16.1.1.1.cmml" xref="S4.F1.36.16.m16.1.1.1"></minus><apply id="S4.F1.36.16.m16.1.1.2.cmml" xref="S4.F1.36.16.m16.1.1.2"><ci id="S4.F1.36.16.m16.1.1.2.1.cmml" xref="S4.F1.36.16.m16.1.1.2.1">~</ci><ci id="S4.F1.36.16.m16.1.1.2.2.cmml" xref="S4.F1.36.16.m16.1.1.2.2">𝑥</ci></apply><apply id="S4.F1.36.16.m16.1.1.3.cmml" xref="S4.F1.36.16.m16.1.1.3"><ci id="S4.F1.36.16.m16.1.1.3.1.cmml" xref="S4.F1.36.16.m16.1.1.3.1">~</ci><ci id="S4.F1.36.16.m16.1.1.3.2.cmml" xref="S4.F1.36.16.m16.1.1.3.2">𝑦</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.F1.36.16.m16.1d">\tilde{x}-\tilde{y}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.F1.36.16.m16.1e">over~ start_ARG italic_x end_ARG - over~ start_ARG italic_y end_ARG</annotation></semantics></math> plane, while the transverse displacement <math alttext="\tilde{w}_{1}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.F1.37.17.m17.1"><semantics id="S4.F1.37.17.m17.1b"><msub id="S4.F1.37.17.m17.1.1" xref="S4.F1.37.17.m17.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S4.F1.37.17.m17.1.1.2" xref="S4.F1.37.17.m17.1.1.2.cmml"><mi id="S4.F1.37.17.m17.1.1.2.2" xref="S4.F1.37.17.m17.1.1.2.2.cmml">w</mi><mo id="S4.F1.37.17.m17.1.1.2.1" xref="S4.F1.37.17.m17.1.1.2.1.cmml">~</mo></mover><mn id="S4.F1.37.17.m17.1.1.3" xref="S4.F1.37.17.m17.1.1.3.cmml">1</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.F1.37.17.m17.1c"><apply id="S4.F1.37.17.m17.1.1.cmml" xref="S4.F1.37.17.m17.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.F1.37.17.m17.1.1.1.cmml" xref="S4.F1.37.17.m17.1.1">subscript</csymbol><apply id="S4.F1.37.17.m17.1.1.2.cmml" xref="S4.F1.37.17.m17.1.1.2"><ci id="S4.F1.37.17.m17.1.1.2.1.cmml" xref="S4.F1.37.17.m17.1.1.2.1">~</ci><ci id="S4.F1.37.17.m17.1.1.2.2.cmml" xref="S4.F1.37.17.m17.1.1.2.2">𝑤</ci></apply><cn id="S4.F1.37.17.m17.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.F1.37.17.m17.1.1.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.F1.37.17.m17.1d">\tilde{w}_{1}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.F1.37.17.m17.1e">over~ start_ARG italic_w end_ARG start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> corresponds to the projection of the relative difference between <math alttext="\mathbf{x}_{1}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.F1.38.18.m18.1"><semantics id="S4.F1.38.18.m18.1b"><msub id="S4.F1.38.18.m18.1.1" xref="S4.F1.38.18.m18.1.1.cmml"><mi id="S4.F1.38.18.m18.1.1.2" xref="S4.F1.38.18.m18.1.1.2.cmml">𝐱</mi><mn id="S4.F1.38.18.m18.1.1.3" xref="S4.F1.38.18.m18.1.1.3.cmml">1</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.F1.38.18.m18.1c"><apply id="S4.F1.38.18.m18.1.1.cmml" xref="S4.F1.38.18.m18.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.F1.38.18.m18.1.1.1.cmml" xref="S4.F1.38.18.m18.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.F1.38.18.m18.1.1.2.cmml" xref="S4.F1.38.18.m18.1.1.2">𝐱</ci><cn id="S4.F1.38.18.m18.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.F1.38.18.m18.1.1.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.F1.38.18.m18.1d">\mathbf{x}_{1}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.F1.38.18.m18.1e">bold_x start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> and <math alttext="(\mathbf{x}_{1})_{c}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.F1.39.19.m19.1"><semantics id="S4.F1.39.19.m19.1b"><msub id="S4.F1.39.19.m19.1.1" xref="S4.F1.39.19.m19.1.1.cmml"><mrow id="S4.F1.39.19.m19.1.1.1.1" xref="S4.F1.39.19.m19.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.F1.39.19.m19.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.F1.39.19.m19.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S4.F1.39.19.m19.1.1.1.1.1" xref="S4.F1.39.19.m19.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.F1.39.19.m19.1.1.1.1.1.2" xref="S4.F1.39.19.m19.1.1.1.1.1.2.cmml">𝐱</mi><mn id="S4.F1.39.19.m19.1.1.1.1.1.3" xref="S4.F1.39.19.m19.1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S4.F1.39.19.m19.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.F1.39.19.m19.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mi id="S4.F1.39.19.m19.1.1.3" xref="S4.F1.39.19.m19.1.1.3.cmml">c</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.F1.39.19.m19.1c"><apply id="S4.F1.39.19.m19.1.1.cmml" xref="S4.F1.39.19.m19.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.F1.39.19.m19.1.1.2.cmml" xref="S4.F1.39.19.m19.1.1">subscript</csymbol><apply id="S4.F1.39.19.m19.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.F1.39.19.m19.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.F1.39.19.m19.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.F1.39.19.m19.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.F1.39.19.m19.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.F1.39.19.m19.1.1.1.1.1.2">𝐱</ci><cn id="S4.F1.39.19.m19.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.F1.39.19.m19.1.1.1.1.1.3">1</cn></apply><ci id="S4.F1.39.19.m19.1.1.3.cmml" xref="S4.F1.39.19.m19.1.1.3">𝑐</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.F1.39.19.m19.1d">(\mathbf{x}_{1})_{c}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.F1.39.19.m19.1e">( bold_x start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ) start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> along the <math alttext="\tilde{z}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.F1.40.20.m20.1"><semantics id="S4.F1.40.20.m20.1b"><mover accent="true" id="S4.F1.40.20.m20.1.1" xref="S4.F1.40.20.m20.1.1.cmml"><mi id="S4.F1.40.20.m20.1.1.2" xref="S4.F1.40.20.m20.1.1.2.cmml">z</mi><mo id="S4.F1.40.20.m20.1.1.1" xref="S4.F1.40.20.m20.1.1.1.cmml">~</mo></mover><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.F1.40.20.m20.1c"><apply id="S4.F1.40.20.m20.1.1.cmml" xref="S4.F1.40.20.m20.1.1"><ci id="S4.F1.40.20.m20.1.1.1.cmml" xref="S4.F1.40.20.m20.1.1.1">~</ci><ci id="S4.F1.40.20.m20.1.1.2.cmml" xref="S4.F1.40.20.m20.1.1.2">𝑧</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.F1.40.20.m20.1d">\tilde{z}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.F1.40.20.m20.1e">over~ start_ARG italic_z end_ARG</annotation></semantics></math>-axis. Similar quantities for other points can be calculated in the same manner. Variables related to the shell stencil in the initial configuration can be extended from those in the current configuration.</span></figcaption> </figure> <div class="ltx_para" id="S4.SS3.p1"> <p class="ltx_p" id="S4.SS3.p1.2">For an edge-based stencil based on the triangular mesh (see Figure <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2502.10872v4#S4.F1" title="Figure 1 ‣ 4.3 Corotational edge-based hinge bending model ‣ 4 Geometric Discretization ‣ Corotational Hinge-based Thin Plates/Shells"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">1</span></a>), there is no bending along the hinge edge. In the current configuration, the fold angle <math alttext="\theta" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS3.p1.1.m1.1"><semantics id="S4.SS3.p1.1.m1.1a"><mi id="S4.SS3.p1.1.m1.1.1" xref="S4.SS3.p1.1.m1.1.1.cmml">θ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS3.p1.1.m1.1b"><ci id="S4.SS3.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.SS3.p1.1.m1.1.1">𝜃</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS3.p1.1.m1.1c">\theta</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS3.p1.1.m1.1d">italic_θ</annotation></semantics></math> is small under the small strain/curvature assumption. The directional curvature <math alttext="\kappa_{{m}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS3.p1.2.m2.1"><semantics id="S4.SS3.p1.2.m2.1a"><msub id="S4.SS3.p1.2.m2.1.1" xref="S4.SS3.p1.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S4.SS3.p1.2.m2.1.1.2" xref="S4.SS3.p1.2.m2.1.1.2.cmml">κ</mi><mi id="S4.SS3.p1.2.m2.1.1.3" xref="S4.SS3.p1.2.m2.1.1.3.cmml">m</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS3.p1.2.m2.1b"><apply id="S4.SS3.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="S4.SS3.p1.2.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS3.p1.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S4.SS3.p1.2.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.SS3.p1.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S4.SS3.p1.2.m2.1.1.2">𝜅</ci><ci id="S4.SS3.p1.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S4.SS3.p1.2.m2.1.1.3">𝑚</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS3.p1.2.m2.1c">\kappa_{{m}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS3.p1.2.m2.1d">italic_κ start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> across the hinge edge in the current configuration can be expressed as</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S4.E4"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\kappa_{{m}}=\frac{2sin\theta}{\sqrt{h_{1}^{2}+2h_{1}h_{4}\cos\theta+h_{4}^{2}% }}\simeq\frac{2\theta}{h_{1}+h_{4}}" class="ltx_Math" display="block" id="S4.E4.m1.1"><semantics id="S4.E4.m1.1a"><mrow id="S4.E4.m1.1.1" xref="S4.E4.m1.1.1.cmml"><msub id="S4.E4.m1.1.1.2" xref="S4.E4.m1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.E4.m1.1.1.2.2" xref="S4.E4.m1.1.1.2.2.cmml">κ</mi><mi id="S4.E4.m1.1.1.2.3" xref="S4.E4.m1.1.1.2.3.cmml">m</mi></msub><mo id="S4.E4.m1.1.1.3" xref="S4.E4.m1.1.1.3.cmml">=</mo><mfrac id="S4.E4.m1.1.1.4" xref="S4.E4.m1.1.1.4.cmml"><mrow id="S4.E4.m1.1.1.4.2" xref="S4.E4.m1.1.1.4.2.cmml"><mn id="S4.E4.m1.1.1.4.2.2" xref="S4.E4.m1.1.1.4.2.2.cmml">2</mn><mo id="S4.E4.m1.1.1.4.2.1" xref="S4.E4.m1.1.1.4.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E4.m1.1.1.4.2.3" xref="S4.E4.m1.1.1.4.2.3.cmml">s</mi><mo id="S4.E4.m1.1.1.4.2.1a" xref="S4.E4.m1.1.1.4.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E4.m1.1.1.4.2.4" xref="S4.E4.m1.1.1.4.2.4.cmml">i</mi><mo id="S4.E4.m1.1.1.4.2.1b" xref="S4.E4.m1.1.1.4.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E4.m1.1.1.4.2.5" xref="S4.E4.m1.1.1.4.2.5.cmml">n</mi><mo id="S4.E4.m1.1.1.4.2.1c" xref="S4.E4.m1.1.1.4.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E4.m1.1.1.4.2.6" xref="S4.E4.m1.1.1.4.2.6.cmml">θ</mi></mrow><msqrt id="S4.E4.m1.1.1.4.3" xref="S4.E4.m1.1.1.4.3.cmml"><mrow id="S4.E4.m1.1.1.4.3.2" xref="S4.E4.m1.1.1.4.3.2.cmml"><msubsup id="S4.E4.m1.1.1.4.3.2.2" xref="S4.E4.m1.1.1.4.3.2.2.cmml"><mi id="S4.E4.m1.1.1.4.3.2.2.2.2" xref="S4.E4.m1.1.1.4.3.2.2.2.2.cmml">h</mi><mn id="S4.E4.m1.1.1.4.3.2.2.2.3" xref="S4.E4.m1.1.1.4.3.2.2.2.3.cmml">1</mn><mn id="S4.E4.m1.1.1.4.3.2.2.3" xref="S4.E4.m1.1.1.4.3.2.2.3.cmml">2</mn></msubsup><mo id="S4.E4.m1.1.1.4.3.2.1" xref="S4.E4.m1.1.1.4.3.2.1.cmml">+</mo><mrow id="S4.E4.m1.1.1.4.3.2.3" xref="S4.E4.m1.1.1.4.3.2.3.cmml"><mn id="S4.E4.m1.1.1.4.3.2.3.2" xref="S4.E4.m1.1.1.4.3.2.3.2.cmml">2</mn><mo id="S4.E4.m1.1.1.4.3.2.3.1" xref="S4.E4.m1.1.1.4.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S4.E4.m1.1.1.4.3.2.3.3" xref="S4.E4.m1.1.1.4.3.2.3.3.cmml"><mi id="S4.E4.m1.1.1.4.3.2.3.3.2" xref="S4.E4.m1.1.1.4.3.2.3.3.2.cmml">h</mi><mn id="S4.E4.m1.1.1.4.3.2.3.3.3" xref="S4.E4.m1.1.1.4.3.2.3.3.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S4.E4.m1.1.1.4.3.2.3.1a" xref="S4.E4.m1.1.1.4.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S4.E4.m1.1.1.4.3.2.3.4" xref="S4.E4.m1.1.1.4.3.2.3.4.cmml"><mi id="S4.E4.m1.1.1.4.3.2.3.4.2" xref="S4.E4.m1.1.1.4.3.2.3.4.2.cmml">h</mi><mn id="S4.E4.m1.1.1.4.3.2.3.4.3" xref="S4.E4.m1.1.1.4.3.2.3.4.3.cmml">4</mn></msub><mo id="S4.E4.m1.1.1.4.3.2.3.1b" lspace="0.167em" xref="S4.E4.m1.1.1.4.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E4.m1.1.1.4.3.2.3.5" xref="S4.E4.m1.1.1.4.3.2.3.5.cmml"><mi id="S4.E4.m1.1.1.4.3.2.3.5.1" xref="S4.E4.m1.1.1.4.3.2.3.5.1.cmml">cos</mi><mo 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ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(4)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S4.SS3.p1.8">with <math alttext="\theta\simeq\sin\theta" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS3.p1.3.m1.1"><semantics id="S4.SS3.p1.3.m1.1a"><mrow id="S4.SS3.p1.3.m1.1.1" xref="S4.SS3.p1.3.m1.1.1.cmml"><mi id="S4.SS3.p1.3.m1.1.1.2" xref="S4.SS3.p1.3.m1.1.1.2.cmml">θ</mi><mo id="S4.SS3.p1.3.m1.1.1.1" xref="S4.SS3.p1.3.m1.1.1.1.cmml">≃</mo><mrow id="S4.SS3.p1.3.m1.1.1.3" xref="S4.SS3.p1.3.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.SS3.p1.3.m1.1.1.3.1" xref="S4.SS3.p1.3.m1.1.1.3.1.cmml">sin</mi><mo id="S4.SS3.p1.3.m1.1.1.3a" lspace="0.167em" xref="S4.SS3.p1.3.m1.1.1.3.cmml">⁡</mo><mi id="S4.SS3.p1.3.m1.1.1.3.2" xref="S4.SS3.p1.3.m1.1.1.3.2.cmml">θ</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS3.p1.3.m1.1b"><apply id="S4.SS3.p1.3.m1.1.1.cmml" xref="S4.SS3.p1.3.m1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S4.SS3.p1.3.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS3.p1.3.m1.1.1.1">similar-to-or-equals</csymbol><ci id="S4.SS3.p1.3.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS3.p1.3.m1.1.1.2">𝜃</ci><apply id="S4.SS3.p1.3.m1.1.1.3.cmml" xref="S4.SS3.p1.3.m1.1.1.3"><sin id="S4.SS3.p1.3.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.SS3.p1.3.m1.1.1.3.1"></sin><ci id="S4.SS3.p1.3.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.SS3.p1.3.m1.1.1.3.2">𝜃</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS3.p1.3.m1.1c">\theta\simeq\sin\theta</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS3.p1.3.m1.1d">italic_θ ≃ roman_sin italic_θ</annotation></semantics></math> and <math alttext="\cos\theta\simeq 1" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS3.p1.4.m2.1"><semantics id="S4.SS3.p1.4.m2.1a"><mrow id="S4.SS3.p1.4.m2.1.1" xref="S4.SS3.p1.4.m2.1.1.cmml"><mrow id="S4.SS3.p1.4.m2.1.1.2" xref="S4.SS3.p1.4.m2.1.1.2.cmml"><mi id="S4.SS3.p1.4.m2.1.1.2.1" xref="S4.SS3.p1.4.m2.1.1.2.1.cmml">cos</mi><mo id="S4.SS3.p1.4.m2.1.1.2a" lspace="0.167em" xref="S4.SS3.p1.4.m2.1.1.2.cmml">⁡</mo><mi id="S4.SS3.p1.4.m2.1.1.2.2" xref="S4.SS3.p1.4.m2.1.1.2.2.cmml">θ</mi></mrow><mo id="S4.SS3.p1.4.m2.1.1.1" xref="S4.SS3.p1.4.m2.1.1.1.cmml">≃</mo><mn id="S4.SS3.p1.4.m2.1.1.3" xref="S4.SS3.p1.4.m2.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS3.p1.4.m2.1b"><apply id="S4.SS3.p1.4.m2.1.1.cmml" xref="S4.SS3.p1.4.m2.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S4.SS3.p1.4.m2.1.1.1.cmml" xref="S4.SS3.p1.4.m2.1.1.1">similar-to-or-equals</csymbol><apply id="S4.SS3.p1.4.m2.1.1.2.cmml" xref="S4.SS3.p1.4.m2.1.1.2"><cos id="S4.SS3.p1.4.m2.1.1.2.1.cmml" xref="S4.SS3.p1.4.m2.1.1.2.1"></cos><ci id="S4.SS3.p1.4.m2.1.1.2.2.cmml" xref="S4.SS3.p1.4.m2.1.1.2.2">𝜃</ci></apply><cn id="S4.SS3.p1.4.m2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS3.p1.4.m2.1.1.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS3.p1.4.m2.1c">\cos\theta\simeq 1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS3.p1.4.m2.1d">roman_cos italic_θ ≃ 1</annotation></semantics></math>. <math alttext="h_{1}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS3.p1.5.m3.1"><semantics id="S4.SS3.p1.5.m3.1a"><msub id="S4.SS3.p1.5.m3.1.1" xref="S4.SS3.p1.5.m3.1.1.cmml"><mi id="S4.SS3.p1.5.m3.1.1.2" xref="S4.SS3.p1.5.m3.1.1.2.cmml">h</mi><mn id="S4.SS3.p1.5.m3.1.1.3" xref="S4.SS3.p1.5.m3.1.1.3.cmml">1</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS3.p1.5.m3.1b"><apply id="S4.SS3.p1.5.m3.1.1.cmml" xref="S4.SS3.p1.5.m3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS3.p1.5.m3.1.1.1.cmml" xref="S4.SS3.p1.5.m3.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.SS3.p1.5.m3.1.1.2.cmml" xref="S4.SS3.p1.5.m3.1.1.2">ℎ</ci><cn id="S4.SS3.p1.5.m3.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS3.p1.5.m3.1.1.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS3.p1.5.m3.1c">h_{1}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS3.p1.5.m3.1d">italic_h start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> and <math alttext="h_{4}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS3.p1.6.m4.1"><semantics id="S4.SS3.p1.6.m4.1a"><msub id="S4.SS3.p1.6.m4.1.1" xref="S4.SS3.p1.6.m4.1.1.cmml"><mi id="S4.SS3.p1.6.m4.1.1.2" xref="S4.SS3.p1.6.m4.1.1.2.cmml">h</mi><mn id="S4.SS3.p1.6.m4.1.1.3" xref="S4.SS3.p1.6.m4.1.1.3.cmml">4</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS3.p1.6.m4.1b"><apply id="S4.SS3.p1.6.m4.1.1.cmml" xref="S4.SS3.p1.6.m4.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS3.p1.6.m4.1.1.1.cmml" xref="S4.SS3.p1.6.m4.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.SS3.p1.6.m4.1.1.2.cmml" xref="S4.SS3.p1.6.m4.1.1.2">ℎ</ci><cn id="S4.SS3.p1.6.m4.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS3.p1.6.m4.1.1.3">4</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS3.p1.6.m4.1c">h_{4}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS3.p1.6.m4.1d">italic_h start_POSTSUBSCRIPT 4 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> are the heights of the triangle <math alttext="T_{123}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS3.p1.7.m5.1"><semantics id="S4.SS3.p1.7.m5.1a"><msub id="S4.SS3.p1.7.m5.1.1" xref="S4.SS3.p1.7.m5.1.1.cmml"><mi id="S4.SS3.p1.7.m5.1.1.2" xref="S4.SS3.p1.7.m5.1.1.2.cmml">T</mi><mn id="S4.SS3.p1.7.m5.1.1.3" xref="S4.SS3.p1.7.m5.1.1.3.cmml">123</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS3.p1.7.m5.1b"><apply id="S4.SS3.p1.7.m5.1.1.cmml" xref="S4.SS3.p1.7.m5.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS3.p1.7.m5.1.1.1.cmml" xref="S4.SS3.p1.7.m5.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.SS3.p1.7.m5.1.1.2.cmml" xref="S4.SS3.p1.7.m5.1.1.2">𝑇</ci><cn id="S4.SS3.p1.7.m5.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS3.p1.7.m5.1.1.3">123</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS3.p1.7.m5.1c">T_{123}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS3.p1.7.m5.1d">italic_T start_POSTSUBSCRIPT 123 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> and <math alttext="T_{432}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS3.p1.8.m6.1"><semantics id="S4.SS3.p1.8.m6.1a"><msub id="S4.SS3.p1.8.m6.1.1" xref="S4.SS3.p1.8.m6.1.1.cmml"><mi id="S4.SS3.p1.8.m6.1.1.2" xref="S4.SS3.p1.8.m6.1.1.2.cmml">T</mi><mn id="S4.SS3.p1.8.m6.1.1.3" xref="S4.SS3.p1.8.m6.1.1.3.cmml">432</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS3.p1.8.m6.1b"><apply id="S4.SS3.p1.8.m6.1.1.cmml" xref="S4.SS3.p1.8.m6.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS3.p1.8.m6.1.1.1.cmml" xref="S4.SS3.p1.8.m6.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.SS3.p1.8.m6.1.1.2.cmml" xref="S4.SS3.p1.8.m6.1.1.2">𝑇</ci><cn id="S4.SS3.p1.8.m6.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS3.p1.8.m6.1.1.3">432</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS3.p1.8.m6.1c">T_{432}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS3.p1.8.m6.1d">italic_T start_POSTSUBSCRIPT 432 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> approximated in the initial configuration, respectively. Under the small curvature assumption, the fold angle in the current configuration can be approximated by</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S4.E5"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\theta=\alpha_{1}+\alpha_{2}\simeq\sin\alpha_{1}+\sin\alpha_{2}\simeq\frac{% \mathbf{n}_{\tilde{z}}^{T}({\tilde{\mathbf{x}}}_{1}-{\tilde{\mathbf{x}}}_{P})}% {h_{1}}+\frac{\mathbf{n}_{\tilde{z}}^{T}({\tilde{\mathbf{x}}}_{4}-{\tilde{% \mathbf{x}}}_{Q})}{h_{4}}." class="ltx_Math" display="block" id="S4.E5.m1.3"><semantics id="S4.E5.m1.3a"><mrow id="S4.E5.m1.3.3.1" xref="S4.E5.m1.3.3.1.1.cmml"><mrow id="S4.E5.m1.3.3.1.1" xref="S4.E5.m1.3.3.1.1.cmml"><mi id="S4.E5.m1.3.3.1.1.2" xref="S4.E5.m1.3.3.1.1.2.cmml">θ</mi><mo id="S4.E5.m1.3.3.1.1.3" xref="S4.E5.m1.3.3.1.1.3.cmml">=</mo><mrow id="S4.E5.m1.3.3.1.1.4" xref="S4.E5.m1.3.3.1.1.4.cmml"><msub id="S4.E5.m1.3.3.1.1.4.2" xref="S4.E5.m1.3.3.1.1.4.2.cmml"><mi id="S4.E5.m1.3.3.1.1.4.2.2" xref="S4.E5.m1.3.3.1.1.4.2.2.cmml">α</mi><mn id="S4.E5.m1.3.3.1.1.4.2.3" xref="S4.E5.m1.3.3.1.1.4.2.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S4.E5.m1.3.3.1.1.4.1" xref="S4.E5.m1.3.3.1.1.4.1.cmml">+</mo><msub id="S4.E5.m1.3.3.1.1.4.3" xref="S4.E5.m1.3.3.1.1.4.3.cmml"><mi id="S4.E5.m1.3.3.1.1.4.3.2" xref="S4.E5.m1.3.3.1.1.4.3.2.cmml">α</mi><mn id="S4.E5.m1.3.3.1.1.4.3.3" xref="S4.E5.m1.3.3.1.1.4.3.3.cmml">2</mn></msub></mrow><mo id="S4.E5.m1.3.3.1.1.5" xref="S4.E5.m1.3.3.1.1.5.cmml">≃</mo><mrow id="S4.E5.m1.3.3.1.1.6" xref="S4.E5.m1.3.3.1.1.6.cmml"><mrow id="S4.E5.m1.3.3.1.1.6.2" xref="S4.E5.m1.3.3.1.1.6.2.cmml"><mi id="S4.E5.m1.3.3.1.1.6.2.1" xref="S4.E5.m1.3.3.1.1.6.2.1.cmml">sin</mi><mo id="S4.E5.m1.3.3.1.1.6.2a" lspace="0.167em" xref="S4.E5.m1.3.3.1.1.6.2.cmml">⁡</mo><msub id="S4.E5.m1.3.3.1.1.6.2.2" xref="S4.E5.m1.3.3.1.1.6.2.2.cmml"><mi id="S4.E5.m1.3.3.1.1.6.2.2.2" xref="S4.E5.m1.3.3.1.1.6.2.2.2.cmml">α</mi><mn id="S4.E5.m1.3.3.1.1.6.2.2.3" xref="S4.E5.m1.3.3.1.1.6.2.2.3.cmml">1</mn></msub></mrow><mo id="S4.E5.m1.3.3.1.1.6.1" xref="S4.E5.m1.3.3.1.1.6.1.cmml">+</mo><mrow id="S4.E5.m1.3.3.1.1.6.3" xref="S4.E5.m1.3.3.1.1.6.3.cmml"><mi id="S4.E5.m1.3.3.1.1.6.3.1" xref="S4.E5.m1.3.3.1.1.6.3.1.cmml">sin</mi><mo id="S4.E5.m1.3.3.1.1.6.3a" lspace="0.167em" xref="S4.E5.m1.3.3.1.1.6.3.cmml">⁡</mo><msub id="S4.E5.m1.3.3.1.1.6.3.2" xref="S4.E5.m1.3.3.1.1.6.3.2.cmml"><mi id="S4.E5.m1.3.3.1.1.6.3.2.2" xref="S4.E5.m1.3.3.1.1.6.3.2.2.cmml">α</mi><mn id="S4.E5.m1.3.3.1.1.6.3.2.3" xref="S4.E5.m1.3.3.1.1.6.3.2.3.cmml">2</mn></msub></mrow></mrow><mo id="S4.E5.m1.3.3.1.1.7" xref="S4.E5.m1.3.3.1.1.7.cmml">≃</mo><mrow id="S4.E5.m1.3.3.1.1.8" xref="S4.E5.m1.3.3.1.1.8.cmml"><mfrac id="S4.E5.m1.1.1" xref="S4.E5.m1.1.1.cmml"><mrow id="S4.E5.m1.1.1.1" xref="S4.E5.m1.1.1.1.cmml"><msubsup id="S4.E5.m1.1.1.1.3" xref="S4.E5.m1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.E5.m1.1.1.1.3.2.2" xref="S4.E5.m1.1.1.1.3.2.2.cmml">𝐧</mi><mover accent="true" id="S4.E5.m1.1.1.1.3.2.3" xref="S4.E5.m1.1.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="S4.E5.m1.1.1.1.3.2.3.2" xref="S4.E5.m1.1.1.1.3.2.3.2.cmml">z</mi><mo id="S4.E5.m1.1.1.1.3.2.3.1" xref="S4.E5.m1.1.1.1.3.2.3.1.cmml">~</mo></mover><mi id="S4.E5.m1.1.1.1.3.3" xref="S4.E5.m1.1.1.1.3.3.cmml">T</mi></msubsup><mo id="S4.E5.m1.1.1.1.2" xref="S4.E5.m1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E5.m1.1.1.1.1.1" xref="S4.E5.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.E5.m1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.E5.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.E5.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E5.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S4.E5.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.E5.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mover accent="true" id="S4.E5.m1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.E5.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S4.E5.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S4.E5.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">𝐱</mi><mo id="S4.E5.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1" xref="S4.E5.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml">~</mo></mover><mn id="S4.E5.m1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S4.E5.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S4.E5.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E5.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><msub id="S4.E5.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.E5.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mover accent="true" id="S4.E5.m1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.E5.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S4.E5.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S4.E5.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">𝐱</mi><mo id="S4.E5.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1" xref="S4.E5.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml">~</mo></mover><mi id="S4.E5.m1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.E5.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">P</mi></msub></mrow><mo id="S4.E5.m1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.E5.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><msub id="S4.E5.m1.1.1.3" xref="S4.E5.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.E5.m1.1.1.3.2" xref="S4.E5.m1.1.1.3.2.cmml">h</mi><mn id="S4.E5.m1.1.1.3.3" xref="S4.E5.m1.1.1.3.3.cmml">1</mn></msub></mfrac><mo id="S4.E5.m1.3.3.1.1.8.1" xref="S4.E5.m1.3.3.1.1.8.1.cmml">+</mo><mfrac id="S4.E5.m1.2.2" xref="S4.E5.m1.2.2.cmml"><mrow id="S4.E5.m1.2.2.1" 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id="S4.E5.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.E5.m1.1.1.1.1.1.1.3.2"><ci id="S4.E5.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.E5.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1">~</ci><ci id="S4.E5.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.E5.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2">𝐱</ci></apply><ci id="S4.E5.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.E5.m1.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑃</ci></apply></apply></apply><apply id="S4.E5.m1.1.1.3.cmml" xref="S4.E5.m1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E5.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E5.m1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.E5.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.E5.m1.1.1.3.2">ℎ</ci><cn id="S4.E5.m1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.E5.m1.1.1.3.3">1</cn></apply></apply><apply id="S4.E5.m1.2.2.cmml" xref="S4.E5.m1.2.2"><divide id="S4.E5.m1.2.2.2.cmml" xref="S4.E5.m1.2.2"></divide><apply id="S4.E5.m1.2.2.1.cmml" xref="S4.E5.m1.2.2.1"><times id="S4.E5.m1.2.2.1.2.cmml" xref="S4.E5.m1.2.2.1.2"></times><apply id="S4.E5.m1.2.2.1.3.cmml" xref="S4.E5.m1.2.2.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E5.m1.2.2.1.3.1.cmml" xref="S4.E5.m1.2.2.1.3">superscript</csymbol><apply id="S4.E5.m1.2.2.1.3.2.cmml" xref="S4.E5.m1.2.2.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E5.m1.2.2.1.3.2.1.cmml" xref="S4.E5.m1.2.2.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.E5.m1.2.2.1.3.2.2.cmml" xref="S4.E5.m1.2.2.1.3.2.2">𝐧</ci><apply id="S4.E5.m1.2.2.1.3.2.3.cmml" xref="S4.E5.m1.2.2.1.3.2.3"><ci id="S4.E5.m1.2.2.1.3.2.3.1.cmml" xref="S4.E5.m1.2.2.1.3.2.3.1">~</ci><ci id="S4.E5.m1.2.2.1.3.2.3.2.cmml" xref="S4.E5.m1.2.2.1.3.2.3.2">𝑧</ci></apply></apply><ci id="S4.E5.m1.2.2.1.3.3.cmml" xref="S4.E5.m1.2.2.1.3.3">𝑇</ci></apply><apply id="S4.E5.m1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E5.m1.2.2.1.1.1"><minus id="S4.E5.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E5.m1.2.2.1.1.1.1.1"></minus><apply id="S4.E5.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E5.m1.2.2.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E5.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.E5.m1.2.2.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><apply id="S4.E5.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.E5.m1.2.2.1.1.1.1.2.2"><ci id="S4.E5.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.E5.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.1">~</ci><ci id="S4.E5.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.E5.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.2">𝐱</ci></apply><cn id="S4.E5.m1.2.2.1.1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.E5.m1.2.2.1.1.1.1.2.3">4</cn></apply><apply id="S4.E5.m1.2.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E5.m1.2.2.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E5.m1.2.2.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E5.m1.2.2.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><apply id="S4.E5.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.E5.m1.2.2.1.1.1.1.3.2"><ci id="S4.E5.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.E5.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.1">~</ci><ci id="S4.E5.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.E5.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.2">𝐱</ci></apply><ci id="S4.E5.m1.2.2.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.E5.m1.2.2.1.1.1.1.3.3">𝑄</ci></apply></apply></apply><apply id="S4.E5.m1.2.2.3.cmml" xref="S4.E5.m1.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E5.m1.2.2.3.1.cmml" xref="S4.E5.m1.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S4.E5.m1.2.2.3.2.cmml" xref="S4.E5.m1.2.2.3.2">ℎ</ci><cn id="S4.E5.m1.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.E5.m1.2.2.3.3">4</cn></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.E5.m1.3c">\theta=\alpha_{1}+\alpha_{2}\simeq\sin\alpha_{1}+\sin\alpha_{2}\simeq\frac{% \mathbf{n}_{\tilde{z}}^{T}({\tilde{\mathbf{x}}}_{1}-{\tilde{\mathbf{x}}}_{P})}% {h_{1}}+\frac{\mathbf{n}_{\tilde{z}}^{T}({\tilde{\mathbf{x}}}_{4}-{\tilde{% \mathbf{x}}}_{Q})}{h_{4}}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.E5.m1.3d">italic_θ = italic_α start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT + italic_α start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT ≃ roman_sin italic_α start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT + roman_sin italic_α start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT ≃ divide start_ARG bold_n start_POSTSUBSCRIPT over~ start_ARG italic_z end_ARG end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT ( over~ start_ARG bold_x end_ARG start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT - over~ start_ARG bold_x end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_P end_POSTSUBSCRIPT ) end_ARG start_ARG italic_h start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT end_ARG + divide start_ARG bold_n start_POSTSUBSCRIPT over~ start_ARG italic_z end_ARG end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT ( over~ start_ARG bold_x end_ARG start_POSTSUBSCRIPT 4 end_POSTSUBSCRIPT - over~ start_ARG bold_x end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_Q end_POSTSUBSCRIPT ) end_ARG start_ARG italic_h start_POSTSUBSCRIPT 4 end_POSTSUBSCRIPT end_ARG .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(5)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S4.SS3.p1.10">Here, the perpendicular feet <math alttext="\tilde{\mathbf{x}}_{P}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS3.p1.9.m1.1"><semantics id="S4.SS3.p1.9.m1.1a"><msub id="S4.SS3.p1.9.m1.1.1" xref="S4.SS3.p1.9.m1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S4.SS3.p1.9.m1.1.1.2" xref="S4.SS3.p1.9.m1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.SS3.p1.9.m1.1.1.2.2" xref="S4.SS3.p1.9.m1.1.1.2.2.cmml">𝐱</mi><mo id="S4.SS3.p1.9.m1.1.1.2.1" xref="S4.SS3.p1.9.m1.1.1.2.1.cmml">~</mo></mover><mi id="S4.SS3.p1.9.m1.1.1.3" xref="S4.SS3.p1.9.m1.1.1.3.cmml">P</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS3.p1.9.m1.1b"><apply id="S4.SS3.p1.9.m1.1.1.cmml" xref="S4.SS3.p1.9.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS3.p1.9.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS3.p1.9.m1.1.1">subscript</csymbol><apply id="S4.SS3.p1.9.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS3.p1.9.m1.1.1.2"><ci id="S4.SS3.p1.9.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.SS3.p1.9.m1.1.1.2.1">~</ci><ci id="S4.SS3.p1.9.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.SS3.p1.9.m1.1.1.2.2">𝐱</ci></apply><ci id="S4.SS3.p1.9.m1.1.1.3.cmml" xref="S4.SS3.p1.9.m1.1.1.3">𝑃</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS3.p1.9.m1.1c">\tilde{\mathbf{x}}_{P}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS3.p1.9.m1.1d">over~ start_ARG bold_x end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_P end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> and <math alttext="\tilde{\mathbf{x}}_{Q}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS3.p1.10.m2.1"><semantics id="S4.SS3.p1.10.m2.1a"><msub id="S4.SS3.p1.10.m2.1.1" xref="S4.SS3.p1.10.m2.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S4.SS3.p1.10.m2.1.1.2" xref="S4.SS3.p1.10.m2.1.1.2.cmml"><mi id="S4.SS3.p1.10.m2.1.1.2.2" xref="S4.SS3.p1.10.m2.1.1.2.2.cmml">𝐱</mi><mo id="S4.SS3.p1.10.m2.1.1.2.1" xref="S4.SS3.p1.10.m2.1.1.2.1.cmml">~</mo></mover><mi id="S4.SS3.p1.10.m2.1.1.3" xref="S4.SS3.p1.10.m2.1.1.3.cmml">Q</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS3.p1.10.m2.1b"><apply id="S4.SS3.p1.10.m2.1.1.cmml" xref="S4.SS3.p1.10.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS3.p1.10.m2.1.1.1.cmml" xref="S4.SS3.p1.10.m2.1.1">subscript</csymbol><apply id="S4.SS3.p1.10.m2.1.1.2.cmml" xref="S4.SS3.p1.10.m2.1.1.2"><ci id="S4.SS3.p1.10.m2.1.1.2.1.cmml" xref="S4.SS3.p1.10.m2.1.1.2.1">~</ci><ci id="S4.SS3.p1.10.m2.1.1.2.2.cmml" xref="S4.SS3.p1.10.m2.1.1.2.2">𝐱</ci></apply><ci id="S4.SS3.p1.10.m2.1.1.3.cmml" xref="S4.SS3.p1.10.m2.1.1.3">𝑄</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS3.p1.10.m2.1c">\tilde{\mathbf{x}}_{Q}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS3.p1.10.m2.1d">over~ start_ARG bold_x end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_Q end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> are given by</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S4.E6"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\tilde{\mathbf{x}}_{P}=\frac{\lVert\tilde{\mathbf{x}}_{P3}\rVert}{\lVert\tilde% {\mathbf{x}}_{23}\rVert}\tilde{\mathbf{x}}_{2}+\frac{\lVert\tilde{\mathbf{x}}_% {P2}\rVert}{\lVert\tilde{\mathbf{x}}_{23}\rVert}\tilde{\mathbf{x}}_{3},\ % \tilde{\mathbf{x}}_{Q}=\frac{\lVert\tilde{\mathbf{x}}_{Q3}\rVert}{\lVert\tilde% {\mathbf{x}}_{23}\rVert}\tilde{\mathbf{x}}_{2}+\frac{\lVert\tilde{\mathbf{x}}_% {Q2}\rVert}{\lVert\tilde{\mathbf{x}}_{23}\rVert}\tilde{\mathbf{x}}_{3}." class="ltx_Math" display="block" id="S4.E6.m1.9"><semantics id="S4.E6.m1.9a"><mrow id="S4.E6.m1.9.9.1"><mrow id="S4.E6.m1.9.9.1.1.2" xref="S4.E6.m1.9.9.1.1.3.cmml"><mrow id="S4.E6.m1.9.9.1.1.1.1" xref="S4.E6.m1.9.9.1.1.1.1.cmml"><msub id="S4.E6.m1.9.9.1.1.1.1.2" xref="S4.E6.m1.9.9.1.1.1.1.2.cmml"><mover accent="true" id="S4.E6.m1.9.9.1.1.1.1.2.2" xref="S4.E6.m1.9.9.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S4.E6.m1.9.9.1.1.1.1.2.2.2" xref="S4.E6.m1.9.9.1.1.1.1.2.2.2.cmml">𝐱</mi><mo id="S4.E6.m1.9.9.1.1.1.1.2.2.1" xref="S4.E6.m1.9.9.1.1.1.1.2.2.1.cmml">~</mo></mover><mi id="S4.E6.m1.9.9.1.1.1.1.2.3" xref="S4.E6.m1.9.9.1.1.1.1.2.3.cmml">P</mi></msub><mo id="S4.E6.m1.9.9.1.1.1.1.1" xref="S4.E6.m1.9.9.1.1.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S4.E6.m1.9.9.1.1.1.1.3" xref="S4.E6.m1.9.9.1.1.1.1.3.cmml"><mrow id="S4.E6.m1.9.9.1.1.1.1.3.2" xref="S4.E6.m1.9.9.1.1.1.1.3.2.cmml"><mfrac id="S4.E6.m1.2.2" xref="S4.E6.m1.2.2.cmml"><mrow id="S4.E6.m1.1.1.1.1" xref="S4.E6.m1.1.1.1.2.cmml"><mo fence="true" id="S4.E6.m1.1.1.1.1.2" rspace="0em" xref="S4.E6.m1.1.1.1.2.1.cmml">∥</mo><msub id="S4.E6.m1.1.1.1.1.1" xref="S4.E6.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S4.E6.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.E6.m1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.E6.m1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.E6.m1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">𝐱</mi><mo id="S4.E6.m1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S4.E6.m1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">~</mo></mover><mrow id="S4.E6.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.E6.m1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.E6.m1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.E6.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">P</mi><mo id="S4.E6.m1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S4.E6.m1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mn id="S4.E6.m1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.E6.m1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">3</mn></mrow></msub><mo fence="true" id="S4.E6.m1.1.1.1.1.3" lspace="0em" xref="S4.E6.m1.1.1.1.2.1.cmml">∥</mo></mrow><mrow id="S4.E6.m1.2.2.2.1" xref="S4.E6.m1.2.2.2.2.cmml"><mo fence="true" id="S4.E6.m1.2.2.2.1.2" rspace="0em" xref="S4.E6.m1.2.2.2.2.1.cmml">∥</mo><msub id="S4.E6.m1.2.2.2.1.1" xref="S4.E6.m1.2.2.2.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S4.E6.m1.2.2.2.1.1.2" xref="S4.E6.m1.2.2.2.1.1.2.cmml"><mi id="S4.E6.m1.2.2.2.1.1.2.2" xref="S4.E6.m1.2.2.2.1.1.2.2.cmml">𝐱</mi><mo id="S4.E6.m1.2.2.2.1.1.2.1" xref="S4.E6.m1.2.2.2.1.1.2.1.cmml">~</mo></mover><mn id="S4.E6.m1.2.2.2.1.1.3" xref="S4.E6.m1.2.2.2.1.1.3.cmml">23</mn></msub><mo fence="true" id="S4.E6.m1.2.2.2.1.3" lspace="0em" xref="S4.E6.m1.2.2.2.2.1.cmml">∥</mo></mrow></mfrac><mo id="S4.E6.m1.9.9.1.1.1.1.3.2.1" xref="S4.E6.m1.9.9.1.1.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S4.E6.m1.9.9.1.1.1.1.3.2.2" xref="S4.E6.m1.9.9.1.1.1.1.3.2.2.cmml"><mover accent="true" id="S4.E6.m1.9.9.1.1.1.1.3.2.2.2" xref="S4.E6.m1.9.9.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml"><mi id="S4.E6.m1.9.9.1.1.1.1.3.2.2.2.2" xref="S4.E6.m1.9.9.1.1.1.1.3.2.2.2.2.cmml">𝐱</mi><mo id="S4.E6.m1.9.9.1.1.1.1.3.2.2.2.1" xref="S4.E6.m1.9.9.1.1.1.1.3.2.2.2.1.cmml">~</mo></mover><mn id="S4.E6.m1.9.9.1.1.1.1.3.2.2.3" xref="S4.E6.m1.9.9.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml">2</mn></msub></mrow><mo id="S4.E6.m1.9.9.1.1.1.1.3.1" xref="S4.E6.m1.9.9.1.1.1.1.3.1.cmml">+</mo><mrow id="S4.E6.m1.9.9.1.1.1.1.3.3" xref="S4.E6.m1.9.9.1.1.1.1.3.3.cmml"><mfrac id="S4.E6.m1.4.4" xref="S4.E6.m1.4.4.cmml"><mrow id="S4.E6.m1.3.3.1.1" xref="S4.E6.m1.3.3.1.2.cmml"><mo fence="true" id="S4.E6.m1.3.3.1.1.2" rspace="0em" xref="S4.E6.m1.3.3.1.2.1.cmml">∥</mo><msub id="S4.E6.m1.3.3.1.1.1" xref="S4.E6.m1.3.3.1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S4.E6.m1.3.3.1.1.1.2" xref="S4.E6.m1.3.3.1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.E6.m1.3.3.1.1.1.2.2" xref="S4.E6.m1.3.3.1.1.1.2.2.cmml">𝐱</mi><mo id="S4.E6.m1.3.3.1.1.1.2.1" xref="S4.E6.m1.3.3.1.1.1.2.1.cmml">~</mo></mover><mrow id="S4.E6.m1.3.3.1.1.1.3" xref="S4.E6.m1.3.3.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.E6.m1.3.3.1.1.1.3.2" xref="S4.E6.m1.3.3.1.1.1.3.2.cmml">P</mi><mo id="S4.E6.m1.3.3.1.1.1.3.1" xref="S4.E6.m1.3.3.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mn id="S4.E6.m1.3.3.1.1.1.3.3" xref="S4.E6.m1.3.3.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></mrow></msub><mo fence="true" id="S4.E6.m1.3.3.1.1.3" lspace="0em" xref="S4.E6.m1.3.3.1.2.1.cmml">∥</mo></mrow><mrow id="S4.E6.m1.4.4.2.1" xref="S4.E6.m1.4.4.2.2.cmml"><mo fence="true" id="S4.E6.m1.4.4.2.1.2" rspace="0em" xref="S4.E6.m1.4.4.2.2.1.cmml">∥</mo><msub id="S4.E6.m1.4.4.2.1.1" xref="S4.E6.m1.4.4.2.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S4.E6.m1.4.4.2.1.1.2" xref="S4.E6.m1.4.4.2.1.1.2.cmml"><mi id="S4.E6.m1.4.4.2.1.1.2.2" xref="S4.E6.m1.4.4.2.1.1.2.2.cmml">𝐱</mi><mo id="S4.E6.m1.4.4.2.1.1.2.1" xref="S4.E6.m1.4.4.2.1.1.2.1.cmml">~</mo></mover><mn id="S4.E6.m1.4.4.2.1.1.3" xref="S4.E6.m1.4.4.2.1.1.3.cmml">23</mn></msub><mo fence="true" id="S4.E6.m1.4.4.2.1.3" lspace="0em" xref="S4.E6.m1.4.4.2.2.1.cmml">∥</mo></mrow></mfrac><mo id="S4.E6.m1.9.9.1.1.1.1.3.3.1" xref="S4.E6.m1.9.9.1.1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S4.E6.m1.9.9.1.1.1.1.3.3.2" xref="S4.E6.m1.9.9.1.1.1.1.3.3.2.cmml"><mover accent="true" id="S4.E6.m1.9.9.1.1.1.1.3.3.2.2" xref="S4.E6.m1.9.9.1.1.1.1.3.3.2.2.cmml"><mi id="S4.E6.m1.9.9.1.1.1.1.3.3.2.2.2" xref="S4.E6.m1.9.9.1.1.1.1.3.3.2.2.2.cmml">𝐱</mi><mo id="S4.E6.m1.9.9.1.1.1.1.3.3.2.2.1" xref="S4.E6.m1.9.9.1.1.1.1.3.3.2.2.1.cmml">~</mo></mover><mn id="S4.E6.m1.9.9.1.1.1.1.3.3.2.3" xref="S4.E6.m1.9.9.1.1.1.1.3.3.2.3.cmml">3</mn></msub></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.E6.m1.9.9.1.1.2.3" rspace="0.667em" xref="S4.E6.m1.9.9.1.1.3a.cmml">,</mo><mrow id="S4.E6.m1.9.9.1.1.2.2" xref="S4.E6.m1.9.9.1.1.2.2.cmml"><msub id="S4.E6.m1.9.9.1.1.2.2.2" xref="S4.E6.m1.9.9.1.1.2.2.2.cmml"><mover accent="true" id="S4.E6.m1.9.9.1.1.2.2.2.2" xref="S4.E6.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.cmml"><mi id="S4.E6.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2" xref="S4.E6.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.cmml">𝐱</mi><mo id="S4.E6.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1" xref="S4.E6.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.cmml">~</mo></mover><mi id="S4.E6.m1.9.9.1.1.2.2.2.3" xref="S4.E6.m1.9.9.1.1.2.2.2.3.cmml">Q</mi></msub><mo id="S4.E6.m1.9.9.1.1.2.2.1" xref="S4.E6.m1.9.9.1.1.2.2.1.cmml">=</mo><mrow id="S4.E6.m1.9.9.1.1.2.2.3" xref="S4.E6.m1.9.9.1.1.2.2.3.cmml"><mrow id="S4.E6.m1.9.9.1.1.2.2.3.2" xref="S4.E6.m1.9.9.1.1.2.2.3.2.cmml"><mfrac id="S4.E6.m1.6.6" xref="S4.E6.m1.6.6.cmml"><mrow id="S4.E6.m1.5.5.1.1" xref="S4.E6.m1.5.5.1.2.cmml"><mo fence="true" id="S4.E6.m1.5.5.1.1.2" rspace="0em" xref="S4.E6.m1.5.5.1.2.1.cmml">∥</mo><msub id="S4.E6.m1.5.5.1.1.1" xref="S4.E6.m1.5.5.1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S4.E6.m1.5.5.1.1.1.2" xref="S4.E6.m1.5.5.1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.E6.m1.5.5.1.1.1.2.2" xref="S4.E6.m1.5.5.1.1.1.2.2.cmml">𝐱</mi><mo id="S4.E6.m1.5.5.1.1.1.2.1" xref="S4.E6.m1.5.5.1.1.1.2.1.cmml">~</mo></mover><mrow id="S4.E6.m1.5.5.1.1.1.3" xref="S4.E6.m1.5.5.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.E6.m1.5.5.1.1.1.3.2" xref="S4.E6.m1.5.5.1.1.1.3.2.cmml">Q</mi><mo id="S4.E6.m1.5.5.1.1.1.3.1" xref="S4.E6.m1.5.5.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mn id="S4.E6.m1.5.5.1.1.1.3.3" xref="S4.E6.m1.5.5.1.1.1.3.3.cmml">3</mn></mrow></msub><mo fence="true" id="S4.E6.m1.5.5.1.1.3" lspace="0em" xref="S4.E6.m1.5.5.1.2.1.cmml">∥</mo></mrow><mrow id="S4.E6.m1.6.6.2.1" xref="S4.E6.m1.6.6.2.2.cmml"><mo fence="true" id="S4.E6.m1.6.6.2.1.2" rspace="0em" xref="S4.E6.m1.6.6.2.2.1.cmml">∥</mo><msub id="S4.E6.m1.6.6.2.1.1" xref="S4.E6.m1.6.6.2.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S4.E6.m1.6.6.2.1.1.2" xref="S4.E6.m1.6.6.2.1.1.2.cmml"><mi id="S4.E6.m1.6.6.2.1.1.2.2" xref="S4.E6.m1.6.6.2.1.1.2.2.cmml">𝐱</mi><mo id="S4.E6.m1.6.6.2.1.1.2.1" xref="S4.E6.m1.6.6.2.1.1.2.1.cmml">~</mo></mover><mn id="S4.E6.m1.6.6.2.1.1.3" xref="S4.E6.m1.6.6.2.1.1.3.cmml">23</mn></msub><mo fence="true" id="S4.E6.m1.6.6.2.1.3" lspace="0em" xref="S4.E6.m1.6.6.2.2.1.cmml">∥</mo></mrow></mfrac><mo id="S4.E6.m1.9.9.1.1.2.2.3.2.1" xref="S4.E6.m1.9.9.1.1.2.2.3.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S4.E6.m1.9.9.1.1.2.2.3.2.2" 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id="S4.E6.m1.7.7.1.1.1.2.1" xref="S4.E6.m1.7.7.1.1.1.2.1.cmml">~</mo></mover><mrow id="S4.E6.m1.7.7.1.1.1.3" xref="S4.E6.m1.7.7.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.E6.m1.7.7.1.1.1.3.2" xref="S4.E6.m1.7.7.1.1.1.3.2.cmml">Q</mi><mo id="S4.E6.m1.7.7.1.1.1.3.1" xref="S4.E6.m1.7.7.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mn id="S4.E6.m1.7.7.1.1.1.3.3" xref="S4.E6.m1.7.7.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></mrow></msub><mo fence="true" id="S4.E6.m1.7.7.1.1.3" lspace="0em" xref="S4.E6.m1.7.7.1.2.1.cmml">∥</mo></mrow><mrow id="S4.E6.m1.8.8.2.1" xref="S4.E6.m1.8.8.2.2.cmml"><mo fence="true" id="S4.E6.m1.8.8.2.1.2" rspace="0em" xref="S4.E6.m1.8.8.2.2.1.cmml">∥</mo><msub id="S4.E6.m1.8.8.2.1.1" xref="S4.E6.m1.8.8.2.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S4.E6.m1.8.8.2.1.1.2" xref="S4.E6.m1.8.8.2.1.1.2.cmml"><mi id="S4.E6.m1.8.8.2.1.1.2.2" xref="S4.E6.m1.8.8.2.1.1.2.2.cmml">𝐱</mi><mo id="S4.E6.m1.8.8.2.1.1.2.1" xref="S4.E6.m1.8.8.2.1.1.2.1.cmml">~</mo></mover><mn id="S4.E6.m1.8.8.2.1.1.3" xref="S4.E6.m1.8.8.2.1.1.3.cmml">23</mn></msub><mo fence="true" id="S4.E6.m1.8.8.2.1.3" lspace="0em" xref="S4.E6.m1.8.8.2.2.1.cmml">∥</mo></mrow></mfrac><mo id="S4.E6.m1.9.9.1.1.2.2.3.3.1" xref="S4.E6.m1.9.9.1.1.2.2.3.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S4.E6.m1.9.9.1.1.2.2.3.3.2" xref="S4.E6.m1.9.9.1.1.2.2.3.3.2.cmml"><mover accent="true" id="S4.E6.m1.9.9.1.1.2.2.3.3.2.2" xref="S4.E6.m1.9.9.1.1.2.2.3.3.2.2.cmml"><mi id="S4.E6.m1.9.9.1.1.2.2.3.3.2.2.2" xref="S4.E6.m1.9.9.1.1.2.2.3.3.2.2.2.cmml">𝐱</mi><mo id="S4.E6.m1.9.9.1.1.2.2.3.3.2.2.1" xref="S4.E6.m1.9.9.1.1.2.2.3.3.2.2.1.cmml">~</mo></mover><mn id="S4.E6.m1.9.9.1.1.2.2.3.3.2.3" xref="S4.E6.m1.9.9.1.1.2.2.3.3.2.3.cmml">3</mn></msub></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.E6.m1.9.9.1.2" lspace="0em">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.E6.m1.9b"><apply id="S4.E6.m1.9.9.1.1.3.cmml" xref="S4.E6.m1.9.9.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E6.m1.9.9.1.1.3a.cmml" xref="S4.E6.m1.9.9.1.1.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S4.E6.m1.9.9.1.1.1.1.cmml" 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xref="S4.E6.m1.9.9.1.1.1.1.3.2.2.2.2">𝐱</ci></apply><cn id="S4.E6.m1.9.9.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.E6.m1.9.9.1.1.1.1.3.2.2.3">2</cn></apply></apply><apply id="S4.E6.m1.9.9.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.E6.m1.9.9.1.1.1.1.3.3"><times id="S4.E6.m1.9.9.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.E6.m1.9.9.1.1.1.1.3.3.1"></times><apply id="S4.E6.m1.4.4.cmml" xref="S4.E6.m1.4.4"><divide id="S4.E6.m1.4.4.3.cmml" xref="S4.E6.m1.4.4"></divide><apply id="S4.E6.m1.3.3.1.2.cmml" xref="S4.E6.m1.3.3.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S4.E6.m1.3.3.1.2.1.cmml" xref="S4.E6.m1.3.3.1.1.2">delimited-∥∥</csymbol><apply id="S4.E6.m1.3.3.1.1.1.cmml" xref="S4.E6.m1.3.3.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E6.m1.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E6.m1.3.3.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="S4.E6.m1.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E6.m1.3.3.1.1.1.2"><ci id="S4.E6.m1.3.3.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.E6.m1.3.3.1.1.1.2.1">~</ci><ci id="S4.E6.m1.3.3.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.E6.m1.3.3.1.1.1.2.2">𝐱</ci></apply><apply id="S4.E6.m1.3.3.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E6.m1.3.3.1.1.1.3"><times id="S4.E6.m1.3.3.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E6.m1.3.3.1.1.1.3.1"></times><ci id="S4.E6.m1.3.3.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.E6.m1.3.3.1.1.1.3.2">𝑃</ci><cn id="S4.E6.m1.3.3.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.E6.m1.3.3.1.1.1.3.3">2</cn></apply></apply></apply><apply id="S4.E6.m1.4.4.2.2.cmml" xref="S4.E6.m1.4.4.2.1"><csymbol cd="latexml" id="S4.E6.m1.4.4.2.2.1.cmml" xref="S4.E6.m1.4.4.2.1.2">delimited-∥∥</csymbol><apply id="S4.E6.m1.4.4.2.1.1.cmml" xref="S4.E6.m1.4.4.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E6.m1.4.4.2.1.1.1.cmml" xref="S4.E6.m1.4.4.2.1.1">subscript</csymbol><apply id="S4.E6.m1.4.4.2.1.1.2.cmml" xref="S4.E6.m1.4.4.2.1.1.2"><ci id="S4.E6.m1.4.4.2.1.1.2.1.cmml" xref="S4.E6.m1.4.4.2.1.1.2.1">~</ci><ci id="S4.E6.m1.4.4.2.1.1.2.2.cmml" xref="S4.E6.m1.4.4.2.1.1.2.2">𝐱</ci></apply><cn id="S4.E6.m1.4.4.2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.E6.m1.4.4.2.1.1.3">23</cn></apply></apply></apply><apply id="S4.E6.m1.9.9.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S4.E6.m1.9.9.1.1.1.1.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E6.m1.9.9.1.1.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="S4.E6.m1.9.9.1.1.1.1.3.3.2">subscript</csymbol><apply id="S4.E6.m1.9.9.1.1.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="S4.E6.m1.9.9.1.1.1.1.3.3.2.2"><ci id="S4.E6.m1.9.9.1.1.1.1.3.3.2.2.1.cmml" xref="S4.E6.m1.9.9.1.1.1.1.3.3.2.2.1">~</ci><ci id="S4.E6.m1.9.9.1.1.1.1.3.3.2.2.2.cmml" xref="S4.E6.m1.9.9.1.1.1.1.3.3.2.2.2">𝐱</ci></apply><cn id="S4.E6.m1.9.9.1.1.1.1.3.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.E6.m1.9.9.1.1.1.1.3.3.2.3">3</cn></apply></apply></apply></apply><apply id="S4.E6.m1.9.9.1.1.2.2.cmml" xref="S4.E6.m1.9.9.1.1.2.2"><eq id="S4.E6.m1.9.9.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.E6.m1.9.9.1.1.2.2.1"></eq><apply id="S4.E6.m1.9.9.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.E6.m1.9.9.1.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E6.m1.9.9.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S4.E6.m1.9.9.1.1.2.2.2">subscript</csymbol><apply id="S4.E6.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S4.E6.m1.9.9.1.1.2.2.2.2"><ci id="S4.E6.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.cmml" xref="S4.E6.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1">~</ci><ci id="S4.E6.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.E6.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2">𝐱</ci></apply><ci id="S4.E6.m1.9.9.1.1.2.2.2.3.cmml" xref="S4.E6.m1.9.9.1.1.2.2.2.3">𝑄</ci></apply><apply id="S4.E6.m1.9.9.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.E6.m1.9.9.1.1.2.2.3"><plus id="S4.E6.m1.9.9.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S4.E6.m1.9.9.1.1.2.2.3.1"></plus><apply id="S4.E6.m1.9.9.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S4.E6.m1.9.9.1.1.2.2.3.2"><times id="S4.E6.m1.9.9.1.1.2.2.3.2.1.cmml" xref="S4.E6.m1.9.9.1.1.2.2.3.2.1"></times><apply id="S4.E6.m1.6.6.cmml" xref="S4.E6.m1.6.6"><divide id="S4.E6.m1.6.6.3.cmml" xref="S4.E6.m1.6.6"></divide><apply id="S4.E6.m1.5.5.1.2.cmml" xref="S4.E6.m1.5.5.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S4.E6.m1.5.5.1.2.1.cmml" xref="S4.E6.m1.5.5.1.1.2">delimited-∥∥</csymbol><apply id="S4.E6.m1.5.5.1.1.1.cmml" xref="S4.E6.m1.5.5.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E6.m1.5.5.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E6.m1.5.5.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="S4.E6.m1.5.5.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E6.m1.5.5.1.1.1.2"><ci id="S4.E6.m1.5.5.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.E6.m1.5.5.1.1.1.2.1">~</ci><ci id="S4.E6.m1.5.5.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.E6.m1.5.5.1.1.1.2.2">𝐱</ci></apply><apply id="S4.E6.m1.5.5.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E6.m1.5.5.1.1.1.3"><times id="S4.E6.m1.5.5.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E6.m1.5.5.1.1.1.3.1"></times><ci id="S4.E6.m1.5.5.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.E6.m1.5.5.1.1.1.3.2">𝑄</ci><cn id="S4.E6.m1.5.5.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.E6.m1.5.5.1.1.1.3.3">3</cn></apply></apply></apply><apply id="S4.E6.m1.6.6.2.2.cmml" xref="S4.E6.m1.6.6.2.1"><csymbol cd="latexml" id="S4.E6.m1.6.6.2.2.1.cmml" xref="S4.E6.m1.6.6.2.1.2">delimited-∥∥</csymbol><apply id="S4.E6.m1.6.6.2.1.1.cmml" xref="S4.E6.m1.6.6.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E6.m1.6.6.2.1.1.1.cmml" xref="S4.E6.m1.6.6.2.1.1">subscript</csymbol><apply id="S4.E6.m1.6.6.2.1.1.2.cmml" xref="S4.E6.m1.6.6.2.1.1.2"><ci id="S4.E6.m1.6.6.2.1.1.2.1.cmml" xref="S4.E6.m1.6.6.2.1.1.2.1">~</ci><ci id="S4.E6.m1.6.6.2.1.1.2.2.cmml" xref="S4.E6.m1.6.6.2.1.1.2.2">𝐱</ci></apply><cn id="S4.E6.m1.6.6.2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.E6.m1.6.6.2.1.1.3">23</cn></apply></apply></apply><apply id="S4.E6.m1.9.9.1.1.2.2.3.2.2.cmml" xref="S4.E6.m1.9.9.1.1.2.2.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E6.m1.9.9.1.1.2.2.3.2.2.1.cmml" xref="S4.E6.m1.9.9.1.1.2.2.3.2.2">subscript</csymbol><apply id="S4.E6.m1.9.9.1.1.2.2.3.2.2.2.cmml" xref="S4.E6.m1.9.9.1.1.2.2.3.2.2.2"><ci id="S4.E6.m1.9.9.1.1.2.2.3.2.2.2.1.cmml" xref="S4.E6.m1.9.9.1.1.2.2.3.2.2.2.1">~</ci><ci id="S4.E6.m1.9.9.1.1.2.2.3.2.2.2.2.cmml" xref="S4.E6.m1.9.9.1.1.2.2.3.2.2.2.2">𝐱</ci></apply><cn id="S4.E6.m1.9.9.1.1.2.2.3.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.E6.m1.9.9.1.1.2.2.3.2.2.3">2</cn></apply></apply><apply id="S4.E6.m1.9.9.1.1.2.2.3.3.cmml" xref="S4.E6.m1.9.9.1.1.2.2.3.3"><times id="S4.E6.m1.9.9.1.1.2.2.3.3.1.cmml" xref="S4.E6.m1.9.9.1.1.2.2.3.3.1"></times><apply id="S4.E6.m1.8.8.cmml" 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xref="S4.E6.m1.8.8.2.1"><csymbol cd="latexml" id="S4.E6.m1.8.8.2.2.1.cmml" xref="S4.E6.m1.8.8.2.1.2">delimited-∥∥</csymbol><apply id="S4.E6.m1.8.8.2.1.1.cmml" xref="S4.E6.m1.8.8.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E6.m1.8.8.2.1.1.1.cmml" xref="S4.E6.m1.8.8.2.1.1">subscript</csymbol><apply id="S4.E6.m1.8.8.2.1.1.2.cmml" xref="S4.E6.m1.8.8.2.1.1.2"><ci id="S4.E6.m1.8.8.2.1.1.2.1.cmml" xref="S4.E6.m1.8.8.2.1.1.2.1">~</ci><ci id="S4.E6.m1.8.8.2.1.1.2.2.cmml" xref="S4.E6.m1.8.8.2.1.1.2.2">𝐱</ci></apply><cn id="S4.E6.m1.8.8.2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.E6.m1.8.8.2.1.1.3">23</cn></apply></apply></apply><apply id="S4.E6.m1.9.9.1.1.2.2.3.3.2.cmml" xref="S4.E6.m1.9.9.1.1.2.2.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E6.m1.9.9.1.1.2.2.3.3.2.1.cmml" xref="S4.E6.m1.9.9.1.1.2.2.3.3.2">subscript</csymbol><apply id="S4.E6.m1.9.9.1.1.2.2.3.3.2.2.cmml" xref="S4.E6.m1.9.9.1.1.2.2.3.3.2.2"><ci id="S4.E6.m1.9.9.1.1.2.2.3.3.2.2.1.cmml" xref="S4.E6.m1.9.9.1.1.2.2.3.3.2.2.1">~</ci><ci id="S4.E6.m1.9.9.1.1.2.2.3.3.2.2.2.cmml" xref="S4.E6.m1.9.9.1.1.2.2.3.3.2.2.2">𝐱</ci></apply><cn id="S4.E6.m1.9.9.1.1.2.2.3.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.E6.m1.9.9.1.1.2.2.3.3.2.3">3</cn></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.E6.m1.9c">\tilde{\mathbf{x}}_{P}=\frac{\lVert\tilde{\mathbf{x}}_{P3}\rVert}{\lVert\tilde% {\mathbf{x}}_{23}\rVert}\tilde{\mathbf{x}}_{2}+\frac{\lVert\tilde{\mathbf{x}}_% {P2}\rVert}{\lVert\tilde{\mathbf{x}}_{23}\rVert}\tilde{\mathbf{x}}_{3},\ % \tilde{\mathbf{x}}_{Q}=\frac{\lVert\tilde{\mathbf{x}}_{Q3}\rVert}{\lVert\tilde% {\mathbf{x}}_{23}\rVert}\tilde{\mathbf{x}}_{2}+\frac{\lVert\tilde{\mathbf{x}}_% {Q2}\rVert}{\lVert\tilde{\mathbf{x}}_{23}\rVert}\tilde{\mathbf{x}}_{3}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.E6.m1.9d">over~ start_ARG bold_x end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_P end_POSTSUBSCRIPT = divide start_ARG ∥ over~ start_ARG bold_x end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_P 3 end_POSTSUBSCRIPT ∥ end_ARG start_ARG ∥ over~ start_ARG bold_x end_ARG start_POSTSUBSCRIPT 23 end_POSTSUBSCRIPT ∥ end_ARG over~ start_ARG bold_x end_ARG start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT + divide start_ARG ∥ over~ start_ARG bold_x end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_P 2 end_POSTSUBSCRIPT ∥ end_ARG start_ARG ∥ over~ start_ARG bold_x end_ARG start_POSTSUBSCRIPT 23 end_POSTSUBSCRIPT ∥ end_ARG over~ start_ARG bold_x end_ARG start_POSTSUBSCRIPT 3 end_POSTSUBSCRIPT , over~ start_ARG bold_x end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_Q end_POSTSUBSCRIPT = divide start_ARG ∥ over~ start_ARG bold_x end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_Q 3 end_POSTSUBSCRIPT ∥ end_ARG start_ARG ∥ over~ start_ARG bold_x end_ARG start_POSTSUBSCRIPT 23 end_POSTSUBSCRIPT ∥ end_ARG over~ start_ARG bold_x end_ARG start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT + divide start_ARG ∥ over~ start_ARG bold_x end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_Q 2 end_POSTSUBSCRIPT ∥ end_ARG start_ARG ∥ over~ start_ARG bold_x end_ARG start_POSTSUBSCRIPT 23 end_POSTSUBSCRIPT ∥ end_ARG over~ start_ARG bold_x end_ARG start_POSTSUBSCRIPT 3 end_POSTSUBSCRIPT .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(6)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S4.SS3.p1.21">Under the small strain assumption, these perpendicular feet in Eq. (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2502.10872v4#S4.E6" title="In 4.3 Corotational edge-based hinge bending model ‣ 4 Geometric Discretization ‣ Corotational Hinge-based Thin Plates/Shells"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">6</span></a>) can be approximated as</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S4.E7"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\tilde{\mathbf{x}}_{P}=\frac{\lVert\tilde{\mathbf{X}}_{P3}\rVert}{\lVert\tilde% {\mathbf{X}}_{23}\rVert}\tilde{\mathbf{x}}_{2}+\frac{\lVert\tilde{\mathbf{X}}_% {P2}\rVert}{\lVert\tilde{\mathbf{X}}_{23}\rVert}\tilde{\mathbf{x}}_{3},\ % \tilde{\mathbf{x}}_{Q}=\frac{\lVert\tilde{\mathbf{X}}_{Q3}\rVert}{\lVert\tilde% {\mathbf{X}}_{23}\rVert}\tilde{\mathbf{x}}_{2}+\frac{\lVert\tilde{\mathbf{X}}_% {Q2}\rVert}{\lVert\tilde{\mathbf{X}}_{23}\rVert}\tilde{\mathbf{x}}_{3}," class="ltx_Math" display="block" id="S4.E7.m1.9"><semantics id="S4.E7.m1.9a"><mrow id="S4.E7.m1.9.9.1"><mrow id="S4.E7.m1.9.9.1.1.2" xref="S4.E7.m1.9.9.1.1.3.cmml"><mrow id="S4.E7.m1.9.9.1.1.1.1" xref="S4.E7.m1.9.9.1.1.1.1.cmml"><msub id="S4.E7.m1.9.9.1.1.1.1.2" xref="S4.E7.m1.9.9.1.1.1.1.2.cmml"><mover accent="true" id="S4.E7.m1.9.9.1.1.1.1.2.2" xref="S4.E7.m1.9.9.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S4.E7.m1.9.9.1.1.1.1.2.2.2" xref="S4.E7.m1.9.9.1.1.1.1.2.2.2.cmml">𝐱</mi><mo id="S4.E7.m1.9.9.1.1.1.1.2.2.1" xref="S4.E7.m1.9.9.1.1.1.1.2.2.1.cmml">~</mo></mover><mi id="S4.E7.m1.9.9.1.1.1.1.2.3" xref="S4.E7.m1.9.9.1.1.1.1.2.3.cmml">P</mi></msub><mo id="S4.E7.m1.9.9.1.1.1.1.1" xref="S4.E7.m1.9.9.1.1.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S4.E7.m1.9.9.1.1.1.1.3" xref="S4.E7.m1.9.9.1.1.1.1.3.cmml"><mrow id="S4.E7.m1.9.9.1.1.1.1.3.2" xref="S4.E7.m1.9.9.1.1.1.1.3.2.cmml"><mfrac id="S4.E7.m1.2.2" xref="S4.E7.m1.2.2.cmml"><mrow id="S4.E7.m1.1.1.1.1" xref="S4.E7.m1.1.1.1.2.cmml"><mo fence="true" id="S4.E7.m1.1.1.1.1.2" rspace="0em" xref="S4.E7.m1.1.1.1.2.1.cmml">∥</mo><msub id="S4.E7.m1.1.1.1.1.1" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S4.E7.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.E7.m1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">𝐗</mi><mo id="S4.E7.m1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">~</mo></mover><mrow id="S4.E7.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.E7.m1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">P</mi><mo id="S4.E7.m1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mn id="S4.E7.m1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">3</mn></mrow></msub><mo fence="true" id="S4.E7.m1.1.1.1.1.3" lspace="0em" xref="S4.E7.m1.1.1.1.2.1.cmml">∥</mo></mrow><mrow id="S4.E7.m1.2.2.2.1" xref="S4.E7.m1.2.2.2.2.cmml"><mo fence="true" id="S4.E7.m1.2.2.2.1.2" rspace="0em" xref="S4.E7.m1.2.2.2.2.1.cmml">∥</mo><msub id="S4.E7.m1.2.2.2.1.1" xref="S4.E7.m1.2.2.2.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S4.E7.m1.2.2.2.1.1.2" xref="S4.E7.m1.2.2.2.1.1.2.cmml"><mi id="S4.E7.m1.2.2.2.1.1.2.2" xref="S4.E7.m1.2.2.2.1.1.2.2.cmml">𝐗</mi><mo id="S4.E7.m1.2.2.2.1.1.2.1" xref="S4.E7.m1.2.2.2.1.1.2.1.cmml">~</mo></mover><mn id="S4.E7.m1.2.2.2.1.1.3" xref="S4.E7.m1.2.2.2.1.1.3.cmml">23</mn></msub><mo fence="true" id="S4.E7.m1.2.2.2.1.3" lspace="0em" xref="S4.E7.m1.2.2.2.2.1.cmml">∥</mo></mrow></mfrac><mo id="S4.E7.m1.9.9.1.1.1.1.3.2.1" xref="S4.E7.m1.9.9.1.1.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S4.E7.m1.9.9.1.1.1.1.3.2.2" xref="S4.E7.m1.9.9.1.1.1.1.3.2.2.cmml"><mover accent="true" id="S4.E7.m1.9.9.1.1.1.1.3.2.2.2" xref="S4.E7.m1.9.9.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml"><mi id="S4.E7.m1.9.9.1.1.1.1.3.2.2.2.2" xref="S4.E7.m1.9.9.1.1.1.1.3.2.2.2.2.cmml">𝐱</mi><mo id="S4.E7.m1.9.9.1.1.1.1.3.2.2.2.1" xref="S4.E7.m1.9.9.1.1.1.1.3.2.2.2.1.cmml">~</mo></mover><mn id="S4.E7.m1.9.9.1.1.1.1.3.2.2.3" xref="S4.E7.m1.9.9.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml">2</mn></msub></mrow><mo id="S4.E7.m1.9.9.1.1.1.1.3.1" xref="S4.E7.m1.9.9.1.1.1.1.3.1.cmml">+</mo><mrow id="S4.E7.m1.9.9.1.1.1.1.3.3" xref="S4.E7.m1.9.9.1.1.1.1.3.3.cmml"><mfrac id="S4.E7.m1.4.4" xref="S4.E7.m1.4.4.cmml"><mrow id="S4.E7.m1.3.3.1.1" xref="S4.E7.m1.3.3.1.2.cmml"><mo fence="true" id="S4.E7.m1.3.3.1.1.2" rspace="0em" xref="S4.E7.m1.3.3.1.2.1.cmml">∥</mo><msub id="S4.E7.m1.3.3.1.1.1" xref="S4.E7.m1.3.3.1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S4.E7.m1.3.3.1.1.1.2" xref="S4.E7.m1.3.3.1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.E7.m1.3.3.1.1.1.2.2" xref="S4.E7.m1.3.3.1.1.1.2.2.cmml">𝐗</mi><mo id="S4.E7.m1.3.3.1.1.1.2.1" xref="S4.E7.m1.3.3.1.1.1.2.1.cmml">~</mo></mover><mrow id="S4.E7.m1.3.3.1.1.1.3" xref="S4.E7.m1.3.3.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.E7.m1.3.3.1.1.1.3.2" xref="S4.E7.m1.3.3.1.1.1.3.2.cmml">P</mi><mo id="S4.E7.m1.3.3.1.1.1.3.1" xref="S4.E7.m1.3.3.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mn id="S4.E7.m1.3.3.1.1.1.3.3" xref="S4.E7.m1.3.3.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></mrow></msub><mo fence="true" id="S4.E7.m1.3.3.1.1.3" lspace="0em" xref="S4.E7.m1.3.3.1.2.1.cmml">∥</mo></mrow><mrow id="S4.E7.m1.4.4.2.1" xref="S4.E7.m1.4.4.2.2.cmml"><mo fence="true" id="S4.E7.m1.4.4.2.1.2" rspace="0em" xref="S4.E7.m1.4.4.2.2.1.cmml">∥</mo><msub id="S4.E7.m1.4.4.2.1.1" xref="S4.E7.m1.4.4.2.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S4.E7.m1.4.4.2.1.1.2" xref="S4.E7.m1.4.4.2.1.1.2.cmml"><mi id="S4.E7.m1.4.4.2.1.1.2.2" xref="S4.E7.m1.4.4.2.1.1.2.2.cmml">𝐗</mi><mo id="S4.E7.m1.4.4.2.1.1.2.1" xref="S4.E7.m1.4.4.2.1.1.2.1.cmml">~</mo></mover><mn id="S4.E7.m1.4.4.2.1.1.3" xref="S4.E7.m1.4.4.2.1.1.3.cmml">23</mn></msub><mo fence="true" id="S4.E7.m1.4.4.2.1.3" lspace="0em" xref="S4.E7.m1.4.4.2.2.1.cmml">∥</mo></mrow></mfrac><mo id="S4.E7.m1.9.9.1.1.1.1.3.3.1" xref="S4.E7.m1.9.9.1.1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S4.E7.m1.9.9.1.1.1.1.3.3.2" xref="S4.E7.m1.9.9.1.1.1.1.3.3.2.cmml"><mover accent="true" id="S4.E7.m1.9.9.1.1.1.1.3.3.2.2" xref="S4.E7.m1.9.9.1.1.1.1.3.3.2.2.cmml"><mi id="S4.E7.m1.9.9.1.1.1.1.3.3.2.2.2" xref="S4.E7.m1.9.9.1.1.1.1.3.3.2.2.2.cmml">𝐱</mi><mo id="S4.E7.m1.9.9.1.1.1.1.3.3.2.2.1" xref="S4.E7.m1.9.9.1.1.1.1.3.3.2.2.1.cmml">~</mo></mover><mn id="S4.E7.m1.9.9.1.1.1.1.3.3.2.3" xref="S4.E7.m1.9.9.1.1.1.1.3.3.2.3.cmml">3</mn></msub></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.E7.m1.9.9.1.1.2.3" rspace="0.667em" xref="S4.E7.m1.9.9.1.1.3a.cmml">,</mo><mrow id="S4.E7.m1.9.9.1.1.2.2" xref="S4.E7.m1.9.9.1.1.2.2.cmml"><msub id="S4.E7.m1.9.9.1.1.2.2.2" xref="S4.E7.m1.9.9.1.1.2.2.2.cmml"><mover accent="true" id="S4.E7.m1.9.9.1.1.2.2.2.2" xref="S4.E7.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.cmml"><mi id="S4.E7.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2" xref="S4.E7.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.cmml">𝐱</mi><mo id="S4.E7.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1" xref="S4.E7.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.cmml">~</mo></mover><mi id="S4.E7.m1.9.9.1.1.2.2.2.3" xref="S4.E7.m1.9.9.1.1.2.2.2.3.cmml">Q</mi></msub><mo id="S4.E7.m1.9.9.1.1.2.2.1" xref="S4.E7.m1.9.9.1.1.2.2.1.cmml">=</mo><mrow id="S4.E7.m1.9.9.1.1.2.2.3" xref="S4.E7.m1.9.9.1.1.2.2.3.cmml"><mrow id="S4.E7.m1.9.9.1.1.2.2.3.2" xref="S4.E7.m1.9.9.1.1.2.2.3.2.cmml"><mfrac id="S4.E7.m1.6.6" xref="S4.E7.m1.6.6.cmml"><mrow id="S4.E7.m1.5.5.1.1" xref="S4.E7.m1.5.5.1.2.cmml"><mo fence="true" id="S4.E7.m1.5.5.1.1.2" rspace="0em" xref="S4.E7.m1.5.5.1.2.1.cmml">∥</mo><msub id="S4.E7.m1.5.5.1.1.1" xref="S4.E7.m1.5.5.1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S4.E7.m1.5.5.1.1.1.2" xref="S4.E7.m1.5.5.1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.E7.m1.5.5.1.1.1.2.2" xref="S4.E7.m1.5.5.1.1.1.2.2.cmml">𝐗</mi><mo id="S4.E7.m1.5.5.1.1.1.2.1" xref="S4.E7.m1.5.5.1.1.1.2.1.cmml">~</mo></mover><mrow id="S4.E7.m1.5.5.1.1.1.3" xref="S4.E7.m1.5.5.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.E7.m1.5.5.1.1.1.3.2" xref="S4.E7.m1.5.5.1.1.1.3.2.cmml">Q</mi><mo id="S4.E7.m1.5.5.1.1.1.3.1" xref="S4.E7.m1.5.5.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mn id="S4.E7.m1.5.5.1.1.1.3.3" xref="S4.E7.m1.5.5.1.1.1.3.3.cmml">3</mn></mrow></msub><mo fence="true" id="S4.E7.m1.5.5.1.1.3" lspace="0em" xref="S4.E7.m1.5.5.1.2.1.cmml">∥</mo></mrow><mrow id="S4.E7.m1.6.6.2.1" xref="S4.E7.m1.6.6.2.2.cmml"><mo fence="true" id="S4.E7.m1.6.6.2.1.2" rspace="0em" xref="S4.E7.m1.6.6.2.2.1.cmml">∥</mo><msub id="S4.E7.m1.6.6.2.1.1" xref="S4.E7.m1.6.6.2.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S4.E7.m1.6.6.2.1.1.2" xref="S4.E7.m1.6.6.2.1.1.2.cmml"><mi id="S4.E7.m1.6.6.2.1.1.2.2" xref="S4.E7.m1.6.6.2.1.1.2.2.cmml">𝐗</mi><mo id="S4.E7.m1.6.6.2.1.1.2.1" xref="S4.E7.m1.6.6.2.1.1.2.1.cmml">~</mo></mover><mn id="S4.E7.m1.6.6.2.1.1.3" xref="S4.E7.m1.6.6.2.1.1.3.cmml">23</mn></msub><mo fence="true" id="S4.E7.m1.6.6.2.1.3" lspace="0em" xref="S4.E7.m1.6.6.2.2.1.cmml">∥</mo></mrow></mfrac><mo id="S4.E7.m1.9.9.1.1.2.2.3.2.1" xref="S4.E7.m1.9.9.1.1.2.2.3.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S4.E7.m1.9.9.1.1.2.2.3.2.2" xref="S4.E7.m1.9.9.1.1.2.2.3.2.2.cmml"><mover accent="true" id="S4.E7.m1.9.9.1.1.2.2.3.2.2.2" xref="S4.E7.m1.9.9.1.1.2.2.3.2.2.2.cmml"><mi id="S4.E7.m1.9.9.1.1.2.2.3.2.2.2.2" xref="S4.E7.m1.9.9.1.1.2.2.3.2.2.2.2.cmml">𝐱</mi><mo id="S4.E7.m1.9.9.1.1.2.2.3.2.2.2.1" xref="S4.E7.m1.9.9.1.1.2.2.3.2.2.2.1.cmml">~</mo></mover><mn id="S4.E7.m1.9.9.1.1.2.2.3.2.2.3" xref="S4.E7.m1.9.9.1.1.2.2.3.2.2.3.cmml">2</mn></msub></mrow><mo id="S4.E7.m1.9.9.1.1.2.2.3.1" xref="S4.E7.m1.9.9.1.1.2.2.3.1.cmml">+</mo><mrow id="S4.E7.m1.9.9.1.1.2.2.3.3" xref="S4.E7.m1.9.9.1.1.2.2.3.3.cmml"><mfrac id="S4.E7.m1.8.8" xref="S4.E7.m1.8.8.cmml"><mrow id="S4.E7.m1.7.7.1.1" xref="S4.E7.m1.7.7.1.2.cmml"><mo fence="true" id="S4.E7.m1.7.7.1.1.2" rspace="0em" xref="S4.E7.m1.7.7.1.2.1.cmml">∥</mo><msub id="S4.E7.m1.7.7.1.1.1" xref="S4.E7.m1.7.7.1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S4.E7.m1.7.7.1.1.1.2" xref="S4.E7.m1.7.7.1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.E7.m1.7.7.1.1.1.2.2" xref="S4.E7.m1.7.7.1.1.1.2.2.cmml">𝐗</mi><mo id="S4.E7.m1.7.7.1.1.1.2.1" xref="S4.E7.m1.7.7.1.1.1.2.1.cmml">~</mo></mover><mrow id="S4.E7.m1.7.7.1.1.1.3" xref="S4.E7.m1.7.7.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.E7.m1.7.7.1.1.1.3.2" xref="S4.E7.m1.7.7.1.1.1.3.2.cmml">Q</mi><mo id="S4.E7.m1.7.7.1.1.1.3.1" xref="S4.E7.m1.7.7.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mn id="S4.E7.m1.7.7.1.1.1.3.3" xref="S4.E7.m1.7.7.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></mrow></msub><mo fence="true" id="S4.E7.m1.7.7.1.1.3" lspace="0em" xref="S4.E7.m1.7.7.1.2.1.cmml">∥</mo></mrow><mrow id="S4.E7.m1.8.8.2.1" xref="S4.E7.m1.8.8.2.2.cmml"><mo fence="true" id="S4.E7.m1.8.8.2.1.2" rspace="0em" xref="S4.E7.m1.8.8.2.2.1.cmml">∥</mo><msub id="S4.E7.m1.8.8.2.1.1" xref="S4.E7.m1.8.8.2.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S4.E7.m1.8.8.2.1.1.2" xref="S4.E7.m1.8.8.2.1.1.2.cmml"><mi id="S4.E7.m1.8.8.2.1.1.2.2" xref="S4.E7.m1.8.8.2.1.1.2.2.cmml">𝐗</mi><mo id="S4.E7.m1.8.8.2.1.1.2.1" xref="S4.E7.m1.8.8.2.1.1.2.1.cmml">~</mo></mover><mn id="S4.E7.m1.8.8.2.1.1.3" xref="S4.E7.m1.8.8.2.1.1.3.cmml">23</mn></msub><mo fence="true" id="S4.E7.m1.8.8.2.1.3" lspace="0em" xref="S4.E7.m1.8.8.2.2.1.cmml">∥</mo></mrow></mfrac><mo id="S4.E7.m1.9.9.1.1.2.2.3.3.1" xref="S4.E7.m1.9.9.1.1.2.2.3.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S4.E7.m1.9.9.1.1.2.2.3.3.2" xref="S4.E7.m1.9.9.1.1.2.2.3.3.2.cmml"><mover accent="true" id="S4.E7.m1.9.9.1.1.2.2.3.3.2.2" xref="S4.E7.m1.9.9.1.1.2.2.3.3.2.2.cmml"><mi id="S4.E7.m1.9.9.1.1.2.2.3.3.2.2.2" xref="S4.E7.m1.9.9.1.1.2.2.3.3.2.2.2.cmml">𝐱</mi><mo id="S4.E7.m1.9.9.1.1.2.2.3.3.2.2.1" xref="S4.E7.m1.9.9.1.1.2.2.3.3.2.2.1.cmml">~</mo></mover><mn id="S4.E7.m1.9.9.1.1.2.2.3.3.2.3" xref="S4.E7.m1.9.9.1.1.2.2.3.3.2.3.cmml">3</mn></msub></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.E7.m1.9.9.1.2">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.E7.m1.9b"><apply id="S4.E7.m1.9.9.1.1.3.cmml" xref="S4.E7.m1.9.9.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E7.m1.9.9.1.1.3a.cmml" xref="S4.E7.m1.9.9.1.1.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S4.E7.m1.9.9.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E7.m1.9.9.1.1.1.1"><eq id="S4.E7.m1.9.9.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E7.m1.9.9.1.1.1.1.1"></eq><apply id="S4.E7.m1.9.9.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E7.m1.9.9.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E7.m1.9.9.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.E7.m1.9.9.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><apply id="S4.E7.m1.9.9.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.E7.m1.9.9.1.1.1.1.2.2"><ci id="S4.E7.m1.9.9.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.E7.m1.9.9.1.1.1.1.2.2.1">~</ci><ci id="S4.E7.m1.9.9.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.E7.m1.9.9.1.1.1.1.2.2.2">𝐱</ci></apply><ci id="S4.E7.m1.9.9.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.E7.m1.9.9.1.1.1.1.2.3">𝑃</ci></apply><apply id="S4.E7.m1.9.9.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E7.m1.9.9.1.1.1.1.3"><plus id="S4.E7.m1.9.9.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E7.m1.9.9.1.1.1.1.3.1"></plus><apply id="S4.E7.m1.9.9.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.E7.m1.9.9.1.1.1.1.3.2"><times id="S4.E7.m1.9.9.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.E7.m1.9.9.1.1.1.1.3.2.1"></times><apply id="S4.E7.m1.2.2.cmml" xref="S4.E7.m1.2.2"><divide id="S4.E7.m1.2.2.3.cmml" xref="S4.E7.m1.2.2"></divide><apply id="S4.E7.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S4.E7.m1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.2">delimited-∥∥</csymbol><apply id="S4.E7.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E7.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="S4.E7.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.1.2"><ci id="S4.E7.m1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.1.2.1">~</ci><ci id="S4.E7.m1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.1.2.2">𝐗</ci></apply><apply id="S4.E7.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.1.3"><times id="S4.E7.m1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.1.3.1"></times><ci id="S4.E7.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.1.3.2">𝑃</ci><cn id="S4.E7.m1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.1.3.3">3</cn></apply></apply></apply><apply id="S4.E7.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S4.E7.m1.2.2.2.1"><csymbol cd="latexml" id="S4.E7.m1.2.2.2.2.1.cmml" xref="S4.E7.m1.2.2.2.1.2">delimited-∥∥</csymbol><apply id="S4.E7.m1.2.2.2.1.1.cmml" xref="S4.E7.m1.2.2.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E7.m1.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S4.E7.m1.2.2.2.1.1">subscript</csymbol><apply id="S4.E7.m1.2.2.2.1.1.2.cmml" xref="S4.E7.m1.2.2.2.1.1.2"><ci id="S4.E7.m1.2.2.2.1.1.2.1.cmml" xref="S4.E7.m1.2.2.2.1.1.2.1">~</ci><ci id="S4.E7.m1.2.2.2.1.1.2.2.cmml" xref="S4.E7.m1.2.2.2.1.1.2.2">𝐗</ci></apply><cn id="S4.E7.m1.2.2.2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.E7.m1.2.2.2.1.1.3">23</cn></apply></apply></apply><apply id="S4.E7.m1.9.9.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.E7.m1.9.9.1.1.1.1.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E7.m1.9.9.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S4.E7.m1.9.9.1.1.1.1.3.2.2">subscript</csymbol><apply id="S4.E7.m1.9.9.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S4.E7.m1.9.9.1.1.1.1.3.2.2.2"><ci id="S4.E7.m1.9.9.1.1.1.1.3.2.2.2.1.cmml" xref="S4.E7.m1.9.9.1.1.1.1.3.2.2.2.1">~</ci><ci id="S4.E7.m1.9.9.1.1.1.1.3.2.2.2.2.cmml" xref="S4.E7.m1.9.9.1.1.1.1.3.2.2.2.2">𝐱</ci></apply><cn id="S4.E7.m1.9.9.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.E7.m1.9.9.1.1.1.1.3.2.2.3">2</cn></apply></apply><apply id="S4.E7.m1.9.9.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.E7.m1.9.9.1.1.1.1.3.3"><times id="S4.E7.m1.9.9.1.1.1.1.3.3.1.cmml" 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end_POSTSUBSCRIPT ∥ end_ARG start_ARG ∥ over~ start_ARG bold_X end_ARG start_POSTSUBSCRIPT 23 end_POSTSUBSCRIPT ∥ end_ARG over~ start_ARG bold_x end_ARG start_POSTSUBSCRIPT 3 end_POSTSUBSCRIPT , over~ start_ARG bold_x end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_Q end_POSTSUBSCRIPT = divide start_ARG ∥ over~ start_ARG bold_X end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_Q 3 end_POSTSUBSCRIPT ∥ end_ARG start_ARG ∥ over~ start_ARG bold_X end_ARG start_POSTSUBSCRIPT 23 end_POSTSUBSCRIPT ∥ end_ARG over~ start_ARG bold_x end_ARG start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT + divide start_ARG ∥ over~ start_ARG bold_X end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_Q 2 end_POSTSUBSCRIPT ∥ end_ARG start_ARG ∥ over~ start_ARG bold_X end_ARG start_POSTSUBSCRIPT 23 end_POSTSUBSCRIPT ∥ end_ARG over~ start_ARG bold_x end_ARG start_POSTSUBSCRIPT 3 end_POSTSUBSCRIPT ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" 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end_POSTSUBSCRIPT / ∥ bold_n start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT ∥</annotation></semantics></math> is the direction of the <math alttext="\tilde{z}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS3.p1.12.m2.1"><semantics id="S4.SS3.p1.12.m2.1a"><mover accent="true" id="S4.SS3.p1.12.m2.1.1" xref="S4.SS3.p1.12.m2.1.1.cmml"><mi id="S4.SS3.p1.12.m2.1.1.2" xref="S4.SS3.p1.12.m2.1.1.2.cmml">z</mi><mo id="S4.SS3.p1.12.m2.1.1.1" xref="S4.SS3.p1.12.m2.1.1.1.cmml">~</mo></mover><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS3.p1.12.m2.1b"><apply id="S4.SS3.p1.12.m2.1.1.cmml" xref="S4.SS3.p1.12.m2.1.1"><ci id="S4.SS3.p1.12.m2.1.1.1.cmml" xref="S4.SS3.p1.12.m2.1.1.1">~</ci><ci id="S4.SS3.p1.12.m2.1.1.2.cmml" xref="S4.SS3.p1.12.m2.1.1.2">𝑧</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS3.p1.12.m2.1c">\tilde{z}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS3.p1.12.m2.1d">over~ start_ARG italic_z end_ARG</annotation></semantics></math>-axis, with <math alttext="\mathbf{n}_{c}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS3.p1.13.m3.1"><semantics id="S4.SS3.p1.13.m3.1a"><msub id="S4.SS3.p1.13.m3.1.1" xref="S4.SS3.p1.13.m3.1.1.cmml"><mi id="S4.SS3.p1.13.m3.1.1.2" xref="S4.SS3.p1.13.m3.1.1.2.cmml">𝐧</mi><mi id="S4.SS3.p1.13.m3.1.1.3" xref="S4.SS3.p1.13.m3.1.1.3.cmml">c</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS3.p1.13.m3.1b"><apply id="S4.SS3.p1.13.m3.1.1.cmml" xref="S4.SS3.p1.13.m3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS3.p1.13.m3.1.1.1.cmml" xref="S4.SS3.p1.13.m3.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.SS3.p1.13.m3.1.1.2.cmml" xref="S4.SS3.p1.13.m3.1.1.2">𝐧</ci><ci id="S4.SS3.p1.13.m3.1.1.3.cmml" xref="S4.SS3.p1.13.m3.1.1.3">𝑐</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS3.p1.13.m3.1c">\mathbf{n}_{c}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS3.p1.13.m3.1d">bold_n start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> expressed as</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S4.E8"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\mathbf{n}_{c}=\frac{\mathbf{x}_{P1}}{\lVert\mathbf{x}_{P1}\rVert}+\frac{% \mathbf{x}_{Q4}}{\lVert\mathbf{x}_{Q4}\rVert}." class="ltx_Math" display="block" id="S4.E8.m1.3"><semantics id="S4.E8.m1.3a"><mrow id="S4.E8.m1.3.3.1" xref="S4.E8.m1.3.3.1.1.cmml"><mrow id="S4.E8.m1.3.3.1.1" xref="S4.E8.m1.3.3.1.1.cmml"><msub id="S4.E8.m1.3.3.1.1.2" xref="S4.E8.m1.3.3.1.1.2.cmml"><mi id="S4.E8.m1.3.3.1.1.2.2" xref="S4.E8.m1.3.3.1.1.2.2.cmml">𝐧</mi><mi id="S4.E8.m1.3.3.1.1.2.3" xref="S4.E8.m1.3.3.1.1.2.3.cmml">c</mi></msub><mo id="S4.E8.m1.3.3.1.1.1" xref="S4.E8.m1.3.3.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S4.E8.m1.3.3.1.1.3" xref="S4.E8.m1.3.3.1.1.3.cmml"><mfrac id="S4.E8.m1.1.1" xref="S4.E8.m1.1.1.cmml"><msub 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id="S4.E8.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E8.m1.1.1.1.1.1.3"><times id="S4.E8.m1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E8.m1.1.1.1.1.1.3.1"></times><ci id="S4.E8.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.E8.m1.1.1.1.1.1.3.2">𝑃</ci><cn id="S4.E8.m1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.E8.m1.1.1.1.1.1.3.3">1</cn></apply></apply></apply></apply><apply id="S4.E8.m1.2.2.cmml" xref="S4.E8.m1.2.2"><divide id="S4.E8.m1.2.2.2.cmml" xref="S4.E8.m1.2.2"></divide><apply id="S4.E8.m1.2.2.3.cmml" xref="S4.E8.m1.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E8.m1.2.2.3.1.cmml" xref="S4.E8.m1.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S4.E8.m1.2.2.3.2.cmml" xref="S4.E8.m1.2.2.3.2">𝐱</ci><apply id="S4.E8.m1.2.2.3.3.cmml" xref="S4.E8.m1.2.2.3.3"><times id="S4.E8.m1.2.2.3.3.1.cmml" xref="S4.E8.m1.2.2.3.3.1"></times><ci id="S4.E8.m1.2.2.3.3.2.cmml" xref="S4.E8.m1.2.2.3.3.2">𝑄</ci><cn id="S4.E8.m1.2.2.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.E8.m1.2.2.3.3.3">4</cn></apply></apply><apply id="S4.E8.m1.2.2.1.2.cmml" 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start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT = divide start_ARG bold_x start_POSTSUBSCRIPT italic_P 1 end_POSTSUBSCRIPT end_ARG start_ARG ∥ bold_x start_POSTSUBSCRIPT italic_P 1 end_POSTSUBSCRIPT ∥ end_ARG + divide start_ARG bold_x start_POSTSUBSCRIPT italic_Q 4 end_POSTSUBSCRIPT end_ARG start_ARG ∥ bold_x start_POSTSUBSCRIPT italic_Q 4 end_POSTSUBSCRIPT ∥ end_ARG .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(8)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S4.SS3.p1.20">It should be noted that we use the direction <math alttext="\mathbf{n}_{\tilde{z}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS3.p1.14.m1.1"><semantics id="S4.SS3.p1.14.m1.1a"><msub id="S4.SS3.p1.14.m1.1.1" xref="S4.SS3.p1.14.m1.1.1.cmml"><mi id="S4.SS3.p1.14.m1.1.1.2" xref="S4.SS3.p1.14.m1.1.1.2.cmml">𝐧</mi><mover accent="true" id="S4.SS3.p1.14.m1.1.1.3" xref="S4.SS3.p1.14.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.SS3.p1.14.m1.1.1.3.2" xref="S4.SS3.p1.14.m1.1.1.3.2.cmml">z</mi><mo id="S4.SS3.p1.14.m1.1.1.3.1" xref="S4.SS3.p1.14.m1.1.1.3.1.cmml">~</mo></mover></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS3.p1.14.m1.1b"><apply id="S4.SS3.p1.14.m1.1.1.cmml" xref="S4.SS3.p1.14.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS3.p1.14.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS3.p1.14.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.SS3.p1.14.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS3.p1.14.m1.1.1.2">𝐧</ci><apply id="S4.SS3.p1.14.m1.1.1.3.cmml" xref="S4.SS3.p1.14.m1.1.1.3"><ci id="S4.SS3.p1.14.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.SS3.p1.14.m1.1.1.3.1">~</ci><ci id="S4.SS3.p1.14.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.SS3.p1.14.m1.1.1.3.2">𝑧</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS3.p1.14.m1.1c">\mathbf{n}_{\tilde{z}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS3.p1.14.m1.1d">bold_n start_POSTSUBSCRIPT over~ start_ARG italic_z end_ARG end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, which bisects the fold angle, to approximate the normal direction of the smoothed shell surface in the current configuration. <math alttext="\mathbf{n}_{\tilde{z}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS3.p1.15.m2.1"><semantics id="S4.SS3.p1.15.m2.1a"><msub id="S4.SS3.p1.15.m2.1.1" xref="S4.SS3.p1.15.m2.1.1.cmml"><mi id="S4.SS3.p1.15.m2.1.1.2" xref="S4.SS3.p1.15.m2.1.1.2.cmml">𝐧</mi><mover accent="true" id="S4.SS3.p1.15.m2.1.1.3" xref="S4.SS3.p1.15.m2.1.1.3.cmml"><mi id="S4.SS3.p1.15.m2.1.1.3.2" xref="S4.SS3.p1.15.m2.1.1.3.2.cmml">z</mi><mo id="S4.SS3.p1.15.m2.1.1.3.1" xref="S4.SS3.p1.15.m2.1.1.3.1.cmml">~</mo></mover></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS3.p1.15.m2.1b"><apply id="S4.SS3.p1.15.m2.1.1.cmml" xref="S4.SS3.p1.15.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS3.p1.15.m2.1.1.1.cmml" xref="S4.SS3.p1.15.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.SS3.p1.15.m2.1.1.2.cmml" xref="S4.SS3.p1.15.m2.1.1.2">𝐧</ci><apply id="S4.SS3.p1.15.m2.1.1.3.cmml" xref="S4.SS3.p1.15.m2.1.1.3"><ci id="S4.SS3.p1.15.m2.1.1.3.1.cmml" xref="S4.SS3.p1.15.m2.1.1.3.1">~</ci><ci id="S4.SS3.p1.15.m2.1.1.3.2.cmml" xref="S4.SS3.p1.15.m2.1.1.3.2">𝑧</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS3.p1.15.m2.1c">\mathbf{n}_{\tilde{z}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS3.p1.15.m2.1d">bold_n start_POSTSUBSCRIPT over~ start_ARG italic_z end_ARG end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> is perpendicular to the hinge edge and points from the mesh to the shell surface. To avoid the numerical issue, when <math alttext="T_{123}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS3.p1.16.m3.1"><semantics id="S4.SS3.p1.16.m3.1a"><msub id="S4.SS3.p1.16.m3.1.1" xref="S4.SS3.p1.16.m3.1.1.cmml"><mi id="S4.SS3.p1.16.m3.1.1.2" xref="S4.SS3.p1.16.m3.1.1.2.cmml">T</mi><mn id="S4.SS3.p1.16.m3.1.1.3" xref="S4.SS3.p1.16.m3.1.1.3.cmml">123</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS3.p1.16.m3.1b"><apply id="S4.SS3.p1.16.m3.1.1.cmml" xref="S4.SS3.p1.16.m3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS3.p1.16.m3.1.1.1.cmml" xref="S4.SS3.p1.16.m3.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.SS3.p1.16.m3.1.1.2.cmml" xref="S4.SS3.p1.16.m3.1.1.2">𝑇</ci><cn id="S4.SS3.p1.16.m3.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS3.p1.16.m3.1.1.3">123</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS3.p1.16.m3.1c">T_{123}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS3.p1.16.m3.1d">italic_T start_POSTSUBSCRIPT 123 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> and <math alttext="T_{432}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS3.p1.17.m4.1"><semantics id="S4.SS3.p1.17.m4.1a"><msub id="S4.SS3.p1.17.m4.1.1" xref="S4.SS3.p1.17.m4.1.1.cmml"><mi id="S4.SS3.p1.17.m4.1.1.2" xref="S4.SS3.p1.17.m4.1.1.2.cmml">T</mi><mn id="S4.SS3.p1.17.m4.1.1.3" xref="S4.SS3.p1.17.m4.1.1.3.cmml">432</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS3.p1.17.m4.1b"><apply id="S4.SS3.p1.17.m4.1.1.cmml" xref="S4.SS3.p1.17.m4.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS3.p1.17.m4.1.1.1.cmml" xref="S4.SS3.p1.17.m4.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.SS3.p1.17.m4.1.1.2.cmml" xref="S4.SS3.p1.17.m4.1.1.2">𝑇</ci><cn id="S4.SS3.p1.17.m4.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS3.p1.17.m4.1.1.3">432</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS3.p1.17.m4.1c">T_{432}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS3.p1.17.m4.1d">italic_T start_POSTSUBSCRIPT 432 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> are coplanar, <math alttext="\mathbf{n}_{\tilde{z}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS3.p1.18.m5.1"><semantics id="S4.SS3.p1.18.m5.1a"><msub id="S4.SS3.p1.18.m5.1.1" xref="S4.SS3.p1.18.m5.1.1.cmml"><mi id="S4.SS3.p1.18.m5.1.1.2" xref="S4.SS3.p1.18.m5.1.1.2.cmml">𝐧</mi><mover accent="true" id="S4.SS3.p1.18.m5.1.1.3" xref="S4.SS3.p1.18.m5.1.1.3.cmml"><mi id="S4.SS3.p1.18.m5.1.1.3.2" xref="S4.SS3.p1.18.m5.1.1.3.2.cmml">z</mi><mo id="S4.SS3.p1.18.m5.1.1.3.1" xref="S4.SS3.p1.18.m5.1.1.3.1.cmml">~</mo></mover></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS3.p1.18.m5.1b"><apply id="S4.SS3.p1.18.m5.1.1.cmml" xref="S4.SS3.p1.18.m5.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS3.p1.18.m5.1.1.1.cmml" xref="S4.SS3.p1.18.m5.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.SS3.p1.18.m5.1.1.2.cmml" xref="S4.SS3.p1.18.m5.1.1.2">𝐧</ci><apply id="S4.SS3.p1.18.m5.1.1.3.cmml" xref="S4.SS3.p1.18.m5.1.1.3"><ci id="S4.SS3.p1.18.m5.1.1.3.1.cmml" xref="S4.SS3.p1.18.m5.1.1.3.1">~</ci><ci id="S4.SS3.p1.18.m5.1.1.3.2.cmml" xref="S4.SS3.p1.18.m5.1.1.3.2">𝑧</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS3.p1.18.m5.1c">\mathbf{n}_{\tilde{z}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS3.p1.18.m5.1d">bold_n start_POSTSUBSCRIPT over~ start_ARG italic_z end_ARG end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> aligns with the normal of triangle <math alttext="T_{123}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS3.p1.19.m6.1"><semantics id="S4.SS3.p1.19.m6.1a"><msub id="S4.SS3.p1.19.m6.1.1" xref="S4.SS3.p1.19.m6.1.1.cmml"><mi id="S4.SS3.p1.19.m6.1.1.2" xref="S4.SS3.p1.19.m6.1.1.2.cmml">T</mi><mn id="S4.SS3.p1.19.m6.1.1.3" xref="S4.SS3.p1.19.m6.1.1.3.cmml">123</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS3.p1.19.m6.1b"><apply id="S4.SS3.p1.19.m6.1.1.cmml" xref="S4.SS3.p1.19.m6.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS3.p1.19.m6.1.1.1.cmml" xref="S4.SS3.p1.19.m6.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.SS3.p1.19.m6.1.1.2.cmml" xref="S4.SS3.p1.19.m6.1.1.2">𝑇</ci><cn id="S4.SS3.p1.19.m6.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS3.p1.19.m6.1.1.3">123</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS3.p1.19.m6.1c">T_{123}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS3.p1.19.m6.1d">italic_T start_POSTSUBSCRIPT 123 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> (<math alttext="T_{432}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS3.p1.20.m7.1"><semantics id="S4.SS3.p1.20.m7.1a"><msub id="S4.SS3.p1.20.m7.1.1" xref="S4.SS3.p1.20.m7.1.1.cmml"><mi id="S4.SS3.p1.20.m7.1.1.2" xref="S4.SS3.p1.20.m7.1.1.2.cmml">T</mi><mn id="S4.SS3.p1.20.m7.1.1.3" xref="S4.SS3.p1.20.m7.1.1.3.cmml">432</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS3.p1.20.m7.1b"><apply id="S4.SS3.p1.20.m7.1.1.cmml" xref="S4.SS3.p1.20.m7.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS3.p1.20.m7.1.1.1.cmml" xref="S4.SS3.p1.20.m7.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.SS3.p1.20.m7.1.1.2.cmml" xref="S4.SS3.p1.20.m7.1.1.2">𝑇</ci><cn id="S4.SS3.p1.20.m7.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS3.p1.20.m7.1.1.3">432</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS3.p1.20.m7.1c">T_{432}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS3.p1.20.m7.1d">italic_T start_POSTSUBSCRIPT 432 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>).</p> </div> <div class="ltx_para" id="S4.SS3.p2"> <p class="ltx_p" id="S4.SS3.p2.7">By substituting Eq. (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2502.10872v4#S4.E7" title="In 4.3 Corotational edge-based hinge bending model ‣ 4 Geometric Discretization ‣ Corotational Hinge-based Thin Plates/Shells"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">7</span></a>) and Eq. (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2502.10872v4#S4.E5" title="In 4.3 Corotational edge-based hinge bending model ‣ 4 Geometric Discretization ‣ Corotational Hinge-based Thin Plates/Shells"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">5</span></a>) into Eq. (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2502.10872v4#S4.E4" title="In 4.3 Corotational edge-based hinge bending model ‣ 4 Geometric Discretization ‣ Corotational Hinge-based Thin Plates/Shells"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">4</span></a>), the directional curvature in the current configuration is obtained as</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S4.E9"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\kappa_{m}={\mathbf{L}}_{m}\mathbf{N}^{T}\tilde{\mathbf{x}}^{e}=\mathbf{L}_{m}% \mathbf{d}." class="ltx_Math" display="block" id="S4.E9.m1.1"><semantics id="S4.E9.m1.1a"><mrow id="S4.E9.m1.1.1.1" xref="S4.E9.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.E9.m1.1.1.1.1" xref="S4.E9.m1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S4.E9.m1.1.1.1.1.2" xref="S4.E9.m1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.E9.m1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.E9.m1.1.1.1.1.2.2.cmml">κ</mi><mi id="S4.E9.m1.1.1.1.1.2.3" xref="S4.E9.m1.1.1.1.1.2.3.cmml">m</mi></msub><mo id="S4.E9.m1.1.1.1.1.3" xref="S4.E9.m1.1.1.1.1.3.cmml">=</mo><mrow id="S4.E9.m1.1.1.1.1.4" xref="S4.E9.m1.1.1.1.1.4.cmml"><msub id="S4.E9.m1.1.1.1.1.4.2" xref="S4.E9.m1.1.1.1.1.4.2.cmml"><mi id="S4.E9.m1.1.1.1.1.4.2.2" xref="S4.E9.m1.1.1.1.1.4.2.2.cmml">𝐋</mi><mi id="S4.E9.m1.1.1.1.1.4.2.3" xref="S4.E9.m1.1.1.1.1.4.2.3.cmml">m</mi></msub><mo id="S4.E9.m1.1.1.1.1.4.1" xref="S4.E9.m1.1.1.1.1.4.1.cmml">⁢</mo><msup id="S4.E9.m1.1.1.1.1.4.3" xref="S4.E9.m1.1.1.1.1.4.3.cmml"><mi id="S4.E9.m1.1.1.1.1.4.3.2" xref="S4.E9.m1.1.1.1.1.4.3.2.cmml">𝐍</mi><mi id="S4.E9.m1.1.1.1.1.4.3.3" xref="S4.E9.m1.1.1.1.1.4.3.3.cmml">T</mi></msup><mo id="S4.E9.m1.1.1.1.1.4.1a" xref="S4.E9.m1.1.1.1.1.4.1.cmml">⁢</mo><msup id="S4.E9.m1.1.1.1.1.4.4" xref="S4.E9.m1.1.1.1.1.4.4.cmml"><mover accent="true" id="S4.E9.m1.1.1.1.1.4.4.2" xref="S4.E9.m1.1.1.1.1.4.4.2.cmml"><mi id="S4.E9.m1.1.1.1.1.4.4.2.2" xref="S4.E9.m1.1.1.1.1.4.4.2.2.cmml">𝐱</mi><mo id="S4.E9.m1.1.1.1.1.4.4.2.1" xref="S4.E9.m1.1.1.1.1.4.4.2.1.cmml">~</mo></mover><mi id="S4.E9.m1.1.1.1.1.4.4.3" xref="S4.E9.m1.1.1.1.1.4.4.3.cmml">e</mi></msup></mrow><mo id="S4.E9.m1.1.1.1.1.5" xref="S4.E9.m1.1.1.1.1.5.cmml">=</mo><mrow id="S4.E9.m1.1.1.1.1.6" xref="S4.E9.m1.1.1.1.1.6.cmml"><msub id="S4.E9.m1.1.1.1.1.6.2" xref="S4.E9.m1.1.1.1.1.6.2.cmml"><mi id="S4.E9.m1.1.1.1.1.6.2.2" xref="S4.E9.m1.1.1.1.1.6.2.2.cmml">𝐋</mi><mi id="S4.E9.m1.1.1.1.1.6.2.3" xref="S4.E9.m1.1.1.1.1.6.2.3.cmml">m</mi></msub><mo id="S4.E9.m1.1.1.1.1.6.1" xref="S4.E9.m1.1.1.1.1.6.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E9.m1.1.1.1.1.6.3" xref="S4.E9.m1.1.1.1.1.6.3.cmml">𝐝</mi></mrow></mrow><mo id="S4.E9.m1.1.1.1.2" lspace="0em" xref="S4.E9.m1.1.1.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.E9.m1.1b"><apply id="S4.E9.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E9.m1.1.1.1"><and id="S4.E9.m1.1.1.1.1a.cmml" xref="S4.E9.m1.1.1.1"></and><apply id="S4.E9.m1.1.1.1.1b.cmml" xref="S4.E9.m1.1.1.1"><eq id="S4.E9.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E9.m1.1.1.1.1.3"></eq><apply id="S4.E9.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E9.m1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E9.m1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.E9.m1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S4.E9.m1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.E9.m1.1.1.1.1.2.2">𝜅</ci><ci id="S4.E9.m1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.E9.m1.1.1.1.1.2.3">𝑚</ci></apply><apply id="S4.E9.m1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S4.E9.m1.1.1.1.1.4"><times id="S4.E9.m1.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="S4.E9.m1.1.1.1.1.4.1"></times><apply id="S4.E9.m1.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="S4.E9.m1.1.1.1.1.4.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E9.m1.1.1.1.1.4.2.1.cmml" xref="S4.E9.m1.1.1.1.1.4.2">subscript</csymbol><ci id="S4.E9.m1.1.1.1.1.4.2.2.cmml" xref="S4.E9.m1.1.1.1.1.4.2.2">𝐋</ci><ci id="S4.E9.m1.1.1.1.1.4.2.3.cmml" xref="S4.E9.m1.1.1.1.1.4.2.3">𝑚</ci></apply><apply id="S4.E9.m1.1.1.1.1.4.3.cmml" xref="S4.E9.m1.1.1.1.1.4.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E9.m1.1.1.1.1.4.3.1.cmml" xref="S4.E9.m1.1.1.1.1.4.3">superscript</csymbol><ci id="S4.E9.m1.1.1.1.1.4.3.2.cmml" xref="S4.E9.m1.1.1.1.1.4.3.2">𝐍</ci><ci id="S4.E9.m1.1.1.1.1.4.3.3.cmml" xref="S4.E9.m1.1.1.1.1.4.3.3">𝑇</ci></apply><apply id="S4.E9.m1.1.1.1.1.4.4.cmml" xref="S4.E9.m1.1.1.1.1.4.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E9.m1.1.1.1.1.4.4.1.cmml" xref="S4.E9.m1.1.1.1.1.4.4">superscript</csymbol><apply id="S4.E9.m1.1.1.1.1.4.4.2.cmml" xref="S4.E9.m1.1.1.1.1.4.4.2"><ci id="S4.E9.m1.1.1.1.1.4.4.2.1.cmml" xref="S4.E9.m1.1.1.1.1.4.4.2.1">~</ci><ci id="S4.E9.m1.1.1.1.1.4.4.2.2.cmml" xref="S4.E9.m1.1.1.1.1.4.4.2.2">𝐱</ci></apply><ci id="S4.E9.m1.1.1.1.1.4.4.3.cmml" xref="S4.E9.m1.1.1.1.1.4.4.3">𝑒</ci></apply></apply></apply><apply id="S4.E9.m1.1.1.1.1c.cmml" xref="S4.E9.m1.1.1.1"><eq id="S4.E9.m1.1.1.1.1.5.cmml" xref="S4.E9.m1.1.1.1.1.5"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2502.10872v4#S4.E9.m1.1.1.1.1.4.cmml" id="S4.E9.m1.1.1.1.1d.cmml" xref="S4.E9.m1.1.1.1"></share><apply id="S4.E9.m1.1.1.1.1.6.cmml" xref="S4.E9.m1.1.1.1.1.6"><times id="S4.E9.m1.1.1.1.1.6.1.cmml" xref="S4.E9.m1.1.1.1.1.6.1"></times><apply id="S4.E9.m1.1.1.1.1.6.2.cmml" xref="S4.E9.m1.1.1.1.1.6.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E9.m1.1.1.1.1.6.2.1.cmml" xref="S4.E9.m1.1.1.1.1.6.2">subscript</csymbol><ci id="S4.E9.m1.1.1.1.1.6.2.2.cmml" xref="S4.E9.m1.1.1.1.1.6.2.2">𝐋</ci><ci id="S4.E9.m1.1.1.1.1.6.2.3.cmml" xref="S4.E9.m1.1.1.1.1.6.2.3">𝑚</ci></apply><ci id="S4.E9.m1.1.1.1.1.6.3.cmml" xref="S4.E9.m1.1.1.1.1.6.3">𝐝</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.E9.m1.1c">\kappa_{m}={\mathbf{L}}_{m}\mathbf{N}^{T}\tilde{\mathbf{x}}^{e}=\mathbf{L}_{m}% \mathbf{d}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.E9.m1.1d">italic_κ start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT = bold_L start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT bold_N start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT over~ start_ARG bold_x end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT italic_e end_POSTSUPERSCRIPT = bold_L start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT bold_d .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(9)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S4.SS3.p2.2">Here <math alttext="{\mathbf{L}}_{m}=2\mathbf{L}_{\theta}/(h_{1}+h_{4})" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS3.p2.1.m1.1"><semantics id="S4.SS3.p2.1.m1.1a"><mrow id="S4.SS3.p2.1.m1.1.1" xref="S4.SS3.p2.1.m1.1.1.cmml"><msub id="S4.SS3.p2.1.m1.1.1.3" xref="S4.SS3.p2.1.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.SS3.p2.1.m1.1.1.3.2" xref="S4.SS3.p2.1.m1.1.1.3.2.cmml">𝐋</mi><mi id="S4.SS3.p2.1.m1.1.1.3.3" xref="S4.SS3.p2.1.m1.1.1.3.3.cmml">m</mi></msub><mo id="S4.SS3.p2.1.m1.1.1.2" xref="S4.SS3.p2.1.m1.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S4.SS3.p2.1.m1.1.1.1" xref="S4.SS3.p2.1.m1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.SS3.p2.1.m1.1.1.1.3" xref="S4.SS3.p2.1.m1.1.1.1.3.cmml"><mn id="S4.SS3.p2.1.m1.1.1.1.3.2" xref="S4.SS3.p2.1.m1.1.1.1.3.2.cmml">2</mn><mo id="S4.SS3.p2.1.m1.1.1.1.3.1" xref="S4.SS3.p2.1.m1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S4.SS3.p2.1.m1.1.1.1.3.3" xref="S4.SS3.p2.1.m1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S4.SS3.p2.1.m1.1.1.1.3.3.2" xref="S4.SS3.p2.1.m1.1.1.1.3.3.2.cmml">𝐋</mi><mi id="S4.SS3.p2.1.m1.1.1.1.3.3.3" xref="S4.SS3.p2.1.m1.1.1.1.3.3.3.cmml">θ</mi></msub></mrow><mo id="S4.SS3.p2.1.m1.1.1.1.2" xref="S4.SS3.p2.1.m1.1.1.1.2.cmml">/</mo><mrow id="S4.SS3.p2.1.m1.1.1.1.1.1" xref="S4.SS3.p2.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.SS3.p2.1.m1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.SS3.p2.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.SS3.p2.1.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.SS3.p2.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S4.SS3.p2.1.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.SS3.p2.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.SS3.p2.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.SS3.p2.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">h</mi><mn id="S4.SS3.p2.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.3" 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id="S4.SS3.p2.1.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.SS3.p2.1.m1.1.1.3.3">𝑚</ci></apply><apply id="S4.SS3.p2.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS3.p2.1.m1.1.1.1"><divide id="S4.SS3.p2.1.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS3.p2.1.m1.1.1.1.2"></divide><apply id="S4.SS3.p2.1.m1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.SS3.p2.1.m1.1.1.1.3"><times id="S4.SS3.p2.1.m1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.SS3.p2.1.m1.1.1.1.3.1"></times><cn id="S4.SS3.p2.1.m1.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S4.SS3.p2.1.m1.1.1.1.3.2">2</cn><apply id="S4.SS3.p2.1.m1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.SS3.p2.1.m1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS3.p2.1.m1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.SS3.p2.1.m1.1.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S4.SS3.p2.1.m1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S4.SS3.p2.1.m1.1.1.1.3.3.2">𝐋</ci><ci id="S4.SS3.p2.1.m1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S4.SS3.p2.1.m1.1.1.1.3.3.3">𝜃</ci></apply></apply><apply id="S4.SS3.p2.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS3.p2.1.m1.1.1.1.1.1"><plus id="S4.SS3.p2.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS3.p2.1.m1.1.1.1.1.1.1.1"></plus><apply id="S4.SS3.p2.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS3.p2.1.m1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS3.p2.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.SS3.p2.1.m1.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S4.SS3.p2.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.SS3.p2.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.2">ℎ</ci><cn id="S4.SS3.p2.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS3.p2.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.3">1</cn></apply><apply id="S4.SS3.p2.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.SS3.p2.1.m1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS3.p2.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.SS3.p2.1.m1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.SS3.p2.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.SS3.p2.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.2">ℎ</ci><cn id="S4.SS3.p2.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS3.p2.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.3">4</cn></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS3.p2.1.m1.1c">{\mathbf{L}}_{m}=2\mathbf{L}_{\theta}/(h_{1}+h_{4})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS3.p2.1.m1.1d">bold_L start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT = 2 bold_L start_POSTSUBSCRIPT italic_θ end_POSTSUBSCRIPT / ( italic_h start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT + italic_h start_POSTSUBSCRIPT 4 end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math> denotes the corotational edge-based hinge curvature operator, where <math alttext="\mathbf{L}_{\theta}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS3.p2.2.m2.1"><semantics id="S4.SS3.p2.2.m2.1a"><msub id="S4.SS3.p2.2.m2.1.1" xref="S4.SS3.p2.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S4.SS3.p2.2.m2.1.1.2" xref="S4.SS3.p2.2.m2.1.1.2.cmml">𝐋</mi><mi id="S4.SS3.p2.2.m2.1.1.3" xref="S4.SS3.p2.2.m2.1.1.3.cmml">θ</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS3.p2.2.m2.1b"><apply id="S4.SS3.p2.2.m2.1.1.cmml" xref="S4.SS3.p2.2.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS3.p2.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S4.SS3.p2.2.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.SS3.p2.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S4.SS3.p2.2.m2.1.1.2">𝐋</ci><ci id="S4.SS3.p2.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S4.SS3.p2.2.m2.1.1.3">𝜃</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS3.p2.2.m2.1c">\mathbf{L}_{\theta}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS3.p2.2.m2.1d">bold_L start_POSTSUBSCRIPT italic_θ end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> is given by</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S4.E10"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\begin{bmatrix}\frac{1}{h_{1}}&-\left(\frac{\lVert\tilde{\mathbf{X}}_{P3}% \rVert}{\lVert\tilde{\mathbf{X}}_{23}\rVert h_{1}}+\frac{\lVert\tilde{\mathbf{% X}}_{Q3}\rVert}{\lVert\tilde{\mathbf{X}}_{23}\rVert h_{4}}\right)&-\left(\frac% {\lVert\tilde{\mathbf{X}}_{P2}\rVert}{\lVert\tilde{\mathbf{X}}_{23}\rVert h_{1% }}+\frac{\lVert\tilde{\mathbf{X}}_{Q2}\rVert}{\lVert\tilde{\mathbf{X}}_{23}% \rVert h_{4}}\right)&\frac{1}{h_{4}}\end{bmatrix}" class="ltx_Math" display="block" id="S4.E10.m1.1"><semantics id="S4.E10.m1.1a"><mrow id="S4.E10.m1.1.1.3" xref="S4.E10.m1.1.1.2.cmml"><mo id="S4.E10.m1.1.1.3.1" xref="S4.E10.m1.1.1.2.1.cmml">[</mo><mtable columnspacing="5pt" displaystyle="true" id="S4.E10.m1.1.1.1.1" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.cmml"><mtr id="S4.E10.m1.1.1.1.1a" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.cmml"><mtd id="S4.E10.m1.1.1.1.1b" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="false" id="S4.E10.m1.1.1.1.1.10.10.11.1" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.10.10.11.1.cmml"><mfrac id="S4.E10.m1.1.1.1.1.10.10.11.1a" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.10.10.11.1.cmml"><mn id="S4.E10.m1.1.1.1.1.10.10.11.1.2" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.10.10.11.1.2.cmml">1</mn><msub id="S4.E10.m1.1.1.1.1.10.10.11.1.3" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.10.10.11.1.3.cmml"><mi id="S4.E10.m1.1.1.1.1.10.10.11.1.3.2" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.10.10.11.1.3.2.cmml">h</mi><mn id="S4.E10.m1.1.1.1.1.10.10.11.1.3.3" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.10.10.11.1.3.3.cmml">1</mn></msub></mfrac></mstyle></mtd><mtd id="S4.E10.m1.1.1.1.1c" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.E10.m1.1.1.1.1.5.5.5.5" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.5.5.5.5.cmml"><mo id="S4.E10.m1.1.1.1.1.5.5.5.5a" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.5.5.5.5.cmml">−</mo><mrow id="S4.E10.m1.1.1.1.1.5.5.5.5.5.1" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.5.5.5.5.5.1.1.cmml"><mo id="S4.E10.m1.1.1.1.1.5.5.5.5.5.1.2" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.5.5.5.5.5.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.E10.m1.1.1.1.1.5.5.5.5.5.1.1" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.5.5.5.5.5.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="false" id="S4.E10.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml"><mfrac id="S4.E10.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2a" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml"><mrow id="S4.E10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo fence="true" id="S4.E10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" rspace="0em" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">∥</mo><msub id="S4.E10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S4.E10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.E10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">𝐗</mi><mo id="S4.E10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">~</mo></mover><mrow id="S4.E10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.E10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">P</mi><mo id="S4.E10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mn id="S4.E10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">3</mn></mrow></msub><mo fence="true" id="S4.E10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" lspace="0em" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">∥</mo></mrow><mrow id="S4.E10.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.cmml"><mrow id="S4.E10.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.1.2.cmml"><mo fence="true" id="S4.E10.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1.2" rspace="0em" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.1.2.1.cmml">∥</mo><msub id="S4.E10.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1.1" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S4.E10.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.2" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.E10.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.2.2" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.2.2.cmml">𝐗</mi><mo id="S4.E10.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.2.1" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.2.1.cmml">~</mo></mover><mn id="S4.E10.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.3" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.3.cmml">23</mn></msub><mo fence="true" id="S4.E10.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1.3" lspace="0em" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.1.2.1.cmml">∥</mo></mrow><mo id="S4.E10.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2" lspace="0em" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2.cmml">⁢</mo><msub id="S4.E10.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.3" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="S4.E10.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.3.2" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.3.2.cmml">h</mi><mn id="S4.E10.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.3.3" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.3.3.cmml">1</mn></msub></mrow></mfrac></mstyle><mo id="S4.E10.m1.1.1.1.1.5.5.5.5.5.1.1.1" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.5.5.5.5.5.1.1.1.cmml">+</mo><mstyle displaystyle="false" id="S4.E10.m1.1.1.1.1.4.4.4.4.4" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.4.4.4.4.4.cmml"><mfrac id="S4.E10.m1.1.1.1.1.4.4.4.4.4a" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.4.4.4.4.4.cmml"><mrow id="S4.E10.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.1.1" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.1.2.cmml"><mo fence="true" id="S4.E10.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.1.1.2" rspace="0em" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.1.2.1.cmml">∥</mo><msub id="S4.E10.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.1.1.1" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S4.E10.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.1.1.1.2" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.E10.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.1.1.1.2.2" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.1.1.1.2.2.cmml">𝐗</mi><mo id="S4.E10.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.1.1.1.2.1" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.1.1.1.2.1.cmml">~</mo></mover><mrow id="S4.E10.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.1.1.1.3" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.E10.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.1.1.1.3.2" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.1.1.1.3.2.cmml">Q</mi><mo id="S4.E10.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.1.1.1.3.1" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mn id="S4.E10.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.1.1.1.3.3" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.1.1.1.3.3.cmml">3</mn></mrow></msub><mo fence="true" id="S4.E10.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.1.1.3" lspace="0em" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.1.2.1.cmml">∥</mo></mrow><mrow id="S4.E10.m1.1.1.1.1.4.4.4.4.4.2" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.4.4.4.4.4.2.cmml"><mrow id="S4.E10.m1.1.1.1.1.4.4.4.4.4.2.1.1" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.4.4.4.4.4.2.1.2.cmml"><mo fence="true" id="S4.E10.m1.1.1.1.1.4.4.4.4.4.2.1.1.2" rspace="0em" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.4.4.4.4.4.2.1.2.1.cmml">∥</mo><msub id="S4.E10.m1.1.1.1.1.4.4.4.4.4.2.1.1.1" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.4.4.4.4.4.2.1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S4.E10.m1.1.1.1.1.4.4.4.4.4.2.1.1.1.2" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.4.4.4.4.4.2.1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.E10.m1.1.1.1.1.4.4.4.4.4.2.1.1.1.2.2" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.4.4.4.4.4.2.1.1.1.2.2.cmml">𝐗</mi><mo id="S4.E10.m1.1.1.1.1.4.4.4.4.4.2.1.1.1.2.1" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.4.4.4.4.4.2.1.1.1.2.1.cmml">~</mo></mover><mn id="S4.E10.m1.1.1.1.1.4.4.4.4.4.2.1.1.1.3" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.4.4.4.4.4.2.1.1.1.3.cmml">23</mn></msub><mo fence="true" id="S4.E10.m1.1.1.1.1.4.4.4.4.4.2.1.1.3" lspace="0em" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.4.4.4.4.4.2.1.2.1.cmml">∥</mo></mrow><mo id="S4.E10.m1.1.1.1.1.4.4.4.4.4.2.2" lspace="0em" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.4.4.4.4.4.2.2.cmml">⁢</mo><msub id="S4.E10.m1.1.1.1.1.4.4.4.4.4.2.3" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.4.4.4.4.4.2.3.cmml"><mi id="S4.E10.m1.1.1.1.1.4.4.4.4.4.2.3.2" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.4.4.4.4.4.2.3.2.cmml">h</mi><mn id="S4.E10.m1.1.1.1.1.4.4.4.4.4.2.3.3" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.4.4.4.4.4.2.3.3.cmml">4</mn></msub></mrow></mfrac></mstyle></mrow><mo id="S4.E10.m1.1.1.1.1.5.5.5.5.5.1.3" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.5.5.5.5.5.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mtd><mtd id="S4.E10.m1.1.1.1.1d" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.E10.m1.1.1.1.1.10.10.10.5" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.10.10.10.5.cmml"><mo id="S4.E10.m1.1.1.1.1.10.10.10.5a" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.10.10.10.5.cmml">−</mo><mrow id="S4.E10.m1.1.1.1.1.10.10.10.5.5.1" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.10.10.10.5.5.1.1.cmml"><mo id="S4.E10.m1.1.1.1.1.10.10.10.5.5.1.2" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.10.10.10.5.5.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.E10.m1.1.1.1.1.10.10.10.5.5.1.1" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.10.10.10.5.5.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="false" id="S4.E10.m1.1.1.1.1.7.7.7.2.2" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.7.7.7.2.2.cmml"><mfrac id="S4.E10.m1.1.1.1.1.7.7.7.2.2a" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.7.7.7.2.2.cmml"><mrow id="S4.E10.m1.1.1.1.1.6.6.6.1.1.1.1" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.6.6.6.1.1.1.2.cmml"><mo fence="true" id="S4.E10.m1.1.1.1.1.6.6.6.1.1.1.1.2" rspace="0em" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.6.6.6.1.1.1.2.1.cmml">∥</mo><msub id="S4.E10.m1.1.1.1.1.6.6.6.1.1.1.1.1" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.6.6.6.1.1.1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S4.E10.m1.1.1.1.1.6.6.6.1.1.1.1.1.2" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.6.6.6.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.E10.m1.1.1.1.1.6.6.6.1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.6.6.6.1.1.1.1.1.2.2.cmml">𝐗</mi><mo id="S4.E10.m1.1.1.1.1.6.6.6.1.1.1.1.1.2.1" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.6.6.6.1.1.1.1.1.2.1.cmml">~</mo></mover><mrow id="S4.E10.m1.1.1.1.1.6.6.6.1.1.1.1.1.3" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.6.6.6.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.E10.m1.1.1.1.1.6.6.6.1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.6.6.6.1.1.1.1.1.3.2.cmml">P</mi><mo id="S4.E10.m1.1.1.1.1.6.6.6.1.1.1.1.1.3.1" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.6.6.6.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mn id="S4.E10.m1.1.1.1.1.6.6.6.1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.6.6.6.1.1.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></mrow></msub><mo fence="true" id="S4.E10.m1.1.1.1.1.6.6.6.1.1.1.1.3" lspace="0em" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.6.6.6.1.1.1.2.1.cmml">∥</mo></mrow><mrow id="S4.E10.m1.1.1.1.1.7.7.7.2.2.2" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.7.7.7.2.2.2.cmml"><mrow id="S4.E10.m1.1.1.1.1.7.7.7.2.2.2.1.1" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.7.7.7.2.2.2.1.2.cmml"><mo fence="true" id="S4.E10.m1.1.1.1.1.7.7.7.2.2.2.1.1.2" rspace="0em" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.7.7.7.2.2.2.1.2.1.cmml">∥</mo><msub id="S4.E10.m1.1.1.1.1.7.7.7.2.2.2.1.1.1" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.7.7.7.2.2.2.1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S4.E10.m1.1.1.1.1.7.7.7.2.2.2.1.1.1.2" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.7.7.7.2.2.2.1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.E10.m1.1.1.1.1.7.7.7.2.2.2.1.1.1.2.2" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.7.7.7.2.2.2.1.1.1.2.2.cmml">𝐗</mi><mo id="S4.E10.m1.1.1.1.1.7.7.7.2.2.2.1.1.1.2.1" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.7.7.7.2.2.2.1.1.1.2.1.cmml">~</mo></mover><mn id="S4.E10.m1.1.1.1.1.7.7.7.2.2.2.1.1.1.3" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.7.7.7.2.2.2.1.1.1.3.cmml">23</mn></msub><mo fence="true" id="S4.E10.m1.1.1.1.1.7.7.7.2.2.2.1.1.3" lspace="0em" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.7.7.7.2.2.2.1.2.1.cmml">∥</mo></mrow><mo id="S4.E10.m1.1.1.1.1.7.7.7.2.2.2.2" lspace="0em" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.7.7.7.2.2.2.2.cmml">⁢</mo><msub id="S4.E10.m1.1.1.1.1.7.7.7.2.2.2.3" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.7.7.7.2.2.2.3.cmml"><mi id="S4.E10.m1.1.1.1.1.7.7.7.2.2.2.3.2" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.7.7.7.2.2.2.3.2.cmml">h</mi><mn id="S4.E10.m1.1.1.1.1.7.7.7.2.2.2.3.3" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.7.7.7.2.2.2.3.3.cmml">1</mn></msub></mrow></mfrac></mstyle><mo id="S4.E10.m1.1.1.1.1.10.10.10.5.5.1.1.1" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.10.10.10.5.5.1.1.1.cmml">+</mo><mstyle displaystyle="false" id="S4.E10.m1.1.1.1.1.9.9.9.4.4" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.9.9.9.4.4.cmml"><mfrac id="S4.E10.m1.1.1.1.1.9.9.9.4.4a" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.9.9.9.4.4.cmml"><mrow id="S4.E10.m1.1.1.1.1.8.8.8.3.3.1.1" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.8.8.8.3.3.1.2.cmml"><mo fence="true" id="S4.E10.m1.1.1.1.1.8.8.8.3.3.1.1.2" rspace="0em" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.8.8.8.3.3.1.2.1.cmml">∥</mo><msub id="S4.E10.m1.1.1.1.1.8.8.8.3.3.1.1.1" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.8.8.8.3.3.1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S4.E10.m1.1.1.1.1.8.8.8.3.3.1.1.1.2" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.8.8.8.3.3.1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.E10.m1.1.1.1.1.8.8.8.3.3.1.1.1.2.2" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.8.8.8.3.3.1.1.1.2.2.cmml">𝐗</mi><mo id="S4.E10.m1.1.1.1.1.8.8.8.3.3.1.1.1.2.1" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.8.8.8.3.3.1.1.1.2.1.cmml">~</mo></mover><mrow id="S4.E10.m1.1.1.1.1.8.8.8.3.3.1.1.1.3" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.8.8.8.3.3.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.E10.m1.1.1.1.1.8.8.8.3.3.1.1.1.3.2" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.8.8.8.3.3.1.1.1.3.2.cmml">Q</mi><mo id="S4.E10.m1.1.1.1.1.8.8.8.3.3.1.1.1.3.1" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.8.8.8.3.3.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mn id="S4.E10.m1.1.1.1.1.8.8.8.3.3.1.1.1.3.3" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.8.8.8.3.3.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></mrow></msub><mo fence="true" id="S4.E10.m1.1.1.1.1.8.8.8.3.3.1.1.3" lspace="0em" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.8.8.8.3.3.1.2.1.cmml">∥</mo></mrow><mrow id="S4.E10.m1.1.1.1.1.9.9.9.4.4.2" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.9.9.9.4.4.2.cmml"><mrow id="S4.E10.m1.1.1.1.1.9.9.9.4.4.2.1.1" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.9.9.9.4.4.2.1.2.cmml"><mo fence="true" id="S4.E10.m1.1.1.1.1.9.9.9.4.4.2.1.1.2" rspace="0em" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.9.9.9.4.4.2.1.2.1.cmml">∥</mo><msub id="S4.E10.m1.1.1.1.1.9.9.9.4.4.2.1.1.1" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.9.9.9.4.4.2.1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S4.E10.m1.1.1.1.1.9.9.9.4.4.2.1.1.1.2" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.9.9.9.4.4.2.1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.E10.m1.1.1.1.1.9.9.9.4.4.2.1.1.1.2.2" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.9.9.9.4.4.2.1.1.1.2.2.cmml">𝐗</mi><mo id="S4.E10.m1.1.1.1.1.9.9.9.4.4.2.1.1.1.2.1" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.9.9.9.4.4.2.1.1.1.2.1.cmml">~</mo></mover><mn id="S4.E10.m1.1.1.1.1.9.9.9.4.4.2.1.1.1.3" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.9.9.9.4.4.2.1.1.1.3.cmml">23</mn></msub><mo fence="true" id="S4.E10.m1.1.1.1.1.9.9.9.4.4.2.1.1.3" lspace="0em" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.9.9.9.4.4.2.1.2.1.cmml">∥</mo></mrow><mo id="S4.E10.m1.1.1.1.1.9.9.9.4.4.2.2" lspace="0em" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.9.9.9.4.4.2.2.cmml">⁢</mo><msub id="S4.E10.m1.1.1.1.1.9.9.9.4.4.2.3" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.9.9.9.4.4.2.3.cmml"><mi id="S4.E10.m1.1.1.1.1.9.9.9.4.4.2.3.2" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.9.9.9.4.4.2.3.2.cmml">h</mi><mn id="S4.E10.m1.1.1.1.1.9.9.9.4.4.2.3.3" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.9.9.9.4.4.2.3.3.cmml">4</mn></msub></mrow></mfrac></mstyle></mrow><mo id="S4.E10.m1.1.1.1.1.10.10.10.5.5.1.3" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.10.10.10.5.5.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mtd><mtd id="S4.E10.m1.1.1.1.1e" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="false" id="S4.E10.m1.1.1.1.1.10.10.12.1" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.10.10.12.1.cmml"><mfrac id="S4.E10.m1.1.1.1.1.10.10.12.1a" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.10.10.12.1.cmml"><mn id="S4.E10.m1.1.1.1.1.10.10.12.1.2" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.10.10.12.1.2.cmml">1</mn><msub id="S4.E10.m1.1.1.1.1.10.10.12.1.3" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.10.10.12.1.3.cmml"><mi id="S4.E10.m1.1.1.1.1.10.10.12.1.3.2" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.10.10.12.1.3.2.cmml">h</mi><mn id="S4.E10.m1.1.1.1.1.10.10.12.1.3.3" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.10.10.12.1.3.3.cmml">4</mn></msub></mfrac></mstyle></mtd></mtr></mtable><mo id="S4.E10.m1.1.1.3.2" xref="S4.E10.m1.1.1.2.1.cmml">]</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.E10.m1.1b"><apply id="S4.E10.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.E10.m1.1.1.3"><csymbol cd="latexml" id="S4.E10.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.E10.m1.1.1.3.1">matrix</csymbol><matrix id="S4.E10.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1"><matrixrow id="S4.E10.m1.1.1.1.1a.cmml" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1"><apply id="S4.E10.m1.1.1.1.1.10.10.11.1.cmml" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.10.10.11.1"><divide id="S4.E10.m1.1.1.1.1.10.10.11.1.1.cmml" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.10.10.11.1"></divide><cn id="S4.E10.m1.1.1.1.1.10.10.11.1.2.cmml" type="integer" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.10.10.11.1.2">1</cn><apply id="S4.E10.m1.1.1.1.1.10.10.11.1.3.cmml" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.10.10.11.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E10.m1.1.1.1.1.10.10.11.1.3.1.cmml" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.10.10.11.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.E10.m1.1.1.1.1.10.10.11.1.3.2.cmml" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.10.10.11.1.3.2">ℎ</ci><cn id="S4.E10.m1.1.1.1.1.10.10.11.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.10.10.11.1.3.3">1</cn></apply></apply><apply id="S4.E10.m1.1.1.1.1.5.5.5.5.cmml" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.5.5.5.5"><minus id="S4.E10.m1.1.1.1.1.5.5.5.5.6.cmml" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.5.5.5.5"></minus><apply id="S4.E10.m1.1.1.1.1.5.5.5.5.5.1.1.cmml" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.5.5.5.5.5.1"><plus id="S4.E10.m1.1.1.1.1.5.5.5.5.5.1.1.1.cmml" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.5.5.5.5.5.1.1.1"></plus><apply id="S4.E10.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2"><divide id="S4.E10.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2"></divide><apply id="S4.E10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S4.E10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">delimited-∥∥</csymbol><apply id="S4.E10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="S4.E10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><ci id="S4.E10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1">~</ci><ci id="S4.E10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝐗</ci></apply><apply id="S4.E10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><times id="S4.E10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><ci id="S4.E10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑃</ci><cn id="S4.E10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">3</cn></apply></apply></apply><apply id="S4.E10.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2"><times id="S4.E10.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2"></times><apply id="S4.E10.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.1.2.cmml" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S4.E10.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.1.2.1.cmml" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1.2">delimited-∥∥</csymbol><apply id="S4.E10.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E10.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="S4.E10.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.2"><ci id="S4.E10.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.2.1">~</ci><ci id="S4.E10.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.2.2">𝐗</ci></apply><cn id="S4.E10.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.3">23</cn></apply></apply><apply id="S4.E10.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E10.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S4.E10.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.3.2.cmml" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.3.2">ℎ</ci><cn id="S4.E10.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.3.3">1</cn></apply></apply></apply><apply id="S4.E10.m1.1.1.1.1.4.4.4.4.4.cmml" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.4.4.4.4.4"><divide id="S4.E10.m1.1.1.1.1.4.4.4.4.4.3.cmml" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.4.4.4.4.4"></divide><apply id="S4.E10.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.1.2.cmml" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S4.E10.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.1.2.1.cmml" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.1.1.2">delimited-∥∥</csymbol><apply id="S4.E10.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.1.1.1.cmml" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E10.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="S4.E10.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.1.1.1.2"><ci id="S4.E10.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.1.1.1.2.1">~</ci><ci id="S4.E10.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.1.1.1.2.2">𝐗</ci></apply><apply id="S4.E10.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.1.1.1.3"><times id="S4.E10.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.1.1.1.3.1"></times><ci id="S4.E10.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.1.1.1.3.2">𝑄</ci><cn id="S4.E10.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.1.1.1.3.3">3</cn></apply></apply></apply><apply id="S4.E10.m1.1.1.1.1.4.4.4.4.4.2.cmml" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.4.4.4.4.4.2"><times id="S4.E10.m1.1.1.1.1.4.4.4.4.4.2.2.cmml" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.4.4.4.4.4.2.2"></times><apply id="S4.E10.m1.1.1.1.1.4.4.4.4.4.2.1.2.cmml" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.4.4.4.4.4.2.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S4.E10.m1.1.1.1.1.4.4.4.4.4.2.1.2.1.cmml" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.4.4.4.4.4.2.1.1.2">delimited-∥∥</csymbol><apply id="S4.E10.m1.1.1.1.1.4.4.4.4.4.2.1.1.1.cmml" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.4.4.4.4.4.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E10.m1.1.1.1.1.4.4.4.4.4.2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.4.4.4.4.4.2.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="S4.E10.m1.1.1.1.1.4.4.4.4.4.2.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.4.4.4.4.4.2.1.1.1.2"><ci id="S4.E10.m1.1.1.1.1.4.4.4.4.4.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.4.4.4.4.4.2.1.1.1.2.1">~</ci><ci id="S4.E10.m1.1.1.1.1.4.4.4.4.4.2.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.4.4.4.4.4.2.1.1.1.2.2">𝐗</ci></apply><cn id="S4.E10.m1.1.1.1.1.4.4.4.4.4.2.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.4.4.4.4.4.2.1.1.1.3">23</cn></apply></apply><apply id="S4.E10.m1.1.1.1.1.4.4.4.4.4.2.3.cmml" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.4.4.4.4.4.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E10.m1.1.1.1.1.4.4.4.4.4.2.3.1.cmml" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.4.4.4.4.4.2.3">subscript</csymbol><ci id="S4.E10.m1.1.1.1.1.4.4.4.4.4.2.3.2.cmml" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.4.4.4.4.4.2.3.2">ℎ</ci><cn id="S4.E10.m1.1.1.1.1.4.4.4.4.4.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.4.4.4.4.4.2.3.3">4</cn></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="S4.E10.m1.1.1.1.1.10.10.10.5.cmml" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.10.10.10.5"><minus id="S4.E10.m1.1.1.1.1.10.10.10.5.6.cmml" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.10.10.10.5"></minus><apply id="S4.E10.m1.1.1.1.1.10.10.10.5.5.1.1.cmml" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.10.10.10.5.5.1"><plus id="S4.E10.m1.1.1.1.1.10.10.10.5.5.1.1.1.cmml" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.10.10.10.5.5.1.1.1"></plus><apply id="S4.E10.m1.1.1.1.1.7.7.7.2.2.cmml" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.7.7.7.2.2"><divide id="S4.E10.m1.1.1.1.1.7.7.7.2.2.3.cmml" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.7.7.7.2.2"></divide><apply id="S4.E10.m1.1.1.1.1.6.6.6.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.6.6.6.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S4.E10.m1.1.1.1.1.6.6.6.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.6.6.6.1.1.1.1.2">delimited-∥∥</csymbol><apply id="S4.E10.m1.1.1.1.1.6.6.6.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.6.6.6.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E10.m1.1.1.1.1.6.6.6.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.6.6.6.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="S4.E10.m1.1.1.1.1.6.6.6.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.6.6.6.1.1.1.1.1.2"><ci id="S4.E10.m1.1.1.1.1.6.6.6.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.6.6.6.1.1.1.1.1.2.1">~</ci><ci id="S4.E10.m1.1.1.1.1.6.6.6.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.6.6.6.1.1.1.1.1.2.2">𝐗</ci></apply><apply id="S4.E10.m1.1.1.1.1.6.6.6.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.6.6.6.1.1.1.1.1.3"><times id="S4.E10.m1.1.1.1.1.6.6.6.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.6.6.6.1.1.1.1.1.3.1"></times><ci id="S4.E10.m1.1.1.1.1.6.6.6.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.6.6.6.1.1.1.1.1.3.2">𝑃</ci><cn id="S4.E10.m1.1.1.1.1.6.6.6.1.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.6.6.6.1.1.1.1.1.3.3">2</cn></apply></apply></apply><apply id="S4.E10.m1.1.1.1.1.7.7.7.2.2.2.cmml" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.7.7.7.2.2.2"><times id="S4.E10.m1.1.1.1.1.7.7.7.2.2.2.2.cmml" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.7.7.7.2.2.2.2"></times><apply id="S4.E10.m1.1.1.1.1.7.7.7.2.2.2.1.2.cmml" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.7.7.7.2.2.2.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S4.E10.m1.1.1.1.1.7.7.7.2.2.2.1.2.1.cmml" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.7.7.7.2.2.2.1.1.2">delimited-∥∥</csymbol><apply id="S4.E10.m1.1.1.1.1.7.7.7.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.7.7.7.2.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E10.m1.1.1.1.1.7.7.7.2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.7.7.7.2.2.2.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="S4.E10.m1.1.1.1.1.7.7.7.2.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.7.7.7.2.2.2.1.1.1.2"><ci id="S4.E10.m1.1.1.1.1.7.7.7.2.2.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.7.7.7.2.2.2.1.1.1.2.1">~</ci><ci id="S4.E10.m1.1.1.1.1.7.7.7.2.2.2.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.7.7.7.2.2.2.1.1.1.2.2">𝐗</ci></apply><cn id="S4.E10.m1.1.1.1.1.7.7.7.2.2.2.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.7.7.7.2.2.2.1.1.1.3">23</cn></apply></apply><apply id="S4.E10.m1.1.1.1.1.7.7.7.2.2.2.3.cmml" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.7.7.7.2.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E10.m1.1.1.1.1.7.7.7.2.2.2.3.1.cmml" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.7.7.7.2.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S4.E10.m1.1.1.1.1.7.7.7.2.2.2.3.2.cmml" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.7.7.7.2.2.2.3.2">ℎ</ci><cn id="S4.E10.m1.1.1.1.1.7.7.7.2.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.7.7.7.2.2.2.3.3">1</cn></apply></apply></apply><apply id="S4.E10.m1.1.1.1.1.9.9.9.4.4.cmml" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.9.9.9.4.4"><divide id="S4.E10.m1.1.1.1.1.9.9.9.4.4.3.cmml" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.9.9.9.4.4"></divide><apply id="S4.E10.m1.1.1.1.1.8.8.8.3.3.1.2.cmml" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.8.8.8.3.3.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S4.E10.m1.1.1.1.1.8.8.8.3.3.1.2.1.cmml" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.8.8.8.3.3.1.1.2">delimited-∥∥</csymbol><apply id="S4.E10.m1.1.1.1.1.8.8.8.3.3.1.1.1.cmml" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.8.8.8.3.3.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E10.m1.1.1.1.1.8.8.8.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.8.8.8.3.3.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="S4.E10.m1.1.1.1.1.8.8.8.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.8.8.8.3.3.1.1.1.2"><ci id="S4.E10.m1.1.1.1.1.8.8.8.3.3.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.8.8.8.3.3.1.1.1.2.1">~</ci><ci id="S4.E10.m1.1.1.1.1.8.8.8.3.3.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.8.8.8.3.3.1.1.1.2.2">𝐗</ci></apply><apply id="S4.E10.m1.1.1.1.1.8.8.8.3.3.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.8.8.8.3.3.1.1.1.3"><times id="S4.E10.m1.1.1.1.1.8.8.8.3.3.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.8.8.8.3.3.1.1.1.3.1"></times><ci id="S4.E10.m1.1.1.1.1.8.8.8.3.3.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.8.8.8.3.3.1.1.1.3.2">𝑄</ci><cn id="S4.E10.m1.1.1.1.1.8.8.8.3.3.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.8.8.8.3.3.1.1.1.3.3">2</cn></apply></apply></apply><apply id="S4.E10.m1.1.1.1.1.9.9.9.4.4.2.cmml" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.9.9.9.4.4.2"><times id="S4.E10.m1.1.1.1.1.9.9.9.4.4.2.2.cmml" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.9.9.9.4.4.2.2"></times><apply id="S4.E10.m1.1.1.1.1.9.9.9.4.4.2.1.2.cmml" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.9.9.9.4.4.2.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S4.E10.m1.1.1.1.1.9.9.9.4.4.2.1.2.1.cmml" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.9.9.9.4.4.2.1.1.2">delimited-∥∥</csymbol><apply id="S4.E10.m1.1.1.1.1.9.9.9.4.4.2.1.1.1.cmml" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.9.9.9.4.4.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E10.m1.1.1.1.1.9.9.9.4.4.2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.9.9.9.4.4.2.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="S4.E10.m1.1.1.1.1.9.9.9.4.4.2.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.9.9.9.4.4.2.1.1.1.2"><ci id="S4.E10.m1.1.1.1.1.9.9.9.4.4.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.9.9.9.4.4.2.1.1.1.2.1">~</ci><ci id="S4.E10.m1.1.1.1.1.9.9.9.4.4.2.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.9.9.9.4.4.2.1.1.1.2.2">𝐗</ci></apply><cn id="S4.E10.m1.1.1.1.1.9.9.9.4.4.2.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.9.9.9.4.4.2.1.1.1.3">23</cn></apply></apply><apply id="S4.E10.m1.1.1.1.1.9.9.9.4.4.2.3.cmml" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.9.9.9.4.4.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E10.m1.1.1.1.1.9.9.9.4.4.2.3.1.cmml" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.9.9.9.4.4.2.3">subscript</csymbol><ci id="S4.E10.m1.1.1.1.1.9.9.9.4.4.2.3.2.cmml" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.9.9.9.4.4.2.3.2">ℎ</ci><cn id="S4.E10.m1.1.1.1.1.9.9.9.4.4.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.9.9.9.4.4.2.3.3">4</cn></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="S4.E10.m1.1.1.1.1.10.10.12.1.cmml" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.10.10.12.1"><divide id="S4.E10.m1.1.1.1.1.10.10.12.1.1.cmml" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.10.10.12.1"></divide><cn id="S4.E10.m1.1.1.1.1.10.10.12.1.2.cmml" type="integer" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.10.10.12.1.2">1</cn><apply id="S4.E10.m1.1.1.1.1.10.10.12.1.3.cmml" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.10.10.12.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E10.m1.1.1.1.1.10.10.12.1.3.1.cmml" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.10.10.12.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.E10.m1.1.1.1.1.10.10.12.1.3.2.cmml" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.10.10.12.1.3.2">ℎ</ci><cn id="S4.E10.m1.1.1.1.1.10.10.12.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.10.10.12.1.3.3">4</cn></apply></apply></matrixrow></matrix></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.E10.m1.1c">\begin{bmatrix}\frac{1}{h_{1}}&-\left(\frac{\lVert\tilde{\mathbf{X}}_{P3}% \rVert}{\lVert\tilde{\mathbf{X}}_{23}\rVert h_{1}}+\frac{\lVert\tilde{\mathbf{% X}}_{Q3}\rVert}{\lVert\tilde{\mathbf{X}}_{23}\rVert h_{4}}\right)&-\left(\frac% {\lVert\tilde{\mathbf{X}}_{P2}\rVert}{\lVert\tilde{\mathbf{X}}_{23}\rVert h_{1% }}+\frac{\lVert\tilde{\mathbf{X}}_{Q2}\rVert}{\lVert\tilde{\mathbf{X}}_{23}% \rVert h_{4}}\right)&\frac{1}{h_{4}}\end{bmatrix}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.E10.m1.1d">[ start_ARG start_ROW start_CELL divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_h start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT end_ARG end_CELL start_CELL - ( divide start_ARG ∥ over~ start_ARG bold_X end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_P 3 end_POSTSUBSCRIPT ∥ end_ARG start_ARG ∥ over~ start_ARG bold_X end_ARG start_POSTSUBSCRIPT 23 end_POSTSUBSCRIPT ∥ italic_h start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT end_ARG + divide start_ARG ∥ over~ start_ARG bold_X end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_Q 3 end_POSTSUBSCRIPT ∥ end_ARG start_ARG ∥ over~ start_ARG bold_X end_ARG start_POSTSUBSCRIPT 23 end_POSTSUBSCRIPT ∥ italic_h start_POSTSUBSCRIPT 4 end_POSTSUBSCRIPT end_ARG ) end_CELL start_CELL - ( divide start_ARG ∥ over~ start_ARG bold_X end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_P 2 end_POSTSUBSCRIPT ∥ end_ARG start_ARG ∥ over~ start_ARG bold_X end_ARG start_POSTSUBSCRIPT 23 end_POSTSUBSCRIPT ∥ italic_h start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT end_ARG + divide start_ARG ∥ over~ start_ARG bold_X end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_Q 2 end_POSTSUBSCRIPT ∥ end_ARG start_ARG ∥ over~ start_ARG bold_X end_ARG start_POSTSUBSCRIPT 23 end_POSTSUBSCRIPT ∥ italic_h start_POSTSUBSCRIPT 4 end_POSTSUBSCRIPT end_ARG ) end_CELL start_CELL divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_h start_POSTSUBSCRIPT 4 end_POSTSUBSCRIPT end_ARG end_CELL end_ROW end_ARG ]</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(10)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S4.SS3.p2.6">and <math alttext="\mathbf{N}=\mathbf{I}_{4\times 4}\otimes\mathbf{n}_{\tilde{z}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS3.p2.3.m1.1"><semantics id="S4.SS3.p2.3.m1.1a"><mrow id="S4.SS3.p2.3.m1.1.1" xref="S4.SS3.p2.3.m1.1.1.cmml"><mi id="S4.SS3.p2.3.m1.1.1.2" xref="S4.SS3.p2.3.m1.1.1.2.cmml">𝐍</mi><mo id="S4.SS3.p2.3.m1.1.1.1" xref="S4.SS3.p2.3.m1.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S4.SS3.p2.3.m1.1.1.3" xref="S4.SS3.p2.3.m1.1.1.3.cmml"><msub id="S4.SS3.p2.3.m1.1.1.3.2" xref="S4.SS3.p2.3.m1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S4.SS3.p2.3.m1.1.1.3.2.2" xref="S4.SS3.p2.3.m1.1.1.3.2.2.cmml">𝐈</mi><mrow id="S4.SS3.p2.3.m1.1.1.3.2.3" xref="S4.SS3.p2.3.m1.1.1.3.2.3.cmml"><mn id="S4.SS3.p2.3.m1.1.1.3.2.3.2" xref="S4.SS3.p2.3.m1.1.1.3.2.3.2.cmml">4</mn><mo id="S4.SS3.p2.3.m1.1.1.3.2.3.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S4.SS3.p2.3.m1.1.1.3.2.3.1.cmml">×</mo><mn id="S4.SS3.p2.3.m1.1.1.3.2.3.3" xref="S4.SS3.p2.3.m1.1.1.3.2.3.3.cmml">4</mn></mrow></msub><mo id="S4.SS3.p2.3.m1.1.1.3.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S4.SS3.p2.3.m1.1.1.3.1.cmml">⊗</mo><msub id="S4.SS3.p2.3.m1.1.1.3.3" xref="S4.SS3.p2.3.m1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S4.SS3.p2.3.m1.1.1.3.3.2" xref="S4.SS3.p2.3.m1.1.1.3.3.2.cmml">𝐧</mi><mover accent="true" id="S4.SS3.p2.3.m1.1.1.3.3.3" xref="S4.SS3.p2.3.m1.1.1.3.3.3.cmml"><mi id="S4.SS3.p2.3.m1.1.1.3.3.3.2" xref="S4.SS3.p2.3.m1.1.1.3.3.3.2.cmml">z</mi><mo id="S4.SS3.p2.3.m1.1.1.3.3.3.1" xref="S4.SS3.p2.3.m1.1.1.3.3.3.1.cmml">~</mo></mover></msub></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS3.p2.3.m1.1b"><apply id="S4.SS3.p2.3.m1.1.1.cmml" xref="S4.SS3.p2.3.m1.1.1"><eq id="S4.SS3.p2.3.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS3.p2.3.m1.1.1.1"></eq><ci id="S4.SS3.p2.3.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS3.p2.3.m1.1.1.2">𝐍</ci><apply id="S4.SS3.p2.3.m1.1.1.3.cmml" xref="S4.SS3.p2.3.m1.1.1.3"><csymbol cd="latexml" id="S4.SS3.p2.3.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.SS3.p2.3.m1.1.1.3.1">tensor-product</csymbol><apply id="S4.SS3.p2.3.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.SS3.p2.3.m1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS3.p2.3.m1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.SS3.p2.3.m1.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S4.SS3.p2.3.m1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.SS3.p2.3.m1.1.1.3.2.2">𝐈</ci><apply id="S4.SS3.p2.3.m1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S4.SS3.p2.3.m1.1.1.3.2.3"><times id="S4.SS3.p2.3.m1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S4.SS3.p2.3.m1.1.1.3.2.3.1"></times><cn id="S4.SS3.p2.3.m1.1.1.3.2.3.2.cmml" type="integer" xref="S4.SS3.p2.3.m1.1.1.3.2.3.2">4</cn><cn id="S4.SS3.p2.3.m1.1.1.3.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS3.p2.3.m1.1.1.3.2.3.3">4</cn></apply></apply><apply id="S4.SS3.p2.3.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.SS3.p2.3.m1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS3.p2.3.m1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.SS3.p2.3.m1.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S4.SS3.p2.3.m1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S4.SS3.p2.3.m1.1.1.3.3.2">𝐧</ci><apply id="S4.SS3.p2.3.m1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S4.SS3.p2.3.m1.1.1.3.3.3"><ci id="S4.SS3.p2.3.m1.1.1.3.3.3.1.cmml" xref="S4.SS3.p2.3.m1.1.1.3.3.3.1">~</ci><ci id="S4.SS3.p2.3.m1.1.1.3.3.3.2.cmml" xref="S4.SS3.p2.3.m1.1.1.3.3.3.2">𝑧</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS3.p2.3.m1.1c">\mathbf{N}=\mathbf{I}_{4\times 4}\otimes\mathbf{n}_{\tilde{z}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS3.p2.3.m1.1d">bold_N = bold_I start_POSTSUBSCRIPT 4 × 4 end_POSTSUBSCRIPT ⊗ bold_n start_POSTSUBSCRIPT over~ start_ARG italic_z end_ARG end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>. <math alttext="\otimes" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS3.p2.4.m2.1"><semantics id="S4.SS3.p2.4.m2.1a"><mo id="S4.SS3.p2.4.m2.1.1" xref="S4.SS3.p2.4.m2.1.1.cmml">⊗</mo><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS3.p2.4.m2.1b"><csymbol cd="latexml" id="S4.SS3.p2.4.m2.1.1.cmml" xref="S4.SS3.p2.4.m2.1.1">tensor-product</csymbol></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS3.p2.4.m2.1c">\otimes</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS3.p2.4.m2.1d">⊗</annotation></semantics></math> represents the Kronecker product, <math alttext="\mathbf{I}_{4\times 4}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS3.p2.5.m3.1"><semantics id="S4.SS3.p2.5.m3.1a"><msub id="S4.SS3.p2.5.m3.1.1" xref="S4.SS3.p2.5.m3.1.1.cmml"><mi id="S4.SS3.p2.5.m3.1.1.2" xref="S4.SS3.p2.5.m3.1.1.2.cmml">𝐈</mi><mrow id="S4.SS3.p2.5.m3.1.1.3" xref="S4.SS3.p2.5.m3.1.1.3.cmml"><mn id="S4.SS3.p2.5.m3.1.1.3.2" xref="S4.SS3.p2.5.m3.1.1.3.2.cmml">4</mn><mo id="S4.SS3.p2.5.m3.1.1.3.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S4.SS3.p2.5.m3.1.1.3.1.cmml">×</mo><mn id="S4.SS3.p2.5.m3.1.1.3.3" xref="S4.SS3.p2.5.m3.1.1.3.3.cmml">4</mn></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS3.p2.5.m3.1b"><apply id="S4.SS3.p2.5.m3.1.1.cmml" xref="S4.SS3.p2.5.m3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS3.p2.5.m3.1.1.1.cmml" xref="S4.SS3.p2.5.m3.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.SS3.p2.5.m3.1.1.2.cmml" xref="S4.SS3.p2.5.m3.1.1.2">𝐈</ci><apply id="S4.SS3.p2.5.m3.1.1.3.cmml" xref="S4.SS3.p2.5.m3.1.1.3"><times id="S4.SS3.p2.5.m3.1.1.3.1.cmml" xref="S4.SS3.p2.5.m3.1.1.3.1"></times><cn id="S4.SS3.p2.5.m3.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S4.SS3.p2.5.m3.1.1.3.2">4</cn><cn id="S4.SS3.p2.5.m3.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS3.p2.5.m3.1.1.3.3">4</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS3.p2.5.m3.1c">\mathbf{I}_{4\times 4}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS3.p2.5.m3.1d">bold_I start_POSTSUBSCRIPT 4 × 4 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> is the fourth order identity matrix and the transverse displacement vector of the edge-based stencil <math alttext="\mathbf{d}=\begin{bmatrix}\tilde{w}_{1}&\tilde{w}_{2}&\tilde{w}_{3}&\tilde{w}_% {4}\end{bmatrix}^{T}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS3.p2.6.m4.1"><semantics id="S4.SS3.p2.6.m4.1a"><mrow id="S4.SS3.p2.6.m4.1.2" xref="S4.SS3.p2.6.m4.1.2.cmml"><mi id="S4.SS3.p2.6.m4.1.2.2" xref="S4.SS3.p2.6.m4.1.2.2.cmml">𝐝</mi><mo id="S4.SS3.p2.6.m4.1.2.1" xref="S4.SS3.p2.6.m4.1.2.1.cmml">=</mo><msup id="S4.SS3.p2.6.m4.1.2.3" xref="S4.SS3.p2.6.m4.1.2.3.cmml"><mrow id="S4.SS3.p2.6.m4.1.1.3" xref="S4.SS3.p2.6.m4.1.1.2.cmml"><mo id="S4.SS3.p2.6.m4.1.1.3.1" xref="S4.SS3.p2.6.m4.1.1.2.1.cmml">[</mo><mtable columnspacing="5pt" id="S4.SS3.p2.6.m4.1.1.1.1" xref="S4.SS3.p2.6.m4.1.1.1.1.cmml"><mtr id="S4.SS3.p2.6.m4.1.1.1.1a" xref="S4.SS3.p2.6.m4.1.1.1.1.cmml"><mtd id="S4.SS3.p2.6.m4.1.1.1.1b" xref="S4.SS3.p2.6.m4.1.1.1.1.cmml"><msub id="S4.SS3.p2.6.m4.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.SS3.p2.6.m4.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S4.SS3.p2.6.m4.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.SS3.p2.6.m4.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.SS3.p2.6.m4.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.SS3.p2.6.m4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">w</mi><mo id="S4.SS3.p2.6.m4.1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S4.SS3.p2.6.m4.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">~</mo></mover><mn id="S4.SS3.p2.6.m4.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.SS3.p2.6.m4.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></msub></mtd><mtd id="S4.SS3.p2.6.m4.1.1.1.1c" xref="S4.SS3.p2.6.m4.1.1.1.1.cmml"><msub id="S4.SS3.p2.6.m4.1.1.1.1.1.2.1" xref="S4.SS3.p2.6.m4.1.1.1.1.1.2.1.cmml"><mover accent="true" id="S4.SS3.p2.6.m4.1.1.1.1.1.2.1.2" xref="S4.SS3.p2.6.m4.1.1.1.1.1.2.1.2.cmml"><mi id="S4.SS3.p2.6.m4.1.1.1.1.1.2.1.2.2" xref="S4.SS3.p2.6.m4.1.1.1.1.1.2.1.2.2.cmml">w</mi><mo id="S4.SS3.p2.6.m4.1.1.1.1.1.2.1.2.1" xref="S4.SS3.p2.6.m4.1.1.1.1.1.2.1.2.1.cmml">~</mo></mover><mn id="S4.SS3.p2.6.m4.1.1.1.1.1.2.1.3" xref="S4.SS3.p2.6.m4.1.1.1.1.1.2.1.3.cmml">2</mn></msub></mtd><mtd id="S4.SS3.p2.6.m4.1.1.1.1d" xref="S4.SS3.p2.6.m4.1.1.1.1.cmml"><msub id="S4.SS3.p2.6.m4.1.1.1.1.1.3.1" xref="S4.SS3.p2.6.m4.1.1.1.1.1.3.1.cmml"><mover accent="true" id="S4.SS3.p2.6.m4.1.1.1.1.1.3.1.2" xref="S4.SS3.p2.6.m4.1.1.1.1.1.3.1.2.cmml"><mi id="S4.SS3.p2.6.m4.1.1.1.1.1.3.1.2.2" xref="S4.SS3.p2.6.m4.1.1.1.1.1.3.1.2.2.cmml">w</mi><mo id="S4.SS3.p2.6.m4.1.1.1.1.1.3.1.2.1" xref="S4.SS3.p2.6.m4.1.1.1.1.1.3.1.2.1.cmml">~</mo></mover><mn id="S4.SS3.p2.6.m4.1.1.1.1.1.3.1.3" xref="S4.SS3.p2.6.m4.1.1.1.1.1.3.1.3.cmml">3</mn></msub></mtd><mtd id="S4.SS3.p2.6.m4.1.1.1.1e" xref="S4.SS3.p2.6.m4.1.1.1.1.cmml"><msub id="S4.SS3.p2.6.m4.1.1.1.1.1.4.1" xref="S4.SS3.p2.6.m4.1.1.1.1.1.4.1.cmml"><mover accent="true" id="S4.SS3.p2.6.m4.1.1.1.1.1.4.1.2" xref="S4.SS3.p2.6.m4.1.1.1.1.1.4.1.2.cmml"><mi id="S4.SS3.p2.6.m4.1.1.1.1.1.4.1.2.2" xref="S4.SS3.p2.6.m4.1.1.1.1.1.4.1.2.2.cmml">w</mi><mo id="S4.SS3.p2.6.m4.1.1.1.1.1.4.1.2.1" xref="S4.SS3.p2.6.m4.1.1.1.1.1.4.1.2.1.cmml">~</mo></mover><mn id="S4.SS3.p2.6.m4.1.1.1.1.1.4.1.3" xref="S4.SS3.p2.6.m4.1.1.1.1.1.4.1.3.cmml">4</mn></msub></mtd></mtr></mtable><mo id="S4.SS3.p2.6.m4.1.1.3.2" xref="S4.SS3.p2.6.m4.1.1.2.1.cmml">]</mo></mrow><mi id="S4.SS3.p2.6.m4.1.2.3.2" xref="S4.SS3.p2.6.m4.1.2.3.2.cmml">T</mi></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS3.p2.6.m4.1b"><apply id="S4.SS3.p2.6.m4.1.2.cmml" xref="S4.SS3.p2.6.m4.1.2"><eq id="S4.SS3.p2.6.m4.1.2.1.cmml" xref="S4.SS3.p2.6.m4.1.2.1"></eq><ci id="S4.SS3.p2.6.m4.1.2.2.cmml" xref="S4.SS3.p2.6.m4.1.2.2">𝐝</ci><apply id="S4.SS3.p2.6.m4.1.2.3.cmml" xref="S4.SS3.p2.6.m4.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS3.p2.6.m4.1.2.3.1.cmml" xref="S4.SS3.p2.6.m4.1.2.3">superscript</csymbol><apply id="S4.SS3.p2.6.m4.1.1.2.cmml" xref="S4.SS3.p2.6.m4.1.1.3"><csymbol cd="latexml" id="S4.SS3.p2.6.m4.1.1.2.1.cmml" xref="S4.SS3.p2.6.m4.1.1.3.1">matrix</csymbol><matrix id="S4.SS3.p2.6.m4.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS3.p2.6.m4.1.1.1.1"><matrixrow id="S4.SS3.p2.6.m4.1.1.1.1a.cmml" xref="S4.SS3.p2.6.m4.1.1.1.1"><apply id="S4.SS3.p2.6.m4.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS3.p2.6.m4.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS3.p2.6.m4.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS3.p2.6.m4.1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="S4.SS3.p2.6.m4.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS3.p2.6.m4.1.1.1.1.1.1.1.2"><ci id="S4.SS3.p2.6.m4.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.SS3.p2.6.m4.1.1.1.1.1.1.1.2.1">~</ci><ci id="S4.SS3.p2.6.m4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.SS3.p2.6.m4.1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝑤</ci></apply><cn id="S4.SS3.p2.6.m4.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS3.p2.6.m4.1.1.1.1.1.1.1.3">1</cn></apply><apply id="S4.SS3.p2.6.m4.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.SS3.p2.6.m4.1.1.1.1.1.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS3.p2.6.m4.1.1.1.1.1.2.1.1.cmml" xref="S4.SS3.p2.6.m4.1.1.1.1.1.2.1">subscript</csymbol><apply id="S4.SS3.p2.6.m4.1.1.1.1.1.2.1.2.cmml" xref="S4.SS3.p2.6.m4.1.1.1.1.1.2.1.2"><ci id="S4.SS3.p2.6.m4.1.1.1.1.1.2.1.2.1.cmml" xref="S4.SS3.p2.6.m4.1.1.1.1.1.2.1.2.1">~</ci><ci id="S4.SS3.p2.6.m4.1.1.1.1.1.2.1.2.2.cmml" xref="S4.SS3.p2.6.m4.1.1.1.1.1.2.1.2.2">𝑤</ci></apply><cn id="S4.SS3.p2.6.m4.1.1.1.1.1.2.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS3.p2.6.m4.1.1.1.1.1.2.1.3">2</cn></apply><apply id="S4.SS3.p2.6.m4.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.SS3.p2.6.m4.1.1.1.1.1.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS3.p2.6.m4.1.1.1.1.1.3.1.1.cmml" xref="S4.SS3.p2.6.m4.1.1.1.1.1.3.1">subscript</csymbol><apply id="S4.SS3.p2.6.m4.1.1.1.1.1.3.1.2.cmml" xref="S4.SS3.p2.6.m4.1.1.1.1.1.3.1.2"><ci id="S4.SS3.p2.6.m4.1.1.1.1.1.3.1.2.1.cmml" xref="S4.SS3.p2.6.m4.1.1.1.1.1.3.1.2.1">~</ci><ci id="S4.SS3.p2.6.m4.1.1.1.1.1.3.1.2.2.cmml" xref="S4.SS3.p2.6.m4.1.1.1.1.1.3.1.2.2">𝑤</ci></apply><cn id="S4.SS3.p2.6.m4.1.1.1.1.1.3.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS3.p2.6.m4.1.1.1.1.1.3.1.3">3</cn></apply><apply id="S4.SS3.p2.6.m4.1.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="S4.SS3.p2.6.m4.1.1.1.1.1.4.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS3.p2.6.m4.1.1.1.1.1.4.1.1.cmml" xref="S4.SS3.p2.6.m4.1.1.1.1.1.4.1">subscript</csymbol><apply id="S4.SS3.p2.6.m4.1.1.1.1.1.4.1.2.cmml" xref="S4.SS3.p2.6.m4.1.1.1.1.1.4.1.2"><ci id="S4.SS3.p2.6.m4.1.1.1.1.1.4.1.2.1.cmml" xref="S4.SS3.p2.6.m4.1.1.1.1.1.4.1.2.1">~</ci><ci id="S4.SS3.p2.6.m4.1.1.1.1.1.4.1.2.2.cmml" xref="S4.SS3.p2.6.m4.1.1.1.1.1.4.1.2.2">𝑤</ci></apply><cn id="S4.SS3.p2.6.m4.1.1.1.1.1.4.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS3.p2.6.m4.1.1.1.1.1.4.1.3">4</cn></apply></matrixrow></matrix></apply><ci id="S4.SS3.p2.6.m4.1.2.3.2.cmml" xref="S4.SS3.p2.6.m4.1.2.3.2">𝑇</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS3.p2.6.m4.1c">\mathbf{d}=\begin{bmatrix}\tilde{w}_{1}&\tilde{w}_{2}&\tilde{w}_{3}&\tilde{w}_% {4}\end{bmatrix}^{T}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS3.p2.6.m4.1d">bold_d = [ start_ARG start_ROW start_CELL over~ start_ARG italic_w end_ARG start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT end_CELL start_CELL over~ start_ARG italic_w end_ARG start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT end_CELL start_CELL over~ start_ARG italic_w end_ARG start_POSTSUBSCRIPT 3 end_POSTSUBSCRIPT end_CELL start_CELL over~ start_ARG italic_w end_ARG start_POSTSUBSCRIPT 4 end_POSTSUBSCRIPT end_CELL end_ROW end_ARG ] start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> measures the deviations of the nodes away from the corotational shell stencil in the current configuration (see Figure <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2502.10872v4#S4.F1" title="Figure 1 ‣ 4.3 Corotational edge-based hinge bending model ‣ 4 Geometric Discretization ‣ Corotational Hinge-based Thin Plates/Shells"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">1</span></a>).</p> </div> <div class="ltx_para" id="S4.SS3.p3"> <p class="ltx_p" id="S4.SS3.p3.4">To conveniently get the derivatives of curvature, we express the transverse displacement vector using the world coordinates, leading to the directional curvature</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S4.E11"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\kappa_{{m}}=\mathbf{L}_{m}\mathbf{N}^{T}(\mathbf{x}^{e}-\mathbf{x}_{c}^{e})." class="ltx_Math" display="block" id="S4.E11.m1.1"><semantics id="S4.E11.m1.1a"><mrow id="S4.E11.m1.1.1.1" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.E11.m1.1.1.1.1" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S4.E11.m1.1.1.1.1.3" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.E11.m1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.3.2.cmml">κ</mi><mi id="S4.E11.m1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.3.3.cmml">m</mi></msub><mo id="S4.E11.m1.1.1.1.1.2" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S4.E11.m1.1.1.1.1.1" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S4.E11.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.E11.m1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">𝐋</mi><mi id="S4.E11.m1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">m</mi></msub><mo id="S4.E11.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msup id="S4.E11.m1.1.1.1.1.1.4" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="S4.E11.m1.1.1.1.1.1.4.2" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.1.4.2.cmml">𝐍</mi><mi id="S4.E11.m1.1.1.1.1.1.4.3" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.1.4.3.cmml">T</mi></msup><mo id="S4.E11.m1.1.1.1.1.1.2a" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msup id="S4.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">𝐱</mi><mi id="S4.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">e</mi></msup><mo id="S4.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><msubsup id="S4.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">𝐱</mi><mi id="S4.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">c</mi><mi id="S4.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">e</mi></msubsup></mrow><mo id="S4.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.E11.m1.1.1.1.2" lspace="0em" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.E11.m1.1b"><apply id="S4.E11.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E11.m1.1.1.1"><eq id="S4.E11.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.2"></eq><apply id="S4.E11.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E11.m1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.E11.m1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.3.2">𝜅</ci><ci id="S4.E11.m1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.3.3">𝑚</ci></apply><apply id="S4.E11.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.1"><times id="S4.E11.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.1.2"></times><apply id="S4.E11.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E11.m1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.E11.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.1.3.2">𝐋</ci><ci id="S4.E11.m1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.1.3.3">𝑚</ci></apply><apply id="S4.E11.m1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E11.m1.1.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.1.4">superscript</csymbol><ci id="S4.E11.m1.1.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.1.4.2">𝐍</ci><ci id="S4.E11.m1.1.1.1.1.1.4.3.cmml" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.1.4.3">𝑇</ci></apply><apply id="S4.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1"><minus id="S4.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><apply id="S4.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S4.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝐱</ci><ci id="S4.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">𝑒</ci></apply><apply id="S4.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="S4.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2">𝐱</ci><ci id="S4.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3">𝑐</ci></apply><ci id="S4.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑒</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.E11.m1.1c">\kappa_{{m}}=\mathbf{L}_{m}\mathbf{N}^{T}(\mathbf{x}^{e}-\mathbf{x}_{c}^{e}).</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.E11.m1.1d">italic_κ start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT = bold_L start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT bold_N start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT ( bold_x start_POSTSUPERSCRIPT italic_e end_POSTSUPERSCRIPT - bold_x start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_e end_POSTSUPERSCRIPT ) .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(11)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S4.SS3.p3.3">In the geometry view, <math alttext="\mathbf{x}^{e}_{c}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS3.p3.1.m1.1"><semantics id="S4.SS3.p3.1.m1.1a"><msubsup id="S4.SS3.p3.1.m1.1.1" xref="S4.SS3.p3.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S4.SS3.p3.1.m1.1.1.2.2" xref="S4.SS3.p3.1.m1.1.1.2.2.cmml">𝐱</mi><mi id="S4.SS3.p3.1.m1.1.1.3" xref="S4.SS3.p3.1.m1.1.1.3.cmml">c</mi><mi id="S4.SS3.p3.1.m1.1.1.2.3" xref="S4.SS3.p3.1.m1.1.1.2.3.cmml">e</mi></msubsup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS3.p3.1.m1.1b"><apply id="S4.SS3.p3.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.SS3.p3.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS3.p3.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS3.p3.1.m1.1.1">subscript</csymbol><apply id="S4.SS3.p3.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS3.p3.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS3.p3.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.SS3.p3.1.m1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S4.SS3.p3.1.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.SS3.p3.1.m1.1.1.2.2">𝐱</ci><ci id="S4.SS3.p3.1.m1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.SS3.p3.1.m1.1.1.2.3">𝑒</ci></apply><ci id="S4.SS3.p3.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S4.SS3.p3.1.m1.1.1.3">𝑐</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS3.p3.1.m1.1c">\mathbf{x}^{e}_{c}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS3.p3.1.m1.1d">bold_x start_POSTSUPERSCRIPT italic_e end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> lies in the tangential plane of the current corotational frame. Since <math alttext="\mathbf{N}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS3.p3.2.m2.1"><semantics id="S4.SS3.p3.2.m2.1a"><mi id="S4.SS3.p3.2.m2.1.1" xref="S4.SS3.p3.2.m2.1.1.cmml">𝐍</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS3.p3.2.m2.1b"><ci id="S4.SS3.p3.2.m2.1.1.cmml" xref="S4.SS3.p3.2.m2.1.1">𝐍</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS3.p3.2.m2.1c">\mathbf{N}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS3.p3.2.m2.1d">bold_N</annotation></semantics></math> contains the normal directions of the current corotational frame, it’s obvious that <math alttext="\mathbf{N}^{T}\mathbf{x}^{e}_{c}=0" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS3.p3.3.m3.1"><semantics id="S4.SS3.p3.3.m3.1a"><mrow id="S4.SS3.p3.3.m3.1.1" xref="S4.SS3.p3.3.m3.1.1.cmml"><mrow id="S4.SS3.p3.3.m3.1.1.2" xref="S4.SS3.p3.3.m3.1.1.2.cmml"><msup id="S4.SS3.p3.3.m3.1.1.2.2" xref="S4.SS3.p3.3.m3.1.1.2.2.cmml"><mi id="S4.SS3.p3.3.m3.1.1.2.2.2" xref="S4.SS3.p3.3.m3.1.1.2.2.2.cmml">𝐍</mi><mi id="S4.SS3.p3.3.m3.1.1.2.2.3" xref="S4.SS3.p3.3.m3.1.1.2.2.3.cmml">T</mi></msup><mo id="S4.SS3.p3.3.m3.1.1.2.1" xref="S4.SS3.p3.3.m3.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.SS3.p3.3.m3.1.1.2.3" xref="S4.SS3.p3.3.m3.1.1.2.3.cmml"><mi id="S4.SS3.p3.3.m3.1.1.2.3.2.2" xref="S4.SS3.p3.3.m3.1.1.2.3.2.2.cmml">𝐱</mi><mi id="S4.SS3.p3.3.m3.1.1.2.3.3" xref="S4.SS3.p3.3.m3.1.1.2.3.3.cmml">c</mi><mi id="S4.SS3.p3.3.m3.1.1.2.3.2.3" xref="S4.SS3.p3.3.m3.1.1.2.3.2.3.cmml">e</mi></msubsup></mrow><mo id="S4.SS3.p3.3.m3.1.1.1" xref="S4.SS3.p3.3.m3.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S4.SS3.p3.3.m3.1.1.3" xref="S4.SS3.p3.3.m3.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS3.p3.3.m3.1b"><apply id="S4.SS3.p3.3.m3.1.1.cmml" xref="S4.SS3.p3.3.m3.1.1"><eq id="S4.SS3.p3.3.m3.1.1.1.cmml" xref="S4.SS3.p3.3.m3.1.1.1"></eq><apply id="S4.SS3.p3.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S4.SS3.p3.3.m3.1.1.2"><times id="S4.SS3.p3.3.m3.1.1.2.1.cmml" xref="S4.SS3.p3.3.m3.1.1.2.1"></times><apply id="S4.SS3.p3.3.m3.1.1.2.2.cmml" xref="S4.SS3.p3.3.m3.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS3.p3.3.m3.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.SS3.p3.3.m3.1.1.2.2">superscript</csymbol><ci id="S4.SS3.p3.3.m3.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.SS3.p3.3.m3.1.1.2.2.2">𝐍</ci><ci id="S4.SS3.p3.3.m3.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.SS3.p3.3.m3.1.1.2.2.3">𝑇</ci></apply><apply id="S4.SS3.p3.3.m3.1.1.2.3.cmml" xref="S4.SS3.p3.3.m3.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS3.p3.3.m3.1.1.2.3.1.cmml" xref="S4.SS3.p3.3.m3.1.1.2.3">subscript</csymbol><apply id="S4.SS3.p3.3.m3.1.1.2.3.2.cmml" xref="S4.SS3.p3.3.m3.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS3.p3.3.m3.1.1.2.3.2.1.cmml" xref="S4.SS3.p3.3.m3.1.1.2.3">superscript</csymbol><ci id="S4.SS3.p3.3.m3.1.1.2.3.2.2.cmml" xref="S4.SS3.p3.3.m3.1.1.2.3.2.2">𝐱</ci><ci id="S4.SS3.p3.3.m3.1.1.2.3.2.3.cmml" xref="S4.SS3.p3.3.m3.1.1.2.3.2.3">𝑒</ci></apply><ci id="S4.SS3.p3.3.m3.1.1.2.3.3.cmml" xref="S4.SS3.p3.3.m3.1.1.2.3.3">𝑐</ci></apply></apply><cn id="S4.SS3.p3.3.m3.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS3.p3.3.m3.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS3.p3.3.m3.1c">\mathbf{N}^{T}\mathbf{x}^{e}_{c}=0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS3.p3.3.m3.1d">bold_N start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT bold_x start_POSTSUPERSCRIPT italic_e end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT = 0</annotation></semantics></math>. We can obtain that</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S4.E12"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\mathbf{L}_{m}\mathbf{N}^{T}\mathbf{x}^{e}_{c}=\mathbf{0}." class="ltx_Math" display="block" id="S4.E12.m1.1"><semantics id="S4.E12.m1.1a"><mrow id="S4.E12.m1.1.1.1" xref="S4.E12.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.E12.m1.1.1.1.1" xref="S4.E12.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.E12.m1.1.1.1.1.2" xref="S4.E12.m1.1.1.1.1.2.cmml"><msub id="S4.E12.m1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.E12.m1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S4.E12.m1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S4.E12.m1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">𝐋</mi><mi id="S4.E12.m1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S4.E12.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">m</mi></msub><mo id="S4.E12.m1.1.1.1.1.2.1" xref="S4.E12.m1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="S4.E12.m1.1.1.1.1.2.3" xref="S4.E12.m1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S4.E12.m1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S4.E12.m1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">𝐍</mi><mi id="S4.E12.m1.1.1.1.1.2.3.3" xref="S4.E12.m1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">T</mi></msup><mo id="S4.E12.m1.1.1.1.1.2.1a" xref="S4.E12.m1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.E12.m1.1.1.1.1.2.4" xref="S4.E12.m1.1.1.1.1.2.4.cmml"><mi id="S4.E12.m1.1.1.1.1.2.4.2.2" xref="S4.E12.m1.1.1.1.1.2.4.2.2.cmml">𝐱</mi><mi id="S4.E12.m1.1.1.1.1.2.4.3" xref="S4.E12.m1.1.1.1.1.2.4.3.cmml">c</mi><mi id="S4.E12.m1.1.1.1.1.2.4.2.3" xref="S4.E12.m1.1.1.1.1.2.4.2.3.cmml">e</mi></msubsup></mrow><mo id="S4.E12.m1.1.1.1.1.1" xref="S4.E12.m1.1.1.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S4.E12.m1.1.1.1.1.3" xref="S4.E12.m1.1.1.1.1.3.cmml">𝟎</mn></mrow><mo id="S4.E12.m1.1.1.1.2" lspace="0em" xref="S4.E12.m1.1.1.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.E12.m1.1b"><apply id="S4.E12.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E12.m1.1.1.1"><eq id="S4.E12.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E12.m1.1.1.1.1.1"></eq><apply id="S4.E12.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E12.m1.1.1.1.1.2"><times id="S4.E12.m1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.E12.m1.1.1.1.1.2.1"></times><apply id="S4.E12.m1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.E12.m1.1.1.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E12.m1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.E12.m1.1.1.1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S4.E12.m1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.E12.m1.1.1.1.1.2.2.2">𝐋</ci><ci id="S4.E12.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.E12.m1.1.1.1.1.2.2.3">𝑚</ci></apply><apply id="S4.E12.m1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.E12.m1.1.1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E12.m1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S4.E12.m1.1.1.1.1.2.3">superscript</csymbol><ci id="S4.E12.m1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S4.E12.m1.1.1.1.1.2.3.2">𝐍</ci><ci id="S4.E12.m1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S4.E12.m1.1.1.1.1.2.3.3">𝑇</ci></apply><apply id="S4.E12.m1.1.1.1.1.2.4.cmml" xref="S4.E12.m1.1.1.1.1.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E12.m1.1.1.1.1.2.4.1.cmml" xref="S4.E12.m1.1.1.1.1.2.4">subscript</csymbol><apply id="S4.E12.m1.1.1.1.1.2.4.2.cmml" xref="S4.E12.m1.1.1.1.1.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E12.m1.1.1.1.1.2.4.2.1.cmml" xref="S4.E12.m1.1.1.1.1.2.4">superscript</csymbol><ci id="S4.E12.m1.1.1.1.1.2.4.2.2.cmml" xref="S4.E12.m1.1.1.1.1.2.4.2.2">𝐱</ci><ci id="S4.E12.m1.1.1.1.1.2.4.2.3.cmml" xref="S4.E12.m1.1.1.1.1.2.4.2.3">𝑒</ci></apply><ci id="S4.E12.m1.1.1.1.1.2.4.3.cmml" xref="S4.E12.m1.1.1.1.1.2.4.3">𝑐</ci></apply></apply><cn id="S4.E12.m1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.E12.m1.1.1.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.E12.m1.1c">\mathbf{L}_{m}\mathbf{N}^{T}\mathbf{x}^{e}_{c}=\mathbf{0}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.E12.m1.1d">bold_L start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT bold_N start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT bold_x start_POSTSUPERSCRIPT italic_e end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT = bold_0 .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(12)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S4.SS3.p3.5">Thus, the curvature of the edge-based shell stencil in the current configuration is</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S4.E13"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\kappa_{{m}}=\mathbf{L}_{m}\mathbf{N}^{T}\mathbf{x}^{e}." class="ltx_Math" display="block" id="S4.E13.m1.1"><semantics id="S4.E13.m1.1a"><mrow id="S4.E13.m1.1.1.1" xref="S4.E13.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.E13.m1.1.1.1.1" xref="S4.E13.m1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S4.E13.m1.1.1.1.1.2" xref="S4.E13.m1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.E13.m1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.E13.m1.1.1.1.1.2.2.cmml">κ</mi><mi id="S4.E13.m1.1.1.1.1.2.3" xref="S4.E13.m1.1.1.1.1.2.3.cmml">m</mi></msub><mo id="S4.E13.m1.1.1.1.1.1" xref="S4.E13.m1.1.1.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S4.E13.m1.1.1.1.1.3" xref="S4.E13.m1.1.1.1.1.3.cmml"><msub id="S4.E13.m1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.E13.m1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S4.E13.m1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S4.E13.m1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">𝐋</mi><mi id="S4.E13.m1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S4.E13.m1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">m</mi></msub><mo id="S4.E13.m1.1.1.1.1.3.1" xref="S4.E13.m1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="S4.E13.m1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.E13.m1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S4.E13.m1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S4.E13.m1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">𝐍</mi><mi id="S4.E13.m1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S4.E13.m1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">T</mi></msup><mo id="S4.E13.m1.1.1.1.1.3.1a" xref="S4.E13.m1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="S4.E13.m1.1.1.1.1.3.4" xref="S4.E13.m1.1.1.1.1.3.4.cmml"><mi id="S4.E13.m1.1.1.1.1.3.4.2" xref="S4.E13.m1.1.1.1.1.3.4.2.cmml">𝐱</mi><mi id="S4.E13.m1.1.1.1.1.3.4.3" xref="S4.E13.m1.1.1.1.1.3.4.3.cmml">e</mi></msup></mrow></mrow><mo id="S4.E13.m1.1.1.1.2" lspace="0em" xref="S4.E13.m1.1.1.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.E13.m1.1b"><apply id="S4.E13.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E13.m1.1.1.1"><eq id="S4.E13.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E13.m1.1.1.1.1.1"></eq><apply id="S4.E13.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E13.m1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E13.m1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.E13.m1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S4.E13.m1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.E13.m1.1.1.1.1.2.2">𝜅</ci><ci id="S4.E13.m1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.E13.m1.1.1.1.1.2.3">𝑚</ci></apply><apply id="S4.E13.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E13.m1.1.1.1.1.3"><times id="S4.E13.m1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E13.m1.1.1.1.1.3.1"></times><apply id="S4.E13.m1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.E13.m1.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E13.m1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.E13.m1.1.1.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S4.E13.m1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.E13.m1.1.1.1.1.3.2.2">𝐋</ci><ci id="S4.E13.m1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S4.E13.m1.1.1.1.1.3.2.3">𝑚</ci></apply><apply id="S4.E13.m1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.E13.m1.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E13.m1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.E13.m1.1.1.1.1.3.3">superscript</csymbol><ci id="S4.E13.m1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S4.E13.m1.1.1.1.1.3.3.2">𝐍</ci><ci id="S4.E13.m1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S4.E13.m1.1.1.1.1.3.3.3">𝑇</ci></apply><apply id="S4.E13.m1.1.1.1.1.3.4.cmml" xref="S4.E13.m1.1.1.1.1.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E13.m1.1.1.1.1.3.4.1.cmml" xref="S4.E13.m1.1.1.1.1.3.4">superscript</csymbol><ci id="S4.E13.m1.1.1.1.1.3.4.2.cmml" xref="S4.E13.m1.1.1.1.1.3.4.2">𝐱</ci><ci id="S4.E13.m1.1.1.1.1.3.4.3.cmml" xref="S4.E13.m1.1.1.1.1.3.4.3">𝑒</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.E13.m1.1c">\kappa_{{m}}=\mathbf{L}_{m}\mathbf{N}^{T}\mathbf{x}^{e}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.E13.m1.1d">italic_κ start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT = bold_L start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT bold_N start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT bold_x start_POSTSUPERSCRIPT italic_e end_POSTSUPERSCRIPT .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(13)</span></td> </tr></tbody> </table> </div> <div class="ltx_para" id="S4.SS3.p4"> <p class="ltx_p" id="S4.SS3.p4.3">Similarly, the curvature of the edge-based shell stencil in the initial configuration is</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S4.E14"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="(\kappa_{{m}})_{0}=\mathbf{L}_{m}\mathbf{d}_{0}=\mathbf{L}_{m}\mathbf{N}_{0}^{% T}\mathbf{X}^{e}," class="ltx_Math" display="block" id="S4.E14.m1.1"><semantics id="S4.E14.m1.1a"><mrow id="S4.E14.m1.1.1.1" xref="S4.E14.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.E14.m1.1.1.1.1" xref="S4.E14.m1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S4.E14.m1.1.1.1.1.1" xref="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">κ</mi><mi id="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">m</mi></msub><mo id="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mn id="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.3.cmml">0</mn></msub><mo id="S4.E14.m1.1.1.1.1.3" xref="S4.E14.m1.1.1.1.1.3.cmml">=</mo><mrow id="S4.E14.m1.1.1.1.1.4" xref="S4.E14.m1.1.1.1.1.4.cmml"><msub id="S4.E14.m1.1.1.1.1.4.2" xref="S4.E14.m1.1.1.1.1.4.2.cmml"><mi id="S4.E14.m1.1.1.1.1.4.2.2" xref="S4.E14.m1.1.1.1.1.4.2.2.cmml">𝐋</mi><mi id="S4.E14.m1.1.1.1.1.4.2.3" xref="S4.E14.m1.1.1.1.1.4.2.3.cmml">m</mi></msub><mo id="S4.E14.m1.1.1.1.1.4.1" xref="S4.E14.m1.1.1.1.1.4.1.cmml">⁢</mo><msub id="S4.E14.m1.1.1.1.1.4.3" xref="S4.E14.m1.1.1.1.1.4.3.cmml"><mi id="S4.E14.m1.1.1.1.1.4.3.2" xref="S4.E14.m1.1.1.1.1.4.3.2.cmml">𝐝</mi><mn id="S4.E14.m1.1.1.1.1.4.3.3" xref="S4.E14.m1.1.1.1.1.4.3.3.cmml">0</mn></msub></mrow><mo id="S4.E14.m1.1.1.1.1.5" xref="S4.E14.m1.1.1.1.1.5.cmml">=</mo><mrow id="S4.E14.m1.1.1.1.1.6" xref="S4.E14.m1.1.1.1.1.6.cmml"><msub id="S4.E14.m1.1.1.1.1.6.2" xref="S4.E14.m1.1.1.1.1.6.2.cmml"><mi id="S4.E14.m1.1.1.1.1.6.2.2" xref="S4.E14.m1.1.1.1.1.6.2.2.cmml">𝐋</mi><mi id="S4.E14.m1.1.1.1.1.6.2.3" xref="S4.E14.m1.1.1.1.1.6.2.3.cmml">m</mi></msub><mo id="S4.E14.m1.1.1.1.1.6.1" xref="S4.E14.m1.1.1.1.1.6.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.E14.m1.1.1.1.1.6.3" xref="S4.E14.m1.1.1.1.1.6.3.cmml"><mi id="S4.E14.m1.1.1.1.1.6.3.2.2" xref="S4.E14.m1.1.1.1.1.6.3.2.2.cmml">𝐍</mi><mn id="S4.E14.m1.1.1.1.1.6.3.2.3" xref="S4.E14.m1.1.1.1.1.6.3.2.3.cmml">0</mn><mi id="S4.E14.m1.1.1.1.1.6.3.3" xref="S4.E14.m1.1.1.1.1.6.3.3.cmml">T</mi></msubsup><mo id="S4.E14.m1.1.1.1.1.6.1a" xref="S4.E14.m1.1.1.1.1.6.1.cmml">⁢</mo><msup id="S4.E14.m1.1.1.1.1.6.4" xref="S4.E14.m1.1.1.1.1.6.4.cmml"><mi id="S4.E14.m1.1.1.1.1.6.4.2" xref="S4.E14.m1.1.1.1.1.6.4.2.cmml">𝐗</mi><mi id="S4.E14.m1.1.1.1.1.6.4.3" xref="S4.E14.m1.1.1.1.1.6.4.3.cmml">e</mi></msup></mrow></mrow><mo id="S4.E14.m1.1.1.1.2" xref="S4.E14.m1.1.1.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.E14.m1.1b"><apply id="S4.E14.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E14.m1.1.1.1"><and id="S4.E14.m1.1.1.1.1a.cmml" xref="S4.E14.m1.1.1.1"></and><apply id="S4.E14.m1.1.1.1.1b.cmml" xref="S4.E14.m1.1.1.1"><eq id="S4.E14.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E14.m1.1.1.1.1.3"></eq><apply id="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E14.m1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E14.m1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝜅</ci><ci id="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑚</ci></apply><cn id="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.3">0</cn></apply><apply id="S4.E14.m1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S4.E14.m1.1.1.1.1.4"><times id="S4.E14.m1.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="S4.E14.m1.1.1.1.1.4.1"></times><apply id="S4.E14.m1.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="S4.E14.m1.1.1.1.1.4.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E14.m1.1.1.1.1.4.2.1.cmml" xref="S4.E14.m1.1.1.1.1.4.2">subscript</csymbol><ci id="S4.E14.m1.1.1.1.1.4.2.2.cmml" xref="S4.E14.m1.1.1.1.1.4.2.2">𝐋</ci><ci id="S4.E14.m1.1.1.1.1.4.2.3.cmml" xref="S4.E14.m1.1.1.1.1.4.2.3">𝑚</ci></apply><apply id="S4.E14.m1.1.1.1.1.4.3.cmml" xref="S4.E14.m1.1.1.1.1.4.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E14.m1.1.1.1.1.4.3.1.cmml" xref="S4.E14.m1.1.1.1.1.4.3">subscript</csymbol><ci id="S4.E14.m1.1.1.1.1.4.3.2.cmml" xref="S4.E14.m1.1.1.1.1.4.3.2">𝐝</ci><cn id="S4.E14.m1.1.1.1.1.4.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.E14.m1.1.1.1.1.4.3.3">0</cn></apply></apply></apply><apply id="S4.E14.m1.1.1.1.1c.cmml" xref="S4.E14.m1.1.1.1"><eq id="S4.E14.m1.1.1.1.1.5.cmml" xref="S4.E14.m1.1.1.1.1.5"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2502.10872v4#S4.E14.m1.1.1.1.1.4.cmml" id="S4.E14.m1.1.1.1.1d.cmml" xref="S4.E14.m1.1.1.1"></share><apply id="S4.E14.m1.1.1.1.1.6.cmml" xref="S4.E14.m1.1.1.1.1.6"><times id="S4.E14.m1.1.1.1.1.6.1.cmml" xref="S4.E14.m1.1.1.1.1.6.1"></times><apply id="S4.E14.m1.1.1.1.1.6.2.cmml" xref="S4.E14.m1.1.1.1.1.6.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E14.m1.1.1.1.1.6.2.1.cmml" xref="S4.E14.m1.1.1.1.1.6.2">subscript</csymbol><ci id="S4.E14.m1.1.1.1.1.6.2.2.cmml" xref="S4.E14.m1.1.1.1.1.6.2.2">𝐋</ci><ci id="S4.E14.m1.1.1.1.1.6.2.3.cmml" xref="S4.E14.m1.1.1.1.1.6.2.3">𝑚</ci></apply><apply id="S4.E14.m1.1.1.1.1.6.3.cmml" xref="S4.E14.m1.1.1.1.1.6.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E14.m1.1.1.1.1.6.3.1.cmml" xref="S4.E14.m1.1.1.1.1.6.3">superscript</csymbol><apply id="S4.E14.m1.1.1.1.1.6.3.2.cmml" xref="S4.E14.m1.1.1.1.1.6.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E14.m1.1.1.1.1.6.3.2.1.cmml" xref="S4.E14.m1.1.1.1.1.6.3">subscript</csymbol><ci id="S4.E14.m1.1.1.1.1.6.3.2.2.cmml" xref="S4.E14.m1.1.1.1.1.6.3.2.2">𝐍</ci><cn id="S4.E14.m1.1.1.1.1.6.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.E14.m1.1.1.1.1.6.3.2.3">0</cn></apply><ci id="S4.E14.m1.1.1.1.1.6.3.3.cmml" xref="S4.E14.m1.1.1.1.1.6.3.3">𝑇</ci></apply><apply id="S4.E14.m1.1.1.1.1.6.4.cmml" xref="S4.E14.m1.1.1.1.1.6.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E14.m1.1.1.1.1.6.4.1.cmml" xref="S4.E14.m1.1.1.1.1.6.4">superscript</csymbol><ci id="S4.E14.m1.1.1.1.1.6.4.2.cmml" xref="S4.E14.m1.1.1.1.1.6.4.2">𝐗</ci><ci id="S4.E14.m1.1.1.1.1.6.4.3.cmml" xref="S4.E14.m1.1.1.1.1.6.4.3">𝑒</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.E14.m1.1c">(\kappa_{{m}})_{0}=\mathbf{L}_{m}\mathbf{d}_{0}=\mathbf{L}_{m}\mathbf{N}_{0}^{% T}\mathbf{X}^{e},</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.E14.m1.1d">( italic_κ start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT ) start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT = bold_L start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT bold_d start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT = bold_L start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT bold_N start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT bold_X start_POSTSUPERSCRIPT italic_e end_POSTSUPERSCRIPT ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(14)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S4.SS3.p4.2">where <math alttext="\mathbf{N}_{0}=\mathbf{I}_{4\times 4}\otimes\mathbf{n}_{\tilde{Z}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS3.p4.1.m1.1"><semantics id="S4.SS3.p4.1.m1.1a"><mrow id="S4.SS3.p4.1.m1.1.1" xref="S4.SS3.p4.1.m1.1.1.cmml"><msub id="S4.SS3.p4.1.m1.1.1.2" xref="S4.SS3.p4.1.m1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.SS3.p4.1.m1.1.1.2.2" xref="S4.SS3.p4.1.m1.1.1.2.2.cmml">𝐍</mi><mn id="S4.SS3.p4.1.m1.1.1.2.3" xref="S4.SS3.p4.1.m1.1.1.2.3.cmml">0</mn></msub><mo id="S4.SS3.p4.1.m1.1.1.1" xref="S4.SS3.p4.1.m1.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S4.SS3.p4.1.m1.1.1.3" xref="S4.SS3.p4.1.m1.1.1.3.cmml"><msub id="S4.SS3.p4.1.m1.1.1.3.2" xref="S4.SS3.p4.1.m1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S4.SS3.p4.1.m1.1.1.3.2.2" xref="S4.SS3.p4.1.m1.1.1.3.2.2.cmml">𝐈</mi><mrow id="S4.SS3.p4.1.m1.1.1.3.2.3" xref="S4.SS3.p4.1.m1.1.1.3.2.3.cmml"><mn id="S4.SS3.p4.1.m1.1.1.3.2.3.2" xref="S4.SS3.p4.1.m1.1.1.3.2.3.2.cmml">4</mn><mo id="S4.SS3.p4.1.m1.1.1.3.2.3.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S4.SS3.p4.1.m1.1.1.3.2.3.1.cmml">×</mo><mn id="S4.SS3.p4.1.m1.1.1.3.2.3.3" xref="S4.SS3.p4.1.m1.1.1.3.2.3.3.cmml">4</mn></mrow></msub><mo id="S4.SS3.p4.1.m1.1.1.3.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S4.SS3.p4.1.m1.1.1.3.1.cmml">⊗</mo><msub id="S4.SS3.p4.1.m1.1.1.3.3" xref="S4.SS3.p4.1.m1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S4.SS3.p4.1.m1.1.1.3.3.2" xref="S4.SS3.p4.1.m1.1.1.3.3.2.cmml">𝐧</mi><mover accent="true" id="S4.SS3.p4.1.m1.1.1.3.3.3" xref="S4.SS3.p4.1.m1.1.1.3.3.3.cmml"><mi id="S4.SS3.p4.1.m1.1.1.3.3.3.2" xref="S4.SS3.p4.1.m1.1.1.3.3.3.2.cmml">Z</mi><mo id="S4.SS3.p4.1.m1.1.1.3.3.3.1" xref="S4.SS3.p4.1.m1.1.1.3.3.3.1.cmml">~</mo></mover></msub></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS3.p4.1.m1.1b"><apply id="S4.SS3.p4.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.SS3.p4.1.m1.1.1"><eq id="S4.SS3.p4.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS3.p4.1.m1.1.1.1"></eq><apply id="S4.SS3.p4.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS3.p4.1.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS3.p4.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.SS3.p4.1.m1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S4.SS3.p4.1.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.SS3.p4.1.m1.1.1.2.2">𝐍</ci><cn id="S4.SS3.p4.1.m1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS3.p4.1.m1.1.1.2.3">0</cn></apply><apply id="S4.SS3.p4.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S4.SS3.p4.1.m1.1.1.3"><csymbol cd="latexml" id="S4.SS3.p4.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.SS3.p4.1.m1.1.1.3.1">tensor-product</csymbol><apply id="S4.SS3.p4.1.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.SS3.p4.1.m1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS3.p4.1.m1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.SS3.p4.1.m1.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S4.SS3.p4.1.m1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.SS3.p4.1.m1.1.1.3.2.2">𝐈</ci><apply id="S4.SS3.p4.1.m1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S4.SS3.p4.1.m1.1.1.3.2.3"><times id="S4.SS3.p4.1.m1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S4.SS3.p4.1.m1.1.1.3.2.3.1"></times><cn id="S4.SS3.p4.1.m1.1.1.3.2.3.2.cmml" type="integer" xref="S4.SS3.p4.1.m1.1.1.3.2.3.2">4</cn><cn id="S4.SS3.p4.1.m1.1.1.3.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS3.p4.1.m1.1.1.3.2.3.3">4</cn></apply></apply><apply id="S4.SS3.p4.1.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.SS3.p4.1.m1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS3.p4.1.m1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.SS3.p4.1.m1.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S4.SS3.p4.1.m1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S4.SS3.p4.1.m1.1.1.3.3.2">𝐧</ci><apply id="S4.SS3.p4.1.m1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S4.SS3.p4.1.m1.1.1.3.3.3"><ci id="S4.SS3.p4.1.m1.1.1.3.3.3.1.cmml" xref="S4.SS3.p4.1.m1.1.1.3.3.3.1">~</ci><ci id="S4.SS3.p4.1.m1.1.1.3.3.3.2.cmml" xref="S4.SS3.p4.1.m1.1.1.3.3.3.2">𝑍</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS3.p4.1.m1.1c">\mathbf{N}_{0}=\mathbf{I}_{4\times 4}\otimes\mathbf{n}_{\tilde{Z}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS3.p4.1.m1.1d">bold_N start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT = bold_I start_POSTSUBSCRIPT 4 × 4 end_POSTSUBSCRIPT ⊗ bold_n start_POSTSUBSCRIPT over~ start_ARG italic_Z end_ARG end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>. In fact, <math alttext="\mathbf{d}_{0}=\mathbf{N}_{0}^{T}\mathbf{X}^{e}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS3.p4.2.m2.1"><semantics id="S4.SS3.p4.2.m2.1a"><mrow id="S4.SS3.p4.2.m2.1.1" xref="S4.SS3.p4.2.m2.1.1.cmml"><msub id="S4.SS3.p4.2.m2.1.1.2" xref="S4.SS3.p4.2.m2.1.1.2.cmml"><mi id="S4.SS3.p4.2.m2.1.1.2.2" xref="S4.SS3.p4.2.m2.1.1.2.2.cmml">𝐝</mi><mn id="S4.SS3.p4.2.m2.1.1.2.3" xref="S4.SS3.p4.2.m2.1.1.2.3.cmml">0</mn></msub><mo id="S4.SS3.p4.2.m2.1.1.1" xref="S4.SS3.p4.2.m2.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S4.SS3.p4.2.m2.1.1.3" xref="S4.SS3.p4.2.m2.1.1.3.cmml"><msubsup id="S4.SS3.p4.2.m2.1.1.3.2" xref="S4.SS3.p4.2.m2.1.1.3.2.cmml"><mi id="S4.SS3.p4.2.m2.1.1.3.2.2.2" xref="S4.SS3.p4.2.m2.1.1.3.2.2.2.cmml">𝐍</mi><mn id="S4.SS3.p4.2.m2.1.1.3.2.2.3" xref="S4.SS3.p4.2.m2.1.1.3.2.2.3.cmml">0</mn><mi id="S4.SS3.p4.2.m2.1.1.3.2.3" xref="S4.SS3.p4.2.m2.1.1.3.2.3.cmml">T</mi></msubsup><mo id="S4.SS3.p4.2.m2.1.1.3.1" xref="S4.SS3.p4.2.m2.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="S4.SS3.p4.2.m2.1.1.3.3" xref="S4.SS3.p4.2.m2.1.1.3.3.cmml"><mi id="S4.SS3.p4.2.m2.1.1.3.3.2" xref="S4.SS3.p4.2.m2.1.1.3.3.2.cmml">𝐗</mi><mi id="S4.SS3.p4.2.m2.1.1.3.3.3" xref="S4.SS3.p4.2.m2.1.1.3.3.3.cmml">e</mi></msup></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS3.p4.2.m2.1b"><apply id="S4.SS3.p4.2.m2.1.1.cmml" xref="S4.SS3.p4.2.m2.1.1"><eq id="S4.SS3.p4.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S4.SS3.p4.2.m2.1.1.1"></eq><apply id="S4.SS3.p4.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S4.SS3.p4.2.m2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS3.p4.2.m2.1.1.2.1.cmml" xref="S4.SS3.p4.2.m2.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S4.SS3.p4.2.m2.1.1.2.2.cmml" xref="S4.SS3.p4.2.m2.1.1.2.2">𝐝</ci><cn id="S4.SS3.p4.2.m2.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS3.p4.2.m2.1.1.2.3">0</cn></apply><apply id="S4.SS3.p4.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S4.SS3.p4.2.m2.1.1.3"><times id="S4.SS3.p4.2.m2.1.1.3.1.cmml" xref="S4.SS3.p4.2.m2.1.1.3.1"></times><apply id="S4.SS3.p4.2.m2.1.1.3.2.cmml" xref="S4.SS3.p4.2.m2.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS3.p4.2.m2.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.SS3.p4.2.m2.1.1.3.2">superscript</csymbol><apply id="S4.SS3.p4.2.m2.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.SS3.p4.2.m2.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS3.p4.2.m2.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S4.SS3.p4.2.m2.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S4.SS3.p4.2.m2.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S4.SS3.p4.2.m2.1.1.3.2.2.2">𝐍</ci><cn id="S4.SS3.p4.2.m2.1.1.3.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS3.p4.2.m2.1.1.3.2.2.3">0</cn></apply><ci id="S4.SS3.p4.2.m2.1.1.3.2.3.cmml" xref="S4.SS3.p4.2.m2.1.1.3.2.3">𝑇</ci></apply><apply id="S4.SS3.p4.2.m2.1.1.3.3.cmml" xref="S4.SS3.p4.2.m2.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS3.p4.2.m2.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.SS3.p4.2.m2.1.1.3.3">superscript</csymbol><ci id="S4.SS3.p4.2.m2.1.1.3.3.2.cmml" xref="S4.SS3.p4.2.m2.1.1.3.3.2">𝐗</ci><ci id="S4.SS3.p4.2.m2.1.1.3.3.3.cmml" xref="S4.SS3.p4.2.m2.1.1.3.3.3">𝑒</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS3.p4.2.m2.1c">\mathbf{d}_{0}=\mathbf{N}_{0}^{T}\mathbf{X}^{e}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS3.p4.2.m2.1d">bold_d start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT = bold_N start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT bold_X start_POSTSUPERSCRIPT italic_e end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> measures the deviations of the edge-based shell stencil away from the corotational shell stencil in the initial configuration.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S4.SS3.p5"> <p class="ltx_p" id="S4.SS3.p5.3">The curvature derivation process for the corotational edge-based hinge bending model can also be generalized to the corotational FVM/smoothed hinge bending model. The difference lies in quantifying curvature from the edge-based shell stencil to the triangle-centered shell stencil. For the corotational FVM/smoothed hinge bending model, the direction of the <math alttext="\tilde{z}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS3.p5.1.m1.1"><semantics id="S4.SS3.p5.1.m1.1a"><mover accent="true" id="S4.SS3.p5.1.m1.1.1" xref="S4.SS3.p5.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S4.SS3.p5.1.m1.1.1.2" xref="S4.SS3.p5.1.m1.1.1.2.cmml">z</mi><mo id="S4.SS3.p5.1.m1.1.1.1" xref="S4.SS3.p5.1.m1.1.1.1.cmml">~</mo></mover><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS3.p5.1.m1.1b"><apply id="S4.SS3.p5.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.SS3.p5.1.m1.1.1"><ci id="S4.SS3.p5.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS3.p5.1.m1.1.1.1">~</ci><ci id="S4.SS3.p5.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS3.p5.1.m1.1.1.2">𝑧</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS3.p5.1.m1.1c">\tilde{z}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS3.p5.1.m1.1d">over~ start_ARG italic_z end_ARG</annotation></semantics></math>-axis in the current corotational frame is exactly given by the normal of the central triangle <math alttext="T_{123}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS3.p5.2.m2.1"><semantics id="S4.SS3.p5.2.m2.1a"><msub id="S4.SS3.p5.2.m2.1.1" xref="S4.SS3.p5.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S4.SS3.p5.2.m2.1.1.2" xref="S4.SS3.p5.2.m2.1.1.2.cmml">T</mi><mn id="S4.SS3.p5.2.m2.1.1.3" xref="S4.SS3.p5.2.m2.1.1.3.cmml">123</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS3.p5.2.m2.1b"><apply id="S4.SS3.p5.2.m2.1.1.cmml" xref="S4.SS3.p5.2.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS3.p5.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S4.SS3.p5.2.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.SS3.p5.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S4.SS3.p5.2.m2.1.1.2">𝑇</ci><cn id="S4.SS3.p5.2.m2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS3.p5.2.m2.1.1.3">123</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS3.p5.2.m2.1c">T_{123}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS3.p5.2.m2.1d">italic_T start_POSTSUBSCRIPT 123 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, i.e., <math alttext="\mathbf{n}_{c}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS3.p5.3.m3.1"><semantics id="S4.SS3.p5.3.m3.1a"><msub id="S4.SS3.p5.3.m3.1.1" xref="S4.SS3.p5.3.m3.1.1.cmml"><mi id="S4.SS3.p5.3.m3.1.1.2" xref="S4.SS3.p5.3.m3.1.1.2.cmml">𝐧</mi><mi id="S4.SS3.p5.3.m3.1.1.3" xref="S4.SS3.p5.3.m3.1.1.3.cmml">c</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS3.p5.3.m3.1b"><apply id="S4.SS3.p5.3.m3.1.1.cmml" xref="S4.SS3.p5.3.m3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS3.p5.3.m3.1.1.1.cmml" xref="S4.SS3.p5.3.m3.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.SS3.p5.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S4.SS3.p5.3.m3.1.1.2">𝐧</ci><ci id="S4.SS3.p5.3.m3.1.1.3.cmml" xref="S4.SS3.p5.3.m3.1.1.3">𝑐</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS3.p5.3.m3.1c">\mathbf{n}_{c}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS3.p5.3.m3.1d">bold_n start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> in Eq. (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2502.10872v4#S4.E8" title="In 4.3 Corotational edge-based hinge bending model ‣ 4 Geometric Discretization ‣ Corotational Hinge-based Thin Plates/Shells"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">8</span></a>) should be replaced by</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S4.E15"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\mathbf{n}_{c}=\mathbf{x}_{12}\times\mathbf{x}_{13}." class="ltx_Math" display="block" id="S4.E15.m1.1"><semantics id="S4.E15.m1.1a"><mrow id="S4.E15.m1.1.1.1" xref="S4.E15.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.E15.m1.1.1.1.1" xref="S4.E15.m1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S4.E15.m1.1.1.1.1.2" xref="S4.E15.m1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.E15.m1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.E15.m1.1.1.1.1.2.2.cmml">𝐧</mi><mi id="S4.E15.m1.1.1.1.1.2.3" xref="S4.E15.m1.1.1.1.1.2.3.cmml">c</mi></msub><mo id="S4.E15.m1.1.1.1.1.1" xref="S4.E15.m1.1.1.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S4.E15.m1.1.1.1.1.3" xref="S4.E15.m1.1.1.1.1.3.cmml"><msub id="S4.E15.m1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.E15.m1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S4.E15.m1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S4.E15.m1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">𝐱</mi><mn id="S4.E15.m1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S4.E15.m1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">12</mn></msub><mo id="S4.E15.m1.1.1.1.1.3.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S4.E15.m1.1.1.1.1.3.1.cmml">×</mo><msub id="S4.E15.m1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.E15.m1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S4.E15.m1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S4.E15.m1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">𝐱</mi><mn id="S4.E15.m1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S4.E15.m1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">13</mn></msub></mrow></mrow><mo id="S4.E15.m1.1.1.1.2" lspace="0em" xref="S4.E15.m1.1.1.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.E15.m1.1b"><apply id="S4.E15.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E15.m1.1.1.1"><eq id="S4.E15.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E15.m1.1.1.1.1.1"></eq><apply id="S4.E15.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E15.m1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E15.m1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.E15.m1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S4.E15.m1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.E15.m1.1.1.1.1.2.2">𝐧</ci><ci id="S4.E15.m1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.E15.m1.1.1.1.1.2.3">𝑐</ci></apply><apply id="S4.E15.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E15.m1.1.1.1.1.3"><times id="S4.E15.m1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E15.m1.1.1.1.1.3.1"></times><apply id="S4.E15.m1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.E15.m1.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E15.m1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.E15.m1.1.1.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S4.E15.m1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.E15.m1.1.1.1.1.3.2.2">𝐱</ci><cn id="S4.E15.m1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.E15.m1.1.1.1.1.3.2.3">12</cn></apply><apply id="S4.E15.m1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.E15.m1.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E15.m1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.E15.m1.1.1.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S4.E15.m1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S4.E15.m1.1.1.1.1.3.3.2">𝐱</ci><cn id="S4.E15.m1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.E15.m1.1.1.1.1.3.3.3">13</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.E15.m1.1c">\mathbf{n}_{c}=\mathbf{x}_{12}\times\mathbf{x}_{13}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.E15.m1.1d">bold_n start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT = bold_x start_POSTSUBSCRIPT 12 end_POSTSUBSCRIPT × bold_x start_POSTSUBSCRIPT 13 end_POSTSUBSCRIPT .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(15)</span></td> </tr></tbody> </table> </div> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S4.SS3.p6"> <p class="ltx_p" id="S4.SS3.p6.6"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S4.SS3.p6.6.1">Corotational edge-based hinge thin plate.</span> The bending energy of the corotational edge-based hinge thin plate can be expressed as</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S4.E16"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\Psi_{b}^{EP}=\frac{1}{2}A_{\mathcal{E}}k_{b}\kappa_{{m}}^{2}," class="ltx_Math" display="block" id="S4.E16.m1.1"><semantics id="S4.E16.m1.1a"><mrow id="S4.E16.m1.1.1.1" xref="S4.E16.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.E16.m1.1.1.1.1" xref="S4.E16.m1.1.1.1.1.cmml"><msubsup id="S4.E16.m1.1.1.1.1.2" xref="S4.E16.m1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.E16.m1.1.1.1.1.2.2.2" mathvariant="normal" xref="S4.E16.m1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">Ψ</mi><mi id="S4.E16.m1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S4.E16.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">b</mi><mrow id="S4.E16.m1.1.1.1.1.2.3" xref="S4.E16.m1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S4.E16.m1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S4.E16.m1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">E</mi><mo id="S4.E16.m1.1.1.1.1.2.3.1" xref="S4.E16.m1.1.1.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E16.m1.1.1.1.1.2.3.3" xref="S4.E16.m1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">P</mi></mrow></msubsup><mo id="S4.E16.m1.1.1.1.1.1" xref="S4.E16.m1.1.1.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S4.E16.m1.1.1.1.1.3" xref="S4.E16.m1.1.1.1.1.3.cmml"><mfrac id="S4.E16.m1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.E16.m1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mn id="S4.E16.m1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S4.E16.m1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">1</mn><mn id="S4.E16.m1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S4.E16.m1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">2</mn></mfrac><mo id="S4.E16.m1.1.1.1.1.3.1" xref="S4.E16.m1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S4.E16.m1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.E16.m1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S4.E16.m1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S4.E16.m1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">A</mi><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S4.E16.m1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S4.E16.m1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">ℰ</mi></msub><mo id="S4.E16.m1.1.1.1.1.3.1a" xref="S4.E16.m1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S4.E16.m1.1.1.1.1.3.4" xref="S4.E16.m1.1.1.1.1.3.4.cmml"><mi id="S4.E16.m1.1.1.1.1.3.4.2" xref="S4.E16.m1.1.1.1.1.3.4.2.cmml">k</mi><mi id="S4.E16.m1.1.1.1.1.3.4.3" xref="S4.E16.m1.1.1.1.1.3.4.3.cmml">b</mi></msub><mo id="S4.E16.m1.1.1.1.1.3.1b" xref="S4.E16.m1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.E16.m1.1.1.1.1.3.5" xref="S4.E16.m1.1.1.1.1.3.5.cmml"><mi id="S4.E16.m1.1.1.1.1.3.5.2.2" xref="S4.E16.m1.1.1.1.1.3.5.2.2.cmml">κ</mi><mi id="S4.E16.m1.1.1.1.1.3.5.2.3" xref="S4.E16.m1.1.1.1.1.3.5.2.3.cmml">m</mi><mn id="S4.E16.m1.1.1.1.1.3.5.3" xref="S4.E16.m1.1.1.1.1.3.5.3.cmml">2</mn></msubsup></mrow></mrow><mo id="S4.E16.m1.1.1.1.2" xref="S4.E16.m1.1.1.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.E16.m1.1b"><apply id="S4.E16.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E16.m1.1.1.1"><eq id="S4.E16.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E16.m1.1.1.1.1.1"></eq><apply id="S4.E16.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E16.m1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E16.m1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.E16.m1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="S4.E16.m1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.E16.m1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E16.m1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.E16.m1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S4.E16.m1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.E16.m1.1.1.1.1.2.2.2">Ψ</ci><ci id="S4.E16.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.E16.m1.1.1.1.1.2.2.3">𝑏</ci></apply><apply id="S4.E16.m1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.E16.m1.1.1.1.1.2.3"><times id="S4.E16.m1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S4.E16.m1.1.1.1.1.2.3.1"></times><ci id="S4.E16.m1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S4.E16.m1.1.1.1.1.2.3.2">𝐸</ci><ci id="S4.E16.m1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S4.E16.m1.1.1.1.1.2.3.3">𝑃</ci></apply></apply><apply id="S4.E16.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E16.m1.1.1.1.1.3"><times id="S4.E16.m1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E16.m1.1.1.1.1.3.1"></times><apply id="S4.E16.m1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.E16.m1.1.1.1.1.3.2"><divide id="S4.E16.m1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.E16.m1.1.1.1.1.3.2"></divide><cn id="S4.E16.m1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" type="integer" xref="S4.E16.m1.1.1.1.1.3.2.2">1</cn><cn id="S4.E16.m1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.E16.m1.1.1.1.1.3.2.3">2</cn></apply><apply id="S4.E16.m1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.E16.m1.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E16.m1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.E16.m1.1.1.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S4.E16.m1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S4.E16.m1.1.1.1.1.3.3.2">𝐴</ci><ci id="S4.E16.m1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S4.E16.m1.1.1.1.1.3.3.3">ℰ</ci></apply><apply id="S4.E16.m1.1.1.1.1.3.4.cmml" xref="S4.E16.m1.1.1.1.1.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E16.m1.1.1.1.1.3.4.1.cmml" xref="S4.E16.m1.1.1.1.1.3.4">subscript</csymbol><ci id="S4.E16.m1.1.1.1.1.3.4.2.cmml" xref="S4.E16.m1.1.1.1.1.3.4.2">𝑘</ci><ci id="S4.E16.m1.1.1.1.1.3.4.3.cmml" xref="S4.E16.m1.1.1.1.1.3.4.3">𝑏</ci></apply><apply id="S4.E16.m1.1.1.1.1.3.5.cmml" xref="S4.E16.m1.1.1.1.1.3.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E16.m1.1.1.1.1.3.5.1.cmml" xref="S4.E16.m1.1.1.1.1.3.5">superscript</csymbol><apply id="S4.E16.m1.1.1.1.1.3.5.2.cmml" xref="S4.E16.m1.1.1.1.1.3.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E16.m1.1.1.1.1.3.5.2.1.cmml" xref="S4.E16.m1.1.1.1.1.3.5">subscript</csymbol><ci id="S4.E16.m1.1.1.1.1.3.5.2.2.cmml" xref="S4.E16.m1.1.1.1.1.3.5.2.2">𝜅</ci><ci id="S4.E16.m1.1.1.1.1.3.5.2.3.cmml" xref="S4.E16.m1.1.1.1.1.3.5.2.3">𝑚</ci></apply><cn id="S4.E16.m1.1.1.1.1.3.5.3.cmml" type="integer" xref="S4.E16.m1.1.1.1.1.3.5.3">2</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.E16.m1.1c">\Psi_{b}^{EP}=\frac{1}{2}A_{\mathcal{E}}k_{b}\kappa_{{m}}^{2},</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.E16.m1.1d">roman_Ψ start_POSTSUBSCRIPT italic_b end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_E italic_P end_POSTSUPERSCRIPT = divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 end_ARG italic_A start_POSTSUBSCRIPT caligraphic_E end_POSTSUBSCRIPT italic_k start_POSTSUBSCRIPT italic_b end_POSTSUBSCRIPT italic_κ start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(16)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S4.SS3.p6.4">where <math alttext="A_{\mathcal{E}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS3.p6.1.m1.1"><semantics id="S4.SS3.p6.1.m1.1a"><msub id="S4.SS3.p6.1.m1.1.1" xref="S4.SS3.p6.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S4.SS3.p6.1.m1.1.1.2" xref="S4.SS3.p6.1.m1.1.1.2.cmml">A</mi><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S4.SS3.p6.1.m1.1.1.3" xref="S4.SS3.p6.1.m1.1.1.3.cmml">ℰ</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS3.p6.1.m1.1b"><apply id="S4.SS3.p6.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.SS3.p6.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS3.p6.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS3.p6.1.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.SS3.p6.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS3.p6.1.m1.1.1.2">𝐴</ci><ci id="S4.SS3.p6.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S4.SS3.p6.1.m1.1.1.3">ℰ</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS3.p6.1.m1.1c">A_{\mathcal{E}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS3.p6.1.m1.1d">italic_A start_POSTSUBSCRIPT caligraphic_E end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> is the total area of the edge stencil in the initial configuration. The bending rigidity is defined as <math alttext="k_{b}={Eh^{3}}/{[12(1-\nu^{2})]}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS3.p6.2.m2.1"><semantics id="S4.SS3.p6.2.m2.1a"><mrow id="S4.SS3.p6.2.m2.1.1" xref="S4.SS3.p6.2.m2.1.1.cmml"><msub id="S4.SS3.p6.2.m2.1.1.3" xref="S4.SS3.p6.2.m2.1.1.3.cmml"><mi id="S4.SS3.p6.2.m2.1.1.3.2" xref="S4.SS3.p6.2.m2.1.1.3.2.cmml">k</mi><mi id="S4.SS3.p6.2.m2.1.1.3.3" xref="S4.SS3.p6.2.m2.1.1.3.3.cmml">b</mi></msub><mo id="S4.SS3.p6.2.m2.1.1.2" xref="S4.SS3.p6.2.m2.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S4.SS3.p6.2.m2.1.1.1" xref="S4.SS3.p6.2.m2.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.SS3.p6.2.m2.1.1.1.3" xref="S4.SS3.p6.2.m2.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.SS3.p6.2.m2.1.1.1.3.2" xref="S4.SS3.p6.2.m2.1.1.1.3.2.cmml">E</mi><mo id="S4.SS3.p6.2.m2.1.1.1.3.1" xref="S4.SS3.p6.2.m2.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="S4.SS3.p6.2.m2.1.1.1.3.3" xref="S4.SS3.p6.2.m2.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S4.SS3.p6.2.m2.1.1.1.3.3.2" xref="S4.SS3.p6.2.m2.1.1.1.3.3.2.cmml">h</mi><mn id="S4.SS3.p6.2.m2.1.1.1.3.3.3" xref="S4.SS3.p6.2.m2.1.1.1.3.3.3.cmml">3</mn></msup></mrow><mo id="S4.SS3.p6.2.m2.1.1.1.2" xref="S4.SS3.p6.2.m2.1.1.1.2.cmml">/</mo><mrow id="S4.SS3.p6.2.m2.1.1.1.1.1" xref="S4.SS3.p6.2.m2.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S4.SS3.p6.2.m2.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.SS3.p6.2.m2.1.1.1.1.2.1.cmml">[</mo><mrow id="S4.SS3.p6.2.m2.1.1.1.1.1.1" xref="S4.SS3.p6.2.m2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="S4.SS3.p6.2.m2.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.SS3.p6.2.m2.1.1.1.1.1.1.3.cmml">12</mn><mo id="S4.SS3.p6.2.m2.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.SS3.p6.2.m2.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.SS3.p6.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.SS3.p6.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.SS3.p6.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.SS3.p6.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.SS3.p6.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.SS3.p6.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="S4.SS3.p6.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.SS3.p6.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">1</mn><mo id="S4.SS3.p6.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.SS3.p6.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><msup id="S4.SS3.p6.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.SS3.p6.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.SS3.p6.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.SS3.p6.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">ν</mi><mn id="S4.SS3.p6.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.SS3.p6.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></msup></mrow><mo id="S4.SS3.p6.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.SS3.p6.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.SS3.p6.2.m2.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.SS3.p6.2.m2.1.1.1.1.2.1.cmml">]</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS3.p6.2.m2.1b"><apply id="S4.SS3.p6.2.m2.1.1.cmml" xref="S4.SS3.p6.2.m2.1.1"><eq id="S4.SS3.p6.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S4.SS3.p6.2.m2.1.1.2"></eq><apply id="S4.SS3.p6.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S4.SS3.p6.2.m2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS3.p6.2.m2.1.1.3.1.cmml" xref="S4.SS3.p6.2.m2.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.SS3.p6.2.m2.1.1.3.2.cmml" xref="S4.SS3.p6.2.m2.1.1.3.2">𝑘</ci><ci id="S4.SS3.p6.2.m2.1.1.3.3.cmml" xref="S4.SS3.p6.2.m2.1.1.3.3">𝑏</ci></apply><apply id="S4.SS3.p6.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S4.SS3.p6.2.m2.1.1.1"><divide id="S4.SS3.p6.2.m2.1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS3.p6.2.m2.1.1.1.2"></divide><apply id="S4.SS3.p6.2.m2.1.1.1.3.cmml" xref="S4.SS3.p6.2.m2.1.1.1.3"><times id="S4.SS3.p6.2.m2.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.SS3.p6.2.m2.1.1.1.3.1"></times><ci id="S4.SS3.p6.2.m2.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.SS3.p6.2.m2.1.1.1.3.2">𝐸</ci><apply id="S4.SS3.p6.2.m2.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.SS3.p6.2.m2.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS3.p6.2.m2.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.SS3.p6.2.m2.1.1.1.3.3">superscript</csymbol><ci id="S4.SS3.p6.2.m2.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S4.SS3.p6.2.m2.1.1.1.3.3.2">ℎ</ci><cn id="S4.SS3.p6.2.m2.1.1.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS3.p6.2.m2.1.1.1.3.3.3">3</cn></apply></apply><apply id="S4.SS3.p6.2.m2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS3.p6.2.m2.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S4.SS3.p6.2.m2.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.SS3.p6.2.m2.1.1.1.1.1.2">delimited-[]</csymbol><apply id="S4.SS3.p6.2.m2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS3.p6.2.m2.1.1.1.1.1.1"><times id="S4.SS3.p6.2.m2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS3.p6.2.m2.1.1.1.1.1.1.2"></times><cn id="S4.SS3.p6.2.m2.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS3.p6.2.m2.1.1.1.1.1.1.3">12</cn><apply id="S4.SS3.p6.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS3.p6.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.1"><minus id="S4.SS3.p6.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS3.p6.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><cn id="S4.SS3.p6.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S4.SS3.p6.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">1</cn><apply id="S4.SS3.p6.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.SS3.p6.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS3.p6.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.SS3.p6.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S4.SS3.p6.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.SS3.p6.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝜈</ci><cn id="S4.SS3.p6.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS3.p6.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">2</cn></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS3.p6.2.m2.1c">k_{b}={Eh^{3}}/{[12(1-\nu^{2})]}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS3.p6.2.m2.1d">italic_k start_POSTSUBSCRIPT italic_b end_POSTSUBSCRIPT = italic_E italic_h start_POSTSUPERSCRIPT 3 end_POSTSUPERSCRIPT / [ 12 ( 1 - italic_ν start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ) ]</annotation></semantics></math> with <math alttext="E" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS3.p6.3.m3.1"><semantics id="S4.SS3.p6.3.m3.1a"><mi id="S4.SS3.p6.3.m3.1.1" xref="S4.SS3.p6.3.m3.1.1.cmml">E</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS3.p6.3.m3.1b"><ci id="S4.SS3.p6.3.m3.1.1.cmml" xref="S4.SS3.p6.3.m3.1.1">𝐸</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS3.p6.3.m3.1c">E</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS3.p6.3.m3.1d">italic_E</annotation></semantics></math> is the Young’s modulus and <math alttext="\nu" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS3.p6.4.m4.1"><semantics id="S4.SS3.p6.4.m4.1a"><mi id="S4.SS3.p6.4.m4.1.1" xref="S4.SS3.p6.4.m4.1.1.cmml">ν</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS3.p6.4.m4.1b"><ci id="S4.SS3.p6.4.m4.1.1.cmml" xref="S4.SS3.p6.4.m4.1.1">𝜈</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS3.p6.4.m4.1c">\nu</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS3.p6.4.m4.1d">italic_ν</annotation></semantics></math> is the Poisson’s ratio. By applying Eq. (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2502.10872v4#S4.E13" title="In 4.3 Corotational edge-based hinge bending model ‣ 4 Geometric Discretization ‣ Corotational Hinge-based Thin Plates/Shells"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">13</span></a>), the bending energy in Eq. (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2502.10872v4#S4.E16" title="In 4.3 Corotational edge-based hinge bending model ‣ 4 Geometric Discretization ‣ Corotational Hinge-based Thin Plates/Shells"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">16</span></a>) can be discretized as</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S4.E17"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\Psi_{b}^{EP}=\frac{A_{\mathcal{E}}}{2}k_{b}\kappa_{{m}}^{2}=\frac{A_{\mathcal% {E}}}{2}k_{b}(\mathbf{x}^{e})^{T}\mathbf{N}\mathbf{L}_{m}^{T}\mathbf{L}_{m}% \mathbf{N}^{T}\mathbf{x}^{e}." class="ltx_Math" display="block" id="S4.E17.m1.1"><semantics id="S4.E17.m1.1a"><mrow id="S4.E17.m1.1.1.1" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.E17.m1.1.1.1.1" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.cmml"><msubsup id="S4.E17.m1.1.1.1.1.3" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.E17.m1.1.1.1.1.3.2.2" mathvariant="normal" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">Ψ</mi><mi id="S4.E17.m1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">b</mi><mrow id="S4.E17.m1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S4.E17.m1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">E</mi><mo id="S4.E17.m1.1.1.1.1.3.3.1" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E17.m1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">P</mi></mrow></msubsup><mo id="S4.E17.m1.1.1.1.1.4" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.4.cmml">=</mo><mrow id="S4.E17.m1.1.1.1.1.5" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.5.cmml"><mfrac id="S4.E17.m1.1.1.1.1.5.2" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.5.2.cmml"><msub id="S4.E17.m1.1.1.1.1.5.2.2" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.5.2.2.cmml"><mi id="S4.E17.m1.1.1.1.1.5.2.2.2" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.5.2.2.2.cmml">A</mi><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S4.E17.m1.1.1.1.1.5.2.2.3" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.5.2.2.3.cmml">ℰ</mi></msub><mn id="S4.E17.m1.1.1.1.1.5.2.3" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.5.2.3.cmml">2</mn></mfrac><mo id="S4.E17.m1.1.1.1.1.5.1" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.5.1.cmml">⁢</mo><msub id="S4.E17.m1.1.1.1.1.5.3" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.5.3.cmml"><mi id="S4.E17.m1.1.1.1.1.5.3.2" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.5.3.2.cmml">k</mi><mi id="S4.E17.m1.1.1.1.1.5.3.3" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.5.3.3.cmml">b</mi></msub><mo id="S4.E17.m1.1.1.1.1.5.1a" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.5.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.E17.m1.1.1.1.1.5.4" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.5.4.cmml"><mi id="S4.E17.m1.1.1.1.1.5.4.2.2" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.5.4.2.2.cmml">κ</mi><mi id="S4.E17.m1.1.1.1.1.5.4.2.3" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.5.4.2.3.cmml">m</mi><mn id="S4.E17.m1.1.1.1.1.5.4.3" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.5.4.3.cmml">2</mn></msubsup></mrow><mo id="S4.E17.m1.1.1.1.1.6" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.6.cmml">=</mo><mrow id="S4.E17.m1.1.1.1.1.1" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mfrac id="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.3.cmml"><msub id="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">A</mi><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">ℰ</mi></msub><mn id="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></mfrac><mo id="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.4" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.4.2" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.4.2.cmml">k</mi><mi id="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.4.3" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.4.3.cmml">b</mi></msub><mo id="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.2a" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msup id="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">𝐱</mi><mi id="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">e</mi></msup><mo id="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mi id="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">T</mi></msup><mo id="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.2b" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.5" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.5.cmml"><mi id="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.5.2.2" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.5.2.2.cmml">𝐍𝐋</mi><mi id="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.5.2.3" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.5.2.3.cmml">m</mi><mi id="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.5.3" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.5.3.cmml">T</mi></msubsup><mo id="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.2c" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.6" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.6.cmml"><mi id="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.6.2" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.6.2.cmml">𝐋</mi><mi id="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.6.3" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.6.3.cmml">m</mi></msub><mo id="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.2d" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msup id="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.7" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.7.cmml"><mi id="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.7.2" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.7.2.cmml">𝐍</mi><mi id="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.7.3" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.7.3.cmml">T</mi></msup><mo id="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.2e" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msup id="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.8" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.8.cmml"><mi id="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.8.2" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.8.2.cmml">𝐱</mi><mi id="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.8.3" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.8.3.cmml">e</mi></msup></mrow></mrow><mo id="S4.E17.m1.1.1.1.2" lspace="0em" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.E17.m1.1b"><apply id="S4.E17.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E17.m1.1.1.1"><and id="S4.E17.m1.1.1.1.1a.cmml" xref="S4.E17.m1.1.1.1"></and><apply id="S4.E17.m1.1.1.1.1b.cmml" xref="S4.E17.m1.1.1.1"><eq id="S4.E17.m1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.4"></eq><apply id="S4.E17.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E17.m1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="S4.E17.m1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E17.m1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.E17.m1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.3.2.2">Ψ</ci><ci id="S4.E17.m1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.3.2.3">𝑏</ci></apply><apply id="S4.E17.m1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.3.3"><times id="S4.E17.m1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.3.3.1"></times><ci id="S4.E17.m1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.3.3.2">𝐸</ci><ci id="S4.E17.m1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.3.3.3">𝑃</ci></apply></apply><apply id="S4.E17.m1.1.1.1.1.5.cmml" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.5"><times id="S4.E17.m1.1.1.1.1.5.1.cmml" 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id="S4.E17.m1.1.1.1.1.5.4.cmml" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.5.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E17.m1.1.1.1.1.5.4.1.cmml" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.5.4">superscript</csymbol><apply id="S4.E17.m1.1.1.1.1.5.4.2.cmml" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.5.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E17.m1.1.1.1.1.5.4.2.1.cmml" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.5.4">subscript</csymbol><ci id="S4.E17.m1.1.1.1.1.5.4.2.2.cmml" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.5.4.2.2">𝜅</ci><ci id="S4.E17.m1.1.1.1.1.5.4.2.3.cmml" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.5.4.2.3">𝑚</ci></apply><cn id="S4.E17.m1.1.1.1.1.5.4.3.cmml" type="integer" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.5.4.3">2</cn></apply></apply></apply><apply id="S4.E17.m1.1.1.1.1c.cmml" xref="S4.E17.m1.1.1.1"><eq id="S4.E17.m1.1.1.1.1.6.cmml" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.6"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2502.10872v4#S4.E17.m1.1.1.1.1.5.cmml" id="S4.E17.m1.1.1.1.1d.cmml" xref="S4.E17.m1.1.1.1"></share><apply id="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.1"><times id="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" 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id="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝐱</ci><ci id="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑒</ci></apply><ci id="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.1.3">𝑇</ci></apply><apply id="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.5.cmml" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.5.1.cmml" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.5">superscript</csymbol><apply id="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.5.2.cmml" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.5.2.1.cmml" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.5">subscript</csymbol><ci id="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.5.2.2.cmml" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.5.2.2">𝐍𝐋</ci><ci id="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.5.2.3.cmml" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.5.2.3">𝑚</ci></apply><ci id="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.5.3.cmml" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.5.3">𝑇</ci></apply><apply id="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.6.cmml" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.6"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.6.1.cmml" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.6">subscript</csymbol><ci id="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.6.2.cmml" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.6.2">𝐋</ci><ci id="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.6.3.cmml" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.6.3">𝑚</ci></apply><apply id="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.7.cmml" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.7"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.7.1.cmml" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.7">superscript</csymbol><ci id="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.7.2.cmml" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.7.2">𝐍</ci><ci id="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.7.3.cmml" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.7.3">𝑇</ci></apply><apply id="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.8.cmml" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.8"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.8.1.cmml" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.8">superscript</csymbol><ci id="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.8.2.cmml" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.8.2">𝐱</ci><ci id="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.8.3.cmml" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.8.3">𝑒</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.E17.m1.1c">\Psi_{b}^{EP}=\frac{A_{\mathcal{E}}}{2}k_{b}\kappa_{{m}}^{2}=\frac{A_{\mathcal% {E}}}{2}k_{b}(\mathbf{x}^{e})^{T}\mathbf{N}\mathbf{L}_{m}^{T}\mathbf{L}_{m}% \mathbf{N}^{T}\mathbf{x}^{e}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.E17.m1.1d">roman_Ψ start_POSTSUBSCRIPT italic_b end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_E italic_P end_POSTSUPERSCRIPT = divide start_ARG italic_A start_POSTSUBSCRIPT caligraphic_E end_POSTSUBSCRIPT end_ARG start_ARG 2 end_ARG italic_k start_POSTSUBSCRIPT italic_b end_POSTSUBSCRIPT italic_κ start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT = divide start_ARG italic_A start_POSTSUBSCRIPT caligraphic_E end_POSTSUBSCRIPT end_ARG start_ARG 2 end_ARG italic_k start_POSTSUBSCRIPT italic_b end_POSTSUBSCRIPT ( bold_x start_POSTSUPERSCRIPT italic_e end_POSTSUPERSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT bold_NL start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT bold_L start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT bold_N start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT bold_x start_POSTSUPERSCRIPT italic_e end_POSTSUPERSCRIPT .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(17)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S4.SS3.p6.7">This can be further regrouped as</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S4.E18"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\Psi_{b}^{EP}=\frac{A_{\mathcal{E}}}{2}k_{b}\kappa_{{m}}^{2}=\frac{A_{\mathcal% {E}}}{2}k_{b}(\mathbf{x}^{e})^{T}(\mathbf{L}_{m}^{T}\mathbf{L}_{m}\otimes% \mathbf{I})\mathbf{N}\mathbf{N}^{T}\mathbf{x}^{e}," class="ltx_Math" display="block" id="S4.E18.m1.1"><semantics id="S4.E18.m1.1a"><mrow id="S4.E18.m1.1.1.1" xref="S4.E18.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.E18.m1.1.1.1.1" xref="S4.E18.m1.1.1.1.1.cmml"><msubsup id="S4.E18.m1.1.1.1.1.4" xref="S4.E18.m1.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="S4.E18.m1.1.1.1.1.4.2.2" mathvariant="normal" xref="S4.E18.m1.1.1.1.1.4.2.2.cmml">Ψ</mi><mi id="S4.E18.m1.1.1.1.1.4.2.3" xref="S4.E18.m1.1.1.1.1.4.2.3.cmml">b</mi><mrow id="S4.E18.m1.1.1.1.1.4.3" xref="S4.E18.m1.1.1.1.1.4.3.cmml"><mi id="S4.E18.m1.1.1.1.1.4.3.2" xref="S4.E18.m1.1.1.1.1.4.3.2.cmml">E</mi><mo id="S4.E18.m1.1.1.1.1.4.3.1" xref="S4.E18.m1.1.1.1.1.4.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E18.m1.1.1.1.1.4.3.3" xref="S4.E18.m1.1.1.1.1.4.3.3.cmml">P</mi></mrow></msubsup><mo id="S4.E18.m1.1.1.1.1.5" xref="S4.E18.m1.1.1.1.1.5.cmml">=</mo><mrow id="S4.E18.m1.1.1.1.1.6" xref="S4.E18.m1.1.1.1.1.6.cmml"><mfrac id="S4.E18.m1.1.1.1.1.6.2" xref="S4.E18.m1.1.1.1.1.6.2.cmml"><msub id="S4.E18.m1.1.1.1.1.6.2.2" xref="S4.E18.m1.1.1.1.1.6.2.2.cmml"><mi id="S4.E18.m1.1.1.1.1.6.2.2.2" xref="S4.E18.m1.1.1.1.1.6.2.2.2.cmml">A</mi><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S4.E18.m1.1.1.1.1.6.2.2.3" xref="S4.E18.m1.1.1.1.1.6.2.2.3.cmml">ℰ</mi></msub><mn id="S4.E18.m1.1.1.1.1.6.2.3" xref="S4.E18.m1.1.1.1.1.6.2.3.cmml">2</mn></mfrac><mo id="S4.E18.m1.1.1.1.1.6.1" xref="S4.E18.m1.1.1.1.1.6.1.cmml">⁢</mo><msub id="S4.E18.m1.1.1.1.1.6.3" xref="S4.E18.m1.1.1.1.1.6.3.cmml"><mi id="S4.E18.m1.1.1.1.1.6.3.2" xref="S4.E18.m1.1.1.1.1.6.3.2.cmml">k</mi><mi id="S4.E18.m1.1.1.1.1.6.3.3" xref="S4.E18.m1.1.1.1.1.6.3.3.cmml">b</mi></msub><mo id="S4.E18.m1.1.1.1.1.6.1a" xref="S4.E18.m1.1.1.1.1.6.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.E18.m1.1.1.1.1.6.4" xref="S4.E18.m1.1.1.1.1.6.4.cmml"><mi id="S4.E18.m1.1.1.1.1.6.4.2.2" xref="S4.E18.m1.1.1.1.1.6.4.2.2.cmml">κ</mi><mi id="S4.E18.m1.1.1.1.1.6.4.2.3" xref="S4.E18.m1.1.1.1.1.6.4.2.3.cmml">m</mi><mn id="S4.E18.m1.1.1.1.1.6.4.3" xref="S4.E18.m1.1.1.1.1.6.4.3.cmml">2</mn></msubsup></mrow><mo id="S4.E18.m1.1.1.1.1.7" xref="S4.E18.m1.1.1.1.1.7.cmml">=</mo><mrow id="S4.E18.m1.1.1.1.1.2" xref="S4.E18.m1.1.1.1.1.2.cmml"><mfrac id="S4.E18.m1.1.1.1.1.2.4" xref="S4.E18.m1.1.1.1.1.2.4.cmml"><msub id="S4.E18.m1.1.1.1.1.2.4.2" xref="S4.E18.m1.1.1.1.1.2.4.2.cmml"><mi id="S4.E18.m1.1.1.1.1.2.4.2.2" xref="S4.E18.m1.1.1.1.1.2.4.2.2.cmml">A</mi><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S4.E18.m1.1.1.1.1.2.4.2.3" xref="S4.E18.m1.1.1.1.1.2.4.2.3.cmml">ℰ</mi></msub><mn id="S4.E18.m1.1.1.1.1.2.4.3" xref="S4.E18.m1.1.1.1.1.2.4.3.cmml">2</mn></mfrac><mo id="S4.E18.m1.1.1.1.1.2.3" xref="S4.E18.m1.1.1.1.1.2.3.cmml">⁢</mo><msub id="S4.E18.m1.1.1.1.1.2.5" xref="S4.E18.m1.1.1.1.1.2.5.cmml"><mi id="S4.E18.m1.1.1.1.1.2.5.2" xref="S4.E18.m1.1.1.1.1.2.5.2.cmml">k</mi><mi id="S4.E18.m1.1.1.1.1.2.5.3" xref="S4.E18.m1.1.1.1.1.2.5.3.cmml">b</mi></msub><mo id="S4.E18.m1.1.1.1.1.2.3a" xref="S4.E18.m1.1.1.1.1.2.3.cmml">⁢</mo><msup id="S4.E18.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E18.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="S4.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">𝐱</mi><mi id="S4.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">e</mi></msup><mo id="S4.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mi id="S4.E18.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.E18.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">T</mi></msup><mo id="S4.E18.m1.1.1.1.1.2.3b" xref="S4.E18.m1.1.1.1.1.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E18.m1.1.1.1.1.2.2.1" xref="S4.E18.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.cmml"><mo id="S4.E18.m1.1.1.1.1.2.2.1.2" stretchy="false" xref="S4.E18.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.E18.m1.1.1.1.1.2.2.1.1" xref="S4.E18.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S4.E18.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2" xref="S4.E18.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.cmml"><msubsup id="S4.E18.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2" xref="S4.E18.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.cmml"><mi id="S4.E18.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.2.2" xref="S4.E18.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.2.2.cmml">𝐋</mi><mi id="S4.E18.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.2.3" xref="S4.E18.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.2.3.cmml">m</mi><mi id="S4.E18.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.3" xref="S4.E18.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.3.cmml">T</mi></msubsup><mo id="S4.E18.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.1" xref="S4.E18.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S4.E18.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.3" xref="S4.E18.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.3.cmml"><mi id="S4.E18.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.3.2" xref="S4.E18.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.3.2.cmml">𝐋</mi><mi id="S4.E18.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.3.3" xref="S4.E18.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.3.3.cmml">m</mi></msub></mrow><mo id="S4.E18.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S4.E18.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.cmml">⊗</mo><mi id="S4.E18.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3" xref="S4.E18.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.cmml">𝐈</mi></mrow><mo id="S4.E18.m1.1.1.1.1.2.2.1.3" stretchy="false" xref="S4.E18.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S4.E18.m1.1.1.1.1.2.3c" xref="S4.E18.m1.1.1.1.1.2.3.cmml">⁢</mo><msup id="S4.E18.m1.1.1.1.1.2.6" xref="S4.E18.m1.1.1.1.1.2.6.cmml"><mi id="S4.E18.m1.1.1.1.1.2.6.2" xref="S4.E18.m1.1.1.1.1.2.6.2.cmml">𝐍𝐍</mi><mi id="S4.E18.m1.1.1.1.1.2.6.3" xref="S4.E18.m1.1.1.1.1.2.6.3.cmml">T</mi></msup><mo id="S4.E18.m1.1.1.1.1.2.3d" xref="S4.E18.m1.1.1.1.1.2.3.cmml">⁢</mo><msup id="S4.E18.m1.1.1.1.1.2.7" xref="S4.E18.m1.1.1.1.1.2.7.cmml"><mi id="S4.E18.m1.1.1.1.1.2.7.2" xref="S4.E18.m1.1.1.1.1.2.7.2.cmml">𝐱</mi><mi id="S4.E18.m1.1.1.1.1.2.7.3" xref="S4.E18.m1.1.1.1.1.2.7.3.cmml">e</mi></msup></mrow></mrow><mo id="S4.E18.m1.1.1.1.2" xref="S4.E18.m1.1.1.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.E18.m1.1b"><apply id="S4.E18.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E18.m1.1.1.1"><and id="S4.E18.m1.1.1.1.1a.cmml" xref="S4.E18.m1.1.1.1"></and><apply id="S4.E18.m1.1.1.1.1b.cmml" xref="S4.E18.m1.1.1.1"><eq id="S4.E18.m1.1.1.1.1.5.cmml" xref="S4.E18.m1.1.1.1.1.5"></eq><apply id="S4.E18.m1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S4.E18.m1.1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E18.m1.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="S4.E18.m1.1.1.1.1.4">superscript</csymbol><apply id="S4.E18.m1.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="S4.E18.m1.1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E18.m1.1.1.1.1.4.2.1.cmml" xref="S4.E18.m1.1.1.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="S4.E18.m1.1.1.1.1.4.2.2.cmml" xref="S4.E18.m1.1.1.1.1.4.2.2">Ψ</ci><ci id="S4.E18.m1.1.1.1.1.4.2.3.cmml" xref="S4.E18.m1.1.1.1.1.4.2.3">𝑏</ci></apply><apply id="S4.E18.m1.1.1.1.1.4.3.cmml" xref="S4.E18.m1.1.1.1.1.4.3"><times id="S4.E18.m1.1.1.1.1.4.3.1.cmml" xref="S4.E18.m1.1.1.1.1.4.3.1"></times><ci id="S4.E18.m1.1.1.1.1.4.3.2.cmml" xref="S4.E18.m1.1.1.1.1.4.3.2">𝐸</ci><ci id="S4.E18.m1.1.1.1.1.4.3.3.cmml" xref="S4.E18.m1.1.1.1.1.4.3.3">𝑃</ci></apply></apply><apply id="S4.E18.m1.1.1.1.1.6.cmml" xref="S4.E18.m1.1.1.1.1.6"><times id="S4.E18.m1.1.1.1.1.6.1.cmml" xref="S4.E18.m1.1.1.1.1.6.1"></times><apply id="S4.E18.m1.1.1.1.1.6.2.cmml" xref="S4.E18.m1.1.1.1.1.6.2"><divide id="S4.E18.m1.1.1.1.1.6.2.1.cmml" xref="S4.E18.m1.1.1.1.1.6.2"></divide><apply id="S4.E18.m1.1.1.1.1.6.2.2.cmml" xref="S4.E18.m1.1.1.1.1.6.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E18.m1.1.1.1.1.6.2.2.1.cmml" xref="S4.E18.m1.1.1.1.1.6.2.2">subscript</csymbol><ci id="S4.E18.m1.1.1.1.1.6.2.2.2.cmml" xref="S4.E18.m1.1.1.1.1.6.2.2.2">𝐴</ci><ci id="S4.E18.m1.1.1.1.1.6.2.2.3.cmml" xref="S4.E18.m1.1.1.1.1.6.2.2.3">ℰ</ci></apply><cn id="S4.E18.m1.1.1.1.1.6.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.E18.m1.1.1.1.1.6.2.3">2</cn></apply><apply id="S4.E18.m1.1.1.1.1.6.3.cmml" xref="S4.E18.m1.1.1.1.1.6.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E18.m1.1.1.1.1.6.3.1.cmml" xref="S4.E18.m1.1.1.1.1.6.3">subscript</csymbol><ci id="S4.E18.m1.1.1.1.1.6.3.2.cmml" xref="S4.E18.m1.1.1.1.1.6.3.2">𝑘</ci><ci id="S4.E18.m1.1.1.1.1.6.3.3.cmml" xref="S4.E18.m1.1.1.1.1.6.3.3">𝑏</ci></apply><apply id="S4.E18.m1.1.1.1.1.6.4.cmml" xref="S4.E18.m1.1.1.1.1.6.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E18.m1.1.1.1.1.6.4.1.cmml" xref="S4.E18.m1.1.1.1.1.6.4">superscript</csymbol><apply id="S4.E18.m1.1.1.1.1.6.4.2.cmml" xref="S4.E18.m1.1.1.1.1.6.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E18.m1.1.1.1.1.6.4.2.1.cmml" xref="S4.E18.m1.1.1.1.1.6.4">subscript</csymbol><ci id="S4.E18.m1.1.1.1.1.6.4.2.2.cmml" xref="S4.E18.m1.1.1.1.1.6.4.2.2">𝜅</ci><ci id="S4.E18.m1.1.1.1.1.6.4.2.3.cmml" xref="S4.E18.m1.1.1.1.1.6.4.2.3">𝑚</ci></apply><cn id="S4.E18.m1.1.1.1.1.6.4.3.cmml" type="integer" xref="S4.E18.m1.1.1.1.1.6.4.3">2</cn></apply></apply></apply><apply id="S4.E18.m1.1.1.1.1c.cmml" xref="S4.E18.m1.1.1.1"><eq id="S4.E18.m1.1.1.1.1.7.cmml" xref="S4.E18.m1.1.1.1.1.7"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2502.10872v4#S4.E18.m1.1.1.1.1.6.cmml" id="S4.E18.m1.1.1.1.1d.cmml" xref="S4.E18.m1.1.1.1"></share><apply id="S4.E18.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E18.m1.1.1.1.1.2"><times id="S4.E18.m1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.E18.m1.1.1.1.1.2.3"></times><apply id="S4.E18.m1.1.1.1.1.2.4.cmml" xref="S4.E18.m1.1.1.1.1.2.4"><divide id="S4.E18.m1.1.1.1.1.2.4.1.cmml" xref="S4.E18.m1.1.1.1.1.2.4"></divide><apply id="S4.E18.m1.1.1.1.1.2.4.2.cmml" xref="S4.E18.m1.1.1.1.1.2.4.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E18.m1.1.1.1.1.2.4.2.1.cmml" xref="S4.E18.m1.1.1.1.1.2.4.2">subscript</csymbol><ci id="S4.E18.m1.1.1.1.1.2.4.2.2.cmml" xref="S4.E18.m1.1.1.1.1.2.4.2.2">𝐴</ci><ci id="S4.E18.m1.1.1.1.1.2.4.2.3.cmml" xref="S4.E18.m1.1.1.1.1.2.4.2.3">ℰ</ci></apply><cn id="S4.E18.m1.1.1.1.1.2.4.3.cmml" type="integer" xref="S4.E18.m1.1.1.1.1.2.4.3">2</cn></apply><apply id="S4.E18.m1.1.1.1.1.2.5.cmml" xref="S4.E18.m1.1.1.1.1.2.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E18.m1.1.1.1.1.2.5.1.cmml" xref="S4.E18.m1.1.1.1.1.2.5">subscript</csymbol><ci id="S4.E18.m1.1.1.1.1.2.5.2.cmml" xref="S4.E18.m1.1.1.1.1.2.5.2">𝑘</ci><ci id="S4.E18.m1.1.1.1.1.2.5.3.cmml" xref="S4.E18.m1.1.1.1.1.2.5.3">𝑏</ci></apply><apply id="S4.E18.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E18.m1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E18.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E18.m1.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S4.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S4.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝐱</ci><ci id="S4.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑒</ci></apply><ci id="S4.E18.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E18.m1.1.1.1.1.1.1.3">𝑇</ci></apply><apply id="S4.E18.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.cmml" xref="S4.E18.m1.1.1.1.1.2.2.1"><csymbol cd="latexml" id="S4.E18.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S4.E18.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1">tensor-product</csymbol><apply id="S4.E18.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.cmml" xref="S4.E18.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2"><times id="S4.E18.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.1.cmml" xref="S4.E18.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.1"></times><apply id="S4.E18.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.cmml" xref="S4.E18.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E18.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.E18.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2">superscript</csymbol><apply id="S4.E18.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.E18.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E18.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S4.E18.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S4.E18.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S4.E18.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.2.2">𝐋</ci><ci id="S4.E18.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.2.3.cmml" xref="S4.E18.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.2.3">𝑚</ci></apply><ci id="S4.E18.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.E18.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.3">𝑇</ci></apply><apply id="S4.E18.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.3.cmml" xref="S4.E18.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E18.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.3.1.cmml" xref="S4.E18.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="S4.E18.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.3.2.cmml" xref="S4.E18.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.3.2">𝐋</ci><ci id="S4.E18.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.3.3.cmml" xref="S4.E18.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.3.3">𝑚</ci></apply></apply><ci id="S4.E18.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.cmml" xref="S4.E18.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3">𝐈</ci></apply><apply id="S4.E18.m1.1.1.1.1.2.6.cmml" xref="S4.E18.m1.1.1.1.1.2.6"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E18.m1.1.1.1.1.2.6.1.cmml" xref="S4.E18.m1.1.1.1.1.2.6">superscript</csymbol><ci id="S4.E18.m1.1.1.1.1.2.6.2.cmml" xref="S4.E18.m1.1.1.1.1.2.6.2">𝐍𝐍</ci><ci id="S4.E18.m1.1.1.1.1.2.6.3.cmml" xref="S4.E18.m1.1.1.1.1.2.6.3">𝑇</ci></apply><apply id="S4.E18.m1.1.1.1.1.2.7.cmml" xref="S4.E18.m1.1.1.1.1.2.7"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E18.m1.1.1.1.1.2.7.1.cmml" xref="S4.E18.m1.1.1.1.1.2.7">superscript</csymbol><ci id="S4.E18.m1.1.1.1.1.2.7.2.cmml" xref="S4.E18.m1.1.1.1.1.2.7.2">𝐱</ci><ci id="S4.E18.m1.1.1.1.1.2.7.3.cmml" xref="S4.E18.m1.1.1.1.1.2.7.3">𝑒</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.E18.m1.1c">\Psi_{b}^{EP}=\frac{A_{\mathcal{E}}}{2}k_{b}\kappa_{{m}}^{2}=\frac{A_{\mathcal% {E}}}{2}k_{b}(\mathbf{x}^{e})^{T}(\mathbf{L}_{m}^{T}\mathbf{L}_{m}\otimes% \mathbf{I})\mathbf{N}\mathbf{N}^{T}\mathbf{x}^{e},</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.E18.m1.1d">roman_Ψ start_POSTSUBSCRIPT italic_b end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_E italic_P end_POSTSUPERSCRIPT = divide start_ARG italic_A start_POSTSUBSCRIPT caligraphic_E end_POSTSUBSCRIPT end_ARG start_ARG 2 end_ARG italic_k start_POSTSUBSCRIPT italic_b end_POSTSUBSCRIPT italic_κ start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT = divide start_ARG italic_A start_POSTSUBSCRIPT caligraphic_E end_POSTSUBSCRIPT end_ARG start_ARG 2 end_ARG italic_k start_POSTSUBSCRIPT italic_b end_POSTSUBSCRIPT ( bold_x start_POSTSUPERSCRIPT italic_e end_POSTSUPERSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT ( bold_L start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT bold_L start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT ⊗ bold_I ) bold_NN start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT bold_x start_POSTSUPERSCRIPT italic_e end_POSTSUPERSCRIPT ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(18)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S4.SS3.p6.5">where <math alttext="\mathbf{I}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS3.p6.5.m1.1"><semantics id="S4.SS3.p6.5.m1.1a"><mi id="S4.SS3.p6.5.m1.1.1" xref="S4.SS3.p6.5.m1.1.1.cmml">𝐈</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS3.p6.5.m1.1b"><ci id="S4.SS3.p6.5.m1.1.1.cmml" xref="S4.SS3.p6.5.m1.1.1">𝐈</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS3.p6.5.m1.1c">\mathbf{I}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS3.p6.5.m1.1d">bold_I</annotation></semantics></math> is the 3rd identity matrix.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S4.SS3.p7"> <p class="ltx_p" id="S4.SS3.p7.2">For any point within the shell stencil under the small strain/curvature assumption, the relation</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S4.E19"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\mathbf{n}\mathbf{n}^{T}(\mathbf{x}-\mathbf{x}_{c})=\mathbf{n}\tilde{w}\simeq% \mathbf{x}-\mathbf{x}_{c}" class="ltx_Math" display="block" id="S4.E19.m1.1"><semantics id="S4.E19.m1.1a"><mrow id="S4.E19.m1.1.1" xref="S4.E19.m1.1.1.cmml"><mrow id="S4.E19.m1.1.1.1" xref="S4.E19.m1.1.1.1.cmml"><msup id="S4.E19.m1.1.1.1.3" xref="S4.E19.m1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.E19.m1.1.1.1.3.2" xref="S4.E19.m1.1.1.1.3.2.cmml">𝐧𝐧</mi><mi id="S4.E19.m1.1.1.1.3.3" xref="S4.E19.m1.1.1.1.3.3.cmml">T</mi></msup><mo id="S4.E19.m1.1.1.1.2" xref="S4.E19.m1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E19.m1.1.1.1.1.1" xref="S4.E19.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.E19.m1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.E19.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.E19.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E19.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.E19.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.E19.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">𝐱</mi><mo id="S4.E19.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E19.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><msub id="S4.E19.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.E19.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.E19.m1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.E19.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">𝐱</mi><mi id="S4.E19.m1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.E19.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">c</mi></msub></mrow><mo id="S4.E19.m1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.E19.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.E19.m1.1.1.3" xref="S4.E19.m1.1.1.3.cmml">=</mo><mrow id="S4.E19.m1.1.1.4" xref="S4.E19.m1.1.1.4.cmml"><mi id="S4.E19.m1.1.1.4.2" xref="S4.E19.m1.1.1.4.2.cmml">𝐧</mi><mo id="S4.E19.m1.1.1.4.1" xref="S4.E19.m1.1.1.4.1.cmml">⁢</mo><mover accent="true" id="S4.E19.m1.1.1.4.3" xref="S4.E19.m1.1.1.4.3.cmml"><mi id="S4.E19.m1.1.1.4.3.2" xref="S4.E19.m1.1.1.4.3.2.cmml">w</mi><mo id="S4.E19.m1.1.1.4.3.1" xref="S4.E19.m1.1.1.4.3.1.cmml">~</mo></mover></mrow><mo id="S4.E19.m1.1.1.5" xref="S4.E19.m1.1.1.5.cmml">≃</mo><mrow id="S4.E19.m1.1.1.6" xref="S4.E19.m1.1.1.6.cmml"><mi id="S4.E19.m1.1.1.6.2" xref="S4.E19.m1.1.1.6.2.cmml">𝐱</mi><mo id="S4.E19.m1.1.1.6.1" xref="S4.E19.m1.1.1.6.1.cmml">−</mo><msub id="S4.E19.m1.1.1.6.3" xref="S4.E19.m1.1.1.6.3.cmml"><mi id="S4.E19.m1.1.1.6.3.2" xref="S4.E19.m1.1.1.6.3.2.cmml">𝐱</mi><mi id="S4.E19.m1.1.1.6.3.3" xref="S4.E19.m1.1.1.6.3.3.cmml">c</mi></msub></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.E19.m1.1b"><apply id="S4.E19.m1.1.1.cmml" xref="S4.E19.m1.1.1"><and id="S4.E19.m1.1.1a.cmml" xref="S4.E19.m1.1.1"></and><apply id="S4.E19.m1.1.1b.cmml" xref="S4.E19.m1.1.1"><eq id="S4.E19.m1.1.1.3.cmml" xref="S4.E19.m1.1.1.3"></eq><apply id="S4.E19.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.E19.m1.1.1.1"><times id="S4.E19.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E19.m1.1.1.1.2"></times><apply id="S4.E19.m1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E19.m1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E19.m1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E19.m1.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S4.E19.m1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.E19.m1.1.1.1.3.2">𝐧𝐧</ci><ci id="S4.E19.m1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.E19.m1.1.1.1.3.3">𝑇</ci></apply><apply id="S4.E19.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E19.m1.1.1.1.1.1"><minus id="S4.E19.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E19.m1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><ci id="S4.E19.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E19.m1.1.1.1.1.1.1.2">𝐱</ci><apply id="S4.E19.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E19.m1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E19.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E19.m1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.E19.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.E19.m1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝐱</ci><ci id="S4.E19.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.E19.m1.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑐</ci></apply></apply></apply><apply id="S4.E19.m1.1.1.4.cmml" xref="S4.E19.m1.1.1.4"><times id="S4.E19.m1.1.1.4.1.cmml" xref="S4.E19.m1.1.1.4.1"></times><ci id="S4.E19.m1.1.1.4.2.cmml" xref="S4.E19.m1.1.1.4.2">𝐧</ci><apply id="S4.E19.m1.1.1.4.3.cmml" xref="S4.E19.m1.1.1.4.3"><ci id="S4.E19.m1.1.1.4.3.1.cmml" xref="S4.E19.m1.1.1.4.3.1">~</ci><ci id="S4.E19.m1.1.1.4.3.2.cmml" xref="S4.E19.m1.1.1.4.3.2">𝑤</ci></apply></apply></apply><apply id="S4.E19.m1.1.1c.cmml" xref="S4.E19.m1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S4.E19.m1.1.1.5.cmml" xref="S4.E19.m1.1.1.5">similar-to-or-equals</csymbol><share href="https://arxiv.org/html/2502.10872v4#S4.E19.m1.1.1.4.cmml" id="S4.E19.m1.1.1d.cmml" xref="S4.E19.m1.1.1"></share><apply id="S4.E19.m1.1.1.6.cmml" xref="S4.E19.m1.1.1.6"><minus id="S4.E19.m1.1.1.6.1.cmml" xref="S4.E19.m1.1.1.6.1"></minus><ci id="S4.E19.m1.1.1.6.2.cmml" xref="S4.E19.m1.1.1.6.2">𝐱</ci><apply id="S4.E19.m1.1.1.6.3.cmml" xref="S4.E19.m1.1.1.6.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E19.m1.1.1.6.3.1.cmml" xref="S4.E19.m1.1.1.6.3">subscript</csymbol><ci id="S4.E19.m1.1.1.6.3.2.cmml" xref="S4.E19.m1.1.1.6.3.2">𝐱</ci><ci id="S4.E19.m1.1.1.6.3.3.cmml" xref="S4.E19.m1.1.1.6.3.3">𝑐</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.E19.m1.1c">\mathbf{n}\mathbf{n}^{T}(\mathbf{x}-\mathbf{x}_{c})=\mathbf{n}\tilde{w}\simeq% \mathbf{x}-\mathbf{x}_{c}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.E19.m1.1d">bold_nn start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT ( bold_x - bold_x start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT ) = bold_n over~ start_ARG italic_w end_ARG ≃ bold_x - bold_x start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(19)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S4.SS3.p7.1">holds, and with <math alttext="\mathbf{L}_{m}\mathbf{N}^{T}\mathbf{x}^{e}_{c}=\mathbf{0}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS3.p7.1.m1.1"><semantics id="S4.SS3.p7.1.m1.1a"><mrow id="S4.SS3.p7.1.m1.1.1" xref="S4.SS3.p7.1.m1.1.1.cmml"><mrow id="S4.SS3.p7.1.m1.1.1.2" xref="S4.SS3.p7.1.m1.1.1.2.cmml"><msub id="S4.SS3.p7.1.m1.1.1.2.2" xref="S4.SS3.p7.1.m1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S4.SS3.p7.1.m1.1.1.2.2.2" xref="S4.SS3.p7.1.m1.1.1.2.2.2.cmml">𝐋</mi><mi id="S4.SS3.p7.1.m1.1.1.2.2.3" xref="S4.SS3.p7.1.m1.1.1.2.2.3.cmml">m</mi></msub><mo id="S4.SS3.p7.1.m1.1.1.2.1" xref="S4.SS3.p7.1.m1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="S4.SS3.p7.1.m1.1.1.2.3" xref="S4.SS3.p7.1.m1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S4.SS3.p7.1.m1.1.1.2.3.2" xref="S4.SS3.p7.1.m1.1.1.2.3.2.cmml">𝐍</mi><mi id="S4.SS3.p7.1.m1.1.1.2.3.3" xref="S4.SS3.p7.1.m1.1.1.2.3.3.cmml">T</mi></msup><mo id="S4.SS3.p7.1.m1.1.1.2.1a" xref="S4.SS3.p7.1.m1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.SS3.p7.1.m1.1.1.2.4" xref="S4.SS3.p7.1.m1.1.1.2.4.cmml"><mi id="S4.SS3.p7.1.m1.1.1.2.4.2.2" xref="S4.SS3.p7.1.m1.1.1.2.4.2.2.cmml">𝐱</mi><mi id="S4.SS3.p7.1.m1.1.1.2.4.3" xref="S4.SS3.p7.1.m1.1.1.2.4.3.cmml">c</mi><mi id="S4.SS3.p7.1.m1.1.1.2.4.2.3" xref="S4.SS3.p7.1.m1.1.1.2.4.2.3.cmml">e</mi></msubsup></mrow><mo id="S4.SS3.p7.1.m1.1.1.1" xref="S4.SS3.p7.1.m1.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S4.SS3.p7.1.m1.1.1.3" xref="S4.SS3.p7.1.m1.1.1.3.cmml">𝟎</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS3.p7.1.m1.1b"><apply id="S4.SS3.p7.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.SS3.p7.1.m1.1.1"><eq id="S4.SS3.p7.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS3.p7.1.m1.1.1.1"></eq><apply id="S4.SS3.p7.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS3.p7.1.m1.1.1.2"><times id="S4.SS3.p7.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.SS3.p7.1.m1.1.1.2.1"></times><apply id="S4.SS3.p7.1.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.SS3.p7.1.m1.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS3.p7.1.m1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.SS3.p7.1.m1.1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S4.SS3.p7.1.m1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.SS3.p7.1.m1.1.1.2.2.2">𝐋</ci><ci id="S4.SS3.p7.1.m1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.SS3.p7.1.m1.1.1.2.2.3">𝑚</ci></apply><apply id="S4.SS3.p7.1.m1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.SS3.p7.1.m1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS3.p7.1.m1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S4.SS3.p7.1.m1.1.1.2.3">superscript</csymbol><ci id="S4.SS3.p7.1.m1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S4.SS3.p7.1.m1.1.1.2.3.2">𝐍</ci><ci id="S4.SS3.p7.1.m1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S4.SS3.p7.1.m1.1.1.2.3.3">𝑇</ci></apply><apply id="S4.SS3.p7.1.m1.1.1.2.4.cmml" xref="S4.SS3.p7.1.m1.1.1.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS3.p7.1.m1.1.1.2.4.1.cmml" xref="S4.SS3.p7.1.m1.1.1.2.4">subscript</csymbol><apply id="S4.SS3.p7.1.m1.1.1.2.4.2.cmml" xref="S4.SS3.p7.1.m1.1.1.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS3.p7.1.m1.1.1.2.4.2.1.cmml" xref="S4.SS3.p7.1.m1.1.1.2.4">superscript</csymbol><ci id="S4.SS3.p7.1.m1.1.1.2.4.2.2.cmml" xref="S4.SS3.p7.1.m1.1.1.2.4.2.2">𝐱</ci><ci id="S4.SS3.p7.1.m1.1.1.2.4.2.3.cmml" xref="S4.SS3.p7.1.m1.1.1.2.4.2.3">𝑒</ci></apply><ci id="S4.SS3.p7.1.m1.1.1.2.4.3.cmml" xref="S4.SS3.p7.1.m1.1.1.2.4.3">𝑐</ci></apply></apply><cn id="S4.SS3.p7.1.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS3.p7.1.m1.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS3.p7.1.m1.1c">\mathbf{L}_{m}\mathbf{N}^{T}\mathbf{x}^{e}_{c}=\mathbf{0}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS3.p7.1.m1.1d">bold_L start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT bold_N start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT bold_x start_POSTSUPERSCRIPT italic_e end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT = bold_0</annotation></semantics></math> in Eq. (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2502.10872v4#S4.E12" title="In 4.3 Corotational edge-based hinge bending model ‣ 4 Geometric Discretization ‣ Corotational Hinge-based Thin Plates/Shells"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">12</span></a>). Therefore, the bending energy can be simplified to</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S4.E20"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\Psi_{b}^{EP}=\frac{A_{\mathcal{E}}}{2}k_{b}(\mathbf{x}^{e})^{T}(\mathbf{L}_{m% }^{T}\mathbf{L}_{m}\otimes\mathbf{I})\mathbf{x}^{e}." class="ltx_Math" display="block" id="S4.E20.m1.1"><semantics id="S4.E20.m1.1a"><mrow id="S4.E20.m1.1.1.1" xref="S4.E20.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.E20.m1.1.1.1.1" xref="S4.E20.m1.1.1.1.1.cmml"><msubsup id="S4.E20.m1.1.1.1.1.4" xref="S4.E20.m1.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="S4.E20.m1.1.1.1.1.4.2.2" mathvariant="normal" xref="S4.E20.m1.1.1.1.1.4.2.2.cmml">Ψ</mi><mi id="S4.E20.m1.1.1.1.1.4.2.3" xref="S4.E20.m1.1.1.1.1.4.2.3.cmml">b</mi><mrow id="S4.E20.m1.1.1.1.1.4.3" xref="S4.E20.m1.1.1.1.1.4.3.cmml"><mi id="S4.E20.m1.1.1.1.1.4.3.2" xref="S4.E20.m1.1.1.1.1.4.3.2.cmml">E</mi><mo id="S4.E20.m1.1.1.1.1.4.3.1" xref="S4.E20.m1.1.1.1.1.4.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E20.m1.1.1.1.1.4.3.3" xref="S4.E20.m1.1.1.1.1.4.3.3.cmml">P</mi></mrow></msubsup><mo id="S4.E20.m1.1.1.1.1.3" xref="S4.E20.m1.1.1.1.1.3.cmml">=</mo><mrow id="S4.E20.m1.1.1.1.1.2" xref="S4.E20.m1.1.1.1.1.2.cmml"><mfrac id="S4.E20.m1.1.1.1.1.2.4" xref="S4.E20.m1.1.1.1.1.2.4.cmml"><msub id="S4.E20.m1.1.1.1.1.2.4.2" xref="S4.E20.m1.1.1.1.1.2.4.2.cmml"><mi id="S4.E20.m1.1.1.1.1.2.4.2.2" xref="S4.E20.m1.1.1.1.1.2.4.2.2.cmml">A</mi><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S4.E20.m1.1.1.1.1.2.4.2.3" xref="S4.E20.m1.1.1.1.1.2.4.2.3.cmml">ℰ</mi></msub><mn id="S4.E20.m1.1.1.1.1.2.4.3" xref="S4.E20.m1.1.1.1.1.2.4.3.cmml">2</mn></mfrac><mo id="S4.E20.m1.1.1.1.1.2.3" xref="S4.E20.m1.1.1.1.1.2.3.cmml">⁢</mo><msub id="S4.E20.m1.1.1.1.1.2.5" xref="S4.E20.m1.1.1.1.1.2.5.cmml"><mi id="S4.E20.m1.1.1.1.1.2.5.2" xref="S4.E20.m1.1.1.1.1.2.5.2.cmml">k</mi><mi id="S4.E20.m1.1.1.1.1.2.5.3" xref="S4.E20.m1.1.1.1.1.2.5.3.cmml">b</mi></msub><mo id="S4.E20.m1.1.1.1.1.2.3a" xref="S4.E20.m1.1.1.1.1.2.3.cmml">⁢</mo><msup id="S4.E20.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E20.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.E20.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E20.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.E20.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.E20.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="S4.E20.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E20.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.E20.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.E20.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">𝐱</mi><mi id="S4.E20.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.E20.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">e</mi></msup><mo id="S4.E20.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.E20.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mi id="S4.E20.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.E20.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">T</mi></msup><mo id="S4.E20.m1.1.1.1.1.2.3b" xref="S4.E20.m1.1.1.1.1.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E20.m1.1.1.1.1.2.2.1" xref="S4.E20.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.cmml"><mo id="S4.E20.m1.1.1.1.1.2.2.1.2" stretchy="false" xref="S4.E20.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.E20.m1.1.1.1.1.2.2.1.1" xref="S4.E20.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S4.E20.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2" xref="S4.E20.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.cmml"><msubsup id="S4.E20.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2" xref="S4.E20.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.cmml"><mi id="S4.E20.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.2.2" xref="S4.E20.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.2.2.cmml">𝐋</mi><mi id="S4.E20.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.2.3" xref="S4.E20.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.2.3.cmml">m</mi><mi id="S4.E20.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.3" xref="S4.E20.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.3.cmml">T</mi></msubsup><mo id="S4.E20.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.1" xref="S4.E20.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S4.E20.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.3" xref="S4.E20.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.3.cmml"><mi id="S4.E20.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.3.2" xref="S4.E20.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.3.2.cmml">𝐋</mi><mi id="S4.E20.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.3.3" xref="S4.E20.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.3.3.cmml">m</mi></msub></mrow><mo id="S4.E20.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S4.E20.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.cmml">⊗</mo><mi id="S4.E20.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3" xref="S4.E20.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.cmml">𝐈</mi></mrow><mo id="S4.E20.m1.1.1.1.1.2.2.1.3" stretchy="false" xref="S4.E20.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S4.E20.m1.1.1.1.1.2.3c" xref="S4.E20.m1.1.1.1.1.2.3.cmml">⁢</mo><msup id="S4.E20.m1.1.1.1.1.2.6" xref="S4.E20.m1.1.1.1.1.2.6.cmml"><mi id="S4.E20.m1.1.1.1.1.2.6.2" xref="S4.E20.m1.1.1.1.1.2.6.2.cmml">𝐱</mi><mi id="S4.E20.m1.1.1.1.1.2.6.3" xref="S4.E20.m1.1.1.1.1.2.6.3.cmml">e</mi></msup></mrow></mrow><mo id="S4.E20.m1.1.1.1.2" lspace="0em" xref="S4.E20.m1.1.1.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.E20.m1.1b"><apply id="S4.E20.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E20.m1.1.1.1"><eq id="S4.E20.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E20.m1.1.1.1.1.3"></eq><apply id="S4.E20.m1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S4.E20.m1.1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E20.m1.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="S4.E20.m1.1.1.1.1.4">superscript</csymbol><apply id="S4.E20.m1.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="S4.E20.m1.1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E20.m1.1.1.1.1.4.2.1.cmml" xref="S4.E20.m1.1.1.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="S4.E20.m1.1.1.1.1.4.2.2.cmml" xref="S4.E20.m1.1.1.1.1.4.2.2">Ψ</ci><ci id="S4.E20.m1.1.1.1.1.4.2.3.cmml" xref="S4.E20.m1.1.1.1.1.4.2.3">𝑏</ci></apply><apply id="S4.E20.m1.1.1.1.1.4.3.cmml" xref="S4.E20.m1.1.1.1.1.4.3"><times id="S4.E20.m1.1.1.1.1.4.3.1.cmml" xref="S4.E20.m1.1.1.1.1.4.3.1"></times><ci id="S4.E20.m1.1.1.1.1.4.3.2.cmml" xref="S4.E20.m1.1.1.1.1.4.3.2">𝐸</ci><ci id="S4.E20.m1.1.1.1.1.4.3.3.cmml" xref="S4.E20.m1.1.1.1.1.4.3.3">𝑃</ci></apply></apply><apply id="S4.E20.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E20.m1.1.1.1.1.2"><times id="S4.E20.m1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.E20.m1.1.1.1.1.2.3"></times><apply id="S4.E20.m1.1.1.1.1.2.4.cmml" xref="S4.E20.m1.1.1.1.1.2.4"><divide id="S4.E20.m1.1.1.1.1.2.4.1.cmml" xref="S4.E20.m1.1.1.1.1.2.4"></divide><apply id="S4.E20.m1.1.1.1.1.2.4.2.cmml" xref="S4.E20.m1.1.1.1.1.2.4.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E20.m1.1.1.1.1.2.4.2.1.cmml" xref="S4.E20.m1.1.1.1.1.2.4.2">subscript</csymbol><ci id="S4.E20.m1.1.1.1.1.2.4.2.2.cmml" xref="S4.E20.m1.1.1.1.1.2.4.2.2">𝐴</ci><ci id="S4.E20.m1.1.1.1.1.2.4.2.3.cmml" xref="S4.E20.m1.1.1.1.1.2.4.2.3">ℰ</ci></apply><cn id="S4.E20.m1.1.1.1.1.2.4.3.cmml" type="integer" xref="S4.E20.m1.1.1.1.1.2.4.3">2</cn></apply><apply id="S4.E20.m1.1.1.1.1.2.5.cmml" xref="S4.E20.m1.1.1.1.1.2.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E20.m1.1.1.1.1.2.5.1.cmml" xref="S4.E20.m1.1.1.1.1.2.5">subscript</csymbol><ci id="S4.E20.m1.1.1.1.1.2.5.2.cmml" xref="S4.E20.m1.1.1.1.1.2.5.2">𝑘</ci><ci id="S4.E20.m1.1.1.1.1.2.5.3.cmml" xref="S4.E20.m1.1.1.1.1.2.5.3">𝑏</ci></apply><apply id="S4.E20.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E20.m1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E20.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E20.m1.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S4.E20.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E20.m1.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E20.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E20.m1.1.1.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S4.E20.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E20.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝐱</ci><ci id="S4.E20.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E20.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑒</ci></apply><ci id="S4.E20.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E20.m1.1.1.1.1.1.1.3">𝑇</ci></apply><apply id="S4.E20.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.cmml" xref="S4.E20.m1.1.1.1.1.2.2.1"><csymbol cd="latexml" id="S4.E20.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S4.E20.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1">tensor-product</csymbol><apply id="S4.E20.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.cmml" xref="S4.E20.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2"><times id="S4.E20.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.1.cmml" xref="S4.E20.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.1"></times><apply id="S4.E20.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.cmml" xref="S4.E20.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E20.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.E20.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2">superscript</csymbol><apply id="S4.E20.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.E20.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E20.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S4.E20.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S4.E20.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S4.E20.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.2.2">𝐋</ci><ci id="S4.E20.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.2.3.cmml" xref="S4.E20.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.2.3">𝑚</ci></apply><ci id="S4.E20.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.E20.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.3">𝑇</ci></apply><apply id="S4.E20.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.3.cmml" xref="S4.E20.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E20.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.3.1.cmml" xref="S4.E20.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="S4.E20.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.3.2.cmml" xref="S4.E20.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.3.2">𝐋</ci><ci id="S4.E20.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.3.3.cmml" xref="S4.E20.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.3.3">𝑚</ci></apply></apply><ci id="S4.E20.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.cmml" xref="S4.E20.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3">𝐈</ci></apply><apply id="S4.E20.m1.1.1.1.1.2.6.cmml" xref="S4.E20.m1.1.1.1.1.2.6"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E20.m1.1.1.1.1.2.6.1.cmml" xref="S4.E20.m1.1.1.1.1.2.6">superscript</csymbol><ci id="S4.E20.m1.1.1.1.1.2.6.2.cmml" xref="S4.E20.m1.1.1.1.1.2.6.2">𝐱</ci><ci id="S4.E20.m1.1.1.1.1.2.6.3.cmml" xref="S4.E20.m1.1.1.1.1.2.6.3">𝑒</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.E20.m1.1c">\Psi_{b}^{EP}=\frac{A_{\mathcal{E}}}{2}k_{b}(\mathbf{x}^{e})^{T}(\mathbf{L}_{m% }^{T}\mathbf{L}_{m}\otimes\mathbf{I})\mathbf{x}^{e}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.E20.m1.1d">roman_Ψ start_POSTSUBSCRIPT italic_b end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_E italic_P end_POSTSUPERSCRIPT = divide start_ARG italic_A start_POSTSUBSCRIPT caligraphic_E end_POSTSUBSCRIPT end_ARG start_ARG 2 end_ARG italic_k start_POSTSUBSCRIPT italic_b end_POSTSUBSCRIPT ( bold_x start_POSTSUPERSCRIPT italic_e end_POSTSUPERSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT ( bold_L start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT bold_L start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT ⊗ bold_I ) bold_x start_POSTSUPERSCRIPT italic_e end_POSTSUPERSCRIPT .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(20)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S4.SS3.p7.3">This shows that the bending energy is quadratic in terms of the nodal positions, which implies that the Hessian of the bending energy is constant and given by</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S4.E21"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\frac{\partial^{2}\Psi_{b}^{EP}}{\partial\mathbf{x}^{e}{\partial(\mathbf{x}^{e% })^{T}}}=k_{b}A_{\mathcal{E}}\mathbf{L}_{m}^{T}\mathbf{L}_{m}\otimes\mathbf{I}." class="ltx_Math" display="block" id="S4.E21.m1.2"><semantics id="S4.E21.m1.2a"><mrow id="S4.E21.m1.2.2.1" xref="S4.E21.m1.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S4.E21.m1.2.2.1.1" xref="S4.E21.m1.2.2.1.1.cmml"><mfrac id="S4.E21.m1.1.1" xref="S4.E21.m1.1.1.cmml"><mrow id="S4.E21.m1.1.1.3" xref="S4.E21.m1.1.1.3.cmml"><msup id="S4.E21.m1.1.1.3.1" xref="S4.E21.m1.1.1.3.1.cmml"><mo id="S4.E21.m1.1.1.3.1.2" xref="S4.E21.m1.1.1.3.1.2.cmml">∂</mo><mn id="S4.E21.m1.1.1.3.1.3" xref="S4.E21.m1.1.1.3.1.3.cmml">2</mn></msup><msubsup id="S4.E21.m1.1.1.3.2" xref="S4.E21.m1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S4.E21.m1.1.1.3.2.2.2" mathvariant="normal" xref="S4.E21.m1.1.1.3.2.2.2.cmml">Ψ</mi><mi id="S4.E21.m1.1.1.3.2.2.3" xref="S4.E21.m1.1.1.3.2.2.3.cmml">b</mi><mrow id="S4.E21.m1.1.1.3.2.3" xref="S4.E21.m1.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="S4.E21.m1.1.1.3.2.3.2" xref="S4.E21.m1.1.1.3.2.3.2.cmml">E</mi><mo id="S4.E21.m1.1.1.3.2.3.1" xref="S4.E21.m1.1.1.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E21.m1.1.1.3.2.3.3" xref="S4.E21.m1.1.1.3.2.3.3.cmml">P</mi></mrow></msubsup></mrow><mrow id="S4.E21.m1.1.1.1" xref="S4.E21.m1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.E21.m1.1.1.1.2" rspace="0em" xref="S4.E21.m1.1.1.1.2.cmml">∂</mo><mrow id="S4.E21.m1.1.1.1.1" xref="S4.E21.m1.1.1.1.1.cmml"><msup id="S4.E21.m1.1.1.1.1.3" xref="S4.E21.m1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.E21.m1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.E21.m1.1.1.1.1.3.2.cmml">𝐱</mi><mi id="S4.E21.m1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.E21.m1.1.1.1.1.3.3.cmml">e</mi></msup><mo id="S4.E21.m1.1.1.1.1.2" lspace="0em" xref="S4.E21.m1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E21.m1.1.1.1.1.1" xref="S4.E21.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.E21.m1.1.1.1.1.1.2" rspace="0em" xref="S4.E21.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">∂</mo><msup id="S4.E21.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E21.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.E21.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" 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xref="S4.E21.m1.2.2.1.1.2.2.2.3.cmml">b</mi></msub><mo id="S4.E21.m1.2.2.1.1.2.2.1" xref="S4.E21.m1.2.2.1.1.2.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S4.E21.m1.2.2.1.1.2.2.3" xref="S4.E21.m1.2.2.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="S4.E21.m1.2.2.1.1.2.2.3.2" xref="S4.E21.m1.2.2.1.1.2.2.3.2.cmml">A</mi><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S4.E21.m1.2.2.1.1.2.2.3.3" xref="S4.E21.m1.2.2.1.1.2.2.3.3.cmml">ℰ</mi></msub><mo id="S4.E21.m1.2.2.1.1.2.2.1a" xref="S4.E21.m1.2.2.1.1.2.2.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.E21.m1.2.2.1.1.2.2.4" xref="S4.E21.m1.2.2.1.1.2.2.4.cmml"><mi id="S4.E21.m1.2.2.1.1.2.2.4.2.2" xref="S4.E21.m1.2.2.1.1.2.2.4.2.2.cmml">𝐋</mi><mi id="S4.E21.m1.2.2.1.1.2.2.4.2.3" xref="S4.E21.m1.2.2.1.1.2.2.4.2.3.cmml">m</mi><mi id="S4.E21.m1.2.2.1.1.2.2.4.3" xref="S4.E21.m1.2.2.1.1.2.2.4.3.cmml">T</mi></msubsup><mo id="S4.E21.m1.2.2.1.1.2.2.1b" xref="S4.E21.m1.2.2.1.1.2.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S4.E21.m1.2.2.1.1.2.2.5" xref="S4.E21.m1.2.2.1.1.2.2.5.cmml"><mi id="S4.E21.m1.2.2.1.1.2.2.5.2" xref="S4.E21.m1.2.2.1.1.2.2.5.2.cmml">𝐋</mi><mi id="S4.E21.m1.2.2.1.1.2.2.5.3" xref="S4.E21.m1.2.2.1.1.2.2.5.3.cmml">m</mi></msub></mrow><mo id="S4.E21.m1.2.2.1.1.2.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S4.E21.m1.2.2.1.1.2.1.cmml">⊗</mo><mi id="S4.E21.m1.2.2.1.1.2.3" xref="S4.E21.m1.2.2.1.1.2.3.cmml">𝐈</mi></mrow></mrow><mo id="S4.E21.m1.2.2.1.2" lspace="0em" xref="S4.E21.m1.2.2.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.E21.m1.2b"><apply id="S4.E21.m1.2.2.1.1.cmml" xref="S4.E21.m1.2.2.1"><eq id="S4.E21.m1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S4.E21.m1.2.2.1.1.1"></eq><apply id="S4.E21.m1.1.1.cmml" xref="S4.E21.m1.1.1"><divide id="S4.E21.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.E21.m1.1.1"></divide><apply id="S4.E21.m1.1.1.3.cmml" xref="S4.E21.m1.1.1.3"><apply id="S4.E21.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E21.m1.1.1.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E21.m1.1.1.3.1.1.cmml" xref="S4.E21.m1.1.1.3.1">superscript</csymbol><partialdiff id="S4.E21.m1.1.1.3.1.2.cmml" 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xref="S4.E21.m1.2.2.1.1.2.2.4.3">𝑇</ci></apply><apply id="S4.E21.m1.2.2.1.1.2.2.5.cmml" xref="S4.E21.m1.2.2.1.1.2.2.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E21.m1.2.2.1.1.2.2.5.1.cmml" xref="S4.E21.m1.2.2.1.1.2.2.5">subscript</csymbol><ci id="S4.E21.m1.2.2.1.1.2.2.5.2.cmml" xref="S4.E21.m1.2.2.1.1.2.2.5.2">𝐋</ci><ci id="S4.E21.m1.2.2.1.1.2.2.5.3.cmml" xref="S4.E21.m1.2.2.1.1.2.2.5.3">𝑚</ci></apply></apply><ci id="S4.E21.m1.2.2.1.1.2.3.cmml" xref="S4.E21.m1.2.2.1.1.2.3">𝐈</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.E21.m1.2c">\frac{\partial^{2}\Psi_{b}^{EP}}{\partial\mathbf{x}^{e}{\partial(\mathbf{x}^{e% })^{T}}}=k_{b}A_{\mathcal{E}}\mathbf{L}_{m}^{T}\mathbf{L}_{m}\otimes\mathbf{I}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.E21.m1.2d">divide start_ARG ∂ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT roman_Ψ start_POSTSUBSCRIPT italic_b end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_E italic_P end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG ∂ bold_x start_POSTSUPERSCRIPT italic_e end_POSTSUPERSCRIPT ∂ ( bold_x start_POSTSUPERSCRIPT italic_e end_POSTSUPERSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG = italic_k start_POSTSUBSCRIPT italic_b end_POSTSUBSCRIPT italic_A start_POSTSUBSCRIPT caligraphic_E end_POSTSUBSCRIPT bold_L start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT bold_L start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT ⊗ bold_I .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(21)</span></td> </tr></tbody> </table> </div> <div class="ltx_para" id="S4.SS3.p8"> <p class="ltx_p" id="S4.SS3.p8.1">The gradient of the bending energy, being linear with respect to the nodal positions, is expressed as</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S4.E22"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\frac{\partial\Psi_{b}^{EP}}{\partial\mathbf{x}^{e}}=(\frac{\partial^{2}\Psi_{% b}^{EP}}{\partial\mathbf{x}^{e}{\partial(\mathbf{x}^{e})^{T}}})\mathbf{x}^{e}." class="ltx_Math" display="block" id="S4.E22.m1.2"><semantics id="S4.E22.m1.2a"><mrow id="S4.E22.m1.2.2.1" xref="S4.E22.m1.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S4.E22.m1.2.2.1.1" xref="S4.E22.m1.2.2.1.1.cmml"><mfrac id="S4.E22.m1.2.2.1.1.2" xref="S4.E22.m1.2.2.1.1.2.cmml"><mrow id="S4.E22.m1.2.2.1.1.2.2" xref="S4.E22.m1.2.2.1.1.2.2.cmml"><mo id="S4.E22.m1.2.2.1.1.2.2.1" rspace="0em" xref="S4.E22.m1.2.2.1.1.2.2.1.cmml">∂</mo><msubsup id="S4.E22.m1.2.2.1.1.2.2.2" xref="S4.E22.m1.2.2.1.1.2.2.2.cmml"><mi id="S4.E22.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2" mathvariant="normal" xref="S4.E22.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.cmml">Ψ</mi><mi id="S4.E22.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.3" xref="S4.E22.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.3.cmml">b</mi><mrow id="S4.E22.m1.2.2.1.1.2.2.2.3" xref="S4.E22.m1.2.2.1.1.2.2.2.3.cmml"><mi id="S4.E22.m1.2.2.1.1.2.2.2.3.2" xref="S4.E22.m1.2.2.1.1.2.2.2.3.2.cmml">E</mi><mo id="S4.E22.m1.2.2.1.1.2.2.2.3.1" xref="S4.E22.m1.2.2.1.1.2.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E22.m1.2.2.1.1.2.2.2.3.3" xref="S4.E22.m1.2.2.1.1.2.2.2.3.3.cmml">P</mi></mrow></msubsup></mrow><mrow id="S4.E22.m1.2.2.1.1.2.3" xref="S4.E22.m1.2.2.1.1.2.3.cmml"><mo id="S4.E22.m1.2.2.1.1.2.3.1" rspace="0em" xref="S4.E22.m1.2.2.1.1.2.3.1.cmml">∂</mo><msup id="S4.E22.m1.2.2.1.1.2.3.2" xref="S4.E22.m1.2.2.1.1.2.3.2.cmml"><mi id="S4.E22.m1.2.2.1.1.2.3.2.2" xref="S4.E22.m1.2.2.1.1.2.3.2.2.cmml">𝐱</mi><mi id="S4.E22.m1.2.2.1.1.2.3.2.3" xref="S4.E22.m1.2.2.1.1.2.3.2.3.cmml">e</mi></msup></mrow></mfrac><mo id="S4.E22.m1.2.2.1.1.1" xref="S4.E22.m1.2.2.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S4.E22.m1.2.2.1.1.3" xref="S4.E22.m1.2.2.1.1.3.cmml"><mrow id="S4.E22.m1.2.2.1.1.3.2.2" xref="S4.E22.m1.1.1.cmml"><mo 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id="S4.E22.m1.2c">\frac{\partial\Psi_{b}^{EP}}{\partial\mathbf{x}^{e}}=(\frac{\partial^{2}\Psi_{% b}^{EP}}{\partial\mathbf{x}^{e}{\partial(\mathbf{x}^{e})^{T}}})\mathbf{x}^{e}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.E22.m1.2d">divide start_ARG ∂ roman_Ψ start_POSTSUBSCRIPT italic_b end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_E italic_P end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG ∂ bold_x start_POSTSUPERSCRIPT italic_e end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG = ( divide start_ARG ∂ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT roman_Ψ start_POSTSUBSCRIPT italic_b end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_E italic_P end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG ∂ bold_x start_POSTSUPERSCRIPT italic_e end_POSTSUPERSCRIPT ∂ ( bold_x start_POSTSUPERSCRIPT italic_e end_POSTSUPERSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG ) bold_x start_POSTSUPERSCRIPT italic_e end_POSTSUPERSCRIPT .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(22)</span></td> </tr></tbody> </table> </div> <div class="ltx_para" id="S4.SS3.p9"> <p class="ltx_p" id="S4.SS3.p9.1">It is important to note that quantifying the edge-based curvature operator in the world frame leads to a discrete expression similar to that of the Quadratic Shell model <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2502.10872v4#bib.bibx8" title="">BWH<sup class="ltx_sup"><span class="ltx_text ltx_font_italic">∗</span></sup>06b</a>]</cite>. However, this formulation overestimates the bending energy by a factor of three, as numerical results will be discussed in detail in Section <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2502.10872v4#S6.SS1" title="6.1 Quantitative Experiments ‣ 6 Numerical Experiments ‣ Corotational Hinge-based Thin Plates/Shells"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">6.1</span></a>. The fundamental difference and accuracy discrepancy has been detailed in Appendix <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2502.10872v4#A4" title="Appendix D Quadratic Thin Plate/Shell and Accuracy Discrepancy ‣ Corotational Hinge-based Thin Plates/Shells"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">D</span></a>.</p> </div> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S4.SS3.p10"> <p class="ltx_p" id="S4.SS3.p10.2"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S4.SS3.p10.2.1">Corotational edge-based hinge thin shell.</span> The bending energy of the corotational edge-based hinge thin shell is</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S4.E23"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\Psi_{b}^{ES}=\frac{1}{2}A_{\mathcal{E}}k_{b}\epsilon_{b}^{2}," class="ltx_Math" display="block" id="S4.E23.m1.1"><semantics id="S4.E23.m1.1a"><mrow id="S4.E23.m1.1.1.1" xref="S4.E23.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.E23.m1.1.1.1.1" xref="S4.E23.m1.1.1.1.1.cmml"><msubsup id="S4.E23.m1.1.1.1.1.2" xref="S4.E23.m1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.E23.m1.1.1.1.1.2.2.2" mathvariant="normal" xref="S4.E23.m1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">Ψ</mi><mi id="S4.E23.m1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S4.E23.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">b</mi><mrow id="S4.E23.m1.1.1.1.1.2.3" xref="S4.E23.m1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S4.E23.m1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S4.E23.m1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">E</mi><mo id="S4.E23.m1.1.1.1.1.2.3.1" xref="S4.E23.m1.1.1.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E23.m1.1.1.1.1.2.3.3" xref="S4.E23.m1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">S</mi></mrow></msubsup><mo id="S4.E23.m1.1.1.1.1.1" xref="S4.E23.m1.1.1.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S4.E23.m1.1.1.1.1.3" xref="S4.E23.m1.1.1.1.1.3.cmml"><mfrac id="S4.E23.m1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.E23.m1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mn id="S4.E23.m1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S4.E23.m1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">1</mn><mn id="S4.E23.m1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S4.E23.m1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">2</mn></mfrac><mo id="S4.E23.m1.1.1.1.1.3.1" xref="S4.E23.m1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S4.E23.m1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.E23.m1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S4.E23.m1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S4.E23.m1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">A</mi><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S4.E23.m1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S4.E23.m1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">ℰ</mi></msub><mo id="S4.E23.m1.1.1.1.1.3.1a" xref="S4.E23.m1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S4.E23.m1.1.1.1.1.3.4" xref="S4.E23.m1.1.1.1.1.3.4.cmml"><mi id="S4.E23.m1.1.1.1.1.3.4.2" xref="S4.E23.m1.1.1.1.1.3.4.2.cmml">k</mi><mi id="S4.E23.m1.1.1.1.1.3.4.3" xref="S4.E23.m1.1.1.1.1.3.4.3.cmml">b</mi></msub><mo id="S4.E23.m1.1.1.1.1.3.1b" xref="S4.E23.m1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.E23.m1.1.1.1.1.3.5" xref="S4.E23.m1.1.1.1.1.3.5.cmml"><mi id="S4.E23.m1.1.1.1.1.3.5.2.2" xref="S4.E23.m1.1.1.1.1.3.5.2.2.cmml">ϵ</mi><mi id="S4.E23.m1.1.1.1.1.3.5.2.3" xref="S4.E23.m1.1.1.1.1.3.5.2.3.cmml">b</mi><mn id="S4.E23.m1.1.1.1.1.3.5.3" xref="S4.E23.m1.1.1.1.1.3.5.3.cmml">2</mn></msubsup></mrow></mrow><mo id="S4.E23.m1.1.1.1.2" xref="S4.E23.m1.1.1.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.E23.m1.1b"><apply id="S4.E23.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E23.m1.1.1.1"><eq id="S4.E23.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E23.m1.1.1.1.1.1"></eq><apply id="S4.E23.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E23.m1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E23.m1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.E23.m1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="S4.E23.m1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.E23.m1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E23.m1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.E23.m1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S4.E23.m1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.E23.m1.1.1.1.1.2.2.2">Ψ</ci><ci id="S4.E23.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.E23.m1.1.1.1.1.2.2.3">𝑏</ci></apply><apply id="S4.E23.m1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.E23.m1.1.1.1.1.2.3"><times id="S4.E23.m1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S4.E23.m1.1.1.1.1.2.3.1"></times><ci id="S4.E23.m1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S4.E23.m1.1.1.1.1.2.3.2">𝐸</ci><ci id="S4.E23.m1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S4.E23.m1.1.1.1.1.2.3.3">𝑆</ci></apply></apply><apply id="S4.E23.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E23.m1.1.1.1.1.3"><times id="S4.E23.m1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E23.m1.1.1.1.1.3.1"></times><apply id="S4.E23.m1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.E23.m1.1.1.1.1.3.2"><divide id="S4.E23.m1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.E23.m1.1.1.1.1.3.2"></divide><cn id="S4.E23.m1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" type="integer" xref="S4.E23.m1.1.1.1.1.3.2.2">1</cn><cn id="S4.E23.m1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.E23.m1.1.1.1.1.3.2.3">2</cn></apply><apply id="S4.E23.m1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.E23.m1.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E23.m1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.E23.m1.1.1.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S4.E23.m1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S4.E23.m1.1.1.1.1.3.3.2">𝐴</ci><ci id="S4.E23.m1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S4.E23.m1.1.1.1.1.3.3.3">ℰ</ci></apply><apply id="S4.E23.m1.1.1.1.1.3.4.cmml" xref="S4.E23.m1.1.1.1.1.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E23.m1.1.1.1.1.3.4.1.cmml" xref="S4.E23.m1.1.1.1.1.3.4">subscript</csymbol><ci id="S4.E23.m1.1.1.1.1.3.4.2.cmml" xref="S4.E23.m1.1.1.1.1.3.4.2">𝑘</ci><ci id="S4.E23.m1.1.1.1.1.3.4.3.cmml" xref="S4.E23.m1.1.1.1.1.3.4.3">𝑏</ci></apply><apply id="S4.E23.m1.1.1.1.1.3.5.cmml" xref="S4.E23.m1.1.1.1.1.3.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E23.m1.1.1.1.1.3.5.1.cmml" xref="S4.E23.m1.1.1.1.1.3.5">superscript</csymbol><apply id="S4.E23.m1.1.1.1.1.3.5.2.cmml" xref="S4.E23.m1.1.1.1.1.3.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E23.m1.1.1.1.1.3.5.2.1.cmml" xref="S4.E23.m1.1.1.1.1.3.5">subscript</csymbol><ci id="S4.E23.m1.1.1.1.1.3.5.2.2.cmml" xref="S4.E23.m1.1.1.1.1.3.5.2.2">italic-ϵ</ci><ci id="S4.E23.m1.1.1.1.1.3.5.2.3.cmml" xref="S4.E23.m1.1.1.1.1.3.5.2.3">𝑏</ci></apply><cn id="S4.E23.m1.1.1.1.1.3.5.3.cmml" type="integer" xref="S4.E23.m1.1.1.1.1.3.5.3">2</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.E23.m1.1c">\Psi_{b}^{ES}=\frac{1}{2}A_{\mathcal{E}}k_{b}\epsilon_{b}^{2},</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.E23.m1.1d">roman_Ψ start_POSTSUBSCRIPT italic_b end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_E italic_S end_POSTSUPERSCRIPT = divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 end_ARG italic_A start_POSTSUBSCRIPT caligraphic_E end_POSTSUBSCRIPT italic_k start_POSTSUBSCRIPT italic_b end_POSTSUBSCRIPT italic_ϵ start_POSTSUBSCRIPT italic_b end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(23)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S4.SS3.p10.1">where the curvature change <math alttext="\epsilon_{b}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS3.p10.1.m1.1"><semantics id="S4.SS3.p10.1.m1.1a"><msub id="S4.SS3.p10.1.m1.1.1" xref="S4.SS3.p10.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S4.SS3.p10.1.m1.1.1.2" xref="S4.SS3.p10.1.m1.1.1.2.cmml">ϵ</mi><mi id="S4.SS3.p10.1.m1.1.1.3" xref="S4.SS3.p10.1.m1.1.1.3.cmml">b</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS3.p10.1.m1.1b"><apply id="S4.SS3.p10.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.SS3.p10.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS3.p10.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS3.p10.1.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.SS3.p10.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS3.p10.1.m1.1.1.2">italic-ϵ</ci><ci id="S4.SS3.p10.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S4.SS3.p10.1.m1.1.1.3">𝑏</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS3.p10.1.m1.1c">\epsilon_{b}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS3.p10.1.m1.1d">italic_ϵ start_POSTSUBSCRIPT italic_b end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> is</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S4.E24"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\epsilon_{b}={\kappa}_{m}-({\kappa}_{m})_{0}=\mathbf{L}_{m}\mathbf{N}^{T}{% \mathbf{x}}^{e}-\mathbf{L}_{m}\mathbf{N}_{0}^{T}{\mathbf{X}}^{e}." class="ltx_Math" display="block" id="S4.E24.m1.1"><semantics id="S4.E24.m1.1a"><mrow id="S4.E24.m1.1.1.1" xref="S4.E24.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.E24.m1.1.1.1.1" xref="S4.E24.m1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S4.E24.m1.1.1.1.1.3" xref="S4.E24.m1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.E24.m1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.E24.m1.1.1.1.1.3.2.cmml">ϵ</mi><mi id="S4.E24.m1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.E24.m1.1.1.1.1.3.3.cmml">b</mi></msub><mo id="S4.E24.m1.1.1.1.1.4" xref="S4.E24.m1.1.1.1.1.4.cmml">=</mo><mrow id="S4.E24.m1.1.1.1.1.1" xref="S4.E24.m1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S4.E24.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.E24.m1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.E24.m1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.E24.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">κ</mi><mi id="S4.E24.m1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.E24.m1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">m</mi></msub><mo id="S4.E24.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.E24.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">−</mo><msub id="S4.E24.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E24.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.E24.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E24.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.E24.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.E24.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S4.E24.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E24.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.E24.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.E24.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">κ</mi><mi id="S4.E24.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.E24.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">m</mi></msub><mo id="S4.E24.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.E24.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mn id="S4.E24.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.E24.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">0</mn></msub></mrow><mo id="S4.E24.m1.1.1.1.1.5" xref="S4.E24.m1.1.1.1.1.5.cmml">=</mo><mrow id="S4.E24.m1.1.1.1.1.6" xref="S4.E24.m1.1.1.1.1.6.cmml"><mrow id="S4.E24.m1.1.1.1.1.6.2" xref="S4.E24.m1.1.1.1.1.6.2.cmml"><msub id="S4.E24.m1.1.1.1.1.6.2.2" xref="S4.E24.m1.1.1.1.1.6.2.2.cmml"><mi id="S4.E24.m1.1.1.1.1.6.2.2.2" xref="S4.E24.m1.1.1.1.1.6.2.2.2.cmml">𝐋</mi><mi id="S4.E24.m1.1.1.1.1.6.2.2.3" xref="S4.E24.m1.1.1.1.1.6.2.2.3.cmml">m</mi></msub><mo id="S4.E24.m1.1.1.1.1.6.2.1" xref="S4.E24.m1.1.1.1.1.6.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="S4.E24.m1.1.1.1.1.6.2.3" xref="S4.E24.m1.1.1.1.1.6.2.3.cmml"><mi id="S4.E24.m1.1.1.1.1.6.2.3.2" xref="S4.E24.m1.1.1.1.1.6.2.3.2.cmml">𝐍</mi><mi id="S4.E24.m1.1.1.1.1.6.2.3.3" xref="S4.E24.m1.1.1.1.1.6.2.3.3.cmml">T</mi></msup><mo id="S4.E24.m1.1.1.1.1.6.2.1a" xref="S4.E24.m1.1.1.1.1.6.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="S4.E24.m1.1.1.1.1.6.2.4" xref="S4.E24.m1.1.1.1.1.6.2.4.cmml"><mi id="S4.E24.m1.1.1.1.1.6.2.4.2" xref="S4.E24.m1.1.1.1.1.6.2.4.2.cmml">𝐱</mi><mi id="S4.E24.m1.1.1.1.1.6.2.4.3" xref="S4.E24.m1.1.1.1.1.6.2.4.3.cmml">e</mi></msup></mrow><mo id="S4.E24.m1.1.1.1.1.6.1" xref="S4.E24.m1.1.1.1.1.6.1.cmml">−</mo><mrow id="S4.E24.m1.1.1.1.1.6.3" xref="S4.E24.m1.1.1.1.1.6.3.cmml"><msub id="S4.E24.m1.1.1.1.1.6.3.2" xref="S4.E24.m1.1.1.1.1.6.3.2.cmml"><mi id="S4.E24.m1.1.1.1.1.6.3.2.2" xref="S4.E24.m1.1.1.1.1.6.3.2.2.cmml">𝐋</mi><mi id="S4.E24.m1.1.1.1.1.6.3.2.3" xref="S4.E24.m1.1.1.1.1.6.3.2.3.cmml">m</mi></msub><mo id="S4.E24.m1.1.1.1.1.6.3.1" xref="S4.E24.m1.1.1.1.1.6.3.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.E24.m1.1.1.1.1.6.3.3" xref="S4.E24.m1.1.1.1.1.6.3.3.cmml"><mi id="S4.E24.m1.1.1.1.1.6.3.3.2.2" xref="S4.E24.m1.1.1.1.1.6.3.3.2.2.cmml">𝐍</mi><mn id="S4.E24.m1.1.1.1.1.6.3.3.2.3" xref="S4.E24.m1.1.1.1.1.6.3.3.2.3.cmml">0</mn><mi id="S4.E24.m1.1.1.1.1.6.3.3.3" xref="S4.E24.m1.1.1.1.1.6.3.3.3.cmml">T</mi></msubsup><mo id="S4.E24.m1.1.1.1.1.6.3.1a" xref="S4.E24.m1.1.1.1.1.6.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="S4.E24.m1.1.1.1.1.6.3.4" xref="S4.E24.m1.1.1.1.1.6.3.4.cmml"><mi id="S4.E24.m1.1.1.1.1.6.3.4.2" xref="S4.E24.m1.1.1.1.1.6.3.4.2.cmml">𝐗</mi><mi id="S4.E24.m1.1.1.1.1.6.3.4.3" xref="S4.E24.m1.1.1.1.1.6.3.4.3.cmml">e</mi></msup></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.E24.m1.1.1.1.2" lspace="0em" xref="S4.E24.m1.1.1.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.E24.m1.1b"><apply id="S4.E24.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E24.m1.1.1.1"><and id="S4.E24.m1.1.1.1.1a.cmml" xref="S4.E24.m1.1.1.1"></and><apply id="S4.E24.m1.1.1.1.1b.cmml" xref="S4.E24.m1.1.1.1"><eq id="S4.E24.m1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S4.E24.m1.1.1.1.1.4"></eq><apply id="S4.E24.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E24.m1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E24.m1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E24.m1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.E24.m1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.E24.m1.1.1.1.1.3.2">italic-ϵ</ci><ci id="S4.E24.m1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.E24.m1.1.1.1.1.3.3">𝑏</ci></apply><apply id="S4.E24.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E24.m1.1.1.1.1.1"><minus id="S4.E24.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E24.m1.1.1.1.1.1.2"></minus><apply id="S4.E24.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E24.m1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E24.m1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E24.m1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.E24.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.E24.m1.1.1.1.1.1.3.2">𝜅</ci><ci id="S4.E24.m1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.E24.m1.1.1.1.1.1.3.3">𝑚</ci></apply><apply id="S4.E24.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E24.m1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E24.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E24.m1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="S4.E24.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E24.m1.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E24.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E24.m1.1.1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.E24.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E24.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝜅</ci><ci id="S4.E24.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E24.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑚</ci></apply><cn id="S4.E24.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.E24.m1.1.1.1.1.1.1.3">0</cn></apply></apply></apply><apply id="S4.E24.m1.1.1.1.1c.cmml" xref="S4.E24.m1.1.1.1"><eq 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id="S4.E24.m1.1.1.1.1.6.3.4.3.cmml" xref="S4.E24.m1.1.1.1.1.6.3.4.3">𝑒</ci></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.E24.m1.1c">\epsilon_{b}={\kappa}_{m}-({\kappa}_{m})_{0}=\mathbf{L}_{m}\mathbf{N}^{T}{% \mathbf{x}}^{e}-\mathbf{L}_{m}\mathbf{N}_{0}^{T}{\mathbf{X}}^{e}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.E24.m1.1d">italic_ϵ start_POSTSUBSCRIPT italic_b end_POSTSUBSCRIPT = italic_κ start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT - ( italic_κ start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT ) start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT = bold_L start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT bold_N start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT bold_x start_POSTSUPERSCRIPT italic_e end_POSTSUPERSCRIPT - bold_L start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT bold_N start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT bold_X start_POSTSUPERSCRIPT italic_e end_POSTSUPERSCRIPT .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(24)</span></td> </tr></tbody> </table> </div> <div class="ltx_para" id="S4.SS3.p11"> <p class="ltx_p" id="S4.SS3.p11.3">The gradient of the bending energy is then</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S4.E25"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\frac{\partial\Psi_{b}^{ES}}{\partial\mathbf{x}^{e}}={A_{\mathcal{E}}}k_{b}% \frac{\partial\epsilon_{b}}{\partial\mathbf{x}^{e}}\epsilon_{b}," class="ltx_Math" display="block" id="S4.E25.m1.1"><semantics id="S4.E25.m1.1a"><mrow id="S4.E25.m1.1.1.1" xref="S4.E25.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.E25.m1.1.1.1.1" xref="S4.E25.m1.1.1.1.1.cmml"><mfrac id="S4.E25.m1.1.1.1.1.2" xref="S4.E25.m1.1.1.1.1.2.cmml"><mrow id="S4.E25.m1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.E25.m1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mo id="S4.E25.m1.1.1.1.1.2.2.1" rspace="0em" xref="S4.E25.m1.1.1.1.1.2.2.1.cmml">∂</mo><msubsup id="S4.E25.m1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S4.E25.m1.1.1.1.1.2.2.2.cmml"><mi id="S4.E25.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2" mathvariant="normal" xref="S4.E25.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml">Ψ</mi><mi id="S4.E25.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3" xref="S4.E25.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.cmml">b</mi><mrow id="S4.E25.m1.1.1.1.1.2.2.2.3" xref="S4.E25.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml"><mi id="S4.E25.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.2" xref="S4.E25.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.2.cmml">E</mi><mo id="S4.E25.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.1" xref="S4.E25.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E25.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.3" xref="S4.E25.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.3.cmml">S</mi></mrow></msubsup></mrow><mrow id="S4.E25.m1.1.1.1.1.2.3" xref="S4.E25.m1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mo id="S4.E25.m1.1.1.1.1.2.3.1" rspace="0em" xref="S4.E25.m1.1.1.1.1.2.3.1.cmml">∂</mo><msup id="S4.E25.m1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S4.E25.m1.1.1.1.1.2.3.2.cmml"><mi id="S4.E25.m1.1.1.1.1.2.3.2.2" xref="S4.E25.m1.1.1.1.1.2.3.2.2.cmml">𝐱</mi><mi id="S4.E25.m1.1.1.1.1.2.3.2.3" xref="S4.E25.m1.1.1.1.1.2.3.2.3.cmml">e</mi></msup></mrow></mfrac><mo id="S4.E25.m1.1.1.1.1.1" xref="S4.E25.m1.1.1.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S4.E25.m1.1.1.1.1.3" xref="S4.E25.m1.1.1.1.1.3.cmml"><msub id="S4.E25.m1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.E25.m1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S4.E25.m1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S4.E25.m1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">A</mi><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S4.E25.m1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S4.E25.m1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">ℰ</mi></msub><mo id="S4.E25.m1.1.1.1.1.3.1" xref="S4.E25.m1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S4.E25.m1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.E25.m1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S4.E25.m1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S4.E25.m1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">k</mi><mi id="S4.E25.m1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S4.E25.m1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">b</mi></msub><mo id="S4.E25.m1.1.1.1.1.3.1a" xref="S4.E25.m1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mfrac id="S4.E25.m1.1.1.1.1.3.4" xref="S4.E25.m1.1.1.1.1.3.4.cmml"><mrow id="S4.E25.m1.1.1.1.1.3.4.2" xref="S4.E25.m1.1.1.1.1.3.4.2.cmml"><mo id="S4.E25.m1.1.1.1.1.3.4.2.1" rspace="0em" xref="S4.E25.m1.1.1.1.1.3.4.2.1.cmml">∂</mo><msub id="S4.E25.m1.1.1.1.1.3.4.2.2" xref="S4.E25.m1.1.1.1.1.3.4.2.2.cmml"><mi id="S4.E25.m1.1.1.1.1.3.4.2.2.2" xref="S4.E25.m1.1.1.1.1.3.4.2.2.2.cmml">ϵ</mi><mi id="S4.E25.m1.1.1.1.1.3.4.2.2.3" xref="S4.E25.m1.1.1.1.1.3.4.2.2.3.cmml">b</mi></msub></mrow><mrow id="S4.E25.m1.1.1.1.1.3.4.3" xref="S4.E25.m1.1.1.1.1.3.4.3.cmml"><mo id="S4.E25.m1.1.1.1.1.3.4.3.1" rspace="0em" xref="S4.E25.m1.1.1.1.1.3.4.3.1.cmml">∂</mo><msup id="S4.E25.m1.1.1.1.1.3.4.3.2" xref="S4.E25.m1.1.1.1.1.3.4.3.2.cmml"><mi id="S4.E25.m1.1.1.1.1.3.4.3.2.2" xref="S4.E25.m1.1.1.1.1.3.4.3.2.2.cmml">𝐱</mi><mi id="S4.E25.m1.1.1.1.1.3.4.3.2.3" xref="S4.E25.m1.1.1.1.1.3.4.3.2.3.cmml">e</mi></msup></mrow></mfrac><mo id="S4.E25.m1.1.1.1.1.3.1b" xref="S4.E25.m1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S4.E25.m1.1.1.1.1.3.5" xref="S4.E25.m1.1.1.1.1.3.5.cmml"><mi id="S4.E25.m1.1.1.1.1.3.5.2" xref="S4.E25.m1.1.1.1.1.3.5.2.cmml">ϵ</mi><mi id="S4.E25.m1.1.1.1.1.3.5.3" xref="S4.E25.m1.1.1.1.1.3.5.3.cmml">b</mi></msub></mrow></mrow><mo id="S4.E25.m1.1.1.1.2" xref="S4.E25.m1.1.1.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.E25.m1.1b"><apply id="S4.E25.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E25.m1.1.1.1"><eq id="S4.E25.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E25.m1.1.1.1.1.1"></eq><apply id="S4.E25.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E25.m1.1.1.1.1.2"><divide id="S4.E25.m1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.E25.m1.1.1.1.1.2"></divide><apply id="S4.E25.m1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.E25.m1.1.1.1.1.2.2"><partialdiff id="S4.E25.m1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.E25.m1.1.1.1.1.2.2.1"></partialdiff><apply id="S4.E25.m1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.E25.m1.1.1.1.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E25.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S4.E25.m1.1.1.1.1.2.2.2">superscript</csymbol><apply id="S4.E25.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S4.E25.m1.1.1.1.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E25.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.cmml" xref="S4.E25.m1.1.1.1.1.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S4.E25.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.E25.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2">Ψ</ci><ci id="S4.E25.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.cmml" xref="S4.E25.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3">𝑏</ci></apply><apply id="S4.E25.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml" xref="S4.E25.m1.1.1.1.1.2.2.2.3"><times id="S4.E25.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.1.cmml" xref="S4.E25.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.1"></times><ci id="S4.E25.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.2.cmml" xref="S4.E25.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.2">𝐸</ci><ci id="S4.E25.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.3.cmml" xref="S4.E25.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.3">𝑆</ci></apply></apply></apply><apply id="S4.E25.m1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.E25.m1.1.1.1.1.2.3"><partialdiff id="S4.E25.m1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S4.E25.m1.1.1.1.1.2.3.1"></partialdiff><apply id="S4.E25.m1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S4.E25.m1.1.1.1.1.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E25.m1.1.1.1.1.2.3.2.1.cmml" xref="S4.E25.m1.1.1.1.1.2.3.2">superscript</csymbol><ci id="S4.E25.m1.1.1.1.1.2.3.2.2.cmml" xref="S4.E25.m1.1.1.1.1.2.3.2.2">𝐱</ci><ci id="S4.E25.m1.1.1.1.1.2.3.2.3.cmml" xref="S4.E25.m1.1.1.1.1.2.3.2.3">𝑒</ci></apply></apply></apply><apply id="S4.E25.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E25.m1.1.1.1.1.3"><times id="S4.E25.m1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E25.m1.1.1.1.1.3.1"></times><apply id="S4.E25.m1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.E25.m1.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E25.m1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.E25.m1.1.1.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S4.E25.m1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.E25.m1.1.1.1.1.3.2.2">𝐴</ci><ci id="S4.E25.m1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S4.E25.m1.1.1.1.1.3.2.3">ℰ</ci></apply><apply id="S4.E25.m1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.E25.m1.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E25.m1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.E25.m1.1.1.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S4.E25.m1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S4.E25.m1.1.1.1.1.3.3.2">𝑘</ci><ci id="S4.E25.m1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S4.E25.m1.1.1.1.1.3.3.3">𝑏</ci></apply><apply id="S4.E25.m1.1.1.1.1.3.4.cmml" xref="S4.E25.m1.1.1.1.1.3.4"><divide id="S4.E25.m1.1.1.1.1.3.4.1.cmml" xref="S4.E25.m1.1.1.1.1.3.4"></divide><apply id="S4.E25.m1.1.1.1.1.3.4.2.cmml" xref="S4.E25.m1.1.1.1.1.3.4.2"><partialdiff id="S4.E25.m1.1.1.1.1.3.4.2.1.cmml" xref="S4.E25.m1.1.1.1.1.3.4.2.1"></partialdiff><apply id="S4.E25.m1.1.1.1.1.3.4.2.2.cmml" xref="S4.E25.m1.1.1.1.1.3.4.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E25.m1.1.1.1.1.3.4.2.2.1.cmml" xref="S4.E25.m1.1.1.1.1.3.4.2.2">subscript</csymbol><ci id="S4.E25.m1.1.1.1.1.3.4.2.2.2.cmml" xref="S4.E25.m1.1.1.1.1.3.4.2.2.2">italic-ϵ</ci><ci id="S4.E25.m1.1.1.1.1.3.4.2.2.3.cmml" xref="S4.E25.m1.1.1.1.1.3.4.2.2.3">𝑏</ci></apply></apply><apply id="S4.E25.m1.1.1.1.1.3.4.3.cmml" xref="S4.E25.m1.1.1.1.1.3.4.3"><partialdiff id="S4.E25.m1.1.1.1.1.3.4.3.1.cmml" xref="S4.E25.m1.1.1.1.1.3.4.3.1"></partialdiff><apply id="S4.E25.m1.1.1.1.1.3.4.3.2.cmml" xref="S4.E25.m1.1.1.1.1.3.4.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E25.m1.1.1.1.1.3.4.3.2.1.cmml" xref="S4.E25.m1.1.1.1.1.3.4.3.2">superscript</csymbol><ci id="S4.E25.m1.1.1.1.1.3.4.3.2.2.cmml" xref="S4.E25.m1.1.1.1.1.3.4.3.2.2">𝐱</ci><ci id="S4.E25.m1.1.1.1.1.3.4.3.2.3.cmml" xref="S4.E25.m1.1.1.1.1.3.4.3.2.3">𝑒</ci></apply></apply></apply><apply id="S4.E25.m1.1.1.1.1.3.5.cmml" xref="S4.E25.m1.1.1.1.1.3.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E25.m1.1.1.1.1.3.5.1.cmml" xref="S4.E25.m1.1.1.1.1.3.5">subscript</csymbol><ci id="S4.E25.m1.1.1.1.1.3.5.2.cmml" xref="S4.E25.m1.1.1.1.1.3.5.2">italic-ϵ</ci><ci id="S4.E25.m1.1.1.1.1.3.5.3.cmml" xref="S4.E25.m1.1.1.1.1.3.5.3">𝑏</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.E25.m1.1c">\frac{\partial\Psi_{b}^{ES}}{\partial\mathbf{x}^{e}}={A_{\mathcal{E}}}k_{b}% \frac{\partial\epsilon_{b}}{\partial\mathbf{x}^{e}}\epsilon_{b},</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.E25.m1.1d">divide start_ARG ∂ roman_Ψ start_POSTSUBSCRIPT italic_b end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_E italic_S end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG ∂ bold_x start_POSTSUPERSCRIPT italic_e end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG = italic_A start_POSTSUBSCRIPT caligraphic_E end_POSTSUBSCRIPT italic_k start_POSTSUBSCRIPT italic_b end_POSTSUBSCRIPT divide start_ARG ∂ italic_ϵ start_POSTSUBSCRIPT italic_b end_POSTSUBSCRIPT end_ARG start_ARG ∂ bold_x start_POSTSUPERSCRIPT italic_e end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG italic_ϵ start_POSTSUBSCRIPT italic_b end_POSTSUBSCRIPT ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(25)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S4.SS3.p11.4">where the gradient of the curvature change is</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S4.E26"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\frac{\partial\epsilon_{b}}{\partial\mathbf{x}^{e}}=({\mathbf{x}}^{e})^{T}% \frac{\partial\mathbf{N}}{\partial\mathbf{x}^{e}}\mathbf{L}_{m}^{T}+\mathbf{N}% \mathbf{L}_{m}^{T}." class="ltx_Math" display="block" id="S4.E26.m1.1"><semantics id="S4.E26.m1.1a"><mrow id="S4.E26.m1.1.1.1" xref="S4.E26.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.E26.m1.1.1.1.1" xref="S4.E26.m1.1.1.1.1.cmml"><mfrac id="S4.E26.m1.1.1.1.1.3" xref="S4.E26.m1.1.1.1.1.3.cmml"><mrow id="S4.E26.m1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.E26.m1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mo id="S4.E26.m1.1.1.1.1.3.2.1" rspace="0em" xref="S4.E26.m1.1.1.1.1.3.2.1.cmml">∂</mo><msub id="S4.E26.m1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S4.E26.m1.1.1.1.1.3.2.2.cmml"><mi id="S4.E26.m1.1.1.1.1.3.2.2.2" xref="S4.E26.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml">ϵ</mi><mi id="S4.E26.m1.1.1.1.1.3.2.2.3" xref="S4.E26.m1.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml">b</mi></msub></mrow><mrow id="S4.E26.m1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.E26.m1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mo id="S4.E26.m1.1.1.1.1.3.3.1" rspace="0em" xref="S4.E26.m1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">∂</mo><msup id="S4.E26.m1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S4.E26.m1.1.1.1.1.3.3.2.cmml"><mi id="S4.E26.m1.1.1.1.1.3.3.2.2" xref="S4.E26.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.cmml">𝐱</mi><mi id="S4.E26.m1.1.1.1.1.3.3.2.3" xref="S4.E26.m1.1.1.1.1.3.3.2.3.cmml">e</mi></msup></mrow></mfrac><mo id="S4.E26.m1.1.1.1.1.2" xref="S4.E26.m1.1.1.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S4.E26.m1.1.1.1.1.1" xref="S4.E26.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.E26.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E26.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msup id="S4.E26.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E26.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.E26.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E26.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.E26.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" 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id="S4.E26.m1.1c">\frac{\partial\epsilon_{b}}{\partial\mathbf{x}^{e}}=({\mathbf{x}}^{e})^{T}% \frac{\partial\mathbf{N}}{\partial\mathbf{x}^{e}}\mathbf{L}_{m}^{T}+\mathbf{N}% \mathbf{L}_{m}^{T}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.E26.m1.1d">divide start_ARG ∂ italic_ϵ start_POSTSUBSCRIPT italic_b end_POSTSUBSCRIPT end_ARG start_ARG ∂ bold_x start_POSTSUPERSCRIPT italic_e end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG = ( bold_x start_POSTSUPERSCRIPT italic_e end_POSTSUPERSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT divide start_ARG ∂ bold_N end_ARG start_ARG ∂ bold_x start_POSTSUPERSCRIPT italic_e end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG bold_L start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT + bold_NL start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(26)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S4.SS3.p11.2">Here, <math alttext="{\partial\mathbf{N}}/{\partial\mathbf{x}^{e}}=\mathbf{I}_{4\times 4}\otimes({% \partial\mathbf{n}_{\tilde{z}}}/{\partial\mathbf{x}^{e}})" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS3.p11.1.m1.1"><semantics id="S4.SS3.p11.1.m1.1a"><mrow id="S4.SS3.p11.1.m1.1.1" xref="S4.SS3.p11.1.m1.1.1.cmml"><mrow id="S4.SS3.p11.1.m1.1.1.3" xref="S4.SS3.p11.1.m1.1.1.3.cmml"><mo id="S4.SS3.p11.1.m1.1.1.3.1" rspace="0em" xref="S4.SS3.p11.1.m1.1.1.3.1.cmml">∂</mo><mrow id="S4.SS3.p11.1.m1.1.1.3.2" xref="S4.SS3.p11.1.m1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S4.SS3.p11.1.m1.1.1.3.2.2" xref="S4.SS3.p11.1.m1.1.1.3.2.2.cmml">𝐍</mi><mo id="S4.SS3.p11.1.m1.1.1.3.2.1" xref="S4.SS3.p11.1.m1.1.1.3.2.1.cmml">/</mo><mrow id="S4.SS3.p11.1.m1.1.1.3.2.3" xref="S4.SS3.p11.1.m1.1.1.3.2.3.cmml"><mo id="S4.SS3.p11.1.m1.1.1.3.2.3.1" lspace="0em" rspace="0em" xref="S4.SS3.p11.1.m1.1.1.3.2.3.1.cmml">∂</mo><msup id="S4.SS3.p11.1.m1.1.1.3.2.3.2" xref="S4.SS3.p11.1.m1.1.1.3.2.3.2.cmml"><mi id="S4.SS3.p11.1.m1.1.1.3.2.3.2.2" xref="S4.SS3.p11.1.m1.1.1.3.2.3.2.2.cmml">𝐱</mi><mi id="S4.SS3.p11.1.m1.1.1.3.2.3.2.3" xref="S4.SS3.p11.1.m1.1.1.3.2.3.2.3.cmml">e</mi></msup></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.SS3.p11.1.m1.1.1.2" xref="S4.SS3.p11.1.m1.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S4.SS3.p11.1.m1.1.1.1" xref="S4.SS3.p11.1.m1.1.1.1.cmml"><msub id="S4.SS3.p11.1.m1.1.1.1.3" xref="S4.SS3.p11.1.m1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.SS3.p11.1.m1.1.1.1.3.2" xref="S4.SS3.p11.1.m1.1.1.1.3.2.cmml">𝐈</mi><mrow id="S4.SS3.p11.1.m1.1.1.1.3.3" xref="S4.SS3.p11.1.m1.1.1.1.3.3.cmml"><mn id="S4.SS3.p11.1.m1.1.1.1.3.3.2" xref="S4.SS3.p11.1.m1.1.1.1.3.3.2.cmml">4</mn><mo id="S4.SS3.p11.1.m1.1.1.1.3.3.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S4.SS3.p11.1.m1.1.1.1.3.3.1.cmml">×</mo><mn id="S4.SS3.p11.1.m1.1.1.1.3.3.3" xref="S4.SS3.p11.1.m1.1.1.1.3.3.3.cmml">4</mn></mrow></msub><mo id="S4.SS3.p11.1.m1.1.1.1.2" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S4.SS3.p11.1.m1.1.1.1.2.cmml">⊗</mo><mrow id="S4.SS3.p11.1.m1.1.1.1.1.1" xref="S4.SS3.p11.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.SS3.p11.1.m1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.SS3.p11.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.SS3.p11.1.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.SS3.p11.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.SS3.p11.1.m1.1.1.1.1.1.1.1" lspace="0em" rspace="0em" xref="S4.SS3.p11.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">∂</mo><mrow id="S4.SS3.p11.1.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.SS3.p11.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><msub id="S4.SS3.p11.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.SS3.p11.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S4.SS3.p11.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S4.SS3.p11.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">𝐧</mi><mover accent="true" id="S4.SS3.p11.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S4.SS3.p11.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="S4.SS3.p11.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="S4.SS3.p11.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml">z</mi><mo id="S4.SS3.p11.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1" xref="S4.SS3.p11.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml">~</mo></mover></msub><mo id="S4.SS3.p11.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S4.SS3.p11.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">/</mo><mrow id="S4.SS3.p11.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S4.SS3.p11.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mo id="S4.SS3.p11.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.1" lspace="0em" rspace="0em" xref="S4.SS3.p11.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml">∂</mo><msup id="S4.SS3.p11.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S4.SS3.p11.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml"><mi id="S4.SS3.p11.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2" xref="S4.SS3.p11.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2.cmml">𝐱</mi><mi id="S4.SS3.p11.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3" xref="S4.SS3.p11.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.cmml">e</mi></msup></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.SS3.p11.1.m1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.SS3.p11.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS3.p11.1.m1.1b"><apply id="S4.SS3.p11.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.SS3.p11.1.m1.1.1"><eq id="S4.SS3.p11.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS3.p11.1.m1.1.1.2"></eq><apply id="S4.SS3.p11.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S4.SS3.p11.1.m1.1.1.3"><partialdiff id="S4.SS3.p11.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.SS3.p11.1.m1.1.1.3.1"></partialdiff><apply id="S4.SS3.p11.1.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.SS3.p11.1.m1.1.1.3.2"><divide id="S4.SS3.p11.1.m1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.SS3.p11.1.m1.1.1.3.2.1"></divide><ci id="S4.SS3.p11.1.m1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.SS3.p11.1.m1.1.1.3.2.2">𝐍</ci><apply id="S4.SS3.p11.1.m1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S4.SS3.p11.1.m1.1.1.3.2.3"><partialdiff id="S4.SS3.p11.1.m1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S4.SS3.p11.1.m1.1.1.3.2.3.1"></partialdiff><apply id="S4.SS3.p11.1.m1.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S4.SS3.p11.1.m1.1.1.3.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS3.p11.1.m1.1.1.3.2.3.2.1.cmml" xref="S4.SS3.p11.1.m1.1.1.3.2.3.2">superscript</csymbol><ci id="S4.SS3.p11.1.m1.1.1.3.2.3.2.2.cmml" xref="S4.SS3.p11.1.m1.1.1.3.2.3.2.2">𝐱</ci><ci id="S4.SS3.p11.1.m1.1.1.3.2.3.2.3.cmml" xref="S4.SS3.p11.1.m1.1.1.3.2.3.2.3">𝑒</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="S4.SS3.p11.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS3.p11.1.m1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S4.SS3.p11.1.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS3.p11.1.m1.1.1.1.2">tensor-product</csymbol><apply id="S4.SS3.p11.1.m1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.SS3.p11.1.m1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS3.p11.1.m1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.SS3.p11.1.m1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.SS3.p11.1.m1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.SS3.p11.1.m1.1.1.1.3.2">𝐈</ci><apply id="S4.SS3.p11.1.m1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.SS3.p11.1.m1.1.1.1.3.3"><times id="S4.SS3.p11.1.m1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.SS3.p11.1.m1.1.1.1.3.3.1"></times><cn id="S4.SS3.p11.1.m1.1.1.1.3.3.2.cmml" type="integer" xref="S4.SS3.p11.1.m1.1.1.1.3.3.2">4</cn><cn id="S4.SS3.p11.1.m1.1.1.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS3.p11.1.m1.1.1.1.3.3.3">4</cn></apply></apply><apply id="S4.SS3.p11.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS3.p11.1.m1.1.1.1.1.1"><partialdiff id="S4.SS3.p11.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS3.p11.1.m1.1.1.1.1.1.1.1"></partialdiff><apply id="S4.SS3.p11.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS3.p11.1.m1.1.1.1.1.1.1.2"><divide id="S4.SS3.p11.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.SS3.p11.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.1"></divide><apply id="S4.SS3.p11.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.SS3.p11.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS3.p11.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.SS3.p11.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S4.SS3.p11.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.SS3.p11.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2">𝐧</ci><apply id="S4.SS3.p11.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.SS3.p11.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3"><ci id="S4.SS3.p11.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S4.SS3.p11.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1">~</ci><ci id="S4.SS3.p11.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S4.SS3.p11.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2">𝑧</ci></apply></apply><apply id="S4.SS3.p11.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.SS3.p11.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.3"><partialdiff id="S4.SS3.p11.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S4.SS3.p11.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.1"></partialdiff><apply id="S4.SS3.p11.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S4.SS3.p11.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS3.p11.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.1.cmml" xref="S4.SS3.p11.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2">superscript</csymbol><ci id="S4.SS3.p11.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2.cmml" xref="S4.SS3.p11.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2">𝐱</ci><ci id="S4.SS3.p11.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.cmml" xref="S4.SS3.p11.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3">𝑒</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS3.p11.1.m1.1c">{\partial\mathbf{N}}/{\partial\mathbf{x}^{e}}=\mathbf{I}_{4\times 4}\otimes({% \partial\mathbf{n}_{\tilde{z}}}/{\partial\mathbf{x}^{e}})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS3.p11.1.m1.1d">∂ bold_N / ∂ bold_x start_POSTSUPERSCRIPT italic_e end_POSTSUPERSCRIPT = bold_I start_POSTSUBSCRIPT 4 × 4 end_POSTSUBSCRIPT ⊗ ( ∂ bold_n start_POSTSUBSCRIPT over~ start_ARG italic_z end_ARG end_POSTSUBSCRIPT / ∂ bold_x start_POSTSUPERSCRIPT italic_e end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math> with the gradient of the normal <math alttext="{\partial\mathbf{n}_{\tilde{z}}}/{\partial\mathbf{x}^{e}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS3.p11.2.m2.1"><semantics id="S4.SS3.p11.2.m2.1a"><mrow id="S4.SS3.p11.2.m2.1.1" xref="S4.SS3.p11.2.m2.1.1.cmml"><mo id="S4.SS3.p11.2.m2.1.1.1" rspace="0em" xref="S4.SS3.p11.2.m2.1.1.1.cmml">∂</mo><mrow id="S4.SS3.p11.2.m2.1.1.2" xref="S4.SS3.p11.2.m2.1.1.2.cmml"><msub id="S4.SS3.p11.2.m2.1.1.2.2" xref="S4.SS3.p11.2.m2.1.1.2.2.cmml"><mi id="S4.SS3.p11.2.m2.1.1.2.2.2" xref="S4.SS3.p11.2.m2.1.1.2.2.2.cmml">𝐧</mi><mover accent="true" id="S4.SS3.p11.2.m2.1.1.2.2.3" xref="S4.SS3.p11.2.m2.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="S4.SS3.p11.2.m2.1.1.2.2.3.2" xref="S4.SS3.p11.2.m2.1.1.2.2.3.2.cmml">z</mi><mo id="S4.SS3.p11.2.m2.1.1.2.2.3.1" xref="S4.SS3.p11.2.m2.1.1.2.2.3.1.cmml">~</mo></mover></msub><mo id="S4.SS3.p11.2.m2.1.1.2.1" xref="S4.SS3.p11.2.m2.1.1.2.1.cmml">/</mo><mrow id="S4.SS3.p11.2.m2.1.1.2.3" xref="S4.SS3.p11.2.m2.1.1.2.3.cmml"><mo id="S4.SS3.p11.2.m2.1.1.2.3.1" lspace="0em" rspace="0em" xref="S4.SS3.p11.2.m2.1.1.2.3.1.cmml">∂</mo><msup id="S4.SS3.p11.2.m2.1.1.2.3.2" xref="S4.SS3.p11.2.m2.1.1.2.3.2.cmml"><mi id="S4.SS3.p11.2.m2.1.1.2.3.2.2" xref="S4.SS3.p11.2.m2.1.1.2.3.2.2.cmml">𝐱</mi><mi id="S4.SS3.p11.2.m2.1.1.2.3.2.3" xref="S4.SS3.p11.2.m2.1.1.2.3.2.3.cmml">e</mi></msup></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS3.p11.2.m2.1b"><apply id="S4.SS3.p11.2.m2.1.1.cmml" xref="S4.SS3.p11.2.m2.1.1"><partialdiff id="S4.SS3.p11.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S4.SS3.p11.2.m2.1.1.1"></partialdiff><apply id="S4.SS3.p11.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S4.SS3.p11.2.m2.1.1.2"><divide id="S4.SS3.p11.2.m2.1.1.2.1.cmml" xref="S4.SS3.p11.2.m2.1.1.2.1"></divide><apply id="S4.SS3.p11.2.m2.1.1.2.2.cmml" xref="S4.SS3.p11.2.m2.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS3.p11.2.m2.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.SS3.p11.2.m2.1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S4.SS3.p11.2.m2.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.SS3.p11.2.m2.1.1.2.2.2">𝐧</ci><apply id="S4.SS3.p11.2.m2.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.SS3.p11.2.m2.1.1.2.2.3"><ci id="S4.SS3.p11.2.m2.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S4.SS3.p11.2.m2.1.1.2.2.3.1">~</ci><ci id="S4.SS3.p11.2.m2.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S4.SS3.p11.2.m2.1.1.2.2.3.2">𝑧</ci></apply></apply><apply id="S4.SS3.p11.2.m2.1.1.2.3.cmml" xref="S4.SS3.p11.2.m2.1.1.2.3"><partialdiff id="S4.SS3.p11.2.m2.1.1.2.3.1.cmml" xref="S4.SS3.p11.2.m2.1.1.2.3.1"></partialdiff><apply id="S4.SS3.p11.2.m2.1.1.2.3.2.cmml" xref="S4.SS3.p11.2.m2.1.1.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS3.p11.2.m2.1.1.2.3.2.1.cmml" xref="S4.SS3.p11.2.m2.1.1.2.3.2">superscript</csymbol><ci id="S4.SS3.p11.2.m2.1.1.2.3.2.2.cmml" xref="S4.SS3.p11.2.m2.1.1.2.3.2.2">𝐱</ci><ci id="S4.SS3.p11.2.m2.1.1.2.3.2.3.cmml" xref="S4.SS3.p11.2.m2.1.1.2.3.2.3">𝑒</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS3.p11.2.m2.1c">{\partial\mathbf{n}_{\tilde{z}}}/{\partial\mathbf{x}^{e}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS3.p11.2.m2.1d">∂ bold_n start_POSTSUBSCRIPT over~ start_ARG italic_z end_ARG end_POSTSUBSCRIPT / ∂ bold_x start_POSTSUPERSCRIPT italic_e end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> is detailed in the Appendix <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2502.10872v4#A2" title="Appendix B Gradient of Normal Direction of Corotational Shell Stencil ‣ Corotational Hinge-based Thin Plates/Shells"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">B</span></a>.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S4.SS3.p12"> <p class="ltx_p" id="S4.SS3.p12.2">Before deriving the Hessian of bending energy, substituting Eq. (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2502.10872v4#S4.E24" title="In 4.3 Corotational edge-based hinge bending model ‣ 4 Geometric Discretization ‣ Corotational Hinge-based Thin Plates/Shells"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">24</span></a>) into Eq. (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2502.10872v4#S4.E23" title="In 4.3 Corotational edge-based hinge bending model ‣ 4 Geometric Discretization ‣ Corotational Hinge-based Thin Plates/Shells"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">23</span></a>) yields</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S4.E27"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\Psi_{b}^{ES}=\Psi_{flat}^{ES}+\Psi_{curved}^{ES}," class="ltx_Math" display="block" id="S4.E27.m1.1"><semantics id="S4.E27.m1.1a"><mrow id="S4.E27.m1.1.1.1" xref="S4.E27.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.E27.m1.1.1.1.1" xref="S4.E27.m1.1.1.1.1.cmml"><msubsup id="S4.E27.m1.1.1.1.1.2" xref="S4.E27.m1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.E27.m1.1.1.1.1.2.2.2" mathvariant="normal" xref="S4.E27.m1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">Ψ</mi><mi id="S4.E27.m1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S4.E27.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">b</mi><mrow id="S4.E27.m1.1.1.1.1.2.3" xref="S4.E27.m1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S4.E27.m1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S4.E27.m1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">E</mi><mo id="S4.E27.m1.1.1.1.1.2.3.1" xref="S4.E27.m1.1.1.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E27.m1.1.1.1.1.2.3.3" xref="S4.E27.m1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">S</mi></mrow></msubsup><mo id="S4.E27.m1.1.1.1.1.1" xref="S4.E27.m1.1.1.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S4.E27.m1.1.1.1.1.3" xref="S4.E27.m1.1.1.1.1.3.cmml"><msubsup id="S4.E27.m1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.E27.m1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S4.E27.m1.1.1.1.1.3.2.2.2" mathvariant="normal" xref="S4.E27.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml">Ψ</mi><mrow id="S4.E27.m1.1.1.1.1.3.2.2.3" xref="S4.E27.m1.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml"><mi id="S4.E27.m1.1.1.1.1.3.2.2.3.2" xref="S4.E27.m1.1.1.1.1.3.2.2.3.2.cmml">f</mi><mo id="S4.E27.m1.1.1.1.1.3.2.2.3.1" xref="S4.E27.m1.1.1.1.1.3.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E27.m1.1.1.1.1.3.2.2.3.3" xref="S4.E27.m1.1.1.1.1.3.2.2.3.3.cmml">l</mi><mo id="S4.E27.m1.1.1.1.1.3.2.2.3.1a" xref="S4.E27.m1.1.1.1.1.3.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E27.m1.1.1.1.1.3.2.2.3.4" xref="S4.E27.m1.1.1.1.1.3.2.2.3.4.cmml">a</mi><mo id="S4.E27.m1.1.1.1.1.3.2.2.3.1b" xref="S4.E27.m1.1.1.1.1.3.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E27.m1.1.1.1.1.3.2.2.3.5" xref="S4.E27.m1.1.1.1.1.3.2.2.3.5.cmml">t</mi></mrow><mrow id="S4.E27.m1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S4.E27.m1.1.1.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="S4.E27.m1.1.1.1.1.3.2.3.2" xref="S4.E27.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml">E</mi><mo id="S4.E27.m1.1.1.1.1.3.2.3.1" xref="S4.E27.m1.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E27.m1.1.1.1.1.3.2.3.3" xref="S4.E27.m1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml">S</mi></mrow></msubsup><mo id="S4.E27.m1.1.1.1.1.3.1" xref="S4.E27.m1.1.1.1.1.3.1.cmml">+</mo><msubsup id="S4.E27.m1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.E27.m1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S4.E27.m1.1.1.1.1.3.3.2.2" mathvariant="normal" xref="S4.E27.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.cmml">Ψ</mi><mrow id="S4.E27.m1.1.1.1.1.3.3.2.3" xref="S4.E27.m1.1.1.1.1.3.3.2.3.cmml"><mi id="S4.E27.m1.1.1.1.1.3.3.2.3.2" xref="S4.E27.m1.1.1.1.1.3.3.2.3.2.cmml">c</mi><mo id="S4.E27.m1.1.1.1.1.3.3.2.3.1" xref="S4.E27.m1.1.1.1.1.3.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E27.m1.1.1.1.1.3.3.2.3.3" xref="S4.E27.m1.1.1.1.1.3.3.2.3.3.cmml">u</mi><mo id="S4.E27.m1.1.1.1.1.3.3.2.3.1a" xref="S4.E27.m1.1.1.1.1.3.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E27.m1.1.1.1.1.3.3.2.3.4" xref="S4.E27.m1.1.1.1.1.3.3.2.3.4.cmml">r</mi><mo id="S4.E27.m1.1.1.1.1.3.3.2.3.1b" xref="S4.E27.m1.1.1.1.1.3.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E27.m1.1.1.1.1.3.3.2.3.5" xref="S4.E27.m1.1.1.1.1.3.3.2.3.5.cmml">v</mi><mo id="S4.E27.m1.1.1.1.1.3.3.2.3.1c" xref="S4.E27.m1.1.1.1.1.3.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E27.m1.1.1.1.1.3.3.2.3.6" xref="S4.E27.m1.1.1.1.1.3.3.2.3.6.cmml">e</mi><mo id="S4.E27.m1.1.1.1.1.3.3.2.3.1d" xref="S4.E27.m1.1.1.1.1.3.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E27.m1.1.1.1.1.3.3.2.3.7" xref="S4.E27.m1.1.1.1.1.3.3.2.3.7.cmml">d</mi></mrow><mrow id="S4.E27.m1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S4.E27.m1.1.1.1.1.3.3.3.cmml"><mi id="S4.E27.m1.1.1.1.1.3.3.3.2" xref="S4.E27.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.cmml">E</mi><mo id="S4.E27.m1.1.1.1.1.3.3.3.1" xref="S4.E27.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E27.m1.1.1.1.1.3.3.3.3" xref="S4.E27.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.cmml">S</mi></mrow></msubsup></mrow></mrow><mo id="S4.E27.m1.1.1.1.2" xref="S4.E27.m1.1.1.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.E27.m1.1b"><apply id="S4.E27.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E27.m1.1.1.1"><eq id="S4.E27.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E27.m1.1.1.1.1.1"></eq><apply id="S4.E27.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E27.m1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E27.m1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.E27.m1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="S4.E27.m1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.E27.m1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E27.m1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.E27.m1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S4.E27.m1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.E27.m1.1.1.1.1.2.2.2">Ψ</ci><ci id="S4.E27.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.E27.m1.1.1.1.1.2.2.3">𝑏</ci></apply><apply id="S4.E27.m1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.E27.m1.1.1.1.1.2.3"><times id="S4.E27.m1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S4.E27.m1.1.1.1.1.2.3.1"></times><ci id="S4.E27.m1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S4.E27.m1.1.1.1.1.2.3.2">𝐸</ci><ci id="S4.E27.m1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S4.E27.m1.1.1.1.1.2.3.3">𝑆</ci></apply></apply><apply id="S4.E27.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E27.m1.1.1.1.1.3"><plus id="S4.E27.m1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E27.m1.1.1.1.1.3.1"></plus><apply id="S4.E27.m1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.E27.m1.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E27.m1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.E27.m1.1.1.1.1.3.2">superscript</csymbol><apply id="S4.E27.m1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.E27.m1.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E27.m1.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S4.E27.m1.1.1.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S4.E27.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S4.E27.m1.1.1.1.1.3.2.2.2">Ψ</ci><apply id="S4.E27.m1.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml" xref="S4.E27.m1.1.1.1.1.3.2.2.3"><times id="S4.E27.m1.1.1.1.1.3.2.2.3.1.cmml" xref="S4.E27.m1.1.1.1.1.3.2.2.3.1"></times><ci id="S4.E27.m1.1.1.1.1.3.2.2.3.2.cmml" xref="S4.E27.m1.1.1.1.1.3.2.2.3.2">𝑓</ci><ci id="S4.E27.m1.1.1.1.1.3.2.2.3.3.cmml" xref="S4.E27.m1.1.1.1.1.3.2.2.3.3">𝑙</ci><ci id="S4.E27.m1.1.1.1.1.3.2.2.3.4.cmml" xref="S4.E27.m1.1.1.1.1.3.2.2.3.4">𝑎</ci><ci id="S4.E27.m1.1.1.1.1.3.2.2.3.5.cmml" xref="S4.E27.m1.1.1.1.1.3.2.2.3.5">𝑡</ci></apply></apply><apply id="S4.E27.m1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S4.E27.m1.1.1.1.1.3.2.3"><times id="S4.E27.m1.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S4.E27.m1.1.1.1.1.3.2.3.1"></times><ci id="S4.E27.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S4.E27.m1.1.1.1.1.3.2.3.2">𝐸</ci><ci id="S4.E27.m1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml" xref="S4.E27.m1.1.1.1.1.3.2.3.3">𝑆</ci></apply></apply><apply id="S4.E27.m1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.E27.m1.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E27.m1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.E27.m1.1.1.1.1.3.3">superscript</csymbol><apply id="S4.E27.m1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S4.E27.m1.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E27.m1.1.1.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="S4.E27.m1.1.1.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S4.E27.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="S4.E27.m1.1.1.1.1.3.3.2.2">Ψ</ci><apply id="S4.E27.m1.1.1.1.1.3.3.2.3.cmml" xref="S4.E27.m1.1.1.1.1.3.3.2.3"><times id="S4.E27.m1.1.1.1.1.3.3.2.3.1.cmml" xref="S4.E27.m1.1.1.1.1.3.3.2.3.1"></times><ci id="S4.E27.m1.1.1.1.1.3.3.2.3.2.cmml" xref="S4.E27.m1.1.1.1.1.3.3.2.3.2">𝑐</ci><ci id="S4.E27.m1.1.1.1.1.3.3.2.3.3.cmml" xref="S4.E27.m1.1.1.1.1.3.3.2.3.3">𝑢</ci><ci id="S4.E27.m1.1.1.1.1.3.3.2.3.4.cmml" xref="S4.E27.m1.1.1.1.1.3.3.2.3.4">𝑟</ci><ci id="S4.E27.m1.1.1.1.1.3.3.2.3.5.cmml" xref="S4.E27.m1.1.1.1.1.3.3.2.3.5">𝑣</ci><ci id="S4.E27.m1.1.1.1.1.3.3.2.3.6.cmml" xref="S4.E27.m1.1.1.1.1.3.3.2.3.6">𝑒</ci><ci id="S4.E27.m1.1.1.1.1.3.3.2.3.7.cmml" xref="S4.E27.m1.1.1.1.1.3.3.2.3.7">𝑑</ci></apply></apply><apply id="S4.E27.m1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S4.E27.m1.1.1.1.1.3.3.3"><times id="S4.E27.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.cmml" xref="S4.E27.m1.1.1.1.1.3.3.3.1"></times><ci id="S4.E27.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.cmml" xref="S4.E27.m1.1.1.1.1.3.3.3.2">𝐸</ci><ci id="S4.E27.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.cmml" xref="S4.E27.m1.1.1.1.1.3.3.3.3">𝑆</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.E27.m1.1c">\Psi_{b}^{ES}=\Psi_{flat}^{ES}+\Psi_{curved}^{ES},</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.E27.m1.1d">roman_Ψ start_POSTSUBSCRIPT italic_b end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_E italic_S end_POSTSUPERSCRIPT = roman_Ψ start_POSTSUBSCRIPT italic_f italic_l italic_a italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_E italic_S end_POSTSUPERSCRIPT + roman_Ψ start_POSTSUBSCRIPT italic_c italic_u italic_r italic_v italic_e italic_d end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_E italic_S end_POSTSUPERSCRIPT ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(27)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S4.SS3.p12.3">which decomposes into a flat part</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S4.E28"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\Psi_{flat}^{ES}=\frac{A_{\mathcal{E}}}{2}k_{b}(\mathbf{x}^{e})^{T}(\mathbf{L}% _{m}^{T}\mathbf{L}_{m}\otimes\mathbf{I})\mathbf{N}\mathbf{N}^{T}\mathbf{x}^{e}" class="ltx_Math" display="block" id="S4.E28.m1.2"><semantics id="S4.E28.m1.2a"><mrow id="S4.E28.m1.2.2" xref="S4.E28.m1.2.2.cmml"><msubsup id="S4.E28.m1.2.2.4" xref="S4.E28.m1.2.2.4.cmml"><mi id="S4.E28.m1.2.2.4.2.2" mathvariant="normal" xref="S4.E28.m1.2.2.4.2.2.cmml">Ψ</mi><mrow id="S4.E28.m1.2.2.4.2.3" xref="S4.E28.m1.2.2.4.2.3.cmml"><mi id="S4.E28.m1.2.2.4.2.3.2" xref="S4.E28.m1.2.2.4.2.3.2.cmml">f</mi><mo id="S4.E28.m1.2.2.4.2.3.1" xref="S4.E28.m1.2.2.4.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E28.m1.2.2.4.2.3.3" xref="S4.E28.m1.2.2.4.2.3.3.cmml">l</mi><mo id="S4.E28.m1.2.2.4.2.3.1a" xref="S4.E28.m1.2.2.4.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E28.m1.2.2.4.2.3.4" xref="S4.E28.m1.2.2.4.2.3.4.cmml">a</mi><mo id="S4.E28.m1.2.2.4.2.3.1b" xref="S4.E28.m1.2.2.4.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E28.m1.2.2.4.2.3.5" xref="S4.E28.m1.2.2.4.2.3.5.cmml">t</mi></mrow><mrow id="S4.E28.m1.2.2.4.3" xref="S4.E28.m1.2.2.4.3.cmml"><mi id="S4.E28.m1.2.2.4.3.2" xref="S4.E28.m1.2.2.4.3.2.cmml">E</mi><mo id="S4.E28.m1.2.2.4.3.1" xref="S4.E28.m1.2.2.4.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E28.m1.2.2.4.3.3" xref="S4.E28.m1.2.2.4.3.3.cmml">S</mi></mrow></msubsup><mo id="S4.E28.m1.2.2.3" xref="S4.E28.m1.2.2.3.cmml">=</mo><mrow id="S4.E28.m1.2.2.2" xref="S4.E28.m1.2.2.2.cmml"><mfrac id="S4.E28.m1.2.2.2.4" xref="S4.E28.m1.2.2.2.4.cmml"><msub id="S4.E28.m1.2.2.2.4.2" xref="S4.E28.m1.2.2.2.4.2.cmml"><mi id="S4.E28.m1.2.2.2.4.2.2" xref="S4.E28.m1.2.2.2.4.2.2.cmml">A</mi><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S4.E28.m1.2.2.2.4.2.3" xref="S4.E28.m1.2.2.2.4.2.3.cmml">ℰ</mi></msub><mn id="S4.E28.m1.2.2.2.4.3" xref="S4.E28.m1.2.2.2.4.3.cmml">2</mn></mfrac><mo id="S4.E28.m1.2.2.2.3" xref="S4.E28.m1.2.2.2.3.cmml">⁢</mo><msub id="S4.E28.m1.2.2.2.5" xref="S4.E28.m1.2.2.2.5.cmml"><mi id="S4.E28.m1.2.2.2.5.2" xref="S4.E28.m1.2.2.2.5.2.cmml">k</mi><mi id="S4.E28.m1.2.2.2.5.3" xref="S4.E28.m1.2.2.2.5.3.cmml">b</mi></msub><mo id="S4.E28.m1.2.2.2.3a" xref="S4.E28.m1.2.2.2.3.cmml">⁢</mo><msup id="S4.E28.m1.1.1.1.1" xref="S4.E28.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.E28.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E28.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.E28.m1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.E28.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="S4.E28.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E28.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.E28.m1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.E28.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">𝐱</mi><mi id="S4.E28.m1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.E28.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">e</mi></msup><mo id="S4.E28.m1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.E28.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mi id="S4.E28.m1.1.1.1.1.3" xref="S4.E28.m1.1.1.1.1.3.cmml">T</mi></msup><mo id="S4.E28.m1.2.2.2.3b" xref="S4.E28.m1.2.2.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E28.m1.2.2.2.2.1" xref="S4.E28.m1.2.2.2.2.1.1.cmml"><mo id="S4.E28.m1.2.2.2.2.1.2" stretchy="false" xref="S4.E28.m1.2.2.2.2.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.E28.m1.2.2.2.2.1.1" xref="S4.E28.m1.2.2.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S4.E28.m1.2.2.2.2.1.1.2" xref="S4.E28.m1.2.2.2.2.1.1.2.cmml"><msubsup id="S4.E28.m1.2.2.2.2.1.1.2.2" xref="S4.E28.m1.2.2.2.2.1.1.2.2.cmml"><mi id="S4.E28.m1.2.2.2.2.1.1.2.2.2.2" xref="S4.E28.m1.2.2.2.2.1.1.2.2.2.2.cmml">𝐋</mi><mi id="S4.E28.m1.2.2.2.2.1.1.2.2.2.3" xref="S4.E28.m1.2.2.2.2.1.1.2.2.2.3.cmml">m</mi><mi id="S4.E28.m1.2.2.2.2.1.1.2.2.3" xref="S4.E28.m1.2.2.2.2.1.1.2.2.3.cmml">T</mi></msubsup><mo id="S4.E28.m1.2.2.2.2.1.1.2.1" xref="S4.E28.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S4.E28.m1.2.2.2.2.1.1.2.3" xref="S4.E28.m1.2.2.2.2.1.1.2.3.cmml"><mi id="S4.E28.m1.2.2.2.2.1.1.2.3.2" xref="S4.E28.m1.2.2.2.2.1.1.2.3.2.cmml">𝐋</mi><mi id="S4.E28.m1.2.2.2.2.1.1.2.3.3" xref="S4.E28.m1.2.2.2.2.1.1.2.3.3.cmml">m</mi></msub></mrow><mo id="S4.E28.m1.2.2.2.2.1.1.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S4.E28.m1.2.2.2.2.1.1.1.cmml">⊗</mo><mi id="S4.E28.m1.2.2.2.2.1.1.3" xref="S4.E28.m1.2.2.2.2.1.1.3.cmml">𝐈</mi></mrow><mo id="S4.E28.m1.2.2.2.2.1.3" stretchy="false" xref="S4.E28.m1.2.2.2.2.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S4.E28.m1.2.2.2.3c" xref="S4.E28.m1.2.2.2.3.cmml">⁢</mo><msup id="S4.E28.m1.2.2.2.6" xref="S4.E28.m1.2.2.2.6.cmml"><mi id="S4.E28.m1.2.2.2.6.2" xref="S4.E28.m1.2.2.2.6.2.cmml">𝐍𝐍</mi><mi id="S4.E28.m1.2.2.2.6.3" xref="S4.E28.m1.2.2.2.6.3.cmml">T</mi></msup><mo id="S4.E28.m1.2.2.2.3d" xref="S4.E28.m1.2.2.2.3.cmml">⁢</mo><msup id="S4.E28.m1.2.2.2.7" xref="S4.E28.m1.2.2.2.7.cmml"><mi id="S4.E28.m1.2.2.2.7.2" xref="S4.E28.m1.2.2.2.7.2.cmml">𝐱</mi><mi id="S4.E28.m1.2.2.2.7.3" xref="S4.E28.m1.2.2.2.7.3.cmml">e</mi></msup></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.E28.m1.2b"><apply id="S4.E28.m1.2.2.cmml" xref="S4.E28.m1.2.2"><eq id="S4.E28.m1.2.2.3.cmml" xref="S4.E28.m1.2.2.3"></eq><apply id="S4.E28.m1.2.2.4.cmml" xref="S4.E28.m1.2.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E28.m1.2.2.4.1.cmml" xref="S4.E28.m1.2.2.4">superscript</csymbol><apply id="S4.E28.m1.2.2.4.2.cmml" xref="S4.E28.m1.2.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E28.m1.2.2.4.2.1.cmml" xref="S4.E28.m1.2.2.4">subscript</csymbol><ci id="S4.E28.m1.2.2.4.2.2.cmml" xref="S4.E28.m1.2.2.4.2.2">Ψ</ci><apply id="S4.E28.m1.2.2.4.2.3.cmml" xref="S4.E28.m1.2.2.4.2.3"><times id="S4.E28.m1.2.2.4.2.3.1.cmml" xref="S4.E28.m1.2.2.4.2.3.1"></times><ci id="S4.E28.m1.2.2.4.2.3.2.cmml" xref="S4.E28.m1.2.2.4.2.3.2">𝑓</ci><ci id="S4.E28.m1.2.2.4.2.3.3.cmml" xref="S4.E28.m1.2.2.4.2.3.3">𝑙</ci><ci id="S4.E28.m1.2.2.4.2.3.4.cmml" xref="S4.E28.m1.2.2.4.2.3.4">𝑎</ci><ci id="S4.E28.m1.2.2.4.2.3.5.cmml" 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xref="S4.E28.m1.2.2.2.4.3">2</cn></apply><apply id="S4.E28.m1.2.2.2.5.cmml" xref="S4.E28.m1.2.2.2.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E28.m1.2.2.2.5.1.cmml" xref="S4.E28.m1.2.2.2.5">subscript</csymbol><ci id="S4.E28.m1.2.2.2.5.2.cmml" xref="S4.E28.m1.2.2.2.5.2">𝑘</ci><ci id="S4.E28.m1.2.2.2.5.3.cmml" xref="S4.E28.m1.2.2.2.5.3">𝑏</ci></apply><apply id="S4.E28.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E28.m1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E28.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E28.m1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S4.E28.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E28.m1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E28.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E28.m1.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S4.E28.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E28.m1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝐱</ci><ci id="S4.E28.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E28.m1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑒</ci></apply><ci id="S4.E28.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E28.m1.1.1.1.1.3">𝑇</ci></apply><apply id="S4.E28.m1.2.2.2.2.1.1.cmml" xref="S4.E28.m1.2.2.2.2.1"><csymbol cd="latexml" id="S4.E28.m1.2.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S4.E28.m1.2.2.2.2.1.1.1">tensor-product</csymbol><apply id="S4.E28.m1.2.2.2.2.1.1.2.cmml" xref="S4.E28.m1.2.2.2.2.1.1.2"><times id="S4.E28.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.cmml" xref="S4.E28.m1.2.2.2.2.1.1.2.1"></times><apply id="S4.E28.m1.2.2.2.2.1.1.2.2.cmml" xref="S4.E28.m1.2.2.2.2.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E28.m1.2.2.2.2.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.E28.m1.2.2.2.2.1.1.2.2">superscript</csymbol><apply id="S4.E28.m1.2.2.2.2.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.E28.m1.2.2.2.2.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E28.m1.2.2.2.2.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S4.E28.m1.2.2.2.2.1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S4.E28.m1.2.2.2.2.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S4.E28.m1.2.2.2.2.1.1.2.2.2.2">𝐋</ci><ci id="S4.E28.m1.2.2.2.2.1.1.2.2.2.3.cmml" xref="S4.E28.m1.2.2.2.2.1.1.2.2.2.3">𝑚</ci></apply><ci id="S4.E28.m1.2.2.2.2.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.E28.m1.2.2.2.2.1.1.2.2.3">𝑇</ci></apply><apply id="S4.E28.m1.2.2.2.2.1.1.2.3.cmml" xref="S4.E28.m1.2.2.2.2.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E28.m1.2.2.2.2.1.1.2.3.1.cmml" xref="S4.E28.m1.2.2.2.2.1.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="S4.E28.m1.2.2.2.2.1.1.2.3.2.cmml" xref="S4.E28.m1.2.2.2.2.1.1.2.3.2">𝐋</ci><ci id="S4.E28.m1.2.2.2.2.1.1.2.3.3.cmml" xref="S4.E28.m1.2.2.2.2.1.1.2.3.3">𝑚</ci></apply></apply><ci id="S4.E28.m1.2.2.2.2.1.1.3.cmml" xref="S4.E28.m1.2.2.2.2.1.1.3">𝐈</ci></apply><apply id="S4.E28.m1.2.2.2.6.cmml" xref="S4.E28.m1.2.2.2.6"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E28.m1.2.2.2.6.1.cmml" xref="S4.E28.m1.2.2.2.6">superscript</csymbol><ci id="S4.E28.m1.2.2.2.6.2.cmml" xref="S4.E28.m1.2.2.2.6.2">𝐍𝐍</ci><ci id="S4.E28.m1.2.2.2.6.3.cmml" xref="S4.E28.m1.2.2.2.6.3">𝑇</ci></apply><apply id="S4.E28.m1.2.2.2.7.cmml" xref="S4.E28.m1.2.2.2.7"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E28.m1.2.2.2.7.1.cmml" xref="S4.E28.m1.2.2.2.7">superscript</csymbol><ci id="S4.E28.m1.2.2.2.7.2.cmml" xref="S4.E28.m1.2.2.2.7.2">𝐱</ci><ci id="S4.E28.m1.2.2.2.7.3.cmml" xref="S4.E28.m1.2.2.2.7.3">𝑒</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.E28.m1.2c">\Psi_{flat}^{ES}=\frac{A_{\mathcal{E}}}{2}k_{b}(\mathbf{x}^{e})^{T}(\mathbf{L}% _{m}^{T}\mathbf{L}_{m}\otimes\mathbf{I})\mathbf{N}\mathbf{N}^{T}\mathbf{x}^{e}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.E28.m1.2d">roman_Ψ start_POSTSUBSCRIPT italic_f italic_l italic_a italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_E italic_S end_POSTSUPERSCRIPT = divide start_ARG italic_A start_POSTSUBSCRIPT caligraphic_E end_POSTSUBSCRIPT end_ARG start_ARG 2 end_ARG italic_k start_POSTSUBSCRIPT italic_b end_POSTSUBSCRIPT ( bold_x start_POSTSUPERSCRIPT italic_e end_POSTSUPERSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT ( bold_L start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT bold_L start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT ⊗ bold_I ) bold_NN start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT bold_x start_POSTSUPERSCRIPT italic_e end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(28)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S4.SS3.p12.1">and a curved part <math alttext="\Psi_{curved}^{ES}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS3.p12.1.m1.1"><semantics id="S4.SS3.p12.1.m1.1a"><msubsup id="S4.SS3.p12.1.m1.1.1" xref="S4.SS3.p12.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S4.SS3.p12.1.m1.1.1.2.2" mathvariant="normal" xref="S4.SS3.p12.1.m1.1.1.2.2.cmml">Ψ</mi><mrow id="S4.SS3.p12.1.m1.1.1.2.3" xref="S4.SS3.p12.1.m1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S4.SS3.p12.1.m1.1.1.2.3.2" xref="S4.SS3.p12.1.m1.1.1.2.3.2.cmml">c</mi><mo id="S4.SS3.p12.1.m1.1.1.2.3.1" xref="S4.SS3.p12.1.m1.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.SS3.p12.1.m1.1.1.2.3.3" xref="S4.SS3.p12.1.m1.1.1.2.3.3.cmml">u</mi><mo id="S4.SS3.p12.1.m1.1.1.2.3.1a" xref="S4.SS3.p12.1.m1.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.SS3.p12.1.m1.1.1.2.3.4" xref="S4.SS3.p12.1.m1.1.1.2.3.4.cmml">r</mi><mo id="S4.SS3.p12.1.m1.1.1.2.3.1b" xref="S4.SS3.p12.1.m1.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.SS3.p12.1.m1.1.1.2.3.5" xref="S4.SS3.p12.1.m1.1.1.2.3.5.cmml">v</mi><mo id="S4.SS3.p12.1.m1.1.1.2.3.1c" xref="S4.SS3.p12.1.m1.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.SS3.p12.1.m1.1.1.2.3.6" xref="S4.SS3.p12.1.m1.1.1.2.3.6.cmml">e</mi><mo id="S4.SS3.p12.1.m1.1.1.2.3.1d" xref="S4.SS3.p12.1.m1.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.SS3.p12.1.m1.1.1.2.3.7" xref="S4.SS3.p12.1.m1.1.1.2.3.7.cmml">d</mi></mrow><mrow id="S4.SS3.p12.1.m1.1.1.3" xref="S4.SS3.p12.1.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.SS3.p12.1.m1.1.1.3.2" xref="S4.SS3.p12.1.m1.1.1.3.2.cmml">E</mi><mo id="S4.SS3.p12.1.m1.1.1.3.1" xref="S4.SS3.p12.1.m1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.SS3.p12.1.m1.1.1.3.3" xref="S4.SS3.p12.1.m1.1.1.3.3.cmml">S</mi></mrow></msubsup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS3.p12.1.m1.1b"><apply id="S4.SS3.p12.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.SS3.p12.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS3.p12.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS3.p12.1.m1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S4.SS3.p12.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS3.p12.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS3.p12.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.SS3.p12.1.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.SS3.p12.1.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.SS3.p12.1.m1.1.1.2.2">Ψ</ci><apply id="S4.SS3.p12.1.m1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.SS3.p12.1.m1.1.1.2.3"><times id="S4.SS3.p12.1.m1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S4.SS3.p12.1.m1.1.1.2.3.1"></times><ci id="S4.SS3.p12.1.m1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S4.SS3.p12.1.m1.1.1.2.3.2">𝑐</ci><ci id="S4.SS3.p12.1.m1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S4.SS3.p12.1.m1.1.1.2.3.3">𝑢</ci><ci id="S4.SS3.p12.1.m1.1.1.2.3.4.cmml" xref="S4.SS3.p12.1.m1.1.1.2.3.4">𝑟</ci><ci id="S4.SS3.p12.1.m1.1.1.2.3.5.cmml" xref="S4.SS3.p12.1.m1.1.1.2.3.5">𝑣</ci><ci id="S4.SS3.p12.1.m1.1.1.2.3.6.cmml" xref="S4.SS3.p12.1.m1.1.1.2.3.6">𝑒</ci><ci id="S4.SS3.p12.1.m1.1.1.2.3.7.cmml" xref="S4.SS3.p12.1.m1.1.1.2.3.7">𝑑</ci></apply></apply><apply id="S4.SS3.p12.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S4.SS3.p12.1.m1.1.1.3"><times id="S4.SS3.p12.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.SS3.p12.1.m1.1.1.3.1"></times><ci id="S4.SS3.p12.1.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.SS3.p12.1.m1.1.1.3.2">𝐸</ci><ci id="S4.SS3.p12.1.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.SS3.p12.1.m1.1.1.3.3">𝑆</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS3.p12.1.m1.1c">\Psi_{curved}^{ES}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS3.p12.1.m1.1d">roman_Ψ start_POSTSUBSCRIPT italic_c italic_u italic_r italic_v italic_e italic_d end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_E italic_S end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> is</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S4.E29"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\begin{gathered}\frac{A_{\mathcal{E}}}{2}k_{b}(-2(\mathbf{x}^{e})^{T}(\mathbf{% L}_{m}^{T}\mathbf{L}_{m}\otimes\mathbf{I})\mathbf{N}\mathbf{N}_{0}^{T}\mathbf{% X}^{e}+(\mathbf{X}^{e})^{T}(\mathbf{L}_{m}^{T}\mathbf{L}_{m}\otimes\mathbf{I})% \mathbf{N}_{0}\mathbf{N}_{0}^{T}\mathbf{X}^{e}).\end{gathered}" class="ltx_Math" display="block" id="S4.E29.m1.51"><semantics id="S4.E29.m1.51a"><mtable displaystyle="true" id="S4.E29.m1.51.51.2"><mtr id="S4.E29.m1.51.51.2a"><mtd id="S4.E29.m1.51.51.2b"><mrow id="S4.E29.m1.51.51.2.50.50.50.50"><mrow id="S4.E29.m1.51.51.2.50.50.50.50.1"><mfrac id="S4.E29.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E29.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S4.E29.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.E29.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.E29.m1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.E29.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">A</mi><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S4.E29.m1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S4.E29.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">ℰ</mi></msub><mn id="S4.E29.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.E29.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">2</mn></mfrac><mo id="S4.E29.m1.51.51.2.50.50.50.50.1.2" xref="S4.E29.m1.50.50.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S4.E29.m1.51.51.2.50.50.50.50.1.3"><mi id="S4.E29.m1.2.2.2.2.2.2" xref="S4.E29.m1.2.2.2.2.2.2.cmml">k</mi><mi id="S4.E29.m1.3.3.3.3.3.3.1" xref="S4.E29.m1.3.3.3.3.3.3.1.cmml">b</mi></msub><mo id="S4.E29.m1.51.51.2.50.50.50.50.1.2a" xref="S4.E29.m1.50.50.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E29.m1.51.51.2.50.50.50.50.1.1.1"><mo id="S4.E29.m1.4.4.4.4.4.4" stretchy="false" xref="S4.E29.m1.50.50.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.E29.m1.51.51.2.50.50.50.50.1.1.1.1"><mrow id="S4.E29.m1.51.51.2.50.50.50.50.1.1.1.1.2"><mo id="S4.E29.m1.51.51.2.50.50.50.50.1.1.1.1.2a" xref="S4.E29.m1.50.50.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S4.E29.m1.51.51.2.50.50.50.50.1.1.1.1.2.2"><mn id="S4.E29.m1.6.6.6.6.6.6" xref="S4.E29.m1.6.6.6.6.6.6.cmml">2</mn><mo id="S4.E29.m1.51.51.2.50.50.50.50.1.1.1.1.2.2.3" xref="S4.E29.m1.50.50.1.1.1.cmml">⁢</mo><msup id="S4.E29.m1.51.51.2.50.50.50.50.1.1.1.1.1.1.1"><mrow id="S4.E29.m1.51.51.2.50.50.50.50.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><mo id="S4.E29.m1.7.7.7.7.7.7" stretchy="false" xref="S4.E29.m1.50.50.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="S4.E29.m1.51.51.2.50.50.50.50.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><mi id="S4.E29.m1.8.8.8.8.8.8" xref="S4.E29.m1.8.8.8.8.8.8.cmml">𝐱</mi><mi id="S4.E29.m1.9.9.9.9.9.9.1" xref="S4.E29.m1.9.9.9.9.9.9.1.cmml">e</mi></msup><mo id="S4.E29.m1.10.10.10.10.10.10" stretchy="false" xref="S4.E29.m1.50.50.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mi id="S4.E29.m1.11.11.11.11.11.11.1" xref="S4.E29.m1.11.11.11.11.11.11.1.cmml">T</mi></msup><mo id="S4.E29.m1.51.51.2.50.50.50.50.1.1.1.1.2.2.3a" xref="S4.E29.m1.50.50.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E29.m1.51.51.2.50.50.50.50.1.1.1.1.2.2.2.1"><mo id="S4.E29.m1.12.12.12.12.12.12" stretchy="false" xref="S4.E29.m1.50.50.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.E29.m1.51.51.2.50.50.50.50.1.1.1.1.2.2.2.1.1"><mrow id="S4.E29.m1.51.51.2.50.50.50.50.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1"><msubsup id="S4.E29.m1.51.51.2.50.50.50.50.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.2"><mi id="S4.E29.m1.13.13.13.13.13.13" xref="S4.E29.m1.13.13.13.13.13.13.cmml">𝐋</mi><mi id="S4.E29.m1.14.14.14.14.14.14.1" xref="S4.E29.m1.14.14.14.14.14.14.1.cmml">m</mi><mi id="S4.E29.m1.15.15.15.15.15.15.1" xref="S4.E29.m1.15.15.15.15.15.15.1.cmml">T</mi></msubsup><mo id="S4.E29.m1.51.51.2.50.50.50.50.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1" xref="S4.E29.m1.50.50.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S4.E29.m1.51.51.2.50.50.50.50.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.3"><mi id="S4.E29.m1.16.16.16.16.16.16" xref="S4.E29.m1.16.16.16.16.16.16.cmml">𝐋</mi><mi id="S4.E29.m1.17.17.17.17.17.17.1" xref="S4.E29.m1.17.17.17.17.17.17.1.cmml">m</mi></msub></mrow><mo id="S4.E29.m1.18.18.18.18.18.18" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S4.E29.m1.18.18.18.18.18.18.cmml">⊗</mo><mi id="S4.E29.m1.19.19.19.19.19.19" xref="S4.E29.m1.19.19.19.19.19.19.cmml">𝐈</mi></mrow><mo id="S4.E29.m1.20.20.20.20.20.20" stretchy="false" xref="S4.E29.m1.50.50.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S4.E29.m1.51.51.2.50.50.50.50.1.1.1.1.2.2.3b" xref="S4.E29.m1.50.50.1.1.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.E29.m1.51.51.2.50.50.50.50.1.1.1.1.2.2.4"><mi id="S4.E29.m1.21.21.21.21.21.21" xref="S4.E29.m1.21.21.21.21.21.21.cmml">𝐍𝐍</mi><mn id="S4.E29.m1.22.22.22.22.22.22.1" xref="S4.E29.m1.22.22.22.22.22.22.1.cmml">0</mn><mi id="S4.E29.m1.23.23.23.23.23.23.1" xref="S4.E29.m1.23.23.23.23.23.23.1.cmml">T</mi></msubsup><mo id="S4.E29.m1.51.51.2.50.50.50.50.1.1.1.1.2.2.3c" xref="S4.E29.m1.50.50.1.1.1.cmml">⁢</mo><msup id="S4.E29.m1.51.51.2.50.50.50.50.1.1.1.1.2.2.5"><mi id="S4.E29.m1.24.24.24.24.24.24" xref="S4.E29.m1.24.24.24.24.24.24.cmml">𝐗</mi><mi id="S4.E29.m1.25.25.25.25.25.25.1" xref="S4.E29.m1.25.25.25.25.25.25.1.cmml">e</mi></msup></mrow></mrow><mo id="S4.E29.m1.26.26.26.26.26.26" xref="S4.E29.m1.26.26.26.26.26.26.cmml">+</mo><mrow id="S4.E29.m1.51.51.2.50.50.50.50.1.1.1.1.4"><msup id="S4.E29.m1.51.51.2.50.50.50.50.1.1.1.1.3.1"><mrow id="S4.E29.m1.51.51.2.50.50.50.50.1.1.1.1.3.1.1.1"><mo id="S4.E29.m1.27.27.27.27.27.27" stretchy="false" xref="S4.E29.m1.50.50.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="S4.E29.m1.51.51.2.50.50.50.50.1.1.1.1.3.1.1.1.1"><mi id="S4.E29.m1.28.28.28.28.28.28" xref="S4.E29.m1.28.28.28.28.28.28.cmml">𝐗</mi><mi id="S4.E29.m1.29.29.29.29.29.29.1" xref="S4.E29.m1.29.29.29.29.29.29.1.cmml">e</mi></msup><mo id="S4.E29.m1.30.30.30.30.30.30" stretchy="false" xref="S4.E29.m1.50.50.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mi id="S4.E29.m1.31.31.31.31.31.31.1" xref="S4.E29.m1.31.31.31.31.31.31.1.cmml">T</mi></msup><mo id="S4.E29.m1.51.51.2.50.50.50.50.1.1.1.1.4.3" xref="S4.E29.m1.50.50.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E29.m1.51.51.2.50.50.50.50.1.1.1.1.4.2.1"><mo id="S4.E29.m1.32.32.32.32.32.32" stretchy="false" xref="S4.E29.m1.50.50.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.E29.m1.51.51.2.50.50.50.50.1.1.1.1.4.2.1.1"><mrow id="S4.E29.m1.51.51.2.50.50.50.50.1.1.1.1.4.2.1.1.1"><msubsup id="S4.E29.m1.51.51.2.50.50.50.50.1.1.1.1.4.2.1.1.1.2"><mi id="S4.E29.m1.33.33.33.33.33.33" xref="S4.E29.m1.33.33.33.33.33.33.cmml">𝐋</mi><mi id="S4.E29.m1.34.34.34.34.34.34.1" xref="S4.E29.m1.34.34.34.34.34.34.1.cmml">m</mi><mi id="S4.E29.m1.35.35.35.35.35.35.1" xref="S4.E29.m1.35.35.35.35.35.35.1.cmml">T</mi></msubsup><mo id="S4.E29.m1.51.51.2.50.50.50.50.1.1.1.1.4.2.1.1.1.1" xref="S4.E29.m1.50.50.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S4.E29.m1.51.51.2.50.50.50.50.1.1.1.1.4.2.1.1.1.3"><mi id="S4.E29.m1.36.36.36.36.36.36" xref="S4.E29.m1.36.36.36.36.36.36.cmml">𝐋</mi><mi id="S4.E29.m1.37.37.37.37.37.37.1" xref="S4.E29.m1.37.37.37.37.37.37.1.cmml">m</mi></msub></mrow><mo id="S4.E29.m1.38.38.38.38.38.38" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S4.E29.m1.38.38.38.38.38.38.cmml">⊗</mo><mi id="S4.E29.m1.39.39.39.39.39.39" xref="S4.E29.m1.39.39.39.39.39.39.cmml">𝐈</mi></mrow><mo id="S4.E29.m1.40.40.40.40.40.40" stretchy="false" xref="S4.E29.m1.50.50.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S4.E29.m1.51.51.2.50.50.50.50.1.1.1.1.4.3a" xref="S4.E29.m1.50.50.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S4.E29.m1.51.51.2.50.50.50.50.1.1.1.1.4.4"><mi id="S4.E29.m1.41.41.41.41.41.41" xref="S4.E29.m1.41.41.41.41.41.41.cmml">𝐍</mi><mn id="S4.E29.m1.42.42.42.42.42.42.1" xref="S4.E29.m1.42.42.42.42.42.42.1.cmml">0</mn></msub><mo id="S4.E29.m1.51.51.2.50.50.50.50.1.1.1.1.4.3b" xref="S4.E29.m1.50.50.1.1.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.E29.m1.51.51.2.50.50.50.50.1.1.1.1.4.5"><mi id="S4.E29.m1.43.43.43.43.43.43" xref="S4.E29.m1.43.43.43.43.43.43.cmml">𝐍</mi><mn id="S4.E29.m1.44.44.44.44.44.44.1" xref="S4.E29.m1.44.44.44.44.44.44.1.cmml">0</mn><mi id="S4.E29.m1.45.45.45.45.45.45.1" xref="S4.E29.m1.45.45.45.45.45.45.1.cmml">T</mi></msubsup><mo id="S4.E29.m1.51.51.2.50.50.50.50.1.1.1.1.4.3c" xref="S4.E29.m1.50.50.1.1.1.cmml">⁢</mo><msup id="S4.E29.m1.51.51.2.50.50.50.50.1.1.1.1.4.6"><mi 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id="S4.E29.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.E29.m1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝐴</ci><ci id="S4.E29.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.E29.m1.1.1.1.1.1.1.2.3">ℰ</ci></apply><cn id="S4.E29.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.E29.m1.1.1.1.1.1.1.3">2</cn></apply><apply id="S4.E29.m1.50.50.1.1.1.4.cmml" xref="S4.E29.m1.51.51.2.50.50.50.50.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E29.m1.50.50.1.1.1.4.1.cmml" xref="S4.E29.m1.51.51.2.50.50.50.50.1.2">subscript</csymbol><ci id="S4.E29.m1.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.E29.m1.2.2.2.2.2.2">𝑘</ci><ci id="S4.E29.m1.3.3.3.3.3.3.1.cmml" xref="S4.E29.m1.3.3.3.3.3.3.1">𝑏</ci></apply><apply id="S4.E29.m1.50.50.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E29.m1.51.51.2.50.50.50.50.1.2"><plus id="S4.E29.m1.26.26.26.26.26.26.cmml" xref="S4.E29.m1.26.26.26.26.26.26"></plus><apply id="S4.E29.m1.50.50.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E29.m1.51.51.2.50.50.50.50.1.2"><minus id="S4.E29.m1.5.5.5.5.5.5.cmml" xref="S4.E29.m1.51.51.2.50.50.50.50.1.2"></minus><apply 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xref="S4.E29.m1.51.51.2.50.50.50.50.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E29.m1.50.50.1.1.1.1.1.1.2.2.5.2.1.cmml" xref="S4.E29.m1.51.51.2.50.50.50.50.1.2">subscript</csymbol><ci id="S4.E29.m1.21.21.21.21.21.21.cmml" xref="S4.E29.m1.21.21.21.21.21.21">𝐍𝐍</ci><cn id="S4.E29.m1.22.22.22.22.22.22.1.cmml" type="integer" xref="S4.E29.m1.22.22.22.22.22.22.1">0</cn></apply><ci id="S4.E29.m1.23.23.23.23.23.23.1.cmml" xref="S4.E29.m1.23.23.23.23.23.23.1">𝑇</ci></apply><apply id="S4.E29.m1.50.50.1.1.1.1.1.1.2.2.6.cmml" xref="S4.E29.m1.51.51.2.50.50.50.50.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E29.m1.50.50.1.1.1.1.1.1.2.2.6.1.cmml" xref="S4.E29.m1.51.51.2.50.50.50.50.1.2">superscript</csymbol><ci id="S4.E29.m1.24.24.24.24.24.24.cmml" xref="S4.E29.m1.24.24.24.24.24.24">𝐗</ci><ci id="S4.E29.m1.25.25.25.25.25.25.1.cmml" xref="S4.E29.m1.25.25.25.25.25.25.1">𝑒</ci></apply></apply></apply><apply id="S4.E29.m1.50.50.1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S4.E29.m1.51.51.2.50.50.50.50.1.2"><times id="S4.E29.m1.50.50.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml" xref="S4.E29.m1.51.51.2.50.50.50.50.1.2"></times><apply id="S4.E29.m1.50.50.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E29.m1.51.51.2.50.50.50.50.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E29.m1.50.50.1.1.1.1.1.1.3.1.2.cmml" xref="S4.E29.m1.51.51.2.50.50.50.50.1.2">superscript</csymbol><apply id="S4.E29.m1.50.50.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E29.m1.51.51.2.50.50.50.50.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E29.m1.50.50.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E29.m1.51.51.2.50.50.50.50.1.2">superscript</csymbol><ci id="S4.E29.m1.28.28.28.28.28.28.cmml" xref="S4.E29.m1.28.28.28.28.28.28">𝐗</ci><ci id="S4.E29.m1.29.29.29.29.29.29.1.cmml" xref="S4.E29.m1.29.29.29.29.29.29.1">𝑒</ci></apply><ci id="S4.E29.m1.31.31.31.31.31.31.1.cmml" xref="S4.E29.m1.31.31.31.31.31.31.1">𝑇</ci></apply><apply id="S4.E29.m1.50.50.1.1.1.1.1.1.4.2.1.1.cmml" xref="S4.E29.m1.51.51.2.50.50.50.50.1.2"><csymbol cd="latexml" id="S4.E29.m1.38.38.38.38.38.38.cmml" xref="S4.E29.m1.38.38.38.38.38.38">tensor-product</csymbol><apply id="S4.E29.m1.50.50.1.1.1.1.1.1.4.2.1.1.2.cmml" xref="S4.E29.m1.51.51.2.50.50.50.50.1.2"><times id="S4.E29.m1.50.50.1.1.1.1.1.1.4.2.1.1.2.1.cmml" xref="S4.E29.m1.51.51.2.50.50.50.50.1.2"></times><apply id="S4.E29.m1.50.50.1.1.1.1.1.1.4.2.1.1.2.2.cmml" xref="S4.E29.m1.51.51.2.50.50.50.50.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E29.m1.50.50.1.1.1.1.1.1.4.2.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.E29.m1.51.51.2.50.50.50.50.1.2">superscript</csymbol><apply id="S4.E29.m1.50.50.1.1.1.1.1.1.4.2.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.E29.m1.51.51.2.50.50.50.50.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E29.m1.50.50.1.1.1.1.1.1.4.2.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S4.E29.m1.51.51.2.50.50.50.50.1.2">subscript</csymbol><ci id="S4.E29.m1.33.33.33.33.33.33.cmml" xref="S4.E29.m1.33.33.33.33.33.33">𝐋</ci><ci id="S4.E29.m1.34.34.34.34.34.34.1.cmml" xref="S4.E29.m1.34.34.34.34.34.34.1">𝑚</ci></apply><ci id="S4.E29.m1.35.35.35.35.35.35.1.cmml" xref="S4.E29.m1.35.35.35.35.35.35.1">𝑇</ci></apply><apply id="S4.E29.m1.50.50.1.1.1.1.1.1.4.2.1.1.2.3.cmml" xref="S4.E29.m1.51.51.2.50.50.50.50.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E29.m1.50.50.1.1.1.1.1.1.4.2.1.1.2.3.1.cmml" xref="S4.E29.m1.51.51.2.50.50.50.50.1.2">subscript</csymbol><ci id="S4.E29.m1.36.36.36.36.36.36.cmml" xref="S4.E29.m1.36.36.36.36.36.36">𝐋</ci><ci id="S4.E29.m1.37.37.37.37.37.37.1.cmml" xref="S4.E29.m1.37.37.37.37.37.37.1">𝑚</ci></apply></apply><ci id="S4.E29.m1.39.39.39.39.39.39.cmml" xref="S4.E29.m1.39.39.39.39.39.39">𝐈</ci></apply><apply id="S4.E29.m1.50.50.1.1.1.1.1.1.4.4.cmml" xref="S4.E29.m1.51.51.2.50.50.50.50.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E29.m1.50.50.1.1.1.1.1.1.4.4.1.cmml" xref="S4.E29.m1.51.51.2.50.50.50.50.1.2">subscript</csymbol><ci id="S4.E29.m1.41.41.41.41.41.41.cmml" xref="S4.E29.m1.41.41.41.41.41.41">𝐍</ci><cn id="S4.E29.m1.42.42.42.42.42.42.1.cmml" type="integer" xref="S4.E29.m1.42.42.42.42.42.42.1">0</cn></apply><apply id="S4.E29.m1.50.50.1.1.1.1.1.1.4.5.cmml" xref="S4.E29.m1.51.51.2.50.50.50.50.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E29.m1.50.50.1.1.1.1.1.1.4.5.1.cmml" xref="S4.E29.m1.51.51.2.50.50.50.50.1.2">superscript</csymbol><apply id="S4.E29.m1.50.50.1.1.1.1.1.1.4.5.2.cmml" xref="S4.E29.m1.51.51.2.50.50.50.50.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E29.m1.50.50.1.1.1.1.1.1.4.5.2.1.cmml" xref="S4.E29.m1.51.51.2.50.50.50.50.1.2">subscript</csymbol><ci id="S4.E29.m1.43.43.43.43.43.43.cmml" xref="S4.E29.m1.43.43.43.43.43.43">𝐍</ci><cn id="S4.E29.m1.44.44.44.44.44.44.1.cmml" type="integer" xref="S4.E29.m1.44.44.44.44.44.44.1">0</cn></apply><ci id="S4.E29.m1.45.45.45.45.45.45.1.cmml" xref="S4.E29.m1.45.45.45.45.45.45.1">𝑇</ci></apply><apply id="S4.E29.m1.50.50.1.1.1.1.1.1.4.6.cmml" xref="S4.E29.m1.51.51.2.50.50.50.50.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E29.m1.50.50.1.1.1.1.1.1.4.6.1.cmml" xref="S4.E29.m1.51.51.2.50.50.50.50.1.2">superscript</csymbol><ci id="S4.E29.m1.46.46.46.46.46.46.cmml" xref="S4.E29.m1.46.46.46.46.46.46">𝐗</ci><ci id="S4.E29.m1.47.47.47.47.47.47.1.cmml" xref="S4.E29.m1.47.47.47.47.47.47.1">𝑒</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.E29.m1.51c">\begin{gathered}\frac{A_{\mathcal{E}}}{2}k_{b}(-2(\mathbf{x}^{e})^{T}(\mathbf{% L}_{m}^{T}\mathbf{L}_{m}\otimes\mathbf{I})\mathbf{N}\mathbf{N}_{0}^{T}\mathbf{% X}^{e}+(\mathbf{X}^{e})^{T}(\mathbf{L}_{m}^{T}\mathbf{L}_{m}\otimes\mathbf{I})% \mathbf{N}_{0}\mathbf{N}_{0}^{T}\mathbf{X}^{e}).\end{gathered}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.E29.m1.51d">start_ROW start_CELL divide start_ARG italic_A start_POSTSUBSCRIPT caligraphic_E end_POSTSUBSCRIPT end_ARG start_ARG 2 end_ARG italic_k start_POSTSUBSCRIPT italic_b end_POSTSUBSCRIPT ( - 2 ( bold_x start_POSTSUPERSCRIPT italic_e end_POSTSUPERSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT ( bold_L start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT bold_L start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT ⊗ bold_I ) bold_NN start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT bold_X start_POSTSUPERSCRIPT italic_e end_POSTSUPERSCRIPT + ( bold_X start_POSTSUPERSCRIPT italic_e end_POSTSUPERSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT ( bold_L start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT bold_L start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT ⊗ bold_I ) bold_N start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT bold_N start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT bold_X start_POSTSUPERSCRIPT italic_e end_POSTSUPERSCRIPT ) . end_CELL end_ROW</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(29)</span></td> </tr></tbody> </table> </div> <div class="ltx_para" id="S4.SS3.p13"> <p class="ltx_p" id="S4.SS3.p13.1">The flat part in Eq. (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2502.10872v4#S4.E27" title="In 4.3 Corotational edge-based hinge bending model ‣ 4 Geometric Discretization ‣ Corotational Hinge-based Thin Plates/Shells"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">27</span></a>) is identical to the bending energy of the corotational edge-based hinge thin plate in Eq. (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2502.10872v4#S4.E18" title="In 4.3 Corotational edge-based hinge bending model ‣ 4 Geometric Discretization ‣ Corotational Hinge-based Thin Plates/Shells"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">18</span></a>), similar note can be found in the Cubic Shell paper <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2502.10872v4#bib.bibx19" title="">GGWZ07</a>]</cite>. Consequently, the simplified bending energy Hessian from the rest-flat version in Eq. (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2502.10872v4#S4.E21" title="In 4.3 Corotational edge-based hinge bending model ‣ 4 Geometric Discretization ‣ Corotational Hinge-based Thin Plates/Shells"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">21</span></a>) can be used to perform a single bending energy Hessian assembly for the rest-curved version.</p> </div> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S4.SS3.p14"> <p class="ltx_p" id="S4.SS3.p14.5"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S4.SS3.p14.5.1">Boundary conditions for the corotational edge-based hinge.</span> In thin shell simulations, the most commonly used boundary conditions are the clamped boundary condition, the free boundary condition, and the simply supported boundary condition. The simply supported boundary condition can be effectively achieved by combining the free boundary condition with fixed boundary nodes, so we will focus on discussing the clamped and free boundary conditions. In the boundary edge stencil <math alttext="MNLL^{\prime}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS3.p14.1.m1.1"><semantics id="S4.SS3.p14.1.m1.1a"><mrow id="S4.SS3.p14.1.m1.1.1" xref="S4.SS3.p14.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S4.SS3.p14.1.m1.1.1.2" xref="S4.SS3.p14.1.m1.1.1.2.cmml">M</mi><mo id="S4.SS3.p14.1.m1.1.1.1" xref="S4.SS3.p14.1.m1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.SS3.p14.1.m1.1.1.3" xref="S4.SS3.p14.1.m1.1.1.3.cmml">N</mi><mo id="S4.SS3.p14.1.m1.1.1.1a" xref="S4.SS3.p14.1.m1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.SS3.p14.1.m1.1.1.4" xref="S4.SS3.p14.1.m1.1.1.4.cmml">L</mi><mo id="S4.SS3.p14.1.m1.1.1.1b" xref="S4.SS3.p14.1.m1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msup id="S4.SS3.p14.1.m1.1.1.5" xref="S4.SS3.p14.1.m1.1.1.5.cmml"><mi id="S4.SS3.p14.1.m1.1.1.5.2" xref="S4.SS3.p14.1.m1.1.1.5.2.cmml">L</mi><mo id="S4.SS3.p14.1.m1.1.1.5.3" xref="S4.SS3.p14.1.m1.1.1.5.3.cmml">′</mo></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS3.p14.1.m1.1b"><apply id="S4.SS3.p14.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.SS3.p14.1.m1.1.1"><times id="S4.SS3.p14.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS3.p14.1.m1.1.1.1"></times><ci id="S4.SS3.p14.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS3.p14.1.m1.1.1.2">𝑀</ci><ci id="S4.SS3.p14.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S4.SS3.p14.1.m1.1.1.3">𝑁</ci><ci id="S4.SS3.p14.1.m1.1.1.4.cmml" xref="S4.SS3.p14.1.m1.1.1.4">𝐿</ci><apply id="S4.SS3.p14.1.m1.1.1.5.cmml" xref="S4.SS3.p14.1.m1.1.1.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS3.p14.1.m1.1.1.5.1.cmml" xref="S4.SS3.p14.1.m1.1.1.5">superscript</csymbol><ci id="S4.SS3.p14.1.m1.1.1.5.2.cmml" xref="S4.SS3.p14.1.m1.1.1.5.2">𝐿</ci><ci id="S4.SS3.p14.1.m1.1.1.5.3.cmml" xref="S4.SS3.p14.1.m1.1.1.5.3">′</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS3.p14.1.m1.1c">MNLL^{\prime}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS3.p14.1.m1.1d">italic_M italic_N italic_L italic_L start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>, illustrated in Figure <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2502.10872v4#S4.F4" title="Figure 4 ‣ 4.5 Corotational smoothed hinge bending model ‣ 4 Geometric Discretization ‣ Corotational Hinge-based Thin Plates/Shells"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">4</span></a>, the node <math alttext="L^{\prime}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS3.p14.2.m2.1"><semantics id="S4.SS3.p14.2.m2.1a"><msup id="S4.SS3.p14.2.m2.1.1" xref="S4.SS3.p14.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S4.SS3.p14.2.m2.1.1.2" xref="S4.SS3.p14.2.m2.1.1.2.cmml">L</mi><mo id="S4.SS3.p14.2.m2.1.1.3" xref="S4.SS3.p14.2.m2.1.1.3.cmml">′</mo></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS3.p14.2.m2.1b"><apply id="S4.SS3.p14.2.m2.1.1.cmml" xref="S4.SS3.p14.2.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS3.p14.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S4.SS3.p14.2.m2.1.1">superscript</csymbol><ci id="S4.SS3.p14.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S4.SS3.p14.2.m2.1.1.2">𝐿</ci><ci id="S4.SS3.p14.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S4.SS3.p14.2.m2.1.1.3">′</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS3.p14.2.m2.1c">L^{\prime}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS3.p14.2.m2.1d">italic_L start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> is a virtual node that is symmetrically positioned with respect to node <math alttext="L" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS3.p14.3.m3.1"><semantics id="S4.SS3.p14.3.m3.1a"><mi id="S4.SS3.p14.3.m3.1.1" xref="S4.SS3.p14.3.m3.1.1.cmml">L</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS3.p14.3.m3.1b"><ci id="S4.SS3.p14.3.m3.1.1.cmml" xref="S4.SS3.p14.3.m3.1.1">𝐿</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS3.p14.3.m3.1c">L</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS3.p14.3.m3.1d">italic_L</annotation></semantics></math> across the midpoint <math alttext="P" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS3.p14.4.m4.1"><semantics id="S4.SS3.p14.4.m4.1a"><mi id="S4.SS3.p14.4.m4.1.1" xref="S4.SS3.p14.4.m4.1.1.cmml">P</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS3.p14.4.m4.1b"><ci id="S4.SS3.p14.4.m4.1.1.cmml" xref="S4.SS3.p14.4.m4.1.1">𝑃</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS3.p14.4.m4.1c">P</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS3.p14.4.m4.1d">italic_P</annotation></semantics></math> of the boundary edge <math alttext="MN" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS3.p14.5.m5.1"><semantics id="S4.SS3.p14.5.m5.1a"><mrow id="S4.SS3.p14.5.m5.1.1" xref="S4.SS3.p14.5.m5.1.1.cmml"><mi id="S4.SS3.p14.5.m5.1.1.2" xref="S4.SS3.p14.5.m5.1.1.2.cmml">M</mi><mo id="S4.SS3.p14.5.m5.1.1.1" xref="S4.SS3.p14.5.m5.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.SS3.p14.5.m5.1.1.3" xref="S4.SS3.p14.5.m5.1.1.3.cmml">N</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS3.p14.5.m5.1b"><apply id="S4.SS3.p14.5.m5.1.1.cmml" xref="S4.SS3.p14.5.m5.1.1"><times id="S4.SS3.p14.5.m5.1.1.1.cmml" xref="S4.SS3.p14.5.m5.1.1.1"></times><ci id="S4.SS3.p14.5.m5.1.1.2.cmml" xref="S4.SS3.p14.5.m5.1.1.2">𝑀</ci><ci id="S4.SS3.p14.5.m5.1.1.3.cmml" xref="S4.SS3.p14.5.m5.1.1.3">𝑁</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS3.p14.5.m5.1c">MN</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS3.p14.5.m5.1d">italic_M italic_N</annotation></semantics></math>.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S4.SS3.p15"> <p class="ltx_p" id="S4.SS3.p15.1"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S4.SS3.p15.1.1">The Clamped Boundary Condition.</span> For a boundary edge stencil with a clamped boundary condition, a symmetric virtual transverse displacement is applied, corresponding to the virtual node <math alttext="L^{\prime}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS3.p15.1.m1.1"><semantics id="S4.SS3.p15.1.m1.1a"><msup id="S4.SS3.p15.1.m1.1.1" xref="S4.SS3.p15.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S4.SS3.p15.1.m1.1.1.2" xref="S4.SS3.p15.1.m1.1.1.2.cmml">L</mi><mo id="S4.SS3.p15.1.m1.1.1.3" xref="S4.SS3.p15.1.m1.1.1.3.cmml">′</mo></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS3.p15.1.m1.1b"><apply id="S4.SS3.p15.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.SS3.p15.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS3.p15.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS3.p15.1.m1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S4.SS3.p15.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS3.p15.1.m1.1.1.2">𝐿</ci><ci id="S4.SS3.p15.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S4.SS3.p15.1.m1.1.1.3">′</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS3.p15.1.m1.1c">L^{\prime}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS3.p15.1.m1.1d">italic_L start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math></p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S4.E30"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\tilde{w}_{L^{\prime}}=\tilde{w}_{L}," class="ltx_Math" display="block" id="S4.E30.m1.1"><semantics id="S4.E30.m1.1a"><mrow id="S4.E30.m1.1.1.1" xref="S4.E30.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.E30.m1.1.1.1.1" xref="S4.E30.m1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S4.E30.m1.1.1.1.1.2" xref="S4.E30.m1.1.1.1.1.2.cmml"><mover accent="true" id="S4.E30.m1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.E30.m1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S4.E30.m1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S4.E30.m1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">w</mi><mo id="S4.E30.m1.1.1.1.1.2.2.1" xref="S4.E30.m1.1.1.1.1.2.2.1.cmml">~</mo></mover><msup id="S4.E30.m1.1.1.1.1.2.3" xref="S4.E30.m1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S4.E30.m1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S4.E30.m1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">L</mi><mo id="S4.E30.m1.1.1.1.1.2.3.3" xref="S4.E30.m1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">′</mo></msup></msub><mo id="S4.E30.m1.1.1.1.1.1" xref="S4.E30.m1.1.1.1.1.1.cmml">=</mo><msub id="S4.E30.m1.1.1.1.1.3" xref="S4.E30.m1.1.1.1.1.3.cmml"><mover accent="true" id="S4.E30.m1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.E30.m1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S4.E30.m1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S4.E30.m1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">w</mi><mo id="S4.E30.m1.1.1.1.1.3.2.1" xref="S4.E30.m1.1.1.1.1.3.2.1.cmml">~</mo></mover><mi id="S4.E30.m1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.E30.m1.1.1.1.1.3.3.cmml">L</mi></msub></mrow><mo id="S4.E30.m1.1.1.1.2" xref="S4.E30.m1.1.1.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.E30.m1.1b"><apply id="S4.E30.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E30.m1.1.1.1"><eq id="S4.E30.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E30.m1.1.1.1.1.1"></eq><apply id="S4.E30.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E30.m1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E30.m1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.E30.m1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><apply id="S4.E30.m1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.E30.m1.1.1.1.1.2.2"><ci id="S4.E30.m1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.E30.m1.1.1.1.1.2.2.1">~</ci><ci id="S4.E30.m1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.E30.m1.1.1.1.1.2.2.2">𝑤</ci></apply><apply id="S4.E30.m1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.E30.m1.1.1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E30.m1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S4.E30.m1.1.1.1.1.2.3">superscript</csymbol><ci id="S4.E30.m1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S4.E30.m1.1.1.1.1.2.3.2">𝐿</ci><ci id="S4.E30.m1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S4.E30.m1.1.1.1.1.2.3.3">′</ci></apply></apply><apply id="S4.E30.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E30.m1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E30.m1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E30.m1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><apply id="S4.E30.m1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.E30.m1.1.1.1.1.3.2"><ci id="S4.E30.m1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.E30.m1.1.1.1.1.3.2.1">~</ci><ci id="S4.E30.m1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.E30.m1.1.1.1.1.3.2.2">𝑤</ci></apply><ci id="S4.E30.m1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.E30.m1.1.1.1.1.3.3">𝐿</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.E30.m1.1c">\tilde{w}_{L^{\prime}}=\tilde{w}_{L},</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.E30.m1.1d">over~ start_ARG italic_w end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_L start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT = over~ start_ARG italic_w end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_L end_POSTSUBSCRIPT ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(30)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S4.SS3.p15.2">which ensures the preservation of the normal direction perpendicular to the boundary edge stencil. When this condition is applied to the boundary edge stencil, the corotational edge-based hinge curvature operator <math alttext="\mathbf{L}_{m}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS3.p15.2.m1.1"><semantics id="S4.SS3.p15.2.m1.1a"><msub id="S4.SS3.p15.2.m1.1.1" xref="S4.SS3.p15.2.m1.1.1.cmml"><mi id="S4.SS3.p15.2.m1.1.1.2" xref="S4.SS3.p15.2.m1.1.1.2.cmml">𝐋</mi><mi id="S4.SS3.p15.2.m1.1.1.3" xref="S4.SS3.p15.2.m1.1.1.3.cmml">m</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS3.p15.2.m1.1b"><apply id="S4.SS3.p15.2.m1.1.1.cmml" xref="S4.SS3.p15.2.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS3.p15.2.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS3.p15.2.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.SS3.p15.2.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS3.p15.2.m1.1.1.2">𝐋</ci><ci id="S4.SS3.p15.2.m1.1.1.3.cmml" xref="S4.SS3.p15.2.m1.1.1.3">𝑚</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS3.p15.2.m1.1c">\mathbf{L}_{m}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS3.p15.2.m1.1d">bold_L start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> is modified to</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S4.E31"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\mathbf{L}_{m}^{{}^{\prime}}=\frac{2}{h_{1}}\begin{bmatrix}\frac{1}{h_{1}}&-% \frac{\lVert\tilde{\mathbf{X}}_{P3}\rVert}{\lVert\tilde{\mathbf{X}}_{23}\rVert h% _{1}}&-\frac{\lVert\tilde{\mathbf{X}}_{P2}\rVert}{\lVert\tilde{\mathbf{X}}_{23% }\rVert h_{1}}&0\end{bmatrix}" class="ltx_Math" display="block" id="S4.E31.m1.1"><semantics id="S4.E31.m1.1a"><mrow id="S4.E31.m1.1.2" xref="S4.E31.m1.1.2.cmml"><msubsup id="S4.E31.m1.1.2.2" xref="S4.E31.m1.1.2.2.cmml"><mi id="S4.E31.m1.1.2.2.2.2" xref="S4.E31.m1.1.2.2.2.2.cmml">𝐋</mi><mi id="S4.E31.m1.1.2.2.2.3" xref="S4.E31.m1.1.2.2.2.3.cmml">m</mi><msup id="S4.E31.m1.1.2.2.3" xref="S4.E31.m1.1.2.2.3.cmml"><mi id="S4.E31.m1.1.2.2.3a" xref="S4.E31.m1.1.2.2.3.cmml"></mi><mo id="S4.E31.m1.1.2.2.3.1" xref="S4.E31.m1.1.2.2.3.1.cmml">′</mo></msup></msubsup><mo id="S4.E31.m1.1.2.1" xref="S4.E31.m1.1.2.1.cmml">=</mo><mrow id="S4.E31.m1.1.2.3" xref="S4.E31.m1.1.2.3.cmml"><mfrac id="S4.E31.m1.1.2.3.2" xref="S4.E31.m1.1.2.3.2.cmml"><mn id="S4.E31.m1.1.2.3.2.2" xref="S4.E31.m1.1.2.3.2.2.cmml">2</mn><msub id="S4.E31.m1.1.2.3.2.3" xref="S4.E31.m1.1.2.3.2.3.cmml"><mi id="S4.E31.m1.1.2.3.2.3.2" xref="S4.E31.m1.1.2.3.2.3.2.cmml">h</mi><mn id="S4.E31.m1.1.2.3.2.3.3" xref="S4.E31.m1.1.2.3.2.3.3.cmml">1</mn></msub></mfrac><mo id="S4.E31.m1.1.2.3.1" xref="S4.E31.m1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E31.m1.1.1.3" xref="S4.E31.m1.1.1.2.cmml"><mo id="S4.E31.m1.1.1.3.1" xref="S4.E31.m1.1.1.2.1.cmml">[</mo><mtable columnspacing="5pt" displaystyle="true" id="S4.E31.m1.1.1.1.1" xref="S4.E31.m1.1.1.1.1.cmml"><mtr id="S4.E31.m1.1.1.1.1a" xref="S4.E31.m1.1.1.1.1.cmml"><mtd id="S4.E31.m1.1.1.1.1b" xref="S4.E31.m1.1.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="false" id="S4.E31.m1.1.1.1.1.4.4.5.1" xref="S4.E31.m1.1.1.1.1.4.4.5.1.cmml"><mfrac id="S4.E31.m1.1.1.1.1.4.4.5.1a" xref="S4.E31.m1.1.1.1.1.4.4.5.1.cmml"><mn id="S4.E31.m1.1.1.1.1.4.4.5.1.2" xref="S4.E31.m1.1.1.1.1.4.4.5.1.2.cmml">1</mn><msub id="S4.E31.m1.1.1.1.1.4.4.5.1.3" xref="S4.E31.m1.1.1.1.1.4.4.5.1.3.cmml"><mi id="S4.E31.m1.1.1.1.1.4.4.5.1.3.2" xref="S4.E31.m1.1.1.1.1.4.4.5.1.3.2.cmml">h</mi><mn id="S4.E31.m1.1.1.1.1.4.4.5.1.3.3" xref="S4.E31.m1.1.1.1.1.4.4.5.1.3.3.cmml">1</mn></msub></mfrac></mstyle></mtd><mtd id="S4.E31.m1.1.1.1.1c" xref="S4.E31.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.E31.m1.1.1.1.1.2.2.2.2" xref="S4.E31.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml"><mo id="S4.E31.m1.1.1.1.1.2.2.2.2a" xref="S4.E31.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml">−</mo><mstyle displaystyle="false" id="S4.E31.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2" xref="S4.E31.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml"><mfrac id="S4.E31.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2a" xref="S4.E31.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml"><mrow id="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo fence="true" id="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" rspace="0em" xref="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">∥</mo><msub id="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">𝐗</mi><mo id="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">~</mo></mover><mrow id="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">P</mi><mo id="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mn id="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">3</mn></mrow></msub><mo fence="true" id="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" lspace="0em" xref="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">∥</mo></mrow><mrow id="S4.E31.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2" xref="S4.E31.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.cmml"><mrow id="S4.E31.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1" xref="S4.E31.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.1.2.cmml"><mo fence="true" id="S4.E31.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1.2" rspace="0em" xref="S4.E31.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.1.2.1.cmml">∥</mo><msub id="S4.E31.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1.1" xref="S4.E31.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S4.E31.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.2" xref="S4.E31.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.E31.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.2.2" xref="S4.E31.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.2.2.cmml">𝐗</mi><mo id="S4.E31.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.2.1" xref="S4.E31.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.2.1.cmml">~</mo></mover><mn id="S4.E31.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.3" xref="S4.E31.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.3.cmml">23</mn></msub><mo fence="true" id="S4.E31.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1.3" lspace="0em" xref="S4.E31.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.1.2.1.cmml">∥</mo></mrow><mo id="S4.E31.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2" lspace="0em" xref="S4.E31.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2.cmml">⁢</mo><msub id="S4.E31.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.3" xref="S4.E31.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="S4.E31.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.3.2" xref="S4.E31.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.3.2.cmml">h</mi><mn id="S4.E31.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.3.3" xref="S4.E31.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.3.3.cmml">1</mn></msub></mrow></mfrac></mstyle></mrow></mtd><mtd id="S4.E31.m1.1.1.1.1d" xref="S4.E31.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.E31.m1.1.1.1.1.4.4.4.2" xref="S4.E31.m1.1.1.1.1.4.4.4.2.cmml"><mo id="S4.E31.m1.1.1.1.1.4.4.4.2a" xref="S4.E31.m1.1.1.1.1.4.4.4.2.cmml">−</mo><mstyle displaystyle="false" id="S4.E31.m1.1.1.1.1.4.4.4.2.2" xref="S4.E31.m1.1.1.1.1.4.4.4.2.2.cmml"><mfrac id="S4.E31.m1.1.1.1.1.4.4.4.2.2a" xref="S4.E31.m1.1.1.1.1.4.4.4.2.2.cmml"><mrow id="S4.E31.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.1.1" xref="S4.E31.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.1.2.cmml"><mo fence="true" id="S4.E31.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.1.1.2" rspace="0em" xref="S4.E31.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.1.2.1.cmml">∥</mo><msub id="S4.E31.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.1.1.1" xref="S4.E31.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S4.E31.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.1.1.1.2" xref="S4.E31.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.E31.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.E31.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.1.1.1.2.2.cmml">𝐗</mi><mo id="S4.E31.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.1.1.1.2.1" xref="S4.E31.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.1.1.1.2.1.cmml">~</mo></mover><mrow id="S4.E31.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.1.1.1.3" xref="S4.E31.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.E31.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.E31.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.1.1.1.3.2.cmml">P</mi><mo id="S4.E31.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.1.1.1.3.1" xref="S4.E31.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mn id="S4.E31.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.E31.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></mrow></msub><mo fence="true" id="S4.E31.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.1.1.3" lspace="0em" xref="S4.E31.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.1.2.1.cmml">∥</mo></mrow><mrow id="S4.E31.m1.1.1.1.1.4.4.4.2.2.2" xref="S4.E31.m1.1.1.1.1.4.4.4.2.2.2.cmml"><mrow id="S4.E31.m1.1.1.1.1.4.4.4.2.2.2.1.1" xref="S4.E31.m1.1.1.1.1.4.4.4.2.2.2.1.2.cmml"><mo fence="true" id="S4.E31.m1.1.1.1.1.4.4.4.2.2.2.1.1.2" rspace="0em" xref="S4.E31.m1.1.1.1.1.4.4.4.2.2.2.1.2.1.cmml">∥</mo><msub id="S4.E31.m1.1.1.1.1.4.4.4.2.2.2.1.1.1" xref="S4.E31.m1.1.1.1.1.4.4.4.2.2.2.1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S4.E31.m1.1.1.1.1.4.4.4.2.2.2.1.1.1.2" xref="S4.E31.m1.1.1.1.1.4.4.4.2.2.2.1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.E31.m1.1.1.1.1.4.4.4.2.2.2.1.1.1.2.2" xref="S4.E31.m1.1.1.1.1.4.4.4.2.2.2.1.1.1.2.2.cmml">𝐗</mi><mo id="S4.E31.m1.1.1.1.1.4.4.4.2.2.2.1.1.1.2.1" xref="S4.E31.m1.1.1.1.1.4.4.4.2.2.2.1.1.1.2.1.cmml">~</mo></mover><mn id="S4.E31.m1.1.1.1.1.4.4.4.2.2.2.1.1.1.3" xref="S4.E31.m1.1.1.1.1.4.4.4.2.2.2.1.1.1.3.cmml">23</mn></msub><mo fence="true" id="S4.E31.m1.1.1.1.1.4.4.4.2.2.2.1.1.3" lspace="0em" xref="S4.E31.m1.1.1.1.1.4.4.4.2.2.2.1.2.1.cmml">∥</mo></mrow><mo id="S4.E31.m1.1.1.1.1.4.4.4.2.2.2.2" lspace="0em" xref="S4.E31.m1.1.1.1.1.4.4.4.2.2.2.2.cmml">⁢</mo><msub id="S4.E31.m1.1.1.1.1.4.4.4.2.2.2.3" xref="S4.E31.m1.1.1.1.1.4.4.4.2.2.2.3.cmml"><mi id="S4.E31.m1.1.1.1.1.4.4.4.2.2.2.3.2" xref="S4.E31.m1.1.1.1.1.4.4.4.2.2.2.3.2.cmml">h</mi><mn id="S4.E31.m1.1.1.1.1.4.4.4.2.2.2.3.3" xref="S4.E31.m1.1.1.1.1.4.4.4.2.2.2.3.3.cmml">1</mn></msub></mrow></mfrac></mstyle></mrow></mtd><mtd id="S4.E31.m1.1.1.1.1e" xref="S4.E31.m1.1.1.1.1.cmml"><mn id="S4.E31.m1.1.1.1.1.4.4.6.1" xref="S4.E31.m1.1.1.1.1.4.4.6.1.cmml">0</mn></mtd></mtr></mtable><mo id="S4.E31.m1.1.1.3.2" xref="S4.E31.m1.1.1.2.1.cmml">]</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.E31.m1.1b"><apply id="S4.E31.m1.1.2.cmml" xref="S4.E31.m1.1.2"><eq id="S4.E31.m1.1.2.1.cmml" xref="S4.E31.m1.1.2.1"></eq><apply id="S4.E31.m1.1.2.2.cmml" xref="S4.E31.m1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E31.m1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.E31.m1.1.2.2">superscript</csymbol><apply id="S4.E31.m1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.E31.m1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E31.m1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S4.E31.m1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S4.E31.m1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S4.E31.m1.1.2.2.2.2">𝐋</ci><ci id="S4.E31.m1.1.2.2.2.3.cmml" xref="S4.E31.m1.1.2.2.2.3">𝑚</ci></apply><apply id="S4.E31.m1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.E31.m1.1.2.2.3"><ci id="S4.E31.m1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S4.E31.m1.1.2.2.3.1">′</ci></apply></apply><apply id="S4.E31.m1.1.2.3.cmml" xref="S4.E31.m1.1.2.3"><times id="S4.E31.m1.1.2.3.1.cmml" xref="S4.E31.m1.1.2.3.1"></times><apply id="S4.E31.m1.1.2.3.2.cmml" xref="S4.E31.m1.1.2.3.2"><divide id="S4.E31.m1.1.2.3.2.1.cmml" xref="S4.E31.m1.1.2.3.2"></divide><cn id="S4.E31.m1.1.2.3.2.2.cmml" type="integer" xref="S4.E31.m1.1.2.3.2.2">2</cn><apply id="S4.E31.m1.1.2.3.2.3.cmml" xref="S4.E31.m1.1.2.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E31.m1.1.2.3.2.3.1.cmml" xref="S4.E31.m1.1.2.3.2.3">subscript</csymbol><ci id="S4.E31.m1.1.2.3.2.3.2.cmml" xref="S4.E31.m1.1.2.3.2.3.2">ℎ</ci><cn id="S4.E31.m1.1.2.3.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.E31.m1.1.2.3.2.3.3">1</cn></apply></apply><apply id="S4.E31.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.E31.m1.1.1.3"><csymbol cd="latexml" id="S4.E31.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.E31.m1.1.1.3.1">matrix</csymbol><matrix id="S4.E31.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E31.m1.1.1.1.1"><matrixrow id="S4.E31.m1.1.1.1.1a.cmml" xref="S4.E31.m1.1.1.1.1"><apply id="S4.E31.m1.1.1.1.1.4.4.5.1.cmml" xref="S4.E31.m1.1.1.1.1.4.4.5.1"><divide id="S4.E31.m1.1.1.1.1.4.4.5.1.1.cmml" xref="S4.E31.m1.1.1.1.1.4.4.5.1"></divide><cn id="S4.E31.m1.1.1.1.1.4.4.5.1.2.cmml" type="integer" xref="S4.E31.m1.1.1.1.1.4.4.5.1.2">1</cn><apply id="S4.E31.m1.1.1.1.1.4.4.5.1.3.cmml" xref="S4.E31.m1.1.1.1.1.4.4.5.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E31.m1.1.1.1.1.4.4.5.1.3.1.cmml" xref="S4.E31.m1.1.1.1.1.4.4.5.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.E31.m1.1.1.1.1.4.4.5.1.3.2.cmml" xref="S4.E31.m1.1.1.1.1.4.4.5.1.3.2">ℎ</ci><cn id="S4.E31.m1.1.1.1.1.4.4.5.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.E31.m1.1.1.1.1.4.4.5.1.3.3">1</cn></apply></apply><apply id="S4.E31.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S4.E31.m1.1.1.1.1.2.2.2.2"><minus id="S4.E31.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.cmml" xref="S4.E31.m1.1.1.1.1.2.2.2.2"></minus><apply id="S4.E31.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.E31.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2"><divide id="S4.E31.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S4.E31.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2"></divide><apply id="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">delimited-∥∥</csymbol><apply id="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><ci id="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1">~</ci><ci id="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝐗</ci></apply><apply id="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><times id="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><ci id="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑃</ci><cn id="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.E31.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">3</cn></apply></apply></apply><apply id="S4.E31.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.E31.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2"><times id="S4.E31.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.E31.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2"></times><apply id="S4.E31.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.1.2.cmml" xref="S4.E31.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S4.E31.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.1.2.1.cmml" xref="S4.E31.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1.2">delimited-∥∥</csymbol><apply id="S4.E31.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S4.E31.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E31.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E31.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="S4.E31.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E31.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.2"><ci id="S4.E31.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.E31.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.2.1">~</ci><ci id="S4.E31.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.E31.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.2.2">𝐗</ci></apply><cn id="S4.E31.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.E31.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.3">23</cn></apply></apply><apply id="S4.E31.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S4.E31.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E31.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="S4.E31.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S4.E31.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.3.2.cmml" xref="S4.E31.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.3.2">ℎ</ci><cn id="S4.E31.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.E31.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.3.3">1</cn></apply></apply></apply></apply><apply id="S4.E31.m1.1.1.1.1.4.4.4.2.cmml" xref="S4.E31.m1.1.1.1.1.4.4.4.2"><minus id="S4.E31.m1.1.1.1.1.4.4.4.2.3.cmml" xref="S4.E31.m1.1.1.1.1.4.4.4.2"></minus><apply id="S4.E31.m1.1.1.1.1.4.4.4.2.2.cmml" xref="S4.E31.m1.1.1.1.1.4.4.4.2.2"><divide id="S4.E31.m1.1.1.1.1.4.4.4.2.2.3.cmml" xref="S4.E31.m1.1.1.1.1.4.4.4.2.2"></divide><apply id="S4.E31.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E31.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S4.E31.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.E31.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.1.1.2">delimited-∥∥</csymbol><apply id="S4.E31.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E31.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E31.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E31.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="S4.E31.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E31.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.1.1.1.2"><ci id="S4.E31.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.E31.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.1.1.1.2.1">~</ci><ci id="S4.E31.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.E31.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.1.1.1.2.2">𝐗</ci></apply><apply id="S4.E31.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E31.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.1.1.1.3"><times id="S4.E31.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E31.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.1.1.1.3.1"></times><ci id="S4.E31.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.E31.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.1.1.1.3.2">𝑃</ci><cn id="S4.E31.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.E31.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.1.1.1.3.3">2</cn></apply></apply></apply><apply id="S4.E31.m1.1.1.1.1.4.4.4.2.2.2.cmml" xref="S4.E31.m1.1.1.1.1.4.4.4.2.2.2"><times id="S4.E31.m1.1.1.1.1.4.4.4.2.2.2.2.cmml" xref="S4.E31.m1.1.1.1.1.4.4.4.2.2.2.2"></times><apply id="S4.E31.m1.1.1.1.1.4.4.4.2.2.2.1.2.cmml" xref="S4.E31.m1.1.1.1.1.4.4.4.2.2.2.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S4.E31.m1.1.1.1.1.4.4.4.2.2.2.1.2.1.cmml" xref="S4.E31.m1.1.1.1.1.4.4.4.2.2.2.1.1.2">delimited-∥∥</csymbol><apply id="S4.E31.m1.1.1.1.1.4.4.4.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S4.E31.m1.1.1.1.1.4.4.4.2.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E31.m1.1.1.1.1.4.4.4.2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E31.m1.1.1.1.1.4.4.4.2.2.2.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="S4.E31.m1.1.1.1.1.4.4.4.2.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E31.m1.1.1.1.1.4.4.4.2.2.2.1.1.1.2"><ci id="S4.E31.m1.1.1.1.1.4.4.4.2.2.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.E31.m1.1.1.1.1.4.4.4.2.2.2.1.1.1.2.1">~</ci><ci id="S4.E31.m1.1.1.1.1.4.4.4.2.2.2.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.E31.m1.1.1.1.1.4.4.4.2.2.2.1.1.1.2.2">𝐗</ci></apply><cn id="S4.E31.m1.1.1.1.1.4.4.4.2.2.2.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.E31.m1.1.1.1.1.4.4.4.2.2.2.1.1.1.3">23</cn></apply></apply><apply id="S4.E31.m1.1.1.1.1.4.4.4.2.2.2.3.cmml" xref="S4.E31.m1.1.1.1.1.4.4.4.2.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E31.m1.1.1.1.1.4.4.4.2.2.2.3.1.cmml" xref="S4.E31.m1.1.1.1.1.4.4.4.2.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S4.E31.m1.1.1.1.1.4.4.4.2.2.2.3.2.cmml" xref="S4.E31.m1.1.1.1.1.4.4.4.2.2.2.3.2">ℎ</ci><cn id="S4.E31.m1.1.1.1.1.4.4.4.2.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.E31.m1.1.1.1.1.4.4.4.2.2.2.3.3">1</cn></apply></apply></apply></apply><cn id="S4.E31.m1.1.1.1.1.4.4.6.1.cmml" type="integer" xref="S4.E31.m1.1.1.1.1.4.4.6.1">0</cn></matrixrow></matrix></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.E31.m1.1c">\mathbf{L}_{m}^{{}^{\prime}}=\frac{2}{h_{1}}\begin{bmatrix}\frac{1}{h_{1}}&-% \frac{\lVert\tilde{\mathbf{X}}_{P3}\rVert}{\lVert\tilde{\mathbf{X}}_{23}\rVert h% _{1}}&-\frac{\lVert\tilde{\mathbf{X}}_{P2}\rVert}{\lVert\tilde{\mathbf{X}}_{23% }\rVert h_{1}}&0\end{bmatrix}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.E31.m1.1d">bold_L start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT start_FLOATSUPERSCRIPT ′ end_FLOATSUPERSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT = divide start_ARG 2 end_ARG start_ARG italic_h start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT end_ARG [ start_ARG start_ROW start_CELL divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_h start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT end_ARG end_CELL start_CELL - divide start_ARG ∥ over~ start_ARG bold_X end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_P 3 end_POSTSUBSCRIPT ∥ end_ARG start_ARG ∥ over~ start_ARG bold_X end_ARG start_POSTSUBSCRIPT 23 end_POSTSUBSCRIPT ∥ italic_h start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT end_ARG end_CELL start_CELL - divide start_ARG ∥ over~ start_ARG bold_X end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_P 2 end_POSTSUBSCRIPT ∥ end_ARG start_ARG ∥ over~ start_ARG bold_X end_ARG start_POSTSUBSCRIPT 23 end_POSTSUBSCRIPT ∥ italic_h start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT end_ARG end_CELL start_CELL 0 end_CELL end_ROW end_ARG ]</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(31)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S4.SS3.p15.3">This zero-slope condition is also applicable in symmetric structural finite element analysis (FEA).</p> </div> <div class="ltx_para" id="S4.SS3.p16"> <p class="ltx_p" id="S4.SS3.p16.1"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S4.SS3.p16.1.1">The Free Boundary Condition.</span> For a free boundary edge, there is no bending energy in the boundary edge stencil, resulting in zero entries for both the gradient and Hessian related to this boundary (zero-curvature condition).</p> </div> <div class="ltx_para" id="S4.SS3.p17"> <p class="ltx_p" id="S4.SS3.p17.1">In conclusion, the modification of the curvature operator according to the missing nodes enables the condensation of boundary conditions at the element level. Boundary conditions are crucial in engineering shell simulations to achieve accurate results. However, their impact on the visual effects in computer animation is often negligible.</p> </div> </section> <section class="ltx_subsection" id="S4.SS4"> <h3 class="ltx_title ltx_title_subsection"> <span class="ltx_tag ltx_tag_subsection">4.4 </span>Corotational FVM hinge bending model</h3> <figure class="ltx_figure" id="S4.F2"><img alt="Refer to caption" class="ltx_graphics ltx_centering ltx_img_landscape" height="427" id="S4.F2.g1" src="x2.png" width="822"/> <figcaption class="ltx_caption ltx_centering"><span class="ltx_tag ltx_tag_figure"><span class="ltx_text" id="S4.F2.30.15.1" style="font-size:90%;">Figure 2</span>: </span><span class="ltx_text" id="S4.F2.28.14" style="font-size:90%;"> A triangle-centered shell stencil for modeling the corotational FVM hinge bending model deforms from its initial configuration (blue) to the current configuration (black). <math alttext="X-Y-Z" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.F2.15.1.m1.1"><semantics id="S4.F2.15.1.m1.1b"><mrow id="S4.F2.15.1.m1.1.1" xref="S4.F2.15.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S4.F2.15.1.m1.1.1.2" xref="S4.F2.15.1.m1.1.1.2.cmml">X</mi><mo id="S4.F2.15.1.m1.1.1.1" xref="S4.F2.15.1.m1.1.1.1.cmml">−</mo><mi id="S4.F2.15.1.m1.1.1.3" xref="S4.F2.15.1.m1.1.1.3.cmml">Y</mi><mo id="S4.F2.15.1.m1.1.1.1b" xref="S4.F2.15.1.m1.1.1.1.cmml">−</mo><mi id="S4.F2.15.1.m1.1.1.4" xref="S4.F2.15.1.m1.1.1.4.cmml">Z</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.F2.15.1.m1.1c"><apply id="S4.F2.15.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.F2.15.1.m1.1.1"><minus id="S4.F2.15.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.F2.15.1.m1.1.1.1"></minus><ci id="S4.F2.15.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.F2.15.1.m1.1.1.2">𝑋</ci><ci id="S4.F2.15.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S4.F2.15.1.m1.1.1.3">𝑌</ci><ci id="S4.F2.15.1.m1.1.1.4.cmml" xref="S4.F2.15.1.m1.1.1.4">𝑍</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.F2.15.1.m1.1d">X-Y-Z</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.F2.15.1.m1.1e">italic_X - italic_Y - italic_Z</annotation></semantics></math> is the world frame. For shell stencil in the current configuration, the <math alttext="\tilde{x}-\tilde{y}-\tilde{z}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.F2.16.2.m2.1"><semantics id="S4.F2.16.2.m2.1b"><mrow id="S4.F2.16.2.m2.1.1" xref="S4.F2.16.2.m2.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S4.F2.16.2.m2.1.1.2" xref="S4.F2.16.2.m2.1.1.2.cmml"><mi id="S4.F2.16.2.m2.1.1.2.2" xref="S4.F2.16.2.m2.1.1.2.2.cmml">x</mi><mo id="S4.F2.16.2.m2.1.1.2.1" xref="S4.F2.16.2.m2.1.1.2.1.cmml">~</mo></mover><mo id="S4.F2.16.2.m2.1.1.1" xref="S4.F2.16.2.m2.1.1.1.cmml">−</mo><mover accent="true" id="S4.F2.16.2.m2.1.1.3" xref="S4.F2.16.2.m2.1.1.3.cmml"><mi id="S4.F2.16.2.m2.1.1.3.2" xref="S4.F2.16.2.m2.1.1.3.2.cmml">y</mi><mo id="S4.F2.16.2.m2.1.1.3.1" xref="S4.F2.16.2.m2.1.1.3.1.cmml">~</mo></mover><mo id="S4.F2.16.2.m2.1.1.1b" xref="S4.F2.16.2.m2.1.1.1.cmml">−</mo><mover accent="true" id="S4.F2.16.2.m2.1.1.4" xref="S4.F2.16.2.m2.1.1.4.cmml"><mi id="S4.F2.16.2.m2.1.1.4.2" xref="S4.F2.16.2.m2.1.1.4.2.cmml">z</mi><mo id="S4.F2.16.2.m2.1.1.4.1" xref="S4.F2.16.2.m2.1.1.4.1.cmml">~</mo></mover></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.F2.16.2.m2.1c"><apply id="S4.F2.16.2.m2.1.1.cmml" xref="S4.F2.16.2.m2.1.1"><minus id="S4.F2.16.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S4.F2.16.2.m2.1.1.1"></minus><apply id="S4.F2.16.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S4.F2.16.2.m2.1.1.2"><ci id="S4.F2.16.2.m2.1.1.2.1.cmml" xref="S4.F2.16.2.m2.1.1.2.1">~</ci><ci id="S4.F2.16.2.m2.1.1.2.2.cmml" xref="S4.F2.16.2.m2.1.1.2.2">𝑥</ci></apply><apply id="S4.F2.16.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S4.F2.16.2.m2.1.1.3"><ci id="S4.F2.16.2.m2.1.1.3.1.cmml" xref="S4.F2.16.2.m2.1.1.3.1">~</ci><ci id="S4.F2.16.2.m2.1.1.3.2.cmml" xref="S4.F2.16.2.m2.1.1.3.2">𝑦</ci></apply><apply id="S4.F2.16.2.m2.1.1.4.cmml" xref="S4.F2.16.2.m2.1.1.4"><ci id="S4.F2.16.2.m2.1.1.4.1.cmml" xref="S4.F2.16.2.m2.1.1.4.1">~</ci><ci id="S4.F2.16.2.m2.1.1.4.2.cmml" xref="S4.F2.16.2.m2.1.1.4.2">𝑧</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.F2.16.2.m2.1d">\tilde{x}-\tilde{y}-\tilde{z}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.F2.16.2.m2.1e">over~ start_ARG italic_x end_ARG - over~ start_ARG italic_y end_ARG - over~ start_ARG italic_z end_ARG</annotation></semantics></math> frame (green) is the current corotational frame, where the <math alttext="\tilde{x}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.F2.17.3.m3.1"><semantics id="S4.F2.17.3.m3.1b"><mover accent="true" id="S4.F2.17.3.m3.1.1" xref="S4.F2.17.3.m3.1.1.cmml"><mi id="S4.F2.17.3.m3.1.1.2" xref="S4.F2.17.3.m3.1.1.2.cmml">x</mi><mo id="S4.F2.17.3.m3.1.1.1" xref="S4.F2.17.3.m3.1.1.1.cmml">~</mo></mover><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.F2.17.3.m3.1c"><apply id="S4.F2.17.3.m3.1.1.cmml" xref="S4.F2.17.3.m3.1.1"><ci id="S4.F2.17.3.m3.1.1.1.cmml" xref="S4.F2.17.3.m3.1.1.1">~</ci><ci id="S4.F2.17.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S4.F2.17.3.m3.1.1.2">𝑥</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.F2.17.3.m3.1d">\tilde{x}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.F2.17.3.m3.1e">over~ start_ARG italic_x end_ARG</annotation></semantics></math>-axis aligns with the edge <math alttext="\mathbf{x}_{12}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.F2.18.4.m4.1"><semantics id="S4.F2.18.4.m4.1b"><msub id="S4.F2.18.4.m4.1.1" xref="S4.F2.18.4.m4.1.1.cmml"><mi id="S4.F2.18.4.m4.1.1.2" xref="S4.F2.18.4.m4.1.1.2.cmml">𝐱</mi><mn id="S4.F2.18.4.m4.1.1.3" xref="S4.F2.18.4.m4.1.1.3.cmml">12</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.F2.18.4.m4.1c"><apply id="S4.F2.18.4.m4.1.1.cmml" xref="S4.F2.18.4.m4.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.F2.18.4.m4.1.1.1.cmml" xref="S4.F2.18.4.m4.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.F2.18.4.m4.1.1.2.cmml" xref="S4.F2.18.4.m4.1.1.2">𝐱</ci><cn id="S4.F2.18.4.m4.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.F2.18.4.m4.1.1.3">12</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.F2.18.4.m4.1d">\mathbf{x}_{12}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.F2.18.4.m4.1e">bold_x start_POSTSUBSCRIPT 12 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, and the <math alttext="\tilde{z}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.F2.19.5.m5.1"><semantics id="S4.F2.19.5.m5.1b"><mover accent="true" id="S4.F2.19.5.m5.1.1" xref="S4.F2.19.5.m5.1.1.cmml"><mi id="S4.F2.19.5.m5.1.1.2" xref="S4.F2.19.5.m5.1.1.2.cmml">z</mi><mo id="S4.F2.19.5.m5.1.1.1" xref="S4.F2.19.5.m5.1.1.1.cmml">~</mo></mover><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.F2.19.5.m5.1c"><apply id="S4.F2.19.5.m5.1.1.cmml" xref="S4.F2.19.5.m5.1.1"><ci id="S4.F2.19.5.m5.1.1.1.cmml" xref="S4.F2.19.5.m5.1.1.1">~</ci><ci id="S4.F2.19.5.m5.1.1.2.cmml" xref="S4.F2.19.5.m5.1.1.2">𝑧</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.F2.19.5.m5.1d">\tilde{z}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.F2.19.5.m5.1e">over~ start_ARG italic_z end_ARG</annotation></semantics></math>-axis direction is along the normal direction of the central triangle. The <math alttext="\tilde{y}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.F2.20.6.m6.1"><semantics id="S4.F2.20.6.m6.1b"><mover accent="true" id="S4.F2.20.6.m6.1.1" xref="S4.F2.20.6.m6.1.1.cmml"><mi id="S4.F2.20.6.m6.1.1.2" xref="S4.F2.20.6.m6.1.1.2.cmml">y</mi><mo id="S4.F2.20.6.m6.1.1.1" xref="S4.F2.20.6.m6.1.1.1.cmml">~</mo></mover><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.F2.20.6.m6.1c"><apply id="S4.F2.20.6.m6.1.1.cmml" xref="S4.F2.20.6.m6.1.1"><ci id="S4.F2.20.6.m6.1.1.1.cmml" xref="S4.F2.20.6.m6.1.1.1">~</ci><ci id="S4.F2.20.6.m6.1.1.2.cmml" xref="S4.F2.20.6.m6.1.1.2">𝑦</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.F2.20.6.m6.1d">\tilde{y}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.F2.20.6.m6.1e">over~ start_ARG italic_y end_ARG</annotation></semantics></math>-axis is determined by the right-hand rule. The corotational shell stencil (gray dashed line) is the projection of the shell stencil onto the <math alttext="\tilde{x}-\tilde{y}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.F2.21.7.m7.1"><semantics id="S4.F2.21.7.m7.1b"><mrow id="S4.F2.21.7.m7.1.1" xref="S4.F2.21.7.m7.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S4.F2.21.7.m7.1.1.2" xref="S4.F2.21.7.m7.1.1.2.cmml"><mi id="S4.F2.21.7.m7.1.1.2.2" xref="S4.F2.21.7.m7.1.1.2.2.cmml">x</mi><mo id="S4.F2.21.7.m7.1.1.2.1" xref="S4.F2.21.7.m7.1.1.2.1.cmml">~</mo></mover><mo id="S4.F2.21.7.m7.1.1.1" xref="S4.F2.21.7.m7.1.1.1.cmml">−</mo><mover accent="true" id="S4.F2.21.7.m7.1.1.3" xref="S4.F2.21.7.m7.1.1.3.cmml"><mi id="S4.F2.21.7.m7.1.1.3.2" xref="S4.F2.21.7.m7.1.1.3.2.cmml">y</mi><mo id="S4.F2.21.7.m7.1.1.3.1" xref="S4.F2.21.7.m7.1.1.3.1.cmml">~</mo></mover></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.F2.21.7.m7.1c"><apply id="S4.F2.21.7.m7.1.1.cmml" xref="S4.F2.21.7.m7.1.1"><minus id="S4.F2.21.7.m7.1.1.1.cmml" xref="S4.F2.21.7.m7.1.1.1"></minus><apply id="S4.F2.21.7.m7.1.1.2.cmml" xref="S4.F2.21.7.m7.1.1.2"><ci id="S4.F2.21.7.m7.1.1.2.1.cmml" xref="S4.F2.21.7.m7.1.1.2.1">~</ci><ci id="S4.F2.21.7.m7.1.1.2.2.cmml" xref="S4.F2.21.7.m7.1.1.2.2">𝑥</ci></apply><apply id="S4.F2.21.7.m7.1.1.3.cmml" xref="S4.F2.21.7.m7.1.1.3"><ci id="S4.F2.21.7.m7.1.1.3.1.cmml" xref="S4.F2.21.7.m7.1.1.3.1">~</ci><ci id="S4.F2.21.7.m7.1.1.3.2.cmml" xref="S4.F2.21.7.m7.1.1.3.2">𝑦</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.F2.21.7.m7.1d">\tilde{x}-\tilde{y}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.F2.21.7.m7.1e">over~ start_ARG italic_x end_ARG - over~ start_ARG italic_y end_ARG</annotation></semantics></math> plane. The point <math alttext="(\mathbf{x}_{4})_{c}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.F2.22.8.m8.1"><semantics id="S4.F2.22.8.m8.1b"><msub id="S4.F2.22.8.m8.1.1" xref="S4.F2.22.8.m8.1.1.cmml"><mrow id="S4.F2.22.8.m8.1.1.1.1" xref="S4.F2.22.8.m8.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.F2.22.8.m8.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.F2.22.8.m8.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S4.F2.22.8.m8.1.1.1.1.1" xref="S4.F2.22.8.m8.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.F2.22.8.m8.1.1.1.1.1.2" xref="S4.F2.22.8.m8.1.1.1.1.1.2.cmml">𝐱</mi><mn id="S4.F2.22.8.m8.1.1.1.1.1.3" xref="S4.F2.22.8.m8.1.1.1.1.1.3.cmml">4</mn></msub><mo id="S4.F2.22.8.m8.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.F2.22.8.m8.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mi id="S4.F2.22.8.m8.1.1.3" xref="S4.F2.22.8.m8.1.1.3.cmml">c</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.F2.22.8.m8.1c"><apply id="S4.F2.22.8.m8.1.1.cmml" xref="S4.F2.22.8.m8.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.F2.22.8.m8.1.1.2.cmml" xref="S4.F2.22.8.m8.1.1">subscript</csymbol><apply id="S4.F2.22.8.m8.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.F2.22.8.m8.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.F2.22.8.m8.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.F2.22.8.m8.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.F2.22.8.m8.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.F2.22.8.m8.1.1.1.1.1.2">𝐱</ci><cn id="S4.F2.22.8.m8.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.F2.22.8.m8.1.1.1.1.1.3">4</cn></apply><ci id="S4.F2.22.8.m8.1.1.3.cmml" xref="S4.F2.22.8.m8.1.1.3">𝑐</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.F2.22.8.m8.1d">(\mathbf{x}_{4})_{c}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.F2.22.8.m8.1e">( bold_x start_POSTSUBSCRIPT 4 end_POSTSUBSCRIPT ) start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> represents the projection of <math alttext="\mathbf{x}_{4}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.F2.23.9.m9.1"><semantics id="S4.F2.23.9.m9.1b"><msub id="S4.F2.23.9.m9.1.1" xref="S4.F2.23.9.m9.1.1.cmml"><mi id="S4.F2.23.9.m9.1.1.2" xref="S4.F2.23.9.m9.1.1.2.cmml">𝐱</mi><mn id="S4.F2.23.9.m9.1.1.3" xref="S4.F2.23.9.m9.1.1.3.cmml">4</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.F2.23.9.m9.1c"><apply id="S4.F2.23.9.m9.1.1.cmml" xref="S4.F2.23.9.m9.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.F2.23.9.m9.1.1.1.cmml" xref="S4.F2.23.9.m9.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.F2.23.9.m9.1.1.2.cmml" xref="S4.F2.23.9.m9.1.1.2">𝐱</ci><cn id="S4.F2.23.9.m9.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.F2.23.9.m9.1.1.3">4</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.F2.23.9.m9.1d">\mathbf{x}_{4}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.F2.23.9.m9.1e">bold_x start_POSTSUBSCRIPT 4 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> onto the <math alttext="\tilde{x}-\tilde{y}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.F2.24.10.m10.1"><semantics id="S4.F2.24.10.m10.1b"><mrow id="S4.F2.24.10.m10.1.1" xref="S4.F2.24.10.m10.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S4.F2.24.10.m10.1.1.2" xref="S4.F2.24.10.m10.1.1.2.cmml"><mi id="S4.F2.24.10.m10.1.1.2.2" xref="S4.F2.24.10.m10.1.1.2.2.cmml">x</mi><mo id="S4.F2.24.10.m10.1.1.2.1" xref="S4.F2.24.10.m10.1.1.2.1.cmml">~</mo></mover><mo id="S4.F2.24.10.m10.1.1.1" xref="S4.F2.24.10.m10.1.1.1.cmml">−</mo><mover accent="true" id="S4.F2.24.10.m10.1.1.3" xref="S4.F2.24.10.m10.1.1.3.cmml"><mi id="S4.F2.24.10.m10.1.1.3.2" xref="S4.F2.24.10.m10.1.1.3.2.cmml">y</mi><mo id="S4.F2.24.10.m10.1.1.3.1" xref="S4.F2.24.10.m10.1.1.3.1.cmml">~</mo></mover></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.F2.24.10.m10.1c"><apply id="S4.F2.24.10.m10.1.1.cmml" xref="S4.F2.24.10.m10.1.1"><minus id="S4.F2.24.10.m10.1.1.1.cmml" xref="S4.F2.24.10.m10.1.1.1"></minus><apply id="S4.F2.24.10.m10.1.1.2.cmml" xref="S4.F2.24.10.m10.1.1.2"><ci id="S4.F2.24.10.m10.1.1.2.1.cmml" xref="S4.F2.24.10.m10.1.1.2.1">~</ci><ci id="S4.F2.24.10.m10.1.1.2.2.cmml" xref="S4.F2.24.10.m10.1.1.2.2">𝑥</ci></apply><apply id="S4.F2.24.10.m10.1.1.3.cmml" xref="S4.F2.24.10.m10.1.1.3"><ci id="S4.F2.24.10.m10.1.1.3.1.cmml" xref="S4.F2.24.10.m10.1.1.3.1">~</ci><ci id="S4.F2.24.10.m10.1.1.3.2.cmml" xref="S4.F2.24.10.m10.1.1.3.2">𝑦</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.F2.24.10.m10.1d">\tilde{x}-\tilde{y}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.F2.24.10.m10.1e">over~ start_ARG italic_x end_ARG - over~ start_ARG italic_y end_ARG</annotation></semantics></math> plane, while the transverse displacement <math alttext="\tilde{w}_{4}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.F2.25.11.m11.1"><semantics id="S4.F2.25.11.m11.1b"><msub id="S4.F2.25.11.m11.1.1" xref="S4.F2.25.11.m11.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S4.F2.25.11.m11.1.1.2" xref="S4.F2.25.11.m11.1.1.2.cmml"><mi id="S4.F2.25.11.m11.1.1.2.2" xref="S4.F2.25.11.m11.1.1.2.2.cmml">w</mi><mo id="S4.F2.25.11.m11.1.1.2.1" xref="S4.F2.25.11.m11.1.1.2.1.cmml">~</mo></mover><mn id="S4.F2.25.11.m11.1.1.3" xref="S4.F2.25.11.m11.1.1.3.cmml">4</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.F2.25.11.m11.1c"><apply id="S4.F2.25.11.m11.1.1.cmml" xref="S4.F2.25.11.m11.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.F2.25.11.m11.1.1.1.cmml" xref="S4.F2.25.11.m11.1.1">subscript</csymbol><apply id="S4.F2.25.11.m11.1.1.2.cmml" xref="S4.F2.25.11.m11.1.1.2"><ci id="S4.F2.25.11.m11.1.1.2.1.cmml" xref="S4.F2.25.11.m11.1.1.2.1">~</ci><ci id="S4.F2.25.11.m11.1.1.2.2.cmml" xref="S4.F2.25.11.m11.1.1.2.2">𝑤</ci></apply><cn id="S4.F2.25.11.m11.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.F2.25.11.m11.1.1.3">4</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.F2.25.11.m11.1d">\tilde{w}_{4}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.F2.25.11.m11.1e">over~ start_ARG italic_w end_ARG start_POSTSUBSCRIPT 4 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> corresponds to the projection of the relative difference between <math alttext="\mathbf{x}_{4}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.F2.26.12.m12.1"><semantics id="S4.F2.26.12.m12.1b"><msub id="S4.F2.26.12.m12.1.1" xref="S4.F2.26.12.m12.1.1.cmml"><mi id="S4.F2.26.12.m12.1.1.2" xref="S4.F2.26.12.m12.1.1.2.cmml">𝐱</mi><mn id="S4.F2.26.12.m12.1.1.3" xref="S4.F2.26.12.m12.1.1.3.cmml">4</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.F2.26.12.m12.1c"><apply id="S4.F2.26.12.m12.1.1.cmml" xref="S4.F2.26.12.m12.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.F2.26.12.m12.1.1.1.cmml" xref="S4.F2.26.12.m12.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.F2.26.12.m12.1.1.2.cmml" xref="S4.F2.26.12.m12.1.1.2">𝐱</ci><cn id="S4.F2.26.12.m12.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.F2.26.12.m12.1.1.3">4</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.F2.26.12.m12.1d">\mathbf{x}_{4}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.F2.26.12.m12.1e">bold_x start_POSTSUBSCRIPT 4 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> and <math alttext="(\mathbf{x}_{4})_{c}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.F2.27.13.m13.1"><semantics id="S4.F2.27.13.m13.1b"><msub id="S4.F2.27.13.m13.1.1" xref="S4.F2.27.13.m13.1.1.cmml"><mrow id="S4.F2.27.13.m13.1.1.1.1" xref="S4.F2.27.13.m13.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.F2.27.13.m13.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.F2.27.13.m13.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S4.F2.27.13.m13.1.1.1.1.1" xref="S4.F2.27.13.m13.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.F2.27.13.m13.1.1.1.1.1.2" xref="S4.F2.27.13.m13.1.1.1.1.1.2.cmml">𝐱</mi><mn id="S4.F2.27.13.m13.1.1.1.1.1.3" xref="S4.F2.27.13.m13.1.1.1.1.1.3.cmml">4</mn></msub><mo id="S4.F2.27.13.m13.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.F2.27.13.m13.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mi id="S4.F2.27.13.m13.1.1.3" xref="S4.F2.27.13.m13.1.1.3.cmml">c</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.F2.27.13.m13.1c"><apply id="S4.F2.27.13.m13.1.1.cmml" xref="S4.F2.27.13.m13.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.F2.27.13.m13.1.1.2.cmml" xref="S4.F2.27.13.m13.1.1">subscript</csymbol><apply id="S4.F2.27.13.m13.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.F2.27.13.m13.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.F2.27.13.m13.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.F2.27.13.m13.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.F2.27.13.m13.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.F2.27.13.m13.1.1.1.1.1.2">𝐱</ci><cn id="S4.F2.27.13.m13.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.F2.27.13.m13.1.1.1.1.1.3">4</cn></apply><ci id="S4.F2.27.13.m13.1.1.3.cmml" xref="S4.F2.27.13.m13.1.1.3">𝑐</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.F2.27.13.m13.1d">(\mathbf{x}_{4})_{c}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.F2.27.13.m13.1e">( bold_x start_POSTSUBSCRIPT 4 end_POSTSUBSCRIPT ) start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> along the <math alttext="\tilde{z}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.F2.28.14.m14.1"><semantics id="S4.F2.28.14.m14.1b"><mover accent="true" id="S4.F2.28.14.m14.1.1" xref="S4.F2.28.14.m14.1.1.cmml"><mi id="S4.F2.28.14.m14.1.1.2" xref="S4.F2.28.14.m14.1.1.2.cmml">z</mi><mo id="S4.F2.28.14.m14.1.1.1" xref="S4.F2.28.14.m14.1.1.1.cmml">~</mo></mover><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.F2.28.14.m14.1c"><apply id="S4.F2.28.14.m14.1.1.cmml" xref="S4.F2.28.14.m14.1.1"><ci id="S4.F2.28.14.m14.1.1.1.cmml" xref="S4.F2.28.14.m14.1.1.1">~</ci><ci id="S4.F2.28.14.m14.1.1.2.cmml" xref="S4.F2.28.14.m14.1.1.2">𝑧</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.F2.28.14.m14.1d">\tilde{z}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.F2.28.14.m14.1e">over~ start_ARG italic_z end_ARG</annotation></semantics></math>-axis. Similar quantities for other points can be calculated in the same manner. Variables related to the shell stencil in the initial configuration can be extended from those in the current configuration.</span></figcaption> </figure> <div class="ltx_para" id="S4.SS4.p1"> <p class="ltx_p" id="S4.SS4.p1.4"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S4.SS4.p1.4.1">Smooth Settings.</span> The curvature of the central triangle in the current configuration can be evaluated using the finite volume method (FVM) within the corotational frame. The generalized curvature vector</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S4.E32"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\bm{\kappa}=\frac{1}{A}\int_{A}\left(\begin{array}[]{c}\frac{\partial^{2}% \tilde{w}}{\partial\tilde{x}^{2}}\\ \frac{\partial^{2}\tilde{w}}{\partial\tilde{y}^{2}}\\ 2\frac{\partial^{2}\tilde{w}}{\partial\tilde{x}\partial\tilde{y}}\end{array}% \right)dA" class="ltx_Math" display="block" id="S4.E32.m1.1"><semantics id="S4.E32.m1.1a"><mrow id="S4.E32.m1.1.2" xref="S4.E32.m1.1.2.cmml"><mi id="S4.E32.m1.1.2.2" xref="S4.E32.m1.1.2.2.cmml">𝜿</mi><mo id="S4.E32.m1.1.2.1" xref="S4.E32.m1.1.2.1.cmml">=</mo><mrow id="S4.E32.m1.1.2.3" xref="S4.E32.m1.1.2.3.cmml"><mfrac id="S4.E32.m1.1.2.3.2" xref="S4.E32.m1.1.2.3.2.cmml"><mn id="S4.E32.m1.1.2.3.2.2" xref="S4.E32.m1.1.2.3.2.2.cmml">1</mn><mi id="S4.E32.m1.1.2.3.2.3" xref="S4.E32.m1.1.2.3.2.3.cmml">A</mi></mfrac><mo id="S4.E32.m1.1.2.3.1" xref="S4.E32.m1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E32.m1.1.2.3.3" xref="S4.E32.m1.1.2.3.3.cmml"><msub id="S4.E32.m1.1.2.3.3.1" xref="S4.E32.m1.1.2.3.3.1.cmml"><mo id="S4.E32.m1.1.2.3.3.1.2" rspace="0em" xref="S4.E32.m1.1.2.3.3.1.2.cmml">∫</mo><mi id="S4.E32.m1.1.2.3.3.1.3" xref="S4.E32.m1.1.2.3.3.1.3.cmml">A</mi></msub><mrow id="S4.E32.m1.1.2.3.3.2" xref="S4.E32.m1.1.2.3.3.2.cmml"><mrow id="S4.E32.m1.1.2.3.3.2.2.2" xref="S4.E32.m1.1.1.cmml"><mo id="S4.E32.m1.1.2.3.3.2.2.2.1" xref="S4.E32.m1.1.1.cmml">(</mo><mtable displaystyle="true" id="S4.E32.m1.1.1" rowspacing="0pt" xref="S4.E32.m1.1.1.cmml"><mtr id="S4.E32.m1.1.1a" xref="S4.E32.m1.1.1.cmml"><mtd id="S4.E32.m1.1.1b" xref="S4.E32.m1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="false" id="S4.E32.m1.1.1.1.1.1" xref="S4.E32.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mfrac id="S4.E32.m1.1.1.1.1.1a" xref="S4.E32.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.E32.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.E32.m1.1.1.1.1.1.2.cmml"><msup id="S4.E32.m1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S4.E32.m1.1.1.1.1.1.2.1.cmml"><mo id="S4.E32.m1.1.1.1.1.1.2.1.2" xref="S4.E32.m1.1.1.1.1.1.2.1.2.cmml">∂</mo><mn id="S4.E32.m1.1.1.1.1.1.2.1.3" xref="S4.E32.m1.1.1.1.1.1.2.1.3.cmml">2</mn></msup><mover accent="true" id="S4.E32.m1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.E32.m1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S4.E32.m1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S4.E32.m1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">w</mi><mo id="S4.E32.m1.1.1.1.1.1.2.2.1" xref="S4.E32.m1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml">~</mo></mover></mrow><mrow id="S4.E32.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.E32.m1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="S4.E32.m1.1.1.1.1.1.3.1" rspace="0em" xref="S4.E32.m1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">∂</mo><msup id="S4.E32.m1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.E32.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mover accent="true" id="S4.E32.m1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S4.E32.m1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml"><mi id="S4.E32.m1.1.1.1.1.1.3.2.2.2" xref="S4.E32.m1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml">x</mi><mo id="S4.E32.m1.1.1.1.1.1.3.2.2.1" xref="S4.E32.m1.1.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml">~</mo></mover><mn id="S4.E32.m1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S4.E32.m1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">2</mn></msup></mrow></mfrac></mstyle></mtd></mtr><mtr id="S4.E32.m1.1.1c" xref="S4.E32.m1.1.1.cmml"><mtd id="S4.E32.m1.1.1d" xref="S4.E32.m1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="false" id="S4.E32.m1.1.1.2.1.1" xref="S4.E32.m1.1.1.2.1.1.cmml"><mfrac id="S4.E32.m1.1.1.2.1.1a" xref="S4.E32.m1.1.1.2.1.1.cmml"><mrow id="S4.E32.m1.1.1.2.1.1.2" xref="S4.E32.m1.1.1.2.1.1.2.cmml"><msup id="S4.E32.m1.1.1.2.1.1.2.1" xref="S4.E32.m1.1.1.2.1.1.2.1.cmml"><mo id="S4.E32.m1.1.1.2.1.1.2.1.2" xref="S4.E32.m1.1.1.2.1.1.2.1.2.cmml">∂</mo><mn id="S4.E32.m1.1.1.2.1.1.2.1.3" xref="S4.E32.m1.1.1.2.1.1.2.1.3.cmml">2</mn></msup><mover accent="true" id="S4.E32.m1.1.1.2.1.1.2.2" xref="S4.E32.m1.1.1.2.1.1.2.2.cmml"><mi id="S4.E32.m1.1.1.2.1.1.2.2.2" xref="S4.E32.m1.1.1.2.1.1.2.2.2.cmml">w</mi><mo id="S4.E32.m1.1.1.2.1.1.2.2.1" xref="S4.E32.m1.1.1.2.1.1.2.2.1.cmml">~</mo></mover></mrow><mrow id="S4.E32.m1.1.1.2.1.1.3" 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xref="S4.E32.m1.1.1.2.1.1.2.2.2">𝑤</ci></apply></apply><apply id="S4.E32.m1.1.1.2.1.1.3.cmml" xref="S4.E32.m1.1.1.2.1.1.3"><partialdiff id="S4.E32.m1.1.1.2.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E32.m1.1.1.2.1.1.3.1"></partialdiff><apply id="S4.E32.m1.1.1.2.1.1.3.2.cmml" xref="S4.E32.m1.1.1.2.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E32.m1.1.1.2.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.E32.m1.1.1.2.1.1.3.2">superscript</csymbol><apply id="S4.E32.m1.1.1.2.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.E32.m1.1.1.2.1.1.3.2.2"><ci id="S4.E32.m1.1.1.2.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S4.E32.m1.1.1.2.1.1.3.2.2.1">~</ci><ci id="S4.E32.m1.1.1.2.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S4.E32.m1.1.1.2.1.1.3.2.2.2">𝑦</ci></apply><cn id="S4.E32.m1.1.1.2.1.1.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.E32.m1.1.1.2.1.1.3.2.3">2</cn></apply></apply></apply></matrixrow><matrixrow id="S4.E32.m1.1.1c.cmml" xref="S4.E32.m1.1.2.3.3.2.2.2"><apply id="S4.E32.m1.1.1.3.1.1.cmml" xref="S4.E32.m1.1.1.3.1.1"><times id="S4.E32.m1.1.1.3.1.1.1.cmml" xref="S4.E32.m1.1.1.3.1.1.1"></times><cn id="S4.E32.m1.1.1.3.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S4.E32.m1.1.1.3.1.1.2">2</cn><apply id="S4.E32.m1.1.1.3.1.1.3.cmml" xref="S4.E32.m1.1.1.3.1.1.3"><divide id="S4.E32.m1.1.1.3.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E32.m1.1.1.3.1.1.3"></divide><apply id="S4.E32.m1.1.1.3.1.1.3.2.cmml" xref="S4.E32.m1.1.1.3.1.1.3.2"><apply id="S4.E32.m1.1.1.3.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.E32.m1.1.1.3.1.1.3.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E32.m1.1.1.3.1.1.3.2.1.1.cmml" xref="S4.E32.m1.1.1.3.1.1.3.2.1">superscript</csymbol><partialdiff id="S4.E32.m1.1.1.3.1.1.3.2.1.2.cmml" xref="S4.E32.m1.1.1.3.1.1.3.2.1.2"></partialdiff><cn id="S4.E32.m1.1.1.3.1.1.3.2.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.E32.m1.1.1.3.1.1.3.2.1.3">2</cn></apply><apply id="S4.E32.m1.1.1.3.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.E32.m1.1.1.3.1.1.3.2.2"><ci id="S4.E32.m1.1.1.3.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S4.E32.m1.1.1.3.1.1.3.2.2.1">~</ci><ci id="S4.E32.m1.1.1.3.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S4.E32.m1.1.1.3.1.1.3.2.2.2">𝑤</ci></apply></apply><apply id="S4.E32.m1.1.1.3.1.1.3.3.cmml" xref="S4.E32.m1.1.1.3.1.1.3.3"><partialdiff id="S4.E32.m1.1.1.3.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.E32.m1.1.1.3.1.1.3.3.1"></partialdiff><apply id="S4.E32.m1.1.1.3.1.1.3.3.2.cmml" xref="S4.E32.m1.1.1.3.1.1.3.3.2"><times id="S4.E32.m1.1.1.3.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="S4.E32.m1.1.1.3.1.1.3.3.2.1"></times><apply id="S4.E32.m1.1.1.3.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="S4.E32.m1.1.1.3.1.1.3.3.2.2"><ci id="S4.E32.m1.1.1.3.1.1.3.3.2.2.1.cmml" xref="S4.E32.m1.1.1.3.1.1.3.3.2.2.1">~</ci><ci id="S4.E32.m1.1.1.3.1.1.3.3.2.2.2.cmml" xref="S4.E32.m1.1.1.3.1.1.3.3.2.2.2">𝑥</ci></apply><apply id="S4.E32.m1.1.1.3.1.1.3.3.2.3.cmml" xref="S4.E32.m1.1.1.3.1.1.3.3.2.3"><partialdiff id="S4.E32.m1.1.1.3.1.1.3.3.2.3.1.cmml" xref="S4.E32.m1.1.1.3.1.1.3.3.2.3.1"></partialdiff><apply id="S4.E32.m1.1.1.3.1.1.3.3.2.3.2.cmml" xref="S4.E32.m1.1.1.3.1.1.3.3.2.3.2"><ci id="S4.E32.m1.1.1.3.1.1.3.3.2.3.2.1.cmml" xref="S4.E32.m1.1.1.3.1.1.3.3.2.3.2.1">~</ci><ci id="S4.E32.m1.1.1.3.1.1.3.3.2.3.2.2.cmml" xref="S4.E32.m1.1.1.3.1.1.3.3.2.3.2.2">𝑦</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply></matrixrow></matrix><apply id="S4.E32.m1.1.2.3.3.2.3.cmml" xref="S4.E32.m1.1.2.3.3.2.3"><csymbol cd="latexml" id="S4.E32.m1.1.2.3.3.2.3.1.cmml" xref="S4.E32.m1.1.2.3.3.2.3.1">differential-d</csymbol><ci id="S4.E32.m1.1.2.3.3.2.3.2.cmml" xref="S4.E32.m1.1.2.3.3.2.3.2">𝐴</ci></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.E32.m1.1c">\bm{\kappa}=\frac{1}{A}\int_{A}\left(\begin{array}[]{c}\frac{\partial^{2}% \tilde{w}}{\partial\tilde{x}^{2}}\\ \frac{\partial^{2}\tilde{w}}{\partial\tilde{y}^{2}}\\ 2\frac{\partial^{2}\tilde{w}}{\partial\tilde{x}\partial\tilde{y}}\end{array}% \right)dA</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.E32.m1.1d">bold_italic_κ = divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_A end_ARG ∫ start_POSTSUBSCRIPT italic_A end_POSTSUBSCRIPT ( start_ARRAY start_ROW start_CELL divide start_ARG ∂ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT over~ start_ARG italic_w end_ARG end_ARG start_ARG ∂ over~ start_ARG italic_x end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL divide start_ARG ∂ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT over~ start_ARG italic_w end_ARG end_ARG start_ARG ∂ over~ start_ARG italic_y end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL 2 divide start_ARG ∂ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT over~ start_ARG italic_w end_ARG end_ARG start_ARG ∂ over~ start_ARG italic_x end_ARG ∂ over~ start_ARG italic_y end_ARG end_ARG end_CELL end_ROW end_ARRAY ) italic_d italic_A</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(32)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S4.SS4.p1.1">is derived through variation the virtual work principle governing the bending deformation. Here <math alttext="A" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS4.p1.1.m1.1"><semantics id="S4.SS4.p1.1.m1.1a"><mi id="S4.SS4.p1.1.m1.1.1" xref="S4.SS4.p1.1.m1.1.1.cmml">A</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS4.p1.1.m1.1b"><ci id="S4.SS4.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.SS4.p1.1.m1.1.1">𝐴</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS4.p1.1.m1.1c">A</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS4.p1.1.m1.1d">italic_A</annotation></semantics></math> is the area of the central triangle in the initial configuration. By applying the Stokes’s theorem, Eq. (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2502.10872v4#S4.E32" title="In 4.4 Corotational FVM hinge bending model ‣ 4 Geometric Discretization ‣ Corotational Hinge-based Thin Plates/Shells"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">32</span></a>) can be rewritten as</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S4.E33"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\bm{\kappa}=\frac{1}{A}\int_{\Gamma}\mathbf{T}\binom{\frac{\partial\tilde{w}}{% \partial\tilde{x}}}{\frac{\partial\tilde{w}}{\partial\tilde{y}}}d\Gamma," class="ltx_Math" display="block" id="S4.E33.m1.3"><semantics id="S4.E33.m1.3a"><mrow id="S4.E33.m1.3.3.1" xref="S4.E33.m1.3.3.1.1.cmml"><mrow id="S4.E33.m1.3.3.1.1" xref="S4.E33.m1.3.3.1.1.cmml"><mi id="S4.E33.m1.3.3.1.1.2" xref="S4.E33.m1.3.3.1.1.2.cmml">𝜿</mi><mo id="S4.E33.m1.3.3.1.1.1" xref="S4.E33.m1.3.3.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S4.E33.m1.3.3.1.1.3" xref="S4.E33.m1.3.3.1.1.3.cmml"><mfrac id="S4.E33.m1.3.3.1.1.3.2" xref="S4.E33.m1.3.3.1.1.3.2.cmml"><mn id="S4.E33.m1.3.3.1.1.3.2.2" xref="S4.E33.m1.3.3.1.1.3.2.2.cmml">1</mn><mi id="S4.E33.m1.3.3.1.1.3.2.3" xref="S4.E33.m1.3.3.1.1.3.2.3.cmml">A</mi></mfrac><mo id="S4.E33.m1.3.3.1.1.3.1" xref="S4.E33.m1.3.3.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E33.m1.3.3.1.1.3.3" xref="S4.E33.m1.3.3.1.1.3.3.cmml"><msub id="S4.E33.m1.3.3.1.1.3.3.1" xref="S4.E33.m1.3.3.1.1.3.3.1.cmml"><mo id="S4.E33.m1.3.3.1.1.3.3.1.2" xref="S4.E33.m1.3.3.1.1.3.3.1.2.cmml">∫</mo><mi id="S4.E33.m1.3.3.1.1.3.3.1.3" mathvariant="normal" xref="S4.E33.m1.3.3.1.1.3.3.1.3.cmml">Γ</mi></msub><mrow id="S4.E33.m1.3.3.1.1.3.3.2" xref="S4.E33.m1.3.3.1.1.3.3.2.cmml"><mi id="S4.E33.m1.3.3.1.1.3.3.2.2" xref="S4.E33.m1.3.3.1.1.3.3.2.2.cmml">𝐓</mi><mo id="S4.E33.m1.3.3.1.1.3.3.2.1" xref="S4.E33.m1.3.3.1.1.3.3.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E33.m1.2.2.4" xref="S4.E33.m1.2.2.3.cmml"><mo id="S4.E33.m1.2.2.4.1" xref="S4.E33.m1.2.2.3.1.cmml">(</mo><mfrac id="S4.E33.m1.2.2.2.2" linethickness="0pt" xref="S4.E33.m1.2.2.3.cmml"><mfrac id="S4.E33.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E33.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.E33.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.E33.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="S4.E33.m1.1.1.1.1.1.1.3.1" rspace="0em" xref="S4.E33.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">∂</mo><mover accent="true" id="S4.E33.m1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.E33.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S4.E33.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S4.E33.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">w</mi><mo id="S4.E33.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1" xref="S4.E33.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml">~</mo></mover></mrow><mrow id="S4.E33.m1.1.1.1.1.1.1.4" xref="S4.E33.m1.1.1.1.1.1.1.4.cmml"><mo id="S4.E33.m1.1.1.1.1.1.1.4.1" rspace="0em" xref="S4.E33.m1.1.1.1.1.1.1.4.1.cmml">∂</mo><mover accent="true" id="S4.E33.m1.1.1.1.1.1.1.4.2" xref="S4.E33.m1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml"><mi id="S4.E33.m1.1.1.1.1.1.1.4.2.2" xref="S4.E33.m1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.cmml">x</mi><mo id="S4.E33.m1.1.1.1.1.1.1.4.2.1" xref="S4.E33.m1.1.1.1.1.1.1.4.2.1.cmml">~</mo></mover></mrow></mfrac><mfrac id="S4.E33.m1.2.2.2.2.2.1" xref="S4.E33.m1.2.2.2.2.2.1.cmml"><mrow id="S4.E33.m1.2.2.2.2.2.1.3" xref="S4.E33.m1.2.2.2.2.2.1.3.cmml"><mo id="S4.E33.m1.2.2.2.2.2.1.3.1" rspace="0em" xref="S4.E33.m1.2.2.2.2.2.1.3.1.cmml">∂</mo><mover accent="true" id="S4.E33.m1.2.2.2.2.2.1.3.2" xref="S4.E33.m1.2.2.2.2.2.1.3.2.cmml"><mi id="S4.E33.m1.2.2.2.2.2.1.3.2.2" xref="S4.E33.m1.2.2.2.2.2.1.3.2.2.cmml">w</mi><mo id="S4.E33.m1.2.2.2.2.2.1.3.2.1" xref="S4.E33.m1.2.2.2.2.2.1.3.2.1.cmml">~</mo></mover></mrow><mrow id="S4.E33.m1.2.2.2.2.2.1.4" xref="S4.E33.m1.2.2.2.2.2.1.4.cmml"><mo id="S4.E33.m1.2.2.2.2.2.1.4.1" rspace="0em" xref="S4.E33.m1.2.2.2.2.2.1.4.1.cmml">∂</mo><mover accent="true" id="S4.E33.m1.2.2.2.2.2.1.4.2" xref="S4.E33.m1.2.2.2.2.2.1.4.2.cmml"><mi id="S4.E33.m1.2.2.2.2.2.1.4.2.2" xref="S4.E33.m1.2.2.2.2.2.1.4.2.2.cmml">y</mi><mo id="S4.E33.m1.2.2.2.2.2.1.4.2.1" xref="S4.E33.m1.2.2.2.2.2.1.4.2.1.cmml">~</mo></mover></mrow></mfrac></mfrac><mo id="S4.E33.m1.2.2.4.2" xref="S4.E33.m1.2.2.3.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S4.E33.m1.3.3.1.1.3.3.2.1a" lspace="0em" xref="S4.E33.m1.3.3.1.1.3.3.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E33.m1.3.3.1.1.3.3.2.3" xref="S4.E33.m1.3.3.1.1.3.3.2.3.cmml"><mo id="S4.E33.m1.3.3.1.1.3.3.2.3.1" rspace="0em" xref="S4.E33.m1.3.3.1.1.3.3.2.3.1.cmml">𝑑</mo><mi id="S4.E33.m1.3.3.1.1.3.3.2.3.2" mathvariant="normal" xref="S4.E33.m1.3.3.1.1.3.3.2.3.2.cmml">Γ</mi></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.E33.m1.3.3.1.2" xref="S4.E33.m1.3.3.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.E33.m1.3b"><apply id="S4.E33.m1.3.3.1.1.cmml" xref="S4.E33.m1.3.3.1"><eq id="S4.E33.m1.3.3.1.1.1.cmml" xref="S4.E33.m1.3.3.1.1.1"></eq><ci id="S4.E33.m1.3.3.1.1.2.cmml" xref="S4.E33.m1.3.3.1.1.2">𝜿</ci><apply id="S4.E33.m1.3.3.1.1.3.cmml" xref="S4.E33.m1.3.3.1.1.3"><times id="S4.E33.m1.3.3.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E33.m1.3.3.1.1.3.1"></times><apply id="S4.E33.m1.3.3.1.1.3.2.cmml" xref="S4.E33.m1.3.3.1.1.3.2"><divide id="S4.E33.m1.3.3.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.E33.m1.3.3.1.1.3.2"></divide><cn id="S4.E33.m1.3.3.1.1.3.2.2.cmml" type="integer" xref="S4.E33.m1.3.3.1.1.3.2.2">1</cn><ci id="S4.E33.m1.3.3.1.1.3.2.3.cmml" xref="S4.E33.m1.3.3.1.1.3.2.3">𝐴</ci></apply><apply id="S4.E33.m1.3.3.1.1.3.3.cmml" xref="S4.E33.m1.3.3.1.1.3.3"><apply id="S4.E33.m1.3.3.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.E33.m1.3.3.1.1.3.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E33.m1.3.3.1.1.3.3.1.1.cmml" xref="S4.E33.m1.3.3.1.1.3.3.1">subscript</csymbol><int id="S4.E33.m1.3.3.1.1.3.3.1.2.cmml" xref="S4.E33.m1.3.3.1.1.3.3.1.2"></int><ci id="S4.E33.m1.3.3.1.1.3.3.1.3.cmml" xref="S4.E33.m1.3.3.1.1.3.3.1.3">Γ</ci></apply><apply id="S4.E33.m1.3.3.1.1.3.3.2.cmml" xref="S4.E33.m1.3.3.1.1.3.3.2"><times id="S4.E33.m1.3.3.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="S4.E33.m1.3.3.1.1.3.3.2.1"></times><ci id="S4.E33.m1.3.3.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="S4.E33.m1.3.3.1.1.3.3.2.2">𝐓</ci><apply id="S4.E33.m1.2.2.3.cmml" xref="S4.E33.m1.2.2.4"><csymbol cd="latexml" id="S4.E33.m1.2.2.3.1.cmml" xref="S4.E33.m1.2.2.4.1">binomial</csymbol><apply id="S4.E33.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E33.m1.1.1.1.1.1.1"><divide id="S4.E33.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E33.m1.1.1.1.1.1.1"></divide><apply id="S4.E33.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E33.m1.1.1.1.1.1.1.3"><partialdiff id="S4.E33.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E33.m1.1.1.1.1.1.1.3.1"></partialdiff><apply id="S4.E33.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.E33.m1.1.1.1.1.1.1.3.2"><ci id="S4.E33.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.E33.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1">~</ci><ci id="S4.E33.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.E33.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2">𝑤</ci></apply></apply><apply id="S4.E33.m1.1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S4.E33.m1.1.1.1.1.1.1.4"><partialdiff id="S4.E33.m1.1.1.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="S4.E33.m1.1.1.1.1.1.1.4.1"></partialdiff><apply id="S4.E33.m1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="S4.E33.m1.1.1.1.1.1.1.4.2"><ci id="S4.E33.m1.1.1.1.1.1.1.4.2.1.cmml" xref="S4.E33.m1.1.1.1.1.1.1.4.2.1">~</ci><ci id="S4.E33.m1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.cmml" xref="S4.E33.m1.1.1.1.1.1.1.4.2.2">𝑥</ci></apply></apply></apply><apply id="S4.E33.m1.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S4.E33.m1.2.2.2.2.2.1"><divide id="S4.E33.m1.2.2.2.2.2.1.2.cmml" xref="S4.E33.m1.2.2.2.2.2.1"></divide><apply id="S4.E33.m1.2.2.2.2.2.1.3.cmml" xref="S4.E33.m1.2.2.2.2.2.1.3"><partialdiff id="S4.E33.m1.2.2.2.2.2.1.3.1.cmml" xref="S4.E33.m1.2.2.2.2.2.1.3.1"></partialdiff><apply id="S4.E33.m1.2.2.2.2.2.1.3.2.cmml" xref="S4.E33.m1.2.2.2.2.2.1.3.2"><ci id="S4.E33.m1.2.2.2.2.2.1.3.2.1.cmml" xref="S4.E33.m1.2.2.2.2.2.1.3.2.1">~</ci><ci id="S4.E33.m1.2.2.2.2.2.1.3.2.2.cmml" xref="S4.E33.m1.2.2.2.2.2.1.3.2.2">𝑤</ci></apply></apply><apply id="S4.E33.m1.2.2.2.2.2.1.4.cmml" xref="S4.E33.m1.2.2.2.2.2.1.4"><partialdiff id="S4.E33.m1.2.2.2.2.2.1.4.1.cmml" xref="S4.E33.m1.2.2.2.2.2.1.4.1"></partialdiff><apply id="S4.E33.m1.2.2.2.2.2.1.4.2.cmml" xref="S4.E33.m1.2.2.2.2.2.1.4.2"><ci id="S4.E33.m1.2.2.2.2.2.1.4.2.1.cmml" xref="S4.E33.m1.2.2.2.2.2.1.4.2.1">~</ci><ci id="S4.E33.m1.2.2.2.2.2.1.4.2.2.cmml" xref="S4.E33.m1.2.2.2.2.2.1.4.2.2">𝑦</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="S4.E33.m1.3.3.1.1.3.3.2.3.cmml" xref="S4.E33.m1.3.3.1.1.3.3.2.3"><csymbol cd="latexml" id="S4.E33.m1.3.3.1.1.3.3.2.3.1.cmml" xref="S4.E33.m1.3.3.1.1.3.3.2.3.1">differential-d</csymbol><ci id="S4.E33.m1.3.3.1.1.3.3.2.3.2.cmml" xref="S4.E33.m1.3.3.1.1.3.3.2.3.2">Γ</ci></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.E33.m1.3c">\bm{\kappa}=\frac{1}{A}\int_{\Gamma}\mathbf{T}\binom{\frac{\partial\tilde{w}}{% \partial\tilde{x}}}{\frac{\partial\tilde{w}}{\partial\tilde{y}}}d\Gamma,</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.E33.m1.3d">bold_italic_κ = divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_A end_ARG ∫ start_POSTSUBSCRIPT roman_Γ end_POSTSUBSCRIPT bold_T ( FRACOP start_ARG divide start_ARG ∂ over~ start_ARG italic_w end_ARG end_ARG start_ARG ∂ over~ start_ARG italic_x end_ARG end_ARG end_ARG start_ARG divide start_ARG ∂ over~ start_ARG italic_w end_ARG end_ARG start_ARG ∂ over~ start_ARG italic_y end_ARG end_ARG end_ARG ) italic_d roman_Γ ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(33)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S4.SS4.p1.3">where <math alttext="\Gamma" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS4.p1.2.m1.1"><semantics id="S4.SS4.p1.2.m1.1a"><mi id="S4.SS4.p1.2.m1.1.1" mathvariant="normal" xref="S4.SS4.p1.2.m1.1.1.cmml">Γ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS4.p1.2.m1.1b"><ci id="S4.SS4.p1.2.m1.1.1.cmml" xref="S4.SS4.p1.2.m1.1.1">Γ</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS4.p1.2.m1.1c">\Gamma</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS4.p1.2.m1.1d">roman_Γ</annotation></semantics></math> is the boundary of the central triangle in the initial configuration, and <math alttext="\mathbf{T}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS4.p1.3.m2.1"><semantics id="S4.SS4.p1.3.m2.1a"><mi id="S4.SS4.p1.3.m2.1.1" xref="S4.SS4.p1.3.m2.1.1.cmml">𝐓</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS4.p1.3.m2.1b"><ci id="S4.SS4.p1.3.m2.1.1.cmml" xref="S4.SS4.p1.3.m2.1.1">𝐓</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS4.p1.3.m2.1c">\mathbf{T}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS4.p1.3.m2.1d">bold_T</annotation></semantics></math> is defined as</p> </div> <div class="ltx_para" id="S4.SS4.p2"> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S4.E34"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\mathbf{T}=\left[\begin{array}[]{cc}m_{s}&0\\ 0&m_{t}\\ m_{t}&m_{s}\end{array}\right]," class="ltx_Math" display="block" id="S4.E34.m1.2"><semantics id="S4.E34.m1.2a"><mrow id="S4.E34.m1.2.2.1" xref="S4.E34.m1.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S4.E34.m1.2.2.1.1" xref="S4.E34.m1.2.2.1.1.cmml"><mi id="S4.E34.m1.2.2.1.1.2" xref="S4.E34.m1.2.2.1.1.2.cmml">𝐓</mi><mo id="S4.E34.m1.2.2.1.1.1" xref="S4.E34.m1.2.2.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S4.E34.m1.2.2.1.1.3.2" xref="S4.E34.m1.2.2.1.1.3.1.cmml"><mo id="S4.E34.m1.2.2.1.1.3.2.1" xref="S4.E34.m1.2.2.1.1.3.1.1.cmml">[</mo><mtable columnspacing="5pt" displaystyle="true" id="S4.E34.m1.1.1" rowspacing="0pt" xref="S4.E34.m1.1.1.cmml"><mtr id="S4.E34.m1.1.1a" xref="S4.E34.m1.1.1.cmml"><mtd id="S4.E34.m1.1.1b" xref="S4.E34.m1.1.1.cmml"><msub id="S4.E34.m1.1.1.1.1.1" xref="S4.E34.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.E34.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.E34.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">m</mi><mi id="S4.E34.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.E34.m1.1.1.1.1.1.3.cmml">s</mi></msub></mtd><mtd id="S4.E34.m1.1.1c" xref="S4.E34.m1.1.1.cmml"><mn id="S4.E34.m1.1.1.1.2.1" xref="S4.E34.m1.1.1.1.2.1.cmml">0</mn></mtd></mtr><mtr id="S4.E34.m1.1.1d" xref="S4.E34.m1.1.1.cmml"><mtd id="S4.E34.m1.1.1e" xref="S4.E34.m1.1.1.cmml"><mn id="S4.E34.m1.1.1.2.1.1" xref="S4.E34.m1.1.1.2.1.1.cmml">0</mn></mtd><mtd id="S4.E34.m1.1.1f" xref="S4.E34.m1.1.1.cmml"><msub id="S4.E34.m1.1.1.2.2.1" xref="S4.E34.m1.1.1.2.2.1.cmml"><mi id="S4.E34.m1.1.1.2.2.1.2" xref="S4.E34.m1.1.1.2.2.1.2.cmml">m</mi><mi id="S4.E34.m1.1.1.2.2.1.3" xref="S4.E34.m1.1.1.2.2.1.3.cmml">t</mi></msub></mtd></mtr><mtr id="S4.E34.m1.1.1g" xref="S4.E34.m1.1.1.cmml"><mtd id="S4.E34.m1.1.1h" xref="S4.E34.m1.1.1.cmml"><msub id="S4.E34.m1.1.1.3.1.1" xref="S4.E34.m1.1.1.3.1.1.cmml"><mi id="S4.E34.m1.1.1.3.1.1.2" xref="S4.E34.m1.1.1.3.1.1.2.cmml">m</mi><mi id="S4.E34.m1.1.1.3.1.1.3" xref="S4.E34.m1.1.1.3.1.1.3.cmml">t</mi></msub></mtd><mtd id="S4.E34.m1.1.1i" xref="S4.E34.m1.1.1.cmml"><msub id="S4.E34.m1.1.1.3.2.1" xref="S4.E34.m1.1.1.3.2.1.cmml"><mi id="S4.E34.m1.1.1.3.2.1.2" xref="S4.E34.m1.1.1.3.2.1.2.cmml">m</mi><mi id="S4.E34.m1.1.1.3.2.1.3" xref="S4.E34.m1.1.1.3.2.1.3.cmml">s</mi></msub></mtd></mtr></mtable><mo id="S4.E34.m1.2.2.1.1.3.2.2" xref="S4.E34.m1.2.2.1.1.3.1.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><mo id="S4.E34.m1.2.2.1.2" xref="S4.E34.m1.2.2.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.E34.m1.2b"><apply id="S4.E34.m1.2.2.1.1.cmml" xref="S4.E34.m1.2.2.1"><eq id="S4.E34.m1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S4.E34.m1.2.2.1.1.1"></eq><ci id="S4.E34.m1.2.2.1.1.2.cmml" xref="S4.E34.m1.2.2.1.1.2">𝐓</ci><apply id="S4.E34.m1.2.2.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E34.m1.2.2.1.1.3.2"><csymbol cd="latexml" id="S4.E34.m1.2.2.1.1.3.1.1.cmml" xref="S4.E34.m1.2.2.1.1.3.2.1">delimited-[]</csymbol><matrix id="S4.E34.m1.1.1.cmml" xref="S4.E34.m1.1.1"><matrixrow id="S4.E34.m1.1.1a.cmml" xref="S4.E34.m1.1.1"><apply id="S4.E34.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E34.m1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E34.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E34.m1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.E34.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E34.m1.1.1.1.1.1.2">𝑚</ci><ci id="S4.E34.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E34.m1.1.1.1.1.1.3">𝑠</ci></apply><cn id="S4.E34.m1.1.1.1.2.1.cmml" type="integer" xref="S4.E34.m1.1.1.1.2.1">0</cn></matrixrow><matrixrow id="S4.E34.m1.1.1b.cmml" xref="S4.E34.m1.1.1"><cn id="S4.E34.m1.1.1.2.1.1.cmml" type="integer" xref="S4.E34.m1.1.1.2.1.1">0</cn><apply id="S4.E34.m1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.E34.m1.1.1.2.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E34.m1.1.1.2.2.1.1.cmml" xref="S4.E34.m1.1.1.2.2.1">subscript</csymbol><ci id="S4.E34.m1.1.1.2.2.1.2.cmml" xref="S4.E34.m1.1.1.2.2.1.2">𝑚</ci><ci id="S4.E34.m1.1.1.2.2.1.3.cmml" xref="S4.E34.m1.1.1.2.2.1.3">𝑡</ci></apply></matrixrow><matrixrow id="S4.E34.m1.1.1c.cmml" xref="S4.E34.m1.1.1"><apply id="S4.E34.m1.1.1.3.1.1.cmml" xref="S4.E34.m1.1.1.3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E34.m1.1.1.3.1.1.1.cmml" xref="S4.E34.m1.1.1.3.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.E34.m1.1.1.3.1.1.2.cmml" xref="S4.E34.m1.1.1.3.1.1.2">𝑚</ci><ci id="S4.E34.m1.1.1.3.1.1.3.cmml" xref="S4.E34.m1.1.1.3.1.1.3">𝑡</ci></apply><apply id="S4.E34.m1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.E34.m1.1.1.3.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E34.m1.1.1.3.2.1.1.cmml" xref="S4.E34.m1.1.1.3.2.1">subscript</csymbol><ci id="S4.E34.m1.1.1.3.2.1.2.cmml" xref="S4.E34.m1.1.1.3.2.1.2">𝑚</ci><ci id="S4.E34.m1.1.1.3.2.1.3.cmml" xref="S4.E34.m1.1.1.3.2.1.3">𝑠</ci></apply></matrixrow></matrix></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.E34.m1.2c">\mathbf{T}=\left[\begin{array}[]{cc}m_{s}&0\\ 0&m_{t}\\ m_{t}&m_{s}\end{array}\right],</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.E34.m1.2d">bold_T = [ start_ARRAY start_ROW start_CELL italic_m start_POSTSUBSCRIPT italic_s end_POSTSUBSCRIPT end_CELL start_CELL 0 end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL 0 end_CELL start_CELL italic_m start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL italic_m start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT end_CELL start_CELL italic_m start_POSTSUBSCRIPT italic_s end_POSTSUBSCRIPT end_CELL end_ROW end_ARRAY ] ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(34)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S4.SS4.p2.8">with the normalized normal <math alttext="\tilde{\mathbf{m}}=\left[\begin{array}[]{cc}m_{s}&m_{t}\end{array}\right]^{T}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS4.p2.1.m1.1"><semantics id="S4.SS4.p2.1.m1.1a"><mrow id="S4.SS4.p2.1.m1.1.2" xref="S4.SS4.p2.1.m1.1.2.cmml"><mover accent="true" id="S4.SS4.p2.1.m1.1.2.2" xref="S4.SS4.p2.1.m1.1.2.2.cmml"><mi id="S4.SS4.p2.1.m1.1.2.2.2" xref="S4.SS4.p2.1.m1.1.2.2.2.cmml">𝐦</mi><mo id="S4.SS4.p2.1.m1.1.2.2.1" xref="S4.SS4.p2.1.m1.1.2.2.1.cmml">~</mo></mover><mo id="S4.SS4.p2.1.m1.1.2.1" xref="S4.SS4.p2.1.m1.1.2.1.cmml">=</mo><msup id="S4.SS4.p2.1.m1.1.2.3" xref="S4.SS4.p2.1.m1.1.2.3.cmml"><mrow id="S4.SS4.p2.1.m1.1.2.3.2.2" xref="S4.SS4.p2.1.m1.1.2.3.2.1.cmml"><mo id="S4.SS4.p2.1.m1.1.2.3.2.2.1" xref="S4.SS4.p2.1.m1.1.2.3.2.1.1.cmml">[</mo><mtable columnspacing="5pt" id="S4.SS4.p2.1.m1.1.1" xref="S4.SS4.p2.1.m1.1.1.cmml"><mtr id="S4.SS4.p2.1.m1.1.1a" xref="S4.SS4.p2.1.m1.1.1.cmml"><mtd id="S4.SS4.p2.1.m1.1.1b" xref="S4.SS4.p2.1.m1.1.1.cmml"><msub id="S4.SS4.p2.1.m1.1.1.1.1.1" xref="S4.SS4.p2.1.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.SS4.p2.1.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.SS4.p2.1.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">m</mi><mi id="S4.SS4.p2.1.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.SS4.p2.1.m1.1.1.1.1.1.3.cmml">s</mi></msub></mtd><mtd id="S4.SS4.p2.1.m1.1.1c" xref="S4.SS4.p2.1.m1.1.1.cmml"><msub id="S4.SS4.p2.1.m1.1.1.1.2.1" xref="S4.SS4.p2.1.m1.1.1.1.2.1.cmml"><mi id="S4.SS4.p2.1.m1.1.1.1.2.1.2" xref="S4.SS4.p2.1.m1.1.1.1.2.1.2.cmml">m</mi><mi id="S4.SS4.p2.1.m1.1.1.1.2.1.3" xref="S4.SS4.p2.1.m1.1.1.1.2.1.3.cmml">t</mi></msub></mtd></mtr></mtable><mo id="S4.SS4.p2.1.m1.1.2.3.2.2.2" xref="S4.SS4.p2.1.m1.1.2.3.2.1.1.cmml">]</mo></mrow><mi id="S4.SS4.p2.1.m1.1.2.3.3" xref="S4.SS4.p2.1.m1.1.2.3.3.cmml">T</mi></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS4.p2.1.m1.1b"><apply id="S4.SS4.p2.1.m1.1.2.cmml" xref="S4.SS4.p2.1.m1.1.2"><eq id="S4.SS4.p2.1.m1.1.2.1.cmml" xref="S4.SS4.p2.1.m1.1.2.1"></eq><apply id="S4.SS4.p2.1.m1.1.2.2.cmml" xref="S4.SS4.p2.1.m1.1.2.2"><ci id="S4.SS4.p2.1.m1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.SS4.p2.1.m1.1.2.2.1">~</ci><ci id="S4.SS4.p2.1.m1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.SS4.p2.1.m1.1.2.2.2">𝐦</ci></apply><apply id="S4.SS4.p2.1.m1.1.2.3.cmml" xref="S4.SS4.p2.1.m1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.p2.1.m1.1.2.3.1.cmml" xref="S4.SS4.p2.1.m1.1.2.3">superscript</csymbol><apply id="S4.SS4.p2.1.m1.1.2.3.2.1.cmml" xref="S4.SS4.p2.1.m1.1.2.3.2.2"><csymbol cd="latexml" id="S4.SS4.p2.1.m1.1.2.3.2.1.1.cmml" xref="S4.SS4.p2.1.m1.1.2.3.2.2.1">delimited-[]</csymbol><matrix id="S4.SS4.p2.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.SS4.p2.1.m1.1.1"><matrixrow id="S4.SS4.p2.1.m1.1.1a.cmml" xref="S4.SS4.p2.1.m1.1.1"><apply id="S4.SS4.p2.1.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS4.p2.1.m1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.p2.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS4.p2.1.m1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.SS4.p2.1.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS4.p2.1.m1.1.1.1.1.1.2">𝑚</ci><ci id="S4.SS4.p2.1.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.SS4.p2.1.m1.1.1.1.1.1.3">𝑠</ci></apply><apply id="S4.SS4.p2.1.m1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.SS4.p2.1.m1.1.1.1.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.p2.1.m1.1.1.1.2.1.1.cmml" xref="S4.SS4.p2.1.m1.1.1.1.2.1">subscript</csymbol><ci id="S4.SS4.p2.1.m1.1.1.1.2.1.2.cmml" xref="S4.SS4.p2.1.m1.1.1.1.2.1.2">𝑚</ci><ci id="S4.SS4.p2.1.m1.1.1.1.2.1.3.cmml" xref="S4.SS4.p2.1.m1.1.1.1.2.1.3">𝑡</ci></apply></matrixrow></matrix></apply><ci id="S4.SS4.p2.1.m1.1.2.3.3.cmml" xref="S4.SS4.p2.1.m1.1.2.3.3">𝑇</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS4.p2.1.m1.1c">\tilde{\mathbf{m}}=\left[\begin{array}[]{cc}m_{s}&m_{t}\end{array}\right]^{T}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS4.p2.1.m1.1d">over~ start_ARG bold_m end_ARG = [ start_ARRAY start_ROW start_CELL italic_m start_POSTSUBSCRIPT italic_s end_POSTSUBSCRIPT end_CELL start_CELL italic_m start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT end_CELL end_ROW end_ARRAY ] start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> outward to the boundary <math alttext="\Gamma" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS4.p2.2.m2.1"><semantics id="S4.SS4.p2.2.m2.1a"><mi id="S4.SS4.p2.2.m2.1.1" mathvariant="normal" xref="S4.SS4.p2.2.m2.1.1.cmml">Γ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS4.p2.2.m2.1b"><ci id="S4.SS4.p2.2.m2.1.1.cmml" xref="S4.SS4.p2.2.m2.1.1">Γ</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS4.p2.2.m2.1c">\Gamma</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS4.p2.2.m2.1d">roman_Γ</annotation></semantics></math> surrounding the central triangle in the <math alttext="\tilde{X}-\tilde{Y}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS4.p2.3.m3.1"><semantics id="S4.SS4.p2.3.m3.1a"><mrow id="S4.SS4.p2.3.m3.1.1" xref="S4.SS4.p2.3.m3.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S4.SS4.p2.3.m3.1.1.2" xref="S4.SS4.p2.3.m3.1.1.2.cmml"><mi id="S4.SS4.p2.3.m3.1.1.2.2" xref="S4.SS4.p2.3.m3.1.1.2.2.cmml">X</mi><mo id="S4.SS4.p2.3.m3.1.1.2.1" xref="S4.SS4.p2.3.m3.1.1.2.1.cmml">~</mo></mover><mo id="S4.SS4.p2.3.m3.1.1.1" xref="S4.SS4.p2.3.m3.1.1.1.cmml">−</mo><mover accent="true" id="S4.SS4.p2.3.m3.1.1.3" xref="S4.SS4.p2.3.m3.1.1.3.cmml"><mi id="S4.SS4.p2.3.m3.1.1.3.2" xref="S4.SS4.p2.3.m3.1.1.3.2.cmml">Y</mi><mo id="S4.SS4.p2.3.m3.1.1.3.1" xref="S4.SS4.p2.3.m3.1.1.3.1.cmml">~</mo></mover></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS4.p2.3.m3.1b"><apply id="S4.SS4.p2.3.m3.1.1.cmml" xref="S4.SS4.p2.3.m3.1.1"><minus id="S4.SS4.p2.3.m3.1.1.1.cmml" xref="S4.SS4.p2.3.m3.1.1.1"></minus><apply id="S4.SS4.p2.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S4.SS4.p2.3.m3.1.1.2"><ci id="S4.SS4.p2.3.m3.1.1.2.1.cmml" xref="S4.SS4.p2.3.m3.1.1.2.1">~</ci><ci id="S4.SS4.p2.3.m3.1.1.2.2.cmml" xref="S4.SS4.p2.3.m3.1.1.2.2">𝑋</ci></apply><apply id="S4.SS4.p2.3.m3.1.1.3.cmml" xref="S4.SS4.p2.3.m3.1.1.3"><ci id="S4.SS4.p2.3.m3.1.1.3.1.cmml" xref="S4.SS4.p2.3.m3.1.1.3.1">~</ci><ci id="S4.SS4.p2.3.m3.1.1.3.2.cmml" xref="S4.SS4.p2.3.m3.1.1.3.2">𝑌</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS4.p2.3.m3.1c">\tilde{X}-\tilde{Y}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS4.p2.3.m3.1d">over~ start_ARG italic_X end_ARG - over~ start_ARG italic_Y end_ARG</annotation></semantics></math> plane of the initial corotational frame. <math alttext="{s}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS4.p2.4.m4.1"><semantics id="S4.SS4.p2.4.m4.1a"><mi id="S4.SS4.p2.4.m4.1.1" xref="S4.SS4.p2.4.m4.1.1.cmml">s</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS4.p2.4.m4.1b"><ci id="S4.SS4.p2.4.m4.1.1.cmml" xref="S4.SS4.p2.4.m4.1.1">𝑠</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS4.p2.4.m4.1c">{s}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS4.p2.4.m4.1d">italic_s</annotation></semantics></math>-axis is tangential to the boundary <math alttext="\Gamma" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS4.p2.5.m5.1"><semantics id="S4.SS4.p2.5.m5.1a"><mi id="S4.SS4.p2.5.m5.1.1" mathvariant="normal" xref="S4.SS4.p2.5.m5.1.1.cmml">Γ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS4.p2.5.m5.1b"><ci id="S4.SS4.p2.5.m5.1.1.cmml" xref="S4.SS4.p2.5.m5.1.1">Γ</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS4.p2.5.m5.1c">\Gamma</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS4.p2.5.m5.1d">roman_Γ</annotation></semantics></math> and <math alttext="{t}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS4.p2.6.m6.1"><semantics id="S4.SS4.p2.6.m6.1a"><mi id="S4.SS4.p2.6.m6.1.1" xref="S4.SS4.p2.6.m6.1.1.cmml">t</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS4.p2.6.m6.1b"><ci id="S4.SS4.p2.6.m6.1.1.cmml" xref="S4.SS4.p2.6.m6.1.1">𝑡</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS4.p2.6.m6.1c">{t}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS4.p2.6.m6.1d">italic_t</annotation></semantics></math>-axis is perpendicular to the <math alttext="{s}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS4.p2.7.m7.1"><semantics id="S4.SS4.p2.7.m7.1a"><mi id="S4.SS4.p2.7.m7.1.1" xref="S4.SS4.p2.7.m7.1.1.cmml">s</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS4.p2.7.m7.1b"><ci id="S4.SS4.p2.7.m7.1.1.cmml" xref="S4.SS4.p2.7.m7.1.1">𝑠</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS4.p2.7.m7.1c">{s}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS4.p2.7.m7.1d">italic_s</annotation></semantics></math>-axis. The gradient of the transverse displacement <math alttext="\tilde{w}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS4.p2.8.m8.1"><semantics id="S4.SS4.p2.8.m8.1a"><mover accent="true" id="S4.SS4.p2.8.m8.1.1" xref="S4.SS4.p2.8.m8.1.1.cmml"><mi id="S4.SS4.p2.8.m8.1.1.2" xref="S4.SS4.p2.8.m8.1.1.2.cmml">w</mi><mo id="S4.SS4.p2.8.m8.1.1.1" xref="S4.SS4.p2.8.m8.1.1.1.cmml">~</mo></mover><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS4.p2.8.m8.1b"><apply id="S4.SS4.p2.8.m8.1.1.cmml" xref="S4.SS4.p2.8.m8.1.1"><ci id="S4.SS4.p2.8.m8.1.1.1.cmml" xref="S4.SS4.p2.8.m8.1.1.1">~</ci><ci id="S4.SS4.p2.8.m8.1.1.2.cmml" xref="S4.SS4.p2.8.m8.1.1.2">𝑤</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS4.p2.8.m8.1c">\tilde{w}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS4.p2.8.m8.1d">over~ start_ARG italic_w end_ARG</annotation></semantics></math> can be transformed from the directional gradient using</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S4.E35"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\binom{\frac{\partial\tilde{w}}{\partial\tilde{x}}}{\frac{\partial\tilde{w}}{% \partial\tilde{y}}}=\left[\begin{array}[]{cc}m_{{{s}}}&-m_{{t}}\\ m_{{t}}&m_{{s}}\end{array}\right]\binom{\frac{\partial\tilde{w}}{\partial t}}{% \frac{\partial\tilde{w}}{\partial s}}," class="ltx_Math" display="block" id="S4.E35.m1.6"><semantics id="S4.E35.m1.6a"><mrow id="S4.E35.m1.6.6.1" xref="S4.E35.m1.6.6.1.1.cmml"><mrow id="S4.E35.m1.6.6.1.1" xref="S4.E35.m1.6.6.1.1.cmml"><mrow id="S4.E35.m1.2.2.4" xref="S4.E35.m1.2.2.3.cmml"><mo id="S4.E35.m1.2.2.4.1" xref="S4.E35.m1.2.2.3.1.cmml">(</mo><mfrac id="S4.E35.m1.2.2.2.2" linethickness="0pt" xref="S4.E35.m1.2.2.3.cmml"><mfrac id="S4.E35.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E35.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.E35.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.E35.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="S4.E35.m1.1.1.1.1.1.1.3.1" rspace="0em" xref="S4.E35.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">∂</mo><mover accent="true" id="S4.E35.m1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.E35.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S4.E35.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S4.E35.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">w</mi><mo id="S4.E35.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1" xref="S4.E35.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml">~</mo></mover></mrow><mrow id="S4.E35.m1.1.1.1.1.1.1.4" xref="S4.E35.m1.1.1.1.1.1.1.4.cmml"><mo id="S4.E35.m1.1.1.1.1.1.1.4.1" rspace="0em" xref="S4.E35.m1.1.1.1.1.1.1.4.1.cmml">∂</mo><mover accent="true" id="S4.E35.m1.1.1.1.1.1.1.4.2" xref="S4.E35.m1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml"><mi id="S4.E35.m1.1.1.1.1.1.1.4.2.2" xref="S4.E35.m1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.cmml">x</mi><mo id="S4.E35.m1.1.1.1.1.1.1.4.2.1" xref="S4.E35.m1.1.1.1.1.1.1.4.2.1.cmml">~</mo></mover></mrow></mfrac><mfrac id="S4.E35.m1.2.2.2.2.2.1" xref="S4.E35.m1.2.2.2.2.2.1.cmml"><mrow id="S4.E35.m1.2.2.2.2.2.1.3" xref="S4.E35.m1.2.2.2.2.2.1.3.cmml"><mo id="S4.E35.m1.2.2.2.2.2.1.3.1" rspace="0em" 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xref="S4.E35.m1.5.5.1.2.1"></minus><apply id="S4.E35.m1.5.5.1.2.1.2.cmml" xref="S4.E35.m1.5.5.1.2.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E35.m1.5.5.1.2.1.2.1.cmml" xref="S4.E35.m1.5.5.1.2.1.2">subscript</csymbol><ci id="S4.E35.m1.5.5.1.2.1.2.2.cmml" xref="S4.E35.m1.5.5.1.2.1.2.2">𝑚</ci><ci id="S4.E35.m1.5.5.1.2.1.2.3.cmml" xref="S4.E35.m1.5.5.1.2.1.2.3">𝑡</ci></apply></apply></matrixrow><matrixrow id="S4.E35.m1.5.5b.cmml" xref="S4.E35.m1.5.5"><apply id="S4.E35.m1.5.5.2.1.1.cmml" xref="S4.E35.m1.5.5.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E35.m1.5.5.2.1.1.1.cmml" xref="S4.E35.m1.5.5.2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.E35.m1.5.5.2.1.1.2.cmml" xref="S4.E35.m1.5.5.2.1.1.2">𝑚</ci><ci id="S4.E35.m1.5.5.2.1.1.3.cmml" xref="S4.E35.m1.5.5.2.1.1.3">𝑡</ci></apply><apply id="S4.E35.m1.5.5.2.2.1.cmml" xref="S4.E35.m1.5.5.2.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E35.m1.5.5.2.2.1.1.cmml" xref="S4.E35.m1.5.5.2.2.1">subscript</csymbol><ci id="S4.E35.m1.5.5.2.2.1.2.cmml" xref="S4.E35.m1.5.5.2.2.1.2">𝑚</ci><ci id="S4.E35.m1.5.5.2.2.1.3.cmml" xref="S4.E35.m1.5.5.2.2.1.3">𝑠</ci></apply></matrixrow></matrix></apply><apply id="S4.E35.m1.4.4.3.cmml" xref="S4.E35.m1.4.4.4"><csymbol cd="latexml" id="S4.E35.m1.4.4.3.1.cmml" xref="S4.E35.m1.4.4.4.1">binomial</csymbol><apply id="S4.E35.m1.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E35.m1.3.3.1.1.1.1"><divide id="S4.E35.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E35.m1.3.3.1.1.1.1"></divide><apply id="S4.E35.m1.3.3.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E35.m1.3.3.1.1.1.1.3"><partialdiff id="S4.E35.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E35.m1.3.3.1.1.1.1.3.1"></partialdiff><apply id="S4.E35.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.E35.m1.3.3.1.1.1.1.3.2"><ci id="S4.E35.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.E35.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.1">~</ci><ci id="S4.E35.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.E35.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.2">𝑤</ci></apply></apply><apply id="S4.E35.m1.3.3.1.1.1.1.4.cmml" xref="S4.E35.m1.3.3.1.1.1.1.4"><partialdiff id="S4.E35.m1.3.3.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="S4.E35.m1.3.3.1.1.1.1.4.1"></partialdiff><ci id="S4.E35.m1.3.3.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="S4.E35.m1.3.3.1.1.1.1.4.2">𝑡</ci></apply></apply><apply id="S4.E35.m1.4.4.2.2.2.1.cmml" xref="S4.E35.m1.4.4.2.2.2.1"><divide id="S4.E35.m1.4.4.2.2.2.1.2.cmml" xref="S4.E35.m1.4.4.2.2.2.1"></divide><apply id="S4.E35.m1.4.4.2.2.2.1.3.cmml" xref="S4.E35.m1.4.4.2.2.2.1.3"><partialdiff id="S4.E35.m1.4.4.2.2.2.1.3.1.cmml" xref="S4.E35.m1.4.4.2.2.2.1.3.1"></partialdiff><apply id="S4.E35.m1.4.4.2.2.2.1.3.2.cmml" xref="S4.E35.m1.4.4.2.2.2.1.3.2"><ci id="S4.E35.m1.4.4.2.2.2.1.3.2.1.cmml" xref="S4.E35.m1.4.4.2.2.2.1.3.2.1">~</ci><ci id="S4.E35.m1.4.4.2.2.2.1.3.2.2.cmml" xref="S4.E35.m1.4.4.2.2.2.1.3.2.2">𝑤</ci></apply></apply><apply id="S4.E35.m1.4.4.2.2.2.1.4.cmml" xref="S4.E35.m1.4.4.2.2.2.1.4"><partialdiff id="S4.E35.m1.4.4.2.2.2.1.4.1.cmml" xref="S4.E35.m1.4.4.2.2.2.1.4.1"></partialdiff><ci id="S4.E35.m1.4.4.2.2.2.1.4.2.cmml" xref="S4.E35.m1.4.4.2.2.2.1.4.2">𝑠</ci></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.E35.m1.6c">\binom{\frac{\partial\tilde{w}}{\partial\tilde{x}}}{\frac{\partial\tilde{w}}{% \partial\tilde{y}}}=\left[\begin{array}[]{cc}m_{{{s}}}&-m_{{t}}\\ m_{{t}}&m_{{s}}\end{array}\right]\binom{\frac{\partial\tilde{w}}{\partial t}}{% \frac{\partial\tilde{w}}{\partial s}},</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.E35.m1.6d">( FRACOP start_ARG divide start_ARG ∂ over~ start_ARG italic_w end_ARG end_ARG start_ARG ∂ over~ start_ARG italic_x end_ARG end_ARG end_ARG start_ARG divide start_ARG ∂ over~ start_ARG italic_w end_ARG end_ARG start_ARG ∂ over~ start_ARG italic_y end_ARG end_ARG end_ARG ) = [ start_ARRAY start_ROW start_CELL italic_m start_POSTSUBSCRIPT italic_s end_POSTSUBSCRIPT end_CELL start_CELL - italic_m start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL italic_m start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT end_CELL start_CELL italic_m start_POSTSUBSCRIPT italic_s end_POSTSUBSCRIPT end_CELL end_ROW end_ARRAY ] ( FRACOP start_ARG divide start_ARG ∂ over~ start_ARG italic_w end_ARG end_ARG start_ARG ∂ italic_t end_ARG end_ARG start_ARG divide start_ARG ∂ over~ start_ARG italic_w end_ARG end_ARG start_ARG ∂ italic_s end_ARG end_ARG ) ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(35)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S4.SS4.p2.12">where <math alttext="{\partial\tilde{w}}/{\partial t}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS4.p2.9.m1.1"><semantics id="S4.SS4.p2.9.m1.1a"><mrow id="S4.SS4.p2.9.m1.1.1" xref="S4.SS4.p2.9.m1.1.1.cmml"><mo id="S4.SS4.p2.9.m1.1.1.1" rspace="0em" xref="S4.SS4.p2.9.m1.1.1.1.cmml">∂</mo><mrow id="S4.SS4.p2.9.m1.1.1.2" xref="S4.SS4.p2.9.m1.1.1.2.cmml"><mover accent="true" id="S4.SS4.p2.9.m1.1.1.2.2" xref="S4.SS4.p2.9.m1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S4.SS4.p2.9.m1.1.1.2.2.2" xref="S4.SS4.p2.9.m1.1.1.2.2.2.cmml">w</mi><mo id="S4.SS4.p2.9.m1.1.1.2.2.1" xref="S4.SS4.p2.9.m1.1.1.2.2.1.cmml">~</mo></mover><mo id="S4.SS4.p2.9.m1.1.1.2.1" xref="S4.SS4.p2.9.m1.1.1.2.1.cmml">/</mo><mrow id="S4.SS4.p2.9.m1.1.1.2.3" xref="S4.SS4.p2.9.m1.1.1.2.3.cmml"><mo id="S4.SS4.p2.9.m1.1.1.2.3.1" lspace="0em" rspace="0em" xref="S4.SS4.p2.9.m1.1.1.2.3.1.cmml">∂</mo><mi id="S4.SS4.p2.9.m1.1.1.2.3.2" xref="S4.SS4.p2.9.m1.1.1.2.3.2.cmml">t</mi></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS4.p2.9.m1.1b"><apply id="S4.SS4.p2.9.m1.1.1.cmml" xref="S4.SS4.p2.9.m1.1.1"><partialdiff id="S4.SS4.p2.9.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS4.p2.9.m1.1.1.1"></partialdiff><apply id="S4.SS4.p2.9.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS4.p2.9.m1.1.1.2"><divide id="S4.SS4.p2.9.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.SS4.p2.9.m1.1.1.2.1"></divide><apply id="S4.SS4.p2.9.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.SS4.p2.9.m1.1.1.2.2"><ci id="S4.SS4.p2.9.m1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.SS4.p2.9.m1.1.1.2.2.1">~</ci><ci id="S4.SS4.p2.9.m1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.SS4.p2.9.m1.1.1.2.2.2">𝑤</ci></apply><apply id="S4.SS4.p2.9.m1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.SS4.p2.9.m1.1.1.2.3"><partialdiff id="S4.SS4.p2.9.m1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S4.SS4.p2.9.m1.1.1.2.3.1"></partialdiff><ci id="S4.SS4.p2.9.m1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S4.SS4.p2.9.m1.1.1.2.3.2">𝑡</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS4.p2.9.m1.1c">{\partial\tilde{w}}/{\partial t}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS4.p2.9.m1.1d">∂ over~ start_ARG italic_w end_ARG / ∂ italic_t</annotation></semantics></math> and <math alttext="{\partial\tilde{w}}/{\partial s}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS4.p2.10.m2.1"><semantics id="S4.SS4.p2.10.m2.1a"><mrow id="S4.SS4.p2.10.m2.1.1" xref="S4.SS4.p2.10.m2.1.1.cmml"><mo id="S4.SS4.p2.10.m2.1.1.1" rspace="0em" xref="S4.SS4.p2.10.m2.1.1.1.cmml">∂</mo><mrow id="S4.SS4.p2.10.m2.1.1.2" xref="S4.SS4.p2.10.m2.1.1.2.cmml"><mover accent="true" id="S4.SS4.p2.10.m2.1.1.2.2" xref="S4.SS4.p2.10.m2.1.1.2.2.cmml"><mi id="S4.SS4.p2.10.m2.1.1.2.2.2" xref="S4.SS4.p2.10.m2.1.1.2.2.2.cmml">w</mi><mo id="S4.SS4.p2.10.m2.1.1.2.2.1" xref="S4.SS4.p2.10.m2.1.1.2.2.1.cmml">~</mo></mover><mo id="S4.SS4.p2.10.m2.1.1.2.1" xref="S4.SS4.p2.10.m2.1.1.2.1.cmml">/</mo><mrow id="S4.SS4.p2.10.m2.1.1.2.3" xref="S4.SS4.p2.10.m2.1.1.2.3.cmml"><mo id="S4.SS4.p2.10.m2.1.1.2.3.1" lspace="0em" rspace="0em" xref="S4.SS4.p2.10.m2.1.1.2.3.1.cmml">∂</mo><mi id="S4.SS4.p2.10.m2.1.1.2.3.2" xref="S4.SS4.p2.10.m2.1.1.2.3.2.cmml">s</mi></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS4.p2.10.m2.1b"><apply id="S4.SS4.p2.10.m2.1.1.cmml" xref="S4.SS4.p2.10.m2.1.1"><partialdiff id="S4.SS4.p2.10.m2.1.1.1.cmml" xref="S4.SS4.p2.10.m2.1.1.1"></partialdiff><apply id="S4.SS4.p2.10.m2.1.1.2.cmml" xref="S4.SS4.p2.10.m2.1.1.2"><divide id="S4.SS4.p2.10.m2.1.1.2.1.cmml" xref="S4.SS4.p2.10.m2.1.1.2.1"></divide><apply id="S4.SS4.p2.10.m2.1.1.2.2.cmml" xref="S4.SS4.p2.10.m2.1.1.2.2"><ci id="S4.SS4.p2.10.m2.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.SS4.p2.10.m2.1.1.2.2.1">~</ci><ci id="S4.SS4.p2.10.m2.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.SS4.p2.10.m2.1.1.2.2.2">𝑤</ci></apply><apply id="S4.SS4.p2.10.m2.1.1.2.3.cmml" xref="S4.SS4.p2.10.m2.1.1.2.3"><partialdiff id="S4.SS4.p2.10.m2.1.1.2.3.1.cmml" xref="S4.SS4.p2.10.m2.1.1.2.3.1"></partialdiff><ci id="S4.SS4.p2.10.m2.1.1.2.3.2.cmml" xref="S4.SS4.p2.10.m2.1.1.2.3.2">𝑠</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS4.p2.10.m2.1c">{\partial\tilde{w}}/{\partial s}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS4.p2.10.m2.1d">∂ over~ start_ARG italic_w end_ARG / ∂ italic_s</annotation></semantics></math> are respectively the rotation angle about the <math alttext="{s}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS4.p2.11.m3.1"><semantics id="S4.SS4.p2.11.m3.1a"><mi id="S4.SS4.p2.11.m3.1.1" xref="S4.SS4.p2.11.m3.1.1.cmml">s</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS4.p2.11.m3.1b"><ci id="S4.SS4.p2.11.m3.1.1.cmml" xref="S4.SS4.p2.11.m3.1.1">𝑠</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS4.p2.11.m3.1c">{s}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS4.p2.11.m3.1d">italic_s</annotation></semantics></math>-axis and <math alttext="{t}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS4.p2.12.m4.1"><semantics id="S4.SS4.p2.12.m4.1a"><mi id="S4.SS4.p2.12.m4.1.1" xref="S4.SS4.p2.12.m4.1.1.cmml">t</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS4.p2.12.m4.1b"><ci id="S4.SS4.p2.12.m4.1.1.cmml" xref="S4.SS4.p2.12.m4.1.1">𝑡</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS4.p2.12.m4.1c">{t}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS4.p2.12.m4.1d">italic_t</annotation></semantics></math>-axis.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S4.SS4.p3"> <p class="ltx_p" id="S4.SS4.p3.2"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S4.SS4.p3.2.1">Discrete Settings.</span> Given that there is no bending in each hinge edge (see Figure <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2502.10872v4#S4.F2" title="Figure 2 ‣ 4.4 Corotational FVM hinge bending model ‣ 4 Geometric Discretization ‣ Corotational Hinge-based Thin Plates/Shells"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">2</span></a>), i.e., <math alttext="{\partial\tilde{w}}/{\partial t}\neq 0" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS4.p3.1.m1.1"><semantics id="S4.SS4.p3.1.m1.1a"><mrow id="S4.SS4.p3.1.m1.1.1" xref="S4.SS4.p3.1.m1.1.1.cmml"><mrow id="S4.SS4.p3.1.m1.1.1.2" xref="S4.SS4.p3.1.m1.1.1.2.cmml"><mo id="S4.SS4.p3.1.m1.1.1.2.1" rspace="0em" xref="S4.SS4.p3.1.m1.1.1.2.1.cmml">∂</mo><mrow id="S4.SS4.p3.1.m1.1.1.2.2" xref="S4.SS4.p3.1.m1.1.1.2.2.cmml"><mover accent="true" id="S4.SS4.p3.1.m1.1.1.2.2.2" xref="S4.SS4.p3.1.m1.1.1.2.2.2.cmml"><mi id="S4.SS4.p3.1.m1.1.1.2.2.2.2" xref="S4.SS4.p3.1.m1.1.1.2.2.2.2.cmml">w</mi><mo id="S4.SS4.p3.1.m1.1.1.2.2.2.1" xref="S4.SS4.p3.1.m1.1.1.2.2.2.1.cmml">~</mo></mover><mo id="S4.SS4.p3.1.m1.1.1.2.2.1" xref="S4.SS4.p3.1.m1.1.1.2.2.1.cmml">/</mo><mrow id="S4.SS4.p3.1.m1.1.1.2.2.3" xref="S4.SS4.p3.1.m1.1.1.2.2.3.cmml"><mo id="S4.SS4.p3.1.m1.1.1.2.2.3.1" lspace="0em" rspace="0em" xref="S4.SS4.p3.1.m1.1.1.2.2.3.1.cmml">∂</mo><mi id="S4.SS4.p3.1.m1.1.1.2.2.3.2" xref="S4.SS4.p3.1.m1.1.1.2.2.3.2.cmml">t</mi></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.SS4.p3.1.m1.1.1.1" xref="S4.SS4.p3.1.m1.1.1.1.cmml">≠</mo><mn id="S4.SS4.p3.1.m1.1.1.3" xref="S4.SS4.p3.1.m1.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS4.p3.1.m1.1b"><apply id="S4.SS4.p3.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.SS4.p3.1.m1.1.1"><neq id="S4.SS4.p3.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS4.p3.1.m1.1.1.1"></neq><apply id="S4.SS4.p3.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS4.p3.1.m1.1.1.2"><partialdiff id="S4.SS4.p3.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.SS4.p3.1.m1.1.1.2.1"></partialdiff><apply id="S4.SS4.p3.1.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.SS4.p3.1.m1.1.1.2.2"><divide id="S4.SS4.p3.1.m1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.SS4.p3.1.m1.1.1.2.2.1"></divide><apply id="S4.SS4.p3.1.m1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.SS4.p3.1.m1.1.1.2.2.2"><ci id="S4.SS4.p3.1.m1.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S4.SS4.p3.1.m1.1.1.2.2.2.1">~</ci><ci id="S4.SS4.p3.1.m1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S4.SS4.p3.1.m1.1.1.2.2.2.2">𝑤</ci></apply><apply id="S4.SS4.p3.1.m1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.SS4.p3.1.m1.1.1.2.2.3"><partialdiff id="S4.SS4.p3.1.m1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S4.SS4.p3.1.m1.1.1.2.2.3.1"></partialdiff><ci id="S4.SS4.p3.1.m1.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S4.SS4.p3.1.m1.1.1.2.2.3.2">𝑡</ci></apply></apply></apply><cn id="S4.SS4.p3.1.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS4.p3.1.m1.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS4.p3.1.m1.1c">{\partial\tilde{w}}/{\partial t}\neq 0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS4.p3.1.m1.1d">∂ over~ start_ARG italic_w end_ARG / ∂ italic_t ≠ 0</annotation></semantics></math> and <math alttext="{\partial\tilde{w}}/{\partial s}=0" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS4.p3.2.m2.1"><semantics id="S4.SS4.p3.2.m2.1a"><mrow id="S4.SS4.p3.2.m2.1.1" xref="S4.SS4.p3.2.m2.1.1.cmml"><mrow id="S4.SS4.p3.2.m2.1.1.2" xref="S4.SS4.p3.2.m2.1.1.2.cmml"><mo id="S4.SS4.p3.2.m2.1.1.2.1" rspace="0em" xref="S4.SS4.p3.2.m2.1.1.2.1.cmml">∂</mo><mrow id="S4.SS4.p3.2.m2.1.1.2.2" xref="S4.SS4.p3.2.m2.1.1.2.2.cmml"><mover accent="true" id="S4.SS4.p3.2.m2.1.1.2.2.2" xref="S4.SS4.p3.2.m2.1.1.2.2.2.cmml"><mi id="S4.SS4.p3.2.m2.1.1.2.2.2.2" xref="S4.SS4.p3.2.m2.1.1.2.2.2.2.cmml">w</mi><mo id="S4.SS4.p3.2.m2.1.1.2.2.2.1" xref="S4.SS4.p3.2.m2.1.1.2.2.2.1.cmml">~</mo></mover><mo id="S4.SS4.p3.2.m2.1.1.2.2.1" xref="S4.SS4.p3.2.m2.1.1.2.2.1.cmml">/</mo><mrow id="S4.SS4.p3.2.m2.1.1.2.2.3" xref="S4.SS4.p3.2.m2.1.1.2.2.3.cmml"><mo id="S4.SS4.p3.2.m2.1.1.2.2.3.1" lspace="0em" rspace="0em" xref="S4.SS4.p3.2.m2.1.1.2.2.3.1.cmml">∂</mo><mi id="S4.SS4.p3.2.m2.1.1.2.2.3.2" xref="S4.SS4.p3.2.m2.1.1.2.2.3.2.cmml">s</mi></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.SS4.p3.2.m2.1.1.1" xref="S4.SS4.p3.2.m2.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S4.SS4.p3.2.m2.1.1.3" xref="S4.SS4.p3.2.m2.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS4.p3.2.m2.1b"><apply id="S4.SS4.p3.2.m2.1.1.cmml" xref="S4.SS4.p3.2.m2.1.1"><eq id="S4.SS4.p3.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S4.SS4.p3.2.m2.1.1.1"></eq><apply id="S4.SS4.p3.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S4.SS4.p3.2.m2.1.1.2"><partialdiff id="S4.SS4.p3.2.m2.1.1.2.1.cmml" xref="S4.SS4.p3.2.m2.1.1.2.1"></partialdiff><apply id="S4.SS4.p3.2.m2.1.1.2.2.cmml" xref="S4.SS4.p3.2.m2.1.1.2.2"><divide id="S4.SS4.p3.2.m2.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.SS4.p3.2.m2.1.1.2.2.1"></divide><apply id="S4.SS4.p3.2.m2.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.SS4.p3.2.m2.1.1.2.2.2"><ci id="S4.SS4.p3.2.m2.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S4.SS4.p3.2.m2.1.1.2.2.2.1">~</ci><ci id="S4.SS4.p3.2.m2.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S4.SS4.p3.2.m2.1.1.2.2.2.2">𝑤</ci></apply><apply id="S4.SS4.p3.2.m2.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.SS4.p3.2.m2.1.1.2.2.3"><partialdiff id="S4.SS4.p3.2.m2.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S4.SS4.p3.2.m2.1.1.2.2.3.1"></partialdiff><ci id="S4.SS4.p3.2.m2.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S4.SS4.p3.2.m2.1.1.2.2.3.2">𝑠</ci></apply></apply></apply><cn id="S4.SS4.p3.2.m2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS4.p3.2.m2.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS4.p3.2.m2.1c">{\partial\tilde{w}}/{\partial s}=0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS4.p3.2.m2.1d">∂ over~ start_ARG italic_w end_ARG / ∂ italic_s = 0</annotation></semantics></math> in Eq. (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2502.10872v4#S4.E35" title="In 4.4 Corotational FVM hinge bending model ‣ 4 Geometric Discretization ‣ Corotational Hinge-based Thin Plates/Shells"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">35</span></a>), the generalized curvature of the central triangle in the current configuration becomes</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S4.E36"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\bm{\kappa}=\sum_{i=1}^{3}\left(\begin{array}[]{c}(m_{{s}})_{i}^{2}\\ (m_{{t}})_{i}^{2}\\ 2(m_{{s}})_{i}(m_{{t}})_{i}\end{array}\right)\kappa_{i}," class="ltx_Math" display="block" id="S4.E36.m1.5"><semantics id="S4.E36.m1.5a"><mrow id="S4.E36.m1.5.5.1" xref="S4.E36.m1.5.5.1.1.cmml"><mrow id="S4.E36.m1.5.5.1.1" xref="S4.E36.m1.5.5.1.1.cmml"><mi id="S4.E36.m1.5.5.1.1.2" xref="S4.E36.m1.5.5.1.1.2.cmml">𝜿</mi><mo id="S4.E36.m1.5.5.1.1.1" rspace="0.111em" xref="S4.E36.m1.5.5.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S4.E36.m1.5.5.1.1.3" xref="S4.E36.m1.5.5.1.1.3.cmml"><munderover id="S4.E36.m1.5.5.1.1.3.1" xref="S4.E36.m1.5.5.1.1.3.1.cmml"><mo id="S4.E36.m1.5.5.1.1.3.1.2.2" movablelimits="false" rspace="0em" xref="S4.E36.m1.5.5.1.1.3.1.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="S4.E36.m1.5.5.1.1.3.1.2.3" xref="S4.E36.m1.5.5.1.1.3.1.2.3.cmml"><mi id="S4.E36.m1.5.5.1.1.3.1.2.3.2" xref="S4.E36.m1.5.5.1.1.3.1.2.3.2.cmml">i</mi><mo id="S4.E36.m1.5.5.1.1.3.1.2.3.1" xref="S4.E36.m1.5.5.1.1.3.1.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="S4.E36.m1.5.5.1.1.3.1.2.3.3" xref="S4.E36.m1.5.5.1.1.3.1.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mn id="S4.E36.m1.5.5.1.1.3.1.3" xref="S4.E36.m1.5.5.1.1.3.1.3.cmml">3</mn></munderover><mrow id="S4.E36.m1.5.5.1.1.3.2" xref="S4.E36.m1.5.5.1.1.3.2.cmml"><mrow id="S4.E36.m1.5.5.1.1.3.2.2.2" xref="S4.E36.m1.4.4.cmml"><mo id="S4.E36.m1.5.5.1.1.3.2.2.2.1" xref="S4.E36.m1.4.4.cmml">(</mo><mtable displaystyle="true" id="S4.E36.m1.4.4" rowspacing="0pt" xref="S4.E36.m1.4.4.cmml"><mtr id="S4.E36.m1.4.4a" xref="S4.E36.m1.4.4.cmml"><mtd id="S4.E36.m1.4.4b" xref="S4.E36.m1.4.4.cmml"><msubsup id="S4.E36.m1.1.1.1.1.1" xref="S4.E36.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.E36.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E36.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.E36.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.E36.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S4.E36.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E36.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.E36.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.E36.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">m</mi><mi id="S4.E36.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.E36.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">s</mi></msub><mo id="S4.E36.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.E36.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mi id="S4.E36.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.E36.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">i</mi><mn id="S4.E36.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.E36.m1.1.1.1.1.1.3.cmml">2</mn></msubsup></mtd></mtr><mtr id="S4.E36.m1.4.4c" xref="S4.E36.m1.4.4.cmml"><mtd id="S4.E36.m1.4.4d" xref="S4.E36.m1.4.4.cmml"><msubsup id="S4.E36.m1.2.2.2.1.1" xref="S4.E36.m1.2.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S4.E36.m1.2.2.2.1.1.1.1.1" xref="S4.E36.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.E36.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.E36.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S4.E36.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E36.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.E36.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.E36.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml">m</mi><mi id="S4.E36.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.E36.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml">t</mi></msub><mo id="S4.E36.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.E36.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mi id="S4.E36.m1.2.2.2.1.1.1.3" xref="S4.E36.m1.2.2.2.1.1.1.3.cmml">i</mi><mn id="S4.E36.m1.2.2.2.1.1.3" xref="S4.E36.m1.2.2.2.1.1.3.cmml">2</mn></msubsup></mtd></mtr><mtr id="S4.E36.m1.4.4e" xref="S4.E36.m1.4.4.cmml"><mtd id="S4.E36.m1.4.4f" xref="S4.E36.m1.4.4.cmml"><mrow id="S4.E36.m1.4.4.4.2.2" xref="S4.E36.m1.4.4.4.2.2.cmml"><mn id="S4.E36.m1.4.4.4.2.2.4" xref="S4.E36.m1.4.4.4.2.2.4.cmml">2</mn><mo id="S4.E36.m1.4.4.4.2.2.3" xref="S4.E36.m1.4.4.4.2.2.3.cmml">⁢</mo><msub id="S4.E36.m1.3.3.3.1.1.1" xref="S4.E36.m1.3.3.3.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.E36.m1.3.3.3.1.1.1.1.1" xref="S4.E36.m1.3.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.E36.m1.3.3.3.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.E36.m1.3.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S4.E36.m1.3.3.3.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E36.m1.3.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.E36.m1.3.3.3.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.E36.m1.3.3.3.1.1.1.1.1.1.2.cmml">m</mi><mi id="S4.E36.m1.3.3.3.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.E36.m1.3.3.3.1.1.1.1.1.1.3.cmml">s</mi></msub><mo id="S4.E36.m1.3.3.3.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.E36.m1.3.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mi id="S4.E36.m1.3.3.3.1.1.1.3" xref="S4.E36.m1.3.3.3.1.1.1.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S4.E36.m1.4.4.4.2.2.3a" xref="S4.E36.m1.4.4.4.2.2.3.cmml">⁢</mo><msub id="S4.E36.m1.4.4.4.2.2.2" xref="S4.E36.m1.4.4.4.2.2.2.cmml"><mrow id="S4.E36.m1.4.4.4.2.2.2.1.1" xref="S4.E36.m1.4.4.4.2.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="S4.E36.m1.4.4.4.2.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.E36.m1.4.4.4.2.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S4.E36.m1.4.4.4.2.2.2.1.1.1" xref="S4.E36.m1.4.4.4.2.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S4.E36.m1.4.4.4.2.2.2.1.1.1.2" xref="S4.E36.m1.4.4.4.2.2.2.1.1.1.2.cmml">m</mi><mi id="S4.E36.m1.4.4.4.2.2.2.1.1.1.3" xref="S4.E36.m1.4.4.4.2.2.2.1.1.1.3.cmml">t</mi></msub><mo id="S4.E36.m1.4.4.4.2.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.E36.m1.4.4.4.2.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mi id="S4.E36.m1.4.4.4.2.2.2.3" xref="S4.E36.m1.4.4.4.2.2.2.3.cmml">i</mi></msub></mrow></mtd></mtr></mtable><mo id="S4.E36.m1.5.5.1.1.3.2.2.2.2" xref="S4.E36.m1.4.4.cmml">)</mo></mrow><mo id="S4.E36.m1.5.5.1.1.3.2.1" xref="S4.E36.m1.5.5.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S4.E36.m1.5.5.1.1.3.2.3" xref="S4.E36.m1.5.5.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="S4.E36.m1.5.5.1.1.3.2.3.2" xref="S4.E36.m1.5.5.1.1.3.2.3.2.cmml">κ</mi><mi id="S4.E36.m1.5.5.1.1.3.2.3.3" 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start_ROW start_CELL ( italic_m start_POSTSUBSCRIPT italic_s end_POSTSUBSCRIPT ) start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL ( italic_m start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ) start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL 2 ( italic_m start_POSTSUBSCRIPT italic_s end_POSTSUBSCRIPT ) start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT ( italic_m start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ) start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT end_CELL end_ROW end_ARRAY ) italic_κ start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(36)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S4.SS4.p3.4">where <math alttext="\kappa_{i}=({\partial\tilde{w}}/{\partial t})_{i}l_{i}/A" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS4.p3.3.m1.1"><semantics id="S4.SS4.p3.3.m1.1a"><mrow id="S4.SS4.p3.3.m1.1.1" xref="S4.SS4.p3.3.m1.1.1.cmml"><msub id="S4.SS4.p3.3.m1.1.1.3" xref="S4.SS4.p3.3.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.SS4.p3.3.m1.1.1.3.2" xref="S4.SS4.p3.3.m1.1.1.3.2.cmml">κ</mi><mi id="S4.SS4.p3.3.m1.1.1.3.3" xref="S4.SS4.p3.3.m1.1.1.3.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S4.SS4.p3.3.m1.1.1.2" xref="S4.SS4.p3.3.m1.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S4.SS4.p3.3.m1.1.1.1" xref="S4.SS4.p3.3.m1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.SS4.p3.3.m1.1.1.1.1" xref="S4.SS4.p3.3.m1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S4.SS4.p3.3.m1.1.1.1.1.1" xref="S4.SS4.p3.3.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.SS4.p3.3.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.SS4.p3.3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.SS4.p3.3.m1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.SS4.p3.3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.SS4.p3.3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.SS4.p3.3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.SS4.p3.3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" lspace="0em" rspace="0em" xref="S4.SS4.p3.3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">∂</mo><mrow id="S4.SS4.p3.3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.SS4.p3.3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mover accent="true" id="S4.SS4.p3.3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.SS4.p3.3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S4.SS4.p3.3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S4.SS4.p3.3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">w</mi><mo id="S4.SS4.p3.3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1" xref="S4.SS4.p3.3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml">~</mo></mover><mo id="S4.SS4.p3.3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S4.SS4.p3.3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">/</mo><mrow id="S4.SS4.p3.3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S4.SS4.p3.3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mo id="S4.SS4.p3.3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1" lspace="0em" rspace="0em" xref="S4.SS4.p3.3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml">∂</mo><mi id="S4.SS4.p3.3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S4.SS4.p3.3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">t</mi></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.SS4.p3.3.m1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.SS4.p3.3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mi id="S4.SS4.p3.3.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.SS4.p3.3.m1.1.1.1.1.1.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S4.SS4.p3.3.m1.1.1.1.1.2" xref="S4.SS4.p3.3.m1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="S4.SS4.p3.3.m1.1.1.1.1.3" xref="S4.SS4.p3.3.m1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.SS4.p3.3.m1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.SS4.p3.3.m1.1.1.1.1.3.2.cmml">l</mi><mi id="S4.SS4.p3.3.m1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.SS4.p3.3.m1.1.1.1.1.3.3.cmml">i</mi></msub></mrow><mo id="S4.SS4.p3.3.m1.1.1.1.2" xref="S4.SS4.p3.3.m1.1.1.1.2.cmml">/</mo><mi id="S4.SS4.p3.3.m1.1.1.1.3" xref="S4.SS4.p3.3.m1.1.1.1.3.cmml">A</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS4.p3.3.m1.1b"><apply id="S4.SS4.p3.3.m1.1.1.cmml" xref="S4.SS4.p3.3.m1.1.1"><eq id="S4.SS4.p3.3.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS4.p3.3.m1.1.1.2"></eq><apply id="S4.SS4.p3.3.m1.1.1.3.cmml" xref="S4.SS4.p3.3.m1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.p3.3.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.SS4.p3.3.m1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.SS4.p3.3.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.SS4.p3.3.m1.1.1.3.2">𝜅</ci><ci id="S4.SS4.p3.3.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.SS4.p3.3.m1.1.1.3.3">𝑖</ci></apply><apply id="S4.SS4.p3.3.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS4.p3.3.m1.1.1.1"><divide id="S4.SS4.p3.3.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS4.p3.3.m1.1.1.1.2"></divide><apply id="S4.SS4.p3.3.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS4.p3.3.m1.1.1.1.1"><times id="S4.SS4.p3.3.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS4.p3.3.m1.1.1.1.1.2"></times><apply id="S4.SS4.p3.3.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS4.p3.3.m1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.p3.3.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS4.p3.3.m1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="S4.SS4.p3.3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS4.p3.3.m1.1.1.1.1.1.1.1"><partialdiff id="S4.SS4.p3.3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS4.p3.3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></partialdiff><apply id="S4.SS4.p3.3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS4.p3.3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><divide id="S4.SS4.p3.3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.SS4.p3.3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1"></divide><apply id="S4.SS4.p3.3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.SS4.p3.3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2"><ci id="S4.SS4.p3.3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.SS4.p3.3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1">~</ci><ci id="S4.SS4.p3.3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.SS4.p3.3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2">𝑤</ci></apply><apply id="S4.SS4.p3.3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.SS4.p3.3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3"><partialdiff id="S4.SS4.p3.3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S4.SS4.p3.3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1"></partialdiff><ci id="S4.SS4.p3.3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S4.SS4.p3.3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2">𝑡</ci></apply></apply></apply><ci id="S4.SS4.p3.3.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.SS4.p3.3.m1.1.1.1.1.1.3">𝑖</ci></apply><apply id="S4.SS4.p3.3.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.SS4.p3.3.m1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.p3.3.m1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.SS4.p3.3.m1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.SS4.p3.3.m1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.SS4.p3.3.m1.1.1.1.1.3.2">𝑙</ci><ci id="S4.SS4.p3.3.m1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.SS4.p3.3.m1.1.1.1.1.3.3">𝑖</ci></apply></apply><ci id="S4.SS4.p3.3.m1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.SS4.p3.3.m1.1.1.1.3">𝐴</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS4.p3.3.m1.1c">\kappa_{i}=({\partial\tilde{w}}/{\partial t})_{i}l_{i}/A</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS4.p3.3.m1.1d">italic_κ start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT = ( ∂ over~ start_ARG italic_w end_ARG / ∂ italic_t ) start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT italic_l start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT / italic_A</annotation></semantics></math> is the directional curvature, with <math alttext="l_{i}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS4.p3.4.m2.1"><semantics id="S4.SS4.p3.4.m2.1a"><msub id="S4.SS4.p3.4.m2.1.1" xref="S4.SS4.p3.4.m2.1.1.cmml"><mi id="S4.SS4.p3.4.m2.1.1.2" xref="S4.SS4.p3.4.m2.1.1.2.cmml">l</mi><mi id="S4.SS4.p3.4.m2.1.1.3" xref="S4.SS4.p3.4.m2.1.1.3.cmml">i</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS4.p3.4.m2.1b"><apply id="S4.SS4.p3.4.m2.1.1.cmml" xref="S4.SS4.p3.4.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.p3.4.m2.1.1.1.cmml" xref="S4.SS4.p3.4.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.SS4.p3.4.m2.1.1.2.cmml" xref="S4.SS4.p3.4.m2.1.1.2">𝑙</ci><ci id="S4.SS4.p3.4.m2.1.1.3.cmml" xref="S4.SS4.p3.4.m2.1.1.3">𝑖</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS4.p3.4.m2.1c">l_{i}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS4.p3.4.m2.1d">italic_l start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> being the length of the hinge edge in the initial configuration. It can be seen that the FVM approach superpositions the directional curvatures of the central triangle onto the generalized curvature in the corotational frame. To discrete the curvature and consider the adjacent triangles’ contribution to the common edge, several discretized schemes can be found in <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2502.10872v4#bib.bibx33" title="">OZ00</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2502.10872v4#bib.bibx22" title="">GSH<sup class="ltx_sup"><span class="ltx_text ltx_font_italic">∗</span></sup>04</a>]</cite>.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S4.SS4.p4"> <p class="ltx_p" id="S4.SS4.p4.1">In our approach, we first extend the Eq. (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2502.10872v4#S3.E1" title="In 3 Thin Shell Mechanics ‣ Corotational Hinge-based Thin Plates/Shells"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">1</span></a>) to express the directional curvatures, <math alttext="\bm{\kappa}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS4.p4.1.m1.1"><semantics id="S4.SS4.p4.1.m1.1a"><mi id="S4.SS4.p4.1.m1.1.1" xref="S4.SS4.p4.1.m1.1.1.cmml">𝜿</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS4.p4.1.m1.1b"><ci id="S4.SS4.p4.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.SS4.p4.1.m1.1.1">𝜿</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS4.p4.1.m1.1c">\bm{\kappa}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS4.p4.1.m1.1d">bold_italic_κ</annotation></semantics></math> can then be rewritten as</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S4.E37"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\bm{\kappa}=\mathbf{R}\bm{\kappa}_{p}=\mathbf{R}\left(\begin{array}[]{c}\frac{% 2\theta_{1}}{h_{1}+h_{4}}\\ \frac{2\theta_{2}}{h_{2}+h_{5}}\\ \frac{2\theta_{3}}{h_{3}+h_{6}}\end{array}\right)," class="ltx_Math" display="block" id="S4.E37.m1.2"><semantics id="S4.E37.m1.2a"><mrow id="S4.E37.m1.2.2.1" xref="S4.E37.m1.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S4.E37.m1.2.2.1.1" xref="S4.E37.m1.2.2.1.1.cmml"><mi id="S4.E37.m1.2.2.1.1.2" xref="S4.E37.m1.2.2.1.1.2.cmml">𝜿</mi><mo id="S4.E37.m1.2.2.1.1.3" xref="S4.E37.m1.2.2.1.1.3.cmml">=</mo><mrow id="S4.E37.m1.2.2.1.1.4" xref="S4.E37.m1.2.2.1.1.4.cmml"><mi id="S4.E37.m1.2.2.1.1.4.2" xref="S4.E37.m1.2.2.1.1.4.2.cmml">𝐑</mi><mo id="S4.E37.m1.2.2.1.1.4.1" xref="S4.E37.m1.2.2.1.1.4.1.cmml">⁢</mo><msub id="S4.E37.m1.2.2.1.1.4.3" xref="S4.E37.m1.2.2.1.1.4.3.cmml"><mi id="S4.E37.m1.2.2.1.1.4.3.2" xref="S4.E37.m1.2.2.1.1.4.3.2.cmml">𝜿</mi><mi id="S4.E37.m1.2.2.1.1.4.3.3" xref="S4.E37.m1.2.2.1.1.4.3.3.cmml">p</mi></msub></mrow><mo id="S4.E37.m1.2.2.1.1.5" xref="S4.E37.m1.2.2.1.1.5.cmml">=</mo><mrow id="S4.E37.m1.2.2.1.1.6" xref="S4.E37.m1.2.2.1.1.6.cmml"><mi id="S4.E37.m1.2.2.1.1.6.2" xref="S4.E37.m1.2.2.1.1.6.2.cmml">𝐑</mi><mo id="S4.E37.m1.2.2.1.1.6.1" xref="S4.E37.m1.2.2.1.1.6.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E37.m1.2.2.1.1.6.3.2" xref="S4.E37.m1.1.1.cmml"><mo id="S4.E37.m1.2.2.1.1.6.3.2.1" xref="S4.E37.m1.1.1.cmml">(</mo><mtable displaystyle="true" id="S4.E37.m1.1.1" rowspacing="0pt" xref="S4.E37.m1.1.1.cmml"><mtr id="S4.E37.m1.1.1a" xref="S4.E37.m1.1.1.cmml"><mtd id="S4.E37.m1.1.1b" xref="S4.E37.m1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="false" id="S4.E37.m1.1.1.1.1.1" xref="S4.E37.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mfrac id="S4.E37.m1.1.1.1.1.1a" xref="S4.E37.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.E37.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.E37.m1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mn id="S4.E37.m1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.E37.m1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">2</mn><mo id="S4.E37.m1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S4.E37.m1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S4.E37.m1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S4.E37.m1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S4.E37.m1.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S4.E37.m1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">θ</mi><mn id="S4.E37.m1.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="S4.E37.m1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">1</mn></msub></mrow><mrow id="S4.E37.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.E37.m1.1.1.1.1.1.3.cmml"><msub id="S4.E37.m1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.E37.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S4.E37.m1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S4.E37.m1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">h</mi><mn id="S4.E37.m1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S4.E37.m1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S4.E37.m1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S4.E37.m1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">+</mo><msub id="S4.E37.m1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.E37.m1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S4.E37.m1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S4.E37.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">h</mi><mn id="S4.E37.m1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S4.E37.m1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">4</mn></msub></mrow></mfrac></mstyle></mtd></mtr><mtr id="S4.E37.m1.1.1c" xref="S4.E37.m1.1.1.cmml"><mtd id="S4.E37.m1.1.1d" xref="S4.E37.m1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="false" id="S4.E37.m1.1.1.2.1.1" xref="S4.E37.m1.1.1.2.1.1.cmml"><mfrac id="S4.E37.m1.1.1.2.1.1a" xref="S4.E37.m1.1.1.2.1.1.cmml"><mrow id="S4.E37.m1.1.1.2.1.1.2" xref="S4.E37.m1.1.1.2.1.1.2.cmml"><mn id="S4.E37.m1.1.1.2.1.1.2.2" xref="S4.E37.m1.1.1.2.1.1.2.2.cmml">2</mn><mo id="S4.E37.m1.1.1.2.1.1.2.1" xref="S4.E37.m1.1.1.2.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S4.E37.m1.1.1.2.1.1.2.3" xref="S4.E37.m1.1.1.2.1.1.2.3.cmml"><mi id="S4.E37.m1.1.1.2.1.1.2.3.2" xref="S4.E37.m1.1.1.2.1.1.2.3.2.cmml">θ</mi><mn id="S4.E37.m1.1.1.2.1.1.2.3.3" xref="S4.E37.m1.1.1.2.1.1.2.3.3.cmml">2</mn></msub></mrow><mrow id="S4.E37.m1.1.1.2.1.1.3" xref="S4.E37.m1.1.1.2.1.1.3.cmml"><msub id="S4.E37.m1.1.1.2.1.1.3.2" xref="S4.E37.m1.1.1.2.1.1.3.2.cmml"><mi id="S4.E37.m1.1.1.2.1.1.3.2.2" xref="S4.E37.m1.1.1.2.1.1.3.2.2.cmml">h</mi><mn id="S4.E37.m1.1.1.2.1.1.3.2.3" xref="S4.E37.m1.1.1.2.1.1.3.2.3.cmml">2</mn></msub><mo id="S4.E37.m1.1.1.2.1.1.3.1" xref="S4.E37.m1.1.1.2.1.1.3.1.cmml">+</mo><msub id="S4.E37.m1.1.1.2.1.1.3.3" 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start_POSTSUBSCRIPT italic_p end_POSTSUBSCRIPT = bold_R ( start_ARRAY start_ROW start_CELL divide start_ARG 2 italic_θ start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT end_ARG start_ARG italic_h start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT + italic_h start_POSTSUBSCRIPT 4 end_POSTSUBSCRIPT end_ARG end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL divide start_ARG 2 italic_θ start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT end_ARG start_ARG italic_h start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT + italic_h start_POSTSUBSCRIPT 5 end_POSTSUBSCRIPT end_ARG end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL divide start_ARG 2 italic_θ start_POSTSUBSCRIPT 3 end_POSTSUBSCRIPT end_ARG start_ARG italic_h start_POSTSUBSCRIPT 3 end_POSTSUBSCRIPT + italic_h start_POSTSUBSCRIPT 6 end_POSTSUBSCRIPT end_ARG end_CELL end_ROW end_ARRAY ) ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(37)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S4.SS4.p4.5">where <math alttext="\bm{\kappa}_{p}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS4.p4.2.m1.1"><semantics id="S4.SS4.p4.2.m1.1a"><msub id="S4.SS4.p4.2.m1.1.1" xref="S4.SS4.p4.2.m1.1.1.cmml"><mi id="S4.SS4.p4.2.m1.1.1.2" xref="S4.SS4.p4.2.m1.1.1.2.cmml">𝜿</mi><mi id="S4.SS4.p4.2.m1.1.1.3" xref="S4.SS4.p4.2.m1.1.1.3.cmml">p</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS4.p4.2.m1.1b"><apply id="S4.SS4.p4.2.m1.1.1.cmml" xref="S4.SS4.p4.2.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.p4.2.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS4.p4.2.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.SS4.p4.2.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS4.p4.2.m1.1.1.2">𝜿</ci><ci id="S4.SS4.p4.2.m1.1.1.3.cmml" xref="S4.SS4.p4.2.m1.1.1.3">𝑝</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS4.p4.2.m1.1c">\bm{\kappa}_{p}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS4.p4.2.m1.1d">bold_italic_κ start_POSTSUBSCRIPT italic_p end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> denotes the directional curvature vector, <math alttext="\theta_{i}\ (i=1,2,3)" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS4.p4.3.m2.4"><semantics id="S4.SS4.p4.3.m2.4a"><mrow id="S4.SS4.p4.3.m2.4.4" xref="S4.SS4.p4.3.m2.4.4.cmml"><msub id="S4.SS4.p4.3.m2.4.4.3" xref="S4.SS4.p4.3.m2.4.4.3.cmml"><mi id="S4.SS4.p4.3.m2.4.4.3.2" xref="S4.SS4.p4.3.m2.4.4.3.2.cmml">θ</mi><mi id="S4.SS4.p4.3.m2.4.4.3.3" xref="S4.SS4.p4.3.m2.4.4.3.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S4.SS4.p4.3.m2.4.4.2" lspace="0.500em" xref="S4.SS4.p4.3.m2.4.4.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.SS4.p4.3.m2.4.4.1.1" xref="S4.SS4.p4.3.m2.4.4.1.1.1.cmml"><mo id="S4.SS4.p4.3.m2.4.4.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.SS4.p4.3.m2.4.4.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.SS4.p4.3.m2.4.4.1.1.1" xref="S4.SS4.p4.3.m2.4.4.1.1.1.cmml"><mi id="S4.SS4.p4.3.m2.4.4.1.1.1.2" xref="S4.SS4.p4.3.m2.4.4.1.1.1.2.cmml">i</mi><mo id="S4.SS4.p4.3.m2.4.4.1.1.1.1" xref="S4.SS4.p4.3.m2.4.4.1.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S4.SS4.p4.3.m2.4.4.1.1.1.3.2" xref="S4.SS4.p4.3.m2.4.4.1.1.1.3.1.cmml"><mn id="S4.SS4.p4.3.m2.1.1" xref="S4.SS4.p4.3.m2.1.1.cmml">1</mn><mo id="S4.SS4.p4.3.m2.4.4.1.1.1.3.2.1" xref="S4.SS4.p4.3.m2.4.4.1.1.1.3.1.cmml">,</mo><mn id="S4.SS4.p4.3.m2.2.2" xref="S4.SS4.p4.3.m2.2.2.cmml">2</mn><mo id="S4.SS4.p4.3.m2.4.4.1.1.1.3.2.2" xref="S4.SS4.p4.3.m2.4.4.1.1.1.3.1.cmml">,</mo><mn id="S4.SS4.p4.3.m2.3.3" xref="S4.SS4.p4.3.m2.3.3.cmml">3</mn></mrow></mrow><mo id="S4.SS4.p4.3.m2.4.4.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.SS4.p4.3.m2.4.4.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS4.p4.3.m2.4b"><apply id="S4.SS4.p4.3.m2.4.4.cmml" xref="S4.SS4.p4.3.m2.4.4"><times id="S4.SS4.p4.3.m2.4.4.2.cmml" xref="S4.SS4.p4.3.m2.4.4.2"></times><apply id="S4.SS4.p4.3.m2.4.4.3.cmml" xref="S4.SS4.p4.3.m2.4.4.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.p4.3.m2.4.4.3.1.cmml" xref="S4.SS4.p4.3.m2.4.4.3">subscript</csymbol><ci id="S4.SS4.p4.3.m2.4.4.3.2.cmml" xref="S4.SS4.p4.3.m2.4.4.3.2">𝜃</ci><ci id="S4.SS4.p4.3.m2.4.4.3.3.cmml" xref="S4.SS4.p4.3.m2.4.4.3.3">𝑖</ci></apply><apply id="S4.SS4.p4.3.m2.4.4.1.1.1.cmml" xref="S4.SS4.p4.3.m2.4.4.1.1"><eq id="S4.SS4.p4.3.m2.4.4.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS4.p4.3.m2.4.4.1.1.1.1"></eq><ci id="S4.SS4.p4.3.m2.4.4.1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS4.p4.3.m2.4.4.1.1.1.2">𝑖</ci><list id="S4.SS4.p4.3.m2.4.4.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.SS4.p4.3.m2.4.4.1.1.1.3.2"><cn id="S4.SS4.p4.3.m2.1.1.cmml" type="integer" xref="S4.SS4.p4.3.m2.1.1">1</cn><cn id="S4.SS4.p4.3.m2.2.2.cmml" type="integer" xref="S4.SS4.p4.3.m2.2.2">2</cn><cn id="S4.SS4.p4.3.m2.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS4.p4.3.m2.3.3">3</cn></list></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS4.p4.3.m2.4c">\theta_{i}\ (i=1,2,3)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS4.p4.3.m2.4d">italic_θ start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT ( italic_i = 1 , 2 , 3 )</annotation></semantics></math> is the fold angle across each edge, <math alttext="h_{i}\ (i=1,2,\cdots,6)" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS4.p4.4.m3.5"><semantics id="S4.SS4.p4.4.m3.5a"><mrow id="S4.SS4.p4.4.m3.5.5" xref="S4.SS4.p4.4.m3.5.5.cmml"><msub id="S4.SS4.p4.4.m3.5.5.3" xref="S4.SS4.p4.4.m3.5.5.3.cmml"><mi id="S4.SS4.p4.4.m3.5.5.3.2" xref="S4.SS4.p4.4.m3.5.5.3.2.cmml">h</mi><mi id="S4.SS4.p4.4.m3.5.5.3.3" xref="S4.SS4.p4.4.m3.5.5.3.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S4.SS4.p4.4.m3.5.5.2" lspace="0.500em" xref="S4.SS4.p4.4.m3.5.5.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.SS4.p4.4.m3.5.5.1.1" xref="S4.SS4.p4.4.m3.5.5.1.1.1.cmml"><mo id="S4.SS4.p4.4.m3.5.5.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.SS4.p4.4.m3.5.5.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.SS4.p4.4.m3.5.5.1.1.1" xref="S4.SS4.p4.4.m3.5.5.1.1.1.cmml"><mi id="S4.SS4.p4.4.m3.5.5.1.1.1.2" xref="S4.SS4.p4.4.m3.5.5.1.1.1.2.cmml">i</mi><mo id="S4.SS4.p4.4.m3.5.5.1.1.1.1" xref="S4.SS4.p4.4.m3.5.5.1.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S4.SS4.p4.4.m3.5.5.1.1.1.3.2" xref="S4.SS4.p4.4.m3.5.5.1.1.1.3.1.cmml"><mn id="S4.SS4.p4.4.m3.1.1" xref="S4.SS4.p4.4.m3.1.1.cmml">1</mn><mo id="S4.SS4.p4.4.m3.5.5.1.1.1.3.2.1" xref="S4.SS4.p4.4.m3.5.5.1.1.1.3.1.cmml">,</mo><mn id="S4.SS4.p4.4.m3.2.2" xref="S4.SS4.p4.4.m3.2.2.cmml">2</mn><mo id="S4.SS4.p4.4.m3.5.5.1.1.1.3.2.2" xref="S4.SS4.p4.4.m3.5.5.1.1.1.3.1.cmml">,</mo><mi id="S4.SS4.p4.4.m3.3.3" mathvariant="normal" xref="S4.SS4.p4.4.m3.3.3.cmml">⋯</mi><mo id="S4.SS4.p4.4.m3.5.5.1.1.1.3.2.3" xref="S4.SS4.p4.4.m3.5.5.1.1.1.3.1.cmml">,</mo><mn id="S4.SS4.p4.4.m3.4.4" xref="S4.SS4.p4.4.m3.4.4.cmml">6</mn></mrow></mrow><mo id="S4.SS4.p4.4.m3.5.5.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.SS4.p4.4.m3.5.5.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS4.p4.4.m3.5b"><apply id="S4.SS4.p4.4.m3.5.5.cmml" xref="S4.SS4.p4.4.m3.5.5"><times id="S4.SS4.p4.4.m3.5.5.2.cmml" xref="S4.SS4.p4.4.m3.5.5.2"></times><apply id="S4.SS4.p4.4.m3.5.5.3.cmml" xref="S4.SS4.p4.4.m3.5.5.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.p4.4.m3.5.5.3.1.cmml" xref="S4.SS4.p4.4.m3.5.5.3">subscript</csymbol><ci id="S4.SS4.p4.4.m3.5.5.3.2.cmml" xref="S4.SS4.p4.4.m3.5.5.3.2">ℎ</ci><ci id="S4.SS4.p4.4.m3.5.5.3.3.cmml" xref="S4.SS4.p4.4.m3.5.5.3.3">𝑖</ci></apply><apply id="S4.SS4.p4.4.m3.5.5.1.1.1.cmml" xref="S4.SS4.p4.4.m3.5.5.1.1"><eq id="S4.SS4.p4.4.m3.5.5.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS4.p4.4.m3.5.5.1.1.1.1"></eq><ci id="S4.SS4.p4.4.m3.5.5.1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS4.p4.4.m3.5.5.1.1.1.2">𝑖</ci><list id="S4.SS4.p4.4.m3.5.5.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.SS4.p4.4.m3.5.5.1.1.1.3.2"><cn id="S4.SS4.p4.4.m3.1.1.cmml" type="integer" xref="S4.SS4.p4.4.m3.1.1">1</cn><cn id="S4.SS4.p4.4.m3.2.2.cmml" type="integer" xref="S4.SS4.p4.4.m3.2.2">2</cn><ci id="S4.SS4.p4.4.m3.3.3.cmml" xref="S4.SS4.p4.4.m3.3.3">⋯</ci><cn id="S4.SS4.p4.4.m3.4.4.cmml" type="integer" xref="S4.SS4.p4.4.m3.4.4">6</cn></list></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS4.p4.4.m3.5c">h_{i}\ (i=1,2,\cdots,6)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS4.p4.4.m3.5d">italic_h start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT ( italic_i = 1 , 2 , ⋯ , 6 )</annotation></semantics></math> is the triangle height in the initial configuration (see Figure <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2502.10872v4#A2.F9" title="Figure 9 ‣ Appendix B Gradient of Normal Direction of Corotational Shell Stencil ‣ Corotational Hinge-based Thin Plates/Shells"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">9</span></a>), and the transform matrix <math alttext="\mathbf{R}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS4.p4.5.m4.1"><semantics id="S4.SS4.p4.5.m4.1a"><mi id="S4.SS4.p4.5.m4.1.1" xref="S4.SS4.p4.5.m4.1.1.cmml">𝐑</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS4.p4.5.m4.1b"><ci id="S4.SS4.p4.5.m4.1.1.cmml" xref="S4.SS4.p4.5.m4.1.1">𝐑</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS4.p4.5.m4.1c">\mathbf{R}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS4.p4.5.m4.1d">bold_R</annotation></semantics></math> is</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S4.E38"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\mathbf{R}=\left[\begin{array}[]{ccc}(m_{{s}})^{2}_{1}&(m_{{s}})_{2}^{2}&(m_{{% s}})_{3}^{2}\\ (m_{{t}})_{1}^{2}&(m_{{t}})_{2}^{2}&(m_{{t}})_{3}^{2}\\ 2(m_{{s}})_{1}(m_{{t}})_{1}&2(m_{{s}})_{2}(m_{{t}})_{2}&2(m_{{s}})_{3}(m_{{t}}% )_{3}\end{array}\right]." class="ltx_Math" display="block" id="S4.E38.m1.13"><semantics id="S4.E38.m1.13a"><mrow id="S4.E38.m1.13.13.1" xref="S4.E38.m1.13.13.1.1.cmml"><mrow id="S4.E38.m1.13.13.1.1" xref="S4.E38.m1.13.13.1.1.cmml"><mi id="S4.E38.m1.13.13.1.1.2" xref="S4.E38.m1.13.13.1.1.2.cmml">𝐑</mi><mo id="S4.E38.m1.13.13.1.1.1" xref="S4.E38.m1.13.13.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S4.E38.m1.13.13.1.1.3.2" xref="S4.E38.m1.13.13.1.1.3.1.cmml"><mo id="S4.E38.m1.13.13.1.1.3.2.1" xref="S4.E38.m1.13.13.1.1.3.1.1.cmml">[</mo><mtable columnspacing="5pt" displaystyle="true" id="S4.E38.m1.12.12" rowspacing="0pt" xref="S4.E38.m1.12.12.cmml"><mtr id="S4.E38.m1.12.12a" xref="S4.E38.m1.12.12.cmml"><mtd id="S4.E38.m1.12.12b" xref="S4.E38.m1.12.12.cmml"><msubsup id="S4.E38.m1.1.1.1.1.1" xref="S4.E38.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.E38.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E38.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.E38.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.E38.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S4.E38.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E38.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.E38.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.E38.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">m</mi><mi id="S4.E38.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.E38.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">s</mi></msub><mo id="S4.E38.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.E38.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mn id="S4.E38.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.E38.m1.1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn><mn id="S4.E38.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.E38.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">2</mn></msubsup></mtd><mtd id="S4.E38.m1.12.12c" xref="S4.E38.m1.12.12.cmml"><msubsup id="S4.E38.m1.2.2.2.2.1" xref="S4.E38.m1.2.2.2.2.1.cmml"><mrow id="S4.E38.m1.2.2.2.2.1.1.1.1" xref="S4.E38.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.E38.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.E38.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S4.E38.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1" xref="S4.E38.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.E38.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.2" xref="S4.E38.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml">m</mi><mi id="S4.E38.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.3" xref="S4.E38.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml">s</mi></msub><mo id="S4.E38.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.E38.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mn id="S4.E38.m1.2.2.2.2.1.1.3" xref="S4.E38.m1.2.2.2.2.1.1.3.cmml">2</mn><mn id="S4.E38.m1.2.2.2.2.1.3" xref="S4.E38.m1.2.2.2.2.1.3.cmml">2</mn></msubsup></mtd><mtd 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xref="S4.E38.m1.5.5.5.2.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S4.E38.m1.5.5.5.2.1.1.1.1.1" xref="S4.E38.m1.5.5.5.2.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.E38.m1.5.5.5.2.1.1.1.1.1.2" xref="S4.E38.m1.5.5.5.2.1.1.1.1.1.2.cmml">m</mi><mi id="S4.E38.m1.5.5.5.2.1.1.1.1.1.3" xref="S4.E38.m1.5.5.5.2.1.1.1.1.1.3.cmml">t</mi></msub><mo id="S4.E38.m1.5.5.5.2.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.E38.m1.5.5.5.2.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mn id="S4.E38.m1.5.5.5.2.1.1.3" xref="S4.E38.m1.5.5.5.2.1.1.3.cmml">2</mn><mn id="S4.E38.m1.5.5.5.2.1.3" xref="S4.E38.m1.5.5.5.2.1.3.cmml">2</mn></msubsup></mtd><mtd id="S4.E38.m1.12.12h" xref="S4.E38.m1.12.12.cmml"><msubsup id="S4.E38.m1.6.6.6.3.1" xref="S4.E38.m1.6.6.6.3.1.cmml"><mrow id="S4.E38.m1.6.6.6.3.1.1.1.1" xref="S4.E38.m1.6.6.6.3.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.E38.m1.6.6.6.3.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.E38.m1.6.6.6.3.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S4.E38.m1.6.6.6.3.1.1.1.1.1" xref="S4.E38.m1.6.6.6.3.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.E38.m1.6.6.6.3.1.1.1.1.1.2" xref="S4.E38.m1.6.6.6.3.1.1.1.1.1.2.cmml">m</mi><mi id="S4.E38.m1.6.6.6.3.1.1.1.1.1.3" xref="S4.E38.m1.6.6.6.3.1.1.1.1.1.3.cmml">t</mi></msub><mo id="S4.E38.m1.6.6.6.3.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.E38.m1.6.6.6.3.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mn id="S4.E38.m1.6.6.6.3.1.1.3" xref="S4.E38.m1.6.6.6.3.1.1.3.cmml">3</mn><mn id="S4.E38.m1.6.6.6.3.1.3" xref="S4.E38.m1.6.6.6.3.1.3.cmml">2</mn></msubsup></mtd></mtr><mtr id="S4.E38.m1.12.12i" xref="S4.E38.m1.12.12.cmml"><mtd id="S4.E38.m1.12.12j" xref="S4.E38.m1.12.12.cmml"><mrow id="S4.E38.m1.8.8.8.2.2" xref="S4.E38.m1.8.8.8.2.2.cmml"><mn id="S4.E38.m1.8.8.8.2.2.4" xref="S4.E38.m1.8.8.8.2.2.4.cmml">2</mn><mo id="S4.E38.m1.8.8.8.2.2.3" xref="S4.E38.m1.8.8.8.2.2.3.cmml">⁢</mo><msub id="S4.E38.m1.7.7.7.1.1.1" xref="S4.E38.m1.7.7.7.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.E38.m1.7.7.7.1.1.1.1.1" xref="S4.E38.m1.7.7.7.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.E38.m1.7.7.7.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.E38.m1.7.7.7.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S4.E38.m1.7.7.7.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E38.m1.7.7.7.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.E38.m1.7.7.7.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.E38.m1.7.7.7.1.1.1.1.1.1.2.cmml">m</mi><mi id="S4.E38.m1.7.7.7.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.E38.m1.7.7.7.1.1.1.1.1.1.3.cmml">s</mi></msub><mo id="S4.E38.m1.7.7.7.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.E38.m1.7.7.7.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mn id="S4.E38.m1.7.7.7.1.1.1.3" xref="S4.E38.m1.7.7.7.1.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S4.E38.m1.8.8.8.2.2.3a" xref="S4.E38.m1.8.8.8.2.2.3.cmml">⁢</mo><msub id="S4.E38.m1.8.8.8.2.2.2" xref="S4.E38.m1.8.8.8.2.2.2.cmml"><mrow id="S4.E38.m1.8.8.8.2.2.2.1.1" xref="S4.E38.m1.8.8.8.2.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="S4.E38.m1.8.8.8.2.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.E38.m1.8.8.8.2.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S4.E38.m1.8.8.8.2.2.2.1.1.1" xref="S4.E38.m1.8.8.8.2.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S4.E38.m1.8.8.8.2.2.2.1.1.1.2" xref="S4.E38.m1.8.8.8.2.2.2.1.1.1.2.cmml">m</mi><mi id="S4.E38.m1.8.8.8.2.2.2.1.1.1.3" xref="S4.E38.m1.8.8.8.2.2.2.1.1.1.3.cmml">t</mi></msub><mo id="S4.E38.m1.8.8.8.2.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.E38.m1.8.8.8.2.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mn id="S4.E38.m1.8.8.8.2.2.2.3" xref="S4.E38.m1.8.8.8.2.2.2.3.cmml">1</mn></msub></mrow></mtd><mtd id="S4.E38.m1.12.12k" xref="S4.E38.m1.12.12.cmml"><mrow id="S4.E38.m1.10.10.10.4.2" xref="S4.E38.m1.10.10.10.4.2.cmml"><mn id="S4.E38.m1.10.10.10.4.2.4" xref="S4.E38.m1.10.10.10.4.2.4.cmml">2</mn><mo id="S4.E38.m1.10.10.10.4.2.3" xref="S4.E38.m1.10.10.10.4.2.3.cmml">⁢</mo><msub id="S4.E38.m1.9.9.9.3.1.1" xref="S4.E38.m1.9.9.9.3.1.1.cmml"><mrow id="S4.E38.m1.9.9.9.3.1.1.1.1" xref="S4.E38.m1.9.9.9.3.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.E38.m1.9.9.9.3.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.E38.m1.9.9.9.3.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S4.E38.m1.9.9.9.3.1.1.1.1.1" xref="S4.E38.m1.9.9.9.3.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.E38.m1.9.9.9.3.1.1.1.1.1.2" xref="S4.E38.m1.9.9.9.3.1.1.1.1.1.2.cmml">m</mi><mi id="S4.E38.m1.9.9.9.3.1.1.1.1.1.3" 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id="S4.E38.m1.10.10.10.4.2.2.3" xref="S4.E38.m1.10.10.10.4.2.2.3.cmml">2</mn></msub></mrow></mtd><mtd id="S4.E38.m1.12.12l" xref="S4.E38.m1.12.12.cmml"><mrow id="S4.E38.m1.12.12.12.6.2" xref="S4.E38.m1.12.12.12.6.2.cmml"><mn id="S4.E38.m1.12.12.12.6.2.4" xref="S4.E38.m1.12.12.12.6.2.4.cmml">2</mn><mo id="S4.E38.m1.12.12.12.6.2.3" xref="S4.E38.m1.12.12.12.6.2.3.cmml">⁢</mo><msub id="S4.E38.m1.11.11.11.5.1.1" xref="S4.E38.m1.11.11.11.5.1.1.cmml"><mrow id="S4.E38.m1.11.11.11.5.1.1.1.1" xref="S4.E38.m1.11.11.11.5.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.E38.m1.11.11.11.5.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.E38.m1.11.11.11.5.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S4.E38.m1.11.11.11.5.1.1.1.1.1" xref="S4.E38.m1.11.11.11.5.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.E38.m1.11.11.11.5.1.1.1.1.1.2" xref="S4.E38.m1.11.11.11.5.1.1.1.1.1.2.cmml">m</mi><mi id="S4.E38.m1.11.11.11.5.1.1.1.1.1.3" xref="S4.E38.m1.11.11.11.5.1.1.1.1.1.3.cmml">s</mi></msub><mo id="S4.E38.m1.11.11.11.5.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.E38.m1.11.11.11.5.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mn id="S4.E38.m1.11.11.11.5.1.1.3" xref="S4.E38.m1.11.11.11.5.1.1.3.cmml">3</mn></msub><mo id="S4.E38.m1.12.12.12.6.2.3a" xref="S4.E38.m1.12.12.12.6.2.3.cmml">⁢</mo><msub id="S4.E38.m1.12.12.12.6.2.2" xref="S4.E38.m1.12.12.12.6.2.2.cmml"><mrow id="S4.E38.m1.12.12.12.6.2.2.1.1" xref="S4.E38.m1.12.12.12.6.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="S4.E38.m1.12.12.12.6.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.E38.m1.12.12.12.6.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S4.E38.m1.12.12.12.6.2.2.1.1.1" xref="S4.E38.m1.12.12.12.6.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S4.E38.m1.12.12.12.6.2.2.1.1.1.2" xref="S4.E38.m1.12.12.12.6.2.2.1.1.1.2.cmml">m</mi><mi id="S4.E38.m1.12.12.12.6.2.2.1.1.1.3" xref="S4.E38.m1.12.12.12.6.2.2.1.1.1.3.cmml">t</mi></msub><mo id="S4.E38.m1.12.12.12.6.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.E38.m1.12.12.12.6.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mn id="S4.E38.m1.12.12.12.6.2.2.3" xref="S4.E38.m1.12.12.12.6.2.2.3.cmml">3</mn></msub></mrow></mtd></mtr></mtable><mo 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id="S4.E38.m1.10.10.10.4.2.cmml" xref="S4.E38.m1.10.10.10.4.2"><times id="S4.E38.m1.10.10.10.4.2.3.cmml" xref="S4.E38.m1.10.10.10.4.2.3"></times><cn id="S4.E38.m1.10.10.10.4.2.4.cmml" type="integer" xref="S4.E38.m1.10.10.10.4.2.4">2</cn><apply id="S4.E38.m1.9.9.9.3.1.1.cmml" xref="S4.E38.m1.9.9.9.3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E38.m1.9.9.9.3.1.1.2.cmml" xref="S4.E38.m1.9.9.9.3.1.1">subscript</csymbol><apply id="S4.E38.m1.9.9.9.3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E38.m1.9.9.9.3.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E38.m1.9.9.9.3.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E38.m1.9.9.9.3.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.E38.m1.9.9.9.3.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E38.m1.9.9.9.3.1.1.1.1.1.2">𝑚</ci><ci id="S4.E38.m1.9.9.9.3.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E38.m1.9.9.9.3.1.1.1.1.1.3">𝑠</ci></apply><cn id="S4.E38.m1.9.9.9.3.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.E38.m1.9.9.9.3.1.1.3">2</cn></apply><apply id="S4.E38.m1.10.10.10.4.2.2.cmml" xref="S4.E38.m1.10.10.10.4.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E38.m1.10.10.10.4.2.2.2.cmml" xref="S4.E38.m1.10.10.10.4.2.2">subscript</csymbol><apply id="S4.E38.m1.10.10.10.4.2.2.1.1.1.cmml" xref="S4.E38.m1.10.10.10.4.2.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E38.m1.10.10.10.4.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E38.m1.10.10.10.4.2.2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.E38.m1.10.10.10.4.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E38.m1.10.10.10.4.2.2.1.1.1.2">𝑚</ci><ci id="S4.E38.m1.10.10.10.4.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E38.m1.10.10.10.4.2.2.1.1.1.3">𝑡</ci></apply><cn id="S4.E38.m1.10.10.10.4.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.E38.m1.10.10.10.4.2.2.3">2</cn></apply></apply><apply id="S4.E38.m1.12.12.12.6.2.cmml" xref="S4.E38.m1.12.12.12.6.2"><times id="S4.E38.m1.12.12.12.6.2.3.cmml" xref="S4.E38.m1.12.12.12.6.2.3"></times><cn id="S4.E38.m1.12.12.12.6.2.4.cmml" type="integer" xref="S4.E38.m1.12.12.12.6.2.4">2</cn><apply id="S4.E38.m1.11.11.11.5.1.1.cmml" xref="S4.E38.m1.11.11.11.5.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E38.m1.11.11.11.5.1.1.2.cmml" xref="S4.E38.m1.11.11.11.5.1.1">subscript</csymbol><apply id="S4.E38.m1.11.11.11.5.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E38.m1.11.11.11.5.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E38.m1.11.11.11.5.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E38.m1.11.11.11.5.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.E38.m1.11.11.11.5.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E38.m1.11.11.11.5.1.1.1.1.1.2">𝑚</ci><ci id="S4.E38.m1.11.11.11.5.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E38.m1.11.11.11.5.1.1.1.1.1.3">𝑠</ci></apply><cn id="S4.E38.m1.11.11.11.5.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.E38.m1.11.11.11.5.1.1.3">3</cn></apply><apply id="S4.E38.m1.12.12.12.6.2.2.cmml" xref="S4.E38.m1.12.12.12.6.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E38.m1.12.12.12.6.2.2.2.cmml" xref="S4.E38.m1.12.12.12.6.2.2">subscript</csymbol><apply id="S4.E38.m1.12.12.12.6.2.2.1.1.1.cmml" xref="S4.E38.m1.12.12.12.6.2.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E38.m1.12.12.12.6.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E38.m1.12.12.12.6.2.2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.E38.m1.12.12.12.6.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E38.m1.12.12.12.6.2.2.1.1.1.2">𝑚</ci><ci id="S4.E38.m1.12.12.12.6.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E38.m1.12.12.12.6.2.2.1.1.1.3">𝑡</ci></apply><cn id="S4.E38.m1.12.12.12.6.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.E38.m1.12.12.12.6.2.2.3">3</cn></apply></apply></matrixrow></matrix></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.E38.m1.13c">\mathbf{R}=\left[\begin{array}[]{ccc}(m_{{s}})^{2}_{1}&(m_{{s}})_{2}^{2}&(m_{{% s}})_{3}^{2}\\ (m_{{t}})_{1}^{2}&(m_{{t}})_{2}^{2}&(m_{{t}})_{3}^{2}\\ 2(m_{{s}})_{1}(m_{{t}})_{1}&2(m_{{s}})_{2}(m_{{t}})_{2}&2(m_{{s}})_{3}(m_{{t}}% )_{3}\end{array}\right].</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.E38.m1.13d">bold_R = [ start_ARRAY start_ROW start_CELL ( italic_m start_POSTSUBSCRIPT italic_s end_POSTSUBSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT end_CELL start_CELL ( italic_m start_POSTSUBSCRIPT italic_s end_POSTSUBSCRIPT ) start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_CELL start_CELL ( italic_m start_POSTSUBSCRIPT italic_s end_POSTSUBSCRIPT ) start_POSTSUBSCRIPT 3 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL ( italic_m start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ) start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_CELL start_CELL ( italic_m start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ) start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_CELL start_CELL ( italic_m start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ) start_POSTSUBSCRIPT 3 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL 2 ( italic_m start_POSTSUBSCRIPT italic_s end_POSTSUBSCRIPT ) start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_m start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ) start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT end_CELL start_CELL 2 ( italic_m start_POSTSUBSCRIPT italic_s end_POSTSUBSCRIPT ) start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_m start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ) start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT end_CELL start_CELL 2 ( italic_m start_POSTSUBSCRIPT italic_s end_POSTSUBSCRIPT ) start_POSTSUBSCRIPT 3 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_m start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ) start_POSTSUBSCRIPT 3 end_POSTSUBSCRIPT end_CELL end_ROW end_ARRAY ] .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(38)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S4.SS4.p4.6">Finally, under the small strain/curvature assumption, each directional curvature in Eq. (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2502.10872v4#S4.E37" title="In 4.4 Corotational FVM hinge bending model ‣ 4 Geometric Discretization ‣ Corotational Hinge-based Thin Plates/Shells"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">37</span></a>) is linearized using the corotational edge-based hinge approach described in Section <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2502.10872v4#S4.SS3" title="4.3 Corotational edge-based hinge bending model ‣ 4 Geometric Discretization ‣ Corotational Hinge-based Thin Plates/Shells"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">4.3</span></a>.</p> </div> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S4.SS4.p5"> <p class="ltx_p" id="S4.SS4.p5.8"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S4.SS4.p5.8.1">Corotational FVM hinge thin plate.</span> The bending energy of the corotational FVM hinge thin plate is</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S4.E39"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\Psi_{\mathrm{b}}^{FP}=\frac{A}{2}\bm{\kappa}_{p}^{T}\mathbf{D}_{b}^{p}\bm{% \kappa}_{p}." class="ltx_Math" display="block" id="S4.E39.m1.1"><semantics id="S4.E39.m1.1a"><mrow id="S4.E39.m1.1.1.1" xref="S4.E39.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.E39.m1.1.1.1.1" xref="S4.E39.m1.1.1.1.1.cmml"><msubsup id="S4.E39.m1.1.1.1.1.2" xref="S4.E39.m1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.E39.m1.1.1.1.1.2.2.2" mathvariant="normal" xref="S4.E39.m1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">Ψ</mi><mi id="S4.E39.m1.1.1.1.1.2.2.3" mathvariant="normal" xref="S4.E39.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">b</mi><mrow id="S4.E39.m1.1.1.1.1.2.3" xref="S4.E39.m1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S4.E39.m1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S4.E39.m1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">F</mi><mo id="S4.E39.m1.1.1.1.1.2.3.1" xref="S4.E39.m1.1.1.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E39.m1.1.1.1.1.2.3.3" xref="S4.E39.m1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">P</mi></mrow></msubsup><mo id="S4.E39.m1.1.1.1.1.1" 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xref="S4.E39.m1.1.1.1.1.3.4.2.3.cmml">b</mi><mi id="S4.E39.m1.1.1.1.1.3.4.3" xref="S4.E39.m1.1.1.1.1.3.4.3.cmml">p</mi></msubsup><mo id="S4.E39.m1.1.1.1.1.3.1b" xref="S4.E39.m1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S4.E39.m1.1.1.1.1.3.5" xref="S4.E39.m1.1.1.1.1.3.5.cmml"><mi id="S4.E39.m1.1.1.1.1.3.5.2" xref="S4.E39.m1.1.1.1.1.3.5.2.cmml">𝜿</mi><mi id="S4.E39.m1.1.1.1.1.3.5.3" xref="S4.E39.m1.1.1.1.1.3.5.3.cmml">p</mi></msub></mrow></mrow><mo id="S4.E39.m1.1.1.1.2" lspace="0em" xref="S4.E39.m1.1.1.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.E39.m1.1b"><apply id="S4.E39.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E39.m1.1.1.1"><eq id="S4.E39.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E39.m1.1.1.1.1.1"></eq><apply id="S4.E39.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E39.m1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E39.m1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.E39.m1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="S4.E39.m1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.E39.m1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E39.m1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.E39.m1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S4.E39.m1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.E39.m1.1.1.1.1.2.2.2">Ψ</ci><ci id="S4.E39.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.E39.m1.1.1.1.1.2.2.3">b</ci></apply><apply id="S4.E39.m1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.E39.m1.1.1.1.1.2.3"><times id="S4.E39.m1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S4.E39.m1.1.1.1.1.2.3.1"></times><ci id="S4.E39.m1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S4.E39.m1.1.1.1.1.2.3.2">𝐹</ci><ci id="S4.E39.m1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S4.E39.m1.1.1.1.1.2.3.3">𝑃</ci></apply></apply><apply id="S4.E39.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E39.m1.1.1.1.1.3"><times id="S4.E39.m1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E39.m1.1.1.1.1.3.1"></times><apply id="S4.E39.m1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.E39.m1.1.1.1.1.3.2"><divide id="S4.E39.m1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.E39.m1.1.1.1.1.3.2"></divide><ci id="S4.E39.m1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.E39.m1.1.1.1.1.3.2.2">𝐴</ci><cn id="S4.E39.m1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.E39.m1.1.1.1.1.3.2.3">2</cn></apply><apply id="S4.E39.m1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.E39.m1.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E39.m1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.E39.m1.1.1.1.1.3.3">superscript</csymbol><apply id="S4.E39.m1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S4.E39.m1.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E39.m1.1.1.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="S4.E39.m1.1.1.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S4.E39.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="S4.E39.m1.1.1.1.1.3.3.2.2">𝜿</ci><ci id="S4.E39.m1.1.1.1.1.3.3.2.3.cmml" xref="S4.E39.m1.1.1.1.1.3.3.2.3">𝑝</ci></apply><ci id="S4.E39.m1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S4.E39.m1.1.1.1.1.3.3.3">𝑇</ci></apply><apply id="S4.E39.m1.1.1.1.1.3.4.cmml" xref="S4.E39.m1.1.1.1.1.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E39.m1.1.1.1.1.3.4.1.cmml" xref="S4.E39.m1.1.1.1.1.3.4">superscript</csymbol><apply id="S4.E39.m1.1.1.1.1.3.4.2.cmml" xref="S4.E39.m1.1.1.1.1.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E39.m1.1.1.1.1.3.4.2.1.cmml" xref="S4.E39.m1.1.1.1.1.3.4">subscript</csymbol><ci id="S4.E39.m1.1.1.1.1.3.4.2.2.cmml" xref="S4.E39.m1.1.1.1.1.3.4.2.2">𝐃</ci><ci id="S4.E39.m1.1.1.1.1.3.4.2.3.cmml" xref="S4.E39.m1.1.1.1.1.3.4.2.3">𝑏</ci></apply><ci id="S4.E39.m1.1.1.1.1.3.4.3.cmml" xref="S4.E39.m1.1.1.1.1.3.4.3">𝑝</ci></apply><apply id="S4.E39.m1.1.1.1.1.3.5.cmml" xref="S4.E39.m1.1.1.1.1.3.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E39.m1.1.1.1.1.3.5.1.cmml" xref="S4.E39.m1.1.1.1.1.3.5">subscript</csymbol><ci id="S4.E39.m1.1.1.1.1.3.5.2.cmml" xref="S4.E39.m1.1.1.1.1.3.5.2">𝜿</ci><ci id="S4.E39.m1.1.1.1.1.3.5.3.cmml" xref="S4.E39.m1.1.1.1.1.3.5.3">𝑝</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.E39.m1.1c">\Psi_{\mathrm{b}}^{FP}=\frac{A}{2}\bm{\kappa}_{p}^{T}\mathbf{D}_{b}^{p}\bm{% \kappa}_{p}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.E39.m1.1d">roman_Ψ start_POSTSUBSCRIPT roman_b end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_F italic_P end_POSTSUPERSCRIPT = divide start_ARG italic_A end_ARG start_ARG 2 end_ARG bold_italic_κ start_POSTSUBSCRIPT italic_p end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT bold_D start_POSTSUBSCRIPT italic_b end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_p end_POSTSUPERSCRIPT bold_italic_κ start_POSTSUBSCRIPT italic_p end_POSTSUBSCRIPT .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(39)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S4.SS4.p5.1">Here <math alttext="\mathbf{D}_{b}^{p}=\mathbf{R}^{T}\mathbf{D}_{\mathrm{b}}\mathbf{R}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS4.p5.1.m1.1"><semantics id="S4.SS4.p5.1.m1.1a"><mrow id="S4.SS4.p5.1.m1.1.1" xref="S4.SS4.p5.1.m1.1.1.cmml"><msubsup id="S4.SS4.p5.1.m1.1.1.2" xref="S4.SS4.p5.1.m1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.SS4.p5.1.m1.1.1.2.2.2" xref="S4.SS4.p5.1.m1.1.1.2.2.2.cmml">𝐃</mi><mi id="S4.SS4.p5.1.m1.1.1.2.2.3" 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encoding="MathML-Content" id="S4.SS4.p5.1.m1.1b"><apply id="S4.SS4.p5.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.SS4.p5.1.m1.1.1"><eq id="S4.SS4.p5.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS4.p5.1.m1.1.1.1"></eq><apply id="S4.SS4.p5.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS4.p5.1.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.p5.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.SS4.p5.1.m1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="S4.SS4.p5.1.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.SS4.p5.1.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.p5.1.m1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.SS4.p5.1.m1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S4.SS4.p5.1.m1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.SS4.p5.1.m1.1.1.2.2.2">𝐃</ci><ci id="S4.SS4.p5.1.m1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.SS4.p5.1.m1.1.1.2.2.3">𝑏</ci></apply><ci id="S4.SS4.p5.1.m1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.SS4.p5.1.m1.1.1.2.3">𝑝</ci></apply><apply id="S4.SS4.p5.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S4.SS4.p5.1.m1.1.1.3"><times id="S4.SS4.p5.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.SS4.p5.1.m1.1.1.3.1"></times><apply id="S4.SS4.p5.1.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.SS4.p5.1.m1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.p5.1.m1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.SS4.p5.1.m1.1.1.3.2">superscript</csymbol><ci id="S4.SS4.p5.1.m1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.SS4.p5.1.m1.1.1.3.2.2">𝐑</ci><ci id="S4.SS4.p5.1.m1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S4.SS4.p5.1.m1.1.1.3.2.3">𝑇</ci></apply><apply id="S4.SS4.p5.1.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.SS4.p5.1.m1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.p5.1.m1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.SS4.p5.1.m1.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S4.SS4.p5.1.m1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S4.SS4.p5.1.m1.1.1.3.3.2">𝐃</ci><ci id="S4.SS4.p5.1.m1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S4.SS4.p5.1.m1.1.1.3.3.3">b</ci></apply><ci id="S4.SS4.p5.1.m1.1.1.3.4.cmml" xref="S4.SS4.p5.1.m1.1.1.3.4">𝐑</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS4.p5.1.m1.1c">\mathbf{D}_{b}^{p}=\mathbf{R}^{T}\mathbf{D}_{\mathrm{b}}\mathbf{R}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS4.p5.1.m1.1d">bold_D start_POSTSUBSCRIPT italic_b end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_p end_POSTSUPERSCRIPT = bold_R start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT bold_D start_POSTSUBSCRIPT roman_b end_POSTSUBSCRIPT bold_R</annotation></semantics></math>, and the directional curvature vector in the current configuration can be discretized by</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S4.E40"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\bm{\kappa}_{p}=\mathbf{L}_{p}\mathbf{N}^{T}\mathbf{x}^{e}," class="ltx_Math" display="block" id="S4.E40.m1.1"><semantics id="S4.E40.m1.1a"><mrow id="S4.E40.m1.1.1.1" xref="S4.E40.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.E40.m1.1.1.1.1" xref="S4.E40.m1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S4.E40.m1.1.1.1.1.2" xref="S4.E40.m1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.E40.m1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.E40.m1.1.1.1.1.2.2.cmml">𝜿</mi><mi id="S4.E40.m1.1.1.1.1.2.3" xref="S4.E40.m1.1.1.1.1.2.3.cmml">p</mi></msub><mo id="S4.E40.m1.1.1.1.1.1" xref="S4.E40.m1.1.1.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S4.E40.m1.1.1.1.1.3" xref="S4.E40.m1.1.1.1.1.3.cmml"><msub id="S4.E40.m1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.E40.m1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S4.E40.m1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S4.E40.m1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">𝐋</mi><mi id="S4.E40.m1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S4.E40.m1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">p</mi></msub><mo id="S4.E40.m1.1.1.1.1.3.1" xref="S4.E40.m1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="S4.E40.m1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.E40.m1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S4.E40.m1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S4.E40.m1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">𝐍</mi><mi id="S4.E40.m1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S4.E40.m1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">T</mi></msup><mo id="S4.E40.m1.1.1.1.1.3.1a" xref="S4.E40.m1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="S4.E40.m1.1.1.1.1.3.4" xref="S4.E40.m1.1.1.1.1.3.4.cmml"><mi id="S4.E40.m1.1.1.1.1.3.4.2" xref="S4.E40.m1.1.1.1.1.3.4.2.cmml">𝐱</mi><mi id="S4.E40.m1.1.1.1.1.3.4.3" xref="S4.E40.m1.1.1.1.1.3.4.3.cmml">e</mi></msup></mrow></mrow><mo id="S4.E40.m1.1.1.1.2" xref="S4.E40.m1.1.1.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.E40.m1.1b"><apply id="S4.E40.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E40.m1.1.1.1"><eq id="S4.E40.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E40.m1.1.1.1.1.1"></eq><apply id="S4.E40.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E40.m1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E40.m1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.E40.m1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S4.E40.m1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.E40.m1.1.1.1.1.2.2">𝜿</ci><ci id="S4.E40.m1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.E40.m1.1.1.1.1.2.3">𝑝</ci></apply><apply id="S4.E40.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E40.m1.1.1.1.1.3"><times id="S4.E40.m1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E40.m1.1.1.1.1.3.1"></times><apply id="S4.E40.m1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.E40.m1.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E40.m1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.E40.m1.1.1.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S4.E40.m1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.E40.m1.1.1.1.1.3.2.2">𝐋</ci><ci id="S4.E40.m1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S4.E40.m1.1.1.1.1.3.2.3">𝑝</ci></apply><apply id="S4.E40.m1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.E40.m1.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E40.m1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.E40.m1.1.1.1.1.3.3">superscript</csymbol><ci id="S4.E40.m1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S4.E40.m1.1.1.1.1.3.3.2">𝐍</ci><ci id="S4.E40.m1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S4.E40.m1.1.1.1.1.3.3.3">𝑇</ci></apply><apply id="S4.E40.m1.1.1.1.1.3.4.cmml" xref="S4.E40.m1.1.1.1.1.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E40.m1.1.1.1.1.3.4.1.cmml" xref="S4.E40.m1.1.1.1.1.3.4">superscript</csymbol><ci id="S4.E40.m1.1.1.1.1.3.4.2.cmml" xref="S4.E40.m1.1.1.1.1.3.4.2">𝐱</ci><ci id="S4.E40.m1.1.1.1.1.3.4.3.cmml" xref="S4.E40.m1.1.1.1.1.3.4.3">𝑒</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.E40.m1.1c">\bm{\kappa}_{p}=\mathbf{L}_{p}\mathbf{N}^{T}\mathbf{x}^{e},</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.E40.m1.1d">bold_italic_κ start_POSTSUBSCRIPT italic_p end_POSTSUBSCRIPT = bold_L start_POSTSUBSCRIPT italic_p end_POSTSUBSCRIPT bold_N start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT bold_x start_POSTSUPERSCRIPT italic_e end_POSTSUPERSCRIPT ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(40)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S4.SS4.p5.7">where <math alttext="\mathbf{N}=\mathbf{I}_{6\times 6}\otimes\mathbf{n}_{\tilde{z}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS4.p5.2.m1.1"><semantics id="S4.SS4.p5.2.m1.1a"><mrow id="S4.SS4.p5.2.m1.1.1" xref="S4.SS4.p5.2.m1.1.1.cmml"><mi id="S4.SS4.p5.2.m1.1.1.2" xref="S4.SS4.p5.2.m1.1.1.2.cmml">𝐍</mi><mo id="S4.SS4.p5.2.m1.1.1.1" xref="S4.SS4.p5.2.m1.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S4.SS4.p5.2.m1.1.1.3" xref="S4.SS4.p5.2.m1.1.1.3.cmml"><msub id="S4.SS4.p5.2.m1.1.1.3.2" xref="S4.SS4.p5.2.m1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S4.SS4.p5.2.m1.1.1.3.2.2" xref="S4.SS4.p5.2.m1.1.1.3.2.2.cmml">𝐈</mi><mrow id="S4.SS4.p5.2.m1.1.1.3.2.3" xref="S4.SS4.p5.2.m1.1.1.3.2.3.cmml"><mn id="S4.SS4.p5.2.m1.1.1.3.2.3.2" xref="S4.SS4.p5.2.m1.1.1.3.2.3.2.cmml">6</mn><mo id="S4.SS4.p5.2.m1.1.1.3.2.3.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S4.SS4.p5.2.m1.1.1.3.2.3.1.cmml">×</mo><mn id="S4.SS4.p5.2.m1.1.1.3.2.3.3" xref="S4.SS4.p5.2.m1.1.1.3.2.3.3.cmml">6</mn></mrow></msub><mo id="S4.SS4.p5.2.m1.1.1.3.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S4.SS4.p5.2.m1.1.1.3.1.cmml">⊗</mo><msub id="S4.SS4.p5.2.m1.1.1.3.3" xref="S4.SS4.p5.2.m1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S4.SS4.p5.2.m1.1.1.3.3.2" xref="S4.SS4.p5.2.m1.1.1.3.3.2.cmml">𝐧</mi><mover accent="true" id="S4.SS4.p5.2.m1.1.1.3.3.3" xref="S4.SS4.p5.2.m1.1.1.3.3.3.cmml"><mi id="S4.SS4.p5.2.m1.1.1.3.3.3.2" xref="S4.SS4.p5.2.m1.1.1.3.3.3.2.cmml">z</mi><mo id="S4.SS4.p5.2.m1.1.1.3.3.3.1" xref="S4.SS4.p5.2.m1.1.1.3.3.3.1.cmml">~</mo></mover></msub></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS4.p5.2.m1.1b"><apply id="S4.SS4.p5.2.m1.1.1.cmml" xref="S4.SS4.p5.2.m1.1.1"><eq id="S4.SS4.p5.2.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS4.p5.2.m1.1.1.1"></eq><ci id="S4.SS4.p5.2.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS4.p5.2.m1.1.1.2">𝐍</ci><apply id="S4.SS4.p5.2.m1.1.1.3.cmml" xref="S4.SS4.p5.2.m1.1.1.3"><csymbol cd="latexml" id="S4.SS4.p5.2.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.SS4.p5.2.m1.1.1.3.1">tensor-product</csymbol><apply id="S4.SS4.p5.2.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.SS4.p5.2.m1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.p5.2.m1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.SS4.p5.2.m1.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S4.SS4.p5.2.m1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.SS4.p5.2.m1.1.1.3.2.2">𝐈</ci><apply id="S4.SS4.p5.2.m1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S4.SS4.p5.2.m1.1.1.3.2.3"><times id="S4.SS4.p5.2.m1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S4.SS4.p5.2.m1.1.1.3.2.3.1"></times><cn id="S4.SS4.p5.2.m1.1.1.3.2.3.2.cmml" type="integer" xref="S4.SS4.p5.2.m1.1.1.3.2.3.2">6</cn><cn id="S4.SS4.p5.2.m1.1.1.3.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS4.p5.2.m1.1.1.3.2.3.3">6</cn></apply></apply><apply id="S4.SS4.p5.2.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.SS4.p5.2.m1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.p5.2.m1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.SS4.p5.2.m1.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S4.SS4.p5.2.m1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S4.SS4.p5.2.m1.1.1.3.3.2">𝐧</ci><apply id="S4.SS4.p5.2.m1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S4.SS4.p5.2.m1.1.1.3.3.3"><ci id="S4.SS4.p5.2.m1.1.1.3.3.3.1.cmml" xref="S4.SS4.p5.2.m1.1.1.3.3.3.1">~</ci><ci id="S4.SS4.p5.2.m1.1.1.3.3.3.2.cmml" xref="S4.SS4.p5.2.m1.1.1.3.3.3.2">𝑧</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS4.p5.2.m1.1c">\mathbf{N}=\mathbf{I}_{6\times 6}\otimes\mathbf{n}_{\tilde{z}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS4.p5.2.m1.1d">bold_N = bold_I start_POSTSUBSCRIPT 6 × 6 end_POSTSUBSCRIPT ⊗ bold_n start_POSTSUBSCRIPT over~ start_ARG italic_z end_ARG end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> with <math alttext="\mathbf{n}_{\tilde{z}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS4.p5.3.m2.1"><semantics id="S4.SS4.p5.3.m2.1a"><msub id="S4.SS4.p5.3.m2.1.1" xref="S4.SS4.p5.3.m2.1.1.cmml"><mi id="S4.SS4.p5.3.m2.1.1.2" xref="S4.SS4.p5.3.m2.1.1.2.cmml">𝐧</mi><mover accent="true" id="S4.SS4.p5.3.m2.1.1.3" xref="S4.SS4.p5.3.m2.1.1.3.cmml"><mi id="S4.SS4.p5.3.m2.1.1.3.2" xref="S4.SS4.p5.3.m2.1.1.3.2.cmml">z</mi><mo id="S4.SS4.p5.3.m2.1.1.3.1" xref="S4.SS4.p5.3.m2.1.1.3.1.cmml">~</mo></mover></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS4.p5.3.m2.1b"><apply id="S4.SS4.p5.3.m2.1.1.cmml" xref="S4.SS4.p5.3.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.p5.3.m2.1.1.1.cmml" xref="S4.SS4.p5.3.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.SS4.p5.3.m2.1.1.2.cmml" xref="S4.SS4.p5.3.m2.1.1.2">𝐧</ci><apply id="S4.SS4.p5.3.m2.1.1.3.cmml" xref="S4.SS4.p5.3.m2.1.1.3"><ci id="S4.SS4.p5.3.m2.1.1.3.1.cmml" xref="S4.SS4.p5.3.m2.1.1.3.1">~</ci><ci id="S4.SS4.p5.3.m2.1.1.3.2.cmml" xref="S4.SS4.p5.3.m2.1.1.3.2">𝑧</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS4.p5.3.m2.1c">\mathbf{n}_{\tilde{z}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS4.p5.3.m2.1d">bold_n start_POSTSUBSCRIPT over~ start_ARG italic_z end_ARG end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> normalized as described <math alttext="\mathbf{n}_{c}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS4.p5.4.m3.1"><semantics id="S4.SS4.p5.4.m3.1a"><msub id="S4.SS4.p5.4.m3.1.1" xref="S4.SS4.p5.4.m3.1.1.cmml"><mi id="S4.SS4.p5.4.m3.1.1.2" xref="S4.SS4.p5.4.m3.1.1.2.cmml">𝐧</mi><mi id="S4.SS4.p5.4.m3.1.1.3" xref="S4.SS4.p5.4.m3.1.1.3.cmml">c</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS4.p5.4.m3.1b"><apply id="S4.SS4.p5.4.m3.1.1.cmml" xref="S4.SS4.p5.4.m3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.p5.4.m3.1.1.1.cmml" xref="S4.SS4.p5.4.m3.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.SS4.p5.4.m3.1.1.2.cmml" xref="S4.SS4.p5.4.m3.1.1.2">𝐧</ci><ci id="S4.SS4.p5.4.m3.1.1.3.cmml" xref="S4.SS4.p5.4.m3.1.1.3">𝑐</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS4.p5.4.m3.1c">\mathbf{n}_{c}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS4.p5.4.m3.1d">bold_n start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> in Eq. (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2502.10872v4#S4.E15" title="In 4.3 Corotational edge-based hinge bending model ‣ 4 Geometric Discretization ‣ Corotational Hinge-based Thin Plates/Shells"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">15</span></a>). <math alttext="\mathbf{I}_{6\times 6}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS4.p5.5.m4.1"><semantics id="S4.SS4.p5.5.m4.1a"><msub id="S4.SS4.p5.5.m4.1.1" xref="S4.SS4.p5.5.m4.1.1.cmml"><mi id="S4.SS4.p5.5.m4.1.1.2" xref="S4.SS4.p5.5.m4.1.1.2.cmml">𝐈</mi><mrow id="S4.SS4.p5.5.m4.1.1.3" xref="S4.SS4.p5.5.m4.1.1.3.cmml"><mn id="S4.SS4.p5.5.m4.1.1.3.2" xref="S4.SS4.p5.5.m4.1.1.3.2.cmml">6</mn><mo id="S4.SS4.p5.5.m4.1.1.3.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S4.SS4.p5.5.m4.1.1.3.1.cmml">×</mo><mn id="S4.SS4.p5.5.m4.1.1.3.3" xref="S4.SS4.p5.5.m4.1.1.3.3.cmml">6</mn></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS4.p5.5.m4.1b"><apply id="S4.SS4.p5.5.m4.1.1.cmml" xref="S4.SS4.p5.5.m4.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.p5.5.m4.1.1.1.cmml" xref="S4.SS4.p5.5.m4.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.SS4.p5.5.m4.1.1.2.cmml" xref="S4.SS4.p5.5.m4.1.1.2">𝐈</ci><apply id="S4.SS4.p5.5.m4.1.1.3.cmml" xref="S4.SS4.p5.5.m4.1.1.3"><times id="S4.SS4.p5.5.m4.1.1.3.1.cmml" xref="S4.SS4.p5.5.m4.1.1.3.1"></times><cn id="S4.SS4.p5.5.m4.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S4.SS4.p5.5.m4.1.1.3.2">6</cn><cn id="S4.SS4.p5.5.m4.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS4.p5.5.m4.1.1.3.3">6</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS4.p5.5.m4.1c">\mathbf{I}_{6\times 6}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS4.p5.5.m4.1d">bold_I start_POSTSUBSCRIPT 6 × 6 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> is a sixth order identity matrix. The entries of the directional curvature operator <math alttext="\mathbf{L}_{p}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS4.p5.6.m5.1"><semantics id="S4.SS4.p5.6.m5.1a"><msub id="S4.SS4.p5.6.m5.1.1" xref="S4.SS4.p5.6.m5.1.1.cmml"><mi id="S4.SS4.p5.6.m5.1.1.2" xref="S4.SS4.p5.6.m5.1.1.2.cmml">𝐋</mi><mi id="S4.SS4.p5.6.m5.1.1.3" xref="S4.SS4.p5.6.m5.1.1.3.cmml">p</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS4.p5.6.m5.1b"><apply id="S4.SS4.p5.6.m5.1.1.cmml" xref="S4.SS4.p5.6.m5.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.p5.6.m5.1.1.1.cmml" xref="S4.SS4.p5.6.m5.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.SS4.p5.6.m5.1.1.2.cmml" xref="S4.SS4.p5.6.m5.1.1.2">𝐋</ci><ci id="S4.SS4.p5.6.m5.1.1.3.cmml" xref="S4.SS4.p5.6.m5.1.1.3">𝑝</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS4.p5.6.m5.1c">\mathbf{L}_{p}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS4.p5.6.m5.1d">bold_L start_POSTSUBSCRIPT italic_p end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> are detailed in Appendix <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2502.10872v4#A3" title="Appendix C The Directional Curvature Operator ‣ Corotational Hinge-based Thin Plates/Shells"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">C</span></a>. Consequently, the generalized curvature in Eq. (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2502.10872v4#S4.E36" title="In 4.4 Corotational FVM hinge bending model ‣ 4 Geometric Discretization ‣ Corotational Hinge-based Thin Plates/Shells"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">36</span></a>) can be discretized by the corotational FVM hinge curvature operator <math alttext="\mathbf{R}\mathbf{L}_{p}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS4.p5.7.m6.1"><semantics id="S4.SS4.p5.7.m6.1a"><msub id="S4.SS4.p5.7.m6.1.1" xref="S4.SS4.p5.7.m6.1.1.cmml"><mi id="S4.SS4.p5.7.m6.1.1.2" xref="S4.SS4.p5.7.m6.1.1.2.cmml">𝐑𝐋</mi><mi id="S4.SS4.p5.7.m6.1.1.3" xref="S4.SS4.p5.7.m6.1.1.3.cmml">p</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS4.p5.7.m6.1b"><apply id="S4.SS4.p5.7.m6.1.1.cmml" xref="S4.SS4.p5.7.m6.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.p5.7.m6.1.1.1.cmml" xref="S4.SS4.p5.7.m6.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.SS4.p5.7.m6.1.1.2.cmml" xref="S4.SS4.p5.7.m6.1.1.2">𝐑𝐋</ci><ci id="S4.SS4.p5.7.m6.1.1.3.cmml" xref="S4.SS4.p5.7.m6.1.1.3">𝑝</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS4.p5.7.m6.1c">\mathbf{R}\mathbf{L}_{p}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS4.p5.7.m6.1d">bold_RL start_POSTSUBSCRIPT italic_p end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S4.SS4.p6"> <p class="ltx_p" id="S4.SS4.p6.1">In deriving the derivatives of the bending energy of corotational FVM hinge thin plate, we also obtain the constant bending energy Hessian corresponding to the corotational edge-based hinge thin plate in Section <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2502.10872v4#S4.SS3" title="4.3 Corotational edge-based hinge bending model ‣ 4 Geometric Discretization ‣ Corotational Hinge-based Thin Plates/Shells"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">4.3</span></a>,</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S4.E41"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\frac{\partial^{2}\Psi_{b}^{FP}}{\partial\mathbf{x^{\mathrm{e}}}{\partial(% \mathbf{x}^{e})^{T}}}=A(\mathbf{L}_{p}^{T}\mathbf{D}_{\mathrm{b}}^{p}\mathbf{L% }_{p}\otimes\mathbf{I})." class="ltx_Math" display="block" id="S4.E41.m1.2"><semantics id="S4.E41.m1.2a"><mrow id="S4.E41.m1.2.2.1" xref="S4.E41.m1.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S4.E41.m1.2.2.1.1" xref="S4.E41.m1.2.2.1.1.cmml"><mfrac id="S4.E41.m1.1.1" xref="S4.E41.m1.1.1.cmml"><mrow id="S4.E41.m1.1.1.3" xref="S4.E41.m1.1.1.3.cmml"><msup id="S4.E41.m1.1.1.3.1" xref="S4.E41.m1.1.1.3.1.cmml"><mo id="S4.E41.m1.1.1.3.1.2" xref="S4.E41.m1.1.1.3.1.2.cmml">∂</mo><mn id="S4.E41.m1.1.1.3.1.3" xref="S4.E41.m1.1.1.3.1.3.cmml">2</mn></msup><msubsup id="S4.E41.m1.1.1.3.2" xref="S4.E41.m1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S4.E41.m1.1.1.3.2.2.2" mathvariant="normal" xref="S4.E41.m1.1.1.3.2.2.2.cmml">Ψ</mi><mi id="S4.E41.m1.1.1.3.2.2.3" xref="S4.E41.m1.1.1.3.2.2.3.cmml">b</mi><mrow id="S4.E41.m1.1.1.3.2.3" xref="S4.E41.m1.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="S4.E41.m1.1.1.3.2.3.2" xref="S4.E41.m1.1.1.3.2.3.2.cmml">F</mi><mo id="S4.E41.m1.1.1.3.2.3.1" xref="S4.E41.m1.1.1.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E41.m1.1.1.3.2.3.3" xref="S4.E41.m1.1.1.3.2.3.3.cmml">P</mi></mrow></msubsup></mrow><mrow id="S4.E41.m1.1.1.1" xref="S4.E41.m1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.E41.m1.1.1.1.2" rspace="0em" xref="S4.E41.m1.1.1.1.2.cmml">∂</mo><mrow id="S4.E41.m1.1.1.1.1" xref="S4.E41.m1.1.1.1.1.cmml"><msup id="S4.E41.m1.1.1.1.1.3" xref="S4.E41.m1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.E41.m1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.E41.m1.1.1.1.1.3.2.cmml">𝐱</mi><mi id="S4.E41.m1.1.1.1.1.3.3" mathvariant="normal" xref="S4.E41.m1.1.1.1.1.3.3.cmml">e</mi></msup><mo id="S4.E41.m1.1.1.1.1.2" lspace="0em" xref="S4.E41.m1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E41.m1.1.1.1.1.1" xref="S4.E41.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.E41.m1.1.1.1.1.1.2" rspace="0em" xref="S4.E41.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">∂</mo><msup id="S4.E41.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E41.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.E41.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E41.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.E41.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.E41.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="S4.E41.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E41.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.E41.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.E41.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">𝐱</mi><mi id="S4.E41.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.E41.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">e</mi></msup><mo id="S4.E41.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.E41.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mi id="S4.E41.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.E41.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">T</mi></msup></mrow></mrow></mrow></mfrac><mo id="S4.E41.m1.2.2.1.1.2" xref="S4.E41.m1.2.2.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S4.E41.m1.2.2.1.1.1" xref="S4.E41.m1.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S4.E41.m1.2.2.1.1.1.3" xref="S4.E41.m1.2.2.1.1.1.3.cmml">A</mi><mo id="S4.E41.m1.2.2.1.1.1.2" xref="S4.E41.m1.2.2.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E41.m1.2.2.1.1.1.1.1" xref="S4.E41.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.E41.m1.2.2.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.E41.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.E41.m1.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E41.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.E41.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.E41.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><msubsup id="S4.E41.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.E41.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S4.E41.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2" xref="S4.E41.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml">𝐋</mi><mi id="S4.E41.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3" xref="S4.E41.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml">p</mi><mi id="S4.E41.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S4.E41.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">T</mi></msubsup><mo id="S4.E41.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S4.E41.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.E41.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S4.E41.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S4.E41.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2" xref="S4.E41.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2.cmml">𝐃</mi><mi id="S4.E41.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3" mathvariant="normal" xref="S4.E41.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.cmml">b</mi><mi id="S4.E41.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="S4.E41.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">p</mi></msubsup><mo id="S4.E41.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.1a" xref="S4.E41.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S4.E41.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.4" xref="S4.E41.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.4.cmml"><mi id="S4.E41.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.4.2" xref="S4.E41.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.4.2.cmml">𝐋</mi><mi id="S4.E41.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.4.3" xref="S4.E41.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.4.3.cmml">p</mi></msub></mrow><mo id="S4.E41.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S4.E41.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⊗</mo><mi id="S4.E41.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.E41.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml">𝐈</mi></mrow><mo id="S4.E41.m1.2.2.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.E41.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.E41.m1.2.2.1.2" lspace="0em" xref="S4.E41.m1.2.2.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.E41.m1.2b"><apply id="S4.E41.m1.2.2.1.1.cmml" xref="S4.E41.m1.2.2.1"><eq id="S4.E41.m1.2.2.1.1.2.cmml" xref="S4.E41.m1.2.2.1.1.2"></eq><apply id="S4.E41.m1.1.1.cmml" xref="S4.E41.m1.1.1"><divide id="S4.E41.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.E41.m1.1.1"></divide><apply id="S4.E41.m1.1.1.3.cmml" xref="S4.E41.m1.1.1.3"><apply id="S4.E41.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E41.m1.1.1.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E41.m1.1.1.3.1.1.cmml" xref="S4.E41.m1.1.1.3.1">superscript</csymbol><partialdiff id="S4.E41.m1.1.1.3.1.2.cmml" xref="S4.E41.m1.1.1.3.1.2"></partialdiff><cn id="S4.E41.m1.1.1.3.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.E41.m1.1.1.3.1.3">2</cn></apply><apply id="S4.E41.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.E41.m1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E41.m1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.E41.m1.1.1.3.2">superscript</csymbol><apply id="S4.E41.m1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.E41.m1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E41.m1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S4.E41.m1.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S4.E41.m1.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S4.E41.m1.1.1.3.2.2.2">Ψ</ci><ci id="S4.E41.m1.1.1.3.2.2.3.cmml" xref="S4.E41.m1.1.1.3.2.2.3">𝑏</ci></apply><apply id="S4.E41.m1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S4.E41.m1.1.1.3.2.3"><times id="S4.E41.m1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S4.E41.m1.1.1.3.2.3.1"></times><ci id="S4.E41.m1.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S4.E41.m1.1.1.3.2.3.2">𝐹</ci><ci id="S4.E41.m1.1.1.3.2.3.3.cmml" xref="S4.E41.m1.1.1.3.2.3.3">𝑃</ci></apply></apply></apply><apply id="S4.E41.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.E41.m1.1.1.1"><partialdiff id="S4.E41.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E41.m1.1.1.1.2"></partialdiff><apply id="S4.E41.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E41.m1.1.1.1.1"><times id="S4.E41.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E41.m1.1.1.1.1.2"></times><apply id="S4.E41.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E41.m1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E41.m1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E41.m1.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S4.E41.m1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.E41.m1.1.1.1.1.3.2">𝐱</ci><ci id="S4.E41.m1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.E41.m1.1.1.1.1.3.3">e</ci></apply><apply id="S4.E41.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E41.m1.1.1.1.1.1"><partialdiff id="S4.E41.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E41.m1.1.1.1.1.1.2"></partialdiff><apply id="S4.E41.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E41.m1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E41.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E41.m1.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S4.E41.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E41.m1.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E41.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E41.m1.1.1.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S4.E41.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E41.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝐱</ci><ci id="S4.E41.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E41.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑒</ci></apply><ci id="S4.E41.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E41.m1.1.1.1.1.1.1.3">𝑇</ci></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="S4.E41.m1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S4.E41.m1.2.2.1.1.1"><times id="S4.E41.m1.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E41.m1.2.2.1.1.1.2"></times><ci id="S4.E41.m1.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E41.m1.2.2.1.1.1.3">𝐴</ci><apply id="S4.E41.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E41.m1.2.2.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S4.E41.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E41.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1">tensor-product</csymbol><apply id="S4.E41.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E41.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2"><times id="S4.E41.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.E41.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.1"></times><apply id="S4.E41.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.E41.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E41.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.E41.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2">superscript</csymbol><apply id="S4.E41.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.E41.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E41.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S4.E41.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S4.E41.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S4.E41.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2">𝐋</ci><ci id="S4.E41.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml" xref="S4.E41.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3">𝑝</ci></apply><ci id="S4.E41.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.E41.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.3">𝑇</ci></apply><apply id="S4.E41.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.E41.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E41.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S4.E41.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3">superscript</csymbol><apply id="S4.E41.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S4.E41.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E41.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3.2.1.cmml" xref="S4.E41.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="S4.E41.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2.cmml" xref="S4.E41.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2">𝐃</ci><ci id="S4.E41.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.cmml" xref="S4.E41.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3">b</ci></apply><ci id="S4.E41.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S4.E41.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3.3">𝑝</ci></apply><apply id="S4.E41.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.4.cmml" xref="S4.E41.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E41.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.4.1.cmml" xref="S4.E41.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.4">subscript</csymbol><ci id="S4.E41.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.4.2.cmml" xref="S4.E41.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.4.2">𝐋</ci><ci id="S4.E41.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.4.3.cmml" xref="S4.E41.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.4.3">𝑝</ci></apply></apply><ci id="S4.E41.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E41.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3">𝐈</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.E41.m1.2c">\frac{\partial^{2}\Psi_{b}^{FP}}{\partial\mathbf{x^{\mathrm{e}}}{\partial(% \mathbf{x}^{e})^{T}}}=A(\mathbf{L}_{p}^{T}\mathbf{D}_{\mathrm{b}}^{p}\mathbf{L% }_{p}\otimes\mathbf{I}).</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.E41.m1.2d">divide start_ARG ∂ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT roman_Ψ start_POSTSUBSCRIPT italic_b end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_F italic_P end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG ∂ bold_x start_POSTSUPERSCRIPT roman_e end_POSTSUPERSCRIPT ∂ ( bold_x start_POSTSUPERSCRIPT italic_e end_POSTSUPERSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG = italic_A ( bold_L start_POSTSUBSCRIPT italic_p end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT bold_D start_POSTSUBSCRIPT roman_b end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_p end_POSTSUPERSCRIPT bold_L start_POSTSUBSCRIPT italic_p end_POSTSUBSCRIPT ⊗ bold_I ) .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(41)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S4.SS4.p6.2">The operation in Eq. (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2502.10872v4#S4.E22" title="In 4.3 Corotational edge-based hinge bending model ‣ 4 Geometric Discretization ‣ Corotational Hinge-based Thin Plates/Shells"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">22</span></a>) can similarly be employed to compute the linear gradient of the corotational FVM hinge thin plate model.</p> </div> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S4.SS4.p7"> <p class="ltx_p" id="S4.SS4.p7.3"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S4.SS4.p7.3.1">Corotational FVM hinge thin shell.</span> The bending energy of the corotational FVM hinge thin shell is</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S4.E42"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\Psi_{{b}}^{FS}=\frac{A}{2}(\bm{\varepsilon}_{b}^{FS})^{T}\mathbf{D}_{\mathit{% b}}\bm{\varepsilon}_{b}^{FS}" class="ltx_Math" display="block" id="S4.E42.m1.1"><semantics id="S4.E42.m1.1a"><mrow id="S4.E42.m1.1.1" xref="S4.E42.m1.1.1.cmml"><msubsup id="S4.E42.m1.1.1.3" xref="S4.E42.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.E42.m1.1.1.3.2.2" mathvariant="normal" xref="S4.E42.m1.1.1.3.2.2.cmml">Ψ</mi><mi id="S4.E42.m1.1.1.3.2.3" xref="S4.E42.m1.1.1.3.2.3.cmml">b</mi><mrow id="S4.E42.m1.1.1.3.3" xref="S4.E42.m1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S4.E42.m1.1.1.3.3.2" xref="S4.E42.m1.1.1.3.3.2.cmml">F</mi><mo id="S4.E42.m1.1.1.3.3.1" xref="S4.E42.m1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E42.m1.1.1.3.3.3" xref="S4.E42.m1.1.1.3.3.3.cmml">S</mi></mrow></msubsup><mo id="S4.E42.m1.1.1.2" xref="S4.E42.m1.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S4.E42.m1.1.1.1" xref="S4.E42.m1.1.1.1.cmml"><mfrac id="S4.E42.m1.1.1.1.3" xref="S4.E42.m1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.E42.m1.1.1.1.3.2" xref="S4.E42.m1.1.1.1.3.2.cmml">A</mi><mn id="S4.E42.m1.1.1.1.3.3" xref="S4.E42.m1.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></mfrac><mo id="S4.E42.m1.1.1.1.2" xref="S4.E42.m1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msup id="S4.E42.m1.1.1.1.1" xref="S4.E42.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.E42.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E42.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.E42.m1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.E42.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msubsup id="S4.E42.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E42.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.E42.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.E42.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">𝜺</mi><mi id="S4.E42.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S4.E42.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">b</mi><mrow id="S4.E42.m1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.E42.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.E42.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.E42.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">F</mi><mo id="S4.E42.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S4.E42.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E42.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.E42.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">S</mi></mrow></msubsup><mo id="S4.E42.m1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.E42.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mi id="S4.E42.m1.1.1.1.1.3" xref="S4.E42.m1.1.1.1.1.3.cmml">T</mi></msup><mo id="S4.E42.m1.1.1.1.2a" xref="S4.E42.m1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="S4.E42.m1.1.1.1.4" xref="S4.E42.m1.1.1.1.4.cmml"><mi id="S4.E42.m1.1.1.1.4.2" xref="S4.E42.m1.1.1.1.4.2.cmml">𝐃</mi><mi id="S4.E42.m1.1.1.1.4.3" xref="S4.E42.m1.1.1.1.4.3.cmml">b</mi></msub><mo id="S4.E42.m1.1.1.1.2b" xref="S4.E42.m1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.E42.m1.1.1.1.5" xref="S4.E42.m1.1.1.1.5.cmml"><mi id="S4.E42.m1.1.1.1.5.2.2" xref="S4.E42.m1.1.1.1.5.2.2.cmml">𝜺</mi><mi id="S4.E42.m1.1.1.1.5.2.3" xref="S4.E42.m1.1.1.1.5.2.3.cmml">b</mi><mrow id="S4.E42.m1.1.1.1.5.3" xref="S4.E42.m1.1.1.1.5.3.cmml"><mi id="S4.E42.m1.1.1.1.5.3.2" xref="S4.E42.m1.1.1.1.5.3.2.cmml">F</mi><mo id="S4.E42.m1.1.1.1.5.3.1" xref="S4.E42.m1.1.1.1.5.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E42.m1.1.1.1.5.3.3" xref="S4.E42.m1.1.1.1.5.3.3.cmml">S</mi></mrow></msubsup></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.E42.m1.1b"><apply id="S4.E42.m1.1.1.cmml" xref="S4.E42.m1.1.1"><eq id="S4.E42.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.E42.m1.1.1.2"></eq><apply id="S4.E42.m1.1.1.3.cmml" xref="S4.E42.m1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E42.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E42.m1.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="S4.E42.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.E42.m1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E42.m1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.E42.m1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.E42.m1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.E42.m1.1.1.3.2.2">Ψ</ci><ci id="S4.E42.m1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S4.E42.m1.1.1.3.2.3">𝑏</ci></apply><apply id="S4.E42.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.E42.m1.1.1.3.3"><times id="S4.E42.m1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.E42.m1.1.1.3.3.1"></times><ci id="S4.E42.m1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S4.E42.m1.1.1.3.3.2">𝐹</ci><ci id="S4.E42.m1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S4.E42.m1.1.1.3.3.3">𝑆</ci></apply></apply><apply id="S4.E42.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.E42.m1.1.1.1"><times id="S4.E42.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E42.m1.1.1.1.2"></times><apply id="S4.E42.m1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E42.m1.1.1.1.3"><divide id="S4.E42.m1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E42.m1.1.1.1.3"></divide><ci id="S4.E42.m1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.E42.m1.1.1.1.3.2">𝐴</ci><cn id="S4.E42.m1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.E42.m1.1.1.1.3.3">2</cn></apply><apply id="S4.E42.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E42.m1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E42.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E42.m1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S4.E42.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E42.m1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E42.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E42.m1.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S4.E42.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E42.m1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E42.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.E42.m1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.E42.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.E42.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝜺</ci><ci id="S4.E42.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.E42.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">𝑏</ci></apply><apply id="S4.E42.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E42.m1.1.1.1.1.1.1.1.3"><times id="S4.E42.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E42.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><ci id="S4.E42.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.E42.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝐹</ci><ci id="S4.E42.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.E42.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑆</ci></apply></apply><ci id="S4.E42.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E42.m1.1.1.1.1.3">𝑇</ci></apply><apply id="S4.E42.m1.1.1.1.4.cmml" xref="S4.E42.m1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E42.m1.1.1.1.4.1.cmml" xref="S4.E42.m1.1.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="S4.E42.m1.1.1.1.4.2.cmml" xref="S4.E42.m1.1.1.1.4.2">𝐃</ci><ci id="S4.E42.m1.1.1.1.4.3.cmml" xref="S4.E42.m1.1.1.1.4.3">𝑏</ci></apply><apply id="S4.E42.m1.1.1.1.5.cmml" xref="S4.E42.m1.1.1.1.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E42.m1.1.1.1.5.1.cmml" xref="S4.E42.m1.1.1.1.5">superscript</csymbol><apply id="S4.E42.m1.1.1.1.5.2.cmml" xref="S4.E42.m1.1.1.1.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E42.m1.1.1.1.5.2.1.cmml" xref="S4.E42.m1.1.1.1.5">subscript</csymbol><ci id="S4.E42.m1.1.1.1.5.2.2.cmml" xref="S4.E42.m1.1.1.1.5.2.2">𝜺</ci><ci id="S4.E42.m1.1.1.1.5.2.3.cmml" xref="S4.E42.m1.1.1.1.5.2.3">𝑏</ci></apply><apply id="S4.E42.m1.1.1.1.5.3.cmml" xref="S4.E42.m1.1.1.1.5.3"><times id="S4.E42.m1.1.1.1.5.3.1.cmml" xref="S4.E42.m1.1.1.1.5.3.1"></times><ci id="S4.E42.m1.1.1.1.5.3.2.cmml" xref="S4.E42.m1.1.1.1.5.3.2">𝐹</ci><ci id="S4.E42.m1.1.1.1.5.3.3.cmml" xref="S4.E42.m1.1.1.1.5.3.3">𝑆</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.E42.m1.1c">\Psi_{{b}}^{FS}=\frac{A}{2}(\bm{\varepsilon}_{b}^{FS})^{T}\mathbf{D}_{\mathit{% b}}\bm{\varepsilon}_{b}^{FS}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.E42.m1.1d">roman_Ψ start_POSTSUBSCRIPT italic_b end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_F italic_S end_POSTSUPERSCRIPT = divide start_ARG italic_A end_ARG start_ARG 2 end_ARG ( bold_italic_ε start_POSTSUBSCRIPT italic_b end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_F italic_S end_POSTSUPERSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT bold_D start_POSTSUBSCRIPT italic_b end_POSTSUBSCRIPT bold_italic_ε start_POSTSUBSCRIPT italic_b end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_F italic_S end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(42)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S4.SS4.p7.1">where the curvature change vector <math alttext="\bm{\varepsilon}_{b}^{FS}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS4.p7.1.m1.1"><semantics id="S4.SS4.p7.1.m1.1a"><msubsup id="S4.SS4.p7.1.m1.1.1" xref="S4.SS4.p7.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S4.SS4.p7.1.m1.1.1.2.2" xref="S4.SS4.p7.1.m1.1.1.2.2.cmml">𝜺</mi><mi id="S4.SS4.p7.1.m1.1.1.2.3" xref="S4.SS4.p7.1.m1.1.1.2.3.cmml">b</mi><mrow id="S4.SS4.p7.1.m1.1.1.3" xref="S4.SS4.p7.1.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.SS4.p7.1.m1.1.1.3.2" xref="S4.SS4.p7.1.m1.1.1.3.2.cmml">F</mi><mo id="S4.SS4.p7.1.m1.1.1.3.1" xref="S4.SS4.p7.1.m1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.SS4.p7.1.m1.1.1.3.3" xref="S4.SS4.p7.1.m1.1.1.3.3.cmml">S</mi></mrow></msubsup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS4.p7.1.m1.1b"><apply id="S4.SS4.p7.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.SS4.p7.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.p7.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS4.p7.1.m1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S4.SS4.p7.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS4.p7.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.p7.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.SS4.p7.1.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.SS4.p7.1.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.SS4.p7.1.m1.1.1.2.2">𝜺</ci><ci id="S4.SS4.p7.1.m1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.SS4.p7.1.m1.1.1.2.3">𝑏</ci></apply><apply id="S4.SS4.p7.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S4.SS4.p7.1.m1.1.1.3"><times id="S4.SS4.p7.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.SS4.p7.1.m1.1.1.3.1"></times><ci id="S4.SS4.p7.1.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.SS4.p7.1.m1.1.1.3.2">𝐹</ci><ci id="S4.SS4.p7.1.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.SS4.p7.1.m1.1.1.3.3">𝑆</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS4.p7.1.m1.1c">\bm{\varepsilon}_{b}^{FS}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS4.p7.1.m1.1d">bold_italic_ε start_POSTSUBSCRIPT italic_b end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_F italic_S end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> is</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S4.E43"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\bm{\varepsilon}_{b}^{FS}=\mathbf{R}\bm{\kappa}_{p}-\mathbf{R}(\bm{\kappa}_{p}% )_{0}=\mathbf{R}\mathbf{L}_{p}\mathbf{N}^{T}{\mathbf{x}}^{e}-\mathbf{R}\mathbf% {L}_{p}\mathbf{N}_{0}^{T}{\mathbf{X}}^{e}" class="ltx_Math" display="block" id="S4.E43.m1.1"><semantics id="S4.E43.m1.1a"><mrow id="S4.E43.m1.1.1" xref="S4.E43.m1.1.1.cmml"><msubsup id="S4.E43.m1.1.1.3" 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id="S4.E43.m1.1.1.6.3.2" xref="S4.E43.m1.1.1.6.3.2.cmml"><mi id="S4.E43.m1.1.1.6.3.2.2" xref="S4.E43.m1.1.1.6.3.2.2.cmml">𝐑𝐋</mi><mi id="S4.E43.m1.1.1.6.3.2.3" xref="S4.E43.m1.1.1.6.3.2.3.cmml">p</mi></msub><mo id="S4.E43.m1.1.1.6.3.1" xref="S4.E43.m1.1.1.6.3.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.E43.m1.1.1.6.3.3" xref="S4.E43.m1.1.1.6.3.3.cmml"><mi id="S4.E43.m1.1.1.6.3.3.2.2" xref="S4.E43.m1.1.1.6.3.3.2.2.cmml">𝐍</mi><mn id="S4.E43.m1.1.1.6.3.3.2.3" xref="S4.E43.m1.1.1.6.3.3.2.3.cmml">0</mn><mi id="S4.E43.m1.1.1.6.3.3.3" xref="S4.E43.m1.1.1.6.3.3.3.cmml">T</mi></msubsup><mo id="S4.E43.m1.1.1.6.3.1a" xref="S4.E43.m1.1.1.6.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="S4.E43.m1.1.1.6.3.4" xref="S4.E43.m1.1.1.6.3.4.cmml"><mi id="S4.E43.m1.1.1.6.3.4.2" xref="S4.E43.m1.1.1.6.3.4.2.cmml">𝐗</mi><mi id="S4.E43.m1.1.1.6.3.4.3" xref="S4.E43.m1.1.1.6.3.4.3.cmml">e</mi></msup></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.E43.m1.1b"><apply id="S4.E43.m1.1.1.cmml" xref="S4.E43.m1.1.1"><and id="S4.E43.m1.1.1a.cmml" xref="S4.E43.m1.1.1"></and><apply id="S4.E43.m1.1.1b.cmml" xref="S4.E43.m1.1.1"><eq id="S4.E43.m1.1.1.4.cmml" xref="S4.E43.m1.1.1.4"></eq><apply id="S4.E43.m1.1.1.3.cmml" xref="S4.E43.m1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E43.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E43.m1.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="S4.E43.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.E43.m1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E43.m1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.E43.m1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.E43.m1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.E43.m1.1.1.3.2.2">𝜺</ci><ci id="S4.E43.m1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S4.E43.m1.1.1.3.2.3">𝑏</ci></apply><apply id="S4.E43.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.E43.m1.1.1.3.3"><times id="S4.E43.m1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.E43.m1.1.1.3.3.1"></times><ci id="S4.E43.m1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S4.E43.m1.1.1.3.3.2">𝐹</ci><ci id="S4.E43.m1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S4.E43.m1.1.1.3.3.3">𝑆</ci></apply></apply><apply id="S4.E43.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.E43.m1.1.1.1"><minus id="S4.E43.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E43.m1.1.1.1.2"></minus><apply id="S4.E43.m1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E43.m1.1.1.1.3"><times id="S4.E43.m1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E43.m1.1.1.1.3.1"></times><ci id="S4.E43.m1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.E43.m1.1.1.1.3.2">𝐑</ci><apply id="S4.E43.m1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.E43.m1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E43.m1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.E43.m1.1.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S4.E43.m1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S4.E43.m1.1.1.1.3.3.2">𝜿</ci><ci id="S4.E43.m1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S4.E43.m1.1.1.1.3.3.3">𝑝</ci></apply></apply><apply id="S4.E43.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E43.m1.1.1.1.1"><times id="S4.E43.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E43.m1.1.1.1.1.2"></times><ci id="S4.E43.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E43.m1.1.1.1.1.3">𝐑</ci><apply id="S4.E43.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E43.m1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E43.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E43.m1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="S4.E43.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E43.m1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E43.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E43.m1.1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.E43.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E43.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝜿</ci><ci id="S4.E43.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E43.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑝</ci></apply><cn id="S4.E43.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.E43.m1.1.1.1.1.1.3">0</cn></apply></apply></apply></apply><apply id="S4.E43.m1.1.1c.cmml" xref="S4.E43.m1.1.1"><eq id="S4.E43.m1.1.1.5.cmml" xref="S4.E43.m1.1.1.5"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2502.10872v4#S4.E43.m1.1.1.1.cmml" id="S4.E43.m1.1.1d.cmml" xref="S4.E43.m1.1.1"></share><apply id="S4.E43.m1.1.1.6.cmml" xref="S4.E43.m1.1.1.6"><minus id="S4.E43.m1.1.1.6.1.cmml" xref="S4.E43.m1.1.1.6.1"></minus><apply id="S4.E43.m1.1.1.6.2.cmml" xref="S4.E43.m1.1.1.6.2"><times id="S4.E43.m1.1.1.6.2.1.cmml" xref="S4.E43.m1.1.1.6.2.1"></times><apply id="S4.E43.m1.1.1.6.2.2.cmml" xref="S4.E43.m1.1.1.6.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E43.m1.1.1.6.2.2.1.cmml" xref="S4.E43.m1.1.1.6.2.2">subscript</csymbol><ci id="S4.E43.m1.1.1.6.2.2.2.cmml" xref="S4.E43.m1.1.1.6.2.2.2">𝐑𝐋</ci><ci id="S4.E43.m1.1.1.6.2.2.3.cmml" xref="S4.E43.m1.1.1.6.2.2.3">𝑝</ci></apply><apply id="S4.E43.m1.1.1.6.2.3.cmml" xref="S4.E43.m1.1.1.6.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E43.m1.1.1.6.2.3.1.cmml" xref="S4.E43.m1.1.1.6.2.3">superscript</csymbol><ci id="S4.E43.m1.1.1.6.2.3.2.cmml" xref="S4.E43.m1.1.1.6.2.3.2">𝐍</ci><ci id="S4.E43.m1.1.1.6.2.3.3.cmml" xref="S4.E43.m1.1.1.6.2.3.3">𝑇</ci></apply><apply id="S4.E43.m1.1.1.6.2.4.cmml" xref="S4.E43.m1.1.1.6.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E43.m1.1.1.6.2.4.1.cmml" xref="S4.E43.m1.1.1.6.2.4">superscript</csymbol><ci id="S4.E43.m1.1.1.6.2.4.2.cmml" xref="S4.E43.m1.1.1.6.2.4.2">𝐱</ci><ci id="S4.E43.m1.1.1.6.2.4.3.cmml" xref="S4.E43.m1.1.1.6.2.4.3">𝑒</ci></apply></apply><apply id="S4.E43.m1.1.1.6.3.cmml" xref="S4.E43.m1.1.1.6.3"><times id="S4.E43.m1.1.1.6.3.1.cmml" xref="S4.E43.m1.1.1.6.3.1"></times><apply id="S4.E43.m1.1.1.6.3.2.cmml" xref="S4.E43.m1.1.1.6.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E43.m1.1.1.6.3.2.1.cmml" xref="S4.E43.m1.1.1.6.3.2">subscript</csymbol><ci id="S4.E43.m1.1.1.6.3.2.2.cmml" xref="S4.E43.m1.1.1.6.3.2.2">𝐑𝐋</ci><ci id="S4.E43.m1.1.1.6.3.2.3.cmml" xref="S4.E43.m1.1.1.6.3.2.3">𝑝</ci></apply><apply id="S4.E43.m1.1.1.6.3.3.cmml" xref="S4.E43.m1.1.1.6.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E43.m1.1.1.6.3.3.1.cmml" xref="S4.E43.m1.1.1.6.3.3">superscript</csymbol><apply id="S4.E43.m1.1.1.6.3.3.2.cmml" xref="S4.E43.m1.1.1.6.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E43.m1.1.1.6.3.3.2.1.cmml" xref="S4.E43.m1.1.1.6.3.3">subscript</csymbol><ci id="S4.E43.m1.1.1.6.3.3.2.2.cmml" xref="S4.E43.m1.1.1.6.3.3.2.2">𝐍</ci><cn id="S4.E43.m1.1.1.6.3.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.E43.m1.1.1.6.3.3.2.3">0</cn></apply><ci id="S4.E43.m1.1.1.6.3.3.3.cmml" xref="S4.E43.m1.1.1.6.3.3.3">𝑇</ci></apply><apply id="S4.E43.m1.1.1.6.3.4.cmml" xref="S4.E43.m1.1.1.6.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E43.m1.1.1.6.3.4.1.cmml" xref="S4.E43.m1.1.1.6.3.4">superscript</csymbol><ci id="S4.E43.m1.1.1.6.3.4.2.cmml" xref="S4.E43.m1.1.1.6.3.4.2">𝐗</ci><ci id="S4.E43.m1.1.1.6.3.4.3.cmml" xref="S4.E43.m1.1.1.6.3.4.3">𝑒</ci></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.E43.m1.1c">\bm{\varepsilon}_{b}^{FS}=\mathbf{R}\bm{\kappa}_{p}-\mathbf{R}(\bm{\kappa}_{p}% )_{0}=\mathbf{R}\mathbf{L}_{p}\mathbf{N}^{T}{\mathbf{x}}^{e}-\mathbf{R}\mathbf% {L}_{p}\mathbf{N}_{0}^{T}{\mathbf{X}}^{e}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.E43.m1.1d">bold_italic_ε start_POSTSUBSCRIPT italic_b end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_F italic_S end_POSTSUPERSCRIPT = bold_R bold_italic_κ start_POSTSUBSCRIPT italic_p end_POSTSUBSCRIPT - bold_R ( bold_italic_κ start_POSTSUBSCRIPT italic_p end_POSTSUBSCRIPT ) start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT = bold_RL start_POSTSUBSCRIPT italic_p end_POSTSUBSCRIPT bold_N start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT bold_x start_POSTSUPERSCRIPT italic_e end_POSTSUPERSCRIPT - bold_RL start_POSTSUBSCRIPT italic_p end_POSTSUBSCRIPT bold_N start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT bold_X start_POSTSUPERSCRIPT italic_e end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(43)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S4.SS4.p7.2">with <math alttext="\mathbf{N}_{0}=\mathbf{I}_{6\times 6}\otimes\mathbf{n}_{\tilde{Z}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS4.p7.2.m1.1"><semantics id="S4.SS4.p7.2.m1.1a"><mrow id="S4.SS4.p7.2.m1.1.1" xref="S4.SS4.p7.2.m1.1.1.cmml"><msub id="S4.SS4.p7.2.m1.1.1.2" xref="S4.SS4.p7.2.m1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.SS4.p7.2.m1.1.1.2.2" xref="S4.SS4.p7.2.m1.1.1.2.2.cmml">𝐍</mi><mn id="S4.SS4.p7.2.m1.1.1.2.3" xref="S4.SS4.p7.2.m1.1.1.2.3.cmml">0</mn></msub><mo id="S4.SS4.p7.2.m1.1.1.1" xref="S4.SS4.p7.2.m1.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S4.SS4.p7.2.m1.1.1.3" xref="S4.SS4.p7.2.m1.1.1.3.cmml"><msub id="S4.SS4.p7.2.m1.1.1.3.2" xref="S4.SS4.p7.2.m1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S4.SS4.p7.2.m1.1.1.3.2.2" xref="S4.SS4.p7.2.m1.1.1.3.2.2.cmml">𝐈</mi><mrow id="S4.SS4.p7.2.m1.1.1.3.2.3" xref="S4.SS4.p7.2.m1.1.1.3.2.3.cmml"><mn id="S4.SS4.p7.2.m1.1.1.3.2.3.2" xref="S4.SS4.p7.2.m1.1.1.3.2.3.2.cmml">6</mn><mo id="S4.SS4.p7.2.m1.1.1.3.2.3.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S4.SS4.p7.2.m1.1.1.3.2.3.1.cmml">×</mo><mn id="S4.SS4.p7.2.m1.1.1.3.2.3.3" xref="S4.SS4.p7.2.m1.1.1.3.2.3.3.cmml">6</mn></mrow></msub><mo id="S4.SS4.p7.2.m1.1.1.3.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S4.SS4.p7.2.m1.1.1.3.1.cmml">⊗</mo><msub id="S4.SS4.p7.2.m1.1.1.3.3" xref="S4.SS4.p7.2.m1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S4.SS4.p7.2.m1.1.1.3.3.2" xref="S4.SS4.p7.2.m1.1.1.3.3.2.cmml">𝐧</mi><mover accent="true" id="S4.SS4.p7.2.m1.1.1.3.3.3" xref="S4.SS4.p7.2.m1.1.1.3.3.3.cmml"><mi id="S4.SS4.p7.2.m1.1.1.3.3.3.2" xref="S4.SS4.p7.2.m1.1.1.3.3.3.2.cmml">Z</mi><mo id="S4.SS4.p7.2.m1.1.1.3.3.3.1" xref="S4.SS4.p7.2.m1.1.1.3.3.3.1.cmml">~</mo></mover></msub></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS4.p7.2.m1.1b"><apply id="S4.SS4.p7.2.m1.1.1.cmml" xref="S4.SS4.p7.2.m1.1.1"><eq id="S4.SS4.p7.2.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS4.p7.2.m1.1.1.1"></eq><apply id="S4.SS4.p7.2.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS4.p7.2.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.p7.2.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.SS4.p7.2.m1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S4.SS4.p7.2.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.SS4.p7.2.m1.1.1.2.2">𝐍</ci><cn id="S4.SS4.p7.2.m1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS4.p7.2.m1.1.1.2.3">0</cn></apply><apply id="S4.SS4.p7.2.m1.1.1.3.cmml" xref="S4.SS4.p7.2.m1.1.1.3"><csymbol cd="latexml" id="S4.SS4.p7.2.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.SS4.p7.2.m1.1.1.3.1">tensor-product</csymbol><apply id="S4.SS4.p7.2.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.SS4.p7.2.m1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.p7.2.m1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.SS4.p7.2.m1.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S4.SS4.p7.2.m1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.SS4.p7.2.m1.1.1.3.2.2">𝐈</ci><apply id="S4.SS4.p7.2.m1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S4.SS4.p7.2.m1.1.1.3.2.3"><times id="S4.SS4.p7.2.m1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S4.SS4.p7.2.m1.1.1.3.2.3.1"></times><cn id="S4.SS4.p7.2.m1.1.1.3.2.3.2.cmml" type="integer" xref="S4.SS4.p7.2.m1.1.1.3.2.3.2">6</cn><cn id="S4.SS4.p7.2.m1.1.1.3.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS4.p7.2.m1.1.1.3.2.3.3">6</cn></apply></apply><apply id="S4.SS4.p7.2.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.SS4.p7.2.m1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.p7.2.m1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.SS4.p7.2.m1.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S4.SS4.p7.2.m1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S4.SS4.p7.2.m1.1.1.3.3.2">𝐧</ci><apply id="S4.SS4.p7.2.m1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S4.SS4.p7.2.m1.1.1.3.3.3"><ci id="S4.SS4.p7.2.m1.1.1.3.3.3.1.cmml" xref="S4.SS4.p7.2.m1.1.1.3.3.3.1">~</ci><ci id="S4.SS4.p7.2.m1.1.1.3.3.3.2.cmml" xref="S4.SS4.p7.2.m1.1.1.3.3.3.2">𝑍</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS4.p7.2.m1.1c">\mathbf{N}_{0}=\mathbf{I}_{6\times 6}\otimes\mathbf{n}_{\tilde{Z}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS4.p7.2.m1.1d">bold_N start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT = bold_I start_POSTSUBSCRIPT 6 × 6 end_POSTSUBSCRIPT ⊗ bold_n start_POSTSUBSCRIPT over~ start_ARG italic_Z end_ARG end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>. The gradient of the bending energy of corotational FVM hinge thin shell is generalized from the corotational edge-based hinge thin shell, as follows</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S4.E44"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\frac{\partial\Psi_{{b}}^{FS}}{\partial\mathbf{x}^{\mathrm{e}}}=A\frac{% \partial(\bm{\varepsilon}_{b}^{FS})^{T}}{\partial\mathbf{x}^{e}}\mathbf{D}_{{b% }}\bm{\varepsilon}_{b}^{FS}," class="ltx_Math" display="block" id="S4.E44.m1.2"><semantics id="S4.E44.m1.2a"><mrow id="S4.E44.m1.2.2.1" xref="S4.E44.m1.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S4.E44.m1.2.2.1.1" xref="S4.E44.m1.2.2.1.1.cmml"><mfrac id="S4.E44.m1.2.2.1.1.2" xref="S4.E44.m1.2.2.1.1.2.cmml"><mrow id="S4.E44.m1.2.2.1.1.2.2" xref="S4.E44.m1.2.2.1.1.2.2.cmml"><mo id="S4.E44.m1.2.2.1.1.2.2.1" rspace="0em" xref="S4.E44.m1.2.2.1.1.2.2.1.cmml">∂</mo><msubsup id="S4.E44.m1.2.2.1.1.2.2.2" xref="S4.E44.m1.2.2.1.1.2.2.2.cmml"><mi id="S4.E44.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2" mathvariant="normal" xref="S4.E44.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.cmml">Ψ</mi><mi id="S4.E44.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.3" xref="S4.E44.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.3.cmml">b</mi><mrow id="S4.E44.m1.2.2.1.1.2.2.2.3" xref="S4.E44.m1.2.2.1.1.2.2.2.3.cmml"><mi id="S4.E44.m1.2.2.1.1.2.2.2.3.2" xref="S4.E44.m1.2.2.1.1.2.2.2.3.2.cmml">F</mi><mo id="S4.E44.m1.2.2.1.1.2.2.2.3.1" xref="S4.E44.m1.2.2.1.1.2.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E44.m1.2.2.1.1.2.2.2.3.3" xref="S4.E44.m1.2.2.1.1.2.2.2.3.3.cmml">S</mi></mrow></msubsup></mrow><mrow id="S4.E44.m1.2.2.1.1.2.3" xref="S4.E44.m1.2.2.1.1.2.3.cmml"><mo id="S4.E44.m1.2.2.1.1.2.3.1" rspace="0em" xref="S4.E44.m1.2.2.1.1.2.3.1.cmml">∂</mo><msup id="S4.E44.m1.2.2.1.1.2.3.2" xref="S4.E44.m1.2.2.1.1.2.3.2.cmml"><mi id="S4.E44.m1.2.2.1.1.2.3.2.2" xref="S4.E44.m1.2.2.1.1.2.3.2.2.cmml">𝐱</mi><mi id="S4.E44.m1.2.2.1.1.2.3.2.3" mathvariant="normal" xref="S4.E44.m1.2.2.1.1.2.3.2.3.cmml">e</mi></msup></mrow></mfrac><mo id="S4.E44.m1.2.2.1.1.1" xref="S4.E44.m1.2.2.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S4.E44.m1.2.2.1.1.3" xref="S4.E44.m1.2.2.1.1.3.cmml"><mi id="S4.E44.m1.2.2.1.1.3.2" xref="S4.E44.m1.2.2.1.1.3.2.cmml">A</mi><mo id="S4.E44.m1.2.2.1.1.3.1" xref="S4.E44.m1.2.2.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mfrac id="S4.E44.m1.1.1" xref="S4.E44.m1.1.1.cmml"><mrow id="S4.E44.m1.1.1.1" xref="S4.E44.m1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.E44.m1.1.1.1.2" rspace="0em" xref="S4.E44.m1.1.1.1.2.cmml">∂</mo><msup id="S4.E44.m1.1.1.1.1" xref="S4.E44.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.E44.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E44.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.E44.m1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.E44.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msubsup id="S4.E44.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E44.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.E44.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.E44.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">𝜺</mi><mi id="S4.E44.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S4.E44.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">b</mi><mrow id="S4.E44.m1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.E44.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.E44.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.E44.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">F</mi><mo id="S4.E44.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S4.E44.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E44.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.E44.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">S</mi></mrow></msubsup><mo id="S4.E44.m1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.E44.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mi id="S4.E44.m1.1.1.1.1.3" xref="S4.E44.m1.1.1.1.1.3.cmml">T</mi></msup></mrow><mrow id="S4.E44.m1.1.1.3" xref="S4.E44.m1.1.1.3.cmml"><mo id="S4.E44.m1.1.1.3.1" rspace="0em" xref="S4.E44.m1.1.1.3.1.cmml">∂</mo><msup id="S4.E44.m1.1.1.3.2" xref="S4.E44.m1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S4.E44.m1.1.1.3.2.2" xref="S4.E44.m1.1.1.3.2.2.cmml">𝐱</mi><mi id="S4.E44.m1.1.1.3.2.3" xref="S4.E44.m1.1.1.3.2.3.cmml">e</mi></msup></mrow></mfrac><mo id="S4.E44.m1.2.2.1.1.3.1a" xref="S4.E44.m1.2.2.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S4.E44.m1.2.2.1.1.3.3" xref="S4.E44.m1.2.2.1.1.3.3.cmml"><mi id="S4.E44.m1.2.2.1.1.3.3.2" xref="S4.E44.m1.2.2.1.1.3.3.2.cmml">𝐃</mi><mi id="S4.E44.m1.2.2.1.1.3.3.3" xref="S4.E44.m1.2.2.1.1.3.3.3.cmml">b</mi></msub><mo id="S4.E44.m1.2.2.1.1.3.1b" xref="S4.E44.m1.2.2.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.E44.m1.2.2.1.1.3.4" xref="S4.E44.m1.2.2.1.1.3.4.cmml"><mi id="S4.E44.m1.2.2.1.1.3.4.2.2" xref="S4.E44.m1.2.2.1.1.3.4.2.2.cmml">𝜺</mi><mi id="S4.E44.m1.2.2.1.1.3.4.2.3" xref="S4.E44.m1.2.2.1.1.3.4.2.3.cmml">b</mi><mrow id="S4.E44.m1.2.2.1.1.3.4.3" xref="S4.E44.m1.2.2.1.1.3.4.3.cmml"><mi id="S4.E44.m1.2.2.1.1.3.4.3.2" xref="S4.E44.m1.2.2.1.1.3.4.3.2.cmml">F</mi><mo id="S4.E44.m1.2.2.1.1.3.4.3.1" xref="S4.E44.m1.2.2.1.1.3.4.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E44.m1.2.2.1.1.3.4.3.3" xref="S4.E44.m1.2.2.1.1.3.4.3.3.cmml">S</mi></mrow></msubsup></mrow></mrow><mo id="S4.E44.m1.2.2.1.2" xref="S4.E44.m1.2.2.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.E44.m1.2b"><apply id="S4.E44.m1.2.2.1.1.cmml" 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xref="S4.E44.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">𝑏</ci></apply><apply id="S4.E44.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E44.m1.1.1.1.1.1.1.1.3"><times id="S4.E44.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E44.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><ci id="S4.E44.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.E44.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝐹</ci><ci id="S4.E44.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.E44.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑆</ci></apply></apply><ci id="S4.E44.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E44.m1.1.1.1.1.3">𝑇</ci></apply></apply><apply id="S4.E44.m1.1.1.3.cmml" xref="S4.E44.m1.1.1.3"><partialdiff id="S4.E44.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E44.m1.1.1.3.1"></partialdiff><apply id="S4.E44.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.E44.m1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E44.m1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.E44.m1.1.1.3.2">superscript</csymbol><ci id="S4.E44.m1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.E44.m1.1.1.3.2.2">𝐱</ci><ci id="S4.E44.m1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S4.E44.m1.1.1.3.2.3">𝑒</ci></apply></apply></apply><apply id="S4.E44.m1.2.2.1.1.3.3.cmml" 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id="S4.E44.m1.2.2.1.1.3.4.3.2.cmml" xref="S4.E44.m1.2.2.1.1.3.4.3.2">𝐹</ci><ci id="S4.E44.m1.2.2.1.1.3.4.3.3.cmml" xref="S4.E44.m1.2.2.1.1.3.4.3.3">𝑆</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.E44.m1.2c">\frac{\partial\Psi_{{b}}^{FS}}{\partial\mathbf{x}^{\mathrm{e}}}=A\frac{% \partial(\bm{\varepsilon}_{b}^{FS})^{T}}{\partial\mathbf{x}^{e}}\mathbf{D}_{{b% }}\bm{\varepsilon}_{b}^{FS},</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.E44.m1.2d">divide start_ARG ∂ roman_Ψ start_POSTSUBSCRIPT italic_b end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_F italic_S end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG ∂ bold_x start_POSTSUPERSCRIPT roman_e end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG = italic_A divide start_ARG ∂ ( bold_italic_ε start_POSTSUBSCRIPT italic_b end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_F italic_S end_POSTSUPERSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG ∂ bold_x start_POSTSUPERSCRIPT italic_e end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG bold_D start_POSTSUBSCRIPT italic_b end_POSTSUBSCRIPT bold_italic_ε start_POSTSUBSCRIPT italic_b end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_F italic_S end_POSTSUPERSCRIPT ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(44)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S4.SS4.p7.4">where the gradient of the curvature change vector is</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S4.E45"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\frac{\partial\bm{\varepsilon}_{b}^{FS}}{\partial\mathbf{x}^{e}}=({\mathbf{x}}% ^{e})^{T}\frac{\partial\mathbf{N}}{\partial\mathbf{x}^{e}}\mathbf{L}_{p}^{T}% \mathbf{R}^{T}+\mathbf{N}\mathbf{L}_{p}^{T}\mathbf{R}^{T}." class="ltx_Math" display="block" id="S4.E45.m1.1"><semantics id="S4.E45.m1.1a"><mrow id="S4.E45.m1.1.1.1" xref="S4.E45.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.E45.m1.1.1.1.1" xref="S4.E45.m1.1.1.1.1.cmml"><mfrac id="S4.E45.m1.1.1.1.1.3" xref="S4.E45.m1.1.1.1.1.3.cmml"><mrow id="S4.E45.m1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.E45.m1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mo id="S4.E45.m1.1.1.1.1.3.2.1" rspace="0em" xref="S4.E45.m1.1.1.1.1.3.2.1.cmml">∂</mo><msubsup id="S4.E45.m1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S4.E45.m1.1.1.1.1.3.2.2.cmml"><mi id="S4.E45.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2" xref="S4.E45.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.cmml">𝜺</mi><mi id="S4.E45.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.3" xref="S4.E45.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.3.cmml">b</mi><mrow id="S4.E45.m1.1.1.1.1.3.2.2.3" xref="S4.E45.m1.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml"><mi id="S4.E45.m1.1.1.1.1.3.2.2.3.2" xref="S4.E45.m1.1.1.1.1.3.2.2.3.2.cmml">F</mi><mo id="S4.E45.m1.1.1.1.1.3.2.2.3.1" xref="S4.E45.m1.1.1.1.1.3.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E45.m1.1.1.1.1.3.2.2.3.3" 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id="S4.E45.m1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S4.E45.m1.1.1.1.1.1.3.3.3">𝑇</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.E45.m1.1c">\frac{\partial\bm{\varepsilon}_{b}^{FS}}{\partial\mathbf{x}^{e}}=({\mathbf{x}}% ^{e})^{T}\frac{\partial\mathbf{N}}{\partial\mathbf{x}^{e}}\mathbf{L}_{p}^{T}% \mathbf{R}^{T}+\mathbf{N}\mathbf{L}_{p}^{T}\mathbf{R}^{T}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.E45.m1.1d">divide start_ARG ∂ bold_italic_ε start_POSTSUBSCRIPT italic_b end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_F italic_S end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG ∂ bold_x start_POSTSUPERSCRIPT italic_e end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG = ( bold_x start_POSTSUPERSCRIPT italic_e end_POSTSUPERSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT divide start_ARG ∂ bold_N end_ARG start_ARG ∂ bold_x start_POSTSUPERSCRIPT italic_e end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG bold_L start_POSTSUBSCRIPT italic_p end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT bold_R start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT + bold_NL start_POSTSUBSCRIPT italic_p end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT bold_R start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(45)</span></td> </tr></tbody> </table> </div> <div class="ltx_para" id="S4.SS4.p8"> <p class="ltx_p" id="S4.SS4.p8.1">The bending energy Hessian remains the same as in the corotational FVM hinge thin plate model, for reasons similar to those discussed in the corotational edge-based hinge bending model in Section <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2502.10872v4#S4.SS3" title="4.3 Corotational edge-based hinge bending model ‣ 4 Geometric Discretization ‣ Corotational Hinge-based Thin Plates/Shells"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">4.3</span></a>.</p> </div> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S4.SS4.p9"> <p class="ltx_p" id="S4.SS4.p9.1"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S4.SS4.p9.1.1">Boundary conditions for corotational FVM hinge.</span> For boundary triangle-centered stencils where at least one triangle is missing along the boundary edge, the boundary conditions from the corotational edge-based hinge bending model can be applied to the boundary triangle stencil (see Figure <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2502.10872v4#S4.F4" title="Figure 4 ‣ 4.5 Corotational smoothed hinge bending model ‣ 4 Geometric Discretization ‣ Corotational Hinge-based Thin Plates/Shells"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">4</span></a>). It is crucial to set the mixed second derivative <math alttext="{\partial^{2}\tilde{w}}/({\partial\tilde{x}\partial\tilde{y}})" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS4.p9.1.m1.1"><semantics id="S4.SS4.p9.1.m1.1a"><mrow id="S4.SS4.p9.1.m1.1.1" xref="S4.SS4.p9.1.m1.1.1.cmml"><msup id="S4.SS4.p9.1.m1.1.1.2" xref="S4.SS4.p9.1.m1.1.1.2.cmml"><mo id="S4.SS4.p9.1.m1.1.1.2.2" xref="S4.SS4.p9.1.m1.1.1.2.2.cmml">∂</mo><mn id="S4.SS4.p9.1.m1.1.1.2.3" xref="S4.SS4.p9.1.m1.1.1.2.3.cmml">2</mn></msup><mrow id="S4.SS4.p9.1.m1.1.1.1" xref="S4.SS4.p9.1.m1.1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S4.SS4.p9.1.m1.1.1.1.3" xref="S4.SS4.p9.1.m1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.SS4.p9.1.m1.1.1.1.3.2" xref="S4.SS4.p9.1.m1.1.1.1.3.2.cmml">w</mi><mo id="S4.SS4.p9.1.m1.1.1.1.3.1" xref="S4.SS4.p9.1.m1.1.1.1.3.1.cmml">~</mo></mover><mo id="S4.SS4.p9.1.m1.1.1.1.2" xref="S4.SS4.p9.1.m1.1.1.1.2.cmml">/</mo><mrow id="S4.SS4.p9.1.m1.1.1.1.1.1" xref="S4.SS4.p9.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.SS4.p9.1.m1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.SS4.p9.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.SS4.p9.1.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.SS4.p9.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.SS4.p9.1.m1.1.1.1.1.1.1.1" lspace="0em" rspace="0em" xref="S4.SS4.p9.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">∂</mo><mrow id="S4.SS4.p9.1.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.SS4.p9.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mover accent="true" id="S4.SS4.p9.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.SS4.p9.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S4.SS4.p9.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S4.SS4.p9.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">x</mi><mo id="S4.SS4.p9.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1" xref="S4.SS4.p9.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml">~</mo></mover><mo id="S4.SS4.p9.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.1" lspace="0em" xref="S4.SS4.p9.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.SS4.p9.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S4.SS4.p9.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mo id="S4.SS4.p9.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.1" rspace="0em" xref="S4.SS4.p9.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml">∂</mo><mover accent="true" id="S4.SS4.p9.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S4.SS4.p9.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml"><mi id="S4.SS4.p9.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2" xref="S4.SS4.p9.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2.cmml">y</mi><mo id="S4.SS4.p9.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.1" xref="S4.SS4.p9.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.1.cmml">~</mo></mover></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.SS4.p9.1.m1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.SS4.p9.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS4.p9.1.m1.1b"><apply id="S4.SS4.p9.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.SS4.p9.1.m1.1.1"><apply id="S4.SS4.p9.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS4.p9.1.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.p9.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.SS4.p9.1.m1.1.1.2">superscript</csymbol><partialdiff id="S4.SS4.p9.1.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.SS4.p9.1.m1.1.1.2.2"></partialdiff><cn id="S4.SS4.p9.1.m1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS4.p9.1.m1.1.1.2.3">2</cn></apply><apply id="S4.SS4.p9.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS4.p9.1.m1.1.1.1"><divide id="S4.SS4.p9.1.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS4.p9.1.m1.1.1.1.2"></divide><apply id="S4.SS4.p9.1.m1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.SS4.p9.1.m1.1.1.1.3"><ci id="S4.SS4.p9.1.m1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.SS4.p9.1.m1.1.1.1.3.1">~</ci><ci id="S4.SS4.p9.1.m1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.SS4.p9.1.m1.1.1.1.3.2">𝑤</ci></apply><apply id="S4.SS4.p9.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS4.p9.1.m1.1.1.1.1.1"><partialdiff id="S4.SS4.p9.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS4.p9.1.m1.1.1.1.1.1.1.1"></partialdiff><apply id="S4.SS4.p9.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS4.p9.1.m1.1.1.1.1.1.1.2"><times id="S4.SS4.p9.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.SS4.p9.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.1"></times><apply id="S4.SS4.p9.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.SS4.p9.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.2"><ci id="S4.SS4.p9.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.SS4.p9.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1">~</ci><ci id="S4.SS4.p9.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.SS4.p9.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2">𝑥</ci></apply><apply id="S4.SS4.p9.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.SS4.p9.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.3"><partialdiff id="S4.SS4.p9.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S4.SS4.p9.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.1"></partialdiff><apply id="S4.SS4.p9.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S4.SS4.p9.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2"><ci id="S4.SS4.p9.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.1.cmml" xref="S4.SS4.p9.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.1">~</ci><ci id="S4.SS4.p9.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2.cmml" xref="S4.SS4.p9.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2">𝑦</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS4.p9.1.m1.1c">{\partial^{2}\tilde{w}}/({\partial\tilde{x}\partial\tilde{y}})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS4.p9.1.m1.1d">∂ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT over~ start_ARG italic_w end_ARG / ( ∂ over~ start_ARG italic_x end_ARG ∂ over~ start_ARG italic_y end_ARG )</annotation></semantics></math> to zero for the boundary shell stencil with free edge boundary condition to ensure accuracy in passing the "engineering shell obstacle benchmark" tests, shown in Section <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2502.10872v4#S6.SS1" title="6.1 Quantitative Experiments ‣ 6 Numerical Experiments ‣ Corotational Hinge-based Thin Plates/Shells"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">6.1</span></a>.</p> </div> </section> <section class="ltx_subsection" id="S4.SS5"> <h3 class="ltx_title ltx_title_subsection"> <span class="ltx_tag ltx_tag_subsection">4.5 </span>Corotational smoothed hinge bending model</h3> <figure class="ltx_figure" id="S4.F3"><img alt="Refer to caption" class="ltx_graphics ltx_centering ltx_img_landscape" height="427" id="S4.F3.g1" src="x3.png" width="821"/> <figcaption class="ltx_caption ltx_centering"><span class="ltx_tag ltx_tag_figure"><span class="ltx_text" id="S4.F3.20.10.1" style="font-size:90%;">Figure 3</span>: </span><span class="ltx_text" id="S4.F3.18.9" style="font-size:90%;"> A triangle-centered shell stencil, fitted to a quadratic surface (light blue), models the corotational smoothed hinge bending model as it deforms from its initial configuration (blue) to the current configuration (black). <math alttext="X-Y-Z" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.F3.10.1.m1.1"><semantics id="S4.F3.10.1.m1.1b"><mrow id="S4.F3.10.1.m1.1.1" xref="S4.F3.10.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S4.F3.10.1.m1.1.1.2" xref="S4.F3.10.1.m1.1.1.2.cmml">X</mi><mo id="S4.F3.10.1.m1.1.1.1" xref="S4.F3.10.1.m1.1.1.1.cmml">−</mo><mi id="S4.F3.10.1.m1.1.1.3" xref="S4.F3.10.1.m1.1.1.3.cmml">Y</mi><mo id="S4.F3.10.1.m1.1.1.1b" xref="S4.F3.10.1.m1.1.1.1.cmml">−</mo><mi id="S4.F3.10.1.m1.1.1.4" xref="S4.F3.10.1.m1.1.1.4.cmml">Z</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.F3.10.1.m1.1c"><apply id="S4.F3.10.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.F3.10.1.m1.1.1"><minus id="S4.F3.10.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.F3.10.1.m1.1.1.1"></minus><ci id="S4.F3.10.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.F3.10.1.m1.1.1.2">𝑋</ci><ci id="S4.F3.10.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S4.F3.10.1.m1.1.1.3">𝑌</ci><ci id="S4.F3.10.1.m1.1.1.4.cmml" xref="S4.F3.10.1.m1.1.1.4">𝑍</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.F3.10.1.m1.1d">X-Y-Z</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.F3.10.1.m1.1e">italic_X - italic_Y - italic_Z</annotation></semantics></math> is the world frame, and <math alttext="\tilde{x}-\tilde{y}-\tilde{z}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.F3.11.2.m2.1"><semantics id="S4.F3.11.2.m2.1b"><mrow id="S4.F3.11.2.m2.1.1" xref="S4.F3.11.2.m2.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S4.F3.11.2.m2.1.1.2" xref="S4.F3.11.2.m2.1.1.2.cmml"><mi id="S4.F3.11.2.m2.1.1.2.2" xref="S4.F3.11.2.m2.1.1.2.2.cmml">x</mi><mo id="S4.F3.11.2.m2.1.1.2.1" xref="S4.F3.11.2.m2.1.1.2.1.cmml">~</mo></mover><mo id="S4.F3.11.2.m2.1.1.1" xref="S4.F3.11.2.m2.1.1.1.cmml">−</mo><mover accent="true" id="S4.F3.11.2.m2.1.1.3" xref="S4.F3.11.2.m2.1.1.3.cmml"><mi id="S4.F3.11.2.m2.1.1.3.2" xref="S4.F3.11.2.m2.1.1.3.2.cmml">y</mi><mo id="S4.F3.11.2.m2.1.1.3.1" xref="S4.F3.11.2.m2.1.1.3.1.cmml">~</mo></mover><mo id="S4.F3.11.2.m2.1.1.1b" xref="S4.F3.11.2.m2.1.1.1.cmml">−</mo><mover accent="true" id="S4.F3.11.2.m2.1.1.4" xref="S4.F3.11.2.m2.1.1.4.cmml"><mi id="S4.F3.11.2.m2.1.1.4.2" xref="S4.F3.11.2.m2.1.1.4.2.cmml">z</mi><mo id="S4.F3.11.2.m2.1.1.4.1" xref="S4.F3.11.2.m2.1.1.4.1.cmml">~</mo></mover></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.F3.11.2.m2.1c"><apply id="S4.F3.11.2.m2.1.1.cmml" xref="S4.F3.11.2.m2.1.1"><minus id="S4.F3.11.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S4.F3.11.2.m2.1.1.1"></minus><apply id="S4.F3.11.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S4.F3.11.2.m2.1.1.2"><ci id="S4.F3.11.2.m2.1.1.2.1.cmml" xref="S4.F3.11.2.m2.1.1.2.1">~</ci><ci id="S4.F3.11.2.m2.1.1.2.2.cmml" xref="S4.F3.11.2.m2.1.1.2.2">𝑥</ci></apply><apply id="S4.F3.11.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S4.F3.11.2.m2.1.1.3"><ci id="S4.F3.11.2.m2.1.1.3.1.cmml" xref="S4.F3.11.2.m2.1.1.3.1">~</ci><ci id="S4.F3.11.2.m2.1.1.3.2.cmml" xref="S4.F3.11.2.m2.1.1.3.2">𝑦</ci></apply><apply id="S4.F3.11.2.m2.1.1.4.cmml" xref="S4.F3.11.2.m2.1.1.4"><ci id="S4.F3.11.2.m2.1.1.4.1.cmml" xref="S4.F3.11.2.m2.1.1.4.1">~</ci><ci id="S4.F3.11.2.m2.1.1.4.2.cmml" xref="S4.F3.11.2.m2.1.1.4.2">𝑧</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.F3.11.2.m2.1d">\tilde{x}-\tilde{y}-\tilde{z}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.F3.11.2.m2.1e">over~ start_ARG italic_x end_ARG - over~ start_ARG italic_y end_ARG - over~ start_ARG italic_z end_ARG</annotation></semantics></math> (green) is the corotational frame for the shell stencil in the current configuration, capturing nodal deviations relative to the projected corotational shell stencil (gray dashed line). <math alttext="(\mathbf{x}_{4})_{c}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.F3.12.3.m3.1"><semantics id="S4.F3.12.3.m3.1b"><msub id="S4.F3.12.3.m3.1.1" xref="S4.F3.12.3.m3.1.1.cmml"><mrow id="S4.F3.12.3.m3.1.1.1.1" xref="S4.F3.12.3.m3.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.F3.12.3.m3.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.F3.12.3.m3.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S4.F3.12.3.m3.1.1.1.1.1" xref="S4.F3.12.3.m3.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.F3.12.3.m3.1.1.1.1.1.2" xref="S4.F3.12.3.m3.1.1.1.1.1.2.cmml">𝐱</mi><mn id="S4.F3.12.3.m3.1.1.1.1.1.3" xref="S4.F3.12.3.m3.1.1.1.1.1.3.cmml">4</mn></msub><mo id="S4.F3.12.3.m3.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.F3.12.3.m3.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mi id="S4.F3.12.3.m3.1.1.3" xref="S4.F3.12.3.m3.1.1.3.cmml">c</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.F3.12.3.m3.1c"><apply id="S4.F3.12.3.m3.1.1.cmml" xref="S4.F3.12.3.m3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.F3.12.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S4.F3.12.3.m3.1.1">subscript</csymbol><apply id="S4.F3.12.3.m3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.F3.12.3.m3.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.F3.12.3.m3.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.F3.12.3.m3.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.F3.12.3.m3.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.F3.12.3.m3.1.1.1.1.1.2">𝐱</ci><cn id="S4.F3.12.3.m3.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.F3.12.3.m3.1.1.1.1.1.3">4</cn></apply><ci id="S4.F3.12.3.m3.1.1.3.cmml" xref="S4.F3.12.3.m3.1.1.3">𝑐</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.F3.12.3.m3.1d">(\mathbf{x}_{4})_{c}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.F3.12.3.m3.1e">( bold_x start_POSTSUBSCRIPT 4 end_POSTSUBSCRIPT ) start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> is the projection of <math alttext="\mathbf{x}_{4}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.F3.13.4.m4.1"><semantics id="S4.F3.13.4.m4.1b"><msub id="S4.F3.13.4.m4.1.1" xref="S4.F3.13.4.m4.1.1.cmml"><mi id="S4.F3.13.4.m4.1.1.2" xref="S4.F3.13.4.m4.1.1.2.cmml">𝐱</mi><mn id="S4.F3.13.4.m4.1.1.3" xref="S4.F3.13.4.m4.1.1.3.cmml">4</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.F3.13.4.m4.1c"><apply id="S4.F3.13.4.m4.1.1.cmml" xref="S4.F3.13.4.m4.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.F3.13.4.m4.1.1.1.cmml" xref="S4.F3.13.4.m4.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.F3.13.4.m4.1.1.2.cmml" xref="S4.F3.13.4.m4.1.1.2">𝐱</ci><cn id="S4.F3.13.4.m4.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.F3.13.4.m4.1.1.3">4</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.F3.13.4.m4.1d">\mathbf{x}_{4}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.F3.13.4.m4.1e">bold_x start_POSTSUBSCRIPT 4 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> onto the <math alttext="\tilde{x}-\tilde{y}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.F3.14.5.m5.1"><semantics id="S4.F3.14.5.m5.1b"><mrow id="S4.F3.14.5.m5.1.1" xref="S4.F3.14.5.m5.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S4.F3.14.5.m5.1.1.2" xref="S4.F3.14.5.m5.1.1.2.cmml"><mi id="S4.F3.14.5.m5.1.1.2.2" xref="S4.F3.14.5.m5.1.1.2.2.cmml">x</mi><mo id="S4.F3.14.5.m5.1.1.2.1" xref="S4.F3.14.5.m5.1.1.2.1.cmml">~</mo></mover><mo id="S4.F3.14.5.m5.1.1.1" xref="S4.F3.14.5.m5.1.1.1.cmml">−</mo><mover accent="true" id="S4.F3.14.5.m5.1.1.3" xref="S4.F3.14.5.m5.1.1.3.cmml"><mi id="S4.F3.14.5.m5.1.1.3.2" xref="S4.F3.14.5.m5.1.1.3.2.cmml">y</mi><mo id="S4.F3.14.5.m5.1.1.3.1" xref="S4.F3.14.5.m5.1.1.3.1.cmml">~</mo></mover></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.F3.14.5.m5.1c"><apply id="S4.F3.14.5.m5.1.1.cmml" xref="S4.F3.14.5.m5.1.1"><minus id="S4.F3.14.5.m5.1.1.1.cmml" xref="S4.F3.14.5.m5.1.1.1"></minus><apply id="S4.F3.14.5.m5.1.1.2.cmml" xref="S4.F3.14.5.m5.1.1.2"><ci id="S4.F3.14.5.m5.1.1.2.1.cmml" xref="S4.F3.14.5.m5.1.1.2.1">~</ci><ci id="S4.F3.14.5.m5.1.1.2.2.cmml" xref="S4.F3.14.5.m5.1.1.2.2">𝑥</ci></apply><apply id="S4.F3.14.5.m5.1.1.3.cmml" xref="S4.F3.14.5.m5.1.1.3"><ci id="S4.F3.14.5.m5.1.1.3.1.cmml" xref="S4.F3.14.5.m5.1.1.3.1">~</ci><ci id="S4.F3.14.5.m5.1.1.3.2.cmml" xref="S4.F3.14.5.m5.1.1.3.2">𝑦</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.F3.14.5.m5.1d">\tilde{x}-\tilde{y}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.F3.14.5.m5.1e">over~ start_ARG italic_x end_ARG - over~ start_ARG italic_y end_ARG</annotation></semantics></math> plane, while <math alttext="\tilde{w}_{4}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.F3.15.6.m6.1"><semantics id="S4.F3.15.6.m6.1b"><msub id="S4.F3.15.6.m6.1.1" xref="S4.F3.15.6.m6.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S4.F3.15.6.m6.1.1.2" xref="S4.F3.15.6.m6.1.1.2.cmml"><mi id="S4.F3.15.6.m6.1.1.2.2" xref="S4.F3.15.6.m6.1.1.2.2.cmml">w</mi><mo id="S4.F3.15.6.m6.1.1.2.1" xref="S4.F3.15.6.m6.1.1.2.1.cmml">~</mo></mover><mn id="S4.F3.15.6.m6.1.1.3" xref="S4.F3.15.6.m6.1.1.3.cmml">4</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.F3.15.6.m6.1c"><apply id="S4.F3.15.6.m6.1.1.cmml" xref="S4.F3.15.6.m6.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.F3.15.6.m6.1.1.1.cmml" xref="S4.F3.15.6.m6.1.1">subscript</csymbol><apply id="S4.F3.15.6.m6.1.1.2.cmml" xref="S4.F3.15.6.m6.1.1.2"><ci id="S4.F3.15.6.m6.1.1.2.1.cmml" xref="S4.F3.15.6.m6.1.1.2.1">~</ci><ci id="S4.F3.15.6.m6.1.1.2.2.cmml" xref="S4.F3.15.6.m6.1.1.2.2">𝑤</ci></apply><cn id="S4.F3.15.6.m6.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.F3.15.6.m6.1.1.3">4</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.F3.15.6.m6.1d">\tilde{w}_{4}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.F3.15.6.m6.1e">over~ start_ARG italic_w end_ARG start_POSTSUBSCRIPT 4 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> is the relative difference between <math alttext="\mathbf{x}_{4}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.F3.16.7.m7.1"><semantics id="S4.F3.16.7.m7.1b"><msub id="S4.F3.16.7.m7.1.1" xref="S4.F3.16.7.m7.1.1.cmml"><mi id="S4.F3.16.7.m7.1.1.2" xref="S4.F3.16.7.m7.1.1.2.cmml">𝐱</mi><mn id="S4.F3.16.7.m7.1.1.3" xref="S4.F3.16.7.m7.1.1.3.cmml">4</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.F3.16.7.m7.1c"><apply id="S4.F3.16.7.m7.1.1.cmml" xref="S4.F3.16.7.m7.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.F3.16.7.m7.1.1.1.cmml" xref="S4.F3.16.7.m7.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.F3.16.7.m7.1.1.2.cmml" xref="S4.F3.16.7.m7.1.1.2">𝐱</ci><cn id="S4.F3.16.7.m7.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.F3.16.7.m7.1.1.3">4</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.F3.16.7.m7.1d">\mathbf{x}_{4}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.F3.16.7.m7.1e">bold_x start_POSTSUBSCRIPT 4 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> and <math alttext="(\mathbf{x}_{4})_{c}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.F3.17.8.m8.1"><semantics id="S4.F3.17.8.m8.1b"><msub id="S4.F3.17.8.m8.1.1" xref="S4.F3.17.8.m8.1.1.cmml"><mrow id="S4.F3.17.8.m8.1.1.1.1" xref="S4.F3.17.8.m8.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.F3.17.8.m8.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.F3.17.8.m8.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S4.F3.17.8.m8.1.1.1.1.1" xref="S4.F3.17.8.m8.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.F3.17.8.m8.1.1.1.1.1.2" xref="S4.F3.17.8.m8.1.1.1.1.1.2.cmml">𝐱</mi><mn id="S4.F3.17.8.m8.1.1.1.1.1.3" xref="S4.F3.17.8.m8.1.1.1.1.1.3.cmml">4</mn></msub><mo id="S4.F3.17.8.m8.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.F3.17.8.m8.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mi id="S4.F3.17.8.m8.1.1.3" xref="S4.F3.17.8.m8.1.1.3.cmml">c</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.F3.17.8.m8.1c"><apply id="S4.F3.17.8.m8.1.1.cmml" xref="S4.F3.17.8.m8.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.F3.17.8.m8.1.1.2.cmml" xref="S4.F3.17.8.m8.1.1">subscript</csymbol><apply id="S4.F3.17.8.m8.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.F3.17.8.m8.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.F3.17.8.m8.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.F3.17.8.m8.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.F3.17.8.m8.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.F3.17.8.m8.1.1.1.1.1.2">𝐱</ci><cn id="S4.F3.17.8.m8.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.F3.17.8.m8.1.1.1.1.1.3">4</cn></apply><ci id="S4.F3.17.8.m8.1.1.3.cmml" xref="S4.F3.17.8.m8.1.1.3">𝑐</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.F3.17.8.m8.1d">(\mathbf{x}_{4})_{c}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.F3.17.8.m8.1e">( bold_x start_POSTSUBSCRIPT 4 end_POSTSUBSCRIPT ) start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> projected along the <math alttext="\tilde{z}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.F3.18.9.m9.1"><semantics id="S4.F3.18.9.m9.1b"><mover accent="true" id="S4.F3.18.9.m9.1.1" xref="S4.F3.18.9.m9.1.1.cmml"><mi id="S4.F3.18.9.m9.1.1.2" xref="S4.F3.18.9.m9.1.1.2.cmml">z</mi><mo id="S4.F3.18.9.m9.1.1.1" xref="S4.F3.18.9.m9.1.1.1.cmml">~</mo></mover><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.F3.18.9.m9.1c"><apply id="S4.F3.18.9.m9.1.1.cmml" xref="S4.F3.18.9.m9.1.1"><ci id="S4.F3.18.9.m9.1.1.1.cmml" xref="S4.F3.18.9.m9.1.1.1">~</ci><ci id="S4.F3.18.9.m9.1.1.2.cmml" xref="S4.F3.18.9.m9.1.1.2">𝑧</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.F3.18.9.m9.1d">\tilde{z}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.F3.18.9.m9.1e">over~ start_ARG italic_z end_ARG</annotation></semantics></math>-axis. Similar quantities for other points can be computed, and the shell stencil in the initial configuration variables can be extended from the current configuration.</span></figcaption> </figure> <div class="ltx_para" id="S4.SS5.p1"> <p class="ltx_p" id="S4.SS5.p1.10">In the smoothed hinge bending model, the generalized curvature vector</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S4.E46"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\bm{\kappa}=\left(\begin{array}[]{c}\frac{\partial^{2}\tilde{w}}{\partial% \tilde{x}^{2}}\\ \frac{\partial^{2}\tilde{w}}{\partial\tilde{y}^{2}}\\ 2\frac{\partial^{2}\tilde{w}}{\partial\tilde{x}\partial\tilde{y}}\end{array}\right)" class="ltx_Math" display="block" id="S4.E46.m1.1"><semantics id="S4.E46.m1.1a"><mrow id="S4.E46.m1.1.2" xref="S4.E46.m1.1.2.cmml"><mi id="S4.E46.m1.1.2.2" xref="S4.E46.m1.1.2.2.cmml">𝜿</mi><mo id="S4.E46.m1.1.2.1" xref="S4.E46.m1.1.2.1.cmml">=</mo><mrow id="S4.E46.m1.1.2.3.2" xref="S4.E46.m1.1.1.cmml"><mo id="S4.E46.m1.1.2.3.2.1" xref="S4.E46.m1.1.1.cmml">(</mo><mtable displaystyle="true" id="S4.E46.m1.1.1" rowspacing="0pt" xref="S4.E46.m1.1.1.cmml"><mtr id="S4.E46.m1.1.1a" xref="S4.E46.m1.1.1.cmml"><mtd id="S4.E46.m1.1.1b" xref="S4.E46.m1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="false" id="S4.E46.m1.1.1.1.1.1" xref="S4.E46.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mfrac id="S4.E46.m1.1.1.1.1.1a" xref="S4.E46.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.E46.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.E46.m1.1.1.1.1.1.2.cmml"><msup id="S4.E46.m1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S4.E46.m1.1.1.1.1.1.2.1.cmml"><mo id="S4.E46.m1.1.1.1.1.1.2.1.2" xref="S4.E46.m1.1.1.1.1.1.2.1.2.cmml">∂</mo><mn id="S4.E46.m1.1.1.1.1.1.2.1.3" xref="S4.E46.m1.1.1.1.1.1.2.1.3.cmml">2</mn></msup><mover accent="true" id="S4.E46.m1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.E46.m1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S4.E46.m1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S4.E46.m1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">w</mi><mo id="S4.E46.m1.1.1.1.1.1.2.2.1" xref="S4.E46.m1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml">~</mo></mover></mrow><mrow id="S4.E46.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.E46.m1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="S4.E46.m1.1.1.1.1.1.3.1" rspace="0em" xref="S4.E46.m1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">∂</mo><msup id="S4.E46.m1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.E46.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mover accent="true" id="S4.E46.m1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S4.E46.m1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml"><mi id="S4.E46.m1.1.1.1.1.1.3.2.2.2" xref="S4.E46.m1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml">x</mi><mo id="S4.E46.m1.1.1.1.1.1.3.2.2.1" xref="S4.E46.m1.1.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml">~</mo></mover><mn id="S4.E46.m1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S4.E46.m1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">2</mn></msup></mrow></mfrac></mstyle></mtd></mtr><mtr id="S4.E46.m1.1.1c" xref="S4.E46.m1.1.1.cmml"><mtd id="S4.E46.m1.1.1d" xref="S4.E46.m1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="false" id="S4.E46.m1.1.1.2.1.1" xref="S4.E46.m1.1.1.2.1.1.cmml"><mfrac id="S4.E46.m1.1.1.2.1.1a" xref="S4.E46.m1.1.1.2.1.1.cmml"><mrow id="S4.E46.m1.1.1.2.1.1.2" xref="S4.E46.m1.1.1.2.1.1.2.cmml"><msup id="S4.E46.m1.1.1.2.1.1.2.1" xref="S4.E46.m1.1.1.2.1.1.2.1.cmml"><mo id="S4.E46.m1.1.1.2.1.1.2.1.2" xref="S4.E46.m1.1.1.2.1.1.2.1.2.cmml">∂</mo><mn id="S4.E46.m1.1.1.2.1.1.2.1.3" xref="S4.E46.m1.1.1.2.1.1.2.1.3.cmml">2</mn></msup><mover accent="true" id="S4.E46.m1.1.1.2.1.1.2.2" xref="S4.E46.m1.1.1.2.1.1.2.2.cmml"><mi id="S4.E46.m1.1.1.2.1.1.2.2.2" xref="S4.E46.m1.1.1.2.1.1.2.2.2.cmml">w</mi><mo id="S4.E46.m1.1.1.2.1.1.2.2.1" xref="S4.E46.m1.1.1.2.1.1.2.2.1.cmml">~</mo></mover></mrow><mrow id="S4.E46.m1.1.1.2.1.1.3" xref="S4.E46.m1.1.1.2.1.1.3.cmml"><mo id="S4.E46.m1.1.1.2.1.1.3.1" rspace="0em" xref="S4.E46.m1.1.1.2.1.1.3.1.cmml">∂</mo><msup id="S4.E46.m1.1.1.2.1.1.3.2" xref="S4.E46.m1.1.1.2.1.1.3.2.cmml"><mover accent="true" id="S4.E46.m1.1.1.2.1.1.3.2.2" xref="S4.E46.m1.1.1.2.1.1.3.2.2.cmml"><mi id="S4.E46.m1.1.1.2.1.1.3.2.2.2" xref="S4.E46.m1.1.1.2.1.1.3.2.2.2.cmml">y</mi><mo id="S4.E46.m1.1.1.2.1.1.3.2.2.1" xref="S4.E46.m1.1.1.2.1.1.3.2.2.1.cmml">~</mo></mover><mn id="S4.E46.m1.1.1.2.1.1.3.2.3" xref="S4.E46.m1.1.1.2.1.1.3.2.3.cmml">2</mn></msup></mrow></mfrac></mstyle></mtd></mtr><mtr id="S4.E46.m1.1.1e" xref="S4.E46.m1.1.1.cmml"><mtd id="S4.E46.m1.1.1f" xref="S4.E46.m1.1.1.cmml"><mrow id="S4.E46.m1.1.1.3.1.1" xref="S4.E46.m1.1.1.3.1.1.cmml"><mn id="S4.E46.m1.1.1.3.1.1.2" xref="S4.E46.m1.1.1.3.1.1.2.cmml">2</mn><mo id="S4.E46.m1.1.1.3.1.1.1" xref="S4.E46.m1.1.1.3.1.1.1.cmml">⁢</mo><mstyle displaystyle="false" id="S4.E46.m1.1.1.3.1.1.3" xref="S4.E46.m1.1.1.3.1.1.3.cmml"><mfrac id="S4.E46.m1.1.1.3.1.1.3a" xref="S4.E46.m1.1.1.3.1.1.3.cmml"><mrow id="S4.E46.m1.1.1.3.1.1.3.2" xref="S4.E46.m1.1.1.3.1.1.3.2.cmml"><msup id="S4.E46.m1.1.1.3.1.1.3.2.1" xref="S4.E46.m1.1.1.3.1.1.3.2.1.cmml"><mo id="S4.E46.m1.1.1.3.1.1.3.2.1.2" xref="S4.E46.m1.1.1.3.1.1.3.2.1.2.cmml">∂</mo><mn id="S4.E46.m1.1.1.3.1.1.3.2.1.3" xref="S4.E46.m1.1.1.3.1.1.3.2.1.3.cmml">2</mn></msup><mover accent="true" id="S4.E46.m1.1.1.3.1.1.3.2.2" xref="S4.E46.m1.1.1.3.1.1.3.2.2.cmml"><mi id="S4.E46.m1.1.1.3.1.1.3.2.2.2" xref="S4.E46.m1.1.1.3.1.1.3.2.2.2.cmml">w</mi><mo id="S4.E46.m1.1.1.3.1.1.3.2.2.1" xref="S4.E46.m1.1.1.3.1.1.3.2.2.1.cmml">~</mo></mover></mrow><mrow id="S4.E46.m1.1.1.3.1.1.3.3" xref="S4.E46.m1.1.1.3.1.1.3.3.cmml"><mo id="S4.E46.m1.1.1.3.1.1.3.3.1" rspace="0em" xref="S4.E46.m1.1.1.3.1.1.3.3.1.cmml">∂</mo><mrow id="S4.E46.m1.1.1.3.1.1.3.3.2" xref="S4.E46.m1.1.1.3.1.1.3.3.2.cmml"><mover accent="true" id="S4.E46.m1.1.1.3.1.1.3.3.2.2" xref="S4.E46.m1.1.1.3.1.1.3.3.2.2.cmml"><mi id="S4.E46.m1.1.1.3.1.1.3.3.2.2.2" xref="S4.E46.m1.1.1.3.1.1.3.3.2.2.2.cmml">x</mi><mo id="S4.E46.m1.1.1.3.1.1.3.3.2.2.1" xref="S4.E46.m1.1.1.3.1.1.3.3.2.2.1.cmml">~</mo></mover><mo id="S4.E46.m1.1.1.3.1.1.3.3.2.1" lspace="0em" xref="S4.E46.m1.1.1.3.1.1.3.3.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E46.m1.1.1.3.1.1.3.3.2.3" xref="S4.E46.m1.1.1.3.1.1.3.3.2.3.cmml"><mo id="S4.E46.m1.1.1.3.1.1.3.3.2.3.1" rspace="0em" xref="S4.E46.m1.1.1.3.1.1.3.3.2.3.1.cmml">∂</mo><mover accent="true" id="S4.E46.m1.1.1.3.1.1.3.3.2.3.2" xref="S4.E46.m1.1.1.3.1.1.3.3.2.3.2.cmml"><mi id="S4.E46.m1.1.1.3.1.1.3.3.2.3.2.2" xref="S4.E46.m1.1.1.3.1.1.3.3.2.3.2.2.cmml">y</mi><mo id="S4.E46.m1.1.1.3.1.1.3.3.2.3.2.1" xref="S4.E46.m1.1.1.3.1.1.3.3.2.3.2.1.cmml">~</mo></mover></mrow></mrow></mrow></mfrac></mstyle></mrow></mtd></mtr></mtable><mo id="S4.E46.m1.1.2.3.2.2" xref="S4.E46.m1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.E46.m1.1b"><apply id="S4.E46.m1.1.2.cmml" xref="S4.E46.m1.1.2"><eq id="S4.E46.m1.1.2.1.cmml" xref="S4.E46.m1.1.2.1"></eq><ci id="S4.E46.m1.1.2.2.cmml" xref="S4.E46.m1.1.2.2">𝜿</ci><matrix id="S4.E46.m1.1.1.cmml" xref="S4.E46.m1.1.2.3.2"><matrixrow id="S4.E46.m1.1.1a.cmml" xref="S4.E46.m1.1.2.3.2"><apply id="S4.E46.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E46.m1.1.1.1.1.1"><divide id="S4.E46.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E46.m1.1.1.1.1.1"></divide><apply id="S4.E46.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E46.m1.1.1.1.1.1.2"><apply id="S4.E46.m1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.E46.m1.1.1.1.1.1.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E46.m1.1.1.1.1.1.2.1.1.cmml" xref="S4.E46.m1.1.1.1.1.1.2.1">superscript</csymbol><partialdiff id="S4.E46.m1.1.1.1.1.1.2.1.2.cmml" xref="S4.E46.m1.1.1.1.1.1.2.1.2"></partialdiff><cn id="S4.E46.m1.1.1.1.1.1.2.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.E46.m1.1.1.1.1.1.2.1.3">2</cn></apply><apply id="S4.E46.m1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.E46.m1.1.1.1.1.1.2.2"><ci id="S4.E46.m1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.E46.m1.1.1.1.1.1.2.2.1">~</ci><ci id="S4.E46.m1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.E46.m1.1.1.1.1.1.2.2.2">𝑤</ci></apply></apply><apply id="S4.E46.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E46.m1.1.1.1.1.1.3"><partialdiff id="S4.E46.m1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E46.m1.1.1.1.1.1.3.1"></partialdiff><apply id="S4.E46.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.E46.m1.1.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E46.m1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.E46.m1.1.1.1.1.1.3.2">superscript</csymbol><apply id="S4.E46.m1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.E46.m1.1.1.1.1.1.3.2.2"><ci id="S4.E46.m1.1.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S4.E46.m1.1.1.1.1.1.3.2.2.1">~</ci><ci id="S4.E46.m1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S4.E46.m1.1.1.1.1.1.3.2.2.2">𝑥</ci></apply><cn id="S4.E46.m1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.E46.m1.1.1.1.1.1.3.2.3">2</cn></apply></apply></apply></matrixrow><matrixrow id="S4.E46.m1.1.1b.cmml" xref="S4.E46.m1.1.2.3.2"><apply id="S4.E46.m1.1.1.2.1.1.cmml" xref="S4.E46.m1.1.1.2.1.1"><divide id="S4.E46.m1.1.1.2.1.1.1.cmml" xref="S4.E46.m1.1.1.2.1.1"></divide><apply id="S4.E46.m1.1.1.2.1.1.2.cmml" xref="S4.E46.m1.1.1.2.1.1.2"><apply id="S4.E46.m1.1.1.2.1.1.2.1.cmml" xref="S4.E46.m1.1.1.2.1.1.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E46.m1.1.1.2.1.1.2.1.1.cmml" xref="S4.E46.m1.1.1.2.1.1.2.1">superscript</csymbol><partialdiff id="S4.E46.m1.1.1.2.1.1.2.1.2.cmml" xref="S4.E46.m1.1.1.2.1.1.2.1.2"></partialdiff><cn id="S4.E46.m1.1.1.2.1.1.2.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.E46.m1.1.1.2.1.1.2.1.3">2</cn></apply><apply id="S4.E46.m1.1.1.2.1.1.2.2.cmml" xref="S4.E46.m1.1.1.2.1.1.2.2"><ci id="S4.E46.m1.1.1.2.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.E46.m1.1.1.2.1.1.2.2.1">~</ci><ci id="S4.E46.m1.1.1.2.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.E46.m1.1.1.2.1.1.2.2.2">𝑤</ci></apply></apply><apply id="S4.E46.m1.1.1.2.1.1.3.cmml" xref="S4.E46.m1.1.1.2.1.1.3"><partialdiff id="S4.E46.m1.1.1.2.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E46.m1.1.1.2.1.1.3.1"></partialdiff><apply id="S4.E46.m1.1.1.2.1.1.3.2.cmml" xref="S4.E46.m1.1.1.2.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E46.m1.1.1.2.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.E46.m1.1.1.2.1.1.3.2">superscript</csymbol><apply id="S4.E46.m1.1.1.2.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.E46.m1.1.1.2.1.1.3.2.2"><ci id="S4.E46.m1.1.1.2.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S4.E46.m1.1.1.2.1.1.3.2.2.1">~</ci><ci id="S4.E46.m1.1.1.2.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S4.E46.m1.1.1.2.1.1.3.2.2.2">𝑦</ci></apply><cn id="S4.E46.m1.1.1.2.1.1.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.E46.m1.1.1.2.1.1.3.2.3">2</cn></apply></apply></apply></matrixrow><matrixrow id="S4.E46.m1.1.1c.cmml" xref="S4.E46.m1.1.2.3.2"><apply id="S4.E46.m1.1.1.3.1.1.cmml" xref="S4.E46.m1.1.1.3.1.1"><times id="S4.E46.m1.1.1.3.1.1.1.cmml" xref="S4.E46.m1.1.1.3.1.1.1"></times><cn id="S4.E46.m1.1.1.3.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S4.E46.m1.1.1.3.1.1.2">2</cn><apply id="S4.E46.m1.1.1.3.1.1.3.cmml" xref="S4.E46.m1.1.1.3.1.1.3"><divide id="S4.E46.m1.1.1.3.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E46.m1.1.1.3.1.1.3"></divide><apply id="S4.E46.m1.1.1.3.1.1.3.2.cmml" xref="S4.E46.m1.1.1.3.1.1.3.2"><apply id="S4.E46.m1.1.1.3.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.E46.m1.1.1.3.1.1.3.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E46.m1.1.1.3.1.1.3.2.1.1.cmml" xref="S4.E46.m1.1.1.3.1.1.3.2.1">superscript</csymbol><partialdiff id="S4.E46.m1.1.1.3.1.1.3.2.1.2.cmml" xref="S4.E46.m1.1.1.3.1.1.3.2.1.2"></partialdiff><cn id="S4.E46.m1.1.1.3.1.1.3.2.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.E46.m1.1.1.3.1.1.3.2.1.3">2</cn></apply><apply id="S4.E46.m1.1.1.3.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.E46.m1.1.1.3.1.1.3.2.2"><ci id="S4.E46.m1.1.1.3.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S4.E46.m1.1.1.3.1.1.3.2.2.1">~</ci><ci id="S4.E46.m1.1.1.3.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S4.E46.m1.1.1.3.1.1.3.2.2.2">𝑤</ci></apply></apply><apply id="S4.E46.m1.1.1.3.1.1.3.3.cmml" xref="S4.E46.m1.1.1.3.1.1.3.3"><partialdiff id="S4.E46.m1.1.1.3.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.E46.m1.1.1.3.1.1.3.3.1"></partialdiff><apply id="S4.E46.m1.1.1.3.1.1.3.3.2.cmml" xref="S4.E46.m1.1.1.3.1.1.3.3.2"><times id="S4.E46.m1.1.1.3.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="S4.E46.m1.1.1.3.1.1.3.3.2.1"></times><apply id="S4.E46.m1.1.1.3.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="S4.E46.m1.1.1.3.1.1.3.3.2.2"><ci id="S4.E46.m1.1.1.3.1.1.3.3.2.2.1.cmml" xref="S4.E46.m1.1.1.3.1.1.3.3.2.2.1">~</ci><ci id="S4.E46.m1.1.1.3.1.1.3.3.2.2.2.cmml" xref="S4.E46.m1.1.1.3.1.1.3.3.2.2.2">𝑥</ci></apply><apply id="S4.E46.m1.1.1.3.1.1.3.3.2.3.cmml" xref="S4.E46.m1.1.1.3.1.1.3.3.2.3"><partialdiff id="S4.E46.m1.1.1.3.1.1.3.3.2.3.1.cmml" xref="S4.E46.m1.1.1.3.1.1.3.3.2.3.1"></partialdiff><apply id="S4.E46.m1.1.1.3.1.1.3.3.2.3.2.cmml" xref="S4.E46.m1.1.1.3.1.1.3.3.2.3.2"><ci id="S4.E46.m1.1.1.3.1.1.3.3.2.3.2.1.cmml" xref="S4.E46.m1.1.1.3.1.1.3.3.2.3.2.1">~</ci><ci id="S4.E46.m1.1.1.3.1.1.3.3.2.3.2.2.cmml" xref="S4.E46.m1.1.1.3.1.1.3.3.2.3.2.2">𝑦</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply></matrixrow></matrix></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.E46.m1.1c">\bm{\kappa}=\left(\begin{array}[]{c}\frac{\partial^{2}\tilde{w}}{\partial% \tilde{x}^{2}}\\ \frac{\partial^{2}\tilde{w}}{\partial\tilde{y}^{2}}\\ 2\frac{\partial^{2}\tilde{w}}{\partial\tilde{x}\partial\tilde{y}}\end{array}\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.E46.m1.1d">bold_italic_κ = ( start_ARRAY start_ROW start_CELL divide start_ARG ∂ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT over~ start_ARG italic_w end_ARG end_ARG start_ARG ∂ over~ start_ARG italic_x end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL divide start_ARG ∂ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT over~ start_ARG italic_w end_ARG end_ARG start_ARG ∂ over~ start_ARG italic_y end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL 2 divide start_ARG ∂ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT over~ start_ARG italic_w end_ARG end_ARG start_ARG ∂ over~ start_ARG italic_x end_ARG ∂ over~ start_ARG italic_y end_ARG end_ARG end_CELL end_ROW end_ARRAY )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(46)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S4.SS5.p1.11">is derived directly from the area integration in Eq. (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2502.10872v4#S4.E32" title="In 4.4 Corotational FVM hinge bending model ‣ 4 Geometric Discretization ‣ Corotational Hinge-based Thin Plates/Shells"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">32</span></a>), rather than transforming the area integration to line integration using integration by parts in Eq. (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2502.10872v4#S4.E33" title="In 4.4 Corotational FVM hinge bending model ‣ 4 Geometric Discretization ‣ Corotational Hinge-based Thin Plates/Shells"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">33</span></a>). The generalized curvature vector in Eq. (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2502.10872v4#S4.E46" title="In 4.5 Corotational smoothed hinge bending model ‣ 4 Geometric Discretization ‣ Corotational Hinge-based Thin Plates/Shells"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">46</span></a>) can be discretized as</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S4.E47"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\bm{\kappa}=\mathbf{L}_{g}\mathbf{d}," class="ltx_Math" display="block" id="S4.E47.m1.1"><semantics id="S4.E47.m1.1a"><mrow id="S4.E47.m1.1.1.1" xref="S4.E47.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.E47.m1.1.1.1.1" xref="S4.E47.m1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.E47.m1.1.1.1.1.2" xref="S4.E47.m1.1.1.1.1.2.cmml">𝜿</mi><mo id="S4.E47.m1.1.1.1.1.1" xref="S4.E47.m1.1.1.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S4.E47.m1.1.1.1.1.3" xref="S4.E47.m1.1.1.1.1.3.cmml"><msub id="S4.E47.m1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.E47.m1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S4.E47.m1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S4.E47.m1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">𝐋</mi><mi id="S4.E47.m1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S4.E47.m1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">g</mi></msub><mo id="S4.E47.m1.1.1.1.1.3.1" xref="S4.E47.m1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E47.m1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.E47.m1.1.1.1.1.3.3.cmml">𝐝</mi></mrow></mrow><mo id="S4.E47.m1.1.1.1.2" xref="S4.E47.m1.1.1.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.E47.m1.1b"><apply id="S4.E47.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E47.m1.1.1.1"><eq id="S4.E47.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E47.m1.1.1.1.1.1"></eq><ci id="S4.E47.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E47.m1.1.1.1.1.2">𝜿</ci><apply id="S4.E47.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E47.m1.1.1.1.1.3"><times id="S4.E47.m1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E47.m1.1.1.1.1.3.1"></times><apply id="S4.E47.m1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.E47.m1.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E47.m1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.E47.m1.1.1.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S4.E47.m1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.E47.m1.1.1.1.1.3.2.2">𝐋</ci><ci id="S4.E47.m1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S4.E47.m1.1.1.1.1.3.2.3">𝑔</ci></apply><ci id="S4.E47.m1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.E47.m1.1.1.1.1.3.3">𝐝</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.E47.m1.1c">\bm{\kappa}=\mathbf{L}_{g}\mathbf{d},</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.E47.m1.1d">bold_italic_κ = bold_L start_POSTSUBSCRIPT italic_g end_POSTSUBSCRIPT bold_d ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(47)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S4.SS5.p1.2">where <math alttext="\mathbf{d}=\begin{bmatrix}\tilde{w}_{1}&\tilde{w}_{2}&\tilde{w}_{3}&\tilde{w}_% {4}&\tilde{w}_{5}&\tilde{w}_{6}\end{bmatrix}^{T}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS5.p1.1.m1.1"><semantics id="S4.SS5.p1.1.m1.1a"><mrow id="S4.SS5.p1.1.m1.1.2" xref="S4.SS5.p1.1.m1.1.2.cmml"><mi id="S4.SS5.p1.1.m1.1.2.2" xref="S4.SS5.p1.1.m1.1.2.2.cmml">𝐝</mi><mo id="S4.SS5.p1.1.m1.1.2.1" xref="S4.SS5.p1.1.m1.1.2.1.cmml">=</mo><msup id="S4.SS5.p1.1.m1.1.2.3" xref="S4.SS5.p1.1.m1.1.2.3.cmml"><mrow id="S4.SS5.p1.1.m1.1.1.3" xref="S4.SS5.p1.1.m1.1.1.2.cmml"><mo id="S4.SS5.p1.1.m1.1.1.3.1" xref="S4.SS5.p1.1.m1.1.1.2.1.cmml">[</mo><mtable columnspacing="5pt" id="S4.SS5.p1.1.m1.1.1.1.1" xref="S4.SS5.p1.1.m1.1.1.1.1.cmml"><mtr id="S4.SS5.p1.1.m1.1.1.1.1a" xref="S4.SS5.p1.1.m1.1.1.1.1.cmml"><mtd id="S4.SS5.p1.1.m1.1.1.1.1b" xref="S4.SS5.p1.1.m1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S4.SS5.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.SS5.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S4.SS5.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.SS5.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.SS5.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.SS5.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">w</mi><mo id="S4.SS5.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S4.SS5.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">~</mo></mover><mn id="S4.SS5.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.SS5.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></msub></mtd><mtd id="S4.SS5.p1.1.m1.1.1.1.1c" xref="S4.SS5.p1.1.m1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S4.SS5.p1.1.m1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S4.SS5.p1.1.m1.1.1.1.1.1.2.1.cmml"><mover accent="true" id="S4.SS5.p1.1.m1.1.1.1.1.1.2.1.2" xref="S4.SS5.p1.1.m1.1.1.1.1.1.2.1.2.cmml"><mi id="S4.SS5.p1.1.m1.1.1.1.1.1.2.1.2.2" xref="S4.SS5.p1.1.m1.1.1.1.1.1.2.1.2.2.cmml">w</mi><mo id="S4.SS5.p1.1.m1.1.1.1.1.1.2.1.2.1" xref="S4.SS5.p1.1.m1.1.1.1.1.1.2.1.2.1.cmml">~</mo></mover><mn id="S4.SS5.p1.1.m1.1.1.1.1.1.2.1.3" xref="S4.SS5.p1.1.m1.1.1.1.1.1.2.1.3.cmml">2</mn></msub></mtd><mtd id="S4.SS5.p1.1.m1.1.1.1.1d" xref="S4.SS5.p1.1.m1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S4.SS5.p1.1.m1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S4.SS5.p1.1.m1.1.1.1.1.1.3.1.cmml"><mover accent="true" id="S4.SS5.p1.1.m1.1.1.1.1.1.3.1.2" xref="S4.SS5.p1.1.m1.1.1.1.1.1.3.1.2.cmml"><mi id="S4.SS5.p1.1.m1.1.1.1.1.1.3.1.2.2" xref="S4.SS5.p1.1.m1.1.1.1.1.1.3.1.2.2.cmml">w</mi><mo id="S4.SS5.p1.1.m1.1.1.1.1.1.3.1.2.1" xref="S4.SS5.p1.1.m1.1.1.1.1.1.3.1.2.1.cmml">~</mo></mover><mn id="S4.SS5.p1.1.m1.1.1.1.1.1.3.1.3" xref="S4.SS5.p1.1.m1.1.1.1.1.1.3.1.3.cmml">3</mn></msub></mtd><mtd id="S4.SS5.p1.1.m1.1.1.1.1e" xref="S4.SS5.p1.1.m1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S4.SS5.p1.1.m1.1.1.1.1.1.4.1" xref="S4.SS5.p1.1.m1.1.1.1.1.1.4.1.cmml"><mover accent="true" id="S4.SS5.p1.1.m1.1.1.1.1.1.4.1.2" xref="S4.SS5.p1.1.m1.1.1.1.1.1.4.1.2.cmml"><mi id="S4.SS5.p1.1.m1.1.1.1.1.1.4.1.2.2" xref="S4.SS5.p1.1.m1.1.1.1.1.1.4.1.2.2.cmml">w</mi><mo id="S4.SS5.p1.1.m1.1.1.1.1.1.4.1.2.1" xref="S4.SS5.p1.1.m1.1.1.1.1.1.4.1.2.1.cmml">~</mo></mover><mn id="S4.SS5.p1.1.m1.1.1.1.1.1.4.1.3" xref="S4.SS5.p1.1.m1.1.1.1.1.1.4.1.3.cmml">4</mn></msub></mtd><mtd id="S4.SS5.p1.1.m1.1.1.1.1f" xref="S4.SS5.p1.1.m1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S4.SS5.p1.1.m1.1.1.1.1.1.5.1" xref="S4.SS5.p1.1.m1.1.1.1.1.1.5.1.cmml"><mover accent="true" id="S4.SS5.p1.1.m1.1.1.1.1.1.5.1.2" xref="S4.SS5.p1.1.m1.1.1.1.1.1.5.1.2.cmml"><mi id="S4.SS5.p1.1.m1.1.1.1.1.1.5.1.2.2" xref="S4.SS5.p1.1.m1.1.1.1.1.1.5.1.2.2.cmml">w</mi><mo id="S4.SS5.p1.1.m1.1.1.1.1.1.5.1.2.1" xref="S4.SS5.p1.1.m1.1.1.1.1.1.5.1.2.1.cmml">~</mo></mover><mn id="S4.SS5.p1.1.m1.1.1.1.1.1.5.1.3" xref="S4.SS5.p1.1.m1.1.1.1.1.1.5.1.3.cmml">5</mn></msub></mtd><mtd id="S4.SS5.p1.1.m1.1.1.1.1g" xref="S4.SS5.p1.1.m1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S4.SS5.p1.1.m1.1.1.1.1.1.6.1" xref="S4.SS5.p1.1.m1.1.1.1.1.1.6.1.cmml"><mover accent="true" id="S4.SS5.p1.1.m1.1.1.1.1.1.6.1.2" xref="S4.SS5.p1.1.m1.1.1.1.1.1.6.1.2.cmml"><mi id="S4.SS5.p1.1.m1.1.1.1.1.1.6.1.2.2" xref="S4.SS5.p1.1.m1.1.1.1.1.1.6.1.2.2.cmml">w</mi><mo id="S4.SS5.p1.1.m1.1.1.1.1.1.6.1.2.1" xref="S4.SS5.p1.1.m1.1.1.1.1.1.6.1.2.1.cmml">~</mo></mover><mn id="S4.SS5.p1.1.m1.1.1.1.1.1.6.1.3" xref="S4.SS5.p1.1.m1.1.1.1.1.1.6.1.3.cmml">6</mn></msub></mtd></mtr></mtable><mo id="S4.SS5.p1.1.m1.1.1.3.2" xref="S4.SS5.p1.1.m1.1.1.2.1.cmml">]</mo></mrow><mi id="S4.SS5.p1.1.m1.1.2.3.2" xref="S4.SS5.p1.1.m1.1.2.3.2.cmml">T</mi></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS5.p1.1.m1.1b"><apply id="S4.SS5.p1.1.m1.1.2.cmml" xref="S4.SS5.p1.1.m1.1.2"><eq id="S4.SS5.p1.1.m1.1.2.1.cmml" xref="S4.SS5.p1.1.m1.1.2.1"></eq><ci id="S4.SS5.p1.1.m1.1.2.2.cmml" xref="S4.SS5.p1.1.m1.1.2.2">𝐝</ci><apply id="S4.SS5.p1.1.m1.1.2.3.cmml" xref="S4.SS5.p1.1.m1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS5.p1.1.m1.1.2.3.1.cmml" xref="S4.SS5.p1.1.m1.1.2.3">superscript</csymbol><apply id="S4.SS5.p1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS5.p1.1.m1.1.1.3"><csymbol cd="latexml" id="S4.SS5.p1.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.SS5.p1.1.m1.1.1.3.1">matrix</csymbol><matrix id="S4.SS5.p1.1.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS5.p1.1.m1.1.1.1.1"><matrixrow id="S4.SS5.p1.1.m1.1.1.1.1a.cmml" xref="S4.SS5.p1.1.m1.1.1.1.1"><apply id="S4.SS5.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS5.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS5.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS5.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="S4.SS5.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS5.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.2"><ci id="S4.SS5.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.SS5.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.1">~</ci><ci id="S4.SS5.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.SS5.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝑤</ci></apply><cn id="S4.SS5.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS5.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.3">1</cn></apply><apply id="S4.SS5.p1.1.m1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.SS5.p1.1.m1.1.1.1.1.1.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS5.p1.1.m1.1.1.1.1.1.2.1.1.cmml" xref="S4.SS5.p1.1.m1.1.1.1.1.1.2.1">subscript</csymbol><apply id="S4.SS5.p1.1.m1.1.1.1.1.1.2.1.2.cmml" xref="S4.SS5.p1.1.m1.1.1.1.1.1.2.1.2"><ci id="S4.SS5.p1.1.m1.1.1.1.1.1.2.1.2.1.cmml" xref="S4.SS5.p1.1.m1.1.1.1.1.1.2.1.2.1">~</ci><ci id="S4.SS5.p1.1.m1.1.1.1.1.1.2.1.2.2.cmml" xref="S4.SS5.p1.1.m1.1.1.1.1.1.2.1.2.2">𝑤</ci></apply><cn id="S4.SS5.p1.1.m1.1.1.1.1.1.2.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS5.p1.1.m1.1.1.1.1.1.2.1.3">2</cn></apply><apply id="S4.SS5.p1.1.m1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.SS5.p1.1.m1.1.1.1.1.1.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS5.p1.1.m1.1.1.1.1.1.3.1.1.cmml" xref="S4.SS5.p1.1.m1.1.1.1.1.1.3.1">subscript</csymbol><apply id="S4.SS5.p1.1.m1.1.1.1.1.1.3.1.2.cmml" xref="S4.SS5.p1.1.m1.1.1.1.1.1.3.1.2"><ci id="S4.SS5.p1.1.m1.1.1.1.1.1.3.1.2.1.cmml" xref="S4.SS5.p1.1.m1.1.1.1.1.1.3.1.2.1">~</ci><ci id="S4.SS5.p1.1.m1.1.1.1.1.1.3.1.2.2.cmml" xref="S4.SS5.p1.1.m1.1.1.1.1.1.3.1.2.2">𝑤</ci></apply><cn id="S4.SS5.p1.1.m1.1.1.1.1.1.3.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS5.p1.1.m1.1.1.1.1.1.3.1.3">3</cn></apply><apply id="S4.SS5.p1.1.m1.1.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="S4.SS5.p1.1.m1.1.1.1.1.1.4.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS5.p1.1.m1.1.1.1.1.1.4.1.1.cmml" xref="S4.SS5.p1.1.m1.1.1.1.1.1.4.1">subscript</csymbol><apply id="S4.SS5.p1.1.m1.1.1.1.1.1.4.1.2.cmml" xref="S4.SS5.p1.1.m1.1.1.1.1.1.4.1.2"><ci id="S4.SS5.p1.1.m1.1.1.1.1.1.4.1.2.1.cmml" xref="S4.SS5.p1.1.m1.1.1.1.1.1.4.1.2.1">~</ci><ci id="S4.SS5.p1.1.m1.1.1.1.1.1.4.1.2.2.cmml" xref="S4.SS5.p1.1.m1.1.1.1.1.1.4.1.2.2">𝑤</ci></apply><cn id="S4.SS5.p1.1.m1.1.1.1.1.1.4.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS5.p1.1.m1.1.1.1.1.1.4.1.3">4</cn></apply><apply id="S4.SS5.p1.1.m1.1.1.1.1.1.5.1.cmml" xref="S4.SS5.p1.1.m1.1.1.1.1.1.5.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS5.p1.1.m1.1.1.1.1.1.5.1.1.cmml" xref="S4.SS5.p1.1.m1.1.1.1.1.1.5.1">subscript</csymbol><apply id="S4.SS5.p1.1.m1.1.1.1.1.1.5.1.2.cmml" xref="S4.SS5.p1.1.m1.1.1.1.1.1.5.1.2"><ci id="S4.SS5.p1.1.m1.1.1.1.1.1.5.1.2.1.cmml" xref="S4.SS5.p1.1.m1.1.1.1.1.1.5.1.2.1">~</ci><ci id="S4.SS5.p1.1.m1.1.1.1.1.1.5.1.2.2.cmml" xref="S4.SS5.p1.1.m1.1.1.1.1.1.5.1.2.2">𝑤</ci></apply><cn id="S4.SS5.p1.1.m1.1.1.1.1.1.5.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS5.p1.1.m1.1.1.1.1.1.5.1.3">5</cn></apply><apply id="S4.SS5.p1.1.m1.1.1.1.1.1.6.1.cmml" xref="S4.SS5.p1.1.m1.1.1.1.1.1.6.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS5.p1.1.m1.1.1.1.1.1.6.1.1.cmml" xref="S4.SS5.p1.1.m1.1.1.1.1.1.6.1">subscript</csymbol><apply id="S4.SS5.p1.1.m1.1.1.1.1.1.6.1.2.cmml" xref="S4.SS5.p1.1.m1.1.1.1.1.1.6.1.2"><ci id="S4.SS5.p1.1.m1.1.1.1.1.1.6.1.2.1.cmml" xref="S4.SS5.p1.1.m1.1.1.1.1.1.6.1.2.1">~</ci><ci id="S4.SS5.p1.1.m1.1.1.1.1.1.6.1.2.2.cmml" xref="S4.SS5.p1.1.m1.1.1.1.1.1.6.1.2.2">𝑤</ci></apply><cn id="S4.SS5.p1.1.m1.1.1.1.1.1.6.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS5.p1.1.m1.1.1.1.1.1.6.1.3">6</cn></apply></matrixrow></matrix></apply><ci id="S4.SS5.p1.1.m1.1.2.3.2.cmml" xref="S4.SS5.p1.1.m1.1.2.3.2">𝑇</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS5.p1.1.m1.1c">\mathbf{d}=\begin{bmatrix}\tilde{w}_{1}&\tilde{w}_{2}&\tilde{w}_{3}&\tilde{w}_% {4}&\tilde{w}_{5}&\tilde{w}_{6}\end{bmatrix}^{T}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS5.p1.1.m1.1d">bold_d = [ start_ARG start_ROW start_CELL over~ start_ARG italic_w end_ARG start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT end_CELL start_CELL over~ start_ARG italic_w end_ARG start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT end_CELL start_CELL over~ start_ARG italic_w end_ARG start_POSTSUBSCRIPT 3 end_POSTSUBSCRIPT end_CELL start_CELL over~ start_ARG italic_w end_ARG start_POSTSUBSCRIPT 4 end_POSTSUBSCRIPT end_CELL start_CELL over~ start_ARG italic_w end_ARG start_POSTSUBSCRIPT 5 end_POSTSUBSCRIPT end_CELL start_CELL over~ start_ARG italic_w end_ARG start_POSTSUBSCRIPT 6 end_POSTSUBSCRIPT end_CELL end_ROW end_ARG ] start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> is the vector of transverse displacements. In the smoothed hinge model, a quadratic fitting surface is used to smooth the triangle-centered stencil (see Figure <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2502.10872v4#S4.F3" title="Figure 3 ‣ 4.5 Corotational smoothed hinge bending model ‣ 4 Geometric Discretization ‣ Corotational Hinge-based Thin Plates/Shells"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">3</span></a>) and <math alttext="\mathbf{L}_{g}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS5.p1.2.m2.1"><semantics id="S4.SS5.p1.2.m2.1a"><msub id="S4.SS5.p1.2.m2.1.1" xref="S4.SS5.p1.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S4.SS5.p1.2.m2.1.1.2" xref="S4.SS5.p1.2.m2.1.1.2.cmml">𝐋</mi><mi id="S4.SS5.p1.2.m2.1.1.3" xref="S4.SS5.p1.2.m2.1.1.3.cmml">g</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS5.p1.2.m2.1b"><apply id="S4.SS5.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="S4.SS5.p1.2.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS5.p1.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S4.SS5.p1.2.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.SS5.p1.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S4.SS5.p1.2.m2.1.1.2">𝐋</ci><ci id="S4.SS5.p1.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S4.SS5.p1.2.m2.1.1.3">𝑔</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS5.p1.2.m2.1c">\mathbf{L}_{g}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS5.p1.2.m2.1d">bold_L start_POSTSUBSCRIPT italic_g end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> is denoted as corotational smoothed hinge curvature operator. So the transverse displacement field on the shell surface can be interpolated as</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S4.E48"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\tilde{w}=c_{1}+c_{2}\tilde{x}+c_{3}\tilde{y}+c_{4}\tilde{x}^{2}/2+c_{5}\tilde% {y}^{2}/2+c_{6}\tilde{x}\tilde{y}/2," class="ltx_Math" display="block" id="S4.E48.m1.1"><semantics id="S4.E48.m1.1a"><mrow id="S4.E48.m1.1.1.1" xref="S4.E48.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.E48.m1.1.1.1.1" xref="S4.E48.m1.1.1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S4.E48.m1.1.1.1.1.2" xref="S4.E48.m1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.E48.m1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.E48.m1.1.1.1.1.2.2.cmml">w</mi><mo id="S4.E48.m1.1.1.1.1.2.1" xref="S4.E48.m1.1.1.1.1.2.1.cmml">~</mo></mover><mo id="S4.E48.m1.1.1.1.1.1" xref="S4.E48.m1.1.1.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S4.E48.m1.1.1.1.1.3" xref="S4.E48.m1.1.1.1.1.3.cmml"><msub 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id="S4.E48.m1.1.1.1.1.3.5.2.cmml" xref="S4.E48.m1.1.1.1.1.3.5.2"><times id="S4.E48.m1.1.1.1.1.3.5.2.1.cmml" xref="S4.E48.m1.1.1.1.1.3.5.2.1"></times><apply id="S4.E48.m1.1.1.1.1.3.5.2.2.cmml" xref="S4.E48.m1.1.1.1.1.3.5.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E48.m1.1.1.1.1.3.5.2.2.1.cmml" xref="S4.E48.m1.1.1.1.1.3.5.2.2">subscript</csymbol><ci id="S4.E48.m1.1.1.1.1.3.5.2.2.2.cmml" xref="S4.E48.m1.1.1.1.1.3.5.2.2.2">𝑐</ci><cn id="S4.E48.m1.1.1.1.1.3.5.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.E48.m1.1.1.1.1.3.5.2.2.3">4</cn></apply><apply id="S4.E48.m1.1.1.1.1.3.5.2.3.cmml" xref="S4.E48.m1.1.1.1.1.3.5.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E48.m1.1.1.1.1.3.5.2.3.1.cmml" xref="S4.E48.m1.1.1.1.1.3.5.2.3">superscript</csymbol><apply id="S4.E48.m1.1.1.1.1.3.5.2.3.2.cmml" xref="S4.E48.m1.1.1.1.1.3.5.2.3.2"><ci id="S4.E48.m1.1.1.1.1.3.5.2.3.2.1.cmml" xref="S4.E48.m1.1.1.1.1.3.5.2.3.2.1">~</ci><ci id="S4.E48.m1.1.1.1.1.3.5.2.3.2.2.cmml" xref="S4.E48.m1.1.1.1.1.3.5.2.3.2.2">𝑥</ci></apply><cn id="S4.E48.m1.1.1.1.1.3.5.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.E48.m1.1.1.1.1.3.5.2.3.3">2</cn></apply></apply><cn id="S4.E48.m1.1.1.1.1.3.5.3.cmml" type="integer" xref="S4.E48.m1.1.1.1.1.3.5.3">2</cn></apply><apply id="S4.E48.m1.1.1.1.1.3.6.cmml" xref="S4.E48.m1.1.1.1.1.3.6"><divide id="S4.E48.m1.1.1.1.1.3.6.1.cmml" xref="S4.E48.m1.1.1.1.1.3.6.1"></divide><apply id="S4.E48.m1.1.1.1.1.3.6.2.cmml" xref="S4.E48.m1.1.1.1.1.3.6.2"><times id="S4.E48.m1.1.1.1.1.3.6.2.1.cmml" xref="S4.E48.m1.1.1.1.1.3.6.2.1"></times><apply id="S4.E48.m1.1.1.1.1.3.6.2.2.cmml" xref="S4.E48.m1.1.1.1.1.3.6.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E48.m1.1.1.1.1.3.6.2.2.1.cmml" xref="S4.E48.m1.1.1.1.1.3.6.2.2">subscript</csymbol><ci id="S4.E48.m1.1.1.1.1.3.6.2.2.2.cmml" xref="S4.E48.m1.1.1.1.1.3.6.2.2.2">𝑐</ci><cn id="S4.E48.m1.1.1.1.1.3.6.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.E48.m1.1.1.1.1.3.6.2.2.3">5</cn></apply><apply id="S4.E48.m1.1.1.1.1.3.6.2.3.cmml" xref="S4.E48.m1.1.1.1.1.3.6.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E48.m1.1.1.1.1.3.6.2.3.1.cmml" xref="S4.E48.m1.1.1.1.1.3.6.2.3">superscript</csymbol><apply id="S4.E48.m1.1.1.1.1.3.6.2.3.2.cmml" xref="S4.E48.m1.1.1.1.1.3.6.2.3.2"><ci id="S4.E48.m1.1.1.1.1.3.6.2.3.2.1.cmml" xref="S4.E48.m1.1.1.1.1.3.6.2.3.2.1">~</ci><ci id="S4.E48.m1.1.1.1.1.3.6.2.3.2.2.cmml" xref="S4.E48.m1.1.1.1.1.3.6.2.3.2.2">𝑦</ci></apply><cn id="S4.E48.m1.1.1.1.1.3.6.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.E48.m1.1.1.1.1.3.6.2.3.3">2</cn></apply></apply><cn id="S4.E48.m1.1.1.1.1.3.6.3.cmml" type="integer" xref="S4.E48.m1.1.1.1.1.3.6.3">2</cn></apply><apply id="S4.E48.m1.1.1.1.1.3.7.cmml" xref="S4.E48.m1.1.1.1.1.3.7"><divide id="S4.E48.m1.1.1.1.1.3.7.1.cmml" xref="S4.E48.m1.1.1.1.1.3.7.1"></divide><apply id="S4.E48.m1.1.1.1.1.3.7.2.cmml" xref="S4.E48.m1.1.1.1.1.3.7.2"><times id="S4.E48.m1.1.1.1.1.3.7.2.1.cmml" xref="S4.E48.m1.1.1.1.1.3.7.2.1"></times><apply id="S4.E48.m1.1.1.1.1.3.7.2.2.cmml" xref="S4.E48.m1.1.1.1.1.3.7.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E48.m1.1.1.1.1.3.7.2.2.1.cmml" xref="S4.E48.m1.1.1.1.1.3.7.2.2">subscript</csymbol><ci id="S4.E48.m1.1.1.1.1.3.7.2.2.2.cmml" xref="S4.E48.m1.1.1.1.1.3.7.2.2.2">𝑐</ci><cn id="S4.E48.m1.1.1.1.1.3.7.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.E48.m1.1.1.1.1.3.7.2.2.3">6</cn></apply><apply id="S4.E48.m1.1.1.1.1.3.7.2.3.cmml" xref="S4.E48.m1.1.1.1.1.3.7.2.3"><ci id="S4.E48.m1.1.1.1.1.3.7.2.3.1.cmml" xref="S4.E48.m1.1.1.1.1.3.7.2.3.1">~</ci><ci id="S4.E48.m1.1.1.1.1.3.7.2.3.2.cmml" xref="S4.E48.m1.1.1.1.1.3.7.2.3.2">𝑥</ci></apply><apply id="S4.E48.m1.1.1.1.1.3.7.2.4.cmml" xref="S4.E48.m1.1.1.1.1.3.7.2.4"><ci id="S4.E48.m1.1.1.1.1.3.7.2.4.1.cmml" xref="S4.E48.m1.1.1.1.1.3.7.2.4.1">~</ci><ci id="S4.E48.m1.1.1.1.1.3.7.2.4.2.cmml" xref="S4.E48.m1.1.1.1.1.3.7.2.4.2">𝑦</ci></apply></apply><cn id="S4.E48.m1.1.1.1.1.3.7.3.cmml" type="integer" xref="S4.E48.m1.1.1.1.1.3.7.3">2</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.E48.m1.1c">\tilde{w}=c_{1}+c_{2}\tilde{x}+c_{3}\tilde{y}+c_{4}\tilde{x}^{2}/2+c_{5}\tilde% {y}^{2}/2+c_{6}\tilde{x}\tilde{y}/2,</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.E48.m1.1d">over~ start_ARG italic_w end_ARG = italic_c start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT + italic_c start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT over~ start_ARG italic_x end_ARG + italic_c start_POSTSUBSCRIPT 3 end_POSTSUBSCRIPT over~ start_ARG italic_y end_ARG + italic_c start_POSTSUBSCRIPT 4 end_POSTSUBSCRIPT over~ start_ARG italic_x end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT / 2 + italic_c start_POSTSUBSCRIPT 5 end_POSTSUBSCRIPT over~ start_ARG italic_y end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT / 2 + italic_c start_POSTSUBSCRIPT 6 end_POSTSUBSCRIPT over~ start_ARG italic_x end_ARG over~ start_ARG italic_y end_ARG / 2 ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(48)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S4.SS5.p1.7">where <math alttext="c_{i}\ (i=1,\cdots,6)" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS5.p1.3.m1.4"><semantics id="S4.SS5.p1.3.m1.4a"><mrow id="S4.SS5.p1.3.m1.4.4" xref="S4.SS5.p1.3.m1.4.4.cmml"><msub id="S4.SS5.p1.3.m1.4.4.3" xref="S4.SS5.p1.3.m1.4.4.3.cmml"><mi id="S4.SS5.p1.3.m1.4.4.3.2" xref="S4.SS5.p1.3.m1.4.4.3.2.cmml">c</mi><mi id="S4.SS5.p1.3.m1.4.4.3.3" xref="S4.SS5.p1.3.m1.4.4.3.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S4.SS5.p1.3.m1.4.4.2" lspace="0.500em" xref="S4.SS5.p1.3.m1.4.4.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.SS5.p1.3.m1.4.4.1.1" xref="S4.SS5.p1.3.m1.4.4.1.1.1.cmml"><mo id="S4.SS5.p1.3.m1.4.4.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.SS5.p1.3.m1.4.4.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.SS5.p1.3.m1.4.4.1.1.1" xref="S4.SS5.p1.3.m1.4.4.1.1.1.cmml"><mi id="S4.SS5.p1.3.m1.4.4.1.1.1.2" xref="S4.SS5.p1.3.m1.4.4.1.1.1.2.cmml">i</mi><mo id="S4.SS5.p1.3.m1.4.4.1.1.1.1" xref="S4.SS5.p1.3.m1.4.4.1.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S4.SS5.p1.3.m1.4.4.1.1.1.3.2" xref="S4.SS5.p1.3.m1.4.4.1.1.1.3.1.cmml"><mn id="S4.SS5.p1.3.m1.1.1" xref="S4.SS5.p1.3.m1.1.1.cmml">1</mn><mo id="S4.SS5.p1.3.m1.4.4.1.1.1.3.2.1" xref="S4.SS5.p1.3.m1.4.4.1.1.1.3.1.cmml">,</mo><mi id="S4.SS5.p1.3.m1.2.2" mathvariant="normal" xref="S4.SS5.p1.3.m1.2.2.cmml">⋯</mi><mo id="S4.SS5.p1.3.m1.4.4.1.1.1.3.2.2" xref="S4.SS5.p1.3.m1.4.4.1.1.1.3.1.cmml">,</mo><mn id="S4.SS5.p1.3.m1.3.3" xref="S4.SS5.p1.3.m1.3.3.cmml">6</mn></mrow></mrow><mo id="S4.SS5.p1.3.m1.4.4.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.SS5.p1.3.m1.4.4.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS5.p1.3.m1.4b"><apply id="S4.SS5.p1.3.m1.4.4.cmml" xref="S4.SS5.p1.3.m1.4.4"><times id="S4.SS5.p1.3.m1.4.4.2.cmml" xref="S4.SS5.p1.3.m1.4.4.2"></times><apply id="S4.SS5.p1.3.m1.4.4.3.cmml" xref="S4.SS5.p1.3.m1.4.4.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS5.p1.3.m1.4.4.3.1.cmml" xref="S4.SS5.p1.3.m1.4.4.3">subscript</csymbol><ci id="S4.SS5.p1.3.m1.4.4.3.2.cmml" xref="S4.SS5.p1.3.m1.4.4.3.2">𝑐</ci><ci id="S4.SS5.p1.3.m1.4.4.3.3.cmml" xref="S4.SS5.p1.3.m1.4.4.3.3">𝑖</ci></apply><apply id="S4.SS5.p1.3.m1.4.4.1.1.1.cmml" xref="S4.SS5.p1.3.m1.4.4.1.1"><eq id="S4.SS5.p1.3.m1.4.4.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS5.p1.3.m1.4.4.1.1.1.1"></eq><ci id="S4.SS5.p1.3.m1.4.4.1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS5.p1.3.m1.4.4.1.1.1.2">𝑖</ci><list id="S4.SS5.p1.3.m1.4.4.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.SS5.p1.3.m1.4.4.1.1.1.3.2"><cn id="S4.SS5.p1.3.m1.1.1.cmml" type="integer" xref="S4.SS5.p1.3.m1.1.1">1</cn><ci id="S4.SS5.p1.3.m1.2.2.cmml" xref="S4.SS5.p1.3.m1.2.2">⋯</ci><cn id="S4.SS5.p1.3.m1.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS5.p1.3.m1.3.3">6</cn></list></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS5.p1.3.m1.4c">c_{i}\ (i=1,\cdots,6)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS5.p1.3.m1.4d">italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT ( italic_i = 1 , ⋯ , 6 )</annotation></semantics></math> are constants. The first three coefficients correspond to rigid-body motion, while the last three correspond to curvature within the quadratic surface. By introducing Eq. (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2502.10872v4#S4.E48" title="In 4.5 Corotational smoothed hinge bending model ‣ 4 Geometric Discretization ‣ Corotational Hinge-based Thin Plates/Shells"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">48</span></a>) into Eq. (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2502.10872v4#S4.E46" title="In 4.5 Corotational smoothed hinge bending model ‣ 4 Geometric Discretization ‣ Corotational Hinge-based Thin Plates/Shells"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">46</span></a>) with Eq. (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2502.10872v4#S4.E47" title="In 4.5 Corotational smoothed hinge bending model ‣ 4 Geometric Discretization ‣ Corotational Hinge-based Thin Plates/Shells"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">47</span></a>), the generalized curvature vector can be rewritten as <math alttext="\bm{\kappa}=\mathbf{L}_{g}\mathbf{d}=\begin{bmatrix}c_{4}&c_{5}&c_{6}\end{% bmatrix}^{T}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS5.p1.4.m2.1"><semantics id="S4.SS5.p1.4.m2.1a"><mrow id="S4.SS5.p1.4.m2.1.2" xref="S4.SS5.p1.4.m2.1.2.cmml"><mi id="S4.SS5.p1.4.m2.1.2.2" xref="S4.SS5.p1.4.m2.1.2.2.cmml">𝜿</mi><mo id="S4.SS5.p1.4.m2.1.2.3" xref="S4.SS5.p1.4.m2.1.2.3.cmml">=</mo><mrow id="S4.SS5.p1.4.m2.1.2.4" xref="S4.SS5.p1.4.m2.1.2.4.cmml"><msub id="S4.SS5.p1.4.m2.1.2.4.2" xref="S4.SS5.p1.4.m2.1.2.4.2.cmml"><mi id="S4.SS5.p1.4.m2.1.2.4.2.2" xref="S4.SS5.p1.4.m2.1.2.4.2.2.cmml">𝐋</mi><mi id="S4.SS5.p1.4.m2.1.2.4.2.3" xref="S4.SS5.p1.4.m2.1.2.4.2.3.cmml">g</mi></msub><mo id="S4.SS5.p1.4.m2.1.2.4.1" xref="S4.SS5.p1.4.m2.1.2.4.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.SS5.p1.4.m2.1.2.4.3" xref="S4.SS5.p1.4.m2.1.2.4.3.cmml">𝐝</mi></mrow><mo id="S4.SS5.p1.4.m2.1.2.5" xref="S4.SS5.p1.4.m2.1.2.5.cmml">=</mo><msup id="S4.SS5.p1.4.m2.1.2.6" xref="S4.SS5.p1.4.m2.1.2.6.cmml"><mrow id="S4.SS5.p1.4.m2.1.1.3" xref="S4.SS5.p1.4.m2.1.1.2.cmml"><mo id="S4.SS5.p1.4.m2.1.1.3.1" xref="S4.SS5.p1.4.m2.1.1.2.1.cmml">[</mo><mtable columnspacing="5pt" id="S4.SS5.p1.4.m2.1.1.1.1" xref="S4.SS5.p1.4.m2.1.1.1.1.cmml"><mtr id="S4.SS5.p1.4.m2.1.1.1.1a" xref="S4.SS5.p1.4.m2.1.1.1.1.cmml"><mtd id="S4.SS5.p1.4.m2.1.1.1.1b" xref="S4.SS5.p1.4.m2.1.1.1.1.cmml"><msub id="S4.SS5.p1.4.m2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.SS5.p1.4.m2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.SS5.p1.4.m2.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.SS5.p1.4.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">c</mi><mn id="S4.SS5.p1.4.m2.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.SS5.p1.4.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">4</mn></msub></mtd><mtd id="S4.SS5.p1.4.m2.1.1.1.1c" xref="S4.SS5.p1.4.m2.1.1.1.1.cmml"><msub id="S4.SS5.p1.4.m2.1.1.1.1.1.2.1" xref="S4.SS5.p1.4.m2.1.1.1.1.1.2.1.cmml"><mi id="S4.SS5.p1.4.m2.1.1.1.1.1.2.1.2" xref="S4.SS5.p1.4.m2.1.1.1.1.1.2.1.2.cmml">c</mi><mn id="S4.SS5.p1.4.m2.1.1.1.1.1.2.1.3" xref="S4.SS5.p1.4.m2.1.1.1.1.1.2.1.3.cmml">5</mn></msub></mtd><mtd id="S4.SS5.p1.4.m2.1.1.1.1d" xref="S4.SS5.p1.4.m2.1.1.1.1.cmml"><msub id="S4.SS5.p1.4.m2.1.1.1.1.1.3.1" xref="S4.SS5.p1.4.m2.1.1.1.1.1.3.1.cmml"><mi id="S4.SS5.p1.4.m2.1.1.1.1.1.3.1.2" xref="S4.SS5.p1.4.m2.1.1.1.1.1.3.1.2.cmml">c</mi><mn id="S4.SS5.p1.4.m2.1.1.1.1.1.3.1.3" xref="S4.SS5.p1.4.m2.1.1.1.1.1.3.1.3.cmml">6</mn></msub></mtd></mtr></mtable><mo id="S4.SS5.p1.4.m2.1.1.3.2" xref="S4.SS5.p1.4.m2.1.1.2.1.cmml">]</mo></mrow><mi id="S4.SS5.p1.4.m2.1.2.6.2" xref="S4.SS5.p1.4.m2.1.2.6.2.cmml">T</mi></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS5.p1.4.m2.1b"><apply id="S4.SS5.p1.4.m2.1.2.cmml" xref="S4.SS5.p1.4.m2.1.2"><and id="S4.SS5.p1.4.m2.1.2a.cmml" xref="S4.SS5.p1.4.m2.1.2"></and><apply id="S4.SS5.p1.4.m2.1.2b.cmml" xref="S4.SS5.p1.4.m2.1.2"><eq id="S4.SS5.p1.4.m2.1.2.3.cmml" xref="S4.SS5.p1.4.m2.1.2.3"></eq><ci id="S4.SS5.p1.4.m2.1.2.2.cmml" xref="S4.SS5.p1.4.m2.1.2.2">𝜿</ci><apply id="S4.SS5.p1.4.m2.1.2.4.cmml" xref="S4.SS5.p1.4.m2.1.2.4"><times id="S4.SS5.p1.4.m2.1.2.4.1.cmml" xref="S4.SS5.p1.4.m2.1.2.4.1"></times><apply id="S4.SS5.p1.4.m2.1.2.4.2.cmml" xref="S4.SS5.p1.4.m2.1.2.4.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS5.p1.4.m2.1.2.4.2.1.cmml" xref="S4.SS5.p1.4.m2.1.2.4.2">subscript</csymbol><ci id="S4.SS5.p1.4.m2.1.2.4.2.2.cmml" xref="S4.SS5.p1.4.m2.1.2.4.2.2">𝐋</ci><ci id="S4.SS5.p1.4.m2.1.2.4.2.3.cmml" xref="S4.SS5.p1.4.m2.1.2.4.2.3">𝑔</ci></apply><ci id="S4.SS5.p1.4.m2.1.2.4.3.cmml" xref="S4.SS5.p1.4.m2.1.2.4.3">𝐝</ci></apply></apply><apply id="S4.SS5.p1.4.m2.1.2c.cmml" xref="S4.SS5.p1.4.m2.1.2"><eq id="S4.SS5.p1.4.m2.1.2.5.cmml" xref="S4.SS5.p1.4.m2.1.2.5"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2502.10872v4#S4.SS5.p1.4.m2.1.2.4.cmml" id="S4.SS5.p1.4.m2.1.2d.cmml" xref="S4.SS5.p1.4.m2.1.2"></share><apply id="S4.SS5.p1.4.m2.1.2.6.cmml" xref="S4.SS5.p1.4.m2.1.2.6"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS5.p1.4.m2.1.2.6.1.cmml" xref="S4.SS5.p1.4.m2.1.2.6">superscript</csymbol><apply id="S4.SS5.p1.4.m2.1.1.2.cmml" xref="S4.SS5.p1.4.m2.1.1.3"><csymbol cd="latexml" id="S4.SS5.p1.4.m2.1.1.2.1.cmml" xref="S4.SS5.p1.4.m2.1.1.3.1">matrix</csymbol><matrix id="S4.SS5.p1.4.m2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS5.p1.4.m2.1.1.1.1"><matrixrow id="S4.SS5.p1.4.m2.1.1.1.1a.cmml" xref="S4.SS5.p1.4.m2.1.1.1.1"><apply id="S4.SS5.p1.4.m2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS5.p1.4.m2.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS5.p1.4.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS5.p1.4.m2.1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.SS5.p1.4.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS5.p1.4.m2.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑐</ci><cn id="S4.SS5.p1.4.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS5.p1.4.m2.1.1.1.1.1.1.1.3">4</cn></apply><apply id="S4.SS5.p1.4.m2.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.SS5.p1.4.m2.1.1.1.1.1.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS5.p1.4.m2.1.1.1.1.1.2.1.1.cmml" xref="S4.SS5.p1.4.m2.1.1.1.1.1.2.1">subscript</csymbol><ci id="S4.SS5.p1.4.m2.1.1.1.1.1.2.1.2.cmml" xref="S4.SS5.p1.4.m2.1.1.1.1.1.2.1.2">𝑐</ci><cn id="S4.SS5.p1.4.m2.1.1.1.1.1.2.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS5.p1.4.m2.1.1.1.1.1.2.1.3">5</cn></apply><apply id="S4.SS5.p1.4.m2.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.SS5.p1.4.m2.1.1.1.1.1.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS5.p1.4.m2.1.1.1.1.1.3.1.1.cmml" xref="S4.SS5.p1.4.m2.1.1.1.1.1.3.1">subscript</csymbol><ci id="S4.SS5.p1.4.m2.1.1.1.1.1.3.1.2.cmml" xref="S4.SS5.p1.4.m2.1.1.1.1.1.3.1.2">𝑐</ci><cn id="S4.SS5.p1.4.m2.1.1.1.1.1.3.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS5.p1.4.m2.1.1.1.1.1.3.1.3">6</cn></apply></matrixrow></matrix></apply><ci id="S4.SS5.p1.4.m2.1.2.6.2.cmml" xref="S4.SS5.p1.4.m2.1.2.6.2">𝑇</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS5.p1.4.m2.1c">\bm{\kappa}=\mathbf{L}_{g}\mathbf{d}=\begin{bmatrix}c_{4}&c_{5}&c_{6}\end{% bmatrix}^{T}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS5.p1.4.m2.1d">bold_italic_κ = bold_L start_POSTSUBSCRIPT italic_g end_POSTSUBSCRIPT bold_d = [ start_ARG start_ROW start_CELL italic_c start_POSTSUBSCRIPT 4 end_POSTSUBSCRIPT end_CELL start_CELL italic_c start_POSTSUBSCRIPT 5 end_POSTSUBSCRIPT end_CELL start_CELL italic_c start_POSTSUBSCRIPT 6 end_POSTSUBSCRIPT end_CELL end_ROW end_ARG ] start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>. Its three components can be expressed by converting the three directional curvature constituent parts from the directional curvature vector <math alttext="\bm{\kappa}_{p}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS5.p1.5.m3.1"><semantics id="S4.SS5.p1.5.m3.1a"><msub id="S4.SS5.p1.5.m3.1.1" xref="S4.SS5.p1.5.m3.1.1.cmml"><mi id="S4.SS5.p1.5.m3.1.1.2" xref="S4.SS5.p1.5.m3.1.1.2.cmml">𝜿</mi><mi id="S4.SS5.p1.5.m3.1.1.3" xref="S4.SS5.p1.5.m3.1.1.3.cmml">p</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS5.p1.5.m3.1b"><apply id="S4.SS5.p1.5.m3.1.1.cmml" xref="S4.SS5.p1.5.m3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS5.p1.5.m3.1.1.1.cmml" xref="S4.SS5.p1.5.m3.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.SS5.p1.5.m3.1.1.2.cmml" xref="S4.SS5.p1.5.m3.1.1.2">𝜿</ci><ci id="S4.SS5.p1.5.m3.1.1.3.cmml" xref="S4.SS5.p1.5.m3.1.1.3">𝑝</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS5.p1.5.m3.1c">\bm{\kappa}_{p}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS5.p1.5.m3.1d">bold_italic_κ start_POSTSUBSCRIPT italic_p end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>. By recalling Eq. (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2502.10872v4#S4.E9" title="In 4.3 Corotational edge-based hinge bending model ‣ 4 Geometric Discretization ‣ Corotational Hinge-based Thin Plates/Shells"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">9</span></a>), Eq. (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2502.10872v4#S4.E13" title="In 4.3 Corotational edge-based hinge bending model ‣ 4 Geometric Discretization ‣ Corotational Hinge-based Thin Plates/Shells"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">13</span></a>) and Eq. (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2502.10872v4#S4.E40" title="In 4.4 Corotational FVM hinge bending model ‣ 4 Geometric Discretization ‣ Corotational Hinge-based Thin Plates/Shells"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">40</span></a>), <math alttext="\bm{\kappa}_{p}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS5.p1.6.m4.1"><semantics id="S4.SS5.p1.6.m4.1a"><msub id="S4.SS5.p1.6.m4.1.1" xref="S4.SS5.p1.6.m4.1.1.cmml"><mi id="S4.SS5.p1.6.m4.1.1.2" xref="S4.SS5.p1.6.m4.1.1.2.cmml">𝜿</mi><mi id="S4.SS5.p1.6.m4.1.1.3" xref="S4.SS5.p1.6.m4.1.1.3.cmml">p</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS5.p1.6.m4.1b"><apply id="S4.SS5.p1.6.m4.1.1.cmml" xref="S4.SS5.p1.6.m4.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS5.p1.6.m4.1.1.1.cmml" xref="S4.SS5.p1.6.m4.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.SS5.p1.6.m4.1.1.2.cmml" xref="S4.SS5.p1.6.m4.1.1.2">𝜿</ci><ci id="S4.SS5.p1.6.m4.1.1.3.cmml" xref="S4.SS5.p1.6.m4.1.1.3">𝑝</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS5.p1.6.m4.1c">\bm{\kappa}_{p}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS5.p1.6.m4.1d">bold_italic_κ start_POSTSUBSCRIPT italic_p end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> can be rewritten as <math alttext="\bm{\kappa}_{p}=\mathbf{L}_{p}\mathbf{d}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS5.p1.7.m5.1"><semantics id="S4.SS5.p1.7.m5.1a"><mrow id="S4.SS5.p1.7.m5.1.1" xref="S4.SS5.p1.7.m5.1.1.cmml"><msub id="S4.SS5.p1.7.m5.1.1.2" xref="S4.SS5.p1.7.m5.1.1.2.cmml"><mi id="S4.SS5.p1.7.m5.1.1.2.2" xref="S4.SS5.p1.7.m5.1.1.2.2.cmml">𝜿</mi><mi id="S4.SS5.p1.7.m5.1.1.2.3" xref="S4.SS5.p1.7.m5.1.1.2.3.cmml">p</mi></msub><mo id="S4.SS5.p1.7.m5.1.1.1" xref="S4.SS5.p1.7.m5.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S4.SS5.p1.7.m5.1.1.3" xref="S4.SS5.p1.7.m5.1.1.3.cmml"><msub id="S4.SS5.p1.7.m5.1.1.3.2" xref="S4.SS5.p1.7.m5.1.1.3.2.cmml"><mi id="S4.SS5.p1.7.m5.1.1.3.2.2" xref="S4.SS5.p1.7.m5.1.1.3.2.2.cmml">𝐋</mi><mi id="S4.SS5.p1.7.m5.1.1.3.2.3" xref="S4.SS5.p1.7.m5.1.1.3.2.3.cmml">p</mi></msub><mo id="S4.SS5.p1.7.m5.1.1.3.1" xref="S4.SS5.p1.7.m5.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.SS5.p1.7.m5.1.1.3.3" xref="S4.SS5.p1.7.m5.1.1.3.3.cmml">𝐝</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS5.p1.7.m5.1b"><apply id="S4.SS5.p1.7.m5.1.1.cmml" xref="S4.SS5.p1.7.m5.1.1"><eq id="S4.SS5.p1.7.m5.1.1.1.cmml" xref="S4.SS5.p1.7.m5.1.1.1"></eq><apply id="S4.SS5.p1.7.m5.1.1.2.cmml" xref="S4.SS5.p1.7.m5.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS5.p1.7.m5.1.1.2.1.cmml" xref="S4.SS5.p1.7.m5.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S4.SS5.p1.7.m5.1.1.2.2.cmml" xref="S4.SS5.p1.7.m5.1.1.2.2">𝜿</ci><ci id="S4.SS5.p1.7.m5.1.1.2.3.cmml" xref="S4.SS5.p1.7.m5.1.1.2.3">𝑝</ci></apply><apply id="S4.SS5.p1.7.m5.1.1.3.cmml" xref="S4.SS5.p1.7.m5.1.1.3"><times id="S4.SS5.p1.7.m5.1.1.3.1.cmml" xref="S4.SS5.p1.7.m5.1.1.3.1"></times><apply id="S4.SS5.p1.7.m5.1.1.3.2.cmml" xref="S4.SS5.p1.7.m5.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS5.p1.7.m5.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.SS5.p1.7.m5.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S4.SS5.p1.7.m5.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.SS5.p1.7.m5.1.1.3.2.2">𝐋</ci><ci id="S4.SS5.p1.7.m5.1.1.3.2.3.cmml" xref="S4.SS5.p1.7.m5.1.1.3.2.3">𝑝</ci></apply><ci id="S4.SS5.p1.7.m5.1.1.3.3.cmml" xref="S4.SS5.p1.7.m5.1.1.3.3">𝐝</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS5.p1.7.m5.1c">\bm{\kappa}_{p}=\mathbf{L}_{p}\mathbf{d}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS5.p1.7.m5.1d">bold_italic_κ start_POSTSUBSCRIPT italic_p end_POSTSUBSCRIPT = bold_L start_POSTSUBSCRIPT italic_p end_POSTSUBSCRIPT bold_d</annotation></semantics></math>. Consequently,</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S4.E49"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\bm{\kappa}_{p}=\mathbf{L}_{p}\mathbf{d}=\mathbf{L}_{p}\mathbf{C}_{p}\left(% \begin{array}[]{c}c_{4}\\ c_{5}\\ c_{6}\end{array}\right)=\mathbf{L}_{p}\mathbf{C}_{p}\mathbf{L}_{g}\mathbf{d}," class="ltx_Math" display="block" id="S4.E49.m1.2"><semantics id="S4.E49.m1.2a"><mrow id="S4.E49.m1.2.2.1" xref="S4.E49.m1.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S4.E49.m1.2.2.1.1" xref="S4.E49.m1.2.2.1.1.cmml"><msub id="S4.E49.m1.2.2.1.1.2" xref="S4.E49.m1.2.2.1.1.2.cmml"><mi id="S4.E49.m1.2.2.1.1.2.2" xref="S4.E49.m1.2.2.1.1.2.2.cmml">𝜿</mi><mi id="S4.E49.m1.2.2.1.1.2.3" xref="S4.E49.m1.2.2.1.1.2.3.cmml">p</mi></msub><mo id="S4.E49.m1.2.2.1.1.3" xref="S4.E49.m1.2.2.1.1.3.cmml">=</mo><mrow id="S4.E49.m1.2.2.1.1.4" xref="S4.E49.m1.2.2.1.1.4.cmml"><msub id="S4.E49.m1.2.2.1.1.4.2" xref="S4.E49.m1.2.2.1.1.4.2.cmml"><mi id="S4.E49.m1.2.2.1.1.4.2.2" xref="S4.E49.m1.2.2.1.1.4.2.2.cmml">𝐋</mi><mi id="S4.E49.m1.2.2.1.1.4.2.3" xref="S4.E49.m1.2.2.1.1.4.2.3.cmml">p</mi></msub><mo id="S4.E49.m1.2.2.1.1.4.1" xref="S4.E49.m1.2.2.1.1.4.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E49.m1.2.2.1.1.4.3" xref="S4.E49.m1.2.2.1.1.4.3.cmml">𝐝</mi></mrow><mo id="S4.E49.m1.2.2.1.1.5" xref="S4.E49.m1.2.2.1.1.5.cmml">=</mo><mrow id="S4.E49.m1.2.2.1.1.6" xref="S4.E49.m1.2.2.1.1.6.cmml"><msub id="S4.E49.m1.2.2.1.1.6.2" xref="S4.E49.m1.2.2.1.1.6.2.cmml"><mi id="S4.E49.m1.2.2.1.1.6.2.2" xref="S4.E49.m1.2.2.1.1.6.2.2.cmml">𝐋</mi><mi id="S4.E49.m1.2.2.1.1.6.2.3" xref="S4.E49.m1.2.2.1.1.6.2.3.cmml">p</mi></msub><mo id="S4.E49.m1.2.2.1.1.6.1" xref="S4.E49.m1.2.2.1.1.6.1.cmml">⁢</mo><msub id="S4.E49.m1.2.2.1.1.6.3" xref="S4.E49.m1.2.2.1.1.6.3.cmml"><mi id="S4.E49.m1.2.2.1.1.6.3.2" xref="S4.E49.m1.2.2.1.1.6.3.2.cmml">𝐂</mi><mi id="S4.E49.m1.2.2.1.1.6.3.3" 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id="S4.E49.m1.1.1e" xref="S4.E49.m1.1.1.cmml"><mtd id="S4.E49.m1.1.1f" xref="S4.E49.m1.1.1.cmml"><msub id="S4.E49.m1.1.1.3.1.1" xref="S4.E49.m1.1.1.3.1.1.cmml"><mi id="S4.E49.m1.1.1.3.1.1.2" xref="S4.E49.m1.1.1.3.1.1.2.cmml">c</mi><mn id="S4.E49.m1.1.1.3.1.1.3" xref="S4.E49.m1.1.1.3.1.1.3.cmml">6</mn></msub></mtd></mtr></mtable><mo id="S4.E49.m1.2.2.1.1.6.4.2.2" xref="S4.E49.m1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.E49.m1.2.2.1.1.7" xref="S4.E49.m1.2.2.1.1.7.cmml">=</mo><mrow id="S4.E49.m1.2.2.1.1.8" xref="S4.E49.m1.2.2.1.1.8.cmml"><msub id="S4.E49.m1.2.2.1.1.8.2" xref="S4.E49.m1.2.2.1.1.8.2.cmml"><mi id="S4.E49.m1.2.2.1.1.8.2.2" xref="S4.E49.m1.2.2.1.1.8.2.2.cmml">𝐋</mi><mi id="S4.E49.m1.2.2.1.1.8.2.3" xref="S4.E49.m1.2.2.1.1.8.2.3.cmml">p</mi></msub><mo id="S4.E49.m1.2.2.1.1.8.1" xref="S4.E49.m1.2.2.1.1.8.1.cmml">⁢</mo><msub id="S4.E49.m1.2.2.1.1.8.3" xref="S4.E49.m1.2.2.1.1.8.3.cmml"><mi id="S4.E49.m1.2.2.1.1.8.3.2" xref="S4.E49.m1.2.2.1.1.8.3.2.cmml">𝐂</mi><mi 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ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(49)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S4.SS5.p1.9">where <math alttext="\mathbf{C}_{p}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS5.p1.8.m1.1"><semantics id="S4.SS5.p1.8.m1.1a"><msub id="S4.SS5.p1.8.m1.1.1" xref="S4.SS5.p1.8.m1.1.1.cmml"><mi id="S4.SS5.p1.8.m1.1.1.2" xref="S4.SS5.p1.8.m1.1.1.2.cmml">𝐂</mi><mi id="S4.SS5.p1.8.m1.1.1.3" xref="S4.SS5.p1.8.m1.1.1.3.cmml">p</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS5.p1.8.m1.1b"><apply id="S4.SS5.p1.8.m1.1.1.cmml" xref="S4.SS5.p1.8.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS5.p1.8.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS5.p1.8.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.SS5.p1.8.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS5.p1.8.m1.1.1.2">𝐂</ci><ci id="S4.SS5.p1.8.m1.1.1.3.cmml" xref="S4.SS5.p1.8.m1.1.1.3">𝑝</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS5.p1.8.m1.1c">\mathbf{C}_{p}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS5.p1.8.m1.1d">bold_C start_POSTSUBSCRIPT italic_p end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> is portrayed as a matrix <math alttext="\left[\begin{array}[]{cccccc}\tilde{x}_{1}^{2}/2&\tilde{y}_{1}^{2}/2&\tilde{x}% _{1}\tilde{y}_{1}/2\\ \vdots&\vdots&\vdots\\ \tilde{x}_{6}^{2}/2&\tilde{y}_{6}^{2}/2&\tilde{x}_{6}\tilde{y}_{6}/2\end{array% }\right]" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS5.p1.9.m2.1"><semantics id="S4.SS5.p1.9.m2.1a"><mrow id="S4.SS5.p1.9.m2.1.2.2" xref="S4.SS5.p1.9.m2.1.2.1.cmml"><mo id="S4.SS5.p1.9.m2.1.2.2.1" xref="S4.SS5.p1.9.m2.1.2.1.1.cmml">[</mo><mtable columnspacing="5pt" id="S4.SS5.p1.9.m2.1.1" rowspacing="0pt" xref="S4.SS5.p1.9.m2.1.1.cmml"><mtr id="S4.SS5.p1.9.m2.1.1a" xref="S4.SS5.p1.9.m2.1.1.cmml"><mtd id="S4.SS5.p1.9.m2.1.1b" xref="S4.SS5.p1.9.m2.1.1.cmml"><mrow id="S4.SS5.p1.9.m2.1.1.1.1.1" xref="S4.SS5.p1.9.m2.1.1.1.1.1.cmml"><msubsup id="S4.SS5.p1.9.m2.1.1.1.1.1.2" 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xref="S4.SS5.p1.9.m2.1.1.3.3.1.2.3">subscript</csymbol><apply id="S4.SS5.p1.9.m2.1.1.3.3.1.2.3.2.cmml" xref="S4.SS5.p1.9.m2.1.1.3.3.1.2.3.2"><ci id="S4.SS5.p1.9.m2.1.1.3.3.1.2.3.2.1.cmml" xref="S4.SS5.p1.9.m2.1.1.3.3.1.2.3.2.1">~</ci><ci id="S4.SS5.p1.9.m2.1.1.3.3.1.2.3.2.2.cmml" xref="S4.SS5.p1.9.m2.1.1.3.3.1.2.3.2.2">𝑦</ci></apply><cn id="S4.SS5.p1.9.m2.1.1.3.3.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS5.p1.9.m2.1.1.3.3.1.2.3.3">6</cn></apply></apply><cn id="S4.SS5.p1.9.m2.1.1.3.3.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS5.p1.9.m2.1.1.3.3.1.3">2</cn></apply><cerror id="S4.SS5.p1.9.m2.1.1p.cmml" xref="S4.SS5.p1.9.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS5.p1.9.m2.1.1q.cmml" xref="S4.SS5.p1.9.m2.1.1">missing-subexpression</csymbol></cerror><cerror id="S4.SS5.p1.9.m2.1.1r.cmml" xref="S4.SS5.p1.9.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS5.p1.9.m2.1.1s.cmml" xref="S4.SS5.p1.9.m2.1.1">missing-subexpression</csymbol></cerror><cerror id="S4.SS5.p1.9.m2.1.1t.cmml" xref="S4.SS5.p1.9.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS5.p1.9.m2.1.1u.cmml" xref="S4.SS5.p1.9.m2.1.1">missing-subexpression</csymbol></cerror></matrixrow></matrix></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS5.p1.9.m2.1c">\left[\begin{array}[]{cccccc}\tilde{x}_{1}^{2}/2&\tilde{y}_{1}^{2}/2&\tilde{x}% _{1}\tilde{y}_{1}/2\\ \vdots&\vdots&\vdots\\ \tilde{x}_{6}^{2}/2&\tilde{y}_{6}^{2}/2&\tilde{x}_{6}\tilde{y}_{6}/2\end{array% }\right]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS5.p1.9.m2.1d">[ start_ARRAY start_ROW start_CELL over~ start_ARG italic_x end_ARG start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT / 2 end_CELL start_CELL over~ start_ARG italic_y end_ARG start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT / 2 end_CELL start_CELL over~ start_ARG italic_x end_ARG start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT over~ start_ARG italic_y end_ARG start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT / 2 end_CELL start_CELL end_CELL start_CELL end_CELL start_CELL end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL ⋮ end_CELL start_CELL ⋮ end_CELL start_CELL ⋮ end_CELL start_CELL end_CELL start_CELL end_CELL start_CELL end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL over~ start_ARG italic_x end_ARG start_POSTSUBSCRIPT 6 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT / 2 end_CELL start_CELL over~ start_ARG italic_y end_ARG start_POSTSUBSCRIPT 6 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT / 2 end_CELL start_CELL over~ start_ARG italic_x end_ARG start_POSTSUBSCRIPT 6 end_POSTSUBSCRIPT over~ start_ARG italic_y end_ARG start_POSTSUBSCRIPT 6 end_POSTSUBSCRIPT / 2 end_CELL start_CELL end_CELL start_CELL end_CELL start_CELL end_CELL end_ROW end_ARRAY ]</annotation></semantics></math>. We then explicitly get the corotational smoothed hinge curvature operator</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S4.E50"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\mathbf{L}_{g}=(\mathbf{L}_{p}\mathbf{C}_{p})^{-1}\mathbf{L}_{p}" class="ltx_Math" display="block" id="S4.E50.m1.1"><semantics id="S4.E50.m1.1a"><mrow id="S4.E50.m1.1.1" xref="S4.E50.m1.1.1.cmml"><msub id="S4.E50.m1.1.1.3" xref="S4.E50.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.E50.m1.1.1.3.2" xref="S4.E50.m1.1.1.3.2.cmml">𝐋</mi><mi id="S4.E50.m1.1.1.3.3" xref="S4.E50.m1.1.1.3.3.cmml">g</mi></msub><mo id="S4.E50.m1.1.1.2" xref="S4.E50.m1.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S4.E50.m1.1.1.1" xref="S4.E50.m1.1.1.1.cmml"><msup id="S4.E50.m1.1.1.1.1" xref="S4.E50.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.E50.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E50.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.E50.m1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.E50.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.E50.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E50.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S4.E50.m1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.E50.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.E50.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.E50.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">𝐋</mi><mi id="S4.E50.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S4.E50.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">p</mi></msub><mo id="S4.E50.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E50.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S4.E50.m1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.E50.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.E50.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.E50.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">𝐂</mi><mi id="S4.E50.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.E50.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">p</mi></msub></mrow><mo id="S4.E50.m1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.E50.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S4.E50.m1.1.1.1.1.3" xref="S4.E50.m1.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="S4.E50.m1.1.1.1.1.3a" xref="S4.E50.m1.1.1.1.1.3.cmml">−</mo><mn id="S4.E50.m1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.E50.m1.1.1.1.1.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="S4.E50.m1.1.1.1.2" xref="S4.E50.m1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="S4.E50.m1.1.1.1.3" xref="S4.E50.m1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.E50.m1.1.1.1.3.2" xref="S4.E50.m1.1.1.1.3.2.cmml">𝐋</mi><mi id="S4.E50.m1.1.1.1.3.3" xref="S4.E50.m1.1.1.1.3.3.cmml">p</mi></msub></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.E50.m1.1b"><apply id="S4.E50.m1.1.1.cmml" xref="S4.E50.m1.1.1"><eq id="S4.E50.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.E50.m1.1.1.2"></eq><apply id="S4.E50.m1.1.1.3.cmml" xref="S4.E50.m1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E50.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E50.m1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.E50.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.E50.m1.1.1.3.2">𝐋</ci><ci id="S4.E50.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.E50.m1.1.1.3.3">𝑔</ci></apply><apply id="S4.E50.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.E50.m1.1.1.1"><times id="S4.E50.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E50.m1.1.1.1.2"></times><apply id="S4.E50.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E50.m1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E50.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E50.m1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S4.E50.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E50.m1.1.1.1.1.1.1"><times id="S4.E50.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E50.m1.1.1.1.1.1.1.1.1"></times><apply id="S4.E50.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E50.m1.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E50.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.E50.m1.1.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S4.E50.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.E50.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝐋</ci><ci id="S4.E50.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.E50.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">𝑝</ci></apply><apply id="S4.E50.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E50.m1.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E50.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E50.m1.1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.E50.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.E50.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝐂</ci><ci id="S4.E50.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.E50.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑝</ci></apply></apply><apply id="S4.E50.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E50.m1.1.1.1.1.3"><minus id="S4.E50.m1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E50.m1.1.1.1.1.3"></minus><cn id="S4.E50.m1.1.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S4.E50.m1.1.1.1.1.3.2">1</cn></apply></apply><apply id="S4.E50.m1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E50.m1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E50.m1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E50.m1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.E50.m1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.E50.m1.1.1.1.3.2">𝐋</ci><ci id="S4.E50.m1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.E50.m1.1.1.1.3.3">𝑝</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.E50.m1.1c">\mathbf{L}_{g}=(\mathbf{L}_{p}\mathbf{C}_{p})^{-1}\mathbf{L}_{p}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.E50.m1.1d">bold_L start_POSTSUBSCRIPT italic_g end_POSTSUBSCRIPT = ( bold_L start_POSTSUBSCRIPT italic_p end_POSTSUBSCRIPT bold_C start_POSTSUBSCRIPT italic_p end_POSTSUBSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT bold_L start_POSTSUBSCRIPT italic_p end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(50)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S4.SS5.p1.12">to express the generalized curvature in the smoothed hinge bending model as</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S4.E51"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\bm{\kappa}=\mathbf{L}_{g}\mathbf{N}^{T}\mathbf{x}^{e}." class="ltx_Math" display="block" id="S4.E51.m1.1"><semantics id="S4.E51.m1.1a"><mrow id="S4.E51.m1.1.1.1" xref="S4.E51.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.E51.m1.1.1.1.1" xref="S4.E51.m1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.E51.m1.1.1.1.1.2" xref="S4.E51.m1.1.1.1.1.2.cmml">𝜿</mi><mo id="S4.E51.m1.1.1.1.1.1" xref="S4.E51.m1.1.1.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S4.E51.m1.1.1.1.1.3" xref="S4.E51.m1.1.1.1.1.3.cmml"><msub id="S4.E51.m1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.E51.m1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S4.E51.m1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S4.E51.m1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">𝐋</mi><mi id="S4.E51.m1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S4.E51.m1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">g</mi></msub><mo id="S4.E51.m1.1.1.1.1.3.1" xref="S4.E51.m1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="S4.E51.m1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.E51.m1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S4.E51.m1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S4.E51.m1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">𝐍</mi><mi id="S4.E51.m1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S4.E51.m1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">T</mi></msup><mo id="S4.E51.m1.1.1.1.1.3.1a" xref="S4.E51.m1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="S4.E51.m1.1.1.1.1.3.4" xref="S4.E51.m1.1.1.1.1.3.4.cmml"><mi id="S4.E51.m1.1.1.1.1.3.4.2" xref="S4.E51.m1.1.1.1.1.3.4.2.cmml">𝐱</mi><mi id="S4.E51.m1.1.1.1.1.3.4.3" xref="S4.E51.m1.1.1.1.1.3.4.3.cmml">e</mi></msup></mrow></mrow><mo id="S4.E51.m1.1.1.1.2" lspace="0em" xref="S4.E51.m1.1.1.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.E51.m1.1b"><apply id="S4.E51.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E51.m1.1.1.1"><eq id="S4.E51.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E51.m1.1.1.1.1.1"></eq><ci id="S4.E51.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E51.m1.1.1.1.1.2">𝜿</ci><apply id="S4.E51.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E51.m1.1.1.1.1.3"><times id="S4.E51.m1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E51.m1.1.1.1.1.3.1"></times><apply id="S4.E51.m1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.E51.m1.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E51.m1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.E51.m1.1.1.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S4.E51.m1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.E51.m1.1.1.1.1.3.2.2">𝐋</ci><ci id="S4.E51.m1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S4.E51.m1.1.1.1.1.3.2.3">𝑔</ci></apply><apply id="S4.E51.m1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.E51.m1.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E51.m1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.E51.m1.1.1.1.1.3.3">superscript</csymbol><ci id="S4.E51.m1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S4.E51.m1.1.1.1.1.3.3.2">𝐍</ci><ci id="S4.E51.m1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S4.E51.m1.1.1.1.1.3.3.3">𝑇</ci></apply><apply id="S4.E51.m1.1.1.1.1.3.4.cmml" xref="S4.E51.m1.1.1.1.1.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E51.m1.1.1.1.1.3.4.1.cmml" xref="S4.E51.m1.1.1.1.1.3.4">superscript</csymbol><ci id="S4.E51.m1.1.1.1.1.3.4.2.cmml" xref="S4.E51.m1.1.1.1.1.3.4.2">𝐱</ci><ci id="S4.E51.m1.1.1.1.1.3.4.3.cmml" xref="S4.E51.m1.1.1.1.1.3.4.3">𝑒</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.E51.m1.1c">\bm{\kappa}=\mathbf{L}_{g}\mathbf{N}^{T}\mathbf{x}^{e}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.E51.m1.1d">bold_italic_κ = bold_L start_POSTSUBSCRIPT italic_g end_POSTSUBSCRIPT bold_N start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT bold_x start_POSTSUPERSCRIPT italic_e end_POSTSUPERSCRIPT .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(51)</span></td> </tr></tbody> </table> </div> <div class="ltx_para" id="S4.SS5.p2"> <p class="ltx_p" id="S4.SS5.p2.1">It should be mentioned that the constant curvature of the quadratic surface can also be computed by the least square method to solve a sixth order linear system for each curvature operator. In practice, we find that our presented method is more stable compared to this approach. Another explicit formulation is presented in a follow-up note by Reisman et al. <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2502.10872v4#bib.bibx35" title="">RGZ07</a>]</cite>, which continues the work of Grinspun et al. <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2502.10872v4#bib.bibx18" title="">GGRZ06</a>]</cite>, they highlight certain drawbacks of the curvature operator fitted on the quadratic surface. Notably, near-conic degenerate configurations can lead to numerical instabilities and challenges in boundary condition treatment. Thanks to our small strain/curvature assumption within the corotational framework, the bending energy Hessian matrix can be assembled once using the initial geometric data. A good mesh initialization can effectively mitigate the numerical issue. In our numerous numerical exercises, even with no special initialization, we find that our model remains stable. More detailed results can be found in the Section <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2502.10872v4#S6" title="6 Numerical Experiments ‣ Corotational Hinge-based Thin Plates/Shells"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">6</span></a>. Additionally, we provide a concise treatment of boundary conditions on our corotational smoothed hinge curvature operator, which will be elaborated upon later.</p> </div> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S4.SS5.p3"> <p class="ltx_p" id="S4.SS5.p3.1"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S4.SS5.p3.1.1">Corotational smoothed hinge thin plate.</span> The bending energy of the corotational smoothed hinge thin plate is</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S4.E52"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\Psi_{{b}}^{SP}=\frac{A}{2}\bm{\kappa}^{T}\mathbf{D}_{{b}}\bm{\kappa}." class="ltx_Math" display="block" id="S4.E52.m1.1"><semantics id="S4.E52.m1.1a"><mrow id="S4.E52.m1.1.1.1" xref="S4.E52.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.E52.m1.1.1.1.1" xref="S4.E52.m1.1.1.1.1.cmml"><msubsup id="S4.E52.m1.1.1.1.1.2" xref="S4.E52.m1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.E52.m1.1.1.1.1.2.2.2" mathvariant="normal" xref="S4.E52.m1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">Ψ</mi><mi id="S4.E52.m1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S4.E52.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">b</mi><mrow id="S4.E52.m1.1.1.1.1.2.3" xref="S4.E52.m1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S4.E52.m1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S4.E52.m1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">S</mi><mo id="S4.E52.m1.1.1.1.1.2.3.1" xref="S4.E52.m1.1.1.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E52.m1.1.1.1.1.2.3.3" xref="S4.E52.m1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">P</mi></mrow></msubsup><mo id="S4.E52.m1.1.1.1.1.1" xref="S4.E52.m1.1.1.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S4.E52.m1.1.1.1.1.3" xref="S4.E52.m1.1.1.1.1.3.cmml"><mfrac id="S4.E52.m1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.E52.m1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S4.E52.m1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S4.E52.m1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">A</mi><mn id="S4.E52.m1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S4.E52.m1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">2</mn></mfrac><mo id="S4.E52.m1.1.1.1.1.3.1" xref="S4.E52.m1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="S4.E52.m1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.E52.m1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S4.E52.m1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S4.E52.m1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">𝜿</mi><mi id="S4.E52.m1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S4.E52.m1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">T</mi></msup><mo id="S4.E52.m1.1.1.1.1.3.1a" xref="S4.E52.m1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S4.E52.m1.1.1.1.1.3.4" xref="S4.E52.m1.1.1.1.1.3.4.cmml"><mi id="S4.E52.m1.1.1.1.1.3.4.2" xref="S4.E52.m1.1.1.1.1.3.4.2.cmml">𝐃</mi><mi id="S4.E52.m1.1.1.1.1.3.4.3" xref="S4.E52.m1.1.1.1.1.3.4.3.cmml">b</mi></msub><mo id="S4.E52.m1.1.1.1.1.3.1b" xref="S4.E52.m1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E52.m1.1.1.1.1.3.5" xref="S4.E52.m1.1.1.1.1.3.5.cmml">𝜿</mi></mrow></mrow><mo id="S4.E52.m1.1.1.1.2" lspace="0em" xref="S4.E52.m1.1.1.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.E52.m1.1b"><apply id="S4.E52.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E52.m1.1.1.1"><eq id="S4.E52.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E52.m1.1.1.1.1.1"></eq><apply id="S4.E52.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E52.m1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E52.m1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.E52.m1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="S4.E52.m1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.E52.m1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E52.m1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.E52.m1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S4.E52.m1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.E52.m1.1.1.1.1.2.2.2">Ψ</ci><ci id="S4.E52.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.E52.m1.1.1.1.1.2.2.3">𝑏</ci></apply><apply id="S4.E52.m1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.E52.m1.1.1.1.1.2.3"><times id="S4.E52.m1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S4.E52.m1.1.1.1.1.2.3.1"></times><ci id="S4.E52.m1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S4.E52.m1.1.1.1.1.2.3.2">𝑆</ci><ci id="S4.E52.m1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S4.E52.m1.1.1.1.1.2.3.3">𝑃</ci></apply></apply><apply id="S4.E52.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E52.m1.1.1.1.1.3"><times id="S4.E52.m1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E52.m1.1.1.1.1.3.1"></times><apply id="S4.E52.m1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.E52.m1.1.1.1.1.3.2"><divide id="S4.E52.m1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.E52.m1.1.1.1.1.3.2"></divide><ci id="S4.E52.m1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.E52.m1.1.1.1.1.3.2.2">𝐴</ci><cn id="S4.E52.m1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.E52.m1.1.1.1.1.3.2.3">2</cn></apply><apply id="S4.E52.m1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.E52.m1.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E52.m1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.E52.m1.1.1.1.1.3.3">superscript</csymbol><ci id="S4.E52.m1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S4.E52.m1.1.1.1.1.3.3.2">𝜿</ci><ci id="S4.E52.m1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S4.E52.m1.1.1.1.1.3.3.3">𝑇</ci></apply><apply id="S4.E52.m1.1.1.1.1.3.4.cmml" xref="S4.E52.m1.1.1.1.1.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E52.m1.1.1.1.1.3.4.1.cmml" xref="S4.E52.m1.1.1.1.1.3.4">subscript</csymbol><ci id="S4.E52.m1.1.1.1.1.3.4.2.cmml" xref="S4.E52.m1.1.1.1.1.3.4.2">𝐃</ci><ci id="S4.E52.m1.1.1.1.1.3.4.3.cmml" xref="S4.E52.m1.1.1.1.1.3.4.3">𝑏</ci></apply><ci id="S4.E52.m1.1.1.1.1.3.5.cmml" xref="S4.E52.m1.1.1.1.1.3.5">𝜿</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.E52.m1.1c">\Psi_{{b}}^{SP}=\frac{A}{2}\bm{\kappa}^{T}\mathbf{D}_{{b}}\bm{\kappa}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.E52.m1.1d">roman_Ψ start_POSTSUBSCRIPT italic_b end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_S italic_P end_POSTSUPERSCRIPT = divide start_ARG italic_A end_ARG start_ARG 2 end_ARG bold_italic_κ start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT bold_D start_POSTSUBSCRIPT italic_b end_POSTSUBSCRIPT bold_italic_κ .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(52)</span></td> </tr></tbody> </table> </div> <div class="ltx_para" id="S4.SS5.p4"> <p class="ltx_p" id="S4.SS5.p4.1">The destination of the corotational smoothed hinge bending energy Hessian</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S4.E53"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\frac{\partial\Psi_{{b}}^{SP}}{\partial\mathbf{x}^{\mathrm{e}}}=A(\mathbf{L}_{% g}^{T}\mathbf{D}_{{b}}\mathbf{L}_{g}\otimes\mathbf{I})" class="ltx_Math" display="block" id="S4.E53.m1.1"><semantics id="S4.E53.m1.1a"><mrow id="S4.E53.m1.1.1" xref="S4.E53.m1.1.1.cmml"><mfrac id="S4.E53.m1.1.1.3" xref="S4.E53.m1.1.1.3.cmml"><mrow id="S4.E53.m1.1.1.3.2" xref="S4.E53.m1.1.1.3.2.cmml"><mo id="S4.E53.m1.1.1.3.2.1" rspace="0em" xref="S4.E53.m1.1.1.3.2.1.cmml">∂</mo><msubsup id="S4.E53.m1.1.1.3.2.2" xref="S4.E53.m1.1.1.3.2.2.cmml"><mi id="S4.E53.m1.1.1.3.2.2.2.2" mathvariant="normal" xref="S4.E53.m1.1.1.3.2.2.2.2.cmml">Ψ</mi><mi id="S4.E53.m1.1.1.3.2.2.2.3" xref="S4.E53.m1.1.1.3.2.2.2.3.cmml">b</mi><mrow id="S4.E53.m1.1.1.3.2.2.3" xref="S4.E53.m1.1.1.3.2.2.3.cmml"><mi id="S4.E53.m1.1.1.3.2.2.3.2" xref="S4.E53.m1.1.1.3.2.2.3.2.cmml">S</mi><mo id="S4.E53.m1.1.1.3.2.2.3.1" xref="S4.E53.m1.1.1.3.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E53.m1.1.1.3.2.2.3.3" xref="S4.E53.m1.1.1.3.2.2.3.3.cmml">P</mi></mrow></msubsup></mrow><mrow id="S4.E53.m1.1.1.3.3" xref="S4.E53.m1.1.1.3.3.cmml"><mo id="S4.E53.m1.1.1.3.3.1" rspace="0em" xref="S4.E53.m1.1.1.3.3.1.cmml">∂</mo><msup id="S4.E53.m1.1.1.3.3.2" xref="S4.E53.m1.1.1.3.3.2.cmml"><mi id="S4.E53.m1.1.1.3.3.2.2" xref="S4.E53.m1.1.1.3.3.2.2.cmml">𝐱</mi><mi id="S4.E53.m1.1.1.3.3.2.3" mathvariant="normal" xref="S4.E53.m1.1.1.3.3.2.3.cmml">e</mi></msup></mrow></mfrac><mo id="S4.E53.m1.1.1.2" xref="S4.E53.m1.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S4.E53.m1.1.1.1" xref="S4.E53.m1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.E53.m1.1.1.1.3" xref="S4.E53.m1.1.1.1.3.cmml">A</mi><mo id="S4.E53.m1.1.1.1.2" xref="S4.E53.m1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E53.m1.1.1.1.1.1" xref="S4.E53.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.E53.m1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.E53.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.E53.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E53.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.E53.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.E53.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><msubsup id="S4.E53.m1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.E53.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S4.E53.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2" xref="S4.E53.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml">𝐋</mi><mi id="S4.E53.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3" xref="S4.E53.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml">g</mi><mi id="S4.E53.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S4.E53.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">T</mi></msubsup><mo id="S4.E53.m1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S4.E53.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S4.E53.m1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S4.E53.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S4.E53.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S4.E53.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">𝐃</mi><mi id="S4.E53.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="S4.E53.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">b</mi></msub><mo id="S4.E53.m1.1.1.1.1.1.1.2.1a" xref="S4.E53.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S4.E53.m1.1.1.1.1.1.1.2.4" xref="S4.E53.m1.1.1.1.1.1.1.2.4.cmml"><mi id="S4.E53.m1.1.1.1.1.1.1.2.4.2" xref="S4.E53.m1.1.1.1.1.1.1.2.4.2.cmml">𝐋</mi><mi id="S4.E53.m1.1.1.1.1.1.1.2.4.3" xref="S4.E53.m1.1.1.1.1.1.1.2.4.3.cmml">g</mi></msub></mrow><mo id="S4.E53.m1.1.1.1.1.1.1.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S4.E53.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⊗</mo><mi id="S4.E53.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.E53.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">𝐈</mi></mrow><mo id="S4.E53.m1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.E53.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.E53.m1.1b"><apply id="S4.E53.m1.1.1.cmml" xref="S4.E53.m1.1.1"><eq id="S4.E53.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.E53.m1.1.1.2"></eq><apply id="S4.E53.m1.1.1.3.cmml" xref="S4.E53.m1.1.1.3"><divide id="S4.E53.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E53.m1.1.1.3"></divide><apply id="S4.E53.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.E53.m1.1.1.3.2"><partialdiff id="S4.E53.m1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.E53.m1.1.1.3.2.1"></partialdiff><apply id="S4.E53.m1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.E53.m1.1.1.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E53.m1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S4.E53.m1.1.1.3.2.2">superscript</csymbol><apply id="S4.E53.m1.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S4.E53.m1.1.1.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E53.m1.1.1.3.2.2.2.1.cmml" xref="S4.E53.m1.1.1.3.2.2">subscript</csymbol><ci id="S4.E53.m1.1.1.3.2.2.2.2.cmml" xref="S4.E53.m1.1.1.3.2.2.2.2">Ψ</ci><ci id="S4.E53.m1.1.1.3.2.2.2.3.cmml" xref="S4.E53.m1.1.1.3.2.2.2.3">𝑏</ci></apply><apply id="S4.E53.m1.1.1.3.2.2.3.cmml" xref="S4.E53.m1.1.1.3.2.2.3"><times id="S4.E53.m1.1.1.3.2.2.3.1.cmml" xref="S4.E53.m1.1.1.3.2.2.3.1"></times><ci id="S4.E53.m1.1.1.3.2.2.3.2.cmml" xref="S4.E53.m1.1.1.3.2.2.3.2">𝑆</ci><ci id="S4.E53.m1.1.1.3.2.2.3.3.cmml" xref="S4.E53.m1.1.1.3.2.2.3.3">𝑃</ci></apply></apply></apply><apply id="S4.E53.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.E53.m1.1.1.3.3"><partialdiff id="S4.E53.m1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.E53.m1.1.1.3.3.1"></partialdiff><apply id="S4.E53.m1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S4.E53.m1.1.1.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E53.m1.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="S4.E53.m1.1.1.3.3.2">superscript</csymbol><ci id="S4.E53.m1.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="S4.E53.m1.1.1.3.3.2.2">𝐱</ci><ci id="S4.E53.m1.1.1.3.3.2.3.cmml" xref="S4.E53.m1.1.1.3.3.2.3">e</ci></apply></apply></apply><apply id="S4.E53.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.E53.m1.1.1.1"><times id="S4.E53.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E53.m1.1.1.1.2"></times><ci id="S4.E53.m1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E53.m1.1.1.1.3">𝐴</ci><apply id="S4.E53.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E53.m1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S4.E53.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E53.m1.1.1.1.1.1.1.1">tensor-product</csymbol><apply id="S4.E53.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E53.m1.1.1.1.1.1.1.2"><times id="S4.E53.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.E53.m1.1.1.1.1.1.1.2.1"></times><apply id="S4.E53.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.E53.m1.1.1.1.1.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E53.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.E53.m1.1.1.1.1.1.1.2.2">superscript</csymbol><apply id="S4.E53.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.E53.m1.1.1.1.1.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E53.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S4.E53.m1.1.1.1.1.1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S4.E53.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S4.E53.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2">𝐋</ci><ci id="S4.E53.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml" xref="S4.E53.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3">𝑔</ci></apply><ci id="S4.E53.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.E53.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3">𝑇</ci></apply><apply id="S4.E53.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.E53.m1.1.1.1.1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E53.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S4.E53.m1.1.1.1.1.1.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="S4.E53.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S4.E53.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2">𝐃</ci><ci id="S4.E53.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S4.E53.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3">𝑏</ci></apply><apply id="S4.E53.m1.1.1.1.1.1.1.2.4.cmml" xref="S4.E53.m1.1.1.1.1.1.1.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E53.m1.1.1.1.1.1.1.2.4.1.cmml" xref="S4.E53.m1.1.1.1.1.1.1.2.4">subscript</csymbol><ci id="S4.E53.m1.1.1.1.1.1.1.2.4.2.cmml" xref="S4.E53.m1.1.1.1.1.1.1.2.4.2">𝐋</ci><ci id="S4.E53.m1.1.1.1.1.1.1.2.4.3.cmml" xref="S4.E53.m1.1.1.1.1.1.1.2.4.3">𝑔</ci></apply></apply><ci id="S4.E53.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E53.m1.1.1.1.1.1.1.3">𝐈</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.E53.m1.1c">\frac{\partial\Psi_{{b}}^{SP}}{\partial\mathbf{x}^{\mathrm{e}}}=A(\mathbf{L}_{% g}^{T}\mathbf{D}_{{b}}\mathbf{L}_{g}\otimes\mathbf{I})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.E53.m1.1d">divide start_ARG ∂ roman_Ψ start_POSTSUBSCRIPT italic_b end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_S italic_P end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG ∂ bold_x start_POSTSUPERSCRIPT roman_e end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG = italic_A ( bold_L start_POSTSUBSCRIPT italic_g end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT bold_D start_POSTSUBSCRIPT italic_b end_POSTSUBSCRIPT bold_L start_POSTSUBSCRIPT italic_g end_POSTSUBSCRIPT ⊗ bold_I )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(53)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S4.SS5.p4.2">is also constant, and the linear gradient can also be computed by the approach in Eq.(<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2502.10872v4#S4.E22" title="In 4.3 Corotational edge-based hinge bending model ‣ 4 Geometric Discretization ‣ Corotational Hinge-based Thin Plates/Shells"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">22</span></a>).</p> </div> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S4.SS5.p5"> <p class="ltx_p" id="S4.SS5.p5.2"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S4.SS5.p5.2.1">Corotational smoothed hinge thin shell.</span> The bending energy of the corotational smoothed hinge thin shell is</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S4.E54"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\Psi_{\mathrm{b}}^{SS}=\frac{A}{2}(\bm{\varepsilon}_{b}^{SS})^{T}\mathbf{D}_{% \mathit{b}}\bm{\varepsilon}_{b}^{SS}," class="ltx_Math" display="block" id="S4.E54.m1.1"><semantics id="S4.E54.m1.1a"><mrow id="S4.E54.m1.1.1.1" xref="S4.E54.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.E54.m1.1.1.1.1" xref="S4.E54.m1.1.1.1.1.cmml"><msubsup id="S4.E54.m1.1.1.1.1.3" xref="S4.E54.m1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.E54.m1.1.1.1.1.3.2.2" mathvariant="normal" xref="S4.E54.m1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">Ψ</mi><mi id="S4.E54.m1.1.1.1.1.3.2.3" mathvariant="normal" xref="S4.E54.m1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">b</mi><mrow id="S4.E54.m1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.E54.m1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S4.E54.m1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S4.E54.m1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">S</mi><mo id="S4.E54.m1.1.1.1.1.3.3.1" xref="S4.E54.m1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E54.m1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S4.E54.m1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">S</mi></mrow></msubsup><mo id="S4.E54.m1.1.1.1.1.2" xref="S4.E54.m1.1.1.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S4.E54.m1.1.1.1.1.1" xref="S4.E54.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mfrac id="S4.E54.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.E54.m1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.E54.m1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.E54.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">A</mi><mn id="S4.E54.m1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.E54.m1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></mfrac><mo id="S4.E54.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.E54.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msup id="S4.E54.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E54.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.E54.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E54.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.E54.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.E54.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msubsup id="S4.E54.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E54.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.E54.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.E54.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">𝜺</mi><mi id="S4.E54.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S4.E54.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">b</mi><mrow id="S4.E54.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.E54.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.E54.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.E54.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">S</mi><mo id="S4.E54.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S4.E54.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E54.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.E54.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">S</mi></mrow></msubsup><mo id="S4.E54.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.E54.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mi id="S4.E54.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.E54.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">T</mi></msup><mo id="S4.E54.m1.1.1.1.1.1.2a" xref="S4.E54.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="S4.E54.m1.1.1.1.1.1.4" xref="S4.E54.m1.1.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="S4.E54.m1.1.1.1.1.1.4.2" xref="S4.E54.m1.1.1.1.1.1.4.2.cmml">𝐃</mi><mi id="S4.E54.m1.1.1.1.1.1.4.3" xref="S4.E54.m1.1.1.1.1.1.4.3.cmml">b</mi></msub><mo id="S4.E54.m1.1.1.1.1.1.2b" xref="S4.E54.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.E54.m1.1.1.1.1.1.5" xref="S4.E54.m1.1.1.1.1.1.5.cmml"><mi id="S4.E54.m1.1.1.1.1.1.5.2.2" xref="S4.E54.m1.1.1.1.1.1.5.2.2.cmml">𝜺</mi><mi id="S4.E54.m1.1.1.1.1.1.5.2.3" xref="S4.E54.m1.1.1.1.1.1.5.2.3.cmml">b</mi><mrow id="S4.E54.m1.1.1.1.1.1.5.3" xref="S4.E54.m1.1.1.1.1.1.5.3.cmml"><mi id="S4.E54.m1.1.1.1.1.1.5.3.2" xref="S4.E54.m1.1.1.1.1.1.5.3.2.cmml">S</mi><mo id="S4.E54.m1.1.1.1.1.1.5.3.1" xref="S4.E54.m1.1.1.1.1.1.5.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E54.m1.1.1.1.1.1.5.3.3" xref="S4.E54.m1.1.1.1.1.1.5.3.3.cmml">S</mi></mrow></msubsup></mrow></mrow><mo id="S4.E54.m1.1.1.1.2" xref="S4.E54.m1.1.1.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.E54.m1.1b"><apply id="S4.E54.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E54.m1.1.1.1"><eq id="S4.E54.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E54.m1.1.1.1.1.2"></eq><apply id="S4.E54.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E54.m1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E54.m1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E54.m1.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="S4.E54.m1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.E54.m1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E54.m1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.E54.m1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.E54.m1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.E54.m1.1.1.1.1.3.2.2">Ψ</ci><ci id="S4.E54.m1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S4.E54.m1.1.1.1.1.3.2.3">b</ci></apply><apply id="S4.E54.m1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.E54.m1.1.1.1.1.3.3"><times id="S4.E54.m1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.E54.m1.1.1.1.1.3.3.1"></times><ci id="S4.E54.m1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S4.E54.m1.1.1.1.1.3.3.2">𝑆</ci><ci id="S4.E54.m1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S4.E54.m1.1.1.1.1.3.3.3">𝑆</ci></apply></apply><apply id="S4.E54.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E54.m1.1.1.1.1.1"><times id="S4.E54.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E54.m1.1.1.1.1.1.2"></times><apply id="S4.E54.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E54.m1.1.1.1.1.1.3"><divide id="S4.E54.m1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E54.m1.1.1.1.1.1.3"></divide><ci id="S4.E54.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.E54.m1.1.1.1.1.1.3.2">𝐴</ci><cn id="S4.E54.m1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.E54.m1.1.1.1.1.1.3.3">2</cn></apply><apply id="S4.E54.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E54.m1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E54.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E54.m1.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S4.E54.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E54.m1.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E54.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E54.m1.1.1.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S4.E54.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E54.m1.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E54.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.E54.m1.1.1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.E54.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.E54.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝜺</ci><ci id="S4.E54.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.E54.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">𝑏</ci></apply><apply id="S4.E54.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E54.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><times id="S4.E54.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E54.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><ci id="S4.E54.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.E54.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑆</ci><ci id="S4.E54.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.E54.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑆</ci></apply></apply><ci id="S4.E54.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E54.m1.1.1.1.1.1.1.3">𝑇</ci></apply><apply id="S4.E54.m1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S4.E54.m1.1.1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E54.m1.1.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="S4.E54.m1.1.1.1.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="S4.E54.m1.1.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="S4.E54.m1.1.1.1.1.1.4.2">𝐃</ci><ci id="S4.E54.m1.1.1.1.1.1.4.3.cmml" xref="S4.E54.m1.1.1.1.1.1.4.3">𝑏</ci></apply><apply id="S4.E54.m1.1.1.1.1.1.5.cmml" xref="S4.E54.m1.1.1.1.1.1.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E54.m1.1.1.1.1.1.5.1.cmml" xref="S4.E54.m1.1.1.1.1.1.5">superscript</csymbol><apply id="S4.E54.m1.1.1.1.1.1.5.2.cmml" xref="S4.E54.m1.1.1.1.1.1.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E54.m1.1.1.1.1.1.5.2.1.cmml" xref="S4.E54.m1.1.1.1.1.1.5">subscript</csymbol><ci id="S4.E54.m1.1.1.1.1.1.5.2.2.cmml" xref="S4.E54.m1.1.1.1.1.1.5.2.2">𝜺</ci><ci id="S4.E54.m1.1.1.1.1.1.5.2.3.cmml" xref="S4.E54.m1.1.1.1.1.1.5.2.3">𝑏</ci></apply><apply id="S4.E54.m1.1.1.1.1.1.5.3.cmml" xref="S4.E54.m1.1.1.1.1.1.5.3"><times id="S4.E54.m1.1.1.1.1.1.5.3.1.cmml" xref="S4.E54.m1.1.1.1.1.1.5.3.1"></times><ci id="S4.E54.m1.1.1.1.1.1.5.3.2.cmml" xref="S4.E54.m1.1.1.1.1.1.5.3.2">𝑆</ci><ci id="S4.E54.m1.1.1.1.1.1.5.3.3.cmml" xref="S4.E54.m1.1.1.1.1.1.5.3.3">𝑆</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.E54.m1.1c">\Psi_{\mathrm{b}}^{SS}=\frac{A}{2}(\bm{\varepsilon}_{b}^{SS})^{T}\mathbf{D}_{% \mathit{b}}\bm{\varepsilon}_{b}^{SS},</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.E54.m1.1d">roman_Ψ start_POSTSUBSCRIPT roman_b end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_S italic_S end_POSTSUPERSCRIPT = divide start_ARG italic_A end_ARG start_ARG 2 end_ARG ( bold_italic_ε start_POSTSUBSCRIPT italic_b end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_S italic_S end_POSTSUPERSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT bold_D start_POSTSUBSCRIPT italic_b end_POSTSUBSCRIPT bold_italic_ε start_POSTSUBSCRIPT italic_b end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_S italic_S end_POSTSUPERSCRIPT ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(54)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S4.SS5.p5.1">where the curvature change vector <math alttext="\bm{\varepsilon}_{b}^{SS}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS5.p5.1.m1.1"><semantics id="S4.SS5.p5.1.m1.1a"><msubsup id="S4.SS5.p5.1.m1.1.1" xref="S4.SS5.p5.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S4.SS5.p5.1.m1.1.1.2.2" xref="S4.SS5.p5.1.m1.1.1.2.2.cmml">𝜺</mi><mi id="S4.SS5.p5.1.m1.1.1.2.3" xref="S4.SS5.p5.1.m1.1.1.2.3.cmml">b</mi><mrow id="S4.SS5.p5.1.m1.1.1.3" xref="S4.SS5.p5.1.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.SS5.p5.1.m1.1.1.3.2" xref="S4.SS5.p5.1.m1.1.1.3.2.cmml">S</mi><mo id="S4.SS5.p5.1.m1.1.1.3.1" xref="S4.SS5.p5.1.m1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.SS5.p5.1.m1.1.1.3.3" xref="S4.SS5.p5.1.m1.1.1.3.3.cmml">S</mi></mrow></msubsup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS5.p5.1.m1.1b"><apply id="S4.SS5.p5.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.SS5.p5.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS5.p5.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS5.p5.1.m1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S4.SS5.p5.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS5.p5.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS5.p5.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.SS5.p5.1.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.SS5.p5.1.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.SS5.p5.1.m1.1.1.2.2">𝜺</ci><ci id="S4.SS5.p5.1.m1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.SS5.p5.1.m1.1.1.2.3">𝑏</ci></apply><apply id="S4.SS5.p5.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S4.SS5.p5.1.m1.1.1.3"><times id="S4.SS5.p5.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.SS5.p5.1.m1.1.1.3.1"></times><ci id="S4.SS5.p5.1.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.SS5.p5.1.m1.1.1.3.2">𝑆</ci><ci id="S4.SS5.p5.1.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.SS5.p5.1.m1.1.1.3.3">𝑆</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS5.p5.1.m1.1c">\bm{\varepsilon}_{b}^{SS}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS5.p5.1.m1.1d">bold_italic_ε start_POSTSUBSCRIPT italic_b end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_S italic_S end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> is</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S4.E55"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\bm{\varepsilon}_{b}^{SS}=\bm{\kappa}-\bm{\kappa}_{0}=\mathbf{L}_{g}\mathbf{N}% ^{T}{\mathbf{x}}^{e}-\mathbf{L}_{g}\mathbf{N}_{0}^{T}{\mathbf{X}}^{e}." class="ltx_Math" display="block" id="S4.E55.m1.1"><semantics id="S4.E55.m1.1a"><mrow id="S4.E55.m1.1.1.1" xref="S4.E55.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.E55.m1.1.1.1.1" xref="S4.E55.m1.1.1.1.1.cmml"><msubsup id="S4.E55.m1.1.1.1.1.2" xref="S4.E55.m1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.E55.m1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S4.E55.m1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">𝜺</mi><mi id="S4.E55.m1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S4.E55.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">b</mi><mrow id="S4.E55.m1.1.1.1.1.2.3" xref="S4.E55.m1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S4.E55.m1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S4.E55.m1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">S</mi><mo id="S4.E55.m1.1.1.1.1.2.3.1" xref="S4.E55.m1.1.1.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E55.m1.1.1.1.1.2.3.3" xref="S4.E55.m1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">S</mi></mrow></msubsup><mo id="S4.E55.m1.1.1.1.1.3" xref="S4.E55.m1.1.1.1.1.3.cmml">=</mo><mrow id="S4.E55.m1.1.1.1.1.4" xref="S4.E55.m1.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="S4.E55.m1.1.1.1.1.4.2" xref="S4.E55.m1.1.1.1.1.4.2.cmml">𝜿</mi><mo id="S4.E55.m1.1.1.1.1.4.1" xref="S4.E55.m1.1.1.1.1.4.1.cmml">−</mo><msub id="S4.E55.m1.1.1.1.1.4.3" xref="S4.E55.m1.1.1.1.1.4.3.cmml"><mi id="S4.E55.m1.1.1.1.1.4.3.2" xref="S4.E55.m1.1.1.1.1.4.3.2.cmml">𝜿</mi><mn id="S4.E55.m1.1.1.1.1.4.3.3" xref="S4.E55.m1.1.1.1.1.4.3.3.cmml">0</mn></msub></mrow><mo id="S4.E55.m1.1.1.1.1.5" xref="S4.E55.m1.1.1.1.1.5.cmml">=</mo><mrow id="S4.E55.m1.1.1.1.1.6" xref="S4.E55.m1.1.1.1.1.6.cmml"><mrow id="S4.E55.m1.1.1.1.1.6.2" xref="S4.E55.m1.1.1.1.1.6.2.cmml"><msub id="S4.E55.m1.1.1.1.1.6.2.2" xref="S4.E55.m1.1.1.1.1.6.2.2.cmml"><mi id="S4.E55.m1.1.1.1.1.6.2.2.2" xref="S4.E55.m1.1.1.1.1.6.2.2.2.cmml">𝐋</mi><mi id="S4.E55.m1.1.1.1.1.6.2.2.3" xref="S4.E55.m1.1.1.1.1.6.2.2.3.cmml">g</mi></msub><mo id="S4.E55.m1.1.1.1.1.6.2.1" xref="S4.E55.m1.1.1.1.1.6.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="S4.E55.m1.1.1.1.1.6.2.3" xref="S4.E55.m1.1.1.1.1.6.2.3.cmml"><mi id="S4.E55.m1.1.1.1.1.6.2.3.2" xref="S4.E55.m1.1.1.1.1.6.2.3.2.cmml">𝐍</mi><mi id="S4.E55.m1.1.1.1.1.6.2.3.3" xref="S4.E55.m1.1.1.1.1.6.2.3.3.cmml">T</mi></msup><mo id="S4.E55.m1.1.1.1.1.6.2.1a" xref="S4.E55.m1.1.1.1.1.6.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="S4.E55.m1.1.1.1.1.6.2.4" xref="S4.E55.m1.1.1.1.1.6.2.4.cmml"><mi id="S4.E55.m1.1.1.1.1.6.2.4.2" xref="S4.E55.m1.1.1.1.1.6.2.4.2.cmml">𝐱</mi><mi id="S4.E55.m1.1.1.1.1.6.2.4.3" xref="S4.E55.m1.1.1.1.1.6.2.4.3.cmml">e</mi></msup></mrow><mo id="S4.E55.m1.1.1.1.1.6.1" xref="S4.E55.m1.1.1.1.1.6.1.cmml">−</mo><mrow id="S4.E55.m1.1.1.1.1.6.3" xref="S4.E55.m1.1.1.1.1.6.3.cmml"><msub id="S4.E55.m1.1.1.1.1.6.3.2" xref="S4.E55.m1.1.1.1.1.6.3.2.cmml"><mi id="S4.E55.m1.1.1.1.1.6.3.2.2" xref="S4.E55.m1.1.1.1.1.6.3.2.2.cmml">𝐋</mi><mi id="S4.E55.m1.1.1.1.1.6.3.2.3" xref="S4.E55.m1.1.1.1.1.6.3.2.3.cmml">g</mi></msub><mo id="S4.E55.m1.1.1.1.1.6.3.1" xref="S4.E55.m1.1.1.1.1.6.3.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.E55.m1.1.1.1.1.6.3.3" xref="S4.E55.m1.1.1.1.1.6.3.3.cmml"><mi id="S4.E55.m1.1.1.1.1.6.3.3.2.2" xref="S4.E55.m1.1.1.1.1.6.3.3.2.2.cmml">𝐍</mi><mn id="S4.E55.m1.1.1.1.1.6.3.3.2.3" xref="S4.E55.m1.1.1.1.1.6.3.3.2.3.cmml">0</mn><mi id="S4.E55.m1.1.1.1.1.6.3.3.3" xref="S4.E55.m1.1.1.1.1.6.3.3.3.cmml">T</mi></msubsup><mo id="S4.E55.m1.1.1.1.1.6.3.1a" xref="S4.E55.m1.1.1.1.1.6.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="S4.E55.m1.1.1.1.1.6.3.4" xref="S4.E55.m1.1.1.1.1.6.3.4.cmml"><mi id="S4.E55.m1.1.1.1.1.6.3.4.2" xref="S4.E55.m1.1.1.1.1.6.3.4.2.cmml">𝐗</mi><mi id="S4.E55.m1.1.1.1.1.6.3.4.3" xref="S4.E55.m1.1.1.1.1.6.3.4.3.cmml">e</mi></msup></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.E55.m1.1.1.1.2" lspace="0em" xref="S4.E55.m1.1.1.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.E55.m1.1b"><apply id="S4.E55.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E55.m1.1.1.1"><and id="S4.E55.m1.1.1.1.1a.cmml" xref="S4.E55.m1.1.1.1"></and><apply id="S4.E55.m1.1.1.1.1b.cmml" xref="S4.E55.m1.1.1.1"><eq id="S4.E55.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E55.m1.1.1.1.1.3"></eq><apply id="S4.E55.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E55.m1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E55.m1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.E55.m1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="S4.E55.m1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.E55.m1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E55.m1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.E55.m1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S4.E55.m1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.E55.m1.1.1.1.1.2.2.2">𝜺</ci><ci id="S4.E55.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.E55.m1.1.1.1.1.2.2.3">𝑏</ci></apply><apply id="S4.E55.m1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.E55.m1.1.1.1.1.2.3"><times id="S4.E55.m1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S4.E55.m1.1.1.1.1.2.3.1"></times><ci id="S4.E55.m1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S4.E55.m1.1.1.1.1.2.3.2">𝑆</ci><ci id="S4.E55.m1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S4.E55.m1.1.1.1.1.2.3.3">𝑆</ci></apply></apply><apply id="S4.E55.m1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S4.E55.m1.1.1.1.1.4"><minus id="S4.E55.m1.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="S4.E55.m1.1.1.1.1.4.1"></minus><ci id="S4.E55.m1.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="S4.E55.m1.1.1.1.1.4.2">𝜿</ci><apply id="S4.E55.m1.1.1.1.1.4.3.cmml" xref="S4.E55.m1.1.1.1.1.4.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E55.m1.1.1.1.1.4.3.1.cmml" xref="S4.E55.m1.1.1.1.1.4.3">subscript</csymbol><ci id="S4.E55.m1.1.1.1.1.4.3.2.cmml" xref="S4.E55.m1.1.1.1.1.4.3.2">𝜿</ci><cn id="S4.E55.m1.1.1.1.1.4.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.E55.m1.1.1.1.1.4.3.3">0</cn></apply></apply></apply><apply id="S4.E55.m1.1.1.1.1c.cmml" xref="S4.E55.m1.1.1.1"><eq id="S4.E55.m1.1.1.1.1.5.cmml" xref="S4.E55.m1.1.1.1.1.5"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2502.10872v4#S4.E55.m1.1.1.1.1.4.cmml" id="S4.E55.m1.1.1.1.1d.cmml" xref="S4.E55.m1.1.1.1"></share><apply id="S4.E55.m1.1.1.1.1.6.cmml" xref="S4.E55.m1.1.1.1.1.6"><minus id="S4.E55.m1.1.1.1.1.6.1.cmml" xref="S4.E55.m1.1.1.1.1.6.1"></minus><apply id="S4.E55.m1.1.1.1.1.6.2.cmml" xref="S4.E55.m1.1.1.1.1.6.2"><times id="S4.E55.m1.1.1.1.1.6.2.1.cmml" xref="S4.E55.m1.1.1.1.1.6.2.1"></times><apply id="S4.E55.m1.1.1.1.1.6.2.2.cmml" xref="S4.E55.m1.1.1.1.1.6.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E55.m1.1.1.1.1.6.2.2.1.cmml" xref="S4.E55.m1.1.1.1.1.6.2.2">subscript</csymbol><ci id="S4.E55.m1.1.1.1.1.6.2.2.2.cmml" xref="S4.E55.m1.1.1.1.1.6.2.2.2">𝐋</ci><ci id="S4.E55.m1.1.1.1.1.6.2.2.3.cmml" xref="S4.E55.m1.1.1.1.1.6.2.2.3">𝑔</ci></apply><apply id="S4.E55.m1.1.1.1.1.6.2.3.cmml" xref="S4.E55.m1.1.1.1.1.6.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E55.m1.1.1.1.1.6.2.3.1.cmml" xref="S4.E55.m1.1.1.1.1.6.2.3">superscript</csymbol><ci id="S4.E55.m1.1.1.1.1.6.2.3.2.cmml" xref="S4.E55.m1.1.1.1.1.6.2.3.2">𝐍</ci><ci id="S4.E55.m1.1.1.1.1.6.2.3.3.cmml" xref="S4.E55.m1.1.1.1.1.6.2.3.3">𝑇</ci></apply><apply id="S4.E55.m1.1.1.1.1.6.2.4.cmml" xref="S4.E55.m1.1.1.1.1.6.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E55.m1.1.1.1.1.6.2.4.1.cmml" xref="S4.E55.m1.1.1.1.1.6.2.4">superscript</csymbol><ci id="S4.E55.m1.1.1.1.1.6.2.4.2.cmml" xref="S4.E55.m1.1.1.1.1.6.2.4.2">𝐱</ci><ci id="S4.E55.m1.1.1.1.1.6.2.4.3.cmml" xref="S4.E55.m1.1.1.1.1.6.2.4.3">𝑒</ci></apply></apply><apply id="S4.E55.m1.1.1.1.1.6.3.cmml" xref="S4.E55.m1.1.1.1.1.6.3"><times id="S4.E55.m1.1.1.1.1.6.3.1.cmml" xref="S4.E55.m1.1.1.1.1.6.3.1"></times><apply id="S4.E55.m1.1.1.1.1.6.3.2.cmml" xref="S4.E55.m1.1.1.1.1.6.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E55.m1.1.1.1.1.6.3.2.1.cmml" xref="S4.E55.m1.1.1.1.1.6.3.2">subscript</csymbol><ci id="S4.E55.m1.1.1.1.1.6.3.2.2.cmml" xref="S4.E55.m1.1.1.1.1.6.3.2.2">𝐋</ci><ci id="S4.E55.m1.1.1.1.1.6.3.2.3.cmml" xref="S4.E55.m1.1.1.1.1.6.3.2.3">𝑔</ci></apply><apply id="S4.E55.m1.1.1.1.1.6.3.3.cmml" xref="S4.E55.m1.1.1.1.1.6.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E55.m1.1.1.1.1.6.3.3.1.cmml" xref="S4.E55.m1.1.1.1.1.6.3.3">superscript</csymbol><apply id="S4.E55.m1.1.1.1.1.6.3.3.2.cmml" xref="S4.E55.m1.1.1.1.1.6.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E55.m1.1.1.1.1.6.3.3.2.1.cmml" xref="S4.E55.m1.1.1.1.1.6.3.3">subscript</csymbol><ci id="S4.E55.m1.1.1.1.1.6.3.3.2.2.cmml" xref="S4.E55.m1.1.1.1.1.6.3.3.2.2">𝐍</ci><cn id="S4.E55.m1.1.1.1.1.6.3.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.E55.m1.1.1.1.1.6.3.3.2.3">0</cn></apply><ci id="S4.E55.m1.1.1.1.1.6.3.3.3.cmml" xref="S4.E55.m1.1.1.1.1.6.3.3.3">𝑇</ci></apply><apply id="S4.E55.m1.1.1.1.1.6.3.4.cmml" xref="S4.E55.m1.1.1.1.1.6.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E55.m1.1.1.1.1.6.3.4.1.cmml" xref="S4.E55.m1.1.1.1.1.6.3.4">superscript</csymbol><ci id="S4.E55.m1.1.1.1.1.6.3.4.2.cmml" xref="S4.E55.m1.1.1.1.1.6.3.4.2">𝐗</ci><ci id="S4.E55.m1.1.1.1.1.6.3.4.3.cmml" xref="S4.E55.m1.1.1.1.1.6.3.4.3">𝑒</ci></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.E55.m1.1c">\bm{\varepsilon}_{b}^{SS}=\bm{\kappa}-\bm{\kappa}_{0}=\mathbf{L}_{g}\mathbf{N}% ^{T}{\mathbf{x}}^{e}-\mathbf{L}_{g}\mathbf{N}_{0}^{T}{\mathbf{X}}^{e}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.E55.m1.1d">bold_italic_ε start_POSTSUBSCRIPT italic_b end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_S italic_S end_POSTSUPERSCRIPT = bold_italic_κ - bold_italic_κ start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT = bold_L start_POSTSUBSCRIPT italic_g end_POSTSUBSCRIPT bold_N start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT bold_x start_POSTSUPERSCRIPT italic_e end_POSTSUPERSCRIPT - bold_L start_POSTSUBSCRIPT italic_g end_POSTSUBSCRIPT bold_N start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT bold_X start_POSTSUPERSCRIPT italic_e end_POSTSUPERSCRIPT .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(55)</span></td> </tr></tbody> </table> </div> <div class="ltx_para" id="S4.SS5.p6"> <p class="ltx_p" id="S4.SS5.p6.1">The gradient of the bending energy of corotational smoothed hinge thin shell is</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S4.E56"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\frac{\partial\Psi_{\mathrm{b}}^{SS}}{\partial\mathbf{x}^{\mathrm{e}}}=A\frac{% \partial(\bm{\varepsilon}_{b}^{SS})^{T}}{\partial\mathbf{x}^{e}}\mathbf{D}_{{b% }}\bm{\varepsilon}_{b}^{SS}," class="ltx_Math" display="block" id="S4.E56.m1.2"><semantics id="S4.E56.m1.2a"><mrow id="S4.E56.m1.2.2.1" xref="S4.E56.m1.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S4.E56.m1.2.2.1.1" xref="S4.E56.m1.2.2.1.1.cmml"><mfrac id="S4.E56.m1.2.2.1.1.2" xref="S4.E56.m1.2.2.1.1.2.cmml"><mrow id="S4.E56.m1.2.2.1.1.2.2" xref="S4.E56.m1.2.2.1.1.2.2.cmml"><mo id="S4.E56.m1.2.2.1.1.2.2.1" rspace="0em" xref="S4.E56.m1.2.2.1.1.2.2.1.cmml">∂</mo><msubsup id="S4.E56.m1.2.2.1.1.2.2.2" xref="S4.E56.m1.2.2.1.1.2.2.2.cmml"><mi id="S4.E56.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2" mathvariant="normal" xref="S4.E56.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.cmml">Ψ</mi><mi id="S4.E56.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.3" mathvariant="normal" xref="S4.E56.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.3.cmml">b</mi><mrow id="S4.E56.m1.2.2.1.1.2.2.2.3" xref="S4.E56.m1.2.2.1.1.2.2.2.3.cmml"><mi id="S4.E56.m1.2.2.1.1.2.2.2.3.2" xref="S4.E56.m1.2.2.1.1.2.2.2.3.2.cmml">S</mi><mo id="S4.E56.m1.2.2.1.1.2.2.2.3.1" xref="S4.E56.m1.2.2.1.1.2.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E56.m1.2.2.1.1.2.2.2.3.3" xref="S4.E56.m1.2.2.1.1.2.2.2.3.3.cmml">S</mi></mrow></msubsup></mrow><mrow id="S4.E56.m1.2.2.1.1.2.3" xref="S4.E56.m1.2.2.1.1.2.3.cmml"><mo id="S4.E56.m1.2.2.1.1.2.3.1" rspace="0em" xref="S4.E56.m1.2.2.1.1.2.3.1.cmml">∂</mo><msup id="S4.E56.m1.2.2.1.1.2.3.2" xref="S4.E56.m1.2.2.1.1.2.3.2.cmml"><mi id="S4.E56.m1.2.2.1.1.2.3.2.2" xref="S4.E56.m1.2.2.1.1.2.3.2.2.cmml">𝐱</mi><mi id="S4.E56.m1.2.2.1.1.2.3.2.3" mathvariant="normal" xref="S4.E56.m1.2.2.1.1.2.3.2.3.cmml">e</mi></msup></mrow></mfrac><mo id="S4.E56.m1.2.2.1.1.1" xref="S4.E56.m1.2.2.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S4.E56.m1.2.2.1.1.3" xref="S4.E56.m1.2.2.1.1.3.cmml"><mi id="S4.E56.m1.2.2.1.1.3.2" xref="S4.E56.m1.2.2.1.1.3.2.cmml">A</mi><mo id="S4.E56.m1.2.2.1.1.3.1" xref="S4.E56.m1.2.2.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mfrac id="S4.E56.m1.1.1" xref="S4.E56.m1.1.1.cmml"><mrow id="S4.E56.m1.1.1.1" xref="S4.E56.m1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.E56.m1.1.1.1.2" rspace="0em" xref="S4.E56.m1.1.1.1.2.cmml">∂</mo><msup id="S4.E56.m1.1.1.1.1" xref="S4.E56.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.E56.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E56.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.E56.m1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.E56.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msubsup id="S4.E56.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E56.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.E56.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.E56.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">𝜺</mi><mi id="S4.E56.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S4.E56.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">b</mi><mrow id="S4.E56.m1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.E56.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.E56.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.E56.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">S</mi><mo id="S4.E56.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S4.E56.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E56.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.E56.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">S</mi></mrow></msubsup><mo id="S4.E56.m1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.E56.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mi id="S4.E56.m1.1.1.1.1.3" xref="S4.E56.m1.1.1.1.1.3.cmml">T</mi></msup></mrow><mrow id="S4.E56.m1.1.1.3" xref="S4.E56.m1.1.1.3.cmml"><mo id="S4.E56.m1.1.1.3.1" rspace="0em" xref="S4.E56.m1.1.1.3.1.cmml">∂</mo><msup id="S4.E56.m1.1.1.3.2" xref="S4.E56.m1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S4.E56.m1.1.1.3.2.2" xref="S4.E56.m1.1.1.3.2.2.cmml">𝐱</mi><mi id="S4.E56.m1.1.1.3.2.3" xref="S4.E56.m1.1.1.3.2.3.cmml">e</mi></msup></mrow></mfrac><mo id="S4.E56.m1.2.2.1.1.3.1a" xref="S4.E56.m1.2.2.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S4.E56.m1.2.2.1.1.3.3" xref="S4.E56.m1.2.2.1.1.3.3.cmml"><mi id="S4.E56.m1.2.2.1.1.3.3.2" xref="S4.E56.m1.2.2.1.1.3.3.2.cmml">𝐃</mi><mi id="S4.E56.m1.2.2.1.1.3.3.3" xref="S4.E56.m1.2.2.1.1.3.3.3.cmml">b</mi></msub><mo id="S4.E56.m1.2.2.1.1.3.1b" xref="S4.E56.m1.2.2.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.E56.m1.2.2.1.1.3.4" xref="S4.E56.m1.2.2.1.1.3.4.cmml"><mi id="S4.E56.m1.2.2.1.1.3.4.2.2" xref="S4.E56.m1.2.2.1.1.3.4.2.2.cmml">𝜺</mi><mi id="S4.E56.m1.2.2.1.1.3.4.2.3" xref="S4.E56.m1.2.2.1.1.3.4.2.3.cmml">b</mi><mrow id="S4.E56.m1.2.2.1.1.3.4.3" 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end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_S italic_S end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG ∂ bold_x start_POSTSUPERSCRIPT roman_e end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG = italic_A divide start_ARG ∂ ( bold_italic_ε start_POSTSUBSCRIPT italic_b end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_S italic_S end_POSTSUPERSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG ∂ bold_x start_POSTSUPERSCRIPT italic_e end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG bold_D start_POSTSUBSCRIPT italic_b end_POSTSUBSCRIPT bold_italic_ε start_POSTSUBSCRIPT italic_b end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_S italic_S end_POSTSUPERSCRIPT ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(56)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S4.SS5.p6.2">where the gradient of the curvature change vector is</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S4.E57"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\frac{\partial(\bm{\varepsilon}_{b}^{SS})^{T}}{\partial\mathbf{x}^{e}}=({% \mathbf{x}}^{e})^{T}\frac{\partial\mathbf{N}}{\partial\mathbf{x}^{e}}\mathbf{L% }_{g}^{T}+\mathbf{N}\mathbf{L}_{g}^{T}." class="ltx_Math" display="block" id="S4.E57.m1.2"><semantics id="S4.E57.m1.2a"><mrow id="S4.E57.m1.2.2.1" xref="S4.E57.m1.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S4.E57.m1.2.2.1.1" xref="S4.E57.m1.2.2.1.1.cmml"><mfrac id="S4.E57.m1.1.1" xref="S4.E57.m1.1.1.cmml"><mrow id="S4.E57.m1.1.1.1" xref="S4.E57.m1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.E57.m1.1.1.1.2" rspace="0em" xref="S4.E57.m1.1.1.1.2.cmml">∂</mo><msup id="S4.E57.m1.1.1.1.1" xref="S4.E57.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.E57.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E57.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.E57.m1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" 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xref="S4.E57.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.E57.m1.2.2.1.1.1.1.4" xref="S4.E57.m1.2.2.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="S4.E57.m1.2.2.1.1.1.1.4.2.2" xref="S4.E57.m1.2.2.1.1.1.1.4.2.2.cmml">𝐋</mi><mi id="S4.E57.m1.2.2.1.1.1.1.4.2.3" xref="S4.E57.m1.2.2.1.1.1.1.4.2.3.cmml">g</mi><mi id="S4.E57.m1.2.2.1.1.1.1.4.3" xref="S4.E57.m1.2.2.1.1.1.1.4.3.cmml">T</mi></msubsup></mrow><mo id="S4.E57.m1.2.2.1.1.1.2" xref="S4.E57.m1.2.2.1.1.1.2.cmml">+</mo><msubsup id="S4.E57.m1.2.2.1.1.1.3" xref="S4.E57.m1.2.2.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.E57.m1.2.2.1.1.1.3.2.2" xref="S4.E57.m1.2.2.1.1.1.3.2.2.cmml">𝐍𝐋</mi><mi id="S4.E57.m1.2.2.1.1.1.3.2.3" xref="S4.E57.m1.2.2.1.1.1.3.2.3.cmml">g</mi><mi id="S4.E57.m1.2.2.1.1.1.3.3" xref="S4.E57.m1.2.2.1.1.1.3.3.cmml">T</mi></msubsup></mrow></mrow><mo id="S4.E57.m1.2.2.1.2" lspace="0em" xref="S4.E57.m1.2.2.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.E57.m1.2b"><apply id="S4.E57.m1.2.2.1.1.cmml" xref="S4.E57.m1.2.2.1"><eq id="S4.E57.m1.2.2.1.1.2.cmml" xref="S4.E57.m1.2.2.1.1.2"></eq><apply id="S4.E57.m1.1.1.cmml" xref="S4.E57.m1.1.1"><divide id="S4.E57.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.E57.m1.1.1"></divide><apply id="S4.E57.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.E57.m1.1.1.1"><partialdiff id="S4.E57.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E57.m1.1.1.1.2"></partialdiff><apply id="S4.E57.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E57.m1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E57.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E57.m1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S4.E57.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E57.m1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E57.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E57.m1.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S4.E57.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E57.m1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E57.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.E57.m1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.E57.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.E57.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝜺</ci><ci id="S4.E57.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.E57.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">𝑏</ci></apply><apply id="S4.E57.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E57.m1.1.1.1.1.1.1.1.3"><times id="S4.E57.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E57.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><ci id="S4.E57.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.E57.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑆</ci><ci id="S4.E57.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.E57.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑆</ci></apply></apply><ci id="S4.E57.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E57.m1.1.1.1.1.3">𝑇</ci></apply></apply><apply id="S4.E57.m1.1.1.3.cmml" xref="S4.E57.m1.1.1.3"><partialdiff id="S4.E57.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E57.m1.1.1.3.1"></partialdiff><apply id="S4.E57.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.E57.m1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E57.m1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.E57.m1.1.1.3.2">superscript</csymbol><ci id="S4.E57.m1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.E57.m1.1.1.3.2.2">𝐱</ci><ci id="S4.E57.m1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S4.E57.m1.1.1.3.2.3">𝑒</ci></apply></apply></apply><apply id="S4.E57.m1.2.2.1.1.1.cmml" 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id="S4.E57.m1.2.2.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E57.m1.2.2.1.1.1.1.3"></divide><apply id="S4.E57.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.E57.m1.2.2.1.1.1.1.3.2"><partialdiff id="S4.E57.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.E57.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.1"></partialdiff><ci id="S4.E57.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.E57.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.2">𝐍</ci></apply><apply id="S4.E57.m1.2.2.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.E57.m1.2.2.1.1.1.1.3.3"><partialdiff id="S4.E57.m1.2.2.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.E57.m1.2.2.1.1.1.1.3.3.1"></partialdiff><apply id="S4.E57.m1.2.2.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S4.E57.m1.2.2.1.1.1.1.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E57.m1.2.2.1.1.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="S4.E57.m1.2.2.1.1.1.1.3.3.2">superscript</csymbol><ci id="S4.E57.m1.2.2.1.1.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="S4.E57.m1.2.2.1.1.1.1.3.3.2.2">𝐱</ci><ci id="S4.E57.m1.2.2.1.1.1.1.3.3.2.3.cmml" xref="S4.E57.m1.2.2.1.1.1.1.3.3.2.3">𝑒</ci></apply></apply></apply><apply id="S4.E57.m1.2.2.1.1.1.1.4.cmml" xref="S4.E57.m1.2.2.1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E57.m1.2.2.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="S4.E57.m1.2.2.1.1.1.1.4">superscript</csymbol><apply id="S4.E57.m1.2.2.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="S4.E57.m1.2.2.1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E57.m1.2.2.1.1.1.1.4.2.1.cmml" xref="S4.E57.m1.2.2.1.1.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="S4.E57.m1.2.2.1.1.1.1.4.2.2.cmml" xref="S4.E57.m1.2.2.1.1.1.1.4.2.2">𝐋</ci><ci id="S4.E57.m1.2.2.1.1.1.1.4.2.3.cmml" xref="S4.E57.m1.2.2.1.1.1.1.4.2.3">𝑔</ci></apply><ci id="S4.E57.m1.2.2.1.1.1.1.4.3.cmml" xref="S4.E57.m1.2.2.1.1.1.1.4.3">𝑇</ci></apply></apply><apply id="S4.E57.m1.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E57.m1.2.2.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E57.m1.2.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E57.m1.2.2.1.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="S4.E57.m1.2.2.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.E57.m1.2.2.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E57.m1.2.2.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.E57.m1.2.2.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.E57.m1.2.2.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.E57.m1.2.2.1.1.1.3.2.2">𝐍𝐋</ci><ci id="S4.E57.m1.2.2.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S4.E57.m1.2.2.1.1.1.3.2.3">𝑔</ci></apply><ci id="S4.E57.m1.2.2.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.E57.m1.2.2.1.1.1.3.3">𝑇</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.E57.m1.2c">\frac{\partial(\bm{\varepsilon}_{b}^{SS})^{T}}{\partial\mathbf{x}^{e}}=({% \mathbf{x}}^{e})^{T}\frac{\partial\mathbf{N}}{\partial\mathbf{x}^{e}}\mathbf{L% }_{g}^{T}+\mathbf{N}\mathbf{L}_{g}^{T}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.E57.m1.2d">divide start_ARG ∂ ( bold_italic_ε start_POSTSUBSCRIPT italic_b end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_S italic_S end_POSTSUPERSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG ∂ bold_x start_POSTSUPERSCRIPT italic_e end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG = ( bold_x start_POSTSUPERSCRIPT italic_e end_POSTSUPERSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT divide start_ARG ∂ bold_N end_ARG start_ARG ∂ bold_x start_POSTSUPERSCRIPT italic_e end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG bold_L start_POSTSUBSCRIPT italic_g end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT + bold_NL start_POSTSUBSCRIPT italic_g end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(57)</span></td> </tr></tbody> </table> </div> <div class="ltx_para" id="S4.SS5.p7"> <p class="ltx_p" id="S4.SS5.p7.1">The bending energy Hessian is the same as that of the corotational smoothed hinge thin plate model. The rationale behind this similarity is consistent with the explanation provided for the corotational edge-based hinge thin shell model.</p> </div> <figure class="ltx_figure" id="S4.F4"><img alt="Refer to caption" class="ltx_graphics ltx_centering ltx_img_landscape" height="354" id="S4.F4.g1" src="x4.png" width="623"/> <figcaption class="ltx_caption ltx_centering"><span class="ltx_tag ltx_tag_figure"><span class="ltx_text" id="S4.F4.10.5.1" style="font-size:90%;">Figure 4</span>: </span><span class="ltx_text" id="S4.F4.8.4" style="font-size:90%;"> The artificial node <math alttext="L^{\prime}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.F4.5.1.m1.1"><semantics id="S4.F4.5.1.m1.1b"><msup id="S4.F4.5.1.m1.1.1" xref="S4.F4.5.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S4.F4.5.1.m1.1.1.2" xref="S4.F4.5.1.m1.1.1.2.cmml">L</mi><mo id="S4.F4.5.1.m1.1.1.3" xref="S4.F4.5.1.m1.1.1.3.cmml">′</mo></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.F4.5.1.m1.1c"><apply id="S4.F4.5.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.F4.5.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.F4.5.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.F4.5.1.m1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S4.F4.5.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.F4.5.1.m1.1.1.2">𝐿</ci><ci id="S4.F4.5.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S4.F4.5.1.m1.1.1.3">′</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.F4.5.1.m1.1d">L^{\prime}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.F4.5.1.m1.1e">italic_L start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> (shown in blue) and node <math alttext="L" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.F4.6.2.m2.1"><semantics id="S4.F4.6.2.m2.1b"><mi id="S4.F4.6.2.m2.1.1" xref="S4.F4.6.2.m2.1.1.cmml">L</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.F4.6.2.m2.1c"><ci id="S4.F4.6.2.m2.1.1.cmml" xref="S4.F4.6.2.m2.1.1">𝐿</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.F4.6.2.m2.1d">L</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.F4.6.2.m2.1e">italic_L</annotation></semantics></math> are symmetric with respect to the midpoint <math alttext="P" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.F4.7.3.m3.1"><semantics id="S4.F4.7.3.m3.1b"><mi id="S4.F4.7.3.m3.1.1" xref="S4.F4.7.3.m3.1.1.cmml">P</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.F4.7.3.m3.1c"><ci id="S4.F4.7.3.m3.1.1.cmml" xref="S4.F4.7.3.m3.1.1">𝑃</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.F4.7.3.m3.1d">P</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.F4.7.3.m3.1e">italic_P</annotation></semantics></math> of the boundary edge <math alttext="NM" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.F4.8.4.m4.1"><semantics id="S4.F4.8.4.m4.1b"><mrow id="S4.F4.8.4.m4.1.1" xref="S4.F4.8.4.m4.1.1.cmml"><mi id="S4.F4.8.4.m4.1.1.2" xref="S4.F4.8.4.m4.1.1.2.cmml">N</mi><mo id="S4.F4.8.4.m4.1.1.1" xref="S4.F4.8.4.m4.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.F4.8.4.m4.1.1.3" xref="S4.F4.8.4.m4.1.1.3.cmml">M</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.F4.8.4.m4.1c"><apply id="S4.F4.8.4.m4.1.1.cmml" xref="S4.F4.8.4.m4.1.1"><times id="S4.F4.8.4.m4.1.1.1.cmml" xref="S4.F4.8.4.m4.1.1.1"></times><ci id="S4.F4.8.4.m4.1.1.2.cmml" xref="S4.F4.8.4.m4.1.1.2">𝑁</ci><ci id="S4.F4.8.4.m4.1.1.3.cmml" xref="S4.F4.8.4.m4.1.1.3">𝑀</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.F4.8.4.m4.1d">NM</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.F4.8.4.m4.1e">italic_N italic_M</annotation></semantics></math>. </span></figcaption> </figure> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S4.SS5.p8"> <p class="ltx_p" id="S4.SS5.p8.2"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S4.SS5.p8.2.1">Boundary conditions for corotational smoothed hinge.</span> Within the context of the boundary edge <math alttext="MN" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS5.p8.1.m1.1"><semantics id="S4.SS5.p8.1.m1.1a"><mrow id="S4.SS5.p8.1.m1.1.1" xref="S4.SS5.p8.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S4.SS5.p8.1.m1.1.1.2" xref="S4.SS5.p8.1.m1.1.1.2.cmml">M</mi><mo id="S4.SS5.p8.1.m1.1.1.1" xref="S4.SS5.p8.1.m1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.SS5.p8.1.m1.1.1.3" xref="S4.SS5.p8.1.m1.1.1.3.cmml">N</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS5.p8.1.m1.1b"><apply id="S4.SS5.p8.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.SS5.p8.1.m1.1.1"><times id="S4.SS5.p8.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS5.p8.1.m1.1.1.1"></times><ci id="S4.SS5.p8.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS5.p8.1.m1.1.1.2">𝑀</ci><ci id="S4.SS5.p8.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S4.SS5.p8.1.m1.1.1.3">𝑁</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS5.p8.1.m1.1c">MN</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS5.p8.1.m1.1d">italic_M italic_N</annotation></semantics></math> depicted in Figure <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2502.10872v4#S4.F4" title="Figure 4 ‣ 4.5 Corotational smoothed hinge bending model ‣ 4 Geometric Discretization ‣ Corotational Hinge-based Thin Plates/Shells"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">4</span></a>, the mesh topology informs that the nodal label <math alttext="L^{\prime}=L+3" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS5.p8.2.m2.1"><semantics id="S4.SS5.p8.2.m2.1a"><mrow id="S4.SS5.p8.2.m2.1.1" xref="S4.SS5.p8.2.m2.1.1.cmml"><msup id="S4.SS5.p8.2.m2.1.1.2" xref="S4.SS5.p8.2.m2.1.1.2.cmml"><mi id="S4.SS5.p8.2.m2.1.1.2.2" xref="S4.SS5.p8.2.m2.1.1.2.2.cmml">L</mi><mo id="S4.SS5.p8.2.m2.1.1.2.3" xref="S4.SS5.p8.2.m2.1.1.2.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S4.SS5.p8.2.m2.1.1.1" xref="S4.SS5.p8.2.m2.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S4.SS5.p8.2.m2.1.1.3" xref="S4.SS5.p8.2.m2.1.1.3.cmml"><mi id="S4.SS5.p8.2.m2.1.1.3.2" xref="S4.SS5.p8.2.m2.1.1.3.2.cmml">L</mi><mo id="S4.SS5.p8.2.m2.1.1.3.1" xref="S4.SS5.p8.2.m2.1.1.3.1.cmml">+</mo><mn id="S4.SS5.p8.2.m2.1.1.3.3" xref="S4.SS5.p8.2.m2.1.1.3.3.cmml">3</mn></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS5.p8.2.m2.1b"><apply id="S4.SS5.p8.2.m2.1.1.cmml" xref="S4.SS5.p8.2.m2.1.1"><eq id="S4.SS5.p8.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S4.SS5.p8.2.m2.1.1.1"></eq><apply id="S4.SS5.p8.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S4.SS5.p8.2.m2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS5.p8.2.m2.1.1.2.1.cmml" xref="S4.SS5.p8.2.m2.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S4.SS5.p8.2.m2.1.1.2.2.cmml" xref="S4.SS5.p8.2.m2.1.1.2.2">𝐿</ci><ci id="S4.SS5.p8.2.m2.1.1.2.3.cmml" xref="S4.SS5.p8.2.m2.1.1.2.3">′</ci></apply><apply id="S4.SS5.p8.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S4.SS5.p8.2.m2.1.1.3"><plus id="S4.SS5.p8.2.m2.1.1.3.1.cmml" xref="S4.SS5.p8.2.m2.1.1.3.1"></plus><ci id="S4.SS5.p8.2.m2.1.1.3.2.cmml" xref="S4.SS5.p8.2.m2.1.1.3.2">𝐿</ci><cn id="S4.SS5.p8.2.m2.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS5.p8.2.m2.1.1.3.3">3</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS5.p8.2.m2.1c">L^{\prime}=L+3</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS5.p8.2.m2.1d">italic_L start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT = italic_L + 3</annotation></semantics></math>. Consequently, the curvature in the boundary shell stencil can be expressed as</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S4.E58"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\bm{\kappa}=\sum\mathbf{L}_{gj}\tilde{w}_{j}+\mathbf{L}_{g(L+3)}\tilde{w}_{L+3% },\ \text{for}\ j=N,M,L,N+3,M+3." class="ltx_Math" display="block" id="S4.E58.m1.5"><semantics id="S4.E58.m1.5a"><mrow id="S4.E58.m1.5.5.1"><mrow id="S4.E58.m1.5.5.1.1.2" xref="S4.E58.m1.5.5.1.1.3.cmml"><mrow id="S4.E58.m1.5.5.1.1.1.1" xref="S4.E58.m1.5.5.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.E58.m1.5.5.1.1.1.1.2" xref="S4.E58.m1.5.5.1.1.1.1.2.cmml">𝜿</mi><mo id="S4.E58.m1.5.5.1.1.1.1.1" rspace="0.111em" xref="S4.E58.m1.5.5.1.1.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S4.E58.m1.5.5.1.1.1.1.3" xref="S4.E58.m1.5.5.1.1.1.1.3.cmml"><mrow id="S4.E58.m1.5.5.1.1.1.1.3.2" xref="S4.E58.m1.5.5.1.1.1.1.3.2.cmml"><mo id="S4.E58.m1.5.5.1.1.1.1.3.2.1" movablelimits="false" xref="S4.E58.m1.5.5.1.1.1.1.3.2.1.cmml">∑</mo><mrow id="S4.E58.m1.5.5.1.1.1.1.3.2.2" xref="S4.E58.m1.5.5.1.1.1.1.3.2.2.cmml"><msub id="S4.E58.m1.5.5.1.1.1.1.3.2.2.2" xref="S4.E58.m1.5.5.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml"><mi id="S4.E58.m1.5.5.1.1.1.1.3.2.2.2.2" xref="S4.E58.m1.5.5.1.1.1.1.3.2.2.2.2.cmml">𝐋</mi><mrow id="S4.E58.m1.5.5.1.1.1.1.3.2.2.2.3" xref="S4.E58.m1.5.5.1.1.1.1.3.2.2.2.3.cmml"><mi id="S4.E58.m1.5.5.1.1.1.1.3.2.2.2.3.2" xref="S4.E58.m1.5.5.1.1.1.1.3.2.2.2.3.2.cmml">g</mi><mo id="S4.E58.m1.5.5.1.1.1.1.3.2.2.2.3.1" xref="S4.E58.m1.5.5.1.1.1.1.3.2.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E58.m1.5.5.1.1.1.1.3.2.2.2.3.3" xref="S4.E58.m1.5.5.1.1.1.1.3.2.2.2.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="S4.E58.m1.5.5.1.1.1.1.3.2.2.1" xref="S4.E58.m1.5.5.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S4.E58.m1.5.5.1.1.1.1.3.2.2.3" xref="S4.E58.m1.5.5.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml"><mover accent="true" id="S4.E58.m1.5.5.1.1.1.1.3.2.2.3.2" xref="S4.E58.m1.5.5.1.1.1.1.3.2.2.3.2.cmml"><mi id="S4.E58.m1.5.5.1.1.1.1.3.2.2.3.2.2" xref="S4.E58.m1.5.5.1.1.1.1.3.2.2.3.2.2.cmml">w</mi><mo id="S4.E58.m1.5.5.1.1.1.1.3.2.2.3.2.1" xref="S4.E58.m1.5.5.1.1.1.1.3.2.2.3.2.1.cmml">~</mo></mover><mi id="S4.E58.m1.5.5.1.1.1.1.3.2.2.3.3" xref="S4.E58.m1.5.5.1.1.1.1.3.2.2.3.3.cmml">j</mi></msub></mrow></mrow><mo id="S4.E58.m1.5.5.1.1.1.1.3.1" xref="S4.E58.m1.5.5.1.1.1.1.3.1.cmml">+</mo><mrow id="S4.E58.m1.5.5.1.1.1.1.3.3" xref="S4.E58.m1.5.5.1.1.1.1.3.3.cmml"><msub id="S4.E58.m1.5.5.1.1.1.1.3.3.2" xref="S4.E58.m1.5.5.1.1.1.1.3.3.2.cmml"><mi id="S4.E58.m1.5.5.1.1.1.1.3.3.2.2" xref="S4.E58.m1.5.5.1.1.1.1.3.3.2.2.cmml">𝐋</mi><mrow id="S4.E58.m1.1.1.1" xref="S4.E58.m1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.E58.m1.1.1.1.3" xref="S4.E58.m1.1.1.1.3.cmml">g</mi><mo id="S4.E58.m1.1.1.1.2" xref="S4.E58.m1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E58.m1.1.1.1.1.1" xref="S4.E58.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.E58.m1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.E58.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.E58.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E58.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.E58.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.E58.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">L</mi><mo id="S4.E58.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E58.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mn id="S4.E58.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.E58.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">3</mn></mrow><mo id="S4.E58.m1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.E58.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></msub><mo id="S4.E58.m1.5.5.1.1.1.1.3.3.1" xref="S4.E58.m1.5.5.1.1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S4.E58.m1.5.5.1.1.1.1.3.3.3" xref="S4.E58.m1.5.5.1.1.1.1.3.3.3.cmml"><mover accent="true" id="S4.E58.m1.5.5.1.1.1.1.3.3.3.2" xref="S4.E58.m1.5.5.1.1.1.1.3.3.3.2.cmml"><mi id="S4.E58.m1.5.5.1.1.1.1.3.3.3.2.2" xref="S4.E58.m1.5.5.1.1.1.1.3.3.3.2.2.cmml">w</mi><mo id="S4.E58.m1.5.5.1.1.1.1.3.3.3.2.1" xref="S4.E58.m1.5.5.1.1.1.1.3.3.3.2.1.cmml">~</mo></mover><mrow id="S4.E58.m1.5.5.1.1.1.1.3.3.3.3" xref="S4.E58.m1.5.5.1.1.1.1.3.3.3.3.cmml"><mi id="S4.E58.m1.5.5.1.1.1.1.3.3.3.3.2" xref="S4.E58.m1.5.5.1.1.1.1.3.3.3.3.2.cmml">L</mi><mo id="S4.E58.m1.5.5.1.1.1.1.3.3.3.3.1" xref="S4.E58.m1.5.5.1.1.1.1.3.3.3.3.1.cmml">+</mo><mn id="S4.E58.m1.5.5.1.1.1.1.3.3.3.3.3" xref="S4.E58.m1.5.5.1.1.1.1.3.3.3.3.3.cmml">3</mn></mrow></msub></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.E58.m1.5.5.1.1.2.3" rspace="0.667em" xref="S4.E58.m1.5.5.1.1.3a.cmml">,</mo><mrow id="S4.E58.m1.5.5.1.1.2.2" xref="S4.E58.m1.5.5.1.1.2.2.cmml"><mrow id="S4.E58.m1.5.5.1.1.2.2.4" xref="S4.E58.m1.5.5.1.1.2.2.4.cmml"><mtext id="S4.E58.m1.5.5.1.1.2.2.4.2" xref="S4.E58.m1.5.5.1.1.2.2.4.2a.cmml">for</mtext><mo id="S4.E58.m1.5.5.1.1.2.2.4.1" lspace="0.500em" xref="S4.E58.m1.5.5.1.1.2.2.4.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E58.m1.5.5.1.1.2.2.4.3" xref="S4.E58.m1.5.5.1.1.2.2.4.3.cmml">j</mi></mrow><mo id="S4.E58.m1.5.5.1.1.2.2.3" xref="S4.E58.m1.5.5.1.1.2.2.3.cmml">=</mo><mrow id="S4.E58.m1.5.5.1.1.2.2.2.2" xref="S4.E58.m1.5.5.1.1.2.2.2.3.cmml"><mi id="S4.E58.m1.2.2" xref="S4.E58.m1.2.2.cmml">N</mi><mo id="S4.E58.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.3" xref="S4.E58.m1.5.5.1.1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S4.E58.m1.3.3" xref="S4.E58.m1.3.3.cmml">M</mi><mo id="S4.E58.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.4" xref="S4.E58.m1.5.5.1.1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S4.E58.m1.4.4" xref="S4.E58.m1.4.4.cmml">L</mi><mo id="S4.E58.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.5" xref="S4.E58.m1.5.5.1.1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mrow id="S4.E58.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1" xref="S4.E58.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S4.E58.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.2" xref="S4.E58.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.2.cmml">N</mi><mo id="S4.E58.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.1" xref="S4.E58.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.1.cmml">+</mo><mn id="S4.E58.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.3" xref="S4.E58.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.3.cmml">3</mn></mrow><mo id="S4.E58.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.6" xref="S4.E58.m1.5.5.1.1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mrow id="S4.E58.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2" xref="S4.E58.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="S4.E58.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.2" xref="S4.E58.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.2.cmml">M</mi><mo id="S4.E58.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.1" xref="S4.E58.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.1.cmml">+</mo><mn id="S4.E58.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.3" xref="S4.E58.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.3.cmml">3</mn></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.E58.m1.5.5.1.2" lspace="0em">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.E58.m1.5b"><apply id="S4.E58.m1.5.5.1.1.3.cmml" xref="S4.E58.m1.5.5.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E58.m1.5.5.1.1.3a.cmml" xref="S4.E58.m1.5.5.1.1.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S4.E58.m1.5.5.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E58.m1.5.5.1.1.1.1"><eq id="S4.E58.m1.5.5.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E58.m1.5.5.1.1.1.1.1"></eq><ci id="S4.E58.m1.5.5.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E58.m1.5.5.1.1.1.1.2">𝜿</ci><apply id="S4.E58.m1.5.5.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E58.m1.5.5.1.1.1.1.3"><plus id="S4.E58.m1.5.5.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E58.m1.5.5.1.1.1.1.3.1"></plus><apply id="S4.E58.m1.5.5.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.E58.m1.5.5.1.1.1.1.3.2"><sum id="S4.E58.m1.5.5.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.E58.m1.5.5.1.1.1.1.3.2.1"></sum><apply id="S4.E58.m1.5.5.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.E58.m1.5.5.1.1.1.1.3.2.2"><times id="S4.E58.m1.5.5.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S4.E58.m1.5.5.1.1.1.1.3.2.2.1"></times><apply id="S4.E58.m1.5.5.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S4.E58.m1.5.5.1.1.1.1.3.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E58.m1.5.5.1.1.1.1.3.2.2.2.1.cmml" xref="S4.E58.m1.5.5.1.1.1.1.3.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S4.E58.m1.5.5.1.1.1.1.3.2.2.2.2.cmml" xref="S4.E58.m1.5.5.1.1.1.1.3.2.2.2.2">𝐋</ci><apply id="S4.E58.m1.5.5.1.1.1.1.3.2.2.2.3.cmml" xref="S4.E58.m1.5.5.1.1.1.1.3.2.2.2.3"><times id="S4.E58.m1.5.5.1.1.1.1.3.2.2.2.3.1.cmml" xref="S4.E58.m1.5.5.1.1.1.1.3.2.2.2.3.1"></times><ci id="S4.E58.m1.5.5.1.1.1.1.3.2.2.2.3.2.cmml" xref="S4.E58.m1.5.5.1.1.1.1.3.2.2.2.3.2">𝑔</ci><ci id="S4.E58.m1.5.5.1.1.1.1.3.2.2.2.3.3.cmml" xref="S4.E58.m1.5.5.1.1.1.1.3.2.2.2.3.3">𝑗</ci></apply></apply><apply id="S4.E58.m1.5.5.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml" xref="S4.E58.m1.5.5.1.1.1.1.3.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E58.m1.5.5.1.1.1.1.3.2.2.3.1.cmml" xref="S4.E58.m1.5.5.1.1.1.1.3.2.2.3">subscript</csymbol><apply id="S4.E58.m1.5.5.1.1.1.1.3.2.2.3.2.cmml" xref="S4.E58.m1.5.5.1.1.1.1.3.2.2.3.2"><ci id="S4.E58.m1.5.5.1.1.1.1.3.2.2.3.2.1.cmml" xref="S4.E58.m1.5.5.1.1.1.1.3.2.2.3.2.1">~</ci><ci id="S4.E58.m1.5.5.1.1.1.1.3.2.2.3.2.2.cmml" xref="S4.E58.m1.5.5.1.1.1.1.3.2.2.3.2.2">𝑤</ci></apply><ci id="S4.E58.m1.5.5.1.1.1.1.3.2.2.3.3.cmml" xref="S4.E58.m1.5.5.1.1.1.1.3.2.2.3.3">𝑗</ci></apply></apply></apply><apply id="S4.E58.m1.5.5.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.E58.m1.5.5.1.1.1.1.3.3"><times id="S4.E58.m1.5.5.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.E58.m1.5.5.1.1.1.1.3.3.1"></times><apply id="S4.E58.m1.5.5.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S4.E58.m1.5.5.1.1.1.1.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E58.m1.5.5.1.1.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="S4.E58.m1.5.5.1.1.1.1.3.3.2">subscript</csymbol><ci id="S4.E58.m1.5.5.1.1.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="S4.E58.m1.5.5.1.1.1.1.3.3.2.2">𝐋</ci><apply id="S4.E58.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.E58.m1.1.1.1"><times id="S4.E58.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E58.m1.1.1.1.2"></times><ci id="S4.E58.m1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E58.m1.1.1.1.3">𝑔</ci><apply id="S4.E58.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E58.m1.1.1.1.1.1"><plus id="S4.E58.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E58.m1.1.1.1.1.1.1.1"></plus><ci id="S4.E58.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E58.m1.1.1.1.1.1.1.2">𝐿</ci><cn id="S4.E58.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.E58.m1.1.1.1.1.1.1.3">3</cn></apply></apply></apply><apply id="S4.E58.m1.5.5.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S4.E58.m1.5.5.1.1.1.1.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E58.m1.5.5.1.1.1.1.3.3.3.1.cmml" xref="S4.E58.m1.5.5.1.1.1.1.3.3.3">subscript</csymbol><apply id="S4.E58.m1.5.5.1.1.1.1.3.3.3.2.cmml" xref="S4.E58.m1.5.5.1.1.1.1.3.3.3.2"><ci id="S4.E58.m1.5.5.1.1.1.1.3.3.3.2.1.cmml" xref="S4.E58.m1.5.5.1.1.1.1.3.3.3.2.1">~</ci><ci id="S4.E58.m1.5.5.1.1.1.1.3.3.3.2.2.cmml" xref="S4.E58.m1.5.5.1.1.1.1.3.3.3.2.2">𝑤</ci></apply><apply id="S4.E58.m1.5.5.1.1.1.1.3.3.3.3.cmml" xref="S4.E58.m1.5.5.1.1.1.1.3.3.3.3"><plus id="S4.E58.m1.5.5.1.1.1.1.3.3.3.3.1.cmml" xref="S4.E58.m1.5.5.1.1.1.1.3.3.3.3.1"></plus><ci id="S4.E58.m1.5.5.1.1.1.1.3.3.3.3.2.cmml" xref="S4.E58.m1.5.5.1.1.1.1.3.3.3.3.2">𝐿</ci><cn id="S4.E58.m1.5.5.1.1.1.1.3.3.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.E58.m1.5.5.1.1.1.1.3.3.3.3.3">3</cn></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="S4.E58.m1.5.5.1.1.2.2.cmml" xref="S4.E58.m1.5.5.1.1.2.2"><eq id="S4.E58.m1.5.5.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.E58.m1.5.5.1.1.2.2.3"></eq><apply id="S4.E58.m1.5.5.1.1.2.2.4.cmml" xref="S4.E58.m1.5.5.1.1.2.2.4"><times id="S4.E58.m1.5.5.1.1.2.2.4.1.cmml" xref="S4.E58.m1.5.5.1.1.2.2.4.1"></times><ci id="S4.E58.m1.5.5.1.1.2.2.4.2a.cmml" xref="S4.E58.m1.5.5.1.1.2.2.4.2"><mtext id="S4.E58.m1.5.5.1.1.2.2.4.2.cmml" xref="S4.E58.m1.5.5.1.1.2.2.4.2">for</mtext></ci><ci id="S4.E58.m1.5.5.1.1.2.2.4.3.cmml" xref="S4.E58.m1.5.5.1.1.2.2.4.3">𝑗</ci></apply><list id="S4.E58.m1.5.5.1.1.2.2.2.3.cmml" xref="S4.E58.m1.5.5.1.1.2.2.2.2"><ci id="S4.E58.m1.2.2.cmml" xref="S4.E58.m1.2.2">𝑁</ci><ci id="S4.E58.m1.3.3.cmml" xref="S4.E58.m1.3.3">𝑀</ci><ci id="S4.E58.m1.4.4.cmml" xref="S4.E58.m1.4.4">𝐿</ci><apply id="S4.E58.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S4.E58.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1"><plus id="S4.E58.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E58.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.1"></plus><ci id="S4.E58.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E58.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.2">𝑁</ci><cn id="S4.E58.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.E58.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.3">3</cn></apply><apply id="S4.E58.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.E58.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2"><plus id="S4.E58.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S4.E58.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.1"></plus><ci id="S4.E58.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.E58.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.2">𝑀</ci><cn id="S4.E58.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.E58.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.3">3</cn></apply></list></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.E58.m1.5c">\bm{\kappa}=\sum\mathbf{L}_{gj}\tilde{w}_{j}+\mathbf{L}_{g(L+3)}\tilde{w}_{L+3% },\ \text{for}\ j=N,M,L,N+3,M+3.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.E58.m1.5d">bold_italic_κ = ∑ bold_L start_POSTSUBSCRIPT italic_g italic_j end_POSTSUBSCRIPT over~ start_ARG italic_w end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT + bold_L start_POSTSUBSCRIPT italic_g ( italic_L + 3 ) end_POSTSUBSCRIPT over~ start_ARG italic_w end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_L + 3 end_POSTSUBSCRIPT , for italic_j = italic_N , italic_M , italic_L , italic_N + 3 , italic_M + 3 .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(58)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S4.SS5.p8.5">Here, <math alttext="\mathbf{L}_{gj}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS5.p8.3.m1.1"><semantics id="S4.SS5.p8.3.m1.1a"><msub id="S4.SS5.p8.3.m1.1.1" xref="S4.SS5.p8.3.m1.1.1.cmml"><mi id="S4.SS5.p8.3.m1.1.1.2" xref="S4.SS5.p8.3.m1.1.1.2.cmml">𝐋</mi><mrow id="S4.SS5.p8.3.m1.1.1.3" xref="S4.SS5.p8.3.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.SS5.p8.3.m1.1.1.3.2" xref="S4.SS5.p8.3.m1.1.1.3.2.cmml">g</mi><mo id="S4.SS5.p8.3.m1.1.1.3.1" xref="S4.SS5.p8.3.m1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.SS5.p8.3.m1.1.1.3.3" xref="S4.SS5.p8.3.m1.1.1.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS5.p8.3.m1.1b"><apply id="S4.SS5.p8.3.m1.1.1.cmml" xref="S4.SS5.p8.3.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS5.p8.3.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS5.p8.3.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.SS5.p8.3.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS5.p8.3.m1.1.1.2">𝐋</ci><apply id="S4.SS5.p8.3.m1.1.1.3.cmml" xref="S4.SS5.p8.3.m1.1.1.3"><times id="S4.SS5.p8.3.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.SS5.p8.3.m1.1.1.3.1"></times><ci id="S4.SS5.p8.3.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.SS5.p8.3.m1.1.1.3.2">𝑔</ci><ci id="S4.SS5.p8.3.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.SS5.p8.3.m1.1.1.3.3">𝑗</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS5.p8.3.m1.1c">\mathbf{L}_{gj}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS5.p8.3.m1.1d">bold_L start_POSTSUBSCRIPT italic_g italic_j end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> is the <math alttext="j" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS5.p8.4.m2.1"><semantics id="S4.SS5.p8.4.m2.1a"><mi id="S4.SS5.p8.4.m2.1.1" xref="S4.SS5.p8.4.m2.1.1.cmml">j</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS5.p8.4.m2.1b"><ci id="S4.SS5.p8.4.m2.1.1.cmml" xref="S4.SS5.p8.4.m2.1.1">𝑗</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS5.p8.4.m2.1c">j</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS5.p8.4.m2.1d">italic_j</annotation></semantics></math> column of the curvature operator matrix <math alttext="\mathbf{L}_{g}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS5.p8.5.m3.1"><semantics id="S4.SS5.p8.5.m3.1a"><msub id="S4.SS5.p8.5.m3.1.1" xref="S4.SS5.p8.5.m3.1.1.cmml"><mi id="S4.SS5.p8.5.m3.1.1.2" xref="S4.SS5.p8.5.m3.1.1.2.cmml">𝐋</mi><mi id="S4.SS5.p8.5.m3.1.1.3" xref="S4.SS5.p8.5.m3.1.1.3.cmml">g</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS5.p8.5.m3.1b"><apply id="S4.SS5.p8.5.m3.1.1.cmml" xref="S4.SS5.p8.5.m3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS5.p8.5.m3.1.1.1.cmml" xref="S4.SS5.p8.5.m3.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.SS5.p8.5.m3.1.1.2.cmml" xref="S4.SS5.p8.5.m3.1.1.2">𝐋</ci><ci id="S4.SS5.p8.5.m3.1.1.3.cmml" xref="S4.SS5.p8.5.m3.1.1.3">𝑔</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS5.p8.5.m3.1c">\mathbf{L}_{g}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS5.p8.5.m3.1d">bold_L start_POSTSUBSCRIPT italic_g end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S4.SS5.p9"> <p class="ltx_p" id="S4.SS5.p9.1"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S4.SS5.p9.1.1">The Clamped Edge Boundary Condition.</span> To integrate the zero-slope condition, using Eq. (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2502.10872v4#S4.E30" title="In 4.3 Corotational edge-based hinge bending model ‣ 4 Geometric Discretization ‣ Corotational Hinge-based Thin Plates/Shells"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">30</span></a>), the modified curvature with a clamped edge can be written as</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S4.E59"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\begin{split}\bm{\kappa}_{clamp}=&(\mathbf{L}_{gL}+\mathbf{L}_{g(L+3)})\tilde{% w}_{L}+\mathbf{L}_{gM}\tilde{w}_{M}\\ &+\mathbf{L}_{gN}\tilde{w}_{N}+\mathbf{L}_{g(N+3)}\tilde{w}_{N+3}+\mathbf{L}_{% g(M+3)}\tilde{w}_{M+3}.\end{split}" class="ltx_Math" display="block" id="S4.E59.m1.36"><semantics id="S4.E59.m1.36a"><mtable columnspacing="0pt" displaystyle="true" id="S4.E59.m1.36.36.3" rowspacing="0pt"><mtr id="S4.E59.m1.36.36.3a"><mtd class="ltx_align_right" columnalign="right" id="S4.E59.m1.36.36.3b"><mrow id="S4.E59.m1.3.3.3.3.3"><msub id="S4.E59.m1.3.3.3.3.3.4"><mi id="S4.E59.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E59.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">𝜿</mi><mrow id="S4.E59.m1.2.2.2.2.2.2.1" xref="S4.E59.m1.2.2.2.2.2.2.1.cmml"><mi id="S4.E59.m1.2.2.2.2.2.2.1.2" xref="S4.E59.m1.2.2.2.2.2.2.1.2.cmml">c</mi><mo id="S4.E59.m1.2.2.2.2.2.2.1.1" xref="S4.E59.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E59.m1.2.2.2.2.2.2.1.3" xref="S4.E59.m1.2.2.2.2.2.2.1.3.cmml">l</mi><mo id="S4.E59.m1.2.2.2.2.2.2.1.1a" xref="S4.E59.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E59.m1.2.2.2.2.2.2.1.4" xref="S4.E59.m1.2.2.2.2.2.2.1.4.cmml">a</mi><mo id="S4.E59.m1.2.2.2.2.2.2.1.1b" xref="S4.E59.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E59.m1.2.2.2.2.2.2.1.5" xref="S4.E59.m1.2.2.2.2.2.2.1.5.cmml">m</mi><mo id="S4.E59.m1.2.2.2.2.2.2.1.1c" xref="S4.E59.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E59.m1.2.2.2.2.2.2.1.6" xref="S4.E59.m1.2.2.2.2.2.2.1.6.cmml">p</mi></mrow></msub><mo id="S4.E59.m1.3.3.3.3.3.3" xref="S4.E59.m1.3.3.3.3.3.3.cmml">=</mo><mi id="S4.E59.m1.3.3.3.3.3.5" xref="S4.E59.m1.34.34.1.1.1.cmml"></mi></mrow></mtd><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="S4.E59.m1.36.36.3c"><mrow id="S4.E59.m1.35.35.2.34.18.15"><mrow id="S4.E59.m1.35.35.2.34.18.15.15"><mrow id="S4.E59.m1.35.35.2.34.18.15.15.1.1"><mo id="S4.E59.m1.4.4.4.4.1.1" stretchy="false" xref="S4.E59.m1.34.34.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.E59.m1.35.35.2.34.18.15.15.1.1.1"><msub id="S4.E59.m1.35.35.2.34.18.15.15.1.1.1.1"><mi id="S4.E59.m1.5.5.5.5.2.2" xref="S4.E59.m1.5.5.5.5.2.2.cmml">𝐋</mi><mrow id="S4.E59.m1.6.6.6.6.3.3.1" xref="S4.E59.m1.6.6.6.6.3.3.1.cmml"><mi id="S4.E59.m1.6.6.6.6.3.3.1.2" xref="S4.E59.m1.6.6.6.6.3.3.1.2.cmml">g</mi><mo id="S4.E59.m1.6.6.6.6.3.3.1.1" xref="S4.E59.m1.6.6.6.6.3.3.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E59.m1.6.6.6.6.3.3.1.3" xref="S4.E59.m1.6.6.6.6.3.3.1.3.cmml">L</mi></mrow></msub><mo id="S4.E59.m1.7.7.7.7.4.4" xref="S4.E59.m1.7.7.7.7.4.4.cmml">+</mo><msub id="S4.E59.m1.35.35.2.34.18.15.15.1.1.1.2"><mi id="S4.E59.m1.8.8.8.8.5.5" xref="S4.E59.m1.8.8.8.8.5.5.cmml">𝐋</mi><mrow id="S4.E59.m1.9.9.9.9.6.6.1" xref="S4.E59.m1.9.9.9.9.6.6.1.cmml"><mi id="S4.E59.m1.9.9.9.9.6.6.1.3" xref="S4.E59.m1.9.9.9.9.6.6.1.3.cmml">g</mi><mo id="S4.E59.m1.9.9.9.9.6.6.1.2" xref="S4.E59.m1.9.9.9.9.6.6.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E59.m1.9.9.9.9.6.6.1.1.1" xref="S4.E59.m1.9.9.9.9.6.6.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.E59.m1.9.9.9.9.6.6.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.E59.m1.9.9.9.9.6.6.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.E59.m1.9.9.9.9.6.6.1.1.1.1" xref="S4.E59.m1.9.9.9.9.6.6.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.E59.m1.9.9.9.9.6.6.1.1.1.1.2" xref="S4.E59.m1.9.9.9.9.6.6.1.1.1.1.2.cmml">L</mi><mo id="S4.E59.m1.9.9.9.9.6.6.1.1.1.1.1" xref="S4.E59.m1.9.9.9.9.6.6.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mn id="S4.E59.m1.9.9.9.9.6.6.1.1.1.1.3" xref="S4.E59.m1.9.9.9.9.6.6.1.1.1.1.3.cmml">3</mn></mrow><mo id="S4.E59.m1.9.9.9.9.6.6.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.E59.m1.9.9.9.9.6.6.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></msub></mrow><mo id="S4.E59.m1.10.10.10.10.7.7" stretchy="false" xref="S4.E59.m1.34.34.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S4.E59.m1.35.35.2.34.18.15.15.2" xref="S4.E59.m1.34.34.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S4.E59.m1.35.35.2.34.18.15.15.3"><mover accent="true" id="S4.E59.m1.11.11.11.11.8.8" xref="S4.E59.m1.11.11.11.11.8.8.cmml"><mi id="S4.E59.m1.11.11.11.11.8.8.2" xref="S4.E59.m1.11.11.11.11.8.8.2.cmml">w</mi><mo id="S4.E59.m1.11.11.11.11.8.8.1" xref="S4.E59.m1.11.11.11.11.8.8.1.cmml">~</mo></mover><mi id="S4.E59.m1.12.12.12.12.9.9.1" xref="S4.E59.m1.12.12.12.12.9.9.1.cmml">L</mi></msub></mrow><mo id="S4.E59.m1.13.13.13.13.10.10" xref="S4.E59.m1.13.13.13.13.10.10.cmml">+</mo><mrow id="S4.E59.m1.35.35.2.34.18.15.16"><msub id="S4.E59.m1.35.35.2.34.18.15.16.2"><mi id="S4.E59.m1.14.14.14.14.11.11" xref="S4.E59.m1.14.14.14.14.11.11.cmml">𝐋</mi><mrow id="S4.E59.m1.15.15.15.15.12.12.1" xref="S4.E59.m1.15.15.15.15.12.12.1.cmml"><mi id="S4.E59.m1.15.15.15.15.12.12.1.2" xref="S4.E59.m1.15.15.15.15.12.12.1.2.cmml">g</mi><mo id="S4.E59.m1.15.15.15.15.12.12.1.1" xref="S4.E59.m1.15.15.15.15.12.12.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E59.m1.15.15.15.15.12.12.1.3" xref="S4.E59.m1.15.15.15.15.12.12.1.3.cmml">M</mi></mrow></msub><mo id="S4.E59.m1.35.35.2.34.18.15.16.1" xref="S4.E59.m1.34.34.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S4.E59.m1.35.35.2.34.18.15.16.3"><mover accent="true" id="S4.E59.m1.16.16.16.16.13.13" xref="S4.E59.m1.16.16.16.16.13.13.cmml"><mi id="S4.E59.m1.16.16.16.16.13.13.2" xref="S4.E59.m1.16.16.16.16.13.13.2.cmml">w</mi><mo id="S4.E59.m1.16.16.16.16.13.13.1" xref="S4.E59.m1.16.16.16.16.13.13.1.cmml">~</mo></mover><mi id="S4.E59.m1.17.17.17.17.14.14.1" xref="S4.E59.m1.17.17.17.17.14.14.1.cmml">M</mi></msub></mrow></mrow></mtd></mtr><mtr id="S4.E59.m1.36.36.3d"><mtd id="S4.E59.m1.36.36.3e" xref="S4.E59.m1.34.34.1.1.1.cmml"></mtd><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="S4.E59.m1.36.36.3f"><mrow id="S4.E59.m1.36.36.3.35.17.17.17"><mrow id="S4.E59.m1.36.36.3.35.17.17.17.1"><mrow id="S4.E59.m1.36.36.3.35.17.17.17.1.1"><mo id="S4.E59.m1.36.36.3.35.17.17.17.1.1a" xref="S4.E59.m1.34.34.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S4.E59.m1.36.36.3.35.17.17.17.1.1.1"><msub id="S4.E59.m1.36.36.3.35.17.17.17.1.1.1.2"><mi id="S4.E59.m1.19.19.19.2.2.2" xref="S4.E59.m1.19.19.19.2.2.2.cmml">𝐋</mi><mrow id="S4.E59.m1.20.20.20.3.3.3.1" xref="S4.E59.m1.20.20.20.3.3.3.1.cmml"><mi id="S4.E59.m1.20.20.20.3.3.3.1.2" xref="S4.E59.m1.20.20.20.3.3.3.1.2.cmml">g</mi><mo id="S4.E59.m1.20.20.20.3.3.3.1.1" xref="S4.E59.m1.20.20.20.3.3.3.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E59.m1.20.20.20.3.3.3.1.3" xref="S4.E59.m1.20.20.20.3.3.3.1.3.cmml">N</mi></mrow></msub><mo id="S4.E59.m1.36.36.3.35.17.17.17.1.1.1.1" xref="S4.E59.m1.34.34.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S4.E59.m1.36.36.3.35.17.17.17.1.1.1.3"><mover accent="true" id="S4.E59.m1.21.21.21.4.4.4" xref="S4.E59.m1.21.21.21.4.4.4.cmml"><mi id="S4.E59.m1.21.21.21.4.4.4.2" xref="S4.E59.m1.21.21.21.4.4.4.2.cmml">w</mi><mo id="S4.E59.m1.21.21.21.4.4.4.1" xref="S4.E59.m1.21.21.21.4.4.4.1.cmml">~</mo></mover><mi id="S4.E59.m1.22.22.22.5.5.5.1" xref="S4.E59.m1.22.22.22.5.5.5.1.cmml">N</mi></msub></mrow></mrow><mo id="S4.E59.m1.23.23.23.6.6.6" xref="S4.E59.m1.34.34.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S4.E59.m1.36.36.3.35.17.17.17.1.2"><msub id="S4.E59.m1.36.36.3.35.17.17.17.1.2.2"><mi id="S4.E59.m1.24.24.24.7.7.7" xref="S4.E59.m1.24.24.24.7.7.7.cmml">𝐋</mi><mrow id="S4.E59.m1.25.25.25.8.8.8.1" xref="S4.E59.m1.25.25.25.8.8.8.1.cmml"><mi id="S4.E59.m1.25.25.25.8.8.8.1.3" xref="S4.E59.m1.25.25.25.8.8.8.1.3.cmml">g</mi><mo id="S4.E59.m1.25.25.25.8.8.8.1.2" xref="S4.E59.m1.25.25.25.8.8.8.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E59.m1.25.25.25.8.8.8.1.1.1" xref="S4.E59.m1.25.25.25.8.8.8.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.E59.m1.25.25.25.8.8.8.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.E59.m1.25.25.25.8.8.8.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.E59.m1.25.25.25.8.8.8.1.1.1.1" xref="S4.E59.m1.25.25.25.8.8.8.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.E59.m1.25.25.25.8.8.8.1.1.1.1.2" xref="S4.E59.m1.25.25.25.8.8.8.1.1.1.1.2.cmml">N</mi><mo id="S4.E59.m1.25.25.25.8.8.8.1.1.1.1.1" xref="S4.E59.m1.25.25.25.8.8.8.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mn id="S4.E59.m1.25.25.25.8.8.8.1.1.1.1.3" xref="S4.E59.m1.25.25.25.8.8.8.1.1.1.1.3.cmml">3</mn></mrow><mo id="S4.E59.m1.25.25.25.8.8.8.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.E59.m1.25.25.25.8.8.8.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></msub><mo id="S4.E59.m1.36.36.3.35.17.17.17.1.2.1" xref="S4.E59.m1.34.34.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S4.E59.m1.36.36.3.35.17.17.17.1.2.3"><mover accent="true" id="S4.E59.m1.26.26.26.9.9.9" xref="S4.E59.m1.26.26.26.9.9.9.cmml"><mi id="S4.E59.m1.26.26.26.9.9.9.2" xref="S4.E59.m1.26.26.26.9.9.9.2.cmml">w</mi><mo id="S4.E59.m1.26.26.26.9.9.9.1" xref="S4.E59.m1.26.26.26.9.9.9.1.cmml">~</mo></mover><mrow id="S4.E59.m1.27.27.27.10.10.10.1" xref="S4.E59.m1.27.27.27.10.10.10.1.cmml"><mi id="S4.E59.m1.27.27.27.10.10.10.1.2" xref="S4.E59.m1.27.27.27.10.10.10.1.2.cmml">N</mi><mo id="S4.E59.m1.27.27.27.10.10.10.1.1" xref="S4.E59.m1.27.27.27.10.10.10.1.1.cmml">+</mo><mn id="S4.E59.m1.27.27.27.10.10.10.1.3" xref="S4.E59.m1.27.27.27.10.10.10.1.3.cmml">3</mn></mrow></msub></mrow><mo id="S4.E59.m1.23.23.23.6.6.6a" xref="S4.E59.m1.34.34.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S4.E59.m1.36.36.3.35.17.17.17.1.3"><msub id="S4.E59.m1.36.36.3.35.17.17.17.1.3.2"><mi id="S4.E59.m1.29.29.29.12.12.12" xref="S4.E59.m1.29.29.29.12.12.12.cmml">𝐋</mi><mrow id="S4.E59.m1.30.30.30.13.13.13.1" xref="S4.E59.m1.30.30.30.13.13.13.1.cmml"><mi id="S4.E59.m1.30.30.30.13.13.13.1.3" xref="S4.E59.m1.30.30.30.13.13.13.1.3.cmml">g</mi><mo id="S4.E59.m1.30.30.30.13.13.13.1.2" xref="S4.E59.m1.30.30.30.13.13.13.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E59.m1.30.30.30.13.13.13.1.1.1" xref="S4.E59.m1.30.30.30.13.13.13.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.E59.m1.30.30.30.13.13.13.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.E59.m1.30.30.30.13.13.13.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.E59.m1.30.30.30.13.13.13.1.1.1.1" xref="S4.E59.m1.30.30.30.13.13.13.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.E59.m1.30.30.30.13.13.13.1.1.1.1.2" xref="S4.E59.m1.30.30.30.13.13.13.1.1.1.1.2.cmml">M</mi><mo id="S4.E59.m1.30.30.30.13.13.13.1.1.1.1.1" xref="S4.E59.m1.30.30.30.13.13.13.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mn id="S4.E59.m1.30.30.30.13.13.13.1.1.1.1.3" xref="S4.E59.m1.30.30.30.13.13.13.1.1.1.1.3.cmml">3</mn></mrow><mo id="S4.E59.m1.30.30.30.13.13.13.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.E59.m1.30.30.30.13.13.13.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></msub><mo id="S4.E59.m1.36.36.3.35.17.17.17.1.3.1" xref="S4.E59.m1.34.34.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S4.E59.m1.36.36.3.35.17.17.17.1.3.3"><mover accent="true" id="S4.E59.m1.31.31.31.14.14.14" xref="S4.E59.m1.31.31.31.14.14.14.cmml"><mi id="S4.E59.m1.31.31.31.14.14.14.2" xref="S4.E59.m1.31.31.31.14.14.14.2.cmml">w</mi><mo id="S4.E59.m1.31.31.31.14.14.14.1" xref="S4.E59.m1.31.31.31.14.14.14.1.cmml">~</mo></mover><mrow id="S4.E59.m1.32.32.32.15.15.15.1" xref="S4.E59.m1.32.32.32.15.15.15.1.cmml"><mi id="S4.E59.m1.32.32.32.15.15.15.1.2" xref="S4.E59.m1.32.32.32.15.15.15.1.2.cmml">M</mi><mo id="S4.E59.m1.32.32.32.15.15.15.1.1" xref="S4.E59.m1.32.32.32.15.15.15.1.1.cmml">+</mo><mn id="S4.E59.m1.32.32.32.15.15.15.1.3" xref="S4.E59.m1.32.32.32.15.15.15.1.3.cmml">3</mn></mrow></msub></mrow></mrow><mo id="S4.E59.m1.33.33.33.16.16.16" lspace="0em" xref="S4.E59.m1.34.34.1.1.1.cmml">.</mo></mrow></mtd></mtr></mtable><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.E59.m1.36b"><apply id="S4.E59.m1.34.34.1.1.1.cmml" xref="S4.E59.m1.3.3.3.3.3.5"><eq id="S4.E59.m1.3.3.3.3.3.3.cmml" xref="S4.E59.m1.3.3.3.3.3.3"></eq><apply id="S4.E59.m1.34.34.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E59.m1.3.3.3.3.3.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E59.m1.34.34.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E59.m1.3.3.3.3.3.5">subscript</csymbol><ci id="S4.E59.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E59.m1.1.1.1.1.1.1">𝜿</ci><apply id="S4.E59.m1.2.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S4.E59.m1.2.2.2.2.2.2.1"><times id="S4.E59.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.cmml" xref="S4.E59.m1.2.2.2.2.2.2.1.1"></times><ci id="S4.E59.m1.2.2.2.2.2.2.1.2.cmml" xref="S4.E59.m1.2.2.2.2.2.2.1.2">𝑐</ci><ci id="S4.E59.m1.2.2.2.2.2.2.1.3.cmml" xref="S4.E59.m1.2.2.2.2.2.2.1.3">𝑙</ci><ci id="S4.E59.m1.2.2.2.2.2.2.1.4.cmml" xref="S4.E59.m1.2.2.2.2.2.2.1.4">𝑎</ci><ci id="S4.E59.m1.2.2.2.2.2.2.1.5.cmml" xref="S4.E59.m1.2.2.2.2.2.2.1.5">𝑚</ci><ci id="S4.E59.m1.2.2.2.2.2.2.1.6.cmml" xref="S4.E59.m1.2.2.2.2.2.2.1.6">𝑝</ci></apply></apply><apply id="S4.E59.m1.34.34.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E59.m1.3.3.3.3.3.5"><plus id="S4.E59.m1.13.13.13.13.10.10.cmml" xref="S4.E59.m1.13.13.13.13.10.10"></plus><apply id="S4.E59.m1.34.34.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E59.m1.3.3.3.3.3.5"><times id="S4.E59.m1.34.34.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E59.m1.3.3.3.3.3.5"></times><apply id="S4.E59.m1.34.34.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E59.m1.3.3.3.3.3.5"><plus 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xref="S4.E59.m1.3.3.3.3.3.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E59.m1.34.34.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.E59.m1.3.3.3.3.3.5">subscript</csymbol><apply id="S4.E59.m1.16.16.16.16.13.13.cmml" xref="S4.E59.m1.16.16.16.16.13.13"><ci id="S4.E59.m1.16.16.16.16.13.13.1.cmml" xref="S4.E59.m1.16.16.16.16.13.13.1">~</ci><ci id="S4.E59.m1.16.16.16.16.13.13.2.cmml" xref="S4.E59.m1.16.16.16.16.13.13.2">𝑤</ci></apply><ci id="S4.E59.m1.17.17.17.17.14.14.1.cmml" xref="S4.E59.m1.17.17.17.17.14.14.1">𝑀</ci></apply></apply><apply id="S4.E59.m1.34.34.1.1.1.1.4.cmml" xref="S4.E59.m1.3.3.3.3.3.5"><times id="S4.E59.m1.34.34.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="S4.E59.m1.3.3.3.3.3.5"></times><apply id="S4.E59.m1.34.34.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="S4.E59.m1.3.3.3.3.3.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E59.m1.34.34.1.1.1.1.4.2.1.cmml" xref="S4.E59.m1.3.3.3.3.3.5">subscript</csymbol><ci id="S4.E59.m1.19.19.19.2.2.2.cmml" xref="S4.E59.m1.19.19.19.2.2.2">𝐋</ci><apply id="S4.E59.m1.20.20.20.3.3.3.1.cmml" xref="S4.E59.m1.20.20.20.3.3.3.1"><times id="S4.E59.m1.20.20.20.3.3.3.1.1.cmml" xref="S4.E59.m1.20.20.20.3.3.3.1.1"></times><ci id="S4.E59.m1.20.20.20.3.3.3.1.2.cmml" xref="S4.E59.m1.20.20.20.3.3.3.1.2">𝑔</ci><ci id="S4.E59.m1.20.20.20.3.3.3.1.3.cmml" xref="S4.E59.m1.20.20.20.3.3.3.1.3">𝑁</ci></apply></apply><apply id="S4.E59.m1.34.34.1.1.1.1.4.3.cmml" xref="S4.E59.m1.3.3.3.3.3.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E59.m1.34.34.1.1.1.1.4.3.1.cmml" xref="S4.E59.m1.3.3.3.3.3.5">subscript</csymbol><apply id="S4.E59.m1.21.21.21.4.4.4.cmml" xref="S4.E59.m1.21.21.21.4.4.4"><ci id="S4.E59.m1.21.21.21.4.4.4.1.cmml" xref="S4.E59.m1.21.21.21.4.4.4.1">~</ci><ci id="S4.E59.m1.21.21.21.4.4.4.2.cmml" xref="S4.E59.m1.21.21.21.4.4.4.2">𝑤</ci></apply><ci id="S4.E59.m1.22.22.22.5.5.5.1.cmml" xref="S4.E59.m1.22.22.22.5.5.5.1">𝑁</ci></apply></apply><apply id="S4.E59.m1.34.34.1.1.1.1.5.cmml" xref="S4.E59.m1.3.3.3.3.3.5"><times id="S4.E59.m1.34.34.1.1.1.1.5.1.cmml" xref="S4.E59.m1.3.3.3.3.3.5"></times><apply id="S4.E59.m1.34.34.1.1.1.1.5.2.cmml" xref="S4.E59.m1.3.3.3.3.3.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E59.m1.34.34.1.1.1.1.5.2.1.cmml" xref="S4.E59.m1.3.3.3.3.3.5">subscript</csymbol><ci id="S4.E59.m1.24.24.24.7.7.7.cmml" xref="S4.E59.m1.24.24.24.7.7.7">𝐋</ci><apply id="S4.E59.m1.25.25.25.8.8.8.1.cmml" xref="S4.E59.m1.25.25.25.8.8.8.1"><times id="S4.E59.m1.25.25.25.8.8.8.1.2.cmml" xref="S4.E59.m1.25.25.25.8.8.8.1.2"></times><ci id="S4.E59.m1.25.25.25.8.8.8.1.3.cmml" xref="S4.E59.m1.25.25.25.8.8.8.1.3">𝑔</ci><apply id="S4.E59.m1.25.25.25.8.8.8.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E59.m1.25.25.25.8.8.8.1.1.1"><plus id="S4.E59.m1.25.25.25.8.8.8.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E59.m1.25.25.25.8.8.8.1.1.1.1.1"></plus><ci id="S4.E59.m1.25.25.25.8.8.8.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E59.m1.25.25.25.8.8.8.1.1.1.1.2">𝑁</ci><cn id="S4.E59.m1.25.25.25.8.8.8.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.E59.m1.25.25.25.8.8.8.1.1.1.1.3">3</cn></apply></apply></apply><apply id="S4.E59.m1.34.34.1.1.1.1.5.3.cmml" xref="S4.E59.m1.3.3.3.3.3.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E59.m1.34.34.1.1.1.1.5.3.1.cmml" xref="S4.E59.m1.3.3.3.3.3.5">subscript</csymbol><apply id="S4.E59.m1.26.26.26.9.9.9.cmml" xref="S4.E59.m1.26.26.26.9.9.9"><ci id="S4.E59.m1.26.26.26.9.9.9.1.cmml" xref="S4.E59.m1.26.26.26.9.9.9.1">~</ci><ci id="S4.E59.m1.26.26.26.9.9.9.2.cmml" xref="S4.E59.m1.26.26.26.9.9.9.2">𝑤</ci></apply><apply id="S4.E59.m1.27.27.27.10.10.10.1.cmml" xref="S4.E59.m1.27.27.27.10.10.10.1"><plus id="S4.E59.m1.27.27.27.10.10.10.1.1.cmml" xref="S4.E59.m1.27.27.27.10.10.10.1.1"></plus><ci id="S4.E59.m1.27.27.27.10.10.10.1.2.cmml" xref="S4.E59.m1.27.27.27.10.10.10.1.2">𝑁</ci><cn id="S4.E59.m1.27.27.27.10.10.10.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.E59.m1.27.27.27.10.10.10.1.3">3</cn></apply></apply></apply><apply id="S4.E59.m1.34.34.1.1.1.1.6.cmml" xref="S4.E59.m1.3.3.3.3.3.5"><times id="S4.E59.m1.34.34.1.1.1.1.6.1.cmml" xref="S4.E59.m1.3.3.3.3.3.5"></times><apply id="S4.E59.m1.34.34.1.1.1.1.6.2.cmml" xref="S4.E59.m1.3.3.3.3.3.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E59.m1.34.34.1.1.1.1.6.2.1.cmml" xref="S4.E59.m1.3.3.3.3.3.5">subscript</csymbol><ci id="S4.E59.m1.29.29.29.12.12.12.cmml" xref="S4.E59.m1.29.29.29.12.12.12">𝐋</ci><apply id="S4.E59.m1.30.30.30.13.13.13.1.cmml" xref="S4.E59.m1.30.30.30.13.13.13.1"><times id="S4.E59.m1.30.30.30.13.13.13.1.2.cmml" xref="S4.E59.m1.30.30.30.13.13.13.1.2"></times><ci id="S4.E59.m1.30.30.30.13.13.13.1.3.cmml" xref="S4.E59.m1.30.30.30.13.13.13.1.3">𝑔</ci><apply id="S4.E59.m1.30.30.30.13.13.13.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E59.m1.30.30.30.13.13.13.1.1.1"><plus id="S4.E59.m1.30.30.30.13.13.13.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E59.m1.30.30.30.13.13.13.1.1.1.1.1"></plus><ci id="S4.E59.m1.30.30.30.13.13.13.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E59.m1.30.30.30.13.13.13.1.1.1.1.2">𝑀</ci><cn id="S4.E59.m1.30.30.30.13.13.13.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.E59.m1.30.30.30.13.13.13.1.1.1.1.3">3</cn></apply></apply></apply><apply id="S4.E59.m1.34.34.1.1.1.1.6.3.cmml" xref="S4.E59.m1.3.3.3.3.3.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E59.m1.34.34.1.1.1.1.6.3.1.cmml" xref="S4.E59.m1.3.3.3.3.3.5">subscript</csymbol><apply id="S4.E59.m1.31.31.31.14.14.14.cmml" xref="S4.E59.m1.31.31.31.14.14.14"><ci id="S4.E59.m1.31.31.31.14.14.14.1.cmml" xref="S4.E59.m1.31.31.31.14.14.14.1">~</ci><ci id="S4.E59.m1.31.31.31.14.14.14.2.cmml" xref="S4.E59.m1.31.31.31.14.14.14.2">𝑤</ci></apply><apply id="S4.E59.m1.32.32.32.15.15.15.1.cmml" xref="S4.E59.m1.32.32.32.15.15.15.1"><plus id="S4.E59.m1.32.32.32.15.15.15.1.1.cmml" xref="S4.E59.m1.32.32.32.15.15.15.1.1"></plus><ci id="S4.E59.m1.32.32.32.15.15.15.1.2.cmml" xref="S4.E59.m1.32.32.32.15.15.15.1.2">𝑀</ci><cn id="S4.E59.m1.32.32.32.15.15.15.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.E59.m1.32.32.32.15.15.15.1.3">3</cn></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.E59.m1.36c">\begin{split}\bm{\kappa}_{clamp}=&(\mathbf{L}_{gL}+\mathbf{L}_{g(L+3)})\tilde{% w}_{L}+\mathbf{L}_{gM}\tilde{w}_{M}\\ &+\mathbf{L}_{gN}\tilde{w}_{N}+\mathbf{L}_{g(N+3)}\tilde{w}_{N+3}+\mathbf{L}_{% g(M+3)}\tilde{w}_{M+3}.\end{split}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.E59.m1.36d">start_ROW start_CELL bold_italic_κ start_POSTSUBSCRIPT italic_c italic_l italic_a italic_m italic_p end_POSTSUBSCRIPT = end_CELL start_CELL ( bold_L start_POSTSUBSCRIPT italic_g italic_L end_POSTSUBSCRIPT + bold_L start_POSTSUBSCRIPT italic_g ( italic_L + 3 ) end_POSTSUBSCRIPT ) over~ start_ARG italic_w end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_L end_POSTSUBSCRIPT + bold_L start_POSTSUBSCRIPT italic_g italic_M end_POSTSUBSCRIPT over~ start_ARG italic_w end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_M end_POSTSUBSCRIPT end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL end_CELL start_CELL + bold_L start_POSTSUBSCRIPT italic_g italic_N end_POSTSUBSCRIPT over~ start_ARG italic_w end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_N end_POSTSUBSCRIPT + bold_L start_POSTSUBSCRIPT italic_g ( italic_N + 3 ) end_POSTSUBSCRIPT over~ start_ARG italic_w end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_N + 3 end_POSTSUBSCRIPT + bold_L start_POSTSUBSCRIPT italic_g ( italic_M + 3 ) end_POSTSUBSCRIPT over~ start_ARG italic_w end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_M + 3 end_POSTSUBSCRIPT . end_CELL end_ROW</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(59)</span></td> </tr></tbody> </table> </div> <div class="ltx_para" id="S4.SS5.p10"> <p class="ltx_p" id="S4.SS5.p10.4"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S4.SS5.p10.4.1">The Free Edge Boundary Condition.</span> For the zero-curvature condition, the virtual transverse displacement of the missing node should satisfy</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S4.E60"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\tilde{w}_{L^{\prime}}=2\tilde{w}_{P}-\tilde{w}_{L}," class="ltx_Math" display="block" id="S4.E60.m1.1"><semantics id="S4.E60.m1.1a"><mrow id="S4.E60.m1.1.1.1" xref="S4.E60.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.E60.m1.1.1.1.1" xref="S4.E60.m1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S4.E60.m1.1.1.1.1.2" xref="S4.E60.m1.1.1.1.1.2.cmml"><mover accent="true" id="S4.E60.m1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.E60.m1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S4.E60.m1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S4.E60.m1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">w</mi><mo id="S4.E60.m1.1.1.1.1.2.2.1" xref="S4.E60.m1.1.1.1.1.2.2.1.cmml">~</mo></mover><msup id="S4.E60.m1.1.1.1.1.2.3" xref="S4.E60.m1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S4.E60.m1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S4.E60.m1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">L</mi><mo id="S4.E60.m1.1.1.1.1.2.3.3" xref="S4.E60.m1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">′</mo></msup></msub><mo id="S4.E60.m1.1.1.1.1.1" xref="S4.E60.m1.1.1.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S4.E60.m1.1.1.1.1.3" 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id="S4.E60.m1.1.1.1.1.3.3.2.1" xref="S4.E60.m1.1.1.1.1.3.3.2.1.cmml">~</mo></mover><mi id="S4.E60.m1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S4.E60.m1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">L</mi></msub></mrow></mrow><mo id="S4.E60.m1.1.1.1.2" xref="S4.E60.m1.1.1.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.E60.m1.1b"><apply id="S4.E60.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E60.m1.1.1.1"><eq id="S4.E60.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E60.m1.1.1.1.1.1"></eq><apply id="S4.E60.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E60.m1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E60.m1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.E60.m1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><apply id="S4.E60.m1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.E60.m1.1.1.1.1.2.2"><ci id="S4.E60.m1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.E60.m1.1.1.1.1.2.2.1">~</ci><ci id="S4.E60.m1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.E60.m1.1.1.1.1.2.2.2">𝑤</ci></apply><apply id="S4.E60.m1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.E60.m1.1.1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E60.m1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S4.E60.m1.1.1.1.1.2.3">superscript</csymbol><ci id="S4.E60.m1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S4.E60.m1.1.1.1.1.2.3.2">𝐿</ci><ci id="S4.E60.m1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S4.E60.m1.1.1.1.1.2.3.3">′</ci></apply></apply><apply id="S4.E60.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E60.m1.1.1.1.1.3"><minus id="S4.E60.m1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E60.m1.1.1.1.1.3.1"></minus><apply id="S4.E60.m1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.E60.m1.1.1.1.1.3.2"><times id="S4.E60.m1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.E60.m1.1.1.1.1.3.2.1"></times><cn id="S4.E60.m1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" type="integer" xref="S4.E60.m1.1.1.1.1.3.2.2">2</cn><apply id="S4.E60.m1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S4.E60.m1.1.1.1.1.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E60.m1.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S4.E60.m1.1.1.1.1.3.2.3">subscript</csymbol><apply id="S4.E60.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S4.E60.m1.1.1.1.1.3.2.3.2"><ci id="S4.E60.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.1.cmml" xref="S4.E60.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.1">~</ci><ci id="S4.E60.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.2.cmml" xref="S4.E60.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.2">𝑤</ci></apply><ci id="S4.E60.m1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml" xref="S4.E60.m1.1.1.1.1.3.2.3.3">𝑃</ci></apply></apply><apply id="S4.E60.m1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.E60.m1.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E60.m1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.E60.m1.1.1.1.1.3.3">subscript</csymbol><apply id="S4.E60.m1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S4.E60.m1.1.1.1.1.3.3.2"><ci id="S4.E60.m1.1.1.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="S4.E60.m1.1.1.1.1.3.3.2.1">~</ci><ci id="S4.E60.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="S4.E60.m1.1.1.1.1.3.3.2.2">𝑤</ci></apply><ci id="S4.E60.m1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S4.E60.m1.1.1.1.1.3.3.3">𝐿</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.E60.m1.1c">\tilde{w}_{L^{\prime}}=2\tilde{w}_{P}-\tilde{w}_{L},</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.E60.m1.1d">over~ start_ARG italic_w end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_L start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT = 2 over~ start_ARG italic_w end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_P end_POSTSUBSCRIPT - over~ start_ARG italic_w end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_L end_POSTSUBSCRIPT ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(60)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S4.SS5.p10.3">where <math alttext="\tilde{w}_{P}=(\tilde{w}_{M}+\tilde{w}_{N})/2" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS5.p10.1.m1.1"><semantics id="S4.SS5.p10.1.m1.1a"><mrow id="S4.SS5.p10.1.m1.1.1" xref="S4.SS5.p10.1.m1.1.1.cmml"><msub id="S4.SS5.p10.1.m1.1.1.3" xref="S4.SS5.p10.1.m1.1.1.3.cmml"><mover accent="true" id="S4.SS5.p10.1.m1.1.1.3.2" xref="S4.SS5.p10.1.m1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S4.SS5.p10.1.m1.1.1.3.2.2" xref="S4.SS5.p10.1.m1.1.1.3.2.2.cmml">w</mi><mo id="S4.SS5.p10.1.m1.1.1.3.2.1" xref="S4.SS5.p10.1.m1.1.1.3.2.1.cmml">~</mo></mover><mi id="S4.SS5.p10.1.m1.1.1.3.3" xref="S4.SS5.p10.1.m1.1.1.3.3.cmml">P</mi></msub><mo id="S4.SS5.p10.1.m1.1.1.2" xref="S4.SS5.p10.1.m1.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S4.SS5.p10.1.m1.1.1.1" xref="S4.SS5.p10.1.m1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.SS5.p10.1.m1.1.1.1.1.1" xref="S4.SS5.p10.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.SS5.p10.1.m1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.SS5.p10.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.SS5.p10.1.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.SS5.p10.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S4.SS5.p10.1.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.SS5.p10.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mover accent="true" id="S4.SS5.p10.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.SS5.p10.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S4.SS5.p10.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S4.SS5.p10.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">w</mi><mo id="S4.SS5.p10.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1" xref="S4.SS5.p10.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml">~</mo></mover><mi id="S4.SS5.p10.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S4.SS5.p10.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">M</mi></msub><mo id="S4.SS5.p10.1.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.SS5.p10.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><msub id="S4.SS5.p10.1.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.SS5.p10.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mover accent="true" id="S4.SS5.p10.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.SS5.p10.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S4.SS5.p10.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S4.SS5.p10.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">w</mi><mo id="S4.SS5.p10.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1" xref="S4.SS5.p10.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml">~</mo></mover><mi id="S4.SS5.p10.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.SS5.p10.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">N</mi></msub></mrow><mo id="S4.SS5.p10.1.m1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.SS5.p10.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S4.SS5.p10.1.m1.1.1.1.2" xref="S4.SS5.p10.1.m1.1.1.1.2.cmml">/</mo><mn id="S4.SS5.p10.1.m1.1.1.1.3" xref="S4.SS5.p10.1.m1.1.1.1.3.cmml">2</mn></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS5.p10.1.m1.1b"><apply id="S4.SS5.p10.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.SS5.p10.1.m1.1.1"><eq id="S4.SS5.p10.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS5.p10.1.m1.1.1.2"></eq><apply id="S4.SS5.p10.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S4.SS5.p10.1.m1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS5.p10.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.SS5.p10.1.m1.1.1.3">subscript</csymbol><apply id="S4.SS5.p10.1.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.SS5.p10.1.m1.1.1.3.2"><ci id="S4.SS5.p10.1.m1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.SS5.p10.1.m1.1.1.3.2.1">~</ci><ci id="S4.SS5.p10.1.m1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.SS5.p10.1.m1.1.1.3.2.2">𝑤</ci></apply><ci id="S4.SS5.p10.1.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.SS5.p10.1.m1.1.1.3.3">𝑃</ci></apply><apply id="S4.SS5.p10.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS5.p10.1.m1.1.1.1"><divide id="S4.SS5.p10.1.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS5.p10.1.m1.1.1.1.2"></divide><apply id="S4.SS5.p10.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS5.p10.1.m1.1.1.1.1.1"><plus id="S4.SS5.p10.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS5.p10.1.m1.1.1.1.1.1.1.1"></plus><apply id="S4.SS5.p10.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS5.p10.1.m1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS5.p10.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.SS5.p10.1.m1.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><apply id="S4.SS5.p10.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.SS5.p10.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.2"><ci id="S4.SS5.p10.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.SS5.p10.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1">~</ci><ci id="S4.SS5.p10.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.SS5.p10.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2">𝑤</ci></apply><ci id="S4.SS5.p10.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.SS5.p10.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.3">𝑀</ci></apply><apply id="S4.SS5.p10.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.SS5.p10.1.m1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS5.p10.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.SS5.p10.1.m1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><apply id="S4.SS5.p10.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.SS5.p10.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.2"><ci id="S4.SS5.p10.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.SS5.p10.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1">~</ci><ci id="S4.SS5.p10.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.SS5.p10.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2">𝑤</ci></apply><ci id="S4.SS5.p10.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.SS5.p10.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑁</ci></apply></apply><cn id="S4.SS5.p10.1.m1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS5.p10.1.m1.1.1.1.3">2</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS5.p10.1.m1.1c">\tilde{w}_{P}=(\tilde{w}_{M}+\tilde{w}_{N})/2</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS5.p10.1.m1.1d">over~ start_ARG italic_w end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_P end_POSTSUBSCRIPT = ( over~ start_ARG italic_w end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_M end_POSTSUBSCRIPT + over~ start_ARG italic_w end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_N end_POSTSUBSCRIPT ) / 2</annotation></semantics></math> is the transverse displacement of the middle point <math alttext="P" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS5.p10.2.m2.1"><semantics id="S4.SS5.p10.2.m2.1a"><mi id="S4.SS5.p10.2.m2.1.1" xref="S4.SS5.p10.2.m2.1.1.cmml">P</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS5.p10.2.m2.1b"><ci id="S4.SS5.p10.2.m2.1.1.cmml" xref="S4.SS5.p10.2.m2.1.1">𝑃</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS5.p10.2.m2.1c">P</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS5.p10.2.m2.1d">italic_P</annotation></semantics></math> of the boundary edge <math alttext="NM" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS5.p10.3.m3.1"><semantics id="S4.SS5.p10.3.m3.1a"><mrow id="S4.SS5.p10.3.m3.1.1" xref="S4.SS5.p10.3.m3.1.1.cmml"><mi id="S4.SS5.p10.3.m3.1.1.2" xref="S4.SS5.p10.3.m3.1.1.2.cmml">N</mi><mo id="S4.SS5.p10.3.m3.1.1.1" xref="S4.SS5.p10.3.m3.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.SS5.p10.3.m3.1.1.3" xref="S4.SS5.p10.3.m3.1.1.3.cmml">M</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS5.p10.3.m3.1b"><apply id="S4.SS5.p10.3.m3.1.1.cmml" xref="S4.SS5.p10.3.m3.1.1"><times id="S4.SS5.p10.3.m3.1.1.1.cmml" xref="S4.SS5.p10.3.m3.1.1.1"></times><ci id="S4.SS5.p10.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S4.SS5.p10.3.m3.1.1.2">𝑁</ci><ci id="S4.SS5.p10.3.m3.1.1.3.cmml" xref="S4.SS5.p10.3.m3.1.1.3">𝑀</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS5.p10.3.m3.1c">NM</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS5.p10.3.m3.1d">italic_N italic_M</annotation></semantics></math>. We can deduce the modified curvature with a free edge as follows</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S4.E61"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\begin{split}\bm{\kappa}_{free}=&(\mathbf{L}_{gN}+\mathbf{L}_{g(L+3)})\tilde{w% }_{N}+(\mathbf{L}_{gM}+\mathbf{L}_{g(L+3)})\tilde{w}_{M}\\ &+(\mathbf{L}_{gL}-\mathbf{L}_{g(L+3)})\tilde{w}_{L}+\mathbf{L}_{g(N+3)}\tilde% {w}_{N+3}+\mathbf{L}_{g(M+3)}\tilde{w}_{M+3}.\end{split}" class="ltx_Math" display="block" id="S4.E61.m1.47"><semantics id="S4.E61.m1.47a"><mtable columnspacing="0pt" displaystyle="true" id="S4.E61.m1.47.47.4" rowspacing="0pt"><mtr id="S4.E61.m1.47.47.4a"><mtd class="ltx_align_right" columnalign="right" id="S4.E61.m1.47.47.4b"><mrow id="S4.E61.m1.3.3.3.3.3"><msub id="S4.E61.m1.3.3.3.3.3.4"><mi id="S4.E61.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E61.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">𝜿</mi><mrow id="S4.E61.m1.2.2.2.2.2.2.1" xref="S4.E61.m1.2.2.2.2.2.2.1.cmml"><mi id="S4.E61.m1.2.2.2.2.2.2.1.2" xref="S4.E61.m1.2.2.2.2.2.2.1.2.cmml">f</mi><mo id="S4.E61.m1.2.2.2.2.2.2.1.1" xref="S4.E61.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E61.m1.2.2.2.2.2.2.1.3" xref="S4.E61.m1.2.2.2.2.2.2.1.3.cmml">r</mi><mo id="S4.E61.m1.2.2.2.2.2.2.1.1a" xref="S4.E61.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E61.m1.2.2.2.2.2.2.1.4" xref="S4.E61.m1.2.2.2.2.2.2.1.4.cmml">e</mi><mo id="S4.E61.m1.2.2.2.2.2.2.1.1b" xref="S4.E61.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E61.m1.2.2.2.2.2.2.1.5" xref="S4.E61.m1.2.2.2.2.2.2.1.5.cmml">e</mi></mrow></msub><mo id="S4.E61.m1.3.3.3.3.3.3" xref="S4.E61.m1.3.3.3.3.3.3.cmml">=</mo><mi id="S4.E61.m1.3.3.3.3.3.5" xref="S4.E61.m1.44.44.1.1.1.cmml"></mi></mrow></mtd><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="S4.E61.m1.47.47.4c"><mrow id="S4.E61.m1.46.46.3.45.24.21"><mrow id="S4.E61.m1.45.45.2.44.23.20.20"><mrow id="S4.E61.m1.45.45.2.44.23.20.20.1.1"><mo id="S4.E61.m1.4.4.4.4.1.1" stretchy="false" xref="S4.E61.m1.44.44.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.E61.m1.45.45.2.44.23.20.20.1.1.1"><msub id="S4.E61.m1.45.45.2.44.23.20.20.1.1.1.1"><mi id="S4.E61.m1.5.5.5.5.2.2" xref="S4.E61.m1.5.5.5.5.2.2.cmml">𝐋</mi><mrow id="S4.E61.m1.6.6.6.6.3.3.1" xref="S4.E61.m1.6.6.6.6.3.3.1.cmml"><mi id="S4.E61.m1.6.6.6.6.3.3.1.2" xref="S4.E61.m1.6.6.6.6.3.3.1.2.cmml">g</mi><mo id="S4.E61.m1.6.6.6.6.3.3.1.1" xref="S4.E61.m1.6.6.6.6.3.3.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E61.m1.6.6.6.6.3.3.1.3" xref="S4.E61.m1.6.6.6.6.3.3.1.3.cmml">N</mi></mrow></msub><mo id="S4.E61.m1.7.7.7.7.4.4" xref="S4.E61.m1.7.7.7.7.4.4.cmml">+</mo><msub id="S4.E61.m1.45.45.2.44.23.20.20.1.1.1.2"><mi id="S4.E61.m1.8.8.8.8.5.5" xref="S4.E61.m1.8.8.8.8.5.5.cmml">𝐋</mi><mrow id="S4.E61.m1.9.9.9.9.6.6.1" xref="S4.E61.m1.9.9.9.9.6.6.1.cmml"><mi id="S4.E61.m1.9.9.9.9.6.6.1.3" xref="S4.E61.m1.9.9.9.9.6.6.1.3.cmml">g</mi><mo id="S4.E61.m1.9.9.9.9.6.6.1.2" xref="S4.E61.m1.9.9.9.9.6.6.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E61.m1.9.9.9.9.6.6.1.1.1" xref="S4.E61.m1.9.9.9.9.6.6.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.E61.m1.9.9.9.9.6.6.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.E61.m1.9.9.9.9.6.6.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.E61.m1.9.9.9.9.6.6.1.1.1.1" xref="S4.E61.m1.9.9.9.9.6.6.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.E61.m1.9.9.9.9.6.6.1.1.1.1.2" xref="S4.E61.m1.9.9.9.9.6.6.1.1.1.1.2.cmml">L</mi><mo id="S4.E61.m1.9.9.9.9.6.6.1.1.1.1.1" xref="S4.E61.m1.9.9.9.9.6.6.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mn id="S4.E61.m1.9.9.9.9.6.6.1.1.1.1.3" xref="S4.E61.m1.9.9.9.9.6.6.1.1.1.1.3.cmml">3</mn></mrow><mo id="S4.E61.m1.9.9.9.9.6.6.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.E61.m1.9.9.9.9.6.6.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></msub></mrow><mo id="S4.E61.m1.10.10.10.10.7.7" stretchy="false" xref="S4.E61.m1.44.44.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S4.E61.m1.45.45.2.44.23.20.20.2" xref="S4.E61.m1.44.44.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S4.E61.m1.45.45.2.44.23.20.20.3"><mover accent="true" id="S4.E61.m1.11.11.11.11.8.8" xref="S4.E61.m1.11.11.11.11.8.8.cmml"><mi id="S4.E61.m1.11.11.11.11.8.8.2" xref="S4.E61.m1.11.11.11.11.8.8.2.cmml">w</mi><mo id="S4.E61.m1.11.11.11.11.8.8.1" xref="S4.E61.m1.11.11.11.11.8.8.1.cmml">~</mo></mover><mi id="S4.E61.m1.12.12.12.12.9.9.1" xref="S4.E61.m1.12.12.12.12.9.9.1.cmml">N</mi></msub></mrow><mo id="S4.E61.m1.13.13.13.13.10.10" xref="S4.E61.m1.13.13.13.13.10.10.cmml">+</mo><mrow id="S4.E61.m1.46.46.3.45.24.21.21"><mrow id="S4.E61.m1.46.46.3.45.24.21.21.1.1"><mo id="S4.E61.m1.14.14.14.14.11.11" stretchy="false" xref="S4.E61.m1.44.44.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.E61.m1.46.46.3.45.24.21.21.1.1.1"><msub id="S4.E61.m1.46.46.3.45.24.21.21.1.1.1.1"><mi id="S4.E61.m1.15.15.15.15.12.12" xref="S4.E61.m1.15.15.15.15.12.12.cmml">𝐋</mi><mrow id="S4.E61.m1.16.16.16.16.13.13.1" xref="S4.E61.m1.16.16.16.16.13.13.1.cmml"><mi id="S4.E61.m1.16.16.16.16.13.13.1.2" xref="S4.E61.m1.16.16.16.16.13.13.1.2.cmml">g</mi><mo id="S4.E61.m1.16.16.16.16.13.13.1.1" xref="S4.E61.m1.16.16.16.16.13.13.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E61.m1.16.16.16.16.13.13.1.3" xref="S4.E61.m1.16.16.16.16.13.13.1.3.cmml">M</mi></mrow></msub><mo id="S4.E61.m1.17.17.17.17.14.14" xref="S4.E61.m1.17.17.17.17.14.14.cmml">+</mo><msub id="S4.E61.m1.46.46.3.45.24.21.21.1.1.1.2"><mi id="S4.E61.m1.18.18.18.18.15.15" xref="S4.E61.m1.18.18.18.18.15.15.cmml">𝐋</mi><mrow id="S4.E61.m1.19.19.19.19.16.16.1" xref="S4.E61.m1.19.19.19.19.16.16.1.cmml"><mi id="S4.E61.m1.19.19.19.19.16.16.1.3" xref="S4.E61.m1.19.19.19.19.16.16.1.3.cmml">g</mi><mo id="S4.E61.m1.19.19.19.19.16.16.1.2" xref="S4.E61.m1.19.19.19.19.16.16.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E61.m1.19.19.19.19.16.16.1.1.1" xref="S4.E61.m1.19.19.19.19.16.16.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.E61.m1.19.19.19.19.16.16.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.E61.m1.19.19.19.19.16.16.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.E61.m1.19.19.19.19.16.16.1.1.1.1" xref="S4.E61.m1.19.19.19.19.16.16.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.E61.m1.19.19.19.19.16.16.1.1.1.1.2" xref="S4.E61.m1.19.19.19.19.16.16.1.1.1.1.2.cmml">L</mi><mo id="S4.E61.m1.19.19.19.19.16.16.1.1.1.1.1" xref="S4.E61.m1.19.19.19.19.16.16.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mn id="S4.E61.m1.19.19.19.19.16.16.1.1.1.1.3" xref="S4.E61.m1.19.19.19.19.16.16.1.1.1.1.3.cmml">3</mn></mrow><mo id="S4.E61.m1.19.19.19.19.16.16.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.E61.m1.19.19.19.19.16.16.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></msub></mrow><mo id="S4.E61.m1.20.20.20.20.17.17" stretchy="false" xref="S4.E61.m1.44.44.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S4.E61.m1.46.46.3.45.24.21.21.2" xref="S4.E61.m1.44.44.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S4.E61.m1.46.46.3.45.24.21.21.3"><mover accent="true" id="S4.E61.m1.21.21.21.21.18.18" xref="S4.E61.m1.21.21.21.21.18.18.cmml"><mi id="S4.E61.m1.21.21.21.21.18.18.2" xref="S4.E61.m1.21.21.21.21.18.18.2.cmml">w</mi><mo id="S4.E61.m1.21.21.21.21.18.18.1" xref="S4.E61.m1.21.21.21.21.18.18.1.cmml">~</mo></mover><mi id="S4.E61.m1.22.22.22.22.19.19.1" xref="S4.E61.m1.22.22.22.22.19.19.1.cmml">M</mi></msub></mrow></mrow></mtd></mtr><mtr id="S4.E61.m1.47.47.4d"><mtd id="S4.E61.m1.47.47.4e" xref="S4.E61.m1.44.44.1.1.1.cmml"></mtd><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="S4.E61.m1.47.47.4f"><mrow id="S4.E61.m1.47.47.4.46.22.22.22"><mrow id="S4.E61.m1.47.47.4.46.22.22.22.1"><mrow id="S4.E61.m1.47.47.4.46.22.22.22.1.1"><mo id="S4.E61.m1.47.47.4.46.22.22.22.1.1a" xref="S4.E61.m1.44.44.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S4.E61.m1.47.47.4.46.22.22.22.1.1.1"><mrow id="S4.E61.m1.47.47.4.46.22.22.22.1.1.1.1.1"><mo id="S4.E61.m1.24.24.24.2.2.2" stretchy="false" xref="S4.E61.m1.44.44.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.E61.m1.47.47.4.46.22.22.22.1.1.1.1.1.1"><msub id="S4.E61.m1.47.47.4.46.22.22.22.1.1.1.1.1.1.1"><mi id="S4.E61.m1.25.25.25.3.3.3" xref="S4.E61.m1.25.25.25.3.3.3.cmml">𝐋</mi><mrow id="S4.E61.m1.26.26.26.4.4.4.1" xref="S4.E61.m1.26.26.26.4.4.4.1.cmml"><mi id="S4.E61.m1.26.26.26.4.4.4.1.2" xref="S4.E61.m1.26.26.26.4.4.4.1.2.cmml">g</mi><mo id="S4.E61.m1.26.26.26.4.4.4.1.1" xref="S4.E61.m1.26.26.26.4.4.4.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E61.m1.26.26.26.4.4.4.1.3" xref="S4.E61.m1.26.26.26.4.4.4.1.3.cmml">L</mi></mrow></msub><mo id="S4.E61.m1.27.27.27.5.5.5" xref="S4.E61.m1.27.27.27.5.5.5.cmml">−</mo><msub id="S4.E61.m1.47.47.4.46.22.22.22.1.1.1.1.1.1.2"><mi id="S4.E61.m1.28.28.28.6.6.6" xref="S4.E61.m1.28.28.28.6.6.6.cmml">𝐋</mi><mrow id="S4.E61.m1.29.29.29.7.7.7.1" xref="S4.E61.m1.29.29.29.7.7.7.1.cmml"><mi id="S4.E61.m1.29.29.29.7.7.7.1.3" xref="S4.E61.m1.29.29.29.7.7.7.1.3.cmml">g</mi><mo id="S4.E61.m1.29.29.29.7.7.7.1.2" xref="S4.E61.m1.29.29.29.7.7.7.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E61.m1.29.29.29.7.7.7.1.1.1" xref="S4.E61.m1.29.29.29.7.7.7.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.E61.m1.29.29.29.7.7.7.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.E61.m1.29.29.29.7.7.7.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.E61.m1.29.29.29.7.7.7.1.1.1.1" xref="S4.E61.m1.29.29.29.7.7.7.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.E61.m1.29.29.29.7.7.7.1.1.1.1.2" xref="S4.E61.m1.29.29.29.7.7.7.1.1.1.1.2.cmml">L</mi><mo id="S4.E61.m1.29.29.29.7.7.7.1.1.1.1.1" xref="S4.E61.m1.29.29.29.7.7.7.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mn id="S4.E61.m1.29.29.29.7.7.7.1.1.1.1.3" xref="S4.E61.m1.29.29.29.7.7.7.1.1.1.1.3.cmml">3</mn></mrow><mo id="S4.E61.m1.29.29.29.7.7.7.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.E61.m1.29.29.29.7.7.7.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></msub></mrow><mo id="S4.E61.m1.30.30.30.8.8.8" stretchy="false" xref="S4.E61.m1.44.44.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S4.E61.m1.47.47.4.46.22.22.22.1.1.1.2" xref="S4.E61.m1.44.44.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S4.E61.m1.47.47.4.46.22.22.22.1.1.1.3"><mover accent="true" id="S4.E61.m1.31.31.31.9.9.9" xref="S4.E61.m1.31.31.31.9.9.9.cmml"><mi id="S4.E61.m1.31.31.31.9.9.9.2" xref="S4.E61.m1.31.31.31.9.9.9.2.cmml">w</mi><mo id="S4.E61.m1.31.31.31.9.9.9.1" xref="S4.E61.m1.31.31.31.9.9.9.1.cmml">~</mo></mover><mi id="S4.E61.m1.32.32.32.10.10.10.1" xref="S4.E61.m1.32.32.32.10.10.10.1.cmml">L</mi></msub></mrow></mrow><mo id="S4.E61.m1.33.33.33.11.11.11" xref="S4.E61.m1.44.44.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S4.E61.m1.47.47.4.46.22.22.22.1.2"><msub id="S4.E61.m1.47.47.4.46.22.22.22.1.2.2"><mi id="S4.E61.m1.34.34.34.12.12.12" xref="S4.E61.m1.34.34.34.12.12.12.cmml">𝐋</mi><mrow id="S4.E61.m1.35.35.35.13.13.13.1" xref="S4.E61.m1.35.35.35.13.13.13.1.cmml"><mi id="S4.E61.m1.35.35.35.13.13.13.1.3" xref="S4.E61.m1.35.35.35.13.13.13.1.3.cmml">g</mi><mo id="S4.E61.m1.35.35.35.13.13.13.1.2" xref="S4.E61.m1.35.35.35.13.13.13.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E61.m1.35.35.35.13.13.13.1.1.1" xref="S4.E61.m1.35.35.35.13.13.13.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.E61.m1.35.35.35.13.13.13.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.E61.m1.35.35.35.13.13.13.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.E61.m1.35.35.35.13.13.13.1.1.1.1" xref="S4.E61.m1.35.35.35.13.13.13.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.E61.m1.35.35.35.13.13.13.1.1.1.1.2" xref="S4.E61.m1.35.35.35.13.13.13.1.1.1.1.2.cmml">N</mi><mo id="S4.E61.m1.35.35.35.13.13.13.1.1.1.1.1" xref="S4.E61.m1.35.35.35.13.13.13.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mn id="S4.E61.m1.35.35.35.13.13.13.1.1.1.1.3" xref="S4.E61.m1.35.35.35.13.13.13.1.1.1.1.3.cmml">3</mn></mrow><mo id="S4.E61.m1.35.35.35.13.13.13.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.E61.m1.35.35.35.13.13.13.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></msub><mo id="S4.E61.m1.47.47.4.46.22.22.22.1.2.1" xref="S4.E61.m1.44.44.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S4.E61.m1.47.47.4.46.22.22.22.1.2.3"><mover accent="true" id="S4.E61.m1.36.36.36.14.14.14" xref="S4.E61.m1.36.36.36.14.14.14.cmml"><mi id="S4.E61.m1.36.36.36.14.14.14.2" xref="S4.E61.m1.36.36.36.14.14.14.2.cmml">w</mi><mo id="S4.E61.m1.36.36.36.14.14.14.1" xref="S4.E61.m1.36.36.36.14.14.14.1.cmml">~</mo></mover><mrow id="S4.E61.m1.37.37.37.15.15.15.1" xref="S4.E61.m1.37.37.37.15.15.15.1.cmml"><mi id="S4.E61.m1.37.37.37.15.15.15.1.2" xref="S4.E61.m1.37.37.37.15.15.15.1.2.cmml">N</mi><mo id="S4.E61.m1.37.37.37.15.15.15.1.1" xref="S4.E61.m1.37.37.37.15.15.15.1.1.cmml">+</mo><mn id="S4.E61.m1.37.37.37.15.15.15.1.3" xref="S4.E61.m1.37.37.37.15.15.15.1.3.cmml">3</mn></mrow></msub></mrow><mo id="S4.E61.m1.33.33.33.11.11.11a" xref="S4.E61.m1.44.44.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S4.E61.m1.47.47.4.46.22.22.22.1.3"><msub id="S4.E61.m1.47.47.4.46.22.22.22.1.3.2"><mi id="S4.E61.m1.39.39.39.17.17.17" xref="S4.E61.m1.39.39.39.17.17.17.cmml">𝐋</mi><mrow id="S4.E61.m1.40.40.40.18.18.18.1" xref="S4.E61.m1.40.40.40.18.18.18.1.cmml"><mi id="S4.E61.m1.40.40.40.18.18.18.1.3" xref="S4.E61.m1.40.40.40.18.18.18.1.3.cmml">g</mi><mo id="S4.E61.m1.40.40.40.18.18.18.1.2" xref="S4.E61.m1.40.40.40.18.18.18.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E61.m1.40.40.40.18.18.18.1.1.1" xref="S4.E61.m1.40.40.40.18.18.18.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.E61.m1.40.40.40.18.18.18.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.E61.m1.40.40.40.18.18.18.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.E61.m1.40.40.40.18.18.18.1.1.1.1" xref="S4.E61.m1.40.40.40.18.18.18.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.E61.m1.40.40.40.18.18.18.1.1.1.1.2" xref="S4.E61.m1.40.40.40.18.18.18.1.1.1.1.2.cmml">M</mi><mo id="S4.E61.m1.40.40.40.18.18.18.1.1.1.1.1" xref="S4.E61.m1.40.40.40.18.18.18.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mn id="S4.E61.m1.40.40.40.18.18.18.1.1.1.1.3" xref="S4.E61.m1.40.40.40.18.18.18.1.1.1.1.3.cmml">3</mn></mrow><mo id="S4.E61.m1.40.40.40.18.18.18.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.E61.m1.40.40.40.18.18.18.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></msub><mo id="S4.E61.m1.47.47.4.46.22.22.22.1.3.1" xref="S4.E61.m1.44.44.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S4.E61.m1.47.47.4.46.22.22.22.1.3.3"><mover accent="true" id="S4.E61.m1.41.41.41.19.19.19" xref="S4.E61.m1.41.41.41.19.19.19.cmml"><mi id="S4.E61.m1.41.41.41.19.19.19.2" xref="S4.E61.m1.41.41.41.19.19.19.2.cmml">w</mi><mo id="S4.E61.m1.41.41.41.19.19.19.1" xref="S4.E61.m1.41.41.41.19.19.19.1.cmml">~</mo></mover><mrow id="S4.E61.m1.42.42.42.20.20.20.1" xref="S4.E61.m1.42.42.42.20.20.20.1.cmml"><mi id="S4.E61.m1.42.42.42.20.20.20.1.2" xref="S4.E61.m1.42.42.42.20.20.20.1.2.cmml">M</mi><mo id="S4.E61.m1.42.42.42.20.20.20.1.1" xref="S4.E61.m1.42.42.42.20.20.20.1.1.cmml">+</mo><mn id="S4.E61.m1.42.42.42.20.20.20.1.3" xref="S4.E61.m1.42.42.42.20.20.20.1.3.cmml">3</mn></mrow></msub></mrow></mrow><mo id="S4.E61.m1.43.43.43.21.21.21" lspace="0em" xref="S4.E61.m1.44.44.1.1.1.cmml">.</mo></mrow></mtd></mtr></mtable><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.E61.m1.47b"><apply id="S4.E61.m1.44.44.1.1.1.cmml" xref="S4.E61.m1.3.3.3.3.3.5"><eq id="S4.E61.m1.3.3.3.3.3.3.cmml" xref="S4.E61.m1.3.3.3.3.3.3"></eq><apply id="S4.E61.m1.44.44.1.1.1.5.cmml" xref="S4.E61.m1.3.3.3.3.3.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E61.m1.44.44.1.1.1.5.1.cmml" xref="S4.E61.m1.3.3.3.3.3.5">subscript</csymbol><ci id="S4.E61.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E61.m1.1.1.1.1.1.1">𝜿</ci><apply id="S4.E61.m1.2.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S4.E61.m1.2.2.2.2.2.2.1"><times id="S4.E61.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.cmml" xref="S4.E61.m1.2.2.2.2.2.2.1.1"></times><ci id="S4.E61.m1.2.2.2.2.2.2.1.2.cmml" xref="S4.E61.m1.2.2.2.2.2.2.1.2">𝑓</ci><ci id="S4.E61.m1.2.2.2.2.2.2.1.3.cmml" xref="S4.E61.m1.2.2.2.2.2.2.1.3">𝑟</ci><ci id="S4.E61.m1.2.2.2.2.2.2.1.4.cmml" xref="S4.E61.m1.2.2.2.2.2.2.1.4">𝑒</ci><ci id="S4.E61.m1.2.2.2.2.2.2.1.5.cmml" xref="S4.E61.m1.2.2.2.2.2.2.1.5">𝑒</ci></apply></apply><apply id="S4.E61.m1.44.44.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E61.m1.3.3.3.3.3.5"><plus id="S4.E61.m1.13.13.13.13.10.10.cmml" xref="S4.E61.m1.13.13.13.13.10.10"></plus><apply id="S4.E61.m1.44.44.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E61.m1.3.3.3.3.3.5"><times id="S4.E61.m1.44.44.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E61.m1.3.3.3.3.3.5"></times><apply id="S4.E61.m1.44.44.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E61.m1.3.3.3.3.3.5"><plus id="S4.E61.m1.7.7.7.7.4.4.cmml" xref="S4.E61.m1.7.7.7.7.4.4"></plus><apply id="S4.E61.m1.44.44.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E61.m1.3.3.3.3.3.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E61.m1.44.44.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.E61.m1.3.3.3.3.3.5">subscript</csymbol><ci id="S4.E61.m1.5.5.5.5.2.2.cmml" xref="S4.E61.m1.5.5.5.5.2.2">𝐋</ci><apply id="S4.E61.m1.6.6.6.6.3.3.1.cmml" xref="S4.E61.m1.6.6.6.6.3.3.1"><times id="S4.E61.m1.6.6.6.6.3.3.1.1.cmml" xref="S4.E61.m1.6.6.6.6.3.3.1.1"></times><ci id="S4.E61.m1.6.6.6.6.3.3.1.2.cmml" xref="S4.E61.m1.6.6.6.6.3.3.1.2">𝑔</ci><ci id="S4.E61.m1.6.6.6.6.3.3.1.3.cmml" xref="S4.E61.m1.6.6.6.6.3.3.1.3">𝑁</ci></apply></apply><apply id="S4.E61.m1.44.44.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E61.m1.3.3.3.3.3.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E61.m1.44.44.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E61.m1.3.3.3.3.3.5">subscript</csymbol><ci id="S4.E61.m1.8.8.8.8.5.5.cmml" xref="S4.E61.m1.8.8.8.8.5.5">𝐋</ci><apply id="S4.E61.m1.9.9.9.9.6.6.1.cmml" xref="S4.E61.m1.9.9.9.9.6.6.1"><times id="S4.E61.m1.9.9.9.9.6.6.1.2.cmml" xref="S4.E61.m1.9.9.9.9.6.6.1.2"></times><ci id="S4.E61.m1.9.9.9.9.6.6.1.3.cmml" xref="S4.E61.m1.9.9.9.9.6.6.1.3">𝑔</ci><apply id="S4.E61.m1.9.9.9.9.6.6.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E61.m1.9.9.9.9.6.6.1.1.1"><plus id="S4.E61.m1.9.9.9.9.6.6.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E61.m1.9.9.9.9.6.6.1.1.1.1.1"></plus><ci id="S4.E61.m1.9.9.9.9.6.6.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E61.m1.9.9.9.9.6.6.1.1.1.1.2">𝐿</ci><cn id="S4.E61.m1.9.9.9.9.6.6.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.E61.m1.9.9.9.9.6.6.1.1.1.1.3">3</cn></apply></apply></apply></apply><apply id="S4.E61.m1.44.44.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E61.m1.3.3.3.3.3.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E61.m1.44.44.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E61.m1.3.3.3.3.3.5">subscript</csymbol><apply id="S4.E61.m1.11.11.11.11.8.8.cmml" xref="S4.E61.m1.11.11.11.11.8.8"><ci id="S4.E61.m1.11.11.11.11.8.8.1.cmml" xref="S4.E61.m1.11.11.11.11.8.8.1">~</ci><ci id="S4.E61.m1.11.11.11.11.8.8.2.cmml" xref="S4.E61.m1.11.11.11.11.8.8.2">𝑤</ci></apply><ci id="S4.E61.m1.12.12.12.12.9.9.1.cmml" xref="S4.E61.m1.12.12.12.12.9.9.1">𝑁</ci></apply></apply><apply id="S4.E61.m1.44.44.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.E61.m1.3.3.3.3.3.5"><times id="S4.E61.m1.44.44.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.E61.m1.3.3.3.3.3.5"></times><apply id="S4.E61.m1.44.44.1.1.1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S4.E61.m1.3.3.3.3.3.5"><plus id="S4.E61.m1.17.17.17.17.14.14.cmml" xref="S4.E61.m1.17.17.17.17.14.14"></plus><apply id="S4.E61.m1.44.44.1.1.1.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E61.m1.3.3.3.3.3.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E61.m1.44.44.1.1.1.2.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.E61.m1.3.3.3.3.3.5">subscript</csymbol><ci id="S4.E61.m1.15.15.15.15.12.12.cmml" xref="S4.E61.m1.15.15.15.15.12.12">𝐋</ci><apply id="S4.E61.m1.16.16.16.16.13.13.1.cmml" xref="S4.E61.m1.16.16.16.16.13.13.1"><times id="S4.E61.m1.16.16.16.16.13.13.1.1.cmml" xref="S4.E61.m1.16.16.16.16.13.13.1.1"></times><ci id="S4.E61.m1.16.16.16.16.13.13.1.2.cmml" xref="S4.E61.m1.16.16.16.16.13.13.1.2">𝑔</ci><ci id="S4.E61.m1.16.16.16.16.13.13.1.3.cmml" xref="S4.E61.m1.16.16.16.16.13.13.1.3">𝑀</ci></apply></apply><apply id="S4.E61.m1.44.44.1.1.1.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E61.m1.3.3.3.3.3.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E61.m1.44.44.1.1.1.2.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E61.m1.3.3.3.3.3.5">subscript</csymbol><ci id="S4.E61.m1.18.18.18.18.15.15.cmml" xref="S4.E61.m1.18.18.18.18.15.15">𝐋</ci><apply id="S4.E61.m1.19.19.19.19.16.16.1.cmml" xref="S4.E61.m1.19.19.19.19.16.16.1"><times id="S4.E61.m1.19.19.19.19.16.16.1.2.cmml" xref="S4.E61.m1.19.19.19.19.16.16.1.2"></times><ci id="S4.E61.m1.19.19.19.19.16.16.1.3.cmml" xref="S4.E61.m1.19.19.19.19.16.16.1.3">𝑔</ci><apply id="S4.E61.m1.19.19.19.19.16.16.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E61.m1.19.19.19.19.16.16.1.1.1"><plus id="S4.E61.m1.19.19.19.19.16.16.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E61.m1.19.19.19.19.16.16.1.1.1.1.1"></plus><ci id="S4.E61.m1.19.19.19.19.16.16.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E61.m1.19.19.19.19.16.16.1.1.1.1.2">𝐿</ci><cn id="S4.E61.m1.19.19.19.19.16.16.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.E61.m1.19.19.19.19.16.16.1.1.1.1.3">3</cn></apply></apply></apply></apply><apply id="S4.E61.m1.44.44.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.E61.m1.3.3.3.3.3.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E61.m1.44.44.1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S4.E61.m1.3.3.3.3.3.5">subscript</csymbol><apply id="S4.E61.m1.21.21.21.21.18.18.cmml" xref="S4.E61.m1.21.21.21.21.18.18"><ci id="S4.E61.m1.21.21.21.21.18.18.1.cmml" xref="S4.E61.m1.21.21.21.21.18.18.1">~</ci><ci id="S4.E61.m1.21.21.21.21.18.18.2.cmml" xref="S4.E61.m1.21.21.21.21.18.18.2">𝑤</ci></apply><ci id="S4.E61.m1.22.22.22.22.19.19.1.cmml" xref="S4.E61.m1.22.22.22.22.19.19.1">𝑀</ci></apply></apply><apply id="S4.E61.m1.44.44.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.E61.m1.3.3.3.3.3.5"><times id="S4.E61.m1.44.44.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S4.E61.m1.3.3.3.3.3.5"></times><apply id="S4.E61.m1.44.44.1.1.1.3.3.1.1.1.cmml" xref="S4.E61.m1.3.3.3.3.3.5"><minus id="S4.E61.m1.27.27.27.5.5.5.cmml" xref="S4.E61.m1.27.27.27.5.5.5"></minus><apply id="S4.E61.m1.44.44.1.1.1.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E61.m1.3.3.3.3.3.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E61.m1.44.44.1.1.1.3.3.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.E61.m1.3.3.3.3.3.5">subscript</csymbol><ci id="S4.E61.m1.25.25.25.3.3.3.cmml" xref="S4.E61.m1.25.25.25.3.3.3">𝐋</ci><apply id="S4.E61.m1.26.26.26.4.4.4.1.cmml" xref="S4.E61.m1.26.26.26.4.4.4.1"><times id="S4.E61.m1.26.26.26.4.4.4.1.1.cmml" xref="S4.E61.m1.26.26.26.4.4.4.1.1"></times><ci id="S4.E61.m1.26.26.26.4.4.4.1.2.cmml" xref="S4.E61.m1.26.26.26.4.4.4.1.2">𝑔</ci><ci id="S4.E61.m1.26.26.26.4.4.4.1.3.cmml" xref="S4.E61.m1.26.26.26.4.4.4.1.3">𝐿</ci></apply></apply><apply id="S4.E61.m1.44.44.1.1.1.3.3.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E61.m1.3.3.3.3.3.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E61.m1.44.44.1.1.1.3.3.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E61.m1.3.3.3.3.3.5">subscript</csymbol><ci id="S4.E61.m1.28.28.28.6.6.6.cmml" xref="S4.E61.m1.28.28.28.6.6.6">𝐋</ci><apply id="S4.E61.m1.29.29.29.7.7.7.1.cmml" xref="S4.E61.m1.29.29.29.7.7.7.1"><times id="S4.E61.m1.29.29.29.7.7.7.1.2.cmml" xref="S4.E61.m1.29.29.29.7.7.7.1.2"></times><ci id="S4.E61.m1.29.29.29.7.7.7.1.3.cmml" xref="S4.E61.m1.29.29.29.7.7.7.1.3">𝑔</ci><apply id="S4.E61.m1.29.29.29.7.7.7.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E61.m1.29.29.29.7.7.7.1.1.1"><plus id="S4.E61.m1.29.29.29.7.7.7.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E61.m1.29.29.29.7.7.7.1.1.1.1.1"></plus><ci id="S4.E61.m1.29.29.29.7.7.7.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E61.m1.29.29.29.7.7.7.1.1.1.1.2">𝐿</ci><cn id="S4.E61.m1.29.29.29.7.7.7.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.E61.m1.29.29.29.7.7.7.1.1.1.1.3">3</cn></apply></apply></apply></apply><apply id="S4.E61.m1.44.44.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S4.E61.m1.3.3.3.3.3.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E61.m1.44.44.1.1.1.3.3.3.1.cmml" xref="S4.E61.m1.3.3.3.3.3.5">subscript</csymbol><apply id="S4.E61.m1.31.31.31.9.9.9.cmml" xref="S4.E61.m1.31.31.31.9.9.9"><ci id="S4.E61.m1.31.31.31.9.9.9.1.cmml" xref="S4.E61.m1.31.31.31.9.9.9.1">~</ci><ci id="S4.E61.m1.31.31.31.9.9.9.2.cmml" xref="S4.E61.m1.31.31.31.9.9.9.2">𝑤</ci></apply><ci id="S4.E61.m1.32.32.32.10.10.10.1.cmml" xref="S4.E61.m1.32.32.32.10.10.10.1">𝐿</ci></apply></apply><apply id="S4.E61.m1.44.44.1.1.1.3.5.cmml" xref="S4.E61.m1.3.3.3.3.3.5"><times id="S4.E61.m1.44.44.1.1.1.3.5.1.cmml" xref="S4.E61.m1.3.3.3.3.3.5"></times><apply id="S4.E61.m1.44.44.1.1.1.3.5.2.cmml" xref="S4.E61.m1.3.3.3.3.3.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E61.m1.44.44.1.1.1.3.5.2.1.cmml" xref="S4.E61.m1.3.3.3.3.3.5">subscript</csymbol><ci id="S4.E61.m1.34.34.34.12.12.12.cmml" xref="S4.E61.m1.34.34.34.12.12.12">𝐋</ci><apply id="S4.E61.m1.35.35.35.13.13.13.1.cmml" xref="S4.E61.m1.35.35.35.13.13.13.1"><times id="S4.E61.m1.35.35.35.13.13.13.1.2.cmml" xref="S4.E61.m1.35.35.35.13.13.13.1.2"></times><ci id="S4.E61.m1.35.35.35.13.13.13.1.3.cmml" xref="S4.E61.m1.35.35.35.13.13.13.1.3">𝑔</ci><apply id="S4.E61.m1.35.35.35.13.13.13.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E61.m1.35.35.35.13.13.13.1.1.1"><plus id="S4.E61.m1.35.35.35.13.13.13.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E61.m1.35.35.35.13.13.13.1.1.1.1.1"></plus><ci id="S4.E61.m1.35.35.35.13.13.13.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E61.m1.35.35.35.13.13.13.1.1.1.1.2">𝑁</ci><cn id="S4.E61.m1.35.35.35.13.13.13.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.E61.m1.35.35.35.13.13.13.1.1.1.1.3">3</cn></apply></apply></apply><apply id="S4.E61.m1.44.44.1.1.1.3.5.3.cmml" xref="S4.E61.m1.3.3.3.3.3.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E61.m1.44.44.1.1.1.3.5.3.1.cmml" xref="S4.E61.m1.3.3.3.3.3.5">subscript</csymbol><apply id="S4.E61.m1.36.36.36.14.14.14.cmml" xref="S4.E61.m1.36.36.36.14.14.14"><ci id="S4.E61.m1.36.36.36.14.14.14.1.cmml" xref="S4.E61.m1.36.36.36.14.14.14.1">~</ci><ci id="S4.E61.m1.36.36.36.14.14.14.2.cmml" xref="S4.E61.m1.36.36.36.14.14.14.2">𝑤</ci></apply><apply id="S4.E61.m1.37.37.37.15.15.15.1.cmml" xref="S4.E61.m1.37.37.37.15.15.15.1"><plus id="S4.E61.m1.37.37.37.15.15.15.1.1.cmml" xref="S4.E61.m1.37.37.37.15.15.15.1.1"></plus><ci id="S4.E61.m1.37.37.37.15.15.15.1.2.cmml" xref="S4.E61.m1.37.37.37.15.15.15.1.2">𝑁</ci><cn id="S4.E61.m1.37.37.37.15.15.15.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.E61.m1.37.37.37.15.15.15.1.3">3</cn></apply></apply></apply><apply id="S4.E61.m1.44.44.1.1.1.3.6.cmml" xref="S4.E61.m1.3.3.3.3.3.5"><times id="S4.E61.m1.44.44.1.1.1.3.6.1.cmml" xref="S4.E61.m1.3.3.3.3.3.5"></times><apply id="S4.E61.m1.44.44.1.1.1.3.6.2.cmml" xref="S4.E61.m1.3.3.3.3.3.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E61.m1.44.44.1.1.1.3.6.2.1.cmml" xref="S4.E61.m1.3.3.3.3.3.5">subscript</csymbol><ci id="S4.E61.m1.39.39.39.17.17.17.cmml" xref="S4.E61.m1.39.39.39.17.17.17">𝐋</ci><apply id="S4.E61.m1.40.40.40.18.18.18.1.cmml" xref="S4.E61.m1.40.40.40.18.18.18.1"><times id="S4.E61.m1.40.40.40.18.18.18.1.2.cmml" xref="S4.E61.m1.40.40.40.18.18.18.1.2"></times><ci id="S4.E61.m1.40.40.40.18.18.18.1.3.cmml" xref="S4.E61.m1.40.40.40.18.18.18.1.3">𝑔</ci><apply id="S4.E61.m1.40.40.40.18.18.18.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E61.m1.40.40.40.18.18.18.1.1.1"><plus id="S4.E61.m1.40.40.40.18.18.18.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E61.m1.40.40.40.18.18.18.1.1.1.1.1"></plus><ci id="S4.E61.m1.40.40.40.18.18.18.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E61.m1.40.40.40.18.18.18.1.1.1.1.2">𝑀</ci><cn id="S4.E61.m1.40.40.40.18.18.18.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.E61.m1.40.40.40.18.18.18.1.1.1.1.3">3</cn></apply></apply></apply><apply id="S4.E61.m1.44.44.1.1.1.3.6.3.cmml" xref="S4.E61.m1.3.3.3.3.3.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E61.m1.44.44.1.1.1.3.6.3.1.cmml" xref="S4.E61.m1.3.3.3.3.3.5">subscript</csymbol><apply id="S4.E61.m1.41.41.41.19.19.19.cmml" xref="S4.E61.m1.41.41.41.19.19.19"><ci id="S4.E61.m1.41.41.41.19.19.19.1.cmml" xref="S4.E61.m1.41.41.41.19.19.19.1">~</ci><ci id="S4.E61.m1.41.41.41.19.19.19.2.cmml" xref="S4.E61.m1.41.41.41.19.19.19.2">𝑤</ci></apply><apply id="S4.E61.m1.42.42.42.20.20.20.1.cmml" xref="S4.E61.m1.42.42.42.20.20.20.1"><plus id="S4.E61.m1.42.42.42.20.20.20.1.1.cmml" xref="S4.E61.m1.42.42.42.20.20.20.1.1"></plus><ci id="S4.E61.m1.42.42.42.20.20.20.1.2.cmml" xref="S4.E61.m1.42.42.42.20.20.20.1.2">𝑀</ci><cn id="S4.E61.m1.42.42.42.20.20.20.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.E61.m1.42.42.42.20.20.20.1.3">3</cn></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.E61.m1.47c">\begin{split}\bm{\kappa}_{free}=&(\mathbf{L}_{gN}+\mathbf{L}_{g(L+3)})\tilde{w% }_{N}+(\mathbf{L}_{gM}+\mathbf{L}_{g(L+3)})\tilde{w}_{M}\\ &+(\mathbf{L}_{gL}-\mathbf{L}_{g(L+3)})\tilde{w}_{L}+\mathbf{L}_{g(N+3)}\tilde% {w}_{N+3}+\mathbf{L}_{g(M+3)}\tilde{w}_{M+3}.\end{split}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.E61.m1.47d">start_ROW start_CELL bold_italic_κ start_POSTSUBSCRIPT italic_f italic_r italic_e italic_e end_POSTSUBSCRIPT = end_CELL start_CELL ( bold_L start_POSTSUBSCRIPT italic_g italic_N end_POSTSUBSCRIPT + bold_L start_POSTSUBSCRIPT italic_g ( italic_L + 3 ) end_POSTSUBSCRIPT ) over~ start_ARG italic_w end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_N end_POSTSUBSCRIPT + ( bold_L start_POSTSUBSCRIPT italic_g italic_M end_POSTSUBSCRIPT + bold_L start_POSTSUBSCRIPT italic_g ( italic_L + 3 ) end_POSTSUBSCRIPT ) over~ start_ARG italic_w end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_M end_POSTSUBSCRIPT end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL end_CELL start_CELL + ( bold_L start_POSTSUBSCRIPT italic_g italic_L end_POSTSUBSCRIPT - bold_L start_POSTSUBSCRIPT italic_g ( italic_L + 3 ) end_POSTSUBSCRIPT ) over~ start_ARG italic_w end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_L end_POSTSUBSCRIPT + bold_L start_POSTSUBSCRIPT italic_g ( italic_N + 3 ) end_POSTSUBSCRIPT over~ start_ARG italic_w end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_N + 3 end_POSTSUBSCRIPT + bold_L start_POSTSUBSCRIPT italic_g ( italic_M + 3 ) end_POSTSUBSCRIPT over~ start_ARG italic_w end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_M + 3 end_POSTSUBSCRIPT . end_CELL end_ROW</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(61)</span></td> </tr></tbody> </table> </div> <div class="ltx_para" id="S4.SS5.p11"> <p class="ltx_p" id="S4.SS5.p11.1">If a boundary triangle includes one more boundary edge, the operations outlined in Eq. (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2502.10872v4#S4.E59" title="In 4.5 Corotational smoothed hinge bending model ‣ 4 Geometric Discretization ‣ Corotational Hinge-based Thin Plates/Shells"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">59</span></a>) and Eq. (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2502.10872v4#S4.E61" title="In 4.5 Corotational smoothed hinge bending model ‣ 4 Geometric Discretization ‣ Corotational Hinge-based Thin Plates/Shells"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">61</span></a>) can be superimposed.</p> </div> <figure class="ltx_figure" id="S4.F5"><img alt="Refer to caption" class="ltx_graphics ltx_centering ltx_img_landscape" height="212" id="S4.F5.g1" src="x5.png" width="821"/> <figcaption class="ltx_caption ltx_centering"><span class="ltx_tag ltx_tag_figure"><span class="ltx_text" id="S4.F5.3.1.1" style="font-size:90%;">Figure 5</span>: </span><span class="ltx_text" id="S4.F5.4.2" style="font-size:90%;"> <span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S4.F5.4.2.1">Linear plate bending benchmark.</span> Convergence and consistency analysis of a simply supported linear plate under uniform load across three different mesh structures. The vertical axis represents the computed deflection normalized by the analytical value. EP/ES yield identical predictions, as do FP/FS and SP/SS. MidedgeSin and MidedgeTan also produce the same predictions, so a single marker is used for each group. MidedgeAve results in "NaN" values on the equilateral triangular mesh, and therefore its corresponding line is omitted.</span></figcaption> </figure> </section> </section> <section class="ltx_section" id="S5"> <h2 class="ltx_title ltx_title_section"> <span class="ltx_tag ltx_tag_section">5 </span>Implementations</h2> <div class="ltx_para" id="S5.p1"> <p class="ltx_p" id="S5.p1.13"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S5.p1.13.1">Dynamics Simulation.</span> The incremental potential (IP) <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2502.10872v4#bib.bibx25" title="">KMOW00</a>]</cite> for elastodynamic simulations can be expressed as</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S5.E62"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="E(\bm{x})=\frac{1}{2}(\bm{x}-\hat{\bm{x}})^{T}\bm{M}(\bm{x}-\hat{\bm{x}})+% \Delta t^{2}\Psi_{{elastic}}+B(\bm{x})+D(\bm{x})," class="ltx_Math" display="block" id="S5.E62.m1.4"><semantics id="S5.E62.m1.4a"><mrow id="S5.E62.m1.4.4.1" xref="S5.E62.m1.4.4.1.1.cmml"><mrow id="S5.E62.m1.4.4.1.1" xref="S5.E62.m1.4.4.1.1.cmml"><mrow id="S5.E62.m1.4.4.1.1.4" xref="S5.E62.m1.4.4.1.1.4.cmml"><mi id="S5.E62.m1.4.4.1.1.4.2" xref="S5.E62.m1.4.4.1.1.4.2.cmml">E</mi><mo id="S5.E62.m1.4.4.1.1.4.1" xref="S5.E62.m1.4.4.1.1.4.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.E62.m1.4.4.1.1.4.3.2" xref="S5.E62.m1.4.4.1.1.4.cmml"><mo id="S5.E62.m1.4.4.1.1.4.3.2.1" stretchy="false" xref="S5.E62.m1.4.4.1.1.4.cmml">(</mo><mi id="S5.E62.m1.1.1" xref="S5.E62.m1.1.1.cmml">𝒙</mi><mo id="S5.E62.m1.4.4.1.1.4.3.2.2" stretchy="false" xref="S5.E62.m1.4.4.1.1.4.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S5.E62.m1.4.4.1.1.3" xref="S5.E62.m1.4.4.1.1.3.cmml">=</mo><mrow id="S5.E62.m1.4.4.1.1.2" xref="S5.E62.m1.4.4.1.1.2.cmml"><mrow 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xref="S5.E62.m1.4.4.1.1.2.4.3.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S5.E62.m1.4.4.1.1.2.4.1a" xref="S5.E62.m1.4.4.1.1.2.4.1.cmml">⁢</mo><msub id="S5.E62.m1.4.4.1.1.2.4.4" xref="S5.E62.m1.4.4.1.1.2.4.4.cmml"><mi id="S5.E62.m1.4.4.1.1.2.4.4.2" mathvariant="normal" xref="S5.E62.m1.4.4.1.1.2.4.4.2.cmml">Ψ</mi><mrow id="S5.E62.m1.4.4.1.1.2.4.4.3" xref="S5.E62.m1.4.4.1.1.2.4.4.3.cmml"><mi id="S5.E62.m1.4.4.1.1.2.4.4.3.2" xref="S5.E62.m1.4.4.1.1.2.4.4.3.2.cmml">e</mi><mo id="S5.E62.m1.4.4.1.1.2.4.4.3.1" xref="S5.E62.m1.4.4.1.1.2.4.4.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.E62.m1.4.4.1.1.2.4.4.3.3" xref="S5.E62.m1.4.4.1.1.2.4.4.3.3.cmml">l</mi><mo id="S5.E62.m1.4.4.1.1.2.4.4.3.1a" xref="S5.E62.m1.4.4.1.1.2.4.4.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.E62.m1.4.4.1.1.2.4.4.3.4" xref="S5.E62.m1.4.4.1.1.2.4.4.3.4.cmml">a</mi><mo id="S5.E62.m1.4.4.1.1.2.4.4.3.1b" xref="S5.E62.m1.4.4.1.1.2.4.4.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.E62.m1.4.4.1.1.2.4.4.3.5" xref="S5.E62.m1.4.4.1.1.2.4.4.3.5.cmml">s</mi><mo id="S5.E62.m1.4.4.1.1.2.4.4.3.1c" 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end_ARG ( bold_italic_x - over^ start_ARG bold_italic_x end_ARG ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT bold_italic_M ( bold_italic_x - over^ start_ARG bold_italic_x end_ARG ) + roman_Δ italic_t start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT roman_Ψ start_POSTSUBSCRIPT italic_e italic_l italic_a italic_s italic_t italic_i italic_c end_POSTSUBSCRIPT + italic_B ( bold_italic_x ) + italic_D ( bold_italic_x ) ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(62)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S5.p1.12">where <math alttext="\bm{M}\in{R}^{3n\times 3n}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p1.1.m1.1"><semantics id="S5.p1.1.m1.1a"><mrow id="S5.p1.1.m1.1.1" xref="S5.p1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S5.p1.1.m1.1.1.2" xref="S5.p1.1.m1.1.1.2.cmml">𝑴</mi><mo id="S5.p1.1.m1.1.1.1" xref="S5.p1.1.m1.1.1.1.cmml">∈</mo><msup id="S5.p1.1.m1.1.1.3" xref="S5.p1.1.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S5.p1.1.m1.1.1.3.2" xref="S5.p1.1.m1.1.1.3.2.cmml">R</mi><mrow id="S5.p1.1.m1.1.1.3.3" xref="S5.p1.1.m1.1.1.3.3.cmml"><mrow id="S5.p1.1.m1.1.1.3.3.2" xref="S5.p1.1.m1.1.1.3.3.2.cmml"><mrow id="S5.p1.1.m1.1.1.3.3.2.2" xref="S5.p1.1.m1.1.1.3.3.2.2.cmml"><mn id="S5.p1.1.m1.1.1.3.3.2.2.2" xref="S5.p1.1.m1.1.1.3.3.2.2.2.cmml">3</mn><mo id="S5.p1.1.m1.1.1.3.3.2.2.1" xref="S5.p1.1.m1.1.1.3.3.2.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.p1.1.m1.1.1.3.3.2.2.3" xref="S5.p1.1.m1.1.1.3.3.2.2.3.cmml">n</mi></mrow><mo id="S5.p1.1.m1.1.1.3.3.2.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S5.p1.1.m1.1.1.3.3.2.1.cmml">×</mo><mn id="S5.p1.1.m1.1.1.3.3.2.3" xref="S5.p1.1.m1.1.1.3.3.2.3.cmml">3</mn></mrow><mo id="S5.p1.1.m1.1.1.3.3.1" xref="S5.p1.1.m1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.p1.1.m1.1.1.3.3.3" xref="S5.p1.1.m1.1.1.3.3.3.cmml">n</mi></mrow></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p1.1.m1.1b"><apply id="S5.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S5.p1.1.m1.1.1"><in id="S5.p1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S5.p1.1.m1.1.1.1"></in><ci id="S5.p1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S5.p1.1.m1.1.1.2">𝑴</ci><apply id="S5.p1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S5.p1.1.m1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p1.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.p1.1.m1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S5.p1.1.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.p1.1.m1.1.1.3.2">𝑅</ci><apply id="S5.p1.1.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S5.p1.1.m1.1.1.3.3"><times id="S5.p1.1.m1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S5.p1.1.m1.1.1.3.3.1"></times><apply id="S5.p1.1.m1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S5.p1.1.m1.1.1.3.3.2"><times id="S5.p1.1.m1.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="S5.p1.1.m1.1.1.3.3.2.1"></times><apply id="S5.p1.1.m1.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="S5.p1.1.m1.1.1.3.3.2.2"><times id="S5.p1.1.m1.1.1.3.3.2.2.1.cmml" xref="S5.p1.1.m1.1.1.3.3.2.2.1"></times><cn id="S5.p1.1.m1.1.1.3.3.2.2.2.cmml" type="integer" xref="S5.p1.1.m1.1.1.3.3.2.2.2">3</cn><ci id="S5.p1.1.m1.1.1.3.3.2.2.3.cmml" xref="S5.p1.1.m1.1.1.3.3.2.2.3">𝑛</ci></apply><cn id="S5.p1.1.m1.1.1.3.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.p1.1.m1.1.1.3.3.2.3">3</cn></apply><ci id="S5.p1.1.m1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S5.p1.1.m1.1.1.3.3.3">𝑛</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p1.1.m1.1c">\bm{M}\in{R}^{3n\times 3n}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p1.1.m1.1d">bold_italic_M ∈ italic_R start_POSTSUPERSCRIPT 3 italic_n × 3 italic_n end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> is the mass matrix, <math alttext="\Delta t" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p1.2.m2.1"><semantics id="S5.p1.2.m2.1a"><mrow id="S5.p1.2.m2.1.1" xref="S5.p1.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S5.p1.2.m2.1.1.2" mathvariant="normal" xref="S5.p1.2.m2.1.1.2.cmml">Δ</mi><mo id="S5.p1.2.m2.1.1.1" xref="S5.p1.2.m2.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.p1.2.m2.1.1.3" xref="S5.p1.2.m2.1.1.3.cmml">t</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p1.2.m2.1b"><apply id="S5.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="S5.p1.2.m2.1.1"><times id="S5.p1.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S5.p1.2.m2.1.1.1"></times><ci id="S5.p1.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S5.p1.2.m2.1.1.2">Δ</ci><ci id="S5.p1.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S5.p1.2.m2.1.1.3">𝑡</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p1.2.m2.1c">\Delta t</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p1.2.m2.1d">roman_Δ italic_t</annotation></semantics></math> is the time step, <math alttext="\hat{\bm{x}}=\bm{x}^{t}+\Delta t\bm{v}^{t}+\Delta t^{2}\bm{M}^{-1}\bm{f}_{{ext}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p1.3.m3.1"><semantics id="S5.p1.3.m3.1a"><mrow id="S5.p1.3.m3.1.1" xref="S5.p1.3.m3.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S5.p1.3.m3.1.1.2" xref="S5.p1.3.m3.1.1.2.cmml"><mi id="S5.p1.3.m3.1.1.2.2" xref="S5.p1.3.m3.1.1.2.2.cmml">𝒙</mi><mo id="S5.p1.3.m3.1.1.2.1" xref="S5.p1.3.m3.1.1.2.1.cmml">^</mo></mover><mo id="S5.p1.3.m3.1.1.1" xref="S5.p1.3.m3.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S5.p1.3.m3.1.1.3" xref="S5.p1.3.m3.1.1.3.cmml"><msup id="S5.p1.3.m3.1.1.3.2" xref="S5.p1.3.m3.1.1.3.2.cmml"><mi id="S5.p1.3.m3.1.1.3.2.2" xref="S5.p1.3.m3.1.1.3.2.2.cmml">𝒙</mi><mi id="S5.p1.3.m3.1.1.3.2.3" xref="S5.p1.3.m3.1.1.3.2.3.cmml">t</mi></msup><mo id="S5.p1.3.m3.1.1.3.1" xref="S5.p1.3.m3.1.1.3.1.cmml">+</mo><mrow id="S5.p1.3.m3.1.1.3.3" xref="S5.p1.3.m3.1.1.3.3.cmml"><mi id="S5.p1.3.m3.1.1.3.3.2" mathvariant="normal" xref="S5.p1.3.m3.1.1.3.3.2.cmml">Δ</mi><mo id="S5.p1.3.m3.1.1.3.3.1" xref="S5.p1.3.m3.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.p1.3.m3.1.1.3.3.3" xref="S5.p1.3.m3.1.1.3.3.3.cmml">t</mi><mo id="S5.p1.3.m3.1.1.3.3.1a" xref="S5.p1.3.m3.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="S5.p1.3.m3.1.1.3.3.4" xref="S5.p1.3.m3.1.1.3.3.4.cmml"><mi id="S5.p1.3.m3.1.1.3.3.4.2" xref="S5.p1.3.m3.1.1.3.3.4.2.cmml">𝒗</mi><mi id="S5.p1.3.m3.1.1.3.3.4.3" xref="S5.p1.3.m3.1.1.3.3.4.3.cmml">t</mi></msup></mrow><mo id="S5.p1.3.m3.1.1.3.1a" xref="S5.p1.3.m3.1.1.3.1.cmml">+</mo><mrow id="S5.p1.3.m3.1.1.3.4" xref="S5.p1.3.m3.1.1.3.4.cmml"><mi id="S5.p1.3.m3.1.1.3.4.2" mathvariant="normal" xref="S5.p1.3.m3.1.1.3.4.2.cmml">Δ</mi><mo id="S5.p1.3.m3.1.1.3.4.1" xref="S5.p1.3.m3.1.1.3.4.1.cmml">⁢</mo><msup id="S5.p1.3.m3.1.1.3.4.3" xref="S5.p1.3.m3.1.1.3.4.3.cmml"><mi id="S5.p1.3.m3.1.1.3.4.3.2" xref="S5.p1.3.m3.1.1.3.4.3.2.cmml">t</mi><mn id="S5.p1.3.m3.1.1.3.4.3.3" xref="S5.p1.3.m3.1.1.3.4.3.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S5.p1.3.m3.1.1.3.4.1a" xref="S5.p1.3.m3.1.1.3.4.1.cmml">⁢</mo><msup id="S5.p1.3.m3.1.1.3.4.4" xref="S5.p1.3.m3.1.1.3.4.4.cmml"><mi id="S5.p1.3.m3.1.1.3.4.4.2" xref="S5.p1.3.m3.1.1.3.4.4.2.cmml">𝑴</mi><mrow id="S5.p1.3.m3.1.1.3.4.4.3" xref="S5.p1.3.m3.1.1.3.4.4.3.cmml"><mo id="S5.p1.3.m3.1.1.3.4.4.3a" xref="S5.p1.3.m3.1.1.3.4.4.3.cmml">−</mo><mn id="S5.p1.3.m3.1.1.3.4.4.3.2" xref="S5.p1.3.m3.1.1.3.4.4.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="S5.p1.3.m3.1.1.3.4.1b" xref="S5.p1.3.m3.1.1.3.4.1.cmml">⁢</mo><msub id="S5.p1.3.m3.1.1.3.4.5" xref="S5.p1.3.m3.1.1.3.4.5.cmml"><mi id="S5.p1.3.m3.1.1.3.4.5.2" xref="S5.p1.3.m3.1.1.3.4.5.2.cmml">𝒇</mi><mrow id="S5.p1.3.m3.1.1.3.4.5.3" xref="S5.p1.3.m3.1.1.3.4.5.3.cmml"><mi id="S5.p1.3.m3.1.1.3.4.5.3.2" xref="S5.p1.3.m3.1.1.3.4.5.3.2.cmml">e</mi><mo id="S5.p1.3.m3.1.1.3.4.5.3.1" xref="S5.p1.3.m3.1.1.3.4.5.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.p1.3.m3.1.1.3.4.5.3.3" xref="S5.p1.3.m3.1.1.3.4.5.3.3.cmml">x</mi><mo id="S5.p1.3.m3.1.1.3.4.5.3.1a" xref="S5.p1.3.m3.1.1.3.4.5.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.p1.3.m3.1.1.3.4.5.3.4" xref="S5.p1.3.m3.1.1.3.4.5.3.4.cmml">t</mi></mrow></msub></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p1.3.m3.1b"><apply id="S5.p1.3.m3.1.1.cmml" xref="S5.p1.3.m3.1.1"><eq id="S5.p1.3.m3.1.1.1.cmml" xref="S5.p1.3.m3.1.1.1"></eq><apply id="S5.p1.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S5.p1.3.m3.1.1.2"><ci id="S5.p1.3.m3.1.1.2.1.cmml" xref="S5.p1.3.m3.1.1.2.1">^</ci><ci id="S5.p1.3.m3.1.1.2.2.cmml" xref="S5.p1.3.m3.1.1.2.2">𝒙</ci></apply><apply id="S5.p1.3.m3.1.1.3.cmml" xref="S5.p1.3.m3.1.1.3"><plus id="S5.p1.3.m3.1.1.3.1.cmml" xref="S5.p1.3.m3.1.1.3.1"></plus><apply id="S5.p1.3.m3.1.1.3.2.cmml" xref="S5.p1.3.m3.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p1.3.m3.1.1.3.2.1.cmml" xref="S5.p1.3.m3.1.1.3.2">superscript</csymbol><ci id="S5.p1.3.m3.1.1.3.2.2.cmml" xref="S5.p1.3.m3.1.1.3.2.2">𝒙</ci><ci id="S5.p1.3.m3.1.1.3.2.3.cmml" xref="S5.p1.3.m3.1.1.3.2.3">𝑡</ci></apply><apply id="S5.p1.3.m3.1.1.3.3.cmml" xref="S5.p1.3.m3.1.1.3.3"><times id="S5.p1.3.m3.1.1.3.3.1.cmml" xref="S5.p1.3.m3.1.1.3.3.1"></times><ci id="S5.p1.3.m3.1.1.3.3.2.cmml" xref="S5.p1.3.m3.1.1.3.3.2">Δ</ci><ci id="S5.p1.3.m3.1.1.3.3.3.cmml" xref="S5.p1.3.m3.1.1.3.3.3">𝑡</ci><apply id="S5.p1.3.m3.1.1.3.3.4.cmml" xref="S5.p1.3.m3.1.1.3.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p1.3.m3.1.1.3.3.4.1.cmml" xref="S5.p1.3.m3.1.1.3.3.4">superscript</csymbol><ci id="S5.p1.3.m3.1.1.3.3.4.2.cmml" xref="S5.p1.3.m3.1.1.3.3.4.2">𝒗</ci><ci id="S5.p1.3.m3.1.1.3.3.4.3.cmml" xref="S5.p1.3.m3.1.1.3.3.4.3">𝑡</ci></apply></apply><apply id="S5.p1.3.m3.1.1.3.4.cmml" xref="S5.p1.3.m3.1.1.3.4"><times id="S5.p1.3.m3.1.1.3.4.1.cmml" xref="S5.p1.3.m3.1.1.3.4.1"></times><ci id="S5.p1.3.m3.1.1.3.4.2.cmml" xref="S5.p1.3.m3.1.1.3.4.2">Δ</ci><apply id="S5.p1.3.m3.1.1.3.4.3.cmml" xref="S5.p1.3.m3.1.1.3.4.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p1.3.m3.1.1.3.4.3.1.cmml" xref="S5.p1.3.m3.1.1.3.4.3">superscript</csymbol><ci id="S5.p1.3.m3.1.1.3.4.3.2.cmml" xref="S5.p1.3.m3.1.1.3.4.3.2">𝑡</ci><cn id="S5.p1.3.m3.1.1.3.4.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.p1.3.m3.1.1.3.4.3.3">2</cn></apply><apply id="S5.p1.3.m3.1.1.3.4.4.cmml" xref="S5.p1.3.m3.1.1.3.4.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p1.3.m3.1.1.3.4.4.1.cmml" xref="S5.p1.3.m3.1.1.3.4.4">superscript</csymbol><ci id="S5.p1.3.m3.1.1.3.4.4.2.cmml" xref="S5.p1.3.m3.1.1.3.4.4.2">𝑴</ci><apply id="S5.p1.3.m3.1.1.3.4.4.3.cmml" xref="S5.p1.3.m3.1.1.3.4.4.3"><minus id="S5.p1.3.m3.1.1.3.4.4.3.1.cmml" xref="S5.p1.3.m3.1.1.3.4.4.3"></minus><cn id="S5.p1.3.m3.1.1.3.4.4.3.2.cmml" type="integer" xref="S5.p1.3.m3.1.1.3.4.4.3.2">1</cn></apply></apply><apply id="S5.p1.3.m3.1.1.3.4.5.cmml" xref="S5.p1.3.m3.1.1.3.4.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p1.3.m3.1.1.3.4.5.1.cmml" xref="S5.p1.3.m3.1.1.3.4.5">subscript</csymbol><ci id="S5.p1.3.m3.1.1.3.4.5.2.cmml" xref="S5.p1.3.m3.1.1.3.4.5.2">𝒇</ci><apply id="S5.p1.3.m3.1.1.3.4.5.3.cmml" xref="S5.p1.3.m3.1.1.3.4.5.3"><times id="S5.p1.3.m3.1.1.3.4.5.3.1.cmml" xref="S5.p1.3.m3.1.1.3.4.5.3.1"></times><ci id="S5.p1.3.m3.1.1.3.4.5.3.2.cmml" xref="S5.p1.3.m3.1.1.3.4.5.3.2">𝑒</ci><ci id="S5.p1.3.m3.1.1.3.4.5.3.3.cmml" xref="S5.p1.3.m3.1.1.3.4.5.3.3">𝑥</ci><ci id="S5.p1.3.m3.1.1.3.4.5.3.4.cmml" xref="S5.p1.3.m3.1.1.3.4.5.3.4">𝑡</ci></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p1.3.m3.1c">\hat{\bm{x}}=\bm{x}^{t}+\Delta t\bm{v}^{t}+\Delta t^{2}\bm{M}^{-1}\bm{f}_{{ext}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p1.3.m3.1d">over^ start_ARG bold_italic_x end_ARG = bold_italic_x start_POSTSUPERSCRIPT italic_t end_POSTSUPERSCRIPT + roman_Δ italic_t bold_italic_v start_POSTSUPERSCRIPT italic_t end_POSTSUPERSCRIPT + roman_Δ italic_t start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT bold_italic_M start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT bold_italic_f start_POSTSUBSCRIPT italic_e italic_x italic_t end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> represents the predicted position from the implicit Euler integration, with <math alttext="\bm{f}_{{ext}}\in{R}^{3n}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p1.4.m4.1"><semantics id="S5.p1.4.m4.1a"><mrow id="S5.p1.4.m4.1.1" xref="S5.p1.4.m4.1.1.cmml"><msub id="S5.p1.4.m4.1.1.2" xref="S5.p1.4.m4.1.1.2.cmml"><mi id="S5.p1.4.m4.1.1.2.2" xref="S5.p1.4.m4.1.1.2.2.cmml">𝒇</mi><mrow id="S5.p1.4.m4.1.1.2.3" xref="S5.p1.4.m4.1.1.2.3.cmml"><mi id="S5.p1.4.m4.1.1.2.3.2" xref="S5.p1.4.m4.1.1.2.3.2.cmml">e</mi><mo id="S5.p1.4.m4.1.1.2.3.1" xref="S5.p1.4.m4.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.p1.4.m4.1.1.2.3.3" xref="S5.p1.4.m4.1.1.2.3.3.cmml">x</mi><mo id="S5.p1.4.m4.1.1.2.3.1a" xref="S5.p1.4.m4.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.p1.4.m4.1.1.2.3.4" xref="S5.p1.4.m4.1.1.2.3.4.cmml">t</mi></mrow></msub><mo id="S5.p1.4.m4.1.1.1" xref="S5.p1.4.m4.1.1.1.cmml">∈</mo><msup id="S5.p1.4.m4.1.1.3" xref="S5.p1.4.m4.1.1.3.cmml"><mi id="S5.p1.4.m4.1.1.3.2" xref="S5.p1.4.m4.1.1.3.2.cmml">R</mi><mrow id="S5.p1.4.m4.1.1.3.3" xref="S5.p1.4.m4.1.1.3.3.cmml"><mn id="S5.p1.4.m4.1.1.3.3.2" xref="S5.p1.4.m4.1.1.3.3.2.cmml">3</mn><mo id="S5.p1.4.m4.1.1.3.3.1" xref="S5.p1.4.m4.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.p1.4.m4.1.1.3.3.3" xref="S5.p1.4.m4.1.1.3.3.3.cmml">n</mi></mrow></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p1.4.m4.1b"><apply id="S5.p1.4.m4.1.1.cmml" xref="S5.p1.4.m4.1.1"><in id="S5.p1.4.m4.1.1.1.cmml" xref="S5.p1.4.m4.1.1.1"></in><apply id="S5.p1.4.m4.1.1.2.cmml" xref="S5.p1.4.m4.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p1.4.m4.1.1.2.1.cmml" xref="S5.p1.4.m4.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S5.p1.4.m4.1.1.2.2.cmml" xref="S5.p1.4.m4.1.1.2.2">𝒇</ci><apply id="S5.p1.4.m4.1.1.2.3.cmml" xref="S5.p1.4.m4.1.1.2.3"><times id="S5.p1.4.m4.1.1.2.3.1.cmml" xref="S5.p1.4.m4.1.1.2.3.1"></times><ci id="S5.p1.4.m4.1.1.2.3.2.cmml" xref="S5.p1.4.m4.1.1.2.3.2">𝑒</ci><ci id="S5.p1.4.m4.1.1.2.3.3.cmml" xref="S5.p1.4.m4.1.1.2.3.3">𝑥</ci><ci id="S5.p1.4.m4.1.1.2.3.4.cmml" xref="S5.p1.4.m4.1.1.2.3.4">𝑡</ci></apply></apply><apply id="S5.p1.4.m4.1.1.3.cmml" xref="S5.p1.4.m4.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p1.4.m4.1.1.3.1.cmml" xref="S5.p1.4.m4.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S5.p1.4.m4.1.1.3.2.cmml" xref="S5.p1.4.m4.1.1.3.2">𝑅</ci><apply id="S5.p1.4.m4.1.1.3.3.cmml" xref="S5.p1.4.m4.1.1.3.3"><times id="S5.p1.4.m4.1.1.3.3.1.cmml" xref="S5.p1.4.m4.1.1.3.3.1"></times><cn id="S5.p1.4.m4.1.1.3.3.2.cmml" type="integer" xref="S5.p1.4.m4.1.1.3.3.2">3</cn><ci id="S5.p1.4.m4.1.1.3.3.3.cmml" xref="S5.p1.4.m4.1.1.3.3.3">𝑛</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p1.4.m4.1c">\bm{f}_{{ext}}\in{R}^{3n}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p1.4.m4.1d">bold_italic_f start_POSTSUBSCRIPT italic_e italic_x italic_t end_POSTSUBSCRIPT ∈ italic_R start_POSTSUPERSCRIPT 3 italic_n end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> is the external force, <math alttext="\bm{x}^{t}\in{R}^{3n}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p1.5.m5.1"><semantics id="S5.p1.5.m5.1a"><mrow id="S5.p1.5.m5.1.1" xref="S5.p1.5.m5.1.1.cmml"><msup id="S5.p1.5.m5.1.1.2" xref="S5.p1.5.m5.1.1.2.cmml"><mi id="S5.p1.5.m5.1.1.2.2" xref="S5.p1.5.m5.1.1.2.2.cmml">𝒙</mi><mi id="S5.p1.5.m5.1.1.2.3" xref="S5.p1.5.m5.1.1.2.3.cmml">t</mi></msup><mo id="S5.p1.5.m5.1.1.1" xref="S5.p1.5.m5.1.1.1.cmml">∈</mo><msup id="S5.p1.5.m5.1.1.3" xref="S5.p1.5.m5.1.1.3.cmml"><mi id="S5.p1.5.m5.1.1.3.2" xref="S5.p1.5.m5.1.1.3.2.cmml">R</mi><mrow id="S5.p1.5.m5.1.1.3.3" xref="S5.p1.5.m5.1.1.3.3.cmml"><mn id="S5.p1.5.m5.1.1.3.3.2" xref="S5.p1.5.m5.1.1.3.3.2.cmml">3</mn><mo id="S5.p1.5.m5.1.1.3.3.1" xref="S5.p1.5.m5.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.p1.5.m5.1.1.3.3.3" xref="S5.p1.5.m5.1.1.3.3.3.cmml">n</mi></mrow></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p1.5.m5.1b"><apply id="S5.p1.5.m5.1.1.cmml" xref="S5.p1.5.m5.1.1"><in id="S5.p1.5.m5.1.1.1.cmml" xref="S5.p1.5.m5.1.1.1"></in><apply id="S5.p1.5.m5.1.1.2.cmml" xref="S5.p1.5.m5.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p1.5.m5.1.1.2.1.cmml" xref="S5.p1.5.m5.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S5.p1.5.m5.1.1.2.2.cmml" xref="S5.p1.5.m5.1.1.2.2">𝒙</ci><ci id="S5.p1.5.m5.1.1.2.3.cmml" xref="S5.p1.5.m5.1.1.2.3">𝑡</ci></apply><apply id="S5.p1.5.m5.1.1.3.cmml" xref="S5.p1.5.m5.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p1.5.m5.1.1.3.1.cmml" xref="S5.p1.5.m5.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S5.p1.5.m5.1.1.3.2.cmml" xref="S5.p1.5.m5.1.1.3.2">𝑅</ci><apply id="S5.p1.5.m5.1.1.3.3.cmml" xref="S5.p1.5.m5.1.1.3.3"><times id="S5.p1.5.m5.1.1.3.3.1.cmml" xref="S5.p1.5.m5.1.1.3.3.1"></times><cn id="S5.p1.5.m5.1.1.3.3.2.cmml" type="integer" xref="S5.p1.5.m5.1.1.3.3.2">3</cn><ci id="S5.p1.5.m5.1.1.3.3.3.cmml" xref="S5.p1.5.m5.1.1.3.3.3">𝑛</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p1.5.m5.1c">\bm{x}^{t}\in{R}^{3n}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p1.5.m5.1d">bold_italic_x start_POSTSUPERSCRIPT italic_t end_POSTSUPERSCRIPT ∈ italic_R start_POSTSUPERSCRIPT 3 italic_n end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> and <math alttext="\bm{v}^{t}\in{R}^{3n}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p1.6.m6.1"><semantics id="S5.p1.6.m6.1a"><mrow id="S5.p1.6.m6.1.1" xref="S5.p1.6.m6.1.1.cmml"><msup id="S5.p1.6.m6.1.1.2" xref="S5.p1.6.m6.1.1.2.cmml"><mi id="S5.p1.6.m6.1.1.2.2" xref="S5.p1.6.m6.1.1.2.2.cmml">𝒗</mi><mi id="S5.p1.6.m6.1.1.2.3" xref="S5.p1.6.m6.1.1.2.3.cmml">t</mi></msup><mo id="S5.p1.6.m6.1.1.1" xref="S5.p1.6.m6.1.1.1.cmml">∈</mo><msup id="S5.p1.6.m6.1.1.3" xref="S5.p1.6.m6.1.1.3.cmml"><mi id="S5.p1.6.m6.1.1.3.2" xref="S5.p1.6.m6.1.1.3.2.cmml">R</mi><mrow id="S5.p1.6.m6.1.1.3.3" xref="S5.p1.6.m6.1.1.3.3.cmml"><mn id="S5.p1.6.m6.1.1.3.3.2" xref="S5.p1.6.m6.1.1.3.3.2.cmml">3</mn><mo id="S5.p1.6.m6.1.1.3.3.1" xref="S5.p1.6.m6.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.p1.6.m6.1.1.3.3.3" xref="S5.p1.6.m6.1.1.3.3.3.cmml">n</mi></mrow></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p1.6.m6.1b"><apply id="S5.p1.6.m6.1.1.cmml" xref="S5.p1.6.m6.1.1"><in id="S5.p1.6.m6.1.1.1.cmml" xref="S5.p1.6.m6.1.1.1"></in><apply id="S5.p1.6.m6.1.1.2.cmml" xref="S5.p1.6.m6.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p1.6.m6.1.1.2.1.cmml" xref="S5.p1.6.m6.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S5.p1.6.m6.1.1.2.2.cmml" xref="S5.p1.6.m6.1.1.2.2">𝒗</ci><ci id="S5.p1.6.m6.1.1.2.3.cmml" xref="S5.p1.6.m6.1.1.2.3">𝑡</ci></apply><apply id="S5.p1.6.m6.1.1.3.cmml" xref="S5.p1.6.m6.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p1.6.m6.1.1.3.1.cmml" xref="S5.p1.6.m6.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S5.p1.6.m6.1.1.3.2.cmml" xref="S5.p1.6.m6.1.1.3.2">𝑅</ci><apply id="S5.p1.6.m6.1.1.3.3.cmml" xref="S5.p1.6.m6.1.1.3.3"><times id="S5.p1.6.m6.1.1.3.3.1.cmml" xref="S5.p1.6.m6.1.1.3.3.1"></times><cn id="S5.p1.6.m6.1.1.3.3.2.cmml" type="integer" xref="S5.p1.6.m6.1.1.3.3.2">3</cn><ci id="S5.p1.6.m6.1.1.3.3.3.cmml" xref="S5.p1.6.m6.1.1.3.3.3">𝑛</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p1.6.m6.1c">\bm{v}^{t}\in{R}^{3n}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p1.6.m6.1d">bold_italic_v start_POSTSUPERSCRIPT italic_t end_POSTSUPERSCRIPT ∈ italic_R start_POSTSUPERSCRIPT 3 italic_n end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> stack the nodal positions and nodal velocities at time <math alttext="t" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p1.7.m7.1"><semantics id="S5.p1.7.m7.1a"><mi id="S5.p1.7.m7.1.1" xref="S5.p1.7.m7.1.1.cmml">t</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p1.7.m7.1b"><ci id="S5.p1.7.m7.1.1.cmml" xref="S5.p1.7.m7.1.1">𝑡</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p1.7.m7.1c">t</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p1.7.m7.1d">italic_t</annotation></semantics></math>, respectively. <math alttext="\Psi_{{elastic}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p1.8.m8.1"><semantics id="S5.p1.8.m8.1a"><msub id="S5.p1.8.m8.1.1" xref="S5.p1.8.m8.1.1.cmml"><mi id="S5.p1.8.m8.1.1.2" mathvariant="normal" xref="S5.p1.8.m8.1.1.2.cmml">Ψ</mi><mrow id="S5.p1.8.m8.1.1.3" xref="S5.p1.8.m8.1.1.3.cmml"><mi id="S5.p1.8.m8.1.1.3.2" xref="S5.p1.8.m8.1.1.3.2.cmml">e</mi><mo id="S5.p1.8.m8.1.1.3.1" xref="S5.p1.8.m8.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.p1.8.m8.1.1.3.3" xref="S5.p1.8.m8.1.1.3.3.cmml">l</mi><mo id="S5.p1.8.m8.1.1.3.1a" xref="S5.p1.8.m8.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.p1.8.m8.1.1.3.4" xref="S5.p1.8.m8.1.1.3.4.cmml">a</mi><mo id="S5.p1.8.m8.1.1.3.1b" xref="S5.p1.8.m8.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.p1.8.m8.1.1.3.5" xref="S5.p1.8.m8.1.1.3.5.cmml">s</mi><mo id="S5.p1.8.m8.1.1.3.1c" xref="S5.p1.8.m8.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.p1.8.m8.1.1.3.6" xref="S5.p1.8.m8.1.1.3.6.cmml">t</mi><mo id="S5.p1.8.m8.1.1.3.1d" xref="S5.p1.8.m8.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.p1.8.m8.1.1.3.7" xref="S5.p1.8.m8.1.1.3.7.cmml">i</mi><mo id="S5.p1.8.m8.1.1.3.1e" xref="S5.p1.8.m8.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.p1.8.m8.1.1.3.8" xref="S5.p1.8.m8.1.1.3.8.cmml">c</mi></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p1.8.m8.1b"><apply id="S5.p1.8.m8.1.1.cmml" xref="S5.p1.8.m8.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p1.8.m8.1.1.1.cmml" xref="S5.p1.8.m8.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.p1.8.m8.1.1.2.cmml" xref="S5.p1.8.m8.1.1.2">Ψ</ci><apply id="S5.p1.8.m8.1.1.3.cmml" xref="S5.p1.8.m8.1.1.3"><times id="S5.p1.8.m8.1.1.3.1.cmml" xref="S5.p1.8.m8.1.1.3.1"></times><ci id="S5.p1.8.m8.1.1.3.2.cmml" xref="S5.p1.8.m8.1.1.3.2">𝑒</ci><ci id="S5.p1.8.m8.1.1.3.3.cmml" xref="S5.p1.8.m8.1.1.3.3">𝑙</ci><ci id="S5.p1.8.m8.1.1.3.4.cmml" xref="S5.p1.8.m8.1.1.3.4">𝑎</ci><ci id="S5.p1.8.m8.1.1.3.5.cmml" xref="S5.p1.8.m8.1.1.3.5">𝑠</ci><ci id="S5.p1.8.m8.1.1.3.6.cmml" xref="S5.p1.8.m8.1.1.3.6">𝑡</ci><ci id="S5.p1.8.m8.1.1.3.7.cmml" xref="S5.p1.8.m8.1.1.3.7">𝑖</ci><ci id="S5.p1.8.m8.1.1.3.8.cmml" xref="S5.p1.8.m8.1.1.3.8">𝑐</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p1.8.m8.1c">\Psi_{{elastic}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p1.8.m8.1d">roman_Ψ start_POSTSUBSCRIPT italic_e italic_l italic_a italic_s italic_t italic_i italic_c end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> refers to elastic potential, which contains the elastic shell energy <math alttext="\Psi_{shell}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p1.9.m9.1"><semantics id="S5.p1.9.m9.1a"><msub id="S5.p1.9.m9.1.1" xref="S5.p1.9.m9.1.1.cmml"><mi id="S5.p1.9.m9.1.1.2" mathvariant="normal" xref="S5.p1.9.m9.1.1.2.cmml">Ψ</mi><mrow id="S5.p1.9.m9.1.1.3" xref="S5.p1.9.m9.1.1.3.cmml"><mi id="S5.p1.9.m9.1.1.3.2" xref="S5.p1.9.m9.1.1.3.2.cmml">s</mi><mo id="S5.p1.9.m9.1.1.3.1" xref="S5.p1.9.m9.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.p1.9.m9.1.1.3.3" xref="S5.p1.9.m9.1.1.3.3.cmml">h</mi><mo id="S5.p1.9.m9.1.1.3.1a" xref="S5.p1.9.m9.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.p1.9.m9.1.1.3.4" xref="S5.p1.9.m9.1.1.3.4.cmml">e</mi><mo id="S5.p1.9.m9.1.1.3.1b" xref="S5.p1.9.m9.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.p1.9.m9.1.1.3.5" xref="S5.p1.9.m9.1.1.3.5.cmml">l</mi><mo id="S5.p1.9.m9.1.1.3.1c" xref="S5.p1.9.m9.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.p1.9.m9.1.1.3.6" xref="S5.p1.9.m9.1.1.3.6.cmml">l</mi></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p1.9.m9.1b"><apply id="S5.p1.9.m9.1.1.cmml" xref="S5.p1.9.m9.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p1.9.m9.1.1.1.cmml" xref="S5.p1.9.m9.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.p1.9.m9.1.1.2.cmml" xref="S5.p1.9.m9.1.1.2">Ψ</ci><apply id="S5.p1.9.m9.1.1.3.cmml" xref="S5.p1.9.m9.1.1.3"><times id="S5.p1.9.m9.1.1.3.1.cmml" xref="S5.p1.9.m9.1.1.3.1"></times><ci id="S5.p1.9.m9.1.1.3.2.cmml" xref="S5.p1.9.m9.1.1.3.2">𝑠</ci><ci id="S5.p1.9.m9.1.1.3.3.cmml" xref="S5.p1.9.m9.1.1.3.3">ℎ</ci><ci id="S5.p1.9.m9.1.1.3.4.cmml" xref="S5.p1.9.m9.1.1.3.4">𝑒</ci><ci id="S5.p1.9.m9.1.1.3.5.cmml" xref="S5.p1.9.m9.1.1.3.5">𝑙</ci><ci id="S5.p1.9.m9.1.1.3.6.cmml" xref="S5.p1.9.m9.1.1.3.6">𝑙</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p1.9.m9.1c">\Psi_{shell}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p1.9.m9.1d">roman_Ψ start_POSTSUBSCRIPT italic_s italic_h italic_e italic_l italic_l end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>. <math alttext="B(\bm{x})" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p1.10.m10.1"><semantics id="S5.p1.10.m10.1a"><mrow id="S5.p1.10.m10.1.2" xref="S5.p1.10.m10.1.2.cmml"><mi id="S5.p1.10.m10.1.2.2" xref="S5.p1.10.m10.1.2.2.cmml">B</mi><mo id="S5.p1.10.m10.1.2.1" xref="S5.p1.10.m10.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.p1.10.m10.1.2.3.2" xref="S5.p1.10.m10.1.2.cmml"><mo id="S5.p1.10.m10.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S5.p1.10.m10.1.2.cmml">(</mo><mi id="S5.p1.10.m10.1.1" xref="S5.p1.10.m10.1.1.cmml">𝒙</mi><mo id="S5.p1.10.m10.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S5.p1.10.m10.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p1.10.m10.1b"><apply id="S5.p1.10.m10.1.2.cmml" xref="S5.p1.10.m10.1.2"><times id="S5.p1.10.m10.1.2.1.cmml" xref="S5.p1.10.m10.1.2.1"></times><ci id="S5.p1.10.m10.1.2.2.cmml" xref="S5.p1.10.m10.1.2.2">𝐵</ci><ci id="S5.p1.10.m10.1.1.cmml" xref="S5.p1.10.m10.1.1">𝒙</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p1.10.m10.1c">B(\bm{x})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p1.10.m10.1d">italic_B ( bold_italic_x )</annotation></semantics></math> and <math alttext="D(\bm{x})" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p1.11.m11.1"><semantics id="S5.p1.11.m11.1a"><mrow id="S5.p1.11.m11.1.2" xref="S5.p1.11.m11.1.2.cmml"><mi id="S5.p1.11.m11.1.2.2" xref="S5.p1.11.m11.1.2.2.cmml">D</mi><mo id="S5.p1.11.m11.1.2.1" xref="S5.p1.11.m11.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.p1.11.m11.1.2.3.2" xref="S5.p1.11.m11.1.2.cmml"><mo id="S5.p1.11.m11.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S5.p1.11.m11.1.2.cmml">(</mo><mi id="S5.p1.11.m11.1.1" xref="S5.p1.11.m11.1.1.cmml">𝒙</mi><mo id="S5.p1.11.m11.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S5.p1.11.m11.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p1.11.m11.1b"><apply id="S5.p1.11.m11.1.2.cmml" xref="S5.p1.11.m11.1.2"><times id="S5.p1.11.m11.1.2.1.cmml" xref="S5.p1.11.m11.1.2.1"></times><ci id="S5.p1.11.m11.1.2.2.cmml" xref="S5.p1.11.m11.1.2.2">𝐷</ci><ci id="S5.p1.11.m11.1.1.cmml" xref="S5.p1.11.m11.1.1">𝒙</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p1.11.m11.1c">D(\bm{x})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p1.11.m11.1d">italic_D ( bold_italic_x )</annotation></semantics></math> are respectively the contact barrier potential and the friction potential <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2502.10872v4#bib.bibx28" title="">LFS<sup class="ltx_sup"><span class="ltx_text ltx_font_italic">∗</span></sup>20</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2502.10872v4#bib.bibx30" title="">LKJ21</a>]</cite>. In this unified formulation, both elastic and contact interactions are incorporated. The nodal positions at time <math alttext="t+1" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p1.12.m12.1"><semantics id="S5.p1.12.m12.1a"><mrow id="S5.p1.12.m12.1.1" xref="S5.p1.12.m12.1.1.cmml"><mi id="S5.p1.12.m12.1.1.2" xref="S5.p1.12.m12.1.1.2.cmml">t</mi><mo id="S5.p1.12.m12.1.1.1" xref="S5.p1.12.m12.1.1.1.cmml">+</mo><mn id="S5.p1.12.m12.1.1.3" xref="S5.p1.12.m12.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p1.12.m12.1b"><apply id="S5.p1.12.m12.1.1.cmml" xref="S5.p1.12.m12.1.1"><plus id="S5.p1.12.m12.1.1.1.cmml" xref="S5.p1.12.m12.1.1.1"></plus><ci id="S5.p1.12.m12.1.1.2.cmml" xref="S5.p1.12.m12.1.1.2">𝑡</ci><cn id="S5.p1.12.m12.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.p1.12.m12.1.1.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p1.12.m12.1c">t+1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p1.12.m12.1d">italic_t + 1</annotation></semantics></math> are updated by minimizing the total potential</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S5.E63"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\bm{x}^{t+1}=\operatorname{argmin}_{\bm{x}}E(\bm{x})," class="ltx_Math" display="block" id="S5.E63.m1.2"><semantics id="S5.E63.m1.2a"><mrow id="S5.E63.m1.2.2.1" xref="S5.E63.m1.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S5.E63.m1.2.2.1.1" xref="S5.E63.m1.2.2.1.1.cmml"><msup id="S5.E63.m1.2.2.1.1.2" xref="S5.E63.m1.2.2.1.1.2.cmml"><mi id="S5.E63.m1.2.2.1.1.2.2" xref="S5.E63.m1.2.2.1.1.2.2.cmml">𝒙</mi><mrow id="S5.E63.m1.2.2.1.1.2.3" xref="S5.E63.m1.2.2.1.1.2.3.cmml"><mi id="S5.E63.m1.2.2.1.1.2.3.2" xref="S5.E63.m1.2.2.1.1.2.3.2.cmml">t</mi><mo id="S5.E63.m1.2.2.1.1.2.3.1" xref="S5.E63.m1.2.2.1.1.2.3.1.cmml">+</mo><mn id="S5.E63.m1.2.2.1.1.2.3.3" xref="S5.E63.m1.2.2.1.1.2.3.3.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="S5.E63.m1.2.2.1.1.1" xref="S5.E63.m1.2.2.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S5.E63.m1.2.2.1.1.3" xref="S5.E63.m1.2.2.1.1.3.cmml"><mrow id="S5.E63.m1.2.2.1.1.3.2" xref="S5.E63.m1.2.2.1.1.3.2.cmml"><msub id="S5.E63.m1.2.2.1.1.3.2.1" xref="S5.E63.m1.2.2.1.1.3.2.1.cmml"><mi id="S5.E63.m1.2.2.1.1.3.2.1.2" xref="S5.E63.m1.2.2.1.1.3.2.1.2.cmml">argmin</mi><mi id="S5.E63.m1.2.2.1.1.3.2.1.3" xref="S5.E63.m1.2.2.1.1.3.2.1.3.cmml">𝒙</mi></msub><mo id="S5.E63.m1.2.2.1.1.3.2a" lspace="0.167em" xref="S5.E63.m1.2.2.1.1.3.2.cmml">⁡</mo><mi id="S5.E63.m1.2.2.1.1.3.2.2" xref="S5.E63.m1.2.2.1.1.3.2.2.cmml">E</mi></mrow><mo id="S5.E63.m1.2.2.1.1.3.1" xref="S5.E63.m1.2.2.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.E63.m1.2.2.1.1.3.3.2" xref="S5.E63.m1.2.2.1.1.3.cmml"><mo id="S5.E63.m1.2.2.1.1.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S5.E63.m1.2.2.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="S5.E63.m1.1.1" xref="S5.E63.m1.1.1.cmml">𝒙</mi><mo id="S5.E63.m1.2.2.1.1.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S5.E63.m1.2.2.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S5.E63.m1.2.2.1.2" xref="S5.E63.m1.2.2.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.E63.m1.2b"><apply id="S5.E63.m1.2.2.1.1.cmml" xref="S5.E63.m1.2.2.1"><eq id="S5.E63.m1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S5.E63.m1.2.2.1.1.1"></eq><apply id="S5.E63.m1.2.2.1.1.2.cmml" xref="S5.E63.m1.2.2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E63.m1.2.2.1.1.2.1.cmml" xref="S5.E63.m1.2.2.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S5.E63.m1.2.2.1.1.2.2.cmml" xref="S5.E63.m1.2.2.1.1.2.2">𝒙</ci><apply id="S5.E63.m1.2.2.1.1.2.3.cmml" xref="S5.E63.m1.2.2.1.1.2.3"><plus id="S5.E63.m1.2.2.1.1.2.3.1.cmml" xref="S5.E63.m1.2.2.1.1.2.3.1"></plus><ci id="S5.E63.m1.2.2.1.1.2.3.2.cmml" xref="S5.E63.m1.2.2.1.1.2.3.2">𝑡</ci><cn id="S5.E63.m1.2.2.1.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.E63.m1.2.2.1.1.2.3.3">1</cn></apply></apply><apply id="S5.E63.m1.2.2.1.1.3.cmml" xref="S5.E63.m1.2.2.1.1.3"><times id="S5.E63.m1.2.2.1.1.3.1.cmml" xref="S5.E63.m1.2.2.1.1.3.1"></times><apply id="S5.E63.m1.2.2.1.1.3.2.cmml" xref="S5.E63.m1.2.2.1.1.3.2"><apply id="S5.E63.m1.2.2.1.1.3.2.1.cmml" xref="S5.E63.m1.2.2.1.1.3.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E63.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.cmml" xref="S5.E63.m1.2.2.1.1.3.2.1">subscript</csymbol><ci id="S5.E63.m1.2.2.1.1.3.2.1.2.cmml" xref="S5.E63.m1.2.2.1.1.3.2.1.2">argmin</ci><ci id="S5.E63.m1.2.2.1.1.3.2.1.3.cmml" xref="S5.E63.m1.2.2.1.1.3.2.1.3">𝒙</ci></apply><ci id="S5.E63.m1.2.2.1.1.3.2.2.cmml" xref="S5.E63.m1.2.2.1.1.3.2.2">𝐸</ci></apply><ci id="S5.E63.m1.1.1.cmml" xref="S5.E63.m1.1.1">𝒙</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.E63.m1.2c">\bm{x}^{t+1}=\operatorname{argmin}_{\bm{x}}E(\bm{x}),</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.E63.m1.2d">bold_italic_x start_POSTSUPERSCRIPT italic_t + 1 end_POSTSUPERSCRIPT = roman_argmin start_POSTSUBSCRIPT bold_italic_x end_POSTSUBSCRIPT italic_E ( bold_italic_x ) ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(63)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S5.p1.14">where the solution is obtained iteratively using a Newton-type solver along with a continuous collision detection filter, ensuring intersection-free trajectories.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S5.p2"> <p class="ltx_p" id="S5.p2.7"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S5.p2.7.1">Linear and Quasi-static Simulations.</span> In quasi-static simulations, used for evaluating the accuracy and efficiency of different formulations in Section <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2502.10872v4#S6.SS1" title="6.1 Quantitative Experiments ‣ 6 Numerical Experiments ‣ Corotational Hinge-based Thin Plates/Shells"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">6.1</span></a>, contact is absent, and stable equilibria are determined by setting the gradient of the total potential to zero</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S5.E64"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\frac{\partial\Psi_{{shell}}}{\partial\bm{x}}+\bm{f}_{ext}=\bm{0}." class="ltx_Math" display="block" id="S5.E64.m1.1"><semantics id="S5.E64.m1.1a"><mrow id="S5.E64.m1.1.1.1" xref="S5.E64.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S5.E64.m1.1.1.1.1" xref="S5.E64.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S5.E64.m1.1.1.1.1.2" xref="S5.E64.m1.1.1.1.1.2.cmml"><mfrac id="S5.E64.m1.1.1.1.1.2.2" xref="S5.E64.m1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mrow id="S5.E64.m1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S5.E64.m1.1.1.1.1.2.2.2.cmml"><mo id="S5.E64.m1.1.1.1.1.2.2.2.1" rspace="0em" xref="S5.E64.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml">∂</mo><msub id="S5.E64.m1.1.1.1.1.2.2.2.2" xref="S5.E64.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml"><mi id="S5.E64.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2" mathvariant="normal" xref="S5.E64.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml">Ψ</mi><mrow id="S5.E64.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3" xref="S5.E64.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="S5.E64.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.2" xref="S5.E64.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.2.cmml">s</mi><mo id="S5.E64.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.1" xref="S5.E64.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.E64.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.3" xref="S5.E64.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.3.cmml">h</mi><mo id="S5.E64.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.1a" xref="S5.E64.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.E64.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.4" xref="S5.E64.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.4.cmml">e</mi><mo id="S5.E64.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.1b" xref="S5.E64.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.E64.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.5" xref="S5.E64.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.5.cmml">l</mi><mo id="S5.E64.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.1c" xref="S5.E64.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.E64.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.6" xref="S5.E64.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.6.cmml">l</mi></mrow></msub></mrow><mrow id="S5.E64.m1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S5.E64.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mo id="S5.E64.m1.1.1.1.1.2.2.3.1" rspace="0em" xref="S5.E64.m1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml">∂</mo><mi id="S5.E64.m1.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="S5.E64.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml">𝒙</mi></mrow></mfrac><mo id="S5.E64.m1.1.1.1.1.2.1" xref="S5.E64.m1.1.1.1.1.2.1.cmml">+</mo><msub id="S5.E64.m1.1.1.1.1.2.3" xref="S5.E64.m1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S5.E64.m1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S5.E64.m1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">𝒇</mi><mrow id="S5.E64.m1.1.1.1.1.2.3.3" xref="S5.E64.m1.1.1.1.1.2.3.3.cmml"><mi id="S5.E64.m1.1.1.1.1.2.3.3.2" xref="S5.E64.m1.1.1.1.1.2.3.3.2.cmml">e</mi><mo id="S5.E64.m1.1.1.1.1.2.3.3.1" xref="S5.E64.m1.1.1.1.1.2.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.E64.m1.1.1.1.1.2.3.3.3" xref="S5.E64.m1.1.1.1.1.2.3.3.3.cmml">x</mi><mo id="S5.E64.m1.1.1.1.1.2.3.3.1a" xref="S5.E64.m1.1.1.1.1.2.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.E64.m1.1.1.1.1.2.3.3.4" xref="S5.E64.m1.1.1.1.1.2.3.3.4.cmml">t</mi></mrow></msub></mrow><mo id="S5.E64.m1.1.1.1.1.1" xref="S5.E64.m1.1.1.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S5.E64.m1.1.1.1.1.3" xref="S5.E64.m1.1.1.1.1.3.cmml">𝟎</mn></mrow><mo id="S5.E64.m1.1.1.1.2" lspace="0em" xref="S5.E64.m1.1.1.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.E64.m1.1b"><apply id="S5.E64.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.E64.m1.1.1.1"><eq id="S5.E64.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.E64.m1.1.1.1.1.1"></eq><apply id="S5.E64.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.E64.m1.1.1.1.1.2"><plus id="S5.E64.m1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.E64.m1.1.1.1.1.2.1"></plus><apply id="S5.E64.m1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.E64.m1.1.1.1.1.2.2"><divide id="S5.E64.m1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S5.E64.m1.1.1.1.1.2.2"></divide><apply id="S5.E64.m1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S5.E64.m1.1.1.1.1.2.2.2"><partialdiff id="S5.E64.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S5.E64.m1.1.1.1.1.2.2.2.1"></partialdiff><apply id="S5.E64.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S5.E64.m1.1.1.1.1.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E64.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.cmml" xref="S5.E64.m1.1.1.1.1.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S5.E64.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S5.E64.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2">Ψ</ci><apply id="S5.E64.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.cmml" xref="S5.E64.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3"><times id="S5.E64.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="S5.E64.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.1"></times><ci id="S5.E64.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.2.cmml" xref="S5.E64.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.2">𝑠</ci><ci id="S5.E64.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.3.cmml" xref="S5.E64.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.3">ℎ</ci><ci id="S5.E64.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.4.cmml" xref="S5.E64.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.4">𝑒</ci><ci id="S5.E64.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.5.cmml" xref="S5.E64.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.5">𝑙</ci><ci id="S5.E64.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.6.cmml" xref="S5.E64.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.6">𝑙</ci></apply></apply></apply><apply id="S5.E64.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S5.E64.m1.1.1.1.1.2.2.3"><partialdiff id="S5.E64.m1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S5.E64.m1.1.1.1.1.2.2.3.1"></partialdiff><ci id="S5.E64.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S5.E64.m1.1.1.1.1.2.2.3.2">𝒙</ci></apply></apply><apply id="S5.E64.m1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S5.E64.m1.1.1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E64.m1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S5.E64.m1.1.1.1.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="S5.E64.m1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S5.E64.m1.1.1.1.1.2.3.2">𝒇</ci><apply id="S5.E64.m1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S5.E64.m1.1.1.1.1.2.3.3"><times id="S5.E64.m1.1.1.1.1.2.3.3.1.cmml" xref="S5.E64.m1.1.1.1.1.2.3.3.1"></times><ci id="S5.E64.m1.1.1.1.1.2.3.3.2.cmml" xref="S5.E64.m1.1.1.1.1.2.3.3.2">𝑒</ci><ci id="S5.E64.m1.1.1.1.1.2.3.3.3.cmml" xref="S5.E64.m1.1.1.1.1.2.3.3.3">𝑥</ci><ci id="S5.E64.m1.1.1.1.1.2.3.3.4.cmml" xref="S5.E64.m1.1.1.1.1.2.3.3.4">𝑡</ci></apply></apply></apply><cn id="S5.E64.m1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.E64.m1.1.1.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.E64.m1.1c">\frac{\partial\Psi_{{shell}}}{\partial\bm{x}}+\bm{f}_{ext}=\bm{0}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.E64.m1.1d">divide start_ARG ∂ roman_Ψ start_POSTSUBSCRIPT italic_s italic_h italic_e italic_l italic_l end_POSTSUBSCRIPT end_ARG start_ARG ∂ bold_italic_x end_ARG + bold_italic_f start_POSTSUBSCRIPT italic_e italic_x italic_t end_POSTSUBSCRIPT = bold_0 .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(64)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S5.p2.6">As quantitative benchmark problems will be compared with the general FEA package ©ABAQUS in the engineering field, we use a standard Newton-Raphson method <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2502.10872v4#bib.bibx3" title="">BHBS78</a>]</cite> under one load step to solve this system. The convergence criteria is <math alttext="\lVert\partial\Psi_{\text{shell}}/\partial\bm{x}\rVert<\epsilon_{f}\lVert\bm{f% }_{\text{ext}}\rVert" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p2.1.m1.2"><semantics id="S5.p2.1.m1.2a"><mrow id="S5.p2.1.m1.2.2" xref="S5.p2.1.m1.2.2.cmml"><mrow id="S5.p2.1.m1.1.1.1.1" xref="S5.p2.1.m1.1.1.1.2.cmml"><mo fence="true" id="S5.p2.1.m1.1.1.1.1.2" rspace="0em" xref="S5.p2.1.m1.1.1.1.2.1.cmml">∥</mo><mrow id="S5.p2.1.m1.1.1.1.1.1" xref="S5.p2.1.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S5.p2.1.m1.1.1.1.1.1.1" lspace="0em" rspace="0em" xref="S5.p2.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">∂</mo><mrow id="S5.p2.1.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.p2.1.m1.1.1.1.1.1.2.cmml"><msub id="S5.p2.1.m1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S5.p2.1.m1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S5.p2.1.m1.1.1.1.1.1.2.2.2" mathvariant="normal" xref="S5.p2.1.m1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">Ψ</mi><mtext id="S5.p2.1.m1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S5.p2.1.m1.1.1.1.1.1.2.2.3a.cmml">shell</mtext></msub><mo id="S5.p2.1.m1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S5.p2.1.m1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">/</mo><mrow id="S5.p2.1.m1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S5.p2.1.m1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mo id="S5.p2.1.m1.1.1.1.1.1.2.3.1" lspace="0em" rspace="0em" xref="S5.p2.1.m1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml">∂</mo><mi id="S5.p2.1.m1.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S5.p2.1.m1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">𝒙</mi></mrow></mrow></mrow><mo fence="true" id="S5.p2.1.m1.1.1.1.1.3" lspace="0em" rspace="0.1389em" xref="S5.p2.1.m1.1.1.1.2.1.cmml">∥</mo></mrow><mo id="S5.p2.1.m1.2.2.3" lspace="0.1389em" xref="S5.p2.1.m1.2.2.3.cmml"><</mo><mrow id="S5.p2.1.m1.2.2.2" xref="S5.p2.1.m1.2.2.2.cmml"><msub id="S5.p2.1.m1.2.2.2.3" xref="S5.p2.1.m1.2.2.2.3.cmml"><mi id="S5.p2.1.m1.2.2.2.3.2" xref="S5.p2.1.m1.2.2.2.3.2.cmml">ϵ</mi><mi id="S5.p2.1.m1.2.2.2.3.3" xref="S5.p2.1.m1.2.2.2.3.3.cmml">f</mi></msub><mo id="S5.p2.1.m1.2.2.2.2" lspace="0em" xref="S5.p2.1.m1.2.2.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.p2.1.m1.2.2.2.1.1" xref="S5.p2.1.m1.2.2.2.1.2.cmml"><mo fence="true" id="S5.p2.1.m1.2.2.2.1.1.2" rspace="0em" xref="S5.p2.1.m1.2.2.2.1.2.1.cmml">∥</mo><msub id="S5.p2.1.m1.2.2.2.1.1.1" xref="S5.p2.1.m1.2.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S5.p2.1.m1.2.2.2.1.1.1.2" xref="S5.p2.1.m1.2.2.2.1.1.1.2.cmml">𝒇</mi><mtext id="S5.p2.1.m1.2.2.2.1.1.1.3" xref="S5.p2.1.m1.2.2.2.1.1.1.3a.cmml">ext</mtext></msub><mo fence="true" id="S5.p2.1.m1.2.2.2.1.1.3" lspace="0em" xref="S5.p2.1.m1.2.2.2.1.2.1.cmml">∥</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p2.1.m1.2b"><apply id="S5.p2.1.m1.2.2.cmml" xref="S5.p2.1.m1.2.2"><lt id="S5.p2.1.m1.2.2.3.cmml" xref="S5.p2.1.m1.2.2.3"></lt><apply id="S5.p2.1.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.p2.1.m1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S5.p2.1.m1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.p2.1.m1.1.1.1.1.2">delimited-∥∥</csymbol><apply id="S5.p2.1.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.p2.1.m1.1.1.1.1.1"><partialdiff id="S5.p2.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.p2.1.m1.1.1.1.1.1.1"></partialdiff><apply id="S5.p2.1.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.p2.1.m1.1.1.1.1.1.2"><divide id="S5.p2.1.m1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.p2.1.m1.1.1.1.1.1.2.1"></divide><apply id="S5.p2.1.m1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.p2.1.m1.1.1.1.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p2.1.m1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S5.p2.1.m1.1.1.1.1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S5.p2.1.m1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S5.p2.1.m1.1.1.1.1.1.2.2.2">Ψ</ci><ci id="S5.p2.1.m1.1.1.1.1.1.2.2.3a.cmml" xref="S5.p2.1.m1.1.1.1.1.1.2.2.3"><mtext id="S5.p2.1.m1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" mathsize="70%" xref="S5.p2.1.m1.1.1.1.1.1.2.2.3">shell</mtext></ci></apply><apply id="S5.p2.1.m1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S5.p2.1.m1.1.1.1.1.1.2.3"><partialdiff id="S5.p2.1.m1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S5.p2.1.m1.1.1.1.1.1.2.3.1"></partialdiff><ci id="S5.p2.1.m1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S5.p2.1.m1.1.1.1.1.1.2.3.2">𝒙</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="S5.p2.1.m1.2.2.2.cmml" xref="S5.p2.1.m1.2.2.2"><times id="S5.p2.1.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S5.p2.1.m1.2.2.2.2"></times><apply id="S5.p2.1.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S5.p2.1.m1.2.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p2.1.m1.2.2.2.3.1.cmml" xref="S5.p2.1.m1.2.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S5.p2.1.m1.2.2.2.3.2.cmml" xref="S5.p2.1.m1.2.2.2.3.2">italic-ϵ</ci><ci id="S5.p2.1.m1.2.2.2.3.3.cmml" xref="S5.p2.1.m1.2.2.2.3.3">𝑓</ci></apply><apply id="S5.p2.1.m1.2.2.2.1.2.cmml" xref="S5.p2.1.m1.2.2.2.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S5.p2.1.m1.2.2.2.1.2.1.cmml" xref="S5.p2.1.m1.2.2.2.1.1.2">delimited-∥∥</csymbol><apply id="S5.p2.1.m1.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S5.p2.1.m1.2.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p2.1.m1.2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S5.p2.1.m1.2.2.2.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.p2.1.m1.2.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S5.p2.1.m1.2.2.2.1.1.1.2">𝒇</ci><ci id="S5.p2.1.m1.2.2.2.1.1.1.3a.cmml" xref="S5.p2.1.m1.2.2.2.1.1.1.3"><mtext id="S5.p2.1.m1.2.2.2.1.1.1.3.cmml" mathsize="70%" xref="S5.p2.1.m1.2.2.2.1.1.1.3">ext</mtext></ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p2.1.m1.2c">\lVert\partial\Psi_{\text{shell}}/\partial\bm{x}\rVert<\epsilon_{f}\lVert\bm{f% }_{\text{ext}}\rVert</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p2.1.m1.2d">∥ ∂ roman_Ψ start_POSTSUBSCRIPT shell end_POSTSUBSCRIPT / ∂ bold_italic_x ∥ < italic_ϵ start_POSTSUBSCRIPT italic_f end_POSTSUBSCRIPT ∥ bold_italic_f start_POSTSUBSCRIPT ext end_POSTSUBSCRIPT ∥</annotation></semantics></math>, where <math alttext="\epsilon_{f}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p2.2.m2.1"><semantics id="S5.p2.2.m2.1a"><msub id="S5.p2.2.m2.1.1" xref="S5.p2.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S5.p2.2.m2.1.1.2" xref="S5.p2.2.m2.1.1.2.cmml">ϵ</mi><mi id="S5.p2.2.m2.1.1.3" xref="S5.p2.2.m2.1.1.3.cmml">f</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p2.2.m2.1b"><apply id="S5.p2.2.m2.1.1.cmml" xref="S5.p2.2.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p2.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S5.p2.2.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.p2.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S5.p2.2.m2.1.1.2">italic-ϵ</ci><ci id="S5.p2.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S5.p2.2.m2.1.1.3">𝑓</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p2.2.m2.1c">\epsilon_{f}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p2.2.m2.1d">italic_ϵ start_POSTSUBSCRIPT italic_f end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> is the residual force tolerance. At each Newton iteration, <math alttext="\Delta\bm{x}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p2.3.m3.1"><semantics id="S5.p2.3.m3.1a"><mrow id="S5.p2.3.m3.1.1" xref="S5.p2.3.m3.1.1.cmml"><mi id="S5.p2.3.m3.1.1.2" mathvariant="normal" xref="S5.p2.3.m3.1.1.2.cmml">Δ</mi><mo id="S5.p2.3.m3.1.1.1" xref="S5.p2.3.m3.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.p2.3.m3.1.1.3" xref="S5.p2.3.m3.1.1.3.cmml">𝒙</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p2.3.m3.1b"><apply id="S5.p2.3.m3.1.1.cmml" xref="S5.p2.3.m3.1.1"><times id="S5.p2.3.m3.1.1.1.cmml" xref="S5.p2.3.m3.1.1.1"></times><ci id="S5.p2.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S5.p2.3.m3.1.1.2">Δ</ci><ci id="S5.p2.3.m3.1.1.3.cmml" xref="S5.p2.3.m3.1.1.3">𝒙</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p2.3.m3.1c">\Delta\bm{x}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p2.3.m3.1d">roman_Δ bold_italic_x</annotation></semantics></math> is the incremental displacement. If its infinity norm <math alttext="\lVert\Delta\bm{x}\rVert_{\infty}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p2.4.m4.1"><semantics id="S5.p2.4.m4.1a"><msub id="S5.p2.4.m4.1.1" xref="S5.p2.4.m4.1.1.cmml"><mrow id="S5.p2.4.m4.1.1.1.1" xref="S5.p2.4.m4.1.1.1.2.cmml"><mo fence="true" id="S5.p2.4.m4.1.1.1.1.2" rspace="0em" xref="S5.p2.4.m4.1.1.1.2.1.cmml">∥</mo><mrow id="S5.p2.4.m4.1.1.1.1.1" xref="S5.p2.4.m4.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S5.p2.4.m4.1.1.1.1.1.2" mathvariant="normal" xref="S5.p2.4.m4.1.1.1.1.1.2.cmml">Δ</mi><mo id="S5.p2.4.m4.1.1.1.1.1.1" xref="S5.p2.4.m4.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.p2.4.m4.1.1.1.1.1.3" xref="S5.p2.4.m4.1.1.1.1.1.3.cmml">𝒙</mi></mrow><mo fence="true" id="S5.p2.4.m4.1.1.1.1.3" lspace="0em" xref="S5.p2.4.m4.1.1.1.2.1.cmml">∥</mo></mrow><mi id="S5.p2.4.m4.1.1.3" mathvariant="normal" xref="S5.p2.4.m4.1.1.3.cmml">∞</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p2.4.m4.1b"><apply id="S5.p2.4.m4.1.1.cmml" xref="S5.p2.4.m4.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p2.4.m4.1.1.2.cmml" xref="S5.p2.4.m4.1.1">subscript</csymbol><apply id="S5.p2.4.m4.1.1.1.2.cmml" xref="S5.p2.4.m4.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S5.p2.4.m4.1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.p2.4.m4.1.1.1.1.2">delimited-∥∥</csymbol><apply id="S5.p2.4.m4.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.p2.4.m4.1.1.1.1.1"><times id="S5.p2.4.m4.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.p2.4.m4.1.1.1.1.1.1"></times><ci id="S5.p2.4.m4.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.p2.4.m4.1.1.1.1.1.2">Δ</ci><ci id="S5.p2.4.m4.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.p2.4.m4.1.1.1.1.1.3">𝒙</ci></apply></apply><infinity id="S5.p2.4.m4.1.1.3.cmml" xref="S5.p2.4.m4.1.1.3"></infinity></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p2.4.m4.1c">\lVert\Delta\bm{x}\rVert_{\infty}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p2.4.m4.1d">∥ roman_Δ bold_italic_x ∥ start_POSTSUBSCRIPT ∞ end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> exceeds the incremental displacement limit <math alttext="\epsilon_{u}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p2.5.m5.1"><semantics id="S5.p2.5.m5.1a"><msub id="S5.p2.5.m5.1.1" xref="S5.p2.5.m5.1.1.cmml"><mi id="S5.p2.5.m5.1.1.2" xref="S5.p2.5.m5.1.1.2.cmml">ϵ</mi><mi id="S5.p2.5.m5.1.1.3" xref="S5.p2.5.m5.1.1.3.cmml">u</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p2.5.m5.1b"><apply id="S5.p2.5.m5.1.1.cmml" xref="S5.p2.5.m5.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p2.5.m5.1.1.1.cmml" xref="S5.p2.5.m5.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.p2.5.m5.1.1.2.cmml" xref="S5.p2.5.m5.1.1.2">italic-ϵ</ci><ci id="S5.p2.5.m5.1.1.3.cmml" xref="S5.p2.5.m5.1.1.3">𝑢</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p2.5.m5.1c">\epsilon_{u}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p2.5.m5.1d">italic_ϵ start_POSTSUBSCRIPT italic_u end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, the line search step is scaled by <math alttext="\epsilon_{u}/\lVert\Delta\bm{x}\rVert_{\infty}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p2.6.m6.1"><semantics id="S5.p2.6.m6.1a"><mrow id="S5.p2.6.m6.1.1" xref="S5.p2.6.m6.1.1.cmml"><msub id="S5.p2.6.m6.1.1.3" xref="S5.p2.6.m6.1.1.3.cmml"><mi id="S5.p2.6.m6.1.1.3.2" xref="S5.p2.6.m6.1.1.3.2.cmml">ϵ</mi><mi id="S5.p2.6.m6.1.1.3.3" xref="S5.p2.6.m6.1.1.3.3.cmml">u</mi></msub><mo id="S5.p2.6.m6.1.1.2" xref="S5.p2.6.m6.1.1.2.cmml">/</mo><msub id="S5.p2.6.m6.1.1.1" xref="S5.p2.6.m6.1.1.1.cmml"><mrow id="S5.p2.6.m6.1.1.1.1.1" xref="S5.p2.6.m6.1.1.1.1.2.cmml"><mo fence="true" id="S5.p2.6.m6.1.1.1.1.1.2" lspace="0em" rspace="0em" xref="S5.p2.6.m6.1.1.1.1.2.1.cmml">∥</mo><mrow id="S5.p2.6.m6.1.1.1.1.1.1" xref="S5.p2.6.m6.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S5.p2.6.m6.1.1.1.1.1.1.2" mathvariant="normal" xref="S5.p2.6.m6.1.1.1.1.1.1.2.cmml">Δ</mi><mo id="S5.p2.6.m6.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.p2.6.m6.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.p2.6.m6.1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.p2.6.m6.1.1.1.1.1.1.3.cmml">𝒙</mi></mrow><mo fence="true" id="S5.p2.6.m6.1.1.1.1.1.3" lspace="0em" xref="S5.p2.6.m6.1.1.1.1.2.1.cmml">∥</mo></mrow><mi id="S5.p2.6.m6.1.1.1.3" mathvariant="normal" xref="S5.p2.6.m6.1.1.1.3.cmml">∞</mi></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p2.6.m6.1b"><apply id="S5.p2.6.m6.1.1.cmml" xref="S5.p2.6.m6.1.1"><divide id="S5.p2.6.m6.1.1.2.cmml" xref="S5.p2.6.m6.1.1.2"></divide><apply id="S5.p2.6.m6.1.1.3.cmml" xref="S5.p2.6.m6.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p2.6.m6.1.1.3.1.cmml" xref="S5.p2.6.m6.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S5.p2.6.m6.1.1.3.2.cmml" xref="S5.p2.6.m6.1.1.3.2">italic-ϵ</ci><ci id="S5.p2.6.m6.1.1.3.3.cmml" xref="S5.p2.6.m6.1.1.3.3">𝑢</ci></apply><apply id="S5.p2.6.m6.1.1.1.cmml" xref="S5.p2.6.m6.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p2.6.m6.1.1.1.2.cmml" xref="S5.p2.6.m6.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="S5.p2.6.m6.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.p2.6.m6.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S5.p2.6.m6.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.p2.6.m6.1.1.1.1.1.2">delimited-∥∥</csymbol><apply id="S5.p2.6.m6.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.p2.6.m6.1.1.1.1.1.1"><times id="S5.p2.6.m6.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.p2.6.m6.1.1.1.1.1.1.1"></times><ci id="S5.p2.6.m6.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.p2.6.m6.1.1.1.1.1.1.2">Δ</ci><ci id="S5.p2.6.m6.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.p2.6.m6.1.1.1.1.1.1.3">𝒙</ci></apply></apply><infinity id="S5.p2.6.m6.1.1.1.3.cmml" xref="S5.p2.6.m6.1.1.1.3"></infinity></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p2.6.m6.1c">\epsilon_{u}/\lVert\Delta\bm{x}\rVert_{\infty}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p2.6.m6.1d">italic_ϵ start_POSTSUBSCRIPT italic_u end_POSTSUBSCRIPT / ∥ roman_Δ bold_italic_x ∥ start_POSTSUBSCRIPT ∞ end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>. When the solution is far from equilibrium, this method can effectively reduce the step size for geometrically non-linear problems, including bending-dominated problems. For the linear plate bending test, the solution can be obtained with one linear system solve.</p> </div> </section> <section class="ltx_section" id="S6"> <h2 class="ltx_title ltx_title_section"> <span class="ltx_tag ltx_tag_section">6 </span>Numerical Experiments</h2> <div class="ltx_para" id="S6.p1"> <p class="ltx_p" id="S6.p1.1">Quantitative benchmark problems are compared with reference solutions, including the analytical solution for the linear plate bending benchmark and results from ©ABAQUS for geometrically non-linear benchmarks. We also compare against state-of-the-art formulations from the discrete geometry shell library, libshell <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2502.10872v4#bib.bibx13" title="">CSvRV18</a>]</cite>, which includes three types of formulations: MidedgeTan, MidedgeSin, and MidedgeAve. Additionally, we consider Quadratic and Cubic Shells <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2502.10872v4#bib.bibx8" title="">BWH<sup class="ltx_sup"><span class="ltx_text ltx_font_italic">∗</span></sup>06b</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2502.10872v4#bib.bibx19" title="">GGWZ07</a>]</cite>, all of which employ constant bending energy Hessians. These comparisons demonstrate the accuracy and efficiency of our models. Furthermore, qualitative numerical experiments highlight the stability and robustness of our models in elastodynamics simulations. All formulations are implemented on the codebase of libshell <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2502.10872v4#bib.bibx13" title="">CSvRV18</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2502.10872v4#bib.bibx9" title="">CCK<sup class="ltx_sup"><span class="ltx_text ltx_font_italic">∗</span></sup>21</a>]</cite> for quantitative comparison, and all our formulations are integrated into the C-IPC <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2502.10872v4#bib.bibx30" title="">LKJ21</a>]</cite> for qualitative experiments. All experiments were performed on a workstation equipped with an AMD Ryzen Threadripper 3970X CPU (2.2 GHz, 32 cores) and 128 GB of RAM.</p> </div> <section class="ltx_subsection" id="S6.SS1"> <h3 class="ltx_title ltx_title_subsection"> <span class="ltx_tag ltx_tag_subsection">6.1 </span>Quantitative Experiments</h3> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S6.SS1.p1"> <p class="ltx_p" id="S6.SS1.p1.6"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S6.SS1.p1.6.1">Linear plate bending benchmark.</span> We investigate the analytical linear benchmark using three distinct mesh structures (refer to Figure <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2502.10872v4#S4.F5" title="Figure 5 ‣ 4.5 Corotational smoothed hinge bending model ‣ 4 Geometric Discretization ‣ Corotational Hinge-based Thin Plates/Shells"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">5</span></a>) to evaluate how our models and existing formulations depend on the mesh structure and to observe their convergence behaviour under mesh refinement. The membrane deformation can be neglected in this pure bending test, so the membrane formulation is excluded. Since comparable studies do not provide the detailed implementation of clamped boundary conditions, we apply simply supported boundary condition on the entire boundary of the square plate, which is subjected to a uniform load perpendicular to its plane, to ensure a fair comparison. The square plate has an edge length of <math alttext="a=8" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.SS1.p1.1.m1.1"><semantics id="S6.SS1.p1.1.m1.1a"><mrow id="S6.SS1.p1.1.m1.1.1" xref="S6.SS1.p1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S6.SS1.p1.1.m1.1.1.2" xref="S6.SS1.p1.1.m1.1.1.2.cmml">a</mi><mo id="S6.SS1.p1.1.m1.1.1.1" xref="S6.SS1.p1.1.m1.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S6.SS1.p1.1.m1.1.1.3" xref="S6.SS1.p1.1.m1.1.1.3.cmml">8</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.SS1.p1.1.m1.1b"><apply id="S6.SS1.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S6.SS1.p1.1.m1.1.1"><eq id="S6.SS1.p1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S6.SS1.p1.1.m1.1.1.1"></eq><ci id="S6.SS1.p1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S6.SS1.p1.1.m1.1.1.2">𝑎</ci><cn id="S6.SS1.p1.1.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S6.SS1.p1.1.m1.1.1.3">8</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.SS1.p1.1.m1.1c">a=8</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.SS1.p1.1.m1.1d">italic_a = 8</annotation></semantics></math>, with a uniform load of <math alttext="B=9.81" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.SS1.p1.2.m2.1"><semantics id="S6.SS1.p1.2.m2.1a"><mrow id="S6.SS1.p1.2.m2.1.1" xref="S6.SS1.p1.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S6.SS1.p1.2.m2.1.1.2" xref="S6.SS1.p1.2.m2.1.1.2.cmml">B</mi><mo id="S6.SS1.p1.2.m2.1.1.1" xref="S6.SS1.p1.2.m2.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S6.SS1.p1.2.m2.1.1.3" xref="S6.SS1.p1.2.m2.1.1.3.cmml">9.81</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.SS1.p1.2.m2.1b"><apply id="S6.SS1.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="S6.SS1.p1.2.m2.1.1"><eq id="S6.SS1.p1.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S6.SS1.p1.2.m2.1.1.1"></eq><ci id="S6.SS1.p1.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S6.SS1.p1.2.m2.1.1.2">𝐵</ci><cn id="S6.SS1.p1.2.m2.1.1.3.cmml" type="float" xref="S6.SS1.p1.2.m2.1.1.3">9.81</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.SS1.p1.2.m2.1c">B=9.81</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.SS1.p1.2.m2.1d">italic_B = 9.81</annotation></semantics></math> acting on the body. The material properties are defined by <math alttext="E=2\times 10^{11}" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.SS1.p1.3.m3.1"><semantics id="S6.SS1.p1.3.m3.1a"><mrow id="S6.SS1.p1.3.m3.1.1" xref="S6.SS1.p1.3.m3.1.1.cmml"><mi id="S6.SS1.p1.3.m3.1.1.2" xref="S6.SS1.p1.3.m3.1.1.2.cmml">E</mi><mo id="S6.SS1.p1.3.m3.1.1.1" xref="S6.SS1.p1.3.m3.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S6.SS1.p1.3.m3.1.1.3" xref="S6.SS1.p1.3.m3.1.1.3.cmml"><mn id="S6.SS1.p1.3.m3.1.1.3.2" xref="S6.SS1.p1.3.m3.1.1.3.2.cmml">2</mn><mo id="S6.SS1.p1.3.m3.1.1.3.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S6.SS1.p1.3.m3.1.1.3.1.cmml">×</mo><msup id="S6.SS1.p1.3.m3.1.1.3.3" xref="S6.SS1.p1.3.m3.1.1.3.3.cmml"><mn id="S6.SS1.p1.3.m3.1.1.3.3.2" xref="S6.SS1.p1.3.m3.1.1.3.3.2.cmml">10</mn><mn id="S6.SS1.p1.3.m3.1.1.3.3.3" xref="S6.SS1.p1.3.m3.1.1.3.3.3.cmml">11</mn></msup></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.SS1.p1.3.m3.1b"><apply id="S6.SS1.p1.3.m3.1.1.cmml" xref="S6.SS1.p1.3.m3.1.1"><eq id="S6.SS1.p1.3.m3.1.1.1.cmml" xref="S6.SS1.p1.3.m3.1.1.1"></eq><ci id="S6.SS1.p1.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S6.SS1.p1.3.m3.1.1.2">𝐸</ci><apply id="S6.SS1.p1.3.m3.1.1.3.cmml" xref="S6.SS1.p1.3.m3.1.1.3"><times id="S6.SS1.p1.3.m3.1.1.3.1.cmml" xref="S6.SS1.p1.3.m3.1.1.3.1"></times><cn id="S6.SS1.p1.3.m3.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S6.SS1.p1.3.m3.1.1.3.2">2</cn><apply id="S6.SS1.p1.3.m3.1.1.3.3.cmml" xref="S6.SS1.p1.3.m3.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.SS1.p1.3.m3.1.1.3.3.1.cmml" xref="S6.SS1.p1.3.m3.1.1.3.3">superscript</csymbol><cn id="S6.SS1.p1.3.m3.1.1.3.3.2.cmml" type="integer" xref="S6.SS1.p1.3.m3.1.1.3.3.2">10</cn><cn id="S6.SS1.p1.3.m3.1.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S6.SS1.p1.3.m3.1.1.3.3.3">11</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.SS1.p1.3.m3.1c">E=2\times 10^{11}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.SS1.p1.3.m3.1d">italic_E = 2 × 10 start_POSTSUPERSCRIPT 11 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>, <math alttext="\nu=0.3" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.SS1.p1.4.m4.1"><semantics id="S6.SS1.p1.4.m4.1a"><mrow id="S6.SS1.p1.4.m4.1.1" xref="S6.SS1.p1.4.m4.1.1.cmml"><mi id="S6.SS1.p1.4.m4.1.1.2" xref="S6.SS1.p1.4.m4.1.1.2.cmml">ν</mi><mo id="S6.SS1.p1.4.m4.1.1.1" xref="S6.SS1.p1.4.m4.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S6.SS1.p1.4.m4.1.1.3" xref="S6.SS1.p1.4.m4.1.1.3.cmml">0.3</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.SS1.p1.4.m4.1b"><apply id="S6.SS1.p1.4.m4.1.1.cmml" xref="S6.SS1.p1.4.m4.1.1"><eq id="S6.SS1.p1.4.m4.1.1.1.cmml" xref="S6.SS1.p1.4.m4.1.1.1"></eq><ci id="S6.SS1.p1.4.m4.1.1.2.cmml" xref="S6.SS1.p1.4.m4.1.1.2">𝜈</ci><cn id="S6.SS1.p1.4.m4.1.1.3.cmml" type="float" xref="S6.SS1.p1.4.m4.1.1.3">0.3</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.SS1.p1.4.m4.1c">\nu=0.3</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.SS1.p1.4.m4.1d">italic_ν = 0.3</annotation></semantics></math>, and <math alttext="h=0.01" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.SS1.p1.5.m5.1"><semantics id="S6.SS1.p1.5.m5.1a"><mrow id="S6.SS1.p1.5.m5.1.1" xref="S6.SS1.p1.5.m5.1.1.cmml"><mi id="S6.SS1.p1.5.m5.1.1.2" xref="S6.SS1.p1.5.m5.1.1.2.cmml">h</mi><mo id="S6.SS1.p1.5.m5.1.1.1" xref="S6.SS1.p1.5.m5.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S6.SS1.p1.5.m5.1.1.3" xref="S6.SS1.p1.5.m5.1.1.3.cmml">0.01</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.SS1.p1.5.m5.1b"><apply id="S6.SS1.p1.5.m5.1.1.cmml" xref="S6.SS1.p1.5.m5.1.1"><eq id="S6.SS1.p1.5.m5.1.1.1.cmml" xref="S6.SS1.p1.5.m5.1.1.1"></eq><ci id="S6.SS1.p1.5.m5.1.1.2.cmml" xref="S6.SS1.p1.5.m5.1.1.2">ℎ</ci><cn id="S6.SS1.p1.5.m5.1.1.3.cmml" type="float" xref="S6.SS1.p1.5.m5.1.1.3">0.01</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.SS1.p1.5.m5.1c">h=0.01</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.SS1.p1.5.m5.1d">italic_h = 0.01</annotation></semantics></math>. The analytical solution for the maximum deflection is <math alttext="0.048744Ba^{4}(1-\nu^{2})/(Eh^{3})" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.SS1.p1.6.m6.2"><semantics id="S6.SS1.p1.6.m6.2a"><mrow id="S6.SS1.p1.6.m6.2.2" xref="S6.SS1.p1.6.m6.2.2.cmml"><mrow id="S6.SS1.p1.6.m6.1.1.1" xref="S6.SS1.p1.6.m6.1.1.1.cmml"><mn id="S6.SS1.p1.6.m6.1.1.1.3" xref="S6.SS1.p1.6.m6.1.1.1.3.cmml">0.048744</mn><mo id="S6.SS1.p1.6.m6.1.1.1.2" xref="S6.SS1.p1.6.m6.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S6.SS1.p1.6.m6.1.1.1.4" xref="S6.SS1.p1.6.m6.1.1.1.4.cmml">B</mi><mo id="S6.SS1.p1.6.m6.1.1.1.2a" xref="S6.SS1.p1.6.m6.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msup id="S6.SS1.p1.6.m6.1.1.1.5" xref="S6.SS1.p1.6.m6.1.1.1.5.cmml"><mi id="S6.SS1.p1.6.m6.1.1.1.5.2" xref="S6.SS1.p1.6.m6.1.1.1.5.2.cmml">a</mi><mn id="S6.SS1.p1.6.m6.1.1.1.5.3" xref="S6.SS1.p1.6.m6.1.1.1.5.3.cmml">4</mn></msup><mo id="S6.SS1.p1.6.m6.1.1.1.2b" xref="S6.SS1.p1.6.m6.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S6.SS1.p1.6.m6.1.1.1.1.1" xref="S6.SS1.p1.6.m6.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S6.SS1.p1.6.m6.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S6.SS1.p1.6.m6.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S6.SS1.p1.6.m6.1.1.1.1.1.1" xref="S6.SS1.p1.6.m6.1.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="S6.SS1.p1.6.m6.1.1.1.1.1.1.2" xref="S6.SS1.p1.6.m6.1.1.1.1.1.1.2.cmml">1</mn><mo id="S6.SS1.p1.6.m6.1.1.1.1.1.1.1" xref="S6.SS1.p1.6.m6.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><msup id="S6.SS1.p1.6.m6.1.1.1.1.1.1.3" xref="S6.SS1.p1.6.m6.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S6.SS1.p1.6.m6.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S6.SS1.p1.6.m6.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">ν</mi><mn id="S6.SS1.p1.6.m6.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S6.SS1.p1.6.m6.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></msup></mrow><mo id="S6.SS1.p1.6.m6.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S6.SS1.p1.6.m6.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S6.SS1.p1.6.m6.2.2.3" xref="S6.SS1.p1.6.m6.2.2.3.cmml">/</mo><mrow id="S6.SS1.p1.6.m6.2.2.2.1" xref="S6.SS1.p1.6.m6.2.2.2.1.1.cmml"><mo id="S6.SS1.p1.6.m6.2.2.2.1.2" stretchy="false" xref="S6.SS1.p1.6.m6.2.2.2.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S6.SS1.p1.6.m6.2.2.2.1.1" xref="S6.SS1.p1.6.m6.2.2.2.1.1.cmml"><mi id="S6.SS1.p1.6.m6.2.2.2.1.1.2" xref="S6.SS1.p1.6.m6.2.2.2.1.1.2.cmml">E</mi><mo id="S6.SS1.p1.6.m6.2.2.2.1.1.1" xref="S6.SS1.p1.6.m6.2.2.2.1.1.1.cmml">⁢</mo><msup id="S6.SS1.p1.6.m6.2.2.2.1.1.3" xref="S6.SS1.p1.6.m6.2.2.2.1.1.3.cmml"><mi id="S6.SS1.p1.6.m6.2.2.2.1.1.3.2" xref="S6.SS1.p1.6.m6.2.2.2.1.1.3.2.cmml">h</mi><mn id="S6.SS1.p1.6.m6.2.2.2.1.1.3.3" xref="S6.SS1.p1.6.m6.2.2.2.1.1.3.3.cmml">3</mn></msup></mrow><mo id="S6.SS1.p1.6.m6.2.2.2.1.3" stretchy="false" xref="S6.SS1.p1.6.m6.2.2.2.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.SS1.p1.6.m6.2b"><apply id="S6.SS1.p1.6.m6.2.2.cmml" xref="S6.SS1.p1.6.m6.2.2"><divide id="S6.SS1.p1.6.m6.2.2.3.cmml" xref="S6.SS1.p1.6.m6.2.2.3"></divide><apply id="S6.SS1.p1.6.m6.1.1.1.cmml" xref="S6.SS1.p1.6.m6.1.1.1"><times id="S6.SS1.p1.6.m6.1.1.1.2.cmml" xref="S6.SS1.p1.6.m6.1.1.1.2"></times><cn id="S6.SS1.p1.6.m6.1.1.1.3.cmml" type="float" xref="S6.SS1.p1.6.m6.1.1.1.3">0.048744</cn><ci id="S6.SS1.p1.6.m6.1.1.1.4.cmml" xref="S6.SS1.p1.6.m6.1.1.1.4">𝐵</ci><apply id="S6.SS1.p1.6.m6.1.1.1.5.cmml" xref="S6.SS1.p1.6.m6.1.1.1.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.SS1.p1.6.m6.1.1.1.5.1.cmml" xref="S6.SS1.p1.6.m6.1.1.1.5">superscript</csymbol><ci id="S6.SS1.p1.6.m6.1.1.1.5.2.cmml" xref="S6.SS1.p1.6.m6.1.1.1.5.2">𝑎</ci><cn id="S6.SS1.p1.6.m6.1.1.1.5.3.cmml" type="integer" xref="S6.SS1.p1.6.m6.1.1.1.5.3">4</cn></apply><apply id="S6.SS1.p1.6.m6.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S6.SS1.p1.6.m6.1.1.1.1.1"><minus id="S6.SS1.p1.6.m6.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S6.SS1.p1.6.m6.1.1.1.1.1.1.1"></minus><cn id="S6.SS1.p1.6.m6.1.1.1.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S6.SS1.p1.6.m6.1.1.1.1.1.1.2">1</cn><apply id="S6.SS1.p1.6.m6.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S6.SS1.p1.6.m6.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.SS1.p1.6.m6.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S6.SS1.p1.6.m6.1.1.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S6.SS1.p1.6.m6.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S6.SS1.p1.6.m6.1.1.1.1.1.1.3.2">𝜈</ci><cn id="S6.SS1.p1.6.m6.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S6.SS1.p1.6.m6.1.1.1.1.1.1.3.3">2</cn></apply></apply></apply><apply id="S6.SS1.p1.6.m6.2.2.2.1.1.cmml" xref="S6.SS1.p1.6.m6.2.2.2.1"><times id="S6.SS1.p1.6.m6.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S6.SS1.p1.6.m6.2.2.2.1.1.1"></times><ci id="S6.SS1.p1.6.m6.2.2.2.1.1.2.cmml" xref="S6.SS1.p1.6.m6.2.2.2.1.1.2">𝐸</ci><apply id="S6.SS1.p1.6.m6.2.2.2.1.1.3.cmml" xref="S6.SS1.p1.6.m6.2.2.2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.SS1.p1.6.m6.2.2.2.1.1.3.1.cmml" xref="S6.SS1.p1.6.m6.2.2.2.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S6.SS1.p1.6.m6.2.2.2.1.1.3.2.cmml" xref="S6.SS1.p1.6.m6.2.2.2.1.1.3.2">ℎ</ci><cn id="S6.SS1.p1.6.m6.2.2.2.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S6.SS1.p1.6.m6.2.2.2.1.1.3.3">3</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.SS1.p1.6.m6.2c">0.048744Ba^{4}(1-\nu^{2})/(Eh^{3})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.SS1.p1.6.m6.2d">0.048744 italic_B italic_a start_POSTSUPERSCRIPT 4 end_POSTSUPERSCRIPT ( 1 - italic_ν start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ) / ( italic_E italic_h start_POSTSUPERSCRIPT 3 end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math> <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2502.10872v4#bib.bibx42" title="">TWK<sup class="ltx_sup"><span class="ltx_text ltx_font_italic">∗</span></sup>59</a>]</cite>.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S6.SS1.p2"> <p class="ltx_p" id="S6.SS1.p2.1">As shown in Figure <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2502.10872v4#S4.F5" title="Figure 5 ‣ 4.5 Corotational smoothed hinge bending model ‣ 4 Geometric Discretization ‣ Corotational Hinge-based Thin Plates/Shells"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">5</span></a>, both the EP and ES models pass the test only on the equilateral triangular mesh. However, the Quadratic Shell and Cubic Shell models fail all tests, even on the equilateral triangular mesh. The primary issue, as mentioned in Appendix <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2502.10872v4#A4" title="Appendix D Quadratic Thin Plate/Shell and Accuracy Discrepancy ‣ Corotational Hinge-based Thin Plates/Shells"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">D</span></a>, is that the bending energy formulation in the Quadratic and Cubic Shell models is three times higher than ours. The MidedgeAve model also fails on the equilateral triangular mesh due to numerical issues resulting in "NaN" values. On the regular triangular mesh, our FP, FS, SP, and SS models perform slightly better than the MidedgeSin and MidedgeTan formulations. On the irregular mesh, MidedgeSin and MidedgeTan exhibit better consistency than other methods. Among our models, SP and SS outperform FP and FS, which have comparable performance to the MidedgeAve formulation.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S6.SS1.p3"> <p class="ltx_p" id="S6.SS1.p3.1">The data from the last column in Table <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2502.10872v4#S6.T1" title="Table 1 ‣ 6.1 Quantitative Experiments ‣ 6 Numerical Experiments ‣ Corotational Hinge-based Thin Plates/Shells"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">1</span></a> highlights that our FP, FS, SP, and SS models are nearly twice as fast as the MidedgeSin and MidedgeTan formulations in one linear system solve on the equilateral triangular mesh. Additionally, the EP/ES and Quadratic/Cubic Shell models in the edge-based stencil demonstrate exceptional speed. The numerical performance differences across various mesh tessellations primarily arise from the curvature operators used in these formulations.</p> </div> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S6.SS1.p4"> <p class="ltx_p" id="S6.SS1.p4.3"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S6.SS1.p4.3.1">Geometrically non-linear benchmarks.</span> In this subsection, we aim to verify the expected accuracy and efficiency of our models in geometrically non-linear cases (see Table <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2502.10872v4#S6.T1" title="Table 1 ‣ 6.1 Quantitative Experiments ‣ 6 Numerical Experiments ‣ Corotational Hinge-based Thin Plates/Shells"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">1</span></a>). The tested cases are derived from engineering obstacles <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2502.10872v4#bib.bibx37" title="">SLL04</a>]</cite>. The reference solutions are obtained using the S4R shell element in ©ABAQUS with a sufficiently high mesh density. The underlined geometry of S4R is quadrilateral, so the tested mesh is generated by splitting each quadrilateral into two triangles. For each simulation, the residual force tolerance <math alttext="\epsilon_{f}" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.SS1.p4.1.m1.1"><semantics id="S6.SS1.p4.1.m1.1a"><msub id="S6.SS1.p4.1.m1.1.1" xref="S6.SS1.p4.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S6.SS1.p4.1.m1.1.1.2" xref="S6.SS1.p4.1.m1.1.1.2.cmml">ϵ</mi><mi id="S6.SS1.p4.1.m1.1.1.3" xref="S6.SS1.p4.1.m1.1.1.3.cmml">f</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.SS1.p4.1.m1.1b"><apply id="S6.SS1.p4.1.m1.1.1.cmml" xref="S6.SS1.p4.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.SS1.p4.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S6.SS1.p4.1.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S6.SS1.p4.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S6.SS1.p4.1.m1.1.1.2">italic-ϵ</ci><ci id="S6.SS1.p4.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S6.SS1.p4.1.m1.1.1.3">𝑓</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.SS1.p4.1.m1.1c">\epsilon_{f}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.SS1.p4.1.m1.1d">italic_ϵ start_POSTSUBSCRIPT italic_f end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> is <math alttext="0.001" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.SS1.p4.2.m2.1"><semantics id="S6.SS1.p4.2.m2.1a"><mn id="S6.SS1.p4.2.m2.1.1" xref="S6.SS1.p4.2.m2.1.1.cmml">0.001</mn><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.SS1.p4.2.m2.1b"><cn id="S6.SS1.p4.2.m2.1.1.cmml" type="float" xref="S6.SS1.p4.2.m2.1.1">0.001</cn></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.SS1.p4.2.m2.1c">0.001</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.SS1.p4.2.m2.1d">0.001</annotation></semantics></math>, and the incremental displacement limit is <math alttext="\epsilon_{u}=0.1" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.SS1.p4.3.m3.1"><semantics id="S6.SS1.p4.3.m3.1a"><mrow id="S6.SS1.p4.3.m3.1.1" xref="S6.SS1.p4.3.m3.1.1.cmml"><msub id="S6.SS1.p4.3.m3.1.1.2" xref="S6.SS1.p4.3.m3.1.1.2.cmml"><mi id="S6.SS1.p4.3.m3.1.1.2.2" xref="S6.SS1.p4.3.m3.1.1.2.2.cmml">ϵ</mi><mi id="S6.SS1.p4.3.m3.1.1.2.3" xref="S6.SS1.p4.3.m3.1.1.2.3.cmml">u</mi></msub><mo id="S6.SS1.p4.3.m3.1.1.1" xref="S6.SS1.p4.3.m3.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S6.SS1.p4.3.m3.1.1.3" xref="S6.SS1.p4.3.m3.1.1.3.cmml">0.1</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.SS1.p4.3.m3.1b"><apply id="S6.SS1.p4.3.m3.1.1.cmml" xref="S6.SS1.p4.3.m3.1.1"><eq id="S6.SS1.p4.3.m3.1.1.1.cmml" xref="S6.SS1.p4.3.m3.1.1.1"></eq><apply id="S6.SS1.p4.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S6.SS1.p4.3.m3.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.SS1.p4.3.m3.1.1.2.1.cmml" xref="S6.SS1.p4.3.m3.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S6.SS1.p4.3.m3.1.1.2.2.cmml" xref="S6.SS1.p4.3.m3.1.1.2.2">italic-ϵ</ci><ci id="S6.SS1.p4.3.m3.1.1.2.3.cmml" xref="S6.SS1.p4.3.m3.1.1.2.3">𝑢</ci></apply><cn id="S6.SS1.p4.3.m3.1.1.3.cmml" type="float" xref="S6.SS1.p4.3.m3.1.1.3">0.1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.SS1.p4.3.m3.1c">\epsilon_{u}=0.1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.SS1.p4.3.m3.1d">italic_ϵ start_POSTSUBSCRIPT italic_u end_POSTSUBSCRIPT = 0.1</annotation></semantics></math>.</p> </div> <figure class="ltx_table" id="S6.T1"> <table class="ltx_tabular ltx_centering ltx_align_middle" id="S6.T1.3"> <tbody class="ltx_tbody"> <tr class="ltx_tr" id="S6.T1.3.4.1"> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_border_tt" id="S6.T1.3.4.1.1" rowspan="2"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S6.T1.3.4.1.1.1">Model</span></td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_tt" colspan="2" id="S6.T1.3.4.1.2"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S6.T1.3.4.1.2.1">Cantilever</span></td> <td class="ltx_td ltx_border_tt" id="S6.T1.3.4.1.3"></td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_tt" colspan="3" id="S6.T1.3.4.1.4"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S6.T1.3.4.1.4.1">Hemisphere Shell</span></td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_tt" id="S6.T1.3.4.1.5"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S6.T1.3.4.1.5.1">Linear Plate Bending</span></td> </tr> <tr class="ltx_tr" id="S6.T1.3.3"> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_border_t" id="S6.T1.1.1.1"><math alttext="w_{tip}" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.T1.1.1.1.m1.1"><semantics id="S6.T1.1.1.1.m1.1a"><msub id="S6.T1.1.1.1.m1.1.1" xref="S6.T1.1.1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S6.T1.1.1.1.m1.1.1.2" xref="S6.T1.1.1.1.m1.1.1.2.cmml">w</mi><mrow id="S6.T1.1.1.1.m1.1.1.3" xref="S6.T1.1.1.1.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S6.T1.1.1.1.m1.1.1.3.2" xref="S6.T1.1.1.1.m1.1.1.3.2.cmml">t</mi><mo id="S6.T1.1.1.1.m1.1.1.3.1" xref="S6.T1.1.1.1.m1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S6.T1.1.1.1.m1.1.1.3.3" xref="S6.T1.1.1.1.m1.1.1.3.3.cmml">i</mi><mo id="S6.T1.1.1.1.m1.1.1.3.1a" xref="S6.T1.1.1.1.m1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S6.T1.1.1.1.m1.1.1.3.4" xref="S6.T1.1.1.1.m1.1.1.3.4.cmml">p</mi></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.T1.1.1.1.m1.1b"><apply id="S6.T1.1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S6.T1.1.1.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.T1.1.1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S6.T1.1.1.1.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S6.T1.1.1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S6.T1.1.1.1.m1.1.1.2">𝑤</ci><apply id="S6.T1.1.1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S6.T1.1.1.1.m1.1.1.3"><times id="S6.T1.1.1.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S6.T1.1.1.1.m1.1.1.3.1"></times><ci id="S6.T1.1.1.1.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S6.T1.1.1.1.m1.1.1.3.2">𝑡</ci><ci id="S6.T1.1.1.1.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S6.T1.1.1.1.m1.1.1.3.3">𝑖</ci><ci id="S6.T1.1.1.1.m1.1.1.3.4.cmml" xref="S6.T1.1.1.1.m1.1.1.3.4">𝑝</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.T1.1.1.1.m1.1c">w_{tip}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.T1.1.1.1.m1.1d">italic_w start_POSTSUBSCRIPT italic_t italic_i italic_p end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_t" id="S6.T1.3.3.4">Iterations (Time)</td> <td class="ltx_td ltx_border_r" id="S6.T1.3.3.5"></td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_t" id="S6.T1.2.2.2"><math alttext="u_{min}" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.T1.2.2.2.m1.1"><semantics id="S6.T1.2.2.2.m1.1a"><msub id="S6.T1.2.2.2.m1.1.1" xref="S6.T1.2.2.2.m1.1.1.cmml"><mi id="S6.T1.2.2.2.m1.1.1.2" xref="S6.T1.2.2.2.m1.1.1.2.cmml">u</mi><mrow id="S6.T1.2.2.2.m1.1.1.3" xref="S6.T1.2.2.2.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S6.T1.2.2.2.m1.1.1.3.2" xref="S6.T1.2.2.2.m1.1.1.3.2.cmml">m</mi><mo id="S6.T1.2.2.2.m1.1.1.3.1" xref="S6.T1.2.2.2.m1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S6.T1.2.2.2.m1.1.1.3.3" xref="S6.T1.2.2.2.m1.1.1.3.3.cmml">i</mi><mo id="S6.T1.2.2.2.m1.1.1.3.1a" xref="S6.T1.2.2.2.m1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S6.T1.2.2.2.m1.1.1.3.4" xref="S6.T1.2.2.2.m1.1.1.3.4.cmml">n</mi></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.T1.2.2.2.m1.1b"><apply id="S6.T1.2.2.2.m1.1.1.cmml" xref="S6.T1.2.2.2.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.T1.2.2.2.m1.1.1.1.cmml" xref="S6.T1.2.2.2.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S6.T1.2.2.2.m1.1.1.2.cmml" xref="S6.T1.2.2.2.m1.1.1.2">𝑢</ci><apply id="S6.T1.2.2.2.m1.1.1.3.cmml" xref="S6.T1.2.2.2.m1.1.1.3"><times id="S6.T1.2.2.2.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S6.T1.2.2.2.m1.1.1.3.1"></times><ci id="S6.T1.2.2.2.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S6.T1.2.2.2.m1.1.1.3.2">𝑚</ci><ci id="S6.T1.2.2.2.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S6.T1.2.2.2.m1.1.1.3.3">𝑖</ci><ci id="S6.T1.2.2.2.m1.1.1.3.4.cmml" xref="S6.T1.2.2.2.m1.1.1.3.4">𝑛</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.T1.2.2.2.m1.1c">u_{min}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.T1.2.2.2.m1.1d">italic_u start_POSTSUBSCRIPT italic_m italic_i italic_n end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_t" id="S6.T1.3.3.3"><math alttext="v_{max}" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.T1.3.3.3.m1.1"><semantics id="S6.T1.3.3.3.m1.1a"><msub id="S6.T1.3.3.3.m1.1.1" xref="S6.T1.3.3.3.m1.1.1.cmml"><mi id="S6.T1.3.3.3.m1.1.1.2" xref="S6.T1.3.3.3.m1.1.1.2.cmml">v</mi><mrow id="S6.T1.3.3.3.m1.1.1.3" xref="S6.T1.3.3.3.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S6.T1.3.3.3.m1.1.1.3.2" xref="S6.T1.3.3.3.m1.1.1.3.2.cmml">m</mi><mo id="S6.T1.3.3.3.m1.1.1.3.1" xref="S6.T1.3.3.3.m1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S6.T1.3.3.3.m1.1.1.3.3" xref="S6.T1.3.3.3.m1.1.1.3.3.cmml">a</mi><mo id="S6.T1.3.3.3.m1.1.1.3.1a" xref="S6.T1.3.3.3.m1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S6.T1.3.3.3.m1.1.1.3.4" xref="S6.T1.3.3.3.m1.1.1.3.4.cmml">x</mi></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.T1.3.3.3.m1.1b"><apply id="S6.T1.3.3.3.m1.1.1.cmml" xref="S6.T1.3.3.3.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.T1.3.3.3.m1.1.1.1.cmml" xref="S6.T1.3.3.3.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S6.T1.3.3.3.m1.1.1.2.cmml" xref="S6.T1.3.3.3.m1.1.1.2">𝑣</ci><apply id="S6.T1.3.3.3.m1.1.1.3.cmml" xref="S6.T1.3.3.3.m1.1.1.3"><times id="S6.T1.3.3.3.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S6.T1.3.3.3.m1.1.1.3.1"></times><ci id="S6.T1.3.3.3.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S6.T1.3.3.3.m1.1.1.3.2">𝑚</ci><ci id="S6.T1.3.3.3.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S6.T1.3.3.3.m1.1.1.3.3">𝑎</ci><ci id="S6.T1.3.3.3.m1.1.1.3.4.cmml" xref="S6.T1.3.3.3.m1.1.1.3.4">𝑥</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.T1.3.3.3.m1.1c">v_{max}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.T1.3.3.3.m1.1d">italic_v start_POSTSUBSCRIPT italic_m italic_a italic_x end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_r ltx_border_t" id="S6.T1.3.3.6">Iterations (Time)</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_t" id="S6.T1.3.3.7">Time (7459 nodes)</td> </tr> <tr class="ltx_tr" id="S6.T1.3.5.2"> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_border_t" id="S6.T1.3.5.2.1">EP</td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_border_t" id="S6.T1.3.5.2.2">5.388</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_t" id="S6.T1.3.5.2.3">61 (0.293s)</td> <td class="ltx_td ltx_border_r ltx_border_t" id="S6.T1.3.5.2.4"></td> <td class="ltx_td ltx_border_t" id="S6.T1.3.5.2.5"></td> <td class="ltx_td ltx_border_t" id="S6.T1.3.5.2.6"></td> <td class="ltx_td ltx_border_r ltx_border_t" id="S6.T1.3.5.2.7"></td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_t" id="S6.T1.3.5.2.8">1.758s</td> </tr> <tr class="ltx_tr" id="S6.T1.3.6.3"> <td class="ltx_td ltx_align_left" id="S6.T1.3.6.3.1">ES</td> <td class="ltx_td ltx_align_left" id="S6.T1.3.6.3.2">5.387</td> <td class="ltx_td ltx_align_center" id="S6.T1.3.6.3.3">61 (0.343s)</td> <td class="ltx_td ltx_border_r" id="S6.T1.3.6.3.4"></td> <td class="ltx_td ltx_align_center" id="S6.T1.3.6.3.5">-4.072</td> <td class="ltx_td ltx_align_center" id="S6.T1.3.6.3.6">2.799</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_r" id="S6.T1.3.6.3.7">56 (27.334s)</td> <td class="ltx_td ltx_align_center" id="S6.T1.3.6.3.8">1.778s</td> </tr> <tr class="ltx_tr" id="S6.T1.3.7.4"> <td class="ltx_td ltx_align_left" id="S6.T1.3.7.4.1">FP</td> <td class="ltx_td ltx_align_left" id="S6.T1.3.7.4.2">6.056</td> <td class="ltx_td ltx_align_center" id="S6.T1.3.7.4.3">68 (0.412s)</td> <td class="ltx_td ltx_border_r" id="S6.T1.3.7.4.4"></td> <td class="ltx_td" id="S6.T1.3.7.4.5"></td> <td class="ltx_td" id="S6.T1.3.7.4.6"></td> <td class="ltx_td ltx_border_r" id="S6.T1.3.7.4.7"></td> <td class="ltx_td ltx_align_center" id="S6.T1.3.7.4.8">3.713s</td> </tr> <tr class="ltx_tr" id="S6.T1.3.8.5"> <td class="ltx_td ltx_align_left" id="S6.T1.3.8.5.1">FS</td> <td class="ltx_td ltx_align_left" id="S6.T1.3.8.5.2">6.072</td> <td class="ltx_td ltx_align_center" id="S6.T1.3.8.5.3">68 (0.464s)</td> <td class="ltx_td ltx_border_r" id="S6.T1.3.8.5.4"></td> <td class="ltx_td ltx_align_center" id="S6.T1.3.8.5.5">-5.752</td> <td class="ltx_td ltx_align_center" id="S6.T1.3.8.5.6">3.403</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_r" id="S6.T1.3.8.5.7">84 (44.153s)</td> <td class="ltx_td ltx_align_center" id="S6.T1.3.8.5.8">3.788s</td> </tr> <tr class="ltx_tr" id="S6.T1.3.9.6"> <td class="ltx_td ltx_align_left" id="S6.T1.3.9.6.1">SP</td> <td class="ltx_td ltx_align_left" id="S6.T1.3.9.6.2">6.055</td> <td class="ltx_td ltx_align_center" id="S6.T1.3.9.6.3">67 (0.535s)</td> <td class="ltx_td ltx_border_r" id="S6.T1.3.9.6.4"></td> <td class="ltx_td" id="S6.T1.3.9.6.5"></td> <td class="ltx_td" id="S6.T1.3.9.6.6"></td> <td class="ltx_td ltx_border_r" id="S6.T1.3.9.6.7"></td> <td class="ltx_td ltx_align_center" id="S6.T1.3.9.6.8">3.620s</td> </tr> <tr class="ltx_tr" id="S6.T1.3.10.7"> <td class="ltx_td ltx_align_left" id="S6.T1.3.10.7.1">SS</td> <td class="ltx_td ltx_align_left" id="S6.T1.3.10.7.2">6.072</td> <td class="ltx_td ltx_align_center" id="S6.T1.3.10.7.3">67 (0.595s)</td> <td class="ltx_td ltx_border_r" id="S6.T1.3.10.7.4"></td> <td class="ltx_td ltx_align_center" id="S6.T1.3.10.7.5">-5.923</td> <td class="ltx_td ltx_align_center" id="S6.T1.3.10.7.6">3.534</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_r" id="S6.T1.3.10.7.7">87 (45.035s)</td> <td class="ltx_td ltx_align_center" id="S6.T1.3.10.7.8">3.759s</td> </tr> <tr class="ltx_tr" id="S6.T1.3.11.8"> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_border_t" id="S6.T1.3.11.8.1">Quadratic Shell</td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_border_t" id="S6.T1.3.11.8.2">2.510</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_t" id="S6.T1.3.11.8.3">29 (0.145s)</td> <td class="ltx_td ltx_border_r ltx_border_t" id="S6.T1.3.11.8.4"></td> <td class="ltx_td ltx_border_t" id="S6.T1.3.11.8.5"></td> <td class="ltx_td ltx_border_t" id="S6.T1.3.11.8.6"></td> <td class="ltx_td ltx_border_r ltx_border_t" id="S6.T1.3.11.8.7"></td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_t" id="S6.T1.3.11.8.8">1.757s</td> </tr> <tr class="ltx_tr" id="S6.T1.3.12.9"> <td class="ltx_td ltx_align_left" id="S6.T1.3.12.9.1">Cubic Shell</td> <td class="ltx_td ltx_align_left" id="S6.T1.3.12.9.2">2.510</td> <td class="ltx_td ltx_align_center" id="S6.T1.3.12.9.3">29 (0.153s)</td> <td class="ltx_td ltx_border_r" id="S6.T1.3.12.9.4"></td> <td class="ltx_td ltx_align_center" id="S6.T1.3.12.9.5">-3.193</td> <td class="ltx_td ltx_align_center" id="S6.T1.3.12.9.6">2.414</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_r" id="S6.T1.3.12.9.7">51 (17.784s)</td> <td class="ltx_td ltx_align_center" id="S6.T1.3.12.9.8">1.761s</td> </tr> <tr class="ltx_tr" id="S6.T1.3.13.10"> <td class="ltx_td ltx_align_left" id="S6.T1.3.13.10.1">MidedgeTan</td> <td class="ltx_td ltx_align_left" id="S6.T1.3.13.10.2">5.405</td> <td class="ltx_td ltx_align_center" id="S6.T1.3.13.10.3">77 (2.545s)</td> <td class="ltx_td ltx_border_r" id="S6.T1.3.13.10.4"></td> <td class="ltx_td ltx_align_center" id="S6.T1.3.13.10.5">-5.831</td> <td class="ltx_td ltx_align_center" id="S6.T1.3.13.10.6">3.422</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_r" id="S6.T1.3.13.10.7">93 (173.531s)</td> <td class="ltx_td ltx_align_center" id="S6.T1.3.13.10.8">6.963s</td> </tr> <tr class="ltx_tr" id="S6.T1.3.14.11"> <td class="ltx_td ltx_align_left" id="S6.T1.3.14.11.1">MidedgeSin</td> <td class="ltx_td ltx_align_left" id="S6.T1.3.14.11.2">5.418</td> <td class="ltx_td ltx_align_center" id="S6.T1.3.14.11.3">77 (2.596s)</td> <td class="ltx_td ltx_border_r" id="S6.T1.3.14.11.4"></td> <td class="ltx_td ltx_align_center" id="S6.T1.3.14.11.5">-5.886</td> <td class="ltx_td ltx_align_center" id="S6.T1.3.14.11.6">3.451</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_r" id="S6.T1.3.14.11.7">94 (180.139s)</td> <td class="ltx_td ltx_align_center" id="S6.T1.3.14.11.8">6.979s</td> </tr> <tr class="ltx_tr" id="S6.T1.3.15.12"> <td class="ltx_td ltx_align_left" id="S6.T1.3.15.12.1">MidedgeAve</td> <td class="ltx_td ltx_align_left" id="S6.T1.3.15.12.2">5.380</td> <td class="ltx_td ltx_align_center" id="S6.T1.3.15.12.3">76 (2.213s)</td> <td class="ltx_td ltx_border_r" id="S6.T1.3.15.12.4"></td> <td class="ltx_td ltx_align_center" id="S6.T1.3.15.12.5">-5.564</td> <td class="ltx_td ltx_align_center" id="S6.T1.3.15.12.6">3.331</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_r" id="S6.T1.3.15.12.7">93 (105.898s)</td> <td class="ltx_td ltx_align_center" id="S6.T1.3.15.12.8">NaN</td> </tr> <tr class="ltx_tr" id="S6.T1.3.16.13"> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_border_bb ltx_border_t" id="S6.T1.3.16.13.1"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S6.T1.3.16.13.1.1">©ABAQUS S4R</span></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_border_bb ltx_border_t" id="S6.T1.3.16.13.2"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S6.T1.3.16.13.2.1">6.012</span></td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_bb ltx_border_t" id="S6.T1.3.16.13.3"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S6.T1.3.16.13.3.1">106</span></td> <td class="ltx_td ltx_border_bb ltx_border_r ltx_border_t" id="S6.T1.3.16.13.4"></td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_bb ltx_border_t" id="S6.T1.3.16.13.5"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S6.T1.3.16.13.5.1">-5.902</span></td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_bb ltx_border_t" id="S6.T1.3.16.13.6"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S6.T1.3.16.13.6.1">3.406</span></td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_bb ltx_border_r ltx_border_t" id="S6.T1.3.16.13.7"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S6.T1.3.16.13.7.1">112</span></td> <td class="ltx_td ltx_border_bb ltx_border_t" id="S6.T1.3.16.13.8"></td> </tr> </tbody> </table> <figcaption class="ltx_caption ltx_centering"><span class="ltx_tag ltx_tag_table"><span class="ltx_text" id="S6.T1.12.4.1" style="font-size:90%;">Table 1</span>: </span><span class="ltx_text" id="S6.T1.9.3" style="font-size:90%;">Displacement, Newton iteration and time data for the Cantilever under End Shear Force, Hemispherical Shell under Alternating Radial Forces, and Linear Plate Bending examples. "NaN" represents numerical issues encountered by the model. The results of <span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S6.T1.9.3.1">©ABAQUS S4R</span> act as reference solutions. <math alttext="w_{\text{tip}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.T1.7.1.m1.1"><semantics id="S6.T1.7.1.m1.1b"><msub id="S6.T1.7.1.m1.1.1" xref="S6.T1.7.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S6.T1.7.1.m1.1.1.2" xref="S6.T1.7.1.m1.1.1.2.cmml">w</mi><mtext id="S6.T1.7.1.m1.1.1.3" xref="S6.T1.7.1.m1.1.1.3a.cmml">tip</mtext></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.T1.7.1.m1.1c"><apply id="S6.T1.7.1.m1.1.1.cmml" xref="S6.T1.7.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.T1.7.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S6.T1.7.1.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S6.T1.7.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S6.T1.7.1.m1.1.1.2">𝑤</ci><ci id="S6.T1.7.1.m1.1.1.3a.cmml" xref="S6.T1.7.1.m1.1.1.3"><mtext id="S6.T1.7.1.m1.1.1.3.cmml" mathsize="70%" xref="S6.T1.7.1.m1.1.1.3">tip</mtext></ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.T1.7.1.m1.1d">w_{\text{tip}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.T1.7.1.m1.1e">italic_w start_POSTSUBSCRIPT tip end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> represents the displacement along the positive Z-direction of the midpoint on the right-hand side of the cantilever plate. <math alttext="u_{\min}" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.T1.8.2.m2.1"><semantics id="S6.T1.8.2.m2.1b"><msub id="S6.T1.8.2.m2.1.1" xref="S6.T1.8.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S6.T1.8.2.m2.1.1.2" xref="S6.T1.8.2.m2.1.1.2.cmml">u</mi><mi id="S6.T1.8.2.m2.1.1.3" xref="S6.T1.8.2.m2.1.1.3.cmml">min</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.T1.8.2.m2.1c"><apply id="S6.T1.8.2.m2.1.1.cmml" xref="S6.T1.8.2.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.T1.8.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S6.T1.8.2.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S6.T1.8.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S6.T1.8.2.m2.1.1.2">𝑢</ci><min id="S6.T1.8.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S6.T1.8.2.m2.1.1.3"></min></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.T1.8.2.m2.1d">u_{\min}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.T1.8.2.m2.1e">italic_u start_POSTSUBSCRIPT roman_min end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> is the maximum displacement along the negative X-direction and <math alttext="v_{\max}" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.T1.9.3.m3.1"><semantics id="S6.T1.9.3.m3.1b"><msub id="S6.T1.9.3.m3.1.1" xref="S6.T1.9.3.m3.1.1.cmml"><mi id="S6.T1.9.3.m3.1.1.2" xref="S6.T1.9.3.m3.1.1.2.cmml">v</mi><mi id="S6.T1.9.3.m3.1.1.3" xref="S6.T1.9.3.m3.1.1.3.cmml">max</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.T1.9.3.m3.1c"><apply id="S6.T1.9.3.m3.1.1.cmml" xref="S6.T1.9.3.m3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.T1.9.3.m3.1.1.1.cmml" xref="S6.T1.9.3.m3.1.1">subscript</csymbol><ci id="S6.T1.9.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S6.T1.9.3.m3.1.1.2">𝑣</ci><max id="S6.T1.9.3.m3.1.1.3.cmml" xref="S6.T1.9.3.m3.1.1.3"></max></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.T1.9.3.m3.1d">v_{\max}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.T1.9.3.m3.1e">italic_v start_POSTSUBSCRIPT roman_max end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> is the maximum displacement along the positive Y-direction.</span></figcaption> </figure> <div class="ltx_para" id="S6.SS1.p5"> <p class="ltx_p" id="S6.SS1.p5.6"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S6.SS1.p5.6.1">Cantilever Subjected to End Shear Force.</span> In this test, a flat plate of dimensions <math alttext="10\times 1" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.SS1.p5.1.m1.1"><semantics id="S6.SS1.p5.1.m1.1a"><mrow id="S6.SS1.p5.1.m1.1.1" xref="S6.SS1.p5.1.m1.1.1.cmml"><mn id="S6.SS1.p5.1.m1.1.1.2" xref="S6.SS1.p5.1.m1.1.1.2.cmml">10</mn><mo id="S6.SS1.p5.1.m1.1.1.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S6.SS1.p5.1.m1.1.1.1.cmml">×</mo><mn id="S6.SS1.p5.1.m1.1.1.3" xref="S6.SS1.p5.1.m1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.SS1.p5.1.m1.1b"><apply id="S6.SS1.p5.1.m1.1.1.cmml" xref="S6.SS1.p5.1.m1.1.1"><times id="S6.SS1.p5.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S6.SS1.p5.1.m1.1.1.1"></times><cn id="S6.SS1.p5.1.m1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S6.SS1.p5.1.m1.1.1.2">10</cn><cn id="S6.SS1.p5.1.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S6.SS1.p5.1.m1.1.1.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.SS1.p5.1.m1.1c">10\times 1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.SS1.p5.1.m1.1d">10 × 1</annotation></semantics></math> is subjected to an end shear force, applied as concentrated loads of equal magnitude <math alttext="F=4/3" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.SS1.p5.2.m2.1"><semantics id="S6.SS1.p5.2.m2.1a"><mrow id="S6.SS1.p5.2.m2.1.1" xref="S6.SS1.p5.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S6.SS1.p5.2.m2.1.1.2" xref="S6.SS1.p5.2.m2.1.1.2.cmml">F</mi><mo id="S6.SS1.p5.2.m2.1.1.1" xref="S6.SS1.p5.2.m2.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S6.SS1.p5.2.m2.1.1.3" xref="S6.SS1.p5.2.m2.1.1.3.cmml"><mn id="S6.SS1.p5.2.m2.1.1.3.2" xref="S6.SS1.p5.2.m2.1.1.3.2.cmml">4</mn><mo id="S6.SS1.p5.2.m2.1.1.3.1" xref="S6.SS1.p5.2.m2.1.1.3.1.cmml">/</mo><mn id="S6.SS1.p5.2.m2.1.1.3.3" xref="S6.SS1.p5.2.m2.1.1.3.3.cmml">3</mn></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.SS1.p5.2.m2.1b"><apply id="S6.SS1.p5.2.m2.1.1.cmml" xref="S6.SS1.p5.2.m2.1.1"><eq id="S6.SS1.p5.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S6.SS1.p5.2.m2.1.1.1"></eq><ci id="S6.SS1.p5.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S6.SS1.p5.2.m2.1.1.2">𝐹</ci><apply id="S6.SS1.p5.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S6.SS1.p5.2.m2.1.1.3"><divide id="S6.SS1.p5.2.m2.1.1.3.1.cmml" xref="S6.SS1.p5.2.m2.1.1.3.1"></divide><cn id="S6.SS1.p5.2.m2.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S6.SS1.p5.2.m2.1.1.3.2">4</cn><cn id="S6.SS1.p5.2.m2.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S6.SS1.p5.2.m2.1.1.3.3">3</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.SS1.p5.2.m2.1c">F=4/3</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.SS1.p5.2.m2.1d">italic_F = 4 / 3</annotation></semantics></math> distributed across the nodes on the right side, as illustrated in Figure <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2502.10872v4#S6.F6" title="Figure 6 ‣ 6.2 Qualitative Experiments ‣ 6 Numerical Experiments ‣ Corotational Hinge-based Thin Plates/Shells"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">6</span></a>. The concentrated loads are along the <math alttext="Z" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.SS1.p5.3.m3.1"><semantics id="S6.SS1.p5.3.m3.1a"><mi id="S6.SS1.p5.3.m3.1.1" xref="S6.SS1.p5.3.m3.1.1.cmml">Z</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.SS1.p5.3.m3.1b"><ci id="S6.SS1.p5.3.m3.1.1.cmml" xref="S6.SS1.p5.3.m3.1.1">𝑍</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.SS1.p5.3.m3.1c">Z</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.SS1.p5.3.m3.1d">italic_Z</annotation></semantics></math>-axis. The geometry is discretized into 51 nodes, with two adjacent rows at the left end clamped to enforce the hard constraints. The material parameters are <math alttext="E=1.2\times 10^{6}" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.SS1.p5.4.m4.1"><semantics id="S6.SS1.p5.4.m4.1a"><mrow id="S6.SS1.p5.4.m4.1.1" xref="S6.SS1.p5.4.m4.1.1.cmml"><mi id="S6.SS1.p5.4.m4.1.1.2" xref="S6.SS1.p5.4.m4.1.1.2.cmml">E</mi><mo id="S6.SS1.p5.4.m4.1.1.1" xref="S6.SS1.p5.4.m4.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S6.SS1.p5.4.m4.1.1.3" xref="S6.SS1.p5.4.m4.1.1.3.cmml"><mn id="S6.SS1.p5.4.m4.1.1.3.2" xref="S6.SS1.p5.4.m4.1.1.3.2.cmml">1.2</mn><mo id="S6.SS1.p5.4.m4.1.1.3.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S6.SS1.p5.4.m4.1.1.3.1.cmml">×</mo><msup id="S6.SS1.p5.4.m4.1.1.3.3" xref="S6.SS1.p5.4.m4.1.1.3.3.cmml"><mn id="S6.SS1.p5.4.m4.1.1.3.3.2" xref="S6.SS1.p5.4.m4.1.1.3.3.2.cmml">10</mn><mn id="S6.SS1.p5.4.m4.1.1.3.3.3" xref="S6.SS1.p5.4.m4.1.1.3.3.3.cmml">6</mn></msup></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.SS1.p5.4.m4.1b"><apply id="S6.SS1.p5.4.m4.1.1.cmml" xref="S6.SS1.p5.4.m4.1.1"><eq id="S6.SS1.p5.4.m4.1.1.1.cmml" xref="S6.SS1.p5.4.m4.1.1.1"></eq><ci id="S6.SS1.p5.4.m4.1.1.2.cmml" xref="S6.SS1.p5.4.m4.1.1.2">𝐸</ci><apply id="S6.SS1.p5.4.m4.1.1.3.cmml" xref="S6.SS1.p5.4.m4.1.1.3"><times id="S6.SS1.p5.4.m4.1.1.3.1.cmml" xref="S6.SS1.p5.4.m4.1.1.3.1"></times><cn id="S6.SS1.p5.4.m4.1.1.3.2.cmml" type="float" xref="S6.SS1.p5.4.m4.1.1.3.2">1.2</cn><apply id="S6.SS1.p5.4.m4.1.1.3.3.cmml" xref="S6.SS1.p5.4.m4.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.SS1.p5.4.m4.1.1.3.3.1.cmml" xref="S6.SS1.p5.4.m4.1.1.3.3">superscript</csymbol><cn id="S6.SS1.p5.4.m4.1.1.3.3.2.cmml" type="integer" xref="S6.SS1.p5.4.m4.1.1.3.3.2">10</cn><cn id="S6.SS1.p5.4.m4.1.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S6.SS1.p5.4.m4.1.1.3.3.3">6</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.SS1.p5.4.m4.1c">E=1.2\times 10^{6}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.SS1.p5.4.m4.1d">italic_E = 1.2 × 10 start_POSTSUPERSCRIPT 6 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>, <math alttext="\nu=0.1" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.SS1.p5.5.m5.1"><semantics id="S6.SS1.p5.5.m5.1a"><mrow id="S6.SS1.p5.5.m5.1.1" xref="S6.SS1.p5.5.m5.1.1.cmml"><mi id="S6.SS1.p5.5.m5.1.1.2" xref="S6.SS1.p5.5.m5.1.1.2.cmml">ν</mi><mo id="S6.SS1.p5.5.m5.1.1.1" xref="S6.SS1.p5.5.m5.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S6.SS1.p5.5.m5.1.1.3" xref="S6.SS1.p5.5.m5.1.1.3.cmml">0.1</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.SS1.p5.5.m5.1b"><apply id="S6.SS1.p5.5.m5.1.1.cmml" xref="S6.SS1.p5.5.m5.1.1"><eq id="S6.SS1.p5.5.m5.1.1.1.cmml" xref="S6.SS1.p5.5.m5.1.1.1"></eq><ci id="S6.SS1.p5.5.m5.1.1.2.cmml" xref="S6.SS1.p5.5.m5.1.1.2">𝜈</ci><cn id="S6.SS1.p5.5.m5.1.1.3.cmml" type="float" xref="S6.SS1.p5.5.m5.1.1.3">0.1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.SS1.p5.5.m5.1c">\nu=0.1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.SS1.p5.5.m5.1d">italic_ν = 0.1</annotation></semantics></math>, and <math alttext="h=0.1" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.SS1.p5.6.m6.1"><semantics id="S6.SS1.p5.6.m6.1a"><mrow id="S6.SS1.p5.6.m6.1.1" xref="S6.SS1.p5.6.m6.1.1.cmml"><mi id="S6.SS1.p5.6.m6.1.1.2" xref="S6.SS1.p5.6.m6.1.1.2.cmml">h</mi><mo id="S6.SS1.p5.6.m6.1.1.1" xref="S6.SS1.p5.6.m6.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S6.SS1.p5.6.m6.1.1.3" xref="S6.SS1.p5.6.m6.1.1.3.cmml">0.1</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.SS1.p5.6.m6.1b"><apply id="S6.SS1.p5.6.m6.1.1.cmml" xref="S6.SS1.p5.6.m6.1.1"><eq id="S6.SS1.p5.6.m6.1.1.1.cmml" xref="S6.SS1.p5.6.m6.1.1.1"></eq><ci id="S6.SS1.p5.6.m6.1.1.2.cmml" xref="S6.SS1.p5.6.m6.1.1.2">ℎ</ci><cn id="S6.SS1.p5.6.m6.1.1.3.cmml" type="float" xref="S6.SS1.p5.6.m6.1.1.3">0.1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.SS1.p5.6.m6.1c">h=0.1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.SS1.p5.6.m6.1d">italic_h = 0.1</annotation></semantics></math>. As summarized in Table <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2502.10872v4#S6.T1" title="Table 1 ‣ 6.1 Quantitative Experiments ‣ 6 Numerical Experiments ‣ Corotational Hinge-based Thin Plates/Shells"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">1</span></a>, our FP, FS, SP, and SS models demonstrate superior accuracy compared to others. The MidedgeTan and MidedgeSin formulations, which offer the second-highest accuracy, are nearly five times slower than our FP, FS, SP, and SS models, thanks to their constant bending energy Hessians. Our EP and ES models rank third in accuracy, outperforming the MidedgeAve model. While the Quadratic and Cubic Shell models are very fast, they produce smaller deflections due to the overestimation of bending rigidity. If we scale down the bending rigidity of the Quadratic and Cubic Shell models, they can predict deflections comparable to those of our EP model. Among our models, EP, FP and SP, specifically designed for rest-flat shell configurations, perform slightly better in terms of accuracy and speed compared to ES, FS and SS, which can handle both rest-flat and rest-curved shells.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S6.SS1.p6"> <p class="ltx_p" id="S6.SS1.p6.15"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S6.SS1.p6.15.1">Hemispherical Shell Subjected to Alternating Radial Forces.</span> To test the performance of the rest-curved shell models, we simulate a hemispherical shell with radius <math alttext="R=10" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.SS1.p6.1.m1.1"><semantics id="S6.SS1.p6.1.m1.1a"><mrow id="S6.SS1.p6.1.m1.1.1" xref="S6.SS1.p6.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S6.SS1.p6.1.m1.1.1.2" xref="S6.SS1.p6.1.m1.1.1.2.cmml">R</mi><mo id="S6.SS1.p6.1.m1.1.1.1" xref="S6.SS1.p6.1.m1.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S6.SS1.p6.1.m1.1.1.3" xref="S6.SS1.p6.1.m1.1.1.3.cmml">10</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.SS1.p6.1.m1.1b"><apply id="S6.SS1.p6.1.m1.1.1.cmml" xref="S6.SS1.p6.1.m1.1.1"><eq id="S6.SS1.p6.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S6.SS1.p6.1.m1.1.1.1"></eq><ci id="S6.SS1.p6.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S6.SS1.p6.1.m1.1.1.2">𝑅</ci><cn id="S6.SS1.p6.1.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S6.SS1.p6.1.m1.1.1.3">10</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.SS1.p6.1.m1.1c">R=10</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.SS1.p6.1.m1.1d">italic_R = 10</annotation></semantics></math> and an <math alttext="18^{\circ}" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.SS1.p6.2.m2.1"><semantics id="S6.SS1.p6.2.m2.1a"><msup id="S6.SS1.p6.2.m2.1.1" xref="S6.SS1.p6.2.m2.1.1.cmml"><mn id="S6.SS1.p6.2.m2.1.1.2" xref="S6.SS1.p6.2.m2.1.1.2.cmml">18</mn><mo id="S6.SS1.p6.2.m2.1.1.3" xref="S6.SS1.p6.2.m2.1.1.3.cmml">∘</mo></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.SS1.p6.2.m2.1b"><apply id="S6.SS1.p6.2.m2.1.1.cmml" xref="S6.SS1.p6.2.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.SS1.p6.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S6.SS1.p6.2.m2.1.1">superscript</csymbol><cn id="S6.SS1.p6.2.m2.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S6.SS1.p6.2.m2.1.1.2">18</cn><compose id="S6.SS1.p6.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S6.SS1.p6.2.m2.1.1.3"></compose></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.SS1.p6.2.m2.1c">18^{\circ}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.SS1.p6.2.m2.1d">18 start_POSTSUPERSCRIPT ∘ end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> circular cutout at the pole. The shell is subjected to alternating radial point forces of <math alttext="P=200" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.SS1.p6.3.m3.1"><semantics id="S6.SS1.p6.3.m3.1a"><mrow id="S6.SS1.p6.3.m3.1.1" xref="S6.SS1.p6.3.m3.1.1.cmml"><mi id="S6.SS1.p6.3.m3.1.1.2" xref="S6.SS1.p6.3.m3.1.1.2.cmml">P</mi><mo id="S6.SS1.p6.3.m3.1.1.1" xref="S6.SS1.p6.3.m3.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S6.SS1.p6.3.m3.1.1.3" xref="S6.SS1.p6.3.m3.1.1.3.cmml">200</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.SS1.p6.3.m3.1b"><apply id="S6.SS1.p6.3.m3.1.1.cmml" xref="S6.SS1.p6.3.m3.1.1"><eq id="S6.SS1.p6.3.m3.1.1.1.cmml" xref="S6.SS1.p6.3.m3.1.1.1"></eq><ci id="S6.SS1.p6.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S6.SS1.p6.3.m3.1.1.2">𝑃</ci><cn id="S6.SS1.p6.3.m3.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S6.SS1.p6.3.m3.1.1.3">200</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.SS1.p6.3.m3.1c">P=200</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.SS1.p6.3.m3.1d">italic_P = 200</annotation></semantics></math> at <math alttext="90^{\circ}" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.SS1.p6.4.m4.1"><semantics id="S6.SS1.p6.4.m4.1a"><msup id="S6.SS1.p6.4.m4.1.1" xref="S6.SS1.p6.4.m4.1.1.cmml"><mn id="S6.SS1.p6.4.m4.1.1.2" xref="S6.SS1.p6.4.m4.1.1.2.cmml">90</mn><mo id="S6.SS1.p6.4.m4.1.1.3" xref="S6.SS1.p6.4.m4.1.1.3.cmml">∘</mo></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.SS1.p6.4.m4.1b"><apply id="S6.SS1.p6.4.m4.1.1.cmml" xref="S6.SS1.p6.4.m4.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.SS1.p6.4.m4.1.1.1.cmml" xref="S6.SS1.p6.4.m4.1.1">superscript</csymbol><cn id="S6.SS1.p6.4.m4.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S6.SS1.p6.4.m4.1.1.2">90</cn><compose id="S6.SS1.p6.4.m4.1.1.3.cmml" xref="S6.SS1.p6.4.m4.1.1.3"></compose></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.SS1.p6.4.m4.1c">90^{\circ}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.SS1.p6.4.m4.1d">90 start_POSTSUPERSCRIPT ∘ end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> intervals (as shown in Figure <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2502.10872v4#S6.F6" title="Figure 6 ‣ 6.2 Qualitative Experiments ‣ 6 Numerical Experiments ‣ Corotational Hinge-based Thin Plates/Shells"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">6</span></a>). Two point forces along the <math alttext="X" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.SS1.p6.5.m5.1"><semantics id="S6.SS1.p6.5.m5.1a"><mi id="S6.SS1.p6.5.m5.1.1" xref="S6.SS1.p6.5.m5.1.1.cmml">X</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.SS1.p6.5.m5.1b"><ci id="S6.SS1.p6.5.m5.1.1.cmml" xref="S6.SS1.p6.5.m5.1.1">𝑋</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.SS1.p6.5.m5.1c">X</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.SS1.p6.5.m5.1d">italic_X</annotation></semantics></math>-axis induce compression, while two along the <math alttext="Y" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.SS1.p6.6.m6.1"><semantics id="S6.SS1.p6.6.m6.1a"><mi id="S6.SS1.p6.6.m6.1.1" xref="S6.SS1.p6.6.m6.1.1.cmml">Y</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.SS1.p6.6.m6.1b"><ci id="S6.SS1.p6.6.m6.1.1.cmml" xref="S6.SS1.p6.6.m6.1.1">𝑌</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.SS1.p6.6.m6.1c">Y</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.SS1.p6.6.m6.1d">italic_Y</annotation></semantics></math>-axis induce tension. To minimize boundary condition effects across different formulations, the entire shell structure is analyzed instead of only a quarter section. Boundary conditions are applied as follows: for nodes lying in the <math alttext="Y-Z" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.SS1.p6.7.m7.1"><semantics id="S6.SS1.p6.7.m7.1a"><mrow id="S6.SS1.p6.7.m7.1.1" xref="S6.SS1.p6.7.m7.1.1.cmml"><mi id="S6.SS1.p6.7.m7.1.1.2" xref="S6.SS1.p6.7.m7.1.1.2.cmml">Y</mi><mo id="S6.SS1.p6.7.m7.1.1.1" xref="S6.SS1.p6.7.m7.1.1.1.cmml">−</mo><mi id="S6.SS1.p6.7.m7.1.1.3" xref="S6.SS1.p6.7.m7.1.1.3.cmml">Z</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.SS1.p6.7.m7.1b"><apply id="S6.SS1.p6.7.m7.1.1.cmml" xref="S6.SS1.p6.7.m7.1.1"><minus id="S6.SS1.p6.7.m7.1.1.1.cmml" xref="S6.SS1.p6.7.m7.1.1.1"></minus><ci id="S6.SS1.p6.7.m7.1.1.2.cmml" xref="S6.SS1.p6.7.m7.1.1.2">𝑌</ci><ci id="S6.SS1.p6.7.m7.1.1.3.cmml" xref="S6.SS1.p6.7.m7.1.1.3">𝑍</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.SS1.p6.7.m7.1c">Y-Z</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.SS1.p6.7.m7.1d">italic_Y - italic_Z</annotation></semantics></math> plane, the <math alttext="X" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.SS1.p6.8.m8.1"><semantics id="S6.SS1.p6.8.m8.1a"><mi id="S6.SS1.p6.8.m8.1.1" xref="S6.SS1.p6.8.m8.1.1.cmml">X</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.SS1.p6.8.m8.1b"><ci id="S6.SS1.p6.8.m8.1.1.cmml" xref="S6.SS1.p6.8.m8.1.1">𝑋</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.SS1.p6.8.m8.1c">X</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.SS1.p6.8.m8.1d">italic_X</annotation></semantics></math>-direction DoFs are fixed; for nodes in the <math alttext="X-Z" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.SS1.p6.9.m9.1"><semantics id="S6.SS1.p6.9.m9.1a"><mrow id="S6.SS1.p6.9.m9.1.1" xref="S6.SS1.p6.9.m9.1.1.cmml"><mi id="S6.SS1.p6.9.m9.1.1.2" xref="S6.SS1.p6.9.m9.1.1.2.cmml">X</mi><mo id="S6.SS1.p6.9.m9.1.1.1" xref="S6.SS1.p6.9.m9.1.1.1.cmml">−</mo><mi id="S6.SS1.p6.9.m9.1.1.3" xref="S6.SS1.p6.9.m9.1.1.3.cmml">Z</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.SS1.p6.9.m9.1b"><apply id="S6.SS1.p6.9.m9.1.1.cmml" xref="S6.SS1.p6.9.m9.1.1"><minus id="S6.SS1.p6.9.m9.1.1.1.cmml" xref="S6.SS1.p6.9.m9.1.1.1"></minus><ci id="S6.SS1.p6.9.m9.1.1.2.cmml" xref="S6.SS1.p6.9.m9.1.1.2">𝑋</ci><ci id="S6.SS1.p6.9.m9.1.1.3.cmml" xref="S6.SS1.p6.9.m9.1.1.3">𝑍</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.SS1.p6.9.m9.1c">X-Z</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.SS1.p6.9.m9.1d">italic_X - italic_Z</annotation></semantics></math> plane, the <math alttext="Y" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.SS1.p6.10.m10.1"><semantics id="S6.SS1.p6.10.m10.1a"><mi id="S6.SS1.p6.10.m10.1.1" xref="S6.SS1.p6.10.m10.1.1.cmml">Y</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.SS1.p6.10.m10.1b"><ci id="S6.SS1.p6.10.m10.1.1.cmml" xref="S6.SS1.p6.10.m10.1.1">𝑌</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.SS1.p6.10.m10.1c">Y</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.SS1.p6.10.m10.1d">italic_Y</annotation></semantics></math>-direction DoFs are fixed. Additionally, for nodes on the top circular cut that lie in the <math alttext="Y-Z" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.SS1.p6.11.m11.1"><semantics id="S6.SS1.p6.11.m11.1a"><mrow id="S6.SS1.p6.11.m11.1.1" xref="S6.SS1.p6.11.m11.1.1.cmml"><mi id="S6.SS1.p6.11.m11.1.1.2" xref="S6.SS1.p6.11.m11.1.1.2.cmml">Y</mi><mo id="S6.SS1.p6.11.m11.1.1.1" xref="S6.SS1.p6.11.m11.1.1.1.cmml">−</mo><mi id="S6.SS1.p6.11.m11.1.1.3" xref="S6.SS1.p6.11.m11.1.1.3.cmml">Z</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.SS1.p6.11.m11.1b"><apply id="S6.SS1.p6.11.m11.1.1.cmml" xref="S6.SS1.p6.11.m11.1.1"><minus id="S6.SS1.p6.11.m11.1.1.1.cmml" xref="S6.SS1.p6.11.m11.1.1.1"></minus><ci id="S6.SS1.p6.11.m11.1.1.2.cmml" xref="S6.SS1.p6.11.m11.1.1.2">𝑌</ci><ci id="S6.SS1.p6.11.m11.1.1.3.cmml" xref="S6.SS1.p6.11.m11.1.1.3">𝑍</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.SS1.p6.11.m11.1c">Y-Z</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.SS1.p6.11.m11.1d">italic_Y - italic_Z</annotation></semantics></math> plane, the <math alttext="Z" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.SS1.p6.12.m12.1"><semantics id="S6.SS1.p6.12.m12.1a"><mi id="S6.SS1.p6.12.m12.1.1" xref="S6.SS1.p6.12.m12.1.1.cmml">Z</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.SS1.p6.12.m12.1b"><ci id="S6.SS1.p6.12.m12.1.1.cmml" xref="S6.SS1.p6.12.m12.1.1">𝑍</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.SS1.p6.12.m12.1c">Z</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.SS1.p6.12.m12.1d">italic_Z</annotation></semantics></math>-direction DoFs are constrained to ensure equivalence with the benchmark case provided in <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2502.10872v4#bib.bibx37" title="">SLL04</a>]</cite>. The shell geometry is discretized using 1088 nodes. The material parameters are <math alttext="E=6.825\times 10^{7}" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.SS1.p6.13.m13.1"><semantics id="S6.SS1.p6.13.m13.1a"><mrow id="S6.SS1.p6.13.m13.1.1" xref="S6.SS1.p6.13.m13.1.1.cmml"><mi id="S6.SS1.p6.13.m13.1.1.2" xref="S6.SS1.p6.13.m13.1.1.2.cmml">E</mi><mo id="S6.SS1.p6.13.m13.1.1.1" xref="S6.SS1.p6.13.m13.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S6.SS1.p6.13.m13.1.1.3" xref="S6.SS1.p6.13.m13.1.1.3.cmml"><mn id="S6.SS1.p6.13.m13.1.1.3.2" xref="S6.SS1.p6.13.m13.1.1.3.2.cmml">6.825</mn><mo id="S6.SS1.p6.13.m13.1.1.3.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S6.SS1.p6.13.m13.1.1.3.1.cmml">×</mo><msup id="S6.SS1.p6.13.m13.1.1.3.3" xref="S6.SS1.p6.13.m13.1.1.3.3.cmml"><mn id="S6.SS1.p6.13.m13.1.1.3.3.2" xref="S6.SS1.p6.13.m13.1.1.3.3.2.cmml">10</mn><mn id="S6.SS1.p6.13.m13.1.1.3.3.3" xref="S6.SS1.p6.13.m13.1.1.3.3.3.cmml">7</mn></msup></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.SS1.p6.13.m13.1b"><apply id="S6.SS1.p6.13.m13.1.1.cmml" xref="S6.SS1.p6.13.m13.1.1"><eq id="S6.SS1.p6.13.m13.1.1.1.cmml" xref="S6.SS1.p6.13.m13.1.1.1"></eq><ci id="S6.SS1.p6.13.m13.1.1.2.cmml" xref="S6.SS1.p6.13.m13.1.1.2">𝐸</ci><apply id="S6.SS1.p6.13.m13.1.1.3.cmml" xref="S6.SS1.p6.13.m13.1.1.3"><times id="S6.SS1.p6.13.m13.1.1.3.1.cmml" xref="S6.SS1.p6.13.m13.1.1.3.1"></times><cn id="S6.SS1.p6.13.m13.1.1.3.2.cmml" type="float" xref="S6.SS1.p6.13.m13.1.1.3.2">6.825</cn><apply id="S6.SS1.p6.13.m13.1.1.3.3.cmml" xref="S6.SS1.p6.13.m13.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.SS1.p6.13.m13.1.1.3.3.1.cmml" xref="S6.SS1.p6.13.m13.1.1.3.3">superscript</csymbol><cn id="S6.SS1.p6.13.m13.1.1.3.3.2.cmml" type="integer" xref="S6.SS1.p6.13.m13.1.1.3.3.2">10</cn><cn id="S6.SS1.p6.13.m13.1.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S6.SS1.p6.13.m13.1.1.3.3.3">7</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.SS1.p6.13.m13.1c">E=6.825\times 10^{7}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.SS1.p6.13.m13.1d">italic_E = 6.825 × 10 start_POSTSUPERSCRIPT 7 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>, <math alttext="\nu=0.3" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.SS1.p6.14.m14.1"><semantics id="S6.SS1.p6.14.m14.1a"><mrow id="S6.SS1.p6.14.m14.1.1" xref="S6.SS1.p6.14.m14.1.1.cmml"><mi id="S6.SS1.p6.14.m14.1.1.2" xref="S6.SS1.p6.14.m14.1.1.2.cmml">ν</mi><mo id="S6.SS1.p6.14.m14.1.1.1" xref="S6.SS1.p6.14.m14.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S6.SS1.p6.14.m14.1.1.3" xref="S6.SS1.p6.14.m14.1.1.3.cmml">0.3</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.SS1.p6.14.m14.1b"><apply id="S6.SS1.p6.14.m14.1.1.cmml" xref="S6.SS1.p6.14.m14.1.1"><eq id="S6.SS1.p6.14.m14.1.1.1.cmml" xref="S6.SS1.p6.14.m14.1.1.1"></eq><ci id="S6.SS1.p6.14.m14.1.1.2.cmml" xref="S6.SS1.p6.14.m14.1.1.2">𝜈</ci><cn id="S6.SS1.p6.14.m14.1.1.3.cmml" type="float" xref="S6.SS1.p6.14.m14.1.1.3">0.3</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.SS1.p6.14.m14.1c">\nu=0.3</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.SS1.p6.14.m14.1d">italic_ν = 0.3</annotation></semantics></math>, and <math alttext="h=0.04" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.SS1.p6.15.m15.1"><semantics id="S6.SS1.p6.15.m15.1a"><mrow id="S6.SS1.p6.15.m15.1.1" xref="S6.SS1.p6.15.m15.1.1.cmml"><mi id="S6.SS1.p6.15.m15.1.1.2" xref="S6.SS1.p6.15.m15.1.1.2.cmml">h</mi><mo id="S6.SS1.p6.15.m15.1.1.1" xref="S6.SS1.p6.15.m15.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S6.SS1.p6.15.m15.1.1.3" xref="S6.SS1.p6.15.m15.1.1.3.cmml">0.04</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.SS1.p6.15.m15.1b"><apply id="S6.SS1.p6.15.m15.1.1.cmml" xref="S6.SS1.p6.15.m15.1.1"><eq id="S6.SS1.p6.15.m15.1.1.1.cmml" xref="S6.SS1.p6.15.m15.1.1.1"></eq><ci id="S6.SS1.p6.15.m15.1.1.2.cmml" xref="S6.SS1.p6.15.m15.1.1.2">ℎ</ci><cn id="S6.SS1.p6.15.m15.1.1.3.cmml" type="float" xref="S6.SS1.p6.15.m15.1.1.3">0.04</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.SS1.p6.15.m15.1c">h=0.04</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.SS1.p6.15.m15.1d">italic_h = 0.04</annotation></semantics></math>. As shown in Table <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2502.10872v4#S6.T1" title="Table 1 ‣ 6.1 Quantitative Experiments ‣ 6 Numerical Experiments ‣ Corotational Hinge-based Thin Plates/Shells"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">1</span></a>, our ES model outperforms the Cubic Shell models in terms of accuracy. However, the ES model still deviates more from the reference solution. While the MidedgeTan and MidedgeSin models provide more accurate results overall, our FS and SS models deliver competitive accuracy with nearly four times the computational speed of the MidedgeTan and MidedgeSin models.</p> </div> </section> <section class="ltx_subsection" id="S6.SS2"> <h3 class="ltx_title ltx_title_subsection"> <span class="ltx_tag ltx_tag_subsection">6.2 </span>Qualitative Experiments</h3> <div class="ltx_para" id="S6.SS2.p1"> <p class="ltx_p" id="S6.SS2.p1.4">We introduce two challenging codimensional simulation benchmarks from C-IPC <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2502.10872v4#bib.bibx30" title="">LKJ21</a>]</cite> to demonstrate the robustness and stability of our models. The first test case involves a flat geometry, which is well-suited to all of our models, while the second features a cylindrical geometry, requiring compatible models for rest-curved meshes. Both cases use material properties corresponding to cotton from C-IPC, with <math alttext="E=0.8\text{MPa}" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.SS2.p1.1.m1.1"><semantics id="S6.SS2.p1.1.m1.1a"><mrow id="S6.SS2.p1.1.m1.1.1" xref="S6.SS2.p1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S6.SS2.p1.1.m1.1.1.2" xref="S6.SS2.p1.1.m1.1.1.2.cmml">E</mi><mo id="S6.SS2.p1.1.m1.1.1.1" xref="S6.SS2.p1.1.m1.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S6.SS2.p1.1.m1.1.1.3" xref="S6.SS2.p1.1.m1.1.1.3.cmml"><mn id="S6.SS2.p1.1.m1.1.1.3.2" xref="S6.SS2.p1.1.m1.1.1.3.2.cmml">0.8</mn><mo id="S6.SS2.p1.1.m1.1.1.3.1" xref="S6.SS2.p1.1.m1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mtext id="S6.SS2.p1.1.m1.1.1.3.3" xref="S6.SS2.p1.1.m1.1.1.3.3a.cmml">MPa</mtext></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.SS2.p1.1.m1.1b"><apply id="S6.SS2.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S6.SS2.p1.1.m1.1.1"><eq id="S6.SS2.p1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S6.SS2.p1.1.m1.1.1.1"></eq><ci id="S6.SS2.p1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S6.SS2.p1.1.m1.1.1.2">𝐸</ci><apply id="S6.SS2.p1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S6.SS2.p1.1.m1.1.1.3"><times id="S6.SS2.p1.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S6.SS2.p1.1.m1.1.1.3.1"></times><cn id="S6.SS2.p1.1.m1.1.1.3.2.cmml" type="float" xref="S6.SS2.p1.1.m1.1.1.3.2">0.8</cn><ci id="S6.SS2.p1.1.m1.1.1.3.3a.cmml" xref="S6.SS2.p1.1.m1.1.1.3.3"><mtext id="S6.SS2.p1.1.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S6.SS2.p1.1.m1.1.1.3.3">MPa</mtext></ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.SS2.p1.1.m1.1c">E=0.8\text{MPa}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.SS2.p1.1.m1.1d">italic_E = 0.8 MPa</annotation></semantics></math>, <math alttext="\nu=0.243" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.SS2.p1.2.m2.1"><semantics id="S6.SS2.p1.2.m2.1a"><mrow id="S6.SS2.p1.2.m2.1.1" xref="S6.SS2.p1.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S6.SS2.p1.2.m2.1.1.2" xref="S6.SS2.p1.2.m2.1.1.2.cmml">ν</mi><mo id="S6.SS2.p1.2.m2.1.1.1" xref="S6.SS2.p1.2.m2.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S6.SS2.p1.2.m2.1.1.3" xref="S6.SS2.p1.2.m2.1.1.3.cmml">0.243</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.SS2.p1.2.m2.1b"><apply id="S6.SS2.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="S6.SS2.p1.2.m2.1.1"><eq id="S6.SS2.p1.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S6.SS2.p1.2.m2.1.1.1"></eq><ci id="S6.SS2.p1.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S6.SS2.p1.2.m2.1.1.2">𝜈</ci><cn id="S6.SS2.p1.2.m2.1.1.3.cmml" type="float" xref="S6.SS2.p1.2.m2.1.1.3">0.243</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.SS2.p1.2.m2.1c">\nu=0.243</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.SS2.p1.2.m2.1d">italic_ν = 0.243</annotation></semantics></math>, and a cloth density of <math alttext="472.6\,\text{kg/m}^{3}" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.SS2.p1.3.m3.1"><semantics id="S6.SS2.p1.3.m3.1a"><mrow id="S6.SS2.p1.3.m3.1.1" xref="S6.SS2.p1.3.m3.1.1.cmml"><mn id="S6.SS2.p1.3.m3.1.1.2" xref="S6.SS2.p1.3.m3.1.1.2.cmml">472.6</mn><mo id="S6.SS2.p1.3.m3.1.1.1" lspace="0.110em" xref="S6.SS2.p1.3.m3.1.1.1.cmml">⁢</mo><msup id="S6.SS2.p1.3.m3.1.1.3" xref="S6.SS2.p1.3.m3.1.1.3.cmml"><mtext id="S6.SS2.p1.3.m3.1.1.3.2" xref="S6.SS2.p1.3.m3.1.1.3.2a.cmml">kg/m</mtext><mn id="S6.SS2.p1.3.m3.1.1.3.3" xref="S6.SS2.p1.3.m3.1.1.3.3.cmml">3</mn></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.SS2.p1.3.m3.1b"><apply id="S6.SS2.p1.3.m3.1.1.cmml" xref="S6.SS2.p1.3.m3.1.1"><times id="S6.SS2.p1.3.m3.1.1.1.cmml" xref="S6.SS2.p1.3.m3.1.1.1"></times><cn id="S6.SS2.p1.3.m3.1.1.2.cmml" type="float" xref="S6.SS2.p1.3.m3.1.1.2">472.6</cn><apply id="S6.SS2.p1.3.m3.1.1.3.cmml" xref="S6.SS2.p1.3.m3.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.SS2.p1.3.m3.1.1.3.1.cmml" xref="S6.SS2.p1.3.m3.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S6.SS2.p1.3.m3.1.1.3.2a.cmml" xref="S6.SS2.p1.3.m3.1.1.3.2"><mtext id="S6.SS2.p1.3.m3.1.1.3.2.cmml" xref="S6.SS2.p1.3.m3.1.1.3.2">kg/m</mtext></ci><cn id="S6.SS2.p1.3.m3.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S6.SS2.p1.3.m3.1.1.3.3">3</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.SS2.p1.3.m3.1c">472.6\,\text{kg/m}^{3}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.SS2.p1.3.m3.1d">472.6 kg/m start_POSTSUPERSCRIPT 3 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>. The simulations are time-stepped at <math alttext="\Delta t=0.04\text{s}" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.SS2.p1.4.m4.1"><semantics id="S6.SS2.p1.4.m4.1a"><mrow id="S6.SS2.p1.4.m4.1.1" xref="S6.SS2.p1.4.m4.1.1.cmml"><mrow id="S6.SS2.p1.4.m4.1.1.2" xref="S6.SS2.p1.4.m4.1.1.2.cmml"><mi id="S6.SS2.p1.4.m4.1.1.2.2" mathvariant="normal" xref="S6.SS2.p1.4.m4.1.1.2.2.cmml">Δ</mi><mo id="S6.SS2.p1.4.m4.1.1.2.1" xref="S6.SS2.p1.4.m4.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S6.SS2.p1.4.m4.1.1.2.3" xref="S6.SS2.p1.4.m4.1.1.2.3.cmml">t</mi></mrow><mo id="S6.SS2.p1.4.m4.1.1.1" xref="S6.SS2.p1.4.m4.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S6.SS2.p1.4.m4.1.1.3" xref="S6.SS2.p1.4.m4.1.1.3.cmml"><mn id="S6.SS2.p1.4.m4.1.1.3.2" xref="S6.SS2.p1.4.m4.1.1.3.2.cmml">0.04</mn><mo id="S6.SS2.p1.4.m4.1.1.3.1" xref="S6.SS2.p1.4.m4.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mtext id="S6.SS2.p1.4.m4.1.1.3.3" xref="S6.SS2.p1.4.m4.1.1.3.3a.cmml">s</mtext></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.SS2.p1.4.m4.1b"><apply id="S6.SS2.p1.4.m4.1.1.cmml" xref="S6.SS2.p1.4.m4.1.1"><eq id="S6.SS2.p1.4.m4.1.1.1.cmml" xref="S6.SS2.p1.4.m4.1.1.1"></eq><apply id="S6.SS2.p1.4.m4.1.1.2.cmml" xref="S6.SS2.p1.4.m4.1.1.2"><times id="S6.SS2.p1.4.m4.1.1.2.1.cmml" xref="S6.SS2.p1.4.m4.1.1.2.1"></times><ci id="S6.SS2.p1.4.m4.1.1.2.2.cmml" xref="S6.SS2.p1.4.m4.1.1.2.2">Δ</ci><ci id="S6.SS2.p1.4.m4.1.1.2.3.cmml" xref="S6.SS2.p1.4.m4.1.1.2.3">𝑡</ci></apply><apply id="S6.SS2.p1.4.m4.1.1.3.cmml" xref="S6.SS2.p1.4.m4.1.1.3"><times id="S6.SS2.p1.4.m4.1.1.3.1.cmml" xref="S6.SS2.p1.4.m4.1.1.3.1"></times><cn id="S6.SS2.p1.4.m4.1.1.3.2.cmml" type="float" xref="S6.SS2.p1.4.m4.1.1.3.2">0.04</cn><ci id="S6.SS2.p1.4.m4.1.1.3.3a.cmml" xref="S6.SS2.p1.4.m4.1.1.3.3"><mtext id="S6.SS2.p1.4.m4.1.1.3.3.cmml" xref="S6.SS2.p1.4.m4.1.1.3.3">s</mtext></ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.SS2.p1.4.m4.1c">\Delta t=0.04\text{s}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.SS2.p1.4.m4.1d">roman_Δ italic_t = 0.04 s</annotation></semantics></math>, also consistent with the solver settings from the C-IPC study. Simulation videos can be found in the supplementary materials.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S6.SS2.p2"> <p class="ltx_p" id="S6.SS2.p2.1"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S6.SS2.p2.1.1">Cloth on Rotating Sphere.</span> This test evaluates the robustness of our formulations (EP, ES, FP, FS, SP and SS) under extreme stress-test conditions, such as tight wrinkling, friction, and contact processing, following the setup used in prior research <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2502.10872v4#bib.bibx2" title="">BFA02</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2502.10872v4#bib.bibx30" title="">LKJ21</a>]</cite>. A square cloth with 85K nodes (strain limiting up to 1.0608) is dropped onto a sphere and floor, both having a friction coefficient <math alttext="\mu=0.4" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.SS2.p2.1.m1.1"><semantics id="S6.SS2.p2.1.m1.1a"><mrow id="S6.SS2.p2.1.m1.1.1" xref="S6.SS2.p2.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S6.SS2.p2.1.m1.1.1.2" xref="S6.SS2.p2.1.m1.1.1.2.cmml">μ</mi><mo id="S6.SS2.p2.1.m1.1.1.1" xref="S6.SS2.p2.1.m1.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S6.SS2.p2.1.m1.1.1.3" xref="S6.SS2.p2.1.m1.1.1.3.cmml">0.4</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.SS2.p2.1.m1.1b"><apply id="S6.SS2.p2.1.m1.1.1.cmml" xref="S6.SS2.p2.1.m1.1.1"><eq id="S6.SS2.p2.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S6.SS2.p2.1.m1.1.1.1"></eq><ci id="S6.SS2.p2.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S6.SS2.p2.1.m1.1.1.2">𝜇</ci><cn id="S6.SS2.p2.1.m1.1.1.3.cmml" type="float" xref="S6.SS2.p2.1.m1.1.1.3">0.4</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.SS2.p2.1.m1.1c">\mu=0.4</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.SS2.p2.1.m1.1d">italic_μ = 0.4</annotation></semantics></math>. As the sphere rotates, friction draws the cloth inward, creating a complex structure of wrinkles and folds, effectively capturing fine details of the cloth’s behaviour (see Figure <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2502.10872v4#Sx1.F7" title="Figure 7 ‣ Acknowledgments ‣ Corotational Hinge-based Thin Plates/Shells"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">7</span></a>).</p> </div> <div class="ltx_para" id="S6.SS2.p3"> <p class="ltx_p" id="S6.SS2.p3.1"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S6.SS2.p3.1.1">Twisted Cylinder.</span> In this test, we simulate a cotton cylinder (1m width and 0.25m radius) with 88K nodes. The thickness offset is set to 1.5mm to account for geometric thickness, and the IPC <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2502.10872v4#bib.bibx28" title="">LFS<sup class="ltx_sup"><span class="ltx_text ltx_font_italic">∗</span></sup>20</a>]</cite> contact force is began at a threshold distance of 1mm. The cylinder is simultaneously twisted at a rate of <math alttext="72^{\circ}/s" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.SS2.p3.1.m1.1"><semantics id="S6.SS2.p3.1.m1.1a"><mrow id="S6.SS2.p3.1.m1.1.1" xref="S6.SS2.p3.1.m1.1.1.cmml"><msup id="S6.SS2.p3.1.m1.1.1.2" xref="S6.SS2.p3.1.m1.1.1.2.cmml"><mn id="S6.SS2.p3.1.m1.1.1.2.2" xref="S6.SS2.p3.1.m1.1.1.2.2.cmml">72</mn><mo id="S6.SS2.p3.1.m1.1.1.2.3" xref="S6.SS2.p3.1.m1.1.1.2.3.cmml">∘</mo></msup><mo id="S6.SS2.p3.1.m1.1.1.1" xref="S6.SS2.p3.1.m1.1.1.1.cmml">/</mo><mi id="S6.SS2.p3.1.m1.1.1.3" xref="S6.SS2.p3.1.m1.1.1.3.cmml">s</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.SS2.p3.1.m1.1b"><apply id="S6.SS2.p3.1.m1.1.1.cmml" xref="S6.SS2.p3.1.m1.1.1"><divide id="S6.SS2.p3.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S6.SS2.p3.1.m1.1.1.1"></divide><apply id="S6.SS2.p3.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S6.SS2.p3.1.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.SS2.p3.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S6.SS2.p3.1.m1.1.1.2">superscript</csymbol><cn id="S6.SS2.p3.1.m1.1.1.2.2.cmml" type="integer" xref="S6.SS2.p3.1.m1.1.1.2.2">72</cn><compose id="S6.SS2.p3.1.m1.1.1.2.3.cmml" xref="S6.SS2.p3.1.m1.1.1.2.3"></compose></apply><ci id="S6.SS2.p3.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S6.SS2.p3.1.m1.1.1.3">𝑠</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.SS2.p3.1.m1.1c">72^{\circ}/s</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.SS2.p3.1.m1.1d">72 start_POSTSUPERSCRIPT ∘ end_POSTSUPERSCRIPT / italic_s</annotation></semantics></math> while the two sides are brought together at 5mm/s. Gravity is excluded from the simulation to prevent sagging. As illustrated frame in Figure <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2502.10872v4#Sx1.F8" title="Figure 8 ‣ Acknowledgments ‣ Corotational Hinge-based Thin Plates/Shells"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">8</span></a>, global wrinkling and folding effects emerge as the cylinder is deformed, showcasing the ability of our models (ES, FS and SS) to handle rest-curved geometry robustly. It’s worthy to mention that SS generate 20 wrinkles, but ES and FS both give 19 waves.</p> </div> <figure class="ltx_figure" id="S6.F6"><img alt="Refer to caption" class="ltx_graphics ltx_centering ltx_img_landscape" height="342" id="S6.F6.g1" src="x6.png" width="821"/> <figcaption class="ltx_caption ltx_centering"><span class="ltx_tag ltx_tag_figure"><span class="ltx_text" id="S6.F6.11.5.1" style="font-size:90%;">Figure 6</span>: </span><span class="ltx_text" id="S6.F6.8.4" style="font-size:90%;"> <span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S6.F6.8.4.1">Geometrically non-linear benchmarks.</span> (a) Cantilever plate (51 nodes) subjected to an end shear force <math alttext="F" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.F6.5.1.m1.1"><semantics id="S6.F6.5.1.m1.1b"><mi id="S6.F6.5.1.m1.1.1" xref="S6.F6.5.1.m1.1.1.cmml">F</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.F6.5.1.m1.1c"><ci id="S6.F6.5.1.m1.1.1.cmml" xref="S6.F6.5.1.m1.1.1">𝐹</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.F6.5.1.m1.1d">F</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.F6.5.1.m1.1e">italic_F</annotation></semantics></math> and (b) hemisphere shell with a <math alttext="18^{\circ}" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.F6.6.2.m2.1"><semantics id="S6.F6.6.2.m2.1b"><msup id="S6.F6.6.2.m2.1.1" xref="S6.F6.6.2.m2.1.1.cmml"><mn id="S6.F6.6.2.m2.1.1.2" xref="S6.F6.6.2.m2.1.1.2.cmml">18</mn><mo id="S6.F6.6.2.m2.1.1.3" xref="S6.F6.6.2.m2.1.1.3.cmml">∘</mo></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.F6.6.2.m2.1c"><apply id="S6.F6.6.2.m2.1.1.cmml" xref="S6.F6.6.2.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.F6.6.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S6.F6.6.2.m2.1.1">superscript</csymbol><cn id="S6.F6.6.2.m2.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S6.F6.6.2.m2.1.1.2">18</cn><compose id="S6.F6.6.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S6.F6.6.2.m2.1.1.3"></compose></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.F6.6.2.m2.1d">18^{\circ}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.F6.6.2.m2.1e">18 start_POSTSUPERSCRIPT ∘ end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> cut (1088 nodes) subjected to alternating radial forces <math alttext="P" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.F6.7.3.m3.1"><semantics id="S6.F6.7.3.m3.1b"><mi id="S6.F6.7.3.m3.1.1" xref="S6.F6.7.3.m3.1.1.cmml">P</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.F6.7.3.m3.1c"><ci id="S6.F6.7.3.m3.1.1.cmml" xref="S6.F6.7.3.m3.1.1">𝑃</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.F6.7.3.m3.1d">P</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.F6.7.3.m3.1e">italic_P</annotation></semantics></math> are tested to evaluate the accuracy and efficiency of different bending formulations in geometrically non-linear analysis <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2502.10872v4#bib.bibx37" title="">SLL04</a>]</cite>. The green structure with a white wireframe represents the deformed configuration, while the black wireframe illustrates the undeformed configuration for comparison. <math alttext="X-Y-Z" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.F6.8.4.m4.1"><semantics id="S6.F6.8.4.m4.1b"><mrow id="S6.F6.8.4.m4.1.1" xref="S6.F6.8.4.m4.1.1.cmml"><mi id="S6.F6.8.4.m4.1.1.2" xref="S6.F6.8.4.m4.1.1.2.cmml">X</mi><mo id="S6.F6.8.4.m4.1.1.1" xref="S6.F6.8.4.m4.1.1.1.cmml">−</mo><mi id="S6.F6.8.4.m4.1.1.3" xref="S6.F6.8.4.m4.1.1.3.cmml">Y</mi><mo id="S6.F6.8.4.m4.1.1.1b" xref="S6.F6.8.4.m4.1.1.1.cmml">−</mo><mi id="S6.F6.8.4.m4.1.1.4" xref="S6.F6.8.4.m4.1.1.4.cmml">Z</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.F6.8.4.m4.1c"><apply id="S6.F6.8.4.m4.1.1.cmml" xref="S6.F6.8.4.m4.1.1"><minus id="S6.F6.8.4.m4.1.1.1.cmml" xref="S6.F6.8.4.m4.1.1.1"></minus><ci id="S6.F6.8.4.m4.1.1.2.cmml" xref="S6.F6.8.4.m4.1.1.2">𝑋</ci><ci id="S6.F6.8.4.m4.1.1.3.cmml" xref="S6.F6.8.4.m4.1.1.3">𝑌</ci><ci id="S6.F6.8.4.m4.1.1.4.cmml" xref="S6.F6.8.4.m4.1.1.4">𝑍</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.F6.8.4.m4.1d">X-Y-Z</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.F6.8.4.m4.1e">italic_X - italic_Y - italic_Z</annotation></semantics></math> is the world frame.</span></figcaption> </figure> </section> </section> <section class="ltx_section" id="S7"> <h2 class="ltx_title ltx_title_section"> <span class="ltx_tag ltx_tag_section">7 </span>Conclusions</h2> <div class="ltx_para" id="S7.p1"> <p class="ltx_p" id="S7.p1.1">In this study, our edge-stenciled models (EP and ES) are more accurate compared to the Quadratic and Cubic Shell models. The formulations of quadratic thin plate/shell (QTP/QTS), a variation of our EP/ES that quantifies the curvature operator in the world frame, are provided in Appendix <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2502.10872v4#A4" title="Appendix D Quadratic Thin Plate/Shell and Accuracy Discrepancy ‣ Corotational Hinge-based Thin Plates/Shells"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">D</span></a>. By introducing the formulations of QTP/QTS, the accuracy discrepancy between our edge-stenciled models with the Quadratic/Cubic Shells <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2502.10872v4#bib.bibx8" title="">BWH<sup class="ltx_sup"><span class="ltx_text ltx_font_italic">∗</span></sup>06b</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2502.10872v4#bib.bibx19" title="">GGWZ07</a>]</cite> is clarified. Like the Quadratic and Cubic Shell models, the EP and ES models are computationally efficient. However, they share the same limitations common to all edge-based hinge approaches, such as sensitivity to mesh structure, as also discussed by Grinspun et al. <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2502.10872v4#bib.bibx18" title="">GGRZ06</a>]</cite>. Our triangle-stenciled models (FP, FS, SP, and SS) partially address this issue. Among these models, the consistency of FP and FS across different mesh patterns is weaker compared to SP and SS, which benefit from the smoothing effect of quadratic interpolation functions. Nevertheless, these models are constrained by small strain and small curvature assumptions, and failure modes may occur when the fold angle between a flap triangle and the central triangle exceeds <math alttext="90^{\circ}" class="ltx_Math" display="inline" id="S7.p1.1.m1.1"><semantics id="S7.p1.1.m1.1a"><msup id="S7.p1.1.m1.1.1" xref="S7.p1.1.m1.1.1.cmml"><mn id="S7.p1.1.m1.1.1.2" xref="S7.p1.1.m1.1.1.2.cmml">90</mn><mo id="S7.p1.1.m1.1.1.3" xref="S7.p1.1.m1.1.1.3.cmml">∘</mo></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.p1.1.m1.1b"><apply id="S7.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S7.p1.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S7.p1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S7.p1.1.m1.1.1">superscript</csymbol><cn id="S7.p1.1.m1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S7.p1.1.m1.1.1.2">90</cn><compose id="S7.p1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S7.p1.1.m1.1.1.3"></compose></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.p1.1.m1.1c">90^{\circ}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.p1.1.m1.1d">90 start_POSTSUPERSCRIPT ∘ end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>, leading to underestimation of the bending energy. Methods such as adaptive mesh refinement <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2502.10872v4#bib.bibx21" title="">GKS02</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2502.10872v4#bib.bibx32" title="">NSO12</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2502.10872v4#bib.bibx16" title="">FSKP23</a>]</cite> can be employed in regions of folding turns to mitigate this issue with lower mesh density. Despite these assumptions, the use of a corotational approach to handle large rotations offers significant advantages, allowing the bending energy Hessian to remain constant in Newton-type implicit solvers. Our experience indicates that the global constant bending energy Hessian assembled from those of stencils is more robust, helping to avoid potential numerical issues and achieve better accuracy <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2502.10872v4#bib.bibx18" title="">GGRZ06</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2502.10872v4#bib.bibx35" title="">RGZ07</a>]</cite>, if a quality mesh is employed. In our quasi-static simulations, we employ a basic Newton solver to evaluate the quantitative performance of different bending formulations in comparison to the shell element provided in ©ABAQUS. Therefore, we recommend integrating these formulations into a robust, well-designed solver to fully exploit their efficiency in practical applications.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S7.p2"> <p class="ltx_p" id="S7.p2.1">Due to our models’ simplicity, accuracy, efficiency, and generality, we anticipate that our models will have practical applications in both computer animation and specialized engineering simulations.</p> </div> </section> <section class="ltx_section" id="Sx1"> <h2 class="ltx_title ltx_title_section">Acknowledgments</h2> <div class="ltx_para" id="Sx1.p1"> <p class="ltx_p" id="Sx1.p1.1">The author sincerely thanks the anonymous reviewers for their valuable comments. Special gratitude is extended to Prof. K.Y. Sze for his insightful suggestions. The author also gratefully acknowledges the support provided by the Centre for Transformative Garment Production (TranGP).</p> </div> <figure class="ltx_figure" id="Sx1.F7"><img alt="Refer to caption" class="ltx_graphics ltx_centering ltx_img_landscape" height="341" id="Sx1.F7.g1" src="x7.png" width="747"/> <figcaption class="ltx_caption ltx_centering"><span class="ltx_tag ltx_tag_figure"><span class="ltx_text" id="Sx1.F7.5.2.1" style="font-size:90%;">Figure 7</span>: </span><span class="ltx_text" id="Sx1.F7.2.1" style="font-size:90%;"> <span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Sx1.F7.2.1.1">Cloth on rotating sphere.</span> The images (the 100th frame) show the cloth’s response to being dropped onto a rotating sphere and floor (both with a friction coefficient <math alttext="\mu=0.4" class="ltx_Math" display="inline" id="Sx1.F7.2.1.m1.1"><semantics id="Sx1.F7.2.1.m1.1b"><mrow id="Sx1.F7.2.1.m1.1.1" xref="Sx1.F7.2.1.m1.1.1.cmml"><mi id="Sx1.F7.2.1.m1.1.1.2" xref="Sx1.F7.2.1.m1.1.1.2.cmml">μ</mi><mo id="Sx1.F7.2.1.m1.1.1.1" xref="Sx1.F7.2.1.m1.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="Sx1.F7.2.1.m1.1.1.3" xref="Sx1.F7.2.1.m1.1.1.3.cmml">0.4</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Sx1.F7.2.1.m1.1c"><apply id="Sx1.F7.2.1.m1.1.1.cmml" xref="Sx1.F7.2.1.m1.1.1"><eq id="Sx1.F7.2.1.m1.1.1.1.cmml" xref="Sx1.F7.2.1.m1.1.1.1"></eq><ci id="Sx1.F7.2.1.m1.1.1.2.cmml" xref="Sx1.F7.2.1.m1.1.1.2">𝜇</ci><cn id="Sx1.F7.2.1.m1.1.1.3.cmml" type="float" xref="Sx1.F7.2.1.m1.1.1.3">0.4</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Sx1.F7.2.1.m1.1d">\mu=0.4</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Sx1.F7.2.1.m1.1e">italic_μ = 0.4</annotation></semantics></math>). The cloth, with 85K nodes and a strain limit of 1.0608, is pulled inward by friction, generating a complex structure of wrinkles and folds. The top row (lighter) illustrates the cloth behaviour for corotational edge-based hinge thin plate (EP), corotational FVM hinge thin plate (FP), and corotational smoothed hinge thin plate (SP) models, while the bottom row displays results for corotational edge-based hinge thin shell (ES), corotational FVM hinge thin shell (FS), and corotational smoothed hinge thin shell (SS) models, highlighting the stability of each formulation in challenging cloth benchmark. </span></figcaption> </figure> <figure class="ltx_figure" id="Sx1.F8"><img alt="Refer to caption" class="ltx_graphics ltx_centering ltx_img_landscape" height="134" id="Sx1.F8.g1" src="x8.png" width="746"/> <figcaption class="ltx_caption ltx_centering"><span class="ltx_tag ltx_tag_figure"><span class="ltx_text" id="Sx1.F8.5.2.1" style="font-size:90%;">Figure 8</span>: </span><span class="ltx_text" id="Sx1.F8.2.1" style="font-size:90%;"> <span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Sx1.F8.2.1.1">Twisted cylinder.</span> Simulation (the 10th frame) of a 1m-wide, 0.25m-radius cotton cylinder (88K nodes) with a 1.5mm thickness offset. The cylinder is twisted at <math alttext="72^{\circ}/s" class="ltx_Math" display="inline" id="Sx1.F8.2.1.m1.1"><semantics id="Sx1.F8.2.1.m1.1b"><mrow id="Sx1.F8.2.1.m1.1.1" xref="Sx1.F8.2.1.m1.1.1.cmml"><msup id="Sx1.F8.2.1.m1.1.1.2" xref="Sx1.F8.2.1.m1.1.1.2.cmml"><mn id="Sx1.F8.2.1.m1.1.1.2.2" xref="Sx1.F8.2.1.m1.1.1.2.2.cmml">72</mn><mo id="Sx1.F8.2.1.m1.1.1.2.3" xref="Sx1.F8.2.1.m1.1.1.2.3.cmml">∘</mo></msup><mo id="Sx1.F8.2.1.m1.1.1.1" xref="Sx1.F8.2.1.m1.1.1.1.cmml">/</mo><mi id="Sx1.F8.2.1.m1.1.1.3" xref="Sx1.F8.2.1.m1.1.1.3.cmml">s</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Sx1.F8.2.1.m1.1c"><apply id="Sx1.F8.2.1.m1.1.1.cmml" xref="Sx1.F8.2.1.m1.1.1"><divide id="Sx1.F8.2.1.m1.1.1.1.cmml" xref="Sx1.F8.2.1.m1.1.1.1"></divide><apply id="Sx1.F8.2.1.m1.1.1.2.cmml" xref="Sx1.F8.2.1.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Sx1.F8.2.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="Sx1.F8.2.1.m1.1.1.2">superscript</csymbol><cn id="Sx1.F8.2.1.m1.1.1.2.2.cmml" type="integer" xref="Sx1.F8.2.1.m1.1.1.2.2">72</cn><compose id="Sx1.F8.2.1.m1.1.1.2.3.cmml" xref="Sx1.F8.2.1.m1.1.1.2.3"></compose></apply><ci id="Sx1.F8.2.1.m1.1.1.3.cmml" xref="Sx1.F8.2.1.m1.1.1.3">𝑠</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Sx1.F8.2.1.m1.1d">72^{\circ}/s</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Sx1.F8.2.1.m1.1e">72 start_POSTSUPERSCRIPT ∘ end_POSTSUPERSCRIPT / italic_s</annotation></semantics></math> while the ends are drawn together at 5mm/s. Contact barrier is triggered at a 1mm threshold, and gravity is excluded to prevent sagging, resulting in pronounced wrinkling and folding, demonstrating our model’s robustness with rest-curved geometry. From left to right, the simulated frames are respectively generated by our corotational edge-based hinge thin shell (ES), corotational FVM hinge thin shell (FS), and corotational smoothed hinge thin shell (SS) models. </span></figcaption> </figure> </section> <section class="ltx_bibliography" id="bib"> <h2 class="ltx_title ltx_title_bibliography">References</h2> <ul class="ltx_biblist"> <li class="ltx_bibitem" id="bib.bibx1"> <span class="ltx_tag ltx_tag_bibitem">[BBHH11]</span> <span class="ltx_bibblock"> <span class="ltx_text ltx_font_smallcaps" id="bib.bibx1.1.1">Benson D. 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H., Charrondière R., Lazarus A., Neukirch S., Bertails-Descoubes F.</span><span class="ltx_text ltx_font_typewriter" id="bib.bibx36.9.3">: </span> </span> <span class="ltx_bibblock"><span class="ltx_text ltx_font_typewriter" id="bib.bibx36.10.1">Physical validation of simulators in computer graphics: a new framework dedicated to slender elastic structures and frictional contact. </span> </span> <span class="ltx_bibblock"><em class="ltx_emph ltx_font_typewriter ltx_font_italic" id="bib.bibx36.11.1">ACM TOG 40</em><span class="ltx_text ltx_font_typewriter" id="bib.bibx36.12.2">, 4 (jul 2021). </span> </span> <span class="ltx_bibblock"><a class="ltx_ref ltx_href ltx_font_typewriter" href="https://doi.org/10.1145/3450626.3459931" title=""><span class="ltx_ref ltx_nolink ltx_path">doi:10.1145/3450626.3459931</span></a><span class="ltx_text ltx_font_typewriter" id="bib.bibx36.13.1">. </span> </span> </li> <li class="ltx_bibitem" id="bib.bibx37"> <span class="ltx_tag ltx_tag_bibitem">[SLL04]</span> <span class="ltx_bibblock"><span class="ltx_text ltx_font_typewriter" id="bib.bibx37.1.1"> </span><span class="ltx_text ltx_font_typewriter ltx_font_smallcaps" id="bib.bibx37.2.2">Sze K., Liu X., Lo S.</span><span class="ltx_text ltx_font_typewriter" id="bib.bibx37.3.3">: </span> </span> <span class="ltx_bibblock"><span class="ltx_text ltx_font_typewriter" id="bib.bibx37.4.1">Popular benchmark problems for geometric nonlinear analysis of shells. </span> </span> <span class="ltx_bibblock"><em class="ltx_emph ltx_font_typewriter ltx_font_italic" id="bib.bibx37.5.1">Finite elements in analysis and design 40</em><span class="ltx_text ltx_font_typewriter" id="bib.bibx37.6.2">, 11 (July 2004), 1551--1569. </span> </span> <span class="ltx_bibblock"><a class="ltx_ref ltx_href ltx_font_typewriter" href="https://doi.org/10.1016/j.finel.2003.11.001" title=""><span class="ltx_ref ltx_nolink ltx_path">doi:10.1016/j.finel.2003.11.001</span></a><span class="ltx_text ltx_font_typewriter" id="bib.bibx37.7.1">. </span> </span> </li> <li class="ltx_bibitem" id="bib.bibx38"> <span class="ltx_tag ltx_tag_bibitem">[SZH24]</span> <span class="ltx_bibblock"><span class="ltx_text ltx_font_typewriter" id="bib.bibx38.1.1"> </span><span class="ltx_text ltx_font_typewriter ltx_font_smallcaps" id="bib.bibx38.2.2">Sauer R. A., Zou Z., Hughes T. 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Models 75</em><span class="ltx_text ltx_font_typewriter" id="bib.bibx40.6.2">, 6 (nov 2013). </span> </span> <span class="ltx_bibblock"><a class="ltx_ref ltx_href ltx_font_typewriter" href="https://doi.org/10.1016/j.gmod.2013.07.001" title=""><span class="ltx_ref ltx_nolink ltx_path">doi:10.1016/j.gmod.2013.07.001</span></a><span class="ltx_text ltx_font_typewriter" id="bib.bibx40.7.1">. </span> </span> </li> <li class="ltx_bibitem" id="bib.bibx41"> <span class="ltx_tag ltx_tag_bibitem">[TPBF87]</span> <span class="ltx_bibblock"><span class="ltx_text ltx_font_typewriter" id="bib.bibx41.1.1"> </span><span class="ltx_text ltx_font_typewriter ltx_font_smallcaps" id="bib.bibx41.2.2">Terzopoulos D., Platt J., Barr A., Fleischer K.</span><span class="ltx_text ltx_font_typewriter" id="bib.bibx41.3.3">: </span> </span> <span class="ltx_bibblock"><span class="ltx_text ltx_font_typewriter" id="bib.bibx41.4.1">Elastically deformable models. </span> </span> <span class="ltx_bibblock"><span class="ltx_text ltx_font_typewriter" id="bib.bibx41.5.1">In </span><em class="ltx_emph ltx_font_typewriter ltx_font_italic" id="bib.bibx41.6.2">Proc. SIGGRAPH ’87</em><span class="ltx_text ltx_font_typewriter" id="bib.bibx41.7.3"> (1987), p. 205–214. </span> </span> <span class="ltx_bibblock"><a class="ltx_ref ltx_href ltx_font_typewriter" href="https://doi.org/10.1145/37401.37427" title=""><span class="ltx_ref ltx_nolink ltx_path">doi:10.1145/37401.37427</span></a><span class="ltx_text ltx_font_typewriter" id="bib.bibx41.8.1">. </span> </span> </li> <li class="ltx_bibitem" id="bib.bibx42"> <span class="ltx_tag ltx_tag_bibitem">[TWK<sup class="ltx_sup" id="bib.bibx42.4.4.1"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="bib.bibx42.4.4.1.1">∗</span></sup>59]</span> <span class="ltx_bibblock"><span class="ltx_text ltx_font_typewriter" id="bib.bibx42.7.1"> </span><span class="ltx_text ltx_font_typewriter ltx_font_smallcaps" id="bib.bibx42.8.2">Timoshenko S., Woinowsky-Krieger S., et al.</span><span class="ltx_text ltx_font_typewriter" id="bib.bibx42.9.3">: </span> </span> <span class="ltx_bibblock"><em class="ltx_emph ltx_font_typewriter ltx_font_italic" id="bib.bibx42.10.1">Theory of plates and shells</em><span class="ltx_text ltx_font_typewriter" id="bib.bibx42.11.2">. </span> </span> <span class="ltx_bibblock"><span class="ltx_text ltx_font_typewriter" id="bib.bibx42.12.1">McGraw-hill New York, 1959. </span> </span> </li> <li class="ltx_bibitem" id="bib.bibx43"> <span class="ltx_tag ltx_tag_bibitem">[TWS06]</span> <span class="ltx_bibblock"><span class="ltx_text ltx_font_typewriter" id="bib.bibx43.1.1"> </span><span class="ltx_text ltx_font_typewriter ltx_font_smallcaps" id="bib.bibx43.2.2">Thomaszewski B., Wacker M., Straßer W.</span><span class="ltx_text ltx_font_typewriter" id="bib.bibx43.3.3">: </span> </span> <span class="ltx_bibblock"><span class="ltx_text ltx_font_typewriter" id="bib.bibx43.4.1">A consistent bending model for cloth simulation with corotational subdivision finite elements. </span> </span> <span class="ltx_bibblock"><span class="ltx_text ltx_font_typewriter" id="bib.bibx43.5.1">In </span><em class="ltx_emph ltx_font_typewriter ltx_font_italic" id="bib.bibx43.6.2">Proceedings of the 2006 ACM SIGGRAPH/Eurographics Symposium on Computer Animation</em><span class="ltx_text ltx_font_typewriter" id="bib.bibx43.7.3"> (2006), SCA ’06, p. 107–116. </span> </span> <span class="ltx_bibblock"><a class="ltx_ref ltx_href ltx_font_typewriter" href="https://doi.org/10.5555/1218064.1218079" title=""><span class="ltx_ref ltx_nolink ltx_path">doi:10.5555/1218064.1218079</span></a><span class="ltx_text ltx_font_typewriter" id="bib.bibx43.8.1">. </span> </span> </li> <li class="ltx_bibitem" id="bib.bibx44"> <span class="ltx_tag ltx_tag_bibitem">[VCMT95]</span> <span class="ltx_bibblock"><span class="ltx_text ltx_font_typewriter" id="bib.bibx44.1.1"> </span><span class="ltx_text ltx_font_typewriter ltx_font_smallcaps" id="bib.bibx44.2.2">Volino P., Courchesne M., Magnenat Thalmann N.</span><span class="ltx_text ltx_font_typewriter" id="bib.bibx44.3.3">: </span> </span> <span class="ltx_bibblock"><span class="ltx_text ltx_font_typewriter" id="bib.bibx44.4.1">Versatile and efficient techniques for simulating cloth and other deformable objects. </span> </span> <span class="ltx_bibblock"><span class="ltx_text ltx_font_typewriter" id="bib.bibx44.5.1">In </span><em class="ltx_emph ltx_font_typewriter ltx_font_italic" id="bib.bibx44.6.2">Proc. SIGGRAPH ’95</em><span class="ltx_text ltx_font_typewriter" id="bib.bibx44.7.3"> (1995), p. 137–144. </span> </span> <span class="ltx_bibblock"><a class="ltx_ref ltx_href ltx_font_typewriter" href="https://doi.org/10.1145/218380.218432" title=""><span class="ltx_ref ltx_nolink ltx_path">doi:10.1145/218380.218432</span></a><span class="ltx_text ltx_font_typewriter" id="bib.bibx44.8.1">. </span> </span> </li> <li class="ltx_bibitem" id="bib.bibx45"> <span class="ltx_tag ltx_tag_bibitem">[WB23]</span> <span class="ltx_bibblock"><span class="ltx_text ltx_font_typewriter" id="bib.bibx45.1.1"> </span><span class="ltx_text ltx_font_typewriter ltx_font_smallcaps" id="bib.bibx45.2.2">Wen J., Barbič J.</span><span class="ltx_text ltx_font_typewriter" id="bib.bibx45.3.3">: </span> </span> <span class="ltx_bibblock"><span class="ltx_text ltx_font_typewriter" id="bib.bibx45.4.1">Kirchhoff-love shells with arbitrary hyperelastic materials. </span> </span> <span class="ltx_bibblock"><em class="ltx_emph ltx_font_typewriter ltx_font_italic" id="bib.bibx45.5.1">ACM TOG 42</em><span class="ltx_text ltx_font_typewriter" id="bib.bibx45.6.2">, 6 (Dec 2023). </span> </span> <span class="ltx_bibblock"><a class="ltx_ref ltx_href ltx_font_typewriter" href="https://doi.org/10.1145/3618405" title=""><span class="ltx_ref ltx_nolink ltx_path">doi:10.1145/3618405</span></a><span class="ltx_text ltx_font_typewriter" id="bib.bibx45.7.1">. </span> </span> </li> <li class="ltx_bibitem" id="bib.bibx46"> <span class="ltx_tag ltx_tag_bibitem">[WBH<sup class="ltx_sup" id="bib.bibx46.4.4.1"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="bib.bibx46.4.4.1.1">∗</span></sup>07]</span> <span class="ltx_bibblock"><span class="ltx_text ltx_font_typewriter" id="bib.bibx46.7.1"> </span><span class="ltx_text ltx_font_typewriter ltx_font_smallcaps" id="bib.bibx46.8.2">Wardetzky M., Bergou M., Harmon D., Zorin D., Grinspun E.</span><span class="ltx_text ltx_font_typewriter" id="bib.bibx46.9.3">: </span> </span> <span class="ltx_bibblock"><span class="ltx_text ltx_font_typewriter" id="bib.bibx46.10.1">Discrete quadratic curvature energies. </span> </span> <span class="ltx_bibblock"><em class="ltx_emph ltx_font_typewriter ltx_font_italic" id="bib.bibx46.11.1">Computer Aided Geometric Design 24</em><span class="ltx_text ltx_font_typewriter" id="bib.bibx46.12.2">, 8 (2007), 499--518. </span> </span> <span class="ltx_bibblock"><a class="ltx_ref ltx_href ltx_font_typewriter" href="https://doi.org/https://doi.org/10.1016/j.cagd.2007.07.006" title=""><span class="ltx_ref ltx_nolink ltx_path">doi:https://doi.org/10.1016/j.cagd.2007.07.006</span></a><span class="ltx_text ltx_font_typewriter" id="bib.bibx46.13.1">. </span> </span> </li> <li class="ltx_bibitem" id="bib.bibx47"> <span class="ltx_tag ltx_tag_bibitem">[Wei12]</span> <span class="ltx_bibblock"><span class="ltx_text ltx_font_typewriter" id="bib.bibx47.1.1"> </span><span class="ltx_text ltx_font_typewriter ltx_font_smallcaps" id="bib.bibx47.2.2">Weischedel C.</span><span class="ltx_text ltx_font_typewriter" id="bib.bibx47.3.3">: </span> </span> <span class="ltx_bibblock"><em class="ltx_emph ltx_font_typewriter ltx_font_italic" id="bib.bibx47.4.1">A discrete geometric view on shear-deformable shell models</em><span class="ltx_text ltx_font_typewriter" id="bib.bibx47.5.2">. </span> </span> <span class="ltx_bibblock"><span class="ltx_text ltx_font_typewriter" id="bib.bibx47.6.1">Georg-August-Universität Göttingen., 2012. </span> </span> </li> <li class="ltx_bibitem" id="bib.bibx48"> <span class="ltx_tag ltx_tag_bibitem">[Zor05]</span> <span class="ltx_bibblock"><span class="ltx_text ltx_font_typewriter" id="bib.bibx48.1.1"> </span><span class="ltx_text ltx_font_typewriter ltx_font_smallcaps" id="bib.bibx48.2.2">Zorin D.</span><span class="ltx_text ltx_font_typewriter" id="bib.bibx48.3.3">: </span> </span> <span class="ltx_bibblock"><span class="ltx_text ltx_font_typewriter" id="bib.bibx48.4.1">Curvature-based energy for simulation and variational modeling. </span> </span> <span class="ltx_bibblock"><span class="ltx_text ltx_font_typewriter" id="bib.bibx48.5.1">In </span><em class="ltx_emph ltx_font_typewriter ltx_font_italic" id="bib.bibx48.6.2">Proceedings of the International Conference on Shape Modeling and Applications 2005</em><span class="ltx_text ltx_font_typewriter" id="bib.bibx48.7.3"> (2005), SMI ’05, p. 198–206. </span> </span> <span class="ltx_bibblock"><a class="ltx_ref ltx_href ltx_font_typewriter" href="https://doi.org/10.1109/SMI.2005.14" title=""><span class="ltx_ref ltx_nolink ltx_path">doi:10.1109/SMI.2005.14</span></a><span class="ltx_text ltx_font_typewriter" id="bib.bibx48.8.1">. </span> </span> </li> <li class="ltx_bibitem" id="bib.bibx49"> <span class="ltx_tag ltx_tag_bibitem">[ZS12]</span> <span class="ltx_bibblock"><span class="ltx_text ltx_font_typewriter" id="bib.bibx49.1.1"> </span><span class="ltx_text ltx_font_typewriter ltx_font_smallcaps" id="bib.bibx49.2.2">Zhou Y., Sze K. Y.</span><span class="ltx_text ltx_font_typewriter" id="bib.bibx49.3.3">: </span> </span> <span class="ltx_bibblock"><span class="ltx_text ltx_font_typewriter" id="bib.bibx49.4.1">A geometric nonlinear rotation-free triangle and its application to drape simulation. </span> </span> <span class="ltx_bibblock"><em class="ltx_emph ltx_font_typewriter ltx_font_italic" id="bib.bibx49.5.1">International journal for numerical methods in engineering 89</em><span class="ltx_text ltx_font_typewriter" id="bib.bibx49.6.2">, 4 (Jan 2012), 509--536. </span> </span> <span class="ltx_bibblock"><a class="ltx_ref ltx_href ltx_font_typewriter" href="https://doi.org/10.1002/nme.3250" title=""><span class="ltx_ref ltx_nolink ltx_path">doi:10.1002/nme.3250</span></a><span class="ltx_text ltx_font_typewriter" id="bib.bibx49.7.1">. </span> </span> </li> <li class="ltx_bibitem" id="bib.bibx50"> <span class="ltx_tag ltx_tag_bibitem">[ZSTB10]</span> <span class="ltx_bibblock"><span class="ltx_text ltx_font_typewriter" id="bib.bibx50.1.1"> </span><span class="ltx_text ltx_font_typewriter ltx_font_smallcaps" id="bib.bibx50.2.2">Zhu Y., Sifakis E., Teran J., Brandt A.</span><span class="ltx_text ltx_font_typewriter" id="bib.bibx50.3.3">: </span> </span> <span class="ltx_bibblock"><span class="ltx_text ltx_font_typewriter" id="bib.bibx50.4.1">An efficient multigrid method for the simulation of high-resolution elastic solids. </span> </span> <span class="ltx_bibblock"><em class="ltx_emph ltx_font_typewriter ltx_font_italic" id="bib.bibx50.5.1">ACM TOG 29</em><span class="ltx_text ltx_font_typewriter" id="bib.bibx50.6.2">, 2 (Apr 2010). </span> </span> <span class="ltx_bibblock"><a class="ltx_ref ltx_href ltx_font_typewriter" href="https://doi.org/10.1145/1731047.1731054" title=""><span class="ltx_ref ltx_nolink ltx_path">doi:10.1145/1731047.1731054</span></a><span class="ltx_text ltx_font_typewriter" id="bib.bibx50.7.1">. </span> </span> </li> </ul> </section> <section class="ltx_appendix" id="A1"> <h2 class="ltx_title ltx_title_appendix"> <span class="ltx_tag ltx_tag_appendix">Appendix A </span>Corotational Transformation</h2> <div class="ltx_para" id="A1.p1"> <p class="ltx_p" id="A1.p1.3">Consider a point <math alttext="\tilde{\mathbf{x}}" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.p1.1.m1.1"><semantics id="A1.p1.1.m1.1a"><mover accent="true" id="A1.p1.1.m1.1.1" xref="A1.p1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="A1.p1.1.m1.1.1.2" xref="A1.p1.1.m1.1.1.2.cmml">𝐱</mi><mo id="A1.p1.1.m1.1.1.1" xref="A1.p1.1.m1.1.1.1.cmml">~</mo></mover><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.p1.1.m1.1b"><apply id="A1.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="A1.p1.1.m1.1.1"><ci id="A1.p1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="A1.p1.1.m1.1.1.1">~</ci><ci id="A1.p1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="A1.p1.1.m1.1.1.2">𝐱</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.p1.1.m1.1c">\tilde{\mathbf{x}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.p1.1.m1.1d">over~ start_ARG bold_x end_ARG</annotation></semantics></math> on the shell stencil in the current corotational frame, originating at <math alttext="\mathbf{x}_{{o}}" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.p1.2.m2.1"><semantics id="A1.p1.2.m2.1a"><msub id="A1.p1.2.m2.1.1" xref="A1.p1.2.m2.1.1.cmml"><mi id="A1.p1.2.m2.1.1.2" xref="A1.p1.2.m2.1.1.2.cmml">𝐱</mi><mi id="A1.p1.2.m2.1.1.3" xref="A1.p1.2.m2.1.1.3.cmml">o</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.p1.2.m2.1b"><apply id="A1.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="A1.p1.2.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.p1.2.m2.1.1.1.cmml" xref="A1.p1.2.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="A1.p1.2.m2.1.1.2.cmml" xref="A1.p1.2.m2.1.1.2">𝐱</ci><ci id="A1.p1.2.m2.1.1.3.cmml" xref="A1.p1.2.m2.1.1.3">𝑜</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.p1.2.m2.1c">\mathbf{x}_{{o}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.p1.2.m2.1d">bold_x start_POSTSUBSCRIPT italic_o end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>. This point is related to its counterpart <math alttext="\mathbf{x}" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.p1.3.m3.1"><semantics id="A1.p1.3.m3.1a"><mi id="A1.p1.3.m3.1.1" xref="A1.p1.3.m3.1.1.cmml">𝐱</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.p1.3.m3.1b"><ci id="A1.p1.3.m3.1.1.cmml" xref="A1.p1.3.m3.1.1">𝐱</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.p1.3.m3.1c">\mathbf{x}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.p1.3.m3.1d">bold_x</annotation></semantics></math> in the world frame by the transformation</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="A1.E65"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\tilde{\mathbf{x}}=\begin{bmatrix}\mathbf{n}_{\tilde{x}}&\mathbf{n}_{\tilde{y}% }&\mathbf{n}_{\tilde{z}}\end{bmatrix}^{{T}}(\mathbf{x}-\mathbf{x}_{{o}})," class="ltx_Math" display="block" id="A1.E65.m1.2"><semantics id="A1.E65.m1.2a"><mrow id="A1.E65.m1.2.2.1" xref="A1.E65.m1.2.2.1.1.cmml"><mrow id="A1.E65.m1.2.2.1.1" xref="A1.E65.m1.2.2.1.1.cmml"><mover accent="true" id="A1.E65.m1.2.2.1.1.3" xref="A1.E65.m1.2.2.1.1.3.cmml"><mi id="A1.E65.m1.2.2.1.1.3.2" xref="A1.E65.m1.2.2.1.1.3.2.cmml">𝐱</mi><mo id="A1.E65.m1.2.2.1.1.3.1" xref="A1.E65.m1.2.2.1.1.3.1.cmml">~</mo></mover><mo id="A1.E65.m1.2.2.1.1.2" xref="A1.E65.m1.2.2.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="A1.E65.m1.2.2.1.1.1" xref="A1.E65.m1.2.2.1.1.1.cmml"><msup id="A1.E65.m1.2.2.1.1.1.3" xref="A1.E65.m1.2.2.1.1.1.3.cmml"><mrow id="A1.E65.m1.1.1.3" xref="A1.E65.m1.1.1.2.cmml"><mo id="A1.E65.m1.1.1.3.1" xref="A1.E65.m1.1.1.2.1.cmml">[</mo><mtable columnspacing="5pt" displaystyle="true" id="A1.E65.m1.1.1.1.1" xref="A1.E65.m1.1.1.1.1.cmml"><mtr id="A1.E65.m1.1.1.1.1a" xref="A1.E65.m1.1.1.1.1.cmml"><mtd id="A1.E65.m1.1.1.1.1b" xref="A1.E65.m1.1.1.1.1.cmml"><msub id="A1.E65.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.E65.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A1.E65.m1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.E65.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">𝐧</mi><mover accent="true" id="A1.E65.m1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.E65.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A1.E65.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A1.E65.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">x</mi><mo id="A1.E65.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="A1.E65.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">~</mo></mover></msub></mtd><mtd id="A1.E65.m1.1.1.1.1c" xref="A1.E65.m1.1.1.1.1.cmml"><msub id="A1.E65.m1.1.1.1.1.1.2.1" xref="A1.E65.m1.1.1.1.1.1.2.1.cmml"><mi id="A1.E65.m1.1.1.1.1.1.2.1.2" xref="A1.E65.m1.1.1.1.1.1.2.1.2.cmml">𝐧</mi><mover accent="true" id="A1.E65.m1.1.1.1.1.1.2.1.3" xref="A1.E65.m1.1.1.1.1.1.2.1.3.cmml"><mi id="A1.E65.m1.1.1.1.1.1.2.1.3.2" xref="A1.E65.m1.1.1.1.1.1.2.1.3.2.cmml">y</mi><mo id="A1.E65.m1.1.1.1.1.1.2.1.3.1" xref="A1.E65.m1.1.1.1.1.1.2.1.3.1.cmml">~</mo></mover></msub></mtd><mtd id="A1.E65.m1.1.1.1.1d" xref="A1.E65.m1.1.1.1.1.cmml"><msub id="A1.E65.m1.1.1.1.1.1.3.1" xref="A1.E65.m1.1.1.1.1.1.3.1.cmml"><mi id="A1.E65.m1.1.1.1.1.1.3.1.2" xref="A1.E65.m1.1.1.1.1.1.3.1.2.cmml">𝐧</mi><mover accent="true" id="A1.E65.m1.1.1.1.1.1.3.1.3" xref="A1.E65.m1.1.1.1.1.1.3.1.3.cmml"><mi id="A1.E65.m1.1.1.1.1.1.3.1.3.2" xref="A1.E65.m1.1.1.1.1.1.3.1.3.2.cmml">z</mi><mo id="A1.E65.m1.1.1.1.1.1.3.1.3.1" xref="A1.E65.m1.1.1.1.1.1.3.1.3.1.cmml">~</mo></mover></msub></mtd></mtr></mtable><mo id="A1.E65.m1.1.1.3.2" xref="A1.E65.m1.1.1.2.1.cmml">]</mo></mrow><mi id="A1.E65.m1.2.2.1.1.1.3.2" xref="A1.E65.m1.2.2.1.1.1.3.2.cmml">T</mi></msup><mo id="A1.E65.m1.2.2.1.1.1.2" xref="A1.E65.m1.2.2.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.E65.m1.2.2.1.1.1.1.1" xref="A1.E65.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.E65.m1.2.2.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.E65.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.E65.m1.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="A1.E65.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A1.E65.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.E65.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml">𝐱</mi><mo id="A1.E65.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.E65.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><msub id="A1.E65.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.E65.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A1.E65.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A1.E65.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">𝐱</mi><mi id="A1.E65.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A1.E65.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">o</mi></msub></mrow><mo id="A1.E65.m1.2.2.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.E65.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="A1.E65.m1.2.2.1.2" xref="A1.E65.m1.2.2.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.E65.m1.2b"><apply id="A1.E65.m1.2.2.1.1.cmml" xref="A1.E65.m1.2.2.1"><eq id="A1.E65.m1.2.2.1.1.2.cmml" xref="A1.E65.m1.2.2.1.1.2"></eq><apply id="A1.E65.m1.2.2.1.1.3.cmml" xref="A1.E65.m1.2.2.1.1.3"><ci id="A1.E65.m1.2.2.1.1.3.1.cmml" xref="A1.E65.m1.2.2.1.1.3.1">~</ci><ci id="A1.E65.m1.2.2.1.1.3.2.cmml" xref="A1.E65.m1.2.2.1.1.3.2">𝐱</ci></apply><apply id="A1.E65.m1.2.2.1.1.1.cmml" xref="A1.E65.m1.2.2.1.1.1"><times id="A1.E65.m1.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="A1.E65.m1.2.2.1.1.1.2"></times><apply id="A1.E65.m1.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="A1.E65.m1.2.2.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E65.m1.2.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.E65.m1.2.2.1.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="A1.E65.m1.1.1.2.cmml" xref="A1.E65.m1.1.1.3"><csymbol cd="latexml" id="A1.E65.m1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.E65.m1.1.1.3.1">matrix</csymbol><matrix id="A1.E65.m1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.E65.m1.1.1.1.1"><matrixrow id="A1.E65.m1.1.1.1.1a.cmml" xref="A1.E65.m1.1.1.1.1"><apply id="A1.E65.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.E65.m1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E65.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.E65.m1.1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="A1.E65.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.E65.m1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝐧</ci><apply id="A1.E65.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.E65.m1.1.1.1.1.1.1.1.3"><ci id="A1.E65.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.E65.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.1">~</ci><ci id="A1.E65.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.E65.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑥</ci></apply></apply><apply id="A1.E65.m1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.E65.m1.1.1.1.1.1.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E65.m1.1.1.1.1.1.2.1.1.cmml" xref="A1.E65.m1.1.1.1.1.1.2.1">subscript</csymbol><ci id="A1.E65.m1.1.1.1.1.1.2.1.2.cmml" xref="A1.E65.m1.1.1.1.1.1.2.1.2">𝐧</ci><apply id="A1.E65.m1.1.1.1.1.1.2.1.3.cmml" xref="A1.E65.m1.1.1.1.1.1.2.1.3"><ci id="A1.E65.m1.1.1.1.1.1.2.1.3.1.cmml" xref="A1.E65.m1.1.1.1.1.1.2.1.3.1">~</ci><ci id="A1.E65.m1.1.1.1.1.1.2.1.3.2.cmml" xref="A1.E65.m1.1.1.1.1.1.2.1.3.2">𝑦</ci></apply></apply><apply id="A1.E65.m1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.E65.m1.1.1.1.1.1.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E65.m1.1.1.1.1.1.3.1.1.cmml" xref="A1.E65.m1.1.1.1.1.1.3.1">subscript</csymbol><ci id="A1.E65.m1.1.1.1.1.1.3.1.2.cmml" xref="A1.E65.m1.1.1.1.1.1.3.1.2">𝐧</ci><apply id="A1.E65.m1.1.1.1.1.1.3.1.3.cmml" xref="A1.E65.m1.1.1.1.1.1.3.1.3"><ci id="A1.E65.m1.1.1.1.1.1.3.1.3.1.cmml" xref="A1.E65.m1.1.1.1.1.1.3.1.3.1">~</ci><ci id="A1.E65.m1.1.1.1.1.1.3.1.3.2.cmml" xref="A1.E65.m1.1.1.1.1.1.3.1.3.2">𝑧</ci></apply></apply></matrixrow></matrix></apply><ci id="A1.E65.m1.2.2.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.E65.m1.2.2.1.1.1.3.2">𝑇</ci></apply><apply id="A1.E65.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.E65.m1.2.2.1.1.1.1.1"><minus id="A1.E65.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.E65.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1"></minus><ci id="A1.E65.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.E65.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2">𝐱</ci><apply id="A1.E65.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.E65.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E65.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.E65.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A1.E65.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.E65.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2">𝐱</ci><ci id="A1.E65.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A1.E65.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑜</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.E65.m1.2c">\tilde{\mathbf{x}}=\begin{bmatrix}\mathbf{n}_{\tilde{x}}&\mathbf{n}_{\tilde{y}% }&\mathbf{n}_{\tilde{z}}\end{bmatrix}^{{T}}(\mathbf{x}-\mathbf{x}_{{o}}),</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.E65.m1.2d">over~ start_ARG bold_x end_ARG = [ start_ARG start_ROW start_CELL bold_n start_POSTSUBSCRIPT over~ start_ARG italic_x end_ARG end_POSTSUBSCRIPT end_CELL start_CELL bold_n start_POSTSUBSCRIPT over~ start_ARG italic_y end_ARG end_POSTSUBSCRIPT end_CELL start_CELL bold_n start_POSTSUBSCRIPT over~ start_ARG italic_z end_ARG end_POSTSUBSCRIPT end_CELL end_ROW end_ARG ] start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT ( bold_x - bold_x start_POSTSUBSCRIPT italic_o end_POSTSUBSCRIPT ) ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(65)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="A1.p1.17">where <math alttext="\mathbf{n}_{\tilde{x}}" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.p1.4.m1.1"><semantics id="A1.p1.4.m1.1a"><msub id="A1.p1.4.m1.1.1" xref="A1.p1.4.m1.1.1.cmml"><mi id="A1.p1.4.m1.1.1.2" xref="A1.p1.4.m1.1.1.2.cmml">𝐧</mi><mover accent="true" id="A1.p1.4.m1.1.1.3" xref="A1.p1.4.m1.1.1.3.cmml"><mi id="A1.p1.4.m1.1.1.3.2" xref="A1.p1.4.m1.1.1.3.2.cmml">x</mi><mo id="A1.p1.4.m1.1.1.3.1" xref="A1.p1.4.m1.1.1.3.1.cmml">~</mo></mover></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.p1.4.m1.1b"><apply id="A1.p1.4.m1.1.1.cmml" xref="A1.p1.4.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.p1.4.m1.1.1.1.cmml" xref="A1.p1.4.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="A1.p1.4.m1.1.1.2.cmml" xref="A1.p1.4.m1.1.1.2">𝐧</ci><apply id="A1.p1.4.m1.1.1.3.cmml" xref="A1.p1.4.m1.1.1.3"><ci id="A1.p1.4.m1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.p1.4.m1.1.1.3.1">~</ci><ci id="A1.p1.4.m1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.p1.4.m1.1.1.3.2">𝑥</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.p1.4.m1.1c">\mathbf{n}_{\tilde{x}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.p1.4.m1.1d">bold_n start_POSTSUBSCRIPT over~ start_ARG italic_x end_ARG end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, <math alttext="\mathbf{n}_{\tilde{y}}" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.p1.5.m2.1"><semantics id="A1.p1.5.m2.1a"><msub id="A1.p1.5.m2.1.1" xref="A1.p1.5.m2.1.1.cmml"><mi id="A1.p1.5.m2.1.1.2" xref="A1.p1.5.m2.1.1.2.cmml">𝐧</mi><mover accent="true" id="A1.p1.5.m2.1.1.3" xref="A1.p1.5.m2.1.1.3.cmml"><mi id="A1.p1.5.m2.1.1.3.2" xref="A1.p1.5.m2.1.1.3.2.cmml">y</mi><mo id="A1.p1.5.m2.1.1.3.1" xref="A1.p1.5.m2.1.1.3.1.cmml">~</mo></mover></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.p1.5.m2.1b"><apply id="A1.p1.5.m2.1.1.cmml" xref="A1.p1.5.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.p1.5.m2.1.1.1.cmml" xref="A1.p1.5.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="A1.p1.5.m2.1.1.2.cmml" xref="A1.p1.5.m2.1.1.2">𝐧</ci><apply id="A1.p1.5.m2.1.1.3.cmml" xref="A1.p1.5.m2.1.1.3"><ci id="A1.p1.5.m2.1.1.3.1.cmml" xref="A1.p1.5.m2.1.1.3.1">~</ci><ci id="A1.p1.5.m2.1.1.3.2.cmml" xref="A1.p1.5.m2.1.1.3.2">𝑦</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.p1.5.m2.1c">\mathbf{n}_{\tilde{y}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.p1.5.m2.1d">bold_n start_POSTSUBSCRIPT over~ start_ARG italic_y end_ARG end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, and <math alttext="\mathbf{n}_{\tilde{z}}" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.p1.6.m3.1"><semantics id="A1.p1.6.m3.1a"><msub id="A1.p1.6.m3.1.1" xref="A1.p1.6.m3.1.1.cmml"><mi id="A1.p1.6.m3.1.1.2" xref="A1.p1.6.m3.1.1.2.cmml">𝐧</mi><mover accent="true" id="A1.p1.6.m3.1.1.3" xref="A1.p1.6.m3.1.1.3.cmml"><mi id="A1.p1.6.m3.1.1.3.2" xref="A1.p1.6.m3.1.1.3.2.cmml">z</mi><mo id="A1.p1.6.m3.1.1.3.1" xref="A1.p1.6.m3.1.1.3.1.cmml">~</mo></mover></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.p1.6.m3.1b"><apply id="A1.p1.6.m3.1.1.cmml" xref="A1.p1.6.m3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.p1.6.m3.1.1.1.cmml" xref="A1.p1.6.m3.1.1">subscript</csymbol><ci id="A1.p1.6.m3.1.1.2.cmml" xref="A1.p1.6.m3.1.1.2">𝐧</ci><apply id="A1.p1.6.m3.1.1.3.cmml" xref="A1.p1.6.m3.1.1.3"><ci id="A1.p1.6.m3.1.1.3.1.cmml" xref="A1.p1.6.m3.1.1.3.1">~</ci><ci id="A1.p1.6.m3.1.1.3.2.cmml" xref="A1.p1.6.m3.1.1.3.2">𝑧</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.p1.6.m3.1c">\mathbf{n}_{\tilde{z}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.p1.6.m3.1d">bold_n start_POSTSUBSCRIPT over~ start_ARG italic_z end_ARG end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> define the local coordinate axes. For the triangle-centered stencil, the origin <math alttext="\mathbf{x}_{1}" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.p1.7.m4.1"><semantics id="A1.p1.7.m4.1a"><msub id="A1.p1.7.m4.1.1" xref="A1.p1.7.m4.1.1.cmml"><mi id="A1.p1.7.m4.1.1.2" xref="A1.p1.7.m4.1.1.2.cmml">𝐱</mi><mn id="A1.p1.7.m4.1.1.3" xref="A1.p1.7.m4.1.1.3.cmml">1</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.p1.7.m4.1b"><apply id="A1.p1.7.m4.1.1.cmml" xref="A1.p1.7.m4.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.p1.7.m4.1.1.1.cmml" xref="A1.p1.7.m4.1.1">subscript</csymbol><ci id="A1.p1.7.m4.1.1.2.cmml" xref="A1.p1.7.m4.1.1.2">𝐱</ci><cn id="A1.p1.7.m4.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A1.p1.7.m4.1.1.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.p1.7.m4.1c">\mathbf{x}_{1}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.p1.7.m4.1d">bold_x start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> of one shell stencil is used, while the edge-based stencil takes <math alttext="\mathbf{x}_{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.p1.8.m5.1"><semantics id="A1.p1.8.m5.1a"><msub id="A1.p1.8.m5.1.1" xref="A1.p1.8.m5.1.1.cmml"><mi id="A1.p1.8.m5.1.1.2" xref="A1.p1.8.m5.1.1.2.cmml">𝐱</mi><mn id="A1.p1.8.m5.1.1.3" xref="A1.p1.8.m5.1.1.3.cmml">2</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.p1.8.m5.1b"><apply id="A1.p1.8.m5.1.1.cmml" xref="A1.p1.8.m5.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.p1.8.m5.1.1.1.cmml" xref="A1.p1.8.m5.1.1">subscript</csymbol><ci id="A1.p1.8.m5.1.1.2.cmml" xref="A1.p1.8.m5.1.1.2">𝐱</ci><cn id="A1.p1.8.m5.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A1.p1.8.m5.1.1.3">2</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.p1.8.m5.1c">\mathbf{x}_{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.p1.8.m5.1d">bold_x start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> as its origin. The <math alttext="\tilde{x}" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.p1.9.m6.1"><semantics id="A1.p1.9.m6.1a"><mover accent="true" id="A1.p1.9.m6.1.1" xref="A1.p1.9.m6.1.1.cmml"><mi id="A1.p1.9.m6.1.1.2" xref="A1.p1.9.m6.1.1.2.cmml">x</mi><mo id="A1.p1.9.m6.1.1.1" xref="A1.p1.9.m6.1.1.1.cmml">~</mo></mover><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.p1.9.m6.1b"><apply id="A1.p1.9.m6.1.1.cmml" xref="A1.p1.9.m6.1.1"><ci id="A1.p1.9.m6.1.1.1.cmml" xref="A1.p1.9.m6.1.1.1">~</ci><ci id="A1.p1.9.m6.1.1.2.cmml" xref="A1.p1.9.m6.1.1.2">𝑥</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.p1.9.m6.1c">\tilde{x}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.p1.9.m6.1d">over~ start_ARG italic_x end_ARG</annotation></semantics></math>-axis direction <math alttext="\mathbf{n}_{\tilde{x}}" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.p1.10.m7.1"><semantics id="A1.p1.10.m7.1a"><msub id="A1.p1.10.m7.1.1" xref="A1.p1.10.m7.1.1.cmml"><mi id="A1.p1.10.m7.1.1.2" xref="A1.p1.10.m7.1.1.2.cmml">𝐧</mi><mover accent="true" id="A1.p1.10.m7.1.1.3" xref="A1.p1.10.m7.1.1.3.cmml"><mi id="A1.p1.10.m7.1.1.3.2" xref="A1.p1.10.m7.1.1.3.2.cmml">x</mi><mo id="A1.p1.10.m7.1.1.3.1" xref="A1.p1.10.m7.1.1.3.1.cmml">~</mo></mover></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.p1.10.m7.1b"><apply id="A1.p1.10.m7.1.1.cmml" xref="A1.p1.10.m7.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.p1.10.m7.1.1.1.cmml" xref="A1.p1.10.m7.1.1">subscript</csymbol><ci id="A1.p1.10.m7.1.1.2.cmml" xref="A1.p1.10.m7.1.1.2">𝐧</ci><apply id="A1.p1.10.m7.1.1.3.cmml" xref="A1.p1.10.m7.1.1.3"><ci id="A1.p1.10.m7.1.1.3.1.cmml" xref="A1.p1.10.m7.1.1.3.1">~</ci><ci id="A1.p1.10.m7.1.1.3.2.cmml" xref="A1.p1.10.m7.1.1.3.2">𝑥</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.p1.10.m7.1c">\mathbf{n}_{\tilde{x}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.p1.10.m7.1d">bold_n start_POSTSUBSCRIPT over~ start_ARG italic_x end_ARG end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> is defined as <math alttext="\mathbf{n}_{\tilde{x}}=\mathbf{x}_{12}/\lVert\mathbf{x}_{12}\rVert" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.p1.11.m8.1"><semantics id="A1.p1.11.m8.1a"><mrow id="A1.p1.11.m8.1.1" xref="A1.p1.11.m8.1.1.cmml"><msub id="A1.p1.11.m8.1.1.3" xref="A1.p1.11.m8.1.1.3.cmml"><mi id="A1.p1.11.m8.1.1.3.2" xref="A1.p1.11.m8.1.1.3.2.cmml">𝐧</mi><mover accent="true" id="A1.p1.11.m8.1.1.3.3" xref="A1.p1.11.m8.1.1.3.3.cmml"><mi id="A1.p1.11.m8.1.1.3.3.2" xref="A1.p1.11.m8.1.1.3.3.2.cmml">x</mi><mo id="A1.p1.11.m8.1.1.3.3.1" xref="A1.p1.11.m8.1.1.3.3.1.cmml">~</mo></mover></msub><mo id="A1.p1.11.m8.1.1.2" xref="A1.p1.11.m8.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="A1.p1.11.m8.1.1.1" xref="A1.p1.11.m8.1.1.1.cmml"><msub id="A1.p1.11.m8.1.1.1.3" xref="A1.p1.11.m8.1.1.1.3.cmml"><mi id="A1.p1.11.m8.1.1.1.3.2" xref="A1.p1.11.m8.1.1.1.3.2.cmml">𝐱</mi><mn id="A1.p1.11.m8.1.1.1.3.3" xref="A1.p1.11.m8.1.1.1.3.3.cmml">12</mn></msub><mo id="A1.p1.11.m8.1.1.1.2" xref="A1.p1.11.m8.1.1.1.2.cmml">/</mo><mrow id="A1.p1.11.m8.1.1.1.1.1" xref="A1.p1.11.m8.1.1.1.1.2.cmml"><mo fence="true" id="A1.p1.11.m8.1.1.1.1.1.2" lspace="0em" rspace="0em" xref="A1.p1.11.m8.1.1.1.1.2.1.cmml">∥</mo><msub id="A1.p1.11.m8.1.1.1.1.1.1" xref="A1.p1.11.m8.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A1.p1.11.m8.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.p1.11.m8.1.1.1.1.1.1.2.cmml">𝐱</mi><mn id="A1.p1.11.m8.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.p1.11.m8.1.1.1.1.1.1.3.cmml">12</mn></msub><mo fence="true" id="A1.p1.11.m8.1.1.1.1.1.3" lspace="0em" xref="A1.p1.11.m8.1.1.1.1.2.1.cmml">∥</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.p1.11.m8.1b"><apply id="A1.p1.11.m8.1.1.cmml" xref="A1.p1.11.m8.1.1"><eq id="A1.p1.11.m8.1.1.2.cmml" xref="A1.p1.11.m8.1.1.2"></eq><apply id="A1.p1.11.m8.1.1.3.cmml" xref="A1.p1.11.m8.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.p1.11.m8.1.1.3.1.cmml" xref="A1.p1.11.m8.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A1.p1.11.m8.1.1.3.2.cmml" xref="A1.p1.11.m8.1.1.3.2">𝐧</ci><apply id="A1.p1.11.m8.1.1.3.3.cmml" xref="A1.p1.11.m8.1.1.3.3"><ci id="A1.p1.11.m8.1.1.3.3.1.cmml" xref="A1.p1.11.m8.1.1.3.3.1">~</ci><ci id="A1.p1.11.m8.1.1.3.3.2.cmml" xref="A1.p1.11.m8.1.1.3.3.2">𝑥</ci></apply></apply><apply id="A1.p1.11.m8.1.1.1.cmml" xref="A1.p1.11.m8.1.1.1"><divide id="A1.p1.11.m8.1.1.1.2.cmml" xref="A1.p1.11.m8.1.1.1.2"></divide><apply id="A1.p1.11.m8.1.1.1.3.cmml" xref="A1.p1.11.m8.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.p1.11.m8.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.p1.11.m8.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A1.p1.11.m8.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.p1.11.m8.1.1.1.3.2">𝐱</ci><cn id="A1.p1.11.m8.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="A1.p1.11.m8.1.1.1.3.3">12</cn></apply><apply id="A1.p1.11.m8.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.p1.11.m8.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="A1.p1.11.m8.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.p1.11.m8.1.1.1.1.1.2">delimited-∥∥</csymbol><apply id="A1.p1.11.m8.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.p1.11.m8.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.p1.11.m8.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.p1.11.m8.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="A1.p1.11.m8.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.p1.11.m8.1.1.1.1.1.1.2">𝐱</ci><cn id="A1.p1.11.m8.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A1.p1.11.m8.1.1.1.1.1.1.3">12</cn></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.p1.11.m8.1c">\mathbf{n}_{\tilde{x}}=\mathbf{x}_{12}/\lVert\mathbf{x}_{12}\rVert</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.p1.11.m8.1d">bold_n start_POSTSUBSCRIPT over~ start_ARG italic_x end_ARG end_POSTSUBSCRIPT = bold_x start_POSTSUBSCRIPT 12 end_POSTSUBSCRIPT / ∥ bold_x start_POSTSUBSCRIPT 12 end_POSTSUBSCRIPT ∥</annotation></semantics></math> along edge <math alttext="\mathbf{x}_{12}" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.p1.12.m9.1"><semantics id="A1.p1.12.m9.1a"><msub id="A1.p1.12.m9.1.1" xref="A1.p1.12.m9.1.1.cmml"><mi id="A1.p1.12.m9.1.1.2" xref="A1.p1.12.m9.1.1.2.cmml">𝐱</mi><mn id="A1.p1.12.m9.1.1.3" xref="A1.p1.12.m9.1.1.3.cmml">12</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.p1.12.m9.1b"><apply id="A1.p1.12.m9.1.1.cmml" xref="A1.p1.12.m9.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.p1.12.m9.1.1.1.cmml" xref="A1.p1.12.m9.1.1">subscript</csymbol><ci id="A1.p1.12.m9.1.1.2.cmml" xref="A1.p1.12.m9.1.1.2">𝐱</ci><cn id="A1.p1.12.m9.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A1.p1.12.m9.1.1.3">12</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.p1.12.m9.1c">\mathbf{x}_{12}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.p1.12.m9.1d">bold_x start_POSTSUBSCRIPT 12 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> for the triangle-centered stencil, and as <math alttext="\mathbf{n}_{\tilde{x}}=\mathbf{x}_{23}/\lVert\mathbf{x}_{23}\rVert" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.p1.13.m10.1"><semantics id="A1.p1.13.m10.1a"><mrow id="A1.p1.13.m10.1.1" xref="A1.p1.13.m10.1.1.cmml"><msub id="A1.p1.13.m10.1.1.3" xref="A1.p1.13.m10.1.1.3.cmml"><mi id="A1.p1.13.m10.1.1.3.2" xref="A1.p1.13.m10.1.1.3.2.cmml">𝐧</mi><mover accent="true" id="A1.p1.13.m10.1.1.3.3" xref="A1.p1.13.m10.1.1.3.3.cmml"><mi id="A1.p1.13.m10.1.1.3.3.2" xref="A1.p1.13.m10.1.1.3.3.2.cmml">x</mi><mo id="A1.p1.13.m10.1.1.3.3.1" xref="A1.p1.13.m10.1.1.3.3.1.cmml">~</mo></mover></msub><mo id="A1.p1.13.m10.1.1.2" xref="A1.p1.13.m10.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="A1.p1.13.m10.1.1.1" xref="A1.p1.13.m10.1.1.1.cmml"><msub id="A1.p1.13.m10.1.1.1.3" xref="A1.p1.13.m10.1.1.1.3.cmml"><mi id="A1.p1.13.m10.1.1.1.3.2" xref="A1.p1.13.m10.1.1.1.3.2.cmml">𝐱</mi><mn id="A1.p1.13.m10.1.1.1.3.3" xref="A1.p1.13.m10.1.1.1.3.3.cmml">23</mn></msub><mo id="A1.p1.13.m10.1.1.1.2" xref="A1.p1.13.m10.1.1.1.2.cmml">/</mo><mrow id="A1.p1.13.m10.1.1.1.1.1" xref="A1.p1.13.m10.1.1.1.1.2.cmml"><mo fence="true" id="A1.p1.13.m10.1.1.1.1.1.2" lspace="0em" rspace="0em" xref="A1.p1.13.m10.1.1.1.1.2.1.cmml">∥</mo><msub id="A1.p1.13.m10.1.1.1.1.1.1" xref="A1.p1.13.m10.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A1.p1.13.m10.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.p1.13.m10.1.1.1.1.1.1.2.cmml">𝐱</mi><mn id="A1.p1.13.m10.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.p1.13.m10.1.1.1.1.1.1.3.cmml">23</mn></msub><mo fence="true" id="A1.p1.13.m10.1.1.1.1.1.3" lspace="0em" xref="A1.p1.13.m10.1.1.1.1.2.1.cmml">∥</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.p1.13.m10.1b"><apply id="A1.p1.13.m10.1.1.cmml" xref="A1.p1.13.m10.1.1"><eq id="A1.p1.13.m10.1.1.2.cmml" xref="A1.p1.13.m10.1.1.2"></eq><apply id="A1.p1.13.m10.1.1.3.cmml" xref="A1.p1.13.m10.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.p1.13.m10.1.1.3.1.cmml" xref="A1.p1.13.m10.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A1.p1.13.m10.1.1.3.2.cmml" xref="A1.p1.13.m10.1.1.3.2">𝐧</ci><apply id="A1.p1.13.m10.1.1.3.3.cmml" xref="A1.p1.13.m10.1.1.3.3"><ci id="A1.p1.13.m10.1.1.3.3.1.cmml" xref="A1.p1.13.m10.1.1.3.3.1">~</ci><ci id="A1.p1.13.m10.1.1.3.3.2.cmml" xref="A1.p1.13.m10.1.1.3.3.2">𝑥</ci></apply></apply><apply id="A1.p1.13.m10.1.1.1.cmml" xref="A1.p1.13.m10.1.1.1"><divide id="A1.p1.13.m10.1.1.1.2.cmml" xref="A1.p1.13.m10.1.1.1.2"></divide><apply id="A1.p1.13.m10.1.1.1.3.cmml" xref="A1.p1.13.m10.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.p1.13.m10.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.p1.13.m10.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A1.p1.13.m10.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.p1.13.m10.1.1.1.3.2">𝐱</ci><cn id="A1.p1.13.m10.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="A1.p1.13.m10.1.1.1.3.3">23</cn></apply><apply id="A1.p1.13.m10.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.p1.13.m10.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="A1.p1.13.m10.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.p1.13.m10.1.1.1.1.1.2">delimited-∥∥</csymbol><apply id="A1.p1.13.m10.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.p1.13.m10.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.p1.13.m10.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.p1.13.m10.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="A1.p1.13.m10.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.p1.13.m10.1.1.1.1.1.1.2">𝐱</ci><cn id="A1.p1.13.m10.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A1.p1.13.m10.1.1.1.1.1.1.3">23</cn></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.p1.13.m10.1c">\mathbf{n}_{\tilde{x}}=\mathbf{x}_{23}/\lVert\mathbf{x}_{23}\rVert</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.p1.13.m10.1d">bold_n start_POSTSUBSCRIPT over~ start_ARG italic_x end_ARG end_POSTSUBSCRIPT = bold_x start_POSTSUBSCRIPT 23 end_POSTSUBSCRIPT / ∥ bold_x start_POSTSUBSCRIPT 23 end_POSTSUBSCRIPT ∥</annotation></semantics></math> along edge <math alttext="\mathbf{x}_{23}" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.p1.14.m11.1"><semantics id="A1.p1.14.m11.1a"><msub id="A1.p1.14.m11.1.1" xref="A1.p1.14.m11.1.1.cmml"><mi id="A1.p1.14.m11.1.1.2" xref="A1.p1.14.m11.1.1.2.cmml">𝐱</mi><mn id="A1.p1.14.m11.1.1.3" xref="A1.p1.14.m11.1.1.3.cmml">23</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.p1.14.m11.1b"><apply id="A1.p1.14.m11.1.1.cmml" xref="A1.p1.14.m11.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.p1.14.m11.1.1.1.cmml" xref="A1.p1.14.m11.1.1">subscript</csymbol><ci id="A1.p1.14.m11.1.1.2.cmml" xref="A1.p1.14.m11.1.1.2">𝐱</ci><cn id="A1.p1.14.m11.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A1.p1.14.m11.1.1.3">23</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.p1.14.m11.1c">\mathbf{x}_{23}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.p1.14.m11.1d">bold_x start_POSTSUBSCRIPT 23 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> for the edge-based stencil. The normal direction <math alttext="\mathbf{n}_{\tilde{z}}" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.p1.15.m12.1"><semantics id="A1.p1.15.m12.1a"><msub id="A1.p1.15.m12.1.1" xref="A1.p1.15.m12.1.1.cmml"><mi id="A1.p1.15.m12.1.1.2" xref="A1.p1.15.m12.1.1.2.cmml">𝐧</mi><mover accent="true" id="A1.p1.15.m12.1.1.3" xref="A1.p1.15.m12.1.1.3.cmml"><mi id="A1.p1.15.m12.1.1.3.2" xref="A1.p1.15.m12.1.1.3.2.cmml">z</mi><mo id="A1.p1.15.m12.1.1.3.1" xref="A1.p1.15.m12.1.1.3.1.cmml">~</mo></mover></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.p1.15.m12.1b"><apply id="A1.p1.15.m12.1.1.cmml" xref="A1.p1.15.m12.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.p1.15.m12.1.1.1.cmml" xref="A1.p1.15.m12.1.1">subscript</csymbol><ci id="A1.p1.15.m12.1.1.2.cmml" xref="A1.p1.15.m12.1.1.2">𝐧</ci><apply id="A1.p1.15.m12.1.1.3.cmml" xref="A1.p1.15.m12.1.1.3"><ci id="A1.p1.15.m12.1.1.3.1.cmml" xref="A1.p1.15.m12.1.1.3.1">~</ci><ci id="A1.p1.15.m12.1.1.3.2.cmml" xref="A1.p1.15.m12.1.1.3.2">𝑧</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.p1.15.m12.1c">\mathbf{n}_{\tilde{z}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.p1.15.m12.1d">bold_n start_POSTSUBSCRIPT over~ start_ARG italic_z end_ARG end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> is computed using Eq.(<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2502.10872v4#S4.E8" title="In 4.3 Corotational edge-based hinge bending model ‣ 4 Geometric Discretization ‣ Corotational Hinge-based Thin Plates/Shells"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">8</span></a>) for the edge-based stencil and Eq.(<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2502.10872v4#S4.E15" title="In 4.3 Corotational edge-based hinge bending model ‣ 4 Geometric Discretization ‣ Corotational Hinge-based Thin Plates/Shells"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">15</span></a>) for the triangle-centered stencil. The <math alttext="\tilde{y}" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.p1.16.m13.1"><semantics id="A1.p1.16.m13.1a"><mover accent="true" id="A1.p1.16.m13.1.1" xref="A1.p1.16.m13.1.1.cmml"><mi id="A1.p1.16.m13.1.1.2" xref="A1.p1.16.m13.1.1.2.cmml">y</mi><mo id="A1.p1.16.m13.1.1.1" xref="A1.p1.16.m13.1.1.1.cmml">~</mo></mover><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.p1.16.m13.1b"><apply id="A1.p1.16.m13.1.1.cmml" xref="A1.p1.16.m13.1.1"><ci id="A1.p1.16.m13.1.1.1.cmml" xref="A1.p1.16.m13.1.1.1">~</ci><ci id="A1.p1.16.m13.1.1.2.cmml" xref="A1.p1.16.m13.1.1.2">𝑦</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.p1.16.m13.1c">\tilde{y}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.p1.16.m13.1d">over~ start_ARG italic_y end_ARG</annotation></semantics></math>-axis direction, <math alttext="\mathbf{n}_{\tilde{y}}=\mathbf{n}_{\tilde{z}}\times\mathbf{n}_{\tilde{x}}" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.p1.17.m14.1"><semantics id="A1.p1.17.m14.1a"><mrow id="A1.p1.17.m14.1.1" xref="A1.p1.17.m14.1.1.cmml"><msub id="A1.p1.17.m14.1.1.2" xref="A1.p1.17.m14.1.1.2.cmml"><mi id="A1.p1.17.m14.1.1.2.2" xref="A1.p1.17.m14.1.1.2.2.cmml">𝐧</mi><mover accent="true" id="A1.p1.17.m14.1.1.2.3" xref="A1.p1.17.m14.1.1.2.3.cmml"><mi id="A1.p1.17.m14.1.1.2.3.2" xref="A1.p1.17.m14.1.1.2.3.2.cmml">y</mi><mo id="A1.p1.17.m14.1.1.2.3.1" xref="A1.p1.17.m14.1.1.2.3.1.cmml">~</mo></mover></msub><mo id="A1.p1.17.m14.1.1.1" xref="A1.p1.17.m14.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="A1.p1.17.m14.1.1.3" xref="A1.p1.17.m14.1.1.3.cmml"><msub id="A1.p1.17.m14.1.1.3.2" xref="A1.p1.17.m14.1.1.3.2.cmml"><mi id="A1.p1.17.m14.1.1.3.2.2" xref="A1.p1.17.m14.1.1.3.2.2.cmml">𝐧</mi><mover accent="true" id="A1.p1.17.m14.1.1.3.2.3" xref="A1.p1.17.m14.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="A1.p1.17.m14.1.1.3.2.3.2" xref="A1.p1.17.m14.1.1.3.2.3.2.cmml">z</mi><mo id="A1.p1.17.m14.1.1.3.2.3.1" xref="A1.p1.17.m14.1.1.3.2.3.1.cmml">~</mo></mover></msub><mo id="A1.p1.17.m14.1.1.3.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="A1.p1.17.m14.1.1.3.1.cmml">×</mo><msub id="A1.p1.17.m14.1.1.3.3" xref="A1.p1.17.m14.1.1.3.3.cmml"><mi id="A1.p1.17.m14.1.1.3.3.2" xref="A1.p1.17.m14.1.1.3.3.2.cmml">𝐧</mi><mover accent="true" id="A1.p1.17.m14.1.1.3.3.3" xref="A1.p1.17.m14.1.1.3.3.3.cmml"><mi id="A1.p1.17.m14.1.1.3.3.3.2" xref="A1.p1.17.m14.1.1.3.3.3.2.cmml">x</mi><mo id="A1.p1.17.m14.1.1.3.3.3.1" xref="A1.p1.17.m14.1.1.3.3.3.1.cmml">~</mo></mover></msub></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.p1.17.m14.1b"><apply id="A1.p1.17.m14.1.1.cmml" xref="A1.p1.17.m14.1.1"><eq id="A1.p1.17.m14.1.1.1.cmml" xref="A1.p1.17.m14.1.1.1"></eq><apply id="A1.p1.17.m14.1.1.2.cmml" xref="A1.p1.17.m14.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.p1.17.m14.1.1.2.1.cmml" xref="A1.p1.17.m14.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="A1.p1.17.m14.1.1.2.2.cmml" xref="A1.p1.17.m14.1.1.2.2">𝐧</ci><apply id="A1.p1.17.m14.1.1.2.3.cmml" xref="A1.p1.17.m14.1.1.2.3"><ci id="A1.p1.17.m14.1.1.2.3.1.cmml" xref="A1.p1.17.m14.1.1.2.3.1">~</ci><ci id="A1.p1.17.m14.1.1.2.3.2.cmml" xref="A1.p1.17.m14.1.1.2.3.2">𝑦</ci></apply></apply><apply id="A1.p1.17.m14.1.1.3.cmml" xref="A1.p1.17.m14.1.1.3"><times id="A1.p1.17.m14.1.1.3.1.cmml" xref="A1.p1.17.m14.1.1.3.1"></times><apply id="A1.p1.17.m14.1.1.3.2.cmml" xref="A1.p1.17.m14.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.p1.17.m14.1.1.3.2.1.cmml" xref="A1.p1.17.m14.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="A1.p1.17.m14.1.1.3.2.2.cmml" xref="A1.p1.17.m14.1.1.3.2.2">𝐧</ci><apply id="A1.p1.17.m14.1.1.3.2.3.cmml" xref="A1.p1.17.m14.1.1.3.2.3"><ci id="A1.p1.17.m14.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="A1.p1.17.m14.1.1.3.2.3.1">~</ci><ci id="A1.p1.17.m14.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="A1.p1.17.m14.1.1.3.2.3.2">𝑧</ci></apply></apply><apply id="A1.p1.17.m14.1.1.3.3.cmml" xref="A1.p1.17.m14.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.p1.17.m14.1.1.3.3.1.cmml" xref="A1.p1.17.m14.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="A1.p1.17.m14.1.1.3.3.2.cmml" xref="A1.p1.17.m14.1.1.3.3.2">𝐧</ci><apply id="A1.p1.17.m14.1.1.3.3.3.cmml" xref="A1.p1.17.m14.1.1.3.3.3"><ci id="A1.p1.17.m14.1.1.3.3.3.1.cmml" xref="A1.p1.17.m14.1.1.3.3.3.1">~</ci><ci id="A1.p1.17.m14.1.1.3.3.3.2.cmml" xref="A1.p1.17.m14.1.1.3.3.3.2">𝑥</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.p1.17.m14.1c">\mathbf{n}_{\tilde{y}}=\mathbf{n}_{\tilde{z}}\times\mathbf{n}_{\tilde{x}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.p1.17.m14.1d">bold_n start_POSTSUBSCRIPT over~ start_ARG italic_y end_ARG end_POSTSUBSCRIPT = bold_n start_POSTSUBSCRIPT over~ start_ARG italic_z end_ARG end_POSTSUBSCRIPT × bold_n start_POSTSUBSCRIPT over~ start_ARG italic_x end_ARG end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, is determined to adhere to the right-hand rule. Similarly, points in the initial corotational frame can be transformed using the same approach.</p> </div> </section> <section class="ltx_appendix" id="A2"> <h2 class="ltx_title ltx_title_appendix"> <span class="ltx_tag ltx_tag_appendix">Appendix B </span>Gradient of Normal Direction of Corotational Shell Stencil</h2> <div class="ltx_para" id="A2.p1"> <p class="ltx_p" id="A2.p1.1">The direction of <math alttext="\tilde{z}" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.p1.1.m1.1"><semantics id="A2.p1.1.m1.1a"><mover accent="true" id="A2.p1.1.m1.1.1" xref="A2.p1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="A2.p1.1.m1.1.1.2" xref="A2.p1.1.m1.1.1.2.cmml">z</mi><mo id="A2.p1.1.m1.1.1.1" xref="A2.p1.1.m1.1.1.1.cmml">~</mo></mover><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.p1.1.m1.1b"><apply id="A2.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="A2.p1.1.m1.1.1"><ci id="A2.p1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="A2.p1.1.m1.1.1.1">~</ci><ci id="A2.p1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="A2.p1.1.m1.1.1.2">𝑧</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.p1.1.m1.1c">\tilde{z}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.p1.1.m1.1d">over~ start_ARG italic_z end_ARG</annotation></semantics></math>-axis, which corresponds to the normal direction of the corotational shell stencil, is given by</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="A2.E66"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\mathbf{n}_{\tilde{z}}=\frac{\mathbf{n}_{c}}{\lVert\mathbf{n}_{c}\rVert}," class="ltx_Math" display="block" id="A2.E66.m1.2"><semantics id="A2.E66.m1.2a"><mrow id="A2.E66.m1.2.2.1" xref="A2.E66.m1.2.2.1.1.cmml"><mrow id="A2.E66.m1.2.2.1.1" xref="A2.E66.m1.2.2.1.1.cmml"><msub id="A2.E66.m1.2.2.1.1.2" xref="A2.E66.m1.2.2.1.1.2.cmml"><mi id="A2.E66.m1.2.2.1.1.2.2" xref="A2.E66.m1.2.2.1.1.2.2.cmml">𝐧</mi><mover accent="true" id="A2.E66.m1.2.2.1.1.2.3" xref="A2.E66.m1.2.2.1.1.2.3.cmml"><mi id="A2.E66.m1.2.2.1.1.2.3.2" xref="A2.E66.m1.2.2.1.1.2.3.2.cmml">z</mi><mo id="A2.E66.m1.2.2.1.1.2.3.1" xref="A2.E66.m1.2.2.1.1.2.3.1.cmml">~</mo></mover></msub><mo id="A2.E66.m1.2.2.1.1.1" xref="A2.E66.m1.2.2.1.1.1.cmml">=</mo><mfrac id="A2.E66.m1.1.1" xref="A2.E66.m1.1.1.cmml"><msub id="A2.E66.m1.1.1.3" xref="A2.E66.m1.1.1.3.cmml"><mi id="A2.E66.m1.1.1.3.2" xref="A2.E66.m1.1.1.3.2.cmml">𝐧</mi><mi id="A2.E66.m1.1.1.3.3" xref="A2.E66.m1.1.1.3.3.cmml">c</mi></msub><mrow id="A2.E66.m1.1.1.1.1" xref="A2.E66.m1.1.1.1.2.cmml"><mo fence="true" id="A2.E66.m1.1.1.1.1.2" rspace="0em" xref="A2.E66.m1.1.1.1.2.1.cmml">∥</mo><msub id="A2.E66.m1.1.1.1.1.1" xref="A2.E66.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A2.E66.m1.1.1.1.1.1.2" xref="A2.E66.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">𝐧</mi><mi id="A2.E66.m1.1.1.1.1.1.3" xref="A2.E66.m1.1.1.1.1.1.3.cmml">c</mi></msub><mo fence="true" id="A2.E66.m1.1.1.1.1.3" lspace="0em" xref="A2.E66.m1.1.1.1.2.1.cmml">∥</mo></mrow></mfrac></mrow><mo id="A2.E66.m1.2.2.1.2" xref="A2.E66.m1.2.2.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.E66.m1.2b"><apply id="A2.E66.m1.2.2.1.1.cmml" xref="A2.E66.m1.2.2.1"><eq id="A2.E66.m1.2.2.1.1.1.cmml" xref="A2.E66.m1.2.2.1.1.1"></eq><apply id="A2.E66.m1.2.2.1.1.2.cmml" xref="A2.E66.m1.2.2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E66.m1.2.2.1.1.2.1.cmml" xref="A2.E66.m1.2.2.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="A2.E66.m1.2.2.1.1.2.2.cmml" xref="A2.E66.m1.2.2.1.1.2.2">𝐧</ci><apply id="A2.E66.m1.2.2.1.1.2.3.cmml" xref="A2.E66.m1.2.2.1.1.2.3"><ci id="A2.E66.m1.2.2.1.1.2.3.1.cmml" xref="A2.E66.m1.2.2.1.1.2.3.1">~</ci><ci id="A2.E66.m1.2.2.1.1.2.3.2.cmml" xref="A2.E66.m1.2.2.1.1.2.3.2">𝑧</ci></apply></apply><apply id="A2.E66.m1.1.1.cmml" xref="A2.E66.m1.1.1"><divide id="A2.E66.m1.1.1.2.cmml" xref="A2.E66.m1.1.1"></divide><apply id="A2.E66.m1.1.1.3.cmml" xref="A2.E66.m1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E66.m1.1.1.3.1.cmml" xref="A2.E66.m1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A2.E66.m1.1.1.3.2.cmml" xref="A2.E66.m1.1.1.3.2">𝐧</ci><ci id="A2.E66.m1.1.1.3.3.cmml" xref="A2.E66.m1.1.1.3.3">𝑐</ci></apply><apply id="A2.E66.m1.1.1.1.2.cmml" xref="A2.E66.m1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="A2.E66.m1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A2.E66.m1.1.1.1.1.2">delimited-∥∥</csymbol><apply id="A2.E66.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A2.E66.m1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E66.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A2.E66.m1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="A2.E66.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A2.E66.m1.1.1.1.1.1.2">𝐧</ci><ci id="A2.E66.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A2.E66.m1.1.1.1.1.1.3">𝑐</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.E66.m1.2c">\mathbf{n}_{\tilde{z}}=\frac{\mathbf{n}_{c}}{\lVert\mathbf{n}_{c}\rVert},</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.E66.m1.2d">bold_n start_POSTSUBSCRIPT over~ start_ARG italic_z end_ARG end_POSTSUBSCRIPT = divide start_ARG bold_n start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT end_ARG start_ARG ∥ bold_n start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT ∥ end_ARG ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(66)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="A2.p1.4">where <math alttext="\mathbf{n}_{c}" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.p1.2.m1.1"><semantics id="A2.p1.2.m1.1a"><msub id="A2.p1.2.m1.1.1" xref="A2.p1.2.m1.1.1.cmml"><mi id="A2.p1.2.m1.1.1.2" xref="A2.p1.2.m1.1.1.2.cmml">𝐧</mi><mi id="A2.p1.2.m1.1.1.3" xref="A2.p1.2.m1.1.1.3.cmml">c</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.p1.2.m1.1b"><apply id="A2.p1.2.m1.1.1.cmml" xref="A2.p1.2.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.p1.2.m1.1.1.1.cmml" xref="A2.p1.2.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="A2.p1.2.m1.1.1.2.cmml" xref="A2.p1.2.m1.1.1.2">𝐧</ci><ci id="A2.p1.2.m1.1.1.3.cmml" xref="A2.p1.2.m1.1.1.3">𝑐</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.p1.2.m1.1c">\mathbf{n}_{c}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.p1.2.m1.1d">bold_n start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> represents the unnormalized normal vector. In this appendix, the gradient operator is denoted by <math alttext="\nabla={\partial}/{\partial(\mathbf{x}^{e})^{T}}" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.p1.3.m2.1"><semantics id="A2.p1.3.m2.1a"><mrow id="A2.p1.3.m2.1.1" xref="A2.p1.3.m2.1.1.cmml"><mo id="A2.p1.3.m2.1.1.3" xref="A2.p1.3.m2.1.1.3.cmml">∇</mo><mo id="A2.p1.3.m2.1.1.2" rspace="0.1389em" xref="A2.p1.3.m2.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="A2.p1.3.m2.1.1.1" xref="A2.p1.3.m2.1.1.1.cmml"><mo id="A2.p1.3.m2.1.1.1.3" lspace="0.1389em" rspace="0em" xref="A2.p1.3.m2.1.1.1.3.cmml">∂</mo><mo id="A2.p1.3.m2.1.1.1.2" xref="A2.p1.3.m2.1.1.1.2.cmml">/</mo><mrow id="A2.p1.3.m2.1.1.1.1" xref="A2.p1.3.m2.1.1.1.1.cmml"><mo id="A2.p1.3.m2.1.1.1.1.2" lspace="0em" rspace="0em" xref="A2.p1.3.m2.1.1.1.1.2.cmml">∂</mo><msup id="A2.p1.3.m2.1.1.1.1.1" xref="A2.p1.3.m2.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A2.p1.3.m2.1.1.1.1.1.1.1" xref="A2.p1.3.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A2.p1.3.m2.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A2.p1.3.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="A2.p1.3.m2.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A2.p1.3.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A2.p1.3.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A2.p1.3.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">𝐱</mi><mi id="A2.p1.3.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A2.p1.3.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">e</mi></msup><mo id="A2.p1.3.m2.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A2.p1.3.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mi id="A2.p1.3.m2.1.1.1.1.1.3" xref="A2.p1.3.m2.1.1.1.1.1.3.cmml">T</mi></msup></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.p1.3.m2.1b"><apply id="A2.p1.3.m2.1.1.cmml" xref="A2.p1.3.m2.1.1"><eq id="A2.p1.3.m2.1.1.2.cmml" xref="A2.p1.3.m2.1.1.2"></eq><ci id="A2.p1.3.m2.1.1.3.cmml" xref="A2.p1.3.m2.1.1.3">∇</ci><apply id="A2.p1.3.m2.1.1.1.cmml" xref="A2.p1.3.m2.1.1.1"><divide id="A2.p1.3.m2.1.1.1.2.cmml" xref="A2.p1.3.m2.1.1.1.2"></divide><partialdiff id="A2.p1.3.m2.1.1.1.3.cmml" xref="A2.p1.3.m2.1.1.1.3"></partialdiff><apply id="A2.p1.3.m2.1.1.1.1.cmml" xref="A2.p1.3.m2.1.1.1.1"><partialdiff id="A2.p1.3.m2.1.1.1.1.2.cmml" xref="A2.p1.3.m2.1.1.1.1.2"></partialdiff><apply id="A2.p1.3.m2.1.1.1.1.1.cmml" xref="A2.p1.3.m2.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.p1.3.m2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A2.p1.3.m2.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="A2.p1.3.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A2.p1.3.m2.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.p1.3.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A2.p1.3.m2.1.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="A2.p1.3.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A2.p1.3.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝐱</ci><ci id="A2.p1.3.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A2.p1.3.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑒</ci></apply><ci id="A2.p1.3.m2.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A2.p1.3.m2.1.1.1.1.1.3">𝑇</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.p1.3.m2.1c">\nabla={\partial}/{\partial(\mathbf{x}^{e})^{T}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.p1.3.m2.1d">∇ = ∂ / ∂ ( bold_x start_POSTSUPERSCRIPT italic_e end_POSTSUPERSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>. The gradient of the <math alttext="\tilde{z}" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.p1.4.m3.1"><semantics id="A2.p1.4.m3.1a"><mover accent="true" id="A2.p1.4.m3.1.1" xref="A2.p1.4.m3.1.1.cmml"><mi id="A2.p1.4.m3.1.1.2" xref="A2.p1.4.m3.1.1.2.cmml">z</mi><mo id="A2.p1.4.m3.1.1.1" xref="A2.p1.4.m3.1.1.1.cmml">~</mo></mover><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.p1.4.m3.1b"><apply id="A2.p1.4.m3.1.1.cmml" xref="A2.p1.4.m3.1.1"><ci id="A2.p1.4.m3.1.1.1.cmml" xref="A2.p1.4.m3.1.1.1">~</ci><ci id="A2.p1.4.m3.1.1.2.cmml" xref="A2.p1.4.m3.1.1.2">𝑧</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.p1.4.m3.1c">\tilde{z}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.p1.4.m3.1d">over~ start_ARG italic_z end_ARG</annotation></semantics></math>-axis direction is then expressed as</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="A2.E67"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\nabla\mathbf{n}_{\tilde{z}}=({\mathbf{I}-\mathbf{n}}_{\tilde{z}}\mathbf{n}_{% \tilde{z}}^{T})\frac{\nabla\mathbf{n}_{c}}{\lVert\mathbf{n}_{c}\rVert}." class="ltx_Math" display="block" id="A2.E67.m1.2"><semantics id="A2.E67.m1.2a"><mrow id="A2.E67.m1.2.2.1" xref="A2.E67.m1.2.2.1.1.cmml"><mrow id="A2.E67.m1.2.2.1.1" xref="A2.E67.m1.2.2.1.1.cmml"><mrow id="A2.E67.m1.2.2.1.1.3" xref="A2.E67.m1.2.2.1.1.3.cmml"><mo id="A2.E67.m1.2.2.1.1.3.1" rspace="0.167em" xref="A2.E67.m1.2.2.1.1.3.1.cmml">∇</mo><msub id="A2.E67.m1.2.2.1.1.3.2" xref="A2.E67.m1.2.2.1.1.3.2.cmml"><mi id="A2.E67.m1.2.2.1.1.3.2.2" xref="A2.E67.m1.2.2.1.1.3.2.2.cmml">𝐧</mi><mover accent="true" id="A2.E67.m1.2.2.1.1.3.2.3" xref="A2.E67.m1.2.2.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="A2.E67.m1.2.2.1.1.3.2.3.2" xref="A2.E67.m1.2.2.1.1.3.2.3.2.cmml">z</mi><mo id="A2.E67.m1.2.2.1.1.3.2.3.1" xref="A2.E67.m1.2.2.1.1.3.2.3.1.cmml">~</mo></mover></msub></mrow><mo id="A2.E67.m1.2.2.1.1.2" xref="A2.E67.m1.2.2.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="A2.E67.m1.2.2.1.1.1" xref="A2.E67.m1.2.2.1.1.1.cmml"><mrow id="A2.E67.m1.2.2.1.1.1.1.1" xref="A2.E67.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A2.E67.m1.2.2.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A2.E67.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A2.E67.m1.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="A2.E67.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A2.E67.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2" xref="A2.E67.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml">𝐈</mi><mo id="A2.E67.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="A2.E67.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="A2.E67.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3" xref="A2.E67.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><msub id="A2.E67.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A2.E67.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="A2.E67.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="A2.E67.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">𝐧</mi><mover accent="true" id="A2.E67.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="A2.E67.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="A2.E67.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2" xref="A2.E67.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml">z</mi><mo id="A2.E67.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1" xref="A2.E67.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml">~</mo></mover></msub><mo id="A2.E67.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="A2.E67.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="A2.E67.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A2.E67.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="A2.E67.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2" xref="A2.E67.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.cmml">𝐧</mi><mover accent="true" id="A2.E67.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3" xref="A2.E67.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.cmml"><mi id="A2.E67.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.2" xref="A2.E67.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.2.cmml">z</mi><mo id="A2.E67.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.1" xref="A2.E67.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.1.cmml">~</mo></mover><mi id="A2.E67.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="A2.E67.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">T</mi></msubsup></mrow></mrow><mo id="A2.E67.m1.2.2.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A2.E67.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A2.E67.m1.2.2.1.1.1.2" xref="A2.E67.m1.2.2.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mfrac id="A2.E67.m1.1.1" xref="A2.E67.m1.1.1.cmml"><mrow id="A2.E67.m1.1.1.3" xref="A2.E67.m1.1.1.3.cmml"><mo id="A2.E67.m1.1.1.3.1" rspace="0.167em" xref="A2.E67.m1.1.1.3.1.cmml">∇</mo><msub id="A2.E67.m1.1.1.3.2" xref="A2.E67.m1.1.1.3.2.cmml"><mi id="A2.E67.m1.1.1.3.2.2" xref="A2.E67.m1.1.1.3.2.2.cmml">𝐧</mi><mi id="A2.E67.m1.1.1.3.2.3" xref="A2.E67.m1.1.1.3.2.3.cmml">c</mi></msub></mrow><mrow id="A2.E67.m1.1.1.1.1" xref="A2.E67.m1.1.1.1.2.cmml"><mo fence="true" id="A2.E67.m1.1.1.1.1.2" rspace="0em" xref="A2.E67.m1.1.1.1.2.1.cmml">∥</mo><msub id="A2.E67.m1.1.1.1.1.1" xref="A2.E67.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A2.E67.m1.1.1.1.1.1.2" xref="A2.E67.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">𝐧</mi><mi id="A2.E67.m1.1.1.1.1.1.3" xref="A2.E67.m1.1.1.1.1.1.3.cmml">c</mi></msub><mo fence="true" id="A2.E67.m1.1.1.1.1.3" lspace="0em" xref="A2.E67.m1.1.1.1.2.1.cmml">∥</mo></mrow></mfrac></mrow></mrow><mo id="A2.E67.m1.2.2.1.2" lspace="0em" xref="A2.E67.m1.2.2.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.E67.m1.2b"><apply id="A2.E67.m1.2.2.1.1.cmml" xref="A2.E67.m1.2.2.1"><eq id="A2.E67.m1.2.2.1.1.2.cmml" xref="A2.E67.m1.2.2.1.1.2"></eq><apply id="A2.E67.m1.2.2.1.1.3.cmml" xref="A2.E67.m1.2.2.1.1.3"><ci id="A2.E67.m1.2.2.1.1.3.1.cmml" xref="A2.E67.m1.2.2.1.1.3.1">∇</ci><apply id="A2.E67.m1.2.2.1.1.3.2.cmml" xref="A2.E67.m1.2.2.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E67.m1.2.2.1.1.3.2.1.cmml" xref="A2.E67.m1.2.2.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="A2.E67.m1.2.2.1.1.3.2.2.cmml" xref="A2.E67.m1.2.2.1.1.3.2.2">𝐧</ci><apply id="A2.E67.m1.2.2.1.1.3.2.3.cmml" xref="A2.E67.m1.2.2.1.1.3.2.3"><ci id="A2.E67.m1.2.2.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="A2.E67.m1.2.2.1.1.3.2.3.1">~</ci><ci id="A2.E67.m1.2.2.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="A2.E67.m1.2.2.1.1.3.2.3.2">𝑧</ci></apply></apply></apply><apply id="A2.E67.m1.2.2.1.1.1.cmml" xref="A2.E67.m1.2.2.1.1.1"><times id="A2.E67.m1.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="A2.E67.m1.2.2.1.1.1.2"></times><apply id="A2.E67.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A2.E67.m1.2.2.1.1.1.1.1"><minus id="A2.E67.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A2.E67.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1"></minus><ci id="A2.E67.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A2.E67.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2">𝐈</ci><apply id="A2.E67.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A2.E67.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3"><times id="A2.E67.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A2.E67.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><apply id="A2.E67.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A2.E67.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E67.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="A2.E67.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="A2.E67.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="A2.E67.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.2">𝐧</ci><apply id="A2.E67.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="A2.E67.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.3"><ci id="A2.E67.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="A2.E67.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1">~</ci><ci id="A2.E67.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="A2.E67.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2">𝑧</ci></apply></apply><apply id="A2.E67.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" 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xref="A2.E67.m1.1.1"></divide><apply id="A2.E67.m1.1.1.3.cmml" xref="A2.E67.m1.1.1.3"><ci id="A2.E67.m1.1.1.3.1.cmml" xref="A2.E67.m1.1.1.3.1">∇</ci><apply id="A2.E67.m1.1.1.3.2.cmml" xref="A2.E67.m1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E67.m1.1.1.3.2.1.cmml" xref="A2.E67.m1.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="A2.E67.m1.1.1.3.2.2.cmml" xref="A2.E67.m1.1.1.3.2.2">𝐧</ci><ci id="A2.E67.m1.1.1.3.2.3.cmml" xref="A2.E67.m1.1.1.3.2.3">𝑐</ci></apply></apply><apply id="A2.E67.m1.1.1.1.2.cmml" xref="A2.E67.m1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="A2.E67.m1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A2.E67.m1.1.1.1.1.2">delimited-∥∥</csymbol><apply id="A2.E67.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A2.E67.m1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E67.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A2.E67.m1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="A2.E67.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A2.E67.m1.1.1.1.1.1.2">𝐧</ci><ci id="A2.E67.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A2.E67.m1.1.1.1.1.1.3">𝑐</ci></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.E67.m1.2c">\nabla\mathbf{n}_{\tilde{z}}=({\mathbf{I}-\mathbf{n}}_{\tilde{z}}\mathbf{n}_{% \tilde{z}}^{T})\frac{\nabla\mathbf{n}_{c}}{\lVert\mathbf{n}_{c}\rVert}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.E67.m1.2d">∇ bold_n start_POSTSUBSCRIPT over~ start_ARG italic_z end_ARG end_POSTSUBSCRIPT = ( bold_I - bold_n start_POSTSUBSCRIPT over~ start_ARG italic_z end_ARG end_POSTSUBSCRIPT bold_n start_POSTSUBSCRIPT over~ start_ARG italic_z end_ARG end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT ) divide start_ARG ∇ bold_n start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT end_ARG start_ARG ∥ bold_n start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT ∥ end_ARG .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(67)</span></td> </tr></tbody> </table> </div> <div class="ltx_para" id="A2.p2"> <p class="ltx_p" id="A2.p2.4">For the corotational edge-based hinge model, let <math alttext="\mathbf{p}=\mathbf{x}_{P1}" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.p2.1.m1.1"><semantics id="A2.p2.1.m1.1a"><mrow id="A2.p2.1.m1.1.1" xref="A2.p2.1.m1.1.1.cmml"><mi id="A2.p2.1.m1.1.1.2" xref="A2.p2.1.m1.1.1.2.cmml">𝐩</mi><mo id="A2.p2.1.m1.1.1.1" xref="A2.p2.1.m1.1.1.1.cmml">=</mo><msub id="A2.p2.1.m1.1.1.3" xref="A2.p2.1.m1.1.1.3.cmml"><mi id="A2.p2.1.m1.1.1.3.2" xref="A2.p2.1.m1.1.1.3.2.cmml">𝐱</mi><mrow id="A2.p2.1.m1.1.1.3.3" xref="A2.p2.1.m1.1.1.3.3.cmml"><mi id="A2.p2.1.m1.1.1.3.3.2" xref="A2.p2.1.m1.1.1.3.3.2.cmml">P</mi><mo id="A2.p2.1.m1.1.1.3.3.1" xref="A2.p2.1.m1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mn id="A2.p2.1.m1.1.1.3.3.3" xref="A2.p2.1.m1.1.1.3.3.3.cmml">1</mn></mrow></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.p2.1.m1.1b"><apply id="A2.p2.1.m1.1.1.cmml" xref="A2.p2.1.m1.1.1"><eq id="A2.p2.1.m1.1.1.1.cmml" xref="A2.p2.1.m1.1.1.1"></eq><ci id="A2.p2.1.m1.1.1.2.cmml" xref="A2.p2.1.m1.1.1.2">𝐩</ci><apply id="A2.p2.1.m1.1.1.3.cmml" xref="A2.p2.1.m1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.p2.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="A2.p2.1.m1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A2.p2.1.m1.1.1.3.2.cmml" xref="A2.p2.1.m1.1.1.3.2">𝐱</ci><apply id="A2.p2.1.m1.1.1.3.3.cmml" xref="A2.p2.1.m1.1.1.3.3"><times id="A2.p2.1.m1.1.1.3.3.1.cmml" xref="A2.p2.1.m1.1.1.3.3.1"></times><ci id="A2.p2.1.m1.1.1.3.3.2.cmml" xref="A2.p2.1.m1.1.1.3.3.2">𝑃</ci><cn id="A2.p2.1.m1.1.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="A2.p2.1.m1.1.1.3.3.3">1</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.p2.1.m1.1c">\mathbf{p}=\mathbf{x}_{P1}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.p2.1.m1.1d">bold_p = bold_x start_POSTSUBSCRIPT italic_P 1 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, <math alttext="\mathbf{q}=\mathbf{x}_{Q4}" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.p2.2.m2.1"><semantics id="A2.p2.2.m2.1a"><mrow id="A2.p2.2.m2.1.1" xref="A2.p2.2.m2.1.1.cmml"><mi id="A2.p2.2.m2.1.1.2" xref="A2.p2.2.m2.1.1.2.cmml">𝐪</mi><mo id="A2.p2.2.m2.1.1.1" xref="A2.p2.2.m2.1.1.1.cmml">=</mo><msub id="A2.p2.2.m2.1.1.3" xref="A2.p2.2.m2.1.1.3.cmml"><mi id="A2.p2.2.m2.1.1.3.2" xref="A2.p2.2.m2.1.1.3.2.cmml">𝐱</mi><mrow id="A2.p2.2.m2.1.1.3.3" xref="A2.p2.2.m2.1.1.3.3.cmml"><mi id="A2.p2.2.m2.1.1.3.3.2" xref="A2.p2.2.m2.1.1.3.3.2.cmml">Q</mi><mo id="A2.p2.2.m2.1.1.3.3.1" xref="A2.p2.2.m2.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mn id="A2.p2.2.m2.1.1.3.3.3" xref="A2.p2.2.m2.1.1.3.3.3.cmml">4</mn></mrow></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.p2.2.m2.1b"><apply id="A2.p2.2.m2.1.1.cmml" xref="A2.p2.2.m2.1.1"><eq id="A2.p2.2.m2.1.1.1.cmml" xref="A2.p2.2.m2.1.1.1"></eq><ci id="A2.p2.2.m2.1.1.2.cmml" xref="A2.p2.2.m2.1.1.2">𝐪</ci><apply id="A2.p2.2.m2.1.1.3.cmml" xref="A2.p2.2.m2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.p2.2.m2.1.1.3.1.cmml" xref="A2.p2.2.m2.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A2.p2.2.m2.1.1.3.2.cmml" xref="A2.p2.2.m2.1.1.3.2">𝐱</ci><apply id="A2.p2.2.m2.1.1.3.3.cmml" xref="A2.p2.2.m2.1.1.3.3"><times id="A2.p2.2.m2.1.1.3.3.1.cmml" xref="A2.p2.2.m2.1.1.3.3.1"></times><ci id="A2.p2.2.m2.1.1.3.3.2.cmml" xref="A2.p2.2.m2.1.1.3.3.2">𝑄</ci><cn id="A2.p2.2.m2.1.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="A2.p2.2.m2.1.1.3.3.3">4</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.p2.2.m2.1c">\mathbf{q}=\mathbf{x}_{Q4}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.p2.2.m2.1d">bold_q = bold_x start_POSTSUBSCRIPT italic_Q 4 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> as the triangle height vectors, and <math alttext="\mathbf{e}=\mathbf{x}_{23}" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.p2.3.m3.1"><semantics id="A2.p2.3.m3.1a"><mrow id="A2.p2.3.m3.1.1" xref="A2.p2.3.m3.1.1.cmml"><mi id="A2.p2.3.m3.1.1.2" xref="A2.p2.3.m3.1.1.2.cmml">𝐞</mi><mo id="A2.p2.3.m3.1.1.1" xref="A2.p2.3.m3.1.1.1.cmml">=</mo><msub id="A2.p2.3.m3.1.1.3" xref="A2.p2.3.m3.1.1.3.cmml"><mi id="A2.p2.3.m3.1.1.3.2" xref="A2.p2.3.m3.1.1.3.2.cmml">𝐱</mi><mn id="A2.p2.3.m3.1.1.3.3" xref="A2.p2.3.m3.1.1.3.3.cmml">23</mn></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.p2.3.m3.1b"><apply id="A2.p2.3.m3.1.1.cmml" xref="A2.p2.3.m3.1.1"><eq id="A2.p2.3.m3.1.1.1.cmml" xref="A2.p2.3.m3.1.1.1"></eq><ci id="A2.p2.3.m3.1.1.2.cmml" xref="A2.p2.3.m3.1.1.2">𝐞</ci><apply id="A2.p2.3.m3.1.1.3.cmml" xref="A2.p2.3.m3.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.p2.3.m3.1.1.3.1.cmml" xref="A2.p2.3.m3.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A2.p2.3.m3.1.1.3.2.cmml" xref="A2.p2.3.m3.1.1.3.2">𝐱</ci><cn id="A2.p2.3.m3.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="A2.p2.3.m3.1.1.3.3">23</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.p2.3.m3.1c">\mathbf{e}=\mathbf{x}_{23}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.p2.3.m3.1d">bold_e = bold_x start_POSTSUBSCRIPT 23 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> as the hinge edge vector. The gradient of <math alttext="\mathbf{n}_{c}" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.p2.4.m4.1"><semantics id="A2.p2.4.m4.1a"><msub id="A2.p2.4.m4.1.1" xref="A2.p2.4.m4.1.1.cmml"><mi id="A2.p2.4.m4.1.1.2" xref="A2.p2.4.m4.1.1.2.cmml">𝐧</mi><mi id="A2.p2.4.m4.1.1.3" xref="A2.p2.4.m4.1.1.3.cmml">c</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.p2.4.m4.1b"><apply id="A2.p2.4.m4.1.1.cmml" xref="A2.p2.4.m4.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.p2.4.m4.1.1.1.cmml" xref="A2.p2.4.m4.1.1">subscript</csymbol><ci id="A2.p2.4.m4.1.1.2.cmml" xref="A2.p2.4.m4.1.1.2">𝐧</ci><ci id="A2.p2.4.m4.1.1.3.cmml" xref="A2.p2.4.m4.1.1.3">𝑐</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.p2.4.m4.1c">\mathbf{n}_{c}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.p2.4.m4.1d">bold_n start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> is given by</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="A2.E68"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\nabla\mathbf{n}_{c}=\nabla(\frac{\mathbf{p}}{\lVert\mathbf{p}\rVert})+\nabla(% \frac{\mathbf{q}}{\lVert\mathbf{q}\rVert})," class="ltx_Math" display="block" id="A2.E68.m1.5"><semantics id="A2.E68.m1.5a"><mrow id="A2.E68.m1.5.5.1" xref="A2.E68.m1.5.5.1.1.cmml"><mrow id="A2.E68.m1.5.5.1.1" xref="A2.E68.m1.5.5.1.1.cmml"><mrow id="A2.E68.m1.5.5.1.1.2" xref="A2.E68.m1.5.5.1.1.2.cmml"><mo id="A2.E68.m1.5.5.1.1.2.1" rspace="0.167em" xref="A2.E68.m1.5.5.1.1.2.1.cmml">∇</mo><msub id="A2.E68.m1.5.5.1.1.2.2" xref="A2.E68.m1.5.5.1.1.2.2.cmml"><mi id="A2.E68.m1.5.5.1.1.2.2.2" xref="A2.E68.m1.5.5.1.1.2.2.2.cmml">𝐧</mi><mi id="A2.E68.m1.5.5.1.1.2.2.3" xref="A2.E68.m1.5.5.1.1.2.2.3.cmml">c</mi></msub></mrow><mo id="A2.E68.m1.5.5.1.1.1" xref="A2.E68.m1.5.5.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="A2.E68.m1.5.5.1.1.3" xref="A2.E68.m1.5.5.1.1.3.cmml"><mrow id="A2.E68.m1.5.5.1.1.3.2.2" xref="A2.E68.m1.5.5.1.1.3.2.1.cmml"><mo id="A2.E68.m1.3.3" xref="A2.E68.m1.3.3.cmml">∇</mo><mrow id="A2.E68.m1.5.5.1.1.3.2.2.1" xref="A2.E68.m1.5.5.1.1.3.2.1.cmml"><mo id="A2.E68.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.1" stretchy="false" xref="A2.E68.m1.5.5.1.1.3.2.1.cmml">(</mo><mfrac id="A2.E68.m1.1.1" xref="A2.E68.m1.1.1.cmml"><mi id="A2.E68.m1.1.1.3" xref="A2.E68.m1.1.1.3.cmml">𝐩</mi><mrow id="A2.E68.m1.1.1.1.3" xref="A2.E68.m1.1.1.1.2.cmml"><mo fence="true" id="A2.E68.m1.1.1.1.3.1" rspace="0em" xref="A2.E68.m1.1.1.1.2.1.cmml">∥</mo><mi id="A2.E68.m1.1.1.1.1" xref="A2.E68.m1.1.1.1.1.cmml">𝐩</mi><mo fence="true" id="A2.E68.m1.1.1.1.3.2" lspace="0em" xref="A2.E68.m1.1.1.1.2.1.cmml">∥</mo></mrow></mfrac><mo id="A2.E68.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.2" stretchy="false" xref="A2.E68.m1.5.5.1.1.3.2.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A2.E68.m1.5.5.1.1.3.1" xref="A2.E68.m1.5.5.1.1.3.1.cmml">+</mo><mrow id="A2.E68.m1.5.5.1.1.3.3.2" xref="A2.E68.m1.5.5.1.1.3.3.1.cmml"><mo id="A2.E68.m1.4.4" xref="A2.E68.m1.4.4.cmml">∇</mo><mrow id="A2.E68.m1.5.5.1.1.3.3.2.1" xref="A2.E68.m1.5.5.1.1.3.3.1.cmml"><mo id="A2.E68.m1.5.5.1.1.3.3.2.1.1" stretchy="false" xref="A2.E68.m1.5.5.1.1.3.3.1.cmml">(</mo><mfrac id="A2.E68.m1.2.2" xref="A2.E68.m1.2.2.cmml"><mi id="A2.E68.m1.2.2.3" xref="A2.E68.m1.2.2.3.cmml">𝐪</mi><mrow id="A2.E68.m1.2.2.1.3" xref="A2.E68.m1.2.2.1.2.cmml"><mo fence="true" id="A2.E68.m1.2.2.1.3.1" rspace="0em" xref="A2.E68.m1.2.2.1.2.1.cmml">∥</mo><mi id="A2.E68.m1.2.2.1.1" xref="A2.E68.m1.2.2.1.1.cmml">𝐪</mi><mo fence="true" id="A2.E68.m1.2.2.1.3.2" lspace="0em" xref="A2.E68.m1.2.2.1.2.1.cmml">∥</mo></mrow></mfrac><mo id="A2.E68.m1.5.5.1.1.3.3.2.1.2" stretchy="false" xref="A2.E68.m1.5.5.1.1.3.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="A2.E68.m1.5.5.1.2" xref="A2.E68.m1.5.5.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.E68.m1.5b"><apply id="A2.E68.m1.5.5.1.1.cmml" xref="A2.E68.m1.5.5.1"><eq id="A2.E68.m1.5.5.1.1.1.cmml" xref="A2.E68.m1.5.5.1.1.1"></eq><apply id="A2.E68.m1.5.5.1.1.2.cmml" xref="A2.E68.m1.5.5.1.1.2"><ci id="A2.E68.m1.5.5.1.1.2.1.cmml" xref="A2.E68.m1.5.5.1.1.2.1">∇</ci><apply id="A2.E68.m1.5.5.1.1.2.2.cmml" xref="A2.E68.m1.5.5.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E68.m1.5.5.1.1.2.2.1.cmml" xref="A2.E68.m1.5.5.1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="A2.E68.m1.5.5.1.1.2.2.2.cmml" xref="A2.E68.m1.5.5.1.1.2.2.2">𝐧</ci><ci id="A2.E68.m1.5.5.1.1.2.2.3.cmml" xref="A2.E68.m1.5.5.1.1.2.2.3">𝑐</ci></apply></apply><apply id="A2.E68.m1.5.5.1.1.3.cmml" xref="A2.E68.m1.5.5.1.1.3"><plus id="A2.E68.m1.5.5.1.1.3.1.cmml" xref="A2.E68.m1.5.5.1.1.3.1"></plus><apply id="A2.E68.m1.5.5.1.1.3.2.1.cmml" xref="A2.E68.m1.5.5.1.1.3.2.2"><ci id="A2.E68.m1.3.3.cmml" xref="A2.E68.m1.3.3">∇</ci><apply id="A2.E68.m1.1.1.cmml" xref="A2.E68.m1.1.1"><divide id="A2.E68.m1.1.1.2.cmml" xref="A2.E68.m1.1.1"></divide><ci id="A2.E68.m1.1.1.3.cmml" xref="A2.E68.m1.1.1.3">𝐩</ci><apply id="A2.E68.m1.1.1.1.2.cmml" xref="A2.E68.m1.1.1.1.3"><csymbol cd="latexml" id="A2.E68.m1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A2.E68.m1.1.1.1.3.1">delimited-∥∥</csymbol><ci id="A2.E68.m1.1.1.1.1.cmml" xref="A2.E68.m1.1.1.1.1">𝐩</ci></apply></apply></apply><apply id="A2.E68.m1.5.5.1.1.3.3.1.cmml" xref="A2.E68.m1.5.5.1.1.3.3.2"><ci id="A2.E68.m1.4.4.cmml" xref="A2.E68.m1.4.4">∇</ci><apply id="A2.E68.m1.2.2.cmml" xref="A2.E68.m1.2.2"><divide id="A2.E68.m1.2.2.2.cmml" xref="A2.E68.m1.2.2"></divide><ci id="A2.E68.m1.2.2.3.cmml" xref="A2.E68.m1.2.2.3">𝐪</ci><apply id="A2.E68.m1.2.2.1.2.cmml" xref="A2.E68.m1.2.2.1.3"><csymbol cd="latexml" id="A2.E68.m1.2.2.1.2.1.cmml" xref="A2.E68.m1.2.2.1.3.1">delimited-∥∥</csymbol><ci id="A2.E68.m1.2.2.1.1.cmml" xref="A2.E68.m1.2.2.1.1">𝐪</ci></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.E68.m1.5c">\nabla\mathbf{n}_{c}=\nabla(\frac{\mathbf{p}}{\lVert\mathbf{p}\rVert})+\nabla(% \frac{\mathbf{q}}{\lVert\mathbf{q}\rVert}),</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.E68.m1.5d">∇ bold_n start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT = ∇ ( divide start_ARG bold_p end_ARG start_ARG ∥ bold_p ∥ end_ARG ) + ∇ ( divide start_ARG bold_q end_ARG start_ARG ∥ bold_q ∥ end_ARG ) ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(68)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="A2.p2.9">where the gradient of the triangle height directions are</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="A2.E69"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\nabla(\frac{\mathbf{p}}{\lVert\mathbf{p}\rVert})=(\frac{\lVert\mathbf{p}% \rVert\mathbf{I}-\mathbf{p}\mathbf{p}^{T}}{\lVert\mathbf{p}\rVert^{3}})\nabla% \mathbf{p},\text{and}\ \nabla(\frac{\mathbf{q}}{\lVert\mathbf{q}\rVert})=(% \frac{\lVert\mathbf{q}\rVert\mathbf{I}-\mathbf{q}\mathbf{q}^{T}}{\lVert\mathbf% {q}\rVert^{3}})\nabla\mathbf{q}." class="ltx_Math" display="block" id="A2.E69.m1.9"><semantics id="A2.E69.m1.9a"><mrow id="A2.E69.m1.9.9.1"><mrow id="A2.E69.m1.9.9.1.1.2" xref="A2.E69.m1.9.9.1.1.3.cmml"><mrow id="A2.E69.m1.9.9.1.1.1.1" xref="A2.E69.m1.9.9.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A2.E69.m1.9.9.1.1.1.1.2.2" xref="A2.E69.m1.9.9.1.1.1.1.2.1.cmml"><mo id="A2.E69.m1.7.7" xref="A2.E69.m1.7.7.cmml">∇</mo><mrow id="A2.E69.m1.9.9.1.1.1.1.2.2.1" xref="A2.E69.m1.9.9.1.1.1.1.2.1.cmml"><mo id="A2.E69.m1.9.9.1.1.1.1.2.2.1.1" stretchy="false" xref="A2.E69.m1.9.9.1.1.1.1.2.1.cmml">(</mo><mfrac id="A2.E69.m1.1.1" xref="A2.E69.m1.1.1.cmml"><mi id="A2.E69.m1.1.1.3" xref="A2.E69.m1.1.1.3.cmml">𝐩</mi><mrow id="A2.E69.m1.1.1.1.3" xref="A2.E69.m1.1.1.1.2.cmml"><mo fence="true" id="A2.E69.m1.1.1.1.3.1" rspace="0em" xref="A2.E69.m1.1.1.1.2.1.cmml">∥</mo><mi id="A2.E69.m1.1.1.1.1" xref="A2.E69.m1.1.1.1.1.cmml">𝐩</mi><mo fence="true" id="A2.E69.m1.1.1.1.3.2" lspace="0em" xref="A2.E69.m1.1.1.1.2.1.cmml">∥</mo></mrow></mfrac><mo id="A2.E69.m1.9.9.1.1.1.1.2.2.1.2" stretchy="false" xref="A2.E69.m1.9.9.1.1.1.1.2.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A2.E69.m1.9.9.1.1.1.1.1" xref="A2.E69.m1.9.9.1.1.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="A2.E69.m1.9.9.1.1.1.1.3" xref="A2.E69.m1.9.9.1.1.1.1.3.cmml"><mrow id="A2.E69.m1.9.9.1.1.1.1.3.2.2" xref="A2.E69.m1.3.3.cmml"><mo id="A2.E69.m1.9.9.1.1.1.1.3.2.2.1" stretchy="false" xref="A2.E69.m1.3.3.cmml">(</mo><mfrac id="A2.E69.m1.3.3" xref="A2.E69.m1.3.3.cmml"><mrow id="A2.E69.m1.2.2.1" xref="A2.E69.m1.2.2.1.cmml"><mrow id="A2.E69.m1.2.2.1.3" xref="A2.E69.m1.2.2.1.3.cmml"><mrow id="A2.E69.m1.2.2.1.3.2.2" xref="A2.E69.m1.2.2.1.3.2.1.cmml"><mo fence="true" id="A2.E69.m1.2.2.1.3.2.2.1" rspace="0em" xref="A2.E69.m1.2.2.1.3.2.1.1.cmml">∥</mo><mi 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id="A2.E69.m1.9.9.1.1.2.2.3.cmml" xref="A2.E69.m1.9.9.1.1.2.2.3"><times id="A2.E69.m1.9.9.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="A2.E69.m1.9.9.1.1.2.2.3.1"></times><apply id="A2.E69.m1.6.6.cmml" xref="A2.E69.m1.9.9.1.1.2.2.3.2.2"><divide id="A2.E69.m1.6.6.3.cmml" xref="A2.E69.m1.9.9.1.1.2.2.3.2.2"></divide><apply id="A2.E69.m1.5.5.1.cmml" xref="A2.E69.m1.5.5.1"><minus id="A2.E69.m1.5.5.1.2.cmml" xref="A2.E69.m1.5.5.1.2"></minus><apply id="A2.E69.m1.5.5.1.3.cmml" xref="A2.E69.m1.5.5.1.3"><times id="A2.E69.m1.5.5.1.3.1.cmml" xref="A2.E69.m1.5.5.1.3.1"></times><apply id="A2.E69.m1.5.5.1.3.2.1.cmml" xref="A2.E69.m1.5.5.1.3.2.2"><csymbol cd="latexml" id="A2.E69.m1.5.5.1.3.2.1.1.cmml" xref="A2.E69.m1.5.5.1.3.2.2.1">delimited-∥∥</csymbol><ci id="A2.E69.m1.5.5.1.1.cmml" xref="A2.E69.m1.5.5.1.1">𝐪</ci></apply><ci id="A2.E69.m1.5.5.1.3.3.cmml" xref="A2.E69.m1.5.5.1.3.3">𝐈</ci></apply><apply id="A2.E69.m1.5.5.1.4.cmml" xref="A2.E69.m1.5.5.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E69.m1.5.5.1.4.1.cmml" xref="A2.E69.m1.5.5.1.4">superscript</csymbol><ci id="A2.E69.m1.5.5.1.4.2.cmml" xref="A2.E69.m1.5.5.1.4.2">𝐪𝐪</ci><ci id="A2.E69.m1.5.5.1.4.3.cmml" xref="A2.E69.m1.5.5.1.4.3">𝑇</ci></apply></apply><apply id="A2.E69.m1.6.6.2.cmml" xref="A2.E69.m1.6.6.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E69.m1.6.6.2.2.cmml" xref="A2.E69.m1.6.6.2">superscript</csymbol><apply id="A2.E69.m1.6.6.2.3.1.cmml" xref="A2.E69.m1.6.6.2.3.2"><csymbol cd="latexml" id="A2.E69.m1.6.6.2.3.1.1.cmml" xref="A2.E69.m1.6.6.2.3.2.1">delimited-∥∥</csymbol><ci id="A2.E69.m1.6.6.2.1.cmml" xref="A2.E69.m1.6.6.2.1">𝐪</ci></apply><cn id="A2.E69.m1.6.6.2.4.cmml" type="integer" xref="A2.E69.m1.6.6.2.4">3</cn></apply></apply><apply id="A2.E69.m1.9.9.1.1.2.2.3.3.cmml" xref="A2.E69.m1.9.9.1.1.2.2.3.3"><ci id="A2.E69.m1.9.9.1.1.2.2.3.3.1.cmml" xref="A2.E69.m1.9.9.1.1.2.2.3.3.1">∇</ci><ci id="A2.E69.m1.9.9.1.1.2.2.3.3.2.cmml" xref="A2.E69.m1.9.9.1.1.2.2.3.3.2">𝐪</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.E69.m1.9c">\nabla(\frac{\mathbf{p}}{\lVert\mathbf{p}\rVert})=(\frac{\lVert\mathbf{p}% \rVert\mathbf{I}-\mathbf{p}\mathbf{p}^{T}}{\lVert\mathbf{p}\rVert^{3}})\nabla% \mathbf{p},\text{and}\ \nabla(\frac{\mathbf{q}}{\lVert\mathbf{q}\rVert})=(% \frac{\lVert\mathbf{q}\rVert\mathbf{I}-\mathbf{q}\mathbf{q}^{T}}{\lVert\mathbf% {q}\rVert^{3}})\nabla\mathbf{q}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.E69.m1.9d">∇ ( divide start_ARG bold_p end_ARG start_ARG ∥ bold_p ∥ end_ARG ) = ( divide start_ARG ∥ bold_p ∥ bold_I - bold_pp start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG ∥ bold_p ∥ start_POSTSUPERSCRIPT 3 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG ) ∇ bold_p , and ∇ ( divide start_ARG bold_q end_ARG start_ARG ∥ bold_q ∥ end_ARG ) = ( divide start_ARG ∥ bold_q ∥ bold_I - bold_qq start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG ∥ bold_q ∥ start_POSTSUPERSCRIPT 3 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG ) ∇ bold_q .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(69)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="A2.p2.5">The components of <math alttext="\nabla\mathbf{p}" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.p2.5.m1.1"><semantics id="A2.p2.5.m1.1a"><mrow id="A2.p2.5.m1.1.1" xref="A2.p2.5.m1.1.1.cmml"><mo id="A2.p2.5.m1.1.1.1" rspace="0.167em" xref="A2.p2.5.m1.1.1.1.cmml">∇</mo><mi id="A2.p2.5.m1.1.1.2" xref="A2.p2.5.m1.1.1.2.cmml">𝐩</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.p2.5.m1.1b"><apply id="A2.p2.5.m1.1.1.cmml" xref="A2.p2.5.m1.1.1"><ci id="A2.p2.5.m1.1.1.1.cmml" xref="A2.p2.5.m1.1.1.1">∇</ci><ci id="A2.p2.5.m1.1.1.2.cmml" xref="A2.p2.5.m1.1.1.2">𝐩</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.p2.5.m1.1c">\nabla\mathbf{p}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.p2.5.m1.1d">∇ bold_p</annotation></semantics></math> are</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="A2.E70"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\begin{gathered}\frac{\partial\mathbf{p}}{\partial(\mathbf{x}_{1})^{T}}=% \mathbf{I}-\frac{\mathbf{e}\mathbf{e}^{T}}{\mathbf{e}^{2}},\frac{\partial% \mathbf{p}}{\partial(\mathbf{x}_{2})^{T}}=-\left(1-s_{p}\right)\left(\mathbf{I% }-\frac{\mathbf{e}\mathbf{e}^{T}}{\mathbf{e}^{2}}\right)+\frac{\mathbf{e}% \mathbf{p}^{T}}{\mathbf{e}^{2}},\\ \frac{\partial\mathbf{p}}{\partial(\mathbf{x}_{3})^{T}}=-s_{p}\left(\mathbf{I}% -\frac{\mathbf{e}\mathbf{e}^{T}}{\mathbf{e}^{2}}\right)-\frac{\mathbf{e}% \mathbf{p}^{T}}{\mathbf{e}^{2}},\frac{\partial\mathbf{p}}{\partial(\mathbf{x}_% {4})^{T}}=\mathbf{0},\end{gathered}" class="ltx_Math" display="block" id="A2.E70.m1.43"><semantics id="A2.E70.m1.43a"><mtable displaystyle="true" id="A2.E70.m1.43.43.3" rowspacing="0pt"><mtr id="A2.E70.m1.43.43.3a"><mtd id="A2.E70.m1.43.43.3b"><mrow id="A2.E70.m1.42.42.2.41.24.24.24"><mrow id="A2.E70.m1.42.42.2.41.24.24.24.1"><mrow id="A2.E70.m1.42.42.2.41.24.24.24.1.1.1"><mfrac id="A2.E70.m1.1.1.1.1.1.1" xref="A2.E70.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A2.E70.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A2.E70.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="A2.E70.m1.1.1.1.1.1.1.3.1" rspace="0em" xref="A2.E70.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">∂</mo><mi id="A2.E70.m1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A2.E70.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">𝐩</mi></mrow><mrow id="A2.E70.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A2.E70.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A2.E70.m1.1.1.1.1.1.1.1.2" rspace="0em" xref="A2.E70.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">∂</mo><msup id="A2.E70.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A2.E70.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A2.E70.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A2.E70.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A2.E70.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A2.E70.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="A2.E70.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A2.E70.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A2.E70.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A2.E70.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">𝐱</mi><mn id="A2.E70.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A2.E70.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="A2.E70.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A2.E70.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mi id="A2.E70.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A2.E70.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">T</mi></msup></mrow></mfrac><mo id="A2.E70.m1.2.2.2.2.2.2" xref="A2.E70.m1.2.2.2.2.2.2.cmml">=</mo><mrow id="A2.E70.m1.42.42.2.41.24.24.24.1.1.1.1"><mi id="A2.E70.m1.3.3.3.3.3.3" xref="A2.E70.m1.3.3.3.3.3.3.cmml">𝐈</mi><mo id="A2.E70.m1.4.4.4.4.4.4" xref="A2.E70.m1.4.4.4.4.4.4.cmml">−</mo><mfrac id="A2.E70.m1.5.5.5.5.5.5" xref="A2.E70.m1.5.5.5.5.5.5.cmml"><msup id="A2.E70.m1.5.5.5.5.5.5.2" xref="A2.E70.m1.5.5.5.5.5.5.2.cmml"><mi id="A2.E70.m1.5.5.5.5.5.5.2.2" xref="A2.E70.m1.5.5.5.5.5.5.2.2.cmml">𝐞𝐞</mi><mi id="A2.E70.m1.5.5.5.5.5.5.2.3" xref="A2.E70.m1.5.5.5.5.5.5.2.3.cmml">T</mi></msup><msup id="A2.E70.m1.5.5.5.5.5.5.3" xref="A2.E70.m1.5.5.5.5.5.5.3.cmml"><mi id="A2.E70.m1.5.5.5.5.5.5.3.2" xref="A2.E70.m1.5.5.5.5.5.5.3.2.cmml">𝐞</mi><mn id="A2.E70.m1.5.5.5.5.5.5.3.3" xref="A2.E70.m1.5.5.5.5.5.5.3.3.cmml">2</mn></msup></mfrac></mrow></mrow><mo id="A2.E70.m1.6.6.6.6.6.6">,</mo><mrow id="A2.E70.m1.42.42.2.41.24.24.24.1.2.2"><mfrac id="A2.E70.m1.7.7.7.7.7.7" xref="A2.E70.m1.7.7.7.7.7.7.cmml"><mrow id="A2.E70.m1.7.7.7.7.7.7.3" xref="A2.E70.m1.7.7.7.7.7.7.3.cmml"><mo id="A2.E70.m1.7.7.7.7.7.7.3.1" rspace="0em" xref="A2.E70.m1.7.7.7.7.7.7.3.1.cmml">∂</mo><mi id="A2.E70.m1.7.7.7.7.7.7.3.2" xref="A2.E70.m1.7.7.7.7.7.7.3.2.cmml">𝐩</mi></mrow><mrow id="A2.E70.m1.7.7.7.7.7.7.1" xref="A2.E70.m1.7.7.7.7.7.7.1.cmml"><mo id="A2.E70.m1.7.7.7.7.7.7.1.2" rspace="0em" xref="A2.E70.m1.7.7.7.7.7.7.1.2.cmml">∂</mo><msup id="A2.E70.m1.7.7.7.7.7.7.1.1" xref="A2.E70.m1.7.7.7.7.7.7.1.1.cmml"><mrow id="A2.E70.m1.7.7.7.7.7.7.1.1.1.1" xref="A2.E70.m1.7.7.7.7.7.7.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A2.E70.m1.7.7.7.7.7.7.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A2.E70.m1.7.7.7.7.7.7.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="A2.E70.m1.7.7.7.7.7.7.1.1.1.1.1" xref="A2.E70.m1.7.7.7.7.7.7.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A2.E70.m1.7.7.7.7.7.7.1.1.1.1.1.2" xref="A2.E70.m1.7.7.7.7.7.7.1.1.1.1.1.2.cmml">𝐱</mi><mn id="A2.E70.m1.7.7.7.7.7.7.1.1.1.1.1.3" xref="A2.E70.m1.7.7.7.7.7.7.1.1.1.1.1.3.cmml">2</mn></msub><mo id="A2.E70.m1.7.7.7.7.7.7.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A2.E70.m1.7.7.7.7.7.7.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mi id="A2.E70.m1.7.7.7.7.7.7.1.1.3" xref="A2.E70.m1.7.7.7.7.7.7.1.1.3.cmml">T</mi></msup></mrow></mfrac><mo id="A2.E70.m1.8.8.8.8.8.8" xref="A2.E70.m1.8.8.8.8.8.8.cmml">=</mo><mrow id="A2.E70.m1.42.42.2.41.24.24.24.1.2.2.2"><mrow id="A2.E70.m1.42.42.2.41.24.24.24.1.2.2.2.2"><mo id="A2.E70.m1.42.42.2.41.24.24.24.1.2.2.2.2a">−</mo><mrow id="A2.E70.m1.42.42.2.41.24.24.24.1.2.2.2.2.2"><mrow id="A2.E70.m1.42.42.2.41.24.24.24.1.2.2.1.1.1.1.1"><mo id="A2.E70.m1.10.10.10.10.10.10">(</mo><mrow id="A2.E70.m1.42.42.2.41.24.24.24.1.2.2.1.1.1.1.1.1"><mn id="A2.E70.m1.11.11.11.11.11.11" xref="A2.E70.m1.11.11.11.11.11.11.cmml">1</mn><mo id="A2.E70.m1.12.12.12.12.12.12" xref="A2.E70.m1.12.12.12.12.12.12.cmml">−</mo><msub id="A2.E70.m1.42.42.2.41.24.24.24.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1"><mi id="A2.E70.m1.13.13.13.13.13.13" xref="A2.E70.m1.13.13.13.13.13.13.cmml">s</mi><mi id="A2.E70.m1.14.14.14.14.14.14.1" xref="A2.E70.m1.14.14.14.14.14.14.1.cmml">p</mi></msub></mrow><mo id="A2.E70.m1.15.15.15.15.15.15">)</mo></mrow><mo id="A2.E70.m1.42.42.2.41.24.24.24.1.2.2.2.2.2.3">⁢</mo><mrow id="A2.E70.m1.42.42.2.41.24.24.24.1.2.2.2.2.2.2.1"><mo id="A2.E70.m1.16.16.16.16.16.16">(</mo><mrow id="A2.E70.m1.42.42.2.41.24.24.24.1.2.2.2.2.2.2.1.1"><mi id="A2.E70.m1.17.17.17.17.17.17" xref="A2.E70.m1.17.17.17.17.17.17.cmml">𝐈</mi><mo id="A2.E70.m1.18.18.18.18.18.18" xref="A2.E70.m1.18.18.18.18.18.18.cmml">−</mo><mfrac id="A2.E70.m1.19.19.19.19.19.19" xref="A2.E70.m1.19.19.19.19.19.19.cmml"><msup id="A2.E70.m1.19.19.19.19.19.19.2" xref="A2.E70.m1.19.19.19.19.19.19.2.cmml"><mi id="A2.E70.m1.19.19.19.19.19.19.2.2" xref="A2.E70.m1.19.19.19.19.19.19.2.2.cmml">𝐞𝐞</mi><mi id="A2.E70.m1.19.19.19.19.19.19.2.3" xref="A2.E70.m1.19.19.19.19.19.19.2.3.cmml">T</mi></msup><msup id="A2.E70.m1.19.19.19.19.19.19.3" xref="A2.E70.m1.19.19.19.19.19.19.3.cmml"><mi id="A2.E70.m1.19.19.19.19.19.19.3.2" xref="A2.E70.m1.19.19.19.19.19.19.3.2.cmml">𝐞</mi><mn id="A2.E70.m1.19.19.19.19.19.19.3.3" xref="A2.E70.m1.19.19.19.19.19.19.3.3.cmml">2</mn></msup></mfrac></mrow><mo id="A2.E70.m1.20.20.20.20.20.20">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="A2.E70.m1.21.21.21.21.21.21" xref="A2.E70.m1.21.21.21.21.21.21.cmml">+</mo><mfrac id="A2.E70.m1.22.22.22.22.22.22" xref="A2.E70.m1.22.22.22.22.22.22.cmml"><msup id="A2.E70.m1.22.22.22.22.22.22.2" xref="A2.E70.m1.22.22.22.22.22.22.2.cmml"><mi id="A2.E70.m1.22.22.22.22.22.22.2.2" xref="A2.E70.m1.22.22.22.22.22.22.2.2.cmml">𝐞𝐩</mi><mi id="A2.E70.m1.22.22.22.22.22.22.2.3" xref="A2.E70.m1.22.22.22.22.22.22.2.3.cmml">T</mi></msup><msup id="A2.E70.m1.22.22.22.22.22.22.3" xref="A2.E70.m1.22.22.22.22.22.22.3.cmml"><mi id="A2.E70.m1.22.22.22.22.22.22.3.2" xref="A2.E70.m1.22.22.22.22.22.22.3.2.cmml">𝐞</mi><mn id="A2.E70.m1.22.22.22.22.22.22.3.3" xref="A2.E70.m1.22.22.22.22.22.22.3.3.cmml">2</mn></msup></mfrac></mrow></mrow></mrow><mo id="A2.E70.m1.23.23.23.23.23.23">,</mo></mrow></mtd></mtr><mtr id="A2.E70.m1.43.43.3c"><mtd id="A2.E70.m1.43.43.3d"><mrow id="A2.E70.m1.43.43.3.42.18.18.18"><mrow id="A2.E70.m1.43.43.3.42.18.18.18.1"><mrow id="A2.E70.m1.43.43.3.42.18.18.18.1.1.1"><mfrac id="A2.E70.m1.24.24.24.1.1.1" xref="A2.E70.m1.24.24.24.1.1.1.cmml"><mrow id="A2.E70.m1.24.24.24.1.1.1.3" xref="A2.E70.m1.24.24.24.1.1.1.3.cmml"><mo id="A2.E70.m1.24.24.24.1.1.1.3.1" rspace="0em" xref="A2.E70.m1.24.24.24.1.1.1.3.1.cmml">∂</mo><mi id="A2.E70.m1.24.24.24.1.1.1.3.2" xref="A2.E70.m1.24.24.24.1.1.1.3.2.cmml">𝐩</mi></mrow><mrow id="A2.E70.m1.24.24.24.1.1.1.1" xref="A2.E70.m1.24.24.24.1.1.1.1.cmml"><mo id="A2.E70.m1.24.24.24.1.1.1.1.2" rspace="0em" xref="A2.E70.m1.24.24.24.1.1.1.1.2.cmml">∂</mo><msup id="A2.E70.m1.24.24.24.1.1.1.1.1" xref="A2.E70.m1.24.24.24.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A2.E70.m1.24.24.24.1.1.1.1.1.1.1" xref="A2.E70.m1.24.24.24.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A2.E70.m1.24.24.24.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A2.E70.m1.24.24.24.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="A2.E70.m1.24.24.24.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A2.E70.m1.24.24.24.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A2.E70.m1.24.24.24.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A2.E70.m1.24.24.24.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">𝐱</mi><mn id="A2.E70.m1.24.24.24.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A2.E70.m1.24.24.24.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">3</mn></msub><mo id="A2.E70.m1.24.24.24.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A2.E70.m1.24.24.24.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mi id="A2.E70.m1.24.24.24.1.1.1.1.1.3" xref="A2.E70.m1.24.24.24.1.1.1.1.1.3.cmml">T</mi></msup></mrow></mfrac><mo id="A2.E70.m1.25.25.25.2.2.2" xref="A2.E70.m1.25.25.25.2.2.2.cmml">=</mo><mrow id="A2.E70.m1.43.43.3.42.18.18.18.1.1.1.1"><mrow id="A2.E70.m1.43.43.3.42.18.18.18.1.1.1.1.1"><mo id="A2.E70.m1.43.43.3.42.18.18.18.1.1.1.1.1a">−</mo><mrow id="A2.E70.m1.43.43.3.42.18.18.18.1.1.1.1.1.1"><msub id="A2.E70.m1.43.43.3.42.18.18.18.1.1.1.1.1.1.3"><mi id="A2.E70.m1.27.27.27.4.4.4" xref="A2.E70.m1.27.27.27.4.4.4.cmml">s</mi><mi id="A2.E70.m1.28.28.28.5.5.5.1" xref="A2.E70.m1.28.28.28.5.5.5.1.cmml">p</mi></msub><mo id="A2.E70.m1.43.43.3.42.18.18.18.1.1.1.1.1.1.2">⁢</mo><mrow id="A2.E70.m1.43.43.3.42.18.18.18.1.1.1.1.1.1.1.1"><mo id="A2.E70.m1.29.29.29.6.6.6">(</mo><mrow id="A2.E70.m1.43.43.3.42.18.18.18.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><mi id="A2.E70.m1.30.30.30.7.7.7" xref="A2.E70.m1.30.30.30.7.7.7.cmml">𝐈</mi><mo id="A2.E70.m1.31.31.31.8.8.8" xref="A2.E70.m1.31.31.31.8.8.8.cmml">−</mo><mfrac id="A2.E70.m1.32.32.32.9.9.9" xref="A2.E70.m1.32.32.32.9.9.9.cmml"><msup id="A2.E70.m1.32.32.32.9.9.9.2" xref="A2.E70.m1.32.32.32.9.9.9.2.cmml"><mi id="A2.E70.m1.32.32.32.9.9.9.2.2" xref="A2.E70.m1.32.32.32.9.9.9.2.2.cmml">𝐞𝐞</mi><mi id="A2.E70.m1.32.32.32.9.9.9.2.3" xref="A2.E70.m1.32.32.32.9.9.9.2.3.cmml">T</mi></msup><msup id="A2.E70.m1.32.32.32.9.9.9.3" xref="A2.E70.m1.32.32.32.9.9.9.3.cmml"><mi id="A2.E70.m1.32.32.32.9.9.9.3.2" xref="A2.E70.m1.32.32.32.9.9.9.3.2.cmml">𝐞</mi><mn id="A2.E70.m1.32.32.32.9.9.9.3.3" xref="A2.E70.m1.32.32.32.9.9.9.3.3.cmml">2</mn></msup></mfrac></mrow><mo id="A2.E70.m1.33.33.33.10.10.10">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="A2.E70.m1.34.34.34.11.11.11" xref="A2.E70.m1.34.34.34.11.11.11.cmml">−</mo><mfrac id="A2.E70.m1.35.35.35.12.12.12" xref="A2.E70.m1.35.35.35.12.12.12.cmml"><msup id="A2.E70.m1.35.35.35.12.12.12.2" xref="A2.E70.m1.35.35.35.12.12.12.2.cmml"><mi id="A2.E70.m1.35.35.35.12.12.12.2.2" xref="A2.E70.m1.35.35.35.12.12.12.2.2.cmml">𝐞𝐩</mi><mi id="A2.E70.m1.35.35.35.12.12.12.2.3" xref="A2.E70.m1.35.35.35.12.12.12.2.3.cmml">T</mi></msup><msup id="A2.E70.m1.35.35.35.12.12.12.3" xref="A2.E70.m1.35.35.35.12.12.12.3.cmml"><mi id="A2.E70.m1.35.35.35.12.12.12.3.2" xref="A2.E70.m1.35.35.35.12.12.12.3.2.cmml">𝐞</mi><mn id="A2.E70.m1.35.35.35.12.12.12.3.3" xref="A2.E70.m1.35.35.35.12.12.12.3.3.cmml">2</mn></msup></mfrac></mrow></mrow><mo id="A2.E70.m1.36.36.36.13.13.13">,</mo><mrow id="A2.E70.m1.43.43.3.42.18.18.18.1.2.2"><mfrac id="A2.E70.m1.37.37.37.14.14.14" xref="A2.E70.m1.37.37.37.14.14.14.cmml"><mrow id="A2.E70.m1.37.37.37.14.14.14.3" xref="A2.E70.m1.37.37.37.14.14.14.3.cmml"><mo id="A2.E70.m1.37.37.37.14.14.14.3.1" rspace="0em" xref="A2.E70.m1.37.37.37.14.14.14.3.1.cmml">∂</mo><mi id="A2.E70.m1.37.37.37.14.14.14.3.2" xref="A2.E70.m1.37.37.37.14.14.14.3.2.cmml">𝐩</mi></mrow><mrow id="A2.E70.m1.37.37.37.14.14.14.1" xref="A2.E70.m1.37.37.37.14.14.14.1.cmml"><mo id="A2.E70.m1.37.37.37.14.14.14.1.2" rspace="0em" xref="A2.E70.m1.37.37.37.14.14.14.1.2.cmml">∂</mo><msup id="A2.E70.m1.37.37.37.14.14.14.1.1" xref="A2.E70.m1.37.37.37.14.14.14.1.1.cmml"><mrow id="A2.E70.m1.37.37.37.14.14.14.1.1.1.1" xref="A2.E70.m1.37.37.37.14.14.14.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A2.E70.m1.37.37.37.14.14.14.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A2.E70.m1.37.37.37.14.14.14.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="A2.E70.m1.37.37.37.14.14.14.1.1.1.1.1" xref="A2.E70.m1.37.37.37.14.14.14.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A2.E70.m1.37.37.37.14.14.14.1.1.1.1.1.2" xref="A2.E70.m1.37.37.37.14.14.14.1.1.1.1.1.2.cmml">𝐱</mi><mn id="A2.E70.m1.37.37.37.14.14.14.1.1.1.1.1.3" xref="A2.E70.m1.37.37.37.14.14.14.1.1.1.1.1.3.cmml">4</mn></msub><mo id="A2.E70.m1.37.37.37.14.14.14.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A2.E70.m1.37.37.37.14.14.14.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mi id="A2.E70.m1.37.37.37.14.14.14.1.1.3" xref="A2.E70.m1.37.37.37.14.14.14.1.1.3.cmml">T</mi></msup></mrow></mfrac><mo id="A2.E70.m1.38.38.38.15.15.15" xref="A2.E70.m1.38.38.38.15.15.15.cmml">=</mo><mn id="A2.E70.m1.39.39.39.16.16.16" xref="A2.E70.m1.39.39.39.16.16.16.cmml">𝟎</mn></mrow></mrow><mo id="A2.E70.m1.40.40.40.17.17.17">,</mo></mrow></mtd></mtr></mtable><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.E70.m1.43b"><apply id="A2.E70.m1.41.41.1.1.1.3.cmml"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E70.m1.41.41.1.1.1.3a.cmml">formulae-sequence</csymbol><apply id="A2.E70.m1.41.41.1.1.1.1.1.cmml"><eq id="A2.E70.m1.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="A2.E70.m1.2.2.2.2.2.2"></eq><apply id="A2.E70.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A2.E70.m1.1.1.1.1.1.1"><divide id="A2.E70.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A2.E70.m1.1.1.1.1.1.1"></divide><apply id="A2.E70.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A2.E70.m1.1.1.1.1.1.1.3"><partialdiff id="A2.E70.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A2.E70.m1.1.1.1.1.1.1.3.1"></partialdiff><ci id="A2.E70.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A2.E70.m1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝐩</ci></apply><apply id="A2.E70.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A2.E70.m1.1.1.1.1.1.1.1"><partialdiff id="A2.E70.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A2.E70.m1.1.1.1.1.1.1.1.2"></partialdiff><apply id="A2.E70.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A2.E70.m1.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E70.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A2.E70.m1.1.1.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="A2.E70.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A2.E70.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E70.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A2.E70.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="A2.E70.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A2.E70.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝐱</ci><cn id="A2.E70.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A2.E70.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">1</cn></apply><ci id="A2.E70.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A2.E70.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑇</ci></apply></apply></apply><apply id="A2.E70.m1.41.41.1.1.1.1.1.3.cmml"><minus id="A2.E70.m1.4.4.4.4.4.4.cmml" xref="A2.E70.m1.4.4.4.4.4.4"></minus><ci id="A2.E70.m1.3.3.3.3.3.3.cmml" xref="A2.E70.m1.3.3.3.3.3.3">𝐈</ci><apply id="A2.E70.m1.5.5.5.5.5.5.cmml" xref="A2.E70.m1.5.5.5.5.5.5"><divide id="A2.E70.m1.5.5.5.5.5.5.1.cmml" xref="A2.E70.m1.5.5.5.5.5.5"></divide><apply id="A2.E70.m1.5.5.5.5.5.5.2.cmml" xref="A2.E70.m1.5.5.5.5.5.5.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E70.m1.5.5.5.5.5.5.2.1.cmml" xref="A2.E70.m1.5.5.5.5.5.5.2">superscript</csymbol><ci id="A2.E70.m1.5.5.5.5.5.5.2.2.cmml" xref="A2.E70.m1.5.5.5.5.5.5.2.2">𝐞𝐞</ci><ci id="A2.E70.m1.5.5.5.5.5.5.2.3.cmml" xref="A2.E70.m1.5.5.5.5.5.5.2.3">𝑇</ci></apply><apply id="A2.E70.m1.5.5.5.5.5.5.3.cmml" xref="A2.E70.m1.5.5.5.5.5.5.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E70.m1.5.5.5.5.5.5.3.1.cmml" xref="A2.E70.m1.5.5.5.5.5.5.3">superscript</csymbol><ci id="A2.E70.m1.5.5.5.5.5.5.3.2.cmml" xref="A2.E70.m1.5.5.5.5.5.5.3.2">𝐞</ci><cn id="A2.E70.m1.5.5.5.5.5.5.3.3.cmml" type="integer" xref="A2.E70.m1.5.5.5.5.5.5.3.3">2</cn></apply></apply></apply></apply><apply id="A2.E70.m1.41.41.1.1.1.2.2.3.cmml"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E70.m1.41.41.1.1.1.2.2.3a.cmml">formulae-sequence</csymbol><apply id="A2.E70.m1.41.41.1.1.1.2.2.1.1.cmml"><eq id="A2.E70.m1.8.8.8.8.8.8.cmml" xref="A2.E70.m1.8.8.8.8.8.8"></eq><apply id="A2.E70.m1.7.7.7.7.7.7.cmml" xref="A2.E70.m1.7.7.7.7.7.7"><divide id="A2.E70.m1.7.7.7.7.7.7.2.cmml" xref="A2.E70.m1.7.7.7.7.7.7"></divide><apply id="A2.E70.m1.7.7.7.7.7.7.3.cmml" xref="A2.E70.m1.7.7.7.7.7.7.3"><partialdiff id="A2.E70.m1.7.7.7.7.7.7.3.1.cmml" xref="A2.E70.m1.7.7.7.7.7.7.3.1"></partialdiff><ci id="A2.E70.m1.7.7.7.7.7.7.3.2.cmml" xref="A2.E70.m1.7.7.7.7.7.7.3.2">𝐩</ci></apply><apply id="A2.E70.m1.7.7.7.7.7.7.1.cmml" xref="A2.E70.m1.7.7.7.7.7.7.1"><partialdiff id="A2.E70.m1.7.7.7.7.7.7.1.2.cmml" xref="A2.E70.m1.7.7.7.7.7.7.1.2"></partialdiff><apply id="A2.E70.m1.7.7.7.7.7.7.1.1.cmml" xref="A2.E70.m1.7.7.7.7.7.7.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E70.m1.7.7.7.7.7.7.1.1.2.cmml" xref="A2.E70.m1.7.7.7.7.7.7.1.1">superscript</csymbol><apply id="A2.E70.m1.7.7.7.7.7.7.1.1.1.1.1.cmml" xref="A2.E70.m1.7.7.7.7.7.7.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E70.m1.7.7.7.7.7.7.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A2.E70.m1.7.7.7.7.7.7.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="A2.E70.m1.7.7.7.7.7.7.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A2.E70.m1.7.7.7.7.7.7.1.1.1.1.1.2">𝐱</ci><cn id="A2.E70.m1.7.7.7.7.7.7.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A2.E70.m1.7.7.7.7.7.7.1.1.1.1.1.3">2</cn></apply><ci id="A2.E70.m1.7.7.7.7.7.7.1.1.3.cmml" xref="A2.E70.m1.7.7.7.7.7.7.1.1.3">𝑇</ci></apply></apply></apply><apply id="A2.E70.m1.41.41.1.1.1.2.2.1.1.2.cmml"><plus id="A2.E70.m1.21.21.21.21.21.21.cmml" xref="A2.E70.m1.21.21.21.21.21.21"></plus><apply id="A2.E70.m1.41.41.1.1.1.2.2.1.1.2.2.cmml"><minus id="A2.E70.m1.9.9.9.9.9.9.cmml"></minus><apply id="A2.E70.m1.41.41.1.1.1.2.2.1.1.2.2.2.cmml"><times id="A2.E70.m1.41.41.1.1.1.2.2.1.1.2.2.2.3.cmml"></times><apply id="A2.E70.m1.41.41.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><minus id="A2.E70.m1.12.12.12.12.12.12.cmml" xref="A2.E70.m1.12.12.12.12.12.12"></minus><cn id="A2.E70.m1.11.11.11.11.11.11.cmml" type="integer" xref="A2.E70.m1.11.11.11.11.11.11">1</cn><apply id="A2.E70.m1.41.41.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E70.m1.41.41.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">subscript</csymbol><ci id="A2.E70.m1.13.13.13.13.13.13.cmml" xref="A2.E70.m1.13.13.13.13.13.13">𝑠</ci><ci id="A2.E70.m1.14.14.14.14.14.14.1.cmml" xref="A2.E70.m1.14.14.14.14.14.14.1">𝑝</ci></apply></apply><apply id="A2.E70.m1.41.41.1.1.1.2.2.1.1.2.2.2.2.1.1.cmml"><minus id="A2.E70.m1.18.18.18.18.18.18.cmml" xref="A2.E70.m1.18.18.18.18.18.18"></minus><ci id="A2.E70.m1.17.17.17.17.17.17.cmml" xref="A2.E70.m1.17.17.17.17.17.17">𝐈</ci><apply id="A2.E70.m1.19.19.19.19.19.19.cmml" xref="A2.E70.m1.19.19.19.19.19.19"><divide id="A2.E70.m1.19.19.19.19.19.19.1.cmml" xref="A2.E70.m1.19.19.19.19.19.19"></divide><apply id="A2.E70.m1.19.19.19.19.19.19.2.cmml" xref="A2.E70.m1.19.19.19.19.19.19.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E70.m1.19.19.19.19.19.19.2.1.cmml" xref="A2.E70.m1.19.19.19.19.19.19.2">superscript</csymbol><ci id="A2.E70.m1.19.19.19.19.19.19.2.2.cmml" xref="A2.E70.m1.19.19.19.19.19.19.2.2">𝐞𝐞</ci><ci id="A2.E70.m1.19.19.19.19.19.19.2.3.cmml" xref="A2.E70.m1.19.19.19.19.19.19.2.3">𝑇</ci></apply><apply id="A2.E70.m1.19.19.19.19.19.19.3.cmml" xref="A2.E70.m1.19.19.19.19.19.19.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E70.m1.19.19.19.19.19.19.3.1.cmml" xref="A2.E70.m1.19.19.19.19.19.19.3">superscript</csymbol><ci id="A2.E70.m1.19.19.19.19.19.19.3.2.cmml" xref="A2.E70.m1.19.19.19.19.19.19.3.2">𝐞</ci><cn id="A2.E70.m1.19.19.19.19.19.19.3.3.cmml" type="integer" xref="A2.E70.m1.19.19.19.19.19.19.3.3">2</cn></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="A2.E70.m1.22.22.22.22.22.22.cmml" xref="A2.E70.m1.22.22.22.22.22.22"><divide id="A2.E70.m1.22.22.22.22.22.22.1.cmml" xref="A2.E70.m1.22.22.22.22.22.22"></divide><apply id="A2.E70.m1.22.22.22.22.22.22.2.cmml" xref="A2.E70.m1.22.22.22.22.22.22.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E70.m1.22.22.22.22.22.22.2.1.cmml" xref="A2.E70.m1.22.22.22.22.22.22.2">superscript</csymbol><ci id="A2.E70.m1.22.22.22.22.22.22.2.2.cmml" xref="A2.E70.m1.22.22.22.22.22.22.2.2">𝐞𝐩</ci><ci id="A2.E70.m1.22.22.22.22.22.22.2.3.cmml" xref="A2.E70.m1.22.22.22.22.22.22.2.3">𝑇</ci></apply><apply id="A2.E70.m1.22.22.22.22.22.22.3.cmml" xref="A2.E70.m1.22.22.22.22.22.22.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E70.m1.22.22.22.22.22.22.3.1.cmml" xref="A2.E70.m1.22.22.22.22.22.22.3">superscript</csymbol><ci id="A2.E70.m1.22.22.22.22.22.22.3.2.cmml" xref="A2.E70.m1.22.22.22.22.22.22.3.2">𝐞</ci><cn id="A2.E70.m1.22.22.22.22.22.22.3.3.cmml" type="integer" xref="A2.E70.m1.22.22.22.22.22.22.3.3">2</cn></apply></apply></apply></apply><apply id="A2.E70.m1.41.41.1.1.1.2.2.2.2.3.cmml"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E70.m1.41.41.1.1.1.2.2.2.2.3a.cmml">formulae-sequence</csymbol><apply id="A2.E70.m1.41.41.1.1.1.2.2.2.2.1.1.cmml"><eq id="A2.E70.m1.25.25.25.2.2.2.cmml" xref="A2.E70.m1.25.25.25.2.2.2"></eq><apply id="A2.E70.m1.24.24.24.1.1.1.cmml" xref="A2.E70.m1.24.24.24.1.1.1"><divide id="A2.E70.m1.24.24.24.1.1.1.2.cmml" xref="A2.E70.m1.24.24.24.1.1.1"></divide><apply id="A2.E70.m1.24.24.24.1.1.1.3.cmml" xref="A2.E70.m1.24.24.24.1.1.1.3"><partialdiff id="A2.E70.m1.24.24.24.1.1.1.3.1.cmml" xref="A2.E70.m1.24.24.24.1.1.1.3.1"></partialdiff><ci id="A2.E70.m1.24.24.24.1.1.1.3.2.cmml" xref="A2.E70.m1.24.24.24.1.1.1.3.2">𝐩</ci></apply><apply id="A2.E70.m1.24.24.24.1.1.1.1.cmml" xref="A2.E70.m1.24.24.24.1.1.1.1"><partialdiff id="A2.E70.m1.24.24.24.1.1.1.1.2.cmml" xref="A2.E70.m1.24.24.24.1.1.1.1.2"></partialdiff><apply id="A2.E70.m1.24.24.24.1.1.1.1.1.cmml" xref="A2.E70.m1.24.24.24.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E70.m1.24.24.24.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A2.E70.m1.24.24.24.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="A2.E70.m1.24.24.24.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A2.E70.m1.24.24.24.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E70.m1.24.24.24.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A2.E70.m1.24.24.24.1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="A2.E70.m1.24.24.24.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A2.E70.m1.24.24.24.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝐱</ci><cn id="A2.E70.m1.24.24.24.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A2.E70.m1.24.24.24.1.1.1.1.1.1.1.1.3">3</cn></apply><ci id="A2.E70.m1.24.24.24.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A2.E70.m1.24.24.24.1.1.1.1.1.3">𝑇</ci></apply></apply></apply><apply id="A2.E70.m1.41.41.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.cmml"><minus id="A2.E70.m1.34.34.34.11.11.11.cmml" xref="A2.E70.m1.34.34.34.11.11.11"></minus><apply id="A2.E70.m1.41.41.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.cmml"><minus id="A2.E70.m1.26.26.26.3.3.3.cmml"></minus><apply id="A2.E70.m1.41.41.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><times id="A2.E70.m1.41.41.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml"></times><apply id="A2.E70.m1.41.41.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E70.m1.41.41.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.3.1.cmml">subscript</csymbol><ci id="A2.E70.m1.27.27.27.4.4.4.cmml" xref="A2.E70.m1.27.27.27.4.4.4">𝑠</ci><ci id="A2.E70.m1.28.28.28.5.5.5.1.cmml" xref="A2.E70.m1.28.28.28.5.5.5.1">𝑝</ci></apply><apply id="A2.E70.m1.41.41.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><minus id="A2.E70.m1.31.31.31.8.8.8.cmml" xref="A2.E70.m1.31.31.31.8.8.8"></minus><ci id="A2.E70.m1.30.30.30.7.7.7.cmml" xref="A2.E70.m1.30.30.30.7.7.7">𝐈</ci><apply id="A2.E70.m1.32.32.32.9.9.9.cmml" xref="A2.E70.m1.32.32.32.9.9.9"><divide id="A2.E70.m1.32.32.32.9.9.9.1.cmml" xref="A2.E70.m1.32.32.32.9.9.9"></divide><apply id="A2.E70.m1.32.32.32.9.9.9.2.cmml" xref="A2.E70.m1.32.32.32.9.9.9.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E70.m1.32.32.32.9.9.9.2.1.cmml" xref="A2.E70.m1.32.32.32.9.9.9.2">superscript</csymbol><ci id="A2.E70.m1.32.32.32.9.9.9.2.2.cmml" xref="A2.E70.m1.32.32.32.9.9.9.2.2">𝐞𝐞</ci><ci id="A2.E70.m1.32.32.32.9.9.9.2.3.cmml" xref="A2.E70.m1.32.32.32.9.9.9.2.3">𝑇</ci></apply><apply id="A2.E70.m1.32.32.32.9.9.9.3.cmml" xref="A2.E70.m1.32.32.32.9.9.9.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E70.m1.32.32.32.9.9.9.3.1.cmml" xref="A2.E70.m1.32.32.32.9.9.9.3">superscript</csymbol><ci id="A2.E70.m1.32.32.32.9.9.9.3.2.cmml" xref="A2.E70.m1.32.32.32.9.9.9.3.2">𝐞</ci><cn id="A2.E70.m1.32.32.32.9.9.9.3.3.cmml" type="integer" xref="A2.E70.m1.32.32.32.9.9.9.3.3">2</cn></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="A2.E70.m1.35.35.35.12.12.12.cmml" xref="A2.E70.m1.35.35.35.12.12.12"><divide id="A2.E70.m1.35.35.35.12.12.12.1.cmml" xref="A2.E70.m1.35.35.35.12.12.12"></divide><apply id="A2.E70.m1.35.35.35.12.12.12.2.cmml" xref="A2.E70.m1.35.35.35.12.12.12.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E70.m1.35.35.35.12.12.12.2.1.cmml" xref="A2.E70.m1.35.35.35.12.12.12.2">superscript</csymbol><ci id="A2.E70.m1.35.35.35.12.12.12.2.2.cmml" xref="A2.E70.m1.35.35.35.12.12.12.2.2">𝐞𝐩</ci><ci id="A2.E70.m1.35.35.35.12.12.12.2.3.cmml" xref="A2.E70.m1.35.35.35.12.12.12.2.3">𝑇</ci></apply><apply id="A2.E70.m1.35.35.35.12.12.12.3.cmml" xref="A2.E70.m1.35.35.35.12.12.12.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E70.m1.35.35.35.12.12.12.3.1.cmml" xref="A2.E70.m1.35.35.35.12.12.12.3">superscript</csymbol><ci id="A2.E70.m1.35.35.35.12.12.12.3.2.cmml" xref="A2.E70.m1.35.35.35.12.12.12.3.2">𝐞</ci><cn id="A2.E70.m1.35.35.35.12.12.12.3.3.cmml" type="integer" xref="A2.E70.m1.35.35.35.12.12.12.3.3">2</cn></apply></apply></apply></apply><apply id="A2.E70.m1.41.41.1.1.1.2.2.2.2.2.2.cmml"><eq id="A2.E70.m1.38.38.38.15.15.15.cmml" xref="A2.E70.m1.38.38.38.15.15.15"></eq><apply id="A2.E70.m1.37.37.37.14.14.14.cmml" xref="A2.E70.m1.37.37.37.14.14.14"><divide id="A2.E70.m1.37.37.37.14.14.14.2.cmml" xref="A2.E70.m1.37.37.37.14.14.14"></divide><apply id="A2.E70.m1.37.37.37.14.14.14.3.cmml" xref="A2.E70.m1.37.37.37.14.14.14.3"><partialdiff id="A2.E70.m1.37.37.37.14.14.14.3.1.cmml" xref="A2.E70.m1.37.37.37.14.14.14.3.1"></partialdiff><ci id="A2.E70.m1.37.37.37.14.14.14.3.2.cmml" xref="A2.E70.m1.37.37.37.14.14.14.3.2">𝐩</ci></apply><apply id="A2.E70.m1.37.37.37.14.14.14.1.cmml" xref="A2.E70.m1.37.37.37.14.14.14.1"><partialdiff id="A2.E70.m1.37.37.37.14.14.14.1.2.cmml" xref="A2.E70.m1.37.37.37.14.14.14.1.2"></partialdiff><apply id="A2.E70.m1.37.37.37.14.14.14.1.1.cmml" xref="A2.E70.m1.37.37.37.14.14.14.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E70.m1.37.37.37.14.14.14.1.1.2.cmml" xref="A2.E70.m1.37.37.37.14.14.14.1.1">superscript</csymbol><apply id="A2.E70.m1.37.37.37.14.14.14.1.1.1.1.1.cmml" xref="A2.E70.m1.37.37.37.14.14.14.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E70.m1.37.37.37.14.14.14.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A2.E70.m1.37.37.37.14.14.14.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="A2.E70.m1.37.37.37.14.14.14.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A2.E70.m1.37.37.37.14.14.14.1.1.1.1.1.2">𝐱</ci><cn id="A2.E70.m1.37.37.37.14.14.14.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A2.E70.m1.37.37.37.14.14.14.1.1.1.1.1.3">4</cn></apply><ci id="A2.E70.m1.37.37.37.14.14.14.1.1.3.cmml" xref="A2.E70.m1.37.37.37.14.14.14.1.1.3">𝑇</ci></apply></apply></apply><cn id="A2.E70.m1.39.39.39.16.16.16.cmml" type="integer" xref="A2.E70.m1.39.39.39.16.16.16">0</cn></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.E70.m1.43c">\begin{gathered}\frac{\partial\mathbf{p}}{\partial(\mathbf{x}_{1})^{T}}=% \mathbf{I}-\frac{\mathbf{e}\mathbf{e}^{T}}{\mathbf{e}^{2}},\frac{\partial% \mathbf{p}}{\partial(\mathbf{x}_{2})^{T}}=-\left(1-s_{p}\right)\left(\mathbf{I% }-\frac{\mathbf{e}\mathbf{e}^{T}}{\mathbf{e}^{2}}\right)+\frac{\mathbf{e}% \mathbf{p}^{T}}{\mathbf{e}^{2}},\\ \frac{\partial\mathbf{p}}{\partial(\mathbf{x}_{3})^{T}}=-s_{p}\left(\mathbf{I}% -\frac{\mathbf{e}\mathbf{e}^{T}}{\mathbf{e}^{2}}\right)-\frac{\mathbf{e}% \mathbf{p}^{T}}{\mathbf{e}^{2}},\frac{\partial\mathbf{p}}{\partial(\mathbf{x}_% {4})^{T}}=\mathbf{0},\end{gathered}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.E70.m1.43d">start_ROW start_CELL divide start_ARG ∂ bold_p end_ARG start_ARG ∂ ( bold_x start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG = bold_I - divide start_ARG bold_ee start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG bold_e start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG , divide start_ARG ∂ bold_p end_ARG start_ARG ∂ ( bold_x start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG = - ( 1 - italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_p end_POSTSUBSCRIPT ) ( bold_I - divide start_ARG bold_ee start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG bold_e start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG ) + divide start_ARG bold_ep start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG bold_e start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG , end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL divide start_ARG ∂ bold_p end_ARG start_ARG ∂ ( bold_x start_POSTSUBSCRIPT 3 end_POSTSUBSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG = - italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_p end_POSTSUBSCRIPT ( bold_I - divide start_ARG bold_ee start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG bold_e start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG ) - divide start_ARG bold_ep start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG bold_e start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG , divide start_ARG ∂ bold_p end_ARG start_ARG ∂ ( bold_x start_POSTSUBSCRIPT 4 end_POSTSUBSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG = bold_0 , end_CELL end_ROW</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(70)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="A2.p2.6">and the components of <math alttext="\nabla\mathbf{q}" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.p2.6.m1.1"><semantics id="A2.p2.6.m1.1a"><mrow id="A2.p2.6.m1.1.1" xref="A2.p2.6.m1.1.1.cmml"><mo id="A2.p2.6.m1.1.1.1" rspace="0.167em" xref="A2.p2.6.m1.1.1.1.cmml">∇</mo><mi id="A2.p2.6.m1.1.1.2" xref="A2.p2.6.m1.1.1.2.cmml">𝐪</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.p2.6.m1.1b"><apply id="A2.p2.6.m1.1.1.cmml" xref="A2.p2.6.m1.1.1"><ci id="A2.p2.6.m1.1.1.1.cmml" xref="A2.p2.6.m1.1.1.1">∇</ci><ci id="A2.p2.6.m1.1.1.2.cmml" xref="A2.p2.6.m1.1.1.2">𝐪</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.p2.6.m1.1c">\nabla\mathbf{q}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.p2.6.m1.1d">∇ bold_q</annotation></semantics></math> are</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="A2.E71"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\begin{gathered}\frac{\partial\mathbf{q}}{\partial(\mathbf{x}_{1})^{T}}=% \mathbf{0},\frac{\partial\mathbf{q}}{\partial(\mathbf{x}_{2})^{T}}=-\left(1-s_% {q}\right)\left(\mathbf{I}-\frac{\mathbf{e}\mathbf{e}^{T}}{\mathbf{e}^{2}}% \right)+\frac{\mathbf{e}\mathbf{q}^{T}}{\mathbf{e}^{2}},\\ \frac{\partial\mathbf{q}}{\partial(\mathbf{x}_{3})^{T}}=-s_{q}\left(\mathbf{I}% -\frac{\mathbf{e}\mathbf{e}^{T}}{\mathbf{e}^{2}}\right)-\frac{\mathbf{e}% \mathbf{q}^{T}}{\mathbf{e}^{2}},\frac{\partial\mathbf{q}}{\partial(\mathbf{x}_% {4})^{T}}=\mathbf{I}-\frac{\mathbf{e}\mathbf{e}^{T}}{\mathbf{e}^{2}}.\end{gathered}" class="ltx_Math" display="block" id="A2.E71.m1.43"><semantics id="A2.E71.m1.43a"><mtable displaystyle="true" id="A2.E71.m1.43.43.3" rowspacing="0pt"><mtr id="A2.E71.m1.43.43.3a"><mtd id="A2.E71.m1.43.43.3b"><mrow id="A2.E71.m1.42.42.2.41.22.22.22"><mrow id="A2.E71.m1.42.42.2.41.22.22.22.1"><mrow id="A2.E71.m1.42.42.2.41.22.22.22.1.1.1"><mfrac id="A2.E71.m1.1.1.1.1.1.1" xref="A2.E71.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A2.E71.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A2.E71.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="A2.E71.m1.1.1.1.1.1.1.3.1" rspace="0em" xref="A2.E71.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">∂</mo><mi id="A2.E71.m1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A2.E71.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">𝐪</mi></mrow><mrow id="A2.E71.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A2.E71.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A2.E71.m1.1.1.1.1.1.1.1.2" rspace="0em" xref="A2.E71.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">∂</mo><msup id="A2.E71.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A2.E71.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A2.E71.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A2.E71.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A2.E71.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A2.E71.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="A2.E71.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A2.E71.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A2.E71.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A2.E71.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">𝐱</mi><mn id="A2.E71.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A2.E71.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="A2.E71.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A2.E71.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mi id="A2.E71.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A2.E71.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">T</mi></msup></mrow></mfrac><mo id="A2.E71.m1.2.2.2.2.2.2" xref="A2.E71.m1.2.2.2.2.2.2.cmml">=</mo><mn id="A2.E71.m1.3.3.3.3.3.3" xref="A2.E71.m1.3.3.3.3.3.3.cmml">𝟎</mn></mrow><mo id="A2.E71.m1.4.4.4.4.4.4">,</mo><mrow id="A2.E71.m1.42.42.2.41.22.22.22.1.2.2"><mfrac id="A2.E71.m1.5.5.5.5.5.5" xref="A2.E71.m1.5.5.5.5.5.5.cmml"><mrow id="A2.E71.m1.5.5.5.5.5.5.3" xref="A2.E71.m1.5.5.5.5.5.5.3.cmml"><mo id="A2.E71.m1.5.5.5.5.5.5.3.1" rspace="0em" xref="A2.E71.m1.5.5.5.5.5.5.3.1.cmml">∂</mo><mi id="A2.E71.m1.5.5.5.5.5.5.3.2" xref="A2.E71.m1.5.5.5.5.5.5.3.2.cmml">𝐪</mi></mrow><mrow id="A2.E71.m1.5.5.5.5.5.5.1" xref="A2.E71.m1.5.5.5.5.5.5.1.cmml"><mo id="A2.E71.m1.5.5.5.5.5.5.1.2" rspace="0em" xref="A2.E71.m1.5.5.5.5.5.5.1.2.cmml">∂</mo><msup id="A2.E71.m1.5.5.5.5.5.5.1.1" xref="A2.E71.m1.5.5.5.5.5.5.1.1.cmml"><mrow id="A2.E71.m1.5.5.5.5.5.5.1.1.1.1" xref="A2.E71.m1.5.5.5.5.5.5.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A2.E71.m1.5.5.5.5.5.5.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A2.E71.m1.5.5.5.5.5.5.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="A2.E71.m1.5.5.5.5.5.5.1.1.1.1.1" xref="A2.E71.m1.5.5.5.5.5.5.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A2.E71.m1.5.5.5.5.5.5.1.1.1.1.1.2" xref="A2.E71.m1.5.5.5.5.5.5.1.1.1.1.1.2.cmml">𝐱</mi><mn id="A2.E71.m1.5.5.5.5.5.5.1.1.1.1.1.3" xref="A2.E71.m1.5.5.5.5.5.5.1.1.1.1.1.3.cmml">2</mn></msub><mo id="A2.E71.m1.5.5.5.5.5.5.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A2.E71.m1.5.5.5.5.5.5.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mi id="A2.E71.m1.5.5.5.5.5.5.1.1.3" xref="A2.E71.m1.5.5.5.5.5.5.1.1.3.cmml">T</mi></msup></mrow></mfrac><mo id="A2.E71.m1.6.6.6.6.6.6" xref="A2.E71.m1.6.6.6.6.6.6.cmml">=</mo><mrow id="A2.E71.m1.42.42.2.41.22.22.22.1.2.2.2"><mrow id="A2.E71.m1.42.42.2.41.22.22.22.1.2.2.2.2"><mo id="A2.E71.m1.42.42.2.41.22.22.22.1.2.2.2.2a">−</mo><mrow id="A2.E71.m1.42.42.2.41.22.22.22.1.2.2.2.2.2"><mrow id="A2.E71.m1.42.42.2.41.22.22.22.1.2.2.1.1.1.1.1"><mo id="A2.E71.m1.8.8.8.8.8.8">(</mo><mrow id="A2.E71.m1.42.42.2.41.22.22.22.1.2.2.1.1.1.1.1.1"><mn id="A2.E71.m1.9.9.9.9.9.9" xref="A2.E71.m1.9.9.9.9.9.9.cmml">1</mn><mo id="A2.E71.m1.10.10.10.10.10.10" xref="A2.E71.m1.10.10.10.10.10.10.cmml">−</mo><msub id="A2.E71.m1.42.42.2.41.22.22.22.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1"><mi id="A2.E71.m1.11.11.11.11.11.11" xref="A2.E71.m1.11.11.11.11.11.11.cmml">s</mi><mi id="A2.E71.m1.12.12.12.12.12.12.1" xref="A2.E71.m1.12.12.12.12.12.12.1.cmml">q</mi></msub></mrow><mo id="A2.E71.m1.13.13.13.13.13.13">)</mo></mrow><mo id="A2.E71.m1.42.42.2.41.22.22.22.1.2.2.2.2.2.3">⁢</mo><mrow id="A2.E71.m1.42.42.2.41.22.22.22.1.2.2.2.2.2.2.1"><mo id="A2.E71.m1.14.14.14.14.14.14">(</mo><mrow id="A2.E71.m1.42.42.2.41.22.22.22.1.2.2.2.2.2.2.1.1"><mi id="A2.E71.m1.15.15.15.15.15.15" xref="A2.E71.m1.15.15.15.15.15.15.cmml">𝐈</mi><mo id="A2.E71.m1.16.16.16.16.16.16" xref="A2.E71.m1.16.16.16.16.16.16.cmml">−</mo><mfrac id="A2.E71.m1.17.17.17.17.17.17" xref="A2.E71.m1.17.17.17.17.17.17.cmml"><msup id="A2.E71.m1.17.17.17.17.17.17.2" xref="A2.E71.m1.17.17.17.17.17.17.2.cmml"><mi id="A2.E71.m1.17.17.17.17.17.17.2.2" xref="A2.E71.m1.17.17.17.17.17.17.2.2.cmml">𝐞𝐞</mi><mi id="A2.E71.m1.17.17.17.17.17.17.2.3" xref="A2.E71.m1.17.17.17.17.17.17.2.3.cmml">T</mi></msup><msup id="A2.E71.m1.17.17.17.17.17.17.3" xref="A2.E71.m1.17.17.17.17.17.17.3.cmml"><mi id="A2.E71.m1.17.17.17.17.17.17.3.2" xref="A2.E71.m1.17.17.17.17.17.17.3.2.cmml">𝐞</mi><mn id="A2.E71.m1.17.17.17.17.17.17.3.3" xref="A2.E71.m1.17.17.17.17.17.17.3.3.cmml">2</mn></msup></mfrac></mrow><mo id="A2.E71.m1.18.18.18.18.18.18">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="A2.E71.m1.19.19.19.19.19.19" xref="A2.E71.m1.19.19.19.19.19.19.cmml">+</mo><mfrac id="A2.E71.m1.20.20.20.20.20.20" xref="A2.E71.m1.20.20.20.20.20.20.cmml"><msup id="A2.E71.m1.20.20.20.20.20.20.2" xref="A2.E71.m1.20.20.20.20.20.20.2.cmml"><mi id="A2.E71.m1.20.20.20.20.20.20.2.2" xref="A2.E71.m1.20.20.20.20.20.20.2.2.cmml">𝐞𝐪</mi><mi id="A2.E71.m1.20.20.20.20.20.20.2.3" xref="A2.E71.m1.20.20.20.20.20.20.2.3.cmml">T</mi></msup><msup id="A2.E71.m1.20.20.20.20.20.20.3" xref="A2.E71.m1.20.20.20.20.20.20.3.cmml"><mi id="A2.E71.m1.20.20.20.20.20.20.3.2" xref="A2.E71.m1.20.20.20.20.20.20.3.2.cmml">𝐞</mi><mn id="A2.E71.m1.20.20.20.20.20.20.3.3" xref="A2.E71.m1.20.20.20.20.20.20.3.3.cmml">2</mn></msup></mfrac></mrow></mrow></mrow><mo id="A2.E71.m1.21.21.21.21.21.21">,</mo></mrow></mtd></mtr><mtr id="A2.E71.m1.43.43.3c"><mtd id="A2.E71.m1.43.43.3d"><mrow id="A2.E71.m1.43.43.3.42.20.20.20"><mrow id="A2.E71.m1.43.43.3.42.20.20.20.1"><mrow id="A2.E71.m1.43.43.3.42.20.20.20.1.1.1"><mfrac id="A2.E71.m1.22.22.22.1.1.1" xref="A2.E71.m1.22.22.22.1.1.1.cmml"><mrow id="A2.E71.m1.22.22.22.1.1.1.3" xref="A2.E71.m1.22.22.22.1.1.1.3.cmml"><mo id="A2.E71.m1.22.22.22.1.1.1.3.1" rspace="0em" xref="A2.E71.m1.22.22.22.1.1.1.3.1.cmml">∂</mo><mi id="A2.E71.m1.22.22.22.1.1.1.3.2" xref="A2.E71.m1.22.22.22.1.1.1.3.2.cmml">𝐪</mi></mrow><mrow id="A2.E71.m1.22.22.22.1.1.1.1" xref="A2.E71.m1.22.22.22.1.1.1.1.cmml"><mo id="A2.E71.m1.22.22.22.1.1.1.1.2" rspace="0em" xref="A2.E71.m1.22.22.22.1.1.1.1.2.cmml">∂</mo><msup id="A2.E71.m1.22.22.22.1.1.1.1.1" xref="A2.E71.m1.22.22.22.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A2.E71.m1.22.22.22.1.1.1.1.1.1.1" xref="A2.E71.m1.22.22.22.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A2.E71.m1.22.22.22.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A2.E71.m1.22.22.22.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="A2.E71.m1.22.22.22.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A2.E71.m1.22.22.22.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A2.E71.m1.22.22.22.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A2.E71.m1.22.22.22.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">𝐱</mi><mn id="A2.E71.m1.22.22.22.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A2.E71.m1.22.22.22.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">3</mn></msub><mo id="A2.E71.m1.22.22.22.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A2.E71.m1.22.22.22.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mi id="A2.E71.m1.22.22.22.1.1.1.1.1.3" xref="A2.E71.m1.22.22.22.1.1.1.1.1.3.cmml">T</mi></msup></mrow></mfrac><mo id="A2.E71.m1.23.23.23.2.2.2" xref="A2.E71.m1.23.23.23.2.2.2.cmml">=</mo><mrow id="A2.E71.m1.43.43.3.42.20.20.20.1.1.1.1"><mrow id="A2.E71.m1.43.43.3.42.20.20.20.1.1.1.1.1"><mo id="A2.E71.m1.43.43.3.42.20.20.20.1.1.1.1.1a">−</mo><mrow id="A2.E71.m1.43.43.3.42.20.20.20.1.1.1.1.1.1"><msub id="A2.E71.m1.43.43.3.42.20.20.20.1.1.1.1.1.1.3"><mi id="A2.E71.m1.25.25.25.4.4.4" xref="A2.E71.m1.25.25.25.4.4.4.cmml">s</mi><mi id="A2.E71.m1.26.26.26.5.5.5.1" xref="A2.E71.m1.26.26.26.5.5.5.1.cmml">q</mi></msub><mo id="A2.E71.m1.43.43.3.42.20.20.20.1.1.1.1.1.1.2">⁢</mo><mrow id="A2.E71.m1.43.43.3.42.20.20.20.1.1.1.1.1.1.1.1"><mo id="A2.E71.m1.27.27.27.6.6.6">(</mo><mrow id="A2.E71.m1.43.43.3.42.20.20.20.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><mi id="A2.E71.m1.28.28.28.7.7.7" xref="A2.E71.m1.28.28.28.7.7.7.cmml">𝐈</mi><mo id="A2.E71.m1.29.29.29.8.8.8" xref="A2.E71.m1.29.29.29.8.8.8.cmml">−</mo><mfrac id="A2.E71.m1.30.30.30.9.9.9" xref="A2.E71.m1.30.30.30.9.9.9.cmml"><msup id="A2.E71.m1.30.30.30.9.9.9.2" xref="A2.E71.m1.30.30.30.9.9.9.2.cmml"><mi id="A2.E71.m1.30.30.30.9.9.9.2.2" xref="A2.E71.m1.30.30.30.9.9.9.2.2.cmml">𝐞𝐞</mi><mi id="A2.E71.m1.30.30.30.9.9.9.2.3" xref="A2.E71.m1.30.30.30.9.9.9.2.3.cmml">T</mi></msup><msup id="A2.E71.m1.30.30.30.9.9.9.3" xref="A2.E71.m1.30.30.30.9.9.9.3.cmml"><mi id="A2.E71.m1.30.30.30.9.9.9.3.2" xref="A2.E71.m1.30.30.30.9.9.9.3.2.cmml">𝐞</mi><mn id="A2.E71.m1.30.30.30.9.9.9.3.3" xref="A2.E71.m1.30.30.30.9.9.9.3.3.cmml">2</mn></msup></mfrac></mrow><mo id="A2.E71.m1.31.31.31.10.10.10">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="A2.E71.m1.32.32.32.11.11.11" xref="A2.E71.m1.32.32.32.11.11.11.cmml">−</mo><mfrac id="A2.E71.m1.33.33.33.12.12.12" xref="A2.E71.m1.33.33.33.12.12.12.cmml"><msup id="A2.E71.m1.33.33.33.12.12.12.2" xref="A2.E71.m1.33.33.33.12.12.12.2.cmml"><mi id="A2.E71.m1.33.33.33.12.12.12.2.2" xref="A2.E71.m1.33.33.33.12.12.12.2.2.cmml">𝐞𝐪</mi><mi id="A2.E71.m1.33.33.33.12.12.12.2.3" xref="A2.E71.m1.33.33.33.12.12.12.2.3.cmml">T</mi></msup><msup id="A2.E71.m1.33.33.33.12.12.12.3" xref="A2.E71.m1.33.33.33.12.12.12.3.cmml"><mi id="A2.E71.m1.33.33.33.12.12.12.3.2" xref="A2.E71.m1.33.33.33.12.12.12.3.2.cmml">𝐞</mi><mn id="A2.E71.m1.33.33.33.12.12.12.3.3" xref="A2.E71.m1.33.33.33.12.12.12.3.3.cmml">2</mn></msup></mfrac></mrow></mrow><mo id="A2.E71.m1.34.34.34.13.13.13">,</mo><mrow id="A2.E71.m1.43.43.3.42.20.20.20.1.2.2"><mfrac id="A2.E71.m1.35.35.35.14.14.14" xref="A2.E71.m1.35.35.35.14.14.14.cmml"><mrow id="A2.E71.m1.35.35.35.14.14.14.3" xref="A2.E71.m1.35.35.35.14.14.14.3.cmml"><mo id="A2.E71.m1.35.35.35.14.14.14.3.1" rspace="0em" xref="A2.E71.m1.35.35.35.14.14.14.3.1.cmml">∂</mo><mi id="A2.E71.m1.35.35.35.14.14.14.3.2" xref="A2.E71.m1.35.35.35.14.14.14.3.2.cmml">𝐪</mi></mrow><mrow id="A2.E71.m1.35.35.35.14.14.14.1" xref="A2.E71.m1.35.35.35.14.14.14.1.cmml"><mo id="A2.E71.m1.35.35.35.14.14.14.1.2" rspace="0em" xref="A2.E71.m1.35.35.35.14.14.14.1.2.cmml">∂</mo><msup id="A2.E71.m1.35.35.35.14.14.14.1.1" xref="A2.E71.m1.35.35.35.14.14.14.1.1.cmml"><mrow id="A2.E71.m1.35.35.35.14.14.14.1.1.1.1" xref="A2.E71.m1.35.35.35.14.14.14.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A2.E71.m1.35.35.35.14.14.14.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A2.E71.m1.35.35.35.14.14.14.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="A2.E71.m1.35.35.35.14.14.14.1.1.1.1.1" xref="A2.E71.m1.35.35.35.14.14.14.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A2.E71.m1.35.35.35.14.14.14.1.1.1.1.1.2" xref="A2.E71.m1.35.35.35.14.14.14.1.1.1.1.1.2.cmml">𝐱</mi><mn id="A2.E71.m1.35.35.35.14.14.14.1.1.1.1.1.3" xref="A2.E71.m1.35.35.35.14.14.14.1.1.1.1.1.3.cmml">4</mn></msub><mo id="A2.E71.m1.35.35.35.14.14.14.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A2.E71.m1.35.35.35.14.14.14.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mi id="A2.E71.m1.35.35.35.14.14.14.1.1.3" xref="A2.E71.m1.35.35.35.14.14.14.1.1.3.cmml">T</mi></msup></mrow></mfrac><mo id="A2.E71.m1.36.36.36.15.15.15" xref="A2.E71.m1.36.36.36.15.15.15.cmml">=</mo><mrow id="A2.E71.m1.43.43.3.42.20.20.20.1.2.2.1"><mi id="A2.E71.m1.37.37.37.16.16.16" xref="A2.E71.m1.37.37.37.16.16.16.cmml">𝐈</mi><mo id="A2.E71.m1.38.38.38.17.17.17" xref="A2.E71.m1.38.38.38.17.17.17.cmml">−</mo><mfrac id="A2.E71.m1.39.39.39.18.18.18" xref="A2.E71.m1.39.39.39.18.18.18.cmml"><msup id="A2.E71.m1.39.39.39.18.18.18.2" xref="A2.E71.m1.39.39.39.18.18.18.2.cmml"><mi id="A2.E71.m1.39.39.39.18.18.18.2.2" xref="A2.E71.m1.39.39.39.18.18.18.2.2.cmml">𝐞𝐞</mi><mi id="A2.E71.m1.39.39.39.18.18.18.2.3" xref="A2.E71.m1.39.39.39.18.18.18.2.3.cmml">T</mi></msup><msup id="A2.E71.m1.39.39.39.18.18.18.3" xref="A2.E71.m1.39.39.39.18.18.18.3.cmml"><mi id="A2.E71.m1.39.39.39.18.18.18.3.2" xref="A2.E71.m1.39.39.39.18.18.18.3.2.cmml">𝐞</mi><mn id="A2.E71.m1.39.39.39.18.18.18.3.3" xref="A2.E71.m1.39.39.39.18.18.18.3.3.cmml">2</mn></msup></mfrac></mrow></mrow></mrow><mo id="A2.E71.m1.40.40.40.19.19.19" lspace="0em">.</mo></mrow></mtd></mtr></mtable><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.E71.m1.43b"><apply id="A2.E71.m1.41.41.1.1.1.3.cmml"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E71.m1.41.41.1.1.1.3a.cmml">formulae-sequence</csymbol><apply id="A2.E71.m1.41.41.1.1.1.1.1.cmml"><eq id="A2.E71.m1.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="A2.E71.m1.2.2.2.2.2.2"></eq><apply id="A2.E71.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A2.E71.m1.1.1.1.1.1.1"><divide id="A2.E71.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A2.E71.m1.1.1.1.1.1.1"></divide><apply id="A2.E71.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A2.E71.m1.1.1.1.1.1.1.3"><partialdiff id="A2.E71.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A2.E71.m1.1.1.1.1.1.1.3.1"></partialdiff><ci id="A2.E71.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A2.E71.m1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝐪</ci></apply><apply id="A2.E71.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A2.E71.m1.1.1.1.1.1.1.1"><partialdiff id="A2.E71.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" 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id="A2.E71.m1.9.9.9.9.9.9.cmml" type="integer" xref="A2.E71.m1.9.9.9.9.9.9">1</cn><apply id="A2.E71.m1.41.41.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E71.m1.41.41.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">subscript</csymbol><ci id="A2.E71.m1.11.11.11.11.11.11.cmml" xref="A2.E71.m1.11.11.11.11.11.11">𝑠</ci><ci id="A2.E71.m1.12.12.12.12.12.12.1.cmml" xref="A2.E71.m1.12.12.12.12.12.12.1">𝑞</ci></apply></apply><apply id="A2.E71.m1.41.41.1.1.1.2.2.1.1.2.2.2.2.1.1.cmml"><minus id="A2.E71.m1.16.16.16.16.16.16.cmml" xref="A2.E71.m1.16.16.16.16.16.16"></minus><ci id="A2.E71.m1.15.15.15.15.15.15.cmml" xref="A2.E71.m1.15.15.15.15.15.15">𝐈</ci><apply id="A2.E71.m1.17.17.17.17.17.17.cmml" xref="A2.E71.m1.17.17.17.17.17.17"><divide id="A2.E71.m1.17.17.17.17.17.17.1.cmml" xref="A2.E71.m1.17.17.17.17.17.17"></divide><apply id="A2.E71.m1.17.17.17.17.17.17.2.cmml" xref="A2.E71.m1.17.17.17.17.17.17.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E71.m1.17.17.17.17.17.17.2.1.cmml" xref="A2.E71.m1.17.17.17.17.17.17.2">superscript</csymbol><ci id="A2.E71.m1.17.17.17.17.17.17.2.2.cmml" xref="A2.E71.m1.17.17.17.17.17.17.2.2">𝐞𝐞</ci><ci id="A2.E71.m1.17.17.17.17.17.17.2.3.cmml" xref="A2.E71.m1.17.17.17.17.17.17.2.3">𝑇</ci></apply><apply id="A2.E71.m1.17.17.17.17.17.17.3.cmml" xref="A2.E71.m1.17.17.17.17.17.17.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E71.m1.17.17.17.17.17.17.3.1.cmml" xref="A2.E71.m1.17.17.17.17.17.17.3">superscript</csymbol><ci id="A2.E71.m1.17.17.17.17.17.17.3.2.cmml" xref="A2.E71.m1.17.17.17.17.17.17.3.2">𝐞</ci><cn id="A2.E71.m1.17.17.17.17.17.17.3.3.cmml" type="integer" xref="A2.E71.m1.17.17.17.17.17.17.3.3">2</cn></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="A2.E71.m1.20.20.20.20.20.20.cmml" xref="A2.E71.m1.20.20.20.20.20.20"><divide id="A2.E71.m1.20.20.20.20.20.20.1.cmml" xref="A2.E71.m1.20.20.20.20.20.20"></divide><apply id="A2.E71.m1.20.20.20.20.20.20.2.cmml" xref="A2.E71.m1.20.20.20.20.20.20.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E71.m1.20.20.20.20.20.20.2.1.cmml" xref="A2.E71.m1.20.20.20.20.20.20.2">superscript</csymbol><ci id="A2.E71.m1.20.20.20.20.20.20.2.2.cmml" xref="A2.E71.m1.20.20.20.20.20.20.2.2">𝐞𝐪</ci><ci id="A2.E71.m1.20.20.20.20.20.20.2.3.cmml" xref="A2.E71.m1.20.20.20.20.20.20.2.3">𝑇</ci></apply><apply id="A2.E71.m1.20.20.20.20.20.20.3.cmml" xref="A2.E71.m1.20.20.20.20.20.20.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E71.m1.20.20.20.20.20.20.3.1.cmml" xref="A2.E71.m1.20.20.20.20.20.20.3">superscript</csymbol><ci id="A2.E71.m1.20.20.20.20.20.20.3.2.cmml" xref="A2.E71.m1.20.20.20.20.20.20.3.2">𝐞</ci><cn id="A2.E71.m1.20.20.20.20.20.20.3.3.cmml" type="integer" xref="A2.E71.m1.20.20.20.20.20.20.3.3">2</cn></apply></apply></apply></apply><apply id="A2.E71.m1.41.41.1.1.1.2.2.2.2.3.cmml"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E71.m1.41.41.1.1.1.2.2.2.2.3a.cmml">formulae-sequence</csymbol><apply id="A2.E71.m1.41.41.1.1.1.2.2.2.2.1.1.cmml"><eq id="A2.E71.m1.23.23.23.2.2.2.cmml" 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id="A2.E71.m1.22.22.22.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A2.E71.m1.22.22.22.1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="A2.E71.m1.22.22.22.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A2.E71.m1.22.22.22.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝐱</ci><cn id="A2.E71.m1.22.22.22.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A2.E71.m1.22.22.22.1.1.1.1.1.1.1.1.3">3</cn></apply><ci id="A2.E71.m1.22.22.22.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A2.E71.m1.22.22.22.1.1.1.1.1.3">𝑇</ci></apply></apply></apply><apply id="A2.E71.m1.41.41.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.cmml"><minus id="A2.E71.m1.32.32.32.11.11.11.cmml" xref="A2.E71.m1.32.32.32.11.11.11"></minus><apply id="A2.E71.m1.41.41.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.cmml"><minus id="A2.E71.m1.24.24.24.3.3.3.cmml"></minus><apply id="A2.E71.m1.41.41.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><times id="A2.E71.m1.41.41.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml"></times><apply id="A2.E71.m1.41.41.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E71.m1.41.41.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.3.1.cmml">subscript</csymbol><ci id="A2.E71.m1.25.25.25.4.4.4.cmml" xref="A2.E71.m1.25.25.25.4.4.4">𝑠</ci><ci id="A2.E71.m1.26.26.26.5.5.5.1.cmml" xref="A2.E71.m1.26.26.26.5.5.5.1">𝑞</ci></apply><apply id="A2.E71.m1.41.41.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><minus id="A2.E71.m1.29.29.29.8.8.8.cmml" xref="A2.E71.m1.29.29.29.8.8.8"></minus><ci id="A2.E71.m1.28.28.28.7.7.7.cmml" xref="A2.E71.m1.28.28.28.7.7.7">𝐈</ci><apply id="A2.E71.m1.30.30.30.9.9.9.cmml" xref="A2.E71.m1.30.30.30.9.9.9"><divide id="A2.E71.m1.30.30.30.9.9.9.1.cmml" xref="A2.E71.m1.30.30.30.9.9.9"></divide><apply id="A2.E71.m1.30.30.30.9.9.9.2.cmml" xref="A2.E71.m1.30.30.30.9.9.9.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E71.m1.30.30.30.9.9.9.2.1.cmml" xref="A2.E71.m1.30.30.30.9.9.9.2">superscript</csymbol><ci id="A2.E71.m1.30.30.30.9.9.9.2.2.cmml" xref="A2.E71.m1.30.30.30.9.9.9.2.2">𝐞𝐞</ci><ci id="A2.E71.m1.30.30.30.9.9.9.2.3.cmml" xref="A2.E71.m1.30.30.30.9.9.9.2.3">𝑇</ci></apply><apply id="A2.E71.m1.30.30.30.9.9.9.3.cmml" xref="A2.E71.m1.30.30.30.9.9.9.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E71.m1.30.30.30.9.9.9.3.1.cmml" xref="A2.E71.m1.30.30.30.9.9.9.3">superscript</csymbol><ci id="A2.E71.m1.30.30.30.9.9.9.3.2.cmml" xref="A2.E71.m1.30.30.30.9.9.9.3.2">𝐞</ci><cn id="A2.E71.m1.30.30.30.9.9.9.3.3.cmml" type="integer" xref="A2.E71.m1.30.30.30.9.9.9.3.3">2</cn></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="A2.E71.m1.33.33.33.12.12.12.cmml" xref="A2.E71.m1.33.33.33.12.12.12"><divide id="A2.E71.m1.33.33.33.12.12.12.1.cmml" xref="A2.E71.m1.33.33.33.12.12.12"></divide><apply id="A2.E71.m1.33.33.33.12.12.12.2.cmml" xref="A2.E71.m1.33.33.33.12.12.12.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E71.m1.33.33.33.12.12.12.2.1.cmml" xref="A2.E71.m1.33.33.33.12.12.12.2">superscript</csymbol><ci id="A2.E71.m1.33.33.33.12.12.12.2.2.cmml" xref="A2.E71.m1.33.33.33.12.12.12.2.2">𝐞𝐪</ci><ci id="A2.E71.m1.33.33.33.12.12.12.2.3.cmml" xref="A2.E71.m1.33.33.33.12.12.12.2.3">𝑇</ci></apply><apply id="A2.E71.m1.33.33.33.12.12.12.3.cmml" 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id="A2.E71.m1.35.35.35.14.14.14.1.cmml" xref="A2.E71.m1.35.35.35.14.14.14.1"><partialdiff id="A2.E71.m1.35.35.35.14.14.14.1.2.cmml" xref="A2.E71.m1.35.35.35.14.14.14.1.2"></partialdiff><apply id="A2.E71.m1.35.35.35.14.14.14.1.1.cmml" xref="A2.E71.m1.35.35.35.14.14.14.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E71.m1.35.35.35.14.14.14.1.1.2.cmml" xref="A2.E71.m1.35.35.35.14.14.14.1.1">superscript</csymbol><apply id="A2.E71.m1.35.35.35.14.14.14.1.1.1.1.1.cmml" xref="A2.E71.m1.35.35.35.14.14.14.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E71.m1.35.35.35.14.14.14.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A2.E71.m1.35.35.35.14.14.14.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="A2.E71.m1.35.35.35.14.14.14.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A2.E71.m1.35.35.35.14.14.14.1.1.1.1.1.2">𝐱</ci><cn id="A2.E71.m1.35.35.35.14.14.14.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A2.E71.m1.35.35.35.14.14.14.1.1.1.1.1.3">4</cn></apply><ci id="A2.E71.m1.35.35.35.14.14.14.1.1.3.cmml" xref="A2.E71.m1.35.35.35.14.14.14.1.1.3">𝑇</ci></apply></apply></apply><apply 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id="A2.E71.m1.39.39.39.18.18.18.3.2.cmml" xref="A2.E71.m1.39.39.39.18.18.18.3.2">𝐞</ci><cn id="A2.E71.m1.39.39.39.18.18.18.3.3.cmml" type="integer" xref="A2.E71.m1.39.39.39.18.18.18.3.3">2</cn></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.E71.m1.43c">\begin{gathered}\frac{\partial\mathbf{q}}{\partial(\mathbf{x}_{1})^{T}}=% \mathbf{0},\frac{\partial\mathbf{q}}{\partial(\mathbf{x}_{2})^{T}}=-\left(1-s_% {q}\right)\left(\mathbf{I}-\frac{\mathbf{e}\mathbf{e}^{T}}{\mathbf{e}^{2}}% \right)+\frac{\mathbf{e}\mathbf{q}^{T}}{\mathbf{e}^{2}},\\ \frac{\partial\mathbf{q}}{\partial(\mathbf{x}_{3})^{T}}=-s_{q}\left(\mathbf{I}% -\frac{\mathbf{e}\mathbf{e}^{T}}{\mathbf{e}^{2}}\right)-\frac{\mathbf{e}% \mathbf{q}^{T}}{\mathbf{e}^{2}},\frac{\partial\mathbf{q}}{\partial(\mathbf{x}_% {4})^{T}}=\mathbf{I}-\frac{\mathbf{e}\mathbf{e}^{T}}{\mathbf{e}^{2}}.\end{gathered}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.E71.m1.43d">start_ROW start_CELL divide start_ARG ∂ bold_q end_ARG start_ARG ∂ ( bold_x start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG = bold_0 , divide start_ARG ∂ bold_q end_ARG start_ARG ∂ ( bold_x start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG = - ( 1 - italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_q end_POSTSUBSCRIPT ) ( bold_I - divide start_ARG bold_ee start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG bold_e start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG ) + divide start_ARG bold_eq start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG bold_e start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG , end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL divide start_ARG ∂ bold_q end_ARG start_ARG ∂ ( bold_x start_POSTSUBSCRIPT 3 end_POSTSUBSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG = - italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_q end_POSTSUBSCRIPT ( bold_I - divide start_ARG bold_ee start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG bold_e start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG ) - divide start_ARG bold_eq start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG bold_e start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG , divide start_ARG ∂ bold_q end_ARG start_ARG ∂ ( bold_x start_POSTSUBSCRIPT 4 end_POSTSUBSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG = bold_I - divide start_ARG bold_ee start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG bold_e start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG . end_CELL end_ROW</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(71)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="A2.p2.8">Here, the coefficients <math alttext="s_{p}=\mathbf{x}_{21}\cdot\mathbf{x}_{23}/{\mathbf{x}_{23}^{2}}" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.p2.7.m1.1"><semantics id="A2.p2.7.m1.1a"><mrow id="A2.p2.7.m1.1.1" xref="A2.p2.7.m1.1.1.cmml"><msub id="A2.p2.7.m1.1.1.2" xref="A2.p2.7.m1.1.1.2.cmml"><mi id="A2.p2.7.m1.1.1.2.2" xref="A2.p2.7.m1.1.1.2.2.cmml">s</mi><mi id="A2.p2.7.m1.1.1.2.3" xref="A2.p2.7.m1.1.1.2.3.cmml">p</mi></msub><mo id="A2.p2.7.m1.1.1.1" xref="A2.p2.7.m1.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="A2.p2.7.m1.1.1.3" xref="A2.p2.7.m1.1.1.3.cmml"><mrow id="A2.p2.7.m1.1.1.3.2" xref="A2.p2.7.m1.1.1.3.2.cmml"><msub id="A2.p2.7.m1.1.1.3.2.2" xref="A2.p2.7.m1.1.1.3.2.2.cmml"><mi id="A2.p2.7.m1.1.1.3.2.2.2" xref="A2.p2.7.m1.1.1.3.2.2.2.cmml">𝐱</mi><mn id="A2.p2.7.m1.1.1.3.2.2.3" xref="A2.p2.7.m1.1.1.3.2.2.3.cmml">21</mn></msub><mo id="A2.p2.7.m1.1.1.3.2.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="A2.p2.7.m1.1.1.3.2.1.cmml">⋅</mo><msub id="A2.p2.7.m1.1.1.3.2.3" xref="A2.p2.7.m1.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="A2.p2.7.m1.1.1.3.2.3.2" xref="A2.p2.7.m1.1.1.3.2.3.2.cmml">𝐱</mi><mn id="A2.p2.7.m1.1.1.3.2.3.3" xref="A2.p2.7.m1.1.1.3.2.3.3.cmml">23</mn></msub></mrow><mo id="A2.p2.7.m1.1.1.3.1" xref="A2.p2.7.m1.1.1.3.1.cmml">/</mo><msubsup id="A2.p2.7.m1.1.1.3.3" xref="A2.p2.7.m1.1.1.3.3.cmml"><mi id="A2.p2.7.m1.1.1.3.3.2.2" xref="A2.p2.7.m1.1.1.3.3.2.2.cmml">𝐱</mi><mn id="A2.p2.7.m1.1.1.3.3.2.3" xref="A2.p2.7.m1.1.1.3.3.2.3.cmml">23</mn><mn id="A2.p2.7.m1.1.1.3.3.3" xref="A2.p2.7.m1.1.1.3.3.3.cmml">2</mn></msubsup></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.p2.7.m1.1b"><apply id="A2.p2.7.m1.1.1.cmml" xref="A2.p2.7.m1.1.1"><eq id="A2.p2.7.m1.1.1.1.cmml" xref="A2.p2.7.m1.1.1.1"></eq><apply id="A2.p2.7.m1.1.1.2.cmml" xref="A2.p2.7.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.p2.7.m1.1.1.2.1.cmml" xref="A2.p2.7.m1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="A2.p2.7.m1.1.1.2.2.cmml" xref="A2.p2.7.m1.1.1.2.2">𝑠</ci><ci id="A2.p2.7.m1.1.1.2.3.cmml" xref="A2.p2.7.m1.1.1.2.3">𝑝</ci></apply><apply id="A2.p2.7.m1.1.1.3.cmml" xref="A2.p2.7.m1.1.1.3"><divide id="A2.p2.7.m1.1.1.3.1.cmml" xref="A2.p2.7.m1.1.1.3.1"></divide><apply id="A2.p2.7.m1.1.1.3.2.cmml" xref="A2.p2.7.m1.1.1.3.2"><ci id="A2.p2.7.m1.1.1.3.2.1.cmml" xref="A2.p2.7.m1.1.1.3.2.1">⋅</ci><apply id="A2.p2.7.m1.1.1.3.2.2.cmml" xref="A2.p2.7.m1.1.1.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.p2.7.m1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="A2.p2.7.m1.1.1.3.2.2">subscript</csymbol><ci id="A2.p2.7.m1.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="A2.p2.7.m1.1.1.3.2.2.2">𝐱</ci><cn id="A2.p2.7.m1.1.1.3.2.2.3.cmml" type="integer" xref="A2.p2.7.m1.1.1.3.2.2.3">21</cn></apply><apply id="A2.p2.7.m1.1.1.3.2.3.cmml" xref="A2.p2.7.m1.1.1.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.p2.7.m1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="A2.p2.7.m1.1.1.3.2.3">subscript</csymbol><ci id="A2.p2.7.m1.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="A2.p2.7.m1.1.1.3.2.3.2">𝐱</ci><cn id="A2.p2.7.m1.1.1.3.2.3.3.cmml" type="integer" xref="A2.p2.7.m1.1.1.3.2.3.3">23</cn></apply></apply><apply id="A2.p2.7.m1.1.1.3.3.cmml" xref="A2.p2.7.m1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.p2.7.m1.1.1.3.3.1.cmml" xref="A2.p2.7.m1.1.1.3.3">superscript</csymbol><apply id="A2.p2.7.m1.1.1.3.3.2.cmml" xref="A2.p2.7.m1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.p2.7.m1.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="A2.p2.7.m1.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="A2.p2.7.m1.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="A2.p2.7.m1.1.1.3.3.2.2">𝐱</ci><cn id="A2.p2.7.m1.1.1.3.3.2.3.cmml" type="integer" xref="A2.p2.7.m1.1.1.3.3.2.3">23</cn></apply><cn id="A2.p2.7.m1.1.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="A2.p2.7.m1.1.1.3.3.3">2</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.p2.7.m1.1c">s_{p}=\mathbf{x}_{21}\cdot\mathbf{x}_{23}/{\mathbf{x}_{23}^{2}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.p2.7.m1.1d">italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_p end_POSTSUBSCRIPT = bold_x start_POSTSUBSCRIPT 21 end_POSTSUBSCRIPT ⋅ bold_x start_POSTSUBSCRIPT 23 end_POSTSUBSCRIPT / bold_x start_POSTSUBSCRIPT 23 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>, and <math alttext="s_{q}=\mathbf{x}_{24}\cdot\mathbf{x}_{23}/{\mathbf{x}_{23}^{2}}" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.p2.8.m2.1"><semantics id="A2.p2.8.m2.1a"><mrow id="A2.p2.8.m2.1.1" xref="A2.p2.8.m2.1.1.cmml"><msub id="A2.p2.8.m2.1.1.2" xref="A2.p2.8.m2.1.1.2.cmml"><mi id="A2.p2.8.m2.1.1.2.2" xref="A2.p2.8.m2.1.1.2.2.cmml">s</mi><mi id="A2.p2.8.m2.1.1.2.3" xref="A2.p2.8.m2.1.1.2.3.cmml">q</mi></msub><mo id="A2.p2.8.m2.1.1.1" xref="A2.p2.8.m2.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="A2.p2.8.m2.1.1.3" xref="A2.p2.8.m2.1.1.3.cmml"><mrow id="A2.p2.8.m2.1.1.3.2" xref="A2.p2.8.m2.1.1.3.2.cmml"><msub id="A2.p2.8.m2.1.1.3.2.2" xref="A2.p2.8.m2.1.1.3.2.2.cmml"><mi id="A2.p2.8.m2.1.1.3.2.2.2" xref="A2.p2.8.m2.1.1.3.2.2.2.cmml">𝐱</mi><mn id="A2.p2.8.m2.1.1.3.2.2.3" xref="A2.p2.8.m2.1.1.3.2.2.3.cmml">24</mn></msub><mo id="A2.p2.8.m2.1.1.3.2.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="A2.p2.8.m2.1.1.3.2.1.cmml">⋅</mo><msub id="A2.p2.8.m2.1.1.3.2.3" xref="A2.p2.8.m2.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="A2.p2.8.m2.1.1.3.2.3.2" xref="A2.p2.8.m2.1.1.3.2.3.2.cmml">𝐱</mi><mn id="A2.p2.8.m2.1.1.3.2.3.3" xref="A2.p2.8.m2.1.1.3.2.3.3.cmml">23</mn></msub></mrow><mo id="A2.p2.8.m2.1.1.3.1" xref="A2.p2.8.m2.1.1.3.1.cmml">/</mo><msubsup id="A2.p2.8.m2.1.1.3.3" xref="A2.p2.8.m2.1.1.3.3.cmml"><mi id="A2.p2.8.m2.1.1.3.3.2.2" xref="A2.p2.8.m2.1.1.3.3.2.2.cmml">𝐱</mi><mn id="A2.p2.8.m2.1.1.3.3.2.3" xref="A2.p2.8.m2.1.1.3.3.2.3.cmml">23</mn><mn id="A2.p2.8.m2.1.1.3.3.3" xref="A2.p2.8.m2.1.1.3.3.3.cmml">2</mn></msubsup></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.p2.8.m2.1b"><apply id="A2.p2.8.m2.1.1.cmml" xref="A2.p2.8.m2.1.1"><eq id="A2.p2.8.m2.1.1.1.cmml" xref="A2.p2.8.m2.1.1.1"></eq><apply id="A2.p2.8.m2.1.1.2.cmml" xref="A2.p2.8.m2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.p2.8.m2.1.1.2.1.cmml" xref="A2.p2.8.m2.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="A2.p2.8.m2.1.1.2.2.cmml" xref="A2.p2.8.m2.1.1.2.2">𝑠</ci><ci id="A2.p2.8.m2.1.1.2.3.cmml" xref="A2.p2.8.m2.1.1.2.3">𝑞</ci></apply><apply id="A2.p2.8.m2.1.1.3.cmml" xref="A2.p2.8.m2.1.1.3"><divide id="A2.p2.8.m2.1.1.3.1.cmml" xref="A2.p2.8.m2.1.1.3.1"></divide><apply id="A2.p2.8.m2.1.1.3.2.cmml" xref="A2.p2.8.m2.1.1.3.2"><ci id="A2.p2.8.m2.1.1.3.2.1.cmml" xref="A2.p2.8.m2.1.1.3.2.1">⋅</ci><apply id="A2.p2.8.m2.1.1.3.2.2.cmml" xref="A2.p2.8.m2.1.1.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.p2.8.m2.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="A2.p2.8.m2.1.1.3.2.2">subscript</csymbol><ci id="A2.p2.8.m2.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="A2.p2.8.m2.1.1.3.2.2.2">𝐱</ci><cn id="A2.p2.8.m2.1.1.3.2.2.3.cmml" type="integer" xref="A2.p2.8.m2.1.1.3.2.2.3">24</cn></apply><apply id="A2.p2.8.m2.1.1.3.2.3.cmml" xref="A2.p2.8.m2.1.1.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.p2.8.m2.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="A2.p2.8.m2.1.1.3.2.3">subscript</csymbol><ci id="A2.p2.8.m2.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="A2.p2.8.m2.1.1.3.2.3.2">𝐱</ci><cn id="A2.p2.8.m2.1.1.3.2.3.3.cmml" type="integer" xref="A2.p2.8.m2.1.1.3.2.3.3">23</cn></apply></apply><apply id="A2.p2.8.m2.1.1.3.3.cmml" xref="A2.p2.8.m2.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.p2.8.m2.1.1.3.3.1.cmml" xref="A2.p2.8.m2.1.1.3.3">superscript</csymbol><apply id="A2.p2.8.m2.1.1.3.3.2.cmml" xref="A2.p2.8.m2.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.p2.8.m2.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="A2.p2.8.m2.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="A2.p2.8.m2.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="A2.p2.8.m2.1.1.3.3.2.2">𝐱</ci><cn id="A2.p2.8.m2.1.1.3.3.2.3.cmml" type="integer" xref="A2.p2.8.m2.1.1.3.3.2.3">23</cn></apply><cn id="A2.p2.8.m2.1.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="A2.p2.8.m2.1.1.3.3.3">2</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.p2.8.m2.1c">s_{q}=\mathbf{x}_{24}\cdot\mathbf{x}_{23}/{\mathbf{x}_{23}^{2}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.p2.8.m2.1d">italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_q end_POSTSUBSCRIPT = bold_x start_POSTSUBSCRIPT 24 end_POSTSUBSCRIPT ⋅ bold_x start_POSTSUBSCRIPT 23 end_POSTSUBSCRIPT / bold_x start_POSTSUBSCRIPT 23 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> are defined accordingly.</p> </div> <div class="ltx_para" id="A2.p3"> <p class="ltx_p" id="A2.p3.1">For the corotational FVM hinge and smoothed hinge bending model, the normal <math alttext="\mathbf{n}_{c}" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.p3.1.m1.1"><semantics id="A2.p3.1.m1.1a"><msub id="A2.p3.1.m1.1.1" xref="A2.p3.1.m1.1.1.cmml"><mi id="A2.p3.1.m1.1.1.2" xref="A2.p3.1.m1.1.1.2.cmml">𝐧</mi><mi id="A2.p3.1.m1.1.1.3" xref="A2.p3.1.m1.1.1.3.cmml">c</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.p3.1.m1.1b"><apply id="A2.p3.1.m1.1.1.cmml" xref="A2.p3.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.p3.1.m1.1.1.1.cmml" xref="A2.p3.1.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="A2.p3.1.m1.1.1.2.cmml" xref="A2.p3.1.m1.1.1.2">𝐧</ci><ci id="A2.p3.1.m1.1.1.3.cmml" xref="A2.p3.1.m1.1.1.3">𝑐</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.p3.1.m1.1c">\mathbf{n}_{c}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.p3.1.m1.1d">bold_n start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> is given by</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="A2.E72"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\mathbf{n}_{c}=\mathbf{x}_{12}\times\mathbf{x}_{13}," class="ltx_Math" display="block" id="A2.E72.m1.1"><semantics id="A2.E72.m1.1a"><mrow id="A2.E72.m1.1.1.1" xref="A2.E72.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A2.E72.m1.1.1.1.1" xref="A2.E72.m1.1.1.1.1.cmml"><msub id="A2.E72.m1.1.1.1.1.2" xref="A2.E72.m1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="A2.E72.m1.1.1.1.1.2.2" xref="A2.E72.m1.1.1.1.1.2.2.cmml">𝐧</mi><mi id="A2.E72.m1.1.1.1.1.2.3" xref="A2.E72.m1.1.1.1.1.2.3.cmml">c</mi></msub><mo id="A2.E72.m1.1.1.1.1.1" xref="A2.E72.m1.1.1.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="A2.E72.m1.1.1.1.1.3" xref="A2.E72.m1.1.1.1.1.3.cmml"><msub id="A2.E72.m1.1.1.1.1.3.2" xref="A2.E72.m1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="A2.E72.m1.1.1.1.1.3.2.2" xref="A2.E72.m1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">𝐱</mi><mn id="A2.E72.m1.1.1.1.1.3.2.3" xref="A2.E72.m1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">12</mn></msub><mo id="A2.E72.m1.1.1.1.1.3.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="A2.E72.m1.1.1.1.1.3.1.cmml">×</mo><msub id="A2.E72.m1.1.1.1.1.3.3" xref="A2.E72.m1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="A2.E72.m1.1.1.1.1.3.3.2" xref="A2.E72.m1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">𝐱</mi><mn id="A2.E72.m1.1.1.1.1.3.3.3" xref="A2.E72.m1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">13</mn></msub></mrow></mrow><mo id="A2.E72.m1.1.1.1.2" xref="A2.E72.m1.1.1.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.E72.m1.1b"><apply id="A2.E72.m1.1.1.1.1.cmml" xref="A2.E72.m1.1.1.1"><eq id="A2.E72.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A2.E72.m1.1.1.1.1.1"></eq><apply id="A2.E72.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A2.E72.m1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E72.m1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A2.E72.m1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="A2.E72.m1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A2.E72.m1.1.1.1.1.2.2">𝐧</ci><ci id="A2.E72.m1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="A2.E72.m1.1.1.1.1.2.3">𝑐</ci></apply><apply id="A2.E72.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A2.E72.m1.1.1.1.1.3"><times id="A2.E72.m1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A2.E72.m1.1.1.1.1.3.1"></times><apply id="A2.E72.m1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A2.E72.m1.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E72.m1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="A2.E72.m1.1.1.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="A2.E72.m1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="A2.E72.m1.1.1.1.1.3.2.2">𝐱</ci><cn id="A2.E72.m1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" type="integer" xref="A2.E72.m1.1.1.1.1.3.2.3">12</cn></apply><apply id="A2.E72.m1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A2.E72.m1.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E72.m1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="A2.E72.m1.1.1.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="A2.E72.m1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="A2.E72.m1.1.1.1.1.3.3.2">𝐱</ci><cn id="A2.E72.m1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="A2.E72.m1.1.1.1.1.3.3.3">13</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.E72.m1.1c">\mathbf{n}_{c}=\mathbf{x}_{12}\times\mathbf{x}_{13},</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.E72.m1.1d">bold_n start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT = bold_x start_POSTSUBSCRIPT 12 end_POSTSUBSCRIPT × bold_x start_POSTSUBSCRIPT 13 end_POSTSUBSCRIPT ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(72)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="A2.p3.2">so the components of <math alttext="\nabla\mathbf{n}_{c}" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.p3.2.m1.1"><semantics id="A2.p3.2.m1.1a"><mrow id="A2.p3.2.m1.1.1" xref="A2.p3.2.m1.1.1.cmml"><mo id="A2.p3.2.m1.1.1.1" rspace="0.167em" xref="A2.p3.2.m1.1.1.1.cmml">∇</mo><msub id="A2.p3.2.m1.1.1.2" xref="A2.p3.2.m1.1.1.2.cmml"><mi id="A2.p3.2.m1.1.1.2.2" xref="A2.p3.2.m1.1.1.2.2.cmml">𝐧</mi><mi id="A2.p3.2.m1.1.1.2.3" xref="A2.p3.2.m1.1.1.2.3.cmml">c</mi></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.p3.2.m1.1b"><apply id="A2.p3.2.m1.1.1.cmml" xref="A2.p3.2.m1.1.1"><ci id="A2.p3.2.m1.1.1.1.cmml" xref="A2.p3.2.m1.1.1.1">∇</ci><apply id="A2.p3.2.m1.1.1.2.cmml" xref="A2.p3.2.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.p3.2.m1.1.1.2.1.cmml" xref="A2.p3.2.m1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="A2.p3.2.m1.1.1.2.2.cmml" xref="A2.p3.2.m1.1.1.2.2">𝐧</ci><ci id="A2.p3.2.m1.1.1.2.3.cmml" xref="A2.p3.2.m1.1.1.2.3">𝑐</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.p3.2.m1.1c">\nabla\mathbf{n}_{c}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.p3.2.m1.1d">∇ bold_n start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> are</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="A2.E73"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\begin{gathered}\frac{\partial\mathbf{n}_{c}}{\partial(\mathbf{x}_{1})^{T}}=(% \mathbf{x}_{3}-\mathbf{x}_{2})^{\times},\frac{\partial\mathbf{n}_{c}}{\partial% (\mathbf{x}_{3})^{T}}=(\mathbf{x}_{2}-\mathbf{x}_{1})^{\times},\frac{\partial% \mathbf{n}_{c}}{\partial(\mathbf{x}_{5})^{T}}=\mathbf{0},\\ \frac{\partial\mathbf{n}_{c}}{\partial(\mathbf{x}_{2})^{T}}=(\mathbf{x}_{1}-% \mathbf{x}_{3})^{\times},\frac{\partial\mathbf{n}_{c}}{\partial(\mathbf{x}_{4}% )^{T}}=\mathbf{0},\frac{\partial\mathbf{n}_{c}}{\partial(\mathbf{x}_{6})^{T}}=% \mathbf{0},\end{gathered}" class="ltx_Math" display="block" id="A2.E73.m1.48"><semantics id="A2.E73.m1.48a"><mtable displaystyle="true" id="A2.E73.m1.48.48.3" rowspacing="0pt"><mtr id="A2.E73.m1.48.48.3a"><mtd id="A2.E73.m1.48.48.3b"><mrow id="A2.E73.m1.47.47.2.46.27.27.27"><mrow id="A2.E73.m1.47.47.2.46.27.27.27.1"><mrow id="A2.E73.m1.47.47.2.46.27.27.27.1.1.1"><mfrac id="A2.E73.m1.1.1.1.1.1.1" xref="A2.E73.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A2.E73.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A2.E73.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="A2.E73.m1.1.1.1.1.1.1.3.1" rspace="0em" xref="A2.E73.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">∂</mo><msub id="A2.E73.m1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A2.E73.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="A2.E73.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="A2.E73.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">𝐧</mi><mi id="A2.E73.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="A2.E73.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">c</mi></msub></mrow><mrow id="A2.E73.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A2.E73.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A2.E73.m1.1.1.1.1.1.1.1.2" rspace="0em" xref="A2.E73.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">∂</mo><msup id="A2.E73.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A2.E73.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A2.E73.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A2.E73.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A2.E73.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A2.E73.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="A2.E73.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A2.E73.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A2.E73.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A2.E73.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">𝐱</mi><mn id="A2.E73.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A2.E73.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="A2.E73.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A2.E73.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mi id="A2.E73.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A2.E73.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">T</mi></msup></mrow></mfrac><mo id="A2.E73.m1.2.2.2.2.2.2" xref="A2.E73.m1.2.2.2.2.2.2.cmml">=</mo><msup id="A2.E73.m1.47.47.2.46.27.27.27.1.1.1.1"><mrow id="A2.E73.m1.47.47.2.46.27.27.27.1.1.1.1.1.1"><mo id="A2.E73.m1.3.3.3.3.3.3" stretchy="false">(</mo><mrow id="A2.E73.m1.47.47.2.46.27.27.27.1.1.1.1.1.1.1"><msub id="A2.E73.m1.47.47.2.46.27.27.27.1.1.1.1.1.1.1.1"><mi id="A2.E73.m1.4.4.4.4.4.4" xref="A2.E73.m1.4.4.4.4.4.4.cmml">𝐱</mi><mn id="A2.E73.m1.5.5.5.5.5.5.1" xref="A2.E73.m1.5.5.5.5.5.5.1.cmml">3</mn></msub><mo id="A2.E73.m1.6.6.6.6.6.6" xref="A2.E73.m1.6.6.6.6.6.6.cmml">−</mo><msub id="A2.E73.m1.47.47.2.46.27.27.27.1.1.1.1.1.1.1.2"><mi id="A2.E73.m1.7.7.7.7.7.7" xref="A2.E73.m1.7.7.7.7.7.7.cmml">𝐱</mi><mn id="A2.E73.m1.8.8.8.8.8.8.1" xref="A2.E73.m1.8.8.8.8.8.8.1.cmml">2</mn></msub></mrow><mo id="A2.E73.m1.9.9.9.9.9.9" stretchy="false">)</mo></mrow><mo id="A2.E73.m1.10.10.10.10.10.10.1" xref="A2.E73.m1.10.10.10.10.10.10.1.cmml">×</mo></msup></mrow><mo id="A2.E73.m1.11.11.11.11.11.11">,</mo><mrow id="A2.E73.m1.47.47.2.46.27.27.27.1.2.2"><mrow id="A2.E73.m1.47.47.2.46.27.27.27.1.2.2.1.1"><mfrac id="A2.E73.m1.12.12.12.12.12.12" xref="A2.E73.m1.12.12.12.12.12.12.cmml"><mrow id="A2.E73.m1.12.12.12.12.12.12.3" xref="A2.E73.m1.12.12.12.12.12.12.3.cmml"><mo id="A2.E73.m1.12.12.12.12.12.12.3.1" rspace="0em" xref="A2.E73.m1.12.12.12.12.12.12.3.1.cmml">∂</mo><msub id="A2.E73.m1.12.12.12.12.12.12.3.2" xref="A2.E73.m1.12.12.12.12.12.12.3.2.cmml"><mi id="A2.E73.m1.12.12.12.12.12.12.3.2.2" xref="A2.E73.m1.12.12.12.12.12.12.3.2.2.cmml">𝐧</mi><mi id="A2.E73.m1.12.12.12.12.12.12.3.2.3" xref="A2.E73.m1.12.12.12.12.12.12.3.2.3.cmml">c</mi></msub></mrow><mrow id="A2.E73.m1.12.12.12.12.12.12.1" xref="A2.E73.m1.12.12.12.12.12.12.1.cmml"><mo id="A2.E73.m1.12.12.12.12.12.12.1.2" rspace="0em" xref="A2.E73.m1.12.12.12.12.12.12.1.2.cmml">∂</mo><msup id="A2.E73.m1.12.12.12.12.12.12.1.1" xref="A2.E73.m1.12.12.12.12.12.12.1.1.cmml"><mrow id="A2.E73.m1.12.12.12.12.12.12.1.1.1.1" xref="A2.E73.m1.12.12.12.12.12.12.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A2.E73.m1.12.12.12.12.12.12.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A2.E73.m1.12.12.12.12.12.12.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="A2.E73.m1.12.12.12.12.12.12.1.1.1.1.1" xref="A2.E73.m1.12.12.12.12.12.12.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A2.E73.m1.12.12.12.12.12.12.1.1.1.1.1.2" xref="A2.E73.m1.12.12.12.12.12.12.1.1.1.1.1.2.cmml">𝐱</mi><mn id="A2.E73.m1.12.12.12.12.12.12.1.1.1.1.1.3" xref="A2.E73.m1.12.12.12.12.12.12.1.1.1.1.1.3.cmml">3</mn></msub><mo id="A2.E73.m1.12.12.12.12.12.12.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A2.E73.m1.12.12.12.12.12.12.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mi id="A2.E73.m1.12.12.12.12.12.12.1.1.3" xref="A2.E73.m1.12.12.12.12.12.12.1.1.3.cmml">T</mi></msup></mrow></mfrac><mo id="A2.E73.m1.13.13.13.13.13.13" xref="A2.E73.m1.13.13.13.13.13.13.cmml">=</mo><msup id="A2.E73.m1.47.47.2.46.27.27.27.1.2.2.1.1.1"><mrow id="A2.E73.m1.47.47.2.46.27.27.27.1.2.2.1.1.1.1.1"><mo id="A2.E73.m1.14.14.14.14.14.14" stretchy="false">(</mo><mrow id="A2.E73.m1.47.47.2.46.27.27.27.1.2.2.1.1.1.1.1.1"><msub id="A2.E73.m1.47.47.2.46.27.27.27.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1"><mi id="A2.E73.m1.15.15.15.15.15.15" xref="A2.E73.m1.15.15.15.15.15.15.cmml">𝐱</mi><mn id="A2.E73.m1.16.16.16.16.16.16.1" xref="A2.E73.m1.16.16.16.16.16.16.1.cmml">2</mn></msub><mo id="A2.E73.m1.17.17.17.17.17.17" xref="A2.E73.m1.17.17.17.17.17.17.cmml">−</mo><msub id="A2.E73.m1.47.47.2.46.27.27.27.1.2.2.1.1.1.1.1.1.2"><mi id="A2.E73.m1.18.18.18.18.18.18" xref="A2.E73.m1.18.18.18.18.18.18.cmml">𝐱</mi><mn id="A2.E73.m1.19.19.19.19.19.19.1" xref="A2.E73.m1.19.19.19.19.19.19.1.cmml">1</mn></msub></mrow><mo id="A2.E73.m1.20.20.20.20.20.20" stretchy="false">)</mo></mrow><mo id="A2.E73.m1.21.21.21.21.21.21.1" xref="A2.E73.m1.21.21.21.21.21.21.1.cmml">×</mo></msup></mrow><mo id="A2.E73.m1.22.22.22.22.22.22">,</mo><mrow id="A2.E73.m1.47.47.2.46.27.27.27.1.2.2.2.2"><mfrac id="A2.E73.m1.23.23.23.23.23.23" xref="A2.E73.m1.23.23.23.23.23.23.cmml"><mrow id="A2.E73.m1.23.23.23.23.23.23.3" xref="A2.E73.m1.23.23.23.23.23.23.3.cmml"><mo id="A2.E73.m1.23.23.23.23.23.23.3.1" rspace="0em" xref="A2.E73.m1.23.23.23.23.23.23.3.1.cmml">∂</mo><msub id="A2.E73.m1.23.23.23.23.23.23.3.2" xref="A2.E73.m1.23.23.23.23.23.23.3.2.cmml"><mi id="A2.E73.m1.23.23.23.23.23.23.3.2.2" xref="A2.E73.m1.23.23.23.23.23.23.3.2.2.cmml">𝐧</mi><mi id="A2.E73.m1.23.23.23.23.23.23.3.2.3" xref="A2.E73.m1.23.23.23.23.23.23.3.2.3.cmml">c</mi></msub></mrow><mrow id="A2.E73.m1.23.23.23.23.23.23.1" xref="A2.E73.m1.23.23.23.23.23.23.1.cmml"><mo id="A2.E73.m1.23.23.23.23.23.23.1.2" rspace="0em" xref="A2.E73.m1.23.23.23.23.23.23.1.2.cmml">∂</mo><msup id="A2.E73.m1.23.23.23.23.23.23.1.1" xref="A2.E73.m1.23.23.23.23.23.23.1.1.cmml"><mrow id="A2.E73.m1.23.23.23.23.23.23.1.1.1.1" xref="A2.E73.m1.23.23.23.23.23.23.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A2.E73.m1.23.23.23.23.23.23.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A2.E73.m1.23.23.23.23.23.23.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="A2.E73.m1.23.23.23.23.23.23.1.1.1.1.1" xref="A2.E73.m1.23.23.23.23.23.23.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A2.E73.m1.23.23.23.23.23.23.1.1.1.1.1.2" xref="A2.E73.m1.23.23.23.23.23.23.1.1.1.1.1.2.cmml">𝐱</mi><mn id="A2.E73.m1.23.23.23.23.23.23.1.1.1.1.1.3" xref="A2.E73.m1.23.23.23.23.23.23.1.1.1.1.1.3.cmml">5</mn></msub><mo id="A2.E73.m1.23.23.23.23.23.23.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A2.E73.m1.23.23.23.23.23.23.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mi id="A2.E73.m1.23.23.23.23.23.23.1.1.3" xref="A2.E73.m1.23.23.23.23.23.23.1.1.3.cmml">T</mi></msup></mrow></mfrac><mo id="A2.E73.m1.24.24.24.24.24.24" xref="A2.E73.m1.24.24.24.24.24.24.cmml">=</mo><mn id="A2.E73.m1.25.25.25.25.25.25" xref="A2.E73.m1.25.25.25.25.25.25.cmml">𝟎</mn></mrow></mrow></mrow><mo id="A2.E73.m1.26.26.26.26.26.26">,</mo></mrow></mtd></mtr><mtr id="A2.E73.m1.48.48.3c"><mtd id="A2.E73.m1.48.48.3d"><mrow id="A2.E73.m1.48.48.3.47.20.20.20"><mrow id="A2.E73.m1.48.48.3.47.20.20.20.1"><mrow id="A2.E73.m1.48.48.3.47.20.20.20.1.1.1"><mfrac id="A2.E73.m1.27.27.27.1.1.1" xref="A2.E73.m1.27.27.27.1.1.1.cmml"><mrow id="A2.E73.m1.27.27.27.1.1.1.3" xref="A2.E73.m1.27.27.27.1.1.1.3.cmml"><mo id="A2.E73.m1.27.27.27.1.1.1.3.1" rspace="0em" xref="A2.E73.m1.27.27.27.1.1.1.3.1.cmml">∂</mo><msub id="A2.E73.m1.27.27.27.1.1.1.3.2" xref="A2.E73.m1.27.27.27.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="A2.E73.m1.27.27.27.1.1.1.3.2.2" xref="A2.E73.m1.27.27.27.1.1.1.3.2.2.cmml">𝐧</mi><mi id="A2.E73.m1.27.27.27.1.1.1.3.2.3" xref="A2.E73.m1.27.27.27.1.1.1.3.2.3.cmml">c</mi></msub></mrow><mrow id="A2.E73.m1.27.27.27.1.1.1.1" xref="A2.E73.m1.27.27.27.1.1.1.1.cmml"><mo id="A2.E73.m1.27.27.27.1.1.1.1.2" rspace="0em" xref="A2.E73.m1.27.27.27.1.1.1.1.2.cmml">∂</mo><msup id="A2.E73.m1.27.27.27.1.1.1.1.1" xref="A2.E73.m1.27.27.27.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A2.E73.m1.27.27.27.1.1.1.1.1.1.1" xref="A2.E73.m1.27.27.27.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A2.E73.m1.27.27.27.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A2.E73.m1.27.27.27.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="A2.E73.m1.27.27.27.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A2.E73.m1.27.27.27.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A2.E73.m1.27.27.27.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A2.E73.m1.27.27.27.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">𝐱</mi><mn id="A2.E73.m1.27.27.27.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A2.E73.m1.27.27.27.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">2</mn></msub><mo id="A2.E73.m1.27.27.27.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A2.E73.m1.27.27.27.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mi id="A2.E73.m1.27.27.27.1.1.1.1.1.3" xref="A2.E73.m1.27.27.27.1.1.1.1.1.3.cmml">T</mi></msup></mrow></mfrac><mo id="A2.E73.m1.28.28.28.2.2.2" xref="A2.E73.m1.28.28.28.2.2.2.cmml">=</mo><msup id="A2.E73.m1.48.48.3.47.20.20.20.1.1.1.1"><mrow id="A2.E73.m1.48.48.3.47.20.20.20.1.1.1.1.1.1"><mo id="A2.E73.m1.29.29.29.3.3.3" stretchy="false">(</mo><mrow id="A2.E73.m1.48.48.3.47.20.20.20.1.1.1.1.1.1.1"><msub id="A2.E73.m1.48.48.3.47.20.20.20.1.1.1.1.1.1.1.1"><mi id="A2.E73.m1.30.30.30.4.4.4" xref="A2.E73.m1.30.30.30.4.4.4.cmml">𝐱</mi><mn id="A2.E73.m1.31.31.31.5.5.5.1" xref="A2.E73.m1.31.31.31.5.5.5.1.cmml">1</mn></msub><mo id="A2.E73.m1.32.32.32.6.6.6" xref="A2.E73.m1.32.32.32.6.6.6.cmml">−</mo><msub id="A2.E73.m1.48.48.3.47.20.20.20.1.1.1.1.1.1.1.2"><mi id="A2.E73.m1.33.33.33.7.7.7" xref="A2.E73.m1.33.33.33.7.7.7.cmml">𝐱</mi><mn id="A2.E73.m1.34.34.34.8.8.8.1" xref="A2.E73.m1.34.34.34.8.8.8.1.cmml">3</mn></msub></mrow><mo id="A2.E73.m1.35.35.35.9.9.9" stretchy="false">)</mo></mrow><mo id="A2.E73.m1.36.36.36.10.10.10.1" xref="A2.E73.m1.36.36.36.10.10.10.1.cmml">×</mo></msup></mrow><mo id="A2.E73.m1.37.37.37.11.11.11">,</mo><mrow id="A2.E73.m1.48.48.3.47.20.20.20.1.2.2"><mrow id="A2.E73.m1.48.48.3.47.20.20.20.1.2.2.1.1"><mfrac id="A2.E73.m1.38.38.38.12.12.12" xref="A2.E73.m1.38.38.38.12.12.12.cmml"><mrow id="A2.E73.m1.38.38.38.12.12.12.3" xref="A2.E73.m1.38.38.38.12.12.12.3.cmml"><mo id="A2.E73.m1.38.38.38.12.12.12.3.1" rspace="0em" xref="A2.E73.m1.38.38.38.12.12.12.3.1.cmml">∂</mo><msub id="A2.E73.m1.38.38.38.12.12.12.3.2" xref="A2.E73.m1.38.38.38.12.12.12.3.2.cmml"><mi id="A2.E73.m1.38.38.38.12.12.12.3.2.2" xref="A2.E73.m1.38.38.38.12.12.12.3.2.2.cmml">𝐧</mi><mi id="A2.E73.m1.38.38.38.12.12.12.3.2.3" xref="A2.E73.m1.38.38.38.12.12.12.3.2.3.cmml">c</mi></msub></mrow><mrow id="A2.E73.m1.38.38.38.12.12.12.1" xref="A2.E73.m1.38.38.38.12.12.12.1.cmml"><mo id="A2.E73.m1.38.38.38.12.12.12.1.2" rspace="0em" xref="A2.E73.m1.38.38.38.12.12.12.1.2.cmml">∂</mo><msup id="A2.E73.m1.38.38.38.12.12.12.1.1" xref="A2.E73.m1.38.38.38.12.12.12.1.1.cmml"><mrow id="A2.E73.m1.38.38.38.12.12.12.1.1.1.1" xref="A2.E73.m1.38.38.38.12.12.12.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A2.E73.m1.38.38.38.12.12.12.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A2.E73.m1.38.38.38.12.12.12.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="A2.E73.m1.38.38.38.12.12.12.1.1.1.1.1" xref="A2.E73.m1.38.38.38.12.12.12.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A2.E73.m1.38.38.38.12.12.12.1.1.1.1.1.2" xref="A2.E73.m1.38.38.38.12.12.12.1.1.1.1.1.2.cmml">𝐱</mi><mn id="A2.E73.m1.38.38.38.12.12.12.1.1.1.1.1.3" xref="A2.E73.m1.38.38.38.12.12.12.1.1.1.1.1.3.cmml">4</mn></msub><mo id="A2.E73.m1.38.38.38.12.12.12.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A2.E73.m1.38.38.38.12.12.12.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mi id="A2.E73.m1.38.38.38.12.12.12.1.1.3" xref="A2.E73.m1.38.38.38.12.12.12.1.1.3.cmml">T</mi></msup></mrow></mfrac><mo id="A2.E73.m1.39.39.39.13.13.13" xref="A2.E73.m1.39.39.39.13.13.13.cmml">=</mo><mn id="A2.E73.m1.40.40.40.14.14.14" xref="A2.E73.m1.40.40.40.14.14.14.cmml">𝟎</mn></mrow><mo id="A2.E73.m1.41.41.41.15.15.15">,</mo><mrow id="A2.E73.m1.48.48.3.47.20.20.20.1.2.2.2.2"><mfrac id="A2.E73.m1.42.42.42.16.16.16" xref="A2.E73.m1.42.42.42.16.16.16.cmml"><mrow id="A2.E73.m1.42.42.42.16.16.16.3" xref="A2.E73.m1.42.42.42.16.16.16.3.cmml"><mo id="A2.E73.m1.42.42.42.16.16.16.3.1" rspace="0em" xref="A2.E73.m1.42.42.42.16.16.16.3.1.cmml">∂</mo><msub id="A2.E73.m1.42.42.42.16.16.16.3.2" xref="A2.E73.m1.42.42.42.16.16.16.3.2.cmml"><mi id="A2.E73.m1.42.42.42.16.16.16.3.2.2" xref="A2.E73.m1.42.42.42.16.16.16.3.2.2.cmml">𝐧</mi><mi id="A2.E73.m1.42.42.42.16.16.16.3.2.3" xref="A2.E73.m1.42.42.42.16.16.16.3.2.3.cmml">c</mi></msub></mrow><mrow id="A2.E73.m1.42.42.42.16.16.16.1" xref="A2.E73.m1.42.42.42.16.16.16.1.cmml"><mo id="A2.E73.m1.42.42.42.16.16.16.1.2" rspace="0em" xref="A2.E73.m1.42.42.42.16.16.16.1.2.cmml">∂</mo><msup id="A2.E73.m1.42.42.42.16.16.16.1.1" xref="A2.E73.m1.42.42.42.16.16.16.1.1.cmml"><mrow id="A2.E73.m1.42.42.42.16.16.16.1.1.1.1" xref="A2.E73.m1.42.42.42.16.16.16.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A2.E73.m1.42.42.42.16.16.16.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A2.E73.m1.42.42.42.16.16.16.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="A2.E73.m1.42.42.42.16.16.16.1.1.1.1.1" xref="A2.E73.m1.42.42.42.16.16.16.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A2.E73.m1.42.42.42.16.16.16.1.1.1.1.1.2" xref="A2.E73.m1.42.42.42.16.16.16.1.1.1.1.1.2.cmml">𝐱</mi><mn id="A2.E73.m1.42.42.42.16.16.16.1.1.1.1.1.3" xref="A2.E73.m1.42.42.42.16.16.16.1.1.1.1.1.3.cmml">6</mn></msub><mo id="A2.E73.m1.42.42.42.16.16.16.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A2.E73.m1.42.42.42.16.16.16.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mi id="A2.E73.m1.42.42.42.16.16.16.1.1.3" xref="A2.E73.m1.42.42.42.16.16.16.1.1.3.cmml">T</mi></msup></mrow></mfrac><mo id="A2.E73.m1.43.43.43.17.17.17" xref="A2.E73.m1.43.43.43.17.17.17.cmml">=</mo><mn id="A2.E73.m1.44.44.44.18.18.18" xref="A2.E73.m1.44.44.44.18.18.18.cmml">𝟎</mn></mrow></mrow></mrow><mo id="A2.E73.m1.45.45.45.19.19.19">,</mo></mrow></mtd></mtr></mtable><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.E73.m1.48b"><apply id="A2.E73.m1.46.46.1.1.1.3.cmml"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E73.m1.46.46.1.1.1.3a.cmml">formulae-sequence</csymbol><apply id="A2.E73.m1.46.46.1.1.1.1.1.cmml"><eq id="A2.E73.m1.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="A2.E73.m1.2.2.2.2.2.2"></eq><apply id="A2.E73.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A2.E73.m1.1.1.1.1.1.1"><divide id="A2.E73.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A2.E73.m1.1.1.1.1.1.1"></divide><apply id="A2.E73.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A2.E73.m1.1.1.1.1.1.1.3"><partialdiff id="A2.E73.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A2.E73.m1.1.1.1.1.1.1.3.1"></partialdiff><apply id="A2.E73.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A2.E73.m1.1.1.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E73.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="A2.E73.m1.1.1.1.1.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="A2.E73.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="A2.E73.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2">𝐧</ci><ci id="A2.E73.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="A2.E73.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3">𝑐</ci></apply></apply><apply id="A2.E73.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A2.E73.m1.1.1.1.1.1.1.1"><partialdiff id="A2.E73.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A2.E73.m1.1.1.1.1.1.1.1.2"></partialdiff><apply id="A2.E73.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A2.E73.m1.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E73.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A2.E73.m1.1.1.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="A2.E73.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A2.E73.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E73.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A2.E73.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="A2.E73.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A2.E73.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝐱</ci><cn id="A2.E73.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A2.E73.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">1</cn></apply><ci id="A2.E73.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A2.E73.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑇</ci></apply></apply></apply><apply id="A2.E73.m1.46.46.1.1.1.1.1.1.cmml"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E73.m1.46.46.1.1.1.1.1.1.2.cmml">superscript</csymbol><apply id="A2.E73.m1.46.46.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><minus id="A2.E73.m1.6.6.6.6.6.6.cmml" xref="A2.E73.m1.6.6.6.6.6.6"></minus><apply id="A2.E73.m1.46.46.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E73.m1.46.46.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">subscript</csymbol><ci id="A2.E73.m1.4.4.4.4.4.4.cmml" xref="A2.E73.m1.4.4.4.4.4.4">𝐱</ci><cn id="A2.E73.m1.5.5.5.5.5.5.1.cmml" type="integer" xref="A2.E73.m1.5.5.5.5.5.5.1">3</cn></apply><apply id="A2.E73.m1.46.46.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E73.m1.46.46.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">subscript</csymbol><ci id="A2.E73.m1.7.7.7.7.7.7.cmml" xref="A2.E73.m1.7.7.7.7.7.7">𝐱</ci><cn id="A2.E73.m1.8.8.8.8.8.8.1.cmml" type="integer" xref="A2.E73.m1.8.8.8.8.8.8.1">2</cn></apply></apply><times id="A2.E73.m1.10.10.10.10.10.10.1.cmml" xref="A2.E73.m1.10.10.10.10.10.10.1"></times></apply></apply><apply id="A2.E73.m1.46.46.1.1.1.2.2.3.cmml"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E73.m1.46.46.1.1.1.2.2.3a.cmml">formulae-sequence</csymbol><apply id="A2.E73.m1.46.46.1.1.1.2.2.1.1.cmml"><eq id="A2.E73.m1.13.13.13.13.13.13.cmml" xref="A2.E73.m1.13.13.13.13.13.13"></eq><apply id="A2.E73.m1.12.12.12.12.12.12.cmml" xref="A2.E73.m1.12.12.12.12.12.12"><divide id="A2.E73.m1.12.12.12.12.12.12.2.cmml" xref="A2.E73.m1.12.12.12.12.12.12"></divide><apply id="A2.E73.m1.12.12.12.12.12.12.3.cmml" xref="A2.E73.m1.12.12.12.12.12.12.3"><partialdiff id="A2.E73.m1.12.12.12.12.12.12.3.1.cmml" xref="A2.E73.m1.12.12.12.12.12.12.3.1"></partialdiff><apply id="A2.E73.m1.12.12.12.12.12.12.3.2.cmml" xref="A2.E73.m1.12.12.12.12.12.12.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E73.m1.12.12.12.12.12.12.3.2.1.cmml" xref="A2.E73.m1.12.12.12.12.12.12.3.2">subscript</csymbol><ci id="A2.E73.m1.12.12.12.12.12.12.3.2.2.cmml" xref="A2.E73.m1.12.12.12.12.12.12.3.2.2">𝐧</ci><ci id="A2.E73.m1.12.12.12.12.12.12.3.2.3.cmml" xref="A2.E73.m1.12.12.12.12.12.12.3.2.3">𝑐</ci></apply></apply><apply id="A2.E73.m1.12.12.12.12.12.12.1.cmml" xref="A2.E73.m1.12.12.12.12.12.12.1"><partialdiff id="A2.E73.m1.12.12.12.12.12.12.1.2.cmml" xref="A2.E73.m1.12.12.12.12.12.12.1.2"></partialdiff><apply id="A2.E73.m1.12.12.12.12.12.12.1.1.cmml" xref="A2.E73.m1.12.12.12.12.12.12.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E73.m1.12.12.12.12.12.12.1.1.2.cmml" xref="A2.E73.m1.12.12.12.12.12.12.1.1">superscript</csymbol><apply id="A2.E73.m1.12.12.12.12.12.12.1.1.1.1.1.cmml" xref="A2.E73.m1.12.12.12.12.12.12.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E73.m1.12.12.12.12.12.12.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A2.E73.m1.12.12.12.12.12.12.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="A2.E73.m1.12.12.12.12.12.12.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A2.E73.m1.12.12.12.12.12.12.1.1.1.1.1.2">𝐱</ci><cn id="A2.E73.m1.12.12.12.12.12.12.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A2.E73.m1.12.12.12.12.12.12.1.1.1.1.1.3">3</cn></apply><ci id="A2.E73.m1.12.12.12.12.12.12.1.1.3.cmml" xref="A2.E73.m1.12.12.12.12.12.12.1.1.3">𝑇</ci></apply></apply></apply><apply id="A2.E73.m1.46.46.1.1.1.2.2.1.1.1.cmml"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E73.m1.46.46.1.1.1.2.2.1.1.1.2.cmml">superscript</csymbol><apply id="A2.E73.m1.46.46.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><minus id="A2.E73.m1.17.17.17.17.17.17.cmml" xref="A2.E73.m1.17.17.17.17.17.17"></minus><apply id="A2.E73.m1.46.46.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E73.m1.46.46.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">subscript</csymbol><ci id="A2.E73.m1.15.15.15.15.15.15.cmml" xref="A2.E73.m1.15.15.15.15.15.15">𝐱</ci><cn id="A2.E73.m1.16.16.16.16.16.16.1.cmml" type="integer" xref="A2.E73.m1.16.16.16.16.16.16.1">2</cn></apply><apply id="A2.E73.m1.46.46.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E73.m1.46.46.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">subscript</csymbol><ci id="A2.E73.m1.18.18.18.18.18.18.cmml" xref="A2.E73.m1.18.18.18.18.18.18">𝐱</ci><cn id="A2.E73.m1.19.19.19.19.19.19.1.cmml" type="integer" xref="A2.E73.m1.19.19.19.19.19.19.1">1</cn></apply></apply><times id="A2.E73.m1.21.21.21.21.21.21.1.cmml" xref="A2.E73.m1.21.21.21.21.21.21.1"></times></apply></apply><apply id="A2.E73.m1.46.46.1.1.1.2.2.2.2.3.cmml"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E73.m1.46.46.1.1.1.2.2.2.2.3a.cmml">formulae-sequence</csymbol><apply id="A2.E73.m1.46.46.1.1.1.2.2.2.2.1.1.cmml"><eq id="A2.E73.m1.24.24.24.24.24.24.cmml" xref="A2.E73.m1.24.24.24.24.24.24"></eq><apply id="A2.E73.m1.23.23.23.23.23.23.cmml" xref="A2.E73.m1.23.23.23.23.23.23"><divide 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encoding="application/x-llamapun" id="A2.E73.m1.48d">start_ROW start_CELL divide start_ARG ∂ bold_n start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT end_ARG start_ARG ∂ ( bold_x start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG = ( bold_x start_POSTSUBSCRIPT 3 end_POSTSUBSCRIPT - bold_x start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT × end_POSTSUPERSCRIPT , divide start_ARG ∂ bold_n start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT end_ARG start_ARG ∂ ( bold_x start_POSTSUBSCRIPT 3 end_POSTSUBSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG = ( bold_x start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT - bold_x start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT × end_POSTSUPERSCRIPT , divide start_ARG ∂ bold_n start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT end_ARG start_ARG ∂ ( bold_x start_POSTSUBSCRIPT 5 end_POSTSUBSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG = bold_0 , end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL divide start_ARG ∂ bold_n start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT end_ARG start_ARG ∂ ( bold_x start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG = ( bold_x start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT - bold_x start_POSTSUBSCRIPT 3 end_POSTSUBSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT × end_POSTSUPERSCRIPT , divide start_ARG ∂ bold_n start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT end_ARG start_ARG ∂ ( bold_x start_POSTSUBSCRIPT 4 end_POSTSUBSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG = bold_0 , divide start_ARG ∂ bold_n start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT end_ARG start_ARG ∂ ( bold_x start_POSTSUBSCRIPT 6 end_POSTSUBSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG = bold_0 , end_CELL end_ROW</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(73)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="A2.p3.4">where the operator <math alttext="\times" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.p3.3.m1.1"><semantics id="A2.p3.3.m1.1a"><mo id="A2.p3.3.m1.1.1" xref="A2.p3.3.m1.1.1.cmml">×</mo><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.p3.3.m1.1b"><times id="A2.p3.3.m1.1.1.cmml" xref="A2.p3.3.m1.1.1"></times></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.p3.3.m1.1c">\times</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.p3.3.m1.1d">×</annotation></semantics></math> applied to a vector <math alttext="\mathbf{v}=\begin{bmatrix}x&y&z\end{bmatrix}^{T}" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.p3.4.m2.1"><semantics id="A2.p3.4.m2.1a"><mrow id="A2.p3.4.m2.1.2" xref="A2.p3.4.m2.1.2.cmml"><mi id="A2.p3.4.m2.1.2.2" xref="A2.p3.4.m2.1.2.2.cmml">𝐯</mi><mo id="A2.p3.4.m2.1.2.1" xref="A2.p3.4.m2.1.2.1.cmml">=</mo><msup id="A2.p3.4.m2.1.2.3" xref="A2.p3.4.m2.1.2.3.cmml"><mrow id="A2.p3.4.m2.1.1.3" xref="A2.p3.4.m2.1.1.2.cmml"><mo id="A2.p3.4.m2.1.1.3.1" xref="A2.p3.4.m2.1.1.2.1.cmml">[</mo><mtable columnspacing="5pt" id="A2.p3.4.m2.1.1.1.1" xref="A2.p3.4.m2.1.1.1.1.cmml"><mtr id="A2.p3.4.m2.1.1.1.1a" xref="A2.p3.4.m2.1.1.1.1.cmml"><mtd id="A2.p3.4.m2.1.1.1.1b" xref="A2.p3.4.m2.1.1.1.1.cmml"><mi id="A2.p3.4.m2.1.1.1.1.1.1.1" xref="A2.p3.4.m2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">x</mi></mtd><mtd id="A2.p3.4.m2.1.1.1.1c" xref="A2.p3.4.m2.1.1.1.1.cmml"><mi id="A2.p3.4.m2.1.1.1.1.1.2.1" xref="A2.p3.4.m2.1.1.1.1.1.2.1.cmml">y</mi></mtd><mtd id="A2.p3.4.m2.1.1.1.1d" xref="A2.p3.4.m2.1.1.1.1.cmml"><mi id="A2.p3.4.m2.1.1.1.1.1.3.1" xref="A2.p3.4.m2.1.1.1.1.1.3.1.cmml">z</mi></mtd></mtr></mtable><mo id="A2.p3.4.m2.1.1.3.2" xref="A2.p3.4.m2.1.1.2.1.cmml">]</mo></mrow><mi id="A2.p3.4.m2.1.2.3.2" xref="A2.p3.4.m2.1.2.3.2.cmml">T</mi></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.p3.4.m2.1b"><apply id="A2.p3.4.m2.1.2.cmml" xref="A2.p3.4.m2.1.2"><eq id="A2.p3.4.m2.1.2.1.cmml" xref="A2.p3.4.m2.1.2.1"></eq><ci id="A2.p3.4.m2.1.2.2.cmml" xref="A2.p3.4.m2.1.2.2">𝐯</ci><apply id="A2.p3.4.m2.1.2.3.cmml" xref="A2.p3.4.m2.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.p3.4.m2.1.2.3.1.cmml" xref="A2.p3.4.m2.1.2.3">superscript</csymbol><apply id="A2.p3.4.m2.1.1.2.cmml" xref="A2.p3.4.m2.1.1.3"><csymbol cd="latexml" id="A2.p3.4.m2.1.1.2.1.cmml" xref="A2.p3.4.m2.1.1.3.1">matrix</csymbol><matrix id="A2.p3.4.m2.1.1.1.1.cmml" xref="A2.p3.4.m2.1.1.1.1"><matrixrow id="A2.p3.4.m2.1.1.1.1a.cmml" xref="A2.p3.4.m2.1.1.1.1"><ci id="A2.p3.4.m2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A2.p3.4.m2.1.1.1.1.1.1.1">𝑥</ci><ci id="A2.p3.4.m2.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A2.p3.4.m2.1.1.1.1.1.2.1">𝑦</ci><ci id="A2.p3.4.m2.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A2.p3.4.m2.1.1.1.1.1.3.1">𝑧</ci></matrixrow></matrix></apply><ci id="A2.p3.4.m2.1.2.3.2.cmml" xref="A2.p3.4.m2.1.2.3.2">𝑇</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.p3.4.m2.1c">\mathbf{v}=\begin{bmatrix}x&y&z\end{bmatrix}^{T}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.p3.4.m2.1d">bold_v = [ start_ARG start_ROW start_CELL italic_x end_CELL start_CELL italic_y end_CELL start_CELL italic_z end_CELL end_ROW end_ARG ] start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> yields the skew-symmetric matrix</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="A2.E74"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\mathbf{v}^{\times}=\begin{bmatrix}0&-z&y\\ z&0&-x\\ -y&x&0\end{bmatrix}," class="ltx_Math" display="block" id="A2.E74.m1.2"><semantics id="A2.E74.m1.2a"><mrow id="A2.E74.m1.2.2.1" xref="A2.E74.m1.2.2.1.1.cmml"><mrow id="A2.E74.m1.2.2.1.1" xref="A2.E74.m1.2.2.1.1.cmml"><msup id="A2.E74.m1.2.2.1.1.2" xref="A2.E74.m1.2.2.1.1.2.cmml"><mi id="A2.E74.m1.2.2.1.1.2.2" xref="A2.E74.m1.2.2.1.1.2.2.cmml">𝐯</mi><mo id="A2.E74.m1.2.2.1.1.2.3" xref="A2.E74.m1.2.2.1.1.2.3.cmml">×</mo></msup><mo id="A2.E74.m1.2.2.1.1.1" xref="A2.E74.m1.2.2.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="A2.E74.m1.1.1.3" xref="A2.E74.m1.1.1.2.cmml"><mo id="A2.E74.m1.1.1.3.1" xref="A2.E74.m1.1.1.2.1.cmml">[</mo><mtable columnspacing="5pt" displaystyle="true" id="A2.E74.m1.1.1.1.1" rowspacing="0pt" xref="A2.E74.m1.1.1.1.1.cmml"><mtr id="A2.E74.m1.1.1.1.1a" xref="A2.E74.m1.1.1.1.1.cmml"><mtd id="A2.E74.m1.1.1.1.1b" xref="A2.E74.m1.1.1.1.1.cmml"><mn id="A2.E74.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A2.E74.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">0</mn></mtd><mtd id="A2.E74.m1.1.1.1.1c" xref="A2.E74.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A2.E74.m1.1.1.1.1.1.2.1" xref="A2.E74.m1.1.1.1.1.1.2.1.cmml"><mo id="A2.E74.m1.1.1.1.1.1.2.1a" xref="A2.E74.m1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">−</mo><mi id="A2.E74.m1.1.1.1.1.1.2.1.2" xref="A2.E74.m1.1.1.1.1.1.2.1.2.cmml">z</mi></mrow></mtd><mtd id="A2.E74.m1.1.1.1.1d" xref="A2.E74.m1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A2.E74.m1.1.1.1.1.1.3.1" xref="A2.E74.m1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">y</mi></mtd></mtr><mtr id="A2.E74.m1.1.1.1.1e" xref="A2.E74.m1.1.1.1.1.cmml"><mtd id="A2.E74.m1.1.1.1.1f" xref="A2.E74.m1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A2.E74.m1.1.1.1.1.2.1.1" xref="A2.E74.m1.1.1.1.1.2.1.1.cmml">z</mi></mtd><mtd id="A2.E74.m1.1.1.1.1g" xref="A2.E74.m1.1.1.1.1.cmml"><mn id="A2.E74.m1.1.1.1.1.2.2.1" xref="A2.E74.m1.1.1.1.1.2.2.1.cmml">0</mn></mtd><mtd id="A2.E74.m1.1.1.1.1h" xref="A2.E74.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A2.E74.m1.1.1.1.1.2.3.1" xref="A2.E74.m1.1.1.1.1.2.3.1.cmml"><mo id="A2.E74.m1.1.1.1.1.2.3.1a" xref="A2.E74.m1.1.1.1.1.2.3.1.cmml">−</mo><mi id="A2.E74.m1.1.1.1.1.2.3.1.2" xref="A2.E74.m1.1.1.1.1.2.3.1.2.cmml">x</mi></mrow></mtd></mtr><mtr id="A2.E74.m1.1.1.1.1i" xref="A2.E74.m1.1.1.1.1.cmml"><mtd id="A2.E74.m1.1.1.1.1j" xref="A2.E74.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A2.E74.m1.1.1.1.1.3.1.1" xref="A2.E74.m1.1.1.1.1.3.1.1.cmml"><mo id="A2.E74.m1.1.1.1.1.3.1.1a" xref="A2.E74.m1.1.1.1.1.3.1.1.cmml">−</mo><mi id="A2.E74.m1.1.1.1.1.3.1.1.2" xref="A2.E74.m1.1.1.1.1.3.1.1.2.cmml">y</mi></mrow></mtd><mtd id="A2.E74.m1.1.1.1.1k" xref="A2.E74.m1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A2.E74.m1.1.1.1.1.3.2.1" xref="A2.E74.m1.1.1.1.1.3.2.1.cmml">x</mi></mtd><mtd id="A2.E74.m1.1.1.1.1l" xref="A2.E74.m1.1.1.1.1.cmml"><mn id="A2.E74.m1.1.1.1.1.3.3.1" xref="A2.E74.m1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">0</mn></mtd></mtr></mtable><mo id="A2.E74.m1.1.1.3.2" xref="A2.E74.m1.1.1.2.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><mo id="A2.E74.m1.2.2.1.2" xref="A2.E74.m1.2.2.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.E74.m1.2b"><apply id="A2.E74.m1.2.2.1.1.cmml" xref="A2.E74.m1.2.2.1"><eq id="A2.E74.m1.2.2.1.1.1.cmml" xref="A2.E74.m1.2.2.1.1.1"></eq><apply id="A2.E74.m1.2.2.1.1.2.cmml" xref="A2.E74.m1.2.2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E74.m1.2.2.1.1.2.1.cmml" xref="A2.E74.m1.2.2.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="A2.E74.m1.2.2.1.1.2.2.cmml" xref="A2.E74.m1.2.2.1.1.2.2">𝐯</ci><times id="A2.E74.m1.2.2.1.1.2.3.cmml" xref="A2.E74.m1.2.2.1.1.2.3"></times></apply><apply id="A2.E74.m1.1.1.2.cmml" xref="A2.E74.m1.1.1.3"><csymbol cd="latexml" id="A2.E74.m1.1.1.2.1.cmml" xref="A2.E74.m1.1.1.3.1">matrix</csymbol><matrix id="A2.E74.m1.1.1.1.1.cmml" xref="A2.E74.m1.1.1.1.1"><matrixrow id="A2.E74.m1.1.1.1.1a.cmml" xref="A2.E74.m1.1.1.1.1"><cn id="A2.E74.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" type="integer" xref="A2.E74.m1.1.1.1.1.1.1.1">0</cn><apply id="A2.E74.m1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A2.E74.m1.1.1.1.1.1.2.1"><minus id="A2.E74.m1.1.1.1.1.1.2.1.1.cmml" xref="A2.E74.m1.1.1.1.1.1.2.1"></minus><ci id="A2.E74.m1.1.1.1.1.1.2.1.2.cmml" xref="A2.E74.m1.1.1.1.1.1.2.1.2">𝑧</ci></apply><ci id="A2.E74.m1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A2.E74.m1.1.1.1.1.1.3.1">𝑦</ci></matrixrow><matrixrow id="A2.E74.m1.1.1.1.1b.cmml" xref="A2.E74.m1.1.1.1.1"><ci id="A2.E74.m1.1.1.1.1.2.1.1.cmml" xref="A2.E74.m1.1.1.1.1.2.1.1">𝑧</ci><cn id="A2.E74.m1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" type="integer" xref="A2.E74.m1.1.1.1.1.2.2.1">0</cn><apply id="A2.E74.m1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="A2.E74.m1.1.1.1.1.2.3.1"><minus id="A2.E74.m1.1.1.1.1.2.3.1.1.cmml" xref="A2.E74.m1.1.1.1.1.2.3.1"></minus><ci id="A2.E74.m1.1.1.1.1.2.3.1.2.cmml" xref="A2.E74.m1.1.1.1.1.2.3.1.2">𝑥</ci></apply></matrixrow><matrixrow id="A2.E74.m1.1.1.1.1c.cmml" xref="A2.E74.m1.1.1.1.1"><apply id="A2.E74.m1.1.1.1.1.3.1.1.cmml" xref="A2.E74.m1.1.1.1.1.3.1.1"><minus id="A2.E74.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.cmml" xref="A2.E74.m1.1.1.1.1.3.1.1"></minus><ci id="A2.E74.m1.1.1.1.1.3.1.1.2.cmml" xref="A2.E74.m1.1.1.1.1.3.1.1.2">𝑦</ci></apply><ci id="A2.E74.m1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="A2.E74.m1.1.1.1.1.3.2.1">𝑥</ci><cn id="A2.E74.m1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" type="integer" xref="A2.E74.m1.1.1.1.1.3.3.1">0</cn></matrixrow></matrix></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.E74.m1.2c">\mathbf{v}^{\times}=\begin{bmatrix}0&-z&y\\ z&0&-x\\ -y&x&0\end{bmatrix},</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.E74.m1.2d">bold_v start_POSTSUPERSCRIPT × end_POSTSUPERSCRIPT = [ start_ARG start_ROW start_CELL 0 end_CELL start_CELL - italic_z end_CELL start_CELL italic_y end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL italic_z end_CELL start_CELL 0 end_CELL start_CELL - italic_x end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL - italic_y end_CELL start_CELL italic_x end_CELL start_CELL 0 end_CELL end_ROW end_ARG ] ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(74)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="A2.p3.5">which corresponds to the cross product <math alttext="\mathbf{v}\times(*)" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.p3.5.m1.1"><semantics id="A2.p3.5.m1.1a"><mrow id="A2.p3.5.m1.1.2" xref="A2.p3.5.m1.1.2.cmml"><mi id="A2.p3.5.m1.1.2.2" xref="A2.p3.5.m1.1.2.2.cmml">𝐯</mi><mo id="A2.p3.5.m1.1.2.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="A2.p3.5.m1.1.2.1.cmml">×</mo><mrow id="A2.p3.5.m1.1.2.3.2" xref="A2.p3.5.m1.1.2.cmml"><mo id="A2.p3.5.m1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="A2.p3.5.m1.1.2.cmml">(</mo><mo id="A2.p3.5.m1.1.1" lspace="0em" rspace="0em" xref="A2.p3.5.m1.1.1.cmml">∗</mo><mo id="A2.p3.5.m1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="A2.p3.5.m1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.p3.5.m1.1b"><apply id="A2.p3.5.m1.1.2.cmml" xref="A2.p3.5.m1.1.2"><times id="A2.p3.5.m1.1.2.1.cmml" xref="A2.p3.5.m1.1.2.1"></times><ci id="A2.p3.5.m1.1.2.2.cmml" xref="A2.p3.5.m1.1.2.2">𝐯</ci><times id="A2.p3.5.m1.1.1.cmml" xref="A2.p3.5.m1.1.1"></times></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.p3.5.m1.1c">\mathbf{v}\times(*)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.p3.5.m1.1d">bold_v × ( ∗ )</annotation></semantics></math>.</p> </div> <div class="ltx_para" id="A2.p4"> <p class="ltx_p" id="A2.p4.1">Finally, by vectorizing the <math alttext="(\nabla\mathbf{n}_{c})^{T}" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.p4.1.m1.1"><semantics id="A2.p4.1.m1.1a"><msup id="A2.p4.1.m1.1.1" xref="A2.p4.1.m1.1.1.cmml"><mrow id="A2.p4.1.m1.1.1.1.1" xref="A2.p4.1.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A2.p4.1.m1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A2.p4.1.m1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A2.p4.1.m1.1.1.1.1.1" xref="A2.p4.1.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A2.p4.1.m1.1.1.1.1.1.1" rspace="0.167em" xref="A2.p4.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">∇</mo><msub id="A2.p4.1.m1.1.1.1.1.1.2" xref="A2.p4.1.m1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="A2.p4.1.m1.1.1.1.1.1.2.2" xref="A2.p4.1.m1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">𝐧</mi><mi id="A2.p4.1.m1.1.1.1.1.1.2.3" xref="A2.p4.1.m1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">c</mi></msub></mrow><mo id="A2.p4.1.m1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A2.p4.1.m1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mi id="A2.p4.1.m1.1.1.3" xref="A2.p4.1.m1.1.1.3.cmml">T</mi></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.p4.1.m1.1b"><apply id="A2.p4.1.m1.1.1.cmml" xref="A2.p4.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.p4.1.m1.1.1.2.cmml" xref="A2.p4.1.m1.1.1">superscript</csymbol><apply id="A2.p4.1.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A2.p4.1.m1.1.1.1.1"><ci id="A2.p4.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A2.p4.1.m1.1.1.1.1.1.1">∇</ci><apply id="A2.p4.1.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A2.p4.1.m1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.p4.1.m1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A2.p4.1.m1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="A2.p4.1.m1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A2.p4.1.m1.1.1.1.1.1.2.2">𝐧</ci><ci id="A2.p4.1.m1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="A2.p4.1.m1.1.1.1.1.1.2.3">𝑐</ci></apply></apply><ci id="A2.p4.1.m1.1.1.3.cmml" xref="A2.p4.1.m1.1.1.3">𝑇</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.p4.1.m1.1c">(\nabla\mathbf{n}_{c})^{T}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.p4.1.m1.1d">( ∇ bold_n start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>, we obtain</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="A2.E75"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\frac{\partial\mathbf{n}_{\tilde{z}}}{\partial\mathbf{x}^{e}}=vec\left((\nabla% \mathbf{n}_{c}\right)^{T})." class="ltx_Math" display="block" id="A2.E75.m1.1"><semantics id="A2.E75.m1.1a"><mrow id="A2.E75.m1.1.1.1" xref="A2.E75.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A2.E75.m1.1.1.1.1" xref="A2.E75.m1.1.1.1.1.cmml"><mfrac id="A2.E75.m1.1.1.1.1.3" xref="A2.E75.m1.1.1.1.1.3.cmml"><mrow id="A2.E75.m1.1.1.1.1.3.2" xref="A2.E75.m1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mo id="A2.E75.m1.1.1.1.1.3.2.1" rspace="0em" xref="A2.E75.m1.1.1.1.1.3.2.1.cmml">∂</mo><msub id="A2.E75.m1.1.1.1.1.3.2.2" xref="A2.E75.m1.1.1.1.1.3.2.2.cmml"><mi id="A2.E75.m1.1.1.1.1.3.2.2.2" xref="A2.E75.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml">𝐧</mi><mover accent="true" id="A2.E75.m1.1.1.1.1.3.2.2.3" xref="A2.E75.m1.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml"><mi id="A2.E75.m1.1.1.1.1.3.2.2.3.2" xref="A2.E75.m1.1.1.1.1.3.2.2.3.2.cmml">z</mi><mo id="A2.E75.m1.1.1.1.1.3.2.2.3.1" xref="A2.E75.m1.1.1.1.1.3.2.2.3.1.cmml">~</mo></mover></msub></mrow><mrow id="A2.E75.m1.1.1.1.1.3.3" xref="A2.E75.m1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mo id="A2.E75.m1.1.1.1.1.3.3.1" rspace="0em" xref="A2.E75.m1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">∂</mo><msup id="A2.E75.m1.1.1.1.1.3.3.2" xref="A2.E75.m1.1.1.1.1.3.3.2.cmml"><mi id="A2.E75.m1.1.1.1.1.3.3.2.2" xref="A2.E75.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.cmml">𝐱</mi><mi id="A2.E75.m1.1.1.1.1.3.3.2.3" xref="A2.E75.m1.1.1.1.1.3.3.2.3.cmml">e</mi></msup></mrow></mfrac><mo id="A2.E75.m1.1.1.1.1.2" xref="A2.E75.m1.1.1.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="A2.E75.m1.1.1.1.1.1" xref="A2.E75.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A2.E75.m1.1.1.1.1.1.3" xref="A2.E75.m1.1.1.1.1.1.3.cmml">v</mi><mo id="A2.E75.m1.1.1.1.1.1.2" xref="A2.E75.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="A2.E75.m1.1.1.1.1.1.4" xref="A2.E75.m1.1.1.1.1.1.4.cmml">e</mi><mo id="A2.E75.m1.1.1.1.1.1.2a" xref="A2.E75.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="A2.E75.m1.1.1.1.1.1.5" xref="A2.E75.m1.1.1.1.1.1.5.cmml">c</mi><mo id="A2.E75.m1.1.1.1.1.1.2b" xref="A2.E75.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A2.E75.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A2.E75.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A2.E75.m1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A2.E75.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="A2.E75.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A2.E75.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A2.E75.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A2.E75.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A2.E75.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A2.E75.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A2.E75.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A2.E75.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A2.E75.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" rspace="0.167em" xref="A2.E75.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">∇</mo><msub id="A2.E75.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A2.E75.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="A2.E75.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="A2.E75.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">𝐧</mi><mi id="A2.E75.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="A2.E75.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">c</mi></msub></mrow><mo id="A2.E75.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A2.E75.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mi id="A2.E75.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A2.E75.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">T</mi></msup><mo id="A2.E75.m1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A2.E75.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="A2.E75.m1.1.1.1.2" lspace="0em" xref="A2.E75.m1.1.1.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.E75.m1.1b"><apply id="A2.E75.m1.1.1.1.1.cmml" xref="A2.E75.m1.1.1.1"><eq id="A2.E75.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A2.E75.m1.1.1.1.1.2"></eq><apply id="A2.E75.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A2.E75.m1.1.1.1.1.3"><divide id="A2.E75.m1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A2.E75.m1.1.1.1.1.3"></divide><apply id="A2.E75.m1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A2.E75.m1.1.1.1.1.3.2"><partialdiff id="A2.E75.m1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="A2.E75.m1.1.1.1.1.3.2.1"></partialdiff><apply id="A2.E75.m1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="A2.E75.m1.1.1.1.1.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E75.m1.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="A2.E75.m1.1.1.1.1.3.2.2">subscript</csymbol><ci id="A2.E75.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="A2.E75.m1.1.1.1.1.3.2.2.2">𝐧</ci><apply id="A2.E75.m1.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml" xref="A2.E75.m1.1.1.1.1.3.2.2.3"><ci id="A2.E75.m1.1.1.1.1.3.2.2.3.1.cmml" xref="A2.E75.m1.1.1.1.1.3.2.2.3.1">~</ci><ci id="A2.E75.m1.1.1.1.1.3.2.2.3.2.cmml" xref="A2.E75.m1.1.1.1.1.3.2.2.3.2">𝑧</ci></apply></apply></apply><apply id="A2.E75.m1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A2.E75.m1.1.1.1.1.3.3"><partialdiff id="A2.E75.m1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="A2.E75.m1.1.1.1.1.3.3.1"></partialdiff><apply id="A2.E75.m1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="A2.E75.m1.1.1.1.1.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E75.m1.1.1.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="A2.E75.m1.1.1.1.1.3.3.2">superscript</csymbol><ci id="A2.E75.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="A2.E75.m1.1.1.1.1.3.3.2.2">𝐱</ci><ci id="A2.E75.m1.1.1.1.1.3.3.2.3.cmml" xref="A2.E75.m1.1.1.1.1.3.3.2.3">𝑒</ci></apply></apply></apply><apply id="A2.E75.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A2.E75.m1.1.1.1.1.1"><times id="A2.E75.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A2.E75.m1.1.1.1.1.1.2"></times><ci id="A2.E75.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A2.E75.m1.1.1.1.1.1.3">𝑣</ci><ci id="A2.E75.m1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="A2.E75.m1.1.1.1.1.1.4">𝑒</ci><ci id="A2.E75.m1.1.1.1.1.1.5.cmml" xref="A2.E75.m1.1.1.1.1.1.5">𝑐</ci><apply id="A2.E75.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A2.E75.m1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E75.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A2.E75.m1.1.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="A2.E75.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A2.E75.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><ci id="A2.E75.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A2.E75.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1">∇</ci><apply id="A2.E75.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A2.E75.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E75.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A2.E75.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="A2.E75.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A2.E75.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝐧</ci><ci id="A2.E75.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="A2.E75.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">𝑐</ci></apply></apply><ci id="A2.E75.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A2.E75.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑇</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.E75.m1.1c">\frac{\partial\mathbf{n}_{\tilde{z}}}{\partial\mathbf{x}^{e}}=vec\left((\nabla% \mathbf{n}_{c}\right)^{T}).</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.E75.m1.1d">divide start_ARG ∂ bold_n start_POSTSUBSCRIPT over~ start_ARG italic_z end_ARG end_POSTSUBSCRIPT end_ARG start_ARG ∂ bold_x start_POSTSUPERSCRIPT italic_e end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG = italic_v italic_e italic_c ( ( ∇ bold_n start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT ) .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(75)</span></td> </tr></tbody> </table> </div> <figure class="ltx_figure" id="A2.F9"><img alt="Refer to caption" class="ltx_graphics ltx_centering ltx_img_square" height="416" id="A2.F9.g1" src="x9.png" width="415"/> <figcaption class="ltx_caption ltx_centering"><span class="ltx_tag ltx_tag_figure"><span class="ltx_text" id="A2.F9.8.4.1" style="font-size:90%;">Figure 9</span>: </span><span class="ltx_text" id="A2.F9.6.3" style="font-size:90%;"> Definition of geometric quantities. The heights of the triangles are denoted as <math alttext="h_{i}" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.F9.4.1.m1.1"><semantics id="A2.F9.4.1.m1.1b"><msub id="A2.F9.4.1.m1.1.1" xref="A2.F9.4.1.m1.1.1.cmml"><mi id="A2.F9.4.1.m1.1.1.2" xref="A2.F9.4.1.m1.1.1.2.cmml">h</mi><mi id="A2.F9.4.1.m1.1.1.3" xref="A2.F9.4.1.m1.1.1.3.cmml">i</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.F9.4.1.m1.1c"><apply id="A2.F9.4.1.m1.1.1.cmml" xref="A2.F9.4.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.F9.4.1.m1.1.1.1.cmml" xref="A2.F9.4.1.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="A2.F9.4.1.m1.1.1.2.cmml" xref="A2.F9.4.1.m1.1.1.2">ℎ</ci><ci id="A2.F9.4.1.m1.1.1.3.cmml" xref="A2.F9.4.1.m1.1.1.3">𝑖</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.F9.4.1.m1.1d">h_{i}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.F9.4.1.m1.1e">italic_h start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> where <math alttext="i" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.F9.5.2.m2.1"><semantics id="A2.F9.5.2.m2.1b"><mi id="A2.F9.5.2.m2.1.1" xref="A2.F9.5.2.m2.1.1.cmml">i</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.F9.5.2.m2.1c"><ci id="A2.F9.5.2.m2.1.1.cmml" xref="A2.F9.5.2.m2.1.1">𝑖</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.F9.5.2.m2.1d">i</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.F9.5.2.m2.1e">italic_i</annotation></semantics></math> ranges from 1 to 6, and the perpendicular feet are represented by <math alttext="M,N,P,Q,R,andS" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.F9.6.3.m3.6"><semantics id="A2.F9.6.3.m3.6b"><mrow id="A2.F9.6.3.m3.6.6.1" xref="A2.F9.6.3.m3.6.6.2.cmml"><mi id="A2.F9.6.3.m3.1.1" xref="A2.F9.6.3.m3.1.1.cmml">M</mi><mo id="A2.F9.6.3.m3.6.6.1.2" xref="A2.F9.6.3.m3.6.6.2.cmml">,</mo><mi id="A2.F9.6.3.m3.2.2" xref="A2.F9.6.3.m3.2.2.cmml">N</mi><mo id="A2.F9.6.3.m3.6.6.1.3" xref="A2.F9.6.3.m3.6.6.2.cmml">,</mo><mi id="A2.F9.6.3.m3.3.3" xref="A2.F9.6.3.m3.3.3.cmml">P</mi><mo id="A2.F9.6.3.m3.6.6.1.4" xref="A2.F9.6.3.m3.6.6.2.cmml">,</mo><mi id="A2.F9.6.3.m3.4.4" xref="A2.F9.6.3.m3.4.4.cmml">Q</mi><mo id="A2.F9.6.3.m3.6.6.1.5" xref="A2.F9.6.3.m3.6.6.2.cmml">,</mo><mi id="A2.F9.6.3.m3.5.5" xref="A2.F9.6.3.m3.5.5.cmml">R</mi><mo id="A2.F9.6.3.m3.6.6.1.6" xref="A2.F9.6.3.m3.6.6.2.cmml">,</mo><mrow id="A2.F9.6.3.m3.6.6.1.1" xref="A2.F9.6.3.m3.6.6.1.1.cmml"><mi id="A2.F9.6.3.m3.6.6.1.1.2" xref="A2.F9.6.3.m3.6.6.1.1.2.cmml">a</mi><mo id="A2.F9.6.3.m3.6.6.1.1.1" xref="A2.F9.6.3.m3.6.6.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="A2.F9.6.3.m3.6.6.1.1.3" xref="A2.F9.6.3.m3.6.6.1.1.3.cmml">n</mi><mo id="A2.F9.6.3.m3.6.6.1.1.1b" xref="A2.F9.6.3.m3.6.6.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="A2.F9.6.3.m3.6.6.1.1.4" xref="A2.F9.6.3.m3.6.6.1.1.4.cmml">d</mi><mo id="A2.F9.6.3.m3.6.6.1.1.1c" xref="A2.F9.6.3.m3.6.6.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="A2.F9.6.3.m3.6.6.1.1.5" xref="A2.F9.6.3.m3.6.6.1.1.5.cmml">S</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.F9.6.3.m3.6c"><list id="A2.F9.6.3.m3.6.6.2.cmml" xref="A2.F9.6.3.m3.6.6.1"><ci id="A2.F9.6.3.m3.1.1.cmml" xref="A2.F9.6.3.m3.1.1">𝑀</ci><ci id="A2.F9.6.3.m3.2.2.cmml" xref="A2.F9.6.3.m3.2.2">𝑁</ci><ci id="A2.F9.6.3.m3.3.3.cmml" xref="A2.F9.6.3.m3.3.3">𝑃</ci><ci id="A2.F9.6.3.m3.4.4.cmml" xref="A2.F9.6.3.m3.4.4">𝑄</ci><ci id="A2.F9.6.3.m3.5.5.cmml" xref="A2.F9.6.3.m3.5.5">𝑅</ci><apply id="A2.F9.6.3.m3.6.6.1.1.cmml" xref="A2.F9.6.3.m3.6.6.1.1"><times id="A2.F9.6.3.m3.6.6.1.1.1.cmml" xref="A2.F9.6.3.m3.6.6.1.1.1"></times><ci id="A2.F9.6.3.m3.6.6.1.1.2.cmml" xref="A2.F9.6.3.m3.6.6.1.1.2">𝑎</ci><ci id="A2.F9.6.3.m3.6.6.1.1.3.cmml" xref="A2.F9.6.3.m3.6.6.1.1.3">𝑛</ci><ci id="A2.F9.6.3.m3.6.6.1.1.4.cmml" xref="A2.F9.6.3.m3.6.6.1.1.4">𝑑</ci><ci id="A2.F9.6.3.m3.6.6.1.1.5.cmml" xref="A2.F9.6.3.m3.6.6.1.1.5">𝑆</ci></apply></list></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.F9.6.3.m3.6d">M,N,P,Q,R,andS</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.F9.6.3.m3.6e">italic_M , italic_N , italic_P , italic_Q , italic_R , italic_a italic_n italic_d italic_S</annotation></semantics></math>. </span></figcaption> </figure> </section> <section class="ltx_appendix" id="A3"> <h2 class="ltx_title ltx_title_appendix"> <span class="ltx_tag ltx_tag_appendix">Appendix C </span>The Directional Curvature Operator</h2> <div class="ltx_para" id="A3.p1"> <p class="ltx_p" id="A3.p1.5">The directional curvature operator can be quantified using the geometry quantities in Figure <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2502.10872v4#A2.F9" title="Figure 9 ‣ Appendix B Gradient of Normal Direction of Corotational Shell Stencil ‣ Corotational Hinge-based Thin Plates/Shells"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">9</span></a>, as follow</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="A3.E76"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\mathbf{L}_{p}=-\mathbf{H}\bm{\theta}," class="ltx_Math" display="block" id="A3.E76.m1.1"><semantics id="A3.E76.m1.1a"><mrow id="A3.E76.m1.1.1.1" xref="A3.E76.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A3.E76.m1.1.1.1.1" xref="A3.E76.m1.1.1.1.1.cmml"><msub id="A3.E76.m1.1.1.1.1.2" xref="A3.E76.m1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="A3.E76.m1.1.1.1.1.2.2" xref="A3.E76.m1.1.1.1.1.2.2.cmml">𝐋</mi><mi id="A3.E76.m1.1.1.1.1.2.3" xref="A3.E76.m1.1.1.1.1.2.3.cmml">p</mi></msub><mo id="A3.E76.m1.1.1.1.1.1" xref="A3.E76.m1.1.1.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="A3.E76.m1.1.1.1.1.3" xref="A3.E76.m1.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="A3.E76.m1.1.1.1.1.3a" xref="A3.E76.m1.1.1.1.1.3.cmml">−</mo><mrow id="A3.E76.m1.1.1.1.1.3.2" xref="A3.E76.m1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="A3.E76.m1.1.1.1.1.3.2.2" xref="A3.E76.m1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">𝐇</mi><mo id="A3.E76.m1.1.1.1.1.3.2.1" xref="A3.E76.m1.1.1.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="A3.E76.m1.1.1.1.1.3.2.3" xref="A3.E76.m1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">𝜽</mi></mrow></mrow></mrow><mo id="A3.E76.m1.1.1.1.2" xref="A3.E76.m1.1.1.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A3.E76.m1.1b"><apply id="A3.E76.m1.1.1.1.1.cmml" xref="A3.E76.m1.1.1.1"><eq id="A3.E76.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A3.E76.m1.1.1.1.1.1"></eq><apply id="A3.E76.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A3.E76.m1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.E76.m1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A3.E76.m1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="A3.E76.m1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A3.E76.m1.1.1.1.1.2.2">𝐋</ci><ci id="A3.E76.m1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="A3.E76.m1.1.1.1.1.2.3">𝑝</ci></apply><apply id="A3.E76.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A3.E76.m1.1.1.1.1.3"><minus id="A3.E76.m1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A3.E76.m1.1.1.1.1.3"></minus><apply id="A3.E76.m1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A3.E76.m1.1.1.1.1.3.2"><times id="A3.E76.m1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="A3.E76.m1.1.1.1.1.3.2.1"></times><ci id="A3.E76.m1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="A3.E76.m1.1.1.1.1.3.2.2">𝐇</ci><ci id="A3.E76.m1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="A3.E76.m1.1.1.1.1.3.2.3">𝜽</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A3.E76.m1.1c">\mathbf{L}_{p}=-\mathbf{H}\bm{\theta},</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A3.E76.m1.1d">bold_L start_POSTSUBSCRIPT italic_p end_POSTSUBSCRIPT = - bold_H bold_italic_θ ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(76)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="A3.p1.6">where</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="A3.E77"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\mathbf{H}=\begin{bmatrix}\frac{2}{h_{1}+h_{4}}&0&0\\ 0&\frac{2}{h_{2}+h_{5}}&0\\ 0&0&\frac{2}{h_{3}+h_{6}}\end{bmatrix}," class="ltx_Math" display="block" id="A3.E77.m1.2"><semantics id="A3.E77.m1.2a"><mrow id="A3.E77.m1.2.2.1" xref="A3.E77.m1.2.2.1.1.cmml"><mrow id="A3.E77.m1.2.2.1.1" xref="A3.E77.m1.2.2.1.1.cmml"><mi id="A3.E77.m1.2.2.1.1.2" xref="A3.E77.m1.2.2.1.1.2.cmml">𝐇</mi><mo id="A3.E77.m1.2.2.1.1.1" xref="A3.E77.m1.2.2.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="A3.E77.m1.1.1.3" xref="A3.E77.m1.1.1.2.cmml"><mo id="A3.E77.m1.1.1.3.1" xref="A3.E77.m1.1.1.2.1.cmml">[</mo><mtable columnspacing="5pt" displaystyle="true" id="A3.E77.m1.1.1.1.1" rowspacing="0pt" xref="A3.E77.m1.1.1.1.1.cmml"><mtr id="A3.E77.m1.1.1.1.1a" xref="A3.E77.m1.1.1.1.1.cmml"><mtd id="A3.E77.m1.1.1.1.1b" xref="A3.E77.m1.1.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="false" id="A3.E77.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A3.E77.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mfrac id="A3.E77.m1.1.1.1.1.1.1.1a" xref="A3.E77.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="A3.E77.m1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A3.E77.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">2</mn><mrow id="A3.E77.m1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A3.E77.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><msub id="A3.E77.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A3.E77.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="A3.E77.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="A3.E77.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">h</mi><mn id="A3.E77.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="A3.E77.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">1</mn></msub><mo id="A3.E77.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="A3.E77.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">+</mo><msub id="A3.E77.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A3.E77.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="A3.E77.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="A3.E77.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">h</mi><mn id="A3.E77.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="A3.E77.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">4</mn></msub></mrow></mfrac></mstyle></mtd><mtd id="A3.E77.m1.1.1.1.1c" xref="A3.E77.m1.1.1.1.1.cmml"><mn id="A3.E77.m1.1.1.1.1.1.2.1" xref="A3.E77.m1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">0</mn></mtd><mtd id="A3.E77.m1.1.1.1.1d" xref="A3.E77.m1.1.1.1.1.cmml"><mn id="A3.E77.m1.1.1.1.1.1.3.1" xref="A3.E77.m1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">0</mn></mtd></mtr><mtr id="A3.E77.m1.1.1.1.1e" xref="A3.E77.m1.1.1.1.1.cmml"><mtd id="A3.E77.m1.1.1.1.1f" xref="A3.E77.m1.1.1.1.1.cmml"><mn id="A3.E77.m1.1.1.1.1.2.1.1" xref="A3.E77.m1.1.1.1.1.2.1.1.cmml">0</mn></mtd><mtd id="A3.E77.m1.1.1.1.1g" xref="A3.E77.m1.1.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="false" id="A3.E77.m1.1.1.1.1.2.2.1" xref="A3.E77.m1.1.1.1.1.2.2.1.cmml"><mfrac id="A3.E77.m1.1.1.1.1.2.2.1a" xref="A3.E77.m1.1.1.1.1.2.2.1.cmml"><mn id="A3.E77.m1.1.1.1.1.2.2.1.2" xref="A3.E77.m1.1.1.1.1.2.2.1.2.cmml">2</mn><mrow id="A3.E77.m1.1.1.1.1.2.2.1.3" xref="A3.E77.m1.1.1.1.1.2.2.1.3.cmml"><msub id="A3.E77.m1.1.1.1.1.2.2.1.3.2" xref="A3.E77.m1.1.1.1.1.2.2.1.3.2.cmml"><mi id="A3.E77.m1.1.1.1.1.2.2.1.3.2.2" xref="A3.E77.m1.1.1.1.1.2.2.1.3.2.2.cmml">h</mi><mn id="A3.E77.m1.1.1.1.1.2.2.1.3.2.3" xref="A3.E77.m1.1.1.1.1.2.2.1.3.2.3.cmml">2</mn></msub><mo id="A3.E77.m1.1.1.1.1.2.2.1.3.1" xref="A3.E77.m1.1.1.1.1.2.2.1.3.1.cmml">+</mo><msub id="A3.E77.m1.1.1.1.1.2.2.1.3.3" xref="A3.E77.m1.1.1.1.1.2.2.1.3.3.cmml"><mi id="A3.E77.m1.1.1.1.1.2.2.1.3.3.2" xref="A3.E77.m1.1.1.1.1.2.2.1.3.3.2.cmml">h</mi><mn id="A3.E77.m1.1.1.1.1.2.2.1.3.3.3" xref="A3.E77.m1.1.1.1.1.2.2.1.3.3.3.cmml">5</mn></msub></mrow></mfrac></mstyle></mtd><mtd id="A3.E77.m1.1.1.1.1h" xref="A3.E77.m1.1.1.1.1.cmml"><mn id="A3.E77.m1.1.1.1.1.2.3.1" xref="A3.E77.m1.1.1.1.1.2.3.1.cmml">0</mn></mtd></mtr><mtr id="A3.E77.m1.1.1.1.1i" xref="A3.E77.m1.1.1.1.1.cmml"><mtd id="A3.E77.m1.1.1.1.1j" xref="A3.E77.m1.1.1.1.1.cmml"><mn id="A3.E77.m1.1.1.1.1.3.1.1" xref="A3.E77.m1.1.1.1.1.3.1.1.cmml">0</mn></mtd><mtd id="A3.E77.m1.1.1.1.1k" xref="A3.E77.m1.1.1.1.1.cmml"><mn id="A3.E77.m1.1.1.1.1.3.2.1" xref="A3.E77.m1.1.1.1.1.3.2.1.cmml">0</mn></mtd><mtd id="A3.E77.m1.1.1.1.1l" xref="A3.E77.m1.1.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="false" id="A3.E77.m1.1.1.1.1.3.3.1" xref="A3.E77.m1.1.1.1.1.3.3.1.cmml"><mfrac id="A3.E77.m1.1.1.1.1.3.3.1a" xref="A3.E77.m1.1.1.1.1.3.3.1.cmml"><mn id="A3.E77.m1.1.1.1.1.3.3.1.2" xref="A3.E77.m1.1.1.1.1.3.3.1.2.cmml">2</mn><mrow id="A3.E77.m1.1.1.1.1.3.3.1.3" xref="A3.E77.m1.1.1.1.1.3.3.1.3.cmml"><msub id="A3.E77.m1.1.1.1.1.3.3.1.3.2" xref="A3.E77.m1.1.1.1.1.3.3.1.3.2.cmml"><mi id="A3.E77.m1.1.1.1.1.3.3.1.3.2.2" xref="A3.E77.m1.1.1.1.1.3.3.1.3.2.2.cmml">h</mi><mn id="A3.E77.m1.1.1.1.1.3.3.1.3.2.3" xref="A3.E77.m1.1.1.1.1.3.3.1.3.2.3.cmml">3</mn></msub><mo id="A3.E77.m1.1.1.1.1.3.3.1.3.1" xref="A3.E77.m1.1.1.1.1.3.3.1.3.1.cmml">+</mo><msub id="A3.E77.m1.1.1.1.1.3.3.1.3.3" xref="A3.E77.m1.1.1.1.1.3.3.1.3.3.cmml"><mi id="A3.E77.m1.1.1.1.1.3.3.1.3.3.2" xref="A3.E77.m1.1.1.1.1.3.3.1.3.3.2.cmml">h</mi><mn id="A3.E77.m1.1.1.1.1.3.3.1.3.3.3" xref="A3.E77.m1.1.1.1.1.3.3.1.3.3.3.cmml">6</mn></msub></mrow></mfrac></mstyle></mtd></mtr></mtable><mo id="A3.E77.m1.1.1.3.2" xref="A3.E77.m1.1.1.2.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><mo id="A3.E77.m1.2.2.1.2" xref="A3.E77.m1.2.2.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A3.E77.m1.2b"><apply id="A3.E77.m1.2.2.1.1.cmml" xref="A3.E77.m1.2.2.1"><eq id="A3.E77.m1.2.2.1.1.1.cmml" xref="A3.E77.m1.2.2.1.1.1"></eq><ci id="A3.E77.m1.2.2.1.1.2.cmml" xref="A3.E77.m1.2.2.1.1.2">𝐇</ci><apply id="A3.E77.m1.1.1.2.cmml" xref="A3.E77.m1.1.1.3"><csymbol cd="latexml" id="A3.E77.m1.1.1.2.1.cmml" xref="A3.E77.m1.1.1.3.1">matrix</csymbol><matrix id="A3.E77.m1.1.1.1.1.cmml" xref="A3.E77.m1.1.1.1.1"><matrixrow id="A3.E77.m1.1.1.1.1a.cmml" xref="A3.E77.m1.1.1.1.1"><apply id="A3.E77.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A3.E77.m1.1.1.1.1.1.1.1"><divide id="A3.E77.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A3.E77.m1.1.1.1.1.1.1.1"></divide><cn id="A3.E77.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="A3.E77.m1.1.1.1.1.1.1.1.2">2</cn><apply id="A3.E77.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A3.E77.m1.1.1.1.1.1.1.1.3"><plus id="A3.E77.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A3.E77.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.1"></plus><apply id="A3.E77.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A3.E77.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.E77.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="A3.E77.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="A3.E77.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="A3.E77.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2">ℎ</ci><cn id="A3.E77.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" type="integer" xref="A3.E77.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3">1</cn></apply><apply id="A3.E77.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A3.E77.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.E77.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="A3.E77.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="A3.E77.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="A3.E77.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2">ℎ</ci><cn id="A3.E77.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="A3.E77.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3">4</cn></apply></apply></apply><cn id="A3.E77.m1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" type="integer" xref="A3.E77.m1.1.1.1.1.1.2.1">0</cn><cn id="A3.E77.m1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" type="integer" xref="A3.E77.m1.1.1.1.1.1.3.1">0</cn></matrixrow><matrixrow id="A3.E77.m1.1.1.1.1b.cmml" xref="A3.E77.m1.1.1.1.1"><cn id="A3.E77.m1.1.1.1.1.2.1.1.cmml" 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id="A3.E77.m1.1.1.1.1.2.2.1.3.3.1.cmml" xref="A3.E77.m1.1.1.1.1.2.2.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="A3.E77.m1.1.1.1.1.2.2.1.3.3.2.cmml" xref="A3.E77.m1.1.1.1.1.2.2.1.3.3.2">ℎ</ci><cn id="A3.E77.m1.1.1.1.1.2.2.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="A3.E77.m1.1.1.1.1.2.2.1.3.3.3">5</cn></apply></apply></apply><cn id="A3.E77.m1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" type="integer" xref="A3.E77.m1.1.1.1.1.2.3.1">0</cn></matrixrow><matrixrow id="A3.E77.m1.1.1.1.1c.cmml" xref="A3.E77.m1.1.1.1.1"><cn id="A3.E77.m1.1.1.1.1.3.1.1.cmml" type="integer" xref="A3.E77.m1.1.1.1.1.3.1.1">0</cn><cn id="A3.E77.m1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" type="integer" xref="A3.E77.m1.1.1.1.1.3.2.1">0</cn><apply id="A3.E77.m1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="A3.E77.m1.1.1.1.1.3.3.1"><divide id="A3.E77.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.cmml" xref="A3.E77.m1.1.1.1.1.3.3.1"></divide><cn id="A3.E77.m1.1.1.1.1.3.3.1.2.cmml" type="integer" xref="A3.E77.m1.1.1.1.1.3.3.1.2">2</cn><apply id="A3.E77.m1.1.1.1.1.3.3.1.3.cmml" xref="A3.E77.m1.1.1.1.1.3.3.1.3"><plus id="A3.E77.m1.1.1.1.1.3.3.1.3.1.cmml" xref="A3.E77.m1.1.1.1.1.3.3.1.3.1"></plus><apply id="A3.E77.m1.1.1.1.1.3.3.1.3.2.cmml" xref="A3.E77.m1.1.1.1.1.3.3.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.E77.m1.1.1.1.1.3.3.1.3.2.1.cmml" xref="A3.E77.m1.1.1.1.1.3.3.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="A3.E77.m1.1.1.1.1.3.3.1.3.2.2.cmml" xref="A3.E77.m1.1.1.1.1.3.3.1.3.2.2">ℎ</ci><cn id="A3.E77.m1.1.1.1.1.3.3.1.3.2.3.cmml" type="integer" xref="A3.E77.m1.1.1.1.1.3.3.1.3.2.3">3</cn></apply><apply id="A3.E77.m1.1.1.1.1.3.3.1.3.3.cmml" xref="A3.E77.m1.1.1.1.1.3.3.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.E77.m1.1.1.1.1.3.3.1.3.3.1.cmml" xref="A3.E77.m1.1.1.1.1.3.3.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="A3.E77.m1.1.1.1.1.3.3.1.3.3.2.cmml" xref="A3.E77.m1.1.1.1.1.3.3.1.3.3.2">ℎ</ci><cn id="A3.E77.m1.1.1.1.1.3.3.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="A3.E77.m1.1.1.1.1.3.3.1.3.3.3">6</cn></apply></apply></apply></matrixrow></matrix></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A3.E77.m1.2c">\mathbf{H}=\begin{bmatrix}\frac{2}{h_{1}+h_{4}}&0&0\\ 0&\frac{2}{h_{2}+h_{5}}&0\\ 0&0&\frac{2}{h_{3}+h_{6}}\end{bmatrix},</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A3.E77.m1.2d">bold_H = [ start_ARG start_ROW start_CELL divide start_ARG 2 end_ARG start_ARG italic_h start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT + italic_h start_POSTSUBSCRIPT 4 end_POSTSUBSCRIPT end_ARG end_CELL start_CELL 0 end_CELL start_CELL 0 end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL 0 end_CELL start_CELL divide start_ARG 2 end_ARG start_ARG italic_h start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT + italic_h start_POSTSUBSCRIPT 5 end_POSTSUBSCRIPT end_ARG end_CELL start_CELL 0 end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL 0 end_CELL start_CELL 0 end_CELL start_CELL divide start_ARG 2 end_ARG start_ARG italic_h start_POSTSUBSCRIPT 3 end_POSTSUBSCRIPT + italic_h start_POSTSUBSCRIPT 6 end_POSTSUBSCRIPT end_ARG end_CELL end_ROW end_ARG ] ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(77)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="A3.p1.1">and <math alttext="\bm{\theta}" class="ltx_Math" display="inline" id="A3.p1.1.m1.1"><semantics id="A3.p1.1.m1.1a"><mi id="A3.p1.1.m1.1.1" xref="A3.p1.1.m1.1.1.cmml">𝜽</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A3.p1.1.m1.1b"><ci id="A3.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="A3.p1.1.m1.1.1">𝜽</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A3.p1.1.m1.1c">\bm{\theta}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A3.p1.1.m1.1d">bold_italic_θ</annotation></semantics></math> collects the linearized fold angles as follow</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="A3.E78"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\begin{bmatrix}-\frac{1}{h_{1}}&\left(\frac{\lVert\tilde{\mathbf{X}}_{M3}% \rVert}{ah_{5}}+\frac{\lVert\tilde{\mathbf{X}}_{N3}\rVert}{ah_{2}}\right)&% \left(\frac{\lVert\tilde{\mathbf{X}}_{R2}\rVert}{bh_{6}}+\frac{\lVert\tilde{% \mathbf{X}}_{S2}\rVert}{bh_{3}}\right)\\ \left(\frac{\lVert\tilde{\mathbf{X}}_{Q3}\rVert}{ch_{4}}+\frac{\lVert\tilde{% \mathbf{X}}_{P3}\rVert}{ch_{1}}\right)&-\frac{1}{h_{2}}&\left(\frac{\lVert% \tilde{\mathbf{X}}_{R1}\rVert}{bh_{6}}+\frac{\lVert\tilde{\mathbf{X}}_{S1}% \rVert}{bh_{3}}\right)\\ \left(\frac{\lVert\tilde{\mathbf{X}}_{Q2}\rVert}{ch_{4}}+\frac{\lVert\tilde{% \mathbf{X}}_{P2}\rVert}{ch_{1}}\right)&\left(\frac{\lVert\tilde{\mathbf{X}}_{M% 1}\rVert}{ah_{5}}+\frac{\lVert\tilde{\mathbf{X}}_{N1}\rVert}{ah_{2}}\right)&-% \frac{1}{h_{3}}\\ -\frac{1}{h_{4}}&0&0\\ 0&-\frac{1}{h_{5}}&0\\ 0&0&-\frac{1}{h_{6}}\end{bmatrix}^{T}," class="ltx_Math" display="block" id="A3.E78.m1.2"><semantics id="A3.E78.m1.2a"><mrow id="A3.E78.m1.2.2.1" xref="A3.E78.m1.2.2.1.1.cmml"><msup id="A3.E78.m1.2.2.1.1" xref="A3.E78.m1.2.2.1.1.cmml"><mrow id="A3.E78.m1.1.1.3" xref="A3.E78.m1.1.1.2.cmml"><mo id="A3.E78.m1.1.1.3.1" xref="A3.E78.m1.1.1.2.1.cmml">[</mo><mtable columnspacing="5pt" displaystyle="true" id="A3.E78.m1.1.1.1.1" rowspacing="0pt" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.cmml"><mtr id="A3.E78.m1.1.1.1.1a" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.cmml"><mtd id="A3.E78.m1.1.1.1.1b" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A3.E78.m1.1.1.1.1.6.6.7.1" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.6.6.7.1.cmml"><mo id="A3.E78.m1.1.1.1.1.6.6.7.1a" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.6.6.7.1.cmml">−</mo><mstyle displaystyle="false" id="A3.E78.m1.1.1.1.1.6.6.7.1.2" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.6.6.7.1.2.cmml"><mfrac id="A3.E78.m1.1.1.1.1.6.6.7.1.2a" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.6.6.7.1.2.cmml"><mn id="A3.E78.m1.1.1.1.1.6.6.7.1.2.2" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.6.6.7.1.2.2.cmml">1</mn><msub id="A3.E78.m1.1.1.1.1.6.6.7.1.2.3" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.6.6.7.1.2.3.cmml"><mi id="A3.E78.m1.1.1.1.1.6.6.7.1.2.3.2" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.6.6.7.1.2.3.2.cmml">h</mi><mn id="A3.E78.m1.1.1.1.1.6.6.7.1.2.3.3" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.6.6.7.1.2.3.3.cmml">1</mn></msub></mfrac></mstyle></mrow></mtd><mtd id="A3.E78.m1.1.1.1.1c" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A3.E78.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.3" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.1.cmml"><mo id="A3.E78.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.2" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.1.cmml">(</mo><mrow id="A3.E78.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.1" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.1.cmml"><mstyle displaystyle="false" id="A3.E78.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mfrac id="A3.E78.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1a" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A3.E78.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo fence="true" id="A3.E78.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" rspace="0em" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">∥</mo><msub id="A3.E78.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="A3.E78.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="A3.E78.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">𝐗</mi><mo id="A3.E78.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">~</mo></mover><mrow id="A3.E78.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A3.E78.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">M</mi><mo id="A3.E78.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mn id="A3.E78.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">3</mn></mrow></msub><mo fence="true" id="A3.E78.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" lspace="0em" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">∥</mo></mrow><mrow id="A3.E78.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A3.E78.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">a</mi><mo id="A3.E78.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="A3.E78.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="A3.E78.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">h</mi><mn id="A3.E78.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">5</mn></msub></mrow></mfrac></mstyle><mo id="A3.E78.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.1.1" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.1.1.cmml">+</mo><mstyle displaystyle="false" id="A3.E78.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml"><mfrac id="A3.E78.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2a" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml"><mrow id="A3.E78.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.1" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.2.cmml"><mo fence="true" id="A3.E78.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.1.2" rspace="0em" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.2.1.cmml">∥</mo><msub id="A3.E78.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="A3.E78.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1.2" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1.2.cmml"><mi id="A3.E78.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1.2.2" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1.2.2.cmml">𝐗</mi><mo id="A3.E78.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1.2.1" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1.2.1.cmml">~</mo></mover><mrow id="A3.E78.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1.3" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1.3.cmml"><mi id="A3.E78.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1.3.2" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1.3.2.cmml">N</mi><mo id="A3.E78.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1.3.1" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mn id="A3.E78.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1.3.3" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1.3.3.cmml">3</mn></mrow></msub><mo fence="true" id="A3.E78.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.1.3" lspace="0em" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.2.1.cmml">∥</mo></mrow><mrow id="A3.E78.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="A3.E78.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3.2" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3.2.cmml">a</mi><mo id="A3.E78.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3.1" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="A3.E78.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3.3" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3.3.cmml"><mi id="A3.E78.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3.3.2" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3.3.2.cmml">h</mi><mn id="A3.E78.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3.3.3" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3.3.3.cmml">2</mn></msub></mrow></mfrac></mstyle></mrow><mo id="A3.E78.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.3" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.1.cmml">)</mo></mrow></mtd><mtd id="A3.E78.m1.1.1.1.1d" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A3.E78.m1.1.1.1.1.6.6.6.3.3" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.6.6.6.3.3.1.cmml"><mo id="A3.E78.m1.1.1.1.1.6.6.6.3.3.2" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.6.6.6.3.3.1.cmml">(</mo><mrow id="A3.E78.m1.1.1.1.1.6.6.6.3.3.1" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.6.6.6.3.3.1.cmml"><mstyle displaystyle="false" id="A3.E78.m1.1.1.1.1.4.4.4.1.1" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.4.4.4.1.1.cmml"><mfrac id="A3.E78.m1.1.1.1.1.4.4.4.1.1a" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.4.4.4.1.1.cmml"><mrow id="A3.E78.m1.1.1.1.1.4.4.4.1.1.1.1" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.4.4.4.1.1.1.2.cmml"><mo fence="true" id="A3.E78.m1.1.1.1.1.4.4.4.1.1.1.1.2" rspace="0em" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.4.4.4.1.1.1.2.1.cmml">∥</mo><msub id="A3.E78.m1.1.1.1.1.4.4.4.1.1.1.1.1" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.4.4.4.1.1.1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="A3.E78.m1.1.1.1.1.4.4.4.1.1.1.1.1.2" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.4.4.4.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="A3.E78.m1.1.1.1.1.4.4.4.1.1.1.1.1.2.2" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.4.4.4.1.1.1.1.1.2.2.cmml">𝐗</mi><mo id="A3.E78.m1.1.1.1.1.4.4.4.1.1.1.1.1.2.1" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.4.4.4.1.1.1.1.1.2.1.cmml">~</mo></mover><mrow id="A3.E78.m1.1.1.1.1.4.4.4.1.1.1.1.1.3" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.4.4.4.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A3.E78.m1.1.1.1.1.4.4.4.1.1.1.1.1.3.2" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.4.4.4.1.1.1.1.1.3.2.cmml">R</mi><mo id="A3.E78.m1.1.1.1.1.4.4.4.1.1.1.1.1.3.1" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.4.4.4.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mn id="A3.E78.m1.1.1.1.1.4.4.4.1.1.1.1.1.3.3" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.4.4.4.1.1.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></mrow></msub><mo fence="true" id="A3.E78.m1.1.1.1.1.4.4.4.1.1.1.1.3" lspace="0em" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.4.4.4.1.1.1.2.1.cmml">∥</mo></mrow><mrow id="A3.E78.m1.1.1.1.1.4.4.4.1.1.3" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.4.4.4.1.1.3.cmml"><mi id="A3.E78.m1.1.1.1.1.4.4.4.1.1.3.2" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.4.4.4.1.1.3.2.cmml">b</mi><mo id="A3.E78.m1.1.1.1.1.4.4.4.1.1.3.1" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.4.4.4.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="A3.E78.m1.1.1.1.1.4.4.4.1.1.3.3" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.4.4.4.1.1.3.3.cmml"><mi id="A3.E78.m1.1.1.1.1.4.4.4.1.1.3.3.2" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.4.4.4.1.1.3.3.2.cmml">h</mi><mn id="A3.E78.m1.1.1.1.1.4.4.4.1.1.3.3.3" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.4.4.4.1.1.3.3.3.cmml">6</mn></msub></mrow></mfrac></mstyle><mo id="A3.E78.m1.1.1.1.1.6.6.6.3.3.1.1" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.6.6.6.3.3.1.1.cmml">+</mo><mstyle displaystyle="false" id="A3.E78.m1.1.1.1.1.5.5.5.2.2" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.5.5.5.2.2.cmml"><mfrac id="A3.E78.m1.1.1.1.1.5.5.5.2.2a" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.5.5.5.2.2.cmml"><mrow id="A3.E78.m1.1.1.1.1.5.5.5.2.2.1.1" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.5.5.5.2.2.1.2.cmml"><mo fence="true" id="A3.E78.m1.1.1.1.1.5.5.5.2.2.1.1.2" rspace="0em" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.5.5.5.2.2.1.2.1.cmml">∥</mo><msub id="A3.E78.m1.1.1.1.1.5.5.5.2.2.1.1.1" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.5.5.5.2.2.1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="A3.E78.m1.1.1.1.1.5.5.5.2.2.1.1.1.2" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.5.5.5.2.2.1.1.1.2.cmml"><mi id="A3.E78.m1.1.1.1.1.5.5.5.2.2.1.1.1.2.2" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.5.5.5.2.2.1.1.1.2.2.cmml">𝐗</mi><mo id="A3.E78.m1.1.1.1.1.5.5.5.2.2.1.1.1.2.1" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.5.5.5.2.2.1.1.1.2.1.cmml">~</mo></mover><mrow id="A3.E78.m1.1.1.1.1.5.5.5.2.2.1.1.1.3" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.5.5.5.2.2.1.1.1.3.cmml"><mi id="A3.E78.m1.1.1.1.1.5.5.5.2.2.1.1.1.3.2" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.5.5.5.2.2.1.1.1.3.2.cmml">S</mi><mo id="A3.E78.m1.1.1.1.1.5.5.5.2.2.1.1.1.3.1" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.5.5.5.2.2.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mn id="A3.E78.m1.1.1.1.1.5.5.5.2.2.1.1.1.3.3" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.5.5.5.2.2.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></mrow></msub><mo fence="true" id="A3.E78.m1.1.1.1.1.5.5.5.2.2.1.1.3" lspace="0em" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.5.5.5.2.2.1.2.1.cmml">∥</mo></mrow><mrow id="A3.E78.m1.1.1.1.1.5.5.5.2.2.3" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.5.5.5.2.2.3.cmml"><mi id="A3.E78.m1.1.1.1.1.5.5.5.2.2.3.2" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.5.5.5.2.2.3.2.cmml">b</mi><mo id="A3.E78.m1.1.1.1.1.5.5.5.2.2.3.1" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.5.5.5.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="A3.E78.m1.1.1.1.1.5.5.5.2.2.3.3" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.5.5.5.2.2.3.3.cmml"><mi id="A3.E78.m1.1.1.1.1.5.5.5.2.2.3.3.2" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.5.5.5.2.2.3.3.2.cmml">h</mi><mn id="A3.E78.m1.1.1.1.1.5.5.5.2.2.3.3.3" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.5.5.5.2.2.3.3.3.cmml">3</mn></msub></mrow></mfrac></mstyle></mrow><mo id="A3.E78.m1.1.1.1.1.6.6.6.3.3.3" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.6.6.6.3.3.1.cmml">)</mo></mrow></mtd></mtr><mtr id="A3.E78.m1.1.1.1.1e" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.cmml"><mtd id="A3.E78.m1.1.1.1.1f" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A3.E78.m1.1.1.1.1.9.9.3.3.3" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.9.9.3.3.3.1.cmml"><mo id="A3.E78.m1.1.1.1.1.9.9.3.3.3.2" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.9.9.3.3.3.1.cmml">(</mo><mrow id="A3.E78.m1.1.1.1.1.9.9.3.3.3.1" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.9.9.3.3.3.1.cmml"><mstyle displaystyle="false" id="A3.E78.m1.1.1.1.1.7.7.1.1.1" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.7.7.1.1.1.cmml"><mfrac id="A3.E78.m1.1.1.1.1.7.7.1.1.1a" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.7.7.1.1.1.cmml"><mrow id="A3.E78.m1.1.1.1.1.7.7.1.1.1.1.1" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.7.7.1.1.1.1.2.cmml"><mo fence="true" id="A3.E78.m1.1.1.1.1.7.7.1.1.1.1.1.2" rspace="0em" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.7.7.1.1.1.1.2.1.cmml">∥</mo><msub id="A3.E78.m1.1.1.1.1.7.7.1.1.1.1.1.1" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.7.7.1.1.1.1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="A3.E78.m1.1.1.1.1.7.7.1.1.1.1.1.1.2" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="A3.E78.m1.1.1.1.1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">𝐗</mi><mo id="A3.E78.m1.1.1.1.1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">~</mo></mover><mrow id="A3.E78.m1.1.1.1.1.7.7.1.1.1.1.1.1.3" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.7.7.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A3.E78.m1.1.1.1.1.7.7.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.7.7.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">Q</mi><mo id="A3.E78.m1.1.1.1.1.7.7.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.7.7.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mn id="A3.E78.m1.1.1.1.1.7.7.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.7.7.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">3</mn></mrow></msub><mo fence="true" id="A3.E78.m1.1.1.1.1.7.7.1.1.1.1.1.3" lspace="0em" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.7.7.1.1.1.1.2.1.cmml">∥</mo></mrow><mrow id="A3.E78.m1.1.1.1.1.7.7.1.1.1.3" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.7.7.1.1.1.3.cmml"><mi id="A3.E78.m1.1.1.1.1.7.7.1.1.1.3.2" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.7.7.1.1.1.3.2.cmml">c</mi><mo id="A3.E78.m1.1.1.1.1.7.7.1.1.1.3.1" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.7.7.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="A3.E78.m1.1.1.1.1.7.7.1.1.1.3.3" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.7.7.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="A3.E78.m1.1.1.1.1.7.7.1.1.1.3.3.2" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.7.7.1.1.1.3.3.2.cmml">h</mi><mn id="A3.E78.m1.1.1.1.1.7.7.1.1.1.3.3.3" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.7.7.1.1.1.3.3.3.cmml">4</mn></msub></mrow></mfrac></mstyle><mo id="A3.E78.m1.1.1.1.1.9.9.3.3.3.1.1" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.9.9.3.3.3.1.1.cmml">+</mo><mstyle displaystyle="false" id="A3.E78.m1.1.1.1.1.8.8.2.2.2" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.8.8.2.2.2.cmml"><mfrac id="A3.E78.m1.1.1.1.1.8.8.2.2.2a" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.8.8.2.2.2.cmml"><mrow id="A3.E78.m1.1.1.1.1.8.8.2.2.2.1.1" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.8.8.2.2.2.1.2.cmml"><mo fence="true" id="A3.E78.m1.1.1.1.1.8.8.2.2.2.1.1.2" rspace="0em" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.8.8.2.2.2.1.2.1.cmml">∥</mo><msub id="A3.E78.m1.1.1.1.1.8.8.2.2.2.1.1.1" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.8.8.2.2.2.1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="A3.E78.m1.1.1.1.1.8.8.2.2.2.1.1.1.2" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.8.8.2.2.2.1.1.1.2.cmml"><mi id="A3.E78.m1.1.1.1.1.8.8.2.2.2.1.1.1.2.2" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.8.8.2.2.2.1.1.1.2.2.cmml">𝐗</mi><mo id="A3.E78.m1.1.1.1.1.8.8.2.2.2.1.1.1.2.1" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.8.8.2.2.2.1.1.1.2.1.cmml">~</mo></mover><mrow id="A3.E78.m1.1.1.1.1.8.8.2.2.2.1.1.1.3" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.8.8.2.2.2.1.1.1.3.cmml"><mi id="A3.E78.m1.1.1.1.1.8.8.2.2.2.1.1.1.3.2" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.8.8.2.2.2.1.1.1.3.2.cmml">P</mi><mo id="A3.E78.m1.1.1.1.1.8.8.2.2.2.1.1.1.3.1" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.8.8.2.2.2.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mn id="A3.E78.m1.1.1.1.1.8.8.2.2.2.1.1.1.3.3" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.8.8.2.2.2.1.1.1.3.3.cmml">3</mn></mrow></msub><mo fence="true" id="A3.E78.m1.1.1.1.1.8.8.2.2.2.1.1.3" lspace="0em" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.8.8.2.2.2.1.2.1.cmml">∥</mo></mrow><mrow id="A3.E78.m1.1.1.1.1.8.8.2.2.2.3" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.8.8.2.2.2.3.cmml"><mi id="A3.E78.m1.1.1.1.1.8.8.2.2.2.3.2" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.8.8.2.2.2.3.2.cmml">c</mi><mo id="A3.E78.m1.1.1.1.1.8.8.2.2.2.3.1" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.8.8.2.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="A3.E78.m1.1.1.1.1.8.8.2.2.2.3.3" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.8.8.2.2.2.3.3.cmml"><mi id="A3.E78.m1.1.1.1.1.8.8.2.2.2.3.3.2" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.8.8.2.2.2.3.3.2.cmml">h</mi><mn id="A3.E78.m1.1.1.1.1.8.8.2.2.2.3.3.3" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.8.8.2.2.2.3.3.3.cmml">1</mn></msub></mrow></mfrac></mstyle></mrow><mo id="A3.E78.m1.1.1.1.1.9.9.3.3.3.3" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.9.9.3.3.3.1.cmml">)</mo></mrow></mtd><mtd id="A3.E78.m1.1.1.1.1g" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A3.E78.m1.1.1.1.1.12.12.7.1" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.12.12.7.1.cmml"><mo id="A3.E78.m1.1.1.1.1.12.12.7.1a" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.12.12.7.1.cmml">−</mo><mstyle displaystyle="false" id="A3.E78.m1.1.1.1.1.12.12.7.1.2" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.12.12.7.1.2.cmml"><mfrac id="A3.E78.m1.1.1.1.1.12.12.7.1.2a" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.12.12.7.1.2.cmml"><mn id="A3.E78.m1.1.1.1.1.12.12.7.1.2.2" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.12.12.7.1.2.2.cmml">1</mn><msub id="A3.E78.m1.1.1.1.1.12.12.7.1.2.3" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.12.12.7.1.2.3.cmml"><mi id="A3.E78.m1.1.1.1.1.12.12.7.1.2.3.2" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.12.12.7.1.2.3.2.cmml">h</mi><mn id="A3.E78.m1.1.1.1.1.12.12.7.1.2.3.3" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.12.12.7.1.2.3.3.cmml">2</mn></msub></mfrac></mstyle></mrow></mtd><mtd id="A3.E78.m1.1.1.1.1h" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A3.E78.m1.1.1.1.1.12.12.6.3.3" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.12.12.6.3.3.1.cmml"><mo id="A3.E78.m1.1.1.1.1.12.12.6.3.3.2" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.12.12.6.3.3.1.cmml">(</mo><mrow id="A3.E78.m1.1.1.1.1.12.12.6.3.3.1" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.12.12.6.3.3.1.cmml"><mstyle displaystyle="false" id="A3.E78.m1.1.1.1.1.10.10.4.1.1" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.10.10.4.1.1.cmml"><mfrac id="A3.E78.m1.1.1.1.1.10.10.4.1.1a" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.10.10.4.1.1.cmml"><mrow id="A3.E78.m1.1.1.1.1.10.10.4.1.1.1.1" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.10.10.4.1.1.1.2.cmml"><mo fence="true" id="A3.E78.m1.1.1.1.1.10.10.4.1.1.1.1.2" rspace="0em" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.10.10.4.1.1.1.2.1.cmml">∥</mo><msub id="A3.E78.m1.1.1.1.1.10.10.4.1.1.1.1.1" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.10.10.4.1.1.1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="A3.E78.m1.1.1.1.1.10.10.4.1.1.1.1.1.2" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.10.10.4.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="A3.E78.m1.1.1.1.1.10.10.4.1.1.1.1.1.2.2" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.10.10.4.1.1.1.1.1.2.2.cmml">𝐗</mi><mo id="A3.E78.m1.1.1.1.1.10.10.4.1.1.1.1.1.2.1" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.10.10.4.1.1.1.1.1.2.1.cmml">~</mo></mover><mrow id="A3.E78.m1.1.1.1.1.10.10.4.1.1.1.1.1.3" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.10.10.4.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A3.E78.m1.1.1.1.1.10.10.4.1.1.1.1.1.3.2" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.10.10.4.1.1.1.1.1.3.2.cmml">R</mi><mo id="A3.E78.m1.1.1.1.1.10.10.4.1.1.1.1.1.3.1" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.10.10.4.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mn id="A3.E78.m1.1.1.1.1.10.10.4.1.1.1.1.1.3.3" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.10.10.4.1.1.1.1.1.3.3.cmml">1</mn></mrow></msub><mo fence="true" id="A3.E78.m1.1.1.1.1.10.10.4.1.1.1.1.3" lspace="0em" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.10.10.4.1.1.1.2.1.cmml">∥</mo></mrow><mrow id="A3.E78.m1.1.1.1.1.10.10.4.1.1.3" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.10.10.4.1.1.3.cmml"><mi id="A3.E78.m1.1.1.1.1.10.10.4.1.1.3.2" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.10.10.4.1.1.3.2.cmml">b</mi><mo id="A3.E78.m1.1.1.1.1.10.10.4.1.1.3.1" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.10.10.4.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="A3.E78.m1.1.1.1.1.10.10.4.1.1.3.3" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.10.10.4.1.1.3.3.cmml"><mi id="A3.E78.m1.1.1.1.1.10.10.4.1.1.3.3.2" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.10.10.4.1.1.3.3.2.cmml">h</mi><mn id="A3.E78.m1.1.1.1.1.10.10.4.1.1.3.3.3" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.10.10.4.1.1.3.3.3.cmml">6</mn></msub></mrow></mfrac></mstyle><mo id="A3.E78.m1.1.1.1.1.12.12.6.3.3.1.1" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.12.12.6.3.3.1.1.cmml">+</mo><mstyle displaystyle="false" id="A3.E78.m1.1.1.1.1.11.11.5.2.2" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.11.11.5.2.2.cmml"><mfrac id="A3.E78.m1.1.1.1.1.11.11.5.2.2a" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.11.11.5.2.2.cmml"><mrow id="A3.E78.m1.1.1.1.1.11.11.5.2.2.1.1" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.11.11.5.2.2.1.2.cmml"><mo fence="true" id="A3.E78.m1.1.1.1.1.11.11.5.2.2.1.1.2" rspace="0em" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.11.11.5.2.2.1.2.1.cmml">∥</mo><msub id="A3.E78.m1.1.1.1.1.11.11.5.2.2.1.1.1" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.11.11.5.2.2.1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="A3.E78.m1.1.1.1.1.11.11.5.2.2.1.1.1.2" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.11.11.5.2.2.1.1.1.2.cmml"><mi id="A3.E78.m1.1.1.1.1.11.11.5.2.2.1.1.1.2.2" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.11.11.5.2.2.1.1.1.2.2.cmml">𝐗</mi><mo id="A3.E78.m1.1.1.1.1.11.11.5.2.2.1.1.1.2.1" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.11.11.5.2.2.1.1.1.2.1.cmml">~</mo></mover><mrow id="A3.E78.m1.1.1.1.1.11.11.5.2.2.1.1.1.3" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.11.11.5.2.2.1.1.1.3.cmml"><mi id="A3.E78.m1.1.1.1.1.11.11.5.2.2.1.1.1.3.2" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.11.11.5.2.2.1.1.1.3.2.cmml">S</mi><mo id="A3.E78.m1.1.1.1.1.11.11.5.2.2.1.1.1.3.1" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.11.11.5.2.2.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mn id="A3.E78.m1.1.1.1.1.11.11.5.2.2.1.1.1.3.3" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.11.11.5.2.2.1.1.1.3.3.cmml">1</mn></mrow></msub><mo fence="true" id="A3.E78.m1.1.1.1.1.11.11.5.2.2.1.1.3" lspace="0em" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.11.11.5.2.2.1.2.1.cmml">∥</mo></mrow><mrow id="A3.E78.m1.1.1.1.1.11.11.5.2.2.3" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.11.11.5.2.2.3.cmml"><mi id="A3.E78.m1.1.1.1.1.11.11.5.2.2.3.2" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.11.11.5.2.2.3.2.cmml">b</mi><mo id="A3.E78.m1.1.1.1.1.11.11.5.2.2.3.1" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.11.11.5.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="A3.E78.m1.1.1.1.1.11.11.5.2.2.3.3" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.11.11.5.2.2.3.3.cmml"><mi id="A3.E78.m1.1.1.1.1.11.11.5.2.2.3.3.2" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.11.11.5.2.2.3.3.2.cmml">h</mi><mn id="A3.E78.m1.1.1.1.1.11.11.5.2.2.3.3.3" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.11.11.5.2.2.3.3.3.cmml">3</mn></msub></mrow></mfrac></mstyle></mrow><mo id="A3.E78.m1.1.1.1.1.12.12.6.3.3.3" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.12.12.6.3.3.1.cmml">)</mo></mrow></mtd></mtr><mtr id="A3.E78.m1.1.1.1.1i" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.cmml"><mtd id="A3.E78.m1.1.1.1.1j" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A3.E78.m1.1.1.1.1.15.15.3.3.3" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.15.15.3.3.3.1.cmml"><mo id="A3.E78.m1.1.1.1.1.15.15.3.3.3.2" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.15.15.3.3.3.1.cmml">(</mo><mrow id="A3.E78.m1.1.1.1.1.15.15.3.3.3.1" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.15.15.3.3.3.1.cmml"><mstyle displaystyle="false" id="A3.E78.m1.1.1.1.1.13.13.1.1.1" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.13.13.1.1.1.cmml"><mfrac id="A3.E78.m1.1.1.1.1.13.13.1.1.1a" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.13.13.1.1.1.cmml"><mrow id="A3.E78.m1.1.1.1.1.13.13.1.1.1.1.1" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.13.13.1.1.1.1.2.cmml"><mo fence="true" id="A3.E78.m1.1.1.1.1.13.13.1.1.1.1.1.2" rspace="0em" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.13.13.1.1.1.1.2.1.cmml">∥</mo><msub id="A3.E78.m1.1.1.1.1.13.13.1.1.1.1.1.1" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.13.13.1.1.1.1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="A3.E78.m1.1.1.1.1.13.13.1.1.1.1.1.1.2" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.13.13.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="A3.E78.m1.1.1.1.1.13.13.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.13.13.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">𝐗</mi><mo id="A3.E78.m1.1.1.1.1.13.13.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.13.13.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">~</mo></mover><mrow id="A3.E78.m1.1.1.1.1.13.13.1.1.1.1.1.1.3" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.13.13.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A3.E78.m1.1.1.1.1.13.13.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.13.13.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">Q</mi><mo id="A3.E78.m1.1.1.1.1.13.13.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.13.13.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mn id="A3.E78.m1.1.1.1.1.13.13.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.13.13.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></mrow></msub><mo fence="true" id="A3.E78.m1.1.1.1.1.13.13.1.1.1.1.1.3" lspace="0em" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.13.13.1.1.1.1.2.1.cmml">∥</mo></mrow><mrow id="A3.E78.m1.1.1.1.1.13.13.1.1.1.3" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.13.13.1.1.1.3.cmml"><mi id="A3.E78.m1.1.1.1.1.13.13.1.1.1.3.2" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.13.13.1.1.1.3.2.cmml">c</mi><mo id="A3.E78.m1.1.1.1.1.13.13.1.1.1.3.1" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.13.13.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="A3.E78.m1.1.1.1.1.13.13.1.1.1.3.3" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.13.13.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="A3.E78.m1.1.1.1.1.13.13.1.1.1.3.3.2" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.13.13.1.1.1.3.3.2.cmml">h</mi><mn id="A3.E78.m1.1.1.1.1.13.13.1.1.1.3.3.3" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.13.13.1.1.1.3.3.3.cmml">4</mn></msub></mrow></mfrac></mstyle><mo id="A3.E78.m1.1.1.1.1.15.15.3.3.3.1.1" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.15.15.3.3.3.1.1.cmml">+</mo><mstyle displaystyle="false" id="A3.E78.m1.1.1.1.1.14.14.2.2.2" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.14.14.2.2.2.cmml"><mfrac id="A3.E78.m1.1.1.1.1.14.14.2.2.2a" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.14.14.2.2.2.cmml"><mrow id="A3.E78.m1.1.1.1.1.14.14.2.2.2.1.1" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.14.14.2.2.2.1.2.cmml"><mo fence="true" id="A3.E78.m1.1.1.1.1.14.14.2.2.2.1.1.2" rspace="0em" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.14.14.2.2.2.1.2.1.cmml">∥</mo><msub id="A3.E78.m1.1.1.1.1.14.14.2.2.2.1.1.1" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.14.14.2.2.2.1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="A3.E78.m1.1.1.1.1.14.14.2.2.2.1.1.1.2" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.14.14.2.2.2.1.1.1.2.cmml"><mi id="A3.E78.m1.1.1.1.1.14.14.2.2.2.1.1.1.2.2" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.14.14.2.2.2.1.1.1.2.2.cmml">𝐗</mi><mo id="A3.E78.m1.1.1.1.1.14.14.2.2.2.1.1.1.2.1" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.14.14.2.2.2.1.1.1.2.1.cmml">~</mo></mover><mrow id="A3.E78.m1.1.1.1.1.14.14.2.2.2.1.1.1.3" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.14.14.2.2.2.1.1.1.3.cmml"><mi id="A3.E78.m1.1.1.1.1.14.14.2.2.2.1.1.1.3.2" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.14.14.2.2.2.1.1.1.3.2.cmml">P</mi><mo id="A3.E78.m1.1.1.1.1.14.14.2.2.2.1.1.1.3.1" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.14.14.2.2.2.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mn id="A3.E78.m1.1.1.1.1.14.14.2.2.2.1.1.1.3.3" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.14.14.2.2.2.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></mrow></msub><mo fence="true" id="A3.E78.m1.1.1.1.1.14.14.2.2.2.1.1.3" lspace="0em" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.14.14.2.2.2.1.2.1.cmml">∥</mo></mrow><mrow id="A3.E78.m1.1.1.1.1.14.14.2.2.2.3" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.14.14.2.2.2.3.cmml"><mi id="A3.E78.m1.1.1.1.1.14.14.2.2.2.3.2" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.14.14.2.2.2.3.2.cmml">c</mi><mo id="A3.E78.m1.1.1.1.1.14.14.2.2.2.3.1" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.14.14.2.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="A3.E78.m1.1.1.1.1.14.14.2.2.2.3.3" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.14.14.2.2.2.3.3.cmml"><mi id="A3.E78.m1.1.1.1.1.14.14.2.2.2.3.3.2" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.14.14.2.2.2.3.3.2.cmml">h</mi><mn id="A3.E78.m1.1.1.1.1.14.14.2.2.2.3.3.3" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.14.14.2.2.2.3.3.3.cmml">1</mn></msub></mrow></mfrac></mstyle></mrow><mo id="A3.E78.m1.1.1.1.1.15.15.3.3.3.3" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.15.15.3.3.3.1.cmml">)</mo></mrow></mtd><mtd id="A3.E78.m1.1.1.1.1k" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A3.E78.m1.1.1.1.1.18.18.6.3.3" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.18.18.6.3.3.1.cmml"><mo id="A3.E78.m1.1.1.1.1.18.18.6.3.3.2" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.18.18.6.3.3.1.cmml">(</mo><mrow id="A3.E78.m1.1.1.1.1.18.18.6.3.3.1" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.18.18.6.3.3.1.cmml"><mstyle displaystyle="false" id="A3.E78.m1.1.1.1.1.16.16.4.1.1" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.16.16.4.1.1.cmml"><mfrac id="A3.E78.m1.1.1.1.1.16.16.4.1.1a" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.16.16.4.1.1.cmml"><mrow id="A3.E78.m1.1.1.1.1.16.16.4.1.1.1.1" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.16.16.4.1.1.1.2.cmml"><mo fence="true" id="A3.E78.m1.1.1.1.1.16.16.4.1.1.1.1.2" rspace="0em" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.16.16.4.1.1.1.2.1.cmml">∥</mo><msub id="A3.E78.m1.1.1.1.1.16.16.4.1.1.1.1.1" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.16.16.4.1.1.1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="A3.E78.m1.1.1.1.1.16.16.4.1.1.1.1.1.2" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.16.16.4.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="A3.E78.m1.1.1.1.1.16.16.4.1.1.1.1.1.2.2" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.16.16.4.1.1.1.1.1.2.2.cmml">𝐗</mi><mo id="A3.E78.m1.1.1.1.1.16.16.4.1.1.1.1.1.2.1" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.16.16.4.1.1.1.1.1.2.1.cmml">~</mo></mover><mrow id="A3.E78.m1.1.1.1.1.16.16.4.1.1.1.1.1.3" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.16.16.4.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A3.E78.m1.1.1.1.1.16.16.4.1.1.1.1.1.3.2" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.16.16.4.1.1.1.1.1.3.2.cmml">M</mi><mo id="A3.E78.m1.1.1.1.1.16.16.4.1.1.1.1.1.3.1" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.16.16.4.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mn id="A3.E78.m1.1.1.1.1.16.16.4.1.1.1.1.1.3.3" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.16.16.4.1.1.1.1.1.3.3.cmml">1</mn></mrow></msub><mo fence="true" id="A3.E78.m1.1.1.1.1.16.16.4.1.1.1.1.3" lspace="0em" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.16.16.4.1.1.1.2.1.cmml">∥</mo></mrow><mrow id="A3.E78.m1.1.1.1.1.16.16.4.1.1.3" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.16.16.4.1.1.3.cmml"><mi id="A3.E78.m1.1.1.1.1.16.16.4.1.1.3.2" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.16.16.4.1.1.3.2.cmml">a</mi><mo id="A3.E78.m1.1.1.1.1.16.16.4.1.1.3.1" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.16.16.4.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="A3.E78.m1.1.1.1.1.16.16.4.1.1.3.3" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.16.16.4.1.1.3.3.cmml"><mi id="A3.E78.m1.1.1.1.1.16.16.4.1.1.3.3.2" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.16.16.4.1.1.3.3.2.cmml">h</mi><mn id="A3.E78.m1.1.1.1.1.16.16.4.1.1.3.3.3" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.16.16.4.1.1.3.3.3.cmml">5</mn></msub></mrow></mfrac></mstyle><mo id="A3.E78.m1.1.1.1.1.18.18.6.3.3.1.1" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.18.18.6.3.3.1.1.cmml">+</mo><mstyle displaystyle="false" id="A3.E78.m1.1.1.1.1.17.17.5.2.2" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.17.17.5.2.2.cmml"><mfrac id="A3.E78.m1.1.1.1.1.17.17.5.2.2a" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.17.17.5.2.2.cmml"><mrow id="A3.E78.m1.1.1.1.1.17.17.5.2.2.1.1" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.17.17.5.2.2.1.2.cmml"><mo fence="true" id="A3.E78.m1.1.1.1.1.17.17.5.2.2.1.1.2" rspace="0em" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.17.17.5.2.2.1.2.1.cmml">∥</mo><msub id="A3.E78.m1.1.1.1.1.17.17.5.2.2.1.1.1" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.17.17.5.2.2.1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="A3.E78.m1.1.1.1.1.17.17.5.2.2.1.1.1.2" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.17.17.5.2.2.1.1.1.2.cmml"><mi id="A3.E78.m1.1.1.1.1.17.17.5.2.2.1.1.1.2.2" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.17.17.5.2.2.1.1.1.2.2.cmml">𝐗</mi><mo id="A3.E78.m1.1.1.1.1.17.17.5.2.2.1.1.1.2.1" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.17.17.5.2.2.1.1.1.2.1.cmml">~</mo></mover><mrow id="A3.E78.m1.1.1.1.1.17.17.5.2.2.1.1.1.3" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.17.17.5.2.2.1.1.1.3.cmml"><mi id="A3.E78.m1.1.1.1.1.17.17.5.2.2.1.1.1.3.2" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.17.17.5.2.2.1.1.1.3.2.cmml">N</mi><mo id="A3.E78.m1.1.1.1.1.17.17.5.2.2.1.1.1.3.1" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.17.17.5.2.2.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mn id="A3.E78.m1.1.1.1.1.17.17.5.2.2.1.1.1.3.3" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.17.17.5.2.2.1.1.1.3.3.cmml">1</mn></mrow></msub><mo fence="true" id="A3.E78.m1.1.1.1.1.17.17.5.2.2.1.1.3" lspace="0em" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.17.17.5.2.2.1.2.1.cmml">∥</mo></mrow><mrow id="A3.E78.m1.1.1.1.1.17.17.5.2.2.3" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.17.17.5.2.2.3.cmml"><mi id="A3.E78.m1.1.1.1.1.17.17.5.2.2.3.2" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.17.17.5.2.2.3.2.cmml">a</mi><mo id="A3.E78.m1.1.1.1.1.17.17.5.2.2.3.1" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.17.17.5.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="A3.E78.m1.1.1.1.1.17.17.5.2.2.3.3" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.17.17.5.2.2.3.3.cmml"><mi id="A3.E78.m1.1.1.1.1.17.17.5.2.2.3.3.2" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.17.17.5.2.2.3.3.2.cmml">h</mi><mn id="A3.E78.m1.1.1.1.1.17.17.5.2.2.3.3.3" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.17.17.5.2.2.3.3.3.cmml">2</mn></msub></mrow></mfrac></mstyle></mrow><mo id="A3.E78.m1.1.1.1.1.18.18.6.3.3.3" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.18.18.6.3.3.1.cmml">)</mo></mrow></mtd><mtd id="A3.E78.m1.1.1.1.1l" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A3.E78.m1.1.1.1.1.18.18.7.1" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.18.18.7.1.cmml"><mo id="A3.E78.m1.1.1.1.1.18.18.7.1a" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.18.18.7.1.cmml">−</mo><mstyle displaystyle="false" id="A3.E78.m1.1.1.1.1.18.18.7.1.2" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.18.18.7.1.2.cmml"><mfrac id="A3.E78.m1.1.1.1.1.18.18.7.1.2a" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.18.18.7.1.2.cmml"><mn id="A3.E78.m1.1.1.1.1.18.18.7.1.2.2" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.18.18.7.1.2.2.cmml">1</mn><msub id="A3.E78.m1.1.1.1.1.18.18.7.1.2.3" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.18.18.7.1.2.3.cmml"><mi id="A3.E78.m1.1.1.1.1.18.18.7.1.2.3.2" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.18.18.7.1.2.3.2.cmml">h</mi><mn id="A3.E78.m1.1.1.1.1.18.18.7.1.2.3.3" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.18.18.7.1.2.3.3.cmml">3</mn></msub></mfrac></mstyle></mrow></mtd></mtr><mtr id="A3.E78.m1.1.1.1.1m" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.cmml"><mtd id="A3.E78.m1.1.1.1.1n" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A3.E78.m1.1.1.1.1.19.1.1" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.19.1.1.cmml"><mo id="A3.E78.m1.1.1.1.1.19.1.1a" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.19.1.1.cmml">−</mo><mstyle displaystyle="false" id="A3.E78.m1.1.1.1.1.19.1.1.2" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.19.1.1.2.cmml"><mfrac id="A3.E78.m1.1.1.1.1.19.1.1.2a" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.19.1.1.2.cmml"><mn id="A3.E78.m1.1.1.1.1.19.1.1.2.2" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.19.1.1.2.2.cmml">1</mn><msub id="A3.E78.m1.1.1.1.1.19.1.1.2.3" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.19.1.1.2.3.cmml"><mi id="A3.E78.m1.1.1.1.1.19.1.1.2.3.2" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.19.1.1.2.3.2.cmml">h</mi><mn id="A3.E78.m1.1.1.1.1.19.1.1.2.3.3" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.19.1.1.2.3.3.cmml">4</mn></msub></mfrac></mstyle></mrow></mtd><mtd id="A3.E78.m1.1.1.1.1o" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.cmml"><mn id="A3.E78.m1.1.1.1.1.19.2.1" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.19.2.1.cmml">0</mn></mtd><mtd id="A3.E78.m1.1.1.1.1p" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.cmml"><mn id="A3.E78.m1.1.1.1.1.19.3.1" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.19.3.1.cmml">0</mn></mtd></mtr><mtr id="A3.E78.m1.1.1.1.1q" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.cmml"><mtd id="A3.E78.m1.1.1.1.1r" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.cmml"><mn id="A3.E78.m1.1.1.1.1.20.1.1" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.20.1.1.cmml">0</mn></mtd><mtd id="A3.E78.m1.1.1.1.1s" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A3.E78.m1.1.1.1.1.20.2.1" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.20.2.1.cmml"><mo id="A3.E78.m1.1.1.1.1.20.2.1a" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.20.2.1.cmml">−</mo><mstyle displaystyle="false" id="A3.E78.m1.1.1.1.1.20.2.1.2" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.20.2.1.2.cmml"><mfrac id="A3.E78.m1.1.1.1.1.20.2.1.2a" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.20.2.1.2.cmml"><mn id="A3.E78.m1.1.1.1.1.20.2.1.2.2" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.20.2.1.2.2.cmml">1</mn><msub id="A3.E78.m1.1.1.1.1.20.2.1.2.3" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.20.2.1.2.3.cmml"><mi id="A3.E78.m1.1.1.1.1.20.2.1.2.3.2" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.20.2.1.2.3.2.cmml">h</mi><mn id="A3.E78.m1.1.1.1.1.20.2.1.2.3.3" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.20.2.1.2.3.3.cmml">5</mn></msub></mfrac></mstyle></mrow></mtd><mtd id="A3.E78.m1.1.1.1.1t" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.cmml"><mn id="A3.E78.m1.1.1.1.1.20.3.1" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.20.3.1.cmml">0</mn></mtd></mtr><mtr id="A3.E78.m1.1.1.1.1u" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.cmml"><mtd id="A3.E78.m1.1.1.1.1v" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.cmml"><mn id="A3.E78.m1.1.1.1.1.21.1.1" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.21.1.1.cmml">0</mn></mtd><mtd id="A3.E78.m1.1.1.1.1w" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.cmml"><mn id="A3.E78.m1.1.1.1.1.21.2.1" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.21.2.1.cmml">0</mn></mtd><mtd id="A3.E78.m1.1.1.1.1x" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A3.E78.m1.1.1.1.1.21.3.1" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.21.3.1.cmml"><mo id="A3.E78.m1.1.1.1.1.21.3.1a" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.21.3.1.cmml">−</mo><mstyle displaystyle="false" id="A3.E78.m1.1.1.1.1.21.3.1.2" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.21.3.1.2.cmml"><mfrac id="A3.E78.m1.1.1.1.1.21.3.1.2a" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.21.3.1.2.cmml"><mn id="A3.E78.m1.1.1.1.1.21.3.1.2.2" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.21.3.1.2.2.cmml">1</mn><msub id="A3.E78.m1.1.1.1.1.21.3.1.2.3" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.21.3.1.2.3.cmml"><mi id="A3.E78.m1.1.1.1.1.21.3.1.2.3.2" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.21.3.1.2.3.2.cmml">h</mi><mn id="A3.E78.m1.1.1.1.1.21.3.1.2.3.3" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.21.3.1.2.3.3.cmml">6</mn></msub></mfrac></mstyle></mrow></mtd></mtr></mtable><mo id="A3.E78.m1.1.1.3.2" xref="A3.E78.m1.1.1.2.1.cmml">]</mo></mrow><mi id="A3.E78.m1.2.2.1.1.2" xref="A3.E78.m1.2.2.1.1.2.cmml">T</mi></msup><mo id="A3.E78.m1.2.2.1.2" 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id="A3.E78.m1.1.1.1.1.6.6.7.1.2.3.cmml" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.6.6.7.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.E78.m1.1.1.1.1.6.6.7.1.2.3.1.cmml" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.6.6.7.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="A3.E78.m1.1.1.1.1.6.6.7.1.2.3.2.cmml" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.6.6.7.1.2.3.2">ℎ</ci><cn id="A3.E78.m1.1.1.1.1.6.6.7.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.6.6.7.1.2.3.3">1</cn></apply></apply></apply><apply id="A3.E78.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.1.cmml" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.3"><plus id="A3.E78.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.1.1.cmml" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.1.1"></plus><apply id="A3.E78.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><divide id="A3.E78.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></divide><apply id="A3.E78.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="A3.E78.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">delimited-∥∥</csymbol><apply id="A3.E78.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.E78.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="A3.E78.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><ci id="A3.E78.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1">~</ci><ci id="A3.E78.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝐗</ci></apply><apply id="A3.E78.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><times id="A3.E78.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><ci id="A3.E78.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑀</ci><cn id="A3.E78.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">3</cn></apply></apply></apply><apply id="A3.E78.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><times id="A3.E78.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><ci id="A3.E78.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑎</ci><apply id="A3.E78.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.E78.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="A3.E78.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2">ℎ</ci><cn id="A3.E78.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3">5</cn></apply></apply></apply><apply id="A3.E78.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2"><divide id="A3.E78.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2"></divide><apply id="A3.E78.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.2.cmml" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.1"><csymbol cd="latexml" 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type="integer" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1.3.3">3</cn></apply></apply></apply><apply id="A3.E78.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3"><times id="A3.E78.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3.1"></times><ci id="A3.E78.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3.2.cmml" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3.2">𝑎</ci><apply id="A3.E78.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3.3.cmml" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.E78.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3.3.1.cmml" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3.3">subscript</csymbol><ci id="A3.E78.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3.3.2.cmml" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3.3.2">ℎ</ci><cn id="A3.E78.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3.3.3.cmml" type="integer" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3.3.3">2</cn></apply></apply></apply></apply><apply id="A3.E78.m1.1.1.1.1.6.6.6.3.3.1.cmml" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.6.6.6.3.3"><plus id="A3.E78.m1.1.1.1.1.6.6.6.3.3.1.1.cmml" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.6.6.6.3.3.1.1"></plus><apply id="A3.E78.m1.1.1.1.1.4.4.4.1.1.cmml" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.4.4.4.1.1"><divide id="A3.E78.m1.1.1.1.1.4.4.4.1.1.2.cmml" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.4.4.4.1.1"></divide><apply id="A3.E78.m1.1.1.1.1.4.4.4.1.1.1.2.cmml" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.4.4.4.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="A3.E78.m1.1.1.1.1.4.4.4.1.1.1.2.1.cmml" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.4.4.4.1.1.1.1.2">delimited-∥∥</csymbol><apply id="A3.E78.m1.1.1.1.1.4.4.4.1.1.1.1.1.cmml" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.4.4.4.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.E78.m1.1.1.1.1.4.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.4.4.4.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="A3.E78.m1.1.1.1.1.4.4.4.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.4.4.4.1.1.1.1.1.2"><ci id="A3.E78.m1.1.1.1.1.4.4.4.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.4.4.4.1.1.1.1.1.2.1">~</ci><ci id="A3.E78.m1.1.1.1.1.4.4.4.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.4.4.4.1.1.1.1.1.2.2">𝐗</ci></apply><apply id="A3.E78.m1.1.1.1.1.4.4.4.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.4.4.4.1.1.1.1.1.3"><times id="A3.E78.m1.1.1.1.1.4.4.4.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.4.4.4.1.1.1.1.1.3.1"></times><ci id="A3.E78.m1.1.1.1.1.4.4.4.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.4.4.4.1.1.1.1.1.3.2">𝑅</ci><cn id="A3.E78.m1.1.1.1.1.4.4.4.1.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.4.4.4.1.1.1.1.1.3.3">2</cn></apply></apply></apply><apply id="A3.E78.m1.1.1.1.1.4.4.4.1.1.3.cmml" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.4.4.4.1.1.3"><times id="A3.E78.m1.1.1.1.1.4.4.4.1.1.3.1.cmml" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.4.4.4.1.1.3.1"></times><ci id="A3.E78.m1.1.1.1.1.4.4.4.1.1.3.2.cmml" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.4.4.4.1.1.3.2">𝑏</ci><apply id="A3.E78.m1.1.1.1.1.4.4.4.1.1.3.3.cmml" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.4.4.4.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.E78.m1.1.1.1.1.4.4.4.1.1.3.3.1.cmml" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.4.4.4.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="A3.E78.m1.1.1.1.1.4.4.4.1.1.3.3.2.cmml" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.4.4.4.1.1.3.3.2">ℎ</ci><cn id="A3.E78.m1.1.1.1.1.4.4.4.1.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.4.4.4.1.1.3.3.3">6</cn></apply></apply></apply><apply id="A3.E78.m1.1.1.1.1.5.5.5.2.2.cmml" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.5.5.5.2.2"><divide id="A3.E78.m1.1.1.1.1.5.5.5.2.2.2.cmml" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.5.5.5.2.2"></divide><apply id="A3.E78.m1.1.1.1.1.5.5.5.2.2.1.2.cmml" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.5.5.5.2.2.1.1"><csymbol cd="latexml" id="A3.E78.m1.1.1.1.1.5.5.5.2.2.1.2.1.cmml" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.5.5.5.2.2.1.1.2">delimited-∥∥</csymbol><apply id="A3.E78.m1.1.1.1.1.5.5.5.2.2.1.1.1.cmml" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.5.5.5.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.E78.m1.1.1.1.1.5.5.5.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.5.5.5.2.2.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="A3.E78.m1.1.1.1.1.5.5.5.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.5.5.5.2.2.1.1.1.2"><ci id="A3.E78.m1.1.1.1.1.5.5.5.2.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.5.5.5.2.2.1.1.1.2.1">~</ci><ci id="A3.E78.m1.1.1.1.1.5.5.5.2.2.1.1.1.2.2.cmml" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.5.5.5.2.2.1.1.1.2.2">𝐗</ci></apply><apply id="A3.E78.m1.1.1.1.1.5.5.5.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.5.5.5.2.2.1.1.1.3"><times id="A3.E78.m1.1.1.1.1.5.5.5.2.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.5.5.5.2.2.1.1.1.3.1"></times><ci id="A3.E78.m1.1.1.1.1.5.5.5.2.2.1.1.1.3.2.cmml" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.5.5.5.2.2.1.1.1.3.2">𝑆</ci><cn id="A3.E78.m1.1.1.1.1.5.5.5.2.2.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.5.5.5.2.2.1.1.1.3.3">2</cn></apply></apply></apply><apply id="A3.E78.m1.1.1.1.1.5.5.5.2.2.3.cmml" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.5.5.5.2.2.3"><times id="A3.E78.m1.1.1.1.1.5.5.5.2.2.3.1.cmml" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.5.5.5.2.2.3.1"></times><ci id="A3.E78.m1.1.1.1.1.5.5.5.2.2.3.2.cmml" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.5.5.5.2.2.3.2">𝑏</ci><apply id="A3.E78.m1.1.1.1.1.5.5.5.2.2.3.3.cmml" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.5.5.5.2.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.E78.m1.1.1.1.1.5.5.5.2.2.3.3.1.cmml" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.5.5.5.2.2.3.3">subscript</csymbol><ci id="A3.E78.m1.1.1.1.1.5.5.5.2.2.3.3.2.cmml" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.5.5.5.2.2.3.3.2">ℎ</ci><cn id="A3.E78.m1.1.1.1.1.5.5.5.2.2.3.3.3.cmml" type="integer" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.5.5.5.2.2.3.3.3">3</cn></apply></apply></apply></apply></matrixrow><matrixrow id="A3.E78.m1.1.1.1.1b.cmml" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1"><apply id="A3.E78.m1.1.1.1.1.9.9.3.3.3.1.cmml" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.9.9.3.3.3"><plus id="A3.E78.m1.1.1.1.1.9.9.3.3.3.1.1.cmml" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.9.9.3.3.3.1.1"></plus><apply id="A3.E78.m1.1.1.1.1.7.7.1.1.1.cmml" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.7.7.1.1.1"><divide id="A3.E78.m1.1.1.1.1.7.7.1.1.1.2.cmml" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.7.7.1.1.1"></divide><apply id="A3.E78.m1.1.1.1.1.7.7.1.1.1.1.2.cmml" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.7.7.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="A3.E78.m1.1.1.1.1.7.7.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.7.7.1.1.1.1.1.2">delimited-∥∥</csymbol><apply id="A3.E78.m1.1.1.1.1.7.7.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.7.7.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.E78.m1.1.1.1.1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.7.7.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="A3.E78.m1.1.1.1.1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.7.7.1.1.1.1.1.1.2"><ci id="A3.E78.m1.1.1.1.1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.1">~</ci><ci id="A3.E78.m1.1.1.1.1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.2">𝐗</ci></apply><apply id="A3.E78.m1.1.1.1.1.7.7.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.7.7.1.1.1.1.1.1.3"><times id="A3.E78.m1.1.1.1.1.7.7.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.7.7.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><ci id="A3.E78.m1.1.1.1.1.7.7.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.7.7.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑄</ci><cn id="A3.E78.m1.1.1.1.1.7.7.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.7.7.1.1.1.1.1.1.3.3">3</cn></apply></apply></apply><apply id="A3.E78.m1.1.1.1.1.7.7.1.1.1.3.cmml" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.7.7.1.1.1.3"><times id="A3.E78.m1.1.1.1.1.7.7.1.1.1.3.1.cmml" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.7.7.1.1.1.3.1"></times><ci id="A3.E78.m1.1.1.1.1.7.7.1.1.1.3.2.cmml" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.7.7.1.1.1.3.2">𝑐</ci><apply id="A3.E78.m1.1.1.1.1.7.7.1.1.1.3.3.cmml" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.7.7.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.E78.m1.1.1.1.1.7.7.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.7.7.1.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="A3.E78.m1.1.1.1.1.7.7.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.7.7.1.1.1.3.3.2">ℎ</ci><cn id="A3.E78.m1.1.1.1.1.7.7.1.1.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.7.7.1.1.1.3.3.3">4</cn></apply></apply></apply><apply id="A3.E78.m1.1.1.1.1.8.8.2.2.2.cmml" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.8.8.2.2.2"><divide id="A3.E78.m1.1.1.1.1.8.8.2.2.2.2.cmml" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.8.8.2.2.2"></divide><apply id="A3.E78.m1.1.1.1.1.8.8.2.2.2.1.2.cmml" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.8.8.2.2.2.1.1"><csymbol cd="latexml" id="A3.E78.m1.1.1.1.1.8.8.2.2.2.1.2.1.cmml" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.8.8.2.2.2.1.1.2">delimited-∥∥</csymbol><apply id="A3.E78.m1.1.1.1.1.8.8.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.8.8.2.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.E78.m1.1.1.1.1.8.8.2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.8.8.2.2.2.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="A3.E78.m1.1.1.1.1.8.8.2.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.8.8.2.2.2.1.1.1.2"><ci id="A3.E78.m1.1.1.1.1.8.8.2.2.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.8.8.2.2.2.1.1.1.2.1">~</ci><ci id="A3.E78.m1.1.1.1.1.8.8.2.2.2.1.1.1.2.2.cmml" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.8.8.2.2.2.1.1.1.2.2">𝐗</ci></apply><apply id="A3.E78.m1.1.1.1.1.8.8.2.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.8.8.2.2.2.1.1.1.3"><times id="A3.E78.m1.1.1.1.1.8.8.2.2.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.8.8.2.2.2.1.1.1.3.1"></times><ci id="A3.E78.m1.1.1.1.1.8.8.2.2.2.1.1.1.3.2.cmml" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.8.8.2.2.2.1.1.1.3.2">𝑃</ci><cn id="A3.E78.m1.1.1.1.1.8.8.2.2.2.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.8.8.2.2.2.1.1.1.3.3">3</cn></apply></apply></apply><apply id="A3.E78.m1.1.1.1.1.8.8.2.2.2.3.cmml" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.8.8.2.2.2.3"><times id="A3.E78.m1.1.1.1.1.8.8.2.2.2.3.1.cmml" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.8.8.2.2.2.3.1"></times><ci id="A3.E78.m1.1.1.1.1.8.8.2.2.2.3.2.cmml" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.8.8.2.2.2.3.2">𝑐</ci><apply id="A3.E78.m1.1.1.1.1.8.8.2.2.2.3.3.cmml" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.8.8.2.2.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.E78.m1.1.1.1.1.8.8.2.2.2.3.3.1.cmml" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.8.8.2.2.2.3.3">subscript</csymbol><ci id="A3.E78.m1.1.1.1.1.8.8.2.2.2.3.3.2.cmml" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.8.8.2.2.2.3.3.2">ℎ</ci><cn id="A3.E78.m1.1.1.1.1.8.8.2.2.2.3.3.3.cmml" type="integer" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.8.8.2.2.2.3.3.3">1</cn></apply></apply></apply></apply><apply id="A3.E78.m1.1.1.1.1.12.12.7.1.cmml" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.12.12.7.1"><minus id="A3.E78.m1.1.1.1.1.12.12.7.1.1.cmml" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.12.12.7.1"></minus><apply id="A3.E78.m1.1.1.1.1.12.12.7.1.2.cmml" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.12.12.7.1.2"><divide id="A3.E78.m1.1.1.1.1.12.12.7.1.2.1.cmml" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.12.12.7.1.2"></divide><cn id="A3.E78.m1.1.1.1.1.12.12.7.1.2.2.cmml" type="integer" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.12.12.7.1.2.2">1</cn><apply id="A3.E78.m1.1.1.1.1.12.12.7.1.2.3.cmml" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.12.12.7.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.E78.m1.1.1.1.1.12.12.7.1.2.3.1.cmml" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.12.12.7.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="A3.E78.m1.1.1.1.1.12.12.7.1.2.3.2.cmml" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.12.12.7.1.2.3.2">ℎ</ci><cn id="A3.E78.m1.1.1.1.1.12.12.7.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.12.12.7.1.2.3.3">2</cn></apply></apply></apply><apply id="A3.E78.m1.1.1.1.1.12.12.6.3.3.1.cmml" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.12.12.6.3.3"><plus id="A3.E78.m1.1.1.1.1.12.12.6.3.3.1.1.cmml" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.12.12.6.3.3.1.1"></plus><apply id="A3.E78.m1.1.1.1.1.10.10.4.1.1.cmml" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.10.10.4.1.1"><divide id="A3.E78.m1.1.1.1.1.10.10.4.1.1.2.cmml" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.10.10.4.1.1"></divide><apply id="A3.E78.m1.1.1.1.1.10.10.4.1.1.1.2.cmml" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.10.10.4.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="A3.E78.m1.1.1.1.1.10.10.4.1.1.1.2.1.cmml" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.10.10.4.1.1.1.1.2">delimited-∥∥</csymbol><apply id="A3.E78.m1.1.1.1.1.10.10.4.1.1.1.1.1.cmml" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.10.10.4.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.E78.m1.1.1.1.1.10.10.4.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.10.10.4.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="A3.E78.m1.1.1.1.1.10.10.4.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.10.10.4.1.1.1.1.1.2"><ci id="A3.E78.m1.1.1.1.1.10.10.4.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.10.10.4.1.1.1.1.1.2.1">~</ci><ci id="A3.E78.m1.1.1.1.1.10.10.4.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.10.10.4.1.1.1.1.1.2.2">𝐗</ci></apply><apply id="A3.E78.m1.1.1.1.1.10.10.4.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.10.10.4.1.1.1.1.1.3"><times id="A3.E78.m1.1.1.1.1.10.10.4.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.10.10.4.1.1.1.1.1.3.1"></times><ci id="A3.E78.m1.1.1.1.1.10.10.4.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.10.10.4.1.1.1.1.1.3.2">𝑅</ci><cn id="A3.E78.m1.1.1.1.1.10.10.4.1.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.10.10.4.1.1.1.1.1.3.3">1</cn></apply></apply></apply><apply id="A3.E78.m1.1.1.1.1.10.10.4.1.1.3.cmml" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.10.10.4.1.1.3"><times id="A3.E78.m1.1.1.1.1.10.10.4.1.1.3.1.cmml" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.10.10.4.1.1.3.1"></times><ci id="A3.E78.m1.1.1.1.1.10.10.4.1.1.3.2.cmml" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.10.10.4.1.1.3.2">𝑏</ci><apply id="A3.E78.m1.1.1.1.1.10.10.4.1.1.3.3.cmml" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.10.10.4.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.E78.m1.1.1.1.1.10.10.4.1.1.3.3.1.cmml" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.10.10.4.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="A3.E78.m1.1.1.1.1.10.10.4.1.1.3.3.2.cmml" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.10.10.4.1.1.3.3.2">ℎ</ci><cn id="A3.E78.m1.1.1.1.1.10.10.4.1.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.10.10.4.1.1.3.3.3">6</cn></apply></apply></apply><apply id="A3.E78.m1.1.1.1.1.11.11.5.2.2.cmml" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.11.11.5.2.2"><divide id="A3.E78.m1.1.1.1.1.11.11.5.2.2.2.cmml" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.11.11.5.2.2"></divide><apply id="A3.E78.m1.1.1.1.1.11.11.5.2.2.1.2.cmml" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.11.11.5.2.2.1.1"><csymbol cd="latexml" id="A3.E78.m1.1.1.1.1.11.11.5.2.2.1.2.1.cmml" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.11.11.5.2.2.1.1.2">delimited-∥∥</csymbol><apply id="A3.E78.m1.1.1.1.1.11.11.5.2.2.1.1.1.cmml" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.11.11.5.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.E78.m1.1.1.1.1.11.11.5.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.11.11.5.2.2.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="A3.E78.m1.1.1.1.1.11.11.5.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.11.11.5.2.2.1.1.1.2"><ci id="A3.E78.m1.1.1.1.1.11.11.5.2.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.11.11.5.2.2.1.1.1.2.1">~</ci><ci id="A3.E78.m1.1.1.1.1.11.11.5.2.2.1.1.1.2.2.cmml" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.11.11.5.2.2.1.1.1.2.2">𝐗</ci></apply><apply id="A3.E78.m1.1.1.1.1.11.11.5.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.11.11.5.2.2.1.1.1.3"><times id="A3.E78.m1.1.1.1.1.11.11.5.2.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.11.11.5.2.2.1.1.1.3.1"></times><ci id="A3.E78.m1.1.1.1.1.11.11.5.2.2.1.1.1.3.2.cmml" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.11.11.5.2.2.1.1.1.3.2">𝑆</ci><cn id="A3.E78.m1.1.1.1.1.11.11.5.2.2.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.11.11.5.2.2.1.1.1.3.3">1</cn></apply></apply></apply><apply id="A3.E78.m1.1.1.1.1.11.11.5.2.2.3.cmml" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.11.11.5.2.2.3"><times id="A3.E78.m1.1.1.1.1.11.11.5.2.2.3.1.cmml" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.11.11.5.2.2.3.1"></times><ci id="A3.E78.m1.1.1.1.1.11.11.5.2.2.3.2.cmml" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.11.11.5.2.2.3.2">𝑏</ci><apply id="A3.E78.m1.1.1.1.1.11.11.5.2.2.3.3.cmml" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.11.11.5.2.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.E78.m1.1.1.1.1.11.11.5.2.2.3.3.1.cmml" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.11.11.5.2.2.3.3">subscript</csymbol><ci id="A3.E78.m1.1.1.1.1.11.11.5.2.2.3.3.2.cmml" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.11.11.5.2.2.3.3.2">ℎ</ci><cn id="A3.E78.m1.1.1.1.1.11.11.5.2.2.3.3.3.cmml" type="integer" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.11.11.5.2.2.3.3.3">3</cn></apply></apply></apply></apply></matrixrow><matrixrow id="A3.E78.m1.1.1.1.1c.cmml" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1"><apply id="A3.E78.m1.1.1.1.1.15.15.3.3.3.1.cmml" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.15.15.3.3.3"><plus id="A3.E78.m1.1.1.1.1.15.15.3.3.3.1.1.cmml" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.15.15.3.3.3.1.1"></plus><apply id="A3.E78.m1.1.1.1.1.13.13.1.1.1.cmml" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.13.13.1.1.1"><divide id="A3.E78.m1.1.1.1.1.13.13.1.1.1.2.cmml" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.13.13.1.1.1"></divide><apply id="A3.E78.m1.1.1.1.1.13.13.1.1.1.1.2.cmml" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.13.13.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="A3.E78.m1.1.1.1.1.13.13.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.13.13.1.1.1.1.1.2">delimited-∥∥</csymbol><apply id="A3.E78.m1.1.1.1.1.13.13.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.13.13.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.E78.m1.1.1.1.1.13.13.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.13.13.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="A3.E78.m1.1.1.1.1.13.13.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.13.13.1.1.1.1.1.1.2"><ci id="A3.E78.m1.1.1.1.1.13.13.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.13.13.1.1.1.1.1.1.2.1">~</ci><ci id="A3.E78.m1.1.1.1.1.13.13.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.13.13.1.1.1.1.1.1.2.2">𝐗</ci></apply><apply id="A3.E78.m1.1.1.1.1.13.13.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.13.13.1.1.1.1.1.1.3"><times id="A3.E78.m1.1.1.1.1.13.13.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.13.13.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><ci id="A3.E78.m1.1.1.1.1.13.13.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.13.13.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑄</ci><cn id="A3.E78.m1.1.1.1.1.13.13.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.13.13.1.1.1.1.1.1.3.3">2</cn></apply></apply></apply><apply id="A3.E78.m1.1.1.1.1.13.13.1.1.1.3.cmml" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.13.13.1.1.1.3"><times id="A3.E78.m1.1.1.1.1.13.13.1.1.1.3.1.cmml" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.13.13.1.1.1.3.1"></times><ci id="A3.E78.m1.1.1.1.1.13.13.1.1.1.3.2.cmml" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.13.13.1.1.1.3.2">𝑐</ci><apply id="A3.E78.m1.1.1.1.1.13.13.1.1.1.3.3.cmml" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.13.13.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.E78.m1.1.1.1.1.13.13.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.13.13.1.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="A3.E78.m1.1.1.1.1.13.13.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.13.13.1.1.1.3.3.2">ℎ</ci><cn id="A3.E78.m1.1.1.1.1.13.13.1.1.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.13.13.1.1.1.3.3.3">4</cn></apply></apply></apply><apply id="A3.E78.m1.1.1.1.1.14.14.2.2.2.cmml" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.14.14.2.2.2"><divide id="A3.E78.m1.1.1.1.1.14.14.2.2.2.2.cmml" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.14.14.2.2.2"></divide><apply id="A3.E78.m1.1.1.1.1.14.14.2.2.2.1.2.cmml" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.14.14.2.2.2.1.1"><csymbol cd="latexml" id="A3.E78.m1.1.1.1.1.14.14.2.2.2.1.2.1.cmml" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.14.14.2.2.2.1.1.2">delimited-∥∥</csymbol><apply id="A3.E78.m1.1.1.1.1.14.14.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.14.14.2.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.E78.m1.1.1.1.1.14.14.2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.14.14.2.2.2.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="A3.E78.m1.1.1.1.1.14.14.2.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.14.14.2.2.2.1.1.1.2"><ci id="A3.E78.m1.1.1.1.1.14.14.2.2.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.14.14.2.2.2.1.1.1.2.1">~</ci><ci id="A3.E78.m1.1.1.1.1.14.14.2.2.2.1.1.1.2.2.cmml" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.14.14.2.2.2.1.1.1.2.2">𝐗</ci></apply><apply id="A3.E78.m1.1.1.1.1.14.14.2.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.14.14.2.2.2.1.1.1.3"><times id="A3.E78.m1.1.1.1.1.14.14.2.2.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.14.14.2.2.2.1.1.1.3.1"></times><ci id="A3.E78.m1.1.1.1.1.14.14.2.2.2.1.1.1.3.2.cmml" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.14.14.2.2.2.1.1.1.3.2">𝑃</ci><cn id="A3.E78.m1.1.1.1.1.14.14.2.2.2.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.14.14.2.2.2.1.1.1.3.3">2</cn></apply></apply></apply><apply id="A3.E78.m1.1.1.1.1.14.14.2.2.2.3.cmml" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.14.14.2.2.2.3"><times id="A3.E78.m1.1.1.1.1.14.14.2.2.2.3.1.cmml" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.14.14.2.2.2.3.1"></times><ci id="A3.E78.m1.1.1.1.1.14.14.2.2.2.3.2.cmml" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.14.14.2.2.2.3.2">𝑐</ci><apply id="A3.E78.m1.1.1.1.1.14.14.2.2.2.3.3.cmml" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.14.14.2.2.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.E78.m1.1.1.1.1.14.14.2.2.2.3.3.1.cmml" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.14.14.2.2.2.3.3">subscript</csymbol><ci id="A3.E78.m1.1.1.1.1.14.14.2.2.2.3.3.2.cmml" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.14.14.2.2.2.3.3.2">ℎ</ci><cn id="A3.E78.m1.1.1.1.1.14.14.2.2.2.3.3.3.cmml" type="integer" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.14.14.2.2.2.3.3.3">1</cn></apply></apply></apply></apply><apply id="A3.E78.m1.1.1.1.1.18.18.6.3.3.1.cmml" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.18.18.6.3.3"><plus id="A3.E78.m1.1.1.1.1.18.18.6.3.3.1.1.cmml" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.18.18.6.3.3.1.1"></plus><apply id="A3.E78.m1.1.1.1.1.16.16.4.1.1.cmml" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.16.16.4.1.1"><divide id="A3.E78.m1.1.1.1.1.16.16.4.1.1.2.cmml" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.16.16.4.1.1"></divide><apply id="A3.E78.m1.1.1.1.1.16.16.4.1.1.1.2.cmml" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.16.16.4.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="A3.E78.m1.1.1.1.1.16.16.4.1.1.1.2.1.cmml" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.16.16.4.1.1.1.1.2">delimited-∥∥</csymbol><apply id="A3.E78.m1.1.1.1.1.16.16.4.1.1.1.1.1.cmml" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.16.16.4.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.E78.m1.1.1.1.1.16.16.4.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.16.16.4.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="A3.E78.m1.1.1.1.1.16.16.4.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.16.16.4.1.1.1.1.1.2"><ci id="A3.E78.m1.1.1.1.1.16.16.4.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.16.16.4.1.1.1.1.1.2.1">~</ci><ci id="A3.E78.m1.1.1.1.1.16.16.4.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.16.16.4.1.1.1.1.1.2.2">𝐗</ci></apply><apply id="A3.E78.m1.1.1.1.1.16.16.4.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.16.16.4.1.1.1.1.1.3"><times id="A3.E78.m1.1.1.1.1.16.16.4.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.16.16.4.1.1.1.1.1.3.1"></times><ci id="A3.E78.m1.1.1.1.1.16.16.4.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.16.16.4.1.1.1.1.1.3.2">𝑀</ci><cn id="A3.E78.m1.1.1.1.1.16.16.4.1.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.16.16.4.1.1.1.1.1.3.3">1</cn></apply></apply></apply><apply id="A3.E78.m1.1.1.1.1.16.16.4.1.1.3.cmml" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.16.16.4.1.1.3"><times id="A3.E78.m1.1.1.1.1.16.16.4.1.1.3.1.cmml" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.16.16.4.1.1.3.1"></times><ci id="A3.E78.m1.1.1.1.1.16.16.4.1.1.3.2.cmml" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.16.16.4.1.1.3.2">𝑎</ci><apply id="A3.E78.m1.1.1.1.1.16.16.4.1.1.3.3.cmml" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.16.16.4.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.E78.m1.1.1.1.1.16.16.4.1.1.3.3.1.cmml" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.16.16.4.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="A3.E78.m1.1.1.1.1.16.16.4.1.1.3.3.2.cmml" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.16.16.4.1.1.3.3.2">ℎ</ci><cn id="A3.E78.m1.1.1.1.1.16.16.4.1.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.16.16.4.1.1.3.3.3">5</cn></apply></apply></apply><apply id="A3.E78.m1.1.1.1.1.17.17.5.2.2.cmml" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.17.17.5.2.2"><divide id="A3.E78.m1.1.1.1.1.17.17.5.2.2.2.cmml" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.17.17.5.2.2"></divide><apply id="A3.E78.m1.1.1.1.1.17.17.5.2.2.1.2.cmml" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.17.17.5.2.2.1.1"><csymbol cd="latexml" id="A3.E78.m1.1.1.1.1.17.17.5.2.2.1.2.1.cmml" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.17.17.5.2.2.1.1.2">delimited-∥∥</csymbol><apply id="A3.E78.m1.1.1.1.1.17.17.5.2.2.1.1.1.cmml" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.17.17.5.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.E78.m1.1.1.1.1.17.17.5.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.17.17.5.2.2.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="A3.E78.m1.1.1.1.1.17.17.5.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.17.17.5.2.2.1.1.1.2"><ci id="A3.E78.m1.1.1.1.1.17.17.5.2.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.17.17.5.2.2.1.1.1.2.1">~</ci><ci id="A3.E78.m1.1.1.1.1.17.17.5.2.2.1.1.1.2.2.cmml" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.17.17.5.2.2.1.1.1.2.2">𝐗</ci></apply><apply id="A3.E78.m1.1.1.1.1.17.17.5.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.17.17.5.2.2.1.1.1.3"><times id="A3.E78.m1.1.1.1.1.17.17.5.2.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.17.17.5.2.2.1.1.1.3.1"></times><ci id="A3.E78.m1.1.1.1.1.17.17.5.2.2.1.1.1.3.2.cmml" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.17.17.5.2.2.1.1.1.3.2">𝑁</ci><cn id="A3.E78.m1.1.1.1.1.17.17.5.2.2.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.17.17.5.2.2.1.1.1.3.3">1</cn></apply></apply></apply><apply id="A3.E78.m1.1.1.1.1.17.17.5.2.2.3.cmml" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.17.17.5.2.2.3"><times id="A3.E78.m1.1.1.1.1.17.17.5.2.2.3.1.cmml" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.17.17.5.2.2.3.1"></times><ci id="A3.E78.m1.1.1.1.1.17.17.5.2.2.3.2.cmml" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.17.17.5.2.2.3.2">𝑎</ci><apply id="A3.E78.m1.1.1.1.1.17.17.5.2.2.3.3.cmml" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.17.17.5.2.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.E78.m1.1.1.1.1.17.17.5.2.2.3.3.1.cmml" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.17.17.5.2.2.3.3">subscript</csymbol><ci id="A3.E78.m1.1.1.1.1.17.17.5.2.2.3.3.2.cmml" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.17.17.5.2.2.3.3.2">ℎ</ci><cn id="A3.E78.m1.1.1.1.1.17.17.5.2.2.3.3.3.cmml" type="integer" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.17.17.5.2.2.3.3.3">2</cn></apply></apply></apply></apply><apply id="A3.E78.m1.1.1.1.1.18.18.7.1.cmml" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.18.18.7.1"><minus id="A3.E78.m1.1.1.1.1.18.18.7.1.1.cmml" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.18.18.7.1"></minus><apply id="A3.E78.m1.1.1.1.1.18.18.7.1.2.cmml" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.18.18.7.1.2"><divide id="A3.E78.m1.1.1.1.1.18.18.7.1.2.1.cmml" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.18.18.7.1.2"></divide><cn id="A3.E78.m1.1.1.1.1.18.18.7.1.2.2.cmml" type="integer" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.18.18.7.1.2.2">1</cn><apply id="A3.E78.m1.1.1.1.1.18.18.7.1.2.3.cmml" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.18.18.7.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.E78.m1.1.1.1.1.18.18.7.1.2.3.1.cmml" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.18.18.7.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="A3.E78.m1.1.1.1.1.18.18.7.1.2.3.2.cmml" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.18.18.7.1.2.3.2">ℎ</ci><cn id="A3.E78.m1.1.1.1.1.18.18.7.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.18.18.7.1.2.3.3">3</cn></apply></apply></apply></matrixrow><matrixrow id="A3.E78.m1.1.1.1.1d.cmml" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1"><apply id="A3.E78.m1.1.1.1.1.19.1.1.cmml" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.19.1.1"><minus id="A3.E78.m1.1.1.1.1.19.1.1.1.cmml" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.19.1.1"></minus><apply id="A3.E78.m1.1.1.1.1.19.1.1.2.cmml" 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id="A3.E78.m1.1.1.1.1f.cmml" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1"><cn id="A3.E78.m1.1.1.1.1.21.1.1.cmml" type="integer" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.21.1.1">0</cn><cn id="A3.E78.m1.1.1.1.1.21.2.1.cmml" type="integer" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.21.2.1">0</cn><apply id="A3.E78.m1.1.1.1.1.21.3.1.cmml" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.21.3.1"><minus id="A3.E78.m1.1.1.1.1.21.3.1.1.cmml" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.21.3.1"></minus><apply id="A3.E78.m1.1.1.1.1.21.3.1.2.cmml" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.21.3.1.2"><divide id="A3.E78.m1.1.1.1.1.21.3.1.2.1.cmml" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.21.3.1.2"></divide><cn id="A3.E78.m1.1.1.1.1.21.3.1.2.2.cmml" type="integer" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.21.3.1.2.2">1</cn><apply id="A3.E78.m1.1.1.1.1.21.3.1.2.3.cmml" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.21.3.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.E78.m1.1.1.1.1.21.3.1.2.3.1.cmml" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.21.3.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="A3.E78.m1.1.1.1.1.21.3.1.2.3.2.cmml" xref="A3.E78.m1.1.1.1.1.21.3.1.2.3.2">ℎ</ci><cn id="A3.E78.m1.1.1.1.1.21.3.1.2.3.3.cmml" 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1}\rVert}{ah_{5}}+\frac{\lVert\tilde{\mathbf{X}}_{N1}\rVert}{ah_{2}}\right)&-% \frac{1}{h_{3}}\\ -\frac{1}{h_{4}}&0&0\\ 0&-\frac{1}{h_{5}}&0\\ 0&0&-\frac{1}{h_{6}}\end{bmatrix}^{T},</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A3.E78.m1.2d">[ start_ARG start_ROW start_CELL - divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_h start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT end_ARG end_CELL start_CELL ( divide start_ARG ∥ over~ start_ARG bold_X end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_M 3 end_POSTSUBSCRIPT ∥ end_ARG start_ARG italic_a italic_h start_POSTSUBSCRIPT 5 end_POSTSUBSCRIPT end_ARG + divide start_ARG ∥ over~ start_ARG bold_X end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_N 3 end_POSTSUBSCRIPT ∥ end_ARG start_ARG italic_a italic_h start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT end_ARG ) end_CELL start_CELL ( divide start_ARG ∥ over~ start_ARG bold_X end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_R 2 end_POSTSUBSCRIPT ∥ end_ARG start_ARG italic_b italic_h start_POSTSUBSCRIPT 6 end_POSTSUBSCRIPT end_ARG + divide start_ARG ∥ over~ start_ARG bold_X end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_S 2 end_POSTSUBSCRIPT ∥ end_ARG start_ARG italic_b italic_h start_POSTSUBSCRIPT 3 end_POSTSUBSCRIPT end_ARG ) end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL ( divide start_ARG ∥ over~ start_ARG bold_X end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_Q 3 end_POSTSUBSCRIPT ∥ end_ARG start_ARG italic_c italic_h start_POSTSUBSCRIPT 4 end_POSTSUBSCRIPT end_ARG + divide start_ARG ∥ over~ start_ARG bold_X end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_P 3 end_POSTSUBSCRIPT ∥ end_ARG start_ARG italic_c italic_h start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT end_ARG ) end_CELL start_CELL - divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_h start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT end_ARG end_CELL start_CELL ( divide start_ARG ∥ over~ start_ARG bold_X end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_R 1 end_POSTSUBSCRIPT ∥ end_ARG start_ARG italic_b italic_h start_POSTSUBSCRIPT 6 end_POSTSUBSCRIPT end_ARG + divide start_ARG ∥ over~ start_ARG bold_X end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_S 1 end_POSTSUBSCRIPT ∥ end_ARG start_ARG italic_b italic_h start_POSTSUBSCRIPT 3 end_POSTSUBSCRIPT end_ARG ) end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL ( divide start_ARG ∥ over~ start_ARG bold_X end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_Q 2 end_POSTSUBSCRIPT ∥ end_ARG start_ARG italic_c italic_h start_POSTSUBSCRIPT 4 end_POSTSUBSCRIPT end_ARG + divide start_ARG ∥ over~ start_ARG bold_X end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_P 2 end_POSTSUBSCRIPT ∥ end_ARG start_ARG italic_c italic_h start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT end_ARG ) end_CELL start_CELL ( divide start_ARG ∥ over~ start_ARG bold_X end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_M 1 end_POSTSUBSCRIPT ∥ end_ARG start_ARG italic_a italic_h start_POSTSUBSCRIPT 5 end_POSTSUBSCRIPT end_ARG + divide start_ARG ∥ over~ start_ARG bold_X end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_N 1 end_POSTSUBSCRIPT ∥ end_ARG start_ARG italic_a italic_h start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT end_ARG ) end_CELL start_CELL - divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_h start_POSTSUBSCRIPT 3 end_POSTSUBSCRIPT end_ARG end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL - divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_h start_POSTSUBSCRIPT 4 end_POSTSUBSCRIPT end_ARG end_CELL start_CELL 0 end_CELL start_CELL 0 end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL 0 end_CELL start_CELL - divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_h start_POSTSUBSCRIPT 5 end_POSTSUBSCRIPT end_ARG end_CELL start_CELL 0 end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL 0 end_CELL start_CELL 0 end_CELL start_CELL - divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_h start_POSTSUBSCRIPT 6 end_POSTSUBSCRIPT end_ARG end_CELL end_ROW end_ARG ] start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(78)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="A3.p1.4">with <math alttext="a=\lVert\tilde{\mathbf{X}}_{31}\rVert" class="ltx_Math" display="inline" id="A3.p1.2.m1.1"><semantics id="A3.p1.2.m1.1a"><mrow id="A3.p1.2.m1.1.1" xref="A3.p1.2.m1.1.1.cmml"><mi id="A3.p1.2.m1.1.1.3" xref="A3.p1.2.m1.1.1.3.cmml">a</mi><mo id="A3.p1.2.m1.1.1.2" rspace="0.1389em" xref="A3.p1.2.m1.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="A3.p1.2.m1.1.1.1.1" xref="A3.p1.2.m1.1.1.1.2.cmml"><mo fence="true" id="A3.p1.2.m1.1.1.1.1.2" lspace="0.1389em" rspace="0em" xref="A3.p1.2.m1.1.1.1.2.1.cmml">∥</mo><msub id="A3.p1.2.m1.1.1.1.1.1" xref="A3.p1.2.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="A3.p1.2.m1.1.1.1.1.1.2" xref="A3.p1.2.m1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="A3.p1.2.m1.1.1.1.1.1.2.2" xref="A3.p1.2.m1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">𝐗</mi><mo id="A3.p1.2.m1.1.1.1.1.1.2.1" xref="A3.p1.2.m1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">~</mo></mover><mn id="A3.p1.2.m1.1.1.1.1.1.3" xref="A3.p1.2.m1.1.1.1.1.1.3.cmml">31</mn></msub><mo fence="true" id="A3.p1.2.m1.1.1.1.1.3" lspace="0em" 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encoding="application/x-tex" id="A3.p1.2.m1.1c">a=\lVert\tilde{\mathbf{X}}_{31}\rVert</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A3.p1.2.m1.1d">italic_a = ∥ over~ start_ARG bold_X end_ARG start_POSTSUBSCRIPT 31 end_POSTSUBSCRIPT ∥</annotation></semantics></math>, <math alttext="b=\lVert\tilde{\mathbf{X}}_{12}\rVert" class="ltx_Math" display="inline" id="A3.p1.3.m2.1"><semantics id="A3.p1.3.m2.1a"><mrow id="A3.p1.3.m2.1.1" xref="A3.p1.3.m2.1.1.cmml"><mi id="A3.p1.3.m2.1.1.3" xref="A3.p1.3.m2.1.1.3.cmml">b</mi><mo id="A3.p1.3.m2.1.1.2" rspace="0.1389em" xref="A3.p1.3.m2.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="A3.p1.3.m2.1.1.1.1" xref="A3.p1.3.m2.1.1.1.2.cmml"><mo fence="true" id="A3.p1.3.m2.1.1.1.1.2" lspace="0.1389em" rspace="0em" xref="A3.p1.3.m2.1.1.1.2.1.cmml">∥</mo><msub id="A3.p1.3.m2.1.1.1.1.1" xref="A3.p1.3.m2.1.1.1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="A3.p1.3.m2.1.1.1.1.1.2" xref="A3.p1.3.m2.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="A3.p1.3.m2.1.1.1.1.1.2.2" xref="A3.p1.3.m2.1.1.1.1.1.2.2.cmml">𝐗</mi><mo id="A3.p1.3.m2.1.1.1.1.1.2.1" xref="A3.p1.3.m2.1.1.1.1.1.2.1.cmml">~</mo></mover><mn id="A3.p1.3.m2.1.1.1.1.1.3" xref="A3.p1.3.m2.1.1.1.1.1.3.cmml">12</mn></msub><mo fence="true" id="A3.p1.3.m2.1.1.1.1.3" lspace="0em" xref="A3.p1.3.m2.1.1.1.2.1.cmml">∥</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A3.p1.3.m2.1b"><apply id="A3.p1.3.m2.1.1.cmml" xref="A3.p1.3.m2.1.1"><eq id="A3.p1.3.m2.1.1.2.cmml" xref="A3.p1.3.m2.1.1.2"></eq><ci id="A3.p1.3.m2.1.1.3.cmml" xref="A3.p1.3.m2.1.1.3">𝑏</ci><apply id="A3.p1.3.m2.1.1.1.2.cmml" xref="A3.p1.3.m2.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="A3.p1.3.m2.1.1.1.2.1.cmml" xref="A3.p1.3.m2.1.1.1.1.2">delimited-∥∥</csymbol><apply id="A3.p1.3.m2.1.1.1.1.1.cmml" xref="A3.p1.3.m2.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.p1.3.m2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A3.p1.3.m2.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="A3.p1.3.m2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A3.p1.3.m2.1.1.1.1.1.2"><ci id="A3.p1.3.m2.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A3.p1.3.m2.1.1.1.1.1.2.1">~</ci><ci id="A3.p1.3.m2.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A3.p1.3.m2.1.1.1.1.1.2.2">𝐗</ci></apply><cn id="A3.p1.3.m2.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A3.p1.3.m2.1.1.1.1.1.3">12</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A3.p1.3.m2.1c">b=\lVert\tilde{\mathbf{X}}_{12}\rVert</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A3.p1.3.m2.1d">italic_b = ∥ over~ start_ARG bold_X end_ARG start_POSTSUBSCRIPT 12 end_POSTSUBSCRIPT ∥</annotation></semantics></math> and <math alttext="c=\lVert\tilde{\mathbf{X}}_{23}\rVert" class="ltx_Math" display="inline" id="A3.p1.4.m3.1"><semantics id="A3.p1.4.m3.1a"><mrow id="A3.p1.4.m3.1.1" xref="A3.p1.4.m3.1.1.cmml"><mi id="A3.p1.4.m3.1.1.3" xref="A3.p1.4.m3.1.1.3.cmml">c</mi><mo id="A3.p1.4.m3.1.1.2" rspace="0.1389em" xref="A3.p1.4.m3.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="A3.p1.4.m3.1.1.1.1" xref="A3.p1.4.m3.1.1.1.2.cmml"><mo fence="true" id="A3.p1.4.m3.1.1.1.1.2" lspace="0.1389em" rspace="0em" xref="A3.p1.4.m3.1.1.1.2.1.cmml">∥</mo><msub id="A3.p1.4.m3.1.1.1.1.1" xref="A3.p1.4.m3.1.1.1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="A3.p1.4.m3.1.1.1.1.1.2" xref="A3.p1.4.m3.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="A3.p1.4.m3.1.1.1.1.1.2.2" xref="A3.p1.4.m3.1.1.1.1.1.2.2.cmml">𝐗</mi><mo id="A3.p1.4.m3.1.1.1.1.1.2.1" xref="A3.p1.4.m3.1.1.1.1.1.2.1.cmml">~</mo></mover><mn id="A3.p1.4.m3.1.1.1.1.1.3" xref="A3.p1.4.m3.1.1.1.1.1.3.cmml">23</mn></msub><mo fence="true" id="A3.p1.4.m3.1.1.1.1.3" lspace="0em" xref="A3.p1.4.m3.1.1.1.2.1.cmml">∥</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A3.p1.4.m3.1b"><apply id="A3.p1.4.m3.1.1.cmml" xref="A3.p1.4.m3.1.1"><eq id="A3.p1.4.m3.1.1.2.cmml" xref="A3.p1.4.m3.1.1.2"></eq><ci id="A3.p1.4.m3.1.1.3.cmml" xref="A3.p1.4.m3.1.1.3">𝑐</ci><apply id="A3.p1.4.m3.1.1.1.2.cmml" xref="A3.p1.4.m3.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="A3.p1.4.m3.1.1.1.2.1.cmml" xref="A3.p1.4.m3.1.1.1.1.2">delimited-∥∥</csymbol><apply id="A3.p1.4.m3.1.1.1.1.1.cmml" xref="A3.p1.4.m3.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A3.p1.4.m3.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A3.p1.4.m3.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="A3.p1.4.m3.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A3.p1.4.m3.1.1.1.1.1.2"><ci id="A3.p1.4.m3.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A3.p1.4.m3.1.1.1.1.1.2.1">~</ci><ci id="A3.p1.4.m3.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A3.p1.4.m3.1.1.1.1.1.2.2">𝐗</ci></apply><cn id="A3.p1.4.m3.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A3.p1.4.m3.1.1.1.1.1.3">23</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A3.p1.4.m3.1c">c=\lVert\tilde{\mathbf{X}}_{23}\rVert</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A3.p1.4.m3.1d">italic_c = ∥ over~ start_ARG bold_X end_ARG start_POSTSUBSCRIPT 23 end_POSTSUBSCRIPT ∥</annotation></semantics></math>.</p> </div> </section> <section class="ltx_appendix" id="A4"> <h2 class="ltx_title ltx_title_appendix"> <span class="ltx_tag ltx_tag_appendix">Appendix D </span>Quadratic Thin Plate/Shell and Accuracy Discrepancy</h2> <div class="ltx_para" id="A4.p1"> <p class="ltx_p" id="A4.p1.1">In this Appendix, the terminologies come from the Section <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2502.10872v4#S4.SS3" title="4.3 Corotational edge-based hinge bending model ‣ 4 Geometric Discretization ‣ Corotational Hinge-based Thin Plates/Shells"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">4.3</span></a>.</p> </div> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="A4.p2"> <p class="ltx_p" id="A4.p2.3"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="A4.p2.3.1">Quadratic Thin Plate (QTP).</span> When the directional curvature operator is quantified in the world frame, the bending energy of our EP model in Eq. (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2502.10872v4#S4.E20" title="In 4.3 Corotational edge-based hinge bending model ‣ 4 Geometric Discretization ‣ Corotational Hinge-based Thin Plates/Shells"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">20</span></a>) can be rewritten as</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="A4.E79"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\Psi_{b}^{QTP}=\frac{A_{\mathcal{E}}}{2}k_{b}(\mathbf{x}^{e})^{T}(\mathbf{L}_{% n}^{T}\mathbf{L}_{n}\otimes\mathbf{I})\mathbf{x}^{e}," class="ltx_Math" display="block" id="A4.E79.m1.1"><semantics id="A4.E79.m1.1a"><mrow id="A4.E79.m1.1.1.1" xref="A4.E79.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A4.E79.m1.1.1.1.1" xref="A4.E79.m1.1.1.1.1.cmml"><msubsup id="A4.E79.m1.1.1.1.1.4" xref="A4.E79.m1.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="A4.E79.m1.1.1.1.1.4.2.2" mathvariant="normal" xref="A4.E79.m1.1.1.1.1.4.2.2.cmml">Ψ</mi><mi id="A4.E79.m1.1.1.1.1.4.2.3" xref="A4.E79.m1.1.1.1.1.4.2.3.cmml">b</mi><mrow id="A4.E79.m1.1.1.1.1.4.3" xref="A4.E79.m1.1.1.1.1.4.3.cmml"><mi id="A4.E79.m1.1.1.1.1.4.3.2" xref="A4.E79.m1.1.1.1.1.4.3.2.cmml">Q</mi><mo id="A4.E79.m1.1.1.1.1.4.3.1" xref="A4.E79.m1.1.1.1.1.4.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A4.E79.m1.1.1.1.1.4.3.3" xref="A4.E79.m1.1.1.1.1.4.3.3.cmml">T</mi><mo id="A4.E79.m1.1.1.1.1.4.3.1a" xref="A4.E79.m1.1.1.1.1.4.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A4.E79.m1.1.1.1.1.4.3.4" xref="A4.E79.m1.1.1.1.1.4.3.4.cmml">P</mi></mrow></msubsup><mo id="A4.E79.m1.1.1.1.1.3" xref="A4.E79.m1.1.1.1.1.3.cmml">=</mo><mrow id="A4.E79.m1.1.1.1.1.2" xref="A4.E79.m1.1.1.1.1.2.cmml"><mfrac id="A4.E79.m1.1.1.1.1.2.4" xref="A4.E79.m1.1.1.1.1.2.4.cmml"><msub id="A4.E79.m1.1.1.1.1.2.4.2" xref="A4.E79.m1.1.1.1.1.2.4.2.cmml"><mi id="A4.E79.m1.1.1.1.1.2.4.2.2" xref="A4.E79.m1.1.1.1.1.2.4.2.2.cmml">A</mi><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="A4.E79.m1.1.1.1.1.2.4.2.3" xref="A4.E79.m1.1.1.1.1.2.4.2.3.cmml">ℰ</mi></msub><mn id="A4.E79.m1.1.1.1.1.2.4.3" xref="A4.E79.m1.1.1.1.1.2.4.3.cmml">2</mn></mfrac><mo id="A4.E79.m1.1.1.1.1.2.3" xref="A4.E79.m1.1.1.1.1.2.3.cmml">⁢</mo><msub id="A4.E79.m1.1.1.1.1.2.5" xref="A4.E79.m1.1.1.1.1.2.5.cmml"><mi id="A4.E79.m1.1.1.1.1.2.5.2" xref="A4.E79.m1.1.1.1.1.2.5.2.cmml">k</mi><mi id="A4.E79.m1.1.1.1.1.2.5.3" xref="A4.E79.m1.1.1.1.1.2.5.3.cmml">b</mi></msub><mo id="A4.E79.m1.1.1.1.1.2.3a" xref="A4.E79.m1.1.1.1.1.2.3.cmml">⁢</mo><msup id="A4.E79.m1.1.1.1.1.1.1" xref="A4.E79.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A4.E79.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A4.E79.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A4.E79.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A4.E79.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="A4.E79.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A4.E79.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A4.E79.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A4.E79.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">𝐱</mi><mi id="A4.E79.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A4.E79.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">e</mi></msup><mo id="A4.E79.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A4.E79.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mi id="A4.E79.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A4.E79.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">T</mi></msup><mo id="A4.E79.m1.1.1.1.1.2.3b" xref="A4.E79.m1.1.1.1.1.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="A4.E79.m1.1.1.1.1.2.2.1" xref="A4.E79.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.cmml"><mo id="A4.E79.m1.1.1.1.1.2.2.1.2" stretchy="false" xref="A4.E79.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A4.E79.m1.1.1.1.1.2.2.1.1" xref="A4.E79.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.cmml"><mrow id="A4.E79.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2" xref="A4.E79.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.cmml"><msubsup id="A4.E79.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2" xref="A4.E79.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.cmml"><mi id="A4.E79.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.2.2" xref="A4.E79.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.2.2.cmml">𝐋</mi><mi id="A4.E79.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.2.3" xref="A4.E79.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.2.3.cmml">n</mi><mi id="A4.E79.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.3" xref="A4.E79.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.3.cmml">T</mi></msubsup><mo id="A4.E79.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.1" xref="A4.E79.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="A4.E79.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.3" xref="A4.E79.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.3.cmml"><mi id="A4.E79.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.3.2" xref="A4.E79.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.3.2.cmml">𝐋</mi><mi id="A4.E79.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.3.3" xref="A4.E79.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.3.3.cmml">n</mi></msub></mrow><mo id="A4.E79.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="A4.E79.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.cmml">⊗</mo><mi id="A4.E79.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3" xref="A4.E79.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.cmml">𝐈</mi></mrow><mo id="A4.E79.m1.1.1.1.1.2.2.1.3" stretchy="false" xref="A4.E79.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A4.E79.m1.1.1.1.1.2.3c" xref="A4.E79.m1.1.1.1.1.2.3.cmml">⁢</mo><msup id="A4.E79.m1.1.1.1.1.2.6" xref="A4.E79.m1.1.1.1.1.2.6.cmml"><mi id="A4.E79.m1.1.1.1.1.2.6.2" xref="A4.E79.m1.1.1.1.1.2.6.2.cmml">𝐱</mi><mi id="A4.E79.m1.1.1.1.1.2.6.3" xref="A4.E79.m1.1.1.1.1.2.6.3.cmml">e</mi></msup></mrow></mrow><mo id="A4.E79.m1.1.1.1.2" xref="A4.E79.m1.1.1.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A4.E79.m1.1b"><apply id="A4.E79.m1.1.1.1.1.cmml" xref="A4.E79.m1.1.1.1"><eq id="A4.E79.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A4.E79.m1.1.1.1.1.3"></eq><apply id="A4.E79.m1.1.1.1.1.4.cmml" xref="A4.E79.m1.1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.E79.m1.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="A4.E79.m1.1.1.1.1.4">superscript</csymbol><apply id="A4.E79.m1.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="A4.E79.m1.1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.E79.m1.1.1.1.1.4.2.1.cmml" xref="A4.E79.m1.1.1.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="A4.E79.m1.1.1.1.1.4.2.2.cmml" xref="A4.E79.m1.1.1.1.1.4.2.2">Ψ</ci><ci id="A4.E79.m1.1.1.1.1.4.2.3.cmml" xref="A4.E79.m1.1.1.1.1.4.2.3">𝑏</ci></apply><apply id="A4.E79.m1.1.1.1.1.4.3.cmml" xref="A4.E79.m1.1.1.1.1.4.3"><times id="A4.E79.m1.1.1.1.1.4.3.1.cmml" xref="A4.E79.m1.1.1.1.1.4.3.1"></times><ci id="A4.E79.m1.1.1.1.1.4.3.2.cmml" xref="A4.E79.m1.1.1.1.1.4.3.2">𝑄</ci><ci id="A4.E79.m1.1.1.1.1.4.3.3.cmml" xref="A4.E79.m1.1.1.1.1.4.3.3">𝑇</ci><ci id="A4.E79.m1.1.1.1.1.4.3.4.cmml" xref="A4.E79.m1.1.1.1.1.4.3.4">𝑃</ci></apply></apply><apply id="A4.E79.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A4.E79.m1.1.1.1.1.2"><times id="A4.E79.m1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="A4.E79.m1.1.1.1.1.2.3"></times><apply id="A4.E79.m1.1.1.1.1.2.4.cmml" xref="A4.E79.m1.1.1.1.1.2.4"><divide id="A4.E79.m1.1.1.1.1.2.4.1.cmml" xref="A4.E79.m1.1.1.1.1.2.4"></divide><apply id="A4.E79.m1.1.1.1.1.2.4.2.cmml" xref="A4.E79.m1.1.1.1.1.2.4.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.E79.m1.1.1.1.1.2.4.2.1.cmml" xref="A4.E79.m1.1.1.1.1.2.4.2">subscript</csymbol><ci id="A4.E79.m1.1.1.1.1.2.4.2.2.cmml" xref="A4.E79.m1.1.1.1.1.2.4.2.2">𝐴</ci><ci id="A4.E79.m1.1.1.1.1.2.4.2.3.cmml" xref="A4.E79.m1.1.1.1.1.2.4.2.3">ℰ</ci></apply><cn id="A4.E79.m1.1.1.1.1.2.4.3.cmml" type="integer" xref="A4.E79.m1.1.1.1.1.2.4.3">2</cn></apply><apply id="A4.E79.m1.1.1.1.1.2.5.cmml" xref="A4.E79.m1.1.1.1.1.2.5"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.E79.m1.1.1.1.1.2.5.1.cmml" xref="A4.E79.m1.1.1.1.1.2.5">subscript</csymbol><ci id="A4.E79.m1.1.1.1.1.2.5.2.cmml" xref="A4.E79.m1.1.1.1.1.2.5.2">𝑘</ci><ci id="A4.E79.m1.1.1.1.1.2.5.3.cmml" xref="A4.E79.m1.1.1.1.1.2.5.3">𝑏</ci></apply><apply id="A4.E79.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A4.E79.m1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.E79.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A4.E79.m1.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="A4.E79.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A4.E79.m1.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.E79.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A4.E79.m1.1.1.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="A4.E79.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A4.E79.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝐱</ci><ci id="A4.E79.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A4.E79.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑒</ci></apply><ci id="A4.E79.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A4.E79.m1.1.1.1.1.1.1.3">𝑇</ci></apply><apply id="A4.E79.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.cmml" 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xref="A4.E79.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.3">𝑇</ci></apply><apply id="A4.E79.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.3.cmml" xref="A4.E79.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.E79.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.3.1.cmml" xref="A4.E79.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="A4.E79.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.3.2.cmml" xref="A4.E79.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.3.2">𝐋</ci><ci id="A4.E79.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.3.3.cmml" xref="A4.E79.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.3.3">𝑛</ci></apply></apply><ci id="A4.E79.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.cmml" xref="A4.E79.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3">𝐈</ci></apply><apply id="A4.E79.m1.1.1.1.1.2.6.cmml" xref="A4.E79.m1.1.1.1.1.2.6"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.E79.m1.1.1.1.1.2.6.1.cmml" xref="A4.E79.m1.1.1.1.1.2.6">superscript</csymbol><ci id="A4.E79.m1.1.1.1.1.2.6.2.cmml" xref="A4.E79.m1.1.1.1.1.2.6.2">𝐱</ci><ci id="A4.E79.m1.1.1.1.1.2.6.3.cmml" xref="A4.E79.m1.1.1.1.1.2.6.3">𝑒</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A4.E79.m1.1c">\Psi_{b}^{QTP}=\frac{A_{\mathcal{E}}}{2}k_{b}(\mathbf{x}^{e})^{T}(\mathbf{L}_{% n}^{T}\mathbf{L}_{n}\otimes\mathbf{I})\mathbf{x}^{e},</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A4.E79.m1.1d">roman_Ψ start_POSTSUBSCRIPT italic_b end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_Q italic_T italic_P end_POSTSUPERSCRIPT = divide start_ARG italic_A start_POSTSUBSCRIPT caligraphic_E end_POSTSUBSCRIPT end_ARG start_ARG 2 end_ARG italic_k start_POSTSUBSCRIPT italic_b end_POSTSUBSCRIPT ( bold_x start_POSTSUPERSCRIPT italic_e end_POSTSUPERSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT ( bold_L start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT bold_L start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT ⊗ bold_I ) bold_x start_POSTSUPERSCRIPT italic_e end_POSTSUPERSCRIPT ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(79)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="A4.p2.1">where the curvature operator <math alttext="\mathbf{L}_{n}" class="ltx_Math" display="inline" id="A4.p2.1.m1.1"><semantics id="A4.p2.1.m1.1a"><msub id="A4.p2.1.m1.1.1" xref="A4.p2.1.m1.1.1.cmml"><mi id="A4.p2.1.m1.1.1.2" xref="A4.p2.1.m1.1.1.2.cmml">𝐋</mi><mi id="A4.p2.1.m1.1.1.3" xref="A4.p2.1.m1.1.1.3.cmml">n</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A4.p2.1.m1.1b"><apply id="A4.p2.1.m1.1.1.cmml" xref="A4.p2.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.p2.1.m1.1.1.1.cmml" xref="A4.p2.1.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="A4.p2.1.m1.1.1.2.cmml" xref="A4.p2.1.m1.1.1.2">𝐋</ci><ci id="A4.p2.1.m1.1.1.3.cmml" xref="A4.p2.1.m1.1.1.3">𝑛</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A4.p2.1.m1.1c">\mathbf{L}_{n}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A4.p2.1.m1.1d">bold_L start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> is</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="A4.E80"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="c_{h}\begin{bmatrix}\frac{1}{h_{1}}&-\left(\frac{\lVert{\mathbf{X}}_{P3}\rVert% }{\lVert{\mathbf{X}}_{23}\rVert h_{1}}+\frac{\lVert{\mathbf{X}}_{Q3}\rVert}{% \lVert{\mathbf{X}}_{23}\rVert h_{4}}\right)&-\left(\frac{\lVert{\mathbf{X}}_{P% 2}\rVert}{\lVert{\mathbf{X}}_{23}\rVert h_{1}}+\frac{\lVert{\mathbf{X}}_{Q2}% \rVert}{\lVert{\mathbf{X}}_{23}\rVert h_{4}}\right)&\frac{1}{h_{4}}\end{bmatrix}" class="ltx_Math" display="block" id="A4.E80.m1.1"><semantics id="A4.E80.m1.1a"><mrow id="A4.E80.m1.1.2" xref="A4.E80.m1.1.2.cmml"><msub id="A4.E80.m1.1.2.2" xref="A4.E80.m1.1.2.2.cmml"><mi id="A4.E80.m1.1.2.2.2" xref="A4.E80.m1.1.2.2.2.cmml">c</mi><mi id="A4.E80.m1.1.2.2.3" xref="A4.E80.m1.1.2.2.3.cmml">h</mi></msub><mo id="A4.E80.m1.1.2.1" xref="A4.E80.m1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A4.E80.m1.1.1.3" xref="A4.E80.m1.1.1.2.cmml"><mo id="A4.E80.m1.1.1.3.1" xref="A4.E80.m1.1.1.2.1.cmml">[</mo><mtable columnspacing="5pt" displaystyle="true" id="A4.E80.m1.1.1.1.1" xref="A4.E80.m1.1.1.1.1.cmml"><mtr id="A4.E80.m1.1.1.1.1a" xref="A4.E80.m1.1.1.1.1.cmml"><mtd id="A4.E80.m1.1.1.1.1b" xref="A4.E80.m1.1.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="false" id="A4.E80.m1.1.1.1.1.10.10.11.1" xref="A4.E80.m1.1.1.1.1.10.10.11.1.cmml"><mfrac id="A4.E80.m1.1.1.1.1.10.10.11.1a" xref="A4.E80.m1.1.1.1.1.10.10.11.1.cmml"><mn id="A4.E80.m1.1.1.1.1.10.10.11.1.2" xref="A4.E80.m1.1.1.1.1.10.10.11.1.2.cmml">1</mn><msub id="A4.E80.m1.1.1.1.1.10.10.11.1.3" xref="A4.E80.m1.1.1.1.1.10.10.11.1.3.cmml"><mi id="A4.E80.m1.1.1.1.1.10.10.11.1.3.2" xref="A4.E80.m1.1.1.1.1.10.10.11.1.3.2.cmml">h</mi><mn id="A4.E80.m1.1.1.1.1.10.10.11.1.3.3" xref="A4.E80.m1.1.1.1.1.10.10.11.1.3.3.cmml">1</mn></msub></mfrac></mstyle></mtd><mtd id="A4.E80.m1.1.1.1.1c" xref="A4.E80.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A4.E80.m1.1.1.1.1.5.5.5.5" xref="A4.E80.m1.1.1.1.1.5.5.5.5.cmml"><mo id="A4.E80.m1.1.1.1.1.5.5.5.5a" xref="A4.E80.m1.1.1.1.1.5.5.5.5.cmml">−</mo><mrow id="A4.E80.m1.1.1.1.1.5.5.5.5.5.1" xref="A4.E80.m1.1.1.1.1.5.5.5.5.5.1.1.cmml"><mo id="A4.E80.m1.1.1.1.1.5.5.5.5.5.1.2" xref="A4.E80.m1.1.1.1.1.5.5.5.5.5.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A4.E80.m1.1.1.1.1.5.5.5.5.5.1.1" xref="A4.E80.m1.1.1.1.1.5.5.5.5.5.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="false" id="A4.E80.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2" xref="A4.E80.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml"><mfrac id="A4.E80.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2a" xref="A4.E80.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml"><mrow id="A4.E80.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A4.E80.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo fence="true" id="A4.E80.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" rspace="0em" xref="A4.E80.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">∥</mo><msub id="A4.E80.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A4.E80.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A4.E80.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A4.E80.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">𝐗</mi><mrow id="A4.E80.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A4.E80.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A4.E80.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A4.E80.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">P</mi><mo id="A4.E80.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="A4.E80.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mn id="A4.E80.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A4.E80.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">3</mn></mrow></msub><mo fence="true" id="A4.E80.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" lspace="0em" xref="A4.E80.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">∥</mo></mrow><mrow id="A4.E80.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2" xref="A4.E80.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.cmml"><mrow id="A4.E80.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1" xref="A4.E80.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.1.2.cmml"><mo fence="true" id="A4.E80.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1.2" rspace="0em" xref="A4.E80.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.1.2.1.cmml">∥</mo><msub id="A4.E80.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1.1" xref="A4.E80.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="A4.E80.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.2" xref="A4.E80.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.2.cmml">𝐗</mi><mn id="A4.E80.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.3" xref="A4.E80.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.3.cmml">23</mn></msub><mo fence="true" id="A4.E80.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1.3" lspace="0em" xref="A4.E80.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.1.2.1.cmml">∥</mo></mrow><mo id="A4.E80.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2" lspace="0em" xref="A4.E80.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2.cmml">⁢</mo><msub id="A4.E80.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.3" xref="A4.E80.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="A4.E80.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.3.2" xref="A4.E80.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.3.2.cmml">h</mi><mn id="A4.E80.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.3.3" xref="A4.E80.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.3.3.cmml">1</mn></msub></mrow></mfrac></mstyle><mo id="A4.E80.m1.1.1.1.1.5.5.5.5.5.1.1.1" xref="A4.E80.m1.1.1.1.1.5.5.5.5.5.1.1.1.cmml">+</mo><mstyle displaystyle="false" id="A4.E80.m1.1.1.1.1.4.4.4.4.4" xref="A4.E80.m1.1.1.1.1.4.4.4.4.4.cmml"><mfrac id="A4.E80.m1.1.1.1.1.4.4.4.4.4a" xref="A4.E80.m1.1.1.1.1.4.4.4.4.4.cmml"><mrow id="A4.E80.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.1.1" xref="A4.E80.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.1.2.cmml"><mo fence="true" id="A4.E80.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.1.1.2" rspace="0em" xref="A4.E80.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.1.2.1.cmml">∥</mo><msub id="A4.E80.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.1.1.1" xref="A4.E80.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.1.1.1.cmml"><mi id="A4.E80.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.1.1.1.2" xref="A4.E80.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.1.1.1.2.cmml">𝐗</mi><mrow id="A4.E80.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.1.1.1.3" xref="A4.E80.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.1.1.1.3.cmml"><mi id="A4.E80.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.1.1.1.3.2" xref="A4.E80.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.1.1.1.3.2.cmml">Q</mi><mo id="A4.E80.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.1.1.1.3.1" xref="A4.E80.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mn id="A4.E80.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.1.1.1.3.3" xref="A4.E80.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.1.1.1.3.3.cmml">3</mn></mrow></msub><mo fence="true" id="A4.E80.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.1.1.3" lspace="0em" xref="A4.E80.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.1.2.1.cmml">∥</mo></mrow><mrow id="A4.E80.m1.1.1.1.1.4.4.4.4.4.2" xref="A4.E80.m1.1.1.1.1.4.4.4.4.4.2.cmml"><mrow id="A4.E80.m1.1.1.1.1.4.4.4.4.4.2.1.1" xref="A4.E80.m1.1.1.1.1.4.4.4.4.4.2.1.2.cmml"><mo fence="true" id="A4.E80.m1.1.1.1.1.4.4.4.4.4.2.1.1.2" rspace="0em" xref="A4.E80.m1.1.1.1.1.4.4.4.4.4.2.1.2.1.cmml">∥</mo><msub id="A4.E80.m1.1.1.1.1.4.4.4.4.4.2.1.1.1" xref="A4.E80.m1.1.1.1.1.4.4.4.4.4.2.1.1.1.cmml"><mi id="A4.E80.m1.1.1.1.1.4.4.4.4.4.2.1.1.1.2" xref="A4.E80.m1.1.1.1.1.4.4.4.4.4.2.1.1.1.2.cmml">𝐗</mi><mn id="A4.E80.m1.1.1.1.1.4.4.4.4.4.2.1.1.1.3" xref="A4.E80.m1.1.1.1.1.4.4.4.4.4.2.1.1.1.3.cmml">23</mn></msub><mo fence="true" id="A4.E80.m1.1.1.1.1.4.4.4.4.4.2.1.1.3" lspace="0em" xref="A4.E80.m1.1.1.1.1.4.4.4.4.4.2.1.2.1.cmml">∥</mo></mrow><mo id="A4.E80.m1.1.1.1.1.4.4.4.4.4.2.2" lspace="0em" xref="A4.E80.m1.1.1.1.1.4.4.4.4.4.2.2.cmml">⁢</mo><msub id="A4.E80.m1.1.1.1.1.4.4.4.4.4.2.3" xref="A4.E80.m1.1.1.1.1.4.4.4.4.4.2.3.cmml"><mi id="A4.E80.m1.1.1.1.1.4.4.4.4.4.2.3.2" xref="A4.E80.m1.1.1.1.1.4.4.4.4.4.2.3.2.cmml">h</mi><mn id="A4.E80.m1.1.1.1.1.4.4.4.4.4.2.3.3" xref="A4.E80.m1.1.1.1.1.4.4.4.4.4.2.3.3.cmml">4</mn></msub></mrow></mfrac></mstyle></mrow><mo id="A4.E80.m1.1.1.1.1.5.5.5.5.5.1.3" xref="A4.E80.m1.1.1.1.1.5.5.5.5.5.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mtd><mtd id="A4.E80.m1.1.1.1.1d" xref="A4.E80.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A4.E80.m1.1.1.1.1.10.10.10.5" xref="A4.E80.m1.1.1.1.1.10.10.10.5.cmml"><mo id="A4.E80.m1.1.1.1.1.10.10.10.5a" xref="A4.E80.m1.1.1.1.1.10.10.10.5.cmml">−</mo><mrow id="A4.E80.m1.1.1.1.1.10.10.10.5.5.1" xref="A4.E80.m1.1.1.1.1.10.10.10.5.5.1.1.cmml"><mo id="A4.E80.m1.1.1.1.1.10.10.10.5.5.1.2" xref="A4.E80.m1.1.1.1.1.10.10.10.5.5.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A4.E80.m1.1.1.1.1.10.10.10.5.5.1.1" xref="A4.E80.m1.1.1.1.1.10.10.10.5.5.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="false" id="A4.E80.m1.1.1.1.1.7.7.7.2.2" xref="A4.E80.m1.1.1.1.1.7.7.7.2.2.cmml"><mfrac id="A4.E80.m1.1.1.1.1.7.7.7.2.2a" xref="A4.E80.m1.1.1.1.1.7.7.7.2.2.cmml"><mrow id="A4.E80.m1.1.1.1.1.6.6.6.1.1.1.1" xref="A4.E80.m1.1.1.1.1.6.6.6.1.1.1.2.cmml"><mo fence="true" id="A4.E80.m1.1.1.1.1.6.6.6.1.1.1.1.2" rspace="0em" xref="A4.E80.m1.1.1.1.1.6.6.6.1.1.1.2.1.cmml">∥</mo><msub id="A4.E80.m1.1.1.1.1.6.6.6.1.1.1.1.1" xref="A4.E80.m1.1.1.1.1.6.6.6.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A4.E80.m1.1.1.1.1.6.6.6.1.1.1.1.1.2" xref="A4.E80.m1.1.1.1.1.6.6.6.1.1.1.1.1.2.cmml">𝐗</mi><mrow id="A4.E80.m1.1.1.1.1.6.6.6.1.1.1.1.1.3" xref="A4.E80.m1.1.1.1.1.6.6.6.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A4.E80.m1.1.1.1.1.6.6.6.1.1.1.1.1.3.2" xref="A4.E80.m1.1.1.1.1.6.6.6.1.1.1.1.1.3.2.cmml">P</mi><mo id="A4.E80.m1.1.1.1.1.6.6.6.1.1.1.1.1.3.1" xref="A4.E80.m1.1.1.1.1.6.6.6.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mn id="A4.E80.m1.1.1.1.1.6.6.6.1.1.1.1.1.3.3" xref="A4.E80.m1.1.1.1.1.6.6.6.1.1.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></mrow></msub><mo fence="true" id="A4.E80.m1.1.1.1.1.6.6.6.1.1.1.1.3" lspace="0em" xref="A4.E80.m1.1.1.1.1.6.6.6.1.1.1.2.1.cmml">∥</mo></mrow><mrow id="A4.E80.m1.1.1.1.1.7.7.7.2.2.2" xref="A4.E80.m1.1.1.1.1.7.7.7.2.2.2.cmml"><mrow id="A4.E80.m1.1.1.1.1.7.7.7.2.2.2.1.1" xref="A4.E80.m1.1.1.1.1.7.7.7.2.2.2.1.2.cmml"><mo fence="true" id="A4.E80.m1.1.1.1.1.7.7.7.2.2.2.1.1.2" rspace="0em" xref="A4.E80.m1.1.1.1.1.7.7.7.2.2.2.1.2.1.cmml">∥</mo><msub id="A4.E80.m1.1.1.1.1.7.7.7.2.2.2.1.1.1" xref="A4.E80.m1.1.1.1.1.7.7.7.2.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="A4.E80.m1.1.1.1.1.7.7.7.2.2.2.1.1.1.2" xref="A4.E80.m1.1.1.1.1.7.7.7.2.2.2.1.1.1.2.cmml">𝐗</mi><mn id="A4.E80.m1.1.1.1.1.7.7.7.2.2.2.1.1.1.3" xref="A4.E80.m1.1.1.1.1.7.7.7.2.2.2.1.1.1.3.cmml">23</mn></msub><mo fence="true" id="A4.E80.m1.1.1.1.1.7.7.7.2.2.2.1.1.3" lspace="0em" xref="A4.E80.m1.1.1.1.1.7.7.7.2.2.2.1.2.1.cmml">∥</mo></mrow><mo id="A4.E80.m1.1.1.1.1.7.7.7.2.2.2.2" lspace="0em" xref="A4.E80.m1.1.1.1.1.7.7.7.2.2.2.2.cmml">⁢</mo><msub id="A4.E80.m1.1.1.1.1.7.7.7.2.2.2.3" xref="A4.E80.m1.1.1.1.1.7.7.7.2.2.2.3.cmml"><mi id="A4.E80.m1.1.1.1.1.7.7.7.2.2.2.3.2" xref="A4.E80.m1.1.1.1.1.7.7.7.2.2.2.3.2.cmml">h</mi><mn id="A4.E80.m1.1.1.1.1.7.7.7.2.2.2.3.3" xref="A4.E80.m1.1.1.1.1.7.7.7.2.2.2.3.3.cmml">1</mn></msub></mrow></mfrac></mstyle><mo id="A4.E80.m1.1.1.1.1.10.10.10.5.5.1.1.1" xref="A4.E80.m1.1.1.1.1.10.10.10.5.5.1.1.1.cmml">+</mo><mstyle displaystyle="false" id="A4.E80.m1.1.1.1.1.9.9.9.4.4" xref="A4.E80.m1.1.1.1.1.9.9.9.4.4.cmml"><mfrac id="A4.E80.m1.1.1.1.1.9.9.9.4.4a" xref="A4.E80.m1.1.1.1.1.9.9.9.4.4.cmml"><mrow id="A4.E80.m1.1.1.1.1.8.8.8.3.3.1.1" xref="A4.E80.m1.1.1.1.1.8.8.8.3.3.1.2.cmml"><mo fence="true" id="A4.E80.m1.1.1.1.1.8.8.8.3.3.1.1.2" rspace="0em" xref="A4.E80.m1.1.1.1.1.8.8.8.3.3.1.2.1.cmml">∥</mo><msub id="A4.E80.m1.1.1.1.1.8.8.8.3.3.1.1.1" xref="A4.E80.m1.1.1.1.1.8.8.8.3.3.1.1.1.cmml"><mi id="A4.E80.m1.1.1.1.1.8.8.8.3.3.1.1.1.2" xref="A4.E80.m1.1.1.1.1.8.8.8.3.3.1.1.1.2.cmml">𝐗</mi><mrow id="A4.E80.m1.1.1.1.1.8.8.8.3.3.1.1.1.3" xref="A4.E80.m1.1.1.1.1.8.8.8.3.3.1.1.1.3.cmml"><mi id="A4.E80.m1.1.1.1.1.8.8.8.3.3.1.1.1.3.2" xref="A4.E80.m1.1.1.1.1.8.8.8.3.3.1.1.1.3.2.cmml">Q</mi><mo id="A4.E80.m1.1.1.1.1.8.8.8.3.3.1.1.1.3.1" xref="A4.E80.m1.1.1.1.1.8.8.8.3.3.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mn id="A4.E80.m1.1.1.1.1.8.8.8.3.3.1.1.1.3.3" xref="A4.E80.m1.1.1.1.1.8.8.8.3.3.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></mrow></msub><mo fence="true" id="A4.E80.m1.1.1.1.1.8.8.8.3.3.1.1.3" lspace="0em" xref="A4.E80.m1.1.1.1.1.8.8.8.3.3.1.2.1.cmml">∥</mo></mrow><mrow id="A4.E80.m1.1.1.1.1.9.9.9.4.4.2" xref="A4.E80.m1.1.1.1.1.9.9.9.4.4.2.cmml"><mrow id="A4.E80.m1.1.1.1.1.9.9.9.4.4.2.1.1" xref="A4.E80.m1.1.1.1.1.9.9.9.4.4.2.1.2.cmml"><mo fence="true" id="A4.E80.m1.1.1.1.1.9.9.9.4.4.2.1.1.2" rspace="0em" xref="A4.E80.m1.1.1.1.1.9.9.9.4.4.2.1.2.1.cmml">∥</mo><msub id="A4.E80.m1.1.1.1.1.9.9.9.4.4.2.1.1.1" xref="A4.E80.m1.1.1.1.1.9.9.9.4.4.2.1.1.1.cmml"><mi id="A4.E80.m1.1.1.1.1.9.9.9.4.4.2.1.1.1.2" xref="A4.E80.m1.1.1.1.1.9.9.9.4.4.2.1.1.1.2.cmml">𝐗</mi><mn id="A4.E80.m1.1.1.1.1.9.9.9.4.4.2.1.1.1.3" xref="A4.E80.m1.1.1.1.1.9.9.9.4.4.2.1.1.1.3.cmml">23</mn></msub><mo fence="true" id="A4.E80.m1.1.1.1.1.9.9.9.4.4.2.1.1.3" lspace="0em" xref="A4.E80.m1.1.1.1.1.9.9.9.4.4.2.1.2.1.cmml">∥</mo></mrow><mo id="A4.E80.m1.1.1.1.1.9.9.9.4.4.2.2" lspace="0em" xref="A4.E80.m1.1.1.1.1.9.9.9.4.4.2.2.cmml">⁢</mo><msub id="A4.E80.m1.1.1.1.1.9.9.9.4.4.2.3" xref="A4.E80.m1.1.1.1.1.9.9.9.4.4.2.3.cmml"><mi id="A4.E80.m1.1.1.1.1.9.9.9.4.4.2.3.2" xref="A4.E80.m1.1.1.1.1.9.9.9.4.4.2.3.2.cmml">h</mi><mn id="A4.E80.m1.1.1.1.1.9.9.9.4.4.2.3.3" xref="A4.E80.m1.1.1.1.1.9.9.9.4.4.2.3.3.cmml">4</mn></msub></mrow></mfrac></mstyle></mrow><mo id="A4.E80.m1.1.1.1.1.10.10.10.5.5.1.3" xref="A4.E80.m1.1.1.1.1.10.10.10.5.5.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mtd><mtd id="A4.E80.m1.1.1.1.1e" xref="A4.E80.m1.1.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="false" id="A4.E80.m1.1.1.1.1.10.10.12.1" xref="A4.E80.m1.1.1.1.1.10.10.12.1.cmml"><mfrac id="A4.E80.m1.1.1.1.1.10.10.12.1a" xref="A4.E80.m1.1.1.1.1.10.10.12.1.cmml"><mn id="A4.E80.m1.1.1.1.1.10.10.12.1.2" xref="A4.E80.m1.1.1.1.1.10.10.12.1.2.cmml">1</mn><msub id="A4.E80.m1.1.1.1.1.10.10.12.1.3" xref="A4.E80.m1.1.1.1.1.10.10.12.1.3.cmml"><mi id="A4.E80.m1.1.1.1.1.10.10.12.1.3.2" xref="A4.E80.m1.1.1.1.1.10.10.12.1.3.2.cmml">h</mi><mn id="A4.E80.m1.1.1.1.1.10.10.12.1.3.3" xref="A4.E80.m1.1.1.1.1.10.10.12.1.3.3.cmml">4</mn></msub></mfrac></mstyle></mtd></mtr></mtable><mo id="A4.E80.m1.1.1.3.2" xref="A4.E80.m1.1.1.2.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A4.E80.m1.1b"><apply id="A4.E80.m1.1.2.cmml" xref="A4.E80.m1.1.2"><times id="A4.E80.m1.1.2.1.cmml" xref="A4.E80.m1.1.2.1"></times><apply id="A4.E80.m1.1.2.2.cmml" xref="A4.E80.m1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.E80.m1.1.2.2.1.cmml" xref="A4.E80.m1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="A4.E80.m1.1.2.2.2.cmml" xref="A4.E80.m1.1.2.2.2">𝑐</ci><ci id="A4.E80.m1.1.2.2.3.cmml" xref="A4.E80.m1.1.2.2.3">ℎ</ci></apply><apply id="A4.E80.m1.1.1.2.cmml" 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xref="A4.E80.m1.1.1.1.1.5.5.5.5"><minus id="A4.E80.m1.1.1.1.1.5.5.5.5.6.cmml" xref="A4.E80.m1.1.1.1.1.5.5.5.5"></minus><apply id="A4.E80.m1.1.1.1.1.5.5.5.5.5.1.1.cmml" xref="A4.E80.m1.1.1.1.1.5.5.5.5.5.1"><plus id="A4.E80.m1.1.1.1.1.5.5.5.5.5.1.1.1.cmml" xref="A4.E80.m1.1.1.1.1.5.5.5.5.5.1.1.1"></plus><apply id="A4.E80.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml" xref="A4.E80.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2"><divide id="A4.E80.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="A4.E80.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2"></divide><apply id="A4.E80.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A4.E80.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="A4.E80.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A4.E80.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">delimited-∥∥</csymbol><apply id="A4.E80.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A4.E80.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.E80.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A4.E80.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="A4.E80.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A4.E80.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝐗</ci><apply id="A4.E80.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A4.E80.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><times id="A4.E80.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A4.E80.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><ci id="A4.E80.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A4.E80.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑃</ci><cn id="A4.E80.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="A4.E80.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">3</cn></apply></apply></apply><apply id="A4.E80.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="A4.E80.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2"><times id="A4.E80.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="A4.E80.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2"></times><apply id="A4.E80.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.1.2.cmml" xref="A4.E80.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1"><csymbol cd="latexml" id="A4.E80.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.1.2.1.cmml" xref="A4.E80.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1.2">delimited-∥∥</csymbol><apply id="A4.E80.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="A4.E80.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.E80.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="A4.E80.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="A4.E80.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="A4.E80.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.2">𝐗</ci><cn id="A4.E80.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A4.E80.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.3">23</cn></apply></apply><apply id="A4.E80.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="A4.E80.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.E80.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="A4.E80.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="A4.E80.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.3.2.cmml" xref="A4.E80.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.3.2">ℎ</ci><cn id="A4.E80.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="A4.E80.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.3.3">1</cn></apply></apply></apply><apply id="A4.E80.m1.1.1.1.1.4.4.4.4.4.cmml" xref="A4.E80.m1.1.1.1.1.4.4.4.4.4"><divide id="A4.E80.m1.1.1.1.1.4.4.4.4.4.3.cmml" xref="A4.E80.m1.1.1.1.1.4.4.4.4.4"></divide><apply id="A4.E80.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.1.2.cmml" xref="A4.E80.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.1.1"><csymbol cd="latexml" id="A4.E80.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.1.2.1.cmml" xref="A4.E80.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.1.1.2">delimited-∥∥</csymbol><apply id="A4.E80.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.1.1.1.cmml" xref="A4.E80.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.E80.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="A4.E80.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="A4.E80.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="A4.E80.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.1.1.1.2">𝐗</ci><apply id="A4.E80.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.1.1.1.3.cmml" xref="A4.E80.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.1.1.1.3"><times id="A4.E80.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.1.1.1.3.1.cmml" xref="A4.E80.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.1.1.1.3.1"></times><ci id="A4.E80.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.1.1.1.3.2.cmml" xref="A4.E80.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.1.1.1.3.2">𝑄</ci><cn id="A4.E80.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="A4.E80.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.1.1.1.3.3">3</cn></apply></apply></apply><apply id="A4.E80.m1.1.1.1.1.4.4.4.4.4.2.cmml" xref="A4.E80.m1.1.1.1.1.4.4.4.4.4.2"><times id="A4.E80.m1.1.1.1.1.4.4.4.4.4.2.2.cmml" xref="A4.E80.m1.1.1.1.1.4.4.4.4.4.2.2"></times><apply id="A4.E80.m1.1.1.1.1.4.4.4.4.4.2.1.2.cmml" xref="A4.E80.m1.1.1.1.1.4.4.4.4.4.2.1.1"><csymbol cd="latexml" id="A4.E80.m1.1.1.1.1.4.4.4.4.4.2.1.2.1.cmml" xref="A4.E80.m1.1.1.1.1.4.4.4.4.4.2.1.1.2">delimited-∥∥</csymbol><apply id="A4.E80.m1.1.1.1.1.4.4.4.4.4.2.1.1.1.cmml" xref="A4.E80.m1.1.1.1.1.4.4.4.4.4.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.E80.m1.1.1.1.1.4.4.4.4.4.2.1.1.1.1.cmml" xref="A4.E80.m1.1.1.1.1.4.4.4.4.4.2.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="A4.E80.m1.1.1.1.1.4.4.4.4.4.2.1.1.1.2.cmml" xref="A4.E80.m1.1.1.1.1.4.4.4.4.4.2.1.1.1.2">𝐗</ci><cn id="A4.E80.m1.1.1.1.1.4.4.4.4.4.2.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A4.E80.m1.1.1.1.1.4.4.4.4.4.2.1.1.1.3">23</cn></apply></apply><apply id="A4.E80.m1.1.1.1.1.4.4.4.4.4.2.3.cmml" xref="A4.E80.m1.1.1.1.1.4.4.4.4.4.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.E80.m1.1.1.1.1.4.4.4.4.4.2.3.1.cmml" xref="A4.E80.m1.1.1.1.1.4.4.4.4.4.2.3">subscript</csymbol><ci id="A4.E80.m1.1.1.1.1.4.4.4.4.4.2.3.2.cmml" xref="A4.E80.m1.1.1.1.1.4.4.4.4.4.2.3.2">ℎ</ci><cn id="A4.E80.m1.1.1.1.1.4.4.4.4.4.2.3.3.cmml" type="integer" xref="A4.E80.m1.1.1.1.1.4.4.4.4.4.2.3.3">4</cn></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="A4.E80.m1.1.1.1.1.10.10.10.5.cmml" xref="A4.E80.m1.1.1.1.1.10.10.10.5"><minus id="A4.E80.m1.1.1.1.1.10.10.10.5.6.cmml" xref="A4.E80.m1.1.1.1.1.10.10.10.5"></minus><apply id="A4.E80.m1.1.1.1.1.10.10.10.5.5.1.1.cmml" xref="A4.E80.m1.1.1.1.1.10.10.10.5.5.1"><plus id="A4.E80.m1.1.1.1.1.10.10.10.5.5.1.1.1.cmml" xref="A4.E80.m1.1.1.1.1.10.10.10.5.5.1.1.1"></plus><apply id="A4.E80.m1.1.1.1.1.7.7.7.2.2.cmml" xref="A4.E80.m1.1.1.1.1.7.7.7.2.2"><divide id="A4.E80.m1.1.1.1.1.7.7.7.2.2.3.cmml" xref="A4.E80.m1.1.1.1.1.7.7.7.2.2"></divide><apply id="A4.E80.m1.1.1.1.1.6.6.6.1.1.1.2.cmml" xref="A4.E80.m1.1.1.1.1.6.6.6.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="A4.E80.m1.1.1.1.1.6.6.6.1.1.1.2.1.cmml" xref="A4.E80.m1.1.1.1.1.6.6.6.1.1.1.1.2">delimited-∥∥</csymbol><apply id="A4.E80.m1.1.1.1.1.6.6.6.1.1.1.1.1.cmml" xref="A4.E80.m1.1.1.1.1.6.6.6.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.E80.m1.1.1.1.1.6.6.6.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A4.E80.m1.1.1.1.1.6.6.6.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="A4.E80.m1.1.1.1.1.6.6.6.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A4.E80.m1.1.1.1.1.6.6.6.1.1.1.1.1.2">𝐗</ci><apply id="A4.E80.m1.1.1.1.1.6.6.6.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A4.E80.m1.1.1.1.1.6.6.6.1.1.1.1.1.3"><times id="A4.E80.m1.1.1.1.1.6.6.6.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A4.E80.m1.1.1.1.1.6.6.6.1.1.1.1.1.3.1"></times><ci id="A4.E80.m1.1.1.1.1.6.6.6.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A4.E80.m1.1.1.1.1.6.6.6.1.1.1.1.1.3.2">𝑃</ci><cn id="A4.E80.m1.1.1.1.1.6.6.6.1.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="A4.E80.m1.1.1.1.1.6.6.6.1.1.1.1.1.3.3">2</cn></apply></apply></apply><apply id="A4.E80.m1.1.1.1.1.7.7.7.2.2.2.cmml" xref="A4.E80.m1.1.1.1.1.7.7.7.2.2.2"><times id="A4.E80.m1.1.1.1.1.7.7.7.2.2.2.2.cmml" xref="A4.E80.m1.1.1.1.1.7.7.7.2.2.2.2"></times><apply id="A4.E80.m1.1.1.1.1.7.7.7.2.2.2.1.2.cmml" xref="A4.E80.m1.1.1.1.1.7.7.7.2.2.2.1.1"><csymbol cd="latexml" id="A4.E80.m1.1.1.1.1.7.7.7.2.2.2.1.2.1.cmml" xref="A4.E80.m1.1.1.1.1.7.7.7.2.2.2.1.1.2">delimited-∥∥</csymbol><apply id="A4.E80.m1.1.1.1.1.7.7.7.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="A4.E80.m1.1.1.1.1.7.7.7.2.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.E80.m1.1.1.1.1.7.7.7.2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="A4.E80.m1.1.1.1.1.7.7.7.2.2.2.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="A4.E80.m1.1.1.1.1.7.7.7.2.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="A4.E80.m1.1.1.1.1.7.7.7.2.2.2.1.1.1.2">𝐗</ci><cn id="A4.E80.m1.1.1.1.1.7.7.7.2.2.2.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A4.E80.m1.1.1.1.1.7.7.7.2.2.2.1.1.1.3">23</cn></apply></apply><apply id="A4.E80.m1.1.1.1.1.7.7.7.2.2.2.3.cmml" xref="A4.E80.m1.1.1.1.1.7.7.7.2.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.E80.m1.1.1.1.1.7.7.7.2.2.2.3.1.cmml" xref="A4.E80.m1.1.1.1.1.7.7.7.2.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="A4.E80.m1.1.1.1.1.7.7.7.2.2.2.3.2.cmml" xref="A4.E80.m1.1.1.1.1.7.7.7.2.2.2.3.2">ℎ</ci><cn id="A4.E80.m1.1.1.1.1.7.7.7.2.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="A4.E80.m1.1.1.1.1.7.7.7.2.2.2.3.3">1</cn></apply></apply></apply><apply id="A4.E80.m1.1.1.1.1.9.9.9.4.4.cmml" xref="A4.E80.m1.1.1.1.1.9.9.9.4.4"><divide id="A4.E80.m1.1.1.1.1.9.9.9.4.4.3.cmml" xref="A4.E80.m1.1.1.1.1.9.9.9.4.4"></divide><apply id="A4.E80.m1.1.1.1.1.8.8.8.3.3.1.2.cmml" xref="A4.E80.m1.1.1.1.1.8.8.8.3.3.1.1"><csymbol cd="latexml" id="A4.E80.m1.1.1.1.1.8.8.8.3.3.1.2.1.cmml" xref="A4.E80.m1.1.1.1.1.8.8.8.3.3.1.1.2">delimited-∥∥</csymbol><apply id="A4.E80.m1.1.1.1.1.8.8.8.3.3.1.1.1.cmml" xref="A4.E80.m1.1.1.1.1.8.8.8.3.3.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.E80.m1.1.1.1.1.8.8.8.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="A4.E80.m1.1.1.1.1.8.8.8.3.3.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="A4.E80.m1.1.1.1.1.8.8.8.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="A4.E80.m1.1.1.1.1.8.8.8.3.3.1.1.1.2">𝐗</ci><apply id="A4.E80.m1.1.1.1.1.8.8.8.3.3.1.1.1.3.cmml" xref="A4.E80.m1.1.1.1.1.8.8.8.3.3.1.1.1.3"><times id="A4.E80.m1.1.1.1.1.8.8.8.3.3.1.1.1.3.1.cmml" xref="A4.E80.m1.1.1.1.1.8.8.8.3.3.1.1.1.3.1"></times><ci id="A4.E80.m1.1.1.1.1.8.8.8.3.3.1.1.1.3.2.cmml" xref="A4.E80.m1.1.1.1.1.8.8.8.3.3.1.1.1.3.2">𝑄</ci><cn id="A4.E80.m1.1.1.1.1.8.8.8.3.3.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="A4.E80.m1.1.1.1.1.8.8.8.3.3.1.1.1.3.3">2</cn></apply></apply></apply><apply id="A4.E80.m1.1.1.1.1.9.9.9.4.4.2.cmml" xref="A4.E80.m1.1.1.1.1.9.9.9.4.4.2"><times id="A4.E80.m1.1.1.1.1.9.9.9.4.4.2.2.cmml" xref="A4.E80.m1.1.1.1.1.9.9.9.4.4.2.2"></times><apply id="A4.E80.m1.1.1.1.1.9.9.9.4.4.2.1.2.cmml" xref="A4.E80.m1.1.1.1.1.9.9.9.4.4.2.1.1"><csymbol cd="latexml" id="A4.E80.m1.1.1.1.1.9.9.9.4.4.2.1.2.1.cmml" xref="A4.E80.m1.1.1.1.1.9.9.9.4.4.2.1.1.2">delimited-∥∥</csymbol><apply id="A4.E80.m1.1.1.1.1.9.9.9.4.4.2.1.1.1.cmml" xref="A4.E80.m1.1.1.1.1.9.9.9.4.4.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.E80.m1.1.1.1.1.9.9.9.4.4.2.1.1.1.1.cmml" xref="A4.E80.m1.1.1.1.1.9.9.9.4.4.2.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="A4.E80.m1.1.1.1.1.9.9.9.4.4.2.1.1.1.2.cmml" xref="A4.E80.m1.1.1.1.1.9.9.9.4.4.2.1.1.1.2">𝐗</ci><cn id="A4.E80.m1.1.1.1.1.9.9.9.4.4.2.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A4.E80.m1.1.1.1.1.9.9.9.4.4.2.1.1.1.3">23</cn></apply></apply><apply id="A4.E80.m1.1.1.1.1.9.9.9.4.4.2.3.cmml" xref="A4.E80.m1.1.1.1.1.9.9.9.4.4.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.E80.m1.1.1.1.1.9.9.9.4.4.2.3.1.cmml" xref="A4.E80.m1.1.1.1.1.9.9.9.4.4.2.3">subscript</csymbol><ci id="A4.E80.m1.1.1.1.1.9.9.9.4.4.2.3.2.cmml" xref="A4.E80.m1.1.1.1.1.9.9.9.4.4.2.3.2">ℎ</ci><cn id="A4.E80.m1.1.1.1.1.9.9.9.4.4.2.3.3.cmml" type="integer" xref="A4.E80.m1.1.1.1.1.9.9.9.4.4.2.3.3">4</cn></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="A4.E80.m1.1.1.1.1.10.10.12.1.cmml" xref="A4.E80.m1.1.1.1.1.10.10.12.1"><divide id="A4.E80.m1.1.1.1.1.10.10.12.1.1.cmml" xref="A4.E80.m1.1.1.1.1.10.10.12.1"></divide><cn id="A4.E80.m1.1.1.1.1.10.10.12.1.2.cmml" type="integer" xref="A4.E80.m1.1.1.1.1.10.10.12.1.2">1</cn><apply id="A4.E80.m1.1.1.1.1.10.10.12.1.3.cmml" xref="A4.E80.m1.1.1.1.1.10.10.12.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.E80.m1.1.1.1.1.10.10.12.1.3.1.cmml" xref="A4.E80.m1.1.1.1.1.10.10.12.1.3">subscript</csymbol><ci id="A4.E80.m1.1.1.1.1.10.10.12.1.3.2.cmml" xref="A4.E80.m1.1.1.1.1.10.10.12.1.3.2">ℎ</ci><cn id="A4.E80.m1.1.1.1.1.10.10.12.1.3.3.cmml" type="integer" xref="A4.E80.m1.1.1.1.1.10.10.12.1.3.3">4</cn></apply></apply></matrixrow></matrix></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A4.E80.m1.1c">c_{h}\begin{bmatrix}\frac{1}{h_{1}}&-\left(\frac{\lVert{\mathbf{X}}_{P3}\rVert% }{\lVert{\mathbf{X}}_{23}\rVert h_{1}}+\frac{\lVert{\mathbf{X}}_{Q3}\rVert}{% \lVert{\mathbf{X}}_{23}\rVert h_{4}}\right)&-\left(\frac{\lVert{\mathbf{X}}_{P% 2}\rVert}{\lVert{\mathbf{X}}_{23}\rVert h_{1}}+\frac{\lVert{\mathbf{X}}_{Q2}% \rVert}{\lVert{\mathbf{X}}_{23}\rVert h_{4}}\right)&\frac{1}{h_{4}}\end{bmatrix}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A4.E80.m1.1d">italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_h end_POSTSUBSCRIPT [ start_ARG start_ROW start_CELL divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_h start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT end_ARG end_CELL start_CELL - ( divide start_ARG ∥ bold_X start_POSTSUBSCRIPT italic_P 3 end_POSTSUBSCRIPT ∥ end_ARG start_ARG ∥ bold_X start_POSTSUBSCRIPT 23 end_POSTSUBSCRIPT ∥ italic_h start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT end_ARG + divide start_ARG ∥ bold_X start_POSTSUBSCRIPT italic_Q 3 end_POSTSUBSCRIPT ∥ end_ARG start_ARG ∥ bold_X start_POSTSUBSCRIPT 23 end_POSTSUBSCRIPT ∥ italic_h start_POSTSUBSCRIPT 4 end_POSTSUBSCRIPT end_ARG ) end_CELL start_CELL - ( divide start_ARG ∥ bold_X start_POSTSUBSCRIPT italic_P 2 end_POSTSUBSCRIPT ∥ end_ARG start_ARG ∥ bold_X start_POSTSUBSCRIPT 23 end_POSTSUBSCRIPT ∥ italic_h start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT end_ARG + divide start_ARG ∥ bold_X start_POSTSUBSCRIPT italic_Q 2 end_POSTSUBSCRIPT ∥ end_ARG start_ARG ∥ bold_X start_POSTSUBSCRIPT 23 end_POSTSUBSCRIPT ∥ italic_h start_POSTSUBSCRIPT 4 end_POSTSUBSCRIPT end_ARG ) end_CELL start_CELL divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_h start_POSTSUBSCRIPT 4 end_POSTSUBSCRIPT end_ARG end_CELL end_ROW end_ARG ]</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(80)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="A4.p2.2">with <math alttext="c_{h}=2/(h_{1}+h_{4})" class="ltx_Math" display="inline" id="A4.p2.2.m1.1"><semantics id="A4.p2.2.m1.1a"><mrow id="A4.p2.2.m1.1.1" xref="A4.p2.2.m1.1.1.cmml"><msub id="A4.p2.2.m1.1.1.3" xref="A4.p2.2.m1.1.1.3.cmml"><mi id="A4.p2.2.m1.1.1.3.2" xref="A4.p2.2.m1.1.1.3.2.cmml">c</mi><mi id="A4.p2.2.m1.1.1.3.3" xref="A4.p2.2.m1.1.1.3.3.cmml">h</mi></msub><mo id="A4.p2.2.m1.1.1.2" xref="A4.p2.2.m1.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="A4.p2.2.m1.1.1.1" xref="A4.p2.2.m1.1.1.1.cmml"><mn id="A4.p2.2.m1.1.1.1.3" xref="A4.p2.2.m1.1.1.1.3.cmml">2</mn><mo id="A4.p2.2.m1.1.1.1.2" xref="A4.p2.2.m1.1.1.1.2.cmml">/</mo><mrow id="A4.p2.2.m1.1.1.1.1.1" xref="A4.p2.2.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A4.p2.2.m1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A4.p2.2.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A4.p2.2.m1.1.1.1.1.1.1" xref="A4.p2.2.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="A4.p2.2.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A4.p2.2.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="A4.p2.2.m1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="A4.p2.2.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">h</mi><mn id="A4.p2.2.m1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="A4.p2.2.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">1</mn></msub><mo id="A4.p2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A4.p2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><msub id="A4.p2.2.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A4.p2.2.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A4.p2.2.m1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A4.p2.2.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">h</mi><mn id="A4.p2.2.m1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A4.p2.2.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">4</mn></msub></mrow><mo id="A4.p2.2.m1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A4.p2.2.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A4.p2.2.m1.1b"><apply id="A4.p2.2.m1.1.1.cmml" xref="A4.p2.2.m1.1.1"><eq id="A4.p2.2.m1.1.1.2.cmml" xref="A4.p2.2.m1.1.1.2"></eq><apply id="A4.p2.2.m1.1.1.3.cmml" xref="A4.p2.2.m1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.p2.2.m1.1.1.3.1.cmml" xref="A4.p2.2.m1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A4.p2.2.m1.1.1.3.2.cmml" xref="A4.p2.2.m1.1.1.3.2">𝑐</ci><ci id="A4.p2.2.m1.1.1.3.3.cmml" xref="A4.p2.2.m1.1.1.3.3">ℎ</ci></apply><apply id="A4.p2.2.m1.1.1.1.cmml" xref="A4.p2.2.m1.1.1.1"><divide id="A4.p2.2.m1.1.1.1.2.cmml" xref="A4.p2.2.m1.1.1.1.2"></divide><cn id="A4.p2.2.m1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A4.p2.2.m1.1.1.1.3">2</cn><apply id="A4.p2.2.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A4.p2.2.m1.1.1.1.1.1"><plus id="A4.p2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A4.p2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1"></plus><apply id="A4.p2.2.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A4.p2.2.m1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.p2.2.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A4.p2.2.m1.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="A4.p2.2.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A4.p2.2.m1.1.1.1.1.1.1.2.2">ℎ</ci><cn id="A4.p2.2.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="A4.p2.2.m1.1.1.1.1.1.1.2.3">1</cn></apply><apply id="A4.p2.2.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A4.p2.2.m1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.p2.2.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A4.p2.2.m1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A4.p2.2.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A4.p2.2.m1.1.1.1.1.1.1.3.2">ℎ</ci><cn id="A4.p2.2.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="A4.p2.2.m1.1.1.1.1.1.1.3.3">4</cn></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A4.p2.2.m1.1c">c_{h}=2/(h_{1}+h_{4})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A4.p2.2.m1.1d">italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_h end_POSTSUBSCRIPT = 2 / ( italic_h start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT + italic_h start_POSTSUBSCRIPT 4 end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math>. The Hessian of the QTP’s bending energy is</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="A4.E81"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\frac{\partial^{2}\Psi_{b}^{QTP}}{\partial\mathbf{x}^{e}{\partial(\mathbf{x}^{% e})^{T}}}=k_{b}A_{\mathcal{E}}\mathbf{L}_{n}^{T}\mathbf{L}_{n}\otimes\mathbf{I}," class="ltx_Math" display="block" id="A4.E81.m1.2"><semantics id="A4.E81.m1.2a"><mrow id="A4.E81.m1.2.2.1" xref="A4.E81.m1.2.2.1.1.cmml"><mrow id="A4.E81.m1.2.2.1.1" xref="A4.E81.m1.2.2.1.1.cmml"><mfrac id="A4.E81.m1.1.1" xref="A4.E81.m1.1.1.cmml"><mrow id="A4.E81.m1.1.1.3" xref="A4.E81.m1.1.1.3.cmml"><msup id="A4.E81.m1.1.1.3.1" xref="A4.E81.m1.1.1.3.1.cmml"><mo id="A4.E81.m1.1.1.3.1.2" xref="A4.E81.m1.1.1.3.1.2.cmml">∂</mo><mn id="A4.E81.m1.1.1.3.1.3" xref="A4.E81.m1.1.1.3.1.3.cmml">2</mn></msup><msubsup id="A4.E81.m1.1.1.3.2" xref="A4.E81.m1.1.1.3.2.cmml"><mi id="A4.E81.m1.1.1.3.2.2.2" mathvariant="normal" xref="A4.E81.m1.1.1.3.2.2.2.cmml">Ψ</mi><mi id="A4.E81.m1.1.1.3.2.2.3" xref="A4.E81.m1.1.1.3.2.2.3.cmml">b</mi><mrow id="A4.E81.m1.1.1.3.2.3" xref="A4.E81.m1.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="A4.E81.m1.1.1.3.2.3.2" xref="A4.E81.m1.1.1.3.2.3.2.cmml">Q</mi><mo id="A4.E81.m1.1.1.3.2.3.1" xref="A4.E81.m1.1.1.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A4.E81.m1.1.1.3.2.3.3" xref="A4.E81.m1.1.1.3.2.3.3.cmml">T</mi><mo id="A4.E81.m1.1.1.3.2.3.1a" xref="A4.E81.m1.1.1.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A4.E81.m1.1.1.3.2.3.4" xref="A4.E81.m1.1.1.3.2.3.4.cmml">P</mi></mrow></msubsup></mrow><mrow id="A4.E81.m1.1.1.1" xref="A4.E81.m1.1.1.1.cmml"><mo id="A4.E81.m1.1.1.1.2" rspace="0em" xref="A4.E81.m1.1.1.1.2.cmml">∂</mo><mrow id="A4.E81.m1.1.1.1.1" xref="A4.E81.m1.1.1.1.1.cmml"><msup id="A4.E81.m1.1.1.1.1.3" xref="A4.E81.m1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A4.E81.m1.1.1.1.1.3.2" xref="A4.E81.m1.1.1.1.1.3.2.cmml">𝐱</mi><mi id="A4.E81.m1.1.1.1.1.3.3" xref="A4.E81.m1.1.1.1.1.3.3.cmml">e</mi></msup><mo id="A4.E81.m1.1.1.1.1.2" lspace="0em" xref="A4.E81.m1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A4.E81.m1.1.1.1.1.1" xref="A4.E81.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A4.E81.m1.1.1.1.1.1.2" rspace="0em" xref="A4.E81.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">∂</mo><msup id="A4.E81.m1.1.1.1.1.1.1" xref="A4.E81.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A4.E81.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A4.E81.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A4.E81.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A4.E81.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="A4.E81.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A4.E81.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A4.E81.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A4.E81.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">𝐱</mi><mi id="A4.E81.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A4.E81.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">e</mi></msup><mo id="A4.E81.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A4.E81.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mi id="A4.E81.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A4.E81.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">T</mi></msup></mrow></mrow></mrow></mfrac><mo id="A4.E81.m1.2.2.1.1.1" xref="A4.E81.m1.2.2.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="A4.E81.m1.2.2.1.1.2" xref="A4.E81.m1.2.2.1.1.2.cmml"><mrow id="A4.E81.m1.2.2.1.1.2.2" xref="A4.E81.m1.2.2.1.1.2.2.cmml"><msub id="A4.E81.m1.2.2.1.1.2.2.2" xref="A4.E81.m1.2.2.1.1.2.2.2.cmml"><mi id="A4.E81.m1.2.2.1.1.2.2.2.2" xref="A4.E81.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.cmml">k</mi><mi id="A4.E81.m1.2.2.1.1.2.2.2.3" xref="A4.E81.m1.2.2.1.1.2.2.2.3.cmml">b</mi></msub><mo id="A4.E81.m1.2.2.1.1.2.2.1" xref="A4.E81.m1.2.2.1.1.2.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="A4.E81.m1.2.2.1.1.2.2.3" xref="A4.E81.m1.2.2.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="A4.E81.m1.2.2.1.1.2.2.3.2" xref="A4.E81.m1.2.2.1.1.2.2.3.2.cmml">A</mi><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="A4.E81.m1.2.2.1.1.2.2.3.3" xref="A4.E81.m1.2.2.1.1.2.2.3.3.cmml">ℰ</mi></msub><mo id="A4.E81.m1.2.2.1.1.2.2.1a" xref="A4.E81.m1.2.2.1.1.2.2.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="A4.E81.m1.2.2.1.1.2.2.4" xref="A4.E81.m1.2.2.1.1.2.2.4.cmml"><mi id="A4.E81.m1.2.2.1.1.2.2.4.2.2" xref="A4.E81.m1.2.2.1.1.2.2.4.2.2.cmml">𝐋</mi><mi id="A4.E81.m1.2.2.1.1.2.2.4.2.3" xref="A4.E81.m1.2.2.1.1.2.2.4.2.3.cmml">n</mi><mi id="A4.E81.m1.2.2.1.1.2.2.4.3" xref="A4.E81.m1.2.2.1.1.2.2.4.3.cmml">T</mi></msubsup><mo id="A4.E81.m1.2.2.1.1.2.2.1b" xref="A4.E81.m1.2.2.1.1.2.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="A4.E81.m1.2.2.1.1.2.2.5" xref="A4.E81.m1.2.2.1.1.2.2.5.cmml"><mi id="A4.E81.m1.2.2.1.1.2.2.5.2" xref="A4.E81.m1.2.2.1.1.2.2.5.2.cmml">𝐋</mi><mi id="A4.E81.m1.2.2.1.1.2.2.5.3" xref="A4.E81.m1.2.2.1.1.2.2.5.3.cmml">n</mi></msub></mrow><mo id="A4.E81.m1.2.2.1.1.2.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="A4.E81.m1.2.2.1.1.2.1.cmml">⊗</mo><mi id="A4.E81.m1.2.2.1.1.2.3" xref="A4.E81.m1.2.2.1.1.2.3.cmml">𝐈</mi></mrow></mrow><mo id="A4.E81.m1.2.2.1.2" xref="A4.E81.m1.2.2.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A4.E81.m1.2b"><apply id="A4.E81.m1.2.2.1.1.cmml" xref="A4.E81.m1.2.2.1"><eq id="A4.E81.m1.2.2.1.1.1.cmml" xref="A4.E81.m1.2.2.1.1.1"></eq><apply 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id="A4.E81.m1.1.1.3.2.3.cmml" xref="A4.E81.m1.1.1.3.2.3"><times id="A4.E81.m1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="A4.E81.m1.1.1.3.2.3.1"></times><ci id="A4.E81.m1.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="A4.E81.m1.1.1.3.2.3.2">𝑄</ci><ci id="A4.E81.m1.1.1.3.2.3.3.cmml" xref="A4.E81.m1.1.1.3.2.3.3">𝑇</ci><ci id="A4.E81.m1.1.1.3.2.3.4.cmml" xref="A4.E81.m1.1.1.3.2.3.4">𝑃</ci></apply></apply></apply><apply id="A4.E81.m1.1.1.1.cmml" xref="A4.E81.m1.1.1.1"><partialdiff id="A4.E81.m1.1.1.1.2.cmml" xref="A4.E81.m1.1.1.1.2"></partialdiff><apply id="A4.E81.m1.1.1.1.1.cmml" xref="A4.E81.m1.1.1.1.1"><times id="A4.E81.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A4.E81.m1.1.1.1.1.2"></times><apply id="A4.E81.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A4.E81.m1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.E81.m1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A4.E81.m1.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="A4.E81.m1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A4.E81.m1.1.1.1.1.3.2">𝐱</ci><ci id="A4.E81.m1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A4.E81.m1.1.1.1.1.3.3">𝑒</ci></apply><apply id="A4.E81.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A4.E81.m1.1.1.1.1.1"><partialdiff id="A4.E81.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A4.E81.m1.1.1.1.1.1.2"></partialdiff><apply id="A4.E81.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A4.E81.m1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.E81.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A4.E81.m1.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="A4.E81.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A4.E81.m1.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.E81.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A4.E81.m1.1.1.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="A4.E81.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A4.E81.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝐱</ci><ci id="A4.E81.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A4.E81.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑒</ci></apply><ci id="A4.E81.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A4.E81.m1.1.1.1.1.1.1.3">𝑇</ci></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="A4.E81.m1.2.2.1.1.2.cmml" xref="A4.E81.m1.2.2.1.1.2"><csymbol cd="latexml" id="A4.E81.m1.2.2.1.1.2.1.cmml" xref="A4.E81.m1.2.2.1.1.2.1">tensor-product</csymbol><apply id="A4.E81.m1.2.2.1.1.2.2.cmml" xref="A4.E81.m1.2.2.1.1.2.2"><times id="A4.E81.m1.2.2.1.1.2.2.1.cmml" xref="A4.E81.m1.2.2.1.1.2.2.1"></times><apply id="A4.E81.m1.2.2.1.1.2.2.2.cmml" xref="A4.E81.m1.2.2.1.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.E81.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="A4.E81.m1.2.2.1.1.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="A4.E81.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="A4.E81.m1.2.2.1.1.2.2.2.2">𝑘</ci><ci id="A4.E81.m1.2.2.1.1.2.2.2.3.cmml" xref="A4.E81.m1.2.2.1.1.2.2.2.3">𝑏</ci></apply><apply id="A4.E81.m1.2.2.1.1.2.2.3.cmml" xref="A4.E81.m1.2.2.1.1.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.E81.m1.2.2.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="A4.E81.m1.2.2.1.1.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="A4.E81.m1.2.2.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="A4.E81.m1.2.2.1.1.2.2.3.2">𝐴</ci><ci id="A4.E81.m1.2.2.1.1.2.2.3.3.cmml" xref="A4.E81.m1.2.2.1.1.2.2.3.3">ℰ</ci></apply><apply id="A4.E81.m1.2.2.1.1.2.2.4.cmml" xref="A4.E81.m1.2.2.1.1.2.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.E81.m1.2.2.1.1.2.2.4.1.cmml" xref="A4.E81.m1.2.2.1.1.2.2.4">superscript</csymbol><apply id="A4.E81.m1.2.2.1.1.2.2.4.2.cmml" xref="A4.E81.m1.2.2.1.1.2.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.E81.m1.2.2.1.1.2.2.4.2.1.cmml" xref="A4.E81.m1.2.2.1.1.2.2.4">subscript</csymbol><ci id="A4.E81.m1.2.2.1.1.2.2.4.2.2.cmml" xref="A4.E81.m1.2.2.1.1.2.2.4.2.2">𝐋</ci><ci id="A4.E81.m1.2.2.1.1.2.2.4.2.3.cmml" xref="A4.E81.m1.2.2.1.1.2.2.4.2.3">𝑛</ci></apply><ci id="A4.E81.m1.2.2.1.1.2.2.4.3.cmml" xref="A4.E81.m1.2.2.1.1.2.2.4.3">𝑇</ci></apply><apply id="A4.E81.m1.2.2.1.1.2.2.5.cmml" xref="A4.E81.m1.2.2.1.1.2.2.5"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.E81.m1.2.2.1.1.2.2.5.1.cmml" xref="A4.E81.m1.2.2.1.1.2.2.5">subscript</csymbol><ci id="A4.E81.m1.2.2.1.1.2.2.5.2.cmml" xref="A4.E81.m1.2.2.1.1.2.2.5.2">𝐋</ci><ci id="A4.E81.m1.2.2.1.1.2.2.5.3.cmml" xref="A4.E81.m1.2.2.1.1.2.2.5.3">𝑛</ci></apply></apply><ci id="A4.E81.m1.2.2.1.1.2.3.cmml" xref="A4.E81.m1.2.2.1.1.2.3">𝐈</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A4.E81.m1.2c">\frac{\partial^{2}\Psi_{b}^{QTP}}{\partial\mathbf{x}^{e}{\partial(\mathbf{x}^{% e})^{T}}}=k_{b}A_{\mathcal{E}}\mathbf{L}_{n}^{T}\mathbf{L}_{n}\otimes\mathbf{I},</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A4.E81.m1.2d">divide start_ARG ∂ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT roman_Ψ start_POSTSUBSCRIPT italic_b end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_Q italic_T italic_P end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG ∂ bold_x start_POSTSUPERSCRIPT italic_e end_POSTSUPERSCRIPT ∂ ( bold_x start_POSTSUPERSCRIPT italic_e end_POSTSUPERSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG = italic_k start_POSTSUBSCRIPT italic_b end_POSTSUBSCRIPT italic_A start_POSTSUBSCRIPT caligraphic_E end_POSTSUBSCRIPT bold_L start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT bold_L start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT ⊗ bold_I ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(81)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="A4.p2.4">and the gradient of the QTP’s bending energy is</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="A4.E82"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\frac{\partial\Psi_{b}^{QTP}}{\partial\mathbf{x}^{e}}=(\frac{\partial^{2}\Psi_% {b}^{QTP}}{\partial\mathbf{x}^{e}{\partial(\mathbf{x}^{e})^{T}}})\mathbf{x}^{e}." class="ltx_Math" display="block" id="A4.E82.m1.2"><semantics id="A4.E82.m1.2a"><mrow id="A4.E82.m1.2.2.1" xref="A4.E82.m1.2.2.1.1.cmml"><mrow id="A4.E82.m1.2.2.1.1" xref="A4.E82.m1.2.2.1.1.cmml"><mfrac id="A4.E82.m1.2.2.1.1.2" xref="A4.E82.m1.2.2.1.1.2.cmml"><mrow id="A4.E82.m1.2.2.1.1.2.2" xref="A4.E82.m1.2.2.1.1.2.2.cmml"><mo id="A4.E82.m1.2.2.1.1.2.2.1" rspace="0em" xref="A4.E82.m1.2.2.1.1.2.2.1.cmml">∂</mo><msubsup id="A4.E82.m1.2.2.1.1.2.2.2" xref="A4.E82.m1.2.2.1.1.2.2.2.cmml"><mi id="A4.E82.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2" mathvariant="normal" xref="A4.E82.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.cmml">Ψ</mi><mi id="A4.E82.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.3" xref="A4.E82.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.3.cmml">b</mi><mrow id="A4.E82.m1.2.2.1.1.2.2.2.3" xref="A4.E82.m1.2.2.1.1.2.2.2.3.cmml"><mi id="A4.E82.m1.2.2.1.1.2.2.2.3.2" xref="A4.E82.m1.2.2.1.1.2.2.2.3.2.cmml">Q</mi><mo id="A4.E82.m1.2.2.1.1.2.2.2.3.1" xref="A4.E82.m1.2.2.1.1.2.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A4.E82.m1.2.2.1.1.2.2.2.3.3" xref="A4.E82.m1.2.2.1.1.2.2.2.3.3.cmml">T</mi><mo id="A4.E82.m1.2.2.1.1.2.2.2.3.1a" xref="A4.E82.m1.2.2.1.1.2.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A4.E82.m1.2.2.1.1.2.2.2.3.4" xref="A4.E82.m1.2.2.1.1.2.2.2.3.4.cmml">P</mi></mrow></msubsup></mrow><mrow id="A4.E82.m1.2.2.1.1.2.3" xref="A4.E82.m1.2.2.1.1.2.3.cmml"><mo id="A4.E82.m1.2.2.1.1.2.3.1" rspace="0em" xref="A4.E82.m1.2.2.1.1.2.3.1.cmml">∂</mo><msup id="A4.E82.m1.2.2.1.1.2.3.2" xref="A4.E82.m1.2.2.1.1.2.3.2.cmml"><mi id="A4.E82.m1.2.2.1.1.2.3.2.2" xref="A4.E82.m1.2.2.1.1.2.3.2.2.cmml">𝐱</mi><mi id="A4.E82.m1.2.2.1.1.2.3.2.3" xref="A4.E82.m1.2.2.1.1.2.3.2.3.cmml">e</mi></msup></mrow></mfrac><mo id="A4.E82.m1.2.2.1.1.1" xref="A4.E82.m1.2.2.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="A4.E82.m1.2.2.1.1.3" xref="A4.E82.m1.2.2.1.1.3.cmml"><mrow id="A4.E82.m1.2.2.1.1.3.2.2" xref="A4.E82.m1.1.1.cmml"><mo id="A4.E82.m1.2.2.1.1.3.2.2.1" stretchy="false" xref="A4.E82.m1.1.1.cmml">(</mo><mfrac id="A4.E82.m1.1.1" xref="A4.E82.m1.1.1.cmml"><mrow id="A4.E82.m1.1.1.3" xref="A4.E82.m1.1.1.3.cmml"><msup id="A4.E82.m1.1.1.3.1" xref="A4.E82.m1.1.1.3.1.cmml"><mo id="A4.E82.m1.1.1.3.1.2" xref="A4.E82.m1.1.1.3.1.2.cmml">∂</mo><mn id="A4.E82.m1.1.1.3.1.3" xref="A4.E82.m1.1.1.3.1.3.cmml">2</mn></msup><msubsup id="A4.E82.m1.1.1.3.2" xref="A4.E82.m1.1.1.3.2.cmml"><mi id="A4.E82.m1.1.1.3.2.2.2" mathvariant="normal" xref="A4.E82.m1.1.1.3.2.2.2.cmml">Ψ</mi><mi id="A4.E82.m1.1.1.3.2.2.3" xref="A4.E82.m1.1.1.3.2.2.3.cmml">b</mi><mrow id="A4.E82.m1.1.1.3.2.3" xref="A4.E82.m1.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="A4.E82.m1.1.1.3.2.3.2" xref="A4.E82.m1.1.1.3.2.3.2.cmml">Q</mi><mo id="A4.E82.m1.1.1.3.2.3.1" xref="A4.E82.m1.1.1.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A4.E82.m1.1.1.3.2.3.3" xref="A4.E82.m1.1.1.3.2.3.3.cmml">T</mi><mo id="A4.E82.m1.1.1.3.2.3.1a" xref="A4.E82.m1.1.1.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A4.E82.m1.1.1.3.2.3.4" xref="A4.E82.m1.1.1.3.2.3.4.cmml">P</mi></mrow></msubsup></mrow><mrow id="A4.E82.m1.1.1.1" xref="A4.E82.m1.1.1.1.cmml"><mo id="A4.E82.m1.1.1.1.2" rspace="0em" xref="A4.E82.m1.1.1.1.2.cmml">∂</mo><mrow id="A4.E82.m1.1.1.1.1" xref="A4.E82.m1.1.1.1.1.cmml"><msup id="A4.E82.m1.1.1.1.1.3" xref="A4.E82.m1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A4.E82.m1.1.1.1.1.3.2" xref="A4.E82.m1.1.1.1.1.3.2.cmml">𝐱</mi><mi id="A4.E82.m1.1.1.1.1.3.3" xref="A4.E82.m1.1.1.1.1.3.3.cmml">e</mi></msup><mo 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cd="ambiguous" id="A4.E82.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="A4.E82.m1.2.2.1.1.2.2.2">superscript</csymbol><apply id="A4.E82.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="A4.E82.m1.2.2.1.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.E82.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.1.cmml" xref="A4.E82.m1.2.2.1.1.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="A4.E82.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.cmml" xref="A4.E82.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2">Ψ</ci><ci id="A4.E82.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.3.cmml" xref="A4.E82.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.3">𝑏</ci></apply><apply id="A4.E82.m1.2.2.1.1.2.2.2.3.cmml" xref="A4.E82.m1.2.2.1.1.2.2.2.3"><times id="A4.E82.m1.2.2.1.1.2.2.2.3.1.cmml" xref="A4.E82.m1.2.2.1.1.2.2.2.3.1"></times><ci id="A4.E82.m1.2.2.1.1.2.2.2.3.2.cmml" xref="A4.E82.m1.2.2.1.1.2.2.2.3.2">𝑄</ci><ci id="A4.E82.m1.2.2.1.1.2.2.2.3.3.cmml" xref="A4.E82.m1.2.2.1.1.2.2.2.3.3">𝑇</ci><ci id="A4.E82.m1.2.2.1.1.2.2.2.3.4.cmml" xref="A4.E82.m1.2.2.1.1.2.2.2.3.4">𝑃</ci></apply></apply></apply><apply id="A4.E82.m1.2.2.1.1.2.3.cmml" xref="A4.E82.m1.2.2.1.1.2.3"><partialdiff 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cd="ambiguous" id="A4.E82.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A4.E82.m1.1.1.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="A4.E82.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A4.E82.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝐱</ci><ci id="A4.E82.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A4.E82.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑒</ci></apply><ci id="A4.E82.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A4.E82.m1.1.1.1.1.1.1.3">𝑇</ci></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="A4.E82.m1.2.2.1.1.3.3.cmml" xref="A4.E82.m1.2.2.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.E82.m1.2.2.1.1.3.3.1.cmml" xref="A4.E82.m1.2.2.1.1.3.3">superscript</csymbol><ci id="A4.E82.m1.2.2.1.1.3.3.2.cmml" xref="A4.E82.m1.2.2.1.1.3.3.2">𝐱</ci><ci id="A4.E82.m1.2.2.1.1.3.3.3.cmml" xref="A4.E82.m1.2.2.1.1.3.3.3">𝑒</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A4.E82.m1.2c">\frac{\partial\Psi_{b}^{QTP}}{\partial\mathbf{x}^{e}}=(\frac{\partial^{2}\Psi_% {b}^{QTP}}{\partial\mathbf{x}^{e}{\partial(\mathbf{x}^{e})^{T}}})\mathbf{x}^{e}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A4.E82.m1.2d">divide start_ARG ∂ roman_Ψ start_POSTSUBSCRIPT italic_b end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_Q italic_T italic_P end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG ∂ bold_x start_POSTSUPERSCRIPT italic_e end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG = ( divide start_ARG ∂ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT roman_Ψ start_POSTSUBSCRIPT italic_b end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_Q italic_T italic_P end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG ∂ bold_x start_POSTSUPERSCRIPT italic_e end_POSTSUPERSCRIPT ∂ ( bold_x start_POSTSUPERSCRIPT italic_e end_POSTSUPERSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG ) bold_x start_POSTSUPERSCRIPT italic_e end_POSTSUPERSCRIPT .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(82)</span></td> </tr></tbody> </table> </div> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="A4.p3"> <p class="ltx_p" id="A4.p3.2"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="A4.p3.2.1">Quadratic Thin Shell (QTS).</span> The curvature operator in Eq. (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2502.10872v4#A4.E79" title="In Appendix D Quadratic Thin Plate/Shell and Accuracy Discrepancy ‣ Corotational Hinge-based Thin Plates/Shells"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">79</span></a>) can also be extended to the bending energy of our ES model. The bending energy of QTS is</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="A4.E83"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\Psi_{b}^{QTS}=\frac{1}{2}A_{\mathcal{E}}k_{b}\epsilon_{b}^{2}," class="ltx_Math" display="block" id="A4.E83.m1.1"><semantics id="A4.E83.m1.1a"><mrow id="A4.E83.m1.1.1.1" xref="A4.E83.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A4.E83.m1.1.1.1.1" xref="A4.E83.m1.1.1.1.1.cmml"><msubsup id="A4.E83.m1.1.1.1.1.2" xref="A4.E83.m1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="A4.E83.m1.1.1.1.1.2.2.2" mathvariant="normal" xref="A4.E83.m1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">Ψ</mi><mi id="A4.E83.m1.1.1.1.1.2.2.3" xref="A4.E83.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">b</mi><mrow id="A4.E83.m1.1.1.1.1.2.3" xref="A4.E83.m1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="A4.E83.m1.1.1.1.1.2.3.2" xref="A4.E83.m1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">Q</mi><mo id="A4.E83.m1.1.1.1.1.2.3.1" xref="A4.E83.m1.1.1.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi 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id="A4.E83.m1.1.1.1.1.3.4" xref="A4.E83.m1.1.1.1.1.3.4.cmml"><mi id="A4.E83.m1.1.1.1.1.3.4.2" xref="A4.E83.m1.1.1.1.1.3.4.2.cmml">k</mi><mi id="A4.E83.m1.1.1.1.1.3.4.3" xref="A4.E83.m1.1.1.1.1.3.4.3.cmml">b</mi></msub><mo id="A4.E83.m1.1.1.1.1.3.1b" xref="A4.E83.m1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="A4.E83.m1.1.1.1.1.3.5" xref="A4.E83.m1.1.1.1.1.3.5.cmml"><mi id="A4.E83.m1.1.1.1.1.3.5.2.2" xref="A4.E83.m1.1.1.1.1.3.5.2.2.cmml">ϵ</mi><mi id="A4.E83.m1.1.1.1.1.3.5.2.3" xref="A4.E83.m1.1.1.1.1.3.5.2.3.cmml">b</mi><mn id="A4.E83.m1.1.1.1.1.3.5.3" xref="A4.E83.m1.1.1.1.1.3.5.3.cmml">2</mn></msubsup></mrow></mrow><mo id="A4.E83.m1.1.1.1.2" xref="A4.E83.m1.1.1.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A4.E83.m1.1b"><apply id="A4.E83.m1.1.1.1.1.cmml" xref="A4.E83.m1.1.1.1"><eq id="A4.E83.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A4.E83.m1.1.1.1.1.1"></eq><apply id="A4.E83.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A4.E83.m1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.E83.m1.1.1.1.1.2.1.cmml" 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cd="ambiguous" id="A4.E83.m1.1.1.1.1.3.5.1.cmml" xref="A4.E83.m1.1.1.1.1.3.5">superscript</csymbol><apply id="A4.E83.m1.1.1.1.1.3.5.2.cmml" xref="A4.E83.m1.1.1.1.1.3.5"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.E83.m1.1.1.1.1.3.5.2.1.cmml" xref="A4.E83.m1.1.1.1.1.3.5">subscript</csymbol><ci id="A4.E83.m1.1.1.1.1.3.5.2.2.cmml" xref="A4.E83.m1.1.1.1.1.3.5.2.2">italic-ϵ</ci><ci id="A4.E83.m1.1.1.1.1.3.5.2.3.cmml" xref="A4.E83.m1.1.1.1.1.3.5.2.3">𝑏</ci></apply><cn id="A4.E83.m1.1.1.1.1.3.5.3.cmml" type="integer" xref="A4.E83.m1.1.1.1.1.3.5.3">2</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A4.E83.m1.1c">\Psi_{b}^{QTS}=\frac{1}{2}A_{\mathcal{E}}k_{b}\epsilon_{b}^{2},</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A4.E83.m1.1d">roman_Ψ start_POSTSUBSCRIPT italic_b end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_Q italic_T italic_S end_POSTSUPERSCRIPT = divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 end_ARG italic_A start_POSTSUBSCRIPT caligraphic_E end_POSTSUBSCRIPT italic_k start_POSTSUBSCRIPT italic_b end_POSTSUBSCRIPT italic_ϵ start_POSTSUBSCRIPT italic_b end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(83)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="A4.p3.1">where the curvature change <math alttext="\epsilon_{b}" class="ltx_Math" display="inline" id="A4.p3.1.m1.1"><semantics id="A4.p3.1.m1.1a"><msub id="A4.p3.1.m1.1.1" xref="A4.p3.1.m1.1.1.cmml"><mi id="A4.p3.1.m1.1.1.2" xref="A4.p3.1.m1.1.1.2.cmml">ϵ</mi><mi id="A4.p3.1.m1.1.1.3" xref="A4.p3.1.m1.1.1.3.cmml">b</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A4.p3.1.m1.1b"><apply id="A4.p3.1.m1.1.1.cmml" xref="A4.p3.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.p3.1.m1.1.1.1.cmml" 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id="A4.E84.m1.1d">italic_ϵ start_POSTSUBSCRIPT italic_b end_POSTSUBSCRIPT = italic_κ start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT - ( italic_κ start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT ) start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT = bold_L start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT bold_N start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT bold_x start_POSTSUPERSCRIPT italic_e end_POSTSUPERSCRIPT - bold_L start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT bold_N start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT bold_X start_POSTSUPERSCRIPT italic_e end_POSTSUPERSCRIPT .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(84)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="A4.p3.3">The gradient of the QTS’s bending energy is</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="A4.E85"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\frac{\partial\Psi_{b}^{ES}}{\partial\mathbf{x}^{e}}={A_{\mathcal{E}}}k_{b}% \frac{\partial\epsilon_{b}}{\partial\mathbf{x}^{e}}\epsilon_{b}," class="ltx_Math" display="block" id="A4.E85.m1.1"><semantics id="A4.E85.m1.1a"><mrow id="A4.E85.m1.1.1.1" xref="A4.E85.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A4.E85.m1.1.1.1.1" xref="A4.E85.m1.1.1.1.1.cmml"><mfrac id="A4.E85.m1.1.1.1.1.2" xref="A4.E85.m1.1.1.1.1.2.cmml"><mrow id="A4.E85.m1.1.1.1.1.2.2" xref="A4.E85.m1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mo id="A4.E85.m1.1.1.1.1.2.2.1" rspace="0em" xref="A4.E85.m1.1.1.1.1.2.2.1.cmml">∂</mo><msubsup id="A4.E85.m1.1.1.1.1.2.2.2" xref="A4.E85.m1.1.1.1.1.2.2.2.cmml"><mi id="A4.E85.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2" mathvariant="normal" xref="A4.E85.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml">Ψ</mi><mi id="A4.E85.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3" 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id="A4.E85.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.1.cmml" xref="A4.E85.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.1"></times><ci id="A4.E85.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.2.cmml" xref="A4.E85.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.2">𝐸</ci><ci id="A4.E85.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.3.cmml" xref="A4.E85.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.3">𝑆</ci></apply></apply></apply><apply id="A4.E85.m1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="A4.E85.m1.1.1.1.1.2.3"><partialdiff id="A4.E85.m1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="A4.E85.m1.1.1.1.1.2.3.1"></partialdiff><apply id="A4.E85.m1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="A4.E85.m1.1.1.1.1.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.E85.m1.1.1.1.1.2.3.2.1.cmml" xref="A4.E85.m1.1.1.1.1.2.3.2">superscript</csymbol><ci id="A4.E85.m1.1.1.1.1.2.3.2.2.cmml" xref="A4.E85.m1.1.1.1.1.2.3.2.2">𝐱</ci><ci id="A4.E85.m1.1.1.1.1.2.3.2.3.cmml" xref="A4.E85.m1.1.1.1.1.2.3.2.3">𝑒</ci></apply></apply></apply><apply id="A4.E85.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A4.E85.m1.1.1.1.1.3"><times id="A4.E85.m1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A4.E85.m1.1.1.1.1.3.1"></times><apply id="A4.E85.m1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A4.E85.m1.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.E85.m1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="A4.E85.m1.1.1.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="A4.E85.m1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="A4.E85.m1.1.1.1.1.3.2.2">𝐴</ci><ci id="A4.E85.m1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="A4.E85.m1.1.1.1.1.3.2.3">ℰ</ci></apply><apply id="A4.E85.m1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A4.E85.m1.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.E85.m1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="A4.E85.m1.1.1.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="A4.E85.m1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="A4.E85.m1.1.1.1.1.3.3.2">𝑘</ci><ci id="A4.E85.m1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="A4.E85.m1.1.1.1.1.3.3.3">𝑏</ci></apply><apply id="A4.E85.m1.1.1.1.1.3.4.cmml" xref="A4.E85.m1.1.1.1.1.3.4"><divide id="A4.E85.m1.1.1.1.1.3.4.1.cmml" xref="A4.E85.m1.1.1.1.1.3.4"></divide><apply id="A4.E85.m1.1.1.1.1.3.4.2.cmml" xref="A4.E85.m1.1.1.1.1.3.4.2"><partialdiff id="A4.E85.m1.1.1.1.1.3.4.2.1.cmml" xref="A4.E85.m1.1.1.1.1.3.4.2.1"></partialdiff><apply id="A4.E85.m1.1.1.1.1.3.4.2.2.cmml" 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start_POSTSUPERSCRIPT italic_e end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG italic_ϵ start_POSTSUBSCRIPT italic_b end_POSTSUBSCRIPT ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(85)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="A4.p3.4">where the gradient of the curvature change can be generalized from Eq. (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2502.10872v4#S4.E26" title="In 4.3 Corotational edge-based hinge bending model ‣ 4 Geometric Discretization ‣ Corotational Hinge-based Thin Plates/Shells"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">26</span></a>), i.e.,</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="A4.E86"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\frac{\partial\epsilon_{b}}{\partial\mathbf{x}^{e}}=({\mathbf{x}}^{e})^{T}% \frac{\partial\mathbf{N}}{\partial\mathbf{x}^{e}}\mathbf{L}_{n}^{T}+\mathbf{N}% \mathbf{L}_{n}^{T}." class="ltx_Math" display="block" id="A4.E86.m1.1"><semantics id="A4.E86.m1.1a"><mrow id="A4.E86.m1.1.1.1" xref="A4.E86.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A4.E86.m1.1.1.1.1" xref="A4.E86.m1.1.1.1.1.cmml"><mfrac id="A4.E86.m1.1.1.1.1.3" xref="A4.E86.m1.1.1.1.1.3.cmml"><mrow id="A4.E86.m1.1.1.1.1.3.2" 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end_POSTSUPERSCRIPT + bold_NL start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(86)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="A4.p3.5">The Hessian of QTS’ bending energy is the same as the Hessian of QTP’. QTP/QTS can be seen as a variation of our EP/ES that quantifies the curvature operator in the world frame.</p> </div> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="A4.p4"> <p class="ltx_p" id="A4.p4.1"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="A4.p4.1.1">Accuracy Discrepancy.</span> In comparison, the Quadratic Shell model <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2502.10872v4#bib.bibx8" title="">BWH<sup class="ltx_sup"><span class="ltx_text ltx_font_italic">∗</span></sup>06b</a>]</cite> is the linearized version of the Discrete Shell model <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2502.10872v4#bib.bibx20" title="">GHDS03</a>]</cite> of which detailed numerical formulations and isotropic bending rigidity can be found in <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2502.10872v4#bib.bibx40" title="">TG13</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2502.10872v4#bib.bibx39" title="">Tam13</a>]</cite>. By expressing the discretized bending energy in Eq. (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2502.10872v4#A4.E79" title="In Appendix D Quadratic Thin Plate/Shell and Accuracy Discrepancy ‣ Corotational Hinge-based Thin Plates/Shells"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">79</span></a>) using the terminologies from the Quadratic Shell paper <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2502.10872v4#bib.bibx8" title="">BWH<sup class="ltx_sup"><span class="ltx_text ltx_font_italic">∗</span></sup>06b</a>]</cite>, we can conclude that the bending energy of our EP/QTP model is three times less than the bending energy of Quadratic Shell. The Cubic Shell model <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2502.10872v4#bib.bibx19" title="">GGWZ07</a>]</cite> builds on a foundation laid out from Quadratic Shell <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2502.10872v4#bib.bibx8" title="">BWH<sup class="ltx_sup"><span class="ltx_text ltx_font_italic">∗</span></sup>06b</a>]</cite>, so the accuracy discrepancy holds. Also, the Quadratic Shell can be seen as a rest-flat version of the Cubic Shell.</p> </div> <div class="ltx_para" id="A4.p5"> <p class="ltx_p" id="A4.p5.8">To account for the accuracy discrepancy of our edge-stenciled models (EP/QTP/ES/QTS) with Quadratic/Cubic Shells <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2502.10872v4#bib.bibx8" title="">BWH<sup class="ltx_sup"><span class="ltx_text ltx_font_italic">∗</span></sup>06b</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2502.10872v4#bib.bibx19" title="">GGWZ07</a>]</cite>, we example the bending energy of thin plate model we computed from Eq. (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2502.10872v4#S4.E16" title="In 4.3 Corotational edge-based hinge bending model ‣ 4 Geometric Discretization ‣ Corotational Hinge-based Thin Plates/Shells"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">16</span></a>), i.e.,</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="A4.E87"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\Psi_{b}=\frac{1}{2}A_{\mathcal{E}}k_{b}\kappa_{{m}}^{2}." class="ltx_Math" display="block" id="A4.E87.m1.1"><semantics id="A4.E87.m1.1a"><mrow id="A4.E87.m1.1.1.1" xref="A4.E87.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A4.E87.m1.1.1.1.1" xref="A4.E87.m1.1.1.1.1.cmml"><msub id="A4.E87.m1.1.1.1.1.2" xref="A4.E87.m1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="A4.E87.m1.1.1.1.1.2.2" mathvariant="normal" xref="A4.E87.m1.1.1.1.1.2.2.cmml">Ψ</mi><mi id="A4.E87.m1.1.1.1.1.2.3" xref="A4.E87.m1.1.1.1.1.2.3.cmml">b</mi></msub><mo id="A4.E87.m1.1.1.1.1.1" xref="A4.E87.m1.1.1.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="A4.E87.m1.1.1.1.1.3" xref="A4.E87.m1.1.1.1.1.3.cmml"><mfrac id="A4.E87.m1.1.1.1.1.3.2" xref="A4.E87.m1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mn id="A4.E87.m1.1.1.1.1.3.2.2" xref="A4.E87.m1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">1</mn><mn id="A4.E87.m1.1.1.1.1.3.2.3" xref="A4.E87.m1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">2</mn></mfrac><mo id="A4.E87.m1.1.1.1.1.3.1" xref="A4.E87.m1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="A4.E87.m1.1.1.1.1.3.3" xref="A4.E87.m1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="A4.E87.m1.1.1.1.1.3.3.2" xref="A4.E87.m1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">A</mi><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="A4.E87.m1.1.1.1.1.3.3.3" xref="A4.E87.m1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">ℰ</mi></msub><mo id="A4.E87.m1.1.1.1.1.3.1a" xref="A4.E87.m1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="A4.E87.m1.1.1.1.1.3.4" xref="A4.E87.m1.1.1.1.1.3.4.cmml"><mi id="A4.E87.m1.1.1.1.1.3.4.2" xref="A4.E87.m1.1.1.1.1.3.4.2.cmml">k</mi><mi id="A4.E87.m1.1.1.1.1.3.4.3" xref="A4.E87.m1.1.1.1.1.3.4.3.cmml">b</mi></msub><mo id="A4.E87.m1.1.1.1.1.3.1b" xref="A4.E87.m1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="A4.E87.m1.1.1.1.1.3.5" xref="A4.E87.m1.1.1.1.1.3.5.cmml"><mi id="A4.E87.m1.1.1.1.1.3.5.2.2" xref="A4.E87.m1.1.1.1.1.3.5.2.2.cmml">κ</mi><mi id="A4.E87.m1.1.1.1.1.3.5.2.3" xref="A4.E87.m1.1.1.1.1.3.5.2.3.cmml">m</mi><mn id="A4.E87.m1.1.1.1.1.3.5.3" xref="A4.E87.m1.1.1.1.1.3.5.3.cmml">2</mn></msubsup></mrow></mrow><mo id="A4.E87.m1.1.1.1.2" lspace="0em" xref="A4.E87.m1.1.1.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A4.E87.m1.1b"><apply id="A4.E87.m1.1.1.1.1.cmml" xref="A4.E87.m1.1.1.1"><eq id="A4.E87.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A4.E87.m1.1.1.1.1.1"></eq><apply id="A4.E87.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A4.E87.m1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.E87.m1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A4.E87.m1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="A4.E87.m1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A4.E87.m1.1.1.1.1.2.2">Ψ</ci><ci id="A4.E87.m1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="A4.E87.m1.1.1.1.1.2.3">𝑏</ci></apply><apply id="A4.E87.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A4.E87.m1.1.1.1.1.3"><times id="A4.E87.m1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A4.E87.m1.1.1.1.1.3.1"></times><apply id="A4.E87.m1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A4.E87.m1.1.1.1.1.3.2"><divide id="A4.E87.m1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="A4.E87.m1.1.1.1.1.3.2"></divide><cn id="A4.E87.m1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" type="integer" xref="A4.E87.m1.1.1.1.1.3.2.2">1</cn><cn id="A4.E87.m1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" type="integer" xref="A4.E87.m1.1.1.1.1.3.2.3">2</cn></apply><apply id="A4.E87.m1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A4.E87.m1.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.E87.m1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="A4.E87.m1.1.1.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="A4.E87.m1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="A4.E87.m1.1.1.1.1.3.3.2">𝐴</ci><ci id="A4.E87.m1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="A4.E87.m1.1.1.1.1.3.3.3">ℰ</ci></apply><apply id="A4.E87.m1.1.1.1.1.3.4.cmml" xref="A4.E87.m1.1.1.1.1.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.E87.m1.1.1.1.1.3.4.1.cmml" xref="A4.E87.m1.1.1.1.1.3.4">subscript</csymbol><ci id="A4.E87.m1.1.1.1.1.3.4.2.cmml" xref="A4.E87.m1.1.1.1.1.3.4.2">𝑘</ci><ci id="A4.E87.m1.1.1.1.1.3.4.3.cmml" xref="A4.E87.m1.1.1.1.1.3.4.3">𝑏</ci></apply><apply id="A4.E87.m1.1.1.1.1.3.5.cmml" xref="A4.E87.m1.1.1.1.1.3.5"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.E87.m1.1.1.1.1.3.5.1.cmml" xref="A4.E87.m1.1.1.1.1.3.5">superscript</csymbol><apply id="A4.E87.m1.1.1.1.1.3.5.2.cmml" xref="A4.E87.m1.1.1.1.1.3.5"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.E87.m1.1.1.1.1.3.5.2.1.cmml" xref="A4.E87.m1.1.1.1.1.3.5">subscript</csymbol><ci id="A4.E87.m1.1.1.1.1.3.5.2.2.cmml" xref="A4.E87.m1.1.1.1.1.3.5.2.2">𝜅</ci><ci id="A4.E87.m1.1.1.1.1.3.5.2.3.cmml" xref="A4.E87.m1.1.1.1.1.3.5.2.3">𝑚</ci></apply><cn id="A4.E87.m1.1.1.1.1.3.5.3.cmml" type="integer" xref="A4.E87.m1.1.1.1.1.3.5.3">2</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A4.E87.m1.1c">\Psi_{b}=\frac{1}{2}A_{\mathcal{E}}k_{b}\kappa_{{m}}^{2}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A4.E87.m1.1d">roman_Ψ start_POSTSUBSCRIPT italic_b end_POSTSUBSCRIPT = divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 end_ARG italic_A start_POSTSUBSCRIPT caligraphic_E end_POSTSUBSCRIPT italic_k start_POSTSUBSCRIPT italic_b end_POSTSUBSCRIPT italic_κ start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(87)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="A4.p5.1">Under the small strain/curvature assumption, the directional curvature <math alttext="\kappa_{{m}}" class="ltx_Math" display="inline" id="A4.p5.1.m1.1"><semantics id="A4.p5.1.m1.1a"><msub id="A4.p5.1.m1.1.1" xref="A4.p5.1.m1.1.1.cmml"><mi id="A4.p5.1.m1.1.1.2" xref="A4.p5.1.m1.1.1.2.cmml">κ</mi><mi id="A4.p5.1.m1.1.1.3" xref="A4.p5.1.m1.1.1.3.cmml">m</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A4.p5.1.m1.1b"><apply id="A4.p5.1.m1.1.1.cmml" xref="A4.p5.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.p5.1.m1.1.1.1.cmml" xref="A4.p5.1.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="A4.p5.1.m1.1.1.2.cmml" xref="A4.p5.1.m1.1.1.2">𝜅</ci><ci id="A4.p5.1.m1.1.1.3.cmml" xref="A4.p5.1.m1.1.1.3">𝑚</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A4.p5.1.m1.1c">\kappa_{{m}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A4.p5.1.m1.1d">italic_κ start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> in Eq. (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2502.10872v4#S4.E4" title="In 4.3 Corotational edge-based hinge bending model ‣ 4 Geometric Discretization ‣ Corotational Hinge-based Thin Plates/Shells"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">4</span></a>) is</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="A4.E88"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\kappa_{{m}}=\frac{2\theta}{h_{1}+h_{4}}=\frac{\theta}{A_{1}+A_{4}}," class="ltx_Math" display="block" id="A4.E88.m1.1"><semantics id="A4.E88.m1.1a"><mrow id="A4.E88.m1.1.1.1" xref="A4.E88.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A4.E88.m1.1.1.1.1" xref="A4.E88.m1.1.1.1.1.cmml"><msub id="A4.E88.m1.1.1.1.1.2" xref="A4.E88.m1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="A4.E88.m1.1.1.1.1.2.2" xref="A4.E88.m1.1.1.1.1.2.2.cmml">κ</mi><mi id="A4.E88.m1.1.1.1.1.2.3" xref="A4.E88.m1.1.1.1.1.2.3.cmml">m</mi></msub><mo id="A4.E88.m1.1.1.1.1.3" xref="A4.E88.m1.1.1.1.1.3.cmml">=</mo><mfrac id="A4.E88.m1.1.1.1.1.4" xref="A4.E88.m1.1.1.1.1.4.cmml"><mrow id="A4.E88.m1.1.1.1.1.4.2" xref="A4.E88.m1.1.1.1.1.4.2.cmml"><mn id="A4.E88.m1.1.1.1.1.4.2.2" xref="A4.E88.m1.1.1.1.1.4.2.2.cmml">2</mn><mo id="A4.E88.m1.1.1.1.1.4.2.1" xref="A4.E88.m1.1.1.1.1.4.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="A4.E88.m1.1.1.1.1.4.2.3" xref="A4.E88.m1.1.1.1.1.4.2.3.cmml">θ</mi></mrow><mrow id="A4.E88.m1.1.1.1.1.4.3" xref="A4.E88.m1.1.1.1.1.4.3.cmml"><msub id="A4.E88.m1.1.1.1.1.4.3.2" xref="A4.E88.m1.1.1.1.1.4.3.2.cmml"><mi id="A4.E88.m1.1.1.1.1.4.3.2.2" xref="A4.E88.m1.1.1.1.1.4.3.2.2.cmml">h</mi><mn id="A4.E88.m1.1.1.1.1.4.3.2.3" xref="A4.E88.m1.1.1.1.1.4.3.2.3.cmml">1</mn></msub><mo id="A4.E88.m1.1.1.1.1.4.3.1" xref="A4.E88.m1.1.1.1.1.4.3.1.cmml">+</mo><msub id="A4.E88.m1.1.1.1.1.4.3.3" xref="A4.E88.m1.1.1.1.1.4.3.3.cmml"><mi id="A4.E88.m1.1.1.1.1.4.3.3.2" xref="A4.E88.m1.1.1.1.1.4.3.3.2.cmml">h</mi><mn id="A4.E88.m1.1.1.1.1.4.3.3.3" xref="A4.E88.m1.1.1.1.1.4.3.3.3.cmml">4</mn></msub></mrow></mfrac><mo id="A4.E88.m1.1.1.1.1.5" xref="A4.E88.m1.1.1.1.1.5.cmml">=</mo><mfrac id="A4.E88.m1.1.1.1.1.6" xref="A4.E88.m1.1.1.1.1.6.cmml"><mi id="A4.E88.m1.1.1.1.1.6.2" xref="A4.E88.m1.1.1.1.1.6.2.cmml">θ</mi><mrow id="A4.E88.m1.1.1.1.1.6.3" xref="A4.E88.m1.1.1.1.1.6.3.cmml"><msub id="A4.E88.m1.1.1.1.1.6.3.2" xref="A4.E88.m1.1.1.1.1.6.3.2.cmml"><mi id="A4.E88.m1.1.1.1.1.6.3.2.2" xref="A4.E88.m1.1.1.1.1.6.3.2.2.cmml">A</mi><mn id="A4.E88.m1.1.1.1.1.6.3.2.3" xref="A4.E88.m1.1.1.1.1.6.3.2.3.cmml">1</mn></msub><mo id="A4.E88.m1.1.1.1.1.6.3.1" xref="A4.E88.m1.1.1.1.1.6.3.1.cmml">+</mo><msub id="A4.E88.m1.1.1.1.1.6.3.3" xref="A4.E88.m1.1.1.1.1.6.3.3.cmml"><mi id="A4.E88.m1.1.1.1.1.6.3.3.2" xref="A4.E88.m1.1.1.1.1.6.3.3.2.cmml">A</mi><mn id="A4.E88.m1.1.1.1.1.6.3.3.3" xref="A4.E88.m1.1.1.1.1.6.3.3.3.cmml">4</mn></msub></mrow></mfrac></mrow><mo id="A4.E88.m1.1.1.1.2" xref="A4.E88.m1.1.1.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A4.E88.m1.1b"><apply id="A4.E88.m1.1.1.1.1.cmml" xref="A4.E88.m1.1.1.1"><and id="A4.E88.m1.1.1.1.1a.cmml" xref="A4.E88.m1.1.1.1"></and><apply id="A4.E88.m1.1.1.1.1b.cmml" xref="A4.E88.m1.1.1.1"><eq id="A4.E88.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A4.E88.m1.1.1.1.1.3"></eq><apply id="A4.E88.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A4.E88.m1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.E88.m1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A4.E88.m1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="A4.E88.m1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A4.E88.m1.1.1.1.1.2.2">𝜅</ci><ci id="A4.E88.m1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="A4.E88.m1.1.1.1.1.2.3">𝑚</ci></apply><apply id="A4.E88.m1.1.1.1.1.4.cmml" xref="A4.E88.m1.1.1.1.1.4"><divide id="A4.E88.m1.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="A4.E88.m1.1.1.1.1.4"></divide><apply id="A4.E88.m1.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="A4.E88.m1.1.1.1.1.4.2"><times id="A4.E88.m1.1.1.1.1.4.2.1.cmml" xref="A4.E88.m1.1.1.1.1.4.2.1"></times><cn id="A4.E88.m1.1.1.1.1.4.2.2.cmml" type="integer" xref="A4.E88.m1.1.1.1.1.4.2.2">2</cn><ci id="A4.E88.m1.1.1.1.1.4.2.3.cmml" xref="A4.E88.m1.1.1.1.1.4.2.3">𝜃</ci></apply><apply id="A4.E88.m1.1.1.1.1.4.3.cmml" xref="A4.E88.m1.1.1.1.1.4.3"><plus id="A4.E88.m1.1.1.1.1.4.3.1.cmml" xref="A4.E88.m1.1.1.1.1.4.3.1"></plus><apply id="A4.E88.m1.1.1.1.1.4.3.2.cmml" xref="A4.E88.m1.1.1.1.1.4.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.E88.m1.1.1.1.1.4.3.2.1.cmml" xref="A4.E88.m1.1.1.1.1.4.3.2">subscript</csymbol><ci id="A4.E88.m1.1.1.1.1.4.3.2.2.cmml" xref="A4.E88.m1.1.1.1.1.4.3.2.2">ℎ</ci><cn id="A4.E88.m1.1.1.1.1.4.3.2.3.cmml" type="integer" xref="A4.E88.m1.1.1.1.1.4.3.2.3">1</cn></apply><apply id="A4.E88.m1.1.1.1.1.4.3.3.cmml" xref="A4.E88.m1.1.1.1.1.4.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.E88.m1.1.1.1.1.4.3.3.1.cmml" xref="A4.E88.m1.1.1.1.1.4.3.3">subscript</csymbol><ci id="A4.E88.m1.1.1.1.1.4.3.3.2.cmml" xref="A4.E88.m1.1.1.1.1.4.3.3.2">ℎ</ci><cn id="A4.E88.m1.1.1.1.1.4.3.3.3.cmml" type="integer" xref="A4.E88.m1.1.1.1.1.4.3.3.3">4</cn></apply></apply></apply></apply><apply id="A4.E88.m1.1.1.1.1c.cmml" xref="A4.E88.m1.1.1.1"><eq id="A4.E88.m1.1.1.1.1.5.cmml" xref="A4.E88.m1.1.1.1.1.5"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2502.10872v4#A4.E88.m1.1.1.1.1.4.cmml" id="A4.E88.m1.1.1.1.1d.cmml" xref="A4.E88.m1.1.1.1"></share><apply id="A4.E88.m1.1.1.1.1.6.cmml" xref="A4.E88.m1.1.1.1.1.6"><divide id="A4.E88.m1.1.1.1.1.6.1.cmml" xref="A4.E88.m1.1.1.1.1.6"></divide><ci id="A4.E88.m1.1.1.1.1.6.2.cmml" xref="A4.E88.m1.1.1.1.1.6.2">𝜃</ci><apply id="A4.E88.m1.1.1.1.1.6.3.cmml" xref="A4.E88.m1.1.1.1.1.6.3"><plus id="A4.E88.m1.1.1.1.1.6.3.1.cmml" xref="A4.E88.m1.1.1.1.1.6.3.1"></plus><apply id="A4.E88.m1.1.1.1.1.6.3.2.cmml" xref="A4.E88.m1.1.1.1.1.6.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.E88.m1.1.1.1.1.6.3.2.1.cmml" xref="A4.E88.m1.1.1.1.1.6.3.2">subscript</csymbol><ci id="A4.E88.m1.1.1.1.1.6.3.2.2.cmml" xref="A4.E88.m1.1.1.1.1.6.3.2.2">𝐴</ci><cn id="A4.E88.m1.1.1.1.1.6.3.2.3.cmml" type="integer" xref="A4.E88.m1.1.1.1.1.6.3.2.3">1</cn></apply><apply id="A4.E88.m1.1.1.1.1.6.3.3.cmml" xref="A4.E88.m1.1.1.1.1.6.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.E88.m1.1.1.1.1.6.3.3.1.cmml" xref="A4.E88.m1.1.1.1.1.6.3.3">subscript</csymbol><ci id="A4.E88.m1.1.1.1.1.6.3.3.2.cmml" xref="A4.E88.m1.1.1.1.1.6.3.3.2">𝐴</ci><cn id="A4.E88.m1.1.1.1.1.6.3.3.3.cmml" type="integer" xref="A4.E88.m1.1.1.1.1.6.3.3.3">4</cn></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A4.E88.m1.1c">\kappa_{{m}}=\frac{2\theta}{h_{1}+h_{4}}=\frac{\theta}{A_{1}+A_{4}},</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A4.E88.m1.1d">italic_κ start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT = divide start_ARG 2 italic_θ end_ARG start_ARG italic_h start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT + italic_h start_POSTSUBSCRIPT 4 end_POSTSUBSCRIPT end_ARG = divide start_ARG italic_θ end_ARG start_ARG italic_A start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT + italic_A start_POSTSUBSCRIPT 4 end_POSTSUBSCRIPT end_ARG ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(88)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="A4.p5.5">and <math alttext="A_{\mathcal{E}}=A_{1}+A_{4}" class="ltx_Math" display="inline" id="A4.p5.2.m1.1"><semantics id="A4.p5.2.m1.1a"><mrow id="A4.p5.2.m1.1.1" xref="A4.p5.2.m1.1.1.cmml"><msub id="A4.p5.2.m1.1.1.2" xref="A4.p5.2.m1.1.1.2.cmml"><mi id="A4.p5.2.m1.1.1.2.2" xref="A4.p5.2.m1.1.1.2.2.cmml">A</mi><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="A4.p5.2.m1.1.1.2.3" xref="A4.p5.2.m1.1.1.2.3.cmml">ℰ</mi></msub><mo id="A4.p5.2.m1.1.1.1" xref="A4.p5.2.m1.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="A4.p5.2.m1.1.1.3" xref="A4.p5.2.m1.1.1.3.cmml"><msub id="A4.p5.2.m1.1.1.3.2" xref="A4.p5.2.m1.1.1.3.2.cmml"><mi id="A4.p5.2.m1.1.1.3.2.2" xref="A4.p5.2.m1.1.1.3.2.2.cmml">A</mi><mn id="A4.p5.2.m1.1.1.3.2.3" xref="A4.p5.2.m1.1.1.3.2.3.cmml">1</mn></msub><mo id="A4.p5.2.m1.1.1.3.1" xref="A4.p5.2.m1.1.1.3.1.cmml">+</mo><msub id="A4.p5.2.m1.1.1.3.3" xref="A4.p5.2.m1.1.1.3.3.cmml"><mi id="A4.p5.2.m1.1.1.3.3.2" xref="A4.p5.2.m1.1.1.3.3.2.cmml">A</mi><mn id="A4.p5.2.m1.1.1.3.3.3" xref="A4.p5.2.m1.1.1.3.3.3.cmml">4</mn></msub></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A4.p5.2.m1.1b"><apply id="A4.p5.2.m1.1.1.cmml" xref="A4.p5.2.m1.1.1"><eq id="A4.p5.2.m1.1.1.1.cmml" xref="A4.p5.2.m1.1.1.1"></eq><apply id="A4.p5.2.m1.1.1.2.cmml" xref="A4.p5.2.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.p5.2.m1.1.1.2.1.cmml" xref="A4.p5.2.m1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="A4.p5.2.m1.1.1.2.2.cmml" xref="A4.p5.2.m1.1.1.2.2">𝐴</ci><ci id="A4.p5.2.m1.1.1.2.3.cmml" xref="A4.p5.2.m1.1.1.2.3">ℰ</ci></apply><apply id="A4.p5.2.m1.1.1.3.cmml" xref="A4.p5.2.m1.1.1.3"><plus id="A4.p5.2.m1.1.1.3.1.cmml" xref="A4.p5.2.m1.1.1.3.1"></plus><apply id="A4.p5.2.m1.1.1.3.2.cmml" xref="A4.p5.2.m1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.p5.2.m1.1.1.3.2.1.cmml" xref="A4.p5.2.m1.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="A4.p5.2.m1.1.1.3.2.2.cmml" xref="A4.p5.2.m1.1.1.3.2.2">𝐴</ci><cn id="A4.p5.2.m1.1.1.3.2.3.cmml" type="integer" xref="A4.p5.2.m1.1.1.3.2.3">1</cn></apply><apply id="A4.p5.2.m1.1.1.3.3.cmml" xref="A4.p5.2.m1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.p5.2.m1.1.1.3.3.1.cmml" xref="A4.p5.2.m1.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="A4.p5.2.m1.1.1.3.3.2.cmml" xref="A4.p5.2.m1.1.1.3.3.2">𝐴</ci><cn id="A4.p5.2.m1.1.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="A4.p5.2.m1.1.1.3.3.3">4</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A4.p5.2.m1.1c">A_{\mathcal{E}}=A_{1}+A_{4}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A4.p5.2.m1.1d">italic_A start_POSTSUBSCRIPT caligraphic_E end_POSTSUBSCRIPT = italic_A start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT + italic_A start_POSTSUBSCRIPT 4 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> is consistent with the area on which the curvature <math alttext="\kappa_{{m}}" class="ltx_Math" display="inline" id="A4.p5.3.m2.1"><semantics id="A4.p5.3.m2.1a"><msub id="A4.p5.3.m2.1.1" xref="A4.p5.3.m2.1.1.cmml"><mi id="A4.p5.3.m2.1.1.2" xref="A4.p5.3.m2.1.1.2.cmml">κ</mi><mi id="A4.p5.3.m2.1.1.3" xref="A4.p5.3.m2.1.1.3.cmml">m</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A4.p5.3.m2.1b"><apply id="A4.p5.3.m2.1.1.cmml" xref="A4.p5.3.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.p5.3.m2.1.1.1.cmml" xref="A4.p5.3.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="A4.p5.3.m2.1.1.2.cmml" xref="A4.p5.3.m2.1.1.2">𝜅</ci><ci id="A4.p5.3.m2.1.1.3.cmml" xref="A4.p5.3.m2.1.1.3">𝑚</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A4.p5.3.m2.1c">\kappa_{{m}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A4.p5.3.m2.1d">italic_κ start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> is defined. <math alttext="A_{1}" class="ltx_Math" display="inline" id="A4.p5.4.m3.1"><semantics id="A4.p5.4.m3.1a"><msub id="A4.p5.4.m3.1.1" xref="A4.p5.4.m3.1.1.cmml"><mi id="A4.p5.4.m3.1.1.2" xref="A4.p5.4.m3.1.1.2.cmml">A</mi><mn id="A4.p5.4.m3.1.1.3" xref="A4.p5.4.m3.1.1.3.cmml">1</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A4.p5.4.m3.1b"><apply id="A4.p5.4.m3.1.1.cmml" xref="A4.p5.4.m3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.p5.4.m3.1.1.1.cmml" xref="A4.p5.4.m3.1.1">subscript</csymbol><ci id="A4.p5.4.m3.1.1.2.cmml" xref="A4.p5.4.m3.1.1.2">𝐴</ci><cn id="A4.p5.4.m3.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A4.p5.4.m3.1.1.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A4.p5.4.m3.1c">A_{1}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A4.p5.4.m3.1d">italic_A start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> and <math alttext="A_{4}" class="ltx_Math" display="inline" id="A4.p5.5.m4.1"><semantics id="A4.p5.5.m4.1a"><msub id="A4.p5.5.m4.1.1" xref="A4.p5.5.m4.1.1.cmml"><mi id="A4.p5.5.m4.1.1.2" xref="A4.p5.5.m4.1.1.2.cmml">A</mi><mn id="A4.p5.5.m4.1.1.3" xref="A4.p5.5.m4.1.1.3.cmml">4</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A4.p5.5.m4.1b"><apply id="A4.p5.5.m4.1.1.cmml" xref="A4.p5.5.m4.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.p5.5.m4.1.1.1.cmml" xref="A4.p5.5.m4.1.1">subscript</csymbol><ci id="A4.p5.5.m4.1.1.2.cmml" xref="A4.p5.5.m4.1.1.2">𝐴</ci><cn id="A4.p5.5.m4.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A4.p5.5.m4.1.1.3">4</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A4.p5.5.m4.1c">A_{4}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A4.p5.5.m4.1d">italic_A start_POSTSUBSCRIPT 4 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> are the triangle areas of one edge stencil in the initial configuration. By using our terminologies, the underlined bending energy of Quadratic/Cubic Shells from <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2502.10872v4#bib.bibx20" title="">GHDS03</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2502.10872v4#bib.bibx40" title="">TG13</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2502.10872v4#bib.bibx39" title="">Tam13</a>]</cite> is</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="A4.E89"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\Psi_{b}^{{}^{\prime}}=\frac{1}{2}A_{\mathcal{E}}^{{}^{\prime}}k_{b}(\kappa_{{% m}}^{{}^{\prime}})^{2}." class="ltx_Math" display="block" id="A4.E89.m1.1"><semantics id="A4.E89.m1.1a"><mrow id="A4.E89.m1.1.1.1" xref="A4.E89.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A4.E89.m1.1.1.1.1" xref="A4.E89.m1.1.1.1.1.cmml"><msubsup id="A4.E89.m1.1.1.1.1.3" xref="A4.E89.m1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A4.E89.m1.1.1.1.1.3.2.2" mathvariant="normal" xref="A4.E89.m1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">Ψ</mi><mi id="A4.E89.m1.1.1.1.1.3.2.3" xref="A4.E89.m1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">b</mi><msup id="A4.E89.m1.1.1.1.1.3.3" xref="A4.E89.m1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="A4.E89.m1.1.1.1.1.3.3a" xref="A4.E89.m1.1.1.1.1.3.3.cmml"></mi><mo id="A4.E89.m1.1.1.1.1.3.3.1" xref="A4.E89.m1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">′</mo></msup></msubsup><mo id="A4.E89.m1.1.1.1.1.2" xref="A4.E89.m1.1.1.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="A4.E89.m1.1.1.1.1.1" xref="A4.E89.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mfrac id="A4.E89.m1.1.1.1.1.1.3" xref="A4.E89.m1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mn id="A4.E89.m1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A4.E89.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">1</mn><mn id="A4.E89.m1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A4.E89.m1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></mfrac><mo id="A4.E89.m1.1.1.1.1.1.2" xref="A4.E89.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msubsup id="A4.E89.m1.1.1.1.1.1.4" xref="A4.E89.m1.1.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="A4.E89.m1.1.1.1.1.1.4.2.2" xref="A4.E89.m1.1.1.1.1.1.4.2.2.cmml">A</mi><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="A4.E89.m1.1.1.1.1.1.4.2.3" xref="A4.E89.m1.1.1.1.1.1.4.2.3.cmml">ℰ</mi><msup id="A4.E89.m1.1.1.1.1.1.4.3" xref="A4.E89.m1.1.1.1.1.1.4.3.cmml"><mi id="A4.E89.m1.1.1.1.1.1.4.3a" xref="A4.E89.m1.1.1.1.1.1.4.3.cmml"></mi><mo id="A4.E89.m1.1.1.1.1.1.4.3.1" xref="A4.E89.m1.1.1.1.1.1.4.3.1.cmml">′</mo></msup></msubsup><mo id="A4.E89.m1.1.1.1.1.1.2a" xref="A4.E89.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="A4.E89.m1.1.1.1.1.1.5" xref="A4.E89.m1.1.1.1.1.1.5.cmml"><mi id="A4.E89.m1.1.1.1.1.1.5.2" xref="A4.E89.m1.1.1.1.1.1.5.2.cmml">k</mi><mi id="A4.E89.m1.1.1.1.1.1.5.3" xref="A4.E89.m1.1.1.1.1.1.5.3.cmml">b</mi></msub><mo id="A4.E89.m1.1.1.1.1.1.2b" xref="A4.E89.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msup id="A4.E89.m1.1.1.1.1.1.1" xref="A4.E89.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A4.E89.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A4.E89.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A4.E89.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A4.E89.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msubsup id="A4.E89.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A4.E89.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A4.E89.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="A4.E89.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">κ</mi><mi id="A4.E89.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="A4.E89.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">m</mi><msup id="A4.E89.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A4.E89.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A4.E89.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3a" xref="A4.E89.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"></mi><mo id="A4.E89.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="A4.E89.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">′</mo></msup></msubsup><mo id="A4.E89.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A4.E89.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mn id="A4.E89.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A4.E89.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">2</mn></msup></mrow></mrow><mo id="A4.E89.m1.1.1.1.2" lspace="0em" xref="A4.E89.m1.1.1.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A4.E89.m1.1b"><apply id="A4.E89.m1.1.1.1.1.cmml" xref="A4.E89.m1.1.1.1"><eq 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end_POSTSUBSCRIPT ( italic_κ start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT start_FLOATSUPERSCRIPT ′ end_FLOATSUPERSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(89)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="A4.p5.9">Here,</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="A4.E90"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\kappa_{{m}}^{{}^{\prime}}=\frac{\theta}{\frac{1}{3}(A_{1}+A_{4})}=3\frac{2% \theta}{h_{1}+h_{4}}=3\kappa_{{m}}," class="ltx_Math" display="block" id="A4.E90.m1.2"><semantics id="A4.E90.m1.2a"><mrow id="A4.E90.m1.2.2.1" 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,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(90)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="A4.p5.7">and the <math alttext="A_{\mathcal{E}}^{{}^{\prime}}={(A_{1}+A_{4})}/{3}=A_{\mathcal{E}}/3" class="ltx_Math" display="inline" id="A4.p5.6.m1.1"><semantics id="A4.p5.6.m1.1a"><mrow id="A4.p5.6.m1.1.1" xref="A4.p5.6.m1.1.1.cmml"><msubsup id="A4.p5.6.m1.1.1.3" xref="A4.p5.6.m1.1.1.3.cmml"><mi id="A4.p5.6.m1.1.1.3.2.2" xref="A4.p5.6.m1.1.1.3.2.2.cmml">A</mi><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="A4.p5.6.m1.1.1.3.2.3" xref="A4.p5.6.m1.1.1.3.2.3.cmml">ℰ</mi><msup id="A4.p5.6.m1.1.1.3.3" xref="A4.p5.6.m1.1.1.3.3.cmml"><mi id="A4.p5.6.m1.1.1.3.3a" xref="A4.p5.6.m1.1.1.3.3.cmml"></mi><mo id="A4.p5.6.m1.1.1.3.3.1" xref="A4.p5.6.m1.1.1.3.3.1.cmml">′</mo></msup></msubsup><mo id="A4.p5.6.m1.1.1.4" 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id="A4.p5.6.m1.1.1.1.2" xref="A4.p5.6.m1.1.1.1.2.cmml">/</mo><mn id="A4.p5.6.m1.1.1.1.3" xref="A4.p5.6.m1.1.1.1.3.cmml">3</mn></mrow><mo id="A4.p5.6.m1.1.1.5" xref="A4.p5.6.m1.1.1.5.cmml">=</mo><mrow id="A4.p5.6.m1.1.1.6" xref="A4.p5.6.m1.1.1.6.cmml"><msub id="A4.p5.6.m1.1.1.6.2" xref="A4.p5.6.m1.1.1.6.2.cmml"><mi id="A4.p5.6.m1.1.1.6.2.2" xref="A4.p5.6.m1.1.1.6.2.2.cmml">A</mi><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="A4.p5.6.m1.1.1.6.2.3" xref="A4.p5.6.m1.1.1.6.2.3.cmml">ℰ</mi></msub><mo id="A4.p5.6.m1.1.1.6.1" xref="A4.p5.6.m1.1.1.6.1.cmml">/</mo><mn id="A4.p5.6.m1.1.1.6.3" xref="A4.p5.6.m1.1.1.6.3.cmml">3</mn></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A4.p5.6.m1.1b"><apply id="A4.p5.6.m1.1.1.cmml" xref="A4.p5.6.m1.1.1"><and id="A4.p5.6.m1.1.1a.cmml" xref="A4.p5.6.m1.1.1"></and><apply id="A4.p5.6.m1.1.1b.cmml" xref="A4.p5.6.m1.1.1"><eq id="A4.p5.6.m1.1.1.4.cmml" xref="A4.p5.6.m1.1.1.4"></eq><apply id="A4.p5.6.m1.1.1.3.cmml" xref="A4.p5.6.m1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.p5.6.m1.1.1.3.1.cmml" xref="A4.p5.6.m1.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="A4.p5.6.m1.1.1.3.2.cmml" xref="A4.p5.6.m1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.p5.6.m1.1.1.3.2.1.cmml" xref="A4.p5.6.m1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A4.p5.6.m1.1.1.3.2.2.cmml" xref="A4.p5.6.m1.1.1.3.2.2">𝐴</ci><ci id="A4.p5.6.m1.1.1.3.2.3.cmml" xref="A4.p5.6.m1.1.1.3.2.3">ℰ</ci></apply><apply id="A4.p5.6.m1.1.1.3.3.cmml" xref="A4.p5.6.m1.1.1.3.3"><ci id="A4.p5.6.m1.1.1.3.3.1.cmml" xref="A4.p5.6.m1.1.1.3.3.1">′</ci></apply></apply><apply id="A4.p5.6.m1.1.1.1.cmml" xref="A4.p5.6.m1.1.1.1"><divide id="A4.p5.6.m1.1.1.1.2.cmml" xref="A4.p5.6.m1.1.1.1.2"></divide><apply id="A4.p5.6.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A4.p5.6.m1.1.1.1.1.1"><plus id="A4.p5.6.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A4.p5.6.m1.1.1.1.1.1.1.1"></plus><apply id="A4.p5.6.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A4.p5.6.m1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.p5.6.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A4.p5.6.m1.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="A4.p5.6.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A4.p5.6.m1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝐴</ci><cn id="A4.p5.6.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="A4.p5.6.m1.1.1.1.1.1.1.2.3">1</cn></apply><apply id="A4.p5.6.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A4.p5.6.m1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.p5.6.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A4.p5.6.m1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A4.p5.6.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A4.p5.6.m1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝐴</ci><cn id="A4.p5.6.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="A4.p5.6.m1.1.1.1.1.1.1.3.3">4</cn></apply></apply><cn id="A4.p5.6.m1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A4.p5.6.m1.1.1.1.3">3</cn></apply></apply><apply id="A4.p5.6.m1.1.1c.cmml" xref="A4.p5.6.m1.1.1"><eq id="A4.p5.6.m1.1.1.5.cmml" xref="A4.p5.6.m1.1.1.5"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2502.10872v4#A4.p5.6.m1.1.1.1.cmml" id="A4.p5.6.m1.1.1d.cmml" xref="A4.p5.6.m1.1.1"></share><apply id="A4.p5.6.m1.1.1.6.cmml" xref="A4.p5.6.m1.1.1.6"><divide id="A4.p5.6.m1.1.1.6.1.cmml" xref="A4.p5.6.m1.1.1.6.1"></divide><apply id="A4.p5.6.m1.1.1.6.2.cmml" xref="A4.p5.6.m1.1.1.6.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.p5.6.m1.1.1.6.2.1.cmml" xref="A4.p5.6.m1.1.1.6.2">subscript</csymbol><ci id="A4.p5.6.m1.1.1.6.2.2.cmml" xref="A4.p5.6.m1.1.1.6.2.2">𝐴</ci><ci id="A4.p5.6.m1.1.1.6.2.3.cmml" xref="A4.p5.6.m1.1.1.6.2.3">ℰ</ci></apply><cn id="A4.p5.6.m1.1.1.6.3.cmml" type="integer" xref="A4.p5.6.m1.1.1.6.3">3</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A4.p5.6.m1.1c">A_{\mathcal{E}}^{{}^{\prime}}={(A_{1}+A_{4})}/{3}=A_{\mathcal{E}}/3</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A4.p5.6.m1.1d">italic_A start_POSTSUBSCRIPT caligraphic_E end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT start_FLOATSUPERSCRIPT ′ end_FLOATSUPERSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT = ( italic_A start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT + italic_A start_POSTSUBSCRIPT 4 end_POSTSUBSCRIPT ) / 3 = italic_A start_POSTSUBSCRIPT caligraphic_E end_POSTSUBSCRIPT / 3</annotation></semantics></math> is consistent with the area on which the curvature <math alttext="\kappa_{{m}}^{{}^{\prime}}" class="ltx_Math" display="inline" id="A4.p5.7.m2.1"><semantics id="A4.p5.7.m2.1a"><msubsup id="A4.p5.7.m2.1.1" xref="A4.p5.7.m2.1.1.cmml"><mi id="A4.p5.7.m2.1.1.2.2" xref="A4.p5.7.m2.1.1.2.2.cmml">κ</mi><mi id="A4.p5.7.m2.1.1.2.3" xref="A4.p5.7.m2.1.1.2.3.cmml">m</mi><msup id="A4.p5.7.m2.1.1.3" xref="A4.p5.7.m2.1.1.3.cmml"><mi id="A4.p5.7.m2.1.1.3a" xref="A4.p5.7.m2.1.1.3.cmml"></mi><mo id="A4.p5.7.m2.1.1.3.1" xref="A4.p5.7.m2.1.1.3.1.cmml">′</mo></msup></msubsup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A4.p5.7.m2.1b"><apply id="A4.p5.7.m2.1.1.cmml" xref="A4.p5.7.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.p5.7.m2.1.1.1.cmml" xref="A4.p5.7.m2.1.1">superscript</csymbol><apply id="A4.p5.7.m2.1.1.2.cmml" xref="A4.p5.7.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.p5.7.m2.1.1.2.1.cmml" xref="A4.p5.7.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="A4.p5.7.m2.1.1.2.2.cmml" xref="A4.p5.7.m2.1.1.2.2">𝜅</ci><ci id="A4.p5.7.m2.1.1.2.3.cmml" xref="A4.p5.7.m2.1.1.2.3">𝑚</ci></apply><apply id="A4.p5.7.m2.1.1.3.cmml" xref="A4.p5.7.m2.1.1.3"><ci id="A4.p5.7.m2.1.1.3.1.cmml" xref="A4.p5.7.m2.1.1.3.1">′</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A4.p5.7.m2.1c">\kappa_{{m}}^{{}^{\prime}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A4.p5.7.m2.1d">italic_κ start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT start_FLOATSUPERSCRIPT ′ end_FLOATSUPERSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> is defined. By comparing Eq. (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2502.10872v4#A4.E87" title="In Appendix D Quadratic Thin Plate/Shell and Accuracy Discrepancy ‣ Corotational Hinge-based Thin Plates/Shells"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">87</span></a>) and Eq. (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2502.10872v4#A4.E89" title="In Appendix D Quadratic Thin Plate/Shell and Accuracy Discrepancy ‣ Corotational Hinge-based Thin Plates/Shells"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">89</span></a>), we can obtain</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="A4.E91"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\Psi_{b}^{{}^{\prime}}=3\Psi_{b}." class="ltx_Math" display="block" id="A4.E91.m1.1"><semantics id="A4.E91.m1.1a"><mrow id="A4.E91.m1.1.1.1" xref="A4.E91.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A4.E91.m1.1.1.1.1" xref="A4.E91.m1.1.1.1.1.cmml"><msubsup id="A4.E91.m1.1.1.1.1.2" xref="A4.E91.m1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="A4.E91.m1.1.1.1.1.2.2.2" mathvariant="normal" xref="A4.E91.m1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">Ψ</mi><mi id="A4.E91.m1.1.1.1.1.2.2.3" xref="A4.E91.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">b</mi><msup id="A4.E91.m1.1.1.1.1.2.3" xref="A4.E91.m1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="A4.E91.m1.1.1.1.1.2.3a" xref="A4.E91.m1.1.1.1.1.2.3.cmml"></mi><mo id="A4.E91.m1.1.1.1.1.2.3.1" xref="A4.E91.m1.1.1.1.1.2.3.1.cmml">′</mo></msup></msubsup><mo id="A4.E91.m1.1.1.1.1.1" xref="A4.E91.m1.1.1.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="A4.E91.m1.1.1.1.1.3" xref="A4.E91.m1.1.1.1.1.3.cmml"><mn id="A4.E91.m1.1.1.1.1.3.2" xref="A4.E91.m1.1.1.1.1.3.2.cmml">3</mn><mo id="A4.E91.m1.1.1.1.1.3.1" xref="A4.E91.m1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="A4.E91.m1.1.1.1.1.3.3" xref="A4.E91.m1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="A4.E91.m1.1.1.1.1.3.3.2" mathvariant="normal" xref="A4.E91.m1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">Ψ</mi><mi id="A4.E91.m1.1.1.1.1.3.3.3" xref="A4.E91.m1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">b</mi></msub></mrow></mrow><mo id="A4.E91.m1.1.1.1.2" lspace="0em" xref="A4.E91.m1.1.1.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A4.E91.m1.1b"><apply id="A4.E91.m1.1.1.1.1.cmml" xref="A4.E91.m1.1.1.1"><eq id="A4.E91.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A4.E91.m1.1.1.1.1.1"></eq><apply id="A4.E91.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A4.E91.m1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.E91.m1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A4.E91.m1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="A4.E91.m1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A4.E91.m1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.E91.m1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="A4.E91.m1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="A4.E91.m1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="A4.E91.m1.1.1.1.1.2.2.2">Ψ</ci><ci id="A4.E91.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="A4.E91.m1.1.1.1.1.2.2.3">𝑏</ci></apply><apply id="A4.E91.m1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="A4.E91.m1.1.1.1.1.2.3"><ci id="A4.E91.m1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="A4.E91.m1.1.1.1.1.2.3.1">′</ci></apply></apply><apply id="A4.E91.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A4.E91.m1.1.1.1.1.3"><times id="A4.E91.m1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A4.E91.m1.1.1.1.1.3.1"></times><cn id="A4.E91.m1.1.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="A4.E91.m1.1.1.1.1.3.2">3</cn><apply id="A4.E91.m1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A4.E91.m1.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.E91.m1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="A4.E91.m1.1.1.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="A4.E91.m1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="A4.E91.m1.1.1.1.1.3.3.2">Ψ</ci><ci id="A4.E91.m1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="A4.E91.m1.1.1.1.1.3.3.3">𝑏</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A4.E91.m1.1c">\Psi_{b}^{{}^{\prime}}=3\Psi_{b}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A4.E91.m1.1d">roman_Ψ start_POSTSUBSCRIPT italic_b end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT start_FLOATSUPERSCRIPT ′ end_FLOATSUPERSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT = 3 roman_Ψ start_POSTSUBSCRIPT italic_b end_POSTSUBSCRIPT .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(91)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="A4.p5.10">Thus, scaling down the Quadratic/Cubic Shell’s bending energy allows the Quadratic/Cubic Shell to yield accurate predictions in the linear (small deflection) plate bending benchmark (Section <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2502.10872v4#S6.SS1" title="6.1 Quantitative Experiments ‣ 6 Numerical Experiments ‣ Corotational Hinge-based Thin Plates/Shells"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">6.1</span></a>).</p> </div> </section><div about="" class="ltx_rdf" content="{\@shortauthor}" property="dcterms:creator"></div> <div about="" class="ltx_rdf" content="{Computer Graphics Forum" property="dcterms:subject"></div> <div about="" class="ltx_rdf" content="{\pdf@Subject}" property="dcterms:subject"></div> <div about="" class="ltx_rdf" content="{\@shorttitle}" property="dcterms:title"></div> </article> </div> <footer class="ltx_page_footer"> <div class="ltx_page_logo">Generated on Sat Mar 15 13:57:35 2025 by <a class="ltx_LaTeXML_logo" href="http://dlmf.nist.gov/LaTeXML/"><span style="letter-spacing:-0.2em; 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