行列 - Wikipedia

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class="vector-pinnable-header-label">目次</h2> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-pin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-toc.pin">サイドバーに移動</button> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-unpin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-toc.unpin">非表示</button> </div> <ul class="vector-toc-contents" id="mw-panel-toc-list"> <li id="toc-mw-content-text" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a href="#" class="vector-toc-link"> <div class="vector-toc-text">ページ先頭</div> </a> </li> <li id="toc-概要" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#概要"> <div class="vector-toc-text"> 1 概要 </div> </a> <button aria-controls="toc-概要-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> 概要サブセクションを切り替えます </button> <ul id="toc-概要-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-行・列" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#行・列"> <div class="vector-toc-text"> 1.1 行・列 </div> </a> <ul id="toc-行・列-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-成分" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#成分"> <div class="vector-toc-text"> 1.2 成分 </div> </a> <ul id="toc-成分-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-和・積" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#和・積"> <div class="vector-toc-text"> 1.3 和・積 </div> </a> <ul id="toc-和・積-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-行列の応用" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#行列の応用"> <div class="vector-toc-text"> 1.4 行列の応用 </div> </a> <ul id="toc-行列の応用-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-一次変換" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-3"> <a class="vector-toc-link" href="#一次変換"> <div class="vector-toc-text"> 1.4.1 一次変換 </div> </a> <ul id="toc-一次変換-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-線型方程式系" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-3"> <a class="vector-toc-link" href="#線型方程式系"> <div class="vector-toc-text"> 1.4.2 線型方程式系 </div> </a> <ul id="toc-線型方程式系-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-科学" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-3"> <a class="vector-toc-link" href="#科学"> <div class="vector-toc-text"> 1.4.3 科学 </div> </a> <ul id="toc-科学-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-アルゴリズム" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-3"> <a class="vector-toc-link" href="#アルゴリズム"> <div class="vector-toc-text"> 1.4.4 アルゴリズム </div> </a> <ul id="toc-アルゴリズム-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-素朴な定義" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#素朴な定義"> <div class="vector-toc-text"> 2 素朴な定義 </div> </a> <button aria-controls="toc-素朴な定義-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> 素朴な定義サブセクションを切り替えます </button> <ul id="toc-素朴な定義-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-記法" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#記法"> <div class="vector-toc-text"> 2.1 記法 </div> </a> <ul id="toc-記法-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-成分_2" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#成分_2"> <div class="vector-toc-text"> 2.2 成分 </div> </a> <ul id="toc-成分_2-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-型" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#型"> <div class="vector-toc-text"> 2.3 型 </div> </a> <ul id="toc-型-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-厳密な定義" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#厳密な定義"> <div class="vector-toc-text"> 3 厳密な定義 </div> </a> <ul id="toc-厳密な定義-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-歴史" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#歴史"> <div class="vector-toc-text"> 4 歴史 </div> </a> <ul id="toc-歴史-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-行列の演算" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#行列の演算"> <div class="vector-toc-text"> 5 行列の演算 </div> </a> <button aria-controls="toc-行列の演算-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> 行列の演算サブセクションを切り替えます </button> <ul id="toc-行列の演算-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-基本演算" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#基本演算"> <div class="vector-toc-text"> 5.1 基本演算 </div> </a> <ul id="toc-基本演算-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-加法" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-3"> <a class="vector-toc-link" href="#加法"> <div class="vector-toc-text"> 5.1.1 加法 </div> </a> <ul id="toc-加法-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-スカラー倍" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-3"> <a class="vector-toc-link" href="#スカラー倍"> <div class="vector-toc-text"> 5.1.2 スカラー倍 </div> </a> <ul id="toc-スカラー倍-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-乗法" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-3"> <a class="vector-toc-link" href="#乗法"> <div class="vector-toc-text"> 5.1.3 乗法 </div> </a> <ul id="toc-乗法-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-転置" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-3"> <a class="vector-toc-link" href="#転置"> <div class="vector-toc-text"> 5.1.4 転置 </div> </a> <ul id="toc-転置-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-行列式" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#行列式"> <div class="vector-toc-text"> 5.2 行列式 </div> </a> <ul id="toc-行列式-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-ランク" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#ランク"> <div class="vector-toc-text"> 5.3 ランク </div> </a> <ul id="toc-ランク-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-トレース" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#トレース"> <div class="vector-toc-text"> 5.4 トレース </div> </a> <ul id="toc-トレース-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-内積とノルム" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#内積とノルム"> <div class="vector-toc-text"> 5.5 内積とノルム </div> </a> <ul id="toc-内積とノルム-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-その他の演算" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#その他の演算"> <div class="vector-toc-text"> 5.6 その他の演算 </div> </a> <ul id="toc-その他の演算-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-差" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-3"> <a class="vector-toc-link" href="#差"> <div class="vector-toc-text"> 5.6.1 差 </div> </a> <ul id="toc-差-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-べき乗" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-3"> <a class="vector-toc-link" href="#べき乗"> <div class="vector-toc-text"> 5.6.2 べき乗 </div> </a> <ul id="toc-べき乗-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-ベクトルの二項積" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-3"> <a class="vector-toc-link" href="#ベクトルの二項積"> <div class="vector-toc-text"> 5.6.3 ベクトルの二項積 </div> </a> <ul id="toc-ベクトルの二項積-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-行列の三項積" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-3"> <a class="vector-toc-link" href="#行列の三項積"> <div class="vector-toc-text"> 5.6.4 行列の三項積 </div> </a> <ul id="toc-行列の三項積-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-定義されない演算" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#定義されない演算"> <div class="vector-toc-text"> 5.7 定義されない演算 </div> </a> <ul id="toc-定義されない演算-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-行列の分解" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#行列の分解"> <div class="vector-toc-text"> 6 行列の分解 </div> </a> <ul id="toc-行列の分解-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-様々な行列" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#様々な行列"> <div class="vector-toc-text"> 7 様々な行列 </div> </a> <button aria-controls="toc-様々な行列-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> 様々な行列サブセクションを切り替えます </button> <ul id="toc-様々な行列-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-行列サイズによる分類" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#行列サイズによる分類"> <div class="vector-toc-text"> 7.1 行列サイズによる分類 </div> </a> <ul id="toc-行列サイズによる分類-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-行列成分が特別な形の行列" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#行列成分が特別な形の行列"> <div class="vector-toc-text"> 7.2 行列成分が特別な形の行列 </div> </a> <ul id="toc-行列成分が特別な形の行列-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-作用素による作用を受けた行列" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#作用素による作用を受けた行列"> <div class="vector-toc-text"> 7.3 作用素による作用を受けた行列 </div> </a> <ul id="toc-作用素による作用を受けた行列-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-対称性がある行列" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#対称性がある行列"> <div class="vector-toc-text"> 7.4 対称性がある行列 </div> </a> <ul id="toc-対称性がある行列-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-群を構成する行列" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#群を構成する行列"> <div class="vector-toc-text"> 7.5 群を構成する行列 </div> </a> <ul id="toc-群を構成する行列-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-線型写像" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#線型写像"> <div class="vector-toc-text"> 8 線型写像 </div> </a> <ul id="toc-線型写像-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-行列の抽象代数的側面と一般化" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#行列の抽象代数的側面と一般化"> <div class="vector-toc-text"> 9 行列の抽象代数的側面と一般化 </div> </a> <button aria-controls="toc-行列の抽象代数的側面と一般化-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> 行列の抽象代数的側面と一般化サブセクションを切り替えます </button> <ul id="toc-行列の抽象代数的側面と一般化-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-より一般の成分を持つ行列" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#より一般の成分を持つ行列"> <div class="vector-toc-text"> 9.1 より一般の成分を持つ行列 </div> </a> <ul id="toc-より一般の成分を持つ行列-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-線型写像との関係" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#線型写像との関係"> <div class="vector-toc-text"> 9.2 線型写像との関係 </div> </a> <ul id="toc-線型写像との関係-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-行列群" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#行列群"> <div class="vector-toc-text"> 9.3 行列群 </div> </a> <ul id="toc-行列群-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-無限次行列" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#無限次行列"> <div class="vector-toc-text"> 9.4 無限次行列 </div> </a> <ul id="toc-無限次行列-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-空行列" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#空行列"> <div class="vector-toc-text"> 9.5 空行列 </div> </a> <ul id="toc-空行列-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-応用" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#応用"> <div class="vector-toc-text"> 10 応用 </div> </a> <button aria-controls="toc-応用-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> 応用サブセクションを切り替えます </button> <ul id="toc-応用-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-グラフ理論" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#グラフ理論"> <div class="vector-toc-text"> 10.1 グラフ理論 </div> </a> <ul id="toc-グラフ理論-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-解析学と幾何学" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#解析学と幾何学"> <div class="vector-toc-text"> 10.2 解析学と幾何学 </div> </a> <ul id="toc-解析学と幾何学-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-脚注" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#脚注"> <div class="vector-toc-text"> 11 脚注 </div> </a> <button aria-controls="toc-脚注-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> 脚注サブセクションを切り替えます </button> <ul id="toc-脚注-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-注釈" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#注釈"> <div class="vector-toc-text"> 11.1 注釈 </div> </a> <ul id="toc-注釈-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-出典" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#出典"> <div class="vector-toc-text"> 11.2 出典 </div> </a> <ul id="toc-出典-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-参考文献" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#参考文献"> <div class="vector-toc-text"> 12 参考文献 </div> </a> <button aria-controls="toc-参考文献-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> 参考文献サブセクションを切り替えます </button> <ul id="toc-参考文献-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-物理学に関するもの" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#物理学に関するもの"> <div class="vector-toc-text"> 12.1 物理学に関するもの </div> </a> <ul id="toc-物理学に関するもの-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-歴史に関するもの" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#歴史に関するもの"> <div class="vector-toc-text"> 12.2 歴史に関するもの </div> </a> <ul id="toc-歴史に関するもの-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-関連項目" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#関連項目"> <div class="vector-toc-text"> 13 関連項目 </div> </a> <ul id="toc-関連項目-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-外部リンク" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#外部リンク"> <div class="vector-toc-text"> 14 外部リンク </div> </a> <ul id="toc-外部リンク-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </div> </div> </nav> </div> </div> <div class="mw-content-container"> <main id="content" class="mw-body"> <header class="mw-body-header vector-page-titlebar"> <nav aria-label="目次" class="vector-toc-landmark"> <div id="vector-page-titlebar-toc" class="vector-dropdown vector-page-titlebar-toc vector-button-flush-left" > <input type="checkbox" id="vector-page-titlebar-toc-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-page-titlebar-toc" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="目次の表示・非表示を切り替え" > <label id="vector-page-titlebar-toc-label" for="vector-page-titlebar-toc-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only " aria-hidden="true" > 目次の表示・非表示を切り替え </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="vector-page-titlebar-toc-unpinned-container" class="vector-unpinned-container"> </div> </div> </div> </nav> <h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading">行列</h1> <div id="p-lang-btn" class="vector-dropdown mw-portlet mw-portlet-lang" > <input type="checkbox" id="p-lang-btn-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-p-lang-btn" class="vector-dropdown-checkbox mw-interlanguage-selector" aria-label="特定の記事の別の言語版に移動します。利用可能な言語92件" > <label id="p-lang-btn-label" for="p-lang-btn-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--action-progressive mw-portlet-lang-heading-92" aria-hidden="true" > 92の言語版 </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li class="interlanguage-link interwiki-af mw-list-item"><a href="https://af.wikipedia.org/wiki/Matriks" title="アフリカーンス語: Matriks" lang="af" hreflang="af" data-title="Matriks" data-language-autonym="Afrikaans" data-language-local-name="アフリカーンス語" class="interlanguage-link-target">Afrikaans</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-am mw-list-item"><a href="https://am.wikipedia.org/wiki/%E1%88%9B%E1%89%B5%E1%88%AA%E1%8A%AD%E1%88%B5" title="アムハラ語: ማትሪክስ" lang="am" hreflang="am" data-title="ማትሪክስ" data-language-autonym="አማርኛ" data-language-local-name="アムハラ語" class="interlanguage-link-target">አማርኛ</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ar mw-list-item"><a href="https://ar.wikipedia.org/wiki/%D9%85%D8%B5%D9%81%D9%88%D9%81%D8%A9_(%D8%B1%D9%8A%D8%A7%D8%B6%D9%8A%D8%A7%D8%AA)" title="アラビア語: مصفوفة (رياضيات)" lang="ar" hreflang="ar" data-title="مصفوفة (رياضيات)" data-language-autonym="العربية" data-language-local-name="アラビア語" class="interlanguage-link-target">العربية</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ary mw-list-item"><a href="https://ary.wikipedia.org/wiki/%D9%85%D8%A7%D8%AA%D8%B1%D9%8A%D8%B3" title="モロッコ・アラビア語: ماتريس" lang="ary" hreflang="ary" data-title="ماتريس" data-language-autonym="الدارجة" data-language-local-name="モロッコ・アラビア語" class="interlanguage-link-target">الدارجة</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-az mw-list-item"><a href="https://az.wikipedia.org/wiki/Matris" title="アゼルバイジャン語: Matris" lang="az" hreflang="az" data-title="Matris" data-language-autonym="Azərbaycanca" data-language-local-name="アゼルバイジャン語" class="interlanguage-link-target">Azərbaycanca</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-be mw-list-item"><a href="https://be.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D1%80%D1%8B%D1%86%D0%B0_(%D0%BC%D0%B0%D1%82%D1%8D%D0%BC%D0%B0%D1%82%D1%8B%D0%BA%D0%B0)" title="ベラルーシ語: Матрыца (матэматыка)" lang="be" hreflang="be" data-title="Матрыца (матэматыка)" data-language-autonym="Беларуская" data-language-local-name="ベラルーシ語" class="interlanguage-link-target">Беларуская</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-be-x-old mw-list-item"><a href="https://be-tarask.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D1%80%D1%8B%D1%86%D0%B0" title="Belarusian (Taraškievica orthography): Матрыца" lang="be-tarask" hreflang="be-tarask" data-title="Матрыца" data-language-autonym="Беларуская (тарашкевіца)" data-language-local-name="Belarusian (Taraškievica orthography)" class="interlanguage-link-target">Беларуская (тарашкевіца)</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bg mw-list-item"><a href="https://bg.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%86%D0%B0_(%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0)" title="ブルガリア語: Матрица (математика)" lang="bg" hreflang="bg" data-title="Матрица (математика)" data-language-autonym="Български" data-language-local-name="ブルガリア語" class="interlanguage-link-target">Български</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bn mw-list-item"><a href="https://bn.wikipedia.org/wiki/%E0%A6%AE%E0%A7%8D%E0%A6%AF%E0%A6%BE%E0%A6%9F%E0%A7%8D%E0%A6%B0%E0%A6%BF%E0%A6%95%E0%A7%8D%E0%A6%B8" title="ベンガル語: ম্যাট্রিক্স" lang="bn" hreflang="bn" data-title="ম্যাট্রিক্স" data-language-autonym="বাংলা" data-language-local-name="ベンガル語" class="interlanguage-link-target">বাংলা</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bs mw-list-item"><a href="https://bs.wikipedia.org/wiki/Matrica_(matematika)" title="ボスニア語: Matrica (matematika)" lang="bs" hreflang="bs" data-title="Matrica (matematika)" data-language-autonym="Bosanski" data-language-local-name="ボスニア語" class="interlanguage-link-target">Bosanski</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ca mw-list-item"><a href="https://ca.wikipedia.org/wiki/Matriu_(matem%C3%A0tiques)" title="カタロニア語: Matriu (matemàtiques)" lang="ca" hreflang="ca" data-title="Matriu (matemàtiques)" data-language-autonym="Català" data-language-local-name="カタロニア語" class="interlanguage-link-target">Català</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ckb mw-list-item"><a href="https://ckb.wikipedia.org/wiki/%D9%85%D8%A7%D8%AA%D8%B1%DB%8C%DA%A9%D8%B3" title="中央クルド語: ماتریکس" lang="ckb" hreflang="ckb" data-title="ماتریکس" data-language-autonym="کوردی" data-language-local-name="中央クルド語" class="interlanguage-link-target">کوردی</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-cs mw-list-item"><a href="https://cs.wikipedia.org/wiki/Matice" title="チェコ語: Matice" lang="cs" hreflang="cs" data-title="Matice" data-language-autonym="Čeština" data-language-local-name="チェコ語" class="interlanguage-link-target">Čeština</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-cv mw-list-item"><a href="https://cv.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%86%D0%B0_(%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0)" title="チュヴァシ語: Матрица (математика)" lang="cv" hreflang="cv" data-title="Матрица (математика)" data-language-autonym="Чӑвашла" data-language-local-name="チュヴァシ語" class="interlanguage-link-target">Чӑвашла</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-cy mw-list-item"><a href="https://cy.wikipedia.org/wiki/Matrics" title="ウェールズ語: Matrics" lang="cy" hreflang="cy" data-title="Matrics" data-language-autonym="Cymraeg" data-language-local-name="ウェールズ語" class="interlanguage-link-target">Cymraeg</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-da mw-list-item"><a href="https://da.wikipedia.org/wiki/Matrix" title="デンマーク語: Matrix" lang="da" hreflang="da" data-title="Matrix" data-language-autonym="Dansk" data-language-local-name="デンマーク語" class="interlanguage-link-target">Dansk</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-de mw-list-item"><a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Matrix_(Mathematik)" title="ドイツ語: Matrix (Mathematik)" lang="de" hreflang="de" data-title="Matrix (Mathematik)" data-language-autonym="Deutsch" data-language-local-name="ドイツ語" class="interlanguage-link-target">Deutsch</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-el mw-list-item"><a href="https://el.wikipedia.org/wiki/%CE%A0%CE%AF%CE%BD%CE%B1%CE%BA%CE%B1%CF%82_(%CE%BC%CE%B1%CE%B8%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%84%CE%B9%CE%BA%CE%AC)" title="ギリシャ語: Πίνακας (μαθηματικά)" lang="el" hreflang="el" data-title="Πίνακας (μαθηματικά)" data-language-autonym="Ελληνικά" data-language-local-name="ギリシャ語" class="interlanguage-link-target">Ελληνικά</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-en badge-Q17437798 badge-goodarticle mw-list-item" title="良質な記事"><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Matrix_(mathematics)" title="英語: Matrix (mathematics)" lang="en" hreflang="en" data-title="Matrix (mathematics)" data-language-autonym="English" data-language-local-name="英語" class="interlanguage-link-target">English</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-eo mw-list-item"><a href="https://eo.wikipedia.org/wiki/Matrico" title="エスペラント語: Matrico" lang="eo" hreflang="eo" data-title="Matrico" data-language-autonym="Esperanto" data-language-local-name="エスペラント語" class="interlanguage-link-target">Esperanto</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-es mw-list-item"><a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_(matem%C3%A1tica)" title="スペイン語: Matriz (matemática)" lang="es" hreflang="es" data-title="Matriz (matemática)" data-language-autonym="Español" data-language-local-name="スペイン語" class="interlanguage-link-target">Español</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-et mw-list-item"><a href="https://et.wikipedia.org/wiki/Maatriks" title="エストニア語: Maatriks" lang="et" hreflang="et" data-title="Maatriks" data-language-autonym="Eesti" data-language-local-name="エストニア語" class="interlanguage-link-target">Eesti</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-eu mw-list-item"><a href="https://eu.wikipedia.org/wiki/Matrize" title="バスク語: Matrize" lang="eu" hreflang="eu" data-title="Matrize" data-language-autonym="Euskara" data-language-local-name="バスク語" class="interlanguage-link-target">Euskara</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fa mw-list-item"><a href="https://fa.wikipedia.org/wiki/%D9%85%D8%A7%D8%AA%D8%B1%DB%8C%D8%B3" title="ペルシア語: ماتریس" lang="fa" hreflang="fa" data-title="ماتریس" data-language-autonym="فارسی" data-language-local-name="ペルシア語" class="interlanguage-link-target">فارسی</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fi mw-list-item"><a href="https://fi.wikipedia.org/wiki/Matriisi" title="フィンランド語: Matriisi" lang="fi" hreflang="fi" data-title="Matriisi" data-language-autonym="Suomi" data-language-local-name="フィンランド語" class="interlanguage-link-target">Suomi</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fr mw-list-item"><a href="https://fr.wikipedia.org/wiki/Matrice_(math%C3%A9matiques)" title="フランス語: Matrice (mathématiques)" lang="fr" hreflang="fr" data-title="Matrice (mathématiques)" data-language-autonym="Français" data-language-local-name="フランス語" class="interlanguage-link-target">Français</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-frr mw-list-item"><a href="https://frr.wikipedia.org/wiki/Maatriks" title="北フリジア語: Maatriks" lang="frr" hreflang="frr" data-title="Maatriks" data-language-autonym="Nordfriisk" data-language-local-name="北フリジア語" class="interlanguage-link-target">Nordfriisk</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ga mw-list-item"><a href="https://ga.wikipedia.org/wiki/Maitr%C3%ADs" title="アイルランド語: Maitrís" lang="ga" hreflang="ga" data-title="Maitrís" data-language-autonym="Gaeilge" data-language-local-name="アイルランド語" class="interlanguage-link-target">Gaeilge</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-gan mw-list-item"><a href="https://gan.wikipedia.org/wiki/%E8%A1%8C%E5%88%97" title="贛語: 行列" lang="gan" hreflang="gan" data-title="行列" data-language-autonym="贛語" data-language-local-name="贛語" class="interlanguage-link-target">贛語</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-gcr mw-list-item"><a href="https://gcr.wikipedia.org/wiki/Matris_(mat%C3%A9matik)" title="Guianan Creole: Matris (matématik)" lang="gcr" hreflang="gcr" data-title="Matris (matématik)" data-language-autonym="Kriyòl gwiyannen" data-language-local-name="Guianan Creole" class="interlanguage-link-target">Kriyòl gwiyannen</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-gl mw-list-item"><a href="https://gl.wikipedia.org/wiki/Matriz_(matem%C3%A1ticas)" title="ガリシア語: Matriz (matemáticas)" lang="gl" hreflang="gl" data-title="Matriz (matemáticas)" data-language-autonym="Galego" data-language-local-name="ガリシア語" class="interlanguage-link-target">Galego</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-he mw-list-item"><a href="https://he.wikipedia.org/wiki/%D7%9E%D7%98%D7%A8%D7%99%D7%A6%D7%94" title="ヘブライ語: מטריצה" lang="he" hreflang="he" data-title="מטריצה" data-language-autonym="עברית" data-language-local-name="ヘブライ語" class="interlanguage-link-target">עברית</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hi mw-list-item"><a href="https://hi.wikipedia.org/wiki/%E0%A4%86%E0%A4%B5%E0%A5%8D%E0%A4%AF%E0%A5%82%E0%A4%B9" title="ヒンディー語: आव्यूह" lang="hi" hreflang="hi" data-title="आव्यूह" data-language-autonym="हिन्दी" data-language-local-name="ヒンディー語" class="interlanguage-link-target">हिन्दी</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hr mw-list-item"><a href="https://hr.wikipedia.org/wiki/Matrica_(matematika)" title="クロアチア語: Matrica (matematika)" lang="hr" hreflang="hr" data-title="Matrica (matematika)" data-language-autonym="Hrvatski" data-language-local-name="クロアチア語" class="interlanguage-link-target">Hrvatski</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hu mw-list-item"><a href="https://hu.wikipedia.org/wiki/M%C3%A1trix_(matematika)" title="ハンガリー語: Mátrix (matematika)" lang="hu" hreflang="hu" data-title="Mátrix (matematika)" data-language-autonym="Magyar" data-language-local-name="ハンガリー語" class="interlanguage-link-target">Magyar</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hy mw-list-item"><a href="https://hy.wikipedia.org/wiki/%D5%84%D5%A1%D5%BF%D6%80%D5%AB%D6%81" title="アルメニア語: Մատրից" lang="hy" hreflang="hy" data-title="Մատրից" data-language-autonym="Հայերեն" data-language-local-name="アルメニア語" class="interlanguage-link-target">Հայերեն</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ia mw-list-item"><a href="https://ia.wikipedia.org/wiki/Matrice_(mathematica)" title="インターリングア: Matrice (mathematica)" lang="ia" hreflang="ia" data-title="Matrice (mathematica)" data-language-autonym="Interlingua" data-language-local-name="インターリングア" class="interlanguage-link-target">Interlingua</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-id mw-list-item"><a href="https://id.wikipedia.org/wiki/Matriks_(matematika)" title="インドネシア語: Matriks (matematika)" lang="id" hreflang="id" data-title="Matriks (matematika)" data-language-autonym="Bahasa Indonesia" data-language-local-name="インドネシア語" class="interlanguage-link-target">Bahasa Indonesia</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-is mw-list-item"><a href="https://is.wikipedia.org/wiki/Fylki_(st%C3%A6r%C3%B0fr%C3%A6%C3%B0i)" title="アイスランド語: Fylki (stærðfræði)" lang="is" hreflang="is" data-title="Fylki (stærðfræði)" data-language-autonym="Íslenska" data-language-local-name="アイスランド語" class="interlanguage-link-target">Íslenska</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-it mw-list-item"><a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Matrice" title="イタリア語: Matrice" lang="it" hreflang="it" data-title="Matrice" data-language-autonym="Italiano" data-language-local-name="イタリア語" class="interlanguage-link-target">Italiano</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ka mw-list-item"><a href="https://ka.wikipedia.org/wiki/%E1%83%9B%E1%83%90%E1%83%A2%E1%83%A0%E1%83%98%E1%83%AA%E1%83%90_(%E1%83%9B%E1%83%90%E1%83%97%E1%83%94%E1%83%9B%E1%83%90%E1%83%A2%E1%83%98%E1%83%99%E1%83%90)" title="ジョージア語: მატრიცა (მათემატიკა)" lang="ka" hreflang="ka" data-title="მატრიცა (მათემატიკა)" data-language-autonym="ქართული" data-language-local-name="ジョージア語" class="interlanguage-link-target">ქართული</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-kk mw-list-item"><a href="https://kk.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%86%D0%B0_(%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0)" title="カザフ語: Матрица (математика)" lang="kk" hreflang="kk" data-title="Матрица (математика)" data-language-autonym="Қазақша" data-language-local-name="カザフ語" class="interlanguage-link-target">Қазақша</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-kn mw-list-item"><a href="https://kn.wikipedia.org/wiki/%E0%B2%AE%E0%B2%BE%E0%B2%A4%E0%B3%83%E0%B2%95%E0%B3%86%E0%B2%97%E0%B2%B3%E0%B3%81" title="カンナダ語: ಮಾತೃಕೆಗಳು" lang="kn" hreflang="kn" data-title="ಮಾತೃಕೆಗಳು" data-language-autonym="ಕನ್ನಡ" data-language-local-name="カンナダ語" class="interlanguage-link-target">ಕನ್ನಡ</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ko mw-list-item"><a href="https://ko.wikipedia.org/wiki/%ED%96%89%EB%A0%AC" title="韓国語: 행렬" lang="ko" hreflang="ko" data-title="행렬" data-language-autonym="한국어" data-language-local-name="韓国語" class="interlanguage-link-target">한국어</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-la mw-list-item"><a href="https://la.wikipedia.org/wiki/Matrix_(mathematica)" title="ラテン語: Matrix (mathematica)" lang="la" hreflang="la" data-title="Matrix (mathematica)" data-language-autonym="Latina" data-language-local-name="ラテン語" class="interlanguage-link-target">Latina</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-lmo mw-list-item"><a href="https://lmo.wikipedia.org/wiki/Matris" title="ロンバルド語: Matris" lang="lmo" hreflang="lmo" data-title="Matris" data-language-autonym="Lombard" data-language-local-name="ロンバルド語" class="interlanguage-link-target">Lombard</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-lo mw-list-item"><a href="https://lo.wikipedia.org/wiki/%E0%BA%A1%E0%BA%B2%E0%BA%95%E0%BA%A3%E0%BA%B4%E0%BA%81" title="ラオ語: ມາຕຣິກ" lang="lo" hreflang="lo" data-title="ມາຕຣິກ" data-language-autonym="ລາວ" data-language-local-name="ラオ語" class="interlanguage-link-target">ລາວ</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-lt mw-list-item"><a href="https://lt.wikipedia.org/wiki/Matrica_(matematika)" title="リトアニア語: Matrica (matematika)" lang="lt" hreflang="lt" data-title="Matrica (matematika)" data-language-autonym="Lietuvių" data-language-local-name="リトアニア語" class="interlanguage-link-target">Lietuvių</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-lv mw-list-item"><a href="https://lv.wikipedia.org/wiki/Matrica" title="ラトビア語: Matrica" lang="lv" hreflang="lv" data-title="Matrica" data-language-autonym="Latviešu" data-language-local-name="ラトビア語" class="interlanguage-link-target">Latviešu</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-mhr mw-list-item"><a href="https://mhr.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%86%D0%B5" title="東部マリ語: Матрице" lang="mhr" hreflang="mhr" data-title="Матрице" data-language-autonym="Олык марий" data-language-local-name="東部マリ語" class="interlanguage-link-target">Олык марий</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-mk mw-list-item"><a href="https://mk.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%86%D0%B0_(%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0)" title="マケドニア語: Матрица (математика)" lang="mk" hreflang="mk" data-title="Матрица (математика)" data-language-autonym="Македонски" data-language-local-name="マケドニア語" class="interlanguage-link-target">Македонски</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ml mw-list-item"><a href="https://ml.wikipedia.org/wiki/%E0%B4%AE%E0%B4%BE%E0%B4%9F%E0%B5%8D%E0%B4%B0%E0%B4%BF%E0%B4%95%E0%B5%8D%E0%B4%B8%E0%B5%8D" title="マラヤーラム語: മാട്രിക്സ്" lang="ml" hreflang="ml" data-title="മാട്രിക്സ്" data-language-autonym="മലയാളം" data-language-local-name="マラヤーラム語" class="interlanguage-link-target">മലയാളം</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ms mw-list-item"><a href="https://ms.wikipedia.org/wiki/Matriks_(matematik)" title="マレー語: Matriks (matematik)" lang="ms" hreflang="ms" data-title="Matriks (matematik)" data-language-autonym="Bahasa Melayu" data-language-local-name="マレー語" class="interlanguage-link-target">Bahasa Melayu</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-my mw-list-item"><a href="https://my.wikipedia.org/wiki/%E1%80%80%E1%80%AD%E1%80%94%E1%80%BA%E1%80%B8%E1%80%A1%E1%80%AF%E1%80%B6" title="ミャンマー語: ကိန်းအုံ" lang="my" hreflang="my" data-title="ကိန်းအုံ" data-language-autonym="မြန်မာဘာသာ" data-language-local-name="ミャンマー語" class="interlanguage-link-target">မြန်မာဘာသာ</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ne mw-list-item"><a href="https://ne.wikipedia.org/wiki/%E0%A4%AE%E0%A5%87%E0%A4%9F%E0%A5%8D%E0%A4%B0%E0%A4%BF%E0%A4%95%E0%A5%8D%E0%A4%B8" title="ネパール語: मेट्रिक्स" lang="ne" hreflang="ne" data-title="मेट्रिक्स" data-language-autonym="नेपाली" data-language-local-name="ネパール語" class="interlanguage-link-target">नेपाली</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-nl mw-list-item"><a href="https://nl.wikipedia.org/wiki/Matrix_(wiskunde)" title="オランダ語: Matrix (wiskunde)" lang="nl" hreflang="nl" data-title="Matrix (wiskunde)" data-language-autonym="Nederlands" data-language-local-name="オランダ語" class="interlanguage-link-target">Nederlands</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-nn mw-list-item"><a href="https://nn.wikipedia.org/wiki/Matrise" title="ノルウェー語(ニーノシュク): Matrise" lang="nn" hreflang="nn" data-title="Matrise" data-language-autonym="Norsk nynorsk" data-language-local-name="ノルウェー語(ニーノシュク)" class="interlanguage-link-target">Norsk nynorsk</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-no 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class="interlanguage-link-target">Slovenčina</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sl mw-list-item"><a href="https://sl.wikipedia.org/wiki/Matrika" title="スロベニア語: Matrika" lang="sl" hreflang="sl" data-title="Matrika" data-language-autonym="Slovenščina" data-language-local-name="スロベニア語" class="interlanguage-link-target">Slovenščina</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-so mw-list-item"><a href="https://so.wikipedia.org/wiki/Taxane" title="ソマリ語: Taxane" lang="so" hreflang="so" data-title="Taxane" data-language-autonym="Soomaaliga" data-language-local-name="ソマリ語" class="interlanguage-link-target">Soomaaliga</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sq mw-list-item"><a href="https://sq.wikipedia.org/wiki/Matrica" title="アルバニア語: Matrica" lang="sq" hreflang="sq" data-title="Matrica" data-language-autonym="Shqip" data-language-local-name="アルバニア語" class="interlanguage-link-target">Shqip</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sr mw-list-item"><a href="https://sr.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%86%D0%B0_(%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0)" title="セルビア語: Матрица (математика)" lang="sr" hreflang="sr" data-title="Матрица (математика)" data-language-autonym="Српски / srpski" data-language-local-name="セルビア語" class="interlanguage-link-target">Српски / srpski</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sv mw-list-item"><a href="https://sv.wikipedia.org/wiki/Matris" title="スウェーデン語: Matris" lang="sv" hreflang="sv" data-title="Matris" data-language-autonym="Svenska" data-language-local-name="スウェーデン語" class="interlanguage-link-target">Svenska</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ta mw-list-item"><a href="https://ta.wikipedia.org/wiki/%E0%AE%85%E0%AE%A3%E0%AE%BF_(%E0%AE%95%E0%AE%A3%E0%AE%BF%E0%AE%A4%E0%AE%AE%E0%AF%8D)" title="タミル語: அணி (கணிதம்)" lang="ta" hreflang="ta" data-title="அணி (கணிதம்)" data-language-autonym="தமிழ்" data-language-local-name="タミル語" 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mw-list-item" title="良質な記事"><a href="https://zh.wikipedia.org/wiki/%E7%9F%A9%E9%98%B5" title="中国語: 矩阵" lang="zh" hreflang="zh" data-title="矩阵" data-language-autonym="中文" data-language-local-name="中国語" class="interlanguage-link-target">中文</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zh-classical mw-list-item"><a href="https://zh-classical.wikipedia.org/wiki/%E7%9F%A9%E9%99%A3" title="漢文: 矩陣" lang="lzh" hreflang="lzh" data-title="矩陣" data-language-autonym="文言" data-language-local-name="漢文" class="interlanguage-link-target">文言</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zh-min-nan mw-list-item"><a href="https://zh-min-nan.wikipedia.org/wiki/H%C3%A2ng-lia%CC%8Dt" title="閩南語: Hâng-lia̍t" lang="nan" hreflang="nan" data-title="Hâng-lia̍t" data-language-autonym="閩南語 / Bân-lâm-gú" data-language-local-name="閩南語" class="interlanguage-link-target">閩南語 / Bân-lâm-gú</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zh-yue mw-list-item"><a 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mw-portlet mw-portlet-coll-print_export" > <div class="vector-menu-heading"> 印刷/書き出し </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="coll-create_a_book" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%E7%89%B9%E5%88%A5:%E3%83%96%E3%83%83%E3%82%AF&bookcmd=book_creator&referer=%E8%A1%8C%E5%88%97">ブックの新規作成</a></li><li id="coll-download-as-rl" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%E7%89%B9%E5%88%A5:DownloadAsPdf&page=%E8%A1%8C%E5%88%97&action=show-download-screen">PDF 形式でダウンロード</a></li><li id="t-print" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%E8%A1%8C%E5%88%97&printable=yes" title="このページの印刷用ページ [p]" accesskey="p">印刷用バージョン</a></li> </ul> </div> </div> <div id="p-wikibase-otherprojects" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-wikibase-otherprojects" > <div class="vector-menu-heading"> 他のプロジェクト </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li class="wb-otherproject-link wb-otherproject-commons mw-list-item"><a href="https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Matrices" hreflang="en">コモンズ</a></li><li class="wb-otherproject-link wb-otherproject-wikibooks mw-list-item"><a href="https://ja.wikibooks.org/wiki/%E7%B7%9A%E5%9E%8B%E4%BB%A3%E6%95%B0%E5%AD%A6/%E8%A1%8C%E5%88%97%E6%A6%82%E8%AB%96" hreflang="ja">ウィキブックス</a></li><li id="t-wikibase" class="wb-otherproject-link wb-otherproject-wikibase-dataitem mw-list-item"><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Special:EntityPage/Q44337" title="関連付けられたデータリポジトリ項目へのリンク [g]" accesskey="g">ウィキデータ項目</a></li> </ul> </div> </div> </div> </div> </div> </div> </nav> </div> </div> </div> <div class="vector-column-end"> <div class="vector-sticky-pinned-container"> <nav class="vector-page-tools-landmark" aria-label="ページツール"> <div id="vector-page-tools-pinned-container" class="vector-pinned-container"> </div> </nav> <nav class="vector-appearance-landmark" aria-label="表示"> <div id="vector-appearance-pinned-container" class="vector-pinned-container"> <div id="vector-appearance" class="vector-appearance vector-pinnable-element"> <div class="vector-pinnable-header vector-appearance-pinnable-header vector-pinnable-header-pinned" data-feature-name="appearance-pinned" data-pinnable-element-id="vector-appearance" data-pinned-container-id="vector-appearance-pinned-container" data-unpinned-container-id="vector-appearance-unpinned-container" > <div class="vector-pinnable-header-label">表示</div> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-pin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-appearance.pin">サイドバーに移動</button> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-unpin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-appearance.unpin">非表示</button> </div> </div> </div> </nav> </div> </div> <div id="bodyContent" class="vector-body" aria-labelledby="firstHeading" data-mw-ve-target-container> <div class="vector-body-before-content"> <div class="mw-indicators"> </div> <div id="siteSub" class="noprint">出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』</div> </div> <div id="contentSub"><div id="mw-content-subtitle">（<a href="/w/index.php?title=%E8%A1%8C%E5%88%97_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)&redirect=no" class="mw-redirect" title="行列 (数学)">行列 (数学)</a>から転送）</div></div> <div id="mw-content-text" class="mw-body-content"><div class="mw-content-ltr mw-parser-output" lang="ja" dir="ltr"><div style="display: none;" class="prirdr-info"><style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r101346560">.mw-parser-output .hatnote{margin:0.5em 0;padding:3px 2em;background-color:transparent;border-bottom:1px solid #a2a9b1;font-size:90%}html.skin-theme-clientpref-night .mw-parser-output .hatnote>table{color:inherit}@media screen and (prefers-color-scheme:dark){html.skin-theme-clientpref-os .mw-parser-output .hatnote>table{color:inherit}}</style><div class="hatnote dablink noprint"><table style="width:100%; background:transparent;"> <tbody><tr><td style="width:20px;"><a href="/wiki/%E3%83%95%E3%82%A1%E3%82%A4%E3%83%AB:Redirect_arrow_without_text_(cropped).svg" class="mw-file-description" title="代表的なトピック"><img alt="代表的なトピック" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/7f/Redirect_arrow_without_text_%28cropped%29.svg/20px-Redirect_arrow_without_text_%28cropped%29.svg.png" decoding="async" width="20" height="18" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/7f/Redirect_arrow_without_text_%28cropped%29.svg/30px-Redirect_arrow_without_text_%28cropped%29.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/7f/Redirect_arrow_without_text_%28cropped%29.svg/40px-Redirect_arrow_without_text_%28cropped%29.svg.png 2x" data-file-width="16" data-file-height="14" /></a></td> <td>このページへの<a href="/wiki/Wikipedia:PRIRDR" class="mw-redirect" title="Wikipedia:PRIRDR">WP:PRIRDR</a>用リダイレクトは「<a class="external text" href="https://ja.wikipedia.org/w/index.php?title=%E8%A1%8C%E5%88%97_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)&redirect=no">行列 (数学)</a>」です。 </td> </tr></tbody></table></div></div> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r101346560"><div class="hatnote dablink noprint"><table style="width:100%; background:transparent;"> <tbody><tr><td style="width:25px;"><a href="/wiki/%E3%83%95%E3%82%A1%E3%82%A4%E3%83%AB:Disambig_gray.svg" class="mw-file-description" title="曖昧さ回避"><img alt="曖昧さ回避" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/5f/Disambig_gray.svg/25px-Disambig_gray.svg.png" decoding="async" width="25" height="19" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/5f/Disambig_gray.svg/38px-Disambig_gray.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/5f/Disambig_gray.svg/50px-Disambig_gray.svg.png 2x" data-file-width="220" data-file-height="168" /></a></td> <td>「行列」のその他の用法については「<a href="/wiki/%E8%A1%8C%E5%88%97_(%E6%9B%96%E6%98%A7%E3%81%95%E5%9B%9E%E9%81%BF)" class="mw-disambig" title="行列 (曖昧さ回避)">行列 (曖昧さ回避)</a>」をご覧ください。</td> </tr></tbody></table></div> <a href="/wiki/%E6%95%B0%E5%AD%A6" title="数学">数学</a>の<a href="/wiki/%E7%B7%9A%E5%9E%8B%E4%BB%A3%E6%95%B0%E5%AD%A6" title="線型代数学">線型代数学</a>周辺分野における行列（ぎょうれつ、<a href="/wiki/%E8%8B%B1%E8%AA%9E" title="英語">英</a>: matrix）は、数や記号や式などを縦と横に矩形状に配列したものである。 <meta property="mw:PageProp/toc" /> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="概要">概要</h2>[<a href="/w/index.php?title=%E8%A1%8C%E5%88%97&action=edit&section=1" title="節を編集: 概要">編集</a>]</div> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="行・列">行・列</h3>[<a href="/w/index.php?title=%E8%A1%8C%E5%88%97&action=edit&section=2" title="節を編集: 行・列">編集</a>]</div> 横に並んだ一筋を行(row)、縦に並んだ一筋を列(column)と呼ぶ。 例えば、下記のような行列 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\begin{bmatrix}1&9&-13\\20&5&-6\end{bmatrix}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow> <mo>[</mo> <mtable rowspacing="4pt" columnspacing="1em"> <mtr> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> <mtd> <mn>9</mn> </mtd> <mtd> <mo>−</mo> <mn>13</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>20</mn> </mtd> <mtd> <mn>5</mn> </mtd> <mtd> <mo>−</mo> <mn>6</mn> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>]</mo> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{bmatrix}1&9&-13\\20&5&-6\end{bmatrix}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/61f786996bcfb75972dd77712c90122bc8765269" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:15.472ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle {\begin{bmatrix}1&9&-13\\20&5&-6\end{bmatrix}}}"> は2つの行と3つの列によって構成されているため、(2,3)型または2×3型の行列と呼ばれる。 <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="成分">成分</h3>[<a href="/w/index.php?title=%E8%A1%8C%E5%88%97&action=edit&section=3" title="節を編集: 成分">編集</a>]</div> 書き並べられた要素は行列の成分と呼ばれ、行列の第 i 行目、j 列目の成分を特に行列の (i, j) 成分と言う。行列の (i, j) 成分はふつう ai j のように二つの添字を単に横並びに書くが、誤解を避けるために添字の間に<a href="/wiki/%E3%82%B3%E3%83%B3%E3%83%9E" title="コンマ">コンマ</a>を入れることもある。また略式的に、行列 A の (i, j) 成分を指定するのに Ai j という記法を用いることもある。 <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="和・積">和・積</h3>[<a href="/w/index.php?title=%E8%A1%8C%E5%88%97&action=edit&section=4" title="節を編集: 和・積">編集</a>]</div> 行列の和は、行の数と列の数が同じ行列において、成分ごとの計算によって与えられる。 <a href="/wiki/%E8%A1%8C%E5%88%97%E3%81%AE%E7%A9%8D" class="mw-redirect" title="行列の積">行列の積</a>の計算はもっと複雑で、2つの行列がかけ合わせられるためには、積の左因子の列の数と右因子の行の数が一致していなければならない。 <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="行列の応用">行列の応用</h3>[<a href="/w/index.php?title=%E8%A1%8C%E5%88%97&action=edit&section=5" title="節を編集: 行列の応用">編集</a>]</div> <div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="一次変換">一次変換</h4>[<a href="/w/index.php?title=%E8%A1%8C%E5%88%97&action=edit&section=6" title="節を編集: 一次変換">編集</a>]</div> 行列の応用として代表的なものは<a href="/wiki/%E4%B8%80%E6%AC%A1%E5%A4%89%E6%8F%9B" class="mw-redirect" title="一次変換">一次変換</a>の表現で、これは f (x) = 4x のような<a href="/wiki/%E4%B8%80%E6%AC%A1%E9%96%A2%E6%95%B0" title="一次関数">一次関数</a>を一般化したものである。例えば、三次元空間における<a href="/wiki/%E7%A9%BA%E9%96%93%E3%83%99%E3%82%AF%E3%83%88%E3%83%AB" title="空間ベクトル">ベクトル</a>の<a href="/wiki/%E5%9B%9E%E8%BB%A2%E5%A4%89%E6%8F%9B" class="mw-redirect" title="回転変換">回転</a>は一次変換にあたり、R が<a href="/wiki/%E5%9B%9E%E8%BB%A2%E8%A1%8C%E5%88%97" title="回転行列">回転行列</a>で v が空間の点の<a href="/wiki/%E4%BD%8D%E7%BD%AE%E3%83%99%E3%82%AF%E3%83%88%E3%83%AB" class="mw-redirect" title="位置ベクトル">位置</a>を表す<a href="/wiki/%E5%88%97%E3%83%99%E3%82%AF%E3%83%88%E3%83%AB" class="mw-redirect" title="列ベクトル">列ベクトル</a>（1 列しかない行列）であるとき、それらの積 Rv は回転後の点の位置を表す列ベクトルを表現している。また 2つの行列の積は、2つの一次変換の<a href="/wiki/%E5%86%99%E5%83%8F%E3%81%AE%E5%90%88%E6%88%90" title="写像の合成">合成</a>を表現するものとなる。 <div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="線型方程式系">線型方程式系</h4>[<a href="/w/index.php?title=%E8%A1%8C%E5%88%97&action=edit&section=7" title="節を編集: 線型方程式系">編集</a>]</div> また、その他の応用としては、<a href="/wiki/%E7%B7%9A%E5%9E%8B%E6%96%B9%E7%A8%8B%E5%BC%8F%E7%B3%BB" title="線型方程式系">線型方程式系</a>の解法が挙げられる。行列が<a href="/wiki/%E6%AD%A3%E6%96%B9%E8%A1%8C%E5%88%97" title="正方行列">正方行列</a>であるとき、そのいくつかの性質は、<a href="/wiki/%E8%A1%8C%E5%88%97%E5%BC%8F" title="行列式">行列式</a>を計算することによって知ることができる。例えば、正方行列において、行列式の値が非零となることは、それが<a href="/wiki/%E6%AD%A3%E5%89%87%E8%A1%8C%E5%88%97" title="正則行列">正則</a>であるための<a href="/wiki/%E5%BF%85%E8%A6%81%E5%8D%81%E5%88%86%E6%9D%A1%E4%BB%B6" class="mw-redirect" title="必要十分条件">必要十分条件</a>である。<a href="/wiki/%E5%9B%BA%E6%9C%89%E5%80%A4" class="mw-redirect" title="固有値">固有値と固有ベクトル</a>は一次変換の<a href="/wiki/%E5%B9%BE%E4%BD%95%E5%AD%A6" title="幾何学">幾何学</a>に対する洞察を与える。 <div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="科学">科学</h4>[<a href="/w/index.php?title=%E8%A1%8C%E5%88%97&action=edit&section=8" title="節を編集: 科学">編集</a>]</div> 行列の応用は科学的な分野の大半に及ぶ。 特に<a href="/wiki/%E7%89%A9%E7%90%86%E5%AD%A6" title="物理学">物理学</a>において行列は、<a href="/wiki/%E5%8F%A4%E5%85%B8%E5%8A%9B%E5%AD%A6" title="古典力学">古典力学</a>、<a href="/wiki/%E5%85%89%E5%AD%A6" title="光学">光学</a>、<a href="/wiki/%E9%9B%BB%E7%A3%81%E6%B0%97%E5%AD%A6" title="電磁気学">電磁気学</a>、<a href="/wiki/%E9%87%8F%E5%AD%90%E5%8A%9B%E5%AD%A6" title="量子力学">量子力学</a>などにおける様々な物理現象のモデル化と研究に利用される。 <a href="/wiki/%E9%81%8B%E5%8B%95_(%E7%89%A9%E7%90%86%E5%AD%A6)" title="運動 (物理学)">運動学</a>や<a href="/wiki/%E3%83%AD%E3%83%9C%E3%83%83%E3%83%88%E5%B7%A5%E5%AD%A6" title="ロボット工学">ロボット工学</a>では<a href="/wiki/%E5%BA%A7%E6%A8%99%E5%A4%89%E6%8F%9B" class="mw-redirect" title="座標変換">座標変換</a>や<a href="/wiki/%E5%A7%BF%E5%8B%A2%E5%88%B6%E5%BE%A1" title="姿勢制御">姿勢制御</a>などに行列が使われる。特に<a href="/w/index.php?title=%E5%90%8C%E6%AC%A1%E5%BA%A7%E6%A8%99&action=edit&redlink=1" class="new" title="「同次座標」 (存在しないページ)">同次座標</a>（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Homogeneous_coordinates" class="extiw" title="en:Homogeneous coordinates">英語版</a>）変換のため、2次元の座標変換では3×3行列が、3次元の座標変換では4×4行列が使われることが多い。<a href="/wiki/%E3%82%B3%E3%83%B3%E3%83%94%E3%83%A5%E3%83%BC%E3%82%BF%E3%82%B0%E3%83%A9%E3%83%95%E3%82%A3%E3%83%83%E3%82%AF%E3%82%B9" title="コンピュータグラフィックス">コンピュータグラフィックス</a>にも応用されている（後述）。 <a href="/wiki/%E7%A2%BA%E7%8E%87%E8%AB%96" title="確率論">確率論</a>や<a href="/wiki/%E7%B5%B1%E8%A8%88%E5%AD%A6" title="統計学">統計学</a>、<a href="/wiki/%E7%A2%BA%E7%8E%87%E8%A1%8C%E5%88%97" title="確率行列">確率行列</a>において行列は<a href="/wiki/%E7%A2%BA%E7%8E%87" title="確率">確率</a>の組を表現するのに用いられ、例えば、これは<a href="/wiki/Google%E6%A4%9C%E7%B4%A2" class="mw-redirect" title="Google検索">Google検索</a>における<a href="/wiki/%E3%83%9A%E3%83%BC%E3%82%B8%E3%83%A9%E3%83%B3%E3%82%AF" title="ページランク">ページランク</a>の<a href="/wiki/%E3%82%A2%E3%83%AB%E3%82%B4%E3%83%AA%E3%82%BA%E3%83%A0" title="アルゴリズム">アルゴリズム</a>で使われている。 <a href="/w/index.php?title=%E8%A1%8C%E5%88%97%E3%81%AE%E5%BE%AE%E7%A9%8D%E5%88%86&action=edit&redlink=1" class="new" title="「行列の微積分」 (存在しないページ)">行列の微積分</a>（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Matrix_calculus" class="extiw" title="en:Matrix calculus">英語版</a>）は、古典的な<a href="/wiki/%E8%A7%A3%E6%9E%90%E5%AD%A6" title="解析学">解析学</a>における<a href="/wiki/%E5%BE%AE%E5%88%86" title="微分">微分</a>や<a href="/wiki/%E6%8C%87%E6%95%B0%E9%96%A2%E6%95%B0" title="指数関数">指数関数</a>の概念を高次元へ一般化するものである。 <a href="/wiki/%E7%B5%8C%E6%B8%88%E5%AD%A6" title="経済学">経済学</a>では経済上の関係のシステムを説明するのに行列が用いられる。 <div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="アルゴリズム">アルゴリズム</h4>[<a href="/w/index.php?title=%E8%A1%8C%E5%88%97&action=edit&section=9" title="節を編集: アルゴリズム">編集</a>]</div> 行列計算の効率的なアルゴリズムの研究は<a href="/wiki/%E6%95%B0%E5%80%A4%E8%A7%A3%E6%9E%90" title="数値解析">数値解析</a>における主要な分野であり、これは何世紀にもわたるもので、今日でも研究領域が広がっている。 <a href="/wiki/%E8%A1%8C%E5%88%97%E3%81%AE%E5%88%86%E8%A7%A3" title="行列の分解">行列の分解</a>は、理論的にも実用的にも計算を簡単化するもので、そのアルゴリズムは<a href="/wiki/%E6%AD%A3%E6%96%B9%E8%A1%8C%E5%88%97" title="正方行列">正方行列</a>や<a href="/wiki/%E5%AF%BE%E8%A7%92%E8%A1%8C%E5%88%97" title="対角行列">対角行列</a>などといった行列の特定の構造に合わせて仕立てられており、<a href="/wiki/%E6%9C%89%E9%99%90%E8%A6%81%E7%B4%A0%E6%B3%95" title="有限要素法">有限要素法</a>やそのほかの計算を効率的に処理させる。 惑星運動論や原子論では無限次行列が現れる。 無限次行列の簡単な例としては、関数の<a href="/wiki/%E3%83%86%E3%82%A4%E3%83%A9%E3%83%BC%E7%B4%9A%E6%95%B0" class="mw-redirect" title="テイラー級数">テイラー級数</a>に対して作用する<a href="/wiki/%E5%BE%AE%E5%88%86%E4%BD%9C%E7%94%A8%E7%B4%A0" title="微分作用素">微分作用素</a>を表す行列がある。 <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="素朴な定義">素朴な定義</h2>[<a href="/w/index.php?title=%E8%A1%8C%E5%88%97&action=edit&section=10" title="節を編集: 素朴な定義">編集</a>]</div> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="記法">記法</h3>[<a href="/w/index.php?title=%E8%A1%8C%E5%88%97&action=edit&section=11" title="節を編集: 記法">編集</a>]</div> 行列は数または数を表わす文字から成る要素 (英: element) を矩形状に書き並べて、大きな<a href="/wiki/%E4%B8%B8%E6%8B%AC%E5%BC%A7" class="mw-redirect" title="丸括弧">丸括弧</a>（あるいは<a href="/wiki/%E8%A7%92%E6%8B%AC%E5%BC%A7" class="mw-redirect" title="角括弧">角括弧</a>）で括った形に書かれる。ここで文字送りの方向（横）の並びを行 (英: row) といい、行送りの方向（縦）の並びを列 (英: column) と呼ぶ<a href="#cite_note-斎藤2017-21-1">[1]</a>。例えば <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\end{bmatrix}},\ {\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\end{pmatrix}},\ {\begin{bmatrix}3&-4&6\\0&1&-2\end{bmatrix}},\ {\begin{pmatrix}3&-4&6\\0&1&-2\end{pmatrix}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow> <mo>[</mo> <mtable rowspacing="4pt" columnspacing="1em"> <mtr> <mtd> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>11</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>12</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>13</mn> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>21</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>22</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>23</mn> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>]</mo> </mrow> </mrow> <mo>,</mo> <mtext> </mtext> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow> <mo>(</mo> <mtable rowspacing="4pt" columnspacing="1em"> <mtr> <mtd> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>11</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>12</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>13</mn> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>21</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>22</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>23</mn> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mo>,</mo> <mtext> </mtext> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow> <mo>[</mo> <mtable rowspacing="4pt" columnspacing="1em"> <mtr> <mtd> <mn>3</mn> </mtd> <mtd> <mo>−</mo> <mn>4</mn> </mtd> <mtd> <mn>6</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> <mtd> <mo>−</mo> <mn>2</mn> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>]</mo> </mrow> </mrow> <mo>,</mo> <mtext> </mtext> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow> <mo>(</mo> <mtable rowspacing="4pt" columnspacing="1em"> <mtr> <mtd> <mn>3</mn> </mtd> <mtd> <mo>−</mo> <mn>4</mn> </mtd> <mtd> <mn>6</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> <mtd> <mo>−</mo> <mn>2</mn> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\end{bmatrix}},\ {\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\end{pmatrix}},\ {\begin{bmatrix}3&-4&6\\0&1&-2\end{bmatrix}},\ {\begin{pmatrix}3&-4&6\\0&1&-2\end{pmatrix}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/858d955efb3167e6b0d8cb8182e990da570b369e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:71.026ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\end{bmatrix}},\ {\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\end{pmatrix}},\ {\begin{bmatrix}3&-4&6\\0&1&-2\end{bmatrix}},\ {\begin{pmatrix}3&-4&6\\0&1&-2\end{pmatrix}}}"></dd></dl> は 2 つの行と 3 つの列を持つ行列である。行列自身は、ふつうはアルファベットの大文字イタリック（しばしば太字<a href="#cite_note-3">[注釈 1]</a>）で表し、その要素は対応する小文字に二つの添字を付けたもので表す（略式的に行列を表す大文字に添字を付けたものを用いることもあるが、その場合<a href="/wiki/%E5%B0%8F%E8%A1%8C%E5%88%97" title="小行列">小行列</a>の記号と紛らわしい）。つまり一般の m 行 n 列の行列を <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A=\mathbf {A} ={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\end{bmatrix}}={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\end{pmatrix}}=[\mathbf {a} _{ij}]_{m\times n,(1\leq i\leq m\ ,1\leq j\leq n)}=(\mathbf {a} _{ij})_{m\times n,(1\leq i\leq m\ ,1\leq j\leq n)}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>A</mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">A</mi> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow> <mo>[</mo> <mtable rowspacing="4pt" columnspacing="1em"> <mtr> <mtd> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>11</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>12</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mo>⋯</mo> </mtd> <mtd> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> <mi>n</mi> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>21</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>22</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mo>⋯</mo> </mtd> <mtd> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> <mi>n</mi> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mo>⋮</mo> </mtd> <mtd> <mo>⋮</mo> </mtd> <mtd> <mo>⋱</mo> </mtd> <mtd> <mo>⋮</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>m</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>m</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mo>⋯</mo> </mtd> <mtd> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>m</mi> <mi>n</mi> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>]</mo> </mrow> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow> <mo>(</mo> <mtable rowspacing="4pt" columnspacing="1em"> <mtr> <mtd> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>11</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>12</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mo>⋯</mo> </mtd> <mtd> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> <mi>n</mi> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>21</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>22</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mo>⋯</mo> </mtd> <mtd> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> <mi>n</mi> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mo>⋮</mo> </mtd> <mtd> <mo>⋮</mo> </mtd> <mtd> <mo>⋱</mo> </mtd> <mtd> <mo>⋮</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>m</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>m</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mo>⋯</mo> </mtd> <mtd> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>m</mi> <mi>n</mi> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">[</mo> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">a</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <msub> <mo stretchy="false">]</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>m</mi> <mo>×</mo> <mi>n</mi> <mo>,</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>1</mn> <mo>≤</mo> <mi>i</mi> <mo>≤</mo> <mi>m</mi> <mtext> </mtext> <mo>,</mo> <mn>1</mn> <mo>≤</mo> <mi>j</mi> <mo>≤</mo> <mi>n</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">a</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>m</mi> <mo>×</mo> <mi>n</mi> <mo>,</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>1</mn> <mo>≤</mo> <mi>i</mi> <mo>≤</mo> <mi>m</mi> <mtext> </mtext> <mo>,</mo> <mn>1</mn> <mo>≤</mo> <mi>j</mi> <mo>≤</mo> <mi>n</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A=\mathbf {A} ={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\end{bmatrix}}={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\end{pmatrix}}=[\mathbf {a} _{ij}]_{m\times n,(1\leq i\leq m\ ,1\leq j\leq n)}=(\mathbf {a} _{ij})_{m\times n,(1\leq i\leq m\ ,1\leq j\leq n)}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa540c8d0779efbb49b81ac44b0d06753431d657" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -6.505ex; width:113.457ex; height:14.176ex;" alt="{\displaystyle A=\mathbf {A} ={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\end{bmatrix}}={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\end{pmatrix}}=[\mathbf {a} _{ij}]_{m\times n,(1\leq i\leq m\ ,1\leq j\leq n)}=(\mathbf {a} _{ij})_{m\times n,(1\leq i\leq m\ ,1\leq j\leq n)}}"></dd></dl> のように書く。 <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="成分_2">成分</h3>[<a href="/w/index.php?title=%E8%A1%8C%E5%88%97&action=edit&section=12" title="節を編集: 成分">編集</a>]</div> <div class="rellink" style="margin-bottom: 0.5em; padding-left: 2em; font-size: 90%;" role="note">→詳細は「<a href="/wiki/%E8%A1%8C%E5%88%97%E8%A6%81%E7%B4%A0" title="行列要素">行列要素</a>」を参照</div> 書き並べられた要素は行列の成分 (英: entry, component) と呼ばれる<a href="#cite_note-斎藤2017-21-1">[1]</a>。成分が取り得る値は（さまざまな対象を想定できるが）大抵の場合はある<a href="/wiki/%E5%8F%AF%E6%8F%9B%E4%BD%93" title="可換体">体</a>または<a href="/wiki/%E5%8F%AF%E6%8F%9B%E7%92%B0" title="可換環">可換環</a> K の元であり、このとき K 上の行列 (英: matrix over K) という。特に、K が<a href="/wiki/%E5%AE%9F%E6%95%B0" title="実数">実数</a>全体の成す体 R であるとき実行列と呼び、<a href="/wiki/%E8%A4%87%E7%B4%A0%E6%95%B0" title="複素数">複素数</a>全体の成す体 C のとき複素行列と呼ぶ。 一つの成分を特定するには、二つの添字が必要である。行列の第 i 行目、j 列目の成分を特に行列の (i, j) 成分と呼ぶ<a href="#cite_note-斎藤2017-21-1">[1]</a>。例えば上記行列 A の (1, 2) 成分は a1 2 である。行列の (i, j) 成分はふつう ai j のように二つの添字を単に横並びに書くが、誤解を避けるために添字の間に<a href="/wiki/%E3%82%B3%E3%83%B3%E3%83%9E" title="コンマ">コンマ</a>を入れることもある。例えば 1 行 11 列目の成分を a1,11 と書いてよい。また略式的には、行列 A の (i, j) 成分を指定するのに Ai j という記法を用いることがある。この場合、例えば積（後述）A B の (i, j) 成分を (A B)i j と指定したりできるので、これで記述の簡素化を図れる場合もある。 <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="型">型</h3>[<a href="/w/index.php?title=%E8%A1%8C%E5%88%97&action=edit&section=13" title="節を編集: 型">編集</a>]</div> 行列に含まれる行の数が m, 列の数が n である時に、その行列を m 行 n 列行列や m × n 行列、m n 行列などと呼ぶ<a href="#cite_note-斎藤2017-21-1">[1]</a>。行列を構成する行の数と列の数の対を型 (英: type) あるいはサイズという。したがって m 行 n 列行列のことを (m, n) 型行列などと呼ぶこともある<a href="#cite_note-斎藤2017-21-1">[1]</a>。K 上の m × n 行列の全体は Km×n, Km,n や Mat(m, n; K), Mm×n(K) などで表される。 1つの列を持つ行列を列ベクトル、1つの行をもつ行列を行ベクトルと呼ぶ。例えば行列 <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{bmatrix}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>A</mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow> <mo>[</mo> <mtable rowspacing="4pt" columnspacing="1em"> <mtr> <mtd> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>11</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>12</mn> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>21</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>22</mn> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>]</mo> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{bmatrix}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c1705d2f57d788781000cad5a5524e13f8a14517" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:16.583ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle A={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{bmatrix}}}"></dd></dl> に対して、[a1 1 a2 1] ， [a1 2 a2 2] はその列ベクトル、[a1 1 a1 2], [a2 1 a2 2] はその行ベクトルである。 行と列の数が同じである行列は<a href="/wiki/%E6%AD%A3%E6%96%B9%E8%A1%8C%E5%88%97" title="正方行列">正方行列</a>と呼ばれる。無限の行または列をもつ行列を無限次行列と呼ぶ。<a href="/wiki/%E3%83%97%E3%83%AD%E3%82%B0%E3%83%A9%E3%83%9F%E3%83%B3%E3%82%B0" title="プログラミング">プログラミング</a>において行または列を持たない行列を考えると便利となることがしばしばあるが、このような行列を空行列と呼ぶ。 <table class="wikitable"> <tbody><tr> <th>名前</th> <th>型</th> <th>例</th> <th>説明 </th></tr> <tr> <td>行ベクトル</td> <td>1 × n</td> <td style="text-align:center;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\begin{bmatrix}3&7&2\end{bmatrix}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow> <mo>[</mo> <mtable rowspacing="4pt" columnspacing="1em"> <mtr> <mtd> <mn>3</mn> </mtd> <mtd> <mn>7</mn> </mtd> <mtd> <mn>2</mn> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>]</mo> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{bmatrix}3&7&2\end{bmatrix}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47374c1d98d87b805e7c798d77865d060fc9780d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:10.178ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\begin{bmatrix}3&7&2\end{bmatrix}}}"> </td> <td>1つの行を持つ行列。ベクトルを表すのに使われることがある。 </td></tr> <tr> <td>列ベクトル</td> <td>n × 1</td> <td style="text-align:center;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\begin{bmatrix}4\\1\\8\end{bmatrix}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow> <mo>[</mo> <mtable rowspacing="4pt" columnspacing="1em"> <mtr> <mtd> <mn>4</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>8</mn> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>]</mo> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{bmatrix}4\\1\\8\end{bmatrix}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d5f6732e6903bb84f36b682d8762f9ec5f8b489d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -4.005ex; width:5.015ex; height:9.176ex;" alt="{\displaystyle {\begin{bmatrix}4\\1\\8\end{bmatrix}}}"> </td> <td>1つの列を持つ行列。ベクトルを表すのに使われることがある。 </td></tr> <tr> <td>正方行列</td> <td>n × n</td> <td style="text-align:center;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\begin{bmatrix}9&13&5\\1&11&7\\2&6&3\end{bmatrix}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow> <mo>[</mo> <mtable rowspacing="4pt" columnspacing="1em"> <mtr> <mtd> <mn>9</mn> </mtd> <mtd> <mn>13</mn> </mtd> <mtd> <mn>5</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> <mtd> <mn>11</mn> </mtd> <mtd> <mn>7</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>2</mn> </mtd> <mtd> <mn>6</mn> </mtd> <mtd> <mn>3</mn> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>]</mo> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{bmatrix}9&13&5\\1&11&7\\2&6&3\end{bmatrix}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55375914df4213b621f22cb1e5a0d6eb09af29df" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -4.005ex; width:13.147ex; height:9.176ex;" alt="{\displaystyle {\begin{bmatrix}9&13&5\\1&11&7\\2&6&3\end{bmatrix}}}"> </td> <td>行と列の数が同じである行列。<a href="/wiki/%E9%8F%A1%E6%98%A0" title="鏡映">鏡映</a>や<a href="/wiki/%E5%9B%9E%E8%BB%A2_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)" title="回転 (数学)">回転</a>、<a href="/wiki/%E3%81%9B%E3%82%93%E6%96%AD%E5%86%99%E5%83%8F" title="せん断写像">せん断</a>のような<a href="/wiki/%E3%83%99%E3%82%AF%E3%83%88%E3%83%AB%E7%A9%BA%E9%96%93" title="ベクトル空間">ベクトル空間</a>の<a href="/wiki/%E7%B7%9A%E5%BD%A2%E5%A4%89%E6%8F%9B" class="mw-redirect" title="線形変換">線形変換</a>を表すのに使われることがある。 </td></tr></tbody></table> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="厳密な定義">厳密な定義</h2>[<a href="/w/index.php?title=%E8%A1%8C%E5%88%97&action=edit&section=14" title="節を編集: 厳密な定義">編集</a>]</div> 行列は二重に添字づけられた<a href="/wiki/%E6%97%8F_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)" title="族 (数学)">族</a>であり、添字の各対 (i, j) に成分 aij を割り当てる二変数写像 <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A\colon \{1,\ldots ,m\}\times \{1,\dots ,n\}\to K;\quad (i,j)\mapsto a_{ij}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>A</mi> <mo>:</mo> <mo fence="false" stretchy="false">{</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mo>…</mo> <mo>,</mo> <mi>m</mi> <mo fence="false" stretchy="false">}</mo> <mo>×</mo> <mo fence="false" stretchy="false">{</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mo>…</mo> <mo>,</mo> <mi>n</mi> <mo fence="false" stretchy="false">}</mo> <mo stretchy="false">→</mo> <mi>K</mi> <mo>;</mo> <mspace width="1em" /> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>i</mi> <mo>,</mo> <mi>j</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">↦</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A\colon \{1,\ldots ,m\}\times \{1,\dots ,n\}\to K;\quad (i,j)\mapsto a_{ij}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d8286259232df6549f92102b0a1e133be04c46f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:46.345ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle A\colon \{1,\ldots ,m\}\times \{1,\dots ,n\}\to K;\quad (i,j)\mapsto a_{ij}}"></dd></dl> である。例えば添字の対 (1, 2) には写像の値として a12 が割り当てられる。値 aij は行列の i-行 j-列成分であるといい、m および n はそれぞれ行および列の数を意味する。写像としての行列の定義と行列が表す線型写像とを混同してはならない。 K に成分を持つ m × n 行列の全体は、したがって<a href="/wiki/%E9%85%8D%E7%BD%AE%E9%9B%86%E5%90%88" title="配置集合">配置集合</a> <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \operatorname {map} (\{1,\ldots ,m\}\times \{1,\ldots ,n\},K)=K^{\{1,\ldots ,m\}\times \{1,\ldots n\}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>map</mi> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mo fence="false" stretchy="false">{</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mo>…</mo> <mo>,</mo> <mi>m</mi> <mo fence="false" stretchy="false">}</mo> <mo>×</mo> <mo fence="false" stretchy="false">{</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mo>…</mo> <mo>,</mo> <mi>n</mi> <mo fence="false" stretchy="false">}</mo> <mo>,</mo> <mi>K</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <msup> <mi>K</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo fence="false" stretchy="false">{</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mo>…</mo> <mo>,</mo> <mi>m</mi> <mo fence="false" stretchy="false">}</mo> <mo>×</mo> <mo fence="false" stretchy="false">{</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mo>…</mo> <mi>n</mi> <mo fence="false" stretchy="false">}</mo> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \operatorname {map} (\{1,\ldots ,m\}\times \{1,\ldots ,n\},K)=K^{\{1,\ldots ,m\}\times \{1,\ldots n\}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/35384e6b1d995721b254a3f644d3428741a899f6" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:52.194ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle \operatorname {map} (\{1,\ldots ,m\}\times \{1,\ldots ,n\},K)=K^{\{1,\ldots ,m\}\times \{1,\ldots n\}}}"></dd></dl> であり、省略形として Km×n（あるいはやや稀だが mKn）や M(m×n; K) などと書くことの一つの根拠になる。 行の数と列の数が一致するような行列は<a href="/wiki/%E6%AD%A3%E6%96%B9%E8%A1%8C%E5%88%97" title="正方行列">正方行列</a>と呼ばれる。 ただ一つの列を持つ行列は列ベクトル、ただ一つの行を持つ行列は行ベクトルと呼ばれる。Kn のベクトルは、文脈によって<a href="/wiki/%E8%A1%8C%E3%83%99%E3%82%AF%E3%83%88%E3%83%AB%E7%A9%BA%E9%96%93" class="mw-redirect" title="行ベクトル空間">行ベクトル空間</a> K1×n または<a href="/wiki/%E5%88%97%E3%83%99%E3%82%AF%E3%83%88%E3%83%AB%E7%A9%BA%E9%96%93" class="mw-redirect" title="列ベクトル空間">列ベクトル空間</a> Kn×1 の元を表すのにも用いられる。 <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="歴史">歴史</h2>[<a href="/w/index.php?title=%E8%A1%8C%E5%88%97&action=edit&section=15" title="節を編集: 歴史">編集</a>]</div> <a href="/wiki/%E7%B7%9A%E5%9E%8B%E6%96%B9%E7%A8%8B%E5%BC%8F" title="線型方程式">線型方程式</a>の解法における応用に関して、行列は長い歴史を持つ。紀元前10世紀から紀元前2世紀の間に書かれた中国の書物『<a href="/wiki/%E4%B9%9D%E7%AB%A0%E7%AE%97%E8%A1%93" title="九章算術">九章算術</a>』は<a href="/wiki/%E7%B7%9A%E5%9E%8B%E6%96%B9%E7%A8%8B%E5%BC%8F%E7%B3%BB" title="線型方程式系">連立方程式</a>の解法に行列を用いた最初の例であるといわれ<a href="#cite_note-4">[3]</a>、それには<a href="/wiki/%E8%A1%8C%E5%88%97%E5%BC%8F" title="行列式">行列式</a>の概念が含まれていた。1545年にイタリアの数学者<a href="/wiki/%E3%82%B8%E3%82%A7%E3%83%AD%E3%83%A9%E3%83%A2%E3%83%BB%E3%82%AB%E3%83%AB%E3%83%80%E3%83%BC%E3%83%8E" title="ジェロラモ・カルダーノ">ジェロラモ・カルダーノ</a>は『偉大なる術（アルス・マグナ）』を著し、この方法をヨーロッパに持ち込んだ。日本の<a href="/wiki/%E9%96%A2%E5%AD%9D%E5%92%8C" title="関孝和">関孝和</a>は1683年に連立方程式の解法として同様に行列による方法を用いている<a href="#cite_note-5">[4]</a>。ドイツの<a href="/wiki/%E3%83%A8%E3%83%8F%E3%83%B3%E3%83%BB%E3%83%87%E3%83%BB%E3%82%A6%E3%82%A3%E3%83%83%E3%83%88" title="ヨハン・デ・ウィット">ヨハン・デ・ウィット</a>は1659年の著書 Elements of Curves において行列の変形について説明している。1700年から1710年にかけてドイツの<a href="/wiki/%E3%82%B4%E3%83%83%E3%83%88%E3%83%95%E3%83%AA%E3%83%BC%E3%83%88%E3%83%BB%E3%83%A9%E3%82%A4%E3%83%97%E3%83%8B%E3%83%83%E3%83%84" title="ゴットフリート・ライプニッツ">ライプニッツ</a>は50以上の異なる体系を用いて行列の使い方を発表した。<a href="/wiki/%E3%82%AC%E3%83%96%E3%83%AA%E3%82%A8%E3%83%AB%E3%83%BB%E3%82%AF%E3%83%A9%E3%83%A1%E3%83%BC%E3%83%AB" title="ガブリエル・クラメール">クラメル</a>が<a href="/wiki/%E3%82%AF%E3%83%A9%E3%83%A1%E3%83%AB%E3%81%AE%E5%85%AC%E5%BC%8F" title="クラメルの公式">有名な公式</a>を生み出すのは1750年のことである。 行列論の初期においては、行列よりも行列式のほうに非常に重きが置かれており、行列式から離れて現代的な行列の概念と同種のものが浮き彫りにされるのは1858年、<a href="/wiki/%E3%82%A2%E3%83%BC%E3%82%B5%E3%83%BC%E3%83%BB%E3%82%B1%E3%82%A4%E3%83%AA%E3%83%BC" title="アーサー・ケイリー">ケイリー</a>の歴史的論文 Memoir on the theory of matrices（「行列論回想」）においてである<a href="#cite_note-FOOTNOTECayley1889475–496vol._II-6">[5]</a><a href="#cite_note-FOOTNOTEDieudonné197896Vol._1,_Ch._III-7">[6]</a>。用語 "matrix"（ラテン語で「生み出すもの」の意味の語に由来）<a href="#cite_note-8">[7]</a>は<a href="/wiki/%E3%82%B8%E3%82%A7%E3%83%BC%E3%83%A0%E3%82%B9%E3%83%BB%E3%82%B8%E3%83%A7%E3%82%BB%E3%83%95%E3%83%BB%E3%82%B7%E3%83%AB%E3%83%99%E3%82%B9%E3%82%BF%E3%83%BC" title="ジェームス・ジョセフ・シルベスター">シルベスター</a>が導入した。シルベスターは行列を、（今日<a href="/wiki/%E5%B0%8F%E8%A1%8C%E5%88%97%E5%BC%8F" title="小行列式">小行列式</a>と呼ばれる）もとの行列から一部の行や列を取り除いて得られる小行列の行列式として、たくさんの行列式を生じるものとして理解していた<a href="#cite_note-9">[注釈 2]</a>。1851年の論文でシルベスターは <blockquote class="toccolours" style="float:none; display:table; border: 1px solid #aaa;"><div style="padding: 10px 15px 10px 15px;">I have in previous papers defined a "Matrix" as a rectangular array of terms, out of which different systems of determinants may be engendered as from the womb of a common parent. （以前の論文で、項を矩形状に並べた配列として定義した "Matrix" は、そのうちで異なる行列式の体系を生み出す共通の親としての母体である。）</div></blockquote> と説明している<a href="#cite_note-10">[8]</a>。行列式の研究はいくつかの流れから生じてきたものである<a href="#cite_note-FOOTNOTEKnobloch1994-11">[9]</a>。<a href="/wiki/%E6%95%B0%E8%AB%96" title="数論">数論</a>的な問題はガウスが<a href="/wiki/%E4%BA%8C%E6%AC%A1%E5%BD%A2%E5%BC%8F" title="二次形式">二次形式</a>（つまり、<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x^{2}+xy-2y^{2}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mi>x</mi> <mi>y</mi> <mo>−</mo> <mn>2</mn> <msup> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x^{2}+xy-2y^{2}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31e272058388bbddc67eb70fafbd5470781ed9ad" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:13.927ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle x^{2}+xy-2y^{2}}">のような数式）の係数と三次元の<a href="/wiki/%E7%B7%9A%E5%9E%8B%E5%86%99%E5%83%8F" title="線型写像">線型写像</a>を行列に結び付けたことに始まり、<a href="/wiki/%E3%83%95%E3%82%A7%E3%83%AB%E3%83%87%E3%82%A3%E3%83%8A%E3%83%B3%E3%83%88%E3%83%BB%E3%82%B4%E3%83%83%E3%83%88%E3%83%9B%E3%83%AB%E3%83%88%E3%83%BB%E3%83%9E%E3%83%83%E3%82%AF%E3%82%B9%E3%83%BB%E3%82%A2%E3%82%A4%E3%82%BC%E3%83%B3%E3%82%B7%E3%83%A5%E3%82%BF%E3%82%A4%E3%83%B3" title="フェルディナント・ゴットホルト・マックス・アイゼンシュタイン">アイゼンシュタイン</a>がこれらの概念をさらに進めて、現代的な用語でいえば<a href="/wiki/%E8%A1%8C%E5%88%97%E3%81%AE%E7%A9%8D" class="mw-redirect" title="行列の積">行列の積</a>が<a href="/wiki/%E9%9D%9E%E5%8F%AF%E6%8F%9B" class="mw-redirect" title="非可換">非可換</a>であることなどを指摘した。<a href="/wiki/%E3%82%AA%E3%83%BC%E3%82%AE%E3%83%A5%E3%82%B9%E3%82%BF%E3%83%B3%E3%83%BB%E3%83%AB%E3%82%A4%E3%83%BB%E3%82%B3%E3%83%BC%E3%82%B7%E3%83%BC" class="mw-redirect" title="オーギュスタン・ルイ・コーシー">コーシー</a>は行列 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A=(a_{ij})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>A</mi> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A=(a_{ij})}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/296ad42d9541f8285979ce822ccb661da56111ca" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:9.358ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle A=(a_{ij})}"> の行列式として、<a href="/wiki/%E5%A4%9A%E9%A0%85%E5%BC%8F" title="多項式">多項式</a> <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a_{1}a_{2}\cdots a_{n}\prod _{i<j}(a_{j}-a_{i})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>⋯</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <munder> <mo>∏</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mo><</mo> <mi>j</mi> </mrow> </munder> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mo>−</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a_{1}a_{2}\cdots a_{n}\prod _{i<j}(a_{j}-a_{i})}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f14a2607d5d97478469f03e3f035246a18186285" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.338ex; width:22.689ex; height:5.843ex;" alt="{\displaystyle a_{1}a_{2}\cdots a_{n}\prod _{i<j}(a_{j}-a_{i})}"></dd></dl> （ここで ∏ は条件を満たす項の<a href="/wiki/%E7%B7%8F%E4%B9%97" title="総乗">総乗</a>を表す）の冪 a j k  を ajk で置き換えたものという定義を採用し、それを用いて行列式についての一般的な主張を証明した最初の人である。コーシーは1829年に、対称行列の<a href="/wiki/%E5%9B%BA%E6%9C%89%E5%80%A4" class="mw-redirect" title="固有値">固有値</a>が全て実数であることも示している<a href="#cite_note-FOOTNOTEHawkins1975-12">[10]</a>。<a href="/wiki/%E3%82%AB%E3%83%BC%E3%83%AB%E3%83%BB%E3%82%B0%E3%82%B9%E3%82%BF%E3%83%95%E3%83%BB%E3%83%A4%E3%82%B3%E3%83%96%E3%83%BB%E3%83%A4%E3%82%B3%E3%83%93" title="カール・グスタフ・ヤコブ・ヤコビ">ヤコビ</a>は、幾何学的変換の局所的あるいは無限小のレベルでの挙動を記述することができる<a href="/wiki/%E9%96%A2%E6%95%B0%E8%A1%8C%E5%88%97" class="mw-redirect" title="関数行列">関数行列式</a>（後にシルベスターが「ヤコビ行列式」と呼んだ）の研究を行った。<a href="/wiki/%E3%83%AC%E3%82%AA%E3%83%9D%E3%83%AB%E3%83%88%E3%83%BB%E3%82%AF%E3%83%AD%E3%83%8D%E3%83%83%E3%82%AB%E3%83%BC" title="レオポルト・クロネッカー">クロネッカー</a>の Vorlesungen über die Theorie der Determinanten<a href="#cite_note-FOOTNOTEKronecker1897-13">[11]</a> と<a href="/wiki/%E3%82%AB%E3%83%BC%E3%83%AB%E3%83%BB%E3%83%AF%E3%82%A4%E3%82%A8%E3%83%AB%E3%82%B7%E3%83%A5%E3%83%88%E3%83%A9%E3%82%B9" title="カール・ワイエルシュトラス">ワイエルシュトラス</a>の Zur Determinantentheorie<a href="#cite_note-FOOTNOTEWeierstrass1915271–286-14">[12]</a> はともに1903年に出版された。前者は、それまでのコーシーの用いた公式のような具体的な手法とは反対に、行列式を<a href="/w/index.php?title=%E5%85%AC%E7%90%86%E8%AB%96&action=edit&redlink=1" class="new" title="「公理論」 (存在しないページ)">公理的</a>に扱ったものである。これを以って、行列式の概念がきっちりと確立されたと見なされている。 多くの定理は、初めて確立されたときには小さいサイズの行列に限った主張として示された。例えば<a href="/wiki/%E3%82%B1%E3%83%BC%E3%83%AA%E3%83%BC%EF%BC%9D%E3%83%8F%E3%83%9F%E3%83%AB%E3%83%88%E3%83%B3%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86" class="mw-redirect" title="ケーリー＝ハミルトンの定理">ケーリー＝ハミルトンの定理</a>は、ケイリーが先述の回想録において 2 × 2 行列に対して示し、<a href="/wiki/%E3%82%A6%E3%82%A3%E3%83%AA%E3%82%A2%E3%83%A0%E3%83%BB%E3%83%AD%E3%83%BC%E3%83%AF%E3%83%B3%E3%83%BB%E3%83%8F%E3%83%9F%E3%83%AB%E3%83%88%E3%83%B3" title="ウィリアム・ローワン・ハミルトン">ハミルトン</a>が 4 × 4 行列に対して証明して、その後の1898年に<a href="/wiki/%E3%83%95%E3%82%A7%E3%83%AB%E3%83%87%E3%82%A3%E3%83%8A%E3%83%B3%E3%83%88%E3%83%BB%E3%82%B2%E3%82%AA%E3%83%AB%E3%82%AF%E3%83%BB%E3%83%95%E3%83%AD%E3%83%99%E3%83%8B%E3%82%A6%E3%82%B9" title="フェルディナント・ゲオルク・フロベニウス">フロベニウス</a>が<a href="/wiki/%E5%8F%8C%E7%B7%9A%E5%9E%8B%E5%BD%A2%E5%BC%8F" title="双線型形式">双線型形式</a>についての研究の過程で任意次元に拡張した。また、19世紀の終わりに、（<a href="/wiki/%E3%82%AC%E3%82%A6%E3%82%B9%E3%81%AE%E6%B6%88%E5%8E%BB%E6%B3%95" title="ガウスの消去法">ガウスの消去法</a>として今日知られるものを特別の場合として含む）<a href="/wiki/%E3%82%AC%E3%82%A6%E3%82%B9%E2%80%93%E3%82%B8%E3%83%A7%E3%83%AB%E3%83%80%E3%83%B3%E6%B6%88%E5%8E%BB%E6%B3%95" class="mw-redirect" title="ガウス–ジョルダン消去法">ガウス–ジョルダン消去法</a>を<a href="/w/index.php?title=%E3%83%B4%E3%82%A3%E3%83%AB%E3%83%98%E3%83%AB%E3%83%A0%E3%83%BB%E3%83%A8%E3%83%AB%E3%83%80%E3%83%B3&action=edit&redlink=1" class="new" title="「ヴィルヘルム・ヨルダン」 (存在しないページ)">ジョルダン</a>（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Wilhelm_Jordan_(geodesist)" class="extiw" title="en:Wilhelm Jordan (geodesist)">英語版</a>）が確立し、20世紀の初頭には行列は線型代数学の中心的役割を果たすようになった<a href="#cite_note-FOOTNOTEBôcher2004-15">[13]</a>。前世紀の<a href="/wiki/%E5%A4%9A%E5%85%83%E6%95%B0" title="多元数">超複素数系</a>の分類にも行列の利用が部分的に貢献した。 <a href="/wiki/%E3%83%B4%E3%82%A7%E3%83%AB%E3%83%8A%E3%83%BC%E3%83%BB%E3%83%8F%E3%82%A4%E3%82%BC%E3%83%B3%E3%83%99%E3%83%AB%E3%82%AF" title="ヴェルナー・ハイゼンベルク">ハイゼンベルク</a>、<a href="/wiki/%E3%83%9E%E3%83%83%E3%82%AF%E3%82%B9%E3%83%BB%E3%83%9C%E3%83%AB%E3%83%B3" title="マックス・ボルン">ボルン</a>、<a href="/wiki/%E3%83%91%E3%82%B9%E3%82%AF%E3%82%A2%E3%83%AB%E3%83%BB%E3%83%A8%E3%83%AB%E3%83%80%E3%83%B3" title="パスクアル・ヨルダン">ジョルダン</a>らによる<a href="/wiki/%E8%A1%8C%E5%88%97%E5%8A%9B%E5%AD%A6" title="行列力学">行列力学</a>の創始は、行または列の数が無限であるような行列の研究へ繋がるものであった<a href="#cite_note-FOOTNOTEMehraRechenberg1987-16">[14]</a>。後に<a href="/wiki/%E3%82%B8%E3%83%A7%E3%83%B3%E3%83%BB%E3%83%95%E3%82%A9%E3%83%B3%E3%83%BB%E3%83%8E%E3%82%A4%E3%83%9E%E3%83%B3" title="ジョン・フォン・ノイマン">フォン・ノイマン</a>は、（大体無限次元の<a href="/wiki/%E3%83%A6%E3%83%BC%E3%82%AF%E3%83%AA%E3%83%83%E3%83%89%E7%A9%BA%E9%96%93" title="ユークリッド空間">ユークリッド空間</a>にあたる）<a href="/wiki/%E3%83%92%E3%83%AB%E3%83%99%E3%83%AB%E3%83%88%E7%A9%BA%E9%96%93" title="ヒルベルト空間">ヒルベルト空間</a>上の<a href="/wiki/%E7%B7%9A%E5%9E%8B%E4%BD%9C%E7%94%A8%E7%B4%A0" class="mw-redirect" title="線型作用素">線型作用素</a>などの<a href="/wiki/%E9%96%A2%E6%95%B0%E8%A7%A3%E6%9E%90%E5%AD%A6" title="関数解析学">関数解析学</a>的な概念をさらに推し進めることにより、<a href="/wiki/%E9%87%8F%E5%AD%90%E5%8A%9B%E5%AD%A6%E3%81%AE%E6%95%B0%E5%AD%A6%E7%9A%84%E5%9F%BA%E7%A4%8E" title="量子力学の数学的基礎">量子力学の数学的基礎</a>を提示した。 <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="行列の演算">行列の演算</h2>[<a href="/w/index.php?title=%E8%A1%8C%E5%88%97&action=edit&section=16" title="節を編集: 行列の演算">編集</a>]</div> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="基本演算">基本演算</h3>[<a href="/w/index.php?title=%E8%A1%8C%E5%88%97&action=edit&section=17" title="節を編集: 基本演算">編集</a>]</div> <div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="加法">加法</h4>[<a href="/w/index.php?title=%E8%A1%8C%E5%88%97&action=edit&section=18" title="節を編集: 加法">編集</a>]</div> 二つの行列は、それが同じ型を持つならば互いに加えることができ、この算法を行列の加法、演算の結果を和と言う<a href="#cite_note-斎藤2017-23-17">[15]</a>。異なる型の行列に対しては和は定義されない。つまり、m 行 n 列の行列同士の和を、成分ごとの和 <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A+B:=[a_{ij}+b_{ij}]_{i=1,\ldots ,m, \atop j=1,\ldots ,n}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>A</mi> <mo>+</mo> <mi>B</mi> <mo>:=</mo> <mo stretchy="false">[</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <msub> <mo stretchy="false">]</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac linethickness="0"> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mo>…</mo> <mo>,</mo> <mi>m</mi> <mo>,</mo> </mrow> <mrow> <mi>j</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mo>…</mo> <mo>,</mo> <mi>n</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A+B:=[a_{ij}+b_{ij}]_{i=1,\ldots ,m, \atop j=1,\ldots ,n}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e2da08ba99f94eeab0fd428ef4c9b51c5838c256" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; width:26.213ex; height:4.176ex;" alt="{\displaystyle A+B:=[a_{ij}+b_{ij}]_{i=1,\ldots ,m, \atop j=1,\ldots ,n}}"></dd></dl> で定める<a href="#cite_note-斎藤2017-23-17">[15]</a>。 例えば <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\begin{bmatrix}5&6\\-7&8\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}1&-2\\3&-4\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}5+1&6+(-2)\\-7+3&8+(-4)\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}6&4\\-4&4\\\end{bmatrix}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow> <mo>[</mo> <mtable rowspacing="4pt" columnspacing="1em"> <mtr> <mtd> <mn>5</mn> </mtd> <mtd> <mn>6</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mo>−</mo> <mn>7</mn> </mtd> <mtd> <mn>8</mn> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>]</mo> </mrow> </mrow> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow> <mo>[</mo> <mtable rowspacing="4pt" columnspacing="1em"> <mtr> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> <mtd> <mo>−</mo> <mn>2</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>3</mn> </mtd> <mtd> <mo>−</mo> <mn>4</mn> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>]</mo> </mrow> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow> <mo>[</mo> <mtable rowspacing="4pt" columnspacing="1em"> <mtr> <mtd> <mn>5</mn> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mtd> <mtd> <mn>6</mn> <mo>+</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mo>−</mo> <mn>2</mn> <mo stretchy="false">)</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mo>−</mo> <mn>7</mn> <mo>+</mo> <mn>3</mn> </mtd> <mtd> <mn>8</mn> <mo>+</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mo>−</mo> <mn>4</mn> <mo stretchy="false">)</mo> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>]</mo> </mrow> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow> <mo>[</mo> <mtable rowspacing="4pt" columnspacing="1em"> <mtr> <mtd> <mn>6</mn> </mtd> <mtd> <mn>4</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mo>−</mo> <mn>4</mn> </mtd> <mtd> <mn>4</mn> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>]</mo> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{bmatrix}5&6\\-7&8\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}1&-2\\3&-4\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}5+1&6+(-2)\\-7+3&8+(-4)\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}6&4\\-4&4\\\end{bmatrix}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a2583962d6cc6713009dffe53b82c8688fc2831" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:59.309ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle {\begin{bmatrix}5&6\\-7&8\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}1&-2\\3&-4\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}5+1&6+(-2)\\-7+3&8+(-4)\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}6&4\\-4&4\\\end{bmatrix}}}"></dd></dl> である。 線型代数学において成分はふつう（<a href="/wiki/%E5%AE%9F%E6%95%B0" title="実数">実数</a>や<a href="/wiki/%E8%A4%87%E7%B4%A0%E6%95%B0" title="複素数">複素数</a>の全体のような）<a href="/wiki/%E5%8F%AF%E6%8F%9B%E4%BD%93" title="可換体">体</a>であり、この場合の行列の加法は、<a href="/wiki/%E7%B5%90%E5%90%88%E6%B3%95%E5%89%87" title="結合法則">結合的</a>かつ<a href="/wiki/%E4%BA%A4%E6%8F%9B%E6%B3%95%E5%89%87" title="交換法則">可換</a>であり、また<a href="/wiki/%E5%8A%A0%E6%B3%95%E5%8D%98%E4%BD%8D%E5%85%83" title="加法単位元">単位元</a>として<a href="/wiki/%E9%9B%B6%E8%A1%8C%E5%88%97" title="零行列">零行列</a> <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 0\equiv O:={\begin{bmatrix}0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0\end{bmatrix}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>0</mn> <mo>≡</mo> <mi>O</mi> <mo>:=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow> <mo>[</mo> <mtable rowspacing="4pt" columnspacing="1em"> <mtr> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mo>⋯</mo> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mo>⋮</mo> </mtd> <mtd> <mo>⋱</mo> </mtd> <mtd> <mo>⋮</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mo>⋯</mo> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>]</mo> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 0\equiv O:={\begin{bmatrix}0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0\end{bmatrix}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d5003f9caf1a26dad689c5e332dbadfe14e10b91" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -5.005ex; width:23.58ex; height:11.009ex;" alt="{\displaystyle 0\equiv O:={\begin{bmatrix}0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0\end{bmatrix}}}"></dd></dl> を持つ<a href="#cite_note-斎藤2017-23-17">[15]</a>。一般に、これらの三性質を満たす代数系に成分を持つ（同じ型の）行列の全体は、やはりこれらの性質を満たす。 <div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="スカラー倍">スカラー倍</h4>[<a href="/w/index.php?title=%E8%A1%8C%E5%88%97&action=edit&section=19" title="節を編集: スカラー倍">編集</a>]</div> 行列の各成分に一つのスカラーを掛けることにより、任意の行列のスカラー倍 <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \lambda A:=[\lambda a_{ij}]_{i=1,\ldots ,m, \atop j=1,\ldots ,n}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>λ</mi> <mi>A</mi> <mo>:=</mo> <mo stretchy="false">[</mo> <mi>λ</mi> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <msub> <mo stretchy="false">]</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac linethickness="0"> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mo>…</mo> <mo>,</mo> <mi>m</mi> <mo>,</mo> </mrow> <mrow> <mi>j</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mo>…</mo> <mo>,</mo> <mi>n</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \lambda A:=[\lambda a_{ij}]_{i=1,\ldots ,m, \atop j=1,\ldots ,n}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54e35db75e85fcf1b64f5ad755f18e7a160ef4f0" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; width:19.004ex; height:4.176ex;" alt="{\displaystyle \lambda A:=[\lambda a_{ij}]_{i=1,\ldots ,m, \atop j=1,\ldots ,n}}"></dd></dl> が定義される<a href="#cite_note-斎藤2017-23-17">[15]</a>。例えば、 <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 5\cdot {\begin{bmatrix}1&-3&2\\1&2&7\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}5\cdot 1&5\cdot (-3)&5\cdot 2\\5\cdot 1&5\cdot 2&5\cdot 7\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}5&-15&10\\5&10&35\end{bmatrix}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>5</mn> <mo>⋅</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow> <mo>[</mo> <mtable rowspacing="4pt" columnspacing="1em"> <mtr> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> <mtd> <mo>−</mo> <mn>3</mn> </mtd> <mtd> <mn>2</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> <mtd> <mn>2</mn> </mtd> <mtd> <mn>7</mn> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>]</mo> </mrow> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow> <mo>[</mo> <mtable rowspacing="4pt" columnspacing="1em"> <mtr> <mtd> <mn>5</mn> <mo>⋅</mo> <mn>1</mn> </mtd> <mtd> <mn>5</mn> <mo>⋅</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mo>−</mo> <mn>3</mn> <mo stretchy="false">)</mo> </mtd> <mtd> <mn>5</mn> <mo>⋅</mo> <mn>2</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>5</mn> <mo>⋅</mo> <mn>1</mn> </mtd> <mtd> <mn>5</mn> <mo>⋅</mo> <mn>2</mn> </mtd> <mtd> <mn>5</mn> <mo>⋅</mo> <mn>7</mn> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>]</mo> </mrow> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow> <mo>[</mo> <mtable rowspacing="4pt" columnspacing="1em"> <mtr> <mtd> <mn>5</mn> </mtd> <mtd> <mo>−</mo> <mn>15</mn> </mtd> <mtd> <mn>10</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>5</mn> </mtd> <mtd> <mn>10</mn> </mtd> <mtd> <mn>35</mn> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>]</mo> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 5\cdot {\begin{bmatrix}1&-3&2\\1&2&7\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}5\cdot 1&5\cdot (-3)&5\cdot 2\\5\cdot 1&5\cdot 2&5\cdot 7\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}5&-15&10\\5&10&35\end{bmatrix}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/614266025ad6984d4c7bfb3e2288ad075444256b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:61.139ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle 5\cdot {\begin{bmatrix}1&-3&2\\1&2&7\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}5\cdot 1&5\cdot (-3)&5\cdot 2\\5\cdot 1&5\cdot 2&5\cdot 7\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}5&-15&10\\5&10&35\end{bmatrix}}}"></dd></dl> である。 スカラー乗法が意味を持つためには、スカラー λ と行列の成分が同じ<a href="/wiki/%E7%92%B0_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)" title="環 (数学)">環</a> (K, +, ·, 0) からとった元であるべきであり、このとき m × n 行列の全体 Km×n は、左 K-<a href="/wiki/%E7%92%B0%E4%B8%8A%E3%81%AE%E5%8A%A0%E7%BE%A4" title="環上の加群">加群</a>（K が体ならば<a href="/wiki/%E3%83%99%E3%82%AF%E3%83%88%E3%83%AB%E7%A9%BA%E9%96%93" title="ベクトル空間">ベクトル空間</a>）になる。ベクトル空間（あるいは<a href="/wiki/%E8%87%AA%E7%94%B1%E5%8A%A0%E7%BE%A4" title="自由加群">自由加群</a>）としての Km×n は m n 次元数ベクトル空間 Km n と同型である。 <div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="乗法">乗法</h4>[<a href="/w/index.php?title=%E8%A1%8C%E5%88%97&action=edit&section=20" title="節を編集: 乗法">編集</a>]</div> <figure class="mw-default-size mw-halign-right" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/%E3%83%95%E3%82%A1%E3%82%A4%E3%83%AB:Matrix_multiplication_diagram.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/11/Matrix_multiplication_diagram.svg/220px-Matrix_multiplication_diagram.svg.png" decoding="async" width="220" height="220" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/11/Matrix_multiplication_diagram.svg/330px-Matrix_multiplication_diagram.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/11/Matrix_multiplication_diagram.svg/440px-Matrix_multiplication_diagram.svg.png 2x" data-file-width="188" data-file-height="188" /></a><figcaption>行列の積の模式図</figcaption></figure> <div class="rellink" style="margin-bottom: 0.5em; padding-left: 2em; font-size: 90%;" role="note">→詳細は「<a href="/wiki/%E8%A1%8C%E5%88%97%E3%81%AE%E4%B9%97%E6%B3%95" title="行列の乗法">行列の乗法</a>」を参照</div> 行列の積を初めて定義したのは<a href="/wiki/%E3%82%A2%E3%83%BC%E3%82%B5%E3%83%BC%E3%83%BB%E3%82%B1%E3%83%BC%E3%83%AA%E3%83%BC" class="mw-redirect" title="アーサー・ケーリー">ケイリー</a>である。行列の積は狭い意味での<a href="/wiki/%E4%BA%8C%E9%A0%85%E6%BC%94%E7%AE%97" title="二項演算">二項演算</a>（即ち、台とする集合 X に対して X × X → X なる写像を定めるもの）ではない。l × m 行列 A と m × n 行列 B の積は l × n 行列となり、C = A B の (i, j) 成分 ci j は、 <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle c_{ij}=\sum _{k=1}^{m}a_{ik}b_{kj}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <munderover> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>m</mi> </mrow> </munderover> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle c_{ij}=\sum _{k=1}^{m}a_{ik}b_{kj}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba8325b6314b3520051ae287bdf8fdda1a724bfa" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:14.974ex; height:6.843ex;" alt="{\displaystyle c_{ij}=\sum _{k=1}^{m}a_{ik}b_{kj}}"></dd></dl> で与えられる<a href="#cite_note-斎藤2017-24-18">[16]</a>。 例えば、 <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\begin{bmatrix}5&6\\7&8\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}5\cdot 1+6\cdot 3&5\cdot 2+6\cdot 4\\7\cdot 1+8\cdot 3&7\cdot 2+8\cdot 4\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}23&34\\31&46\end{bmatrix}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow> <mo>[</mo> <mtable rowspacing="4pt" columnspacing="1em"> <mtr> <mtd> <mn>5</mn> </mtd> <mtd> <mn>6</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>7</mn> </mtd> <mtd> <mn>8</mn> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>]</mo> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow> <mo>[</mo> <mtable rowspacing="4pt" columnspacing="1em"> <mtr> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> <mtd> <mn>2</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>3</mn> </mtd> <mtd> <mn>4</mn> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>]</mo> </mrow> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow> <mo>[</mo> <mtable rowspacing="4pt" columnspacing="1em"> <mtr> <mtd> <mn>5</mn> <mo>⋅</mo> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <mn>6</mn> <mo>⋅</mo> <mn>3</mn> </mtd> <mtd> <mn>5</mn> <mo>⋅</mo> <mn>2</mn> <mo>+</mo> <mn>6</mn> <mo>⋅</mo> <mn>4</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>7</mn> <mo>⋅</mo> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <mn>8</mn> <mo>⋅</mo> <mn>3</mn> </mtd> <mtd> <mn>7</mn> <mo>⋅</mo> <mn>2</mn> <mo>+</mo> <mn>8</mn> <mo>⋅</mo> <mn>4</mn> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>]</mo> </mrow> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow> <mo>[</mo> <mtable rowspacing="4pt" columnspacing="1em"> <mtr> <mtd> <mn>23</mn> </mtd> <mtd> <mn>34</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>31</mn> </mtd> <mtd> <mn>46</mn> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>]</mo> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{bmatrix}5&6\\7&8\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}5\cdot 1+6\cdot 3&5\cdot 2+6\cdot 4\\7\cdot 1+8\cdot 3&7\cdot 2+8\cdot 4\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}23&34\\31&46\end{bmatrix}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3dfc78a48f8b9b7f6d8f78d0f4239cf0b87deeda" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:59.31ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle {\begin{bmatrix}5&6\\7&8\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}5\cdot 1+6\cdot 3&5\cdot 2+6\cdot 4\\7\cdot 1+8\cdot 3&7\cdot 2+8\cdot 4\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}23&34\\31&46\end{bmatrix}}}"></dd></dl> である。 <dl><dt>行列の積は<a href="/wiki/%E4%BA%A4%E6%8F%9B%E6%B3%95%E5%89%87" title="交換法則">可換</a>でない</dt> <dd>即ち一般には<div style="margin: 1ex 2em;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle B\cdot A\neq A\cdot B}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>B</mi> <mo>⋅</mo> <mi>A</mi> <mo>≠</mo> <mi>A</mi> <mo>⋅</mo> <mi>B</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle B\cdot A\neq A\cdot B}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e498cd4e3d877d92632f157cff3b6deb066e1c3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:13.471ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle B\cdot A\neq A\cdot B}"></div>となることが両辺が定義される場合 (l = n) であっても起こり得る。さらに m = n(= l) のとき、つまり両辺が正方行列同士の積であれば両辺とも定義されるが、その場合でも一般には両者は異なる<a href="#cite_note-斎藤2017-24-18">[16]</a>。</dd></dl> <dl><dt>行列の積は<a href="/wiki/%E7%B5%90%E5%90%88%E6%B3%95%E5%89%87" title="結合法則">結合的</a>である</dt> <dd>即ち、乗法が定義される限りにおいて<div style="margin: 1ex 2em"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (A\cdot B)\cdot C=A\cdot (B\cdot C)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>A</mi> <mo>⋅</mo> <mi>B</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>⋅</mo> <mi>C</mi> <mo>=</mo> <mi>A</mi> <mo>⋅</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>B</mi> <mo>⋅</mo> <mi>C</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (A\cdot B)\cdot C=A\cdot (B\cdot C)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/07ca80fae84327441a34e93d161befa7ceb7d225" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:23.98ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (A\cdot B)\cdot C=A\cdot (B\cdot C)}"></div>が成り立つ<a href="#cite_note-斎藤2017-25-19">[17]</a>。</dd></dl> <dl><dt>行列の乗法は加法の上に<a href="/wiki/%E5%88%86%E9%85%8D%E6%B3%95%E5%89%87" title="分配法則">分配的</a>である</dt> <dd>即ち、各項における加法と乗法が定義される限りにおいて<div style="margin: 1ex 2em;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (A+B)\cdot C=A\cdot C+B\cdot C}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>A</mi> <mo>+</mo> <mi>B</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>⋅</mo> <mi>C</mi> <mo>=</mo> <mi>A</mi> <mo>⋅</mo> <mi>C</mi> <mo>+</mo> <mi>B</mi> <mo>⋅</mo> <mi>C</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (A+B)\cdot C=A\cdot C+B\cdot C}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c454c6abf9dfb688ab3d0a7f60b9232c89012a2" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:27.939ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (A+B)\cdot C=A\cdot C+B\cdot C}"></div>および<div style="margin: 1ex 2em;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A\cdot (B+C)=A\cdot B+A\cdot C}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>A</mi> <mo>⋅</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>B</mi> <mo>+</mo> <mi>C</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>A</mi> <mo>⋅</mo> <mi>B</mi> <mo>+</mo> <mi>A</mi> <mo>⋅</mo> <mi>C</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A\cdot (B+C)=A\cdot B+A\cdot C}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5e5be67a993ad340a3924e739dd2c93f6941b74" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:27.916ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle A\cdot (B+C)=A\cdot B+A\cdot C}"></div>が成り立つ<a href="#cite_note-斎藤2017-25-19">[17]</a>。</dd></dl> 正方行列に関して行列の乗法は特別な役割を持つ。環 R 上の正方行列全体 Rn×n は行列の加法と乗法に関して、ふたたび環を成すのである。環 R が単位的（つまり単位元 1 を持つ）ならば、単位行列 <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E_{n}={\begin{bmatrix}1&0&\cdots &0\\0&1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\dots &1\end{bmatrix}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>E</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow> <mo>[</mo> <mtable rowspacing="4pt" columnspacing="1em"> <mtr> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mo>⋯</mo> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> <mtd> <mo>⋯</mo> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mo>⋮</mo> </mtd> <mtd> <mo>⋮</mo> </mtd> <mtd> <mo>⋱</mo> </mtd> <mtd> <mo>⋮</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mo>…</mo> </mtd> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>]</mo> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E_{n}={\begin{bmatrix}1&0&\cdots &0\\0&1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\dots &1\end{bmatrix}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e24874b63dfd9475999ee523dc7b738312c24d2" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -6.505ex; width:23.318ex; height:14.176ex;" alt="{\displaystyle E_{n}={\begin{bmatrix}1&0&\cdots &0\\0&1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\dots &1\end{bmatrix}}}"></dd></dl> は行列の積に関する単位元となり、環 Rn×n もまた単位的となる。しかし、n > 1 のとき、この環は（基礎環 R が可換環であっても）可換環でない。 行列が<a href="/wiki/%E5%8C%BA%E5%88%86%E8%A1%8C%E5%88%97" title="区分行列">区分行列</a>に分解されるとき、そのような行列の積は、それらのブロックが適当なサイズならば、ブロック成分ごとに積を計算することができる。例えば <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\begin{aligned}\left[{\begin{array}{cc|cc}a&b&0&0\\c&d&0&0\\\hline x&y&1&0\\z&w&0&1\end{array}}\right]\cdot \left[{\begin{array}{c|c}n&0\\m&0\\\hline q&1\\p&0\end{array}}\right]&={\begin{bmatrix}A&0\\X&E_{2}\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}N&0\\Q&\left[{\begin{smallmatrix}1\\0\end{smallmatrix}}\right]\end{bmatrix}}\\&={\begin{bmatrix}AN+0&0+0\\XN+E_{2}Q&0+E_{2}\left[{\begin{smallmatrix}1\\0\end{smallmatrix}}\right]\end{bmatrix}}\end{aligned}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtable columnalign="right left right left right left right left right left right left" rowspacing="3pt" columnspacing="0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em" displaystyle="true"> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>[</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtable columnalign="center center center center" rowspacing="4pt" columnspacing="1em" rowlines="none solid none" columnlines="none solid none"> <mtr> <mtd> <mi>a</mi> </mtd> <mtd> <mi>b</mi> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mi>c</mi> </mtd> <mtd> <mi>d</mi> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mi>x</mi> </mtd> <mtd> <mi>y</mi> </mtd> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mi>z</mi> </mtd> <mtd> <mi>w</mi> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> <mo>]</mo> </mrow> <mo>⋅</mo> <mrow> <mo>[</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtable columnalign="center center" rowspacing="4pt" columnspacing="1em" rowlines="none solid none" columnlines="solid"> <mtr> <mtd> <mi>n</mi> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mi>m</mi> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mi>q</mi> </mtd> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mi>p</mi> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> <mo>]</mo> </mrow> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow> <mo>[</mo> <mtable rowspacing="4pt" columnspacing="1em"> <mtr> <mtd> <mi>A</mi> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mi>X</mi> </mtd> <mtd> <msub> <mi>E</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>]</mo> </mrow> </mrow> <mo>⋅</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow> <mo>[</mo> <mtable rowspacing="4pt" columnspacing="1em"> <mtr> <mtd> <mi>N</mi> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mi>Q</mi> </mtd> <mtd> <mrow> <mo>[</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle scriptlevel="1"> <mtable rowspacing=".2em" columnspacing="0.333em" displaystyle="false"> <mtr> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> </mtable> </mstyle> </mrow> <mo>]</mo> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>]</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd /> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow> <mo>[</mo> <mtable rowspacing="4pt" columnspacing="1em"> <mtr> <mtd> <mi>A</mi> <mi>N</mi> <mo>+</mo> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> <mo>+</mo> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mi>X</mi> <mi>N</mi> <mo>+</mo> <msub> <mi>E</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mi>Q</mi> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> <mo>+</mo> <msub> <mi>E</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mrow> <mo>[</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle scriptlevel="1"> <mtable rowspacing=".2em" columnspacing="0.333em" displaystyle="false"> <mtr> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> </mtable> </mstyle> </mrow> <mo>]</mo> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>]</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}\left[{\begin{array}{cc|cc}a&b&0&0\\c&d&0&0\\\hline x&y&1&0\\z&w&0&1\end{array}}\right]\cdot \left[{\begin{array}{c|c}n&0\\m&0\\\hline q&1\\p&0\end{array}}\right]&={\begin{bmatrix}A&0\\X&E_{2}\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}N&0\\Q&\left[{\begin{smallmatrix}1\\0\end{smallmatrix}}\right]\end{bmatrix}}\\&={\begin{bmatrix}AN+0&0+0\\XN+E_{2}Q&0+E_{2}\left[{\begin{smallmatrix}1\\0\end{smallmatrix}}\right]\end{bmatrix}}\end{aligned}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/597c2ea829d3e5bc7d11ee1458ea9f444a3ad938" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -9.671ex; width:62.454ex; height:20.509ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}\left[{\begin{array}{cc|cc}a&b&0&0\\c&d&0&0\\\hline x&y&1&0\\z&w&0&1\end{array}}\right]\cdot \left[{\begin{array}{c|c}n&0\\m&0\\\hline q&1\\p&0\end{array}}\right]&={\begin{bmatrix}A&0\\X&E_{2}\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}N&0\\Q&\left[{\begin{smallmatrix}1\\0\end{smallmatrix}}\right]\end{bmatrix}}\\&={\begin{bmatrix}AN+0&0+0\\XN+E_{2}Q&0+E_{2}\left[{\begin{smallmatrix}1\\0\end{smallmatrix}}\right]\end{bmatrix}}\end{aligned}}}"></dd></dl> である。ここで E2 は二次の単位行列、右辺の 0 は全ての成分が 0R（基礎環 R の<a href="/wiki/%E5%8A%A0%E6%B3%95%E5%8D%98%E4%BD%8D%E5%85%83" title="加法単位元">零元</a>）であるような適当なサイズの行列である。 <div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="転置">転置</h4>[<a href="/w/index.php?title=%E8%A1%8C%E5%88%97&action=edit&section=21" title="節を編集: 転置">編集</a>]</div> <div class="rellink" style="margin-bottom: 0.5em; padding-left: 2em; font-size: 90%;" role="note">→詳細は「<a href="/wiki/%E8%BB%A2%E7%BD%AE%E8%A1%8C%E5%88%97" title="転置行列">転置行列</a>」を参照</div> m × n 行列 A = [ai j] の転置とは n × m 行列 tA = [aj i], 即ち <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A={\begin{bmatrix}a_{11}&\dots &a_{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&\dots &a_{mn}\end{bmatrix}}\iff {}^{t}A={\begin{bmatrix}a_{11}&\dots &a_{m1}\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{1n}&\dots &a_{mn}\end{bmatrix}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>A</mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow> <mo>[</mo> <mtable rowspacing="4pt" columnspacing="1em"> <mtr> <mtd> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>11</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mo>…</mo> </mtd> <mtd> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> <mi>n</mi> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mo>⋮</mo> </mtd> <mtd> <mo>⋱</mo> </mtd> <mtd> <mo>⋮</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>m</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mo>…</mo> </mtd> <mtd> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>m</mi> <mi>n</mi> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>]</mo> </mrow> </mrow> <mspace width="thickmathspace" /> <mo stretchy="false">⟺</mo> <mspace width="thickmathspace" /> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>t</mi> </mrow> </msup> <mi>A</mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow> <mo>[</mo> <mtable rowspacing="4pt" columnspacing="1em"> <mtr> <mtd> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>11</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mo>…</mo> </mtd> <mtd> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>m</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mo>⋮</mo> </mtd> <mtd> <mo>⋱</mo> </mtd> <mtd> <mo>⋮</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> <mi>n</mi> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mo>…</mo> </mtd> <mtd> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>m</mi> <mi>n</mi> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>]</mo> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A={\begin{bmatrix}a_{11}&\dots &a_{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&\dots &a_{mn}\end{bmatrix}}\iff {}^{t}A={\begin{bmatrix}a_{11}&\dots &a_{m1}\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{1n}&\dots &a_{mn}\end{bmatrix}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb1c95b7ce2b8a294df36ff0f541190c29cdea50" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -5.005ex; width:55.138ex; height:11.009ex;" alt="{\displaystyle A={\begin{bmatrix}a_{11}&\dots &a_{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&\dots &a_{mn}\end{bmatrix}}\iff {}^{t}A={\begin{bmatrix}a_{11}&\dots &a_{m1}\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{1n}&\dots &a_{mn}\end{bmatrix}}}"></dd></dl> である<a href="#cite_note-斎藤2017-31-20">[18]</a>。これはもとの行列の各列を各行に持つ行列であり、主対角成分 a1 1, a2 2, … に関して折り返したものになっている。 転置行列は以下の計算規則に従う<a href="#cite_note-斎藤2017-31-20">[18]</a>： <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\begin{aligned}{}^{t}(A+B)&={}^{t}A+{}^{t}B\\{}^{t}(cA)&=c\,{}^{t}A\\{}^{t}({}^{t}A)&=A\\{}^{t}(AB)&={}^{t}B\,{}^{t}A\\{}^{t}(A^{-1})&=({}^{t}A)^{-1}\end{aligned}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtable columnalign="right left right left right left right left right left right left" rowspacing="3pt" columnspacing="0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em" displaystyle="true"> <mtr> <mtd> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>t</mi> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>A</mi> <mo>+</mo> <mi>B</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>t</mi> </mrow> </msup> <mi>A</mi> <mo>+</mo> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>t</mi> </mrow> </msup> <mi>B</mi> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>t</mi> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>c</mi> <mi>A</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mi>c</mi> <mspace width="thinmathspace" /> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>t</mi> </mrow> </msup> <mi>A</mi> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>t</mi> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>t</mi> </mrow> </msup> <mi>A</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mi>A</mi> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>t</mi> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>A</mi> <mi>B</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>t</mi> </mrow> </msup> <mi>B</mi> <mspace width="thinmathspace" /> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>t</mi> </mrow> </msup> <mi>A</mi> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>t</mi> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <msup> <mi>A</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">)</mo> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>t</mi> </mrow> </msup> <mi>A</mi> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}{}^{t}(A+B)&={}^{t}A+{}^{t}B\\{}^{t}(cA)&=c\,{}^{t}A\\{}^{t}({}^{t}A)&=A\\{}^{t}(AB)&={}^{t}B\,{}^{t}A\\{}^{t}(A^{-1})&=({}^{t}A)^{-1}\end{aligned}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/07e4954679bbf2b8a2bc53145548305c953083be" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -7.505ex; width:20.832ex; height:16.176ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}{}^{t}(A+B)&={}^{t}A+{}^{t}B\\{}^{t}(cA)&=c\,{}^{t}A\\{}^{t}({}^{t}A)&=A\\{}^{t}(AB)&={}^{t}B\,{}^{t}A\\{}^{t}(A^{-1})&=({}^{t}A)^{-1}\end{aligned}}}"></dd></dl> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="行列式">行列式</h3>[<a href="/w/index.php?title=%E8%A1%8C%E5%88%97&action=edit&section=22" title="節を編集: 行列式">編集</a>]</div> <div class="rellink" style="margin-bottom: 0.5em; padding-left: 2em; font-size: 90%;" role="note">→詳細は「<a href="/wiki/%E8%A1%8C%E5%88%97%E5%BC%8F" title="行列式">行列式</a>」を参照</div> n × n 行列 A = [ai j] の行列式とは、 <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \det(A)=\sum _{\sigma \in {\mathfrak {S}}_{n}}\operatorname {sgn} (\sigma )\prod _{i=1}^{n}a_{i\sigma (i)}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo movablelimits="true" form="prefix">det</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>A</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <munder> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>σ</mi> <mo>∈</mo> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="fraktur">S</mi> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> </mrow> </munder> <mi>sgn</mi> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>σ</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <munderover> <mo>∏</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </munderover> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mi>σ</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>i</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \det(A)=\sum _{\sigma \in {\mathfrak {S}}_{n}}\operatorname {sgn} (\sigma )\prod _{i=1}^{n}a_{i\sigma (i)}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f1f9e53f4c36f0cd5c574b3812794909ad0fe344" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.338ex; width:29.702ex; height:7.176ex;" alt="{\displaystyle \det(A)=\sum _{\sigma \in {\mathfrak {S}}_{n}}\operatorname {sgn} (\sigma )\prod _{i=1}^{n}a_{i\sigma (i)}}"></dd></dl> で定義される数である<a href="#cite_note-斎藤2017-89-21">[19]</a>。これは行列の<a href="/wiki/%E5%9B%BA%E6%9C%89%E5%80%A4" class="mw-redirect" title="固有値">固有値</a>の積と一致し、det(En) = 1, det(A B) = det(A) det(B) などが成り立つ。 <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="ランク">ランク</h3>[<a href="/w/index.php?title=%E8%A1%8C%E5%88%97&action=edit&section=23" title="節を編集: ランク">編集</a>]</div> <div class="rellink" style="margin-bottom: 0.5em; padding-left: 2em; font-size: 90%;" role="note">→詳細は「<a href="/wiki/%E8%A1%8C%E5%88%97%E3%81%AE%E9%9A%8E%E6%95%B0" title="行列の階数">行列の階数</a>」を参照</div> 行列 A のランクまたは<a href="/wiki/%E8%A1%8C%E5%88%97%E3%81%AE%E9%9A%8E%E6%95%B0" title="行列の階数">階数</a>とは、この行列の列ベクトルの中で<a href="/wiki/%E7%B7%9A%E5%9E%8B%E7%8B%AC%E7%AB%8B" title="線型独立">線型独立</a>なものの最大個数であり、また行ベクトルの中で線型独立なものの最大個数とも等しい<a href="#cite_note-FOOTNOTEBrown1991Definition_II.3.3-22">[20]</a>。あるいは A の表現する線型写像の<a href="/wiki/%E5%83%8F_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)" title="像 (数学)">像</a>の<a href="/wiki/%E3%83%8F%E3%83%A1%E3%83%AB%E6%AC%A1%E5%85%83" class="mw-redirect" title="ハメル次元">次元</a>と言っても同じである<a href="#cite_note-FOOTNOTEGreub1975Section_III.1-23">[21]</a>。<a href="/wiki/%E9%9A%8E%E6%95%B0%E3%83%BB%E9%80%80%E5%8C%96%E6%AC%A1%E6%95%B0%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86" title="階数・退化次数の定理">階数・退化次数の定理</a>は、行列の<a href="/wiki/%E6%A0%B8_(%E4%BB%A3%E6%95%B0%E5%AD%A6)" title="核 (代数学)">核</a>に階数を加えると、その行列の列の数に等しいことを述べるものである<a href="#cite_note-FOOTNOTEBrown1991Theorem_II.3.22-24">[22]</a>。 <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="トレース">トレース</h3>[<a href="/w/index.php?title=%E8%A1%8C%E5%88%97&action=edit&section=24" title="節を編集: トレース">編集</a>]</div> <div class="rellink" style="margin-bottom: 0.5em; padding-left: 2em; font-size: 90%;" role="note">→詳細は「<a href="/wiki/%E8%B7%A1_(%E7%B7%9A%E5%9E%8B%E4%BB%A3%E6%95%B0%E5%AD%A6)" title="跡 (線型代数学)">跡 (線型代数学)</a>」を参照</div> n × n 行列 A = [ai j] のトレースまたは跡とは、その対角線上にある成分の和 <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \operatorname {tr} (A)=a_{11}+a_{22}+\dotsb +a_{nn}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>tr</mi> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>A</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>11</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>22</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mo>⋯</mo> <mo>+</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> <mi>n</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \operatorname {tr} (A)=a_{11}+a_{22}+\dotsb +a_{nn}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a176d41b73abc734d73f8f19f04b76e4a3ae96e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:29.358ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \operatorname {tr} (A)=a_{11}+a_{22}+\dotsb +a_{nn}}"></dd></dl> のことである<a href="#cite_note-斎藤2017-34-25">[23]</a>。これは tr(A B) = tr(B A) を満たし<a href="#cite_note-斎藤2017-34-25">[23]</a>、行列のトレースはその<a href="/wiki/%E5%9B%BA%E6%9C%89%E5%80%A4" class="mw-redirect" title="固有値">固有値</a>の和に等しい。 <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="内積とノルム">内積とノルム</h3>[<a href="/w/index.php?title=%E8%A1%8C%E5%88%97&action=edit&section=25" title="節を編集: 内積とノルム">編集</a>]</div> <div class="rellink" style="margin-bottom: 0.5em; padding-left: 2em; font-size: 90%;" role="note">→詳細は「<a href="/wiki/%E8%A1%8C%E5%88%97%E3%83%8E%E3%83%AB%E3%83%A0" title="行列ノルム">行列ノルム</a>」を参照</div> K-加群としての Mm×n(K) はまた、行列の積 tA B の<a href="/wiki/%E8%B9%9F_(%E7%B7%9A%E5%9E%8B%E4%BB%A3%E6%95%B0%E5%AD%A6)" class="mw-redirect" title="蹟 (線型代数学)">トレース</a> <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \langle A,B\rangle =\operatorname {tr} ({}^{t}AB)=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{m}a_{ij}b_{ij}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo fence="false" stretchy="false">⟨</mo> <mi>A</mi> <mo>,</mo> <mi>B</mi> <mo fence="false" stretchy="false">⟩</mo> <mo>=</mo> <mi>tr</mi> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>t</mi> </mrow> </msup> <mi>A</mi> <mi>B</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <munderover> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </munderover> <munderover> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>m</mi> </mrow> </munderover> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \langle A,B\rangle =\operatorname {tr} ({}^{t}AB)=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{m}a_{ij}b_{ij}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/05a95b9b3b7b3be30070e8965af62d5212fa954f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.338ex; width:33.172ex; height:7.176ex;" alt="{\displaystyle \langle A,B\rangle =\operatorname {tr} ({}^{t}AB)=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{m}a_{ij}b_{ij}}"></dd></dl> を<a href="/wiki/%E5%86%85%E7%A9%8D" title="内積">内積</a>に持つ。K = R のとき、これは<a href="/wiki/%E3%83%A6%E3%83%BC%E3%82%AF%E3%83%AA%E3%83%83%E3%83%89%E3%83%8E%E3%83%AB%E3%83%A0" class="mw-redirect" title="ユークリッドノルム">ユークリッドノルム</a>を導き、Mm×n(R) は m n-次元<a href="/wiki/%E3%83%A6%E3%83%BC%E3%82%AF%E3%83%AA%E3%83%83%E3%83%89%E7%A9%BA%E9%96%93" title="ユークリッド空間">ユークリッド空間</a> Km n になる。この内積空間において、<a href="/wiki/%E5%AF%BE%E7%A7%B0%E8%A1%8C%E5%88%97" title="対称行列">対称行列</a>全体の成す部分空間と<a href="/wiki/%E6%AD%AA%E5%AF%BE%E7%A7%B0%E8%A1%8C%E5%88%97" class="mw-redirect" title="歪対称行列">歪対称行列</a>全体の成す部分空間とは互いに直交する。即ち、A が対称, B が歪対称ならば ⟨A, B⟩ = 0 が成り立つ。同様に K = C の場合には、Mm×n(C) は <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \langle A,B\rangle =\operatorname {tr} ({}^{t}{\bar {A}}B)=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{m}{\bar {a}}_{ij}b_{ij}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo fence="false" stretchy="false">⟨</mo> <mi>A</mi> <mo>,</mo> <mi>B</mi> <mo fence="false" stretchy="false">⟩</mo> <mo>=</mo> <mi>tr</mi> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>t</mi> </mrow> </msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>A</mi> <mo stretchy="false">¯</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mi>B</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <munderover> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </munderover> <munderover> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>m</mi> </mrow> </munderover> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>a</mi> <mo stretchy="false">¯</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \langle A,B\rangle =\operatorname {tr} ({}^{t}{\bar {A}}B)=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{m}{\bar {a}}_{ij}b_{ij}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f95d5dd7cc90232fe1a59cb39f8439b4492ee53b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.338ex; width:33.204ex; height:7.176ex;" alt="{\displaystyle \langle A,B\rangle =\operatorname {tr} ({}^{t}{\bar {A}}B)=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{m}{\bar {a}}_{ij}b_{ij}}"></dd></dl> （ただし、上付きのバーは複素共軛）を<a href="/wiki/%E3%82%A8%E3%83%AB%E3%83%9F%E3%83%BC%E3%83%88%E5%86%85%E7%A9%8D" class="mw-redirect" title="エルミート内積">エルミート内積</a>として複素<a href="/wiki/%E3%83%A6%E3%83%8B%E3%82%BF%E3%83%AA%E7%A9%BA%E9%96%93" class="mw-redirect" title="ユニタリ空間">ユニタリ空間</a>を成す（この内積を<a href="/wiki/%E3%83%92%E3%83%AB%E3%83%99%E3%83%AB%E3%83%88%EF%BC%9D%E3%82%B7%E3%83%A5%E3%83%9F%E3%83%83%E3%83%88%E4%BD%9C%E7%94%A8%E7%B4%A0" title="ヒルベルト＝シュミット作用素">ヒルベルト・シュミット内積</a>と呼ぶ）。この内積は<a href="/wiki/%E3%83%95%E3%83%AD%E3%83%99%E3%83%8B%E3%82%A6%E3%82%B9%E3%83%8E%E3%83%AB%E3%83%A0" class="mw-redirect" title="フロベニウスノルム">フロベニウスノルム</a>を導き、Mm×n(C) は<a href="/wiki/%E3%83%90%E3%83%8A%E3%83%83%E3%83%8F%E7%A9%BA%E9%96%93" title="バナッハ空間">バナッハ空間</a>となる。 <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="その他の演算">その他の演算</h3>[<a href="/w/index.php?title=%E8%A1%8C%E5%88%97&action=edit&section=26" title="節を編集: その他の演算">編集</a>]</div> <div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="差">差</h4>[<a href="/w/index.php?title=%E8%A1%8C%E5%88%97&action=edit&section=27" title="節を編集: 差">編集</a>]</div> 任意の行列 B に対し、その成分をそれぞれの成分の<a href="/wiki/%E5%8A%A0%E6%B3%95%E9%80%86%E5%85%83" class="mw-redirect" title="加法逆元">加法逆元</a>に全て取り換えた行列を −B と書けば、同じサイズの行列 A, B の和 A + (−B) を A − B と略記して差を定めることができる<a href="#cite_note-26">[注釈 3]</a>。より強く、スカラー乗法が定義される場合には、特にスカラー (−1)-倍は (−1)B = −B を満たすのだから、和とスカラー倍を使って差を定義することもできる。 <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\begin{bmatrix}5&6\\-7&8\end{bmatrix}}-{\begin{bmatrix}1&-2\\3&-4\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}5-1&6-(-2)\\-7-3&8-(-4)\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}4&8\\-10&12\\\end{bmatrix}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow> <mo>[</mo> <mtable rowspacing="4pt" columnspacing="1em"> <mtr> <mtd> <mn>5</mn> </mtd> <mtd> <mn>6</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mo>−</mo> <mn>7</mn> </mtd> <mtd> <mn>8</mn> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>]</mo> </mrow> </mrow> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow> <mo>[</mo> <mtable rowspacing="4pt" columnspacing="1em"> <mtr> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> <mtd> <mo>−</mo> <mn>2</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>3</mn> </mtd> <mtd> <mo>−</mo> <mn>4</mn> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>]</mo> </mrow> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow> <mo>[</mo> <mtable rowspacing="4pt" columnspacing="1em"> <mtr> <mtd> <mn>5</mn> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mtd> <mtd> <mn>6</mn> <mo>−</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mo>−</mo> <mn>2</mn> <mo stretchy="false">)</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mo>−</mo> <mn>7</mn> <mo>−</mo> <mn>3</mn> </mtd> <mtd> <mn>8</mn> <mo>−</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mo>−</mo> <mn>4</mn> <mo stretchy="false">)</mo> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>]</mo> </mrow> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow> <mo>[</mo> <mtable rowspacing="4pt" columnspacing="1em"> <mtr> <mtd> <mn>4</mn> </mtd> <mtd> <mn>8</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mo>−</mo> <mn>10</mn> </mtd> <mtd> <mn>12</mn> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>]</mo> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{bmatrix}5&6\\-7&8\end{bmatrix}}-{\begin{bmatrix}1&-2\\3&-4\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}5-1&6-(-2)\\-7-3&8-(-4)\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}4&8\\-10&12\\\end{bmatrix}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b0645c20e94be5f31297478d1c5de86b6e7b9d7a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:61.634ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle {\begin{bmatrix}5&6\\-7&8\end{bmatrix}}-{\begin{bmatrix}1&-2\\3&-4\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}5-1&6-(-2)\\-7-3&8-(-4)\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}4&8\\-10&12\\\end{bmatrix}}}"></dd></dl> とすればよい． <div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="べき乗">べき乗</h4>[<a href="/w/index.php?title=%E8%A1%8C%E5%88%97&action=edit&section=28" title="節を編集: べき乗">編集</a>]</div> <div class="rellink" style="margin-bottom: 0.5em; padding-left: 2em; font-size: 90%;" role="note">→「<a href="/wiki/%E5%86%AA%E4%B9%97#行列および線型作用素の冪" title="冪乗">冪乗 § 行列および線型作用素の冪</a>」も参照</div> n × n の<a href="/wiki/%E6%AD%A3%E6%96%B9%E8%A1%8C%E5%88%97" title="正方行列">正方行列</a> A に対して行列の<a href="/wiki/%E3%81%B9%E3%81%8D%E4%B9%97" class="mw-redirect" title="べき乗">べき乗</a>は An (ここで n は実数) と書かれる<a href="#cite_note-斎藤2017-26-27">[24]</a>。 行列 A が<a href="/wiki/%E5%AF%BE%E8%A7%92%E5%8C%96" title="対角化">対角化</a>可能であれば、An = (P−1DP)n = P−1DnP として容易に計算できる。 <div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="ベクトルの二項積">ベクトルの二項積</h4>[<a href="/w/index.php?title=%E8%A1%8C%E5%88%97&action=edit&section=29" title="節を編集: ベクトルの二項積">編集</a>]</div> v と w を n × 1 の列ベクトルとすると、v と w との間に行列の積は定義されないが、tv w および v tw は行列の積として定義することができる。前者は 1 × 1 行列であり、これをスカラーと解釈すれば、v と w との標準内積 ⟨v, w⟩ に他ならない。いっぽう後者は、<a href="/wiki/%E8%A1%8C%E5%88%97%E3%81%AE%E9%9A%8E%E6%95%B0" title="行列の階数">階数</a> 1 の n × n 行列で、v と w との<a href="/wiki/%E4%BA%8C%E9%A0%85%E7%A9%8D" title="二項積">二項積</a> v w あるいは<a href="/wiki/%E7%9B%B4%E7%A9%8D_(%E3%83%99%E3%82%AF%E3%83%88%E3%83%AB)" title="直積 (ベクトル)">テンソル積</a> v ⊗ w と呼ばれる。 <div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="行列の三項積">行列の三項積</h4>[<a href="/w/index.php?title=%E8%A1%8C%E5%88%97&action=edit&section=30" title="節を編集: 行列の三項積">編集</a>]</div> 可換環 K 上の m × n 行列の全体 Mm×n(K) は加法とスカラー倍について K-加群を成すばかりでなく、その上の<a href="/w/index.php?title=%E4%B8%89%E9%A0%85%E6%BC%94%E7%AE%97&action=edit&redlink=1" class="new" title="「三項演算」 (存在しないページ)">三項演算</a> <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle M_{m\times n}(K)\times M_{m\times n}(K)\times M_{m\times n}(K)\to M_{m\times n}(K);\quad (X,Y,Z)\mapsto \{X,Y,Z\}:=X\,{}^{t}Y\,Z}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>M</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>m</mi> <mo>×</mo> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>K</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>×</mo> <msub> <mi>M</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>m</mi> <mo>×</mo> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>K</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>×</mo> <msub> <mi>M</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>m</mi> <mo>×</mo> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>K</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">→</mo> <msub> <mi>M</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>m</mi> <mo>×</mo> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>K</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>;</mo> <mspace width="1em" /> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>X</mi> <mo>,</mo> <mi>Y</mi> <mo>,</mo> <mi>Z</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">↦</mo> <mo fence="false" stretchy="false">{</mo> <mi>X</mi> <mo>,</mo> <mi>Y</mi> <mo>,</mo> <mi>Z</mi> <mo fence="false" stretchy="false">}</mo> <mo>:=</mo> <mi>X</mi> <mspace width="thinmathspace" /> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>t</mi> </mrow> </msup> <mi>Y</mi> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>Z</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle M_{m\times n}(K)\times M_{m\times n}(K)\times M_{m\times n}(K)\to M_{m\times n}(K);\quad (X,Y,Z)\mapsto \{X,Y,Z\}:=X\,{}^{t}Y\,Z}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e987b3cd7a7d9b668ca45783049e93b394dc06c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:86.458ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle M_{m\times n}(K)\times M_{m\times n}(K)\times M_{m\times n}(K)\to M_{m\times n}(K);\quad (X,Y,Z)\mapsto \{X,Y,Z\}:=X\,{}^{t}Y\,Z}"></dd></dl> を定義することができる。これと同様の方法で得られる三重線型な<a href="/wiki/%E4%B8%89%E9%A0%85%E7%B3%BB" title="三項系">三項系</a>（三項積）の一般論は、<a href="/w/index.php?title=%E3%82%B8%E3%83%A7%E3%83%AB%E3%83%80%E3%83%B3%E7%92%B0&action=edit&redlink=1" class="new" title="「ジョルダン環」 (存在しないページ)">ジョルダン環</a>あるいは<a href="/wiki/%E3%83%AA%E3%83%BC%E7%92%B0" class="mw-redirect" title="リー環">リー環</a>の理論とかかわりを持つ<a href="#cite_note-28">[25]</a>。 <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="定義されない演算">定義されない演算</h3>[<a href="/w/index.php?title=%E8%A1%8C%E5%88%97&action=edit&section=31" title="節を編集: 定義されない演算">編集</a>]</div> 以下のような計算は定義されないため実行してはならない<a href="#cite_note-29">[26]</a>。 <div class="div-col columns column-count column-count-" style="-moz-column-count:; -webkit-column-count:; column-count:; -moz-column-width: 18em; -webkit-column-width: 18em; column-width: 18em;"> <ul><li>異なる型の行列同士の和</li></ul> <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\begin{bmatrix}a&b&c\\d&e&f\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}g&h\\i&j\\k&l\end{bmatrix}}=\cdots }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow> <mo>[</mo> <mtable rowspacing="4pt" columnspacing="1em"> <mtr> <mtd> <mi>a</mi> </mtd> <mtd> <mi>b</mi> </mtd> <mtd> <mi>c</mi> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mi>d</mi> </mtd> <mtd> <mi>e</mi> </mtd> <mtd> <mi>f</mi> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>]</mo> </mrow> </mrow> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow> <mo>[</mo> <mtable rowspacing="4pt" columnspacing="1em"> <mtr> <mtd> <mi>g</mi> </mtd> <mtd> <mi>h</mi> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mi>i</mi> </mtd> <mtd> <mi>j</mi> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mi>k</mi> </mtd> <mtd> <mi>l</mi> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>]</mo> </mrow> </mrow> <mo>=</mo> <mo>⋯</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{bmatrix}a&b&c\\d&e&f\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}g&h\\i&j\\k&l\end{bmatrix}}=\cdots }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9f688fbc95b5b169a89bc0b9f3232d6804d5a7e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -4.171ex; width:28.831ex; height:9.509ex;" alt="{\displaystyle {\begin{bmatrix}a&b&c\\d&e&f\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}g&h\\i&j\\k&l\end{bmatrix}}=\cdots }"></dd></dl> <ul><li>正方行列ではない行列の逆行列</li></ul> <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\begin{bmatrix}a&b\\c&d\\e&f\end{bmatrix}}^{-1}=\cdots }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow> <mo>[</mo> <mtable rowspacing="4pt" columnspacing="1em"> <mtr> <mtd> <mi>a</mi> </mtd> <mtd> <mi>b</mi> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mi>c</mi> </mtd> <mtd> <mi>d</mi> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mi>e</mi> </mtd> <mtd> <mi>f</mi> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>]</mo> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mo>⋯</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{bmatrix}a&b\\c&d\\e&f\end{bmatrix}}^{-1}=\cdots }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a2feb2d46145058e79eac1c7acd1b98c06120f2" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -4.171ex; width:16.838ex; height:9.843ex;" alt="{\displaystyle {\begin{bmatrix}a&b\\c&d\\e&f\end{bmatrix}}^{-1}=\cdots }"></dd></dl> <ul><li>正方行列ではない行列の行列式<a href="#cite_note-31">[注釈 4]</a></li></ul> <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \det {\begin{bmatrix}a&b&c\\d&e&f\end{bmatrix}}=\cdots }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo movablelimits="true" form="prefix">det</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow> <mo>[</mo> <mtable rowspacing="4pt" columnspacing="1em"> <mtr> <mtd> <mi>a</mi> </mtd> <mtd> <mi>b</mi> </mtd> <mtd> <mi>c</mi> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mi>d</mi> </mtd> <mtd> <mi>e</mi> </mtd> <mtd> <mi>f</mi> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>]</mo> </mrow> </mrow> <mo>=</mo> <mo>⋯</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \det {\begin{bmatrix}a&b&c\\d&e&f\end{bmatrix}}=\cdots }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4769028f3d1cc82e86c4ae5377767dfc1976133a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:20.882ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle \det {\begin{bmatrix}a&b&c\\d&e&f\end{bmatrix}}=\cdots }"></dd></dl> <ul><li>正方行列ではない行列の固有値</li></ul> <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\begin{aligned}{\begin{bmatrix}a&b\\c&d\\e&f\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{bmatrix}}=\lambda \,{\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{bmatrix}}\\\end{aligned}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtable columnalign="right left right left right left right left right left right left" rowspacing="3pt" columnspacing="0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em" displaystyle="true"> <mtr> <mtd> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow> <mo>[</mo> <mtable rowspacing="4pt" columnspacing="1em"> <mtr> <mtd> <mi>a</mi> </mtd> <mtd> <mi>b</mi> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mi>c</mi> </mtd> <mtd> <mi>d</mi> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mi>e</mi> </mtd> <mtd> <mi>f</mi> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>]</mo> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow> <mo>[</mo> <mtable rowspacing="4pt" columnspacing="1em"> <mtr> <mtd> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>]</mo> </mrow> </mrow> <mo>=</mo> <mi>λ</mi> <mspace width="thinmathspace" /> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow> <mo>[</mo> <mtable rowspacing="4pt" columnspacing="1em"> <mtr> <mtd> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>]</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}{\begin{bmatrix}a&b\\c&d\\e&f\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{bmatrix}}=\lambda \,{\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{bmatrix}}\\\end{aligned}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ce065fb02ec9daac0e24e1672192b737b5b56f4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -4.171ex; width:25.456ex; height:9.509ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}{\begin{bmatrix}a&b\\c&d\\e&f\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{bmatrix}}=\lambda \,{\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{bmatrix}}\\\end{aligned}}}"></dd></dl> <ul><li>正方行列ではない行列のトレース</li></ul> <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \operatorname {tr} {\begin{bmatrix}a&b&c\\d&e&f\end{bmatrix}}=\cdots }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>tr</mi> <mo>⁡</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow> <mo>[</mo> <mtable rowspacing="4pt" columnspacing="1em"> <mtr> <mtd> <mi>a</mi> </mtd> <mtd> <mi>b</mi> </mtd> <mtd> <mi>c</mi> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mi>d</mi> </mtd> <mtd> <mi>e</mi> </mtd> <mtd> <mi>f</mi> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>]</mo> </mrow> </mrow> <mo>=</mo> <mo>⋯</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \operatorname {tr} {\begin{bmatrix}a&b&c\\d&e&f\end{bmatrix}}=\cdots }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/17e8a3cdda31532850cda4bdb7e58ac718f86904" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:19.469ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle \operatorname {tr} {\begin{bmatrix}a&b&c\\d&e&f\end{bmatrix}}=\cdots }"></dd></dl> </div> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="行列の分解">行列の分解</h2>[<a href="/w/index.php?title=%E8%A1%8C%E5%88%97&action=edit&section=32" title="節を編集: 行列の分解">編集</a>]</div> <div class="rellink" style="margin-bottom: 0.5em; padding-left: 2em; font-size: 90%;" role="note">→詳細は「<a href="/wiki/%E8%A1%8C%E5%88%97%E3%81%AE%E5%88%86%E8%A7%A3" title="行列の分解">行列の分解</a>」を参照</div> 行列を2つあるいは3つの行列の積に<a href="/wiki/%E5%9B%A0%E6%95%B0%E5%88%86%E8%A7%A3" title="因数分解">因数分解</a>するには以下の方法が知られている。 <ul><li><a href="/wiki/LU%E5%88%86%E8%A7%A3" title="LU分解">LU分解</a> - 正方行列Aを下三角行列と上三角行列の積に分解。 A = LU</li> <li><a href="/wiki/%E3%82%B3%E3%83%AC%E3%82%B9%E3%82%AD%E3%83%BC%E5%88%86%E8%A7%A3" title="コレスキー分解">コレスキー分解</a> - <a href="/wiki/%E8%A1%8C%E5%88%97%E3%81%AE%E5%AE%9A%E5%80%A4%E6%80%A7" title="行列の定値性">正値</a>対称行列(またはエルミート行列)Aを下三角行列と上三角行列の積に分解。 A = U*U</li> <li><a href="/wiki/QR%E5%88%86%E8%A7%A3" title="QR分解">QR分解</a> - (m,n)行列を直交行列(またはユニタリ行列)Qと上三角行列Rに分解 A = QR</li> <li><a href="/wiki/%E5%9B%BA%E6%9C%89%E5%80%A4%E5%88%86%E8%A7%A3" title="固有値分解">固有値分解</a> -</li> <li><a href="/wiki/%E7%89%B9%E7%95%B0%E5%80%A4%E5%88%86%E8%A7%A3" title="特異値分解">特異値分解</a> - (m,n)行列を直交行列(またはユニタリ行列)U,Vと対角行列Dに分解 A = UDV*</li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="様々な行列">様々な行列</h2>[<a href="/w/index.php?title=%E8%A1%8C%E5%88%97&action=edit&section=33" title="節を編集: 様々な行列">編集</a>]</div> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="行列サイズによる分類">行列サイズによる分類</h3>[<a href="/w/index.php?title=%E8%A1%8C%E5%88%97&action=edit&section=34" title="節を編集: 行列サイズによる分類">編集</a>]</div> <ul><li><a href="/wiki/%E6%AD%A3%E6%96%B9%E8%A1%8C%E5%88%97" title="正方行列">正方行列</a></li></ul> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="行列成分が特別な形の行列">行列成分が特別な形の行列</h3>[<a href="/w/index.php?title=%E8%A1%8C%E5%88%97&action=edit&section=35" title="節を編集: 行列成分が特別な形の行列">編集</a>]</div> <ul><li><a href="/wiki/%E9%9B%B6%E8%A1%8C%E5%88%97" title="零行列">零行列</a></li> <li><a href="/wiki/%E5%AF%BE%E8%A7%92%E8%A1%8C%E5%88%97" title="対角行列">対角行列</a></li> <li><a href="/wiki/%E4%B8%89%E8%A7%92%E8%A1%8C%E5%88%97" title="三角行列">三角行列</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%83%8F%E3%83%B3%E3%82%B1%E3%83%AB%E8%A1%8C%E5%88%97" title="ハンケル行列">ハンケル行列</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%83%86%E3%83%97%E3%83%AA%E3%83%83%E3%83%84%E8%A1%8C%E5%88%97" title="テプリッツ行列">テプリッツ行列</a></li></ul> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="作用素による作用を受けた行列"><a href="/wiki/%E4%BD%9C%E7%94%A8%E7%B4%A0_(%E9%96%A2%E6%95%B0%E8%A7%A3%E6%9E%90%E5%AD%A6)" title="作用素 (関数解析学)">作用素</a>による作用を受けた行列</h3>[<a href="/w/index.php?title=%E8%A1%8C%E5%88%97&action=edit&section=36" title="節を編集: 作用素による作用を受けた行列">編集</a>]</div> <ul><li><a href="/wiki/%E8%BB%A2%E7%BD%AE%E8%A1%8C%E5%88%97" title="転置行列">転置行列</a></li> <li><a href="/wiki/%E9%9A%8F%E4%BC%B4%E8%A1%8C%E5%88%97" title="随伴行列">随伴行列</a></li></ul> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="対称性がある行列">対称性がある行列</h3>[<a href="/w/index.php?title=%E8%A1%8C%E5%88%97&action=edit&section=37" title="節を編集: 対称性がある行列">編集</a>]</div> <ul><li><a href="/wiki/%E5%AF%BE%E7%A7%B0%E8%A1%8C%E5%88%97" title="対称行列">対称行列</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%82%A8%E3%83%AB%E3%83%9F%E3%83%BC%E3%83%88%E8%A1%8C%E5%88%97" title="エルミート行列">エルミート行列</a></li> <li><a href="/wiki/%E6%AD%A3%E8%A6%8F%E8%A1%8C%E5%88%97" title="正規行列">正規行列</a> - ユニタリ<a href="/wiki/%E5%AF%BE%E8%A7%92%E5%8C%96" title="対角化">対角化</a>可能な行列のクラス</li></ul> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="群を構成する行列">群を構成する行列</h3>[<a href="/w/index.php?title=%E8%A1%8C%E5%88%97&action=edit&section=38" title="節を編集: 群を構成する行列">編集</a>]</div> <ul><li><a href="/wiki/%E5%8D%98%E4%BD%8D%E5%85%83" title="単位元">単位元</a> - <a href="/wiki/%E5%8D%98%E4%BD%8D%E8%A1%8C%E5%88%97" title="単位行列">単位行列</a></li> <li><a href="/wiki/%E9%80%86%E5%85%83" title="逆元">逆元</a> - <a href="/wiki/%E6%AD%A3%E5%89%87%E8%A1%8C%E5%88%97" title="正則行列">正則行列</a> - <a href="/wiki/%E9%80%86%E8%A1%8C%E5%88%97" class="mw-redirect" title="逆行列">逆行列</a></li> <li><a href="/wiki/%E7%9B%B4%E4%BA%A4%E8%A1%8C%E5%88%97" title="直交行列">直交行列</a> - <a href="/wiki/%E7%9B%B4%E4%BA%A4%E7%BE%A4" title="直交群">直交群</a></li> <li><a href="/wiki/%E5%9B%9E%E8%BB%A2%E8%A1%8C%E5%88%97" title="回転行列">回転行列</a> - <a href="/wiki/%E7%89%B9%E6%AE%8A%E7%9B%B4%E4%BA%A4%E7%BE%A4" class="mw-redirect" title="特殊直交群">特殊直交群</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%83%A6%E3%83%8B%E3%82%BF%E3%83%AA%E8%A1%8C%E5%88%97" title="ユニタリ行列">ユニタリ行列</a> - <a href="/wiki/%E3%83%A6%E3%83%8B%E3%82%BF%E3%83%AA%E7%BE%A4" title="ユニタリ群">ユニタリ群</a></li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="線型写像">線型写像</h2>[<a href="/w/index.php?title=%E8%A1%8C%E5%88%97&action=edit&section=39" title="節を編集: 線型写像">編集</a>]</div> <div class="rellink" style="margin-bottom: 0.5em; padding-left: 2em; font-size: 90%;" role="note">→詳細は「<a href="/wiki/%E4%B8%80%E6%AC%A1%E5%A4%89%E6%8F%9B" class="mw-redirect" title="一次変換">一次変換</a>」および「<a href="/w/index.php?title=%E5%A4%89%E6%8F%9B%E8%A1%8C%E5%88%97&action=edit&redlink=1" class="new" title="「変換行列」 (存在しないページ)">変換行列</a>（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Transformation_matrix" class="extiw" title="en:Transformation matrix">英語版</a>）」を参照</div> <figure class="mw-default-size mw-halign-right" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/%E3%83%95%E3%82%A1%E3%82%A4%E3%83%AB:Area_parallellogram_as_determinant.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/ad/Area_parallellogram_as_determinant.svg/220px-Area_parallellogram_as_determinant.svg.png" decoding="async" width="220" height="253" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/ad/Area_parallellogram_as_determinant.svg/330px-Area_parallellogram_as_determinant.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/ad/Area_parallellogram_as_determinant.svg/440px-Area_parallellogram_as_determinant.svg.png 2x" data-file-width="870" data-file-height="1000" /></a><figcaption>2 × 2 行列は、単位正方形を平行四辺形に変形することに対応する。</figcaption></figure> 行列とその乗法は、これを一次変換（つまり線型写像）と関連付けるとき、その本質的な特徴が浮き彫りになる。 <dl><dt>線型写像の行列表現</dt> <dd>m × n 行列 A から線型写像 Rn → Rm が各ベクトル x ∈ Rn を行列としての積 Ax ∈ Rm へ写すものとして定まる。逆に、各線型写像 f: Rn → Rm を生じる m × n 行列 A は一意的に決まる。陽に書けば、A の (i, j)-成分は、f(ej) の第 i-成分である。ただし ej = (0, …, 0, 1, 0, …, 0) は第 j-成分だけが 1 で他が全部 0 の<a href="/wiki/%E5%8D%98%E4%BD%8D%E3%83%99%E3%82%AF%E3%83%88%E3%83%AB" title="単位ベクトル">単位ベクトル</a>である。</dd></dl> このとき、行列 A は線型写像 f を表現すると言い、A を f の変換行列または表現行列と呼ぶ。 例えば 2 × 2 行列 <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A={\begin{bmatrix}a&c\\b&d\end{bmatrix}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>A</mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow> <mo>[</mo> <mtable rowspacing="4pt" columnspacing="1em"> <mtr> <mtd> <mi>a</mi> </mtd> <mtd> <mi>c</mi> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mi>b</mi> </mtd> <mtd> <mi>d</mi> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>]</mo> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A={\begin{bmatrix}a&c\\b&d\end{bmatrix}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b624045da6987d019e2dd8dcb737eb5a63e172a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:12.816ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle A={\begin{bmatrix}a&c\\b&d\end{bmatrix}}}"></dd></dl> は、<a href="/wiki/%E5%8D%98%E4%BD%8D%E6%AD%A3%E6%96%B9%E5%BD%A2" title="単位正方形">単位正方形</a>を (0, 0), (a, b), (a + c, b + d), (c, d) を頂点とする<a href="/wiki/%E5%B9%B3%E8%A1%8C%E5%9B%9B%E8%BE%BA%E5%BD%A2" title="平行四辺形">平行四辺形</a>に写すものと見做すことができる。この平行四辺形は、単位正方形の頂点を成す四つの（列）ベクトル (0 0), (1 0), (1 1), (0 1) の各々に A を掛けることによって得られる。 この行列と線型写像との間の<a href="/wiki/%E5%85%A8%E5%8D%98%E5%B0%84" title="全単射">一対一対応</a>のもとで、行列の乗法は<a href="/wiki/%E5%86%99%E5%83%8F%E3%81%AE%E5%90%88%E6%88%90" title="写像の合成">写像の合成</a>に対応する<a href="#cite_note-FOOTNOTEGreub1975Section_III.2-32">[28]</a>: 上記の A と f に加えて、k × m 行列 B が別の線型写像 g: Rm → Rk を表現するものならば、合成 g ∘ f は行列の積 BA で表現される。実際、 <dl><dd>(g ∘ f)(x) = g(f(x)) = g(Ax) = B(Ax) = (BA)x</dd></dl> である。最後の等号は行列の積の結合性による。 <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="行列の抽象代数的側面と一般化">行列の抽象代数的側面と一般化</h2>[<a href="/w/index.php?title=%E8%A1%8C%E5%88%97&action=edit&section=40" title="節を編集: 行列の抽象代数的側面と一般化">編集</a>]</div> 行列の一般化の方向性はいくつか異なるものが存在する。<a href="/wiki/%E6%8A%BD%E8%B1%A1%E4%BB%A3%E6%95%B0%E5%AD%A6" title="抽象代数学">抽象代数学</a>では行列の成分をもっと一般の（<a href="/wiki/%E5%8F%AF%E6%8F%9B%E4%BD%93" title="可換体">可換</a>とは限らない）<a href="/wiki/%E6%96%9C%E4%BD%93_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)" title="斜体 (数学)">体</a>や<a href="/wiki/%E7%92%B0_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)" title="環 (数学)">環</a>としたものを用いるし、線型代数学は線型写像の概念を機軸に行列の性質を体系化したものである。また行や列の数を無限に増やした行列というものを考えることもできる。他の拡張として<a href="/wiki/%E3%83%86%E3%83%B3%E3%82%BD%E3%83%AB" title="テンソル">テンソル</a>は、（行列が矩形状あるいは二次元の数の配列と見ることができるのに対して）数の配列を高次化したものと見ることもできるし、ベクトルの双対や数列として実現することもできるものである<a href="#cite_note-FOOTNOTECoburn1955Ch._V-33">[29]</a>。適当な制約条件を満足する行列の集まりは、行列群あるいは線型代数群などと呼ばれる<a href="/wiki/%E7%BE%A4_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)" title="群 (数学)">群</a>を成す。 <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="より一般の成分を持つ行列">より一般の成分を持つ行列</h3>[<a href="/w/index.php?title=%E8%A1%8C%E5%88%97&action=edit&section=41" title="節を編集: より一般の成分を持つ行列">編集</a>]</div> しばしば実または<a href="/wiki/%E8%A4%87%E7%B4%A0%E6%95%B0" title="複素数">複素</a>成分の行列に焦点を当てることもあるが、それ以外にももっと一般の種類の成分を持った行列を考えることができる。一般化の最初の段階として任意の<a href="/wiki/%E5%8F%AF%E6%8F%9B%E4%BD%93" title="可換体">体</a>（すなわち<a href="/wiki/%E5%9B%9B%E5%89%87%E6%BC%94%E7%AE%97" class="mw-redirect" title="四則演算">四則演算</a>が自由にできる<a href="/wiki/%E9%9B%86%E5%90%88" title="集合">集合</a>、例えば R, C 以外に<a href="/wiki/%E6%9C%89%E7%90%86%E6%95%B0" title="有理数">有理数</a>体 Q や<a href="/wiki/%E6%9C%89%E9%99%90%E4%BD%93" title="有限体">有限体</a> Fqなど）を成分として考える。例えば<a href="/wiki/%E7%AC%A6%E5%8F%B7%E7%90%86%E8%AB%96" title="符号理論">符号理論</a>では有限体上の行列を利用する。どの体で考えるとしても、<a href="/wiki/%E5%9B%BA%E6%9C%89%E5%80%A4" class="mw-redirect" title="固有値">固有値</a>は多項式の根として考えることができて、それは行列の係数体の拡大体の中に存在する。たとえば、実行列の場合は固有値は複素数である。ある行列の成分をより大きな体の元と解釈しなおすことはできる（例えば実行列を全ての成分が実数であるような複素行列とみることができる）から、そのような十分大きな体の中で任意の正方行列についてその固有値全てから成る集合を考えることができる。あるいは最初から、複素数体 C のような<a href="/wiki/%E4%BB%A3%E6%95%B0%E9%96%89%E4%BD%93" class="mw-redirect" title="代数閉体">代数閉体</a>に成分を持つような行列のみを考えるものとすることもできる。 もっと一般に、抽象代数学では<a href="/wiki/%E7%92%B0_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)" title="環 (数学)">環</a>に成分を持つ行列というものが甚だ有用である<a href="#cite_note-FOOTNOTELang2002Chapter_XIII-34">[30]</a>。環は除法演算を持たない点において体よりも一般の概念である。この場合も、行列の加法と乗法はそのまままったく同じ物を使うことができる。R 上の n-次正方行列全体の成す集合 M(n, R) は<a href="/wiki/%E5%85%A8%E8%A1%8C%E5%88%97%E7%92%B0" class="mw-redirect" title="全行列環">全行列環</a>と呼ばれる環であり、左 R-<a href="/wiki/%E7%92%B0%E4%B8%8A%E3%81%AE%E5%8A%A0%E7%BE%A4" title="環上の加群">加群</a> Rn の<a href="/wiki/%E8%87%AA%E5%B7%B1%E6%BA%96%E5%90%8C%E5%9E%8B%E7%92%B0" title="自己準同型環">自己準同型環</a>に同型である<a href="#cite_note-FOOTNOTELang2002XVII.1,_p._643-35">[31]</a>。環 R が<a href="/wiki/%E5%8F%AF%E6%8F%9B%E7%92%B0" title="可換環">可換環</a>、すなわちその乗法が<a href="/wiki/%E4%BA%A4%E6%8F%9B%E6%B3%95%E5%89%87" title="交換法則">可換律</a>を満たすならば、全行列環 M(n, R) は（n = 1 でない限り）非可換な R 上の単位的<a href="/wiki/%E7%B5%90%E5%90%88%E5%A4%9A%E5%85%83%E7%92%B0" title="結合多元環">結合多元環</a>となる。可換環 R 上の正方行列の<a href="/wiki/%E8%A1%8C%E5%88%97%E5%BC%8F" title="行列式">行列式</a>は<a href="/wiki/%E3%83%A9%E3%82%A4%E3%83%97%E3%83%8B%E3%83%83%E3%83%84%E3%81%AE%E5%85%AC%E5%BC%8F" title="ライプニッツの公式">ライプニッツの公式</a>を用いて定義することができて、可換環 R 上の正方行列が可逆であることの<a href="/wiki/%E5%BF%85%E8%A6%81%E5%8D%81%E5%88%86%E6%9D%A1%E4%BB%B6" class="mw-redirect" title="必要十分条件">必要十分条件</a>をその行列式が R の<a href="/wiki/%E5%8F%AF%E9%80%86%E5%85%83" title="可逆元">可逆元</a>であることと述べることができる（これは零元でない任意の元が可逆元であった体の場合の一般化になっている）<a href="#cite_note-FOOTNOTELang2002Proposition_XIII.4.16-36">[32]</a>。<a href="/w/index.php?title=%E8%B6%85%E7%92%B0&action=edit&redlink=1" class="new" title="「超環」 (存在しないページ)">超環</a>（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/superalgebra" class="extiw" title="en:superalgebra">英語版</a>）上の行列は<a href="/w/index.php?title=%E8%B6%85%E8%A1%8C%E5%88%97&action=edit&redlink=1" class="new" title="「超行列」 (存在しないページ)">超行列</a>（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/supermatrix" class="extiw" title="en:supermatrix">英語版</a>）と呼ばれる<a href="#cite_note-FOOTNOTEReichl2004Section_L.2-37">[33]</a>。 行列の成分が必ずしもすべて同じ環に属するというわけではない（し、すべてが全く別の環に成分を持つというわけでもない）。一つの特別な、しかしよく用いられる場合として、成分自体が行列となっているような行列と見なすこともできる<a href="/wiki/%E5%8C%BA%E5%88%86%E8%A1%8C%E5%88%97" title="区分行列">区分行列</a>が挙げられる。その成分は二次元的な行列である必要はないし、また通常の<a href="/wiki/%E7%92%B0_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)" title="環 (数学)">環</a>の元である必要もないが、その大きさに関しては適当な両立条件を満足するものでなければならない。 <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="線型写像との関係">線型写像との関係</h3>[<a href="/w/index.php?title=%E8%A1%8C%E5%88%97&action=edit&section=42" title="節を編集: 線型写像との関係">編集</a>]</div> 線型写像 Rn → Rm は既に述べたように m × n 行列と等価である。一般に有限<a href="/wiki/%E3%83%8F%E3%83%A1%E3%83%AB%E6%AC%A1%E5%85%83" class="mw-redirect" title="ハメル次元">次元</a><a href="/wiki/%E3%83%99%E3%82%AF%E3%83%88%E3%83%AB%E7%A9%BA%E9%96%93" title="ベクトル空間">ベクトル空間</a>の間の線型写像 f: V → W は（V の次元を n, W の次元を m として） V の<a href="/wiki/%E5%9F%BA%E5%BA%95_(%E7%B7%9A%E5%9E%8B%E4%BB%A3%E6%95%B0%E5%AD%A6)" title="基底 (線型代数学)">基底</a> v1, …, vn と W の基底 w1, …, wm を選べば <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(\mathbf {v} _{j})=\sum _{i=1}^{m}a_{i,j}\mathbf {w} _{i}\quad (j=1,\ldots ,n)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">v</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <munderover> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>m</mi> </mrow> </munderover> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mo>,</mo> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">w</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mspace width="1em" /> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>j</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mo>…</mo> <mo>,</mo> <mi>n</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(\mathbf {v} _{j})=\sum _{i=1}^{m}a_{i,j}\mathbf {w} _{i}\quad (j=1,\ldots ,n)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ea974ae3f0ec6412852fc89bbcaac557718e838" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:34.068ex; height:6.843ex;" alt="{\displaystyle f(\mathbf {v} _{j})=\sum _{i=1}^{m}a_{i,j}\mathbf {w} _{i}\quad (j=1,\ldots ,n)}"></dd></dl> を満たす行列 A = (aij) によって記述することができる。言い換えれば、 A の第 j-列は基底ベクトル vj の像を W の基底 {wi} に関して表したものになっている。従ってこのような関係は行列 A の成分から一意的に定まる。注意すべきは線型写像を表す行列は基底の取り方に依存することである。基底の取り方を変えれば別な行列が生じるが、それはもとの行列と<a href="/wiki/%E8%A1%8C%E5%88%97%E3%81%AE%E7%9B%B8%E4%BC%BC" title="行列の相似">同値</a>になる<a href="#cite_note-FOOTNOTEGreub1975Section_III.3-38">[34]</a>。既に述べた具体的な概念の多くはこの方法を通して解釈しなおすことができる。例えば転置行列 A⊤ は A の定める線型写像の<a href="/wiki/%E7%B7%9A%E5%9E%8B%E5%86%99%E5%83%8F%E3%81%AE%E8%BB%A2%E7%BD%AE" class="mw-redirect" title="線型写像の転置">転置写像</a>を、<a href="/wiki/%E5%8F%8C%E5%AF%BE%E7%A9%BA%E9%96%93" class="mw-redirect" title="双対空間">双対基底</a>に関して記述するものである。<a href="#cite_note-FOOTNOTEGreub1975Section_III.3.13-39">[35]</a>。 より一般に、m × n 行列全体の成す集合は、勝手な単位的環 R に対して自由加群 Rm および Rn の間の R-線型写像を表すのに利用することができる。n = m のとき、そのような写像の合成を定義することができて、n-次正方行列全体の成す<a href="/wiki/%E5%85%A8%E8%A1%8C%E5%88%97%E7%92%B0" class="mw-redirect" title="全行列環">全行列環</a>が、Rn の<a href="/wiki/%E8%87%AA%E5%B7%B1%E6%BA%96%E5%90%8C%E5%9E%8B%E7%92%B0" title="自己準同型環">自己準同型環</a>を表現するものとして生じる。 <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="行列群">行列群</h3>[<a href="/w/index.php?title=%E8%A1%8C%E5%88%97&action=edit&section=43" title="節を編集: 行列群">編集</a>]</div> <div class="rellink" style="margin-bottom: 0.5em; padding-left: 2em; font-size: 90%;" role="note">→詳細は「<a href="/wiki/%E7%B7%9A%E5%9E%8B%E4%BB%A3%E6%95%B0%E7%BE%A4" title="線型代数群">線型代数群</a>」を参照</div> <a href="/wiki/%E7%BE%A4_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)" title="群 (数学)">群</a>というのは集合と<a href="/wiki/%E4%BA%8C%E9%A0%85%E6%BC%94%E7%AE%97" title="二項演算">二項演算</a>（つまり、任意の二つの対象を結合して第三の対象を作る操作）からなる数学的構造で、適当な条件を満たすものである。行列をその元とし、行列の積を群演算とするような群は、行列群または線型代数群と呼ばれる<a href="#cite_note-40">[注釈 5]</a><a href="#cite_note-FOOTNOTEBaker2003Def._1.30-41">[36]</a>。群の任意の元は可逆であるから、最も一般の行列群は与えられたサイズの可逆行列全体の成す群 GLn であり、<a href="/wiki/%E4%B8%80%E8%88%AC%E7%B7%9A%E5%9E%8B%E7%BE%A4" title="一般線型群">一般線型群</a>と呼ばれる。 行列の性質のうちで積と反転に関して保たれるものを用いると、さらに別の行列群を定義することもできる。例えば、与えられたサイズの行列式が 1 であるような行列の全体は、同じサイズの一般線型群に含まれる<a href="/wiki/%E9%83%A8%E5%88%86%E7%BE%A4" title="部分群">部分群</a>となり、<a href="/wiki/%E7%89%B9%E6%AE%8A%E7%B7%9A%E5%9E%8B%E7%BE%A4" title="特殊線型群">特殊線型群</a> SLn と呼ばれる<a href="#cite_note-FOOTNOTEBaker2003Theorem_1.2-42">[37]</a>。また、条件 <dl><dd>M⊤M = I</dd></dl> で定まる<a href="/wiki/%E7%9B%B4%E4%BA%A4%E8%A1%8C%E5%88%97" title="直交行列">直交行列</a>の全体は<a href="/wiki/%E7%9B%B4%E4%BA%A4%E7%BE%A4" title="直交群">直交群</a> O(n) を成す<a href="#cite_note-FOOTNOTEArtin1991Chapter_4.5-43">[38]</a>。「直交」の名は、対応する Rn の線型変換が、M を掛ける操作で二つのベクトルの<a href="/wiki/%E7%82%B9%E4%B9%97%E7%A9%8D" class="mw-redirect" title="点乗積">内積</a>を変えない <dl><dd>(Mv) · (Mw) = v · w</dd></dl> という意味で角を保つことに由来する<a href="#cite_note-FOOTNOTEArtin1991Theorem_4.5.13-44">[39]</a>。任意の<a href="/wiki/%E6%9C%89%E9%99%90%E7%BE%A4" title="有限群">有限群</a>は何らかの行列群<a href="/wiki/%E5%90%8C%E5%9E%8B" class="mw-redirect" title="同型">同型</a>である。なんとなれば<a href="/wiki/%E5%AF%BE%E7%A7%B0%E7%BE%A4" title="対称群">対称群</a>の<a href="/wiki/%E6%AD%A3%E5%89%87%E8%A1%A8%E7%8F%BE_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)" title="正則表現 (数学)">正則表現</a>を考えればよい<a href="#cite_note-FOOTNOTERowen2008Example_19.2,_p._198-45">[40]</a>。故に、<a href="/wiki/%E8%A1%A8%E7%8F%BE%E8%AB%96" title="表現論">表現論</a>の意味で、一般の群を比較的よくわかっている行列群を用いて調べることができる。 <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="無限次行列">無限次行列</h3>[<a href="/w/index.php?title=%E8%A1%8C%E5%88%97&action=edit&section=44" title="節を編集: 無限次行列">編集</a>]</div> 行または列の数を無限にした行列と呼べるようなものも考えることができる<a href="#cite_note-FOOTNOTEItõ1987&quot;Matrix&quot;-46">[41]</a>が、そのようなものを陽なかたちに書き記すことはできないので、行を添字付ける集合と列を添字付ける集合を用意して（添字集合は必ずしも自然数から成るものでなくてよい）、それらの各元に対して行列の成分が矛盾無く定義されるという方法で扱うことになる。このとき、和・差、スカラー倍、転置といった基本演算については問題なく定義されるが、行列の乗法に関してはその成分が無限和として与えられることになり、これは（適当な制約条件を抜きにしては）一般には定義されない。 R を任意の単位的環とすれば、右 R-加群としての <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \textstyle M=\bigoplus _{i\in I}R}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mi>M</mi> <mo>=</mo> <munder> <mo>⨁</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mo>∈</mo> <mi>I</mi> </mrow> </munder> <mi>R</mi> </mstyle> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \textstyle M=\bigoplus _{i\in I}R}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/463dd7ba31d24f32474279de2b67db7dac5e986a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:12.998ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle \textstyle M=\bigoplus _{i\in I}R}"> の自己準同型環は、I × I で添字付けられ、各列の非零成分の数が有限個であるような列有限行列の環 CFMI(R) に同型である。これと対応するものとして、左 R-加群としての M の自己準同型環を考えれば、同様に各行の非零成分の数が有限な行有限行列の環 RFMI(R) が得られる。 無限次元行列を線型写像を記述するのに用いるならば、次に述べるような理由から、その各列ベクトルが有限個の例外を除いて全ての成分が 0 となるものとならなければ無用である。A が適当な基底に関して線型写像 f: V → W を表現するものとすると、それは定義により、空間の任意のベクトルを基底ベクトルの（有限）<a href="/wiki/%E7%B7%9A%E5%9E%8B%E7%B5%90%E5%90%88" title="線型結合">線型結合</a>として一意に表すことによって与えられるのであるから、従って（列）ベクトル v の成分 vi で非零となるものは有限個に限られる。また、A の各列は V の各基底ベクトルの f による像を W の基底に関して表したものとなっているから、これが意味を持つのはこれらの列ベクトルの非零成分が有限個である場合に限る。しかし一方で、A の行に関しては何の制約もない。事実、v の非零成分が有限個であるならば、積 Av はその各成分が見かけ上無限和の形で与えられるとしても、実際にはそれは非零の項が有限個しかないから、間違いなく決定することができる。さらに言えば、これは A の実質的に有限個の列の線型結合を成すことになり、また各列の非零成分は有限個だから結果として得られる和も非零成分が有限個になる。（通常は、行と列が同じ集合で添字付けられるような）与えられた型の二つの行列の積は矛盾無く定義できて、もとと同じ型を持ち、線型写像の合成に対応することも確認できる。 R が<a href="/wiki/%E3%83%8E%E3%83%AB%E3%83%A0%E7%92%B0" class="mw-redirect" title="ノルム環">ノルム環</a>ならば、行または列に関する有限性条件を緩めることができる。すなわち、有限和の代わりに、そのノルムに関する<a href="/w/index.php?title=%E7%B5%B6%E5%AF%BE%E5%8F%8E%E6%9D%9F%E7%B4%9A%E6%95%B0&action=edit&redlink=1" class="new" title="「絶対収束級数」 (存在しないページ)">絶対収束級数</a>を考えればよい。例えば、列和が絶対収束列となるような行列の全体は環を成す。もちろん同様に、行和が絶対収束列となるような行列の全体も環を成す。 この文脈では、収束して<a href="/wiki/%E9%80%A3%E7%B6%9A%E5%86%99%E5%83%8F" title="連続写像">連続的</a>な問題を生じ、適当な制約条件を満たすような無限次行列は<a href="/w/index.php?title=%E3%83%92%E3%83%AB%E3%83%99%E3%83%AB%E3%83%88%E7%A9%BA%E9%96%93%E4%B8%8A%E3%81%AE%E4%BD%9C%E7%94%A8%E7%B4%A0&action=edit&redlink=1" class="new" title="「ヒルベルト空間上の作用素」 (存在しないページ)">ヒルベルト空間上の作用素</a>を記述するものとして利用することができる。しかし、このようなやり方は行列としての陽な観点は曖昧になりがち<a href="#cite_note-48">[注釈 6]</a>であり、むしろその代わりに<a href="/wiki/%E9%96%A2%E6%95%B0%E8%A7%A3%E6%9E%90%E5%AD%A6" title="関数解析学">関数解析学</a>の抽象的でより強力な手法が利用できる。 <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="空行列">空行列</h3>[<a href="/w/index.php?title=%E8%A1%8C%E5%88%97&action=edit&section=45" title="節を編集: 空行列">編集</a>]</div> 空行列は行または列（あるいはその両方）の数が 0 であるような行列をいう<a href="#cite_note-51">[注釈 7]</a>。<a href="/wiki/%E9%9B%B6%E3%83%99%E3%82%AF%E3%83%88%E3%83%AB%E7%A9%BA%E9%96%93" title="零ベクトル空間">零ベクトル空間</a>を含めて写像を考える場合に、空行列は役に立つ。例えば、A が 3 × 0 行列で B が 0 × 3 行列ならば、積 AB は三次元空間 V からそれ自身への空写像に対応する 3 × 3 零行列である。空行列を表す記号というのは特に定まってはいないが、多くの<a href="/wiki/%E6%95%B0%E5%BC%8F%E5%87%A6%E7%90%86%E3%82%B7%E3%82%B9%E3%83%86%E3%83%A0" title="数式処理システム">数式処理システム</a>では空行列を作成したり空行列に関する計算をしたりすることができる。0 × 0 行列の行列式は 1 と定義される。これは行列式に関するライプニッツの公式（置換に関する和として表す公式）が<a href="/wiki/%E7%A9%BA%E7%A9%8D" title="空積">空積</a>となり、それは通常 1 であることによる。またこのことは、任意の有限次元空間における恒等変換（に対応する行列）の行列式が 1 であるという事実とも整合する。 <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="応用">応用</h2>[<a href="/w/index.php?title=%E8%A1%8C%E5%88%97&action=edit&section=46" title="節を編集: 応用">編集</a>]</div> 行列は数学と科学における数多くの場面で応用される。そのうちのいくつかは単に行列における数字の組を簡潔に表現するために利用させる。例えば、<a href="/wiki/%E3%82%B2%E3%83%BC%E3%83%A0%E7%90%86%E8%AB%96" title="ゲーム理論">ゲーム理論</a>や<a href="/wiki/%E7%B5%8C%E6%B8%88%E5%AD%A6" title="経済学">経済学</a>における利得行列は2人のプレイヤーの利得を符号化する。 <a href="/wiki/%E8%A4%87%E7%B4%A0%E6%95%B0" title="複素数">複素数</a>は2×2の実行列で <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a+ib\leftrightarrow {\begin{bmatrix}a&-b\\b&a\end{bmatrix}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <mo>+</mo> <mi>i</mi> <mi>b</mi> <mo stretchy="false">↔</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow> <mo>[</mo> <mtable rowspacing="4pt" columnspacing="1em"> <mtr> <mtd> <mi>a</mi> </mtd> <mtd> <mo>−</mo> <mi>b</mi> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mi>b</mi> </mtd> <mtd> <mi>a</mi> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>]</mo> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a+ib\leftrightarrow {\begin{bmatrix}a&-b\\b&a\end{bmatrix}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c51244db4a8fcf30a9271dcf39b1071b8c51f101" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:19.049ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle a+ib\leftrightarrow {\begin{bmatrix}a&-b\\b&a\end{bmatrix}}}"> のように表現することで複素数と行列における和と積をそれぞれ対応させることが可能となる。例えば2×2の<a href="/wiki/%E5%9B%9E%E8%BB%A2%E8%A1%8C%E5%88%97" title="回転行列">回転行列</a>は絶対値が1である複素数の乗算を表す。これと同じような解釈は一般に<a href="/wiki/%E5%9B%9B%E5%85%83%E6%95%B0" title="四元数">四元数</a>や<a href="/wiki/%E3%82%AF%E3%83%AA%E3%83%95%E3%82%A9%E3%83%BC%E3%83%89%E4%BB%A3%E6%95%B0" title="クリフォード代数">クリフォード代数</a>においても可能である。 運動学や<a href="/wiki/%E3%83%AD%E3%83%9C%E3%83%83%E3%83%88%E5%B7%A5%E5%AD%A6" title="ロボット工学">ロボット工学</a>の分野では、2次元または3次元空間における物体の位置や姿勢（回転角）を表現するのに行列が用いられ、ベクトルおよび<a href="/wiki/%E3%82%AF%E3%82%A9%E3%83%BC%E3%82%BF%E3%83%8B%E3%82%AA%E3%83%B3" class="mw-redirect" title="クォータニオン">クォータニオン</a>（<a href="/wiki/%E5%9B%9B%E5%85%83%E6%95%B0" title="四元数">四元数</a>）とともに<a href="/wiki/%E5%A7%BF%E5%8B%A2%E5%88%B6%E5%BE%A1" title="姿勢制御">姿勢制御</a>に応用されている。任意の<a href="/wiki/%E3%82%AA%E3%82%A4%E3%83%A9%E3%83%BC%E8%A7%92" title="オイラー角">オイラー角</a>は<a href="/wiki/%E5%9B%9E%E8%BB%A2%E8%A1%8C%E5%88%97" title="回転行列">回転行列</a>の積で表現できる。また、<a href="/w/index.php?title=%E5%90%8C%E6%AC%A1%E5%BA%A7%E6%A8%99&action=edit&redlink=1" class="new" title="「同次座標」 (存在しないページ)">同次座標</a>（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Homogeneous_coordinates" class="extiw" title="en:Homogeneous coordinates">英語版</a>）系での座標変換を導入するために、2次元ベクトルを座標変換する際は同次座標を追加した3次元ベクトルと3×3行列の積が、3次元ベクトルを座標変換する際は同次座標を追加した4次元ベクトルと4×4行列の積が使用される。<a href="/wiki/%E3%82%B3%E3%83%B3%E3%83%94%E3%83%A5%E3%83%BC%E3%82%BF%E3%82%B0%E3%83%A9%E3%83%95%E3%82%A3%E3%83%83%E3%82%AF%E3%82%B9" title="コンピュータグラフィックス">コンピュータグラフィックス</a>でも、<a href="/wiki/%E3%82%A2%E3%83%95%E3%82%A3%E3%83%B3%E5%86%99%E5%83%8F" title="アフィン写像">アフィン変換</a>を使って2次元平面上の図形を<a href="/wiki/%E5%B9%B3%E8%A1%8C%E7%A7%BB%E5%8B%95" title="平行移動">平行移動</a>・回転・拡大縮小・<a href="/wiki/%E3%81%9B%E3%82%93%E6%96%AD" title="せん断">せん断</a>変形したり、<a href="/wiki/%E3%83%9D%E3%83%AA%E3%82%B4%E3%83%B3%E3%83%A1%E3%83%83%E3%82%B7%E3%83%A5" title="ポリゴンメッシュ">ポリゴンメッシュ</a>や<a href="/wiki/%E8%87%AA%E7%94%B1%E6%9B%B2%E9%9D%A2" class="mw-redirect" title="自由曲面">自由曲面</a>を使って仮想空間上に物体を表現する際、物体を構成する頂点集合の位置や姿勢を表したり、カメラの<a href="/wiki/%E7%94%BB%E8%A7%92" title="画角">画角</a>を表現したり、3次元空間上のモデルを正規化デバイス座標系や2次元のスクリーン座標系に投影したりするのに行列が使われている。 ヒル暗号のような初期の<a href="/wiki/%E6%9A%97%E5%8F%B7%E7%90%86%E8%AB%96" title="暗号理論">暗号技術</a>においても行列は用いられる。しかし、行列の線型性によって、このような暗号はかなり簡単に突破されてしまう。 <a href="/wiki/%E5%A4%9A%E9%A0%85%E5%BC%8F%E7%92%B0" title="多項式環">多項式環</a>における行列は<a href="/wiki/%E5%88%B6%E5%BE%A1%E7%90%86%E8%AB%96" title="制御理論">制御理論</a>を学ぶ際に重要となる。 <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="グラフ理論">グラフ理論</h3>[<a href="/w/index.php?title=%E8%A1%8C%E5%88%97&action=edit&section=47" title="節を編集: グラフ理論">編集</a>]</div> <figure class="mw-halign-right" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/%E3%83%95%E3%82%A1%E3%82%A4%E3%83%AB:Labelled_undirected_graph.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a5/Labelled_undirected_graph.svg/150px-Labelled_undirected_graph.svg.png" decoding="async" width="150" height="137" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a5/Labelled_undirected_graph.svg/225px-Labelled_undirected_graph.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a5/Labelled_undirected_graph.svg/300px-Labelled_undirected_graph.svg.png 2x" data-file-width="209" data-file-height="191" /></a><figcaption>図のような無向グラフの隣接行列は<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\begin{bmatrix}1&1&0\\1&0&1\\0&1&0\end{bmatrix}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow> <mo>[</mo> <mtable rowspacing="4pt" columnspacing="1em"> <mtr> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>]</mo> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{bmatrix}1&1&0\\1&0&1\\0&1&0\end{bmatrix}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/978047926fff580190abbab17b95d16289073c15" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -4.005ex; width:11.985ex; height:9.176ex;" alt="{\displaystyle {\begin{bmatrix}1&1&0\\1&0&1\\0&1&0\end{bmatrix}}}">である。</figcaption></figure> 有限グラフの<a href="/wiki/%E9%9A%A3%E6%8E%A5%E8%A1%8C%E5%88%97" title="隣接行列">隣接行列</a>は<a href="/wiki/%E3%82%B0%E3%83%A9%E3%83%95%E7%90%86%E8%AB%96" title="グラフ理論">グラフ理論</a>における基本的な概念である。これは枝によって繋がれたグラフの頂点を表す。また、<a href="/wiki/%E8%B7%9D%E9%9B%A2%E8%A1%8C%E5%88%97" title="距離行列">距離行列</a>は頂点間の距離に関する情報を含む。このような概念は<a href="/wiki/%E3%83%8F%E3%82%A4%E3%83%91%E3%83%BC%E3%83%AA%E3%83%B3%E3%82%AF" title="ハイパーリンク">ハイパーリンク</a>によって繋がれた<a href="/wiki/%E3%82%A6%E3%82%A7%E3%83%96%E3%82%B5%E3%82%A4%E3%83%88" title="ウェブサイト">ウェブサイト</a>や道路で繋がれた都市といった場面で応用することができる。このようなことから<a href="/wiki/%E3%83%8D%E3%83%83%E3%83%88%E3%83%AF%E3%83%BC%E3%82%AF%E7%90%86%E8%AB%96" title="ネットワーク理論">ネットワーク理論</a>においても行列は用いられることとなる。 <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="解析学と幾何学">解析学と幾何学</h3>[<a href="/w/index.php?title=%E8%A1%8C%E5%88%97&action=edit&section=48" title="節を編集: 解析学と幾何学">編集</a>]</div> <a href="/wiki/%E5%BE%AE%E5%88%86%E5%8F%AF%E8%83%BD%E9%96%A2%E6%95%B0" title="微分可能関数">微分可能関数</a>ƒ: Rn → Rの<a href="/wiki/%E3%83%98%E3%83%83%E3%82%BB%E8%A1%8C%E5%88%97" title="ヘッセ行列">ヘッセ行列</a>はƒの二階導関数によって <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle H(f)=\left[{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}\,\partial x_{j}}}\right]}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>H</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mrow> <mo>[</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <msup> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mi>f</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mspace width="thinmathspace" /> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>]</mo> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle H(f)=\left[{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}\,\partial x_{j}}}\right]}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d06a1d939d9cc74bfe40b82f3712125ae999a312" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:18.933ex; height:6.509ex;" alt="{\displaystyle H(f)=\left[{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}\,\partial x_{j}}}\right]}"></dd></dl> のようになる。これは関数の局所的な状態に関する情報を符号化したものである。 <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="脚注">脚注</h2>[<a href="/w/index.php?title=%E8%A1%8C%E5%88%97&action=edit&section=49" title="節を編集: 脚注">編集</a>]</div> <div class="noprint" style="float:right; font-size:90%;">[<a href="/wiki/Help:%E8%84%9A%E6%B3%A8/%E8%AA%AD%E8%80%85%E5%90%91%E3%81%91" title="Help:脚注/読者向け">脚注の使い方</a>]</div> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="注釈">注釈</h3>[<a href="/w/index.php?title=%E8%A1%8C%E5%88%97&action=edit&section=50" title="節を編集: 注釈">編集</a>]</div> <div class="reflist" style="list-style-type: decimal;"> <ol class="references"> <li id="cite_note-3"><a href="#cite_ref-3">^</a> 下線や二重下線などを付けることもあるが、これはタイプライター原稿で用いられた太字書体を指示する書式の名残<a href="#cite_note-2">[2]</a> </li> <li id="cite_note-9"><a href="#cite_ref-9">^</a> <a href="/wiki/%E3%82%AA%E3%83%83%E3%82%AF%E3%82%B9%E3%83%95%E3%82%A9%E3%83%BC%E3%83%89%E8%8B%B1%E8%AA%9E%E5%A4%A7%E8%BE%9E%E5%85%B8" class="mw-redirect" title="オックスフォード英語大辞典">OED</a>によれば、数学用語としての "matrix" の最初の用例は J. J. Sylvester in London, Edinb. & Dublin Philos. Mag. 37 (1850), p. 369: "We ‥commence‥ with an oblong arrangement of terms consisting, suppose, of m lines and n columns. This will not in itself represent a determinant, but is, as it were, a Matrix out of which we may form various systems of determinants by fixing upon a number p, and selecting at will p lines and p columns, the squares corresponding to which may be termed determinants of the pth order. </li> <li id="cite_note-26"><a href="#cite_ref-26">^</a> これは与えられた行列の全ての成分が加法逆元を持つ限りにおいて、加法のみから定められることに注意。特にスカラー乗法が（任意のスカラーと任意の行列に対する演算として）定義されている必要はない。従って、同じサイズの任意の行列に対する減法を定めるならば、例えば係数域が加法について<a href="/wiki/%E3%82%A2%E3%83%BC%E3%83%99%E3%83%AB%E7%BE%A4" title="アーベル群">アーベル群</a>であれば十分であるが、通例として行列の係数域は何らかの可換環と仮定するから、それには環の加法群構造を用いればよい </li> <li id="cite_note-31"><a href="#cite_ref-31">^</a> 正方行列でない行列に対して行列式を考える理論も存在する。これは C. E. Cullis により導入された。<a href="#cite_note-30">[27]</a> </li> <li id="cite_note-40"><a href="#cite_ref-40">^</a> 普通はさらに一般線型群の<a href="/wiki/%E9%96%89%E9%9B%86%E5%90%88" title="閉集合">閉集合</a>となることも要求する。 </li> <li id="cite_note-48"><a href="#cite_ref-48">^</a> "Not much of matrix theory carries over to infinite-dimensional spaces, and what does is not so useful, but it sometimes helps." <a href="#cite_note-FOOTNOTEHalmos198223Chapter_5-47">[42]</a> </li> <li id="cite_note-51"><a href="#cite_ref-51">^</a> "Empty Matrix: A matrix is empty if either its row or column dimension is zero",<a href="#cite_note-49">[43]</a> "A matrix having at least one dimension equal to zero is called an empty matrix", <a href="#cite_note-50">[44]</a> </li> </ol></div> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="出典">出典</h3>[<a href="/w/index.php?title=%E8%A1%8C%E5%88%97&action=edit&section=51" title="節を編集: 出典">編集</a>]</div> <div class="reflist" style="-moz-column-count:2; -webkit-column-count:2; column-count:2; -moz-column-width: 20em; -webkit-column-width: 20em; column-width: 20em; list-style-type: decimal;"> <ol class="references"> <li id="cite_note-斎藤2017-21-1">^ <a href="#cite_ref-斎藤2017-21_1-0">a</a> <a href="#cite_ref-斎藤2017-21_1-1">b</a> <a href="#cite_ref-斎藤2017-21_1-2">c</a> <a href="#cite_ref-斎藤2017-21_1-3">d</a> <a href="#cite_ref-斎藤2017-21_1-4">e</a> <a href="#斎藤2017">斎藤2017</a>、21頁。 </li> <li id="cite_note-2"><a href="#cite_ref-2">^</a> <a rel="nofollow" class="external free" href="https://raksul.com/dictionary/underline/">https://raksul.com/dictionary/underline/</a> </li> <li id="cite_note-4"><a href="#cite_ref-4">^</a> <a href="#CITEREFShenCrossleyLun1999">Shen, Crossley & Lun 1999</a> cited by <a href="#CITEREFBretscher2005">Bretscher 2005</a>, p. 1 </li> <li id="cite_note-5"><a href="#cite_ref-5">^</a> <cite style="font-style:normal" class="citation book"><a href="/w/index.php?title=Joseph_Needham&action=edit&redlink=1" class="new" title="「Joseph Needham」 (存在しないページ)">Needham, Joseph</a>; <a href="/w/index.php?title=Wang_Ling_(historian)&action=edit&redlink=1" class="new" title="「Wang Ling (historian)」 (存在しないページ)">Wang Ling</a> (1959). <a rel="nofollow" class="external text" href="https://books.google.co.jp/books?id=jfQ9E0u4pLAC&pg=PA117">Science and Civilisation in China</a>. III. Cambridge: Cambridge University Press. p. 117. <style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r101121245">.mw-parser-output cite.citation{font-style:inherit;word-wrap:break-word}.mw-parser-output .citation q{quotes:"\"""\"""'""'"}.mw-parser-output .citation.cs-ja1 q,.mw-parser-output .citation.cs-ja2 q{quotes:"「""」""『""』"}.mw-parser-output .citation:target{background-color:rgba(0,127,255,0.133)}.mw-parser-output .id-lock-free a,.mw-parser-output .citation .cs1-lock-free a{background:url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/6/65/Lock-green.svg")right 0.1em center/9px no-repeat}.mw-parser-output .id-lock-limited a,.mw-parser-output .id-lock-registration a,.mw-parser-output .citation .cs1-lock-limited a,.mw-parser-output .citation .cs1-lock-registration a{background:url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/d/d6/Lock-gray-alt-2.svg")right 0.1em center/9px no-repeat}.mw-parser-output .id-lock-subscription a,.mw-parser-output .citation .cs1-lock-subscription a{background:url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/a/aa/Lock-red-alt-2.svg")right 0.1em center/9px no-repeat}.mw-parser-output .cs1-ws-icon a{background:url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/4/4c/Wikisource-logo.svg")right 0.1em center/12px no-repeat}.mw-parser-output .cs1-code{color:inherit;background:inherit;border:none;padding:inherit}.mw-parser-output .cs1-hidden-error{display:none;color:var(--color-error,#d33)}.mw-parser-output .cs1-visible-error{color:var(--color-error,#d33)}.mw-parser-output .cs1-maint{display:none;color:var(--color-success,#3a3);margin-left:0.3em}.mw-parser-output .cs1-format{font-size:95%}.mw-parser-output .cs1-kern-left{padding-left:0.2em}.mw-parser-output .cs1-kern-right{padding-right:0.2em}.mw-parser-output .citation .mw-selflink{font-weight:inherit}</style><a href="/wiki/ISBN" title="ISBN">ISBN</a> <a href="/wiki/%E7%89%B9%E5%88%A5:%E6%96%87%E7%8C%AE%E8%B3%87%E6%96%99/9780521058018" title="特別:文献資料/9780521058018">9780521058018</a>. <a rel="nofollow" class="external free" href="https://books.google.co.jp/books?id=jfQ9E0u4pLAC&pg=PA117">https://books.google.co.jp/books?id=jfQ9E0u4pLAC&pg=PA117</a></cite><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Science+and+Civilisation+in+China&rft.aulast=Needham&rft.aufirst=Joseph&rft.au=Needham%2C%26%2332%3BJoseph&rft.au=Wang+Ling&rft.date=1959&rft.volume=III&rft.pages=p.%26nbsp%3B117&rft.place=Cambridge&rft.pub=Cambridge+University+Press&rft.isbn=9780521058018&rft_id=https%3A%2F%2Fbooks.google.co.jp%2Fbooks%3Fid%3DjfQ9E0u4pLAC%26pg%3DPA117&rfr_id=info:sid/ja.wikipedia.org:%E8%A1%8C%E5%88%97">  </li> <li id="cite_note-FOOTNOTECayley1889475–496vol._II-6"><a href="#cite_ref-FOOTNOTECayley1889475–496vol._II_6-0">^</a> <a href="#CITEREFCayley1889">Cayley 1889</a>, pp. 475–496, vol. 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<a href="/w/index.php?title=%E3%82%B4%E3%83%BC%E3%83%89%E3%83%B3%E3%83%BB%E3%83%AD%E3%82%A4%E3%83%AB&action=edit&redlink=1" class="new" title="「ゴードン・ロイル」 (存在しないページ)">Royle, Gordon</a> (2004), Algebraic Graph Theory, Graduate Texts in Mathematics, 207, Berlin, New York: Springer-Verlag, <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r101121245"><a href="/wiki/ISBN" title="ISBN">ISBN</a> <a href="/wiki/%E7%89%B9%E5%88%A5:%E6%96%87%E7%8C%AE%E8%B3%87%E6%96%99/978-0-387-95220-8" title="特別:文献資料/978-0-387-95220-8">978-0-387-95220-8</a></cite><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Algebraic+Graph+Theory&rft.aulast=Godsil&rft.aufirst=Chris&rft.au=Godsil%2C%26%2332%3BChris&rft.au=Royle%2C%26%2332%3BGordon&rft.date=2004&rft.series=Graduate+Texts+in+Mathematics&rft.volume=207&rft.place=Berlin%2C+New+York&rft.pub=Springer-Verlag&rft.isbn=978-0-387-95220-8&rfr_id=info:sid/ja.wikipedia.org:%E8%A1%8C%E5%88%97"> </li> <li><cite style="font-style:normal" class="citation" id="CITEREFGolubVan_Loan1996"><a href="/w/index.php?title=%E3%82%B8%E3%83%BC%E3%83%B3%E3%83%BB%E3%83%8F%E3%83%AF%E3%83%BC%E3%83%89%E3%83%BB%E3%82%B4%E3%83%A9%E3%83%96&action=edit&redlink=1" class="new" title="「ジーン・ハワード・ゴラブ」 (存在しないページ)">Golub, Gene H.</a>; <a href="/w/index.php?title=%E3%83%81%E3%83%A3%E3%83%BC%E3%83%AB%E3%82%BA%E3%83%BB%E3%83%95%E3%83%A9%E3%83%B3%E3%82%B7%E3%82%B9%E3%83%BB%E3%83%B4%E3%82%A1%E3%83%B3%E3%83%BB%E3%83%AD%E3%83%BC%E3%83%B3&action=edit&redlink=1" class="new" title="「チャールズ・フランシス・ヴァン・ローン」 (存在しないページ)">Van Loan, Charles F.</a> (1996), Matrix Computations (3rd ed.), Johns Hopkins, <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r101121245"><a href="/wiki/ISBN" title="ISBN">ISBN</a> <a href="/wiki/%E7%89%B9%E5%88%A5:%E6%96%87%E7%8C%AE%E8%B3%87%E6%96%99/978-0-8018-5414-9" title="特別:文献資料/978-0-8018-5414-9">978-0-8018-5414-9</a></cite><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Matrix+Computations&rft.aulast=Golub&rft.aufirst=Gene+H.&rft.au=Golub%2C%26%2332%3BGene+H.&rft.au=Van+Loan%2C%26%2332%3BCharles+F.&rft.date=1996&rft.edition=3rd&rft.pub=Johns+Hopkins&rft.isbn=978-0-8018-5414-9&rfr_id=info:sid/ja.wikipedia.org:%E8%A1%8C%E5%88%97"> </li> <li><cite style="font-style:normal" class="citation" id="CITEREFGolubVan_Loan2013"><a href="/w/index.php?title=%E3%82%B8%E3%83%BC%E3%83%B3%E3%83%BB%E3%83%8F%E3%83%AF%E3%83%BC%E3%83%89%E3%83%BB%E3%82%B4%E3%83%A9%E3%83%96&action=edit&redlink=1" class="new" title="「ジーン・ハワード・ゴラブ」 (存在しないページ)">Golub, Gene H.</a>; <a href="/w/index.php?title=%E3%83%81%E3%83%A3%E3%83%BC%E3%83%AB%E3%82%BA%E3%83%BB%E3%83%95%E3%83%A9%E3%83%B3%E3%82%B7%E3%82%B9%E3%83%BB%E3%83%B4%E3%82%A1%E3%83%B3%E3%83%BB%E3%83%AD%E3%83%BC%E3%83%B3&action=edit&redlink=1" class="new" title="「チャールズ・フランシス・ヴァン・ローン」 (存在しないページ)">Van Loan, Charles F.</a> (2013), Matrix Computations (4th ed.), Johns Hopkins, <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r101121245"><a href="/wiki/ISBN" title="ISBN">ISBN</a> <a href="/wiki/%E7%89%B9%E5%88%A5:%E6%96%87%E7%8C%AE%E8%B3%87%E6%96%99/978-1-4214-0794-4" title="特別:文献資料/978-1-4214-0794-4">978-1-4214-0794-4</a></cite><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Matrix+Computations&rft.aulast=Golub&rft.aufirst=Gene+H.&rft.au=Golub%2C%26%2332%3BGene+H.&rft.au=Van+Loan%2C%26%2332%3BCharles+F.&rft.date=2013&rft.edition=4th&rft.pub=Johns+Hopkins&rft.isbn=978-1-4214-0794-4&rfr_id=info:sid/ja.wikipedia.org:%E8%A1%8C%E5%88%97"> </li> <li><cite style="font-style:normal" class="citation" id="CITEREFGreub1975">Greub, Werner Hildbert (1975), Linear algebra, Graduate Texts in Mathematics, Berlin, New York: Springer-Verlag, <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r101121245"><a href="/wiki/ISBN" title="ISBN">ISBN</a> <a href="/wiki/%E7%89%B9%E5%88%A5:%E6%96%87%E7%8C%AE%E8%B3%87%E6%96%99/978-0-387-90110-7" title="特別:文献資料/978-0-387-90110-7">978-0-387-90110-7</a></cite><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Linear+algebra&rft.aulast=Greub&rft.aufirst=Werner+Hildbert&rft.au=Greub%2C%26%2332%3BWerner+Hildbert&rft.date=1975&rft.series=Graduate+Texts+in+Mathematics&rft.place=Berlin%2C+New+York&rft.pub=Springer-Verlag&rft.isbn=978-0-387-90110-7&rfr_id=info:sid/ja.wikipedia.org:%E8%A1%8C%E5%88%97"> </li> <li><cite style="font-style:normal" class="citation" id="CITEREFHalmos1982">Halmos, Paul Richard (1982), A Hilbert space problem book, Graduate Texts in Mathematics, 19 (2nd ed.), Berlin, New York: Springer-Verlag, <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r101121245"><a href="/wiki/ISBN" title="ISBN">ISBN</a> <a href="/wiki/%E7%89%B9%E5%88%A5:%E6%96%87%E7%8C%AE%E8%B3%87%E6%96%99/978-0-387-90685-0" title="特別:文献資料/978-0-387-90685-0">978-0-387-90685-0</a>, <a href="/wiki/MathSciNet" title="MathSciNet">MR</a><link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r101121245"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://mathscinet.ams.org/mathscinet-getitem?mr=675952">675952</a></cite><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=A+Hilbert+space+problem+book&rft.aulast=Halmos&rft.aufirst=Paul+Richard&rft.au=Halmos%2C%26%2332%3BPaul+Richard&rft.date=1982&rft.series=Graduate+Texts+in+Mathematics&rft.volume=19&rft.edition=2nd&rft.place=Berlin%2C+New+York&rft.pub=Springer-Verlag&rft.isbn=978-0-387-90685-0&rft.mr=675952&rfr_id=info:sid/ja.wikipedia.org:%E8%A1%8C%E5%88%97"> </li> <li><cite style="font-style:normal" class="citation book" id="CITEREFHornJohnson2013">Horn, Roger A.; 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href="/wiki/%E3%82%B5%E3%83%BC%E3%82%B8%E3%83%BB%E3%83%A9%E3%83%B3%E3%82%B0" title="サージ・ラング">Lang, Serge</a> (1969), Analysis II, <a href="/w/index.php?title=%E3%82%A2%E3%83%87%E3%82%A3%E3%82%BD%E3%83%B3%E3%83%BB%E3%82%A6%E3%82%A7%E3%82%B9%E3%83%AC%E3%82%A4%E5%87%BA%E7%89%88&action=edit&redlink=1" class="new" title="「アディソン・ウェスレイ出版」 (存在しないページ)">Addison-Wesley</a></cite><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Analysis+II&rft.aulast=Lang&rft.aufirst=Serge&rft.au=Lang%2C%26%2332%3BSerge&rft.date=1969&rft.pub=%5B%5B%E3%82%A2%E3%83%87%E3%82%A3%E3%82%BD%E3%83%B3%E3%83%BB%E3%82%A6%E3%82%A7%E3%82%B9%E3%83%AC%E3%82%A4%E5%87%BA%E7%89%88%7CAddison-Wesley%5D%5D&rfr_id=info:sid/ja.wikipedia.org:%E8%A1%8C%E5%88%97"> </li> <li><cite style="font-style:normal" class="citation" id="CITEREFLang1987a">Lang, Serge (1987a), Calculus of several variables (3rd ed.), Berlin, New York: Springer-Verlag, <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r101121245"><a href="/wiki/ISBN" title="ISBN">ISBN</a> <a href="/wiki/%E7%89%B9%E5%88%A5:%E6%96%87%E7%8C%AE%E8%B3%87%E6%96%99/978-0-387-96405-8" title="特別:文献資料/978-0-387-96405-8">978-0-387-96405-8</a></cite><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Calculus+of+several+variables&rft.aulast=Lang&rft.aufirst=Serge&rft.au=Lang%2C%26%2332%3BSerge&rft.date=1987a&rft.edition=3rd&rft.place=Berlin%2C+New+York&rft.pub=Springer-Verlag&rft.isbn=978-0-387-96405-8&rfr_id=info:sid/ja.wikipedia.org:%E8%A1%8C%E5%88%97"> </li> <li><cite style="font-style:normal" class="citation" id="CITEREFLang1987b">Lang, Serge (1987b), Linear algebra, Berlin, New York: Springer-Verlag, <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r101121245"><a href="/wiki/ISBN" title="ISBN">ISBN</a> <a href="/wiki/%E7%89%B9%E5%88%A5:%E6%96%87%E7%8C%AE%E8%B3%87%E6%96%99/978-0-387-96412-6" title="特別:文献資料/978-0-387-96412-6">978-0-387-96412-6</a></cite><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Linear+algebra&rft.aulast=Lang&rft.aufirst=Serge&rft.au=Lang%2C%26%2332%3BSerge&rft.date=1987b&rft.place=Berlin%2C+New+York&rft.pub=Springer-Verlag&rft.isbn=978-0-387-96412-6&rfr_id=info:sid/ja.wikipedia.org:%E8%A1%8C%E5%88%97"> </li> <li><cite style="font-style:normal" class="citation" id="CITEREFLang2002"><a href="/wiki/%E3%82%B5%E3%83%BC%E3%82%B8%E3%83%BB%E3%83%A9%E3%83%B3%E3%82%B0" title="サージ・ラング">Lang, Serge</a> (2002), <a rel="nofollow" class="external text" href="https://books.google.co.jp/books?id=Fge-BwqhqIYC">Algebra</a>, <a href="/wiki/Graduate_Texts_in_Mathematics" title="Graduate Texts in Mathematics">Graduate Texts in Mathematics</a>, 211 (Revised third ed.), New York: <a 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class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Algebra&rft.aulast=Lang&rft.aufirst=Serge&rft.au=Lang%2C%26%2332%3BSerge&rft.date=2002&rft.series=%5B%5BGraduate+Texts+in+Mathematics%5D%5D&rft.volume=211&rft.edition=Revised+third&rft.place=New+York&rft.pub=%5B%5B%E3%82%B7%E3%83%A5%E3%83%97%E3%83%AA%E3%83%B3%E3%82%AC%E3%83%BC%E3%83%BB%E3%82%B5%E3%82%A4%E3%82%A8%E3%83%B3%E3%82%B9%E3%83%BB%E3%82%A2%E3%83%B3%E3%83%89%E3%83%BB%E3%83%93%E3%82%B8%E3%83%8D%E3%82%B9%E3%83%BB%E3%83%A1%E3%83%87%E3%82%A3%E3%82%A2%7CSpringer-Verlag%5D%5D&rft.isbn=978-0-387-95385-4&rft_id=https%3A%2F%2Fbooks.google.co.jp%2Fbooks%3Fid%3DFge-BwqhqIYC&rfr_id=info:sid/ja.wikipedia.org:%E8%A1%8C%E5%88%97"> </li> <li><cite style="font-style:normal" class="citation" id="CITEREFLatoucheRamaswami1999">Latouche, G.; Ramaswami, V. 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title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Applications+of+Random+Matrices+in+Physics+%28NATO+Science+Series+II%3A+Mathematics%2C+Physics+and+Chemistry%29&rft.aulast=Zabrodin&rft.aufirst=Anton&rft.au=Zabrodin%2C%26%2332%3BAnton&rft.au=Brezin%2C%26%2332%3B%C3%89douard&rft.au=Kazakov%2C%26%2332%3BVladimir&rft.au=Serban%2C%26%2332%3BDidina&rft.au=Wiegmann%2C%26%2332%3BPaul&rft.date=2006&rft.place=Berlin%2C+New+York&rft.pub=%5B%5B%E3%82%B7%E3%83%A5%E3%83%97%E3%83%AA%E3%83%B3%E3%82%AC%E3%83%BC%E3%83%BB%E3%83%95%E3%82%A7%E3%82%A2%E3%83%A9%E3%83%BC%E3%82%AF%7CSpringer-Verlag%5D%5D&rft.isbn=978-1-4020-4530-1&rfr_id=info:sid/ja.wikipedia.org:%E8%A1%8C%E5%88%97"> </li></ul> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="歴史に関するもの">歴史に関するもの</h3>[<a href="/w/index.php?title=%E8%A1%8C%E5%88%97&action=edit&section=54" title="節を編集: 歴史に関するもの">編集</a>]</div> <ul><li><cite style="font-style:normal" class="citation" id="CITEREFBôcher2004"><a href="/w/index.php?title=%E3%83%9E%E3%82%AD%E3%82%B7%E3%83%A0%E3%83%BB%E3%83%9C%E3%83%83%E3%83%81%E3%83%A3%E3%83%BC&action=edit&redlink=1" class="new" title="「マキシム・ボッチャー」 (存在しないページ)">Bôcher, Maxime</a> (2004), Introduction to higher algebra, New York: <a href="/wiki/Dover_Publications" class="mw-redirect" title="Dover Publications">Dover Publications</a>, <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r101121245"><a href="/wiki/ISBN" title="ISBN">ISBN</a> <a href="/wiki/%E7%89%B9%E5%88%A5:%E6%96%87%E7%8C%AE%E8%B3%87%E6%96%99/978-0-486-49570-5" title="特別:文献資料/978-0-486-49570-5">978-0-486-49570-5</a></cite><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Introduction+to+higher+algebra&rft.aulast=B%C3%B4cher&rft.aufirst=Maxime&rft.au=B%C3%B4cher%2C%26%2332%3BMaxime&rft.date=2004&rft.place=New+York&rft.pub=%5B%5BDover+Publications%5D%5D&rft.isbn=978-0-486-49570-5&rfr_id=info:sid/ja.wikipedia.org:%E8%A1%8C%E5%88%97"> , reprint of the 1907 original edition</li> <li><cite style="font-style:normal" class="citation" id="CITEREFCayley1889"><a href="/wiki/%E3%82%A2%E3%83%BC%E3%82%B5%E3%83%BC%E3%83%BB%E3%82%B1%E3%82%A4%E3%83%AA%E3%83%BC" title="アーサー・ケイリー">Cayley, Arthur</a> (1889), <a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.hti.umich.edu/cgi/t/text/pageviewer-idx?c=umhistmath;cc=umhistmath;rgn=full%20text;idno=ABS3153.0001.001;didno=ABS3153.0001.001;view=image;seq=00000140">The collected mathematical papers of Arthur Cayley</a>, I (1841–1853), <a 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title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=The+collected+mathematical+papers+of+Arthur+Cayley&rft.aulast=Cayley&rft.aufirst=Arthur&rft.au=Cayley%2C%26%2332%3BArthur&rft.date=1889&rft.volume=I+%281841%E2%80%931853%29&rft.pages=pp.%26nbsp%3B123%E2%80%93126&rft.pub=%5B%5B%E3%82%B1%E3%83%B3%E3%83%96%E3%83%AA%E3%83%83%E3%82%B8%E5%A4%A7%E5%AD%A6%E5%87%BA%E7%89%88%7CCambridge+University+Press%5D%5D&rft_id=http%3A%2F%2Fwww.hti.umich.edu%2Fcgi%2Ft%2Ftext%2Fpageviewer-idx%3Fc%3Dumhistmath%3Bcc%3Dumhistmath%3Brgn%3Dfull%2520text%3Bidno%3DABS3153.0001.001%3Bdidno%3DABS3153.0001.001%3Bview%3Dimage%3Bseq%3D00000140&rfr_id=info:sid/ja.wikipedia.org:%E8%A1%8C%E5%88%97"> </li> <li><cite style="font-style:normal" class="citation" id="CITEREFDieudonné1978"><a href="/wiki/%E3%82%B8%E3%83%A3%E3%83%B3%E3%83%BB%E3%83%87%E3%83%A5%E3%83%89%E3%83%8D" title="ジャン・デュドネ">Dieudonné, Jean</a>, ed. 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href="/wiki/%E3%83%AC%E3%82%AA%E3%83%9D%E3%83%AB%E3%83%88%E3%83%BB%E3%82%AF%E3%83%AD%E3%83%8D%E3%83%83%E3%82%AB%E3%83%BC" title="レオポルト・クロネッカー">Kronecker, Leopold</a> (1897), <a href="/wiki/%E3%82%AF%E3%83%AB%E3%83%88%E3%83%BB%E3%83%98%E3%83%B3%E3%82%BC%E3%83%AB" title="クルト・ヘンゼル">Hensel, Kurt</a>, ed., <a rel="nofollow" class="external text" href="http://name.umdl.umich.edu/AAS8260.0002.001">Leopold Kronecker's Werke</a>, Teubner, <a rel="nofollow" class="external free" href="http://name.umdl.umich.edu/AAS8260.0002.001">http://name.umdl.umich.edu/AAS8260.0002.001</a></cite><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Leopold+Kronecker%27s+Werke&rft.aulast=Kronecker&rft.aufirst=Leopold&rft.au=Kronecker%2C%26%2332%3BLeopold&rft.date=1897&rft.pub=Teubner&rft_id=http%3A%2F%2Fname.umdl.umich.edu%2FAAS8260.0002.001&rfr_id=info:sid/ja.wikipedia.org:%E8%A1%8C%E5%88%97"> </li> <li><cite style="font-style:normal" 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title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=The+Historical+Development+of+Quantum+Theory&rft.aulast=Mehra&rft.aufirst=J.&rft.au=Mehra%2C%26%2332%3BJ.&rft.au=Rechenberg%2C%26%2332%3BHelmut&rft.date=1987&rft.edition=1st&rft.place=Berlin%2C+New+York&rft.pub=%5B%5B%E3%82%B7%E3%83%A5%E3%83%97%E3%83%AA%E3%83%B3%E3%82%AC%E3%83%BC%E3%83%BB%E3%83%95%E3%82%A7%E3%82%A2%E3%83%A9%E3%83%BC%E3%82%AF%7CSpringer-Verlag%5D%5D&rft.isbn=978-0-387-96284-9&rfr_id=info:sid/ja.wikipedia.org:%E8%A1%8C%E5%88%97"> </li> <li><cite style="font-style:normal" class="citation" id="CITEREFShenCrossleyLun1999">Shen, Kangshen; Crossley, John N.; Lun, Anthony Wah-Cheung (1999), Nine Chapters of the Mathematical Art, Companion and Commentary (2nd ed.), <a href="/wiki/%E3%82%AA%E3%83%83%E3%82%AF%E3%82%B9%E3%83%95%E3%82%A9%E3%83%BC%E3%83%89%E5%A4%A7%E5%AD%A6%E5%87%BA%E7%89%88%E5%B1%80" title="オックスフォード大学出版局">Oxford University Press</a>, <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r101121245"><a href="/wiki/ISBN" title="ISBN">ISBN</a> <a href="/wiki/%E7%89%B9%E5%88%A5:%E6%96%87%E7%8C%AE%E8%B3%87%E6%96%99/978-0-19-853936-0" title="特別:文献資料/978-0-19-853936-0">978-0-19-853936-0</a></cite><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Nine+Chapters+of+the+Mathematical+Art%2C+Companion+and+Commentary&rft.aulast=Shen&rft.aufirst=Kangshen&rft.au=Shen%2C%26%2332%3BKangshen&rft.au=Crossley%2C%26%2332%3BJohn+N.&rft.au=Lun%2C%26%2332%3BAnthony+Wah-Cheung&rft.date=1999&rft.edition=2nd&rft.pub=%5B%5B%E3%82%AA%E3%83%83%E3%82%AF%E3%82%B9%E3%83%95%E3%82%A9%E3%83%BC%E3%83%89%E5%A4%A7%E5%AD%A6%E5%87%BA%E7%89%88%E5%B1%80%7COxford+University+Press%5D%5D&rft.isbn=978-0-19-853936-0&rfr_id=info:sid/ja.wikipedia.org:%E8%A1%8C%E5%88%97"> </li> <li><cite style="font-style:normal" class="citation" id="CITEREFWeierstrass1915"><a href="/wiki/%E3%82%AB%E3%83%BC%E3%83%AB%E3%83%BB%E3%83%B4%E3%82%A1%E3%82%A4%E3%82%A8%E3%83%AB%E3%82%B7%E3%83%A5%E3%83%88%E3%83%A9%E3%82%B9" class="mw-redirect" title="カール・ヴァイエルシュトラス">Weierstrass, Karl</a> (1915), <a rel="nofollow" class="external text" href="http://name.umdl.umich.edu/AAN8481.0003.001">Collected works</a>, 3, <a rel="nofollow" class="external free" href="http://name.umdl.umich.edu/AAN8481.0003.001">http://name.umdl.umich.edu/AAN8481.0003.001</a></cite><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Collected+works&rft.aulast=Weierstrass&rft.aufirst=Karl&rft.au=Weierstrass%2C%26%2332%3BKarl&rft.date=1915&rft.volume=3&rft_id=http%3A%2F%2Fname.umdl.umich.edu%2FAAN8481.0003.001&rfr_id=info:sid/ja.wikipedia.org:%E8%A1%8C%E5%88%97"> </li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="関連項目">関連項目</h2>[<a href="/w/index.php?title=%E8%A1%8C%E5%88%97&action=edit&section=55" title="節を編集: 関連項目">編集</a>]</div> <ul><li><a href="/wiki/%E7%B7%9A%E5%9E%8B%E4%BB%A3%E6%95%B0%E5%AD%A6" title="線型代数学">線型代数学</a></li> <li><a href="/wiki/%E8%A1%8C%E5%88%97%E5%BC%8F" title="行列式">行列式</a></li> <li><a href="/wiki/%E7%B7%9A%E5%9E%8B%E5%86%99%E5%83%8F" title="線型写像">線型写像</a></li> <li><a href="/wiki/%E5%A4%89%E6%8F%9B_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)" title="変換 (数学)">変換 (数学)</a></li> <li><a href="/wiki/%E5%9B%BA%E6%9C%89%E5%80%A4" class="mw-redirect" title="固有値">固有値</a></li> <li><a href="/wiki/%E5%AF%BE%E8%A7%92%E5%8C%96" title="対角化">対角化</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%82%B8%E3%83%A7%E3%83%AB%E3%83%80%E3%83%B3%E6%A8%99%E6%BA%96%E5%BD%A2" title="ジョルダン標準形">ジョルダン標準形</a></li> <li><a href="/wiki/%E7%96%8E%E8%A1%8C%E5%88%97" title="疎行列">疎行列</a></li> <li><a href="/wiki/MATLAB" title="MATLAB">MATLAB</a></li> <li><a href="/wiki/R%E8%A8%80%E8%AA%9E" title="R言語">R言語</a></li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="外部リンク">外部リンク</h2>[<a href="/w/index.php?title=%E8%A1%8C%E5%88%97&action=edit&section=56" title="節を編集: 外部リンク">編集</a>]</div> <ul><li><a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.jimmysie.com/maths/matrix.php">Online Matrix Multiplication using AJAX</a></li> <li><a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.jimmysie.com/maths/matrixinv.php">Online Inverse Matrix Calculator using AJAX</a></li> <li><a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.stud.feec.vutbr.cz/~xvapen02/vypocty/matreg.php?language=english">Online Calculator - Operation with matrices in R (determinant, track, inverse, adjoint, transpose)</a></li> <li>『<a rel="nofollow" class="external text" href="//kotobank.jp/word/%E8%A1%8C%E5%88%97">行列</a>』 - <a href="/wiki/%E3%82%B3%E3%83%88%E3%83%90%E3%83%B3%E3%82%AF" title="コトバンク">コトバンク</a></li></ul> <dl><dt>歴史</dt></dl> <ul><li><a rel="nofollow" class="external text" href="http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/HistTopics/Matrices_and_determinants.html">MacTutor: Matrices and determinants</a></li> <li><a rel="nofollow" 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class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Introduction+to+Matrix+Algebra&rft.aulast=Kaw&rft.aufirst=Autar+K.&rft.au=Kaw%2C%26%2332%3BAutar+K.&rft.isbn=978-0-615-25126-4&rft_id=http%3A%2F%2Fautarkaw.com%2Fbooks%2Fmatrixalgebra%2Findex.html&rfr_id=info:sid/ja.wikipedia.org:%E8%A1%8C%E5%88%97"> </li> <li><cite style="font-style:normal" class="citation"> <a rel="nofollow" class="external text" href="http://matrixcookbook.com">The Matrix Cookbook</a>, <a rel="nofollow" class="external free" href="http://matrixcookbook.com">http://matrixcookbook.com</a> 2008年12月10日閲覧。</cite><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=The+Matrix+Cookbook&rft_id=http%3A%2F%2Fmatrixcookbook.com&rfr_id=info:sid/ja.wikipedia.org:%E8%A1%8C%E5%88%97"> </li> <li><cite style="font-style:normal" class="citation" id="CITEREFBrookes2005">Brookes, M. 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style="background:transparent;color:inherit;min-width:100%;border-spacing:0px;border-collapse:separate"><tbody><tr><th scope="col" class="navbox-title" colspan="2"><div style="float:left;width:6em;text-align:left"><div class="noprint plainlinks navbar hlist" style="white-space:nowrap;font-size:60%;font-weight:normal;background-color:transparent;padding:0;color:#000;;border:none;"><ul style="display:inline"><li><a href="/wiki/Template:%E7%B7%9A%E5%BD%A2%E4%BB%A3%E6%95%B0" title="Template:線形代数">表</a></li><li><a href="/w/index.php?title=Template%E2%80%90%E3%83%8E%E3%83%BC%E3%83%88:%E7%B7%9A%E5%BD%A2%E4%BB%A3%E6%95%B0&action=edit&redlink=1" class="new" title="「Template‐ノート:線形代数」 (存在しないページ)">話</a></li><li><a class="external text" href="https://ja.wikipedia.org/w/index.php?title=Template%3A%E7%B7%9A%E5%BD%A2%E4%BB%A3%E6%95%B0&action=edit">編</a></li><li><a class="external text" href="https://ja.wikipedia.org/w/index.php?title=Template%3A%E7%B7%9A%E5%BD%A2%E4%BB%A3%E6%95%B0&action=history">歴</a></li></ul></div></div><div id="線型代数学・行列解析" style="font-size:110%;margin:0 6em"><a href="/wiki/%E7%B7%9A%E5%9E%8B%E4%BB%A3%E6%95%B0%E5%AD%A6" title="線型代数学">線型代数学</a>・<a href="/wiki/%E8%A1%8C%E5%88%97%E8%A7%A3%E6%9E%90" title="行列解析">行列解析</a></div></th></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%"><a href="/wiki/%E9%80%A3%E7%AB%8B%E4%B8%80%E6%AC%A1%E6%96%B9%E7%A8%8B%E5%BC%8F" class="mw-redirect" title="連立一次方程式">連立一次方程式</a></th><td class="navbox-list navbox-odd hlist" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><a href="/wiki/%E3%82%AC%E3%82%A6%E3%82%B9%E3%81%AE%E6%B6%88%E5%8E%BB%E6%B3%95" title="ガウスの消去法">ガウスの消去法</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%82%AF%E3%83%A9%E3%83%A1%E3%83%AB%E3%81%AE%E5%85%AC%E5%BC%8F" title="クラメルの公式">クラメルの公式</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%82%AC%E3%82%A6%E3%82%B9%EF%BC%9D%E3%82%B6%E3%82%A4%E3%83%87%E3%83%AB%E6%B3%95" title="ガウス＝ザイデル法">ガウス＝ザイデル法</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%83%A4%E3%82%B3%E3%83%93%E6%B3%95" title="ヤコビ法">ヤコビ法</a></li></ul> </div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%"><a href="/wiki/%E7%A9%BA%E9%96%93%E3%83%99%E3%82%AF%E3%83%88%E3%83%AB" title="空間ベクトル">ベクトル</a></th><td class="navbox-list navbox-even hlist" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><a href="/wiki/%E7%B7%9A%E5%9E%8B%E7%8B%AC%E7%AB%8B" title="線型独立">線型独立</a></li> <li><a href="/wiki/%E7%B7%9A%E5%9E%8B%E7%B5%90%E5%90%88" title="線型結合">線型結合</a></li> <li><a href="/wiki/%E5%9F%BA%E5%BA%95_(%E7%B7%9A%E5%9E%8B%E4%BB%A3%E6%95%B0%E5%AD%A6)" title="基底 (線型代数学)">基底</a></li> <li><a href="/wiki/%E5%8F%8C%E5%AF%BE%E5%9F%BA%E5%BA%95" title="双対基底">双対基底</a></li></ul> </div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%"><a href="/wiki/%E3%83%99%E3%82%AF%E3%83%88%E3%83%AB%E7%A9%BA%E9%96%93" title="ベクトル空間">ベクトル空間</a></th><td class="navbox-list navbox-odd hlist" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><a href="/wiki/%E5%8F%8C%E5%AF%BE%E7%A9%BA%E9%96%93" class="mw-redirect" title="双対空間">双対空間</a></li> <li><a href="/wiki/%E6%A0%B8%E7%A9%BA%E9%96%93" class="mw-redirect" title="核空間">核空間</a></li> <li><a href="/wiki/%E5%9B%BA%E6%9C%89%E7%A9%BA%E9%96%93" class="mw-redirect" title="固有空間">固有空間</a></li> <li><a href="/wiki/%E5%BA%83%E7%BE%A9%E5%9B%BA%E6%9C%89%E3%83%99%E3%82%AF%E3%83%88%E3%83%AB" title="広義固有ベクトル">広義固有空間</a></li> <li><a href="/wiki/%E7%B7%9A%E5%9E%8B%E5%8C%85" title="線型包">線型包</a></li> <li><a href="/wiki/%E8%A1%8C%E7%A9%BA%E9%96%93" title="行空間">行空間</a></li> <li><a href="/wiki/%E5%88%97%E7%A9%BA%E9%96%93" title="列空間">列空間</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%83%8F%E3%83%A1%E3%83%AB%E6%AC%A1%E5%85%83" class="mw-redirect" title="ハメル次元">次元</a></li></ul> </div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%"><a href="/wiki/%E8%A8%88%E9%87%8F%E3%83%99%E3%82%AF%E3%83%88%E3%83%AB%E7%A9%BA%E9%96%93" title="計量ベクトル空間">計量ベクトル空間</a></th><td class="navbox-list navbox-even hlist" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><a href="/wiki/%E3%83%89%E3%83%83%E3%83%88%E7%A9%8D" title="ドット積">ドット積</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%82%B3%E3%83%BC%E3%82%B7%E3%83%BC%EF%BC%9D%E3%82%B7%E3%83%A5%E3%83%AF%E3%83%AB%E3%83%84%E3%81%AE%E4%B8%8D%E7%AD%89%E5%BC%8F" title="コーシー＝シュワルツの不等式">コーシー＝シュワルツの不等式</a></li> <li><a href="/wiki/%E7%9B%B4%E4%BA%A4" title="直交">直交</a></li> <li><a href="/wiki/%E6%AD%A3%E8%A6%8F%E7%9B%B4%E4%BA%A4%E7%B3%BB" title="正規直交系">正規直交系</a></li> <li><a href="/wiki/%E6%AD%A3%E8%A6%8F%E7%9B%B4%E4%BA%A4%E5%9F%BA%E5%BA%95" title="正規直交基底">正規直交基底</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%82%B0%E3%83%A9%E3%83%A0%E3%83%BB%E3%82%B7%E3%83%A5%E3%83%9F%E3%83%83%E3%83%88%E3%81%AE%E6%AD%A3%E8%A6%8F%E7%9B%B4%E4%BA%A4%E5%8C%96%E6%B3%95" title="グラム・シュミットの正規直交化法">グラム・シュミットの正規直交化法</a></li> <li><a href="/wiki/%E7%9B%B4%E4%BA%A4%E8%A3%9C%E7%A9%BA%E9%96%93" title="直交補空間">直交補空間</a></li></ul> </div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%"><a class="mw-selflink selflink">行列</a>・<a href="/wiki/%E7%B7%9A%E5%9E%8B%E5%86%99%E5%83%8F" title="線型写像">線型写像</a></th><td class="navbox-list navbox-odd hlist" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> </div><table class="nowraplinks navbox-subgroup" style="min-width:100%;border-spacing:0px;border-collapse:separate"><tbody><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%;padding:0 0.75em;">演算・操作</th><td class="navbox-list navbox-odd" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><a href="/wiki/%E8%A1%8C%E5%88%97%E3%81%AE%E4%B9%97%E6%B3%95" title="行列の乗法">乗法</a></li> <li><a href="/wiki/%E8%BB%A2%E7%BD%AE%E8%A1%8C%E5%88%97" title="転置行列">転置</a></li> <li><a href="/wiki/%E9%80%86%E8%A1%8C%E5%88%97" class="mw-redirect" title="逆行列">逆行列</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%82%B5%E3%83%A9%E3%82%B9%E3%81%AE%E6%96%B9%E6%B3%95" title="サラスの方法">サラスの方法</a></li> <li><a href="/wiki/%E8%A1%8C%E5%88%97%E3%81%AE%E5%9F%BA%E6%9C%AC%E5%A4%89%E5%BD%A2" title="行列の基本変形">基本変形</a></li> <li><a href="/wiki/%E5%AF%BE%E8%A7%92%E5%8C%96" title="対角化">対角化</a></li> <li><a href="/wiki/%E8%A1%8C%E5%88%97%E3%81%AE%E5%88%86%E8%A7%A3" title="行列の分解">分解</a> <ul><li><a href="/wiki/LU%E5%88%86%E8%A7%A3" title="LU分解">LU</a></li> <li><a href="/wiki/QR%E5%88%86%E8%A7%A3" title="QR分解">QR</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%82%B3%E3%83%AC%E3%82%B9%E3%82%AD%E3%83%BC%E5%88%86%E8%A7%A3" title="コレスキー分解">コレスキー</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%82%B7%E3%83%A5%E3%83%BC%E3%82%A2%E5%88%86%E8%A7%A3" class="mw-redirect" title="シューア分解">シューア</a></li> <li><a href="/wiki/%E7%89%B9%E7%95%B0%E5%80%A4%E5%88%86%E8%A7%A3" title="特異値分解">特異値</a></li> <li><a href="/wiki/%E5%9B%BA%E6%9C%89%E5%80%A4%E5%88%86%E8%A7%A3" title="固有値分解">固有値</a></li></ul></li></ul> </div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%;padding:0 0.75em;">不変量</th><td class="navbox-list navbox-even" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><a href="/wiki/%E8%A1%8C%E5%88%97%E5%BC%8F" title="行列式">行列式</a></li> <li><a href="/wiki/%E8%B7%A1_(%E7%B7%9A%E5%9E%8B%E4%BB%A3%E6%95%B0%E5%AD%A6)" title="跡 (線型代数学)">跡</a></li> <li><a href="/wiki/%E8%A1%8C%E5%88%97%E3%81%AE%E9%9A%8E%E6%95%B0" title="行列の階数">階数</a></li> <li><a href="/wiki/%E5%9B%BA%E6%9C%89%E5%80%A4%E3%81%A8%E5%9B%BA%E6%9C%89%E3%83%99%E3%82%AF%E3%83%88%E3%83%AB" title="固有値と固有ベクトル">固有値と固有ベクトル</a></li> <li><a href="/wiki/%E5%9B%BA%E6%9C%89%E5%A4%9A%E9%A0%85%E5%BC%8F" title="固有多項式">固有多項式</a></li> <li><a href="/wiki/%E6%9C%80%E5%B0%8F%E5%A4%9A%E9%A0%85%E5%BC%8F_(%E7%B7%9A%E5%9E%8B%E4%BB%A3%E6%95%B0%E5%AD%A6)" title="最小多項式 (線型代数学)">最小多項式</a></li> <li><a href="/wiki/%E5%8D%98%E5%9B%A0%E5%AD%90" title="単因子">単因子</a></li> <li><a href="/wiki/%E9%9A%8E%E6%95%B0%E6%A8%99%E6%BA%96%E5%BD%A2" class="mw-redirect" title="階数標準形">階数標準形</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%82%B9%E3%83%9F%E3%82%B9%E6%A8%99%E6%BA%96%E5%BD%A2" class="mw-redirect" title="スミス標準形">スミス標準形</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%82%B8%E3%83%A7%E3%83%AB%E3%83%80%E3%83%B3%E6%A8%99%E6%BA%96%E5%BD%A2" title="ジョルダン標準形">ジョルダン標準形</a></li> <li><a href="/wiki/%E6%9C%89%E7%90%86%E6%A8%99%E6%BA%96%E5%BD%A2" title="有理標準形">有理標準形</a></li> <li><a href="/wiki/%E5%B0%8F%E8%A1%8C%E5%88%97%E5%BC%8F" title="小行列式">小行列式</a></li></ul> </div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%;padding:0 0.75em;">クラス</th><td class="navbox-list navbox-odd" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><a href="/wiki/%E6%AD%A3%E5%89%87%E8%A1%8C%E5%88%97" title="正則行列">正則</a></li> <li><a href="/wiki/%E5%9F%BA%E6%9C%AC%E8%A1%8C%E5%88%97" class="mw-redirect" title="基本行列">基本</a></li> <li><a href="/wiki/%E5%AF%BE%E7%A7%B0%E8%A1%8C%E5%88%97" title="対称行列">対称</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%82%A8%E3%83%AB%E3%83%9F%E3%83%BC%E3%83%88%E8%A1%8C%E5%88%97" title="エルミート行列">エルミート</a></li> <li><a href="/wiki/%E6%AD%A3%E8%A6%8F%E8%A1%8C%E5%88%97" title="正規行列">正規</a></li> <li><a href="/wiki/%E7%9B%B4%E4%BA%A4%E8%A1%8C%E5%88%97" title="直交行列">直交</a></li> <li><a href="/wiki/%E5%9B%9E%E8%BB%A2%E8%A1%8C%E5%88%97" title="回転行列">回転</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%83%A6%E3%83%8B%E3%82%BF%E3%83%AA%E8%A1%8C%E5%88%97" title="ユニタリ行列">ユニタリ</a></li> <li><a href="/wiki/%E5%86%AA%E9%9B%B6%E8%A1%8C%E5%88%97" title="冪零行列">冪零</a></li> <li><a href="/wiki/%E5%B0%84%E5%BD%B1%E8%A1%8C%E5%88%97" class="mw-redirect" title="射影行列">射影</a></li> <li><a href="/wiki/%E6%AD%A3%E5%AE%9A%E5%80%A4%E8%A1%8C%E5%88%97" class="mw-redirect" title="正定値行列">正定値</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%83%A6%E3%83%8B%E3%83%A2%E3%82%B8%E3%83%A5%E3%83%A9%E8%A1%8C%E5%88%97" title="ユニモジュラ行列">ユニモジュラー</a></li> <li><a href="/wiki/%E7%BD%AE%E6%8F%9B%E8%A1%8C%E5%88%97" title="置換行列">置換</a></li> <li><a href="/wiki/%E5%8C%BA%E5%88%86%E8%A1%8C%E5%88%97" title="区分行列">区分</a></li></ul> </div></td></tr></tbody></table><div> </div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%"><a href="/wiki/%E8%A1%8C%E5%88%97%E5%BC%8F" title="行列式">行列式</a></th><td class="navbox-list navbox-even hlist" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><a href="/wiki/%E4%BD%99%E5%9B%A0%E5%AD%90%E5%B1%95%E9%96%8B" title="余因子展開">余因子展開</a></li> <li><a href="/wiki/%E4%BD%99%E5%9B%A0%E5%AD%90%E8%A1%8C%E5%88%97" title="余因子行列">余因子行列</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%83%B4%E3%82%A1%E3%83%B3%E3%83%87%E3%83%AB%E3%83%A2%E3%83%B3%E3%83%89%E3%81%AE%E8%A1%8C%E5%88%97%E5%BC%8F" title="ヴァンデルモンドの行列式">ヴァンデルモンドの行列式</a></li> <li><a href="/wiki/%E7%B5%82%E7%B5%90%E5%BC%8F" title="終結式">終結式</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%82%B3%E3%83%BC%E3%82%B7%E3%83%BC%E3%83%BB%E3%83%93%E3%83%8D%E3%81%AE%E5%85%AC%E5%BC%8F" title="コーシー・ビネの公式">コーシー・ビネの公式</a></li></ul> </div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%"><a href="/wiki/%E5%A4%9A%E9%87%8D%E7%B7%9A%E5%9E%8B%E4%BB%A3%E6%95%B0" title="多重線型代数">多重線型代数</a></th><td class="navbox-list navbox-odd hlist" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><a href="/wiki/%E7%9B%B4%E7%A9%8D_(%E3%83%99%E3%82%AF%E3%83%88%E3%83%AB)" title="直積 (ベクトル)">外積</a></li> <li><a href="/wiki/%E5%A4%96%E7%A9%8D%E4%BB%A3%E6%95%B0" title="外積代数">外積代数</a></li> <li><a href="/wiki/%E5%AF%BE%E7%A7%B0%E4%BB%A3%E6%95%B0" title="対称代数">対称代数</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%83%86%E3%83%B3%E3%82%BD%E3%83%AB%E4%BB%A3%E6%95%B0" title="テンソル代数">テンソル代数</a></li></ul> </div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%"><a href="/wiki/%E6%95%B0%E5%80%A4%E7%B7%9A%E5%BD%A2%E4%BB%A3%E6%95%B0" title="数値線形代数">数値線形代数</a></th><td class="navbox-list navbox-even hlist" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> </div><table class="nowraplinks navbox-subgroup" style="min-width:100%;border-spacing:0px;border-collapse:separate"><tbody><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%;padding:0 0.75em;">基本的な概念</th><td class="navbox-list navbox-odd" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><a href="/wiki/%E6%B5%AE%E5%8B%95%E5%B0%8F%E6%95%B0%E7%82%B9%E6%95%B0" title="浮動小数点数">浮動小数点</a></li> <li><a href="/wiki/%E6%95%B0%E5%80%A4%E7%9A%84%E5%AE%89%E5%AE%9A%E6%80%A7" title="数値的安定性">数値的安定性</a></li> <li><a href="/wiki/%E7%96%8E%E8%A1%8C%E5%88%97" title="疎行列">疎行列</a></li> <li><a href="/wiki/Z-%E8%A1%8C%E5%88%97" title="Z-行列">Z-行列</a></li> <li><a href="/wiki/M%E8%A1%8C%E5%88%97" class="mw-redirect" title="M行列">M行列</a></li> <li><a href="/wiki/%E6%9D%A1%E4%BB%B6%E6%95%B0" title="条件数">条件数</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%82%B2%E3%83%AB%E3%82%B7%E3%83%A5%E3%82%B4%E3%83%AA%E3%83%B3%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86" title="ゲルシュゴリンの定理">ゲルシュゴリンの定理</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%82%AF%E3%83%AA%E3%83%AD%E3%83%95%E9%83%A8%E5%88%86%E7%A9%BA%E9%96%93" title="クリロフ部分空間">クリロフ部分空間</a></li></ul> </div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%;padding:0 0.75em;"><a href="/wiki/%E3%82%BD%E3%83%95%E3%83%88%E3%82%A6%E3%82%A7%E3%82%A2" title="ソフトウェア">ソフトウェア</a></th><td class="navbox-list navbox-even" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><a href="/wiki/MATLAB" title="MATLAB">MATLAB</a></li> <li><a href="/wiki/%E6%95%B0%E5%80%A4%E8%A7%A3%E6%9E%90%E3%82%BD%E3%83%95%E3%83%88%E3%81%AE%E6%AF%94%E8%BC%83" title="数値解析ソフトの比較">数値解析ソフトの比較</a>/<a href="/wiki/%E6%95%B0%E5%80%A4%E8%A7%A3%E6%9E%90%E3%82%BD%E3%83%95%E3%83%88%E3%82%A6%E3%82%A7%E3%82%A2%E3%81%AE%E4%B8%80%E8%A6%A7" title="数値解析ソフトウェアの一覧">一覧</a></li></ul> </div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%;padding:0 0.75em;">ライブラリ</th><td class="navbox-list navbox-odd" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><a href="/wiki/Armadillo_(%E7%B7%9A%E5%BD%A2%E4%BB%A3%E6%95%B0%E3%83%A9%E3%82%A4%E3%83%96%E3%83%A9%E3%83%AA)" title="Armadillo (線形代数ライブラリ)">Armadillo</a></li> <li><a href="/wiki/Basic_Linear_Algebra_Subprograms" title="Basic Linear Algebra Subprograms">Basic Linear Algebra Subprograms (BLAS)</a></li> <li><a href="/wiki/INTLAB" title="INTLAB">INTLAB</a></li> <li><a href="/wiki/Intel_Math_Kernel_Library" title="Intel Math Kernel Library">Intel oneAPI Math Kernel Library</a></li> <li><a href="/wiki/LAPACK" title="LAPACK">LAPACK</a></li> <li><a href="/wiki/NumPy" title="NumPy">NumPy</a></li> <li><a href="/wiki/OpenBLAS" title="OpenBLAS">OpenBLAS</a></li> <li><a href="/wiki/%E7%B7%9A%E5%9E%8B%E4%BB%A3%E6%95%B0%E5%AD%A6%E3%83%A9%E3%82%A4%E3%83%96%E3%83%A9%E3%83%AA%E3%81%AE%E6%AF%94%E8%BC%83" title="線型代数学ライブラリの比較">線型代数学ライブラリの比較</a></li></ul> </div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%;padding:0 0.75em;"><a href="/wiki/%E5%8F%8D%E5%BE%A9%E6%B3%95_(%E6%95%B0%E5%80%A4%E8%A8%88%E7%AE%97)" title="反復法 (数値計算)">反復法</a>・技法</th><td class="navbox-list navbox-even" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><a href="/wiki/SOR%E6%B3%95" title="SOR法">SOR法</a></li> <li><a href="/wiki/%E5%85%B1%E5%BD%B9%E5%8B%BE%E9%85%8D%E6%B3%95" title="共役勾配法">共役勾配法</a></li> <li><a href="/wiki/GMRES%E6%B3%95" title="GMRES法">GMRES法</a></li> <li><a href="/wiki/%E5%9B%BA%E6%9C%89%E5%80%A4%E5%95%8F%E9%A1%8C%E3%81%AE%E6%95%B0%E5%80%A4%E8%A7%A3%E6%B3%95" title="固有値問題の数値解法">固有値問題の数値解法</a> <ul><li><a href="/wiki/%E3%83%A9%E3%83%B3%E3%83%81%E3%83%A7%E3%82%B9%E6%B3%95" title="ランチョス法">ランチョス法</a></li> <li><a href="/wiki/QR%E6%B3%95" title="QR法">QR法</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%81%B9%E3%81%8D%E4%B9%97%E6%B3%95" title="べき乗法">べき乗法</a></li> <li><a href="/wiki/%E9%80%86%E3%81%B9%E3%81%8D%E4%B9%97%E6%B3%95" title="逆べき乗法">逆べき乗法</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%83%A4%E3%82%B3%E3%83%93%E6%B3%95_(%E5%9B%BA%E6%9C%89%E5%80%A4%E5%95%8F%E9%A1%8C)" title="ヤコビ法 (固有値問題)">ヤコビ法 (固有値問題)</a></li></ul></li> <li><a href="/wiki/%E3%82%B7%E3%83%A5%E3%83%88%E3%83%A9%E3%83%83%E3%82%BB%E3%83%B3%E3%81%AE%E3%82%A2%E3%83%AB%E3%82%B4%E3%83%AA%E3%82%BA%E3%83%A0" title="シュトラッセンのアルゴリズム">シュトラッセンのアルゴリズム</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%83%8F%E3%82%A6%E3%82%B9%E3%83%9B%E3%83%AB%E3%83%80%E3%83%BC%E5%A4%89%E6%8F%9B" title="ハウスホルダー変換">ハウスホルダー変換</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%82%AE%E3%83%96%E3%83%B3%E3%82%B9%E5%9B%9E%E8%BB%A2" title="ギブンス回転">ギブンス回転</a></li></ul> </div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%;padding:0 0.75em;">人物</th><td class="navbox-list navbox-odd" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><a href="/wiki/%E3%82%B8%E3%82%A7%E3%83%BC%E3%83%A0%E3%82%BA%E3%83%BBH%E3%83%BB%E3%82%A6%E3%82%A3%E3%83%AB%E3%82%AD%E3%83%B3%E3%82%BD%E3%83%B3" title="ジェームズ・H・ウィルキンソン">ジェームズ・H・ウィルキンソン</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%82%AF%E3%83%AA%E3%83%BC%E3%83%96%E3%83%BB%E3%83%A2%E3%83%A9%E3%83%BC" title="クリーブ・モラー">クリーブ・モラー</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%83%8B%E3%82%B3%E3%83%A9%E3%82%B9%E3%83%BB%E3%83%8F%E3%82%A4%E3%82%A2%E3%83%A0" title="ニコラス・ハイアム">ニコラス・ハイアム</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%82%B8%E3%83%BC%E3%83%B3%E3%83%BB%E3%82%B4%E3%83%A9%E3%83%96" title="ジーン・ゴラブ">ジーン・ゴラブ</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%83%AA%E3%83%81%E3%83%A3%E3%83%BC%E3%83%89%E3%83%BB%E3%83%90%E3%83%AB%E3%82%AC" title="リチャード・バルガ">リチャード・バルガ</a></li></ul> </div></td></tr></tbody></table><div> </div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%"><a href="/wiki/%E8%A1%8C%E5%88%97%E5%80%A4%E9%96%A2%E6%95%B0" title="行列値関数">行列値関数</a></th><td class="navbox-list navbox-odd hlist" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><a href="/wiki/%E8%A1%8C%E5%88%97%E6%8C%87%E6%95%B0%E9%96%A2%E6%95%B0" title="行列指数関数">行列指数関数</a></li> <li><a href="/wiki/%E8%A1%8C%E5%88%97%E3%81%AE%E5%AF%BE%E6%95%B0" title="行列の対数">行列の対数</a></li> <li><a href="/wiki/%E8%A1%8C%E5%88%97%E3%81%AE%E5%B9%B3%E6%96%B9%E6%A0%B9" title="行列の平方根">行列の平方根</a></li></ul> </div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%">その他</th><td class="navbox-list navbox-even hlist" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><a href="/wiki/%E3%82%B9%E3%82%AB%E3%83%A9%E3%83%BC_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)" title="スカラー (数学)">スカラー</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%82%B1%E3%82%A4%E3%83%AA%E3%83%BC%E3%83%BB%E3%83%8F%E3%83%9F%E3%83%AB%E3%83%88%E3%83%B3%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86" title="ケイリー・ハミルトンの定理">ケイリー・ハミルトンの定理</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%83%9A%E3%83%AD%E3%83%B3%EF%BC%9D%E3%83%95%E3%83%AD%E3%83%99%E3%83%8B%E3%82%A6%E3%82%B9%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86" title="ペロン＝フロベニウスの定理">ペロン＝フロベニウスの定理</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%82%B7%E3%83%A5%E3%83%BC%E3%82%A2%E8%A3%9C%E8%A1%8C%E5%88%97" title="シューア補行列">シューア補行列</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%82%B7%E3%83%AB%E3%83%B4%E3%82%A7%E3%82%B9%E3%82%BF%E3%83%BC%E3%81%AE%E6%85%A3%E6%80%A7%E6%B3%95%E5%89%87" title="シルヴェスターの慣性法則">シルヴェスターの慣性法則</a></li></ul> </div></td></tr><tr><td class="navbox-abovebelow" colspan="2"> <a href="/wiki/%E3%83%95%E3%82%A1%E3%82%A4%E3%83%AB:Folder_Hexagonal_Icon.svg" class="mw-file-description" title="カテゴリ"><img alt="カテゴリ" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/48/Folder_Hexagonal_Icon.svg/16px-Folder_Hexagonal_Icon.svg.png" decoding="async" width="16" height="14" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/48/Folder_Hexagonal_Icon.svg/24px-Folder_Hexagonal_Icon.svg.png 1.5x, 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href="/wiki/Help:%E5%85%B8%E6%8B%A0%E7%AE%A1%E7%90%86" title="Help:典拠管理">典拠管理データベース</a> <a href="https://www.wikidata.org/wiki/Q44337#identifiers" title="ウィキデータを編集"><img alt="ウィキデータを編集" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/8a/OOjs_UI_icon_edit-ltr-progressive.svg/10px-OOjs_UI_icon_edit-ltr-progressive.svg.png" decoding="async" width="10" height="10" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/8a/OOjs_UI_icon_edit-ltr-progressive.svg/15px-OOjs_UI_icon_edit-ltr-progressive.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/8a/OOjs_UI_icon_edit-ltr-progressive.svg/20px-OOjs_UI_icon_edit-ltr-progressive.svg.png 2x" data-file-width="20" data-file-height="20" /></a></div></th></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%">国立図書館</th><td class="navbox-list navbox-odd" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><abbr title="Matrices (Matemáticas)"><a rel="nofollow" class="external text" href="http://catalogo.bne.es/uhtbin/authoritybrowse.cgi?action=display&authority_id=XX529678">スペイン</a></abbr></li> <li><abbr title="Matrices"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb119324420">フランス</a></abbr></li> <li><abbr title="Matrices"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://data.bnf.fr/ark:/12148/cb119324420">BnF data</a></abbr></li> <li><a rel="nofollow" class="external text" href="https://d-nb.info/gnd/4037968-1">ドイツ</a></li> <li><a rel="nofollow" class="external text" href="http://olduli.nli.org.il/F/?func=find-b&local_base=NLX10&find_code=UID&request=987007557992905171">イスラエル</a></li> <li><a rel="nofollow" class="external text" href="https://id.loc.gov/authorities/sh85082210">アメリカ</a></li> <li><a rel="nofollow" class="external text" href="https://kopkatalogs.lv/F?func=direct&local_base=lnc10&doc_number=000117517&P_CON_LNG=ENG">ラトビア</a></li> <li><abbr title="matice (matematika)"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://aleph.nkp.cz/F/?func=find-c&local_base=aut&ccl_term=ica=ph122686&CON_LNG=ENG">チェコ</a></abbr></li></ul> </div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%">その他</th><td class="navbox-list navbox-even" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><a rel="nofollow" class="external text" href="http://esu.com.ua/search_articles.php?id=62919">現代ウクライナ百科事典</a></li></ul> </div></td></tr></tbody></table></div>    </div><noscript><img src="https://login.wikimedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;"></noscript> <div class="printfooter" data-nosnippet="">「<a dir="ltr" href="https://ja.wikipedia.org/w/index.php?title=行列&oldid=99283831">https://ja.wikipedia.org/w/index.php?title=行列&oldid=99283831</a>」から取得</div></div> <div id="catlinks" class="catlinks" data-mw="interface"><div id="mw-normal-catlinks" class="mw-normal-catlinks"><a href="/wiki/%E7%89%B9%E5%88%A5:%E3%82%AB%E3%83%86%E3%82%B4%E3%83%AA" title="特別:カテゴリ">カテゴリ</a>: <ul><li><a href="/wiki/Category:%E4%BB%A3%E8%A1%A8%E7%9A%84%E3%81%AA%E3%83%88%E3%83%94%E3%83%83%E3%82%AF" title="Category:代表的なトピック">代表的なトピック</a></li><li><a href="/wiki/Category:%E7%B7%9A%E5%9E%8B%E4%BB%A3%E6%95%B0%E5%AD%A6" title="Category:線型代数学">線型代数学</a></li><li><a href="/wiki/Category:%E8%A1%8C%E5%88%97" title="Category:行列">行列</a></li><li><a href="/wiki/Category:%E5%88%9D%E7%AD%89%E6%95%B0%E5%AD%A6" title="Category:初等数学">初等数学</a></li><li><a href="/wiki/Category:%E6%95%B0%E5%AD%A6%E3%81%AB%E9%96%A2%E3%81%99%E3%82%8B%E8%A8%98%E4%BA%8B" title="Category:数学に関する記事">数学に関する記事</a></li></ul></div><div id="mw-hidden-catlinks" class="mw-hidden-catlinks mw-hidden-cats-hidden">隠しカテゴリ: <ul><li><a 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