最大事後確率

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<div class="vector-column-end"> <div class="vector-sticky-pinned-container"> <nav class="vector-page-tools-landmark" aria-label="ページツール"> <div id="vector-page-tools-pinned-container" class="vector-pinned-container"> </div> </nav> <nav class="vector-appearance-landmark" aria-label="表示"> <div id="vector-appearance-pinned-container" class="vector-pinned-container"> <div id="vector-appearance" class="vector-appearance vector-pinnable-element"> <div class="vector-pinnable-header vector-appearance-pinnable-header vector-pinnable-header-pinned" data-feature-name="appearance-pinned" data-pinnable-element-id="vector-appearance" data-pinned-container-id="vector-appearance-pinned-container" data-unpinned-container-id="vector-appearance-unpinned-container" > <div class="vector-pinnable-header-label">表示</div> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-pin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-appearance.pin">サイドバーに移動</button> <button 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data-file-width="500" data-file-height="300" /></a></span></td></tr><tr><th class="sidebar-heading"> 理論</th></tr><tr><td class="sidebar-content"> <ul><li><a href="/w/index.php?title=%E8%A8%B1%E5%AE%B9%E6%B1%BA%E5%AE%9A%E8%A6%8F%E5%89%87&action=edit&redlink=1" class="new" title="許容決定規則 (存在しないページ)">許容決定規則</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=%E3%83%99%E3%82%A4%E3%82%BA%E5%8A%B9%E7%8E%87%E6%80%A7&action=edit&redlink=1" class="new" title="ベイズ効率性 (存在しないページ)">ベイズ効率性</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%83%99%E3%82%A4%E3%82%BA%E7%A2%BA%E7%8E%87" title="ベイズ確率">ベイズ確率</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=%E7%A2%BA%E7%8E%87%E3%81%AE%E8%A7%A3%E9%87%88&action=edit&redlink=1" class="new" title="確率の解釈 (存在しないページ)">確率の解釈</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%83%99%E3%82%A4%E3%82%BA%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86" title="ベイズの定理">ベイズの定理</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%83%99%E3%82%A4%E3%82%BA%E5%9B%A0%E5%AD%90" title="ベイズ因子">ベイズ因子</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%83%99%E3%82%A4%E3%82%BA%E6%8E%A8%E5%AE%9A" title="ベイズ推定">ベイズ推定</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%83%99%E3%82%A4%E3%82%B8%E3%82%A2%E3%83%B3%E3%83%8D%E3%83%83%E3%83%88%E3%83%AF%E3%83%BC%E3%82%AF" title="ベイジアンネットワーク">ベイジアンネットワーク</a></li> <li><a href="/wiki/%E4%BA%8B%E5%89%8D%E7%A2%BA%E7%8E%87" title="事前確率">事前確率</a></li> <li><a href="/wiki/%E4%BA%8B%E5%BE%8C%E7%A2%BA%E7%8E%87" title="事後確率">事後確率</a></li> <li><a href="/wiki/%E5%B0%A4%E5%BA%A6%E9%96%A2%E6%95%B0" title="尤度関数">尤度</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=%E5%85%B1%E5%BD%B9%E4%BA%8B%E5%89%8D%E5%88%86%E5%B8%83&action=edit&redlink=1" class="new" title="共役事前分布 (存在しないページ)">共役事前分布</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=%E4%BA%8B%E5%BE%8C%E4%BA%88%E6%B8%AC%E5%88%86%E5%B8%83&action=edit&redlink=1" class="new" title="事後予測分布 (存在しないページ)">事後予測分布</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%83%8F%E3%82%A4%E3%83%91%E3%83%BC%E3%83%91%E3%83%A9%E3%83%A1%E3%83%BC%E3%82%BF" title="ハイパーパラメータ">ハイパーパラメータ</a></li> <li><a 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href="/w/index.php?title=%E3%83%99%E3%83%AB%E3%83%B3%E3%82%B7%E3%83%A5%E3%83%86%E3%82%A4%E3%83%B3%EF%BC%9D%E3%83%95%E3%82%A9%E3%83%B3%E3%83%BB%E3%83%9F%E3%83%BC%E3%82%BC%E3%82%B9%E5%AE%9A%E7%90%86&action=edit&redlink=1" class="new" title="ベルンシュテイン＝フォン・ミーゼス定理 (存在しないページ)">ベルンシュテイン＝フォン・ミーゼス定理</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%83%99%E3%82%A4%E3%82%BA%E6%83%85%E5%A0%B1%E9%87%8F%E8%A6%8F%E6%BA%96" title="ベイズ情報量規準">シュワルツ情報量規準</a></li> <li><a href="/wiki/%E4%BF%A1%E7%94%A8%E5%8C%BA%E9%96%93" title="信用区間">信用区間</a></li> <li><a class="mw-selflink selflink">最大事後確率推定</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=%E6%A0%B9%E6%BA%90%E7%9A%84%E8%93%8B%E7%84%B6%E8%AB%96&action=edit&redlink=1" class="new" title="根源的蓋然論 (存在しないページ)">根源的蓋然論</a></li></ul></td> </tr><tr><th class="sidebar-heading"> 技法</th></tr><tr><td class="sidebar-content"> <ul><li><a href="/w/index.php?title=%E3%83%99%E3%82%A4%E3%82%BA%E7%B7%9A%E5%BD%A2%E5%9B%9E%E5%B8%B0&action=edit&redlink=1" class="new" title="ベイズ線形回帰 (存在しないページ)">ベイズ線形回帰</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=%E3%83%99%E3%82%A4%E3%82%BA%E6%8E%A8%E5%AE%9A%E9%87%8F&action=edit&redlink=1" class="new" title="ベイズ推定量 (存在しないページ)">ベイズ推定量</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=%E8%BF%91%E4%BC%BC%E3%83%99%E3%82%A4%E3%82%BA%E8%A8%88%E7%AE%97&action=edit&redlink=1" class="new" title="近似ベイズ計算 (存在しないページ)">近似ベイズ計算</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%83%9E%E3%83%AB%E3%82%B3%E3%83%95%E9%80%A3%E9%8E%96%E3%83%A2%E3%83%B3%E3%83%86%E3%82%AB%E3%83%AB%E3%83%AD%E6%B3%95" title="マルコフ連鎖モンテカルロ法">マルコフ連鎖モンテカルロ法</a></li></ul></td> </tr><tr><td class="sidebar-navbar"><style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r103358373">.mw-parser-output .hlist dl,.mw-parser-output .hlist ol,.mw-parser-output .hlist ul{margin:0;padding:0}.mw-parser-output .hlist dd,.mw-parser-output .hlist dt,.mw-parser-output .hlist li{margin:0;display:inline-block;word-break:keep-all}.mw-parser-output .hlist.inline,.mw-parser-output .hlist.inline dl,.mw-parser-output .hlist.inline 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(存在しないページ)"><abbr title="参照先のノートを表示します。">話</abbr></a></li><li class="nv-edit"><a class="external text" href="https://ja.wikipedia.org/w/index.php?title=Template:%E3%83%99%E3%82%A4%E3%82%BA%E7%B5%B1%E8%A8%88%E5%AD%A6&action=edit"><abbr title="参照先のページを編集します。">編</abbr></a></li><li class="nv-hist"><a class="external text" href="https://ja.wikipedia.org/w/index.php?title=Template:%E3%83%99%E3%82%A4%E3%82%BA%E7%B5%B1%E8%A8%88%E5%AD%A6&action=history"><abbr title="参照先のページの履歴を表示します。">歴</abbr></a></li></ul></div></td></tr></tbody></table> <p><b>最大事後確率</b>（さいだいじごかくりつ、<a href="/wiki/%E8%8B%B1%E8%AA%9E" title="英語">英</a>: <span lang="en">maximum a posteriori, MAP</span>）<b>推定</b>は、<a href="/wiki/%E7%B5%B1%E8%A8%88%E5%AD%A6" title="統計学">統計学</a>において、実測データに基づいて未知の量の<a href="/wiki/%E7%82%B9%E6%8E%A8%E5%AE%9A" title="点推定">点推定</a>を行う手法である。<a href="/wiki/%E3%83%AD%E3%83%8A%E3%83%AB%E3%83%89%E3%83%BB%E3%83%95%E3%82%A3%E3%83%83%E3%82%B7%E3%83%A3%E3%83%BC" title="ロナルド・フィッシャー">ロナルド・フィッシャー</a>の<a href="/wiki/%E6%9C%80%E5%B0%A4%E6%8E%A8%E5%AE%9A" title="最尤推定">最尤推定</a> (MLE) に密接に関連するが、推定したい量の<a href="/wiki/%E4%BA%8B%E5%89%8D%E7%A2%BA%E7%8E%87" title="事前確率">事前分布</a>を利用して<a href="/wiki/%E6%9C%80%E9%81%A9%E5%8C%96%E5%95%8F%E9%A1%8C" title="最適化問題">最適化問題</a>を解き確率が最大の結果を得る。したがってMAP推定は、最尤推定に<a href="/wiki/%E6%AD%A3%E5%89%87%E5%8C%96" title="正則化">正則化</a>をつけた物と見ることもできる。 </p> <meta property="mw:PageProp/toc" /> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="概要"><span id=".E6.A6.82.E8.A6.81"></span>概要</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E6%9C%80%E5%A4%A7%E4%BA%8B%E5%BE%8C%E7%A2%BA%E7%8E%87&action=edit&section=1" title="節を編集: 概要"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}"></span> の観測に基づいて、未知の母集団パラメータ <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \theta }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>θ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \theta }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e5ab2664b422d53eb0c7df3b87e1360d75ad9af" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.09ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \theta }"></span> を推定したいとする。<span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}"></span> の<a href="/w/index.php?title=%E6%A8%99%E6%9C%AC%E5%88%86%E5%B8%83&action=edit&redlink=1" class="new" title="標本分布 (存在しないページ)">標本分布</a>を <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}"></span> とすると、母集団パラメータを <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \theta }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>θ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \theta }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e5ab2664b422d53eb0c7df3b87e1360d75ad9af" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.09ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \theta }"></span> としたときの <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}"></span> の確率は <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(x|\theta )}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mi>θ</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(x|\theta )}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5151115d7ffb7ac662c07581c6594610f37a1d09" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.155ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(x|\theta )}"></span> となる。すると </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \theta \mapsto f(x|\theta )\!}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>θ</mi> <mo stretchy="false">↦</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mi>θ</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mspace width="negativethinmathspace" /> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \theta \mapsto f(x|\theta )\!}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/78cbacaed9f01775b7d87864ab54b740b5cccbcc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; margin-right: -0.166ex; width:10.639ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \theta \mapsto f(x|\theta )\!}"></span></dd></dl> <p>という関数は<a href="/wiki/%E5%B0%A4%E5%BA%A6%E9%96%A2%E6%95%B0" title="尤度関数">尤度関数</a>であり、 </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\hat {\theta }}_{\mathrm {ML} }(x)=\mathop {\mathrm {arg~max} } _{\theta }f(x|\theta )\!}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>θ</mi> <mo stretchy="false">^</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">M</mi> <mi mathvariant="normal">L</mi> </mrow> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <munder> <mrow class="MJX-TeXAtom-OP"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">a</mi> <mi mathvariant="normal">r</mi> <mi mathvariant="normal">g</mi> <mtext> </mtext> <mi mathvariant="normal">m</mi> <mi mathvariant="normal">a</mi> <mi mathvariant="normal">x</mi> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>θ</mi> </mrow> </munder> <mo>⁡</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mi>θ</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mspace width="negativethinmathspace" /> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\hat {\theta }}_{\mathrm {ML} }(x)=\mathop {\mathrm {arg~max} } _{\theta }f(x|\theta )\!}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fcf5862bb0f91ed6dcc335b16b7747493848c565" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; margin-right: -0.166ex; width:24.824ex; height:5.009ex;" alt="{\displaystyle {\hat {\theta }}_{\mathrm {ML} }(x)=\mathop {\mathrm {arg~max} } _{\theta }f(x|\theta )\!}"></span></dd></dl> <p>は <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \theta }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>θ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \theta }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e5ab2664b422d53eb0c7df3b87e1360d75ad9af" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.09ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \theta }"></span> の最尤推定である。 </p><p>ここで、<span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \theta }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>θ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \theta }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e5ab2664b422d53eb0c7df3b87e1360d75ad9af" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.09ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \theta }"></span> の事前分布を <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle g}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>g</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle g}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3556280e66fe2c0d0140df20935a6f057381d77" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.116ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle g}"></span> とする。すると、<span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \theta }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>θ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \theta }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e5ab2664b422d53eb0c7df3b87e1360d75ad9af" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.09ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \theta }"></span> を<a href="/wiki/%E3%83%99%E3%82%A4%E3%82%BA%E6%8E%A8%E5%AE%9A" title="ベイズ推定">ベイズ推定</a>における<a href="/wiki/%E7%A2%BA%E7%8E%87%E5%A4%89%E6%95%B0" title="確率変数">確率変数</a>として扱える。<span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \theta }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>θ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \theta }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e5ab2664b422d53eb0c7df3b87e1360d75ad9af" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.09ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \theta }"></span> の<a href="/wiki/%E4%BA%8B%E5%BE%8C%E7%A2%BA%E7%8E%87" title="事後確率">事後確率</a>は次のようになる。 </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \theta \mapsto {\frac {f(x|\theta )\,g(\theta )}{\displaystyle \int _{\Theta }f(x|\theta ')\,g(\theta ')\,d\theta '}}\!}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>θ</mi> <mo stretchy="false">↦</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mi>θ</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>g</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>θ</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mo>∫</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">Θ</mi> </mrow> </msub> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <msup> <mi>θ</mi> <mo>′</mo> </msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>g</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msup> <mi>θ</mi> <mo>′</mo> </msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>d</mi> <msup> <mi>θ</mi> <mo>′</mo> </msup> </mstyle> </mfrac> </mrow> <mspace width="negativethinmathspace" /> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \theta \mapsto {\frac {f(x|\theta )\,g(\theta )}{\displaystyle \int _{\Theta }f(x|\theta ')\,g(\theta ')\,d\theta '}}\!}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2b6719341db21ad8e7df8c2669a497e3a654a5f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -5.671ex; margin-right: -0.108ex; width:23.758ex; height:9.509ex;" alt="{\displaystyle \theta \mapsto {\frac {f(x|\theta )\,g(\theta )}{\displaystyle \int _{\Theta }f(x|\theta ')\,g(\theta ')\,d\theta '}}\!}"></span></dd></dl> <p>ここで <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle g}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>g</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle g}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3556280e66fe2c0d0140df20935a6f057381d77" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.116ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle g}"></span> は <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \theta }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>θ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \theta }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e5ab2664b422d53eb0c7df3b87e1360d75ad9af" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.09ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \theta }"></span> の密度関数、<span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Theta }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">Θ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Theta }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc927b19f46d005b4720db7a0f96cd5b6f1a0d9b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.808ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \Theta }"></span> は <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle g}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>g</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle g}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3556280e66fe2c0d0140df20935a6f057381d77" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.116ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle g}"></span> の定義域である。これは<a href="/wiki/%E3%83%99%E3%82%A4%E3%82%BA%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86" title="ベイズの定理">ベイズの定理</a>の直接的な応用である。 </p><p>最大事後確率推定の手法では、次に <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \theta }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>θ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \theta }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e5ab2664b422d53eb0c7df3b87e1360d75ad9af" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.09ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \theta }"></span> をこの確率変数の事後分布の<a href="/wiki/%E6%9C%80%E9%A0%BB%E5%80%A4" title="最頻値">最頻値</a>として推定する。 </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\hat {\theta }}_{\mathrm {MAP} }(x)=\mathop {\mathrm {arg~max} } _{\theta }{\frac {f(x|\theta )\,g(\theta )}{\displaystyle \int _{\Theta }f(x|\theta ')\,g(\theta ')\,d\theta '}}=\mathop {\mathrm {arg~max} } _{\theta }f(x|\theta )\,g(\theta )\!}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>θ</mi> <mo stretchy="false">^</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">M</mi> <mi mathvariant="normal">A</mi> <mi mathvariant="normal">P</mi> </mrow> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <munder> <mrow class="MJX-TeXAtom-OP"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">a</mi> <mi mathvariant="normal">r</mi> <mi mathvariant="normal">g</mi> <mtext> </mtext> <mi mathvariant="normal">m</mi> <mi mathvariant="normal">a</mi> <mi mathvariant="normal">x</mi> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>θ</mi> </mrow> </munder> <mo>⁡</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mi>θ</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>g</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>θ</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mo>∫</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">Θ</mi> </mrow> </msub> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <msup> <mi>θ</mi> <mo>′</mo> </msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>g</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msup> <mi>θ</mi> <mo>′</mo> </msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>d</mi> <msup> <mi>θ</mi> <mo>′</mo> </msup> </mstyle> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <munder> <mrow class="MJX-TeXAtom-OP"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">a</mi> <mi mathvariant="normal">r</mi> <mi mathvariant="normal">g</mi> <mtext> </mtext> <mi mathvariant="normal">m</mi> <mi mathvariant="normal">a</mi> <mi mathvariant="normal">x</mi> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>θ</mi> </mrow> </munder> <mo>⁡</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mi>θ</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>g</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>θ</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mspace width="negativethinmathspace" /> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\hat {\theta }}_{\mathrm {MAP} }(x)=\mathop {\mathrm {arg~max} } _{\theta }{\frac {f(x|\theta )\,g(\theta )}{\displaystyle \int _{\Theta }f(x|\theta ')\,g(\theta ')\,d\theta '}}=\mathop {\mathrm {arg~max} } _{\theta }f(x|\theta )\,g(\theta )\!}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c2c6c88c98eaa70010c40b23ecd4ce6a2cbc3f3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -5.671ex; margin-right: -0.166ex; width:61.512ex; height:9.509ex;" alt="{\displaystyle {\hat {\theta }}_{\mathrm {MAP} }(x)=\mathop {\mathrm {arg~max} } _{\theta }{\frac {f(x|\theta )\,g(\theta )}{\displaystyle \int _{\Theta }f(x|\theta ')\,g(\theta ')\,d\theta '}}=\mathop {\mathrm {arg~max} } _{\theta }f(x|\theta )\,g(\theta )\!}"></span></dd></dl> <p>事後分布の分母は <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \theta }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>θ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \theta }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e5ab2664b422d53eb0c7df3b87e1360d75ad9af" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.09ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \theta }"></span> に依存していないので、最適化には何の役割も果たさない。<span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \theta }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>θ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \theta }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e5ab2664b422d53eb0c7df3b87e1360d75ad9af" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.09ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \theta }"></span> のMAP推定で事前分布 <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle g}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>g</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle g}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3556280e66fe2c0d0140df20935a6f057381d77" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.116ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle g}"></span> が一様分布の場合の結果は、最尤推定に一致する。MAP推定は、一様損失関数における<a href="/wiki/%E3%83%99%E3%82%A4%E3%82%BA%E6%8E%A8%E5%AE%9A" title="ベイズ推定">ベイズ推定</a>関数である。 </p><p>MAP推定の計算は解析的に解くか数値的に計算できる。 </p> <ul><li><a href="/w/index.php?title=%E9%96%89%E5%BD%A2%E5%BC%8F%E8%A7%A3&action=edit&redlink=1" class="new" title="閉形式解 (存在しないページ)">閉形式</a>で事前分布の最頻値が与えられるとき、解析的に解ける。この場合、<a href="/w/index.php?title=%E5%85%B1%E5%BD%B9%E4%BA%8B%E5%89%8D%E5%88%86%E5%B8%83&action=edit&redlink=1" class="new" title="共役事前分布 (存在しないページ)">共役事前分布</a>を使う。</li> <li><a href="/wiki/%E6%95%B0%E5%80%A4%E8%A7%A3%E6%9E%90" title="数値解析">数値的</a>最適解を得るには <ul><li>汎用の<a href="/wiki/%E6%9C%80%E9%81%A9%E5%8C%96%E5%95%8F%E9%A1%8C" title="最適化問題">最適化問題</a>のアルゴリズムを使用する。例えば、<a href="/wiki/%E5%8B%BE%E9%85%8D%E6%B3%95" title="勾配法">勾配法</a>（<a href="/wiki/%E5%85%B1%E5%BD%B9%E5%8B%BE%E9%85%8D%E6%B3%95" title="共役勾配法">共役勾配法</a>や<a href="/wiki/%E6%BA%96%E3%83%8B%E3%83%A5%E3%83%BC%E3%83%88%E3%83%B3%E6%B3%95" title="準ニュートン法">準ニュートン法</a>など）がある。勾配法の場合は<a href="/wiki/%E5%BE%AE%E5%88%86%E6%B3%95" title="微分法">導関数</a>が必要で、それを解析的または数値的に計算する必要がある。</li> <li><a href="/wiki/EM%E3%82%A2%E3%83%AB%E3%82%B4%E3%83%AA%E3%82%BA%E3%83%A0" title="EMアルゴリズム">EMアルゴリズム</a>を変形して用いる。この場合、事後分布の導関数は不要である。</li> <li><a href="/wiki/%E3%83%9E%E3%83%AB%E3%82%B3%E3%83%95%E9%80%A3%E9%8E%96%E3%83%A2%E3%83%B3%E3%83%86%E3%82%AB%E3%83%AB%E3%83%AD%E6%B3%95" title="マルコフ連鎖モンテカルロ法">マルコフ連鎖モンテカルロ法</a>などの<a href="/w/index.php?title=%E3%82%B5%E3%83%B3%E3%83%97%E3%83%AA%E3%83%B3%E3%82%B0%E6%B3%95&action=edit&redlink=1" class="new" title="サンプリング法 (存在しないページ)">サンプリング法</a>を使う。</li></ul></li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="正規分布での例"><span id=".E6.AD.A3.E8.A6.8F.E5.88.86.E5.B8.83.E3.81.A7.E3.81.AE.E4.BE.8B"></span>正規分布での例</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E6%9C%80%E5%A4%A7%E4%BA%8B%E5%BE%8C%E7%A2%BA%E7%8E%87&action=edit&section=2" title="節を編集: 正規分布での例"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>ある並び <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (x_{1},\dots ,x_{n})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mo>…</mo> <mo>,</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (x_{1},\dots ,x_{n})}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/56204ada1ecf9dd5c6beddfdfd0f341cd69ff632" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:11.92ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (x_{1},\dots ,x_{n})}"></span> の独立な<a href="/wiki/%E7%A2%BA%E7%8E%87%E5%A4%89%E6%95%B0" title="確率変数">確率変数</a> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N(\mu ,\sigma _{v}^{2})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>μ</mi> <mo>,</mo> <msubsup> <mi>σ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>v</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N(\mu ,\sigma _{v}^{2})}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8be267d46104f5fa18e20cb7926309ed3f5d1ae5" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.693ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle N(\mu ,\sigma _{v}^{2})}"></span> があり、<span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mu }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>μ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mu }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9fd47b2a39f7a7856952afec1f1db72c67af6161" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:1.402ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mu }"></span> の事前分布は <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N(0,\sigma _{m}^{2})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <msubsup> <mi>σ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>m</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N(0,\sigma _{m}^{2})}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d1a4351ac3287c0719b731f3c5ee00fd80ab3e4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.072ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle N(0,\sigma _{m}^{2})}"></span> で与えられるとする。ここで <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mu }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>μ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mu }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9fd47b2a39f7a7856952afec1f1db72c67af6161" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:1.402ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mu }"></span> のMAP推定値を求める。 </p><p>最大化すべき関数は次のようになる。 </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \pi (\mu )L(\mu )={\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}\sigma _{m}}}\exp \left(-{\frac {1}{2}}\left({\frac {\mu }{\sigma _{m}}}\right)^{2}\right)\prod _{j=1}^{n}{\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}\sigma _{v}}}\exp \left(-{\frac {1}{2}}\left({\frac {x_{j}-\mu }{\sigma _{v}}}\right)^{2}\right)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>π</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>μ</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>L</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>μ</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mn>2</mn> <mi>π</mi> </msqrt> </mrow> <msub> <mi>σ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>m</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac> </mrow> <mi>exp</mi> <mo>⁡</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>μ</mi> <msub> <mi>σ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>m</mi> </mrow> </msub> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <munderover> <mo>∏</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </munderover> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mn>2</mn> <mi>π</mi> </msqrt> </mrow> <msub> <mi>σ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>v</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac> </mrow> <mi>exp</mi> <mo>⁡</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mo>−</mo> <mi>μ</mi> </mrow> <msub> <mi>σ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>v</mi> </mrow> </msub> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \pi (\mu )L(\mu )={\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}\sigma _{m}}}\exp \left(-{\frac {1}{2}}\left({\frac {\mu }{\sigma _{m}}}\right)^{2}\right)\prod _{j=1}^{n}{\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}\sigma _{v}}}\exp \left(-{\frac {1}{2}}\left({\frac {x_{j}-\mu }{\sigma _{v}}}\right)^{2}\right)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/849b2b0b5b6f1dc3fc363e4a9e83122cd6c182b1" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.338ex; width:75.033ex; height:7.676ex;" alt="{\displaystyle \pi (\mu )L(\mu )={\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}\sigma _{m}}}\exp \left(-{\frac {1}{2}}\left({\frac {\mu }{\sigma _{m}}}\right)^{2}\right)\prod _{j=1}^{n}{\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}\sigma _{v}}}\exp \left(-{\frac {1}{2}}\left({\frac {x_{j}-\mu }{\sigma _{v}}}\right)^{2}\right)}"></span></dd></dl> <p>これの<a href="/wiki/%E5%AF%BE%E6%95%B0" title="対数">対数</a>を取る。 </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\begin{aligned}\log \pi (\mu )L(\mu )&=-\log {\sqrt {2\pi }}\sigma _{m}-{\frac {1}{2}}\left({\frac {\mu }{\sigma _{m}}}\right)^{2}-\log {\sqrt {2\pi }}\sigma _{v}-{\frac {1}{2}}\sum _{j=1}^{n}\left({\frac {x_{j}-\mu }{\sigma _{v}}}\right)^{2}\\&=-{\frac {1}{2}}\left\{\left({\frac {\mu }{\sigma _{m}}}\right)^{2}+\sum _{j=1}^{n}\left({\frac {x_{j}-\mu }{\sigma _{v}}}\right)^{2}\right\}-\log 2\pi \sigma _{m}\sigma _{v}\end{aligned}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtable columnalign="right left right left right left right left right left right left" rowspacing="3pt" columnspacing="0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em" displaystyle="true"> <mtr> <mtd> <mi>log</mi> <mo>⁡</mo> <mi>π</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>μ</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>L</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>μ</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mo>−</mo> <mi>log</mi> <mo>⁡</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mn>2</mn> <mi>π</mi> </msqrt> </mrow> <msub> <mi>σ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>m</mi> </mrow> </msub> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>μ</mi> <msub> <mi>σ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>m</mi> </mrow> </msub> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>−</mo> <mi>log</mi> <mo>⁡</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mn>2</mn> <mi>π</mi> </msqrt> </mrow> <msub> <mi>σ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>v</mi> </mrow> </msub> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <munderover> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </munderover> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mo>−</mo> <mi>μ</mi> </mrow> <msub> <mi>σ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>v</mi> </mrow> </msub> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd /> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <mrow> <mo>{</mo> <mrow> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>μ</mi> <msub> <mi>σ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>m</mi> </mrow> </msub> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <munderover> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </munderover> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mo>−</mo> <mi>μ</mi> </mrow> <msub> <mi>σ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>v</mi> </mrow> </msub> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> <mo>}</mo> </mrow> <mo>−</mo> <mi>log</mi> <mo>⁡</mo> <mn>2</mn> <mi>π</mi> <msub> <mi>σ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>m</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>σ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>v</mi> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}\log \pi (\mu )L(\mu )&=-\log {\sqrt {2\pi }}\sigma _{m}-{\frac {1}{2}}\left({\frac {\mu }{\sigma _{m}}}\right)^{2}-\log {\sqrt {2\pi }}\sigma _{v}-{\frac {1}{2}}\sum _{j=1}^{n}\left({\frac {x_{j}-\mu }{\sigma _{v}}}\right)^{2}\\&=-{\frac {1}{2}}\left\{\left({\frac {\mu }{\sigma _{m}}}\right)^{2}+\sum _{j=1}^{n}\left({\frac {x_{j}-\mu }{\sigma _{v}}}\right)^{2}\right\}-\log 2\pi \sigma _{m}\sigma _{v}\end{aligned}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/41df21db0c592b6997d81d325073093de375a047" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -7.005ex; width:76.433ex; height:15.176ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}\log \pi (\mu )L(\mu )&=-\log {\sqrt {2\pi }}\sigma _{m}-{\frac {1}{2}}\left({\frac {\mu }{\sigma _{m}}}\right)^{2}-\log {\sqrt {2\pi }}\sigma _{v}-{\frac {1}{2}}\sum _{j=1}^{n}\left({\frac {x_{j}-\mu }{\sigma _{v}}}\right)^{2}\\&=-{\frac {1}{2}}\left\{\left({\frac {\mu }{\sigma _{m}}}\right)^{2}+\sum _{j=1}^{n}\left({\frac {x_{j}-\mu }{\sigma _{v}}}\right)^{2}\right\}-\log 2\pi \sigma _{m}\sigma _{v}\end{aligned}}}"></span></dd></dl> <p>これは、<span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mu }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>μ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mu }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9fd47b2a39f7a7856952afec1f1db72c67af6161" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:1.402ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mu }"></span> を動かし次の式を最小化することと等価である。 </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \sum _{j=1}^{n}\left({\frac {x_{j}-\mu }{\sigma _{v}}}\right)^{2}+\left({\frac {\mu }{\sigma _{m}}}\right)^{2}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <munderover> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </munderover> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mo>−</mo> <mi>μ</mi> </mrow> <msub> <mi>σ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>v</mi> </mrow> </msub> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>μ</mi> <msub> <mi>σ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>m</mi> </mrow> </msub> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sum _{j=1}^{n}\left({\frac {x_{j}-\mu }{\sigma _{v}}}\right)^{2}+\left({\frac {\mu }{\sigma _{m}}}\right)^{2}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/42486fb01aca053753075540be193976e6d4e7d3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.338ex; width:26.689ex; height:7.343ex;" alt="{\displaystyle \sum _{j=1}^{n}\left({\frac {x_{j}-\mu }{\sigma _{v}}}\right)^{2}+\left({\frac {\mu }{\sigma _{m}}}\right)^{2}}"></span></dd></dl> <p>従って <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mu }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>μ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mu }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9fd47b2a39f7a7856952afec1f1db72c67af6161" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:1.402ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mu }"></span> のMAP推定値は以下のようになる。 </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\hat {\mu }}_{\text{MAP}}={\frac {\sigma _{m}^{2}}{n\sigma _{m}^{2}+\sigma _{v}^{2}}}\sum _{j=1}^{n}x_{j}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>μ</mi> <mo stretchy="false">^</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtext>MAP</mtext> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msubsup> <mi>σ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>m</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> <mrow> <mi>n</mi> <msubsup> <mi>σ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>m</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> <mo>+</mo> <msubsup> <mi>σ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>v</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> </mrow> </mfrac> </mrow> <munderover> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </munderover> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\hat {\mu }}_{\text{MAP}}={\frac {\sigma _{m}^{2}}{n\sigma _{m}^{2}+\sigma _{v}^{2}}}\sum _{j=1}^{n}x_{j}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7055a2bf6413a629ff4ffa0c5f974cbf5d662630" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.338ex; width:25.418ex; height:7.176ex;" alt="{\displaystyle {\hat {\mu }}_{\text{MAP}}={\frac {\sigma _{m}^{2}}{n\sigma _{m}^{2}+\sigma _{v}^{2}}}\sum _{j=1}^{n}x_{j}}"></span></dd></dl> <p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \sigma _{m}\to \infty }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>σ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>m</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">→</mo> <mi mathvariant="normal">∞</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sigma _{m}\to \infty }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d2e857e35d457c260d420a9e55ec398d96b7e199" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:8.94ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \sigma _{m}\to \infty }"></span> の場合を無情報事前分布（<a href="/wiki/%E8%8B%B1%E8%AA%9E" title="英語">英</a>: <span lang="en">non-informative prior</span>）と呼び、この例では <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\hat {\mu }}_{\text{MAP}}\to {\hat {\mu }}_{\text{MLE}}={\frac {1}{n}}\sum _{j=1}^{n}x_{j}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>μ</mi> <mo stretchy="false">^</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtext>MAP</mtext> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">→</mo> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>μ</mi> <mo stretchy="false">^</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtext>MLE</mtext> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mi>n</mi> </mfrac> </mrow> <munderover> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </munderover> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\hat {\mu }}_{\text{MAP}}\to {\hat {\mu }}_{\text{MLE}}={\frac {1}{n}}\sum _{j=1}^{n}x_{j}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e41c3ff7e6a0404972ae06759395e4d0fabacc19" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.338ex; width:26.092ex; height:7.176ex;" alt="{\displaystyle {\hat {\mu }}_{\text{MAP}}\to {\hat {\mu }}_{\text{MLE}}={\frac {1}{n}}\sum _{j=1}^{n}x_{j}}"></span> である。 </p><p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \sigma _{m}<\infty }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>σ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>m</mi> </mrow> </msub> <mo><</mo> <mi mathvariant="normal">∞</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sigma _{m}<\infty }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f77badd152fc2cac2238c9e8ee122d2632c5c83b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:8.425ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \sigma _{m}<\infty }"></span> の場合は、<span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mu }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>μ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mu }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9fd47b2a39f7a7856952afec1f1db72c67af6161" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:1.402ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mu }"></span> の事前分布の付与はL2<a href="/wiki/%E6%AD%A3%E5%89%87%E5%8C%96" title="正則化">正則化</a>と同じ式になる。 </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="参考文献"><span id=".E5.8F.82.E8.80.83.E6.96.87.E7.8C.AE"></span>参考文献</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E6%9C%80%E5%A4%A7%E4%BA%8B%E5%BE%8C%E7%A2%BA%E7%8E%87&action=edit&section=3" title="節を編集: 参考文献"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li>M. DeGroot, <i>Optimal Statistical Decisions</i>, <a href="/wiki/McGraw-Hill" class="mw-redirect" title="McGraw-Hill">McGraw-Hill</a>, (1970).</li> <li>Harold W. Sorenson, (1980) "Parameter Estimation: Principles and Problems", Marcel Dekker.</li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="関連項目"><span id=".E9.96.A2.E9.80.A3.E9.A0.85.E7.9B.AE"></span>関連項目</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E6%9C%80%E5%A4%A7%E4%BA%8B%E5%BE%8C%E7%A2%BA%E7%8E%87&action=edit&section=4" title="節を編集: 関連項目"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li><a href="/wiki/%E6%9C%80%E5%B0%A4%E6%8E%A8%E5%AE%9A" title="最尤推定">最尤推定</a></li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="脚注"><span id=".E8.84.9A.E6.B3.A8"></span>脚注</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E6%9C%80%E5%A4%A7%E4%BA%8B%E5%BE%8C%E7%A2%BA%E7%8E%87&action=edit&section=5" title="節を編集: 脚注"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p><br /> </p> <div class="navbox" aria-labelledby="統計学" style="border-collapse:collapse;padding:3px"><table class="nowraplinks hlist hlist-slash mw-collapsible autocollapse navbox-inner" style="background:transparent;color:inherit;min-width:100%;border-spacing:0px;border-collapse:separate"><tbody><tr><th scope="col" class="navbox-title" colspan="2"><div style="float:left;width:6em;text-align:left"><div class="noprint plainlinks navbar hlist" style="white-space:nowrap;font-size:60%;font-weight:normal;background-color:transparent;padding:0;color:#000;;border:none;"><ul style="display:inline"><li><a href="/wiki/Template:%E7%B5%B1%E8%A8%88%E5%AD%A6" title="Template:統計学"><span title="このテンプレートを表示します" style="font-size:125%;;;border:none;">表</span></a></li><li><a href="/w/index.php?title=Template%E2%80%90%E3%83%8E%E3%83%BC%E3%83%88:%E7%B5%B1%E8%A8%88%E5%AD%A6&action=edit&redlink=1" class="new" title="Template‐ノート:統計学 (存在しないページ)"><span title="このテンプレートのノートを表示します" style="font-size:125%;color:#002bb8;;;border:none;">話</span></a></li><li><a class="external text" href="https://ja.wikipedia.org/w/index.php?title=Template%3A%E7%B5%B1%E8%A8%88%E5%AD%A6&action=edit"><span title="このテンプレートを編集します。保存の前にプレビューを忘れずに。" style="font-size:125%;color:#002bb8;;;border:none;">編</span></a></li><li><a class="external text" href="https://ja.wikipedia.org/w/index.php?title=Template%3A%E7%B5%B1%E8%A8%88%E5%AD%A6&action=history"><span title="このテンプレートの過去の版を表示します" style="font-size:125%;color:#002bb8;;;border:none;">歴</span></a></li></ul></div></div><div id="統計学" style="font-size:110%;margin:0 6em"><a href="/wiki/%E7%B5%B1%E8%A8%88%E5%AD%A6" title="統計学">統計学</a></div></th></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%"><a href="/wiki/%E6%A8%99%E6%9C%AC%E8%AA%BF%E6%9F%BB" title="標本調査">標本調査</a></th><td class="navbox-list navbox-odd" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><a href="/wiki/%E6%A8%99%E6%9C%AC_(%E7%B5%B1%E8%A8%88%E5%AD%A6)" title="標本 (統計学)">標本</a></li> <li><a href="/wiki/%E6%AF%8D%E9%9B%86%E5%9B%A3" title="母集団">母集団</a></li> <li><a href="/wiki/%E7%84%A1%E4%BD%9C%E7%82%BA%E6%8A%BD%E5%87%BA" title="無作為抽出">無作為抽出</a></li> <li><a href="/wiki/%E5%B1%A4%E5%8C%96%E6%8A%BD%E5%87%BA%E6%B3%95" title="層化抽出法">層化抽出法</a></li></ul> </div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%"><a href="/wiki/%E8%A6%81%E7%B4%84%E7%B5%B1%E8%A8%88%E9%87%8F" title="要約統計量">記述統計学</a></th><td class="navbox-list navbox-even" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> </div><table class="nowraplinks navbox-subgroup" style="min-width:100%;border-spacing:0px;border-collapse:separate"><tbody><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%"><a href="/wiki/%E9%80%A3%E7%B6%9A%E7%A2%BA%E7%8E%87%E5%88%86%E5%B8%83" title="連続確率分布">連続データ</a></th><td class="navbox-list navbox-odd" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> </div><table class="nowraplinks navbox-subgroup" style="min-width:100%;border-spacing:0px;border-collapse:separate"><tbody><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%"><a href="/w/index.php?title=%E4%BD%8D%E7%BD%AE%E6%AF%8D%E6%95%B0&action=edit&redlink=1" class="new" title="位置母数 (存在しないページ)">位置</a></th><td class="navbox-list navbox-odd" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><a href="/wiki/%E5%B9%B3%E5%9D%87" title="平均">平均</a> <ul><li><a href="/wiki/%E7%AE%97%E8%A1%93%E5%B9%B3%E5%9D%87" title="算術平均">算術</a></li> <li><a href="/wiki/%E5%B9%BE%E4%BD%95%E5%B9%B3%E5%9D%87" title="幾何平均">幾何</a></li> <li><a href="/wiki/%E8%AA%BF%E5%92%8C%E5%B9%B3%E5%9D%87" title="調和平均">調和</a></li></ul></li> <li><a href="/wiki/%E4%B8%AD%E5%A4%AE%E5%80%A4" title="中央値">中央値</a> <ul><li><a href="/wiki/%E5%88%86%E4%BD%8D%E6%95%B0" title="分位数">分位数</a></li> <li><a href="/wiki/%E9%A0%86%E5%BA%8F%E7%B5%B1%E8%A8%88%E9%87%8F" title="順序統計量">順序統計量</a></li></ul></li> <li><a href="/wiki/%E6%9C%80%E9%A0%BB%E5%80%A4" title="最頻値">最頻値</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=%E9%9A%8E%E7%B4%9A%E5%80%A4&action=edit&redlink=1" class="new" title="階級値 (存在しないページ)">階級値</a></li></ul> </div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%"><a href="/wiki/%E5%88%86%E6%95%A3_(%E7%B5%B1%E8%A8%88%E5%AD%A6)" class="mw-redirect" title="分散 (統計学)">分散</a></th><td class="navbox-list navbox-even" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><a href="/w/index.php?title=%E7%AF%84%E5%9B%B2_(%E7%B5%B1%E8%A8%88%E5%AD%A6)&action=edit&redlink=1" class="new" title="範囲 (統計学) (存在しないページ)">範囲</a></li> <li><a href="/wiki/%E5%81%8F%E5%B7%AE" title="偏差">偏差</a></li> <li><a href="/wiki/%E5%81%8F%E5%B7%AE%E5%80%A4" title="偏差値">偏差値</a></li> <li><a href="/wiki/%E6%A8%99%E6%BA%96%E5%81%8F%E5%B7%AE" title="標準偏差">標準偏差</a></li> <li><a href="/wiki/%E6%A8%99%E6%BA%96%E8%AA%A4%E5%B7%AE" title="標準誤差">標準誤差</a></li> <li><a href="/wiki/%E5%A4%89%E5%8B%95%E4%BF%82%E6%95%B0" title="変動係数">変動係数</a></li> <li><a href="/wiki/%E6%B1%BA%E5%AE%9A%E4%BF%82%E6%95%B0" title="決定係数">決定係数</a></li> <li><a href="/wiki/%E7%9B%B8%E9%96%A2%E4%BF%82%E6%95%B0" title="相関係数">相関係数</a></li> <li><a href="/wiki/%E8%87%AA%E5%B7%B1%E7%9B%B8%E9%96%A2" title="自己相関">自己相関</a></li> <li><a href="/wiki/%E5%85%B1%E5%88%86%E6%95%A3" title="共分散">共分散</a></li> <li><a href="/wiki/%E8%87%AA%E5%B7%B1%E5%85%B1%E5%88%86%E6%95%A3" title="自己共分散">自己共分散</a></li> <li><a href="/wiki/%E5%88%86%E6%95%A3%E5%85%B1%E5%88%86%E6%95%A3%E8%A1%8C%E5%88%97" title="分散共分散行列">分散共分散行列</a></li> <li><a href="/wiki/%E7%99%BE%E5%88%86%E7%8E%87" class="mw-redirect" title="百分率">百分率</a></li> <li><a href="/wiki/%E7%B5%B1%E8%A8%88%E7%9A%84%E3%81%B0%E3%82%89%E3%81%A4%E3%81%8D" title="統計的ばらつき">統計的ばらつき</a></li></ul> </div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%"><a href="/wiki/%E3%83%A2%E3%83%BC%E3%83%A1%E3%83%B3%E3%83%88_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)" title="モーメント (数学)">モーメント</a></th><td class="navbox-list navbox-odd" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><a href="/wiki/%E5%88%86%E6%95%A3_(%E7%A2%BA%E7%8E%87%E8%AB%96)" title="分散 (確率論)">分散</a></li> <li><a href="/wiki/%E6%AD%AA%E5%BA%A6" title="歪度">歪度</a></li> <li><a href="/wiki/%E5%B0%96%E5%BA%A6" title="尖度">尖度</a></li></ul> </div></td></tr></tbody></table><div> </div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%"><a href="/wiki/%E7%A2%BA%E7%8E%87%E5%88%86%E5%B8%83" title="確率分布">カテゴリデータ</a></th><td class="navbox-list navbox-even" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><a href="/w/index.php?title=%E9%A0%BB%E5%BA%A6_(%E7%B5%B1%E8%A8%88%E5%AD%A6)&action=edit&redlink=1" class="new" title="頻度 (統計学) (存在しないページ)">頻度</a></li> <li><a href="/wiki/%E5%88%86%E5%89%B2%E8%A1%A8" title="分割表">分割表</a></li></ul> </div></td></tr></tbody></table><div> </div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%"><a href="/wiki/%E6%8E%A8%E8%A8%88%E7%B5%B1%E8%A8%88%E5%AD%A6" title="推計統計学">推計統計学</a></th><td class="navbox-list navbox-odd" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> </div><table class="nowraplinks navbox-subgroup" style="min-width:100%;border-spacing:0px;border-collapse:separate"><tbody><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%"><a href="/wiki/%E4%BB%AE%E8%AA%AC%E6%A4%9C%E5%AE%9A" title="仮説検定">仮説検定</a></th><td class="navbox-list navbox-odd" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> </div><table class="nowraplinks navbox-subgroup" style="min-width:100%;border-spacing:0px;border-collapse:separate"><tbody><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%">パラメトリック</th><td class="navbox-list navbox-odd" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><a href="/wiki/T%E6%A4%9C%E5%AE%9A" title="T検定">t検定</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%82%A6%E3%82%A7%E3%83%AB%E3%83%81%E3%81%AEt%E6%A4%9C%E5%AE%9A" title="ウェルチのt検定">ウェルチのt検定</a></li> <li><a href="/wiki/F%E6%A4%9C%E5%AE%9A" title="F検定">F検定</a></li> <li><a href="/wiki/Z%E6%A4%9C%E5%AE%9A" title="Z検定">Z検定</a></li> <li><a href="/wiki/%E4%BA%8C%E9%A0%85%E6%A4%9C%E5%AE%9A" title="二項検定">二項検定</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%82%B8%E3%83%A3%E3%83%83%E3%82%AF%E2%80%93%E3%83%99%E3%83%A9%E6%A4%9C%E5%AE%9A" title="ジャック–ベラ検定">ジャック–ベラ検定</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%82%B7%E3%83%A3%E3%83%94%E3%83%AD%E2%80%93%E3%82%A6%E3%82%A3%E3%83%AB%E3%82%AF%E6%A4%9C%E5%AE%9A" title="シャピロ–ウィルク検定">シャピロ–ウィルク検定</a></li> <li><a href="/wiki/%E5%88%86%E6%95%A3%E5%88%86%E6%9E%90" title="分散分析">分散分析</a></li> <li><a href="/wiki/%E5%85%B1%E5%88%86%E6%95%A3%E5%88%86%E6%9E%90" title="共分散分析">共分散分析</a></li></ul> </div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%"><a href="/wiki/%E3%83%8E%E3%83%B3%E3%83%91%E3%83%A9%E3%83%A1%E3%83%88%E3%83%AA%E3%83%83%E3%82%AF%E6%89%8B%E6%B3%95" title="ノンパラメトリック手法">ノンパラメトリック</a></th><td class="navbox-list navbox-even" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><a href="/wiki/%E3%82%A6%E3%82%A3%E3%83%AB%E3%82%B3%E3%82%AF%E3%82%BD%E3%83%B3%E3%81%AE%E7%AC%A6%E5%8F%B7%E9%A0%86%E4%BD%8D%E6%A4%9C%E5%AE%9A" title="ウィルコクソンの符号順位検定">ウィルコクソンの符号順位検定</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%83%9E%E3%83%B3%E3%83%BB%E3%83%9B%E3%82%A4%E3%83%83%E3%83%88%E3%83%8B%E3%83%BC%E3%81%AEU%E6%A4%9C%E5%AE%9A" title="マン・ホイットニーのU検定">マン・ホイットニーのU検定</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%82%AB%E3%82%A4%E4%BA%8C%E4%B9%97%E6%A4%9C%E5%AE%9A" title="カイ二乗検定">カイ二乗検定</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%82%A4%E3%82%A7%E3%82%A4%E3%83%84%E3%81%AE%E3%82%AB%E3%82%A4%E4%BA%8C%E4%B9%97%E6%A4%9C%E5%AE%9A" title="イェイツのカイ二乗検定">イェイツのカイ二乗検定</a></li> <li><a href="/wiki/%E7%B4%AF%E7%A9%8D%E3%82%AB%E3%82%A4%E4%BA%8C%E4%B9%97%E6%A4%9C%E5%AE%9A" title="累積カイ二乗検定">累積カイ二乗検定</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%83%95%E3%82%A3%E3%83%83%E3%82%B7%E3%83%A3%E3%83%BC%E3%81%AE%E6%AD%A3%E7%A2%BA%E7%A2%BA%E7%8E%87%E6%A4%9C%E5%AE%9A" title="フィッシャーの正確確率検定">フィッシャーの正確確率検定</a></li> <li><a href="/wiki/%E5%B0%A4%E5%BA%A6%E6%AF%94%E6%A4%9C%E5%AE%9A" title="尤度比検定">尤度比検定</a></li> <li><a href="/wiki/G%E6%A4%9C%E5%AE%9A" title="G検定">G検定</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%82%A2%E3%83%B3%E3%83%80%E3%83%BC%E3%82%BD%E3%83%B3%E2%80%93%E3%83%80%E3%83%BC%E3%83%AA%E3%83%B3%E3%82%B0%E6%A4%9C%E5%AE%9A" title="アンダーソン–ダーリング検定">アンダーソン–ダーリング検定</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%82%B3%E3%83%AB%E3%83%A2%E3%82%B4%E3%83%AD%E3%83%95%E2%80%93%E3%82%B9%E3%83%9F%E3%83%AB%E3%83%8E%E3%83%95%E6%A4%9C%E5%AE%9A" title="コルモゴロフ–スミルノフ検定">コルモゴロフ–スミルノフ検定</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%82%AB%E3%82%A4%E3%83%91%E3%83%BC%E6%A4%9C%E5%AE%9A" title="カイパー検定">カイパー検定</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%83%9E%E3%83%B3%E3%83%86%E3%83%AB%E6%A4%9C%E5%AE%9A" title="マンテル検定">マンテル検定</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%82%B3%E3%82%AF%E3%83%A9%E3%83%B3%E3%83%BB%E3%83%9E%E3%83%B3%E3%83%86%E3%83%AB%E3%83%BB%E3%83%98%E3%83%B3%E3%83%84%E3%82%A7%E3%83%AB%E3%81%AE%E7%B5%B1%E8%A8%88%E9%87%8F" title="コクラン・マンテル・ヘンツェルの統計量">コクラン・マンテル・ヘンツェルの統計量</a></li></ul> </div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%">その他</th><td class="navbox-list navbox-odd" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><a href="/wiki/%E5%B8%B0%E7%84%A1%E4%BB%AE%E8%AA%AC" title="帰無仮説">帰無仮説</a></li> <li><a href="/wiki/%E5%AF%BE%E7%AB%8B%E4%BB%AE%E8%AA%AC" class="mw-redirect" title="対立仮説">対立仮説</a></li> <li><a href="/wiki/%E6%9C%89%E6%84%8F" title="有意">有意</a></li> <li><a href="/wiki/%E6%A3%84%E5%8D%B4" title="棄却">棄却</a></li></ul> </div></td></tr></tbody></table><div> </div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%">区間推定</th><td class="navbox-list navbox-even" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><a href="/wiki/%E4%BF%A1%E9%A0%BC%E5%8C%BA%E9%96%93" title="信頼区間">信頼区間</a></li> <li><a href="/wiki/%E4%BA%88%E6%B8%AC%E5%8C%BA%E9%96%93" title="予測区間">予測区間</a></li></ul> </div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%">モデル選択基準</th><td class="navbox-list navbox-odd" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><a href="/wiki/%E8%B5%A4%E6%B1%A0%E6%83%85%E5%A0%B1%E9%87%8F%E8%A6%8F%E6%BA%96" title="赤池情報量規準">AIC</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%83%99%E3%82%A4%E3%82%BA%E6%83%85%E5%A0%B1%E9%87%8F%E8%A6%8F%E6%BA%96" title="ベイズ情報量規準">BIC</a></li> <li><a href="/wiki/%E5%BA%83%E3%81%8F%E4%BD%BF%E3%81%88%E3%82%8B%E6%83%85%E5%A0%B1%E9%87%8F%E8%A6%8F%E6%BA%96" title="広く使える情報量規準">WAIC</a></li> <li><a href="/wiki/%E6%9C%80%E5%B0%8F%E8%A8%98%E8%BF%B0%E9%95%B7" title="最小記述長">MDL</a></li></ul> </div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%">その他</th><td class="navbox-list navbox-even" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><a href="/wiki/%E5%81%8F%E3%82%8A" title="偏り">偏り</a></li> <li><a href="/wiki/%E5%81%8F%E3%82%8A%E3%81%A8%E5%88%86%E6%95%A3" title="偏りと分散">偏りと分散</a></li> <li><a href="/wiki/%E9%81%8E%E5%89%B0%E9%81%A9%E5%90%88" title="過剰適合">過剰適合</a></li> <li><a href="/wiki/%E6%8E%A8%E5%AE%9A%E9%87%8F" title="推定量">推定量</a></li> <li><a href="/wiki/%E7%82%B9%E6%8E%A8%E5%AE%9A" title="点推定">点推定</a></li> <li><a href="/wiki/%E6%9C%80%E5%B0%A4%E6%8E%A8%E5%AE%9A" title="最尤推定">最尤推定</a></li> <li><a href="/wiki/%E5%B0%A4%E5%BA%A6%E9%96%A2%E6%95%B0" title="尤度関数">尤度関数</a></li> <li><a href="/wiki/%E5%B0%A4%E5%BA%A6%E6%96%B9%E7%A8%8B%E5%BC%8F" title="尤度方程式">尤度方程式</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=%E6%9C%80%E5%B0%8F%E8%B7%9D%E9%9B%A2%E6%8E%A8%E5%AE%9A&action=edit&redlink=1" class="new" title="最小距離推定 (存在しないページ)">最小距離推定</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%83%A1%E3%82%BF%E3%82%A2%E3%83%8A%E3%83%AA%E3%82%B7%E3%82%B9" title="メタアナリシス">メタアナリシス</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%83%96%E3%83%BC%E3%83%88%E3%82%B9%E3%83%88%E3%83%A9%E3%83%83%E3%83%97%E6%B3%95" title="ブートストラップ法">ブートストラップ法</a></li></ul> </div></td></tr></tbody></table><div> </div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%"><a href="/wiki/%E3%83%99%E3%82%A4%E3%82%BA%E7%B5%B1%E8%A8%88%E5%AD%A6" title="ベイズ統計学">ベイズ統計学</a></th><td class="navbox-list navbox-even" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> </div><table class="nowraplinks navbox-subgroup" style="min-width:100%;border-spacing:0px;border-collapse:separate"><tbody><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%">確率</th><td class="navbox-list navbox-odd" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><a href="/wiki/%E4%B8%BB%E8%A6%B3%E7%A2%BA%E7%8E%87" title="主観確率">主観確率</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%83%99%E3%82%A4%E3%82%BA%E7%A2%BA%E7%8E%87" title="ベイズ確率">ベイズ確率</a></li> <li><a href="/wiki/%E4%BA%8B%E5%89%8D%E7%A2%BA%E7%8E%87" title="事前確率">事前確率</a></li> <li><a href="/wiki/%E4%BA%8B%E5%BE%8C%E7%A2%BA%E7%8E%87" title="事後確率">事後確率</a></li> <li><a class="mw-selflink selflink">最大事後確率</a></li></ul> </div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%">その他</th><td class="navbox-list navbox-even" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><a href="/wiki/%E3%83%99%E3%82%A4%E3%82%BA%E6%8E%A8%E5%AE%9A" title="ベイズ推定">ベイズ推定</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%83%99%E3%82%A4%E3%82%BA%E5%9B%A0%E5%AD%90" title="ベイズ因子">ベイズ因子</a></li></ul> </div></td></tr></tbody></table><div> </div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%"><a href="/wiki/%E7%9B%B8%E9%96%A2" title="相関">相関</a></th><td class="navbox-list navbox-odd" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> </div><table class="nowraplinks navbox-subgroup" style="min-width:100%;border-spacing:0px;border-collapse:separate"><tbody><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%"><a href="/wiki/%E7%9B%B8%E9%96%A2%E4%BF%82%E6%95%B0" title="相関係数">相関係数</a></th><td class="navbox-list navbox-odd" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><a href="/wiki/%E3%83%94%E3%82%A2%E3%82%BD%E3%83%B3%E3%81%AE%E7%A9%8D%E7%8E%87%E7%9B%B8%E9%96%A2%E4%BF%82%E6%95%B0" title="ピアソンの積率相関係数">ピアソンの積率相関係数</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%82%B9%E3%83%94%E3%82%A2%E3%83%9E%E3%83%B3%E3%81%AE%E9%A0%86%E4%BD%8D%E7%9B%B8%E9%96%A2%E4%BF%82%E6%95%B0" title="スピアマンの順位相関係数">スピアマンの順位相関係数</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%82%B1%E3%83%B3%E3%83%89%E3%83%BC%E3%83%AB%E3%81%AE%E9%A0%86%E4%BD%8D%E7%9B%B8%E9%96%A2%E4%BF%82%E6%95%B0" title="ケンドールの順位相関係数">ケンドールの順位相関係数</a></li> <li><a href="/wiki/%E5%81%8F%E7%9B%B8%E9%96%A2" title="偏相関">偏相関係数</a></li></ul> </div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%">その他</th><td class="navbox-list navbox-even" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><a href="/wiki/%E8%87%AA%E5%B7%B1%E7%9B%B8%E9%96%A2" title="自己相関">自己相関</a> <ul><li><a href="/wiki/%E7%A9%BA%E9%96%93%E7%9A%84%E8%87%AA%E5%B7%B1%E7%9B%B8%E9%96%A2" title="空間的自己相関">空間的自己相関</a></li></ul></li> <li><a href="/wiki/%E7%9B%B8%E4%BA%92%E7%9B%B8%E9%96%A2%E9%96%A2%E6%95%B0" title="相互相関関数">相互相関</a></li> <li><a href="/wiki/%E4%BA%A4%E7%B5%A1" title="交絡">交絡変数</a></li> <li><a href="/wiki/%E7%9B%B8%E9%96%A2%E9%96%A2%E4%BF%82%E3%81%A8%E5%9B%A0%E6%9E%9C%E9%96%A2%E4%BF%82" title="相関関係と因果関係">相関関係と因果関係</a></li> <li><a href="/wiki/%E6%93%AC%E4%BC%BC%E7%9B%B8%E9%96%A2" title="擬似相関">擬似相関</a></li> <li><a href="/wiki/%E9%8C%AF%E8%AA%A4%E7%9B%B8%E9%96%A2" title="錯誤相関">錯誤相関</a></li></ul> </div></td></tr></tbody></table><div> </div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%">モデル</th><td class="navbox-list navbox-even" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><a href="/wiki/%E4%B8%80%E8%88%AC%E7%B7%9A%E5%BD%A2%E3%83%A2%E3%83%87%E3%83%AB" title="一般線形モデル">一般線形モデル</a></li> <li><a href="/wiki/%E4%B8%80%E8%88%AC%E5%8C%96%E7%B7%9A%E5%BD%A2%E3%83%A2%E3%83%87%E3%83%AB" title="一般化線形モデル">一般化線形モデル</a></li> <li><a href="/wiki/%E6%B7%B7%E5%90%88%E3%83%A2%E3%83%87%E3%83%AB" title="混合モデル">混合モデル</a></li> <li><a href="/wiki/%E4%B8%80%E8%88%AC%E5%8C%96%E7%B7%9A%E5%BD%A2%E6%B7%B7%E5%90%88%E3%83%A2%E3%83%87%E3%83%AB" title="一般化線形混合モデル">一般化線形混合モデル</a></li></ul> </div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%"><a href="/wiki/%E5%9B%9E%E5%B8%B0%E5%88%86%E6%9E%90" title="回帰分析">回帰</a></th><td class="navbox-list navbox-odd" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> </div><table class="nowraplinks navbox-subgroup" style="min-width:100%;border-spacing:0px;border-collapse:separate"><tbody><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%"><a href="/wiki/%E7%B7%9A%E5%BD%A2%E5%9B%9E%E5%B8%B0" title="線形回帰">線形</a></th><td class="navbox-list navbox-odd" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><a href="/wiki/%E3%83%AA%E3%83%83%E3%82%B8%E5%9B%9E%E5%B8%B0" title="リッジ回帰">リッジ回帰</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%83%A9%E3%83%83%E3%82%BD%E5%9B%9E%E5%B8%B0" title="ラッソ回帰">ラッソ回帰</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%82%A8%E3%83%A9%E3%82%B9%E3%83%86%E3%82%A3%E3%83%83%E3%82%AF%E3%83%8D%E3%83%83%E3%83%88" title="エラスティックネット">エラスティックネット</a></li></ul> </div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%">非線形</th><td class="navbox-list navbox-even" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><a href="/wiki/K%E8%BF%91%E5%82%8D%E6%B3%95" title="K近傍法">k近傍法</a></li> <li><a href="/wiki/%E6%B1%BA%E5%AE%9A%E6%9C%A8" title="決定木">回帰木</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%83%A9%E3%83%B3%E3%83%80%E3%83%A0%E3%83%95%E3%82%A9%E3%83%AC%E3%82%B9%E3%83%88" title="ランダムフォレスト">ランダムフォレスト</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%83%8B%E3%83%A5%E3%83%BC%E3%83%A9%E3%83%AB%E3%83%8D%E3%83%83%E3%83%88%E3%83%AF%E3%83%BC%E3%82%AF" title="ニューラルネットワーク">ニューラルネットワーク</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%82%B5%E3%83%9D%E3%83%BC%E3%83%88%E3%83%99%E3%82%AF%E3%82%BF%E3%83%BC%E3%83%9E%E3%82%B7%E3%83%B3" title="サポートベクターマシン">サポートベクター回帰</a></li> <li><a href="/wiki/%E5%B0%84%E5%BD%B1%E8%BF%BD%E8%B7%A1%E5%9B%9E%E5%B8%B0" title="射影追跡回帰">射影追跡回帰</a></li></ul> </div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%"><a href="/wiki/%E6%99%82%E7%B3%BB%E5%88%97" title="時系列">時系列</a></th><td class="navbox-list navbox-odd" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><a href="/wiki/%E8%87%AA%E5%B7%B1%E5%9B%9E%E5%B8%B0%E3%83%A2%E3%83%87%E3%83%AB" title="自己回帰モデル">自己回帰モデル</a></li> <li><a href="/wiki/%E8%87%AA%E5%B7%B1%E5%9B%9E%E5%B8%B0%E7%A7%BB%E5%8B%95%E5%B9%B3%E5%9D%87%E3%83%A2%E3%83%87%E3%83%AB" title="自己回帰移動平均モデル">自己回帰移動平均モデル</a></li> <li><a href="/wiki/ARCH%E3%83%A2%E3%83%87%E3%83%AB" title="ARCHモデル">ARCHモデル</a></li> <li><a href="/wiki/%E5%AF%BE%E7%A7%BB%E5%8B%95%E5%B9%B3%E5%9D%87%E6%AF%94%E7%8E%87%E6%B3%95" title="対移動平均比率法">対移動平均比率法</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%83%88%E3%83%AC%E3%83%B3%E3%83%89%E5%AE%9A%E5%B8%B8" title="トレンド定常">トレンド定常</a></li> <li><a href="/wiki/%E5%82%BE%E5%90%91%E6%8E%A8%E5%AE%9A" title="傾向推定">傾向推定</a></li> <li><a href="/wiki/%E5%85%B1%E5%92%8C%E5%88%86" title="共和分">共和分</a></li> <li><a href="/wiki/%E6%A7%8B%E9%80%A0%E5%A4%89%E5%8C%96" title="構造変化">構造変化</a></li></ul> </div></td></tr></tbody></table><div> </div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%"><a href="/wiki/%E5%88%86%E9%A1%9E_(%E7%B5%B1%E8%A8%88%E5%AD%A6)" title="分類 (統計学)">分類</a></th><td class="navbox-list navbox-even" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> </div><table class="nowraplinks navbox-subgroup" style="min-width:100%;border-spacing:0px;border-collapse:separate"><tbody><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%"><a href="/wiki/%E7%B7%9A%E5%BD%A2%E5%88%86%E9%A1%9E%E5%99%A8" title="線形分類器">線形</a></th><td class="navbox-list navbox-odd" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li>線形<a href="/wiki/%E5%88%A4%E5%88%A5%E5%88%86%E6%9E%90" title="判別分析">判別分析</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%83%AD%E3%82%B8%E3%82%B9%E3%83%86%E3%82%A3%E3%83%83%E3%82%AF%E5%9B%9E%E5%B8%B0" title="ロジスティック回帰">ロジスティック回帰</a></li> <li><a href="/wiki/%E5%8D%98%E7%B4%94%E3%83%99%E3%82%A4%E3%82%BA%E5%88%86%E9%A1%9E%E5%99%A8" title="単純ベイズ分類器">単純ベイズ分類器</a></li> <li>単純<a href="/wiki/%E3%83%91%E3%83%BC%E3%82%BB%E3%83%97%E3%83%88%E3%83%AD%E3%83%B3" title="パーセプトロン">パーセプトロン</a></li> <li>線形<a href="/wiki/%E3%82%B5%E3%83%9D%E3%83%BC%E3%83%88%E3%83%99%E3%82%AF%E3%82%BF%E3%83%BC%E3%83%9E%E3%82%B7%E3%83%B3" title="サポートベクターマシン">サポートベクターマシン</a></li></ul> </div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%">二次</th><td class="navbox-list navbox-even" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li>二次<a href="/wiki/%E5%88%A4%E5%88%A5%E5%88%86%E6%9E%90" title="判別分析">判別分析</a></li></ul> </div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%">非線形</th><td class="navbox-list navbox-odd" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><a href="/wiki/K%E8%BF%91%E5%82%8D%E6%B3%95" title="K近傍法">k近傍法</a></li> <li><a href="/wiki/%E6%B1%BA%E5%AE%9A%E6%9C%A8" title="決定木">決定木</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%83%A9%E3%83%B3%E3%83%80%E3%83%A0%E3%83%95%E3%82%A9%E3%83%AC%E3%82%B9%E3%83%88" title="ランダムフォレスト">ランダムフォレスト</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%83%8B%E3%83%A5%E3%83%BC%E3%83%A9%E3%83%AB%E3%83%8D%E3%83%83%E3%83%88%E3%83%AF%E3%83%BC%E3%82%AF" title="ニューラルネットワーク">ニューラルネットワーク</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%82%B5%E3%83%9D%E3%83%BC%E3%83%88%E3%83%99%E3%82%AF%E3%82%BF%E3%83%BC%E3%83%9E%E3%82%B7%E3%83%B3" title="サポートベクターマシン">サポートベクターマシン</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%83%99%E3%82%A4%E3%82%B8%E3%82%A2%E3%83%B3%E3%83%8D%E3%83%83%E3%83%88%E3%83%AF%E3%83%BC%E3%82%AF" title="ベイジアンネットワーク">ベイジアンネットワーク</a></li> <li><a href="/wiki/%E9%9A%A0%E3%82%8C%E3%83%9E%E3%83%AB%E3%82%B3%E3%83%95%E3%83%A2%E3%83%87%E3%83%AB" title="隠れマルコフモデル">隠れマルコフモデル</a></li></ul> </div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%">その他</th><td class="navbox-list navbox-even" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><a href="/wiki/%E4%BA%8C%E9%A0%85%E5%88%86%E9%A1%9E" title="二項分類">二項分類</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=%E5%A4%9A%E3%82%AF%E3%83%A9%E3%82%B9%E5%88%86%E9%A1%9E&action=edit&redlink=1" class="new" title="多クラス分類 (存在しないページ)">多クラス分類</a></li> <li><a href="/wiki/%E7%AC%AC%E4%B8%80%E7%A8%AE%E9%81%8E%E8%AA%A4%E3%81%A8%E7%AC%AC%E4%BA%8C%E7%A8%AE%E9%81%8E%E8%AA%A4" title="第一種過誤と第二種過誤">第一種過誤と第二種過誤</a></li></ul> </div></td></tr></tbody></table><div> </div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%"><a href="/wiki/%E6%95%99%E5%B8%AB%E3%81%AA%E3%81%97%E5%AD%A6%E7%BF%92" title="教師なし学習">教師なし学習</a></th><td class="navbox-list navbox-odd" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> </div><table class="nowraplinks navbox-subgroup" style="min-width:100%;border-spacing:0px;border-collapse:separate"><tbody><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%"><a href="/wiki/%E3%83%87%E3%83%BC%E3%82%BF%E3%83%BB%E3%82%AF%E3%83%A9%E3%82%B9%E3%82%BF%E3%83%AA%E3%83%B3%E3%82%B0" title="データ・クラスタリング">クラスタリング</a></th><td class="navbox-list navbox-odd" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><a href="/wiki/K%E5%B9%B3%E5%9D%87%E6%B3%95" title="K平均法">k平均法</a>（<a href="/wiki/K-means%2B%2B%E6%B3%95" title="K-means++法">k-means++法</a>）</li> <li><a href="/wiki/DBSCAN" title="DBSCAN">DBSCAN</a></li></ul> </div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%"><span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E5%AF%86%E5%BA%A6%E6%8E%A8%E5%AE%9A&action=edit&redlink=1" class="new" title="密度推定 (存在しないページ)">密度推定</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/density_estimation" class="extiw" title="en:density estimation">英語版</a>）</span></span></th><td class="navbox-list navbox-even" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><a href="/wiki/%E3%82%AB%E3%83%BC%E3%83%8D%E3%83%AB%E5%AF%86%E5%BA%A6%E6%8E%A8%E5%AE%9A" title="カーネル密度推定">カーネル密度推定</a>（<a href="/wiki/%E3%82%AB%E3%83%BC%E3%83%8D%E3%83%AB_(%E7%B5%B1%E8%A8%88%E5%AD%A6)" title="カーネル (統計学)">カーネル</a>）</li></ul> </div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%">その他</th><td class="navbox-list navbox-odd" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><a href="/wiki/%E4%B8%BB%E6%88%90%E5%88%86%E5%88%86%E6%9E%90" title="主成分分析">主成分分析</a></li> <li><a href="/wiki/%E7%8B%AC%E7%AB%8B%E6%88%90%E5%88%86%E5%88%86%E6%9E%90" title="独立成分分析">独立成分分析</a></li> <li><a href="/wiki/%E8%87%AA%E5%B7%B1%E7%B5%84%E7%B9%94%E5%8C%96%E5%86%99%E5%83%8F" title="自己組織化写像">自己組織化写像</a></li></ul> </div></td></tr></tbody></table><div> </div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%"><a href="/wiki/%E7%B5%B1%E8%A8%88%E5%9B%B3%E8%A1%A8" title="統計図表">統計図表</a></th><td class="navbox-list navbox-even" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><a href="/wiki/%E6%A3%92%E3%82%B0%E3%83%A9%E3%83%95" title="棒グラフ">棒グラフ</a></li> <li><span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E3%83%90%E3%82%A4%E3%83%97%E3%83%AD%E3%83%83%E3%83%88&action=edit&redlink=1" class="new" title="バイプロット (存在しないページ)">バイプロット</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Biplot" class="extiw" title="en:Biplot">英語版</a>）</span></span></li> <li><a href="/wiki/%E7%AE%B1%E3%81%B2%E3%81%92%E5%9B%B3" title="箱ひげ図">箱ひげ図</a></li> <li><a href="/wiki/%E7%AE%A1%E7%90%86%E5%9B%B3" title="管理図">管理図</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%83%95%E3%82%A9%E3%83%AC%E3%82%B9%E3%83%88%E3%83%97%E3%83%AD%E3%83%83%E3%83%88" title="フォレストプロット">フォレストプロット</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%83%92%E3%82%B9%E3%83%88%E3%82%B0%E3%83%A9%E3%83%A0" title="ヒストグラム">ヒストグラム</a></li> <li><a href="/wiki/%E5%86%86%E3%82%B0%E3%83%A9%E3%83%95" title="円グラフ">円グラフ</a></li> <li><a href="/wiki/Q-Q%E3%83%97%E3%83%AD%E3%83%83%E3%83%88" title="Q-Qプロット">Q-Qプロット</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=%E3%83%A9%E3%83%B3%E3%83%81%E3%83%A3%E3%83%BC%E3%83%88&action=edit&redlink=1" class="new" title="ランチャート (存在しないページ)">ランチャート</a></li> <li><a href="/wiki/%E6%95%A3%E5%B8%83%E5%9B%B3" title="散布図">散布図</a></li> <li><a href="/wiki/%E5%B9%B9%E8%91%89%E8%A1%A8%E7%A4%BA" title="幹葉表示">幹葉図</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%83%90%E3%82%A4%E3%82%AA%E3%83%AA%E3%83%B3%E5%9B%B3" title="バイオリン図">バイオリン図</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%83%89%E3%83%83%E3%83%88%E3%83%97%E3%83%AD%E3%83%83%E3%83%88" title="ドットプロット">ドットプロット</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%83%92%E3%83%BC%E3%83%88%E3%83%9E%E3%83%83%E3%83%97" title="ヒートマップ">ヒートマップ</a></li> <li><a href="/wiki/%E9%9A%8E%E7%B4%9A%E5%8C%BA%E5%88%86%E5%9B%B3" title="階級区分図">階級区分図</a></li></ul> </div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%"><a href="/wiki/%E7%94%9F%E5%AD%98%E6%99%82%E9%96%93%E5%88%86%E6%9E%90" class="mw-redirect" title="生存時間分析">生存時間分析</a></th><td class="navbox-list navbox-odd" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><a href="/wiki/%E7%94%9F%E5%AD%98%E6%99%82%E9%96%93%E9%96%A2%E6%95%B0" class="mw-redirect" title="生存時間関数">生存時間関数</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%82%AB%E3%83%97%E3%83%A9%E3%83%B3%EF%BC%9D%E3%83%9E%E3%82%A4%E3%83%A4%E3%83%BC%E6%8E%A8%E5%AE%9A%E9%87%8F" title="カプラン＝マイヤー推定量">カプラン＝マイヤー推定量</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%83%AD%E3%82%B0%E3%83%A9%E3%83%B3%E3%82%AF%E6%A4%9C%E5%AE%9A" title="ログランク検定">ログランク検定</a></li> <li><a href="/wiki/%E6%95%85%E9%9A%9C%E7%8E%87" title="故障率">故障率</a></li> <li><a href="/wiki/%E6%AF%94%E4%BE%8B%E3%83%8F%E3%82%B6%E3%83%BC%E3%83%89%E3%83%A2%E3%83%87%E3%83%AB" title="比例ハザードモデル">比例ハザードモデル</a></li></ul> </div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%"><a href="/wiki/%E7%B5%B1%E8%A8%88%E5%AD%A6%E3%81%AE%E6%AD%B4%E5%8F%B2" title="統計学の歴史">歴史</a></th><td class="navbox-list navbox-even" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><a href="/w/index.php?title=%E7%B5%B1%E8%A8%88%E5%AD%A6%E3%81%AE%E5%89%B5%E5%A7%8B%E8%80%85&action=edit&redlink=1" class="new" title="統計学の創始者 (存在しないページ)">統計学の創始者</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=%E7%A2%BA%E7%8E%87%E8%AB%96%E3%81%A8%E7%B5%B1%E8%A8%88%E5%AD%A6%E3%81%AE%E6%AD%A9%E3%81%BF&action=edit&redlink=1" class="new" title="確率論と統計学の歩み (存在しないページ)">確率論と統計学の歩み</a></li></ul> </div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%">応用</th><td class="navbox-list navbox-odd" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><a href="/wiki/%E7%A4%BE%E4%BC%9A%E7%B5%B1%E8%A8%88%E5%AD%A6" title="社会統計学">社会統計学</a></li> <li><a href="/wiki/%E7%96%AB%E5%AD%A6" title="疫学">疫学</a></li> <li><a href="/wiki/%E7%94%9F%E7%89%A9%E7%B5%B1%E8%A8%88%E5%AD%A6" title="生物統計学">生物統計学</a></li> <li><a href="/wiki/%E7%B3%BB%E7%B5%B1%E5%AD%A6" title="系統学">系統学</a></li> <li><a href="/wiki/%E7%B5%B1%E8%A8%88%E5%8A%9B%E5%AD%A6" title="統計力学">統計力学</a></li> <li><a href="/wiki/%E8%A8%88%E9%87%8F%E7%B5%8C%E6%B8%88%E5%AD%A6" title="計量経済学">計量経済学</a></li> <li><a href="/wiki/%E6%A9%9F%E6%A2%B0%E5%AD%A6%E7%BF%92" title="機械学習">機械学習</a></li> <li><a href="/wiki/%E5%AE%9F%E9%A8%93%E8%A8%88%E7%94%BB%E6%B3%95" title="実験計画法">実験計画法</a></li></ul> </div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%">出版物</th><td class="navbox-list navbox-even" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><a href="/w/index.php?title=%E7%B5%B1%E8%A8%88%E5%AD%A6%E3%81%AB%E9%96%A2%E3%81%99%E3%82%8B%E5%AD%A6%E8%A1%93%E8%AA%8C%E4%B8%80%E8%A6%A7&action=edit&redlink=1" class="new" title="統計学に関する学術誌一覧 (存在しないページ)">統計学に関する学術誌一覧</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=%E7%B5%B1%E8%A8%88%E5%AD%A6%E3%81%AB%E3%81%8A%E3%81%91%E3%82%8B%E9%87%8D%E8%A6%81%E3%81%AA%E5%87%BA%E7%89%88%E7%89%A9%E4%B8%80%E8%A6%A7&action=edit&redlink=1" class="new" title="統計学における重要な出版物一覧 (存在しないページ)">重要な出版物</a></li></ul> </div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%">全般</th><td class="navbox-list navbox-odd" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><a href="/wiki/%E7%B5%B1%E8%A8%88" title="統計">統計</a></li> <li><a href="/wiki/%E9%A0%BB%E5%BA%A6%E4%B8%BB%E7%BE%A9%E7%B5%B1%E8%A8%88%E5%AD%A6" title="頻度主義統計学">頻度主義統計学</a></li> <li><a href="/wiki/%E7%B5%B1%E8%A8%88%E5%AD%A6%E3%81%8A%E3%82%88%E3%81%B3%E6%A9%9F%E6%A2%B0%E5%AD%A6%E7%BF%92%E3%81%AE%E8%A9%95%E4%BE%A1%E6%8C%87%E6%A8%99" title="統計学および機械学習の評価指標">統計学および機械学習の評価指標</a></li></ul> </div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%">その他</th><td class="navbox-list navbox-even" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><a href="/wiki/%E6%96%B9%E5%90%91%E7%B5%B1%E8%A8%88%E5%AD%A6" title="方向統計学">方向統計学</a></li> <li><a href="/wiki/S%E8%A8%80%E8%AA%9E" title="S言語">S言語</a></li> <li><a href="/wiki/R%E8%A8%80%E8%AA%9E" title="R言語">R言語</a></li> <li><a href="/wiki/%E7%B5%B1%E8%A8%88%E6%A4%9C%E5%AE%9A_(%E8%B3%87%E6%A0%BC)" title="統計検定 (資格)">統計検定</a></li> <li><a href="/wiki/%E7%A4%BE%E4%BC%9A%E8%AA%BF%E6%9F%BB%E5%A3%AB" title="社会調査士">社会調査士</a></li> <li><a href="/wiki/JDLA_Deep_Learning_For_GENERAL" title="JDLA Deep Learning For GENERAL">JDLA Deep Learning For 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