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<!DOCTYPE html> <html class="client-nojs" lang="de" dir="ltr"> <head> <meta charset="UTF-8"> <title>Vektorraum – Wikipedia</title> <script>(function(){var className="client-js";var cookie=document.cookie.match(/(?:^|; )dewikimwclientpreferences=([^;]+)/);if(cookie){cookie[1].split('%2C').forEach(function(pref){className=className.replace(new RegExp('(^| )'+pref.replace(/-clientpref-\w+$|[^\w-]+/g,'')+'-clientpref-\\w+( |$)'),'$1'+pref+'$2');});}document.documentElement.className=className;}());RLCONF={"wgBreakFrames":false,"wgSeparatorTransformTable":[",\t.",".\t,"],"wgDigitTransformTable":["",""],"wgDefaultDateFormat":"dmy","wgMonthNames":["","Januar","Februar","März","April","Mai","Juni","Juli","August","September","Oktober","November","Dezember"],"wgRequestId":"4eb6f241-43ca-425c-8502-639d12e92a5b","wgCanonicalNamespace":"","wgCanonicalSpecialPageName":false,"wgNamespaceNumber":0,"wgPageName":"Vektorraum","wgTitle":"Vektorraum","wgCurRevisionId":249917095,"wgRevisionId":249917095,"wgArticleId":5476,"wgIsArticle":true,"wgIsRedirect":false,"wgAction":"view","wgUserName":null,"wgUserGroups":["*"],"wgCategories":[ "Wikipedia:Seiten, die ein veraltetes Format des math-Tags verwenden","Vektorraum","Lineare Algebra"],"wgPageViewLanguage":"de","wgPageContentLanguage":"de","wgPageContentModel":"wikitext","wgRelevantPageName":"Vektorraum","wgRelevantArticleId":5476,"wgIsProbablyEditable":true,"wgRelevantPageIsProbablyEditable":true,"wgRestrictionEdit":[],"wgRestrictionMove":[],"wgNoticeProject":"wikipedia","wgCiteReferencePreviewsActive":true,"wgFlaggedRevsParams":{"tags":{"accuracy":{"levels":1}}},"wgStableRevisionId":249917095,"wgMediaViewerOnClick":true,"wgMediaViewerEnabledByDefault":true,"wgPopupsFlags":0,"wgVisualEditor":{"pageLanguageCode":"de","pageLanguageDir":"ltr","pageVariantFallbacks":"de"},"wgMFDisplayWikibaseDescriptions":{"search":true,"watchlist":true,"tagline":true,"nearby":true},"wgWMESchemaEditAttemptStepOversample":false,"wgWMEPageLength":30000,"wgRelatedArticlesCompat":[],"wgCentralAuthMobileDomain":false,"wgEditSubmitButtonLabelPublish":true,"wgULSPosition":"interlanguage", "wgULSisCompactLinksEnabled":true,"wgVector2022LanguageInHeader":false,"wgULSisLanguageSelectorEmpty":false,"wgWikibaseItemId":"Q125977","wgCheckUserClientHintsHeadersJsApi":["brands","architecture","bitness","fullVersionList","mobile","model","platform","platformVersion"],"GEHomepageSuggestedEditsEnableTopics":true,"wgGETopicsMatchModeEnabled":false,"wgGEStructuredTaskRejectionReasonTextInputEnabled":false,"wgGELevelingUpEnabledForUser":false};RLSTATE={"ext.gadget.citeRef":"ready","ext.gadget.defaultPlainlinks":"ready","ext.gadget.dewikiCommonHide":"ready","ext.gadget.dewikiCommonLayout":"ready","ext.gadget.dewikiCommonStyle":"ready","ext.gadget.NavFrame":"ready","ext.globalCssJs.user.styles":"ready","site.styles":"ready","user.styles":"ready","ext.globalCssJs.user":"ready","user":"ready","user.options":"loading","ext.math.styles":"ready","ext.cite.styles":"ready","skins.vector.styles.legacy":"ready","ext.flaggedRevs.basic":"ready","mediawiki.codex.messagebox.styles":"ready", "ext.visualEditor.desktopArticleTarget.noscript":"ready","codex-search-styles":"ready","ext.uls.interlanguage":"ready","wikibase.client.init":"ready","ext.wikimediaBadges":"ready"};RLPAGEMODULES=["ext.cite.ux-enhancements","mediawiki.page.media","site","mediawiki.page.ready","mediawiki.toc","skins.vector.legacy.js","ext.centralNotice.geoIP","ext.centralNotice.startUp","ext.flaggedRevs.advanced","ext.gadget.createNewSection","ext.gadget.WikiMiniAtlas","ext.gadget.OpenStreetMap","ext.gadget.CommonsDirekt","ext.gadget.donateLink","ext.urlShortener.toolbar","ext.centralauth.centralautologin","mmv.bootstrap","ext.popups","ext.visualEditor.desktopArticleTarget.init","ext.visualEditor.targetLoader","ext.echo.centralauth","ext.eventLogging","ext.wikimediaEvents","ext.navigationTiming","ext.uls.compactlinks","ext.uls.interface","ext.cx.eventlogging.campaigns","ext.checkUser.clientHints","ext.growthExperiments.SuggestedEditSession","wikibase.sidebar.tracking"];</script> <script>(RLQ=window.RLQ||[]).push(function(){mw.loader.impl(function(){return["user.options@12s5i",function($,jQuery,require,module){mw.user.tokens.set({"patrolToken":"+\\","watchToken":"+\\","csrfToken":"+\\"}); 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Oben wird w um einen Faktor 2 gestreckt, das Ergebnis ist die Summe v + 2·w.</figcaption></figure> Ein Vektorraum oder linearer Raum ist eine <a href="/wiki/Algebraische_Struktur" title="Algebraische Struktur">algebraische Struktur</a>, die in vielen <a href="/wiki/Teilgebiete_der_Mathematik" title="Teilgebiete der Mathematik">Teilgebieten</a> der <a href="/wiki/Mathematik" title="Mathematik">Mathematik</a> verwendet wird. Vektorräume bilden den zentralen Untersuchungsgegenstand der <a href="/wiki/Lineare_Algebra" title="Lineare Algebra">linearen Algebra</a>. Die Elemente eines Vektorraums heißen Vektoren. Sie können addiert oder mit <a href="/wiki/Skalar_(Mathematik)" title="Skalar (Mathematik)">Skalaren</a> (Zahlen) multipliziert werden, das Ergebnis ist wieder ein Vektor desselben Vektorraums. Entstanden ist der Begriff, indem diese Eigenschaften ausgehend von <a href="/wiki/Vektor" title="Vektor">Vektoren</a> des <a href="/wiki/Euklidischer_Raum" title="Euklidischer Raum">euklidischen Raumes</a> abstrahiert wurden, sodass sie dann auf abstraktere Objekte wie <a href="/wiki/Funktion_(Mathematik)" title="Funktion (Mathematik)">Funktionen</a> oder <a href="/wiki/Matrix_(Mathematik)" title="Matrix (Mathematik)">Matrizen</a> übertragbar sind. Die Skalare, mit denen man einen Vektor multiplizieren kann, stammen aus einem <a href="/wiki/K%C3%B6rper_(Algebra)" title="Körper (Algebra)">Körper</a>. Deswegen ist ein Vektorraum immer ein Vektorraum über einem bestimmten Körper. Sehr oft handelt es sich dabei um den Körper <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {R} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {R} }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/786849c765da7a84dbc3cce43e96aad58a5868dc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.678ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {R} }"> der <a href="/wiki/Reelle_Zahl" title="Reelle Zahl">reellen Zahlen</a> oder den Körper <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {C} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">C</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {C} }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9add4085095b9b6d28d045fd9c92c2c09f549a7" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.678ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {C} }"> der <a href="/wiki/Komplexe_Zahl" title="Komplexe Zahl">komplexen Zahlen</a>. Man spricht dann von einem reellen Vektorraum bzw. einem komplexen Vektorraum. Eine <a href="/wiki/Basis_(Vektorraum)" title="Basis (Vektorraum)">Basis</a> eines Vektorraums ist eine Menge von Vektoren, die es erlaubt, jeden Vektor durch eindeutige <a href="/wiki/Koordinate" class="mw-redirect" title="Koordinate">Koordinaten</a> darzustellen. Die Anzahl der Basisvektoren in einer Basis wird <a href="/wiki/Dimension_(Mathematik)" title="Dimension (Mathematik)">Dimension</a> des Vektorraums genannt. Sie ist unabhängig von der Wahl der Basis und kann auch unendlich sein. Die strukturellen Eigenschaften eines Vektorraums sind eindeutig durch den Körper, über dem er definiert ist, und seine Dimension bestimmt. Eine Basis ermöglicht es, Rechnungen mit Vektoren über deren Koordinaten statt mit den Vektoren selbst auszuführen, was manche Anwendungen erleichtert. <div id="toc" class="toc" role="navigation" aria-labelledby="mw-toc-heading"><input type="checkbox" role="button" id="toctogglecheckbox" class="toctogglecheckbox" style="display:none" /><div class="toctitle" lang="de" dir="ltr"><h2 id="mw-toc-heading">Inhaltsverzeichnis</h2><label class="toctogglelabel" for="toctogglecheckbox"></label></div> <ul> <li class="toclevel-1 tocsection-1"><a href="#Definition">1 Definition</a></li> <li class="toclevel-1 tocsection-2"><a href="#Erste_Eigenschaften">2 Erste Eigenschaften</a></li> <li class="toclevel-1 tocsection-3"><a href="#Beispiele">3 Beispiele</a> <ul> <li class="toclevel-2 tocsection-4"><a href="#Euklidische_Ebene">3.1 Euklidische Ebene</a></li> <li class="toclevel-2 tocsection-5"><a href="#Koordinatenraum">3.2 Koordinatenraum</a></li> <li class="toclevel-2 tocsection-6"><a href="#Funktionenräume">3.3 Funktionenräume</a> <ul> <li class="toclevel-3 tocsection-7"><a href="#Grundsätzliches_und_Definition">3.3.1 Grundsätzliches und Definition</a></li> <li class="toclevel-3 tocsection-8"><a href="#Raum_der_linearen_Funktionen">3.3.2 Raum der linearen Funktionen</a></li> </ul> </li> <li class="toclevel-2 tocsection-9"><a href="#Polynomräume">3.4 Polynomräume</a></li> <li class="toclevel-2 tocsection-10"><a href="#Körpererweiterungen">3.5 Körpererweiterungen</a></li> </ul> </li> <li class="toclevel-1 tocsection-11"><a href="#Lineare_Abbildungen">4 Lineare Abbildungen</a></li> <li class="toclevel-1 tocsection-12"><a href="#Basis_eines_Vektorraums">5 Basis eines Vektorraums</a></li> <li class="toclevel-1 tocsection-13"><a href="#Untervektorraum">6 Untervektorraum</a></li> <li class="toclevel-1 tocsection-14"><a href="#Verknüpfung_von_Vektorräumen">7 Verknüpfung von Vektorräumen</a> <ul> <li class="toclevel-2 tocsection-15"><a href="#Direkte_Summe">7.1 Direkte Summe</a></li> <li class="toclevel-2 tocsection-16"><a href="#Direktes_Produkt">7.2 Direktes Produkt</a></li> <li class="toclevel-2 tocsection-17"><a href="#Tensorprodukt">7.3 Tensorprodukt</a></li> </ul> </li> <li class="toclevel-1 tocsection-18"><a href="#Vektorräume_mit_zusätzlicher_Struktur">8 Vektorräume mit zusätzlicher Struktur</a></li> <li class="toclevel-1 tocsection-19"><a href="#Verallgemeinerungen">9 Verallgemeinerungen</a></li> <li class="toclevel-1 tocsection-20"><a href="#Historische_Anmerkung">10 Historische Anmerkung</a></li> <li class="toclevel-1 tocsection-21"><a href="#Literatur">11 Literatur</a></li> <li class="toclevel-1 tocsection-22"><a href="#Weblinks">12 Weblinks</a></li> <li class="toclevel-1 tocsection-23"><a href="#Einzelnachweise">13 Einzelnachweise</a></li> </ul> </div> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Definition">Definition</h2>[<a href="/w/index.php?title=Vektorraum&veaction=edit&section=1" title="Abschnitt bearbeiten: Definition" class="mw-editsection-visualeditor">Bearbeiten</a> | <a href="/w/index.php?title=Vektorraum&action=edit&section=1" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Definition">Quelltext bearbeiten</a>]</div> Es seien <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle V}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>V</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle V}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af0f6064540e84211d0ffe4dac72098adfa52845" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.787ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle V}"> eine Menge, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (K,+,\cdot )}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>K</mi> <mo>,</mo> <mo>+</mo> <mo>,</mo> <mo>⋅</mo> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (K,+,\cdot )}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d474a4df1822902bbe09dab84bb9872f0019d26" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.398ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (K,+,\cdot )}"> ein <a href="/wiki/K%C3%B6rper_(Algebra)" title="Körper (Algebra)">Körper</a>, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \oplus \colon V\times V\to V}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo>⊕</mo> <mo>:</mo> <mi>V</mi> <mo>×</mo> <mi>V</mi> <mo stretchy="false">→</mo> <mi>V</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \oplus \colon V\times V\to V}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b425931fd7cbfd52d0108fee8a19a0352abce18c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:14.658ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle \oplus \colon V\times V\to V}"> eine <a href="/wiki/Zweistellige_Verkn%C3%BCpfung#Innere_zweistellige_Verknüpfung" title="Zweistellige Verknüpfung">innere zweistellige Verknüpfung</a>, genannt Vektoraddition, und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \odot \colon K\times V\to V}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo>⊙</mo> <mo>:</mo> <mi>K</mi> <mo>×</mo> <mi>V</mi> <mo stretchy="false">→</mo> <mi>V</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \odot \colon K\times V\to V}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/69b73281390c5a4aaf6df25dca9abf48f64a783c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:14.937ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle \odot \colon K\times V\to V}"> eine <a href="/wiki/Zweistellige_Verkn%C3%BCpfung#Äußere_zweistellige_Verknüpfungen_erster_Art" title="Zweistellige Verknüpfung">äußere zweistellige Verknüpfung</a>, genannt <a href="/wiki/Skalarmultiplikation" title="Skalarmultiplikation">Skalarmultiplikation</a>. Man nennt dann <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (V,\oplus ,\odot )}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>V</mi> <mo>,</mo> <mo>⊕</mo> <mo>,</mo> <mo>⊙</mo> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (V,\oplus ,\odot )}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3cd271476aa9a75743edcc8f22ca88595f6a098" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.281ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (V,\oplus ,\odot )}"> einen Vektorraum über dem Körper <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle K}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>K</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle K}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b76fce82a62ed5461908f0dc8f037de4e3686b0" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.066ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle K}"> oder kurz <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle K}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>K</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle K}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b76fce82a62ed5461908f0dc8f037de4e3686b0" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.066ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle K}">-Vektorraum, wenn für alle <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle u,v,w\in V}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>u</mi> <mo>,</mo> <mi>v</mi> <mo>,</mo> <mi>w</mi> <mo>∈</mo> <mi>V</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle u,v,w\in V}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d6efb14b3e20be892092e6bc9c17abdf67d57dd" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:10.817ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle u,v,w\in V}"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \alpha ,\beta \in K}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>α</mi> <mo>,</mo> <mi>β</mi> <mo>∈</mo> <mi>K</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \alpha ,\beta \in K}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1016d6171834a060fa8228c16b4d1f845fd3921c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:8.76ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \alpha ,\beta \in K}"> die folgenden Eigenschaften gelten: Vektoraddition: <dl><dd>V1: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle u\oplus (v\oplus w)=(u\oplus v)\oplus w}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>u</mi> <mo>⊕</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>v</mi> <mo>⊕</mo> <mi>w</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>u</mi> <mo>⊕</mo> <mi>v</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>⊕</mo> <mi>w</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle u\oplus (v\oplus w)=(u\oplus v)\oplus w}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/152ffb00fa69605e444d0eb43ba9cf220dd3e79a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:26.322ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle u\oplus (v\oplus w)=(u\oplus v)\oplus w}"> (<a href="/wiki/Assoziativgesetz" title="Assoziativgesetz">Assoziativgesetz</a>)</dd> <dd>V2: Existenz eines <a href="/wiki/Neutrales_Element" title="Neutrales Element">neutralen Elements</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 0_{V}\in V}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mn>0</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>V</mi> </mrow> </msub> <mo>∈</mo> <mi>V</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 0_{V}\in V}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/38c7fae0a8252f8266927bee31772285607fabeb" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:7.286ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle 0_{V}\in V}"> mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle v\oplus 0_{V}=0_{V}\oplus v=v}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>v</mi> <mo>⊕</mo> <msub> <mn>0</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>V</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mn>0</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>V</mi> </mrow> </msub> <mo>⊕</mo> <mi>v</mi> <mo>=</mo> <mi>v</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle v\oplus 0_{V}=0_{V}\oplus v=v}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e88842d4ea22e3ef51422ef9280c07fce9ad8b72" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:20.578ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle v\oplus 0_{V}=0_{V}\oplus v=v}"></dd> <dd>V3: Existenz eines zu <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle v\in V}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>v</mi> <mo>∈</mo> <mi>V</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle v\in V}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99886ebbde63daa0224fb9bf56fa11b3c8a6f4fb" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.756ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle v\in V}"> <a href="/wiki/Inverses_Element" title="Inverses Element">inversen Elements</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle -v\in V}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo>−</mo> <mi>v</mi> <mo>∈</mo> <mi>V</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle -v\in V}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d0a4cac3c1de4025605d4a2b4b0e0450f1a77a6" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:7.564ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle -v\in V}"> mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle v\oplus (-v)=(-v)\oplus v=0_{V}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>v</mi> <mo>⊕</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mo>−</mo> <mi>v</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mo>−</mo> <mi>v</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>⊕</mo> <mi>v</mi> <mo>=</mo> <msub> <mn>0</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>V</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle v\oplus (-v)=(-v)\oplus v=0_{V}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/469061c92d1a5af9c2ebc99d2395ae2641911837" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:26.282ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle v\oplus (-v)=(-v)\oplus v=0_{V}}"></dd> <dd>V4: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle v\oplus u=u\oplus v}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>v</mi> <mo>⊕</mo> <mi>u</mi> <mo>=</mo> <mi>u</mi> <mo>⊕</mo> <mi>v</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle v\oplus u=u\oplus v}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1153e37f000eebb9c1ab2ccb4f103b951ddc6feb" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:13.694ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle v\oplus u=u\oplus v}"> (<a href="/wiki/Kommutativgesetz" title="Kommutativgesetz">Kommutativgesetz</a>)</dd></dl> Skalarmultiplikation: <dl><dd>S1: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \alpha \odot (u\oplus v)=(\alpha \odot u)\oplus (\alpha \odot v)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>α</mi> <mo>⊙</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>u</mi> <mo>⊕</mo> <mi>v</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>α</mi> <mo>⊙</mo> <mi>u</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>⊕</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>α</mi> <mo>⊙</mo> <mi>v</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \alpha \odot (u\oplus v)=(\alpha \odot u)\oplus (\alpha \odot v)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fae90ea52b778806638113c7e46a698653824c23" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:32.106ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \alpha \odot (u\oplus v)=(\alpha \odot u)\oplus (\alpha \odot v)}"></dd> <dd>S2: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (\alpha +\beta )\odot v=(\alpha \odot v)\oplus (\beta \odot v)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>α</mi> <mo>+</mo> <mi>β</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>⊙</mo> <mi>v</mi> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>α</mi> <mo>⊙</mo> <mi>v</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>⊕</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>β</mi> <mo>⊙</mo> <mi>v</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (\alpha +\beta )\odot v=(\alpha \odot v)\oplus (\beta \odot v)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6bd2d40910806b4207dfb0afda84bd4aa7e94cef" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:31.75ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (\alpha +\beta )\odot v=(\alpha \odot v)\oplus (\beta \odot v)}"></dd> <dd>S3: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (\alpha \cdot \beta )\odot v=\alpha \odot (\beta \odot v)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>α</mi> <mo>⋅</mo> <mi>β</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>⊙</mo> <mi>v</mi> <mo>=</mo> <mi>α</mi> <mo>⊙</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>β</mi> <mo>⊙</mo> <mi>v</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (\alpha \cdot \beta )\odot v=\alpha \odot (\beta \odot v)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/748cdfd084738280bc064783af02245d7f0acadf" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:24.812ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (\alpha \cdot \beta )\odot v=\alpha \odot (\beta \odot v)}"></dd> <dd>S4: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 1\odot v=v}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>1</mn> <mo>⊙</mo> <mi>v</mi> <mo>=</mo> <mi>v</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 1\odot v=v}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/edea2fb1b4a6cd5034de1b4cc7db1c7bd044cdc7" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:9.357ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle 1\odot v=v}"> für das <a href="/wiki/Einselement" class="mw-redirect" title="Einselement">Einselement</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 1\in K}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>1</mn> <mo>∈</mo> <mi>K</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 1\in K}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1e05e2e9809721463a6f7a01429bb3a97a67129" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.069ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 1\in K}"> des <a href="/wiki/Skalark%C3%B6rper" class="mw-redirect" title="Skalarkörper">Skalarkörpers</a></dd></dl> Anmerkungen <ul><li>Die Axiome V1, V2 und V3 der Vektoraddition besagen, dass <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (V,\oplus )}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>V</mi> <mo>,</mo> <mo>⊕</mo> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (V,\oplus )}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8fae386131fc3d2238070b07d8cf69c624c60837" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.439ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (V,\oplus )}"> eine <a href="/wiki/Gruppe_(Mathematik)" title="Gruppe (Mathematik)">Gruppe</a> bildet, und Axiom V4, dass diese <a href="/wiki/Abelsche_Gruppe" title="Abelsche Gruppe">abelsch</a> ist. Ihr neutrales Element <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 0_{V}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mn>0</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>V</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 0_{V}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a56ff4d32c0398c1f7d139b1107fbd654d078fb8" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.658ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle 0_{V}}"> heißt <a href="/wiki/Nullvektor" title="Nullvektor">Nullvektor</a>.</li> <li>Ein Körper <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (K,+,\cdot )}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>K</mi> <mo>,</mo> <mo>+</mo> <mo>,</mo> <mo>⋅</mo> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (K,+,\cdot )}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d474a4df1822902bbe09dab84bb9872f0019d26" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.398ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (K,+,\cdot )}"> ist eine abelsche Gruppe <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (K,+)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>K</mi> <mo>,</mo> <mo>+</mo> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (K,+)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e2047accf7c0de5156287eb653acc874f74faa93" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.717ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (K,+)}"> mit neutralem Element (Nullelement) <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 0_{K}\in K}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mn>0</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>K</mi> </mrow> </msub> <mo>∈</mo> <mi>K</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 0_{K}\in K}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/63cc4f86182b064d69d49987c8edeb961269448e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:7.762ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle 0_{K}\in K}"> und einer zweiten inneren zweistelligen Verknüpfung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \cdot ,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo>⋅</mo> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \cdot ,}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ad72844e0986e4c8e59488a79a3a163a4385384" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.294ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \cdot ,}"> sodass auch <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (K\setminus \{0_{K}\},\cdot )}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>K</mi> <mo class="MJX-variant">∖</mo> <mo fence="false" stretchy="false">{</mo> <msub> <mn>0</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>K</mi> </mrow> </msub> <mo fence="false" stretchy="false">}</mo> <mo>,</mo> <mo>⋅</mo> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (K\setminus \{0_{K}\},\cdot )}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9353fbc2ddc609fcf521da2ae8813d1c899f63c0" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.931ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (K\setminus \{0_{K}\},\cdot )}"> eine abelsche Gruppe ist und die <a href="/wiki/Distributivgesetz" title="Distributivgesetz">Distributivgesetze</a> gelten. Wichtige Beispiele für Körper sind die <a href="/wiki/Reelle_Zahl" title="Reelle Zahl">reellen Zahlen</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {R} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {R} }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/786849c765da7a84dbc3cce43e96aad58a5868dc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.678ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {R} }"> und die <a href="/wiki/Komplexe_Zahl" title="Komplexe Zahl">komplexen Zahlen</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {C} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">C</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {C} }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9add4085095b9b6d28d045fd9c92c2c09f549a7" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.678ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {C} }">.</li> <li>Die Axiome S1 und S2 der Skalarmultiplikation werden ebenfalls als Distributivgesetze bezeichnet, Axiom S3 auch als <a href="/wiki/Assoziativgesetz" title="Assoziativgesetz">Assoziativgesetz</a>.<a href="#cite_note-1">[1]</a><a href="#cite_note-2">[2]</a> Dabei ist jedoch zu beachten, dass bei Axiom S2 die Pluszeichen zwei verschiedene Additionen (links die in <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle K}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>K</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle K}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b76fce82a62ed5461908f0dc8f037de4e3686b0" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.066ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle K}"> und rechts jene in <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle V}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>V</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle V}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af0f6064540e84211d0ffe4dac72098adfa52845" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.787ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle V}">) bezeichnen und dass bei Axiom S3 die Skalarmultiplikation assoziativ mit der Multiplikation in <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle K}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>K</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle K}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b76fce82a62ed5461908f0dc8f037de4e3686b0" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.066ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle K}"> ist.</li> <li>Die Axiome S1 und S2 garantieren für die Skalarmultiplikation die <a href="/wiki/Vertr%C3%A4glichkeit_(Mathematik)" title="Verträglichkeit (Mathematik)">Linksverträglichkeit</a> mit der Vektoraddition und die Rechtsverträglichkeit mit der Körper- und der Vektoraddition. Axiome S3 und S4 stellen zudem sicher, dass die multiplikative Gruppe <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (K\setminus \{0_{K}\},\cdot )}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>K</mi> <mo class="MJX-variant">∖</mo> <mo fence="false" stretchy="false">{</mo> <msub> <mn>0</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>K</mi> </mrow> </msub> <mo fence="false" stretchy="false">}</mo> <mo>,</mo> <mo>⋅</mo> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (K\setminus \{0_{K}\},\cdot )}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9353fbc2ddc609fcf521da2ae8813d1c899f63c0" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.931ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (K\setminus \{0_{K}\},\cdot )}"> des Körpers auf <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle V}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>V</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle V}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af0f6064540e84211d0ffe4dac72098adfa52845" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.787ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle V}"> <a href="/wiki/Gruppenoperation" title="Gruppenoperation">operiert</a>.</li> <li>In diesem Artikel werden im Folgenden, wie in der Mathematik üblich, sowohl die Addition im Körper <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle K}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>K</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle K}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b76fce82a62ed5461908f0dc8f037de4e3686b0" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.066ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle K}"> als auch die Addition im Vektorraum <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle V}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>V</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle V}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af0f6064540e84211d0ffe4dac72098adfa52845" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.787ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle V}"> mit demselben Zeichen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle +}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo>+</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle +}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe6ef363cd19902d1a7a71fb1c8b21e8ede52406" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:1.808ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle +}"> bezeichnet, obwohl es sich um unterschiedliche Verknüpfungen handelt. Für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle u\oplus (-v)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>u</mi> <mo>⊕</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mo>−</mo> <mi>v</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle u\oplus (-v)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/00ca3dfd3d6dbcaf88273e9c358341066f9e5ff2" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.915ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle u\oplus (-v)}"> wird <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle u-v}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>u</mi> <mo>−</mo> <mi>v</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle u-v}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db50e25e9ec8e7de19d2654a4e3d9adec16d6cb4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:5.298ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle u-v}"> geschrieben. Genauso werden sowohl die Multiplikation im Körper als auch die skalare Multiplikation zwischen Körperelement und Vektorraumelement mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \cdot }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo>⋅</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \cdot }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba2c023bad1bd39ed49080f729cbf26bc448c9ba" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: 0.439ex; margin-bottom: -0.61ex; width:0.647ex; height:1.176ex;" alt="{\displaystyle \cdot }"> bezeichnet. Bei beiden Multiplikationen ist es auch üblich, den Malpunkt wegzulassen. Dadurch, dass in Vektorräumen die oben genannten Axiome gelten, besteht in der Praxis keine Gefahr, die beiden Additionen oder die beiden Multiplikationen zu verwechseln. Darüber hinaus kann man an den zu addierenden bzw. zu multiplizierenden Elementen die Verknüpfung unterscheiden. Die Verwendung der gleichen Symbole macht die Vektorraumaxiome besonders suggestiv. Zum Beispiel schreibt sich Axiom S1 als <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \alpha \cdot (u+v)=\alpha \cdot u+\alpha \cdot v}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>α</mi> <mo>⋅</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>u</mi> <mo>+</mo> <mi>v</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>α</mi> <mo>⋅</mo> <mi>u</mi> <mo>+</mo> <mi>α</mi> <mo>⋅</mo> <mi>v</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \alpha \cdot (u+v)=\alpha \cdot u+\alpha \cdot v}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e7475b10fc611b6acb3f1e194e1fd6506e127365" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:25.003ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \alpha \cdot (u+v)=\alpha \cdot u+\alpha \cdot v}"> und Axiom S3 als <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (\alpha \cdot \beta )\cdot v=\alpha \cdot (\beta \cdot v)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>α</mi> <mo>⋅</mo> <mi>β</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>⋅</mo> <mi>v</mi> <mo>=</mo> <mi>α</mi> <mo>⋅</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>β</mi> <mo>⋅</mo> <mi>v</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (\alpha \cdot \beta )\cdot v=\alpha \cdot (\beta \cdot v)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8eac95a786525569d604fe54a79fff20cc611f37" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:21.328ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (\alpha \cdot \beta )\cdot v=\alpha \cdot (\beta \cdot v)}">.</li> <li>Mit den beiden Trägermengen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle V}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>V</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle V}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af0f6064540e84211d0ffe4dac72098adfa52845" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.787ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle V}"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle K}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>K</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle K}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b76fce82a62ed5461908f0dc8f037de4e3686b0" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.066ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle K}"> sind Vektorräume Beispiele für <a href="/wiki/Heterogene_Algebra" title="Heterogene Algebra">heterogene Algebren</a>.<a href="#cite_note-3">[3]</a></li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Erste_Eigenschaften">Erste Eigenschaften</h2>[<a href="/w/index.php?title=Vektorraum&veaction=edit&section=2" title="Abschnitt bearbeiten: Erste Eigenschaften" class="mw-editsection-visualeditor">Bearbeiten</a> | <a href="/w/index.php?title=Vektorraum&action=edit&section=2" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Erste Eigenschaften">Quelltext bearbeiten</a>]</div> Für alle <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \alpha \in K}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>α</mi> <mo>∈</mo> <mi>K</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \alpha \in K}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3581f6410248bed60440badc5bd362ca1cc8c82" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.394ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \alpha \in K}"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle v,w\in V}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>v</mi> <mo>,</mo> <mi>w</mi> <mo>∈</mo> <mi>V</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle v,w\in V}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4799d1b026506616abad8de636f46738b8a55a96" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:8.454ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle v,w\in V}"> gelten folgende Aussagen: <ul><li><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (-\alpha )\odot v=-(\alpha \odot v)=\alpha \odot (-v)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mo>−</mo> <mi>α</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>⊙</mo> <mi>v</mi> <mo>=</mo> <mo>−</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>α</mi> <mo>⊙</mo> <mi>v</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>α</mi> <mo>⊙</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mo>−</mo> <mi>v</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (-\alpha )\odot v=-(\alpha \odot v)=\alpha \odot (-v)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6252597f3ffe574b2a3a8a198e850181f06985b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:33.416ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (-\alpha )\odot v=-(\alpha \odot v)=\alpha \odot (-v)}">.</li> <li><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \alpha \odot v=0_{V}\quad \Leftrightarrow \quad \alpha =0_{K}{\text{ oder }}v=0_{V}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>α</mi> <mo>⊙</mo> <mi>v</mi> <mo>=</mo> <msub> <mn>0</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>V</mi> </mrow> </msub> <mspace width="1em" /> <mo stretchy="false">⇔</mo> <mspace width="1em" /> <mi>α</mi> <mo>=</mo> <msub> <mn>0</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>K</mi> </mrow> </msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtext> oder </mtext> </mrow> <mi>v</mi> <mo>=</mo> <msub> <mn>0</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>V</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \alpha \odot v=0_{V}\quad \Leftrightarrow \quad \alpha =0_{K}{\text{ oder }}v=0_{V}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e55ac37a932f919125d10e62f47d39d23186d9de" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:39.358ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \alpha \odot v=0_{V}\quad \Leftrightarrow \quad \alpha =0_{K}{\text{ oder }}v=0_{V}}">.</li> <li>Die Gleichung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle v\oplus x=w}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>v</mi> <mo>⊕</mo> <mi>x</mi> <mo>=</mo> <mi>w</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle v\oplus x=w}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e333cfdf42d905ede3fb7ac896e041877900cda" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:10.06ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle v\oplus x=w}"> ist für alle <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle v,w\in V}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>v</mi> <mo>,</mo> <mi>w</mi> <mo>∈</mo> <mi>V</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle v,w\in V}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4799d1b026506616abad8de636f46738b8a55a96" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:8.454ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle v,w\in V}"> eindeutig lösbar; die Lösung ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x=w\oplus (-v)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> <mo>=</mo> <mi>w</mi> <mo>⊕</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mo>−</mo> <mi>v</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x=w\oplus (-v)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc06f9a13a1d8f85632b97a2f4c784ec2fb51f99" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:13.678ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle x=w\oplus (-v)}">.</li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Beispiele">Beispiele</h2>[<a href="/w/index.php?title=Vektorraum&veaction=edit&section=3" title="Abschnitt bearbeiten: Beispiele" class="mw-editsection-visualeditor">Bearbeiten</a> | <a href="/w/index.php?title=Vektorraum&action=edit&section=3" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Beispiele">Quelltext bearbeiten</a>]</div> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Euklidische_Ebene">Euklidische Ebene</h3>[<a href="/w/index.php?title=Vektorraum&veaction=edit&section=4" title="Abschnitt bearbeiten: Euklidische Ebene" class="mw-editsection-visualeditor">Bearbeiten</a> | <a href="/w/index.php?title=Vektorraum&action=edit&section=4" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Euklidische Ebene">Quelltext bearbeiten</a>]</div> Ein anschaulicher Vektorraum ist die zweidimensionale <a href="/wiki/Euklidischer_Raum" title="Euklidischer Raum">euklidische Ebene</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e150115ab9f63023215109595b76686a1ff890fd" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.732ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}"> (in rechtwinkligen <a href="/wiki/Kartesisches_Koordinatensystem" title="Kartesisches Koordinatensystem">kartesischen Koordinatensystemen</a>) mit den Pfeilklassen (Verschiebungen oder Translationen) als Vektoren und den reellen Zahlen als Skalaren. <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {v}}=(2,3)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>v</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>2</mn> <mo>,</mo> <mn>3</mn> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {v}}=(2,3)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3bab37916b26d3bf613939030603b17c8a55646c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.442ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\vec {v}}=(2,3)}"> ist die Verschiebung um 2 Einheiten nach rechts und 3 Einheiten nach oben,</dd> <dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {w}}=(3,-5)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>w</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>3</mn> <mo>,</mo> <mo>−</mo> <mn>5</mn> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {w}}=(3,-5)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/37f236ad217491493b1ad18506f310183dab2e77" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:11.739ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\vec {w}}=(3,-5)}"> die Verschiebung um 3 Einheiten nach rechts und 5 Einheiten nach unten.</dd></dl> Die Summe zweier Verschiebungen ist wieder eine Verschiebung, und zwar diejenige Verschiebung, die man erhält, indem man die beiden Verschiebungen nacheinander ausführt: <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {v}}+{\vec {w}}=(5,-2)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>v</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>w</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>5</mn> <mo>,</mo> <mo>−</mo> <mn>2</mn> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {v}}+{\vec {w}}=(5,-2)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70f7665228a8f70fe572ef707baed841d47bdc93" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:15.755ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\vec {v}}+{\vec {w}}=(5,-2)}">, d. h. die Verschiebung um 5 Einheiten nach rechts und 2 Einheiten nach unten.</dd></dl> Der Nullvektor <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {0}}=(0,0)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mn>0</mn> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <mn>0</mn> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {0}}=(0,0)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0cf0f5eaac304bddf63e82144f4d8b42549e4321" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.429ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle {\vec {0}}=(0,0)}"> entspricht der Verschiebung, die alle Punkte an ihrem Platz belässt, d. h. der identischen Abbildung. Durch die Streckung der Verschiebung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {v}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>v</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {v}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/85820588abd7333ef4d0c56539cb31c20e730753" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.175ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle {\vec {v}}}"> mit einem Skalar <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a=3}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <mo>=</mo> <mn>3</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a=3}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a0be4b8203e824561fa22ea831a2d86f2f028c9" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.491ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle a=3}"> aus der Menge der reellen Zahlen erhalten wir das Dreifache der Verschiebung: <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a\cdot {\vec {v}}=3\cdot (2,3)=(6,9)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <mo>⋅</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>v</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>=</mo> <mn>3</mn> <mo>⋅</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>2</mn> <mo>,</mo> <mn>3</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>6</mn> <mo>,</mo> <mn>9</mn> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a\cdot {\vec {v}}=3\cdot (2,3)=(6,9)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c52ccad83cd87fccccc3a81883f5d1311ce18d70" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:23.459ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle a\cdot {\vec {v}}=3\cdot (2,3)=(6,9)}">.</dd></dl> Alles zu diesem Beispiel Gesagte gilt auch in der reellen <a href="/wiki/Affiner_Raum" title="Affiner Raum">affinen Ebene</a>. <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Koordinatenraum">Koordinatenraum</h3>[<a href="/w/index.php?title=Vektorraum&veaction=edit&section=5" title="Abschnitt bearbeiten: Koordinatenraum" class="mw-editsection-visualeditor">Bearbeiten</a> | <a href="/w/index.php?title=Vektorraum&action=edit&section=5" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Koordinatenraum">Quelltext bearbeiten</a>]</div> <div class="hauptartikel" role="navigation">→ Hauptartikel: <a href="/wiki/Koordinatenraum" title="Koordinatenraum">Koordinatenraum</a></div> Ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle K}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>K</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle K}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b76fce82a62ed5461908f0dc8f037de4e3686b0" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.066ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle K}"> ein Körper und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}"> eine natürliche Zahl, so bildet das <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}">-fache <a href="/wiki/Kartesisches_Produkt" title="Kartesisches Produkt">kartesische Produkt</a> <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle K^{n}=\{(v_{1},\dots ,v_{n})\mid v_{1},\dots ,v_{n}\in K\},}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>K</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mo fence="false" stretchy="false">{</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mo>…</mo> <mo>,</mo> <msub> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>∣</mo> <msub> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mo>…</mo> <mo>,</mo> <msub> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo>∈</mo> <mi>K</mi> <mo fence="false" stretchy="false">}</mo> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle K^{n}=\{(v_{1},\dots ,v_{n})\mid v_{1},\dots ,v_{n}\in K\},}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a079b32c654a688b07868c25031db2b3654e8b24" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:37.448ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle K^{n}=\{(v_{1},\dots ,v_{n})\mid v_{1},\dots ,v_{n}\in K\},}"></dd></dl> die Menge aller <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}">-<a href="/wiki/Tupel" title="Tupel">Tupel</a> mit Einträgen in <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle K}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>K</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle K}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b76fce82a62ed5461908f0dc8f037de4e3686b0" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.066ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle K}">, einen Vektorraum über <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle K}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>K</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle K}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b76fce82a62ed5461908f0dc8f037de4e3686b0" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.066ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle K}">. Die Addition und die skalare Multiplikation werden komponentenweise definiert; für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle u=(u_{1},u_{2},\dots ,u_{n}),v=(v_{1},v_{2},\dots ,v_{n})\in K^{n}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>u</mi> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>u</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>u</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mo>…</mo> <mo>,</mo> <msub> <mi>u</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> <mi>v</mi> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mo>…</mo> <mo>,</mo> <msub> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>∈</mo> <msup> <mi>K</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle u=(u_{1},u_{2},\dots ,u_{n}),v=(v_{1},v_{2},\dots ,v_{n})\in K^{n}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c821c2711606ef25c42c1dadad7ea101ce9ec276" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:45.91ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle u=(u_{1},u_{2},\dots ,u_{n}),v=(v_{1},v_{2},\dots ,v_{n})\in K^{n}}">, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \alpha \in K}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>α</mi> <mo>∈</mo> <mi>K</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \alpha \in K}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3581f6410248bed60440badc5bd362ca1cc8c82" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.394ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \alpha \in K}"> setzt man <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle u+v=(u_{1},u_{2},\dots ,u_{n})+(v_{1},v_{2},\dots ,v_{n})=(u_{1}+v_{1},u_{2}+v_{2},\dots ,u_{n}+v_{n})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>u</mi> <mo>+</mo> <mi>v</mi> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>u</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>u</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mo>…</mo> <mo>,</mo> <msub> <mi>u</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>+</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mo>…</mo> <mo>,</mo> <msub> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>u</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>u</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mo>…</mo> <mo>,</mo> <msub> <mi>u</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle u+v=(u_{1},u_{2},\dots ,u_{n})+(v_{1},v_{2},\dots ,v_{n})=(u_{1}+v_{1},u_{2}+v_{2},\dots ,u_{n}+v_{n})}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/584fc1a673f21313c7bc8915c8dfcb6927132c39" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:74.972ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle u+v=(u_{1},u_{2},\dots ,u_{n})+(v_{1},v_{2},\dots ,v_{n})=(u_{1}+v_{1},u_{2}+v_{2},\dots ,u_{n}+v_{n})}"></dd></dl> und <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \alpha \cdot v=\alpha \cdot (v_{1},v_{2},\dots ,v_{n})=(\alpha \,v_{1},\alpha \,v_{2},\dots ,\alpha \,v_{n}).}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>α</mi> <mo>⋅</mo> <mi>v</mi> <mo>=</mo> <mi>α</mi> <mo>⋅</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mo>…</mo> <mo>,</mo> <msub> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>α</mi> <mspace width="thinmathspace" /> <msub> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mi>α</mi> <mspace width="thinmathspace" /> <msub> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mo>…</mo> <mo>,</mo> <mi>α</mi> <mspace width="thinmathspace" /> <msub> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \alpha \cdot v=\alpha \cdot (v_{1},v_{2},\dots ,v_{n})=(\alpha \,v_{1},\alpha \,v_{2},\dots ,\alpha \,v_{n}).}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b5ce2eebe8a29957e97b101964a65c59e2017fb4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:49.391ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \alpha \cdot v=\alpha \cdot (v_{1},v_{2},\dots ,v_{n})=(\alpha \,v_{1},\alpha \,v_{2},\dots ,\alpha \,v_{n}).}"></dd></dl> Häufig werden die <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}">-Tupel auch als <a href="/wiki/Spaltenvektor" class="mw-redirect" title="Spaltenvektor">Spaltenvektoren</a> notiert, das heißt, ihre Einträge werden untereinander geschrieben. Die Vektorräume <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle K^{n}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>K</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle K^{n}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d63366b3d00300e06eee81786182062b98775c5" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.312ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle K^{n}}"> bilden gewissermaßen die Standardbeispiele für endlichdimensionale Vektorräume. Jeder <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}">-dimensionale <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle K}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>K</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle K}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b76fce82a62ed5461908f0dc8f037de4e3686b0" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.066ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle K}">-Vektorraum ist <a href="/wiki/Isomorphismus" title="Isomorphismus">isomorph</a> zum Vektorraum <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle K^{n}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>K</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle K^{n}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d63366b3d00300e06eee81786182062b98775c5" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.312ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle K^{n}}">. Mit Hilfe einer Basis kann jedes Element eines Vektorraums eindeutig durch ein Element des <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle K^{n}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>K</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle K^{n}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d63366b3d00300e06eee81786182062b98775c5" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.312ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle K^{n}}"> als Koordinatentupel dargestellt werden. <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Funktionenräume">Funktionenräume</h3>[<a href="/w/index.php?title=Vektorraum&veaction=edit&section=6" title="Abschnitt bearbeiten: Funktionenräume" class="mw-editsection-visualeditor">Bearbeiten</a> | <a href="/w/index.php?title=Vektorraum&action=edit&section=6" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Funktionenräume">Quelltext bearbeiten</a>]</div> <div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Grundsätzliches_und_Definition">Grundsätzliches und Definition</h4>[<a href="/w/index.php?title=Vektorraum&veaction=edit&section=7" title="Abschnitt bearbeiten: Grundsätzliches und Definition" class="mw-editsection-visualeditor">Bearbeiten</a> | <a href="/w/index.php?title=Vektorraum&action=edit&section=7" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Grundsätzliches und Definition">Quelltext bearbeiten</a>]</div> <div class="hauptartikel" role="navigation">→ Hauptartikel: <a href="/wiki/Funktionenraum" title="Funktionenraum">Funktionenraum</a></div> <figure class="mw-default-size" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Datei:Example_for_addition_of_functions.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d7/Example_for_addition_of_functions.svg/220px-Example_for_addition_of_functions.svg.png" decoding="async" width="220" height="166" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d7/Example_for_addition_of_functions.svg/330px-Example_for_addition_of_functions.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d7/Example_for_addition_of_functions.svg/440px-Example_for_addition_of_functions.svg.png 2x" data-file-width="487" data-file-height="367" /></a><figcaption>Beispiel der Addition bei Funktionen: Die Summe der Sinusfunktion und der Exponentialfunktion ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \sin +\exp \colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>sin</mi> <mo>+</mo> <mi>exp</mi> <mo>:</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mo stretchy="false">→</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sin +\exp \colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e70687cea0b07c6143f6012aa53ce2ee23b66560" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:16.995ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \sin +\exp \colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }"> mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (\sin +\exp )(x)=\sin(x)+\exp(x)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>sin</mi> <mo>+</mo> <mi>exp</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>sin</mi> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>+</mo> <mi>exp</mi> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (\sin +\exp )(x)=\sin(x)+\exp(x)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc39721fd4825bb41ad0bb72835e65db80e490f3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:32.563ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (\sin +\exp )(x)=\sin(x)+\exp(x)}"></figcaption></figure> Ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle K}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>K</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle K}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b76fce82a62ed5461908f0dc8f037de4e3686b0" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.066ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle K}"> ein Körper, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle V}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>V</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle V}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af0f6064540e84211d0ffe4dac72098adfa52845" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.787ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle V}"> ein <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle K}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>K</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle K}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b76fce82a62ed5461908f0dc8f037de4e3686b0" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.066ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle K}">-Vektorraum und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>A</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}"> eine beliebige Menge, so kann auf der Menge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F(A,V)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>F</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>A</mi> <mo>,</mo> <mi>V</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F(A,V)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3a3ca0e49c7f165a2c87d32d6fbff2c12cf6261" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.114ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle F(A,V)}"> aller <a href="/wiki/Funktion_(Mathematik)" title="Funktion (Mathematik)">Funktionen</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f\colon A\to V}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo>:</mo> <mi>A</mi> <mo stretchy="false">→</mo> <mi>V</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f\colon A\to V}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/787a9f53a27c4aa886eba2a74e63493699a8dcc3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:9.457ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f\colon A\to V}"> eine Addition und eine skalare Multiplikation punktweise definiert werden: Für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f,g\in F(A,V)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo>,</mo> <mi>g</mi> <mo>∈</mo> <mi>F</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>A</mi> <mo>,</mo> <mi>V</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f,g\in F(A,V)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/56d61390e20b4ff3b7f29fd881b23defc33d590c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:14.384ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f,g\in F(A,V)}"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \alpha \in K}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>α</mi> <mo>∈</mo> <mi>K</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \alpha \in K}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3581f6410248bed60440badc5bd362ca1cc8c82" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.394ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \alpha \in K}"> sind die Funktionen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f+g\in F(A,V)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo>+</mo> <mi>g</mi> <mo>∈</mo> <mi>F</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>A</mi> <mo>,</mo> <mi>V</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f+g\in F(A,V)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1652967d105b2644a219f4c74234361b627b0f1e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:16.19ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f+g\in F(A,V)}"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \alpha \cdot f\in F(A,V)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>α</mi> <mo>⋅</mo> <mi>f</mi> <mo>∈</mo> <mi>F</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>A</mi> <mo>,</mo> <mi>V</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \alpha \cdot f\in F(A,V)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c3355fd0981e9f0bb2fb064174ab3710bfa64f2" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:15.4ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \alpha \cdot f\in F(A,V)}"> definiert durch <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (f+g)(x)=f(x)+g(x)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>f</mi> <mo>+</mo> <mi>g</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>+</mo> <mi>g</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (f+g)(x)=f(x)+g(x)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf80cb50218eac1e40d4a0908bd039db3bd0863c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:24.795ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (f+g)(x)=f(x)+g(x)}"> für alle <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x\in A}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> <mo>∈</mo> <mi>A</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x\in A}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/27bcc9b2afb295d4234bc294860cd0c63bcad2ca" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.913ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle x\in A}"> und</dd> <dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (\alpha \cdot f)(x)=\alpha \cdot f(x)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>α</mi> <mo>⋅</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>α</mi> <mo>⋅</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (\alpha \cdot f)(x)=\alpha \cdot f(x)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d1102acb5b7becac1e2d775994f769564e0c5b86" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:20.076ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (\alpha \cdot f)(x)=\alpha \cdot f(x)}"> für alle <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x\in A}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> <mo>∈</mo> <mi>A</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x\in A}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/27bcc9b2afb295d4234bc294860cd0c63bcad2ca" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.913ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle x\in A}">.</dd></dl> Mit dieser Addition und dieser skalaren Multiplikation ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F(A,V)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>F</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>A</mi> <mo>,</mo> <mi>V</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F(A,V)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3a3ca0e49c7f165a2c87d32d6fbff2c12cf6261" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.114ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle F(A,V)}"> ein <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle K}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>K</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle K}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b76fce82a62ed5461908f0dc8f037de4e3686b0" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.066ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle K}">-Vektorraum. Insbesondere gilt dies für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F(A,K)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>F</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>A</mi> <mo>,</mo> <mi>K</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F(A,K)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ae521039176c255d90b4df7099406c7c8d1e63c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.393ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle F(A,K)}">, wenn also als Zielraum der Körper <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle K}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>K</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle K}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b76fce82a62ed5461908f0dc8f037de4e3686b0" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.066ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle K}"> selbst gewählt wird. Weitere Beispiele für Vektorräume erhält man als <a href="/wiki/Untervektorraum" title="Untervektorraum">Untervektorräume</a> dieser Funktionenräume. In vielen Anwendungen ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle K=\mathbb {R} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>K</mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle K=\mathbb {R} }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a6419d3aa99701ca996737b17a5e1174d53e6c9e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.842ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle K=\mathbb {R} }">, der Körper der reellen Zahlen, oder <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle K=\mathbb {C} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>K</mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">C</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle K=\mathbb {C} }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/58665cdd4df26adaa88a248908d1481041a77c9a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.842ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle K=\mathbb {C} }">, der Körper der komplexen Zahlen, und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>A</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}"> ist eine Teilmenge von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {R} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {R} }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/786849c765da7a84dbc3cce43e96aad58a5868dc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.678ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {R} }">, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c510b63578322050121fe966f2e5770bea43308d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.897ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}">, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {C} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">C</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {C} }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9add4085095b9b6d28d045fd9c92c2c09f549a7" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.678ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {C} }"> oder <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">C</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a53b4e76242764d1bca004168353c380fef25258" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.897ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}">. Beispiele sind etwa der Vektorraum aller Funktionen von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {R} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {R} }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/786849c765da7a84dbc3cce43e96aad58a5868dc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.678ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {R} }"> nach <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {R} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {R} }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/786849c765da7a84dbc3cce43e96aad58a5868dc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.678ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {R} }"> und die Unterräume <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle C^{0}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>C</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mo>,</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle C^{0}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/11bf0d1ee3d4f698a28b9ea868158c7a4178964d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.051ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle C^{0}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )}"> aller <a href="/wiki/Stetige_Funktion" title="Stetige Funktion">stetigen Funktionen</a> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle C^{k}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>C</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mo>,</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle C^{k}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e98419b773d09081303d7d1305e821193d1bcc57" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.086ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle C^{k}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )}"> aller <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle k}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>k</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle k}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3c9a2c7b599b37105512c5d570edc034056dd40" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.211ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle k}">-mal <a href="/wiki/Glatte_Funktion" title="Glatte Funktion">stetig differenzierbaren Funktionen</a> von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {R} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {R} }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/786849c765da7a84dbc3cce43e96aad58a5868dc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.678ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {R} }"> nach <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {R} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {R} }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/786849c765da7a84dbc3cce43e96aad58a5868dc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.678ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {R} }">. <div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Raum_der_linearen_Funktionen">Raum der linearen Funktionen</h4>[<a href="/w/index.php?title=Vektorraum&veaction=edit&section=8" title="Abschnitt bearbeiten: Raum der linearen Funktionen" class="mw-editsection-visualeditor">Bearbeiten</a> | <a href="/w/index.php?title=Vektorraum&action=edit&section=8" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Raum der linearen Funktionen">Quelltext bearbeiten</a>]</div> Ein einfaches Beispiel für einen Funktionenraum ist der zweidimensionale Raum der reellen <a href="/wiki/Lineare_Funktion" title="Lineare Funktion">linearen Funktionen</a>, das heißt der Funktionen der Form <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} ,\;x\mapsto ax+b}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo>:</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mo stretchy="false">→</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mo>,</mo> <mspace width="thickmathspace" /> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">↦</mo> <mi>a</mi> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mi>b</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} ,\;x\mapsto ax+b}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d15b5c95b3fd310345e74119110391accb86c04c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:22.303ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} ,\;x\mapsto ax+b}"></dd></dl> mit reellen Zahlen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.23ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle a}"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>b</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f11423fbb2e967f986e36804a8ae4271734917c3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.998ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle b}">. Dies sind diejenigen Funktionen, deren Graph eine Gerade ist. Die Menge dieser Funktionen ist ein Untervektorraum des Raums aller reellen Funktionen, denn die Summe zweier linearer Funktionen ist wieder linear, und ein Vielfaches einer linearen Funktion ist auch eine lineare Funktion. Zum Beispiel ist die Summe der beiden linearen Funktionen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle g}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>g</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle g}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3556280e66fe2c0d0140df20935a6f057381d77" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.116ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle g}"> mit <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(x)=2x+3}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mn>2</mn> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mn>3</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(x)=2x+3}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e3c6d4bd6502539cdca9cf8dd58eeedc1345aad" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:14.011ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(x)=2x+3}">, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle g(x)=3x-5}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>g</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mn>3</mn> <mi>x</mi> <mo>−</mo> <mn>5</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle g(x)=3x-5}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e33f996ab4f287d1c12d3d1a43877218cf5d2ec5" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:13.848ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle g(x)=3x-5}"></dd></dl> die Funktion <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f+g}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo>+</mo> <mi>g</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f+g}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d94a24abd865f6f9fd67a7df7e531cae1c769b3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:5.235ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f+g}"> mit <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (f+g)(x)=f(x)+g(x)=2x+3+3x-5=(2+3)x+(3-5)=5x-2}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>f</mi> <mo>+</mo> <mi>g</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>+</mo> <mi>g</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mn>2</mn> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mn>3</mn> <mo>+</mo> <mn>3</mn> <mi>x</mi> <mo>−</mo> <mn>5</mn> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>2</mn> <mo>+</mo> <mn>3</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>3</mn> <mo>−</mo> <mn>5</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mn>5</mn> <mi>x</mi> <mo>−</mo> <mn>2</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (f+g)(x)=f(x)+g(x)=2x+3+3x-5=(2+3)x+(3-5)=5x-2}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/643d069758b0a831e14ee305d33dfb9efc20b278" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:74.535ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (f+g)(x)=f(x)+g(x)=2x+3+3x-5=(2+3)x+(3-5)=5x-2}">.</dd></dl> Das 3-Fache der linearen Funktion <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}"> ist die lineare Funktion <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 3f}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>3</mn> <mi>f</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 3f}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/480d12df7bea9c2f059f1d140b72c04c147176d1" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.441ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle 3f}"> mit <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (3f)(x)=3\cdot f(x)=3\cdot (2x+3)=(3\cdot 2)x+(3\cdot 3)=6x+9}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>3</mn> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mn>3</mn> <mo>⋅</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mn>3</mn> <mo>⋅</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>2</mn> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mn>3</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>3</mn> <mo>⋅</mo> <mn>2</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>3</mn> <mo>⋅</mo> <mn>3</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mn>6</mn> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mn>9</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (3f)(x)=3\cdot f(x)=3\cdot (2x+3)=(3\cdot 2)x+(3\cdot 3)=6x+9}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba7fbdfffc205edf61c77e43b972643268573295" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:60.48ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (3f)(x)=3\cdot f(x)=3\cdot (2x+3)=(3\cdot 2)x+(3\cdot 3)=6x+9}">.</dd></dl> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Polynomräume">Polynomräume</h3>[<a href="/w/index.php?title=Vektorraum&veaction=edit&section=9" title="Abschnitt bearbeiten: Polynomräume" class="mw-editsection-visualeditor">Bearbeiten</a> | <a href="/w/index.php?title=Vektorraum&action=edit&section=9" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Polynomräume">Quelltext bearbeiten</a>]</div> Die Menge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle K[X]}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>K</mi> <mo stretchy="false">[</mo> <mi>X</mi> <mo stretchy="false">]</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle K[X]}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5bb4d802ca5718a14dc961af8692f35cdfad169b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.34ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle K[X]}"> der <a href="/wiki/Polynomring" title="Polynomring">Polynome</a> mit Koeffizienten aus einem Körper <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle K}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>K</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle K}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b76fce82a62ed5461908f0dc8f037de4e3686b0" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.066ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle K}"> bildet mit der üblichen Addition und der üblichen Multiplikation mit einem Körperelement einen unendlichdimensionalen Vektorraum. Die Menge der <a href="/wiki/Monom" title="Monom">Monome</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \{1,\ x,\ x^{2},\ x^{3},\ x^{4},\dots \}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo fence="false" stretchy="false">{</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mtext> </mtext> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mtext> </mtext> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>,</mo> <mtext> </mtext> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msup> <mo>,</mo> <mtext> </mtext> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>4</mn> </mrow> </msup> <mo>,</mo> <mo>…</mo> <mo fence="false" stretchy="false">}</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \{1,\ x,\ x^{2},\ x^{3},\ x^{4},\dots \}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a128ad8d54265d53ee880246d196fa676e1641fe" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:22.184ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle \{1,\ x,\ x^{2},\ x^{3},\ x^{4},\dots \}}"> ist eine <a href="/wiki/Basis_(Vektorraum)" title="Basis (Vektorraum)">Basis</a> dieses Vektorraums. Die Menge der Polynome, deren <a href="/wiki/Grad_(Polynom)" title="Grad (Polynom)">Grad</a> durch ein <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n\in \mathbb {N} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> <mo>∈</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">N</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n\in \mathbb {N} }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d059936e77a2d707e9ee0a1d9575a1d693ce5d0b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.913ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle n\in \mathbb {N} }"> nach oben beschränkt ist, bildet einen Untervektorraum der Dimension <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n+1}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n+1}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a135e65a42f2d73cccbfc4569523996ca0036f1" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:5.398ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle n+1}">. Beispielsweise bildet die Menge aller Polynome vom Grad kleiner gleich 4, also aller Polynome der Form <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>4</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mi>b</mi> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mi>c</mi> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mi>d</mi> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mi>e</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a577d0d6f759439e4cee2d621f29442a2dbc54d7" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:25.377ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e}">,</dd></dl> einen 5-dimensionalen Vektorraum mit der Basis <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \{1,\ x,\ x^{2},\ x^{3},\ x^{4}\}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo fence="false" stretchy="false">{</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mtext> </mtext> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mtext> </mtext> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>,</mo> <mtext> </mtext> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msup> <mo>,</mo> <mtext> </mtext> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>4</mn> </mrow> </msup> <mo fence="false" stretchy="false">}</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \{1,\ x,\ x^{2},\ x^{3},\ x^{4}\}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/daae3cf478ad8ab48e1a6e0a344778bbfb4fb1d0" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:18.427ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle \{1,\ x,\ x^{2},\ x^{3},\ x^{4}\}}">. Bei unendlichen Körpern <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle K}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>K</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle K}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b76fce82a62ed5461908f0dc8f037de4e3686b0" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.066ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle K}"> kann man die (abstrakten) Polynome mit den zugehörigen <a href="/wiki/Polynomfunktion" class="mw-redirect" title="Polynomfunktion">Polynomfunktionen</a> identifizieren. Bei dieser Betrachtungsweise entsprechen die Polynomräume Unterräumen des Raums aller Funktionen von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle K}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>K</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle K}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b76fce82a62ed5461908f0dc8f037de4e3686b0" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.066ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle K}"> nach <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle K}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>K</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle K}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b76fce82a62ed5461908f0dc8f037de4e3686b0" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.066ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle K}">. Zum Beispiel entspricht der Raum aller reellen Polynome vom Grad <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \leq 1}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo>≤</mo> <mn>1</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \leq 1}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6198e3fc967f992f3ee59bf4b37f401e4283c3db" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:3.616ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle \leq 1}"> dem Raum der linearen Funktionen. <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Körpererweiterungen">Körpererweiterungen</h3>[<a href="/w/index.php?title=Vektorraum&veaction=edit&section=10" title="Abschnitt bearbeiten: Körpererweiterungen" class="mw-editsection-visualeditor">Bearbeiten</a> | <a href="/w/index.php?title=Vektorraum&action=edit&section=10" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Körpererweiterungen">Quelltext bearbeiten</a>]</div> Ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle L}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>L</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle L}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/103168b86f781fe6e9a4a87b8ea1cebe0ad4ede8" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.583ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle L}"> ein Oberkörper von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle K}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>K</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle K}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b76fce82a62ed5461908f0dc8f037de4e3686b0" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.066ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle K}">, so ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle L}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>L</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle L}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/103168b86f781fe6e9a4a87b8ea1cebe0ad4ede8" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.583ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle L}"> mit seiner Addition und der eingeschränkten Multiplikation <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle K\times L\rightarrow L}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>K</mi> <mo>×</mo> <mi>L</mi> <mo stretchy="false">→</mo> <mi>L</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle K\times L\rightarrow L}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2714512485b93cd7e5d285fe71fb0818015810c6" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:11.686ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle K\times L\rightarrow L}"> als skalare Multiplikation ein <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle K}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>K</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle K}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b76fce82a62ed5461908f0dc8f037de4e3686b0" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.066ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle K}">-Vektorraum. Die nachzuweisenden Regeln ergeben sich unmittelbar aus den Körperaxiomen für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle L}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>L</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle L}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/103168b86f781fe6e9a4a87b8ea1cebe0ad4ede8" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.583ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle L}">. Diese Beobachtung spielt eine wichtige Rolle in der <a href="/wiki/K%C3%B6rpertheorie" class="mw-redirect" title="Körpertheorie">Körpertheorie</a>. Beispielsweise ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {C} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">C</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {C} }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9add4085095b9b6d28d045fd9c92c2c09f549a7" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.678ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {C} }"> auf diese Weise ein zweidimensionaler <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {R} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {R} }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/786849c765da7a84dbc3cce43e96aad58a5868dc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.678ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {R} }">-Vektorraum; eine Basis ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \{1,\mathrm {i} \}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo fence="false" stretchy="false">{</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">i</mi> </mrow> <mo fence="false" stretchy="false">}</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \{1,\mathrm {i} \}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1d4e5220b7d66f4f3a21eea2dee523d9261a2eb" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.168ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \{1,\mathrm {i} \}}">. Ebenso ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {R} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {R} }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/786849c765da7a84dbc3cce43e96aad58a5868dc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.678ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {R} }"> ein unendlichdimensionaler <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {Q} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">Q</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {Q} }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5909f0b54e4718fa24d5fd34d54189d24a66e9a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.808ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {Q} }">-Vektorraum, bei dem eine Basis jedoch nicht konkret angegeben werden kann. <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Lineare_Abbildungen">Lineare Abbildungen</h2>[<a href="/w/index.php?title=Vektorraum&veaction=edit&section=11" title="Abschnitt bearbeiten: Lineare Abbildungen" class="mw-editsection-visualeditor">Bearbeiten</a> | <a href="/w/index.php?title=Vektorraum&action=edit&section=11" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Lineare Abbildungen">Quelltext bearbeiten</a>]</div> <div class="hauptartikel" role="navigation">→ Hauptartikel: <a href="/wiki/Lineare_Abbildung" title="Lineare Abbildung">Lineare Abbildung</a></div> Lineare Abbildungen sind die <a href="/wiki/Funktion_(Mathematik)" title="Funktion (Mathematik)">Abbildungen</a> zwischen zwei Vektorräumen, die die Struktur des Vektorraums erhalten. Sie sind die <a href="/wiki/Homomorphismus" title="Homomorphismus">Homomorphismen</a> zwischen Vektorräumen im Sinne der <a href="/wiki/Universelle_Algebra" title="Universelle Algebra">universellen Algebra</a>. Eine Funktion <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f\colon U\to V}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo>:</mo> <mi>U</mi> <mo stretchy="false">→</mo> <mi>V</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f\colon U\to V}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be070144e24c3c17096f7aba9e4ffb5f3d352e80" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:9.496ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f\colon U\to V}"> zwischen zwei Vektorräumen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle U}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>U</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle U}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/458a728f53b9a0274f059cd695e067c430956025" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.783ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle U}"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle V}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>V</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle V}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af0f6064540e84211d0ffe4dac72098adfa52845" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.787ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle V}"> über demselben Körper <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle K}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>K</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle K}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b76fce82a62ed5461908f0dc8f037de4e3686b0" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.066ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle K}"> heißt genau dann linear, wenn für alle <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a,b\in U}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <mo>,</mo> <mi>b</mi> <mo>∈</mo> <mi>U</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a,b\in U}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/37993682f4308f970fc0234608a475fc293dc2cc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:7.885ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle a,b\in U}"> und alle <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \lambda \in K}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>λ</mi> <mo>∈</mo> <mi>K</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \lambda \in K}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22d95fcd9b07168a8162820f7fab4d8ee43366e8" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.262ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \lambda \in K}"> <ul><li><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(a+b)=f(a)+f(b)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mo>+</mo> <mi>b</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>+</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>b</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(a+b)=f(a)+f(b)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/822600027fb446b01dd1902d7d3864d9f0f905ba" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:22.498ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(a+b)=f(a)+f(b)}"></li> <li><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(\lambda a)=\lambda f(a)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>λ</mi> <mi>a</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>λ</mi> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(\lambda a)=\lambda f(a)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eaf9e0ff95dfbd1f7ccc0b2bddbac3c619a5a138" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:14.444ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(\lambda a)=\lambda f(a)}"></li></ul> erfüllt sind. Das heißt, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}"> ist kompatibel mit den Strukturen, die den Vektorraum konstituieren: der Addition und der Skalarmultiplikation. Zwei Vektorräume heißen <a href="/wiki/Isomorph" class="mw-redirect" title="Isomorph">isomorph</a>, wenn es eine lineare Abbildung zwischen ihnen gibt, die <a href="/wiki/Bijektiv" class="mw-redirect" title="Bijektiv">bijektiv</a> ist, also eine <a href="/wiki/Umkehrfunktion" title="Umkehrfunktion">Umkehrfunktion</a> besitzt. Diese Umkehrfunktion ist dann automatisch ebenfalls linear. Isomorphe Vektorräume unterscheiden sich nicht bezüglich ihrer Struktur als Vektorraum. <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Basis_eines_Vektorraums">Basis eines Vektorraums</h2>[<a href="/w/index.php?title=Vektorraum&veaction=edit&section=12" title="Abschnitt bearbeiten: Basis eines Vektorraums" class="mw-editsection-visualeditor">Bearbeiten</a> | <a href="/w/index.php?title=Vektorraum&action=edit&section=12" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Basis eines Vektorraums">Quelltext bearbeiten</a>]</div> <div class="hauptartikel" role="navigation">→ Hauptartikel: <a href="/wiki/Vektorraumbasis" class="mw-redirect" title="Vektorraumbasis">Vektorraumbasis</a></div> Für endlich viele <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle v_{1},\dotsc ,v_{n}\in V}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mo>…</mo> <mo>,</mo> <msub> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo>∈</mo> <mi>V</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle v_{1},\dotsc ,v_{n}\in V}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6bdd0bb76f66a0e4140e56e9c325f20d00ff432f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:14.334ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle v_{1},\dotsc ,v_{n}\in V}"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \alpha _{1},\dotsc ,\alpha _{n}\in K}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>α</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mo>…</mo> <mo>,</mo> <msub> <mi>α</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo>∈</mo> <mi>K</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \alpha _{1},\dotsc ,\alpha _{n}\in K}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/50ee53bd11b6c112a047aaf75675ac841ba57a02" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:15.333ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \alpha _{1},\dotsc ,\alpha _{n}\in K}"> bezeichnet man die Summe <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle s=\alpha _{1}v_{1}+\dotsb +\alpha _{n}v_{n}=\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}v_{i}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>s</mi> <mo>=</mo> <msub> <mi>α</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mo>⋯</mo> <mo>+</mo> <msub> <mi>α</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <munderover> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </munderover> <msub> <mi>α</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle s=\alpha _{1}v_{1}+\dotsb +\alpha _{n}v_{n}=\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}v_{i}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d02aac5901d164c433c916c9031ed9aa3bac52a1" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:33.424ex; height:6.843ex;" alt="{\displaystyle s=\alpha _{1}v_{1}+\dotsb +\alpha _{n}v_{n}=\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}v_{i}}"></dd></dl> als <a href="/wiki/Linearkombination" title="Linearkombination">Linearkombination</a> der Vektoren <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle v_{1},\dotsc ,v_{n}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mo>…</mo> <mo>,</mo> <msub> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle v_{1},\dotsc ,v_{n}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c014f7a858198f6f397b77eb6bb42f9cb983137" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:9.706ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle v_{1},\dotsc ,v_{n}}">. Dabei ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle s}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>s</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle s}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01d131dfd7673938b947072a13a9744fe997e632" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.09ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle s}"> selbst wieder ein Vektor aus dem Vektorraum <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle V}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>V</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle V}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af0f6064540e84211d0ffe4dac72098adfa52845" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.787ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle V}">. Ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle S}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>S</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4611d85173cd3b508e67077d4a1252c9c05abca2" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.499ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle S}"> eine Teilmenge von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle V}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>V</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle V}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af0f6064540e84211d0ffe4dac72098adfa52845" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.787ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle V}">, so wird die Menge aller Linearkombinationen von Vektoren aus <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle S}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>S</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4611d85173cd3b508e67077d4a1252c9c05abca2" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.499ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle S}"> die <a href="/wiki/Lineare_H%C3%BClle" title="Lineare Hülle">lineare Hülle</a> von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle S}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>S</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4611d85173cd3b508e67077d4a1252c9c05abca2" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.499ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle S}"> genannt. Sie ist ein Untervektorraum von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle V}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>V</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle V}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af0f6064540e84211d0ffe4dac72098adfa52845" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.787ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle V}">, und zwar der kleinste Untervektorraum, der <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle S}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>S</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4611d85173cd3b508e67077d4a1252c9c05abca2" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.499ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle S}"> enthält. Eine Teilmenge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle S}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>S</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4611d85173cd3b508e67077d4a1252c9c05abca2" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.499ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle S}"> eines Vektorraums <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle V}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>V</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle V}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af0f6064540e84211d0ffe4dac72098adfa52845" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.787ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle V}"> heißt linear abhängig, wenn sich der Nullvektor auf nicht-triviale Weise als eine Linearkombination von Vektoren <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle v_{1},\dotsc ,v_{n}\in S}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mo>…</mo> <mo>,</mo> <msub> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo>∈</mo> <mi>S</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle v_{1},\dotsc ,v_{n}\in S}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71e9082906d713771394e9aa5a3b467a80f84a39" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:14.046ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle v_{1},\dotsc ,v_{n}\in S}"> ausdrücken lässt. „Nicht-trivial“ bedeutet, dass mindestens ein Skalar (ein Koeffizient der Linearkombination) von null verschieden ist. Andernfalls heißt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle S}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>S</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4611d85173cd3b508e67077d4a1252c9c05abca2" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.499ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle S}"> <a href="/wiki/Lineare_Unabh%C3%A4ngigkeit" title="Lineare Unabhängigkeit">linear unabhängig</a>. Eine Teilmenge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle B}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>B</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle B}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47136aad860d145f75f3eed3022df827cee94d7a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.764ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle B}"> eines Vektorraums <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle V}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>V</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle V}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af0f6064540e84211d0ffe4dac72098adfa52845" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.787ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle V}"> ist eine <a href="/wiki/Basis_(Vektorraum)" title="Basis (Vektorraum)">Basis</a> von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle V}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>V</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle V}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af0f6064540e84211d0ffe4dac72098adfa52845" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.787ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle V}">, wenn <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle B}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>B</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle B}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47136aad860d145f75f3eed3022df827cee94d7a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.764ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle B}"> linear unabhängig ist und die lineare Hülle von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle B}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>B</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle B}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47136aad860d145f75f3eed3022df827cee94d7a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.764ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle B}"> der ganze Vektorraum ist. Unter Voraussetzung des <a href="/wiki/Auswahlaxiom" title="Auswahlaxiom">Auswahlaxioms</a> lässt sich mit dem <a href="/wiki/Lemma_von_Zorn" title="Lemma von Zorn">Lemma von Zorn</a> beweisen, dass jeder Vektorraum eine Basis hat (er ist <a href="/wiki/Freier_Modul" title="Freier Modul">frei</a>), wobei diese Aussage im Rahmen von <a href="/wiki/Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre" title="Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre">Zermelo-Fraenkel</a> äquivalent zum Auswahlaxiom ist.<a href="#cite_note-4">[4]</a> Dies hat weitreichende Konsequenzen für die Struktur eines jeden Vektorraums: Zunächst einmal lässt sich zeigen, dass je zwei Basen eines Vektorraums dieselbe <a href="/wiki/Kardinalit%C3%A4t_(Mathematik)" class="mw-redirect" title="Kardinalität (Mathematik)">Kardinalität</a> haben, sodass die Kardinalität einer beliebigen Basis eines Vektorraums eine eindeutige <a href="/wiki/Kardinalzahl_(Mathematik)" title="Kardinalzahl (Mathematik)">Kardinalzahl</a> ist, die man als <a href="/wiki/Dimension_(Mathematik)" title="Dimension (Mathematik)">Dimension</a> des Vektorraums bezeichnet. Zwei Vektorräume über demselben Körper sind nun genau dann <a href="/wiki/Isomorphismus" title="Isomorphismus">isomorph</a>, wenn sie dieselbe Dimension haben, denn aufgrund der Gleichmächtigkeit zweier Basen von zwei Vektorräumen existiert eine <a href="/wiki/Bijektion" class="mw-redirect" title="Bijektion">Bijektion</a> zwischen ihnen. Diese lässt sich zu einer bijektiven linearen Abbildung, also einem Isomorphismus der beiden Vektorräume, fortsetzen. Ebenso lässt sich zeigen, dass beliebige lineare Abbildungen durch die Bilder von Elementen einer Basis festgelegt sind. Dies ermöglicht die Darstellung jedweder linearer Abbildungen zwischen endlichdimensionalen Vektorräumen als Matrix. Dies lässt sich auf unendlichdimensionale Vektorräume übertragen, wobei jedoch sichergestellt werden muss, dass jede verallgemeinerte „Spalte“ nur endlich viele von null verschiedene Einträge enthält, damit jeder Basisvektor auf eine Linearkombinationen von Basisvektoren im Zielraum abgebildet wird. Mittels des Basisbegriffs hat sich das Problem, ein <a href="/wiki/Skelett_(Kategorientheorie)" title="Skelett (Kategorientheorie)">Skelett</a> in der <a href="/wiki/Kategorientheorie" title="Kategorientheorie">Kategorie</a> aller Vektorräume über einem gegebenen Körper zu finden, darauf reduziert, ein Skelett in der Kategorie der Mengen zu finden, das durch die Klasse der <a href="/wiki/Kardinalzahl_(Mathematik)" title="Kardinalzahl (Mathematik)">Kardinalzahlen</a> gegeben ist. Jeder <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle d}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>d</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle d}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e85ff03cbe0c7341af6b982e47e9f90d235c66ab" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.216ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle d}">-dimensionale Vektorraum lässt sich auch als die <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle d}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>d</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle d}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e85ff03cbe0c7341af6b982e47e9f90d235c66ab" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.216ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle d}">-fache <a href="/wiki/Direkte_Summe" title="Direkte Summe">direkte Summe</a> des zugrunde liegenden Körpers auffassen. Die direkten Summen eines Körpers bilden also ein Skelett der Kategorie der Vektorräume über ihm. Die Linearfaktoren der Darstellung eines Vektors in den Basisvektoren heißen <a href="/wiki/Koordinate" class="mw-redirect" title="Koordinate">Koordinaten</a> des Vektors bezüglich der Basis und sind Elemente des zugrunde liegenden Körpers. Erst durch Einführung einer Basis werden jedem Vektor seine Koordinaten bezüglich der gewählten Basis zugeordnet. Dadurch wird das Rechnen erleichtert, insbesondere wenn man statt Vektoren in „abstrakten“ Vektorräumen ihre zugeordneten „anschaulichen“ Koordinatenvektoren verwenden kann. <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Untervektorraum">Untervektorraum</h2>[<a href="/w/index.php?title=Vektorraum&veaction=edit&section=13" title="Abschnitt bearbeiten: Untervektorraum" class="mw-editsection-visualeditor">Bearbeiten</a> | <a href="/w/index.php?title=Vektorraum&action=edit&section=13" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Untervektorraum">Quelltext bearbeiten</a>]</div> <div class="hauptartikel" role="navigation">→ Hauptartikel: <a href="/wiki/Untervektorraum" title="Untervektorraum">Untervektorraum</a></div> Ein Untervektorraum (auch linearer <a href="/wiki/Unterraum" title="Unterraum">Unterraum</a>) ist eine Teilmenge eines Vektorraums, die selbst wieder ein Vektorraum über demselben Körper ist. Dabei werden die Vektorraumoperationen auf den Untervektorraum vererbt. Ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle V}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>V</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle V}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af0f6064540e84211d0ffe4dac72098adfa52845" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.787ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle V}"> ein Vektorraum über einem Körper <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle K}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>K</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle K}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b76fce82a62ed5461908f0dc8f037de4e3686b0" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.066ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle K}">, so bildet eine Teilmenge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle U\subseteq V}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>U</mi> <mo>⊆</mo> <mi>V</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle U\subseteq V}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7720f1387a2e51d58daf1fb9e9b1b730430b8466" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:6.668ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle U\subseteq V}"> genau dann einen Untervektorraum, wenn die folgenden Bedingungen erfüllt sind:<a href="#cite_note-5">[5]</a> <ul><li><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle U\neq \emptyset }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>U</mi> <mo>≠</mo> <mi mathvariant="normal">∅</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle U\neq \emptyset }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e24fa0de2db3b547720f1bafdd81f615473323aa" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.044ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle U\neq \emptyset }"></li> <li>Für alle <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle u,v\in U}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>u</mi> <mo>,</mo> <mi>v</mi> <mo>∈</mo> <mi>U</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle u,v\in U}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04b976a0abbb1c399bcd3054614464b02e6c02dc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:8.114ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle u,v\in U}"> gilt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle u+v\in U}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>u</mi> <mo>+</mo> <mi>v</mi> <mo>∈</mo> <mi>U</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle u+v\in U}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ddae2e87ec0d250f8c24d67c4d393cc4a7bc578" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:9.921ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle u+v\in U}"></li> <li>Für alle <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle v\in U}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>v</mi> <mo>∈</mo> <mi>U</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle v\in U}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e679f4fadc9eb87da81cd52c1641a057496dcd5e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.751ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle v\in U}"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \alpha \in K}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>α</mi> <mo>∈</mo> <mi>K</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \alpha \in K}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3581f6410248bed60440badc5bd362ca1cc8c82" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.394ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \alpha \in K}"> gilt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \alpha \,v\in U}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>α</mi> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>v</mi> <mo>∈</mo> <mi>U</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \alpha \,v\in U}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba57ce902d9909abac5fbda9418bd4b9af99cb27" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:7.626ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \alpha \,v\in U}"></li></ul> Die Menge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle U}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>U</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle U}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/458a728f53b9a0274f059cd695e067c430956025" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.783ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle U}"> muss also <a href="/wiki/Abgeschlossenheit_(algebraische_Struktur)" title="Abgeschlossenheit (algebraische Struktur)">abgeschlossen</a> bezüglich der Vektoraddition und der Skalarmultiplikation sein. Jeder Vektorraum enthält zwei triviale Untervektorräume, nämlich zum einen sich selbst, zum anderen den <a href="/wiki/Nullvektorraum" title="Nullvektorraum">Nullvektorraum</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \{0\}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo fence="false" stretchy="false">{</mo> <mn>0</mn> <mo fence="false" stretchy="false">}</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \{0\}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ff0df9ef65c0572eb676580ce1c02b8ec40f694" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:3.487ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \{0\}}">, der nur aus dem <a href="/wiki/Nullvektor" title="Nullvektor">Nullvektor</a> besteht. Da <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle U}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>U</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle U}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/458a728f53b9a0274f059cd695e067c430956025" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.783ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle U}"> selbst ein Vektorraum ist, impliziert dies insbesondere die notwendige Bedingung, dass <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle U}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>U</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle U}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/458a728f53b9a0274f059cd695e067c430956025" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.783ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle U}"> den Nullvektor enthalten muss. Jeder Unterraum ist <a href="/wiki/Bild_(Mathematik)" title="Bild (Mathematik)">Bild</a> eines anderen Vektorraums unter einer linearen Abbildung in den Raum und <a href="/wiki/Kern_(Algebra)" title="Kern (Algebra)">Kern</a> einer linearen Abbildung in einen anderen Vektorraum. Aus einem Vektorraum und einem Untervektorraum kann man durch Bildung von <a href="/wiki/%C3%84quivalenzklasse" class="mw-redirect" title="Äquivalenzklasse">Äquivalenzklassen</a> einen weiteren Vektorraum, den Quotientenraum oder <a href="/wiki/Faktorraum" title="Faktorraum">Faktorraum</a>, bilden, was maßgeblich mit der Eigenschaft eines Unterraums zusammenhängt, ein Kern zu sein, siehe auch <a href="/wiki/Homomorphiesatz" title="Homomorphiesatz">Homomorphiesatz</a>. <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Verknüpfung_von_Vektorräumen">Verknüpfung von Vektorräumen</h2>[<a href="/w/index.php?title=Vektorraum&veaction=edit&section=14" title="Abschnitt bearbeiten: Verknüpfung von Vektorräumen" class="mw-editsection-visualeditor">Bearbeiten</a> | <a href="/w/index.php?title=Vektorraum&action=edit&section=14" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Verknüpfung von Vektorräumen">Quelltext bearbeiten</a>]</div> Zwei oder mehrere Vektorräume können auf verschiedene Weisen miteinander verknüpft werden, sodass ein neuer Vektorraum entsteht. <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Direkte_Summe">Direkte Summe</h3>[<a href="/w/index.php?title=Vektorraum&veaction=edit&section=15" title="Abschnitt bearbeiten: Direkte Summe" class="mw-editsection-visualeditor">Bearbeiten</a> | <a href="/w/index.php?title=Vektorraum&action=edit&section=15" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Direkte Summe">Quelltext bearbeiten</a>]</div> <div class="hauptartikel" role="navigation">→ Hauptartikel: <a href="/wiki/Direkte_Summe" title="Direkte Summe">Direkte Summe</a></div> Die direkte Summe zweier Vektorräume <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle V,W}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>V</mi> <mo>,</mo> <mi>W</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle V,W}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a40b0deabeee6e15bff1e3079b601986d8fe337" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:5.256ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle V,W}"> über dem gleichen Körper besteht aus allen <a href="/wiki/Geordnetes_Paar" title="Geordnetes Paar">geordneten Paaren</a> von Vektoren, von denen die erste Komponente aus dem ersten Raum und die zweite Komponente aus dem zweiten Raum stammt: <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle V\oplus W:=\left\{\left(v,w\right)\mid v\in V,w\in W\right\}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>V</mi> <mo>⊕</mo> <mi>W</mi> <mo>:=</mo> <mrow> <mo>{</mo> <mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>v</mi> <mo>,</mo> <mi>w</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>∣</mo> <mi>v</mi> <mo>∈</mo> <mi>V</mi> <mo>,</mo> <mi>w</mi> <mo>∈</mo> <mi>W</mi> </mrow> <mo>}</mo> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle V\oplus W:=\left\{\left(v,w\right)\mid v\in V,w\in W\right\}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a2c267bd094ad34350fa3d36111ca99ebc644448" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:34.435ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle V\oplus W:=\left\{\left(v,w\right)\mid v\in V,w\in W\right\}}"></dd></dl> Auf dieser Menge von Paaren wird dann die Vektoraddition und die Skalarmultiplikation komponentenweise definiert, wodurch wiederum ein Vektorraum entsteht. Die Dimension von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle V\oplus W}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>V</mi> <mo>⊕</mo> <mi>W</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle V\oplus W}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf54248f02160a74c4384840a436a2385b0d0ffe" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:7.063ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle V\oplus W}"> ist dann gleich der Summe der Dimensionen von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle V}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>V</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle V}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af0f6064540e84211d0ffe4dac72098adfa52845" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.787ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle V}"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle W}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>W</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle W}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54a9c4c547f4d6111f81946cad242b18298d70b7" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.435ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle W}">. Häufig werden die Elemente von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle V\oplus W}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>V</mi> <mo>⊕</mo> <mi>W</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle V\oplus W}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf54248f02160a74c4384840a436a2385b0d0ffe" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:7.063ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle V\oplus W}"> statt als Paar <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (v,w)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>v</mi> <mo>,</mo> <mi>w</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (v,w)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe1ba70e3b2d314bc63be62afe1e5c3a80b95834" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.635ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (v,w)}"> auch als Summe <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle v+w}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>v</mi> <mo>+</mo> <mi>w</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle v+w}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/42b54eebfe21e642e25499aabb366f90701f9838" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:5.632ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle v+w}"> geschrieben. Die direkte Summe kann auch auf die Summe endlich vieler und sogar unendlich vieler Vektorräume verallgemeinert werden, wobei im letzteren Fall nur endlich viele Komponenten ungleich dem Nullvektor sein dürfen. <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Direktes_Produkt">Direktes Produkt</h3>[<a href="/w/index.php?title=Vektorraum&veaction=edit&section=16" title="Abschnitt bearbeiten: Direktes Produkt" class="mw-editsection-visualeditor">Bearbeiten</a> | <a href="/w/index.php?title=Vektorraum&action=edit&section=16" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Direktes Produkt">Quelltext bearbeiten</a>]</div> <div class="hauptartikel" role="navigation">→ Hauptartikel: <a href="/wiki/Direktes_Produkt" title="Direktes Produkt">Direktes Produkt</a></div> Das direkte Produkt zweier Vektorräume <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle V,W}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>V</mi> <mo>,</mo> <mi>W</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle V,W}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a40b0deabeee6e15bff1e3079b601986d8fe337" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:5.256ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle V,W}"> über dem gleichen Körper besteht, wie die direkte Summe, aus allen geordneten Paaren von Vektoren der Form <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle V\times W=\left\{\left(v,w\right)\mid v\in V,w\in W\right\}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>V</mi> <mo>×</mo> <mi>W</mi> <mo>=</mo> <mrow> <mo>{</mo> <mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>v</mi> <mo>,</mo> <mi>w</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>∣</mo> <mi>v</mi> <mo>∈</mo> <mi>V</mi> <mo>,</mo> <mi>w</mi> <mo>∈</mo> <mi>W</mi> </mrow> <mo>}</mo> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle V\times W=\left\{\left(v,w\right)\mid v\in V,w\in W\right\}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d2384c1f255ad0a7f2972a2669bff3b441599c0" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:33.788ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle V\times W=\left\{\left(v,w\right)\mid v\in V,w\in W\right\}}">.</dd></dl> Die Vektoraddition und die Skalarmultiplikation werden wieder komponentenweise definiert und die Dimension von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle V\times W}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>V</mi> <mo>×</mo> <mi>W</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle V\times W}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b9b65a794c51f2c6b0396c9d01d3bbe48f54fa4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:7.063ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle V\times W}"> ist wieder gleich der Summe der Dimensionen von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle V}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>V</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle V}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af0f6064540e84211d0ffe4dac72098adfa52845" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.787ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle V}"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle W}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>W</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle W}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54a9c4c547f4d6111f81946cad242b18298d70b7" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.435ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle W}">. Bei dem direkten Produkt unendlich vieler Vektorräume dürfen jedoch auch unendlich viele Komponenten ungleich dem Nullvektor sein, wodurch es sich in diesem Fall von der direkten Summe unterscheidet. <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Tensorprodukt">Tensorprodukt</h3>[<a href="/w/index.php?title=Vektorraum&veaction=edit&section=17" title="Abschnitt bearbeiten: Tensorprodukt" class="mw-editsection-visualeditor">Bearbeiten</a> | <a href="/w/index.php?title=Vektorraum&action=edit&section=17" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Tensorprodukt">Quelltext bearbeiten</a>]</div> <div class="hauptartikel" role="navigation">→ Hauptartikel: <a href="/wiki/Tensorprodukt" title="Tensorprodukt">Tensorprodukt</a></div> Das Tensorprodukt zweier Vektorräume <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle V,W}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>V</mi> <mo>,</mo> <mi>W</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle V,W}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a40b0deabeee6e15bff1e3079b601986d8fe337" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:5.256ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle V,W}"> über dem gleichen Körper wird durch <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle V\otimes W}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>V</mi> <mo>⊗</mo> <mi>W</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle V\otimes W}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0d8e48e05a95d9c68f80f49e3d509ba9de064c9" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:7.063ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle V\otimes W}"></dd></dl> notiert. Die Elemente des Tensorproduktraums haben dabei die <a href="/wiki/Bilineare_Abbildung" title="Bilineare Abbildung">bilineare</a> Darstellung <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \sum _{i\in I}\sum _{j\in J}a_{ij}(v_{i}\otimes w_{j})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <munder> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mo>∈</mo> <mi>I</mi> </mrow> </munder> <munder> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> <mo>∈</mo> <mi>J</mi> </mrow> </munder> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>⊗</mo> <msub> <mi>w</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sum _{i\in I}\sum _{j\in J}a_{ij}(v_{i}\otimes w_{j})}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c7eedda4be88670b16b041d0fc4a01ff5add159" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.338ex; width:19.342ex; height:5.843ex;" alt="{\displaystyle \sum _{i\in I}\sum _{j\in J}a_{ij}(v_{i}\otimes w_{j})}">,</dd></dl> wobei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a_{ij}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a_{ij}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ebea6cd2813c330c798921a2894b358f7b643917" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:2.707ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle a_{ij}}"> Skalare sind, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (v_{i})_{i\in I}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mo>∈</mo> <mi>I</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (v_{i})_{i\in I}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8a41d171710e2f4ea57c79d3ff95ec971e2bed4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.461ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (v_{i})_{i\in I}}"> eine Basis von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle V}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>V</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle V}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af0f6064540e84211d0ffe4dac72098adfa52845" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.787ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle V}"> ist und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (w_{j})_{j\in J}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>w</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> <mo>∈</mo> <mi>J</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (w_{j})_{j\in J}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e801a5664c8b21d6f22240372aea4fe38d183261" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:7.43ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle (w_{j})_{j\in J}}"> eine Basis von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle W}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>W</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle W}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54a9c4c547f4d6111f81946cad242b18298d70b7" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.435ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle W}"> ist. Ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle V}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>V</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle V}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af0f6064540e84211d0ffe4dac72098adfa52845" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.787ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle V}"> oder <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle W}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>W</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle W}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54a9c4c547f4d6111f81946cad242b18298d70b7" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.435ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle W}"> unendlichdimensional, dürfen hierbei wieder nur endlich viele Summanden ungleich null sein. Die Dimension von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle V\otimes W}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>V</mi> <mo>⊗</mo> <mi>W</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle V\otimes W}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0d8e48e05a95d9c68f80f49e3d509ba9de064c9" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:7.063ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle V\otimes W}"> ist dann gleich dem Produkt der Dimensionen von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle V}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>V</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle V}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af0f6064540e84211d0ffe4dac72098adfa52845" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.787ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle V}"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle W}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>W</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle W}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54a9c4c547f4d6111f81946cad242b18298d70b7" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.435ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle W}">. Auch das Tensorprodukt kann auf mehrere Vektorräume verallgemeinert werden. <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Vektorräume_mit_zusätzlicher_Struktur">Vektorräume mit zusätzlicher Struktur</h2>[<a href="/w/index.php?title=Vektorraum&veaction=edit&section=18" title="Abschnitt bearbeiten: Vektorräume mit zusätzlicher Struktur" class="mw-editsection-visualeditor">Bearbeiten</a> | <a href="/w/index.php?title=Vektorraum&action=edit&section=18" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Vektorräume mit zusätzlicher Struktur">Quelltext bearbeiten</a>]</div> In vielen Anwendungsbereichen in der Mathematik, etwa der <a href="/wiki/Geometrie" title="Geometrie">Geometrie</a> oder <a href="/wiki/Analysis" title="Analysis">Analysis</a>, ist die Struktur eines Vektorraums nicht ausreichend, etwa erlauben Vektorräume an sich keine <a href="/wiki/Grenzwert_(Folge)" title="Grenzwert (Folge)">Grenzwertprozesse</a>, und man betrachtet daher Vektorräume mit bestimmten zusätzlich auf ihnen definierten Strukturen, die mit der Vektorraumstruktur in gewissem Sinn kompatibel sind. Beispiele: <dl><dt>Euklidischer Vektorraum</dt> <dd>Als <a href="/wiki/Euklidischer_Vektorraum" class="mw-redirect" title="Euklidischer Vektorraum">euklidischer Vektorraum</a> wird (meist) ein reeller Vektorraum mit <a href="/wiki/Skalarprodukt" title="Skalarprodukt">Skalarprodukt</a> bezeichnet. Er ist ein Spezialfall eines <a href="/wiki/Pr%C3%A4hilbertraum" title="Prähilbertraum">Prähilbertraums</a> (siehe dort für abweichende Nomenklatur).</dd> <dt>Normierter Raum</dt> <dd>Ein <a href="/wiki/Normierter_Raum" title="Normierter Raum">normierter Raum</a> ist ein Vektorraum, in dem Vektoren eine Länge (<a href="/wiki/Norm_(Mathematik)" title="Norm (Mathematik)">Norm</a>) besitzen. Diese ist eine nichtnegative reelle Zahl und erfüllt die <a href="/wiki/Dreiecksungleichung" title="Dreiecksungleichung">Dreiecksungleichung</a>.</dd> <dt>Prähilbertraum</dt> <dd>Ein <a href="/wiki/Pr%C3%A4hilbertraum" title="Prähilbertraum">Prähilbertraum</a> ist ein reeller oder komplexer Vektorraum, auf dem ein inneres Produkt (<a href="/wiki/Skalarprodukt" title="Skalarprodukt">Skalarprodukt</a> bzw. positiv definite <a href="/wiki/Hermitesche_Form" class="mw-redirect" title="Hermitesche Form">hermitesche Form</a>) definiert ist. In einem solchen Raum kann man Begriffe wie Länge und Winkel definieren.</dd> <dt>Topologischer Vektorraum</dt> <dd>Ein <a href="/wiki/Topologischer_Vektorraum" title="Topologischer Vektorraum">topologischer Vektorraum</a> über einem <a href="/wiki/Topologischer_K%C3%B6rper" class="mw-redirect" title="Topologischer Körper">topologischen Körper</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle K}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>K</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle K}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b76fce82a62ed5461908f0dc8f037de4e3686b0" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.066ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle K}"> ist ein <a href="/wiki/Topologischer_Raum" title="Topologischer Raum">topologischer Raum</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle V}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>V</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle V}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af0f6064540e84211d0ffe4dac72098adfa52845" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.787ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle V}"> mit einer kompatiblen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle K}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>K</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle K}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b76fce82a62ed5461908f0dc8f037de4e3686b0" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.066ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle K}">-Vektorraumstruktur, d. h., die Vektorraumoperationen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {+}\colon V\times V\to V}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>+</mo> </mrow> <mo>:</mo> <mi>V</mi> <mo>×</mo> <mi>V</mi> <mo stretchy="false">→</mo> <mi>V</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {+}\colon V\times V\to V}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db4c56dac0fbb10e7ace03e06bffb835f345a68f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:14.658ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle {+}\colon V\times V\to V}"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\cdot }\colon K\times V\to V}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>⋅</mo> </mrow> <mo>:</mo> <mi>K</mi> <mo>×</mo> <mi>V</mi> <mo stretchy="false">→</mo> <mi>V</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\cdot }\colon K\times V\to V}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b5a3169d1571294342efaddf8e32776c5903ee6" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:13.776ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle {\cdot }\colon K\times V\to V}"> sind <a href="/wiki/Stetige_Funktion" title="Stetige Funktion">stetig</a>.</dd> <dt>Unitärer Vektorraum</dt> <dd>Als unitärer Vektorraum wird (meist) ein komplexer Vektorraum mit positiv definiter hermitescher Form („Skalarprodukt“) bezeichnet. Er ist ein Spezialfall des <a href="/wiki/Pr%C3%A4hilbertraum" title="Prähilbertraum">Prähilbertraums</a>.</dd></dl> Bei all diesen Beispielen handelt es sich um topologische Vektorräume. In topologischen Vektorräumen sind die analytischen Konzepte der <a href="/wiki/Grenzwert_(Folge)" title="Grenzwert (Folge)">Konvergenz</a>, der <a href="/wiki/Gleichm%C3%A4%C3%9Fige_Konvergenz" title="Gleichmäßige Konvergenz">gleichmäßigen Konvergenz</a> und der <a href="/wiki/Vollst%C3%A4ndiger_Raum" title="Vollständiger Raum">Vollständigkeit</a> anwendbar. Ein vollständiger normierter Vektorraum heißt <a href="/wiki/Banachraum" title="Banachraum">Banachraum</a>, ein vollständiger Prähilbertraum heißt <a href="/wiki/Hilbertraum" title="Hilbertraum">Hilbertraum</a>. <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Verallgemeinerungen">Verallgemeinerungen</h2>[<a href="/w/index.php?title=Vektorraum&veaction=edit&section=19" title="Abschnitt bearbeiten: Verallgemeinerungen" class="mw-editsection-visualeditor">Bearbeiten</a> | <a href="/w/index.php?title=Vektorraum&action=edit&section=19" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Verallgemeinerungen">Quelltext bearbeiten</a>]</div> <ul><li>Wenn man an Stelle eines Körpers <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle K}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>K</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle K}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b76fce82a62ed5461908f0dc8f037de4e3686b0" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.066ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle K}"> einen kommutativen <a href="/wiki/Ring_(Algebra)" title="Ring (Algebra)">Ring</a> zugrunde legt, erhält man einen <a href="/wiki/Modul_(Mathematik)" title="Modul (Mathematik)">Modul</a>. Moduln sind eine gemeinsame Verallgemeinerung der Begriffe „<a href="/wiki/Abelsche_Gruppe" title="Abelsche Gruppe">abelsche Gruppe</a>“ (für den Ring der <a href="/wiki/Ganze_Zahl" title="Ganze Zahl">ganzen Zahlen</a>) und „Vektorraum“ (für Körper).</li></ul> <ul><li>Einige Autoren verzichten in der Definition von Körpern auf das Kommutativgesetz der Multiplikation und nennen Moduln über <a href="/wiki/Schiefk%C3%B6rper" title="Schiefkörper">Schiefkörpern</a> ebenfalls Vektorräume. Folgt man dieser Vorgehensweise, so müssen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle K}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>K</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle K}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b76fce82a62ed5461908f0dc8f037de4e3686b0" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.066ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle K}">-Linksvektorräume und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle K}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>K</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle K}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b76fce82a62ed5461908f0dc8f037de4e3686b0" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.066ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle K}">-Rechtsvektorräume unterschieden werden, da ein Schiefkörper nicht kommutativ ist. Die Situation ist vergleichbar mit der von Links- und Rechtsmoduln über einem (im Allgemeinen) nicht-kommutativen Ring. Die oben gegebene Definition des Vektorraums ergibt dabei einen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle K}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>K</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle K}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b76fce82a62ed5461908f0dc8f037de4e3686b0" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.066ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle K}">-Linksvektorraum, da die Skalare im Produkt auf der linken Seite stehen. <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle K}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>K</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle K}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b76fce82a62ed5461908f0dc8f037de4e3686b0" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.066ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle K}">-Rechtsvektorräume werden analog mit der spiegelbildlich erklärten Skalarmultiplikation definiert. Viele fundamentale Ergebnisse gelten völlig analog auch für Vektorräume über Schiefkörpern, etwa die Existenz einer Basis.</li></ul> <ul><li>Wenn man an Stelle eines Körpers <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle K}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>K</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle K}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b76fce82a62ed5461908f0dc8f037de4e3686b0" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.066ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle K}"> einen <a href="/wiki/Halbk%C3%B6rper" title="Halbkörper">Halbkörper</a> zugrunde legt, erhält man einen <a href="/w/index.php?title=Halbvektorraum&action=edit&redlink=1" class="new" title="Halbvektorraum (Seite nicht vorhanden)">Halbvektorraum</a>.</li></ul> <ul><li>Eine andere Verallgemeinerung von Vektorräumen sind <a href="/wiki/Vektorb%C3%BCndel" title="Vektorbündel">Vektorbündel</a>; sie bestehen aus je einem Vektorraum für jeden Punkt eines <a href="/wiki/Topologischer_Raum" title="Topologischer Raum">topologischen</a> Basisraums.</li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Historische_Anmerkung">Historische Anmerkung</h2>[<a href="/w/index.php?title=Vektorraum&veaction=edit&section=20" title="Abschnitt bearbeiten: Historische Anmerkung" class="mw-editsection-visualeditor">Bearbeiten</a> | <a href="/w/index.php?title=Vektorraum&action=edit&section=20" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Historische Anmerkung">Quelltext bearbeiten</a>]</div> <a href="/wiki/Bartel_Leendert_van_der_Waerden" title="Bartel Leendert van der Waerden">Bartel Leendert van der Waerden</a> merkt an, dass seines Wissens der Begriff „n-dimensionaler Vektorraum“ zum ersten Mal von <a href="/wiki/Hermann_Gra%C3%9Fmann" title="Hermann Graßmann">Hermann Günther Graßmann</a> in <a href="/wiki/Hermann_Gra%C3%9Fmann#Auf_dem_Weg_zur_Ausdehnungslehre_von_1844" title="Hermann Graßmann">seinem Buch</a> „Die lineale Ausdehnungslehre“ von 1844 explizit definiert wurde.<a href="#cite_note-6">[6]</a> Implizit gearbeitet wird mit dem Strukturbegriff in diversen Zusammenhängen natürlich schon wesentlich früher. <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Literatur">Literatur</h2>[<a href="/w/index.php?title=Vektorraum&veaction=edit&section=21" title="Abschnitt bearbeiten: Literatur" class="mw-editsection-visualeditor">Bearbeiten</a> | <a href="/w/index.php?title=Vektorraum&action=edit&section=21" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Literatur">Quelltext bearbeiten</a>]</div> <ul><li>Gerd Fischer: Lineare Algebra. Vieweg-Verlag, <a href="/wiki/Spezial:ISBN-Suche/3528032170" class="internal mw-magiclink-isbn">ISBN 3-528-03217-0</a>.</li> <li>R. Hartwig: <a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.informatik.uni-leipzig.de/~rhartwig/SynSemSpez/SSS200910-Folien.pdf">Syntax, Semantik, Spezifikation - Grundlagen der Informatik</a>. WS 2009/2010.</li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Weblinks">Weblinks</h2>[<a href="/w/index.php?title=Vektorraum&veaction=edit&section=22" title="Abschnitt bearbeiten: Weblinks" class="mw-editsection-visualeditor">Bearbeiten</a> | <a href="/w/index.php?title=Vektorraum&action=edit&section=22" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Weblinks">Quelltext bearbeiten</a>]</div> <div class="sisterproject" style="margin:0.1em 0 0 0;"><div class="noviewer" style="display:inline-block; line-height:10px; min-width:1.6em; text-align:center;" aria-hidden="true" role="presentation"><img alt="" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/fa/Wikibooks-logo.svg/16px-Wikibooks-logo.svg.png" decoding="async" width="16" height="16" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/fa/Wikibooks-logo.svg/24px-Wikibooks-logo.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/fa/Wikibooks-logo.svg/32px-Wikibooks-logo.svg.png 2x" data-file-width="300" data-file-height="300" /></div><a href="https://de.wikibooks.org/wiki/Mathe_f%C3%BCr_Nicht-Freaks:_Vektorraum" class="extiw" title="b:Mathe für Nicht-Freaks: Vektorraum">Wikibooks: Mathe für Nicht-Freaks: Vektorraum</a> – Lern- und Lehrmaterialien</div> <ul><li><a rel="nofollow" class="external text" href="http://lp.uni-goettingen.de/get/text/813">Vektorraumtheorie</a> (E-Learning-Angebot mit Übungsaufgaben).</li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Einzelnachweise">Einzelnachweise</h2>[<a href="/w/index.php?title=Vektorraum&veaction=edit&section=23" title="Abschnitt bearbeiten: Einzelnachweise" class="mw-editsection-visualeditor">Bearbeiten</a> | <a href="/w/index.php?title=Vektorraum&action=edit&section=23" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Einzelnachweise">Quelltext bearbeiten</a>]</div> <ol class="references"> <li id="cite_note-1"><a href="#cite_ref-1">↑</a> H. Grauert, H. C. Grunert: Lineare Algebra und Analytische Geometrie. <a href="/wiki/Spezial:ISBN-Suche/3486247395" class="internal mw-magiclink-isbn">ISBN 3-486-24739-5</a>. </li> <li id="cite_note-2"><a href="#cite_ref-2">↑</a> H.-J. Kowalski, G. O. Michler: Lineare Algebra. </li> <li id="cite_note-3"><a href="#cite_ref-3">↑</a> R. Hartwig, WS 2009/2011, S. 11. </li> <li id="cite_note-4"><a href="#cite_ref-4">↑</a> Andreas Blass: Axiomatic set theory. In: Contemporary Mathematics. Volume 31, 1984, Kapitel Existence of bases implies the axiom of choice. S. 31–33. </li> <li id="cite_note-5"><a href="#cite_ref-5">↑</a> Christoph Ableitinger, Angela Herrmann: <cite style="font-style:italic">Lernen aus Musterlösungen zur Analysis und Linearen Algebra. Ein Arbeits- und Übungsbuch</cite>. 1. Auflage. Vieweg + Teubner, Wiesbaden 2011, <a href="/wiki/Spezial:ISBN-Suche/9783834817242" class="internal mw-magiclink-isbn">ISBN 978-3-8348-1724-2</a>, S. 88.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Vektorraum&rft.au=Christoph+Ableitinger%2C+Angela+Herrmann&rft.btitle=Lernen+aus+Musterl%C3%B6sungen+zur+Analysis+und+Linearen+Algebra.+Ein+Arbeits-+und+%C3%9Cbungsbuch&rft.date=2011&rft.edition=1.&rft.genre=book&rft.isbn=9783834817242&rft.pages=88&rft.place=Wiesbaden&rft.pub=Vieweg+%2B+Teubner" style="display:none">  </li> <li id="cite_note-6"><a href="#cite_ref-6">↑</a> Siehe Chapter 10 (The Discovery of Algebras, Seite 191) aus <a href="/wiki/Bartel_Leendert_van_der_Waerden" title="Bartel Leendert van der Waerden">Bartel Leendert van der Waerden</a>: A History of Algebra – From al-Khwarizmi to Emmy Noether. Springer, 1985, <a href="/wiki/Spezial:ISBN-Suche/354013610X" class="internal mw-magiclink-isbn">ISBN 3-540-13610-X</a>, Berlin / Heidelberg / New York / Tokyo. </li> </ol> <div class="hintergrundfarbe1 rahmenfarbe1 navigation-not-searchable normdaten-typ-s" style="border-style: solid; border-width: 1px; clear: left; margin-bottom:1em; margin-top:1em; padding: 0.25em; overflow: hidden; word-break: break-word; word-wrap: break-word;" id="normdaten"> <div style="display: table-cell; vertical-align: middle; width: 100%;"> <div> Normdaten (Sachbegriff): <a href="/wiki/Gemeinsame_Normdatei" title="Gemeinsame Normdatei">GND</a>: <a rel="nofollow" class="external text" href="https://d-nb.info/gnd/4130622-3">4130622-3</a> (<a rel="nofollow" class="external text" href="https://lobid.org/gnd/4130622-3">lobid</a>, <a rel="nofollow" class="external text" href="https://swb.bsz-bw.de/DB=2.104/SET=1/TTL=1/CMD?retrace=0&trm_old=&ACT=SRCHA&IKT=2999&SRT=RLV&TRM=4130622-3">OGND</a>, <a rel="nofollow" class="external text" href="https://prometheus.lmu.de/gnd/4130622-3">AKS</a>) </div> </div></div></div><noscript><img src="https://login.wikimedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;"></noscript> <div class="printfooter" data-nosnippet="">Abgerufen von „<a dir="ltr" href="https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Vektorraum&oldid=249917095">https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Vektorraum&oldid=249917095</a>“</div></div> <div id="catlinks" class="catlinks" data-mw="interface"><div id="mw-normal-catlinks" class="mw-normal-catlinks"><a href="/wiki/Wikipedia:Kategorien" title="Wikipedia:Kategorien">Kategorien</a>: <ul><li><a href="/wiki/Kategorie:Vektorraum" title="Kategorie:Vektorraum">Vektorraum</a></li><li><a href="/wiki/Kategorie:Lineare_Algebra" title="Kategorie:Lineare Algebra">Lineare Algebra</a></li></ul></div><div id="mw-hidden-catlinks" class="mw-hidden-catlinks mw-hidden-cats-hidden">Versteckte Kategorie: <ul><li><a href="/wiki/Kategorie:Wikipedia:Seiten,_die_ein_veraltetes_Format_des_math-Tags_verwenden" title="Kategorie:Wikipedia:Seiten, die ein veraltetes Format des math-Tags verwenden">Wikipedia:Seiten, die ein veraltetes Format des math-Tags verwenden</a></li></ul></div></div> </div> </div> <div id="mw-navigation"> <h2>Navigationsmenü</h2> <div id="mw-head"> <nav id="p-personal" class="mw-portlet mw-portlet-personal vector-user-menu-legacy vector-menu" aria-labelledby="p-personal-label" > <h3 id="p-personal-label" class="vector-menu-heading " > Meine Werkzeuge </h3> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="pt-anonuserpage" class="mw-list-item">Nicht angemeldet</li><li id="pt-anontalk" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Spezial:Meine_Diskussionsseite" title="Diskussion über Änderungen von dieser IP-Adresse [n]" accesskey="n">Diskussionsseite</a></li><li id="pt-anoncontribs" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Spezial:Meine_Beitr%C3%A4ge" title="Eine Liste der Bearbeitungen, die von dieser IP-Adresse gemacht wurden [y]" accesskey="y">Beiträge</a></li><li id="pt-createaccount" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Spezial:Benutzerkonto_anlegen&returnto=Vektorraum" title="Wir ermutigen dich dazu, ein Benutzerkonto zu erstellen und dich anzumelden. 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class="interlanguage-link-target">Cymraeg</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-da mw-list-item"><a href="https://da.wikipedia.org/wiki/Vektorrum" title="Vektorrum – Dänisch" lang="da" hreflang="da" data-title="Vektorrum" data-language-autonym="Dansk" data-language-local-name="Dänisch" class="interlanguage-link-target">Dansk</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-el mw-list-item"><a href="https://el.wikipedia.org/wiki/%CE%94%CE%B9%CE%B1%CE%BD%CF%85%CF%83%CE%BC%CE%B1%CF%84%CE%B9%CE%BA%CF%8C%CF%82_%CF%87%CF%8E%CF%81%CE%BF%CF%82" title="Διανυσματικός χώρος – Griechisch" lang="el" hreflang="el" data-title="Διανυσματικός χώρος" data-language-autonym="Ελληνικά" data-language-local-name="Griechisch" class="interlanguage-link-target">Ελληνικά</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-en badge-Q17437798 badge-goodarticle mw-list-item" title="lesenswerter Artikel"><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Vector_space" title="Vector space – Englisch" lang="en" hreflang="en" data-title="Vector space" data-language-autonym="English" data-language-local-name="Englisch" class="interlanguage-link-target">English</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-eo mw-list-item"><a href="https://eo.wikipedia.org/wiki/Vektora_spaco" title="Vektora spaco – Esperanto" lang="eo" hreflang="eo" data-title="Vektora spaco" data-language-autonym="Esperanto" data-language-local-name="Esperanto" class="interlanguage-link-target">Esperanto</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-es mw-list-item"><a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Espacio_vectorial" title="Espacio vectorial – Spanisch" lang="es" hreflang="es" data-title="Espacio vectorial" data-language-autonym="Español" data-language-local-name="Spanisch" class="interlanguage-link-target">Español</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-et mw-list-item"><a href="https://et.wikipedia.org/wiki/Vektorruum" title="Vektorruum – Estnisch" lang="et" hreflang="et" data-title="Vektorruum" data-language-autonym="Eesti" data-language-local-name="Estnisch" class="interlanguage-link-target">Eesti</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-eu mw-list-item"><a href="https://eu.wikipedia.org/wiki/Bektore_espazio" title="Bektore espazio – Baskisch" lang="eu" hreflang="eu" data-title="Bektore espazio" data-language-autonym="Euskara" data-language-local-name="Baskisch" class="interlanguage-link-target">Euskara</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fa mw-list-item"><a href="https://fa.wikipedia.org/wiki/%D9%81%D8%B6%D8%A7%DB%8C_%D8%A8%D8%B1%D8%AF%D8%A7%D8%B1%DB%8C" title="فضای برداری – Persisch" lang="fa" hreflang="fa" data-title="فضای برداری" data-language-autonym="فارسی" data-language-local-name="Persisch" class="interlanguage-link-target">فارسی</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fi mw-list-item"><a href="https://fi.wikipedia.org/wiki/Vektoriavaruus" title="Vektoriavaruus – Finnisch" lang="fi" hreflang="fi" data-title="Vektoriavaruus" data-language-autonym="Suomi" data-language-local-name="Finnisch" class="interlanguage-link-target">Suomi</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fr mw-list-item"><a href="https://fr.wikipedia.org/wiki/Espace_vectoriel" title="Espace vectoriel – Französisch" lang="fr" hreflang="fr" data-title="Espace vectoriel" data-language-autonym="Français" data-language-local-name="Französisch" class="interlanguage-link-target">Français</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ga mw-list-item"><a href="https://ga.wikipedia.org/wiki/Sp%C3%A1s_veicteoireach" title="Spás veicteoireach – Irisch" lang="ga" hreflang="ga" data-title="Spás veicteoireach" data-language-autonym="Gaeilge" data-language-local-name="Irisch" class="interlanguage-link-target">Gaeilge</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-gl mw-list-item"><a href="https://gl.wikipedia.org/wiki/Espazo_vectorial" title="Espazo vectorial – Galicisch" lang="gl" hreflang="gl" data-title="Espazo vectorial" data-language-autonym="Galego" data-language-local-name="Galicisch" class="interlanguage-link-target">Galego</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-he mw-list-item"><a href="https://he.wikipedia.org/wiki/%D7%9E%D7%A8%D7%97%D7%91_%D7%95%D7%A7%D7%98%D7%95%D7%A8%D7%99" title="מרחב וקטורי – Hebräisch" lang="he" hreflang="he" data-title="מרחב וקטורי" data-language-autonym="עברית" data-language-local-name="Hebräisch" class="interlanguage-link-target">עברית</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hi mw-list-item"><a href="https://hi.wikipedia.org/wiki/%E0%A4%B8%E0%A4%A6%E0%A4%BF%E0%A4%B6_%E0%A4%AC%E0%A5%80%E0%A4%9C%E0%A4%97%E0%A4%A3%E0%A4%BF%E0%A4%A4" title="सदिश बीजगणित – Hindi" lang="hi" hreflang="hi" data-title="सदिश बीजगणित" data-language-autonym="हिन्दी" data-language-local-name="Hindi" class="interlanguage-link-target">हिन्दी</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hr mw-list-item"><a href="https://hr.wikipedia.org/wiki/Vektorski_prostor" title="Vektorski prostor – Kroatisch" lang="hr" hreflang="hr" data-title="Vektorski prostor" data-language-autonym="Hrvatski" data-language-local-name="Kroatisch" class="interlanguage-link-target">Hrvatski</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hu mw-list-item"><a href="https://hu.wikipedia.org/wiki/Vektort%C3%A9r" title="Vektortér – Ungarisch" lang="hu" hreflang="hu" data-title="Vektortér" data-language-autonym="Magyar" data-language-local-name="Ungarisch" class="interlanguage-link-target">Magyar</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hy mw-list-item"><a href="https://hy.wikipedia.org/wiki/%D5%8E%D5%A5%D5%AF%D5%BF%D5%B8%D6%80%D5%A1%D5%AF%D5%A1%D5%B6_%D5%BF%D5%A1%D6%80%D5%A1%D5%AE%D5%B8%D6%82%D5%A9%D5%B5%D5%B8%D6%82%D5%B6" title="Վեկտորական տարածություն – Armenisch" lang="hy" hreflang="hy" data-title="Վեկտորական տարածություն" data-language-autonym="Հայերեն" data-language-local-name="Armenisch" class="interlanguage-link-target">Հայերեն</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ia mw-list-item"><a href="https://ia.wikipedia.org/wiki/Spatio_vectorial" title="Spatio vectorial – Interlingua" lang="ia" hreflang="ia" data-title="Spatio vectorial" data-language-autonym="Interlingua" data-language-local-name="Interlingua" class="interlanguage-link-target">Interlingua</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-id mw-list-item"><a href="https://id.wikipedia.org/wiki/Ruang_vektor" title="Ruang vektor – Indonesisch" lang="id" hreflang="id" data-title="Ruang vektor" data-language-autonym="Bahasa Indonesia" data-language-local-name="Indonesisch" class="interlanguage-link-target">Bahasa Indonesia</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-is mw-list-item"><a href="https://is.wikipedia.org/wiki/Vigurr%C3%BAm" title="Vigurrúm – Isländisch" lang="is" hreflang="is" data-title="Vigurrúm" data-language-autonym="Íslenska" data-language-local-name="Isländisch" class="interlanguage-link-target">Íslenska</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-it mw-list-item"><a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Spazio_vettoriale" title="Spazio vettoriale – Italienisch" lang="it" hreflang="it" data-title="Spazio vettoriale" data-language-autonym="Italiano" data-language-local-name="Italienisch" class="interlanguage-link-target">Italiano</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ja mw-list-item"><a href="https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%99%E3%82%AF%E3%83%88%E3%83%AB%E7%A9%BA%E9%96%93" title="ベクトル空間 – Japanisch" lang="ja" hreflang="ja" data-title="ベクトル空間" data-language-autonym="日本語" data-language-local-name="Japanisch" class="interlanguage-link-target">日本語</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ko mw-list-item"><a href="https://ko.wikipedia.org/wiki/%EB%B2%A1%ED%84%B0_%EA%B3%B5%EA%B0%84" title="벡터 공간 – Koreanisch" lang="ko" hreflang="ko" data-title="벡터 공간" data-language-autonym="한국어" data-language-local-name="Koreanisch" class="interlanguage-link-target">한국어</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ky mw-list-item"><a href="https://ky.wikipedia.org/wiki/%D0%92%D0%B5%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%B4%D1%83%D0%BA_%D0%BC%D0%B5%D0%B9%D0%BA%D0%B8%D0%BD%D0%B4%D0%B8%D0%BA" title="Вектордук мейкиндик – Kirgisisch" lang="ky" hreflang="ky" data-title="Вектордук мейкиндик" data-language-autonym="Кыргызча" data-language-local-name="Kirgisisch" class="interlanguage-link-target">Кыргызча</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-la mw-list-item"><a href="https://la.wikipedia.org/wiki/Spatium_vectoriale" title="Spatium vectoriale – Latein" lang="la" hreflang="la" data-title="Spatium vectoriale" data-language-autonym="Latina" data-language-local-name="Latein" class="interlanguage-link-target">Latina</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-lmo mw-list-item"><a href="https://lmo.wikipedia.org/wiki/Spazzi_vettorial" title="Spazzi vettorial – Lombardisch" lang="lmo" hreflang="lmo" data-title="Spazzi vettorial" data-language-autonym="Lombard" data-language-local-name="Lombardisch" class="interlanguage-link-target">Lombard</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-lo mw-list-item"><a href="https://lo.wikipedia.org/wiki/%E0%BB%80%E0%BA%A7%E0%BA%B1%E0%BA%81%E0%BB%80%E0%BA%95%E0%BA%B5" title="ເວັກເຕີ – Laotisch" lang="lo" hreflang="lo" data-title="ເວັກເຕີ" data-language-autonym="ລາວ" data-language-local-name="Laotisch" class="interlanguage-link-target">ລາວ</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-lt mw-list-item"><a href="https://lt.wikipedia.org/wiki/Vektorin%C4%97_erdv%C4%97" title="Vektorinė erdvė – Litauisch" lang="lt" hreflang="lt" data-title="Vektorinė erdvė" data-language-autonym="Lietuvių" data-language-local-name="Litauisch" class="interlanguage-link-target">Lietuvių</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-lv mw-list-item"><a href="https://lv.wikipedia.org/wiki/Vektoru_telpa" title="Vektoru telpa – Lettisch" lang="lv" hreflang="lv" data-title="Vektoru telpa" data-language-autonym="Latviešu" data-language-local-name="Lettisch" class="interlanguage-link-target">Latviešu</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-mk mw-list-item"><a href="https://mk.wikipedia.org/wiki/%D0%92%D0%B5%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80%D1%81%D0%BA%D0%B8_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%BE%D1%80" title="Векторски простор – Mazedonisch" lang="mk" hreflang="mk" data-title="Векторски простор" data-language-autonym="Македонски" data-language-local-name="Mazedonisch" class="interlanguage-link-target">Македонски</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ml mw-list-item"><a href="https://ml.wikipedia.org/wiki/%E0%B4%B8%E0%B4%A6%E0%B4%BF%E0%B4%B6%E0%B4%B8%E0%B4%AE%E0%B4%B7%E0%B5%8D%E0%B4%9F%E0%B4%BF" title="സദിശസമഷ്ടി – Malayalam" lang="ml" hreflang="ml" data-title="സദിശസമഷ്ടി" data-language-autonym="മലയാളം" data-language-local-name="Malayalam" class="interlanguage-link-target">മലയാളം</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ms mw-list-item"><a href="https://ms.wikipedia.org/wiki/Ruang_vektor" title="Ruang vektor – Malaiisch" lang="ms" hreflang="ms" data-title="Ruang vektor" data-language-autonym="Bahasa Melayu" data-language-local-name="Malaiisch" class="interlanguage-link-target">Bahasa Melayu</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-nl mw-list-item"><a href="https://nl.wikipedia.org/wiki/Vectorruimte" title="Vectorruimte – Niederländisch" lang="nl" hreflang="nl" data-title="Vectorruimte" data-language-autonym="Nederlands" data-language-local-name="Niederländisch" class="interlanguage-link-target">Nederlands</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-nn mw-list-item"><a href="https://nn.wikipedia.org/wiki/Vektorrom" title="Vektorrom – Norwegisch (Nynorsk)" lang="nn" hreflang="nn" data-title="Vektorrom" data-language-autonym="Norsk nynorsk" data-language-local-name="Norwegisch (Nynorsk)" class="interlanguage-link-target">Norsk nynorsk</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-no mw-list-item"><a href="https://no.wikipedia.org/wiki/Vektorrom" title="Vektorrom – Norwegisch (Bokmål)" lang="nb" hreflang="nb" data-title="Vektorrom" data-language-autonym="Norsk bokmål" data-language-local-name="Norwegisch (Bokmål)" class="interlanguage-link-target">Norsk bokmål</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-oc mw-list-item"><a href="https://oc.wikipedia.org/wiki/Espaci_vectoriau" title="Espaci vectoriau – Okzitanisch" lang="oc" hreflang="oc" data-title="Espaci vectoriau" data-language-autonym="Occitan" data-language-local-name="Okzitanisch" class="interlanguage-link-target">Occitan</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pa mw-list-item"><a href="https://pa.wikipedia.org/wiki/%E0%A8%B5%E0%A9%88%E0%A8%95%E0%A8%9F%E0%A8%B0_%E0%A8%B8%E0%A8%AA%E0%A9%87%E0%A8%B8" title="ਵੈਕਟਰ ਸਪੇਸ – Punjabi" lang="pa" hreflang="pa" data-title="ਵੈਕਟਰ ਸਪੇਸ" data-language-autonym="ਪੰਜਾਬੀ" data-language-local-name="Punjabi" class="interlanguage-link-target">ਪੰਜਾਬੀ</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pl mw-list-item"><a href="https://pl.wikipedia.org/wiki/Przestrze%C5%84_liniowa" title="Przestrzeń liniowa – Polnisch" lang="pl" hreflang="pl" data-title="Przestrzeń liniowa" data-language-autonym="Polski" data-language-local-name="Polnisch" class="interlanguage-link-target">Polski</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pms mw-list-item"><a href="https://pms.wikipedia.org/wiki/Spassi_vetorial" title="Spassi vetorial – Piemontesisch" lang="pms" hreflang="pms" data-title="Spassi vetorial" data-language-autonym="Piemontèis" data-language-local-name="Piemontesisch" class="interlanguage-link-target">Piemontèis</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pnb mw-list-item"><a href="https://pnb.wikipedia.org/wiki/%D9%88%DB%8C%DA%A9%D9%B9%D8%B1_%D8%B3%D9%BE%DB%8C%D8%B3" title="ویکٹر سپیس – Westliches Panjabi" lang="pnb" hreflang="pnb" data-title="ویکٹر سپیس" data-language-autonym="پنجابی" data-language-local-name="Westliches Panjabi" class="interlanguage-link-target">پنجابی</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pt mw-list-item"><a href="https://pt.wikipedia.org/wiki/Espa%C3%A7o_vetorial" title="Espaço vetorial – Portugiesisch" lang="pt" hreflang="pt" data-title="Espaço vetorial" data-language-autonym="Português" data-language-local-name="Portugiesisch" class="interlanguage-link-target">Português</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ro badge-Q17437798 badge-goodarticle mw-list-item" title="lesenswerter Artikel"><a href="https://ro.wikipedia.org/wiki/Spa%C8%9Biu_vectorial" title="Spațiu vectorial – Rumänisch" lang="ro" hreflang="ro" data-title="Spațiu vectorial" data-language-autonym="Română" data-language-local-name="Rumänisch" class="interlanguage-link-target">Română</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ru mw-list-item"><a href="https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%92%D0%B5%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%80%D0%B0%D0%BD%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE" title="Векторное пространство – Russisch" lang="ru" hreflang="ru" data-title="Векторное пространство" data-language-autonym="Русский" data-language-local-name="Russisch" class="interlanguage-link-target">Русский</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-scn mw-list-item"><a href="https://scn.wikipedia.org/wiki/Spazziu_vitturiali" title="Spazziu vitturiali – Sizilianisch" lang="scn" hreflang="scn" data-title="Spazziu vitturiali" data-language-autonym="Sicilianu" data-language-local-name="Sizilianisch" class="interlanguage-link-target">Sicilianu</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sh mw-list-item"><a href="https://sh.wikipedia.org/wiki/Vektorski_prostor" title="Vektorski prostor – Serbokroatisch" lang="sh" hreflang="sh" data-title="Vektorski prostor" data-language-autonym="Srpskohrvatski / српскохрватски" data-language-local-name="Serbokroatisch" class="interlanguage-link-target">Srpskohrvatski / српскохрватски</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-simple mw-list-item"><a href="https://simple.wikipedia.org/wiki/Vector_space" title="Vector space – einfaches Englisch" lang="en-simple" hreflang="en-simple" data-title="Vector space" data-language-autonym="Simple English" data-language-local-name="einfaches Englisch" class="interlanguage-link-target">Simple English</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sk mw-list-item"><a href="https://sk.wikipedia.org/wiki/Vektorov%C3%BD_priestor" title="Vektorový priestor – Slowakisch" lang="sk" hreflang="sk" data-title="Vektorový priestor" data-language-autonym="Slovenčina" data-language-local-name="Slowakisch" class="interlanguage-link-target">Slovenčina</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sl mw-list-item"><a href="https://sl.wikipedia.org/wiki/Vektorski_prostor" title="Vektorski prostor – Slowenisch" lang="sl" hreflang="sl" data-title="Vektorski prostor" data-language-autonym="Slovenščina" data-language-local-name="Slowenisch" class="interlanguage-link-target">Slovenščina</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sq mw-list-item"><a href="https://sq.wikipedia.org/wiki/Hap%C3%ABsira_vektoriale" title="Hapësira vektoriale – Albanisch" lang="sq" hreflang="sq" data-title="Hapësira vektoriale" data-language-autonym="Shqip" data-language-local-name="Albanisch" class="interlanguage-link-target">Shqip</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sr mw-list-item"><a href="https://sr.wikipedia.org/wiki/%D0%92%D0%B5%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80%D1%81%D0%BA%D0%B8_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%BE%D1%80" title="Векторски простор – Serbisch" lang="sr" hreflang="sr" data-title="Векторски простор" data-language-autonym="Српски / srpski" data-language-local-name="Serbisch" class="interlanguage-link-target">Српски / srpski</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sv mw-list-item"><a href="https://sv.wikipedia.org/wiki/Linj%C3%A4rt_rum" title="Linjärt rum – Schwedisch" lang="sv" hreflang="sv" data-title="Linjärt rum" data-language-autonym="Svenska" data-language-local-name="Schwedisch" class="interlanguage-link-target">Svenska</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ta mw-list-item"><a href="https://ta.wikipedia.org/wiki/%E0%AE%A4%E0%AE%BF%E0%AE%9A%E0%AF%88%E0%AE%AF%E0%AE%A9%E0%AF%8D_%E0%AE%B5%E0%AF%86%E0%AE%B3%E0%AE%BF" title="திசையன் வெளி – Tamil" lang="ta" hreflang="ta" data-title="திசையன் வெளி" data-language-autonym="தமிழ்" data-language-local-name="Tamil" class="interlanguage-link-target">தமிழ்</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-tl mw-list-item"><a href="https://tl.wikipedia.org/wiki/Espasyong_bektor" title="Espasyong bektor – Tagalog" lang="tl" hreflang="tl" data-title="Espasyong bektor" data-language-autonym="Tagalog" data-language-local-name="Tagalog" class="interlanguage-link-target">Tagalog</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-tr mw-list-item"><a href="https://tr.wikipedia.org/wiki/Vekt%C3%B6r_uzay%C4%B1" title="Vektör uzayı – Türkisch" lang="tr" hreflang="tr" data-title="Vektör uzayı" 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vetorial – Venetisch" lang="vec" hreflang="vec" data-title="Spasio vetorial" data-language-autonym="Vèneto" data-language-local-name="Venetisch" class="interlanguage-link-target">Vèneto</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-vi mw-list-item"><a href="https://vi.wikipedia.org/wiki/Kh%C3%B4ng_gian_vect%C6%A1" title="Không gian vectơ – Vietnamesisch" lang="vi" hreflang="vi" data-title="Không gian vectơ" data-language-autonym="Tiếng Việt" data-language-local-name="Vietnamesisch" class="interlanguage-link-target">Tiếng Việt</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-wuu mw-list-item"><a href="https://wuu.wikipedia.org/wiki/%E5%90%91%E9%87%8F%E7%A9%BA%E9%97%B4" title="向量空间 – Wu" lang="wuu" hreflang="wuu" data-title="向量空间" data-language-autonym="吴语" data-language-local-name="Wu" class="interlanguage-link-target">吴语</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zh mw-list-item"><a href="https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%90%91%E9%87%8F%E7%A9%BA%E9%97%B4" title="向量空间 – 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