CINXE.COM

<!DOCTYPE html>    <html>  <head><script type="text/javascript" src="https://web-static.archive.org/_static/js/bundle-playback.js?v=7YQSqjSh" charset="utf-8"></script> <script type="text/javascript" src="https://web-static.archive.org/_static/js/wombat.js?v=txqj7nKC" charset="utf-8"></script> <script>window.RufflePlayer=window.RufflePlayer||{};window.RufflePlayer.config={"autoplay":"on","unmuteOverlay":"hidden"};</script> <script type="text/javascript" src="https://web-static.archive.org/_static/js/ruffle/ruffle.js"></script> <script type="text/javascript"> __wm.init("https://web.archive.org/web"); __wm.wombat("http://ntbu.ru:80/lt/vtf.htm","20191117093925","https://web.archive.org/","web","https://web-static.archive.org/_static/", "1573983565"); </script> <link rel="stylesheet" type="text/css" href="https://web-static.archive.org/_static/css/banner-styles.css?v=p7PEIJWi" /> <link rel="stylesheet" type="text/css" href="https://web-static.archive.org/_static/css/iconochive.css?v=3PDvdIFv" />  <title>Литературное творчество ученых. Научно-техническая библиотека универсальная</title> <meta http-equiv="X-UA-Compatible" content="IE=edge,chrome=1"/> <meta name="viewport" content="width=device-width, initial-scale=1"> <meta name="SKYPE_TOOLBAR" content="SKYPE_TOOLBAR_PARSER_COMPATIBLE"/>  <meta property="og:title" content="Великая теорема Ферма"> <meta property="og:url" content="https://web.archive.org/web/20191117093925/http://ntbu.ru/lt/vtf.htm"> <meta property="og:image" content="https://web.archive.org/web/20191117093925im_/http://ntbu.ru/logo316.png"> <meta property="og:image:width" content="316"> <meta property="og:image:height" content="316"> <meta property="og:description" content=""> <link rel="icon" href="/web/20191117093925im_/http://ntbu.ru/favicon.ico" type="image/x-icon"><link rel="shortcut icon" href="/web/20191117093925im_/http://ntbu.ru/favicon.ico" type="image/x-icon"> <link href="/web/20191117093925cs_/http://ntbu.ru/dz/ntbu.css" rel="stylesheet" type="text/css"> </head> <body> <script type="text/javascript"></script><div class="vk vkm">  <a href="/web/20191117093925/http://ntbu.ru/"> <img class="il1" style="float: left;" src="/web/20191117093925im_/http://ntbu.ru/dz/1024-logo.gif" border="0" width="192" height="72" alt="НТБУ: Научно-техническая библиотека универсальная" title="НТБУ: Научно-техническая библиотека универсальная"> <img class="il2" style="float: left;" src="/web/20191117093925im_/http://ntbu.ru/dz/480-800-logo.gif" border="0" width="50" height="50" alt="НТБУ: Научно-техническая библиотека универсальная" title="НТБУ: Научно-техническая библиотека универсальная"> </a>  <div class="nv nm1">Научно-техническая библиотека универсальная</div> <div class="nv nm2">ntbu.ru: НТБУ</div>  <div class="nv nv1"><a href="/web/20191117093925/http://ntbu.ru/">Начало сайта</a> / <a href="/web/20191117093925/http://ntbu.ru/lt/">Литературное творчество ученых</a></div> <div class="nv nv2"><a href="/web/20191117093925/http://ntbu.ru/">Начало сайта</a> / <a href="/web/20191117093925/http://ntbu.ru/lt/">Литературное творчество ученых</a></div> <div class="fp1"><div class="ya-site-form ya-site-form_inited_no" onclick="return {'action':'https://web.archive.org/web/20191117093925/http://ntbu.ru/sy.htm','arrow':false,'bg':'transparent','fontsize':14,'fg':'#000000','language':'ru','logo':'rb','publicname':'Поиск по ntbu.ru','suggest':false,'target':'_self','tld':'ru','type':3,'usebigdictionary':true,'searchid':149297,'webopt':false,'websearch':false,'input_fg':'#a1aab3','input_bg':'#ffffff','input_fontStyle':'normal','input_fontWeight':'normal','input_placeholder':'Поиск по ntbu.ru:','input_placeholderColor':'#a1aab3','input_borderColor':'#B8D9B8'}"><form action="https://web.archive.org/web/20191117093925/http://yandex.ru/sitesearch" method="get" target="_self"><input type="hidden" name="searchid" value="149297"/><input type="hidden" name="l10n" value="ru"/><input type="hidden" name="reqenc" value=""/><input type="search" name="text" value=""/><input type="submit" value="Найти"/></form></div><style type="text/css">.ya-page_js_yes .ya-site-form_inited_no { display: none; }</style><script type="text/javascript">(function(w,d,c){var s=d.createElement('script'),h=d.getElementsByTagName('script')[0],e=d.documentElement;if((' '+e.className+' ').indexOf(' ya-page_js_yes ')===-1){e.className+=' ya-page_js_yes';}s.type='text/javascript';s.async=true;s.charset='utf-8';s.src=(d.location.protocol==='https:'?'https:':'http:')+'//web.archive.org/web/20191117093925/http://site.yandex.net/v2.0/js/all.js';h.parentNode.insertBefore(s,h);(w[c]||(w[c]=[])).push(function(){Ya.Site.Form.init()})})(window,document,'yandex_site_callbacks');</script></div> </div> <div class="pl plm"> <div class="pll pllm"> <a href="/web/20191117093925/http://ntbu.ru/to/" class="arz">Теория относительности</a> <a href="/web/20191117093925/http://ntbu.ru/co/" class="arz">Человек и общество</a> <a href="/web/20191117093925/http://ntbu.ru/lt/" class="arz">Литературное творчество ученых</a> <a href="/web/20191117093925/http://ntbu.ru/ob/" class="arz">Образование</a> </div> <div class="plp plpm"> <h1>Великая теорема Ферма</h1> <a href="https://web.archive.org/web/20191117093925/http://n-t.ru/ac/ap.htm#P07">Валерий Петров</a> Как рассказывает В. Латышев, «Более 350 лет математики всего мира безуспешно ищут ответ на вопрос: «Верна ли великая теорема Ферма?». Не находит его и дьявол, изучив за 10 часов все без исключения разделы математики и потратив остаток времени на собственные изыскания, он, за 10 минут до истечения срока, появляется с пачкой исписанных листков, швыряет их на пол и топчет ногами. И, признав свое поражение, исчезает... Однако спустя несколько минут появляется вновь и вместе с человеком начинает искать ответ на поставленный вопрос». В действительности, однако, все было несколько иначе. Когда дьявол узнал об условии заключения договора с ученым-математиком о продажи его души, он рассмеялся и сказал: «Нет ничего проще. У меня есть доказательство этой теоремы, написанное самим Ферма». С этими словами дьявол достал из кармана аккуратно сложенный лист бумаги и протянул его ученому. Флэгг уселся поудобнее в кресло у камина и стал читать. «Пусть имеется три целых числа, удовлетворяющих уравнению: <table width="100%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="4" style="font-size: 106%; line-height: 120%; text-align: center; margin: 10px 0px;"><tr><td>zn = xn + yn</td><td width="7%" align="right">(1)</td></tr> </table> Известно, что три числа, удовлетворяющих уравнению (1), должны удовлетворять следующим условиям: <ul> <li>одно из чисел, например, z, должно быть четным, два других – нечетными;</li> <li>числа должны быть взаимно простыми, т.е. попарно не должны иметь общих множителей;</li> <li>никакие два числа не могут быть равны друг другу.</li> </ul> Предположим для определенности, что z > x > y. Очевидно, что число z меньше суммы двух других чисел, т.е. <table width="100%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="4" style="font-size: 106%; line-height: 120%; text-align: center; margin: 10px 0px;"><tr><td>z < x + y</td><td width="7%" align="right">(2)</td></tr> </table> Пусть имеется три отрезка длиной z, x, y, удовлетворяющих условию (2). Тогда в силу известной теоремы на этих отрезках можно построить треугольник как на сторонах. Известно, что треугольник, между сторонами которого имеет место соотношение (1), при n > 2 остроугольный. Тогда для сторон этого треугольника имеет место соотношение, вытекающее из теоремы косинусов: z2 = x2 + y2 – 2xycosα: где α – угол между сторонами x и y. Построим остроугольный треугольник ABC со сторонами AB = x, BC = y, AC = z. Опустим из точки A остроугольного треугольника ABC перпендикуляр на противолежащую сторону BC, как это изображено на рисунке. <img src="/web/20191117093925im_/http://ntbu.ru/lt/vtf1.gif" alt="Великая теорема Ферма. Остроугольный треугольник" width="277" height="226" vspace="15" border="0"> Рис. 1. Остроугольный треугольник Из треугольника BC1C находим cosα = m1 / BC = m1 / y. Подставляя значение cosα в (2), получим: z2 = x2 + y2 – 2xym1 / y <table width="100%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="4" style="font-size: 106%; line-height: 120%; text-align: center; margin: 10px 0px;"><tr><td>z2 = x2 + y2 – 2xm1</td><td width="7%" align="right">(3)</td></tr> </table> Таким образом, для одного и того же треугольника одновременно имеем два различных соотношения между его сторонами: (1) и (3). Тогда суть теоремы может быть выражена иначе: Требуется доказать, что никакие целочисленные решения уравнения (3) не являются таковыми для уравнения (1). Умножим уравнение (3) на zn–2. Получим: <table width="100%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="4" style="font-size: 106%; line-height: 120%; text-align: center; margin: 10px 0px;"><tr><td>zn–2z2 = zn–2x2 + zn–2y2 – 2xzn–2m1</td><td width="7%" align="right">(4)</td></tr> </table> Пусть zn–2 = xn–2 + a = yn–2 + b, где a и b – некоторые целые числа, обеспечивающие указанные равенства. Тогда, подставляя значение zn–2 в (4), получим: zn = (xn–2 + a) x2 + (yn–2 + b) y2 – 2x(xn–2 + a)m1 <table width="100%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="4" style="font-size: 106%; line-height: 120%; text-align: center; margin: 10px 0px;"><tr><td>zn = xn + ax2 + yn + by2 – 2x(xn–2 + a)m1</td><td width="7%" align="right">(5)</td></tr> </table> Вычитая (1) из (5), получим: <table width="100%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="4" style="font-size: 106%; line-height: 120%; text-align: center; margin: 10px 0px;"><tr><td>0 = ax2 + by2 – 2x(xn–2 + a)m1</td><td width="7%" align="right">(6)</td></tr> </table> Таким образом, если при каких-либо целочисленных значениях чисел x и y уравнение (6) окажется равным нулю, то решение этого уравнения (т.е. значения чисел x и y) будет одновременно решением уравнения (1). Решая данное уравнение, получим: by2 = 2x(xn–2 + a)m1 – ax2 by2 = x[2(xn–2 + a)m1 – ax] Запишем для простоты вычислений 2(xn–2 + a)m1 – ax = k. Получим: by2 = kx, откуда следует: y = √kx/b, т.е. √x является одним из множителей числа y. Таким образом, целочисленные решения уравнения (6) оказываются возможными только при условии, что √x является одним из множителей числа y, что противоречит начальным условиям задачи. Следовательно, ни при каких значениях чисел x и y, удовлетворяющих начальным условиям задачи, уравнение (6) не может быть равно нулю. Следовательно, ни при каких значениях чисел x и y, удовлетворяющих начальным условиям задачи, уравнение (5) не может быть преобразовано в уравнение (1). Следовательно, ни при каких значениях чисел x и y, удовлетворяющих начальным условиям задачи, уравнение (1) не может иметь каких-либо целочисленных решений. Это значит, что в остроугольном треугольнике, между сторонами которого имеет место соотношение (1), по крайней мере, одна из сторон не может быть выражена никаким целым числом. Что и требовалось доказать». Флэгг задумался на мгновенье и неожиданно швырнул бумагу прямо в огонь. «Зачем Вы это сделали?» – воскликнул дьявол. «Я нахожу, что слишком дешево продал свою душу. Так пусть же никто больше не воспользуется этим доказательством!» – ответил Флэгг. «В самом деле», подумал дьявол, «пусть математики еще поломают головы над доказательством этой теоремы».  <div class="dk"> <div class="dp"> Дата публикации: 1 апреля 2002 года </div> <div class="ev"> Электронная версия: © <a href="/web/20191117093925/http://ntbu.ru/">НТБУ</a>. <a href="/web/20191117093925/http://ntbu.ru/lt/">Литературное творчество ученых</a>, 1999 </div> </div> </div> </div>  <div class="nk nkm"> <div class="fp2"><div class="ya-site-form ya-site-form_inited_no" onclick="return {'action':'https://web.archive.org/web/20191117093925/http://ntbu.ru/sy.htm','arrow':false,'bg':'transparent','fontsize':14,'fg':'#000000','language':'ru','logo':'rb','publicname':'Поиск по ntbu.ru','suggest':false,'target':'_self','tld':'ru','type':3,'usebigdictionary':true,'searchid':149297,'webopt':false,'websearch':false,'input_fg':'#a1aab3','input_bg':'#ffffff','input_fontStyle':'normal','input_fontWeight':'normal','input_placeholder':'Поиск по ntbu.ru:','input_placeholderColor':'#a1aab3','input_borderColor':'#B8D9B8'}"><form action="https://web.archive.org/web/20191117093925/http://yandex.ru/sitesearch" method="get" target="_self"><input type="hidden" name="searchid" value="149297"/><input type="hidden" name="l10n" value="ru"/><input type="hidden" name="reqenc" value=""/><input type="search" name="text" value=""/><input type="submit" value="Найти"/></form></div><style type="text/css">.ya-page_js_yes .ya-site-form_inited_no { display: none; }</style><script type="text/javascript">(function(w,d,c){var s=d.createElement('script'),h=d.getElementsByTagName('script')[0],e=d.documentElement;if((' '+e.className+' ').indexOf(' ya-page_js_yes ')===-1){e.className+=' ya-page_js_yes';}s.type='text/javascript';s.async=true;s.charset='utf-8';s.src=(d.location.protocol==='https:'?'https:':'http:')+'//web.archive.org/web/20191117093925/http://site.yandex.net/v2.0/js/all.js';h.parentNode.insertBefore(s,h);(w[c]||(w[c]=[])).push(function(){Ya.Site.Form.init()})})(window,document,'yandex_site_callbacks');</script></div> <div style="padding: 4px 0px 6px 0px; background: #f0faff; border-top: 1px solid #99d8ff;"><div class="fp2"><a href="/web/20191117093925/http://ntbu.ru/ob.htm">О библиотеке</a> • <a href="https://web.archive.org/web/20191117093925/http://n-t.ru/ki.htm">Связаться с нами</a> • <a href="https://web.archive.org/web/20191117093925/http://n-t.ru/rr.htm">Разместить рекламу</a> • <a href="https://web.archive.org/web/20191117093925/http://n-t.ru/pi.htm">Правовая информация</a> </div></div> <div style="padding: 4px 0px 6px 0px; background: #fffceb; border-top: 1px solid #99d8ff;"><div class="fp2">© <a href="https://web.archive.org/web/20191117093925/http://n-t.ru/">МОО «Наука и техника»</a>, 1997...2019</div></div> </div> </body></html>